19. 设 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \ldots \leqslant a_{n}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right.$ 且 $\left.n \geqslant 3\right)$.

（1）当 $n=3$ 时, 证明: $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geqslant a_{1}+a_{2}+a_{3}$;
: 分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据 (1) 由于 $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}$

与 $\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}$ 积为 $a_{2}{ }^{2}$, 所以利用基本不等式进行证明: $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}} \geq 2 \sqrt{\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}} \times \frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}}=2 a_{2}$, $\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geqslant 2 a_{3}, \frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geqslant 2 a_{1}$, 三式相加得 $2\left(\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}}\right) \geqslant 2\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$, 即 $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geqslant a_{1}+a_{2}+a_{3}$ （2) 本题结构对称, 易于归纳出 $\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{4}}+\cdots+\frac{a_{n-2} a_{n-1}}{a_{n}}+\frac{a_{n-1} a_{n}}{a_{1}}+\frac{a_{n} a_{1}}{a_{2}} \geqslant a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$, 用数学归纳法证明时的难点在于明确 $n=k+1$ 时式子与 $n=k$ 式子关系: 其差为 $\frac{a_{k-1} a_{k}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k} a_{k+1}}{a_{1}}+\frac{a_{k+1} a_{1}}{a_{2}}-\frac{a_{k-1} a_{k}}{a_{1}}-\frac{a_{k} a_{1}}{a_{2}}$, 问题转化为证明 $\frac{a_{k-1} a_{k}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k} a_{k+1}}{a_{1}}+\frac{a_{k+1} a_{1}}{a_{2}}-\frac{a_{k-1} a_{k}}{a_{1}}-\frac{a_{k} a_{1}}{a_{2}} \geq a_{k+1}$, 这可利用作差, 因式分解得证.