(2021-武汉七一华源中学七年级月考) 如图, $\angle A E M=\angle D F N=a, \angle E M N=\angle M N F=b, \angle P E M$ $=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle M N P=\frac{1}{2} \angle F N P, \angle B E P, \angle N F D$ 的角平分线交于点 $I$, 若 $\angle I=\angle P$, 则 $a$ 和 $b$ 的数量关系为 (用含 $a$ 的式子表示 $b$ ).

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分别过点 $\mathrm{P} 、 \mathrm{I}$ 作 $\mathrm{ME} / / \mathrm{PH}, \mathrm{AB} / / \mathrm{GI}$, 设 $\angle \mathrm{AME}=2 \mathrm{x}, \angle \mathrm{PNF}=2 \mathrm{y}$, 知 $\angle \mathrm{PEM}=\mathrm{x}, \angle \mathrm{MNP}=\mathrm{y}$,由 $\mathrm{PH} / / \mathrm{ME}$ 知 $\angle \mathrm{EPH}=\mathrm{x}$, 由 $\mathrm{EM} / / \mathrm{FN}$ 知 $\mathrm{PH} / / \mathrm{FN}$, 据此得 $\angle \mathrm{HPN}=2 \mathrm{y}, \angle \mathrm{EPN}=\mathrm{x}+2 \mathrm{y}$, 同理知 $\angle E I F=90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x$, 根据 $\angle \mathrm{EPN}=\angle \mathrm{EIF}$ 可得答案.

【详解】分别过点 $P 、 I$ 作 $M E / / P H, A B / / G I$,

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设 $\angle A E M=2 x, \angle P N F=2 y$, 则 $\angle P E M=x, \angle M N P=y, \therefore \angle D F N=2 x=a, \angle M N F=b=3 y$

$\because P H / / M E, \therefore \angle E P H=x, \because E M / / F N, \therefore P H / / F N, \therefore \angle H P N=2 y, \angle E P N=x+2 y$,

同理, $\angle E I F=90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x, \because \angle E P N=\angle E I F, \therefore 90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x=x+2 y$,

$\therefore \frac{3}{4} a=90^{\circ}-\frac{2}{3} b, \therefore b=135^{\circ}-\frac{9}{8} a$, 故答案为: $b=135^{\circ}-\frac{9}{8} a$.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质, 解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

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