关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2 k x+3 k=0$ 的两个相异实根均大于 -1 且小于 3 , 那么 $k$ 的取值范围是 $(\quad)$

【分析】
本题考查了抛物线与 $x$ 轴的交点: 把求二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点坐标问题转化为解关于 $x$ 的一元二次方程. 也考查了二次函数的性质. 把一元二次方程解的问题转化为抛物线与 $x$ 轴的交点问题, 则利用题意得拋物线 $y=x^{2}+2 k x+3 k$ 与 $x$ 轴的两个交点到在 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$ 之间, 利用二次函数图象得到 $x=-1$ 时, $y>0$ 和当 $x=3$ 时, $y>0$;

接着由 $3 k<0$ 确定抛物线与 $x$ 轴有 2 个交点, 然后解关于 $k$ 的不等式组确定 $k$ 的范围.

## 【解答】

解: $\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2 k x+3 k=0$ 的两个相异实根均大于 -1 且小于 3 ,

$\therefore$ 抛物线 $y=x^{2}+2 k x+3 k$ 与 $x$ 轴的两个交点到在 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$ 之间,

$\therefore 3 k<0$, 解得 $k<0$,

$\because x=-1$ 时, $y>0$,

$\therefore 1-2 k+3 k>0$, 解得 $k>-1$;

当 $x=3$ 时, $y>0$,

$\therefore 9+6 k+3 k>0$, 解得 $k>-1$,

$\therefore k$ 的范围为 $-1<k<0$.

故选 $A$.

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