已知棱长为 3 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点, $\overrightarrow{C F}=2 \overrightarrow{F C_{1}}$,动点 $\boldsymbol{P}$ 在正方形 $A A_{1} D D_{1}$ （包括边界）内运动, 且 $P B_{1} / /$ 面 $D E F$, 则 $P C$ 的长度范围为 $(\quad)$
【分析】

如图:先作出过 $B_{1} P$ 且与平面 $D E F$ 平行的平面, 可知点 $P$ 的轨迹为 $Q N$, 然后根据平面几何知识求出 $D P$ 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出 $P C$ 的取值范围.

## 【详解】

如图所示:

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在 $A A_{1}$ 上取点 $Q$, 使得 $A Q=\frac{1}{2} Q A_{1}$, 连接 $B_{1} Q$, 因为 $\overrightarrow{C F}=2 \overrightarrow{F C_{1}}$, 所以 $B_{1} Q / / D F$;

取 $C_{1} D_{1}$ 的中点 $M$, 连接 $B_{1} M$, 因为 $E$ 为 $A B$ 的中点, 所以 $B_{1} M / / D E$;

因此平面 $B_{1} Q M$ / / 平面 $D E F$,

过 $M$ 作 $M N / / D F$ 交 $D D_{1}$ 于 $N$, 则四点 $B_{1}, Q, N, M$ 共面, 且 $D N=\frac{2}{3} D D_{1}$,

因为 $B_{1} P / /$ 平面 $D E F$, 所以点 $P$ 在线段 $Q N$ 上运动,

连接 $D P$, 根据正方体的性质可知 $C D \perp D P$ ，

所以 $P C=\sqrt{C D^{2}+D P^{2}}$,

在平面 $Q A D N$ 中, $A Q=1, A D=3, D Q=2$, 所以 $D N=\sqrt{3^{2}+1}=\sqrt{10}$,

$D Q=\sqrt{1+3^{2}}=\sqrt{10}$, 所以点 $D$ 到 $Q N$ 的距离为 $\frac{\frac{1}{2} \times 3 \times 2}{\frac{1}{2} \times \sqrt{10}}=\frac{3 \sqrt{10}}{5}$,

所以 $D P$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$, 最大值为 $\sqrt{10}$,

所以 $P C$ 的最小值为 $\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{10}}{5}\right)^{2}+3^{2}}=\frac{3 \sqrt{35}}{5}$, 最大值为 $\sqrt{(\sqrt{10})^{2}+3^{2}}=\sqrt{19}$.

所以 $P C$ 的取值范围是 $\left[\frac{3 \sqrt{35}}{5}, \sqrt{19}\right]$.

故选:B

## 【点睛】

本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点 $P$ 的运动轨迹, 属于中档题.