如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin B=\frac{1}{3}, \tan C=\frac{\sqrt{2}}{2}, A B=3$, 则 $A C$ 的长为

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【分析】

此题考查了解直角三角形, 涉及的知识有: 锐角三角函数定义, 以及勾股定理, 熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

过 $A$ 作 $A D$ 垂直于 $B C$, 在直角三角形 $A B D$ 中, 利用锐角三角函数定义求出 $A D$ 的长, 在直角三角形 $A C D$中, 利用锐角三角函数定义求出 $C D$ 的长, 再利用勾股定理求出 $A C$ 的长即可.

【解答】

解：过 $A$ 作 $A D \perp B C$,

在Rt $\triangle A B D$ 中, $\sin B=\frac{1}{3}, A B=3$,

$\therefore A D=A B \cdot \sin B=1$,

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在Rt $\triangle A C D$ 中, $\tan C=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\therefore \frac{A D}{C D}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 即 $C D=\sqrt{2}$,

根据勾股定理得: $A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$,

故答案为 $\sqrt{3}$.