已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>1,0 \leq \varphi \leq \pi)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 其图象关于点 $M\left(\frac{3 \pi}{4}, 0\right)$ 对称, 且在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数, 则 $\omega \cdot \varphi=$
由 $f(x)$ 是偶函数可得 $\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}$
$\because 0 \leq \varphi \leq \pi ，$

则当 $k=0$ 时, $\varphi=\frac{\pi}{2}$

$\therefore f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \omega x$

$\because f(x)$ 的图象上的点关于 $M\left(\frac{3 \pi}{4}, 0\right)$ 对称

则 $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos \frac{3 \pi}{4} x=0$

故 $\frac{3 \pi}{4} \omega=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$

即 $\omega=\frac{2}{3}(2 k+1)$

$\because f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数

$\therefore \frac{\pi}{2} \leq \frac{1}{2} \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{\omega}$, 即 $\omega \leq 2$

又 $\omega=\frac{2}{3}(2 k+1), \omega>1$

则当 $k=1$ 时, $\omega=2$

则 $\omega \varphi=\pi$

故答案为 $\pi$