(8 分) 已知: 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 以腰 $A B$ 为直径作半圆 $O$, 分别交 $B C, A C$于点 $D, E$.

<ImageHere>

(1)求证: $B D=D C$.

(2)若 $\angle B A C=40^{\circ}$, 求圆弧 $B D, D E, A E$ 所对的圆心角的度数.


(1) 连接 $B E, A D$, 利用 $A B$ 是圆的直径, 再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可;

（2）根据 $A B$ 是圆的直径可知 $\angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$, 从而求出 $\angle B A D=\angle D A C=\frac{1}{2} \angle B A C=20^{\circ}$, 再根据圆周角定理求解即可;

【详解】(1) 解：连接 $B E 、 A D$,

$\because A B$ 是圆的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore A D$ 是 $\triangle A B C$ 的高,

$\because A B=A C$,

$\therefore B D=C D$.

(2) 解: $\because A B$ 是圆的直径,

$\therefore \angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$,

$\because A B=A C, \angle A D B=90^{\circ}, \angle B A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=\angle D A C=\frac{1}{2} \angle B A C=20^{\circ}$,

$\therefore$ 由圆周角定理得: $B D$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle D A B=40^{\circ}$,

$D E$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle D A E=40^{\circ}$,
$A E$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle A B E=2 \times\left(90^{\circ}-40^{\circ}\right)=100^{\circ}$

【点睛】本题主要考查了圆的相关知识, 掌握直径所对的圆周角是 $90^{\circ}$ 、圆周角定理, 等腰三角形的性质等知识是解题的关键.

