15. 设 $f(x)=\lg \frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+(n-1)^{x}+a \cdot n^{x}}{n}$, 若 $0 \leq a \leq 1, n \in N_{+}$且 $n \geq 2$, 求证: $f(2 x) \geq 2 f(x)$.
:【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是将 $f(2 x)>2 f(x)$ 具体化, 然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.