装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要 $A 、 B$ 型板材若干块, $A$ 型板材规格是 $a \times b$, $B$ 型板材规格是 $b \times b$. 现只能购得规格是 $150 \times b$ 的标准板材. (单位: $\mathrm{cm}$ )

(1)若设 $a=60 \mathrm{~cm}, b=30 \mathrm{~cm}$.一张标准板材尽可能多的裁出 $A$ 型、 $B$ 型板材, 共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图.

|  | 裁法一 | 裁法二 | 裁法三 |
| :--- | :---: | :--- | :--- |
| $A$ 型板材块数 | 1 | 2 | 0 |
| $B$ 型板材块数 | 3 | $m$ | $n$ |

则表中, $m=$ $\qquad$ , $n=$ ; $\qquad$
(2)为了装修的需要, 小明家又购买了若干 $C$ 型板材, 其规格是 $a \times a$, 并做成如图 2 的背景墙. 请写出图中所表示的等式: $\qquad$ ;

(3)若给定一个二次三项式 $2 a^{2}+5 a b+3 b^{2}$, 试用拼图的方式将其因式分解. (请仿照(2)在几何图形中标上有关数量)

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2
【答案】 $15(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$

【解析】解：(1)根据题意得, $2 \times 60 \times 30+30^{2} \mathrm{~m}=150 \times 30,30^{2} n=150 \times 30$解得, $m=1, n=5$,

故答案为: 1 ; 5 ;

(2) $\because$ 正方形的边长为 $(a+2 b)$,

$\therefore$ 正方形的面积为 $(a+2 b)^{2}$;

$\because$ 正方形的面积等于各部分面积和 $=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

$\therefore(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$,

故答案为: $(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

(3)画出矩形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 如图,

<ImageHere>

由图形可知, $2 a^{2}+5 a b+3 b^{2}=(2 a+3 b)(a+b)$.

(1)根据矩形的面积列出 $m$ 或 $n$ 的方程, 再解答便可;

(2)用正方形的面积公式表示出图形的面积, 用各部分面积和表示出图形的面积, 进而用等式表示出相等关系便可;

(3)仿样例画出长方形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 结合图形便可得出结果.

本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列出方程.