(本小题8.0分)

下面是小董设计的 “作已知圆的内接正三角形” 的尺规作图过程.

已知: $\odot O$.

求作: $\odot O$ 的内接正三角形.

作法: 如图,

<ImageHere>

(1)作直径 $A B$;

(2)以 $B$ 为圆心, $O B$ 为半径作弧, 与 $\odot O$ 交于 $C, D$ 两点;

(3)连接 $A C, A D, C D$.

所以 $\triangle A C D$ 就是所求的三角形.

根据小董设计的尺规作图过程,

（1)使用直尺和圆规, 补全图形; (保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明:

证明: 在 $\odot O$ 中, 连接 $O C, O D, B C, B D$,

$\because O C=O B=B C$,

$\therefore \triangle O B C$ 为等边三角形 (

)(填推理的依据).
$\therefore \angle B O C=60^{\circ}$.

$\therefore \angle A O C=180^{\circ}-\angle B O C=120^{\circ}$.

同理 $\angle A O D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=\angle A O C=\angle A O D=120^{\circ}$.

$\therefore A C=C D=A D($ $\qquad$ )(填推理的依据).

$\therefore \triangle A C D$ 是等边三角形.


本题考查了作图一复杂作图, 等边三角形的判定, 圆心角、弦的关系, 掌握圆心角与弦的关系是解题的关键.

(1)利用画圆的方法作出 $C 、 D$ 两点, 从而得到 $\triangle A C D$;

(2)在 $\odot O$ 中, 连接 $O C, O D, B C, B D$, 利用等边三角形的判定方法得到 $\triangle O B C$ 为等边三角形, 则 $\angle B O C=$ $60^{\circ}$, 接着分别计算出 $\angle C O D=\angle A O C=\angle A O D=120^{\circ}$.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 $A C=C D=$ $A D$, 从而判断 $\triangle A C D$ 是等边三角形.

