如图, 在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B=2, A A_{1}=2 \sqrt{3}, D, F$ 分别是棱 $A B, A A_{1}$ 的中点, $E$ 为棱 $A C$ 上的动点, 则 $\triangle D E F$ 的周长的最小值为 $(0$

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【分析】

根据正三棱柱的特征可知 $\triangle A B C$ 为等边三角形且 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C$, 根据 $A A_{1} \perp A D$ 可利用勾股定理求得 $D F=2$; 把底面 $A B C$ 与侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 在同一平面展开, 可知当 $D, E, F$ 三点共线时, $D E+E F$取得最小值; 在 $\triangle A D F$ 中利用余弦定理可求得最小值, 加和得到结果.

## 【详解】

$\because$ 三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱柱 $\quad \therefore \triangle A B C$ 为等边三角形且 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C$

$\because A D \subset$ 平面 $A B C \quad \therefore A A_{1} \perp A D \quad \therefore D F=\sqrt{1+3}=2$

把底面 $A B C$ 与侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 在同一平面展开, 如下图所示:

<ImageHere>

当 $D, E, F$ 三点共线时, $D E+E F$ 取得最小值

又 $\angle F A D=150^{\circ}, A F=\sqrt{3}, A D=1$

$\therefore(D E+E F)_{\min }=\sqrt{A F^{2}+A D^{2}-2 A F \cdot A D \cos \angle F A D}=\sqrt{4-2 \sqrt{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\sqrt{7}$

$\therefore \triangle D E F$ 周长的最小值为: $\sqrt{7}+2$

本题正确选项: $D$

## 【点睛】

本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题, 关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题, 利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.