Den oprindelige motivation for gruppe teori var søgen efter løsninger på polynomial ligninger af grad højere end 4. Den 19. århundrede franske matematiker Évariste Galois (1888) begyndte at udvide tidligere arbejde af Paolo Ruffini og Joseph-Louis Lagrange, gav et kriterium for opløsbarheden af en bestemt polynomial ligning i form af symmetri gruppe af sine rødder (løsninger). Elementerne i en sådan Galois gruppe svarer til visse permutationer af rødderne. I første omgang blev Galois ideer afvist af hans samtidige, og offentliggjort kun posthumt.
forenkle beviset for denne klassificering