如图, 在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点, $F$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点 (包括边界), 且 $A F / /$ 平面 $D_{1} A E$, 则 $\overline{F A_{1}} \cdot \overline{F B_{1}}$ 的最小值为

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【分析】

根据题意 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 可知

$\overrightarrow{F A_{1}} \cdot \overrightarrow{F B_{1}}=\left(\overrightarrow{F B_{1}}+\overrightarrow{B_{1} A_{1}}\right) \cdot \overrightarrow{F B_{1}}=\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}+\overrightarrow{B_{1} A_{1}} \cdot \overrightarrow{F B_{1}}=\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}$, 即求 $\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}$ 的最小值. 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内找到满足 $A_{1} F / /$ 平面 $D_{1} A E$ 且 $\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}$ 最小的点即可.

## 【详解】

由题得 $\overrightarrow{F A_{1}} \cdot \overrightarrow{F B_{1}}=\left(\overrightarrow{F B_{1}}+\overrightarrow{B_{1} A_{1}}\right) \cdot \overrightarrow{F B_{1}}=\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}$, 取 $B B_{1}$ 中点 $\mathrm{H}, B_{1} C_{1}$ 中点 $\mathrm{G}$, 连结 $A_{1} G$, $A_{1} H, \mathrm{GH}, \because A_{1} H / / D_{1} E, \therefore A_{1} H / /$ 平面 $D_{1} A E, \because G H / / A D_{1}, \therefore G H / /$ 平面 $D_{1} A E$,
$\therefore$ 平面 $G A_{1} H / /$ 平面 $D_{1} A E, A_{1} F / /$ 平面 $D_{1} A E$, 故 $F \subset$ 平面 $G A_{1} H$, 又 $F \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$, 则点 $\mathrm{F}$ 在两平面交线直线 $\mathrm{GH}$ 上, 那么 $F B_{1}$ 的最小值是 $F B_{1} \perp G H$ 时, $B_{1} G=B_{1} H=1$, 则 $\left|\overrightarrow{F B_{1}}\right|^{2}=\frac{1}{2}$ 为最小值.

【点睛】

本题考查空间向量以及平面之间的位置关系，有一定的综合性.