如图所示: 在三棱雉 $V-A B C$ 中, 平面 $V A B \perp$ 平面 $A B C, \triangle V A B$ 为等边三角形, $A C \perp B C$ 且 $A C=B C=\sqrt{2}, O, M$ 分别为 $A B, V A$ 的中点.

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（1）求证: 平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$;

(2) 求三棱雉 $V-A B C$ 的体积.
【分析】

(1) 由已知可得 $O C \perp A B$, 再由面面垂直定理可得 $O C \perp$ 平面 $V A B$, 即可证明结论;

(2) $O C \perp$ 平面 $V A B$ ，用等体积法求三棱雉 $V-A B C$ 的体积.

## 【详解】

(1) $A C=B C, O$ 为 $A B$ 中点, $\therefore O C \perp A B$,

平面 $V A B \perp$ 平面 $A B C$, 平面 $V A B \cap$ 平面 $A B C=A B$,

$O C \subset$ 平面 $A B C, \therefore O C \perp$ 平面 $V A B, \therefore O C \subset$ 平面 $M O C$,

平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$ ，

(2) $A C \perp B C$ 且 $A C=B C=\sqrt{2}, O$ 分别为 $A B$ 的中点,

$\therefore O C=1, A B=2, S_{\triangle V A B}=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}=\sqrt{3}$,

$O C \perp$ 平面 $V A B, V_{V-A B C}=V_{C-V A B}=\frac{1}{3} \times O C \times S_{\triangle V A B}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore V_{V-A B C}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

【点睛】

本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.