在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$.

(1). 设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$, 证明:数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;

(2). 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和 $S_{n}$.
(1). 证明: 将 $a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$, 两边同除以 $2^{n}$,

得 $\frac{a_{n+1}}{2^{n}}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}+1$.

$\therefore \frac{a_{n+1}}{2^{n}}-\frac{a_{n}}{2^{n-1}}=1$, 即 $b_{n+1}-b_{n}=1$,

$\therefore\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列.

(2).由(1), 可得 $\frac{a_{n}}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{0}}+(n-1) \times 1=n$.

$\therefore a_{n}=n \cdot 2^{n-1}$.

$\therefore S_{n}=2^{0}+2 \times 2^{1}+3 \times 2^{2}+\cdots+n \times 2^{n-1}$. (1)

$2 S_{n}=2^{1}+2 \times 2^{2}+\cdots+(n-1) 2^{n-1}+n \cdot 2^{n}$.(2)

$\therefore$ (1)-(2), 得 $-S_{n}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n-1}-n \cdot 2^{n}$
$=\frac{1-2^{n}}{1-2}-n \cdot 2^{n}=(1-n) \cdot 2^{n}-1$.

$\therefore S_{n}=(n-1) \cdot 2^{n}+1$.

20.答案：(1) 证明: 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$,

$\because a_{2}=4, a_{6}=16, \therefore 4 d=a_{6}-a_{2}=12$, 得 $d=3$,

$\therefore a_{n}=a_{2}+(n-2) d=3 n-2$,

设 $b_{n}=\frac{1}{3} a_{n}-3 n$, 则 $b_{n}=-2 n-\frac{2}{3}$,

$\therefore b_{n+1}-b_{n}=-2$,

即数列 $\left\{\frac{1}{3} a_{n}-3 n\right\}$ 是公差为 -2 的等差数列.

(2) 解:由 (1) 得 $a_{1}=4-3=1$,

设新数列为 $\left\{c_{n}\right\}$, 其公差为 $d_{1}$, 则 $c_{1}=1, c_{5}=4$,

$\therefore 4 d_{1}=3$, 得 $d_{1}=\frac{3}{4}$,

$\therefore c_{41}=1+(41-1) \times \frac{3}{4}=31$.