如图中是抛物线形拱桥, $P$ 处有一照明灯, 水面 $O A$ 宽 $4 m$, 从 $O 、 A$ 两处观测 $P$ 处, 仰角分别为 $\alpha, \beta$, 且 $\tan \alpha=\frac{1}{2}, \tan \beta=\frac{3}{2}$, 以 $O$ 为原点, $O A$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系, 若水面上升 $1 \mathrm{~m}$,

<ImageHere>
水面宽为 $(\quad) m$.
设 $P B=3 x$,

在Rt $\triangle O B P$ 中,

$\because \tan \alpha=\frac{P B}{O B}=\frac{1}{2}$,

$\therefore O B=6 x$.

在 $R t \triangle A B P$ 中,

$\because \tan \beta=\frac{P B}{A B}=\frac{3}{2}$,

$\therefore A B=2 x$,

$\therefore O A=O B+A B=8 x=4$,

$\therefore x=\frac{1}{2}$,

$\therefore O B=3, P B=\frac{3}{2}$,

<ImageHere>
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $\left(3, \frac{3}{2}\right)$,

若水面上升 $1 m$ 后到达 $B C$ 位置, 如图,

过点 $O(0,0), A(4,0)$ 的抛物线的解析式可设为 $y=a x(x-4)$,

$\because$ 点 $P$ 的坐标 $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 在抛物线 $y=a x(x-4)$ 上,

$\therefore 3 a(3-4)=\frac{3}{2}$,

解得: $a=-\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2} x(x-4)$,

当 $y=1$ 时, $1=-\frac{1}{2} x(x-4)$,

解得: $x_{1}=2+\sqrt{2}, x_{2}=2-\sqrt{2}$,

$\therefore B C=(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2 \sqrt{2}$.

故选 $A$.