如图, 已知抛物线 $y=x^{2}-2 x$ 与直线 $y=-x+2$ 交于 $A, B$ 两点. 点 $M$ 是直线 $A B$ 上的一个动点, 将点 $M$ 向左平移 4 个单位长度得到点 $N$, 若线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点,则点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围是 ( )

分三种情况: 当点 $M$ 在线段 $A B$ 上时; 当点 $M$ 在点 $\mathrm{A}$ 的左侧时; 当点 $M$ 在点 $B$ 的右侧时; 分类求解确定 $M N$ 的位置, 进而求解.

【详解】解: 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2}-2 x \\ y=-x+2\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=0\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{A}$ 的坐标为 $(-1,3)$, 点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$,

如图, 当点 $M$ 在线段 $A B$ 上时, 线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点,

<ImageHere>

$\because M, N$ 的距离为 4 , 而 $\mathrm{A}, B$ 的水平距离是 $2-(-1)=2+1=3$, 此时线段 $M N$ 与抛物线只有

一个公共点, 即 $-1 \leq x_{M}<2$;

如图, 当点 $M$ 在点 $\mathrm{A}$ 的左侧时, 线段 $M N$ 与抛物线没有公共点,

<ImageHere>

如图, 当点 $M$ 在点 $B$ 的右侧时,

<ImageHere>

$\because y=x^{2}-2 x=(x-1)^{2}-1$,
$\therefore$ 当抛物线和 $M N$ 交于拋物线的顶点 $(1,-1)$ 时，线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点，此时

$y=-1, \quad-x_{M}+2=-1$,

解得: $x_{M}=3$,

综上所述, 线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点, 则点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围是

$-1 \leq x_{M}<2$ 或 $x_{M}=3$,

故选: D.

【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征, 一次函数图象上点的坐标特征, 二次函数的图象和性质、坐标与图形变化一平移, 分类求解确定 $M N$ 的位置, 采用数形结合的思想解题, 是解此题的关键.

