如图, 线段 $A B$ 的长为 $6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, 点 $D$ 在线段 $A B$ 上, $\triangle A C D$ 为等边三角形,

<ImageHere>
过点 $D$ 作 $D P \perp C D$, 点 $G$ 是射线 $D P$ 上不与点 $D$ 重合的一动点, 作矩形 $C D G H$, 记矩形 $C D G H$

<ImageHere>

的对角线交点为 $O$, 连接 $O B$, 则线段 $O B$ 长度的最小值等于 cm.
连接 $A O$,

$\because$ 四边形 $C D G H$ 是矩形,

$\therefore C G=D H, O C=\frac{1}{2} C G, O D=\frac{1}{2} D H$,

$\therefore O C=O D$,

$\because \triangle A C D$ 是等边三角形,

$\therefore A C=A D, \angle C A D=60^{\circ}$,

在 $\triangle A C O$ 和 $\triangle A D O$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A C=A D \\ A O=A O \\ C O=D O\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C O \cong \triangle A D O(S S S)$,

$\therefore \angle O A B=\angle C A O=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $O$ 一定在 $\angle C A B$ 的平分线上运动, 所以当 $O B \perp A O$ 时, $O B$ 的长最小,

$\because \angle O A B=30^{\circ}, \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore O B=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3}=3 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$,

即 $O B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

故答案为: $3 \sqrt{3}$.