已知 $y=f(x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数, 当 $x \in[0,+\infty)$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x$.

(1)写出函数 $y=f(x)$ 的解析式;

(2) 若方程 $f(x)=a$ 恰 3 有个不同的解, 求 $a$ 的取值范围.


解: (1)当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $-x \in(0,+\infty)$,

$\because f(x)$ 是奇函数,

$\therefore f(x)=-f(-x)=-\left[(-x)^{2}-2(-x)\right]=-x^{2}-2 x$
$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-2 x, x \geq 0 \\ -x^{2}-2 x, x<0\end{array}\right.$.

(2) 当 $x \in[0,+\infty)$ 时, $f(x)=x^{2}-2=(x-1)^{2}-1$, 最小值为 -1 ;

当 $x \in(-\infty, 0), f(x)=-x^{2}-2 x=1-(x+1)^{2}$, 最大值为 1 .

据此可作出函数的图象, 如图所示,

<ImageHere>

根据图象得, 若方程 $f(x)=a$ 恰有 3 个不同的解,

则 $a$ 的取值范围是 $(-1,1)$.