(10 分) 如图 1 和图 2, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, B C=8, \tan C=\frac{3}{4}$ 点 $K$ 在 $A C$ 边上, 点 $M, N$分别在 $A B, B C$ 上, 且 $A M=C N=2$. 点 $P$ 从点 $M$ 出发沿折线 $M B-B N$ 匀速移动, 到达点 $N$ 时停止; 而点 $Q$ 在 $A C$ 边上随 $P$ 移动, 且始终保持 $\angle A P Q=\angle B$.

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图1

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图2

(1)当点 $P$ 在 $B C$ 上时, 求点 $P$ 与点 $A$ 的最短距离;

(2)若点 $P$ 在 $M B$ 上, 且 $P Q$ 将 $\triangle A B C$ 的面积分成上下 4: 5 两部分时, 求 $M P$ 的长;

(3)设点 $P$ 移动的路程为 $x$, 当 $0 \leq x \leq 3$ 及 $3<x \leq 9$ 时, 分别求点 $P$ 到直线 $A C$ 的距离(用含 $x$ 的式子表示);

(4)在点 $P$ 处设计并安装一扫描器, 按定角 $\angle A P Q$ 扫描 $\triangle A P Q$ 区域(含边界), 扫描器随点 $P$ 从 $M$到 $B$ 再到 $N$ 共用时 36 秒. 若 $A K=\frac{9}{4}$, 请直接写出点 $K$ 被扫描到的总时长.
解: (1)如图 1 中, 过点 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$.

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图1

$\because A B=A C, A H \perp B C$

$\therefore B H=C H=4, \angle B=\angle C$,

$\therefore \tan \angle B=\tan \angle C=\frac{A H}{B H}=\frac{3}{4}$,

$\therefore A H=3, A B=A C=\sqrt{A H^{2}+B H^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.

$\therefore$ 当点 $P$ 在 $B C$ 上时, 点 $P$ 到 $A$ 的最短距离为 3 .

(2)如图 1 中, $\because \angle A P Q=\angle B$,

$\therefore P Q / / B C$,

$\therefore \triangle A P Q \sim \triangle A B C$,

$\because P Q$ 将 $\triangle A B C$ 的面积分成上下 $4: 5$,

$\therefore \frac{S_{\triangle A P Q}}{S_{\triangle A B C}}=\left(\frac{A P}{A B}\right)^{2}=\frac{4}{9}$

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{2}{3}$,

$\therefore A P=\frac{10}{3}$,

$\therefore P M=A P=A M=\frac{10}{3}-2=\frac{4}{3}$.

(3)当 $0 \leq x \leq 3$ 时, 如图 $1-1$ 中, 过点 $P$ 作 $P J \perp C A$ 交 $C A$ 的延长线于 $J$.

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图1-1

$\because P Q / / B C$,

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{P Q}{B C}, \quad \angle A Q P=\angle C$,

$\therefore \frac{x+2}{5}=\frac{P Q}{8}$,

$\therefore P Q=\frac{8}{5}(x+2)$,

$\because \sin \angle A Q P=\sin \angle C=\frac{3}{5}$,

$\therefore P J=P Q \cdot \sin \angle A Q P=\frac{24}{25}(x+2)$.

当 $3<x \leq 9$ 时, 如图 2 中, 过点 $P$ 作 $P J \perp A C$ 于 $J$.

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图2

同法可得 $P J=P C \cdot \sin \angle C=\frac{3}{5}(11-x)$.

(4) 由题意点 $P$ 的运动速度 $=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$ 单位长度/秒.

当 $3<x \leq 9$ 时，设 $C Q=y$.

$\because \angle A P C=\angle B+\angle B A P=\angle A P Q+\angle C P Q, \angle A P Q=\angle B$,

$\therefore \angle B A P=\angle C P Q$,

$\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle A B P \sim \triangle P C Q$,

$\therefore \frac{A B}{C P}=\frac{B P}{C Q}$,

$\therefore \frac{5}{11-x}=\frac{x-3}{y}$,
$\therefore y=-\frac{1}{5}(x-7)^{2}+\frac{16}{5}$,

$\because-\frac{1}{5}<0$,

$\therefore x=7$ 时, $y$ 有最大值, 最大值 $=\frac{16}{5}$,

$\because A K=\frac{9}{4}$,

$$
\therefore C K=5-\frac{9}{4}=\frac{11}{4}<\frac{16}{5}
$$

当 $y=\frac{11}{4}$ 时, $\frac{11}{4}=-\frac{1}{5}(x-7)^{2}+\frac{16}{5}$,

解得 $x=7 \pm \frac{3}{2}$,

$\therefore$ 点 $K$ 被扫描到的总时长 $=\left(\frac{11}{4}+6-3\right) \div \frac{1}{4}=23$ 秒.