(2020 秋-锦州期末) 某中学高一年级举行了一次数学竞赛, 从中随机抽取了一批学生的成绩,经统计, 这批学生的成绩全部介于 50 至 100 之间, 将数据按照 $[50,60),[60,70),[70,80 ）$, $[80,90),[90,100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值;

（2）若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分的概率;

（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替, 估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分.

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解: (1) 由题意可知 $(0.005+0.030+0.035+a+0.010) \times 10=1$,解得 $a=0.020$.

(2) 抽取的样本中,成绩不低于 80 分的学生所占的比例是 $(a+0.010) \times 10=(0.020+0.010) \times 10=0.3$,所以若从高一学生中随机抽取一人,

估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分的概率为 0.3 .

（3）因为（ $55 \times 0.005+65 \times 0.030+75 \times 0.035+85 \times 0.020+95 \times 0.010 ） \times 10=75$,因此估计高一年级学生本次数学竟赛的平均分为 75 .