$\triangle A B C$ 是边长为 $\mathbf{1}$ 的等边三角形, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点, 连接 $D E$ 并延长到点 $F$,使得 $D E=2 E F$, 则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为 $(\quad)$


试题分析: 设 $\overrightarrow{B A}=a, \overrightarrow{B C}=b, \therefore \overrightarrow{D E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}(b-a), \overrightarrow{D F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{D E}=\frac{3}{4}(b-a)$, $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D F}=-\frac{1}{2} a+\frac{3}{4}(b-a)=-\frac{5}{4} a+\frac{3}{4} b, \therefore \overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}=-\frac{5}{4} a \cdot b+\frac{3}{4} b^{2}=-\frac{5}{8}+\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$.