(本小题 8.0 分)

若含根号的式子 $a+b \sqrt{x}$ 可以写成式子 $m+n \sqrt{x}$ 的平方(其中 $a, b, m, n$ 都是整数, $x$ 是正整数), 即 $a+b \sqrt{x}=(m+n \sqrt{x})^{2}$, 则称 $a+b \sqrt{x}$ 为完美根式, $m+n \sqrt{x}$ 为 $a+b \sqrt{x}$ 的完美平方根. 例如: 因为 $19+6 \sqrt{2}=(1+3 \sqrt{2})^{2}$, 所以 $1+3 \sqrt{2}$ 是 $19+6 \sqrt{2}$ 的完美平方根.

(1) 已知 $3+2 \sqrt{3}$ 是 $a+12 \sqrt{3}$ 的完美平方根, 求 $a$ 的值;

(2)若 $m+n \sqrt{5}$ 是 $a+b \sqrt{5}$ 的完美平方根, 用含 $m, n$ 的式子分别表示 $a, b$;

(3)已知 $17-12 \sqrt{2}$ 是完美根式, 直接写出它的一个完美平方根.
本题考查了平方根: 如果一个数的平方等于 $a$, 这个数就叫做 $a$ 的平方根, 也叫做 $a$ 的二次方根. 也考查了完全平方公式.

(1)利用完美平方根的定义得到 $(3+2 \sqrt{3})^{2}=a+12 \sqrt{3}$, 然后把等式左边展开得到 $a$ 的值;

(2)利用完美平方根的定义得到 $(m+n \sqrt{5})^{2}=a+b \sqrt{5}$, 然后利用有理数与无理数的定义可用 $m$ 、 $n$ 表示 $a$ 和 $b ;$

(3) 先利用完全平方公式得到 $17-12 \sqrt{2}=(3-2 \sqrt{2})^{2}=(2 \sqrt{2}-3)^{2}$, 然后根据完美平方根的定义求解.

本题考查了平方根: 如果一个数的平方等于 $a$, 这个数就叫做 $a$ 的平方根, 也叫做 $a$ 的二次方根. 也考查了完全平方公式.