正三棱柱体积是 $V$, 当其表面积最小时, 底面边长为 ( )
解析 :设底面边长为 $x$, 侧棱长为 $l$,

则 $V=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot l, \quad \therefore l=\frac{4 V}{\sqrt{3} x^{2}}$,

$\therefore S_{\text {表 }}=2 S_{\text {底 }}+S_{\text {似 }}=x^{2} \cdot \sin 60^{\circ}+3 \cdot x \cdot l$

$=\frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}+\frac{4 \sqrt{3} V}{x}$,

$S^{\prime}=\sqrt{3} x-\frac{4 \sqrt{3} V}{x^{2}}=0$,

$\therefore x^{3}=4 V$, 即 $x=\sqrt[3]{4 V}$.

又当 $x \in(0, \sqrt[3]{4 V})$ 时, $y^{\prime}<0$;

当 $x \in(\sqrt[3]{4 V}, V)$ 时, $y^{\prime}>0$,

$\therefore$ 当 $x=\sqrt[3]{4 V}$ 时，表面积最小.

答案 :$\mathrm{C}$