如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $B D$ 与弦 $C E$ 相交于点 $F, \angle D F C=115^{\circ}, \overparen{B C}=4 \overparen{D E}$,延长 $E C$ 至点 $A$, 连接 $D A$, 设 $\angle A=\alpha$, 则 $\alpha$ 的取值范围是 $\qquad$ .

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解: 连接 $C D$,

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$\because \overparen{B C}=4 \overparen{D E}$,

$\therefore \angle B D C=4 \angle D C E$,

$\because \angle B D C+\angle D C E+\angle D F C=180^{\circ}, \angle D F C=115^{\circ}$,

$\therefore 4 \angle D C E+\angle D C E+115^{\circ}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle D C E=13^{\circ}$,

$\because \angle D C E$ 是 $\triangle D C A$ 的一个外角,

$\therefore \angle A<\angle D C E$,

$\therefore 0^{\circ}<\alpha<13^{\circ}$,

故答案为: $0^{\circ}<\alpha<13^{\circ}$.

连接 $C D$, 根据 $\overparen{B C}=4 \overparen{D E}$ 可得到 $\angle B D C=4 \angle D C E$, 再根据三角形的内角和定理求得 $\angle D C E=13^{\circ}$, 然后根据三角形的外角性质得到 $\angle A<\angle D C E$ 可得到结论.

本题考查弧、弦、圆周角的关系、三角形的内角和定理、三角形的外角性质, 熟练掌握弧与圆周角的关系以及三角形的外角性质是解答的关键.

 