（2021 秋-南安市期中）数学活动课上, 老师准备了若干个如图 1 的三种纸片, $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形, $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形, $C$ 种纸片是长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形. 并用 $A$ 种纸片一张, $B$ 种纸片一张, $C$ 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形. 利用图 2 正方形面积的不同表示方法,
可以验证公式: $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. (1) 类似的, 请你用图 1 中的三种纸片拼一个图形验证: $(a+b)$ $(a+2 b)=a^{2}+3 a b+2 b^{2}$, 请画出图形. (2) 已知: $a+b=5, a^{2}+b^{2}=13$, 求 $a b$ 的值; (3) 已知 (2021 $-a)^{2}+(a-2020)^{2}=4043$, 求 $(2021-a)(a-2020)$ 的值; (4) 已知 $(a-2020)^{2}+(a-2022)$ ${ }^{2}=64$, 求 $(a-2021)^{2}$ 的值.
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图1
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图2
（1）结合算式拼图即可;

(2) 由 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ 可推导出 $a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}$ 进行计算即可;

(3) 由 $a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}$ 代入计算即可;

(4) 设 $a-2020=x, a-2022=y$, 则 $x-y=2$, 由 $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$, 可推得 $x y=$ $\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-(x-y)^{2}}{2}$, 代入即可计算出结果为 31 .

【答案】 解: (1) 如图, 可以验证: $(a+b)(a+2 b)=a^{2}+3 a b+2 b^{2}$;

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(2) $\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \quad \therefore 2 a b=(a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad \therefore a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}=$,又 $\because a+b=5, a^{2}+b^{2}=13, \therefore a b=\frac{5^{2}-13}{2}=6$;

(3) 设 $2021-a=x, a-2020=y$, 则 $x+y=1$,

$\because(2021-a)^{2}+(a-2020)^{2}=4043, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=4043$,

$\because(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}, \quad \therefore x y=\frac{(x+y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\frac{1-4043}{2}=-2021$,

即 $(2021-a)(a-2020)=x y=-2021$;

(4) 设 $a-2020=x, a-2022=y$, 则 $x-y=2$,

$\because(a-2020)^{2}+(a-2022)^{2}=64, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=64$,

$\because(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}, \quad \therefore \mathrm{xy}=\frac{\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)-(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}}{2}=\frac{64-2^{2}}{2}=30$

$\because x-y=2$,
$\therefore(a-2021)^{2}=(a-2021)(a-2021)=(x-1)(y+1)=x y+x-y-1=30+2-1=31$.

【点睛】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决整式计算的能力, 关键是能利用几何图形列出、推理整式并进行运算.