如图, 正五边形 $A B C D E$ 内接于圆 $O$, 过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线交对角线 $D B$ 的延长线于点 $F$, 则下列结论不成立的是 $(\quad)$

<ImageHere>
$\because$ 五边形 $A B C D E$ 是正五边形,

$\therefore \angle B A E=\angle A B C=\angle C=\frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}, B C=C D$,

$\therefore \angle C B D=\angle C D B=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)=36^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B+\angle A B D=180^{\circ}$,
$\therefore A E / / B D$ ，即 $A E / / B F$ ，

故 $A$ 成立.

如图 1, 连接 $O A, O B$,

<ImageHere>

图 1

$\because$ 五边形 $A B C D E$ 是正五边形,

$\therefore \angle A O B=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$.

$\because O A=O B$,

$\therefore \angle O A B=\angle O B A=\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-72^{\circ}\right)=54^{\circ}$.

$\because F A$ 切 $\odot O$ 于 $A$,

$\therefore \angle O A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle F A B=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$.

$\because \angle A B D=72^{\circ}$,

$\therefore \angle F=72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$,

$\therefore \angle F=\angle F A B$,

$\therefore A B=B F$,

故 $D$ 选项成立.

$\because \angle F=\angle C D B=36^{\circ}$,

$\therefore A F / / C D$,

故 $B$ 选项成立;

如图 2, 连接 $A D$, 过点 $A$ 作 $A H \perp D F$ 于点 $H$,

<ImageHere>

图2

则 $\angle A H F=\angle A H D=90^{\circ}$,

$\because \angle E D C=108^{\circ}, \angle C D B=\angle E D A=36^{\circ}$,

$\therefore \angle A D F=108^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$,

$\therefore \angle A D F=\angle F$,

$\therefore A D=A F$,

$\therefore F H=D H$.

当 $\angle F=30^{\circ}$ 时, $A F=2 A H$,

$\therefore F H=D H=\sqrt{3} A H$, 此时 $D F=\sqrt{3} A F$.

$\because \angle F=36^{\circ}$,

$\therefore D F \neq \sqrt{3} A F$, 故 $C$ 选项不成立.

故选 $C$.