不论 $x, y$ 为任何实数, $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+8$ 的值总是 ( )

【答案】 $A$

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的应用: 利用因式分解解决求值问题; 利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题. 也考查了非负数. 先利用完全平方公式得到 $x^{2}+y^{2}-4 x-$ $2 y+8=x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+3=(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+3$, 然后根据非负数的性质进行判断.

【解答】

解: $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+8$

$$
=x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+3
$$

$=(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+3$,

$\because(x-2)^{2} \geq 0,(y-1)^{2}+3>0$,

$\therefore(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+3>0$,

$\therefore$ 不论 $x, y$ 为任何实数, $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+8$ 的值总正数.

故选: $A$.