已知陏圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点为 $\mathrm{F}_{1} 、 \mathrm{~F}_{2}$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过 $\mathrm{F}_{2}$ 的直线 1 交 $\mathrm{C}$与 $A 、 B$ 两点, 若 $\triangle A F_{1} B$ 的周长为 $4 \sqrt{3}$, 则 $C$ 的方程为 ( )