已知函数 $f(x)$ 对任意的实数 $x, y$, 都有 $f(x+y)=f(x)+2 y(x+y)$, 且 $f(1)=1$, 求 $f(x)$ 的解析式.
$\because f(x+y)=f(x)+2 y(x+y)$ 对任意 $x, y \in \mathbf{R}$ 都成立, 可令 $x=0, y=1$, 得 $f(1)=f(0)+2 \times 1 \times(0+1)$,又 $f(1)=1$, 解得 $f(0)=-1$,

再令 $x=0, y=x$, 得 $f(x)=f(0)+2 x(0+x)=-1+2 x^{2}$, 即 $f(x)=2 x^{2}-1$.