一个四棱雉的三视图如图所示, 其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形, 俯视图是边长为 $\sqrt{2}$的正方形，则该几何体的表面积为( )

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正视图

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【分析】

首先把几何体进行转换, 进一步求出几何体的高, 最后求出侧视图的面积.

## 【详解】

根据几何体的三视图, 转换为几何体为:

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由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形, 俯视图是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形,故底面的对角线长为 2.

所以四棱雉的高为 $\frac{1}{2} \times 2=1$,

故四棱雉的侧面高为 $h=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,

则:四棱锥的表面积为 $S=4 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}}{2}+2=2 \sqrt{3}+2$.

故选: C.

## 【点睛】

本题考查的知识要点: 三视图和几何体的转换, 几何体的体积公式和面积公式的应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力, 属于基础题型.