已知 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 均是以 $x$ 为自变量的函数, 当 $x=m$ 时, 函数值分别是 $M_{1}$ 和 $M_{2}$, 若存在实数 $m$, 使得 $M_{1}+$ $M_{2}=0$, 则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$. 以下函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$ 的是 $(\quad)$

【分析】

本题属于新定义类问题, 考查一元二次方程的解法, 根据给出的定义构造方程, 利用方程思想解决问题是常见思路.

根据题干信息可知, 直接令 $y_{1}+y_{2}=0$, 若方程有解, 则具有性质 $P$, 若无解, 则不具有性质 $P$.

## 【解答】

解: $A$. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $x^{2}+2 x-x-1=0$, 解得 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$, 符合题意;

B. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $x^{2}+2 x-x+1=0$, 整理得, $x^{2}+x+1=0$, 方程无解,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$, 不符合题意;

C. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $-\frac{1}{x}-x-1=0$, 整理得, $x^{2}+x+1=0$, 方程无解,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$ ，不符合题意;

D. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $-\frac{1}{x}-x+1=0$, 整理得, $x^{2}-x+1=0$, 方程无解,

即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$, 不符合题意;

故选: A.

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