已知函数 $f(x)=a x^{2}+b x+1$ 是定义在 $[a+1,2 a]$ 上的偶函数, 那么 $a+b$ 的值为 ( ).
A 点拨: $\because$ 函数 $f(x)=a x^{2}+b x+1$ 是定义在 $[a+1,2 a]$ 上的偶函数,

$\therefore a+1+2 a=0$, 解得 $a=-\frac{1}{3}$. 此时 $f(x)=-\frac{1}{3} x^{2}+b x+1$ 的对称轴 $x=-\frac{b}{2 \times\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3 b}{2}=0$, 即 $b=0$,

$\therefore a+b=-\frac{1}{3}$.