(6 分) 如图, 弓形 $A B$ 是由 $A B$ 和弦 $A B$ 所围成的图形, 弓形 $A B$ 的高是 $A B$ 的中点到 $A B$ 的距离, 点 $O$ 是 $A B$ 所在圆的圆心， $A B=24 \mathrm{~cm}$ ，弓形 $A B$ 的高为 $6 \mathrm{~cm}$.

(1)求 $\odot O$ 的半径;

(2)经测量 $\angle A O B$ 的度数约为 $106^{\circ}$, 则弓形 $A B$ 的面积为 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2}$.

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(1) 过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 交 $A B$ 于点 $C$, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 根据垂径定理可得 $A D=12, C D=6$, 从而得出 $O D=r-6$, 然后利用勾股定理建立关于 $r$ 的方程, 最后解方程即可;

（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可.

【详解】(1) 解：过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 交 $A B$ 于点 $C$, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, $\because$ 点 $O$ 为圆心, $A B=24$, 弓形 $A B$ 的高为 6 .
$\therefore A D=B D=\frac{1}{2} A B=12$, 点 $C$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore C D=6, O D=C O-C D=r-6$,

在 $\triangle A O D$ 中, $A O^{2}=A D^{2}+D O^{2}$,

$\therefore r^{2}=12^{2}+(r-6)^{2}$,

解得: $r=15$.

$\therefore \odot O$ 的半径为 $15 \mathrm{~cm}$.

<ImageHere>

(2) $\because r=15, \angle A O B=106^{\circ}, D O=15-6=9$

$\therefore S_{\text {形 }}=S_{\text {扇形AOB }}-S_{\triangle A O B}$

$=\frac{106 \pi \times 15^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 24 \times 9$

$=\frac{265 \pi}{4}-108$.

$\therefore$ 弓形 $A B$ 的面积为 $\left(\frac{265 \pi}{4}-108\right) \mathrm{cm}^{2}$.

故答案为: $\frac{265 \pi}{4}-108$.

【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 也考查了勾股定理, 扇形的面积, 三角形的面积等知识, 运用了分割法求不规则图形面积的解题方法. 解题的关键是过圆心作弦的垂线构造直角三角形求出圆的半径.

