计算下列各式的值.

$\int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x$

(2) $\int_{1}^{3} \sqrt{3+2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$
答案: (1) 【解析】 由题得:

$\int_{0}^{\pi}(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x=\left.(-\cos x-\sin x)\right|_{0} ^{\pi}=(-\cos \pi-\sin \pi)-(-\cos 0-\sin 0)$

$=1-0+1+0=2$;

（2）【解析】 令 $y=\sqrt{\left(3+2 x-x^{2}\right)}, \therefore(x-1)^{2}+y^{2}=4(1 \leq x \leq 3, y \geq 0)$,
因为 $\int_{1}^{3} \sqrt{3+2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于 $x=1, x=3, x$ 轴和曲线 $A D B$ 所围成的曲边梯形的面积,如图扇形 $A C B$,

<ImageHere>

扇形 $A C B$ 的面积为 $\frac{1}{4} \times \pi \times 2^{2}=\pi$, 所以 $\int_{1}^{3} \sqrt{3+2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x=\pi$.

【分析】(1) 由题得 $\int_{0}^{\mu}(\sin x-\cos x) \mathrm{d} x=(-\cos x-\sin x)_{0}^{\pi}$, 计算即得解; （2）如图，先求出扇形 $A C B$ 的面积, 再利用定积分的几何意义求解即可.

19.答案: 【解析】 $\left\{\begin{array}{c}y=2 x+3 \\ y=x^{2}\end{array} \Rightarrow x=-1\right.$ 或 $x=3$,

$\therefore S=\int_{-1}^{3}\left(2 x+3-x^{2}\right) d x=\left.\left(x^{2}+3 x-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right|_{-1} ^{3}=\frac{32}{3}$;

【分析】通过求交点坐标确定积分上下限, 利用微积分基本定理即可求出所围图形的面积.20.答案: 【解析】 曲线 $y=\sin x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)_{\text {和直线 }} x=\frac{\pi}{2}, y=0$ 所围成图形如下图阴影部分所示:

<ImageHere>

则可表示为: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x$.

【分析】画出曲线 $y=\sin x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)_{\text {和直线 }} x=\frac{\pi}{2}, y=0$ 所围成图形, 表示成定积分.