15.设 $x>0, y>0, x+2 y=5$, 则 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为
方法一: $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+2 y+x+1}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+6}{\sqrt{x y}}=2 \sqrt{x y}+\frac{6}{\sqrt{x y}}$.

因为 $x>0, y>0, x+2 y=5$, 所以 $x+2 y=5 \geq 2 \sqrt{x \cdot 2 y}$,

即 $\sqrt{2 x y} \leq \frac{5}{2}, 0<x y \leq \frac{25}{8}$, 当且仅当 $x=2 y=\frac{5}{2}$ 时取等号成立.

又因为 $2 \sqrt{x y}+\frac{6}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{2 \sqrt{x y} \cdot \frac{6}{\sqrt{x y}}}=4 \sqrt{3}$, 当且仅当 $2 \sqrt{x y}=\frac{6}{\sqrt{x y}}$, 即 $x y=3$ 时取等号, 结合 $x y \leq \frac{25}{8}$ 可知, $x y$ 可以取到 3, 故 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为 $4 \sqrt{3}$.

方法二: $\because x>0, \quad y>0, \quad x+2 y=5$,

$\therefore x y>0, \frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+2 y+x+1}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+6}{\sqrt{x y}}=2 \sqrt{x y}+\frac{6}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{12}=4 \sqrt{3}$.

当且仅当 $x y=3$ 时等号成立, 故 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为 $4 \sqrt{3}$.