在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3} \cos C}{c}$.

(1)求 $C$ 的大小;

(2)如果 $a+b=6, S_{\triangle A B C}=2 \sqrt{3}$, 求 $c$ 的值.
(1) 由正弦定理, $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3} \cos C}{c}$ 可化为 $\frac{\sin A}{2 R \sin A}=\frac{\sqrt{3} \cos C}{2 R \sin C}$, 即 $\tan C=\sqrt{3}$.

又 $\because C \in(0, \pi), \quad \therefore C=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由 $S_{\triangle A B C}=2 \sqrt{3}$, 有 $\frac{1}{2} a b \sin C=2 \sqrt{3}$

$\therefore a b=8$.

由余弦定理, 得

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=(a+b)^{2}-2 a b-2 a b \cos \frac{\pi}{3}=(a+b)^{2}-3 a b=6^{2}-3 \times 8=12 . \therefore c=2 \sqrt{3}$.