某种牙膏上部圆的直径为 $2.6 \mathrm{~cm}$, 下部底边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 如图, 现要制作长方体的牙膏盒, 牙膏盒底面是正方形, 手工课上小明、小亮、小丽、小芳制作的牙膏盒的高度都一样, 且高度符合要求.不同的是底面正方形的边长, 他们制作的边长如下表:

| 制作者 | 小明 | 小亮 | 小丽 | 小芳 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 正方形的边长 | $2 \mathrm{~cm}$ | $2.6 \mathrm{~cm}$ | $3 \mathrm{~cm}$ | $3.4 \mathrm{~cm}$ |

(1) 这 4 位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗? ( $\sqrt{2} \approx 1.42$ )

（2）若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看, 你认为谁的制作更合理?并说明理由.
（1）牙膏恰好放入牙膏盒内, 牙膏下底部长与牙膏盒底面对角线长相等.

设底面正方形的边长为 $a$, 则根据勾股定理得:

$2 a^{2}=4^{2}$, 解得 $a= \pm \sqrt{8}( \pm 2 \sqrt{2})$,

因为 $a$ 不能为负, 所以 $a$ 为 $=\sqrt{8}(2 \sqrt{2})$;

因此, 只要牙膏盒底面边长大于或等于 $2.84 \mathrm{~cm}$, 牙膏盒都能装下这种牙膏,

所以小丽和小芳制作的盒子能装下这种牙膏.

（2）小丽制作的牙膏盒更合理. 因为她制作的盒子既节约材料又方便取放牙膏.