如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D$ 为 $B C$ 中点, 在 $B A$ 的延长线上取一点 $E$, 使得 $E D=E C, E D$ 与 $A C$ 交于点 $F$, 则 $\frac{A F}{C F}$ 的值为 $(\quad)$

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【分析】

连接 $A D$, 过点 $E$ 作 $E H \perp B C$, 交 $A C$ 于点 $G$, 再连接 $D G$, 易证 $A D / / E H$, 由 $H$ 为 $C D$ 的中点可证 $G$ 为 $A C$ 的中点, 从而可证四边形 $A D G E$ 是平行四边形, 问题得以解决.

本题考查了平行线分线段成比例定理, 三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质, 等腰三角形的性质, 由已知的等腰三角形作出辅助线 $A D, E H$, 继而证明 $G$ 为 $A C$ 的中点是解决本题的关键.

## 【解答】

解: 如图, 连接 $A D$, 过点 $E$ 作 $E H \perp B C$ 于点 $H$, 交 $A C$ 于点 $G$, 连接 $G D$.

<ImageHere>

$\because E D=E C, E H \perp D C$,

$\therefore D H=H C=\frac{1}{2} D C$,

$\because$ 点 $D$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore B D=2 D H$,

$\because A B=A C$, 点 $D$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore A D \perp B C$,

$\therefore A D / / E H$,

$\therefore \frac{A E}{A B}=\frac{D H}{B D}=\frac{1}{2}, \frac{G C}{A G}=\frac{C H}{D H}=1$, 即点 $G$ 为 $A C$ 的中点,

$\therefore D G$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线,

$\therefore D G=\frac{1}{2} A B, D G / / A B$, 即 $D G / / A E, D G=A E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A D G E$ 是平行四边形,

$\therefore A F=F G$,

$\therefore \frac{A F}{C F}=\frac{1}{3}$.

 