已知映射 $f: A \rightarrow B$ 中, $A=B=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}, f: A$ 中的元素 $(x, y)$ 对应到 $B$ 中的元素 $(3 x-2 y+$ $1,4 x+3 y-1)$.

(1)A 中是否存在这样的元素 $(a, b)$, 使它的像仍是它本身? 若存在, 求出这个元素; 若不存在, 说明理由.

(2)判断这个映射是不是一一映射.
(1)假若 $A$ 中存在元素 $(a, b)$, 使它的像仍是它本身,

则有 $\left\{\begin{array}{l}3 a-2 b+1=a, \\ 4 a+3 b-1=b,\end{array}\right.$

解得, $\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=\frac{1}{2} .\end{array}\right.$

这说明, 存在元素 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$, 使它在 $B$ 中的像还是它本身.

(2)由(1)的求解及结果可知, 在 $A$ 中的任意元素 $(x, y)(x, y \in \mathbf{R})$ 使得方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y+1=x, \\ 4 x+3 y-1=y\end{array}\right.$ 都有唯一解, 这说明对 $B$ 中任意元素, 在 $A$ 中有唯一的原像,

所以映射 $f: A \rightarrow B$ 是 $A$ 到 $B$ 的一一映射.