在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $B=60^{\circ}, C=45^{\circ}, B C=2$, 且 $A D \perp B C$ 于 $D$, 则 $A D=(\quad)$
如图所示, 由题意知 $\angle B A C=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$, 则

$\sin \angle B A C=\sin 75^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,
由正弦定理 $\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin \angle B A C}$, 所以 $A B=\frac{B C \sin C}{\sin \angle B A C}=\frac{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}+1}=2(\sqrt{3}-1)$,

在 $R t^{\triangle} A B D$ 中, 有 $A D=A B \cdot \sin B=2(\sqrt{3}-1) \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3-\sqrt{3}$. 故选 D.

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