三棱雉 $P-A B C$ 的外接球的球心 $O$ 在 $A B$ 上, 且二面角 $P-A B-C$ 的大小为 $120^{\circ}$, 若三棱雉 $P-A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}, P A=P B=A C=B C$, 则球 $O$ 的表面积为
【分析】

取 $A B$ 中点 $O$ 即球心, 利用等腰三角形常作辅助线能够证明 $A B \perp$ 平面 $P O C$ 同时得出二面角的平面角, 利用棱雉体积公式进行求解求出球半径.

## 【详解】

解: 设球半径为 $r$, 则 $O A=O B=O C=O P=r$, 所以 $O$ 是 $A B$ 的中点,

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因为 $P A=P B, A C=B C$, 所以 $O P \perp A B, O C \perp A B$, 所以 $A B \perp$ 平面 $O P C, \angle P O C$为二面角 $P-A B-C$ 的平面角, $\angle P O C=120^{\circ}$,所以体积 $V=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle P O C} \cdot A B=\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot \sin 120^{\circ}\right) \cdot 2 r=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$, 所以 $r=2$,

所以球的表面积 $S=4 \pi r^{2}=16 \pi$.

故答案为: $16 \pi$.

## 【点睛】

本题考查求球的表面积, 考查棱雉的体积公式和二面角. 解题中利用等腰三角形性质证得线面垂直，找到二面角的平面角，使问题得到解决.