已知 $(x+a)(x+b)=x^{2}+m x+n$.

(1)若 $a=-5, b=4$, 则 $m=$ $\qquad$ , $n=$

(2)若 $m=-3, n=\frac{1}{3}$, 求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的值;

(3)若 $n=-1$, 求 $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 的最小值.
【答案】 $-1-20$

【解析】解: (1) $\because(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b=x^{2}+m x+n$,

$\therefore m=a+b, n=a b$,

若 $a=-5, \quad b=4$,

则 $m=-5+4=-1, n=4 \times(-5)=-20$,

故答案为: $-1,-20$.

(2) $\because m=-3, \quad n=\frac{1}{3}$,
$\therefore m=a+b=-3, \quad n=a b=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a b}=\frac{-3}{\frac{1}{3}}=-9$,

(3) $\because n=-1$,

$\therefore n=a b=-1$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$

$=\frac{a^{4} b^{2}+b^{2}+a^{2} b^{4}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}$

$=a^{2}+b^{2}+b^{2}+a^{2}$

$=2(a+b)^{2}-4 a b$

$=2 m^{2}-4 n$,

$=2 m^{2}+4$

$\because 2 m^{2} \geq 0$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}} \geq 4$

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 的最小值为 4 .

(1)利用多项式的乘法公式展开, 得出 $m=a+b, n=a b$, 将 $a$ 与 $b$ 的值代入求解;

(2)将 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 化简为 $\frac{a+b}{a b}$, 然后代入 $m, n$ 求值;

(3)通过把 $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 变形转换为 $2 m^{2}+4$ 利用非负数的性质求解即可.

本题考查分式与整式乘法的综合应用, 解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法.