我们把 $a 、 b 、 c$ 三个数的中位数记作 $Z|a, b, c|$, 直线 $y=k x+2 k(k>0)$ 与函数 $y=Z \left\lvert\, \frac{1}{2} x+2\right.$, $x+1,-x+1$ | 的图象有且只有 1 个交点, 则 $k$ 的取值为 \$ \qquad \$
如图:

<ImageHere>

利用函数图象法作出函数函数 $y=Z\left|\frac{1}{2} x+2, x+1,-x+1\right|$ 的图象, 注意中位数的定义，保留中位数的图象, 直线 $y=k x+2 k(k>0)$ 过一个定点 $(-2,0)$, 利用拐点的性质,
根据图象有且只有 1 个交点, 找出答案 $0<k \leq \frac{1}{2}$ 或 $k>\frac{3}{4}$.

故答案为: $0<k \leq \frac{1}{2}$ 或 $k>\frac{3}{4}$.