16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, 直线 $x=m$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle$ $\mathrm{FAB}$ 的周长最大时, $\triangle \mathrm{FAB}$ 的面积为 $a b$, 则陏圆的离心率为

答案: $\frac{\sqrt{2}}{2}$
：解答设粗圆的右焦点为 $E$.

由粗圆的定义得 $\triangle F A B$ 的周长为

$A B+A F+B F=A B+(2 a-A E)+(2 a-B E)=4 a+A B-A E-B E$.

$\because A E+B E \geqslant A B$,

$\therefore A B-A E-B E \leqslant 0$, 当 $A B$ 过点 $E$ 时取等号.

$\therefore \triangle F A B$ 的周长 $A B+A F+B F=4 a+A B-A E-B E \leqslant 4 a$.

$\therefore \triangle F A B$ 的周长的最大值是 $4 a$.

此时 $\triangle F A B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 c \times \frac{2 b^{2}}{a}=a b, \therefore \quad a^{2}=2 b c$.

平方, 得 $a^{4}=4\left(a^{2}-c^{2}\right) c^{2}$, 即 $4 e^{4}-4 e^{2}+1=0, \therefore e=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
分析：由椭圆的定义先确定 $\triangle \mathrm{FAB}$ 的周长的最大值, 即可.