如图, 将长方形 $A B C D$ (纸片)折叠, 使点 $B$ 与 $A D$ 边上的点 $K$ 重合, $E G$ 为折痕; 点 $C$ 与 $A D$ 边上

<ImageHere>

的点 $K$ 重合, $F H$ 为折痕. 已知 $\angle 1=67.5^{\circ}, \angle 2=75^{\circ}, E F=\sqrt{3}+1$, 则 $B C$ 的长为
由题意, 得: $\angle 3=180^{\circ}-2 \angle 1=45^{\circ}, \angle 4=180^{\circ}-2 \angle 2=30^{\circ}, B E=K E 、 K F=F C$,如图, 过点 $K$ 作 $K M \perp B C$ 于点 $M$,

<ImageHere>

设 $K M=x ，$ 则 $E M=x 、 M F=\sqrt{3} x ，$

$\therefore x+\sqrt{3} x=\sqrt{3}+1$,

解得: $x=1$,

$\therefore E K=\sqrt{2} 、 K F=2$,

$\therefore B C=B E+E F+F C=E K+E F+K F=3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$,

$\therefore B C$ 的长为 $3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$,

故答案为: $3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$.