石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图 1), 隋代建造的赵州桥距今约有 1400 年历史, 是我国古代石拱桥的代表. 如图 2 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形, 桥的主桥拱是圆弧形, 表示为 $A B$. 桥的跨度（弧所对的弦长） $A B=26 \mathrm{~m}$, 设 $A B$所在圆的圆心为 $O$, 半径 $O C \perp A B$, 垂足为 $D$. 拱高 (弧的中点到弦的距离) $C D=5 \mathrm{~m}$. 连接 $O B$.

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图 1

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图2

(1)直接判断 $A D$ 与 $B D$ 的数量关系;

(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m ).


（1）根据垂径定理即可得出结论;

（2）设主桥拱半径为 $R$, 在 Rt $\triangle O B D$ 中, 根据勾股定理列出方程, 即可得出答案.

【详解】(1) 解: $\because$ 半径 $O C \perp A B$,

$\therefore A D=B D$.

故答案为: $A D=B D$.

（2）设主桥拱半径为 $R$, 由题意可知 $A B=26, C D=5$,

$\therefore B D=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 26=13, \quad O D=O C-C D=R-5$,

在 Rt $\triangle O B D$ 中，由勾股定理，得 $O B^{2}=B D^{2}+O D^{2}$,

即 $R^{2}=13^{2}+(R-5)^{2} ，$

解得 $R=19.4$,

$\therefore R \approx 19$,

因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 $19 \mathrm{~m}$.

【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理, 是重要考点, 根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键.

