$a$ 是不为 1 的有理数, 我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为 $a$ 的差倒数, 如: 2 的差倒数是 $\frac{1}{1-2}=-1,-1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$, 已知 $a_{1}=3, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数, $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数, $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数..... 以此类推, 则 $a_{2019}=(\quad)$
析】

## 【分析】

本题考查了新定义运算及倒数的相关计算, 题目难度较大. 理解差倒数的定义及找到规律是解决本题的关键. 根据差倒数的定义, 分别计算 $a_{2} 、 a_{3} 、 a_{4}$ 的差倒数, 找到变化规律, 得结论.

## 【解答】

解: $\because a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数,

$\therefore a_{2}=\frac{1}{1-a_{1}}=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$,

$\because a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数,

$\therefore a_{3}=\frac{1}{1-a_{2}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$,

$\because a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数,

$\therefore a_{4}=\frac{1}{1-a_{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$,

由上可知, 每三个循环一次, $2019 \div 3=673$, 故 $a_{2017}$ 与 $a_{3}$ 的值相同,
$\therefore a_{2019}=\frac{2}{3}$.

故答案为 $\frac{2}{3}$.