数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{n}=3 n-7\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=\frac{1}{3}, b_{n-1}=27 b_{n}\left(n \geqslant 2\right.$ 且 $\left.n \in \mathbf{N}_{+}\right)$,若 $a_{n}+\log _{k} b_{n}$ 为常数, 则满足条件的 $k$ 值 $(\quad)$
解析 依题意,

$b_{n}=b_{1} \cdot\left(\frac{1}{27}\right)^{n^{-}-1}=\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3 n^{-} 3}=\left(\frac{1}{3}\right)^{3 n^{-2}}$,

$\therefore a_{n}+\log _{k} b_{n}=3 n-7+\log _{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{3 n-2}$

$=3 n-7+(3 n-2) \log _{k} \frac{1}{3}$

$=\left(3+3 \log _{k} \frac{1}{3}\right) n-7-2 \log _{k} \frac{1}{3}$,

$\because a_{n}+\log _{k} b_{n}$ 是常数, $\therefore 3+3 \log _{k} \frac{1}{3}=0$,

即 $\log _{k} 3=1, \therefore k=3$.