如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B+A C=2 B C, A D \perp B C$ 于 $D, \odot O$ 为 $\triangle A B C$ 的内切圆, 设 $\odot O$ 的半径为 $R, A D$ 的长为 $h$, 则 $R$ 与 $h$ 的比值为 $(\quad)$

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【分析】

本题考查三角形内切圆的相关性质, 根据已知条件利用三角形 $A B C$ 面积相等推出关系式是解题关键.

根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径, 分别表示出 $\triangle A B C$ 的面积, 利用面积相等即可解决问题.

【解答】

解: 如图所示: $O$ 为 $\triangle A B C$ 中 $\angle A B C 、 \angle A C B 、 \angle B A C$ 的角平分线交点, 过点 $O$ 分别作垂线相交于 $A B 、$ $A C 、 B C$ 于点 $E 、 G 、 F$,

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$S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A O B}+S_{\triangle B O C}+S_{\triangle A O C}=\frac{1}{2} \times A B \cdot R+\frac{1}{2} \times B C \cdot R+\frac{1}{2} \times A C \cdot R=\frac{1}{2} R(A B+A C+B C)$,

$\because A B+A C=2 B C$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} R(2 B C+B C)=\frac{1}{2} R \cdot 3 B C$

$\because A D$ 的长为 $h$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} B C \cdot h$,

$\therefore \frac{3}{2} R \cdot B C=\frac{1}{2} B C \cdot h$,

$\therefore h=3 R$,

$\therefore \frac{R}{h}=\frac{R}{3 R}=\frac{1}{3}$

故选 $D$.