求二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图所示, 其对称轴为直线 $x=-1$, 与 $x$ 轴的交点为 $\left(x_{1}, 0\right) 、\left(x_{2}, 0\right)$, 其中 $0<x_{1}<1$, 有下列结论: (1) $a b c>0$; (2) $-3<x_{2}<-2$; $4 a-2 b+c<-1$; (4) $a-b>a m^{2}+b m(m \neq-1)$; (5) $a>\frac{1}{3}$; 其中, 正确的结论有（ )

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由抛物线开口方向得 $\mathrm{a}>0$, 由抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1$ 得 $b=2 a>0$,由拋物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点位置得 $\mathrm{c}<0$, 则 $\mathrm{abc}<0$; 由于拋物线与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$与点 $(1,0)$ 之间, 根据抛物线的对称轴性得到抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴另一个交点在点 $(-3,0)$ 与点（-2, 0）之间, 即有 $-3<x_{2}<-2$; 拋物线的对称轴为直线 $x=-1$, 且 $\mathrm{c}<-1, x=-2$ 时, $4 a-2 b+c<-1$; 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=-1$, 当 $x=-1$ 时, $y_{\text {最小值 }}=a-b+c$,当 $x=m$ 得: $y=a m^{2}+b m+c$, 且 $m \neq-1, \therefore y_{\text {最小值 }}=a-b+c<$, 即 $a-b<a m^{2}+b m$; 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1$ 得 $b=2 a$, 由于 $x=1$ 时, $y>0$, 则 $a+b+c>0$, 所以 $a+2 a+c>0$, 解得 $a>-\frac{1}{3} c$, 然后利用 $c<-1$ 得到 $a>-\frac{1}{3}$.

【详解】 $\because$ 拋物线开口向上, $\therefore \mathrm{a}>0$,

$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1, \quad \therefore \mathrm{b}=2 \mathrm{a}>0$,

$\because$ 抛物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点在 $\mathrm{x}$ 轴下方, $\therefore \mathrm{c}<0, \therefore \mathrm{abc}<0$,

所以(1)错误;

$\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$ 与点 $(1,0)$ 之间, 而对称轴为 $x=-1$,由于抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$ 与点 $(1,0)$ 之间, 根据抛物线的对称轴性, $\therefore$ 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴另一个交点在点 $(-3,0)$ 与点 $(-2,0)$ 之间, 即有 $-3<x_{2}<-2$, 所以(2)正确; $\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$, 且 $\mathrm{c}<-1, \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $4 a-2 b+c<-1$, 所以(3)正确; $\because$ 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=-1, \therefore$ 当 $x=-1$ 时, $y_{\text {最小值 }}=a-b+c$,

当 $x=m$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$ 得: $y=a m^{2}+b m+c$,

$\because m \neq-1, \therefore y_{\text {最小值 }}=a-b+c<$, 即 $a-b<a m^{2}+b m$, 所以(4)错误;

$\because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1, \therefore b=2 a$,

$\because$ 由于 $x=1$ 时, $y>0, \therefore a+b+c>0$, 所以 $a+2 a+c>0$, 解得 $a>-\frac{1}{3} c$,

根据图象得 $c<-1, \therefore a>-\frac{1}{3}$, 所以(5)正确.

所以(2)(3)(5)正确, 故选 C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及拋物线与 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴的交点，二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}{ }^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0), \mathrm{a}$ 决定拋物线开口方向; $\mathrm{c}$ 的符号由抛物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点的位置确定; $\mathrm{b}$ 的符号由 $\mathrm{a}$ 及对称轴的位置确定; 当 $\mathrm{x}=1$ 时, $\mathrm{y}=a+b+c$; 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c$.
