设计一个商标图案: 先作矩形 $\mathrm{ABCD}$, 使 $\mathrm{AB}=2 \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=8$, 再以点 $\mathrm{A}$ 为圆心、 $\mathrm{AD}$ 的长为半径作半圆, 交 $\mathrm{BA}$ 的延长线于 $\mathrm{F}$, 连 $\mathrm{FC}$. 图中阴影部分就是商标图案, 该商标图案的面积等于 ( )

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根据矩形的性质得到 $A D=B C=4, \angle F A D=90^{\circ}$, 根据图形得到 $S_{\text {阴 }}=S_{\text {矩 }} A B C D+S_{\text {扇 }}$ $A D F-S_{\triangle} F B C$.

【详解】解: $\because$ 矩形 $A B C D$ 中, $A B=2 B C$, 且 $A B=8 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A D=B C=4$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{\text {矩 }} A B C D+S_{\text {扇 }} A D F-S_{\triangle} F B C$,

$\because S_{\text {矩 }} A B C D=A B \cdot B C=8 \times 4=32$,

$S_{\text {扇 }} A D F=\frac{90 \pi \times 4^{2}}{360}=4 \pi$

$S_{\triangle} F B C=\frac{1}{2} B C \cdot F B=\frac{1}{2} \times 4 \times(8+4)=24$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=32+4 \pi-24=(8+4 \pi) \mathrm{cm}^{2}$.

所以商标图案的面积为 $(8+4 \pi) \mathrm{cm}^{2}$.

故选 $A$.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式: $S=\frac{n \pi r^{2}}{360}$ (其中 $n$ 为扇形的圆心角的度数, $r$ 为半径). 也考查了矩形的性质.

