18. 设 $f(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-n$, 其中 $n$ 为正整数.

(1) 求 $f(1), f(2), f(3)$ 的值;

答案: 解: 分别把 $\mathrm{n}=1 . 2 . 3$ 代入 $f(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-n$

求得 $f(1)=1, f(2)=\frac{1}{2}, f(3)=-\frac{17}{27}$

（2）猜想满足不等式 $f(n)<0$ 的正整数 $n$ 的范围, 并用数学归纳法证明你的猜想.
:分析:本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据 (1) 数学归纳法是一种重要的数学思想方法, 主要用于解决与正整数有关的数学问题; (2) 用数学归纳法证明等式问题, 要“先看项”, 弄清等式两边的构成规律, 等式两边各有多少项, 初始值 $n_{0}$是多少; (3) 由 $n=k$ 时等式成立, 推出 $n=k+1$ 时等式成立, 一要找出等式两边的变化 (差异), 明确变形目标; 二要充分利用归纳假设, 进行合理变形, 正确写出证明过程, 由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”, 务必保证猜想的正确性, 同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写。