已知为 $a, b$ 非负实数, 求证: $a^{3}+b^{3} \geq \sqrt{a b}\left(a^{2}+b^{2}\right)$.
答案：【解析】因为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为非负实数,

所以 $a^{3}+b^{3}-\sqrt{a b}\left(a^{2}+b^{2}\right)$

$=a^{3}+b^{3}-a^{2} \sqrt{a b}-b^{2} \sqrt{a b}$

$=a^{3}-a^{2} \sqrt{a b}+b^{3}-b^{2} \sqrt{a b}$

$=a^{2} \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})+b^{2} \sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$

$=(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left[(\sqrt{a})^{5}-(\sqrt{b})^{5}\right]$,

若 $a \geq b$ 时, $\sqrt{a} \geq \sqrt{b}$, 从而 $(\sqrt{a})^{5} \geq(\sqrt{b})^{5}$,

得 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left[(\sqrt{a})^{5}-(\sqrt{b})^{5}\right] \geq 0$,

若 $a<b$ 时, $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, 从而 $(\sqrt{a})^{5}<(\sqrt{b})^{5}$,

得 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})\left[(\sqrt{a})^{5}-(\sqrt{b})^{5}\right]>0$,

综上, $a^{3}+b^{3} \geq \sqrt{a b}\left(a^{2}+b^{2}\right)$.
【分析】作差后因式分解, 对 $a, b$ 大小分类讨论, 即可确定因式分解后式子值得符号, 从而证出不等式.

18. 答案: 证明: 要证 $\sqrt{6}+\sqrt{10}>2 \sqrt{3}+2$,

只要证 $(\sqrt{6}+\sqrt{10})^{2}>(2 \sqrt{3}+2)^{2}$,

即证 $16+2 \sqrt{60}>16+8 \sqrt{3}$,

即证 $240>192$,

因为 $240>192$ 显然成立,

所以原不等式成立.

【分析】直接从待证不等式出发, 平方后分析其成立的充分条件即可.