(12 分) 我国为全面建设社会主义现代化国家, 制定了从 2021 年到 2025 年的 “十四五”规划. 某企业为响应国家号召, 汇聚科研力量, 加强科技创新, 准备增加研发资金. 现该企业为了了解年研发资金投入额 $x$ (单位: 亿元) 对年盈利额 $y$ (单位: 亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近 10 年年研发资金投入额 $x_{i}$ 和年盈利额 $y_{i}$ 的数据. 通过对比分析, 建立了两个函数模型: (1) $y=\alpha+eta x^{2}$, (2) $y=e^{\lambda x+t}$, 其中 $\alpha, eta, \lambda, t$ 均为常数, $e$ 为自然对数的底数.令 $u_{i}>x_{i}^{2}, v_{i}=\ln y_{i}(i=1,2, \cdots, 10)$, 经计算得如下数据:| $ar{x}$ | $ar{y}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-ar{x}
ight)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(y_{i}-ar{y}
ight)^{2}$ | $ar{u}$ | $ar{v}$ || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 26 | $21=$ | 65 | 2 | 680 | 5.36 || $\sum_{i=1}^{10}\left(u_{i}-ar{u}
ight)^{2}$ |  | $-ar{u})\left(y_{i}-ar{y}
ight)$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(v_{i}-ar{v}
ight)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-ar{x}
ight)\left(v_{i}-ar{v}
ight)$ |  || 11250 |  | 130 | 26 | 12 |  |(1) 请从相关系数的角度, 分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（i）根据（1）的选择及表中数据, 建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程;（系数精确到0.01)(ii) 若希望 2021 年盈利额 $y$ 为 250 亿元, 请预测 2021 年的研发资金投入额 $x$ 为多少亿元？（结果精确到0.01）附: (1)相关系数 $r=rac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-ar{x}
ight)\left(y_{i}-ar{y}
ight)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-ar{x}
ight)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-ar{y}
ight)^{2}}}$, 回归直线 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b} x$ 中:$\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-ar{x}
ight)\left(y_{i}-ar{y}
ight)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-ar{x}
ight)^{2}}, \hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}$(2)参考数据: $\ln 2 \approx 0.693, \ln 5 \approx 1.609$.
(1) 根据散点图判断, $y=c \cdot d^{x}$ 适宜作为非原料总成本 $y$ 关于生产该产品的数量 $x$ 的回归方程类型.(2) 由 $y=c \cdot d^{x}$, 两边同时取常用对数得 $\lg y=\lg \left(c \cdot d^{x}
ight)=\lg c+x \lg d$.设 $\lg y=v, 	herefore v=\lg c+x \lg d ，$$ecause ar{x}=4, ar{v}=1.54, \sum_{i=1}^{7} x_{i}^{2}=140$,$	herefore \lg d=rac{\sum_{i=1}^{7} x_{i} v_{i}-7 \overline{x v}}{\sum_{i=1}^{7} x_{i}^{2}-7 ar{x}^{2}}=rac{50.12-7 	imes 4 	imes 1.54}{140-7 	imes 4^{2}}=rac{7}{28}=0.25$.把 $(4,1.54)$ 代入 $ar{v}=\lg c+ar{x} \lg d$, 得 $\lg c=0.54$ ，$	herefore \hat{v}=0.54+0.25 x, \quad 	herefore \lg \hat{y}=0.54+0.25 x$,$	herefore \hat{y}=10^{054+0.25 x}=3.47 	imes 10^{025 x}$,即 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y}=3.47 	imes 10^{025 x}$.(3) 设生产了 $x$ 千件该产品. 则生产总成本为 $g(x)=3.47 	imes 10^{0.25 x}+x 	imes 10 	imes 1000$.又 $g(x)=3.47 	imes 10^{0.25 x}+10000 x$ 在其定义域内单调递增, 且 $g(12)=3.47 	imes 10^{3}+120000=123470$,故最多能生产 12 千件产品.