如图(1)是一种常见的道路路灯, $P F$ 为立柱, 其中灯杆 $A D B$ 可以近似看作某拋物线的一部分，且抛物线对称轴到立柱的距离为 2.5 米, $C D$ 是灯杆的固定支架, 现测得支架 $C D$ 与立柱 $P F$ 的夹角 $\angle P C D$ 满足 $\tan \angle P C D=2$, 且 $C D=\sqrt{5}$ 米, 某时刻路灯 $\mathrm{A}$ 发光时, 所能照到的地面最远点 $E$ 恰好和路灯 $\mathrm{A}$以及立柱顶点 $P$ 在同一直线上，相关数据如图(2)所示，则立柱 $P F=$ $\qquad$米.

根据题意可以求得二次函数的解析式，从而可以求得 A 的坐标, 然后利用三角形相似即可求得 $P F$ 的长.

【详解】解：由题意和图形可得，

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点 $B$ 的坐标为 $(0,15)$,

$\because$ 支架 $C D$ 与立柱 $P F$ 的夹角 $\angle P C D$ 满足 $\tan \angle P C D=2$, 且 $C D=\sqrt{5}$ 米,
过点 $D$ 作 $D Q \perp y$ 轴, 则 $\tan \angle P C D=2=\frac{D Q}{C P}$, 则 $D Q=2 C Q$,

又 $\because C Q^{2}+D Q^{2}=C D^{2}=5$, 可得 $C Q=1$ 米, $D Q=2$ 米,

$\therefore P Q=B F+B C+C Q=18$ 米,

点 $D$ 的坐标为 $(2,18)$,

设抛物线的解析式为 $y=a x^{2}+b x+c$,

$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2 a}=2.5 \\ c=15 \\ 4 a+2 b+c=18\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}a=-0.5 \\ b=2.5 \\ c=15\end{array}\right.$

$\therefore y=-0.5 x^{2}+2.5 x+15$,

当 $y=17 \frac{5}{8}$ 时, $17 \frac{5}{8}=-0.5 x^{2}+2.5 x+15$,

解得, $x_{1}=1.5, x_{2}=3.5$,

$\therefore$ 点 A 的坐标为 $\left(3.5,17 \frac{5}{8}\right)$,

作 $E M / / y$ 轴, $P M \perp M N, A N \perp M N$, 则 $P M E F$ 为矩形,

则 $P F=M E, P M=E F=8$ 米, $P M / / A N$,

$\therefore \triangle E A N \sim \triangle E P M$,

$\therefore \frac{E N}{E M}=\frac{A N}{P M}, \quad A N=x_{N}-x_{A}=4.5$ 米,

设 $P F$ 的长度为 $m$ 米，

则 $\frac{17 \frac{5}{8}}{m}=\frac{4.5}{8}$,

解得, $m=\frac{94}{3}$,

故答案为: $\frac{94}{3}$.

【点睛】本题考查二次函数的应用、解直角三角形的应用, 相似三角形的判定及性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.

