如图, 正方形 $A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 A B$ 边上的点, 且 $A E \perp D F$, 垂足为点 $O, \triangle A O D$ 的面积为 $\sqrt{7}$, 则图中阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ .

<ImageHere>
$\because A E \perp D F$,

$\therefore \angle A O F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle A F O=90^{\circ}$,

$\because$ 正方形 $A B C D$,

$\therefore A D=A B, \angle A B E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle A E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A F D=\angle A E B$,

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle A D F$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle B A D=\angle A B E=90^{\circ} \\
\angle A F D=\angle A B E \\
A D=A B
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D F \cong \triangle A B E$,

$\therefore B E=A F$,

$\therefore S_{\triangle A F D}=S_{\triangle A B E}$,

$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{\triangle A O D}=\sqrt{7}$.

故答案为 $\sqrt{7}$