(6 分) 如图, $A, C, B . D$ 四点都在 $\odot O$ 上, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 且 $A B=6, \angle A C D$ $=45^{\circ}$, 求弦 $A D$ 的长.

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根据直径所对的圆周角是直角, 则可得 $\angle A D B=90^{\circ}$, 同圆中, 同弧所对圆周的角相等, 可得 $\angle A B D=\angle A C D=45^{\circ}$, 即可得 $\triangle A B D$ 为等腰直角三角形, 然后根据等腰直角三角形的性质, 即可求得 $A D$ 的长.

【详解】解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$

$\because A D=A D$

$\therefore \angle A B D=\angle A C D=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B D$ 为等腰直角三角形,

$\therefore A D=\frac{\sqrt{2}}{2} A B=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 6=3 \sqrt{2}$ 。

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角, 同圆中, 同弧所对圆周的角相等, 勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.

