(8 分) 如图所示, $A B$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $O D \perp A B$, 垂足为 $E$, 交 $\odot O$ 于点 $C 、 D$.

(1)若 $\angle A O D=50^{\circ}$, 求 $\angle D O B$ 的度数;

(2)若 $A B=2 \sqrt{5}, E D=1$, 求 $\odot O$ 的半径长;

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(1) 根据垂径定理可得 $A D=B D$, 从而可得 $\angle A O D=\angle B O D=50^{\circ}$, 即可解答;

(2) 根据垂径定理可得 $A E=\frac{1}{2} A B=\sqrt{5}$, 然后设 $\odot O$ 的半径长为 $r$, 再在 Rt $\triangle A O E$ 中, 利用勾股定理进行计算即可解答.

【详解】(1) 解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $O D \perp A B$,

$\therefore A D=B D$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O D=50^{\circ}$,

$\therefore \angle D O B$ 的度数是 $50^{\circ}$;

(2) 解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $O D \perp A B$,

$\therefore A E=\frac{1}{2} A B=\sqrt{5}$,

设 $\odot O$ 的半径长为 $r$,

在 Rt $\triangle A O E$ 中, $A O^{2}=O E^{2}+A E^{2}$,

$\therefore r^{2}=(r-1)^{2}+(\sqrt{5})^{2}$,

$\therefore r=3$,

$\therefore \odot O$ 的半径长为 3 .

【点睛】本题考查了勾股定理, 垂径定理, 圆心角、弧、弦的关系, 熟练掌握垂径定理是解题的关键.

