已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图, 对称轴为直线 $x=1$, 则以下结论正确的是

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根据图象可判断 $a$ 和 $c$ 的符号，即可判断 $\mathrm{A}$; 根据图象可知抛物线与 $x$ 轴的一个交

点为 $(3,0)$, 即可得出 $9 a+3 b+c=0$, 再根据抛物线对称轴为直线 $x=1$, 即 $-\frac{b}{2 a}=1$, 且可判断出 $b>0$, 通过整理可得出 $c-5 b=-\frac{7 b}{2}$, 即可判断 $\mathrm{B}$; 由 $-\frac{b}{2 a}=1$, 即可判断 $\mathrm{C}$; 由 $a=-1$,可求出 $b 、 c$ 的值, 即得出拋物线解析式, 再变为顶点式, 即可判断 D.

【详解】解: 根据图象可知, 该二次函数开口向下,

$\therefore a<0$,

该二次函数与 $y$ 轴交点在 $x$ 轴上方，

$\therefore c>0$,

$\therefore a c<0$, 故 A 选项错误, 不符合题意;

$\because$ 该抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(3,0)$,

$\therefore 9 a+3 b+c=0$,

$\because$ 对称轴为直线 $x=1$, 即 $-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore a=-\frac{b}{2}$,

$\therefore 9 \times\left(-\frac{b}{2}\right)+3 b+c=0$, 即 $c-\frac{3 b}{2}=0$

$\therefore c-5 b=-\frac{7 b}{2}$.

$\because a<0$,

$\therefore b>0$,

$\therefore-\frac{7 b}{2}<0$,

$\therefore c-5 b<0$, 故 B 选项正确, 符合题意;

$\because-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore 2 a+b=0$, 故 C 选项错误, 不符合题意;

当 $a=-1$ 时, 即 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2 \times(-1)}=1 \\ 9 \times(-1)+3 b+c=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}b=2 \\ c=3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 该二次函数解析式为 $y=-x^{2}+2 x+3$, 改为顶点式为 $y=-(x-1)^{2}+4$,

$\therefore$ 拋物线顶点坐标为 $(1,4)$, 故 D 选项错误，不符合题意;

故选 B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质, 二次函数图象与系数的关系. 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键.

