如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $A B=1$, 点 $C$ 在 $A B$ 上移动, 连接 $O C$, 过点 $C$ 作 $C D \perp O C$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 则 $C D$ 的最大值为 $\qquad$

<ImageHere>


【分析】

本题考查了垂线段最短, 勾股定理和垂径定理等知识点, 能求出点 $C$ 的位置是解此题的关键.

连接 $O D$, 如图, 利用勾股定理得到 $C D$, 利用垂线段最短得到当 $O C \perp A B$ 时, $O C$ 最小, 根据勾股定理求出 $O C$, 代入求出即可.

## 【解答】

解: 连接 $O D$, 如图,

<ImageHere>

$\because C D \perp O C$,

$\therefore \angle D C O=90^{\circ}$,

$\therefore C D=\sqrt{O D^{2}-O C^{2}}=\sqrt{r^{2}-O C^{2}}$,

当 $O C$ 的值最小时, $C D$ 的值最大,

而 $O C \perp A B$ 时, $O C$ 最小, 此时 $O C=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{1}{2} A B\right)^{2}}$,

$\therefore C D$ 的最大值为 $\sqrt{r^{2}-\left(r^{2}-\frac{1}{4} A B^{2}\right)}=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times l=\frac{1}{2}$,

故答案为: $\frac{1}{2}$.

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