11. 如图所示, $F_{1}, F_{2}$ 分别为粗圆的左、右焦点, 椭圆上点 $M$的横坐标等于右焦点的横坐标, 其纵坐标等于短半轴长的 $\frac{2}{3}$, 求椭圆的离心率.

<ImageHere>
：解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 $a, b, c$.

则焦点为 $F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0), M$ 点的坐标为 $\left(c, \frac{2}{3} b\right)$, 则 $\triangle M F_{1} F_{2}$为直角三角形.

$\therefore\left|F_{1} F_{2}\right|^{2}+\left|M F_{2}\right|^{2}=\left|M F_{1}\right|^{2}$,

即 $4 c^{2}+\frac{4}{9} b^{2}=\left|M F_{1}\right|^{2}$.
而 $\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=\sqrt{4 c^{2}+\frac{4}{9} b^{2}}+\frac{2}{3} b=2 a ，$

整理得 $3 c^{2}=3 a^{2}-2 a b$.

又 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, 所以 $3 b=2 a$, 所以 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{9}$.

$\therefore e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}, \quad \therefore e=\frac{\sqrt{5}}{3}$.