已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 在区间 $(-\infty, 0]$ 上为增函数, 且 $f(2)=0$, 则不等式 $f(1+2 x) \leq 0$ 的解集为
【分析】

根据函数的奇偶性, 得出 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性以及 $f(-2)=0$, 结合函数 $f(x)$ 的单调性可得答案.

## 【详解】

因为 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 且在 $(-\infty, 0]$ 上是增函数,

所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数, 因为 $f(2)=0$, 所以 $f(-2)=0$,

所以不等式 $f(1+2 x) \leq 0$ 等价为 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ f(1+2 x) \leq f(2)\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ f(1+2 x) \leq f(-2)\end{array}\right.$,

即 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ 1+2 x \geq 2\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ 1+2 x \leq-2\end{array}\right.$, 解得 $x \geq \frac{1}{2}$ 或 $x \leq-\frac{3}{2}$,

故答案为: $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.