点 $A, B, C, D$ 在同一个球的球面上, $A B=B C=A C=\sqrt{3}$, 若四面体 $A B C D$ 体积的最大值为 $\sqrt{3}$, 则这个球的表面积为 $(\quad)$
【分析】

根据几何体的特征, 判定外接球的球心, 求出球的半径, 即可求出球的表面积.

## 【详解】

根据题意知, $\triangle A B C$ 是一个等边三角形, 其面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$,

由正弦定理 $2 r=\frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi}{3}}=2$ 知, 外接圆的半径为 $r=1$.

设小圆的圆心为 $Q$,

若四面体 $A B C D$ 的体积有最大值, 由于底面积 $S_{\triangle A B C}$ 不变, 高最大时体积最大,

所以, $D Q$ 与面 $A B C$ 垂直时体积最大,

最大值为 $\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times D Q=\sqrt{3}$,

$\therefore D Q=4$,

设球心为 $O$, 半径为 $R$,

则在直角 $\triangle A Q O$ 中, $O A^{2}=A Q^{2}+O Q^{2}$,

即 $R^{2}=1^{2}+(4-R)^{2}$ ，

$\therefore R=\frac{17}{8}$

则这个球的表面积为: $S=4 \pi\left(\frac{17}{8}\right)^{2}=\frac{289 \pi}{16}$

故选: A.

## 【点睛】

本题考查的知识点是球内接多面体, 球的表面积, 其中分析出何时四面体 $A B C D$ 的体积的最大值, 是解答的关键.