黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律排成若干个图案:

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第 1 个

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第2个

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第3个

则第 $n$ 个图案中有白色地砖 \$ \qquad \$块.
答案: $(4 \mathrm{n}+2)$

解析：把这个图形按如下规律分解(如图)

我们发现正六边形的个数实际是一个以 7 为首项, 5 为公差的等差数列, 故 ${ }^{a_{n}}=7+5(n-1)=5 n+2$,第 $n$ 个图案中黑色地砖有 $n$ 块,于是白色地砖数目为 $a_{n}-n=4 n+2$.

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第1个

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第2个

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第3个

7.答案：假设三个内角都小于 $60^{\circ}$

解析：命题的否命题

8.答案: 证明: (1)要证: $\sqrt{a+6}+\sqrt{a+7}>\sqrt{a+8}+\sqrt{a+5}$

只需证: $(\sqrt{a+6}+\sqrt{a+7})^{2}>(\sqrt{a+8}+\sqrt{a+5})^{2}$
只需证: $2 a+13+2 \sqrt{(a+6)(a+7)}>2 a+13+2 \sqrt{(a+8)(a+5)}$

只需证: $\sqrt{(a+6)(a+7)}>\sqrt{(a+8)(a+5)}$

只需证: $a^{2}+13 a+42>a^{2}+13 a+40$

只需证: $42>40$

而 $42>40$ 显然成立, 所以原不等式得证.

(2)假设结论不成立, 即 ${ }^{a+\frac{1}{b} \text { 与 } b+\frac{1}{a}}$ 都小于 2,

则 $a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}<2+2=4$

而由基本不等式, $a+\frac{1}{a} \geq 2, b+\frac{1}{b} \geq 2$ ，

$\therefore a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b} \geq 2+2=4$ 与(1)式矛盾,

所以假设不成立, 原命题成立.
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