Arkwright blev indsat i 12. Royal Lancers i 1924. Han tjente i Anden Verdenskrig som viceassistent generaladjutant for 1. pansrede division i Frankrig, som generalstabschef med 8. pansrede division og som brigadegeneral ansvarlig for pansrede kampvogne i den britiske 8. hær, før han blev udnævnt til kommandør for 23. pansrede brigade i 1943. Som kommandør for den 23. pansrede brigade deltog han i landgangen på Sicilien
, landgangen i Italien, begge del af det italienske felttog, og senere borgerkrigen i Grækenland. Efter krigen blev han General Officer Commanding 2nd Infantry Division i 1946, direktør for Royal Armoured Corps i 1947 og General Officer Commanding 56th (London) Armoured Division i 1948. Hans sidste udnævnelse var som General Officer Commanding 7th Armoured Division fra 1949 indtil hans pensionering i 1951.