设两圆 $C_{1}, C_{2}$ 都和两坐标轴相切, 且都过点 $(4,1)$, 则两圆心的距离 $\left|C_{1} C_{2}\right|$ 等于 $(\quad)$
because$ 两圆与两坐标轴都相切, 且都经过点 $(4,1)$,

$\therefore$ 两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等。

设两圆的圆心坐标分别为 $(a, a),(b, b)$,

则有 $(4-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2},(4-b)^{2}+(1-b)^{2}=b^{2}$,

即 $a, b$ 为方程 $(4-x)^{2}+(1-x)^{2}=x^{2}$ 的两个根,

整理得 $x^{2}-10 x+17=0$,

$\therefore a+b=10, a b=17$.

$\therefore(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=100-4 \times 17=32$,

$\therefore\left|C_{1} C_{2}\right|=\sqrt{(a-b)^{2}+(a-b)^{2}}=\sqrt{32 \times 2}=8$.