袋子 $A$ 和 $B$ 中均装有若干个大小相同的红球和白球, 从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{3}$, 从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球, 每次摸出 1 个, 有 3 次摸到红球即停止, 求恰好摸 5 次停止的概率.

(2) 若 $A 、 B$ 两个袋子中的球数之比为 $1: 2$, 将 $A 、 B$ 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$, 求 $p$ 的值.
答案:(1) 【解析】设“恰好摸 5 次停止”为事件 $A$,

由题意得恰好摸 5 次停止即第 5 次摸到红球, 前 4 次中有 2 次摸到红球,

所以恰好摸 5 次停止的概率为 $P(A)=C_{4}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{16}{81}$,

即恰好摸 5 次停止的概率为 $\frac{16}{81}$;

（2）【解析】设袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $m$ 个球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m$ 个球,

则袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $\frac{2}{5} m$ 个红球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m p$ 个红球,

由题意得 $\frac{\frac{2}{3} m+2 m p}{3 m}=\frac{2}{5}$, 解得 $p=\frac{4}{15}$.