如图, 边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 放置于平面直角坐标系中, 边 $A B$ 在 $x$ 轴正半轴上, 顶点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上, 将正六边形 $A B C D E F$ 绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转, 每次旋转 $45^{\circ}$, 那么经过第 2026 次旋转后, 顶点 $D$ 的坐标为 ( )<ImageHere>


解：如图, 连接 $O D, B D$.把 $O D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $O D^{\prime}$,过点 $D$ 作 $D G \perp y$ 轴于点 $G$, 过点 $D^{\prime}$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$,在正六边形 $A B C D E F$ 中, $A F=A B=B C=C D=1, \angle F A B=\angle B C D=$ $120^{\circ}$,

$\therefore \angle F A O=60^{\circ}, \angle O F A=30^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore O A=\frac{1}{2} A F=\frac{1}{2}, B D=\sqrt{3}$,

$B D \perp O B$,

$\therefore O B=O A+A B=\frac{3}{2}$,

$\therefore D\left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right)$,

$\because$ 将正六边形 $A B C D E F$ 绕坐标原点 $O$ 顺时针旋转, 每次旋转 $45^{\circ}$,

$\therefore 8$ 次一个循环,

$\because 2026 \div 8=253 \ldots \ldots 2,45^{\circ} \times 2=90^{\circ}$,

$\therefore$ 经过第2026次旋转后, 顶点 $D$ 的坐标在 $D^{\prime}$ 的位置,

$\because \angle G D O+\angle D O G=90^{\circ}, \angle D^{\prime} O H+\angle D O G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle G D O=\angle D^{\prime} O H, \angle D G O=\angle O H D^{\prime}$,

$\because O D=O D^{\prime}$,
$\therefore \triangle D G O \cong \triangle O H D^{\prime}(A A S)$,

$\therefore O H=D G=\frac{3}{2}, O G=H D^{\prime}=\sqrt{3}$,

$\therefore D^{\prime}\left(\sqrt{3},-\frac{3}{2}\right)$,

$\therefore$ 经过第2028次旋转后, 顶点 $D$ 的坐标 $\left(\sqrt{3},-\frac{3}{2}\right)$,

故选: $D$.

如图, 连接 $O D, B D$. 把 $O D$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 至 $O D^{\prime}$, 过点 $D$ 作 $D G \perp y$ 轴于点 $G$, 过点 $D^{\prime}$ 作 $D H \perp y$ 轴于点 $H$, 经过第2026次旋转后, 顶点 $D$ 在 $D^{\prime}$ 的位置, 先求出点 $D$ 的坐标, 再证明 $\triangle D G O \cong \triangle O H D^{\prime}(A A S)$即可.

本题考查正多边形与圆, 掌握坐标与图形变化一旋转等知识, 学会探究规律的方法是解题的关键.

 