在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{10}=23, a_{25}=-22$,

(1) 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前多少项和最大;

(2) 求 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 前 $\mathrm{n}$ 项和 $T_{n}$.
答案: (1) 由 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}+9 d=23 \\ a_{1}+24 d=-22\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=50 \\ d=-3\end{array}\right.$

$\therefore a_{n}=a_{1}+(n-1) d=-3 n+53$

令 $a_{n}>0$ 得: $n<\frac{53}{3}$

$\therefore$ 当 $n \leq 17, n \in \mathrm{N}^{*}$ * 时, $a_{n}>0$; 当 $n \geq 18, n \in \mathrm{N}^{*}$ 时, $a_{n}<0$

$\therefore\left\{a_{n}\right\}$ 前 17 项和最大。

(2) 当 $n \leq 17, n \in \mathrm{N}^{*}$ 时

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=-\frac{3}{2} n^{2}+\frac{103}{2} n$

当 $n \geq 18, n \in \mathrm{N}^{*}$ 时

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{17}-a_{18}-a_{19}-\cdots a_{n}$

$=2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{17}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}\right)=\frac{3}{2} n^{2}-\frac{103}{2} n+884$

$\therefore$ 当 $n \leq 17, n \in \mathrm{N}^{*}$ 时, $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 前 $\mathrm{n}$ 项和为 $-\frac{3}{2} n^{2}+\frac{103}{2} n$

当 $n \geq 18, n \in \mathrm{N}^{*}$ 时, $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 前 $\mathrm{n}$ 项和为 $\frac{3}{2} n^{2}-\frac{103}{2} n+884$