将正方形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $30^{\circ}$, 得正方形 $A B_{1} C_{1} D_{1}, B_{1} C_{1}$ 交 $C D$ 于点 $E, A B=2$,则四边形 $A B_{1} E D$ 的内切圆半径为 \$ \qquad \$。
作 $\angle D A B_{1}$ 与 $\angle A B_{1} C_{1}$ 的角平分线交于点 $O$, 过 $O$ 作 $O F \perp A B_{1}$,

<ImageHere>

则 $\angle O A F=30^{\circ}, \angle A B_{1} O=45^{\circ}$,

故 $B_{1} F=O F=\frac{1}{2} O A ，$

设 $B_{1} F=x$, 则 $A F=2-x, A O=2 x$ ，

在Rt $\triangle A O F$ 中，

$\because A F^{2}+O F^{2}=O A^{2}$,

$$
\therefore(2-x)^{2}+x^{2}=4 x^{2}
$$

解得 $x=\sqrt{3}-1$ 或 $x=-\sqrt{3}-1$ (舍去)，

$\therefore$ 四边形 $A B_{1} E D$ 的内切圆半径为 $\sqrt{3}-1$.

故答案为 $\sqrt{3}-1$.