9. 已知 $a, b$ 为实数, 且 $a>0, b>0$,

(1) 求证: $\left(a+b+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a^{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}}\right) \geq 9$;

答案:证明:因为 $a>0, b>0$,

所以 $a+b+\frac{1}{a} \geq 3 \sqrt[3]{a \cdot b \cdot \frac{1}{a}}=3 \sqrt[3]{b}>0$

同理可证 $a^{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a}}>0$

由(1), (2)结合不等式的性质得

$\left(a+b+\frac{1}{a}\right)\left(a^{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a^{2}}\right) \geq 3 \sqrt[3]{b} \times 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a}}=9$,

(2) 求 $(5-2 a)^{2}+4 b^{2}+(a-b)^{2}$ 的最小值.
:【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是(1)利用综合法证明不等式即可; (2)利用柯西不等式,证明不等式即可.