(8 分) 已知在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B=30^{\circ}$, 点 $M$ 平分 $B C, A D$ 平分 $\angle B A C$, 过点 $A$ 、 $M 、 D$ 的 $\odot O$ 分别交 $A B, A C$ 于点 E、F.

(1)求 $\angle M A D$ 的度数;

(2)连接 $D F$, 求证: $\triangle C D F$ 是等边三角形;

<ImageHere>


(1) 根据直角三角形的性质得到 $A M=B M=C M$, 根据等腰三角形的性质得到 $\angle B A M=\angle B=30^{\circ}$, 根据角平分线的定义得到 $\angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=45^{\circ}$, 于是得到结论;

(2) 连接 $D F$, 根据三角形的内角和定理得到 $\angle C=60^{\circ}$, 由 (1) 知 $A M=C M$, 推出 $\triangle A C M$是等边三角形, 根据圆内接四边形对角互补得出 $\because \angle C F D=180^{\circ}-\angle A F D=\angle C M A=60^{\circ}$, 即可得到结论;

(3) 连接 $D E, E F$, 根据圆周角定理得到 $E F$ 是 $\odot O$ 的直径, 根据等边三角形的性质得到 $\angle C D F=60^{\circ}$, 求得 $\angle B D E=30^{\circ}$, 得到 $B E=D E$, 求得 $D E=D F$, 设 $B E=D E=D F=C F=x$,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1) 解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B=30^{\circ}$, 点 $M$ 平分 $B C$, $\therefore A M=B M=C M$,

$\therefore \angle B A M=\angle B=30^{\circ}$,

$\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle M A D=\angle B A D-\angle B A M=15^{\circ}$;

(2) 证明: 连接 $D F$,

<ImageHere>

在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C=60^{\circ}$,

由（1）知 $A M=C M$,

$\therefore \triangle A C M$ 是等边三角形,

$\therefore A C=C M$,

$\because \angle C F D=180^{\circ}-\angle A F D=\angle C M A=60^{\circ}$,

又 $\because \angle C=60^{\circ}$

$\therefore \triangle C D F$ 是等边三角形.

（3）解: 如图所示, 连接 $D E, E F$,

<ImageHere>

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore E F$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle E D F=90^{\circ}$,

由（2）知 $C D=C F, \angle C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle C D F$ 是等边三角形,

$\therefore \angle C D F=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle B D E=30^{\circ}$,

$\therefore B E=D E$,

$\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore D E=D F$,

$\therefore D E=D F$,

$\therefore B E=D E=D F=C F$,

$\because A C=4$,

$\therefore A B=4 \sqrt{3}$,

设 $B E=D E=D F=C F=x$ ，

$\therefore A E=4 \sqrt{3}-x, A F=4-x, E F=\sqrt{2} x$,

$\because E F^{2}=A E^{2}+A F^{2}$,

$\therefore(\sqrt{2} x)^{2}=(4 \sqrt{3}-x)^{2}+(4-x)^{2}$,

解得: $x=4 \sqrt{3}-4$,
$\therefore E F=\sqrt{2} \times(4 \sqrt{3}-4)=4 \sqrt{6}-4 \sqrt{2}$,

$\therefore r=2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2}$,

故答案为: $2 \sqrt{6}-2 \sqrt{2}$.

【点睛】本题是圆的综合题, 考查了圆周角定理, 圆内接四边形对角互补, 勾股定理, 等边三角形的判定和性质, 正确地作出辅助线是解题的关键.

