如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\angle A=90^{\circ}, A B=A C=2, O$ 为 $B C$ 的中点, 以 $O$ 为圆心的圆弧分别与 $A B, A C$ 相切于点 $D, E$, 则图中阴影部分的面积是 $(\quad)$

<ImageHere>
【分析】

本题考查了扇形的面积公式: $S=\frac{n \pi R^{2}}{360}$, 也考查了切线的性质定理.

连 $O D, O E$, 根据切线的性质得到 $O D \perp A B, O E \perp A C$, 则四边形 $O E A D$ 为正方形, 而 $A B=A C=2$, $O$ 为 $B C$ 的中点, 则 $O D=O E=1$, 再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式, 利用 $S_{\text {阴影部分 }}=$ $S_{\text {正方形 } O E A D}-S_{\text {扇形 } O E D}$, 进行计算即可.

【解答】

解: 连 $O D, O E$, 如图,

<ImageHere>

$\therefore O D \perp A B, O E \perp A C$,
而 $\angle A=90^{\circ}, O E=O D$,

$\therefore$ 四边形 $O E A D$ 为正方形,

$\because A B=A C=2, O$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore O D=O E=\frac{1}{2} A C=1$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore S_{\text {阴影部分 }}=S_{\text {正方形 } O E A D}-S_{\text {扇形OED }} \\
& =1-\frac{90 \pi \times 1^{2}}{360} \\
& =1-\frac{\pi}{4}
\end{aligned}
$$

故选 $A$.