$n$ 个正数的和与这 $n$ 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( )
解析:【解答】设 $n$ 个正数为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{\mathrm{n}}$,

由柯西不等式, 得

$\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}\right)$

$\geq\left(\sqrt{x_{1}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\sqrt{x_{2}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+\cdots+\sqrt{x_{n}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{n}}}\right)^{2}=(1+1+\cdots+1)^{2}=n^{2}$.
当且仅当 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ 时取等号.

【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键设 $n$ 个正数为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, 然后构造条件根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.