$5^{2} \cdot 3^{2 n+1} \cdot 2^{n}-3^{n} \cdot 6^{n+2}$ ( $n$ 为正整数)能被13整除吗. 说明理由.
【答案】解: $5^{2} \cdot 3^{2 n+1} \cdot 2^{n}-3^{n} \cdot 6^{n+2}$ 能被 13 整除.

理由如下:

$$
\begin{gathered}
5^{2} \cdot 3^{2 n+1} \cdot 2^{n}-3^{n} \cdot 6^{n+2} \\
=5^{2} \cdot\left(3^{2 n} \cdot 3\right) \cdot 2^{n}-3^{n} \cdot\left(6^{n} \cdot 6^{2}\right) \\
=75 \cdot 18^{n}-36 \cdot 18^{n} \\
=39 \cdot 18^{n}
\end{gathered}
$$

$=13 \times 3 \cdot 18^{n}$.

因为 $n$ 为正整数, 所以 $3 \cdot 18^{n}$ 是正整数,

所以 $5^{2} \cdot 3^{2 n+1} \cdot 2^{n}-3^{n} \cdot 6^{n+2}$ 能被13整除.

【解析】略