已知三棱雉 $P-A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上, $P A \perp$ 平面 $A B C, \triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形,若球 $O$ 的表面积为 $20 \pi$, 则直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正切值为( )
【分析】

设 $D$ 为 $A B$ 中点, 先证明 $C D \perp$ 平面 $P A B$, 得出 $\angle C P D$ 为所求角,利用勾股定理计算 $P A, P D, C D$, 得出结论.

## 【详解】

<ImageHere>

设 $D, E$ 分别是 $A B, B C$ 的中点 $A E \cap C D=F$

$\because P A \perp$ 平面 $A B C \quad \therefore P A \perp C D$

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形 $\quad \therefore C D \perp A B$

又 $P A \cap A B=A$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A B \quad \therefore \angle C P D$ 为 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角

$\because \triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形

$\therefore C D=A E=3, A F=\frac{2}{3} A E=2$ 且 $F$ 为 $\triangle A B C$ 所在截面圆的圆心

$\because$ 球 $O$ 的表面积为 $20 \pi \quad \therefore$ 球 $O$ 的半径 $O A=\sqrt{5}$

$\therefore O F=\sqrt{O A^{2}-A F^{2}}=1$

$\because P A \perp$ 平面 $A B C \quad \therefore P A=2 O F=2$

$\therefore P D=\sqrt{P A^{2}+A D^{2}}=\sqrt{7}$

$\therefore \tan \angle C P D=\frac{C D}{P D}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3 \sqrt{7}}{7}$
本题正确选项: $C$

## 【点睛】

本题考查了棱雉与外接球的位置关系问题, 关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角, 再利用球心位置来求解出线段长, 属于中档题.