如图, 四边形 $A B C D$ 为 $\odot O$ 的内接四边形, $B D$ 平分 $\angle A B C, D H \perp A B$ 于点 $H$,已知 $D H=\sqrt{6}, \angle A B C=120^{\circ}$, 则 $A B+B C$ 的值为 $($ )

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延长 $B A$ 到 $E$, 使 $A E=B C$, 连接 $D E$, 如图, 根据圆周角定理得到 $\angle D A C=\angle D B C$ $=60^{\circ}, \angle D C A=\angle D B A=60^{\circ}$, 再判断 $\triangle D A C$ 为等边三角形得到 $D A=D C$, 于是可证明 $\triangle A D E \cong \triangle B C D$, 所以 $\angle E=\angle D B C=60^{\circ}$, 接着判断 $\triangle D B E$ 为等边三角形, 所以 $B H=E H$,然后计算出 $B H$ 得到 $B E$ 的长, 从而得到 $A B+B C$ 的长.

【详解】解: 延长 $B A$ 到 $E$, 使 $A E=B C$, 连接 $D E$, 如图,

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$\therefore \angle D A E=\angle D C B$

$\because B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because \angle D A C=\angle D B C=60^{\circ}, \angle D C A=\angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle D A C$ 为等边三角形,

$\therefore D A=D C$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle B C D$ 中,

$\left\{\begin{aligned} A E & =B C \\ \angle D A E & =\angle D C B, \\ A D & =C D\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle B C D$ (SAS),

$\therefore \angle E=\angle D B C=60^{\circ}$,

而 $\angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle D B E$ 为等边三角形,

$\because D H \perp A B$

$\therefore B H=E H$,

在 Rt $\triangle B D H$ 中, $B H=\frac{\sqrt{3}}{3} D H=\frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{6}=\sqrt{2}$,

$\therefore B E=2 B H=2 \sqrt{2}$,

$\therefore A B+B C=2 \sqrt{2}$.

故选: A.

【点睛】此题主要考查圆内线段求解, 解题的关键是熟知勾股定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、垂径定理的应用.

