如图所示, $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体, $M 、 N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1} 、 B_{1} C_{1}$ 的中点, $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点, $A P=\frac{a}{3}$, 过 $P, M, N$ 的平面交上底面于 $P Q, Q$ 在 $C D$ 上, 则 $P Q=$

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$\because M N / /$ 平面 $A C$, 平面 $P M N \cap$ 平面 $A C=P Q$,

$\therefore M N / / P Q$, 易知 $D P=D Q=\frac{2 a}{3}$,

故 $P Q=\sqrt{P D^{2}+D Q^{2}}=\sqrt{2} D P=\frac{2 \sqrt{2} a}{3}$.