把两个大小不同的含 $45^{\circ}$ 角的直角三角板如图(1)放置, 图(2)是由它抽象出的几何图形,点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{E}$ 在同一条直线上, 连结 $\mathrm{CD}$.

<ImageHere>

图(1)

<ImageHere>

图(2).

(1) 求证: $\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$;

(2) 求证: $\mathrm{DC} \perp \mathrm{BE}$.
解: (1) 证明: $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{DAE}$ 都是等腰直角三角形

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{AE}=\mathrm{AD}, \angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAE}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAE}=\angle \mathrm{DAE}+\angle \mathrm{CAE}$, 即 $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAD}$

在 $\triangle B A E$ 和 $\triangle C A D$ 中

$\left\{\begin{aligned} A B & =A C \\ \angle B A E & =\angle C A D, \\ A E & =A D\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle \mathrm{BAE} \cong \triangle \mathrm{CAD}(\mathrm{SAS})$

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{CD}$

(2) 证明: $\because \triangle \mathrm{BAE} \cong \triangle \mathrm{CAD}$
$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{B}=45^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{DCB}=\angle \mathrm{ACB}+\angle \mathrm{ACD}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$

$\therefore \mathrm{DC} \perp \mathrm{BE}$