20. (12 分)

设 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边. 已知 $\tan A=\sqrt{3}, b=2$.

(1) 若 $a=2 \sqrt{3}$, 求 $B$;

(2) 若 $a=2 c$ 求 $\triangle A B C$ 的面积
(1) 应为 $\tan A=\sqrt{3}$ 所以 $A=\frac{\pi}{3} \quad$ 又 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 所以 $\sin A=\frac{1}{2}$ 所以 $A=\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$又 $b<a$ 所以 $A=\frac{\pi}{6}$

(2) 由余弦定理可得 $(2 c)^{2}=2^{2}+c^{2}-2 c\left(2 \cos \frac{\pi}{3}\right)$
可得 $3 c^{2}+2 c-4=0$ 解得 $c=\frac{-1+\sqrt{13}}{3} \quad(c>0)$

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{-1+\sqrt{13}}{3} \times \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{39}-\sqrt{3}}{6}$

【点评】正弦定理和余弦定理的简单运用, 注意两个答案时的取舍.