如图, $\triangle A B C$ 为正三角形, $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}, C C_{1} \perp$ 底面 $A B C$, 若 $B B_{1}=2 A A_{1}=2$, $A B=C C_{1}=3 A A_{1}$, 则多面体 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 在平面 $A_{1} A B B_{1}$ 上的投影的面积为

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根据题意, 多面体 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 在平面 $A_{1} A B B_{1}$ 上的投影是几何体的正视图, 如图所示;

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所以该投影面的面积为 $3 \times 3-\frac{1}{2} \times 2 \times 1.5-\frac{1}{2} \times 1 \times 1.5=\frac{27}{4}$, 故选 A.