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## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Minimum-Capacity Cuts

We may naturally think of the Maximum Flow problem as an attempt to maximize the number of resources that reach a collection of destinations. In this vein, there is a natural dual problem: what are the minimum number of disruptions needed to prevent any resources from reaching any of the destinations? The motivation for these problems arose during the Cold War. Here, the United States was interested in the Soviet Union Railway System that connected Eastern Europe- particularly, East Germany- and the western region of the Soviet Union. In particualr, the United States wanted to identify the minimum number of points to bomb in order to disrupt the flow of resources along this system [Ano, Sch02]. We will see later that the Maximum Flow problem is equivalent to finding the minimum number of disruptions. This is the celebrated Max-Flow Min-Cut Theorem.
We now turn to formalizing the Minimum Cut problem.
Definition 93. Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network. A cut of $\mathcal{N}$ is a partition of the vertices $(X, Y)$, where $S \subseteq X$ (that is, $X$ contains the source vertices), and $T \subseteq Y$ (that is, $Y$ contains the sink vertices). Note that as $(X, Y)$ is a partition, we have that $X$ and $Y$ are disjoint.

The capacity of the partition $(X, Y)$ is the sum of the edge capacities with the initial endpoint in $X$ and the destination vertex in $Y$. That is:
$$c(X, Y):=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} c(x, y) .$$
Recall that if $(x, y)$ is not an edge of the flow network, then $c(x, y)=0$.
Definition 94. The Minimum Cut problem is defined as follows.

Instance: Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network.

Solution: A cut $(X, Y)$ such that $c(X, Y)$ is minimized.

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Max-Flow Min-Cut Theorem

In this section, we prove the Max-Flow Min-Cut Theorem. Our proof is based on [Mou16b].
Theorem 97 (Max-Flow Min-Cut Theorem (Ford-Fulkerson, 1956).). Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network. Let $f^$ be a maximum-valued flow, and let $(X, Y)$ be a minimum-capacity cut. We have that val $\left(f^\right)=c(X, Y)$.
We prove Theorem 97. We first show that the value of a maximum flow is no bigger than the capacity of a minimum cut. We then show that there exists a cut whose capacity is no bigger than the value of a maximum flow. It follows from this second claim that the capacity of a minimum cut is no bigger than the value of a maximum flow.

We begin by showing that the value of a maximum flow is no bigger than the capacity of a minimum cut. To this end, we introduce the following lemma, which intuitively states that the amount of flow that we can push from the source nodes to the sink nodes cannot exceed the capacity of a cut.

Lemma 98. Let $\mathcal{N}(G, c, S, T)$ be a flow network, and let $f$ be a flow. Let $(X, Y)$ be a cut. We have that $\operatorname{val}(f) \leq c(X, Y)$

Proof. As $(X, Y)$ is a cut, we have by the conservation of flow the total flow that makes it from the source vertices to the sink vertices is the amount of flow leaving $X$, minus the amount of flow returning to $X$ from $Y$. This is precisely:
$$\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) .$$
By ignoring the flow coming back into $X$, we have that:
\begin{aligned} \operatorname{val}(f) & =\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) \ & =\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v) \ & \leq \sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} c(u, v) \ & =c(X, Y) \end{aligned}

