判断下列命题的真假.

(1) $a / / \alpha, a \perp b \Rightarrow b \perp \alpha$; (2) $a \perp b, a \perp \alpha \Rightarrow b / / \alpha$;

(3) $a \perp \alpha, b \perp \beta, a / / b \Rightarrow \alpha / / \beta$; (4) $a / / \alpha, \alpha / / \beta, a \perp b \Rightarrow b \perp \beta$.
【分析】

(1) 当 $b \subset \alpha$ 时, 满足 $a / / \alpha, a \perp b$, 但此时 $b$ 不垂直 $\alpha$, 即可求得答案;

(2) 当 $b \subset \alpha$ 时,可满足 $a \perp b, a \perp \alpha$, 但此时 $b$ 不平行于 $\alpha$, 即可求得答案;

（3）根据垂直同一条直线的两个平面平行,即可求得答案;

(4) 根据两条平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直这个平面,即可得到答案.

## 【详解】

(1) $\because b \subset \alpha$ 时, 满足 $a / / \alpha, a \perp b$
但此时 $b$ 不垂直 $\alpha$

$\therefore a / / \alpha, a \perp b \Rightarrow b \perp \alpha$ 时假命题.

（2） $\because$ 当 $b \subset \alpha$ 时,可满足 $a \perp b, a \perp \alpha$

但此时 $b$ 不平行于 $\alpha$

$\therefore a / / \alpha, \alpha / / \beta, a \perp b \Rightarrow b \perp \beta$ 是假命题.

(2) $\because a \perp \alpha, a / / b$

$\therefore b \perp \alpha$

又 $\because b \perp \beta$

根据垂直同一条直线的两个平面平行

$\therefore \alpha / / \beta$

故 $a \perp \alpha, b \perp \beta, a / / b \Rightarrow \alpha / / \beta$ 是真命题.

(4) $\because a / / b, a \perp \alpha$

根据两条平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直这个平面

$\therefore b \perp \alpha$

$\because \alpha / / \beta$, 故 $b \perp \beta$

故 $\alpha / / \beta, a / / b, a \perp \alpha \Rightarrow b \perp \beta$ 是真命题.

## 【点睛】

本题考查了判断线面垂直和线面平行,掌握线面关系的基本知识是解题关键,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.