如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle B A C=30^{\circ}, A C=3$, 将 $\triangle A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针旋转 $135^{\circ}$ 得到 $\triangle E D C$, 则图中阴影部分的面积为 $\qquad$ .

<ImageHere>


解: 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle B A C=30^{\circ}, A C=3$,

$\therefore A B=2 B C, B C^{2}+A C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore B C^{2}+3^{2}=(2 B C)^{2}$,

解得 $B C=\sqrt{3}$,

过 $E$ 作 $B C$ 的垂线, 交 $B C$ 的延长线于 $H$,

由旋转的性质得 $C E=A C=3, \angle A C E=135^{\circ}$,

<ImageHere>

$\because \angle A C H=\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E C H=\angle A C E-A C H=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C E H=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle E C H$,

$\therefore C H=E H$,

在Rt $\triangle C E H$ 中, $C H^{2}+E H^{2}=C E^{2}$,

$\therefore 2 E H^{2}=3^{2}$,

$\therefore E H=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$,

$\therefore S_{B C E}=\frac{1}{2} B C \cdot E H=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2}=\frac{3 \sqrt{6}}{4}$,

故答案为: $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$.

在 Rt $\triangle A B C$ 中, 根据含 30 度直角三角形的性质和勾股定理求出 $B C$, 过 $E$ 作 $B C$ 的垂线, 交 $B C$ 的延长线于 $H$, 由旋转的性质求出 $C E$ 和 $\angle A C E$, 进而证得 $\triangle C E H$ 是等腰直角三角形, 根据勾股定理求出 $E H$, 根据三角形的面积公式求出 $S_{B C E}$ 即可.

本题主要考查了旋转的性质, 含 30 度直角三角形的性质, 勾股定理等知识, 正确作出辅助线, 求出线段 $B C$ 和 $E H$ 的长度是解决问题的关键.

