(本小题8.0分)

小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1, 纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形, 其示意图如图2, 已知 $A D=B E=10 \mathrm{~cm}, C D=C E=5 \mathrm{~cm}, A D \perp C D, B E \perp C E, \angle D C E=40^{\circ}$.

(1)连结 $D E$, 求线段 $D E$ 的长.

(2)求点 $A, B$ 之间的距离.

(结果精确到 $0.1 \mathrm{~cm}$. 参考数据: $\sin 20^{\circ} \approx 0.34, \cos 20^{\circ} \approx 0.94, \tan 20^{\circ} \approx 0.36, \sin 40^{\circ} \approx 0.64$, $\cos 40^{\circ} \approx 0.77, \tan 40^{\circ} \approx 0.84$ )

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图1

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图2
解: (1)如图, 过点 $C$ 作 $C F \perp D E$ 于点 $F$,

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$\because C D=C E=5 \mathrm{~cm}, \angle D C E=40^{\circ}$.

$\therefore \angle D C F=20^{\circ}$,

$\therefore D F=C D \cdot \sin 20^{\circ} \approx 5 \times 0.34 \approx 1.7(\mathrm{~cm})$,

$\therefore D E=2 D F \approx 3.4 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 线段 $D E$ 的长约为 $3.4 \mathrm{~cm}$;

(2) $\because$ 横截面是一个轴对称图形,

$\therefore$ 延长 $C F$ 交 $A D 、 B E$ 延长线于点 $G$,

连接 $A B$,

$\therefore D E / / A B$,

$\therefore \angle A=\angle G D E$,

$\because A D \perp C D, B E \perp C E$,

$\therefore \angle G D F+\angle F D C=90^{\circ}$,

$\because \angle D C F+\angle F D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle G D F=\angle D C F=20^{\circ}$,

$\therefore \angle A=20^{\circ}$,

$\therefore D G=\frac{D F}{\cos 20^{\circ}} \approx \frac{1.7}{0.94} \approx 1.8(\mathrm{~cm})$,

$\therefore A G=A D+D G=10+1.8=11.8(\mathrm{~cm})$,

$\therefore A B=2 A G \cdot \cos 20^{\circ} \approx 2 \times 11.8 \times 0.94 \approx 22.2(\mathrm{~cm})$.

$\therefore$ 点 $A, B$ 之间的距离 $22.2 \mathrm{~cm}$.

【解析】(1)过点 $C$ 作 $C F \perp D E$ 于点 $F$, 根据等腰三角形的性质可得 $\angle D C F=20^{\circ}$, 利用锐角三角函数即可解决问题;

(2)根据横截面是一个轴对称图形, 延长 $C F$ 交 $A D 、 B E$ 延长线于点 $G$, 连接 $A B$, 所以 $D E / / A B$, 根据直角三角形两个锐角互余可得 $\angle A=\angle G D E=20^{\circ}$, 然后利用锐角三角函数即可解决问题.
本题考查了解直角三角形的应用, 解决本题的关键是掌握锐角三角函数.