在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 $v$ (米/秒)和燃料的质量 $M$ (千克)、火箭(除燃料外)的质量 $m$ (千克)的函数关系式是 $v=2000 \cdot \ln \left(1+\frac{M}{m}\right)$. 当燃料质量是火箭质量的 \$ \qquad \$倍时, 火箭的最大速度可达 12 千米秒.


由题意可得 $12000=2000 \ln \left(1+\frac{M}{m}\right), \ln \left(1+\frac{M}{m}\right)=6$, 解得 $1+\frac{M}{m}=10^{6}$, 所以 $\frac{M}{m}=10^{6}-1$, 填 $10^{6}-1$.