已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0$. 问是否存在斜率为 1 的直线 $l$, 使 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦 $A B$ 满足: 以 $A B$为直径的圆经过原点 $O$.
假设存在且设 $l$ 为 $y=x+m$, 圆 $C$ 化为标准方程为 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9$, 圆心 $C(1,-2)$.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=x+m, \\ y+2=-(x-1),\end{array}\right.$

得 $A B$ 的中点 $N$ 的坐标为 $N\left(-\frac{m+1}{2}, \frac{m-1}{2}\right)$.

由于以 $A B$ 为直径的圆过原点, 所以 $|A N|=|O N|$.

又 $|A N|=\sqrt{|C A|^{2}-|C N|^{2}}=\sqrt{9-\frac{(m+3)^{2}}{2}}$,

$|O N|=\sqrt{\left(-\frac{m+1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{m-1}{2}\right)^{2}}$.

所以 $9-\frac{(3+m)^{2}}{2}=\left(-\frac{m+1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{m-1}{2}\right)^{2}$,

解得 $m=1$ 或 $m=-4$.

所以存在直线 $l$, 方程为 $x-y+1=0$ 和 $x-y-4=0$, 并可以检验, 这时 $l$ 与圆 $C$ 是相交于两点的.