一座拱桥的轮廓是抛物线型 (如图所示), 桥高为 8 米,拱高 6 米, 跨度 20 米. 相邻两支柱间的距离均为 5 米, 则支柱 $M N$ 的高度为（）米.

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设拱桥两端分别为点 $A 、 B$, 拱桥顶端为点 $C$, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴, 以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点, $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 则点

$A(-10,0), B(10,0), C(0,6)$, 点 $M, N$ 的横坐标为 5 , 再求出抛物线的解析式, 即可求解.

【详解】解: 如图, 设拱桥两端分别为点 $A 、 B$, 拱桥顶端为点 $C$, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$轴, 以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点, $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 则点 $A(-10,0), B(10,0), C(0,6)$, 点 $M, N$ 的横坐标为 5 ,

设抛物线的解析式为 $y=a x^{2}+c$,

把点 $A(-10,0), C(0,6)$ 代入得:

$\left\{\begin{array}{l}100 a+c=0 \\ c=6\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{50} \\ c=6\end{array}\right.$,

$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{50} x^{2}+6$,
当 $x=5$ 时, $y=-\frac{3}{50} \times 5^{2}+6=4.5$,

$\therefore$ 支柱 $M N$ 的高度为 $8-4.5=3.5$ 米.

故选: C

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键.

