如图, 在四棱雉 $B-A C D E$ 中, 正方形 $A C D E$ 所在平面与正 $\triangle A B C$ 所在平面垂直, $M, N$ 分别为 $B C, A E$ 的中点, $F$ 在棱 $C D$ 上.

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(1)证明: $M N / /$ 平面 $B D E$.

(2)已知 $A B=2$, 点 $M$ 到 $A F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$, 求三棱雉 $C-A F M$ 的体积.
【分析】

(1) 取 $C D$ 中点 $G$, 连接 $N G, M G$; 根据线面平行的判定定理可分别证得 $M G / /$ 平面 $B D E$ 和 $N G$ / / 平面 $B D E$; 根据面面平行判定定理得平面 $M N G / /$ 平面 $B D E$, 利
用面面平行性质可证得结论; (2) 根据面面垂直性质可知 $C D \perp$ 平面 $A B C$, 由线面垂直性质可得 $C D \perp A M$; 根据等边三角形三线合一可知 $A M \perp B C$; 根据线面垂直判定定理知 $A M \perp$ 平面 $B C D$, 从而得到 $A M \perp M F$; 设 $C F=a$, 表示出 Rt $\triangle A F M$ 三边, 利用面积桥构造方程可求得 $a=1$; 利用体积桥, 可知 $V_{C-A F M}=V_{A-F C M}$, 利用三棱锥体积公式求得结果.

## 【详解】

(1) 取 $C D$ 中点 $G$, 连接 $N G, M G$

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$\because G, M$ 为 $C D, B C$ 中点 $\quad \therefore G M / / B D$

又 $B D \subset$ 平面 $B D E, G M \not \subset$ 平面 $B D E \quad \therefore G M / /$ 平面 $B D E$

$\because$ 四边形 $A C D E$ 为正方形, $N, G$ 为 $A E, C D$ 中点 $\quad \therefore N G / / D E$

又 $N G \subset$ 平面 $B D E, N G \not \subset$ 平面 $B D E \quad \therefore N G / /$ 平面 $B D E$

$\because G M \cap N G=G, G M, N G \subset$ 平面 $M N G \quad \therefore$ 平面 $M N G / /$ 平面 $B D E$

又 $M N \subset$ 平面 $M N G \quad \therefore M N / /$ 平面 $B D E$

(2) $\because \triangle A B C$ 为正三角形, $M$ 为 $B C$ 中点 $\quad \therefore A M \perp B C$

$\because$ 平面 $A C D E \perp$ 平面 $A B C, C D \perp A C$, 平面 $A C D E \cap$ 平面 $A B C=A C, C D \subset$ 平面 $A C D E$

$\therefore C D \perp$ 平面 $A B C$, 又 $A M \subset$ 平面 $A B C \quad \therefore A M \perp C D$

又 $B C \cap C D=C, B C, C D \subset$ 平面 $B C D \quad \therefore A M \perp$ 平面 $B C D$

$\because F M \subset$ 平面 $B C D \quad \therefore A M \perp M F$

设 $C F=a$, 则 $A F=\sqrt{4+a^{2}}, M F=\sqrt{1+a^{2}}, A M=\sqrt{3}$

$\therefore A F \cdot \frac{\sqrt{30}}{5}=A M \cdot M F$, 即: $\frac{\sqrt{30} \times \sqrt{4+a^{2}}}{5}=\sqrt{3} \times \sqrt{1+a^{2}}$, 解得: $a=1$

$\therefore V_{C-A F M}=V_{A-F C M}=\frac{1}{3} S_{\triangle F C M} \cdot A M=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

## 【点睛】

本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解, 涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识; 解决三棱雉体积问题的常用方法是利用体积桥的方式, 将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.