(6 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C, D$ 两点在 $\odot O$ 上, $\angle B C D=45^{\circ}$.

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(1)求证: $A D=B D$.

(2)若 $\angle C D B=30^{\circ}, B C=3$, 求 $\odot O$ 的半径.


(1)由圆周角定理, 得 $\angle A=\angle C=45^{\circ}$, 由直径所对圆周角是直角, 得 $\angle A D B=90^{\circ}$,从而 $\angle A=\angle A B C=45^{\circ}$, 于是 $A D=B D$;

(2) 连接 $A C$, 由直径, 得 $\angle A C B=90^{\circ}$, 于是 $\angle C A B=\angle C D B=30^{\circ}$, 得 $A B=6$, 半径为 3 .

【详解】(1) $\because \angle B C D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle B C D=45^{\circ}$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=45^{\circ}$;

$\because \angle A=\angle A B C=45^{\circ}$

$\therefore A D=B D$.

(2) 连接 $A C$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because \angle C A B=\angle C D B=30^{\circ}, \quad B C=3$,

$\therefore A B=6$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 3 .

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【点睛】本题考查圆周角定理, 直径所对的圆周角是直角; 运用圆周角定理寻求等角是解题的关键.

