1) 已知多项式 $2 x^{3}-x^{2}+m$ 有一个因式是 $2 x+1$, 求 $m$ 的值 ( $m$ 是常数).

(2) 已知 $a 、 b 、 c$ 是 $\triangle A B C$ 的三条边, 且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0$, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状.
【答案】解: (1) $\because$ 多项式 $2 x^{3}-x^{2}+m$ 有一个因式是 $2 x+1$,

$\therefore 2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$,

当 $x=-\frac{1}{2}$ 时,

$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+m=0$

解得 $m=\frac{1}{2}$.

(2) $\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0$,

$\therefore 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0$,

$a^{2}+b^{2}-2 a b+b^{2}+c^{2}-2 b c+a^{2}+c^{2}-2 a c=0$,

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0, b-c=0, c-a=0$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore \triangle A B C$ 为等边三角形.

【解析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断; 以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题.

(1) 令 $2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$ 的形式, 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, 可以转化为关于 $m$ 的一元一次方

程, 解方程即可求出 $m$ 的值;

(2)将已知等式利用配方法进行变形, 再利用非负数的性质求出 $a-b=0, b-c=0$, $c-a=0$, 即可判断出 $\triangle A B C$ 的形状.