如图, 若过点 $P_{1}, P_{2}$ 作直线 $m$ 的平行线, 则 $\angle 1 、 \angle 2 、 \angle 3 、 \angle 4$ 间的数量关系是 \$ \qquad \$

<ImageHere>
解:分别过点 $P_{1} 、 P_{2}$ 作 $P_{1} C\left\|m, P_{2} D\right\| m$, $\because m \| n$

$\therefore P_{1} C\left\|P_{2} D\right\| m \| n$,

$\therefore \angle 1=\angle A P_{1} C, C P_{1} P_{2}=\angle P_{1} P_{2} D, \angle D P_{2} B=\angle 4$,

$\therefore \angle 1+\angle P_{1} P_{2} D+\angle D P_{2} B=\angle A P_{1} C+\angle C P_{1} P_{2}+\angle 4$, 即 $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.

<ImageHere>

故答案为: $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.

分别过点 $P 1 、 P 2$ 作 $P_{1} C\left\|m, P_{2} D\right\| m$, 由平行线的性质可知, $\angle 1=\angle A P_{1} C, C P_{1} P_{2}=\angle P_{1} P_{2} D, \angle D P_{2} B=\angle 4$,所以 $\angle 1+\angle P_{1} P_{2} D+\angle D P_{2} B=\angle A P_{1} C+\angle C P_{1} P_{2}+\angle 4$, 即 $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.