如图1, 已知射线 $A B$ 与直线 $C D$ 交于点 $O, O F$ 平分 $\angle B O C, O G \perp O F$ 于点 $O, A E / / O F$.

(1)若 $\angle A=30^{\circ}$ 时(1)求 $\angle D O F$ 的度数; (2)试说明 $O D$ 平分 $\angle A O G$;

(2)如图2, 设 $\angle A$ 的度数为 $\alpha$, 当 $\alpha$ 为多少度时, 射线 $O D$ 是 $\angle A O G$ 的三等分线, 并说明理由.

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图1

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图2
【答案】解:

(1)(1) $\because A E / / O F$,

$\therefore \angle A=\angle B O F=30^{\circ}$,

$\because O F$ 平分 $\angle B O C$,

$\therefore \angle B O C=60^{\circ}, \angle C O F=30^{\circ}$,
$\therefore \angle D O F=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$;

(2) $\because \angle B O C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O D=60^{\circ}$,

$\because O F \perp O G$,

$\therefore \angle F O G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O G=60^{\circ}$,

$\because \angle B O G+\angle D O G+\angle A O D=180^{\circ}$,

$\therefore \angle D O G=60^{\circ}=\angle A O D$,

$\therefore O D$ 平分 $\angle A O G$;

(2)设 $\angle A O D=\beta$.

$\because$ 射线 $O D$ 是 $\angle A O G$ 的三等分线,

$\therefore \angle A O D=2 \angle D O G$, 或 $\angle D O G=2 \angle A O D$,

若 $\angle A O D=2 \angle D O G$,

$\therefore \angle D O G=\frac{1}{2} \beta$,

$\because \angle B O C=\angle A O D, O F$ 平分 $\angle B O C$,

$\therefore \angle B O F=\frac{1}{2} \beta$,

$\because O F \perp O G$,

$\therefore \angle B O G=90^{\circ}-\frac{1}{2} \beta$,

$\because \angle B O G+\angle D O G+\angle A O D=180^{\circ}$,

$\therefore \frac{1}{2} \beta+90^{\circ}-\frac{1}{2} \beta+\beta=180^{\circ}$,

$\therefore \beta=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O F=45^{\circ}$,

$\because O F / / A E$,

$\therefore \angle A=\angle B O F=45^{\circ}$,

即 $\alpha=45^{\circ}$,

若 $\angle D O G=2 \angle A O D=2 \beta$,

$\because \angle B O C=\angle A O D, O F$ 平分 $\angle B O C$,

$\therefore \angle B O F=\frac{1}{2} \beta$,

$\because O F \perp O G$
$\therefore \angle B O G=90^{\circ}-\frac{1}{2} \beta$,

$\because \angle B O G+\angle D O G+\angle A O D=180^{\circ}$,

$\therefore 2 \beta+90^{\circ}-\frac{1}{2} \beta+\beta=180^{\circ}$,

$\therefore \beta=36^{\circ}$,

$\therefore \angle B O F=18^{\circ}$,

$\therefore O F / / A E$,

$\therefore \angle A=\angle B O F=18^{\circ}$,

$\therefore \alpha=18^{\circ}$,

综上所述, $\alpha$ 为 $18^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$.

【解析】本题考查了平行线的性质, 角平分线的定义, 根据题意列方程是本题的关键.

(1)(1)根据题意可求 $\angle B O F=30^{\circ}$, 由平角定义可求 $\angle D O F$ 的度数;

(2)通过题意可求 $\angle A O D=\angle B O G=60^{\circ}$, 进而求得 $\angle D O G=60^{\circ}=\angle A O D$ 即可得 $O D$ 平分 $\angle A O G$;

(2)设 $\angle A O D=\beta$, 分 $\angle A O D=2 \angle D O G$, 或 $\angle D O G=2 \angle A O D$, 两种情况讨论, 根据题意可列方程, 可求 $\beta$ 的值, 进而可得 $\alpha$ 的值.