已知四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 对角线 $B D$ 是 $\odot O$ 的直径.

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图1

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图2

(1)如图 1, 连接 $O A, C A$, 若 $O A \perp B D$, 求证; $C A$ 平分 $\angle B C D$;

(2)如图 2, $E$ 为 $\odot O$ 内一点, 满足 $A E \perp B C, C E \perp A B$, 若 $B D=3 \sqrt{3}, A E=3$, 求弦 $B C$的长.


(1) 利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可.

(2)证明四边形 $A E C D$ 平行四边形，后用勾股定理计算即可.

【详解】(1) $\because$ 对角线 $B D$ 是 $\odot O$ 的直径, $O A \perp B D$

$\therefore A B=A D$,

$\therefore \angle B C A=\angle D C A$,

$\therefore C A$ 平分 $\angle B C D$.

(2) $\because$ 对角线 $B D$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle B A D=\angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore D C \perp B C, D A \perp A B$

$\because A E \perp B C, C E \perp A B$,

$\therefore D C\|A E, D A\| C E$,

$\therefore$ 四边形 $A E C D$ 平行四边形,

$\therefore D C=A E=3$,

又 $\because B D=3 \sqrt{3}$,

$\therefore B C=\sqrt{(3 \sqrt{3})^{2}-3^{2}}=3 \sqrt{2}$.

【点睛】本题考查了垂径定理的推论, 直径所对的圆周角是直角, 平行四边形的判定和性质,勾股定理, 熟练掌握垂径定理的推论, 平行四边形的判定和性质, 勾股定理是解题的关键.

