如图, 直线 $\mathrm{AB}$ 与半径为 2 的 $\odot 0$ 相切于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 是 $\odot 0$ 上一点, 且 $\angle \mathrm{EDC}=30^{\circ}$, 弦 $\mathrm{EF} / /$ $\mathrm{AB}$, 则 $\mathrm{EF}$ 的长度为 \$ \qquad \$ .

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【分析】辅助线, 连接 $0 C$ 与 $0 E$. 根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,可知 $\angle \mathrm{EOC}$ 的度数; 再根据切线的性质定理, 圆的切线垂直于经过切点的半径, 可知 $O C \perp A B$;又 $\mathrm{EF} / / \mathrm{AB}$, 可知 $\mathrm{OC} \perp \mathrm{EF}$, 最后由三角函数和垂径定理可将 $\mathrm{EF}$ 的长求出.
解: 连接 $O E$ 和 $O C$, 且 $O C$ 与 $E F$ 的交点为 $M$.

$\because \angle \mathrm{EDC}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{COE}=60^{\circ}$.

$\because \mathrm{AB}$ 与 $\odot 0$ 相切,

$\therefore 0 \mathrm{C} \perp \mathrm{AB}$,

又 $\because \mathrm{EF} / / \mathrm{AB}$,

$\therefore O C \perp \mathrm{EF}$, 即 $\triangle \mathrm{E} O \mathrm{M}$ 为直角三角形.

在 Rt $\triangle \mathrm{E} O \mathrm{M}$ 中, $\mathrm{EM}=\sin 60^{\circ} \times 0 \mathrm{E}=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2=\sqrt{3}$,

$\because \mathrm{EF}=2 \mathrm{EM}$,

$\therefore \mathrm{EF}=2 \sqrt{3}$.

故答案为: $2 \sqrt{3}$.

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