(12 分) 已知虚数 $z$ 满足 $z+\frac{4}{z}$ 是实数, 且 $2 \leq z+\frac{4}{z} \leq 2 \sqrt{3}$.

(1) 试求 $z$ 的模;

(2) 若 $|z-2-2 i|$ 取最小值 $m$ 时对应的复数 $z$ 记为 $z_{0}$, 试求: (1) $m$ 的值;
(1) 设 $z=a+b \mathrm{i}, a, b \in \mathbf{R}, b 
eq 0$ ，则 $z+rac{4}{z}=a+b \mathrm{i}+rac{4}{a+b \mathrm{i}}=a+b \mathrm{i}+rac{4 a-4 b \mathrm{i}}{a^{2}+b^{2}}$,整理得到 $z+rac{4}{z}=a+rac{4 a}{a^{2}+b^{2}}+\left(b-rac{4 b}{a^{2}+b^{2}}
ight)$ ，因为 $z+rac{4}{z}$ 是实数, 故 $b-rac{4 b}{a^{2}+b^{2}}=0$,但 $b 
eq 0$, 故 $a^{2}+b^{2}=4$, 即 $z$ 的模为 2 。(2) 由 (1) 可得 $z+rac{4}{z}=2 a$, 故 $2 \leq 2 a \leq 2 \sqrt{3}$, 即 $1 \leq a \leq \sqrt{3}$.又,它表示圆 $a^{2}+b^{2}=4$ 上的点到点 $Q(2,2)$ 的距离，其最小值为 $2 \sqrt{2}-2$,当且仅当 $O, P(a, b), Q$ 共线时取最小值.由 $\left\{egin{array}{l}a=b \ a^{2}+b^{2}=4 \ 1 \leq a \leq \sqrt{3}\end{array}
ight.$, 可得 $\left\{egin{array}{l}a=\sqrt{2} \ b=\sqrt{2}\end{array}
ight.$,故 $|z-2-2 \mathrm{i}|$ 取最小值时 $z_{0}=\sqrt{2}(1+\mathrm{i})$,所以 $z_{0}^{\infty 2}=(\sqrt{2})^{20} \cdot(1+\mathrm{i})^{20}=2^{10} \cdot\left[(1+\mathrm{i})^{2}
ight]^{10}=2^{20} \cdot 1^{10}=-2^{20}$,故 $m=2 \sqrt{2}-2, z_{0}^{\infty}=-2^{20}$.