(12 分) 已知关于 $x$ 的函数 $f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}+b x^{2}+c x+b c$, 其导函数为 $f^{\prime}(x)$,

且函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值 $-\frac{4}{3}$.

(1) 求实数 $b 、 c$ 的值;

(2) 求函数 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值和最小值.
(1) 因为 $f(x)=-rac{1}{3} x^{3}+b x^{2}+c x+b c$, 所以 $f^{\prime}(x)=-x^{2}+2 b x+c$.因为函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有极值 $-rac{4}{3}$,所以 $\left\{egin{array}{l}f^{\prime}(1)=-1+2 b+c=0 \ f(1)=-rac{1}{3}+b+c+b c=-rac{4}{3}\end{array}
ight.$, 解得 $\left\{egin{array}{l}b=1 \ c=-1\end{array}
ight.$ 或 $\left\{egin{array}{l}b=-1 \ c=3\end{array}
ight.$.(i) 当 $b=1, c=-1$ 时, $f^{\prime}(x)=-(x-1)^{2} \leq 0$,所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减, 不存在极值;(ii) 当 $b=-1, c=3$ 时, $f^{\prime}(x)=-(x+3)(x-1)$,当 $x \in(-3,1)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增;当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处存在极大值, 符合题意,综上所述, 满足条件的值为 $b=-1, c=3$.(2) 由(1) 知, $f(x)=-rac{1}{3} x^{3}-x^{2}+3 x-3$, 则 $f^{\prime}(x)=-x^{2}-2 x+3$,令 $f^{\prime}(x)=-(x+3)(x-1)=0$, 得 $x_{1}=-3, x_{2}=1$, 所以 $x, f(x), f^{\prime}(x)$ 的变化如下表:| $x$ | -1 | $(-1,1)$ | 1 | $(1,2)$ | 2 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $f^{\prime}(x)$ |  | + | 0 | - |  || $f(x)$ |  | 递增 | $-rac{4}{3}$ | 递减 | $-rac{11}{3}$ |所以 $f(x)_{	ext {min }}=f(-1)=-rac{20}{3}, f(x)_{	ext {max }}=f(1)=-rac{4}{3}$.