甲乙两人同时在一家粮店购买大米, 两次大米的价格分别为每千克 $a$ 元和 $b$ 元 $(a \neq b)$. 甲每次买 100 千克的大米, 乙每次买的 100 元大米.

（1）若甲两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{1}$ 元, 乙两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{2}$元. 用含 $a 、 b$ 的代数式分别表示 $Q_{1} 、 Q_{2}$.

（2）若规定谁两次购粮的平均价格低, 谁购粮的方式就更合理, 请你判断比较甲、乙两人的购粮方式, 哪一个更合理，并说明你的理由.
解: (1) 甲两次购买大米共需付款 $100(a+b)$ 元,则甲两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{1}=\frac{a+b}{2}$ 元,乙两次共购买 $\frac{100(a+b)}{a b}$ 千克大米,则乙两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{2}=\frac{2 a b}{a+b}$ 元.

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$\because a \neq b, a>0, b>0$,

$\therefore(a-b)^{2} \geq 0,2(a+b)>0$,

$\therefore: \frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}>0, \quad \therefore Q_{1}-Q_{2}>0$,

$\therefore Q_{1}>Q_{2}$,

$\therefore$ 乙购买大米的方式更合算.

【解析】 (1) 根据购粮的平均单价等于两次花的钱数 $\div$ 两次购粮的总重量即可求解;

(2) 用求差法比较 $Q_{1}$ 与 $Q_{2}$ 的大小即可.