如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle D A B=\frac{\pi}{3}, \triangle A D P$ 为等边三角形.

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(I) 求证: $A D \perp P B$;

(II) 若 $A B=2, B P=\sqrt{6}$, 求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.
【分析】

(I) 取 $A D$ 中点 $\mathrm{E}$, 连结 $P E, B E$, 由已知可得 $P E \perp A D, B E \perp A D$, 又 $P E \cap B E=E$, 即可证 $A D \perp$ 平面 $P E B$, 从而可得 $P B \perp A D$.

(II) 先证明 $P E \perp E B$, 可得 $P E \perp$ 平面 $A B C D$, 由线面角定义即可知 $\angle P B E$ 即为所求.

## 【详解】

(I) 因为四边形 $A B C D$ 为菱形, 且 $\angle B A D=\frac{\pi}{3}$

所以 $A D B$ 为等边三角形.

取线段 $A D$ 的中点 $E$, 连接 $B E 、 P E$,

<ImageHere>

则 $B E \perp A D$.

又因为 $P A D$ 为等边三角形, 所以 $P E \perp A D$.

因为 $P E \subset$ 平面 $P B E, B E \subset$ 平面 $P B E$, 且 $P E \cap B E=E$,

所以直线 $A D \perp$ 平面 $P B E$,

又因为 $P B \subset$ 面 $P B E$, 所以 $A D \perp P B$.

(II) 因为 $P A D, B A D$ 为等边三角形, 且其边长为 2 , 所以 $P E=B E=\sqrt{3}$,

又 $P B=\sqrt{6}$, 所以 $P E^{2}+B E^{2}=P B^{2}$, 所以 $P E \perp E B$.
因为 $P E \perp A D, A D \cap B E=E$,

所以 $P E \perp$ 面 $A B C D$,

所以 $\angle P B E$ 为直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

在直角 $P B E$ 中, $P E=B E$, 所以 $\angle P B E=\frac{\pi}{4}$

故直线 $P B$ 和平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{\pi}{4}$.

## 【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题 .