已知 $\alpha$ 为锐角, 下列结论: (1) $\sin \alpha+\cos \alpha=1$; (2)如果 $\alpha>45^{\circ}$, 那么 $\sin \alpha>\cos \alpha$; (3)如果 $\cos \alpha>\frac{1}{2}$, 那么 $\alpha<60^{\circ}$; (4) $\sqrt{(\sin \alpha-1)^{2}}=1-\sin \alpha$, 正确的有 ( )
(1)如果 $\alpha=30^{\circ}$, 那么 $\sin \alpha=\frac{1}{2}, \cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \neq 1$, 错误; (2) $\because 90^{\circ}>\alpha>45^{\circ}, \therefore 0^{\circ}<90^{\circ}-\alpha<45^{\circ}<\alpha, \therefore \sin \alpha>\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right), \therefore \sin \alpha>\cos \alpha$, 正确; (3) $\because \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$,锐角余弦函数随角的增大而减小, $\therefore$ 如果 $\cos \alpha>\frac{1}{2}$, 则 $\alpha<60^{\circ}$, 正确; (4) $\because \sin \alpha \leq 1, \therefore \sin \alpha-1 \leq 0$, $\therefore \sqrt{(\sin \alpha-1)^{2}}=|\sin \alpha-1|=1-\sin \alpha$, 正确. 故选: C.