(2020・道里区校级三模) 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系, 随机调查了某中学高三某班 6 名学生每周课下钻研数学时间 $x$ (单位: 小时) 与高三下学期期中考试数学解答题得分 $y$, 数据如表:

| $x$  |  2   |  4   |  6   |  8   |  10  |  12  |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $y$  |  30  |  38  |  44  |  48  |  50  |  54  |

(1) 根据上述数据, 求出数学考试中的解答题得分 $y$ 与该学生课下钻研数学时间 $x$ 的线性回归方程, 并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7 小时其数学考试中的解答题得分;

(2) 从这 6 人中任选 2 人, 求这 2 人中至少有 1 人课下钻研数学时间不低于 8 小时的概率.

参考公式: $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$, 其中 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.

参考数据: $\sum_{i=1}^{6} x_{i} y_{i}=2008, \sum_{i=1}^{6} x_{i}{ }^{2}=364, \bar{y}=444$.
解: (1) $\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=7$, 由 $\sum_{i=1}^{6} x_{i} y_{i}=2008, \sum_{i=1}^{6} x_{i}{ }^{2}=364, \bar{y}=444$.可得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}=\frac{16}{7}$, $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=28, \quad \therefore \hat{y}=\frac{16}{7} x+28$,

当 $x=7$ 时, $\hat{y}=44$.

（2）设 “这 2 人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8 小时为事件 $A$ ”,所有基本事件如下:

$$
\begin{aligned}
& (2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(4,6),(4,8),(4,10), \\
& (4,12),(6,8),(6,10),(6,12),(8,10),(8,12),(10,12)
\end{aligned}
$$

共 15 个基本事件.

事件 $A$ 包含 $(2,8),(2,10),(2,12),(4,8),(4,10),(4,12),(6,8)$,

$(6,10),(6,12),(8,10 ）,(8,12 ）,(10,12 ）$ 共 12 个基本事件,

所以 $P(A)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.