设 $\mathrm{F}_{1} 、 \mathrm{~F}_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点 $\mathrm{P}$, 满足 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$, 且点 $\mathrm{P}$ 的横坐标为 ${ }^{\frac{5}{4}} \mathrm{c}$ (c 为半焦距), 则该双曲线的离心率为 ( )
【分析】本题以双曲线为载体, 考查双曲线的几何性质, 解题的关键是得出几何量之间的关系.【解答】由题意, $rac{\left|\mathrm{PF}_{2}
ight|}{rac{5}{4} \mathrm{c}-rac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}}=rac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$$ecause\left|\mathrm{PF}_{2}
ight|=\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}
ight|$,$	herefore rac{\left|\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}
ight|}{rac{5}{4} \mathrm{c}-rac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}}=rac{2 \mathrm{c}}{\mathrm{a}}, 	herefore rac{\mathrm{a}^{2}}{rac{\mathrm{a}}{} \mathrm{c}-rac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}}=rac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$$	herefore 5 \mathrm{e}^{2}-8 \mathrm{e}-4=0$$	herefore(\mathrm{e}-2)(5 \mathrm{e}+2)=0$$ecause \mathrm{e}>1$$	herefore \mathrm{e}=2$故选 C.