如图 1-3-21 所示(单位: $\mathrm{cm}$ )四边形 $A B C D$ 是直角梯形, 求图中阴影部分绕 $A B$ 旋转一周所成几何体的表面积和体积.

<ImageHere>

图 1-3-21
$\frac{1}{2} S_{\text {球 }}=\frac{1}{2} \times 4 \pi \times 2^{2}=8 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

$S_{\text {圆台栺 }}=\pi(2+5) \sqrt{(5-2)^{2}+4^{2}}=35 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

$S_{\text {圆台下底 }}=\pi \times 5^{2}=25 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

即该几何体的表面积为

$8 \pi+35 \pi+25 \pi=68 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.

又 $V_{\text {圆台 }}=\frac{\pi}{3} \times\left(2^{2}+2 \times 5+5^{2}\right) \times 4=52 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right)$,

$V_{\text {半赇 }}=\frac{1}{2} \times \frac{4 \pi}{3} \times 2^{3}=\frac{16 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.

所以该几何体的体积为

$V_{\text {圆台 }}-V_{\text {半赇 }}=52 \pi-\frac{16 \pi}{3}=\frac{140 \pi}{3}\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.