已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{m x}{x^{2}+\mathrm{n}}(\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值 2 .

(1) 求 $f(x)$ 的解析式;

(2) 设函数 $g(x)=\ln x+\frac{a}{x}$, 若对任意的 $x_{1} \in[-1,1]$, 总存在 $x_{2} \in[1, e]$,使得 $g\left(x_{2}\right) \leq f\left(x_{1}\right)+\frac{7}{2}$, 求实数 $a$ 的取值范围.
$$	ext { (1) } f^{\prime}(x)=rac{m\left(x^{2}+n
ight)-2 n x^{2}}{\left(x^{2}+n
ight)^{2}}=rac{-m x^{2}+m n}{\left(x^{2}+n
ight)^{2}}$$由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值 2, 故 $\mathrm{f}^{\prime}(1)=0, \mathrm{f}(1)=2$ 即 $\left\{egin{array}{c}rac{m n-m}{rac{1+n)^{2}}{}}=0 \ rac{m}{1+n}=2\end{array}
ight.$,解得 $m=4, n=1$, 经检验, 此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值. 故 $f(x)=rac{4 x}{x^{2}+1}$(2) 由 (1) 知 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 且 $f(-x)=-f(x)$. 故 $f(x)$ 为奇函数. $f(0)=0, x>0$时, $f(x)>0, f(x)=rac{4}{x+rac{1}{x}} \leq 2$. 当且仅当 $x=1$ 时取“=”.故 $f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$. 从而 $f\left(x_{1}
ight)+rac{7}{2} \geq rac{3}{2}$. 依题意有 $g(x)$ 最小值 $\leq rac{3}{2}$函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+rac{a}{x}$ 的定义域为 $(0,+\infty), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=rac{x-a}{x^{2}}$(1)当 $a \leq 1$ 时, $g^{\prime}(x)>0$ 函数 $g(x)$ 在 $[1, e]$ 上单调递增, 其最小值为 $g(1)=a \leq 1<rac{3}{2}$ 合题(2)当 $1<a<e$ 时, 函数 $g(x)$ 在 $[1, a)$ 上有 $g^{\prime}(x)<0$, 单调递减, 在 $(a, e]$ 上有 $g^{\prime}(x)>0$, 单调递增, 所以函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 最小值为 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\operatorname{lna}+1$, 由 Ina $+1 \leq rac{3}{2}$, 得 $0<\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$. 从而知 $1<a \leq \sqrt{e}$ 符合题意. (3)当 $a \geq e$ 时, 显然函数 $g$ ( $x$ ) 在 $[1, e]$ 上单调递减, 其最小值为 $g(e)=1+rac{7}{2} \geq 2>rac{3}{2}$, 不合题意综上所述, $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$