如图, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $D 、 P$ 分别是棱 $A B, A_{1} B_{1}$ 的中点, 求证:

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(1) $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$;

(2) 平面 $A P C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$.
【分析】

(1) 设 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点为 $O$, 连结 $O D$, 证明 $O D / / A C_{1}$, 再由线面平行的判定可得 $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$;

(2) 由 $P$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点, 点 $D$ 是 $A B$ 的中点, 证得四边形 $A D B_{1} P$ 为平行四边形,得到 $A P / / D B_{1}$, 进一步得到 $A P / /$ 平面 $B_{1} C D$. 再由 $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$, 结合面面平行的判定可得平面 $A P C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$.

## 【详解】

证明: (1) 设 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点为 $O$, 连结 $O D$,

$\because$ 四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为平行四边形, $\therefore O$ 为 $B_{1} C$ 中点,

又 $D$ 是 $A B$ 的中点, $\therefore O D$ 是三角形 $A B C_{1}$ 的中位线, 则 $O D / / A C_{1}$,

又 $\because A C_{1} \not \subset$ 平面 $B_{1} C D, O D \subset$ 平面 $B_{1} C D$,

$\therefore A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$;

(2) $\because P$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点, 点 $D$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore A D / / B_{1} P$ 且 $A D=B_{1} P$, 则四边形 $A D B_{1} P$ 为平行四边形,

$\therefore A P / / D B_{1}$,

又 $\because A P \not \subset$ 平面 $B_{1} C D, D B_{1} \subset$ 平面 $B_{1} C D ，$

$\therefore A P / /$ 平面 $B_{1} C D$.

又 $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D, A C_{1} \cap A P=P$, 且 $A C_{1} \subset$ 平面 $A P C_{1}, A P \subset$ 平面 $A P C_{1}$,

$\therefore$ 平面 $A P C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$.

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【点睛】