已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1 \mathrm{nx}$.

(I) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 (1, $f(1))$ 处的切线方程;

(II) 求证: 当 $\mathrm{x}>0$ 时, $f(x) \geq 1-\frac{1}{x}$;

(III) 若 $x-1>a 1 n x$ 对任意 $x>1$ 恒成立, 求实数 $a$ 的最大值.
解: ( I ) $f^{\prime}(x)=rac{1}{x}, \mathrm{f}^{\prime}(1)=1$, 又 $\mathrm{f}(1)=0$, 所以切线方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}-1$;(II) 证明: 由题意知 $\mathrm{x}>0$, 令 $g(x)=f(x)-\left(1-rac{1}{x}
ight)=\ln x-1+rac{1}{x} \cdot g^{\prime}(x)=rac{1}{x}-rac{1}{x^{2}}=rac{x-1}{x^{2}}$令 $g^{\prime}(x)=rac{x-1}{x^{2}}=0$, 解得 $x=1$. 易知当 $x>1$ 时, $g^{\prime}(x)>0$, 易知当 $0<x<1$ 时, $g^{\prime}(x)<0$. 即 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递减, 在 $(1,+\infty)$ 单调递增,所以 $g(x) \min =g(1)=0, g(x) \geq g(1)=0$即 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})-\left(1 rac{1}{\mathrm{x}}
ight) \geqslant 0$, 即 $\mathrm{x}>0$ 时, $f(x) \geq 1-rac{1}{x}$;(III) 设 $h(x)=x-1-a 1 n x(x \geq 1)$, 依题意, 对于任意 $x>1, h(x)>0$ 恒成立.$h^{\prime}(x)=1-rac{a}{x}=rac{x-a}{x}, a \leq 1$ 时, $h^{\prime}(x)>0, h(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增,当 $x>1$ 时, $h(x)>h(1)=0$, 满足题意.$a>1$ 时, $h(x)$ 在 (1, a) 上单调递减, 所以 $g(a)<g(1)=0即当 $a>1$ 时, 总存在 $g$ (a) $<0$, 不合题意. 综上所述, 实数 $a$ 的最大值为 1