（2021・梓潼县模拟）若 $3^{a} \cdot 3^{b}=27,\left(3^{a}\right)^{b}=3$, 则 $a^{2}+b^{2}=$ \$ \qquad \$ .
根据同底数幂的乘法法则得出 $a+b=3$, 根据积的乘方运算法则得出 $a b=1$, 再根据完全平方公式解答即可.

【答案】解: $\because 3^{a} \cdot 3^{b}=3^{a+b}=27=3^{3}, \therefore a+b=3$,

$\because\left(3^{a}\right)^{b}=3, \quad \therefore a b=1, \quad \therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=3^{2}-2=7$. 故答案为: 7 .

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方, 熟记幂的运算法则是解答本题的关键.