在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, $\angle A C B=\frac{\pi}{3} . D 、 E$ 分别是边 $B C$ 和 $A B$的中点, $A D$ 与 $C E$ 交于 $G$ 点, $C G=2$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值是 ( )
依题意, $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, 因为 $C G=2$, 所以 $G E=1, C E=3$. 设 $\angle A E C=\alpha$, 则 $\angle B E C=\pi-\alpha$. 在 $\triangle A E C$ 中, 有 $b^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle A E C$, 在 $\triangle B E C$ 中, 有 $a^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle B E C$, 两式相加, 则 $a^{2}+b^{2}=18+\frac{c^{2}}{2}$.

又 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \frac{\pi}{3}=a^{2}+b^{2}-a b$, 消去 $c^{2}$, 得 $a^{2}+b^{2}=36-a b$, 因为 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$, 所以所以 $a b \leq 12$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} a b \leq \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12=3 \sqrt{3}$.

当且仅当 $a=b=2 \sqrt{3}$ 时, $\triangle A B C$ 的面积取得最大值, 最大值为 $3 \sqrt{3}$. 故选 $\mathrm{A}$.