(8 分) 三角形三条边上的中线交于一点, 这个点叫三角形的重心. 如图, 点 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 连接 $E D$. (1) 求证: $E D / / A C$; （2）若 $A D=6$, 求 $G D$ 的长.

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(1) 由点 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心可得点 $E$ 和点 $D$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 的中点, 证明
$\triangle B E D \sim \triangle B A C$, 由相似三角形的性质得 $\angle B E D=\angle B A C$, 即可得证;

（2）先证明 $\triangle D E G \sim \triangle A C G$, 由相似三角形的性质得 $\frac{D G}{A G}=\frac{1}{2}$, 即 $\frac{1}{2}=\frac{D G}{A D-D G}$, 由 $\mathrm{AD}=6$即可求得 GD 的长.

【详解】(1) 证明: $\because$ 点 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心,

$\therefore$ 点 $E$ 和点 $D$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 的中点

$\therefore B E=A E, B D=D C$,

$\therefore \frac{B E}{A B}=\frac{B D}{B C}=\frac{1}{2}$

又 $\because \angle B=\angle B$,

$\therefore \triangle B E D \sim \triangle B A C$,

$\therefore \angle B E D=\angle B A C$

$\therefore D E / / A C$;

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（2）由（1）知 $D E / / A C, \triangle B E D \sim \triangle B A C$

$\therefore \angle E D G=\angle C A G, \quad \frac{B E}{A B}=\frac{B D}{B C}=\frac{D E}{A C}=\frac{1}{2}$

$\because \angle D G E=\angle A G C$,

$\therefore \triangle D E G \sim \triangle A C G$,

$\therefore \frac{D E}{A C}=\frac{D G}{A G}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{D G}{A G}=\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{1}{2}=\frac{D G}{A D-D G}$

$\because \mathrm{AD}=6$,

$\therefore G D=2$.

【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.

