如图, $M$ 是 $A B$ 的中点, 点 $P$ 在 $M B$ 上, 分别以 $A P, P B$ 为边, 作正方形 $A P C D$ 和正方形 $P B E F$. 设 $A B=4 a, M P=b$, 正方形 $A P C D$ 与正方形 $P B E F$ 的面积之差为 $S$.

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(1)用含 $a, b$ 的代数式表示 $S$.

（2）当 $a=3, b=\frac{1}{2}$ 时, $S$ 的值是多少?
【答案】解: (1) $\because$ 点 $M$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore A M=B M=\frac{1}{2} A B$,

$\because A B=4 a, M P=b$ 且点 $P$ 在 $M B$ 上,

$\therefore A M=B M=2 a$,

$\therefore A P=2 a+b, B P=2 a-b$,

$\because$ 分别以 $A P, P B$ 为边, 作正方形 $A P C D$ 和正方形 $P B E F$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore S=(2 a+b)^{2}-(2 a-b)^{2} \\
& =4 a^{2}+4 a b+b^{2}-\left(4 a^{2}-4 a b+b^{2}\right)
\end{aligned}
$$

$=8 a b ;$

(2) $\because a=3, \quad b=\frac{1}{2}$,
$\therefore S=8 \times 3 \times \frac{1}{2}=12$.

【解析】本题考查了列代数式、用完全平方式化简整式及代数式求值. 解题的关键是根据题意列出代数式, 并化简, 然后将已知字母的值代入即可.

(1)根据点 $M$ 是 $A B$ 的中点及 $A B=4 a, M P=b$, 表示出正方形 $A P C D$ 和正方形 $P B E F$ 的边长 $A P=2 a+b, B P=2 a-b$, 然后根据正方形的面积公式可求得两正方形面积之差 $S$,再化简即可;

（2）把 $a=3, b=\frac{1}{2}$ 代入 $S=8 a b$ 求出 $S$ 的值即可.