一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 $1350^{\circ}$, 则这个多边形的边数是
设这个多边形的边数为 $n$, 这个外角的度数为 $\alpha$,

则 $0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$,

由题意得: $180(n-2)+\alpha=1350$,

$\alpha=1350-180(n-2)$,

$=1710-180 n$,

$\therefore 0<1710-180 n<180$,

解之得： $8.5<n<9.5$,

$\because n$ 为正整数,

$\therefore n=9$,

$\therefore$ 这个多边形的边数是 9 .

故答案为 9 .