（2021 秋 -思明区校级期中）所谓完全平方式, 就是对一个整式 $M$, 如果存在另一个整式 $N$, 使 $M=N^{2}$, 则称 $M$ 是完全平方式, 如 $x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2} 、 x^{2}+2 x y+y^{2}=(x+y)^{2}$, 则称 $x^{4} 、 x^{2}+2 x y+y^{2}$ 是完全平方式. （1）下列各式中是完全平方式的有 \$ \qquad \$ . $\quad($ 填写编号 $)$

(1) $a^{2}+4 a+4 b^{2}$; (2) $4 x^{2}$; (3) $x^{2}-x y+y^{2}$; (4) $y^{2}-10 y-25$; (5) $x^{2}+12 x+36$; (6) $\frac{1}{49} a^{2}-2 a+49$.

(2) 证明: 多项式 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 是一个完全平方式.

（3）已知 $a 、 b 、 c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边长, 满足 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)$, 判定 $\triangle A B C$ 的形状.
(1) 通过题干定义, 通过完全平方式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ 分别判断求解.

(2) 先将 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 整理为 $\left(x^{2}+8 x\right)\left(x^{2}+8 x+16\right)+64$, 然后将 $\left(x^{2}+8 x\right)$ 作为整体求解.

(3) 将 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)$ 整理为 $(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$ 求解.

【点睛】本题考查因式分解的应用, 解题关键是掌握完全平方式, 通过整体思想求解.