如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ} \angle B=30^{\circ}$, 以 $A$ 为圆心, 适当长为半径画弧,交 $A B$ 于点 $M$, 交 $A C$ 于点 $N$, 再分别以 $M, N$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧,两弧在 $\angle B A C$ 的内部交于点 $P$, 连结 $A P$ 并延长, 交 $B C$ 于点 $D$. 有下列说法:
(1)线段 $A D$ 是 $\angle B A C$ 的平分线;
(2) $\angle A D C=\angle B A C$;

(3)点 $D$ 到 $A B$ 边的距离与 $D C$ 的长相等; (4) $\triangle D A C$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比是 1:4.

其中结论正确的是 $(\quad)$

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