（12 分）现有一堆颜色不同, 形状一样的小球放入两个袋中, 其中甲袋有 5 个红色小球， 4 个白色小球，乙袋中有 4 个红色小球， 3 个白色小球.

(1) 分别从甲乙两袋中各取一个小球 (相互无影响), 求两个小球颜色不同的概率;

（2）先从两袋中任取一袋, 然后在所取袋中任取一球, 求取出为白球的概率;

（3）将两袋合为一袋, 然后在袋中任取 3 球, 设所取 3 个球中红球的个数为 $X$,求 $X$ 的分布列.
答案:(1) $\frac{31}{63}$; (2) $\frac{55}{126}$; (3) 分布列见解析.

【解析】(1）设事件 $A$ 为“从甲袋中取出红球”，事件 $B$ 为“从乙袋中取出红球”,

事件 $C$ 为“两球颜色不同”, 则 $P(A)=\frac{5}{9}, P(B)=\frac{4}{7}$,

所以 $P(C)=P(A) P(\bar{B})+P(\bar{A}) P(B)=\frac{5}{9} \times \frac{3}{7}+\frac{4}{9} \times \frac{4}{7}=\frac{31}{63}$.

(2) 设事件 $D$ 为“取出为白球”，事件 $E_{1}$ 为“取到甲袋”，事件 $E_{2}$ 为“取到乙袋”,

则 $P\left(E_{1}\right)=P\left(E_{2}\right)=\frac{1}{2}, P\left(D \mid E_{1}\right)=\frac{4}{9}, P\left(D \mid E_{2}\right)=\frac{3}{7}$,

则 $P(D)=P\left(D E_{1}\right)+P\left(D E_{2}\right)=P\left(E_{1}\right) P\left(D \mid E_{1}\right)+P\left(E_{2}\right) P\left(D \mid E_{2}\right)$

$=\frac{1}{2} \times \frac{4}{9}+\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}=\frac{55}{126}$

(3) 合为一袋后, 有 9 个红球和 7 个白球, 则 $X$ 的取值范围应为 $\{0,1,2,3\}$,

$P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{9}^{0} \mathrm{C}_{7}^{3}}{\mathrm{C}_{16}^{3}}=\frac{1}{16} ; P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{9}^{1} \mathrm{C}_{7}^{2}}{\mathrm{C}_{16}^{3}}=\frac{27}{80} ;$

$P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{9}^{2} \mathrm{C}_{7}^{1}}{\mathrm{C}_{16}^{3}}=\frac{9}{20} ; P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{9}^{3} \mathrm{C}_{7}^{0}}{\mathrm{C}_{16}^{3}}=\frac{3}{20}$,

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{27}{80}$ | $\frac{9}{20}$ | $\frac{3}{20}$ |