如图, $P A 、 P B$ 是 $\odot O$ 的切线, $A 、 B$ 是切点, 已知 $\angle P=60^{\circ}, O A=3$, 那么 $A B$ 的长为

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【分析】

本题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义. 此题难度适中, 注意掌握辅助线的作法, 注意数形结合思

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想的应用.

首先过点 $O$ 作 $O C \perp A B$ 于点 $C$, 由垂径定理可得: $A C=\frac{1}{2} A B$, 又由 $P A 、 P B$ 是 $\odot O$ 的切线, 由切线长定理可得 $P A=P B$, 由 $\angle P=60^{\circ}$, 即可得 $\triangle P A B$ 是等边三角形, 继而可求得 $\angle O A C=30^{\circ}$, 则可求得 $A C$ 的长, 继而求得答案.

【解答】

解: 过点 $O$ 作 $O C \perp A B$ 于点 $C$,

$\therefore A C=\frac{1}{2} A B$,

$\because P A 、 P B$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore P A=P B, O A \perp P A$,

$\because \angle P=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle P A B$ 是等边三角形,

$\therefore \angle P A B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle O A C=90^{\circ}-\angle P A B=30^{\circ}$,
在Rt $\triangle A O C$ 中, $O A=3$,

$\therefore A C=O A \cdot \cos 30^{\circ}=3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$,

$\therefore A B=2 A C=3 \sqrt{3}$.

故答案为: $3 \sqrt{3}$.