如图, 抛物线 $y=a x^{2}+b x-4$ 与 $x$ 轴交于 $A(-3,0) 、 B(4,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$. 则抛物线解析式为 $\qquad$ . 若点 $M$ 是 $\angle B A C$ 平分线上的一点, 点 $N$ 是平面内一点, 若以 $A 、 B 、 M 、 N$为顶点的四边形是矩形, 点 $N$ 坐标为 $\qquad$ .

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先利用待定系数法求出函数解析式; 画出所求矩形的两种情况矩形 $A N M B$ 、矩形 $A M^{\prime} B N^{\prime}$, 分别求出点 $N$ 和点 $N^{\prime}$ 的坐标, 即可得到答案.

【详解】解: 抛物线 $y=a x^{2}+b x-4$ 与 $x$ 轴交于 $A(-3,0) 、 B(4,0)$ 两点,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}9 a-3 b-4=0 \\ 16 a+4 b-4=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{3} \\ b=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$,

$\therefore$ 抛物线解析式为 $y=\frac{1}{3} x^{2}-\frac{1}{3} x-4$,

若以点 $A 、 B 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是矩形, 则点 $M$ 和点 $N$ 的位置有两种如图所示的情况,即矩形 $A N M B$ 、矩形 $A M ' B N^{\prime}$,

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当 $x=0$ 时, $y=\frac{1}{3} x^{2}-\frac{1}{3} x-4=-4$,

$\therefore$ 点 $C(0,-4)$,
$\therefore O C=4$,

由 $A(-3,0) 、 B(4,0)$ 可知 $O A=3, O B=4$,

$\therefore A C=\sqrt{O A^{2}+O C^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

先求矩形 $A N M B$ 中点 $N$ 的坐标,

设 $A M$ 与 $y$ 轴相交于点 $Q$, 作 $Q F \perp A C$ 于点 $F$,

$\because$ 点 $M$ 是 $\angle B A C$ 平分线上的一点, $O Q \perp A B$,

$\therefore O Q=Q F$,

$\because \frac{1}{2} O A \cdot O C=\frac{1}{2} O A \cdot O Q+\frac{1}{2} A C \cdot Q F$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 3 \times 4=\frac{1}{2} \times 3 O Q+\frac{1}{2} \times 5 Q F$,

$\therefore O Q=Q F=\frac{3}{2}$,

在 Rt $\triangle A O Q$ 和 Rt $\triangle A B M$ 中,

$\therefore \tan \angle O A Q=\frac{O Q}{O A}=\frac{B M}{A B}$,

$\therefore \frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{B M}{3+4}$,

$\therefore B M=\frac{7}{2}$,

$\therefore A N=B M=\frac{7}{2}$,

$\therefore$ 点 $N$ 的坐标是 $\left(-3,-\frac{7}{2}\right)$,

再求矩形 $A M^{\prime} B N^{\prime}$ 中点 $N^{\prime}$ 的坐标,

作 $N^{\prime} E \perp A B$ 于点 $E$, 则 $\angle A E N^{\prime}=90^{\circ}=\angle A O Q$,

$\angle E A N^{\prime}+\angle O A Q=\angle E A N^{\prime}+\angle A N^{\prime} E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A Q=\angle A N ' E$,

$\therefore \triangle O A Q \sim \triangle E N^{\prime} A$,

$\therefore \frac{O A}{E N^{\prime}}=\frac{O Q}{A E}=\frac{A Q}{A N^{\prime}}$,

$\because \sin \angle O A Q=\frac{O Q}{A Q}=\frac{B M^{\prime}}{A B}$,

$\therefore \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}}=\frac{B M^{\prime}}{7}$,

解得 $B M^{\prime}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}$,

$\therefore A N^{\prime}=B M^{\prime}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}$,
$\therefore \frac{3}{E N^{\prime}}=\frac{\frac{3}{2}}{A E}=\frac{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+3^{2}}}{\frac{7 \sqrt{5}}{5}}=\frac{15}{14}$,

$\therefore E N^{\prime}=\frac{14}{5}, \quad A E=\frac{7}{5}$,

$\therefore O E=A O-A E=3-\frac{7}{5}=\frac{8}{5}$,

$\therefore$ 点 $N^{\prime}\left(-\frac{8}{5}, \frac{14}{5}\right)$,

综上可知, 点 $N$ 的坐标是 $\left(-3,-\frac{7}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{8}{5}, \frac{14}{5}\right)$.

故答案为: $y=\frac{1}{3} x^{2}-\frac{1}{3} x-4,\left(-3,-\frac{7}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{8}{5}, \frac{14}{5}\right)$.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质等知识, 数形结合和分类讨论是解题的关键.

