在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $P$ 是射线 $A C$ 上任意一点(不与

$A 、 D 、 C$ 三点重合), 过点 $P$ 作 $P Q \perp A B$, 垂足为 $Q$, 交直线 $B D$ 于 $E$.

(1)如图(1), 当点 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 说明 $\angle P D E=\angle P E D$.

(2)作 $\angle C P Q$ 的角平分线交直线 $A B$ 于点 $F$, 则 $P F$ 与 $B D$ 有怎样的位置关系? 画出图形并说明理由.

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图(1)

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备用图
解【答案】解: (1) $\because P Q \perp A B$,

$\therefore \angle E Q B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E Q+\angle E B Q=90^{\circ}, \angle C B D+\angle P D E=90^{\circ}$,

$\because B D$ 为 $\angle A B C$ 的平分线,

$\therefore \angle C B D=\angle E B Q$,

$\because \angle P E D=\angle B E Q$,

$\therefore \angle P D E=\angle P E D$;

(2)当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 此时 $P F / / B D$,
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理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P F$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线, $\angle C P Q$ 为 $\triangle P D E$ 的外角,
$\therefore \angle C P F=\angle Q P F=\angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P F / / B D$;

当 $P$ 在线段 $A C$ 延长线上时, 如图2所示, $P F \perp B D$,

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P M$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线,

$\therefore P F \perp B D$.

【解析】(1)由 $P Q$ 与 $A B$ 垂直, 得到一对直角相等, 理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余, 再 $B D$ 为角平分线, 利用角平分线定义得到一对角相等, 再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;

(2)分两种情况, 当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 可得出 $P F$ 与 $B D$ 平行, 由第一问的结论利用等角对等边得到 $P D=P E$, 利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证; 当 $P$ 在 $A C$ 延长线时, $P F$ 垂直于 $B D$, 由 $P D=P E$,利用三线合一即可得证.

此题考查了平行线的判定, 以及直角三角形的性质, 熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.