24. 关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $a x 2+b x+c=0$ 有两个异号实根的充要条件是什么? 为什么 ?

答案: 关于 $x$ 的实系数的一元二次方程 $a x 2+b x+c=0$ 有两个异号实根的充要条件是 $a c<0$. 证明: (1)充分性: $\because a c<0, \therefore-4 a c>0, \therefore \Delta=b 2-4 a c>0, \therefore$ 设 $x_{1}, x_{2}$ 为原方程的两个不等
实根, 又由根与系数的关系得 $x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{a c}{a^{2}}<0$, 则 $x_{1}, x_{2}$ 并号, 即 $a c<0$ 是关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $a x 2+b x+c=0$ 有两个异号实根的充分条件.

(2) 必要性; 设 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的实系数一元二次方程 $a x 2+b x+c=0$ 的两个实根异号, 则 $x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}<0, \therefore a c<0$. 即 $a c<0$ 是关于 $x$ 的系数的一元二次方程 $a x 2+b x+c=0$ 有两个异号实根的必要条件. 综合(1)(2)可得原结论成立
：分析：证明充要条件, 首先证明充分性, 再证明必要性, 最后总结即可。