(12 分) (1) 已知 $a>b$, 用比较法证明: $a^{3}>b^{3}$;

(2) 已知 $p^{3}+q^{3}=2$, 用反证法证明: $p+q \leq 2$.
答案:(1) 证明见解析; (2) 证明见解析.

【解析】(1) $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$ ，

因为 $a^{2}+a b+b^{2}=\left(a+\frac{1}{2} b\right)^{2}+\frac{3}{4} b^{2} \geq 0$, 取等号的条件为 $a=b=0$,

而 $a>b$, 故等号无法取得, 即 $a^{2}+a b+b^{2}=\left(a+\frac{1}{2} b\right)^{2}+\frac{3}{4} b^{2}>0$,

又 $a>b$, 所以 $a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)>0$,

所以 $a^{3}>b^{3}$.

（2）假设 $p+q>2$, 则 $p>2-q$, 所以由 (1) 得 $p^{3}>(2-q)^{3}$,

所以 $p^{3}+q^{3}>8-12 q+6 q^{2}$,

又 $p^{3}+q^{3}=2$ ，所以 $2>8-12 q+6 q^{2}$ ，

即 $q^{2}-2 q+1<0 \Rightarrow(q-1)^{2}<0$ 矛盾, 所以假设错误，

所以 $p+q \leq 2$.