直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 6 个顶点都在球 $O$ 的球面上, 若 $A B=\sqrt{6}$, $A C=\sqrt{10}, A B \perp A C, A A_{1}=2 \sqrt{5}$, 则球 $O$ 的表面积为
【分析】

直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 底面是直角三角形, 可以补成长方体, 求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球 $O$ 的表面积.

## 【详解】

直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 底面是直角三角形, 可以补成长方体, 如下图所示:

<ImageHere>

$B_{1} C=\sqrt{A C^{2}+A B^{2}+B B_{1}^{2}}=6$, 所以球 $O$ 的直径 $2 R$ 为 6 , 球 $O$ 的表面积为

$4 \pi R^{2}=36 \pi$.

## 【点睛】

本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积.