在一次独立性检验中，得出列联表如下:

|  | $A$ | $\bar{A}$ | 合计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $B$ | 200 | 800 | 1000 |
| $\bar{B}$ | 180 | $a$ | $180+a$ |
| 合计 | 380 | $800+a$ | $1180+a$ |

且最后发现, 两个分类变量 $A$ 和 $B$ 没有任何关系, 则 $a$ 的可能值是( )
$.

Q $2.706<3.620<3.841, \therefore$ 有 $90 \%$ 的把握认为团体的人均消费高于 200 元与团体带儿童有关.

9.答案: (1)由统计数据得 $2 \times 2$ 列联表:

|  | 甲班 | 乙班 | 总计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 成绩优良 | 9 | 16 | 25 |
| 成绩不优良 | 11 | 4 | 15 |
| 总计 | 20 | 20 | 40 |

根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据, 得 $K^{2}$ 的观测值为 $k=\frac{409 \times 416 \times 112}{25 \times 15 \times 20 \times 20} \approx 5.227>5.024$,

所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为 $\frac{15}{40} \times 8=3$, 则 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$.

$P(X=0)=\frac{C_{11}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{33}{91} ; \quad P(X=1)=\frac{C_{11}^{2} \cdot C_{4}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{44}{91} ;$
$F(X=2)=\frac{C_{11}^{1} C_{4}^{2}}{C_{15}^{3}}=\frac{66}{455} ; P(X=3)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{4}{455}$. 所以 $X$ 的分布列为:

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{33}{91}$ | $\frac{44}{91}$ | $\frac{66}{455}$ | $\frac{4}{455}$ |

所以 $E(X)=0 \times \frac{33}{91}+1 \times \frac{44}{91}+2 \times \frac{66}{455}+3 \times \frac{4}{455}=\frac{364}{455}$.