如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, 连接 $O B, O C$, 过点 $O$ 作 $E F / / B C$ 分别交 $A B$, $A C$ 于点 $E, F$. 已知 $\triangle A B C$ 的周长为 $8, B C=x, \triangle A E F$ 的周长为 $y$, 则表示 $y$ 与 $x$ 的函数图象大致是( $\quad$ )
【分析】

本题考查了动点问题的函数图象、三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的周长等知识; 求出 $y$ 与 $x$ 的关系式是解决问题的关键.

由三角形的内心性质和平行线的性质证出 $B E=O E, C F=O F$, 得出 $\triangle A E F$ 的周长 $y$ 与 $x$ 的关系式为 $y=8-x$, 求出 $0<x<4$, 即可得出答案.

【解答】

解: $\because$ 点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,
$\therefore \angle A B O=\angle C B O, \angle A C O=\angle B C O$,

$\because E F / / B C$,

$\therefore \angle E O B=\angle C B O, \angle F O C=\angle B C O$,

$\therefore \angle A B O=\angle E O B, \angle A C O=\angle F O C$,

$\therefore B E=O E, C F=O F$,

$\therefore \triangle A E F$ 的周长 $y=A E+E F+A F=A E+O E+O F+A F=A B+A C$,

$\because \triangle A B C$ 的周长为 $8, B C=x$,

$\therefore A B+A C=8-x$

$\therefore y=8-x$,

$\because A B+A C>B C$,

$\therefore y>x$

$\therefore 8-x>x$,

$\therefore 0<x<4$,

即 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y=8-x(x<4)$,

故选: $B$.