已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 12, 当其外接球的表面积取最小值时, 异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值等于
【分析】

设正三棱柱的底面边长为 $a$, 高为 $h$, 球的半径为 $R$, 先得出 $a h=4$, 然后 $R^{2}=r^{2}+\frac{h^{2}}{4} \geq \frac{a h}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$, 即 $a=\frac{\sqrt{3}}{2} h$ 时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出 $\cos \angle D B_{1} C$

## 【详解】

设正三棱柱的底面边长为 $a$, 高为 $h$, 球的半径为 $R$, 由题意知 $3 a h=12$, 即 $a h=4$,底面外接圆半径 $r=\frac{a}{2 \sin \frac{\pi}{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$,

由球的截面圆性质知 $R^{2}=r^{2}+\frac{h^{2}}{4} \geq \frac{a h}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$,
当且仅当 $a=\frac{\sqrt{3}}{2} h$ 时取等号, 将三棱柱补成一四棱柱, 如图, 知 $A C_{1} / / D B_{1}$,

即 $\angle D B_{1} C$ 为异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角或补角, $B_{1} C=D B_{1}=\sqrt{a^{2}+h^{2}}$, $D C=\sqrt{3} a$, 所以 $\cos \angle D B_{1} C=\frac{2\left(a^{2}+h^{2}\right)-3 a^{2}}{2\left(a^{2}+h^{2}\right)}=\frac{5}{14}$.

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故答案为: $\frac{5}{14}$

## 【点睛】

异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.