## 计算机代写|算法代寻Algorithm代考|Minimum-Capacity Cuts

$$c(X, Y):=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} c(x, y)$$

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Max-Flow Min-Cut Theorem

\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v)
$$通过芴略返回的流量 X ，我们有:$$
\operatorname{val}(f)=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v)-\sum_{u \in Y} \sum_{v \in X} f(u, v) \quad=\sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} f(u, v) \leq \sum_{u \in X} \sum_{v \in Y} c(u, v) \quad=c(X, Y)
$$计算机代写|算法代写Algorithm代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。 ## 微观经济学代写 微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。 ## 线性代数代写 线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。 ## 博弈论代写 现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。 ## 微积分代写 微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。 ## 计量经济学代写 什么是计量经济学？ 计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。 根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。 ## MATLAB代写 MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。 Posted on Categories:CS代写, 算法, 计算机代写 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|CS341 Prim’s Algorithm 如果你也在 怎样代写算法Algorithm CS341这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。算法Algorithm在数学和计算机科学中，算法（/ˈælɡərɪðəm/（听））是一个有限的严格指令序列，通常用于解决一类特定问题或进行计算。算法被用作进行计算和数据处理的规范。 算法Algorithm被用作进行计算和数据处理的规范。更高级的算法可以进行自动推理（被称为自动推理），并使用数学和逻辑测试来转移代码执行的各种路线（被称为自动决策）。以隐喻的方式将人类的特征作为机器的描述符，艾伦-图灵已经用 “记忆”、”搜索 “和 “刺激 “等术语进行了实践。相比之下，启发式是一种解决问题的方法，它可能没有被完全指定，或者不能保证正确或最佳的结果，特别是在没有明确定义的正确或最佳结果的问题领域。作为一种有效的方法，算法可以在有限的空间和时间内表达出来，并以一种定义明确的形式语言来计算一个函数。从一个初始状态和初始输入（也许是空的）开始，指令描述一个计算，当执行时，经过有限个定义明确的连续状态，最终产生 “输出”并终止于一个最终的终止状态。从一个状态到下一个状态的转换不一定是确定的；一些算法，即所谓的随机算法，包含了随机输入。 算法Algorithm代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。 最高质量的算法Algorithm作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此算法Algorithm作业代写的价格不固定。通常在专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。 ## avatest™帮您通过考试 avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！ 在不断发展的过程中，avatest™如今已经成长为论文代写，留学生作业代写服务行业的翘楚和国际领先的教育集团。全体成员以诚信为圆心，以专业为半径，以贴心的服务时刻陪伴着您， 用专业的力量帮助国外学子取得学业上的成功。 •最快12小时交付 •200+ 英语母语导师 •70分以下全额退款 想知道您作业确定的价格吗? 免费下单以相关学科的专家能了解具体的要求之后在1-3个小时就提出价格。专家的 报价比上列的价格能便宜好几倍。 我们在计算机Quantum computer代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的计算机Quantum computer代写服务。我们的专家在机器学习Machine Learning代写方面经验极为丰富，各种机器学习Machine Learning相关的作业也就用不着 说。 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm In this section, we examine a second technique to construct minimum-weight spanning trees; namely, Prim’s algorithm. We again start with the intermediate spanning forest \mathcal{F} that contains all the vertices of our input graph G(V, E, w), but none of the edges. While Kruskal’s algorithm determines which edges to add to \mathcal{F} by examining the entire graph, Prim’s algorithm takes a more local perspective. We provide as input a specified source vertex s \in V(G). Let T^ be the component of \mathcal{F} that contains s. Prim’s algorithm examines the edges of G that have exactly one endpoint in T^ and select a light edge e from these to add to \mathcal{F}. As e has exactly one endpoint in T^*, e connects two distinct components of \mathcal{F}. So by Corollary 61, e is a safe edge with respect to \mathcal{F}. This is the key observation in establishing that Prim’s algorithm returns a minimum-weight spanning tree. We now turn to formalizing Prim’s algorithm. We associate to each edge an attribute processed to indicate whether that edge has been placed into