在平行四边形 $\mathbf{A B C D}$ 中, $A B=4, A D=3, \angle D A B=\frac{\pi}{3}$, 点 $E, F$ 分别在 $B C, D C$ 边上, 且 $\overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{E C}, \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{F C}$, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=(\quad)$
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$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$,所以 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=\left(\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}\right) \cdot\left(\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right)=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}^{2}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$ $=-\frac{1}{2} \times 4^{2}+\frac{2}{3} \times 3^{2}+\frac{2}{3} \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2}=2$, 故选 C.