已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$, 若点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$,则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于 ( )
以题意, 以点 $A$ 为坐标原点, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴, $A C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立如图所示的

平面直角坐标系,

<ImageHere>

所以点 $P(1,4), B\left(\frac{1}{t}, 0\right), C(0, t)$,

所以 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}=\left(\frac{1}{t}-1,-4\right)(-1, t-4)=\left(\frac{1}{t}-1\right) \times(-1)-4 \times(t-4)$

$=17-\frac{1}{t}-4 t \leqslant 17-2 \sqrt{\frac{1}{t} \times 4 t}=13$ （当且仅当 $\frac{1}{t}=4 t$, 即 $t=\frac{1}{2}$ 时取等号),

所以 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值为 13 . 故选 A.