7. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2$ 且对任意的 $m, n \in \mathbf{N}^{*}$, 都有 $\frac{a_{n+m}}{a_{m}}=a_{n}$, 则 $a_{3}=$ \$ \qquad \$ ; $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ $=$ \$ \qquad \$ .
$\because \frac{a_{n+m}}{a_{m}}=a_{n}, \therefore a_{n+m}=a_{n} \cdot a_{m}, \therefore a_{3}=a_{1+2}=a_{1} \cdot a_{2}=a_{1} \cdot a_{1} \cdot a_{1}=2^{3}=8$.

令 $m=1$, 则有 $a_{n+1}=a_{n} \cdot a_{1}=2 a_{n}, \therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 $a_{1}=2$, 公比为 $q=2$ 的等比数列,

$\therefore S_{n}=\frac{2\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n^{n} 1}-2$.