设集合 $A=B=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}, f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射, 并且满足: $(x, y) \rightarrow(-x y, x-y)$.

(1)求 $B$ 中的元素 $(3,-4)$ 在 $A$ 中的原像;

(2)试探索 $B$ 中哪些元素在 $A$ 中存在原像;

(3)求 $B$ 中元素 $(a, b)$ 在 $A$ 中有且只有一个原像时, $a, b$ 所满足的关系.
(1)设 $(x, y)$ 是 $B$ 中的元素(3, -4)在 $A$ 中的原像, $\therefore\left\{\begin{array}{l}-x y=3, \\ x-y=-4,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-3, \\ y-1 .\end{array} \therefore(3,-4)\right.$ 在 $A$ 中的原像有两个, 分别为 $(-1,3)$ 与 $(-3,1)$.

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并化简得 $x^{2}-b x+a=0$ (3).当且仅当 $\Delta=b^{2}-4 a \geqslant 0$ 时, 方程(3)有实数解, 因此只有当 $B$ 中的元素 $(a, b)$ )满足 $b^{2}-4 a \geqslant 0$ 时, 在 $A$ 中才有原像.

(3)由以上(2)的解题过程可知: 只有当 $B$ 中的元素 $(a, b)$ 满足 $b^{2}=4 a$ 时, 它在 $A$ 中有且只有一个原像.