8. 已知 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$,

$\sin (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 且 $\alpha 、 \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. 求:

(1) $\cos (2 \alpha-\beta)$ 的值;

(2) $\beta$ 的值.
(1)因为 $\alpha 、 \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$,

所以 $\alpha-\beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 又 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{10}}{10}>0$,

$\therefore 0<\alpha-\beta<\frac{\pi}{2}$,

所以 $\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

$\cos (\alpha-\beta)=\sqrt{1-\sin ^{2} \quad \alpha-\beta}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$,

$\cos (2 \alpha-\beta)=\cos [\alpha+(\alpha-\beta)]$

$=\cos \alpha \cos (\alpha-\beta)-\sin \alpha \sin (\alpha-\beta)$

$=\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}-\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.

(2) $\cos \beta=\cos [\alpha-(\alpha-\beta)]$

$=\cos \alpha \cos (\alpha-\beta)+\sin \alpha \sin (\alpha-\beta)$

$=\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}+\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
又因为 $\beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 所以 $\beta=\frac{\pi}{4}$.