已知函数 $f(x)=a^{x^{-1}}(x \geqslant 0)$ 的图象经过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$, 其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$.

(1)求 $a$ 的值;

(2)求函数 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 的值域.
【解】(1)因为函数图象过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$,所以 $a^{2-1}=\frac{1}{2}$, 则 $a=\frac{1}{2}$.

(2) 由(1)得 $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right) x^{x-1}(x \geqslant 0)$,

由 $x \geqslant 0$, 得 $x-1 \geqslant-1$, 于是 $0<\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$.

所以所求函数的值域为 $(0,2]$.