20. (2018 广东广州一模) 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{b_{n}}=5-(4 n+5)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
(1) 因为数列 $\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列.

所以 $\frac{S_{n}}{n}=1+(n-1) \times 2=2 n-1$,

所以 $S_{n}=2 n^{2}-n$.

当 $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=1$,

当 $n \geq 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(2 n^{2}-n\right)-\left[2(n-1)^{2}-(n-1)\right]=4 n-3$,

而 $n=1$ 时, $a_{1}=1$ 也满足上式,

所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=4 n-3$.

（2）当 $n=1$ 时, $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{1}{2}$, 所以 $b_{1}=2 a_{1}=2$, \$ \qquad \$
当 $n \geq 2$ 时, 由 $\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{b_{n}}=5-(4 n+5)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$, \$ \qquad \$
有 $\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}=5-(4 n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. 9 分

两式相减, 得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=(4 n-3)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$, \$ \qquad \$
因为 $a_{n}=4 n-3$, 所以 $b_{n}=2^{n}(n=1$ 时也符合公式 $)$.

又 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2$, 所以数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列.

所以 $T_{n}=\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n+1}-2$.