【知识回顾】

七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题 “代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $a$ 的值, , 通常的解题方法是: 把 $x 、 y$ 看作字母, $a$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $x$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 , 即原式 $=(a+$ 3) $x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.

【理解应用】

(1)若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

【能力提升】

(2)7张如图1的小长方形, 长为 $a$, 宽为 $b$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$内, 大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.

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图1

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图2
【答案】解: (1) $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x=(2 m-3) x-$ $3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关，

$\therefore 2 m-3=0$,

$\therefore m=\frac{3}{2}$

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$,

$\therefore S_{1}-S_{2}=a(x-3 b)-2 b(x-2 a)=(a-2 b) x+a b$,

$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 取值与 $x$ 无关,

$$
\therefore a-2 b=0
$$

$\therefore a=2 b$.

【解析】本题考查了多项式运算, 解答本题的关键是理解题目中字母 $x$ 的取值无关的意

思.

(1)由题可知代数式的值与 $x$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 , 故将多项式整理为

$(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$, 令 $x$ 系数为 0 ,

即可求出 $m$.

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$, 即可得到 $S_{1}-S_{2}$ 关于 $x$ 的代数式, 根据取值与 $x$ 无关, 可得 $a=2 b$.