20. 如图, 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 为平行四边形, $\mathrm{AD}=\mathrm{a}, \mathrm{BE} / / \mathrm{AC}, \mathrm{DE}$ 交 $\mathrm{AC}$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$, 交 $\mathrm{BE}$ 于点 $\mathrm{E} . \mathrm{AC}=2 \mathrm{CF}, \angle \mathrm{ADC}=60^{\circ}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{DC}$, 则 $\mathrm{BE}=$ \$ \qquad \$

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: 解答: 如图, 延长 $\mathrm{DC}$ 交 $\mathrm{BE}$ 于点 $\mathrm{M}, \because \mathrm{BE} / / \mathrm{AC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{DC}, \therefore$ 四边形 $\mathrm{ABMC}$ 是平行四边
形. $\therefore \mathrm{CM}=\mathrm{AB}$. 又 $\because$ 在 $\square \mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \therefore \mathrm{CM}=\mathrm{CD} . \therefore \mathrm{C}$ 为 $\mathrm{DM}$ 的中点 $\because \mathrm{BE} / / \mathrm{AC}, \therefore \mathrm{DF}=\mathrm{FE}$.所以 $\mathrm{CF}$ 是 $\triangle \mathrm{DME}$ 的中位线,故 $\mathrm{ME}=2 \mathrm{CF} . \because \mathrm{AC}=2 \mathrm{CF}, \therefore \mathrm{ME}=\mathrm{AC} . \because$ 四边形 $\mathrm{ABMC}$ 是平行四边形, $\therefore \mathrm{BM}=\mathrm{AC} . \therefore \mathrm{ME}=\mathrm{BM} . \therefore \mathrm{BE}=2 \mathrm{BM}=2 \mathrm{ME}=2 \mathrm{AC}$. 又 $\because \mathrm{AC} \perp \mathrm{DC}, \angle \mathrm{ADC}=60^{\circ}, \therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ADC}$ 中,利用勾股定理,得 $\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2} a . \therefore \mathrm{BE}=2 \mathrm{AC}=\sqrt{3} a$.

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分析: 本题主要考查了平行线等分线段定理, 解决问题的关键是根据所给条件结合平行线等分线段定理以及构造辅助线方向计算即可.