(本小题8.0分)

我们给出定义: 如果三角形存在两个内角 $\alpha$ 与 $\beta$ 满足 $2 a+\beta=90^{\circ}$, 那么我们称这样的三角形为 “准互余三角形”.已知 $\triangle A B C$ 为 “准互余三角形”, 并且 $\angle A>\angle B>\angle C$.

(1)如图(1), 若 $\angle B=60^{\circ}$ 且 $A B=\sqrt{3}$, 求边 $B C$ 的长;

(2)如图(2), $\angle B>45^{\circ}$, 以边 $A C$ 为直径作 $\odot O$, 交 $B C$ 于点 $D$, 若 $B D=2, B C=7$, 试求 $\odot O$ 的面积.

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图(1)

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图(2)

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(1)利用新定义计算出 $\angle A C B=15^{\circ}$, 过 $A$ 点作 $A H \perp B C$ 于 $H$ 点, 过 $C$ 点作 $C D \perp A B$ 于 $D$ 点, 如图(1), 先计算出 $B H=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 则 $A H=\sqrt{3} B H=\frac{3}{2}$, 再证明 $\angle B C D=30^{\circ}, C A$ 平分 $\angle B C D$, 根据角平分线的性质得到 $A D=A H=\frac{3}{2}$, 所以 $B D=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$, 然后在 $R t \triangle B C D$ 中利用含 30 度直角三角形三边的关系
得到 $B C$ 的长;

(2)延长 $B A$ 交 $\odot O$ 于 $E$ 点, 连接 $C E 、 A D$, 如图(2), 利用圆周角定理得到 $A C$ 为直径, 再利用新定义计算出 $\angle A C B=\angle A C E$, 即 $C A$ 平分 $\angle B C E$, 所以 $A E=A D$, 接着证明 $\angle C A E=\angle C A D$ 得到 $C E=C D=5$,于是利用勾股定理可计算出 $B E=2 \sqrt{6}$, 设 $A E=x$, 则 $A B=2 \sqrt{6}-x, A D=x$, 在 $R t \triangle A B D$ 中得到 $2^{2}+x^{2}=(2 \sqrt{6}-x)^{2}$, 解方程得到 $A D=\frac{5 \sqrt{6}}{6}$, 然后在 $R t \triangle A C D$ 中利用勾股定理计算出 $A C$, 从而得到 $\odot O$ 的面积.

本题考查了圆周角定理: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径. 也考查了角平分线的性质和勾股定理.