已知, 矩形 $O A B C$ 中, $A C=10, O A=8$, 对角线 $A C, B O$ 的交点为 $P$,它在平面直角坐标系中的位置如图.

(1)若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $P$, 求反比例函数的表达式;

(2)若(1)中反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象与边 $B C$ 所在的直线交于点

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$M$, 求点 $M$ 的坐标.
解: (1) $\because$ 矩形 $O A B C$ 中, $A C=10, O A=8$,

$\therefore O C=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,

$\therefore$ 点 $P$ 坐标为 $(4,3)$,

$\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $P$,

$\therefore 3=\frac{k}{4}$,

$\therefore k=12$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$;

(2) $\because O C=6$,
$\therefore$ 直线 $B C$ 为 $y=6$,

把 $y=6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$, 求得 $x=2$,

$\therefore M(2,6)$