（2020 秋 - 河南期中）甲、乙两人进行比赛, 现有两组图形, 第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆, 第二组为一个正方体及其外接球和内切球, 甲在第一组图形内部任取一点, 则此点在正方形与其外接圆之间得 3 分，此点在内切圆与正方形之间得 2 分，此点在内切圆内部得 1 分，乙在第二组图形内部任取一点, 则此点在正方体与其外接球之间得 3 分, 此点在内切球与正方体之间得 2 分, 此点在内切球内部得 1 分.

（I）分别求出甲得 3 分的概率和乙得 3 分的概率;

（II）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多.
解：（）假设第一组图形中正方形的边长为 2 , 则正方形的外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$,所以正方形的面积为 4 , 其外接圆的面积为 $2 \pi$,

则甲得 3 分的概率为 $\frac{2 \pi-4}{2 \pi}=1-\frac{2}{\pi}$,

假设第二组图形中正方体的棱长为 2 , 则正方体的外接球的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,
乙得 3 分的概率为 $\frac{4 \sqrt{3} \pi-8}{4 \sqrt{3} \pi}=1-\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}$,

( II) 甲得 1 分的概率为 $\frac{\pi}{2 \pi}=\frac{1}{2}$, 甲得 2 分的概率为 $\frac{4-\pi}{2 \pi}=\frac{2}{\pi}-\frac{1}{2}$,

所以甲的平均得分为 $1 \times \frac{1}{2}+2 \times\left(\frac{2}{\pi}-\frac{1}{2}\right)+3 \times\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=\frac{5}{2}-\frac{2}{\pi}$,

乙得 1 分的概率为 $\frac{\frac{4}{3} \pi}{4 \sqrt{3} \pi}=\frac{\sqrt{3}}{9}$, 甲得 2 分的概率为 $\frac{8-\frac{4}{3} \pi}{4 \sqrt{3} \pi}=\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}-\frac{\sqrt{3}}{9}$,

所以乙的平均得分为 $1 \times \frac{\sqrt{3}}{9}+2 \times\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)+3 \times\left(1-\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}\right)=-\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}+3-\frac{\sqrt{3}}{9}$,

$\left(\frac{5}{2}-\frac{2}{\pi}\right)-\left(-\frac{2 \sqrt{3}}{3 \pi}+3-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{6-2 \sqrt{3}}{3 \pi}<0$,

因此预估乙的得分多.