如图, 等边 $\triangle A B C$ 中, $P$ 为三角形内一点, 过 $P$ 作 $P D \perp B C, P E \perp A B, P F \perp A C$, 连结 $A P 、 B P 、$ $C P$, 如果 $S_{\triangle A P F}+S_{\triangle B P E}+S_{\triangle P C D}=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$, 那么 $\triangle A B C$ 的内切圆半径为 \$ \qquad \$ .
过 $P$ 点作正三角形的三边的平行线，即 $Q M / / A B$ 交 $B C 、 A C$ 于 $Q 、 M, R N / / B C$ 交 $A B 、 A C$ 于 $R 、$ $N, S O / / A C$ 交 $A B 、 B C$ 于 $S 、 O$,

<ImageHere>

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \triangle M P N, \triangle O P Q, \triangle R S P$ 都是正三角形,

$\therefore M F=F N, D Q=D O, R E=S E$,

$\therefore$ 四边形 $A S P M$, 四边形 $N C O P$, 四边形 $P Q B R$ 是平行四边形,

$\therefore$ 可知黑色部分的面积 $=$ 白色部分的面积,

$\because S_{\triangle A F P}+S_{\triangle P C D}+S_{\triangle B P E}=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=9 \sqrt{3}$,

设 $\triangle A B C$ 边 $A B$ 的高为 $h, \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \sin \angle A B C=\sin 60^{\circ}=\frac{h}{B C}$, 即 $h=\sin 60^{\circ} \cdot B C$,

$\because A B=B C$

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B^{2} \sin 60^{\circ}=9 \sqrt{3}$,

$\therefore A B=6$,
$\therefore$ 三角形 $A B C$ 的高 $h=3 \sqrt{3}$,

$$
\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times r \times 3 A B=\frac{1}{2} \times A B \times h
$$

$\therefore \triangle A B C$ 的内切圆半径 $r=\frac{1}{3} h=\sqrt{3}$.

故答案为 $\sqrt{3}$.