(本小题8.0分)

如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 矩形 $O A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上, 点 $B$ 的坐标为 $(5,2)$, 点 $P$ 是 $C B$ 边上的一动点 (不与 $C 、 B$ 重合), 联结 $O P 、 A P$, 过点 $O$ 作射线 $O E$ 交 $A P$ 的延长线于点 $E$,交 $C B$ 边于点 $M, \angle A O P=\angle C O M$.

(1)当 $O P \perp A P$ 时, 求直线 $A P$ 的解析式;

(2)设 $C P=x, M P=y$, 在点 $P$ 的运动过程中, 是否存在 $x$, 使 $\triangle O C M$ 的面积与 $\triangle A B P$ 的面积之和等于 $\triangle E M P$ 的面积? 如果存在, 请求出 $x$ 的值; 如果不存在, 请说明理由.

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(1)根据相似三角形的判定定理证明 $\triangle O P C \sim \triangle P A B$, 根据相似三角形的性质列出比例式, 得
到一元二次方程, 解方程即可得到 $P$ 的坐标, 然后利用待定系数法确定直线 $A P$ 的解析式;

(2)过 $E$ 作 $E D \perp O A$ 于点 $D$, 交 $M P$ 于点 $F$, 根据题意得到 $\triangle E O A$ 的面积=矩形 $O A B C$ 的面积, 求出 $E D$ 的长, 根据相似三角形的性质求出 $P M$, 利用已知条件可以 $\triangle O C M \sim \triangle P C O$, 从而得到 $C M: C O=C O$ : $C P$, 由此得到, 利用相似三角形的性质得到 $y=x-\frac{4}{x}$, 最后利用这个解析式计算即可求解.

本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定, 掌握矩形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.