阅读下列解答过程:

已知: $x \neq 0$, 且满足 $x^{2}-3 x=1$. 求: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ 的值.

解: $\because x^{2}-3 x=1, \therefore x^{2}-3 x-1=0$

$\therefore x-3-\frac{1}{x}=0$, 即 $x-\frac{1}{x}=3$.

$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2=3^{2}+2=11$.

请通过阅读以上内容, 解答下列问题:

已知 $a \neq 0$, 且满足 $(2 a+1)(1-2 a)-(3-2 a)^{2}+9 a^{2}=14 a-7$,

求: (1) $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$ 的值; (2) $\frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}$ 的值.
【答案】解: $(1)(2 a+1)(1-2 a)-(3-2 a)^{2}+9 a^{2}=14 a-71-4 a^{2}-(9-12 a+$ $\left.4 a^{2}\right)+9 a^{2}-14 a+7=0$,

整理得: $a^{2}-2 a-1=0$

$\therefore a-\frac{1}{a}=2$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}+2=4+2=6$;

(2)解: $\frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}$ 的倒数为 $\frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}$,

$\because \frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}=5 a^{2}+\frac{5}{a^{2}}+1=5\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)+1=5 \times 6+1=31$,

$\therefore \frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}=\frac{1}{31}$.

【解析】(1)根据题意可得 $a-\frac{1}{a}=2$, 再利用完全平方公式计算即可;

(2)根据倒数的定义和完全平方公式计算即可.

此题考查完全平方公式, 关键是根据完全平方公式进行变形解答.