如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $C H \perp A B, C H=h, A B=c$, 若内接正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$, 则 $h 、 c 、 x$ 的数量关系为

( )

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解：如图, 设 $C H$ 与 $G F$ 交于点 $M$,

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$\because$ 四边形 $D E F G$ 是正方形,

$\therefore G F / / D E, \angle G D E=\angle D G F=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle C G F \backsim \triangle C A B$,

$\therefore \frac{G F}{A B}=\frac{C M}{C H}$,

$\because C H \perp A B$,

$\therefore \angle D H M=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $D H M G$ 是矩形,

$\therefore D G=M H$,

$\because C H=h, A B=c$, 正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$,

$\therefore M H=x$,

$\therefore C M=C H-M H=h-x$,

$\therefore \frac{x}{c}=\frac{h-x}{h}$,

$\therefore \frac{x}{c}=1-\frac{x}{h}$,

$\therefore \frac{1}{c}=\frac{1}{x}-\frac{1}{h}$,

$\therefore \frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$,

故选: D.

先根据正方形的性质得到 $G F / / D E$, 从而证明 $\triangle C G F \sim \triangle C A B$, 根据相似三角形的性质可列出比例式,再通过证明四边形 $D H M G$ 是矩形表示出 $C M$ 的长度, 即可求解.

本题考查相似三角形的判定与性质, 正方形的性质, 解题的关键是证明 $\triangle C G F \sim \triangle C A B$ 后列出比例式.

