设复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 且使得关于 $x$ 的方程 $z x^{2}+2 \bar{z} x+3=0$ 有实根, 则这样的复数 $z$ 的和为 \$ \qquad \$
设 $z=a+b \mathrm{i},\left(a, b \in \mathbf{R}
ight.$ 且 $\left.a^{2}+b^{2}=1
ight)$则原方程 $z x^{2}+2 ar{z} x+3=0$ 变为 $\left(a x^{2}+2 a x+3
ight)+\left(b x^{2}-2 b x
ight) i=0$.所以 $a x^{2}+2 a x+3=0$, (1) $b x^{2}-2 b x=0$, (2);(1) 若 $b=0$, 则 $a^{2}=1$, 解得 $a= \pm 1$, 当 $a=1$ 时(1)无实数解, 舍去;从而 $a=-1, x^{2}-2 x-3=0$ 此时 $x=-1$ 或 3 , 故 $z=-1$ 满足条件.(2) 若 $b 
eq 0$, 由(2)知, $x=0$ 或 $x=2$, 显然 $x=0$ 不满足, 故 $x=2$,代入(1)得 $a=-rac{3}{8}, b= \pm rac{\sqrt{55}}{8}$,所以 $z=-rac{3}{8} \pm rac{\sqrt{55}}{8} \mathrm{i}$.综上满足条件的所以复数的和为 $-1+\left(-rac{3}{8}+rac{\sqrt{55}}{8} \mathrm{i}
ight)+\left(-rac{3}{8}-rac{\sqrt{55}}{8} \mathrm{i}
ight)=-rac{7}{4}$,故答案为 $-rac{7}{4}$.