已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, $a_{2}=8, a_{3}+a_{4}=48$.

(I) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(II) 设 $b_{n}=\log _{4} a_{n}$. 证明: $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列, 并求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.
(I) 解: 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 依题意 $q>0$.

$\because a_{2}=8, a_{3}+a_{4}=48, \quad \therefore a_{1} q=8, a_{1} q^{2}+a_{1} q^{3}=48$.

两式相除得 $q^{2}+q-6=0, \quad$ 解得 $q=2$, 舍去 $q=-3 . \quad \therefore a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=4$.

$\therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=a_{1} \cdot q^{n-1}=2^{n+1}$.

(II) 证明: 由（I ）得 $b_{n}=\log _{4} a_{n}=\frac{n+1}{2} . \quad \because b_{n+1}-b_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 $d=\frac{1}{2}$ 的等差数列. $\quad \therefore S_{n}=n b_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{n^{2}+3 n}{4}$.