棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B=1, B C=4, \angle A B C=120^{\circ}$, 侧棱 $A A_{1}=2$. 则此三棱柱外接球的表面积为
【分析】

设直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 下底面三角形外心为点 $D$, 上底面三角形的外心为 $D_{1}$, 则三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的球心为 $D D_{1}$ 中点 $O$, 由正弦定理与余弦定理即可求出答

案.

## 【详解】

解: $\because A B=\sqrt{2}, B C=2 \sqrt{2}, \angle A B C=120^{\circ}$,

由余弦定理得 $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cdot \cos \angle A B C$,

即 $A C^{2}=1+16-2 \times 1 \times 4 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=21$,

$\therefore A C=\sqrt{21}$,

由正弦定理得底面 $\triangle A B C$ 的外接圆的半径 $R=\frac{1}{2} \cdot \frac{A C}{\sin \angle A B C}=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{7}$,

设直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 下底面三角形外心为点 $D$, 上底面三角形的外心为 $D_{1}$,则三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的球心为 $D D_{1}$ 中点 $O$,

在 Rt $\triangle A D O$ 中, $A D=\sqrt{7}, D O=1$,
$\therefore$ 外接球的半径 $O A=\sqrt{7+1}=2 \sqrt{2}$,

$\therefore$ 此三棱柱外接球的表面积为 $4 \pi \times(2 \sqrt{2})^{2}=32 \pi$,

故答案为: $32 \pi$.

## 【点睛】

本题主要考查几何体的外接球的表面积, 关键在于找到球心的位置, 属于难题.