已知点 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 点 $E$ 是该双曲线的右顶点, 过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B E$ 是针角三角形, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )
设 $A\left(c, y_{0}
ight)$ 代入双曲线方程得 $rac{c^{2}}{a^{2}}-rac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1, 	herefore y_{0}^{2}=rac{b^{4}}{a^{2}}$.<ImageHere> $	herefore\left|y_{0}
ight|=rac{b^{2}}{a}, \quad 	herefore|A F|=rac{b^{2}}{a}$.$ecause 	riangle A B E$ 是钝角三角形, $	herefore \angle A E F>45^{\circ}$.则只需 $|A F|>|E F|$, 即 $rac{b^{2}}{a}>a+c$,$	herefore b^{2}>a^{2}+a c$,即 $c^{2}-a^{2}>a^{2}+a c, c^{2}-a c-2 a^{2}>0$.$	herefore e^{2}-e-2>0$, 解得 $e>2$, 或 $e<-1$ (舍去). 故选 D.答案 ：D