椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 与直线 $x+y=1$ 交于 $P 、 Q$ 两点, 且 $O P \perp O Q$, 其中 $O$为坐标原点, 求 $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ 的值 ( )
解析: 解答: 设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), P\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 由 $\mathrm{OP} \perp \mathrm{OQ} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}=0$

$$
\begin{aligned}
& \because y_{1}=1-x_{1}, y_{2}=1-x_{2}, \text { 代入上式得: } 2 x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=0 \quad \text { (1) 又将 } y=1-x \text { 代入 } \\
& \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}\right) x^{2}-2 a^{2} x+a^{2}\left(1-b^{2}\right)=0, \because \Delta>0, \therefore x_{1}+x_{2}=\frac{2 a^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \\
& x_{1} x_{2}=\frac{a^{2}\left(1-b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}} \text { 代入(1)化简得 } \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=2 . . \text { 故选 C. }
\end{aligned}
$$

分析: 本小题主要考查了粗圆与直线的结合, 联立直线消去 $\mathrm{y}$, 利用两根之和与两根之积,求解即可.