如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 有两个实数根, 且其中一个根为另一根的 2 倍, 则称这样的方程为 “倍根方程” , 以下关于倍根方程的说法, 正确的有个.

(1) 方程 $x^{2}-x-2=0$ 是倍根方程;

(2)若 $(x-2)(m x+n)=0$ 是倍根方程, 则 $4 m^{2}+5 m n+n^{2}=0$;

(3)若 $p 、 q$ 满足 $p q=2$, 则关于 $x$ 的方程 $p x^{2}+3 x+q=0$ 是倍根方程;

(4)若方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 是倍根方程, 则必有 $2 b^{2}=9 a c$.
解：(1)解方程 $x^{2}-x-2=0$ 得, $x_{1}=2, x_{2}=-1$, 得, $x_{1} \neq 2 x_{2}$,

$\therefore$ 方程 $x^{2}-x-2=0$ 不是倍根方程；故(1)不正确;

(2)若 $(x-2) \quad(m x+n)=0$ 是倍根方程, $x_{1}=2$,

因此 $x_{2}=1$ 或 $x_{2}=4$,

当 $x_{2}=1$ 时,$m+n=0$,

当 $x_{2}=4$ 时, $4 m+n=0$,

$\therefore 4 m^{2}+5 m n+n^{2}=(m+n) \quad(4 m+n)=0$,

故(2)正确;

(3) $\because p q=2$, 则 $p x^{2}+3 x+q=(p x+1)(x+q)=0$,

$\therefore x_{1}=-\frac{1}{p}, x_{2}=-q$,

$\therefore x_{2}=-q=-\frac{2}{p}=2 x_{1}$,

因此是倍根方程, 故(3)正确;

(4)方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的根为: $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$,

若 $x_{1}=2 x_{2}$, 则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2$,

即 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2=0$,

$\therefore \frac{b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$

$\therefore b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=0$,
$\therefore 3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=-b$,

$\therefore 9\left(b^{2}-4 a c\right)=b^{2}$,

$\therefore 2 b^{2}=9 a c$.

若 $2 x_{1}=x_{2}$ 时, 则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$,

则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$ ，

$\therefore \frac{-b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$,

$\therefore-b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=0$,

$\therefore b=3 \sqrt{b^{2}-4 a c}$,

$\therefore b^{2}=9\left(b^{2}-4 a c\right)$,

$\therefore 2 b^{2}=9 a c$.

故(4)正确,

$\therefore$ 正确的有: (2)(3)(4)共 3 个.