已知两个等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}$ 和 $B_{n}$, 且 $\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{7 n+45}{n+3}$, 则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$为整数的正整数 $n$ 的个数是 $(\quad)$
解析 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A_{2 n-1}}{B_{2 n-1}}=\frac{14 n+38}{2 n+2}=\frac{7 n+19}{n+1}$

$=\frac{7(n+1)+12}{n+1}=7+\frac{12}{n+1}$,

$\therefore n=1,2,3,5,11$.