(12 分) 已知 $z$ 是虚数, $z+\frac{1}{z}$ 是实数.

(1) 求 $z$ 为何值时, $|z+2-i|$ 有最小值, 并求出 $|z+2-i|$ 的最小值;

(2) 设 $u=\frac{1-z}{1+z}$, 求证: $u$ 为纯虚数.
(1) 设 $z=a+b \mathrm{i}(b 
eq 0)$,$z+rac{1}{z}=a+b \mathrm{i}+rac{1}{a+b \mathrm{i}}=a+b \mathrm{i}+rac{a-b \mathrm{i}}{a^{2}+b^{2}}=\left(a+rac{a}{a^{2}+b^{2}}
ight)+\left(b-rac{b}{a^{2}+b^{2}}
ight)$ i所以, $b-rac{b}{a^{2}+b^{2}}=0$,又 $b 
eq 0$, 可得 $a^{2}+b^{2}=1$ ，表示点 $P(a, b)$ 到点 $A(-2,1)$ 的距离, 所以 $|z+2-\mathrm{i}|$ 最小值为 $A O-1=\sqrt{5}-1$,解方程组 $\left\{egin{array}{l}y=-rac{1}{2} x \ x^{2}+y^{2}=1\end{array}
ight.$ 并结合图形得 $z=-rac{2 \sqrt{5}}{5}+rac{\sqrt{5}}{5}$ i.又 $^{b 
eq 0}$, 所以 ${ }^{u}$ 为纯虚数.