在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 二面角 $A-B D-A_{1}$ 的大小为

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【分析】

连接 $A C, B D$, 交于 $O$, 连 $A_{1} O$, 可得 $\angle A_{1} O A$ 是二面角 $A-B D-A_{1}$ 的平面角, 在直角三角形 $A_{1} O A$ 中可求得结果.

## 【详解】

连接 $A C, B D$, 交于 $O$, 连 $A_{1} O$,

## 如图所示:

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因为 $B D \perp A C$, 且 $A_{1} O$ 在底面 $A B C D$ 内的射影是 $A O$,

所以由三垂线定理可得 $B D \perp A_{1} O$,

所以 $\angle A_{1} O A$ 是二面角 $A-B D-A_{1}$ 的平面角,

设正方体的棱长为 1 , 则 $A O=\frac{\sqrt{2}}{2}, A_{1} O=\sqrt{A_{1} A^{2}+A O^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,
所以 $\cos \angle A_{1} O A=\frac{A O}{A_{1} O}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

因为 $0<\angle A_{1} O A<\frac{\pi}{2}$,

所以 $\angle A_{1} O A=\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$.

故答案为: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$.

## 【点睛】

本题考查了三垂线定理, 考查了求二面角, 关键是作出二面角的平面角, 属于基础题.