《九章算术》中记载着这样的一个问题: “今有邑方, 不知大小,各中开门. 出北门二十步有木, 出南门一十四步, 折而西行一千七百七十五步见木, 问邑方几何? ”大意如下: 如图, $M 、 N$ 为正方形 $A B C D$ 一组对边的中点, $\triangle G E F$ 中, $G 、 M 、 N 、 E$ 四点共线, $\angle E=90^{\circ}$,

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$F 、 A 、 G$ 三点共线, 且 $A D \perp G E, G M=20, N E=14, E F=1775$,
设正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$, 请根据题意列方程, 并将方程整理成一元二次方程的一般形式: $\qquad$ .


解：设正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$,

$\because M 、 N$ 为正方形 $A B C D$ 一组对边的中点,

$\therefore A M=\frac{1}{2} x$,

$\because G M=20, N E=14$,

$\therefore G E=x+34$,

$\because A D \perp G E$,

$\therefore A M / / E F$,

$\therefore R t \triangle G A M \sim R t \triangle G F E$,

$\therefore \frac{A M}{F E}=\frac{G M}{G E}$,

即 $\frac{1}{2} x$ 1775 $=\frac{20}{x+34}$,

整理得 $x^{2}+34 x-71000=0$.

故答案为: $x^{2}+34 x-71000=0$.

根据题意, 可知 $R t \triangle G A M \sim R t \triangle G F E$, 根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论.
本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比, 列出方程.

 