如图, 点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 内任意一点, 连接 $A E, B E, C E, D E$, 则下列结论正确的是 $(\quad)$

<ImageHere>
如图: 过点 $E$ 作 $E F \perp B C$, 延长 $F E$ 交 $A D$ 于点 $M$

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形

$$
\therefore \angle B A D=\angle A B C=\angle B C D=\angle C D A=90^{\circ}
$$

又 $\because E F \perp B C$

$\therefore$ 四边形 $A B F M$, 四边形 $D C F M$ 是矩形

$\therefore A M=B F, M D=C F, M F \perp A D$

$\because A E^{2}=A M^{2}+M E^{2}, D E^{2}=M D^{2}+M E^{2}, B E^{2}=E F^{2}+B F^{2}, C E^{2}=E F^{2}+C F^{2}$.

$\therefore A E^{2}+C E^{2}=B E^{2}+D E^{2}$.

故选: $C$.