如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=4, B C=5, D, E$ 分别是 $A C, A B$ 的中点, 则以 $D E$ 为直径的圆与 $B C$ 的位置关系是 $(\quad)$

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解：过点 $A$ 作 $A M \perp B C$ 于点 $M$, 交 $D E$ 于点 $N$,

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$\therefore A M \times B C=A C \times A B$,

$\therefore A M=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}$,

$\because D 、 E$ 分别是 $A C 、 A B$ 的中点,

$\therefore D E / / B C, D E=\frac{1}{2} B C=2.5$,

$\therefore A N=M N=\frac{1}{2} A M$,

$\therefore M N=1.2$,

$\because$ 以 $D E$ 为直径的圆半径为 1.25,

$\therefore r=1.25>1.2$,

$\therefore$ 以 $D E$ 为直径的圆与 $B C$ 的位置关系是: 相交.

故选: $B$.

首先过点 $A$ 作 $A M \perp B C$, 根据三角形面积求出 $A M$ 的长, 进而得出直线 $B C$ 与 $D E$ 的距离, 进而得出直线与圆的位置关系.

本题考查了直线和圆的位置关系, 利用中位线定理比较出 $B C$ 到圆心的距离与半径的关系是解题的关键.