11. 设函数 $f(x)=a x^{3}+b x+c(a>0)$ 为奇函数, 其图象在点 $(1, f(1))$处的切线与直线 $x-6 y-7=0$ 垂直, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 的最小值为 -12 .

(1)求 $a, b, c$ 的值;

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间, 并求函数 $f(x)$ 在 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值.
：解 (1) $\because f(x)$ 为奇函数, $\therefore f(-x)=-f(x)$,

即 $-a x^{3}-b x+c=-a x^{3}-b x-c, \therefore c=0$.

$\because f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+b$ 的最小值为 $-12, \quad \therefore b=-12$.

又直线 $x-6 y-7=0$ 的斜率为 $\frac{1}{6}$,

因此 $f^{\prime}(1)=3 a+b=-6$, 解得 $a=2$.

故 $a=2, b=-12, c=0$.

(2) $f(x)=2 x^{3}-12 x$,

$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-12=6(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$.

令 $f^{\prime}(x)=0$, 得 $x=-\sqrt{2}$ 或 $x=\sqrt{2}$.
当 $x$ 变化时, $f^{\prime}(x)$ 与 $f(x)$ 的变化情况如下表:

| $x$ | $(-\infty,-\sqrt{2})$ | $-\sqrt{2}$ | $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ | $\sqrt{2}$ | $(\sqrt{2},+\infty)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f^{\prime}(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ |  | 极大值 | $\searrow$ | 极小值 |  |

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-\sqrt{2}),(\sqrt{2},+\infty)$.

$\because f(-1)=10, f(3)=18, f(\sqrt{2})=-8 \sqrt{2}$;

$\therefore$ 当 $x=\sqrt{2}$ 时, $f(x)$ 取得最小值为 $-8 \sqrt{2}$;

当 $x=3$ 时, $f(x)$ 取得最大值为 18 .