已知函数 $f(x)=2 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x$.

(I) 求 $f(x)$ 的单调递增区间;

(II) 若 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, m\right]$ 上的值域为 $[0,3]$, 求 $m$ 的取值范围.
(I) $f(x)=2 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x$

$=\cos 2 x+\sqrt{3} \sin 2 x+1=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$,

由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$, 得 $k \pi-\frac{\pi}{3} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{6}(k \in Z)$,

所以, $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[k \pi-\frac{\pi}{3}, k \pi+\frac{\pi}{6}\right](k \in Z)$,

(II) 由 (I) 知 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+1$.

因为 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, m\right]$, 所以 $2 x+\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, 2 m+\frac{\pi}{6}\right]$.

要使得 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, m\right]$ 上的值域为 $[0,3]$, 即 $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, m\right]$ 上的值域为 $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$.

所以 $\frac{\pi}{2} \leq 2 m+\frac{\pi}{6} \leq \frac{7 \pi}{6}$, 即 $\frac{\pi}{6} \leq m \leq \frac{\pi}{2}$.