22.  已知 $\triangle A B C$ 的角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a 、 b 、 c$, 设向量 $\boldsymbol{m}=(a, b)$, $\boldsymbol{n}=(\sin B, \sin A), \boldsymbol{p}=(b-2, a-2)$.

(1)若 $\boldsymbol{m} / / \boldsymbol{n}$, 求证: $\triangle A B C$ 为等腰三角形;

(2)若 $\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{p}$, 边长 $c=2$, 角 $C=\frac{\pi}{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
(1)证明 $\because \boldsymbol{m} / / \boldsymbol{n}, \quad \therefore a \sin A=b \sin B$,

即 $a \cdot \frac{a}{2 R}=b \cdot \frac{b}{2 R}$,

其中 $R$ 是 $\triangle A B C$ 外接圆半径, $\therefore a=b$.

$\therefore \triangle A B C$ 为等腰三角形.

(2)解 由题意知 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{p}=0$,

即 $a(b-2)+b(a-2)=0$.

$\therefore a+b=a b$.

由余弦定理可知, $4=a^{2}+b^{2}-a b=(a+b)^{2}-3 a b$,

即 $(a b)^{2}-3 a b-4=0$.

$\therefore a b=4$ (舍去 $a b=-1$ ),

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 4 \times \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$.哈哈