粗圆 ${ }^{\frac{x^{2}}{36}}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上有两个动点 $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}, \mathrm{E}(3,0), E P \perp E Q$, 则 $\overrightarrow{E P} \cdot \overrightarrow{Q P}_{\text {的最小值为 ( ) }}$
答案:A

【解析】【解答】根据题意, 由于椭圆 $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上有两个动点 $P 、 Q, E(3,0), E P \perp E Q$, $\mathrm{a}=6, \mathrm{~b}=3, \mathrm{c}=3 \sqrt{3}$, 那么结合粗圆的定义可知,

则 $\overline{E P} \cdot \overrightarrow{Q P}=\overrightarrow{E P} \cdot(\overline{E P}-\overline{E Q})=\overline{E P}^{2}-\overrightarrow{E P} \cdot \overline{E Q}=\overline{E P}^{2}$ 取得最小值, 即为两点距离的最小为

$\because \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1 \therefore \sqrt{(x-3)^{2}+\mathrm{y}^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+9\left(1-\frac{x^{2}}{36}\right)}$ 故可知 $\overline{E P} \cdot \overline{Q P}$ 的最小值为 6 故答案为 A.

【分析】主要是考查了粗圆的方程与性质的运用, 属于基础题。