如图, 已知点 $E$ 是圆心为 $O_{1}$ 半径为 2 的半圆弧上从点 $B$ 数起的第一个三等分点,点 $F$ 是圆心为 $O_{2}$ 半径为 1 的半圆弧的中点, $A B 、 C D$ 分别是两个半圆的直径, $O_{1} O_{2}=$ 2, 直线 $O_{1} O_{2}$ 与两个半圆所在的平面均垂直, 直线 $A B 、 D C$ 共面.

<ImageHere>

(1) 求三棱雉 $D-A B E$ 的体积;

(2) 求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正切值;

(3) 求直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值.
【分析】

(1) 由题意知, $O_{1} O_{2}$ 即为所求三棱雉的高, 代入三棱雉的体积公式 $V=\frac{1}{3} S h$ 求解即可;

(2) 以 $O_{1}$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O_{1} B}, \overrightarrow{O_{2} F}, \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$ 分别为 $x 、 y 、 z$ 轴的正向, 建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法分别求出面 $A B E$ 的法向量 $\vec{n}$ 和向量 $\overrightarrow{D E}$ 的坐标,向量 $\vec{n}$ 与向量 $\overrightarrow{D E}$ 的夹角余弦即为直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值,进而求出正切值即可;

(3) 以 $O_{1}$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O_{1} B}, \overrightarrow{O_{2} F}, \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$ 分别为 $x 、 y 、 z$ 轴的正向, 建立空间直角坐标系如图所示,利用空间向量法, 向量 $\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{B E}$ 所成角的余弦值的绝对值即为所求.

## 【详解】

(1) $\because \angle B O_{1} E=60^{\circ}, O_{1} E=2$,

$\therefore S_{\triangle A B E}=2 S_{\triangle B O_{1} E}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^{2}=2 \sqrt{3}$,
$\because$ 直线 $O_{1} O_{2}$ 与两个半圆所在的平面均垂直, 直线 $A B 、 D C$ 共面,

$\therefore$ 三棱雉 $D-A B E$ 的高等于 $O_{1} O_{2}=2$,

所以 $V_{D-A B E}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B E} \cdot O_{1} O_{2}=\frac{1}{3} \times 2 \sqrt{3} \times 2=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$.

(2) 以 $O_{1}$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O_{1} B}, \overrightarrow{O_{2} F}, \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$ 分别为 $x 、 y 、 z$ 轴的正向建立空间直角坐标系如图所示:

<ImageHere>

则, $D(-1,0,2), E(1, \sqrt{3}, 0)$,

$\overrightarrow{D E}=(2, \sqrt{3},-2)$,

由题意可知,平面 $A B E$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(0,0,1)$,

设直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $\theta$,

则 $\sin \theta=|\cos <\overrightarrow{D E}, \vec{n}>|=\frac{|\overrightarrow{D E} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{D E}||\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{11}}=\frac{2 \sqrt{11}}{11}$,

因为 $\theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \therefore \cos \theta=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{77}}{11}$,

所以 $\tan \theta=\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ 即为所求.

(3) 以 $O_{1}$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O_{1} B}, \overrightarrow{O_{2} F}, \overrightarrow{O_{1} O_{2}}$ 分别为 $x 、 y 、 z$ 轴的正向,建立空间直角坐标系如图所示:

<ImageHere>

则 $A(-2,0,0), B(2,0,0), E(1, \sqrt{3}, 0), F(0,1,2)$,

所以 $\overrightarrow{A F}=(2,1,2), \overrightarrow{B E}=(-1, \sqrt{3}, 0)$,

设直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角为 $\theta$,

则 $\cos \theta=|\cos <\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{B E}>|=\frac{|\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B E}|}{|\overrightarrow{A F}||\overrightarrow{B E}|}=\frac{|-2+\sqrt{3}|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{4}}=\frac{2-\sqrt{3}}{6}$.

$\therefore$ 直线 $A F$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{2-\sqrt{3}}{6}$.

## 【点睛】

本题考查利用空间向量法求线面角和异面直线所成的角及三棱雉的体积公式; 考查学生的运算能力和转化与化归能力;属于综合型试题、常考题型.