如图 $1 \sim 3$, 在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中, 每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆, 依此类推, 图 6 中有 6 个直角三角形的内切圆, 它们的面积分别记为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots, S_{6}$,则 $S_{1}+S_{2}+S_{3}+\cdots+S_{6}$ 的值是 ( )

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

<ImageHere>

图3
图 1, 过点 $O$ 做 $O E \perp A C, O F \perp B C$, 垂足为 $E 、 F$, 则 $\angle O E C=\angle O F C=90^{\circ}$

$$
\because \angle C=90^{\circ}
$$

$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 为矩形

<ImageHere>

图1
$\because O E=O F$

$\therefore$ 矩形 $O E C F$ 为正方形

设圆 $O$ 的半径为 $r$, 则 $O E=O F=r, A D=A E=3-r, B D=4-r$

$\therefore 3-r+4-r=5, r=\frac{3+4-5}{2}=1$

<ImageHere>

图2

$$
\therefore S_{1}=\pi \times 1^{2}=\pi
$$

图 2, 由 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 3 \times 4=\frac{1}{2} \times 5 \times C D$

$\therefore C D=\frac{12}{5}$ 由勾股定理得: $A D=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{9}{5}, B D=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$,

由(1)得:

$\odot O$ 的半径 $=\frac{\frac{9}{5}+\frac{12}{5}-3}{2}=\frac{3}{5}, \odot E$ 的半径 $=\frac{\frac{12}{5}+\frac{16}{5}-4}{2}=\frac{4}{5}$

$\therefore S_{1}+S_{2}=\pi \times\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\pi \times\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\pi$

图 3, 由 $S_{\triangle C D B}=\frac{1}{2} \times \frac{12}{5} \times \frac{16}{5}=\frac{1}{2} \times 4 \times M D$

$$
\therefore M D=\frac{48}{25}
$$

由勾股定理得: $C M=\sqrt{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}-\left(\frac{48}{25}\right)^{2}}=\frac{36}{25}, M B=4-\frac{36}{25}=\frac{64}{25}$

由(1)得: $\odot O$ 的半径 $=\frac{3}{5} ， \odot E$ 的半径 $=\frac{\frac{48}{25} \frac{36}{25} \frac{12}{5}}{2}=\frac{12}{25}$

$\therefore \odot F$ 的半径 $=\frac{\frac{48}{25} \frac{64}{25}-\frac{16}{5}}{2}=\frac{16}{25}$

$$
\therefore S_{1}+S_{2}+S_{3}=\pi \times\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\pi \times\left(\frac{12}{25}\right)^{2}+\pi \times\left(\frac{16}{25}\right)^{2}=\pi
$$

观察规律可知 $S_{1}+S_{2}+S_{3}+\cdots+S_{6}=\pi$.

故选: $A$.