21. (2018 广东东莞二模) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与等差数列 $\left\{b_{n}\right\}, a_{1}=b_{1}=1, a_{1} \neq a_{2}, a_{1}, a_{2}, b_{3}$成等差数列, $b_{1}, a_{2}, b_{4}$ 成等比数列.

(1) 求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $S_{n} 、 T_{n}$ 分别是数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $S_{n}+T_{n}>100$, 求 $n$ 的最小值.
(1) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 2 q = 2 + 2 d } \\
{ q ^ { 2 } = 1 + 3 d }
\end{array} \text { , 解得 } \left\{\begin{array} { l } 
{ d = 0 } \\
{ q = 1 }
\end{array} \text { (舍去) 或 } \left\{\begin{array}{l}
d=1 \\
q=2
\end{array}\right.\right.\right. \text { ， }
$$

所以 $a_{n}=2^{n-1}, b_{n}=n$.

（2）由（1）易知 $S_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1, T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$,

由 $S_{n}+T_{n}>100$, 得 $2^{n}+\frac{n(n+1)}{2}>101$,

因为 $\left\{2^{n}+\frac{n(n+1)}{2}\right\}$ 是单调递增数列,

且 $2^{6}+\frac{6 \times 7}{2}=85<101,2^{7}+\frac{7 \times 8}{2}=156>101$,

所以 $n$ 的最小值为 7 .