在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 在以原点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 圆 $C$ 的方程为 $\rho=2 \sqrt{5} \sin \theta$.

(1)写出直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程;

(2)若点 $P$ 坐标为 $(3, \sqrt{5})$, 圆 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|P A|+|P B|$ 的值.
试题分析: (1) 由加减消元得直线 $l$ 的普通方程,由 $\rho \sin \theta=y, \rho^{2}=x^{2}+y^{2}$ 得圆 $C$ 的直角坐标方程;

（2）把直线 $l$ 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 由直线参数方程几何意义得 $|\mathrm{PA}|+|\mathrm{PB}|=\left|\mathrm{t}_{1}\right|+\left|\mathrm{t}_{2}\right|=\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}$, 再根据韦达定理可得结果

试题解析: 解: (I) 由 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$ 得直线 $l$ 的普通方程为 $x+y-3-\sqrt{5}=0$

又由 $\rho=2 \sqrt{5} \sin \theta$ 得 $\rho^{2}=2 \sqrt{5} \rho \sin \theta$, 化为直角坐标方程为 $x^{2}+(y-\sqrt{5})^{2}=5$;

(II) 把直线 $l$ 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,
得 $\left(3-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{t}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{t}\right)^{2}=5$, 即 $\mathrm{t}^{2}-3 \sqrt{2} \mathrm{t}+4=0$

设 $\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}$ 是上述方程的两实数根,

所以 $\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}=3 \sqrt{2}$

又直线 $l$ 过点 $P(3, \sqrt{5}), A 、 B$ 两点对应的参数分别为 $t_{1}, t_{2}$,

所以 $|\mathrm{PA}|+|\mathrm{PB}|=\left|\mathrm{t}_{1}\right|+\left|\mathrm{t}_{2}\right|=\mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}=3 \sqrt{2}$.