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已知, 如图(1), 在面积为 $S$ 的 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, A C=b, A B=c$, 内切圆 $O$ 的半径为 $r$. 连接 $O A 、 O B 、 O C, \triangle A B C$ 被划分为三个小三角形.

$\because S=S_{\triangle O B C}+S_{\triangle O A C}+S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} B C \cdot r+\frac{1}{2} A C \cdot r+\frac{1}{2} A B \cdot r=\frac{1}{2}(a+b+c) r$.

$\therefore r=\frac{2 s}{a+b+c}$.

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(1)

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(2)

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(3)

(1)类比推理: 若面积为 $S$ 的四边形 $A B C D$ 存在内切圆(与各边都相切的圆), 如图(2), 各边长分别为 $A B=a, B C=b, C D=c, A D=d$, 求四边形的内切圆半径 $r$;

(2)理解应用: 如图(3), 在等腰梯形 $A B C D$ 中, $A B / / D C, A B=21, C D=11, A D=B C=13$, $\odot O_{1}$ 与 $\odot O_{2}$ 分别为 $\triangle A B D$ 与 $\triangle B C D$ 的内切圆, 设它们的半径分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$, 求 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的值.
解: (1)如图 2, 连接 $O A 、 O B 、 O C 、 O D$.

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图 2

$\because S=S_{\triangle A O B}+S_{\triangle B O C}+S_{\triangle C O D}+S_{\triangle A O D}=\frac{1}{2} a r+\frac{1}{2} b r+\frac{1}{2} c r+\frac{1}{2} d r=\frac{1}{2}(a+b+c+d) r, \therefore r=\frac{2 S}{a+b+c+d}$.

(2)如图 3, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于 $E$,

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图 3

$\because$ 梯形 $A B C D$ 为等腰梯形,

$\therefore A E=\frac{1}{2}(A B-C D)=\frac{1}{2}(21-11)=5$,

$\therefore E B=A B-A E=21-5=16$,

在Rt $\triangle A E D$ 中, $\because A D=13, A E=5$,

$\therefore D E=12$,

$\therefore D B=\sqrt{D E^{2}+E B^{2}}=20$,
$\because S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} A B \cdot D E=\frac{1}{2} \times \times 21 \times 12=126$,

$S_{\triangle C D B}=\frac{1}{2} C D \cdot D E=\frac{1}{2} \times 11 \times 12=66$,

$\therefore \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\frac{2 S}{A B+B D+A D}}{\frac{2 S}{C D+C B+D B}}=\frac{\frac{2 \times 126}{21+20+13}}{\frac{2 \times 66}{11+13+20}}=\frac{14}{9}$.