定义域为 $R$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(-3)=6$, 且 $f^{\prime}(x)>x^{2}+1$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 则 $f(x)>\frac{1}{3} x^{3}+15$ 的解集为 ( )
解析：构造函数 $F(x)=f(x)-\frac{1}{3} x^{3}$, 则有 $F(-3)=f(-3)-\frac{1}{3}(-3)^{3}=15$, 且 $F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-x^{2}$.由 $f^{\prime}(x)>x^{2}+1$, 可知 $F^{\prime}(x)>1>0$, 则 $F(x)$ 为增函数, 故 $f(x)>\frac{1}{3} x^{3}+15 \Leftrightarrow F(x)>15=F(-3) \Leftrightarrow x>-3$. 故选: $\mathrm{A} 。$