如图, 在南北方向的海岸线 $M N$ 上, 有 $A 、 B$ 两艘巡逻船, 现均收到故障船 $C$ 的求救信号. 已知

$A 、 B$ 两船相距 $100(\sqrt{3}+1)$ 海里, 船 $C$ 在船 $A$ 的北偏东 $60^{\circ}$ 方向上, 船 $C$ 在船 $B$ 的东南方向上, $M N$ 上有一观测点 $D$, 测得船 $C$ 正好在观测点 $D$ 的南偏东 $75^{\circ}$ 方向上.

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(1)分别求出 $A$ 与 $C, A$ 与 $D$ 之间的距离 $A C$ 和 $A D$ (如果运算结果有根号, 请保留根号).

(2)已知距观测点 $D$ 处 100 海里范围内有暗礁. 若巡逻船 $A$ 沿直线 $A C$ 去营救船 $C$, 在去营救的途中有无触蟙礁危险? (参考数据: $\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73$ )


解: (1)如图, 作 $C E \perp A B$,

由题意得： $\angle A B C=45^{\circ}, \angle B A C=60^{\circ}$,

设 $A E=x$ 海里，

在Rt $\triangle A E C$ 中, $C E=A E \cdot \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} x$ ；

在Rt $\triangle B C E$ 中, $B E=C E=\sqrt{3} x$.

$\therefore A E+B E=x+\sqrt{3} x=100(\sqrt{3}+1)$,

解得： $x=100$.

$A C=2 x=200$.

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle D A C=60^{\circ}, \angle A D C=75^{\circ}$, 则 $\angle A C D=45^{\circ}$.

过点 $D$ 作 $D F \perp A C$ 于点 $F$,

设 $A F=y ，$ 则 $D F=C F=\sqrt{3} y ，$

$\therefore A C=y+\sqrt{3} y=200$,
解得: $y=100(\sqrt{3}-1)$,

$\therefore A D=2 y=200(\sqrt{3}-1)$.

答: $A$ 与 $C$ 之间的距离 $A C$ 为 200 海里, $A$ 与 $D$ 之间的距离 $A D$ 为 $200(\sqrt{3}-1)$ 海里.

(2) 由(1) 可知, $D F=\sqrt{3} A F=\sqrt{3} \times 100(\sqrt{3}-1) \approx 126.3$ 海里,

$\because 126.3>100$,

所以巡逻船 $A$ 沿直线 $A C$ 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.