如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}, B C=8$, 以 $B C$ 为边, 在 $\triangle A B C$ 外作等边 $\triangle B C D$,点 $E$ 为 $B C$ 中点, 连接 $A E$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$.
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(1)求证: 四边形 $A B D F$ 是平行四边形;

(2)如图 2, 将图 1 中的 $A B C D$ 折叠, 使点 $D$ 和点 $A$ 重合, 折痕为 $G H$, 求 $C G$ 的长.
(1)证明: $\because \angle B A C=90^{\circ}$, 点 $E$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore A E=\frac{1}{2} B C=B E$,

$\because \angle A C B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A E B=60^{\circ}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D B C=\angle B C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle A C B+\angle B C D=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,

$\because \angle D B C=\angle A E B=60^{\circ}, \angle B A C=\angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D, B D / / A F$,

$\therefore$ 四边形 $A B D F$ 是平行四边形;

(2)解: $\because \angle B A C=90^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}, B C=8$,

$\therefore A B=4, A C=\sqrt{B C^{2}-A B^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore C D=B C=8$,

设 $C G=x ，$ 则 $D G=8-x$,

在Rt $\triangle A C G$ 中, $A G^{2}=A C^{2}+C G^{2}$,

即: $(8-x)^{2}=x^{2}+(4 \sqrt{3})^{2}$,

解得: $x=1$,

$\therefore C G=1$.