（2019 秋$\cdot$广东期末）已知某保险公司的某险种的基本保费为 $a$ （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人, 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

| 上年度出险次数 |    0    |  1   |    2    |    3    | $\geqslant 4$ |
| :------------: | :-----: | :--: | :-----: | :-----: | :-----------: |
|   保费 (元)    | $0.9 a$ | $a$  | $1.5 a$ | $2.5 a$ |     $4 a$     |

随机调查了该险种的 400 名续保人在一年内的出险情况，得到下表:

| 出险次数 |  0   |  1   |  2   |  3   | $\geqslant 4$ |
| :------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :-----------: |
|   频数   | 280  |  80  |  24  |  12  |       4       |

该保险公司这种保险的赔付规定如下:

|   出险序次    | 第 1 次 | 第 2 次 | 第 3 次 | 第 4 次 | 第 5 次及以上 |
| :-----------: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----------: |
| 赔付金额 (元) | $2.5 a$ | $1.5 a$ |   $a$   | $0.5 a$ |       0       |

将所抽样本的频率视为概率.

（I ）求本年度续保人保费的平均值的估计值;

（II）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险 3 次，则可获得赔付 $(2.5 a+1.5 a+a)$ 元; 若续保人在本年度内出险 6 次, 则可获得赔付 $(2.5 a+1.5 a+a+0.5 a)$ 元; 依此类推, 求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值;

（III）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午 10：30 11：30 之间上门签合同，因为续保人临时有事, 外出的时间在上午 10：45 11：05 之间, 请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少?
解: ( I ) 由题意可得

| 保费 (元) | $0.9 a$ | $a$  | $1.5 a$ | $2.5 a$ | $4 a$ |
| :-------: | :-----: | :--: | :-----: | :-----: | :---: |
|   概率    |   0.7   | 0.2  |  0.06   |  0.03   | 0.01  |

本年度续保人保费的平均值的估计值为 $0.9 a \times 0.7+a \times 0.2+1.5 a \times 0.06+2.5 a \times 0.03+4 a \times 0.01=$ $1.035 a ;$

( II) 由题意可得

| 赔偿金额（元） |  0   | $2.5 a$ | $4 a$ | $5 a$ | $5.5 a$ |
| :------------: | :--: | :-----: | :---: | :---: | :-----: |
|      概率      | 0.7  |   0.2   | 0.06  | 0.03  |  0.01   |

本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值 $0 \times 0.7+2.5 a \times 0.2+4 a \times 0.06+5 a \times 0.03+5.5 a \times 0.01=$ $0.945 a$;

（III）设保险公司销售人员到达的时间为 $x$, 续保人离开的时间为 $y,(x, y)$ 看成平面上的点,全部结果所构成的区域为 $\Omega=\left\{(x, y) \mid 10.5 \leq x \leq 11.5,10 \frac{3}{4} \leq y \leq 11 \frac{1}{12}\right\}$,

则区域 $\Omega$ 的面积 $S(\Omega)=1 \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.

事件 $A$ 表示续保人在离开前见到销售人员，

所构成的区域为 $A=\left\{(x, y) \mid y \geq x, 10.5 \leq x \leq 11.5,10 \frac{5}{4} \leq y \leq 11 \frac{1}{12}\right\}$,

即图中的阴影部分, 其面积 $S(A)=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{4}+\frac{7}{12}\right) \times \frac{1}{3}=\frac{5}{36}$.

所以 $P(A)=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{1}{3}}=\frac{5}{12}$, 即续保人在离开前见到销售人员的概率是 $\frac{5}{12}$.

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