（2017 秋-翠屏区校级月考）检测 600 个某产品的质量（单位： $g$ ）, 得到的频率分布直方图中,前三组的长方形的高度成等差数列, 后三组对应的长方形的高度成公比为 0.5 的等比数列, 已知检测的质量在 100.5 - 105.5 之间的产品数为 150, 则质量在 115.5 - 120.5 的长方形高度为 \$ \qquad \$ .

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解：因为检测的质量在 $100.5-105.5$ 之间的产品数为 150 , 所以第二组长方形的面积为
$\frac{150}{600}=0.25$, 高度为 $\frac{0.25}{5}=0.05$,

设前三组长方形的高度的公差为 $d$, 则第一组高度为 $0.05-d$, 第三组高度为 $0.05+d$, 第四组高度为 $0.5(0.05+d)$, 第五组高度为 $0.25(0.05+d)$,

因此 $[0.05-d+0.05+0.05+d+0.5(0.05+d)+0.25(0.05+d)] \times 5=1$, 解得 $d=\frac{1}{60}$,

故质量在 $115.5-120.5$ 的长方形高度为 $0.25\left(0.05+\frac{1}{60}\right)=\frac{1}{60}$

故答案为: $\frac{1}{60}$

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