已知函数 $f(x+1)$ 是偶函数, 当 $1<x_{1}<x_{2}$ 时, $\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]\left(x_{1}-x_{2}\right)>0$ 恒成立, 设 $a=f\left(-\frac{1}{2}\right), b=f(2)$, $c=f(3)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为 ( )
【分析】

推导出函数 $f(x)$ 为 $(1,+\infty)$ 上的增函数, 且有 $f(1+x)=f(1-x)$, 可得出 $a=f\left(\frac{5}{2}\right)$, 利用单调性可得出 $a 、 b$ 、 $c$ 的大小关系.

## 【详解】

当 $1<x_{1}<x_{2}$ 时, $\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]\left(x_{1}-x_{2}\right)>0$, 则 $f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$,

所以, 函数 $f(x)$ 为 $(1,+\infty)$ 上的增函数,

由于函数 $f(x+1)$ 是偶函数, 可得 $f(1+x)=f(1-x)$,

$\therefore a=f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(1-\frac{3}{2}\right)=f\left(1+\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}\right)$,

$\because 3>\frac{5}{2}>2>1$, 因此, $b<a<c$.

故选: A.