(12 分) (1) 已知 $a>0, b>0$, 求证: $\frac{a+b}{2} \geq \frac{2 a b}{a+b}$;

(2) 已知 $a+b+c>0, a b+b c+c a>0, a b c>0$, 求证: $a>0, b>0, c>0$.
答案:(1) 证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】(1) 证明: $\because a>0, b>0$, 要证 $\frac{a+b}{2} \geq \frac{2 a b}{a+b}$,

只要证 $(a+b)^{2} \geq 4 a b$, 只要证 $(a+b)^{2}-4 a b \geq 0$,

即证 $a^{2}-2 a b+b^{2} \geq 0 ，$

而 $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2} \geq 0$ 恒成立, 故 $\frac{a+b}{2} \geq \frac{2 a b}{a+b}$ 成立.

（2）假设 $a, b, c$ 不全是正数, 即其至少有一个不是正数, 不妨先设 $a \leq 0$,

下面分 $a=0$ 和 $a<0$ 两种情况讨论，

如果 $a=0$, 则 $a b c=0$ 与 $a b c>0$ 矛盾, $\therefore a=0$ 不可能;

如果 $a<0$, 那么由 $a b c>0$, 可得 $b c<0$ ，

又 $\because a+b+c>0, \therefore b+c>-a>0$, 于是 $a b+b c+c a=a(b+c)+b c<0$, 这和已知 $a b+b c+c a>0$相矛盾,

因此， $a<0$ 也不可能,

综上所述, $a>0$, 同理可证 $b>0, c>0$, 所以原命题成立