设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$, 则 $x>0$ 时, $f(x)()$
解析： $\because$ 函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}$,
$\therefore\left[x^{2} f(x)\right]^{\prime}=\frac{e^{x}}{x}$, 令 $F(x)=x^{2} f(x)$,

则 $F^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{x}, F(2)=4 ? f(2)=\frac{e^{2}}{2}$,

由 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}$, 得 $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-2 F(x)}{x^{3}}$, 令 $\varphi(x)=e^{x}-2 F(x)$,

则 $\varphi^{\prime}(x)=e^{x}-2 F^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-2)}{x}$,

$\therefore \varphi(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减, 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore \varphi(x)$ 的最小值为 $\varphi(2)=e^{2}-2 F(2)=0, \therefore \varphi(x) \geq 0$.

又 $x>0, \therefore f^{\prime}(x) \geq 0, \therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增,

$\therefore f(x)$ 既无极大值也无极小值, 故选 D.