下列各组函数是同一函数的是 ( )
对于 $A, y=\frac{|x|}{x}$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}, y=1$ 的定义域是 $R, \therefore y=\frac{|x|}{x}$ 与 $y=1$ 不是同一函数, 故 $A$ 错误;

对于 $B, y=\frac{x^{2}}{x}$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}, y=x$ 的定义域是 $R, \therefore y=\frac{x^{2}}{x}$ 与 $y=x$ 不是同一函数, 故 $B$错误;

对于 $C, y=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}=x$ 与 $y=x$ 对应关系相同, 定义域者是 $R, \therefore y=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}$ 与 $y=x$ 是同一函数, 故 $C$ 正确;

对于 $D, y=\sqrt{(x-1)^{2}}=\left\{\begin{array}{l}x-1, x \geqslant 1 \\ 1-x, x<1\end{array}\right.$, 当 $x<1$ 时, $y=\sqrt{(x-1)^{2}}$ 与 $y=x-1$ 对应关系不同, $\therefore$ $y=\sqrt{(x-1)^{2}}$ 与 $y=x-1$ 不是同一函数, 故 $D$ 错误.

故选: $C$.

【点睛】

本题考查两个函数是否是同一函数的判断, 考查同一函数的定义等基础知识, 考查运算求解能力, 属于基础题.