已知圆 $C: x^{2}+(y-1)^{2}=5$, 直线 $l: m x-y+1-m=0$.

(1)求证：对任意 $m \in \mathbf{R}$, 直线 $l$ 与圆 $C$ 总有两个不同的交点;

(2)设 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 若 $|A B|=\sqrt{17}$, 求直线 $l$ 的倾斜角.

(1)证明 由已知得直线 $l: y-1=m(x-1)$,

所以直线 $l$ 恒过定点 $P(1,1)$,

因为 $1^{2}=1<5$,

所以点 $P$ 在圆 $C$ 内,

所以直线 $l$ 与圆 $C$ 总有两个不同的交点.

(2)
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,

联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-1)^{2}=5, \\ m x-y+1-m=0,\end{array}\right.$ 消去 $y$ 得

$\left(m^{2}+1\right) x^{2}-2 m^{2} x+m^{2}-5=0$,

则 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程的两个实根, $x_{1}+x_{2}=\frac{2 m^{2}}{m^{2}+1}$,
$x_{1} x_{2}=\frac{m^{2}-5}{m^{2}+1}$.

因为 $|A B|=\sqrt{1+m^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\sqrt{1+m^{2}} \cdot \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} X_{2}}$,

即 $\sqrt{17}=\sqrt{1+m^{2}} \cdot \frac{\sqrt{16 m^{2}+20}}{1+m^{2}}$,

所以 $m^{2}=3, m= \pm \sqrt{3}$,

所以直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$.