已知圆 $O_{1}: x^{2}+(y+1)^{2}=4$, 圆 $O_{2}$ 的圆心 $O_{2}(2,1)$.

(1) 若圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 外切, 求圆 $O_{2}$ 的方程;

(2) 若圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 交于 $A, B$ 两点, 且 $|A B|=2 \sqrt{2}$, 求圆 $O_{2}$ 的方程.
)设圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$,

因为两圆外切，所以 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=r_{2}+2$.

又 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=\sqrt{2^{2}+\left[1-(-1)^{2}\right]}=2 \sqrt{2}$,

所以 $r_{2}=\left|O_{1} O_{2}\right|-2=2(\sqrt{2}-1)$,

故圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=12-8 \sqrt{2}$.

(2) 设圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=r_{2}{ }^{2}$,

因为圆 $O_{1}$ 的方程为 $x^{2}+(y+1)^{2}=4$,

将两圆的方程相减, 即得两圆公共弦 $A B$ 所在的直线方程为 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$,
作 $O_{1} H \perp A B, H$ 为垂足,

则 $|A H|=\frac{1}{2}|A B|=\sqrt{2}$,

所以 $\left|O_{1} H\right|=\sqrt{r_{1}^{2}-|A H|^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$.

由圆心 $O_{1}(0,-1)$ 到直线 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$ 的距离为 $\frac{\left|r_{2}^{2}-12\right|}{4 \sqrt{2}}=\sqrt{2}$,

得 $r_{2}^{2}=4$ 或 $r_{2}^{2}=20$,

故圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的方程为

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20$.