双曲线与椭圆 $\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$ 有相同焦点, 且经过点 $(\sqrt{15}, 4)$, 求其方程.
粗圆 $rac{y^{2}}{36}+rac{x^{2}}{27}=1$ 的焦点为 $(0, \pm 3), c=3$, 设双曲线方程为 $rac{y^{2}}{a^{2}}-rac{x^{2}}{9-a^{2}}=1, ecause$ 过点 $(\sqrt{15}, 4)$,则 $rac{16}{a^{2}}-rac{15}{9-a^{2}}=1$, 得 $a^{2}=4$ 或 36 , 而 $a^{2}<9, 	herefore a^{2}=4$, 双曲线方程为 $rac{y^{2}}{4}-rac{x^{2}}{5}=1$.