求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)焦点在 $x$ 轴上, $a=2$, 离心率为 $\frac{3}{2}$;

(2)焦点的坐标为 $(5,0),(-5,0)$, 渐近线方程为 $y= \pm \frac{4}{3} x$.
(1)因为焦点在 $x$ 轴上, 设双曲线的标准方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 其中 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, 由 $a=2$ 及离心率 $e=rac{c}{a}=rac{3}{2}$ 得, $c=3$, 所以 $b^{2}=c^{2}-a^{2}=3^{2}-2^{2}=5$, 所以所求双曲线的标准方程为 $rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{5}=1$.(2)由焦点的坐标为 $(5,0),(-5,0)$ 知双曲线的焦点在 $x$ 轴上, 故设双曲线的标准方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>$ $0, b>0)$, 且 $c^{2}=a^{2}+b^{2}=25$ (1), 因为渐近线方程为 $y= \pm rac{4}{3} x$, 所以 $rac{b}{a}=rac{4}{3}$ (2) 由(1)(2)得 $a^{2}=9, b^{2}=$ 16, 所以所求双曲线的标准方程为 $rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{16}=1$.