23. 在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边长, $a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$, $1+2 \cos (B+C)=0$, 求边 $B C$ 上的高.
由 $1+2 \cos (B+C)=0$ 和 $B+C=\pi-A$, 得 $1-2 \cos A=0, \cos A=\frac{1}{2}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
再由正弦定理，得 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

由 $b<a$ 知 $B<A$, 所以 $B$ 不是最大角 $B<\frac{\pi}{2}$, 从而 $\cos B=\sqrt{1-\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

由上述结果知 $\sin C=\sin (A+B)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)$. 设边 $B C$ 上的高为 $h$, 则有 $h=b \sin C=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.