已知二次函数 $y=a x^{2}-2 a x-8 a$ ( $a$ 为常数) 经过点 $C(0,2)$,图象与 $x$ 轴交于点 $A 、 B(A$ 在 $B$ 的左边 $)$, 连接 $B C$, 点 $P$ 是抛物线图象在第一象限内的一点, 过点 $P$ 作 $P Q \perp B C$ 交于点 $Q$, 若 $P Q$ 取得最大值, 则此时点 $P$ 的横坐标为 ( )

作 $P H \perp x$ 于点 $H$, 交 $B A$ 于 $D$, 可推证 $\angle P D Q=\angle B D H=\angle B C O$, 说明 $\angle P D Q$ 的函数值一定, $P D$ 最大时, $P Q$ 满足最大; 待定系数法确定直线 $B C$ 解析式 $y=-\frac{1}{2} x+2$,设点 $P$ 坐标, 表示出 $P D$, 运用二次函数最值, 确定点坐标即可.

【详解】解: $\because$ 图象经过点 $C(0,2)$,

$\therefore-8 a=2$,

$\therefore a=-\frac{1}{4}$,

将 $a$ 代入关系式得, $y=-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x+2$,

令 $y=0$, 即 $-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x+2=0$,

解得, $x_{1}=-2, x_{2}=4$,

$\therefore A(-2,0), \quad B(4,0)$,

$\therefore O C=2, \quad O B=4, \quad B C=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{5}$,

设 $B C$ 解析式 $y=k x+h(k \neq 0)$, 得

$\left\{\begin{array}{l}h=2 \\ 4 k+2=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2} \\ h=2\end{array}\right.$

$\therefore y=-\frac{1}{2} x+2$,

作 $P H \perp x$ 于点 $H$, 交 $B A$ 于 $D$, 则 $\angle P H B=\angle C O B=90^{\circ}$

$\therefore P H / / C O$

<ImageHere>

$\therefore \angle P D Q=\angle B D H=\angle B C O$,

$\therefore \sin \angle P D Q=\sin \angle B C O=\frac{4}{2 \sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

$\therefore P D$ 最大时, $P Q$ 满足最大,

设点 $P\left(m,-\frac{1}{4} m^{2}+\frac{1}{2} m+2\right)$, 则点 $D\left(m,-\frac{1}{2} m+2\right)$,

$\therefore P D=-\frac{1}{4} m^{2}+\frac{1}{2} m+2-\left(-\frac{1}{2} m+2\right)=-\frac{1}{4} m^{2}+m=-\frac{1}{4}(m-2)^{2}+1$

$\therefore$ 当 $m=2$ 时, $P Q$ 有最大值.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用, 锐角三角函数, 平行线的性质, 待定系数法确定函数解析式，由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键.

