(本题10分)如图,已知抛物线$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$与直线$y=2x$交于点$O(0,0),A(a,12)$.点$B$是抛物线上$O,A$之间的一个动点,过点$B$分别作$x$轴、$y$轴的平行线与直线$OA$交于点$C,E$.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点$C$为$OA$的中点,求$BC$的长;（3）以$BC,BE$为边构造矩形$BCDE$,设点$D$的坐标为$(m,n)$,求出$m,n$之间的关系式.<ImageHere>
解：(1)$because$点$A(a,12)$在直线$y=2x$上,$therefore12=2a$,解得:$a=6$,又$because$点$A$是抛物线$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$上的一点,将点$A(6,12)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$,可得$b=-1$,$therefore$抛物线表达式为$y=frac{1}{2}x^{2}-x$.(2)$because$点$C$是$OA$的中点,$therefore$点$C$的坐标为$(3,6)$,把$y=6$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,解得:$x_{1}=1+sqrt{13},x_{2}=1-sqrt{13}$(舍去),故$BC=1+sqrt{13}-3=sqrt{13}-2$.(3)<ImageHere>$because$直线$OA$的表达式为:$y=2x$,点$D$的坐标为$(m,n)$,$therefore$点$E$的坐标为$left(frac{1}{2}n,nright)$,点$C$的坐标为$(m,2m)$,$therefore$点$B$的坐标为$left(frac{1}{2}n,2mright)$,把点$Bleft(frac{1}{2}n,2mright)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,可得$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$,$thereforem、n$之间的关系式为$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$.