用数学归纳法证明 $(n+2)(n+3) \cdots(2 n+2)=2^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdots \cdots(2 n+1)(n \in N)$ 时, 从 “ $k$ ” 到 $“ k+1$ ”的证明等式左边需增添的代数式是（）
答案: D

解: 由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 等式左端的项为 $(k+1+2)(k+1+3) \cdots(2(k+1)+2)$,

等式左端增加的项为 $\frac{(2 k+3)(2 k+4)}{k+2}$

故答案为:
D.

【分析】左边用“ $k+1$ ”替换“ $k$ ”, 观察增加的变化项即可得结果.