(本小题 8.0 分)

阅读理解，完成下列各题:
定义: 已知 $A 、 B 、 C$ 为数轴上任意三点, 若点 $C$ 到点 $A$ 的距离是它到点 $B$ 的距离的 3 倍, 则称点 $C$ 是 $[A, B]$ 的 倍点. 例如: 如图 1 , 点 $C$ 是 $[A, B]$ 的 3 倍点, 点 $D$ 不是 $[A, B]$ 的3倍点, 但点 $D$ 是 $[B, A]$的 3 倍点, 根据这个定义解决下面问题:

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图1

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图2

(1)在图1中, 点 $A \_[C, D]$ 的3倍点(填写 “是” 或 “不是” ); $[D, C]$ 的3倍点是点 — (填写 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 或 $D$ );

(2)如图 $2, M 、 N$ 为数轴上两点, 点 $M$ 表示的数是 -3 , 点 $N$ 表示的数是 5 , 若点 $E$ 是 $[M, N]$ 的 3 倍点, 则点 $E$ 表示的数是 \$ \qquad \$ ;

(3)若 $P 、 Q$ 为数轴上两点, 点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧, $P Q=a$, 一动点 $H$ 从点 $P$ 出发, 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右运动, 设运动时间为 $t$ 秒, 求当 $t$ 为何值时, 点 $H$ 恰好是 $P$ 和 $Q$ 两点的 3 倍点? (用含 $a$ 的代数式表示).


## 【分析】

此题主要考查了对 3 倍点的理解和认识, 解本题的关键是分清 3 倍点的两种不同的情况.

(1)根据图形及新定义可直接解得;

(2) 设点 $E$ 表示的数是 $x$, 根据题意列方程求解即可;

(3) 点 $H$ 恰好是 $P$ 和 $Q$ 两点的 3 倍点, 可分为三种情况讨论, 解得 $t$ 有三个值.

## 【解答】

解: (1) $\because A C=|1-(-2)|=3, A D=|-1-(-2)|=1$,

$\therefore A C=3 A D$,

$\therefore$ 点 $A$ 是 $[C, D]$ 的 3 倍点.

$\because B D=|2-(-1)|=3, B C=|2-1|=1$,

$\therefore B D=3 B C$,

$\therefore[D, C]$ 的 3 倍点是点 $B$.

(2) $\because$ 点 $E$ 是 $[M, N]$ 的 3 倍点,

$\therefore E M=3 E N$,

设点 $E$ 表示的数是 $x$,

由题意得 $|x+3|=3|x-5|$,

解得 $x=3$ 或 $x=9$.

(3)见答案.