阅读: 若一个三角形的三边长分别为 $a, b, c$, 设 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$, 则这个三角形的面积为 $s=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

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图1

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图2

(1) 如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, A C=5, B C=4$, 求 $\triangle A B C$ 面积;

(2) 如图 2, 在 (1) 的条件下, $A D, B E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的角平分线, 它们的交点为 $I$, 求点 $I$ 到 $A B$ 的距离.
解: (1) 由题意, 得: $a=4, b=5, c=6$;

$\therefore p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}$

$\therefore S=\sqrt{\frac{15}{2} \times\left(\frac{15}{2}-4\right) \times\left(\frac{15}{2}-5\right) \times\left(\frac{15}{2}-6\right)}=\sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}}=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

故 $\triangle A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$;

(2) 如图, 过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 垂足分别为点 $F 、 G 、 H$, $\because A D 、 B E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore I F=I H=I G$,

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$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$,

即 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2} \times 6 \cdot I F+\frac{1}{2} \times 5 \cdot I G+\frac{1}{2} \times 4 \cdot I H$,
$\therefore 3 \cdot I F+\frac{5}{2} \cdot I F+2 \cdot I F=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

解得 $I F=\frac{\sqrt{7}}{2}$,

故 $I$ 到 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

【解析】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质, 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

(1) 先根据三边长度求出 $p$ 的值, 再代入公式计算可得;

(2)过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 由角平分线性质可得 $I F=I H=I G$, 再根据 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$即可求得 $I F$ 的长.