如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=5, B C=3, A C=4$, 以点 $C$ 为圆心的圆与 $A B$ 相切, 则 $\odot C$ 的半径为 $($ )

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【分析】

此题考查了圆的切线的性质, 勾股定理, 以及直角三角形斜边上的高的求解方法. 此题难度不大, 解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用, 设切点为 $D$, 连接 $C D$, 由 $A B$ 是 $\odot C$的切线, 即可得 $C D \perp A B$, 又由在直角 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=3, B C=4$, 根据勾股定理求得 $A B$ 的长, 然后由三角形的面积公式, 即可求得以 $C$ 为圆心与 $A B$ 相切的圆的半径的长.

【解答】

解: 在 $\triangle A B C$ 中, $\because A B=5, B C=3, A C=4$,

$\therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore \angle C=90^{\circ}$,

设切点为 $D$, 连结 $C D$,

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$\because A B$ 是 $\odot C$ 的切线,

$\therefore C D \perp A B$,

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B C=\frac{1}{2} A B \cdot C D$,

$\therefore A C \cdot B C=A B \cdot C D$,

即 $C D=\frac{A C \cdot B C}{A B}=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$,

$\therefore \odot C$ 的半径为 2.4 .