已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边, 且满足 $\sin A+\sqrt{3} \sin C=3 \sin B, b=3 \sqrt{3}$,当角 $B$ 最大时 $\triangle A B C$ 的面积为
已知等式利用正弦定理化简得 $a+\sqrt{3} c=3 b$,

由余弦定理 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 可知

$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-\frac{(a+\sqrt{3} c)^{2}}{9}}{2 a c}=\frac{a^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}+3 c^{2}+2 \sqrt{3} a c}{9}}{2 a c}=\frac{4}{9} \cdot \frac{a}{c}+\frac{1}{3} \cdot \frac{c}{a}-\frac{\sqrt{3}}{9}$ 当角 $B$ 最大

时，则 $\cos B$ 最小，

由基本不等式可得 $\cos B=\frac{4}{9} \cdot \frac{a}{c}+\frac{1}{3} \cdot \frac{c}{a}-\frac{\sqrt{3}}{9} \geq \frac{4 \sqrt{3}}{9}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

当且仅当 $\frac{4}{9} \cdot \frac{a}{c}=\frac{1}{3} \cdot \frac{c}{a}$, 即 $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时, 取等号.

代入 $a+\sqrt{3} c=3 b$, 可得 $a: b: c=\sqrt{3}: \sqrt{3}: 2$,

因为 $b=3 \sqrt{3}$, 所以 $a=3 \sqrt{3}, c=6$,

在等腰 $\triangle A B C$ 中, 求得底边上的高为 $h=3 \sqrt{2}, S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{2} \times 6=9 \sqrt{2}$,

故答案为 $9 \sqrt{2}$.