12. 已知数列 $\left\{\frac{9 n^{2}-9 n+2}{9 n^{2}-1}\right\}$;

(1)求这个数列的第 10 项;

(2) $\frac{98}{101}$ 是不是该数列中的项, 为什么?

(3)求证: 数列中的各项都在区间 $(0,1)$ 内;

(4)在区间 $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ 内有、无数列中的项? 若有, 有几项? 若没有, 说明理由.
(1) 设 $f(n)=\frac{9 n^{2}-9 n+2}{9 n^{2}-1}$
$=\frac{(3 n-1)(3 n-2)}{(3 n-1)(3 n+1)}=\frac{3 n-2}{3 n+1}$.

令 $n=10$, 得第 10 项 $a_{10}=f(10)=\frac{28}{31}$.

(2)解 令 $\frac{3 n-2}{3 n+1}=\frac{98}{101}$, 得 $9 n=300$.

此方程无正整数解, 所以 $\frac{98}{101}$ 不是该数列中的项.

(3)证明 $\because a_{n}=\frac{3 n-2}{3 n+1}=\frac{3 n+1-3}{3 n+1}=1-\frac{3}{3 n+1}$,

又 $n \in \mathbf{N}^{*}, \quad \therefore 0<\frac{3}{3 n+1}<1, \quad \therefore 0<a_{n}<1$.

$\therefore$ 数列中的各项都在区间 $(0,1)$ 内.

(4)解 令 $\frac{1}{3}<a_{n}=\frac{3 n-2}{3 n+1}<\frac{2}{3}$, 则 $\left\{\begin{array}{l}3 n+1<9 n-6 \\ 9 n-6<6 n+2\end{array}\right.$,

即 $\left\{\begin{array}{ll}n>\frac{7}{6} \\ n<\frac{8}{3}\end{array} \quad . \therefore \frac{7}{6}<n<\frac{8}{3}\right.$.

又 $\because n \in \mathbf{N}^{*}, \therefore$ 当且仅当 $n=2$ 时, 上式成立, 故区间 $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ 上有数列中的项, 且只有一项为 $a_{2}=\frac{4}{7}$.