在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $(\quad)$
所示, 连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$, 连接 $D_{1} O$, 由于 $B B_{1} / / D D_{1}$,

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$\therefore D D_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角就是 $B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角。易知 $\angle D D_{1} O$ 即为所求。设正方体的棱长为 1 , 则 $D D_{1}=1, D O=\frac{\sqrt{2}}{2}, D_{1} O=\frac{\sqrt{6}}{2}$,

$\therefore \cos \angle D D_{1} O=\frac{D D_{1}}{D_{1} O}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

$\therefore B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.