$m$ 为正整数, 已知二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l}m x+2 y=10 \\ 3 x-2 y=0\end{array}\right.$ 有整数解, 则 $m^{2}+1$ 的值为 $(\quad)$
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}m x+2 y=10 \\ 3 x-2 y=0\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{10}{m+3} \\ y=\frac{15}{m+3}\end{array}\right.$,

$\because$ 方程组 $\left\{\begin{array}{l}m x+2 y=10 \\ 3 x-2 y=0\end{array}\right.$ 有整数解,

$\therefore m+3$ 为 10 和 15 的公约数, 且 $m$ 为正整数,

$\therefore m+3=5$, 解得 $m=2$,

$\therefore m^{2}+1=4+1=5$.

故选 $D$.