15. 已知直线 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\ y=\frac{1}{2}-t\end{array}\right.$, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$, 设直线 $L$ 与曲线 $C$ 交于两点 $A, B$

(1) 求 $|A B|$;
：分析：本题主要考查了椭圆的参数方程, 解决问题的关键是 (1) 把直线的参数方程与邦圆的参数方程化为普通方程, 联立方程组解得交点 $A . B$ 的坐标, 然后用两点间距离公式可求得弦 $A B$ 的长; (2) 由于 $|A B|$ 是固定的, 因此 $\triangle A B P$ 的面积取最大值, 即点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离最大, 故用参数方程表示曲线 $C$ 上的点 $P$ 的坐标 $(2 \cos \theta, \sin \theta)$, 用点到直线距离公式求得 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d$, 然后求 $d$ 的最大值.