22. (2016 年全国 II) $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_{1}=1, S_{7}=28$ 记 $b_{n}=\left[\lg a_{n}\right]$, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 如 $[0,.9]=0,[\lg 99]=1$.

(I) 求 $b_{1}, b_{11}, b_{101}$;

(II) 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 1000 项和.
(（I ) 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d, S_{7}=7 a_{4}=28$,

$\therefore a_{4}=4, \quad \therefore d=\frac{a_{4}-a_{1}}{3}=1, \quad \therefore a_{n}=a_{1}+(n-1) d=n$.

$\therefore b_{1}=\left[\lg a_{1}\right]=[\lg 1]=0, \quad b_{11}=\left[\lg a_{11}\right]=[\lg 11]=1, \quad b_{101}=\left[\lg a_{101}\right]=\left[\lg _{101}\right]=2$

(II) 记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$, 则 $T_{1000}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{1000}$

$=\left[\lg a_{1}\right]+\left[\lg a_{2}\right]+\cdots+\left[\lg a_{1000}\right]$.

当 $0 \leqslant \lg a_{n}<1$ 时, $n=1,2, \ldots, 9$;

当 $1 \leqslant \lg a_{n}<2$ 时, $n=10,11, \ldots, 99$;

当 $2 \leqslant \lg a_{n}<3$ 时, $n=100,101, \ldots, 999$ ；

当 $\lg a_{n}=3$ 时, $n=1000$

$\therefore T_{1000}=0 \times 9+1 \times 90+2 \times 900+3 \times 1=1893$.