Mednis sluttede anden i 1955 World Junior Championship bag Boris Spassky (de to drog deres spil). Han var den første spiller, der slog Bobby Fischer i et amerikansk mesterskab. Han spillede på det amerikanske hold i 1962.
15th Chess Olympiad og sluttede lige tredje i 1961<unk>62 U.S. Championship. Turneringsresultater inkluderede tredjepladsen i Houston i 1974, lig fjerdepladsen i New York i 1980 og lig førstepladsen i Puerto Rico i 1984. Puerto Rico Chess Federation, snarere end United States Chess Federation, formelt foreslået ham til Grandmaster titel. Han spillede i 1979 Interzonal turneringen i Riga, hans fødested.