曲线 $y=x^{2}$ 与 $\mathrm{x}$ 轴及直线 $x=2$ 所围成的图形的面积为
答案: $\frac{8}{3}$

【解析】 由题意知曲线 $y=x^{2}$ 与 $\mathrm{x}$ 轴及直线 $x=2$ 所围成的图形的面积为:

$S=\int_{0}^{2} x^{2} d x=\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{0} ^{2}=\frac{8}{3}$

<ImageHere>

故答案为: $\frac{8}{3}$.

【分析】直接根据定积分的几何意义求解即可.

16.答案: $\frac{\pi}{4}+e-1$

【解析】 $\because g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-5$,

$\therefore g(x)=3 x^{2}-2 a x+b, \quad g^{\prime}(x)=6 x-2 a$,
由 $g^{\prime}(x)=6 x-2 a=0$, 可得 $x=\frac{a}{3}=1$, 解得 $a=3$,

<ImageHere>

所以 $g(1)=1-3+b-5=-3$, 解得 $b=4$,

所以 $\int_{a}^{b}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\int_{3}^{4}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x+\int_{3}^{4} e^{x-3} d x$,

由 $y=\sqrt{1-(x-3)^{2}}$ 可得, $(x-3)^{2}+y^{2}=1$,

<ImageHere>

由定积分的意义可知, $\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x=\frac{\pi}{4}$,

$\int_{3}^{4} e^{x-3} d x=\frac{1}{e^{3}} \int_{3}^{4} e^{x} d x=\left.\frac{e^{x}}{e^{3}}\right|_{3} ^{4}=e-1$,

$\therefore \int_{3}^{4}\left(\sqrt{1-(x-3)^{2}}+e^{x-3}\right) d x=\frac{\pi}{4}+e-1$,

故答案为: $\frac{\pi}{4}+e-1$

【分析】根据新定义拐点可求出 $a, b$, 利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出

$\int_{3}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$ 和 $\int_{3}^{4} e^{x-3} d x$ 即可.



17. 答案: 【解析】 $\int_{1}^{e}\left(2 \mathrm{x}+\frac{1}{x}\right) \mathrm{dx}=\left.\left(\mathrm{x}^{2}+\ln \mathrm{x}\right)\right|_{1=\mathrm{e}^{2}+\ln \mathrm{e}-1-\ln 1=\mathrm{e}^{2}} ^{e}$

故答案为 $\mathrm{e}^{2}$

【分析】先求出被积函数 $2 \mathrm{x}+\frac{1}{x}$ 的原函数, 然后根据定积分的定义求出所求即可.