（2020 春・香坊区校级期中）《中国诗词大会》是中央电视台于 2016 年推出的大型益智类节目,中央电视台为了解该节目的收视情况, 抽查北方与南方各 5 个城市, 得到观看该节目的人数（单位: 千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.

(1) 若将被污损的数字视为 $0 \sim 9$ 中 10 个数字中的一个, 求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率;

（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情, 现在随机统计了 4 位观众每周学习诗词的平均时间 $y$ （单位：小时）与年龄 $x$ (单位: 岁），并制作了对照表（如表所示）:

|          年龄 $x$          |  20  |  30  |  40  |  50  |
| :------------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 每周学习诗词的平均时间 $y$ |  3   | 3.5  | 3.5  |  4   |

由表中数据分析, $x$ 与 $y$ 呈线性相关关系, 试求线性回归方程, 并预测年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间. 参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n(\bar{x})^{2}}, \hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$.

| 北方 |      |      |      | 南方 |      |      |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|      |  8   |  9   |  7   |  3   |  7   |  8   |
|  2   |  1   |  0   |  8   |      |  6   |      |
解：（1）设污损的数字为 $x$, 由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得

$\frac{78+79+82+81+80}{5} \leq \frac{73+77+78+86+80+x}{5}$, 解得: $x \geqslant 6$, 即 $x=6,7,8,9$,

$\therefore$ 北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

（2）设线性回归方程为:

$$
\bar{x}=\frac{20+30+40+50}{4}=35, \bar{y}=\frac{3+3.5+3.5+4}{4}=3.5
$$

$\therefore \sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=20 \times 3+30 \times 3.5+40 \times 3.5+50 \times 4=505, \quad \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=400+900+1600+2500=5400$,

$\hat{b}=\frac{505-4 \times 35 \times 3.5}{5400-4 \times 35^{2}}=0.03, \hat{a}=3.5-0.03 \times 35=2.45$,

$\therefore \hat{y}=0.03 x+2.45$,

当 $x=70$ 时, $\hat{y}=0.03 \times 70+2.45=4.55$.

答: 年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 4.55 小时.