如图空间几何体 $A B C D E$ 中, $\triangle A B C$ 与 $\triangle A C D, \triangle E B C$ 均为边长为 2 的等边三角形, 平面 $A C D \perp$ 平面 $A B C$, 平面 $A B C \perp$ 平面 $E B C$.

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(I) 求线段 $D E$ 的长度.

(II) 试在平面 $A B C$ 内作一条直线, 使得直线上任意一点 $F$ 与 $D$ 的连线 $D F$ 均与平面 $E B C$ 平行, 并给出详细证明;
【分析】

(I) 分别取 $A C, B C$ 中点 $P, Q$, 连接 $D P, E Q, P Q$, 可得 $D P \perp A C$, 结合已知可证 $D P \perp$ 平面 $A B C$, 同理 $E Q \perp$ 平面 $A B C$, 可证四边形 $D E Q P$ 是平行四边形, 即可求出结论;

(II) 根据题意只需过 $D$ 做一平面与平面 $E B C$ 平行, 该平面与平面 $A B C$ 的交线即为所求, 由 (1) 得, $D P / /$ 面 $E B C$, 取 $A B$ 中点 $H$, 连接 $P H, D H$, 可证 $P H / /$ 面 $E B C$,
进而有平面 $B C E / /$ 平面 $D P H$, 则 $P H$ 为所求.

## 【详解】

(I) 分别取 $A C, B C$ 中点 $P, Q$, 连接 $D P, E Q, P Q$,

由平面 $A C D \perp$ 平面 $A B C$ 且交于 $A C, D P \subset$ 面 $A C D$,

$D P \perp A C, \therefore D P \perp$ 平面 $A B C$

由平面 $B C E \perp$ 平面 $A B C$ 且交于 $B C, E Q \subset$ 面 $B C E$,

$E Q \perp B C, \therefore E Q \perp$ 平面 $A B C$

$E Q / / D P$, 且 $E Q=D P=\sqrt{3}$,

所以四边形 $D E Q P$ 是平行四边形,

$\therefore D E=P Q=1$;

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(II) 取 $A B$ 中点 $H$, 连接 $P H, D H$

由 $A P=P C, A H=H B, P H / / B C$,

$B C \subset$ 平面 $E B C, P H \not \subset$ 平面 $E B C$,

所以 $P H / /$ 面 $E B C$,

又因为 $D P / / E Q, E Q \subset$ 平面 $E B C$,

$D P \not \subset$ 平面 $E B C$, 所以 $D P / /$ 平面 $E B C$,

$D P \cap P H=P$, 所以平面 $B C E / /$ 平面 $D P H$,

当 $F$ 在直线 $P H$ 上运动时, $D F / /$ 平面 $B C E$

所以直线 $P H$ 是所求直线.

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本题考查面面垂直和线面垂直的应用，注意空间中垂直的相互转化，考查面面平行的判定和应用, 属于中档题.