在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 已知 $a=\sqrt{7}, b=3$,

$\sqrt{7} \sin B+\sin A=2 \sqrt{3}$.

(1) 求角 $A$ 的大小;

(2) 求 $\triangle A B C$ 的面积.
试题分析：(1) 先由正弦定理求得 $\sin B$ 与 $\sin A$ 的关系, 然后结合已知等式求得 $\sin A$ 的值, 从而求得 $A$ 的值; (2) 先由余弦定理求得 $C$ 的值, 从而由 $\cos B$ 的范围取舍 $C$ 的值, 进而由面积公式求解.试题解析: (1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 得 $\frac{\sqrt{7}}{\sin A}=\frac{3}{\sin B}$, 即 $\sqrt{7} \sin B=3 \sin A$.又因为 $\sqrt{7} \sin B+\sin A=2 \sqrt{3}$, 所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因为 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$, 得 $\frac{1}{2}=\frac{9+c^{2}-7}{6 c}$, 即 $c^{2}-3 c+2=0$. 解得 $c=1$或 $c=2$.

当 $c=1$ 时, 因为 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=-\frac{\sqrt{7}}{14}<0$, 所以角 $B$ 为针角, 不符合题意, 舍去.当 $c=2$ 时,因为 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{\sqrt{7}}{14}>0$, 又 $b>c, b>a \Rightarrow B>C, B>A$, 所以 $\triangle A B C$ 为锐角三角形,符合题意. 所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

考点: 1、正余弦定理；2、三角形面积公式.