如图, 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle A O C=90^{\circ}, A B=\sqrt{2}, B C=1$, 则 $\odot O$ 的半径为

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【分析】

本题考查的是勾股定理, 圆周角定理, 圆内接四边形的性质有关知识, 在圆周上取一点 $D$, 连接 $A D$,
$C D, A C$, 延长 $A B$, 过点 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$, 先求出 $\angle A D C=45^{\circ}$, 然后求出 $\angle A B C=135^{\circ}$, 然后再利用勾股定理解答即可.

## 【解答】

解: 在圆周上取一点 $D$, 连接 $A D, C D, A C$, 延长 $A B$, 过点 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$

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$\because \angle A O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D C=45^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A B C=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$,

$\therefore \angle E B C=45^{\circ}$,

$\because \angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B E C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B E=E C$,

在Rt $\triangle B E C$ 中

$B E^{2}+E C^{2}=B C^{2}, \quad B C=1$,

$\therefore B E=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

在 Rt $\triangle A E C$ 中,

$A E^{2}+E C^{2}=A C^{2}$

$\therefore A C^{2}=(B E+A B)^{2}+E C^{2}=\left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=5$,

在Rt $\triangle A O C$ 中, $O A^{2}+O C^{2}=A C^{2}$,

$\therefore O A^{2}=\frac{5}{2}$,

$\therefore O A=\frac{\sqrt{10}}{2}$,

则 $\odot O$ 的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

故选 $C$.

 