Han debuterede i konkurrencen den 13. maj 2012 i sidste runde, spillede i en 3-0 hjemme sejr mod Athletic Bilbao, der bekræftede klubbens første nogensinde kvalifikation til UEFA Europa League, og sluttede sig til den valencianske klub på en tre-årig kontrakt i juli samme år. På trods af at være oprindeligt back-up til Gustavo Munúa, Navas var den første valg målmand for Levante i 2013-14 sæsonen, og blev nomineret som ligaens bedste målmand sammen med Thibaut Courtois af Atlético Madrid og Willy Caballero af CF Málaga, går på at vinde prisen.
Månedens La Liga-spiller