已知直角梯形 $A B C D$ 的下底与等腰直角三角形 $A B E$ 的斜边重合, $A B \perp B C$ 且 $A B=2 C D=2 B C$ (如图 (1) 所示), 将此图形沿 $A B$ 折叠成直二面角, 连接 $E C, E D$,得到四棱雉 $E-A B C D$ （如图 (2) 所示）.

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(1)

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(2)

(1) 线段 $E A$ 上是否存在点 $F$, 使 $E C / /$ 平面 $F B D$ ? 若存在, 求出 $\frac{E F}{F A}$; 若不存在,说明理由;

（2）在（1）的条件下, 求平面 $A B E$ 与平面 $F B D$ 的夹角的余弦值.
【分析】

(1) 假设存在满足题意的点 $F$, 根据线面平行的性质定理可知 $E C / / F G$, 由平行线分线段成比例可求得 $\frac{E F}{F A}=\frac{1}{2}$, 则假设成立;

(2) 取 $A B$ 中点 $O$, 根据垂直关系, 以 $O$ 为坐标原点建立空间直角坐标系, 利用二面角的向量求法可求得结果.

## 【详解】

(1) 假设在线段 $E A$ 上存在点 $F$, 使得 $E C / /$ 平面 $F B D$,

连接 $A C$ ，交 $B D$ 于点 $G$, 连接 $B F, F G, D F$,

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若 $E C / /$ 平面 $F B D$, 平面 $A E C \cap$ 平面 $F B D=F G, E C \subset$ 平面 $A E C, \therefore E C / / F G$, $\therefore \frac{E F}{F A}=\frac{C G}{G A}$.

$\because A B / / C D, \quad \therefore \frac{C G}{G A}=\frac{C D}{A B}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{E F}{F A}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 在线段 $E A$ 上存在点 $F$, 使得 $E C / /$ 平面 $F B D$, 此时 $\frac{E F}{F A}=\frac{1}{2}$.

(2) 取 $A B$ 中点 $O$, 连接 $E O, O D$,

$\because O B / / C D, O B=\frac{1}{2} A B=C D, \therefore$ 四边形 $O B C D$ 为平行四边形, $\therefore O D / / B C$,

又 $A B \perp B C, \therefore O D \perp A B$.

$\because E A=E B, O$ 为 $A B$ 中点, $\therefore E O \perp A B$,

又平面 $A B E \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $A B E \cap$ 平面 $A B C D=A B, E O \subset$ 平面 $A B E$,

$\therefore E O \perp$ 平面 $A B C D$.

$\therefore$ 以 $O$ 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系 $O-x y z$ :

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$\because \triangle E A B$ 为等腰直角三角形, $\therefore O A=O B=O D=O E$,

设 $O B=1$, 则 $O(0,0,0), A(-1,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1)$, $F\left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$,

$\therefore \overrightarrow{B D}=(-1,1,0), \overrightarrow{B F}=\left(-\frac{4}{3}, 0, \frac{2}{3}\right), \overrightarrow{O D}=(0,1,0)$.

设平面 $F B D$ 的一个法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{B D}=-x+y=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B F}=-\frac{4}{3} x+\frac{2}{3} z=0\end{array}\right.$, 令 $x=1$, 则 $y=1, \quad z=2, \therefore \vec{n}=(1,1,2)$.

$\because O D \perp$ 平面 $A B E, \therefore \overrightarrow{O D}$ 是平面 $A B E$ 的一个法向量,

$\therefore \cos \left\langle\vec{n}, \overrightarrow{O D}>=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{O D}}{|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{O D}|}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\right.$,

即平面 $A B E$ 与平面 $F B D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

## 【点睛】

本题考查立体几何中存在性问题、平面与平面夹角的求解问题; 求解存在性问题的常用方法是通过假设存在, 将结论作为已知来反向说明, 找到矛盾或验证成立的条件, 从而
得到结论.