如图, 有长为 $24 \mathrm{~m}$ 的篱笆, 现一面完全利用墙（墙的最大可用长度 $a$ 为 $10 \mathrm{~m}$ ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃, 围成的花圃的面积最大时 $A B$ 的长是（）米.

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设 $A B=x$, 根据矩形的面积公式得到矩形 $A B C D$ 的面积与 $x$ 的函数关系, 再根据自变量的取值范围即可求解.

【详解】解: 设 $A B=x$, 则 $B C=24-3 x$,

$\because 0<B C \leq 10$, 即 $0<24-3 x \leq 10$,

$\therefore \frac{14}{3} \leq x<8$,

$\therefore S_{\text {矩形 } A B C D}=A B \cdot B C=x(24-3 x)=-3 x^{2}+24 x=-3(x-4)^{2}+48$,
$\because$ 二次函数对称轴为 $x=4$, 开口向下,

$\therefore$ 当 $x \geq 4$ 时, $S_{\text {矩形 } A B C D}$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\because \frac{14}{3} \leq x<8$,

$\therefore$ 当 $x=\frac{14}{3}$ 时, $S_{\text {矩形 } A B C D}$ 有最大值,

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的应用, 解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值.

