已知函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点, 则实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$
解析：函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$, 则 $f^{\prime}(x)=\ln x-a x+x\left(\frac{1}{x}-a\right)=\ln x-2 a x+1$,令 $f^{\prime}(x)=\ln x-2 a x+1=0$ 得 $\ln x=2 a x-1$, 函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点, 等价于 $f^{\prime}(x)=\ln x$ $-2 a x+1$ 有两个零点, 等价于函数 $y=\ln x$ 与 $y=2 a x-1$ 的图象有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象 (如图) 当 $\mathrm{a}=\frac{1}{2}$ 时, 直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{ax}-1$ 与 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{n}$ 的图象相切,由图可知, 当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时, $y=\ln x$ 与 $y=2 a x-1$ 的图象有两个交点. 则实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$. 故选 B.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7d21164174703021068bg-