19.在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $b+c=2 a$, $3 c \sin B=4 a \sin C$.

(1) 求 $\cos B$ 的值;

(2) 求 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值.
(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, 得 $b \sin C=c \sin B$, 又由 $3 c \sin B=4 a \sin C$,得 $3 b \sin C=4 a \sin C$, 即 $3 b=4 a$. 又因为 $b+c=2 a$, 得到 $b=\frac{4}{3} a, c=\frac{2}{3} a$. 由余弦定理可得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+\frac{4}{9} a^{2}-\frac{16}{9} a^{2}}{2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} a}=-\frac{1}{4}$.

（2）由（1）可得 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，从而 $\sin 2 B=2 \sin B \cos B=-\frac{\sqrt{15}}{8}$, $\cos 2 B=\cos ^{2} B-\sin ^{2} B=-\frac{7}{8}$, 故 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2 B \cos \frac{\pi}{6}+\cos 2 B \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{15}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}=-\frac{3 \sqrt{5}+7}{16}$.