高为 $\boldsymbol{H}$ 的正三棱雉 $P-A B C$ 的每个顶点都在半径为 $\boldsymbol{R}$ 的球 $\boldsymbol{O}$ 的球面上, 若二面角 $P-A B-C$ 的正切值为 $\mathbf{4}$, 则 $\frac{H}{R}=$
【分析】

取线段 $A B$ 的中点 $D$, 点 $P$ 在平面 $A B C$ 的射影点 $M$, 利用二面角的定义得出 $\angle P D C$ 为二面角 $P-A B-C$ 的平面角, 于此得出 $\frac{P M}{D M}=4$, 并在 $R t \triangle O M C$ 中, 由勾股定理 $O M^{2}+C M^{2}=O C^{2}$,经过计算可得出 $R$ 与 $H$ 的比值。

## 【详解】

取线段 $A B$ 的中点 $D$, 设 $P$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $M$, 则 $H=P M$, 连接 $C D, P D$ (图略).设 $P M=4 k$, 易证 $P D \perp A B, C D \perp A B$, 则 $\angle P D C$ 为二面角 $P-A B-C$ 的平面角,

从而 $\tan \angle P D C=\frac{P M}{D M}=\frac{4 k}{D M}=4$, 则 $D M=k, C M=2 k$.

在Rt $\triangle O M C$ 中, $O M^{2}+C M^{2}=O C^{2}$, 即 $(4 k-R)^{2}+(2 k)^{2}=R^{2}$, 解得 $R=\frac{5 k}{2}$, 故 $\frac{H}{R}=\frac{8}{5}$.

故答案为: $\frac{8}{5}$ 。

## 【点睛】

本题考查二面角的定义, 考查多面体的外接球, 在处理多面体的外接球时, 要确定球心的位置, 同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长, 可简化计算, 考查逻辑推理能力, 属于中等题。