用数学归纳法证明: “ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n\left(n>1, n \in N^{*}\right)$ ”时, 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时, 左边应增加的项数是 ( )
解析: 解答: 因为用数学归纳法证明: “ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n\left(n>1, n \in N^{*}\right)$ ”时, 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 等式左边有 $2^{k}-1$, 因此推证 $n=k+1$ 时, 左边应 $2^{k+1}-1$, 因此应该增加的项数是 $2^{k}$, 选 C

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可