# ---
# jupyter:
#   jupytext:
#     text_representation:
#       extension: .py
#       format_name: light
#       format_version: '1.5'
#       jupytext_version: 1.14.4
#   kernelspec:
#     display_name: Python 2
#     language: python
#     name: python2
# ---

# ##Practica 2 Ejercicio 1
# Mostrar que cada uno de los siguientes sistemas tiene una orbita periódica:
#   
#   * a) 
#  
#  $$\left\{ \begin{array}{lcc}
#             \dot{x}_{1}=x_{2} \\
#              \\ \dot{x}_{2}=-x_{1}+x_{2}(1-3x_{1}^{2}-2x_{2}^{2})
#              \end{array}
# \right.$$
#  
#   * b) 
#          
# $$
# \ddot{y}+y=\epsilon \dot{y}(1-y^{2}-(\dot{y})^{2}) \:; \epsilon > 0
# $$ 
#  

import sympy as sym

#Con esto las salidas van a ser en LaTeX
sym.init_printing(use_latex=True)

x_1, x_2 = sym.symbols('x_1 x_2')

X = sym.Matrix([x_1, x_2])
X

f_1 = x_2

f_2 = -x_1 + x_2 * (1 - 3 * x_1 ** 2 - 2 * x_2 ** 2)
f_2

F = sym.Matrix([f_1,f_2])
F

A = F.jacobian(X)
#A.simplify()
A

# puntos de equilibrio del sistema
pes = sym.solve([f_1,f_2],[x_1,x_2])
pes

A_1 = A.subs({x_1:0,x_2:0})
A_1

A_1.eigenvals()

eq =2 * x_2 ** 2 - 6 * x_1 * x_2 ** 2 - 4 * x_2 ** 4

eq.factor()

sym.plot_implicit(eq)



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