【山西省 2019 届高三高考考前适应性训练 (三) 数学试题】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足 $a_{1}=-\frac{2}{3}, S_{n}+\frac{1}{S_{n}}+2=a_{n}(n \geq 2)$, 则下面选项为等差数列的是 $(\quad)$
因为 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geq 2)$, 代入 $S_{n}+\frac{1}{S_{n}}+2=a_{n}(n \geq 2)$ 得 $S_{n}=-\frac{1}{S_{n-1}+2}(n \geq 2)$, 则 $S_{1}=-\frac{2}{3}, S_{2}=-\frac{3}{4}, S_{3}=-\frac{4}{5}$,故 $S_{1}+1=\frac{1}{3}, S_{2}+1=\frac{1}{4}, S_{3}+1=\frac{1}{5}$, 所以 $\left\{S_{n}+1\right\}$ 不是等差数列, 故 A 错误;
同理, $S_{1}-1=-\frac{5}{3}, S_{2}-1=-\frac{7}{4}, S_{3}-1=-\frac{9}{5}$, 所以 $\left\{S_{n}-1\right\}$ 不是等差数列, 故 B 错误;

$\frac{1}{S_{1}-1}=-\frac{3}{5}, \frac{1}{S_{2}-1}=-\frac{4}{7}, \frac{1}{S_{3}-1}=-\frac{5}{9}$, 所以 $\left\{\frac{1}{S_{n}-1}\right\}$ 不是等差数列, 故 D 错误;

$\frac{1}{S_{1}+1}=3, \frac{1}{S_{2}+1}=4, \frac{1}{S_{3}+1}=5$, 所以 $\left\{\frac{1}{S_{n}+1}\right\}$ 是等差数列, 故选 C.

【名师点睛】本题考查数列的递推关系, 利用 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geq 2)$ 来求解, 考查计算推理的能力,属中档题.求解时, 由 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}(n \geq 2)$, 结合题中条件, 可得 $S_{n}=-\frac{1}{S_{n-1}+2}(n \geq 2)$, 代入数据,对选项逐一判断即可.