若 $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$, 则 $\sin 2 \theta=$
本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为 $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2 \theta}=4$, 所以. $\sin 2 \theta=\frac{1}{2}$.本题需求解正弦值, 显然必须切化弦, 因此需利用公式 $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 转化; 另外, $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta$ 在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的; 关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切, 即弦化切, 达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式, 二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用, 逆用等