已知函数 $f(x)=\frac{2}{x-2}(x \in[3,6])$,

(1)讨论函数 $f(x)$ 在 $[3,6]$ 上的单调性, 并证明你的结论;

(2)求函数 $f(x)$ 的最大值与最小值;

(3) 若函数 $g(x)=m$ 的图像恒在 $f(x)$ 的图像的上方, 求 $m$ 的取值范围.
(1) 函数 $f(x)$ 在 $[3,6]$ 上是减函数, 下面进行证明:

任取 $x_{1}, x_{2} \in[3,6]$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{2}-x_{1}>0$.

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{2}{x_{1}-2}-\frac{2}{x_{2}-2}=\frac{2\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)}>0$,

即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$.

由单调函数的定义可知, 函数 $f(x)=\frac{2}{x-2}$ 在 $[3,6]$ 上是减函数.

(2)由(1)知, $f(x)_{\max }=f(3)=2$,

$f(x)_{\min }=f(6)=\frac{1}{2}$.

(3) 若函数 $g(x)=m$ 的图像恒在 $f(x)$ 的图像的上方, 则 $m$ 应不小于函数 $f(x)$ 的最大值 $2, \therefore m$ 的取值范围是 $m \geq 2$.