已知圆 $C$ 和 $y$ 轴相切, 圆心 $C$ 在直线 $x-3 y=0$ 上, 且被直线 $y=x$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$, 求圆 $C$ 的方程.
设圆心坐标为 $(3 m, m)$,

$\because$ 圆 $C$ 和 $y$ 轴相切, $\therefore$ 圆 $C$ 的半径为 $3|m|$.

$\because$ 圆心到直线 $y=x$ 的距离为 $\frac{2 m \mid}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|m|$,

由半径、弦心距、半弦长的关系, 得 $9 m^{2}=7+2 m^{2}$,

$\therefore m= \pm 1 . \therefore$ 所求圆 $C$ 的方程为 $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=9$ 或 $(x+3)^{2}+(y+1)^{2}=9$.