设 $\mathrm{F}_{1} 、 \mathrm{~F}_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的两个焦点, $\mathrm{P}$ 在双曲线上, 且满足 $\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}=90^{\circ}$, 则 $\triangle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 的面积是( )
答案:A

【解析】【解答】设 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\mathrm{x},\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=\mathrm{y}$, 根据根据双曲线性质可知 $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的值, 再根据 $\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}=90^{\circ}$, 求得 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}$ 的值, 进而根据 $2 \mathrm{xy}=x^{2}+y^{2}-(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}$ 求得 $\mathrm{xy}$, 进而可求得 $\therefore \triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积. 【解答】设 $\left|\mathrm{PF}_{1}\right|=\mathrm{x}$, $\left|\mathrm{PF}_{2}\right|=\mathrm{y}, \quad(\mathrm{x}>\mathrm{y})$, 根据双曲线性质可知 $\mathrm{x}-\mathrm{y}=4, \because \angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}=90^{\circ}, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=20, \quad \therefore 2 \mathrm{xy}=x^{2}+y^{2}$.
$(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}=4, \quad \therefore \mathrm{xy}=2, \quad \therefore \triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积为 ${ }^{\frac{1}{2} x y}=1$, 故选 $\mathrm{A}$

【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关