如图, 把菱形 $A B C D$ 向平移至 $D C E F$ 的位置, 作 $E G \perp A B$,垂足为 $G, E G$ 与 $C D$ 相交于点 $M, G D$ 的延长线交 $E F$ 于点 $H$, 连接 $D E$, 则下列结论: (1) $D G=D E$; (2) $\angle D H E=\frac{1}{2} \angle B A D$; (3) $E F+F H=2 M C$; (4) $\triangle C D E \sim \triangle D E H$, 则正确的结论有 $($ )个

    <ImageHere>

    
先证明 $\triangle D F H \cong \triangle D A G(\mathrm{ASA})$, 再根据直角三角形性质和菱形性质以及相似三角形的判定即可一一判断.

【详解】解: $\because$ 把菱形 $A B C D$ 向右平移至 $D C E F$ 的位置,

$\therefore A D=D F=A B=C D=E F=B C=C E, A B / / C D / / E F$,

$\therefore \angle F=\angle D A G$,

在 $\triangle D F H$ 和 $\triangle D A G$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}\angle F=\angle D A G \\ D F=A D \\ \angle F D H=A D G\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle D F H \cong \triangle D A G($ ASA $)$,

$\therefore D H=D G$,

$\because E G \perp A B, A B / / E F$,

$\therefore E G \perp E F$,

$\because D H=D G$,

$\therefore D E=\frac{1}{2} G H=D G=D H$,

即 $D G=D E$, 故(1)正确;

$\because \mathrm{DE}=\mathrm{DH}$,

$\therefore \angle \mathrm{DHE}=\angle \mathrm{DEH}$,

$\because$ 四边形 CDFE 是菱形,

$\therefore \angle D E H=\frac{1}{2} \angle C E F=\frac{1}{2} \angle A C D$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore \angle A C D=\angle B A D$,

$\therefore \angle D E H=\frac{1}{2} \angle B A D$, 故(2)正确;

$\because \triangle D F H \cong \triangle D A G$,

$\therefore F H=A G$,

$\because E F=A B$

$\therefore E F+F H=A B+A G=B G$,

$\because B C=C E, C M / / B G$,

$\therefore C M$ 是 $\triangle B E G$ 的中位线,

$\therefore B G=2 M C$,

$\therefore E F+F H=2 M C$, 故(3)正确;

$\because$ 四边形 $C D F E$ 是菱形,

$\therefore \angle C D E=\angle C E D=\angle D E H$,

$\because \angle D H E=\angle D E H$,

$\therefore \angle C D E=\angle C E D=\angle D E H=\angle D H E$,

$\therefore \triangle C D E \sim \triangle D E H$. 故(4)正确;
正确的有: (1)(2)(3)(4),

故选: D.

【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质, 三角形中位线定理, 直角三角形斜边中线的性质等知识, 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题, 属于中考常考题型.

