如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=12, B C=9$, 点 $E, G$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点, 若矩形 $A E F G$ 与矩形 $A B C D$ 相似, 且相似比为 $\frac{2}{3}$, 连接 $C F$, 则 $C F=$ $\qquad$

<ImageHere>


解: 延长 $G F$ 交 $B C$ 于 $M$,

$\because$ 四边形 $A E F G$ 和 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore G F / / A E$,

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$\because A B \perp B C$,

$\therefore G M \perp B C$,

分两种情况:

(1)当 $A D$ 与 $A G$ 对应时,

$\because$ 相似比为 $\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{A D}=\frac{A E}{A B}=\frac{2}{3}$,

$\because A B=12, A D=B C=9$,

$\therefore E F=A G=B M=6, G F=A E=8$,

$\therefore F M=12-8=4, C M=9-6=3$,

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图2

在 $R t \triangle C M F$ 中, 由勾股定理得: $C F=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,

(2)当 $A D$ 与 $A E$ 对应时,

$\because$ 相似比为 $\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{A B}=\frac{A E}{A D}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{12}=\frac{A E}{9}=\frac{2}{3}$,

$\therefore A G=8, A E=6$,

$\therefore F M=12-6=6, C M=9-8=1$,

在Rt $\triangle C M F$ 中, 由勾股定理得: $C F=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$,

故答案为: 5 或 $\sqrt{37}$.

若矩形 $A E F G$ 与矩形 $A B C D$ 相似, 没确定哪两条边相似, 所以分两种情况:

(1)当 $A D$ 与 $A G$ 对应时, 先根据相似比求 $A G$ 和 $A E$ 的长, 利用线段的差求 $F M$ 和 $C M$ 的长, 根据勾股定理求 $C F$ 的长;

(2)当 $A D$ 与 $A E$ 对应时, 同理可得 $C F$ 的长.

本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边, 以及正确解方程是解决本题的关键.

