(12 分) 按照下列要求, 分别求有多少种不同的方法? 用数字作答)

(1) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子;

(2) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子, 每个盒子至少一个小球;

（3） 6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子, 每个盒子至少一个小球;

(4) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子, 恰有 1 个空盒.
答案:(1) 4096;（2）1560；(3) 10; (4)2160.

【解析】(1) $4^{6}=4096$.

(2) $\left(\frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2} A_{2}^{2}}+C_{6}^{3}\right) A_{4}^{4}=1560$.

(3) $C_{4}^{2}+4=10$ 或 $C_{5}^{2}=10$ 。

(4) $\left(C_{6}^{3} C_{3}^{2} C_{1}^{1}+\frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2} C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}+C_{5}^{2}\right) A_{4}^{3}=2160$.

22.答案:（1）100800 个;（2）14400 个;（3） 5760 个;（4） 28800 个.

【解析】（1）分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有 $C_{4}^{3}$ 种情况;

第二步在五个奇数中取四个, 可有 $\mathrm{C}_{5}^{4}$ 种情况;

第三步三个偶数, 四个奇数进行排列, 可有 $\mathrm{A}_{7}^{7}$ 种情况,

所以符合题意的七位数有 $\mathrm{C}_{4}^{3} \mathrm{C}_{5}^{4} \mathrm{~A}_{7}^{7}=100800$ 个.

（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 $C_{4}^{3} C_{5}^{4} A_{5}^{5} \mathrm{~A}_{3}^{3}=14400$.

（3）上述七位数中, 三个偶数排在一起, 四个奇数也排在一起的有 $C_{4}^{3} C_{5}^{4} A_{3}^{3} A_{4}^{4} A_{2}^{2}=5760$ 个.

（4）上述七位数中, 偶数都不相邻, 可先把四个奇数排好, 再将三个偶数分别插入 5 个空档,共有 $A_{5}^{4} C_{4}^{3} A_{5}^{3}=28800$ 个.

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