定义：由 $a ， b$ 构造的二次函数 $y=a x^{2}+(a+b) x+b$ 叫做一次函数 $y=a x+b$ 的 “滋生函数” ，一次函数 $y=a x+b$ 叫做二次函数 $y=a x^{2}+(a+b) x+b$ 的 “本源函数” $(a, b$ 为常数，且 $a \neq 0)$. 若一次函数 $y=a x+b$ 的 “滋生函数” 是 $y=a x^{2}-3 x+a+1$, 那么二次函数 $y=a x^{2}-3 x+a+1$ 的 “本源函数”是 $\qquad$ .

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【分析】根据 “滋生函数” 的定义可得 $a x^{2}-3 x+a+1=a x^{2}+(a+b) x+b$, 从而可得关于 $a, b$ 的二元一次方程组, 求出 $a, b$ 的值, 进而求解.

【解答】解: $\because y=a x+b$ 的 “滋生函数” 是 $y=a x^{2}-3 x+a+1$,

$\therefore a x^{2}-3 x+a+1=a x^{2}+(a+b) x+b$, 即 $\left\{\begin{array}{l}a+b=-3 \\ b=a+1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-2 \\ b=-1\end{array}\right.$,

$\therefore y=a x^{2}-3 x+a+1$ 的 “本源函数” 是 $y=-2 x-1$,

故答案为: $y=-2 x-1$.

