如图, $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上一点, 以 $O$ 为圆心, $O A$ 长为半径的 $\odot O$ 与 $B C$ 相切于点 $M$.

(1) 求证: $C D$ 与 $\odot O$ 相切;

(2) 若 $\odot O$ 的半径为 1 , 求正方形 $A B C D$ 的边长.

<ImageHere>
(1) 证明：连接 $O M$, 过点 0 作 $O N \perp C D$, 垂足为 $N$,

$\because \odot 0$ 与 $\mathrm{BC}$ 相切于 $\mathrm{M}$,

$\therefore \mathrm{OM} \perp \mathrm{BC}$

$\because$ 正方形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{BCD}$,

又 $\because 0 \mathrm{~N} \perp \mathrm{CD}, 0 \mathrm{M} \perp \mathrm{BC}$

$\therefore 0 \mathrm{M}=0 \mathrm{~N}$

$\therefore \mathrm{CD}$ 与 $\odot 0$ 相切

（2）由（1）易知 $\triangle M O C^{\prime}$ 为等腰直角三角形, $0 \mathrm{M}$ 为半径,

$\therefore 0 \mathrm{M}=\mathrm{MC}=1$.

$\therefore \quad O C^{2}=O M^{2}+K^{2}=1+1=2$,

$\therefore \quad O C=\sqrt{2}$

$\therefore \quad A C=A O+O C=1+\sqrt{2}$

在 $凡 \mathrm{t} \triangle A B C$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,

有

$$
A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}
$$

$\therefore \quad 2 A B^{2}=A C^{2}$

$\therefore \quad A B=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

故正方形 $A B C D$ 的边长为 $\frac{\sqrt{2}+2}{2}$.