科克曲线 (Kochcurve) (如图) 是一种典型的分形曲线. 它是科克 (Koch, H.von)于 1904 年构造出来的. 其形成如下: 把一个边长为 1 的等边三角形, 取每边中间的三分之一, 接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形, 结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换, 即在中间三分之一接上更小的三角形,以此重复, 直至无穷. 外界的变得比原来越细微曲折, 形状接近理想化的雪花. 它是一个无限构造的有限表达, 每次变化面积都会增加, 但总面积不会超过起初三角形的外接圆. 按照上面的变化规则, 第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为

( )

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(1)
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答案:B

【解析】由观察可知: 第一个图形有 3 条边, 第二个图形有 12 条边 (每一条边变为 4 条边), 第三个图形有 48 条边, 第四个图形有 192 条边,

后一个图形与前一个图形相比, 每一条边会增加一个边长为前面边长的 $\frac{1}{3}$ 的小三角形, 故第二个图形比

第一个图形多 3 个小三角形 (第一个图形 3 条边), 第三个图形比第二个图形多 12 个小三角形, 第 4 个图形比第三个图形多 48 个小三角形,

故面积之差为 $48 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\frac{1}{27}\right)^{2}=\frac{4 \sqrt{3}}{243}$, 故选 B.