如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=10$, 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 分别交 $A C 、 B C$ 于点 $D 、 E$, 点 $F$ 在 $A C$ 的延长线上, 且 $\angle C B F=\frac{1}{2} \angle A, \tan \angle C B F=\frac{1}{3}$, 则 $C F$ 的长为 $($ )

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【分析】

本题考查了圆周角定理, 等腰三角形的性质, 相似三角形的判定与性质, 解直角三角形等, 证明三角形相似是本题的关键.

连接 $A E, B D$, 根据 $A B$ 是直径, 得出 $A E \perp B C, \angle A D B=90^{\circ}$, 进而得 $C E=E B$, 依据已知条件得出 $\angle C B F=\angle E A B$, 证明 $\triangle F D B \sim \triangle F B A, \triangle C D B \sim \triangle C E A$, 最后根据勾股定理求得 $C F$.

【解答】

解：连接 $A E, B D$,

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$\because A B$ 为直径,

$\therefore A E \perp B C, \angle A D B=90^{\circ}$

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle E A B=\frac{1}{2} \angle C A B, E B=C E=\frac{1}{2} C B$,

$\because \angle C B F=\frac{1}{2} \angle C A B, \quad \tan \angle C B F=\frac{1}{3}$,

$\therefore \angle C B F=\angle E A B, \tan \angle E A B=\frac{E B}{A E}=\frac{1}{3}$,

$\therefore \angle C B F+\angle A B C=\angle E A B+\angle A B C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B F=90^{\circ}$,

易证 $\triangle F D B \sim \triangle F B A ，$

$\therefore \frac{F D}{F B}=\frac{F B}{F A}$, 即 $F B^{2}=F D \cdot F A$,

在Rt $\triangle A E B$ 中, $A B=10$,

$\therefore E B=\sqrt{10}$,

$\therefore C B=2 \sqrt{10}, C E=\sqrt{10}$,

易证 $\triangle C D B \sim \triangle C E A$,

可得 $C E \cdot C B=C D \cdot A C$,

$\because A C=10$,

$\therefore C D=2$,

$\therefore A D=A C-C D=8$,

设 $C F=x$, 则 $F D=x+2, F A=10+x$,

$F B^{2}=A F^{2}-A B^{2}=(10+x)^{2}-10^{2}$,

$\therefore(10+x)^{2}-10^{2}=(x+2)(10+x)$,

解得 $x=2.5$,
$\therefore C F=2.5$,

故选 $B$.