设实部为正数的复数 $z$, 满足 $|z|=\sqrt{10}$, 且复数 $(2+i) z$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(1) 求复数 $z$;

(2) 若 $\bar{z}+m^{2}(-1+i)+4 m i(m \in R)$ 为纯虚数, 求实数 $m$ 的值.
答案: (1) 【解析】 设 $z=a+b i, a, b \in \mathrm{R}, a>0$.

由题意: $a^{2}+b^{2}=10$. (1)

$(2+i)(a+b i)=2 a-b+(a+2 b) i$,

得 $2 a-b+a+2 b=0$,

$3 a+b=0$,

(1)2联立, 解得 $a=1, \quad b=-3$

得 $z=1-3 i$.

(2) 【解析】 由（1）可得 $\bar{z}=1+3 i$,

所以 $\bar{z}+m^{2}(-1+i)+4 m i=\left(-m^{2}+1\right)+\left(m^{2}+4 m+3\right) i$,

由题意可知 $\left\{\begin{array}{l}-m^{2}+1=0 \\ m^{2}+4 m+3 \neq 0,\end{array}\right.$

解得 $m= \pm 1$ 且 $m \neq-1$ 且 $m \neq-3$, 所以 $m=1$.

【分析】(1) 设 $z=a+b i(a, b \in R$ 且 $a>0)$, 由条件可得 $a^{2}+b^{2}=10$ (1),$a=-3 b(2)$. 由(1)(2)
联立的方程组得 $a 、 b$ 的值, 即可得到 $z$ 的值; (2) 根据实部为 0 , 虚部不为 0 即可求解 $m$.