(本小题 8.0 分)

如图, 在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90$ \%i, 点 $D$ 在 $A B$ 上, $C D=B C$.

<ImageHere>

(1)尺规作图: (保留作图痕迹, 不写作法)

(1)求作 $\odot O$, 使得圆心 $O$ 在 $A C$ 上, $\odot O$ 经过 $A, D$ 两点;

(2) 在 $\odot O$ 上求作点 $E$, 使得 $D E \perp A C$;

(2)在(1)的条件下, 设 $\odot O$ 与 $A C$ 的另一个交点为 $F$.求证: 直线 $B E$ 经过点 $F$.
解: (1)(1)如图所示 $\odot O$ 即为所求;

(2) 点 $E$ 即为所求; (答案不唯一)

<ImageHere>

(2)如下图, 连接 $B F, E F, D F$.

<ImageHere>

由(1)的条件得 $D E \perp A C$,

$\therefore \angle A C B=90$ แi $^{\circ}$,

$D E / / B C$.

$\therefore \angle A D E=\angle A B C$.

$\therefore \angle A F E=\angle A D E=\angle A B C$.

解法一: $\because A F$ 是 $\odot O$ 直径,
$\therefore \angle A D F=90 \%^{\circ}=\angle A C B$.

$\because \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A D F \sim \triangle A C B$.

$\therefore \frac{A D}{A C}=\frac{A F}{A B}$.

$\therefore \frac{A D}{A F}=\frac{A C}{A B}$.

$\therefore \triangle A D C \sim \triangle A F B$.

$\therefore \angle A C D=\angle A B F$.

$\because \angle A C D+\angle B F C=\angle A B F+\angle B D C=180 \cdots{ }^{\circ}-\angle B M D$.

$\therefore \angle B F C=\angle B D C$.

$\because C D=B C$,

$\therefore \angle B D C=\angle A B C$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle B F C=\angle A B C \\
& \therefore \angle B F C=\angle A F E
\end{aligned}
$$

$\because \angle B F C+\angle A F B=180 \ldots 0^{\circ}$,

$$
\therefore \angle A F E+\angle A F B=180
$$

$\therefore$ 直线 $B E$ 经过点 $F$

(2)解法二: $\because A F$ 是 $\odot O$ 直径,

<ImageHere>

$\angle A D F=\angle B D F=90 \ldots{ }^{\circ}$.

$\therefore \angle F D C+\angle B D C=90 \cdots$.

$\because \angle A C B=900^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle A B C=90 \cdots$.

$\because C D=B C$,

$\therefore \angle B D C=\angle A B C$.
$\therefore \angle F D C=\angle B A C$.

$\because \angle A C D=\angle D C F$,

$\therefore \triangle A C D \sim \triangle D C F$.

$\therefore \frac{A C}{C D}=\frac{C D}{C F}$.

$\therefore \frac{A C}{B C}=\frac{B C}{C F}$.

$\because \tan \angle A B C=\frac{A C}{B C}, \tan \angle B F C=\frac{B C}{C F}$

$\therefore \tan \angle A B C=\tan \angle B F C$.

$\therefore \angle A B C=\angle B F C$.

$$
\therefore \angle B F C=\angle A F E
$$

$\because \angle B F C+\angle A F B=180$ แi. $^{\circ}$,

$$
\therefore \angle A F E+\angle A F B=180 \text { ! }
$$

$\therefore$ 直线 $B E$ 经过点 $F$.

【解析】本题考查尺规作图, 圆的综合, 相似三角形的判定和性质, 锐角三角函数的定义, 掌握圆周角定理、平角的定义是关键

(1)先作线段 $A D$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $O$, 再过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线交圆 $O$ 于 $E$ 即可解答;

(2)连接 $B F, E F, D F$. 由(1)的条件证明 $\angle A F E=\angle A D E=\angle A B C$. 再根据圆周角定理证明 $\triangle A D F \sim \triangle$ $A C B$ 得 $A D=\frac{A C}{A B}$. 然后证明 $A D C \sim \triangle A F B$. 得 $\angle A C D=\angle A B F$. 再想方法证明 $\angle A F E+\angle A F B=180$ \%.即可解答.

20、【答案】(1)证明: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore A B=A C, \angle B A C=60^{\circ}$,

由旋转知,

$\therefore A D=A P, \angle D A P=60^{\circ}$,

$\therefore \angle D A B+\angle B A P=\angle B A P+\angle C A P$,

$\therefore \angle D A B=\angle C A P$,

$\therefore \triangle D A B \cong \triangle P A C(S A S)$,

$\therefore B D=C P$

$(2)$ 解: 如图 2 ,

<ImageHere>

由旋转知, $A D=A P, \angle D A P=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D P$ 是等边三角形,

$\therefore$ 当点 $P$ 与点 $E$ 重合时, 有 $A E=D E, \angle A E D=60^{\circ}$,

$\because C E \perp A B$,

$\therefore A E=B E=D E, \angle B C E=\frac{1}{2} \angle A C B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C=90^{\circ}$,

在Rt $\triangle B C F$ 中,

$\because B C=A B=4, \tan \angle B C E=\frac{B F}{B C}$,

$\therefore B F=4 \tan 30^{\circ}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$;

(3) $D E$ 长度的最小值是 1 .

【解析】

【分析】

本题是几何变换综合题, 考查了等边三角形的性质和三角形全等的性质和判定、旋转的性质, 三角形中位线定理、三角函数等知识, 难度适中, 是一道不错的压轴题.

(1)根据 $S A S$ 证明两个三角形全等;

(2) 先根据题意画图 2 , 先得 $A E=B E=D E, \angle B C E=30^{\circ}$, 再由等腰三角形的性质得 $\angle D B C=90^{\circ}$,根据特殊的三角函数可得 $B F$ 的长;

(3)先确定最小值时点 $P$ 的位置, 由(1)知: $\triangle D A B \cong \triangle P A C$, 取 $A C$ 的中点 $H$, 连接 $P H$, 则 $P H=D E$, $P H$ 长度的最小值就是 $D E$ 长的最小值, 利用三角形中位线定理可得结论.

【解答】

解: (1) 见答案;

(2)见答案;

(3)如图3, 由(1)知: $\triangle D A B \cong \triangle P A C$,

<ImageHere>

图3

$\therefore$ 取 $A C$ 的中点 $H$, 连接 $P H$, 则 $P H=D E$,

$\therefore P H$ 长度的最小值就是 $D E$ 长的最小值,

过点 $H$ 作 $H G \perp C E$ 于 $G$, 垂足 $G$ 就是 $P H$ 最小时点 $P$ 的位置, 此时 $P H=1$,故 $D E$ 长度的最小值是 1 .