15. 在等腰 Rt $\triangle A B C$ 中, $D$ 是斜边 $B C$ 的中点, 如果 $A B$ 的长为 2 , 则 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}=$ \$ \qquad \$
法一: $\because D$ 为边 $B C$ 的中点， $\therefore \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) ， \therefore(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^{2}=\frac{1}{2}$ $\left(\overrightarrow{A B^{2}}+\overrightarrow{A C^{2}}+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}\right)=\frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+|\overrightarrow{A C}|^{2}\right)=|\overrightarrow{A B}|^{2}=4$.

法二: 如图，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴, $A C$ 所在直线为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 由于 $\triangle A B C$为等腰直角三角形，且 $|\overrightarrow{A B}|=2$ ，故 $B(2 ， 0) ， C(0 ， 2)$. 由 $D$ 是 $B C$ 边的中点知 $D(1 ， 1)$ ， $\therefore \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=(2,2), \overrightarrow{A D}=(1,1), \therefore(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}=4$

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答案: 4