已知函数 $f(x)=\ln x+a(1-x), a \in R$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;

(II) 若对任意的 $x \in(0,+\infty)$, 都有 $f(x) \leq 2 a-2$, 求实数 $a$ 的取值范围.
解: (1) $f^{\prime}(x)=rac{1}{x}-a=rac{1-a x}{x}(x>0)$, 当 $a<0$ 时. $f^{\prime}(x)>0$ 恒成立, 则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调㣢增. 当 $a>0$ 时, 令 $f^{\prime}(x)>0$, 则 $0<x<rac{1}{a}$. 则 $f(x)$ 在区间 $\left(0, rac{1}{a}
ight)$ 上单调递增, 在区间 $\left(rac{1}{n},+\infty
ight)$ 上单调递减.(II) $orall x \in(n+\infty), f(x)<2 a-2$ 等价干 $a>rac{\ln x+2}{x+1}$, 令 $g(x)=rac{\ln x+2}{x+1}$, 则 $g^{\prime}(x)=rac{rac{1}{x}-\ln x-1}{(x+1)^{2}}$.令 $h(x)=rac{1}{x}-\ln x-1$, 则 $h^{\prime}(x)=-rac{1}{x^{2}}-rac{1}{x}=rac{-(x+1)}{x^{2}}$.因为当 $x \in(0,+\infty), h^{\prime}(x)<0$ 恒成立,所以 $h(x$, 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减.又 $h(1)=1-\ln 1-1=0$, 可得 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 递增, 在 $[1+\infty)$ 递减,所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值为 $g(1)=rac{\ln 1+2}{1+1}=1$.因此 $orall x \in(0,+\infty), a \geq g(x)$ 等价于 $a \geq g(1)=1$.故 $orall x \in(0,+\infty), f(x) \leq 2 a-2$ 时, 实数 $a$ 的取值范围是 $[1+\infty)$.