如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值是 ( ).

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【分析】

连接 $B_{1} D_{1}$ 可得平面的垂直, 从而得直线与平面所成角, 计算可得.

## 【详解】

如图, 连接 $B_{1} D_{1}$ 交 $A_{1} C_{1}$ 于 $O$, 则 $A C_{1} \perp B_{1} D_{1}$, 又正方体中 $A A_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

$B_{1} D_{1} \subseteq$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, \therefore A A_{1} \perp B_{1} D_{1}$, 而 $A A_{1} \cap A_{1} C_{1}=A_{1}, \therefore B_{1} D_{1} \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1}$,

$\therefore \angle B_{1} A_{1} O$ 是直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A A_{1} C_{1}$ 所成角, 此角大小为 $45^{\circ}$, 余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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## 【点睛】

本题考查直线与平面所成的角, 解题关键是作出直线与平面所成的角. 然后计算.