(本小题8.0分)

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A$ 为钝角, $A B=25, A C=39, \sin B=\frac{3}{5}$, 求 $\tan C$ 和 $B C$ 的长.

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解：过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 如图所示:

在Rt $\triangle A B D$ 中, $A B=25, \sin B=\frac{A D}{A B}=\frac{3}{5}$,

<ImageHere>

$\therefore \frac{A D}{25}=\frac{3}{5}$,
$\therefore A D=15$,

在Rt $\triangle A C D$ 中, $C D=\sqrt{A C^{2}-A D^{2}}=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=36$,

$\therefore \tan C=\frac{A D}{C D}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$,

在Rt $\triangle A B D$ 中, $B D=\sqrt{A B^{2}-A D^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$,

$\therefore B C=B D+C D=20+36=56$.

【解析】过点 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 在 $R t \triangle A B D$ 中, 由 $\sin B=\frac{A D}{A B}=\frac{3}{5}$, 求出 $A D=15$, 在 $R t \triangle A C D$ 中,由勾股定理得出 $C D=\sqrt{A C^{2}-A D^{2}}=36$, 则 $\tan C=\frac{A D}{C D}=\frac{5}{12}$, 在 $R t \triangle A B D$ 中, 由勾股定理得出 $B D=\sqrt{A B^{2}-A D^{2}}=20$, 即可得出 $B C$ 的长.

本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识; 作辅助线构建直角三角形是解题的关键.