,在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $P A \perp$ 底面 $A B C D, E$ 是 $P C$ 的中点.已知 $A B=2, A D=2 \sqrt{2}, P A=2$.

<ImageHere>

求: (1) .三角形 $P C D$ 的面积;

(2) .异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成的角的大小.
【分析】

(1) 根据 $P A \perp C D 、 C D \perp A D$ 可证得 $C D \perp$ 平面 $P A D$, 根据线面垂直性质可知 $C D \perp P D$, 则 $S_{\triangle P C D}=\frac{1}{2} P D \cdot C D$, 求得 $P D, C D$ 代入即可得到结果; (2) 取 $P B$ 中点 $F$, 连接 $E F, A F$, 可知 $\angle A E F$ 即为所求角; 求解出 $\triangle A E F$ 三边长, 可知 $\triangle A E F$ 为等腰直角三角形, 从而得到所求角.

## 【详解】

(1) $\because P A \perp$ 底面 $A B C D, C D \subset$ 底面 $A B C D \quad \therefore P A \perp C D$

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形 $\quad \therefore C D \perp A D$

又 $A D, P A \subset$ 平面 $P A D, A D \cap P A=A \quad \therefore C D \perp$ 平面 $P A D$

$\because P D \subset$ 平面 $P A D \quad \therefore C D \perp P D$

$\because P D=\sqrt{P A^{2}+A D^{2}}=2 \sqrt{3} \quad \therefore S_{\triangle P C D}=\frac{1}{2} P D \cdot C D=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}=2 \sqrt{3}$

<ImageHere>

(2) 取 $P B$ 中点 $F$, 连接 $E F, A F$, 则 $E F / / B C$

$\therefore \angle A E F$ 即为异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成角

$\because E F=\frac{1}{2} B C=\sqrt{2}, \quad A F=\frac{1}{2} P B=\frac{1}{2} \times \sqrt{4+4}=\sqrt{2}$,

$A E=\frac{1}{2} P C=\frac{1}{2} \times \sqrt{4+4+8}=2$

$\therefore E F^{2}+A F^{2}=A E^{2}$, 即 $\therefore A E F$ 为等腰直角三角形且 $E F \perp A F$ $\therefore \angle A E F=\frac{\pi}{4}$

$\therefore$ 异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成角的大小是 $\frac{\pi}{4}$

## 【点睛】

本题考查立体几何中垂直关系的应用、异面直线所成角的求解问题, 涉及到线面垂直的判定与性质的应用; 求解异面直线所成角的关键是能够根据线线平行关系将异面直线成角转化为相交直线所成角的求解问题.