设复数 $z_{1}, \quad z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2, \quad z_{1}+z_{2}=\sqrt{3}+i$, 则 $\left|z_{1}-z_{2}\right|=$

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(2)当 $z$ 是非零实数时, $\left|z+\frac{1}{z}\right| \geq 2$ 恒成立; (3) 复数 $z=(1-i)^{3}$ 的实部和虚部都是 -2 ;

(4)如果 $|a+2 i|<|-2+i|$, 则实数 $a$ 的取值范围是 $-1<a<1$; (5)复数 $z=1-i$, 则 $\frac{1}{z}+z=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} i$; 其中正确的命题的序号是
答案: $2 \sqrt{3}$

【解析】 $\because\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2$, 可设 $z_{1}=2 \cos \theta+2 \sin \theta \cdot i, \quad z_{2}=2 \cos \alpha+2 \sin \alpha \cdot i$,

$\therefore z_{1}+z_{2}=2(\cos \theta+\cos \alpha)+2(\sin \theta+\sin \alpha) \cdot i=\sqrt{3}+i$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}2(\cos \theta+\cos \alpha)=\sqrt{3} \\ 2(\sin \theta+\sin \alpha)=1,\end{array}\right.$, 两式平方作和
化简得: $\quad \cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha=-\frac{1}{2}$

$\therefore\left|z_{1}-z_{2}\right|=|2(\cos \theta-\cos \alpha)+2(\sin \theta-\sin \alpha) \cdot i|$

$=\sqrt{4(\cos \theta-\cos \alpha)^{2}+4(\sin \theta-\sin \alpha)^{2}}=\sqrt{8-8(\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha)}=\sqrt{8+4}=2 \sqrt{3}$.

故答案为: $2 \sqrt{3}$.

【分析】令 $z_{1}=2 \cos \theta+2 \sin \theta \cdot i, \quad z_{2}=2 \cos \alpha+2 \sin \alpha \cdot i$, 根据复数的相等可求得

$\cos \theta \cos \alpha+\sin \theta \sin \alpha=-\frac{1}{2}$, 代入复数模长的公式中即可得到结果.