如图, $\odot O$ 的弦 $C D$ 交直径 $A B$ 于 $E, O D=D E, C E: D E=3: 5$, 若 $O E=5$,则 $C D$ 的长为 ( )<ImageHere>


解: 连接 $A D, C B$.

<ImageHere>

$\because C E: D E=3: 5$,

$\therefore$ 可以假设 $C E=3 k, D E=5 k$,

$\because O D=D E$,

$\therefore O A=O D=O B=5 k$,

$\therefore A E=O A+O E=5 k+5, \quad B E=O B-O E=5 k-5$,

$\because \angle A=\angle C, \angle A D E=\angle B$,

$\therefore \triangle A E D \backsim \triangle C E B$,

$\therefore \frac{A E}{C E}=\frac{D E}{E B}$,

$\therefore A E \cdot E B=C E \cdot D E$,

$\therefore(5 k+5)(5 k-5)=3 k \times 5 k$,

$\therefore k=\frac{\sqrt{10}}{2}$ (负根已经舍去),

$\therefore C D=8 k=4 \sqrt{10}$.

故选: A.

连接 $A D, B C$, 设 $C E=3 k, D E=5 k$, 利用相似三角形的性质构建方程求解

本题考查垂径定理, 相似三角形的判定和性质等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

