对于任意实数 $k$, 关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2}-(k+5) x+k^{2}+2 k+25=0$ 的根的情况为
$\frac{1}{2} x^{2}-(k+5) x+k^{2}+2 k+25=0$,
$\Delta=[-(k+5)]^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times\left(k^{2}+2 k+25\right)=-k^{2}+6 k-25=-(k-3)^{2}-16$,

所以不论 $k$ 为何值, $-(k-3)^{2} \leq 0$,

即 $\Delta=-(k-3)^{2}-16<0$,

所以方程没有实数根,

故选: $B$.