已知集合 $A=\{x \mid a-1<x<2 a+1\}, B=\{x \mid 0<x<1\}$.

(1)若 $a=\frac{1}{2}$, 求 $A \cap B$;

(2)若 $A \cap B=\varnothing$, 求实数 $a$ 的取值范围.
【解】(1)当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $A=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2}<x<2\right.\right\}, B=\{x \mid 0<x<1\}, \therefore A \cap B=\{x \mid 0<x<1\}$.

(2)若 $A \cap B=\varnothing$,

当 $A=\varnothing$ 时, 有 $a-1 \geqslant 2 a+1, \therefore a \leqslant-2$.

当 $A \neq \varnothing$ 时, 有 $\left\{\begin{array}{l}a-1<2 a+1 \\ 2 a+1 \leqslant 0 \text { 或 } a-1 \geqslant 1,\end{array}\right.$

$\therefore-2<a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.
综上可得, $a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.