the priority queue. This ensures that each edge is considered at most once, which helps ensure that the algorithm will terminate. Now at lines 6-8, we initialize the priority queue to contain only edges that are incident to the source vertex. This ensures that the first edge placed into the intermediate spanning forest is incident to the source vertex. Now by adding an edge to \mathcal{F}, we introduce a new vertex v to the component containing our source vertex. Prim’s algorithm then adds to the prioritiy queue the edges incident to v, provided such edges have not already been polled from the queue. So the while loop at line 9 preserves the invariant that every edge in the priority queue has at least one endpoint in the component containing our source vertex. Prim’s algorithm only adds an edge if it connects two components. Such an edge e is polled from the priority queue, and so (i) has an endpoint in the component containing the source vertex, and (ii) is a minimum-weight edge connecting two distinct components. Therefore, e is a safe edge. ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm: Example We now work through an example of Prim’s algorithm. Example 71. Consider the following graph G(V, E, w) pictured below. Suppose we select the source vertex A. Prim’s algorithm proceeds as follows. 1. We initialize the intermediate spanning forest to contain all the vertices of G, but no edges. We then initialize the priority queue to contain the edges incident to our source vertex A. So:$$
Q=[({A, B}, 10),({A, C}, 12)],
$$and our intermediate spanning forest \mathcal{F} is pictured below. A F C E 2. We poll the edge {A, B} from the queue and mark {A, B} as processed. Note that w({A, B})=10. As {A, B} has exactly one endpoint on the component containing A (which is the isolated vertex A ), we add {A, B} to \mathcal{F}. We then push into the priority queue the unprocessed edges incident to B. So:$$
Q=[({B, C}, 1),({B, D}, 7),({A, C}, 12)],
$$and the updated intermediate spanning forest \mathcal{F} is pictured below. ## 算法代写 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm 在本节中，我们将研究第二种构建最小权重生成树的技术；即 Prim 算法。我们再次从中间生成森林开始 \mathcal{F} 包含我们输入图的所有 顶点 G(V, E, w) ，但没有边。虽然 Kruskal 的算法确定要添加到哪些边缘 \mathcal{F} 通过检龺整个图，Prim 的算法采用了更局部的视 角。我们提供指定的源页点作为输入 s \in V(G). 让缺少上标或下标参数 成为的组成部分 \mathcal{F} 包含 s. Prim 的算法检萛边缘 G 恰好有一个端点缺少上上标或下标参数 并选择浅色边缘 e 从这些添加到 \mathcal{F}. 作为 e 恰好有一个端点 T^*, e 连接两个不同的组件 \mathcal{F}. 所以根据推论 61, e 是一个安全边 \mathcal{F}. 这是确定 Prim 算法返回最小权重生成树的关键 观宪结果。 我们现在转向形式化 Prim 的算法。 我们将每条边关联到一个经过处理的属性，以指示该边是否已放入优先级队列。这确保每条边最多被考虑一次，这有助于确保算法 将终止。 现在在第 6-8 行，我们将优先级队列初始化为仅包含入射到源页点的边。这确保放置到中间生成森林中的第一条边与源页点相关 联。现在通过添加一个边缘 \mathcal{F} ，我们引入一个新的顶点 v 到包含我们的源项点的组件。然后 Prim 的算法将边缘事件添加到优先级 队人列中 v ，前提是尚末从队列中轮询此米边縁。因此，第 9 行的 while 循环保留了不变性，即优先级队人列中的每条边在包含我们的 源页点的组件中至少有一个端点。 Prim 的算法仅在连接两个组件时才添加一条边。这样的边豚 e 从优先级队列中轮询，因此 (i) 在包含源页点的组件中有一个端点， 并且 (ii) 是连接两个不同组件的最小权重边。所以， e 是安全边。 ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm: Example 我们现在研究Prim 算法的一个例子。 示例 71. 考虑下图 G(V, E, w) 如下图所示。假设我们选择源页点 A. Prim 的算法如下进行。 1. 我们初始化中间生成森林以包含所有的顶点 G ，但没有边。然后我们初始化优先级队列以包含入射到我们的源项点的边 A. 所以:$$
Q=[(A, B, 10),(A, C, 12)]
$$和我们的中间生成林 \mathcal{F} 如下图所示。 A \mathrm{F} C E 2. 我们轮询边溕 A, B 从队列中标记 A, B 作为处理。注意 w(A, B)=10. 作为 A, B 在包含的组件上只有一个端点 A (这是孤 立的顶点 A )，我们增加 A, B 到 \mathcal{F}. 然后我们将末处理的边褖推入优先级队列 B. 所以:$$
Q=[(B, C, 1),(B, D, 7),(A, C, 12)],
