10. 已知函数 $f(x)=x^{3}-a x^{2}-3 x(a \in \mathbf{R})$.

(1) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上为增函数, 求实数 $a$ 的取值范围;

(2) 若 $x=-\frac{1}{3}$ 是函数 $f(x)$ 的极值点, 求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, a]$ 上的最大值.
：解 (1) $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-2 a x-3$,

由 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数,

则当 $x \in[1,+\infty)$ 时, 恒有 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$,
即 $3 x^{2}-2 a x-3 \geqslant 0$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上恒成立.

由 $\Delta=4 a^{2}+36>0, \frac{a}{3} \leqslant 1$ 且 $f^{\prime}(1)=-2 a \geqslant 0$,

解得 $a \leqslant 0$.

(2)依题意得 $f^{\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=0$, 即 $\frac{1}{3}+\frac{2}{3} a-3=0, a=4$,

则 $f(x)=x^{3}-4 x^{2}-3 x$,

令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-8 x-3=0$,

解得 $x_{1}=-\frac{1}{3}$, 或 $x_{2}=3$,

而 $f(1)=-6, f(3)=-18, f(4)=-12$,

故 $f(x)$ 在 区间 $[1,4]$ 上的最大值是 $f(1)=-6$.