如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $B C$ 边上的一点, $E$ 是 $A D$ 的中点, 过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$, 且 $A F=B D$, 连接 $B F$.

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(1)求证: $B D=C D$;

(2)如果 $A B=A C$, 试判断四边形 $A F B D$ 的形状, 并证明你的结论.
(1)证明: $\because A F / / B C$,

$\therefore \angle A F E=\angle D C E$,

$\because E$ 是 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$,

在 $\triangle A E F$ 和 $\triangle D E C$ 中，

$\left\{\begin{array}{c}\angle A F E=\angle D C E \\ A E=D E \\ \angle A E F=\angle D E C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E F \cong \triangle D E C$,

$\therefore A F=D C$

$\because A F=B D$,

$\therefore B D=C D$

(2)解: 四边形 $A F B D$ 是矩形.

$\because A B=A C, D$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore A D \perp B C$

$$
\therefore \angle A D B=90^{\circ}
$$

$\because A F=B D$,

$\because$ 过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$, 即 $A F / / B C$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是平行四边形,

又 $\because \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是矩形.