如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $D$ 是弧 $A C$ 的中点, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于点 $E$, 延长 $D E$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 若 $A C=12, A E=3$, 则 $\odot O$ 的直径长为 $\qquad$ .

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【分析】

连接 $O F$, 首先证明 $A C=D F=12$, 设 $O A=O F=x$, 在 $R t \triangle O E F$ 中, 利用勾股定理构建方程即可解决问题.

本题考查勾股定理, 垂径定理, 圆心角, 弧, 弦之间的关系等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

## 【解答】

解: 如图, 连接 $O F$.

<ImageHere>

$\because D E \perp A B$,

$\therefore D E=E F, \overparen{A D}=\overparen{A F}$

$\because$ 点 $D$ 是弧 $A C$ 的中点,

$\therefore \overparen{A D}=\overparen{C D}$,

$\therefore \overparen{A C}=\overparen{D F}$,

$\therefore A C=D F=12$,

$\therefore E F=\frac{1}{2} D F=6$, 设 $O A=O F=x$,
在 $R t \triangle O E F$ 中, 则有 $x^{2}=6^{2}+(x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{15}{2}$,

$\therefore A B=2 x=15$,

故答案是: 15 .

 