21. 已知函数 $f(x)=\cos x(\sqrt{3} \sin x-\cos x)+\frac{1}{2}$.

(1) 求 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值;

(2) 当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, 不等式 $c<f(x)<c+2$ 恒成立, 求实数 $C$ 的取值范围.
(1) $f(x)=\sqrt{3} \sin x \cos x-\cos ^{2} x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\frac{1}{2} \cos 2 x=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$,

所以 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$.

(2) 因为 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$, 所以 $-\frac{\pi}{6} \leq 2 x-\frac{\pi}{6} \leq \frac{5 \pi}{6}$, 所以 $-\frac{1}{2} \leq \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) \leq 1$.

由不等式 $c<f(x)<c+2$ 恒成立, 得 $\left\{\begin{array}{l}c<-\frac{1}{2} \\ c+2>1\end{array}\right.$, 解得 $-1<c<-\frac{1}{2}$.所以实数 $\boldsymbol{C}$ 的取值范围为 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用, 恒成立问题的处理方法等知识, 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

(1) 首先整理函数的解析式, 然后结合函数的解析式求解函数值即可;

(2) 首先求得函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的值域, 然后结合恒成立的结论得到关于 $c$ 的不等式组,求解不等式组可得 $c$ 的取值范围.