如图是一个几何体的平面展开图, 其中四边形 $A B C D$ 为正方形, $\triangle P D C, \triangle P B C$, $\triangle P A B, \triangle P D A$ 为全等的等边三角形, $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 的中点, 在此几何体中, 下列结论中正确的个数有 ()

<ImageHere>

(1)平面 $B C D \perp$ 平面 $P A D$

(2直线 $B E$ 与直线 $A F$ 是异面直线

(3)直线 $B E$ 与直线 $C F$ 共面

(4)面 $P A D$ 与面 $P B C$ 的交线与 $B C$ 平行
【分析】

根据展开图, 复原几何体, 利用异面直线的定义可以判断出(2)(3)的正误, 利用面面垂直的判定定理判断(1)的正误, 利用面面平行的性质定理判断(4)的正误, 最后选出正确答案.

## 【详解】

根据展开图，复原几何体，如下图所示：

<ImageHere>

由已知条件, 在平面 $P A D$ 内, 过点 $P$ 的中线垂直于 $A D$, 再也找不到和平面 $B C D$ 内垂直的线段, 因此找不到和平面 $B C D$ 垂直的垂线, 由已知四边形 $A B C D$ 为正方形, 能得到 $A B \perp A D$ 或 $C D \perp A D$, 再也找不到和平面 $P A D$ 内相垂直的的线段, 因此找不到和平面 $P A D$ 垂直的线段, 所以不能判断平面 $B C D \perp$ 平面 $P A D$, 故(1)是不正确的;根据异面直线的定义可以判断(2)是正确的;

因为 $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 的中点, 所以 $E F / / A D$, 而四边形 $A B C D$ 为正方形,所以有 $A D / / B C$, 因此有 $E F / / B C$, 所以 $E, F, B, C$ 中点共面, 所以(3)是正确的;因为 $A D / / B C, B C \not \subset$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D$, 所以 $B C / /$ 平面 $P A D$,而 $B C \subset$ 平面 $P B C$, 所以面 $P A D$ 与面 $P B C$ 的交线与 $B C$ 平行, 故(4)正确, 故有三个结论是正确的, 本题选 A.

## 【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理和性质定理, 考查了面面垂直的判定定理, 考查了异面直线的定义.