如图(1), $A B / / C D$, 点 $E 、 F$ 分别在直线 $A B 、 C D$ 上, 点 $O$ 在直线 $A B 、 C D$ 之间, $\angle E O F=$ $100^{\circ}$.

<ImageHere>

图(1)

<ImageHere>

图(2)

<ImageHere>

图(3)

(1)求 $\angle B E O+\angle D F O$ 的值;

(2)如图(2), 直线 $M N$ 交 $\angle B E O, \angle C F O$ 的角平分线分别于点 $M, N$, 求 $\angle E M N-\angle F N M$的值;

(3)如图(3), $E G$ 在 $\angle A E O$ 内, $\angle A E G=n \angle O E G, F K$ 在 $\angle D F O$ 内, $\angle D F K=n \angle O F K$. 直线 $M N$ 交 $F K 、 E G$ 分别于点 $M 、 N$, 若 $\angle F M N-\angle E N M=50^{\circ}$, 则 $n$ 的值是 $\qquad$ .
【答案】(1)证明: 过点 $O$ 作 $O G / / A B$,

<ImageHere>

图1

$\because A B / / C D$,

$\therefore A B / / O G / / C D$,

$\therefore \angle B E O+\angle E O G=180^{\circ}, \angle D F O+\angle F O G=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B E O+\angle E O G+\angle D F O+\angle F O G=360^{\circ}$,

即 $\angle B E O+\angle E O F+\angle D F O=360^{\circ}$,

$\because \angle E O F=100^{\circ}$,
$\therefore \angle B E O+\angle D F O=260^{\circ}$;

(2)解: 过点 $M$ 作 $M K / / A B$, 过点 $N$ 作 $N H / / C D$,

<ImageHere>

图2

$\because E M$ 平分 $\angle B E O, F N$ 平分 $\angle C F O$,

设 $\angle B E M=\angle O E M=x, \angle C F N=\angle O F N=y$,

$$
\because \angle B E O+\angle D F O=260^{\circ}
$$

$\therefore \angle B E O+\angle D F O=2 x+180^{\circ}-2 y=260^{\circ}$,

$\therefore x-y=40^{\circ}$,

$\because M K / / A B, N H / / C D, A B / / C D$,

$\therefore A B / / M K / / N H / / C D$,

$\therefore \angle E M K=\angle B E M=x, \angle H N F=\angle C F N=y, \angle K M N=\angle H N M$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle E M N+\angle F N M=\angle E M K+\angle K M N-(\angle H N M+\angle H N F) \\
& =x+\angle K M N-\angle H N M-y \\
& =x-y
\end{aligned}
$$

$=40^{\circ}$,

故 $\angle E M N-\angle F N M$ 的值为 $40^{\circ}$;

(3)如图, 设直线 $F K$ 与 $E G$ 交于点 $H, F K$ 与 $A B$ 交于点 $K$,

<ImageHere>

图3

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A K F=\angle K F D$,

$\because \angle A K F=\angle \angle E H K+\angle H E K=\angle E H K+\angle A E G$,
$\therefore \angle K F D=\angle E H K+\angle A E G$,

$\because \angle E H K=\angle N M F-\angle E N M=50^{\circ}$,

$\therefore \angle K F D=50^{\circ}+\angle A E G$,

即 $\angle K F D-\angle A E G=50^{\circ}$,

$\because \angle A E G=n \angle O E G, F K$ 在 $\angle D F O$ 内, $\angle D F K=n \angle O F K$.

$\therefore \angle C F O=180^{\circ}-\angle D F K-\angle O F K=180^{\circ}-\angle K F D-\frac{1}{n} \angle K F D$,

$\angle A E O=\angle A E G+\angle O E G=\angle A E G+\frac{1}{n} \angle A E G$,

$\because \angle B E O+\angle D F O=260^{\circ}$,

$\therefore \angle A E O+\angle C F O=100^{\circ}$,

$\therefore \angle A E G+\frac{1}{n} \angle A E G+180^{\circ}-\angle K F D-\frac{1}{n} \angle K F D=100^{\circ}$,

即 $\left(1+\frac{1}{n}\right)(\angle K F D-\angle A E G)=80^{\circ}$ ，

$\therefore\left(1+\frac{1}{n}\right) \times 50^{\circ}=80^{\circ}$,

解得 $n=\frac{5}{3}$.

故答案为 $\frac{5}{3}$.

【解析】本题主要考查平行线的性质, 角平分线的定义, 灵活运用平行线的性质是解题的关键.

(1)过点 $O$ 作 $O G / / A B$, 易得 $A B / / O G / / C D$, 利用平行线的性质可求解;

(2)过点 $M$ 作 $M K / / A B$, 过点 $N$ 作 $N H / / C D$, 由角平分线的定义可设 $\angle B E M=\angle O E M=x$, $\angle C F N=\angle O F N=y$, 由 $\angle B E O+\angle D F O=260^{\circ}$ 可求 $x-y=40^{\circ}$, 进而求解;

(3)设直线 $F K$ 与 $E G$ 交于点 $H, F K$ 与 $A B$ 交于点 $K$, 根据平行线的性质即三角形外角的性质及 $\angle F M N-\angle E N M=50^{\circ}$, 可得 $\angle K F D-\angle A E G=50^{\circ}$, 结合 $\angle A E G=n \angle O E G, \angle D F K=$ $n \angle O F K, \angle B E O+\angle D F O=260^{\circ}$, 可得 $\angle A E G+\frac{1}{n} \angle A E G+180^{\circ}-\angle K F D-\frac{1}{n} \angle K F D=$ $100^{\circ}$, 即可得关于 $n$ 的方程, 计算可求解 $n$ 值.