建造一个容积为 $8 \mathrm{~m}^{3}$, 深为 $2 \mathrm{~m}$ 的长方体形无盖水池, 如果池底和池壁的造价分别为 120 元 $/ \mathrm{m}^{2}$和 80 元 $/ \mathrm{m}^{2}$.

(1)求总造价关于一边长的函数解析式, 并指出该函数的定义域;

(2)判断(1)中函数在 $(0,2)$ 和 $[2,+\infty)$ 上的单调性并用定义法加以证明;

(3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？
(1)设长方体无盖水池的池底一边长为 $x \mathrm{~m}$, 则另一边长为 $\frac{4}{x} \mathrm{~m}$, 又设总造价为 $y$ 元, 由题意得 $y=120 \times \frac{8}{2}+80 \times\left[\left(x+\frac{4}{x}\right) \times 2 \times 2\right]$,

即 $y=480+320\left(x+\frac{4}{x}\right), x \in(0,+\infty)$.

(2)函数在 $(0,2)$ 上是减少的, 在 $[2,+\infty)$ 上是增加的, 下面进行证明:

任取 $x_{1}, x_{2} \in(0,2)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}-x_{2}<0$.

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)$

$=\left[480+320\left(x_{1}+\frac{4}{x_{1}}\right)\right]-\left[480+320\left(x_{2}+\frac{4}{x_{2}}\right)\right]$

$=320\left(x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-x_{2}-\frac{4}{x_{2}}\right)$

$=\frac{320\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1} x_{2}-4\right)}{x_{1} x_{2}}>0$,

即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) . \therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上是减少的.

同理可证, $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上是增加的.

(3)由(2)中函数的单调性可知, 当 $x=2$, 即池底是正方形时, 总造价最低, 最低为 1760 元.