如图所示, 以 $A B=4 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}$ 的长方形 $A B C D$ 为底面的长方体被平面斜着截断的几何体, $E F G H$ 是它的截面. 当 $A E=5 \mathrm{~cm}, B F=8 \mathrm{~cm}, C G=12 \mathrm{~cm}$ 时, 试回答下列问题:

<ImageHere>

(1)求 $D H$ 的长;

(2)求这个几何体的体积;

(3)截面四边形 EFGH 是什么图形？证明你的结论.
分析：(1）根据面面平行性质定理得线线平行 $E F / / H G$, 再根据勾股定理求 $D H$ ，(2)先分割成一个长方体 $A B C D-E B_{1} P D_{1}$, 一个斜三棱柱 $E F B_{1}-H G C_{1}$, 一个直三棱柱 $E H D_{1}$ $-B_{1} C_{1} P$. 再分别利用柱体体积公式求体积, 即得结果, (3) 先根据面面平行性质定理得 $E F G H$ 是平行四边形，再通过计算相邻边相等得菱形.

详解：解：(1)过 $E$ 作 $E B_{1} \perp B F$, 垂足为 $B_{1}$, 则 $B B_{1}=A E=5(\mathrm{~cm})$,

所以 $B_{1} F=8-5=3(\mathrm{~cm})$.

因为平面 $A B F E / /$ 平面 $D C G H, E F$ 和 $H G$ 是它们分别与截面的交线, 所以 $E F / / H G$.

<ImageHere>

过 $H$ 作 $H C_{1} \perp C G$ ，垂足为 $C_{1}$,

则 $G C_{1}=F B_{1}=3(\mathrm{~cm})$,

$D H=12-3=9(\mathrm{~cm})$.

(2)作 $E D_{1} \perp D H$, 垂足为 $D_{1}, B_{1} P \perp C G$, 垂足为 $P$, 连结 $D_{1} P, B_{1} C_{1}$, 则几何体被分割成一个长方体 $A B C D-E B_{1} P D_{1}$, 一个斜三棱柱 $E F B_{1}-H G C_{1}$, 一个直三棱柱 $E H D_{1}-$ $B_{1} C_{1} P$. 从而几何体的体积为

$V=3 \times 4 \times 5+\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 3+\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 4=102\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$.

(3)是菱形.

证明: 由(1)知 $E F / / H G$, 同理 $E H / / F G$.于是 $E F G H$ 是平行四边形.

因为 $E F=\sqrt{E B_{1}^{2}+B_{1} F^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$

$=5(\mathrm{~cm})$,

$D D_{1}=A E=5(\mathrm{~cm}), E D_{1}=A D=3(\mathrm{~cm})$,

$H D_{1}=4(\mathrm{~cm})$,

所以 $E H=\sqrt{E D_{1}^{2}+D_{1} H^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$

$=5(\mathrm{~cm})$.

所以 $E F=E H$.

故 $E F G H$ 是菱形.

点睛: 求体积的两种方法: (1)割补法: 求一些不规则几何体的体积时, 常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决. (2)等积法: 等积法包括等面积法和等体积法.