14.【2020,9月, 资阳一诊】已知当 $x=\theta$ 且 $\tan \theta=2$ 时, 函数 $f(x)=\sin x(a \cos x+\sin x)$ 取得最大值,则 $a$ 的值为
由题意可得: $f(x)=\sin x(a \cos x+\sin x)=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{1}{4}} \sin (2 \theta-\varphi)$, 其中 $\tan \varphi=\frac{1}{a}$,

$\therefore \sin \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}, \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}$. 因为 $\tan \theta=2 \Rightarrow \sin (2 \theta)=\frac{4}{5}, \cos (2 \theta)=-\frac{3}{5}$.

$f(x)=\sin x(a \cos x+\sin x)=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{1}{4}} \sin (2 \theta-\varphi)$, 要取得最大值, $\sin (2 \theta-\varphi)=1$,

$\sin (2 \theta) \cos \varphi-\cos (2 \theta) \sin \varphi=1$, 带入以上所求, 化简: $9 a^{2}-24 a+16=0$, 解: $a=\frac{4}{3}$.