若实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数, 则使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 的解为整数的概率为 ( )

解析: 解分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 得 $x=\frac{a+4}{2}$,

$\because$ 实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数,

$\therefore a=0,1,2,3,4,5,6$,

$\because$ 当 $a=0$ 时, $x=2$;

当 $a=2$ 时, $x=3$, 方程无解, 故舍去;

当 $a=4$ 时, $x=4$;

当 $a=6$ 时, $x=5$,

$\therefore$ 使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}-1$ 的解为整数的概率为 $\frac{3}{7}$,

故选: D.

解分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 得 $x=\frac{a+4}{2}$, 因为实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数, 则 $a=0,1,2,3,4,5$, 6 , 分别讨论 $a==0,1,2,3,4,5,6$ 几种情况, 得出使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}-1$ 的解为整数的概率为 $\frac{3}{7}$,

本题考查概率公式, 分式方程的解, 解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

