已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 且 $\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=0$, 若 $S_{\triangle A B C}=14$,则 $S_{\triangle A O B}=$ \$ \qquad \$
如图所示, 延长 $O B$ 到点 $D$, 使得 $B D=O B$, 延长 $O C$ 到点 $E$,

使得 $C E=3 O C$,

连接 $A D, D E, C E$,

$\because O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, 且满足 $\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}+4 \overrightarrow{O C}=0$,

$\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\mathbf{0}$

所以 $O$ 为 $\triangle A D E$ 的重心,

所以 $S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} S_{\triangle A O D}, S_{\triangle A O C}=\frac{1}{4} S_{\triangle A O B}, S_{\triangle C O B}=\frac{1}{8} S_{\triangle B O D}$,

又 $S_{\triangle A O B}=S_{\triangle A O D}=S_{\triangle B O D}$, 所以 $S_{\triangle A O B}: S_{\triangle A O C}: S_{\triangle B O C}=\frac{1}{2}: \frac{1}{4}: \frac{1}{8}=4: 2: 1$,

又 $S_{\triangle A B C}=14$, 所以 $S_{\triangle A O B}=\frac{4}{4+2+1} S_{\triangle A B C}=\frac{4}{7} \times 14=8$,\n