如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, \cos B=\frac{1}{4}$, 点 $D$ 是边 $B C$ 的中点, 以 $A D$ 为底边在其右侧作等腰三角形 $A D E$, 使 $\angle A D E=\angle B$, 连接 $C E$, 则 $\frac{C E}{A D}$ 的值为 ( )

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【分析】

本题考查解直角三角形, 等要三角形的判定和性质, 线段的垂直平分线的性质等知识, 解题的关键是证明 $E A=E C=E D$, 属于中考常考题型. 设 $D E$ 交 $A C$ 于 $T$, 过点 $E$ 作 $E H \perp C D$ 于 $H$. 首先证明 $E A=$ $E D=E C$, 再证明 $\angle B=\angle E C D$, 可得结论.

【解答】

解: 设 $D E$ 交 $A C$ 于点 $T$, 过点 $E$ 作 $E H \perp C D$ 于点 $H$, 如图所示.

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$\because$ 在Rt $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 是边 $B C$ 的中点,

$\therefore A D=D B=D C$.

$\therefore \angle B=\angle D A B$.

$\because \angle B=\angle A D E$,

$\therefore \angle D A B=\angle A D E$.

$\therefore A B / / D E$.

$\therefore \angle D T C=\angle B A C=90^{\circ}$.

$\because D T / / A B, B D=D C$,

$\therefore A T=T C$.

$\therefore E A=E C=E D$.

$\therefore \angle E D C=\angle E C D$.

$\because E H \perp C D$,

$\therefore C H=D H$.

$\because D E / / A B$,

$\therefore \angle E D C=\angle B$.

$\therefore \angle E C D=\angle B$.

$\therefore \cos \angle E C H=\cos B=\frac{1}{4}$,
$\therefore \frac{C H}{E C}=\frac{1}{4}$.

$\therefore \frac{E C}{A D}=\frac{E C}{C D}=\frac{E C}{2 C H}=2$.