已知: 如图, $\mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的 $\mathrm{BC}$ 边的中点, $D E \perp A B, D F \perp A C$ 且 $\mathrm{DE}=\mathrm{DF}$.求证: $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形.

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证明: $\because \mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的 $\mathrm{BC}$ 边的中点

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CD}$

$\because D E \perp A B, D F \perp A C$

$\therefore \triangle \mathrm{BDE}$ 和 $\triangle \mathrm{CDF}$ 是直角三角形

在 Rt $\triangle \mathrm{BDE}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{CDF}$ 中

$\left\{\begin{array}{l}B D=C D \\ D E=D F\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BDE} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{CDF}(\mathrm{HL})$

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形.