（8 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $M(-2, m), N(-4,7)$ 在抛物线 $y=a x^{2}+b x(a<0)$ 上.

(1)若 $m=n$, 求该抛物线的对称轴;

(2)已知点 $P(1, p)$ 在该抛物线上, 设该抛物线的对称轴为 $x=t$. 若 $m n<0$, 且 $n<p<m$,求 $t$ 的取值范围.




（1）根据抛物线的对称性直接求对称轴即可;

（2）根据 $c=0$, 可知抛物线过原点, 再根据 $m n<0$, 且 $m<p<n$, 可知抛物线与 $x$ 轴的另一交点在 -4 和 -2 之间, 从而确定出对称轴的取值范围.

【详解】(1) 解: $\because m=n$,

$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{-2+(-4)}{2}=-3$,

(2) $\because y=a x^{2}+b x(a>0)$,

$\therefore$ 抛物线开口向上且经过原点,

$\because m n<0$, 且 $m<p<n$,

$\therefore m\langle 0, n\rangle 0$,
$\therefore$ 抛物线和 $x$ 轴的 2 个交点, 一个为 $(0,0)$, 另外一个点为 $(2 t, 0)$,

$\therefore-4<2 t<-2$,

$\therefore-2<t<-1$,

$\because$ 点 $P(1, p)$,

点 $P$ 关于对称轴的对称点为 $(2 t-1, p)$,

$\because m<p<n$

$\therefore-4<2 t-1<-2$,

$\therefore-\frac{3}{2}<t<-\frac{1}{2}$,

综上所述, $t$ 的取值范围为 $-\frac{3}{2}<t<-\frac{1}{2}$.

【点睛】本题考查二次函数的性质, 解题关键是根据数形结合求解.

