18. 已知. $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且 $a \sin A+c \sin C-b \sin B=\sqrt{2} a \sin C$.

(1) 求角 $B$ 的大小;

(2) 设向量 $\vec{m}=(\cos A, \cos 2 A), \vec{n}=(12,-5)$, 边长 $a=4$, 求当 $\vec{m} \cdot \vec{m}$ 取最大值时, 求 $b$ 边的长.
(1) 因为 $a \sin A+c \sin C-b \sin B=\sqrt{2} a \sin C$,

由正弦定理得 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{2} a c$ ，

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{\sqrt{2} a c}{2 a c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

(2) 因为 $\vec{m} \cdot \vec{m}=12 \cos A-5 \cos 2 A$

$=12 \cos A-5\left(2 \cos ^{2} A-1\right)=-10 \cos ^{2} A+12 \cos A+5$

$=-10\left(\cos A-\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{43}{5}$.

所以当 $\cos A=\frac{3}{5}$ 时, $\vec{m} \cdot \vec{m}$ 取最大值, 此时, $\sin A=\frac{4}{5}$.
由正弦定理得, $b=a \frac{\sin B}{\sin A}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$.