把直线 $x-y+\sqrt{3}-1=0$ 绕点 $(1, \sqrt{3})$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 后, 所得直线 $l$ 的方程是 $(\quad)$
如图,

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已知直线的斜率为 1 , 则其倾斜角为 $45^{\circ}$,

则直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha=45^{\circ}+15^{\circ}=60^{\circ}$.

$\therefore l$ 的斜率 $k=\tan \alpha=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$,

$\therefore l$ 的方程为 $y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(x-1)$, 即 $y=\sqrt{3} x$.