（2021$\cdot$浙江宁波市$\cdot$七年级期中）两个边长分别为 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的正方形如图放置（图 1）, 其未叠合部分 (阴影) 面积为 $\mathrm{S}_{1}$; 若再在图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 $\mathrm{b}$ 的小正方形 (如图 2),两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $\mathrm{S}_{2}$.
(1) 用含 $a, b$ 的代数式分别表示 $S_{1} 、 S_{2}$;
(2) 若 $a+b=10, a b=20$, 求 $\mathrm{S}_{1}+S_{2}$ 的值;

(3) 当 $S_{1}+S_{2}=30$ 时, 求出图 3 中阴影部分的面积 $S_{3}$.

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图 1

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图 2

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图 3
(1) 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去边长为 $\mathrm{b}$ 的正方形的面积即为 $\mathrm{S}_{1}$, 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去一个边长分别为 $a 、(a-b)$ 的长方形的面积再减去两个边长分别为 $b 、(a-b)$ 的长方形的面积即为 $\mathrm{S}_{2}$, 据此解答即可; (2) 先计算 $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b$, 再将 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=10$, $a b=20$ 整体代入计算即可; (3) 先计算 $S_{3}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$, 然后由 $S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-a b=30$, 即可得到阴影部分的面积.

【详解】解: (1) 由图可得, $S_{1}=a^{2}-b^{2}, S_{2}=a^{2}-a(a-b)-2 b(a-b)=2 b^{2}-a b ;$

(2) $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}-\mathrm{ab}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}$,

$\because \mathrm{a}+\mathrm{b}=10, \quad \mathrm{ab}=20, \quad \therefore \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b=100-3 \times 20=40$;

(3) 由图可得, $S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2} b(a+b)-\frac{1}{2} a^{2}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$,
$\because \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=30, \quad \therefore \mathrm{S}_{3}=\frac{1}{2} \times 30=15$.

【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算, 属于常见题型, 熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键.