对于每个非零自然数 $n$, 一元二次方程 $x^{2}-\frac{2 n+1}{n(n+1)} x+\frac{1}{n(n+1)}=0$ 的两个根在数轴上对应的点分别为 $A_{n}, B_{n}$, 以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点间的距离, 则 $A_{1} B_{1}+A_{2} B_{2}+\cdots+A_{2021} B_{2021}$ 的值是
$x^{2}-\frac{2 n+1}{n(n+1)} x+\frac{1}{n(n+1)}=0$,

$\therefore$ :解得 $x=\frac{1}{n}$ 或 $x=\frac{1}{n+1}$,

$\therefore A_{n} B_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,

$\therefore A_{1} B_{1}+A_{2} B_{2}+\cdots+A_{2021} B_{2021}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}=1-\frac{1}{2022}=\frac{2021}{2022}$.

故答案为 $\frac{2021}{2022}$.