（2017 新课标 I ）几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \cdots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是( )
对数列进行分组如图

则该数列前 $k$ 组的项数和为 $1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$

由题意可知 $N>100$, 即 $\frac{k(k+1)}{2}>100$, 解得 $k \geqslant 14, n \in \mathbf{N}^{*}$
即 $N$ 出现在第 13 组之后.

又第 $k$ 组的和为 $\frac{1-2^{k}}{1-2}=2^{k}-1$

前 $k$ 组的和为

$1+(1+2)+\cdots+\left(1+2+\cdots+2^{k}\right)=\left(2^{1}-1\right)+\left(2^{2}-1\right)+\cdots+\left(2^{k}-1\right)$

$=\left(2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{k}\right)-k=2^{k+1}-k-2$,

设满足条件的的 $N$ 在第 $k+1\left(k \in \mathbf{N}^{*}, k \geqslant 13\right)$ 组, 且第 $N$ 项为第 $k+1$ 的第 $m\left(m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 个数,

第 $k+1$ 组的前 $m$ 项和为 $1+2+2^{2}+\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$,

要使该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂,

即 $2^{m}-1$ 与 $-k-2$ 互为相反数,

即 $2^{m}-1=2+k ，$

所以 $k=2^{m}-3$,

由 $k \geqslant 14$, 所以 $2^{m}-3 \geqslant 14$, 则 $m \geqslant 5$, 此时 $k=2^{5}-3=29$

对应满足的最小条件为 $N=\frac{29(29+1)}{2}+5=440$, 故选 A.