【2018 届重庆市高三上学期期中】已知 $I$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, $\cos A=\frac{7}{8}$, 若 $\overrightarrow{A I}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$,则 $x+y$ 的最大值为
点 $O$ 是平面 $A B C$ 上任意一点, 点 1 是 $\triangle A B C$ 内心的充要条件是:

$\overrightarrow{O I}=\frac{a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}}{a+b+c}$ 其中 $\mathrm{BC}=\mathrm{a} 、 \mathrm{AC}=\mathrm{b} 、 \mathrm{AB}=\mathrm{c}$, 将 $\mathrm{O}$ 点取作 $\mathrm{A}$ 点带入得到

$\overrightarrow{A I}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}$, 故 $x+y=\frac{b+c}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{x+y}=1+\frac{a}{b+c}$

由余弦定理得到 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{7}{8} \Rightarrow b^{2}+c^{2}-\frac{7}{4} b c=a^{2}$ ，
$\frac{a}{b+c}=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-\frac{7}{4} b c}{b^{2}+c^{2}+2 b c}}=\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+2}}$ 又因为 $\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2$, 最终求得 $\frac{1}{x+y}=1+\frac{a}{b+c} \geq \frac{5}{4}$,故 $x+y \leq \frac{4}{5}$. 故答案选 D.