设 $f(x)$ 是在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) \geq \frac{2}{x} f(x), f(1)=4, f(2)=16$, 则下列一定不成立的是 ( )
答案: A

【解析】 $\because f(x)$ 是在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) \geq \frac{2}{x} f(x), \therefore \frac{x f^{\prime}(x)-2 f(x)}{x} \geq 0$,设 $g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}, x>0, \therefore g(x)=\frac{f^{\prime}(x) x^{2}-f(x) 2 x}{x^{4}}=\frac{x f^{\prime}(x)-2 f(x)}{x^{3}} \geq 0$,

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$\therefore g\left(\frac{3}{2}\right)=4=\frac{f\left(\frac{3}{2}\right)}{\frac{9}{4}}, \quad \therefore f\left(\frac{3}{2}\right)=9$.

又 $g(3) \geq 4, \therefore f(3) \geq 36, \quad g(4) \geq 4, \therefore f(4) \geq 64, \quad g(5) \geq 4, \therefore f(5) \geq 100$.

故答案为: A.

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$f(1)=4, f(2)=16$ 得 $g(1)=g(2)=4$, 判断 $g(x)$ 在区间 $\lfloor 1,2\rfloor$ 上是常数函数, 可求 $f\left(\frac{3}{2}\right)_{\text {的值, }}$可得 $A$ 的正误. 再根据 $g(3) \geq 4, g(4) \geq 4, g(5) \geq 4$, 求出 $f(3), f(4), f(5)$ 的取值范围, 进而判断 $B, C, D$ 的正误, 即得答案.

14.答案: D

【解析】 由题意, 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,

对函数 $f(x)$ 求导得 $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}-2 t\left(\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^{2}}\right)=\frac{(x-1)\left[e^{x}-2 t(x+2)\right]}{x^{2}}$,

$\because f(x)=\frac{e^{x}}{x}-2 t\left(\ln x+x+\frac{2}{x}\right)$ 恰有一个极值点为 1 ,

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令 $g(x)=\frac{e^{x}}{2(x+2)}(x \geq 0)$, 则 $g(x)=\frac{2 e^{x}(x+2)-2 e^{x}}{2(x+2)^{2}}=\frac{2 e^{x}(x+1)}{2(x+2)^{2}}>0$,

$\therefore$ 函数 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递增,

当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $g(x)>g(0)=\frac{1}{4}, \therefore a \leq \frac{1}{4}$.

故答案为: D.

【分析】由题意结合导数转化条件得 $t=\frac{e^{x}}{2(x+2)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上无解, 令 $g(x)=\frac{e^{x}}{2(x+2)}(x \geq 0)$, 求导后确定函数 $g(x)$ 的值域即可得解.



15.答案: B,C

【解析】 由图象得 $x<-3$ 时, $f^{\prime}(x)<0, x>-3$ 时, $f^{\prime}(x) \geqslant 0$,
故 $f(x)$ 在 $(-\infty,-3)$ 单调递减, 在 $(-3,+\infty)$ 单调递增,

故 $x=-3$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点. 对选项 $\mathrm{D}$ : 显然 $f^{\prime}(0)>0$, 故 $D$ 错误.

故答案为: BC.

【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.