(10 分) 已知直线 $y=-\frac{3}{4} x+6$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴分别相交于点 $A, B$, 直线 $y=-2 x+6$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴分别相交于点 $C, B$, 若已知 $x$ 轴上有一点 $D(5,0)$, 点 $M$ 为直线 $A B$ 上一点, 点 $N$ 为直线 $B C$上一点, 是否存在这样的点 $M 、 N$, 使得以点 $A 、 D 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在, 求出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 说明理由;
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备用图

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解：存在点 $M 、 N$, 使得以点 $A 、 D 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是平行四边形. $\because$ 直线 $y=-\frac{3}{4} x+6$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴分别相交于点 $A, B$,

则点 $A 、 B$ 的坐标分别为: $(8,0) 、(0,6)$,

$\therefore A D=3$,

$\because$ 点 $M$ 为直线 $A B$ 上一点, 点 $N$ 为直线 $B C$ 上一点,

$\therefore$ 设点 $M\left(m,-\frac{3}{4} m+6\right)$, 点 $N(n,-2 n+6)$,

(1)当 $A D$ 是平行四边形的边时,则 $M N=A D$, 且 $M N \| A D$,

即: $-\frac{3}{4} m+6=-2 n+6, m-n= \pm 3$,

解得: $m= \pm \frac{32}{5}$, 故点 $M\left(\frac{24}{5}, \frac{12}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{24}{5}, \frac{48}{5}\right)$;

(2)当 $A D$ 是平行四边形的对角线时, $A D$ 的中点坐标为 $(6.5,0)$,

$\therefore m-6.5=6.5-n,-\frac{3}{4} m+6-2 n+6=0$,

解得: $m=\frac{56}{5}$, 故点 $M\left(\frac{56}{5},-\frac{12}{5}\right)$;

综上,点 $M\left(\frac{24}{5}, \frac{12}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{24}{5}, \frac{48}{5}\right)$ 或 $\left(\left(\frac{56}{5},-\frac{12}{5}\right)\right.$.

【解析】本题是一道一次函数综合题, 考查的知识有平行四边形的性质等.根据已知条件求出点 $A 、 B$的坐标, 即可求出 $A D$, 根据点 $M$ 为直线 $A B$ 上一点, 点 $N$ 为直线 $B C$ 上一点, 设点 $M\left(m,-\frac{3}{4} m+6\right)$, 点 $N(n,-2 n+6)$, 分两种情况进行讨论: (1)当 $A D$ 是平行四边形的边时; (2)当 $A D$ 是平行四边形的对角线时,分别求解即可.