12. 设 $a, b, c$ 都是正实数, 求证: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{a^{3} b^{3}+c^{8}}{a^{3} b^{3} c^{3}}$
: 分析: 本题主要考查了排序不等式, 解决问题的关键是设 $a \geq b \geq c>0$, 得到 $\frac{1}{c} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a}$,

所以 $\frac{1}{b^{3} c^{3}} \geq \frac{1}{c^{3} a^{3}} \geq \frac{1}{a^{3} b^{3}}$, 然后由不等式的性质, 知 $a^{5} \geq b^{5} \geq c^{5}$. 结合排序不等式的性质计算证明即可.