设二次函数 $y=a x^{2}+b x+1,(a \neq 0, b$ 是实数 $)$. 已知函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表所示:

| $x$ | $\cdots$ | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\cdots$ | $m$ | 1 | $n$ | 1 | $p$ | $\cdots$ |

(1)若 $m=4$, 求二次函数的表达式;

(2)写出一个符合条件的 $x$ 的取值范围, 使得 $y$ 随 $x$ 的增大而减小.

(3)若在 $m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数, 求 $a$ 的取值范围.

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(1) 用待定系数法求解即可.

（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 $x=1$; 再根据抛物线的增减性求解即可.

(3) 先把 $(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $b=-2 a$, 从而得 $y=a x^{2}-2 a x+1$, 再求出 $m=3 a+1$, $n=-a+1, \quad p=3 a+1$, 从而得 $m=p$, 然后 $m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数, 得 $\left\{\begin{array}{l}-a+1>0 \\ 3 a+1 \leq 0\end{array}\right.$, 求解即可.

【详解】(1) 解: 把 $(-1,4),(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $\left\{\begin{array}{l}a-b+1=4 \\ 4 a+2 b+1=1\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$, $\therefore y=x^{2}-2 x+1$

（2）解: $\because(0,1),(2,1)$ 在 $y=a x^{2}+b x+1$ 图象上,

$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{0+2}{2}=1$,

$\therefore$ 当 $a>0$ 时, 则 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $a<0$ 时, 则 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.

（3）解: 把 $(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $1=4 a+2 b+1$

$\therefore b=-2 a$

$\therefore y=a x^{2}+b x+1=a x^{2}-2 a x+1$

把 $(-1, m)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $\quad m=a+2 a+1=3 a+1$,

把 $(1, n)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $\quad n=a-2 a+1=-a+1$,

把 $(3, p)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $p=9 a-6 a+1=3 a+1$,

$\therefore m=p$,

$\because m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-a+1>0 \\ 3 a+1 \leq 0\end{array}\right.$, 解得: $a \leq-\frac{1}{3}$.

【点睛】本题考查用待定系数法求拋物线解析式, 拋物线的图象性质, 解不等式组, 熟练掌握用待定系数法求拋物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键.