已知 $a>0, b>0$, 则 $\frac{a+b}{2}, \sqrt{a b}, \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}, \frac{2 a b}{a+b}$ 中最小的是( )
解析 方法一 特殊值法。

令 $a=4, b=2$, 则 $\frac{a+b}{2}=3, \sqrt{a b}=\sqrt{8}, \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}=\sqrt{10}, \frac{2 a b}{a+b}=\frac{8}{3} \therefore \frac{2 a b}{a+b}$ 最小.

方法二 $\frac{2 a b}{a+b}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$, 由 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$, 可知 $\frac{2 a b}{a+b}$ 最小.