22. 如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A=\frac{\pi}{4}, \tan \angle A B D=3$,

    $A D=6 \sqrt{2}, B C=2 \sqrt{2}, C D=4$.

    (1) 求 $B D$ 的长;

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    (2) 求证: $\angle A B C+\angle A D C=\pi$.
(1) 在 $\triangle A B D$ 中, 因为 $\tan \angle A B D=3$, 所以 $\sin \angle A B D=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$,

    根据正弦定理有： $\frac{B D}{\sin \angle A}=\frac{A D}{\sin \angle A B D}$ ，

    将 $A D=6 \sqrt{2}, A=\frac{\pi}{4}$ 代入上式, 可得 $B D=2 \sqrt{10}$.

    (2) 证明: 在 $\triangle B C D$ 中, 根据余弦定理 $\cos \angle C=\frac{B C^{2}+C D^{2}-B D^{2}}{2 B C \cdot C D}$,

    将 $B C=2 \sqrt{2}, C D=4, B D=2 \sqrt{10}$ 代入上式, 得 $\cos \angle C=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

    因为 $\angle C$ 为三角形内角, 所以 $\angle C=\frac{3 \pi}{4}$, 所以 $\angle A+\angle C=\pi$,

    而在四边形 $A B C D$ 中, $\angle A+\angle A B C+\angle C+\angle A D C=2 \pi$,

    所以 $\angle A B C+\angle A D C=\pi$.