据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上, 按月呈 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+$ $b\left(A>0, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的模型波动 $(x$ 为月份), 已知 3 月份达到最高价 9 千元, 7 月份价格最低为 5 千元, 根据以上条件可确定 $f(x)$ 的解析式为 ( )
解析: 令 $x=3$ 可排除 $\mathrm{D}$, 令 $x=7$ 可排除 $\mathrm{B}$, 由 $A=\frac{9-5}{2}=2$ 可排除 $\mathrm{C}$; 或由题意,

可得 $A=\frac{9-5}{2}=2, b=7$, 周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \times(7-3)=8, \therefore \omega=\frac{\pi}{4}$.

$\therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x+\varphi\right)+7$.

$\because$ 当 $x=3$ 时, $y=9$,

$\therefore 2 \sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)+7=9$,

即 $\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)=1$.

$\because|\varphi|<\frac{\pi}{2}, \quad \therefore \varphi=-\frac{\pi}{4}$.

$\therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right)+7\left(1 \leqslant x \leqslant 12, x \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

## 答案: A