如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 以 $B C$ 为直径的 $\odot O$ 交 $A B$ 于 $E, O D \perp B C$ 交 $\odot O$ 于 $D$, $D E$ 交 $B C$ 于 $F$, 点 $P$ 为 $C B$ 延长线上的一点且 $P E=P F$. 延长 $P E$ 交 $A C$ 于 $G$, 小华得出 3 个结论:

(1) $G E=G C$; (2) $A G=G E$; (3) $O G / / B E$. 其中正确的是 ( )

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【分析】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质, 此题综合性较强, 难度较大, 注意掌握辅助线的作法.

连结 $O E, C E$, 由 $O E=O D, P E=P F$ 易得 $\angle O E D=\angle O D E, \angle P E F=\angle P F E$, 然后得出 $O E \perp P E$,即可得出 (1)正确; 又 $B C$ 是直径可得 $\angle B E C=90^{\circ}, \angle A E C=90^{\circ}$, 得出 $E G=C G$, 然后得出 $\angle A=$ $\angle A E G$, 即可判断出故 (2)正确; 根据 $O C=O B, A G=G E=C G$, 判断出中位线, 即可得出 (3)正确.

【解答】

解: 连结 $O E, C E$,

$\because O E=O D, P E=P F, \therefore \angle O E D=\angle O D E, \angle P E F=\angle P F E$,

$\because O D \perp B C, \therefore \angle O D E+\angle O F D=90^{\circ}$,
$\because \angle O F D=\angle P F E, \quad \therefore \angle O D E+\angle P F E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O E D+\angle P E F=90^{\circ} ，$ 即 $O E \perp P E ，$

$\therefore G E$ 为 $\odot O$ 的切线,

由已知得 $G C$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore G C=G E$, 故 (1)正确;

$\because B C$ 是直径, $\therefore \angle B E C=90^{\circ}, \therefore \angle A E C=90^{\circ}$,

$\because E G=C G, \quad \therefore \angle G C E=\angle G E C$,

$\because \angle G C E+\angle A=90^{\circ}, \quad \angle G E C+\angle A E G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle A E G, \therefore A G=E G$, 故 (2)正确;

$\because O C=O B, A G=G E=C G$,

$\therefore O G$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线, $\therefore O G / / A B$, 故 (3)正确.

故选 $D$.

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