22. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $3 a \cos A=c \cos B+b \cos C$.

(1) 求 $\cos A$ 的值;

(2) 若 $a=1, \cos B+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 求边 $c$ 的值.
(1) 由余弦定理 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$,

有 $c \cos B+b \cos C=a$, 代入已知条件得 $3 a \cos A=a$, 即 $\cos A=\frac{1}{3}$.

(2) 由 $\cos A=\frac{1}{3}$ 得 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$,

则 $\cos B=-\cos (A+C)=-\frac{1}{3} \cos C+\frac{2 \sqrt{2}}{3} \sin C$,

代入 $\cos B+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

得 $\cos C+\sqrt{2} \sin C=\sqrt{3}$, 从而得 $\sin (C+\phi)=1$, 其中 $\sin \phi=\frac{\sqrt{3}}{3}, \cos \phi=\frac{\sqrt{6}}{3}, 0<\phi<\frac{\pi}{2}$.
则 $C+\phi=\frac{\pi}{2}$, 于是 $\sin C=\frac{\sqrt{6}}{3}$,

由正弦定理得 $c=\frac{a \sin C}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.