在空间直角坐标系中, 点 $A(-1,2, m)$ 和点 $B(3,-2,2)$ 的距离为 $4 \sqrt{2}$, 则实数 $m$ 的值为
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,-1,-3), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,-2,1)$, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{11},|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=3$.$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-2+2-3=-3 . \quad 	herefore \cos <\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}>=rac{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}=rac{-3}{3 \sqrt{11}}=-rac{\sqrt{11}}{11}$.(2) $ecause$ 向量 $3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 与向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\mathrm{k} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 垂直, $	herefore(3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+k \overrightarrow{\mathrm{AC}})=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}+(3 \mathrm{k}-1) \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-k \overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}=0$, $3 	imes 11+(3 \mathrm{k}-1) 	imes(-3)-9 \mathrm{k}=0$, 解得 $\mathrm{k}=2$.