15. 实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}y \geq 1 \\ y \leq 2 x-1 \\ x+y \leq m\end{array}\right.$ 如果目标函数 $z=x-y$ 的最小值为 -2 , 则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为 \$ \qquad \$ .
先做 $\left\{\begin{array}{c}y \geq 1 \\ y \leq 2 x-1\end{array}\right.$ 的区域如图可知在三角形 $A B C$ 区域内,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_8a964f9ccd87371be6e0g-116、.jpg?height=408&width=565&top_left_y=247&top_left_x=263)

由 $z=x-y$ 得 $y=x-z$ 可知, 直线的截距最大时, $z$ 取得最小值,

此时直线为 $y=x-(-2)=x+2$,

作出直线 $y=x+2$, 交 $y=2 x-1$ 于 $A$ 点,

由图象可知, 目标函数在该点取得最小值, 所以直线 $x+y=m$ 也过 $A$ 点,

由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x-1 \\ y=x+2\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=5\end{array}\right.$, 代入 $x+y=m$, 得 $m=3+5=8$,

所以点 $C$ 的坐标为 $(7,1)$.

$\frac{y}{x}$ 等价于点 $(x, y)$ 与原点连线的斜率,

所以当点为点 $C$ 时, $\frac{y}{x}$ 取得最小值, 最小值为 $\frac{1}{7}$ 。