已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 是同一平面内的三个向量, 其中 $\boldsymbol{a}=(1,2)$.

（1）若 $|c|=2 \sqrt{5}$, 且 $\boldsymbol{c} / \boldsymbol{a}$, 求 $\boldsymbol{c}$ 的坐标;

（2）若 $|\boldsymbol{b}|=\frac{\sqrt{5}}{2}$, 且 $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}$ 与 $2 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 垂直, 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$.
(1) 设 $\boldsymbol{c}=(x, y), \because|c|=2 \sqrt{5}$ 且 $\boldsymbol{c} / / \boldsymbol{a}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}=20 \\ 2 x-y=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=-4\end{array}\right.$,

$c=(2,4)$ 或 $\boldsymbol{c}=(-2,-4)$.

(2) 由已知得 $\because(a+2 b) \perp(2 a-b), \therefore(a+2 b) \cdot(2 a-b)=0$,

即 $2 \boldsymbol{a}^{2}+3 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b}^{2}=0, \therefore 2 \times 5+3 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \times \frac{5}{4}=0$ ，

整理得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\frac{5}{2}, \therefore \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}|}=-1$,

又 $\theta \in[0, \pi], \therefore \theta=\pi$.