如图, 在直角坐标系中, 直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,以坐标原点 $O$ 为圆心, 以 $O A$ 为半径作 $\odot O$ 交直线 $A B$ 于点 $C$, 则 $B C$ 的值 ( )


解: 如图, 过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 则 $A D=C D$,

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$\because$ 直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,

$\therefore A(0,-3), B(4,0)$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle A O B$ 中, $O A=3, O B=4$, 由勾股定理得 $A B=5$,

$\therefore O A \times O B=A B \times O D$,

$\therefore O D=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle A O D$ 中, $O A=3, O D=\frac{12}{5}$, 由勾股定理得 $A D=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{9}{5}$,

$\therefore C D=\frac{9}{5}$,

$\therefore B C=A B-A D-C D=5-\frac{9}{5}-\frac{9}{5}=\frac{7}{5}$.

故选: $B$.

过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 则由垂径定理可得 $A D=C D$; 由直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,分别得出点 $A$ 和点 $B$ 的坐标, 由勾股定理得出 $A B$ 的值; 再由面积法得出 $O D$ 的长; 然后由勾股定理求得 $A D$ 的长, 则 $C D$ 的值也可得, 最后用 $A B$ 的长减去 $A D$ 和 $C D$ 的长即为 $B C$ 的长.
本题考查了垂径定理、一次函数在几何问题中的应用、面积法及勾股定理等知识点, 熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

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