(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D$ 内接于圆, $A D, B C$ 的延长线交于点 $E, F$ 是 $B D$ 延长线上任意一点, $A B=A C$.

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(1)求证: $D E$ 平分 $\angle C D F$;

(2)求证: $\angle A C D=\angle A E B$.


本题考查了角平分线的性质与判定, 圆周角定理, 以及圆内接四边形的性质.

(1)由 $\angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}, \angle C D E+\angle A D C=180^{\circ}$, 推出 $\angle C D E=\angle A B C$, 由 $\angle E D F=\angle A D B=\angle A C B$,以及 $A B=A C$, 推出 $\angle A B C=\angle A C B$, 即可推出 $\angle E D F=\angle C D E$, 即可解决问题;

(2) 由 $\angle A C B=\angle A B C$, 得出 $\angle C A E+\angle E=\angle A B D+\angle D B C$, 再由 $\angle C A E=\angle D B C$, 得出 $\angle E=\angle A B D$,可得 $\angle A C D=\angle A E B$.

