如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 在 $\odot O$ 上, 延长 $B C$ 至点 $D$, 使 $D C=C B$, 延长 $D A$与 $\odot O$ 的另一个交点为 $E$, 连结 $A C, C E$.

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(1) 求证: $\angle B=\angle D$;

（2）若 $A B=4, B C-A C=2$, 求 $C E$ 的长.


(1)由 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 易证得 $A C \perp B D$, 又由 $D C=C B$, 根据线段垂直平分线的性质，可证得 $A D=A B$, 即可得: $\angle B=\angle D$;

（2）首先设 $B C=x$, 则 $A C=x-2$, 由在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}$, 可得方程:

$(x-2)^{2}+x^{2}=4^{2}$, 解此方程即可求得 $C B$ 的长, 继而求得 $C E$ 的长.

【详解】解：（1）证明： $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$

$\therefore A C \perp B C$

$\because D C=C B$

$\therefore A D=A B$

$\therefore \angle B=\angle D$

(2) 设 $B C=x$, 则 $A C=x-2$,

在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore(x-2)^{2}+x^{2}=4^{2}$, 解得: $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$ (舍去).

$\because \angle B=\angle E, \quad \angle B=\angle D$,

$\therefore \angle D=\angle E$

$\therefore C D=C E$

$\because C D=C B$,

$\therefore C E=C B=1+\sqrt{7}$.

