已知函数 $f(x)$ 对一切 $a, b$ 都有 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$.

(1)求 $f(0)$;

(2)求证: $f(x)$ 是奇函数;

(3) 若 $F(x)=a f(x)+b x^{5}+c x^{3}+2 x^{2}+d x+3$, 已知 $F(-5)=7$, 求 $F(5)$.
(1) : 函数 $f(x)$ 对一切 $a, b$ 都有 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$,

$\therefore$ 令 $a=b=0$ 得 $f(0 \times 0)=0 \times f(0)+0 \times f(0)$,

即 $f(0)=0$.

(2)证明: 令 $a=b=1$ 得, $f(1 \times 1)=1 \times f(1)+1 \times f(1)$, 即 $f(1)=0.21$ 世纪教育网

令 $a=b=-1$ 得, $f[(-1) \times(-1)]=(-1) \times f(-1)+(-1) \times f(-1)$, 即 $f(-1)=0$.

令 $a=-1, b=x$ 得, $f[(-1) \times x]=x f(-1)+(-1) f(x)$,

即 $f(-x)=x f(-1)-f(x)$,

$\because f(-1)=0, \quad \therefore f(-x)=-f(x)$,

$\therefore f(x)$ 是奇函数.

(3) $\because f(x)$ 是奇函数,

$\therefore f(-5)=-f(5)$.

$\because F(x)=a f(x)+b x^{5}+c x^{3}+2 x^{2}+d x+3$, 且 $F(-5)=7$,
$\therefore a f(-5)+b \times(-5)^{5}+c \times(-5)^{3}+2 \times(-5)^{2}+d \times(-5)+3=7$,

即 $a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+d \times 5=46$.

$\therefore F(5)=a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+2 \times 5^{2}+d \times 5+3=46+50+3=99$.