如图, $\mathrm{AB}$ 是 $\odot 0$ 的直径, $\mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAF}$ 交 $\odot 0$ 于点 $\mathrm{E}$, 过点 $\mathrm{E}$ 作直线与 $\mathrm{AF}$ 垂直, 交 $\mathrm{AF}$ 延长线于点 $\mathrm{D}$,交 $\mathrm{AB}$ 延长线于点 $\mathrm{C}$.

$(1)$ 判断 $\mathrm{CD}$ 是否是 $\odot 0$ 的切线, 并说明理由.

(2) 若 $\angle \mathrm{C}=30^{\circ}, \odot 0$ 的半径为 1 , 求 $\mathrm{DE}$ 的长.

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【分析】(1) 先证 $\mathrm{OE} / / \mathrm{AD}$, 得出 $\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{OEC}$, 再由 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}$, 证出 $\mathrm{OE} \perp \mathrm{CD}$, 即可得出结论;

（2）由 $\angle C=30^{\circ}$, 得出 $O C=20 E=2$, $A C=3$, 再根据含 $30^{\circ}$ 的直角三角形的性质求出 $A D$, 然后运用锐角三角函数即可得出 DE.

解: (1) $\mathrm{CD}$ 是 $\odot 0$ 的切线;

理由如下: 连结 $0 \mathrm{EE}$, 如图所示:

$\because 0 \mathrm{~A}=0 \mathrm{E}$,

$\therefore \angle 0 \mathrm{AE}=\angle 0 \mathrm{EA}$,

又 $\because \angle \mathrm{DAE}=\angle 0 \mathrm{AE}$,

$\therefore \angle 0 \mathrm{EA}=\angle \mathrm{DAE}$,

$\therefore 0 \mathrm{E} / / \mathrm{AD}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle 0 \mathrm{EC}$,

$\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}, \quad \therefore \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle 0 \mathrm{EC}=90^{\circ}$,

$\therefore 0 \mathrm{E} \perp \mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{CD}$ 是 $\odot 0$ 的切线;

(2) $\because \angle 0 \mathrm{EC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore 0 \mathrm{C}=20 \mathrm{E}=2$,

$\therefore \mathrm{AC}=3$,

又 $\because \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ} ，$

$\therefore \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=\frac{3}{2}, \quad \angle \mathrm{DAC}=60^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{DAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{DAC}=30^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{AD} \cdot \tan 30^{\circ}=\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

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