(6 分) 如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=4, A C=3, A D, A E$ 分别是其角平分线和中线, 过点 $C$ 作 $C G \perp A D$于 $F$, 交 $A B$ 于 $G$, 连接 $E F$, 求线段 $E F$ 的长.

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解: 在 $\triangle A G F$ 和 $\triangle A C F$ 中, $\left\{\begin{array}{c}\angle G A F=\angle C A F \\ A F=A F \\ \angle A F G=\angle A F C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A G F \cong \triangle A C F(A S A)$,

$\therefore A G=A C=3, G F=C F$,

则 $B G=A B-A G=4-3=1$.

又 $\because B E=C E$,

$\therefore E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, $\therefore E F=\frac{1}{2} B G=\frac{1}{2}$.

【解析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理, 正确证明 $G F=C F$ 是关键. 首先证明 $\triangle A G F \cong \triangle A C F$, 则 $A G=A C=3, G F=C F$, 证明 $E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, 利用三角形的中位线定理即可求解.