知: $x 、 y$ 满足: $(x+y)^{2}=5,(x-y)^{2}=41$; 求 $x^{3} y+x y^{3}$ 的值.
【答案】解: $\because(x+y)^{2}=5,(x-y)^{2}=41$,

$\therefore(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=46$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}+x^{2}-2 x y+y^{2}=46$,

$2\left(x^{2}+y^{2}\right)=46$

故 $x^{2}+y^{2}=23$,

$(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=-36$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=-36$,

故 $4 x y=-36$,

则 $x y=-9$,

$x^{3} y+x y^{3}=x y\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$=-9 \times 23$

$=-207$.

【解析】直接利用已知将原式变形得出 $x^{2}+y^{2}=23, x y=-9$, 进而求出答案.

此题主要考查了完全平方公式的应用, 正确将已知变形是解题关键.