, 已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E, F$ 分别为 $C_{1} D_{1}, B B_{1}$ 的中点, 则线段 $A E$ 的长为 , $\triangle A E F$ 在底面 $A B C D$ 上投影的面积是

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【分析】

取 $C D$ 中点 $G$, 可知 $E G \perp$ 平面 $A B C D$, 由此可得所求三角形的投影为 $\triangle A B G$ 且 $E G \perp A G$; 利用勾股定理求得 $A E$; 由 $S_{\triangle A B G}=\frac{1}{2} S_{\square A B C D}$ 求得投影面积.

## 【详解】

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取 $C D$ 中点 $G$, 连接 $E G, A G, B G$

$\because E, G$ 分别为 $C_{1} D_{1}, C D$ 中点 $\quad \therefore E G / / C C_{1} \quad \therefore E G \perp$ 平面 $A B C D$

$\therefore \triangle A E F$ 在平面 $A B C D$ 上的投影为 $\triangle A B G, E G \perp A G$

$\therefore A E=\sqrt{A G^{2}+E G^{2}}=\sqrt{A D^{2}+D G^{2}+E G^{2}}=\sqrt{4+1+4}=3$

$S_{\triangle A B G}=\frac{1}{2} S_{\square A B C D}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2=2$

故答案为: $3 ; 2$

## 【点睛】

本题考查正方体内的投影面积和线段长度的求解问题, 关键是能够根据正方体的结构特征确定线面垂直的关系，从而得到投影图形.