已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x+1, x>0, \\ -x^{2}-x-1, x<0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 为 $(\quad)$.
函数 $f(x)$ 的定义域 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 关于原点对称.

当 $x>0$ 时, 有 $f(x)=x^{2}-x+1,-x<0$,

$\therefore f(-x)=-(-x)^{2}-(-x)-1=-x^{2}+x-1=-\left(x^{2}-x+1\right)=-f(x) ;$

当 $x<0$ 时, 有 $f(x)=-x^{2}-x-1,-x>0$,

$\therefore f(-x)=(-x)^{2}-(-x)+1$

$=x^{2}+x+1=-\left(-x^{2}-x-1\right)$
$=-f(x)$.

综上可得, 对任意 $x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$, 总有 $f(-x)=-f(x)$ 成立, $\therefore$ 函数 $f(x)$ 是奇函数