如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=2, B C=2 \sqrt{3}$, 将矩形 $A B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$ 得到矩形 $B E F G, A D, E F$ 交于点 $O$, 点 $D$ 的运动路径与线段 $O F, O D$ 所构成的阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ .

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如图, 连接 $B D, B F$.

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在Rt $\triangle B D C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, C D=A B=2, B C=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \angle D B C=30^{\circ}$,

$\therefore B D=4$,

$S_{\triangle B D C}=\frac{1}{2} B C \cdot C D=2 \sqrt{3}$,

$\because$ 矩形 $A B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$ 得到矩形 $B E F G$,

$\therefore$ 旋转之后 $B C$ 落在对角线 $B D$ 上, 即点 $B 、 E 、 D$ 在同一条直线上,

$\therefore D E=4-2 \sqrt{3}$.

$\because O E=D E \cdot \tan 30 \cdots{ }^{\circ}=\frac{4 \sqrt{3}-6}{3}$,

$\therefore S_{\triangle O E D}=\frac{1}{2} O E \cdot D E=\frac{14 \sqrt{3}-24}{3}$.

$\because \angle D B F=30^{\circ}, B D=4$,

$\therefore S_{\text {扇形 } D B F}=\frac{30 \pi \cdot 4^{2}}{360}=\frac{4 \pi}{3} ，$
$\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } D B F}-S_{\triangle O E D}-S_{\triangle B E F}=\frac{4 \pi}{3}-\frac{14 \sqrt{3}-24}{3}-2 \sqrt{3}=\frac{4 \pi+24-20 \sqrt{3}}{3}$.

故答案为 $\frac{4 \pi+24-20 \sqrt{3}}{3}$.