如图, 以 $A D$ 为直径的半圆经过点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$, 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$ 是半圆的三等分点, 弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$, 则图中阴影部分的面积为 ( ）

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分析：如图, 连接 $\mathrm{OB}$, 过 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OF} \perp \mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{F}$, 由于 $\mathrm{B} 、 \mathrm{E}$ 是半圆的三等分点,得 $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$, 由弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$ 可得半圆的半径, 故可得扇形的面积, 进而求得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$,根据 $\mathrm{S}_{\text {阴 }}=\mathrm{S}$ 半国 $-\mathrm{S}_{\text {扇形 } \mathrm{AOB}}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$ 即可得解.

详解: 如图, 连接 $\mathrm{OB}$, 过 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OF} \perp \mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{F}$,

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$\because$ 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$ 是半圆的三等分点, 弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$,

$\therefore \frac{60 \pi \times O A}{180}=\frac{2}{3} \pi$

$\therefore \mathrm{OA}=2$

$\therefore S_{\text {扇形AOB }}=\frac{60 \pi \times 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi$

在 $\triangle \mathrm{BOD}$ 中, $\angle \mathrm{BOD}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOF}=60^{\circ}$

$\therefore \frac{O F}{B O}=\cos \angle B O F$,

即: $\mathrm{OF}=\mathrm{BO} \cos \angle \mathrm{BOF}=2 \times \frac{1}{2}=1$

$\therefore B F=\sqrt{3}$

$\therefore \mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$

$\therefore S_{\triangle B O D}=\frac{1}{2} \times B D \times O F=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 1=\sqrt{3}$

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故选 D.

点睛: 本题主要考查了不规则图形面积的计算.利用 $\mathrm{S}_{\text {朋 }}=\mathrm{S}$ 米 $-\mathrm{S}$ 溷形 $\mathrm{AOB}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$ 求解是解题的关键.

