22. 函数 $f(x)=1-2 a-2 a \cos x-2 \sin ^{2} x$ 的最小值为 $g(a), a \in \mathbf{R}$.

(1)求 $g(a)$;

(2) 若 $g(a)=\frac{1}{2}$, 求 $a$ 及此时 $f(x)$ 的最大值.
$(1) f(x)=1-2 a-2 a \cos x-2\left(1-\cos ^{2} x\right)$
$=2 \cos ^{2} x-2 a \cos x-1-2 a=2\left(\cos x-\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1$.

若 $\frac{a}{2}<-1$ ，即 $a<-2$ ，则当 $\cos x=-1$ 时，

$f(x)$ 有最小值 $g(a)=2\left(-1-\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=1$ ；

若 $-1 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$ ，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ ，则当 $\cos x=\frac{a}{2}$ 时，

$f(x)$ 有最小值 $g(a)=-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1$ ；

若 $\frac{a}{2}>1$ ，即 $a>2$ ，则当 $\cos x=1$ 时，

$f(x)$ 有最小值 $g(a)=2\left(1-\frac{a}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=1-4 a$.

$\therefore g(a) \begin{cases}1 & (a<-2), \\ -\frac{a^{2}}{2}-2 a-1 & (-2 \leqslant a \leqslant 2) \\ 1-4 a & (a>2) .\end{cases}$

(2)若 $g(a)=\frac{1}{2}$ ，由所求 $g(a)$ 的解析式知只能是 $-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=\frac{1}{2}$ 或 $1-4 a=\frac{1}{2}$.

由 $\left\{\begin{array}{l}-2 \leqslant a \leqslant 2 ， \\ -\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=\frac{1}{2}\end{array} \Rightarrow a=-1\right.$ 或 $a=-3$ (舍).

由 $\left\{\begin{array}{l}a>2 ， \\ 1-4 a=\frac{1}{2}\end{array} \Rightarrow a=\frac{1}{8}\right.$ (舍).

此时 $f(x)=2\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}$ ，得 $f(x)_{\text {max }}=5$.

$\therefore$ 若 $g(a)=\frac{1}{2}$ ，应 $a=-1$ ，此时 $f(x)$ 的最大值是 5 .