如图, 一个滑道由滑坡（ $A B$ 段）和缓冲带（ $B C$ 段）组成, 如图所示, 滑雪者在滑坡上滑行的距离 $y_{1}$ (单位: m) 和滑行的时间 $t_{1}$ （单位： $s$ ）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离 $y_{2}$ (单位: m), 和在缓冲带上滑行时间 $t_{2}$ (单位: s) 满足: $y_{2}=56 t_{2}-2 t_{2}{ }^{2}$, 滑雪者从 $A$ 出发在缓冲带 $B C$ 上停止, 一共用了 $24 \mathrm{~s}$, 则滑坡 $A B$ 的长度为 $(\quad)$

| 滑行时间 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 滑行距离 | 0 | 4.5 | 14 | 28.5 | 48 |


由滑行时间为 0 时, 滑行距离为 0 可得 $c=0$, 故设 $y_{1}=a t_{1}^{2}+b t_{1}$, 取两组数据代入,求出解析式, 滑雪者在 $B C$ 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时, 由此求出滑雪者在 $B C$ 段的滑行时间, 即可得出在 $A B$ 段的滑行时间, 最后代入函数解析式求出 $A B$ 段的长度即可.

【详解】解：由滑行时间为 0 时, 滑行距离为 0 可得 $c=0$,

$\therefore$ 设 $y_{1}=a t_{1}^{2}+b t_{1}$ ，

取两组数据代入可得: $\left\{\begin{array}{l}4.5=a+b \\ 14=4 a+2 b\end{array}\right.$ ，

解得: $\left\{\begin{array}{l}a=2.5 \\ b=2\end{array}\right.$,

$\therefore y_{1}=2.5 t_{1}^{2}+2 t_{1}$

滑雪者在缓冲带 $B C$ 上滑行时间为: $t_{2}=-\frac{b}{2 a}=14 \mathrm{~s}$,

$\therefore$ 滑雪者在滑坡 $A B$ 上滑行时间为: $24-14=10 \mathrm{~s}$,

令 $t_{1}=10, y_{1}=2.5 \times 10^{2}+2 \times 10=270$,

$\therefore$ 滑坡 $A B$ 的长度为 270 米.

故选: D.

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用, 滑雪者在 $B C$ 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时, 由此求出滑雪者在 $B C$ 段的滑行时间是解题关键.

