(2021春$\cdot$新丰县期末) 如图, 已知点 $A$ 在 $E F$ 上, 点 $P, Q$ 在 $B C$ 上, $\angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q$.

(1) 求证: $E F / / B C$; (2) 若 $F P \perp A C, \angle 2+\angle C=90^{\circ}$, 求证: $\angle 1=\angle B$;

(3) 若 $\angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数.

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(1) 根据, $\angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q$, 结合对顶角相等可得 $\angle E=\angle B Q M$, 利用内错角相等两直线平行可证明结论; (2) 根据垂直的定义可得 $\angle P G C=90^{\circ}$, 由两直线平行同旁内角互补可得 $\angle E A C+\angle C=180^{\circ}$, 结合 $\angle 2+\angle C=90^{\circ}$, 可求得 $\angle B A C=90^{\circ}$, 利用同位角相等两直线平行可得 $A B / /$ $F P$, 进而可证明结论; (3) 根据同旁内角互补可判定 $A B / / F P$, 结合 $\angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}$ 可求解 $\angle F$ 的度数, 根据平行线的性质可得 $\angle B=\angle F$, 即可求解.

【答案】(1) 证明: $\because \angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q, \angle E M A=\angle B M Q$,

$\therefore \angle E=\angle B Q M, \quad \therefore E F / / B C$

(2) 证明: $\because F P \perp A C, \quad \therefore \angle P G C=90^{\circ}$,

$\because E F / / B C, \quad \therefore \angle E A C+\angle C=180^{\circ}$,

$\because \angle 2+\angle C=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B A C=\angle P G C=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / F P, \quad \therefore \angle 1=\angle B$

（3）解: $\because \angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \angle 4=\angle M N F$,

$\therefore \angle 3+\angle M N F=180^{\circ}, \therefore A B / / F P, \therefore \angle F+\angle B A F=180^{\circ}$,

$\because \angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}, \therefore \angle F+3 \angle F-20^{\circ}=180^{\circ}$ ，解得 $\angle F=50^{\circ}$ ，

$\because A B / / F P, E F / / B C, \quad \therefore \angle B=\angle 1, \angle 1=\angle F, \therefore \angle B=\angle F=50^{\circ}$.

【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定, 垂线的定义, 灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键.