21. 是否存在实数 $a$, 使得函数 $y=\sin ^{2} x+a \cos x+\frac{5}{8} a-\frac{3}{2}$ 在闭区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值是 1 ?若存在, 则求出对应的 $a$ 值; 若不存在, 则说明理由.
存在.

$y=1-\cos ^{2} x+a \cos x+\frac{5}{8} a-\frac{3}{2}$

$=-\left(\cos x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}+\frac{5}{8} a-\frac{1}{2}$.

$\because 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \quad \therefore 0 \leqslant \cos x \leqslant 1$.

若 $\stackrel{a}{2}>1$ ，即 $a>2$ ，

则当 $\cos x=1$ 时， $y_{\text {max }}=a+\frac{5}{8} a-\frac{3}{2}=1$ ，

解得 $a=\frac{20}{13}<2$ (舍去)；

若 $0 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$ ，即 $0 \leqslant a \leqslant 2$.

则当 $\cos x=\frac{a}{2}$ 时， $y_{\text {max }}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{5}{8} a-\frac{1}{2}=1$.

解得 $a=\frac{3}{2}$ 或 $a=-4<0$ (舍去)；

若 $\frac{a}{2}<0$ ，即 $a<0$ ，则当 $\cos x=0$ 时， $y_{\text {max }}=\frac{5}{8} a-\frac{1}{2}=1$ ，

解得 $a=\frac{12}{5}>0$ (舍去).

综上所述，存在 $a=\frac{3}{2}$ 符合题设条件.