如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 平分 $\angle B A C$, 点 $E$ 在 $A C$ 上, 且 $\angle E A D=\angle A D E$.

(1)求证: $\triangle D C E \sim \triangle B C A$;

(2)若 $A B=6, A C=8$, 求 $\frac{B D}{C D}$ 的值.

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(1) 已知 $A D$ 平分 $\angle B A C$, 可得 $\angle B A D=\angle D A C$, 再由 $\angle E A D=\angle A D E$, 可得 $\angle B A D=\angle A D E$, 即可得 $D E / / A B$, 从而得 $\triangle D C E \sim \triangle B C A$;

(2) 作 $D F \perp A B$ 于点 $F, D G \perp A C$ 于点 $G$, 利用角平分线的性质得到 $D F=D G$, 再利用三角形面积公式求得 $\frac{S_{\triangle A D B}}{S_{\triangle A D C}}=\frac{3}{4}$, 据此即可求解.

【详解】(1) 证明: $\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A D=\angle D A C$,

$\because \angle E A D=\angle A D E$,

$\therefore \angle B A D=\angle A D E$,

$\therefore D E / / A B$,

$\therefore \triangle D C E \sim \triangle B C A ;$

(2) 解: 作 $D F \perp A B$ 于点 $F, D G \perp A C$ 于点 $G$,

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$\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore D F=D G$,

$\therefore \frac{S_{\triangle A D B}}{S_{\triangle A D C}}=\frac{\frac{1}{2} A B \times D F}{\frac{1}{2} A C \times D G}=\frac{A B}{A C}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,

$\because \frac{S_{\triangle A D B}}{S_{\triangle A D C}}=\frac{B D}{C D}$,

$\therefore \frac{B D}{C D}=\frac{3}{4}$.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的判定和性质、角平分线的性质, 掌握“角
平分线上点到角两边的距离相等"是解题的关键.

