如果圆的方程为 $x^{2}+y^{2}+k x+2 y+k^{2}=0$, 那么当圆的面积最大时, 圆心坐标为
因为 $r=\frac{1}{2} \sqrt{k^{2}+4-4 k^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{4-3 k^{2}}$,

所以当 $k=0$ 时, $r$ 最大, 此时圆的面积最大,

圆的方程可化为 $x^{2}+y^{2}+2 y=0$,

即 $x^{2}+(y+1)^{2}=1$, 圆心坐标为 $(0,-1)$.