已知 $|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}| \neq 0$, 且关于 $x$ 的方程 $x^{2}+|\boldsymbol{a}| x+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 有实根, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角的取值范围是 ( )
$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+|\boldsymbol{a}| x+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 有实根, $\therefore \Delta=|\boldsymbol{a}|^{2}-4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \geq 0$,

设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$, 则 $|\boldsymbol{a}|^{2}-4|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta \geq 0$,

又 $|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}| \neq 0, \therefore 2|\boldsymbol{b}|-4|\boldsymbol{b}| \cos \theta \geq 0, \quad \therefore \cos \theta \leq \frac{1}{2}$ ，

又 $\theta \in[0, \pi], \therefore \theta \in\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$, 本题正确选项 B.