如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $\frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}, E$ 是边 $C D$ 上的一动点, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$经过 $B C$ 边上的一点 $F$. 若使 $\angle D A E$ 最小, 则 $\frac{C E}{D E}$ 的值为 ( )


解: 由题意知: 当 $\angle D A E$ 最小时, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$ 与 $B C$ 相切与点 $F$, 如图,

<ImageHere>

设 $\odot O$ 与 $A B$ 交于点 $G$, 连接 $E G, O F, E G$ 与 $O F$ 交于点 $H$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形,

$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}, A D=B C, A B=C D$.

$\because A E$ 为直径,

$\therefore \angle A G E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle B G E=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $B C E G$ 为矩形,

$\therefore B G=E C$.

$\because B C$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O F \perp B C$,

$\therefore O F / / A B / / C D$,

$\therefore O F$ 为梯形 $A B C E$ 的中位线,

$\therefore O F=\frac{1}{2}(A B+C E)$.

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}$,

$\therefore$ 设 $A B=3 k$, 则 $B C=4 k$, 设 $B G=E C=x$, 则 $D E=3 k-x, O F=\frac{1}{2}(3 k+x)$,

$\therefore A E=2 O F=3 k+x$.

在Rt $\triangle A D E$ 中,

$\because A D^{2}+D E^{2}=A E^{2}$,

$\therefore(4 k)^{2}+(3 k-x)^{2}=(3 k+x)^{2}$,

解得: $x=\frac{4}{3} k$.

$\therefore E C=\frac{4}{3} k$

$\therefore D E=C D-C E=\frac{5}{3} k$,

$\therefore \frac{C E}{D E}=\frac{\frac{4}{3} k}{\frac{5}{3} k}=\frac{4}{5}$.

故选: B.

由题意知: 当 $\angle D A E$ 最小时, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$ 与 $B C$ 相切与点 $F$, 设 $\odot O$ 与 $A B$ 交于点 $G$, 连接 $E G, O F$, $E G$ 与 $O F$ 交于点 $H$, 设 $A B=3 k$, 则 $B C=4 k$, 设 $B G=E C=x$, 则 $D E=3 k-x, O F=\frac{1}{2}(3 k+x)$, $A E=2 O F=3 k+x$; 利用矩形的性质, 圆的切线的性质, 圆周角定理和勾股定理求得 $x$ 值, 则结论

可得.

本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理, 利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键.

