20. 已知曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-4+\cos t \\ y=3+\sin t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数), $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=8 \cos \theta \\ y=3 \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数).

(1) 化 $C_{1}, C_{2}$ 的方程为普通方程, 并说明它们分别表示什么曲线;

答案: 解: $\mathrm{C}_{1}:(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=1, \mathrm{C}_{2}: \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{9}=1$

$C_{1}$ 是以 $(-4,3)$ 为圆心, 半径为 1 的圆; $C_{2}$ 为中心在坐标原点, 焦点在 $X$ 轴上, 长半轴长是 8 , 短半轴长是 3 的椭圆

(2) 若 $\mathrm{C}_{1}$ 上的点 $\mathrm{P}$ 对应的参数为 $t=\frac{\pi}{2}, \mathrm{Q}$ 为 $\mathrm{C}_{2}$ 上的动点, 求 $\mathrm{PQ}$ 中点 $\mathrm{M}$ 到直线 $\mathrm{C}_{3}:\left\{\begin{array}{l}x=3+2 t \\ y=-2+t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数) 距离的最小值.
: 分析: 本题主要考查了参数方程化成普通方程, 解决问题的关键是第一问将参数消掉,求得其普通方程, 根据方程确定出曲线的类型, 第二问根据 $t=\frac{\pi}{2}$ 确定出 $\mathrm{P}$ 的坐标, 利用中点坐标公式, 确定出 $\mathrm{M}\left(-2+4 \cos \theta, 2+\frac{3}{2} \sin \theta\right)$, 将 $\mathrm{C}_{3}$ 的方程消参, 求得直线的普通方程, 利用点到直线的距离公式, 结合三角函数的最值, 求得距离的最小值