(本小题 8.0 分)

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D, D E \perp A D$, 交 $A B$ 于点 $E, A E$ 为 $\odot O$的直径, $B C$ 是 $\odot O$ 的切线

<ImageHere>

(1)求证: $\triangle A B D \sim \triangle D B E$;

(2) 若 $\cos B=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A E=4$, 求 $C D$.
(1) $\because B C$ 是 $\odot O$ 切线,

$\therefore \angle O D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E+\angle O D E=90^{\circ}$,

$\because A E$ 是直径,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E+\angle A E D=90^{\circ}$,

$\because O D=O E$,

$\therefore \angle O D E=\angle O E D$,

<ImageHere>

$\therefore \angle B D E=\angle D A B$,

$\because \angle B=\angle B$,

$\therefore \triangle A B D \sim \triangle D B E$.

(2)在Rt $\triangle O D B$ 中, $\because \cos B=\frac{B D}{O B}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 设 $B D=2 \sqrt{2} k, O B=3 k$,

$\because O D^{2}+B D^{2}=O B^{2}$,

$\therefore 4+8 k^{2}=9 k^{2}$,

$\therefore k=2$,

$\therefore B O=6, B D=4 \sqrt{2}$,

$\because D O / / A C$,

$\therefore \frac{B D}{C D}=\frac{B O}{A O}$
$\therefore \frac{4 \sqrt{2}}{C D}=\frac{6}{2}$

$\therefore C D=\frac{4 \sqrt{2}}{3}$.

【解析】本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识, 解题的关键是灵活运用这些知识解决问题, 学会添加常用辅助线, 学会用方程的思想思考问题.

(1)欲证明 $\triangle A B D \sim \triangle D B E$, 只要证明 $\angle B D E=\angle D A B$ 即可.

(2)在 $R t \triangle O D B$ 中, 由 $\cos B=\frac{B D}{O B}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 设 $B D=2 \sqrt{2} k, O B=3 k$, 利用勾股定理列出方程求出 $k$,再利用 $D O / / A C$, 得 $\frac{B D}{C D}=\frac{B O}{A O}$ 列出方程即可解决问题.