如图, 已知射线 $O P \| A E, \angle A=\alpha$, 依次作出 $\angle A O P$ 的角平分线 $O B, \angle B O P$ 的角平分线 $O B_{1}, \angle B_{1} O P$的角平分线 $O B_{2}, \cdots, \angle B_{n-1} O P$ 的角平分线 $O B_{n}$, 其中点 $B, B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n}$ 都在射线 $A E$ 上,
则 $\angle A B_{n} O$ 的度数为 $(\quad)$.

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解:如图 $1, \because O P \| A E, \angle A=\alpha$,
$\therefore \angle A O P=180^{\circ}-\alpha$,

$\because \angle B O P=\angle A B O$,

又 $\because \angle B O P=\frac{1}{2} \angle A O P=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$,

$\therefore \angle A B O=\angle B O P=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$,

同理, $\angle A B_{1} O=\angle B_{1} O P=\frac{1}{2} \angle B O P=\frac{1}{2} \times \frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$,

$\angle A B_{2} O=\angle B_{2} O P=\frac{1}{2} \angle B_{1} O P=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$,

$\angle A B_{n} O=\angle B_{n} O P=\frac{1}{2} \angle B_{n-1} O P=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \times \frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2^{n+1}}$,

故选 $C$.