(6 分) 已知三角形三边长 $a, b, c$, 且满足 $a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$, 则该三角形是什么三角形?说明理由.
$\because a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$,

$\therefore a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}=0$

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0$ 且 $b-c=0$,

$\therefore a=b$ 且 $b=c$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore$ 三角形 $A B C$ 是等边三角形.

【解析】根据 $a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$, 可以得到 $a 、 b 、 c$ 的关系, 从而可以判断三角形 $A B C$ 的形状.