将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $30^{\circ}$, 得正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}, B_{1} C_{1}$ 交 CD 于点 $E, A B=\sqrt{3}$, 则四边形 $A B_{1} E D$ 的内切圆半径为 $(\quad)$
解：作 $\angle \mathrm{DAF}$ 与 $\angle \mathrm{AB}_{1} G$ 的角平分线交于点 0 , 过 0 作 $0 \mathrm{~F} \perp \mathrm{AB}_{1}$,

则 $\angle 0 \mathrm{AF}=30^{\circ}, \angle \mathrm{AB}_{1} \mathrm{O}=45^{\circ}$,

故 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{~F}=0 \mathrm{~F}=\frac{1}{2} 0 \mathrm{~A}$,

设 $B_{1} F=x$, 则 $A F=\sqrt{3}-x$,

故 $(\sqrt{3}-x)^{2}+x^{2}=(2 x)^{2}$,

解得 $x=\frac{-\sqrt{3}+3}{2}$ 或 $x=\frac{-\sqrt{3}-3}{2}$ (舍去),

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{AB}_{1} \mathrm{ED}$ 的内切圆半径为: $\frac{-\sqrt{3}+3}{2}$.

故选：B.

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