如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $E 、 F 、 G$ 分别是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的点,且 $A_{1} E=E F=F G=G C_{1}$. 则下列直线与平面 $A_{1} B D$ 平行的是 $(\quad)$

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【分析】

连接 $A C$, 使 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$, 连接 $A_{1} O 、 C F$, 可证四边形 $A_{1} O C F$ 为平行四边形,可得 $A_{1} O / / C F$, 利用线面平行的判定定理即可得解.

## 【详解】

如图, 连接 $A C$, 使 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$, 连接 $A_{1} O 、 C F$, 则 $O$ 为 $A C$ 的中点,

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在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1} / / C C_{1}$ 且 $A A_{1}=C C_{1}$, 则四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 为平行四边形,

$\therefore A_{1} C_{1} / / A C$ 且 $A_{1} C_{1}=A C$,

$\because O 、 F$ 分别为 $A C 、 A_{1} C_{1}$ 的中点, $\therefore A_{1} F / / O C$ 且 $A_{1} F=O C$,

所以，四边形 $A_{1} O C F$ 为平行四边形，则 $C F / / A_{1} O$ ，

$\because C F \not \subset$ 平面 $A_{1} B D, A_{1} O \subset$ 平面 $A_{1} B D$, 因此, $C F / /$ 平面 $A_{1} B D$.

故选: B.

## 【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.