已知函数 $f(x)=x \ln x$, 若 $0<x_{1}<x_{2}$, 则下列选项正确的是 ( )
答案: C,D

【解析】 对于 A 选项, 函数 $f(x)=x \ln x$, 定义域为 $(0,+\infty), f^{\prime}(x)=\ln x+1$.

令 $f^{\prime}(x)<0$, 则 $0<x<\frac{1}{e}$; 令 $f^{\prime}(x)>0$, 可得 $x>\frac{1}{e}$.

所以，函数 $f(x)=x \ln x$ 的单调递减区间为 $\left(0, \frac{1}{e}\right)$, 单调递增区间为 $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$.

当 $x_{2}>x_{1}>\frac{1}{e}$ 时, $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 则 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$, $\mathrm{A}$ 选项错误;

对于 $\mathrm{B}$ 选项, 构造函数 $g(x)=f(x)+x=x \ln x+x$,

定义域为 $(0,+\infty), g(x)=\ln x+2$,

当 $0<x<\frac{1}{e^{2}}$ 时, $g(x)<0$; 当 $x>\frac{1}{e^{2}}$ 时, $g(x)>0$.

所以，函数 $g(x)=x \ln x+x$ 的单调递减区间为 $\left(0, \frac{1}{e^{2}}\right)$, 单调递增区间为 $\left(\frac{1}{e^{2}},+\infty\right)$,

当 $0<x_{1}<x_{2}<\frac{1}{e^{2}}$ 时, $x_{1}+f\left(x_{1}\right)>x_{2}+f\left(x_{2}\right)$, B 选项错误;

对于 C 选项, $\frac{f(x)}{x}=\ln x$, 由于函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

当 $0<x_{1}<x_{2}$ 时, $\ln x_{1}<\ln x_{2}$, 即 $\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}<\frac{f\left(x_{2}\right)}{x_{2}}$,

所以 $x_{2} f\left(x_{1}\right)<x_{1} f\left(x_{2}\right)$, C 选项正确;

对于 $\mathrm{D}$ 选项, 由 $\mathrm{A}$ 选项知, 函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 上单调递增,

当 $x_{2}>x_{1}>\frac{1}{e}$ 时, $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$, 则 $\left(x_{1}-x_{2}\right) f\left(x_{1}\right)>\left(x_{1}-x_{2}\right) f\left(x_{2}\right)$,

即 $x_{1} f\left(x_{1}\right)+x_{2} f\left(x_{2}\right)>x_{2} f\left(x_{1}\right)+x_{1} f\left(x_{2}\right)$, D 选项正确.

故答案为: $\mathrm{CD}$.

【分析】利用导数判断函数 $y=f(x)$ 的单调性, 可判断 $\mathrm{A}$ 选项; 构造函数 $g(x)=f(x)+x$, 利用导数判断函数 $y=g(x)$ 的单调性, 可判断 $\mathrm{B}$ 选项; 由函数 $y=\ln x$ 的单调性可判断 C 选项; 利用函数 $y=f(x)_{\text {在区间 }}\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 上的单调性可判断 $\mathrm{D}$ 选项.