已知函数 $f(x)$ 是二次函数, 且 0 和 5 是函数的两个零点, 且 $f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值为 12 .

(1)求 $f(x)$ 的解析式;

(2) 设函数 $f(x)$ 在 $x \in[t, t+1]$ 上的最小值为 $g(t)$, 求 $g(t)$ 的解析式.
(1) $\because f(x)$ 是二次函数, 且 0 和 5 是其两个零点,

$\therefore$ 可设 $f(x)=a x(x-5)(a>0)$,

$\therefore f(x)$ 在区间 $[-1,4]$ 上的最大值是 $f(-1)=6 a$.

由已知, 得 $6 a=12$,

$\therefore a=2$.

$\therefore f(x)=2 x(x-5)=2 x^{2}-10 x(x \in \mathbf{R})$.

(2)由(1)知 $f(x)=2 x^{2}-10 x=2\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{2}$, 开口向上, 对称轴为 $x=\frac{5}{2}$.

(1)当 $t+1<\frac{5}{2}$, 即 $t<\frac{3}{2}$ 时, $f(x)$ 在 $[t, t+1]$ 上是减函数, $\therefore g(t)=2(t+1)^{2}-10(t+1)=2 t^{2}-6 t$ $-8$.

(2)当 $t>\frac{5}{2}$ 时, $f(x)$ 在 $[t, t+1]$ 上是增函数,

$\therefore g(t)=2 t^{2}-10 t$.

(3)当 $t \leqslant \frac{5}{2} \leqslant t+1$, 即 $\frac{3}{2} \leqslant t \leqslant \frac{5}{2}$ 时, $f(x)$ 在对称轴处取得最小值, $\therefore g(t)=f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{2}$.

综上所述, $g(t)=\left\{\begin{array}{l}2 t^{2}-6 t-8, t<\frac{3}{2}, \\ -\frac{25}{2}, \frac{3}{2} \leqslant t \leqslant \frac{5}{2}, \\ 2 t^{2}-10 t, t>\frac{5}{2} .\end{array}\right.$