已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)=\frac{-2^{x}+a}{2^{x}+1}$ 是奇函数.

(1) 求实数 $a$ 的值;

(2) 判断 $f(x)$ 的单调性并用定义证明;

(3) 已知不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)+f(-1)>0$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.


(1) $\because f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数, $\therefore f(0)=0, f(0)=\frac{-1+a}{1+1}=0$ 得 $a=1$

(2) $f(x)$ 是减函数, 证明如下:

设 $X_{1}, x_{2}$ 是 $R$ 上任意两个实数, 且 $X_{1}<x_{2}$,

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{-2^{x_{1}}+1}{2^{x_{1}}+1}-\frac{-2^{x_{2}}+1}{2^{x_{2}}+1}=\frac{\left(2^{x_{2}}+1\right)\left(1-2^{x_{1}}\right)-\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(1-2^{x_{2}}\right)}{\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}=\frac{2\left(2^{x_{2}}-2^{x_{1}}\right)}{\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}$

$\because x_{1}<x_{2} \therefore 2^{x_{2}}>2^{x_{1}}$, 即 $2^{x_{2}}-2^{x_{1}}>0, \because 2^{x_{1}}+1>0,2^{x_{2}}+1>0$

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)>0$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right), \therefore f(x)$ 在 $R$ 上是减函数

(3) $\because$ 不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)+f(-1)>0$ 恒成立, $\therefore f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)>-f(-1)$

$\because f(x)$ 是奇函数 $\therefore-f(-1)=f(1)$, 即不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)>f(1)$ 恒成立又 $\because f(x)$ 在 $R$ 上是减函数, $\therefore$ 不等式 $\log _{m} \frac{3}{4}<1$ 恒成立当 $0<m<1$ 时, 得 $m<\frac{3}{4} \quad \therefore 0<m<\frac{3}{4}$当 $m>1$ 时, 得 $m>\frac{3}{4} \quad \therefore m>1$综上, 实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{3}{4}\right) \cup(1,+\infty)$