函数 $y=-\tan ^{2} x+4 \tan x+1, x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 的值域为
$\because-\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}, \therefore-1 \leqslant \tan x \leqslant 1$.

令 $\tan x=t$, 则 $t \in[-1,1]$,

$\therefore y=-t^{2}+4 t+1=-(t-2)^{2}+5$.

$\therefore$ 当 $t=-1$, 即 $x=-\frac{\pi}{4}$ 时, $y_{\text {min }}=-4$,

当 $t=1$, 即 $x=\frac{\pi}{4}$ 时, $y_{\text {max }}=4$.
故所求函数的值域为 $[-4,4]$.