已知曲线 $y=x^{2}$ 和曲线 $y=\sqrt{x}$ 围成一个叶形图; 则其面积为（）
答案: D

【解析】 由题得函数的图象如图所示,

<ImageHere>

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ y=\sqrt{x} \text { 得交点 }(1,1)\end{array}\right.$

所以叶形图面积为 $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) d x=\left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3} x^{3}\right)_{0}^{1}=\frac{1}{3}$.

故答案为: D

【分析】先作出两个函数的图像, 再利用定积分求面积得解.

3.答案: D

【解析】 设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 则 $x^{2}+y^{2}=4$, 其中 $0 \leq x \leq 1, y \geq 0$.

$\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$ 的几何意义为图中阴影面积,

<ImageHere>
设 $\angle B O C=\alpha$ ，易知 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ ，

则 $S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} \alpha r^{2}+\frac{1}{2} O A \cdot A C=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6} \times 4+\frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故答案为: D.

【分析】设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 变换得到 $\int_{0}^{4-x^{2}} d x$的几何意义为图中阴影面积, 计算面积得到答案.

4.答案: C

【解析】 由图可得阴影部分的面积为 $\int_{0}^{1}[-f(x)] d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{2} \mid f(x) d x$,故答案为: C.

【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积.