如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=15, B C=20$. 点 $D$ 从点 $\mathrm{A}$ 出发沿折线 $A-C-B$ 运动到点 $B$ 停止, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$, 垂足为 $E$. 设点 $D$ 运动的路径长为 $x, \triangle B D E$ 的面积为 $y$,若 $y$ 与 $x$ 的对应关系如图所示, 则 $a-b$ 的值为 ( )

根据点 $D$ 运动的路径长为 $x$, 在图中表示出来, 设 $A E=z, B E=25-z$, 在直角三角形中, 找到等量关系, 求出未知数的值, 得到 $\triangle B D E$ 的值.

【详解】解：当 $x=10$ 时, 由题意可知,

$A D=10, C D=5$,

在 Rt $\triangle C D B$ 中，由勾股定理得 $B D^{2}=C D^{2}+B C^{2}=5^{2}+20^{2}=425$,

设 $A E=z, B E=25-z$ ，

$\therefore B E^{2}=(z-25)^{2}=z^{2}-50 z+625$,

在 Rt $\triangle A D E$ 中, 由勾股定理得 $D E^{2}=A D^{2}-A E^{2}=100-z^{2}$,

在 Rt $\triangle D E B$ 中, 由勾股定理得 $B D^{2}=D E^{2}+B E^{2}$,

即 $425=100-z^{2}+z^{2}-50 z+625$,

解得 $z=6$,
$\therefore D E=6, B E=19$,

$\therefore a=S_{\triangle B D E}=\frac{1}{2} \times 19 \times 8=76$,

当 $x=25$ 时, 由题意可知, $C D=B D=10$,

设 $B E=q, A E=25-q$ ，

$A E^{2}=(25-q)^{2}=625-50 q+q^{2}$,

在 Rt $\triangle C D A$ 中, 由勾股定理得 $A D^{2}=A C^{2}+C D^{2}=15^{2}+10^{2}=325$,

在 Rt $\triangle B D E$ 中由勾股定理得 $D B^{2}=B D^{2}-B E^{2}=100-q^{2}$,

Rt $\triangle D E A$ 中, 由勾股定理得 $A D^{2}=D E^{2}+A E^{2}$,

即 $325=100-q^{2}+625-50 q+q^{2}$,

解得 $q=8$,

$\therefore D E=6$,

$\therefore b=S_{\triangle B D E}=\frac{1}{2} \times 6 \times 8=24$,

$\therefore a-b=76-24=52$.

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故选: B.

【点睛】本题主要考查勾股定理, 根据勾股定理列出等式是解题的关键, 运用了数形结合的思想解题.
