21. 平面内给定三个向量 $\boldsymbol{a}=(3,2), \boldsymbol{b}=(-1,2), \boldsymbol{c}=(4,1)$, 请解答下列问题:

(1) 求满足 $\boldsymbol{a}=m \boldsymbol{b}+n \boldsymbol{c}$ 的实数 $m, n$;

(2)若 $(\boldsymbol{a}+k \boldsymbol{c}) / /(2 \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$, 求实数 $k$;

(3) 若 $\boldsymbol{d}$ 满足 $(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}) / /(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$, 且 $|\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$, 求 $\boldsymbol{d}$.
(1)由题意得 $(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)$ ，

所以 $\left\{\begin{array}{l}-m+4 n=3 ， \\ 2 m+n=2 ，\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{9} ｝ \\{n=\frac{8}{9} .}\end{array}\right.$

(2)由题意得 $\boldsymbol{a}+k \boldsymbol{c}=(3+4 k, 2+k), 2 \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-5 ， 2)$.

因为 $(\boldsymbol{a}+k \boldsymbol{c}) / /(2 \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$ ，

所以 $2 \times(3+4 k)-(-5) \times(2+k)=0$ ，

所以 $k=-\frac{16}{13}$.

(3)设 $\boldsymbol{d}=(x, y)$ ，则 $\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}=(x-4 ， y-1) ， \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2 ， 4)$.

由题意得 $\left\{\begin{array}{l}4(x-4)-2(y-1)=0 ， \\ (x-4)^{2}+(y-1)^{2}=5 ，\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}x=3 ， \\ y=-1 ，\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=5 ， \\ y=3 .\end{array}\right.$

所以 $\boldsymbol{d}=(3 ，-1)$ 或 $\boldsymbol{d}=(5,3)$.