若不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0, \\ x+3 y \geqslant 4, \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$ 所表示的平面区域被直线 $y=k x+\frac{4}{3}$ 分为面积相等的两部分, 则 $k$ 的值是 ( )
解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_3540a5c85e1968e614e9g-078,.jpg?height=300&width=368&top_left_y=2120&top_left_x=887)

由于直线 $y=k x+\frac{4}{3}$ 过定点 $\left(0, \frac{4}{3}\right)$. 因此只有直线过 $A B$ 中点时, 直线 $y=k x+\frac{4}{3}$ 能平分平面区域。

因为 $A(1,1), B(0,4)$, 所以 $A B$ 中点 $M\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
当 $y=k x+\frac{4}{3}$ 过点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ 时, $\frac{5}{2}=\frac{k}{2}+\frac{4}{3}$,

所以 $k=\frac{7}{3}$​.