17. (2018 安徽黄山一模) 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比大于零的等比数列, 且 $a_{1}=b_{1}=2, \quad a_{3}=b_{3}=8$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 记 $c_{n}=a_{b_{n}}$, 求数列 $\left\{\log _{2}\left(c_{n}+1\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.
(1) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 且 $q>0$.

由 $a_{1}=2, a_{3}=8$, 得 $8=2+2 d$, 解得 $d=3$.

所以 $a_{n}=2+(n-1) \times 3=3 n-1$.

由 $b_{1}=2, b_{3}=8$, 得 $8=2 q^{2}$, 又 $q>0$, 解得 $q=2$.

所以 $b_{n}=2 \times 2^{n-1}=2^{n}$.

(2) 因为 $c_{n}=a_{b_{n}}=3 \times 2^{n}-1$,

所以 $c_{n}+1=3 \times 2^{n}, \log _{2}\left(c_{n}+1\right)=n+\log _{2} 3$,

所以 $S_{n}=\frac{n(1+n)}{2}+n \log _{2} 3=\frac{n+n^{2}}{2}+n \log _{2} 3$.