(10 分)如图, 抛物线与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 在点 $B$ 左侧), 与 $y$ 轴交于点 $C(0,3)$,

拋物线的顶点 $D(2,-1)$.

(1)求拋物线对应的函数表达式以及 $A, B$ 两点的坐标.

(2)作 $C E / / x$ 轴交抛物线于点 $E$, 连接 $A C, A E$, 求 $\triangle A C E$ 的面积.

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（1）根据抛物线的顶点 $D(2,-1)$, 则抛物线对应的函数表达式可设为 $y=a(x-2)^{2}-1$. 将点 $C(0,3)$ 代入, 可得 $4 a-1=3$, 进行计算得 $a=1$, 即可得;

（2）根据点 $C(0,3)$ 得当 $y=3$ 时, $x^{2}-4 x+3=3$, 进行计算得点 $E(4,3)$, 可得 $C E=4, O C=3$ ，即可得.

【详解】(1) 解: $\because$ 抛物线的顶点 $D(2,-1)$,

$\therefore$ 拋物线对应的函数表达式可设为 $y=a(x-2)^{2}-1$.

将点 $C(0,3)$ 代入，可得 $4 a-1=3$,

$4 a=4$,

解得 $a=1$,

$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y=x^{2}-4 x+3$.

令 $y=0$, 则 $x^{2}-4 x+3=0$,

$(x-1)(x-3)=0$

解得 $x_{1}=1, x_{2}=3$,

$\therefore$ 点 $A 1,0, B(3,0)$.

(2) 解: $\because$ 点 $C(0,3)$,

$\therefore$ 当 $y=3$ 时, $x^{2}-4 x+3=3$,

$x^{2}-4 x=0$,

$x(x-4)=0$,

解得 $x_{1}=0, x_{2}=4$,

$\therefore$ 点 $E(4,3)$,

$\therefore C E=4, \quad O C=3$,

$S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} C E \cdot O C=\frac{1}{2} \times 4 \times 3=6$.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质, 三角形的面积, 解题的关键是掌握这些知识点.

