如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $P$ 是 $B C$ 边上任意一点 (点 $P$ 与点 $B, C$ 不重合), 平行四边形 $A F P E$ 的顶点 $F, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上. 已知 $B C=1, S_{\triangle A B C}=2$, 设 $B P=x$, 平行四边形 $A F P E$ 的面积为 $y$, 则下列关于 $y$ 与 $x$ 的函数关系式正确的是 ( )

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由平行四边形的性质得出 $P F / / A C$, 证明 $\triangle B P F \sim \triangle B C A$, 得出 $\frac{S_{\triangle B P F}}{S_{\triangle B C A}}=\left(\frac{B P}{B C}\right)^{2}$, 得出 $S_{\triangle} B P F=2 x^{2}$, 同理得出 $S_{\triangle} P E C=2(1-x)^{2}$, 进而得出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式, 即可得出答案.

【详解】解： $\because$ 四边形 $A F P E$ 是平行四边形,

$\therefore P F / / A C$,

$\therefore \angle B P F=\angle C, \angle B F P=\angle A$,

$\therefore \triangle B P F \sim \triangle B C A$,

$\therefore \frac{S_{\triangle B P F}}{S_{\triangle B C A}}=\left(\frac{B P}{B C}\right)^{2}$,

$\because B C=1, \quad S_{\triangle A B C=2,} \quad B P=x$,

$\therefore \frac{S_{\triangle B P F}}{2}=\left(\frac{x}{1}\right)^{2}$,

$\therefore S_{\triangle B P F}=2 \times 2$,

同理: $S_{\triangle} P E C=2(1-x)^{2}$,

$\because$ 平行四边形 $A F P E$ 的面积为 $y$,

$\therefore y=2-2 x^{2}-2(1-x)^{2}=-4 x^{2}+4 x$,

故选: C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质, 列二次函数关系式, 平行四边形的性质, 掌握平行四边形的性质, 相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

