已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\lg (-x)| x<0 \\ x^{2}-6 x+4, x \geq 0,\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2}(x)-b f(x)+1=0$ 有 8 个不同根, 则实数 $b$ 的取值范围是
函数 $f(x)$ 的图像如图所示,

<ImageHere>

因为 $x^{2}-6 x+4=(x-3)^{2}-5$,

所以关于 $x$ 的方程 $f^{2}(x)-b f(x)+1=0$ 在 $(0,4]$ 上有 2 个根.

令 $t=f(x)$, 则方程 $t^{2}-b t+1=0$ 在 $(0,4]$ 上有 2 个不同的正解,

所以 $\left\{\begin{array}{l}0<\frac{b}{2}<4 \\ \Delta=b^{2}-4>0 \\ f(4)=16-b+1 \geq 0 \\ f(0)=1>0\end{array}\right.$, 解得 $2<b \leq \frac{17}{4}$.

【分析】利用分段函数的图象结合换元法, 再利用一元二次方程中的判别式法和正解与在端点处的函数值的关系, 从而利用交集的运算法则结合数轴, 从而求出实数 $\mathrm{b}$ 的取值范围。

三、解答题