在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $A(5,-2), B(7,3)$, 且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上, $B C$ 边的中点 $N$ 在 $x$ 轴上, 求:

(1)顶点 $C$ 的坐标; (2)直线 $M N$ 的方程.

解 (1)设 $C\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则 $A C$ 边的中点为 $M\left(\frac{x_{0}+5}{2}, \frac{y_{0}-2}{2}\right)$,

$B C$ 边的中点为 $N\left(\frac{x_{0}+7}{2}, \frac{y_{0}+3}{2}\right)$,

因为 $M$ 在 $y$ 轴上, 所以 $\frac{x_{0}+5}{2}=0$, 得 $x_{0}=-5$.

又因为 $N$ 在 $x$ 轴上, 所以 $\frac{y_{0}+3}{2}=0$,

所以 $y_{0}=-3$. 即 $C(-5,-3)$.

(2)由(1)可得 $M\left(0,-\frac{5}{2}\right), N(1,0)$,

所以直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$,

即 $5 x-2 y-5=0$.

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$\triangle A B C$ 中, 已知 $A(5,-2), B(7,3)$, 且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上, $B C$ 边的中点 $N$ 在 $x$ 轴上, 求:

(1)顶点 $C$ 的坐标; (2)直线 $M N$ 的方程.

解 (1)设 $C\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则 $A C$ 边的中点为 $M\left(\frac{x_{0}+5}{2}, \frac{y_{0}-2}{2}\right)$,

$B C$ 边的中点为 $N\left(\frac{x_{0}+7}{2}, \frac{y_{0}+3}{2}\right)$,

因为 $M$ 在 $y$ 轴上, 所以 $\frac{x_{0}+5}{2}=0$, 得 $x_{0}=-5$.

又因为 $N$ 在 $x$ 轴上, 所以 $\frac{y_{0}+3}{2}=0$,

所以 $y_{0}=-3$. 即 $C(-5,-3)$.

(2)由(1)可得 $M\left(0,-\frac{5}{2}\right), N(1,0)$,

所以直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$,

即 $5 x-2 y-5=0$.