函数 $f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数, 且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2)证明函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是单调增函数;

(3)解不等式 $f(m-1)+f(m)<0$.
(1) $\because f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数,

$\therefore f(x)$ 在 $x=0$ 处有意义, 且 $f(0)=0$.

$\therefore \frac{a \times 0+b}{1+0^{2}}=0$, 即 $b=0$.

又 $\because f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}, \therefore \frac{\frac{1}{2} a+0}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{2}{5}$,

$\therefore a=1$. 故 $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$.

(2)任取 $x_{1}, x_{2} \in(-1,1)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}-x_{2}<0, x_{1} x_{2}<1$.

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}-\frac{x_{2}}{1+x_{2}^{2}}=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right) \cdot\left(1+x_{2}^{2}\right)}<0$,

即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

由单调函数的定义可知, 函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是单调增函数.

(3)由 $f(m-1)+f(m)<0$ 得, $f(m-1)<-f(m)$.

$\because$ 函数 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore f(-m)=-f(m)$,

$\therefore f(m-1)<f(-m)$.

$\because f(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的单调增函数,

$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-1<m-1<1 \\
-1<m<1 \\
m-1<-m
\end{array}\right.
$$

解得 $0<m<\frac{1}{2}$.