(本小题8.0分)

如图, $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $B A$ 延长线上的一点, $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$, 交 $B D$ 于点 $G, A E: A B=1: 2$,设 $\overrightarrow{B A}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$.

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(1)用向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 分别表示下列向量: $\overrightarrow{A E}=$ $\qquad$ , $\overrightarrow{E C}=$ $\qquad$ , $\overrightarrow{E G}=$ $\qquad$ ;

(2)在图中求作向量 $\overrightarrow{B G}$ 分别在 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 方向上的分向量. (不写作法, 但要写出画图结果)


【分析】

此题考查了向量的线性计算以及平行四边形的性质. 注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键.

(1)根据 $A E=\frac{1}{2} B A$ 即可求出 $\overrightarrow{A E}$, 根据 $\overrightarrow{E C}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B C}$ 即可求出 $\overrightarrow{E C}$, 先证明 $E G=\frac{3}{5} E C$, 即可求出 $\overrightarrow{E G}$;

(2)首先过点 $G$ 作 $G M / / A B, G N / / B C$, 根据平行四边形法则即可求得答案.

## 【解答】

解: (1) $\because A E: A B=1: 2$,

$\therefore A E=\frac{1}{2} B A$,

$\because \overrightarrow{B A}=\vec{a}$,

$\therefore \overrightarrow{A E}=\frac{1}{2} \vec{a}$
$\therefore \overrightarrow{E B}=-\frac{3}{2} \vec{a}$,

$\because \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$,

$\therefore \overrightarrow{E C}=\vec{b}-\frac{3}{2} \vec{a}$;

在平行四边形 $A B C D$ 中,

$\because C D / / E B, A B=C D$,

$\therefore E G: C G=E B: C D=3: 2$,

$\therefore E G: E C=3: 5$,

$\therefore \overrightarrow{E G}=\frac{3}{5} \vec{b}-\frac{9}{10} \vec{a}$,

故答案分别为 $\frac{1}{2} \vec{a} ; \vec{b}-\frac{3}{2} \vec{a} ; \frac{3}{5} \vec{b}-\frac{9}{10} \vec{a}$;

(2)见答案.

