设 $f(x)=a(x-5)^{2}+6 \ln x, a \in R, \quad y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $\mathrm{y}$ 轴相交于点 $(0,6)$.

(1) 确定 $\mathrm{a}$ 的值;

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值.
答案: (1) 【解析】 由题可知: $f^{\prime}(x)=2 a(x-5)+\frac{6}{x}, f(1)=16 a$,所以 $f^{\prime}(1)=6-8 a$, 切点 $(1,16 a)$, $f(x)_{\text {在点 }}(1, f(1))$ 处切线方程为 $y-16 a=(6-8 a)(x-1)$,
令 $x=0$, 则 $6=16 a+8 a-6, \therefore a=\frac{1}{2}$ ；

（2）【解析】 $f(x)=\frac{1}{2}(x-5)^{2}+6 \ln x$, 函数 $f(x)$ 的定义域 $x \in(0,+\infty)$,

$f^{\prime}(x)=x-5+\frac{6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}$,

令 $f^{\prime}(x)=0$, 则 $x_{1}=2$ 或 $x_{2}=3$,

| $x$ | $(0,2)$ | 2 | $(2,3)$ | 3 | $(3,+\infty)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f^{\prime}(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | 极大值 | $\searrow$ | 极小值 | $\nearrow$ |

故 $f(x)$ 单调递增区间为 $(0,2)$ 和 $(3,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(2,3)$,

则 $f(x)_{\text {极大值为 }} f(2)=\frac{9}{2}+6 \ln 2, f(x)_{\text {极小值为 }} f(3)=2+6 \ln 3$.

【分析】(1) 求出导数 $f^{\prime}(x)$, 得 $f^{\prime}(1)$, 写出题中切线方程 $y-f(1)=f^{\prime}(1)(x-1)$, 代入点 $(0,6)$可得 $a$. (2) 解不等式 $f^{\prime}(x)>0$ 得增区间, 解不等式 $f^{\prime}(x)<0$ 得减区间; $f^{\prime}(x)=0$ 的点就是极值点, 由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点, 并可得极值.