已知函数 $f(x)=12-x^{2}$.

(I) 求曲线 $y=f(x)$ 的斜率等于 -2 的切线方程;

(II) 设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(t, f(t))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $S(t)$, 求 $S(t)$ 的最小值.
答案: 【解析】 (I) 因为 $f(x)=12-x^{2}$, 所以 $f^{\prime}(x)=-2 x$,

设切点为 $\left(x_{0}, 12-x_{0}\right)$, 则 $-2 x_{0}=-2$, 即 $x_{0}=1$, 所以切点为 $(1,11)$,

由点斜式可得切线方程为: $y-11=-2(x-1)$, 即 $2 x+y-13=0$.

(II) 显然 $t \neq 0$,

因为 $y=f(x)$ 在点 $\left(t, 12-t^{2}\right)$ 处的切线方程为: $y-\left(12-t^{2}\right)=-2 t(x-t)$,

令 $x=0$, 得 $y=t^{2}+12$, 令 $y=0$, 得 $x=\frac{t^{2}+12}{2 t}$,

所以 $S(t)=\frac{1}{2} \times\left(t^{2}+12\right) \cdot \frac{t^{2}+12}{2 t \mid}$,

不妨设 $t>0(t<0$ 时, 结果一样 $)$,

则 $S(t)=\frac{t^{4}+24 t^{2}+144}{4 t}=\frac{1}{4}\left(t^{3}+24 t+\frac{144}{t}\right)$,

所以 $S(t)=\frac{1}{4}\left(3 t^{2}+24-\frac{144}{t^{2}}\right)=\frac{3\left(t^{4}+8 t^{2}-48\right)}{4 t^{2}}$

$=\frac{3\left(t^{2}-4\right)\left(t^{2}+12\right)}{4 t^{2}}=\frac{3(t-2)(t+2)\left(t^{2}+12\right)}{4 t^{2}}$,

由 $S^{\prime}(t)>0$, 得 $t>2$, 由 $S^{\prime}(t)<0$, 得 $0<t<2$,

所以 $S(t)$ 在 $(0,2)$ 上递减, 在 $(2,+\infty)$ 上递增,

所以 $t=2$ 时, $S(t)_{\text {取得极小值, }}$,
也是最小值为 $S(2)=\frac{16 \times 16}{8}=32$.

【分析】（I）根据导数的几何意义得切点的坐标, 然后由点斜式可得结果; (II) 根据导数的几何意义求出切线方程, 得到切线在坐标轴上的截距, 进一步得到三角形的面积, 再利用导数可求得最值.