已知圆 $C$ 过点 $(1,0)$, 且圆心在 $x$ 轴的正半轴上, 直线 $l: y=x-1$ 被该圆所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$, 则圆 $C$ 的标准方程为
设圆心坐标为 $\left(x_{0}, 0\right)\left(x_{0}>0\right)$.

由于圆过点 $(1,0)$, 则半径为 $r=\left|x_{0}-1\right|$, 圆心到直线 $x-y-1=0$ 的距离为 $d=\frac{\left|x_{0}-1\right|}{\sqrt{2}}$.

由弦长为 $2 \sqrt{2}$ 可知, $\left(\frac{\left|x_{0}-1\right|}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\left(x_{0}-1\right)^{2}-2$,

解得 $\left(x_{0}-1\right)^{2}=4$,

$\therefore x_{0}-1= \pm 2, \therefore x_{0}=3$ 或 $x_{0}=-1$ (舍去).

故圆心坐标为 $(3,0)$, 半径为 2 ,

$\therefore$ 所求圆的方程为 $(x-3)^{2}+y^{2}=4$.