如图, 在平面直角坐标系中, 点 $A(2,-4)$ 在抛物线 $y=a x^{2}$ 上, 过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线,

交抛物线于另一点 $B$, 点 $C 、 D$ 在线段 $A B$ 上, 且 $C 、 D$ 两点关于 $y$ 轴对称, 过点 $C$ 作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $E$, 连接 $E D$, 当 $\triangle C D E$ 是等腰三角形时, 线段 $C D$ 的长为 $\qquad$ .

<ImageHere>

##
由点 $A(2,-4)$ 在抛物线 $y=a x^{2}$ 上, 求出抛物线解析式是 $y=-x^{2}$, 设 $C$ 的横坐标是 $a$,则 $D$ 的横坐标是 $-a, E$ 的坐标是 $\left(a,-a^{2}\right)$, 由 $\triangle C D E$ 是等腰直角三角形, 列出关于 $a$ 的方程,求出 $a$ 的值即可解决问题.

【详解】解: $\because$ 点 $A(2,-4)$ 在抛物线 $y=a x^{2}$ 上,

$\therefore 2^{2} \times a=-4$,

$\therefore a=-1$,

$\therefore$ 抛物线解析式是 $y=-x^{2}$,

设 $C$ 的横坐标是 $a$, 则 $D$ 的横坐标是 $-a, E$ 的坐标是 $\left(a,-a^{2}\right)$,

$\therefore C D=2 a, C E=4-a^{2}$,

$\because \triangle C D E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore C D=C E$,

$\therefore 2 a=4-a^{2}$,

$\therefore a=\sqrt{5}-1$ 或 $a=-\sqrt{5}-1$ （舍）,

$\therefore$ 线段 $C D$ 长是 $2 a=2 \sqrt{5}-2$.

故答案为: $2 \sqrt{5}-2$.

【点睛】本题考查二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征, 关键是二次函数的性质.

