14. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=120^{\circ}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$,且 $B D=1$, 则 $4 a+c$ 的最小值为
因为 $\angle A B C=120^{\circ}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$,

所以 $\angle A B D=\angle C B D=60^{\circ}$,

由三角形的面积公式可得 $\frac{1}{2} a c \sin 120^{\circ}=\frac{1}{2} a \sin 60^{\circ}+\frac{1}{2} c \sin 60^{\circ}$,

化简得 $a c=a+c$, 又 $a>0, c>0$, 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$,

则 $4 a+c=(4 a+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=5+\frac{c}{a}+\frac{4 a}{c} \geqslant 5+2 \sqrt{\frac{c}{a} \cdot \frac{4 a}{c}}=9$,

当且仅当 $c=2 a$ 时取等号, 故 $4 a+c$ 的最小值为 9 .