如图, 在底面为正方形的四棱雉 $E-A B C D$ 中, $B E \perp$ 平面 $A B C D$, 点 $F, G$ 分别在棱 $A B, E C$ 上, 且满足 $A F=2 F B, C E=3 C G$.

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(1) 证明: $F G / /$ 平面 $A D E$;

(2) 若 $B E=A B$, 求二面角 $F-E G-B$ 的余弦值.
【分析】

(1) 在棱 $D E$ 上取一点 $H$, 使得 $D E=3 D H$, 连接 $A H, H G$, 可证明 $A F G H$ 是平行四边形, 可得 $F G / / A H$, 由线面平行的判定定理可得结果; (2) 以 $B$ 为坐标原点以 $B A, B E, B C$ 为 $X, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴建立空间直角坐标系, 设 $A B=3$, 利用向量垂直数量积为零列方程求出平面 $E F G$ 的法向量, 结合平面 $E G B$ 的一个法向量为 $\overline{B A}$, 利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

## 【详解】

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(1) 在棱 $D E$ 上取一点 $H$, 使得 $D E=3 D H$, 连接 $A H, H G$,

因为 $C E=3 C G, D E=3 D H$, 所以 $G H / / D C$,

所以 $H G=\frac{2}{3} D C$. 又因为 $A F=2 F B, A B=C D$, 所以 $A F / / H G, A F=H G$,

所以 $A F G H$ 是平行四边形, 所以 $F G / / A H$,

因为 $F G \not \subset$ 平面 $A D E, A H \subset$ 平面 $A D E$, 所以 $F G / /$ 平面 $A D E$.

(2) 依题意, 以 $B$ 为坐标原点, 以 $B A, B E, B C$ 为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系 $B-x y z$,

设 $A B=3$ ，则 $F(1,0,0), E(0,3,0), G(0,1,2)$,

所以 $\overrightarrow{F E}=(-1,3,0), \overrightarrow{F G}=(-1,1,2)$.

设平面 $E F G$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{F E} \cdot \vec{n}=0 \\ \overrightarrow{F G} \cdot \vec{n}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{c}-x+3 y=0 \\ -x+y+2 z=0\end{array}\right.$, 取 $x=3$,则 $\vec{n}=(3,1,1)$.

又 $B A \perp$ 平面 $E G B$, 所以平面 $E G B$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{B A}=(3,0,0)$,所以 $\cos \langle\overrightarrow{B A}, \vec{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{B A}||\vec{n}|}=\frac{3 \sqrt{11}}{11}$,

又二面角 $F-E G-B$ 为锐角, 所以二面角 $F-E G-B$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{11}}{11}$.

## 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角, 属于中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是: (1) 观察图形, 建立恰当的空间直角坐标系; (2) 写出相应点的坐标, 求出相应直线的方向向量; (3) 设出相应平面的法向量, 利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量; (4) 将空间位置关系转化为向量关系; (5) 根据定理结论求出相应的角和距离.