如图, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形, $\angle B A C=45^{\circ}, B C=5, \odot O$ 的直径为 $(\quad)$

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  （第 3 题）

  
作 $\odot O$ 的直径 $B D$, 连接 $C D$, 根据圆周角定理可得 $\angle B C D=90^{\circ}, \angle B D C=\angle B A C$ $=45^{\circ}$, 继而可求得 $C D=B C=5$, 然后利用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：作 $\odot O$ 的直径 $B D$, 连接 $C D$,

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则 $\angle B C D=90^{\circ}$,

由圆周角定理得, $\angle B D C=\angle B A C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle B D C$,

$\therefore C D=B C=5$,

$\therefore B D=\sqrt{B C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5 \sqrt{2}$,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 正确添加辅助线, 熟练掌握和灵活运用圆周角定理是解题的关键.

