设二次函数 $y=a(x-m)(x-m-k)(a>0, m, k$ 是实数)，则（）

令 $y=0$, 则 $0=a(x-m)(x-m-k)$, 解得: $x_{1}=m, x_{2}=m+k$, 从而求得拋物线对称轴为直线 $x=\frac{m+m+k}{2}=\frac{2 m+k}{2}$, 再分别求出当 $k=2$ 或 $k=4$ 时函数 $\mathrm{y}$ 的最小值即可求解.

【详解】解: 令 $y=0$, 则 $0=a(x-m)(x-m-k)$,

解得: $x_{1}=m, x_{2}=m+k$,

$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{m+m+k}{2}=\frac{2 m+k}{2}$

当 $k=2$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=m+1$,

把 $x=m+1$ 代入 $y=a(x-m)(x-m-2)$, 得 $y=-a$,

$\because a>0$

$\therefore$ 当 $x=m+1, k=2$ 时, $\mathrm{y}$ 有最小值, 最小值为 $-a$.

故 B 正确, A 错误;

当 $k=4$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=m+2$,

把 $x=m+2$ 代入 $y=a(x-m)(x-m-4)$, 得 $y=-4 a$,

$\because a>0$

$\therefore$ 当 $x=m+2, k=4$ 时, $\mathrm{y}$ 有最小值，最小值为 $-4 a$,

故 C、D 错误,

故选: B.

【点睛】本题考查抛物线的最值, 抛物线对称轴. 利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.

