已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和为 $S_{n}, a_{1}=\frac{1}{2}, S_{n} S_{n-1}+S_{n}-S_{n-1}=0(n \geq 2)$.

(1) 求证: 数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 是等差数列;

(2) 若 $C_{n}=\left\{\begin{array}{c}\frac{S_{n}}{n+3}, n \text { 为奇数 } \\ 2^{n-1}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 设数列 $\left\{c_{n}\right\} \quad$ 前项和为 $T_{n}$, 求 $T_{2 n}$.
(1) 证明: 因为 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{n} S_{n-1}+S_{n}-S_{n-1}=0(n \geq 2)$, 所以 $a_{2}=-\frac{1}{6}$, 所以 $S_{n-1} S_{n} \neq 0$,所以 $\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n-1}}=1$.

所以 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 是以 $\frac{1}{S_{n}}=2$ 为首项, 以 1 为公差的等差数列.

(2) 由（1）可得 $\frac{1}{S_{n}}=2+(n-1)=n+1$, 所以 $S_{n}=\frac{1}{n+1}$.

$\therefore C_{n}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{(n+1)(n+3)}(n \text { 为奇数 }) \\ 2^{n-1}(n \text { 为偶数 })\end{array}\right.$

$\therefore T_{2 n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+2}\right)+\left(2^{1}+2^{3}+\cdots+2^{2 n-1}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2 n+2}\right)+\frac{2^{2 n+1}-2}{3}=\frac{2^{2 n+1}}{3}-\frac{5}{12}-\frac{1}{4 n+4}$