如图, 正六边形 $A B C D E F$ 内接于圆 $O$, 圆 $O$ 半径为 2 , 则六边形的边心距 $O M$ 的长为 $(\quad)$

连接 $O B 、 O C$, 证明 $\triangle O B C$ 是等边三角形, 得出 $O M=\frac{\sqrt{3}}{2} O B$ 即可求解.

【详解】解：连接 $O B 、 O C$, 如图所示:

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则 $\angle B O C=60^{\circ}$,

$\because O B=O C$,

$\therefore \triangle O B C$ 是等边三角形,

$\therefore B C=O B=2$,

$\because O M \perp B C$,

$\therefore \triangle O B M$ 为 $30^{\circ} 、 60^{\circ} 、 90^{\circ}$ 的直角三角形,

$\therefore B M=\frac{1}{2} O B=1$,

$\therefore O M=\frac{\sqrt{3}}{2} O B=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2=\sqrt{3}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质;熟练掌握正六边形的性质, 证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出 $B M$ 是解决问题的关键.

