欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ (其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位) 是由著名数学家欧拉发现的, 当 $x=\pi$ 时, $e^{\pi i}+1=0$, 这是数学里最令人着迷的一个公式, 数学家们评价它是“上帝创造的公式”, 根据欧拉公式, 若将 $e^{\frac{\pi}{3} i}$ 所表示的复数记为 $z$, 那么 $|z|=$
答案: 1

【解析】 【解析】 由题意, $e^{\frac{\pi}{3} i}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$,

<ImageHere>

故答案为: 1 .

【分析】由已知可得 $e^{\frac{\pi}{3} i}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$, 再由复数模的计算公式求解.

22.答案: $2 \sqrt{2}$

【解析】 设 $z=\cos \theta+i \sin \theta,(0 \leq \theta<2 \pi)$.

则 $|z+i|+|z-i|=\sqrt{\cos ^{2} \theta+(\sin \theta+1)^{2}}+\sqrt{\cos ^{2} \theta+(\sin \theta-1)^{2}}$

$=\sqrt{2(1+\sin \theta)}+\sqrt{2(1-\sin \theta)}=\sqrt{2\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right)^{2}}+\sqrt{2\left(\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{2}\left|\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right|+\sqrt{2}\left|\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2}\right|$.

$\because 0 \leq \theta<2 \pi, \quad \therefore 0 \leq \frac{\theta}{2}<\pi$.

当 $\frac{\theta}{2} \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]_{\text {时, }} 0 \leq \sin \frac{\theta}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos \frac{\theta}{2} \leq 1$,

所以 $|z+i|+|z-i|=2 \sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|$ 的最大值是 $2 \sqrt{2}$;

当 $\frac{\theta}{2} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]_{\text {时, }}-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos \frac{\theta}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\sin \frac{\theta}{2} \leq 1$,

所以 $|z+i|+|z-i|=2 \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|$ 的最大值是 $2 \sqrt{2}$;

当 $\frac{\theta}{2} \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)_{\text {时, }}-1<\cos \frac{\theta}{2}<-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0<\sin \frac{\theta}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以 $\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|<\left|\cos \frac{\theta}{2}\right|$,

$|z+i|+|z-i|=-2 \sqrt{2} \cos \frac{\theta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|<2 \sqrt{2}$.

<ImageHere>

故答案为: $2 \sqrt{2}$.

【分析】设 $z=\cos \theta+i \sin \theta,(0 \leq \theta<2 \pi)$, 化简得 $\left.|z+i|+|z-i|=\sqrt{2}\left|\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}\right|+\sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2} \right\rvert\,$,再分类讨论去绝对值, 在根据三角函数的性质, 即可求出结果.



23.答案: (1) 【解析】 $z-i=3+b i-i=3+(b-1) i$

$\because z-i$ 为实数, $\therefore b-1=0$, 则 $b=1, \therefore z=3+i$;

（2）【解析】 由（1）可知 $z=3+i$, 则 $|z|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$.

【分析】(1) 根据复数的类型确定 $b$ 的值, 即可得出复数 $z$; (2) 由模长公式求解即可.