如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A$ 为劣弧 $B C$ 的中点, $\angle B A C=120^{\circ}$, 过点 $B$ 作 $\odot O$ 的直径 $B D$, 连接 $A D$, 若 $A D=6$, 则 $A C$ 的长为（）

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先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 $\angle C=30^{\circ}$, 再根据圆周角定理得到 $\angle D=\angle C=30^{\circ}, \angle B A D=90^{\circ}$, 然后利用含 30 度的三角形三边的关系求解.

【详解】解： $\because A$ 为劣弧 $B C$ 的中点, $\therefore A B=A C$,

又 $\because \angle B A C=120^{\circ}, \quad \therefore \angle C=\angle A B C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D=\angle C=30^{\circ}$,

$\because A$ 为劣弧 $B C$ 的中点,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A B D$ 中, $B D=2 A B, \therefore A D=\sqrt{3} A B$

$\therefore A B=\frac{\sqrt{3}}{3} A D=2 \sqrt{3}$,

$\therefore A C=A B=2 \sqrt{3}$,

故选 $A$.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论: 半圆（或直径）所对的圆周角是直角, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径. 也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系.

