22. 已知 $\odot O$ 的直径为 $10, A B$ 是 $\odot O$ 的一条直径, 长为 20 的线段 $M N$ 的中点 $P$ 在 $\odot O$上运动(异于 $A, B$ 两点).

(1)求证: $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}$ 与点 $P$ 在 $\odot O$ 上的位置无关;

(2)当 $\overrightarrow{M N}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时, $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}$ 有最大值?
(1)证明: $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径， $P$ 为圆上一点，

$\therefore A P \perp B P ， \therefore \overrightarrow{A P} \perp \overrightarrow{B P}$ ，即 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=0$.

$\because P$ 为 $M N$ 的中点，且 $|\overrightarrow{M N}|=20 ，$
$\therefore \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{P N},|\overrightarrow{M P}|=|\overrightarrow{P N}|=10$,

$\therefore \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}=(\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P M}) \cdot(\overrightarrow{B P}+\overrightarrow{P N})$

$=(\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{P N}) \cdot(\overrightarrow{B P}+\overrightarrow{P N})$

$=\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}+\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{P N}-\overrightarrow{P N} \cdot \overrightarrow{B P}-\overrightarrow{P N} \cdot \overrightarrow{P N}$

$=\overrightarrow{P N} \cdot(\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{B P})-100=\frac{1}{2} \overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{A B}-100$.

$\therefore \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}$ 仅与 $\overrightarrow{M N} ， \overrightarrow{A B}$ 的夹角有关，而与点 $P$ 在 $\odot O$ 上的位置无关.

(2)由(1)，得 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M N} \cdot \overrightarrow{A B}-100=100 \cos \theta-100$.

$\because 0 \leqslant \theta \leqslant \pi ， \therefore$ 当 $\theta=0$ 时， $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}$ 取得最大值 0 .