在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 截面 $A_{1} B D$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角 $A_{1}-B D-A$的正切值等于( )
【分析】

先找二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角, 在 $\triangle A_{1} O A$ 中, $\angle A_{1} O A$ 即为二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角

## 【详解】

连接 $A C$ 交 $B D$ 与点 $O$, 如图所示,

因为 $A A_{1} \perp B D, A C \perp B D$,

所以 $\angle A_{1} O A$ 即为二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角,

在 $\triangle A_{1} O A$ 中, $A A_{1}=a, A O=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

所以二面角 $A_{1}-B D-A$ 的正切值为 $\sqrt{2}$

故选 $C$.

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## 【点睛】

这是利用面面垂直来找二面角的问题，找二面角的关键是过公共棱上同一点，在两半平面内作棱的垂线, 找两垂线所成角. 常用方法是用三垂线定理或其逆定理.