如图, 长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1}=A B=2, A D=1$, 点 $E, F, G$ 分别是 $D D_{1}, A B, C C_{1}$ 的中点,则异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成角的余弦值是

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【分析】

以 $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴, 建立空间直角坐标系, 可得 $\overrightarrow{A_{1} E}$ 和 $\overrightarrow{G F}$ 的坐标, 进而可得 $\cos \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{G F}$, 从而可得结论.

## 【详解】

以 $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴，建立空间直角坐标系，

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则可得 $A_{1}(1,0,2), E(0,0,1), G(0,2,1), F(1,1,0)$,

$\therefore \overrightarrow{A_{1} E}=(-1,0,-1), \overrightarrow{G F}=(1,-1,-1)$,

设异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成的角为 $\theta$,
则 $\cos \theta=\left|\cos \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{G F}\right|=\left|\frac{-1 \times 1+0+(-1) \times(-1)}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\right|=0$, 故选 D.

## 【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角, 属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法, 根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后, 分别求出两直线的方向向量, 再利用空间向量夹角的余弦公式求解; 二是传统法, 利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角, 再利用平面几何性质求解.