如图, 以点 $O$ 为圆心的两个圆中, 大圆的弦 $A B$ 切小圆于点 $C, O A$ 交小圆于点 $D$, 若 $O D=2$, $\tan \angle \mathrm{OAB}=\frac{1}{2}$, 则 $\mathrm{AB}$ 的长是

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如图, 连接 $\mathrm{OC}$.

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$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 切线, $\therefore \mathrm{OC} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{AC}=\mathrm{BC}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ACO}$ 中, $\because \angle \mathrm{ACO}=90^{\circ}, \mathrm{OC}=\mathrm{OD}=2 \tan \angle \mathrm{OAB}=\frac{O C}{A C}$,

$\therefore \frac{1}{2}=\frac{2}{A C}, \therefore \mathrm{AC}=4, \therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AC}=8$, 故答案为 8