(12 分) 设 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ ，问:

(1) $a, b$ 满足什么条件时, $\frac{z}{1+z}$ 是实数;

(2) $a, b$ 满足什么条件时, $\frac{z}{1+z^{2}}$ 是实数.
(1) $rac{z}{1+z}=rac{a+b \mathrm{i}}{a+1+b \mathrm{i}}=rac{(a+b \mathrm{i})(a+1-b \mathrm{i})}{(a+1+b \mathrm{i})(a+1-b \mathrm{i})}$=rac{a(a+1)-a b \mathrm{i}+a b \mathrm{i}+b \mathrm{i}-b^{2} \mathrm{i}^{2}}{(a+1)^{2}-b^{2} \mathrm{i}^{2}}=rac{a^{2}+a+b^{2}+b \mathrm{i}}{(a+1)^{2}+b^{2}}$$=rac{a^{2}+a+b^{2}}{(a+1)^{2}+b^{2}}+rac{b i}{(a+1)^{2}+b^{2}}$.若 $rac{z}{1+z}$ 是实数, 则 $rac{b}{(a+1)^{2}+b^{2}}=0$ 且 $(a+1)^{2}+b^{2} 
eq 0$, 解得 $b=0$ 且 $a 
eq-1$,所以 $b=0$ 且 $a 
eq-1$ 时, $rac{z}{1+z}$ 是实数.(2) 若 $rac{z}{1+z^{2}}$ 是实数, 则 $rac{z}{1+z^{2}}=\overline{\left(rac{z}{1+z^{2}}
ight)}$, 即 $rac{z}{1+z^{2}}=rac{ar{z}}{1+z^{2}}$,所以 $z+z ar{z}^{2}=ar{z}+z^{2} ar{z}$, 即 $(z-ar{z})(1-z ar{z})=0$, 解得 $z=ar{z}$ 或 $|z|=1$,所以 $a+b \mathrm{i}=a-b \mathrm{i}$, 或 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=1$, 解得 $b=0$ 或 $a^{2}+b^{2}=1(a 
eq 0)$ ，所以 $b=0$ 或 $a^{2}+b^{2}=1(a 
eq 0)$ 时, $rac{z}{1+z^{2}}$ 是实数.<ImageHere>