设 $a, b$ 是实数, 定义关于@的一种运算如下: $a @ b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$

, 则下列结论:

(1)若 $a @ b=0$, 则 $a=0$ 或 $b=0$;

(2) $a @(b+c)=a @ b+a @ c ;$

(3) 不存在实数 $a, b$, 满足 $a @ b=a^{2}+5 b$;

(4)设 $a, b$ 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当 $a=b$ 时， $a @ b$ 的值最大。其中正确的是

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、完全平方公式, 解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立, 从而可以得到哪个选项是正确的.

【解答】

解: (1)根据题意得: $a @ b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$

$\therefore(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=0$,

整理得: $(a+b+a-b)(a+b-a+b)=0$, 即 $4 a b=0$,

解得: $a=0$ 或 $b=0$, 正确;

(2) $\because a @(b+c)$

$$
=(a+b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}
$$

$$
=4 a b+4 a c
$$

$a @ b+a @ c$

$$
=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}+(a+c)^{2}-(a-c)^{2}
$$

$=4 a b+4 a c$,

$\therefore a @(b+c)=a @ b+a @ c$, 正确;

(3) $a @ b=a^{2}+5 b^{2}, a @ b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$,

令 $a^{2}+5 b^{2}=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$,

$a^{2}-4 a b+5 b^{2}=0$, 即 $(a-2 b)^{2}+b^{2}=0$

解得, $a=0, b=0$, 故错误;

(4) $\because a @ b=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4 a b$,

$(a-b)^{2} \geq 0$, 则 $a^{2}-2 a b+b^{2} \geq 0$, 即 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$,

$\therefore a^{2}+b^{2}+2 a b \geq 4 a b$,

$\therefore 4 a b$ 的最大值是 $a^{2}+b^{2}+2 a b$, 此时 $a^{2}+b^{2}+2 a b=4 a b$,

解得, $a=b$,

$\therefore a @ b$ 最大时, $a=b$, 故(4)正确,

故选 $C$.