已知二次函数 $y_{1}=x^{2}-2 x-1$ 与一次函数 $y_{2}=2 x-1$ 的图象如图所示, 点 $P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数, 则这样的点 $P$ 有 ( )

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首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标, 然后根据点 $P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数得到 $0<m<4$, 然后分别代入 $x=1, x=2, x=3$ 求解即可.

【详解】联立二次函数 $y_{1}=x^{2}-2 x-1$ 与一次函数 $y_{2}=2 x-1$

得, $\left\{\begin{array}{l}y_{1}=x^{2}-2 x-1 \\ y_{2}=2 x-1\end{array}\right.$

解得 $x_{1}=0, x_{2}=4$

$\because P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数,

$\therefore 0<m<4$,

$\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=-2, y_{2}=2 x-1=1$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $1,-1$ 或 $(1,0)$;

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=-1, y_{2}=2 x-1=3$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(2,1)$ 或 $(2,2)$;

$\therefore$ 当 $x=3$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=2, y_{2}=2 x-1=5$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(3,4)$.

综上所述, 这样的点 $P$ 可以为 $1,-1$ 或 $(1,0)$ 或 $(2,0)$ 或 $(2,1)$ 或 $(2,2)$ 或 $(3,3)$ 或 $(3,4)$, 共 7 个,故选: D.

【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题, 解题的关键是求出二次函数与一次函数的交点坐标.

