0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 $a_{1} a_{2} \cdots{ }^{n} a_{n} \cdots '$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$,且存在正整数 $\mathrm{m}$, 使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 成立, 则称其为 $0-1$ 周期序列, 并称满足 $a_{i+m}=a_{r}(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $\mathrm{m}$ 为这个序列的周期.对于周期为 $\mathrm{m}$ 的 0-1 序列 $a_{1} a_{2}{ }^{\cdots} a_{n}{ }^{\prime \prime}$, $C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \cdots, m-1)$是描述其性质的重要指标, 下列周期为 5 的 0-1 序列中, 满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)_{\text {的序列是 }(\quad)}$
答案: C

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由已知 $m=5, C(k)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+k}, k=1,2,3,4$,

对于 $\mathrm{A}$,

$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+0+0)=\frac{1}{5} \leq \frac{1}{5}$

$C(2)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{3} a_{i} a_{i+2}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{7}\right)=\frac{1}{5}(0+1+0+1+0)=\frac{2}{5}$, 不满足;

对于 $\mathrm{B}$,

$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+1+1)=\frac{3}{5}$, 不满足;

对于 $\mathrm{D}$,

$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+0+1)=\frac{2}{5}$, 不满足;

故答案为: C

【分析】分别为 4 个选项中 $\mathrm{k}=1,2,3,4$ 进行讨论, 若有一一个不满足条件, 就排除 ; 由题意可得周期都是 5 , 每个答案中都给了一个周期的排列,若需要下个周期的排列, 继续写出, 如 C 答案中的排列为 100011000110001.

12.答案: D

【解析】设四面体的内切球的球心为 $\mathrm{O}$, 则球心 $\mathrm{O}$ 到四个面的距离都是 $\mathrm{r}$,

将 $\mathrm{O}$ 与四顶点连起来, 可得四面体的体积等于以 $\mathrm{O}$ 为顶点,

分别以四个面为底面的 4 个三棱雉体积的和,

$\therefore \mathrm{V}=\frac{1}{3}\left(\mathrm{~S}_{1}+\mathrm{S}_{2}+\mathrm{S}_{3}+\mathrm{S}_{4}\right)$.

故答案为: D

【分析】设四面体的内切球的球心为 $\mathrm{O}$, 则球心 $\mathrm{O}$ 到四个面的距离都是 $\mathrm{r}$, 根据体积公式得到答案.