已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$.

（1）当 $\mathrm{a}=1$ 时, 讨论 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性;

(2) 当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$, 求 $a$ 的取值范围.
答案: (1) 【解析】当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$,

由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$,

故: 当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,

当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增;

(2) 【解析】由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \geqslant \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$,

(1).当 $\mathrm{x}=0$ 时，不等式为: $1 \geq 1$ ，显然成立，符合题意;

(2).当 $x>0$ 时，分离参数 a 得， $a \geqslant-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}$,

记 $g(x)=-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{\left.x-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}\right.}{x^{3}}$,

令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$,

则 $h(x)=e^{x}-x-1, \quad h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$,

故 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \geqslant 0$ 恒成立,

故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增;

当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)_{\text {单调递减; }}$

因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$,

综上可得, 实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$.

【分析】(1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 $\mathrm{x}=0$ 的情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.