如图所示, 摩天轮的半径为 $40 \mathrm{~m}, O$ 点距地面的高度为 $50 \mathrm{~m}$, 摩天轮作匀速转动, 每 $2 \mathrm{~min}$ 转一圈, 摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点.

(1) 试确定在时刻 $t \min$ 时 $P$ 点距离地面的高度;

(2) 在摩天轮转动一圈内, 有多长时间 $P$ 点距离地面超过 $70 \mathrm{~m}$.

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建立如图所示的平面直角坐标系,

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(1) 设 $\varphi(0 \leq \varphi \leq 2 \pi)$ 是以 $O x$ 为始边, $O P_{0}$ 为终边的角,

$O P$ 在 $t \min$ 内转过的角为 $\frac{2 \pi}{2} t$, 即 $\pi$,

$\therefore$ 以 $O x$ 为始边, $O P$ 为终边的角为 $\pi t+\varphi$, 即 $P$ 点纵坐标为 $40 \sin (\pi t+\varphi)$,

$\therefore P$ 点距地面的高度为 $z=50+40 \sin (\pi t+\varphi)(0 \leq \varphi \leq 2 \pi)$,

由题可知, $\varphi=\frac{\pi}{2}, \therefore z=50+40 \cos \pi t$.

(2) 当 $50+40 \cos \pi t \geq 70$ 时, 解得 $2 k-\frac{1}{3} \leq t \leq 2 k+\frac{1}{3}, k \in \mathbf{Z}$,

持续时间为 $\frac{2}{3} \mathrm{~min}$ 即在摩天轮转动一圈内, 有 $\frac{2}{3} \mathrm{~min}$ 点距离地面超过 $70 \mathrm{~m}$.