已知 $\left(x^{2}+y^{2}+2\right)\left(x^{2}+y^{2}+4\right)=15$, 则 $x^{2}+y^{2}$ 的值为 $(\quad)$
解：设 $t=x^{2}+y^{2}(t \geq 0)$, 则原方程转化为 $(t+2)(t+4)=15$,整理, 得 $(t+7) \quad(t-1)=0$.

解得 $t=-7$ (舍去) 或 $t=1$.

所以 $x^{2}+y^{2}$ 的值为 1 .

本题主要考查了换元法解一元二次方程, 换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.