(本小题 8.0 分)

已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形, 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $D$.

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图1

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图2

(1)如图1, 若 $\angle B A D=45^{\circ}$, 求证: $C D$ 与 $\odot O$ 相切;

(2)如图 2 , 若 $A D=6, A B=10, \odot O$ 交 $C D$ 边于点 $F$, 交 $C B$ 边延长线于点 $E$, 求 $B E, C F$ 的长.
(1)证明: 连接 $O D$,

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$\because \angle A=45^{\circ}, O A=O D$,

$\therefore \angle A=\angle A D O=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=90^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle C D O+\angle B O D=180^{\circ}$,

$\therefore \angle C D O=\angle B O D=90^{\circ}$,

$\therefore O D \perp D C$,

$\because O D$ 是 $\odot O$ 的半径,

$\therefore C D$ 与 $\odot O$ 相切;

(2) 解: 如图, 连接 $D E, E F, B D$,

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$\because A B$ 是 $\odot O$ 直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$.

$\because A D / / B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C B D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E B D=90^{\circ}$,

$\therefore D E$ 是 $\odot O$ 直径,

$\therefore D E=A B=C D=10, \angle D F E=90^{\circ}$,

$\therefore B E=B C=A D=6, \angle C F E=90^{\circ}$,

$\therefore C E=B E+B C=12$,
在Rt $\triangle D E F$ 和Rt $\triangle C E F$ 中, $E F^{2}=D E^{2}-D F^{2}, E F^{2}=C E^{2}-C F^{2}$,

$\therefore D E^{2}-D F^{2}=C E^{2}-C F^{2}$,

设 $D F=x$, 则 $C F=10-x$,

$\therefore 10^{2}-x^{2}=12^{2}-(10-x)^{2}$.

解得 $x=\frac{14}{5}$,

$\therefore 10-x=\frac{36}{5}$,

即 $C F=\frac{36}{5}$.

【解析】(1)如图1中, 连接 $O D$, 欲证明 $C D$ 是切线, 只要证明 $O D \perp D C$ 即可.

(2)如图2中, 连接 $D E, E F, B D$, 首先证明 $D E$ 是直径, 再根据 $E F^{2}=D E^{2}-D F^{2}=C E^{2}-C F^{2}$,设 $D F=x$, 则 $C F=10-x$, 列出方程即可解决.

本题考查切线的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质、勾股定理等知识, 学会转化的思想,把问题转化为方程解决, 添加辅助线是解题的关键, 属于中考常考题型.