若关于 $x$ 的方程 $-2 x+m \sqrt{2018-x}+4020=0$ 存在整数解, 则正整数 $m$ 的所有取值的和为 \$ \qquad \$ .
由题意 $m=\frac{2 x-4020}{\sqrt{2018-x}}$, 令 $y=\sqrt{2018-x}$, 则 $x=2018-y^{2}$,

$$
\therefore m=\frac{2\left(2018-y^{2}\right)-4020}{y}=\frac{16}{y}-2 y
$$

$\because m$ 是正整数, $y \geq 0$,

$\therefore y=1$ 时, $m=14$,

$y=2$ 时, $m=4$,

$\therefore$ 正整数 $m$ 的所有取值的和为 $14+4=18$.

故答案为 18 .