已知定义在 $\mathrm{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$, 且 $f^{\prime}(x)>\frac{1}{2}$ 恒成立, 则不等式 $f\left(x^{2}\right)<\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}$ 的解集为( )
答案: D

【解析】 令 $t=x^{2}$, 则 $f\left(x^{2}\right)<\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}$,

即为 $f(t)<\frac{t}{2}+\frac{1}{2}$, 即 $f(t)-\frac{t}{2}-\frac{1}{2}<0$

设 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$, 则 $g(x)=f^{\prime}(x)-\frac{1}{2}$,

因为对于任意的 $x \in R$, 都有 $f^{\prime}(x)>\frac{1}{2}$ 成立,

所以对任意 $x \in R$, 都有 $g(x)>0$,

所以 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 为单调递增函数,

且 $g(1)=f(1)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$,

所以 $f(t)-\frac{t}{2}-\frac{1}{2}<0$ 的解集为 $t<1$,

即 $x^{2}<1$, 即 $-1<x<1$,

所以不等式 $f\left(x^{2}\right)<\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}$ 的解集为 $(-1,1)$,

故答案为: D.

【分析】令 $t=x^{2}$, 得 $f(t)-\frac{t}{2}-\frac{1}{2}<0$, 设 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$, 利用求导的方法结合不等式恒成立问题的解决方法, 得出 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}$ 为单调递增函数, 且 $g(1)=f(1)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$,可得解集为 $t<1$, 即 $x^{2}<1$, 从而用一元二次不等式的求解方法求出 $\mathrm{x}$ 的取值范围, 即可求出不等式 $f\left(x^{2}\right)<\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}$ 的解集.