用数学归纳法证明: $1+2+3+\cdots+2 n=n(2 n+1)$ 时, 从 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 推证 $n=k+1$ 时, 左边增加的代数式是（）
答案: A

解: 由题意, 可得当 $n=1$ 时, 等式的左边为 $1+2$,

当 $n=k$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k$,

当 $n=k+1$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)$,

所以从 $k$ 到 $k+1$ 时, 左边需增加的代数式是 $(2 k+1)+2(k+1)=4 k+3$,

故答案为: A.
【分析】根据题设中的等式, 当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k$, 当 $n=k+1$ 时, 等式的左边为 $1+2+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)$, 利用数学归纳法即可求解.