如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $E$ 是 $B A$ 延长线上的一点, $E C$ 交 $\odot O$ 于点 $D 、 C, \angle E=20^{\circ}, \angle D B C=50^{\circ}$, 则 $\angle D O E$ 的度数为 $\qquad$ .

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解：如图所示：

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连接 $A D$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径，

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

设 $\angle A B D=x$ ，

$\because \angle D B C=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=x+50^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$,

$\therefore \angle A D C=180^{\circ}-\angle A B C=130^{\circ}-x$,

$\therefore \angle E D A=180^{\circ}-\angle A D C=x+50^{\circ}$,

$\because \angle D A B=\angle E+\angle E D A, \angle E=20^{\circ}$,

$\therefore \angle D A B=20^{\circ}+x+50^{\circ}=x+70^{\circ}$,

$\because \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A B+\angle A B D=90^{\circ}$,

$\therefore x+70+x=90$,

$\therefore x=10$,

$\therefore \angle A B D=10^{\circ}$,

$\therefore \angle D O E=2 \angle A B D=2 \times 10^{\circ}=20^{\circ}$,

故答案为: $20^{\circ}$.

连接 $A D$, 则 $\angle A D B=90^{\circ}$, 设 $\angle A B D=x$, 利用三角形的外角和圆内接四边形的性质解题即可.
本题考查直径所对的圆周角是直角, 以及圆内接四边形的性质和三角形的外角定理, 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

 