如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=5, A D=8$, 点 $E$ 是边 $A D$ 上的一个动点,把 $\triangle B A E$ 沿 $B E$ 折叠, 点 $A$ 落在 $A^{\prime}$ 处, 如果 $A^{\prime}$ 恰在矩形的某条对称轴上,则 $A E$ 的长为 \$ \qquad \$
分两种情况：

(1)如图 1, 过 $A^{\prime}$ 作 $M N / / C D$ 交 $A D$ 于 $M$, 交 $B C$ 于 $N$,则直线 $M N$ 是矩形 $A B C D$ 的对称轴,

$\therefore A M=B N=\frac{1}{2} A D=4, M N=A B=5$,

<ImageHere>

图1

$\because \triangle A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $\triangle A^{\prime} B E$,

$\therefore A^{\prime} E=A E, A^{\prime} B=A B=5$,

$\therefore A^{\prime} N=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,

$\therefore A^{\prime} M=M N-A^{\prime} N=5-3=2$,

由勾股定理得： $A^{\prime} E^{2}=E M^{2}+A^{\prime} M^{2}$,

$\therefore A^{\prime} E^{2}=\left(4-A^{\prime} E\right)^{2}+2^{2}$,

解得: $A^{\prime} E=\frac{5}{2}$,

$\therefore A E=\frac{5}{2}$;

(2)如图 2, 过 $A^{\prime}$ 作 $P Q / / A D$ 交 $A B$ 于 $P$, 交 $C D$ 于 $Q$,则直线 $P Q$ 是矩形 $A B C D$ 的对称轴,

$\therefore P Q \perp A B, A P=P B, A D / / P Q / / B C$,

<ImageHere>

图2

$\therefore A^{\prime} B=2 P B$,

$\therefore \angle P A^{\prime} B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A^{\prime} B C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E B A^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore A E=A^{\prime} E=\frac{\sqrt{3}}{3} A^{\prime} B=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

综上所述: $A E$ 的长为 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，

故答案为: $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$.