22. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$, 它的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n}=\frac{1}{6}\left(a_{n}\right.$ $+1)\left(a_{n}+2\right)$, 并且 $a_{2}, a_{4}, a_{9}$ 成等比数列.

(1)求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $b_{n}=(-1)^{n+1} a_{n} a_{n+1}, T_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 求 $T_{2 n}$.
(1) $\because$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$, 有 $S_{n}=\frac{1}{6}\left(a_{n}+1\right)\left(a_{n}+2\right)$,

$\therefore$ 当 $n=1$ 时, 有 $S_{1}=a_{1}=\frac{1}{6}\left(a_{1}+1\right)\left(a_{1}+2\right)$,

解得 $a_{1}=1$ 或 2 .

当 $n \geqslant 2$ 时, 有 $S_{n-1}=\frac{1}{6}\left(a_{n-1}+1\right)\left(a_{n-1}+2\right)$.

(1) 一 (2) 并整理得 $\left(a_{n}+a_{n-1}\right)\left(a_{n}-a_{n-1}-3\right)=0$.

而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, $\therefore a_{n}-a_{n-1}=3$.

当 $a_{1}=1$ 时, $a_{n}=1+3(n-1)=3 n-2$,

此时 $a_{4}^{2}=a_{2} a_{9}$ 成立;

当 $a_{1}=2$ 时, $a_{n}=2+3(n-1)=3 n-1$,

此时 $a_{4}^{2}=a_{2} a_{9}$ 不成立, 舍去.

$\therefore a_{n}=3 n-2, n \in \mathbf{N}^{*}$.

(2) $T_{2 n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{2 n}$

$=a_{1} a_{2}-a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}-a_{4} a_{5}+\cdots-a_{2 n} a_{2 n+1}$

$=a_{2}\left(a_{1}-a_{3}\right)+a_{4}\left(a_{3}-a_{5}\right)+\cdots+a_{2 n}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n+1}\right)$

$=-6 a_{2}-6 a_{4}-\cdots-6 a_{2 n}$

$=-6\left(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n}\right)$

$=-6 \times \frac{n(4+6 n-2)}{2}=-18 n^{2}-6 n$.哈哈