如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $P, A P=2, B P=6, \angle A P C=30^{\circ}$,则 $C D$ 的长为 ( )

<ImageHere>


【分析】

本题考查了垂径定理. 也考查了勾股定理以及含 30 度的直角三角形的性质.

作 $O H \perp C D$ 于 $H$, 连结 $O C$, 如图, 根据垂径定理由 $O H \perp C D$ 得到 $H C=H D$, 再利用 $A P=2, B P=6$ 可计算出半径 $O A=4$, 则 $O P=O A-A P=2$, 接着在 Rt $\triangle O P H$ 中根据含 30 度的直角三角形的性质计算出 $O H=\frac{1}{2} O P=1$, 然后在 $R t \triangle O H C$ 中利用勾股定理计算出 $C H=\sqrt{15}$, 即 $C D=2 C H=2 \sqrt{15}$.

## 【解答】

解: 作 $O H \perp C D$ 于 $H$, 连结 $O C$, 如图,

<ImageHere>

$\because O H \perp C D$,

$\therefore H C=H D$,

$\because A P=2, B P=6$,

$\therefore A B=8$,

$\therefore O A=4$,

$\therefore O P=O A-A P=2$,

在Rt $\triangle O P H$ 中,

$\because \angle O P H=\angle A P C=30^{\circ}$,

$\therefore O H=\frac{1}{2} O P=1$,
在Rt $\triangle O H C$ 中,

$\because O C=4, O H=1$,

$\therefore C H=\sqrt{O C^{2}-O H^{2}}=\sqrt{15}$

$\therefore C D=2 C H=2 \sqrt{15}$

故选 $C$.

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