6. 在 $\triangle A B C$ 中三个内角 $\angle A, \angle B, \angle C$, 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $(b+2 \sin C) \cos A=-2 \sin A \cos C$,且 $a=2 \sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值是
$\because(b+2 \sin C) \cos A=-2 \sin A \cos C$,

$\therefore b \cos A=-2(\sin C \cos A+\sin A \cos C)=-2 \sin (A+C)=-2 \sin B$,则 $\frac{b}{\sin B}=\frac{-2}{\cos A}$, 结合正弦定理得 $\frac{-2}{\cos A}=\frac{a}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{3}}{\sin A}$, 即 $\tan A=-\sqrt{3}, \angle A=\frac{2}{3} \pi$由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=-\frac{1}{2}$, 化简得 $b^{2}+c^{2}=12-b c \geq 2 b c$,故 $b c \leq 4, S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A \leq \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, 故答案为 $\sqrt{3}$.