设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\log _{3} x-a, 0<x<2 \\ x^{2}-4 a x+3 a^{2}, x \geq 2\end{array}\right.$

(I) 当 $a=2$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值;

( II) 函数 $y=f(x)$ 恰有两个零点, 求实数 $a$ 的取值范围.


(1) 当 $a=2$ 时有 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\log _{3} x-2,0<x<2 \\ x^{2}-8 x+12, x \geq 2\end{array}\right.$ 的函数图像如下

<ImageHere>

由上图知: $0<x<2$ 上无最值且单调递减,

则 $f(x)$ 的最小值出现在 $x \geq 2$ 的二次函数分支上且其对称轴 $x=4 \geq 2$, 开口向上,

$\therefore f(x)_{\text {min }}=f(4)=-4<-\log _{3} 2-2$, 即 $f(x)$ 的最小值为 -4

(2) 由题意, $y=f(x)$ 恰有两个零点

1、若 $0<x<2$ 上无零点, 则 $a \leq-\log _{3} 2$, 而此时 $x \geq 2$ 上 $\Delta=4 a^{2}>0$,
对称轴 $x=2 a \leq-2 \log _{3} 2$

$\therefore f(x)$ 在 $x \geq 2$ 单调递增而 $f(2)=4-8 a+3 a^{2}>0$ 且 $f(x)$ 的开口向上,可知 $x \geq 2$ 上无零点, 故不合题意

2、若 $0<x<2$ 上有零点, 令 $-\log _{3} x-a=0$, 即 $x=\frac{1}{3^{a}} \in(0,2)$,

有 $a>-\log _{3} 2$, 此时, 要符合题意, 则 $x \geq 2$ 上有且仅有一个零点

$\therefore\left\{\begin{array}{l}\Delta=4 a^{2}=0 \\ 2 a \geq 2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=4 a^{2}>0 \\ f(2)=4-8 a+3 a^{2} \leq 0, \\ 2 a<4\end{array}\right.$ 解得 $\frac{2}{3} \leq a<2$

故 $a \in\left[\frac{2}{3}, 2\right)$

$\therefore$ 综上, 知 $a \in\left[\frac{2}{3}, 2\right)$