(1) 已知 $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1-x^{2}}$, 求 $f(x)$ 的解析式;

(2) 已知 $f(x)$ 是二次函数, 且满足 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的解析式.
【详解】

(1) 设 $t=\frac{1}{x}$, 则 $x=\frac{1}{t}(t \neq 0)$, 代入 $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1-x^{2}}$,
得 $f(t)=\frac{\frac{1}{t}}{1-\left(\frac{1}{t}\right)^{2}}=\frac{t}{t^{2}-1}$,

故 $f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}(x \neq 0$ 且 $x \neq \pm 1)$;

(2) 设所求的二次函数为 $f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$.

$\because f(0)=1, c=1$, 则 $f(x)=a x^{2}+b x+1$.

又 $\because f(x+1)-f(x)=2 x$,

$\therefore a(x+1)^{2}+b(x+1)+1-\left(a x^{2}+b x+1\right)=2 x$

即 $2 a x+a+b=2 x ，$

<ImageHere>

$\therefore$ 所求二次函数为 $f(x)=x^{2}-x+1$.

【点睛】

本题考查利用换元法和待定系数法求函数解析式, 解答关键就是根据系数相等得出方程组求解, 考查计算能力, 属于中等题.