在平面直角坐标系中, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$ 和 $B(4,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 直线 $B C$ 与对称轴交于点 $D$.

(1)求二次函数的表达式;

(2)若该二次函数图象的对称轴上有一点 $M$, 当以 $O 、 C 、 D 、 M$ 为

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顶点的四边形是平行四边形时, 求点 $M$ 的坐标.


（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式即可;

(2) 先求出拋物线的对称轴为直线 $x=1$, 求得 $C(0,4)$. 则 $O C=4$, 利用待定系数法求出直线 $B C$ 的解析式为 $y=-x+4$, 再求出点 $D(1,3)$. 由点 $M$ 在对称轴直线 $x=1$ 上得到

$D M / / O C$, 可设点 $M$ 的坐标是 $\left(1, y_{M}\right)$, 若以 $O 、 C 、 D 、 M$ 四点为顶点的四边形是平行四边形, 则 $O C=D M$, 则 $\left|3-y_{M}\right|=4$, 解得 $y_{M}=-1$ 或 7 , 即可得到点 $M$ 的坐标.

【详解】(1) 解：将点 $A(-2,0)$ 和点 $B(4,0)$ 代入二次函数表达式 $y=a x^{2}+b x+4$,
则 $\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b+4=0, \\ 16 a+4 b+4=0 .\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=-\frac{1}{2}, \\ b=1\end{array}\right.$

$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+x+4$.

（2）由(1)知二次函数表达式为 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+x+4=-\frac{1}{2}(x-1)^{2}+\frac{9}{2}$,

$\therefore$ 拋物线的对称轴为直线 $x=1$,

令 $x=0$, 则 $y=4$,

$\therefore C(0,4)$.

$\therefore O C=4$,

设直线 $B C$ 的解析式为 $y=k x+b$, 把 $C(0,4), B(4,0)$ 代入得到,

$\left\{\begin{array}{c}b=4 \\ 4 k+b=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}k=-1 \\ b=4\end{array}\right.$,

$\therefore$ 直线 $B C$ 的解析式为 $y=-x+4$,

当 $x=1$ 时, $y=-x+4=-1+4=3$,

$\because$ 直线 $B C$ 与对称轴交于点 $D$.

$\therefore D(1,3)$.

$\because$ 点 $M$ 在对称轴直线 $x=1$ 上,

$\therefore D M / / O C$, 可设点 $M$ 的坐标是 $\left(1, y_{M}\right)$,

若以 $O 、 C 、 D 、 M$ 四点为顶点的四边形是平行四边形, 则 $O C=D M$,

$\therefore\left|3-y_{M}\right|=4$,

解得 $y_{M}=-1$ 或 7 .

$\therefore$ 点 $M$ 的坐标为 $1,-1$ 或 $(1,7)$.

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质等知识, 熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象和性质是解题的关键.

