（10 分）古往今来, 桥给人们的生活带来便利, 解决跨水或者越谷的交通, 便于运输工具或行人在桥上畅通无阻, 中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形,坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝, 距今已有约 1400 年的历史, 是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敉肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形.

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图(1)

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图(2)

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图(3)

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水面宽

(1)某桥 $A$ 主桥拱是圆弧形（如图(1)中 $A B C$ ), 已知跨度 $A C=40 \mathrm{~m}$, 拱高 $B D=10 \mathrm{~m}$, 则这条桥主桥拱的半径是 $\qquad$ $\mathrm{m}$;

(2)某桥 $B$ 的主桥拱是拋物线形（如图(2)）, 若水面宽 $M N=10 \mathrm{~m}$, 拱顶 $P$ (拋物线顶点）距离水面 $4 \mathrm{~m}$, 求桥拱拋物线的解析式;

(3)如图(3), 某时桥 $A$ 和桥 $B$ 的桥下水位均上升了 $2 \mathrm{~m}$, 求此时两桥的水面宽度.

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(1) 设 $A B C$ 所在圆的圆心为点 $O$, 连接 $O A, O D$, 则 $O B \perp A C, A D=C D=20 \mathrm{~m}$,
再设这条桥主桥拱的半径是 $r \mathrm{~m}$, 则 $O A=O B=r \mathrm{~m}, O D=(r-10) \mathrm{m}$, 然后在 $\mathrm{Rt} \triangle A O D$ 中,利用勾股定理求解即可得;

(2) 以水面所在直线为 $x$ 轴, $M N$ 的中点为原点 $O$, 建立平面直角坐标系, 则 $N(5,0), P(0,4)$,再利用待定系数法求解即可得;

（3）根据（1）可得 $O F=25 \mathrm{~m}, O D=15 \mathrm{~m}, O B \perp F G, D E=2 \mathrm{~m}$, 利用勾股定理可求出 $E F$ 的长, 再利用垂径定理即可得此时桥 $\mathrm{A}$ 的水面宽度; 根据（2）的结论求出 $y=2$ 时, $x$ 的值,由此即可得此时桥 $B$ 的水面宽度.

【详解】(1) 解: 如图, 设 $A B C$ 所在圆的圆心为点 $O$, 连接 $O A, O D$,

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由垂径定理得：点 $O, D, B$ 共线，

则 $O B \perp A C, A D=C D=\frac{1}{2} A C=20 \mathrm{~m}$,

设这条桥主桥拱的半径是 $r \mathrm{~m}$, 则 $O A=O B=r \mathrm{~m}$,

$\therefore O D=O B-B D=(r-10) \mathrm{m}$,

在 Rt $\triangle A O D$ 中, $A D^{2}+O D^{2}=O A^{2}$, 即 $20^{2}+(r-10)^{2}=r^{2}$,

解得 $r=25$,

故答案为: 25 .

(2) 解: 如图, 以水面所在直线为 $x$ 轴, $M N$ 的中点为原点 $O$, 建立平面直角坐标系,

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由题意得: $N(5,0), P(0,4)$,

则设桥拱拋物线的解析式为 $y=a x^{2}+c$,

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所以桥拱抛物线的解析式为 $y=-\frac{4}{25} x^{2}+4$.

（3）解：如图, 桥 A 中, 由（1）可知: $O F=25 \mathrm{~m}, O D=25-10=15(\mathrm{~m})$,

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由题意得： $O B \perp F G, D E=2 \mathrm{~m}$,

$\therefore O E=17 \mathrm{~m}$,

在 Rt $\triangle E O F$ 中, $E F=\sqrt{O F^{2}-O E^{2}}=4 \sqrt{21} \mathrm{~m}$,

由垂径定理得: $F G=2 E F=8 \sqrt{21} \mathrm{~m}$,

即此时桥 $\mathrm{A}$ 的水面宽度为 $8 \sqrt{21} \mathrm{~m}$;

如图, 桥 $B$ 中, $y=-\frac{4}{25} x^{2}+4$,

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当 $y=2$ 时,$-\frac{4}{25} x^{2}+4=2$,

解得 $x=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ 或 $x=-\frac{5 \sqrt{2}}{2}$,

所以此时桥 $B$ 的水面宽度为 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)=5 \sqrt{2}(\mathrm{~m})$,

答：此时桥 $A$ 的水面宽度为 $8 \sqrt{21} \mathrm{~m}$, 桥 $B$ 的水面宽度为 $5 \sqrt{2} \mathrm{~m}$.

【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点, 熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键.

