（2022$\cdot$江苏镇江市$\cdot$八年级期末）请仔细阅读下面材料, 然后解决问题:

在分式中, 对于只含有一个字母的分式, 当分子的次数大于或等于分母的次数时, 我们称之为“假分式”. 例如: “ $\frac{x}{x+1}, \frac{x^{2}}{x+1}$ ， ; 当分子的次数小于分母的次数时, 我们称之为“真分式”, 例如: $\frac{1}{x+1}, \frac{x}{x^{2}+1},$. 我们知道, 假分数可化为带分数, 例 $\frac{13}{4}=\frac{12+1}{4}=3+\frac{1}{4}=3 \frac{1}{4}$ 类似的, 假分式也可以化为“带分式” (整式与真分式和的形式)，例如: $\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

（1）将分式 $\frac{3 x-1}{x-1}$ 化为带分式; （2）当 $x$ 取哪些整数值时, 分式 $\frac{3 x-1}{x-1}$ 的值也是整数?

（3）当 $x=\square$ ，分式 $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}$ 的最大值是


（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可; （2）原式变形后, 根据结果为整数确定出整数 $x$ 的值即可; （3）原式变形后, 确定出分式的最大值即可.

【详解】解： (1) 原式 $=\frac{3 x-3+2}{x-1}=\frac{3(x-1)+2}{x-1}=3+\frac{2}{x-1}$

(2) $\because \frac{3 x-1}{x-1}$ 是整数 $\therefore \frac{2}{x-1}$ 是整数 $\therefore x-1= \pm 1, \pm 2 \therefore x=-1,0,2,3$

(3) $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}=\frac{3 x^{2}+3+2}{x^{2}+1}=3+\frac{2}{x^{2}+1}$

$\because x^{2}+1 \geq 1$ (当且仅当 $\mathrm{x}=0$ 时, 等号成立) $\therefore \frac{2}{x^{2}+1} \leq 2 \therefore 3+\frac{2}{x^{2}+1} \leq 5$即当 $x=0$, 分式 $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}$ 的最大值为是 5 , 故答案为: $0 ; 5$.

【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清阅读材料中的方法，适当转化分子、分母是解本题的关键.