(本小题 8.0 分)

在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$.

(1) 如图 (1), 点 $O$ 在斜边 $A B$ 上, 以点 $O$ 为圆心, $O B$ 长为半径的圆交 $A B$ 于点 $D$, 交 $B C$ 于点 $E$,与边 $A C$ 相切于点 $F$.求证: $\angle 1=\angle 2$;

(2)在图(2)中作 $\odot M$ ，使它满足以下条件:

(1)圆心在边 $A B$ 上; (2) 经过点 $B$; (3)与边 $A C$ 相切.

(尺规作图, 只保留作图痕迹, 不要求写出作法)

<ImageHere>

图(1)

<ImageHere>

图(2)
解: (1)证明：如图(1), 连接 $O F$,

<ImageHere>

图(1)

$\because A C$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O F \perp A C$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore O F / / B C$,
$\therefore \angle 1=\angle O F B$,

$\because O F=O B$,

$\therefore \angle O F B=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle 2$.

(2)如图(2)所示 $\odot M$ 为所求.

(1) 作 $\angle A B C$ 平分线交 $A C$ 于 $F$ 点,

(2)作 $B F$ 的垂直平分线交 $A B$ 于 $M$, 以 $M B$ 为半径作圆,即 $\odot M$ 为所求.

证明: $\because M$ 在 $B F$ 的垂直平分线上,

$\therefore M F=M B$,

$\therefore \angle M B F=\angle M F B$,

又 $\because B F$ 平分 $\angle A B C$,

<ImageHere>

图(2)

$\therefore \angle M B F=\angle C B F$,

$\therefore \angle C B F=\angle M F B$,

$\therefore M F / / B C$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore F M \perp A C$,

$\therefore \odot M$ 与边 $A C$ 相切.

【解析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用. 掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键,

(1)连接 $O F$, 可证得 $O F / / B C$, 结合平行线的性质和圆的特性可求得 $\angle 1=\angle O F B=\angle 2$, 可得出结论;

(2) 由 (1)可知切点是 $\angle A B C$ 的角平分线和 $A C$ 的交点, 圆心在 $B F$ 的垂直平分线上, 由此即可作出 $\odot M$.