如图, $\angle B A C=\frac{2 \pi}{3}$, 圆 $\mathbf{M}$ 与 $\mathbf{A B} 、 \mathbf{A C}$ 分别相切于点 $\mathbf{D} 、 \mathbf{E}, A D=1$, 点 $\mathbf{P}$ 是圆 $\mathbf{M}$ 及其内部任意一点, 且 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A D}+y \overrightarrow{A E}(x, y \in R)$, 则 $x+y$ 的取值范围是 ( )

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连接 $A M$ 并延长分别交圆 $M$ 于 $Q 、 T$, 连接 $D E, D E$ 与 $A M$ 交于 $R$, 显然 $\overrightarrow{A R}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A E}$,此时 $x+y=1$, 分别过 $Q 、 T$ 作 $D E$ 的平行线, 由于 $A D=A E=1, \angle B A C=120^{\circ}$, 则 $A M=2, D M=\sqrt{3}$, 则 $A Q=2-\sqrt{3}, A R=\frac{1}{2}$, $\overrightarrow{A Q}=\frac{2-\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=(4-2 \sqrt{3}) \overrightarrow{A R}=(2-\sqrt{3}) \overrightarrow{A D}+(2-\sqrt{3}) \overrightarrow{A E}$, 此时 $x+y=4-2 \sqrt{3}$, 同理可得: $\overrightarrow{A T}=(2+\sqrt{3}) \overrightarrow{A D}+(2+\sqrt{3}) \overrightarrow{A E}, \quad x+y=4+2 \sqrt{3}$, 选 $B$.