如图, 在正六边形 $A B C D E F$ 中, 分别以 $C 、 F$ 为圆心, 以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为 $24 \pi$, 则 $A E$ 长为 \$ \qquad \$

<ImageHere>
$\because$ 正六边形的内角是 120 度, 阴影部分的面积为 $24 \pi$,

设正六边形的边长为 $r$,

$\therefore \frac{120 \pi \times r^{2}}{360} \times 2=24 \pi$,

解得 $r=6$.

则 $A F=E F=6$,

如图, 过点 $F$ 作 $F D \perp A E$ 于点 $D$,

<ImageHere>

$\therefore \angle F A E=\angle F E A=30^{\circ}$,

$\therefore A D=A F \times \cos 30^{\circ}=6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3}$,
$\therefore A E=6 \sqrt{3}$.

故答案为 $6 \sqrt{3}$.