如图, 四边形 $A B C D$ 的外接圆为 $\odot O, B C=C D, \angle D A C=35^{\circ}, \angle A C D=45^{\circ}$,则 $\angle A D B$ 的度数为 $( )<ImageHere>


解: $\because B C=C D$,

$\therefore \overparen{D C}=\overparen{B C}$,
$\therefore \angle B A C=\angle D A C=35^{\circ}$,

$\because \angle A B D=\angle A C D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=180^{\circ}-\angle B A D-\angle A B D=180^{\circ}-70^{\circ}-45^{\circ}=65^{\circ}$.

故选: $C$.

利用圆心角、弧、弦的关系得到 $\overparen{D C}=\overparen{B C}$, 再利用圆周角定理得到 $\angle B A C=\angle D A C=35^{\circ}, \angle A B D=$ $\angle A C D=45^{\circ}$, 然后根据三角形内角和计算 $\angle A D B$ 的度数.

本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

 