Udfyld følgende sætning: Egerszegi fik sin internationale debut på
1987 EM i vandsport i en alder af 13 år, hvor han kom på 4. pladsen i 200 m ryggløbet og 5. pladsen i 100 m ryggløbet. Ved Sommer-OL i 1988 vandt hun sølvmedalje i 100 m rygløb og blev olympisk mester i 200 m rygløb. I en alder af 14 år og 41 dage blev hun den yngste kvindelige olympiske mester i svømning nogensinde. Denne ungdomsrekord blev i 1992 slået af Kyoko Iwasaki fra Japan, der i en alder af 14 år og seks dage vandt en guldmedalje i 200 meter bryststrøm ved OL i Barcelona i 1992. I slutningen af 1988 var hun den øverste rangerede svømmer i 200 m rygstræk i verdensrangeringen, og hun blev årets svømmer og årets bedste kvindelige atlet i Ungarn.