(12 分) 已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$, 其图象与 $x$ 轴的相邻两个交点之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 若将 $f(x)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位后得到函数 $g(x)$ 的图象, 其恰好经过点 $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$, 求当 $m$ 取得最小值时, $g(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上的单调递增区间.
(1) 由已知得函数 $f(x)$ 的周期 $T=\pi$, 即 $\frac{2 \pi}{2 \omega}=\pi$, 解得 $a=1$,

$\therefore f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$.

(2) 将 $f(x)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位后, 得到 $g(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x+2 m+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象,

又函数 $g(x)$ 的图象经过点 $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$,

$\therefore \sqrt{3} \sin \left[2 \times\left(-\frac{\pi}{3}\right)+2 m+\frac{\pi}{3}\right]=0$, 即 $\sin \left(2 m-\frac{\pi}{3}\right)=0$

$\therefore 2 m-\frac{\pi}{3}=k \pi, k \in \mathrm{Z}, \quad \therefore m=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{6}, k \in \mathrm{Z}$.

$\because m>0, \therefore$ 当 $k=0$ 时, $m$ 取得最小值, 即 $m_{\min }=\frac{\pi}{6}$, 此时 $g(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$.

又 $-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{7 \pi}{12}, \therefore \frac{\pi}{3} \leq 2 x+\frac{2 \pi}{3} \leq \frac{11 \pi}{6}$.

当 $\frac{\pi}{3} \leq 2 x+\frac{2 \pi}{3} \leq \frac{\pi}{2}$, 即 $-\frac{\pi}{6} \leq x \leq-\frac{\pi}{12}$ 时, 函数 $g(x)$ 单调递增;

当 $\frac{3 \pi}{2} \leq 2 x+\frac{2 \pi}{3} \leq \frac{11 \pi}{6}$, 即 $\frac{5 \pi}{12} \leq x \leq \frac{7 \pi}{12}$ 时, $g(x)$ 单调递增,

$\therefore g(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{12}\right]$ 上的单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{12}\right],\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$.