如图, $A B$ 为直径, 点 $C, D, E$ 都在半圆 $O$ 上, 设 $A E=D E=x, C B=C D=\sqrt{2} x$, $A B=2 y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为 ( ).

<ImageHere>

先构造 Rt $\triangle D M C$, 再求出 $\angle E D C=135^{\circ}$, 即可得到 $\angle M D C=45^{\circ}$, 即可求出 $M C=M D=x$, 在 $R t \triangle E M C$ 中, 求出 $E C=\sqrt{M C^{2}+E M^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2 x)^{2}}=\sqrt{5} x$, 再在 Rt $\triangle E O C$中, 求出 $E C=\sqrt{2} O C=\sqrt{2} y$, 即可得 $\sqrt{2} y=\sqrt{5} x$, 即可得到答案.

【详解】解: 如图, 延长 $D E$, 作 $C M \perp E D$, 交 $D E$ 延长线于点 $M$, 连接 $M C$, 连接 $E C, O E, O C$,

<ImageHere>

$$
\because A B=2 y
$$

$\therefore O E=O C=y$

$\because A E=D E=x, \quad C B=C D=\sqrt{2} x, \quad A B=2 y$

$\therefore \angle E O C=90^{\circ}$
$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\frac{1}{2} \angle E O C=135^{\circ}$

$\therefore \angle M D C=180-\angle E D C=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

$\because C M \perp E D, \quad C D=\sqrt{2} x$

$\therefore M C=M D=x$

$\therefore M E=2 x$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle E M C$ 中, $E C=\sqrt{M C^{2}+E M^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2 x)^{2}}=\sqrt{5} x$

$\because \angle E O C=90^{\circ}$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle E O C$ 中, $E C=\sqrt{2} O C=\sqrt{2} y$,

$\therefore \sqrt{2} y=\sqrt{5} x$,

$\therefore y=\frac{\sqrt{10}}{2} x$, 故 A 正确.

故选: A.

【点睛】本题主要考查了圆的知识与勾股定理、一次函数的结合, 通过圆的知识与勾股定理得到线段之间的关系是解答此题的关键.

