已知函数 $f(x)=\frac{a \cdot 2^{x}-1}{2^{x}+1}$ 的图象经过点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$.

(1) 求 $a$ 的值;

(2) 求函数 $f(x)$ 的定义域和值域;

（3）证明: 函数 $f(x)$ 是奇函数.
（1）由题意知, 函数 $f(x)$ 的图象过点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$, 可得 $f(1)=\frac{2 a-1}{3}=\frac{1}{3}$, 解得 $\boldsymbol{a}=1$.

(2) 由 (1) 知, 函数 $f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}, \because 2^{x}>0,2^{x}+1>1$, 即 $f(x)$ 的定义域为 $R$.

因为 $f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=1-\frac{2}{2^{x}+1}$,

又 $\because 2^{x} \in(0,+\infty), \therefore \frac{2}{2^{x}+1} \in(0,2)$, 所以 $f(x)$ 的值域为 $(-1,1)$.

(3) $\because f(x)$ 的定义域为 $R$, 且 $f(-x)=\frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=-f(x)$, 所以 $f(x)$ 是奇函数.