有一种落地晾衣架如图 1 所示, 其原理是通过改变两根支撑杆夹角 $\alpha$ 的度数来调整晾杆的高度,图 2 是晾衣架的侧面的平面示意图, $A B$ 和 $C D$ 分别是两根长度不等的支撑杆, 夹角 $\angle B O D=\alpha$, $A O=70 \mathrm{~cm}, B O=D O=80 \mathrm{~cm}, C O=40 \mathrm{~cm}$.

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图1

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图2

(1)若 $\alpha=56^{\circ}$, 求点 $A$ 离地面的高度 $A E ;$

(参考值: $\sin 62^{\circ}=\cos 28^{\circ} \approx 0.88, \sin 28^{\circ}=\cos 62^{\circ} \approx 0.47, \tan 62^{\circ} \approx 1.88, \tan 28^{\circ} \approx 0.53$. )

(2)调节 $\alpha$ 的大小, 使 $A$ 离地面高度 $A E=125 \mathrm{~cm}$ 时, 求此时 $C$ 点离地面的高度 $C F$.
解: (1)如图, 过 $O$ 作 $O G \perp B D$ 于点 $G$,

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图2

$\because A E \perp B D$,

$\therefore O G / / A E$,

$\because B O=D O$,

$\therefore O G$ 平分 $\angle B O D$,

$\therefore \angle B O G=\frac{1}{2} \angle B O D=\frac{1}{2} \times 56^{\circ}=28^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B=\angle B O G=28^{\circ}$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $A B=A O+B O=70+80=150(\mathrm{~cm})$,

$\therefore A E=A B \cdot \cos \angle E A B=150 \times \cos 28^{\circ} \approx 150 \times 0.88=132(\mathrm{~cm})$,

答：点 $A$ 离地面的高度 $A E$ 约为 $132 \mathrm{~cm}$;

(2) $\because O G / / A E$

$\therefore \angle E A B=\angle B O G$,

$\because C F \perp B D$,

$\therefore C F / / O G$,

$\therefore \angle D C F=\angle D O G$,

$\because \angle B O G=\angle D O G$,

$\because \angle A E B=\angle C F D=90^{\circ}$,

$\therefore \frac{C F}{A E}=\frac{C D}{A B}$,

$\frac{120 \times 125}{150}=100(\mathrm{~cm})$,

答: $C$ 点离地面的高度 $C F$ 为 $100 \mathrm{~cm}$.