如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C, D$ 在 $\odot O$ 上, $A C$ 与 $O D$ 交于点 $E, A E=E C, O E=E D$,连接 $B C, C D$. 求证:

(1) $\triangle A O E \cong \triangle C D E$;

(2) 四边形 $O B C D$ 是菱形.

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(1) 由已知条件根据全的三角形的判定即可证明;

(2) 首先根据平行四边形的判定证明四边形 $O B C D$ 是平行四边形, 然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.

【详解】解: (1) 在 $\triangle A O E$ 和 $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A E=C E \\ \angle A E O=\angle C E D, \\ O E=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A O E \cong \triangle C D E(S A S) ;$

(2) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore A O=B O$,

$\because \triangle A O E \cong \triangle C D E$,

$\therefore \angle O A C=\angle D C A, \quad A O=C D$,

$\therefore B O / / C D, B O=C D$,

$\therefore$ 四边形 $O B C D$ 是平行四边形.

$\because B O=D O$,

$\therefore$ 四边形 $O B C D$ 是菱形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识, 掌握全等三角形的判定和特殊平行四边形的判定是解题的关键.

