已知球 $O$ 是正三棱雉 (底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心) $A-B C D$
的外接球, $B C=3, A B=2 \sqrt{3}$, 点 $E$ 在线段 $B D$ 上, 且 $B D=6 B E$, 过点 $E$ 作球 $O$ 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
：过 $E$ 作球 $O$ 的截面中, 面积最大的是过球心 $O$ 的截面, 最小的是垂直于 $O E$ 的截面, 求出球的半径, 以及垂直于 $O E$ 的截面半径, 从而可得结果.

详解:
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显然过 $E$ 作球 $O$ 的截面中, 面积最大的是过球心 $O$ 的截面, 最小的是垂直于 $O E$ 的截面,

设三棱雉的外接球半径为 $R$,

$\sqrt{3}^{2}+(3-R)^{2}=R^{2}$, 解得

$R=2$, 截面面积最大为 $4 \pi ，$

如图, $|O H|=1, E H^{2}=B H^{2}+B E^{2}-2 B H \cdot B E \cdot \cos 30^{\circ}$

$=3+\frac{1}{4}-2 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{13}{4}-\frac{6}{4}=\frac{7}{4}$,

$\therefore O E^{2}=E H^{2}+O H^{2}=\frac{7}{4}+1=\frac{11}{4}$,

$\therefore$ 垂直于 $O E$ 的截面半径 $r$ 满足 $r^{2}=2^{2}-O E^{2}=4-\frac{11}{4}=\frac{5}{4}$,

$\therefore S=\pi r^{2}=\frac{5 \pi}{4}$, 即截面最小面积为 $\frac{5 \pi}{4}$,

截面圆面积的取值范围是 $\left[\frac{5 \pi}{4}, 4 \pi\right]$, 故选 A.

点睛: 本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式,
属于难题. 球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型, 既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系, 做题过程中主要注意以下两点: (1)多面体每个面都分别在一个圆面上, 圆心是多边形外接圆圆心; (2)注意运用性质 $R^{2}=r^{2}+O O_{1}^{2}$.