若点 $O$ 和点 $F$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的中心和左焦点, 点 $P$为粗圆上的任意一点, 则 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$ 的最大值为 ( )
解析 ：由题意, $F(-1,0)$, 设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则有 $\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$, 解得 $y_{0}^{2}=3\left(1-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)$,

$\because \overrightarrow{F P}=\left(x_{0}+1, y_{0}\right), \quad \overrightarrow{O P}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

$\therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}=x_{0}\left(x_{0}+1\right)+y_{0}^{2}$

$=x_{0}\left(x_{0}+1\right)+3\left(1-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)=\frac{x_{0}^{2}}{4}+x_{0}+3$.

此二次函数对应的抛物线的对称轴为 $x_{0}=-2$,

$\because-2 \leqslant x_{0} \leqslant 2, \therefore$ 当 $x_{0}=2$ 时,

$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$ 取得最大值 $\frac{2^{2}}{4}+2+3=6$, 选 C.

答案： C