如图, 已知正三棱雉 $P-A B C$ 的侧棱长为 $\sqrt{2}$, 底面边长为 $\sqrt{2}, Q$ 是侧棱 $P A$ 的中点, 一条折线从 $A$ 点出发, 绕侧面一周到 $Q$ 点, 则这条折线长度的最小值为

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棱 $P A$ 把三棱锥展开成平面图形,

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所求的折线长度的最小值就是线段 $A Q$ 的长度, 令 $\angle P A B=\theta$, 则 $\theta=60^{\circ}$, 在展开图中, $A Q=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$, 故答案为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.