国际羽毛球比赛规则从 2006 年 5 月开始, 正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制, 并且每次得分者发球, 所有单项的每局获胜分至少是 21 分, 最高不超过 30 分, 即先到 21 分的获胜一方赢得该局比赛, 如果双方比分为 $20: 20$ 时, 获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜, 直至双方比分打成 $29: 29$ 时, 那么先到第 30 分的一方获胜. 在一局比赛中, 甲发球赢球的概率为 $\frac{1}{2}$, 甲接发球贏球的概率为 $\frac{3}{5}$,则在比分为 $20: 20$ ，且甲发球的情况下，甲以 $23: 21$ 赢下比赛的概率为（）
答案:B

【解析】设双方 20: 20 平后的第 $k$ 个球甲获胜为事件 $A_{k}(k=1 ， 2 ， 3 ， \ldots)$,

则 $P($ 甲以 $23: 21$ 赢 $)=P\left(\bar{A} A_{2} A_{3} A_{4}\right)+P\left(A_{1} \bar{A}_{2} A_{3} A_{4}\right)$

$=P\left(\bar{A}_{1}\right) P\left(A_{2}\right) P\left(A_{3}\right) P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{1}\right) P\left(\overline{A_{2}}\right) P\left(A_{3}\right) P\left(A_{4}\right)$
$=\left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{20}$.