如图, 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, A B=6, B C=8$, 过点 $O$ 作 $O E \perp A C$, 交 $A D$于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp B D$, 垂足为 $F$, 则 $O E+E F$ 的值为 $(\quad)$
$\because A B=6, B C=8$,

$\therefore$.矩形 $A B C D$ 的面积为 $48, A O=D O=\frac{1}{2} A C=5$,

$\because$ 对角线 $A C, B D$ 交于点 $O$,

$\therefore \triangle A O D$ 的面积为 12 ,

$\because E O \perp A O, E F \perp D O$,

$\therefore S_{\triangle A O D}=S_{\triangle A O E}+S_{\triangle D O E}$, 即 $12=\frac{1}{2} A O \times E O+\frac{1}{2} D O \times E F$,

$\therefore 12=\frac{1}{2} \times 5 \times E O+\frac{1}{2} \times 5 \times E F$,

$\therefore 5(E O+E F)=24$,

$\therefore E O+E F=\frac{24}{5}$,

故选: $C$.