19. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+n$, 等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比 $q(q>1)$, 且 $b_{3}+b_{4}+b_{5}=28, b_{4}+2$是 $b_{3}$ 和 $b_{5}$ 的等差中项.

    (1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

    (2) 令 $c_{n}=b_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}-1},\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$, 若 $2 T_{n} \geqslant m$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立, 求实数 $m$ 的最大值.
解: (1) $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=2$,

    当 $n \geq 2$ 时 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2 n$

    $a_{1}=2$ 也符合上式, 所以 $a_{n}=2 n\left(n \in N^{*}\right)$,

    又 $b_{3}+b_{4}+b_{5}=28$ 和 $2\left(b_{4}+2\right)=b_{3}+b_{5}$, 得 $b_{4}=8, q=2$ 或 $q=\frac{1}{2}$.

    $\because q>1 \therefore q=2$.

    $\therefore b_{n}=2^{n-1}, \quad n \in N^{*}$

    (2) $\because c_{n}=b_{n}+\frac{1}{a_{n}^{2}-1}=2^{n-1}+\frac{1}{4 n^{2}-1}=2^{n-1}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$

    $\therefore T_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)=2^{n}-1+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)=2^{n}-\frac{1}{4 n+2}-\frac{1}{2}$

    而 $T_{n}$ 随着 $n$ 的增大而增大, 所以 $2 T_{n} \geq 2 T_{1}=\frac{8}{3}$, 故有 $m$ 最大值为 $\frac{8}{3}$ 。