如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=B C, \mathrm{D}$ 是 $\mathrm{AB}$ 上一点, $\odot \mathrm{O}$ 经过点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$, 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{E}$, 过点 $\mathrm{D}$ 作 $D F / / B C$, 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{F}$, 求证：

(1) 四边形 DBCF 是平行四边形

(2) $A F=E F$

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(1) 利用等腰三角形的性质证明 $\angle B A C=\angle B$, 利用平行线证明 $\angle A D F=\angle B$, 利用圆的性质证明 $\angle B A C=\angle C F D$, 再证明 $B D / / C F$, 即可得到结论;

(2) 如图, 连接 $A E$, 利用平行线的性质及圆的基本性质 $\angle A E F=\angle B$, 再利用圆内接四边形的性质证明 $\angle E A F=\angle B$, 从而可得结论.

【详解】证明: (1) $\because A C=B C$,

$\therefore \angle B A C=\angle B$,

$\because D F / / B C$

$\therefore \angle A D F=\angle B$,

又 $\angle B A C=\angle C F D$,

$\therefore \angle A D F=\angle C F D$,

$\therefore B D / / C F$,

$\therefore$ 四边形 $D B C F$ 是平行四边形.

(2) 如图, 连接 $A E$

$\because \angle A D F=\angle B, \quad \angle A D F=\angle A E F$

$\therefore \angle A E F=\angle B$

$\because$ 四边形 $A E C F$ 是 $\odot O$ 的内接四边形

$\therefore \angle E C F+\angle E A F=180^{\circ}$

$\because B D / / C F$

$\therefore \angle E C F+\angle B=180^{\circ}$

$\therefore \angle E A F=\angle B$
$\therefore \angle A E F=\angle E A F$

$\therefore A F=E F$

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【点睛】本题考查平行四边形的判定, 圆的基本性质, 平行线的性质与判定, 等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

