（2020$\cdot$海南模拟）甲、乙两人进行围棋比赛, 比赛要求双方下满五盘棋, 开始时甲每盘棋赢的概率为 $\frac{3}{4}$, 由于心态不稳, 甲一旦输一盘棋, 他随后每盘棋赢的概率就变为 $\frac{1}{2}$. 假设比赛没有和棋,且已知前两盘棋都是甲赢.

（I ）求第四盘棋甲赢的概率;

（II）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.
解：（I）第四盘棋甲赢分两种情况.

若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢, $P_{1}=\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$;

若第三盘棋乙赢, 第四盘棋甲赢, $P_{2}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.
设事件 $A$ 为 “第四盘棋甲赢”，

则第四盘棋甲赢的概率 $P(A)=P_{1}+P_{2}=\frac{9}{16}+\frac{1}{8}=\frac{11}{16}$.

（II）若甲恰好贏三盘棋, 则他在后三盘棋中只赢一盘, 分三种情况.

若甲第三盘赢， $P_{3}=\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{32}$ ；

若甲第四盘赢, $P_{4}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}$;

若甲第五盘赢, $P_{5}=\frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$.

设事件 $B$ 为 “比赛结束时，甲恰好贏三盘棋” ,

则比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为:

$P(B)=P_{3}+P_{4}+P_{5}=\frac{3}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{7}{32}$.