29. (2013 新课标 II ) $\triangle A B C$ 在内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a=b \cos C+c \sin B$.

(I) 求 $B$;

(II) 若 $b=2$, 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值.
( I) 因为 $a=b \cos C+c \sin B$, 所以由正弦定理得: $\sin A=\sin B \cos C+\sin C \sin B$,所以 $\sin (B+C)=\sin B \cos C+\sin C \sin B$,即 $\cos B \sin C=\sin C \sin B$, 因为 $\sin C \neq 0$, 所以 $\tan B=1$, 解得 $B=\frac{\pi}{4}$; ( II ) 由余弦定理得: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos \frac{\pi}{4}$, 即 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c$, 由不等式得: $a^{2}+c^{2} \geq 2 a c$,当且仅当 $a=c$ 时, 取等号, 所以 $4 \geq(2-\sqrt{2}) a c$, 解得 $a c \leq 4+2 \sqrt{2}$, 所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{1}{2} a c \sin \frac{\pi}{4} \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \times(4+2 \sqrt{2})=\sqrt{2}+1$, 所以 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}+1$.