已知圆 $C: x^{2}+y^{2}+D x+E y+3=0$, 圆心在直线 $x+y-1=0$ 上, 且圆心在第二象限, 半径长为 $\sqrt{2}$, 求圆的一般方程.

解 圆心 $C$ 的坐标为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$,
因为圆心在直线 $x+y-1=0$ 上,

所以 $-\frac{D}{2}-\frac{E}{2}-1=0$, 即 $D+E=-2$.

又 $r=\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-12}}{2}=\sqrt{2}$, 所以 $D^{2}+E^{2}=20$.

由(1)(2)可得 $\left\{\begin{array}{l}D=2, \\ E=-4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}D=-4, \\ E=2 .\end{array}\right.$

又圆心在第二象限, 所以 $-\frac{D}{2}<0$, 即 $D>0$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}D=2, \\ E=-4,\end{array}\right.$

所以圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+3=0$.

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圆 $C: x^{2}+y^{2}+D x+E y+3=0$, 圆心在直线 $x+y-1=0$ 上, 且圆心在第二象限, 半径长为 $\sqrt{2}$, 求圆的一般方程.

解 圆心 $C$ 的坐标为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$,
因为圆心在直线 $x+y-1=0$ 上,

所以 $-\frac{D}{2}-\frac{E}{2}-1=0$, 即 $D+E=-2$.

又 $r=\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-12}}{2}=\sqrt{2}$, 所以 $D^{2}+E^{2}=20$.

由(1)(2)可得 $\left\{\begin{array}{l}D=2, \\ E=-4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}D=-4, \\ E=2 .\end{array}\right.$

又圆心在第二象限, 所以 $-\frac{D}{2}<0$, 即 $D>0$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}D=2, \\ E=-4,\end{array}\right.$

所以圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+3=0$.