欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ (其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位) 是由著名数学家欧拉发现的, 当 $x=\pi$ 时, $e^{\pi i}+1=0$, 这是数学里最令人着迷的一个公式, 数学家们评价它是“上帝创造的公式”, 根据欧拉公式, 若将 $e^{\frac{\pi}{3} i}$ 所表示的复数记为 $z$, 那么 $|z|=$ \$ \qquad \$ .
答案: 1

【解析】【解析】由题意, $e^{\frac{\pi}{3} i}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$,

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故答案为: 1 .

【分析】由已知可得 $e^{\frac{\pi}{3} i}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$, 再由复数模的计算公式求解.



19.答案: (1) 【解析】由题 $z=\frac{4+3 i}{1+2 i}=\frac{(4+3 i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{10-5 i}{5}=2-i \quad$. 即 $z=2-i$;

(2) 【解析】由(1) $z=2-i$, 故 $z^{2}-\bar{z}=(2-i)^{2}-(2+i)=1-5 i$,

故 $\left|z^{2}-\frac{z}{z}\right|=\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{26}$.

即 $\left|z^{2}-\bar{z}\right|=\sqrt{26}$.

【分析】(1)易得 $z=\frac{4+3 i}{1+2 i}$, 再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 $z^{2}, \bar{z}$ 再计算 $z^{2}-\bar{z}$ 求模长即可.