(12 分) 已知 $f(x)=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)-1$.

(1) 求 $g(x)=f\left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的递增区间;

(2) 是否存在实数 $k$, 使得不等式 $f(2 x)+(k-4) \cdot f(x)+(k-4) \cdot f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)<3$对任意 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的恒成立, 若存在, 求出 $k$ 的取值范围; 若不存在, 说明理

由.
(2) 当 $x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 时, 不等式 $2 m \geq \frac{(m+1) f(x)+2 m+1}{f(x)+2}$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
(1) 解: $f(x)=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)-1=-\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x$,

$g(x)=f\left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$,

递增区间为 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq 2 x-\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi$, 解得 $-\frac{\pi}{12}+k \pi \leq x \leq \frac{5 \pi}{12}+k \pi, k \in \mathrm{Z}$,

函数 $g(x)$ 的递增区间为 $\left[-\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}+k \pi\right], k \in \mathrm{Z}$.

(2) 假设存在这样的实数 $k$, 则不等式即为 $2 \sin x \cdot \cos x+(k-4)(\sin x+\cos x)<3$,

令 $t=\sin x+\cos x$, 则 $\sin x \cdot \cos x=\frac{(\sin x+\cos x)^{2}-1}{2}=\frac{t^{2}-1}{2}$,

则不等式 $\Leftrightarrow\left(t^{2}-1\right)+(k-4) t<3 \Leftrightarrow t^{2}+(k-4) t-4<0$,

又 $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) ，$

由 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right], \therefore x+\frac{\pi}{4} \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$,

所以 $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \in[-1, \sqrt{2}]$,

令函数 $m(t)=t^{2}+(k-4) t-4$,

即 $m(t)=t^{2}+(k-4) t-4<0, t \in[-1, \sqrt{2}]$ 恒成立，

由一元二次方程根的分布，

只需 $\left\{\begin{array}{l}m(-1)<0 \\ m(\sqrt{2})<0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}1-k<0 \\ \sqrt{2}(k-4)-2<0\end{array} \Rightarrow 1<k<4+\sqrt{2}\right.\right.$.