在水平放置的平面 $\alpha$ 内有一个边长为 1 的正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 如图所示, 其中的对角线 $A^{\prime} C^{\prime}$ 在水平位置, 已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图, 试画出该四边形的平面图形并求出其面积.

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【详解】

四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的真实图形如图所示,

因为 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 在水平位置,

$\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime}$ 为正方形,

所以 $\angle \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\angle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=45^{\circ}$,

所以在原四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中,

$\mathrm{DA} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}$,

因为 $\mathrm{DA}=2 \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}=2$,

$\mathrm{AC}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\sqrt{2}$,

所以 $S_{\text {四边死 } A B C D}=A C \cdot A D=2 \sqrt{2}$.

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