（2020 春・海珠区校级月考）设关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-a x+b^{2}=0 （ a, b \in \mathbf{R} ）$.

(1) 若 $a$ 是从 $0,1,2,3,4$ 五个数中任取的一个数, $b$ 是从 $0,1,2$ 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;

(2) 若 $a$ 是从区间 $[0,4]$ 上任取的一个数, $b$ 是从区间 $[0,2]$ 上任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
解：（1）设事件 $A$ 为 “方程有实根”,

则所有基本事件为: $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1)$ （1,2)，(2,0),
$(2,1),(2,2)$
$(3,0)$,
$(3,1)$
$(3,2)$
$(4,0),(4,1)$,
$(4,2)$ ，共 15

个,

其中第一个数字表示 $a$ 的值, 第二个数字表示 $b$ 的值,

$\because$ 方程有实根, $\therefore \triangle=a^{2}-4 b^{2} \geqslant 0$,

$\therefore a \geqslant 2 b$,

$\therefore$ 事件 $A$ 包含 9 个基本事件：（0，0）（1,0）（2，0），（2，1），（3，0）（3,1）, $(4,0),(4,1),(4,2)$,

$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.

（2）由题意可知, 试验的全部结果所构成的区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2\end{array}\right.$,

满足方程有实根的条件构成区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2, \\ a \geq 2 b\end{array}\right.$,

画出图形, 如图所示

<ImageHere>
则正方形 $A B C D$ 的面积为 $8, \triangle A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2=4$,

$\therefore$ 所求的概率 $P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.