如图。矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$, 过点 $O$ 作 $O E \perp A C$ 交 $A B$ 于 $E$, 若 $B C=4, \triangle A O E$的面积为 5 , 则 $\sin \angle \mathrm{BOE}$ 的值为 \$ \qquad \$

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如图, 过点 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OH} \perp \mathrm{AE}$ 于点 $\mathrm{H}$, 连接 $\mathrm{CE}$ 。

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$\because$ 矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AO}=\mathrm{BO}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BC}=4$,

$\therefore$ 由三角形的中位线定理, 得 $\mathrm{OH}=2$ 。

$\because \triangle \mathrm{AOE}$ 的面积为 $5, \therefore \mathrm{AE}=5$ 。

$\because \mathrm{AO}=\mathrm{OC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}$, 即 $\mathrm{EO}$ 是 $\mathrm{AC}$ 的垂直平分线, $\therefore \mathrm{CE}=\mathrm{AE}=5$ 。

在 Rt $\triangle \mathrm{EBC}$ 中, $\mathrm{BC}=4, \mathrm{CE}=" 5$," 由勾股定理得 $\mathrm{EB}=3$ 。

$\because \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}$, 即 $\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{EOC}=90^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{O}, \mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{E}$ 在以 $\mathrm{CE}$ 为直径的圆上, $\therefore \angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{BCE} 。 \therefore \sin \angle \mathrm{BOE}=\sin \angle \mathrm{BCE}=\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{CE}}=\frac{3}{5^{\circ}}$