设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点 $P$, 满足 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$, 且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为 ( )
解析： 设 $P F_{1}$ 的中点为 $M$, 由 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$,

故 $F_{2} M \perp P F_{1}$ ， 即 $\left|F_{2} M\right|=2 a ，$

在 Rt $\triangle F_{1} F_{2} M$ 中, $\left|F_{1} M\right|=\sqrt{(2 c)^{2}-(2 a)^{2}}=2 b$,

故 $\left|P F_{1}\right|=4 b$ ，则 $4 b-2 c=2 a$ ，

即 $2 b-a=c, \therefore(2 b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}$.

$\therefore 3 b^{2}-4 a b=0$, 即 $3 b=4 a$.

故双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$,

即 $y= \pm \frac{4}{3} x$, 故选 C.

答案： C