(12 分) 已知函数 $f(x)=M \cos (\omega x+\varphi)(M>0, \omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的部分图象如图所示, 点 $A, B$ 为图象与 $x$ 轴的交点, $C(5,2)$ 为最高点, 且 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形.
(1) 因为 $C(5,2)$ 为 $f(x)$ 图象的最高点, 所以 $M=2$.

又 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形, 所以 $A B=4$.

则函数 $f(x)$ 的周期为 8 , 由 $\frac{2 \pi}{|\omega|}=8, \omega>0$, 可得 $\omega=\frac{\pi}{4}$,

所以 $f(x)=2 \cos \left(\frac{\pi}{4} x+\varphi\right)(0<\varphi<\pi)$,

由 $f(5)=2$, 得 $\cos \left(\frac{5}{4} \pi+\varphi\right)=1$,

则 $\frac{5 \pi}{4}+\varphi=2 k \pi, k \in \mathbf{Z}, \varphi=-\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

又 $0<\varphi<\pi$, 所以 $\varphi=\frac{3 \pi}{4}$,

所以 $f(x)=2 \cos \left(\frac{\pi}{4} x+\frac{3 \pi}{4}\right)$

(2) $f(x) \geq 1$, 即 $\cos \left(\frac{\pi}{4} x+\frac{3 \pi}{4}\right) \geq \frac{1}{2}$ ，

则 $-\frac{\pi}{3}+2 k \pi \leq \frac{\pi}{4} x+\frac{3 \pi}{4} \leq \frac{\pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$,

解得 $-\frac{13}{8}+8 k \leq x \leq-\frac{5}{3}+8 k, k \in \mathrm{Z}$,

所以不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{13}{8}+8 k \leq x \leq-\frac{5}{3}+8 k\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$.