(12 分) 如图, 圆内接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 交于点 $E, B D$ 平分 $\angle A B C$, $\angle B A C=\angle A D B$.

<ImageHere>

(1)求证 $D B$ 平分 $\angle A D C$, 并求 $\angle B A D$ 的大小;

(2)过点 $C$ 作 $C F / / A D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$. 若 $A C=A D, B F=2$, 求此圆半径的长.

##
(1) 根据已知得出 $A B=B C$, 则 $\angle A D B=\angle C D B$, 即可证明 $D B$ 平分 $\angle A D C$, 进而根据 $B D$ 平分 $\angle A B C$, 得出 $A D=C D$, 推出 $B A D=B C D$, 得出 $B D$ 是直径, 进而可得 $\angle B A D=90^{\circ} ;$

（2）根据（1）的结论结合已知条件得出, $\angle F=90^{\circ}, \triangle A D C$ 是等边三角形, 进而得出 $\angle C D B=\frac{1}{2} \angle A D C=30^{\circ}$, 由 $B D$ 是直径, 根据含 30 度角的直角三角形的性质可得 $B C=\frac{1}{2} B D$,在 Rt $\triangle B F C$ 中, 根据含 30 度角的直角三角形的性质求得 $B C$ 的长, 进而即可求解.

【详解】(1) 解: $\because \angle B A C=\angle A D B$

$\therefore A B=B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C D B$, 即 $D B$ 平分 $\angle A D C$.

$\because B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B D$,

$\therefore A D=C D$,

$\therefore A B+A D=B C+C D$, 即 $B A D=B C D$,

$\therefore B D$ 是直径,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$;

(2) 解: $\because \angle B A D=90^{\circ}, C F / / A D$,

$\therefore \angle F+\angle B A D=180^{\circ}$, 则 $\angle F=90^{\circ}$.

$\because A D=C D$,

$\therefore A D=D C$.

$\because A C=A D$,

$\therefore A C=A D=C D$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等边三角形, 则 $\angle A D C=60^{\circ}$.

$\because B D$ 平分 $\angle A D C$,

$\therefore \angle C D B=\frac{1}{2} \angle A D C=30^{\circ}$.

$\because B D$ 是直径,

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$, 则 $B C=\frac{1}{2} B D$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A D C+\angle A B C=180^{\circ}$, 则 $\angle A B C=120^{\circ}$,

$\therefore \angle F B C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle F C B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore F B=\frac{1}{2} B C$.

$\because B F=2$,

$\therefore B C=4$,

$\therefore B D=2 B C=8$.

$\because B D$ 是直径,

$\therefore$ 此圆半径的长为 $\frac{1}{2} B D=4$.

【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系, 等弧所对的圆周角相等, 直径所对的圆周角是直角,含 30 度角的直角三角形的性质, 等边三角形的性质与判定, 圆内接四边形对角互补, 熟练
掌握以上知识是解题的关键.