如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=9, B P=\frac{1}{3} B C=2, D$ 在 $A C$ 上, 且 $\angle A P D=\angle B$,则 $C D$ 的长是（）

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根据已知易得 $B C=6$, 从而可得 $C P=4$, 再利用等腰三角形的性质可得 $\angle B=\angle C$,从而利用三角形内角和定理可得 $\angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}-\angle B$, 然后利用平角定义可得 $\angle A P B+\angle D P C=180^{\circ}-\angle B$, 从而可得 $\angle D P C=\angle B A P$, 进而可得 $\triangle A B P \sim \triangle P C D$, 最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解: $\because B P=\frac{1}{3} B C=2$,

$\therefore B C=3 B P=6$,

$\therefore C P=B C-B P=6-2=4$,

$\because A B=A C=9$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

$\therefore \angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}-\angle B$,

$\because \angle A P D=\angle B$,

$\therefore \angle A P B+\angle D P C=180^{\circ}-\angle A P D=180^{\circ}-\angle B$,

$\therefore \angle D P C=\angle B A P$,

$\therefore \triangle A B P \sim \triangle P C D$,
$\therefore \frac{A B}{P C}=\frac{B P}{C D}$,

$\therefore \frac{9}{4}=\frac{2}{C D}$,

$\therefore C D=\frac{8}{9}$,

故选 D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质, 熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键.

