已知双曲线

$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)
$$

的右焦点为 $F(c, 0)$.

(1) 若双曲线的一条渐近线方程为 $y=x$ 且 $c=2$, 求双曲线的方程;

(2) 以原点 $\mathrm{O}$ 为圆心, $\mathrm{c}$ 为半径作圆, 该圆与双曲线在第一象限的交点为 $\mathrm{A}$, 过 $\mathrm{A}$ 作圆的切线,斜率为 $-\sqrt{3}$, 求双曲线的离心率.