19. 已知曲线 $C$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=m+\sin \alpha\end{array}\right.$ ( $\alpha$ 为参数 $)$, 直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{\sqrt{5}}{5} t \\ y=4+\frac{2 \sqrt{5}}{5} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$,

(1) 求曲线 $C$ 与直线 $l$ 的普通方程;
答案: 解: 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=m+\sin \alpha\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y-m=\sin \alpha\end{array}\right.$

曲线 $C$ 的普通方程为: $x^{2}+(y-m)^{2}=1$; 由 $x=1+\frac{\sqrt{5}}{5} t$ 得 $\frac{\sqrt{5}}{5} t=x-1$ 代入 $y=4+\frac{2 \sqrt{5}}{5} t$ 得 $y=4+2(x-1)$, 所以直线 $l$ 的普通方程为 $y=2 x+2$.

(2) 若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点, 且 $|P Q|=\frac{4 \sqrt{5}}{5}$, 求实数 $m$ 的值
: 分析: 本题主要考查了参数方程化成普通方程, 解决问题的关键是: (1) 利用三角关系中的平方关系将曲线 $C$ 参数方程中的参数消去即可得曲线 $C$ 的普通方程; 用代入消元法,即由直线参数方程中的一个表达式中求出参数 $t$, 代入另一个参数方程表达式中即可求出直线的普通方程; (2) 由点到直线的距离公式求出弦心距, 利用圆的性质及勾股定理即可求出参数 $m$ 的值