(本小题8.0分)

如图, 已知点 $A 、 B 、 P 、 D 、 C$ 都在在 $\odot O$ 上, 且四边形 $B C E P$ 是平行四边形.

(1)证明: $\overparen{C D}=\overparen{P B}$;

(2)若 $A E=B C, A B=\sqrt{3}, \overparen{D P}$ 的长度是 $\frac{\pi}{6}$, 求 $E C$ 的长.

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(1)连接 $P C$, 即可证得 $\angle E P C=\angle P C B$, 从而证得 $\angle C O D=\angle P O B$, 即可证得结论;

(2)根据圆内接四边形的性质得出 $\angle E D C=\angle P B C=\angle P A C$, 即可证得 $\triangle A P E$ 和 $\triangle C D E$ 是等边三角形,得出 $\angle P B C=\angle E=60^{\circ}$, 根据平行线的性质得出 $\angle A P B=\angle E A P=60^{\circ}$, 即可得出 $\angle A O B=120^{\circ}$, 作 $O F \perp A B$ 于 $F$, 则 $\angle A O F=\frac{1}{2} \angle A O B=60^{\circ}, A F=B F=\frac{1}{2} A B=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 解直角三角形求得 $O A=1$, 即圆的半径为 1 , 由 $\overparen{D P}$ 的长度是 $\frac{\pi}{6}$ 得出 $\angle P B D=15^{\circ}$, 即可证得 $\angle D B C=45^{\circ}$, 得到 $\angle D O C=90^{\circ}$, 解等腰直角三角形求得 $C D=\sqrt{2}$, 由等边三角形的性质得出 $C E=C D=\sqrt{2}$.

本题考查了圆周角定理, 平行四边形的性质, 圆内接四边形的性质, 解直角三角形等, 熟练掌握性质定理是解题的关键.

