已知二项式 $\left(x+3 x^{2}\right)^{n}$.

(1) 若它的二项式系数之和为 512 . 求展开式中系数最大的项;

(2) 若 $x=3, n=2020$, 求二项式的值被 7 除的余数.
答案: (1) 【解析】 $\because$ 二项式 $\left(x+3 x^{2}\right)^{n}$ 的二项式系数之和为 512 ,

$\therefore 2^{n}=512, \quad \therefore n=9$.

由 $\left\{\begin{array}{l}C_{9}^{r} \cdot 3^{r} \geqslant C_{9}^{j-1} \cdot 3^{r-1} \\ C_{9}^{r} \cdot 3^{r} \geqslant C_{9}^{j+1} \cdot 3^{j+1}\end{array}\right.$

展开式中系数最大的项为第 8 项, 为 $T_{8}=C_{9}^{\prime} x^{2}\left(3 x^{2}\right)^{\prime}=C_{9}^{\prime} \cdot 3^{\prime} x^{16}=78732 x^{16}$;

(2) 【解析】 若 $x=3, n=2020$,

$\left(x+3 x^{2}\right)^{n}=30^{2020}=(28+2)^{2020}$

$=28^{2020}+C_{2020}^{1} \cdot 28^{2019} \cdot 2+\cdots+C_{2020}^{2019} \cdot 28 \cdot 2^{2019}+2^{2020}=28 K+2^{2020}$

问题转化为 $2^{2020}$ 被 7 除的余数,

$2^{2020}=2 \cdot 8^{673}=2 \cdot(7+1)^{6 / 3}=2 \cdot\left[C_{673}^{0} \cdot 7^{673}+C_{673}^{1} \cdot 7^{672}+C_{673}^{2} \cdot 7^{671}+\ldots+C_{6723}^{6 / 2} \cdot 7+C_{673}^{6 / 3} \cdot 1\right]$ $=2 \times 7 k+2$, 即余数为 2 .