如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, Rt $\triangle O A B$ 的直角顶点 $A$ 在 $x$ 轴上, $\angle B=30^{\circ}$, 反比例函数 $y=$ $\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 在第一象限的图象经过 $O B$ 边上的点 $C$ 和 $A B$ 的中点 $D$, 连接 $A C$. 已知 $S_{\triangle O A C}=4 \sqrt{6}$, 则实数 $k$ 的值为 $(\quad)$

<ImageHere>
在Rt $\triangle O A B$ 中, $\angle B=30^{\circ}$,

$\therefore$ 可设 $O A=a$, 则 $A B=\sqrt{3} O A=\sqrt{3} a$,

$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(a, \sqrt{3} a)$,
$\therefore$ 直线 $O B$ 的解析是为 $y=\sqrt{3} x$

$\because D$ 是 $A B$ 的中点

$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $\left(a, \frac{\sqrt{3}}{2} a\right)$

$$
\therefore k=\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}
$$

又 $\because S_{\triangle O A C}=4 \sqrt{6}$,

$\therefore \frac{1}{2} O A \cdot y_{c}=4 \sqrt{6}$, 即 $\frac{1}{2} \cdot a \cdot y_{c}=4 \sqrt{6}$,

$$
\begin{gathered}
\therefore y_{c}=\frac{8 \sqrt{6}}{a} \\
\therefore C\left(\frac{8 \sqrt{2}}{a}, \frac{8 \sqrt{6}}{a}\right) \\
\therefore k=\frac{8 \sqrt{2}}{a} \cdot \frac{8 \sqrt{6}}{a}=\frac{128 \sqrt{3}}{a^{2}} \\
\therefore \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=\frac{128 \sqrt{3}}{a^{2}}
\end{gathered}
$$

$\therefore a^{2}=16$,

$\therefore k=\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}=8 \sqrt{3}$.

故选: $C$.