已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2}+b x+c<0$ 的解集是 $\left\{x \mid x<-2\right.$ 或 $\left.x>-\frac{1}{2}\right\}$, 求不等式 $a x^{2}-b x+c>0$ 的解集.
答案: 由已知条件知 -2 和 $-\frac{1}{2}$ 是方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的两根, 且 $a<0$.

$\therefore-2-\frac{1}{2}=-\frac{b}{a},(-2) \times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{a}, \therefore b=\frac{5}{2} a, c=a$.

从而不等式 $a x^{2}-b x+c>0$ 变为 $a\left(x^{2}-\frac{5}{2} x+1\right)>0$.

$\because a<0, \therefore 2 x^{2}-5 x+2<0$. 即 $(x-2)(2 x-1)<0$, 解得 $\frac{1}{2}<x<2$.

$\therefore$ 所求不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{2}<x<2\right.\right\}$.

解析: 根据已知不等式的解集形式, 可确定字母 $a$ 的符号, 又根据其解集区间端点的值即为不等式所对应方程的两根, 从而利用根与系数的关系, 找出 $a, b, c$ 之间的关系, 代入所求不等式即可.