$$和更新的中间生成林 \mathcal{F} 如下图所示。 计算机代写|算法代写Algorithm代考 请认准UprivateTA™. 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The key idea is to start with a solution (multi)set S and show that we may swap out or exchange elements of S in such a way that improves the solution. Understanding which elements to exchange often provides key insights into designing effective greedy algorithms. Such provable observations imply the correctness of our greedy algorithms. Example 32. Recall the Making Change problem, where we have an infinite supply of pennies (worth 1 cent), nickels (worth 5 cents), dimes (worth 10 cents), and quarters (worth 25 cents). We take as input an integer n \geq 0. The goal is to make change for n using the fewest number of coins possible. The greedy algorithm chooses as many quarters as possible, followed by as many dimes as possible, then as many nickels as possible. Finally, the greedy algorithm uses pennies to finish making change. Why is the greedy algorithm correct? Why does it select dimes before nickels? Exchange arguments allow us to answer this question. Consider the following lemma. Lemma 33. Let n \in \mathbb{N} be the amount for which we wish to make change. In an optimal solution, we have at most one nickel. Proof. Let S be the multiset of coins used to make change for n. Suppose that S contains k>1 nickels. The key idea is that we may exchange each pair of nickels for a single dime. We formalize this as follows. By the Division Algorithm, we may write k=2 j+r, where j \in \mathbb{N} and r \in{0,1}. As k>1, we have that j \geq 1. So we exchange 2 j nickels for j dimes to obtain a new solution set S^{\prime}. Observe that: \left|S^{\prime}\right|=|S|-j<|S|. As we may construct a solution using fewer coins, it follows that any optimal solution uses at most one nickel. While we will not go through a full proof of correctness for the greedy algorithm to make change, similar lemmas regarding dimes and pennies serve as key steps in establishing the correctness of this algorithm. In fact, Lemma 33 provides the key insight that we should select dimes before nickels; as otherwise, we may need to swap out the nickels for fewer dimes. ## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Interval Scheduling In this section, we consider the Interval Scheduling problem. Intuitively, we have a single classroom. The goal is to assign the maximum number of courses to the classroom, such that no two classes are scheduled for our room at the same time. We now turn to formalizing the Interval Scheduling problme. Here, we think of intervals as line segments on the real line. We specify each interval by a pair s_i and f_i, where s_i<f_i. An interval with starting point s_i and ending point s_i is the set:$$
\left[s_i, f_i\right]=\left{x \in \mathbb{R}: s_i \leq x \leq f_i\right} .

As an example, $[0,1]$ is the set of real numbers between 0 and 1, including the endpoints 0 and 1 . Intuitively, the Interval Scheduling problem takes as input $\mathcal{I}$, a set of intervals. The goal is to find the maximum number of intervals we can select, such that no two intervals overlap.
Definition 34. The Interval Scheduling problem is defined as follows.

• Instance: Let $\mathcal{I}=\left{\left[s_1, f_1\right], \ldots,\left[s_k, f_k\right]\right}$ be our set of intervals.
• Solution: A set $S \subseteq \mathcal{I}$ such that no two intervals in $S$ overlap, where $|S|$ is as large as possible.

## 计算机代写|算法代写Algorithm代考|Interval Scheduling

〈left 缺少或无法识别的分隔符

• 实例: 让left 缺少或无法识别的分隔符
是我们的间隔集。
• 解决方案: 一套 $S \subseteq \mathcal{I}$ 这样没有两个间隔 $S$ 重珢，其中 $|S|$ 尽可能大。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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