在圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-6 y=0$ 内, 过点 $E(0,1)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$, 则四边形 $A B C D$ 的面积为 $(\quad)$
圆的方程化为标准形式为 $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=10$, 由圆的性质可知最长弦 $|A C|=2 \sqrt{10}$, 最短弦 $B D$ 恰以 $E(0,1)$ 为中点, 且与 $A C$ 垂直, 设点 $F$ 为其圆心, 坐标为 $(1,3)$.

故 $|E F|=\sqrt{5}, \therefore|B D|=2 \sqrt{10-(\sqrt{5})^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\therefore S_{\text {四边 } 7 \text { ABCD }}=\frac{1}{2}|A C| \cdot|B D|=10 \sqrt{2}$.