如图, 一次函数 $y=x+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数且 $k \neq$ $0)$ 的图象交于 $A(-1, a) 、 B$ 两点, 与 $x$ 轴交于点 $C(-4,0)$.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2) 若点 $D$ 是第四象限内反比例函数图象上的点, 且点 $D$ 到直线 $A C$的距离为 $5 \sqrt{2}$, 求点 $D$ 的横坐标.

<ImageHere>
解: (1)将 $C(-4,0)$ 代入 $y=x+b$, 得 $b=4$,

$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x+4$,

将 $A(-1, a)$ 代入 $y=x+4, y=\frac{k}{x}$ 中, 得: $a=-1+4, a=\frac{k}{-1}$,

$\therefore k=-3$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{3}{x}$;

(2) 过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp A C$ 于点 $F$,

<ImageHere>

$\therefore$ 设直线 $D E$ 的解析式为 $y=x+m, E F=5 \sqrt{2}$,

$\because y=x+4$,

$\therefore G(0,4)$,

又 $C(-4,0)$,

$\therefore C O=G O=4$,

又 $\angle G O C=90^{\circ}$,

$\because E F \perp A C$,

$\therefore C E=\sqrt{2} E F=10$,

$\therefore E O=6$,

$\therefore E(6,0)$,
将 $E(6,0)$ 代入 $y=x+m$ 中, 得: $m=-6$,

$\therefore y=x-6$,

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{x} \\ y=x-6\end{array}\right.$,

解得 $x= \pm \sqrt{6}+3$,

$\therefore$ 点 $D$ 的横坐标 $x= \pm \sqrt{6}+3$.