设复数 $z_{1}=2+a i(a \in R)$, 复数 $z_{2}=3-i$.

(I) 若 $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2} \in R$, 求实数 $a$ 的值.

(II) 若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}=b+\frac{1}{2} i$, 求实数 $a, b$ 的值.
答案: 【解析】(I) $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=[(2+a i)+(3-i)]^{2}$

$=[5+(a-1) i]^{2}=25-(a-1)^{2}+10(a-1) i$,

因为 $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2} \in \mathrm{R}$, 所以, $a-1=0, a=1$;

(II) 解法 1: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2+a i}{3-i}=\frac{6-a}{10}+\frac{3 a+2}{10} i=b+\frac{1}{2} i$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{6-a}{10}=b \\ \frac{3 a+2}{10}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$, 因此, $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$;
解法 2: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2+a i}{3-i} \therefore \frac{2+a i}{3-i}=b+\frac{1}{2} i \therefore 2+a i=3 b+\frac{1}{2}+\left(\frac{3}{2}-b\right) i$,

则 $\left\{\begin{array}{l}2=3 b+\frac{1}{2} \\ a=\frac{3}{2}-b\end{array}\right.$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$.

【分析】(1) 根据复数的加法和乘法运算, 求出 $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}$, 结合实数的虚部为 0 , 解方程, 即可求出实数 $\mathrm{a}$ 的值; (2) 根据复数的除法, 求出 $\frac{z_{1}}{Z_{2}}$, 结合两复数相等则实部与实部相等, 虚部与虚部相等, 解方程组, 即可求出 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的值.