Kozlov blev udvalgt af San Jose Sharks i første runde som det sjette samlede valg i 1993 NHL Entry Draft
- Hvad? Kozlov scorede sit første karriere mål for Sharks mod Ed Belfour og Chicago Blackhawks den 21. marts 1995 i et 7 til 3 Sharks tab. Han ville spille et par sæsoner i San Jose, før han blev handlet til Florida Panthers den 13. november 1997. Det var i Florida, hvor han spillede med Pavel Bure, at Kozlov fik sine bedste år. Hans bedste sæson var i 1999-2000 sæsonen, hvor han satte karrierehøjde i assists og point. Han spillede med Panthers indtil 1. marts 2004, da han blev handlet til New Jersey Devils for Christian Berglund og Victor Uchevatov.