如图, 已知 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D$ 平分 $\angle A C B$, 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $D$,若 $A B=6$, 则 $B D$ 的长为 $\qquad$

    <ImageHere>

    （第 14 题）


先由 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径得出 $\angle A C B=90^{\circ}$, 再根据勾股定理求出 $A B$ 的长, 连接 $A D$,则 $\angle A D B=90^{\circ}$, 再由 $C D$ 平分 $\angle A C B$ 可知 $\angle A C D=\angle B C D$, 推出 $\triangle \triangle A B D$ 是等腰直角三角形, 由勾股定理即可求出 $B D$ 的长.

【详解】解：连接 $A D$, 如图:

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$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}, \angle A D B=90^{\circ}$,

$\because C D$ 平分 $\angle A C B$,
$\therefore \angle A C D=\angle B C D$,

$\therefore A D=B D$,

$\therefore A D=B D$,

$\therefore \triangle A D B$ 是等腰直角三角形,

$\therefore 2 B D^{2}=A B^{2}$, 即 $2 B D^{2}=36$,

解得 $B D=3 \sqrt{2}$,

故答案为: $3 \sqrt{2}$.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心, 圆周角定理及等腰直角三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线, 构造出直角三角形是解答此题的关键.

