如图, 等腰 Rt $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 直径 $A B=2 \sqrt{2}, D$ 是圆上一动点, 连接 $A D, C D$, $B D$, 且 $C D$ 交 $A B$ 于点 $G$. 下列结论: (1) $D C$ 平分 $\angle A D B$; (2) $\angle D A C=\angle A G C$; (3)当 $A D=C D$, 四边形 $A D B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$; (4)当 $B D=2$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大, 正确的有（）

<ImageHere>

证明 $A C=A B, A C=A B$, 由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明(1)(2)正确;作 $M C \perp C D$, 交 $D A$ 延长线于 $M$, 证明 $B D=(\sqrt{2}-1) A D$, 利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明(3)错误; 当 $A D=B D$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大, 据此求解即可.
【详解】解: $\because$ 等腰 Rt $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 且 $A B$ 为直径,

$\therefore A C=A B, A C=A B$,

$\therefore \angle A D C=\angle B D C$, 即 $D C$ 平分 $\angle A D B$; 故(1)正确;

$\because A C=A B$,

$\therefore \angle A D C=\angle C A B$,

$\because \angle D A C=\angle C A B+\angle D A B, \angle A G C=\angle A D C+\angle D A B$,

$\therefore \angle D A C=\angle A G C$; 故(2)正确;

作 $M C \perp C D$, 交 $D A$ 延长线于 $M$,

<ImageHere>

$\because \angle 1+\angle 3=90^{\circ}=\angle 1+\angle 2$,

$\therefore \angle 2=\angle 3$,

$\because A 、 C 、 B 、 D$ 四点共圆,

$\therefore \angle 4+\angle C A D=180^{\circ}, \angle C A D+\angle C B D=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 4=\angle C B D$,

$\therefore \triangle C B D \cong \triangle C A M(\mathrm{ASA})$,

$\therefore A M=B D, C M=C D$,

$\because \angle M C D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle M C D$ 是等腰直角三角形,

由勾股定理得: $D M=\sqrt{2} C D$,

$\because D M=D A+A M=D A+B D$,

$\therefore B D+A D=\sqrt{2} C D$;

$\because A D=C D$,

$\therefore B D=(\sqrt{2}-1) A D$;

$\because$ 直径 $A B=2 \sqrt{2}, A D^{2}+B D^{2}=A B^{2}, A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,
$\therefore A D^{2}+[(\sqrt{2}-1) A D]^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}, \quad A C=B C=2$,

$\therefore A D^{2}=\frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$,

四边形 $A D B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times A C \times B C+\frac{1}{2} \times A D \times B D$

$=2+\frac{1}{2} \times A D \times(\sqrt{2}-1) A D$

$=2+\frac{1}{2} \times 2(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)$

$=2+\sqrt{2}$, 故(3)错误;

$\because A C=B C=2$, 要使四边形 $A D B C$ 的周长最大, $A D+B D$ 要最大,

$\therefore$ 当 $A D=B D$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大,

此时, $A D=B D=2$, 故(4)正确;

综上, (1)(2)(4)正确;

故选: C

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质, 全等三角形的性质和判定, 勾股定理, 圆周角定理, 等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用, 综合性比较强, 难度偏大.