数轴上的点 $A$, 给出如下定义: 点 $A$ 在数轴上移动, 沿负方向移动 $r$ 个单位长度 ( $r$ 是正数)后所在位置点表示的数是 $x$, 沿正方向移动 $r$ 个单位长度 ( $r$ 是正数) 后所在位置点表示的数 $y, x$与 $y$ 这两个数叫做 “点 $A$ 的 $r$ 对称数”, 记作 $D(A, r)=\{x, y\}$, 其中 $x<y$. 例如: 原点 $O$ 表示 0 , 原点 $O$ 的 1 对称数是 $D(0,1)=\{-1,+1\}$

(1) 若点 $A$ 表示 $-2, r=3$, 直接写出点 $A$ 的 3 对称数.

(2) 若 $D(A, r)=\{-1,9\}$, 求点 $A$ 表示的数和 $r$ 的值.

(3) 若点 $A$ 表示 $-3, D(A, r)=\{-5, y\}$, 求 $y$ 的值.

(4) 已知 $D(A, 3)=\{x, y\}, D(B, 2)=\{m, n\}$, 若点 $A$ 、点 $B$ 从原点同时同向出发, 且点 $A$ 的速度是点 $B$速度的 2 倍, 当 $|y-n|=2|x-m|$ 时, 直接写出点 $A$ 表示的数.
答案】解：（1） (1) $\because-2-3=-5,-2+3=+1$,

$\therefore D(A, 3)=\{-5,+1\}$

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\because D(A, r)=\{-1,9\}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-r=-1 \\ a+r=9\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ r=5\end{array}\right.$,

$\therefore$ 点 $A$ 表示的数是 $4, r$ 的值是 5 ;

(3) 由题可得: $\left\{\begin{array}{l}-3-r=-5 \\ -3+r=y\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}r=2 \\ y=-1\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 的值是 -1 ;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-3=x \\ a+3=y\end{array},\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}-2=m \\ \frac{a}{2}+2=n\end{array}\right.\right.$,
$\therefore|y-n|=\left|a+3-\left(\frac{a}{2}+2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}+1\right|,|x-m|=\left|a-3-\left(\frac{a}{2}-2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

$\because|y-n|=2|x-m|$,

$\therefore\left|\frac{a}{2}+1\right|=2\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

解得 $a=6$ 或

【解析】本题主要考查了新定义问题的解题方法, 数轴的概念, 有理数的加、减法, 二元一次方程组的解法.解答本题的关键是理解新定义问题的运算法则.

(1) 根据新定义问题中求 $x 、 y$ 的方法进行解答，即可求解;

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 根据新定义问题的运算法则列出关于 $a 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

（3） 根据新定义问题的运算法则列出关于 $y 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 则点 $B$ 表示的数为 $\frac{a}{2}$, 然后根据新定义问题的运算法则分别求出 $x 、 y 、 m$ 、 $n$ 的值, 再根据 $|y-n|=2|x-m|$ 得到关于 $a$ 的方程, 解这个方程, 即可求解.