如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $A B=2$, 点 $E$ 是 $B C$ 边的中点, 连接 $D E$, 延长 $E C$ 至点 $F$, 使得 $E F=D E$, 过点 $F$ 作 $F G \perp D E$, 分别交 $C D 、 A B$ 于 $N 、 G$ 两点, 连接 $C M 、 E G 、 E N$, 下列正确的是: (1) $\tan \angle G F B=\frac{1}{2}$; (2) $M N=N C$; (3) $\frac{C M}{E G}=\frac{1}{2}$; (4) $S_{\text {四边形 } G B E M}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ( )

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解: $\because \angle D C E=\angle F M E=90^{\circ}, \angle D E C=\angle M E F, D E=E F$,

$\therefore \triangle D C E \cong \triangle F M E(A A S)$,

$\therefore \angle G F B=\angle C D E$,

$\therefore \tan \angle G B F=\tan \angle C D E=\frac{C E}{C D}=\frac{1}{2}$,

故(1)正确，

由(1)可得: $C E=E M$,

$\because E N=E N, \angle E M N=\angle E C N=90^{\circ}$,

$\therefore R t \triangle E M N \cong R t \triangle E C N(H L)$,

$\therefore M N=N C$,

故②正确,

$\because E M=E C$,

$\therefore \angle E M C=\angle E C M$,

$\because E M=C E=B E, G E=G E, \angle B=\angle G M E=90^{\circ}$,

$\therefore R t \triangle G B E \cong R t \triangle G M E(H L)$,

$\therefore \angle B E G=\angle G E M$,

$\because \angle B E M=\angle E M C+\angle E C M$,

$\therefore 2 \angle G E M=2 \angle E M C$,

$\therefore \angle G E M=\angle E M C$,

$\therefore C M / / G E$,

$\therefore \triangle F C M \sim \triangle F E G$,

$\therefore \frac{C M}{E G}=\frac{C F}{E F} \neq \frac{1}{2}$;

故(3)不正确,

$\because C E=1, C D=2$,

$\therefore S_{\triangle E M F} S_{\triangle C D E}=\frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$,

$\because \angle F=\angle F, \angle F M E=\angle B=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle F M E \sim \triangle F B G$,

$\therefore \frac{S_{\triangle F B G}}{S_{\triangle F M E}}=\left(\frac{B F}{F M}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}$,

$\therefore S_{\triangle F B G}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,

$\therefore S_{\text {四边形 } G B E M}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,

故(4)正确,

$\therefore$ 正确的是(1)(2).

故选: $B$.

(1) 证明 $\triangle D C E \cong \triangle F M E$, 由 $\tan \angle G F B=\tan \angle C D E$ 可得;

(2)结合(1) $E M=C E$, 证明 $\triangle M E N \cong \triangle C E N$;

(3)证明 $C M / / G E$, 得 $\frac{C M}{E G}=\frac{C F}{E F} \neq \frac{1}{2}$;

(4) 求出 $\triangle F B G$ 和 $\triangle F M E$ 的面积, 进而由它们的差可得.

本题考查了正方形性质, 全等三角形判定和性质, 相似三角形判定和性质等知识, 解决问题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析.