如图, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A D=D D_{1}=1, A B=\sqrt{3}, E, F, G$ 分别为 $A B, B C, C_{1} D_{1}$ 的中点, 点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内, 若直线 $D_{1} P / /$ 平面 $E F G$, 则线段 $D_{1} P$ 长度的最小值是 ( )

<ImageHere>
【分析】

首先找出过 $D_{1}$ 点且与平面 $E F G$ 平行的平面, 然后在三角形内找线段 $D_{1} P$ 长度的最小值即可.

## 【详解】

如图, 连接 $D_{1} A, A C, D_{1} C$,

<ImageHere>

因为 $E, F, G$ 分别为 $A B, B C, C_{1} D_{1}$ 的中点,

所以 $A C / / E F, E F \not \subset$ 平面 $A C D_{1}$, 则 $E F / /$ 平面 $A C D_{1}$,

因为 $E G / / A D_{1}$, 所以同理得 $E G / /$ 平面 $A C D_{1}$,

又 $E F \cap E G=E$ ，得平面 $A C D_{1} / /$ 平面 $E F G$ ，

因为直线 $D_{1} P / /$ 平面 $E F G$,

所以点 $P$ 在直线 $A C$ 上, 在 $\triangle A C D_{1}$ 中,

有 $A D_{1}=\sqrt{2}, A C=2, C D_{1}=2$,

所以 $S_{\triangle A D_{1} C}=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$,

故当 $D_{1} P \perp A C$ 时, 线段 $D_{1} P$ 的长度最小,

有 $S_{\triangle A D_{1} C}=\frac{1}{2} \times A C \times D_{1} P \Rightarrow D_{1} P=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\frac{1}{2} \times 2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

故选: D.

## 【点睛】

本题考查了空间中两平面平行的证明, 等面积法求点到直线距离, 属于一般题.