已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ ( $a, b, c$ 是常数), $a+b+c=0$, 下列四个结论:

(1)抛物线与 $x$ 轴一定有公共点; (2)若拋物线经过点 $(-5,0)$, 则 $4 a+b=0$; (3)若 $b=c$,则方程 $c x^{2}+b x+a=0$ 一定有根 $x=-2$; (4)点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在抛物线上, 若 $0<a<c$,则当 $x_{1}<x_{2}<1$ 时, $y_{1}>y_{2}$, 其中正确的是 $\qquad$ (填写序号).

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由 $\Delta=b^{2}-4 a c=(a+c)^{2}-4 a c=(a-c)^{2} \geq 0$, 可判断(1); 由抛物线经过点 $(-5,0)$ 可得 $25 a-5 b+c=0$, 然后结合 $a+b+c=0$ 可得到 $4 a-b=0$, 可判断(2); 由 $b=c$, 则二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 c}=-\frac{1}{2}$, 可判断(3); 由题意可知, 拋物线开口向上,且 $\frac{c}{a}>1$, 则当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,可判断(4).
【详解】 $\because a+b+c=0$

$\therefore b=-a-c$

$\because$ 拋物线 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数 $)$

$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-a-c)^{2}-4 a c=(a-c)^{2} \geq 0$

$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴一定有公共点, 故(1)正确;

$\because a+b+c=0$

$\therefore c=-a-b$

$\because$ 抛物线经过点 $(-5,0)$

$\therefore 25 a-5 b+c=0$,

$\therefore$ 将 $c=-a-b$ 代入 $25 a-5 b+c=0$ 得 $25 a-5 b-a-b=0$

整理得 $4 a-b=0$, 故(2)错误;

若 $b=c$, 则二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 c}=-\frac{1}{2}$, 且二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 过点 $(1,0)$,

$\therefore$ 二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 与 $x$ 轴的另外一个交点为 $(-2,0)$, 即方程 $c x^{2}+b x+a=0$ 一定有根 $x=-2$; 故(3)正确;

由题意可知, 抛物线开口向上, 且 $\frac{c}{a}>1$,

$\therefore(1,0)$ 在对称轴的左侧,

$\therefore$ 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\therefore$ 当 $x_{1}<x_{2}<1$ 时, $y_{1}>y_{2}$. 故(4)正确.

综上所述, 正确的有: (1)(3)4).

故答案为: (1)(3)(4).

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系, 根与系数的关系, 二次函数图象与 $x$ 轴的交点等问题, 掌握相关知识是解题的关键.

