(本小题 8.0 分)

如图, $\odot O$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆, 已知 $\angle C A B=\angle C B D$, 直线 $M N$ 与 $\odot O$ 交于点 $C$, 弦 $B D / / M N$ 。

<ImageHere>

(1)求证: $M N$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) 若 $B C=5, B D=8$, 求 $\odot O$ 的半径.
解: (1)连接 $O B 、 O C, O C$ 交 $B D$ 于 $H$ 点,

<ImageHere>

$\because \angle C A B=\angle C B D, \quad \angle C A B=\angle C D B$

$\therefore \angle C D B=\angle C B D$

$\therefore \overparen{B C}=\overparen{D C}$,

$\therefore O C \perp B D$,

$\because B D / / M N$,

$\therefore O C \perp M N$,

$\because O C$ 为 $\odot O$ 半径,

$\therefore M N$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) $\because O C \perp B D$,

$\therefore B H=H D=\frac{1}{2} B D=4$,

$\therefore C H=\sqrt{B C^{2}-B H^{2}}=\sqrt{25-16}=3$,

$\because O B^{2}=O H^{2}+B H^{2}$,

$\therefore O B^{2}=(O B-3)^{2}+16$,

$\therefore O B=\frac{25}{6}$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{25}{6}$.

【解析】本题考查了圆的有关知识, 勾股定理, 灵活运用这些性质解决问题是本题的关键. 连接 $O B$ 、 $O C$, 交 $B D$ 于 $H$ 点.

(1) 由 $\angle C D B=\angle C B D$ 可得 $\overparen{B C}=\overparen{C D}, O C \perp B D$, 由 $B D / / M N$, 可得 $O C \perp M N$, 可得结论;

(2) 由垂径定理可得 $B H=4$, 由勾股定理可求 $C H, O B$ 的长, 即可求解.