21. 已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且 $b \sin 2 A=a \sin B$.

(1) 求 $A$;

(2) 若 $a=2, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
(1) 由 $b \sin 2 A=a \sin B$, 得 $2 b \sin A \cos A=a \sin B$, 1 分

由正弦定理，得 $2 \sin B \sin A \cos A=\sin A \sin B$,

由于 $\sin A \sin B \neq 0$,

所以 $\cos A=\frac{1}{2}$.

因为 $0<A<\pi$, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由余弦定理, 得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 5 分

又 $a=2$, 所以 $4=b^{2}+c^{2}-b c$. 6 分

又 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 即 $\frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{3}$,
即 $\frac{1}{2} b c \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, 即 $b c=4$. (2) …….....................8 8 分

由(1)(2)得 $b^{2}+c^{2}=8, \ldots . . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . .9$ 分

则 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=8+8=16$,

得 $b+c=4$. 11 分

所以 $\triangle A B C$ 的周长为 6 . 12 分