已知函数 $f(x)=2016^{x}+\log _{2016}\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)-2016^{-x}+2$, 则关于 $x$ 的不等式 $f(3 x+1)+f(x)>4$ 的解集为
由题意知: $f(x)$ 定义域为 $R$, 且 $f(-x)=2016^{-x}+\log _{2016}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)-2016^{x}+2$

$\therefore f(x)+f(-x)=4$

$\therefore f(3 x+1)+f(x)>4$ 等价于 $f(3 x+1)+f(x)>f(x)+f(-x)$

即: $f(3 x+1)>f(-x)$

$\because 2016^{x}-2016^{-x}$ 在 $R$ 上单调递增, $\log _{2016}\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)$ 在 $R$ 上单调递增,

$\therefore f(x)$ 在 $R$ 上单调递增,

$\therefore 3 x+1>-x$, 解得: $x>-\frac{1}{4}$

故答案为: $\left(-\frac{1}{4},+\infty\right)$

【分析】由函数解析式可知定义域为 $R$, 可验证得 $f(x)+f(-x)=4$, 从而将不等式等价转化为 $f(3 x+1)>f(-x)$; 判断出 $f(x)$ 的单调性后, 可将函数值的比较转化为自变量的比较, 得到不等式,进而求得结果.

四、解答题