10. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右两焦点, 若椭圆 $C$ 上的点 $A\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和为 4 , 求椭圆 $C$ 的方程及焦点坐标.
：解 椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上, 由椭圆上的点 $A$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和是 4 , 得 $2 a=4$, 即 $a=2$.

又 $A\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上,

$\therefore \frac{1}{2^{2}}+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}{b^{2}}=1$, 解得 $b^{2}=3$.

$\therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=1$.

$\therefore$ 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$,

焦点坐标为 $F( \pm 1,0)$.