如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B=C D, \angle A=\angle A D C, E, F$分别为 $A D, C D$ 的中点, 连接 $B E, B F$, 延长 $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $M$.

(1)求证: 四边形 $A B C D$ 为矩形;

(2)若 $M D=6, B C=12$, 求 $B F$ 的长度. (结果可保留根号)

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(1)证明: $\because$ 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B=C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle A+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle A D C$

$\therefore \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是矩形;

(2)解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B E=\angle M$,

$\because E$ 为 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$.

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle D M E$ 中
$\left\{\begin{array}{l}\angle A E B=\angle M E D \\ \angle A B E=\angle M \\ A E=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle D M E(A A S)$,

$\therefore A B=D M=6$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore D C=A B=D M=6, \angle C=90^{\circ}$,

$\because F$ 为 $C D$ 的中点,

$\therefore C F=\frac{1}{2} C D=3$,

在Rt $\triangle B C F$ 中, 由勾股定理得: $B F=\sqrt{B C^{2}+C F^{2}}=\sqrt{12^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{17}$.