如图, 在四棱雉 $O-A B C D$ 中, $O A \perp$ 底面 $A B C D$, 且底面 $A B C D$ 是边长为 2 的正方形, 且 $O A=2, M, N$ 分别为 $O A, B C$ 的中点.

(1) 求证: 直线 $M N / /$ 平面 $O C D$;

（2）求点 $B$ 到平面 $D M N$ 的距离.

<ImageHere>
【分析】

（1）构造平面, 使之与平面 $O C D$ 平行, 再通过面面平行证明线面平行即可;

（2）通过变换顶点，利用等体积法求得点到平面的距离.

## 【详解】

(1) 取 $A D$ 中点为 $P$, 连接 $P N, P M$, 如下图所示:

<ImageHere>

在 $O A D$ 中, 因为 $M, P$ 分别是 $O A, A D$ 的中点,

故 $P M / / O D$;

在正方形 $A B C D$ 中, 因为 $P, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中点,故 $P N / / C D$;

又因为 $P M \cap P N=P, P M, P N \subset$ 平面 $P M N$,

$O D \cap C D=D, O D, D C \subset$ 平面 $O D C ，$

故平面 $P M N / /$ 平面 $O D C$ ，

又因为 $M N \subset$ 平面 $P M N$, 故 $M N / /$ 平面 $O D C$ ，即证.

(2) 连接 $B M, B D$ ，如下图所示:

<ImageHere>

因为 $N$ 点为 $B C$ 中点, 故 $B N=\frac{1}{2} B C=1$

$S_{\varangle_{B N D}}=\frac{1}{2} \times B N \times D C=\frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$

又因为 $M A \perp$ 平面 $A B C D$, 且 $M A=\frac{1}{2} O A=1$

故 $V_{M-B N D}=\frac{1}{3} S_{{ }^{B N D}} \times M A=\frac{1}{3}$.

又在 $M N D$ 中, 容易知 $D N=\sqrt{5}, M D=\sqrt{5}, M N=\sqrt{6}$,

故 $M N$ 边上的高为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ ，

故 $S_{\text {MND }}=\frac{\sqrt{21}}{2}$.

设点 $B$ 到平面 $M N D$ 的距离为 $h$ ，

则 $V_{B-M N D}=V_{M-B N D}=\frac{1}{3} \times S_{\varangle M N D} \times h=\frac{1}{3}$

解得 $h=\frac{2 \sqrt{21}}{21}$.

故点 $B$ 到平面 $M N D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$.

## 【点睛】

本题考查由面面平行推证线面平行, 以及用等体积法求解点到面的距离, 属基础题.