（2020 秋 - 丰城市校级期中）已知函数 $f(x)=x^{2}+4 x+\frac{p}{2}+2$, 正数 $p$ 在集合 $M$ 上随机取值.

（1）设 $M=\{x \in \mathbf{Z} \mid 0<x \leqslant 5\}$, 求方程 $f(x)=0$ 有实数根的概率;

（2）设 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$, 求 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的概率.
解：（1） $p$ 的全部取值为 $1,2,3,4,5$, 即有 5 个基本事件,记事件 $A=\{$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $\}$, 则 $\Delta=16-4\left(\frac{p}{2}+2\right) \geq 0 \Rightarrow 0<p \leq 4$,满足方程 $f(x)=0$ 有实数根的 $p$ 为 $1,2,3,4$.

因此事件 $A$ 含有 4 个基本事件, 所以 $P(A)=\frac{4}{5}$,

(2) 由 $f(x)=(x+2)^{2}+\frac{p}{2}-2 \geq-1$ 恒成立, 知 $\frac{p}{2}-2 \geq-1 \Rightarrow p \geq 2$,

正数 $p$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$,

满足 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的正数 $p$ 构成集合 $\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

记 $B=\{f(x) \geqslant-1$ 恒成立 $\}, P(B)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$.

<ImageHere>