正四棱雉 $S-A B C D$ 底面边长为 2 , 高为 $1, E$ 是棱 $B C$ 的中点, 动点 $P$ 在四棱雉表面上运动, 并且总保持 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 则动点 $P$ 的轨迹的周长为 ( )
【分析】

设 $F, G$ 分别为 $D C, S C$ 的中点, 则可证明 $A C \perp$ 平面 $E F G$, 得到满足条件的动点 $P$ 的轨迹为 $\triangle E F G$ ，然后求解即可.

## 【详解】

由 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 即满足 $P E \perp A C$.

设 $F, G$ 分别为 $D C, S C$ 的中点, 连接 $A C, B D, E F, F G, G E$.

设 $A C, B D$ 交于点 $O, A C, E F$ 交于点 $O_{1}$.

所以在正四棱雉 $S-A B C D$ 中, $S O \perp$ 平面 $A B C D$.

所以 $S O \perp A C$, 且 $A C \perp B D$,

由 $E, F, G$ 分别为 $B C, D C, S C$ 的中点.

所以 $B D / / E F, S O / / G O_{1}$, 则有, $G O_{1} \perp A C, A C \perp E F$, 且 $E F \cap G O_{1}=O_{1}$

所以 $A C \perp$ 平面 $E F G$.

故当点 $P$ 在平面 $E F G$ 内时, 有 $P E \perp A C$ 成立.

所以动点 $P$ 的轨迹为平面 $E F G$ 截正四棱雉 $S-A B C D$ 的截面, 即 $\triangle E F G$.

由 $E, F, G$ 分别为 $B C, D C, S C$ 的中点.

所以 $E F=\frac{1}{2} B D, G E=\frac{1}{2} S B, F G=\frac{1}{2} S D$

又正四棱雉 $S-A B C D$ 底面边长为 2 , 高为 1 , 所以 $B D=2 \sqrt{2}, S B=\sqrt{1+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}$.

所以 $E F+F G+G E=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

故选: B

<ImageHere>

## 【点睛】

本题考查轨迹问题, 考查线面的垂直的证明, 属于中档题.