(本小题 8.0 分)

如图, 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, $A E$ 的延长线和 $\triangle A B C$ 的外接圆 $\odot O$ 相交于点 $D$ 过 $D$ 作直线 $D G / / B C$.

(1) 若 $\angle A C B=70^{\circ}$ ，则 $\angle A D B=$ ; $\angle A E B=$

(2)求证: $D E=C D$;

(3)求证: $D G$ 是 $\odot O$ 的切线.

<ImageHere>
 $70^{\circ} 125^{\circ}$
【解析】(1)解：如图, 连接 $B D, O D$,

<ImageHere>

$\because \overparen{A B}=\overparen{A B}$

$\therefore \angle A C B=\angle A D B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle B A C=110^{\circ}$,

$\because$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle B A E=\angle C A E, \angle A B E=\angle C B E$,

$\therefore \angle B A E+\angle A B E=55^{\circ}$,

$\therefore \angle A E B=125^{\circ}$,

故答案为: $70^{\circ}, 125^{\circ}$;

(2)证明: $\because \angle B A E=\angle C A E$,

$\therefore \overparen{B D}=\overparen{C D}$,

$\therefore B D=C D$,

$\because \angle B A E=\angle C A E=\angle C B D, \angle A B E=\angle C B E$,

$\therefore \angle B E D=\angle B A E+\angle A B E=\angle C B D+\angle C B E=\angle D B E$,

$\therefore B D=D E$,

$\therefore D E=C D$;

(3)证明: $\because \widehat{B D}=\widehat{C D}$,

$\therefore O D \perp B C$,

$\because D G / / B C$

$\therefore O D \perp D G$,

又 $\because O D$ 是半径,

$\therefore D G$ 是 $\odot O$ 的切线.

(1) 由圆周角定理可得 $\angle A C B=\angle A D B=70^{\circ}$, 由三角形的内心的性质可得 $\angle A E B=125^{\circ}$;

(2) 由三角形的内心的性质可得 $A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C$, 可得 $\angle B A E=\angle C A E, \angle A B E=\angle C B E$,
由外角的性质可得 $\angle B E D=\angle D B E$, 可证 $D E=C D$;

(3) 由垂径定理可得 $O D \perp B C$, 由平行线的性质可得 $O D \perp D G$, 可得结论.

本题考查了三角形内切圆与内心, 圆的有关性质, 切线的判定和性质, 灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.