（2020 秋-朝阳区校级期末）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重, 医用口罩等物资存在很大缺口. 某口罩生产厂家复工复产后, 抢时生产口罩, 以驰援国际社会, 已知该企业前 10 天生产的口罩量如表所示:

|         第 $x$ 天          |  1   |  2   |  3   |   4   |   5   |   6   |   7   |   8   |   9   |  10   |
| :------------------------: | :--: | :--: | :--: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 产量 $y$ (单位: <br> 万个) | 76.0 | 88.0 | 96.0 | 104.0 | 111.0 | 117.0 | 124.0 | 130.0 | 135.0 | 140.0 |

对上表的数据作初步处理, 得到一些统计量的值:

| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\sum_{i=1}^{10} y_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \quad\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ |
| :-------: | :-------: | :---------------------: | :---------------------------------------------: | :---------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------: |
|    $m$    |    $n$    |         1121.0          |                      82.5                       |                     3998.9                      |                            570.5                             |

(1) 求表中 $m, n$ 的值, 并根据最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ （回归方程系数精确到 0.1 );

(2) 某同学认为 $y=p x^{2}+q x+r$ 更适宜作为 $y$ 关于 $x$ 的回归方程模型, 并以此模型求得回归方程为 $y=-\frac{3}{11} x^{2}+10 x+68$. 经调查, 该企业第 11 天的产量为 145.3 万个, 与 (1) 中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
解: (1) 样本平均数 $\bar{x}=5.5, \bar{y}=112.1$,

$\therefore$ 由最小二乘法公式求得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\Sigma_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{570.5}{82.5} \approx 6.9, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=112.1-6.9 \times 5.5=$ 74.2,

即所求回归方程为: $\hat{y}=6.9 x+74.2$.

(2) 由（1）可知, 用线性回归方程模型求得该企业第 11 天的产量为 $y=6.9 \times 11+74.2=150.1$ (万个)

用题中的二次函数模型求得回归方程为 $y=-\frac{3}{11} x^{2}+10 x+68$. 经调查, 该企业第 11 天的产量为 145.3 万个，

与第 11 天的实际数据进行比较发现|150.1 - 145.3|>|145-145.3|;

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.