在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 已知 $A B \perp B C, A B=B C=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}$, 则异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角为
【分析】

由条件可看出 $A B \| A_{1} B_{1}$, 则 $\angle B A C_{1}$ 为异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角, 可证得三角形 $B A C_{1}$ 中, $A B \perp B C_{1}$, 解得 $\tan \angle B A C_{1}$, 从而得出异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角.

## 【详解】

连接 $A C_{1}, B C_{1}$, 如图:

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又 $\mathrm{AB} \| A_{1} B_{1}$, 则 $\angle B A C_{1}$ 为异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角.

因为 $A B \perp B C$, 且三棱柱为直三棱柱, $\therefore A B \perp C C_{1}, \therefore A B \perp$ 面 $B C_{1} B_{1}$,

$\therefore A B \perp B C_{1}$,

又 $A B=B C=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}, \therefore B C_{1}=\sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \tan \angle B A C_{1}=\sqrt{3}$, 解得 $\angle B A C_{1}=60^{\circ}$.

故选 C

## 【点睛】

考查直三棱柱的定义, 线面垂直的性质, 考查了异面直线所成角的概念及求法, 考查了逻辑推理能力，属于基础题.