已知函数 $f(x)=\ln (x+1), g(x)=\ln (1-x)$.

（1）判断函数 $f(x)-g(x)$ 的奇偶性, 并予以证明.

(2) 求使不等式 $f(x)+g(x)<0$ 成立的 $x$ 的取值集合.


解: (1) 函数 $f(x)-g(x)$ 为奇函数, 以下予以证明:

设 $F(x)=f(x)-g(x)=\ln (x+1)-\ln (1-x)=\ln \frac{1+x}{1-x} ，$

则函数 $F(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$, 关于原点对称. $\because F(-x)=f(-x)-g(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=\ln \frac{1-x}{1+x}$
$=-\ln \frac{1+x}{1-x}=-[f(x)-g(x)]=-F(x)$

$\therefore$ 函数 $F(x)$ 为奇函数.

即函数 $f(x)-g(x)$ 为 $(-1,1)$ 上的奇函数.

(2) $\because f(x)+g(x)=\ln (x+1)+\ln (1-x)=\ln (x+1)(1-x)<0$

$\therefore(x+1)(1-x)<1$

即 $x^{2}>0 \quad \therefore x \neq 0$. 又 $x \in(-1,1)$.

$\therefore$ 不等式 $f(x)+g(x)<0$ 成立的 $x$ 的取值集合为 $(-1,0) \cup(0,1)$.