Passage: Pertukaran "+" dan "−" dalam ekspresi, yaitu, permutasi dua solusi persamaan dapat dilihat sebagai operasi kelompok (sangat sederhana). Rumus serupa diketahui untuk persamaan kubik dan kuart, tetapi tidak ada secara umum untuk derajat 5 dan lebih tinggi. Sifat abstrak dari kelompok Galois yang terkait dengan polinomial (khususnya kelarutan mereka) memberikan kriteria untuk polinomial yang memiliki semua solusinya dapat diekspresikan oleh radikal, yaitu, solusi yang dapat diekspresikan hanya menggunakan penjumlahan, perkalian, dan akar yang mirip dengan rumus di atas. Masalah ini dapat ditangani dengan beralih ke teori bidang dan mempertimbangkan bidang pemisahan polinomial. Teori Galois modern menggeneralisasi jenis kelompok bidang di atas untuk menetapkan ekstensi Galois dan teorema Galois.
5 dan lebih tinggi