数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为 0 的等差数列, 若 $a_{4}=2 a_{2}$, 且 $4, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列.

(1) 证明: 4 是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的一项;

(2) 记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 求数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
答案：(1)由题设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，

则 $\left\{\begin{array}{l}a_{4}=2 a_{2} \\ a_{4}^{2}=4 \cdot a_{8}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_{1}+3 d=2\left(a_{1}+d\right) \\ \left(a_{1}+3 d\right)^{2}=4\left(a_{1}+7 d\right)\end{array} \Rightarrow a_{1}=d=2\right.\right.$ 或 $a_{1}=d=0$ （舍去）.

所以 $a_{n}=2 n\left(n \in N^{*}\right)$.

其中 $a_{2}=4$, 所以 4 是数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的一项

(2)由第 1 问可得 $S_{n}=n(n+1)$,

所以 $\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

所以 $T_{n}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}$

$=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{n+1}$