如图, 点 $P$ 在 $\odot O$ 的直径 $A B$ 上, 作正方形 $P C D E$ 和正方形 $P F G H$,其中点 $D, G$ 在直径所在直线上, 点 $C, E, F, H$ 都在 $\odot O$ 上, 若两个正方形的面积之和为 $16, O P=\sqrt{2}$, 则 $D G$ 的长是 ( )<ImageHere>


解: 作 $O K \perp P C$ 于 $K$, 设正方形 $P F G H$ 的边长是 $x$,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $P C D E$ 是正方形,

$\therefore \angle C P D=45^{\circ}$,

$\because \angle O K P=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle K O P$ 是等腰直角三角形,

$\therefore P K=\frac{\sqrt{2}}{2} O P=1$,

$\therefore C K=F K=x+1$,

$\therefore P C=C K+P K=x+2$,

$\because$ 两个正方形的面积之和为 16 ,

$\therefore x^{2}+(x+2)^{2}=16$,

$\therefore x=\sqrt{7}-1$ 或 $x=-\sqrt{7}-1$ (舍),

$\therefore P C=x+2=\sqrt{7}+1, P H=x=\sqrt{7}-1$,

$\therefore P D=\sqrt{2} P C=\sqrt{14}+\sqrt{2}, P G=\sqrt{2} P H=\sqrt{14}-\sqrt{2}$,

$\therefore D G=P D+P G=2 \sqrt{14}$.

故选: $B$.

设正方形 $P F G H$ 的边长是 $x$, 由条件得到 $x^{2}+(x+2)^{2}=16$, 从而求出正方形 $P F G H$ 的边长, 得到正方形
$P C D E$ 的边长, 进一步求出 $P D, P G$ 的长, 即可求出 $D G$ 的长.

本题考查正方形的性质, 垂径定理, 关键是由条件列出关于小正方形边长的方程, 求出小正方形边长.

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