已知函数 $f(x)=-f^{\prime}(0) e^{x}+2 x$, 点 $P$ 为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线 $l$ 上的一点, 点 $Q$ 在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上, 则 $|\mathrm{PQ}|$ 的最小值为 \$ \qquad \$ .
答案: $\sqrt{2}$

【解析】【解答】由 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-\mathrm{f}^{\prime}(0) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2$, 令 $\mathrm{x}=0$ 可得 $\mathrm{f}^{\prime}(0)=-\mathrm{f}^{\prime}(0) \mathrm{e}^{0}+2$, 即 $\mathrm{f}^{\prime}(0)=1$, 所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-$ $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+2 \mathrm{x}$, 所以切线的斜率 $\mathrm{k}=\mathrm{f}^{\prime}(0)=1$, 又 $\mathrm{f}(0)=-1$, 故切线方程为 $\mathrm{y}+1=\mathrm{x}-0$, 即 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-1=0$. 由题意可知与直线 $x-y-1=0$ 平行且与曲线 $y=e^{x}$ 相切的切点到直线 $x-y-1=0$ 的距离即为所求. 设切点为 $\mathrm{Q}\left(\mathrm{t}, \mathrm{e}^{\mathrm{t}}\right)$, 则 $\mathrm{k}_{1}=e^{\mathrm{t}}=1$, 故 $\mathrm{t}=0$, 即 $\mathrm{Q}(0,1)$, 该点到直线 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-1=0$ 的距离为 $\mathrm{d}={ }^{\frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$,
故答案为: $\sqrt{2}$.

【分析】由导数在 $\mathrm{x}=0$ 时的函数值即切线的斜率, 求出切线方程, 再求与直线 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-1=0$ 平行且与曲线 $y=e^{x}$ 相切直线 $x-y-1=0$, 则两条直线的距离即为所求.