运行如图所示的程序框图, 若输出结果为 $\frac{15}{8}$, 则判断框中应该填的条件是 ( )

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$\because \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\left(k \in \mathbb{N}^{*}\right)$,

第一次循环，判断条件不满足， $S=1+\frac{1}{1 \times 2}=1+1-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2} ， k=2$;

第二次循环, 判断条件不满足, $S=2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \times 3}=2-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}, k=3$;

第三次循环, 判断条件不满足, $S=2-\frac{1}{3}+\frac{1}{3 \times 4}=2-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=2-\frac{1}{4}, k=4$;

第四次循环，判断条件不满足， $S=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{4 \times 5}=2-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=2-\frac{1}{5}, k=5$;

第五次循环, 判断条件不满足, $S=2-\frac{1}{5}+\frac{1}{5 \times 6}=2-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=2-\frac{1}{6}, k=6$;

第六次循环, 判断条件不满足, $S=2-\frac{1}{6}+\frac{1}{6 \times 7}=2-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=2-\frac{1}{7}, k=7$;

第七次循环, 判断条件不满足, $S=2-\frac{1}{7}+\frac{1}{7 \times 8}=2-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=2-\frac{1}{8}=\frac{15}{8}, k=8$, 判断条件满足,

结束循环, 输出 $S$ 的值为 $\frac{15}{8}$.

由上可知, $k=7$ 不满足判断条件, $k=8$ 满足判断条件,

故判断框中应该填的条件是 $k>7$ ，故选 C.