如图, 过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} Q \perp G_{1} G_{2}, \triangle Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形, 则粗圆的离心率为 ( )

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解析：解答：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 $2 \mathrm{a}, 2 \mathrm{~b}, 2 \mathrm{c}$.

$\because \triangle \mathrm{QF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 是等腰直角三角形,
$\therefore \mathrm{QF}_{1}=\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}=2 \mathrm{c}, \mathrm{QF}_{2}=2 \sqrt{2} \mathrm{c}$.

由粗圆的定义, 得 $\mathrm{QF}_{1}+\mathrm{QF}_{2}=2 \mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{e}=\frac{2 \mathrm{c}}{2 \mathrm{a}}=\frac{2 \mathrm{c}}{2 \mathrm{c}+2 \sqrt{2} \mathrm{c}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.

分析: 本题主要考查了平面与圆柱面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线的性质结合粗圆性质计算即可