(12 分) 设复数.

(1) 若 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限, 求 $m$ 的取值范围;

(2) 若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $x-y-1=0$ 上, 求 $m$ 的值.

(1) 求复数 $z$;

(2) 设 $z, z^{2}, z-z^{2}$ 在复平面上对应点分别为 $A, B, C$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
(1) 由已知得 $\left\{egin{array}{l}\log _{2}(1+m)<0 	ext { (1) } \ \log _{rac{1}{2}}(3-m)<0 	ext { (2) }\end{array}
ight.$由(1)得 $-1<m<0$, 由(2)得 $m<2$,故不等式组的解集为 $\{m \mid-1<m<0\}$,因此 $m$ 的取值范围是 $\{m \mid-1<m<0\}$(2) 由已知得, 点 $\left(\log _{2}(1+m), \log _{rac{1}{2}}(3-m)
ight)$ 在直线 $x-y-1=0$ 上,即, 整理得 $\log _{2}(1+m)(3-m)=1$,从而 $(1+m)(3-m)=2$, 即 $m^{2}-2 m-1=0$, 解得 $m=1 \pm \sqrt{2}$,经验证得, 当 $m=1 \pm \sqrt{2}$ 时, 都能使 ${ }^{1+m>0}$, 且 ${ }^{3-m>0}$,所以 $m=1 \pm \sqrt{2}$.