21. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 $A(2,0)$;

答案: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形, 且焦点到同侧顶点的距离为 $\sqrt{3}$.

答案: $\quad \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{12}=1$ ，
: 解答: (1)若椭圆的焦点在 $x$ 轴上, 设方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,

$\because$ 椭圆过点 $A(2,0), \therefore \frac{4}{a^{2}}=1, a=2, \because 2 a=2 \cdot 2 b, \quad \therefore b=1, \quad \therefore$ 方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

若椭圆的焦点在 $y$ 轴上, 设粗圆方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), \because$ 椭圆过点 $A(2,0), \therefore \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}$ $=1, \quad \therefore b=2,2 a=2 \cdot 2 b, \quad \therefore a=4, \quad \therefore$ 方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

综上所述, 粗圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$; (2)由已知 $\left\{\begin{array}{l}a=2 c \\ a-c=\sqrt{3}\end{array}, \therefore\left\{\begin{array}{l}a=2 \sqrt{3} \\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$.从而 $b^{2}=9$,

$\therefore$ 所求椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{12}=1$,

分析：根据粗圆的标准方程的分情况讨论, 焦点在 $x$ 轴和在 $y$ 轴上, 即可.