如图, 已知 $A(3,4), B(1,2), C(5,1)$.

<ImageHere>

(1) 作 $\triangle A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$; 写出对称后三个顶点的坐标.

(2) 在 $x$ 轴上找一点 $P$ 使得 $P C+P B$ 最小, 画出点 $P$ 所在的位置;

(3) 求 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积.
解: (1) 如图所示 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 即为所求;

<ImageHere>

由图可知: $A_{1}(3,-4), B_{1}(1,-2), C_{1}(5,-1)$;

(2) 如图所示点 $P$ 即为所求;

<ImageHere>

$\because C, C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore B P+C P=B P+C_{1} P \geq B C_{1}$,

$\therefore$ 当 $B, P, C_{1}$ 三点共线时, $P C+P B$ 的值最小;

(3) $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积 $3 \times 4-\frac{1}{2} \times 4 \times 1-\frac{1}{2} \times 2 \times 2-\frac{1}{2} \times 3 \times 2=5$.