24. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A}{\cos B}+\frac{\tan B}{\cos A}$.

(I) 证明: $a+b=2 c$;

(II) 求 $\cos C$ 的最小值.
( I ) 由 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A}{\cos B}+\frac{\tan B}{\cos A}$ 得 $2 \times \frac{\sin C}{\cos A \cos B}=\frac{\sin A}{\cos A \cos B}+\frac{\sin B}{\cos A \cos B}$,所以 $2 \sin C=\sin B+\sin C$, 由正弦定理, 得 $a+b=2 c$.

( II) 由 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{(a+b)^{2}-2 a b-c^{2}}{2 a b}=\frac{3 c^{2}}{2 a b}-1 \geqslant \frac{3 c^{2}}{2\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$.所以 $\cos C$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$.