已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+1+a \ln x$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 ( )
解析: 解答: $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$, 求导得 $f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2}-2 x+a}{x}$, 因为 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$, 所以 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $2 x^{2}-2 x+a=0$ 的两根, 又 $x_{1}<x_{2}$, 且 $x_{1}+x_{2}=1$, 所以 $\frac{1}{2}<x_{2}<1$ 又 $a=2 x_{2}-2 x_{2}^{2}$, 所以 $f\left(x_{2}\right)=\left(x_{2}-1\right)^{2}+\left(2 x_{2}-2 x_{2}^{2}\right) \ln x_{2}$, 令 $g(t)=(t-1)^{2}+\left(2 t-2 t^{2}\right) \ln t\left(\frac{1}{2}<t<1\right)$, $g^{\prime}(t)=2(1-2 t) \ln t>0$, 所以 $g(t)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上为增函数, 所以 $g(t)>g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1-2 \ln 2}{4}$, 所以 $f\left(x_{2}\right)>\frac{1-2 \ln 2}{4}$

分析: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值, 解决问题的
关键是根据函数的单调性结合函数极值计算即可.