13. 如图所示, 已知点 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 两边于 $M, N$ 两点, 且 $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A N}=y \overrightarrow{A C}$, 则 $3 x+y$ 的最小值为

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根据条件: $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{y} \overrightarrow{A N}, \overrightarrow{A B}=\frac{1}{x} \overrightarrow{A M}$ ，

又 $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \therefore \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3 x} \overrightarrow{A M}+\frac{1}{3 y} \overrightarrow{A N}$.

又 $M, G, N$ 三点共线, $\therefore \frac{1}{3 y}+\frac{1}{3 x}=1$.

$\because x>0, y>0, \therefore 3 x+y=(3 x+y)\left(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{3 y}\right)=\frac{4}{3}+\frac{x}{y}+\frac{y}{3 x} \geq \frac{4}{3}+2 \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{3 x}}=\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$.

$\therefore 3 x+y$ 的最小值为 $\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$, 当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{y}{3 x}$ 时“=”成立.

故答案为: $\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$.