如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为矩形, $P A \perp$ 面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点.

(1) 证明: $P B / /$ 平面 $A E C$;

(2) 设 $A P=1, A D=\sqrt{3}$, 三棱雉 $P-A B D$ 的体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}$, 求 $\mathbf{A}$ 到平面 $\mathbf{P B C}$ 的距离.

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【分析】

## 【详解】

试题分析: (1) 连结 $\mathrm{BD} 、 \mathrm{AC}$ 相交于 $\mathrm{O}$, 连结 $\mathrm{OE}$, 则 $\mathrm{PB} / / \mathrm{OE}$, 由此能证明 $\mathrm{PB} / /$ 平面 ACE. (2) 以 $A$ 为原点, $A B$ 为 $x$ 轴, $A D$ 为 $y$ 轴, $A P$ 为 $z$ 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 $\mathrm{A}$ 到平面 PBD 的距离

试题解析：(1) 设 $\mathrm{BD}$ 交 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{O}$, 连结 EO.

因为 $\mathrm{ABCD}$ 为矩形, 所以 $\mathrm{O}$ 为 $\mathrm{BD}$ 的中点.

又 $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{PD}$ 的中点, 所以 $\mathrm{EO} / / \mathrm{PB}$
又 $\mathrm{EO} \subset$ 平面 $\mathrm{AEC}, \mathrm{PB} \not \subset$ 平面 $\mathrm{AEC}$

所以 $\mathrm{PB} / /$ 平面 $\mathrm{AEC}$.

(2) $V=\frac{1}{6} P A \cdot A B \cdot A D=\frac{\sqrt{3}}{6} A B$

由 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}$, 可得 $A B=\frac{3}{2}$.

作 $A H \perp P B$ 交 $P B$ 于 $H$.

由题设易知 $B C \perp$ 平面 $P A B$, 所以 $B C \perp A H$

故 $A H \perp$ 平面 $P B C$,

又 $A H=\frac{P A \cdot A B}{P B}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ 所以 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

法 2: 等体积法

$V=\frac{1}{6} P A \cdot A B \cdot A D=\frac{\sqrt{3}}{6} A B$

由 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}$, 可得 $A B=\frac{3}{2}$.

由题设易知 $B C \perp$ 平面 $P A B$, 得 $\mathrm{BC} \perp P B$

假设 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\mathrm{d}$,

又因为 $\mathrm{PB}=\sqrt{P A^{2}+A B^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$,

所以 $V_{A-P B C}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{13}}{2} \times d=\frac{\sqrt{39}}{12} d$

又因为 $V_{P-A B C}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \sqrt{3} \times 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (或 $V_{P-A B C}=V_{P-A B D}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ ),

$V_{A-P B C}=V_{P-A B C}$,

所以 $d=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

考点: 线面平行的判定及点到面的距离