如图所示, 菱形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 B$ 在 $x$ 轴上, 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧, 点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上, $\angle B A D=$ $600^{\circ}$, 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$.

<ImageHere>

(1)求 $C$ 点的坐标;

(2)求直线 $A C$ 的函数关系式;

(3)动点 $P$ 从点 $A$ 出发, 以每秒 1 个单位长度的速度, 按照 $A \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$ 的顺序在菱形的边上匀速运动一周, 设运动时间为 $t$ 秒. 求 $t$ 为何值时, 以点 $P$ 为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 $A C$ 相切?
解: (1) $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(-2,0), \angle B A D=60^{\circ}$,

$\angle A O D=90^{\circ}$,

$\therefore O D=O A \cdot \tan 60^{\circ}=2 \sqrt{3}, A D=4$,

<ImageHere>
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(0,2 \sqrt{3})$,

又 $\because A D=C D, C D / / A B$,

$\therefore C(4,2 \sqrt{3})$;

(2) 设直线 $A C$ 的函数表达式为 $y=k x+b(k \neq 0)$,

$\because A(-2,0), \quad C(4,2 \sqrt{3})$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}0=-2 k+b \\ 2 \sqrt{3}=4 k+b\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ b=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$.

故直线 $A C$ 的解析式为: $y=\frac{\sqrt{3}}{3} x+\frac{2 \sqrt{3}}{3}$;

(3) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore \angle D C B=\angle B A D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=30^{\circ}$,

$A D=D C=C B=B A=4$,

如图所示:

(1) 点 $P$ 在 $A D$ 上与 $A C$ 相切时,

连接 $P_{1} E$, 则 $P_{1} E \perp A C, P_{1} E=r$,

$\because \angle 1=30^{\circ}$,

$\therefore A P_{1}=2 r=2$,

$\therefore t_{1}=2$.

<ImageHere>

(2) 点 $P$ 在 $D C$ 上与 $A C$ 相切时,

$C P_{2}=2 r=2$,

$\therefore A D+D P_{2}=6$,

$\therefore t_{2}=6$.

(3)点 $P$ 在 $B C$ 上与 $A C$ 相切时,

$C P_{3}=2 r=2$,

$\therefore A D+D C+C P_{3}=10$,

$\therefore t_{3}=10$.

(4) 点 $P$ 在 $A B$ 上与 $A C$ 相切时,

$A P_{4}=2 r=2$,
$\therefore A D+D C+C B+B P_{4}=14$,

$\therefore t_{4}=14$

$\therefore$ 当 $t=2 、 6 、 10 、 14$ 时, 以点 $P$ 为圆心、以 1 为半径的圆与对角线 $A C$ 相切.