已知在区间 $(0,-a)(a<0)$ 上, 函数 $y=x^{a^{2}-1}$ 与 $y=a x^{2}+a\left(a+\frac{1}{2}\right) x+1$ 都是减函数, 试求 $a$ 的取值范围.


解: 因为幂函数 $y=x^{\alpha}(\alpha<0)$ 时, 函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 二次函数开口向下, 在

$$
\left(\frac{-a\left(a+\frac{1}{2}\right)}{2 a},+\infty\right) \text { 单调递减, 所以有 }\left\{\begin{array}{l}
a<0 \\
a^{2}-1<0 \\
\frac{-a\left(a+\frac{1}{2}\right)}{2 a} \leq 0
\end{array} \text {, 解得 }-\frac{1}{2} \leq a<0\right. \text {. }
$$

故实数 $a$ 的取值范围是: $\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$

【点睛】

本题考查幂函数与二次函数的单调性问题，是基础题.