编号为 a, b, c 的三位学生随机入座编号为 a, b, c 的三个座位, 每位学生坐一个座位, 设与座位编号相同的学生的个数是 $\xi$.

(1) 求随机变量 $\xi$ 的取值和对应的概率, 并列出分布列;

(2) 求随机变量 $\xi$ 的数学期望及方差.
答案:（1）解：随机变量 $\xi$ 的取值为 $0,1,3$

$P(\xi=0)=\frac{2}{A_{3}^{3}}=\frac{1}{3} \quad P(\xi=1)=\frac{C_{3}^{1}}{A_{3}^{3}}=\frac{1}{2} \quad P(\xi=3)=\frac{1}{A_{3}^{3}}=\frac{1}{6}$

所以概率分布列为:

| $E$ | 0 | 1 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{6}$ |

(2) 【解析】 $E \xi=1 \times \frac{1}{2}+3 \times \frac{1}{6}=1$

$D(\xi)=(1-0)^{2} \times \frac{1}{3}+(1-1)^{2} \times \frac{1}{2}+(1-2)^{2} \times 0+(3-1)^{2} \times \frac{1}{6}=1$