11. 已知动点 $P$ 到定点 $F(\sqrt{2}, 0)$ 的距离与点 $P$ 到定直线 $l: x=$ $2 \sqrt{2}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1)求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程;

(2)设 $M, N$ 是直线 $l$ 上的两个点, 点 $E$ 与点 $F$ 关于原点 $O$ 对称，若 $\overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{F N}=0$, 求 $|M N|$ 的最小值.
：解 (1)设 $P(x, y)$, 依题意, 有 $\frac{\sqrt{(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}}}{|x-2 \sqrt{2}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 整理, 得 $\frac{x^{2}}{4}$ $+\frac{y^{2}}{2}=1$,

$\therefore$ 动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$.

(2) $\because$ 点 $E$ 与点 $F$ 关于原点 $O$ 对称,

$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(-\sqrt{2}, 0)$.

$\because M, N$ 是直线 $l$ 上的两个点,

$\therefore$ 可设 $M\left(2 \sqrt{2}, y_{1}\right), N\left(2 \sqrt{2}, y_{2}\right)$ (不妨设 $\left.y_{1}>y_{2}\right)$.

$\because \overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{F N}=0, \quad \therefore\left(3 \sqrt{2}, y_{1}\right) \cdot\left(\sqrt{2}, y_{2}\right)=0$,

$6+y_{1} y_{2}=0$, 即 $y_{2}=-\frac{6}{y_{1}}$.
由于 $y_{1}>y_{2}, \therefore y_{1}>0, y_{2}<0$.

$\therefore|M N|=y_{1}-y_{2}=y_{1}+\frac{6}{y_{1}} \geqslant 2 \sqrt{y_{1} \cdot \frac{6}{y_{1}}}=2 \sqrt{6}$.

当且仅当 $y_{1}=\sqrt{6}, y_{2}=-\sqrt{6}$ 时, 等号成立.

故 $|M N|$ 的最小值为 $2 \sqrt{6}$.