设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 满足 $f(x+1)=2 f(x)$, 且当 $x \in(0,1]$ 时, $f(x)=x(x-1)$.若对任意 $x \in(-\infty, m]$, 都有 $f(x) \geq-\frac{8}{9}$, 则 $\mathrm{m}$ 的取值范围是 ( )
由 $f(x+1)=2 f(x)$ 知, $f(x+t)=2^{t} \cdot f(x), t \in Z$, 即 $f(x)=2^{t} \cdot f(x-t), t \in Z$,

当 $x \in\left(0,\left.1\right|_{\text {时, }} f(x)=x x-1=x^{2}-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right.$, 此时 $f(x) \in\left[-\frac{1}{4}, 0\right)$,

当 $-1<x \ll 0$ 时, $f(x) \in\left[-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}, 0\right]$, 即 $f(x) \in\left[-\frac{1}{8}, 0\right)$,
则 $x \in[1,2)_{\text {时, }} f(x) \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right], x \in[2,3)_{\text {时, }} f(x) \in[-1,0]$,

若 $\forall_{x}=(-\infty, m\rfloor, f(x) \geq-\frac{8}{9}$, 则 $m_{\text {max }} \in(2,3)$,

当 $x \in(2,3)$ 时, $f(x)=4 f(x-2)=4\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-1$,

令 $4\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}-1 \geq-\frac{8}{9}$, 解得 $x \leq \frac{7}{3}$ 或 $x \geq \frac{8}{3}$,

由于 $\mathrm{x} \in\left[\frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right]_{\text {时, }} 4\left(\mathrm{x}-\frac{5}{2}\right)^{2}-1 \in\left[-1-\frac{8}{9}\right]$, 则 $\mathrm{m}_{\text {max }}=\frac{7}{3}$ 。

故答案为: B

【分析】 首先根据已知条件求出函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式, 对 $\mathrm{x}$ 分情况讨论得出每个范围内的 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的取值范围，并把几种情况并起来即可得出 $\mathrm{m}$ 的取值范围即可。