如图, $\angle A O B=\alpha, O A_{1} 、 O B_{1}$ 分别是 $\angle A O M$ 和 $\angle M O B$ 的平分线, $O A_{2} 、 O B_{2}$ 分别是 $\angle A_{1} O M$ 和 $\angle M O B_{1}$ 的平分线, $O A_{3} 、 O B_{3}$ 分别是 $\angle A_{2} O M$ 和 $\angle M O B_{2}$ 的平分线, $\ldots, O A_{n}$ 、分别是 $\angle A_{n-1} O M$ 和 $\angle M O B_{n-1}$ 的平分线, 则 $\angle A_{n} O B_{n}$ 的度数是 ( )

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$\because \angle A O B=\alpha, O M$ 是 $\angle A O B$ 中的一射线,

$\therefore \angle A O M+\angle M O B=\alpha$,

$\because O A_{1} 、 O B_{1}$ 分别是 $\angle A O M$ 和 $\angle M O B$ 的平分线,

$\therefore \angle A_{1} O M=\frac{1}{2} \angle A O M, \angle B_{1} O M=\frac{1}{2} \angle B O M$

$\therefore \angle A_{1} O B_{1}=\angle A_{1} O M+\angle B_{1} O M=\frac{1}{2} \angle A O M+\frac{1}{2} \angle B O M=\frac{1}{2}(\angle A O M+\angle B O M)=\frac{1}{2} \angle A O B=\frac{1}{2} \alpha$,

$\because O A_{2} 、 O B_{2}$ 分别是 $\angle A_{1} O M$ 和 $\angle M O B_{1}$ 的平分线,

$\therefore \angle A_{2} O M=\frac{1}{2} \angle A_{1} O M, \angle B_{2} O M=\frac{1}{2} \angle B_{1} O M$,

$\therefore \angle A_{2} O B_{2}=\angle A_{2} O M+\angle B_{2} O M=\frac{1}{2} \angle A_{1} O M+\frac{1}{2} \angle B_{1} O M=\frac{1}{2}\left(\angle A_{1} O M+\angle B_{1} O M\right)=\frac{1}{2} \angle A_{1} O B_{1}=$ $\frac{1}{2^{2}} \alpha$

$\because O A_{3} 、 O B_{3}$ 分别是 $\angle A_{2} O M$ 和 $\angle M O B_{2}$ 的平分线,

$\therefore \angle A_{3} O M=\frac{1}{2} \angle A_{2} O M, \angle B_{3} O M=\frac{1}{2} \angle B_{2} O M$,

$\therefore \angle A_{3} O B_{3}=\angle A_{3} O M+\angle B_{3} O M=\frac{1}{2} \angle A_{2} O M+\frac{1}{2} \angle B_{2} O M=\frac{1}{2}\left(\angle A_{2} O M+\angle B_{2} O M\right)=\frac{1}{2} \angle A_{2} O B_{2}=$ $\frac{1}{2^{3}} \alpha$

$\because O A_{n}$ 、分别是 $\angle A_{n-1} O M$ 和 $\angle M O B_{n-1}$ 的平分线,

$\therefore \angle A_{\mathrm{n}} O M=\frac{1}{2} \angle A_{n-1} O M, \angle B_{\mathrm{n}} O M=\frac{1}{2} \angle B_{n-1} O M$,

$\therefore \angle A_{\mathrm{n}} O B_{\mathrm{n}}=\angle A_{\mathrm{n}-1} O M+\angle B_{\mathrm{n}-1} O M=\frac{1}{2} \angle A_{n-1} O M+\frac{1}{2} \angle B_{n-1} O M=\frac{1}{2}\left(\angle A_{n-1} O M+\angle B_{n-1} O M\right)=$ $\frac{1}{2} \angle A_{n-1} O B_{n-1}=\frac{1}{2^{n}} \alpha$,

故选择 C.