已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 , 点 $P$ 在线段 $C B_{1}$ 上, 且 $B_{1} P=2 P C$, 平面 $\alpha$ 经过点 $A, P, C_{1}$, 则正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $\alpha$ 截得的截面面积为 $\quad$ )

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【分析】

先根据平面的基本性质确定平面, 然后利用面面平行的性质定理, 得到截面的形状再求解.

## 【详解】

如图所示:

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$A, P, C_{1}$ 确定一个平面 $\alpha$,

因为平面 $A A_{1} D D_{1} / /$ 平面 $B B_{1} C C_{1}$,

所以 $A Q / / P C_{1}$, 同理 $A P / / Q C_{1}$,

所以四边形 $A P C_{1} Q$ 是平行四边形.

即正方体被平面截的截面.

因为 $B_{1} P=2 P C$,

所以 $C_{1} B_{1}=2 P C$,

即 $P C=P B=1$

所以 $A P=P C_{1}=\sqrt{5}, A C_{1}=2 \sqrt{3}$
由余弦定理得: $\cos \angle A P C_{1}=\frac{A P^{2}+P C_{1}^{2}-A C_{1}^{2}}{2 A P \times P C_{1}}=\frac{1}{5}$

所以 $\sin \angle A P C_{1}=\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

所以 $S_{\text {四边形 }} A P Q C_{1}=2 \times \frac{1}{2} A P \times P C_{1} \times \sin \angle A P C_{1}=2 \sqrt{6}$

故选: B

## 【点睛】

本题主要考查平面的基本性质, 面面平行的性质定理及截面面积的求法, 还考查了空间想象和运算求解的能力, 属于中档题.