已知一扇形的中心角是 $\boldsymbol{\alpha}$, 所在圆的半径是 $\mathbf{R}$.

(1)若 $\alpha=60^{\circ}, R=10 \mathrm{~cm}$, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;

(2)若扇形的周长是一定值 $\mathbf{C}(\mathrm{C}>\mathbf{0})$, 当 $\alpha$ 为多少弧度时, 该扇形有最大面积?
(1)设弧长为 $\mathrm{l}$, 弓形面积为 $\mathrm{S}$ 弓.

$\because \alpha=60^{\circ}=\frac{\frac{\pi}{3}}{}, \quad \mathrm{R}=10, \quad \therefore \mathrm{l}=^{\frac{10}{3}} \pi(\mathrm{cm})$.

$\mathrm{S}_{\text {亏 }}=\mathrm{S}_{\text {闻 }}-\mathrm{S}_{\triangle}==^{\frac{1}{2}} \times^{\frac{10}{3}} \pi \times 10-^{\frac{1}{2}} \times 10^{2} \cdot \sin 60^{\circ}=50^{\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \mathrm{cm}^{2}$.

(2) $\because$ 扇形周长 $\mathrm{C}=2 \mathrm{R}+\mathrm{l}=2 \mathrm{R}+\alpha \mathrm{R}, \therefore \mathrm{R}={ }^{\frac{c}{2+\alpha}}, \therefore \mathrm{S}_{\text {闲 }}=\frac{1}{2} \alpha \cdot \mathrm{R}^{2}={ }^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\mathrm{C}}{2+\alpha}\right)^{2}=\frac{\mathrm{C}^{2}}{2} \cdot \frac{a}{4+4 a+a^{2}}=\frac{C^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4+a+\frac{4}{a}} \leq \frac{C^{2}}{16}$,当且仅当 $\alpha={ }^{\frac{4}{a}}$, 即 $\alpha=2\left(\alpha=-2\right.$ 舍去)时, 扇形面积有最大值 ${ }^{\frac{C^{2}}{16}}$.