如图, 水平的广场上有一盈路灯挂在高 $10 \mathrm{~m}$ 的电线杆顶上, 记电线杆的底部为点 $A$.把路灯看作一个点光源, 身高 $1.5 \mathrm{~m}$ 的女孩站在离点 $A 5 \mathrm{~m}$ 的点 $B$ 处, 回答下面的问题.

<ImageHere>

(1) 若女孩以 $5 \mathrm{~m}$ 为半径绕着电线杆走一个圆圈, 人影扫过的是什么图形, 求这个图形的面积;

(2) 若女孩向点 $A$ 前行 $4 m$ 到达点 $D$, 然后从点 $D$ 出发沿着以 $B D$ 为对角线的正方形走一圈, 画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹, 说明轨迹的形状.
【分析】

(1) 人影扫过的图形是一个圆环, 根据相似计算得到影长为 $\frac{15}{17}$, 再计算面积得到答案.

(2) 如图所示, 女孩在移动过程上比例关系不变, 故轨迹为正方形.

## 【详解】

(1) 人影扫过的图形是一个圆环，设影长 $B C=a$ ，如图 (1)，由题意知，

<ImageHere>

(1)

<ImageHere>

(2)

$B F=1.5, A E=10, A B=5, \therefore \frac{1.5}{10}=\frac{a}{a+5}, \therefore a=\frac{15}{17}, \therefore S=\pi\left(5+\frac{15}{17}\right)^{2}-\pi \times 5^{2}=\frac{2775}{289} \pi$.

（2）如图（2），女孩在移动过程上比例关系不变，如

$\frac{A D}{H D}=\frac{A G}{G K}=\frac{A M}{M I}=\frac{A B}{B P}=\frac{A N}{N Q}=\cdots$,

故女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形 $H I P Q$.

## 【点睛】

本题考查了轨迹方程, 意在考查学生的空间想象能力和应用能力.