如图, $A B, A C$ 分别是 $\odot 0$ 的切线和割线, 且 $\angle C=45^{\circ}, \angle B D A=60^{\circ}, C D=\sqrt{6}$, 则切线 $A B$的长是 \$ \qquad \$

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【分析】过点 $A$ 作 $A M \perp B D$ 与点 $M$, 在直角 $\triangle A M D$ 中, $A D$ 就可以利用 $A B$ 表示出来, 然后依据切割线定理, 即可得到一个关于 $\mathrm{AB}$ 的方程, 即可求解.

解:
过点 $A$ 作 $A M \perp B D$ 与点 $M$.

$\because \mathrm{AB}$ 为圆 0 的切线

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{C}=45^{\circ} \quad($ 弦切角等于所夹弧所对的圆周角）

$\because \angle \mathrm{BDA}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=75^{\circ}, \angle \mathrm{DAM}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BAM}=45^{\circ}$

设 $A B=x$, 则 $A M=\frac{\sqrt{2}}{2} x$, 在直角 $\triangle A M D$ 中, $A D=\frac{\sqrt{6}}{3} x$

由切割线定理得: $A B^{2}=A D \cdot A C$

$\mathrm{x}_{2}=\frac{\sqrt{6}}{3} \times\left(\frac{\sqrt{6}}{3} x+\sqrt{6}\right)$

解得: $\mathrm{x}_{1}=6, \mathrm{x}_{2}=0$ (舍去)

故 $\mathrm{AB}=6$.

故答案是: 6 .

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