如图, 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形, $A C$ 与 $B D$ 相交于 $E$, $\overrightarrow{D M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{D E}, \overrightarrow{E N}=\frac{1}{4} \overrightarrow{E C}$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$, 试用基底 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\}$ 表示向量 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{A N}, \overrightarrow{M N}$

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$\because A B C D$ 是平行四边形, $\overrightarrow{D M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{D E}, \overrightarrow{E N}=\frac{1}{4} \overrightarrow{E C}, \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}$, $\operatorname{und}_{A M}=\frac{1}{2}(A D+A E)=\frac{1}{2} A D+\frac{1}{4} A C=\frac{1}{2} A D+\frac{1}{4}(A B+A D)=\frac{1}{4} a+\frac{3}{4} b$, und

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$\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\frac{5}{8} \overrightarrow{A B}+\frac{5}{8} \overrightarrow{A D}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}=\frac{3}{8} a-\frac{1}{8} \boldsymbol{b}$