如图, 矩形 $A O B C$ 的面积为 4 , 反比例函数 $y=\frac{k}{y}$ 的图像的一支经过矩形对角线的交点 $P$, 则该反比例函数的解析式是 $(\quad)$
过点 $P$ 作 $P E \perp x$ 轴, $P F \perp y$ 轴, 如图,

<ImageHere>

$\because$ 点 $P$ 为矩形 $A O B C$ 对角线的交点,

$\therefore$ 矩形 $O E P F$ 的面积 $=\frac{1}{4}$ 矩形 $A O B C$ 的面积 $=\frac{1}{4} \times 4=1$,

$\therefore|k|=1$,

而 $k>0$,

$\therefore k=1$

$\therefore$ 过 $P$ 点的反比例函数的解析式为 $y=\frac{1}{x}$.

故选 $D$.