某种产品的原料提价, 因而厂家决定对产品提价, 现有3种方案: (1)第一次提价 $m \%$,第二次提价 $n \%$; (2)第一次提价 $n \%$, 第二次提价 $m \%$; (3)第一次、第二次提价均为 $\frac{m+n}{2} \%$, 其中 $m$ 和 $n$ 是不相等的正数, 下列说法正确的是( )

【答案】 $C$

【解析】

【分析】

此题考查了列代数式、整式混合运算的应用, 利用的方法为作差法, 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

根据各方案中的提价百分率, 分别表示出提价后的单价, 得到方案1: $a(1+m)(1+n)$;方案 2 : $a(1+n)(1+m)$; 方案 $3: a\left(1+\frac{m+n}{2}\right)^{2}$, 方案 1 和 2 显然相同, 用方案 3 的单价减去方案1的单价, 提取 $a$, 利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简, 去括号合并后再利用完全平方公式变形, 根据 $m$ 不等于 $n$ 判定出其差为正数, 可得出 $a(1+$ $\left.\frac{m+n}{2}\right)^{2}>a(1+m)(1+n)$, 进而确定出方案 3 的提价多.

【解答】

解: 设某种产品的原料价为 $a$, 则

方案1: $a(1+m)(1+n)$; 方案 $2: a(1+n)(1+m)$; 方案 $3: a\left(1+\frac{m+n}{2}\right)^{2}$,

显然方案1、2结果相同,

$$
\begin{aligned}
& a\left(1+\frac{m+n}{2}\right)^{2}-a(1+n)(1+m) \\
& =a\left[1+m+n+\left(\frac{m+n}{2}\right)^{2}-(1+n+m+m n)\right] \\
& =a\left(1+m+n+\frac{m^{2}+2 m n+n^{2}}{4}-1-n-m-m n\right) \\
& =a\left(\frac{m^{2}+2 m n+n^{2}}{4}-m n\right) \\
& =a \cdot \frac{m^{2}-2 m n+n^{2}}{4}
\end{aligned}
$$

$=a \cdot \frac{(m-n)^{2}}{4}$,

$\because m \neq n$,

$\therefore \frac{(m-n)^{2}}{4}>0$,

$\therefore a \cdot \frac{(m-n)^{2}}{4}>0$
$\therefore a\left(1+\frac{m+n}{2}\right)^{2}>a(1+n)(1+m)$,

$\therefore$ 提价最多的是方案3.

故选: $C$.