已知实数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c} 、 \mathrm{~d}$ 满足 $a+b=c+d=1, a c+b d>1$, 求证 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c} 、 \mathrm{~d}$ 中至少有一个是负数.
答案：【解析】假设 a, b, c, d 中至少有一个负数不成立,

即 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 都为非负数, 即 $\mathrm{a} \geq 0, \mathrm{~b} \geq 0, \mathrm{c} \geq 0, \mathrm{~d} \geq 0$.

因为 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1, \mathrm{c}+\mathrm{d}=1$, 所以 $(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{d})=1$,

即 $\left.(\mathrm{ac}+\mathrm{bd})+(\mathrm{bc}+\mathrm{ad})=1 .{ }^{*}\right)$

因为 a, b, c, d 均为非负数, 所以 $\mathrm{bc}+\mathrm{ad} \geq 0$.

由(*)式可以知道 $\mathrm{ac}+\mathrm{bd} \leq 1$. 这与已知条件中的 $\mathrm{ac}+\mathrm{bd}>1$ 矛盾, 所以假设不成立.

$\mathrm{A}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$ 中至少有一个负数.

【分析】利用反证法进行证明, 假设 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c} 、 \mathrm{~d}$ 都是非负数, 找出矛盾即可.

21.答案: (1) 【解析】因为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 为正实数, 要证 $\frac{x}{2 x+y}+\frac{y}{x+2 y} \leq \frac{2}{3}$,只要证 $\frac{x(x+2 y)+y(2 x+y)}{(2 x+y)(x+2 y)} \leq \frac{2}{3}$,
即证 $3 x^{2}+12 x y+3 y^{2} \leq 2(2 x+y)(x+2 y) ，$

即证 $x^{2}-2 x y+y^{2} \geq 0$, 即证 $(x-y)^{2} \geq 0$ 显然成立,

所以原不等式成立;

（2）【解析】假设 $\mathrm{a} ， \mathrm{~b} ， \mathrm{c}$ 都小于等于 0 ，则 $a+b+c \leq 0$,

又由 $a=x^{2}-2 y+\frac{1}{3}, \quad b=y^{2}-2 z+3, \quad c=z^{2}-2 x+\frac{1}{6}$

得: $\quad a+b+c=x^{2}-2 y+\frac{1}{3}+y^{2}-2 z+3+z^{2}-2 x+\frac{1}{6}=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+\frac{1}{2}>0$,

这与 $a+b+c \leq 0$ 矛盾，

所以假设不成立, 所以原命题成立.

【分析】(1) 由分析法证明即从结论出发，欲证原不等式成立，只需对其整理化简后的不等式成立，再由完全平方式的性质得证; (2) 假设命题的反面成立, 由其相加配方为完全平方式证得与已知矛盾，即可说明假设不成立，原命题成立.