10. 函数 $y=\log _{a}(x+3)-1(a>0, a \neq 1)$ 的图象恒过点 $A$, 若点 $A$ 在直线 $m x+n y+1=0$上, 其中 $m n>0$, 则 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为 \$ \qquad \$ .
because A(-2,-1)$ 在直线 $m x+n y+1=0$ 上,

$\therefore-2 m-n+1=0$,

即 $2 m+n=1, m n>0, \therefore m>0, n>0$.
$\therefore \frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2 m+n}{m}+\frac{4 m+2 n}{n}=2+\frac{n}{m}+\frac{4 m}{n}+2 \geqslant 4+2 \cdot \sqrt{\frac{n}{m} \cdot \frac{4 m}{n}}=8$.

当且仅当 $\frac{n}{m}=\frac{4 m}{n}$, 即 $m=\frac{1}{4}, n=\frac{1}{2}$ 时等号成立.

故 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为 8 .