二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表:

| $x$ | $\cdots$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y=a x^{2}+b x+c$ | $\cdots$ | $m$ | 2 | 1 | 2 | $n$ | $t$ | $\cdots$ |

下列说法错误的是 ( )

由表格可知, 二次函数以直线 $x=-1$ 为对称轴, 有最小值, 顶点坐标为 $(-1,1)$, 设该二次函数的解析式为 $y=a(x+1)^{2}+1$, 将 $(0,2)$ 代入求得 $a=1$, 可得解析式, 进而可知 $b=2$, $c=3$, 则 $a b c>0$, 可判断 $\mathrm{A}$ 的正误; 根据 $\Delta=b^{2}-4 a c=4-6=-2<0$, 可判断 $\mathrm{D}$ 的正误;
根据 $(2, t),(-4, t)$ 均在 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象上, 可判断 B 的正误; 根据当 $x<-1$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, $(-3, m)$ 与 $(1, n)$ 关于对称轴对称，可判断 $\mathrm{C}$ 的正误.

【详解】解: 由表格可知, 二次函数以直线 $x=-1$ 为对称轴, 有最小值, 顶点坐标为 $(-1,1)$,设该二次函数的解析式为 $y=a(x+1)^{2}+1$,

将 $(0,2)$ 代入得, $a+1=2$,

解得 $a=1$,

$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=x^{2}+2 x+3$,

$\therefore b=2, \quad c=3$,

$\therefore a b c>0$, 故 A 正确, 不符合题意;

$\because \Delta=b^{2}-4 a c=4-6=-2<0$,

$\therefore$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴无交点, 故 D 正确, 不符合题意;

$\because(2, t)$ 关于对称轴的对称点坐标为 $(-4, t)$,

$\therefore(2, t),(-4, t)$ 均在 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象上,

$\therefore 2^{2} a+2 b+c=t, \quad(-4)^{2} a+(-4) b+c=t$,

$\therefore-4$ 和 2 是方程 $a x^{2}+b x+c=t$ 的两个根, 故 B 正确, 不符合题意;

$\because a=1>0$,

$\therefore$ 当 $x<-1$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小;

$\because-3<-2$,

$\therefore m>2$,

$\because(-3, m)$ 与 $(1, n)$ 关于对称轴对称,

$\therefore m=n$,

$\therefore m+n=2 m>4$, 故 C 错误, 不符合题意;

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质, 二次函数与 $x$ 轴的交点, 二次函数与一元二次方程的联系等知识. 解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

