如图 1, 在平面直角坐标系中, 直线 $L_{2}: y=-\frac{1}{2} x+6$ 与 $L_{1}: y=\frac{1}{2} x$ 交于点 $A$, 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $B 、 C$.

(1)分别求出点 $A 、 B 、 C$ 的坐标;

(2)若 $D$ 是线段 $O A$ 上的点, 且 $\triangle C O D$ 的面积为 12 , 求直线 $C D$ 的函数表达式;

(3)在(2)的条件下, 设 $P$ 是射线 $C D$ 上的点.

(1)如图 2, 过点 $P$ 作 $P Q / / O C$, 且使四边形 $O C P Q$ 为菱形, 请直接写出点 $Q$ 的坐标;

(2)在平面内是否存在其它点 $Q$, 使以 $O 、 C 、 P 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形? 若存在, 直接写出

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图1

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图2

点 $Q$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
解：(1)由 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2} x+6 \\ y=\frac{1}{2} x\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=6 \\ y=3\end{array}\right.$,

$\therefore A(6,3)$.

$\because y=-\frac{1}{2} x+6$ 与分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $B 、 C$,
$\therefore C(0,6), B(12,0)$.

(2) 设 $D\left(m, \frac{1}{2} m\right)$ ，

由题意: $O C=6, \triangle C O D$ 的面积为 12 ,

$\therefore \frac{1}{2} \times 6 \times m=12$,

$\therefore m=4$,

$\therefore D(4,2), \because C(0,6)$,

设直线 $C D$ 的解析式为 $y=k x+b$, 则有 $\left\{\begin{array}{l}4 k+b=2 \\ b=6\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b=6\end{array}\right.$,

$\therefore$ 直线 $C D$ 的解析式为 $y=-x+6$.

(3) $1 \because$ 四边形 $O C P Q$ 是菱形,

$\therefore O C=P C=6$,

设 $P(m,-m+6)$,

$\therefore m^{2}+m^{2}=36$,

$\therefore m=3 \sqrt{2}$ 或 $-3 \sqrt{2}$,

$\therefore P(3 \sqrt{2},-3 \sqrt{2}+6)$,

$\because P Q / / O C, P Q=O C$,

$\therefore Q(3 \sqrt{2},-3 \sqrt{2})$,

(2)如图 2-1中, 当 $O C$ 为菱形的对角线时, $O C$ 垂直平分线段 $O C$,

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图2-1

易知 $P^{\prime}(3,3), Q^{\prime}(-3,3)$,

$\therefore$ 满足条件的点 $Q^{\prime}$ 的坐标为 $(-3,3)$.