已知 $x+y=1$ ，那么 $2 x^{2}+3 y^{2}$ 的最小值是( )
解析:解答:

$$
2 x^{2}+3 y^{2}=\left[(\sqrt{2} x)^{2}+(\sqrt{3} y)^{2}\right]\left[(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}\right] \times \frac{1}{5}
$$

$\geq \frac{1}{5}(\sqrt{6} x+\sqrt{6} y)^{2}=\frac{6}{5}(x+y)^{2}=\frac{6}{5}$.
当且仅当 $2 x=3 y 2 x=3 y$, 即 $x=\frac{2}{5}, y=\frac{2}{5}$ 时等号成立.

分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.