已知圆台的高为 3 , 在轴截面中, 母线 $A A_{1}$ 与底面圆直径 $A B$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 轴截面中的一条对角线垂直于腰, 求圆台的体积.
所示, 作轴截面 $A_{1} A B B_{1}$, 设圆台的上、下底面半径和母线长分别为 $r 、 R, l$, 高为 $h$.

<ImageHere>

作 $A_{1} D \perp A B$ 于点 $D$, 则 $A_{1} D=3$.

又 $\because \angle A_{1} A B=60^{\circ}, \therefore A D=\frac{A_{1} D}{\tan 60^{\circ}}$,

即 $R-r=3 \times \frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore R-r=\sqrt{3}$.

又 $\because \angle B A_{1} A=90^{\circ}, \therefore \angle B A_{1} D=60^{\circ}$.

$\therefore B D=A_{1} D \cdot \tan 60^{\circ}$, 即 $R+r=3 \times \sqrt{3}$,

$\therefore R+r=3 \sqrt{3}, \therefore R=2 \sqrt{3}, r=\sqrt{3}$, 而 $h=3$,

$\therefore V_{\text {圆台 }}=\frac{1}{3} \pi h\left(R^{2}+R r+r^{2}\right)$

$=\frac{1}{3} \pi \times 3 \times\left[(2 \sqrt{3})^{2}+2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\right]$

$=21 \pi$.

所以圆台的体积为 $21 \pi$.