已知函数 $f(x)=a x^{2}-b x-1$, 其中 ${ }^{a \in(0,2]}, b \in(0,2]$, 在其范围内任取实数 $a, b$, 则函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上为增函数的概率为（）
$f(x)=a\left(x-\frac{b}{2 a}\right)^{2}-1-\frac{b^{2}}{4 a}$, 它在 $[1,+\infty)$ 上为增函数,

则 $\frac{b}{2 a} \leq 1$, 即 $2 a-b \geq 0(\because a>0)$,

在平面直角坐标系以 $(a, b)$ 为坐标的点形成一个边长为 2 的正方形, 正方形 $O A B C$, 作出直线 $y=2 x$, 满足 $2 a-b \geq 0$ 的点 $(a, b)$ 在正方形中位于直线 $y=2 x$ 的右侧梯形 $O A B D$ 部分 ( $D$ 是 $B C$ 中点),

$S_{O A B C}=2^{2}=4, \quad S_{O A B D}=\frac{1}{2} \times(2+1) \times 2=3$,

$\therefore$ 所求概率为 $P=\frac{S_{O A B D}}{S_{O A B C}}=\frac{3}{4}$, 故选 D.