已知 $a, b, c \in(0,+\infty)$.

求证: $\left(\frac{a}{a+b}\right) \cdot\left(\frac{b}{b+c}\right) \cdot\left(\frac{c}{c+a}\right) \leqslant \frac{1}{8}$.
$\because a, b, c \in(0,+\infty)$,

$\therefore a+b \geqslant 2 \sqrt{a b}>0, \quad b+c \geqslant 2 \sqrt{b c}>0$,

$c+a \geqslant 2 \sqrt{a c}>0$,

$\therefore(a+b)(b+c)(c+a) \geqslant 8 a b c>0$.

$\therefore \frac{a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leqslant \frac{1}{8}$

即 $\left(\frac{a}{a+b}\right) \cdot\left(\frac{b}{b+c}\right) \cdot\left(\frac{c}{c+a}\right) \leqslant \frac{1}{8}$.

当且仅当 $a=b=c$ 时, 取到 “=”.