设函数$y_{1}=k_{1}x+b$,函数${y}_{2}=frac{{k}_{2}}{{x}}left(k_{1},k_{2},bright.$是常数,$left.k_{1}>0,k_{2}>0,b>0right)$.已知函数$y_{1}$的图象与$y$轴交于点$A$,与函数$y_{2}$的图象的一个交点为点$B(1,m)$.(1)若$k_{2}=3,m=b+1$.(1)求函数$y_{1}$的表达式.(2)当$2<y_{1}<y_{2}$时,直接写出$x$的取值范围.(2)设点$A$关于$x$轴的对称点为点$C$,将点$C$向左平移2个单位得到点$D$.若点$D$恰好也是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,试写出$k_{1},k_{2}$之间的等量关系,并说明理由.
（1）(1)利用待定系数法求解即可;(2)画出图象,根据求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,再结合图象即可解答;(2)利用一次函数解析式求出点$A$的坐标,再根据轴对称和平移的性质得出点$D$的坐标.由点$D$是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,即说明点$D$的坐标满足两个函数的解析式,从而即可解答.【解析】解:(1)(1)若$k_{2}=3$,则函数${y}_{2}=frac{3}{{x}}$.$because$点$B(1,m)$在函数$y_{2}$的图象上,$thereforem=frac{3}{1}=3$$thereforeB(1,3),b+1=3$$thereforeb=2$,$therefore$函数$y_{1}=k_{1}x+2$.$because$点$B(1,3)$在函数$y_{1}$的图象上,$therefore3=k_{1}+2$,解得:$k_{1}=1$,$therefore$函数$y_{1}$的表达式为$y_{1}=x+2$;(2)根据两函数解析式可画出图象如下,<ImageHere>$because$求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,$because$由图象可知当$0<x<1$时,函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方,位于函数$y_{2}$的图象下方,$therefore$当$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围是$0<x<1$;(2)$k_{2}=2k_{1}$.理由:对于$y_{1}=k_{1}x+b$,令$x=0$,则$y_{1}=b$,$thereforeA(0,b)$.$because$点$A$关于$x$轴的对称点为点$C$,$thereforeC(0,-b)$.$because$将点$C$向左平移2个单位得到点$D$,$thereforeD(-2,-b)$.$because$点$D$恰好也是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,$therefore-b=-2k_{1}+b,quad-{b}=frac{{k}_{2}}{-2}$,$thereforek_{1}=b,k_{2}=2b$,$thereforek_{2}=2k_{1}$.【点睛】本题考查次函数与反比例函数的交点,掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键.