已知函数 $f(x)=-x^{2}+2 a x+1-a$ 在 $x \in[0,1]$ 时有最大值 2 , 求 $a$ 的值.
【解】 $f(x)=-(x-a)^{2}+a^{2}-a+1$,

当 $a \geqslant 1$ 时, $f(x)_{\max }=f(1)=a$;
当 $0<a<1$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(a)=a^{2}-a+1$;

当 $a \leqslant 0$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(0)=1-a$.

根据已知条件得, $\left\{\begin{array}{l}a \geqslant 1, \\ a=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1, \\ a^{2}-a+1=2\end{array}\right.$

或 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant 0, \\ 1-a=2,\end{array}\right.$

解得 $a=2$ 或 $a=-1$.