球 $D$ 的半径为 3 , 圆 $A$ 与圆 $C$ 为该球的两个小圆, $M N$ 为圆 $A$ 与圆 $C$ 的公共弦, $M N=2 \sqrt{5}$, 若点 $B$ 是弦 $M N$ 的中点, 则四边形 $A B C D$ 的面积的最大值为 \$ \qquad \$ .
【分析】

利用球的性质可以推出 $D A \perp A B \Rightarrow D A^{2}+A B^{2}=4$, 这样可以得到 $S_{\triangle D A B} \leq 1$, 同理 $S_{\triangle D B C} \leq 1$, 这样求出四边形 $A B C D$ 的面积的最大值.

## 【详解】

如下图所示：点 $B$ 是弦 $M N$ 的中点，

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$D B \perp M N \Rightarrow D B=\sqrt{D M^{2}-\left(\frac{1}{2} M N\right)^{2}}=\sqrt{9-5}=2$,

又因为 $D A \perp A B \Rightarrow D A^{2}+A B^{2}=4$,
$\Rightarrow D A^{2}+A B^{2}=4 \geq 2 D A \cdot A B \Rightarrow S_{\triangle D A B} \leq 1$ 当且仅当 $D A=A B=\sqrt{2}$ 时, 等号成立,

同理 $S_{\triangle D B C} \leq 1$ 当且仅当 $D C=C B=\sqrt{2}$ 时, 等号成立, 因此四边形 $A B C D$ 的面积的最大值为 2 .

## 【点睛】

本题考查了球的性质. 重点考查了重要不等式, 关键是构造直角三角形, 得到两线段长度的平方和是定值.