如图, $C$ 为射线 $A B$ 上一点, $A B=30, A C$ 比 $B C$ 的 $\frac{1}{4}$ 多 $5, P, Q$ 两点分别从 $A, B$ 两点同时出发. 分别以 2 单位/秒和1单位/秒的速度在射线 $A B$ 上沿 $A B$ 方向运动, 运动时间为 $t$ 秒, $M$ 为 $B P$的中点, $N$ 为 $Q M$ 的中点, 以下结论:

(1) $B C=2 A C$; (2) $A B=4 N Q$; (3)当 $P B=\frac{1}{2} B Q$ 时, $t=12$, 其中正确结论的个数是 $(\quad)$

<ImageHere>


## 【分析】

本题考查两点间的距离, 解题的关键是求出 $P$ 到达 $B$ 点时的时间, 以及点 $P$ 与 $Q$ 重合时的时间, 涉及分类讨论的思想. 根据 $A C$ 比 $B C$ 的 $\frac{1}{4}$ 多 5 可分别求出 $A C$ 与 $B C$ 的长度, 然后分别求出当 $P$ 与 $Q$ 重合时,此时 $t=30 s$, 当 $P$ 到达 $B$ 时, 此时 $t=15 s$, 最后分情况讨论点 $P$ 与 $Q$ 的位置.

## 【解答】

解：设 $B C=x$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore A C=\frac{1}{4} x+5 \\
& \because A C+B C=A B
\end{aligned}
$$

$\therefore x+\frac{1}{4} x+5=30$,

解得: $x=20$,

$\therefore B C=20, A C=10$,

$\therefore B C=2 A C$, 故(1)成立,

$\because A P=2 t, B Q=t$,

当 $0 \leq t \leq 15$ 时,

此时点 $P$ 在线段 $A B$ 上,
$\therefore B P=A B-A P=30-2 t$,

$\because M$ 是 $B P$ 的中点

$$
\therefore M B=\frac{1}{2} B P=15-t
$$

$\because Q M=M B+B Q$,

$\therefore Q M=15$,

$\because N$ 为 $Q M$ 的中点,

$\therefore N Q=\frac{1}{2} Q M=\frac{15}{2}$,

$\therefore A B=4 N Q$,

当 $15<t \leq 30$ 时,

此时点 $P$ 在线段 $A B$ 外, 且点 $P$ 在 $Q$ 的左侧,

$\therefore A P=2 t, B Q=t$,

$\therefore B P=A P-A B=2 t-30$,

$\because M$ 是 $B P$ 的中点

$$
\therefore B M=\frac{1}{2} B P=t-15
$$

$\because Q M=B Q-B M=15$,

$\because N$ 为 $Q M$ 的中点,

$\therefore N Q=\frac{1}{2} Q M=\frac{15}{2}$,

$\therefore A B=4 N Q$,

当 $t>30$ 时,

此时点 $P$ 在 $Q$ 的右侧,

$\therefore A P=2 t, B Q=t$,

$\therefore B P=A P-A B=2 t-30$,

$\because M$ 是 $B P$ 的中点

$\therefore B M=\frac{1}{2} B P=t-15$

![](本地图片-