已知抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=(k+2) x+1-2 k$ 的两个不同交点分别为 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$, $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 若 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 均为整数, 则实数 $k$ 的值为 $\qquad$ .

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先联立两个函数的解析式可得 $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$, 再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 $x_{1}+x_{2}=k+2, x_{1} \cdot x_{2}=2 k-1$, 从而可得 $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)=-1$, 然后根据 $x_{1}$和 $x_{2}$ 均为整数可求出 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的值, 由此即可得.

【详解】解: 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ y=(k+2) x+1-2 k\end{array}\right.$,

整理得： $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$,

$\because$ 拋物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=(k+2) x+1-2 k$ 的两个不同交点分别为 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,

$\therefore x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$ 的两个不相等的根.

由根与系数的关系可知, $x_{1}+x_{2}=k+2, x_{1} \cdot x_{2}=2 k-1$,

则 $x_{1} \cdot x_{2}-2 x_{1}-2 x_{2}=-5$, 即 $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)=-1$,

$\because x_{1}$ 和 $x_{2}$ 均为整数,

$\therefore x_{1}-2$ 和 $x_{2}-2$ 均为整数,

不妨设 $x_{1}<x_{2}$,

则 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2=-1 \\ x_{2}-2=1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=1 \\ x_{2}=3\end{array}\right.$,

所以 $k+2=1+3=4$, 即 $k=2$,
故答案为: 2 .

【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系, 熟练掌握拋物线与一元二次方程的联系是解题关键.

