一只小虫从数轴上的原点出发爬行, 若一次爬行过程中, 小虫等概率地向前或向后爬行 1 个单位, 设爬行 $n$ 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 $\xi_{n}$, 则下列说法错误的是 ( )
答案:C

【解析】由题意知: 设爬行 $n$ 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 $\xi_{n} \in[-n, n]$, 且小虫向前或向后爬行 1 个单位的概率均为,

$\therefore$ 爬行 $n$ 次后小虫一共向前爬行 $r$ 次, 则向后爬行 $n-r$ 次,

有 $\xi_{n}=r+[-(n-r)]=2 r-n$,

故 $P\left(\xi_{n}=2 r-n\right)=C_{n}^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$, 则 $E\left(\xi_{n}\right)=\sum_{\gamma\lrcorner 0}^{n} \frac{C_{n}^{\gamma}(2 r-n)}{2^{n}}=0$,

$D\left(\xi_{n}\right)=E\left(\xi_{n}^{2}\right)-E\left(\xi_{n}\right)^{2}=E\left(\xi_{n}^{2}\right)=\sum_{\gamma=0}^{n} \frac{C_{n}^{\gamma}(2 r-n)^{2}}{2^{n}}=n$, 故 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 正确;

$P\left(\xi_{2000}=0\right)=\mathrm{C}_{2010}^{1010}\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}, P\left(\xi_{2020}=2\right)=\mathrm{C}_{200}^{1011}\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}$, 即 $\frac{P\left(\xi_{2020}=0\right)}{P\left(\xi_{2020}=2\right)}=\frac{1011}{1010}>1$, 有

$P\left(\xi_{120}=0\right)>P\left(\xi_{2020}=2\right)$, 故 $\mathrm{C}$ 错误;

$P\left(\xi_{2018}=0\right)=\mathrm{C}_{2018}^{1009}\left(\frac{1}{2}\right)^{2018}$, 即 $\frac{P\left(\xi_{2020}=0\right)}{P\left(\xi_{2018}=0\right)}=\frac{4038}{4040}<1$,

有 $P\left(\xi_{2120}=0\right)<P\left(\xi_{2018}=0\right)$, 故 D 正确,

故选 C.