(本小题 8.0 分)

如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上, $A C$ 平分 $\angle B A D$, 且 $A D \perp C D$ 于点 $D$.

(1)求证: $D C$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) 若 $A D=4, C D=2$, 求 $\odot O$ 的半径.

<ImageHere>
(1)证明: 如图中, 连接 $O C$.

<ImageHere>

$\because O A=O C$

$\therefore \angle O A C=\angle O C A$,

$\because A C$ 平分 $\angle D A B$,

$\therefore \angle D A C=\angle C A B=\angle A C O$,

$\therefore A D / / O C$

$\because A D \perp C D$,

$\therefore O C \perp D C$,
$\because O C$ 是 $\odot O$ 的半径,

$\therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)解: 如图, 过点 $O$ 作 $O E \perp A D$ 于点 $E$,

得矩形 $O E D C$,

<ImageHere>

$\therefore O E=C D=2, D E=O C$,

$\therefore A E=A D-D E=4-O C=4-O A$,

在 $R t \triangle A E O$ 中, 根据勾股定理, 得

$O A^{2}=A E^{2}+O E^{2}$,

$\therefore O A^{2}=(4-O A)^{2}+2^{2}$,

解得 $O A=\frac{5}{2}$.

$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{5}{2}$.

【解析】(1)连接 $O C$. 只要证明 $A D / / O C$, 由 $A D \perp C D$, 即可推出 $O C \perp C D$;

(2)过点 $O$ 作 $O E \perp A D$ 于点 $E$, 得矩形 $O E D C$, 然后利用勾股定理即可求出半径的长.

此题主要考查了切线的性质与判定, 解决本题的关键是掌握切线的判定.