如图, 已知 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=6, \angle B A C=90^{\circ}$, 直角 $\angle E P F$ 的顶点 $P$ 是 $B C$ 中点, 两边 $P E 、 P F$ 分别交 $A B 、 A C$ 于点 $E 、 F$, 当 $\angle E P F$ 在 $\triangle A B C$ 内绕顶点 $P$ 旋转时（点 $E$ 不与 $A 、 B$ 重合), 给出下列四个结论: (1) $\triangle E P F$ 是等腰三角形; (2) $M$ 为 $E F$ 中点时, $A M+P M=E F$; (3) $E F=A B$; (4) $\triangle B E P$ 和 $\triangle P C F$ 的面积之和等于 9 , 上述结论中始终正确的有（）个.

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根据等腰直角三角形的性质可得 $\angle B A P=\angle C=45^{\circ}, A P=C P$, 根据等角的余角相
等求出 $\angle A P E=\angle C P F$, 然后利用“角边角”证明 $\triangle A E P$ 和 $\triangle C P F$ 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 $A E=C F, P E=P F$, 全等三角形的面积相等求出 $S_{\triangle E P B}+S_{\triangle F P C}=S_{\triangle A P B}, E F$ 随着点 $E$ 的变化而变化, $E F$ 不一定等于 $A B$, 再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得 $A M=\frac{1}{2} E F, P M=\frac{1}{2} E F$, 然后解答即可.

【详解】解: $\because A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰直角三角形,

$\because$ 点 $P$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore \angle B A P=\angle C=45^{\circ}, A P=C P$,

$\because \angle E P F$ 是直角,

$\therefore \angle A P E+\angle A P F=\angle C P F+\angle A P F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A P E=\angle C P F$,

在 $\triangle A E P$ 和 $\triangle C F P$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle E A P=\angle C=45^{\circ} \\ A P=P C \\ \angle A P E=\angle C P F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E P \cong \triangle C F P(\mathrm{ASA})$,

$\therefore A E=C F, P E=P F, S_{\triangle A P E}=S_{\triangle C P F}$,

$\therefore \triangle E P F$ 是等腰三角形, 故(1)正确;

$\therefore S_{\triangle E P B}+S_{\triangle F P C}=S_{\triangle A P B}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 6=9$, 故(4)正确;

$\because E F$ 随着点 $E$ 的变化而变化,

$\therefore E F$ 不一定等于 $A B$, 故(3)错误;

$\because M$ 为 $E F$ 中点, $\angle B A C=90^{\circ}, \angle E P F=90^{\circ}$,

$\therefore A M=\frac{1}{2} E F, P M=\frac{1}{2} E F$,

$\therefore A M+P M=E F$, 故(2)正确;

故(1)(2)(4)正确,

故选: C.

【点睛】本题考查了旋转的性质, 等腰直角三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质,证明出 $\triangle A E P \cong \triangle C P F$ 是解决此题的关键.

