12. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n}=\frac{1}{3}\left(a_{n}-1\right)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

(1)求 $a_{1}, a_{2}$ ，(2)求证: 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列.
(1) 解 由 $S_{1}=\frac{1}{3}\left(a_{1}-1\right)$, 得 $a_{1}=\frac{1}{3}\left(a_{1}-1\right)$,

$\therefore a_{1}=-\frac{1}{2}$. 又 $S_{2}=\frac{1}{3}\left(a_{2}-1\right)$,

即 $a_{1}+a_{2}=\frac{1}{3}\left(a_{2}-1\right)$, 得 $a_{2}=\frac{1}{4}$.

(2)证明 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

$=\frac{1}{3}\left(a_{n}-1\right)-\frac{1}{3}\left(a_{n-1}-1\right)$,

得 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=-\frac{1}{2}$, 又 $\frac{a_{2}}{a_{1}}=-\frac{1}{2}$,

所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $-\frac{1}{2}$, 公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列.