空间四边形 $A B C D$ 的对棱 $A D, B C$ 成 $60^{\circ}$ 的角, 且 $A D=a, B C=b$, 平行于 $A D$ 与 $B C$ 的截面分别交 $A B, A C, C D, B D$ 于 $E 、 F 、 G 、 H$, 则截面 $E F G H$ 面积的最大值为

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【分析】

利用线面平行的性质定理证明四边形 $E F G H$ 为平行四边形,然后根据题意 $\angle E F G=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$, 设 $A E: A B=x$,根据相似三角形的相似比把 $E F, F G$ 用 $a, b, x$ 表
示,利用三角形的面积公式把平行四边形 $E F G H$ 的面积表示成关于 $X$ 的二次函数,转化为二次函数求最值的问题求解即可.

## 【详解】

因为 $A D / /$ 平面 $E F G H, A D \subset$ 平面 $A D C$, 平面 $E F G H \cap$ 平面 $A D C=F G$,

由线面平行的性质定理知, $A D / / F G$, 同理可证, $E H / / A D$,

所以 $F G / / E H$,同理可证 $E F / / H G$,

所以四边形 $E F G H$ 为平行四边形.

因为 $A D, B C$ 成 $60^{\circ}$ 的角,所以 $\angle E F G=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$,

设 $A E: A B=x$, 则 $\frac{E F}{B C}=\frac{A E}{A B}=x=\frac{A F}{A C}$,

因为 $B C=b$, 所以 $E F=b x$,

因为 $\frac{F G}{A D}=\frac{C F}{A C}=1-x, A D=a$,

所以 $F G=(1-x) a$,

所以平行四边形 $E F G H$ 的面积为

$S=E F \times F G \times \sin 60^{\circ}=b x \cdot(1-x) a \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3} a b}{2} x(1-x)$,

即 $S=\frac{\sqrt{3} a b}{2}\left[-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right]$,

所以当 $x=\frac{1}{2}$ 时,平行四边形 $E F G H$ 的面积有最大值为 $\frac{\sqrt{3} a b}{8}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{3} a b}{8}$

## 【点睛】

本题主要考查线面平行的性质定理和利用三角形的面积公式及函数的思想求截面面积的最大值;考查函数与方程的思想、转化与化归的能力;证得四边形 $E F G H$ 为平行四边形和把求平行四边形 $E F G H$ 的面积最大值转化为求关于 $X$ 的二次函数最值问题是求解本题的关键; 属于中档题、常考题型.