12. 已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2}+b x$ (其中常数 $a, b \in \mathbf{R}$ ) $g(x)=f(x)$ $+f^{\prime}(x)$ 是奇函数.

(1)求 $f(x)$ 的表达式;

(2)讨论 $g(x)$ 的单调性, 并求 $g(x)$ 在区间[1,2] 上的最大值与最小值.


式为 $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}$.

(2)由(1)知, $g(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+2 x$,

$\therefore g^{\prime}(x)=-x^{2}+2$.
令 $g^{\prime}(x)=0$, 解得 $x_{1}=-\sqrt{2}$, 或 $x_{2}=\sqrt{2}$.

则当 $x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 时, $g^{\prime}(x)<0$, 从而 $g(x)$ 在区间 $(-\infty,-\sqrt{2}]$,

$[\sqrt{2},+\infty)$ 上是减函数;

当 $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ 时, $g^{\prime}(x)>0$, 从而 $g(x)$ 在 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 上是增函数.

$\therefore g(1)=\frac{5}{3}, g(\sqrt{2})=\frac{4 \sqrt{2}}{3}, g(2)=\frac{4}{3}$.

$\therefore g(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最大值为 $g(\sqrt{2})=\frac{4 \sqrt{2}}{3}$,最小值为 $g(2)=\frac{4}{3}$.