如图, 半径为 3 的 $\odot A$ 经过原点 $O$和点 $C(0,2), B$ 是 $y$ 轴左侧 $\odot A$ 优弧上一点, 则 $\tan \angle O B C$ 为 $(\quad)$

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作直径 $C D$,

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在Rt $\triangle O C D$ 中, $C D=6, O C=2$,

则 $O D=\sqrt{C D^{2}-O C^{2}}=4 \sqrt{2}$,

$\tan \angle C D O=\frac{O C}{O D}=\frac{\sqrt{2}}{4}$,

由圆周角定理得, $\angle O B C=\angle C D O$,

则 $\tan \angle O B C=\frac{\sqrt{2}}{4}$,

故选: $C$.