如图 1 是一个侧棱长为 $15 \mathrm{~cm}$ 的直三棱柱包装盒, 它的底面是正三角形. 现将宽为 $4 \mathrm{~cm}$ 的彩色矩形纸带 $A M C N$ 裁剪成一个平行四边形 $A B C D$ 如图所示, 然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时既不重叠也无遗漏), 纸带在侧面缠绕四圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满, 则在图 2 中, 裁剪的角度 $\angle B A D$ 的正弦值是

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

<ImageHere>

图3
由图 3 的包贴方法可得展开图如下:

<ImageHere>

$\because$ 纸带在侧面缠绕四圈, 正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满, 侧棱长为 $15 \mathrm{~cm}$,

$\therefore F B=5 \mathrm{~cm}$,

又:矩形纸带的宽为 $4 \mathrm{~cm}$,

$\therefore E F=4 \mathrm{~cm}$,
在Rt $\triangle E F B$ 中, $B E=\sqrt{B f^{2}-E F^{2}}=3 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \sin \angle B F E=\frac{\boldsymbol{B E}}{\boldsymbol{B F}}=\frac{3}{5}$

结合图形可得 $\angle B A D=\angle B F E$,

故可得裁剪的角度 $\angle B A D$ 的正弦值是 $\frac{3}{5}$

故答案为 $\frac{3}{5}$.