(本小题 8.0 分)

如图, 在正方形 $A B C D$ 中, 点 $E, F$ 分别是边 $A D, B C$ 的中点, 连接 $D F$, 过点 $E$ 作 $E H \perp D F$, 垂足为 $H, E H$ 的延长线交 $D C$ 于点 $G$.

<ImageHere>

(1)猜想 $D G$ 与 $C F$ 的数量关系, 并证明你的结论;

(2) 过点 $H$ 作 $M N / / C D$, 分别交 $A D, B C$ 于点 $M, N$, 若正方形 $A B C D$ 的边长为 4 , 点 $P$ 是 $M N$ 上一点, 求 $\triangle P D C$ 周长的最小值.
解：(1)结论: $C F=2 D G$.

理由: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A D=B C=C D=A B, \angle A D C=\angle C=90^{\circ}$,

$\because$ 点 $E$ 是边 $A D$ 的中点,

$\therefore D E=A E$,

$\therefore A D=C D=2 D E$,

$\because E G \perp D F$,

$\therefore \angle D H G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C D F+\angle D G E=90^{\circ}, \angle D G E+\angle D E G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C D F=\angle D E G$,

$\therefore \triangle D E G \sim \triangle C D F$,

$\therefore \frac{D G}{C F}=\frac{D E}{D C}=\frac{1}{2}$,

$\therefore C F=2 D G$.

(2) 作点 $C$ 关于 $N M$ 的对称点 $K$, 连接 $D K$ 交 $M N$ 于点 $P$, 连接 $P C$, 此时 $\triangle P D C$ 的周长最短.

周长的最小值 $=C D+P D+P C=C D+P D+P K=C D+D K$.

<ImageHere>

由题意: $C D=A D=4, E D=A E=2, D G=1, E G=\sqrt{5}, D H=\frac{D E \cdot D G}{E G}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

$\cos \angle E D H=\frac{D H}{D E}=\frac{D M}{D H}$,

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{D M}{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}$

$\therefore D M=\frac{2}{5}$,

$\therefore C K=2 C N=2 D M=\frac{4}{5}$,
在Rt $\triangle D C K$ 中, $D K=\sqrt{C D^{2}+C K^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5} \sqrt{26}$,

$\therefore \triangle P D C$ 的周长的最小值为 $4+\frac{4}{5} \sqrt{26}$.

【解析】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题, 属于中考常考题型.

(1)结论: $C F=2 D G$. 只要证明 $\triangle D E G \sim \triangle C D F$ 即可;

(2)作点 $C$ 关于 $N M$ 的对称点 $K$, 连接 $D K$ 交 $M N$ 于点 $P$, 连接 $P C$, 此时 $\triangle P D C$ 的周长最短. 周长的最小值 $=C D+P D+P C=C D+P D+P K=C D+D K$, 利用勾股定理求出 $D K$ 的长即可解答.