以椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的顶点为顶点, 离心率 $e=2$ 的双曲线方程是 ( )
根题意, 椭圆 $rac{x^{2}}{16}+rac{y^{2}}{9}=1$ 的顶点 $(4,0) 、(-4,0) 、(0,3) 、(0,-3)$; 故分两种情况讨论, (1)双曲线顶点为 $(4,0) 、(-4,0)$, 焦点在 $x$ 轴上, $a=4$, 由 $e=2$, 可得 $c=8$, $b^{2}=64-16=48$, 故双曲线的方程为 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{48}=1$; (2)双曲线的顶点为 $(0,3) 、(0,-3)$, 焦点在 $y$ 轴上; 即 $a=3$, 由 $e=2$, 可得 $c=6$,$b^{2}=36-9=27$, 所以方程为 $rac{y^{2}}{9}-rac{x^{2}}{27}=1$; 综上可得, 双曲线的方程为 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{48}=1$ 或 $rac{y^{2}}{9}-rac{x^{2}}{27}=1$, $