一个等腰三角形的底边长是 6 , 腰长是一元二次方程 $(x-3)(x-5)=0$ 的一根, 则此三角形的外接圆的半径是 ( )
    
先利用因式分解法解方程求出 $x$ 的值, 根据三角形三边关系得出三角形的三边长度,再根据等腰三角形的性质结合勾股定理构建方程即可求解.

【详解】解方程 $(x-3)(x-5)=0$, 得: $x=3$ 或 $x=5$,

若腰长为 3 , 则三角形的三边为 $3 、 3 、 6$, 显然不能构成三角形;

若腰长为 5 , 则三角形三边长为 $5 、 5 、 6$,

如图:

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$\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形, 点 $\mathrm{O}$ 为 $\triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆的圆心, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5, B C=6$,作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ 于 $\mathrm{D}$, 连接 $\mathrm{OB}$,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形, 且 $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 外接圆的圆心 $\mathrm{O}$ 在 $\mathrm{AD}$ 上, 且 $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=3$,
$\therefore \mathrm{AD}=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

设 $\mathrm{AO}=\mathrm{OB}=x$, 则 $\mathrm{OD}=4-x$ ，

在 Rt $\triangle \mathrm{OBD}$ 中, $B D^{2}+O D^{2}=O B^{2}$,

即 $3^{2}+(4-x)^{2}=x^{2}$ ，

解得: $x=\frac{25}{8}$,

$\therefore$ 此三角形的外接圆的半径是 $\frac{25}{8}$.

故选: A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程, 三角形的外接圆, 等腰三角形的性质, 三角形的三边关系定理等知识点, 利用勾股定理构建方程是解题的关键.

