已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-2,0) 、 B(6,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$.

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（1)求抛物线的表达式;

(2)点 $P$ 在直线 $B C$ 下方的抛物线上, 连接 $A P$ 交 $B C$ 于点 $M$, 当 $\frac{P M}{A M}$ 最大时, 求点 $P$ 的坐标及 $\frac{P M}{A M}$ 的最大值;


(1) 将 $A(-2,0) 、 B(6,0) 、 C(0,-3)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$ 即可求解析式;

(2) 过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$, 垂线 $l$ 交 $B C$ 于点 $E$, 过 $\mathrm{A}$ 作 $A D / / l$, 如图所示, 由 $P E / / A D$,可得 $\triangle A D M \sim \triangle P E M, \frac{M P}{A M}=\frac{P E}{A D}$, 则求 $\frac{P F}{A E}$ 的最大值即可.

【详解】(1) 解: 将点 $A(-2,0) 、 B(6,0) 、 C(0,-3)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$,

得 $\left\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=0 \\ 36 a+6 b+c=0 \\ c=-3\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4} \\ b=-1 \\ c=-3\end{array}\right.$,

$\therefore y=\frac{1}{4} x^{2}-x-3$

（2）解：过点 $P$ 作 $X$ 轴的垂线 $l$, 垂线 $l$ 交 $B C$ 于点 $E$, 过 $\mathrm{A}$ 作 $A D / / l$, 如图所示:

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$\because P E / / A D$,

$\therefore \angle D A M=E P M, \angle A D M=\angle P E M$

$\therefore \triangle A D M \sim \triangle P E M$,

$\therefore \frac{M P}{A M}=\frac{P E}{A D}$,

设直线 $B C$ 的解析式为 $y=k x+d$, 将 $B(6,0) 、 C(0,-3)$ 代入解析式得到 $\left\{\begin{array}{l}6 k+d=0 \\ d=-3\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2} \\ d=-3\end{array}\right.$,

$\therefore y=\frac{1}{2} x-3$,

设 $P\left(t, \frac{1}{4} t^{2}-t-3\right)$, 则 $E\left(t, \frac{1}{2} t-3\right)$,

$\therefore P E=\frac{1}{2} t-3-\frac{1}{4} t^{2}+t+3=-\frac{1}{4} t^{2}+\frac{3}{2} t$,

$\because A(-2,0)$
$\therefore D(-2,-4)$,

$\therefore A D=4$,

$\therefore \frac{M P}{A M}=\frac{P E}{A D}=\frac{-\frac{1}{4} t^{2}+\frac{3}{2} t}{4}=-\frac{1}{16} t^{2}+\frac{3}{8} t=-\frac{1}{16}(t-3)^{2}+\frac{9}{16}$,

$\because-\frac{1}{16}<0$,

$\therefore$ 抛物线 $\frac{M P}{A M}=-\frac{1}{16}(t-3)^{2}+\frac{9}{16}$, 有最大值, 即当 $t=3$ 时, $\frac{M P}{A M}$ 有最大值 $\frac{9}{16}$,

$\therefore P\left(3,-\frac{15}{4}\right)$.

【点睛】本题考查二次函数的综合, 熟练掌握二次函数的图象及性质, 待定系数法确定函数关系式，通过构造平行线将 $\frac{M P}{A M}$ 的最大值问题转化为求 $\frac{P F}{A E}$ 的最大值问题是解题的关键.

