如图, 延长 $\odot 0$ 的半径 $O C$ 到 $A$, 使 $\mathrm{CA}=O \mathrm{C}$, 再作弦 $\mathrm{BC}=O \mathrm{C}$. 求证: 直线 $\mathrm{AB}$ 是 $\odot 0$ 的切线.

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【分析】连 $O B$, 要直线 $A B$ 是 $\odot O$ 的切线, 即证明 $O B \perp B A$ 即可. 由 $B C=O C, C A=O C$, 即 $B C=C A=C B$, 则得到 $\triangle O B A$ 为直角三角形, 所以有 $0 B \perp B A$.

证明: 连 $0 B$, 如图,

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$\because B C=O C, C A=O C$,

$\therefore \mathrm{BC}$ 为 $\triangle \mathrm{OBA}$ 的中线, 且 $\mathrm{BC}=\frac{1}{2} 0 \mathrm{~A}$,

$\therefore \triangle O B A$ 为直角三角形,

即 $0 B \perp B A$.

所以直线 $A B$ 是 $\odot 0$ 的切线.