如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\odot O$ 的半径为 $3, \angle C=140^{\circ}$,则弧 $B D$ 的长为 $($ )<ImageHere>


解: 连接 $O B 、 O D$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\angle C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle C=40^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B O D=2 \angle A=80^{\circ}$,

$\therefore \overparen{B D}=\frac{80 \cdot \pi \times 3}{180}=\frac{4}{3} \pi$,

故选: $B$.
连接 $O B 、 O D$, 根据圆内接四边形的性质求出 $\angle A$ 的度数, 根据圆周角定理求出 $\angle B O D$ 的度数, 利用弧长公式计算即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算, 掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键.

