如图，抛物线 $y=-x^{2}+4 x$ 上有一点 $B(1,3)$, 点 $B$ 与点 $C$ 关于抛物线的对称轴对称. 过点 $B$ 作直线 $B H \perp x$ 轴, 交 $x$ 轴于点 $H$. 点 $M$ 在直线 $B H$ 上运动, 点 $N$ 在 $x$ 轴正半轴上运动, 以 $C, M, N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形时, 点 $N$ 的坐标为 . $\qquad$

作辅助线构造一线三垂直模型, 利用全等的性质即可确定点 $N$ 的坐标.

【详解】解: $\because y=-x^{2}+4 x=-(x-2)^{2}+4$,

$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=2$,

$\because$ 点 $C$ 和点 $B$ 关于对称轴对称, 点 $B$ 的坐标为 $(1,3)$,

$\therefore C(3,3)$,

以点 $C 、 M 、 N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形时, 分三类情况讨论:

(1)以点 $M$ 为直角顶点且 $M$ 在 $x$ 轴上方时, 如图,

<ImageHere>

$\because \angle B M C+\angle H M N=90^{\circ}, \quad \angle H N M+\angle H M N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B M C=\angle H N M$.

在 $\triangle C B M$ 和 $\triangle M H N$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle B M C=\angle H N M \\ \angle C B M=\angle M H N, \\ C M=M N\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C B M \cong \triangle M H N(A A S)$,

$\therefore B C=M H=2, \quad B M=H N=3-2=1$,

$\therefore N(2,0)$;

(2)以点 $N$ 为直角顶点且 $N$ 在 $y$ 轴右侧时, 如图, 过点 $N$ 作 $y$ 轴的平行线, 交 $B C$ 于点 $D$, 过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线, 交 $D N$ 的延长线于点 $E$,

<ImageHere>

同(1)可证 $M E=D N=N H=3$,

$\therefore O N=1+3=4$,

$\therefore N(4,0)$;

(3)以 $C$ 为直角顶点时, 过点 $N$ 作 $N D \perp B C$, 交 $B C$ 的延长线于点 $D$,

同(1)可证 $D N=B C=2$,

$\because D N=B H=3$,

$\therefore$ 此种情况不成立, 不能构成等腰直角三角形;

<ImageHere>

综上可知当 $\triangle C M N$ 为等腰直角三角形时 $N$ 点坐标为 $(2 ， 0 ）$ 或 $(4,0)$.

故答案为: $(2,0)$ 或 $(4,0)$.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用, 等腰直角三角形的性质, 全等三角形的判定与性质等知识, 关键是要会用待定系数法求拋物线的解析式, 熟练掌握等腰直角三角形的性质.

