(12 分) 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi),(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的图象两相邻对称轴之间的距离是 $\frac{\pi}{2}$, 若将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 所得图象对应的函数 $g(x)$ 为奇函数.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式;

(2) 求 $f(x)$ 的对称轴及单调增区间:

(3) 若对任意 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right], f^{2}(x)-2 m f(x)+m^{2}-\frac{3}{4} \geq 0$ 恒成立, 求实数 $m$ 的

取值范围.
(1) 由已知, 周期 $T=\pi=\frac{2 \pi}{\omega}$, 所以 $\omega=2, g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}+\varphi\right)$,

因为 $g(x)$ 为奇函数, 所以 $-\frac{\pi}{3}+\varphi=k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 即 $\varphi=\frac{\pi}{3}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

又 $0<\varphi<\pi$, 所以 $\varphi=\frac{\pi}{3}$, 所以 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$.

(2) 由（1）令 $2 x+\frac{\pi}{3}=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$, 得 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{12}, k \in \mathrm{Z}$,所以 $f(x)$ 的对称轴为 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$;

由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 2 x+\frac{\pi}{3} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$, 得 $k \pi-\frac{5 \pi}{12} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{12}, k \in \mathrm{Z}$,

所以 $f(x)$ 的单调增区间为 $\left[k \pi-\frac{5 \pi}{12}, k \pi+\frac{\pi}{12}\right], k \in \mathrm{Z}$.

(3) 当 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ 时, $2 x+\frac{\pi}{3} \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$, 所以 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \in[0,1]$,

令 $f(x)=t \in[0,1]$, 则原问题可转化为 $t^{2}-2 m t+m^{2}-\frac{3}{4} \geq 0$ 在 $t \in[0,1]$ 上恒成立,

令 $h(t)=t^{2}-2 m t+m^{2}-\frac{3}{4}$,

当 $m \leq 0$ 时, $h(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增, 所以 $h(t)_{\text {min }}=h(0)=m^{2}-\frac{3}{4} \geq 0$,

解得 $m \leq-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $m \geq \frac{\sqrt{3}}{2} ，$

所以 $m \leq-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

当 $0<m<1$ 时, $h(t)$ 在 $[0, m]$ 上单调递减, $[m, 1]$ 上单调递增,

所以 $h\left(t_{\text {min }}=h(m)=-\frac{3}{4} \geq 0\right.$, 此时无解;

当 $m \geq 1$ 时, $h(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减, 所以 $h(t)_{\min }=h(1)=m^{2}-2 m+\frac{1}{4} \geq 0$,

解得 $m \geq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $m \leq 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$,

所以 $m \geq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

综上, 实数 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup\left[1+\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right)$.