已知: $A D$ 平分 $\angle C A B$, 且 $D C \perp A C, D B \perp A B$, 求证: $A B=A C$

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证明 $： \because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{CAB}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{BAD}$,

$\because \mathrm{DC} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{DB} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABD}=90^{\circ}$

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 中

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\angle C A D=\angle B A D \\
\angle C=\angle D \\
A D=A D
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{ABD}(\mathrm{AAS}), \\
& \therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AB} .
\end{aligned}
$$