已知函数 $f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的图象关于原点对称, 且在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是减函数, 则 $\omega$ 的取值范围为
由函数 $f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的图象关于原点对称,

得 $\varphi=\frac{\pi}{2}$,

即 $f(x)=2 \cos \left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)=-2 \sin \omega x$,

因为 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是减函数,

所以 $y=2 \sin \omega x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是增函数,
又 $\left[-\frac{\pi}{2 \omega}, \frac{\pi}{2 \omega}\right]$ 是函数 $y=2 \sin \omega x$ 的单调递增区间, 所以 $\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{2 \omega} \leq-\frac{\pi}{2} \\ \frac{2 \pi}{3} \leq \frac{\pi}{2 \omega}\end{array}\right.$,

又 $\omega>0$, 解得 $0<\omega \leq \frac{3}{4}$, 故答案为 $\left(0, \frac{3}{4}\right]$.