(2020$\cdot$肥城市第一高级中学高三) 点 $M(x, y)$ 在曲线 $C: x^{2}-4 x+y^{2}-21=0$ 上运动, $t=x^{2}+y^{2}+12 x-12 y-150-a$, 且 $t$ 的最大值为 $b$, 若 $a, b \in R^{+}$, 则 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 ( )
析】

【分析】首先可确定曲线 $C$ 表示圆心为 2,0 , 半径为 5 的圆; 令 $d=\sqrt{(x+6)^{2}+(y-6)^{2}}$, 则 $t=d^{2}-222-a ; d$ 的最大值为半径与圆心到点 $(-6,6)$ 的距离之和, 利用两点间距离公式求得 $d_{\text {max }}$,代入 $t$ 中利用最大值为 $b$ 可求得 $a+1+b=4$, 将所求的式子变为

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}\right)(a+1+b)$ ，利用基本不等式求得结果.

【详解】曲线 $C$ 可整理为: $(x-2)^{2}+y^{2}=25$, 则曲线 $C$ 表示圆心为 2,0 , 半径为 5 的圆 $t=x^{2}+y^{2}+12 x-12 y-150-a=(x+6)^{2}+(y-6)^{2}-222-a$, 设 $d=\sqrt{(x+6)^{2}+(y-6)^{2}}$, 则 $d$表示圆上的点到 $(-6,6)$ 的距离, 则 $d_{\text {max }}=\sqrt{(2+6)^{2}+(0-6)^{2}}+5=15, \therefore t_{\text {max }}=15^{2}-222-a=b$,整理得: $a+1+b=4, \quad \therefore \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}\right)(a+1+b)=\frac{1}{4} \times\left(1+\frac{b}{a+1}+\frac{a+1}{b}+1\right)$又 $\frac{b}{a+1}+\frac{a+1}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a+1} \cdot \frac{a+1}{b}}=2$ (当且仅当 $\frac{b}{a+1}=\frac{a+1}{b}$, 即 $a=1, b=2$ 时取等号） $\therefore \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b} \geq \frac{1}{4} \times 4=1$, 即 $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 1

【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题, 解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法, 从而可得到 $a, b$ 之间的关系, 从而配凑出符合基本不等式的形式.