1672 年, 丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出: 只用圆规可以完成一切尺规作图. 1797 年, 意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论, 并写在他的著作《圆规的几何学》中. 请你利用数学家们发现的结论, 完成下面的作图题:

如图, 已知 $\odot O, \mathrm{~A}$ 是 $\odot O$ 上一点, 只用圆规将 $\odot O$ 的圆周四等分. (按如下步骤完成,保留作图痕迹）

<ImageHere>

(1)以点 $\mathrm{A}$ 为圆心, $O A$ 长为半径, 自点 $\mathrm{A}$ 起, 在 $\odot O$ 上逆时针方向顺次截取 $A B=B C=C D$; (2)分别以点 $\mathrm{A}$, 点 $D$ 为圆心, $A C$ 长为半径作弧, 两弧交于 $\odot O$ 上方点 $E$;

(3)以点 $\mathrm{A}$ 为圆心, $O E$ 长为半径作弧交 $\odot O$ 于 $G, H$ 两点. 即点 $\mathrm{A}, G, D, H$ 将 $\odot O$的圆周四等分.


根据作图提示逐步完成作图即可. 再根据图形基本性质进行证明即可.

【详解】解：如图，

<ImageHere>

即点 $\mathrm{A}, G, D, H$ 把 $\odot O$ 的圆周四等分.

理由如下:

如图, 连接 $O B, O C, A G, A E, D E, A C, D C, O E, O H, O G, A H$,

<ImageHere>

由作图可得: $A B=B C=C D$, 且 $O A=O B=A B$,
$\therefore \triangle A O B$ 为等边三角形, $\angle A O B=60^{\circ}$,

同理可得: $\angle B O C=\angle C O D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B+\angle B O C+\angle C O D=180^{\circ}$,

$\therefore A, O, D$ 三点共线, $A D$ 为直径,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

设 $C D=x$, 而 $\angle D A C=30^{\circ}$ ，

$\therefore A D=2 x, \quad A C=\sqrt{3} x$,

由作图可得: $D E=A E=A C=\sqrt{3} x$, 而 $O A=O D=x$,

$\therefore E O \perp A D, \quad O E=\sqrt{D E^{2}-O D^{2}}=\sqrt{2} x$,

$\therefore$ 由作图可得 $A G=A H=\sqrt{2} x$,

而 $O A=O H=x$,

$\therefore O A^{2}+O H^{2}=2 x^{2}=A H^{2}$,

$\therefore \angle A O H=90^{\circ}$,

同理 $\angle A O G=90^{\circ}=\angle D O G=\angle D O H$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}, G, D, H$ 把 $\odot O$ 的圆周四等分.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质, 圆弧与圆心角之间的关系, 等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，熟练掌握图形的基本性质并灵活应用于作图是解本题的关键.

