设 $\alpha, \beta \in(0, \pi)$, 且 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{5}{13}, \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}$, 则 $\cos \beta$ 的值为
因为 $\tan \alpha=\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{3}>0$, 所以 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos \alpha=\frac{3}{5}$,

因为 $\sin \alpha>\sin (\alpha+\beta)>0$ 而 $\alpha, \beta \in(0, \pi)$, 所以 $\alpha+\beta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,

又 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$, 所以 $\cos (\alpha+\beta)=-\frac{12}{13}$,

因此 $\cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\beta]=\cos (\alpha+\beta) \cos \beta+\sin (\alpha+\beta) \sin \beta=-\frac{16}{65}$, 答案为 $-\frac{16}{65}$.