(2020安徽高三) 已知 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 \geq 0 \\ 2 x-3 y+4 \leq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$, 若目标函数 $z=m x+n y-2$ 的最大值为 1 (其中 $m>0, n>0$ ), 则 $\frac{1}{2 m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为 ( )


【分析】画出可行域, 根据目标函数 $\mathrm{z}$ 的最大值求得 $m, n$ 的关系式 $m+2 n=3$, 再利用基本不等式求得 $\frac{1}{2 m}+\frac{1}{n}$ 的最小值.

【详解】画出可行域如下图所示, 由于 $m>0, n>0$, 所以基准直线 $m x+n y=0$ 的斜率为负数, 故目标函数在点 $A(1,2)$ 处取得最大值, 即 $m+2 n-2=1$, 所以 $m+2 n=3$

$\frac{1}{2 m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2 m}+\frac{1}{n}\right) \times(m+2 n)=\frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{2}+\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right) \geq \frac{1}{3} \times\left(\frac{5}{2}+2 \sqrt{\frac{n}{m} \cdot \frac{m}{n}}\right)=\frac{1}{3} \times \frac{9}{2}=\frac{3}{2}$, 当且仅当 $\frac{n}{m}=\frac{m}{n}, m=n=1$ 时等号成立, 所以 $\frac{1}{2 m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$.故选: D

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【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数, 考查基本不等式求最值, 考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.