(本小题 8.0 分)

如图, 在 ${ }_{\mathrm{Rt}} \triangle_{\mathrm{ABC}}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90$ 。, 点 $O, M$ 分别是 ${ }_{\mathrm{Rt}} \triangle_{\mathrm{ABC}}$ 的内心和外心, 连接 $\mathrm{OA}^{\prime}, \mathrm{OB}$, OM $\cdot$

<ImageHere>

(1)求 $\angle A O B$ 的度数;

(2)延长 $\mathrm{AC}$ 至点 $D$, 使 $\mathrm{AD}=\mathrm{AB}$, 连接 $\mathrm{BD}$, 求证: $\mathrm{AO} \perp \mathrm{BD}$;

<ImageHere>
个结论.
解: (1) $\because$ 点 $O$ 是Rt $\triangle A B C$ 的内心, $\therefore \angle O A B=\frac{1}{2} \angle C A B, \angle A B O=\frac{1}{2} \angle A B C$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle O A B+\angle A B O \\
& =\frac{1}{2}(\angle C A B+\angle A B C)
\end{aligned}
$$

$=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A C B\right)=45^{\circ}$.

$\therefore \angle A O B=180^{\circ}-\angle O A B-\angle A B O=135^{\circ}$.

(2) $\because A B=A D$,

$\therefore \triangle A B D$ 是底边为 $B D$ 的等腰三角形.

又 $\because O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A O$ 平分 $\angle C A B$.

$\therefore A O \perp B D$.

(3) $D E=20 M$.

证: 延长 $A O$ 交 $B D$ 于点 $G$, 连接 $O D 、 O E 、 A E$,

<ImageHere>

$\therefore \angle A G B=90^{\circ}$.

又 $\because \angle B O G=180^{\circ}-\angle A O B=45^{\circ}$,

由(2)知, $A O$ 是 $B D$ 的中垂线,

$\therefore B O=D O$.

$\therefore \triangle O B D$ 是等腰直角三角形.

$\therefore \angle B O D=90^{\circ}$.

同理 $\angle A O E=90^{\circ}, A O=E O$.

延长 $O M$ 至点 $F$, 使 $M F=M O$, 连接 $A F, B F$,

$\because M$ 是直角三角形外心,

$\therefore A M=B M$,

$\therefore$ 四边形 $A O B F$ 是平行四边形.

$\therefore A O=B F, \angle F B O=180^{\circ}-\angle A O B=45^{\circ}$.

$\therefore E O=B F$.

$$
\therefore \angle E O D=360^{\circ}-\angle E O A-\angle A O B-\angle B O D
$$

$$
=360^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}-90^{\circ}
$$

$=45^{\circ}$.

$\therefore \angle F B O=\angle E O D$.

在 $\triangle F B O$ 和 $\triangle E O D$ 中,

$$
\begin{aligned}
F B & =E O, \\
\{\angle F B O & =\angle E O D, \\
O B & =O D,
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle F B O \cong \triangle E O D(S A S)$.

$\therefore F O=E D$.

$\therefore 20 M=E D$

【解析】本题主要考查三角形内心和外心的性质, 等腰三角形的判定和性质, 平行四边形的判定和性质, 全等三角形的判定和性质.

(1)根据内心的性质得出 $\angle O A B=\frac{1}{2} \angle C A B, \angle A B O=\frac{1}{2} \angle A B C$, 再由三角形内角和定理得出结论;

(2)先证 $\triangle A B D$ 是底边为 $B D$ 的等腰三角形, 再由等腰三角形的性质得出结论;

(3)延长 $A O$ 交 $B D$ 于点 $G$, 连接 $O D 、 O E 、 A E$, 证出 $\triangle O B D$ 是等腰直角三角形; 延长 $O M$ 至点 $F$, 使 $M F=M O$, 连接 $A F, B F$,

得出四边形 $A O B F$ 是平行四边形, 推出 $\angle F B O=\angle E O D$, 再证 $\triangle F B O$ 和 $\triangle E O D$ 全等, 即可解答.