如图, $\triangle A B C \sim \triangle A D E, \angle B A C=\angle D A E=90^{\circ}, A B$ 与 $D E$ 交于点 $O, A B=4, A C=3, F$ 是 $D E$ 的中点, 连接 $B D, B F$, 若点 $E$ 是射线 $C B$ 上的动点, 下列结论: (1) $\triangle A O D \sim \triangle F O B$, (2) $\triangle B O D \sim \triangle E O A$, (3) $\angle F D B+\angle F B E=90^{\circ}$, (4) $B F=\frac{5}{6} A E$, 其中正确的是( )

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解: $\because \triangle A B C \sim \triangle A D E$,

$\therefore \angle A D O=\angle O B E$,

$\because \angle A O D=\angle B O E$,

$\therefore \triangle A O D \backsim \triangle E O B$,

$\therefore \frac{O D}{O B}=\frac{O A}{O E}$,

$\therefore \frac{O D}{O A}=\frac{O B}{O E}$,

$\because \angle B O D=\angle E O A$,

$\therefore \triangle B O D \sim \triangle E O A$, 故(2)正确,

<ImageHere>

$\because \triangle A O D \backsim \triangle E O B, \triangle B O D \backsim \triangle E O A$,

$\therefore \angle A D O=\angle E B O, \angle A E O=\angle D B O$,

$\because \angle A D O+\angle A E O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D B E=\angle D B O+\angle E B O=90^{\circ}$,

$\because F$ 是 $D E$ 的中点, 则 $D F=E F$,

$\therefore F D=F B=F E$,

$\therefore \angle F D B=\angle F B D$,

$\therefore \angle F D B+\angle F B E=\angle F B D+\angle F B E=90^{\circ}$, 故(3)正确,

在Rt $\triangle A B C$ 中, $\because A B=4, A C=3$,

$\therefore B C=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

$\because \triangle A B C \backsim \triangle A D E$,

$\therefore \frac{D E}{A E}=\frac{B C}{A C}=\frac{5}{3}$,

$\because B F=\frac{1}{2} D E$,

$\therefore \frac{2 B F}{A E}=\frac{5}{3}$,

$\therefore B F=\frac{5}{6} A E$, 故(4)正确,

$\because \angle A D O=\angle O B E$,
$\therefore \angle A D O \neq \angle O B F$,

$\therefore$ 无法判断 $\triangle A O D \sim \triangle F O B$, 故 1 错误.

故选 $D$.

首先证明 $\triangle A O D \sim \triangle E O B$, 推出 $\triangle B O D \sim \triangle E O A$, 再证明 $\angle D B E=90^{\circ}$, 可得(2)(3)正确, 利用直角三角形斜边中线的性质即可判断(4)正确.

本题考查相似三角形的判定和性质, 直角三角形斜边中线的性质, 勾股定理的应用.

