已知 $\angle A O B$, 过 $\mathrm{O}$ 点作 $\mathrm{OC}$, 若 $\angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$, 则 $\angle B O C=$ \$ \qquad \$ .
分三种情况进行讨论:

(1) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\angle A O B$ 内部, 如图所示:

<ImageHere>

$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$,
$\therefore \angle A O B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B-\angle A O C=35^{\circ}$

(2) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\mathrm{OA}$ 边的外侧时, 如图所示:

<ImageHere>

$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B+\angle A O C=105^{\circ}$

(3) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\mathrm{OB}$ 边的外侧时, 如图所示:

<ImageHere>

$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$,

$\therefore$ 此种情况不符合题意, 舍去;

综上可得: $\angle B O C=35^{\circ}$ 或 $\angle B O C=105^{\circ}$,

故答案为: $35^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$.