如图, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形. 若 $\angle A B C=45^{\circ}, A C=\sqrt{2}$, 则 $\odot O$ 的半径是 $\qquad$ .

<ImageHere>

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【分析】

本题考查了三角形的外接圆与外心, 圆周角定理, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $C D$, 根据直径所对的圆周角是直角可得 $\angle A C D=90^{\circ}$, 再利用同弧所对的圆周角相等可得 $\angle A D C=45^{\circ}$, 然后在 $R t \triangle A C D$ 中, 利用勾股定理求出 $A D$ 的长, 从而求出 $\odot O$
的半径, 即可解答.

## 【解答】

解: 连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $C D$,

<ImageHere>

$\because A D$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\because \angle A B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A D C=\angle A B C=45^{\circ}$,

即 $\angle C A D=\angle A D C=45^{\circ}$

$\therefore A D=2$,

$\therefore \odot O$ 的半径是1,

故答案为: 1 .

