设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-11 \geqslant 0, \\ 3 x-y+3 \geqslant 0, \\ 5 x-3 y+9 \leqslant 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域为 $D$. 若指数函数 $y=a^{x}$ 的图象上存在区域 $D$ 上的点, 则 $a$ 的取值范围是 ( )
解析 作出不等式组表示的平面区域 $D$, 如图阴影部分所示.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_3540a5c85e1968e614e9g-081,.jpg?height=400&width=491&top_left_y=1773&top_left_x=817)

由 $\left\{\begin{array}{l}x+y-11=0, \\ 3 x-y+3=0,\end{array}\right.$ 得交点 $A(2,9)$.

对 $y=a^{x}$ 的图象, 当 $0<a<1$ 时, 没有点在区域 $D$ 上.

当 $a>1, y=a^{*}$ 恰好经过 $A$ 点时, 由 $a^{2}=9$, 得 $a=3$.

要满足题意,

需满足 $a^{2} \leqslant 9$, 解得 $1<a \leqslant 3$.