已知定义是 $R$ 上的偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增, 记函数 $g(x)=x f(x)$, 对于如下两个命题: (1) 存在函数 $f(x)$, 使函数 $g(x)$ 在 $R$ 上递增; (2)存在函数 $f(x)$, 使函数 $g(x)$ 在 $R$ 上递减.下列判断正确的是 ( )
解析： $g(-x)=-x f(-x)=-x f(x)=-g(x)$, 则 $g(x)$ 为奇函数,

所以 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的单调性与在 $R$ 上的单调性相同.

(1) 若 $f(x)=x^{2}$, 则 $g(x)=x^{3}$, 显然 $g(x)$ 在上是增函数, 所以(1)为真命题.

(2) 若当 $x \geq 0$ 时, 若 $f(x)=-e^{-x-1}(x \geq 0)$, 则 $g(x)=-x e^{-x}-x$

$g^{\prime}(x)=-e^{-x}+x e^{-x}-1=\frac{x-1}{e^{x}}-1$

$g^{\prime \prime}(x)=\frac{2-x}{e^{x}}$

当 $0 \leq x<2$ 时, $g^{\prime \prime}(x)>0$, 当 $x>2$ 时, $g^{\prime \prime}(x)<0$

所以 $g^{\prime}(x)$ 在 $[0,2)$ 上单调递增, 在 $(2,+\infty)$ 上单调递减.

所以 $g^{\prime}(x) \leq g^{\prime}(2)=\frac{1}{e^{2}}-1<0$

所以 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减, 又 $g(x)$ 为奇函数且 $g(0)=0$, 所以函数 $g(x)$ 在 $R$ 上递减. 故选: A