（2021 春・于洪区期末）数学活动课上, 张老师准备了若干个如图(1)的三种纸片, $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形, $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形, $C$ 种纸片是长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形, 并用 $A$ 种纸片一张, $B$ 种纸片一张, $C$ 种纸片两张拼成如图(2)的大正方形.

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图(1)

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图(2)

(1) 观察图(2), 写出代数式 $(a+b)^{2}, a^{2}+b^{2}, a b$ 之间的等量关系是 \$ \qquad \$
(2) 根据 (1) 中的等量关系, 解决下列问题; (1) 已知 $a+b=4, a^{2}+b^{2}=10$, 求 $a b$ 的值; (2) 已知 ( $x$ $-2021)^{2}+(x-2019)^{2}=130$, 直接写出 $x-2020$ 的值.

【思路点拨】 (1) 图形(2)是边长为 $(a+b)$ 的正方形, 它的面积由一个边长为 $a$ 的正方形和一个边长为 $b$ 的正方形以及两个长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形组合而成, 由此结论可得;

(2) (1)把 $a+b=4$ 进行平方, 结合 $a^{2}+b^{2}=10$ 即可求得 $a b$ 的值;

(2)设 $x-2020=a$, 则 $x-2021=a-1, x-2019=a+1$ 则有 $(a-1)^{2}+(a+1)^{2}=130$, 进行整理可得 $a^{2}=64$, 从而求出所求.

【答案】解: (1) $\because$ 图形(2)是边长为 $(a+b)$ 的正方形, $\therefore S=(a+b)^{2}$.

$\because$ 大正方形的面积由一个边长为 $a$ 的正方形和一个边长为 $b$ 的正方形以及两个长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形组合而成, $\therefore S=a^{2}+2 a b+b^{2}$. $\therefore(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. 故答案为: $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$.

(2) (1) $\because a+b=4, \therefore(a+b)^{2}=16 . \quad \therefore a^{2}+2 a b+b^{2}=16$.

$\because a^{2}+b^{2}=10, \quad \therefore a b=3$.

(2) 设 $x-2020=a$, 则 $x-2021=a-1, x-2019=a+1$.

$\because(x-2021)^{2}+(x-2019)^{2}=130, \therefore(a-1)^{2}+(a+1)^{2}=130$.

$\therefore a^{2}-2 a+1+a^{2}+2 a+1=130 . \quad \therefore 2 a^{2}=128 . \quad \therefore a^{2}=64$.

即 $(x-2020)^{2}=64 . \therefore x-2020= \pm 8$.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景, 灵活运用完全平方公式是解题的关键

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于洪区期末）数学活动课上, 张老师准备了若干个如图(1)的三种纸片, $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形, $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形, $C$ 种纸片是长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形, 并用 $A$ 种纸片一张, $B$ 种纸片一张, $C$ 种纸片两张拼成如图(2)的大正方形.

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图(1)

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图(2)

(1) 观察图(2), 写出代数式 $(a+b)^{2}, a^{2}+b^{2}, a b$ 之间的等量关系是 \$ \qquad \$
(2) 根据 (1) 中的等量关系, 解决下列问题; (1) 已知 $a+b=4, a^{2}+b^{2}=10$, 求 $a b$ 的值; (2) 已知 ( $x$ $-2021)^{2}+(x-2019)^{2}=130$, 直接写出 $x-2020$ 的值.

【思路点拨】 (1) 图形(2)是边长为 $(a+b)$ 的正方形, 它的面积由一个边长为 $a$ 的正方形和一个边长为 $b$ 的正方形以及两个长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形组合而成, 由此结论可得;

(2) (1)把 $a+b=4$ 进行平方, 结合 $a^{2}+b^{2}=10$ 即可求得 $a b$ 的值;

(2)设 $x-2020=a$, 则 $x-2021=a-1, x-2019=a+1$ 则有 $(a-1)^{2}+(a+1)^{2}=130$, 进行整理可得 $a^{2}=64$, 从而求出所求.

【答案】解: (1) $\because$ 图形(2)是边长为 $(a+b)$ 的正方形, $\therefore S=(a+b)^{2}$.

$\because$ 大正方形的面积由一个边长为 $a$ 的正方形和一个边长为 $b$ 的正方形以及两个长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形组合而成, $\therefore S=a^{2}+2 a b+b^{2}$. $\therefore(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. 故答案为: $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$.

(2) (1) $\because a+b=4, \therefore(a+b)^{2}=16 . \quad \therefore a^{2}+2 a b+b^{2}=16$.

$\because a^{2}+b^{2}=10, \quad \therefore a b=3$.

(2) 设 $x-2020=a$, 则 $x-2021=a-1, x-2019=a+1$.

$\because(x-2021)^{2}+(x-2019)^{2}=130, \therefore(a-1)^{2}+(a+1)^{2}=130$.

$\therefore a^{2}-2 a+1+a^{2}+2 a+1=130 . \quad \therefore 2 a^{2}=128 . \quad \therefore a^{2}=64$.

即 $(x-2020)^{2}=64 . \therefore x-2020= \pm 8$.

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景, 灵活运用完全平方公式是解题的关键