如图,矩形纸片 $A B C D$, 点 $E$ 在边 $A D$ 上, 连接 $B E$, 点 $F$ 在线段 $B E$ 上, 且 $E F=\frac{1}{2} B F$,折叠矩形纸片使点 $C$ 恰好落在点 $F$ 处, 折痕为 $D G$, 若 $A B=3 \sqrt{2}$, 则折痕 $D G$ 的长为 ( )

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过点 $F$ 作 $F M \perp A D$, 垂足为点 $M, M F$ 延长线交 $B C$ 于点 $N$, 由矩形的性质得 $A D / / B C, \angle C=90^{\circ}$, 由平行线分线段成比例定理可得 $\frac{F E}{B F}=\frac{F M}{F N}=\frac{1}{2}$, 得出 $F M, F N$ 的值, 折叠的性质得 $\angle D F G=\angle C=90^{\circ}, D C=A B=D F=3 \sqrt{2}, C G=G F$, 在 Rt $\triangle D M F$ 中, 由勾股定理求得 $D M$ 的值, 由相似三角形的判定得出 $\triangle F M D \sim \triangle G N F$, 相似三角形的性质得出 $G F$ 的值, 在 Rt $\triangle D C G$ 中, 由勾股定理求得 $D G$ 的值.

【详解】解: 如解图, 过点 $F$ 作 $F M \perp A D$, 垂足为点 $M, M F$ 延长线交 $B C$ 于点 $N$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D / / B C, \angle A=\angle B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A M N B$ 为矩形,

$\because E F=\frac{1}{2} B F$,

$\therefore \frac{F E}{B F}=\frac{F M}{F N}=\frac{1}{2}$,

$\because A B=3 \sqrt{2}$

$\therefore M N=A B=3 \sqrt{2}$,

$\therefore F M=\sqrt{2}, F N=2 \sqrt{2}$.

由折叠性质可得 $\angle D F G=\angle C=90^{\circ}, D C=A B=D F=3 \sqrt{2}$,

$C G=G F, D M=\sqrt{D F^{2}-F M^{2}}=4$.

$\because M N \perp A D, \therefore M N \perp B C$,

$\therefore \angle F M D=\angle G N F=90^{\circ}, \angle M D F=\angle N F G$

$\therefore \triangle F M D \sim \triangle G N F$,

$\therefore \frac{M D}{N F}=\frac{D F}{F G}$, 即 $\frac{4}{2 \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{F G}$,

$\therefore G F=3$,

$\therefore D G=\sqrt{C D^{2}+C G^{2}}=\sqrt{(3 \sqrt{2})^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{3}$.

故选: C.

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【点睛】本题考查了矩形的性质, 折叠的性质, 相似三角形的性质和判定定理, 勾股定理,平行线分线段成比例定理, 熟练掌握各性质定理是解题的关键.

