如图两正方形 $A B C D, C D F E$ 所在的平面垂直, 将 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周,则直线 $E C$ 与 $A C$ 所成角的取值范围是 ( )

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【分析】

可证得 $A F=A C=C F$, 故 $\angle A C F=\frac{\pi}{3}, \angle E C F=\frac{\pi}{4}$, 当 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周, $\angle C E A \leq \angle E C F+\angle F C A$, 且 $\angle C E F \geq \angle A C F-\angle E C F$, 结合线线角的取值范围即得解.

## 【详解】

如下图所示，

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连接 $A F$, 因为正方形 $A B C D$ 和 $C D F E$, 则 $A D \perp C D, F D \perp C D, A D=D C=D F$又因为面 $A B C D \perp$ 面 $C D F E$, 面 $A B C D \cap$ 面 $C D F E=C D$,则 $A D \perp$ 面 $C D F E$,

因此 $A D \perp D F$.

因此 $A F^{2}=A D^{2}+D F^{2}, A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}, C F^{2}=C D^{2}+D F^{2}$,

则 $A F=A C=C F$,

因此 $\angle A C F=\frac{\pi}{3}$

因为 $\angle E C F=\frac{\pi}{4}$,

则当 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周, $\angle C E A \leq \angle E C F+\angle F C A=\frac{7 \pi}{12}$

$\angle C E F \geq \angle A C F-\angle E C F=\frac{\pi}{12}$,

当 $\angle C E F$ 为锐角或直角时, 直线 $E C$ 和 $A C$ 所成角的等于 $\angle C E F$

当 $\angle C E F$ 为针角时, 直线 $E C$ 和 $A C$ 所成的角等于 $\angle C E F$ 的补角
因此直线 $E C$ 和 $A C$ 所成的角的取值范围是 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$

故选: $C$.

## 【点睛】

本题考查了空间中直线与直线的夹角, 考查了学生空间想象, 转化划归, 数学运算的能力, 属于较难题.