7. 已知函数 $f(x)=a \cos x+b$ 的最大值为 1 , 最小值为 -3 , 则函数 $g(x)=a b \sin x+3$ 的最大值为
$a>0$ 时, 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a+b=1, \\ -a+b=-3,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2, \\ b=-1,\end{array} \quad g(x)=-2 \sin x+3\right.$, 最大值为 5 ; 当 $a<0$ 时, 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}-a+b=1, \\ a+b=-3,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-2, \\ b=-1,\end{array}, \quad g(x)=2 \sin x+3\right.$, 最大值为 5 ; 当 $a=0$ 时, 不合题意,

$\therefore g(x)$ 的最大值为 5 .

【答案】 5