在正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{n+1}<a_{n}, a_{2} \cdot a_{8}=6, a_{4}+a_{6}=5$, 则 $\frac{a_{5}}{a_{7}}$ 等于 ()
解析 设公比为 $q$, 则由等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项为正数且 $a_{n+1}<a_{n}$ 知 $0<q<1$,由 $a_{2} \cdot a_{8}=6$, 得 $a_{5}^{2}=6$.

$\therefore a_{5}=\sqrt{6}, a_{4}+a_{6}=\frac{\sqrt{6}}{q}+\sqrt{6} q=5$.

解得 $q=\frac{2}{\sqrt{6}}, \therefore \frac{a_{5}}{a_{7}}=\frac{1}{q^{2}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$​.