如图, 已知 $\odot O$ 半径 $O A=4$, 点 $B$ 为圆上的一点, 点 $C$ 为劣弧 $\overparen{A B}$ 上的一动点, $C D \perp O A, C E \perp O B$,连接 $D E$, 要使 $D E$ 取得最大值, 则 $\angle A O B$ 等于 $\qquad$ $\circ$

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解: 如图, 延长 $C D$ 交 $\odot O$ 于 $P$, 延长 $C E$ 交 $\odot O$ 于 $T$, 连接 $P T$.

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$\because O A \perp P C, O B \perp C T$,

$\therefore C D=D P, C E=T E$,

$\therefore D E=\frac{1}{2} P T$

$\therefore$ 当 $P T$ 是直径时, $D E$ 的长最大,

连接 $O C$,

$\because O P=O C=O T, O D \perp P C, O E \perp C T$,

$\therefore \angle C O D=\angle P O A, \angle C O B=\angle B O T$,

$\therefore \angle A O B=\angle C O A+\angle C O B=\frac{1}{2} \angle P O T=90^{\circ}$,

如图, 延长 $C D$ 交 $\odot O$ 于 $P$, 延长 $C E$ 交 $\odot O$ 于 $T$, 连接 $P T$. 根据垂径定理以及三角形的中位线定理, 可得 $D E=\frac{1}{2} P T$, 当 $P T$ 是直径时, $D E$ 的长最大, 再证明 $\angle A O B=90^{\circ}$, 即可解决问题.

本题考查垂径定理, 三角形的中位线定理等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造三角形的中位线解决问题.

