将三棱雉 $E-A F C$ 与 $B-A F C$ 拼接得到如图所示的多面体, 其中 $H, D, G$, $I$ 分别为 $F B, A C, E C, F C$ 的中点, $E F / / \frac{1}{2} B D$.

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(1) 当点 $P$ 在直线 $G I$ 上时, 证明: $P H / /$ 平面 $A B C$;

(2) 若 $\triangle A C E$ 与 $\triangle A B C$ 均为面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形, 求该多面体体积的最大值.
【分析】

(1) 利用面面平行的判定定理得出平面 $G I H / /$ 平面 $A B C$, 再由面面平行的性质得出 $P H / /$ 平面 $A B C$;

(2) 将多面体的体积转化为三棱雉 $E-A F C$ 与 $B-A F C$ 的体积和, 由于三棱雉 $F-A B C$ 和 $F-A E C$ 的底面积一定, 则高同时达到最大值时, 多面体的体积最大, 当平面 $A C E \perp$ 平面 $A C B$ 时, 由面面垂直的性质得出三棱雉 $F-A B C$ 和 $F-A E C$ 的高,利用棱雉的体积公式计算即可.

## 【详解】

(1) 证明: $\because G 、 I 、 H$ 为中点

$\therefore G I / / E F, \quad H I / / B C$

又 $\because E F / / B D$

$\therefore G I / / B D$

$\because B D \subset$ 平面 $A B C, G I \not \subset$ 平面 $A B C$

$\therefore G I / /$ 平面 $A B C$

同理 $H I / /$ 平面 $A B C$

$\because G I \cap H I=I, G I, H I \subset$ 平面 $G I H$

$\therefore$ 平面 $G I H / /$ 平面 $A B C$

$\because P \in G I, \therefore P H \subset$ 平面 $G I H$

$\therefore P H / /$ 平面 $A B C$

(2) $V=V_{F-A B C}+V_{F-A E C}$

易知 $E F / /$ 平面 $A B C$
故 $V_{F-A B C}=V_{E-A B C}$

连接 $E D$, 当平面 $A C E \perp$ 平面 $A C B$ 时

$\because D$ 是 $A C$ 的中点

$\therefore$ 在正三角形 $A C B 、 A C E$ 中

$B D \perp A C, E D \perp A C$, 平面 $A C E$ 与平面 $A C B$ 的交线为 $A C$

$B D \subset$ 平面 $A C B, E D \subset$ 平面 $A C E$

$\therefore B D \perp$ 平面 $A C E, E D \perp$ 平面 $A C B$

$\therefore E F \perp$ 平面 $A C E$

此时, 三棱雉 $F-A B C$ 和 $F-A E C$ 的高同时达到最大值

此时 $V_{F-A B C}+V_{F-A E C}$

$=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \times E D+\frac{1}{3} S_{\triangle A E C} \times E F$

由 $\triangle A B C, \triangle A E C$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形

$E F=\frac{1}{2} B D$ 可得

$E D=B D=\sqrt{3}, \quad E F=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore$ 此时 $V=\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}+\frac{1}{3} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$.

故该多面体体积的最大值为 $\frac{3}{2}$.

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## 【点睛】

本题主要考查了面面平行的性质证明线面平行以及求棱雉的体积, 属于中档题.