若 $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}, B=x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}$, 其中 $x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}$,都是正数, 则 $A$ 与 $B$ 的大小关系为 ( )
解析: 解答: 依序列 $\left[x_{n}\right]\left[x_{n}\right\}$ 的各项都是正数, 不妨设 $0<x_{1} \leq x_{2} \leq \cdots \leq x_{n}$, 则 $x_{2}, x_{2}, \cdots, x_{n}, x_{1}$ 为序列 $\left[x_{n}\right]$ 的一个排列. 依排序不等式，得 $x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{n} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n} x_{1}$

$x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{n} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n} x_{1}$, 即

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{1}$

分析:本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$ 分析计算即可.