已知函数 $f(x)=x \ln x$, 给出下面四个命题: (1)函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{e}$; (2)函数 $f(x)$ 有两个

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则其中错误命题的序号是 ( )
答案: B,C,D

【解析】因为函数 $f(x)=x \ln x$, 所以 $f^{\prime}(x)=1+\ln x$

当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$,所以当 $x=\frac{1}{e}$ 时, $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{e}$,如图所示:

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当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \rightarrow 0$, 当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow+\infty$, 所以函数 $f(x)$ 有一个零点;

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故错误命题的序号是 (2)(3)(4)。

故答案为: BCD

【分析】由函数 $f(x)=x \ln x$, 求导 $f^{\prime}(x)=1+\ln x$, 当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 作出函数图象逐项判断, 从而找出错误的命题序号。



17.答案: 1

【解析】由函数的解析式可得: $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x+a)-e^{x}}{(x+a)^{2}}=\frac{e^{x}(x+a-1)}{(x+a)^{2}}$,则: $f^{\prime}(1)=\frac{e^{\mathrm{l} \times(1+a-1)}}{(1+a)^{2}}=\frac{a e}{(a+1)^{2}}$, 据此可得: $\frac{a e}{(a+1)^{2}}=\frac{e}{4}$,
整理可得: $a^{2}-2 a+1=0$, 解得: $a=1$.

故答案为: 1 .

【分析】由题意首先求得导函数的解析式, 然后得到关于实数 $\mathrm{a}$ 的方程, 解方程即可确定实数 $\mathrm{a}$ 的值