, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 1 , 动点 $E$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上, $F 、 M$ 分别是 $A D 、 C D$ 的中点, 则下列结论中正确的是

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(1) $F M$ 与 $B C_{1}$ 所成角为 $45^{\circ}$;

(2) $B M \perp$ 平面 $C C_{1} F$;

(3)存在点 $E$, 使得平面 $B E F / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$;

(4) 三棱雉 $B-C F E$ 的体积为定值.
【分析】

利用线线平行, 找出异面直线的夹角的平面角, 求出即可, 可判断(1)的正误; 根据线面垂直的判定定理即可判断(2)的正误; 利用面面平行的性质定理可判断(3)的正误; 利用等体积法即可求出棱雉的体积, 可判断(4)的正误.综合可得出结论.

## 【详解】

对于(1), $\because F 、 M$ 分别为 $A D 、 C D$ 的中点, $\therefore F M / / A C$,

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1} / / C C_{1}$ 且 $A A_{1}=C C_{1}$, 则四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 为平行四
边形,

$\therefore A C / / A_{1} C_{1}, \therefore$ 异面直线 $F M$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $\angle A_{1} C_{1} B$,

在 $\triangle A_{1} C_{1} B$ 中, $A_{1} C_{1}=A_{1} B=B C_{1}$, 所以, $\triangle A_{1} C_{1} B$ 为等边三角形, 则 $\angle A_{1} C_{1} B=60^{\circ}$,即(1)错误;

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对于(2), $\because B C=C D, C M=D F, \angle B C M=\angle C D F, \therefore \triangle B C M \cong \triangle C D F$,

$\therefore \angle B M C+\angle D C F=90^{\circ}, \therefore B M \perp C F$,

又因为 $C C_{1} \perp$ 平面 $A B C D$, 且 $B M \subset$ 平面 $A B C D$, 所以 $C C_{1} \perp B M$,

因为 $C F \cap C C_{1}=C$, 所以 $B M \perp$ 平面 $C C_{1} F$, 即(2)正确;

对于(3), 若平面 $B E F / /$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$, 因为平面 $C C_{1} D_{1} D / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$,

所以平面 $B E F / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 但平面 $B E F$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 有公共点 $B$, 所以(3)错误;

对于(4), $V_{B-C F E}=V_{E-B C F}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C F} \cdot A A_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} B C \cdot A B \cdot A A_{1}=\frac{1}{6}$ (定值), 即(4)正确.

故答案为: (2)(4).

## 【点睛】

本题考查了空间立体几何中线面的位置关系、异面直线的夹角、棱雉体积等知识点, 熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题关键, 属于中等题.