某学校开展数学实验活动, 需要购买 $A 、 B$ 两种实验器材.

已知购进 5 套 $A$ 种实验器材和 10 套 $B$ 种实验器材共需 1750 元;

购进 10 套 $A$ 种实验器材和 15 套 $B$ 种实验器材共需 3000 元.

(1) 求购进一套 $A$ 种实验器材和一套 $B$ 种实验器材各需多少元?

(2) 若学校购买 $A$ 种实验器材不少于 20 套, 购买 $A 、 B$ 两种实验器材共 45 套所花费用不超过 5600 元,则有哪几种购买方案?

(3)在（2）的条件下, 哪种购买方案需要的总费用最少? 最少费用是多少元?
解: (1) 设购进一套 $A$ 种实验器材需要 $x$ 元, 一套 $B$ 种实验器材需要 $y$ 元,

依题意可得: $\left\{\begin{array}{l}5 x+10 y=1750 \\ 10 x+15 y=3000\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=150 \\ y=100\end{array}\right.$,

答: 购进一套 $A$ 种实验器材需要 150 元, 一套 $B$ 种实验器材需要 100 元;

（2）设购买 $A$ 种实验器材 $a$ 套, 则购买 $B$ 种实验器材 $(45-a)$ 套,

依题意可得: $\left\{\begin{array}{l}150 a+100(45-a) \leq 5600 \\ a \geq 20\end{array}\right.$, 解得 $20 \leq a \leq 22 ，$

$\because a$ 为整数,

$\therefore a$ 的值为 $20,21,22$,

则有以下三种购买方案,

方案一: 购买 $A$ 种实验器材 20 套, 购买 $B$ 种实验器材 25 套,

方案二: 购买 $A$ 种实验器材 21 套, 购买 $B$ 种实验器材 24 套,

方案三: 购买 $A$ 种实验器材 22 套, 购买 $B$ 种实验器材 23 套;

(3) 由（2）可知:

方案一所需费用: $150 \times 20+25 \times 100=5000$ 元,

方案二所需费用: $150 \times 21+24 \times 100=5550$ 元，

方案三所需费用: $150 \times 22+23 \times 100=5600$ 元,
即: 购买 $A$ 种实验器材 22 套, 购买 $B$ 种实验器材 23 套费用最少, 此时费用为 5000 元.