Under Catalans indflydelse omtalte Cesàro oprindeligt de "konventionelle formler" for 1 − 2n + 3n − 4n +... som "absurde ligestillinger", og i 1883 udtrykte Cesàro et typisk syn på tiden, at formlerne var falske, men stadig på en eller anden måde formelt nyttige. Endelig, i hans 1890 Sur la multiplication des séries, tog Cesàro en moderne tilgang ud fra definitioner. Serierne er også studeret for ikke-helværdier af n; disse udgør Dirichlet eta-funktionen. En del af Eulers motivation for at studere serier relateret til 1 − 2 − 3 + 4... var den funktionelle ligning af eta-funktionen, som fører til ligningen af zeta-funktionen.
1883