如图, $\odot O$ 与正方形 $A B C D$ 的两边 $A B, A D$ 都相切, 且 $D E$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E$, 若正方形 $A B C D$的边长为 $4, D E=3$, 则 $O D$ 的长为 $(\quad)$

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【分析】

本题考查切线的性质、切线长定理等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题, 属于中考常考题型. 设 $\odot O$ 与 $A B 、 A D$ 相切于点 $M 、 N$. 连接 $O M 、 O N$, 则四边形 $A M O N$ 是正方形. 根据切线长定理, 可得 $D E=D N=3, A N=1$, 然后根据勾股定理可得答案.

【解答】

解：设 $\odot O$ 与 $A B 、 A D$ 相切于点 $M 、 N$. 连接 $O M 、 O N$, 则四边形 $A M O N$ 是正方形.

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$\because D E 、 D A$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore D E=D N=3$,

$\because A D=4$,

$\therefore A N=O N=4-3=1$,

在Rt $\triangle O N D$ 中, $O D=\sqrt{O N^{2}+D N^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.

故选 $B$.