由直线 $y=x+1$ 上的一点向圆 $x^{2}-6 x+y^{2}+8=0$ 引切线, 则切线长的最小值为
长的最小值在直线 $y=x+1$ 上的点与圆心的距离最小时取得, 圆心 $(3,0)$ 到直线的距离为 $d=$

$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$, 圆的半径为 1 , 故切线长的最小值为 $\sqrt{d^{2}-r^{2}}=\sqrt{8-1}=\sqrt{7}$.