(12 分) 已知复数 $z$ 满足 $|z|=\sqrt{2}, z^{2}$ 的虚部为 2 .
点在第二象限.

(1) 求复数 $Z$;

（2）若复数 $\omega$ 满足 $|\omega-1| \leq\left|\frac{\bar{z}}{z+\mathrm{i}}\right|$, 求 $\omega$ 在复平面内对应的点的集合构成图形的面

积.
(1) 设 $Z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$,由已知可得 $\left\{egin{array}{l}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2} \ 2 a b=2\end{array}
ight.$, 即 $\left\{egin{array}{l}a^{2}+b^{2}=2 \ a b=1\end{array}
ight.$, 解得 $\left\{egin{array}{l}a=1 \ b=1\end{array}
ight.$ 或 $\left\{egin{array}{l}a=-1 \ b=-1\end{array}
ight.$.$	herefore z=1+\mathrm{i}$ 或 $z=-1-\mathrm{i}$.(2) 当 $z=1+i$ 时, $z^{2}=2 \mathrm{i}, z-z^{2}=1-\mathrm{i}$,$	herefore A(1,1), B(0,2), C(1,-1)$,故 $	riangle A B C_{	ext {的面积 }} S=rac{1}{2} 	imes 2 	imes 1=1$当 $z=-1-i$ 时, $z^{2}=2 i, z-z^{2}=-1-3 i$,$	herefore A(-1,-1), B(0,2), C(-1,-3)$,故 $	riangle A B C$ 的面积 $S=rac{1}{2} 	imes 2 	imes 1=1$,$	herefore 	riangle A B C$ 的面积为 1 .