从地面以初速度 $v \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 坚直向上拋出一小球，小球的高度 $h$ （单位: $\mathrm{m}$ ) 和小球的运动时间 $t$ (单位: $s$ ) 之间的关系式为 $h=v t-5 t^{2}$, 已知当 $t=2$ 时, $h=40$.

(1)求小球的初速度 $v$;

(2)(1)求小球运动的最大高度 $h_{1}$;

(2)当 $t=4$ 时, 求小球运动的路径长;

(3)假设小球为弹性小球, 经过时间 $t_{1}$ 达到最大高度 $h_{1}$ ：小球落地后立刻以速度 $v_{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 坚直向上弹起, 经过时间 $t_{2}$ 达到最大高度 $h_{2}$, 若 $t_{1}=2 t_{2}$, 直接写出 $h_{2}$ 的值.


(1) 将 $t=2, h=40$ 代入 $h=v t-5 t^{2}$, 即可解得小球的初速度;

（2）(1)根据 $h=30 t-5 t^{2}=-5(t-3)^{2}+45 \leq 45$, 可得小球运动的最大高度; (2)由当 $t=4$ 时, $h=30 \times 4-5 \times 4^{2}=120-80=40$; 即当 $t=4$ 时, 小球在下降过程中距地面的高度为 $40 \mathrm{~m}$, 即可求出小球运动的路径长;

（3）根据 $t_{1}=2 t_{2}$, 可得 $t_{2}, v_{2}$, 即可求得 $h_{2}$ 的值.

【详解】(1) 解: 将 $t=2, h=40$ 代入 $h=v t-5 t^{2}$ 得:

$2 v-5 \times 2^{2}=40$,

解得 $v=30$,

$\therefore$ 小球的初速度 $v$ 为 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$;

（2）解：(1) $\because h=30 t-5 t^{2}=-5(t-3)^{2}+45 \leq 45$,

$\therefore$ 小球运动的最大高度 $h_{1}$ 为 $45 \mathrm{~m}$;

(2)由(1)知, 当 $t=3$ 时, 小球向上运动到最高点, 距地面 $45 \mathrm{~m}$;

当 $t=4$ 时, $h=30 \times 4-5 \times 4^{2}=120-80=40$;

$\therefore$ 当 $t=4$ 时, 小球在下降过程中距地面的高度为 $40 \mathrm{~m}$,

$\therefore$ 当 $t=4$ 时, 小球运动的路径长为 $45 \times 2-40=50 \mathrm{~m}$;

（3）解：由（1）（2）知 $v_{1}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, t_{1}=3 \mathrm{~s}, h_{1}=45 \mathrm{~m}$,

当 $h=0$ 时, $0=v_{1} t-5 t^{2}, 0=v_{2} t-5 t^{2}$,

$\therefore t_{1}=\frac{V_{1}}{5}, \quad t_{2}=\frac{V_{2}}{5}$,

$\because t_{1}=2 t_{2}$,

$\therefore t_{2}=\frac{3}{2} s, \quad v_{1}=2 v_{2}$,
$\therefore 30=2 v_{2}$,

$\therefore v_{2}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$,

$\therefore h_{2}=15 \times \frac{3}{2}-5 \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$,

$\therefore h_{2}$ 的值为 $\frac{45}{4}$.

【点睛】本题考查二次函数的应用, 解题的关键是读懂题意, 理解 $h, v, t$ 之间的关系.

