在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 $v$ 米/秒和燃料的质量 $M$ 千克、火箭(除燃料外)的质量 $m$千克的函数关系式是 $v=2000 \cdot \ln \left(1+\frac{M}{m}\right)$. 当燃料质量是火箭质量的 \$ \qquad \$倍时, 火箭的最大速度可达 12 千米/秒.
当 $v=12000$ 时, $2000 \cdot \ln \left(1+\frac{M}{m}\right)=12000$,

$\therefore \ln \left(1+\frac{M}{m}\right)=6, \quad \therefore \frac{M}{m}=\mathrm{e}^{6}-1$.

答案: $\mathrm{e}^{6}-1$