25. 设复数 $\mathrm{z}$ 满足 $4 \mathrm{z}+2 \bar{z}=3 \sqrt{3}+\mathrm{i}, \omega=\sin \theta-i \cos \theta(\theta \in \mathrm{R})$. 求 $\mathrm{z}$ 的值和 $|\mathrm{z}-\omega|$ 的取值范围.
：解答：设 $\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R})$, 则 $\bar{z}=\mathrm{a}-\mathrm{bi}$, 代入 $4 \mathrm{z}+2 \bar{z}=3 \sqrt{3}+\mathrm{i}$,得 $4(a+b i)+2(a-b i)=3 \sqrt{3}+i$.

$\therefore$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ b=\frac{1}{2},\end{array}, \therefore \mathrm{z}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right.$.

$|\mathrm{z}-\omega|=\left|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} i-(\sin \theta-i \cos \theta)\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin \theta\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}+\cos \theta\right)^{2}}$

$=\sqrt{2-\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta}=\sqrt{2-2 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)} \cdot 2$
$\because-1 \leq \sin \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1, \quad \therefore 0 \leqslant 2-2 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) \leqslant 4$.

$\therefore 0 \leqslant|\mathrm{z}-\omega| \leq 2$.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算、复数求模, 解决问题的关键是设 $\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R})$, 可得 $\bar{z}=\mathrm{a}-\mathrm{bi}$, 代入 $4 \mathrm{z}+2 \bar{z}=3 \sqrt{3}+\mathrm{i}$ 化简整理根据复数相等得到 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值, 求得 $|\mathrm{z}-\omega|$, 根据三角函数性质求解其值域得到所求复数模的范围即可.