如图, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 .

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(1)求证: $A C \perp B_{1} D$;

(2)求三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积.

(1)
$\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体,

$\therefore B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because$ 又 $A C \subset$ 平面 $A B C D, \therefore B B_{1} \perp A C$.

又 $\because$ 底面 $A B C D$ 为正方形, $\therefore A C \perp B D$.

$\because B B_{1} \cap B D=B, \therefore A C \perp$ 平面 $B B_{1} D$.

$\because B_{1} D \subset$ 平面 $B D B_{1}, \therefore A C \perp B_{1} D$.

(2)解 $V_{C-B D B_{1}}=V_{B_{1}-B D C}$.

$\because B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D$,

$\therefore B_{1} B$ 是三棱锥 $B_{1}-B D C$ 的高.

$\because V_{B_{1}-B D C}=\frac{1}{3} S_{\triangle B D C} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2=\frac{4}{3}$,

$\therefore$ 三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$.