（12 分）已知抛物线 $L_{1}: y=a(x+1)^{2}-4(a \neq 0)$ 经过点 $A(1,0)$.

(1)求抛物线 $L_{1}$ 的函数表达式.

(2)将拋物线 $L_{1}$ 向上平移 $m(m>0)$ 个单位得到拋物线 $L_{2}$. 若抛物线 $L_{2}$ 的顶点关于坐标原点 $O$ 的对称点在抛物线 $L_{1}$ 上, 求 $m$ 的值.

(3)把抛物线 $L_{1}$ 向右平移 $n(n>0)$ 个单位得到抛物线 $L_{3}$, 若点 $B\left(1, y_{1}\right), C\left(3, y_{2}\right)$ 在抛物线 $L_{3}$ 上, 且 $y_{1}>y_{2}$, 求 $n$ 的取值范围.

## 四、提高题（20 分）


(1) 把 $A(1,0)$ 代入 $y=a(x+1)^{2}-4$ 即可解得拋物线 $L_{1}$ 的函数表达式为 $y=x^{2}+2 x-3$;

（2）将抛物线 $L_{1}$ 向上平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_{2}$, 顶点为 $(-1,-4+m)$, 关于原点的对称点为 $(1,4-m)$, 代入 $y=x^{2}+2 x-3$ 可解得 $m$ 的值为 4 ;

（3）把抛物线 $L_{1}$ 向右平移 $n(n>0)$ 个单位得抛物线 $L_{3}$ 为 $y=(x-n+1)^{2}-4$, 根据点 $B\left(1, y_{1}\right)$, $C\left(3, y_{2}\right)$ 都在抛物线 $L_{3}$ 上，当 $y_{1}>y_{2}$ 时，可得 $(2-n)^{2}-4>(4-n)^{2}-4$, 即可解得 $n$ 的取值范围是 $n>3$.

【详解】(1) 解：把 $A(1,0)$ 代入 $y=a(x+1)^{2}-4$ 得:

$a(1+1)^{2}-4=0$,

解得 $a=1$,

$\therefore y=(x+1)^{2}-4=x^{2}+2 x-3$;

答: 拋物线 $L_{1}$ 的函数表达式为 $y=x^{2}+2 x-3$;

（2）解: 抛物线 $L_{1}: y=(x+1)^{2}-4$ 的顶点为 $(-1,-4)$,

将抛物线 $L_{1}$ 向上平移 $m(m>0)$ 个单位得到拋物线 $L_{2}$, 则抛物线 $L_{2}$ 的顶点为 $(-1,-4+m)$,而 $(-1,-4+m)$ 关于原点的对称点为 $(1,4-m)$,

把 $(1,4-m)$ 代入 $y=x^{2}+2 x-3$ 得:

$1^{2}+2 \times 1-3=4-m$,

解得 $m=4$,

答: $m$ 的值为 4 ;

（3）解：把拋物线 $L_{1}$ 向右平移 $n(n>0)$ 个单位得到拋物线 $L_{3}$, 拋物线 $L_{3}$ 解析式为

$y=(x-n+1)^{2}-4$,

$\because$ 点 $B\left(1, y_{1}\right), C\left(3, y_{2}\right)$ 都在抛物线 $L_{3}$ 上,

$\therefore y_{1}=(1-n+1)^{2}-4=(2-n)^{2}-4$,

$y_{2}=(3-n+1)^{2}-4=(4-n)^{2}-4$,

$\because y_{1}>y_{2}$,

$\therefore(2-n)^{2}-4>(4-n)^{2}-4$,

整理变形得： $(2-n)^{2}-(4-n)^{2}>0$ ，

$(2-n+4-n)(2-n-4+n)>0$

$-2 \times(6-2 n)>0$,

$6-2 n<0$

解得 $n>3$,

$\therefore n$ 的取值范围是 $n>3$.

【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关
键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式.

