已知 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 记 $f_{1}(x)=f^{\prime}(x), f_{2}(x)=f_{1}(x), \ldots, f_{n+1}(x)=f_{n}(x)\left(n \in \in_{\mathrm{N}}{ }^{s}\right)$.若 $f(x)=x \sin x$, 则 $f_{2019}(x)+f_{2021}(x)=(\quad)$
答案: D

【解析】 由题可知: $f(x)=x \sin x$,

所以 $f_{1}(x)=\sin x+x \cos x, f_{2}(x)=2 \cos x-x \sin x$,

$f_{3}(x)=-3 \sin x-x \cos x, f_{4}(x)=-4 \cos x+x \sin x$,

$f_{5}(x)=5 \sin x+x \cos x, \cdots$

所以猜想可知: $f_{4 k-3}(x)=(4 k-3) \sin x+x \cos x$,

$f_{4 k-2}(x)=(4 k-2) \cos x-x \sin x$,

$f_{4 k-1}(x)=-(4 k-1) \sin x-x \cos x$,

$f_{4 k}(x)=-4 k \cos x+x \sin x$,

由 $2019=4 \times 505-1,2021=4 \times 506-3$,

所以 $f_{2019}(x)=-2019 \sin x-x \cos x$,

$f_{2021}(x)=2021 \sin x+x \cos x$,

所以 $f_{2019}(x)+f_{2021}(x)=2 \sin x$,

故答案为: D

【分析】通过计算 $f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x), f_{5}(x)$, 可得 $f_{4 k-3}(x), f_{4 k-2}(x), f_{4 k-1}(x), f_{4 k}(x)$, 最后计算可得结果.