10. 已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, 且 $\frac{\sqrt{3} a}{c}=\frac{\cos A+2}{\sin C}$.

(1) 求角 $A$ 的大小;

(2) 若 $b+c=5$, 且 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 求 $a$ 的值.
(1) 由正弦定理得, $\frac{\sqrt{3} \sin A}{\sin C}=\frac{\cos A+2}{\sin C}$,

$\because \sin C \neq 0, \therefore \sqrt{3} \sin A-\cos A=2$, 即 $\sin \left(A-\frac{\pi}{6}\right)=1$.

$\because 0<A<\pi \therefore-\frac{\pi}{6}<A-\frac{\pi}{6}<\frac{5 \pi}{6}, \therefore A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, \quad \therefore A=\frac{2 \pi}{3}$.

(2) 由 $S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$ 可得 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{3} . \therefore b c=4$,
$\because b+c=5, \therefore$ 由余弦定理得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=(b+c)^{2}-b c=21$,

$\therefore a=\sqrt{21}$.