某化工厂打算投入一条新的生产线, 但需要经环保部门审批后方可投入生产. 已知该生产线连续生产 $n$年的累计产量为 $f(n)=\frac{1}{2} n(n+1)(2 n+1)$ 吨, 但如果年产量超过 150 吨, 将会给环境造成危害. 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是年.
由题意知, 第一年产量为 $a_{1}=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 3=3$; 以后各年产量分别为 $a_{n}=f(n)-f(n-1)=\frac{1}{2} n(n+1)(2 n$ +1) $-\frac{1}{2} n \cdot(n-1)(2 n-1)=3 n^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 令 $3 n^{2} \leqslant 150$, 得 $1 \leqslant n \leqslant 5 \sqrt{2} \Rightarrow 1 \leqslant n \leqslant 7$, 故生产期限最长为 7 年.答案: 7