如图, $A B=A C, A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $D$, 交 $A B$ 于 $E$.

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(1) 若 $\angle A=40^{\circ}$, 求 $\angle D B C$ 的度数;

(2) 若 $A E=5, \triangle B C D$ 的周长 17 , 求 $\triangle A B C$ 的周长.
解: (1) $\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形,

$\because \angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)=70^{\circ}$,

$\because \mathrm{DE}$ 所在的直线是 $\mathrm{AB}$ 的垂直平分线

$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形,

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{A}=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{ABD}=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ} ;$

(2) $\because \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$,

$\because \mathrm{C}_{\triangle \mathrm{CB}}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{BD}=17$,

$\therefore \mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{AD}=\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=17$,

$\because \mathrm{AE}=5$

$\therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AE}=10$,

$\therefore \mathrm{C}_{\triangle A B C}=A B+B C+A C=10+17=27$.