(2020$\cdot$汕头校级三模）如图是一种圆内接六边形 $A B C D E F$, 其中 $B C=C D=D E=E F=F A$ 且 $A B$ $\perp B C$. 则在圆内随机取一点, 则此点取自六边形 $A B C D E F$ 内的概率是

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解: 因为 $B C=C D=D E=E F=F A$ 且 $A B \perp B C$.

所以该图形是该圆的内接正六边形 $A M N B C D E F$ 的一部分.

易知, 以 $O$ 为顶点, 正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等.

且它们的腰长为圆的半径 $r$, 顶角为 $\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$.

故每个小等腰三角形的面积为 $S=\frac{1}{2} r^{2} \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4} r^{2}$.

内接六边形 $A B C D E F$ 的面积为 $S_{\triangle O A F}+S_{\triangle O F E}+S_{\triangle O E D}+S_{\triangle O D C}+S_{\triangle O C B}+S_{\triangle O A B}$,

由正八边形的性质知：四边形 $A B C F$ 是矩形，且 $S_{\triangle O A B}=S_{\triangle O A E}$,

所以 $S$ 六边形 $A B C D E F=6 S_{\triangle O A E}=6 S=6 \times \frac{\sqrt{2}}{4} r^{2}=\frac{3 \sqrt{2} r^{2}}{2}$.

又 $S_{\text {圈 } 0}=\pi r^{2}$, 故所求概率为: $P=\frac{\frac{3 \sqrt{2} r^{2}}{2}}{\pi r^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2 \pi}$.

故答案为: $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \pi}$.

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