阳马, 中国古代算数中的一种几何形体, 是底面长方形, 两个三角面与底面垂直的四棱雉体, 在阳马 $P-A B C D$ 中, $P C$ 为阳马 $P-A B C D$ 中最长的棱, $A B=1, \quad A D=2, \quad P C=3$, 若在阳马 $P-A B C D$ 的外接球内部随机取一点, 则该点位阳马内的概率为
【分析】

由题意知 $P C$ 的长等于其外接球的直径, 可知 $P A=2$, 计算棱雉的体积, 球的体积,根据古典概型即可求解.

【详解】

根据题意, $P C$ 的长等于其外接球的直径, 因为 $P C=\sqrt{P A^{2}+A B^{2}+A D^{2}}, \therefore$

$3=\sqrt{P A^{2}+1+4}, \therefore P A=2$, 又 $P A \perp$ 平面 $A B C D$, 所以

$V_{P-A B C D}=\frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 2=\frac{4}{3}, V_{\text {球 }}=\frac{4}{3} \pi \times\left(\frac{3}{2}\right)^{3}$,

$\therefore P=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} \pi \times\left(\frac{3}{2}\right)^{3}}=\frac{8}{27 \pi}$.

【点睛】

本题主要考查了棱雉的外接球, 棱雉的体积, 球的体积, 古典概型, 属于中档题.