020 秋・齐齐哈尔期末） 2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分, 我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面预选着陆区. 在顺利完成月面自动采样之后, 成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨道, 并于 12 月 17 日 1: 59 分精准返回着陆. 期间, 历经 23 天、往返路程超过 76 万公里. 嫦娥五号任务的圆满完成, 实现了我国航天史上的多项重大突破.

为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好, 某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作. 前五天的报名情况如表:

| 时间（第 $x$ 天） | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    |
| :---------------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 报名人数 $y$ (人) | 3    | 6    | 10   | 13   | 18   |

数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系 $y=b x+a$, 据此请你解决以下问题:

(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程, 并预测第 8 天的报名人数（结果四舍五入取整数）;

(2) 为了更好地完成遴选任务, 由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团成员 6 人, 其中女生 2 名, 男生 4 名, 现欲从中任选 2 人作为面试评委, 求选出的 2 人中恰有一个男生和一个女生的概率.

参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
解: (1) 由题意, 计算 $\bar{x}=\frac{1}{5} \times(1+2+3+4+5)=3$,

$\bar{y}=\frac{1}{5} \times(2+6+10+13+18)=10$,

所以 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}-5 \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}-5 \cdot \bar{x}^{2}}=\frac{187-5 \times 3 \times 10}{55-5 \times 9}=\frac{37}{10}=3.7$,

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=10-3.7 \times 3=-1.1$,

所以 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y=3.7 x-1.1$,

计算 $x=8$ 时, $y=3.7 \times 8-1.1=28.5 \approx 29$,

即可预测第 8 天的报名人数约为 29 人;

(2) 设社团成员 6 人中女生 2 名为 $A 、 B$, 男生 4 名为 $c 、 d 、 e 、 f$,

现从中任选 2 人, 基本事件为 $A B 、 A c 、 A d 、 A e 、 A f 、 B c 、 B d 、 B e 、 B f 、 c d 、 c e 、 c f 、 d e 、 d f 、 e f$共 15 种,

选出的 2 人中恰有一个男生和一个女生的基本事件是 $A c 、 A d 、 A e 、 A f 、 B c 、 B d 、 B e 、 B f$ 共 8 种,故所求的概率值为 $P=\frac{8}{15}$.