如图, 点 $P$ 是函数 $y=\frac{k_{1}}{x}\left(k_{1}>0, x>0\right)$ 的图像上一点, 过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线, 垂足分别为点 $A 、 B$, 交函数 $y=\frac{k_{2}}{x}\left(k_{2}>0, x>0\right)$ 的图像于点 $C 、 D$, 连接 $O C 、 O D$ 、 $C D 、 A B$, 其中 $k_{1}>k_{2}$, 下列结论: (1) $C D / / A B$; (2) $S_{\triangle O C D}=\frac{k_{1}-k_{2}}{2}$; (3) $S_{\triangle D C P}=\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}}$,其中正确的是（ ）

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设 $P\left(m, \frac{k_{1}}{m}\right)$, 分别求出 $A, B, C, D$ 的坐标, 得到 $P D, P C, P B, P A$ 的长, 判断 $\frac{P D}{P B}$ 和 $\frac{P C}{P A}$ 的关系, 可判断(1); 利用三角形面积公式计算, 可得 $\triangle P D C$ 的面积, 可判断(3);再利用 $S_{\triangle O C D}=S_{O A P B}-S_{\triangle O B D}-S_{\triangle O C A}-S_{\triangle D P C}$ 计算 $\triangle O C D$ 的面积, 可判断(2).

【详解】解: $\because P B \perp y$ 轴, $P A \perp x$ 轴, 点 $P$ 在 $y=\frac{k_{1}}{x}$ 上, 点 $C, D$ 在 $y=\frac{k_{2}}{x}$ 上,设 $P\left(m, \frac{k_{1}}{m}\right)$,

则 $C\left(m, \frac{k_{2}}{m}\right), A(m, 0), B\left(0, \frac{k_{1}}{m}\right)$, 令 $\frac{k_{1}}{m}=\frac{k_{2}}{x}$,

则 $x=\frac{k_{2} m}{k_{1}}$, 即 $D\left(\frac{k_{2} m}{k_{1}}, \frac{k_{1}}{m}\right)$,

$\therefore P C=\frac{k_{1}}{m}-\frac{k_{2}}{m}=\frac{k_{1}-k_{2}}{m}, P D=m-\frac{k_{2} m}{k_{1}}=\frac{m\left(k_{1}-k_{2}\right)}{k_{1}}$,

$\because \frac{P D}{P B}=\frac{\frac{m\left(k_{1}-k_{2}\right)}{k_{1}}}{m}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}}, \frac{P C}{P A}=\frac{\frac{k_{1}-k_{2}}{m}}{\frac{k_{1}}{m}}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}}$, 即 $\frac{P D}{P B}=\frac{P C}{P A}$,

又 $\angle D P C=\angle B P A$ ，

$\therefore \triangle P D C \sim \triangle P B A$,

$\therefore \angle P D C=\angle P B C$,

$\therefore C D / / A B$, 故(1)正确;

$\triangle P D C$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times P D \times P C=\frac{1}{2} \times \frac{m\left(k_{1}-k_{2}\right)}{k_{1}} \times \frac{k_{1}-k_{2}}{m}=\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}}$, 故(3)正确;

$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle O C D}=S_{O A P B}-S_{\triangle O B D}-S_{\triangle O C A}-S_{\triangle D P C} \\
& =k_{1}-\frac{1}{2} k_{2}-\frac{1}{2} k_{2}-\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}} \\
& =k_{1}-k_{2}-\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}} \\
& =\frac{2 k_{1}\left(k_{1}-k_{2}\right)}{2 k_{1}}-\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}} \\
& =\frac{2 k_{1}^{2}-2 k_{1} k_{2}-\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2}}{2 k_{1}}
\end{aligned}
$$

$=\frac{k_{1}^{2}-k_{2}^{2}}{2 k_{1}}$, 故(2)错误;

故选 B.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质, $k$ 的几何意义, 相似三角形的判定和性质, 解题关键是表示出各点坐标, 得到相应线段的长度.

