, 已知在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=3, A D=4, A A_{1}=5$, 点 $E$ 为 $C C_{1}$ 上的一个动点, 平面 $B E D_{1}$ 与棱 $A A_{1}$ 交于点 $F$, 给出下列命题:

(1)四棱雉 $B_{1}-B E D_{1} F$ 的体积为 20 ;

(2) 存在唯一的点 $E$, 使截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值 $2 \sqrt{74}$;

(3)当 $E$ 点不与 $C, C_{1}$ 重合时, 在棱 $A D$ 上均存在点 $G$, 使得 $C G / /$ 平面 $B E D_{1}$;

(4)存在唯一的点 $E$, 使得 $B_{1} D \perp$ 平面 $B E D_{1}$, 且 $C E=\frac{16}{5}$.

其中正确的命题是 (填写所有正确的序号)

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【分析】

由题意逐个讨论所给的命题, 判断它们的真假.

## 【详解】

解: (1)由题意可得 $D_{1} F / / B E, V_{B_{1}-B E D_{1} F}=V_{B_{1}-B E D_{1}}+V_{B_{1}-B F D_{1}}=V_{D_{1}-B E B_{1}}+V_{D_{1}-B F B_{1}}$
$=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2} \cdot B B_{1} \cdot B C \cdot A B+\frac{1}{2} \cdot B B_{1} \cdot D_{1} A_{1} \cdot A B\right]=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(5 \times 4 \times 3+5 \times 4 \times 3)=20$, 所以(1)正确;

(2)将长方体展开，如图所示，恰好过 $B$ 点时，截面的周长为 $2 B D_{1}$,

而在 $\triangle B D D_{1}$ 中, $B D_{1}=\sqrt{5^{2}+(3+4)^{2}}=\sqrt{74}$, 所以最小值为 $2 \sqrt{74}$,

由面面平行的性质, 可得四边形 $B E D_{1} F$ 为平行四边形, 且 $E$ 为展开图中唯一的点, 所以(2)正确;

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(3) $E$ 点不与 $C, C_{1}$ 重合, 则 $F$ 不会为 $A$, 即 $C G$ 不在面 $E B D_{1}$ 内,

可作出 $C G$ 的平面与 $E B D_{1}$ 平行, 所以在棱 $A D$ 上均有相应的 $G$, 使得 $C G$ // 面 $E B D_{1}$,故(3)正确;

(4)因为 $B B_{1}=B D$, 可得对角面 $B B_{1} D_{1} D$ 为正方形, 可得 $B_{1} D \perp B D_{1}$,

若 $B E \perp B_{1} C$ 时，由三垂线定理可得 $B_{1} D \perp B E$ ，即有 $B_{1} D \perp$ 面 $E B D_{1}$,

矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 中, $B E \perp B_{1} C$, 所以 $\frac{C E}{B C}=\frac{B C}{C C_{1}}$, 所以 $C E=\frac{B C \cdot B C}{C C_{1}}=\frac{16}{5}$, 故(4)正确

综上可得: 正确为(1)(2)(3)(4).

故答案为: (1)(2)(3)(4).

## 【点睛】

本题考查了正方体的性质、线面平行和垂直的判定定理、棱雉的体积、简易逻辑的判定方法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题