10. 已知函数 $f(x)=2 \sin x+\sin 2 x$, 则 $f(x)$ 的最小值是
$f^{\prime}(x)=2 \cos x+2 \cos 2 x=4 \cos ^{2} x+2 \cos x-2=4(\cos x+1)\left(\cos x-\frac{1}{2}\right)$ ，
所以当 $\cos x<\frac{1}{2}$ 时函数单调递减, 当 $\cos x>\frac{1}{2}$ 时函数单调递增, 从而得到函数的递减区间为 $\left[2 k \pi-\frac{5 \pi}{3}, 2 k \pi-\frac{\pi}{3}\right](k \in \mathbf{Z})$, 函数的递增区间为 $\left[2 k \pi-\frac{\pi}{3}, 2 k \pi+\frac{\pi}{3}\right](k \in \mathbf{Z})$,

所以当 $x=2 k \pi-\frac{\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得最小值, 此时 $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 2 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,

所以 $f(x)_{\text {min }}=2 \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 故答案是 $-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题, 在求解的过程中, 需要明确相关的函数的求导公式, 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系, 确定出函数的单调增区间和单调减区间, 进而求得函数的最小值点, 从而求得相应的三角函数值, 代入求得函数的最小值.