如图, 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字. 黄金矩形的长宽之比为黄金分割比, 即矩形的短边为长边的倍. 用黄金矩形 $A B C D$ 框住整个蜗牛壳, 之后作正方形 $A B F E$, 得到黄金矩形 $C D E F$, 再作正方形 $D E G H$, 得到黄金矩形 $C F G H$ ・・, 这样作下去, 我们以每个小正方形边长为半径画弧线, 然后连接起来,
    就是黄金螺旋. 已知 $A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ，则阴影部分的面积为 $\qquad$ .

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    (第 16 题)


根据黄金矩形的定义可得 $A D$ 的长, 从而得到 $D E$ 的长, 再由阴影部分的面积 $=S_{\text {正方形DEGF }}-S_{\text {扇形EGF }}$, 即可求解.

【详解】解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是黄金矩形, $A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,

$\therefore A D=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \div \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,

$\because$ 四边形 $A B F E$ 是正方形,

$\therefore A E=A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,

$\therefore D E=A D-A E=1$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=S_{\text {正方形DEGF }}-S_{\text {扇形EGF }}=1^{2}-\frac{90 \pi \times 1^{2}}{360}=1-\frac{\pi}{4}$.

故答案为: $1-\frac{\pi}{4}$

【点睛】本题主要考查了求扇形面积, 理解黄金矩形的定义是解题的关键.

