如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=B C, A B=2 \sqrt{2}$, 点 $O$ 为 $A B$ 的中点, 以点 $O$ 为圆心作半圆与边 AC 相切于点 D. 则图中阴影部分的面积为 ( )

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连接 $O D$, 则 $O D \perp A C, \triangle A O D$ 为等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形性质得到 $\mathrm{OA}=\sqrt{2} ; \mathrm{OD}=1$, 根据 $\triangle \mathrm{AOD}$ 中的阴影面积 $=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{AOD}}-\mathrm{S}$ 扇形; 进而可求阴影总面积.

【详解】连接 $\mathrm{OD}$, 则 $\mathrm{OD} \perp \mathrm{AC}, \triangle \mathrm{AOD}$ 为等腰直角三角形,

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$\because A B=4, O$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore \mathrm{OA}=\sqrt{2} ; \mathrm{OD}=1$,

$\therefore \triangle \mathrm{AOD}$ 中的阴影面积 $=\frac{1}{2} \times 1 \times 1-\frac{45 \pi \times 1}{360}=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{8}$;

则图中阴影部分的面积是 $1-\frac{\pi}{4}$.

故选 A

【点睛】本题考核知识点：扇形面积，等腰直角三角形. 解题关键点：掌握等腰直角三角形性质和扇形面积公式.

