16. 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=\frac{\pi}{3}, b=\sqrt{7}$, \$ \qquad \$ . 求 $B C$ 边上的高.

(1) $\sin A=\frac{\sqrt{21}}{7}$, (2) $\sin A=3 \sin C$, (3) $a-c=2$, 这三个条件中任选一个, 补充在上面问题中并作答.
选择(1), 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 即 $\frac{a}{\frac{\sqrt{21}}{7}}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}}{2}$, 解得 $a=2$;

由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 即 $(\sqrt{7})^{2}=2^{2}+c^{2}-2 \times 2 \times c \times \frac{1}{2}$,

化简得 $c^{2}-2 c-3=0$, 解得 $c=3$ 或 $c=-1$ （舍去）;

所以 $B C$ 边上的高为 $h=c \sin B=3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

选择(2), 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$,
又因为 $\sin A=3 \sin C$, 所以 $\frac{a}{3 \sin C}=\frac{c}{\sin C}$, 即 $a=3 c$;

由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$,

即 $(\sqrt{7})^{2}=(3 c)^{2}+c^{2}-2 \times 3 c \times c \times \frac{1}{2}$ ，

化简得 $7 c^{2}=7$, 解得 $c=1$ 或 $c=-1$ （舍去）;

所以 $B C$ 边上的高为 $h=c \sin B=1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

选择(3), 在 $\triangle A B C$ 中, 由 $a-c=2$, 得 $a=c+2$;

由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$,

即 $(\sqrt{7})^{2}=(c+2)^{2}+c^{2}-2 \times(c+2) \times c \times \frac{1}{2}$ ，

化简得 $c^{2}+2 c-3=0$, 解得 $c=1$ 或 $c=-3$ （舍去）;

所以 $B C$ 边上的高为 $h=c \sin B=1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.