(本小题 8.0 分)

如图, $B C$ 是 $\odot O$ 的直径, $C E$ 是 $\odot O$ 的弦, 过点 $E$ 作 $\odot O$ 的切线, 交 $C B$ 的延长线于点 $G$, 过点 $B$作 $B F \perp G E$ 于点 $F$, 交 $C E$ 的延长线于点 $A$.

(1)求证: $\angle A B G=2 \angle C$;

(2)若 $G F=3 \sqrt{3}, G B=6$, 求 $\odot O$ 的半径.

<ImageHere>
(1)证明: 连接 $O E$,

$\because E G$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O E \perp E G$,

$\because B F \perp G E$,

<ImageHere>

$\therefore O E / / A B$,

$\therefore \angle A=\angle O E C$,

$\because O E=O C$,

$\therefore \angle O E C=\angle C$,

$\therefore \angle A=\angle C$,

$\because \angle A B G=\angle A+\angle C$,

$\therefore \angle A B G=2 \angle C ;$

(2)解: $\because B F \perp G E$,

$\therefore \angle B F G=90^{\circ}$,

$\because G F=3 \sqrt{3}, G B=6$,

$\therefore B F=\sqrt{B G^{2}-G F^{2}}=3$,

$\therefore \angle F G B=30^{\circ}$,

$\therefore$ 令 $O E=r$, 则 $2 r=r+6$

$\therefore r=O E=6$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 6 .

【解析】本题考查了切线的性质, 勾股定理, 等腰三角形的判定和性质, 正确的作出辅助线是解题的关键.

(1)连接 $O E$, 根据切线的性质得到 $O E \perp E G$, 推出 $O E / / A B$, 得到 $\angle A=\angle O E C$, 根据等腰三角形的性质得到 $\angle O E C=\angle C$, 求得 $\angle A=\angle C$, 根据三角形的外角的性质即可得到结论;

(2)根据勾股定理得到 $B F=\sqrt{B G^{2}-G F^{2}}=3$, 根据 $30^{\circ}$ 角直角三角形的性质即可得到结论.