在直角坐标系 $x O y$ 中, 中心在原点 $O$, 焦点在 $x$ 轴上的粗圆 $C$ 上的点 $(2 \sqrt{2}, 1)$ 到两焦点的距离之和为 $4 \sqrt{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程;

(2) 设点 $P$ 在粗圆 $C$ 上, $F_{1} 、 F_{2}$ 为粗圆 $C$ 的左右焦点,若 $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$, 求 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 面积.
(1) 设椭圆方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}+rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, 则由已知得: $\left\{egin{array}{l}rac{(2 \sqrt{2})^{2}}{a^{2}}+rac{1^{2}}{b^{2}}=1 \ 2 a=4 \sqrt{3}\end{array}
ight.$,解得: $\left\{egin{array}{l}a^{2}=12 \ b^{2}=3\end{array}, 	herefore
ight.$ 椭圆方程为: $rac{x^{2}}{12}+rac{y^{2}}{3}=1$.(2) $ecause a=2 \sqrt{3}, b=\sqrt{3}, 	herefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$, 设 $\left|P F_{1}
ight|=t_{1},\left|P F_{2}
ight|=t_{2}$, 则 $t_{1}+t_{2}=4 \sqrt{3}$,$	herefore t_{1}{ }^{2}+t_{2}{ }^{2}-2 t_{1} t_{2} \cos 60^{\circ}=36$, 得 $t_{1} t_{2}=4, 	herefore S_{	riangle P F_{1} F_{2}}=rac{1}{2} t_{1} t \sin 60^{\circ}=rac{1}{2} 	imes 4 	imes rac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.