运行如下程序, 如果输入的 $m, n$ 的值分别是 24 和 15 , 记录输出的 $i$ 和 $m$ 的值在平面直角坐标系 $x 0 y$ 中, 已知点 $A(i-4, m)$, 圆 C 的圆心在直线 1: $y=2 x-4$ 上.

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(1) 若圆 $C$ 的半径为 1 , 且圆心 $C$ 在直线 $y=x-1$ 上, 过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线, 求切线的方程;

(2) 若圆 $\mathrm{C}$ 上存在点 $\mathrm{M}$, 使 $\angle O M A=90^{\circ}$, 求圆 $\mathrm{C}$ 的半径 $\mathrm{r}$ 的最小值.
题意可得, $\mathrm{i}=4, \mathrm{~m}=3$, 所以 $\mathrm{A}(0,3)$.

(1) 由 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x-4 \\ y=x-1\end{array}\right.$, 得圆心 $C$ 为 $(3,2), \because$ 圆 $C$ 的半径为 1 , . 圆 $\mathrm{C}$ 的方程为: $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=1$, 显然切线的斜率存在, 设圆 $\mathrm{C}$ 的切线方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+3$, 即 $\mathrm{kx}-\mathrm{y}+$ $3=0, \frac{|3 k-2+3|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1$, 即 $|3 k+1|=\sqrt{k^{2}+1}$, 整理得 $2 \mathrm{k}(4 \mathrm{k}+3)=0, \therefore k=0$ 或 $k=-\frac{3}{4}$. 所求圆 $C$ 的切线方程为: $\mathrm{y}=3$ 或 $y=-\frac{3}{4} x+3$, 即 $\mathrm{y}=3$ 或 $3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}-12=0$.

(2) 依题意, 点 $\mathrm{M}$ 在以 $\mathrm{OA}$ 为直径的圆上, 其圆心为 $D\left(0, \frac{3}{2}\right)$, 半径为 $\frac{3}{2}$; 点 $\mathrm{M}$ 也在圆 $\mathrm{C}$上, 所以点 $M$ 是圆 $D$ 和圆 $C$ 的公共点; 又圆 $C$ 的圆心在直线 $1: y=2 x-4$ 上, 所以, 欲使圆 $\mathrm{C}$ 的半径最小, 只需过点 $\mathrm{D}$ 作直线 1 的垂线, 以垂足为圆心 $\mathrm{C}$ 并与圆 $\mathrm{D}$ 外切时的圆心 $\mathrm{C}$ 的半径 $\mathrm{r}$ 最小, 所以点 $\mathrm{D}$ 到直线 1 的距离 $d=\frac{\left|2 \cdot 0-\frac{3}{2}-4\right|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{11 \sqrt{5}}{10}$, 所以圆 $\mathrm{C}$ 的半径 $\mathrm{r}$的最小值为 $\frac{11 \sqrt{5}}{10}-\frac{3}{2}=\frac{11 \sqrt{5}-15}{10}$