正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别是 $A D, D D_{1}$ 的中点, $A B=4$, 则过 $B, E$, $F$ 的平面截该正方体所得的截面周长为
【分析】

利用线面平行的判定与性质证明直线 $B C_{1}$ 为过直线 $E F$ 且过点 $\mathrm{B}$ 的平面与平面 $B C C_{1} B_{1}$的交线, 从而证得 $B, E, F, C_{1}$ 四点共面, 然后在正方体中求等腰梯形 $B E F C_{1}$ 的周长即可.

【详解】

作图如下:

<ImageHere>

因为 $E, F$ 是棱 $A D, D D_{1}$ 的中点,

所以 $E F / / A D_{1} / / B C_{1}$,

因为 $E F \not \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, B C_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$,

所以 $E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$,

由线面平行的性质定理知,

过直线 $E F$ 且过点 $\mathrm{B}$ 的平面与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线 $l$ 平行于直线 $E F$,

结合图形知, $l$ 即为直线 $B C_{1}$,

过 $B, E, F$ 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形 $B E F C_{1}$,

因为正方体的棱长 $A B=4$,

所以 $E F=2 \sqrt{2}, B E=C_{1} F=2 \sqrt{5}, B C_{1}=4 \sqrt{2}$,

所以所求截面的周长为 $6 \sqrt{2}+4 \sqrt{5}$,

故选:A

## 【点睛】

本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理; 重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.