如图, 在正方形 $A B C D$ 和直角 $\triangle C E F$ 中, $B 、 C 、 F$ 三点共线, $\angle E C F=90^{\circ}, E C=3$, $F C=4$, 连接 $A E, A F$, 若 $\angle E A F=45^{\circ}$, 则 $A B=(\quad$

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连接 $A C$, 根据正方形的性质可得 $A C=\sqrt{2} A B, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, \angle B C D=90^{\circ}$,从而可得 $\angle C A F+\angle A F C=45^{\circ}, \angle C A E+\angle A E C=45^{\circ}$, 进而可得 $\angle A E C=\angle C A F, \angle A F C=\angle C A E$,即可证明 $\triangle A E C \sim \triangle F A C$, 然后利用相似三角形的性质, 进行计算即可求出 $A C$, 从而求出 $A B$ 的长.

【详解】解：连接 $A C$,

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$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A C=\sqrt{2} A B, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A F+\angle A F C=45^{\circ}, \angle C A E+\angle A E C=45^{\circ}$,

$\because \angle E C F=90^{\circ}, B 、 C 、 F$ 三点共线,

$\therefore \angle B C E=180^{\circ}-\angle E C F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C E+\angle B C D=180^{\circ}$,

$\therefore D 、 C 、 E$ 三点共线,
$\because \angle E A F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C A E+\angle C A F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A E C=\angle C A F, \angle A F C=\angle C A E$,

$\therefore \triangle A E C \sim \triangle F A C$,

$\therefore \frac{A C}{F C}=\frac{E C}{A C}$,

$\therefore A C^{2}=E C \cdot F C=3 \times 4=12$,

$\therefore A C=2 \sqrt{3}$,

$\therefore A B=\frac{A C}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$,

故选: B.

【点睛】本题考查了正方形的性质, 相似三角形的判定与性质, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

