若不等式 $x^{2}+a x+1 \geq 0$ 对一切 $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 都成立, 则 $a$ 的最小值为
不等式 $x^{2}+a x+1 \geqslant 0$ 对一切 $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 成立 $\Leftrightarrow a \geqslant \frac{-1-x^{2}}{x}=-\frac{1}{x}-x$ 对一切 $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 恒成立,

令 $g(x)=-\frac{1}{x}-x\left(0<x \leqslant \frac{1}{2}\right)$, 则 $a \geqslant g(x)_{\text {max }}$.

$\because 0<x \leq \frac{1}{2}$,

$\therefore g^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}-1>0$,
$\therefore g(x)=-\frac{1}{x}-x$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right]$ 上单调递增,

$\therefore g(x)_{\text {max }}=g\left(\frac{1}{2}\right)=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$,

$\therefore a \geq-\frac{5}{2}$,

$\therefore$ 实数 $a$ 的最小值为 $-\frac{5}{2}$.