(10 分) 已知点 $(-m, 0)$ 和 $(3 m, 0)$ 在二次函数 $y=a x^{2}+b x+3(a, b$ 是常数, $a \neq 0)$ 的图像上.

(1)当 $m=-1$ 时, 求 $a$ 和 $b$ 的值;

(2)若二次函数的图像经过点 $A(n, 3)$ 且点 $A$ 不在坐标轴上, 当 $-2<m<-1$ 时, 求 $n$ 的取值范围;

(3)求证: $b^{2}+4 a=0$.

## 四、提高题（20 分）


(1) 由 $m=-1$ 可得图像过点 $(1,0)$ 和 $(-3,0)$, 然后代入解析式解方程组即可解答;

(2) 先确定函数图像的对称轴为直线 $x=m$, 则拋物线过点 $(n, 3),(0,3)$, 即 $n=2 m$, 然后再结合 $-2<m<-1$ 即可解答;

(3) 根据图像的对称性得 $-\frac{b}{2 a}=m$, 即 $b=-2 a m$, 顶点坐标为 $\left(m, a m^{2}+b m+3\right)$; 将点 $(-m, 0)$和 $(3 m, 0)$ 分别代入表达式并进行运算可得 $a m^{2}=-1$; 则

$a m^{2}+b m+3=a m^{2}-2 a m^{2}+3=-a m^{2}+3=4$, 进而得到 $\frac{12 a-b^{2}}{4 a}=4$, 然后化简变形即可证明结论.

【详解】(1) 解: 当 $m=-1$ 时, 图像过点 $(1,0)$ 和 $(-3,0)$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}0=a+b+3 \\ 0=9 a-3 b+3\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=-2\end{array}\right.$,

$\therefore y=-x^{2}-2 x+3$,

$\therefore a=-1, b=-2$.

(2) 解: $\because$ 函数图像过点 $(-m, 0)$ 和 $(3 m, 0)$,

$\therefore$ 函数图像的对称轴为直线 $x=m$.

$\because$ 图像过点 $(n, 3),(0,3)$,

$\therefore$ 根据图像的对称性得 $n=2 m$.

$\because-2<m<-1$,

$\therefore-4<n<-2$.

(3) 解: $\because$ 图像过点 $(-m, 0)$ 和 $(3 m, 0)$,

$\therefore$ 根据图像的对称性得 $-\frac{b}{2 a}=m$.

$\therefore b=-2 a m$, 顶点坐标为 $\left(m, a m^{2}+b m+3\right)$.

将点 $(-m, 0)$ 和 $(3 m, 0)$ 分别代人表达式可得 $\left\{\begin{array}{c}0=a m^{2}-b m+3(1) \\ 0=9 a m^{2}+3 b m+3(2)\end{array}\right.$

(1) $\times 3+$ (2) 得 $12 \mathrm{am}^{2}+12=0$,

$\therefore a m^{2}=-1$.

$\therefore a m^{2}+b m+3=a m^{2}-2 a m^{2}+3=-a m^{2}+3=4$.

$\therefore \frac{12 a-b^{2}}{4 a}=4$.

$\therefore 12 a-b^{2}=16 a$.

$\therefore b^{2}+4 a=0$.

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点, 掌握二次函数的对称性是解答本题的关键.

