已知 $a b c=1, a+b+c=2, a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$, 则 $\frac{1}{a b+c-1}+\frac{1}{b c+a-1}+\frac{1}{c a+b-1}$ 的值为 ( )

【答案】D

【解析】解: 由 $a+b+c=2$, 两边平方,

得 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c=4$,

将已知代入, 得 $a b+b c+a c=\frac{1}{2}$;

由 $a+b+c=2$ 得: $c-1=1-a-b$,

$\therefore a b+c-1=a b+1-a-b=(a-1)(b-1)$,

同理, 得 $b c+a-1=(b-1)(c-1)$,

$c a+b-1=(c-1)(a-1)$,

$\therefore$ 原式 $=\frac{1}{(a-1)(b-1)}+\frac{1}{(b-1)(c-1)}+\frac{1}{(c-1)(a-1)}$
$=\frac{c-1+a-1+b-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$

$=\frac{-1}{(a b-a-b+1)(c-1)}$

$=\frac{-1}{a b c-a c-b c+c-a b+a+b-1}$

$=\frac{-1}{1-\frac{1}{2}+2-1}=-\frac{2}{3}$.

故选: D.

由 $a+b+c=2, a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$, 利用两个等式之间的平方关系得出 $a b+b c+a c=\frac{1}{2}$;

再根据已知条件将各分母因式分解, 通分, 代入已知条件即可.

本题考查了分式的化简其中计算, 解题时, 充分运用已知条件变形, 使分式能化简通分,得出结果.