29. (2019 江苏 15) 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$.

(1) 若 $a=3 c, b=\sqrt{2}, \cos B=\frac{2}{3}$, 求 $c$ 的值;

(2) 若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$, 求 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)$ 的值.
(1) 由余弦定理 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$, 得 $\frac{2}{3}=\frac{(3 c)^{2}+c^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{2 \times 3 c \times c}$, 即 $c^{2}=\frac{1}{3}$. 所以 $c=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(2) 因为 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$, 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 得 $\frac{\cos B}{2 b}=\frac{\sin B}{b}$, 所以 $\cos B=2 \sin B$.

从而 $\cos ^{2} B=(2 \sin B)^{2}$, 即 $\cos ^{2} B=4\left(1-\cos ^{2} B\right)$, 故 $\cos ^{2} B=\frac{4}{5}$.

因为 $\sin B>0$, 所以 $\cos B=2 \sin B>0$, 从而 $\cos B=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

因此 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)=\cos B=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.