某池塘中原有一块浮草, 浮草蔓延后的面积 $\mathrm{y}\left(\mathrm{m}^{2}\right)$ 与时间 $\mathrm{t}$ (月) 之间的函数关系是 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{t}^{-1}}$ (a $>0$, 且 $a \neq 1$ ), 它的图象如图所示.

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给出以下命题:

(1)池塘中原有浮草的面积是 $0.5 \mathrm{~m}^{2}$;

(2)到第 7 个月浮草的面积一定能超过 $60 \mathrm{~m}^{2}$

(3)浮草每月增加的面积都相等;

(4) 若浮草面积达到 $4 m^{2}, 16 m^{2}, 64 m^{2}$ 所经过时间分别为 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$, 则 $t_{1}+t_{2}<t_{3}$, 其中所有正确命题的序号是 ( )
根据图象过点 $(2,2)$ 可知点 $(2,2)$ 适合 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{t}^{-1}}$ 即 $2=\mathrm{a}$

$\therefore$ 函数关系是 $\mathrm{y}=2^{\mathrm{t}} \mathrm{t}^{-1}$,

令 $\mathrm{t}=0$ 时, $\mathrm{y}=\frac{1}{2}=0.5$, 故(1)正确;

令 $\mathrm{t}=7$ 时, $\mathrm{y}=2^{6}=64>60$, 故(2)正确;

当 $\mathrm{t}=1$ 时, $\mathrm{y}=1$, 增加 0.5 , 当 $\mathrm{t}=2$ 时, $\mathrm{y}=2$, 增加 1 ,

每月增加的面积不相等, 故(3)不正确;

分别令 $y=4 、 16 、 64$, 解得 $t_{1}=3, t_{2}=5, t_{3}=7, t_{1}+t_{2}>t_{3}$, 故(4)不正确.

其中所有正确命题的序号是: (1)(2)

故选 A.

【分析】先根据图象经过点 $(2,2)$ 求出 $\mathrm{a}$, 代入函数的解析式, 即可求出底数 $\mathrm{a}$, 进而即可求出这个指数函数的表达式; 然后对各个选择支进行逐一判断即可. 令 $\mathrm{t}=0$ 时, $\mathrm{y}=\frac{1}{2}=0.5$ 即可对(1)进行判断; 对于(2), 将 $\mathrm{t}=7$ 代入函数的解析式, 即可求出第 7 个月时浮萍的面积; 对于(3), 当 $\mathrm{t}=1$ 时, 和当 $\mathrm{t}=2$ 时, 计算这两个月增加的面积; 分别将 $\mathrm{y}=4 、 16 、 64$ 分别代入函数解析式, 求出对应的 $\mathrm{t}$ 值, 即可对于(4)进行判断.

二、填空题