(10 分) 如图, 已知 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $C D$ 是弦, $A B \perp C D$ 于 $E, O F \perp A C$ 于 $F$,连接 $O C, C B, B E=O F$.

(1)求证: $O F / / B C$;

(2)求证: $\triangle A F O \cong \triangle C E B$;

(3)若 $B C=6 \mathrm{~cm}$, 求 $C D$ 的值及阴影部分的面积.

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(1) 利用直径所对的圆周角等于 $90^{\circ}$, 得到 $A C \perp B C$, 再利用 $O F \perp A C$ 即可证明 $O F / / B C$;

(2) 利用 $A B \perp C D$, 得到 $B C=B D$, 进一步得到 $\angle C A B=\angle B C D$, 再根据 $A A S$ 即可证明三角形全等;

（3）连接 $D O$, 由全等三角形的性质得到 $O A=B C=6 \mathrm{~cm}$, 则可证明 $\triangle O B C$ 是等边三角形,得到 $\angle C O B=60^{\circ}$, 再推出 $C D=2 C E, O E=\frac{1}{2} O B=3 \mathrm{~cm}, B C=B D$ 即可求出 $\angle C O D=120^{\circ}$, $C D=2 C E=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, 再根据阴影部分面积等于扇形 $C O D$ 的面积减去三角形 $C O D$ 的面积进行求解即可.

【详解】(1) 证明: $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore A C \perp B C$,

又 $\because O F \perp A C$,

$\therefore O F / / B C$.

(2) 证明: $\because A B \perp C D, A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore B C=B D$,

$\therefore \angle C A B=\angle B C D$,

在 $\triangle A F O$ 和 $\triangle C E B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A F O=\angle C E B=90^{\circ} \\ \angle F A O=\angle E C B \\ O F=B E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A F O \cong \triangle C E B(A A S)$.

(3) 解: 连接 $D O$,

$\because \triangle A F O \cong \triangle C E B$,

$\therefore O A=B C=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O B=O C=O A=B C=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \triangle O B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle C O B=60^{\circ}$,

$\because A B \perp C D$,

$\therefore C D=2 C E, \quad O E=\frac{1}{2} O B=3 \mathrm{~cm}, \quad B C=B D$

$\therefore \angle C O B=\angle D O B=60^{\circ}, \quad C E=\sqrt{O C^{2}-O E^{2}}=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,
$\therefore \angle C O D=120^{\circ}, C D=2 C E=6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

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$\therefore$ 扇形 $C O D$ 的面积是: $\frac{120^{\circ} \times \pi \times 6^{2}}{360^{\circ}}=12 \pi \mathrm{cm}^{2}, \triangle C O D$ 的面积是:

$\frac{1}{2} C D \cdot O E=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 3=9 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$,

$\therefore$ 阴影部分的面积是: $(12 \pi-9 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理, 全等三角形的判定及性质, 垂径定理, 勾股定理, 扇形的面积公式, 圆周角定理等等, 解题的关键是熟练掌握以上相关知识.

