已知幂函数 $y=x^{3 m-9}\left(m \in N^{*}\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 求满足 $(a+1)^{-\frac{m}{3}}<(3-2 a)^{-\frac{m}{3}}$ 的 $a$ 的取值范围.


因为函数 $y=x^{3 m-9}\left(m \in N^{*}\right)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 所以 $3 m-9<0$,解得 $m<3$.

又因为 $m \in N^{*}$, 所以 $m=1,2$ ；
因为函数的图象关于 $y$ 轴对称,

所以 $3 m-9$ 为偶数, 故 $m=1$.

则原不等式可化为 $(a+1)^{-\frac{1}{3}}<(3-2 a)^{-\frac{1}{3}}$,

因为 $y=x^{-\frac{1}{3}}$ 在 $(-\infty, 0),(0,+\infty)$ 上单调递减,

所以 $a+1>3-2 a>0$ 或 $3-2 a<a+1<0$ 或 $a+1<0<3-2 a$,

解得 $\frac{2}{3}<a<\frac{3}{2}$ 或 $a<-1$.

故 $a$ 的取值范围是 $a<-1$ 或 $\frac{2}{3}<a<\frac{3}{2}$.

【点睛】

本题主要考查由幂函数的性质解不等式, 属于常考题型.