12. 如图椭圆 $E$ 经过点 $A(2,3)$, 对称轴为坐标轴, 焦点 $F_{1}, F_{2}$在 $x$ 轴上, 离心率 $e=\frac{1}{2}$.

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(1)求粗圆 $E$ 的方程;

(2)求 $\angle F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线的方程.
：解 (1)设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 .(a>b>0)$由 $e=\frac{1}{2}$, 得 $\frac{c}{a}=\frac{1}{2}, b^{2}=a^{2}-c^{2}=3 c^{2}, \therefore \frac{x^{2}}{4 c^{2}}+\frac{y^{2}}{3 c^{2}}=1$.

将 $A(2,3)$ 代入, 有 $\frac{1}{c^{2}}+\frac{3}{c^{2}}=1$, 解得 $c=2$,

$\therefore$ 椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$.

(2) 由(1)知 $F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$,

$\therefore$ 直线 $A F_{1}$ 的方程为 $y=\frac{3}{4}(x+2)$,

即 $3 x-4 y+6=0$. 直线 $A F_{2}$ 的方程为 $x=2$.
由椭圆 $E$ 的图形知, $\angle F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线的斜率为正数.

设 $P(x, y)$ 为 $\angle F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线上任一点, 则有 $\frac{|3 x-4 y+6|}{5}=|x-2|$,

若 $3 x-4 y+6=5 x-10$,

得 $x+2 y-8=0$, 其斜率为负, 不合题意, 舍去.

于是 $3 x-4 y+6=-5 x+10$, 即 $2 x-y-1=0$.

$\therefore \angle F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线的方程为

$2 x-y-1=0$.