求过点 $A(1,2)$ 和 $B(1,10)$ 且与直线 $x-2 y-1=0$ 相切的圆的标准方程.

解 设圆心坐标为 $(a, b)$,

$\because A B$ 的中点坐标为 $(1,6)$,

$\therefore A B$ 的垂直平分线为 $y=6$.

$\because$ 圆心 $(a, b)$ 在 $A B$ 的垂直平分线上,

$\therefore b=6$.

由题意得 $\sqrt{(a-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\frac{|a-2 \times 6-1|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$,

解得 $a=3$ 或 -7 ,

当 $a=3$ 时, $r=\sqrt{(3-1)^{2}+(6-2)^{2}}=2 \sqrt{5}$.

当 $a=-7$ 时, $r=\sqrt{(-7-1)^{2}+(6-2)^{2}}=4 \sqrt{5}$.

$\therefore$ 所求圆的标准方程为 $(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=20$

或 $(x+7)^{2}+(y-6)^{2}=80$.

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点 $A(1,2)$ 和 $B(1,10)$ 且与直线 $x-2 y-1=0$ 相切的圆的标准方程.

解 设圆心坐标为 $(a, b)$,

$\because A B$ 的中点坐标为 $(1,6)$,

$\therefore A B$ 的垂直平分线为 $y=6$.

$\because$ 圆心 $(a, b)$ 在 $A B$ 的垂直平分线上,

$\therefore b=6$.

由题意得 $\sqrt{(a-1)^{2}+(6-2)^{2}}=\frac{|a-2 \times 6-1|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$,

解得 $a=3$ 或 -7 ,

当 $a=3$ 时, $r=\sqrt{(3-1)^{2}+(6-2)^{2}}=2 \sqrt{5}$.

当 $a=-7$ 时, $r=\sqrt{(-7-1)^{2}+(6-2)^{2}}=4 \sqrt{5}$.

$\therefore$ 所求圆的标准方程为 $(x-3)^{2}+(y-6)^{2}=20$

或 $(x+7)^{2}+(y-6)^{2}=80$.