15. 使函数 $y=f(x)$ 的图象上的每一点的纵坐标保持不变, 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 然后再将其图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到的曲线与 $y=\sin 2 x$ 的图象相同, 求 $f(x)$ 的表达式.
解析 : (正向变换)

<ImageHere>

## $\xrightarrow{\text { 沿 } x \text { 轴向左 }} y=f\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)$ ，

平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度

即 $y=f\left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ ，

$\therefore\left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin 2 x$.

令 $2 x+\frac{\pi}{3}=t$, 则 $2 x=t-\frac{\pi}{3}$,

$\therefore f(t)=\sin \left(t-\frac{\pi}{3}\right)$,

即 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.