设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\left|x^{2}-x-2\right|, x \geq a \\ a x-6, x<a\end{array}\right.$ 是定义在 $R$ 上的增函数, 则实数 $a$ 取值范围 ( )
【详解】

画出函数 $y=\left|x^{2}-x-2\right|$ 的图象如下图所示,

<ImageHere>

结合图象可得, 要使函数 $(x)=\left\{\begin{array}{c}\left|x^{2}-x-2\right|, x \geq a, \\ a x-6, x<a,\end{array}\right.$ 是在 $R$ 上的增函数,

需满足 $\left\{\begin{array}{c}a \geq 2 \\ a^{2}-a-2 \geq a^{2}-6\end{array}\right.$, 解得 $2 \leq x \leq 4$.

所以实数 $\boldsymbol{a}$ 取值范围是 $[2,4]$.

故选 D.

【点睛】

解答本题的关键有两个: (1) 画出函数的图象, 结合图象求解, 增强了解题的直观性和形象性; (2) 讨论函数在实数集上的单调性时, 除了考虑每个段上的单调性之外, 还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.