函数 $y=a x^{2}+a$ 与 $y=\frac{a}{x}(a \neq 0)$ 在同一坐标系中的图象可能是
由函数 $y=a x^{2}+a$ 中一次项系数为 0 , 我们易得函数 $y=a x^{2}+a$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 可排除 $D$;

当 $a<0$ 时, 函数 $y=a x^{2}+a$ 的图象开口方向朝下, 顶点 $(0, a)$ 点在 $x$ 轴下方, 函数 $y=\frac{a}{x}(a \neq 0)$ 的图象位于第二、四象限，可排除 $B$;

$a>0$ 时, 函数 $y=a x^{2}+a$ 的图象开口方向朝上, 顶点 $(0, a)$ 点在 $x$ 轴上方, 可排除 $\mathrm{A}$;

故选: C.