(12 分）设 $a=\sin x \cos x, b=\sin x+\cos x$ ．

(1) 求 $a, b$ 的关系式;

(2) 若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 求 $y=\sin x \cos x+\sin x+\cos x$ 的最大值.
(1) $\because b=\sin x+\cos x, \quad \therefore b^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=1+2 \sin x \cos x=1+2 a$

(2) 由 (1) $a=\frac{1}{2}\left(b^{2}-1\right)$,

因为 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 所以 $b=\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \in(1, \sqrt{2}]$ 。

所以 $y=a+b=\frac{1}{2}\left(b^{2}-1\right)+b=\frac{1}{2}(b+1)^{2}-1$,

$\therefore b=\sqrt{2}$ 时, $y=\sin x \cos x+\sin x+\cos x$ 的最大值为 $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$.