已知实数 $a 、 b$, 满足 $b-a=1$, 则代数式 $a^{2}+2 b-6 a+7$ 的最小值等于 $\qquad$ .

解: $\because b-a=1$,

$\therefore b=a+1$,

$$
\therefore a^{2}+2 b-6 a+7
$$

$$
\begin{aligned}
& =a^{2}+2(a+1)-6 a+7 \\
& =a^{2}+2 a+2-6 a+7 \\
& =a^{2}-4 a+4+5
\end{aligned}
$$

$=(a-2)^{2}+5$,

$\therefore$ 代数式 $a^{2}+2 b-6 a+7$ 的最小值等于 5 ,

故答案为: 5 .

由题意得 $b=a+1$, 代入代数式 $a^{2}+2 b-6 a+7$ 可得 $(a-2)^{2}+5$, 故此题的最小值是 5 .

此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力, 关键是掌握二次函数的性质.

