12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F_{1}(-c, 0), A(-a, 0)$, $B(0, b)$ 是两个顶点, 如果 $F_{1}$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{b}{\sqrt{7}}$, 求椭圆的离心率 $e$.
：解 由 $A(-a, 0), B(0, b)$, 得直线 $A B$ 的斜率为 $k_{A B}=\frac{b}{a}$, 故 $A B$所在的直线方程为 $y-b=\frac{b}{a} x$, 即 $b x-a y+a b=0$.

又 $F_{1}(-c, 0)$,

由点到直线的距离公式可得 $d=\frac{|-b c+a b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{b}{\sqrt{7}}$,

$\therefore \sqrt{7}(a-c)=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.

又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, 整理, 得 $8 c^{2}-14 a c+5 a^{2}=0$,

即 $8\left(\frac{c}{a}\right)^{2}-14\left(\frac{c}{a}\right)+5=0$,

$\therefore 8 e^{2}-14 e+5=0$,

$\therefore e=\frac{1}{2}$ 或 $e=\frac{5}{4}$ (舍去).

综上可知, 椭圆的离心率 $e=\frac{1}{2}$.