已知函数 $f(x)=3^{x}$, 且 $f(a+2)=18, g(x)=3^{a x}-4^{x}$ 的定义域为 $[-1,1]$.

(1) 求 $3^{a}$ 的值及函数 $g(x)$ 的解析式;

（2）试判断函数 $g(x)$ 的单调性;

（3）若方程 $g(x)=m$ 有解, 求实数 $m$ 的取值范围.


试题分析：（1）将 $a+2$ 代入函数的解析式, 根据指数的运算性质可得 $3^{a}=2$, 再代入即可得 $g(x)$ 的解析式; (2) 令 $2^{x}=t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, 所以 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$, 根据二次函数的性质可得 $\mu(t)$ 单调递减, $t=2^{x}$ 为单调递增函数, 根据复合函数的单调性可得结果; (3) 利用二次函数的性质求出 $g(x)$ 的范围即可.

试题解析: (1) $f(a+2)=3^{a+2}=3^{2} \cdot 3^{a}=18$, 所以 $3^{a}=2$, 所以 $g(x)=\left(3^{a}\right)^{x}-4^{x}=2^{x}-4^{x}$.

(2) $g(x)=2^{x}-4^{x}=-\left(2^{x}\right)^{2}+2^{x}$, 令 $2^{x}=t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, 所以 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$在 $t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减, 又 $t=2^{x}$ 为单调递增函数, 所以 $g(x)$ 在 $x \in[-1,1]$ 上单调递减.

(3) 由（2）知 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$ 在 $t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减, 所以 $g(x) \in\left[-2, \frac{1}{4}\right]$,
即 $m \in\left[-2, \frac{1}{4}\right]$.