如图, $P A, P B$ 切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$, 交 $P A, P B$ 于 $C 、 D$, 若 $\odot O$ 的半径为 $r$, $\triangle P C D$ 的周长等于 $3 r$, 则 $\tan \angle A P B$ 的值是 $(\quad)$

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如图, 连接 $O A 、 O B 、 O P$, 延长 $B O$ 交 $P A$ 的延长线于点 $F$,

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$\because P A, P B$ 切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E$,

$\therefore \angle O A F=\angle P B F=90^{\circ}, C A=C E, D B=D E, P A=P B$,

$\because \triangle P C D$ 的周长 $=P C+C E+D E+P D=P C+A C+P D+D B=P A+P B=3 r$,

$\therefore P A=P B=\frac{3}{2} r$,
在Rt $\triangle P B F$ 和 Rt $\triangle O A F$ 中,

$\{\angle F A O=\angle F B P$

$\angle O F A=\angle P F B$,

$\therefore R t \triangle P B F \sim R t \triangle O A F$,

$\therefore \frac{A F}{F B}=\frac{A O}{B P}=\frac{r}{\frac{3}{2} r}=\frac{2}{3}$,

$\therefore A F=\frac{2}{3} F B$,

在Rt $\triangle F B P$ 中,

$\because P F^{2}-P B^{2}=F B^{2}$,

$\therefore(P A+A F)^{2}-P B^{2}=F B^{2}$,

$\therefore\left(\frac{3}{2} r+\frac{2}{3} B F\right)^{2}-\left(\frac{3}{2} r\right)^{2}=B F^{2}$,

解得 $B F=\frac{18}{5} r$,

$\therefore \tan \angle A P B=\frac{B F}{P B}=\frac{\frac{18}{5} r}{\frac{3}{2} r}=\frac{12}{5}$,

故选 $A$.