如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \odot O$ 与 $B C, A C$ 分别相切于点 $E, F, B O$ 平分 $\angle A B C$,连接 $O A$.若 $B E=A C=6, \odot O$ 的半径是 2 . 则图中阴影部分的面积为 ( )

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【分析】

本题主要考查了圆的切线的定义, 圆的切线的性质, 角平分线的定义与性质, 勾股定理, 三角形的内角和定理, 直角三角形的性质, 正方形的判定与性质, 扇形、三角形的面积, 熟练应用圆的切线的性质是解题的关键.

连接 $O E, O F$, 过点 $O$ 作 $O G \perp A B$ 于点 $G$, 证出 $A B$ 是 $\odot O$ 的切线证明四边形 $O E C F$ 为正方形, 则 $B C=8$,利用勾股定理求得 $A B$, 利用角平分线的定义, 直角三角形的两个锐角互余三角形的内角和定理求

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【解答】

解: 连接 $O E, O F$, 过点 $O$ 作 $O G \perp A B$ 于点 $G$, 如图,

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$\because B C$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O E \perp B C$.

$\because B O$ 平分 $\angle A B C, O G \perp A B, O E \perp B C$,

$\therefore O E=O G$.

这样, 直线 $A B$ 经过半径 $O G$ 的外端 $G$, 且垂直于半径 $O G$,

$\therefore A B$ 是 $\odot O$ 的切线;

$\because \odot O$ 与 $B C, A C$ 分别相切于点 $E, F$,

$\therefore O E \perp B C, O F \perp A C$,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 为矩形,

$\because O E=O F$,
$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 为正方形.

$\therefore E C=F C=O E=O F=2$.

$\because B E=A C=6$,

$\therefore B C=8$,

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=10$.

由(1)知: $O G=O E=2$,

$\therefore O G=O F$,

$\because O G \perp A B, O F \perp A C$,

$\therefore A O$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle O A B=\frac{1}{2} \angle B A C$.

$\because B O$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle O B A=\frac{1}{2} \angle A B C$.

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O A B+\angle O B C=\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle A C B)=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=135^{\circ}$.

$\therefore S_{\text {朋影 }}=S_{\triangle O A B}-S_{\text {扁形 } O M N}=\frac{1}{2} A B \cdot O G-\frac{135 \pi \times 2^{2}}{360}=10-\frac{3 \pi}{2}$.