022-上海七年级期末) 正数 $a, b, c$ 满足 $a b+2 a+2 b=b c+2 b+2 c=a c+2 a+2 c=12$, 那么 $(a+2)(b+2)(c+2)=$ \$ \qquad \$
子 $a b+2 a+2 b=b c+2 b+2 c$ 因式分解为 $(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+2)=0$, 求得 $\mathrm{a}=\mathrm{c}$, 同理可得 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$, 再 $a b+2 a+2 b=12$ 可化为 $\mathrm{a}^{2}+4 a-12=0$, 求出 $\mathrm{a}$ 的值, 再求 $(a+2)(b+2)(c+2)$ 得值即可.

【详解】解: $\because a b+2 a+2 b=b c+2 b+2 c, \therefore$ ab-bc+2(a-c)=0, 即 $(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+2)=0$, $\because \mathrm{b}>0, \therefore \mathrm{b}+2 \neq 0, \therefore \mathrm{a}-\mathrm{c}=0, \therefore \mathrm{a}=\mathrm{c}$, 同理可得 $\mathrm{a}=\mathrm{b}, \mathrm{b}=\mathrm{c}, \therefore \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$,

$\therefore a b+2 a+2 b=12$ 可化为 $\mathrm{a}^{2}+4 a-12=0 \therefore(\mathrm{a}+6)(\mathrm{a}-2)=0$,

$\because \mathrm{a}$ 为正数, $\quad \therefore \mathrm{a}+6 \neq 0, \therefore \mathrm{a}-2=0, \therefore \mathrm{a}=2$, 即 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=2$,

$\therefore(a+2)(b+2)(c+2)=(2+2) \times(2+2) \times(2+2)=64$ 故答案为 64 .

【点睛】本题考查因式分解的应用; 能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键.