如图是我国汉代数学家赵爽在注解 《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”, 图中的四个直角三角形是
全等的, 如果大正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积是小正方形 $\mathrm{EFGH}$ 面积的 13 倍, 那么 $\tan \angle \mathrm{ADE}$ 的值为 ( )

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设小正方形 $\mathrm{EFGH}$ 面积是 $\mathrm{a}^{2}$, 则大正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积是 $13 \mathrm{a}^{2}$, $\therefore$ 小正方形 $\mathrm{EFGH}$ 边长是 $\mathrm{a}$, 则大正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长是 $\sqrt{13} \mathrm{a}$,
$\because$ 图中的四个直角三角形是全等的, $\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{DH}$,

设 $\mathrm{AE}=\mathrm{DH}=\mathrm{x}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{AED}$ 中, $\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{DE}^{2}$,

即 $13 a^{2}=x^{2}+(x+a)^{2}$ 解得: $x_{1}=2 a, x_{2}=-3 a$ （舍去）,

$\therefore \mathrm{AE}=2 \mathrm{a}, \quad \mathrm{DE}=3 \mathrm{a}, \therefore \tan \angle \mathrm{ADE}=\frac{A E}{D E}=\frac{2 a}{3 a}=\frac{2}{3}$. 故选 C.