21. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 的外接圆半径 $R=\sqrt{2}$, 且 $\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$.

(1) 求 $B$ 和 $b$ 的值;

(2) 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值.
（1）因为 $\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$,
所以 $\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$.

所以 $\sin B \cos C+\cos B \sin C=\sqrt{2} \sin A \cos B, \sin (B+C)=\sqrt{2} \sin A \cos B$,

因为 $A+B+C=\pi$, 所以 $\sin (B+C)=\sin A$. $\cdots .4$ 分

因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2 R$, 得 $b=2 R \sin B=2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$.

（2）由余弦定理，得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 所以 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c$.

由基本不等式，得 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c \geq 2 a c-\sqrt{2} a c ，$

所以 $a c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$.

因为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} a c \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c$,

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \times 2(2+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$.

所以 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $1+\sqrt{2}$.