若直线 $a x+2 b y-2=0(a, b>0)$ 始终平分圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-8=0$ 的周长, 则 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$ 的最
小值为 ( )


由圆的性质可知, 直线 $a x+2 b y-2=0(a, b>0)$,

是圆的直径所在的直线方程,

$\because$ 圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y-8=0$ 的标准方程为: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=13$,

$\therefore$ 圆心 $(2,1)$ 在直线 $a x+2 b y-2=0$ 上,

$\therefore 2 a+2 b-2=0$, 即 $a+b=1$,

$\because \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)(a+b)=3+\frac{b}{a}+\frac{2 a}{b} \geq 3+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{2 a}{b}}=3+2 \sqrt{2}$,

$\therefore \frac{1}{a}+\frac{2}{b}$ 的最小值为 $3+2 \sqrt{2}$, 故选 D.