如图, 在半径为 1 的扇形 $A O B$ 中 ( $O$ 为原点), $A(1,0), \angle A O B=\frac{2 \pi}{3}$. 点 $P(x$, y) 是 $A B$ 上任意一点, 则 $x y+x+y$ 的最大值为 ( )

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答案:D

【解析】

由题意知 $x=\cos \alpha, y=\sin \alpha, 0 \leq \alpha \leq \frac{2 \pi}{3}$,

则 $\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha+\cos \alpha$,

设 $\mathrm{t}=\sin \alpha+\cos \alpha$, 则 $\mathrm{t}^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpha$,

即 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{t^{2}-1}{2}$,

则 $\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{t^{2}-1}{2}+\mathrm{t}=\frac{1}{2}(t+1)^{2}-1$

$\mathrm{t}=\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$,

$\because 0 \leq \alpha \leq \frac{2 \pi}{3}, \therefore \frac{\pi}{4} \leq \alpha+\frac{\pi}{4} \leq \frac{11 \pi}{12}$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}-1}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\sqrt{2}$ 时, $x \mathrm{y}+\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 取得最大值为: $\sqrt{2}+\frac{1}{2}$.

故选: D.