15. (浙江省清源中学 2018 届高三 9 月月考) 已知正数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足

$a_{n}^{2}=S_{n}+S_{n-1}(n \geq 2), \quad a_{1}=1$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $b_{n}=\left(1-a_{n}\right)^{2}-a\left(1-a_{n}\right)$, 若 $b_{n+1}>b_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
(1) 因为 $a_{n}^{2}=S_{n}+S_{n-1}(n \geq 2)$, 所以 $a_{n+1}^{2}=S_{n+1}+S_{n}$, 两式相减得:

$a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=a_{n+1}+a_{n}$, 化简得: $a_{n+1}-a_{n}=1$, 可以得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 又 $a_{1}=1$,

所以 $a_{n}=n$.

(2) 设 $b_{n}=\left(1-a_{n}\right)^{2}-a\left(1-a_{n}\right)$, 则 $b_{n}=(1-n)^{2}-a(1-n)=n^{2}+(a-2) n+1-a$,

同理 $b_{n+1}=(n+1)^{2}+(a-2)(n+1)+1-a=n^{2}+a n$,

因为 $b_{n+1}>b_{n}$ 恒成立, 所以 $n^{2}+a n>n^{2}+(a-2) n+1-a$

$a>1-2 n$,

所以 $a>-1$.