以下关于 $x$ 的各个多项式中, $a, b, c, m, n$ 均为常数.

(1)根据计算结果填写下表:

|  | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(2 x+1)(x+2)$ | 2 |  | 2 |
| $(2 x+1)(3 x-2)$ | 6 | - | -2 |
| $(a x+b)(m x+n)$ | $a m$ | - | $b n$ |

(2) 已知 $(x+3)^{2}\left(x^{2}+m x+n\right)$ 既不含二次项, 也不含一次项, 求 $m+n$ 的值.

(3) 多项式 $M$ 与多项式 $x^{2}-3 x+1$ 的乘积为 $2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$, 则 $2 a+b+c$的值为 $\qquad$ .
【答案】 $5-1 a n+b m-4$

【解析】解: $(1)(2 x+1)(x+2)=2 x^{2}+5 x+2$

$(2 x+1)(3 x-2)=6 x^{2}-x-2$
$(a x+b)(m x+n)=a m x^{2}+(a n+b m) x+b n$

故答案为 $5 、-1$ 、 $a n+b m$.

(2) $(x+3)^{2}\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=\left(x^{2}+6 x+9\right)\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=x^{4}+(m+6) x^{3}+(6 m+n+9) x^{2}+(9 m+6 n) x+9 n$

$\because$ 既不含二次项, 也不含一次项,

$\therefore 6 m+n+9=0$

$9 m+6 n=0$

解得: $m=-2, n=3$

$\therefore m+n=1$.

答 $m+n$ 的值为 1 .

(3) $\because$ 多项式 $M$ 与多项式 $x^{2}-3 x+1$ 的乘积为 $2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore$ 设多项式 $M=2 x^{2}+m x-3$,

$\left(2 x^{2}+m x-3\right)\left(x^{2}-3 x+1\right)$

$=2 x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}+m x^{3}-3 m x^{2}+m x-3 x^{2}+9 x-3$

$=2 x^{4}+(m-6) x^{3}+(2-3 m-3) x^{2}+(m+9) x-3$

$=2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore a=m-6, b=-3 m-1, c=m+9$

$\therefore 2 a+b+c=2 m-12-3 m-1+m+9=-4$.

故答案为 -4 .

(1)根据多项式乘以多项式即可求解;

(2)先用完全平方公式展开第一项, 再进行多项式乘以多项式, 合并同类项后使二次项系数和一次项系数为 0 即可求解;

(3)根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式 $M$, 再根据恒等式的意义即可求解.

本题考查了多项式乘以多项式, 解决本题的关键是准确进行计算, 同时理解恒等变形.