在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\sin (2 A+B)=2 \sin B$, 则 $\tan B$ 的最大值为
答案:$\frac{\sqrt{3}}{3}$

【解析】

$\because \sin 2 A \cos B+\cos 2 A \sin B=2 \sin B, \quad \therefore \sin B(2-\cos 2 A)=\sin 2 A \cos B$,

$\therefore \tan B=\frac{\sin 2 A}{2-\cos 2 A}=\frac{\sin 2 A \cos A}{3 \sin ^{2} A+\cos ^{2} A}=\frac{2 \tan A}{3 \tan A^{2}+1}, \because$ 若 $\tan A<0$, 则 $\tan B<0, A, B$ 均为钝角, 不可能, 故 $\tan A>0, \therefore \tan B=\frac{2 \tan A}{3 \tan A^{2}+1} \leq \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.