(本小题 8.0 分)

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $B C$ 为 $\odot O$ 的切线, $D$ 为 $\odot O$ 上的一点, $C D=C B$, 延长 $C D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$.

<ImageHere>

(1)求证: $C D$ 为 $\odot O$ 的切线.

(2)若圆心 $O$ 到弦 $D B$ 的距离为 $1, \angle A B D=30^{\circ}$, 求图中阴影部分的面积. (结果保留 $\pi$ )
(1)证明: 连接 $O D$,

<ImageHere>

$\because B C$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle A B C=90$,

$\because C D=C B$,

$\therefore \angle C B D=\angle C D B$,

$\because O B=O D$,

$\therefore \angle O B D=\angle O D B$,

$\therefore \angle O D C=\angle A B C=90^{\circ}$,

即 $O D \perp C D$,

$\because$ 点 $D$ 在 $\odot O$ 上,

$\therefore C D$ 为 $\odot O$ 的切线;

(2) 解: 过点 $O$ 作 $O F \perp B D$ 于点 $F$,
在Rt $\triangle O B F$ 中, $\because \angle A B D=30^{\circ}, O F=1$,

$\therefore \angle B O F=60^{\circ}, O B=2, B F=\sqrt{3}$,

$\because O F \perp B D$,

$\therefore B D=2 B F=2 \sqrt{3}$,

$\angle B O D=2 \angle B O F=120^{\circ}$,

$$
\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O B D}-S_{\triangle B O D}
$$

$=\frac{120 \pi \times 2^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 1=\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}$.

【解析】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积.此题难度适中, 注意掌握辅助线的作法, 注意数形结合思想的应用.

(1)首先连接 $O D$, 由 $B C$ 是 $\odot O$ 的切线, 可得 $\angle A B C=90^{\circ}$, 又由 $C D=C B, O B=O D$, 易证得 $\angle O D C=$ $\angle A B C=90^{\circ}$, 即可证得 $C D$ 为 $\odot O$ 的切线;

(2)在 $R t \triangle O B F$ 中, $\angle A B D=30^{\circ}, O F=1$, 可求得 $B D$ 的长, $\angle B O D$ 的度数, 又由 $S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O B D}-$ $S_{\triangle B O D}$, 即可求得答案.