22. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足: $a_{n} \neq 1, a_{n+1}=2-\frac{1}{a_{n}}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中, $b_{n}=\frac{1}{a_{n}-1}$, 且 $b_{1}, b_{2}$, $b_{4}$ 成

等比数列.

(I) 求证: 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;

(II) (II) 若 $S_{n}$ 是数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 求数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
(I) $b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{a_{n+1}-1}-\frac{1}{a_{n}-1}=\frac{1}{2-\frac{1}{a_{n}}-1}-\frac{1}{a_{n}-1}=\frac{a_{n}}{a_{n}-1}-\frac{1}{a_{n}-1}=1$,

$\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列;

（II）由题意可得 $b_{2}^{2}=b_{1} b_{4}$, 即 $\left(b_{1}+1\right)^{2}=b_{1}\left(b_{1}+3\right)$, 所以 $b_{1}=1$, 所以 $b_{n}=1$,

$\therefore S_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, \therefore \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$,

$T_{n}=2 \times\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=2 \times\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2 n}{n+1}$.

【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明, 考查等差数列的前 $n$ 项和的求法, 考查裂项相消法求和, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.