已知: 如图, 二次函数 $y=x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$.

(1)求抛物线的解析式.

(2)当 $-2 \leq x \leq 2$ 时, 求二次函数的最大值和最小值.

(3)点 $P$ 是抛物线上一点, 其横坐标为 $m$, 过点 $P$ 作 $P Q / / y$ 轴, 点 $Q$ 的纵坐标为 $-m-1$, 已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合, 且线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小.

(1)求 $m$ 的取值范围.

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(2)当 $-1<m<2$ 时，在线段 $P Q$ 的右边

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(备用图)

作正方形 $P Q R T$, 直接写出正方形

$P Q R T$ 与二次函数 $y=x^{2}+b x+c$ 的图象交点的个数及对应的 $m$ 的取值范围.


(1) 将 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y=x^{2}+b x+c$, , 即可求出抛物线的解析式;

（2）利用二次函数的图象及性质即可求解;

（3）进行分类讨论：(1)当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时，点 $P$ 的纵坐标与点 $Q$ 的纵坐标相等; (2)当 $-1<m<0$ 时, 正方形与抛物线有一个交点.

【详解】(1) 解: 把 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y=x^{2}+b x+c$,

得 $\left\{\begin{array}{r}1-b+c=0 \\ 9+3 b+c=0\end{array}\right.$

解得: $b=-2, \quad c=-3$

所以二次函数的解析式为: $y=x^{2}-2 x-3$.

（2）解：当 $-2 \leq x \leq 2$ 时， $x=-2$, 函数有最大值 5 , $x=1$ 时, 函数有最小值 -4 ;

（3）解：(1)当点 $P$ 与点 $Q$ 重合时, 点 $P$ 的纵坐标与点 $Q$ 的纵坐标相等,

即: $m^{2}-2 m-3=-m-1$ ，

解得: $m_{1}=-1, m_{2}=2$.

当 $m \leq-1$ 时, 点 $P$ 在点 $Q$ 的上方,

$P Q=m^{2}-2 m-3-(-m-1)=m^{2}-m-2$,

所以, 当 $m \leq \frac{1}{2}$ 时, $P Q$ 随 $m$ 的增大而减小, 又因为 $m \leq-1$, 所以,

当 $m \leq-1$ 时, $P Q$ 随 $m$ 的增大而减小.

当 $-1 \leq m \leq 2$ 时, 点 $Q$ 在点 $P$ 的上方, $P Q=-m-1-\left(m^{2}-2 m-3\right)=-m^{2}+m+2$,

所以, 当 $m \geq \frac{1}{2}$ 时, $P Q$ 随 $m$ 的增大而减小, 又因为 $-1 \leq m \leq 2$, 所以,

当 $\frac{1}{2} \leq m \leq 2$ 时, $P Q$ 随 $m$ 的增大而减小.

当 $m>2$ 时, 点 $P$ 在点 $Q$ 的上方, $P Q$ 随 $m$ 的增大而增大.

综上所述，当 $m \leq-1$ 或 $\frac{1}{2} \leq m \leq 2$ 时， $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小.

(2)当 $-1<m<0$ 时，正方形与抛物线有一个交点;

若点 $T$ 落在拋物线上, 则 $P T=1+(1-m)=2-m$,

又因为 $P Q=-m^{2}+m+2$, 所以, $2-m=-m^{2}+m+2$,

解得, $m_{1}=0, m_{2}=2$ (舍去),

所以当 $m=0$, 正方形与拋物线有两个交点;

当 $0<m<1$ 时, 正方形与抛物线有三个交点;

当 $1 \leq m<2$ 时, 正方形与抛物线有两个交点.

综上所述：当 $-1<m<0$ 时，正方形与抛物线有一个交点; 当 $m=0,1 \leq m<2$ 时, 正方形与抛物线有两个交点; 当 $0<m<1$ 时, 正方形与抛物线有三个交点.
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【点睛】本题考查了待定系数法求解析式, 二次函数的图象及性质等, 解题的关键是灵活运用二次函数的图象及性质并注意分类讨论思想的运用.

