已知函数 $f(x)=2 x-\frac{m}{x}$ 的图象过点 $P(1,1)$.

(1) 求实数 $m$ 的值, 并证明函数 $f(x)$ 为奇函数;

(2) 判断函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性, 并用定义证明你的结论.
(1) 根据题意, 函数 $f(x)=2 x-\frac{m}{x}$ 的图象过点 $P(1,1)$

则有 $1=2-m$, 解可得 $m=1$, 则 $f(x)=2 x-\frac{1}{x}$

其定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$, 且 $f(-x)=2(-x)-\frac{1}{(-x)}=-\left(2 x-\frac{1}{x}\right)=-f(x)$

则函数 $f(x)$ 为奇函数

（2）根据题意, 由 (1) 的结论, $f(x)=2 x-\frac{1}{x}$, 则 $(0,+\infty)$ 上为增函数证明：设 $0<x_{1}<x_{2}$

则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(2 x_{1}-\frac{1}{x_{1}}\right)-\left(2 x_{2}-\frac{1}{x_{2}}\right)=2\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(\frac{x_{1} x_{2}+1}{x_{1} x_{2}}\right)$

又由 $0<x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}-x_{2}<0$, 则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$

则函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数