已知 $f(x)$ 在 $x \in R$ 是恒有 $f\left[f(x)-x^{2}+x\right]=f(x)-x^{2}+x$.

(1) 若 $f(2)=3$, 求 $f(1)$;

（2）设有且仅有一个实数 $x_{0}$, 使得 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$, 求函数 $f(x)$ 的解析式.

【答案】(1) $f(1)=1$ (2) $f(x)=x^{2}-x+1$
) 因为对任意 $x \in R$, 有 $f\left[f(x)-x^{2}+x\right]=f(x)-x^{2}+x$,
所以 $f\left(f(2)-2^{2}+2\right)=f(2)-2^{2}+2$,

又由 $f(2)=3$, 得 $f\left(3-2^{2}+2\right)=3-2^{2}+2$, 即 $f(1)=1$.

(2) 因为对任意 $x \in R$, 有 $f\left[f(x)-x^{2}+x\right]=f(x)-x^{2}+x$,

又因为有且只有一个实数 $x_{0}$, 使得 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$,

所以对任意 $x \in R$, 有 $f(x)-x^{2}+x=x_{0}$,

在上式中令 $x=x_{0}$, 有 $f\left(x_{0}\right)-x_{0}^{2}+x_{0}=x_{0}$,

又因为 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$, 所以 $x_{0}-x_{0}^{2}=0$, 故 $x_{0}=0$ 或 $x_{0}=1$

若 $x_{0}=0$, 则 $f(x)-x^{2}+x=x_{0}$, 即 $f(x)=x^{2}-x$,

但方程 $x^{2}-x=x$ 有两个不相等实根, 与题设条件矛盾, 故 $x_{0} \neq 0$

若 $x_{0}=1$, 则有 $f(x)-x^{2}+x=1$, 即 $f(x)=x^{2}-x+1$,

此时 $f(x)=x$ 有且仅有一个实数 1 .

综上所述, 所求函数为 $f(x)=x^{2}-x+1(x \in R)$.