(12 分) 已知 $(3 x-1)^{n}$ 的展开式中第 2 项与第 5 项的二项式系数相等, 求 $\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{2 x}$ 的展开式中:

(1) 所有二项式系数之和;

(2) 二项式系数最大的项;
答案:(1) 1024 ; (2) -8064 ; (3) 第 4 项 $T_{3+1}=-15360 x^{4}$

【解析】(1) 由题意 $\mathrm{C}_{n}^{1}=\mathrm{C}_{n}^{4}$, 解得 $n=5$,

二项式系数和为 $2^{10}=1024$.

(2) 由于 $2 n=10$ 为偶数, 所以 $\left(2 x-\frac{1}{x}\right)^{10}$ 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,

即 $T_{6}=T_{5+1}=C_{10}^{5} \cdot(2 x)^{5} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)^{5}=-8064$.

(3) 设第 $r+1$ 项的系数的绝对值最大,

则 $T_{\gamma+1}=C_{10}^{r} \cdot(2 x)^{10-r} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)^{\gamma}=(-1)^{\gamma} \cdot C_{10}^{\gamma} \cdot 2^{10-r} \cdot x^{10-2 r}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}C_{10}^{\gamma} \cdot 2^{10-r} \geq C_{10}^{\gamma-1} \cdot 2^{10-\gamma+1} \\ C_{10}^{\gamma} \cdot 2^{10-r} \geq C_{10}^{\gamma+1} \cdot 2^{10-r-1}\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}C_{10}^{\gamma} \geq 2 C_{10}^{\gamma-1} \\ 2 C_{10}^{\gamma} \geq C_{10}^{\gamma+1}\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}11-r \geq 2 r \\ 2(r+1) \geq 10-r\end{array}\right.$,

$\therefore \frac{8}{3} \leq r \leq \frac{11}{3}, \therefore r=3$,

故系数的绝对值最大的是第 4 项, 即 $T_{3+1}=(-1)^{3} \cdot C_{10}^{3} \cdot 2^{10-3} \cdot x^{4}=-15360 x^{4}$.