, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $B_{1} C_{1} \perp C C_{1}$, 点 $E, F$ 分别是 $B C, A_{1} B_{1}$ 的中点, 平面 $A C_{1} C A \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

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(1) 求证: $B_{1} C_{1} \perp A_{1} C$;

(2) 求证: $E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$.
【分析】

(1) 根据平面 $A C_{1} C A \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$, 可得 $B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$, 可得结果.

(2) 取 $A_{1} C_{1}$ 的中点 $G$, 根据 $E C / / F G$, 且 $E C=F G$, 可得平行四边形 $F E C G$ 是平行四边形，然后根据 $E F / / G C$, 以及线面平行的判定定理, 可得结果.

## 【详解】

(1) 因为 $B_{1} C_{1} \perp C_{1} C$, 平面 $A_{1} C_{1} C A \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$,

平面 $A_{1} C_{1} C A \cap$ 平面 $B C C_{1} B_{1}=C_{1} C$,

$B_{1} C_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$, 则 $B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$.

又因为 $A_{1} C \subset$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$,

所以 $B_{1} C_{1} \perp A_{1} C$.

(2) 取 $A_{1} C_{1}$ 的中点 $G$, 连接 $F G, G C$.

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在 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 因为 $F, G$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点,

所以 $F G / / B_{1} C_{1}$, 且 $F G=\frac{1}{2} B_{1} C_{1}$.

在平行四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 中, 因为 $E$ 是 $B C$ 的中点,

所以 $E C / / B_{1} C_{1}$, 且 $E C=\frac{1}{2} B_{1} C_{1}$,

所以 $E C / / F G$, 且 $E C=F G$

在平行四边形 $F E C G$ 是平行四边形,

所以 $E F / / G C$.
又因为 $E F \not \subset$ 平面 $A_{1} C_{1} C A, G C \subset$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$,

所以 $E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} C A$.

## 【点睛】

本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.