(12 分) 如图 1, 在正方形 $A B C D$ 中, 点 $P$ 在 $C D$ 上, 分别过点 $C 、 D$ 作 $C E \perp B P 、 D F \perp B P$ 于点 $E 、 G$, 联结 $A G 、 C G$, 过点 $C$ 作 $C F \perp D G$ 于点 $F$.

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图1

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图2

(1)求证: 四边形 $C E G F$ 是正方形;

(2)求 $\frac{A G}{B E}$ 的值;

(3)如图 2, 若 $A B=4, A G$ 经过 $C D$ 的中点 $K$, 求 $C P$ 的长.

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(1) 先证明四边形 $C E G F$ 是矩形, 再证明 $\triangle B C E \cong \triangle D C F$, 则 $C E=C F$, 即可证明四边形 $C E G F$ 是正方形;

(2) 连接 $A C$ 交 $B G$ 于点 $O$, 证明 $\triangle A B O \sim \triangle G C O$. 则 $\frac{A O}{O B}=\frac{G O}{C O}$. 又由 $\angle A O G=\angle B O C$ 得到 $\triangle A G O \sim \triangle B C O$. 再证明 $\triangle A C G \sim \triangle B C E$. 即可得到 $\frac{A G}{B E}=\frac{C G}{C E}=\sqrt{2}$;

(3) 证明 $\triangle A D K \sim \triangle C G K$, 则 $\frac{C G}{G K}=\frac{A D}{D K}=2$. 设 $G K=m$, 则 $C G=2 m$, 在 Rt $\triangle C E G$ 中, 由勾股定理得 $E G=\sqrt{2} m$, 则 $\frac{E G}{G K}=\frac{C G}{E G}=\sqrt{2}$, 证明 $\triangle C G E \sim \triangle E G K$, 进一步得到 $\triangle E G K$ 是等腰直角三角形, $E K=G K=\frac{\sqrt{2}}{2} E G=m$, 由 $E K / / C G$ 得到 $\frac{K P}{P C}=\frac{E K}{C G}=\frac{1}{2}$, 即可得到答案.

【详解】(1) 证明 $\because C E \perp B P, D F \perp B P, C F \perp D G$,

$\therefore$ 四边形 $C E G F$ 是矩形.

在正方形 $A B C D$ 中,

$\therefore B C \perp C D, B C=C D$.

$\because D G \perp B G$,

$\therefore \angle C B P+\angle C P B=\angle P D G+\angle D P G=90^{\circ}$,

$\because \angle C P B=\angle D P G$,

$\therefore \angle C B P=\angle P D G$.

$\because \angle C E B=\angle C F D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B C E \cong \triangle D C F$.

$\therefore C E=C F$.

$\therefore$ 四边形 $C E G F$ 是正方形.

(2) 连接 $A C$ 交 $B G$ 于点 $O$, 由 (1) 可得 $\angle B A C=\angle B G C=45^{\circ}$.

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图1

又 $\angle A O B=\angle G O C$,

$\therefore \triangle A B O \sim \triangle G C O$.

$\therefore \frac{A O}{O B}=\frac{G O}{C O}$.

又 $\angle A O G=\angle B O C$,

$\therefore \triangle A G O \sim \triangle B C O$.

$\therefore \angle C A G=\angle C B E, \angle A G O=\angle A C B=45^{\circ}$, .

$\therefore \angle A G C=\angle B E C=90^{\circ}$

$\therefore \triangle A C G \sim \triangle B C E$.

$\therefore \frac{A G}{B E}=\frac{C G}{C E}=\sqrt{2}$;

(3) 连接 $E K$.

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图2

由题意得 $A D=2 D K$, 则 $D K=2$.

由（2）可知, $\angle A G C=90^{\circ}$,

$\because \angle A D K=\angle K G C=90^{\circ}, \angle A K D=\angle C K G$,

$\therefore \triangle A D K \sim \triangle C G K$.

所以 $\frac{C G}{G K}=\frac{A D}{D K}=2$.

设 $G K=m$, 则 $C G=2 m$, 在 Rt $\triangle C E G$ 中, 由勾股定理得 $E G=\sqrt{2} m$,

则 $\frac{E G}{G K}=\frac{C G}{E G}=\sqrt{2}$,

又 $\angle E G K=\angle C G E=45^{\circ}$ ，

$\therefore \triangle C G E \sim \triangle E G K$,

则 $\angle E K G=\angle C E G=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle E G K$ 是等腰直角三角形,

$\therefore E K=G K=\frac{\sqrt{2}}{2} E G=m$,

$\because \angle A G C=90^{\circ}$,

$\therefore E K / / C G$,

$\therefore \frac{K P}{P C}=\frac{E K}{C G}=\frac{1}{2}$.

所以 $C P=\frac{2}{3} C K=\frac{4}{3}$.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识, 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.