如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, $P A=P D, E, F$ 分别为 $A D, P B$ 的中点.

(1) 求证: $P E \perp B C$;

(2) 求证: $E F / /$ 平面 $P C D$.

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【分析】

(1)先证明 $\mathrm{PE} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{PE} \perp \mathrm{BC}$ 即得证.(2) 取 $P C$ 中点 $G$, 连接 $F G, G D$. 证明 $E F \| G D ，$ 再证明 $E F / /$ 平面 PCD.

【详解】

(1) $\because P A=P D$, 且 $E$ 为 $A D$ 的中点, $\therefore P E \perp A D$.

$\because$ 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $P A D \cap$ 平面 $A B C D=A D$,

$\therefore P E \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because B C \subset$ 面 $A B C D, \therefore P E \perp B C$.

(2) 如图, 取 $P C$ 中点 $G$, 连接 $F G, G D$.

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$\because F, G$ 分别为 $P B$ 和 $P C$ 的中点, $\therefore F G \| B C$, 且 $F G=\frac{1}{2} B C$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形, 且 $E$ 为 $A D$ 的中点,
$\therefore E D \| B C, D E=\frac{1}{2} B C$,

$\therefore E D \| F G$, 且 $E D=F G, \therefore$ 四边形 $E F G D$ 为平行四边形,

$\therefore E F \| G D$.

又 $E F \not \subset$ 平面 $P C D, G D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore E F \|$ 平面 $P C D$.

## 【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明, 意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.