19. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足, $a_{1}=2, b_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$,

$b_{1}+\frac{1}{2} b_{2}+\frac{1}{3} b_{3}+\cdots+\frac{1}{n} b_{n}=b_{n+1}-1\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$.

(I) 求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$;

(II) 记数列 $\left\{a_{n} b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$, 求 $T_{n}$.
(I) 由 $a_{1}=2, a_{n+1}=2 a_{n}$, 得 $a_{n}=2^{n}$.

当 $n=1$ 时, $b_{1}=b_{2}-1$, 故 $b_{2}=2$.

当 $n \geqslant 2$ 时, $\frac{1}{n} b_{n}=b_{n+1}-b_{n}$, 整理得 $\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{n+1}{n}$, 所以 $b_{n}=n$.

(II) 由 (I) 知, $a_{n} b_{n}=n \cdot 2^{n}$,

故 $T_{n}=2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+\cdots+n \cdot 2^{n}$,

$2 T_{n}=2^{2}+2 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{4}+\cdots+(n-1) \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n+1}$,

所以 $T_{n}=(n-1) 2^{n+1}+2$.