已知如图, $\triangle A B C$ 是等边三角形, 分别以点 $A 、 B 、 C$ 为圆心, $A B$ 长为半径作圆,得到弧 $A B 、 B C 、 A C, A E \perp B C, D$ 为 $A C$ 上任一点, 连接 $B D$, 则 $\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ .

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    (第 15 题)


根据等边三角形的三线合一得出 $B E=C E=\frac{1}{2} B C$, 设 $B C=x$, 则 $A B=B C=A C=x$, $B E=C E=\frac{1}{2} x$, 根据勾股定理得出 $A E=\frac{\sqrt{3}}{2} x$, 然后根据圆的定义可知 $B D=x$, 从而得出答案.

【详解】解: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形, $A E \perp B C$,

$\therefore A B=B C=A C, \quad B E=C E=\frac{1}{2} B C$

设 $B C=x$

则 $A B=B C=A C=x, B E=C E=\frac{1}{2} x$

在 Rt $\triangle A E B$ 中, $A B^{2}=A E^{2}+B E^{2}$

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} x$

$\because$ 点 $A 、 D 、 C$ 都在弧 $A C$ 上, 且弧 $A C$ 是以 $B$ 为圆心, $A B$ 长为半径作的圆,

$\therefore B D=B C=A B=x$

$\therefore \frac{A E}{B D}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故答案为: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【点睛】本题考查了圆的概念, 等边三角形的性质以及勾股定理, 熟练掌握性质和概念是解题的关键.

