（12 分）用综合法或分析法证明:

(1) 已知三角形 $\triangle A B C$ 中, 边 $B C$ 的中点为 $D$, 求证: 向量
答案:(1) 证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明: (1) $\because \overrightarrow{A D}=\frac{\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}}{2}, \overrightarrow{D B}=\frac{\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}}{2}$,

$\therefore \overrightarrow{A D}^{2}=\left(\frac{\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A C}^{2}\right)+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$,

$\overrightarrow{D B}^{2}=\left(\frac{\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A C}^{2}\right)-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$,

$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}^{2}-\overrightarrow{D B}^{2}$.

(2) 要证 $\frac{\sqrt{b^{2}-a c}}{a}<\sqrt{3}$, 只要证 $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3} a$,

即证 $b^{2}-a c<3 a^{2}$, 即 $3 a^{2}-b^{2}+a c>0 ，$

又因为 $c=-a-b$, 即证 $3 a^{2}-b^{2}+a(-a-b)>0$,

即证 $2 a^{2}-a b-b^{2}>0$, 即证 $(a-b)(2 a+b)>0 ，$

又因为 $a>b, a-b>0$, 即证 $2 a+b>0 ，$

又因为 $a+b=-c$, 即证 $a-c>0$, 即证 $a>c$ ，

又由已知, $a>c$, 故原不等式成立.