如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D, C D=3$, $B D=1$, 则 $A C$ 的长是 $\qquad$ .

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解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D$,

$\because \angle B=\angle A C D, \angle B D C=\angle C D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B C D \backsim \triangle C A D$,

$\therefore \frac{C D}{B D}=\frac{A D}{C D}$,

$\therefore C D^{2}=B D \cdot A D$,

$\therefore A D=\frac{C D^{2}}{B D}=\frac{3^{2}}{1}=9$,

$\because \angle B=\angle B, \angle B C D=\angle A$,

$\therefore \triangle B C D \backsim \triangle B A C$,

$\therefore \frac{A C}{A B}=\frac{A D}{A C}$,

$\because A C^{2}=A B \cdot A D=(B D+A D) \cdot A D=(1+9) \times 9=90$,

$\therefore A C=3 \sqrt{10}$.

故答案为: $3 \sqrt{10}$.

直接利用射影定理进行计算即可.

本题考查了射影定理, 熟练掌握射影定理是解答本题的关键.

