(10 分) 某公司经过市场调查, 整理出某种商品在某个月的第 $x$ 天的售价与销量的相关信息如下表:

| 第 $x$ 天 | 售价（元/件） | 日销售量（件） |
| :---: | :---: | :---: |
| $1 \leq x \leq 30$ | $x+40$ | $100-2 x$ |

已知该商品的进价为 20 元/件, 设销售该商品的日销售利润为 $y$ 元.

(1)求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式;

(2)问销售该商品第几天时，日销售利润为 2250 元;

(3)问在当月有多少天的日销售利润不低于 2400 元, 请直接写出结果.


（1）根据日销售利润=（售价-进价）×日销售量, 即可求解;

（2）令 $y=2250$, 解对应的一元二次方程即可;

（3）令 $y=2400$, 解对应的一元二次方程. 根据二次函数的图象即可求解.

【详解】(1) 解: $y=(x+40-20)(100-2 x)$,

化简得: $y=-2 x^{2}+60 x+2000(1 \leq x \leq 30)$

（2）解： 令 $y=2250$, 即 $-2 x^{2}+60 x+2000=2250$,

解得: $x_{1}=5, x_{2}=25$,

故：销售该商品第 5 天和第 25 天时, 日销售利润为 2250 元

(3) 解: 令 $y=2400$, 即 $-2 x^{2}+60 x+2000=2400$,

解得: $x_{1}=10, x_{2}=20$,

$\because-2<0$
$\therefore$ 当 $10 \leqslant x \leqslant 20$ 时, 日销售利润不低于 2400 元

故: $20-10=10$ (天),

即: 当月有 10 天的日销售利润不低于 2400 元

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用. 掌握二次函数的相关性质是解题关键.

