12. 已知过抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点, 斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ 两点, 且 $|A B|=9$.

(1)求抛物线的方程;

(2) $O$ 为坐标原点, $C$ 为抛物线上一点, 若 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B}$, 求 $\lambda$的值.
：解 (1) 由题意知, 直线 $A B$ 的方程为 $y=2 \sqrt{2}\left(x-\frac{p}{2}\right)$, 与 $y^{2}=2 p x$联立, 消去 $y$ 并整理, 得 $4 x^{2}-5 p x+p^{2}=0$.

$\therefore|A B|=x_{1}+x_{2}+p=\frac{5 p}{4}+p=9$, 解得 $p=4$.

$\therefore$ 扡物线方程为 $y^{2}=8 x$.

(2)由于 $p=4$, 则 $4 x^{2}-5 p x+p^{2}=0$ 为 $4 x^{2}-20 x+16=0$, 即 $x^{2}-$ $5 x+4=0$.

解得 $x_{1}=1, x_{2}=4$.

于是 $y_{1}=-2 \sqrt{2}, y_{2}=4 \sqrt{2}$.

从而 $A(1,-2 \sqrt{2}), B(4,4 \sqrt{2})$.

设 $C$ 的坐标为 $\left(x_{3}, y_{3}\right)$, 则

$$
\overrightarrow{O C}=\left(x_{3}, \quad y_{3}\right)=(1, \quad-2 \sqrt{2})+\lambda(4,4 \sqrt{2})
$$

$=(4 \lambda+1,4 \sqrt{2} \lambda-2 \sqrt{2})$.

又 $y_{3}^{2}=8 x_{3}, \therefore(4 \sqrt{2} \lambda-2 \sqrt{2})^{2}=8(4 \lambda+1)$,

即 $(2 \lambda-1)^{2}=4 \lambda+1$.

解得 $\lambda=0$ 或 $\lambda=2$.