14.如图, 一个水轮的半径为 $4 \mathrm{~m}$, 水轮圆心 $O$ 距离水面 $2 \mathrm{~m}$, 已知水轮每分钟转动 5 圈, 如果当水轮上点 $P$ 从水中浮现时(图中点 $P_{0}$ )开始计算时间.

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(1)将点 $P$ 距离水面的高度 $z(\mathrm{~m})$ 表示为时间 $t(\mathrm{~s})$ 的函数;

(2)点 $P$ 第一次到达最高点大约需要多少时间?
(1)如图所示建立直角坐标系, 设角 $\varphi\left(-\frac{\pi}{2}<\varphi<0\right)$ 是以 $O x$ 为始边, $O P_{0}$ 为终边的角. $O P$ 每秒钟内所转过的角为 $\frac{5 \times 2 \pi}{60}=\frac{\pi}{6}$.

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则 $O P$ 在时间 $t(\mathrm{~s})$ 内所转过的角为 $\frac{\pi}{6} t$.

由题意可知水轮逆时针转动，

得 $z=4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\varphi\right)+2$.

当 $t=0$ 时, $z=0$, 得 $\sin \varphi=-\frac{1}{2}$,

即 $\varphi=-\frac{\pi}{6}$.

故所求的函数关系式为

$z=4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t-\frac{\pi}{6}\right)+2$.

(2) 令 $z=4 \sin \left(\frac{\pi}{6} t-\frac{\pi}{6}\right)+2=6$,

得 $\sin \left(\frac{\pi}{6} t-\frac{\pi}{6}\right)=1$,

令 $\frac{\pi}{6} t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$, 得 $t=4$,

故点 $P$ 第一次到达最高点大约需要 $4 \mathrm{~s}$.