若 $x<y$, 且 $(a-3) x>(a-3) y$, 则当 $a$ 为范围内的最大整数时, 代数式 $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-1}$ 的值为 ( )
本题主要考查了不等式的性质和二次根式的化简求值, 解答此题的关键是由不等式的性质得到 $a$ 的取值范围.

解: $\because x<y$, 且 $(a-3) x>(a-3) y$,

$\therefore a-3<0, \quad \therefore a<3$,

又 $\because a$ 为范围内的最大整数,

$\therefore a$ 的值为 2 ,

当 $a=2$ 时, $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-1}=\sqrt{4+\frac{1}{4}-1}=\frac{\sqrt{13}}{2}$.