(5 分) 当 $\mathrm{m}$ 取何值时, 函数 ${ }^{y=\frac{1}{3 x^{3 n+1}}}$ 是反比例函数?
解: 设 $\mathrm{y}_{1}=\mathrm{kx}, \mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{m}{x}}$, 则 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}^{\frac{m}{x}}$,

根据题意得 $\begin{gathered}k+m=-1 \\ 3 k+\frac{m}{3}=5\end{gathered}$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}k=2 \\ m=-3\end{array}\right.$,

所以 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 之间的函数关系式为 $y=2 x-\frac{3}{x} y=2 x-\frac{3}{x}$

【考点】反比例函数的定义, 正比例函数的定义

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$=1$ 时, $y=-1, x=3$ 时, $y=5$ 代入上式可得关于 $k 、 m$ 的方程组, 解这个方程组即可求出 $k 、$ $\mathrm{m}$ 的值, 将 $\mathrm{k} 、 \mathrm{~m}$ 的值代入解析式即可。