14. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增数列, $a_{1}=1$, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且满足

$2 S_{n}=a_{n}^{2}-2 S_{n-1}+1\left(n \geq 2, n \in N_{+}\right)$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 若数列 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}$, 其前 $n$ 项和为 $T_{n}$, 若 $T_{n}>\frac{9}{19}$ 成立, 求 $n$ 的最小值.
试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式; (2) 先根据裂项相消法求 $T_{n}$, 再解不等式得 $n>9$, 即得 $n$ 的最小值.试题解析: (1) 由 $2 S_{n}=a_{n}^{2}-2 S_{n-1}+1$ 知: $2 S_{n-1}=a_{n-1}^{2}-2 S_{n-2}+1,(n \geq 3)$,两式相减得: $2 a_{n}=a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}-2 a_{n-1}$,
即 $2\left(a_{n}+a_{n-1}\right)=\left(a_{n}-a_{n-1}\right)\left(a_{n}+a_{n-1}\right)$, 又数列 $\left[a_{n}\right\}$ 为单调递增数列, $a_{1}=1, \therefore a_{n}+a_{n-1}>0$,

$\therefore a_{n}-a_{n-1}=2(n \geq 3)$,

又当 $n=2$ 时, $2\left(a_{1}+a_{2}\right)=a_{2}^{2}-2 a_{1}+1$, 即 $a_{2}^{2}-2 a_{2}-3=0$, 解得 $a_{2}=3$ 或 $a_{2}=-1$ (舍)，

符合 $a_{n}-a_{n-1}=2, \therefore\left\{a_{n}\right\}$ 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列,

$\therefore a_{n}=1+(n-1) \times 2=2 n-1$.

(2) $b_{n}=\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 m-1}-\frac{1}{2 n+1}\right)$,

$\therefore T_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 m+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2 m+1}\right)$,

又 $\because T_{n}>\frac{9}{19}$, 即 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2 n+1}\right)>\frac{9}{19}$, 解得 $n>9$,

又 $n \in N_{+}$, 所以 $n$ 的最小值为 10 .