已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列, $S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $9 S_{3}=S_{6}$, 则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为 ( )
解析 若 $q=1$, 则由 $9 S_{3}=S_{6}$ 得 $9 \times 3 a_{1}=6 a_{1}$,

则 $a_{1}=0$, 不满足题意, 故 $q \neq 1$.

由 $9 S_{3}=S_{6}$ 得 $9 \times \frac{a_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}\left(1-q^{6}\right)}{1-q}$,

解得 $q=2$

故 $a_{n}=a_{1} q^{n^{-1}}=2^{n^{-1}}$, $\frac{1}{a_{n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n^{-}}$.

所以数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是以 1 为首项, $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列, 其前 5 项和为

$S_{5}=\frac{1 \times\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}$.