25. 已知 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项的和记为 $S_{n}$.

（1）求 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的值，猜想 $S_{n}$ 的表达式;

答案: 解: $\because a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\therefore S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}, \quad S_{2}=a_{1}+a_{2}=\frac{2}{3}, \quad S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{3}{4}$

$\therefore$ 猜想 $S_{n}=\frac{n}{n+1}$.

（2）请用数学归纳法证明你的猜想.
: 分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是 (1) 因为 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, 所以可分别求出 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}$, 进而可求出 $\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \mathrm{~S}_{3}$.(2) 根据 (1) 可猜想出 $S_{n}=\frac{n}{n+1}$, 然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤: 一先验证: 当 $\mathrm{n}=1$ 时, 等式成立;二先假设 $n=k$ 时, 等式成立; 再证明当 $n=k+1$ 时, 等式也成立.在证明 $n=k+1$ 时, 一定要用上 $n=k$ 时的归纳假设, 否则证明无效.