如图, 阴影部分是某个品牌商标的图案, 为了研究它的面积, 小明通过数学知识找到弧 $A C$ 所在圆
的圆心 $O$, 经测量 $\angle A D C=90^{\circ}, A D=O D=2 \mathrm{~cm}$, 则商标的面积为 $\mathrm{cm}^{2}(\quad)$

<ImageHere>

【分析】

本题考查了扇形的面积, 等边三角形的判定和性质, 线段垂直平分线的定义和性质, 勾股定理等知识.连接 $O C, A C$, 先证出 $\triangle A O C$ 是等边三角形, 得出 $C D, \angle A O C$, 再根据割补法求出阴影部分面积.

## 【解答】

解: 连接 $O C, A C$

<ImageHere>

$\because \angle A D C=90^{\circ}, A D=O D=2 \mathrm{~cm}$

$\therefore C D$ 垂直平分 $O A, O A=4 \mathrm{~cm}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore A C=O C \\
& \because O C=O A \\
& \therefore O A=O C=A C=4 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle A O C$ 是等边三角形, $C D=\sqrt{C O^{2}-O D^{2}}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A O C=60^{\circ} \\
& \therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形AOC }}-S_{\triangle O D C}=\frac{60 \pi \times 4^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}=\frac{8}{3} \pi-2 \sqrt{3}
\end{aligned}
$$

