如图 1, 已知抛物线 $y=a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)(a>0, m>0)$ 交 $x$ 轴于 $A 、 B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 交 $y$ 轴于点 $C$.

(1)若 $m=1$, 求 $A B$ 的长度;

(2)若 $a=1, m=1, P$ 是对称轴右侧抛物线上的点，当 $\angle A C P=\angle A B C$ 时，求 $P$ 点的坐标;

(3)如图 2, 当 $a m=1$ 时, 点 $N(0, n)$ 在 $y$ 轴负半轴上（点 $N$ 在点 $C$ 下方), 直线 $B N$ 交拋物线于另一点 $D$, 直线 $A N$ 交抛物线于另一点 $E$, 作 $E M \perp x$ 轴于 $M$, 若 $\frac{N D}{B D}=\frac{1}{2}$, 试判断 $\frac{E M}{O N}$ 是否为定值, 若是, 求出该定值, 若不是, 说明理由.

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图 1

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图 2


(1) 当 $m=1$ 时, $y=a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)=a\left(x^{2}-2 x-3\right)$, 根据当 $y=0$ 时, $a\left(x^{2}-2 x-3\right)=a(x-3)(x+1)=0$, 解得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$, 得到点 $A$ 的坐标是 $(-1,0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3,0)$, 即可得到 $A B$ 的长度;

（2）当 $a=1, m=1$ 时, $y=x^{2}-2 x-3$, 求出的坐标是 $(-1,0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3,0)$, 点 $C$的坐标是 $(0,-3)$, 则 $O C=O B=3$, 连接 $A C 、 B C, \triangle O B C$ 是等腰直角三角形, 得到 $\angle A B C=45^{\circ}$, 则 $\angle A C P=\angle A B C=45^{\circ}$, 过点 $A$ 作 $A D \perp A C$, 使得 $A D=A C$, 延长线段 $C D$ 交抛物线于点 $P$, 过点 $D$ 作 $D E \perp x$ 轴于点 $E$, 则 $\angle A O C=\angle D E A=90^{\circ}$, 证明

$\triangle D A E \cong \triangle A C O(\mathrm{AAS}), A E=O C=3, D E=A O=1$, 得到的坐标是 $(2,1)$, 求出 $C D$ 的解析式为 $y=2 x-3$, 与二次函数联立即可求出点 $P$ 的坐标;

（3）求出点 $A$ 的坐标是 $(-m, 0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3 m, 0)$, 由 $a m=1$ 得到 $y=a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)=a x^{2}-2 x-3 m$, 设直线 $B N$ 的解析式为 $y=k_{1} x+n$, 与二次函数联立
得到 $a x^{2}-\left(2+k_{1}\right) x-3 m-n=0$, 则 $x_{B} \cdot x_{D}=\frac{-3 m-n}{a}$, 由 $\frac{N D}{B D}=\frac{1}{2}$, 则 $\frac{x_{D}}{x_{B}}=\frac{1}{3}$, 由 $x_{B}=3 m$ 得到 $X_{D}=m$, 则 $3 m \cdot m=\frac{-3 m-n}{a}$, 进一步得到 $O N=6 m$, 设直线 $A N$ 的解析式为 $y=k_{2} x+n$,与二次函数联立得到 $a x^{2}-\left(2+k_{2}\right) x-3 m-n=0$, 得到 $x_{A} \cdot x_{E}=\frac{-3 m-n}{a}$, 由 $x_{A}=-m$ 得到 $-a m \cdot x_{E}=-3 m-(-6 m)$, 解得 $x_{E}=-3 m$, 则 $y_{E}=12 m$, 即 $E M=12 m$, 即可得到答案.

