所示, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1 , 线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E, F$,且 $E F=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则下列结论中错误的是

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(1) $A C \perp B E$;

(2) $E F / /$ 平面 $A B C D$;

(3)三棱雉 $A-B E F$ 的体积为定值;

(4)异面直线 $A E, B F$ 所成的角为定值.
【分析】

(1)根据正方体的几何特征, 易证 $A C \perp$ 平面 $D D_{1} B_{1} B$. (2)根据 $B_{1} D_{1} / / B D$, 利用线面平行的判定定理判断.(3)根据体积公式, 判断 $S_{\triangle E F B}$ 是否为定值, 再根据 $A C \perp$ 平面 $D D_{1} B_{1} B$, 判断点 $A$ 到平面 $D D_{1} B_{1} B$ 的距离是否为定值. (4)取特殊位置, 当 $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点, $F$ 与 $B_{1}$ 重合时和当 $\mathrm{F}$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点, $E$ 与 $D_{1}$ 重合时角是否相等判断.

## 【详解】

在正方体中, $D D_{1} \perp$ 平面 $A B C D$, 所以 $D D_{1} \perp \mathrm{AC}$, 又因为 $A C \perp B D, D D_{1} \cap B D=D$,
所以 $A C \perp$ 平面 $D D_{1} B_{1} B$, 所以 $A C \perp B E$, 故正确.

(2)因为 $B_{1} D_{1} / / B D, B_{1} D_{1} \not \subset$ 平面 $A B C D ; B D \subset$ 平面 $A B C D$, 所以 $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $A B C D$, 所以 $E F / /$ 平面 $A B C D$, 故正确.

(3)因为 $S_{\triangle E F B}=\frac{1}{2} E F \cdot B B_{1}$ 是定值, 因为 $A C \perp$ 平面 $D D_{1} B_{1} B$, 点 $\mathrm{A}$ 到平面 $D D_{1} B_{1} B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是定值, 故三棱雉 $A-B E F$ 的体积为定值, 故正确.

(4) 当 $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点, $F$ 与 $B_{1}$ 重合时, $B F / / A A_{1}, A A_{1} \perp A_{1} E, \angle E A A_{1}$ 异面直线 $A E$, $B F$ 所成的角 $\tan \angle E A A_{1}=\frac{\left|E A_{1}\right|}{\left|A_{1} A\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 当 $F$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点, $E$ 与 $D_{1}$ 重合时, $A E / / C_{1} B, C_{1} F \perp B F, \angle F B C_{1}$ 异面直线 $A E, B F$ 所成的角 $\tan \angle F B C_{1}=\frac{\left|C_{1} F\right|}{|F B|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $\angle E A A_{1} \neq \angle F B C_{1}$, 故异面直线 $A E$, $B F$ 所成的角不是定值, 故(4)错误.

故答案为: (4)

## 【点睛】

本题主要考查空间几何体的几何特征和点、线、面的位置关系, 还考查了空间想象和逻辑推理的能力, 属于中档题.