对于命题 $P$ : 存在一个常数 $M$, 使得不等式 $\frac{a}{2 a+b}+\frac{b}{2 b+a} \leq M \leq \frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 a}$ 对任意正数 $a, b$ 恒成立.

(1) 试给出这个常数 $M$ 的值（不需要证明）;

(2) 在 (1) 所得结论的条件下证明命题 $P$.
答案: (1) 【解析】根据题意, 由于 $\frac{a}{2 a+b}+\frac{b}{2 b+a} \leqslant M \leqslant \frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 a}$ 对任意正数 $a, b$ 恒成立,令 $a=b$ 得 $\frac{2}{3} \leqslant M \leqslant \frac{2}{3}$, 故 $M=\frac{2}{3}$ ；

(2) 【解析】先证明 $\frac{a}{2 a+b}+\frac{b}{2 b+a} \leq \frac{2}{3}$,

$\because a>0, \quad b>0$, 要证上式, 只要证 $3 a(2 b+a)+3 b(2 a+b) \leq 2(2 a+b)(2 b+a)$,即证 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$, 即证 $(a-b)^{2} \geq 0$, 这显然成立.

$\therefore \frac{a}{2 a+b}+\frac{b}{2 b+a} \leq \frac{2}{3}$,

再证明 $\frac{2}{3} \leq \frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 a}$ ，

$\because a>0, \quad b>0$, 要证上式, 只要证 $3 a(2 a+b)+3 b(2 b+a) \geq 2(a+2 b)(b+2 a)$,

即证 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$, 即证 $(a-b)^{2} \geq 0$, 这显然成立.

$\therefore \frac{2}{3} \leq \frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 a}$.

【分析】(1) 根据题意, 利用特殊值法, 令 $a=b$ 可得, $\frac{2}{3} \leqslant M \leqslant \frac{2}{3}$, 分析即可得 $M$ 的值; （2）由分析法的思路: 先证明 $\frac{a}{2 a+b}+\frac{b}{2 b+a} \leqslant \frac{2}{3}$, 再类比可以证明 $\frac{2}{3} \leqslant \frac{a}{a+2 b}+\frac{b}{b+2 a}$, 综合即可得证明.