杨辉三角形, 又称贾宪三角形、帕斯卡三角形, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律.

观察下列各式及其展开式:

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\
& (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\
& (a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \\
& (a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}
\end{aligned}
$$

请你猜想 $(a+b)^{10}$ 展开式的第三项的系数是 $($ )

<ImageHere>

【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了数字变化规律, 通过观察、分析、归纳发现其中的规律, 并应用发现的规律解决问题.

根据图形中的规律即可求出 $(a+b)^{10}$ 的展开式中第三项的系数.

【解答】

解: 找规律发现 $(a+b)^{3}$ 的第三项系数为 $3=1+2$;

$(a+b)^{4}$ 的第三项系数为 $6=1+2+3$;

$(a+b)^{5}$ 的第三项系数为 $10=1+2+3+4$;

不难发现 $(a+b)^{n}$ 的第三项系数为 $1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)$,

$\therefore(a+b)^{10}$ 展开式的第三项的系数是 $1+2+3+\cdots+9=45$.

故选 $B$.