20. 在 $\triangle A B C$ 中, 设其各边长分别为 $a, b, c$, 外接圆半径为 $R$, 求证:

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{\sin ^{2} A}+\frac{1}{\sin ^{2} E}+\frac{1}{\sin ^{2} c}\right) \geq 36 R^{2}$.

答案:证明: $\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin E}=\frac{c}{\sin C}=2 R$,

$\therefore\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{\sin ^{2} A}+\frac{1}{\sin ^{2} B}+\frac{1}{\sin ^{2} c}\right)$

$\geq\left(\frac{a}{\sin A}+\frac{b}{\sin B}+\frac{c}{\sin C}\right)^{2}=36 R^{2}$

$\therefore$ 原不等式成立.
:【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据所给条件结

合 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin E}=\frac{c}{\sin C}=2 R$ 直接构造所给一般形式的柯西不等式证明即可