11. 若不等式 $a x^{2}+b x+c \geqslant 0$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\right.\right\}$, 求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2}-b x+a<0$的解集.
由 $a x^{2}+b x+c \geqslant 0$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 2\right.\right\}$,

知 $a<0$, 且关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两个根分别为 $-\frac{1}{3}, 2$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}+2=-\frac{b}{a} \\ -\frac{1}{3} \times 2=\frac{c}{a}\end{array} \quad, \therefore b=-\frac{5}{3} a, c=-\frac{2}{3} a\right.$.

所以不等式 $c x^{2}-b x+a<0$ 可变形为

$\left(-\frac{2}{3} a\right) x^{2}-\left(-\frac{5}{3} a\right) x+a<0$,

即 $2 a x^{2}-5 a x-3 a>0$.

又因为 $a<0$, 所以 $2 x^{2}-5 x-3<0$,

所以所求不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2}<x<3\right.\right\}$.