如图所示, 圆锥 $S O$ 的轴截面 $\triangle \mathrm{SAB}$ 是边长为 4 的正三角形, $\mathrm{M}$ 为母线 $S B$ 的中点, 过直线 $\mathrm{AM}$ 作平面 $\beta \perp$ 面 $\mathrm{SAB}$, 设 $\beta$ 与圆雉侧面的交线为椭圆 $\mathrm{C}$, 则粗圆 $\mathrm{C}$ 的短半轴长为 ( )

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解析：解答：过粗圆 C 作平行于圆雉底面的截面 (圆形), 交 AS, BS 于 $\mathrm{R}, \mathrm{T}$, 交椭圆 C 于两点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$, 则 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 即是椭圆短半轴顶点, 在所作的圆中, $\mathrm{RT}$ 为直径, 如图,

<ImageHere>因为轴截面 $	riangle \mathrm{SAB}$ 是边长为 4 的正三角形, $\mathrm{C}$ 为 $\mathrm{AM}$ 的中点, 所以 $\mathrm{TC}=rac{1}{2} \mathrm{AB}=2, \mathrm{RC}=rac{1}{4}$ $A B=1$, 因为 $P Q \perp R T$, 所以 $P C=C Q$, 所以利用相交弦定理可得: $P C \cdot C Q=T C \cdot R C$, 所以 $\mathrm{PC}=\sqrt{2}$. 所以橄圆 $\mathrm{C}$ 的短半轴为 $\sqrt{2}$.