如图 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $P$ 为 $A B$ 延长线上的点, 过点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线 $P E$, 切点为 $M$, 过 $A$ 、 $B$ 两点分别作 $P E$ 垂线 $A C 、 B D$, 垂足分为 $C 、 D$, 连接 $A M$, 则 1 ) $A M$ 平分 $\angle C A B$;

(2) $\frac{A C}{A M}=\frac{A M}{A B}$; (3)若 $A B=4, \angle A P E=30^{\circ}$, 则 $\overparen{B M}$ 的长为 $\frac{\pi}{3}$; (4)若 $A C=3 B D$, 则有 $\tan \angle M A P=\frac{\sqrt{3}}{3}$.其中正确的结论有 $(\quad)$

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解：连接 $O M, B M$,

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$\because P E$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O M \perp P C$,

$\because A C \perp P C$,

$\therefore O M / / A C$,

$\therefore \angle C A M=\angle A M O$,

$\because O A=O M$,

$\therefore \angle O A M=\angle A M O$,

$\therefore \angle C A M=\angle O A M$, 即 $A M$ 平分 $\angle C A B$, 故(1)正确;

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A M B=90^{\circ}$,
$\because \angle C A M=\angle M A B, \quad \angle A C M=\angle A M B$,

$\therefore \triangle A C M \sim A M B$,

$\therefore \frac{A C}{A M}=\frac{A M}{A B}$, 故(2)正确;

$\because \angle A P E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle M O P=90^{\circ}-\angle A P E=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because A B=4$

$\therefore O B=2$,

$\therefore \overparen{B M}$ 的长为 $\frac{60 \times \pi \times 2}{180}=\frac{2 \pi}{3}$, 故(3)错误;

$\because B D \perp P C, A C \perp P C$

$\therefore B D / / A C$,

$\therefore \frac{P B}{P A}=\frac{B D}{A C}=\frac{1}{3}$,

$\therefore P B=\frac{1}{3} P A$,

$\therefore P B=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore P B=O B=O A$,

$\because \sin \angle O P M=\frac{O M}{O P}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \angle O P M=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C A B=60^{\circ}$,

$\because A M$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle M A P=30^{\circ}$,

$\therefore \tan \angle M A P=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故(4)正确.

故选 $B$.

连接 $O M, B M$, 可证 $O M / / A C$, 得出 $\angle C A M=\angle A M O$, 由 $O A=O M$ 可得 $\angle O A M=\angle A M O$, 故(1)正确; 证明 $\triangle A C M \sim \triangle A M B$, 则可得出(2)正确; 求出 $\angle M O P=60^{\circ}, O B=2$, 则用弧长公式可求出 $\overparen{B M}$ 的长为 $\frac{2 \pi}{3}$, 故(3)错误; 由 $B D / / A C$ 可得 $P B=\frac{1}{3} P A$, 则 $P B=O B=O A$, 得出 $\angle O P M=30^{\circ}$, 由余角的性质可求 $\angle C A B=60^{\circ}$, 则 $\angle M A P=30^{\circ}, \tan \angle M A P=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故(4)正确.

本题考查圆知识的综合应用, 涉及切线的性质, 圆周角定理, 相似三角形的判定和性质、弧长公
式、含30度直角三角形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用这些知识解决问题.