(12 分) 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2}+2 \mathrm{i} z_{1}-2 \mathrm{i} z_{2}+1=0$.
(1) 若 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\overline{z_{2}}-z_{1}=2 \mathrm{i}$, 求 $z_{1}, z_{2}$;

(2) 若 $\left|z_{1}\right|=\sqrt{3}$, 则是否存在常数 $k$, 使得等式 $\left|z_{2}-4 i\right|=k$ 恒成立? 若存在,试求出 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
(1) 由 $\overline{z_{2}}-z_{1}=2 \mathrm{i}$, 可得 $z_{2}=\overline{z_{1}}-2 \mathrm{i}$, 代入已知方程得 $z_{1}\left(\overline{z_{1}}-2 \mathrm{i}
ight)+2 \mathrm{i} z_{1}-2 \mathrm{i}\left(\overline{z_{1}}-2 \mathrm{i}
ight)+1=0$, 即 $\left|z_{1}
ight|^{2}-2 \mathrm{i} \overline{z_{1}}-3=0$.令 $z_{1}=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$, 所以 $a^{2}+b^{2}-2 \mathrm{i}(a-b \mathrm{i})-3=0$,即 $\left(a^{2}+b^{2}-2 b-3
ight)-2 a i=0$ ，所以 $\left\{egin{array}{l}a^{2}+b^{2}-2 b-3=0 \ -2 a=0\end{array}
ight.$, 解得 $\left\{egin{array}{l}a=0 \ b=3\end{array}
ight.$ 或 $\left\{egin{array}{l}a=0 \ b=-1\end{array}
ight.$.所以 $z_{1}=3 \mathrm{i}, z_{2}=-5 \mathrm{i}$ 或 $z_{1}=-\mathrm{i}, z_{2}=-\mathrm{i}$. (2) 由已知得 $z_{1}=rac{2 \mathrm{i} z_{2}-1}{z_{2}+2 \mathrm{i}}$,又 $\left|z_{1}
ight|=\sqrt{3}$, 所以 $\left|rac{2 \mathrm{i} z_{2}-1}{z_{2}+2 \mathrm{i}}
ight|=\sqrt{3}$, 所以 $\left|2 \mathrm{i} z_{2}-1
ight|^{2}=3\left|z_{2}+2 \mathrm{i}
ight|^{2}$,所以 $\left(2 \mathrm{i} z_{2}-1
ight)\left(-2 \mathrm{i} \overline{z_{2}}-1
ight)=3\left(z_{2}+2 \mathrm{i}
ight)\left(\overline{z_{2}}-2 \mathrm{i}
ight)$,整理得 $\left(z_{2}-4 i
ight)\left(\overline{z_{2}}+4 i
ight)=27$, 所以 $\left|z_{2}-4 i
ight|^{2}=27$, 即 $\left|z_{2}-4 i
ight|=3 \sqrt{3}$, 所以存在常数 $k=3 \sqrt{3}$, 使得等式 $\left|z_{2}-4 i
ight|=k$ 恒成立.