11. 已知双曲线中心在原点, 且一个焦点为 $(\sqrt{7}, 0)$, 直线 $y=x$ -1 与其相交于 $M, N$ 两点, $M N$ 的中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$, 求此双曲线的方程.
：解 设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$,依题意 $c=\sqrt{7}, \therefore$ 方程可以化为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{7-a^{2}}=1$,由 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{7-a^{2}}=1, \\ y=x-1,\end{array}\right.$ 得 $\left(7-2 a^{2}\right) x^{2}+2 a^{2} x-8 a^{2}+a^{4}=0$.设 $M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 则 $x_{1}+x_{2}=\frac{-2 a^{2}}{7-2 a^{2}}$ ， $\because \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-\frac{2}{3}, \therefore \frac{-a^{2}}{7-2 a^{2}}=-\frac{2}{3}$, 解得 $a^{2}=2$. $\therefore$ 双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$.