已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x$.

(I) 若 $\alpha$ 为锐角, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 求 $f(\alpha)$ 的值;

(II) 若函数 $g(x)=f(x)+\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$, 当 $x \in[0, \pi]$ 时, 求 $g(x)$ 的单调递减区间.
(I) $\because \alpha$ 为锐角, $\cos \alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}, \therefore \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$, $f(\alpha)=\sqrt{3} \sin 2 \alpha=2 \sqrt{3} \sin \alpha \cos \alpha=2 \sqrt{3} ? \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$,

(II) $g(x)=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos x^{2}-\sin x^{2}=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ $2 k \pi+\frac{\pi}{2}<2 x+\frac{\pi}{6}<2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, k \in Z, k \pi+\frac{\pi}{6}<x<k \pi+\frac{2 \pi}{3}, k \in Z$
$\because x \in[0, \pi]$,所以单调递减区间是 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$