已知正三棱雉 $A-B C D$ 每个顶点都在球 $O$ 的球面上, 球心 $O$ 在正三棱雉的内部. 球的半径为 $R$,且 $|B C|=\frac{3}{2} R$. 若过 $A$ 作球 $O$ 的截面, 所得圆周长的最大值是 $8 \pi$, 则该三棱雉的侧面积为
【分析】

依题意, 该球的大圆的周长为 $8 \pi$, 可得 $\mathrm{R}=4, \mathrm{BC}=6$. 设底面 $\mathrm{BCD}$ 的中心为 $\mathrm{E}$, 连接 $\mathrm{BE}$ 并延长交 $\mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{F}$, 求得 $\mathrm{BE}, \mathrm{EF}$, 在三角形 $\mathrm{OBE}$ 中应用勾股定理得到 $\mathrm{OE}$. 可得三棱雉的高 $\mathrm{AE}=\mathrm{AO}+\mathrm{OE}$. 所以由勾股定理得到三棱雉的斜高 $\mathrm{AF}$ 。求侧面积即可.

## 【详解】

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依题意, 该球的大圆的周长为 $8 \pi$, 所以 $2 \pi R=8 \pi$, 得 $R=4$,

如图, 正三棱雉 $A-B C D$ 中, 设底面三角形 $B C D$ 的中心为 $E$, 则 $A E \perp$ 平面 $B C D$,

设 $F$ 为 $C D$ 的中点, 连接 $B F, A F$, 则 $E$ 是 $B F$ 的三等分点, 且 $A F$ 是三棱雉的侧面 $A C D$ 的斜高.根据正 ${ }^{n}$ 三棱雉的对称性, 球心 $O$ 在 $A E$ 上.
所以 $B C=\frac{3}{2} \times 4=6$.

则 $B E=\frac{2}{3} B F=\frac{2}{3} \times B C \times \sin 60^{\circ}=\frac{2}{3} \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3} . E F=\sqrt{3}$,

又因为三角形 $O B E$ 为直角三角形, 所以 $O E=\sqrt{O B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{16-12}=2$.

所以三棱雉的高 $A E=A O+O E=4+2=6$.

所以三棱雉的斜高 $A F=\sqrt{A E^{2}+E F^{2}}=\sqrt{36+3}=\sqrt{39}$.

该三棱锥的侧面积为 $S_{\text {似 }}=3 \times \frac{1}{2} \times C D \times A F=3 \times \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{39}=9 \sqrt{39}$.

故填: $9 \sqrt{39}$.

## 【点睛】

本题考查了正三棱雉的结构特征, 正三棱雉的外接球, 考查空间想象能力与计算能力, 是中档题.