(8 分) 如图, 已知抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 经过 $A(-1,0) 、 B(3,0)$ 两点.

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(1)求 $b, c$ 的值和顶点坐标;

(2)当 $0<x<3$ 时, 求 $y$ 的取值范围.


(1) 将点 $A, B$ 代入计算可得 $b, c$ 的值, 从而可得抛物线的解析式, 再将解析式化成顶点式，据此可得顶点坐标;

（2）根据二次函数的增减性求解即可得.

【详解】(1) 解: 将点 $A(-1,0), B(3,0)$ 代入 $y=x^{2}+b x+c$ 得: $\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0 \\ 9+3 b+c=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}b=-2 \\ c=-3\end{array}\right.$,

则 $y=x^{2}-2 x-3=(x-1)^{2}-4$,

所以抛物线的顶点坐标为 $(1,-4)$.

（2）解: 由（1）可知, $y=x^{2}-2 x-3=(x-1)^{2}-4$,

则在 $0<x<3$ 内, 当 $0<x \leq 1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $1<x<3$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x=0$ 时, $y=-3$; 当 $x=1$ 时, $y=-4$; 当 $x=3$ 时, $y=0$,所以 $y$ 的取值范围是 $-4 \leq y<0$.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题关键.

