14. 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a=b \tan A$, 且 $B$ 为针角.

(1) 证明: $B-A=\frac{\pi}{2}$;

(2) 求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围.
(1) 由 $a=b \tan A$ 及正弦定理, 得 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\cos B}$,

所以 $\sin B=\cos A$, 即 $\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2}+A\right)$. 又 $B$ 为钝角, 因此 $\frac{\pi}{2}+A \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 故 $B=\frac{\pi}{2}+A$, 即 $B-A=\frac{\pi}{2}$

(2) 由（1）知, $C=\pi-(A+B)=\pi-\left(2 A+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-2 A>0$, 所以 $A \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$,于 $\sin A+\sin C=\sin A+\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 A\right)=\sin A+\cos 2 A=-2 \sin ^{2} A+\sin A+1=-2\left(\sin A-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{9}{8}$,因为 $0<A<\frac{\pi}{4}$, 所以 $0<\sin A<\frac{\sqrt{2}}{2}$, 因此 $\frac{\sqrt{2}}{2}<-2\left(\sin A-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{9}{8} \leqslant \frac{9}{8}$.由此可知 $\sin A+\sin C$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{8}\right.$ ].