太极图被称为“中华第一图”. 从孔庙大成殿梁柱, 到楼观台、三茅宫标记物; 从道袍、卦推、中医、气功、武术到南韩国旗……, 太极图无不跃居其上. 这种广为人知的太极图, 其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为

$A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ x^{2}+(y+1)^{2} \geq 1 \\ x \leq 0\end{array}\right\}$, 设点 $(x, y) \in A$, 则 $z=x+2 y$ 的取值范围是 ( )

<ImageHere>
如图, 作直线 $x+2 y=0$, 当直线上移与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切时, $z=x+2 y$ 取最大值,此时, 圆心 $(0,1)$ 到直线 $z=x+2 y$ 的距离等于 1 , 即 $\frac{|2-z|}{\sqrt{5}}=1$,解得 $z$ 的最大值为: $2+\sqrt{5}$,

当下移与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相切时, $x+2 y$ 取最小值,同理 $\frac{|-z|}{\sqrt{5}}=2$, 即 $z$ 的最小值为: $-2 \sqrt{5}$,

所以 $\mathrm{z} \in[-2 \sqrt{5}, 2+\sqrt{5}]$.

<ImageHere>