在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 、点 $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 为抛物线 $y=a x^{2}-2 a x+a(a \neq 0)$上的两点.

(1)求拋物线的对称轴;

(2)当 $-2<x_{1}<-1$ 且 $1<x_{2}<2$ 时, 试判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系并说明理由;

(3)若当 $t-1<x_{1}<t$ 且 $t+1<x_{2}<t+2$ 时, 存在 $y_{1}=y_{2}$, 求 $t$ 的取值范围.


对于（1）, 将关系式化为顶点式，即可得出答案;

对于 (2), 根据 $x$ 的大小判断点 $A$, 点 $B$ 与对称轴的距离, 再讨论 $a$, 即可得出答案;

对于（3）, 根据题意可知点 $A$ 和点 $B$ 在对称轴的两侧, 可判断 $t$ 的取值范围, 再根据两点到对称轴的距离相等得出范围即可.

【详解】(1) 由 $y=a x^{2}-2 a x+a=a(x-1)^{2}$,

$\therefore$ 抛物线的对称轴是 $x=1$;

(2) $\because-2<x_{1}<-1, \quad 1<x_{2}<2$, 对称轴是 $x=1$,

$\therefore$ 点 $A$ 比点 $B$ 离对称轴远.

若 $a>0$, 抛物线开口向上, $y_{1}>y_{2}$;

若 $a<0$, 抛物线开口向下, $y_{1}<y_{2}$.

(3) $\because y_{1}=y_{2}$,

$\therefore$ 点 $A$ 和点 $B$ 关于对称轴 $x=1$ 对称,

$\therefore t<1$ 且 $1<t+1$,

解得 $0<t<1$.

$\because$ 点 $A$ 和点 $B$ 到对称轴的距离相等,

$\therefore 1-x_{1}=x_{2}-1$,

$\therefore 1-(t-1)>t+1-1$ 且 $1-t<t+2-1$,
解得 $0<t<1$.

所以 $t$ 的取值范围是 $0<t<1$.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质, 掌握函数值相等时 $x$ 的值与对称轴之间的关系是解题的关键.

