在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}$, 点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 内一点

(含边界), 若 $\overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{A C}$, 则 $|\overrightarrow{A P}|$ 的最大值为（）
以 $A$ 为原点, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴, 建立如图所示的坐标系,

<ImageHere>

$\because A B=3, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}, \therefore A(0,0), B(3,0), C(1, \sqrt{3})$,

设点 $P$ 为 $(x, y), 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \sqrt{3}$,

$\because \overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{A C}, \therefore(x, y)=\frac{2}{3}(3,0)+\lambda(1, \sqrt{3})=(2+\lambda, \sqrt{3} \lambda)$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=\sqrt{3} \lambda\end{array}, \therefore y=\sqrt{3}(x-2),(1)\right.$

直线 $B C$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-3),(2$,

联立(1)(2), 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3} \\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$,

此时 $|\overrightarrow{A P}|$ 最大, $\therefore|A P|=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{3}}=\frac{2 \sqrt{13}}{3}$, 故选 D.