若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足 $a_{4}-a_{1}=S_{3}, a_{5}-a_{1}=15$.

(1)求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ 和公比 $q$;

(2)若 $a_{n}>n+100$, 求 $n$ 的取值范围.
(1) $a_{4}-a_{1}=S_{3}, a_{5}-a_{1}=15$ 显然公比 $q \neq$,

$:\left\{\begin{array}{c}a_{1}\left(q^{3}-1\right)=\frac{a_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q} \\ a_{1}\left(q^{4}-1\right)=15\end{array}\right.$, 解可得 $q=2, a_{1}=1$,

(2)由(1)可得 $a_{n}=2^{n-1}$,

$\because a_{n}>n+100, \quad$ 即 $3^{n-1}>n+100 ，$

解可得, $n \geq 7$.