10. 已知 $\sin \theta+\cos \theta=2 \sin \alpha, \sin ^{2} \beta=\sin \theta \cos \theta$.

求证: $2 \cos 2 \alpha=\cos 2 \beta$.
由题意，得 $\left\{\begin{array}{l}2 \sin \alpha=\sin \theta+\cos \theta \text { ，(1) } \\ \sin ^{2} \beta=\sin \theta \cos \theta \text { ，(2) }\end{array}\right.$

(1) $)^{2}$ - (2) $\times 2$ ， 得 $4 \sin ^{2} \alpha-2 \sin ^{2} \beta=1$.
$\therefore 1-2 \sin ^{2} \beta=2-4 \sin ^{2} \alpha$ ，即 $\cos 2 \beta=2 \cos 2 \alpha$.