如图, 等腰直角 $\triangle A B C$ 和等腰直角 $\triangle E D B, \angle A C B=\angle E D B=90^{\circ}, A C=B C, D E=B D, P$ 为 $A E$ 的中点

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图1

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图2

(1)连接 $P C, P D$, 则 $P C$ 与 $P D$ 的位置关系是 ，数量关系是 , 并证明你的结论;

(2)当 $E$ 在线段 $A B$ 上变化时, 其他条件不变, 作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 连接 $P F$, 试判断 $\triangle P C F$ 的形状;

(3)在点 $E$ 运动过程中, $\triangle P C F$ 是否为等边三角形? 若可以, 试求 $\triangle A C B$ 与 $\triangle E D B$ 的两边之比.
解： (1) $P C \perp P D, P C=P D$,

证明:

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作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 连接 $P F$, 作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则四边形 $E F B D$ 是正方形,

在 $\triangle P E F$ 和 $\triangle P E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}P E=P D \\ \angle P E F=\angle P E D, \\ P E=P E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle P E F \cong \triangle P E D$,

$\therefore P F=P D, \angle E P F=\angle E P D$,

$\because A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,
$\therefore P C=P F, \angle C P H=\angle F P H$,

$\therefore P C=P D, \angle C P D=2 \times 45^{\circ}=90^{\circ}$,

故答案为: $P C \perp P D ; P C=P D$;

(2)

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作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则 $A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,

$\therefore P C=P F$,

$\therefore \triangle P C F$ 为等腰三角形;

(3)设 $E F=B F=x, H F=y$,

$\because \triangle P C F$ 是等边三角形,

$\therefore P H=\sqrt{3} y$,

$\because P H / / E F$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle B P H$,

$\therefore \frac{E F}{P H}=\frac{B F}{B H}$, 即 $\frac{x}{\sqrt{3} y}=\frac{x}{x+y}$,

解得, $y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x$,

$\because P H$ 是梯形 $A C F E$ 的中位线,

$\therefore A C=(\sqrt{3}+2) x$,

则 $\triangle A C B$ 与 $\triangle E D B$ 的两直角边之比为 $\sqrt{3}+2$.