10. 太湖中有一小岛, 沿太湖有一条正南方向的公路, 一辆汽车测得小岛在公路的南偏西 $15^{\circ}$ 的方向上, 汽车行驶 $1 \mathrm{~km}$ 后, 又测得小岛在南偏西 $75^{\circ}$ 的方向上, 则小岛到公路的距离是 $\mathrm{km}$.
, $\angle C A B=15^{\circ}, \angle C B A=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$,

$\angle A C B=180^{\circ}-105^{\circ}-15^{\circ}=60^{\circ}, A B=1 \mathrm{~km}$.

由正弦定理得

$\frac{B C}{\sin \angle C A B}=\frac{A B}{\sin \angle A C B}$

$\therefore B C=\frac{1}{\sin 60^{\circ}} \cdot \sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}(\mathrm{~km})$.

设 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为 $d$,

则 $d=B C \cdot \sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{6}(\mathrm{~km})$.