如图, 平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $a c m^{2}$, 对角线交于点 $O$; 以 $A B 、 A O$ 为邻边作平行四边形 $A O C_{1} B$, 连接 $A C_{1}$ 交 $B D$ 于 $O_{1}$, 以 $A B 、$ $A O_{1}$ 为邻边作平行四边形 $A O_{1} C_{2} B ; \ldots ;$ 依此类推, 则平行四边形 $A O_{n-1} C_{n} B$ 的面积为 $(\quad) \mathrm{cm}^{2}$.

<ImageHere>
:四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore O_{1} A=O_{1} C_{1}, O_{1} B=O_{1} O$,

$$
\therefore S_{\triangle A O_{1} B}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C_{1}}
$$

$=\frac{1}{4} S_{\square A B C D}=\frac{a}{4} \mathrm{~cm}^{2}$,
$\therefore$ 平行四边形 $A B C_{1} O$ 的面积是: $\frac{a}{2} \mathrm{~cm}^{2}$,

同理平行四边形 $A B C_{2} O_{1}$ 的面积是 $\frac{a}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} a \mathrm{~cm}^{2}$,

平行四边形 $A B C_{3} O_{2}$ 的面积是 $\frac{a}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3} a c m^{2}$,

平行四边形 $A B C_{4} O_{3}$ 的面积是 $\frac{a}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4} a \mathrm{am}^{2}$,

平行四边形 $A B C_{5} O_{4}$ 的面积是 $\frac{a}{32}=\left(\frac{1}{2}\right)^{5} \mathrm{~cm}^{2}$,

...以此类推 $A O_{n-1} C_{n} B$ 的面积为: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n} a$.

故选 $B$.