14. 如图, 有一块以点 $O$ 为圆心的半圆形空地, 要在这块空地上划出一个内接矩形 $A B C D$ 开辟为绿地,使其一边 $A D$ 落在半圆的直径上, 另两点 $B, C$ 落在半圆的圆周上. 已知半圆的半径长为 $20 \mathrm{~m}$, 如何选择关于点 $O$ 对称的点 $A, D$ 的位置, 可以使矩形 $A B C D$ 的面积最大?

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$O B$, 设 $\angle A O B=\theta$, 则 $A B=O B \sin \theta=20 \sin \theta, O A=O B \cos \theta=20 \cos \theta$, 且 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

$\because A, D$ 关于原点对称,

$\therefore A D=2 O A=40 \cos \theta$.

设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$,

则 $S=A D \cdot A B=40 \cos \theta \cdot 20 \sin \theta$

$=400 \sin 2 \theta . \because \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,
$\therefore$ 当 $\sin 2 \theta=1$, 即 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 时, $S_{\text {max }}=400\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$.

此时 $A O=D O=10 \sqrt{2}(\mathrm{~m})$.

故当 $A 、 D$ 距离圆心 $O$ 为 $10 \sqrt{2} \mathrm{~m}$ 时，矩形 $A B C D$ 的面积最大，其最大面积是 $400 \mathrm{~m}^{2}$.