定义在 $\mathrm{R}$ 上的函数 $y=f(x)$, 当 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 且对任意的 $x, y \in R$, 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$.

(I) 求证: $f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 上的增函数;

(II) 求不等式 $f(x)+f\left(2 x-x^{2}\right)>2$ 的解集.
(I) 任取 $x_{1}, x_{2} \in R$, 且设 $x_{1}<x_{2}$, 结合当 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 以及 $x, y \in R$, 都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-1$, 可以证明 $f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$, 即可证明 $f(x)$ 是 $\mathrm{R}$ 上的增函数; （II）利用抽象函数的性质及 $f(x)$ 的单调性, 可以得到 $3 x-x^{2}>0$, 求解即可.