高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 用其名字命名的“高斯函

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$\lfloor 3.1]=3$, 已知函数 $f(x)=\frac{2^{x+1}}{1+2^{x}}-\frac{1}{3}$, 则函数 $y=[f(x)]$ 的值域是 $(\quad)$
函数 $f(x)=\frac{2^{x+1}}{1+2^{x}}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}-\frac{2}{1+2^{x}} \in\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$,

当 $-\frac{1}{3}<f(x)<0$ 时, $y=\lfloor f(x)\rfloor=-1$;

当 $0 \leq f(x)<1_{\text {时 }}, y=\lfloor f(x)\rfloor=0$;
当 $1 \leq f(x)<\frac{5}{3}$ 时, $y=\lfloor f(x)\rfloor=1$,

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故答案为: D.

【分析】化简函数 $f(x)=\frac{2^{x+1}}{1+2^{x}}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}-\frac{2}{1+2^{x}} \in\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$, 根据 $\left.\mid x\right\rfloor_{\text {表示不超过 } x \text { 的最大整数, }}$可得结果.