如图, $\angle A O B=90^{\circ}, O B$ 是 $\angle C O D$ 的平分线, $O E$ 为 $C O$ 的延长线.

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(1) 当 $\angle A O C=50^{\circ}$ 时, 求 $\angle D O E$ 的度数;

(2) 当 $\angle D O E=140^{\circ}$ 时, 求 $\angle A O C$ 的度数;

(3) 通过 (1) (2) 的计算, 直接写出 $\angle A O C$ 和 $\angle D O E$ 之间的数量关系.
(3)

解：根据 (1) (2) 可知: $\angle D O E=2 \angle A O C$, 理由如下

$\because \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}-\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{AOC}$

$\because O B$ 是 $\angle C O D$ 的平分线,

$\therefore \angle \mathrm{COD}=2 \angle \mathrm{BOC}=2\left(90^{\circ}-\angle \mathrm{AOC}\right)=180^{\circ}-2 \angle \mathrm{AOC}$

$\therefore \angle \mathrm{DOE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \angle \mathrm{AOC}\right)=2 \angle A O C$.