11.【2017 江苏, 9 】等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为实数, 其前 $n$ 项的和为 $S_{n}$, 已知 $S_{3}=\frac{7}{4}, S_{6}=\frac{63}{4}$, 则 $a_{8}=$
当 $q=1$ 时, 显然不符合题意;

当 $q \neq 1$ 时, $\left\{\begin{array}{l}\frac{a_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q}=\frac{7}{4} \\ \frac{a_{1}\left(1-q^{6}\right)}{1-q}=\frac{63}{4}\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=\frac{1}{4} \\ q=2\end{array}\right.$, 则 $a_{8}=\frac{1}{4} \times 2^{7}=32$.

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时, 有两个处理思路, 一是利用基本量, 将多元问题简化为一元问题, 虽有一定量的运算, 但思路简洁, 目标明确; 二是利用等差、等比数列的性质, 性质是两种数列基本规律的深刻体现, 是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具, 应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件, 有时需要进行适当变形。在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量” 的方法.