23. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$.

(1) 若双曲线的一条渐近线方程为 $y=x$ 且 $c=2$, 求双曲线的方程;
: 分析: (1)根据双曲线的一条渐近线方程为 $y=x$, 双曲线的渐近线为 $y= \pm \frac{b}{a} x$, 所以 $a$ $=b$. 求解即可; (2) 因为是以原点 $O$ 为圆心, $c$ 为半径作圆, 可得圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ 该圆与双曲线在第一象限的交点为 $A$, 过 $A$ 作圆的切线, 斜率为 $-\sqrt{3}$, 可设点 $A$ 的坐标为 $\left(x_{0}\right.$, $\left.y_{0}\right)$, 直线 $A O$ 的斜率满足 $\frac{y_{0}}{x_{0}} \cdot(-\sqrt{3})=-1$. 代入圆的方程, 化简即可。