已知 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{3}$, 则 $2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1=(\quad)$
解析: $\because \sin \alpha+\cos \alpha=\frac{1}{3}$, 平方可得 $1+\sin 2 \alpha=\frac{1}{9}$, 可得 $\sin 2 \alpha=-\frac{8}{9}$.

$2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-1=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)=\sin 2 \alpha=-\frac{8}{9}$.

答案: C