已知方程 $\ln |x|-a x^{2}+\frac{3}{2}=0$

有 4 个不同的实数根, 则实数 ${ }^{a}$ 的取值范围是 ( )
$\left(0, \frac{\varepsilon^{2}}{2}\right)$
B. $\left(0, \frac{\varepsilon^{2}}{2}\right]$
C. $\left(0, \frac{\varepsilon^{2}}{3}\right)$
D. $\left(0, \frac{e^{2}}{3}\right]$

8. (2018。浙江) 已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列, 且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=\ln \left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)$. 若 $a_{1}>1$,则 ( )
答案:A

【解析】【解答】解: 由于 ${ }^{y=\ln |x|-a x^{2}+\frac{3}{2}}$ 是偶函数, 所以方程 ${ }^{\ln x-a x^{2}+\frac{3}{2}=0}$ 有两个根,

即 $a=\frac{\ln x+\frac{3}{2}}{x^{2}}$ 有两个根. 设 $f(x)=\frac{\ln x+\frac{3}{2}}{x^{2}}$, 则 $f^{\prime}(x)=\frac{x-2 x\left(\ln x+\frac{3}{2}\right)}{x^{4}}=-\frac{2(\ln x+1)}{x^{3}}, \therefore 0<x<\frac{1}{8}$ 时,

$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 递增, ${ }^{x>\frac{1}{\varepsilon}}$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 递减, ${ }^{x=\frac{1}{\varepsilon}}$ 时, $f(x)$ 取得极大值也是最大值 $f\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)=\frac{e^{2}}{2}$, 又 $x \rightarrow+0$ 时, $f(x) \rightarrow-\infty, x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow 0$, 所以要使 $a=\frac{\ln x+\frac{3}{2}}{x^{2}}$有两个根, 则 $0<a<\frac{e^{2}}{2}$.

故答案为: A.

【分析】构造函数 $\mathrm{y}$, 结合 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$, 判断奇偶性, 构造函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$, 结合导函数, 判断单调性和函数图像与极值, 结合图像, 即可得出答案。