(2019 - 浙江高考模拟) 在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 内角所对的边分别为 $a, b, c$, 已知 $b=2$
且 $c \cos B+b \cos C=4 a \sin B \sin C$, 则 $C$ 的最小值为
$\because \cos B+b \cos C=4 a \sin B \sin C$,

$\therefore \sin C \cos B+\sin B \cos C=4 \sin A \sin B \sin C$,

$\therefore \sin (B+C)=\sin A=4 \sin A \sin B \sin C, \because \sin A \neq 0$,

$\therefore \sin B \sin C=\frac{1}{4}, \therefore \sin C=\frac{1}{4 \sin B}$,

由正弦定理可得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, 即 $C=2 \times \frac{\sin C}{\sin B}=8 \sin ^{2} C$,

当 $\sin B=1$ 时, $\sin C_{\text {min }}=\frac{1}{4}$. 当 $\sin C=\frac{1}{4}$ 时, 则 $C$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$.

故答案为: $\frac{1}{2}$.