一个边长为 $3 \mathrm{~cm}$ 的正 $\triangle A B C$ 它有一个外接圆 $\odot O$, 我们记为第 1 个圆, 它的内切圆记为第 2 个圆; 在第 2 个圆内作一个内接正 $\triangle$ 的内切圆, 记为第 3 个圆; 在第 3 个圆内作一个内接正 $\triangle$的内切圆, 记为第 4 个圆, ..., 如此作下去, 那么第2022个圆的半径是 cm.
解：根据题意画图如下:

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设第二个三角形为 $D E F$, 正三角形 $A B C$ 中心为 $O$, 连接 $O B, O F$, $\because$ 正三角形的中心与内切圆的圆心重合,

$\therefore$ 点 $D 、 E 、 F$ 为边 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点,

由三角形的中位线可得: $D E=D F=E F=\frac{1}{2} B C$,

同理可得: 下一个正三角形的边长是上一个正三角形边长的一半;

$\therefore$ 第2022个正三角形的边长为: $3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2021} \mathrm{~cm}$,

由图可得 $\cos \angle O B F=\frac{B F}{O B}=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore O B=\frac{2 \sqrt{3}}{3} B F=\frac{\sqrt{3}}{3} B C$

$\therefore$ :第2022个正三角形的外接圆半径为: $\frac{\sqrt{3}}{3} \times 3 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2021}=\frac{\sqrt{3}}{2^{2021}}(\mathrm{~cm})$,

故答案为: $\frac{\sqrt{3}}{2^{2021}}$.

设第二个三角形为 $D E F$, 正三角形 $A B C$ 中心为 $O$, 连接 $O B, O F$, 根据正三角形的中心与内切圆的圆心重合, 得点 $D 、 E 、 F$ 为边 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点, 然后根据三角形中位线定理和特殊角三角函数即可解决问题.

本题主要考查了正三角形的性质, 三角形中位线的性质, 特殊角的三角函数; 结合图形找到正三角形的边长规律是解题关键.