已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, 点 $B$ 在粗圆上, 且 $B F \perp x$轴, 直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $P$. 若 $\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}$, 则椭圆的离心率是 $(\quad)$
解析：解答：本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质.

由已知 $B$ 点横坐标为 $-c$, 取 $B\left(-c, \frac{b^{2}}{a}\right)$.

$\because \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B} . \therefore \overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$

$\because A B$ 所在直线方程为 $y=-\frac{a-c}{a}(x-a), \therefore P$ 点纵坐标为 $a-c$.

由 $\triangle B F A \backsim \triangle P O A$ 得, $\frac{b^{2}}{a-c}=\frac{3}{2}, \therefore 2 c^{2}-3 a c+a^{2}=0$.

即 $2 e^{2}-3 e+1=0$ 解得 $e=\frac{1}{2}(e=1$ 舍去 $)$. 故选 D.

分析: 本小题主要考查椭圆及粗圆的几何性质, 注意结合直线的斜率求解即可.