求函数 $y=3-2 \sin \frac{1}{2} x$ 的最值及取到最值时的自变量 $x$ 的集合.
$\because-1 \leqslant \sin \frac{1}{2} x \leqslant 1, \therefore$ 当 $\sin \frac{1}{2} x=-1, \frac{1}{2} x=2 k \pi-\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

即 $x=4 k \pi-\pi, k \in \mathbf{Z}, y_{\text {max }}=5$,

此时自变量 $x$ 的集合为 $\{x \mid x=4 k \pi-\pi, k \in \mathbf{Z}\}$;

当 $\sin \frac{1}{2} x=1, \frac{1}{2} x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

即 $x=4 k \pi+\pi, k \in \mathbf{Z}$ 时, $y_{\text {min }}=1$,

此时自变量 $x$ 的集合为 $\{x \mid x=4 k \pi+\pi, k \in \mathbf{Z}\}$.