21. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\sqrt{2}-1$, 前 $n$ 项和 $S_{n}=\sqrt{n+1}-1$, 先算出数列的前 4 项的值,根据这些值归纳猜想数列的通项公式
: 解答: 由题意, 可知 $S_{2}=a_{1}+a_{2}=\sqrt{3}-1, \therefore a_{2}=\sqrt{3}-1-\sqrt{2}+1=\sqrt{3}-\sqrt{2}$; $S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\sqrt{4}-1, \quad \therefore a_{3}=S_{3}-S_{2}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$,

同理，可得 $a_{4}=S_{4}-S_{3}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$, 故可猜想 $a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是第一步先验证 $\mathrm{n}$ 取第一个值时命题成立。第二部假设当 $n=k$ 时命题成立, 证明当 $n=k+1$ 时命题成立即可。注意式子的变化, 必须要专用到假设