如图, 马大爷在屋侧的菜地上搭建一抛物线型蔬菜大棚, 其中一端固定在离地面 1.2 米的墙体 $A$ 处, 另一端固定在离墙体 6 米的地面上 $B$ 点处, 现以地面和墙体为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立坐标系, 已知大棚的高度 $y$ （米）与地面水平距离 $x$ （米）之间的关系式可以用 $y=-\frac{1}{5} x^{2}+b x+c$ 表示,

结合信息请回答:

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(1) 直接写出 $b, c$ 的值.

（2）求大棚的最高点到地面的距离.

（3）马大爷现库存 7 米钢材, 准备在抛物线上点 $C$ （不与 $A, B$ 重合）处, 安装一直角形钢架 $E C D$ 对大棚进行加固 (点 $D, E$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上, 且 $C E / / x$ 轴, $C D / / y$ 轴),就如何选取点 $C$ 的问题，小明说: “点 $C$ 取在抛物线的顶点处, 库存钢材才够用”, 小慧说: “点 $C$ 在抛物线位置, 库存钢材都够用”, 请问谁的说法正确？说明理由.


(1) 由题意易得点 $A(0,1.2), B(6,0)$, 然后把它们代入二次函数解析式进行求解即可;

（2）由（1）可得二次函数解析式为: $y=-\frac{1}{5} x^{2}+x+1.2$, 则有 $y=-\frac{1}{5} x^{2}+x+1.2=-\frac{1}{5}\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+2.45$, 进而问题可求解；

（3）由题意可设点 $C\left(a,-\frac{1}{5} a^{2}+a+1.2\right)$, 则有 $C E=a, C D=-\frac{1}{5} a^{2}+a+1.2$, 求出 $C E+C D$ 的最大值, 可以判断出 $7>C E+C D$, 则问题可求解.

【详解】解：（1）由题意得: 点 $A(0,1.2), B(6,0)$, 代入 $y=-\frac{1}{5} x^{2}+b x+c$ 可得:

$\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{5} \times 36+6 b+c=0 \\ c=1.2\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{c}b=1 \\ c=1.2\end{array}\right.$;

（2）由（1）可得二次函数解析式为: $y=-\frac{1}{5} x^{2}+x+1.2$,

$\therefore y=-\frac{1}{5} x^{2}+x+1.2=-\frac{1}{5}\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+2.45$,

$\therefore$ 当 $x=\frac{5}{2}$ 时, $y$ 取最大, 最大值为 2.45 ,

$\therefore$ 大棚的最高点到地面的距离为 2.45 米;

（3）小慧说法正确, 理由如下:

由题意可设点 $C\left(a,-\frac{1}{5} a^{2}+a+1.2\right)$,

$\because C E / / x$ 轴, $C D / / y$ 轴,
$\therefore C E=a, C D=-\frac{1}{5} a^{2}+a+1.2$,

$\therefore C E+C D=-\frac{1}{5} a^{2}+2 a+1.2=-\frac{1}{5}(a-5)^{2}+6.2$

$\therefore C E+C D$ 的最大值为 6.2 ,

$\therefore 7>C E+C D$,

$\therefore$ 点 $C$ 在抛物线位置, 库存钢材都够用,

$\therefore$ 小明说法不正确, 小慧说法正确.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用, 熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.

