已知函数 $y=\sin x+a \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$, 的最小值为 $a$, 则实数 $a$ 的取值范围是
答案:C

【解析】

因为 $y=\sin x+a \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 的最小值为 $a$ 且 $x=0$ 时 $y=a$,

故 $\sin x+a \cos x \geq a, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 恒成立, 也就是 $a(1-\cos x) \leq \sin x$,

当 $x=0$ 时, 有 $a \in R$;

当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$ 时, 有 $a \leq \frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}$, 故 $a \leq \sqrt{3}$,

所以选 C.