已知椭圆 $\mathrm{C}$ 的中心在原点 $\mathrm{O}$, 焦点在 $\mathrm{x}$ 轴上, 离心率为 ${ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, 且粗圆 $\mathrm{C}$ 上的点到两个焦点的距离之和为 4 . 求椭圆 $\mathrm{C}$ 的方程.
答案:
解: 设粗圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$, 由题意可得 $\mathrm{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,由粗圆的定义可得 $2 a=4$, 即 $a=2$,

$\mathrm{c}=\sqrt{3}, \mathrm{~b}=\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{c}^{2}}=1$,

则椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

【解析】【分析】设陏圆方程为 ${ }^{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$, 运用粗圆的离心率公式和椭圆的定义, 求得 $a, c$, 再由 $a, b, c$ 的关系, 可得 $b$, 进而得到椭圆方程.