(1) 当 $\alpha \neq k \pi(k \in z)$ 时, 求证: $\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}$;

(2) 如图, 圆内接四边形 $A B C D$ 的四个内角分别为 $A 、 B 、 C 、 D$. 若 $A B=6$, $B C=3, C D=4, A D=5$. 求 $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$ 的值.
答案:(1) 证明见解析 (2) $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

【解析】

(1) 证明 $\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{1-\cos 2 \cdot \frac{\alpha}{2}}{\sin 2 \cdot \frac{\alpha}{2}}=\frac{2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}=\tan \frac{\alpha}{2}$.

(2) 因为 $A B C D$ 为圆的内接四边形, 所以 $\sin A=\sin C, \sin B=\sin D, \cos A=-\cos C$, $\cos B=-\cos D$, 由此可知:

$\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{D}{2}$

$=\frac{1-\cos A}{\sin A}+\frac{1-\cos B}{\sin B}+\frac{1-\cos C}{\sin C}+\frac{1-\cos D}{\sin D}$

$=\frac{2}{\sin A}+\frac{2}{\sin B}$

连接 $A C 、 B D$, 设 $A C=x, B D=y$ 由余弦定理可得:

$\cos A=\frac{25+36-y^{2}}{2 \times 5 \times 6}, \quad \cos C=\frac{9+16-y^{2}}{2 \times 3 \times 4}$,

$\cos B=\frac{36+9-x^{2}}{2 \times 6 \times 3}, \cos D=\frac{25+16-x^{2}}{2 \times 5 \times 4}$,

解得 $x^{2}=\frac{819}{19}, y^{2}=\frac{247}{7}$,

那么 $\cos A=\frac{3}{7}, \cos B=\frac{1}{19}$,

$\sin A=\frac{2 \sqrt{10}}{7}, \sin B=\frac{6 \sqrt{10}}{19}$.

所以原式 $=\frac{4 \sqrt{10}}{3}$.