(12 分) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-p x+25=0(p \in \mathbf{R})$ 的两根为 $x_{1} 、 x_{2}$.

(1) 若 $x_{1}=3+4 \mathrm{i}$, 求 $p$ 的值;

(2) 若 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=1$, 求实数 $p$ 的值.
(1) 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-p x+25=0(p \in \mathbf{R})$ 的一根为 $x_{1}=3+4 \mathrm{i}$,所以, $(3+4 \mathrm{i})^{2}-p(3+4 \mathrm{i})+25=(18-3 p)+(24-4 p) \mathrm{i}=0$,所以, $18-3 p=24-4 p=0$, 解得 $p=6$.(2) $\Delta=p^{2}-100$, 由题意得 $\left\{egin{array}{l}x_{1}+x_{2}=p \ x_{1} x_{2}=25\end{array}
ight.$.若 $\Delta \geq 0$, 即 $p^{2} \geq 100$, 则,解得 $p= \pm \sqrt{101}$ ；若 $\Delta<0$, 即 $p<100$, 由 $x^{2}-p x+25=0$ ，可得 $\left(x-rac{p}{2}
ight)^{2}=rac{p^{2}-100}{4}=\left(rac{\sqrt{100-p^{2}}}{2} i
ight)^{2}$,解得 $x_{1}=rac{p}{2}+rac{\sqrt{100-p^{2}}}{2} i, x_{2}=rac{p}{2}-rac{\sqrt{100-p^{2}}}{2} i$,则, 解得 $p= \pm 3 \sqrt{11}$ ，综上所述, $p= \pm \sqrt{101}$ 或 $p= \pm 3 \sqrt{11}$.