20. 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列, $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=b_{1}=1, b_{2}+b_{3}=2 a_{3}$, $a_{5}-3 b_{2}=7$.

( I ) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(II) 设 $c_{n}=a_{n} b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(I) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 由题意 $q>0$, 由已知, 有 $\left\{\begin{array}{l}2 q^{2}-3 d=2, \\ q^{4}-3 d=10,\end{array}\right.$
消去 $d$, 整数得 $q^{4}-2 q^{2}-8=0$, 又因为 $q>0$, 解得 $q=2, d=2$, 所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=2^{n-1}, n \in \mathbf{N}^{*}$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式为 $b_{n}=2 n-1, n \in \mathbf{N}^{*}$.

(II) 解: 由 (I) 有 $c_{n}=(2 n-1) 2^{n-1}$, 设 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $S_{n}$, 则

$S_{n}=1 \times 2^{\circ}+3 \times 2^{1}+5 \times 2^{2}+\cdots+(2 n-1) \times 2^{n-1}$,

$2 S_{n}=1 \times 2^{1}+3 \times 2^{2}+5 \times 2^{3}+\cdots+(2 n-1) \times 2^{n}$,

两式相减得 $-S_{n}=1+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}-(2 n-1) \times 2^{n}=-(2 n-3) \times 2^{n}-3$,

所以 $S_{n}=(2 n-3) 2^{n}+3$.