如图, 点 $I$ 为 $\triangle A B C$ 角平分线交点, $A B=8, A C=6, B C=4$, 将 $\angle A C B$ 平移使其顶点 $C$ 与 $I$ 重合,

<ImageHere>
则图中阴影部分的周长为
解:如图, 连接 $A I, B I$,

$\triangle A B C$ 角平分线交点,

别平分 $\angle C A B$ 和 $\angle C B A$,

$\therefore \angle C A I=\angle D A I, \angle C B I=\angle E B I$,

<ImageHere>

平移, 使其顶点与点 $I$ 重合,

$\therefore D I\|A C, E I\| B C$,

$\therefore \angle C A I=\angle D I A, \angle C B I=\angle E I B$,

$\therefore \angle D A I=\angle D I A, \angle E B I=\angle E I B$,

$\therefore D A=D I, E B=E I$,

$\therefore D E+D I+E I=D E+D A+E B=A B=8$.

即图中阴影部分的周长为 8.