如图, 矩形 $A B C D$ 的两边长 $A B=18 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 点 $M 、 N$ 分别从 $A 、 B$ 同时出发. $M$ 在边 $A B$ 上沿 $A B$ 方向以每秒 $2 \mathrm{~cm}$ 的速度匀速运动, $N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$ 的速度的匀速运动, 当 $N$ 到达 $C$ 点时, $M 、 N$ 停止运动. 当运动时间 $t=$ $\qquad$秒时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 最大值为 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2}$.

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 $B M=18-2 t, B N=t$, 根据 $S_{\triangle M B N}=\frac{1}{2} B M \cdot B N=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$, 结合 $0 \leq t \leq 4$ 得出
当 $t=4$ 时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 且最大值为 $S_{\triangle M B N}=-\left(4-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}=20\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

【详解】解: $\because N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$ 的速度的匀速运动, 当 $N$ 到达 $C$ 点时, $M 、 N$ 停止运动,

$\therefore 0 \leq t \leq 4$,

$\because M$ 在边 $A B$ 上沿 $A B$ 方向以每秒 $2 \mathrm{~cm}$ 的速度匀速运动, $N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$的速度的匀速运动,

$\therefore B M=18-2 t, \quad B N=t$,

$\therefore S_{\triangle M B N}=\frac{1}{2} B M \cdot B N$

$=\frac{1}{2} \times t(18-2 t)$

$=-t^{2}+9 t$

$=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$,

$\therefore$ 当 $t=4$ 时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 且最大值为:

$S_{\triangle M B N}=-\left(4-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}=20\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

故答案为: $4 ; 20$.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用, 解题的关键是根据题意得出

$S_{\triangle M B N}=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$.

