在锐角 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 若 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, a=2$, $S_{\triangle A B C}=\sqrt{2}$, 则 $b+c$ 的值为 \$ \qquad \$
$\because \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\sqrt{2}$,

$\therefore \frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\sqrt{2}$, 即 $\frac{1}{2} \mathrm{bc} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$,

$\therefore \mathrm{bc}=3$, (1)

又 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, a=2$, 锐角 $\triangle A B C$, 可得 $\cos A=\frac{1}{3}$,

由余弦定理得 $4=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=b^{2}+c^{2}-2 \times 3 \times \frac{1}{3}$, 解得 $b^{2}+c^{2}=6$, (2)

由(1)(2) 解得 $\mathrm{b}=\mathrm{c}$, 代入 (1)得 $\mathrm{b}=\mathrm{c}=\sqrt{3}$ 或 $-\sqrt{3}$ (舍)

则 $\mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \sqrt{3}$.