若 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, 且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列, $S_{2}=4$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $b_{n}=\frac{3}{a_{n} a_{n+1}}, T_{n}$ 是数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, 求使得 $T_{n}<\frac{m}{20}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 都成立的最小正整数 $m$.
答案: (1) 因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $a_{1}$, 公差为 $d(d \neq 0)$, 所以 ${ }_{1}=a_{1}, S_{2}=2 a_{1}+d, S_{4}=4 a_{1}+6 d$. 又因为 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列, 所以 $a_{1} \cdot\left(4 a_{1}+6 d\right)=\left(2 a_{1}+d\right)^{2}$. 所以 $2 a_{1} d=d^{2}$.

因为公差 $\mathrm{d}$ 不等于 0 , 所以 $d=2 a_{1}$. 又因为 $S_{2}=4$, 所以 $a_{1}=1, d=2$, 所以 $a_{n}=2 n-1$.

(2) 因为 $b_{n}=\frac{3}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$,

所以 $T_{n}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right) T_{n}=\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{2 n+1}\right)<\frac{3}{2}$.

要使 $T_{n}<\frac{m}{20}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 都成立, 则有 $\frac{m}{20} \geq \frac{3}{2}$, 即 $m \geq 30$. 因为 $m \in N^{*}$, 所以 $\mathrm{m}$ 的最小值为 30 .