已知抛物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 抛物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点, 其中 $n>0$, 若 $A D=4 B C$, 则 $n$ 的值为 $($ )

解: 把 $y=0$ 代入 $y=x^{2}+4 x+n$ 得: $x^{2}+4 x+n=0$,

解得: $x_{1}=\frac{-4-\sqrt{16-4 n}}{2}=-2-\sqrt{4-n}, x_{2}=\frac{-4+\sqrt{16-4 n}}{2}=-2+\sqrt{4-n}$,

把 $y=0$ 代入 $y=x^{2}-4 x+n$ 得: $x^{2}-4 x+n=0$,

解得: $x_{3}=\frac{4-\sqrt{16-4 n}}{2}=2-\sqrt{4-n}, x_{4}=\frac{4+\sqrt{16-4 n}}{2}=2+\sqrt{4-n}$,

$\because A D=4 B C$,

$\therefore A D^{2}=16 B C^{2}$,
$\because$ 拋物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与抛物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 中的二次项系数相同,

$\therefore A B=C D$,

又 $\because A D=4 B C$,

$\therefore$ 如下图所示, 点 $A$ 在点 $B$ 左侧, 点 $C$ 在点 $D$ 左侧,

<ImageHere>

$\therefore\left(x_{1}-x_{4}\right)^{2}=16\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$, 即 $(-2-\sqrt{4-n}-2-\sqrt{4-n})^{2}=16(-2+\sqrt{4-n}-2+\sqrt{4-n})^{2}$,

$\therefore(-2-\sqrt{4-n})^{2}=16(-2+\sqrt{4-n})^{2}$,

令 $\sqrt{4-n}=m$, 则 $(-2-m)^{2}=16(-2+m)^{2}$,

解得: $m_{1}=\frac{10}{3}, m_{2}=\frac{6}{5}$,

当 $m_{1}=\frac{10}{3}$ 时, $\sqrt{4-n}=\frac{10}{3}$, 解得: $n=-\frac{64}{9}$,

$\because n>0$,

$\therefore n=-\frac{64}{9}$ 不符合题意舍去;

当 $m_{2}=\frac{6}{5}$ 时, $\sqrt{4-n}=\frac{6}{5}$, 解得: $n=\frac{64}{25}$,

$\because \frac{64}{25}>0$,

$\therefore n=\frac{64}{25}$ 符合题意;

综上分析可知, $n=\frac{64}{25}$,

故选: $D$.

先求出抛物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与 $x$ 轴的交点, 拋物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 与 $x$ 轴的交点, 然后根据 $A D=$ $4 B C$, 得出 $A D^{2}=16 B C^{2}$, 列出关于 $n$ 的方程, 解方程即可.

本题主要考查了抛物线与 $x$ 轴的交点问题, 根据题意用 $n$ 表示出 $A D^{2}=16 B C^{2}$, 列出关于 $n$ 的方程是解

题的关键.

