我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固. 如图, 某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 $A B C D E F$, 若 $\odot O$ 的内接正六边形为正六边形 $A B C D E F$, 则 $B F$ 的长为

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【分析】根据题意可得 $A B=A F$, 则 $\overline{A B}=\widehat{A F}$, 再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得 $\angle O M B=90^{\circ}, B M=F M=\frac{1}{2} B F$, 再根据 $O A=O B, \angle A O B=60^{\circ}$ 可得 $\triangle O A B$ 是等边三角形, 则 $O B=A B=6$, 最后结合三角函数即可求解.

【详解】解: 连接 $O A$, 交 $B F$ 于点 $M$, 连接 $O B$,

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$\because$ 六边形 $A B C D E F$ 是 $\odot O$ 的内接正六边形,

$\therefore A B=A F, \quad \angle A O B=\frac{1}{6} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$,

$\therefore \widehat{A B}=\widehat{A F}$,

$\because O A$ 经过圆心 $O$,

$\therefore O A=B F, \quad B M=F M=\frac{1}{2} B F$,

$\therefore \angle O M B=90^{\circ}$,

$\because O A=O B, \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle O A B$ 是等边三角形,

$\therefore O B=A B=6$,

$\because$ 在 Rt $\triangle O B M$ 中, $\angle O M B=90^{\circ}, \angle A O B=60^{\circ}, \sin \angle A O B=\frac{B M}{O B}$,

$\therefore B M=O B \bullet \sin 60^{\circ}=6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3}$,

$\therefore B F=2 B M=2 \times 3 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$,

故选 $C$.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理, 灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

