(2011 天津) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $A C$ 上的点, 且 $A B=A D, 2 A B=\sqrt{3} B D, B C=2 B D$,则 $\sin C$ 的值为 ( )

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设 $A B=c$, 则 $A D=c, B D=\frac{2 c}{\sqrt{3}}, B C=\frac{4 c}{\sqrt{3}}$, 在 $\triangle A B D$ 中, 由余弦定理得 $\cos A=\frac{c^{2}+c^{2}-\frac{4}{3} c^{2}}{2 c^{2}}=\frac{1}{3}$, 则 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 在 $\triangle A B C$ 中,

由正弦定理得 $\frac{c}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}=\frac{\frac{4 c}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$, 解得 $\sin C=\frac{\sqrt{6}}{6}$.