在矩形 $A B C D$ 中, $A B=8, B C=6$. 点 $O$ 为对角线 $A C$ 上一点(不与 $A$ 重合), $\odot O$ 是以点 $O$ 为圆心, $A O$ 为半径的圆.当 $\odot O$ 与矩形各边的交点个数为 5 个时, 半径 $O A$ 的范围是 \$ \qquad \$
根据题意可知, 点 $O$ 从 $A$ 沿着 $A C$ 移动, 当 $O$ 移动到如图 1 时,

即与 $C D$ 相切, $\odot O$ 与矩形各边的交点个数为 4 个,

当 $O$ 继续移动, 会出现 5 的交点的情况.

$\therefore$ 图 1 是一种临界情况,

分别过 $O$ 作 $C D, A D$ 的垂线段 $O E, O F$,

<ImageHere>

图1

$\because \odot O$ 与 $C D$ 相切, $O A=O E$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\angle D=90^{\circ}$,
又 $\because O F \perp A D, O E \perp C D$,

$\therefore O F / / C D$,

$\therefore \angle A O F=\angle O C E, \angle A F O=\angle O E C=\angle D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A O F \sim \triangle A C D$,

$\therefore \frac{O C}{O E}=\frac{A C}{A D}$

在Rt $\triangle A C D$ 中, $A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}$,

$\because A D=B C=6, C D=A B=8$,

$\therefore A C=10$,

$\therefore O C=\frac{A C}{A D} \cdot O E=\frac{5}{3} O E, O E=O A$,

$A C=O A+O C=O A+\frac{5}{3} O E=O A+\frac{5}{3} O A=\frac{8}{3} O A$,

即 $A C=\frac{8}{3} O A, O A=\frac{15}{4} ，$

$\therefore \odot O$ 与矩形各边的交点个数为 5 个时, $O A>\frac{15}{4}$,

点 $O$ 继续移动到如图 2 时, 即与 $B C$ 相切,

$\odot O$ 与矩形各边的交点个数为 6 个, 在此之前的交点是 5 个,

$\therefore$ 图 2 又是一种临界情况,

分别过 $O$ 作 $B C, A B$ 的垂线段 $O G, O H$,

<ImageHere>

图2

$\because \odot O$ 与 $B C$ 相切, $O A=O G$,

又 $\because O G \perp B C, O H \perp A B$,

$\therefore O G / / A B$,

$\therefore \angle O A H=\angle C O G, \angle A H O=\angle O G C=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle O C G \backsim \triangle A C B$,
$\therefore \frac{O C}{O G}=\frac{A C}{A B}$

$O C=\frac{A C}{A B} \cdot O G=\frac{5}{4} O G=\frac{5}{4} O A$,

$A C=O A+O C=O A+\frac{5}{4} O A=\frac{9}{4} O A$,

即 $A C==\frac{9}{4} O A$, 得 $O A=\frac{40}{9}$,

$\therefore \odot O$ 与矩形各边的交点个数为 5 个时, $O A<\frac{40}{9}$,

综上, $\frac{15}{4}<O A<\frac{40}{9}$.

故本题答案为: $\frac{15}{4}<O A<\frac{40}{9}$.