已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}-x(x \in \mathbf{R})$, 则下列结论错误的是 ( )
A 选项, $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-1=0$ 的 $\Delta=4 a^{2}+12>0$ 恒成立,故 $f^{\prime}(x)=0$ 必有两个不等实根, 不妨设为 $x_{1} 、 x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$,令 $f^{\prime}(x)>0$, 得 $x<x_{1}$ 或 $x>x_{2}$; 令 $f^{\prime}(x)<0$, 得 $x_{1}<x<x_{2}$,所以函数 $f(x)$ 在 $\left(x_{1}, x_{2}
ight)$ 上单调递减, 在 $\left(-\infty, x_{1}
ight)$ 和 $\left(x_{2},+\infty
ight)$ 上单调递增,所以当 $x=x_{1}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得极大值, 当 $x=x_{2}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得极小值,A 选项正确;B 选项, 令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-1=0$, 则 $x_{1}+x_{2}=-rac{2 a}{3}, x_{1} \cdot x_{2}=-rac{1}{3}$, 易知 $x_{1}<x_{2}$, $	herefore x_{2}-x_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}
ight)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\sqrt{rac{4 a^{2}}{9}+rac{4}{3}} \geq rac{2 \sqrt{3}}{3}$, B 选项正确;$\mathrm{C}$ 选项, 易知两极值点的中点坐标为 $\left(-rac{a}{3}, f\left(-rac{a}{3}
ight)
ight)$,又 $f\left(-rac{a}{3}+x
ight)=-\left(1+rac{a^{2}}{3}
ight) x+x^{3}+f\left(-rac{a}{3}
ight), 	herefore f\left(-rac{a}{3}+x
ight)+f\left(-rac{a}{3}-x
ight)=2 f\left(-rac{a}{3}
ight)$,$	herefore$ 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(-rac{a}{3}, f\left(-rac{a}{3}
ight)
ight)$ 成中心对称, $\mathrm{C}$ 选项正确;  $\mathrm{D}$ 选项, 令 $a=c=0$, 得 $f(x)=x^{3}-x, f(x)$ 在 $(0,0)$ 处切线方程为 $y=-x$,且 $\left\{egin{array}{l}y=-x \ y=x^{3}-x\end{array}
ight.$ 有唯一实数解, 即 $f(x)$ 在 $(0,0)$ 处切线与 $f(x)$ 图象有唯一公共点, $\mathrm{D}$ 选项错误,故选 D.