函数 $f(x)=x|x-1|$ 的单调增区间为 \$ \qquad \$ .
$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ 和 $[1,+\infty)$ 点拨: $f(x)=x|x-1|=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x, x \geq 1, \\ -x^{2}+x, x<1,\end{array}\right.$ 当 $x \geq 1$ 时, $f(x)=x^{2}-x$ 在 $[1,+\infty)$上单调递增; 当 $x<1$ 时, $f(x)=x-x^{2}$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ 上单调递增; 所以单调增区间为 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$ 和 $[1,+\infty)$.