12. 设 $f(x)=1+\log _{x} 3, g(x)=2 \log _{x} 2$, 其中 $x>0$ 且 $x \neq 1$, 试比较 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小.
$f(x)-g(x)=1+\log _{x} 3-2 \log _{x} 2=\log _{x} \frac{3 x}{4}$,

(1)当 $\left\{\begin{array}{l}0<x<1, \\ \frac{3 x}{4}>1,\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x>1, \\ 0<\frac{3 x}{4}<1,\end{array}\right.$

即 $1<x<\frac{4}{3}$ 时, $\log _{x} \frac{3 x}{4}<0, \therefore f(x)<g(x)$;

(2) 当 $\frac{3 x}{4}=1$, 即 $x=\frac{4}{3}$ 时, $\log _{x} \frac{3 x}{4}=0$, 即 $f(x)=g(x)$;

(3)当 $\left\{\begin{array}{l}0<x<1, \\ 0<\frac{3 x}{4}<1,\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x>1, \\ \frac{3 x}{4}>1,\end{array}\right.$

即 $0<x<1$, 或 $x>\frac{4}{3}$ 时, $\log _{x} \frac{3 x}{4}>0$, 即 $f(x)>g(x)$.

综上所述, 当 $1<x<\frac{4}{3}$ 时, $f(x)<g(x)$;

当 $x=\frac{4}{3}$ 时, $f(x)=g(x)$;

当 $0<x<1$, 或 $x>\frac{4}{3}$ 时, $f(x)>g(x)$.