已知函数 $f(x)=x+\frac{k}{x}(k \in R)$.

(I) 当 $k=1$ 时, 判断 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上的单调性, 并加以证明:

(II) 当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f(x) \geq 1$ 恒成立, 求实数 $\boldsymbol{k}$ 的取值范围.
) 当 $k=1$ 时, $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上是减函数.

证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则:

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)-\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1} x_{2}}$

$=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1} x_{2}-1\right)}{x_{1} x_{2}}$
$\because x_{1}, x_{2} \in(0,1)$, 且 $x_{1}<x_{2}$,

$\therefore x_{1}-x_{2}<0, \quad x_{1} x_{2}-1<0$

$\therefore f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$;

$\therefore f(x)=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 上是减函数.

(II) $: x+\frac{k}{x} \geq 1$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 即 $x^{2}-x+k \geq 0$ 对 $x>0$ 恒成立,

令 $g(x)=x^{2}-x+k$, 则 $g(x)$ 在上单调递减, 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上单调递增,

所以 $g(x)_{\text {min }}=g\left(\frac{1}{2}\right)=k-\frac{1}{4}$,

由 $k-\frac{1}{4} \geq 0$, 解得: $k \geq \frac{1}{4}$

故实数 $k$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4},+\infty\right)$.