如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $B C=20 \mathrm{~cm}, P 、 Q 、 M 、 N$ 分别从 $A 、 B 、 C 、 D$ 出发, 沿 $A D 、 B C 、$ $C B 、 D A$ 方向在矩形的边上同时运动, 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时, 运动即停止、已知在相同时间内, 若 $B Q=x c m(x \neq 0)$, 则 $A P=2 x c m, C M=3 x \mathrm{~cm}, D N=x^{2} \mathrm{~cm}$,

(1)当 $x$ 为何值时, 点 $P 、 N$ 重合;

(2)当 $x$ 为何值时, 以 $P 、 Q 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是平行四边形.

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(备用图)
解: (1) $\because P, N$ 重合,

$\therefore 2 x+x^{2}=20$,

$\therefore x_{1}=\sqrt{21}-1, x_{2}=-\sqrt{21}-1$ (舍去),

$\therefore$ 当 $x=\sqrt{21}-1$ 时, $P, N$ 重合;

(2)因为当 $N$ 点到达 $A$ 点时, $x=2 \sqrt{5}$, 此时 $M$ 点和 $Q$ 点还未相遇,

所以点 $Q$ 只能在点 $M$ 的左侧,

(1)当点 $P$ 在点 $N$ 的左侧时, 依题意得

$20-(x+3 x)=20-\left(2 x+x^{2}\right)$,

解得 $x_{1}=0$ (舍去), $x_{2}=2$,

当 $x=2$ 时四边形 $P Q M N$ 是平行四边形;

(2)当点 $P$ 在点 $N$ 的右侧时, 依题意得

$20-(x+3 x)=\left(2 x+x^{2}\right)-20$,

解得 $x_{1}=-10$ (舍去), $x_{2}=4$,

当 $x=4$ 时四边形 $N Q M P$ 是平行四边形,

所以当 $x=2$ 或 $x=4$ 时, 以 $P, Q, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形.