已知斜率为 2 的直线 1 双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 交 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 若点 $P(2,1)$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点, 则 $\mathrm{C}$ 的离心率等于（）
答案:A

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$\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0$,

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所以 $a=b$, 则离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2} a}{a}=\sqrt{2}$, 故选 A.

7. 答案:C

【解析】【分析】本题以双曲线为载体, 考查双曲线的几何性质, 解题的关键是得出几何量之间的关系.

【解答】由题意, $\frac{\left|\mathrm{PF}_{2}\right|}{\frac{5}{4} \mathrm{c}-\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

$\because\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|$,

$\therefore \frac{\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}\right|}{\frac{5}{4} \mathrm{c}-\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}}=\frac{2 \mathrm{c}}{\mathrm{a}}, \therefore \frac{\mathrm{a}^{2}}{\frac{\mathrm{a}}{} \mathrm{c}-\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

$\therefore 5 \mathrm{e}^{2}-8 \mathrm{e}-4=0$

$\therefore(\mathrm{e}-2)(5 \mathrm{e}+2)=0$

$\because \mathrm{e}>1$

$\therefore \mathrm{e}=2$

故选 C.