当 $a$ 为任意实数时, 直线 $(a-1) x-y+a+1=0$ 恒过定点 $C$, 则以 $C$ 为圆心, $\sqrt{5}$ 为半径的圆的方程为 $(\quad)$
直线 $(a-1) x-y+a+1=0$ 可化为 $(-x-y+1)+a(1+x)=0$,

由 $\left\{\begin{array}{l}-x-y+1=0, \\ x+1=0,\end{array}\right.$ 得 $C(-1,2)$.

$\therefore$ 圆的方程为 $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5$,

即 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y=0$.