(本小题8.0分)

在正方形 $A B C D$ 中, 将边 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$ 得到线段 $A E, A E$ 与 $C D$ 延长线相交于点 $F$, 过 $B$ 作 $B G / / A F$ 交 $C F$ 于点 $G$, 连接 $B E$.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(1)如图1, 求证: $\angle B G C=2 \angle A E B$;

(2)当 $\left(45^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$ 时，依题意补全图2，用等式表示线段 $A H, E F, D G$ 之间的数量关系, 并证明.


本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定, 难度较大, 解题的关键是构造辅助线,将 $A H+D G$ 转化为 $G N$.

(1)根据 $B G / / A F$, 得到 $\angle G B E=\angle A E B$, 由 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $\alpha$ 得到线段 $A E$, 得到 $A E=A B, \angle A B E=$ $\angle A E B=\angle G B E$, 由正方形性质得到 $C D / / A B$, 得到 $\angle B G C=2 \angle A E B$;

(2)按照题意补全图形即可, 在 $D C$ 上取 $D N=A H$, 连接 $A N$ 交 $B G$ 于 $M$, 交 $B E$ 于 $P$, 连接 $H M, E M$, 利用 $\triangle A D N \cong \triangle B A H 、 \triangle A B P \cong \triangle M B P 、 \triangle A B H \cong \triangle M B H$ 证明 $A 、 H 、 M 、 B$ 共圆, 从而可得 $\angle D N A=\angle G M N$, $G N=G M$, 再证明 $E F=G M$, 即可得到 $E F=A H+D G$.

