如图 2-1-22 所示, $E, F$ 分别是长方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$ 的棱 $A_{1} A, C_{1} C$ 的中点.

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图 2-1-22

求证: 四边形 $B_{1} E D F$ 是平行四边形.
$Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点, 连接 $E Q, Q C_{1}$.

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$\because E$ 是 $A A_{1}$ 的中点, $\therefore E Q$ 綊 $A_{1} D_{1}$.

又在矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A_{1} D_{1}$ 綊 $B_{1} C_{1}$,

$\therefore E Q$ 綊 $B_{1} C_{1}$ (平行公理).
$\therefore$ 四边形 $E Q C_{1} B_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore B_{1} E$ 綊 $C_{1} Q$.

又 $\because Q, F$ 是 $D D_{1}, C_{1} C$ 两边的中点,

$\therefore Q D$ 綊 $C_{1} F$.

$\therefore$ 四边形 $Q D F C_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore C_{1} Q$ 綊 $D F . \therefore B_{1} E$ 綊 $D F$.

$\therefore$ 四边形 $B_{1} E D F$ 为平行四边形.