(8 分) 如图, $O B \perp A F, A O$ 交 $\odot O$ 于点 $C, A O$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $D, E$ 是弧 $B C D$ 上不与 $B, D$ 重合的点, $\angle A=30^{\circ}$,

<ImageHere>

(1)求 $\angle B E D$ 的度数;

(2)点 $F$ 在 $A B$ 的延长线上, 且 $\angle A D F=90^{\circ}$, 求证: $B F=A B$.


) $60^{\circ}$

(2)见解析

【分析 (1)连接 $O B$, 根据题意可得 $\angle A B O=90^{\circ}$, 根据三角形的外角性质可得 $\angle B O D=120^{\circ}$,根据圆周角定理即可求解;

(2)连接 $O F, O B$, 根据题意可得 $\angle O B F=90^{\circ}$, 根据全等三角形的判定和性质可得 $B F=D F$,根据含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质可得 $D F=\frac{1}{2} A F$, 即可证明.

【详解】(1) 解: 连接 $O B$, 如图,

<ImageHere>

$\because O B \perp A F$

$\therefore \angle A B O=90^{\circ}$,

$\because \angle A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle A B O+\angle A=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$,

$\because B D=B D$,

$\therefore \angle B E D=\frac{1}{2} \angle B O D=60^{\circ}$.

(2) 证明: 连接 $O F, O B$, 如图,

<ImageHere>

$\because O B \perp A F$
$\therefore \angle O B F=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle B O F$ 和 Rt $\triangle D O F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}O B=O D \\ O F=O F\end{array}\right.$

$\therefore$ Rt $\triangle B O F \cong$ Rt $\triangle D O F$,

$\therefore B F=D F$,

$\because \angle A=30^{\circ}$,

$\therefore D F=\frac{1}{2} A F$,

$\therefore B F=\frac{1}{2} A F$,

$\therefore B F=A B$.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质, 圆周角定理, 全等三角形的判定和性质, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质, 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

