(8 分) 如图所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=5 \mathrm{~cm}, B C=7 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 边向点 $B$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度运动, 点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $B C$ 边向点 $C$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度运动. $P 、 Q$ 分别从 $A 、 B$ 同时出发, 当 $P 、 Q$ 两点中有一点停止运动时, 则另一点也停止运动. 设运动的时间为 $t(\mathrm{~s}) .(t \geqslant 0)$

(1)当 $t$ 为何值时, $P Q$ 的长度等于 $5 \mathrm{~cm}$;

(2)求出 $S_{\triangle B P Q}$ 关于 $t$ 的函数解析式, 计算 $P 、 Q$ 出发几秒时, $S_{\triangle B P Q}$ 有最大值, 并求出这个最大面积？

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(1) 由题意得: $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}$, 根据 $A B=5 \mathrm{~cm}$ 得 $P B=A B-A P=(5-t) \mathrm{cm}$,在 Rt $\triangle P B Q$ 中, 根据勾股定理得, $P B^{2}+B Q^{2}=P Q^{2}$, 进行计算得 $t=2$, 即可得;

由（1）知: $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}$,

（2）根据当 $P 、 Q$ 两点中有一点停止运动时, 则另一点也停止运动得 $\left\{\begin{array}{c}0 \leq t \leq 5 \\ 0 \leq 2 t \leq 7\end{array}\right.$, 即可得 $0 \leq t \leq \frac{7}{2}$, 则 $S_{\triangle B P Q}=\frac{1}{2} P B \cdot P Q=\frac{1}{2} \times(5-t) \cdot 2 t=-t^{2}+5 t, \quad S_{\triangle B P Q}=-t^{2}+5 t=-\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}$, 根据二次函数的性质即可得.

【详解】(1) 解：由题意得： $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}$,

$\because A B=5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore P B=A B-A P=(5-t) \mathrm{cm}$,

在 Rt $\triangle P B Q$ 中, 根据勾股定理得, $P B^{2}+B Q^{2}=P Q^{2}$,

$\therefore(5-t)^{2}+(2 t)^{2}=5^{2}$,

$25-10 t+t^{2}+4 t^{2}=25$

$5 t^{2}-10 t=0$

$5 t(t-2)=0$

解得: $t=2$ 或 $t=0$ (不合题意, 舍去),

$\therefore t=2$.

答: 当 $t$ 为 2 秒时, $P Q$ 的长度等于 $5 \mathrm{~cm}$.

（2）解：由 (1) 知: $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}$,

$\because$ 当 $P 、 Q$ 两点中有一点停止运动时, 则另一点也停止运动,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}0 \leq t \leq 5 \\ 0 \leq 2 t \leq 7\end{array}\right.$,

$\therefore 0 \leq t \leq \frac{7}{2}$,

$\therefore S_{\triangle B P Q}=\frac{1}{2} P B \cdot P Q=\frac{1}{2} \times(5-t) \cdot 2 t=-t^{2}+5 t$,

$\therefore S_{\triangle B P Q}$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $S_{\triangle B P Q}=-t^{2}+5 t$,

$\therefore S_{\triangle B P Q}=-t^{2}+5 t=-\left(t-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}$

$\because-1<0$,

$\therefore$ 当 $t=\frac{5}{2}$ 秒时, $S_{\triangle B P Q}$ 有最大值, 最大值为 $\frac{25}{4}$.
即 $P 、 Q$ 出发 $\frac{5}{2}$ 秒时, $S_{\triangle B P Q}$ 有最大值, 这个最大面积为 $\frac{25}{4} \mathrm{~cm}^{2}$.

【点睛】本题考查了勾股定理, 一元一次不等式组, 二次函数的性质, 解题的关键是理解题意, 掌握这些知识点.

