已知 $\alpha \in\left\{-3,-2, \frac{1}{3}, 2\right\}$, 若幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ 为奇函数, 且在 $0,+\infty$ 上单调递减, 则 $\alpha$ 的值为
【详解】

当 $\alpha=-3$ 时, 函数 $f(x)=x^{-3}$, 此时函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 关于原地对称, 且 $f(-x)=(-x)^{-3}=-x^{-3}=-f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 为奇函数, 且在 $0,+\infty$ 上单调递减, 满足题意;

当 $\alpha=-2$ 时, 函数 $f(x)=x^{-2}$, 此时函数 $f(x)$ 满足 $f(-x)=(-x)^{-2}=x^{-2}=f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 为偶函数, 不满足题意;

当 $\alpha=\frac{1}{3}$ 时, 函数 $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$, 此时函数 $f(x)$ 的在 $0,+\infty$ 上单调递增, 不满足题意;

当 $\alpha=2$ 时, 函数 $f(x)=x^{2}$, 此时函数 $f(x)$ 的在 $0,+\infty$ 上单调递增, 不满足题意.

故选: A.

【点睛】

本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用, 其中解答中熟记幕函数的单调性与奇偶性是解答的关键,着重考查推理与运算能力, 属于基础题.