综合与探究

如图, 抛物线 $y=a x^{2}+b x+3$ 与 $x$ 轴交于 $\mathrm{A}, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 直线 $l$ 与拋物线交于 $A(-6,0), D(-1,5)$ 两点, 点 $P$ 是直线 $A D$ 上方抛物线上一点, 设点 $P$ 的横坐标为 $m$, 过点 $P$作 $P E \perp A D$ 于点 $E$.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)当 $P E$ 的长最大时, 求线段 $P E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标;

(3)连接 $B C, O P$, 试探究: 在点 $P$ 运动的过程中, 是否存在点 $P$, 使得 $\angle O P E=\angle B C O$,若存在, 请直接写出 $m$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

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(1) 由待定系数法即可求解;

（2）证明 $P E=\frac{\sqrt{2}}{2} P N$, 进而求解;

（3）在 $R t \triangle P T O$ 中, $\tan \angle O P E=\frac{1}{3}=\frac{B T}{P T}=\frac{t}{t+P N}$, 求出 $P N=2 t$, 在等腰 $R t \triangle P H N$ 中, $P H=N H=\frac{\sqrt{2}}{2} P N=\sqrt{2} t$, 进而得到点 $P(-2 s, s)$, 即可求解.

【详解】(1) 解: 由题意得: $\left\{\begin{array}{c}36 a-6 b+3=0 \\ a-b+3=5\end{array}\right.$,
解得: $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2} \\ b=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$,

故抛物线的表达式为: $y=-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{2} x+3$;

(2) 解：过点 $P$ 作 $P H \perp x$ 轴于点 $H$, 交 $A D$ 于点 $N$,

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由点 A、 $D$ 的坐标得, 直线 $A D$ 的表达式为: $y=x+6$,

则直线 $A D$ 和 $x$ 轴的正半轴的夹角为 $45^{\circ}$, 则 $\angle A N H=\angle D A O=45^{\circ}=\angle P N E$,

则 $P E=\frac{\sqrt{2}}{2} P N$,

设点 $P$ 的坐标为: $\left(m,-\frac{1}{2} m^{2}-\frac{5}{2} m+3\right)$, 则点 $N(m, m+6)$,

则 $P N=-\frac{1}{2} m^{2}-\frac{5}{2} m+3-m-6=-\frac{1}{2} m^{2}-\frac{7}{2} m-3=-\frac{1}{2}\left(m+\frac{7}{2}\right)^{2}+\frac{25}{8} \leq \frac{25}{8}$,

即 $P N$ 的最大值为 $\frac{25}{8}$, 此时, 点 $P$ 的坐标为: $\left(-\frac{7}{2}, \frac{45}{8}\right)$,

则 $P E$ 的最大值为 $\frac{25 \sqrt{2}}{16}$,

故点 $P$ 的坐标为: $\left(-\frac{7}{2}, \frac{45}{8}\right), P E$ 的最大值为 $\frac{25 \sqrt{2}}{16}$;

（3）解：存在, 理由:

过点 $O$ 作 $O T \perp P E$ 交 $P E$ 的延长线于点 $T, P T$ 交 $x$ 轴于点 $N$, 过点 $P$ 作 $P H \perp x$ 轴于点 $H$,

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$\because \angle O P E=\angle B C O$,

则在 $\triangle O B C$ 中, $\tan \angle O C B=\frac{O B}{O C}=\frac{1}{3}=\tan \angle O P E$,
由直线 $A D$ 的表达式知, $\angle D A O=45^{\circ}=\angle P N H=\angle B N T$,

设 $B T=t=N T$, 则 $N B=\sqrt{2} t$,

在 $R t \triangle P T O$ 中, $\tan \angle O P E=\frac{1}{3}=\frac{B T}{P T}=\frac{t}{t+P N}$,

则 $P N=2 t$,

在等腰 Rt $\triangle P H N$ 中, $P H=N H=\frac{\sqrt{2}}{2} P N=\sqrt{2} t$,

即 $P H=\sqrt{2} t, O H=B N+H N=\sqrt{2} t+\sqrt{2} t=2 \sqrt{2} t$,

设 $s=\sqrt{2} t$, 则 $P H=s, O H=2 S$,

则点 $P(-2 s, s)$, 即 $m=-2 s$,

将点 $P$ 的坐标代入抛物线的表达式得: $s=-\frac{1}{2}(-2 s)^{2}-\frac{5}{2}(-2 s)+3$,

解得: $s=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$,

则 $m=-2 s= \pm \sqrt{10}-2$ (舍去正值)，

则 $m=-\sqrt{10}-2$.

【点睛】本题是二次函数综合题, 主要考查了一次和二次函数的性质、解直角三角形等, 有一定的综合性, 难度适中.

