如图 2-2-12 所示, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $E, F, G, H$ 分别是 $A B, A C, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点, 求证:

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图 2-2-12

(1)B, $C, H, G$ 四点共面;

(2)平面 $E F A_{1} / /$ 平面 $B C H G$.
)因为 $G, H$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点,

所以 $G H$ 是 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中位线, 所以 $G H / / B_{1} C_{1}$.

又因为 $B_{1} C_{1} / / B C$, 所以 $G H / / B C$,

所以 $B, C, H, G$ 四点共面.

(2)因为 $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点, 所以 $E F / / B C$.

因为 $E F \subsetneq$ 平面 $B C H G, B C \subset$ 平面 $B C H G$,

所以 $E F / /$ 平面 $B C H G$.

因为 $A_{1} G / / E B, A_{1} G=E B$.

所以四边形 $A_{1} E B G$ 是平行四边形, 所以 $A_{1} E / / G B$.

因为 $A_{1} E$ 平面 $B C H G, G B \subset$ 平面 $B C H G$,

所以 $A_{1} E / /$ 平面 $B C H G$.

因为 $A_{1} E \cap E F=E$,

所以平面 $E F A_{1} / /$ 平面 $B C H G$.