如图, 已知 $\odot O$ 的直径 $A B, D$ 为 $\odot O$ 上一点 (不与 $A 、 B$ 重合), 连接 $A D 、 B D$. 弦 $D C$ 平分 $\angle A D B$, 交 $A B$ 于点 $E$, 过点 $\mathrm{A}$ 作 $A F \perp C D$ 于点 $F$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 连接 $D G$,若 $D G=A E$, 则 $\angle G$ 的度数为 $\qquad$ $\circ$.

    <ImageHere>

    (第 18 题)

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 $D G$ 交 $A B$ 于 $H$, 如图, 根据圆周角定理得到 $\angle A D B=90^{\circ}$, 则 $\angle A D C=45^{\circ}$, 再证明 $\angle D A F=45^{\circ}, A F=D F$, 则可判断 Rt $\triangle A E F \cong \mathrm{Rt} \triangle D G F$, 所以 $\angle E A F=\angle G D F$, 接着证明 $\angle D H E=\angle A F E=90^{\circ}$, 则根据垂径定理得到 $B D=B G$, 然后根据圆周角定理得到 $\angle B A G=\angle B A D=22.5^{\circ}$, 最后利用互余可计算出 $\angle G$ 的度数.

【详解】解： $D G$ 交 $A B$ 于 $H$, 如图,

<ImageHere>

$\because \odot O$ 的直径 $A B$,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\because$ 弦 $D C$ 平分 $\angle A D B$,

$\therefore \angle A D C=45^{\circ}$,

$\because A F \perp C D$,
$\therefore \angle A F D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A F=45^{\circ}, \quad A F=D F$,

在 Rt $\triangle A E F$ 和 Rt $\triangle D G F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D G \\ A F=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A E F \cong \mathrm{Rt} \triangle D G F(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle E A F=\angle G D F$,

$\because \angle A E F=\angle D E H$,

$\therefore \angle D H E=\angle A F E=90^{\circ}$,

$\therefore A B \perp D G$,

$\therefore B D=B G$

$\therefore \angle B A G=\angle B A D=\frac{1}{2} \angle D A G=22.5^{\circ}$,

$\therefore \angle G=90^{\circ}-\angle G A H=67.5^{\circ}$.

故答案为: 67.5 .

【点睛】本题考查了圆周角定理: 在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半; 半圆（或直径）所对的圆周角是直角, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径. 也考查了垂径定理.

