若函数 $f(x)$ 为定义在 $\boldsymbol{R}$ 上的奇函数, 且 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f(x)=\lg (x+1)$, 求 $f(x)$ 的表达式, 并画出大致图象.
【解】 $\because f(x)$ 为 $\boldsymbol{R}$ 上的奇函数, $\therefore f(0)=0$.

又当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $-x \in(0,+\infty)$,

$\therefore f(-x)=\lg (1-x)$.

又 $f(-x)=-f(x), \therefore f(x)=-\lg (1-x)$,

$\therefore f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg (x+1), x>0 \\ 0, x=0 \\ -\lg (1-x), x<0,\end{array}\right.$

$\therefore f(x)$ 的大致图象如图所示.

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