(12 分) 如图所示, 将一矩形花坛 $A B C D$ 扩建成一个更大的矩形花坛 $A M P N$, 要求 $B$点在 $A M$ 上, $D$ 点在 $A N$ 上, 且对角线 $M N$ 过 $C$ 点, 已知 $A B=3$ 米, $A D=2$ 米.

(1)要使矩形 $A M P N$ 的面积大于 32 平方米, 则 $D N$ 的长应在什么范围内?

(2)当 $D N$ 的长为多少时, 矩形花坛 $A M P N$ 的面积最小? 并求出最小值.

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(1)设 $D N$ 的长为 $x(x>0)$ 米,则 $A N=(x+2)$ 米.

$\because \frac{D N}{A N}=\frac{D C}{A M}, \therefore A M=\frac{3(x+2)}{x}$,

$\therefore S_{A M P N}=A N \cdot A M=\frac{3(x+2)^{2}}{x}$,

由 $S_{A M P N}>32$, 得 $\frac{3(x+2)^{2}}{x}>32$.

又 $x>0$, 得 $3 x^{2}-20 x+12>0$,

解得: $0<x<\frac{2}{3}$ 或 $x>6$,

即 $D N$ 长的取值范围是 $\left(0, \frac{2}{3}\right) \cup(6,+\infty)$.

(2)矩形花坛 $A M P N$ 的面积为

$y=\frac{3(x+2)^{2}}{x}=\frac{3 x^{2}+12 x+12}{x}$
$=3 x+\frac{12}{x}+12 \geqslant 2 \sqrt{3 x \cdot \frac{12}{x}}+12=24$,

当且仅当 $3 x=\frac{12}{x}$, 即 $x=2$ 时,

矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24.

故 $D N$ 的长为 2 米时, 矩形 $A M P N$ 的面积最小,最小值为 24 平方米.