已知椭圆 C $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 ${ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, 点 $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $\mathrm{C}$ 上. 直线 $l$ 过点 $(1,1)$,且与椭圆 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 线段 $\mathrm{AB}$ 的中点为 $\mathrm{M}$. (I) 求粗圆 $\mathrm{C}$ 的方程;

(II) 点 $\mathrm{O}$ 为坐标原点, 延长线段 $\mathrm{OM}$ 与粗圆 $\mathrm{C}$ 交于点 $\mathrm{P}$, 四边形 $\mathrm{OAPB}$ 能否为平行四边形? 若能,求出此时直线 $l$ 的方程, 若不能, 说明理由.
答案:解: (I) 由题意得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 解得 $\mathrm{a}^{2}=4, \mathrm{~b}^{2}=1$. 所以椭圆 C 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$. $\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{4 b^{2}}=1 \\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\end{array}\right.$

(II) 四边形 $\mathrm{OAPB}$ 能为平行四边形，分 2 种情况讨论:

(1)当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时, 直线 $l$ 的方程为 $x=1$ 满足题意;

(2)当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时, 设直线 $l: y=k x+m$, 显然 $k \neq 0, m \neq 0, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, $M\left(x_{M}, y_{M}\right)$.

将 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{m}$ 代入 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$. 得 $\left(4 \mathrm{k}^{2}+1\right) \mathrm{x}^{2}+8 \mathrm{kmx}+4 \mathrm{~m}^{2}-4=0$,

$\Delta=(8 k m)^{2}-4\left(4 k^{2}+1\right)\left(4 m^{2}-4\right)>0, x_{1}+x_{2}=\frac{-8 k m}{4 k^{2}+1}$.
故 $x_{M}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-\frac{4 k m}{4 k^{2}+1}, \quad y_{M}=k x_{M}+m=\frac{m}{4 k^{2}+1}$.

四边形 $\mathrm{OAPB}$ 为平行四边形当且仅当线段 $\mathrm{AB}$ 与线段 $\mathrm{OP}$ 互相平分, 即 $\left\{\begin{array}{l}x_{P}=2 x_{M} \\ y_{P}=2 y_{M}\end{array}\right.$.

则 $\frac{\left(-\frac{8 k m}{4 k^{2}+1}\right)^{2}}{4}+\left(\frac{2 m}{4 k^{2}+1}\right)^{2}=1$.

由直线 $l: y=k x+m(k \neq 0, m \neq 0)$, 过点 $(1,1)$, 得 $m=1$ - $k$.

则 $\frac{\left(16 k^{2}+4\right)(1-k)^{2}}{\left(4 k^{2}+1\right)^{2}}=1$,

则 $\left(4 k^{2}+1\right)(8 k-3)=0$.

则 $k=\frac{3}{8}, m=\frac{5}{8}$. 满足 $\triangle>0$.

所以直线 1 的方程为 $y=\frac{3}{8} x+\frac{5}{8}$ 时, 四边形 $\mathrm{OAPB}$ 为平行四边形.

综上所述: 直线 1 的方程为 $y=\frac{3}{8} x+\frac{5}{8}$ 或 $\mathrm{x}=1$

$$
\begin{array}{r}
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\left\{\frac{3}{a^{2}}+\frac{1}{4 b^{2}}=1\right.
\end{array}
$$

【解析】【分析】(I) 根据题意, 可得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 解得 $\mathrm{a}^{2}$ 与 $\mathrm{b}^{2}$ 的值, 代入椭圆的标准方程即可得答案; (II) 根据题意, 分 2 种情况讨论, (1) 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时, 分析可得直线 $l$ 的方程为 $x=1$ 满足题意; (2) 当直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直时, 设直线 $l$ 为 $y=k x+m$, 分析 $A 、 B 、 M$ 的坐标, 将 $y=k x+m$ 代入 ${ }^{\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1}$. 得 $\left(4 k^{2}+1\right) x^{2}+8 k m x+4 m^{2}-4=0$, 由根与系数的关系可得 $M$ 的坐标, 进而由四边形 $\mathrm{OAPB}$ 为平行四边形当且仅当线段 $\mathrm{AB}$ 与线段 $\mathrm{OP}$ 互相平分可得 $\mathrm{P}$ 的坐标, 代入粗圆的标

准方程可得 $\frac{\left(-\frac{4 k m}{4 k^{2}+1}\right)^{2}}{4}+\left(\frac{2 n}{4 k^{2}+1}\right)^{2}=1$, 进而分析可得 $\frac{\left(16 k^{2}+4\right)(1-k)^{2}}{\left(4 k^{2}+1\right)^{2}}=1$, 解可得 $k 、 m$ 的值, 即可得答案.