如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, $\angle A=60^{\circ}, C D=2, B D=4$, 则 $\triangle D B C$ 的面积是 $(\quad)$

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【分析】

本题考查了三角形的内心定义, 勾股定理, 三角形的内角和定理以及含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质以及三角形的面积, 熟练掌握三角形的内心定义, 勾股定理, 三角形的内角和定理以及含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质是解题的关键.

根据 $D$ 为 $\triangle A B C$ 的内心得到 $(\angle D B C+\angle D C B)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)$, 进而得出 $\angle B D C 、 \angle B D H$ 和 $\angle H B D$ 的度数, 再根据含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质得出 $D H=\frac{1}{2} B D$, 在直角三角形 $B D H$ 中, 根据勾股定理得出 $B H$ 的长, 最后根据三角形的面积公式得出结果.

【解答】

解: 过点 $B$ 作 $B H \perp C D$ 的延长线于点 $H$.

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$\because$ 点 $D$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, $\angle A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C+\angle D C B=\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle A C B)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)$,

$\therefore \angle B D C=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A=90^{\circ}+\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle B D H=60^{\circ}$,

$\therefore \angle H B D=30^{\circ}$.
$\because B D=4$,

$\therefore D H=\frac{1}{2} B D=\frac{1}{2} \times 4=2$,

在Rt $\triangle B D H$ 中, $\because B D^{2}=D H^{2}+B H^{2}$,

$\therefore B H=\sqrt{B D^{2}-D H^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}$,

$\because C D=2$,

$\therefore \triangle D B C$ 的面积 $=\frac{1}{2} C D \cdot B H=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}$,

故选 $B$.