在 $\odot O$ 中, 弦 $A B$ 和弦 $A C$ 构成的 $\angle B A C=48^{\circ}, M, N$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点, 则 $\angle M O N$ 的度数为 $\qquad$ .

【分析】
本题主要考查了垂径定理, 分类讨论, 数形结合是解答此题的关键.

连接 $O M, O N$, 利用垂径定理得 $O M \perp A B, O N \perp A C$, 再分类讨论, 当 $A B, A C$ 在圆心异侧时(如图 1 ),利用四边形内角和得结果; 当 $A B, A C$ 在圆心同侧时(如图2), 利用等角的余角相等得结果.

## 【解答】

解: 连结 $O M, O N$,

$\because M, N$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点,

$\therefore O M \perp A B, O N \perp A C$.

当 $A B, A C$ 在圆心异侧时, 如图 1 , 在四边形 $A M O N$ 中,

$\because \angle B A C=48^{\circ}$,

$\therefore \angle M O N=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}$;

<ImageHere>

图 1

当 $A B, A C$ 在圆心同侧时, 如图 2 ,

$\because \angle A D M=\angle O D N, \angle A M D=\angle O N D$,

$\therefore 90^{\circ}-\angle A D M=90^{\circ}-\angle O D N$

即 $\angle M O N=\angle B A C=48^{\circ}$.

<ImageHere>

图 2
综上, $\angle M O N$ 的度数为 $132^{\circ}$ 或 $48^{\circ}$.

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