请看下面的问题: 把 $x^{4}+4$ 分解因式.

分析：这个二项式既无公因式可提, 也不能直接利用公式, 怎么办呢?

19世纪的法国数学家苏菲.热门抓住了该式只有两项, 而且属于平方和的形式, 要使用完全平方公式就必须添一项 $4 x^{2}$, 随即将此项 $4 x^{2}$ 减去, 即可得 $x^{4}+4=x^{4}+$ $4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}=\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x+\right.$ 2).

人们为了纪念苏菲.热门给出的这一解法, 就把它叫做 “热门定理” . 请你依照苏菲.热门的做法, 将下列各式分解因式:

$$
\text { (1) } x^{4}+4 y^{4} \text {; }
$$

(2) $x^{2}-2 a x-b^{2}-2 a b$.
【答案】解: (1) $x^{4}+4 y^{4}=x^{4}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}+2 x y\right)\left(x^{2}+2 y^{2}-2 x y\right)$

(2) $x^{2}-2 a x-b^{2}-2 a b$,

$=x^{2}-2 a x+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2 a b$,

$=(x-a)^{2}-(a+b)^{2}$,

$=(x-a+a+b)(x-a-a-b)$,

$=(x+b)(x-2 a-b)$.

【解析】本题主要考查的是运用公式法分解因式的有关知识.

(1)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可;

(2)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可.