(12 分) 已知函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

(1) 证明函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数;

(2) 求 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上的最值.
【分析】

(1) 用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2) 利用函数在某区间上为增函数求最值.

## 【详解】

(1) 证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in(1,+\infty)$, 且 $x_{1}<x_{2}$,

$$
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right)=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1} x_{2}-1\right)}{x_{1} x_{2}}
$$

因为 $1<x_{1}<x_{2}$, 所以

$x_{1}-x_{2}<0, \quad x_{1} x_{2}-1>0, \quad x_{1} x_{2}>0$,
所以 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0, f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

所以函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数.

(2) 由(1)知, $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数,

又 $[2,4] \subseteq(1,+\infty)$, 所以 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上是增函数,

$f(x)$ 的最大值为 $f(4)=\frac{17}{4}$, 最小值为 $f(2)=\frac{5}{2}$.