(2014 福建) 已知圆 $C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$, 设平面区域 $\Omega=\left\{\begin{array}{l}x+y-7 \leq 0, \\ x-y+7 \geq 0, \\ y \geq 0\end{array}\right.$, 若圆心 $C \in \Omega$,且.

圆 $C$ 与 $x$ 轴相切, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的最大值为
平面区域 $\Omega$ 为如图所示的阴影部分的 $\triangle A B D$,

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因圆心 $C(a, b) \in \Omega$, 且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切, 所以点 $C$ 在如图所示的线段 $M N$ 上, 线段 $M N$ 的方程为 $y=1(-2 \leqslant x \leqslant 6)$, 由图形得, 当点 $C$ 在点 $N(6,1)$ 处时, $a^{2}+b^{2}$ 取得最大值 $6^{2}+1^{2}=37$, 故选 C.