如图, 在棱长为 $\mathbf{a}$ 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $\mathbf{O}$ 是底面 $\mathbf{A B C D}$ 的中心, $\mathbf{E} 、 \mathbf{F}$分别为 $\mathrm{CC}_{1} 、 \mathrm{AD}$ 的中点, 求异面直线 $\mathrm{OE}$ 和 $\mathrm{FD}_{1}$ 所成角的余弦值.

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取 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中点 $\mathrm{M}$, 连接 $\mathrm{OM}, \mathrm{OF}$, 因为 $\mathrm{OF} / / \mathrm{MD}_{1}, O F=M D_{1}$,所以四边形 $\mathrm{OFD}_{1} \mathrm{M}$ 是平行四边形, 所以 $\mathrm{OM} / / \mathrm{FD}_{1}$,

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所以 $\angle \mathrm{MOE}$ 是异面直线 $\mathrm{OE}$ 和 $\mathrm{FD}_{1}$ 所成的角或其补角.

连接 $\mathrm{OC} 、 \mathrm{ME}$. 因为 $\mathrm{OM}=\mathrm{FD}_{1}=\sqrt{D F^{2}+D D_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2} a$,

$M E=\sqrt{M C_{1}^{2}+C_{1} E^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

$O E=\sqrt{O C^{2}+C E^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} a$,

所以 $\mathrm{OE}^{2}+\mathrm{ME}^{2}=\mathrm{OM}^{2}=\frac{5}{4} \mathrm{a}^{2}$, 所以 $\triangle \mathrm{OME}$ 是直角三角形, 且 $\angle \mathrm{OEM}=90^{\circ}$, 所以

$\cos \angle \mathrm{MOE}=\frac{O E}{O M}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{\frac{\sqrt{5}}{2} a}=\frac{\sqrt{15}}{5}$, 即异面直线 $\mathrm{OE}$ 和 $\mathrm{FD}_{1}$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

考点: 异面直线所成的角.