甲船在岛 $B$ 的正南方向的 $A$ 处, $A B=10 \mathrm{n}$ mile, 甲船自 $A$ 处以 $4 \mathrm{kn}$ 的速度向正北方向航行,同时乙船以 $6 \mathrm{kn}$ 的速度自岛 $B$ 出发, 向北偏东 $60^{\circ}$ 方向驶去, 则两船相距最近时经过了 \$ \qquad \$ min
答案: $\frac{150}{7}$
解析：设甲、乙两船行驶 $x \mathrm{~h}$ 后, 分别位于 $C, D$ 处, $C D=y$ 。因为 $10 \div 4=2\.5$, 当 $x=2\.5$

时, $B D=15>10=A B$ 。当 $0<x<2\.5$ 时, $C, D$ 的位置如图所示。在 $\triangle C B D$

中, $y^{2}=(10-4 x)^{2}+(6 x)^{2}-2(10-4 x) \cdot 6 x \cdot \cos 120^{\circ}=28 x^{2}-20 x+100=28\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}+\frac{675}{7}$ 。所以当

$x=\frac{5}{14}$, 即 $\frac{5}{14} \times 60=\frac{150}{7} \min$ 时, $y^{2}$ 取得最小值,且 $y_{\text {min }}=\sqrt{\frac{675}{7}}=\frac{15 \sqrt{21}}{7}<10$ 。

当 $x>2\.5$ 时,在 $\triangle C B D$

中, $y^{2}=(4 x-10)^{2}+(6 x)^{2}-2(4 x-10) \cdot 6 x \cdot \cos 60^{\circ}=28 x^{2}-20 x+100=28\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}+\frac{675}{7}$, 所以

$y^{2}>28 \times\left(2\.5-\frac{5}{14}\right)^{2}+\frac{675}{7}=225$, 即 $y>15$ 。

综上,当两船相距最近时, 经过了 $\frac{150}{7} \mathrm{~min}$ 。

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