已知函数 $f(x)=\sin x+\sqrt{1-x^{2}}$, 则 $\int_{-1}^{1} f(x) d x=$ (1)
答案: $\frac{\pi}{2}$

【解析】 $\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1}\left[\sin x+\sqrt{1-x^{2}}\right] d x=\int_{-1}^{1} \sin x d x+\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x$,

而 $\int_{-1}^{1} \sin x d x=(-\cos x)_{-1}^{1}=0, \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x$ 表示半圆 $x^{2}+y^{2}=1(y \geq 0)$ 的面积, 即

$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}$, 则 $\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{1} \sin x d x+\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}$.

【分析】利用函数的解析式结合定积分求面积的方法, 从而求出定积分的值。