对于函数 $f(x)=a-\frac{2}{2^{x}+1}(a \in \mathbf{R})$,

(1)判断并证明函数的单调性;

(2) 是否存在实数 $a$, 使函数 $f(x)$ 为奇函数？证明你的结论.
(1)函数 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的增函数, 证明如下:

设任意 $x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 有

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=$

$\left(a-\frac{2}{2 x_{1}+1}\right)-\left(a-\frac{2}{2 x_{2}+1}\right)$

$=\frac{2}{2 x_{2}+1}-\frac{2}{2 x_{1}+1}=\frac{2\left(2 x_{1}-2 x_{2}\right)}{\left(2 x_{1}+1\right)\left(2 x_{2}+1\right)}$.

$\because y=2^{x}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数, $\therefore 2 x_{1}<2 x_{2}$, 即 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$. 故 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的增函数.

(2)假设存在实数 $a$ ，使函数 $f(x)$ 为奇函数,

即 $f(-x)=-f(x)$.

$$
\begin{aligned}
& \because a-\frac{2}{2^{-x}+1}=-a+\frac{2}{2^{x}+1} \\
& \therefore 2 a=\frac{2}{2^{-x}+1}+\frac{2}{2^{x}+1}=\frac{2^{x+1}}{2^{x}+1}+\frac{2}{2^{x}+1} \\
& =\frac{2\left(2^{x}+1\right)}{2^{x}+1}=2, \quad \therefore a=1
\end{aligned}
$$

故存在实数 $a=1$, 使 $f(x)$ 为奇函数