已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且满足 $f(x+2)=3 f(x)$, 当 $x \in[0,2)$ 时, $f(x)=e^{x}$ 则 $f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2020)=(\quad)$
由题意有, 当 $x \in[0,2)$ 时, $f(x)=e^{x}, \therefore f(0)+f(1)=e^{0}+e^{1}$

当 $x \in[2,4)$ 时, $f(x)=3 e^{x-2}, \therefore f(2)+f(3)=3 e^{0}+3 e^{1}$

当 $x \in[4,6)$ 时, $f(x)=3^{2} \cdot e^{x-4}, \therefore f(4)+f(5)=3^{2} \cdot e^{0}+3^{2} \cdot e^{1}$
当 $x \in[2018,2020)$ 时, $f(x)=3^{1009} \cdot e^{x-2018}, \therefore f(2018)+f(2019)=3^{1009} \cdot e^{0}+3^{1009} \cdot e^{1}$当 $x \in[2020,2022)$ 时 $f(x)=3^{1010} \cdot e^{x-2020}, \therefore f(2020)=3^{1010} \cdot e^{0}$

$\therefore f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2020)$

$=[f(0)+f(2)+f(4)+\cdots+f(2020)]+[f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(2019)]$

$=\left(3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{1010}\right)+e\left(3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{1009}\right)=\frac{1-3^{1011}}{1-3}+e \frac{1-3^{1010}}{1-3}$, 故答案为 $\mathrm{B}$