已知不等式 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right) \geqslant 9$ 对任意正实数 $x, y$ 恒成立, 则正实数 $a$ 的最小值为 $(\quad)$
只需求 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)$ 的最小值大于等于 9 即可,

又 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{a}{y}\right)=1+a \cdot \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+a \geqslant a+1+2 \sqrt{a \cdot \frac{x}{y x}}=a+2 \sqrt{a}+1$, 等号成立仅当 $a \cdot \frac{x}{y}=\frac{y}{x}$即可, 所以 $(\sqrt{a})^{2}+2 \sqrt{a}+1 \geqslant 9$,

即 $(\sqrt{a})^{2}+2 \sqrt{a}-8 \geqslant 0$ 求得 $\sqrt{a} \geqslant 2$ 或 $\sqrt{a} \leqslant-4$ (舍去), 所以 $a \geqslant 4$, 即 $a$ 的最小值为 4 .