如图所示, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $B C=2, A A_{1}=1, E, F$ 分别在 $A D$ 和 $B C$ 上, 且 $E F / / A B$,若二面角 $C_{1}-E F-C$ 等于 $45^{\circ}$, 则 $B F=$

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由题意知 $E F \perp B C$.

$\because C C_{1} \perp$ 平面 $A B C D, \therefore C C_{1} \perp E F$,

又 $B C \cap C C_{1}=C, \therefore E F \perp$ 平面 $C C_{1} F$,

$\therefore E F \perp C_{1} F$.

故 $\angle C_{1} F C$ 为二面角 $C_{1}-E F-C$ 的平面角,

即 $\angle C_{1} F C=45^{\circ}$,

$\because A A_{1}=1, \quad \therefore C F=1$, 又 $B C=2, \therefore B F=1$.