已知曲线 $C: y=\frac{1}{t-x}$ 经过点 $P(2-1)$, 求:

(1) 曲线在点 $C$ 处的切线的方程;

(2) 过点 $O(0,0)$ 的曲线 $\mathrm{C}$ 的切线方程.
(1) 解: 将 $(-2,8)$ 代入中 $C: v=rac{1}{1}$ 得 $\mathrm{t}=1 . 	herefore y=rac{1}{1-x} . 	herefore y^{\prime}=\lim _{\Delta x 
ightarrow 0} rac{\Delta y}{\Delta x}=rac{1}{(1-x)^{2}}$,$	herefore$ 曲线在点 $P$ 处切线的斜率为 $k=\left.y^{\prime}
ight|_{x-2}=rac{1}{(1-2)^{2}}=1$,$	herefore$ 曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y+1=1 	imes(x-2)$ 即 $\mathrm{x}-\mathrm{y}-3=0$(2) 解: 点 $O(0.0)$ 不在曲线 $C$ 上. 设讨占 $C$ 的曲线 $C$ 的切线与曲线 $C$ 相切于点 $M\left(x_{0}, y_{0}
ight)$,则切线斜率 $k=rac{y_{0}}{=}=1$, 由于 $y_{0}=rac{1}{1-x_{0}}, 	herefore x_{0}=rac{1}{2}, 	herefore$ 切点为 $M\left(rac{1}{2}, 2
ight)$, 切线斜率 $k=4$,切线方程为 $y-2=4\left(x-rac{1}{2}
ight)$, 即 $\mathrm{y}=4 \mathrm{x}$