从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形(如图1), 然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(1)图1中阴影部分面积为 $\qquad$ , 图2中阴影部分面积为 $\qquad$ , 对照两个图形的面积可以验证 $\qquad$公式(填公式名称)请写出这个乘法公式 $\qquad$
(2)应用(1)中的公式, 完成下列各题:

(1) 已知 $x^{2}-4 y^{2}=15, x+2 y=3$, 求 $x-2 y$ 的值;

(2)计算: $(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \ldots \ldots\left(2^{64}+1\right)+1$.
【答案】解:

(1) $a^{2}-b^{2},(a+b)(a-b)$, 平方差, $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$;

(2)(1) $\because x^{2}-4 y^{2}=(x-2 y)(x+2 y)$,

又 $\because x+2 y=3$,

$\therefore 3(x-2 y)=15$,

$\therefore x-2 y=5$.

$$
\begin{aligned}
& (2)(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =1 \times(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =(2-1)(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =\left(2^{2}-1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =\left(2^{4}-1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =\left(2^{8}-1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)+1
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \cdots \cdots \\
& =\left(2^{64}-1\right)\left(2^{64}+1\right)+1 \\
& =2^{128}-1+1
\end{aligned}
$$

$=2^{128}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查平方差公式的几何背景.能够从图形中阴影部分的面积, 确定平方差公式是解题的关键.

(1)图1中阴影部分的面积用大正方形的面积减去小正方形的面积即可。图2中阴影部分为长方形, 长为 $a+b$, 宽为 $a-b$, 求出其面积即可, 由两部分面积相等, 可得平方差公式, 写出公式即可;

(2)(1)由平方差公式, 可以将 $x^{2}-4 y^{2}$ 写成 $(x-2 y)(x+2 y)$ 的形式, 由于 $x+2 y=3$,即可求出 $x-2 y$ 的值;

(2)首先将 $(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right) \cdots \cdots\left(2^{64}+1\right)$ 乘以 $(2-1)$, 原式保持不变,然后一步步根据平方差公式进行计算, 即可得到答案.