(本小题 8.0 分)

如图, 线段 $A B$ 经过 $\odot O$ 的圆心 $O$, 交圆 $O$ 于点 $A, C, B C=1, A D$ 为 $\odot O$ 的弦, 连接 $B D, \angle B A D=$ $\angle A B D=30^{\circ}$, 连接 $D O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$, 连接 $B E$ 交 $\odot O$ 于点 $M$.

(1)求证: 直线 $B D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)求线段 $B M$ 的长.

<ImageHere>
(1)证明: $\because \angle B A D=\angle A B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D O B=2 \angle B A D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle O D B=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$,

即 $O D \perp B D ，$

$\because O D$ 过 $O$,

$\therefore$ 直线 $B D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)解：设 $O D=O C=r$,

在 $R t \triangle B D O$ 中, $\sin 30^{\circ}=\frac{O D}{O B}=\frac{r}{r+1}$,

解得: $r=1$,

即 $O D=1, O B=1+1=2$,

由勾股定理得: $B D=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$,

$\therefore B E=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{7}$,

连接 $D M$,

$\because D E$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle D M E=90^{\circ}$,

即 $\angle D M B=\angle B D E=90^{\circ} ，$

<ImageHere>

$\because \angle D B M=\angle D B E$,

$\therefore \triangle B M D \sim \triangle B D E$,

$\therefore \frac{B M}{B D}=\frac{B D}{B E}$,

$\therefore \frac{B M}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,

解得: $B M=\frac{3 \sqrt{7}}{7}$,

【解析】(1)求出 $\angle B D O=90^{\circ}$, 再根据切线的判定得出即可;

(2) 解直角三角形求出 $O D$ 、根据勾股定理求出 $B D$, 连接 $D M$, 根据相似三角形的判定得出 $\triangle B M D \sim \triangle$ $B D E$, 得出比例式, 再代入求出即可.

本题考查了切线的判定和性质, 相似三角形的性质和判定, 圆周角定理, 勾股定理等知识点, 能综合运用定理进行推理是解此题的关键.