如图, $O A, O B, O C$ 都是 $\odot O$ 的半径, $\angle A C B=2 \angle B A C$.

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(1)求证: $\angle A O B=2 \angle B O C$;

(2)若 $A B=4, B C=\sqrt{5}$, 求 $\odot O$ 的半径.


(1)由圆周角定理得出, $\angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B, \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C$, 再根据 $\angle A C B=2 \angle B A C$,即可得出结论;

(2) 过点 $O$ 作半径 $O D \perp A B$ 于点 $E$, 根据垂径定理得出 $\angle D O B=\frac{1}{2} \angle A O B, A E=B E$, 证明 $\angle D O B=\angle B O C$, 得出 $B D=B C$, 在 Rt $\triangle B D E$ 中根据勾股定理得出 $D E=\sqrt{B D^{2}-B E^{2}}=1$,在 Rt $\triangle B O E$ 中, 根据勾股定理得出 $O B^{2}=(O B-1)^{2}+2^{2}$, 求出 $O B$ 即可.

【详解】(1) 证明: $\because A B=A B$,

$\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B$,

$\because B C=B C$,

$\therefore \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C$,

$\because \angle A C B=2 \angle B A C$,

$\therefore \angle A O B=2 \angle B O C$.

(2) 解: 过点 $O$ 作半径 $O D \perp A B$ 于点 $E$, 则 $\angle D O B=\frac{1}{2} \angle A O B, A E=B E$,

$\because \angle A O B=2 \angle B O C$,

$\therefore \angle D O B=\angle B O C$,

$\therefore B D=B C$,

$\because A B=4, B C=\sqrt{5}$,

$\therefore B E=2, D B=\sqrt{5}$,

在 Rt $\triangle B D E$ 中, $\because \angle D E B=90^{\circ}$

$\therefore D E=\sqrt{B D^{2}-B E^{2}}=1$,

在 Rt $\triangle B O E$ 中, $\because \angle O E B=90^{\circ}$,

$\therefore O B^{2}=(O B-1)^{2}+2^{2}$,

$\therefore O B=\frac{5}{2}$, 即 $\odot O$ 的半径是 $\frac{5}{2}$.

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【点睛】本题主要考查了勾股定理, 垂径定理, 圆周角定理, 解题的关键是作出辅助线, 熟练掌握圆周角定理.

