12.【2017 届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2$, 且 $a_{n}=\frac{2 n a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}\left(n \geq 2, n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{n}=$
由 $a_{n}=\frac{2 n a_{n-1}}{a_{n-1}+n-1}$, 得 $\frac{n}{a_{n}}=\frac{n-1}{2 a_{n-1}}+\frac{1}{2}$,于是 $\frac{n}{a_{n}}-1=\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{a_{n-1}}-1\right)\left(n \geq 2, n \in N^{*}\right)$. 又 $\frac{1}{a_{1}}-1=-\frac{1}{2}, \therefore$ 数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}-1\right\}$ 是以 $-\frac{1}{2}$ 为首项, $\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列, 故 $\frac{n}{a_{n}}-1=-\frac{1}{2^{n}}, \therefore a_{n}=\frac{n \cdot 2^{n}}{2^{n}-1}$ $\left(n \in N^{*}\right)$.