12. 如图, $\mathrm{AC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, $\mathrm{B}$ 是圆上一点, $\angle \mathrm{ABC}$ 的平分线与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{D}$, 已知 $\mathrm{BC}=1, \mathrm{AB}=\sqrt{3}$, 则 $\mathrm{AD}=$

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: 解答: 如图,连接 $\mathrm{OD}$, 由于 $\mathrm{AC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径,

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则 $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$.

又 $\mathrm{BC}=1, \mathrm{AB}=\sqrt{3}$,

则 $\mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}$

$=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2$,

所以 $\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=1$.

又 $\angle \mathrm{AOD}=2 \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$,

故 $\triangle \mathrm{AOD}$ 是等腰直角三角形,

则 $\mathrm{AD}=\sqrt{2} \mathrm{OA}=\sqrt{2} \times 1=\sqrt{2}$.

分析: 本题主要考查了圆周角定理, 解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件分析计算即可, 难度不大