如图所示, 抛物线 $y=\frac{2}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{6}$ 与 $x 、 y$ 轴分别交于 $A 、 B 、 C$ 三点, 连结 $A C$和 $B C$, 将 $\triangle A B C$ 沿与坐标轴平行的方向平移, 若边 $B C$ 的中点 $M$ 落在拋物线上时, 则符合条件的平移距离的值有（）

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根据抛物线的解析式求得点 $\mathrm{B} 、 \mathrm{C}$ 的坐标, 由点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的坐标可得出点 $\mathrm{M}$ 的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 $\mathrm{M}$ 平移后的坐标, 进而可得出平移的距离.

【详解】解: 由抛物线 $y=\frac{2}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{6}$ 可知, 令 $\mathrm{x}=0$, 则 $y=\frac{2}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{6}$,

解得 $\mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{C}(0,4)$,

令 $\mathrm{y}=0$, 则 $y=\frac{2}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{6}=0$,

解得, $x=1$ 或 6 ,

$\therefore \mathrm{A}(1,0), \mathrm{B}(6,0)$,

$\because$ 点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(6,0)$, 点 $\mathrm{C}$ 的坐标为 $(0,4)$, 点 $\mathrm{M}$ 为线段 $\mathrm{BC}$ 的中点,

$\therefore$ 点 $\mathrm{M}$ 的坐标为 $(3,2)$.

当 $\mathrm{y}=2$ 时, $\frac{2}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}-\frac{25}{6}=2$,
解得: $x_{1}=\frac{7+\sqrt{37}}{2}, x_{2}=\frac{7-\sqrt{37}}{2}$,

$\therefore$ 平移的距离为 $\frac{7+\sqrt{37}}{2}-3=\frac{1+\sqrt{37}}{2}$ 或 $3-\frac{7-\sqrt{37}}{2}=\frac{\sqrt{37}-1}{2}$,

故选 B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象及变换, 解题的关键是求得点 $\mathrm{M}$ 的坐标.

