（2019 春-北海期中）在如图所示的程序框图中, 有这样一个执行框 $x_{i}=f\left(x_{i-1}\right)$, 其中的函数关系式为 $f(x)=\frac{4 x-2}{x+1}$, 程序框图中的 $D$ 为函数 $f(x)$ 的定义域.

(1) 若输入 $x_{0}=\frac{49}{65}$, 请写出输出的所有 $x$ 的值;

(2) 若输出的所有 $x_{i}$ 都相等, 试求输入的初始值 $x_{0}$.

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解: (1) 当 $x_{0}=\frac{49}{65}$ 时, $x_{1}=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}=\frac{33}{57}=\frac{11}{19}$

而 $x_{1} \in D, x_{2}=\frac{4 x_{1}-2}{x_{1}+1}=\frac{1}{5}$

而 $x_{2}=\frac{1}{5} \in D, \quad x_{3}=\frac{4 x_{2}-2}{x_{2}+1}=-1$

而 $-1 \notin D$, 退出循环,

故 $x_{i}$ 的所有项为 $\frac{11}{19}$ 或 $\frac{1}{5}$;

（2）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是一个常数列, 则有 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=x_{0}$ 即 $x_{0}=f\left(x_{0}\right)=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}$, 解得: $x_{0}=1$ 或 $x_{0}=2$,

所以输入的初始值 $x_{0}$ 为 1 或 2 时输出的所有 $x_{i}$ 都相等.