如图, 点 $A 、 B 、 C$ 为抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与坐标轴交点, $O A=3, O B=1$.

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(1)求此抛物线的解析式:

(2)在对称轴上找一点 $P$, 使 $\triangle B C P$ 的周长最小, 则此时点 $P$ 坐标为,$\triangle B C P$ 的周长为.

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(1) 求出点 $A$ 和点 $B$ 的坐标, 代入拋物线解析式, 根据待定系数法求出此函数的关系式即可;

(2) 先求出 $A$ 点坐标, 然后根据拋物线的对称性得到 $A P=B P$, 则 $P B+P C$ 的最小值即为 $P A+P C$ 的最小值, 此时 $P A+P C+B C$ 最小, 即 $\triangle B C P$ 的周长最小, 故当 $P 、 A 、 C$ 三点共线时, $\triangle B C P$ 的周长最小, 即 $P$ 在 $P^{\prime}$ 所在的位置, 求出直线 $A C$ 的解析式, 即可求出 $P$ 点坐标, 进而可求出 $\triangle B C P$ 的周长;

【详解】(1) 解: (1) $\because O A=3, O B=1$,

$\therefore A(-3,0), B(1,0)$.

设: 抛物线解析式为 $y=x^{2}+b x+c$ 经过 $A(-3,0), B(1,0)$,

$\left\{\begin{array}{c}0=9-3 b+c \\ 0=1+b+c\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}b=2 \\ c=-3\end{array}\right.$

$\therefore$ 拋物线解析式为 $y=x^{2}+2 x-3$

(2) 如图, 连接 $A P, B P, A C, A C$ 与抛物线对称轴交于点 $P^{\prime}$,

<ImageHere>

图2

$\because$ 抛物线的解析式为: $y=x^{2}+2 x-3$,

$\therefore$ 拋物线的对称轴为直线 $x=-1, C(0,-3)$,

$\because B$ 是抛物线与 $x$ 轴的另一个交点, $A(-3,0)$,
$\therefore B(1,0)$,

$\therefore B C=\sqrt{O B^{2}+O C^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,

$\because$ 点 $A, B$ 关于抛物线对称轴对称,

$\therefore A P=B P$,

$\therefore P B+P C$ 的最小值即为 $P A+P C$ 的最小值, 此时 $P A+P C+B C$ 最小, 即 $\triangle B C P$ 的周长最小,

$\therefore$ 当 $P 、 A 、 C$ 三点共线时, $\triangle B C P$ 的周长最小, 即 $P$ 在 $P^{\prime}$ 所在的位置,

设直线 $A C$ 的解析式为 $y=k x+b_{1}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}-3 k+b_{1}=0 \\ b_{1}=-3\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b_{1}=-3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 直线 $A C$ 的解析式为: $y=-x-3$,

$\therefore$ 当 $x=-1$ 时, $y=-2$,

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-1,-2)$.

$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=x^{2}+2 x-3=-3$,

$\therefore O C=3$

$\therefore O A=3, O B=1$,

$\therefore A C=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{2}, \quad B C=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,

$\therefore \triangle B C P$ 的周长为: $P^{\prime} B+P^{\prime} C+B C=A C+B C=3 \sqrt{2}+\sqrt{10}$.

故答案为: $P(-1,-2), \sqrt{10}+3 \sqrt{2}$.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、轴对称最短问题、勾股定理等知识, 解题的关键是学会利用对称解决最短问题.

