已知 $f(x)=x^{2}-\frac{1}{x}+a, g(x)=\log _{3}\left(2^{x}+1\right)$, 若对 $\forall x_{1} \in[1,3], \exists x_{2} \in[1,3]$,使得 $g\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$, 则实数 $a$ 的取值范围为
因为 $g(x)=\log _{3}\left(2^{x}+1
ight)$ 在 $[1,3]$ 为增函数, 且 $g(1)=1, g(3)=2$,以 $x \in[1,3], g(x) \in[1,2]$.因为 $f^{\prime}(x)=2 x+rac{1}{x^{2}}$, 所以 $x \in[1,3], f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 为增函数.$f(1)=a, f(3)=9-rac{1}{3}+a=rac{26}{3}+a$, 故 $x \in[1,3], f(x) \in\left[a, rac{26}{3}+a
ight]$ 因为对 $orall x_{1} \in[1,3], \exists x_{2} \in[1,3]$, 使得 $g\left(x_{1}
ight)=f\left(x_{2}
ight)$, 所以 $\left\{egin{array}{l}a \leq 1 \ rac{26}{3}+a \geq 2\end{array}
ight.$, 解得 $-rac{20}{3} \leq a \leq 1$,故答案为 $\left[-rac{20}{3}, 1
ight]$.