如图, $P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A 、 B, A C$ 是 $\odot O$ 的直径, $A C 、 P B$ 的延长线交于点 $D, E$ 为 $P A$ 的中点, $A B$ 分别交 $P O 、 D E$ 于点 $M 、 N$, 若 $B$ 为 $P D$ 的中点, 则下列结论: (1) $P O$ 与 $A B$ 互相垂直平分; (2) $\triangle P A B$ 为等边三角形; (3) $\triangle P A O$ 与 $\triangle D A P$ 相似; (4) $\frac{B N}{A M}=\frac{2}{3}$. 其中正确结论的个数是 $(\quad)$

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【分析】

本题主要考查了切线的性质, 切线长定理, 直角三角形全等判定, 直角三角形斜边的中线, 相似三角形的判定与性质等知识, 分别判断各项即可.

(1) $P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A 、 B$, 切线的性质, 切线长定理, 可得出 $R t \triangle P A O \cong R t \triangle P B O$, 从而判断出结论错误;

(2) 由直角三角形斜边的中线可得结论正确;

(3)由结论(2)推导出角的关系, 从而得出 $\triangle P A O \sim \triangle D A P$, 可得结论正确;

(4)由直角三角形斜边的中线, 得出角的关系, 得到 $\triangle E M N \sim \triangle D B N$, 得出比例式可证结论正确.

【解答】

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(1) 连接 $O B$,

$\because P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A 、 B$,

$\therefore P A=P B, \angle P A O=\angle P B O=90^{\circ}$,

又 $\because O A=O B, O P=O P$,

$\therefore R t \triangle P A O \cong R t \triangle P B O$

$\therefore \angle A P O=\angle B P O$,

$\therefore P O \perp A B$, 且 $P O$ 平分 $A B$, 但 $A B$ 不一定平分 $P O$, 故 (1)错误;

(2)在 $R t \triangle D A P$ 中, $B$ 为 $P D$ 的中点, $\therefore A B=P B=B D$,

又 $\because P A=P B, \therefore P A=P B=A B, \therefore \triangle P A B$ 为等边三角形, 故(2)正确;

(3) $\because \triangle P A B$ 为等边三角形,

$\therefore \angle A P B=\angle P A B=\angle P B A=60^{\circ}$,

$\because P O$ 平分 $\angle A P B, \angle A P O=30^{\circ}$,

$\because \triangle P A D$ 中, $\angle P A D=90^{\circ}, \angle A P D=60^{\circ}, \therefore \angle P D A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A P O=\angle P D A$,

又 $\because \angle P A O=\angle D A P$,

$\therefore \triangle P A O \sim \triangle D A P$, 故(3)正确;

(4) 连接 $E M$,

$\because \triangle A M P$ 是直角三角形, $E$ 为 $P A$ 的中点,

$\therefore E M=\frac{1}{2} A P=E P$,

$\therefore \angle E M P=\angle E P M=\frac{1}{2} \angle A P B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle E M N=\angle E M P+\angle P M N=30^{\circ}+90^{\circ}=120^{\circ}$,

$\because \angle P B A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle E M N=\angle A B D$,

$\because \angle E N M=\angle B N D$

$\therefore \triangle E M N \sim \triangle D B N$,

$\therefore \frac{E M}{D B}=\frac{M N}{B N}$

$\because D B=P B=A P$,

$\therefore \frac{E M}{D B}=\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{M N}{B N}=\frac{1}{2}$

$\therefore \frac{B N}{B M}=\frac{2}{3}$

$\because P O$ 平分 $A B$,

$\therefore A M=B M$

$\because \frac{B N}{A M}=\frac{2}{3}$, 故4 4 正确.

$\therefore$ (2)(3) (4)正确,

故选 $C$.