15. 如图平面四边形 $A B C D$ 的对角线的交点位于四边形的内部, $A B=1, B C=\sqrt{3}, A C=C D$, $A C \perp C D$, 当 $\angle A B C$ 变化时, 对角线 $B D$ 的最大值为

<ImageHere>
设 $\angle A B C=\alpha, \angle A C B=\beta$, 则由余弦定理得, $A C^{2}=1+3-2 \times 1 \times \sqrt{3} \times \cos \alpha=4-2 \sqrt{3} \cos \alpha$;由正弦定理得 $\frac{A C}{\sin \alpha}=\frac{A B}{\sin \beta}$, 则 $\sin \beta=\frac{\sin \alpha}{\sqrt{4-2 \sqrt{3} \cos \alpha}}$;

所以 $B D^{2}=3+(4-2 \sqrt{3} \cos \alpha)-2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{4-2 \sqrt{3} \cos \alpha} \times \cos \left(90^{\circ}+\beta\right)=7-2 \sqrt{3} \cos \alpha+2 \sqrt{3} \sin \alpha$ $=7+2 \sqrt{6} \sin \left(\alpha-45^{\circ}\right)$, 所以 $\alpha=135^{\circ}$ 时, $B D$ 取得最大值为 $\sqrt{7+2 \sqrt{6}}=1+\sqrt{6}$ 。