(8 分) 已知二次函数 $y=x^{2}+2 x$, 且该函数图象经过 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两个不同的点.

(1)当 $x_{1}=3 n+4, x_{2}=2 n-1$, 且 $y_{1}=y_{2}$ 时, 求 $n$ 的值.

(2)当 $x_{1}>-1, x_{2}>-1$ 时, 求证: $\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)>0$.


(1) 由抛物线的对称性, 可得 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两点关于对称轴对称, 进而求解;

（2）根据 $x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 增大而增大分类讨论 $x_{1}>x_{2}$ 与 $x_{1}<x_{2}$ 两种情况求解.

【详解】(1) 解：由抛物线的对称性, 可知当 $y_{1}=y_{2}$ 时, $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两点关于对称轴对称,

$\therefore \frac{3 n+4+2 n-1}{2}=-1$, $\therefore n=-1$;

（2）解: $\because y=x^{2}+2 x=(x+1)^{2}-1$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$, 且抛物线的开口向上,

$\therefore$ 当 $x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 增大而增大,

$\therefore$ 当 $x_{1}>x_{2}$ 时, $y_{1}>y_{2}$,

$\therefore\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)>0$,

当 $x_{1}<x_{2}$ 时, $y_{1}<y_{2}$,

$\therefore\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)>0$.

【点睛】本题考查二次函数的性质, 是重要考点, 熟练掌握二次函数的对称性质和增减性是解题关键.

