(本小题 8.0 分)

已知在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$.

(1)用尺规作图, 作出 $\triangle A B C$ 的内切圆, 与边 $A C, B C, A B$ 分别切于点 $D, E, F$. (保留作图痕迹);

(2)若 $B C=3, A C=4$, 求此内切圆的半径.

<ImageHere>
(1)如图即为所求作的图形.

<ImageHere>

(2)如图: 连接 $O D 、 O E 、 O F$, 得正方形 $O D C E$,

$\triangle A B C$ 的内切圆, 与边 $A C, B C, A B$ 分别切于点 $D, E, F$,

设此内切圆的半径为 $r$,

在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, B C=3, A C=4, \therefore A B=5$.

$\therefore A F=A D=4-r, B F=B E=3-r, \because A F+B F=A B$,

$\therefore 4-r+3-r=5$ 解得 $r=1$.

答: 此内切圆的半径为 1 .

【解析】 (1)根据尺规作图作两个角的平分线即可找到内切圆的圆心, 进而作出三角形的内切圆; (2)根据切线长定理和勾股定理即可求解.

本题考查了尺规作图、切线的性质、三角形的内切圆与内心, 解决本题的关键是掌握切线长定理并会运用.