已知 $f(x)=\frac{x}{x-a}(x \neq a)$

(1) 若 $a=-2$, 试证明 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-2)$ 内单调递增;

(2) 若 $a>0$, 且 $f(x)$ 在区间 $1,+\infty$ 内单调递减, 求 $a$ 的取值范围.
【详解】

(1) 证明: 当 $a=-2$ 时 $f(x)=\frac{x}{x+2}(x \neq-2)$

设任意的 $x_{1}, x_{2} \in(-\infty,-2)$ 且 $x_{1}<x_{2}$

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{x_{1}}{x_{1}+2}-\frac{x_{2}}{x_{2}+2}=\frac{2\left(x_{1}-x_{2}\right)}{\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)}$

$\because\left(x_{1}+2\right)\left(x_{2}+2\right)>0,\left(x_{1}-x_{2}\right)<0, \quad \therefore f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 内单调递增.

(2) 任设 $1<x_{1}<x_{2}$, 则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{x_{1}}{x_{1}-a}-\frac{x_{2}}{x_{2}-a}=\frac{a\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{1}-a\right)\left(x_{2}-a\right)}$.

$\because a>0, x_{2}-x_{1}>0, \therefore$ 要使 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)>0$

只需 $\left(x_{1}-a\right)\left(x_{2}-a\right)>0$ 在 $1,+\infty$ 内恒成立, $\therefore a \leq 1$

综上所述: $a$ 的取值范围是 $(0,1]$

【点睛】

用定义证明函数单调性的步骤: 设值、作差、变形（分式一般进行通分, 多项式一般分解因式) 、判断符号、下结论.