已知二次函数 $y=a x^{2}+b x-1$ 的图像过 $A(2,0)$ 和 $B(4,5)$ 两点，则这个二次函数的表达式为 $\qquad$ .

把 $A(2,0)$ 和 $B(4,5)$ 的坐标代入 $y=a x^{2}+b x-1$ 得到关于 $a 、 b$ 的方程组求解即可.

【详解】解: 把 $A(2,0)$ 和 $B(4,5)$ 的坐标代入 $y=a x^{2}+b x-1$
$\left\{\begin{array}{l}4 a+2 b-1=0 \\ 16 a+4 b-1=5\end{array}\right.$ 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

所以二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x-1$.

【点睛】本题主要考查考了用待定系数法求解抛物线解析式, 熟练掌握待定系数法是解题的关键.

