15. 已知圆内接四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长分别是 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=6, \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=4$, 则四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积等于 \$ \qquad \$
：解答：由于四点共圆, $\therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$.

$\therefore \cos \mathrm{B}=-\cos \mathrm{D}$.

根据余弦定理, 得 $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \cos \mathrm{B}, \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DC}^{2}-2 \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC} \cdot \cos \mathrm{D}$,

$\therefore \mathrm{AC}^{2}=2^{2}+6^{2}-2 \times 2 \times 6 \cos \mathrm{B}$

$=2^{2}+6^{2}+2 \times 2 \times 6 \cos D$,
$\mathrm{AC}^{2}=4^{2}+4^{2}-2 \times 4 \times 4 \cos \mathrm{D}$,

$\therefore \cos \mathrm{D}=-\frac{1}{7}, \sin \mathrm{D}=\sin \mathrm{B}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$.

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积 $=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \sin \mathrm{B}+\frac{1}{2} \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DC} \cdot \sin \mathrm{D}=8 \sqrt{3}$

分析: 本题主要考查了圆内接四边形的性质与判断定理, 解决问题的关键是根据圆内接四边形的性质与判断定理结合所给条件根据余弦定理计算即可