如图所示, 梯形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平面图形 $A B C D$ 的直观图.其中 $A_{1} D_{1} / / O^{\prime} y^{\prime}, A_{1} B_{1} / / C_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}=\frac{2}{3} C_{1} D_{1}=2, A_{1} D_{1}=O^{\prime} D_{1}=1$.

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（1）如何利用斜二测画法的规则画出原四边形?

（2）在问题（1）中, 如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?
【分析】

(1) 利用斜二测画法的规则进行还原, 与 $x^{\prime}$ 轴平行的线段, 平行关系和长度关系不变, 与 $y^{\prime}$ 轴平行的线段, 平行关系不变, 长度关系要变为 2 倍;

（2）根据梯形的面积公式进行求解.

## 【详解】

(1) 如图, 建立平面直角坐标系 $x O y$, 在 $x$ 轴上截取 $O D=O^{\prime} D_{1}=1, O C=O^{\prime} C_{1}=2$.

在过点 $D$ 的 $y$ 轴的平行线上截取 $D A=2 D_{1} A_{1}=2$. 在过点 $A$ 的 $x$ 轴的平行线上截取 $A B=A_{1} B_{1}=2$.连接 $B C$, 即得到了原图形.

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(2) 由作法可知, 原四边形 $A B C D$ 是直角梯形, 上, 下底边长度分别为 $A B=2, C D=3$, 直角腰的长度 $A D=2$, 所以面积为 $S=\frac{2+3}{2} \times 2=5$.

易得直观图中梯形的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 因此其面积为 $S^{\prime}=\frac{1}{2} \times(2+3) \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5 \sqrt{2}}{4}$.

## 【点睛】

本题主要考查直观图的斜二测画法, 明确斜二测画法的核心步骤是求解的关键, 侧重考查直观想象的核心素养和动手作图能力.