$E 、 F 、 G$ 分别是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B, B C, B_{1} C_{1}$ 的中点, 则下列命题中的真命题是 \$ \qquad \$ (写出所有真命题的序号).

(1)以正方体的顶点为顶点的三棱雉的四个面中最多可以四个面都是直角三角形;

(2) 点 $P$ 在直线 $F G$ 上运动时,总有 $A P \perp D E$ ；

(3) 点 $Q$ 在直线 $B_{1} C_{1}$ 上运动时,三棱雉 $A-D_{1} Q C$ 的体积是定值;

(4)若 $M$ 是正方体的面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, (含边界) 内一动点,且点 $M$ 到点 $D$ 和 $C_{1}$ 的距离相等,则点 $M$ 的轨迹是一条线段.
【分析】

根据题意画出正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

根据图像可知 $B_{1}-A B D$ 四个面都是直角三角形,(1)对;根据图象易证 $D E \perp$ 面 $A A_{1} C_{1} F$,所以不论点 $P$ 在直线 $F G$ 上如何运动, 总有 $A P \perp D E$, (2)对; 根据等体积关系有 $V_{A-D_{1} Q C}=V_{Q-A D, C}$, 面 $A D_{1} C$ 不变,但高在变,所以三棱雉 $A-D_{1} Q C$ 的体积不是定值,(3)错; (4) 以 $D_{1} C_{1}$ 为 $x$ 轴, 以 $D_{1} A_{1}$ 为 $y$ 轴建平面直角坐标系, 设 $M(x, y)$, 棱长为 1 . 根据距离公式可得 $D M=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}, D_{1} C=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1-2 x}$. 且 $D M=D_{1} C, M$ 的轨迹是线段 $A_{1} D_{1}$.4)对.

## 【详解】

解:画出正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

(1)四面体及 $B_{1}-A B D$ 四个面都是直角三角形,(1)对;

(2)在平面 $A B C D$ 中有 $D E \perp A F$, 又正方体中 $D E \perp A A_{1}$, 从而可以得到 $D E \perp$ 面 $A A_{1} C_{1} F$, 所以不论点 $P$ 在直线 $F G$ 上如何运动, 总有 $A P \perp D E$,(2)对;

(3)因为 $V_{A-D_{1} Q}=V_{Q-A D_{1} C}$, 面 $A D_{1} C$ 不变, 底面面积不变, 点 $Q$ 在直线 $B_{1} C_{1}$ 上运动时, 点 $Q$到平面 $A D_{1} C$ 的距离在变,即高在变,所以三棱雉 $A-D_{1} Q C$ 的体积不是定值,(3)错;

(4) 以 $D_{1} C_{1}$ 为 $x$ 轴,以 $D_{1} A_{1}$ 为 $y$ 轴在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所在平面建平面直角坐标系, 设 $M(x, y)$, 棱长为 1 . 则 $D M=\sqrt{D_{1} M^{2}+D D_{1}^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1}, D_{1} C=\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}$ $=\sqrt{x^{2}+y^{2}+1-2 x}$. 因为 $D M=D_{1} C$, 所以 $x=0$, 即 $M$ 的轨迹是线段 $A_{1} D_{1}$. (4) 对.故答案为: (1)(2)(4)

<ImageHere>

## 【点睛】

本题考查空间线面位置关系的判断,考查椎体体积等基础知识,考查空间想象力、推理论证能力.