己知 $a 、 b$ 为实数且满足 $a \neq-1, b \neq-1$, 设 $M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}, N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$, 则下列两个结论 ( )

(1) $a b=1$ 时, $M=N, a b>1$ 时, $M>N ; a b<1$ 时, $M<N$.(2)若 $a+b=0$, 则 $M \cdot N \leq 0$.
$\because M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}, N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$,

$\therefore M-N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)$,

$=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}$,

$=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}$,

$=\frac{2 a b-2}{(a+1)(b+1)}$,

(1) 当 $a b=1$ 时, $M-N=0$,

$\therefore M=N$,

当 $a b>1$ 时, $2 a b>2$,

$\therefore 2 a b-2>0$,

当 $a<0$ 时, $b<0,(a+1)(b+1)>0$ 或 $(a+1)(b+1)<0$,

$\therefore M-N>0$ 或 $M-N<0$,

$\therefore M>N$ 或 $M<N ;$

当 $a b<1$ 时, $a$ 和 $b$ 可能同号, 也可能异号，

$\therefore(a+1)(b+1)>0$ 或 $(a+1)(b+1)<0$, 而 $2 a b-2<0$,

$\therefore M>N$ 或 $M<N$;

$\therefore$ (1)错

(2) $M \cdot N=\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right) \cdot\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)$

$=\frac{a}{(a+1)^{2}}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^{2}}$

$$
\because a+b=0
$$

$\therefore$ 原式 $=\frac{a}{(a+1)^{2}}+\frac{b}{(b+1)^{2}}$

$$
\begin{gathered}
=\frac{a(b+1)^{2}+b(a+1)^{2}}{(a+1)^{2}(b+1)^{2}} \\
=\frac{4 a b}{(a+1)^{2}(b+1)^{2}}
\end{gathered}
$$

$\because a \neq-1, \quad b \neq-1, \quad \therefore(a+1)^{2}(b+1)^{2}>0$,

当 $a$ 和 $b$ 同号时, $a b \geq 0, M \cdot N \geq 0$,

当 $a$ 和 $b$ 异号时, $a b \leq 0, M \cdot N \leq 0$.

$\therefore$ (2)错.

故选：D.