已知 $\mathrm{B}$ 港口位于 $\mathrm{A}$ 观测点北偏东 $45^{\circ}$ 方向, 且其到 $\mathrm{A}$ 观测点正北风向的距离 $\mathrm{BM}$ 的长为 $10 \sqrt{2} \mathrm{~km}$, 一艘货轮从 $\mathrm{B}$ 港口沿如图所示的 $\mathrm{BC}$ 方向航行 $4 \sqrt{7} \mathrm{~km}$ 到达 $\mathrm{C}$ 处, 测得 $\mathrm{C}$ 处位于 $\mathrm{A}$ 观测点北偏东 $75^{\circ}$ 方向,则此时货轮与 $\mathrm{A}$ 观测点之间的距离 $\mathrm{AC}$ 的长为 $(\quad) \mathrm{km}$.
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【分析】根据 $\angle \mathrm{MAB}=45^{\circ}, \mathrm{BM}=10 \sqrt{2}$ 和勾股定理求出 $\mathrm{AB}$ 的长, 再根据 $\tan \angle \mathrm{BAD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}$, 求出 $\mathrm{BD}$ 的长,即可得出 $\mathrm{AD}$ 以及 $\mathrm{CD}$ 的长, 进而得出答案.

解: $\because \angle \mathrm{MAB}=45^{\circ}, \mathrm{BM}=10 \sqrt{2}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{B} \mathrm{M}^{2}+\mathrm{MA}^{2}}=\sqrt{(10 \sqrt{2})^{2}+(10 \sqrt{2})^{2}}=20 \mathrm{~km}$,

过点 $B$ 作 $B D \perp A C$, 交 $A C$ 的延长线于 $D$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ADB}$ 中, $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{MAC}-\angle \mathrm{MAB}=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$,

$\tan \angle \mathrm{BAD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \mathrm{AD}=\sqrt{3} B \mathrm{BD}$,

$B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}, \quad$ 即 $B D^{2}+(\sqrt{3} B D)^{2}=20^{2}$,
$\therefore \mathrm{BD}=10$

$\therefore \mathrm{AD}=10 \sqrt{3}$,

在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCH}$ 中, $\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}, \mathrm{BC}=4 \sqrt{7}$,

$\therefore \mathrm{CD}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AD}-\mathrm{CD}=10 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=8 \sqrt{3} \mathrm{~km}$,

答: 此时货轮与 $\mathrm{A}$ 观测点之间的距离 $\mathrm{AC}$ 的长为 $8 \sqrt{3} \mathrm{~km}$.

故选 A.
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