函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$, 有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<0$, 且函数
$f(x+1)$ 为偶函数, 则 $(\quad)$
【详解】

因为对任意的 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$, 有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}<0$,

所以对任意的 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)\left(x_{1} \neq x_{2}\right), x_{2}-x_{1}$ 与 $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)$ 均为异号,
所以 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减,

又函数 $f(x+1)$ 为偶函数, 即 $f(x+1)=f(1-x)$, 所以 $f(-2)=f(4)$,

所以 $f(-2)=f(4)<f(3)<f(1)$.

故选: C.

【点睛】

本题考查了函数单调性的定义及应用, 考查了函数奇偶性的应用, 属于基础题.