12. 若直线 $y=k x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+k x+m y-4=0$ 相交于 $P 、 Q$ 两点, 且 $P 、 Q$ 关于直
线 $x+y=0$ 对称, 则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}k x-y+1 \geqslant 0 \\ k x-m y \leqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域的面积是多少?

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$P 、 Q$ 关于直线 $x+y=0$ 对称, 故 $P Q$ 与直线 $x+y=0$ 垂直, 直线 $P Q$ 即是直线 $y=$ $k x+1$, 故 $k=1$;

又线段 $P Q$ 为圆 $x^{2}+y^{2}+k x+m y-4=0$ 的一条弦, 故该圆的圆心在线段 $P Q$ 的垂直平分线上, 即为直线 $x+y=0$, 又圆心为 $\left(-\frac{k}{2},-\frac{m}{2}\right)$,

$\therefore m=-k=-1$,

$\therefore$ 不等式组为 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y \leqslant 0 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$,

它表示的区域如图所示, 直线 $x-y+1=0$ 与 $x+y=0$ 的交点为 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \therefore S_{\triangle}=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}$ $=\frac{1}{4}$. . 面积为 $\frac{1}{4}$.