如图所示的多面体是由一个以四边形 $A B C D$ 为底面的直四棱柱被平面 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 所截面成, 若 $A D=D C=2, A B=B C=2 \sqrt{3}, \angle D A B=\angle B C D=90^{\circ}$, 且 $A A_{1}=C C_{1}=\frac{3}{2}:$

<ImageHere>

(1) 求二面角 $D_{1}-A_{1} B-A$ 的大小;

（2）求此多面体的体积.
【分析】

(1) 如图建立坐标系, 计算平面 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 的法向量为 $\vec{n}=(1, \sqrt{3}, 4)$, 平面 $A A_{1} B$ 的法向量为 $(1,0,0)$, 计算夹角得到答案.

(2) 平面 $B D_{1} D$ 将多面体分成两个体积相等的四棱雉 $B-D_{1} D C C_{1}$ 和 $B-D_{1} D A A_{1}$, 证明 $A B \perp$ 平面 $D_{1} D A A_{1}$, 计算 $S_{D_{1} D A A_{1}}=\frac{7}{2}$ 故 $V_{B-D_{1} D A A_{1}}=\frac{7 \sqrt{3}}{3}$, 得到答案.

## 【详解】

(1) 如图建立坐标系, 由题意知 $A_{1}\left(0,0, \frac{3}{2}\right) B(0,2 \sqrt{3}, 0)$
$C_{1}\left(-3, \sqrt{3}, \frac{3}{2}\right) \overrightarrow{B A}=\left(0,-2 \sqrt{3}, \frac{3}{2}\right), \overrightarrow{B C_{1}}=\left(-3, \sqrt{3}, \frac{3}{2}\right)$

设平面 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 的法向量为 $\vec{n}=(u, v, w)$, 则 $\left\{\begin{array}{c}-2 \sqrt{3} u+\frac{3}{2} v=0, \\ -3 u+\sqrt{3} v+\frac{3}{2} w=0,\end{array} \quad u=\frac{v}{\sqrt{3}}, w=\frac{4 v}{\sqrt{3}}\right.$,

所以平面 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 的一个法向量可以为 $\vec{n}=(1, \sqrt{3}, 4)$.

而平面 $A A_{1} B$ 的法向量为 $(1,0,0)$, 设两个法向量的夹角为 $\theta$, 则 $\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$所以二面角 $D_{1}-A_{1} B-A$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{5}}{10}$.

(2) 设点 $D_{1}(-2,0, h)$, 则 $\overrightarrow{A_{1} D_{1}}=\left(-2,0, h-\frac{3}{2}\right)$

而 $\overrightarrow{A_{1} D_{1}} \cdot \vec{n}=0$, 即 $\left(-2,0, h-\frac{3}{2}\right) \cdot(1, \sqrt{3}, 4)=0$, 解得 $h=2$.

平面 $B D_{1} D$ 将多面体分成两个体积相等的四棱雉 $B-D_{1} D C C_{1}$ 和 $B-D_{1} D A A_{1}$

由于 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D$, 而 $\angle D A B=90^{\circ}$, 所以 $A B \perp$ 平面 $D_{1} D A A_{1}$

四边形 $D_{1} D A A_{1}$ 是直角梯形,

$S_{D_{1} \text { DAA }_{1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}+2\right) \cdot 2=\frac{7}{2}, V_{B-D_{1} \text { DAA }_{1}}=\frac{1}{3} \times \frac{7}{2} \times 2 \sqrt{3}=\frac{7 \sqrt{3}}{3}$. 所以多面体的体积为 $\frac{14 \sqrt{3}}{3}$.

<ImageHere>

## 【点睛】

本题考查了二面角和多面体的体积, 意在考查学生的空间想象能力和计算能力.