如图, 正方形 $A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在 $B C 、 C D$ 上, $\triangle A E F$ 是等边三角形, 连接 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$,
下列结论:

(1) $B E=D F$, (2) $\angle D A F=15^{\circ}$, (3) $A C$ 垂直平分 $E F$, (4) $B E+D F=E F$, (5) $S_{\triangle C E F}=2 S_{\triangle A B E}$.其中正确结论有 $(\quad)$ 个.

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A B=B C=C D=A D, \angle B=\angle B C D=\angle D=\angle B A D=90^{\circ}$.

$\because \triangle A E F$ 等边三角形,

$\therefore A E=E F=A F, \angle E A F=60^{\circ}$.

$\therefore \angle B A E+\angle D A F=30^{\circ}$.

在Rt $\triangle A B E$ 和Rt $\triangle A D F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=A F \\ A B=A D\end{array}\right.$,

Rt $\triangle A B E \cong R t \triangle A D F(H L)$

$\therefore B E=D F$ (故①)正确).

$\angle B A E=\angle D A F$,

$\therefore \angle D A F+\angle D A F=30^{\circ}$,

即 $\angle D A F=15^{\circ}$ (故(2)正确),

$\because B C=C D$,

$\therefore B C-B E=C D-D F$, 即 $C E=C F$,

$\because A E=A F$

$\therefore A C$ 垂直平分 $E F$. (故(3)正确).

设 $E C=x$, 由勾股定理, 得

$E F=\sqrt{2} x, C G=\frac{\sqrt{2}}{2} x$,

$A G=A E \sin 60^{\circ}=E F \sin 60^{\circ}=2 \times C G \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2} x$,

$\therefore A C=\frac{\sqrt{6} x+\sqrt{2} x}{2}$,

$\therefore A B=\frac{\sqrt{3} x+x}{2}$,

$\therefore B E=\frac{\sqrt{3} x+x}{2}-x=\frac{\sqrt{3} x-x}{2}$,
$\therefore B E+D F=\sqrt{3} x-x \neq \sqrt{2} x$, (故(4)错误),

$\because S_{\triangle C E F}=\frac{x^{2}}{2}$,

$S_{\triangle A B E}=\frac{\frac{\sqrt{3} x-x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} x+x}{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}$,

$\therefore 2 S_{\triangle A B E}=\frac{x^{2}}{2}=S_{\triangle C E F}$, (故(5)正确).

综上所述, 正确的有 4 个,

故选: $A$.