12. 某种商品每件进价 12 元, 售价 20 元, 每天可卖出 48 件. 若售价降低销售量可以增加, 且售价降低 $x(0 \leqslant x \leqslant 8)$ 元时, 每天多卖出的件数与 $x^{2}+x$ 成正比. 已知商品售价降低 3 元时, 一天可多卖出 36 件。

(1)试将该商品一天的销售利润表示成 $x$ 的函数;

(2)该商品售价为多少元时, 一天的销售利润最大?
：解 (1) 由题意, 可设每天多卖出的件数为 $k\left(x^{2}+x\right)$, 则 $36=k\left(3^{2}\right.$ $+3)$ ，解得 $k=3$.

又每件商品的利润为 $(20-12-x)$ 元, 每天卖出的商品件数为 48 $+3\left(x^{2}+x\right)$,

$\therefore$ 该商品一天的销售利润为

$$
\begin{aligned}
& f(x)=(8-x)\left[48+3\left(x^{2}+x\right)\right] \\
& =-3 x^{3}+21 x^{2}-24 x+384(0 \leqslant x \leqslant 8) \\
& (2) f^{\prime}(x)=-9 x^{2}+42 x-24=-3(x-4)(3 x-2)
\end{aligned}
$$

令 $f^{\prime}(x)=0$, 可得 $x=\frac{2}{3}$ 或 $x=4$.

当 $x$ 变化时, $f^{\prime}(x) 、 f(x)$ 的变化情况如下表:

| $x$ | 0 | $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ | $\frac{2}{3}$ | $\left(\frac{2}{3}, 4\right)$ | 4 | $(4,8)$ | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f^{\prime}(x)$ |  | - | 0 | + | 0 | - |  |
| $f(x)$ | 384 | $\searrow$ | 极小值 |  | 极大值 | $\searrow$ | 0 |

$\therefore$ 当 $x=4$ 时, $f(x)$ 有极大值 432 , 也是最大值.

故当商品售价为 16 元时, 一天销售利润最大, 最大值为 432 元.