已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$, 其一条渐近线方程为 $y=x$, 点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上, 则 $\overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=(\quad)$
(A) -12
(B)-2
(C)0
(D) 4

答案: C

解析: 解答: 由题意: $\frac{b}{\sqrt{2}}=1, \therefore b=\sqrt{2}, \therefore$ 双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$

$\because$ 点 $\mathrm{P}\left(\sqrt{3}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在该双曲线上, $\therefore \frac{3}{2}-\frac{\mathrm{y}_{0}{ }^{2}}{2}=1, \therefore \mathrm{y}_{0}= \pm 1$,
$\therefore \mathrm{P}(\sqrt{3}, \pm 1)$, 又 $\mathrm{F}_{1}(-2,0), \mathrm{F}_{2}(2,0), \therefore \overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}}_{2}=(-2-\sqrt{3},-1) \cdot(2-\sqrt{3},-1)=-1+1=0$,

或 $\overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=(-2-\sqrt{3}, 1) \cdot(2-\sqrt{3}, 1)=-1+1=0 . \therefore \overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=0$. 故选 $\mathrm{C}$

分析: 根据双曲线的渐近线方程求出 $\mathrm{b}$ 的值, 然后把 $\mathrm{P}$ 点坐标求出来, 再利用数量积的运算律计算.

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线分别交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 $2, \triangle A O B$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $p=(\quad)$
解析：解答:

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