已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于一个半径为 $\sqrt{3}$ 的球, 四边形 $A_{1} A C C_{1}$ 与 $B_{1} B C C_{1}$ 为两个全等的矩形, $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点, 且 $C_{1} M=\frac{1}{2} A_{1} B_{1}$, 则三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的最大值为 ( )
【分析】

首先可以说明三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是底面为等腰三角形的直棱柱, 设 $A C=B C=a, C C_{1}=b$, 将三棱柱还原为长方体, 得其外接球直径为 $\sqrt{a^{2}+a^{2}+b^{2}}=2 \sqrt{3}$, 即 $2 a^{2}+b^{2}=12$, 则 $V=S_{\triangle A B C} \cdot C C_{1}=\frac{1}{2} a^{2} b=\frac{1}{4}\left(12-b^{2}\right) b$设 $f(b)=\frac{1}{4}\left(-b^{3}+12 b\right)$, 利用导数求函数的单调性以及最值, 即可得解;

## 【详解】

解: 因为四边形 $A_{1} A C C_{1}$ 与 $B_{1} B C C_{1}$ 为两个全等的矩形, 所以 $A C=B C, C C_{1} \perp A C$, $C C_{1} \perp B C$, 又因为 $A C \cap B C=C, A C, B C \subset$ 平面 $A B C$, 所以 $C C_{1} \perp$ 平面 $A B C$;因为 $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点, 且 $C_{1} M=\frac{1}{2} A_{1} B_{1}$, 所以底面 $\Delta A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直角三角形;

综上, 三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是底面为等腰三角形的直棱柱.

设 $A C=B C=a, C C_{1}=b$, 将三棱柱还原为长方体, 得其外接球直径为

$\sqrt{a^{2}+a^{2}+b^{2}}=2 \sqrt{3}$, 即 $2 a^{2}+b^{2}=12 ；$

所以三棱柱的体积

$V=S_{\triangle A B C} \cdot C C_{1}=\frac{1}{2} a^{2} b=\frac{1}{4}\left(12-b^{2}\right) b=\frac{1}{4}\left(-b^{3}+12 b\right), b \in(0,2 \sqrt{3}) ;$

记 $f(b)=\frac{1}{4}\left(-b^{3}+12 b\right)$, 则 $f^{\prime}(b)=\frac{1}{4}\left(-3 b^{2}+12\right)=-\frac{3}{4}(b-2)(b+2)$,

当 $f^{\prime}(b)>0$ 时, $0<b<2$; 当 $f^{\prime}(b)<0$ 时, $2<b<2 \sqrt{3}$;

所以 $f(b)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增, $(2,2 \sqrt{3})$ 上单调递减, 故 $f(b)_{\max }=f(2)=4$.

故选: $C$.

## 【点睛】

本题考查线面垂直的判定, 柱体的体积计算以及利用导数求函数的最值, 属于中档题.