如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 以该三角形的三条边为边向形外作正方形,正方形的顶点 $E, F, G, M, N$ 都在同一个圆上. 记该圆面积为 $S_{1}, \triangle A B C$ 面积为 $S_{2}$,则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是 $\qquad$

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    (第 18 题)

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先设 Rt $\triangle A B C$ 的三边长为 $a, b, c$, 其中 $c$ 为斜边, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 根据图形找出 $a, b, c, r$ 的关系, 用含 $c$ 的式子表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$, 即可求出比值.

【详解】如图: 取 $A B$ 的中点为 $O$, 取 $A C$ 的中点为 $D$, 连接 $O E, O G, O D, O C$

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设 $A B=c, A C=b, B C=a$ 则 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (1)

取 $A B$ 的中点为 $O$,

$\because \triangle A B C$ 是直角三角形

$\therefore O A=O B=O C$

$\because$ 圆心在 $M N$ 和 $H G$ 的垂直平分线上

$\therefore O$ 为圆心

连接 $O E, O G$, 则 $O E, O G$ 为半径

$\because A B$ 的中点为 $O, A C$ 的中点为 $D$

$\therefore O D / / B C, O D \perp A C$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle D O G$ 和 Rt $\triangle O B E$ 中, 由勾股定理得:

$r^{2}=\left(a+\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=c^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}(2)$

由(1)(2)得 $a=b$

$\therefore a^{2}=\frac{c^{2}}{2}$

$\therefore S_{1}=\frac{5}{4} \pi c^{2}, \quad S_{2}=\frac{1}{2} a b=\frac{c^{2}}{4}$

$\therefore \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{5}{4} \pi c^{2} \div \frac{c^{2}}{4}=5 \pi$

故答案为: $5 \pi$

【点睛】本题考查了勾股定理的应用, 直角三角形斜边中线等于斜边一半, 即斜边的中点为圆的圆心, 解题关键在于找到圆心，用用含 $c$ 的式子表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$.

