定义在 $\mathbf{N}^{*}$ 上的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-a x+a^{2}, x<3 \\ a x, x \geq 3\end{array}\right.$ 为递增函数, 则头数 $a$ 的取值范围是 ( )
【分析】

根据定义域和单调性可知 $f(1)<f(2)$, 再根据 $x \geq 3$ 时 $f(x)$ 的单调性判断出 $f(3)>f(2)$, 由此求解出 $a$ 的取值范围..

## 【详解】

因为 $x \in \mathbf{N}^{*}$, 所以 $x<3$ 时, 即 $x \in\{1,2\}$, 由单调性可知 $f(2)>f(1)$, 所以 $1-a+a^{2}<4-2 a+a^{2}$, 解得 $a<3$;

当 $x \geq 3$ 时, $y=a x$ 为增函数, 若 $f(x)$ 单调递增, 则只需 $f(3)>f(2)$, 所以 $3 a>4-2 a+a^{2}$, 解得 $1<a<4$,综上可知 $a$ 的取值范围是: $(1,3)$,

故选: D.

## 【点睛】

关键点点睛: 解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性, 从而确定出 $a$ 所满足的不等关系, 注意将本题与定义域为 $R$ 的分段函数单调性问题作区分.