: 如图放置的长方形 $A B C D$ 和等腰直角三角形 $E F G$ 中, $\angle F=90^{\circ}, F E=F G=4 \mathrm{~cm}, A B=2 \mathrm{~cm}$, $A D=4 \mathrm{~cm}$, 且点 $F 、 G 、 D 、 C$ 在同一直线上, 点 $G$ 和点 $D$ 重合, 现将 $\triangle E F G$ 沿射线 $F C$ 向右平移, 当点 $F$ 和点 $D$ 重合时停止移动, 若 $\triangle E F G$ 与长方形重叠部分的面积是 $4 \mathrm{~cm}^{2}$, 则 $\triangle E F G$ 向右平移了 \$ \qquad \$ cm.

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解:如图 1 ,

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图1
$\because \triangle E F G$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \triangle H D G$ 是等腰直角三角形,重合部分为 $\triangle H D G$,

则重合面积 $={ }_{2}^{1} D G^{2}=4$,

解得: $D G^{2}=8$, 而 $D C^{2}=4<D G^{2}$,

故这种情况不成立;

如图 2,

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图2

$\because \triangle E F G$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \triangle H D G, \triangle C G I$ 是等腰直角三角形, 重合部分为梯形 $H D C I$,

则重合面积 $=S_{\triangle H D G-} S_{\triangle C G I}=\frac{1}{2} D G^{2}-\frac{1}{2} C G^{2}=4$,

即: $: \frac{1}{2} D G^{2}-\frac{1}{2}(D G-2)^{2}=4$,

解得: $D G=3$,

故答案为 3 .

分情况讨论点 $G$ 在 $C$ 点左侧和右侧两种情况, 利用等腰直角三角形面积公式列出等式, 然后求出平移的距离.