, 直四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 底面 $A B C D$ 是边长为 6 的正方形, $M, N$ 分别为线段 $A C_{1}, D_{1} C$ 上的动点, 若直线 $M N$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 没有公共点或有无数个公共点, 点 $E$ 为 $M N$ 的中点, 则 $E$ 点的轨迹长度为

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【分析】

由条件, $M N / /$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$, 或 $M N \subset$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$, 过点 $M$ 作 $M H / / B B_{1}$ 交 $A C$ 于 $H$,过点 $N$ 作 $N G / / B B_{1}$ 交 $C D$ 于 $G$, 构造平面 $M H G N / /$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$, 得到 $M N$ 的中点 $E$ 的轨迹长度等于 $\triangle A D C$ 的边 $A D$ 上的中线长, 即得解.

【详解】

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连接 $A C$, 因为直线 $M N$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 没有公共点或有无数个公共点,故 $M N / /$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$, 或 $M N \subset$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$,

过点 $M$ 作 $M H / / B B_{1}$ 交 $A C$ 于 $H$, 过点 $N$ 作 $N G / / B B_{1}$ 交 $C D$ 于 $G$,所以平面 $M H G N / /$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$,

因为 $M, N$ 为 $A C_{1}, D_{1} C$ 上的动点, 所以这样的 $M N$ 有无数条,

其中 $M N$ 的中点 $E$ 的轨迹长度等于 $\triangle A D C$ 的边 $A D$ 上的中线长,

该中线长为 $\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{5}$.

故答案为: $3 \sqrt{5}$

## 【点睛】

本题考查了空间中点线面的位置关系, 考查了学生空间想象, 转化构造, 逻辑推理能力,属于较难题.

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