如图, 已知 $\mathrm{AB}$ 是 $\odot 0$ 的直径, 点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 在 $\odot 0$ 的上, 点 $\mathrm{E}$ 在 $\odot 0$ 的外, $\angle \mathrm{EAC}=\angle \mathrm{D}=60^{\circ}$.

(1) 求 $\angle \mathrm{ABC}$ 的度数;

(2) 求证: $A E$ 是 $\odot 0$ 的切线.

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【分析】直接根据圆周角定理求解;

(2) 根据圆周角定理, 由 $A B$ 是 $\odot 0$ 的直径得 $\angle A C B=90^{\circ}$, 则利用互余可计算出 $\angle B A C=30^{\circ}$, 于是得到 $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{EA}=90^{\circ}$ ，然后根据切线的判定定理得到结论.

(1) 解: $\because \angle \mathrm{D}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{D}=60^{\circ}$

(2) 证明: $\because A B$ 是 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{EAC}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BA} \perp \mathrm{AE}$,

$\therefore \mathrm{AE}$ 是 $\odot 0$ 的切线.