在用数学归纳法证明等式 $1+2+3+\cdots+2 n=2 n^{2}+n\left(n \in N^{n}\right)$ 的第(ii)步中, 假设 $n=k$ 时原等式成立，那么在 $n=k+1$ 时，需要证明的等式为（）
答案: D

解: 因为要证 $1+2+3+\cdots+2 n=2 n^{2}+n(n \in N)$,

因此, 当 $n=k+1$ 时, 需要证明

$1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)=2(k+1)^{2}+(k+1)\left(n \in N^{*}\right)$.

故答案为: $\mathrm{D}$

【分析】根据数学归纳法的一般步骤, 结合题中条件, 即可得出结果.