若函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2} \quad, \quad n^{2}\right](1<m<n)$, 则 $a$ 的取值范围是
由题意知: $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点

考查临界情形: $y=a_{0}^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 切于 $x_{0}$,

$\left\{\begin{array}{l}a_{0}^{x_{0}}=x_{0}^{2} \\ a_{0}^{x_{0}} \ln a=2 x_{0}\end{array} \Rightarrow a_{0}=e^{\frac{2}{\epsilon}} \Rightarrow a \in\left(1, e^{\frac{2}{\epsilon}}\right)\right.$.

故答案为: $\left(1 e^{\left.\frac{2}{6}\right)}\right.$.

【分析】 $f(x)=a^{x}$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2}, n^{2}\right]$, 等价转化为 $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点, 考虑相切状态可求 $a$ 的取值范围.