如图, 平面直角坐标系中, 矩形 $A B O C$ 的边 $B O, C O$ 分别在 $x$ 轴, $y$ 轴上, $A$ 点的坐标为 $(-8,6)$, 点 $P$在矩形 $A B O C$ 的内部, 点 $E$ 在 $B O$ 边上, 满足 $\triangle P B E \sim \triangle C B O$, 当 $\triangle A P C$ 是等腰三角形时, $P$ 点坐标为 $\qquad$ .

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解: $\because$ 点 $P$ 在矩形 $A B O C$ 的内部, 且 $\triangle A P C$ 是等腰三角形,

$\therefore P$ 点在 $A C$ 的垂直平分线上或在以点 $C$ 为圆心 $A C$ 为半径的圆弧上;

(1) 当 $P$ 点在 $A C$ 的垂直平分线上时, 点 $P$ 同时在 $B C$ 上, $A C$ 的垂直平分线与 $B O$的交点即是 $E$, 如图1所示:

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图 1

$\because P E \perp B O, C O \perp B O$,

$\therefore P E / / C O$,

$\therefore \triangle P B E \backsim \triangle C B O$,

$\because$ 四边形 $A B O C$ 是矩形, $A$ 点的坐标为 $(-8,6)$,

$\therefore$ 点 $P$ 横坐标为 $-4, O C=6, B O=8, B E=4$,

$\because \triangle P B E \sim \triangle C B O$,

$\therefore \frac{P E}{C O}=\frac{B E}{B O}$, 即 $\frac{P E}{6}=\frac{4}{8}$,

解得: $P E=3$,

$\therefore$ 点 $P(-4,3)$;

(2) $P$ 点在以点 $C$ 为圆心 $A C$ 为半径的圆弧上, 圆弧与 $B C$ 的交点为 $P$,过点 $P$ 作 $P E \perp B O$ 于 $E$, 如图2所示:

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图 2
$\because C O \perp B O$,

$\therefore P E / / C O$,

$\therefore \triangle P B E \backsim \triangle C B O$,

$\because$ 四边形 $A B O C$ 是矩形, $A$ 点的坐标为 $(-8,6)$,

$\therefore A C=B O=8, C P=8, A B=O C=6$,

$\therefore B C=\sqrt{B O^{2}+O C^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$,

$\therefore B P=2$,

$\because \triangle P B E \backsim \triangle C B O$,

$\therefore \frac{P E}{C O}=\frac{B E}{B O}=\frac{B P}{B C}$, 即: $\frac{P E}{6}=\frac{B E}{8}=\frac{2}{10}$,

解得: $P E=\frac{6}{5}, B E=\frac{8}{5}$,

$\therefore O E=8-\frac{8}{5}=\frac{32}{5}$,

$\therefore$ 点 $P\left(-\frac{32}{5}, \frac{6}{5}\right)$;

综上所述: 点 $P$ 的坐标为: $\left(-\frac{32}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 或 $(-4,3)$;

故答案为: $\left(-\frac{32}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 或 $(-4,3)$.

由题意得出 $P$ 点在 $A C$ 的垂直平分线上或在以点 $C$ 为圆心 $A C$ 为半径的圆弧上;

(1)当 $P$ 点在 $A C$ 的垂直平分线上时, 点 $P$ 同时在 $B C$ 上, $A C$ 的垂直平分线与 $B O$ 的交点即是 $E$, 证出 $P E / / C O$,则 $\triangle P B E \sim \triangle C B O$, 由已知得出点 $P$ 横坐标为 $-4, O C=6, B O=8, B E=4$, 由相似对应边成比例得出 $P E=3$ 即可得出结果;

(2) $P$ 点在以点 $C$ 为圆心 $A C$ 为半径的圆弧上, 圆弧与 $B C$ 的交点为 $P$, 过点 $P$ 作 $P E \perp B O$ 于 $E$, 证出 $P E / / C O$,则 $\triangle P B E \sim \triangle C B O$, 由已知得出 $A C=B O=8, C P=8, A B=O C=6$, 由勾股定理得出 $B C=$ $\sqrt{B O^{2}+O C^{2}}=10$, 则 $B P=2$, 由相似对应边成比例得出 $P E=\frac{6}{5}, B E=\frac{8}{5}$, 则 $O E=\frac{32}{5}$ 即可得出结果.本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

