（12 分）编辑一个运算程序: $1 @ 1=2, m @ n=q, m @(n+1)=q+2$.

（1）设 $a_{n}=1 @ n$ ，求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ；

（2）由（1）猜想 $a_{n}$ 的通项公式;

（3）用数学归纳法证明你的猜想.
(1) $ecause a_{1}=1 @ 1=2$, 令 $m=1, n=1$, 则 $q=2$,由 $m @ n=q, m @(n+1)=q+2$, 得 $a_{2}=1 @ 2=2+2=4$,再令 $m=1, n=2$, 则 $q=4$, 得 $a_{3}=1 @ 3=4+2=6$,再令 $m=1, n=3$, 则 $q=6$, 得 $a_{4}=1 @ 4=6+2=8$,$	herefore a_{2}=4, a_{3}=6, a_{4}=8$.（2）由（1）猜想: $a_{n}=2 n,\left(n \in \mathbb{N}^{*}
ight)$,(3) 证明: (1)当 $n=1$ 时, $a_{1}=1 @ 1=2$, 另一方面, $a_{1}=2 	imes 1=2$,所以当 $n=1$ 时等式成立(2)假设当 $n=k$ 时，等式成立，即 $a_{k}=1 @ k=2 k$ ，此时 $q=2 k$ ，那么, 当 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=1 @(k+1)=2 k+2=2(k+1)$,所以当 $n=k+1$ 时等式也成立.由(1)(2)知, 等式对 $n \in \mathbb{N}^{*}$ 都成立.