若直线 $l$ 与曲线 $y=\sqrt{x}$ 和 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{5}$ 都相切, 则 $l$ 的方程为 \$ \qquad \$ .
设直线 $l$ 在曲线 $y=\sqrt{x}$ 上的切点为 $\left(x_{0}, \sqrt{x_{0}}
ight)$, 则 $x_{0}>0$,函数 $y=\sqrt{x}$ 的导数为 $y^{\prime}=rac{1}{2 \sqrt{x}}$, 则直线 $l$ 的斜率 $k=rac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}$,则直线 $l$ 的方程为 $y-\sqrt{x_{0}}=rac{1}{2 \sqrt{x_{0}}}\left(x-x_{0}
ight)$, 即 $x-2 \sqrt{x_{0}} y+x_{0}=0$,由于直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=rac{1}{5}$ 相切, 则 $rac{x_{0}}{\sqrt{1+4 x_{0}}}=rac{1}{\sqrt{5}}$,两边平方并整理得 $5 x_{0}^{2}-4 x_{0}-1=0$, 解得 $x_{0}=1$ 或 $x_{0}=-rac{1}{5}$ (舍),则直线 $l$ 的方程为 $x-2 y+1=0$, 故答案为 $x-2 y+1=0$.