如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 点 $D 、 E$ 在 $B C$ 上, $B D=C E$, 过 $\mathrm{A} 、 D 、 E$ 三点作 $\odot O$, 连接 $A O$ 并延长, 交 $B C$ 于点 $F$.

<ImageHere>

(1)求证: $A F \perp B C$;

(2)若 $A B=10, B C=12, B D=2$, 求 $\odot O$ 的半径长.


(1)连接 $A D 、 A E 、 O D 、 O E$, 先证明 $\triangle A B D \cong \triangle A C E$, 得到 $A D=A E$, 再由 $O D=O E$,可得 $A O$ 垂直平分 $D E$, 即 $A F \perp B C$,

（2）设求 $\odot O$ 的半径为 $x$, 由（1）可知 $F$ 为 $B C$ 中点, 则 $B F=C F=\frac{1}{2} B C=6$, 利用勾股
定理求出 $A F=8$, 再求出 $D F=4, O F=8-x, O D=x$, 由勾股定理建立方程 $x^{2}=4^{2}+(8-x)^{2}$,解得 $x=5$, 则 $\odot O$ 的半径为 5 .

【详解】(1) 证明：连接 $A D 、 A E 、 O D 、 O E$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B=\angle C, \\ B D=C E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A D=A E$,

又 $\because O D=O E$,

$\therefore A O$ 垂直平分 $D E$, 即 $A F \perp B C$,

<ImageHere>

（2）解：设求 $\odot O$ 的半径为 $x$,

由（1）可知 $A F \perp B C$,

$\therefore F$ 为 $D E$ 中点, $F$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore B F=C F=\frac{1}{2} B C=6$,

在 $\triangle A B F$ 中, $A F=\sqrt{A B^{2}-B F^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,

在 $\triangle D O F$ 中, $D F=B F-D B=6-2=4, O F=A F-A O=8-x, O D=x$,

$\because O D^{2}=D F^{2}+O F^{2}$

$\therefore x^{2}=4^{2}+(8-x)^{2}$,

解得 $x=5$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 5 .
【点睛】本题主要考查了三线合一定理, 线段垂直平分线的性质与判定, 全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

