如图, 直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}, \mathrm{~A}, \mathrm{~B}, \mathrm{C}$ 分别为直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 上的动点, 连接 $A B, B C$, $A C$, 线段 $A C$ 交直线 $l_{2}$ 于点 $D$. 设直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $m$, 直线 $l_{2}, l_{3}$ 之间的距离为 $n$, 若 $\angle A B C=90^{\circ}, B D=4$, 且 $\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$, 则 $m+n$ 的最大值为 $\qquad$ .

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（第 18 题）

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过 $B$ 作 $B E \perp l_{1}$ 于 $E$, 延长 $E B$ 交 $l_{3}$ 于 $F$, 过 $\mathrm{A}$ 作 $A N \perp l_{2}$ 于 $N$, 过 $C$ 作 $C M \perp l_{2}$ 于 $M$,设 $A E=x, C F=y, B N=x, B M=y$, 则 $D M=y-4, D N=4-x$, 由 $\triangle A B E \sim \triangle B F C$,得 $\frac{A E}{B F}=\frac{B E}{C F}$, 即 $\frac{x}{n}=\frac{m}{y}$, 由 $\triangle C M D \sim \triangle A N D$, 得 $\frac{A N}{C M}=\frac{D N}{D M}$, 即 $\frac{m}{n}=\frac{4-x}{y-4}=\frac{2}{3}$, 故 $y=-\frac{3}{2} x+10$, 整理得 $m n=x y=x\left(-\frac{3}{2} x+10\right)=-\frac{3}{2} x^{2}+10 x=\frac{3}{2} m^{2}$, 根据二次函数最值即可求解.

【详解】过 $B$ 作 $B E \perp l_{1}$ 于 $E$, 延长 $E B$ 交 $l_{3}$ 于 $F$, 过 $\mathrm{A}$ 作 $A N \perp l_{2}$ 于 $N$, 过 $C$ 作 $C M \perp l_{2}$ 于 $M$,设 $A E=x, C F=y, B N=x, B M=y$,

$\because B D=4$,

$\therefore D M=y-4, \quad D N=4-x$,

$\because \angle A B C=\angle A E B=\angle B F C=\angle C M D=\angle A N D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B+\angle A B E=\angle A B E+\angle C B F=90^{\circ}$,
$\therefore \angle E A B=\angle C B F$,

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle B F C$,

$\therefore \frac{A E}{B F}=\frac{B E}{C F}$, 即 $\frac{x}{n}=\frac{m}{y}$,

$\therefore x y=m n$,

$\because \angle A D N=\angle C D M$,

$\therefore \triangle C M D \sim \triangle A N D$,

$\therefore \frac{A N}{C M}=\frac{D N}{D M}$, 即 $\frac{m}{n}=\frac{4-x}{y-4}=\frac{2}{3}$,

$\therefore y=-\frac{3}{2} x+10$,

$\because \frac{m}{n}=\frac{2}{3}$,

$\therefore n=\frac{3}{2} m$,

$\therefore(m+n)_{\text {最大 }}=\frac{5}{2} m$,

$\therefore$ 当 $m$ 最大时, $(m+n)_{\text {最大 }}=\frac{5}{2} m$,

$\because m n=x y=x\left(-\frac{3}{2} x+10\right)=-\frac{3}{2} x^{2}+10 x=\frac{3}{2} m^{2}$,

$\therefore$ 当 $x=-\frac{10}{2 \times\left(-\frac{3}{2}\right)}=\frac{10}{3}$ 时, $m n_{\text {最大 }}=\frac{50}{3}=\frac{3}{2} m^{2}$,

$\therefore m_{\text {最大 }}=\frac{10}{3}$,

$\therefore m+n$ 的最大值为 $\frac{5}{2} \times \frac{10}{3}=\frac{25}{3}$.

故答案为 $\frac{25}{3}$.

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【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质, 解题的关键是根据已知条件作出辅助线构造相似三角形进行求解.

