如图, 不等边 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, I$ 是其内心, $B I \perp O I$, $A C=14, B C=13, \triangle A B C$ 内切圆半径为 $(\quad)$
解：延长 $B I$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $O B, O D, A I, O D$ 交 $A C$ 于点 $E$,

<ImageHere>

则: $\angle D A C=\angle D B C$,
$\because I$ 是 $\triangle A B C$ 内心,

$\therefore \angle A B D=\angle D B C, \angle C A I=\angle B A I$,

$\therefore \angle D A C=\angle D B A$,

$\therefore \angle D A C+\angle C A I=\angle D B A+\angle B A I$,

即: $\angle D A I=\angle A I D ，$

$\therefore A D=D I$,

$\because O D=O B, O I \perp B D$,

$\therefore D I=B I$,

$\therefore A D=B I$,

$\because \angle A B D=\angle D B C$

$\therefore \overparen{A D}=\overparen{C D}$

$\therefore O D \perp A C, A E=\frac{1}{2} A C$,

过点 $I$ 作 $I G \perp B C, I M \perp A C, I N \perp A B$,

则: $\angle B G I=\angle A E D=90^{\circ}$,

$\because A D=B I, \angle D A C=\angle D B C$,

$\therefore \triangle A E D \cong \triangle B G I(A A S)$,

$\therefore B G=A E=\frac{1}{2} A C=7$,

$\therefore C G=B C-B G=13-7=6$,

$\because I$ 是 $\triangle A B C$ 内心,

$\therefore C M=C G=6, B N=B G=7, A N=A M=A C-C M=14-6=8$,

$\therefore A B=A N+B N=7+8=15$,

如图2：过点 $C$ 作 $C H \perp A B$, 连接 $I C$,

设 $A H=x ，$

则: $B H=15-x$,

<ImageHere>

图2

$\therefore C H^{2}=A C^{2}-A H^{2}=A B^{2}-B H^{2}$,

即: $14^{2}-x^{2}=13^{2}-(15-x)^{2} ，$

解得: $x=\frac{42}{5}$,

$\therefore C H=\sqrt{A C^{2}-A H^{2}}=\sqrt{196-\frac{1764}{25}}=\frac{56}{5}$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot C H=\frac{1}{2} \times 15 \times \frac{56}{5}=84$,

设 $\odot I$ 的半径为 $r$,

则: $I G=I M=I N=r$

$\therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A I B}+S_{\triangle A I C}+S_{\triangle B I C}=\frac{1}{2}(A B+B C+A C) \cdot r$,

即: $\frac{1}{2}(13+14+15) \cdot r=84 ，$

解得: $r=4$;

故选: $A$.

延长 $B I$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $O B, O D, A I, O D$ 交 $A C$ 于点 $E$, 利用圆周角定理, 以及内心是三角形三条角平分线的交点, 证明 $\triangle A D I$ 是等腰三角形, 过点 $I$ 作 $I G \perp B C, I M \perp A C, I N \perp A B$, 证明 $\triangle$ $A E D \cong \triangle B G I(A A S)$, 得到 $B G=A E=\frac{1}{2} A C$, 利用切线长定理, 求出 $A B$ 的长, 过点 $C$ 作 $C H \perp A B$,连接 $I C$, 设 $A H=x$, 利用勾股定理, 求出 $\triangle A B C$ 的高, 进而求出 $\triangle A B C$ 的面积, 再利用 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\triangle A B C$ 的周长与内切圆半径乘积的一半, 求出内切圆的半径即可.

本题考查三角形的内切圆和内心, 熟练掌握内心是三角形角平分线的交点, 合理的添加辅助线是解题的关键.