(8 分) 如图, 一个圆形喷水池的中央坚直安装了一个柱形喷水装置 $O A, \mathrm{~A}$ 处的喷头向外喷水, 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下, 水流喷出的高度 $y(\mathrm{~m})$ 与水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 之间的关系式是 $y=-x^{2}+2 x+\frac{5}{4}(x>0)$.

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(1)喷头 $\mathrm{A}$ 离地面 $O$ 的高度是多少?

(2)水流喷出的最大高度是多少?

(3)若不计其他因素, 水池的半径 $O B$ 至少为多少, 才能使喷出的水流不落在池外?


(1) 喷头 A 离地面 $O$ 的高度是二次函数与 $y$ 的交点, 由此即可求解;

（2）水流喷出的最大高度是二次函数的顶点坐标的纵坐标，由此即可求解;

（3）水池的半径 $O B$ 是当二次函数 $y=0$ 时，自变量的值, 由此即可求解.

【详解】(1) 解: 根据题意得, $y=-x^{2}+2 x+\frac{5}{4}(x>0)$, 当 $x=0$ 时, $y=\frac{5}{4}$,

$\therefore$ 喷头 $\mathrm{A}$ 离地面 $O$ 的高度是 $\frac{5}{4}$ 米.

（2）解: $y=-x^{2}+2 x+\frac{5}{4}=-(x-1)^{2}+\frac{9}{4}$,

$\therefore$ 二次函数的顶点坐标是 $\left(1, \frac{9}{4}\right)$,

$\therefore$ 水流喷出的最大高度是 $\frac{9}{4}$ 米.

(3) 解: 原二次函数变形得, $-x^{2}+2 x+\frac{5}{4}=0$, 即 $4 x^{2}-8 x-5=0$, 解方程得, $x_{1}=-\frac{1}{2}, x_{2}=\frac{5}{2}$, $\because x>0$
$\therefore x=\frac{5}{2}$, 即当 $O B=\frac{5}{2}$ 米时, 水流不落在池外.

【点睛】本题主要考查二次函数一实际问题的综合应用, 掌握二次函数图像的特点是解题的关键.

