(3 分) 如图, 已知 $\mathrm{AD}$ 是等腰 $\triangle \mathrm{ABC}$ 底边上的高, 且 $\tan \mathrm{B}=\frac{3}{4}$. $\mathrm{AC}$ 上有一点 $\mathrm{E}$, 满足 AE: $\mathrm{CE}=2: 3$. 那么 $\tan \angle \mathrm{ADE}$ 的值是 $-\frac{8}{9}$ —.

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作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ 于 $\mathrm{F}$, 根据等腰三角形的性质得 $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$, 则 $\tan \mathrm{C}=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$, 设 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{t}$, $\mathrm{DC}=4 \mathrm{t}$, 利用勾股定理计算出 $\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}$, 由 $\mathrm{AE}: \mathrm{CE}=2: 3$ 得 $\mathrm{AE}=2 \mathrm{t}$, 然后利用 $\mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$得到 $\triangle A E F \sim \triangle A C D$, 根据相似比可得到 $A F=\frac{6}{5} t, E F=\frac{8}{5} \mathrm{t}$, 则 $F D=A D-A F=\frac{9}{5} t$, 在 Rt $\triangle \mathrm{DEF}$ 中, 根据正切的定义得到 $\tan \angle \mathrm{FDE}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FD}}=\frac{8}{9}$, 所以 $\tan \angle \mathrm{ADE}=\frac{8}{9}$.

解答: 解: 作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ 于 $\mathrm{F}$, 如图,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等腰三角形, $\mathrm{AD}$ 为高,

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$

$\therefore \tan C=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$

设 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{t}, \mathrm{DC}=4 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{AD}^{2}+C \mathrm{D}^{2}}=5 \mathrm{t}$,

而 $\mathrm{AE}: \mathrm{CE}=2: 3$,

$\therefore \mathrm{AE}=2 \mathrm{t}$,

$\because \mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$

$\therefore \triangle \mathrm{AEF} \sim \triangle \mathrm{ACD}$,

$\therefore \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}, \quad$ 即 $\frac{\mathrm{EF}}{4 \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{AF}}{3 \mathrm{t}}=\frac{2 \mathrm{t}}{5 \mathrm{t}}$,
$\therefore A F=\frac{6}{5} t, \quad E F=\frac{8}{5} t$,

$\therefore F D=A D-A F=\frac{9}{5} t$,

在 Rt $\triangle \mathrm{DEF}$ 中, $\tan \angle \mathrm{FDE}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FD}}=\frac{\frac{8}{5} \mathrm{t}}{\frac{9}{5} \mathrm{t}}=\frac{8}{9}$

$\therefore \tan \angle \mathrm{ADE}=\frac{8}{9}$.