“构造图形解题”, 它的应用十分广泛, 特别是有些技巧性很强的题目, 如果不能发现题目中所隐含的几何意义, 而用通常的代数方法去思考, 经常让我们手足无措, 难以下手, 这时, 如果能转换思维, 发现题目中隐含的几何条件, 通过构造适合的几何图形, 将会得到事半功倍的效果,下面介绍两则实例:

实例一: 1876 年, 美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理: 由 $S_{\text {四边形 } A B C D}=S_{\triangle A B C}+$ $S_{\triangle A D E}+S_{\triangle A B E}$ 得: $\frac{1}{2}(a+b)^{2}=2 \times \frac{1}{2} a b+\frac{1}{2} c^{2}$, 化简得: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.实例二: 欧几里得的 《几何原本》记载, 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x=b^{2}$ 的图解法是: 画 $R t \triangle A B C$,
使 $\angle A C B=90^{\circ}, B C=\frac{a}{2}, A C=|b|$, 再在斜边 $A B$ 上截取 $B D=\frac{a}{2}$, 则 $A D$ 的长就是该方程的一个正根(如实例二图).

请根据以上阅读材料回答下面的问题:

(1)如图 1, 请利用图形中面积的等量关系, 写出甲图要证明的数学公式是 , 乙图要证明的数学公式是 \$ \qquad \$ , 体现的数学思想是 \$ \qquad \$ ;

(2)如图 2, 若 2 和 -8 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x=b^{2}$ 的两个根, 按照实例二的方式构造 $R t \triangle A B C$,连接 $C D$, 求 $C D$ 的长;

(3)若 $x, y, z$ 都为正数, 且 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, 请用构造图形的方法求 $\frac{x+y}{z}$ 的最大值.
<ImageHere>

甲

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

实例二图

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图2
(1)完全平方公式, 平方差公式, 数形结合 ;

(2)如图 2 中, 作 $C H \perp A B$ 于 $H$.

<ImageHere>

由题意, $A D=2, B C=B D=3, A C=4$,

$\because \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$,

$\therefore C H=\frac{12}{5}$,

$\therefore B H=\sqrt{B C^{2}-C H^{2}}=\frac{9}{5}$,

$\therefore D H=B D-B H=\frac{6}{5}$,

$\therefore C D=\sqrt{C H^{2}+D H^{2}}=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(3)如图 3 中, 用 4 个全等的直角三角形(直角边分别为 $x, y$, 斜边为 $z$ ), 拼如图正方形.

<ImageHere>

当 $x+y$ 是定值时, $z$ 最小的时候, $\frac{x+y}{z}$ 定值最小,

易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时, $z$ 的值最小, 此时 $x=y, z=\sqrt{2} x$,

$\therefore \frac{x+y}{z}$ 最大值 $=\frac{x+x}{\sqrt{2} x}=\sqrt{2}$.