où Yj ∈ 2 Θ est la réponse du classifieur j, et mj (Yj ) la fonction de masse associée. mConj(∅)
est généralement interprétée comme une mesure de conflit ou plus exactement comme l'inconsistance de la fusion. Cette règle de combinaison appliquée à des fonctions de masse pour lesquelles les seules éléments focaux sont les singletons (*i.e.* des probabilités) est équivalente à l'approche bayésienne. Un état de l'art des nombreuses règles de combinaison issues de la théorie des fonctions de croyance, ainsi que de nouvelles règles prometteuses ont été proposés par [8].

Si la décision prise par le maximum de crédibilité peut être trop pessimiste, la décision issue du maximum de plausibilité est bien souvent trop optimiste. Le maximum de la probabilité pignistique, introduite par [9], reste le compromis le plus employé. La probabilité pignistique est donnée pour tout X ∈ 2 Θ, avec X 6= ∅ par :

Y ∈2Θ, Y 6=∅ |X ∩ Y | |Y | mDS(Y ), (6) betP(X) = X où |X| représente le cardinal de X. En effet,
nous avons bel(X) ≤ betP(X) ≤ pl(X) pour tout X ∈ 2 Θ r {∅}. De même qu'avec les approches bayésiennes, il n'existe pas en général de fonction optimale pour prendre la décision.

Dans cette étude, nous souhaitons autoriser le rejet d'une partie des données comme n'appartenant pas à l'ensemble des classes apprises.

De nombreuses approches en reconnaissance de forme sont envisageables afin de rejeter une observation appartenant à une classe non apprise (cf. [10]). Dans le cadre des fonctions de croyance, une décision pessimiste est préférable. Le critère proposé par [11], consiste à choisir la classe Ck pour une observation si :

$$\left\{\begin{array}{l l}{\operatorname{bel}(C_{k})=\operatorname*{max}_{1\leq i\leq n}\operatorname{bel}(C_{i}),}\\ {\operatorname{bel}(C_{k})\geq\operatorname{bel}(C_{k}^{c}).}\end{array}\right.\qquad\qquad(7)$$

L'ajout de cette seconde condition par rapport au maximum de crédibilité, permet de ne prendre une décision que si celle-ci est non ambiguë, c'est-à-dire si nous croyons plus en la classe Ck qu'en son contraire.

En règle générale, la décision est prise sur les singletons du cadre de discernement [12, 13].

En effet, les fonctions de crédibilité, plausibilité et probabilité pignistique sont des fonctions fd croissantes avec l'inclusion (A ⊂ B implique fd(A) ≤ fd(B)). Il est cependant possible de prendre une décision sur les unions de singletons en pondérant ces fonctions de décision par une fonction d'utilité dépendant de la cardinalité des éléments. Ainsi, l'approche proposée par [14] considère les fonctions de plausibilité permettant de décider n'importe quel élément de 2 Θ et non plus seulement les singletons comme précédemment. Ainsi nous allons choisir l'élément A ∈ 2 Θ pour une observation si :

$$A=\operatorname*{arg\,max}_{X\in2^{\Theta}}\left(m_{d}(X)\mathrm{pl}(X)\right),\qquad\quad(8)$$

où md est une masse définie par :

$$m_{d}(X)=K_{d}\lambda_{X}\left(\frac{1}{|X|^{r}}\right),\qquad\qquad(9)$$

r est un paramètre appartenant à [0, 1] permettant de choisir une décision allant du choix d'un singleton (r = 1) à l'indécision totale (r = 0).

λX permet d'intégrer le manque de connaissance sur l'un des éléments X de 2 Θ. Dans cette étude nous poserons λX = 1. La constante Kd est un facteur de normalisation qui garantit la condition de l'équation (1). Cette approche est envisageable également avec les fonctions de crédibilité ou probabilité pignistique.

Dans [2], nous avons proposé une stratégie permettant à la fois prendre une décision sur une union de classes (*i.e.* lorsque l'indécision est grande et que nous ne pouvons décider entre deux classes particulières) et ne pas prendre de décision lorsque notre croyance en un singleton est trop faible. Cette règle de décision est donc composée de deux étapes :

1. la règle de décision du maximum de crédibilité avec rejet définie par l'équation (7)
est appliquée afin de déterminer les éléments n'appartenant pas aux classes apprises.