已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$. 设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$, 则 ( )
由题意可知 $a 、 b 、 c \in(0,1)$,

则 $\frac{a}{b}=\frac{\log _{5} 3}{\log _{8} 5}=\frac{\lg 3}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 8}{\lg 5}<\frac{1}{(\lg 5)^{2}} \cdot\left(\frac{\lg 3+\lg 8}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 3+\lg 8}{2 \lg 5}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 24}{\lg 25}\right)^{2}<1, \quad \therefore a<b ;$

由 $b=\log _{8} 5$, 得 $8^{b}=5$, 由 $5^{5}<8^{4}$, 得 $8^{5 b}<8^{4}, \therefore 5 b<4$, 可得 $b<\frac{4}{5}$;

由 $c=\log _{13} 8$, 得 $13^{c}=8$, 由 $13^{4}<8^{3}$, 得 $13^{4}<13^{x}, \therefore 5 c>4$, 可得 $c>\frac{4}{5}$.

综上所述, $a<b<c$.

故答案为: A.

【分析】由题意可得 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 c \in(0,1)$ ，利用作商法以及基本不等式可得出 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的大小关系，由 $b=\log _{8} 5$, 得 $8^{b}=5$, 结合 $5^{5}<8^{4}$ 可得出 $b<\frac{4}{5}$, 由 $c=\log _{13} 8$, 得 $13^{c}=8$, 结合 $13^{4}<8^{3}$,可得出 $c>\frac{4}{5}$, 综合可得出 $a 、 b, c$ 的大小关系.