设四边形 $A B C D$ 为平行四边形, $|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$. 若点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$,则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$
解析:首先用向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 分别表示向量 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{N M}$ ，然后求数量积 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}$. 如图所示，由题设知:

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$\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$
$\overrightarrow{N M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$,

$\therefore \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=\left(\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}\right)$

$=\frac{1}{3}|\overrightarrow{A B}|^{2}-\frac{3}{16}|\overrightarrow{A D}|^{2}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$

$=\frac{1}{3} \times 36-\frac{3}{16} \times 16=9$.

答案: C