设平面 $\pi$ 与圆柱的轴的夹角为 $\beta\left(0^{\circ}<\beta<90^{\circ}\right)$, 现放入 Dandlin 双球使之与圆柱面和平面 $\pi$都相切,若已知 Dandlin 双球与平面 $\pi$ 的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则截线椭圆的离心率为 ( )
解析：解答：Dandelin 双球与平面 $\pi$ 的切点恰好是椭圆的焦点, 圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长, 由题意知, $2 \mathrm{~b}=2 \mathrm{c}$. 故 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}}{\sqrt{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}}}=\frac{\mathrm{c}}{\sqrt{2} \mathrm{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

分析: 本题主要考查了平面与圆柱面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线的性质结合离心率概念计算即可