23. (2015 山东) 设 $f(x)=\sin x \cos x-\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$.

(I) 求 $f(x)$ 的单调区间;

(II) 在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$, 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $f\left(\frac{A}{2}\right)=0, a=1$, 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值.
(I) 由题意 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{1+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x=\sin 2 x-\frac{1}{2}$.
由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq 2 x \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$, 可得 $-\frac{\pi}{4}+k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{4}+k \pi(k \in Z)$;

由 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq 2 x \leq \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$, 得 $\frac{\pi}{4}+k \pi \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}+k \pi(k \in Z)$;

所以 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left[-\frac{\pi}{4}+k \pi, \frac{\pi}{4}+k \pi\right](k \in Z)$;

单调递减区间是 $\left[\frac{\pi}{4}+k \pi, \frac{3 \pi}{4}+k \pi\right](k \in Z)$.

(II) $\because f\left(\frac{A}{2}\right)=\sin A-\frac{1}{2}=0, \therefore \sin A=\frac{1}{2}$, 由题意 $A$ 是锐角, 所以 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

由余弦定理: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,

可得 $1+\sqrt{3} b c=b^{2}+c^{2} \geq 2 b c$

$\therefore b c \leq \frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$, 且当 $b=c$ 时成立.

$\therefore b c \sin A \leq \frac{2+\sqrt{3}}{4} . \therefore \triangle A B C$ 面积最大值为 $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$.