圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}-2 x-8=0$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-4=0$ 的公共弦长为 \$ \qquad \$ .
由圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在的直线 $l$ 的方程为 $x-y+1=0$, 得点 $C_{1}(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=$ $\frac{|1-0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$, 圆 $C_{1}$ 的半径为 $r_{1}=3$, 所以圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{r_{1}^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{7}$.