如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的切线, 切点为 $B$, 连接 $A O, A O$ 与 $\odot O$ 交于点 $C, B D$ 为 $\odot O$ 的直径, 连接 $C D$. 若 $\angle A=30^{\circ}$, $\odot O$ 的半径为 2 , 则图中阴影部分的面积为 $(\quad)$
【分析】过 0 点作 $O \mathrm{E} \perp \mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{E}$, 首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得 $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$, 再根据平角的定义和三角形外角的性质可得 $\angle \mathrm{COD}=120^{\circ}, \angle 0 \mathrm{CD}=\angle \mathrm{DDC}=30^{\circ}$, 根据含 $30^{\circ}$ 的直角三角形的性质可得 $O \mathrm{E}, \mathrm{CD}$ 的长, 再根据阴影部分的面积=扇形 $O C D$ 的面积 - 三角形 $O C D$ 的面积, 列式计算即可求解

解: 过 $O$ 点作 $O E \perp C D$ 于 $E$,

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$

$\therefore \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{COD}=120^{\circ}, \angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{ODC}=30^{\circ}$,

$\because \odot 0$ 的半径为 2 ,

$\therefore \mathrm{OE}=1, \quad \mathrm{CE}=\mathrm{DE}=\sqrt{3}$

$\therefore C D=2 \sqrt{3}$,

$\therefore$ 图中阴影部分的面积为: $\frac{120 \times \pi \times 2^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 1=\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}$

故选：A

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