7. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{4 n^{2}-1}$, 则该数列的通项公式 $a_{n}=$ \$ \qquad \$ .\n\n
【分析】题目已知条件是 $a_{n}-a_{n-1}=f(n)\left(n \geq 2\right.$, 且 $\left.n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 形式,用叠加原理求解.因为 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{4 n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$, 所以运用累加法即可得到: $\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\cdots+\left(a_{2}-a_{1}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2 n-3}-\frac{1}{2 n-1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n-1}\right)$ ,所以 $a_{n}=a_{1}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n-1}\right)=\frac{4 n-3}{4 n-2}$,故应填 $\frac{4 n-3}{4 n-2}$.\n\n【点评】当 $a_{n}-a_{n-1}=f(n)\left(n \geq 2\right.$, 且 $\left.n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足一定条件时,可用 $a_{n}=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)+\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+\ldots\left(a_{2}-a_{1}\right)+a_{1}$ 来求通项 $a_{n}$, 这种方法通常叫累加法. 本题用到裂项相消求和, 相消时应注意消去的项规律, 及消去哪些项, 保留哪些项,于是前 $n$ 项的和变成首尾若干少数项之和, 还有不少同学会出现的错误, 认为 $d=\frac{1}{n^{2}-n}$ 或 $d=\frac{1}{n^{2}+n}$ 是常数,实际上 $d=\frac{1}{n^{2}-n}$ 或 $d=\frac{1}{n^{2}+n}$ 是个变量, $n$ 变化 $d$ 随之改变.