22. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(m, \cos 2 x), \boldsymbol{b}=(\sin 2 x, n)$, 函数 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$, 且 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi}{12}, \sqrt{3}\right)$和点 $\left(\frac{2 \pi}{3},-2\right)$.

(1)求 $m, n$ 的值;

(2) 将 $y=f(x)$ 的图象向左平移 $\varphi(0<\varphi<\pi)$ 个单位后得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 若 $y=g(x)$ 图象上
各最高点到点 $(0,3)$ 的距离的最小值为 1 , 求 $y=g(x)$ 的单调递增区间.
(1) 由题意知 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=m \sin 2 x+n \cos 2 x$.

因为 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{\pi}{12} ， \sqrt{3}\right)$ 和 $\left(\frac{2 \pi}{3} ，-2\right)$ ，

所以 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=m \sin \frac{\pi}{6}+n \cos \frac{\pi}{6}, \\ -2=m \sin \frac{4 \pi}{3}+n \cos \frac{4 \pi}{3} ，\end{array}\right.$

即 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}=\frac{1}{2} m+\frac{\sqrt{3}}{2} n ， \\ -2=-\frac{\sqrt{3}}{2} m-\frac{1}{2} n ，\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\sqrt{3} ， \\ n=1 .\end{array}\right.$

(2)由(1)知 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$.

由题意知 $g(x)=f(x+\varphi)=2 \sin \left(2 x+2 \varphi+\frac{\pi}{6}\right)$.

设 $y=g(x)$ 的图象上符合题意的最高点为 $\left(x_{0}, 2\right)$.

由题意知 $x_{0}^{2}+1=1$ ，所以 $x_{0}=0$ ，

即到点 $(0 ， 3)$ 的距离为 1 的最高点为 $(0 ， 2)$.

将其代入 $y=g(x)$ 得 $\sin \left(2 \varphi+\frac{\pi}{6}\right)=1$.

因为 $0<\varphi<\pi$ ，所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ，

因此 $g(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=2 \cos 2 x$.

由 $2 k \pi-\pi \leqslant 2 x \leqslant 2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ 得

$k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

所以函数 $y=g(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi\right]$, $k \in \mathbf{Z}$.