正四面体 $A B C D$ 的棱长为 2 , 棱 $A B / /$ 平面 $\alpha$, 则正四面体上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影构成的图形面积的最小值是 , 最大值是
【分析】

当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时, 不管怎么转动, 投影图形的一边始终是 $A B$ 的投影,长度为 2 , 而发生变化的是投影的高, 找出高的变化, 得到答案.

## 【详解】

因为正四面体的对角线互相垂直，且棱 $A B / /$ 平面 $\alpha$ ，

当 $C D / /$ 平面 $\alpha$, 这时的投影面是对角线为 2 的正方形, 此时面积最大, 为 $2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 2=2$;

当 $C D \perp$ 平面 $\alpha$, 射影面的面积最小, 此时构成的三角形底边 2 , 高是直线 $C D$ 到 $A B$ 的距离, 为 $\sqrt{2}$,射影面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2}=\sqrt{2}$ ；

正四面体上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影构成的图形面积的最小值是 $\sqrt{2}$, 最大值是 2

## 【点睛】

本题考查平行投影及平行投影作图法, 本题是一个计算投影面积的题, 注意解题过程中的投影图的变化情况, 属于中档题.