设函数 $f(x)=a^{x}-a^{-x}(a>0, a \neq 1), f(1)=\frac{3}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 设 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x), g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最小值为 -1 , 求 $m$.
(1) 由函数 $f(x)=a^{x}-a^{-x}$, 且 $f(1)=\frac{3}{2}$,

可得 $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$, 整理得 $2 a^{2}-3 a-2=0$, 解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{1}{2}$ （舍去）,

所以函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$.

(2) 由 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x)$ ，

可得 $g(x)=2^{2 x}+2^{-2 x}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)=\left(2^{x}-2^{-x}\right)^{2}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)+2$,

令 $t=f(x)=2^{x}-2^{-x}$,

可得函数 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$ 为增函数, $\because x \geq 1, \therefore t \geq f(1)=\frac{3}{2}$,

令 $h(t)=t^{2}-2 m t+2=(t-m)^{2}+2-m^{2}\left(t \geqslant \frac{3}{2}\right)$.
若 $m \geq \frac{3}{2}$, 当 $t=m$ 时, $h(t)_{\text {min }}=2-m^{2}=-1, \therefore m= \pm \sqrt{3}, \therefore m=\sqrt{3}$

若 $m<\frac{3}{2}$, 当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $h(t)_{\min }=\frac{17}{4}-3 m=-1$, 解得 $m=\frac{7}{4}>\frac{3}{2}$, 舍去.

综上可知 $m=\sqrt{3}$.