 为了迎接运动会, 某校八年级学生开展了 “短跑比赛” 。甲、乙两人同时从 $A$ 地出发, 沿同一条道路去 $B$ 地, 途中都使用两种不同的速度 $v_{1}$ 与 $v_{2}\left(v_{1}<v_{2}\right)$. 甲前一半的路程使用速度 $v_{1}$, 另一半的路程使用速度 $v_{2}$; 乙前一半的时间用速度 $v_{1}$, 另一半的时间用速度 $v_{2}$ 。

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$v_{\text {乙 }}=$ $\qquad$
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达 $B$ 地? 为什么?
 

【答案】解: (1) $\frac{v_{1} v_{2}}{v_{1}+v_{2}} ; \frac{v_{1}+v_{2}}{2}$;

（2）乙先到达 $B$ 地，

理由: $v_{Z}-v_{\text {甲 }}=\frac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}{2\left(v_{1}+v_{2}\right)}$ ，

$\because 0<v_{2}<v_{1}$,

$\therefore v_{\text {乙 }}-v_{\text {甲 }}>0$, 乙先到 $B$ 地.

【解析】

【分析】

本题主要考查了分式的加减、列代数式(分式)的问题, 解题关键点是熟练掌握分式的加减的计算法则.

(1)设 $A B$ 两地的路程为 $s$, 乙从 $A$ 地到 $B$ 地的总时间为 $a$.

先算出前一半的路程所用的时间, 后一半的路程所用的时间相加, 速度=路程 $\div$ 时间求出 $v_{\text {甲; }}$

先算出前一半的时间所行的路程, 后一半的时间所行的路程相加, 速度 $=$ 路程 $\div$ 时间求出 $v_{Z} ;$

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【解答】

解: (1)设 $A B$ 两地的路程为 $s$, 乙从 $A$ 地到 $B$ 地的总时间为 $a$.

$v_{\text {甲 }}=\frac{s}{\frac{1}{v_{1} s}+\frac{\frac{1}{2^{s}}}{v_{2}}}=\frac{v_{1} v_{2}}{v_{1}+v_{2}}$

$v 乙=\frac{\frac{v_{1} a}{2}+\frac{v_{2} a}{2}}{a}=\frac{v_{1}+v_{2}}{2}$

故答案为 $\frac{v_{1} v_{2}}{v_{1}+v_{2}} ; \frac{v_{1}+v_{2}}{2}$;

(2)见答案.