是否存在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 使 $a_{1} C_{n}^{0}+a_{2} C_{n}^{1}+a_{3} C_{n}^{2}+\cdots+a_{n+1} C_{n}^{n}=n \cdot 2^{n+1}$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 都成立? 若存在, 求出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式; 若不存在, 请说明理由.