（2021 春・济宁期末）我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等, 知道了它们的特征. 现在若有两个角, 它们不是同一个顶点, 但这两角的两边相互平行, 我们就把满足这个条件的两个角称作 “平行角”. 如图 1, 已知 $A B / / C D, A D / / B C$, 因此 $\angle B$ 和 $\angle D$ 是 “平行角”.

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图1图2

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图3

(1) 图 1 中, 证明 $\angle B=\angle D$;

(2) 如图 2, 延长 $D C$ 到 $E$, 可知 $\angle A$ 和 $\angle B C E$ 也是 “平行角” , 判断它们的数量关系;

（3）如图 3, $D E$ 平分 $\angle A D C, B F$ 平分 $\angle A B C$, 请说明图中的 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”.
（1）（2）利用平行线的性质，推理得结论;

(3) 要说明 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”, 需说明 $D E / / B F$, 可利用角平分线的性质和平行线的性质和判定.

【答案】 (1) 证明: $\because A B / / C D, A D / / B C$,

$\therefore \angle D+\angle A=180^{\circ}, \angle B+\angle A=180^{\circ} . \therefore \angle B=\angle D$.

(2) 解: 由 (1) 知 $\angle B=\angle D$, 同理可得, $\angle A=\angle B C D$.

$\because \angle B C D+\angle B C E=180^{\circ}, \therefore \angle A+\angle B C E=180^{\circ}$ 。即 $\angle A$ 和 $\angle B C E$ 互补.

(3) 证明: $\because \angle B$ 和 $\angle D$ 是 “平行角”, $\therefore \angle A B C=\angle A D C$.

$\because D E$ 平分 $\angle A D C, B F$ 平分 $\angle A B C$

$\therefore \angle 1=\frac{1}{2} \angle A D C, \quad \angle 2=\frac{1}{2} \angle A B C . \quad \therefore \angle 1=\angle 2$.

又 $\because A B / / D C, \therefore \angle 2=\angle B F C$.

$\therefore \angle 1=\angle B F C . \quad \therefore D E / / B F$.

$\therefore \angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”.
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【点睛】本题考查了平行线的性质和判定, 理解 “平行角” 是解决本题的关键. “平行角” 的性质: 两个 “平行角” 不是相等就是互补.