在 $\triangle A B C D$ 中, $A B=6, \angle B A D=60^{\circ}, \angle A B D=90^{\circ}$, 对角线 $A C 、 B D$ 交于点 $O, E$ 为 $A D$ 上一点,连接 $E O$, 若 $\triangle E D O$ 的周长比四边形 $A B O E$ 的周长大 3 , 则 $E D$ 的长为 \$ \qquad \$
$\because A B=6, \angle B A D=60^{\circ}, \angle A B D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=30^{\circ}$,

$\therefore A D=2 A B=12$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore O B=O D$,

$\because \triangle E D O$ 的周长比四边形 $A B O E$ 的周长大 3,

$\therefore O E+O D+E D-(A B+O B+O E+12-E D)=3$,

$\therefore O E+O D+E D-6-O B-O E-12+E D=3$,

$\therefore 2 E D=21$,

$\therefore E D=\frac{21}{2}$,

故答案为: $\frac{21}{2}$.