已知全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-15<0\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid(x-2 a+1)\left(x-a^{2}\right)<0\right\}$.

(1) 若 $a=1$, 求 $\complement_{U} A$ 和 $B$;

(2) 若 $A \cup B=A$, 求实数 $a$ 的取值范围.
【详解】

(1) 若 $a=1$, 则集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-15<0\right\}=\{x \mid-3<x<5\}$,

$\therefore \complement_{U} A=\{x \mid x \leqslant-3$ 或 $x \geqslant 5\}$,

若 $a=1$, 则集合 $B=\left\{x \mid(x-2 a+1)\left(x-a^{2}\right)<0\right\}=\left\{x \mid(x-1)^{2}<0\right\}=\varnothing$,

(2) 因为 $A \cup B=A$, 所以 $B \subseteq A$,

(1)当 $B=\varnothing$ 时, $a^{2}=2 a-1$, 解 $a=1$,

(2)当 $B \neq \varnothing$ 时, 即 $a \neq 1$ 时, $B=\left\{x \mid 2 a-1<x<a^{2}\right\}$,

又由（1）可知集合 $A=\{x \mid-3<x<5\}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a-1 \geqslant-3 \\ a^{2} \leqslant 5\end{array}\right.$, 解得 $-1 \leqslant a \leqslant \sqrt{5}$, 且 $a \neq 1$,

综上所求, 实数 $a$ 的取值范围为: $-1 \leqslant a \leqslant \sqrt{5}$.

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算, 考查了一元二次不等式的解法, 是基础题.