已知 $\alpha \in \mathbf{R}, \sin \alpha+2 \cos \alpha=\frac{\sqrt{10}}{2}$, 则 $\tan 2 \alpha=(\quad)$
[解析]本题考查三角函数同角间的基本关系.

将 $\sin \alpha+2 \cos \alpha=\frac{\sqrt{10}}{2}$ 两边平方可得

$\sin ^{2} \alpha+4 \sin \alpha \cos \alpha+4 \cos ^{2} \alpha=\frac{5}{2}$.

将左边分子分母同除以 $\cos ^{2} \alpha$ 得,

$\frac{3+4 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=\frac{3}{2}$, 解得 $\tan \alpha=3$,

$\therefore \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\frac{6}{1-9}=-\frac{3}{4}$.