体积为 $\frac{4}{3}$ 的三棱雉 $P-A B C$ 的每个顶点都在球 $O$ 的表面上, $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=2$, $\angle A B C=\frac{\pi}{2}$, 则球 $O$ 的表面积的最小值为
【分析】

根据球的直径为 $\mathrm{PC}$ 的长, 即为补成的长方体的体对角线的长, 再根据 $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=2$, $\angle A B C=\frac{\pi}{2}, V_{P-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times P A=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times A B \times B C \times 2=\frac{4}{3}$, 求得 $A B \times B C=4$, 再由 $R=\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2}+B C^{2}+4}$, 利用基本不等式求解.

## 【详解】

如图所示:

<ImageHere>

因为 $P A \perp$ 平面 $A B C, P A=2, \angle A B C=\frac{\pi}{2}$,

所以 $V_{P-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times P A=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times A B \times B C \times 2=\frac{4}{3}$,

解得 $A B \times B C=4$,

设外接球的半径为 $R$, 球的直径为 $\mathrm{PC}$ 的长,

则 $R=\frac{1}{2} \sqrt{A B^{2}+B C^{2}+4} \geqslant \frac{1}{2} \sqrt{2 A B \times B C+4}=\sqrt{3}$,

当且仅当 $A B=B C=2$ 时, 取等号.

所以 $S_{\text {永 }}=4 \pi R^{2} \geqslant 12 \pi$.

所以球 $O$ 的表面积的最小值为 $12 \pi$.

故答案为: $12 \pi$

## 【点睛】

本题主要考查球有关的组合体问题, 还考查了运算求解的能力, 属于中档题.