(本小题 8.0 分)

如图, $\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, $A I$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $M$.

(1)如图1, 连接 $I B, I C$, 求证: $M$ 是 $\triangle B I C$ 的外心;

(2)如图2，若 $A I \perp O I$, 求证: $A B+A C=2 B C$.

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图 1

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图 2
(1)连接 $M B, M C$,

$\because$ 点 $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle A B I=\angle C B I, \angle B A M=\angle C A M=\angle C B M$,

$\therefore \angle M B I=\angle C B M+\angle C B I=\angle B A M+\angle A B I=\angle M I B$,

$\therefore M B=M I$, 同理可证 $M C=M I$,

$\therefore M B=M I=M C$,

$\therefore M$ 是 $\triangle B I C$ 的外心;

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图 1

(2) $\because I$ 是内心

$\therefore \widehat{B M}=\widehat{C M}$, 连接 $O M$ 交 $B C$ 于点 $N$, 则 $O M \perp B C$,

$\therefore B N=N C=\frac{1}{2} B C$,

$\because A I \perp O I$,

$\therefore A I=I M=B M$, 过点 $I$ 作 $I G \perp A B$ 于点 $G$,

$\because \angle A G I=B N M-90^{\circ}, \angle B A M=\angle C A M=\angle C B M$,

$\therefore R t \triangle A I G \cong R t \triangle B M N$,

$\therefore A G=B N=\frac{1}{2} B C$,

又 $\because A G=\frac{1}{2}(A B+A C-B C)$,

$\therefore \frac{1}{2} B C=\frac{1}{2}(A B+A C-B C)$,

$\therefore A B+A C=2 B C$.

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图 2