如图三棱柱, $A B C D$ 为菱形, $\angle B A D=60^{\circ}, F A=F D, M$ 为 $A B$ 的中点, 平面 $F A D \perp$ 平面 $A B C D$.

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(I) 求证: $A C \perp F M$;

(II) 若直线 $F M$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$, 求二面角 $F-M D-A$ 所成角的正弦值
【分析】

(I) 取 $A D$ 的中点 $N$, 连接 $F N$, 可得 $F N \perp$ 面 $A B C D$, 可得 $F N \perp A C$, 同时由 $A C \perp M N$ ，可得 $A C \perp$ 面 $F M N ，$ 可得 $A C \perp F M$ ；

(II) 过 $N$ 作 $M D$ 的垂线, 垂足为 $P$, 连接 $F P$, 可得 $\angle F P N$ 即为二面角 $F-M D-A$所成角, 同时由题意可得 $N G=\frac{1}{2} A M, F N=M N$, 设设 $F N=a$, 则 $F N=M N=\mathrm{a}$, $N P=\frac{1}{2} A M=\frac{a}{2}, F P=\frac{\sqrt{5}}{2} \mathrm{a}$, 可得 $\sin \angle F P N$ 的值, 即二面角 $F-M D-A$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

## 【详解】

解: (I) 取 $A D$ 的中点 $N$, 连接 $F N$, 由 $F A=F D$ 可得: $F N \perp A D$,

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故: $\left.\begin{array}{l}F N \perp A D \\ \text { 面 } F A D \perp \text { 面 } F A D C D \cap \text { 面 } A B C D=A D \\ F N \subset \text { 面 } F A D\end{array}\right\} \Rightarrow F N \perp$ 面 $A B C D$

由 $A C \subset$ 面 $A B C D$, 可得 $F N \perp A C$,

同时易得: $M N / / B D, A C \perp B D$, 可得 $A C \perp M N$

故: $\left.\begin{array}{l}F N \perp A C, A C \perp M N \\ F N \subset M N=N \\ F N \subset \text { 面 } F M N, M N \subset \text { 面 } F M N\end{array}\right\} \Rightarrow A C \perp$ 面 $F M N$

由 $F M \subset$ 面 $F M N$

故 $A C \perp F M$;

(II) 过 $N$ 作 $M D$ 的垂线, 垂足为 $P$, 连接 $F P$,

易得: $N G \| A M$, 且 $N G=\frac{1}{2} A M$,

同时由直线 $F M$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}, F N \perp$ 面 $A B C D$, 可得 $\angle F M N=45^{\circ}$,

$\triangle F M N$ 为等腰直角三角形, $F N=M N$,

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则 $\angle F P N$ 即为二面角 $F-M D-A$ 所成角.

设 $F N=a$, 则 $F N=M N=\mathrm{a}, N P=\frac{1}{2} A M=\frac{a}{2}$,

在 $\triangle F N P$ 中, 可得: $F P=\frac{\sqrt{5}}{2} \mathrm{a}$

可得: $\sin \angle F P N=\frac{F N}{F P}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

即二面角 $F-M D-A$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定与性质, 及二面角的求法, 综合性大, 属于难题.