19. 如图, $\odot \mathrm{O}$ 中的弦 $\mathrm{CD}$ 与直径 $\mathrm{AB}$ 相交于点 $\mathrm{E}, \mathrm{M}$ 为 $\mathrm{AB}$ 延长线上一点, $\mathrm{MD}$ 为 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, $\mathrm{D}$为切点, 若 $A E=2, D E=4, C E=3, D M=4$, 则 $O B=$ \$ \qquad \$ $\mathrm{MB}=$ \$ \qquad \$

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解答: 由于 $\mathrm{AB}$ 和 $\mathrm{CD}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的两条相交弦,

则 $A E \cdot E B=C E \cdot E D$. 即 $2 E B=3 \times 4$.

所以 $\mathrm{EB}=6$, 故 $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{EB}=2+6=8$. 所以 $\mathrm{OB}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=4$.

由于 $\mathrm{MD}$ 为 $\odot \mathrm{O}$ 的切线,

则 $\mathrm{MD}^{2}=\mathrm{MB} \cdot \mathrm{MA}=\mathrm{MB} \cdot(\mathrm{MB}+\mathrm{AB})$,

所以 $4^{2}=M B \cdot(M B+8)$, 解得 $M B=-4 \pm 4 \sqrt{2}$.

由于 $\mathrm{MB}>0$,则 $\mathrm{MB}=4 \sqrt{2}-4$.

分析: 本题主要考查了与圆有关的比例线段, 解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段满足的有关性质计算即可