某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品, 该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆雉组成, 圆锥的侧面用于艺术装饰, 如图 1 . 为了便于设计, 可将该礼品看成是由圆 $O$ 及其内接等腰三角形 $A B C$ 绕底边 $B C$ 上的高所在直线 $A O$ 旋转 $180^{\circ}$ 而成, 如图 2.已知圆 $O$ 的半径为 $10 \mathrm{~cm}$, 设 $\angle B A O=\theta, 0<\theta<\frac{\pi}{2}$, 圆雉的侧面积为 $S \mathrm{~cm}^{2}$.

(1) 求 $S$ 关于 $\theta$ 的函数关系式;

(2) 为了达到最佳观赏效果, 要求圆锥的侧面积 $S$ 最大. 求 $S$ 取得最大值时腰 $A B$ 的长度.

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图 1

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图 2
试题分析: (1) 由条件, $A B=20 \cos \theta, B D=20 \cos \theta \cdot \sin \theta$, 所以 $\mathrm{S}=400 \pi \sin \theta \cos ^{2} \theta$, $\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$; (2) $S=400 \pi \sin \theta \cos ^{2} \theta=400 \pi\left(\sin \theta-\sin ^{3} \theta\right)$, 令 $\mathrm{x}=\sin \theta$, 所以得 $f(x)=x-x^{3}$, 通过求导分析, 得 $f(x)$ 在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时取得极大值, 也是最大值.

试题解析:

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(1) 设 $B_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$, 过 $C_{1}$ 作 $O E \perp A B$, 垂足为 $E$,

在 $\triangle A O E$ 中, $\mathrm{AE}=10 \cos \theta, A B=2 A E=20 \cos \theta$,

在 $\triangle A B D$ 中, $B D=A B \cdot \sin \theta=20 \cos \theta \cdot \sin \theta$,

所以 $\mathrm{S}=400 \pi \sin \theta \cos ^{2} \theta, \quad\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$

(2) 要使侧面积最大, 由 (1) 得:

$S=400 \pi \sin \theta \cos ^{2} \theta=400 \pi\left(\sin \theta-\sin ^{3} \theta\right)$

令 $\mathrm{x}=\sin \theta$, 所以得 $f(x)=x-x^{3}$,
由 $f^{\prime}(x)=1-3 x^{2}=0$ 得: $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

当 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 当 $x \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$

所以 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 上单调递增, 在区间 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$ 上单调递减,

所以 $f(x)$ 在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时取得极大值, 也是最大值;

所以当 $\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时, 侧面积 $S$ 取得最大值,

此时等腰三角形的腰长 $A B=20 \cos \theta=20 \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=20 \sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\frac{20 \sqrt{6}}{3}$

答: 侧面积 $S$ 取得最大值时, 等腰三角形的腰 $A B$ 的长度为 $\frac{20 \sqrt{6}}{3} \mathrm{~cm}$.