10. 已知函数 $f(x)=x^{2}+a \ln x$.
：(1)当 $a=-2$ 时, 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值;

(2) 若 $g(x)=f(x)+\frac{2}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上是单调增函数, 求实数 $a$ 的取值范围.

解 (1) 由题意知, 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$.

当 $a=-2$ 时, $f^{\prime}(x)=2 x-\frac{2}{x}=\frac{2(x+1)(x-1)}{x}$.

当 $x$ 变化时, $f^{\prime}(x)$ 和 $f(x)$ 的值的变化情况如下表:

| $x$ | $(0,1)$ | 1 | $(1,+\infty)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |


| $f^{\prime}(x)$ | - | 0 | + |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |

由上表可知, 函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,1)$, 单调递增区间是 $(1,+\infty)$, 极小值是 $f(1)=1$.

(2) 由 $g(x)=x^{2}+a \ln x+\frac{2}{x}$,

得 $g^{\prime}(x)=2 x+\frac{a}{x}-\frac{2}{x^{2}}$.

若函数 $g(x)$ 为 $[1,+\infty)$ 上的单调增函数,

则 $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒成立.

即不等式 $2 x-\frac{2}{x^{2}}+\frac{a}{x} \geqslant 0$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒成立,

也即 $a \geqslant \frac{2}{x}-2 x^{2}$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒成立.

令 $\varphi(x)=\frac{2}{x}-2 x^{2}$, 则 $\varphi^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}}-4 x$.

当 $x \in[1,+\infty)$ 时, $\varphi^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}}-4 x<0$,

$\therefore \varphi(x)=\frac{2}{x}-2 x^{2}$ 在 $[1,+\infty)$ 上为减函数,

$\therefore \varphi(x)_{\max }=\varphi(1)=0, \quad \therefore a \geqslant 0$.

故实数 $a$ 的取值范围为 $[0,+\infty)$.