定义: 过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线, 这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角.

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图1

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图2

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图 3

(1)如图 1, $\angle D A E$ 是 $\triangle A B C$ 的珍珠角, $\angle B=\alpha, \angle C=\beta, \alpha>\beta$, 请用 $\alpha$ 和 $\beta$ 表示 $\angle D A E$.

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交 $D C$ 于点 $E, \angle F D C=\angle B A E$. 求证: $\angle D A E$ 是 $\triangle A B C$ 的珍珠角.

(3)在(2)的条件下, 如图 3, 连结 $O D$ 交 $A E$ 于点 $G, O G=\frac{1}{2} D C, \cos \angle B A D=\tan \angle C$.

(1) 求证: $O G=\frac{1}{2} A B$;

(2)若 $B C=8, G F=1$, 求 $\tan \angle D A E$ 的值.
解: (1) $\because A E$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A E=\angle C A E$,

即 $\angle B A D+\angle D A E=\angle D A C-\angle D A E ，$

$\therefore 2 \angle D A E=\angle D A C-\angle B A D$,

$\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的高,

$\therefore A D \perp B C$,

$\therefore \angle D A C=90^{\circ}-\angle C, \angle B A D=90^{\circ}-\angle B$

$\therefore 2 \angle D A E=\angle B-\angle C$,

$\because \angle B=\alpha, \angle C=\beta$,

$\therefore 2 \angle D A E=\alpha-\beta$,

$\therefore \angle D A E=\frac{1}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$

(2) $\because A C$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore A D$ 是 $\triangle A B C$ 的高,

$\because \angle F D C=\angle B A E, \quad \angle F D C=\angle E A C$,

$\therefore \angle B A E=\angle E A C$,

$\therefore A E$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle D A E$ 是 $\triangle A B C$ 的珍珠角;

(3)(1)在 $R t \triangle A B D$ 中, $\cos \angle B A D=\frac{A D}{A B}$,

在 $R t \triangle A D C$ 中, $\tan \angle C=\frac{A D}{D C}$,

$\because \cos \angle B A D=\tan \angle C$

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{A D}{D C}$,

$\therefore A B=D C$,

$\because O G=\frac{1}{2} D C$

$\therefore O G=\frac{1}{2} A B$

(2)如图 3, 在 $D C$ 上截取 $D H=D B$, 连结 $A H, O F$.

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图3

在 $\triangle A D B$ 和 $\triangle A D H$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
A D=A D \\
\angle A D B=\angle A D H \\
D B=D H
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D B \cong \triangle A D H(A S A)$,

$\therefore A B=A H, \angle B=\angle A H B$,

$\therefore O G=\frac{1}{2} A H, \angle H A C=\angle A H B-\angle C=\angle B-\angle C$,
$\because \angle D A E=\frac{1}{2}(\angle B-\angle C)$,

$\therefore \angle H A C=2 \angle D A E$,

$\because \angle G O F=2 \angle D A E$,

$\therefore \angle G O F=\angle H A C$.

$\because O G=\frac{1}{2} A H, O F=\frac{1}{2} A C$

$\therefore \frac{O G}{A H}=\frac{O F}{A C}=\frac{1}{2}$

$\therefore \triangle O G F \sim \triangle A H C$,

$\therefore \frac{G F}{H C}=\frac{O F}{A C}=\frac{1}{2}, \quad \angle O F G=\angle C$,

$\therefore H C=2 G F=2$,

即 $D C-B D=2 ，$

$\because B C=8$,

$\therefore D C+B D=8$,

$\therefore D C=5, B D=3$,

$\therefore A B=5$,

在 $R t \triangle A B D$ 中, 由勾股定理得,

$A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=4$.

$\because O A=O F$

$\therefore \angle O F G=\angle E A C$,

$\because \angle O F G=\angle C$,

$\therefore \angle E A C=\angle C$,

$\therefore A E=E C$,

设 $D E=x$, 则 $A E=E C=5-x$, 在 $R t \triangle A D E$ 中, 由勾股定理得,
$A D^{2}+D E^{2}=A E^{2}$,

$\therefore 16+x^{2}=(5-x)^{2}$,

$\therefore x=\frac{9}{10}$,

$\therefore D E=\frac{9}{10}$,

$\therefore \tan \angle D A E=\frac{D E}{A D}=\frac{9}{40}$.