12. 如图, 已知直线 $l: y=2 x-4$ 交抛物线 $y^{2}=4 x$ 于 $A, B$

两点, 试在抛物线 $A O B$ 这段曲线上求一点 $P$, 使 $\triangle P A B$ 的面积最大, 并求出这个最大面积.

<ImageHere>
：解 由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x-4, \\ y^{2}=4 x .\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=4, \\ y=4,\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-2 .\end{array}\right.$

$\therefore A(4,4), B(1,-2)$.

$\therefore|A B|=\sqrt{(4-1)^{2}+(4+2)^{2}}=3 \sqrt{5}$.

设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为拖物线 $A O B$ 这段曲线上一点, $d$ 为点 $P$ 到直线 $A B$的距离, 则

$$
\begin{aligned}
& d=\frac{\left|2 x_{0}-y_{0}-4\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left|\frac{y_{0}^{2}}{2}-y_{0}-4\right| \\
& =\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left|\left(y_{0}-1\right)^{2}-9\right|
\end{aligned}
$$

$\because-2<y_{0}<4, \therefore$ 当 $y_{0}=1$ 时, $d$ 有最大值 $\frac{9}{2 \sqrt{5}}$.

从而 $\triangle P A B$ 的最大面积为 $S=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{5} \times \frac{9}{2 \sqrt{5}}=\frac{27}{4}$.

此时 $P\left(\frac{1}{4}, 1\right)$. 因此, 当 $P\left(\frac{1}{4}, 1\right)$ 时, $\triangle P A B$ 的面积取得最大值,最大值为 $\frac{27}{4}$.