设函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$, 则 $f(x)(\quad)$
【详解】

因为函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 其关于原点对称, 而 $f(-x)=-f(x)$,所以函数 $f(x)$ 为奇函数.

又因为函数 $y=x^{3}$ 在 $0,+\infty$ 上单调递增, 在 $-\infty, 0$ 上单调递增,

而 $y=\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}$ 在 $0,+\infty$ 上单调递减, 在 $-\infty, 0$ 上单调递减,

所以函数 $f(x)=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}$ 在 $0,+\infty$ 上单调递增, 在 $-\infty, 0$ 上单调递增.

故选: A.

【点睛】

本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质, 属于基础题.