, $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体, 下面结论中正确的是 （把你认为正确的结论都填上）

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(1) $A_{1} C_{1} \perp$ 平面 $B D_{1}$;

(2) $B D_{1} \perp$ 平面 $A C B_{1}$;

(3) $B D_{1}$ 与底面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值是 $\sqrt{2}$;

(4)过点 $\mathrm{A}_{1}$ 与异面直线 $\mathrm{AD}$ 与 $C B_{1}$ 成 $60^{\circ}$ 角的直线有 2 条.
【详解】

$\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1} \perp \mathrm{B}_{1} \mathrm{D}_{1}$, 因为 $B \mathrm{~B}_{1} \perp$ 面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$, 所以 $B \mathrm{~B}_{1} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}$, 由此 $\mathrm{A}_{1} C_{1} \perp$ 平面 $B D_{1}$,故(1)对. 由三垂线定理可知, $\mathrm{BD}_{1} \perp A B_{1}, \mathrm{BD}_{1} \perp C B_{1}$, 所以 $B D_{1} \perp$ 面 $A B_{1} C$, 故(2)对.

由(1)(2)可知, $\angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{BD}_{1}$ 为 $\mathrm{BD}_{1}$ 与面 $B C C_{1} B_{1}$ 的所成角, 所以 $\tan \angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{BD}_{1}=\frac{\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}}{\mathrm{BC}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以(3)错.

在正方体中 $C B_{1} \| \mathrm{A}_{1} \mathrm{D}$, 所以过 $\mathrm{A}_{1}$ 与异面直线 $C B_{1}$ 所成角为与直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}$ 所成角. 将图形抽象出来如下图所示. 由于 $\angle \mathrm{AA}_{1} \mathrm{D}=\frac{\pi}{4}$, 所以如下图, 有上下两条直线分别直线 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}, \mathrm{AD}$ 所成角为 $60^{\circ}$, 故与异面直线 $\mathrm{AD}$ 和 $C B_{1}$ 成 $60^{\circ}$, 所以(4)对.
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## 【点睛】

本题考查线线垂直, 线面垂直, 判断定理和性质定理, 以及异面直线所成角,综合性很强, 题目偏难. 在使用线线垂直, 线面垂直的性质定理时, 三垂线定理学生要熟练掌握. 求解异面直线所成角的步骤: 先平移找到角, 再证明, 最后求解.