如图, 点 $O$ 在线段 $A B$ 上, $A O=2, O B=1, O C$ 为射线, 且 $\angle B O C=60^{\circ}$, 动点 $P$ 以每秒 2 个单位长度的速度从点 $O$ 出发, 沿射线 $O C$ 做匀速运动, 设运动时间为 $t$ 秒. 当 $\triangle A B P$ 是直角三角形时, $t$的值为

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此题考查了勾股定理, 利用了分类讨论的思想, 熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 根据题意分三种情况考虑: 当 $\angle A=90^{\circ}$; 当 $\angle B=90^{\circ}$; 当 $\angle A P B=90^{\circ}$, 根据 $\triangle A B P$ 为直角三角形, 分别求出 $t$ 的值即可.

解：分三种情况考虑:

(1) 当 $\angle A=90^{\circ}$, 即 $\triangle A B P$ 为直角三角形时,

$\because \angle B O C>\angle A$, 且 $\angle B O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A \neq 90^{\circ}$, 故此情况不存在;

(2)当 $\angle B=90^{\circ}$, 即 $\triangle A B P$ 为直角三角形时, 如图所示:

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$\because \angle B O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B P O=30^{\circ}$,

$\therefore O P=2 O B=2$,

$\because O P=2 t$,

$\therefore t=1$;

(3)当 $\angle A P B=90^{\circ}$, 即 $\triangle A B P$ 为直角三角形时, 过 $P$ 作 $P D \perp A B$,

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$\because \angle B O C=60^{\circ}$

$\therefore \angle O P D=30^{\circ}$,

$\therefore O D=\frac{1}{2} P O=\frac{1}{2} \times 2 t=t, \quad P D=\frac{\sqrt{3}}{2} P O=\sqrt{3} t$,

$\therefore A D=A O+O D=2+t, B D=O B-O D=1-t, \quad$ 即 $A B=3$,

在 Rt $\triangle A B P$ 中, $A P^{2}+B P^{2}=A B^{2}$, 即 $(2+t)^{2}+(\sqrt{3} t)^{2}+(\sqrt{3} t)^{2}+(1-t)^{2}=3^{2}$,

解得: $t=\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$ (负值舍去) ,

综上, 当 $t=1$ 或 $t=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$ 时, $\triangle A B P$ 是直角三角形.