Han blev runner-up i 2012 Eurocup Formel Renault 2.0, og en mester i 2012 Formel Renault 2.0 Alperne Series og 2013 GP3 Series. Han debuterede i Formel 1 som en Toro Rosso-kører ved at blive 15. i VM. Han flyttede derefter til Red Bull Racing for at samarbejde med Daniel Ricciardo for sæsonen 2015. Han scorede sin første Formel 1-podiumfinish ved Ungarns Grand Prix i 2015, hvor han sluttede på andenpladsen bag Sebastian Vettel. I sin første sæson med Red Bull Racing, Kvyat sluttede 7. i Drivers' Championship, foran sin holdkammerat. Han startede 2016 sæsonen med Red Bull Racing, hvor han opnåede sin anden podium, og sluttede som tredje ved det kinesiske Grand Prix i 2016. Men efter en kontroversiel kollision under åbningsrunden af hans hjemmekonkurrence i Sotsji, blev Kvyat degraderet til Toro Rosso forud for det spanske Grand Prix 2016, hvor han sluttede sæsonen og blev fastholdt af holdet for næste sæson. Selvom han konsekvent viste solide kvalifikationspræstationer i 2017, blev hans sæson plaget af forskellige problemer, herunder flere pensioneringer i løb, hvor han kunne have scoret point. Efter 2017 United States Grand Prix, Kvyat og Red Bull delte veje, effektivt opsige hans kontrakt. Kvyat tilbragte 2018 som udviklingskører for Scuderia Ferrari, før han blev underskrevet af Toro Rosso for sæsonen. Ved det tyske Grand Prix 2019 Kvyat hævdede den tredje podium i sin karriere ved at afslutte tredje; Dette var også Scuderia Toro Rosso anden podium finish efter de vandt det italienske Grand Prix i 2008
med Sebastian Vettel.