如图, 在平面直角坐标系 $x 0 y$ 中, $\odot A$ 与 $y$ 轴相切于点 $B\left(0, \frac{3}{2}\right)$, 与 $x$ 轴相交于 $M 、 N$两点. 如果点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 求点 $N$ 的坐标.

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【分析】连接 $A B 、 A M$ 、过 $A$ 作 $A C \perp M N$ 于 $C$, 设 $\odot A$ 的半径是 $R$, 根据切线性质得出 $A B=A M=R$,求出 $\mathrm{CM}=\mathrm{R}-\frac{1}{2}, \mathrm{AC}=\frac{3}{2}, \mathrm{MN}=2 \mathrm{CM}$,

由勾股定理得出方程 $R^{2}=\left(R-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$, 求出方程的解即可.

解:

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连接 $A B 、 A M$ 、过 $A$ 作 $A C \perp M N$ 于 $C$, 设 $\odot A$ 的半径是 $R$,

$\because \odot \mathrm{A}$ 与 $\mathrm{y}$ 轴相切于 $\mathrm{B}$,

$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{y}$ 轴,

$\because$ 点 $B\left(0, \frac{3}{2}\right)$, 与 $x$ 轴相交于 $M 、 N$ 两点, 点 $M$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AM}=\mathrm{R}, \quad \mathrm{CM}=\mathrm{R}-\frac{1}{2}, \mathrm{AC}=\frac{3}{2}, \quad \mathrm{MN}=2 \mathrm{CM}$,

由勾股定理得: $R^{2}=\left(R-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$,

$\mathrm{R}=2.5$,

$\therefore \mathrm{CM}=\mathrm{CN}=2.5-\frac{1}{2}=2$,

$\therefore 0 \mathrm{~N}=\frac{1}{2}+2+2=4 \frac{1}{2}$,

即 $\mathrm{N}$ 的坐标是 $\left(4 \frac{1}{2}, 0\right)$.