如图, 已知 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$, 连接 $A C, O C$ 若 $\sin \angle B A C=\frac{1}{3}$, 则 $\tan \angle B O C=$

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解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$,

$\therefore A B \perp B C$,

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}$,

$\because \sin ^{\angle B A C}=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{3}$,

$\therefore$ 设 $B C=x, A C=3 x$,

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}-B C^{2}}=\sqrt{(3 x)^{2}-x^{2}}=2 \sqrt{2} x$,

$\therefore O B=\frac{1}{2} A B=\sqrt{2} x$,

$\therefore \tan ^{\angle B O C}=\frac{B C}{O B}=\frac{x}{\sqrt{2} x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

根据切线的性质得到 $A B \perp B C$, 设 $B C=x, A C=3 x$, 根据勾股定理得到 $A B=\sqrt{A C^{2}-B C^{2}}=$ $\sqrt{(3 x)^{2}-x^{2}}=2 \sqrt{2} x$, 于是得到结论.

本题考查了切线的性质, 解直角三角形, 熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.