如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动, 则下列判断中,正确命题的个数是

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(1)三棱雉 $A-C D_{1} P$ 的体积不变; (2) $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$; (3) 平面 $P B_{1} D \perp$ 平面 $A C D_{1}$;

(4) $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的范围是 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$.
在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 三角形 $A D_{1} C$ 的面积为定值, 又 $B C / / A D_{1}$, 可以推出 $B C / /$ 平面 $A D_{1} C$, 因此点 $P$ 到平面 $A D_{1} C$ 的距离为定值, (1)三棱雉 $A-C D_{1} P$ 的体积不变是正确的; $A_{1} B / / D_{1} C, B C / / A D$, 可以推出平面 $A_{1} B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} C, A_{1} P \subset$ 平面 $A_{1} B C$, 则 $A_{1} P / /$ 平面 $A D_{1} C$, (2) $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ 是正确的; 由于 $B D \perp$ 平面

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$A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的范围是 $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$, (4)错误, 选 $\mathrm{B}$.

【点睛】涉及到三棱雉的体积为定值问题, 要考虑到动点（棱雉的顶点）在直线上, 而直线与平面 (棱锥的底面) 平行, 这样不论动点怎样移动, 棱雉的高都不变, 底面积为定值, 高为定值, 体积就是定值; 两条异面直线所成的角的范围, 首先平移一条直线,找出两条异面直线所成的角, 移动动点观察特殊点时, 异面直线所成的角, 就会很容易得出你的角的范围, 很适合做选填题.