（2020 春・和平区期中）设甲、乙两位同学上学期间, 每天 7: 30 之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$. 假定甲、乙两位同学到校情况互不影响, 且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）设甲同学上学期间的三天中 7: 30 之前到校的天数为 $X$, 求 $X=0, X=1, X=2, X=3$ 时的概率 $P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3)$.

(2) 设 $M$ 为事件 “上学期间的三天中, 甲同学在 7: 30 之前到校的天数比乙同学在 7: 30 之前到校的天数恰好多 2 ”, 求事件 $M$ 发生的概率.
解: (1) $P(X=0)=\left(1-\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}$,

$P(X=1)=C_{3}^{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$,

$P(X=2)=C_{3}^{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$,

$P(X=3)=C_{3}^{3} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$.

(2) 设乙同学上学期间的三天中在 7: 30 之前到校的天数为 $Y$,

则 $P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{27}, P(Y=1)=P(X=1)=\frac{2}{9}$,

$P(Y=2)=P(X=2)=\frac{4}{9}, P(Y=3)=P(X=3)=\frac{8}{27}$,

$\therefore P(M)=P(X=2) \cdot P(Y=0)+P(X=3) \cdot P(Y=1)=\frac{4}{9} \times \frac{1}{27}+\frac{8}{27} \times \frac{2}{9}=\frac{20}{243}$.