14. 已知两个等差数列 $\left\{a_{n}\right\}: 5,8,11, \cdots,\left\{b_{n}\right\}: 3,7,11, \cdots$, 都有 100 项, 试问它们有多少个共同的项?
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=5$, 公差 $d_{1}=8-5=3$.

$\therefore a_{n}=a_{1}+(n-1) d_{1}=3 n+2$.

在数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中, $b_{1}=3$, 公差 $d_{2}=7-3=4$,

$\therefore b_{n}=b_{1}+(n-1) d_{2}=4 n-1$.

令 $a_{n}=b_{m}$, 则 $3 n+2=4 m-1, \therefore n=\frac{4 m}{3}-1$.

$\because m, n \in \mathbf{N}^{*}, \quad \therefore m=3 k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$,

又 $\left\{\begin{array}{l}0<m \leqslant 100 \\ 0<n \leqslant 100\end{array}\right.$, 解得 $0<m \leqslant 75$.

$\therefore 0<3 k \leqslant 75, \quad \therefore 0<k \leqslant 25$,

$\therefore k=1,2,3, \cdots, 25$

$\therefore$ 两个数列共有 25 个公共项.