(本小题8.0分)

如图, $C, D$ 为 $\odot O$ 上两点, 且在直径 $A B$ 两侧, 连结 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E, G$ 是 $\overparen{A C}$ 上一点, $\angle A D C=\angle G$.

(1)求证: $\angle 1=\angle 2$.

(2) 点 $C$ 关于 $D G$ 的对称点为 $F$, 连结 $C F$. 当点 $F$ 落在直径 $A B$ 上时, $C F=10, \tan \angle 1=\frac{2}{5}$, 求 $\odot O$的半径.

<ImageHere>
解: (1) $\because \angle A D C=\angle G$,

$\therefore \overparen{A C}=\overparen{A D}$

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \overparen{B C}=\overparen{B D}$,

$\therefore \angle 1=\angle 2$

(2)如图, 连接 $D F$,

<ImageHere>

$\because \overparen{A C}=\overparen{A D}, A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore A B \perp C D, C E=D E$,

$\therefore F D=F C=10$,

$\because$ 点 $C, F$ 关于 $D G$ 对称,

$\therefore D C=D F=10$,

$\therefore D E=5$,

$\because \tan \angle 1=\frac{2}{5}$,

$\therefore E B=D E \cdot \tan \angle 1=2$,

$\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \tan \angle 2=\frac{2}{5}$,

$\therefore A E=\frac{D E}{\tan \angle 2}=\frac{25}{2}$,

$\therefore A B=A E+E B=\frac{29}{2}$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{29}{4}$.

【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、解直角三角形, 解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

(1)根据圆周角定理和 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 即可证明 $\angle 1=\angle 2$;

(2)连接 $D F$, 根据垂径定理可得 $F D=F C=10$, 再根据对称性可得 $D C=D F$, 进而可得 $D E$ 的长,
再根据锐角三角函数即可求出 $\odot O$ 的半径.