已知 $f(x)$ 是定义在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的偶函数, 且当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时, 有 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x>0$, 则不等式 $f(x)<2 f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x$ 的解集为 ( )
解析：设 $g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$, 则 $g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x}{\cos ^{2} x}$,

$\because$ 当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时, 有 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x>0, \therefore g^{\prime}(x)>0, \therefore g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增.

又 $f(x)$ 是定义在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的偶函数, $\therefore g(x)$ 也是定义在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的偶函数（因为 $g(-x)=\frac{f(-x)}{\cos (-x)}=\frac{f(x)}{\cos x}=g(x)$ ),

不等式 $f(x)<2 f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x$ 可化为 $\frac{f(x)}{\cos x}<\frac{f\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \frac{\pi}{3}}$, 即 $g(x)<g\left(\frac{\pi}{3}\right), g(|x|)<g\left(\frac{\pi}{3}\right)$

$\therefore 0<|x|<\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3}<x<0$ 或 $0<x<\frac{\pi}{3}$.

故选: C.