已知 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\cos x, x \in[-1,1]$, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 是 $(\quad)$
解析： 求导可得 $f^{\prime}(x)=x+\sin x$,

显然 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数, 令 $h(x)=f^{\prime}(x)$,

则 $h(x)=x+\sin x$, 求导得 $h^{\prime}(x)=1+\cos x$,

当 $x \in[-1,1]$ 时, $h^{\prime}(x)>0$,
所以 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增, 有最大值和最小值.

所以 $f^{\prime}(x)$ 是既有最大值又有最小值的奇函数.

答案： D