(本小题 8.0 分)

对于数轴上的 $A, B, C$ 三点, 给出如下定义: 若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 2 倍的数量关系，则称该点是其它两个点的 “倍分点”

(1)若点 $A$ 表示数 -1 , 点 $C$ 表示的数 2 , 下列各数 $-\frac{5}{2}, 0,1, \frac{9}{2}$ 中, 其中是点 $A, C$ 的 “倍分点”的是 \$ \qquad \$ $;$

(2) 已知点 $M$ 表示 -20, 点 $N$ 表示 $16, P$ 为数轴上一个动点.

(1)若点 $P$ 是点 $M, N$ 的 “倍分点”, 求此时点 $P$ 表示的数.

(2)若点 $P, M, N$ 中, 有一个点恰好是其他两个点的 “倍分点”, 直接写出点 $P$ 表示的数.

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解： (1) $\because 0-(-1)=1,2-0=2$,

$\therefore$ : 数 0 是 $A, C$ 的 “倍分点”;

$\because 1-(-1)=2,2-1=1$,

$\therefore$ 数 1 是点 $A, C$ 的 “倍分点”;

故答案为: 0,1 ;

(2) 设点 $P$ 对应的数为 $x$,

(1) 当点 $P$ 在 $M, M$ 之间时，

因为 $M N=16-(-20)=36$,

所以当 $P M=2 P N$ 时, $P N=12$, 即 $x=16-12=4$;

当 $P N=2 P M$ 时, $P M=12$, 即 $x=-20+12=-8$;

当点 $P$ 在点 $N$ 右侧, $P M=2 P N$,

即 $x+20=2(x-16) ，$

解得 $x=52$;

当点 $P$ 在点 $M$ 左侧, $P N=2 P M$,

即 $16-x=2(-20-x)$,

解得 $x=-56$;

综上, 点 $P$ 表示的数可为 $4,-8,52,-56$;

(2) 由(1)得点 $P$ 是倍分点时, 点 $P$ 表示的数可为 $4,-8,52,-56$;

当点 $M$ 为倍分点, 点 $P$ 在 $M, N$ 之间时, $M N=2 P M$,

即 $36=2(x+20)$,

解得 $x=-2$;

点 $P$ 在点 $M$ 左侧时, $M P=2 M N$ 或 $M N=2 M P$,

即 $-20-x=2 \times 36$ 或 $36=2 \times(-20-x)$,

解得 $x=-92$ 或 $x=-38$;

点 $P$ 在点 $N$ 右侧, $M P=2 M N$,

即 $x-(-20)=2 \times 36$,

解得 $x=52$,

$\therefore$ 当点 $M$ 为倍分点时, 点 $P$ 表示的数可为 $-2,-92,-38,52$;

当点 $N$ 为倍分点时, 同理可求 $x=-56,-2,34,88$.

综上, 点 $P$ 表示的数可为 $4,-8,52,-56,-2,-92,-38,34,88$.

(1)分别计算各数 $-\frac{5}{2}, 0,1, \frac{9}{2}$ 到 $A$ 和 $C$ 的距离, 根据 “倍分点” 进行判断即可;

(2) 1 分类讨论点 $P$ 位置求解;

(2)分类讨论: $P, M, N$ 分别是 “倍分点” , 列方程可解答.

本题考查数轴相关知识点和新定义: “倍分点” , 解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况.