在 $\triangle A B C$ 中, $\cos A: 2 \cos B: 3 \cos C=2: 4: 21$, 则 $\cos C=(\quad)$
析】由已知得: $\frac{\cos A}{\cos B}=1$, 所以 $A=B$ 是等腰三角形, $\frac{\cos \mathrm{A}}{3 \cos C}=\frac{2}{21} \Rightarrow 7 \cos A=2 \cos C \Rightarrow 7 \cos \left(\frac{\pi-C}{2}\right)=2 \cos C$ 整理得: $4 \sin ^{2} \frac{C}{2}+7 \sin \frac{C}{2}-1=0$ 解之得: $\sin \frac{C}{2}=\frac{1}{4}$ 所以 $\cos C=1-2 \sin ^{2} \frac{C}{2}=\frac{7}{8}$, 解得 $\sin C=\frac{\sqrt{6}}{6}$.