如图, 在正五边形 $A B C D E$ 中, 若 $B P=1$, 则 $P E=($ )<ImageHere>


解： $\because$ 正五边形 $A B C D E$ 的对角线 $A C 、 B E$ 相交于点 $P$,

$\therefore \angle A B C=\angle B A E \frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$,

$\because A B=A C=A E$,

$\therefore \angle A B P=\angle A E P=\angle B A P=\angle B C P=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$,

$\because \angle P A E=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}, \angle A P E=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore \angle P A E=\angle A P E$,

$\therefore A E=P E$,

$\because \angle A P B=\angle B A E=108^{\circ}, \angle A B P=\angle E B A=36^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B P \backsim \triangle E B A$,

$\therefore \frac{A B}{A P}=\frac{B E}{A B}$,

$\therefore A B^{2}=A P \cdot B E$,

即 $P E^{2}=B P \cdot(B P+P E)$,

$\therefore P E^{2}=1 \times(1+P E)$,

解得 $P E=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (取正值),

故选：B.

根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质得出 $P E^{2}=B P \cdot(B P+P E)$,代入求解即可.

本题考查正多边形和圆, 等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质以及一元二次方程, 掌握正多
边形和圆的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提.

 