17.【四川省成都市 2016 级成都一诊理科数学】

已知 $\mathrm{G}$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, 过点 $\mathrm{G}$ 的直线与边 $A B, A C$ 分别相交于点 $P, Q$. 若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}$, 则当 $\triangle A B C$与 $\triangle A P Q$ 的面积之比为 $\frac{20}{9}$ 时, 实数 $\lambda$ 的值为
由题意得: $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}$, 设 $\overrightarrow{A Q}=x \overrightarrow{A C}$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B} ; \\ \overrightarrow{A Q}=x \overrightarrow{A C} \text {. }\end{array}\right.$

因为三点共线 $P G D, \overrightarrow{A G}=\mu \overrightarrow{A P}+(1-\mu) \overrightarrow{A Q}=\lambda \mu \overrightarrow{A B}+(1-\mu) x \overrightarrow{A C}$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}=\lambda \mu \\ \frac{1}{3}=(1-\mu)_{x}\end{array} \therefore \lambda \mu(1-\mu) x=\frac{1}{9}, \frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A P Q}}=\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \| \overrightarrow{A C}| \sin A}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{A P}||\overrightarrow{A Q}| \sin A}=\frac{1}{\lambda x}=\frac{20}{9}\right.$ ，

$\therefore \lambda x=\frac{9}{20}, \mu(1-\mu)=\frac{20}{81}, \therefore \mu=\frac{4}{9}$ 或 $\frac{5}{9}, \lambda=\frac{3}{4}$ 或 $\frac{3}{5}$ 。