(4 分 ) 如图, 正 $\triangle A O B$ 的边长为 5 , 点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上, 点 $A$ 在第一象限, 反比例函数 $y=$ $\frac{k}{x}$ $\bar{x}(x>0)$ 的图象分别交边 $\mathrm{AO}, \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$, 若 $\mathrm{OC}=2 \mathrm{BD}$, 则实数 $\mathrm{k}$ 的值为 $($ )

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【解答】解: $\because$ 等边三角形 $\mathrm{AOB}$ 的边长为 5 , 边 $\mathrm{OB}$ 在 $\mathrm{x}$ 轴的正半轴上, 点 $\mathrm{A}$ 在第一象限,

$\therefore \mathrm{B}(5,0)$,

$\therefore \mathrm{OB}=5$,

作 $\mathrm{CE} \perp \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{E}, \mathrm{DF} \perp \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{F}$,

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$\therefore \mathrm{CE} / / \mathrm{DF}$,

$\therefore \angle \mathrm{OEC}=\angle \mathrm{BFD}=90^{\circ}$,

$\because \triangle \mathrm{AOB}$ 是正三角形,

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{ABO}=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{COE} \sim \triangle \mathrm{DBF}$,

$\therefore \frac{O E}{B F}=\frac{C E}{D F}=\frac{O C}{B D}$

设 C $(a, b)$,

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{a}, \mathrm{CE}=\mathrm{b}$,

$\because \mathrm{OC}=2 \mathrm{BD}$

$\therefore \frac{a}{\frac{a}{B F}=\frac{b}{D F}=2}$

$\therefore \mathrm{BF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{a}, \mathrm{DF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{~b}$,

$\therefore \mathrm{OF}=\mathrm{OB}-\mathrm{BF}=5-{ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{~b}$,

$\therefore D\left(5-\frac{1}{2} b, \quad \frac{1}{2} b\right)$,

$\because$ 反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}(\mathrm{x}>0)$ 的图象分别交边 $\mathrm{AO}, \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$,

$\therefore \mathrm{k}=\mathrm{ab}=\left(5-{ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{~b}\right) \cdot{ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{~b}$, 解得 $\mathrm{a}=2$,

$\therefore \mathrm{OE}=2$,

在 Rt $\triangle \mathrm{COE}$ 中, $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{CE}=\mathrm{OE} \cdot \tan 60^{\circ}=2 \sqrt{3}$,
$\therefore \mathrm{C}(2,2 \sqrt{3})$,

$\therefore \mathrm{k}=2 \times 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$ 。

故答案为: A。

【分析】根据等边三角形的性质得出 $\mathrm{OB}=5$, 作 $\mathrm{CE} \perp \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{E}, \mathrm{DF} \perp \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{F}$, 很容易判断出

$\triangle \operatorname{COE} \sim \triangle \mathrm{DBF}$, 根据相似三角形对应边成比例得出 $\frac{O E}{\overline{B F}}=\frac{C E}{D F}=\frac{O C}{B D}$ ，设 C (a, b ）, 故 $\mathrm{OE}=\mathrm{a}, \mathrm{CE}$ $=b$, 根据比例式用含 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的式子表示出 $\mathrm{BF}, \mathrm{CF}$, 进而表示出 $\mathrm{OF}$, 表示出带你 $\mathrm{D}$ 的坐标, 根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积等于常数 $\mathrm{k}$, 列出方程求解算出 $\mathrm{a}$ 的值, 进而在 Rt $\triangle \mathrm{COE}$中, 根据正切函数的定义, 由 $\mathrm{CE}=\mathrm{OE} \cdot \tan 60^{\circ}$ 表示出 $\mathrm{CE}$, 求出点 $\mathrm{C}$ 的坐标, 从而即可求出 $\mathrm{k}$ 的值。二、填空题