若实数 $a, b, c, d$ 满足 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}$, 则 $\frac{a b+b c+c d+d a}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$ 的值是 $(\quad)$

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查分式的化简求值, 利用 “设 $k$ 法” 表示出 $a, b, c, d$ 是解题关键.

【解答】

解: 设 $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=k$,

则 $b^{2}=a c, c^{2}=b d, d^{2}=a c=b^{2}, a^{2}=b d=c^{2}$,

由 $\frac{a}{b}=k$, 得 $a=b k$,

由 $\frac{d}{a}=k$, 得 $d=a k=b k^{2}$,

由 $\frac{c}{d}=k$, 得 $c=d k=b k^{3}$,

再由 $\frac{b}{c}=k$, 得 $\frac{b}{b k^{3}}=k$,

即 $k^{4}=1$, 解得 $k= \pm 1$,
当 $k=1$ 时, $a=b=c=d$, 则 $\frac{a b+b c+c d+d a}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=1$,

当 $k=-1$ 时, $a=-b,-b=c, c=-d,-d=a$, 则 $\frac{a b+b c+c d+d a}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=-1$,

故选 $D$.