已知在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $2 b \cos C=c \cos B$, 则 $\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}$ 的最小值为 ( )
 $\because 2 b \cos C=c \cos B, \therefore 2 \sin B \cos C=\sin C \cos B$,

$\therefore \tan C=2 \tan B$. 又 $A+B+C=\pi$,

$\therefore \tan A=\tan [\pi-(B+C)]=-\tan (B+C)=-\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B \tan C}=-\frac{3 \tan B}{1-2 \tan ^{2} B}=\frac{3 \tan B}{2 \tan ^{2} B-1}$,

$\therefore \frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{2 \tan ^{2} B-1}{3 \tan B}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{2 \tan B}=\frac{2}{3} \tan B+\frac{7}{6 \tan B}$.

又 $\because$ 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\tan B>0, \therefore \frac{2}{3} \tan B+\frac{7}{6 \tan B} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{3} \tan B \times \frac{7}{6 \tan B}}=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$, 当且仅当 $\tan B=\frac{\sqrt{7}}{2}$ 时取等号,

$\therefore\left(\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}\right)_{\min }=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$​, 故选 A.