如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y_{1}=m x+n$ 与抛物线 $y_{2}=a x^{2}+b x-3$ 相交于点 $A, B$.结合图象, 判断下列结论: (1)当 $-2<x<3$ 时, $y_{1}>y_{2}$; (2) $x=3$是方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 的一个解; (3)若 $\left(-1, t_{1}\right),\left(4, t_{2}\right)$ 是抛物线上的两点,则 $t_{1}<t_{2}$; (4)对于抛物线 $y_{2}=a x^{2}+b x-3$, 当 $-2<x<3$ 时, $y_{2}$ 的取值范围是 $0<y_{2}<5$. 其中正确结论的个数是 ( )

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解: (1) $\because$ 直线 $y_{1}=m x+n$ 与抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 相交于点 $A, B$, $\therefore$ 由图象可知: 当 $-2<x<3$ 时, 直线 $y_{1}=m x+n$ 在抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 的上方,

$\therefore y_{1}>y_{2}$,

$\therefore$ (1)正确.

(2)由图象可知: 抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 有两个交点,

$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 有两个不相等的实数根.

$\therefore x=3$ 是方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 的一个解,

$\therefore$ (2) 正确.

(3)将点 $(-2,5) 、(3,0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x-3$ 得: $\left\{\begin{array}{l}4 a-2 b-3=5 \\ 9 a+3 b-3=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \\ b=-4\end{array}\right.$,

$\therefore$ 拋物线解析式为 $y=\frac{3}{2} x^{2}-4 x-3$,

当 $x=-1$ 时, $t_{1=-} \frac{1}{2}$,

当 $x=4$ 时, $t_{2=5}$,

$\therefore t_{1}<t_{2}$,

$\therefore$ (3)正确.

(4)由(3)可知 $(-2,5)$ 与点 $(4,5)$ 关于对称轴 $x$ 对称，

$\therefore$ 对称轴 $x=\frac{-2+4}{2}=1$.

将 $x=1$ 代入抛物线解析式得 $y=-\frac{11}{2}$,

$\therefore$ 当 $-2<x<1$ 时, $-\frac{11}{2}<y<5$.

当 $1<x<3$ 时, $-\frac{11}{2}<y<0$.

$\therefore$ (4)错误.

故选: $C$.

①根据函数的图象特征即可得出结论.

②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论.

(3)将点 $(-2,5) 、(3,0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x-3$ 得出解析式, 再求出 $t$ 的值即可得出结论.

(4)由图象和(3)可得出二次函数的对称轴, 再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出 $y$ 得取值范围.

本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式(组)之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键.

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