如果一个矩形的周长与面积的差是定值 $m(2<m<4)$, 我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=x, A D=y, 2(x+y)-x y=\frac{7}{2}$, 那么这个“定差值矩形”的对角线 $A C$ 的长的最小值为 ( )

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根据矩形的性质，由勾股定理可得 $A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y-2)^{2}+3$, 由二次函数的性质可求解.

【详解】解: $\because$ 在矩形 $A B C D$ 中, $\angle B=90^{\circ}, B C=A D=y, A B=x$,

$\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$,

$\therefore A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y$,

$\because 2(x+y)-x y=\frac{7}{2}$,

$\therefore x y=2(x+y)-\frac{7}{2}$,

$\therefore A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y=(x+y)^{2}-4(x+y)+7=(x+y-2)^{2}+3$,

$\therefore$ 当 $x+y=2$ 时, $A C^{2}=3$,

$\therefore A C$ 有最小值为 $\sqrt{3}$ (取正值),

故选: C.

【点睛】本题考查了矩形的性质, 勾股定理, 二次函数的性质, 掌握相关性质是本题的关键.

