如图, $A D$ 是 $\odot O$ 的直径, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形. 若 $\angle D A C=\angle A B C, A C=4$,则 $\odot O$ 的直径 $A D=$ $\qquad$

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连接 $C D, O C$, 根据圆周角定理, 弦, 弧, 角之间的关系, 得到 $\triangle A C D$ 为等腰直角三角形, 即可得解.

【详解】解: 如图, 连接 $C D, O C$.

$\because \angle D A C=\angle A B C$,

$\therefore A C=D C$,

$\therefore A C=C D$,

$\because A D$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C D$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=C D=4$,

$\therefore A D=\sqrt{2} A C=4 \sqrt{2}$.

故答案为: $4 \sqrt{2}$.

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【点睛】本题考查圆周角定理, 等腰三角形的判定和性质, 熟练掌握相关知识点, 并灵活应用, 是解题的关键.

