若长方体的三个面的面积分别是 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}, \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}, \sqrt{6} \mathrm{~cm}^{2}$, 求:

（1）长方体的体对角线的长;

（2）长方体的表面积.
【分析】

(1) 设长方体的长, 宽, 高分别为 $a \mathrm{~cm}, b \mathrm{~cm}, c \mathrm{~cm}$, 根据已知条件列出方程, 求出 $a, b, c$,即可求出对角线;

（2）根据已知条件, 即可求解.

## 【详解】

（1）设长方体的长，宽，高分别为 $a \mathrm{~cm}, b \mathrm{~cm}, c \mathrm{~cm}$, 如图.

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可令 $\left\{\begin{array}{l}a b=\sqrt{2}, \\ b c=\sqrt{3}, \\ a c=\sqrt{6},\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}, \\ b=1, \\ c=\sqrt{3} .\end{array}\right.$

$\because B D_{1}^{2}=D D_{1}^{2}+B D^{2}=D D_{1}^{2}+A D^{2}+A B^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=6$,

$\therefore B D_{1}=\sqrt{6} \mathrm{~cm}, \therefore$ 该长方体的体对角线长为 $\sqrt{6} \mathrm{~cm}$.

(2) $S_{\text {表 }}=(2 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}+2 \sqrt{6}) \mathrm{cm}^{2}$.

【点睛】

本题考查长方体面的面积与边长的关系, 明确长方体的对角线与长、宽、高的关系, 属于基础题.