(本小题8.0分)

如图, $A, B, C$ 是 $\odot O$ 上三点, 其中 $\overparen{A B}=2 \overparen{B C}$, 过点 $B$ 画 $B D \perp O C$ 于点 $D$.

(1)求证: $A B=2 B D$;

(2)若 $A B=2 \sqrt{3}, C D=1$, 求图中圆的半径.

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(1)如图, 延长 $B D$ 交 $\odot O$ 于 $E$, 根据垂径定理得到 $B E=2 B D, \overparen{B E}=2 \overparen{B C}$, 求得 $\overparen{A B}=\overparen{B E}$,于是得到结论;

(2)如图, 连接 $O B$, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 根据勾股定理列方程得到 $r=2$.

本题考查了圆周角定理, 垂径定理, 勾股定理, 正确的作出辅助线是解题的关键.