如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 4 , 点 $E$ 是 $C D$ 边上一点, 连接 $A E$, 过点 $B$ 作 $B G \perp A E$ 于点 $G$,连接 $C G$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$, 则 $A F$ 的最大值是

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解: 以 $A B$ 为直径作圆, 因为 $\angle A G B=90^{\circ}$, 所以 $G$ 点在圆上.

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当 $C F$ 与圆相切时, $A F$ 最大.

此时 $F A=F G, B C=C G$.
设 $A F=x$, 则 $D F=4-x, F C=4+x$,

在 $R t \triangle D F C$ 中，利用勾股定理可得:

$4^{2}+(4-x)^{2}=(4+x)^{2}$,

解得 $x=1$.

故答案为 1

以 $A B$ 为直径作圆, 当 $C F$ 与圆相切时, $A F$ 最大. 根据切线长定理转化线段 $A F+B C=C F$, 在 $R t \triangle$ DFC 利用勾股定理求解.

本题主要考查正方形的性质、切线长定理等.