已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边, $a=2$, 且 $(2+b)(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为
析】由正弦定理得: $(2+b)(a-b)=(c-b) c$, 即 $b^{2}+c^{2}-b c=4$, 由余弦定理得: $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-4}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2}, \therefore A=\frac{\pi}{3}$, 又 $b^{2}+c^{2}-b c=4 \geq 2 b c-b c=b c, \therefore b c \leq 4$, 当且仅当 $b=c=2$ 时取等号, 此时 $\triangle A B C$ 为正三角形,则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$, 故选 A.

12、在锐角三角形中, $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边, 设 $B=2 A$, 则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 ( )
A. $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
B. $(\sqrt{2}, 2)$
c. $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$
D. $(0,2)$

【答案】A

【解析】 $\because B=2 A, \therefore$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin A}{\sin 2 A}=\frac{\sin A}{2 \sin A \cos A}=\frac{1}{2 \cos A}$ ， $\because B$ 为锐角, 即 $0<B<90^{\circ}$, 且 $B=2 A, \therefore A C$ 为锐角, $\left\{\begin{array}{c}0<2 A<90^{\circ} \\ 0<180^{\circ}-3 A<90^{\circ}\end{array}\right.$, 所以 $30^{\circ}<A<45^{\circ}, \therefore \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos A<\frac{\sqrt{3}}{2}$, 即 $\sqrt{2}<2 \cos A<\sqrt{3}$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}<\frac{1}{2 \cos A}<\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 故选 A.