(10 分) 如图, 在平面直角坐标系中, 已知 A $(-2,0), B(0, m)$ 两点, 且线段 $\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$, 以 $\mathrm{AB}$ 为边在第二象限内作正方形 $\mathrm{ABCD}$.

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（1）求点 B 的坐标

(2) 在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$, 使 $\triangle Q A B$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形? 若存在, 请直接写出点 $\mathrm{Q}$ 的坐标, 若不存在, 请说明理由;

(3) 如果在坐标平面内有一点 $P(a, 3)$, 使得 $\triangle A B P$ 的面积与正方形 $A B C D$ 的面 积相等, 求 $\mathrm{a}$ 的值.

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(1) 因为三角形 $\mathrm{ABO}$ 为直角三角形, 所以可依据勾股定理求出 $\mathrm{OB}$ 的长度, 即可求出点 $\mathrm{B}$ 的坐标.

（2）当 $\mathrm{AB}=\mathrm{AQ}$ 时, 三角形 $\mathrm{QAB}$ 为等腰三角形, 当 $\mathrm{BQ}=\mathrm{AB}$ 时, 三角形 $\mathrm{QAB}$ 为等腰三角形, 再根据 $\mathrm{AB}$ 的长度分别求出点 $\mathrm{Q}$ 的坐标即可.

(3) 由 $P(a, 3)$ 可知, $p$ 点在 $y=3$ 直线上运动, 画出简图, 当 $a>0$ 和当 $a<0$ 时, 分两种情况进行分析.

【详解】(1)由题意知 $\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}, \mathrm{AO}=2$, 根据勾股定理得 $O B^{2}=A B^{2}-A O^{2}$ $O B=\sqrt{A B^{2}-A O^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{5})^{2}-2^{2}}=4$, 所以点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(0,4)$

(2) 设 $\mathrm{Q}$ 点坐标为 $(\mathrm{m}, 0)$

当 $A B=A Q$ 时, 即 $A Q=|-2-m|=2 \sqrt{5}$, 解得: $m=2 \sqrt{5}-2$ 或 $-2 \sqrt{5}-2$

则此时 $\mathrm{Q}$ 点坐标为 $(2 \sqrt{5}-2,0)(-2 \sqrt{5}-2,0)$
当 $B Q=A B$ 时, $B Q=\sqrt{(0-m)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{m^{2}+16}=2 \sqrt{5}$, 解得: $m=2$ 或-2

而 $\mathrm{m}=-2$ 时与 $\mathrm{A}$ 点重合, 则 $\mathrm{m}=2$.

则 $\mathrm{Q}$ 的坐标为 $(2,0)$

(3) (1)

<ImageHere>

由题意可知 $p$ 点坐标为 $(a, 3)$, 则 $p$ 点再 $y=3$ 这条直线上, 连接 BP, AP, $y=3$ 与 $y$ 轴的交点为 $H$, 与直线 $A B$ 的交点为 $\mathrm{G}$, 当 $\mathrm{a}$ 大于 0 时, 如图所示:

此时三角形 APB 的面积可以由三角形 PBG 与三角形 PGA 的面积和求得.

设 $\mathrm{AB}$ 直线的函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$, 代入点 $\mathrm{A}(-2,0), \mathrm{B}(0,4)$ 得: $y=2 x+4$

则 $\mathrm{G}$ 点的纵坐标与 $\mathrm{P}$ 点的纵坐标相等, 则把 $\mathrm{y}=3$ 代入 $y=2 x+4$, 得 $\mathrm{x}=-\frac{1}{2}$

则此时 $\mathrm{G}$ 点坐标为 $\left(-\frac{1}{2}, 3\right)$, 则 $\mathrm{PG}=\mathrm{a}-\left(-\frac{1}{2}\right)=a+\frac{1}{2}$

则三角形 $\mathrm{PBG}$ 与三角形 $\mathrm{PGA}$ 的面积和为: $\mathrm{GP} \times \mathrm{BH} \times \frac{1}{2}+\mathrm{GP} \times \mathrm{OH} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{GP}(\mathrm{BH}+\mathrm{OH})=\frac{1}{2}$

$\mathrm{GP} \times \mathrm{BO}=\frac{1}{2} \times\left(a+\frac{1}{2}\right) \times 4=2\left(a+\frac{1}{2}\right)$

即 $2\left(a+\frac{1}{2}\right)=(2 \sqrt{5})^{2}$

解得: $a=\frac{19}{2}$.

(2)

<ImageHere>

当 a 小于 0 时, 如图所示:

同理(1)得: $\mathrm{PG}=-\frac{1}{2}-\mathrm{a}$
则此时有: $\frac{1}{2} \mathrm{GP}(\mathrm{BH}+\mathrm{OH})=\frac{1}{2} \mathrm{GP} \times \mathrm{BO}=\frac{1}{2} \times\left(-\frac{1}{2}-a\right) \times 4=2\left(-\frac{1}{2}-a\right)=(2 \sqrt{5})^{2}$

解得: $a=-\frac{21}{2}$

则综上所述: $a=\frac{19}{2}$ 或 $a=-\frac{21}{2}$

【点睛】本题考查知识点较为综合, 解题关键在于需要借助图像, 分情况进行讨论, 在第 (2)问中, 三角形以 $\mathrm{AB}$ 为腰长的等腰三角形的情况有三种, 在第(3)问中, 务必考虑 $\mathrm{P}$ 点横坐标的正负情况.