如图, 菱形 $A B C D$ 的顶点 $B 、 C$ 在 $x$ 轴上 $(B$ 在 $C$ 的左侧 $)$, 顶点 $A 、 D$ 在 $x$ 轴上方, 对角线 $B D$ 的长是 $\frac{2}{3} \sqrt{10}$, 点 $E(-2,0)$ 为 $B C$ 的中点, 点 $P$ 在菱形 $A B C D$ 的边上运动. 当点 $F(0,6)$ 到 $E P$ 所在直

<ImageHere>

线的距离取得最大值时, 点 $P$ 恰好落在 $A B$ 的中点处, 则菱形 $A B C D$ 的边长等于 $(\quad)$
如图 1 中, 当点 $P$ 是 $A B$ 的中点时, 作 $F G \perp P E$ 于 $G$, 连接 $E F$.

<ImageHere>

$\because E(-2,0), \quad F(0,6)$,

$\therefore O E=2, O F=6$

$\therefore E F=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2 \sqrt{10}$,

$\because \angle F G E=90^{\circ}$,

$\therefore F G \leq E F$,

$\therefore$ 当点 $G$ 与 $E$ 重合时, $F G$ 的值最大.

如图 2 中, 当点 $G$ 与点 $E$ 重合时, 连接 $A C$ 交 $B D$ 于 $H, P E$ 交 $B D$ 于 $J$.设 $B C=2 a$.

<ImageHere>

$\because P A=P B, B E=E C=a$,

$\therefore P E / / A C, B J=J H$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D, B H=D H=\frac{\sqrt{10}}{3}, B J=\frac{\sqrt{10}}{6}$,

$\therefore P E \perp B D$,

$\because \angle B J E=\angle E O F=\angle P E F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E B J=\angle F E O$,

$\therefore \triangle B J E \sim \triangle E O F$,

$\therefore \frac{B E}{E F}=\frac{B J}{E O}$,

$\therefore \frac{a}{2 \sqrt{10}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{6}}{2}$,

$\therefore a=\frac{5}{3}$,

$\therefore B C=2 a=\frac{10}{3}$,

故选: $A$.