\begin{align}
 \|q_J\circ x\|_{H^s([a,b])}&\leq  \|q_J \circ x- p_J\circ x\|_{H^s([a,b])} + \|p_J\circ x - f\circ x \|_{H^s([a,b])} + \|f\circ x\|_{H^s([a,b])}\nonumber\\
&\leq \|r_J\circ x\|_{H^s([a,b])} +  \|C_x\|_{\text{op}}\|p_J - f \|_{H^s(X)} + \|f\circ x\|_{H^s([a,b])}.
 \end{align}
