(8 分) 如图, 在菱形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, B E \perp A B$, 垂足为 $B$, 交 $A C$ 于点 $E$.

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(1)求证: $\frac{B E}{A B}=\frac{O E}{O B}$.

(2)若 $A E=13, A B=12$, 求 $E C$ 的长.


(1) 由菱形的性质证得 $\angle B O E=\angle A O B=90^{\circ}$, 再由同角的余角相等证得

$\angle B A O=\angle E B O$, 利用有两个角分别相等的三角形相似判定 $\triangle B E O \sim \triangle A B O$, 由相似三角形的性质可得比例式, 结合菱形的边长相等可得结论;

（2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定 $\triangle A B E \sim \triangle B O E$, 从而可得比例式, 利用勾股定理求得 $E B$ 的长, 再由比例式可得 $E O$ 的值, 进而得出 $A O$ 的值, 然后由关系式

$A C-O E=\frac{1}{2} A O-E O$ 求得答案即可.

【详解】(1) 证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D$,

$\therefore \angle B O E=\angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A O+\angle A B O=90^{\circ}$,

$\because E B \perp A B$,

$\therefore \angle A B E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E B O+\angle A B O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A O=\angle E B O$,

又 $\because \angle B O E=\angle A O B$,

$\therefore \triangle B E O \sim \triangle A B O$,

$\therefore \frac{B E}{A B}=\frac{O E}{O B}$;

(2) 解: $\because \angle A B E=\angle B O E=90^{\circ}, \angle A E B=\angle B E O$,

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle B O E$,

$\therefore \frac{E O}{E B}=\frac{E B}{E A}$,

$\because A E=13, A B=12$,

$\therefore$ 由勾股定理得: $E B=\sqrt{A E^{2}-A B^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$,

$\therefore \frac{E O}{5}=\frac{5}{13}$,

$\therefore E O=\frac{25}{13}$,

$\therefore A O=A E-E O=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$,

$\therefore E C=\frac{1}{2} A C-O E=A O-E O=\frac{144}{13}-\frac{25}{13}=\frac{119}{13}$.

【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点, 数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

