已知双曲线 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点 $F(-c, 0)$, 直线 $y=x+c$ 与双曲线 $\Gamma$ 的渐近线分别交于 $A, E$ 两点, 其中点 $A$ 在第二象限, 若 $|A F|=\frac{3}{2}|A B|$, 则双曲线 $\Gamma$ 的离心率为
答案: $\sqrt{17}$

【解析】【解答】解: 因为双曲线 $\Gamma$ 的渐近线方程为 $\mathrm{y}= \pm \frac{b}{a} x$,

所以由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+c \\ y=\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ 得 $y_{B}=\frac{b c}{b-a}$,

由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+c \\ y=-\frac{b}{a} x\end{array}\right.$ 得 $y_{A}=\frac{b c}{b+a}$,

由 $|A F|=\frac{3}{2}|A B|$ 得 $|A F|=\frac{3}{5}|F B|$.

由三角形相似可知 $\frac{y_{A}}{y_{B}}=\frac{|A F|}{|B F|}=\frac{3}{5}$,

即 $\frac{b c}{b+a}=\frac{3}{5} \times \frac{b c}{b-a}, \therefore b=4 a, \therefore c^{2}=16 a^{2}+a^{2}, \therefore e=\sqrt{17}$.

故填 $\sqrt{17}$.

【分析】求出 $A, B$ 的坐标, 利用题设条件可得 $a, c$ 的关系式, 由此, 即可得出结论.