直线 $l: 2 x-y+2=0$ 过椭圆左焦点 $F_{1}$ 和一个顶点 $B$, 则该陏圆的离心率为 ( )
答案：C

【解析】【解答】解: $\because$ 直线 $1: 2 x-y+2=0$ 中, 令 $x=0$, 得 $y=2$; 令 $y=0$, 得 $x=-1$,直线 $l: 2 x-y+2=0$ 过粗圆左焦点 $F_{1}$ 和一个顶点 $B$,

$\therefore$ 椭圆左焦点 $\mathrm{F}_{1}(-1,0)$, 顶点 $\mathrm{B}(0,2)$,

$\therefore \mathrm{c}=1, \mathrm{~b}=2, \mathrm{a}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$,

$\therefore$ 该椭圆的离心率为 $\mathrm{e}={ }^{\frac{c}{a}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{}={ }^{\frac{\sqrt{5}}{5}}$.

故选: C.

【分析】 分别令直线方程中 $\mathrm{y}=0$ 和 $\mathrm{x}=0$, 进而求得 $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$, 进而根据 $\mathrm{b}, \mathrm{c}$ 和 $\mathrm{a}$ 的关系求得 $\mathrm{a}$, 则粗圆的离心率可得.

2. 答案:B

【解析】【解答】由题意得, $A(4,0), B(0,3), A B=5$,

$\therefore{ }^{\frac{1}{2} A B \cdot h=12 \text {, }}$

$\therefore P$ 到 $A B$ 的距离 $h=\frac{12}{5}$

设直线 $l$ 与直线 $A B$ 平行,且与粗圆 ${ }^{\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1}$ 相切,方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=k$,

把直线 $l$ 的方程代入椭圆的方程, 得 $x^{2}-4 k x+8 k^{2}-8=0$,

由 $\Delta=0$,解得 $k= \pm \sqrt{2}$.

故直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}= \pm \sqrt{2}$.

<ImageHere>

$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=-\sqrt{2}$ 与直线 $A B$ 的距离为 $\frac{|-\sqrt{2}-1|}{\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}}}=\frac{12(\sqrt{2}+1)}{5}>\frac{24}{5}$,
故这样的点共 2 个。

故答案为: B.

【分析】根据已知条件可得出 $\mathrm{p}$ 点到 $\mathrm{AB}$ 的距离, 再射出直线的方程, 联立直线方程与椭圆方程即可求出粗圆到直线的距离, 最后可判断所求点的个数。

3. 答案:A

【解析】【解答】解：依题设 $\mathrm{P}$ 在抛物线准线的投影为 $\mathrm{P}^{\prime}$, 抛物线的焦点为 $\mathrm{F}$, 则

$$
F\left(\frac{1}{2}, 0\right)
$$

依抛物线的定义知 $\mathrm{P}$ 到该抛物线准线的距离为 $|\mathrm{PP}|=|\mathrm{PF}|$,

则点 $\mathrm{P}$ 到点 $\mathrm{A}(0,2)$ 的距离与 $\mathrm{P}$ 到该抛物线准线的距离之和

$\mathrm{d}=|\mathrm{PF}|+|\mathrm{PA}| \geqslant|\mathrm{AF}|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$.

故选 A.

【分析】先求出抛物线的焦点坐标, 再由抛物线的定义可得 $\mathrm{d}=|\mathrm{PF}|+|\mathrm{PA}| \geq|\mathrm{AF}|$, 再求出 $|\mathrm{AF}|$ 的值即可.