已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f(x)$ 满足 $(1-x) \cdot f(x)+x \cdot f^{\prime}(x)>0$, 若 $y=f(x+2)-e^{3}$ 是奇函数, 则不等式 $x \cdot f(x)-2 e^{x+1}<0$ 的解集是 ( )
答案: A

【解析】 构造函数 $g(x)=\frac{x \cdot f(x)}{e^{x}}$,
依题意可知 $g(x)=\frac{(1-x) \cdot f(x)+x \cdot f^{\prime}(x)}{e^{x}}>0$, 所以 $g(x)^{\text {在 } R \text { 上递增. }}$.

由于 $y=f(x+2)-e^{3}$ 是奇函数, 所以当 $x=0$ 时, $y=f(2)-e^{3}=0$,

所以 $f(2)=e^{3}$, 所以 $g(2)=\frac{2 \times e^{3}}{e^{2}}=2 e$.

由 $x \cdot f(x)-2 e^{x+1}<0$ 得 $g(x)=\frac{x \cdot f(x)}{e^{x}}<2 e=g(2)$,

所以 $x<2$, 故不等式的解集为 $(-\infty, 2)$.

故答案为: A

【分析】构造函数 $g(x)=\frac{x \cdot f(x)}{e^{x}}$, 根据已知条件判断出 $g(x)$ 的单调性. 根据 $y=f(x+2)-e^{3}$ 是奇函数, 求得 $f(2)$ 的值, 由此化简不等式 $x \cdot f(x)-2 e^{x+1}<0$ 求得不等式的解集.