如图, 矩形 $A B C D$ 中, $M$ 为 $C B$ 延长线上一点, 连接 $A M 、 D M$, 若 $M D$ 平分 $\angle A M C$, 若 $C D=6$, $\tan \angle D M C=\frac{1}{3}$, 则 $\triangle A D M$ 的面积为 $($ )

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解: 在矩形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=\angle C=90^{\circ}, A B=C D=6, A D=B C, A D / / B C$,

$\therefore \angle A D M=\angle D M C$

$\because M D$ 平分 $\angle A M C$,

$\therefore \angle D M C=\angle A M D$,

$\therefore \angle A D M=\angle A M D$,
$\therefore A D=A M$,

$\because C D=6, \tan \angle D M C=\frac{C D}{M C}=\frac{1}{3}$,

$\therefore M C=18$,

$\therefore B M=M C-B C=18-A D$,

在Rt $\triangle A B M$ 中，根据勾股定理得，

$A M^{2}=B M^{2}+A B^{2}$,

$\therefore A D^{2}=(18-A D)^{2}+6^{2}$,

$\therefore A D=10$,

$\therefore \triangle A D M$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times A D \cdot A B=\frac{1}{2} \times 10 \times 6=30$.

故选：B.

根据矩形性质和三角函数求出 $M C=18$, 然后利用勾股定理求出 $A D=10$, 进而可以求出 $\triangle A D M$ 的面积.

本题考查了矩形的性质, 角平分线定义, 解直角三角形, 解决本题的关键是掌握矩形的性质.