已知函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}-2$, 其中 $a \in R$.

(1) 求 $a=1$, 求 $f(x)$ 在 $\lfloor 0,2\rfloor$ 上的最大值和最小值;

（2）若 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点, 求实数 $a$ 的值.
答案: (1) 【解析】当 $a=1$ 时, $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-2, f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x$,

令 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x=0$ 得 $x_{1}=0, x_{2}=1$,

列表如下:

| $x$ | 0 | $(0,1)$ | 1 | $(1,2)$ | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f^{\prime}(x)$ | 0 | - | 0 | + |  |
| $f(x)$ | -2 | 减 | -3 | 增 | 2 |

由表可知, 函数 $f(x)$ 在 $\lfloor 0,2\rfloor$ 上最大值为 2 , 最小值为 -3 .

(2) 【解析】$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 a x$,

因为 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点,

所以 $f^{\prime}(2)=0$, 解得 $a=2$.

当 $a=2$ 时, $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-12 x$, 令 $f^{\prime}(x)=0$, 解得 $x_{1}=0, x_{2}=2$.

列表如下:

| $x$ | $(-\infty, 0)$ | 0 | $(0,2)$ | 2 | $(2,+\infty)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f^{\prime}(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ | 增 | 极大值 $f(0)$ | 减 | 极小值 $f(2)$ | 增 |

因此, 当 $a=2$ 时, $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点

【分析】(1) 把 $a=1$ 代入函数中, 然后对函数求导求极值, 再求出端点处的函数值, 与极值比较,最小的为函数的最小值, 最大的为函数的最大值; (2) 由于 $x=2$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点, 所以 $f^{\prime}(2)=0$, 求得 $a=2$, 然后把 $a=2$ 代入函数中, 需要验证 $x=2$ 是否是函数的极值点, 若导函数在 $x=2$ 两侧的函数值异号, 则 $a=2$ 可以取, 否则不能取.