如图, 顶点为 $(2,-1)$ 的抛物线 $y=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$ 交 $\mathrm{y}$ 轴于点 $\mathrm{C}(0,3)$,

交 $x$ 轴于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 直线 $l$ 过 $\mathrm{AC}$ 两点, 点 $\mathrm{P}$ 是位于直线 $l$ 下方抛物线上的动点, 过点 $\mathrm{P}$ 作 $\mathrm{PQ} / / \mathrm{y}$ 轴, 交直线 $l$ 于点 $\mathrm{Q}$.

（1）求抛物线的解析式;

（2）求线段 $\mathrm{PQ}$ 的最大值及此时点 $\mathrm{P}$ 的坐标;

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $\mathrm{G}$, 使 $\triangle \mathrm{BCG}$ 为直角三角形?若存在, 请直接写出点 $\mathrm{G}$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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(1) 可设出顶点式求解;

(2) 用待定系数法求 $\mathrm{AC}$ 的解析式, 根据解析式用含 $\mathrm{m}$ 的式子设出 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 的坐标、表示 $\mathrm{PQ}$的长度, 转化为关于 $\mathrm{m}$ 的二次函数求最值的问题, 求出取最值是 $\mathrm{m}$ 的值即可;

(3) 依据对称轴的解析式, 用含 $\mathrm{n}$ 的式子设出 $\mathrm{G}$ 的坐标, 表示出 $\mathrm{BC} 、 \mathrm{BG} 、 \mathrm{CG}$, 针对直角分三种情况讨论, 运用勾股定理的逆定理, 求出 $\mathrm{n}$ 即可.

【详解】解：(1) $\because$ 抛物线的顶点为 $(2,-1)$,

即抛物线解析式可表示为: $y=a(x-2)^{2}-1$,

将 C $(0,3)$ 代入上式得: $a=1$,

$\therefore$ 拖物线的解析式为: $y=(x-2)^{2}-1$, 即 $y=x^{2}-4 x+3$.

（2）由 $y=x^{2}-4 x+3$, 得当 $y=0$ 时, $x=1$ 或 $x=3$,

即 B $(1,0), \mathrm{A}(3,0)$,

由 A $(3,0), C(0,3)$ 可得直线 $\mathrm{AC}$ 的解析式为: $y=-x+3$,

设 $\mathrm{Q}(\mathrm{m},-\mathrm{m}+3)$, 则 $\mathrm{P}\left(\mathrm{m}, \mathrm{m}^{2}-4 m+3\right), 0<\mathrm{m}<3$,

$\therefore \mathrm{PQ}=-\mathrm{m}+3-\left(m^{2}-4 m+3\right)=-m^{2}+3 m=-\left(m-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4}$,

当 $\mathrm{m}=\frac{3}{2}$ 时, $\mathrm{PQ}$ 的长取最大值 $\frac{9}{4}$, 此时点 $\mathrm{P}\left(\frac{3}{2},-\frac{3}{4}\right)$.

(3) 存在, $\because$ 对称轴为直线 $x=2, \therefore$ 设 $G(2, n)$,

又 $\because \mathrm{B}(1,0), \mathrm{C}(0,3)$

$\therefore B C^{2}=10, \quad B G^{2}=1+n^{2}, \quad C G^{2}=4+(n-3)^{2}$,

(1)若要点 $\mathrm{C}$ 为直角顶点, 只需:

$1+n^{2}=4+(n-3)^{2}+10$, 解得: $\mathrm{n}=\frac{11}{3}$, 即 $\mathrm{G}\left(2, \frac{11}{3}\right)$;

(2) 若要点 $\mathrm{B}$ 为直角顶点，只需：

$1+n^{2}=4+(n-3)^{2}-10$, 解得: $\mathrm{n}=\frac{1}{3}$, 即 $\mathrm{G}\left(2, \frac{1}{3}\right)$;

(3)若要点 $\mathrm{G}$ 为直角顶点, 只需:

$1+n^{2}+4+(n-3)^{2}=10$, 解得: $\mathrm{n}=1$ 或 $\mathrm{n}=2$, 即 $\mathrm{G}(2,1)$ 或 $(2,2)$;

综上所述, 点 $\mathrm{G}$ 的坐标为: $\left(2, \frac{11}{3}\right)$ 或 $\left(2, \frac{1}{3}\right)$ 或 $(2,1)$ 或 $(2,2)$.

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中线段最长的问题和直角三角形的存在性问题; 此题把线段的最值问题转化为二次函数的最值问题, 把直角三角形问题借助勾股定理的逆定理, 转化为一元二次方程的解的问题,把几何问题转化为代数问题是解题的关键.