（2020$\cdot$西宁模拟）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动. 活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次, 并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 $A$ 区域返券 60 元; 停在 $B$ 区域返券 30 元; 停在 $C$ 区域不返券. 例如: 消费 218 元, 可转动转盘 2 次, 所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率;

（II）若某位顾客恰好消费 280 元, 并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 $X$ (元) . 求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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解: 设指针落在 $A, B, C$ 区域分别记为事件 $A, B, C$.

则 $P(A)=\frac{1}{6}, P(B)=\frac{1}{3}, P(C)=\frac{1}{2}$.

(I) 若返券金额不低于 30 元, 则指针落在 $A$ 或 $B$ 区域. $\therefore P=P(A)+P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$即消费 128 元的顾客，返券金额不低于 30 元的概率是 $\frac{1}{2}$.

(II) 由题意得, 该顾客可转动转盘 2 次.

随机变量 $X$ 的可能值为 $0,30,60,90,120$.

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} ;$

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=30)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 2=\frac{1}{3}$;

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=60)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times 2+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{5}{18}$;

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=90)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{6} \times 2=\frac{1}{9}$;

$\mathrm{P}(\mathrm{X}=120)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.

所以，随机变量 $X$ 的分布列为:

| $X$  |       0       |      30       |       60       |      90       |      120       |
| :--: | :-----------: | :-----------: | :------------: | :-----------: | :------------: |
| $P$  | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{36}$ |

其数学期望 $\mathrm{EX}=0 \times \frac{1}{4}+30 \times \frac{1}{3}+60 \times \frac{5}{18}+90 \times \frac{1}{9}+120 \times \frac{1}{36}=40$.