18. 已知二次三项式 $f(x)=a x^{2}+b x+c f(x)=a x^{2}+b x+c$ 的所有系数均为正数, 且 $a+b$ $+c=1$, 求证: 对于任何正数 $x_{1}, x_{2}$, 当 $x_{1} \cdot x_{2}=1$ 时, 必有 $f\left(x_{1}\right) \cdot f\left(x_{2}\right) \geq 1$.
: 证明: $f\left(x_{1}\right) \cdot f\left(x_{2}\right)=\left(a x_{1}^{2}+b x_{1}+c\right)\left(a x_{2}^{2}+b x_{2}+c\right)$

$\geq\left[a\left(\sqrt{x_{1} x_{2}}\right)^{2}+b \sqrt{x_{1} x_{2}}+c\right]^{2}=f^{2}\left(\sqrt{x_{1} x_{2}}\right)=f^{2}(1)=1$

$\geq\left[a\left(\sqrt{x_{1} x_{2}}\right)^{2}+b \sqrt{x_{1} x_{2}}+c\right]^{2}=f^{2}\left(\sqrt{x_{1} x_{2}}\right)=f^{2}(1)=1$. 故 $f\left(x_{1}\right) \cdot f\left(x_{2}\right) \geq 1$.

解析:【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是利用所给条件解析变换如何根据一般形式的柯西不等式计算证明即可.