如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形, $P A \perp$ 底面 $A B C D, A C, B D$ 交于点 $E, F$ 是 $P B$ 的中点. 求证:

(1)EF//平面 $P C D$;

(2)平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.

<ImageHere>

证明 (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点, $\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F$ 平面 $P C D, P D \subset$ 平面 $P C D$,

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C, \therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, \therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D$,

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$
如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形, $P A \perp$ 底面 $A B C D, A C, B D$ 交于点 $E, F$ 是 $P B$ 的中点. 求证:

(1)EF//平面 $P C D$;

(2)平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.

<ImageHere>

证明 (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点, $\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F$ 平面 $P C D, P D \subset$ 平面 $P C D$,

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C, \therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, \therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D$,

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.