如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 点在边 $B C$ 上, $\frac{B D}{C D}=\frac{2}{5}, E$ 为 $A B$ 边上一点, 当 $E C=E D$ 时, $\frac{A E}{B E}$ 的值为 $($ )

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解：过点 $E$ 作 $E F \perp B C$ 于 $F$,

$\because E C=E D, E F \perp C D$,

$\therefore C F=D F$,

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$\because \frac{B D}{C D}=\frac{2}{5}$,

$\therefore \frac{C F}{F B}=\frac{5}{9}$,

$\because E F \perp B C, A C \perp B C$,

$\therefore E F / / A C$,

$\therefore \frac{A E}{E B}=\frac{5}{9}$,

故选: $A$.

过点 $E$ 作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 根据比例的性质得 $\frac{C F}{F B}=\frac{5}{9}$, 再由 $E F / / A C$ 即可得出答案.

此题考查比例的性质和平行线的判定与性质, 根据题意正确作出辅助线是解答的关键.

