（2021・下城区期末) 关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x+b y=c$ ( $a, b, c$ 是常数) $, b=a+1, c=b+1$. (1)当 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=1\end{array}\right.$ 时, 求 $c$ 的值. （2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 求满足 $|x|<5,|y|<5$ 的方程的整数解.

(3) 若 $a$ 是正整数, 求证: 仅当 $a=1$ 时, 该方程有正整数解.
）由题意, 得 $3 a+a+1=a+2$, 解得 $a=\frac{1}{3}$, 即可求得 $c=\frac{7}{3}$;

(2) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 方程为 $\frac{1}{2} x^{+} \frac{3}{2} y=\frac{5}{2}$, 即 $x+3 y=5$, 根据方程即可求得;

（3）由题意, 得 $a(x+y-1)=2-y$ (1) $x 、 y$ 均为正整数, 则 $x+y-1$ 是正整数, $a$ 是正整数, 则 2 $-y$ 是正整数, 从而求得 $y=1$, 把 $y=1$ 代入(1)得, $a x=1$, 即可求得 $a=1$, 此时方程的正整数解是 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$.

【答案】解: (1) $\because b=a+1, c=b+1 . \therefore c=a+2$,

由题意, 得 $3 a+a+1=a+2$, 解得 $a=\frac{1}{3}, \therefore c=a+2=\frac{7}{3}$;

（2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $\frac{1}{2} x^{+} \frac{3}{2} y=\frac{5}{2}$, 化简得， $x+3 y=5$,

$\therefore$ 符合题意的整数解是: $\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\ y=3\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=2\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right.\right.$;

（3）由题意, 得 $a x+(a+1) y=a+2$,

整理得, $a(x+y-1)=2-y(1)$,

$\because x 、 y$ 均为正整数, $\therefore x+y-1$ 是正整数,

$\because a$ 是正整数, $\quad \therefore 2-y$ 是正整数, $\quad \therefore y=1$,

把 $y=1$ 代入(1)得, $a x=1, \quad \therefore a=1$,

此时, $a=1, b=2, c=3$, 方程的正整数解是 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解, 绝对值的性质, 熟知一般地, 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程的解是解答此题的关键.