已知集合 $A$ 到集合 $B=\{0,1,2,3\}$ 的映射 $f: x \rightarrow \frac{1}{|x|-1}$, 试问集合 $A$ 中的元素最多有几个? 写出元素最多时的集合 $A$.
$\because f: x \rightarrow \frac{1}{|x|-1}$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射,

$\therefore A$ 中每一个元素在集合 $B$ 中都应该有像.

令 $\frac{1}{|x|-1}=0$, 该方程无解. 故 0 没有原像.

分别令 $\frac{1}{|x|-1}=1,2,3$ 可得 $x= \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{4}{3}$.

故集合 $A$ 中的元素最多为 6 个, 即

$A=\left\{2,-2, \frac{3}{2},-\frac{3}{2}, \frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right\}$.