如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $\triangle B P C$ 是等边三角形, $B P 、 C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E F$, 连接 $B D 、 D P, B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$.给出下列结论:

(1) $A E=\frac{1}{2} F C$; (2) $\angle P D E=15^{\circ}$; (3) $\frac{S_{\triangle D H C}}{S_{\triangle B H C}}=\frac{1}{2}$; (4) $D E^{2}=P F \cdot F C$. 其中正确的为( )
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解: $\because \triangle B P C$ 为等边三角形,

$\therefore P B=P C, \angle P B C=\angle P C B=60^{\circ}$,

$\because F E / / B C$,

$\therefore \triangle F E P \backsim \triangle C P B$,

又 $\because P B=P C$,

$\therefore P E=P F$,

$\therefore F C=E B$,

$\because \angle P B C=60^{\circ}, \angle A B C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E=30^{\circ}$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $\because \angle A B E=30^{\circ}$,

$\therefore A E=\frac{1}{2} B E$,

又 $\because B E=F C$,

$\therefore A E=\frac{1}{2} F C$,

故(1)正确;

$\because P C=B C=C D, \angle P C D=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D P C=\angle P D C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$,

$\therefore \angle P D E=\angle A D C-\angle P D C=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$,

故(2)正确;

$\because F D / / B C$,

$\therefore \triangle F D H \backsim \triangle C B H$,

$\therefore \frac{D H}{B H}=\frac{F D}{B C}$,

又 $\because \triangle B H C$ 与 $\triangle D H C$ 同高,
$\therefore \frac{S_{\triangle D H C}}{S_{\triangle B H C}}=\frac{D H}{B H}$,

又 $\because \frac{D H}{B H}=\frac{F D}{B C}, F$ 不是 $A D$ 中点，

$\therefore \frac{D H}{B H}=\frac{F D}{B C} \neq \frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{S_{\triangle D H C}}{S_{\triangle B H C}} \neq \frac{1}{2}$,

故(3)错误;

$\because \angle E P D=180^{\circ}-\angle E P F-\angle D P C=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}=\angle A D B$,

$\angle P E D=\angle P E D$,

$\therefore \triangle P E D \sim \triangle D E B$,

$\therefore \frac{P E}{E D}=\frac{E D}{B E}$,

$\therefore E D^{2}=P E \cdot B E$,

又 $\because P E=P F, B E=F C$,

$\therefore D E^{2}=P F \cdot F C$,

故(4)正确,

故选: D.

由 $\triangle B P C$ 是等边三角形, 得 $A E=\frac{1}{2} B E$, 而 $B E=C F$, 故(1)正确; 由 $P C=B C=C D, \angle P C D=90^{\circ}-$ $60^{\circ}=30^{\circ}$, 可判定(2)正确; 由 $\triangle F D H \sim \triangle C B H$, 得 $\frac{D H}{B H}=\frac{F D}{B C}$, 由 $\triangle B H C$ 与 $\triangle D H C$ 同高, 可知 $\frac{S_{\triangle D H C}}{S_{\triangle B H C}}=\frac{D H}{B H}$,则判定(3)错误, 由 $\triangle P E D \sim \triangle D E B$, 得 $\frac{P E}{E D}=\frac{E D}{B E}$, 则 $E D^{2}=P E \cdot B E$, 可判定(4)正确.

本题主要考查了正方形的性质, 等边三角形的性质, 相似三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质等知识, 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

