用数学归纳法证明“ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n\left(n \in N^{*}, n>1\right)$, 时, 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时, 则不等式左边增加的项数共 \$ \qquad \$项.
答案: $2^{k}$

解: 解: 当 $n=k(k>1)$ 时,

不等式左边为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}$,

当 $n=k+1(k>1)$ 时,

不等式左边为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}+\frac{1}{2^{k}}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1}$,

则由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时,

则不等式左边增加的项数共 $2^{k+1}-1-2^{k}+1=2^{k}$ 项.

故答案为: $2^{k}$.

【分析】由题意有: 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时, 即可求出不等式左边增加的项数共 $2^{k+1}-1-2^{k}+1$ 项.