如图所示, 四边形 $A B C D$ 是半径为 $R$ 的 $\odot O$ 的内接四边形, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $\angle A B D=45^{\circ}$, 直线 $l$ 与三条线段 $C D 、 C A 、 D A$ 的延长线分别交于点 $E 、 F 、 G$. 且满足 $\angle C F E=45^{\circ}$.

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(1)求证: 直线 $l \perp$ 直线 $C E$;

(2)若 $A B=D G$;

(1)求证: $\triangle A B C \cong \triangle G D E$;

(2)若 $R=1, C E=\frac{3}{2}$, 求四边形 $A B C D$ 的周长.


(1) 在 $\odot O$ 中, 根据同弧所对的圆周角相等可得 $\angle A C D=\angle A B D=45^{\circ}$, 结合已知在 $\triangle C F E$ 中根据三角形内角和定理可求得 $\angle F E C=90^{\circ}$;

(2) (1)根据圆内接四边形的性质和邻补角可得 $\angle A B C=\angle G D E$, 由直径所对的圆周角是直角和 （1）可得 $\angle A C B=\angle G E D$, 结合已知即可证得 $\triangle A B C \cong \triangle G D E(\mathrm{AAS})$;

(2)在 $\odot O$ 中由 $R=1$, 可得 $A B=2$, 结合题意易证 $D A=D B$, 在 Rt $\triangle A B C$ 中由勾股定理可求得 $D A=\sqrt{2}$, 由(1)可知易得 $B C+C D=D E+C D=C E$, 最后代入计算即可求得周长.

【详解】(1) 证明：在 $\odot O$ 中,

$\because A D=A D$,
$\therefore \angle A C D=\angle A B D=45^{\circ}$, 即 $\angle F C E=45^{\circ}$,

在 $\triangle C F E$ 中,

$\because \angle C F E=45^{\circ}$,

$\therefore \angle F E C=180^{\circ}-(\angle F C D+\angle C F E)=90^{\circ}$,

即直线 $I \perp$ 直线 $C E$;

(2) (1)四边形 $A B C D$ 是半径为 $R$ 的 $\odot O$ 的内接四边形,

$\therefore \angle A D C+\angle A B C=180^{\circ}$,

$\because \angle A D C+\angle G D E=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle G D E$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

由（1）可知 $\angle G E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=\angle G E D$,

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle G D E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A B C=\angle G D E \\ \angle A C B=\angle G E D \\ A B=D G\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle G D E(\mathrm{AAS})$,

(2)在 $\odot O$ 中, $R=1$,

$\therefore A B=2 R=2$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\because \angle A B D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}-\angle A B D=45^{\circ}$,

$\therefore D A=D B$,

在 Rt $\triangle A B C$ 中,

$\therefore D A^{2}+D B^{2}=A B^{2}$,

即 $2 D A^{2}=2^{2}$,

解得: $D A=\sqrt{2}$,
由(1)可知 $\triangle A B C \cong \triangle G D E$,

$\therefore B C=D E$,

$\therefore B C+C D=D E+C D=C E=\frac{3}{2}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的周长为:

$D A+A B+B C+C D=D A+A B+C E=2+\sqrt{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}+\sqrt{2}$.

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算; 解题的关键是灵活运用以上知识, 综合求解.

