已知 $A C \perp B C$ 于 $C, B C=a, C A=b, A B=c$, 下列选项中, $\odot O$ 的半径为 $\frac{a b}{a+b}$ 的是 ( )
【分析】

本题主要考查对正方形的性质和判定, 切线的性质, 全等三角形的性质和判定, 三角形的内切圆与内心, 解一元一次方程等知识点的理解和掌握, 能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键.连接 $O E 、 O D$, 根据 $A C 、 B C$ 分别切圆 $O$ 于 $E 、 D$, 得到 $\angle O E C=\angle O D C=\angle C=90^{\circ}$, 证出正方形 $O E C D$,
设圆 $O$ 的半径是 $r$, 证 $\triangle O D B \sim \triangle A E O$, 得出 $\frac{O E}{B D}=\frac{A E}{O D}$, 代入即可求出 $r=\frac{a b}{a+b}$; 设圆的半径是 $x$, 圆切 $A C$ 于 $E$, 切 $B C$ 于 $D$, 且 $A B$ 于 $F$, 同样得到正方形 $O E C D$, 根据 $a-x+b-x=c$, 求出 $x$ 即可;设圆切 $A B$ 于 $F$, 圆的半径是 $y$, 连接 $O F$, 则 $\triangle B C A \sim \triangle O F A$ 得出 $\frac{O F}{B C}=\frac{A O}{A B}$, 代入求出 $y$ 即可

【解答】

解: $A$. 设圆的半径是 $x$, 圆切 $A C$ 于 $E$, 切 $B C$ 于 $D$, 切 $A B$ 于 $F$, 如图(1)同样得到正方形 $O E C D, A E=A F$,

$B D=B F$, 则 $a-x+b-x=c$, 求出 $x=\frac{a+b-c}{2}$, 故本选项错误;

<ImageHere>

B. 设圆切 $A B$ 于 $F$, 圆的半径是 $y$, 连接 $O F$, 如图 $(2)$,

<ImageHere>

则 $\triangle B C A \sim \triangle O F A, \therefore \frac{O F}{B C}=\frac{A O}{A B}$,

$\therefore \frac{y}{a}=\frac{b-y}{c}$, 解得: $y=\frac{a b}{a+c}$, 故本选项错误;

$C$. 连接 $O E 、 O D$,

<ImageHere>

$\because A C 、 B C$ 分别切圆 $O$ 于 $E 、 D$,

$\therefore \angle O E C=\angle O D C=\angle C=90^{\circ}$,

$\because O E=O D$,

$\therefore$ 四边形 $O E C D$ 是正方形,

$\therefore O E=E C=C D=O D$,
设圆 $O$ 的半径是 $r$,

$\because O E / / B C, \therefore \angle A O E=\angle B$,

$\because \angle A E O=\angle O D B$,

$\therefore \triangle O D B \sim \triangle A E O$,

$\therefore \frac{O E}{B D}=\frac{A E}{O D}, \frac{r}{a-r}=\frac{b-r}{r}$,

解得: $r=\frac{a b}{a+b}$, 故本选项正确;

$D$. 从上至下三个切点依次为 $D, E, F$; 并设圆的半径为 $x$;

连接 $O D 、 O E 、 O F$,

<ImageHere>

容易知道 $B D=B F$, 所以 $A D=B D-B A=B F-B A=a+x-c$;

又 $\because b-x=A E=A D=a+x-c$; 所以 $x=\frac{b+c-a}{2}$, 故本选项错误.

故选 $C$.