陕西饮食文化源远流长, “老碗面”是陕西地方特色美食之一. 图(2)是从正面看到的一个“老碗” ( 图(1) 的形状示意图. $A B$ 是 $\odot O$ 的一部分, $D$ 是 $A B$ 的中点, 连接 $O D$,与弦 $A B$ 交于点 $C$, 连接 $O A, O B$. 已知 $A B=24 \mathrm{~cm}$, 碗深 $C D=8 \mathrm{~cm}$, 则 $\odot O$ 的半径 $O A$为 $($ ）

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图 (1)

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图 (2)

首先利用垂径定理的推论得出 $O D \perp A B, A C=B C=\frac{1}{2} A B=12 \mathrm{~cm}$, 再设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 则 $O C=(R-8) \mathrm{cm}$. 在 Rt $\triangle O A C$ 中根据勾股定理列出方程 $R^{2}=12^{2}+(R-8)^{2}$,求出 $R$ 即可.

【详解】解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的一部分, $D$ 是 $A B$ 的中点, $A B=24 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O D \perp A B, \quad A C=B C=\frac{1}{2} A B=12 \mathrm{~cm}$.

设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 则 $O C=O D-C D=(R-8) \mathrm{cm}$.

在 Rt $\triangle O A C$ 中, $\because \angle O C A=90^{\circ}$,

$\therefore O A^{2}=A C^{2}+O C^{2}$,

$\therefore R^{2}=12^{2}+(R-8)^{2}$,

$\therefore R=13$,

即 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $13 \mathrm{~cm}$.

故选: A.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用, 设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 列出关于 $R$ 的方程是解题的关键.

