$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $C=\frac{\pi}{3}, c=\sqrt{7}, b=3 a$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 ( )
已知 $C=\frac{\pi}{3}, c=\sqrt{7}, b=3 a$,

$\therefore$ 由余弦定理 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$, 可得: $7=a^{2}+b^{2}-a b=a^{2}+9 a^{2}-3 a^{2}=7 a^{2}$,

解得: $a=1, \quad b=3, \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 1 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$​​. 故选 A.