抛物线 $y=m x^{2}-2 m x+m-1(m>0)$ 与直线 $y=x$ 交于 $\mathrm{A}, B$

两点, 抛物线在 $\mathrm{A}, B$ 两点之间的部分以及线段 $A B$ 所围域内 (包括边界) 恰有 4 个整点 (横、纵坐标都是整数的点叫做整点), 则 $m$ 的取值范围是 ( )

先根据拋物线解析式, 确定顶点坐标, 进而得到点 $1,-1,(1,0) 、(1,1)$ 必在所要求区域内, 再扩充一个整点 $(2,2)$, 将 $x=2$ 代入拋物线解析式, 得到 $y=m-1$, 然后根据点 $(2, m-1)$ 的纵坐标在 1 和 2 之间（不包括 1 , 但包括 2 ), 据此即可得到答案.

【详解】解: $\because y=m x^{2}-2 m x+m-1=m(x-1)^{2}-1$,

$\therefore$ 拋物线的顶点坐标为 $1,-1$,

$\because$ 直线 $y=x$ 经过点 $(1,1)$,

$\therefore$ 点 $1,-1,(1,0) 、(1,1)$ 必在抛物线在 $A, B$ 两点之间的部分以及线段 $A B$ 所围域内（包括边界)，

$\because$ 此区域恰有 4 个整点,

$\therefore$ 第 4 个整点必为 $(2,2)$,

将 $x=2$ 代入 $y=m(x-1)^{2}-1$, 得: $y=m-1$,

$\therefore 1<m-1 \leq 2$,

解得: $2<m \leq 3$,
故选 A.

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【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系, 函数图象上点的坐标特征, 利用数形结合的思想解决问题是解题关键.

