(6 分) 已知 $m, n$ 为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数,且满足 $(m+4)^{2}-(n+4)^{2}=16$, 求 $m^{2}+n^{2}-\frac{m}{n}$ 的值.
由题意知 $m$ 与 $n$ 互为相反数,

所以 $m+n=0$. 所以 $m=-n$.

因为 $(m+4)^{2}-(n+4)^{2}=[(m+4)+(n+4)][(m+4)-(n+4)]=(m+n+8)(m-n)=16$,

所以 $8(m-n)=16$, 即 $m-n=2$. 所以 $-n-n=2$.

所以 $n=-1, m=1$, 则 $m^{2}+n^{2}-\frac{m}{n}=1+1+1=3$.

【解析】本题利用了方程思想, 先利用平方差公式分解因式,得出关于 $m, n$ 的方程,结合已知条件求出 $m, n$ 的值, 再代入求值即可.