在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A, D$ 重合), 射线 $B E$与射线 $C D$ 交于点 $F$.

（1）若 $D E=\frac{1}{3}$, 求 $D F$ 的长.

（2）求证: $A E \cdot C F=1$.

(3) 以点 $B$ 为圆心, $B C$ 长为半径画弧, 交线段 $B E$ 于点 $G$. 若 $E G=E D$, 求 $E D$ 的长.

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) 解: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是正方形,

$\therefore A B=B C=C D=D A=1, \quad \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\because E D=\frac{1}{3}$,

$\therefore A E=A D-E D=\frac{2}{3}$.

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\therefore \triangle A E B \backsim \triangle D E F$,

$\therefore \frac{A B}{D F}=\frac{A E}{E D}$,

即 $\frac{1}{D F}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}$,

$\therefore D F=\frac{1}{2}$;

(2) 证明: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是正方形,

$\therefore \angle A=\angle C=90^{\circ}, A B \| C D$,

$\therefore \angle A B E=\angle F$,

$\therefore \triangle A B E \backsim \triangle C F B$,

$\therefore \frac{A B}{C F}=\frac{A E}{B C}$,

$\therefore A E \cdot C F=A B \cdot B C=1 \times 1=1$.

（3）解：设 $E G=E D=x$,

则 $A E=A D-A E=1-x, B E=B G+G E=B C+G E=1+x$.

在Rt $\triangle A B E$ 中, $A B^{2}+A E^{2}=B E^{2}$,

即 $1^{2}+(1-x)^{2}=(1+x)^{2}$,

解得 $x=\frac{1}{4}$.

$\therefore E D=\frac{1}{4}$.

