在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 顶点 $B_{1}$ 到对角线 $B D_{1}$ 和到平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离分别为 $h$ 和 $d$,则下列命题中正确的是 ( )
【详解】

设侧棱长是 $b$, 底面的变长是 $a$, 点 $B_{1}$ 到对角线 $B D_{1}$ 的距离 $h$ 即为直角三角形 $\triangle B_{1} B D_{1}$ 斜边 $B D_{1}$ 上的高, $B_{1} D_{1}=\sqrt{2} a, B_{1} B=b, h=\frac{\sqrt{2} a b}{\sqrt{2 a^{2}+b^{2}}}$, 点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离分别 $d$ 即为直角三角形

$$
\begin{aligned}
& B_{1} A_{1}=a, B_{1} B=b, h=\frac{a b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\
& \therefore \frac{h}{d}=\frac{\sqrt{2} a b}{\sqrt{2 a^{2}+b^{2}}} \div \frac{a b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \\
& =\frac{\sqrt{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2 a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{\frac{2 a^{2}+2 b^{2}}{2 a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{2 a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}}
\end{aligned}
$$

$$
\triangle B_{1} B A \text { 斜边 } B_{1} A \text { 上的高, } \therefore \frac{\sqrt{2} a b}{d}=\frac{a b}{\sqrt{2 a^{2}+b^{2}}} \div \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}
$$

若侧棱的长小于底面的边长,

即 $b<a, \sqrt{1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}} \therefore \frac{2 a^{2}}{b^{2}}>2,1<1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}<\frac{4}{3} \Rightarrow 1<\sqrt{1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}}<\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 错误;

若侧棱的长大于底面的边长,
即 $b>a, \sqrt{1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}} \therefore 0<\frac{2 a^{2}}{b^{2}}<2,2>1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}>\frac{4}{3} \Rightarrow \sqrt{2}>\sqrt{1+\frac{1}{\frac{2 a^{2}}{b^{2}}+1}}>\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

选 C