集合 $A=\{1,2,3, k\}, B=\left\{4,7, a^{4}, a^{2}+3 a\right\}$, 且 $a \in \mathbf{N}, k \in \mathbf{N}, x \in A, y \in B$, 映射 $f: A \rightarrow B$,使 $B$ 中元素 $y=3 x+1$ 和 $A$ 中元素 $x$ 对应, 求 $a$ 及 $k$ 的值.
$\because B$ 中元素 $y=3 x+1$ 和 $A$ 中元素 $x$ 对应,

$\therefore A$ 中元素 1 的像是 $4 ; 2$ 的像是 $7 ; 3$ 的像是 10 , 即 $a^{4}=10$ 或 $a^{2}+3 a=10$.

$\because a \in \mathbf{N}, \therefore$ 仅有 $a^{2}+3 a=10$, 得 $a=2$.

则有 $k$ 的像是 $a^{4}$.

$\therefore 3 k+1=2^{4}$, 得 $k=5$.