已知数列 $\left\{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right\}$, 对任意的 $\mathbf{n} \in \mathbf{N}^{*}$, 点 $\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left(\mathbf{n}, \mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right)$ 都在直线 $\mathbf{y}=\mathbf{2 x}+\mathbf{1}$ 上,则 $\left\{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right\}$ 为 ( )
对任意的 $n \in N^{*}$, 点 $P_{n}\left(n, a_{n}\right)$ 都在直线 $y=2 x+1$ 上,

$\therefore a_{n}=2 n+1, \therefore$ 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n}-a_{n-1}=2 n+1-[2(n-1)+1]=2$,

$\therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列. 故选 A.