平面直角坐标系中, 拋物线 $y=a x^{2}-3 a x+c(a \neq 0)$ 与直线 $y=2 x+1$ 上有三个不同的点 $A\left(x_{1}, m\right)$, $B\left(x_{2}, m\right), C\left(x_{3}, m\right)$. 如果 $n=x_{1}+x_{2}+x_{3}$, 那么 $m$ 和 $n$ 的关系是

( )

解: $\because y=a x^{2}-3 a x+c$,

$\therefore$ 对称轴为直线 $x=-\frac{-3 a}{2 a}=\frac{3}{2}$,

如图, 在抛物线上的两点 $A$ 和 $B$, 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称, 则

C点在反直线 $y=2 x+1$ 上,

$\therefore x_{1}+x_{2}=3$,

$\because n=x_{1}+x_{2}+x_{3}$,

<ImageHere>

$\therefore n=3+x_{3}$,

$\therefore x_{3}=n-3$,

$\therefore m=2(n-3)+1$,

$\therefore m=2 n-5$,

故选: $C$.

根据题意设在拋物线上的两点 $A$ 和 $B$, 纵坐标相同, 则关于对称轴对称, 即可求得 $x_{3}=n-3$, 则 $C(n-$
$3, m)$, 代入解析式, 即可求得 $m=2 n-5$.

本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式.

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