已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+x^{2}\right)$.

求证: (1) 函数 $f(x)$ 是偶函数;

(2)函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数.
证明：(1)函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbf{R}$,

$f(-x)=\log _{2}\left[1+(-x)^{2}\right]$

$=\log _{2}\left(1+x^{2}\right)=f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 是偶函数.

(2)设 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\log _{2}\left(1+x_{1}^{2}\right)-\log _{2}\left(1+x_{2}^{2}\right)$

$=\log _{2} \frac{1+x^{2}}{1+x_{2}^{2}}$.

由于 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $0<x_{1}^{2}<x^{2}$,

则 $0<1+x_{1}^{2}<1+x^{2}$,

所以 $0<\frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<1$.

又函数 $y=\log _{2} x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数,

所以 $\log _{2} \frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<0$.

所以 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

所以函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数.