已知 $a=(1,2),|b-a| 1$, 则 $|b|$ 的最大值为
答案: $\sqrt{5}+1$

解析: 多法解题: 方法一: 设 $\overrightarrow{O A}=a, \overrightarrow{O B}=b$, 则 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=b-a$. 所以 $|\overrightarrow{A B}||\mathbf{b}-\mathbf{a}|=1$, 所以点 $B$在以 $A$ 为圆心, 1 为半径的圆 $A$ 上, 如图结合图形可知, 当 $B$ 是线段 $O A$ 的延长线与圆 $A$ 的交点时, $|\overrightarrow{O B}|_{\text {最 }}$

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方法二: 因为 $|a| \sqrt{5},|b-a| 1, b=a+(b-a)$, 所以 $|b|=|a+(b-a)|,|a|+|b-a| \sqrt{5}+1$, 则

$|b|_{\max }=\sqrt{5}+1$.

7.答案: $\sqrt{3}$

解析：设 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathrm{R})$ 有 $z \cdot z=a^{2}+b^{2}=3, \mid z \models \sqrt{3}$8.答案: (1) $\because z_{1} z_{2}=-5+5 \mathrm{i}, \therefore z_{2}=\frac{-5+5 \mathrm{i}}{z_{1}}=\frac{-5+5 \mathrm{i}}{-2+\mathrm{i}}=3-\mathrm{i}$.

(2) $z_{3}=\left(3-z_{1}\right)\left[\left(m^{2}-2 m-3\right)+(m-1) \mathrm{i}\right]=\mathrm{i}\left[\left(m^{2}-2 m-3\right)+(m-1) \mathrm{i}\right]=-(m-1)+\left(m^{2}-2 m-3\right) \mathrm{i}$.

$\because z_{3}$ 所对应的点在第四象限,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-(m-1)>0, \\ m^{2}-2 m-3<0,\end{array}\right.$ 解得 $-1<m<1$,

$\therefore m$ 的取值范围是 $-1<m<1$.
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