如图, 四边形 $A B C D$ 是半径为 2 的 $\odot O$ 的内接四边形, 连接 $O A, O C$. 若 $\angle A O C: \angle A B C=4: 3$, 则 $\overparen{A C}$ 的长为 $(\quad)$<ImageHere>


解: $\because$ 四边形内接于 $\odot O, \angle A O C=2 \angle A D C$,

$\therefore \angle A D C+\angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C+\angle A B C=180^{\circ}$.

又 $\angle A O C: \angle A B C=4: 3$

$\therefore \angle A O C=144^{\circ}$.

$\because \odot O$ 的半径为 2 ,

$\therefore$ 劣弧 $A C$ 的长为 $\frac{144 \pi \cdot 2}{180}=\frac{8}{5} \pi$.

故选: D.

利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得 $\angle A O C=108^{\circ}$, 结合弧长公式进行解答即可.

本题考查了圆周角定理、弧长的计算, 本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数,

从而得到 $\angle A O C=108^{\circ}$, 从而得出劣弧 $A C$ 的长.

 