设 $|\overrightarrow{O A}|=2,|\overrightarrow{O B}|=1, \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0, \overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$, 且 $\lambda+\mu=1$,

则向量 $\overrightarrow{O A}$ 在 $\overrightarrow{O P}$ 上的投影的取值范围 ( )
由于 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$, 则 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$,

由于 $|\overrightarrow{O A}|=2$, 如图所示建系,

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设 $A(2,0), B(0,1)$ ，

由于 $\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$, 且 $\lambda+\mu=1$, 则 $P, A 、 B$ 三点共线.

设 $P(x, y)$, 则 $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$, 即 $y=1-\frac{x}{2}$.

向量 $\overrightarrow{O A}_{\text {在 } \overrightarrow{O P}}$ 上的投影为 $|\overrightarrow{O A}| \cos \langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O P}\rangle=\frac{\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O P}}{|\overrightarrow{O P}|}=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

设 $t=|\overrightarrow{O A}| \cos \langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O P}\rangle$, 所以当 $x=0$ 时, $t=0$.

当 $x \neq 0$ 时, $\frac{1}{t^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4 x^{2}}=\frac{1}{4}\left[1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right]=\frac{1}{4}\left[1+\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}\right]$,

当 $x>0$ 时, $t>0$, 所以 $\frac{1}{t^{2}} \geq \frac{1}{4}$, 解得 $0<t \leq 2$;
当 $x<0$ 时, $t<0$, 所以 $\frac{1}{t^{2}}>\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{16}$, 解得 $-\frac{4 \sqrt{5}}{5}<t<0$,

综上, 向量 $\overrightarrow{O A}$ 在 $\overrightarrow{O P}$ 上的投影的取值范围为 $\left(-\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 2\right]$, 故选 C.