在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知平面 $A A_{1} C_{1} C \perp$ 平面 $A B C D$, 且 $A B=B C, A D=C D$, 则 $B D$ 与 $C C_{1}(\quad)$
所示, 在四边形 $A B C D$ 中,

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$\because A B=B C, A D=C D . \therefore B D \perp A C, \because$ 平面 $A A_{1} C_{1} C \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $A A_{1} C_{1} C \cap$ 平面 $A B C D=A C, B D \subset$ 平面 $A B C D, \therefore B D \perp$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$. 又 $C C_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} C_{1} C, \therefore B D \perp C C_{1}$, 故选 C.