如图, 在菱形纸片 $A B C D$ 中, $A B=2, \angle A=60^{\circ}$, 将菱形纸片翻折, 使点 $A$ 落在 $C D$ 的中点 $E$ 处, 折痕为 $F G$, 点 $F, G$ 分别在边 $A B, A D$ 上, 则 $\cos \angle E F G$ 的值为

<ImageHere>
【分析】

本题考查了折叠的性质: 折叠是一种对称变换, 它属于轴对称, 折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化, 对应边和对应角相等. 也考查了菱形的性质. 作 $E H \perp A D$ 于 $H$, 连接 $B E 、 B D$, 连接 $A E$
交 $F G$ 于 $O$, 如图, 利用菱形的性质得 $\triangle B D C$ 为等边三角形, $\angle A D C=120^{\circ}$, 再在在 $R t \triangle B C E$ 中计算出 $B E=\sqrt{3} C E=\sqrt{3}$, 接着证明 $B E \perp A B$, 设 $A F=x$, 利用折叠的性质得到 $E F=A F, F G$ 垂直平分 $A E, \angle E F G=\angle A F G$, 所以在 $R t \triangle B E F$ 中利用勾股定理得 $(2-x)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=x^{2}$, 解得 $x=\frac{7}{4}$,接下来计算出 $A E$, 从而得到 $O A$ 的长, 然后在 $R t \triangle A O F$ 中利用勾股定理计算出 $O F$, 再利用余弦的定义求解.

【解答】

解: 作 $E H \perp A D$ 于 $H$, 连接 $B E 、 B D$, 连接 $A E$ 交 $F G$ 于 $O$, 如图,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle A=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle B D C$ 为等边三角形, $\angle A D C=120^{\circ}$,

$\because E$ 点为 $C D$ 的中点,

$\therefore C E=D E=1, B E \perp C D$,

在Rt $\triangle B C E$ 中, $B E=\sqrt{3} C E=\sqrt{3}$,

$\because A B / / C D$,

$\therefore B E \perp A B$,

设 $A F=x$,

$\because$ : 菱形纸片翻折, 使点 $A$ 落在 $C D$ 的中点 $E$ 处, 折痕为 $F G$, 点 $F, G$ 分别在边 $A B, A D$ 上,

$\therefore E F=A F, F G$ 垂直平分 $A E, \angle E F G=\angle A F G$,

在 $R t \triangle B E F$ 中, $(2-x)^{2}+(\sqrt{3})^{2}=x^{2}$, 解得 $x=\frac{7}{4}$,

在Rt $\triangle D E H$ 中, $D H=\frac{1}{2} D E=\frac{1}{2}, H E=\sqrt{3} D H=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

在Rt $\triangle A E H$ 中, $A E=\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{7}$,

$\therefore A O=\frac{\sqrt{7}}{2}$,
在Rt $\triangle A O F$ 中, $O F=\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{4}$,

$\therefore \cos \angle A F O=\frac{\frac{\sqrt{21}}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$.