任何一个复数 $z=a+b \mathrm{i}$ (其中 $a, b \in \mathbf{R}, \mathrm{i}$ 为虚数单位) 都可以表示成 $z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)$ (其中 $r \geq 0, \theta \in \mathbf{R})$ 的形式, 通常称之为复数 $z$ 的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现:

$[r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)]^{n}=r^{n}(\cos n \theta+\mathrm{i} \sin n \theta)(n \in \mathbf{Z})$, 我们称这个结论为棣莫弗定理. 由棣莫弗定理可知, “ $n$ 为偶数” "是 “复数 $\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)^{n}(n \in \mathbf{Z})$ 为实数” 的 ( )
由 $\left(\cos rac{\pi}{2}+i \sin rac{\pi}{2}
ight)^{n}=\cos rac{n \pi}{2}+i \sin rac{n \pi}{2}$ 为实数, 得 $\sin rac{n \pi}{2}=0$,故 $rac{n \pi}{2}=k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 即 $n=2 k, k \in \mathbf{Z}$,故“ $n$ 为偶数” 是 “复数 $\left(\cos rac{\pi}{2}+i \sin rac{\pi}{2}
ight)^{n}(n \in Z)$ 为实数”的充要条件, 故选 C.