(10 分）如图，已知圆 $O$ 的直径 $A B$ 垂直于弦 $C D$ 于点 $E$, 连接 $C O$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$, 且 $C F \perp A D$.

（1）证明：点 $E$ 是 $O B$ 的中点;

（2）若 $A B=8$, 求 $C D$ 的长.

<ImageHere>


）证明：连接 $A C$, 如图

<ImageHere>

$\because$ 直径 $A B$ 垂直于弦 $C D$ 于点 $E$,

$\therefore A C=A D, A C=A D$

$\because$ 过圆心 $O$ 的线 $C F \perp A D$,

$\therefore A F=D F$ ，即 $C F$ 是 $A D$ 的中垂线，

$\therefore A C=C D$,

$\therefore A C=A D=C D$.

即: $\triangle A C D$ 是等边三角形,

$\therefore \angle F C D=30^{\circ}$,

在 Rt $\triangle C O E$ 中, $O E=\frac{1}{2} O C$,

$\therefore O E=\frac{1}{2} O B$,

$\therefore$ 点 $E$ 为 $O B$ 的中点;

（2）解：在 Rt $\triangle O C E$ 中, $A B=8$

$\therefore O C=\frac{1}{2} A B=4$,

又 $\because B E=O E$,

$\therefore O E=2$,

$\therefore C E=\sqrt{O C^{2}-O E^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore C D=2 C E=4 \sqrt{3}$.

