边长为 3 的等边 $\triangle A B C$ 与等边 $\triangle D E F$ 互相重合, 将 $\triangle A B C$ 沿直线 $l$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$向右也平移 $m$ 个单位长度, 如图, 当 $C, E$ 是线段 $B F$ 的三等分点时, $m$ 的值为

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本题考查了平移的性质, 根据对应点 $C 、 F$ 间的距离列出方程是解题的关键, 难点在于要分情况讨论. 分点 $E$ 在 $B C$ 上和点 $E$ 在 $B C$ 外两种情况, 根据点 $C 、 F$ 之间的距离列出方程求解即可.
解: (1)如图 1, 点 $E$ 在 $B C$ 上时, $\because \triangle A B C$ 沿直线 $L$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$ 向右也平移 $m$ 个单位长度,

$\therefore$ 点 $C 、 F$ 之间的距离等于 $1.5 m$,

段 $B F$ 的三等分点，

解得 $m=\frac{3}{4}$,

$E$ 在 $B C$ 外时,

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图1 $\because C 、 E$ 是线 $\therefore 2 m=\frac{3}{2}$,

(2)如图 2 , 点 $\because \triangle A B C$ 沿直

线 $L$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$ 向右也平移 $m$ 个单位长度,

$\therefore$ 点 $C 、 F$ 之间的距离等于 $6 m$,

$\because C 、 E$ 是线段 $B F$ 的三等分点，

$\therefore 2 m=6$,

解得 $m=3$,

述, $m$ 的值为 3 或 $\frac{3}{4}$.

为: 3 或 $\frac{3}{4}$.

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综上所故答案