如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以原点 $O$ 为圆心的圆过点 $A(5,0)$, 直线 $y=k x-2 k+3(k \neq 0)$ 与 $\odot O$ 交于 $B 、 C$ 两点, 则弦 $B C$ 的长的最小值为 $\qquad$ .

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【分析】

本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识, 发现直线恒经过点 $(2,3)$ 以及运用 “过圆内定点 $D$ 的所有弦中, 与 $O D$ 垂直的弦最短” 这个经验是解决该选择题的关键.

易知直线 $y=k x-2 k+3$ 过定点 $D(2,3)$, 运用勾股定理可求出 $O D$, 由条件可求出半径 $O B$, 由于过圆内定点 $D$ 的所有弦中, 与 $O D$ 垂直的弦最短, 因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题.

## 【解答】

解: 对于直线 $y=k x-2 k+3=k(x-2)+3$, 当 $x=2$ 时, $y=3$,故直线 $y=k x-2 k+3$ 恒经过点 $(2,3)$, 记为点 $D$.

过点 $D$ 作 $D H \perp x$ 轴于点 $H$,

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则有 $O H=2, D H=3$,

$O D=\sqrt{O H^{2}+D H^{2}}=\sqrt{13}$.

$\because \odot O$ 过点 $A(5,0)$,

$\therefore O A=5$,

$\therefore O B=O A=5$.

由于过圆内定点 $D$ 的所有弦中, 与 $O D$ 垂直的弦最短, 如图所示,

因此运用垂径定理及勾股定理可得:
$B C$ 的最小值为 $2 B D=2 \sqrt{O B^{2}-O D^{2}}=2 \times \sqrt{25-13}=4 \sqrt{3}$.

故答案为 $4 \sqrt{3}$.

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