已知函数 $f(x)=\log _{a} \frac{x+1}{x-1}(a>0$, 且 $a \neq 1)$.

(1)求 $f(x)$ 的定义域;

(2)判断函数的奇偶性.
【解】(1)要使函数有意义, 则有 $\frac{x+1}{x-1}>0$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ x-1>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x+1<0 \\ x-1<0,\end{array}\right.$ 解得 $x>1$ 或 $x<-1$,此函数的定义域为 $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$.

(2) 由于 $f(x)$ 的定义域关于原点对称, 且 $f(-x)=\log _{a} \frac{-x+1}{-x-1}=\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-f(x)$.

$\therefore f(x)$ 为奇函数.