已知函数 $f(x)=-x^{2}+2 a x-2 a+b$, 且 $f(1)=0$.

(1) 若 $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 上有零点, 求实数 $a$ 的取值范围;

(2) 若 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上的最大值是 2 , 求实数 $a$ 的的值.
试题分析：（1）由 $f(1)=0$, 得 $b=1$. 又 $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 上有零点可得 $\left\{\begin{array}{l}f(2)>0 \\ f(3)<0\end{array}\right.$.或者可用求根公式求得另一零点, 使其在区间 $(2,3)$ 内. (2) 函数 $f(x)$ 的图像是开口向上的抛物线, 对称轴为 $x=a$. 讨论对称轴 $x=a$ 与区间 $[0,3]$ 的关系, 根据函数的单调性求其最大值.

试题解析：解: (1) 由 $f(1)=0$, 得 $b=1$.

又 $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 上有零点, 且 $f(x)$ 的一个零点是 1 ;

<ImageHere>

(2) $f(x)=-x^{2}+2 a x-2 a+1$, 对称轴为 $x=a$.

(1)当 $a \leq 0$ 时, $f_{\text {max }}=f(0)=-2 a+1=2$, 则 $a=-\frac{1}{2}$;

(2)当 $0<a<3$ 时, $f_{\text {max }}=f(a)=a^{2}-2 a+1=2$, 则 $a=1+\sqrt{2}$, 或 $a=1-\sqrt{2}$ （舍去）;

(3)当 $a \geq 3$ 时, $f_{\text {max }}=f(3)=4 a-8=2$, 则 $a=\frac{5}{2}$ （舍去）;

综上: $a=-\frac{1}{2}$ 或 $a=1+\sqrt{2}$.