若 $a$ 是方程 $x^{2}-2018 x+1=0$ 的一个根, 求代数式 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}$ 的值.
解: 把 $x=a$ 代入方程, 可得: $a^{2}-2018 a+1=0$,

所以 $a^{2}-2018 a=-1, a^{2}+1=2018 a$,

所以 $a^{2}-2019 a=-a-1$,

所以 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-a-1+\frac{2018 a}{2018}=-1$, 即 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-1$.