已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若存在 $m \in \mathbf{N}^{*}$, 满足 $\frac{S_{2 m}}{S_{m}}=9, \frac{a_{2 m}}{a_{m}}=\frac{5 m+1}{m-1}$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为( )
设公比为 $q$, 若 $q=1$, 则 $\frac{S_{2 m}}{S_{m}}=2$, 与题中条件矛盾, 故 $q \neq 1 . \because \frac{S_{2 m}}{S_{m}}=\frac{\frac{a_{1}\left(1-q^{2 m}\right)}{1-q}}{\frac{a_{1}\left(1-q^{m}\right)}{1-q}}=q^{m}+1=9$,

$\therefore q^{m}=8 . \therefore \frac{a_{2 m}}{a_{m}}=\frac{a_{1} q^{2 m^{-1}}}{a_{1} q^{m^{-1}}}=q^{m}=8=\frac{5 m+1}{m-1}, \quad \therefore m=3, \quad \therefore q^{3}=8, \quad \therefore q=2$.