如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle \mathrm{A}<90^{\circ}$, 点 $D 、 E 、 F$ 分别在边 $A B, B C 、 C A$ 上,连接 $D E 、 E F 、 F D$, 已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称. 设 $B C: A B=k$, 若 $A D=D F$,则 $C F: F A=$ $\qquad$ (结果用含 $\mathrm{k}$ 的代数式表示).

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    （第 18 题）

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先根据轴对称的性质和已知条件证明 $D E / / A C$, 再证 $\triangle B D E \sim \triangle B A C$, 推出 $E C=\frac{1}{2} k \cdot A B$, 通过证明 $\triangle A B C \sim \triangle E C F$, 推出 $C F=\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B$, 即可求出 $\frac{C F}{F A}$ 的值.

【详解】解: $\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore D B=D F$,

$\because A D=D F$,

$\therefore A D=D B$.

$\because A D=D F$,

$\therefore \angle A=\angle D F A$,

$\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore \angle B D E=\angle F D E$,

又 $\because \angle B D E+\angle F D E=\angle B D F=\angle A+\angle D F A$,

$\therefore \angle F D E=\angle D F A$,

$\therefore D E / / A C$,

$\therefore \angle C=\angle D E B, \angle D E F=\angle E F C$,

$\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore \angle D E B=\angle D E F$,
$\therefore \angle C=\angle E F C$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle C=\angle B$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle E C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C \\ \angle A C B=\angle E F C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle E C F$.

$\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / A C$,

$\therefore \angle B D E=\angle A, \angle B E D=\angle C$,

$\therefore \triangle B D E \sim \triangle B A C$,

$\therefore \frac{B E}{B C}=\frac{B D}{B A}=\frac{1}{2}$,

$\therefore E C=\frac{1}{2} B C$,

$\because \frac{B C}{A B}=k$,

$\therefore B C=k \cdot A B, \quad E C=\frac{1}{2} k \cdot A B$,

$\because \triangle A B C \sim \triangle E C F$.

$\therefore \frac{A B}{E C}=\frac{B C}{C F}$,

$\therefore \frac{A B}{\frac{1}{2} k \cdot A B}=\frac{k \cdot A B}{C F}$,

解得 $C F=\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B$,

$\therefore \frac{C F}{F A}=\frac{C F}{A C-C F}=\frac{C F}{A B-C F}=\frac{\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B}{A B-\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B}=\frac{k^{2}}{2-k^{2}}$.

故答案为: $\frac{k^{2}}{2-k^{2}}$.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 轴对称的性质, 平行线的判定与性质, 等腰三角形的性质, 三角形外角的定义和性质等, 有一定难度, 解题的关键是证明 $\triangle A B C \sim \triangle E C F$.

