已知: 如图 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, O H \perp A C$ 于 $H$, 过 $A$ 点的切线与 $O C$ 的延长线交于点 $D, \angle B=30^{\circ}$, $O H=5$. 请求出:

(1) $\angle A O C$ 的度数;

(2)劣弧 $A C$ 的长(结果保留 $\pi$ );

(3)线段 $A D$ 的长(结果保留根号).

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解: (1) $\because \angle B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A O C=60^{\circ}$ (同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的 2 倍);

(2) $\because O A=O C, O H \perp A C$,

$\therefore \angle A O H=\frac{1}{2} \angle A O C=30^{\circ}$, 而 $O H=5$,

$\therefore A H=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$, 则 $O A=\frac{10 \sqrt{3}}{3}$;

$\therefore$ 劣弧 $A C$ 的长 $=\frac{60 \pi \cdot \frac{10 \sqrt{3}}{3}}{180}=\frac{10 \sqrt{3} \pi}{9}$.

(3) $\because A D$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle O A D=90^{\circ}$,

又 $\because \angle A O D=60^{\circ}, O A=\frac{10 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore A D=\sqrt{3} O A=10$.