16. 在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $\left(\frac{1}{2} b-\sin C\right) \cos A=\sin A \cos C$, 且 $a=2$,则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为
$\because\left(\frac{1}{2} b-\sin C\right) \cos A=\sin A \cos C$,

$\therefore \frac{1}{2} b \cdot \cos A-\sin C \cos A=\sin A \cos C$,

$\therefore \frac{1}{2} b \cdot \cos A=\sin A \cos C+\sin C \cos A=\sin (A+C)=\sin B$,

$\therefore \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sin B} \cdot \cos A=1$ 。

由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

$\therefore \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin A} \cdot \cos A=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sin A} \cdot \cos A=\frac{\cos A}{\sin A}=1$,

$\therefore \sin A=\cos A, \quad A=\frac{\pi}{4}$ 。

由余弦定理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \frac{\pi}{4} \geq(2-\sqrt{2}) b c$, 当且仅当 $b=c$ 时等号成立。

$\therefore b c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A \leq \frac{1}{2} \times 2(2+\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1$ 。

答案: $\sqrt{2}+1$

【指点迷津】本题综合性较大, 且突破了常规性, 即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边, 所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形, 如在本题中.要在 $\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sin B} \cdot \cos A=1$ 的基础上在利用正
弦定理得到 $\sin A=\cos A$ 。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘

了基本不等的使用条件。