10. 在曲线 $y=\frac{1}{x}(x<0)$ 上求一点 $P$, 使 $P$ 到直线 $x+2 y-4=0$ 的距离最小.
：解 由题意知, 平行于直线 $x+2 y-4=0$ 与 $y=\frac{1}{x}(x<0)$ 相切的切点即为所求.

设切点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 由 $y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}$, 得

$k=y^{\prime} \quad \left\lvert\, x=x_{0}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}\right.$,

又 $x+2 y-4=0$ 的斜率为 $-\frac{1}{2}$.

$\therefore-\frac{1}{x_{0}^{2}}=-\frac{1}{2}, \therefore x_{0}=\sqrt{2}$, 或 $x_{0}=-\sqrt{2}$.
$\because x<0, \quad \therefore x_{0}=-\sqrt{2}, y_{0}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\therefore P\left(-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 为所求.