24. 设曲线 $y=\frac{a x^{3}}{3}+\frac{1}{2} b x^{2}+c x$ 在点 $A(x, y)$ 处的切线斜率为 $k(x)$, 且 $k(-1)=0$. 对一切实
数 $x$, 不等式 $x \leq k(x) \leq \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)$ 恒成立 $(a \neq 0)$.

(1) 求 $k(1)$ 的值;

答案: 解: 由 $x \leq k(x) \leq \frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)$ 得 $1 \leq k(1) \leq 1$, 所以 $k(1)=1$

(2) 求函数 $k(x)$ 的表达式;

答
: 分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤结合所给条件分析计算得到 $k(x)=\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}$, 然后运用数学归纳法证明所求结论即可