乘法公式的探究及应用:

(1)如图1所示, 阴影部分的面积是 $\qquad$ (写成平方差的形式)
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图 2

图 1

(2)若将图1中的阴影部分剪下来, 拼成如图2所示的长方形, 此长方形的面积是 $\qquad$ (写成多项式相乘的形式).

(3)比较两图的阴影部分的面积, 可以得到乘法公式: . $\qquad$
(4)应用所得的公式计算: $2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}}$.
【答案】 $a^{2}-b^{2}(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

【解析】解: (1) $a^{2}-b^{2}$;

(2) $(a-b)(a+b)$;

(3) $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$;

$$
\begin{aligned}
& (4) 2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2^{16}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4-\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{2^{14}}
\end{aligned}
$$

$=4$.

(1)根据面积的和差，可得答案;

(2)根据矩形的面积公式，可得答案;

(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案;

(4)根据平方差公式计算即可.

本题考查的是平方差公式的推导和运用, 灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键.