Henvis til passagen nedenfor og svar derefter på spørgsmålet på samme sprog som passagen:  Passage: Det moderne begreb om en abstrakt gruppe er udviklet ud fra flere områder af matematik. Den oprindelige motivation for gruppe teori var søgen efter løsninger på polynomial ligninger af grad højere end 4. Den franske matematiker Évariste Galois fra det 19. århundrede, der udvidede Paolo Ruffinis og Joseph-Louis Lagrange's tidligere arbejde, gav et kriterium for opløsbarheden af en bestemt polynomialligning i form af symmetriegruppen af dets rødder (løsninger). Elementerne i en sådan Galois-gruppe svarer til visse permutationer af rødderne. I begyndelsen blev Galois' ideer afvist af hans samtidige, og blev først udgivet posthumt. Mere generelle permutationsgrupper blev især undersøgt af Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayleys On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) giver den første abstrakte definition af en endelig gruppe. Geometri var et andet felt, hvor grupper blev brugt systematisk, især symmetrigrupper som en del af Felix Kleins 1872 Erlangen-program. Efter at nye geometrier som hyperbolisk og projektiv geometri var opstået, brugte Klein gruppe teori til at organisere dem på en mere sammenhængende måde. Ved at videreudvikle disse ideer grundlagde Sophus Lie i 1884 studiet af Lie-grupper. Det tredje felt, der bidrog til gruppe teorien, var talteori. Visse abelianske gruppestrukturer var blevet brugt implicit i Carl Friedrich Gauss' talteoretiske værk Disquisitiones Arithmeticae (1798), og mere eksplicit af Leopold Kronecker. I 1847 gjorde Ernst Kummer tidlige forsøg på at bevise Fermat's sidste sætning ved at udvikle grupper, der beskriver faktorisering i primtal. Konvergensen af disse forskellige kilder til en ensartet gruppeteori begyndte med Camille Jordans Traité des substitutions et des équations algébriques (1870). Walther von Dyck (1882) introducerede ideen om at specificere en gruppe ved hjælp af generatorer og relationer, og var også den første til at give en aksiomatisk definition af en "abstrakt gruppe" i terminologien på den tid. Fra og med det 20. århundrede, grupper...  Spørgsmål: Hvad er formålet med forskningen?
forenkle beviset for denne klassificering