设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 且 $\tan \alpha=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 则 ( )
试题分析：由已知得, $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{1+\sin \beta}{\cos \beta}$, 去分母得, $\sin \alpha \cos \beta=\cos \alpha+\cos \alpha \sin \beta$,所以

$\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta=\cos \alpha, \sin (\alpha-\beta)=\cos \alpha=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$, 又因为 $-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<\frac{\pi}{2}$, $0<\frac{\pi}{2}-\alpha<\frac{\pi}{2}$, 所以 $\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$, 即 $2 \alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$, 选 $C$

考点: 同角间的三角函数关系, 两角和与差的正弦公式.