如图, 在平面直角坐标系内, 矩形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 与原点重合, 点 $\mathrm{A}$ 在第二象限,点 $B$ 和点 $C$ 在第一象限, 对角线 $O B$ 的中点为点 $D$, 且点 $D, C$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$的图像上, 若点 $B$ 的纵坐标为 4 , 且 $B C: C O=\sqrt{3}: 1$, 则 $k$ 的值为 ( )

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过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{FE} \perp \mathrm{x}$ 轴, 垂足为 $\mathrm{E}$, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{EF}$, 垂足为 $\mathrm{F}$, 设点 $\mathrm{C}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$,则 $O E=a, E C=b$, 用 $a, b$ 的代数式表示 $B$ 的坐标, 点 $\mathrm{D}$ 的坐标, 继而得到 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的另外一个等式, 联立求解即可.

【详解】如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{FE} \perp \mathrm{x}$ 轴, 垂足为 $\mathrm{E}$, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{EF}$, 垂足为 $\mathrm{F}$, 设点 $\mathrm{C}(\mathrm{a}$, $\mathrm{b})$, 则 $\mathrm{OE}=\mathrm{a}, \mathrm{EC}=\mathrm{b}$,

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$\because$ 四边形 $\mathrm{OCBA}$ 是矩形, $\therefore \angle \mathrm{BCO}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{OCE}+\angle \mathrm{FCB}=90^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{FBC}+\angle \mathrm{FCB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{FBC}=\angle \mathrm{ECO}$,

$\because \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{CEO}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ECO} \sim \triangle \mathrm{FBC}$

$\therefore \frac{F B}{E C}=\frac{F C}{E O}=\frac{B C}{C O}=\sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{FB}=\sqrt{3} \mathrm{EC}=\sqrt{3} \mathrm{~b}, \mathrm{FC}=\sqrt{3} \mathrm{EO}=\sqrt{3} \mathrm{a}$,

$\because$ 点 $B$ 的纵坐标为 4 ,

$\therefore \mathrm{FC}+\mathrm{EC}=4$,

$\therefore \sqrt{3} \mathrm{a}+\mathrm{b}=4$,

过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BM} \perp \mathrm{x}$ 轴, 垂足为 $\mathrm{M}$, 过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DN} \perp \mathrm{x}$ 轴, 垂足为 $\mathrm{N}$,

则四边形 $\mathrm{BFEM}$ 是矩形， $\mathrm{BM}=4$,

$\therefore \mathrm{OM}=\mathrm{OE}-\mathrm{ME}=\mathrm{a}-\sqrt{3} \mathrm{~b}$,

$\because O B$ 的中点为点 $D$,

$\therefore \mathrm{DN}$ 是三角形 $\mathrm{OBM}$ 的中位线,

$\therefore \mathrm{DN}=2, \quad \mathrm{ON}=\frac{a-\sqrt{3} b}{2}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{D}\left(\frac{a-\sqrt{3} b}{2}, 2\right)$,

$\because$ 点 $D, C$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图像上,

$\therefore \frac{a-\sqrt{3} b}{2} \times 2=\mathrm{ab}$,

$\therefore a-\sqrt{3}(4-\sqrt{3} a)=a(4-\sqrt{3} a)$,

$\therefore a-4 \sqrt{3}+3 a=4 a-\sqrt{3} a^{2}$

$\therefore a^{2}=4$,

$\therefore \mathrm{a}=2$ 或 $\mathrm{a}=-2$,

$\because$ 点 $\mathrm{C}$ 在第一象限,

$\therefore \mathrm{a}>0$,

$\therefore \mathrm{a}=-2$ 不符合题意, 舍去,

$\therefore \mathrm{a}=2$,

$\therefore b=4-\sqrt{3} a=4-2 \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{k}=\mathrm{ab}=2(4-2 \sqrt{3})=8-4 \sqrt{3}$,

故选 A.

【点睛】本题考查了矩形的性质, 三角形的中位线定理, 三角形的相似, 互余原理, 反比例函数的性质，作垂线构造相似三角形是解题的关键.

