19.【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, b_{1}=0,4 a_{n+1}=3 a_{n}-b_{n}+4$,

$4 b_{n+1}=3 b_{n}-a_{n}-4$.

(I) 证明: $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是等比数列, $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是等差数列;

(II) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式.
(1) 由题设得 $4\left(a_{n+1}+b_{n+1}\right)=2\left(a_{n}+b_{n}\right)$, 即 $a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)$.

又因为 $a_{1}+b_{1}=1$, 所以 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列.

由题设得 $4\left(a_{n+1}-b_{n+1}\right)=4\left(a_{n}-b_{n}\right)+8$, 即 $a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+2$.

又因为 $a_{1}-b_{1}=1$, 所以 $\left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列.

(2) 由 (1) 知, $a_{n}+b_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}, a_{n}-b_{n}=2 n-1$.

所以 $a_{n}=\frac{1}{2}\left[\left(a_{n}+b_{n}\right)+\left(a_{n}-b_{n}\right)\right]=\frac{1}{2^{n}}+n-\frac{1}{2}$,

$b_{n}=\frac{1}{2}\left[\left(a_{n}+b_{n}\right)-\left(a_{n}-b_{n}\right)\right]=\frac{1}{2^{n}}-n+\frac{1}{2}$.