如图, 正方形 $A B C D$ 中, 边长为 $2 \sqrt{3}, \triangle A B H 、 \triangle D C F$ 为等边三角形形, $A H 、 D F$ 交于点 $E, B H 、$ $C F$ 交于点 $G$, 则四边形 $E F G H$ 的面积是 $(\quad)$

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如图所示: 作 $H M \perp A B, G N \perp B C$, 则 $M 、 F 、 H$ 在一条直线上.

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$\because \triangle B A H$ 为等边三角形,

$\therefore H M=\sqrt{3} M B=3$.

$\therefore M F=B C-H M=2 \sqrt{3}-3$.

$\therefore F H=6-2 \sqrt{3}$.

$\because \triangle A B H$ 为等边三角形, $A B C D$ 为正方形,

$\therefore \angle G B N=30^{\circ}$.
$\therefore G N=\frac{\sqrt{3}}{3} B N=1$.

$\therefore E G=2 \sqrt{3}-2$.

$\therefore$ 四边形 $E F G H$ 的面积 $=\frac{1}{2} E G \cdot F H=\frac{1}{2} \times(2 \sqrt{3}-2) \times(6-2 \sqrt{3})=(\sqrt{3}-1)(6-2 \sqrt{3})=8 \sqrt{3}-12$.

故选: $A$.