已知函数 $f(x)=\left|\tan \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)\right|$, 则下列说法正确的是 ( )
函数 $f(x)$ 的周期为 $2 \pi, \mathrm{A}$ 错; $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty)$, B 错; 当 $x=\frac{5 \pi}{3}$ 时, $\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}=\frac{2 \pi}{3} \neq \frac{k \pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore x=\frac{5 \pi}{3}$ 不是 $f(x)$ 的对称轴, C 错;

令 $k \pi-\frac{\pi}{2}<\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6} \leqslant k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

可得 $2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}<x \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$,
$\therefore f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{\pi}{3}\right], k \in \mathbf{Z}, \mathrm{D}$​ 正确.