在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $l: y=a(x+2)(a>0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$, 与抛物线 $E: y=a x^{2}$ 交于 $B, C$ 两点 ( $B$ 在 $C$ 的左边).

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图1

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图2

(1)求 $A$ 点的坐标;

(2)如图 1, 若 $B$ 点关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{\prime}$ 点, 当以点 $A, B^{\prime}, C$ 为顶点的三角形是直角三角形时, 求实数 $a$ 的值;

(3)定义: 将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点, 如 $(-2,1),(2,0)$等均为格点. 如图 2, 直线 $l$ 与抛物线 $E$ 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是 26 个, 求 $a$ 的取值范围.

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(1) 对于直线 $l: y=a(x+2)$, 令 $y=0$, 求出 $x$, 即可求解;

（2）表示出点A, B', C 的坐标, 利用勾股定理解方程求解, 注意直角顶点不确定, 需分类讨论;

(3) 直线 $I$ 与抛物线 $E$ 所围成的封闭图形 (不包含边界) 中的格点只能落在 $y$ 轴和直线 $x=1$上, 各为 13 个, 分别求出 $a$ 的范围.

【详解】(1) 解: 对于直线 $l: y=a(x+2)$,

当 $y=0$ 时, $x=-2$,

$\therefore A$ 点的坐标为 $(-2,0)$;

(2) 解: 联立直线 $l: y=a(x+2)$ 与抛物线 $E: y=a x^{2}$ 得:
$\left\{\begin{array}{l}y=a(x+2) \\ y=a x^{2}\end{array}\right.$

$\therefore x^{2}-x-2=0$,

$\therefore x=-1$ 或 $x=2$,

$\therefore B(-1, a), \quad C(2,4 a)$,

$\because B$ 点关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{\prime}$ 点,

$\therefore B^{\prime}(-1,-a)$,

$\therefore A B^{\prime 2}=(-2+1)^{2}+(0+a)^{2}=a^{2}+1$,

$A C^{2}=(2+2)^{2}+(4 a-0)^{2}=16 a^{2}+16$,

$B^{\prime} C^{2}=(2+1)^{2}+(4 a+a)^{2}=25 a^{2}+9$,

若 $\angle C A B^{\prime}=90^{\circ}$, 则 $A B^{\prime 2}+A C^{2}=B^{\prime} C^{2}$, 即 $a^{2}+1+16 a^{2}+16=25 a^{2}+9$, 所以 $a=1$,

若 $\angle A B^{\prime} C=90^{\circ}$, 则 $A B^{\prime 2}+B^{\prime} C^{2}=A C^{2}$, 即 $a^{2}+1+25 a^{2}+9=16 a^{2}+16$, 所以 $a=\frac{\sqrt{15}}{5}$,

若 $\angle A C B^{\prime}=90^{\circ}$, 则 $A C^{2}+B^{\prime} C^{2}=A B^{\prime 2}$, 即 $16 a^{2}+16+25 a^{2}+9=a^{2}+1$, 此方程无解.

$\therefore a=1$ 或 $a=\frac{\sqrt{15}}{5}$;

(3) 解: 如图, 直线 $l$ 与抛物线 $E$ 所围成的封闭图形 (不包含边界) 中的格点只能落在 $y$ 轴和直线 $x=1$ 上,

<ImageHere>

$\because D(0,2 a), \quad E(1, a), \quad F(1,3 a)$,

$\therefore O D=E F=2 a$,

$\because$ 格点数恰好是 26 个,

$\therefore$ 落在 $y$ 轴和直线 $x=1$ 上的格点数应各为 13 个,

$\therefore$ 落在 $y$ 轴的格点应满足 $13<2 a \leq 14$, 即 $\frac{13}{2}<a \leq 7$,

(1)若 $\frac{13}{2}<a<7$, 即 $\frac{13}{2}<y_{E}<7$,

所以线段 $E F$ 上的格点应该为 $(1,7),(1,8) \ldots \ldots(1,19)$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore 19<3 a \leq 20 \\
& \therefore \frac{19}{3}<a \leq \frac{20}{3}
\end{aligned}
$$

$\therefore \frac{13}{2}<a \leq \frac{20}{3}$

(2)若 $a=7, y_{E}=7, y_{F}=21$, 所以线段 $E F$ 上的格点正好 13 个,

综上, $\frac{13}{2}<a \leq \frac{20}{3}$ 或 $a=7$.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题, 涉及了二次函数的图象和性质, 一次函数的图象和性质, 勾股定理, 关键是弄清格点只能落在 $y$ 轴和直线 $x=1$ 上, 各为 13 个, 并对点 $D$ 、 $F$ 进行定位.