分）教科书中这样写道: “我们把多项式 $a^{2}+2 a b+b^{2}$ 及 $a^{2}$ $-2 a b+b^{2}$ 叫做完全平方式”, 如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形: 先添加一个适当的项, 使式子中出现完全平方式, 再减去这个项, 使整个式子的值不变, 这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法, 不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式, 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值, 最小值等.

例如: 分解因式 $x^{2}+2 x-3=\left(x^{2}+2 x+1\right)-4=(x+1)^{2}-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x$ - 1) ; 例如求代数式 $2 x^{2}+4 x-6$ 的最小值. $2 x^{2}+4 x-6=2\left(x^{2}+2 x-3\right)=2(x+1)^{2}-8$. 可知当 $x$ $=-1$ 时, $2 x^{2}+4 x-6$ 有最小值, 最小值是 -8 , 根据阅读材料用配方法解决下列问题:

(1) 分解因式: $m^{2}-4 m-5=$

(2) 当 $a, b$ 为何值时, 多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 有最小值, 并求出这个最小值.

(3) 当 $a, b$ 为何值时, 多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 有最小值, 并求出这个最小值.
答案】(1) $m^{2}-4 m-5=m^{2}-4 m+4-9=(m-2)^{2}-9=(m-2+3) \quad(m-2-3)=(m+1) \quad(m-5)$

(2) $\because a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18=(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$,

$\therefore$ 当 $a=2, b=-3$ 时, 多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 有最小值 5 ;

(3) $\because a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$

$=a^{2}-2 a(b+1)+(b+1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$=(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$\therefore$ 当 $a=4, b=3$ 时, 多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 有最小值 17.

【解析】本题考查了因式分解的应用, 非负数的性质, 解题时要注意配方法的步骤. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.

（1）根据阅读材料, 先将 $m^{2}-4 m-5$ 变形为 $m^{2}-4 m+4-9$, 再根据完全平方公式写成 $(m-2)^{2}-9$, 然后利用平方差公式分解即可;

(2) 利用配方法将多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 转化为 $(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$, 然后利用非负数的性质进行解答;

(3) 利用配方法将多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 转化为 $(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$, 然后利用非负数的性质进行解答.