设函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$, 若对于任意 $\alpha \in\left[-\frac{5 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]$, 在区间 $[0, m]$ 上总存在唯一确定的 $\beta$,使得 $f(\alpha)+f(\beta)=0$, 则 $m$ 的最小值为 ( )
当 $\alpha \in\left[-\frac{5 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]$ 时, 有 $\alpha-\frac{\pi}{6} \in\left[-\pi,-\frac{2 \pi}{3}\right]$, 所以 $f(\alpha) \in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right]$.

在区间 $[0, m]$ 上总存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\alpha)+f(\beta)=0$,

所以存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\beta)=-f(\alpha) \in\left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

$\beta \in[0, m], \beta-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, m-\frac{\pi}{6}\right]$, 所以 $m-\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right), m \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right)$. 故选 B.

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质, 考查了函数与方程的思想, 正确理解两变量的
关系是解题的关键, 属于中档题. 求解时, 先求 $f(\alpha) \in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right]$, 再由存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\beta)=-f(\alpha) \in\left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$, 得 $m-\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$, 从而得解.