如图, 点 $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 对角线 $D F$ 上的一点, 且 $S_{\triangle A O C}=8$, 则正六边形 $A B C D E F$ 的面积为 ( )<ImageHere>


解: 如图, 连接 $A D 、 C F$ 相交于点 $O^{\prime}$, 则点 $O^{\prime}$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，

$\because$ 六边形 $A B C D E F$ 是正六边形,

$\therefore A B=B C=C D=D E=E F=A F$,

<ImageHere>

$\angle B=B C D=\angle \angle C D E=\angle D E F=\angle E F A=\angle F A B=\frac{(6-2) \times 180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\angle B C A=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$,

同理, $\angle C D F=\angle D F A=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A C D F$ 是矩形,

$\therefore S_{\triangle A O \prime C}=S_{\triangle C O \prime D}=S_{\triangle D O \prime F}=S_{\triangle A O^{\prime} F}=\frac{1}{4} S_{\text {矩形 } A C D F}$,

由正六边形的性质可得 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A O \prime C}=S_{\triangle D E F}$,

$\because S_{\triangle A O C}=8$,
$\therefore S_{\text {矩形ACDF }}=2 S_{\triangle A O C}=16$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore S_{\text {正六边形 } A B C D E F}=S_{\text {矩形 } A C D F}+2 S_{\triangle A B C} \\
& =16+8
\end{aligned}
$$

$=24$,

故选: B.

根据圆内接正六边形的性质得出四边形 $A C D F$ 是矩形, 进而得出 $S_{\triangle A O \prime C}=S_{\triangle C O I D}=S_{\triangle D O \prime F}=S_{\triangle A O \prime F}=$ $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle D E F}=4$, 由面积之间的关系可得答案.

本题考查正多边形和圆, 掌握正六边形的性质以及矩形的判定和性质是正确解答的前提.

 