(本小题 8.0 分)

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 在 $\odot O$ 上 $(A C>B C)$, 点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, $C I$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $D$.

(1)求证: $D A=D I$;

(2) 若 $C I=2 \sqrt{2}, I D=5 \sqrt{2}$, 求 $B C$ 的长.

<ImageHere>
(1)证明: 连接 $A I$, 如图所示:

<ImageHere>

$\because$ 点 $I$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, $A B$ 为圆 $O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$,

$\therefore \angle 3=\angle 4=45^{\circ}$,

$\therefore \angle 5=\angle 4=45^{\circ}$,

$\because \angle A I D$ 是 $\triangle A C I$ 的外角,

$\therefore \angle A I D=\angle 3+\angle 1=45^{\circ}+\angle 1$,

又 $\because \angle D A I=\angle 5+\angle 2=45^{\circ}+\angle 2$, ,

$\therefore \angle A I D=\angle D A I$

$\therefore D A=D I$.

(2)连接 $B D$, 过点 $I$ 作 $I E \perp A B$ 于点 $E, I F \perp A C$ 于点 $F, I G \perp B C$ 于点 $G$, 则四边形 $C F I G$ 是正方形.

<ImageHere>

$\because C I=2 \sqrt{2}$,

$\therefore C F=C G=2$.

$\because \angle D A B=\angle D C B=\angle D C A=\angle D B A$,
$\therefore A B=\sqrt{2} A D=\sqrt{2} D I=10$.

设 $B E=B G=x$, 则 $B C=x+2, A E=A F=A B-B E=10-x$,

$\therefore A C=A F+C F=10-x+2=12-x$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle A B C$ 中, $(x+2)^{2}+(12-x)^{2}=10^{2}$,

$\therefore x=4$ 或 $x=6$,

$\therefore B C=6$ 或 8,

$\because A C>B C$

$\therefore B C=6$.

【解析】见答案.