已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}<x_{2}$,则关于 $x$ 的方程 $3 f(x)^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为 ( )
求导得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$, 显然 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $3 x^{2}+2 a x+b=0$ 的二个不等实根,不妨设 $x_{1}<x_{2}$, 于是关于 $x$ 的方程 $3 f(x)^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的解就是 $f(x)=x_{1}$ 或 $f(x)=x_{2}$,根据题意画图:<ImageHere>所以 $f(x)=x_{1}$ 有两个不等实根, $f(x)=x_{2}$ 只有一个不等实根, 故答案选 A.