已知函数 $g(x)=(a+1)^{x-2}+1(a>0)$ 的图像恒过定点 $A$, 且点 $A$ 又在函数 $f(x)=\log _{\sqrt{3}}(x+a)$ 的图像上.

(1) 求实数 $a$ 的值;

(2) 解不等式 $f(x)<\log _{\sqrt{3}} a$;

(3) $|g(x+2)-2|=2 b$ 有两个不等实根时, 求 $b$ 的取值范围.


解: (1) 函数 $g(x)$ 的图像恒过定点 $A, A$ 点的坐标为 $(2,2)$

又因为 $A$ 点在 $f(x)$ 上, 则: $f(2)=\log _{\sqrt{3}}(2+a)=2 \Rightarrow 2+a=3 \Rightarrow a=1$

(2) 由题意知: $\log _{\sqrt{3}}(x+1)<\log _{\sqrt{3}} 1$

而 $\log _{\sqrt{3}} x$ 在定义域上单调递增, 知

$0<x+1<1$, 即 $-1<x<0$

$\therefore$ 不等式的解集为 $\{x \mid-1<x<0\}$

(3) 由 $|g(x+2)-2|=2 b$ 知: $\left|2^{x}-1\right|=2 b$, 方程有两个不等实根

若令 $g(x)=|2 x-1|, h(x)=2 b$ 有它们的函数图像有两个交点, 如下图示

<ImageHere>

由图像可知: $0<2 b<1$, 故 $b$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$