已知幂函数 $f(x)=x^{m+2}$ 过点 $(2,8)$, 且 $f\left(k^{2}+6\right)+f(6-7 k)<0$, 则实数 $k$ 的取值范围是
$\because$ 幂函数 $f(x)=x^{m+2}$ 过点 $(2,8), \therefore 2^{m+2}=8$, 解得 $m=1$, 幂函数 $f(x)=x^{3}$.

显然, $f(x)$ 是奇函数, 且在 $R$ 上单调递增,

$\because f\left(k^{2}+6\right)+f(6-7 k)<0$, 即 $f\left(k^{2}+6\right)<-f(6-7 k)=f(7 k-6) ，$

$\therefore k^{2}+6<7 k-6$, 解得 $3<k<4$,

故答案为: $(3,4)$.

【点睛】

本题主要考查幕函数的性质, 函数的单调性和奇偶性的应用, 属于基础题.