用数学归纳法证明 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\left(n \in N^{*}\right)$.
答案: 证明: (1)当 $n=1$ 时, 左边 $=1^{2}=1$,

右边 $=\frac{1 \times(1+1) \times(2 \times 1+1)}{6}=1$, 等式成立;

(2)假 设 当 $n=k\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)$ 时等式成立,

即 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\left(k \in N^{*}\right)$.

那么, $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}+(k+1)^{2}$

$=\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=\frac{(k+1)\left(2 k^{2}+7 k+6\right)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}$

$=\frac{(k+1)(k+1)+1[2(k+1)+1]}{6}\left(k \in N^{*}\right)$

即当 $n=k+1$ 时等式也成立.

由(1)(2)知, 等式对任何 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 都成立.

【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.