(12 分) (1) 用分析法证明: 若 $x>1$, 则 $3 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}>3 x+\frac{1}{x}>3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

(2) 用反证法证明: 若 $a<e^{2}$, 则函数 $f(x)=a x^{2}-4 e^{x}(x>0)$ 无零点.
答案:(1) 证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明: (1) 因为 $x>1$, 所以要证 $3 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}>3 x+\frac{1}{x}$,

只需证 $3 x^{4}+1>3 x^{3}+x$, 即证 $3 x^{3}(x-1)>x-1$,

所以只需证 $3 x^{3}>1$

因为 $x>1$, 所以 $3 x^{3}>3>1$,

故 $3 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}>3 x+\frac{1}{x}$ 得证.

令 $t=\sqrt{x}>1$, 则 $3 x+\frac{1}{x}>3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ 等价于 $3 t^{2}+\frac{1}{t^{2}}>3 t+\frac{1}{t}$,

又因为已证明 $3 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}>3 x+\frac{1}{x}$, 所以 $3 t^{2}+\frac{1}{t^{2}}>3 t+\frac{1}{t}$,

故 $3 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}>3 x+\frac{1}{x}>3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

(2) 假设函数 $f(x)=a x^{2}-4 e^{x}(x>0)$ 有零点,

则方程 $f(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有解, 即 $a=\frac{4 e^{x}}{x^{2}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有解.

设 $g(x)=\frac{4 e^{x}}{x^{2}}(x>0), g^{\prime}(x)=\frac{4 e^{x}(x-2)}{x^{3}}(x>0)$ ，

当 $0<x<2$ 时, $g^{\prime}(x)<0$; 当 $x>2$ 时, $g^{\prime}(x)>0$,

所以 $g(x)_{\min }=g(2)=e^{2}$, 所以 $a \geq e^{2}$, 但这与条件 $a<e^{2}$ 矛盾,

故假设不成立, 即原命题得证.