Curzon je bil peti sin Nathaniela Curzona, 1. barona Scarsdaleja in njegove žene Caroline. Prvič je vstopil v mornarico 14. oktobra 1776 kot sposoben mornar. Ko se je "Aeolus" vrnil iz Zahodne Indije leta 1780, je postal midshipman na krovu. "Magnanime" je bila leta 1781 poslana na pomoč pri reliefu Gibraltarja, nato pa leta 1782 v Vzhodno Indijo, da bi okrepila floto pod sirom Edwardom Hughesom. Curzon se je preselil na zastavno ladjo in se boril v bitkah pri Providienu, Negapatamu in
Trincomalee. 1. februarja 1783 je prejel mesto poročnika na ladji "Monarca" in bil z ladjo v bitki pri Cuddaloreju leta 1783, njegovi zadnji akciji na vzhodu.