一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, 则称这个正整数为 “和谐数” . 如: $2=1^{3}$ - ( - 1) ${ }^{3}, 26=3^{3}-1^{3}, 2$ 和 26 均为 “和谐数” . 那么, 不超过 2016 的正整数中, 所有的 “和谐数” 之和为
本题考查了因式分解的运用, 数式规律问题, 根据 “和谐数” 的概念找出公式: $(2 k+1)^{3}$

$-(2 k-1)^{3}=2\left(12 k^{2}+1\right) （$ 其中 $k$ 为非负整数），然后再分析计算即可.

解: $(2 k+1)^{3}-(2 k-1)^{3}$

$=[(2 k+1)-(2 k-1)]\left[(2 k+1)^{2}+(2 k+1)(2 k-1)+(2 k-1)^{2}\right]$

$=2 （ 12 k^{2}+1 ） （$ 其中 $k$ 为非负整数）,

由 $2\left(12 k^{2}+1\right) \leq 2016$ 得, $k \leq 9$

$\therefore k=0,1,2, \cdots, 8,9$, 即得所有不超过 2016 的 “和谐数” ,

它们的和为 $\left[1^{3}-(-1)^{3}\right]+\left(3^{3}-1^{3}\right)+\left(5^{3}-3^{3}\right)+\cdots+\left(17^{3}-15^{3}\right)+\left(19^{3}-17^{3}\right)=19^{3}+1=6860$.