10.【四川省资阳市 2017 级高三 (2020 届) 第一次诊断性考试数学 (理科)】

在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $b \sin A=a \sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)$.

(1) 求角 $B$ 的大小;

(2) 求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围.
（1）由 $b \sin A=a \sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)$, 根据正弦定理, 有 $\sin B \sin A=\sin A \sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)$,

即有 $\sin B=\sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \sin B+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B$, 则有 $\tan B=\sqrt{3}$, 又 $0<B<\pi$, 所以, $B=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由(1), $B=\frac{\pi}{3}$, 则 $A+C=\frac{2 \pi}{3}$, 又 $\triangle A B C$ 为锐角三角形,

所以, $0<A<\frac{\pi}{2}$ 且 $0<\frac{2 \pi}{3}-A<\frac{\pi}{2}$, 所以 $\frac{\pi}{6}<A<\frac{\pi}{2}$, 于是 $\tan A>\frac{\sqrt{3}}{3}$.
则 $\frac{C}{a}=\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{\sin \left(\frac{2 \pi}{3}-A\right)}{\sin A}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A+\frac{1}{2} \sin A}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{2 \tan A}+\frac{1}{2}<2$.

又 $\frac{\sqrt{3}}{2 \tan A}+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}$, 所以, $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$.