(本小题8.0分)

如图, 已知正比例函数 $y=2 x$ 的图象与抛物线 $y=a x^{2}+3$ 相交于点 $A(1, b)$.

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(1)求 $a$ 与 $b$ 的值;

(2)若点 $B(m, 4)$ 在函数 $y=2 x$ 的图象上，抛物线 $y=a x^{2}+3$ 的顶点是 $C$, 求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积;

(3)若点 $P$ 是 $x$ 轴上一个动点, 求当 $\mathrm{PA}+\mathrm{PC}$ 最小时点 $P$ 的坐标.

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本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征, 三角形的面积, 轴对称的最短路线问题, 解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答.

(1)根据函数 $y=2 x$ 与抛物线 $y=a x^{2}+3$ 相交于点 $A(1, b)$, 可以求得 $a 、 b$ 的值;

(2)根据函数图象和点 $A 、 B 、 C$ 的坐标可以求得 $\triangle A B C$ 的面积.

(3)根据题意先作出点 $P$, 再求得点 $P$ 坐标即可.