求满足下列条件的抛物线的标准方程.

(1) 过点 $M(-6,6)$;

(2) 焦点 $F$ 在直线 $l: 3 x-2 y-6=0$ 上.
答案:(1) 解: 由于点 $M(-6,6)$ 在第二象限, $\therefore$ 过 $M$ 的抛物线开口向左或开口向上.

若抛物线开口向左, 则焦点在 $x$ 轴上, 设其方程为 $y^{2}=-2 p_{1} x\left(p_{1}>0\right)$,

将点 $M(-6,6)$ 代入, 可得 $36=-2 p_{1} \times(-6), \therefore p_{1}=3$.

$\therefore$ 抛物线的方程为 $y^{2}=-6 x$.

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将点 $M(-6,6)$ 代入可得, $36=2 p_{2} \times 6, \therefore p_{2}=3, \therefore$ 抛物线的方程为 $x^{2}=6 y$

综上所述, 抛物线的标准方程为 $y^{2}=-6 x$ 或 $x^{2}=6 y$

(2) 解: (1) $\because$ 直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 (20), ， 抛物线的焦点是 $F(20)$,

$\therefore{ }^{\frac{p}{2}=2}, \therefore p=4$,

$\therefore$ 抛物线的标准方程是 $y^{2}=8 x$.

(2) $\because$ 直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,-3)$, 即抛物线的焦点是 $F(0,-3)$,

$\therefore{ }^{\frac{p}{2}=3}, \therefore p=6, \therefore$ 抛物线的标准方程是 $x^{2}=-12 y$

【解析】注意分类讨论是关键;

(1) 中点 $\mathrm{M}$ 的象限决定开口向左或向右, 利用待定系数法代入点 $\mathrm{M}$ 直接得到两个标准方程;

(2) 中直线与 $x, y$ 轴各有一个交点, 所以要注意有两种情况, 利用待定系数法代入点 $M$ 求出答案。

18. 答案:(1) 解: 若命题 $p$ 为真, 则 $4 a^{2}-4\left(2 a^{2}-5 a+4\right)>0$,

整理得到 $\mathrm{a}^{2}-5 \mathrm{a}+4<0$,

解得 $1<a<4$

(2) 解: 若命题 $q$ 为真, 则 $\triangle=(a-1)^{2}-4<0$, 即 $a^{2}-2 a-3<0$

解得: $-1<\mathrm{a}<3$

若 $p \wedge q$ 为真,

则 $1<\mathrm{a}<3$

【解析】 (1) 若命题 $\mathrm{p}$ 为真, 则 $4 \mathrm{a}^{2}-4\left(2 \mathrm{a}^{2}-5 \mathrm{a}+4\right)>0$, 解得实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围;若命题 $p \wedge q$ 为真命题, 则命题 $p, q$ 均为真命题, 进而可得实数 $a$ 的取值范围.