已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, 满足 $b_{1}=a_{2}=2, a_{5}+a_{9}=14$, $b_{4}=a_{15}+1$

(I) 求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 通项公式;

(II) 令 $c_{n}=a_{n} \cdot b_{n}$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
（1）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, $\because a_{2}=2, a_{5}+a_{9}=14, \therefore a_{1}+d=2,2 a_{1}+12 d=14$, 解得 $a_{1}=d=1 . \therefore a_{n}=1+(n-1)=n . \therefore b_{1}=a_{2}=2$, $b_{4}=a_{15}+1=16=2 \times q^{3}, \quad \therefore q=2 . \quad \therefore b_{n}=2^{n}$.

(2) $c_{n}=a_{n} \cdot b_{n}=n \cdot 2^{n}$. :数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}=2+2 \times 2^{2}+3 \times 2^{3}+\cdots+n \cdot 2^{n}$, $2 T_{n}=2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+(n-1) \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n+1}$, $\therefore-T_{n}=2+2^{2}+\cdots+2^{n}-n \cdot 2^{n+1}=\frac{2\left(2^{n}-1\right)}{2-1} n \cdot 2^{n+1}=(1-n) \cdot 2^{n+1}-2$.

$\therefore T_{n}=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2$.