22. 已知 $Z, \omega$ 为复数, $(1+3 i) \cdot z$ 为纯虚数, $\omega=\frac{z}{2+i}$, 且 $|\omega|=5 \sqrt{2}$, 求复数 $\omega$.
: 解答: 设 $z=x+y i,(x, y \in R)$, 则 $(1+3 i) \cdot z=(x-3 y)+(3 x+y) i$ 为纯虚数,

所以 $x=3 y \neq 0$, 因为 $|\omega|=\left|\frac{z}{2+i}\right|=5 \sqrt{2}$,

所以 $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5 \sqrt{10}$; 又 $x=3 y$,

解得 $x=15, y=5 ; x=-15, y=-5$,

所以 $\omega= \pm \frac{15+5 i}{2+i}= \pm(7-i)$.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的混合运算、复数求模, 解决问题的关键是设 $z=x+y i,(x, y \in R)$, 代入 $(1+3 i) \cdot z$ 计算整理, 因为 $(1+3 i) \cdot z$ 为纯虚数则计算整理所得的复数实部为 0 虚部不为 0 . 可计算得出 $x, y$ 间的关系, 再将 $z$ 其代入 $\omega=\frac{z}{2+i}$, 根据模长公式可求得 $x, y$ 间的另一组关系式, 解方程组可得 $x, y$, 即可求得 $\omega$.