已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 已知当 $x \leqslant 0$ 时, $f(x)=x^{2}+4 x+3$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 画出函数 $f(x)$ 的图像, 并写出函数 $f(x)$ 的单调递增区间.
解: (1) $\because$ 函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,

$\therefore$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $f(-x)=f(x)$ 成立,

$\therefore$ 当 $x>0$ 时, $-x<0$,
即 $f(x)=f(-x)=(-x)^{2}+4(-x)+3=x^{2}-4 x+3$,

$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+3, x>0, \\ x^{2}+4 x+3, x \leq 0 .\end{array}\right.$

(2)图像如图所示, 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[-2,0]$ 和 $[2,+\infty$ ). (写成开区间也可以)

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