(12 分) 已知函数 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right), x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;

(2) 求 $f(x)$ 的单调递增区间和单调递减区间;

(3) 当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 求 $f(x)$ 值域.
(1) 由解析式得 $\omega=3$, 则函数的最小周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{3}$.

(2) 由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leq 3 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$ ，

所以 $\frac{2 k \pi}{3}-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{2 k \pi}{3}+\frac{\pi}{12}, k \in \mathrm{Z}$,

即函数的单调递增区间为 $\left[\frac{2 k \pi}{3}-\frac{\pi}{4}, \frac{2 k \pi}{3}+\frac{\pi}{12}\right], k \in \mathbf{Z}$,

由 $2 k \pi+\frac{\pi}{2} \leq 3 x+\frac{\pi}{4} \leq 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$, 得 $\frac{2 k \pi}{3}+\frac{\pi}{12} \leq x \leq \frac{2 k \pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$,

即函数的单调递减区间为 $\left[\frac{2 k \pi}{3}+\frac{\pi}{12}, \frac{2 k \pi}{3}+\frac{5 \pi}{12}\right], k \in \mathrm{Z}$.
(3) 当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]_{\text {时, }} 3 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]$,

则当 $3 x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得最大值, 此时 $f(x)=\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{2}=\sqrt{2}$;

当 $3 x+\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{2}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得最小值, 此时 $f(x)=\sqrt{2} \sin \frac{3 \pi}{2}=-\sqrt{2}$,

即 $f(x)$ 值域为 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.