有四个关于三角函数的命题:

$$
\begin{array}{ll}
p_{1}: \sin x=\sin y \Rightarrow x+y=\pi \text { 或 } x=y ; & p_{2}: \forall x \in \mathbf{R}, \sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}=1 ； \\
p_{3}: \forall x, y \in \mathbf{R}, \cos (x-y)=\cos x-\cos y ; & p_{4}: \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], \sqrt{\frac{1+\cos 2 x}{2}}=\cos x .
\end{array}
$$

其中真命题是（）