刘徽是中国古代最杰出的数学家之一, 他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》,刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少, 割之又割以至于不可割, 则与圆合体而无所失矣”, 体现了无限与有限之间转化的思想方法, 这种思想方法应用广泛. 如数式 $2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}$ 是一个确定值 (数式中的省略号表示按此规律无限重复), 该数式的值可以用如下方法求得: 令原式 $=x$, 则 $2+\frac{1}{x}=x$, 即 $x^{2}-2 x-1=0$, 解得 $x=1 \pm \sqrt{2}$, 取正数得 $x=\sqrt{2}+1$. 用类似的方法可得 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}=$ \$ \qquad \$ .
答案: 2

【解析】 由题得, 令原式 $=x$, 则 $x=\sqrt{2+x}$,

化简为 $x^{2}-x-2=0(x \geq 0)$ ，解得： $x=2$.

故答案为: 2

【分析】根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解.