圆雉的顶点为 $S$, 点 $A, B, C$ 在底面圆周上, 且 $A B$ 为底面直径, 若 $S A=A C=B C$, 则直线 $S A$ 与 $B C$ 的夹角为
【分析】

平移两条异面直线至 $A B$ 的中点, 找到两直线的夹角, 再解三角形即可.

## 【详解】

根据题意, 取 $A B, S B, A C$ 中点分别为 $O, N, M$, 连接 $O M, O N, M N$,
过 $N$ 作 $N H \perp O B$, 垂足为 $H$, 连接 $H M$, 作图如下:

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在 $S A B$ 中, 因为 $N, O$ 分别是 $S B, A B$ 的中点, 故可得 $O N / / S A$;

在 $A B C$ 中, 因为 $M, O$ 分别是 $A C, A B$ 的中点, 故可得 $O M / / B C$;

故可得 $\angle M O N$ 即为所求异面直线的夹角或其补角.

因为 $S O \perp$ 底面 $A B C$, 又 $N H \perp O B$, 故可得 $N H \perp$ 平面 $A B C$,

又因为 $M H \subset$ 平面 $A B C$ ，故可得 $N H \perp H M$.

设 $S A=A C=B C=S B=2$, 又 $\angle A C B=90^{\circ}$

故可得 $A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=2 \sqrt{2}, A O=\frac{1}{2} A B=\sqrt{2}$;

则 $S O=\sqrt{S A^{2}-A O^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$.

因为 $N H=\frac{1}{2} S O=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

在 $A M H$ 中，

因为 $A M=1, A H=\frac{3}{4} A B=\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \angle M A H=45^{\circ}$,

故由余弦定理可得 $M H=\sqrt{A M^{2}+A H^{2}-2 A M \cdot A H \cos \angle M A H}=\frac{\sqrt{10}}{2}$.

在 $M N H$ 中，

由勾股定理可得 $M N=\sqrt{M H^{2}+H N^{2}}=\sqrt{3}$.

在 Rt MON 中,

因为 $M O=\frac{1}{2} B C=1, N O=\frac{1}{2} S A=1, M N=\sqrt{3}$,

由余弦定理可得 $\cos \angle M O N=\frac{O M^{2}+O N^{2}-M N^{2}}{2 O M \times O N}=-\frac{1}{2}$,
故可得 $\angle M O N=\frac{2 \pi}{3}$, 又异面直线的夹角范围为 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$,

故可得异面直线 $S A$ 与 $B C$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$.

故答案为: $\frac{\pi}{3}$.

## 【点睛】

本题考查异面直线夹角的求解, 涉及线面垂直的性质, 属常考题.