如图, 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 交于点 $\mathrm{E}$, 点 0 在线段 $\mathrm{AE}$ 上, $\odot 0$ 过 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ 两点, 若 $\mathrm{OC}=5,0 \mathrm{~B}=3$, 且 $\cos \angle \mathrm{BO}=\frac{3}{5}$. 求证: $\mathrm{CB}$ 是 $\odot 0$ 的切线.

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【分析】连接 $O D$, 可得 $O B=O D$, 由 $A B=A D$, 得到 $A E$ 垂直平分 $B D$, 在直角三角形 $B O E$ 中,利用锐角三角函数定义求出 $\mathrm{OE}$ 的长, 根据勾股定理求出 $\mathrm{BE}$ 的长, 由 $\mathrm{OC}-\mathrm{OE}$ 求出 $\mathrm{CE}$ 的长,再利用勾股定理求出 $\mathrm{BC}$ 的长, 利用勾股定理逆定理判断得到 $\mathrm{BC}$ 与 $\mathrm{OB}$ 垂直, 即可确定出 $\mathrm{BC}$
为圆 0 的切线.

证明：连接 $0 D$, 可得 $0 B=0 D$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}$,

$\therefore \mathrm{AE}$ 垂直平分 $\mathrm{BD}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BOE}$ 中, $0 \mathrm{~B}=3, \cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}$,

$\therefore 0 \mathrm{E}=\frac{9}{5}$,

根据勾股定理得: $\mathrm{BE}=\sqrt{\mathrm{BO}^{2}-\mathrm{OE}^{2}}=\frac{12}{5}, \mathrm{CE}=0 \mathrm{C}-\mathrm{OE}=\frac{16}{5}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CEB}$ 中, $\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{BE}^{2}}=4$,

$\because 0 \mathrm{~B}=3, \quad \mathrm{BC}=4,0 \mathrm{C}=5$,

$\therefore 0 \mathrm{~B}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=0 \mathrm{C}^{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{OB}$,

则 $\mathrm{BC}$ 为圆 0 的切线.

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