如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=6, \sin C=\frac{3}{5}$, 以点 $A$ 为圆心, $A B$ 长为半径作弧交 $A C$ 于点 $M$, 分别以点 $B, M$ 为圆心, 以大于 $\frac{1}{2} B M$ 长为半径作弧, 两弧相交于点 $N$, 射线 $A N$ 与 $B C$ 相交于点 $D$, 则 $A D$ 的长为 \$ \qquad \$
如图, 过 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于 $E, D F \perp A C$ 于 $F$,

由题可得, $A D$ 平分 $\angle B A C, \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A E D F$ 是正方形,

$\therefore D E=D F, \angle B A D=45^{\circ}=\angle A D E$,

$\therefore A E=D E=A F=D F$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}, A B=6, \sin C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B C=10, A C=8$,

设 $A E=D E=A F=D F=x$, 则 $B E=6-x, C F=8-x$,

<ImageHere>

$\because \angle B=\angle F D C, \angle B D E=\angle C$,

$\therefore \triangle B D E \sim \triangle D C F$,

$\therefore \frac{B E}{D F}=\frac{E D}{F C}$, 即 $\frac{6-x}{x}=\frac{x}{8-x}$,

解得 $x=\frac{24}{7}$,

$\therefore A E=\frac{24}{7}$,

$\therefore$ Rt $\triangle A D E$ 中, $A D=\sqrt{2} A E=\frac{24 \sqrt{2}}{7}$,

故答案为: $\frac{24 \sqrt{2}}{7}$.