已知函数 $f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}$.

(1)用定义证明函数在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数;

(2)求该函数在区间 $[2,4]$ 上的最大值与最小值.
(1)证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{2 x_{1}+1}{x_{1}+1}-\frac{2 x_{2}+1}{x_{2}+1}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}$.

$\because 1 \leqslant x_{1}<x_{2}, \quad \therefore x_{1}-x_{2}<0, \quad\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0$,

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是增函数.

(2) 由(1)知函数 $f(x)$ 在区间 $[2,4]$ 上是增函数,

$\therefore f(x)_{\max }=f(4)=\frac{2 \times 4+1}{4+1}=\frac{9}{5}$,

$f(x)_{\min }=f(2)=\frac{2 \times 2+1}{2+1}=\frac{5}{3}$