已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c) x^{2}+2 b x+(a-c)=0$, 其中 $a 、 b 、 c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三边的长.

(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并说明理由;

(2) 如果方程有两个相等的实数根, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并说明理由.
解: (1) $\triangle A B C$ 是等腰三角形. 理由如下:

$\because x=-1$ 是方程的根,

$\therefore(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$,

$\therefore a+c-2 b+a-c=0$,

$\therefore a-b=0, \quad \therefore a=b$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) $\triangle A B C$ 是直角三角形. 理由如下:

$\because$ 方程有两个相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$,

$\therefore 4 b^{2}-4 a^{2}+4 c^{2}=0$,

$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形.

【解析】(1) 根据方程解的定义把 $x=-1$ 代入方程得到 $(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$, 整理得 $a-b=0$,即 $a=b$, 于是根据等腰三角形的判定即可得到 $\triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) 根据判别式的意义得到 $\Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$, 整理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, 然后根据勾股定理的逆定理得到 $\triangle A B C$ 是直角三角形.