1)将一个多项式分组后, 可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如: $a m+a n+b m+b n=(a m+a n)+(b m+b n)=a(m+n)+b(m+n)=$ $(a+b)(m+n)$.

(1) 分解因式: $a b-a-b+1$;

(2) 若 $a, b(a>b)$ 都是正整数且满足 $a b-a-b-4=0$, 求 $a+b$ 的值;

(2) 若 $a, b$ 为实数且满足 $a b-a-b-4=0, s=a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b$, 求 $s$ 的最小值。
【答案】解: (1)(1) $a b-a-b+1$
$$
\begin{aligned}
& =(a b-a)-(b-1) \\
& =a(b-1)-(b-1)
\end{aligned}
$$

$=(a-1)(b-1)$.

(2)由题得 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$.

$\because a, b$ 为正整数且 $a>b$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-1=5 \\ b-1=1\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=2\end{array}\right.$.

$\therefore a+b=8$.

(2) 由题得 $a b=a+b+4$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore s=a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+3(a+b+4)+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+6 a+b^{2}+\frac{1}{2} b+12
\end{aligned}
$$

$=(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$.

$\because(a+3)^{2} \geq 0,\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2} \geq 0$,

$\therefore s \geq \frac{47}{16}$ (当且仅当 $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 时取等号).

经验证: $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 满足 $a b-a-b-4=0$,

综上, $s$ 的最小值为 $\frac{47}{16}$.

【解析】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键.

(1)先分组, 再运用提公因式法进行因式分解.

(2)现将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$, 然后再解决本题.

(2)先将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b=a+b+4$, 再代入 $S$, 然后进行变形, 得到 $S=$ $(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$. 最后, 探究 $S$ 的最小值.