10. 证明: “ $a+2 b=0$ ” 是 “直线 $a x+2 y+3=0$ 和直线 $x+b y$ $+2=0$ 互相垂直” 的充要条件.
：证明 充分性: 当 $b=0$ 时, 如果 $a+2 b=0$, 那么 $a=0$, 此时,直线 $a x+2 y+3=0$ 平行于 $x$ 轴, 直线 $x+b y+2=0$ 平行于 $y$ 轴, 它们互相垂直; 当 $b \neq 0$ 时, 直线 $a x+2 y+3=0$ 的斜率 $k_{1}=-\frac{a}{2}$, 直线 $x$ $+b y+2=0$ 的斜率 $k_{2}=-\frac{1}{b}$, 如果 $a+2 b=0$, 那么 $k_{1} k_{2}=\left(-\frac{a}{2}\right) \times\left(-\frac{1}{b}\right)$ $=-1$. 故两直线互相垂直.

必要性: 如果两条直线互相垂直且斜率都存在, 那么 $k_{1} k_{2}=\left(-\frac{a}{2}\right)$ $\times\left(-\frac{1}{b}\right)=-1$, 所以 $a+2 b=0$, 若两条直线中有直线的斜率不存在,且互相垂直, 则 $b=0$, 且 $a=0$, 所以 $a+2 b=0$.

综上可知, $a+2 b=0$ 是直线 $a x+2 y+3=0$ 和直线 $x+b y+2=0$互相垂直的充要条件.