如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=6, A C=4, \angle A=90^{\circ}, D$ 是 $A B$ 边的中点, 点 $E$在直线 $A C$ 上, 且 $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 相似, 则 $C E=$ $\qquad$ .

<ImageHere>


解: $\because A B=6, D$ 为 $A B$ 的中点,

$\therefore A D=3$,

有两种情况: (1)点 $E$ 在射线 $A C$ 上时,

有两种情况: 第一种情况: 如图1,

<ImageHere>

图1

此时 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}$,

所以 $\frac{3}{6}=\frac{A E}{4}$,

解得: $A E=2$,

所以 $C E=A C-A E=4-2=2$;

第二种情况: 如图2,

<ImageHere>

图2

此时 $\frac{A D}{A C}=\frac{A E}{A B}$,

所以 $\frac{3}{4}=\frac{A E}{6}$,

解得: $A E=4.5$,

所以 $C E=A E-A C=4.5-4=0.5$;

(2)当 $E$ 在 $A C$ 的反向延长线时,

有两种情况:

第一种情况: 如图3,

<ImageHere>

图3

此时 $A E=2$;

所以 $C E=A C+A E=4+2=6$;
第二种情况: 如图 4,

<ImageHere>

此时 $A E=4.5$,

所以 $C E=A+A E=4+4.5=8.5$;

故答案为: 2或0.5或6或8.5.

求出 $A D$ 的长, 先画出符合题意的四种图形, 根据相似三角形的性质得出比例式, 求出 $A E$ 的值, 再求出 $C E$ 即可.

本题考查了相似三角形的性质, 能求出符合的所有情况是解此题的关键.

