 (8 分)如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D \perp A B$ 于点 $E$, 连接 $D O$ 并延长交 $\odot O$ 于点

$F$, 连接 $A F, \angle A F D=\angle C D F$.

(1)求证: $A C=C F$;

(2)连接 $A C$, 若 $A B=12$, 求 $A C$ 的长.

<ImageHere>


(1) 根据题意和垂经定理得 $A C=A D$, 根据 $\angle A F D=\angle C D F$ 得 $A D=C F$, 即可得;

(2) 连接 $O C$, 根据直径的长可得 $O A=6$, 根据 $A C=A D=C F$ 得 $\angle A O C=60^{\circ}$, 根据 $O A=O C$得 $\triangle A O C$ 是等边三角形, 即可得.

【详解】(1) 证明: $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$,

$\therefore A C=A D$,

$\because \angle A F D=\angle C D F$,

$\therefore A D=C F$,

$\therefore A C=C F$.

(2) 解: 如图所示, 连接 $O C$,

<ImageHere>

$\because A B=12$,

$\therefore O A=6$,

$\because A C=A D=C F$,

$\therefore \angle A O C=\frac{1}{3} \times 180^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because O A=O C$,

$\therefore \triangle A O C$ 是等边三角形,

$\therefore A C=O A=6$.

【点睛】本题考查了垂经定理, 等边三角形的判定, 解题的关键是掌握这些知识点.

