如图 1, 菱形 $A B C D$ 中, $\angle B=60^{\circ}$, 动点 $P$ 以每秒 1 个单位的速度自点 $A$ 出发沿线段 $A B$ 运动到点 $B$, 同时动点 $Q$ 以每秒 2 个单位的速度自点 $B$ 出发沿折线 $B-C-D$ 运动到点 $D$. 图 2 是点 $P 、 Q$运动时, $\triangle B P Q$ 的面积 $S$ 随时间 $t$ 变化关系图象, 则 $a$ 的值是( )

<ImageHere>

图1

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图2
由图 2 得, $t=4$ 时两点停止运动,

$\therefore$ 点 $P$ 以每秒 1 个单位速度从点 $A$ 运动到点 $B$ 用了 4 秒

$$
\therefore A B=4
$$

$\because$ 点 $Q$ 运动到点 $C$ 之前和之后, $\triangle B P Q$ 面积算法不同, 即 $t=2$ 时, $S$ 的解析式发生变化 $\therefore$ 图 2 中点 $M$ 对应的横坐标为 2,

此时 $P$ 为 $A B$ 中点, 点 $C$ 与点 $Q$ 重合,

如图, 连接 $A C$,

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$\because$ 菱形 $A B C D$ 中, $A B=B C=4, \angle B=60^{\circ}$

$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形

$\therefore C P \perp A B, B P=\frac{1}{2} A B=2$

$\therefore C P=\sqrt{B C^{2}-B P^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}$,

$$
\therefore a=S=\frac{1}{2} B P \cdot C P=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}
$$

故选: $D$.