11. 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{10}=-9$.

(1)求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2)求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 及使得 $S_{n}$ 最大的序号 $n$ 的值.
(1) 由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ 及 $a_{3}=5, a_{10}=-9$ 得

$\left\{\begin{array}{l}a_{1}+2 d=5, \\ a_{1}+9 d=-9,\end{array}\right.$ 可解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=9, \\ d=-2,\end{array}\right.$

所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=11-2 n$.

(2)由(1)知, $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=10 n-n^{2}$.

因为 $S_{n}=-(n-5)^{2}+25$,

所以当 $n=5$ 时, $S_{n}$ 取得最大值.