20. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $b \cos C+c \sin B=0$.

(1) 求 $C$;

(2) 若 $a=\sqrt{5}, b=\sqrt{10}$, 点 $D$ 在边 $A B$ 上, $C D=B D$, 求 $C D$ 的长.
(1) 因为 $b \cos C+\operatorname{csin} B=0$,

所以由正弦定理知, $\sin B \cos C+\sin C \sin B=0$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $\sin B>0$,

于是 $\cos C+\sin C=0$, 即 $\tan C=-1$, 3 分

因为 $0<C<\pi$, 所以 $C=\frac{3 \pi}{4}$.

(2) 由（1）结合余弦定理, 得

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2}-2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{10} \times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=25$,

所以 $c=5$, 所以 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{5+25-10}{2 \times \sqrt{5} \times 5}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

因为在 $\triangle B C D$ 中, $C D=B D$,

所以 $\frac{\frac{1}{2} B C}{C D}=\cos B$, 所以 $C D=\frac{a}{2 \cos B}=\frac{\sqrt{5}}{2 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{4}$