(本题8分)(2022-浙江$cdot$九年级专题练习)如图,有一块三角形余料,它的边$BC=$$100{~m}$,高线$AH=80{~m}$,要把它加工成矩形零件,使矩形的一边$EF$在$BC$上,其余两个顶点$D、G$分别在边$AB、AC$上，设矩形$DEFG$的一边长$DE=x{~m}$,矩形$DEFG$的面积为$S$.<ImageHere>(1)矩形$DEFG$的另一边长$DG$是多少?（用关于$x$的代数式表示)(2)求$S$关于$x$的函数表达式和自变量$x$的取值范围.(3)当$x$为多少时,矩形$DEFG$的面积$S$有最大值?最大值是多少?
【分析】(1)利用矩形的性质,$DG//EF$,利用同位角相等,证$triangletriangleADGbacksimtriangleABC$,利用相似三角形的性质求解即可;(2)由(1)可知,$DG=frac{5}{4}(80-x)$,然后即可求出用$x$表示的矩形面积的关系式.(3)利用配方法求出最大值即可.(1)解:如图,<ImageHere>$because$四边形$DEFG$是矩形,$thereforeDG//EF$,$thereforeangleADG=angleABC,angleAGD=angleACB$,$thereforetriangleADGbacksimtriangleABC$,$thereforefrac{DG}{BC}=frac{AR}{AH}$$thereforefrac{DG}{100}=frac{80-x}{80}$,$thereforeDG=frac{5}{4}(80-x)({m});$(2)解:矩形面积$left.S=xcdotfrac{5}{4}(80-x)=-frac{5}{4}x^{2}+100xquad0<x<80right)$;解:$becauseS=-frac{5}{4}left(x^{2}-80xright)=-frac{5}{4}(x-40)^{2}+2000$,$because-frac{5}{4}<0$,$thereforex=40$时,$S$的值最大,最大值为2000.答：当$x=40$时,$S$的值最大,最大值为$2000m^{2}$.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的性质等知识,此题的关键是利用相似三角形对应边的比等于其对应高的比,求得$DG=frac{5}{4}(80-x)$,然后即可求得$y$与$x$的函数关系式和最值.