如图, 直线 $1_{1} / / 1_{2}, \odot 0$ 与 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 分别相切于点 $\mathrm{A}$ 和点 $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{M}$ 和点 $N$ 分别是 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 上的动点, $\mathbb{M N}$ 沿 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 平移, 若 $\odot 0$ 的半径为 $1, \angle \mathrm{AMN}=60^{\circ}$ ，则下列结论不正确的是 ( )

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【分析】连结 $O A 、 O B$, 根据切线的性质和 $1_{1} / / 1_{2}$ 得到 $A B$ 为 $\odot 0$ 的直径, 则 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 的距离为 2 ; 当 $\mathrm{MN}$ 与 $\odot 0$ 相切, 连结 $0 \mathrm{M}, 0 \mathrm{~N}$, 当 $\mathrm{MN}$ 在 $\mathrm{AB}$ 左侧时, 根据切线长定理得 $\angle \mathrm{AMO}=\angle$ $\mathrm{AMN}=30^{\circ}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{AMO}$ 中, 利用正切的定义可计算出 $\mathrm{AM}=\sqrt{3}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{OBN}$ 中, 由于 $\angle \mathrm{ONB}=\angle$ $B N M=60^{\circ}$ ，可计算出 $B N=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 当 $M N$ 在 $A B$ 右侧时, $A M=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $A M$ 的长为 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$; 当 $\angle$ $M O N=90^{\circ}$ 时, 作 $0 E \perp M N$ 于 $E$, 延长 $N O$ 交 $1_{1}$ 于 $F$, 易证得 $R t \triangle O A F \cong R t \triangle O B N$, 则 $O F=0 N$, 于是可判断 $\mathrm{MO}$ 垂直平分 $\mathrm{NF}$, 所以 $\mathrm{OM}$ 平分 $\angle \mathrm{NMF}$, 根据角平分线的性质得 $\mathrm{OE}=0 \mathrm{~A}$, 然后根据切线的判定定理得到 $\mathbb{M N}$ 为 $\odot 0$ 的切线.

解: 连结 $O A 、 O B$, 如图 1,

$\because \odot 0$ 与 $1_{1}$ 和 $1_{2}$ 分别相切于点 $\mathrm{A}$ 和点 $\mathrm{B}$,
$\therefore 0 \mathrm{~A} \perp 1_{1}, 0 \mathrm{~B} \perp 1_{2}$,

$\because 1_{1} / / 1_{2}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A} 、 0 、 \mathrm{~B}$ 共线，

$\therefore \mathrm{AB}$ 为 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore 1_{1}$ 和 $1_{2}$ 的距离为 $2 ;$

作 $\mathrm{NH} \perp \mathrm{AM}$ 于 $\mathrm{H} ，$ 如图 1,

则 $M N=A B=2$,

$\because \angle \mathrm{AMN}=60^{\circ}$,

$\therefore \sin 60^{\circ}=\frac{\mathrm{NH}}{M \mathrm{~N}}$

$\therefore \mathbb{M N}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

当 $\mathrm{MN}$ 与 $\odot 0$ 相切, 如图 2 , 连结 $0 \mathrm{M}, 0 \mathrm{~N}$,

当 $M N$ 在 $A B$ 左侧时, $\angle A M O=\frac{1}{2} \angle A M N=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{AMO}$ 中, $\tan \angle \mathrm{AMO}=\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{MM}}$, 即 $\mathrm{AM}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{OBN}$ 中, $\angle \mathrm{ONB}=\angle \mathrm{BNM}=60^{\circ}, \tan \angle \mathrm{ONB}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BN}}$, 即 $\mathrm{BN}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

当 $M N$ 在 $A B$ 右侧时, $A M=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \mathrm{AM}$ 的长为 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

当 $\angle \mathrm{MON}=90^{\circ}$ 时, 作 $O E \perp M N$ 于 $E$, 延长 $N 0$ 交 $1_{1}$ 于 $F$, 如图 2 ,

$\because 0 \mathrm{~A}=0 \mathrm{~B}$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle 0 \mathrm{AF} \cong \mathrm{Rt} \triangle 0 \mathrm{BN}$,

$\therefore 0 \mathrm{~F}=0 \mathrm{~N}$,

$\therefore \mathrm{MO}$ 垂直平分 $\mathrm{NF}$,

$\therefore 0 \mathrm{M}$ 平分 $\angle \mathrm{NMF}$,

$\therefore 0 \mathrm{E}=0 \mathrm{~A}$,

$\therefore \mathbb{M N}$ 为 $\odot 0$ 的切线.
故选 B.

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图1

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图2