从 (1)前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+p(p \in \mathrm{R})$, (2) $a_{n}=a_{n+1}-3$, (3) $a_{6}=11$ 且 $2 a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}$ 这三个条件中任选一个, 补充到下面的问题中, 并完成解答. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1$, \$ \qquad \$ , 其中 $n \in \mathrm{N}^{*}$.

(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 若 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列, 其中 $m, n \in \mathrm{N}^{*}$, 且 $m>n>1$, 求 $m$ 的最小值.
选择 (1):

(1) 当 $n=1$ 时, 由 $S_{1}=a_{1}=1$, 得 $p=0$.

当 $n \geq 2$ 时, 由题意, 得 $S_{n-1}=(n-1)^{2}$,

所以 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2 n-1(n \geq 2)$.

经检验, $a_{1}=1$ 符合上式,

所以 $a_{n}=2 n-1\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)$.

（2）由 $a_{1}, a_{n}, a_{m}$ 成等比数列, 得 $a_{n}^{2}=a_{1} a_{m}$,

即 $(2 n-1)^{2}=1 \times(2 m-1)$.

化简，得 $m=2 n^{2}-2 n+1=2\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}$,

因为 $m, n$ 是大于 1 的正整数, 且 $m>n$,
所以当 $n=2$ 时, $m$ 有最小值 5 .