, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是平行四边形, $P D \perp$ 平面 $A B C D$, $E$ 是棱 $P C$ 上的一点, 满足 $P A / /$ 平面 $B D E$.

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(I) 证明: $P E=E C$;

(II) 设 $P D=A D=B D=1, A B=\sqrt{2}$, 若 $F$ 为棱 $P B$ 上一点, 使得直线 $D F$ 与平面 $B D E$ 所成角的大小为 $30^{\circ}$, 求 $P F: F B$ 的值.
【分析】

(I) 由 $P A / /$ 平面 $B D E$, 可得 $P A / / E M$, 又因为 $M$ 是 $A C$ 的中点, 即得证;

(II) 如图建立空间直角坐标系, 设 $\overrightarrow{P F}=\lambda \overrightarrow{P B}(0<\lambda<1)$, 计算平面 $B D E$ 的法向量,由直线 $D F$ 与平面 $B D E$ 所成角的大小为 $30^{\circ}$, 列出等式, 即得解.

## 【详解】

(I) 如图,

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连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $M$, 连接 $E M$,

则 $E M$ 是平面 $P A C$ 与平面 $B D E$ 的交线,

因为 $P A / /$ 平面 $B D E$,

故 $P A / / E M$,

又因为 $M$ 是 $A C$ 的中点,

所以 $E$ 是 $P C$ 的中点,

故 $P E=E C$.

(II) 由条件可知, $A D^{2}+B D^{2}=A B^{2}$, 所以 $A D \perp B D$, 故以 $D$ 为坐标原点, $D A$ 为 $x$ 轴, $D B$ 为 $y$ 轴, $D P$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系,

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则 $D(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), P(0,0,1), C(-1,1,0), E\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$,

$\overrightarrow{D E}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{D B}=(0,1,0)$

设 $\overrightarrow{P F}=\lambda \overrightarrow{P B}(0<\lambda<1)$,

则 $F(0, \lambda, 1-\lambda), \overrightarrow{D F}=(0, \lambda, 1-\lambda)$

设平面 $B D E$ 的法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{D E}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D B}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=0 \\ y=0\end{array}\right.$, 故取 $\vec{n}=(1,0,1)$

因为直线 $D F$ 与平面 $B D E$ 所成角的大小为 $30^{\circ}$

所以 $\frac{|\overrightarrow{D F} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{D F}||\vec{n}|}=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$,

即 $\frac{|1-\lambda|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\lambda^{2}+(1-\lambda)^{2}}}=\frac{1}{2}$ ，

解得 $\lambda=\frac{1}{2}$, 故此时 $P F: F B=1: 1$.

## 【点睛】

本题考查了立体几何和空间向量综合, 考查了学生逻辑推理, 空间想象, 数学运算的能力，属于中档题.