如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \overparen{D E}$ 的度数为 $\alpha$, 以点 $C$ 为圆心, $B C$ 长为半径的圆交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$于点 $E$, 则 $\angle A$ 的度数为

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【分析】

本题主要考查了弦, 弧, 圆心角的关系和等腰三角形的性质, 解答此题的关键是知道圆的半径相等得到 $\triangle B C D$ 为等腰三角形, 解答此题可先由弧 $D E$ 的度数得到它所对的圆心角 $\angle D C E$ 的度数, 然后可得 $\angle B C D$ 的度数, 再由等腰三角形得到 $\angle B$ 的度数, 最后根据内角和为 $180^{\circ}$ 可得 $\angle A$ 的度数.

## 【解答】

解: 如图, 连结 $C D$,

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$\because \overparen{D E}$ 的度数为 $\alpha$ ，

$\therefore \angle D C E$ 的度数为 $\alpha$,

又 $\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C D=\angle A C B-\angle D C E=90^{\circ}-\alpha$,

又 $\because C B=C D$,

$\therefore \angle B=\angle B D C=\frac{180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)}{2}=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle A C B-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.

故选 $A$.
