已知点 $P$ 是椭圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 上一点, 且在 $x$ 轴上方, $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点, 直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $-4 \sqrt{3}$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积是 ( )
解析: 解答: . $\because$ 粗圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 化成标准形式为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$,

$\therefore a^{2}=25, b^{2}=16$, 可得 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$.

$\therefore$ 椭圆的焦点为 $F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$.

设位于椭圆 $X$ 轴上方弧上的点为 $(m, n)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{m^{2}}{25}+\frac{n^{2}}{16}=1, \\ \frac{n-0}{m-3}=-4 \sqrt{3},\end{array}\right.$解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{2}, \\ n=2 \sqrt{3}\end{array}\right.$ (负值舍去).

$\therefore \triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$. 故选 B.

分析: 根据椭圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 化成标准形式为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$, 可得 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$.

设位于椭圆 $x$ 轴上方弧上的点为 $(m, n)$, 再求出 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$.