如图, 矩形 $O A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上, 点 $B$ 的坐标为 $(2,3)$, 双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$,的图象经过 $B C$ 上的点 $D$ 与 $A B$ 交于点 $E$, 连接 $D E$, 若 $E$ 是 $A B$ 的中点.

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(1)求 $D$ 点的坐标;

(2)点 $F$ 是 $O C$ 边上一点, 若 $\triangle F B C$ 和 $\triangle D E B$ 相似, 求 $B F$ 的解析式;

(3)若点 $P(m, 3 m+6)$ 也在此反比例函数的图象上(其中 $m>0$ ), 过 $P$ 点作 $x$ 轴的垂线, 交 $x$ 轴于点 $M$, 若线段 $P M$ 上存在一点 $Q$, 使得 $\triangle O Q M$ 的面积是 $\frac{1}{2}$, 设 $Q$ 点的纵坐标为 $n$, 求 $n^{2}-2 n+9$ 的值.
解: (1) $\because$ 四边形 $O A B C$ 是矩形,

$\therefore O A=B C, A B=O C$,

$\because B(2,3), E$ 为 $A B$ 的中点,

$\therefore A B=O C=3, O A=B C=2, A E=B E=\frac{1}{2} A B=\frac{3}{2}$,

$\therefore E\left(2, \frac{3}{2}\right)$,

$\therefore k=2 \times \frac{3}{2}=3$,

$\therefore$ 双曲线解析式为: $y=\frac{3}{x}$;

$\because$ 点 $D$ 在双曲线 $y=\frac{3}{x}(x>0)$ 上,
$\therefore O C \cdot C D=3$,

$\therefore C D=1$,

$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为: $(1,3)$;

(2) $\because B C=2, C D=1$,

$\therefore B D=1$,

分两种情况:

(1) $\triangle F B C$ 和 $\triangle D E B$ 相似, 当 $B D$ 和 $B C$ 是对应边时, $\frac{B D}{B E}=\frac{B C}{C F}$,

即 $\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{C F} ，$

$\therefore C F=3$,

$\therefore F(0,0)$,

即 $F$ 与 $O$ 重合，

设直线 $B F$ 的解析式为: $y=k x$,

把点 $B(2,3)$ 代入得: $k=\frac{3}{2}$,

$\therefore$ 直线 $B F$ 的解析式为: $y=\frac{3}{2} x$;

(2) $\triangle F B C$ 和 $\triangle D E B$ 相似, 当 $B D$ 与 $C F$ 是对应边时, $\frac{B D}{B E}=\frac{C F}{B C}$,

即 $\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{C F}{2}$,

$\therefore C F=\frac{4}{3}$,

$\therefore O F=3-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$,

$\therefore F\left(0, \frac{4}{3}\right)$,

设直线 $B F$ 的解析式为: $y=a x+c$,

把 $B(2,3), F\left(0, \frac{5}{3}\right)$ 代入得: $\left\{\begin{array}{l}2 a+c=3 \\ c=\frac{5}{3}\end{array}\right.$,

解得: $a=\frac{2}{3}, c=\frac{5}{3}$,

$\therefore$ 直线 $B F$ 的解析式为: $y=\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}$;

综上所述: 若 $\triangle F B C$ 和 $\triangle D E B$ 相似, $B F$ 的解析式为: $y=\frac{3}{2} x$, 或 $y=\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}$;

(3) $\because$ 点 $P(m, 3 m+6)$ 在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上,
$\therefore m(3 m+6)=3$,

整理得: $m^{2}+2 m-1=0$,

$\because P Q \perp x$ 轴,

$\therefore Q$ 点的坐标为: $(m, n)$

$\because \triangle O Q M$ 的面积为 $\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{1}{2} O M \cdot Q M=\frac{1}{2}$,

$\therefore O M \cdot Q M=1$,

$\because m>0$,

$\therefore m \cdot n=1$

$\therefore m=\frac{1}{n}$,

代入 $m^{2}+2 m-1=0$ 得: $\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n}-1=0$,

即 $n^{2}-2 n-1=0 ，$

$\therefore n^{2}-2 n=1$,

$\therefore n^{2}-2 n+9=10$.