已知线段 $A B=a c m, A_{1}$ 平分 $A B, A_{2}$ 平分 $A A_{1}, A_{3}$ 平分 $A A_{2}, \ldots, A_{n}$ 平分 $A A_{n-1}$, 则 $A A_{n}=$ \$ \qquad \$ cm.
析】 解: : 线段 $A B=a c m, A_{1}$ 平分 $A B, A_{2}$ 平分 $A A_{1}, A_{3}$ 平分 $A A_{2}$,

$\therefore A A_{1}=\frac{1}{2} a, \quad A A_{2}=\frac{1}{4} a, \quad A A_{n}=\left(\frac{1}{2},{ }^{n}\right.$.

故答案为 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n} a$.

根据题意, 找出 $A A_{1}, A A_{2}, A A_{3}$ 与 $a$ 的关系, 再按照规律解答即可.本题主要考查两点间的距离, 熟练找出规律是解答本题的关键.