如图为我国数学家赵爽 (约 3 世纪初) 在为 《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图, 现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色, 规定每个区域只涂一种颜色, 相邻区域颜色不相同, 则不同的涂色方案共有 ( )

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答案: D

【解析】 根据题意, 如图,

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设 5 个区域依次为 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ ，分 4 步进行分析:

(1)对于区域 $A$, 有 5 种颜色可选;

(2)对于区域 $B$ ，与 $A$ 区域相邻，有 4 种颜色可选;

(3)对于区域 $C$ ，与 $A 、 B$ 区域相邻，有 3 种颜色可选；

(4)对于区域 $D 、 E$, 若 $D$ 与 $B$ 颜色相同, $E$ 区域有 3 种颜色可选, 若 $D$ 与 $B$ 颜色不相同, $D$ 区域有 2 种颜色可选, $E$ 区域有 2 种颜色可选, 则区域 $D 、 E$ 有 $3+2 \times 2=7$ 种选择,则不同的涂色方案有 $5 \times 4 \times 3 \times 7=420$ 种;

故选: D.

12.答案: D

解：分两种情况：（1） A、C 不同色（注意： B、D 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 2 中颜色中任意取一色）: 有 $4 \times 3 \times 2 \times 2=48$ 种;

(2) $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色 （注意: $\mathrm{B} 、 \mathrm{D}$ 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 3 中颜色中任意取一色）: 有 $4 \times 3 \times 1 \times 3=36$ 种.

共有 84 种, 故答案为: D.