12. 关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x-2>0, \\ 2 x^{2}+(2 k+5) x+5 k<0\end{array}\right.$ 的整数解的集合为 $\{-2\}$, 求实数 $k$ 的取值范围.
由 $x^{2}-x-2>0$, 可得 $x<-1$ 或 $x>2$.

$\because\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x-2>0, \\ 2 x^{2}+(2 k+5) x+5 k<0\end{array}\right.$ 的整数解的集合为 $\{-2\}$,

方程 $2 x^{2}+(2 k+5) x+5 k=0$ 的两根为 $-k$ 与 $-\frac{5}{2}$,

(1)若 $-k<-\frac{5}{2}$, 则不等式组的整数解的集合就不可能为 $\{-2\}$;

(2) 若 $-\frac{5}{2}<-k$, 则应有 $-2<-k \leqslant 3$,

$\therefore-3 \leqslant k<2$.

综上, 所求的 $k$ 的取值范围为 $-3 \leqslant k<2$.