如图, 正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长为 $8, \mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点, $\mathrm{P}$ 是 $\mathrm{BC}$ 边上的动点, 连结 $\mathrm{PM}$, 以点 $\mathrm{P}$ 为圆心, $\mathrm{PM}$ 长为半径作 $\odot \mathrm{P}$. 当 $\odot \mathrm{P}$ 与正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边相切时, $\mathrm{BP}$ 的长为

<ImageHere>
如图 1 中, 当 $\odot \mathrm{P}$ 与直线 $\mathrm{CD}$ 相切时, 设 $\mathrm{PC}=\mathrm{PM}=\mathrm{m}$,

<ImageHere>

在 Rt $\triangle \mathrm{PBM}$ 中, $\because \mathrm{PM}^{2}=\mathrm{BM}^{2}+\mathrm{PB}^{2}$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}=4^{2}+(8-\mathrm{x})^{2}, \quad \therefore \mathrm{x}=5, \quad \therefore \mathrm{PC}=5, \quad \mathrm{BP}=\mathrm{BC}-\mathrm{PC}=8-5=3$;

如图 2 中当 $\odot \mathrm{P}$ 与直线 $\mathrm{AD}$ 相切时, 设切点为 $\mathrm{K}$, 连接 $\mathrm{PK}$, 则 $\mathrm{PK} \perp \mathrm{AD}$, 四边形 $\mathrm{PKDC}$ 是矩形,

<ImageHere>

$\therefore \mathrm{PM}=\mathrm{PK}=\mathrm{CD}=2 \mathrm{BM}$,

$\therefore \mathrm{BM}=4, \mathrm{PM}=8$,

在 Rt $\triangle \mathrm{PBM}$ 中, $\mathrm{PB}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

综上所述, $\mathrm{BP}$ 的长为 3 或 $4 \sqrt{3}$.