如图所示, 在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点, 求证: 截面 $A_{1} C E \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$.

<ImageHere>
证明 如图所示, 取 $A_{1} C$ 的中点 $F, A C$ 的中点 $G$, 连接 $F G, E F, B G$, 则 $F G / / A A_{1}$, 且 $G F=\frac{1}{2} A A_{1}$.

<ImageHere>

因为 $B E=E B_{1}, A_{1} B_{1}=C B, \angle A_{1} B_{1} E=\angle C B E=90^{\circ}$,

所以 $\triangle A_{1} B_{1} E \cong \triangle C B E$, 所以 $A_{1} E=C E$.

因为 $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点, 所以 $E F \perp A_{1} C$.

又 $F G / / A A_{1} / / B E, G F=\frac{1}{2} A A_{1}=B E$, 且 $B E \perp B G$,

所以四边形 $B E F G$ 是矩形, 所以 $E F \perp F G$.

因为 $A_{1} C \cap F G=F$, 所以 $E F \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$.

又因为 $E F \subset$ 平面 $A_{1} C E$, 所以截面 $A_{1} C E \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$
如图所示, 在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点, 求证: 截面 $A_{1} C E \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$.

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证明 如图所示, 取 $A_{1} C$ 的中点 $F, A C$ 的中点 $G$, 连接 $F G, E F, B G$, 则 $F G / / A A_{1}$, 且 $G F=\frac{1}{2} A A_{1}$.

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因为 $B E=E B_{1}, A_{1} B_{1}=C B, \angle A_{1} B_{1} E=\angle C B E=90^{\circ}$,

所以 $\triangle A_{1} B_{1} E \cong \triangle C B E$, 所以 $A_{1} E=C E$.

因为 $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点, 所以 $E F \perp A_{1} C$.

又 $F G / / A A_{1} / / B E, G F=\frac{1}{2} A A_{1}=B E$, 且 $B E \perp B G$,

所以四边形 $B E F G$ 是矩形, 所以 $E F \perp F G$.

因为 $A_{1} C \cap F G=F$, 所以 $E F \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$.

又因为 $E F \subset$ 平面 $A_{1} C E$, 所以截面 $A_{1} C E \perp$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$.