(12 分) 用综合法或分析法证明:

(1) 如果 $a>0, b>0$, 那么 $\lg \frac{a+b}{2} \geq \frac{\lg a+\lg b}{2}$;

(2) 设 $x>0, y>0$, 求证:
答案:(1) 证明见解析; (2) 证明见解析.

【解析】(1) 综合法: $\because a>0, b>0, \therefore \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}, \therefore \lg \frac{a+b}{2} \geq \lg \sqrt{a b}$,

又 $\lg \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \lg a b=\frac{\lg a+\lg b}{2}, \therefore \lg \frac{a+b}{2} \geq \frac{\lg a+\lg b}{2}$.

分析法: $\because a>0, b>0$,

$\therefore a+b>0$, 要证 $\lg \frac{a+b}{2} \geq \frac{\lg a+\lg b}{2}$, 只需证 $2 \lg \frac{a+b}{2} \geq \lg a b$,

即证 $\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \geq \lg a b ，$

只需证 $\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \geq a b$, 即证 $(a+b)^{2} \geq 4 a b$, 即证 $(a-b)^{2} \geq 0$,

而 $(a-b)^{2} \geq 0$ 恒成立, 故原不等式成立.

(2) $\because x>0, y>0, \therefore$ 要证明 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}>\left(x^{3}+y^{3}\right)^{\frac{1}{3}}$,

只需证明, 即证 $x^{2} y^{2}\left(3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}\right)>0$,

只需证 $3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}>0$,

$\because 3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}=3\left(x-\frac{y}{3}\right)^{2}+\frac{8}{3} y^{2}>0$ 成立, $\therefore$ 原式成立.