如图, 已知 $A B / / C D$, 点 $E, F$ 分别在直线 $A B, C D$ 上, 点 $P$ 在 $A B, C D$ 之间且在 $E F$ 的左侧. 若将射线 $E A$ 沿 $E P$ 折叠, 射线 $F C$ 沿 $F P$ 折叠, 折叠后的两条射线互相垂直, 则 $\angle E P F$ 的度数为 $\qquad$ .
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【答案】 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$

解: 如图1, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,

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图1

$\because A B / / C D$,

$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M=\angle E M N, \angle N M F=\angle M F C$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=90^{\circ}$,

同理可得 $\angle P=\angle A E P+\angle C F P$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=\frac{1}{2}(\angle A E M+\angle C F M)=45^{\circ}$;

如图2, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,

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图2

$\because A B / / C D$,
$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M N=180^{\circ}, \angle N M F+\angle M F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M F+\angle C F M=360^{\circ}$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=270^{\circ} \times \frac{1}{2}=135^{\circ}$,

综上所述: $\angle E P F$ 的度数为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.

故答案为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.