如图, 等边 $\triangle A O B$ 中, 点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上, 点 $A$ 坐标为 $(1, \sqrt{3})$, 将 $\triangle A O B$ 绕点 $O$顺时针旋转 $15^{\circ}$, 此时点 $A$ 对应点 $A^{\prime}$ 的坐标是 ( )

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解：如图，作 $A E \perp O B$ 于 $E, A^{\prime} H \perp O B$ 于 $H$.

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$\because A(1, \sqrt{3})$,

$\therefore O E=1, A E=\sqrt{3}$,

$\therefore O A=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$,

$\because \triangle O A B$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A O B=60^{\circ}$,

$\because \angle A O A^{\prime}=15^{\circ}$,

$\therefore \angle A^{\prime} O H=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$,

$\because O A^{\prime}=O A=2, A^{\prime} H \perp O H$,

$\therefore A^{\prime} H=O H=\sqrt{2}$,

$\therefore A^{\prime}(\sqrt{2}, \sqrt{2})$,

故选: D.

如图, 作 $A E \perp O B$ 于 $E, A^{\prime} H \perp O B$ 于 $H$. 求出 $A^{\prime} H, O H$ 即可解决问题.
本题考查旋转变换, 等边三角形的性质, 解直角三角形等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.

