(本小题8.0分)

如图1, 在数轴上 $A$ 点表示数 $a, B$ 点示数 $b, a 、 b$ 满足 $|a+2|+|b-6|=0$

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(1) 点 $A$ 表示的数为 , 点 $B$ 表示的数为

(2)若点 $A$ 与点 $C$ 之间的距离表示为 $A C$, 点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离表示为 $B C$, 请在数轴上找一点 $C$,使 $A C=2 B C$, 则 $C$ 点表示的数为 \$ \qquad \$ .

(3)如图2, 若在原点 $O$ 处放一挡板, 一小球甲从点 $A$ 处以 1 个单位/秒的速度向左运动; 同时另
一小球乙从点 $B$ 处以 2 个单位/秒的速度也向左运动, 在碰到挡板后(忽略球的大小, 可看作一

点)以原来的速度向相反的方向运动, 设运动的时间为 $t($ 秒),

(1)分别表示出甲、乙两小球到原点的距离(用 $t$ 表示);

(2)求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.


## 【分析】

本题考查了非负数的性质, 方程的解法, 数轴, 两点间的距离, 有一定难度, 运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键. (1)根据非负数的性质求得 $a=-2, b=6$;

(2)分 $C$ 点在线段 $A B$ 上和线段 $A B$ 的延长线上两种情况讨论即可求解;

(3)(1)甲球到原点的距离=甲球运动的路程 $+O A$ 的长, 乙球到原点的距离分两种情况: (I)当 $0<$ $t \leq 3$ 时, 乙球从点 $B$ 处开始向左运动, 一直到原点 $O$, 此时 $O B$ 的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离; (II)当 $t>3$ 时, 乙球从原点 $O$ 处开始向右运动, 此时乙球运动的路程 $-O B$ 的长度即为乙球到原点的距离;

(2)分两种情况: (I ) $0<t \leq 3$, (II) $t>3$, 根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于 $t$ 的方程, 解方程即可.

## 【解答】

解: (1) $\because|a+2|+|b-6|=0$,

$\therefore a+2=0, b-6=0$,

解得, $a=-2, b=6$,

$\therefore$ 点 $A$ 表示的数为 -2, 点 $B$ 表示的数为 6 .

故答案为 $-2 ; 6$;

(2) 设数轴上点 $C$ 表示的数为 $c$,

$\because A C=2 B C$,

$\therefore|c-a|=2|c-b|$, 即 $|c+2|=2|c-6|$,

$\because A C=2 B C>B C$,

$\therefore$ 点 $C$ 不可能在 $B A$ 的延长线上, 则 $C$ 点可能在线段 $A B$ 上和线段 $A B$ 的延长线上;

(1) 当 $C$ 点在线段 $A B$ 上时, 则有 $-2 \leq c \leq 6$,

得 $c+2=2(6-c)$, 解得 $c=\frac{10}{3}$;

(2) 当 $C$ 点在线段 $A B$ 的延长线上时, 则有 $c>6$,

得 $c+2=2(c-6)$, 解得 $c=14$.

故当 $A C=2 B C$ 时, $c=\frac{10}{3}$ 或 $c=14$ ；

故答案为 14 或 $\frac{10}{3}$;

(3)见答案.