16. 在底面半径为 6 的圆柱内, 有两个半径也为 6 的球面, 两球的球心距为 13 , 若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一粗圆，则粗圆的长轴长为
：解答：设两个球的球心分别为 $\mathrm{O}_{1} 、 \mathrm{O}_{2}$, 所得椭圆的长轴为 $\mathrm{AB}$,直线 $\mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 交于点 $\mathrm{E}$, 设它们确定平面 $\alpha$,作出平面 $\alpha$ 与两个球及圆柱的截面, 如图所示过 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的垂线, 交圆柱的母线于点 $\mathrm{C}$, 设 $\mathrm{AB}$ 切球 $\mathrm{O}_{1}$ 的大圆于点 $\mathrm{D}$, 连接 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{D}$

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$\because$ Rt $\triangle \mathrm{O}_{1} \mathrm{DE}$ 中, $\mathrm{O}_{1} \mathrm{E}=\frac{1}{2} \mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}=\frac{13}{2}, \mathrm{O}_{1} \mathrm{D}=6$

$\therefore \cos \angle \mathrm{DO}_{1} \mathrm{E}=\frac{O_{1} D}{O_{1} E}=\frac{12}{13}$,

$\because$ 锐角 $\angle \mathrm{DO}_{1} \mathrm{E}$ 与 $\angle \mathrm{BAC}$ 的两边对应互相垂直

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DO}_{1} \mathrm{E}$,

得 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{A C}{A B}=\frac{12}{13}$,

$\because A C$ 长等于球 $\mathrm{O}_{1}$ 的直径, 得 $A C=12$

$\therefore$ 椭圆的长轴 $\mathrm{AB}=13$

故答案为: 13

分析: 本题主要考查了平面与圆柱面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线性质, 设两个球的球心分别为 $\mathrm{O}_{1} 、 \mathrm{O}_{2}$, 椭圆的长轴为 $\mathrm{AB}$, 作出由 $\mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 确定平面 $\alpha$ 与两个球及圆柱的截面, 并过 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}$ 的垂线, 交圆柱的母线于点 $\mathrm{C}$, 连接 $\mathrm{O}_{1}$ 与 $\mathrm{AB}$ 切球 $\mathrm{O}_{1}$ 的切点 D. 分别在 Rt $\triangle \mathrm{O}_{1} \mathrm{DE}$ 中和 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 利用 $\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DO}_{1} \mathrm{E}$ 和余弦的定义, 结合题中的数据建立关系式, 即可解出 $\mathrm{AB}$ 的长, 即得该椭圆的长轴长.