食品安全问题越来越引起人们的重视, 农药、化肥的监用对人民群众的健康带来一定的危害, 为了给消费者带来放心的蔬菜, 某农村合作社每年投入 200 万元, 搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚, 每个大棚至少要投入 20 万元, 其中甲大棚种西红柿, 乙大棚种黄瓜, 根据以往的种菜经验, 发现种西红柿的年收益 $\mathrm{P}$ 、种黄瓜的年收益 $\mathrm{Q}$ 与投入 $\mathrm{a}$ (单位: 万元) 满足 $\mathrm{P}=80+4 \sqrt{2 a}, \mathrm{Q}=\frac{1}{4} \mathrm{a}+120$. 设甲大棚的投入为 $\mathrm{x}$ (单位: 万元)，每年两个大棚的总收益为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ (单位: 万元).

(1) 求 $\mathrm{f}(50)$ 的值;

(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入, 才能使总收益 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 最大?


试题分析：（1）当甲大棚投入 50 万元, 则乙大棚投入 150 万元, 此时直接计算 $f(50)=80+4 \sqrt{2 \times 50}+\frac{1}{4} \times 150+120=277.5$ 即可; (2) 列出总收益的函数式得 $f(x)=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250$, 令 $t=\sqrt{x} \in[2 \sqrt{5}, 6 \sqrt{5}]$, 换元将函数转换为关于 $t$ 的二次函数, 由二次函数知识可求其最大值及相应的 $X$ 值.

试题解析：（1） $\because$ 甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，
$\therefore f(50)=80+4 \sqrt{2 \times 50}+\frac{1}{4} \times 150+120=277.5$

(2) $f(x)=80+4 \sqrt{2 x}+\frac{1}{4} \times(200-x)+120=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250$,依题得 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 20 \\ 200-x \geq 20\end{array}\right.$, 即 $20 \leq x \leq 180$,故 $f(x)=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250(20 \leq x \leq 180)$.

令 $t=\sqrt{x} \in[2 \sqrt{5}, 6 \sqrt{5}]$, 则 $f(x)=-\frac{1}{4} t^{2}+4 \sqrt{2} t+250=-\frac{1}{4}(t-8 \sqrt{2})^{2}+282$,

当 $t=8 \sqrt{2}$ 时, 即 $x=128$ 时, $f(x)_{\max }=282$,

$\therefore$ 甲大棚投入 128 万元, 乙大棚投入 72 万元时, 总收益最大, 且最大收益为 282 万元.