如图, 点 $D$ 在 $\triangle A B C$ 边 $A B$ 上, $\angle A C D=\angle B$, 点 $F$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线 $A E$ 与 $C D$的交点, 且 $A F=2 E F$, 则下列选项中不正确的是 ( )

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  (第 6 题)

  
证明 $\triangle A C D \sim \triangle A B C$, 得出 $\frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}$, 利用 $A F=2 E F$ 判断选项 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$,证明 $\triangle A C F \sim \triangle A B E$ 得出 $\frac{C F}{B E}=\frac{A C}{A B}=\frac{2}{3}$ 判断选项 $\mathrm{B}$, 分别用 $A B$ 表示出 $A D$ 和 $B D$, 判断选项 $\mathrm{D}$, 即可得出结论.

【详解】 $\because \angle A C D=\angle B, \angle C A B=\angle C A B$,

$\therefore \triangle A C D \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}$,

$\because A F+E F=A E$ 且 $A F=2 E F$,

$\therefore \frac{3}{2} A F=A E$,

$\therefore \frac{A F}{A E}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}=\frac{2}{3}$, 故选项 A、C 正确;

$\therefore A C=\frac{2}{3} A B, \quad A D=\frac{2}{3} A C$,

$\therefore A D=\frac{4}{9} A B$,

$\because A D+B D=A B$,

$\therefore B D=A B-A D=A B-\frac{4}{9} A B=\frac{5}{9} A B$,

$\therefore \frac{A D}{B D}=\frac{\frac{4}{9} A B}{\frac{5}{9} A B}=\frac{4}{5}$, 故选项 D 错误;

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A E=C A E$,

$\because \angle A C D=\angle B$,
$\therefore \triangle A C F \sim \triangle A B E$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{A C}{A B}=\frac{2}{3}$, 故选项 B 正确;

故选: D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

