如图, 在 $\odot O$ 中, 直径 $A B \perp C D, \angle D=38^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数是（）

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连接 $O C$, 如图, 先根据圆周角定理得到 $\angle B O C=2 \angle A$, 再利用互余计算出 $\angle D O B=\angle C O B=52^{\circ}$, 从而可计算 $\angle A$ 的度数.

【详解】解: 连接 $O C$, 设 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$,

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$\because$ 直径 $A B \perp C D$,

$\therefore \angle O E D=90^{\circ}, \quad B D=C B$,

$\therefore \angle B O D=\angle C O B$,

$\because \angle D=38^{\circ}$,

$\therefore \angle D O B=90^{\circ}-\angle D=52^{\circ}$,

$\therefore \angle C O B=\angle D O B=52^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\frac{1}{2} \angle C O B=26^{\circ}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半.

