(12 分) 某电器企业统计了近 10 年的年利润额 $y$ （千万元）与投入的年广告费用 $x$ （十万元）的相关数据, 散点图如图, 对数据作出如下处理: 令 $u_{i}=\ln x_{i}$, $v_{i}=\ln y_{i}$, 得到相关数据如表所示:

| $\sum_{i=1}^{10} u_{i} v_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} u_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} v_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} u_{i}^{2}$ |
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(1) 由散点图知, 年广告费用 $x$ 和年利润额 $y$ 的回归类型并不是直线型的, 而是曲线型的, 且$y$ 与 $x$ 呈正相关,所以选择回归类型 $y=m \cdot x^{k}$ 更好.(2) 对 $y=m \cdot x^{k}$ 两边取自然对数, 得 $\ln y=\ln m+k \ln x$ ， $ecause v=\ln y, u=\ln x$, 则 $v=\ln m+k u$,由表中数据得 $\hat{k}=rac{\sum_{i=1}^{10} u_{i} 
u_{i}-10 ar{u}}{\sum_{i=1}^{10} u_{i}^{2}-10 ar{u}}=rac{30.5-10 	imes 1.5 	imes 1.5}{46.5-10 	imes 1.5 	imes 1.5}=rac{1}{3}$, 所以 $\ln m=ar{v}-\hat{k} ar{u}=1.5-rac{1}{3} 	imes 1.5=1$, 所以 $m=e$,所以年广告费用 $x$ 和年利润额 $y$ 的回归方程为.(3) 由 (2), 知, 令, 得 $x^{rac{1}{3}}>rac{10}{e}$, 得 $x^{rac{1}{3}}>3.6788$,所以 $x>3.6788^{3} \approx 49.787$, 所以 $x \approx 49.8$ (十万元).故下一年应至少投入 498 万元广告费用.<ImageHere>