26. (2017 新课标III) $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$,

已知 $\sin A+\sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2$.

(1)求 $C$;

(2)设 $D$ 为 $B C$ 边上一点, 且 $A D \perp A C$, 求 $\triangle A B D$ 的面积.
(1) 由已知得 $\tan A=-\sqrt{3}$, 所以 $A=\frac{2 \pi}{3}$.

在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得 $28=4+c^{2}-4 c \cos \frac{2 \pi}{3}$, 即 $c^{2}+2 c-24=0$.

解得 $c=-6$ (舍去), $c=4$

(2) 有题设可得 $\angle C A D=\frac{\pi}{2}$, 所以 $\angle B A D=\angle B A C-\angle C A D=\frac{\pi}{6}$.

故 $\triangle A B D$ 面积与 $\triangle A C D$ 面积的比值为 $\frac{\frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot \sin \frac{\pi}{6}}{\frac{1}{2} A C \cdot A D}=1$.

又 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sin \angle B A C=2 \sqrt{3}$, 所以 $\triangle A B D$ 的面积为 $\sqrt{3}$.