如图, 以 $\triangle A B C$ 的一边 $A B$ 为直径的半圆与边 $A C, B C$ 分别交于点 $D, E$, 且 $A E$平分 $\angle C A B$.

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（1）若 $A C=8$, 求 $O E$ 的长;

（2）若 $A B=5, B C=6$, 求弦 $B D$ 的长;

（3）设 $\angle A B D=\alpha, \angle C=\beta$. 用含 $\beta$ 的代数式表示 $\alpha$.


(1) 根据中位线定理, 结合 $A C=8$ 可得 $O E$;

（2）证明 $\triangle A C E \cong \triangle A B E$, 得到 $C E=B E=\frac{1}{2} B C=3$, 由勾股定理求出 $A E$, 再根据圆周角定理求出 $\angle A B D=90^{\circ}$, 利用面积法可求出 $B D$;

（3）根据 $\triangle A C E \cong \triangle A B E$ 得到 $\angle C=\angle A B E=\beta$, 可得 $\angle C B D=\beta-\alpha$, 在 $\triangle B C D$ 中, 可得 $\angle C+\angle C B D=90^{\circ}$, 从而可的结论.

【详解】解: (1) $\because A E$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle C A E=\angle B A E$,

$\because O A=O E$,

$\therefore \angle O A E=\angle O E A$,

$\therefore \angle O E A=\angle C A E$,

$\therefore O E / / A C$,

$\because$ 点 $O$ 为 $A B$ 中点,

$\therefore$ 点 $E$ 为 $B C$ 中点,

即 $O E$ 为 $\triangle A B C$ 中位线,

$\therefore O E=\frac{1}{2} A C=4$;

(2) $\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A E B=\angle A E C=90^{\circ}$,

$\because A E$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle C A E=\angle B A E$,

又 $\because A E=A E$,

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle A B E$ (ASA),

$\therefore C E=B E=\frac{1}{2} B C=3$,

$\because A C=5$,

$\therefore A E=\sqrt{A C^{2}-A E^{2}}=4$,

$\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore S_{\triangle} A B C=\frac{1}{2} B C \cdot A E=\frac{1}{2} A C \cdot B D$,

$\therefore B D=\frac{B C \cdot A E}{A C}=\frac{6 \times 4}{5}=\frac{24}{5}$;

（3）由（2）可知, $\triangle A C E \cong \triangle A B E$,

$\therefore \angle C=\angle A B E=\beta$,

$\therefore \angle C B D=\beta-\alpha$,

在 Rt $\triangle B C D$ 中,
$\angle C+\angle C B D=90^{\circ}$,

$\therefore \beta+\beta-\alpha=90^{\circ}$,

即 $\alpha=2 \beta-90^{\circ}$.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质, 面积法, 圆周角定理, 中位线定理, 解题的关键是根据全等三角形的性质得到相等线段, 根据直径得到直角.