已知抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ ( $b, c$ 是常数 $)$ 的顶点为 $P$, 经过点 $C(0,3)$, 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 在点 $B$ 的左侧).

(1)当 $b=2$ 时，求抛物线的顶点坐标;

(2)若将该拋物线向右平移 2 个单位后的顶点坐标为 $(m, n)$, 求 $4 n-2 m$ 的最大值;

(3)若抛物线的对称轴为直线 $x=2, M, N$ 为拋物线对称轴上的两个动点 ( $M$ 在 $N$ 上方), $M N=1, D(4,0)$, 连接 $C M, N D$, 当 $C M+M N+N D$ 取得最小值时, 将拋物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点 $N$, 求新抛物线的函数解析式.

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(1) 当 $x=0$ 时, $y=c=3$, 即可得抛物线解析式为: $y=x^{2}+2 x+3$, 问题得解;

（2）由（1）可知 $c=3$, 即有抛物线解析式为: $y=x^{2}+b x+3$, 配成顶点式为: $y=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+3-\frac{b^{2}}{4}$, 可得新抛物线的顶点坐标 $(m, n)$ 为: $\left(2-\frac{b}{2}, 3-\frac{b^{2}}{4}\right)$, 即 $m=2-\frac{b}{2}$, $n=3-\frac{b^{2}}{4}$, 则有 $4 n-2 m=-b^{2}+b+8$, 问题随之得解;

(3) 在 $O C$ 上取一点 $E$, 使得 $C E=M N$, 连接 $D E, E N, D E$ 与抛物线对称轴交于点 $F$,四边形 $C E N M$ 是平行四边形, 即有 $C M=E N, C E=N M=1$, 结合图形可知: $E N+N D \geq E D$,当且仅当 $E 、 N 、 D$ 三点共线时取等号, 即当 $E 、 N 、 D$ 三点共线时, $E N+N D$ 有最小值, 最小值为 $E D$, 即点 $N$ 与点 $F$ 重合, 利用待定系数法求出直线 $E D$ 的解析式为: $y=-\frac{1}{2} x+2$,即 $F(2,1)$, 则有 $N(2,1)$, 问题随之得解.

【详解】(1) 根据题意：当 $x=0$ 时, $y=c=3$,

$\because b=2$,

$\therefore$ 抛物线解析式为: $y=x^{2}+2 x+3$,

配成顶点式为: $y=(x+1)^{2}+2$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为: $-1,2$;

（2）由（1）可知 $c=3$,

$\therefore$ 抛物线解析式为: $y=x^{2}+b x+3$,

配成顶点式为: $y=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}+3-\frac{b^{2}}{4}$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为: $\left(-\frac{b}{2}, 3-\frac{b^{2}}{4}\right)$,

$\because$ 拋物线向右平移 2 个单位,

$\therefore$ 拖物线的顶点也向右平移 2 个单位,
$\therefore$ 新抛物线的顶点坐标 $(m, n)$ 为: $\left(2-\frac{b}{2}, 3-\frac{b^{2}}{4}\right)$,

即 $m=2-\frac{b}{2}, n=3-\frac{b^{2}}{4}$,

$\therefore 4 n-2 m=-b^{2}+b+8$,

$\therefore 4 n-2 m=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^{2}+8 \frac{1}{4} \leq 8 \frac{1}{4}$,

$\therefore 4 n-2 m$ 的最大值为 $8 \frac{1}{4}$;

(3) 如图, 在 $O C$ 上取一点 $E$, 使得 $C E=M N$, 连接 $D E, E N, D E$ 与抛物线对称轴交于点 $F$,

<ImageHere>

$\because M, N$ 为抛物线对称轴上的两个动点,

$\therefore M N / / y$ 轴, 即 $C E / / M N$,

$\because C E=M N$,

$\therefore$ 四边形 $C E N M$ 是平行四边形,

$\therefore C M=E N, C E=N M=1$,

$\because M N=1$,

$\therefore C M+M N+N D=E N+1+N D$,

$\because$ 结合图形可知: $E N+N D \geq E D$, 当且仅当 $E 、 N 、 D$ 三点共线时取等号,

$\therefore$ 当 $E 、 N 、 D$ 三点共线时, $E N+N D$ 有最小值, 最小值为 $E D$,

即点 $N$ 与点 $F$ 重合,

$\because C(0,3)$,

$\therefore O C=3$,

$\therefore O E=O C-C E=2$,

$\therefore E(0,2)$,

$\because D(4,0)$,

$\therefore$ 设直线 $E D$ 的解析式为: $y=k x+t$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}t=2 \\ 4 k+t=0\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{c}t=2 \\ k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $E D$ 的解析式为: $y=-\frac{1}{2} x+2$,

$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,

$\therefore F$ 点横坐标为 2 ,

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y=1$, 即 $F(2,1)$,

$\because$ 点 $N$ 与点 $F$ 重合,

$\therefore N(2,1)$,

$\because$ 拋物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点 $N$,

$\therefore$ 点 $N(2,1)$ 为新拋物线的顶点,

$\therefore$ 新拋物线解析式为: $y=(x-2)^{2}+1=x^{2}-4 x+5$.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质, 二次函数的平移, 平行四边形的判定与性质等知识, 构造辅助线, 得出当 $E 、 N 、 D$ 三点共线时, $E N+N D$ 有最小值, 最小值为 $E D$,进而求出 $N(2,1)$, 是解答本题的关键.

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