设 $m$ 为正整数, $(x+y)^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a,(x+y)^{2 m+1}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$, 若 $15 a=8 b$, 则 $m=$
答案:7

【解析】 $(x+y)^{2 m}$ 展开式中二项式系数的最大值为 $a=C_{2 m} m$,

$(x+y)^{2 m+1}$ 展开式中二项式系数的最大值为 $b=C_{2 m+1}^{\mathrm{m} *+1}$,

因为 $15 a=8 b$, 所以 $15 \mathrm{C}_{2 m}^{m}=8 \mathrm{C}_{2 m+1}^{\mathrm{m}+1}$,

即 $15 \frac{(2 m) !}{m ! m !}=8 \frac{(2 m+1) !}{m ! \cdot(m+1) !}$, 解得 $m=7$.