(8 分) 如图所示, 已知 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $C D$ 是弦, 且 $A B \perp C D$ 于点 $E$. 连接 $A C$ 、 $O C 、 B C$.

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(1)求证: $\angle A C O=\angle B C D$;

(2)若 $A E=9 B E, C D=6$, 求 $\odot O$ 的直径.


(1) 先利用 $O A=O C$ 得到 $\angle A C O=\angle A$, 再利用直角三角形的两锐角互余即可求解;

(2)利用垂径定理得到 $C E=\frac{1}{2} C D=3$, 再得到 $O A=O C=O B=5 B E, O E=O B-B E=4 B E$,在 Rt $\triangle O C E$ 中, 利用 $O E^{2}+C E^{2}=O C^{2}$ 得到 $(4 B E)^{2}+3^{2}=(5 B E)^{2}$ 求出 $B E$, 即可得到求解.

【详解】(1) (1) 证明: $\because O A=O C$

$\therefore \angle A C O=\angle A$

又 $\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}$,

又 $\because A B \perp C D$

$\therefore \angle B C D+\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle B C D$

$\therefore \angle A C O=\angle B C D$

(2) $\because A B \perp C D, A B$ 为直径

$\therefore C E=D E$,

$\therefore C E=\frac{1}{2} C D=3$

又 $\because A E=9 B E$,

$\therefore A B=10 B E$,

$\therefore O A=O C=O B=5 B E$,

$\therefore O E=O B-B E=4 B E$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle O C E$ 中, $O E^{2}+C E^{2}=O C^{2}$

即 $(4 B E)^{2}+3^{2}=(5 B E)^{2}$, 解得 $B E=1$,

$\therefore A B=10 B E=10$.

【点睛】本题考查了垂径定理, 勾股定理, 直径的性质, 同角的余角相等, 勾股定理：若三角形的两条直角边为 $a$ 和 $b$, 斜边为 $c$, 则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦.

