10. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{2019}, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{2019}$ 的值为 \$ \qquad \$ $-$
因为 $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$

所以 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,

$$
\begin{aligned}
& a_{2}-a_{1}=1-\frac{1}{2} \\
& a_{3}-a_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

各式相加，可得

$$
\begin{aligned}
& a_{2019}-a_{1}=1-\frac{1}{2019} \\
& a_{2019}-\frac{1}{2019}=1-\frac{1}{2019}
\end{aligned}
$$

所以, $a_{2019}=1$, 故答案为 1 .

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项, 属于中档题. 利用递推关系求数列中的项常见思路为: (1) 项的序号较小时, 逐步递推求出即可; (2) 项的序数较大时, 考虑证明数列是等差、
等比数列, 或者是周期数列; (3) 将递推关系变形, 利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.