如图, $\mathrm{PA} 、 \mathrm{~PB}$ 是 $\odot 0$ 的两条切线, $\mathrm{PEC}$ 是一条割线, $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{PC}$ 的交点, 若 $\mathrm{PE}=2, \mathrm{CD}=1$,求 DE 的长.

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【分析】连接 $\mathrm{PO}$ 交 $\mathrm{AB}$ 于 $H$, 设 $\mathrm{DE}=\mathrm{x}$, 由勾股定理得, $(x+2)^{2}+x=2(x+3)$, 从而求出 $x$ 的值即可.

解: 连接 $\mathrm{PO}$ 交 $\mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{H}$, 由切线长定理可知, $\mathrm{OP}$ 平分 $\angle A P B$, 而 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$,

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$\therefore \mathrm{PO} \perp \mathrm{AB}$,

设 $\mathrm{DE}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PE} \cdot \mathrm{PC}=2(\mathrm{x}+3)$.

在 Rt $\triangle \mathrm{APH}$ 中, $\mathrm{AP}^{2}=\mathrm{AH}^{2}+\mathrm{PH}^{2}$, 即 $\mathrm{AH}^{2}+\mathrm{PH}^{2}=2(\mathrm{x}+3)$ (1),

在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{PHD}$ 中, $\mathrm{PH}^{2}+\mathrm{DH}^{2}=(\mathrm{x}+2)^{2}(2)$,
又 $A D \cdot D B=E D \cdot D C$, 而 $A D \cdot D B=(A H-D H) \quad(A H+D H)=A H^{2}-D H^{2}$,

$\therefore \mathrm{AH}^{2}-\mathrm{DH}^{2}=\mathrm{x} \cdot 1(3)$,

由(1)(2)(3)得 $(x+2)^{2}+x=2(x+3)$,

解得 $\mathrm{DE}=\mathrm{x}=\frac{\sqrt{17}-3}{2}$.