如图, 平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A$ 的坐标是 $(-3,4)$, 点 $B$ 是 $\odot A$上一点, $\odot A$ 的半径为 2 , 将 $O B$ 绕 $O$ 点顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得 $O C$,连接 $A C$, 则线段 $A C$ 的最小值为 $($ )

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解: 如图, 将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O A^{\prime}$, 则 $A^{\prime}(4,3)$,

则 $O A=O A^{\prime}, \angle A O A^{\prime}=90^{\circ}$,

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$\because$ 将 $O B$ 绕 $O$ 点顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得 $O C$,

$\therefore O B=O C, \angle B O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C-\angle A O C=\angle A O A^{\prime}-\angle A O C$,

即 $\angle A O B=\angle A^{\prime} O C$,

$\therefore \triangle A O B \cong \triangle A^{\prime} O C(S A S)$,

$\therefore A B=A^{\prime} C=2$, 即点 $C$ 在以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$ 上,

以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$, 连接 $A A^{\prime}$,

当且仅当点 $C$ 在线段 $A A^{\prime}$ 上时, $A C=A A^{\prime}-A^{\prime} C$ 为最小值,

$\because A(-3,4)$,

$\therefore O A=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

由旋转得: $O A^{\prime}=O A=5, \angle A O A^{\prime}=90^{\circ}$,

$\therefore A A^{\prime}=5 \sqrt{2}$,

$\therefore A C=5 \sqrt{2}-2$,

故选: A.

将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O A^{\prime}$, 则 $A^{\prime}(4,3)$, 以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$, 连接 $A A^{\prime}$ 交 $\odot A^{\prime}$ 于点 $C$,此时 $A C=A A^{\prime}-A^{\prime} C$ 为最小值, 利用旋转的性质和勾股定理即可求得答案.

本题考查了旋转变换的性质, 全等三角形的判定和性质, 点到圆上各点的距离最小值等, 添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

