【河南省开封市五县联考 2019-2020 学年高二上学期期末】已知 $m>0, n>0, \frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$, 若不等式 $m+n \geq-x^{2}+2 x+a$ 对已知的 $m, n$ 及任意实数 $x$ 恒成立, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )


$\because m+n=(m+n)\left(\frac{1}{m}+\frac{4}{n}\right)=5+\frac{n}{m}+\frac{4 m}{n} \geq 5+2 \sqrt{\frac{n}{m} \times \frac{4 m}{n}}=9$,

当且仅当 $\frac{n}{m}=\frac{4 m}{n}$ 时等号成立,

$\therefore-x^{2}+2 x+a \leq 9$, 即 $a \leq x^{2}-2 x+9=(x-1)^{2}+8$,

$\therefore a \leq 8$

故选: D