如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 1 , 点 $P$ 为边 $B C$ 上任意一点(可与 $B$ 点或 $C$ 点重合), 分别过 $B$ 、 $C 、 D$ 作射线 $A P$ 的垂线, 垂足分别是 $B^{\prime} 、 C^{\prime} 、 D^{\prime}$, 则 $B B^{\prime}+C C^{\prime}+D D^{\prime}$ 的最大值为 , 最小值为 \$ \qquad \$ .

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连接 $A C 、 D P$,

$S_{\text {正方形 } A B C D}=1 \times 1=1$,

由勾股定理得： $A C=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$,

$\because A B=1$,

$\therefore 1 \leq A P \leq \sqrt{2}$,

$S_{\triangle D P C}=S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2} A P \times C C^{\prime}$

$1=S_{\text {正方形 } A B C D}=S_{\triangle A B P}+S_{\triangle A D P}+S_{\triangle D P C}=\frac{1}{2} A P\left(B B^{\prime}+D D^{\prime}+C C^{\prime}\right)$,

$B B^{\prime}+D D^{\prime}+C C^{\prime}=\frac{2}{A P}$,

$\because 1 \leq A P \leq \sqrt{2}$,

$\sqrt{2} \leq B B^{\prime}+C C^{\prime}+D D^{\prime} \leq 2$,

故答案为: $2, \sqrt{2}$.