已知: 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-^{\frac{1}{3}} \mathrm{x}^{3}+\frac{1}{\frac{1}{2}} \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{ax}$,

(1) 若 $a=1$, 求 $f(x)$ 的极值;

（2）当 $0<a<2$ 时, $f(x)$ 在 $[1,4]$ 上的最小值为 ${ }^{\frac{16}{3}}$, 求 $f(x)$ 在该区间上的最大值.
答案:（1）解：当 $\mathrm{a}=1$ 时,

$$
f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+2 x, \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+2=-(\mathrm{x}+1) \quad(\mathrm{x}-2)
$$

列表得:

| $\mathrm{x}$ | $(-\infty,-1)$ | -1 | $(-1,2)$ | 2 | $(2,+\infty)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ | - | 0 | + | 0 | - |
| $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ | 单调减 | $-\frac{7}{6}$ | 单调增 | $\frac{10}{3}$ | 单调减 |

所以, $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极大值为 $\frac{10}{3}, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极小值为 $-\frac{7}{6}$

(2) 解: 令 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0$, 得 $x_{1}=\frac{1-\sqrt{1+8 a}}{2}, x_{2}=\frac{1+\sqrt{1+8 a}}{2} ; \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left(-\infty, \mathrm{x}_{1}\right),\left(\mathrm{x}_{2}\right.$, $+\infty)$ 上单调递减, 在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 上单调递增,

当 $0<\mathrm{a}<2$ 时, 有 $\mathrm{x}_{1}<1<\mathrm{x}_{2}<4$,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[1,4]$ 上的最大值为 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)$,

f (4) $<\mathrm{f}(1)$,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[1,4]$ 上的最小值为 $f(4)=8 a-\frac{40}{3}=-\frac{16}{3}$,

解得: $a=1, x_{2}=2$.

故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[1,4]$ 上的最大值为 $f(2)=\frac{10}{3}$

【解析】【分析】(1) 当 $\mathrm{a}=1$ 时, $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+2 x$, 求导后分析函数的单调性, 进而可得

$f(x)$ 的极值; （2）当 $0<a<2$ 时, $f(x)$ 在 $[1,4]$ 上的最小值为 $f(4)=-^{\frac{16}{3}}$, 求出 $a$ 值后, 可得 $f(x)$ 在该区间上的最大值.