(10 分) 已知, 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D \perp A B$ 于点 $E, G$ 是 $A C$ 上一点, $A G$

与 $D C$ 的延长线交于点 $F$, 设半径为 $R$.

(1)若 $C D=8, \quad B E=2$, 求:

(1) $O E=$ $\qquad$ (用 $R$ 的代数式表示);

(2) $\odot O$ 的半径长.

(2)求证: $\angle F G C=\angle A G D$.

<ImageHere>

## 四、提高题（20 分）


(1) (1)利用 $O B$ 减去 $B E$ 即可表示 $O E$; (2)连接 $O C$, 设 $\odot O$ 的半径为 $R$. 在 Rt $\triangle O E C$中, 根据 $O C^{2}=O E^{2}+E C^{2}$, 构建方程即可解决问题;

(2) 连接 $A D$, 根据垂径定理得到 $A D=A C$, 根据圆周角定理得到 $\angle A D C=\angle A G D$, 根据圆内接四边形的性质证明即可.

【详解】(1) 解: (1)设 $\odot O$ 的半径为 $R$.

$\therefore O E=O B-B E=R-2$;

(2)连接 $O C$.

<ImageHere>

$\because C D \perp A B$,

$\therefore D E=E C=4$,

在 Rt $\triangle O E C$ 中, $\because O C^{2}=O E^{2}+E C^{2}$,

$\therefore R^{2}=(R-2)^{2}+4^{2}$,

解得 $R=5$.

(2) 证明: 连接 $A D$,

$\because$ 弦 $C D \perp A B$

$\therefore A D=A C$,

$\therefore \angle A D C=\angle A G D$,

$\because$ 四边形 $A D C G$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A D C=\angle F G C$,

$\therefore \angle F G C=\angle A G D$.

【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用, 以及圆内接四边形的性质, 掌握相应定理, 学会添加常用辅助线是解题的关键.

