设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,(a+b+c)(a-b+c)=a c, \sin A \sin C=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$, 则
角 $C=(\quad)$
因为 $(a+b+c)(a-b+c)=a c$ ，所以 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=-a c$.

由余弦定理得, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=-\frac{1}{2}$ ，

因此 $B=120^{\circ}$, 所以 $A+C=60^{\circ}$, 所以 $\cos (A-C)=\cos A \cos C+\sin A \sin C$

$=\cos A \cos C-\sin A \sin C+2 \sin A \sin C=\cos (A+C)+2 \sin A \sin C$

$=\frac{1}{2}+2 \times \frac{\sqrt{3}-1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故 $A-C=30^{\circ}$ 或 $A-C=-30^{\circ}$, 因此, $C=15^{\circ}$ 或 $C=45^{\circ}$, 故选 $\mathrm{A}$ 。