（2019・红桥区二模）袋中装着标有数字 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 的小球各 2 个, 从袋中任取 3 个小球,每个小球被取出的可能性都相等, 用 $\xi$ 表示取出的 3 个小球上的最大数字, 求:

(1) 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率;

(2) 随机变量 $\xi$ 的概率分布列和数学期望.
解：（1）一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 $A$, 一次取出的 3 个小球上有两个数字相同的事件记为 $B$, 则事件 $A$ 和事件 $B$ 是互斥事件, 因为 $P(B)=\frac{C_{5}^{1} \cdot C_{2}^{2} \cdot C_{8}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{3}$所以 $P(A)=1-P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} . \quad(4$ 分)

（2）由题意 $\xi$ 有可能的取值为: $2 ， 3 ， 4 ， 5$ （5 分）

$$
\begin{aligned}
& P(\xi=2)=\frac{C_{2}^{2} \cdot C_{2}^{1}+C_{2}^{1} \cdot C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{30} ; \quad(8 \text { 分 }) \\
& P(\xi=3)=\frac{C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{1}+C_{4}^{1} \cdot C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{2}{15} ; \quad(9 \text { 分 } \\
& P(\xi=4)=\frac{C_{6}^{2} \cdot C_{2}^{1}+C_{6}^{1} \cdot C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10} ; \quad(10 \text { 分 }) \\
& P(\xi=5)=\frac{C_{8}^{2} \cdot C_{2}^{1}+C_{8}^{1} \cdot C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{8}{15} ; \quad(11 \text { 分 })
\end{aligned}
$$

所以随机变量 $\varepsilon$ 的概率分布为

| $\xi$ |       2        |       3        |       4        |       5        |
| :---: | :------------: | :------------: | :------------: | :------------: |
|  $P$  | $\frac{1}{30}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{8}{15}$ |

（12 分）

因此 $\xi$ 的数学期望为: $\mathrm{E} \xi=2 \times \frac{1}{30}+3 \times \frac{2}{15}+4 \times \frac{3}{10}+5 \times \frac{8}{15}=\frac{13}{3}$ (14 分)