12. 设 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 是公比不相等的两个等比数列, $c_{n}=a_{n}+b_{n}$, 证明数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 不是等比数列.
设 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 的公比分别为 $p 、 q, p \neq 0, q \neq 0, p \neq q, c_{n}=a_{n}+b_{n}$.

要证 $\left\{c_{n}\right\}$ 不是等比数列, 只需证 $c_{2}^{2} \neq c_{1} \cdot c_{3}$ 成立即可.

事实上, $c_{2}^{2}=\left(a_{1} p+b_{1} q\right)^{2}=a_{1}^{2} p^{2}+b_{1}^{2} q^{2}+2 a_{1} b_{1} p q$,

$c_{1} c_{3}=\left(a_{1}+b_{1}\right)\left(a_{1} p^{2}+b_{1} q^{2}\right)$

$=a_{1}^{2} p^{2}+b_{1}^{2} q^{2}+a_{1} b_{1}\left(p^{2}+q^{2}\right)$.

由于 $c_{1} c_{3}-c_{2}^{2}=a_{1} b_{1}(p-q)^{2} \neq 0$, 因此 $c_{2}^{2} \neq c_{1} \cdot c_{3}$, 故 $\left\{c_{n}\right\}$ 不是等比数列。