(本小题 8.0 分)

## $[$ 实际问题]

某商场在 “十一国庆” 期间为了鼓励消费, 设计了抽奖活动, 方案如下：根据不同的消费金额, 每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、..... 100 元的奖券中 (面值为整数),一次任意抽取 2 张、 3 张、 4 张、……等若干张奖券, 奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?

[问题建模]

从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数, 这 5 个整数之和共有多少种不同的结果?

[模型探究]

我们采取一般问题特殊化的策略, 先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法. 从 1 , 2,3 这 3 个整数中任取 2 个整数, 这 2 个整数之和共有多少种不同的结果?

| 所取的 2 个整数 | 1,2 | 1,3 | 2,3 |
| :--- | :---: | :---: | :---: |
| 2 个整数之和 | 3 | 4 | 5 |

如表 (1), 所取的 2 个整数之和可以为 $3,4,5$, 也就是从 3 到 5 的连续整数, 其中最小是 3 , 最大是 5 , 所以共有 3 种不同的结果.

(1) 从 $1,2,3,4,5$ 这 5 个整数中任取 2 个整数, 这 2 个整数之和共有种不同的结果.

(2) 从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 3 个整数, 这 3 个整数之和共有种不同的结果.

(3)归纳结论: 从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数, 这 5 个整数之和共有种不同的结果.

[问题解决]

从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、.....、100元的奖券中 (面值为整数)，一次任意抽取 5 张奖券，共有种不同的优惠金额.

[问题拓展]

从 $3,4,5, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n-2$ 个整数中任取 5 个整数, 使得取出的这些整数之和共有 121 种不同的结果, 求 $n$ 的值. (写出解答过程)
解: (1)从 $1,2,3,4,5$ 这 5 个整数中任取 2 个整数,

则这 2 个整数之和最小值为: $1+2=3$, 最大值为: $4+5=9$,

则这 2 个整数之和共有 $9-3+1=7$ 种不同情况,

故答案为: 7 ;

(2) 从 $1,2,3, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6$ ) 这 $n$ 个整数中任取 3 个整数,

则这 3 个整数之和最小值为: $1+2+3=6$, 最大值为: $n-2+n-1+n=3 n-3$,

则这 3 个整数之和共有不同结果的种数为: $3 n-3-6+1=(3 n-8)$ 种,

故答案为: $(3 n-8)$;

(3)归纳总结: 从 $1,2,3, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数,
则这 5 个整数之和的最小值为: $1+2+3+4+5=15$, 最大值为 $n+(n-1)+(n-2)+(n-$ $3)+(n-4)=5 n-10$,则这 5 个整数之和共有不同结果的种数为: $5 n-10-15+1=(5 n-24)$ 种,故答案为: $(5 n-24)$;

问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、.....、100元的奖券中 (面值为整数)，一次任意抽取5张奖券,

则这 5 张奖券的和的最小值为: $1+2+3+4+5=15$ (元), 最大值为: $100+99+98+97+96=$ 490(元),

则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为: $490-15+1=476$ (种),

故答案为: 476 ;

问题拓展: 从 $3,4,5, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $(n-2)$ 个整数中任取 5 个整数,

则这 5 个整数之和的最小值为: $3+4+5+6+7=25$, 最大值为 $n+(n-1)+(n-2)+(n-$ $3)+(n-4)=5 n-10$,

则这 5 个整数之和共有不同结果的种数为: $5 n-10-25+1=(5 n-34)$ 种.

(1)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况, 然后延伸到一般情况.

(2)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

(3)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况, 然后延伸到一般情况.

本题考查用代数式表示数字的变化规律, 确定任取的 $a$ 个整数之和的最大值和最小值是得出正确答案的关键.