如图所示, 已知抛物线 $y=a x^{2}(a \neq 0)$ 与一次函数 $y=k x+b$ 的图象相交于 $A(-1$, $-1), B(2,-4)$ 两点, 点 $P$ 是抛物线上不与 $A, B$ 重合的一个动点, 点 $Q$ 是 $y$ 轴上的一个动点.

(1) 请直接写出 $a, k, b$ 的值及关于 $x$ 的不等式 $a x^{2}<k x-2$ 的解集;

（2）当点 $P$ 在直线 $A B$ 上方时, 请求出 $\triangle P A B$ 面积的最大值并求出此时点 $P$ 的坐标;

(3) 是否存在以 $P, Q, A, B$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在, 请直接写出 $P$, $Q$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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(1) 利用待定系数法即可求得 $a, k, b$ 的值, 根据图象即可得出不等式的解集; (2)过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线, 两者交于点 $C$, 连接 $P C$. 设点 $P$ 的横坐标为 $m$, 则点 $P$ 的纵坐标为 $-m^{2}$. 过点 $P$ 作 $P D \perp A C$ 于 $D$, 作 $P E \perp B C$ 于 $E$. 则 $D(-1$, $\left.-m^{2}\right), E(m,-4)$, 由此可得 $P D=m+1, P E=-m^{2}+4$. 再根据 $S_{\triangle} A P B=S_{\triangle} A P C+S_{\triangle} B P C$ $-S_{\triangle} A B C$, 代入数据即可得 $S_{\triangle} A P B$ 与 $\mathrm{m}$ 的二次函数关系式, 利用二次函数求最值的方法求得 $\mathrm{m}$ 的值及 $S_{\triangle A P B}$ 的值最大. 再求得点 $\mathrm{P}$ 的坐标即可;（3）(3) 根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可.

【详解】解：（1）把 $A(-1,-1)$, 代入 $y=a x^{2}$ 中, 可得: $a=-1$,

把 $A(-1,-1), B(2,-4)$ 代入 $y=k x+b$ 中, 可得: $\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{k}+\mathrm{b}=-1 \\ 2 \mathrm{k}+\mathrm{b}=-4\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b=-2\end{array}\right.$,

所以 $a=-1, k=-1, b=-2$,

关于 $x$ 的不等式 $a x^{2}<k x-2$ 的解集是 $x<-1$ 或 $x>2$,

(2) 过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线, 过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线, 两者交于点 $C$.

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$\because A(-1,-1), B(2,-4)$,

$\therefore C(-1,-4), A C=B C=3$,

设点 $P$ 的横坐标为 $m$, 则点 $P$ 的纵坐标为 $-m^{2}$.

过点 $P$ 作 $P D \perp A C$ 于 $D$, 作 $P E \perp B C$ 于 $E$. 则 $D\left(-1,-m^{2}\right), E(m,-4)$,

$\therefore P D=m+1, P E=-m^{2}+4$.

$\therefore S_{\triangle A P B}=S_{\triangle A P C+S} B P C-S_{\triangle A B C}$

$=\frac{1}{2} A C \cdot P D+\frac{1}{2} B C \cdot P E-\frac{1}{2} A C \cdot B C$
$=\frac{1}{2} \times 3(m+1)+\frac{1}{2} \times 3\left(-m^{2}+4\right)-\frac{1}{2} \times 3 \times 3$

$=\frac{3}{2} m^{2}+\frac{3}{2} m+3$

$\because-\frac{3}{2}<0, \quad m=\frac{\frac{3}{2}}{2 \times\left(-\frac{3}{2}\right)}=\frac{1}{2}, \quad-1<m<2$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{m}=\frac{1}{2}$ 时, $S_{\triangle A P B}$ 的值最大.

$\therefore$ 当 $m=\frac{1}{2}$ 时, $-m^{2}=-\frac{1}{4}, S \triangle A P B=-\frac{3}{2} m^{2}+\frac{3}{2} \pi+3=3 \frac{3}{8}$,

即 $\triangle P A B$ 面积的最大值为 $3 \frac{3}{8}$, 此时点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$

（3）存在三组符合条件的点,

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当以 $P, Q, A, B$ 为顶点的四边形是平行四边形时,

$\because A P=B Q, A Q=B P, A(-1,-1), B(2,-4)$,

可得坐标如下:

(1) $P^{\prime}$ 的横坐标为 -3 , 代入二次函数表达式,

解得: $P^{\prime}(-3,-9), Q^{\prime}(0,-12)$;

(2) $P^{\prime \prime}$ 的横坐标为 3 , 代入二次函数表达式,

解得: $P^{\prime \prime}(3,-9), Q^{\prime \prime}(0,-6)$;

(3) $P$ 的横坐标为 1 , 代入二次函数表达式,
解得: $P(1,-1), Q(0,-4)$.

故: $P$ 的坐标为 $(-3,-9)$ 或 $(3,-9)$ 或 $(1,-1)$,

$Q$ 的坐标为: $Q(0,-12)$ 或 $(0,-6)$ 或 $(0,-4)$.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养. 要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来, 利用点的坐标的意义表示线段的长度, 从而求出线段之间的关系.

