（2020 春・荔湾区校级月考）某厂生产的某种零件的尺寸 $Z$ 大致服从正态分布 $\left.N （ 100,5^{2}\right)$ ，且规定尺寸 $Z \notin(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 为次品, 其余的为正品. 生产线上的打包机自动把每 5 件零件打包成 1 箱, 然后进入销售环节，若每销售一件正品可获利 50 元，每销售一件次品亏损 100 元. 现从生产线生产的零件中抽样 20 箱做质量分析，作出的频率分布直方图如图:

（1）估计生产线生产的零件的次品率及零件的平均尺寸;

（2）从生产线上随机取一箱零件, 求这箱零件销售后的期望利润及不亏损的概率.

<ImageHere>
解：（1）次品的尺寸范围 $Z \notin(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$, 即 $Z \notin(100-3 \times 5,100+3 \times 5)$,即 $Z \ddagger （ 85 ， 115 ） ，$

故生产线生产的产品次品率为: $0.012 \times 10+0.008 \times 10=0.20$,

生产线生产的产品平均尺寸为:

$0.012 \times 10 \times 80+0.024 \times 10 \times 90+0.036 \times 10 \times 100+0.020 \times 10 \times 110+0.008 \times 10 \times 120=98.8 ;$

（2）设生产线上的一箱零件（5 件）中的正品数为 $X$,

正品率为 $1-0.2=0.8$, 故 $X \sim B(5,0.8), E(X)=5 \times 0.8=4$,

设销售生产线上的一箱零件获利为 $Y$ 元，

则 $Y=50 X-100(5-X)=150 X-500 E(Y)=150 E(X)-500=100 （$ 元），

设事件 $B$ : 销售生产线上的一箱零件不亏损，

则 $P(B)=P(Y \geq 0)=P(X=4)+P(X=5)=C_{5}^{4}\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^{4}+C_{5}^{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{5}=\frac{2304}{3125}$,

答: 生产线生产的零件的次品率为 0.2 , 零件的平均尺寸为 98.8 ,

这箱零件销售后的期望利润为 100 元, 不亏损的概率为 $\frac{2304}{3125}$ (0.73728).