022- 浙江嘉兴市$\cdot$七年级期末) 若 $2^{m} \times 8^{n}=32,2^{m} \div 4^{n}=\frac{1}{16}$, 则 $m+\frac{1}{2} n$ 的值为
先把 $8^{n}$ 化成 $2^{3 n}$, 再利用同底数幂的乘法公式进行化简, 得出 $m 、 n$ 的关系; 再把 $4^{n}$ 化成 $2^{2 n}$,利用同底数幂的除法进行化简, 得出 $m 、 n$ 的关系, 解关于 $m 、 n$ 的二元一次方程组, 得出 $m 、 n$ 的值, 即可求出答案.

【详解】解: $\because 2^{m} \times 8^{n}=32, \therefore 2^{m} \times 2^{3 n}=2^{5}, \therefore \mathrm{m}+3 \mathrm{n}=5$ (1),

又 $2^{m} \div 4^{n}=\frac{1}{16}, \therefore 2^{m} \div 2^{2 n}=2^{-4}, \therefore \mathrm{m}-2 \mathrm{n}=-4(2)$,

联立(1)(2)得: $\left\{\begin{array}{l}m+3 n=5(1) \\ m-2 n=-4(2)\end{array}\right.$, 用(1)-(2)得: $5 \mathrm{n}=9, \therefore \mathrm{n}=\frac{9}{5}$,
把 $\mathrm{n}=\frac{9}{5}$ 代入(1) 可解得 $\mathrm{m}=-\frac{2}{5} ， \therefore\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{2}{5} \\ \mathrm{n}=\frac{9}{5}\end{array}\right.$ ，

把 $m 、 n$ 的值代入 $m+\frac{1}{2} n$ 得: $-\frac{2}{5}+\frac{1}{2} \times \frac{9}{5}=0.5$. 故答案为: 0.5 .

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与同底数幂的除法综合运算, 最后通过代数式求值求出答案, 解题关键在于熟练掌握运用同底数幂的乘法与同底数幂的除法公式.