设边长为 $a$ 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 $h 、 r 、 R$, 则下列结论不正确的是 ( )

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解: 如图,

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$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \triangle A B C$ 的内切圆和外接圆是同心圆, 圆心为 $O$,

设 $O E=r, A O=R, A D=h$,

$\therefore h=R+r$, 故 $A$ 正确;

$\because A D \perp B C$,

$\therefore \angle D A C=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

在Rt $\triangle A O E$ 中,
$\therefore R=2 r$, 故 $B$ 正确;

$\because O D=O E=r$

$\because A B=A C=B C=a$,

$\therefore A E=\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} a$,

$\therefore\left(\frac{1}{2} a\right)^{2}+r^{2}=(2 r)^{2},\left(\frac{1}{2} a\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} R\right)^{2}=R^{2}$,

$\therefore r=\frac{\sqrt{3} a}{6}, R=\frac{\sqrt{3}}{3} a$, 故 $C$ 错误, $D$ 正确;

故选: $C$.

根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆, 设圆心为 $O$, 根据 $30^{\circ}$ 角所对的直角边是斜边的一半得: $R=2 r$; 等边三角形的高是 $R$ 与 $r$ 的和, 根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系, 等边三角形的内心与外心重合, 是三条角平分线的交点; 由等腰三角形三线合一的特殊性得出 $30^{\circ}$ 角和 $60^{\circ}$, 利用直角三角形 $30^{\circ}$ 的性质或三角函数得出 $R 、 r 、 h$ 的关系.