在平面直角坐标系中, 点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$,点 $B$ 在 $x$ 轴上从 $(-3,0)$ 运动到 $(3,0)$. 将线段 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 至线段 $B M$, 过点
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$M$ 作 $M N / / y$ 轴, 点 $N$ 在 $M$ 的下方, 且 $M N=B O$, 则 $B$ 在 $x$ 轴上从 $(-3,0)$ 运动到 $(3,0)$ 的过程中,点 $N$ 运动的路径长为
在 $x$ 轴的正半轴上取一点 $k$, 使得 $O K=O A=3$, 连接 $K N$, 延长 $K N$ 交 $y$ 轴于 $J$, 延长 $N M$ 交 $O K$于 $H$.

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$\because \angle A O B=\angle B H M=\angle A B M=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A B O+\angle H B M=90^{\circ}, \angle H B M+\angle B M H=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O=\angle B M H$,

$\because A B=B M$,

$\therefore \triangle A O B \cong \triangle B H M(A A S)$,

$\therefore O B=H M=M N, A O=B H=O K$

$\therefore O B=H K$,

$\therefore \tan \angle N K H=\frac{N H}{K H}=2$,

$\therefore$ 当点 $B$ 从 $(-3,0)$ 运动到 $(0,0)$ 时, 点 $N$ 的运动轨迹是线段 $J K$,

在Rt $\triangle J O K$ 中, $\because O J=6, O K=3$,

$\therefore J K=\sqrt{3^{2}+6^{2}}=3 \sqrt{5}$,

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当点 $B$ 从 $(0,0)$ 运动到 $(3,0)$ 时, 易证 $N M=O B, O N=O A=3$, 此时点 $N$ 的运动轨迹是 $B N=3$,综上所述, 点 $N$ 的运动轨迹是 $3+3 \sqrt{5}$

故答案为 $3+3 \sqrt{5}$.