（2020 秋・香坊区校级期末） 2020 年初, 武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情, 并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其 2 月 1 日 2 月 9 日连续 9 天的日生产量 $y_{i}$ (单位: 十万只, $i=1,2, \cdots, 9$ ) 数据作了初步处理, 得到如图所示的散点图及一些统计量的值:

| $\bar{y}$ | $\bar{z}$ | $\sum_{i=1}^{9} t_{i} y_{i}$ | $\sum_{i=1}^{9} t_{i} z_{i}$ |
| :-------: | :-------: | :--------------------------: | :--------------------------: |
|   2.72    |    19     |            139.09            |             1095             |

注: 图中日期代码 $1 \sim 9$ 分别对应 2 月 1 日 $\sim 2$ 月 9 日; 表中 $z_{i}=e^{y_{i}}, \bar{z}=\frac{1}{9} \sum_{i=1}^{9} z_{i}$.

（1）由散点图分析, 样本点都集中在曲线 $y=\ln (b t+a)$ 的附近, 求 $y$ 关于 $t$ 的方程 $y=\ln (b t+a)$.

（2）估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只.

参考公式: 回归直线方程是 $v=\hat{\beta} \mu+\hat{\alpha}, \hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(\mu_{i}-\bar{\mu}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar{\mu})^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} \mu_{i} v_{i}-n \overline{\mu v}}{\sum_{i=1}^{n} \mu_{i}^{2}-n \bar{\mu}^{2}}, \hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta} \bar{\mu}$.

参考数据: $e^{4} \approx 54.6$.

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解：（1）由题意知, $y=\ln (b t+a)$,

所以 $\mathrm{z}=e^{y}=b t+a$,

计算 $\bar{t}=\frac{1}{9} \times(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5$,

$\sum_{i=1}^{9} t_{i}{ }^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}=285$,

所以 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{9} t_{i} z_{i}-9 \bar{t} \cdot \bar{z}}{\sum_{i=1}^{9} t_{i}^{2}-9 \cdot \bar{t}^{2}}=\frac{1095-9 \times 5 \times 19}{285-9 \times 5^{2}}=4$,

$\hat{a}=\bar{z}-b \bar{t}=19-4 \times 5=-1$,

所以 $y$ 关于 $t$ 的方程为 $y=\ln (4 t-1)$.

(2) 令 $\ln (4 t-1)>4$, 解得 $t>\frac{e^{4}+1}{4} \approx 13.9$, 即 $t \geqslant 14$,

所以估计该厂从 2 月 14 日开始日生产量超过四十万只.