在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 底面是等腰直角三角形, $\angle A C B=90^{\circ}$, 侧棱 $A A_{1}=2, D, E$分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点, 点 $E$ 在平面 $A B D$ 上的射影是 $\triangle A B D$ 的重心 $G$. 则 $A_{1} B$ 与平面 $A B D$ 所成角的余弦值 ( )