如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A B=A D=2 B C=2, B C / / A D, A B \perp A D, \triangle P B D$为正三角形.若 $P A=2 \sqrt{3}$, 且 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

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(1) 证明: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$;

（2） $E$ 是线段 $C D$ 上一点, 记 $\frac{D E}{D C}=\lambda(0<\lambda<1)$, 是否存在实数 $\lambda$, 使二面角 $P-A E-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ? 若存在, 求出 $\lambda$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
【分析】

（1）由勾股定理与正三角形的性质可证 $A B \perp P B$, 再由已知证得 $A B \perp B C$, 由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证得平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$;

(2) 作 $B C$ 延长线于点 $Q$, 且 $B Q=A D$, 由 (1) 可知, $Q D, Q P, Q B$ 两两垂直, 以它们所在直线分别做 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴建立空间直角坐标系, 结合已知即可表示点 $Q, A, C$, $D, E$ 的坐标, 进而求得面 $P A E$ 与面 $A C E$ 的法向量, 利用向量的数量积求夹角与已知构建方程, 求得 $\lambda$ 的值.

## 【详解】

(1) 因为 $A B \perp A D, A B=A D=2$, 所以 $B D=2 \sqrt{2}$

又因为 $\triangle P B D$ 为正三角形, 所以 $P B=P D=B D=2 \sqrt{2}$

又 $A B=2, P A=2 \sqrt{3}$, 则 $A B^{2}+P B^{2}=4+8=12=P A^{2}$, 即 $A B \perp P B$

又因为 $A B \perp A D, B C / / A D$, 所以 $A B \perp B C$ 且 $P B \cap B C=B$

所以 $A B \perp$ 平面 $P B C$, 又因为 $A B \subset$ 平面 $P A B$

故平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$

(2) 作 $B C$ 延长线于点 $Q$, 且 $B Q=A D$, 由 (1) 可知, $Q D, Q P, Q B$ 两两垂直, 以它们所在直线分别做 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴建立空间直角坐标系, 则 $Q(0,0,0), A(2,2,0), C(0,1,0), D(2,0,0)$由 $\frac{D E}{D C}=\lambda(0<\lambda<1)$, 可得 $E(2-2 \lambda, \lambda, 0)$, 所以

$$
\overrightarrow{A E}=(-2 \lambda, \lambda-2,0), \overrightarrow{A P}=(-2,-2,-2)
$$

设平面 $P A E$ 的法向量为 $\vec{m}=(x, y, z)$

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{A P}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{A E}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}-2 x-2 y+2 z=0 \\ -2 \lambda x+(\lambda-2) y=0\end{array}\right.$, 令 $\mathrm{x}=1$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{2 \lambda}{\lambda-2} \\ z=\frac{3 \lambda-2}{\lambda-2}\end{array}\right.$
所以 $\vec{m}=\left(1, \frac{2 \lambda}{\lambda-2}, \frac{3 \lambda-2}{\lambda-2}\right)$, 显然 $\overrightarrow{Q P}=(0,0,2)$ 是平面 $A C E$ 的法向量

设二面角 $P-A E-C$ 为 $\theta$

则 $\cos \theta=\frac{\vec{m} \cdot \overrightarrow{Q P}}{|\vec{m}| \cdot|\overrightarrow{Q P}|}=\frac{\left|\frac{6 \lambda-4}{\lambda-2}\right|}{2 \sqrt{1+\left(\frac{2 \lambda}{\lambda-2}\right)^{2}+\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda-2}\right)^{2}}}=\frac{|3 \lambda-2|}{\sqrt{14 \lambda^{2}-16 \lambda+8}}$

依据题意有 $\frac{|3 \lambda-2|}{\sqrt{14 \lambda^{2}-16 \lambda+8}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$, 解得 $\lambda=\frac{2}{5}$

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本题考查空间中面面垂直的证明, 还考查了已知二面角的余弦值探究点的成立问题, 属于较难题.