如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 $A B C D$ 的边分别平行于坐标轴, 原点 $O$ 恰好为矩形对角线的交点, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与矩形 $A B C D$ 的边交于点 $M 、 N 、 P 、 Q$, 记矩形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$,四边形 $M N P Q$ 的面积为 $S_{2}$, 若 $S_{1}=3 S_{2}$, 则 $M N: M Q$ 的值为 \$ \qquad \$

<ImageHere>
如图, 由题意, 矩形 $A B C D$ 关于点 $O$ 成中心对称, 反比例函数关于点 $O$ 成中心对称，

$\therefore$ 四边形 $N M P Q$ 是平行四边形, 对角线 $M P, N Q$ 经过点 $O$,

设 $D(a, b)$, 则 $M\left(\frac{k}{b}, b\right), N\left(a, \frac{k}{a}\right), Q\left(-a,-\frac{k}{a}\right)$

$\because S_{1}=3 S_{2}$

<ImageHere>

$\therefore a b=3\left[a b-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(a-\frac{k}{b}\right)\left(b-\frac{k}{a}\right)\right]$

整理得 $a^{2} b^{2}=3 k^{2}$,
$\because a b>0, k>0$,

$\therefore a b=\sqrt{3} k$

$\therefore \frac{k}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3} b, \frac{k}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3} a$,

$\because M N=\sqrt{\left(\frac{k}{b}-a\right)^{2}+\left(b-\frac{k}{a}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a-a\right)^{2}+\left(b-\frac{\sqrt{3}}{3} b\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4-2 \sqrt{3}}{3}} \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}$,

$M Q=\sqrt{\left(\frac{k}{b}+a\right)^{2}+\left(b+\frac{k}{a}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a+a\right)^{2}+\left(b+\frac{\sqrt{3}}{3} b\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}} \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}$,

$\therefore \frac{M N}{M Q}=\frac{\sqrt{\frac{4-2 \sqrt{3}}{3}}}{\sqrt{\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$.

故答案为 $2-\sqrt{3}$