如图,菱形$ABCD$中,$E、F$分别是$BC、CD$的中点,过点$E$作$EGperpAD$于$G$,连接$GF$.若$angle$$A=80^{circ}$,则$angleDGF$的度数为$50^{circ}$<ImageHere>
延长$AD、EF$相交于点$H$,根据线段中点定义可得$CF=DF$,根据两直线平行,内错角相等可得$angleH=angleCEF$,然后利用“角角边”证明$triangleCEF$和$triangleDHF$全等,根据全等三角形对应边相等可得$EF=FH$,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得$GF=FH$,根据等边对等角可得$angleDGF=angleH$,根据菱形的性质求出$angleC=angleA,CE=CF$,然后根据等腰三角形两底角相等求出$angleCEF$,从而得解.【解析】解：如图,延长$AD、EF$相交于点$H$,$becauseF$是$CD$的中点,$thereforeCF=DF$,$because$菱形对边$AD//BC$,$thereforeangleH=angleCEF$,在$triangleCEF$和$triangleDHF$中,$left{begin{array}{l}angle{H}=angle{CEF}angle{CFE}=angle{DFH},{CF}={DF}end{array}right.$$thereforetriangleCEFcongtriangleDHF(AAS)$,$thereforeEF=FH$,$becauseEGperpAD$$thereforeGF=FH$,$thereforeangleDGF=angleH$,$because$四边形$ABCD$是菱形,$thereforeangleC=angleA=80^{circ}$$because$菱形$ABCD$中,$E、F$分别是$BC、CD$的中点,$thereforeCE=CF$,在$triangleCEF$中,$angleCEF=frac{1}{2}left(180^{circ}-80^{circ}right)=50^{circ}$,$thereforeangleDGF=angleH=angleCEF=50^{circ}$.故答案为:$50^{circ}$.<ImageHere>【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.