设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{10}: S_{5}=1: 2$, 则 $S_{15}: S_{5}$ 等于( )
解析 显然等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1$, 则 $1 \frac{S_{10}}{S_{5}}=\frac{1-q^{10}}{1-q^{5}}=1+q^{5}=\frac{1}{2} \Rightarrow q^{5}=-\frac{1}{2}$,故 $\frac{S_{15}}{S_{5}}=\frac{1-q^{15}}{1-q^{5}}=\frac{1-\left(q^{5}\right)^{3}}{1-q^{5}}=\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{4}$.