如图所示, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面是边长为 $\mathbf{a}$ 的正方形, $P B \perp$ 平面 $\mathbf{A B C D}$.

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(1) 若平面 PAD 与平面 $\mathrm{ABCD}$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$, 求这个四棱雉的体积.

(2) 求证: 无论四棱雉的高怎样变化, 平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 $90^{\circ}$
【分析】

(1) 正方形 $A B C D$ 是四棱雉 $P-A B C D$ 的底面, $P B$ 是四棱雉 $P-A B C D$ 的高, 再利用四棱雉的体积公式计算即可;

（2）易得 $\angle C E A$ 是平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角的平面角, 在 $\triangle A E C$ 中, 证明 $\cos \angle A E C<0$ 即可得解.

## 【详解】

解: (1) 正方形 $A B C D$ 是四棱雉 $P-A B C D$ 的底面, 其面积为 $a^{2}$, 从而只要算出四棱雉的高即可.
$\because P B \perp$ 平面 $A B C D, \therefore P B \perp A D$. 又 $\because A D \perp A B, A B \cap P B=B$,

$\therefore A D \perp$ 平面 $P A B, A D \perp P A$.

$\therefore \angle P A B$ 是平面 $P A D$ 与平面 $A B C D$ 所成的二面角的平面角, $\angle P A B=60^{\circ}$

而 $P B$ 是四棱雉 $P-A B C D$ 的高, $P B=A B \cdot \tan 60^{\circ}=\sqrt{3} a$,

$\therefore V_{\text {锥 }}=\frac{1}{3} \sqrt{3} a \cdot a^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} a^{3}$.

(2) 不论棱雉的高怎样变化, 棱雉的侧面 $P A D$ 、侧面 $P C D$ 恒为全等三角形, 作 $A E \perp D P$,

垂足为 $E$, 连接 $E C$, 则 $\triangle A D E \cong \triangle C D E . \therefore A E=C E, \angle C E D=90^{\circ}$,故 $\angle C E A$ 是平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角的平面角.

设 $A C$ 与 $D B$ 相交于点 $O$, 连接 $E O$, 则 $E O \perp A C$,

$\therefore \frac{\sqrt{2}}{2} a=O A<A E<A D=a=\sqrt{2} \mathrm{OA}$.

在 $\triangle A E C$ 中,

$\cos \angle A E C=\frac{A E^{2}+E C^{2}-(2 \cdot O A)^{2}}{2 A E \cdot E C}=\frac{(A E+\sqrt{2} O A)(A E-\sqrt{2} O A)}{A E^{2}}<0$,

故平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 所成的二面角恒大于 $90^{\circ}$.

## 【点睛】

本题考查了四棱雉的体积公式及二面角的平面角的求法, 属综合性较强的题型.