如图是某游乐园 “水上滑梯” 的侧面示意图, 其中 $B D$ 段可看成双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的一部分,矩形 $O A B C$ 是向上攀爬的阶梯部分. 以 $O$ 为中心建立平面直角坐标系, 使点 $A$ 和点 $C$ 分别落在 $x$轴和 $y$ 轴的正半轴上. 已知 $O C=5$ 米, 入口水平平台 $B C=1.8$ 米, 滑梯的出口 $D$ 点到水面的距离

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$D E$ 为 0.75 米 $(O 、 A 、 E$ 在一条直线上 $)$. 求 $B 、 D$ 之间的水平距离 $A E$ 的长.
解: $\because O C=5, B C=1.8$,

$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(1.8,5)$, 代入 $y=\frac{k}{x}$, 得

$\frac{k}{1.8}=5, \quad k=9$.

$\therefore$ 双曲线的解析式为 $y=\frac{9}{x}$.

$\because D E=0.75$

$\therefore$ 设点 $D$ 的坐标为 $(m, 0.75)$, 并代入 $y=\frac{9}{x}$, 得

$\frac{9}{m}=0.75, \quad m=12$.

即 $O E=12$.

$\because$ 四边形 $O A B C$ 是矩形,

$\therefore O A=B C=1.8$.

$\therefore A E=O E-O A=12-1.8=10.2$ (米)

因此， $B 、 D$ 之间的水平距离为 10.2 米.