(12 分) 已知 $f(x)=x^{2}-2 x+1, g(x)$ 是一次函数, 且 $f[g(x)]=4 x^{2}$.

(1) 求 $g(x)$ 的解析式;

(2) 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,3]$, 求函数 $h(x)=f(x)+\sqrt{4-f(x)}$ 的值域.
【分析】

(1) 设 $g(x)=k x+b$, 根据已知代入即可求出;

（2）令 $t=\sqrt{4-f(x)}$, 将函数化为关于 $t$ 的函数, 由二次函数的性质可求出.

## 【详解】

(1) 设 $g(x)=k x+b$ ，

则 $f[g(x)]=f(k x+b)=(k x+b)^{2}-2(k x+b)+1=4 x^{2}$, 即 $k^{2} x^{2}+(2 k b-2 k) x+b^{2}-2 b+1=4 x^{2}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}k^{2}=4 \\ 2 k b-2 k=0 \\ b^{2}-2 b+1=0\end{array}\right.$, 解得 $k= \pm 2, b=1$,

$\therefore g(x)=2 x+1$ 或 $g(x)=-2 x+1$;

(2) $f(x)=x^{2}-2 x+1=(x-1)^{2}$,

当 $x=1$ 时, $f(x)$ 取得最小值为 0 , 当 $x=3$ 时, $f(x)$ 取得最大值为 4 ,

$\therefore f(x)$ 在 $[0,3]$ 的值域为 $[0,4]$,

令 $t=\sqrt{4-f(x)}$, 则 $t \in[0,2], f(x)=4-t^{2}$,

则 $h(x)=f(x)+\sqrt{4-f(x)}$ 等价于 $y=-t^{2}+t+4=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{17}{4}, t \in[0,2]$,

当 $t=\frac{1}{2}$ 时, $y_{\text {max }}=\frac{17}{4}$, 当 $t=2$ 时, $y_{\text {min }}=2$,

所以 $h(x)$ 的值域为 $\left[2, \frac{17}{4}\right]$.