在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=A D=4, A A_{2}=2$, 过点 $A_{1}$ 作平面 $\alpha$ 与 $A B, A D$分别交于 $M, N$ 两点, 若 $A A_{1}$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $45^{\circ}$, 则截面 $A_{1} M N$ 面积的最小值是 ( )
【分析】

过点 $A$ 作 $A E \perp M N$, 连接 $A_{1} E$, 首先证明平面 $A_{1} A E \perp$ 平面 $A_{1} M N$, 即可得 $\angle A A_{1} E$ 为 $A A_{1}$ 与平面 $A_{1} M N$ 所成的角, 进而可得 $A E=2, A_{1} E=2 \sqrt{2}, M E \cdot E N=A E^{2}=4$, 由基本不等式得

$M N=M E+E N \geq 2 \sqrt{M E \cdot E N}=4$, 从而可求出截面 $A_{1} M N$ 面积的最小值.

## 【详解】

如图, 过点 $A$ 作 $A E \perp M N$, 连接 $A_{1} E$

<ImageHere>

$\because A_{1} A \perp$ 平面 $A B C D$,

$\therefore A_{1} A \perp M N$,

$\therefore M N \perp$ 平面 $A_{1} A E$,

$\therefore A_{1} E \perp M N$, 所以平面 $A_{1} A E \perp$ 平面 $A_{1} M N$,

$\therefore \angle A A_{1} E$ 为 $A A_{1}$ 与平面 $A_{1} M N$ 所成的角,

$\therefore \angle A A_{1} E=45^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A_{1} A E$ 中,

$\because A A_{1}=2, \therefore A E=2, A_{1} E=2 \sqrt{2}$,

在 Rt $\triangle M A N$ 中, 由射影定理得 $M E \cdot E N=A E^{2}=4$,

由基本不等式得 $M N=M E+E N \geq 2 \sqrt{M E \cdot E N}=4$ ，

当且仅当 $M E=E N$, 即 $E$ 为 $M N$ 中点时等号成立,

$\therefore$ 截面 $A_{1} M N$ 面积的最小值为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{2}=4 \sqrt{2}$.

故选: B

## 【点睛】

本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式, 是一道较综合的题.