设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-3 a \mathrm{ax}^{2}+3 \mathrm{bx}$ 的图像与直线 $12 \mathrm{x}+\mathrm{y}-1=0$ 相切于点 $(1,-11)$ 。

(1) 求 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值;

(2) 讨论函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性.
答案:（1）【解答】

解: 由题意: $\left\{\begin{array}{l}f(1)=-11 \\ f^{\prime}(1)=-12\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}1-3 a+3 b=-11 \\ 3-6 a+3 b=-12\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{c}a=1 \\ b=-3\end{array}\right.$

(2)【解答】

解: $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x+9=3\left(x^{2}-2 x+3\right)=3(x-3)(x+1)$

当 $x<-1$ 或 $x>3$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1)$ 与 $(3+\infty)$

当 $-1<x<3$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-1,3)$

【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 解决问题的关键是根据导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间,属基础题