如图, 四面体 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{O} 、 \mathrm{E}$ 分别是 $\mathrm{BD} 、 \mathrm{BC}$ 的中点,

$C A=C B=C D=B D=2, A B=A D=\sqrt{2}$.

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(I) 求证: $A O \perp$ 平面 $\mathbf{B C D}$;

(II) 求点 $\mathrm{E}$ 到平面 $\mathrm{ACD}$ 的距离.
【详解】

试题分析: (I) 要证明 $A O \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}$, 需要证明 $A O \perp O C, A O \perp B D$, 证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（II）中由已知条件空间直角坐标系容易建立, 因此可采用空间向量求解, 以 $O$ 为坐标原点, 以 $\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O A}$ 方向为 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系,

求出平面 $A C D$ 的法向量 $\vec{n}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$ 和斜线的方向向量 $\overrightarrow{E C}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, 代
入公式 $d=\frac{|\overrightarrow{E C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 计算

试题解析: (I) 证明: $\because A B=A D, O$ 为 $B D$ 的中点, $\therefore A O \perp B D$,

$\because A D=\sqrt{2}, O D=1, \therefore A O=1, \because C B=C D=B D=2, \therefore O C=\sqrt{3}$,

又 $C A=2, \therefore C A^{2}=O A^{2}+O C^{2}, \therefore A O \perp O C$,

$\because B D \cap O C=O, B D, O C$ 均在平面 $B C D$ 内, $\therefore A O \perp$ 平面 $B C D$

(II) 方法一: 以 $O$ 为坐标原点, 以 $\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O A}$ 方向为 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴正方向建立

空间直角坐标系, 则 $A(0,0,1), B(1,0,0), C(0, \sqrt{3}, 0), D(-1,0,0), E\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$,

$\overrightarrow{A C}=(0, \sqrt{3},-1), \overrightarrow{C D}=(-1,-\sqrt{3}, 0)$

设 $n$ 为平面 $A C D$ 的法向量, 则 $n \perp \overrightarrow{A C}, n \perp \overrightarrow{C D}$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} y-z=0, \\ x+\sqrt{3} y=0,\end{array}\right.$ 取 $n=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$,

$\overrightarrow{E C}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$, 则点 $E$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $d=\frac{|\overrightarrow{E C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

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方法二: 设点 $H$ 在 $C D$ 上, 且 $D H=\frac{1}{4} D C$, 连 $A H$,

$\because C B=C D=D B=2, O$ 为 $B D$ 的中点, $\therefore O H \perp C D$

$\because A O \perp$ 平面 $B C D, C D \subset$ 平面 $B C D, \therefore A O \perp C D$,

$\because A O \cap O H=O, A O, O H \subset$ 平面 $A O H, \therefore C D \perp$ 平面 $A O H$

$\because C D \subset$ 平面 $A C D, \therefore$ 平面 $A O H \perp$ 平面 $A C D$, 且交线为 $A H$

过点 $O$ 作 $O P \perp A H$ 于点 $P$, 则 $\therefore O P \perp$ 平面 $A C D$

$\because O, E$ 分别为 $B D, B C$ 的中点, 则 $O E / / C D, \because O E \not \subset$ 平面 $A C D, C D \subset$ 平面 $A C D$,
$\therefore O E / /$ 平面 $A C D, \therefore E$ 点到平面 $A C D$ 的距离即 $O P$,

$\because A O=1, O H=\frac{\sqrt{3}}{2}, A H=\frac{\sqrt{7}}{2}, \therefore O P=\frac{A O \cdot O H}{A H}=\frac{1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$

故点 $E$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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考点: 1 .线面垂直的判定; 2 . 点到面的距离