22. $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边长. 已知 $a=3, \cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}, B=A+\frac{\pi}{2}$.

( I ) 求 $b$ 的值;

(II) 求 $\triangle A B C$ 的面积.
(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由题意知 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

又因为 $B=A+\frac{\pi}{2}$, 所有 $\sin B=\sin \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 由正弦定理 可得 $b=\frac{a \sin B}{\sin A}=\frac{3 \times \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3 \sqrt{2}$.

(II) 由 $B=A+\frac{\pi}{2}$ 得, $\cos B=\cos \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 由 $A+B+C=\pi$, 得 $C=\pi-(A+B)$.所

$\sin C=\sin [\pi-(A+B)]=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B=\frac{\sqrt{3}}{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}$.

因此, $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.