函数 $f(x)=\cos ^{2} x-2 \sin x+1, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right]$ 的值域为
因为 $f(x)=\cos ^{2} x-2 \sin x+1$,

故 $f(x)=-\sin ^{2} x-2 \sin x+2=-(\sin x+1)^{2}+3$,

令 $t=\sin x$, 因为 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right]$, 故 $t \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]$,

故 $y=-(t+1)^{2}+3 \in\left[\frac{3}{4}, 3\right]$, 即函数的值域为 $\left[\frac{3}{4}, 3\right]$, 故答案为 $\left[\frac{3}{4}, 3\right]$