在区间 $[0,4]$ 上随机地选择一个数 $p$, 则方程 $x^{2}-p x+3 p-8=0$ 有两个正根的概率为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {
方程 $x^{2}-p x+3 p-8=0$ 有两个正根,

则有 $\left\{\begin{array}{l}\Delta \geq 0 \\ x_{1}+x_{2}>0 \\ x_{1} x_{2}>0\end{array}\right.$, 即解得 $p \geq 8$ 或 $\frac{8}{3}<p \leq 4$ ，

又 $^{p \in[0,4]}$, 由几何概型概率公式可得方程 $x^{2}-p x+3 p-8=0$ 有两个正根的概率为 $p=\frac{4-\frac{8}{3}}{4-0}=\frac{1}{3}$,故选 A.