对于三个数 $a, b, c$, 我们规定用 $M\{a, b, c\}$ 表示这三个数的平均数, 用 $\min \{a, b, c\}$ 表示这三个数中最小的数. 例如: $M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}, \min \{-1,2,3\}=-1$. 如果 $M\{3,2 x+1,4 x-1\}$ $=\min \{2,-x+3,5 x\}$, 那么 $x=$ \$ \qquad \$ .
解: $M\{3,2 x+1,4 x-1\}=\min \{2,-x+3,5 x\}$,

(1) 若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=2$, 则 $x=\frac{1}{2}$, (符合题意)

(2)若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=-x+3$, 则 $x=\frac{2}{3}, \quad(-x+3$ 不是三个数中最小的数, 不符合题意 $)$

(3) 若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=5 x$, 则 $x=\frac{1}{3}$, (符合题意)

故答案为: $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$.

本题考查了一元一次方程的应用. 解题的关键是弄清新定义运算的法则, 并分情况讨论.