设 $a, b$ 是实数, 定义关于 “ $*$ ” 的一种运算如下: $a * b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$. 则下列结论: (1)若 $a * b=0$, 则 $a=0$ 或 $b=0$; (2)不存在实数 $a, b$, 满足 $a * b=a^{2}+4 b^{2}$; (3) $a *(b+c)=a * b+a * c$; (4)若 $a b \neq 0, a * b=8$, 则 $\frac{3 a}{4 b^{2}} \div \frac{9 a^{2}}{16 b}=\frac{2}{3}$. 其中正确的是( )

【答案】 $B$

【解析】

【分析】

本题考查的是实数的运算有关知识, 根据新定义的运算, 逐一计算并判断即可.

【解答】

解: (1) $\because a * b=0$,

$\therefore(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=0, a^{2}+2 a b+a^{2}-a^{2}-b^{2}+2 a b=0,4 a b=0$,

$\therefore a=0$ 或 $b=0$, 故(1)正确;

(2) $\because a * b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4 a b$, 又 $a * b=a^{2}+4 b^{2}$,

$\therefore a^{2}+4 b^{2}=4 a b$,

$\therefore a^{2}-4 a b+4 b^{2}=(a-2 b)^{2}=0$,

$\therefore a=2 b$ 时, 满足条件,

$\therefore$ 存在实数 $a, b$, 满足 $a * b=a^{2}+4 b^{2}$, 故(2)错误;

(3) $\because a *(b+c)=(a+b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}=4 a b+4 a c$,

又 $\because a * b+a * c=4 a b+4 a c$,

$\therefore a *(b+c)=a * b+a * c$; 故(3)正确;

(4)若 $a b \neq 0, a * b=8$, 则 $4 a b=8, \therefore a b=2$,
$\therefore$ 则 $\frac{3 a}{4 b^{2}} \div \frac{9 a^{2}}{16 b}=\frac{3 a}{4 b^{2}} \times \frac{16 b}{9 a^{2}}=\frac{4}{3 a b}=\frac{2}{3}$, 故(4)正确.

故选 $B$.