若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=1$, 则 $\frac{y-2}{x-1}$ 的最小值是
frac{y-2}{x-1}$ 的几何意义是两点 $(x, y)$ 与 $(1,2)$ 连线的斜率, 而点 $(x, y)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上,

过点 $P(1,2)$ 作圆的切线,

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由图知 $P A$ 的斜率不存在, $P B$ 的斜率存在, 则 $P B$ 的斜率即为所求.

$\therefore$ 设 $P B$ 的方程为 $y-2=k(x-1)$, 得 $k x-y-k+2=0$.

又 $\because P B$ 和圆相切,

$\therefore \frac{|-k+2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$, 得 $k=\frac{3}{4}$.

$\therefore \frac{y-2}{x-1}$ 的最小值是 $\frac{3}{4}$.