11. 

<ImageHere>

如图, $l_{1}, l_{2}$ 是通过某市开发区中心 $O$ 的南北和东西走向的两条道路, 连接 $M, N$ 两地的铁路是一段抛物线弧, 它所在的抛物线关于直线 $l_{1}$ 对称. $M$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别是 $2 \mathrm{~km} 、 4 \mathrm{~km}, N$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别是 $3 \mathrm{~km} 、 9 \mathrm{~km}$.

(1)建立适当的坐标系, 求抛物线 $M N$ 的方程;

(2)该市拟在点 $O$ 的正北方向建设一座工厂, 考虑到环境问题,要求厂址到点 $O$ 的距离大于 $5 \mathrm{~km}$ 而不超过 $8 \mathrm{~km}$, 并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 $\sqrt{6} \mathrm{~km}$, 求该厂离点 $O$ 的最近距离. (注:工厂视为一个点)
：解

<ImageHere>

(1)分别以 $l_{2} 、 l_{1}$ 为 $x$ 轴、 $y$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 $M(2,4), N(3,9)$.

设 $M N$ 所在抛物线的方程为

$y=a x^{2}+c$,

则有 $\left\{\begin{array}{l}4=4 a+c, \\ 9=9 a+c,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ c=0 .\end{array}\right.$

故所求抛物线 $M N$ 的方程为

$y=x^{2}(2 \leqslant x \leqslant 3)$.

(2)设抛物线弧上任意一点 $P(x, y)$, 则 $y=x^{2}(2 \leqslant x \leqslant 3,4 \leqslant y \leqslant 9)$,厂址为 $A(0, t)(5<t \leqslant 8)$.

由题意 $|P A|=\sqrt{x^{2}+(y-t)^{2}} \geqslant \sqrt{6}$,

即 $y+(y-t)^{2} \geqslant 6$,

$\therefore y^{2}+(1-2 t) y+t^{2}-6 \geqslant 0(*)$

$-\frac{1-2 t}{2}=t-\frac{1}{2} \in[4,9]$.
$\therefore$ 要使 $(*)$ 恒成立, 只需当 $y=\frac{2 t-1}{2}$ 时成立,

<ImageHere>
即得 $4 t-25 \geqslant 0, \therefore t \geqslant \frac{25}{4}$, 又 $5<t \leqslant 8, \therefore \frac{25}{4} \leqslant t \leqslant 8$.

$\therefore t$ 的最小值为 $\frac{25}{4}$.

故该厂离点 $O$ 的最近距离为 $\frac{25}{4} \mathrm{~km}$.