如图, 在棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $P$ 是线段 $B D_{1}$ 上的动点.当 $\triangle P A C$ 在平面 $D C_{1}, B C_{1}, A C$ 上的正投影都为三角形时, 将它们的面积分别记为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$.

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(i) 当 $B P=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时, $S_{1} \_S_{2}$ (填“〉”或“=”或“<”);

(ii) $S_{1}+S_{2}+S_{3}$ 的最大值为
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如图, 因 $\frac{C Q}{C D_{1}}=\frac{N Q}{D D_{1}}, \frac{P O}{D D_{1}}=\frac{B P}{B D_{1}}$, 故 $P O=Q N$, 同理可得 $R M=P O$, 所以 $R M=Q N$,
则 $S_{1}=S_{2}$, 特别地当点 $P$ 在 $B D_{1}$ 的中点时, 三个面的面积最大且 $S_{1}=S_{2}=S_{3}=\frac{1}{2}$, 所以 $S_{1}+S_{2}+S_{3}=\frac{3}{2}$, 即最大值是 $\frac{3}{2}$, 应填答案 $=, \frac{3}{2}$.

点睛: 解答本题的关键是搞清楚在正方体的各个面上的高的关系, 再运用三角形的面积进行求解, 进而进行比较, 并求出其最大值. 求解时借助三角形的相似比相等建立等量关系, 最后证得其在各个侧面上的射影三角形的高相等, 则面积相等, 特别地当点 $P$ 在 $B D_{1}$ 的中点时, 三个三角形的面积都相等且最大, 从而使得问题获解.