已知, 如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $M N$ 切 $\odot O$ 于 $C, \angle B C M=38$. $^{\circ}$,则 $\angle A D C$ 的度数为 $(\quad)$
过 $D$ 作 $D F \perp B C$ 于 $F$, 则 $\angle D F B=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\because A D 、 B C$ 分别切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$,

$\therefore A D=D E, B C=C E, \angle D A B=\angle C B A=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A D F B$ 是矩形,

$\therefore A D=B F, A B=D F$,

$\because A D=3, B C=\frac{16}{3} \frac{16}{3}, A D=D E, B C=C E$,

$\therefore D E=3, C E=\frac{16}{3} \frac{16}{3}$,

$\therefore D C=3+\frac{16}{3} \frac{16}{3}=\frac{25}{3} \frac{25}{3}, C F=B C-A D=\frac{16}{3} \frac{16}{3}-3=\frac{77}{3}$,

在 $R t \triangle C F D$ 中, 由勾股定理得: $D F=\sqrt{D C^{2}-C F^{2}} \sqrt{D C^{2}-C F^{2}}=\sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^{2}-\left(\frac{7}{3}\right)^{2}}=8$,

即 $A B=D F=8 ，$

即四边形 $A B C D$ 的周长是 $A D+D C+B C+A B=3+\frac{25}{3}+\frac{16}{3}+8=\frac{74}{3}$,

故选 $D$.