如图, 若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在的平面互相垂直, 则
$\cos \alpha: \cos \beta=$

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【分析】

可证明 $A F \perp A C$ 及 $C B \perp B F$, 在利用解直角三角形直接计算即可.

## 【详解】

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如图, 设两个矩形分别为矩形 $A B C D$ 、矩形 $A B E F$,

因为平面 $A B C D \perp$ 平面 $A B E F$, 平面 $A B C D \cap$ 平面 $A B E F=A B$,

$A F \subset$ 平面 $A B E F, A F \perp A B$, 故 $A F \perp$ 平面 $A B C D$, 而 $A C \subset$ 平面 $A B C D$,

所以 $A F \perp A C$, 同理 $C B \perp B F$.

由题意, 两个矩形的对角线长分别为 $5,2 \sqrt{5}$,

所以 $\cos \alpha=\frac{5}{\sqrt{25+4}}=\frac{5}{\sqrt{29}}, \cos \beta=\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{29}}$,

所以 $\cos \alpha: \cos \beta=\sqrt{5}: 2$.故填 $\sqrt{5}: 2$.

## 【点睛】

本题考查直角三角形中角的余弦的计算, 属于容易题.