已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}(x>0) \\ x^{2}+4(x \leq 0),\end{array}\right.$ 若 $\forall x \in R, \quad f(x) \geq m x$, 则实数 $\mathrm{m}$ 的取值范围是
答案: $[-4,2 e]$

【解析】由题意, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^{2 x}, x>0, \\ x^{2}+4, x \leq 0,\end{array}\right.$

(1)当 $x>0$ 时, 由 $f(x) \geq m x$, 可得 $e^{2 x} \geq m x$, 即 $m \leq \frac{e^{2 x}}{x}$,

设 $g(x)=\frac{e^{2 x}}{x}$, 可得 $g(x)=\frac{e^{2 x}(2 x-1)}{x^{2}}$,

当 $0<x<\frac{1}{2}$ 时, $g(x)<0, g(x)_{\text {单调递减; 当 }} x>\frac{1}{2}$ 时, $g(x)>0, g(x)_{\text {单调递增, }}$

所以 $g(x)_{\min }=g\left(\frac{1}{2}\right)=2 e$, 即 $m \leq 2 e$;

(2)当 $x \leq 0$ 时, 由 $f(x) \geq m x$, 可得 $x^{2}+4 \geq m x$,

当 $x=0$ 时显然成立;

当 $x<0$ 时, 可得 $m \geq x+\frac{4}{x}$, 因为 $x+\frac{4}{x}=-\left(-x+\frac{4}{-x}\right) \leq-4$,

当且仅当 $x=-1$ 时取等号, 所以 $m \geq-4$.

综上可得, 实数 $m$ 的取值范围是[-4,2e],

故答案为: $[-4,2 \mathrm{e}]$.

【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解.