如图所示,<ImageHere> 设 $P$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内的一点, 并且 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$, 则 $\triangle B P C$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比等于 ( )
延长 $\mathrm{AP}$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$, 因为 $\mathrm{A} 、 \mathrm{P} 、 \mathrm{D}$ 三点共线,

所以 $\overrightarrow{C P}=m \overrightarrow{C A}+n \overrightarrow{C D}(m+n=1)$, 设 $\overrightarrow{C D}=k \overrightarrow{C B}$

代入可得 $\overrightarrow{C P}=m \overrightarrow{C A}+n k \overrightarrow{C B}$

即 $\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A C}=-m \overrightarrow{A C}+n k(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}) \Rightarrow \overrightarrow{A P}=(1-m-n k) \overrightarrow{A C}+n k \overrightarrow{A B}$

又因为 $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$, 即 $n k=\frac{1}{4}, 1-m-n k=\frac{1}{2}$, 且 $m+n=1$

解得 $m=\frac{1}{4}, n=\frac{3}{4}$

所以 $\overrightarrow{C P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{C A}+\frac{3}{4} \overrightarrow{C D}$ 可得 $\overrightarrow{A D}=4 \overrightarrow{P D}$

因为 $\triangle B P C$ 与 $\triangle A B C$ 有相同的底边, 所以面积之比就等于 $|\overrightarrow{D P}|$ 与 $|\overrightarrow{A D}|$ 之比

所以 $\triangle B P C$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $\frac{1}{4}$
故选 D