在四边形 $A B C D$ 中, $A B=A D=2, B C=\sqrt{3}, C D=\sqrt{5}, A B \perp A D$, 现将 $\triangle A B D$沿 $B D$ 折起, 得三棱雉 $A-B C D$, 若三棱雉 $A-B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上,则球 $O$ 的体积为
$B D=2 \sqrt{2}, D C^{2}+B C^{2}=B D^{2}$, 所以 $\angle B C D=90^{\circ}, \angle B A D=90^{\circ}$, 所以球心在

$B D$ 的中点处, 半径是 $\sqrt{2}$, 所以 $V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{8 \sqrt{2}}{3} \pi$, 故选 $\mathrm{D}$.

【点睛】本题重点考察了几何体与外接球的问题, 属于中档题型, 首先应确定球心的位置, 借助于外接球的性质, 球心到各顶点距离相等, 这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心, 过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等, 然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线 (这两个多边形需有公共点), 这样两条直线的交点, 就是其外接球的球心, 再根据半径, 顶点到底面中心的距离, 球心到底面中心的距离, 构成勾股定理求解, 有时也可利用补体法得到半径, 例: 三条侧棱两两垂直的三棱雉, 可以补成长方体, 它们是同一个外接球.