几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案: 已知数列 $1,1,2,1$, $2 ， 4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \ldots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
由题意得, 数列如下:

1,2 ,

$1,2,4$,

$1,2,4, \cdots, 2^{k-1}$

则该数列的前 $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$ 项和为

$S\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)=1+(1+2)+\cdots+\left(1+2+\cdots+2^{k-1}\right)=2^{k+1}-k-2$,

要使 $\frac{k(k+1)}{2}>100$, 有 $k \geq 14$, 此时 $k+2<2^{k+1}$, 所以 $k+2$ 是第 $k+1$ 组等比数列 $1,2, \cdots, 2^{k}$ 的部
分和，设 $k+2=1+2+\cdots+2^{t-1}=2^{t}-1$ ，

所以 $k=2^{t}-3 \geq 14$, 则 $t \geq 5$, 此时 $k=2^{5}-3=29$,

所以对应满足条件的最小整数 $N=\frac{29 \times 30}{2}+5=440$, 故选 A.