(2018 四川联测促改 4 月联考) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{1}=1, a_{4}=\frac{1}{8}$, 且 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}<k$, 则 $k$ 的取值范围是
设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 则 $q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}=\frac{1}{8}$, 解得 $q=\frac{1}{2}$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}$,所以 $a_{n} a_{n+1}=\frac{1}{2^{n-1}} \times \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{2 n-1}}$, 所以数列 $\left\{a_{n} a_{n+1}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$, 公比为 $\frac{1}{4}$ 的等比数列,所以 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)<\frac{2}{3}$, 所以 $k \geq \frac{2}{3}$. 故 $k$ 的取值范围是 $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$. 故选 D.