(本小题8.0分)

已知 $\triangle \mathrm{ABC}$, 以 $\mathrm{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 分别交 $\mathrm{AC}$ 于 $D, \mathrm{BC}$ 于 $E$, 连接 $E D$, 若 $E D=E C$.

<ImageHere>

(1)求证: $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$;

(2)若 $\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=2 \sqrt{3}$, 求 $\mathrm{CD}$ 的长.


本题考查了圆周角定理, 圆内接四边形的性质, 等腰三角形的判定和性质, 勾股定理, 正确的作出辅助线是解题的关键.

(1)由等腰三角形的性质得到 $\angle \mathrm{EDC}=\angle C$, 由圆内接四边形的性质得到 $\angle \mathrm{EDC}=\angle \mathrm{ABC}$, 由此推得 $\angle \mathrm{ABC}=\angle C$, 由等腰三角形的判定即可证得结论;

(2)连接 $B D$, 由 $A B$ 为直径, 可证得 $B D \perp A C$, 结合勾股定理可求得 $C D$ 的长.

