(本小题8.0分)

对于实数 $a$, 我们规定: 用符号 $[\sqrt{a}]$ 表示不大于 $\sqrt{a}$ 的最大整数, 称 $[\sqrt{a}]$ 为 $a$ 的根整数, 例如:
$[\sqrt{9}]=3,[\sqrt{10}]=3$.

(1)仿照以上方法计算: $[\sqrt{4}]=$ \$ \qquad \$ $[\sqrt{37}]=$

(2) 若 $[\sqrt{x}]=1$, 写出满足题意的 $x$ 的整数值 \$ \qquad \$
如果我们对 $a$ 连续求根整数, 直到结果为 1 为止. 例如: 对 10 连续求根整数 2 次 $[\sqrt{10}]=3 \rightarrow$ $[\sqrt{3}]=1$, 这时候结果为 1 .

(3)对 120 连续求根整数, \$ \qquad \$次之后结果为 


解: (1) $\because 2^{2}=4,6^{2}=36,7^{2}=49$,

$\therefore 6<\sqrt{37}<7$,

$\therefore[\sqrt{4}]=2 ;[\sqrt{37}]=6$,

故答案为: 2,6 ;

(2) $\because 1^{2}=1,2^{2}=4$, 且 $[\sqrt{x}]=1$,

$\therefore x=1,2,3$,

故答案为: $1,2,3$;

(3)第一次: $[\sqrt{120}]=10$,

第二次: $[\sqrt{10}]=3$,

第三次: $[\sqrt{3}]=1$,

故答案为: 3 ;

(4)最大的正整数是 255 ,

理由是: $\because[\sqrt{255}]=15,[\sqrt{15}]=3,[\sqrt{3}]=1$,

$\therefore$ 对 255 只需进行 3 次操作后变为 1 ,

$\because[\sqrt{256}]=16,[\sqrt{16}]=4,[\sqrt{4}]=2,[\sqrt{2}]=1$,

$\therefore$ 对 256 只需进行 4 次操作后变为 1 ,

$\therefore$ 只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中, 最大的是 255 ,

故答案为: 255 .

## 【分析】

(1)先估算 $[\sqrt{4}]$ 和 $[\sqrt{37}]$ 的大小, 再由并新定义可得结果;

(2)根据定义可知 $x<4$, 可得满足题意的 $x$ 的整数值;

(3)根据定义对 120 进行连续求根整数, 可得 3 次之后结果为 1 ;

(4)最大的正整数是 255 , 根据操作过程分别求出 255 和 256 进行几次操作, 即可得出答案.

本题考查了估算无理数的大小的应用, 主要考查学生的阅读能力和猜想能力, 同时也考查了一个数的平方数的计算能力.