已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 , 高为 $\mathbf{1}$, 过顶点 $\boldsymbol{A}$ 作一平面 $\alpha$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 交于 $\boldsymbol{E F}$, 且 $\boldsymbol{E F} / / \boldsymbol{B C}$, 若平面 $\alpha$ 与底面 $\boldsymbol{A B C}$ 所成二面角的大小为 $x\left(0<x \leq \frac{\pi}{6}\right)$, 四边形 $\boldsymbol{B C E F}$ 面积为 $y$, 则函数 $y=f(x)$ 的图像大致是 ( )
【分析】

先作出平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角的平面角为 $X$, 如图为 $\angle G A H$, 在直角三角形 $A G H$ 中用 $x$,及 $A H=\sqrt{3}$ 表示出 $G H$,再利用四边形 $B C E F$ 面积为 $y=B C \times G H$ 求出 $f(x)$, 根据解析式, 作出简图, 即可得到答案.

## 【详解】

作图如下:

<ImageHere>

过 $\mathrm{A}$ 作 $A M \| B C$,

$H, G$ 分别是 $B C, E F$ 中点,

则 $A H \perp B C$,

所以 $A H \perp A M$

在等腰三角形 $\triangle A E F$ 中,

$A G \perp E F$,

$\because E F / / B C$,

$\therefore A G \perp A M$

所以 $\angle G A H$ 是平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成角的平面角.

$\therefore \angle G A H=X$,

$\tan x=\frac{G H}{A H}$,

$\therefore G H=\sqrt{3} \tan x$,
所以四边形 $B C E F$ 面积为:

$y=f(x)$

$=B C \times G H$

$=2 \sqrt{3} \tan x$

根据正切函数图象可知 C 符合.

故选:C

## 【点睛】

本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明 $\angle G A H$ 是平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.