点 $A 、 B 、 C$ 是 $\odot O$ 上不同的三点, 已知 $\angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$, 则 $\angle A O B=$ $\qquad$度.

解：分两种情况:

当点 $C$ 在优弧 $\overparen{A C B}$ 上时, 如图:

<ImageHere>

$\because \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B, \angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$,

$\therefore \frac{3}{2} \angle A O B=210^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=140^{\circ}$;

当点 $C$ 在劣弧 $\overparen{A B}$ 上时, 如图:

<ImageHere>

$\because \angle 1=2 \angle A C B, \angle 1+\angle A O B=360^{\circ}$,

$\therefore 2 \angle A C B+\angle A O B=360^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=150^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=210^{\circ}-\angle A C B=60^{\circ}$;
综上所述: $\angle A O B$ 的度数为 $140^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$,

故答案为: 140 或 60 .

分两种情况: 当点 $C$ 在优弧 $\overparen{A C B}$ 上时, 当点 $C$ 在劣弧 $\overparen{A B}$ 上时, 然后分别进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键.

 