(12 分) 如图所示, 扇形 $A O B$, 圆心角 $A O B$ 等于 $60^{\circ}$, 半径为 2 , 在孤 $A B$ 上有一动点 $P$, 过 $P$ 引平行于 $O B$ 的直线和 $O A$ 交于点 $C$, 设 $\angle A O P=\theta$, 求 $\triangle P O C$ 面积的最大值及此时 $\theta$ 的值.

<ImageHere>
$\because C P / / O B, \therefore \angle C P O=\angle P O B=60^{\circ}-\theta$, $\angle O C P=120^{\circ}$.

在 $\triangle P O C$ 中, 由正弦定理得 $\frac{O P}{\sin \angle P C O}=\frac{C P}{\sin \theta}$,

$\therefore \frac{2}{\sin 120^{\circ}}=\frac{C P}{\sin \theta}, \quad \therefore C P=\frac{4}{\sqrt{3}} \sin \theta$.

又 $\frac{O C}{\sin \left(60^{\circ}-\theta\right)}=\frac{2}{\sin 120^{\circ}}, \quad \therefore O C=\frac{4}{\sqrt{3}} \sin \left(60^{\circ}-\theta\right)$.

因此 $\triangle P O C$ 的面积为

$S(\theta)=\frac{1}{2} C P \cdot O C \sin 120^{\circ}$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \sin \theta \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \sin \left(60^{\circ}-\theta\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{4}{\sqrt{3}} \sin \theta \sin \left(60^{\circ}-\theta\right)$

$=\frac{4}{\sqrt{3}} \sin \theta\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta\right)$

$=2 \sin \theta \cdot \cos \theta-\frac{2}{\sqrt{3}} \sin ^{2} \theta$

$=\sin 2 \theta+\frac{\sqrt{3}}{3} \cos 2 \theta-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin \left(2 \theta+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\therefore \theta=\frac{\pi}{6}$ 时, $S(\theta)$ 取得最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.