在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $a=4, A=\frac{\pi}{3}$, 则该三角形面积的最大值是 ( )
由余弦定理得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 即 $16=b^{2}+c^{2}-b c \geq 2 b c-b c=b c$,

$\therefore b c \leq 16, \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c s i n A \leq 4 \sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{3}$. 故选: C.