28. (2019 全国III理 18) $\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $a \sin \frac{A+C}{2}=b \sin A$.

(1) 求 $B$;

(2) 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 且 $c=1$, 求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围.
(1) 由题设及正弦定理得 $\sin A \sin \frac{A+C}{2}=\sin B \sin A$.因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\sin \frac{A+C}{2}=\sin B$.

由 $A+B+C=180^{\circ}$, 可得 $\sin \frac{A+C}{2}=\cos \frac{B}{2}$, 故 $\cos \frac{B}{2}=2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.

因为 $\cos \frac{B}{2} \neq 0$, 故 $\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$, 因此 $B=60^{\circ}$.

（2）由题设及（1）知 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{4} a$.

由正弦定理得 $a=\frac{c \sin A}{\sin C}=\frac{\sin \left(120^{\circ}-C\right)}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{2 \tan C}+\frac{1}{2}$.

由于 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 故 $0^{\circ}<A<90^{\circ}, 0^{\circ}<C<90^{\circ}$, 由 (1) 知 $A+C=120^{\circ}$, 所以 $30^{\circ}<C<90^{\circ}$, 故 $\frac{1}{2}<a<2$, 从而 $\frac{\sqrt{3}}{8}<S_{\triangle A B C}<\frac{\sqrt{3}}{2}$.
因此, $\triangle A B C$ 面积的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.