如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=60^{\circ}, B C=3$, 内心为 $I$, 连接 $A I$ 并延长交 $\triangle A B C$ 的外接圆于 $D$, 若 $\angle A B D=45^{\circ}$, 则 $A I=(\quad)$
解：如图, 设 $\triangle A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$, 连接 $O A, O B, O D, B I$,

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在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=60^{\circ}, B C=3$, 内心为 $I$,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=60^{\circ}$,

$\because O B=O D$

$\therefore \triangle O B D$ 是等边三角形,

$\therefore D B=O D=O B=O A$,

$\because \angle B A D=\angle C A D=30^{\circ}$,

$\therefore \overparen{B D}=\overparen{C D}$

$\therefore O D \perp B C, B E=C E=\frac{1}{2} B C=\frac{3}{2}$,

$\because \angle B A D=\angle C B D=30^{\circ}$,
$\therefore D E=B E \cdot \tan 30^{\circ}=\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore D B=2 D E=\sqrt{3}$,

$\because \angle D B I=\angle D B C+\angle C B I, \angle D I B=\angle I A B+\angle I B A$,

$\because I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle I B A=\angle C B I$,

$\therefore \angle D B I=\angle D I B$,

$\therefore D I=D B=\sqrt{3}$,

$\because \angle A B D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A O D=90^{\circ}$,

$\because O A=O D=D B=\sqrt{3}$,

$\therefore A D=\sqrt{2} O A=\sqrt{6}$,

$\therefore A I=A D-D I=\sqrt{6}-\sqrt{3}$.

故选: $D$.

设 $\triangle A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$, 连接 $O A, O B, O D, B I$, 根据圆周角定理证明 $\triangle O B D$ 是等边三角形, 根据垂径定理可得 $O D \perp B C, B E=C E=\frac{1}{2} B C=\frac{3}{2}$, 然后根据三角形内心证明 $D I=D B=\sqrt{3}$,进而可以解决问题.

本题考查了三角形的内切圆与内心, 三角形的外接圆与外心, 垂径定理, 圆周角定理, 等边三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的判定与性质, 含 30 度角的直角三角形, 解决本题的关键是得到 $\triangle O B D$ 是等边三角形.