新教材人教 $B$ 版必修第二册课后习题: “求证方程 $3^{x}+4^{x}=5^{x}$ 只有一个解”. 证明如下: “化为 $\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}=1$, 设 $f(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^{x}+\left(\frac{4}{5}\right)^{x}-1$, 则 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减, 且 $f(2)=0$, 所以原方程只有一个解 $x=2$ ". 解题思想是转化为函数. 类比上述思想, 不等式 $8 x^{6}-(3 x+2)>(3 x+2)^{3}-2 x^{2}$ 的解集是 \$ \qquad \$
答案: $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(2,+\infty)$

【解析】由不等式 $8 x^{6}-(3 x+2)>(3 x+2)^{3}-2 x^{2}$,

得,

设函数 $f(x)=x^{3}+x$, 即 $f\left(2 x^{2}\right)>f(3 x+2)$,

由 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+1>0$, 所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增.

根据条件得 $2 x^{2}>3 x+2$, 解得 $x>2$ 或 $x<-\frac{1}{2}$,

故答案为 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(2,+\infty)$.