对于任意两个正整数 $m, n$, 定义某种运算 “ $\oplus$ ” 如下：当 $m, n$ 都为正偶数或正奇数时, $m \oplus n=m+n$; 当 $m, n$ 中一个为正偶数, 另一个为正奇数时, $m \oplus n=m n$, 则在此定义下, 集合 $M=\left\{(a, b) \mid a \oplus b=12, a \in \mathbf{N}^{*}, b \in \mathbf{N}^{*}\right\}$ 中的元素个数是（）.
【详解】

根据定义知 $a \oplus b=12$ 分两类进行考虑, $a, b$ 一奇一偶, 则 $a b=12, a, b \in N^{*}$, 所以可能的取值为 $(1,12),(12,1),(3,4),(4,3)$, 共 4 个, $a, b$ 同奇偶, 则 $a+b=12$, 由 $a, b \in N^{*}$, 所以可能的取值为 $(2,10),(10,2),(1,11),(11,1),(3,9),(9,3),(4,8),(8,4),(5,7),(7,5),(6,6)$, 共 11 个, 所以符合要求的共 15 个, 故选 B.

【点睛】

本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题.