七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题“代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $a$ 的值”, 通常的解题方法是: 把 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 看作字母, $\mathrm{a}$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 ,

即原式 $=(a+3) x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.

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图1

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(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

(2) 已知 $\mathrm{A}=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, \mathrm{~B}=-x^{2}+x y-1$; 且 $3 \mathrm{~A}+6 \mathrm{~B}$ 的值与 $x$ 无关, 求 $y$ 的值;

(3) 7 张如图 1 的小长方形, 长为 $\mathrm{a}$, 宽为 $\mathrm{b}$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $\mathrm{ABCD}$ 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.


(1) 解: $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x$

$=(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关,

$\therefore 2 m-3=0$,

解得 $m=\frac{3}{2}$.

(2) 解: $\because A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=-x^{2}+x y-1$,

$$
\begin{gathered}
\therefore 3 A+6 B=3\left(2 x^{2}+3 x y-2 x-1\right)+6\left(-x^{2}+x y-1\right) \\
=6 x^{2}+9 x y-6 x-3-6 x^{2}+6 x y-6 \\
=15 x y-6 x-9
\end{gathered}
$$

$=(15 y-6) x-9$,

$\because 3 A+6 B$ 的值与 $x$ 无关,

$\therefore 15 y-6=0$,

解得 $y=\frac{2}{5}$.

(3) 解：设 $A B=x$,

由图可知, $S_{1}=a(x-3 b)=a x-3 a b, S_{2}=2 b(x-2 a)=2 b x-4 a b$,

则 $S_{1}-S_{2}=a x-3 a b-(2 b x-4 a b)$

$$
=a x-3 a b-2 b x+4 a b
$$

$=(a-2 b) x+a b$,
$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 的值与 $x$ 的值无关,

$\therefore a-2 b=0$,

$\therefore a=2 b$.