已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=a \mathrm{x}^{3}+b \mathrm{x}^{2}$ 的图象经过点 $\mathrm{M}(1,4)$, 且在 $\mathrm{x}=-2$ 取得极值.

( I) 求实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值;

( II) 若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $(\mathrm{m}, \mathrm{m}+1)$ 上不单调, 求 $\mathrm{m}$ 的取值范围.
答案:解: (I) $\because f(x)=a x^{3}+b x^{2}$ 的图象经过点 $M(1,4), \therefore a+b$ (1)

又 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x$,

则 $f^{\prime}(-2)=0$, 即 $-6 a+2 b=0(2)$

由(1)(2) 解得 $a=1, b=3$;

(II) 由(I) 得: $f(x)=x^{3}+3 x^{2}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x$

令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+6 x=0$, 得: $x=-2$ 或 $x=0$

当 $x \in(-\infty,-2)$ 或 $(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 是增函数,

当 $x \in(-2,0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 是减函数.

$\because$ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $(\mathrm{m}, \mathrm{m}+1)$ 上不单调,
$\therefore \mathrm{m}<-2<\mathrm{m}+1$ 或 $\mathrm{m}<0<\mathrm{m}+1$ 或 $\mathrm{m}<-2<0<\mathrm{m}+1$

解得: $-3<m<-2$ 或 $-1<m<0$

【解析】【分析】第一问根据函数图象过点 $\mathrm{M}$, 得到 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 关系, 再根据在 $\mathrm{x}=-2$ 取得极值, 函数求导,导数等于 0 , 可得 a,b;

第二问先应用导数与函数单调性的关系, 求出函数的单调性, 然后根据函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $(\mathrm{m}, \mathrm{m}+1)$不单调, 可得函数在 $(\mathrm{m}, \mathrm{m}+1)$ 有增有减, 可得。