19. 已知 $a>b>c$, 求证: $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c} \geq \frac{4}{a-c}$
:证明:原不等式可变形为 $(a-c)\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right) \geq 4$.

又 $a-c=(a-b)+(b-c)$,
利用柯西不等式证明即可.

证明: $(a-c)\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)$

$=[(a-b)+(b-c)]\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}\right)$

$=\left[(\sqrt{a-b})^{2}+(\sqrt{b-c})^{2}\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{a-b}}\right)^{2}+\left(\sqrt{\frac{1}{b-c}}\right)^{2}\right]$

$\geq\left(\sqrt{a-b} \sqrt{\frac{1}{a-b}}+\sqrt{b-c} \sqrt{\frac{1}{b-c}}\right)^{2}=4 \geq\left(\sqrt{a-b} \sqrt{\frac{1}{a-b}}+\sqrt{b-c} \sqrt{\frac{1}{b-c}}\right)^{2}=4$,

当且仅当 $\sqrt{a-b} \cdot \sqrt{\frac{1}{b-c}}=\sqrt{b-c} \cdot \sqrt{\frac{1}{a-b}}$,

即 $a-b=b-c a-b=b-c$ 时等号成立.

$\therefore$ 原不等式成立.

解析: 分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键对所给条件解析变换结合 $a-c=(a-b)+(b-c)$ 如何构造不等式计算即可