如图, 已知四棱雉 $P-A B C D$ 的底面是菱形, 底面对角线交于 $O$ 点, $\angle A B C=60^{\circ}$, $P A \perp$ 面 $A B C D, E$ 是 $P D$ 的中点.

<ImageHere>

(1) 求证: $O E / /$ 面 $P A B$;

(2) 求证: 面 $P B D \perp$ 面 $P A C$;

(3) 若 $P A=A B=2$, 求三棱雉 $C-O D E$ 的体积.
【分析】

（1）由中位线定理得线线平行，从而线面平行;

(2) 证明 $B D$ 与 $A C, P A$ 垂直即可得线面垂直，从而有面面垂直;

(3) $E$ 是 $P D$ 中点, 则 $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离等于 $\frac{1}{2} P A$, 由体积公式计算体积.

## 【详解】

(1) 证明: $\because E$ 是 $P D$ 的中点,

$\therefore O E / / P B, O E$ 不在面 $P A B$ 内, $P B$ 在面 $P A B$ 内,

$\therefore O E / /$ 面 $P A B$;

<ImageHere>

(2) 证明: 连接 $O P$, 由 $P A \perp$ 平面 $A B C D$ 得 $P A \perp A B, P A \perp A D$,

$\therefore \triangle P A B \cong \triangle P A D, \quad \therefore P B=P D, \quad \therefore O P \perp B D$,

又 $B D \perp A C, A C \cap O P=O$,

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$, 而 $B D$ 在平面 $P B D$ 内,

$\therefore$ 面 $P B D \perp$ 面 $P A C$;

(3) 解: $\because E$ 是 $P D$ 的中点, $\therefore E$ 到底面 $A B C D$ 的距离等于 $P$ 到平面 $A B C D$ 距离的一半, 即为 $\frac{1}{2} P A=1$,

$\because P A=A B=2, \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore$ 三棱雉 $C-O D E$ 的体积为 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^{2} \times 1=\frac{\sqrt{3}}{6}$.

## 【点睛】

本题考查证明线面平行、面面垂直, 考查求棱雉的体积. 掌握线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理是解题关键.