如图, $A B 、 A C$ 为 $\odot O$ 的切线, $B$ 和 $C$ 是切点, 延长 $O B$ 到点 $D$, 使 $B D=O B$, 连接 $A D$, 若 $\angle D A C=78^{\circ}$, 则 $\angle A D O=(\quad)$
解：连接 $O A$,

$\because A B 、 A C$ 为 $\odot O$ 的切线,

<ImageHere>

$\therefore \angle B A O=\angle C A O, O B \perp A B$,

$\because B D=O B$,

$\therefore A B$ 垂直平分 $O D$,

$\therefore A O=A D, \triangle A O D$ 为等腰三角形,

$\therefore \angle B A O=\angle B A D$,

$\therefore \angle C A O=\angle B A O=\angle B A D$,

$\because \angle D A C=\angle B A D+\angle B A O+\angle C A O=78^{\circ}$,

$\therefore 3 \angle B A D=78^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=26^{\circ}$,

$\therefore \angle A D O=90^{\circ}-\angle B A D=90^{\circ}-26^{\circ}=64^{\circ}$.

故选: $B$.

先根据切线长定理, 由 $A B 、 A C$ 为 $\odot O$ 的切线得到 $\angle B A O=\angle C A O$, 根据切线的性质得 $O B \perp A B$,加上 $B D=O B$, 则可判断 $\triangle A O D$ 为等腰三角形, 于是根据等腰三角形的性质得 $\angle B A O=\angle B A D$,即 $\angle C A O=\angle B A O=\angle B A D$, 然后利用 $\angle D A C=\angle B A D+\angle B A O+\angle C A O=78^{\circ}$ 可计算出 $\angle B A D=$
$26^{\circ}$, 再利用 $\angle A D O=90^{\circ}-\angle B A D$ 求解.

本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理.