10. 设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+2 \geq 0 \\ 8 x-y-4 \leq 0 \\ x \geq 0, y \geq 0\end{array}\right.$, 若目标函数 $z=a b x+y(a>0, b>0)$ 的最大值为 8 , 则 $a+b$ 的

最小值为 \$ \qquad \$
不等式表示的区域是一个四边形, 4 个顶点是 $(0,0),(0,2),\left(\frac{1}{2}, 0\right),(1,4)$, 易见目标函数在 $(1,4)$取

最大值 8 , 所以 $8=a b+4 \Rightarrow a b=4$, 所以 $a+b \geq 2 \sqrt{a b}=4$,

在 $a=b=2$ 时是等号成立. 所以 $a+b$ 的最小值为 4 .