(10 分) 已知: $A 、 B$ 为圆上两定点, 点 $C$ 在该圆上, $\angle C$ 为 $A B$ 所对的圆周角.

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图 (1)

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图(2)

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图(3)

知识回顾

(1)如图(1), $\odot O$ 中, $B 、 C$ 位于直线 $A O$ 异侧, $\angle A O B+\angle C=135^{\circ}$.

(1)求 $\angle C$ 的度数;

(2)若 $\odot O$ 的半径为 $5, A C=8$, 求 $B C$ 的长;

逆向思考

(2)如图(2), $P$ 为圆内一点, 且 $\angle A P B<120^{\circ}, P A=P B, \angle A P B=2 \angle C$. 求证: $P$ 为该圆的圆心;

拓展应用

(3)如图(3), 在（2）的条件下, 若 $\angle A P B=90^{\circ}$, 点 $C$ 在 $\odot P$ 位于直线 $A P$ 上方部分的圆弧上运动. 点 $D$ 在 $\odot P$ 上, 满足 $C D=\sqrt{2} C B-C A$ 的所有点 $D$ 中, 必有一个点的位置始终不变. 请证明.

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(1)(1)根据 $\angle A O B+\angle C=135^{\circ}$, 结合圆周角定理求 $\angle C$ 的度数; (2)构造直角三角形;

(2) 只要说明点 $P$ 到圆上 $A 、 B$ 和另一点的距离相等即可;

（3）根据 $C D=\sqrt{2} C B-C A$, 构造一条线段等于 $\sqrt{2} C B-C A$, 利用三角形全等来说明此线段和 $C D$ 相等.

【详解】(1) 解: (1) $\because \angle A O B+\angle C=135^{\circ}, \angle A O B=2 \angle C$,

$\therefore 3 \angle C=135^{\circ}$,

$\therefore \angle C=45^{\circ}$.

(2)连接 $A B$, 过 $\mathrm{A}$ 作 $A M \perp B C$, 垂足为 $M$,

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$\because \angle C=45^{\circ}, \quad A C=8$,

$\therefore \triangle A C M$ 是等腰直角三角形, 且 $A M=C M=4 \sqrt{2}$,

$\because \angle A O B=2 \angle C=90^{\circ}, \quad O A=O B$,

$\therefore \triangle A O B$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A B=\sqrt{2} O A=5 \sqrt{2}$,

在直角三角形 $A B M$ 中, $B M=\sqrt{A B^{2}-A M^{2}}=3 \sqrt{2}$,

$\therefore B C=C M+B M=4 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}=7 \sqrt{2}$.

（2）证明：延长 $A P$ 交圆于点 $N$, 则 $\angle C=\angle N$,

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$\because \angle A P B=2 \angle C$,

$\therefore \angle A P B=2 \angle N$,

$\because \angle A P B=\angle N+\angle P B N$,

$\therefore \angle N=\angle P B N$,

$\therefore P N=P B$,

$\because P A=P B$,

$\therefore P A=P B=P N$,

$\therefore P$ 为该圆的圆心.

(3) 证明: 过 $B$ 作 $B C$ 的垂线交 $C A$ 的延长线于点 $E$, 连接 $A B$, 延长 $A P$ 交圆于点 $F$, 连接 $C F, F B$,

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$\because \angle A P B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle B C E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B E=B C$,

$\because B P \perp A F, \quad P A=P F$,

$\therefore B A=B F$,

$\because A F$ 是直径,

$\therefore \angle A B F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E B C=\angle A B F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E B A=\angle C B F$,

$\therefore \triangle E B A \cong \triangle C B F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A E=C F$,

$\because C D=\sqrt{2} C B-C A=C E-C A=A E$,

$\therefore C D=C F$,

$\therefore$ 必有一个点 $D$ 的位置始终不变, 点 $F$ 即为所求.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 还考查了勾股定理和三角形全等的知识, 对于 (3) 构造一条线段等于 $\sqrt{2} C B-C A$ 是关键.

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