如图, 抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个交点, 与 $x$ 轴平行的直线 $l$ 交抛物线于 $A 、 B$, 交 $y$ 轴于 $M$.

(1)若拋物线经过 $(0,4)$, 则 $b=$ $\qquad$ .

(2) 若 $A B=6$, 则 $O M$ 的长为 $\qquad$ .

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解: (1)抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个交点, 则 $b^{2}-4 c=0$,

抛物线过点 $(0,4)$, 则 $c=4$,

故 $b^{2}-16=0$, 解得 $b= \pm 4$ (舍去正值),

故 $b=-4$,

故答案为 -4 ;

(2)抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个交点, 则 $b^{2}-4 c=0$,

设 $O M=h, A 、 B$ 点的横坐标分别为 $m 、 n$,

则: $A(m, h) 、 B(n, h)$,

由题意得: $x^{2}+b x+(c-h)=0$,

则: $m+n=-b, m n=c-h$,

$A B=6=n-m=\sqrt{(m+n)^{2}-4 m n}=\sqrt{4 h}$,

解得: $h=9$,

即 $O M=9$,

故答案为 9 .

(1)抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个交点, 则 $b^{2}-4 c=0$, 拋物线过点 $(0,4)$, 则 $c=4$, 则故 $b^{2}-$ $16=0$, 即可求解;

(2) 设: $A(m, h) 、 B(n, h)$, 则 $A B=6 n-m=\sqrt{(m+n)^{2}-4 m n}$ 且 $\triangle=0$, 即可求解.

本题考查的是函数与 $x$ 轴的交点, 主要涉及到韦达定理的应用, 其中 $n-m=\sqrt{(m+n)^{2}-4 m n}$ 是处理复杂数据常用的方法.

