已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+3 \mathrm{x}$ 对任意的 $\mathrm{m} \in[-2,2], \mathrm{f}(\mathrm{mx}-2)+\mathrm{f}(\mathrm{x})<0$ 恒成立, 则 $\mathrm{x} \in$
答案: $\left(-2, \frac{2}{3}\right)$

【解析】解: 由题意得, 函数的定义域是 $\mathrm{R}$, 且 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=(-\mathrm{x})^{3}+3(-\mathrm{x})=-\left(\mathrm{x}^{3}+3 \mathrm{x}\right)$ $=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数,

又 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+3>0$, 所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递增,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{mx}-2)+\mathrm{f}(\mathrm{x})<0$ 可化为: $\mathrm{f}(\mathrm{mx}-2)<-\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(-\mathrm{x})$,

由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递增知: $\mathrm{mx}-2<-\mathrm{x}$, 即 $\mathrm{mx}+\mathrm{x}-2<0$,

则对任意的 $m \in[-2,2], f(m x-2)+f(x)<0$ 恒成立,

等价于对任意的 $\mathrm{m} \in[-2,2], \mathrm{mx}+\mathrm{x}-2<0$ 恒成立,

所以 $\left\{\begin{array}{c}-2 x+x-2<0 \\ 2 x+x-2<0\end{array}\right.$, 解得 $-2<\mathrm{x}<{ }^{\frac{2}{3}}$,

即 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 $\left(-2, \frac{2}{3}\right)$,

故答案为: $\left(-2, \frac{2}{3}\right)$.

【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化, 再利用单调性去掉不等式中的符号“ $\mathrm{f}$ ", 转化具体不等式, 借助一次函数的性质可得 $\mathrm{x}$ 的不等式组, 解出可得答案.