如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A D / / B C$ 交 $\odot O$ 于点 $D, D F / / A B$ 交 $B C$ 于点 $E$, 交 $\odot O$于点 $F$, 连接 $A F, C F$.

<ImageHere>

(1)求证: $A C=A F$;

(2)若 $\odot O$ 的半径为 $3, \angle C A F=30^{\circ}$, 求 $A C$ 的长（结果保留 $\pi$ ).


(1) 根据已知条件可证明四边形 $A B E D$ 是平行四边形, 由平行四边形的性质可得 $\angle B=\angle D$, 等量代换可得 $\angle A F C=\angle A C F$, 即可得出答案;

(2) 连接 $A O, C O$, 由 (1) 中结论可计算出 $\angle A F C$ 的度数, 根据圆周角定理可计算出 $\angle A O C$的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案.

【详解】(1) 证明: $\because A D / / B C, D F / / A B$,

$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形,

$\therefore \angle B=\angle D$,
$\because \angle A F C=\angle B, \angle A C F=\angle D$,

$\therefore \angle A F C=\angle A C F$,

$\therefore A C=A F$.

(2) 解: 连接 $A O, C O$, 如图,

<ImageHere>

由（1）得 $\angle A F C=\angle A C F$,

$\because \angle A F C=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$,

$\therefore \angle A O C=2 \angle A F C=150^{\circ}$,

$\therefore A C$ 的长 $l=\frac{150 \times \pi \times 3}{180}=\frac{5 \pi}{2}$.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质, 平行四边形的判定与性质, 圆的性质与弧长公式, 考查化归与转化思想, 推理能力, 几何直观等数学素养.

