如图, 在等腰三角形 $\triangle A B C$ 中, $O$ 为底边 $B C$ 的中点, 以 $O$ 为圆心作半圆与 $A B$, $A C$ 相切, 切点分别为 $D, E$. 过半圆上一点 $F$ 作半圆的切线, 分别交 $A B, A C$ 于 $M$, $N$. 那么 $\frac{B M \cdot C N}{B C^{2}}$ 的值等于 $(\quad)$

<ImageHere>
连 $O M, O N ，$ 如图

$\because M D, M F$ 与 $\odot O$ 相切,

$\therefore \angle 1=\angle 2$,

<ImageHere>

同理得 $\angle 3=\angle 4$,

而 $\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle B+\angle C=360^{\circ}, A B=A C$

$\therefore \angle 2+\angle 3+\angle B=180^{\circ}$

而 $\angle 1+\angle M O B+\angle B=180^{\circ} ，$

$\therefore \angle 3=\angle M O B$ ，即有 $\angle 4=\angle M O B ，$

$\therefore \triangle O M B \sim \triangle N O C$

$\therefore \frac{B M}{O C}=\frac{O B}{C N}$,

$\therefore B M \cdot C N=\frac{1}{4} B C^{2}$,

$\therefore \frac{B M \cdot C N}{B C^{2}}=\frac{1}{4}$.

故选: $B$.