设函数 $f(x)=\\tan (\\omega x+\\varphi)\\left(\\omega>0,0<\\varphi<\\frac{\\pi}{2}\\right)$, 已知函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴相邻两个交点的距离为 $\frac{\pi}{2}$, 且图象关于点 $M\\left(-\\frac{\pi}{8}, 0\\right)$ 对称.(1)求 $f(x)$ 的解析式;(2)求 $f(x)$ 的单调区间;(3)求不等式 $-1 \\leqslant f(x) \\leqslant \\sqrt{3}$ 的解集.
(1) 由题意知, 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\\frac{\\pi}{2}$,即 $\\frac{\\pi}{|\\omega|}=\\frac{\\pi}{2}$.因为 $\\omega>0$, 所以 $\omega=2$,从而 $f(x)=\\tan (2 x+\\varphi)$.因为函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $M\left(-\frac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称,所以 $2 \\times\\left(-\\frac{\\pi}{8}\\right)+\\varphi=\\frac{k \\pi}{2}, k \\in \\mathbf{Z}$,即 $\varphi=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}$.因为 $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$, 所以 $\varphi=\frac{\pi}{4}$,故 $f(x)=\\tan \\left(2 x+\\frac{\\pi}{4}\\right)$.(2) 令 $-\\frac{\\pi}{2}+k \\pi<2 x+\\frac{\\pi}{4}<\\frac{\\pi}{2}+k \\pi, k \\in \\mathbf{Z}$,得 $-\\frac{3 \\pi}{4}+k \\pi<2 x<k \\pi+\\frac{\\pi}{4}, \\quad k \\in \\mathbf{Z}$,即 $-\\frac{3 \\pi}{8}+\\frac{k \\pi}{2}<x<\\frac{\\pi}{8}+\\frac{k \\pi}{2}, k \\in \\mathbf{Z}$.所以函数的单调递增区间为 $\\left(-\\frac{3 \\pi}{8}+\\frac{k \\pi}{2}, \\frac{\\pi}{8}+\\frac{k \\pi}{2}\\right), k \\in \\mathbf{Z}$, 无单调递减区间.(3) 由(1)知, $f(x)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$.由 $-1 \\leqslant \\tan \\left(2 x+\\frac{\\pi}{4}\\right) \\leqslant \\sqrt{3}$,得 $-\\frac{\\pi}{4}+k \\pi \\leqslant 2 x+\\frac{\\pi}{4} \\leqslant \\frac{\\pi}{3}+k \\pi, \\quad k \\in \\mathbf{Z}$,即 $-\\frac{\\pi}{4}+\\frac{k \\pi}{2} \\leqslant x \\leqslant \\frac{\\pi}{24}+\\frac{k \\pi}{2}, k \\in \\mathbf{Z}$.所以不等式 $-1 \\leqslant f(x) \\leqslant \\sqrt{3}$ 的解集为 \\left\{x \\left\\lvert\\,-\\frac{\\pi}{4}+\\frac{k \\pi}{2} \\leqslant x \\leqslant \\frac{\\pi}{24}+\\frac{k \\pi}{2}\\right., k \\in \\mathbf{Z}\\right\\