如图, 等腰 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}$, 点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 外一点,分别以 $B D, C D$ 为斜边作两个等腰直角 $\triangle B D E$ 和 $\triangle C D F$, 并使点 $F$ 落在 $B C$ 上, 点 $E$ 落在 $\triangle A B C$ 的内部, 连结 $E F$. 若 $\tan \angle F D B=\frac{5}{2}$, 则 $\triangle$

<ImageHere>
$A B E$ 与 $\triangle D E F$ 的面积之比为 ( )


解: 如图, 延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 $J$.

<ImageHere>

在 Rt $\triangle B D F$ 中, $\tan \angle B D F=\frac{B F}{D F}=\frac{5}{2}$,

$\therefore$ 可以假设 $B F=5 a, D F=2 a$,

$\because \triangle C D F$ 是等腰直角三角形,

$\therefore C F=D F=2 a, C D=2 \sqrt{2} a$,

$\because \triangle A B C, \triangle B D E$ 都是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A B C=\angle E B D=45^{\circ}, \frac{B D}{B E}=\frac{B C}{B A}=\sqrt{2}$,

$\therefore \angle D B C=\angle E B A$,

$\therefore \triangle B D C \sim \triangle E B A$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{B C}{A B}=\sqrt{2}, \angle B C D=\angle B A E=45^{\circ}$,

$\therefore A E=\frac{\sqrt{2}}{2} C D=2 a$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E=\angle C A E=45^{\circ}$,

$\because A B=A C$,

$\therefore A J \perp B C, B J=C J=\frac{7}{2} a$,

$\therefore S_{\triangle A B E}=\frac{1}{2} \cdot A E \cdot B J=\frac{1}{2} \times 2 a \times \frac{7}{2} a=\frac{7}{2} a^{2}$,
$\because A J=B J=C J=\frac{7}{2} a$

$\therefore E J=A J-A E=\frac{3}{2} a$,

$\therefore S_{\triangle D E F}=S_{\triangle B D F}+S_{\triangle B F E}-S_{\triangle B D E}=\frac{1}{2} \times 5 a \times 2 a+\frac{1}{2} \times 5 a \times \frac{3}{2} a-\frac{1}{2} \times \sqrt{29} a \times \frac{\sqrt{29}}{2} a=\frac{3}{2} a^{2}$,

$\therefore \frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle D E F}}=\frac{\frac{7}{2} a^{2}}{\frac{3}{2} a^{2}}=\frac{7}{3}$,

故选: $B$.

如图, 延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 J.在 $R t \triangle B D F$ 中, $\tan \angle B D F=\frac{B F}{D F}=\frac{5}{2}$, 可以假设 $B F=5 a, D F=2 a$, 分别求出 $\triangle A B E, \triangle D E F$ 的面积, 可得结论.

本题考查相似三角形的判定和性质, 等腰直角三角形的性质, 解直角三角形等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

 