16.【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试 (6 月)数学试题】在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{2019}, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{2019}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
因为 $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 所以 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, $a_{2}-a_{1}=1-\frac{1}{2}$,

$a_{3}-a_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,

$\cdots$,

$a_{2019}-a_{2018}=\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$,

各式相加, 可得

$a_{2019}-a_{1}=1-\frac{1}{2019}$,

$a_{2019}-\frac{1}{2019}=1-\frac{1}{2019}$,

所以, $a_{2019}=1$, 故答案为 1 .

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项, 属于中档题. 利用递推关系求数列中的项常见思路为: (1) 项的序号较小时, 逐步递推求出即可; (2) 项的序数较大时, 考虑证明数列是等差、等比数列, 或者是周期数列; (3) 将递推关系变形, 利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.