如图, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A C=B C=5, A B=6$, $B B_{1}=6, B C_{1} \cap B_{1} C=O, D$ 是线段 $A B$ 的中点.

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(1) 证明: $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$;

(2) 求三棱雉 $A_{1}-O C D$ 的体积.
【分析】

(1), 利用三角形中位线定理, 判定 $O D$ 平行 $A C_{1}$, 结合直线与平面平行判定, 即可。

(2) 结合等腰三角形性质和直线与平面垂直性质, 判定 $C D \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$, 利用 $V_{\text {三棱维 } A_{1}-O C D}=\frac{1}{2} V_{\text {三校维 } A_{1}-B_{1} C D}=\frac{1}{2} V_{\text {三棱维 } C-A_{A_{1}} B_{1} D}$, 计算体积, 即可。

## 【详解】

(1) 证明: $\because$ 三棱柱中, $B C_{1} \cap B_{1} C=O, \therefore O$ 是 $B C_{1}$ 中点,

连接 $O D, \because D$ 是 $A B$ 中点, $\therefore O D / / A C_{1}$,

$\because A C_{1} \not \subset$ 平面 $B_{1} C D, O D \subset$ 平面 $B_{1} C D, \therefore A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$;

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(2) 由 $B C_{1} \cap B_{1} C=O$ 知 $O$ 是 $B_{1} C$ 的中点,

所以 $V_{\text {三棱瞧 } A_{1}-O C D}=\frac{1}{2} V_{\text {三棱维 } A_{1}-B_{1} C D}=\frac{1}{2} V_{\text {三梭维 } C-A_{A_{1}} B_{1} D}$,

由 $A C=B C=5, A B=6, D$ 是 $A B$ 的中点, 知 $C D \perp A B, C D=4$,

又 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, C D \subset$ 平面 $A B C, \therefore A A_{1} \perp C D$,

$\because A A_{1} \cap A B=A, \therefore C D \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$,

$\because A A_{1}=6, \therefore S_{\triangle A_{A_{1} D} D}=18, \quad \therefore V_{\text {三棱锥 } C-A_{A_{1} B_{1} D}}=\frac{1}{3} \times 18 \times 4=24$,

$\therefore$ 三棱雉 $A_{1}-O C D$ 的体积 $V_{\text {三棱锥 } A_{1}-O C D}=12$.

## 【点睛】

本道题考查了直线与平面平行判定以及三棱雉体积计算公式, 属于中等题, 判定直线与平面平行, 关键找出直线与该平面一条直线平行即可; 计算三棱雉, 可以将所求三棱雉
不断联系较为好求的三棱雉上, 即可。