若复数 $z_{1 \text { 满足 }}\left(z_{1}-2+i\right)(1+i)=1-i$ ( $i$ 为虚数单位), 复数 $z_{2}$ 的虚部为 2 , 且 $z_{1} z_{2}$ 是实数,求 $z_{2}$.
答案: 【解析】由已知, $z_{1}=2-i+\frac{1-i}{1+i}=2-i-i=2-2 i$,

设 $z_{2}=a+2 i, a \in R$, 则 $z_{1} z_{2}=2(1-i)(a+2 i)=2(a+2+(2-a) i)$,

因 $z_{1} z_{2}$ 是实数, 所以 $2-a=0$, 即 $a=2$, 所以 $z_{2}=2+2 i$.

【分析】先利用复数的除法运算得到 $z_{1}=2-2 i$, 再设 $z_{2}=a+2 i, a \in R$, 利用 $z_{1} z_{2}$ 是实数得到 a.