设函数 $f(x)=2 \cos x(\cos x+\sqrt{3} \sin x)(x \in R)$.

(1) 求函数 ${ }^{y=f(x)}$ 的周期和单调递增区间;

(2) 当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, 求函数 ${ }^{f(x)}$ 的最大值.
（1）因为 $f(x)=2 \cos x(\cos x+\sqrt{3} \sin x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$

$\because 2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, \quad \therefore k \pi-\frac{\pi}{3} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{6}$,

$\therefore$ 函数 $^{y=f(x)}$ 的单调递增区间为: $\left(k \pi-\frac{\pi}{3}, k \pi+\frac{\pi}{6}\right)(k \in Z)$;

$$
\begin{equation*}
\because x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \quad \therefore 2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right] \tag{2}
\end{equation*}
$$

$\therefore \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right) \in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$,

$\therefore f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$

的最大值是 3 .