明明同学喜欢课外时间做数学探究活动. 他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动, “智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分, 如图, 建立平面直角坐标系, “智能小球”从出手到着陆的过程中, 坚直高度 $y(\mathrm{~m})$ 与水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 可以用二次函数 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+b x$刻画，将“智能小球”从斜坡 $O$ 点处拋出，斜坡可以用一次函数 $y=-\frac{1}{2} x$ 刻画. 某次训练时， “智能小球”回传的水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 与坚直高度 $y(\mathrm{~m})$ 的几组对应数据如下:

<ImageHere>

| 水平距离 $x(\mathrm{~m})$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 坚直高度 <br> $y(\mathrm{~m})$ | 0 | 3.5 | 6 | 7.5 | $a$ | 7.5 | 6 |

(1)根据题意，填空: $a=$ $\qquad$ , $b=$ $\qquad$ ; “智能小球”达到的最高点的坐标为 $\qquad$ ;

(2)“智能小球”在斜坡上的落点是 $M$, 求点 $M$ 的坐标;

(3)若在自变量 $x$ 的值满足 $m-2 \leq x \leq m$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最大值为 5 , 直接写出 $m$ 的值.
(1) 将 $(2,6)$ 代入 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+b x$ 求出 $b$, 再求出顶点坐标即可;

（2）解直线与抛物线解析式组成的方程组即可;

(3)根据函数的顶点以及函数性质分类讨论即可.
【详解】(1) 方法一: 将 $(2,6)$ 代入 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+b x$ 中, 得: $6=-\frac{1}{2} \times 2^{2}+b \times 2$,

所以 $b=4$.

即二次函数关系式为 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$.

将 $(4, a)$ 代入 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$ 中, 得: $a=-\frac{1}{2} \times 4^{2}+4 \times 4=8$;

方法二: 因为二次函数 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+b x$ 最高点的坐标为 $(4, a)$,

所以, $-\frac{b}{2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)}=4$.

所以, $b=4$.

即二次函数关系式为 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$.

当 $x=4$ 时, $a=-\frac{1}{2} \times 4^{2}+4 \times 4=8$,

所以, $b=4, a=8$; “智能小球”达到的最高点的坐标为 $(4,8)$,

故答案为 $a=8, b=4,(4,8)$;

（2）由题意得: $-\frac{1}{2} x^{2}+4 x=\frac{1}{2} x$,

解得: $x=7$ 或 $x=0$ (舍去),

即点 $M$ 的坐标为 $(7,3.5)$;

(3) $m=4-\sqrt{6}$ 或 $m=6+\sqrt{6}$.

由 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+8$ 得，二次函数的对称轴为直线 $x=4$,

(1)当 $x=m-2>4$ 时, 即 $m>6$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\therefore$ 当 $x=m-2$ 时，函数值 $y$ 的最大值为 5 .

$\therefore-\frac{1}{2}(m-2)^{2}+4(m-2)=5$.

解得 $m=6+\sqrt{6}$ 或 $m=6-\sqrt{6}$ (不合题意 $m>6$, 舍去),

(2)当 $x=m<4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，

$\therefore$ 当 $x=m$ 时，函数值 $y$ 的最大值为 5 .

$\therefore-\frac{1}{2} m^{2}+4 m=5$.

解得: $m=4-\sqrt{6}$ 或 $m=4+\sqrt{6}$ (不合题意 $m<4$, 舍去);
所以, $m=4-\sqrt{6}$ 或 $m=6+\sqrt{6}$.

【点睛】本题考查二次函数的实际问题, 关键是求出函数的解析式.