已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a<0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(-1,0)$, 对称轴为直线 $x=1$,下列论中:

(1)若点 $\left(-3, y_{1}\right),\left(2, y_{2}\right),\left(4, y_{3}\right)$ 均在该二次函数图象上, 则 $y_{1}<y_{3}<y_{2}$;

(2) $c=-9 a-3 b$;

(3)若 $m$ 为任意实数, 则 $a m^{2}+b m+c \leq-3 a$;

(4)方程 $a x^{2}+b x+c+1=0$ 的两实数根为 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}<-1, x_{2}>3$.

正确结论为 $\qquad$ .


解: $\because a<0$,

$\therefore$ 抛物线开口向下,

$\because$ 点 $(-3, y 1),(2, y 2),(4, y 3)$ 均在该二次函数图象上, 且点 $\left(-3, y_{1}\right)$ 到对称轴的距离最大, 点 $\left(2, y_{2}\right)$ 到对称轴的距离最小，

$\therefore y_{1}<y_{3}<y_{2}$, (1) 正确;

$\because$ 图象与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(-1,0)$, 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore$ 图象与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(3,0)$,

$\therefore 9 a+3 b+c=0$,

$\therefore c=-9 a-3 b$, (2)正确;

$\because-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a$,

$\because a-b+c=0$,

$\therefore c=b-a=-3 a$,

$\because$ 拋物线的最大值为 $a+b+c$,

$\therefore m$ 为任意实数, 则 $a m^{2}+b m+c \leq a+b+c$,

$\therefore a m^{2}+b m+c \leq-4 a$,

$\because a<0$,

$\therefore-4 a>-3 a$, (3)错误;

$\because$ 方程 $a x 2+b x+c+1=0$ 的两实数根为 $x_{1}, x_{2}$,

$\therefore$ 拋物线与直线 $y=-1$ 的交点的横坐标为: $x_{1}, x_{2}$,

由抛物线对称性可得拋物线与 $x$ 轴另一交点坐标为 (3.0),

$\therefore$ 拋物线与 $x$ 轴交点坐标为 $(-1,0),(3,0)$,

$\because$ 拋物线开口向下, $x_{1}<x_{2}$,

$\therefore x_{1}<-1, x_{2}>3$, (4)正确.
故答案为: (1)(2)(4).

由抛物线经过 (-10)可判断(1), 由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断(2), 由 $x=1$ 时 $y$ 取最大值可判断(3), 由抛物线的对称性可得抛物线与 $x$ 轴交点坐标, 从而判断(4).

本题考查二次函数图象与系数的关系, 解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.

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