如图, 正方形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 线段 $M N$ 在对角线 $B D$ 上运动, 若 $\odot O$ 的周长为 $2 \pi, M N=1$, 则 $\triangle A M N$ 周长的最小值是 $\qquad$ .

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解： $\because \odot O$ 的周长为 $2 \pi$, 则圆的半径为 1 , 则 $B D=2=A C$,

由正方形的性质, 知点 $C$ 是点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点,

过点 $C$ 作 $C A^{\prime} / / B D$, 且使 $C A^{\prime}=1$,

连接 $A A^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$, 取 $N M=1$, 连接 $A N 、 C N$, 则点 $M 、 N$ 为所求点,

理由: $\because A^{\prime} C / / M N$, 且 $A^{\prime} C=M N$,

$\therefore$ 四边形 $N C A^{\prime} M$ 为平行四边形,

$\therefore A^{\prime} M=C N=A N$,

$\therefore \triangle A M N$ 的周长 $=A M+A N+M N=A A^{\prime}+1$ 为最小,

$\because A^{\prime} A=\sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}$,

<ImageHere>

$\therefore \triangle A M N$ 的周长的最小值为 $\sqrt{5}+1$,

故答案为: $\sqrt{5}+1$.

由正方形的性质, 知点 $C$ 是点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点, 过点 $C$ 作 $C A^{\prime} / / B D$, 且使 $C A^{\prime}=1$, 连接 $A A^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$, 取 $N M=1$, 连接 $A N 、 C N$, 则点 $M 、 N$ 为所求点, 进而求解.

本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点 $M 、 N$ 的位置是本题解题的关键.

