(12 分) 如图所示, 已知 $\odot O$ 的半径是 1 , 点 $C$ 在直径 $A B$ 的延长线上, $B C=1$, 点 $P$ 是 $\odot O$ 上半圆上的一个动点, 以 $P C$ 为边作等边三角形 $P C D$, 且点 $D$ 与圆心分别在 $P C$ 的两侧.

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(1)若 $\angle P O B=\theta$, 试将四边形 $O P D C$ 的面积 $y$ 表示为关于 $\theta$ 的函数;

(2)求四边形 $O P D C$ 面积的最大值.
(1)在 $\triangle P O C$ 中, 由余弦定理,

得 $P C^{2}=O P^{2}+O C^{2}-2 O P \cdot O C \cdot \cos \theta$

$=5-4 \cos \theta$,

所以 $y=S_{\triangle O P C}+S_{\triangle P C D}$

$=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{4} \times(5-4 \cos \theta)$

$=2 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{5 \sqrt{3}}{4}$.

(2)当 $\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$, 即 $\theta=\frac{5 \pi}{6}$ 时, $y_{\text {max }}=2+\frac{5 \sqrt{3}}{4}$.

答 四边形 $O P D C$ 面积的最大值为 $2+\frac{5 \sqrt{3}}{4}$.