（2021 秋・兴文县期中）【阅读】代数中的很多等式可以用几何图形直观表示, 这种思想叫“数形结合”思想. 如图 1, 现有正方形 $A$ 类、 $B$ 类卡片和长方形 $C$ 类卡片若干张, 若要拼成一个长为 $2 a+b$ 、宽为 $a+2 b$ 的大长方形, 可以先计算大长方形面积为 $(2 a+b)(a+2 b)=2 a^{2}+2 b^{2}+5 a b$, 则分别需要 $A$类、B类、 $C$ 类卡片 2 张、 2 张、 5 张, 拼成的图形如图 2 所示.

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图1

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图2

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图3

【探究】(1) 若要拼成一个长为 $a+3 b$ 、宽为 $a+b$ 的大长方形, 则需要 $A$ 类、 $B$ 类、 $C$ 类卡片各多少张？并画出示意图.

[应用](2) (1)由图 3 可得等式: \$ \qquad \$
(2)已知 $a+b+c=11, a b+b c+a c=38$, 利用(1)中所得结论, 求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的值.
(1) 根据 $(a+3 b)(a+b)$ 的画图。

（2）根据等面积法推导. (3) 通过图 3 面积, 找到 $a+b+c$ 与 $a b+b c+a c$ 值的关系求解.

【答案】 (1) $\because(a+3 b)(a+b)=a^{2}+3 b^{2}+4 a b$.

$\therefore$ 需要 $A$ 类卡片 1 张, $B$ 类卡片 3 张, $C$ 类卡片 4 张.

如下图:

| $A$ | $C$ | $C$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $C$ | $B$ | $B$ | $B$ |

(2) (1)图 3 中大正方形的面积 $=(a+b+c)^{2}$, 还可以表示为: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

故答案为: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

(2) 由(1)知: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=11^{2}-2 \times 38=45$.

【点睛】本题考查因式分解的应用, 用两种方法表示同一个图形的面积找出代数恒等式是求解本题的
关键.