动手操作:

(1) 对数轴上的点 $P$ 进行如下操作: 先把点 $P$ 表示的数乘以 $\frac{1}{2}$,再把所得数对应的点向左平移 1 个单位, 得到点 $P$ 的对应点 $P^{\prime}$, 点 $A, B$ 在数轴上,对线段 $A B$ 上的每个点进行上述操作后得到线段 $A^{\prime} B^{\prime}$, 其中点 $A, B$ 的对应点分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$.

(1) 若点 $A$ 表示的数是 -4, 则点 $A^{\prime}$ 表示的数是 \$ \qquad \$
(2) 若点 $B^{\prime}$ 表示的数是 3, 则点 $B$ 表示的数是 \$ \qquad \$
(3) 已知线段 $A B$ 上的点 $E$ 经过上述操作后得到的对应点 $E^{\prime}$ 与点 $E$ 重合, 则点 $E$ 表示的数是 \$ \qquad \$类比探究:

(2) 如图 2, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 对正方形 $A B C D$ 及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 $m$, 将得到的点先向左平移 $n$ 个单位 $(n>0)$,再向下平移 1 个单位, 得到正方形及其内部的点,其中点 $A(-4,0), D(2,0)$ 的对应点分别为 $A^{\prime}(-3,-1), D^{\prime}(-1,-1)$. 求出 $m, n$ 的值.

(3) 在 (2) 的探究中, 若正方形 $A B C D$ 内部的一个点 $F$ 经过上述操作后得到的对应点 $F^{\prime}$ 与点 $F$ 重合, 请直接写出点 $F$ 的坐标.

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解: (1) (1)点 $A^{\prime}$ 表示的数是: $-4 \times \frac{1}{2}-1=-3$;

故答案为: -3 ;

(2) 设 $B$ 点表示的数为 $b$, 则有:

$\frac{1}{2} b-1=3$, 解得 : $b=8$;

故答案为: 8 ;

(3) 设 $E$ 点表示的数为 $e$, 则有:

$\frac{1}{2} e-1=e$ ，解得： $e=-2 ；$

故答案为: -2 ;

(2) 由已知可得,

$\left\{\begin{array}{c}-4 m-n=-3 \\ 2 m-n=-1\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3} \\ n=\frac{5}{3}\end{array}\right.$,

$\therefore m=\frac{1}{3}, n=\frac{5}{3}$

(3) 设 $F$ 点的坐标为 $(x, y)$, 则有:

$\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=x$, 解得: $x=-\frac{5}{2}$;

$\frac{1}{3} y-1=y$, 解得: $y=-\frac{3}{2}$;

$\therefore F$ 点的坐标为: $F\left(-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}\right)$.