20. 若焦点在轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 上存在一点, 它与两焦点的连线互相垂直, 则的取值范围是

答案: $\left(0, \frac{3 \sqrt{10}}{2}\right]$
: 解答: 设椭圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的上顶点为, 焦点为, 制圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 上存在一点与两焦点的连线互相垂直, 则 $\angle F_{1} A F_{2} \geqslant 90^{\circ}$. 由余弦定理可得 $\left|A F_{2}\right|^{2}+\left|A F_{1}\right|^{2}-\left|F_{1} F_{2}\right|^{2} \leqslant 0$, 即 $a^{2}+a^{2}-4 c^{2} \leqslant 0$, 所以 $a^{2} \leqslant 2 c^{2}=2\left(a^{2}-b^{2}\right)$, 即 $2 b^{2} \leqslant 45$, 解得 $0<b \leqslant \frac{3 \sqrt{10}}{2}$.

分析: 设粗圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的上顶点为, 焦点为,椭圆 $\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 上存在一点与两焦点的连线互相垂直,则 $\angle F_{1} A F_{2} \geqslant 90^{\circ}$, 再根据余弦定理求解即可.