(8 分) 如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 且 $\odot O$ 的半径为 $r, \angle B C D=110^{\circ}$.

(1)若 $r=2$, 求 $B D$ 的长.

(2)若 $A B / / C D, A B=D B$, 求证: $C D=r$.

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(1) 连接 $O B, O D$, 根据圆内接四边形的性质得到 $\angle A=70^{\circ}$, 由圆周角定理得到 $\angle B O D=140^{\circ}$, 根据弧长的公式即可得到结论;

（2）根据 $A B=D B$, 得 $\angle A B D=40^{\circ}$, 根据 $A B / / C D$, 得 $\angle B D C=\angle A B D=40^{\circ}$, 所以 $\angle D B C=30^{\circ}, \angle C O D=2 \angle D B C=60^{\circ}$, 可得 $\triangle O C D$ 为等边三角形, 即可得出结论.

【详解】(1) 解: 连接 $O B, O C, O D$,

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$\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle B C D=110^{\circ}$,

$\therefore \angle A=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=140^{\circ}$,

$\therefore B D$ 的长为 $\frac{140 \pi \times 2}{180}=\frac{14}{9} \pi$;

（2）证明: $\because A B=D B$,

$\therefore \angle A=\angle A D B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=40^{\circ}$

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle B D C=\angle A B D=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C=180^{\circ}-110^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=2 \angle D B C=60^{\circ}$,

$\because O C=O D$,

$\therefore \triangle O C D$ 为等边三角形,

$\therefore C D=O C=r$.

【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质, 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

