(12 分) 设 $f(x)=a^{x}(a>0$, 且 $a \neq 1)$, 其图象经过点 $\left(\frac{1}{2}, \sqrt{10}\right)$, 又 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 若 $f(m)=4, f(n)=25$, 求 $m+n$ 的值;

(3) 若 $g(x)$ 在区间 $[\sqrt{10}, c]$ 上的值域为 $[p, q]$, 且 $q-p=\frac{3}{2}$, 求 $c$ 的值.
(1) 因为 $f(x)=a^{x}(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $\left(\frac{1}{2}, \sqrt{10}\right)$,所以 $\sqrt{10}=a^{\frac{1}{2}}$, 所以 $a=10$, 所以 $f(x)=10^{x}$.

(2) 因为 $f(m)=4, f(n)=25$, 所以 $10^{m}=4,10^{n}=25$,

所以 $10^{m} \cdot 10^{n}=100$, 所以 $10^{m+n}=10^{2}$, 所以 $m+n=2$.

(3) 因为 $g(x)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称,

所以 $g(x)=\lg x(x>0)$, 且为增函数,

所以 $g(x)$ 在区间 $[\sqrt{10}, c]$ 上的值域为 $[\lg \sqrt{10}, \lg c]=[p, q]$,

因为 $q-p=\frac{3}{2}$, 所以 $\lg c-\lg \sqrt{10}=\frac{3}{2}$, 所以 $\lg c=2$,

所以 $c=100$.