已知函 $f(x)=a x-\ln x-1, g(x)=\frac{x^{3}}{27}$, 用 $\max \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最大值, 设 $\varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}$. 若 $\varphi(x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为
答案: $\left[\frac{4}{3},+\infty\right)$

【解析】 当 $x \in(0,3)$ 时, $g(x)=\frac{x^{3}}{27}<\frac{x}{3}$, 当 $x \in[3,+\infty)$ 时, $g(x)=\frac{x^{3}}{27} \geq \frac{x}{3}$,

所以 $\varphi(x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $[3,+\infty)$ 必成立, 问题转化为 $f(x) \geq \frac{x}{3}$ 在 $(0,3)$ 恒成立,

由 $a x-\ln x-1 \geq \frac{x}{3}$ 恒成立, 可得 $a \geq \frac{\ln x+1}{x}+\frac{1}{3}$,

在 $x \in(0,3)$ 恒成立, 设 $h(x)=\frac{\ln x+1}{x}+\frac{1}{3}, x \in(0,3)$,

则 $h^{\prime}(x)=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-(\ln x+1) \times 1}{x^{2}}=\frac{-\ln x}{x^{2}}$,

当 $0<x<1$ 时, $h^{\prime}(x)>0$, 当 $1<x<3$ 时, $h^{\prime}(x)<0$,

所以 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增, 在 $(1,3)$ 上单调递减,

$\therefore h(x)_{\max }=h(1)=\frac{4}{3}, \therefore a \geq \frac{4}{3}$,

A 的取值范围是 $\left[\frac{4}{3},+\infty\right)$.

故答案为: $\left[\frac{4}{3},+\infty\right)$.
【分析】利用定义 $\max \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最大值, 再利用不等式恒成立问题求解方法, 再用求导的方法判断函数的单调性, 从而求出函数的最值, 进而求出实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.

四、解答题