已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是某三角形的三个内角, 给出下列四组数据

(1) $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma ;$ (2) $\sin ^{2} \alpha, \sin ^{2} \beta, \sin ^{2} \gamma$;
(3) $\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}, \cos ^{2} \frac{\beta}{2}, \cos ^{2} \frac{\gamma}{2}$;
(4) $\tan \frac{\alpha}{2}, \tan \frac{\beta}{2}, \tan \frac{\gamma}{2}$.

分别以每组数据作为三条线段的长, 其中一定能构成三角形的数组的序号是
答案:(1)(3)

【解析】

试题分析：因为 $\alpha, \beta, \gamma$ 是某三角形的三个内角, 由正弦定理可知 $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma$, 可作为三角形的

三条边;

因为 $\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \alpha, \cos ^{2} \frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \beta, \cos ^{2} \frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \gamma$, 所以

$\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\cos ^{2} \frac{\beta}{2}-\cos ^{2} \frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos \alpha+\cos \beta-\cos \gamma), \because 1+\cos \alpha+\cos \beta-\cos \gamma=1+\cos \alpha+\cos \beta+\cos (\alpha+\beta)$
$=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}+2 \cos ^{2}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)>0$, 所以 $\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}+\cos ^{2} \frac{\beta}{2}-\cos ^{2} \frac{\gamma}{2}>0$, 同理可证 $\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}-\cos ^{2} \frac{\beta}{2}<\cos ^{2} \frac{\gamma}{2}$, 故 $\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}, \cos ^{2} \frac{\beta}{2}, \cos ^{2} \frac{\gamma}{2}$ 可作为三角形的三边.故答案为(1)(3).

考点: