已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是奇函数且是增函数, 若 $f(1)=1$, 则不等式 $|f(x)|<1$ 的解集为
【详解】

由不等式 $|f(x)|<1$ 得 $-1<f(x)<1$,
$\because f(x)$ 是奇函数, $\therefore f(-1)=-f(1)=-1$,

$\therefore f(-1)<f(x)<f(1)$,

$\because f(x)$ 在 $R$ 上是增函数,

$\therefore-1<x<1$,

$\therefore$ 不等式 $|f(x)|<1$ 的解集为 $(-1,1)$.

故答案为: A.

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式, 解题的关键是转化对应的函数值.