(10 分) 已知复数 ${ }^{z_{1}=2+a \mathrm{i}}$ (其中 ${ }^{a \in \mathbf{R}}$ 且 $^{a>0}, \mathrm{i}$ 为虚数单位), 且 ${ }^{z_{1}^{2}}$ 为纯虚数.

(1) 求实数 $a$ 的值;
(2) 若 $z=\frac{z_{1}}{1-\mathrm{i}}$, 求复数 $z$ 的模 $|z|$.
(1) $z_{1}^{2}=(2+a i)^{2}=4-a^{2}+4 a i$,因为 $z^{2}{ }^{2}$ 为纯虚数, 所以 $\left\{egin{array}{l}4-a^{2}=0 \ a>0\end{array}
ight.$, , 解得 $a=2$.(2) $z_{1}=2+2 i, \quad z=rac{2+2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=rac{(2+2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=rac{4 \mathrm{i}}{2}=2 \mathrm{i} \quad, \quad .|z|=2$.