(8 分) 已知：如图， $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 且 $A B$ 过圆心 $O, D$ 是弧 $B C$ 上的一点， $O D \perp B C$, 垂足为 $H$, 连接 $A D 、 C D, A D$ 与 $B C$ 交于点 $P$.

(1)求证: $\angle A C D=\angle A P B$.

(2)若 $A C=6, A B=10$, 求 $A D$ 的长.

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(1) 连接 $C D, B D$, 根据垂径定理可得 $B D=C D$, 即可得 $\angle B C D=\angle C A D$, 结合三角形外角的性质可证明结论;

（2）利用勾股定理可求解 $B C$ 的长, 结合勾股定理可求解 $B H=C H=4$, 再利用三角形的中位线可求解 $O H$ 的长, 即可求得 $H D$ 的长, 根据勾股定理可求解 $B D$ 的长, 由圆周角定理可得 $\angle A D B=90^{\circ}$, 再利用勾股定理可求解.

【详解】(1) 证明：连接 $C D, B D$,

<ImageHere>

$\because O D \perp B C$ 于点 $H$,

$\therefore B D=C D$,

$\therefore \angle B C D=\angle C A D$,

$\because \angle A P B=\angle C A D+\angle A C B, \angle A C D=\angle B C D+\angle A C B$,

$\therefore \angle A P B=\angle A C D$;

（2）解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, A B=10, A C=6$,

$\therefore B C=\sqrt{A B^{2}-A C^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,

$\because O D \perp B C$ 于点 $H$,

$\therefore B H=C H$,

$\therefore O H$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线，

$\therefore O H=\frac{1}{2} A C=3$,

$\because A B=10$,

$\therefore O D=O A=O B=5$,

$\therefore H D=O D-O H=5-3=2$,

$\therefore B D=\sqrt{B H^{2}+H D^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}$,

$\therefore A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{10^{2}-(2 \sqrt{5})^{2}}=4 \sqrt{5}$,

解得 $A D=4 \sqrt{5}$.
【点睛】本题主要考查垂径定理, 圆周角定理, 勾股定理, 三角形的中位线, 三角形外角的性质等知识的综合运用, 灵活运用勾股定理求解线段的长是解题的关键.

