如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N, P$ 分别是 $C_{1} D_{1}, B C, A_{1} D_{1}$ 的中点,则下列命题正确的是 ( )

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分析: 记 $\mathrm{AC} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{O}$, 则 $\mathrm{MN} / / \mathrm{OD}_{1}$, 利用线面平行的判定可得 $\mathrm{MN} / /$ 平面 $\mathrm{BD}_{1} \mathrm{D}$.

详解:

A: $M N$ 和 $A P$ 是异面直线, 故选项不正确;

B: $M N$ 和 $B D_{1}$ 是异面直线, 故选项不正确;

$\mathrm{C}:$ 记 $\mathrm{AC \cap BD}=\mathrm{O}$.

$\because$ 正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中, $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}, \mathrm{BC}$ 是的中点,

$\therefore \mathrm{ON} / / \mathrm{D}_{1} \mathrm{M} / / \mathrm{CD}, \mathrm{ON}=\mathrm{D}_{1} \mathrm{M}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{MNOD}_{1}$ 为平行四边形,

$\therefore \mathrm{MN} / / \mathrm{OD}_{1}$,

$\because \mathrm{MN}$ 平面 $\mathrm{BD}_{1} \mathrm{D}, \mathrm{OD}_{1} \subset$ 平面 $\mathrm{BD}_{1} \mathrm{D}$,

$\therefore \mathrm{MN} / /$ 平面 $\mathrm{BD}_{1} \mathrm{D}$.

$\mathrm{D}$ : 由 $\mathrm{C}$ 知 $M N / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$, 而面 $B B_{1} D_{1} D$ 和面 $B D P$ 相交, 故选项不正确;

故答案为 C.

点睛: 这个题目考查了空间中点线面的位置关系, 对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除, 判断.还可以画出样图进行判断, 利用常见的立体图形, 将点线面放入特殊图形, 进行直观判断.