(8 分) 如图, $A B$ 是圆 $O$ 的直径, $C$ 为圆上的一点, $D$ 为 $R C$ 的中点, 连接 $B C, A D$,过点 $C$ 作 $A D$ 的垂线交 $A B$ 于点 $E$.

(1)求证: $A C=A E$;

(2)若 $A B=5, A D=4$, 求 $A E$ 的长.

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(1) 根据 $D$ 为 $B C$ 的中点, 得出 $\angle C A D=\angle B A D$, 根据 $C E \perp A D$, 直角三角形的两个锐角互余，即可得出 $\angle A C E=\angle A E C$ ，等角对等边即可得证;

(2) 连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $F$, 连接 $B D, \triangle A D B$ 是直角三角形, 则 $B D=3$, 设 $O F=x$, 则 $A C=A E=2 x, \quad D F=\frac{5}{2}-x$, 在 Rt $\triangle O B F$ 中, $F B^{2}=O B^{2}-O F^{2}$, 在 Rt $\triangle D B F$ 中, $F B^{2}=D B^{2}-D F^{2}$, 解得: $x=\frac{7}{10}$, 根据（1）的结论, 即可求解.

【详解】(1) 证明: $\because D$ 为 $B C$ 的中点

$\therefore \angle C A D=\angle B A D$

又 $\because C E \perp A D$

$\therefore \angle A C E=\angle A E C$

$\therefore A C=A E$;

(2) 如图所示, 连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $F$, 则 $O D$ 垂直平分 $B C$, 连接 $B D$,

<ImageHere>

$\because A B$ 是直径, $A B=5, A D=4$,

$\therefore \triangle A D B$ 是直角三角形, 则 $B D=3$,
设 $O F=x$, 则 $A C=A E=2 x, D F=\frac{5}{2}-x$,

在 Rt $\triangle O B F$ 中, $F B^{2}=O B^{2}-O F^{2}$,

在 Rt $\triangle D B F$ 中, $F B^{2}=D B^{2}-D F^{2}$,

$\therefore O B^{2}-O F^{2}=D B^{2}-D F^{2}$

$\therefore\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-x^{2}=3^{2}-\left(\frac{5}{2}-x\right)^{2}$

解得: $x=\frac{7}{10}$

$\therefore A E=A C=2 \times \frac{7}{10}=\frac{7}{5}$

【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等, 垂径定理, 勾股定理, 直径所对的圆周角是直角, 熟练掌握以上知识是解题的关键.

