如图, $P A, P B$ 切 $\odot O$ 于 $A, B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$, 交 $P A, P B$ 于 $C, D$. 若 $\odot O$ 的半径为 $r, \triangle P C D$ 的周长等于 $3 r$, 则 $\tan \angle A P B$ 的值是 $(\quad)$

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【分析】

本题主要考查了切线的性质, 相似三角形及三角函数的定义, 解决本题的关键是切线与相似三角形相结合, 找准线段及角的关系.

连接 $O A 、 O B 、 O P$, 延长 $B O$ 交 $P A$ 的延长线于点 $F$. 利用切线求得 $C A=C E, D B=D E, P A=P B$,再得出 $P A=P B=\frac{3}{2} r$. 利用 $R t \triangle B F P \sim R t \triangle O A F$ 得出 $A F=\frac{2}{3} F B$, 在 $R t \triangle F B P$ 中, 利用勾股定理求出 $B F$, 再求 $\tan \angle A P B$ 的值即可.

【解答】

解: 连接 $O A 、 O B 、 O P$, 延长 $B O$ 交 $P A$ 的延长线于点 $F$.

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$\because P A, P B$ 切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$

$\therefore \angle O A F=\angle P B F=90^{\circ}, C A=C E, D B=D E, P A=P B$,

$\because \triangle P C D$ 的周长 $=P C+C E+D E+P D=P C+A C+P D+D B=P A+P B=3 r$,

$\therefore P A=P B=\frac{3}{2} r$.

在 $R t \triangle P B F$ 和 $R t \triangle O A F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle F A O=\angle F B P \\ \angle O F A=\angle P F B\end{array}\right.$,

$\therefore$ Rt $\triangle P B F \sim R t \triangle O A F$.

$\therefore \frac{A F}{F B}=\frac{A O}{B P}=\frac{r}{\frac{3}{2} r}=\frac{2}{3}$,

$\therefore A F=\frac{2}{3} F B$,
在Rt $\triangle F B P$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \because P F^{2}-P B^{2}=F B^{2} \\
& \therefore(P A+A F)^{2}-P B^{2}=F B^{2}
\end{aligned}
$$

$\therefore\left(\frac{3}{2} r+\frac{2}{3} B F\right)^{2}-\left(\frac{3}{2} r\right)^{2}=B F^{2}$,

解得 $B F=\frac{18}{5} r$,

$\therefore \tan \angle A P B=\frac{B F}{P B}=\frac{\frac{18}{5} r}{\frac{3}{2} r}=\frac{12}{5}$,

故选: $B$.