14. 已知不等式 $x^{2}+p x+1>2 x+p$.

(1)如果不等式当 $|p| \leqslant 2$ 时恒成立, 求 $x$ 的取值范围;

(2)如果不等式当 $2 \leqslant x \leqslant 4$ 时恒成立, 求 $p$ 的取值范围.
(1)不等式化为 $(x-1) p+x^{2}-2 x+1>0$,

令 $f(p)=(x-1) p+x^{2}-2 x+1$,

则 $f(p)$ 的图象是一条直线. 又 $\because|p| \leqslant 2$,

$\therefore-2 \leqslant p \leqslant 2$, 于是得: $\left\{\begin{array}{l}f(-2)>0, \\ f(2)>0 .\end{array}\right.$

即 $\left\{\begin{array}{l}(x-1) \cdot(-2)+x^{2}-2 x+1>0, \\ (x-1) \cdot 2+x^{2}-2 x+1>0 .\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+3>0, \quad \therefore x>3 \text { 或 } x<-1 . \\ x^{2}-1>0 .\end{array}\right.$

故 $x$ 的取值范围是 $x>3$ 或 $x<-1$.

(2) 不等式可化为 $(x-1) p>-x^{2}+2 x-1$,

$\because 2 \leqslant x \leqslant 4, \quad \therefore x-1>0$.

$\therefore p>\frac{-x^{2}+2 x-1}{x-1}=1-x$.

由于不等式当 $2 \leqslant x \leqslant 4$ 时恒成立,

$\therefore p>(1-x)_{\text {max }}$. 而 $2 \leqslant x \leqslant 4$,

$\therefore(1-x)_{\max }=-1$, 于是 $p>-1$.

故 $p$ 的取值范围是 $p>-1$.哈哈