某商场试销一种商品, 成本为每件 20 元, 规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本单价的 $40 \%$ ，一段时间后，发现销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，销售情况如下表:

| 销售单价 $x$ (元) | $\ldots$ | 23 | 24 | 25 | 26 | $\ldots$ |
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| 销售量 $y$ (件) | $\ldots$ | 34 | 32 | 30 | 28 | $\ldots$ |

(1)请根据表格中所给数据, 求出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式;

(2)设商场所获利润为 $w$ 元，商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少?


(1) 设 $y=k x+b$, 将 $(23,34),(24,32)$ 代入，利用待定系数法求出解析式即可;

(2) 先求出自变量 $x$ 的取值范围, 再根据利润=单件利润乘以销售量列出函数关系式, 根据二次函数的性质解答即可.

【详解】(1) 解: 设 $y=k x+b$, 将 $(23,34),(24,32)$ 代入, 得

$\left\{\begin{array}{l}23 k+b=34 \\ 24 k+b=32\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ b=80\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 关于 $x$ 的函数关系式为 $y=-2 x+80$;

（2）根据题意，得 $20 \leq x \leq 20(1+20 \%)$,

$\therefore 20 \leq x \leq 28$,

$w=(x-20)(-2 x+80)=-2(x-30)^{2}+200$

$\because a=-2<0$,

$\therefore$ 抛物线开口向下,

$\because 20 \leq x \leq 28$ 在对称轴 $x=30$ 的左侧,

$\therefore w$ 随 $x$ 的增大而增大,

$\therefore x=28$ 时, $w_{\text {最大 }}=-2(28-30)^{2}+200=192$,

答: 销售单价定为 28 元时, 获得的利润最大，最大利润是 192 元.

【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用, 求一次函数的解析式, 二次函数的最

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值, 正确理解题意列得对应的函数解析式是解题的关键.

