24. 已知 $\mathrm{z} 、 \omega$ 为复数, $(1+3 \mathrm{i}) \mathrm{z}$ 为实数, $\omega=\frac{\mathrm{z}}{2+i}$, 且 $|\omega|=5 \sqrt{2}$, 求 $\omega$
: 解答: 设 $\omega=x+y i(x, y \in R)$, 复数 $z$ 用复数 $\omega$ 表示, 整理 $(1+3 i) z$ 的虚部为 0 , 和 $|\omega|=5 \sqrt{2}$, 可求出 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$, 即得到复数 $\omega$.

设 $\omega=x+y i(x, y \in R)$, 依题意得 $(1+3 i)(2+i) \omega=(-1+7 i) \omega$ 为实数, 且 $|\omega|=5 \sqrt{2}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}7 x-y=0 \\ x^{2}+y^{2}=50\end{array}\right.$

解之得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=7\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=-7\end{array}\right.$,

$\therefore \omega=1+7 \mathrm{i}$ 或 $\omega=-1-7 \mathrm{i}$.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数求模, 解决问题的关键是设 $\omega$ $=x+y i(x, y \in R)$ 然后求得复数 $z$,代入 $(1+3 i) z$ 化简求得 $x, y$ 然后得到 $\omega=1+7 i$ 或 $\omega=-1-$ $7 \mathrm{i}$.