(本小题 8.0 分)

如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}$, 以 $A B$ 上的点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的圆与 $A B$ 交于点 $E$, 与 $A C$ 切于点 $D$.

(1)求证: $B C=C D$;

(2)求证: $\angle A D E=\angle A B D$;

(3)设 $A D=2, A E=1$, 求 $\odot O$ 直径的长.

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(1)证明: $\because \angle A B C=90^{\circ}$,

$\therefore O B \perp B C$.

$\because O B$ 是 $\odot O$ 的半径,

$\therefore C B$ 为 $\odot O$ 的切线.

又 $\because C D$ 切 $\odot O$ 于点 $D$,

$\therefore B C=C D$.

(2)证明: $\because B E$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle B D E=90^{\circ}$.

$\therefore \angle A D E+\angle C D B=90^{\circ}$.

又 $\because \angle A B C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D+\angle C B D=90^{\circ}$.

由(1)得 $B C=C D$,

$\therefore \angle C D B=\angle C B D$.

$\therefore \angle A D E=\angle A B D$.

(3)解： 由(2)得， $\angle A D E=\angle A B D, \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle A B D$.

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A D}$

$\therefore \frac{2}{1+B E}=\frac{1}{2}$.

$\therefore B E=3$.

$\therefore \odot O$ 的直径长为 3 .

【解析】本题主要考查切线的判定, 切线长定理, 相似三角形的判定和性质, 灵活运用相关知识点是解题的关键.

(1)由切线长定理, 只需证明 $C B$ 为 $O$ 的切线, 再由已知的 $O B$ 与 $A C$ 切于点 $D$, 即可得出证明;

(2)根据已知及等角的余角相等不难即可得出结论.

(3)先证明 $\triangle A D E \sim \triangle A B D$, 进而可得 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A D}$, 代入数据计算得 $B E=3$, 即 $\odot O$ 直径的长为 3