如图是一个高为 4 长方体截去一个角所得的多面体的直观图及它的正 (主) 视图和侧 (左) 视图 (单位: $\mathrm{cm}$ )

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正视

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侧视

(1) 求异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $D^{\prime} B^{\prime}$ 所成角的余弦;

(2) 将求异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $E F$ 所成的角转化为求一个三角形的内角即可, 要求只写出找角过程, 不需计算结果;

（3）求异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $D B^{\prime}$ 所成的角; 要求同 (2).
【分析】

(1) 由题意得: 长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $A B=6, B C=C C^{\prime}=4, E 、 F 、 G$分别是边 $A A^{\prime} 、 A^{\prime} B^{\prime} 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 上的点, 且 $A^{\prime} E=A^{\prime} F=A^{\prime} G=2$, 又由 $D B / / D^{\prime} B^{\prime}$, 找到角 $\angle D B C^{\prime}$ 为所求角, 运用余弦定理求解;

(2) 连 $A D^{\prime}, \angle G E F$ 为异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $E F$ 所成的角（或补角);

(3) 连 $B C$ 交 $B C^{\prime}$ 于点 $M$, 取 $D C$ 中点 $N$, 连 $M N, B N, \angle N M B$ 为异面直线 $B C^{\prime}$与 $D B^{\prime}$ 所成的角（或补角）.

## 【详解】

(1) 由题意得: 长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $A B=6, B C=C C^{\prime}=4, E 、 F 、 G$分别是边 $A A^{\prime} 、 A^{\prime} B^{\prime} 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 上的点, 且 $A^{\prime} E=A^{\prime} F=A^{\prime} G=2$,

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连 $D B 、 D C^{\prime} 、 D^{\prime} B^{\prime}$, 则 $D B / / D^{\prime} B^{\prime}$,

$\therefore \angle D B C^{\prime}$ 为所求直线 $D^{\prime} B^{\prime} 、 B C^{\prime}$ 所成的角 (或补角),

在 $\triangle D B C^{\prime}$ 中, $D B=D C^{\prime}=2 \sqrt{13}, B C^{\prime}=4 \sqrt{2}$,

$\cos \angle D B C^{\prime}=\frac{D B^{2}+C^{\prime} B^{2}-C^{\prime} D^{2}}{2 D B \cdot C^{\prime} B}=\frac{\sqrt{26}}{13}$
$\therefore$ 异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $D^{\prime} B^{\prime}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{13}$

(2) 连 $A D^{\prime}$,

由题知: $E 、 G$ 分别是边 $A A^{\prime} 、 A^{\prime} D^{\prime}$ 上的中点,

$\therefore B C^{\prime} / / A D^{\prime} / / G E$,

$\therefore \angle G E F$ 为异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $E F$ 所成的角（或补角）.

(3) 连 $B C$ 交 $B C^{\prime}$ 于点 $M$, 取 $D C$ 中点 $N$, 连 $M N, B N$,

则有 $M N / / D B^{\prime}, \therefore \angle N M B$ 为异面直线 $B C^{\prime}$ 与 $D B^{\prime}$ 所成的角（或补角）.

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## 【点睛】

本题主要考查了三视图, 异面直线所成角的计算, 余弦定理的运用, 同时考查了学生直观想象和逻辑推理能力, 属于中档题.求异面直线所成角的步骤:

(1) 一作(找): 根据定义作平行线, 作出异面直线所成的角; 或用中位线平移, 找出异面直线所成的角;

（2）二证：证明作（找）出的角是异面直线所成的角;

（3）三求: 解三角形，求出异面直线所成的角.