11.已知 $\sin x+\sin y=\frac{1}{3}$,
求 $\mu=\sin y-\cos ^{2} x$ 的最值.
$\sin x+\sin y=\frac{1}{3}$,

所以 $\sin y=\frac{1}{3}-\sin x$,

则 $\mu=\sin y-\cos ^{2} x=\frac{1}{3}-\sin x-\cos ^{2} x$

$=\frac{1}{3}-\sin x-\left(1-\sin ^{2} x\right)$

$=\sin ^{2} x-\sin x-\frac{2}{3}$

$=\left(\sin x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{11}{12}$.

又因为 $-1 \leqslant \sin y \leqslant 1$, 则 $-1 \leqslant \frac{1}{3}-\sin x \leqslant 1$, 结合 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$, 解得 $-\frac{2}{3} \leqslant \sin x \leqslant 1$,

故当 $\sin x=-\frac{2}{3}$ 时, $\mu_{\text {max }}=\frac{4}{9}$,

当 $\sin x=\frac{1}{2}$ 时, $\mu_{\min }=-\frac{11}{12}$.