如图, 一位篮球运动员投篮, 球沿抛物线 $y=-0.2 x^{2}+b x+2.25$ 运行, 球运行点距运动员水平距离 2.5 米处达到最高, 最高点距地面 3.5 米.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若篮筐中心的水平距离 $O H$ 是 4 米，且篮筐中心离地面的高度为 3.05 米，请问该运动员本次投篮是否直接命中篮筐中心？请说明理由;

(3)假设 $P(3, m), Q(t, n)$ 为该抛物线上的两点, 且 $m<n$, 直接写出 $t$ 的取值范围 $\qquad$

<ImageHere>


(1) 把 $x=2.5, y=3.5$ 代入 $y=-0.2 x^{2}+b x+2.25$ 求出 $b$ 值即可求解;

（2）把 $x=4$ 代入 $y=-0.2 x^{2}+x+2.25$ 求出 $\mathrm{y}$ 值与 3.05 比美，相等即命中，不等即不能命中;

（3）把 $P(3, m)$ 代入 $y=-0.2 x^{2}+x+2.25$ 得求得 $m=3.45$, 令 $y=3.45$ 求得 $x_{1}=2, x_{2}=3$, 再根据 $m<n$, 利用图象法即可求解.

【详解】(1) 解：由题意知：当 $x=2.5$ 时, $y=3.5$,

把 $x=2.5$ 时, $y=3.5$ 代入 $y=-0.2 x^{2}+b x+2.25$ 得:

$-0.2 \times 2.5^{2}+2.5 b+2.25=3.5$,

解之得: $b=1$,
$\therefore$ 该抛物线的解析式为: $y=-0.2 x^{2}+x+2.25$.

（2）解：命中,

理由如下: 当 $x=4$ 时, $y=-0.2 \times 4^{2}+4+2.25=3.05$,

$\therefore$ 该运动员本次投篮直接命中篮筐中心.

（3）解: 把 $P(3, m)$ 代入 $y=-0.2 x^{2}+x+2.25$ 得:

$m=-0.2 \times 3^{2}+3+2.25=3.45$,

当 $y=3.45$ 时，则 $3.45=-0.2 x^{2}+x+2.25$

解得: $x_{1}=2, x_{2}=3$,

<ImageHere>

$\because P(3, m), Q(t, n)$

$\therefore$ 由图可知当 $m<n$ 时, $2<t<3$.

【点睛】本题考查拋物线的应用, 熟练掌握用待定系数法求拋物线解析式和拋物线的图象性质是解题的关键.

