已知如图, $A B$ 为半圆的直径, $C 、 D$ 为半圆弧上的两点, 若孤 $C D=$ 弧 $B D, D C$ 与 $B A$ 的延长线交于 $P$, 如果, $\mathrm{AP}: \mathrm{CP}=3: 4, \triangle \mathrm{ADB}$ 的面积为 $16 \sqrt{5}$, 则 $\mathrm{AP}$ 的长为 $(\quad)$

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【分析】连 $\mathrm{OD} 、 \mathrm{AC}$ 可以根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明 $\mathrm{AC} / / \mathrm{OD}$, 则 $\mathrm{CD}$ 即可利用圆的半径表示出来, 进而表示出 $B D$, 在直角 $\triangle A B D$ 中利用勾股定理即可求得 $A D$, 再根据 $\triangle A D B$ 的面积为 $16 \sqrt{5}$ 可以得到关于半径的方程求得圆的半径, 利用切割线定理即可求解.

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解：设 $A O=R$, 连 $O D 、 A C$.

$\because \widehat{C D}=\widehat{B D}$

$\therefore \angle 1=\angle 2$,

又 $\because \angle 2=\angle 3$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$,

$\therefore \mathrm{AC} / / 0 \mathrm{D}$,

$\therefore \frac{A O}{C D}=\frac{P A}{P C}=\frac{3}{4}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{4}{3} \mathrm{R}$

$\therefore B D=\frac{4}{3} R$

$\therefore \mathrm{AD}=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{(2 R)^{2}-\left(\frac{4}{3} R\right)^{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{3} \mathrm{R}$,

由 $\mathrm{S}_{\triangle A O B}=16 \sqrt{5}$,

得: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{3} R \cdot \frac{4}{3} R=16 \sqrt{5}$,

$\therefore \mathrm{R}=6$,

$\because P A \cdot P B=P C \cdot P D$, 设 $P A=x$, 则 $x(x+12)=\frac{4}{3} x\left(\frac{4}{3} x+8\right)$,

$\therefore \mathrm{x}=\frac{12}{7}$.

故 $\mathrm{PA}=\frac{12}{7}$.

故选 C.