25. (2017 新课标 I) $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2}}{3 \sin A}$

(1)求 $\sin B \sin C$;

(2)若 $6 \cos B \cos C=1, a=3$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
(1) 由题设得 $\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{a^{2}}{3 \sin A}$, 即 $\frac{1}{2} c \sin B=\frac{a}{3 \sin A}$由正弦定理得 $\frac{1}{2} \sin C \sin B=\frac{\sin A}{3 \sin A}$. 故 $\sin B \sin C=\frac{2}{3}$.

(2) 由题设及 (1) 得 $\cos (B+C)=\cos B \cos C-\sin B \sin C=\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}$所以 $B+C=\frac{2 \pi}{3}$, 故 $A=\frac{\pi}{3}$. 由题设得 $\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{a^{2}}{3 \sin A}$, 即 $b c=8$.

由余弦定理得 $b^{2}+c^{2}-b c=9$, 即 $(b+c)^{2}-3 b c=9$, 得 $b+c=\sqrt{33}$.

故 $\triangle A B C$ 的周长为 $3+\sqrt{33}$.