23. 已知椭圆的中心在原点, 焦点为 $(0,2 \sqrt{2})$, 且离心 $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(1) 求粗圆的方程;

答案: $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$

（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点, 且线段中点的横坐标

为 $-\frac{1}{2}$, 求直线倾斜角的取值范围.

答案: $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right)$.
: 解答: (1) 设椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$. 焦点为 $(0,2 \sqrt{2}),, \frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 所以 $\mathrm{a}=3, \mathrm{c}=2 \sqrt{2}$,所以 $\mathrm{b}=1$. 故所求粗圆方程为 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$.

（2）设直线的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$, 代入椭圆方程 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$ 整理得

$\left(k^{2}+9\right) x^{2}+2 k b+b^{2}-9=0$. 设 $\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 且线段 $\mathrm{AB}$ 中点的横坐标为 $-\frac{1}{2}$,由题意得 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=(2 k b)^{2}-4\left(k^{2}+9\right)\left(b^{2}-9\right)>0, \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k b}{k^{2}+9}=-1,\end{array}\right.$ 解得 $k<-\sqrt{3}$ 或 $k>\sqrt{3}$.
又直线与坐标轴不平行, 故直线倾斜角的取值范围是 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right)$.

分析: 本题考查直线与圆雉曲线的位置关系、椭圆方程的求解, 考查学生分析解决问题的能力, (II) 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 $\Delta>0$, 由中点横坐标得一方程, 两者联立即可求得范围, 称为 “方程不等式法”, 解题中注意应用.