对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(aneq0)$,下列说法:(1)若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;(2)若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根;(3)若$a-b+c=0$,则它有一根为-1;(4)若$b=2a+3c$,则一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根;其中正确的(2)(3)4).
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案.【解析】解:若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则$ac^{2}+bc+c=0$,$thereforec(ac+b+1)=0$,$thereforec=0$或$ac+b+1=0$,故(1)错误;若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则$-4ac>0$,$thereforeb^{2}-4ac>0$,$therefore$方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故(2)正确;若$a-b+c=0$,则$ax^{2}+bx+c=a-b+c$,即:$ax^{2}-a+bx+b=0$$thereforea(x-1)(x+1)+b(x+1)=0$,即:$(x+1)[a(x-1)+b]=0$,$therefore$它有一根为-1,故(3)正确;若$b=2a+3c$,则$Delta=b^{2}-4ac=(2a+3c)^{2}-4ac=4a^{2}+8ac+9c^{2}=4a^{2}+8ac+4c^{2}+5c^{2}$,即:$Delta=4(a+c)^{2}+5c^{2}$,$becauseaneq0,quadthereforeDelta=4(a+c)^{2}+5c^{2}>0$,$therefore$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根,故(4)正确;故答案为:(2)(3).【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解,解题的关键是掌握代数式,等式的变形.