, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N, P$ 分别是 $A D_{1}, B D, B_{1} C$ 的中点.求证:

<ImageHere>

(1) $M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$;

(2) 平面 $M N P / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$.
【分析】

(1) 连接 $A C, C D_{1}$, 根据线面平行的判定定理, 即可证明结论成立;

(2) 连接 $B C_{1}, C_{1} D$, 先由线面平行的判定定理, 得到 $P N \|$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$, 再由 (1)的结果，结合面面平行的判定定理，即可证明结论成立.

## 【详解】

(1) 如图, 连接 $A C, C D_{1}$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $N$ 是 $B D$ 的中点, $\therefore N$ 是 $A C$ 的中点.

又 $\because M$ 是 $A D_{1}$ 的中点, $\therefore M N / / C D_{1}$.

$\because M N \not \subset$ 平面 $C C_{1} D_{1} D, C D_{1} \subset$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$,
$\therefore M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$.

(2) 连接 $B C_{1}, C_{1} D$,

$\because$ 四边形 $B_{1} B C C_{1}$ 是正方形, $P$ 是 $B_{1} C$ 的中点, $\therefore P$ 是 $B C_{1}$ 的中点.

<ImageHere>

又 $\because N$ 是 $B D$ 中点, $\therefore P N \| C_{1} D$.

$\because P N \not \subset$ 平面 $C C_{1} D_{1} D, C_{1} D \subset$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$,

$\therefore P N \|$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$.

由（1）知 $M N / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ ，且 $M N \cap P N=N$,

$\therefore$ 平面 $M N P / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$.

## 【点睛】

本题主要考查证明线面平行与面面平行, 熟记线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理即可，属于常考题型.