已知幂函数 $f(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 又函数 $g(x)=2^{x}+\frac{m}{2^{x}}$.

(1) 求实数 $m$ 的值, 并说明函数 $g(x)$ 的单调性;

(2) 若不等式 $g(1-3 t)+g(1+t) \geq 0$ 恒成立, 求实数 $t$ 的取值范围.


(1) 因为 $f(x)$ 是幂函数, 所以 $m^{2}-m-1=1$, 解得 $m=-1$ 或 $m=2$,

又因为 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 所以 $-2 m-1>0$, 即 $m<-\frac{1}{2}$,

即 $m=-1$, 则 $g(x)=2^{x}-\frac{1}{2^{x}}$,

因为 $y=2^{x}$ 与 $y=-\frac{1}{2^{x}}$ 均在 $R$ 上单调递增,

所以函数 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递增.

(2) 因为 $g(-x)=2^{-x}-\frac{1}{2^{-x}}=-\left(2^{x}-\frac{1}{2^{x}}\right)=-g(x)$,

所以 $g(x)$ 是奇函数,

所以不等式 $g(1-3 t)+g(1+t) \geq 0$ 可变为 $g(1-3 t) \geq-g(1+t)=g(-1-t)$,

由（1）知 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递增, 所以 $1-3 t \geq-1-t$,

解得 $t \leq 1$.

【点睛】

本题考查实数值的求法, 考查函数的单调性的判断, 考查实数的取值范围的求法, 考查幂函数的性质等基础知识, 考查运算求解能力, 是基础题.