Kondrashin blev født i Moskva i en familie af orkestermusikere. Efter at have tilbragt mange timer ved repetitioner, tog han en fast beslutning i en alder af 14 år om at blive dirigent. Han studerede på Moskva Konservatorium fra 1931 til 1936 under dirigenten Boris Khaykin. Kondrashin begyndte at dirigere i Ungdoms Teater i Moskva i 1931, fortsatte i Stanislavskij og Nemirovich-Danchenko Moskva Akademiske Musikkantheater tre år senere. Han dirigerede på Maliy Opera Teater i Leningrad fra 1938 til 1942 og Bolshoi Teater i Moskva fra 1943. Hans udførelse af Shostakovichs Symfoni nr. 1 tiltrak komponistens opmærksomhed og førte til dannelsen af et fast venskab. I 1947 blev han tildelt Stalin-medaljen.
I 1943