已知 $f^{\prime}(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的导函数, 定义 $f^{\prime \prime}(x)$ 为 $f^{\prime}(x)$ 的导函数, 若方程 $f^{\prime \prime}(x)=0$ 有实数解

<ImageHere>
$f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a \neq 0)$ 都有拐点, 且都有对称中心, 其拐点就是对称中心, 设 $g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-5$, 若点 $(1-3)$ 是函数 $y=g(x)$ 的“拐点” 也是函数 $g(x)$ 图像上的点, 则 $\int_{a}^{b}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=$ \$ \qquad \$ .
答案:

$$
\frac{\pi}{4}+e-1
$$

【解析】 $\because g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-5$,

$\therefore g(x)=3 x^{2}-2 a x+b, \quad g^{\prime}(x)=6 x-2 a$,

由 $g^{\prime}(x)=6 x-2 a=0$, 可得 $x=\frac{a}{3}=1$, 解得 $a=3$,

<ImageHere>

所以 $g(1)=1-3+b-5=-3$, 解得 $b=4$,

所以 $\int_{a}^{b}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\int_{3}^{4}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x+\int_{3}^{4} e^{x-3} d x$,

由 $y=\sqrt{1-(x-3)^{2}}$ 可得, $(x-3)^{2}+y^{2}=1$,

<ImageHere>

由定积分的意义可知, $\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x=\frac{\pi}{4}$,

$\int_{3}^{4} e^{x-3} d x=\frac{1}{e^{3}} \int_{3}^{4} e^{x} d x=\left.\frac{e^{x}}{e^{3}}\right|_{3} ^{4}=e-1$,

$\therefore \int_{3}^{4}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\frac{\pi}{4}+e-1$,

故答案为: $\frac{\pi}{4}+e-1$

【分析】根据新定义拐点可求出 $a, b$, 利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出

$\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$ 和 $\int_{3}^{4} e^{x-3} d x$ 即可.



17.答案: 【解析】 $\because y=x^{2} \sin x$ 为奇函数,

$\therefore \int_{-2}^{2}\left(x^{2} \sin x\right) d x=0$

$\therefore \int_{-2}^{2}\left(x^{2} \sin x+e^{x}\right) d x=\int_{-2}^{2} e^{x} d x=\left.e^{x}\right|_{-2} ^{2}=e^{2}-\frac{1}{e^{2}}$

【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.