如图, 四边形 $A C D E$ 是证明勾股定理时用到的一个图形, $a 、 b 、 c$ 是 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle B E D$ 的边长, 已知 $A E=\sqrt{2} c$, 这时我们把关于 $x$ 的形如 $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$ 二次方程称为 “勾系一元二次方程 $"$.

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请解决下列问题:

(1)写出一个 “勾系一元二次方程” ;

(2)求证: 关于 $x$ 的 “勾系一元二次方程” $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$, 必有实数根;

(3)若 $x=-1$ 是 “勾系一元二次方程” $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$ 的一个根, 且四边形 $A C D E$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
解: (1) 当 $a=3, b=4, c=5$ 时, 勾系一元二次方程为 $3 x^{2}+5 \sqrt{2} x+4=0$;

(2) 依题意得 $\Delta=(\sqrt{2} c)^{2}-4 a b=2 c^{2}-4 a b$,

$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore 2 c^{2}-4 a b=2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4 a b=2(a-b)^{2} \geq 0$, 即 $\Delta \geq 0$, 故方程必有实数根;

(3) 把 $x=-1$ 代入得 $a+b=\sqrt{2} c$,

$\because$ 四边形 $A C D E$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$,

即 $2(a+b)+\sqrt{2} c=6 \sqrt{2}$,

故得到 $c=2$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=4, a+b=2 \sqrt{2}$,

$\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b$,

$\therefore a b=2$,

故 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a b=1$.

【解析】此题主要考查一元二次方程的应用, 解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.

(1) 直接找一组勾股数代入方程即可;

(2) 根据根的判别式即可求解;

（3）根据方程的解代入求出 $a, b, c$ 的关系, 再根据完全平方公式的变形进行求解.