(8 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C, D$ 是 $\odot O$ 上的点, 且 $O D / / B C, A C$ 分别与 $B D, O D$ 相交于点 $E, F$.

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(1)求证: 点 $D$ 为 $A C$ 的中点;

(2)若 $D F=4, A C=16$, 求 $\odot O$ 的直径.


(1) 根据圆周角定理可得 $\angle A C B=90^{\circ}$, 再由平行线的性质可得 $\angle O F A=\angle C=90^{\circ}$,从而可得 $O D \perp A C$, 再根据垂径定理即可得出结论;

（2）根据垂径定理可得 $A F=\frac{1}{2} A C=8$, 再利用勾股定理进行计算即可.

【详解】(1) 证明: $\because A B$ 是直径

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because O D / / B C$,

$\therefore \angle O F A=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore O D \perp A C$,

$\therefore A D=C D$,

$\therefore$ 点 $D$ 为 $A C$ 的中点;

（2）解: $\because O F \perp A C$,

$\therefore A F=\frac{1}{2} A C=8$,

在 Rt $\triangle A F O$ 中, $A O^{2}=A F^{2}+O F^{2}$,

$\therefore O A^{2}=64+(O D-D F)^{2}$,

$\therefore O A^{2}=64+(O A-4)^{2}$,

$\therefore O A=10$,

$\therefore \odot O$ 的直径为 20 .

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理, 熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.

