11. 一顶点在坐标原点, 焦点在 $x$ 轴上的抛物线截直线 $2 x-y-4$ $=0$ 所得的弦长为 $3 \sqrt{5}$, 求抛物线的方程.
：解 设抛物线方程为 $y^{2}=2 p x(p \neq 0)$ ，

将直线方程 $y=2 x-4$ 代入，并整理得

$2 x^{2}-(8+p) x+8=0$.

设方程的两个根为 $x_{1}, x_{2}$, 则根据韦达定理有

$x_{1}+x_{2}=\frac{8+p}{2}, x_{1} x_{2}=4$.

由弦长公式，得

$(3 \sqrt{5})^{2}=\left(1+2^{2}\right)\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}\right]$,

即 $9=\left(\frac{8+p}{2}\right)^{2}-16$.

整理得 $p^{2}+16 p-36=0$,

解得 $p=2$, 或 $p=-18$, 此时 $\Delta>0$.

故所求的抛物线方程为 $y^{2}=4 x$, 或 $y^{2}=-36 x$.