如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的体积为 ( )

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正视图

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诲视图
【分析】

将三视图还原为空间几何体, 根据几何关系再补全为棱柱, 其四棱雉的外接球即为棱柱的外接球. 由长方体的对角线为球的直径, 即可由勾股定理求得球的半径, 进而得球的体积.

## 【详解】

由三视图可知此几何体为一横放的四棱雉，如下图所示：

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其底为边长为 4 的正方形，高为 2 ,

其中平面 $S A B \perp$ 平面 $A B C D$,

可知 $S A=S B=2 \sqrt{2}$,

故可补全为以 $D A, S A, S B$ 为棱的长方体，如下图所示:

<ImageHere>

设四棱雉的外接球的半径为 $R$,

故 $2 R=\sqrt{D A^{2}+S A^{2}+S B^{2}}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}$,

$\therefore R=2 \sqrt{2}$,

$\therefore V_{\text {球 }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \times \pi \times 16 \sqrt{2}=\frac{64 \sqrt{2} \pi}{3}$.

故选: C.

## 【点睛】

本题考查了三视图还原空间几何体的应用, 棱锥补全为棱柱的应用, 棱柱外接球的性质及球的体积求法, 属于中档题.