如图, $P A, P B$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $A, B$, 若 $\angle P=55^{\circ}, C$ 为 $\odot O$ 上一点, 则 $\angle A C B$ 的度数为

<ImageHere>
解：连接 $O A 、 O B$, 作 $\overparen{A B}$ 所对的圆周角 $\angle A D B$, 如图,

$\because P A 、 P B$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $A 、 B$,

$\therefore O A \perp P A, O B \perp P B$,

$\therefore \angle O A P=\angle O B P=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle A O B=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle P=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$,

$$
\therefore \angle A D B=
$$

1

2
$\angle A O B=62.5^{\circ}$,

$\because \angle A C B+\angle A D B=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=180^{\circ}-62.5^{\circ}=117.5^{\circ}$.

故答案为: $117.5^{\circ}$

本题了切线的性质: 圆的切线垂直于经过切点的半径. 也考查了圆周角定理.

连接 $O A 、 O B$, 作

$\overparen{A B}$

所对的圆周角 $\angle A D B$, 如图, 根据切线的性质得到 $\angle O A P=\angle O B P=90^{\circ}$, 则利用四边形的内角和计算出 $\angle A O B=125^{\circ}$, 再根据圆周角定理得到 $\angle A D B=62.5^{\circ}$, 然后利用圆内接四边形的性质计算 $\angle A C B$ 的度数.