19. 在 $\triangle A B C$ 中, 记内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $B$ 为锐角, 且 $a \cos B+b \sin B=c$.

(1) 求角 $C$;

(2) 若 $B=\frac{\pi}{3}$, 延长线段 $A B$ 至 $D$, 使得 $C D=\sqrt{3}$, 且 $\triangle A C D$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$, 求线段 $B D$ 的长度.
（1）由正弦定理知： $\sin A \cos B+\sin ^{2} B=\sin C$ ，

因为 $\sin C=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$, 所以 $\sin ^{2} B=\cos A \sin B$,

因为 $B \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 所以 $\sin B>0$, 所以 $\sin B=\cos A$, 即 $\cos \left(\frac{\pi}{2}-B\right)=\cos A$.

因为 $A \in(0, \pi), \frac{\pi}{2}-B \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 所以 $\frac{\pi}{2}-B=A$, 所以 $C=\frac{\pi}{2}$.

(2) 设 $B D=x, C B=a$, 因为 $\angle A B C=\frac{\pi}{3}, \angle A C B=\frac{\pi}{2}$,

所以 $A C=\sqrt{3} a, A B=2 a, A D=2 a+x$

所以 $S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2} A C \cdot A D \sin A=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} a \times(2 a+x) \times \frac{1}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$,

即 $a(2 a+x)=3$. (1)

在 $\triangle B C D$ 中, 由余弦定理, 得 $C D^{2}=B C^{2}+B D^{2}-2 B C \cdot B D \cos \angle D B C$,

即 $x^{2}+a^{2}+a x=3$.

联立(1)(2), 解得 $x=a=1$, 所以 $B D=1$.