(本小题 8.0 分)

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $P$ 为半圆上的一点 (不与 $A, B$ 重合), 点 $I$ 是 $\triangle A B P$ 的内心, $P I$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $M$.

(1) 求 $\frac{I B}{I M}$ 的值;

(2)过点 $I$ 作 $I N \perp P B$ 于点 $N$, 求 $\frac{I N+O B}{P M}$ 的值.

<ImageHere>
解:

(1) 解: 如图, 连接 $O M$.

<ImageHere>

$\because$ 点 $M$ 是半圆的中点,

$\therefore \angle A O M=90^{\circ}$.

又 $\angle A P M=\frac{1}{2} \angle A O M$,

$$
\therefore \angle A P M=45^{\circ} \text {; }
$$

连接 $A M 、 B M$.

$\because$ 点 $M$ 是半圆的中点,

$\therefore A M=B M$,

$\therefore A B=\sqrt{2} M B$.

设 $\angle A B I=\alpha$, 则 $\angle M I B=45^{\circ}+\angle P B I=45^{\circ}+\alpha=\angle M B I$,
$\therefore M B=I M$.

$$
\therefore A B=\sqrt{2} I M
$$

$\therefore \frac{A B}{I M}=\sqrt{2}$.

$(2)$

解:

$\because \angle N P I=45^{\circ}, I N \perp P N$,

$\therefore P I=\sqrt{2} I N$,

$$
\because A B=\sqrt{2} I M
$$

$\therefore I M=\frac{\sqrt{2}}{2} A B=\sqrt{2} O B$,

$$
\therefore P M=P I+M I=\sqrt{2}(I N+O B)
$$

$\therefore \frac{I N+O B}{P M}=\frac{I N+O B}{\sqrt{2}(I N+O B)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

【解析】见答案.