(本小题 8.0 分)

阅读下列材料:

关于 $x$ 的方程

$x^{3}+x=1^{3}+1$ 的解是 $x=1$;

$x^{3}+x=2^{3}+2$ 的解是 $x=2$;

$x^{3}+x=(-2)^{3}+(-2)$ 的解是 $x=-2$;

以上材料, 解答下列问题:

(1)观察上述方程以及解的特征,

请你直接写出关于 $x$ 的方程 $x^{3}+x=4^{3}+4$ 的解为

(2)比较关于 $x$ 的方程 $x^{3}+x=a^{3}+a$ 与上面各式的关系，猜想它的解是

(3)请验证第(2)问猜想的结论;

(4)利用第 (2) 问的结论, 求解关于 $x$ 的方程 $(x-1)^{3}+x=(a+1)^{3}+a+2$ 的解.


## 【分析】

本题考查了规律型: 数字的变化类、方程的解以及常用解题方法>换元法.

(1)根据规律，直接写出答案即可;

(2)根据规律，直接写出答案即可;

(3) 将 $a$ 代入方程, 验证即可;

(4)设 $x-1=y$, 再根据规律计算即可.

## 【解答】

解: 关于 $x$ 的方程

$x^{3}+x=1^{3}+1$ 的解是 $x=1$;
$x^{3}+x=2^{3}+2$ 的解是 $x=2$;

$x^{3}+x=(-2)^{3}+(-2)$ 的解是 $x=-2$;

(1)根据以上规律得:

关于 $x$ 的方程 $x^{3}+x=4^{3}+4$ 的解为 $x=4$,

故答案为 $x=4$;

(2)根据以上规律得:

关于 $x$ 的方程 $x^{3}+x=a^{3}+a$ 的解是 $x=a$,

故答案为 $x=a$;

(3)见答案;

(4)见答案.