已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+a^{2}$ 在 $x=1$ 处取极值 10 , 则 $a=(\quad)$
答案: C

【解析】 $\because f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+a^{2}$,

$\therefore f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$.

由题意得 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}(1)=3+2 a+b=0 \\ f(1)=1+a+b+a^{2}=10,\end{array}\right.$

即 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=-3 \\ a+b+a^{2}=9\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-11\end{array}\right.$.

当 $\left\{\begin{array}{l}a=-3 \\ b=3\end{array}\right.$ 时, $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x+3=3(x-1)^{2} \geq 0$,

故函数 $f(x)$ 单调递增, 无极值, 不符合题意. $\therefore a=4$.

故选 C.

【分析】根据函数的极值点和极值得到关于 $a, b$ 的方程组, 解方程组并进行验证可得所求.