8. 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=25, S_{9}=S_{17}$, 则前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值是
方法一 利用前 $n$ 项和公式和二次函数性质.

由 $S_{17}=S_{9}$, 得 $25 \times 17+\frac{17}{2} \times(17-1) d=25 \times 9+\frac{9}{2} \times(9-1) d$, 解得 $d=-2$,

所以 $S_{n}=25 n+\frac{n}{2}(n-1) \times(-2)$

$=-(n-13)^{2}+169$,

由二次函数性质可知, 当 $n=13$ 时, $S_{n}$ 有最大值 169 .

方法二 先求出 $d=-2$, 因为 $a_{1}=25>0$,

由 $\left\{\begin{array}{l}a_{n}=25-2(n-1) \geqslant 0, \\ a_{n+1}=25-2 n \leqslant 0,\end{array} \quad\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}n \leqslant 13 \frac{1}{2}, \\ n \geqslant 12 \frac{1}{2} .\end{array}\right.$

所以当 $n=13$ 时, $S_{n}$ 有最大值.

$S_{13}=25 \times 13+\frac{13 \times(13-1)}{2} \times(-2)=169$.

因此 $S_{n}$ 的最大值为 169 .

方法三 由 $S_{17}=S_{9}$, 得 $a_{10}+a_{11}+\cdots+a_{17}=0$,

而 $a_{10}+a_{17}=a_{11}+a_{16}=a_{12}+a_{15}=a_{13}+a_{14}$,

故 $a_{13}+a_{14}=0$. 由方法一知 $d=-2<0$,

又因为 $a_{1}>0$, 所以 $a_{13}>0, a_{14}<0$,

故当 $n=13$ 时, $S_{n}$ 有最大值.

$S_{13}=25 \times 13+\frac{13 \times(13-1)}{2} \times(-2)=169$.

因此 $S_{n}$ 的最大值为 169 .