(本小题 8.0 分)

如图, $B E, B C, C G$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $E, F, G$ 三点, 且 $B E / / C G$.延长 $B O$ 交 $C G$ 的延长线于点 $D$, 连接 $F G$, 若 $\frac{F G}{B D}=\frac{4}{5}$, 求 $\sin \angle C F G$ 的值.

<ImageHere>
解:

$\because C B, C D$ 为圆 $O$ 的切线, 点 $F, G$ 为切点,

$\therefore O C \perp F G$,

$\because F G / / B D$,

$\therefore O C \perp B D$,

$\because F G / / B D$,

$\therefore \triangle C F G \sim \triangle C B D$,

$\therefore \frac{C F}{C B}=\frac{F G}{B D}=\frac{4}{5}$,

连接 $O F$, 则 $O F \perp B C$.

<ImageHere>

设 $C F=4 x, B C=5 x$,

$\therefore B F=x$,
$\because \angle F C O+\angle F O C=\angle F O C+\angle B O F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle F C O=\angle B O F$,

又 $\because \angle B F O=\angle C F O=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B O F \sim O C F$,

$\therefore O F^{2}=B F \cdot F C=4 x^{2}$,

$\therefore O F=2 x, \quad \therefore O B=\sqrt{5} x$,

$\therefore \sin \angle C F G=\sin \angle O B F=\frac{O F}{O B}=\frac{2 x}{\sqrt{5} x}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

【解析】见答案