(2018 河北衡水中学第 16 次模拟) 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项为正数的等比数列, 点 $M\left(2, \log _{2} a_{2}\right)$ 、 $N\left(5, \log _{2} a_{5}\right)$ 都在直线 $y=x-1$ 上, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ( )
因为点 $M\left(2, \log _{2} a_{2}\right) 、 N\left(5, \log _{2} a_{5}\right)$ 都在直线 $y=x-1$ 上, 所以 $\log _{2} a_{2}=2-1=1$, 可得 $a_{2}=2, \log _{2} a_{5}=5-1=4$, 可得 $a_{5}=16$, 则公比 $q^{3}=\frac{a_{5}}{a_{2}}=8, q=2$, 所以 $S_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$,故选 C.