如图, 正方形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 D$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上, $\angle A D O=30^{\circ}, O A=2$, 反比例函 $y=\frac{k}{x}$ 经过 $C D$ 的中点 $M$, 那么 $k=$
如图, 作 $C E \perp y$ 轴于点 $E$.

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$\because$ 正方形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 D$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上,

$\therefore \angle C E D=\angle D O A=90^{\circ}, \angle D C E=\angle A D O, C D=D A$,

$\therefore \triangle C D E \cong \triangle D A O(A A S)$,

$\therefore D E=A O=2$,

又 $\because \angle O D A=30^{\circ}$,
$\therefore$ Rt $\triangle A O D$ 中, $A D=2 A O=4, D O=2 \sqrt{3}=C E$,

$\therefore E O=2+2 \sqrt{3}$,

$\therefore C(2 \sqrt{3}, 2+2 \sqrt{3}), \quad D(0,2 \sqrt{3})$,

$\because M$ 是 $C D$ 的中点,

$\therefore M(\sqrt{3}, 1+2 \sqrt{3})$,

$\because$ 反比例函 $y=\frac{k}{x}$ 经过 $C D$ 的中点 $M$,

$\therefore k=\sqrt{3}(1+2 \sqrt{3})=\sqrt{3}+6$,

故答案为: $\sqrt{3}+6$.