如图, 在圆内接正六边形 $A B C D E F$ 中, $B D 、 E C$ 交于点 $G$, 已知半径为 3 , 则 $B G$的长为 $\qquad$ .

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    图1

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    图2

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    （第 18 题）

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连接 $B O 、 G O$, 则三角形 $E O G$ 为直角三角形, 利用勾股定理即可求解.

【详解】解: 连接 $B E 、 G O 、 O C$,

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$\because$ 六边形 $A B C D E F$ 是正六边形,

$\therefore B E$ 经过 $O$ 点, 且 $O$ 是 $B E$ 的中点,

$E D=B C, \angle E D C=\frac{(6-2) \times 180^{\circ}}{6}=120^{\circ}, \angle B O C=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E B D=\angle C E B$,

$\therefore E G=B G$

$\therefore G O \perp B E$,

$\therefore \angle E O G=\angle B O G=90^{\circ}$,

$\because \angle B O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B E C=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\because D E=C D=B C$,

$\therefore \angle D E C=\angle C E B=\angle E B D=\angle B D C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E D G=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$,

设 $E G=B G=x$, 则 $O G=\frac{1}{2} E G=\frac{1}{2} x$,

$\therefore\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}+3^{2}=x^{2}$

解得: $x=2 \sqrt{3}$ 或 $x=-2 \sqrt{3}$ (舍去).

故答案为: $2 \sqrt{3}$.

【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质, 圆周角定理, 勾股定理的应用, 解题的关键是掌握各知识点, 并能结合图形熟练运用各知识点.

