(12 分) (1) 已知 $a>0, b-a>1$, 求证: $\sqrt{1+\frac{1}{a}}>\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}}$;

(2) 已知 $a>0, b>0, a b>1$, 求证: $a, b$ 中至少有一个大于 1 .
答案:(1) 证明见解析; (2) 证明见解析.

【解析】(1) 证明: 由已知得 $b>1$, 下面用分析法证明: 欲证 $\sqrt{1+\frac{1}{a}}>\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}}$,只需证 $1+\frac{1}{a}>\frac{b}{b-1}$, 即证 $\frac{a+1}{a}>\frac{b}{b-1} ，$

由 $a>0, b-1>0$ 知, 只需证 $(a+1)(b-1)>a b$,

即证 $b-a-1>0 ，$ 即证 $b-a>1 ，$

由条件知 $b-a>1$ 成立, 所以 $\sqrt{1+\frac{1}{a}}>\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b-1}}$ 成立.

（2）用反证法证明: 假设 $a, b$ 都不大于 1 , 即 $a \leq 1, b \leq 1$,

由 $a>0, b>0$, 得 $0<a \leq 1,0<b \leq 1$, 所以 $a b \leq 1$,

与已知 $a b>1$ 矛盾, 所以假设不成立,

即 $a, b$ 中至少有一个大于 1 , 即结论成立