22. 已知函数 $f(x)=a x^{3}+b x+c$ 在点 $x=2$ 处取得极值 $c-16$.

(1)求 $a, b$ 的值;

(2)若 $f(x)$ 有极大值 28 , 求 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值.


：因 $f(x)=a x^{3}+b x+c$. 故 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+b$

由于 $f(x)$ 在点 $\mathrm{x}=2$ 处取得极值 $\mathrm{c}-16$.

故有 $\left\{\begin{array}{c}f^{\prime}(2)=0, \\ f(2)=c-16,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{c}12 a+b=0, \\ 8 a+2 b+c=c-16,\end{array}\right.$ 化简得 $\left\{\begin{array}{c}12 a+b=0, \\ 4 a+b=-8,\end{array}\right.$ 解得 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-12$.

(2) 由 (1) 知 $f(x)=x^{3}-12 x+c$;

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12=3(x-2)(x+2)$.

令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x_{1}=-2, x_{2}=2$.

当 $x \in(-\infty,-2)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 故 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 上为增函数;

当 $x \in(-2,2)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 故 $f(x)$ 在 $(-2,2)$ 上为减函数;

当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 故 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上为增函数.

由此可知 $f(x)$ 在 $x_{1}=-2$ 处取得极大值; $f(-2)=16+c, f(x)$ 在 $x_{2}=2$ 处取得极小值 $f(2)=c-16$.

由题设条件知 $16+\mathrm{c}=28$, 得 $\mathrm{c}=12$.

此时 $f(-3)=9+c=21, f(3)=-9+c=3, f(2)=-16+c=-4$, 因此 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的最小值为 $f(2)=-4$.