20. 已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2}(a \in R)$ 在 $x=-\frac{4}{3}$ 处取得极值.

(1) 确定 $\boldsymbol{a}$ 的值;

(2) 若 $g(x)=f(x) e^{x}$, 讨论 $g(x)$ 的单调性.


：(1) 对 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 x$,

因为 $f(x)$ 在 $x=-\frac{4}{3}$ 处取得极值, 所以 $f^{\prime}\left(-\frac{4}{3}\right)=0$,

即 $3 a \times \frac{16}{9}+2 \times\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{16 a}{3}-\frac{8}{3}=0$, 解得 $a=\frac{1}{2}$ ；

(2) 由(1) 得, $g(x)=\left(\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}\right) e^{x}$,

故 $g^{\prime}(x)=\left(\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right) e^{x}+\left(\frac{1}{2} x^{3}+x^{2}\right) e^{x}=\left(\frac{1}{2} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}+2 x\right) e^{x}$

$=\frac{1}{2} x(x+1)(x+4) e^{x}$,
令 $g^{\prime}(x)=0$, 解得 $x=0, x=-1$ 或 $x=-4$,

当 $x<-4$ 时, $g^{\prime}(x)<0$, 故 $g(x)$ 为减函数,

当 $-4<x<-1$ 时, $g^{\prime}(x)>0$, 故 $g(x)$ 为增函数,

当 $-1<x<0$ 时, $g^{\prime}(x)<0$, 故 $g(x)$ 为减函数,

当 $x>0$ 时, $g^{\prime}(x)>0$, 故 $g(x)$ 为增函数,

综上所知: $(-\infty,-4)$ 和 $(-1,0)$ 是函数 $g(x)$ 单调减区间,

$(-4,-1)$ 和 $(0,+\infty)$ 是函数 $g(x)$ 的单调增区间.