设函数 $f(x)=A \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)(x \in R)$ 的图像过点 $P\left(\frac{7 \pi}{12},-2\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式;

(2) 已知 $f\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{10}{13},-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$, 求 $\frac{1-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+2 \sin \alpha \cos \alpha}{1+\sin \alpha+\cos \alpha}$ 的值;

(3) 若函数 $y=g(x)$ 的图像与 $y=f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称, 求函数 $y=g(x)$ 的单调区间.
(1) 因为 $A \sin \left(2 \times \frac{7 \pi}{12}+\frac{\pi}{3}\right)=-2$, 所以 $\mathrm{A}=2, f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$;

(2) $f\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=2 \sin \left[2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=2 \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=2 \cos \alpha=\frac{10}{13}, \cos \alpha=\frac{5}{13}$所以 $\sin \alpha=-\frac{12}{13}, \frac{1-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+2 \sin \alpha \cos \alpha}{1+\sin \alpha+\cos \alpha}=-\frac{7}{13}$;

(3) 因为函数 $y=g(x)$ 的图象与 $y=f(x)$ 图象关于 $y$ 轴对称, 所以

$\mathrm{g}(\mathrm{x})=f(-\mathrm{x})=2 \sin \left(-2 x+\frac{\pi}{3}\right)=-2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$,

由 $2 x-\frac{\pi}{3} \in\left(2 k \pi-\frac{1}{2} \pi, 2 k \pi+\frac{1}{2} \pi\right)(k \in z)$ 得
$y=g(x)$ 单减区间为 $\left(k \pi-\frac{1}{12} \pi, k \pi+\frac{5}{12} \pi\right)(k \in z)$,

由 $2 x-\frac{\pi}{3} \in\left(2 k \pi+\frac{1}{2} \pi, 2 k \pi+\frac{3}{2} \pi\right)(k \in z)$ 得

单增区间为 $\left(k \pi+\frac{5}{12} \pi, k \pi+\frac{11}{12} \pi\right)(k \in z)$ 。

函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B(A>0, \omega>0)$ 的性质

(1) $y_{\max }=A+B, y_{\min }=A-B$.

(2)周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$.

(3)由 $\omega x+\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 求对称轴

(4)由 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 求增区间;

由 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \omega x+\varphi \leq \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 求减区间