(12 分) 定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足: (1) $f(0) \neq 0$; (2)当 $x>0$ 时, $f(x)>1$; (3)对任意实数 $x, y$ 都有 $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$.

(1) 证明: 当 $x<0$ 时, $0<f(x)<1$;

(2) 判断 $f(x)$ 在 $R$ 上的单调性;

(3) 解不等式 $f(x) \cdot f\left(2 x-x^{2}\right)>1$.
【分析】

（1）赋值法可直接求出结果;

（2）利用单调性得定义即可判断;

（3）根据题意原不等式等价于 $f\left(3 x-x^{2}\right)>f(0)$, 然后利用函数得单调性解不等式即可.

## 【详解】

（1）令 $x=y=0$, 则 $f(0)=[f(0)]^{2}$, 又 $f(0) \neq 0$, 所以 $f(0)=1$.

当 $x<0$ 时, $-x>0$, 在 $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ 中, 令 $y=-x$,

则 $f(0)=f(x) \cdot f(-x)$, 所以 $f(-x)=\frac{1}{f(x)}>1$, 又因为 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 故 $0<f(x)<1$.

(2) 设 $x_{1}, x_{2} \in R$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{2}-x_{1}>0$, 所以 $f\left(x_{2}-x_{1}\right)>1$ 且 $f\left(x_{1}\right)>0$.

于是 $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{2}-x_{1}+x_{1}\right)=f\left(x_{2}-x_{1}\right) \cdot f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{1}\right)$, 故 $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数.

(3) 由题意知 $f(x) \cdot f\left(2 x-x^{2}\right)=f\left(3 x-x^{2}\right)$, 所以原不等式等价于 $f\left(3 x-x^{2}\right)>f(0)$.

由 (2), $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数得到, $3 x-x^{2}>0,0<x<3$, 故此不等式的解集是 $(0,3)$.