(8 分）某家禽养殖场, 用总长为 $200 \mathrm{~m}$ 的围栏靠墙（墙长为 $65 \mathrm{~m}$ ）围成如图所示的三块矩形区域, 矩形 $E A G H$ 与矩形 $H G B F$ 面积相等, 矩形 $E A G H$ 面积等于矩形 $D E F C$面积的二分之一, 设 $A D$ 长为 $x(\mathrm{~m})$, 矩形区域 $A B C D$ 的面积为 $y\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$.

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式, 并写出自变量 $x$ 的取值范围;

(2)当 $x$ 为何值时, $y$ 有最大值, 最大值是多少.

(3)现需要在矩形 $E A G H$ 和矩形 $D E F C$ 区域分别安装不同种类的养殖设备, 单价分别为 40 元/平方米和 20 元/平方米, 若要使安装成本不超过 30000 元, 请直接写出 $x$ 的取值范围.

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(1) 根据题意可得 $A E=D E=H G=B F=C F=\frac{1}{2} x$, 则 $D C=100-\frac{5}{4} x$, 最后根据矩形面积公式, 即可进行解答;

（2）将（1）中得到的表达式化为顶点式, 即可进行解答;

(3) 先分别求出矩形 $E A G H$ 和矩形 $D E F C$ 的面积, 再求出总费用 $w$, 结合 $w$ 关于 $x$ 的函数图象, 即可得出 $x$ 的取值范围.
【详解】(1) 解: 题意得, $A E=D E=H G=B F=C F=\frac{1}{2} x$,

$D C=\left(200-\frac{5}{2} x\right) \div 2=100-\frac{5}{4} x$.

$\therefore y=A D \times D C=\left(100-\frac{5}{4} x\right) x$.

$\therefore y=-\frac{5}{4} x^{2}+100 x(28 \leq x<80)$.

（2）解: $y=-\frac{5}{4} x^{2}+100 x=-\frac{5}{4}(x-40)^{2}+2000$

$\because-\frac{5}{4}<0$, 开口向下, 对称轴 $x=40$ 且 $28 \leq x<80$,

$\therefore$ 当 $x=40$ 时, $y$ 有最大值, $y_{\text {筸 }}=2000$ （元）

（3）解: 矩形 $D E F C=C D \cdot D E=\frac{1}{2} x \cdot\left(100-\frac{5}{4} x\right)=-\frac{5}{8} x^{2}+50 x$,

矩形 $E A G H$ 面积 $=\frac{1}{2} S_{\text {矩形 } D E F C}=-\frac{5}{16} x^{2}+25 x$,

$\therefore\left(-\frac{5}{8} x^{2}+50 x\right) \times 20+\left(-\frac{5}{16} x^{2}+25 x\right) \times 40 \leq 30000$,

整理得: $x^{2}-80 x+1200 \geq 0$,

设 $w=x^{2}-80 x+1200$,

如图, 画出 $w$ 关于 $x$ 的函数图象.

<ImageHere>

由图可知, 当 $x \leq 20$ 或 $x \geq 60$ 时, $w=x^{2}-80 x+1200 \geq 0$,

$\because 28 \leq x<80$,

$\therefore 60 \leq x<80$.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质, 解题的关键是正确理解题意, 根据题意得出表达式, 熟练掌握二次函数相关知识点, 并灵活运用.

