) 如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=150^{\circ}, \mathrm{AC}=4, \tan \mathrm{B}=\frac{1}{8}$.

(1) 求 $\mathrm{BC}$ 的长;

(2) 利用此图形求 $\tan 15^{\circ}$ 的值.

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(1) $16-2 \sqrt{3}$;

(2) $2-\sqrt{3}$

【解析】（1）过 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$, 交 $\mathrm{BC}$ 的延长线于点 $\mathrm{D}$, 如图 1 所示:

<ImageHere>

图1

在 Rt $\triangle \mathrm{ADC}$ 中, $\mathrm{AC}=4, \because \angle \mathrm{C}=150^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=30^{\circ}, \therefore \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=2$,

$\mathrm{CD}=\mathrm{AC} \cdot \cos 30^{\circ}=4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\tan \mathrm{B}=\frac{A D}{B D}=\frac{2}{B D}=\frac{1}{8} \div$,

$\therefore \mathrm{BD}=16, \quad \therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BD}-\mathrm{CD}=16-2 \sqrt{3}$;

(2) 在 $B C$ 边上取一点 $M$, 使得 $C M=A C$, 连接 $A M$, 如图 2 所示:

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图 2

$\because \angle \mathrm{ACB}=150^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{AMC}=\angle \mathrm{MAC}=15^{\circ}$,

$\tan 15^{\circ}=\tan \angle A M D=\frac{A D}{M D}=\frac{2}{4+2 \sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.