（2020 秋・闵行区校级月考）我校 5 位同学报考了北京大学 “强基计划” 第 $I$ 专业组, 并顺利通过各项考核, 已知 5 位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业, 则这三个专业都有我校学生的概率是 \$ \qquad \$ （结果用最简分数表示）.
解：5 位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业,

基本事件总数 $n=3^{5}=243$,

这三个专业都有我校学生包含的情况有两种, 各个专业的学生数分别为 $1,1,3$ 和 2, 2, 1 ,

$\therefore$ 这三个专业都有我校学生包含的基本事件个数 $m=\left(\frac{C_{5}^{1} C_{4}^{1} C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}+\frac{C_{5}^{2} C_{3}^{2} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}\right) \cdot A_{3}^{3}=150$,则这三个专业都有我校学生的概率是 $p=\frac{m}{n}=\frac{150}{243}=\frac{50}{81}$.

故答案为: $\frac{50}{81}$.