数学活动课上, 同学们想测出一个残损轮子的半径, 小聪的解决方案如下: 在轮子圆弧上任取两点 $A, B$, 连接 $A B$, 再作出 $A B$ 的垂直平分线, 交 $A B$ 于点 $C$, 交弧 $A B$ 于点 $D$, 测出 $A B, C D$ 的长度, 即可计

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算得出轮子的半径. 现测出 $A B=8 \mathrm{~cm}, C D=2 \mathrm{~cm}$, 则轮子的半径为 $\mathrm{cm}$.


由垂径定理, 可得出 $B C$ 的长; 连接 $O B$, 在 Rt $\triangle O B C$ 中, 可用半径 $O B$ 表示出 $O C$的长, 进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径, 即可得出轮子的直径长.

【详解】解：设圆心为 $O$, 连接 $O B$.

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Rt $\triangle O B C$ 中, $B C=\frac{1}{2} A B=4 \mathrm{~cm}$,

根据勾股定理得:

$O C^{2}+B C^{2}=O B^{2} ，$ 即:

$(O B-2)^{2}+4^{2}=O B^{2}$,

解得: $O B=5$;

故轮子的半径为 $5 \mathrm{~cm}$,

故答案为: $5 \mathrm{~cm}$.

【点睛】本题考查垂径定理, 勾股定理等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题.
