定义在 $\mathrm{R}$ 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足: $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>1-\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{f}(0)=6, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的导函数, 则不等式 $e^{x} f(x)>e^{x}+5$ (其中 $e$ 为自然对数的底数) 的解集为 \$ \qquad \$

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答案: $(0,+\infty)$

【解析】【解答】设 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{xf}}(\mathrm{x})-\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \quad, \quad(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$,

则 $g^{\prime}(x)=e^{x} f(x)+e^{x} f^{\prime}(x)-e^{x}=e^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)-1\right]$,

$\because f^{\prime}(x)>1-f(x)$,

$\therefore f(x)+f^{\prime}(x)-1>0$,

$\therefore \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})>0$,

$\therefore \mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在定义域上单调递增,

$\because \mathrm{e}^{\mathrm{xf}}(\mathrm{x})>\mathrm{e}^{\mathrm{x}+5}$,

$\therefore g(x)>5$,

又 $\because g(0)=\mathrm{e}^{0} \mathrm{f}(0)-\mathrm{e}^{0}=6-1=5$,

$\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x})>\mathrm{g}(0)$,

$\therefore \mathrm{x}>0$,

$\therefore$ 不等式的解集为 $(0,+\infty)$

故答案为: $(0,+\infty)$.

【分析】构造函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x} f}(\mathrm{x})-\mathrm{e}^{\mathrm{x}}, \quad(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$, 研究 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的单调性, 结合原函数的性质和函数值，即可求解