24.【2019 江苏 12 】如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $B C$ 的中点, $E$ 在边 $A B$ 上, $B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$.若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}$, 则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是

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设 $\overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A D}=\frac{\lambda}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ ，

$\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{E O}=\overrightarrow{A E}+\mu \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A E}+\mu(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E})=(1-\mu) \overrightarrow{A E}+\mu \overrightarrow{A C}=\frac{1-\mu}{3} \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\lambda}{2}=\frac{1-\mu}{3} \\ \frac{\lambda}{2}=\mu\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{1}{2} \\ \mu=\frac{1}{4}\end{array}\right.$,

所以 $\overrightarrow{A O}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}), \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A E}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$,
$6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}=6 \times \frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) \times\left(-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\right)=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}^{2}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}^{2}\right)=$

$-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}^{2}$

因为 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}^{2}$, 所以 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}^{2}$,

所以 $\frac{\overrightarrow{A B}^{2}}{\overrightarrow{A C}^{2}}=3$, 所以 $\frac{A B}{A C}=\sqrt{3}$.