19. 如图, $\mathrm{AB}$ 为 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 弦 $\mathrm{CD} / / \mathrm{AB}, \mathrm{AE}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{A}$, 交 $\mathrm{CD}$ 的延长线于点 $\mathrm{E}$. 求证: $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{DE}$.

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：解答：如图,连接 BD,OD,OC.

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$\because \mathrm{AE}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $\mathrm{A}$,

$\therefore \angle \mathrm{EAD}=\angle \mathrm{ABD}$,

且 $A E \perp A B$.

又 $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AE} \perp \mathrm{CE}, \therefore \angle \mathrm{E}=90^{\circ}$

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$.

$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{ADB}, \therefore \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{BAD}, \therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AD}}$

$\therefore \mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{DE}$

$\because \mathrm{CD} / / \mathrm{AB}, \therefore \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$.
$\because \angle 2=\angle 4, \therefore \angle 1=\angle 3, \therefore A D=B C$

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \therefore \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{DE}$.

分析: 本题主要考查了弦切角的性质, 解决问题的关键是根据弦切角的性质结合所给圆的性质分析计算即可