(12 分) 如图, $D 、 E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的三等分点, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{m}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{n}$, $\angle B A C=60^{\circ}$

(1) 用 $m, n$ 分别表示 $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}$;

(2) 若 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A E}=15,|\overrightarrow{B C}|=3 \sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.

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(1) 若 $\angle B A C$ 的平分线与边 $B C$ 交于点 $D$, 求 $\overrightarrow{A D} \cdot(2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})$;

(2) 若点 $E$ 为 $B C$ 的中点, 求 $\frac{1}{|\overrightarrow{A E}|^{2}}+\frac{1}{|\overrightarrow{B C}|^{2}}$ 的最小值.
(1) 根据向量的线性运算法则, 可得 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$

$=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{2}{3} m+\frac{1}{3} n$,

$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} m+\frac{2}{3} n$.

(2) 由 $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=m-n$,

因为 $|\overrightarrow{B C}|=3 \sqrt{3}$, 可得,

即 $m^{2}+n^{2}-2 m \cdot n=27$ ，

又由 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A E}=\left(\frac{2}{3} m+\frac{1}{3} n\right) \cdot\left(\frac{1}{3} m+\frac{2}{3} n\right)=\frac{2}{9} m^{2}+\frac{2}{9} n^{2}+\frac{5}{9} m \cdot n=15$,

解得 $m \cdot n=9$,

所以 $|\boldsymbol{m}| \cdot|\boldsymbol{n}|=\frac{9}{\cos 60^{\circ}}=18$,

所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|m| \cdot|n| \sin 60^{\circ}=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$.