已知 $\vec{a}$ 是以点 $A(3,-1)$ 为起点且与 $\vec{b}=(-3,4)$ 平行的单位向量, 则向量 $\vec{a}$ 的终点坐标为
$\vec{b}=(-3,4),|\vec{b}|=5$,

由向量的平移可知与 $\vec{b}=(-3,4)$ 平行的单位向量为: $\pm \frac{1}{5}(-3,4)$,

设 $\vec{a}$ 的终点坐标是 $(x, y)$, 可得 $(x-3, y+1)= \pm \frac{1}{5}(-3,4)$ ，

则 $\vec{a}$ 的终点坐标是: $\left(\frac{12}{5},-\frac{1}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{18}{5},-\frac{9}{5}\right)$

故答案为: $\left(\frac{12}{5},-\frac{1}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{18}{5},-\frac{9}{5}\right)$