8. $n$ 个正数与这 $n$ 个正数的倒数的乘积的和的最小值为
:解答:设 $0<a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \cdots \leq a_{n}$, 则 $0<a_{n}^{-1} \leq a_{n-1}^{-1} \leq \cdots \leq a_{1}^{-1}$, 则由排序不等

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$\therefore$ 最小值为反序和 $a_{1} \cdot a_{1}^{-1}+a_{2} \cdot a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n} \cdot a_{n}^{-1}=n$.

分析: 本题主要考查了排序不等式, 解决问题的关键是 $0<a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \cdots \leq a_{n}$,则 $0<a_{n}^{-1} \leq a_{n-1}^{-1} \leq \cdots \leq a_{1}^{-1}$, 由排序不等式得: 反序和 $\leq$ 乱序和 $\leq$ 顺序计算即可