(12 分) 给定函数 $f(x)=x^{2}+x+a^{2}+a, g(x)=x^{2}-x+a^{2}-a, a \in R$. 且 $\forall x \in R$, 用 $M(x)$ 表示 $f(x), g(x)$ 的较大者, 记为 $M(x)=\max \{f(x), g(x)\}$.

(1) 若 $a=1$, 试写出 $M(x)$ 的解析式, 并求 $M(x)$ 的最小值;

(2) 若函数 $M(x)$ 的最小值为 3 , 试求实数 $\boldsymbol{a}$ 的值.
【分析】

由 $M(x)$ 的定义可得 $M(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$, (1) 将 $a=1$ 代入, 写出解析式, 结合分段区间, 求 $f(x), g(x)$的最小值并比较大小, 即可得 $M(x)$ 的最小值; (2) 结合 $M(x)$ 的解析式及 $f(x), g(x)$ 对称轴, 讨论 $a \geq \frac{1}{2}$ 、 $-\frac{1}{2} \leqslant a<\frac{1}{2} 、 a<-\frac{1}{2}$ 分别求得对应 $M(x)$ 最小值关于 $a$ 的表达式, 结合已知求 $a$ 值.

## 【详解】

由题意,

当 $f(x) \geq g(x)$ 时, $f(x)-g(x)=x^{2}+x+a^{2}+a-\left(x^{2}-x+a^{2}-a\right)=2 x+2 a \geq 0$,

当 $f(x)<g(x)$ 时, $f(x)-g(x)=x^{2}+x+a^{2}+a-\left(x^{2}-x+a^{2}-a\right)=2 x+2 a<0$,

$\therefore M(x)=\max \{f(x), g(x)\}=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$

(1) 当 $a=1$ 时, $M(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x+2, x \geq-1 \\ x^{2}-x, x<-1\end{array}\right.$,

<ImageHere>

$\therefore$ 当 $x \geq-1$ 时, $M(x)=f(x)=x^{2}+x+2$, 此时 $f(x)_{\text {min }}=f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$,

当 $x \leq-1$ 时, $M(x)=g(x)=x^{2}-x$, 此时 $g(x)_{\text {min }}=g(-1)=2$,

$\therefore M(x)_{\min }=f(x)_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$.

(2) $M(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$, 且 $f(x), g(x)$ 对称轴分别为 $x=-\frac{1}{2}, x=\frac{1}{2}$,

(1)当 $-a \leq-\frac{1}{2}$ 时, 即 $a \geq \frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减, $\left(-\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增;

<ImageHere>

$\therefore M(x)_{\text {min }}=f(x)_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=3$, 即 $a^{2}+a-\frac{13}{4}=0, a=\frac{\sqrt{14}-1}{2} \quad\left(a=-\frac{1+\sqrt{14}}{2}\right.$ 舍去 $)$,

(2)当 $-\frac{1}{2}<-a \leq \frac{1}{2}$, 即 $-\frac{1}{2} \leqslant a<\frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $(-\infty,-a)$ 单调递减, $(-a,+\infty)$ 单调递增;

<ImageHere>

$\therefore M(x)_{\text {min }}=f(-a)=2 a^{2}=3$, 有 $a= \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \notin\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 故此时 $a$ 无解.

(3)当 $-a>\frac{1}{2}$, 即 $a<-\frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减, $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增;

<ImageHere>

$\therefore M(x)_{\min }=g(x)_{\min }=g\left(\frac{1}{2}\right)=3$, 即 $a^{2}-a-\frac{13}{4}=0, a=\frac{1-\sqrt{14}}{2} \quad\left(a=\frac{1+\sqrt{14}}{2}\right.$ 舍去 $)$

综上, 得: $a=\frac{1-\sqrt{14}}{2}$ 或 $a=\frac{\sqrt{14}-1}{2}$.

## 【点睛】

关键点点睛: 写出 $M(x)$ 的解析式, 第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴, 讨论参数范围求最小值关于参数的表达式, 进而求参数值.