【详解】(1) 解: 当 $m=1$ 时, $y=a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)=a\left(x^{2}-2 x-3\right)$,

当 $y=0$ 时, $a\left(x^{2}-2 x-3\right)=a(x-3)(x+1)=0$,

$\because a \neq 0$,

$\therefore(x-3)(x+1)=0$,

解得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$,

$\because$ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧,

$\therefore$ 点 $A$ 的坐标是 $(-1,0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3,0)$,

$\therefore A B=3-(-1)=4$,

即 $A B$ 的长度为 4 ;

（2）当 $a=1, m=1$ 时, $y=x^{2}-2 x-3$,

当 $y=0$ 时, $x^{2}-2 x-3=0$,

解得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$,

$\therefore$ 点 $A$ 的坐标是 $(-1,0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3,0)$,

当 $x=0$ 时, $y=x^{2}-2 x-3=-3$,

$\therefore$ 点 $C$ 的坐标是 $(0,-3)$,

$\therefore O C=O B=3$,

连接 $A C 、 B C$,

<ImageHere>

$\because \angle B O C=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle O B C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A C P=\angle A B C=45^{\circ}$,

过点 $A$ 作 $A D \perp A C$, 使得 $A D=A C$, 延长线段 $C D$ 交抛物线于点 $P$, 过点 $D$ 作 $D E \perp x$ 轴于点 E,

则 $\angle A O C=\angle D E A=90^{\circ}$,

$\because \angle D A E+\angle C A O=\angle D A C=90^{\circ}, \angle A C O+\angle C A O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle A C O$,

$\therefore \triangle D A E \cong \triangle A C O(\mathrm{AAS})$,

$\therefore A E=O C=3, D E=A O=1$,

$\therefore$ 点 $D$ 的坐标是 $(2,1)$,

设直线 $C D$ 的解析式为 $y=k x+b$, 把点 $C$ 和点 $D$ 的坐标代入得,

$\left\{\begin{array}{c}b=-3 \\ 2 k+b=1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}b=-3 \\ k=2\end{array}\right.$,

$\therefore$ 直线 $C D$ 的解析式为 $y=2 x-3$,

联立 $\left\{\begin{array}{c}y=2 x-3 \\ y=x^{2}-2 x-3\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}x=0 \\ y=-3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=5\end{array}\right.$,

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标是 $(4,5)$;

（3）当 $y=0$ 时, $a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)=0$,

$\because a>0$,

$\therefore x^{2}-2 m x-3 m^{2}=0$,

解得 $x_{1}=3 m, x_{2}=-m$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标是 $(-m, 0)$, 点 $B$ 的坐标是 $(3 m, 0)$,

$\because a m=1$

$\therefore y=a\left(x^{2}-2 m x-3 m^{2}\right)=a x^{2}-2 x-3 m$,

设直线 $B N$ 的解析式为 $y=k_{1} x+n$,

联立 $\left\{\begin{array}{c}y=k_{1} x+n \\ y=a x^{2}-2 x-3 m\end{array}\right.$,

$\therefore a x^{2}-2 x-3 m=k_{1} x+n$,

$\therefore a x^{2}-\left(2+k_{1}\right) x-3 m-n=0$,

$\therefore x_{B} \cdot x_{D}=\frac{-3 m-n}{a}$,

过点 $D$ 作 $D H \perp x$ 轴于点 $H$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B H D=\angle B O N=90^{\circ}$,

$\therefore D H / / O N$,

$\therefore \frac{O H}{O B}=\frac{N D}{B N}$,

$\because \frac{N D}{B D}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{N D}{B N}=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{O H}{O B}=\frac{N D}{B N}=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{x_{D}}{x_{B}}=\frac{1}{3}$,

$\because x_{B}=3 m$

$\therefore x_{D}=m$
$\therefore 3 m \cdot m=\frac{-3 m-n}{a}$,

代入 $a m=1$ 得到, $n=-6 m$,

$\therefore O N=6 m$,

设直线 $A N$ 的解析式为 $y=k_{2} x+n$,

联立 $\left\{\begin{array}{c}y=k_{2} x+n \\ y=a x^{2}-2 x-3 m\end{array}\right.$ ，

则 $a x^{2}-\left(2+k_{2}\right) x-3 m-n=0$ ，

$\therefore x_{A} \cdot x_{E}=\frac{-3 m-n}{a}$,

$\because x_{A}=-m$,

$\therefore-a m \cdot x_{E}=-3 m-(-6 m)$,

解得 $x_{E}=-3 m$,

$\therefore y_{E}=a \times(-3 m)^{2}-2(-3 m)-3 m=9 a m^{2}+3 m=9 m+3 m=12 m$,

$\therefore E M=12 m$,

$\therefore \frac{E M}{O N}=\frac{12 m}{6 m}=2$.

【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数和一次函数交点问题、二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识, 数形结合和准确计算是解题的关键.

