已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $\mathbf{A B C D}-\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1} \mathbf{C}_{1} \mathbf{D}_{1}$ 内部有一圆柱, 此圆柱恰好以直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 为轴, 则该圆柱侧面积的最大值为 ( )
【分析】

由题知, 只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况, 即可得出结论.

## 【详解】

由题知, 只需"考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况, 由图形的对称性可知, 圆柱的上底面必与过 $\mathrm{A}$ 点的三个面相切, 且切点分别在线段 $\mathrm{AB}_{1}, \mathrm{AC}, \mathrm{AD}_{1}$ 上, 设线段 $\mathrm{AB}_{1}$ 上的切点为 $\mathrm{E}, \mathrm{AC}_{1} \cap$面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BD}=\mathrm{O}_{2}$, 圆柱上底面的圆心为 $\mathrm{O}_{1}$, 半径即为 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{E}=\mathrm{r}$, 则 $A O_{2}=\frac{1}{3} A C_{1}=\frac{1}{3} \sqrt{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}}=1, O_{2} F=\sqrt{A F^{2}-A O_{2}{ }^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 由 $\mathrm{O}_{1} \mathrm{E} / / \mathrm{O}_{2} \mathrm{~F}$知 $\frac{O_{1} E}{O F_{2}}=\frac{A O_{1}}{A C_{1}} \Rightarrow A O_{1}=\sqrt{2} O_{1} E=\sqrt{2} \mathrm{r}$, 则圆柱的高为 $3-2 A O_{1}=3-2 \sqrt{2} r$, $S_{\text {侧 }}=2 \pi r(3-2 \sqrt{2} r)=4 \sqrt{2} \pi r\left(\frac{3 \sqrt{2}}{4}-r\right) \leq 4 \sqrt{2} \pi\left(\frac{r+\frac{3 \sqrt{2}}{4}-r}{2}\right)^{2}=\frac{9 \sqrt{2} \pi}{8}$ 当且仅当 $\mathrm{r}=\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ 取
等号.

故选 A.

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【点睛】

本题考查求圆柱侧面积的最大值, 考查正方体与圆柱的内切问题, 考查学生空间想象与分析解决问题的能力，属于中档题.