12. 在锐角三角形 $A B C, a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边长,

$$
\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6 \cos C \text {, 则 } \frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=
$$
(方法一) 考虑已知条件和所求结论对于角 $A 、 B$ 和边 $a 、 b$ 具有轮换性.

当 $A=B$ 或 $a=b$ 时满足题意, 此时有: $\cos C=\frac{1}{3}, \tan ^{2} \frac{C}{2}=\frac{1-\cos C}{1+\cos C}=\frac{1}{2}$,

$\tan \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan A=\tan B=\frac{1}{\tan \frac{C}{2}}=\sqrt{2}, \frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=4$.

(方法二) $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6 \cos C \Rightarrow 6 a b \cos C=a^{2}+b^{2}, 6 a b \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=a^{2}+b^{2}, a^{2}+b^{2}=\frac{3 c^{2}}{2}$

$\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=\frac{\sin C}{\cos C} \cdot \frac{\cos B \sin A+\sin B \cos A}{\sin A \sin B}=\frac{\sin C}{\cos C} \cdot \frac{\sin (A+B)}{\sin A \sin B}=\frac{1}{\cos C} \cdot \frac{\sin ^{2} C}{\sin A \sin B}$.

由正弦定理, 得：上式 $=\frac{1}{\cos C} \cdot \frac{c^{2}}{a b}=\frac{c^{2}}{\frac{1}{6}\left(a^{2}+b^{2}\right)}=\frac{c^{2}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{3 c^{2}}{2}}=4$.