13. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 若 $b=6, a=2 c, B=\frac{\pi}{3}$,则

$\triangle A B C$ 的面积为 \$ \qquad \$
由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 所以 $(2 c)^{2}+c^{2}-2 \times 2 c \times c \times \frac{1}{2}=6^{2}$, 即 $c^{2}=12$,解得 $c=2 \sqrt{3}, c=-2 \sqrt{3}$ (舍去), 所以 $a=2 c=4 \sqrt{3}$,

$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3}$.

【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误。解答此类问题, 关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算. 本题首先应用余弦定理，建立关于 $c$ 的方程，应用 $a, c$ 的关系、三角形面积公式计算求解, 本题属于常见题目, 难度不大, 注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查.