（2021-浙江宁波市$\cdot$七年级期末）一副三角板按图 1 的形式摆放, 把含 $45^{\circ}$ 角的三角板固定, 含 $30^{\circ}$ 角的三角板绕直角顶点逆时针旋转, 设旋转的角度为 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$. 在旋转过程中, 当两块三角板有两边平行时, $\alpha$ 的度数为

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(图 1)

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(图 2)
分五种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到 $\angle \alpha$ 的度数.

【详解】解: (1) 当 $\mathrm{CD} / / \mathrm{OB}$ 时, $\angle \alpha=\angle \mathrm{D}=30^{\circ}$
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(2) 当 $\mathrm{OC} / / \mathrm{AB}$ 时, $\angle \mathrm{OEB}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

(3)当 $\mathrm{DC} / / \mathrm{OA}$ 时, $\angle \mathrm{DOA}=\angle \mathrm{D}=30^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$
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(4)当 $\mathrm{OD} / / \mathrm{AB}$ 时, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{A}=45^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$

(5)当 $\mathrm{CD} / / \mathrm{AB}$ 时, 延长 $\mathrm{BO}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于点 $\mathrm{E}$, 则 $\angle C E O=\angle B=45^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{DEO}=180^{\circ}-\angle \mathrm{CEO}=135^{\circ} \therefore \angle \mathrm{DOE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{DEO}-\angle \mathrm{D}=15^{\circ}$

此时 $\angle \alpha=180^{\circ}-\angle \mathrm{DOE}=180^{\circ}-15^{\circ}=165^{\circ}$

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综上, 在旋转过程中, 当两块三角板有两边平行时, $\alpha$ 的度数为 $30^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用. 在旋转过程中, 注意分情况讨论是解题关键.