如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 以 $A B$ 为直径的 $\odot 0$ 交 $B C$ 于 $E$, 过 $B$ 作 $\odot 0$ 的切线, 交 $A C$ 的延长线于 D. 求证: $\angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAB}$.

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【分析】连接 $\mathrm{AE}$, 利用等腰三角形的性质易证 $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAB}$, 由弦切角定理可得 $\angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAE}$, 所以 $\angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAB}$.

证明: 连接 $\mathrm{AE}$,

$\because \mathrm{AB}$ 是圆的直径,

$\therefore \mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

$\therefore \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAB}$,
$\because \mathrm{BD}$ 是 $\odot 0$ 的切线,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAE}$,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{CAB}$.

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