如图, 在 $\triangle A B C D$ 中, 以 $C D$ 为直径作 $\odot O, \odot O$ 经过点 $A$, 且与 $B D$ 交于点 $E$, 连接 $A E$ 并延长, 与 $B C$ 交于点 $F$, 若 $F$ 是 $B C$ 的中点, $A F=6$, 则 $A B=$ $\qquad$ .

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连接 $C E, A C$, 根据平行四边形的性质即圆周角定理得出 $\angle C E D=\angle A C D=90^{\circ}$,再由相似三角形的判定和性质得出 $\frac{A D}{F B}=\frac{E D}{E B}=\frac{A E}{F E}$, 利用线段中点及已知条件得出 $A E=4, E F=2$, 设 $B E=x$, 则 $D E=2 x$, 利用勾股定理得出 $A C^{2}=32$, 再次利用勾股定理求解即可.

【详解】解：连接 $C E, A C$, 如图所示:

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$\because \triangle A B C D$,

$\therefore A D / / B C, \quad A D=B C$,

$\because C D$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle C E D=\angle A C D=90^{\circ}$,

$\because A D / / B C$,

$\therefore \triangle A E D \sim \triangle F E B$,

$\therefore \frac{A D}{F B}=\frac{E D}{E B}=\frac{A E}{F E}$,

$\because F$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore F B=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} A D$,

$\therefore E B=\frac{1}{2} E D, F E=\frac{1}{2} A E$,

$\because A E+E F=6$,

$\therefore A E=4, E F=2$,

$\because \angle B E C=180^{\circ}-\angle C E D=90^{\circ}$,

$\therefore B C=2 E F=4$,

设 $B E=x$, 则 $D E=2 x$,
$\because B C^{2}-B E^{2}=C E^{2}, C D^{2}-D E^{2}=C E^{2}$,

$\therefore B C^{2}-B E^{2}=C D^{2}-D E^{2}$,

$\therefore 16-x^{2}=C D^{2}-4 x^{2}$, 即 $C D^{2}=16+3 x^{2}$,

$\because C D^{2}=A D^{2}+A C^{2}, \quad A D=B C=4$,

$\therefore C D^{2}=16+A C^{2}$,

$\therefore A C^{2}=3 x^{2}$,

$\because A C^{2}=A F^{2}-F C^{2}, \quad F C=\frac{1}{2} B C=2$,

$\therefore A C^{2}=6^{2}-2^{2}=32$,

$\because A D / / B C$,

$\therefore \angle A C B=\angle C A D=90^{\circ}$,

$\therefore A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}}=\sqrt{16+32}=4 \sqrt{3}$,

故答案为: $4 \sqrt{3}$.

【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及圆周角定理, 相似三角形的判定和性质, 勾股定理解三角形等, 理解题意, 综合运用这些知识点是解题关键.

