(8 分) 如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A C$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A D B=\angle C D B$.

(1)试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并给出证明;

(2)若 $A B=\sqrt{2}, A D=1$, 求 $C D$ 的长度.

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（第 19 题）


(1) 根据圆周角定理可得 $\angle A B C=90^{\circ}$, 由 $\angle A D B=\angle C D B$ 根据等弧对等角可得 $\angle A C B=\angle C A B$, 即可证明;

(2) Rt $\triangle A B C$ 中由勾股定理可得 $A C$, Rt $\triangle A D C$ 中由勾股定理求得 $C D$ 即可;

【详解】(1) 证明: $\because A C$ 是圆的直径, 则 $\angle A B C=\angle A D C=90^{\circ}$,

$\because \angle A D B=\angle C D B, \angle A D B=\angle A C B, \angle C D B=\angle C A B$,

$\therefore \angle A C B=\angle C A B$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰直角三角形;

(2) 解: $\because \triangle A B C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B C=A B=\sqrt{2}$,

$\therefore A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=2$,

Rt $\triangle A D C$ 中, $\angle A D C=90^{\circ}, A D=1$, 则 $C D=\sqrt{A C^{2}-A D^{2}}=\sqrt{3}$,

$\therefore C D=\sqrt{3}$.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 等腰直角三角形的判定和性质, 勾股定理等知识; 掌握等弧对等角是解题关键.

