已知 $2^{x}=3^{y}=6^{z} \neq 1$, 求证: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$.
证明: 设 $2^{x}=3^{y}=6^{z}=k(k \neq 1)$,

$\therefore x=\log _{2} k, \quad y=\log _{3} k, \quad z=\log _{6} k$,

$\therefore \frac{1}{x}=\log _{k} 2, \frac{1}{y}=\log _{k} 3, \frac{1}{z}=\log _{k} 6=\log _{k} 2+\log _{k} 3, \quad \therefore \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.