已知三棱柱 $A B C-A_{1}^{P} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直, 体积为 $\frac{9}{4}$, 底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形. 若 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心, 则 $\mathbf{P A}$ 与平面 $\mathrm{ABC}$ 所成角的大小为
如图所示，

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$\because \mathrm{AA}_{1} \perp$ 底面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle \mathrm{APA}_{1}$ 为 $\mathrm{PA}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 所成角,

$\because$ 平面 $\mathrm{ABC} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle \mathrm{APA}_{1}$ 为 $\mathrm{PA}$ 与平面 $\mathrm{ABC}$ 所成角.

$\because S_{A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\sqrt{3})^{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

$\therefore V_{\text {三棱杜 } A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\mathrm{A} A_{1} \times S_{4 B_{1} B_{1}}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{AA}_{1}$, 解得 $\mathrm{A} A_{1}=\sqrt{3}$.

又 $\mathrm{P}$ 为底面正三角形 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中心, $\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{P}=\frac{2}{3} A_{1} D=1$,

在 Rt $\triangle \mathrm{AA}_{1} \mathrm{P}$ 中, $\tan \angle \mathrm{APA}_{1}=\frac{\mathrm{AA}}{\mathrm{A}}=\sqrt{3}$,

$\therefore \angle \mathrm{APA}_{1}=60^{\circ}$.

故选: B.

点睛: 求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求, 有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱雉的等体积法求得垂线长, 进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值, 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,
利用向量求解.