已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x-5 \leq 0\right\}, B=\{x \mid 2 \leq x \leq 4\}$.

(1) 求 $A \cap\left(C_{U} B\right)$;

(2) 若集合 $C=\{x \mid a \leq x \leq 4 a, a>0\}$, 满足 $C \cup A=A, C \cap B=B$, 求实数 $a$ 的取值范围.
【详解】

(1) 由题 $A=\{x \mid-1 \leq x \leq 5\}, C_{U} B=\{x \mid x<2$ 或 $x>4\}$, $A \cap\left(C_{U} B\right)=\{x \mid-1 \leq x<2$ 或 $4<x \leq 5\}$.

(2) 由 $C \cup A=A$ 得 $C \subseteq A$, 则 $\left\{\begin{array}{l}a \geq-1 \\ 4 a \leq 5 \\ a>0\end{array}\right.$, 解得 $0<a \leq \frac{5}{4}$,

由 $C \cap B=B$ 得 $B \subseteq C$, 则 $\left\{\begin{array}{l}a \leq 2 \\ 4 a \geq 4 \\ a>0\end{array}\right.$, 解得 $1 \leq a \leq 2$,

$\therefore$ 实数 $a$ 的取值范围为 $\left\{a \left\lvert\, 1 \leq a \leq \frac{5}{4}\right.\right\}$.

【点睛】

本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法, 注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系, 本题属于中档题.