已知函数 $f(x)=\frac{2 x}{x-1}$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域、值域和单调区间;

(2) 判断并证明函数 $g(x)=x f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上的单调性.
【详解】

(1) 由 $\mathrm{x}-1 \neq 0$ 可得 $\mathrm{x} \neq 1$
则 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)$

由 $f(x)=\frac{2 x}{x-1}=\frac{2(x-1)+2}{x-1}=2+\frac{2}{x-1} \neq 2$

可得 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty, 2) \cup(2,+\infty)$

$f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty, 1)$ 和 $(1,+\infty)$

(2) $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上是减函数，证明如下:

$g(x)=x f(x)=\frac{2 x^{2}}{x-1}$, 令 $x_{1}<x_{2}$ 且 $x_{1}, x_{2} \in(0,1), g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)=\frac{2 x_{1}^{2}}{x_{1}-1}-\frac{2 x_{2}^{2}}{x_{2}-1}$

$=\frac{2\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)\right]}{\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)}$, 由于 “ $x_{1}<x_{2}$ 且 $x_{1}, x_{2} \in(0,1)$ ” , 故 $x_{1}-x_{2}\left\langle 0,\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)\right\rangle 0$,

$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1} x_{2}}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}>2>1$, 即 $x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)<0$, 故 $g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)>0$, 即 $g\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right)$, 故函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上为减函数.

【点睛】

本小题主要考查分式函数的定义域、值域以及单调区间的求法, 考查利用定义法求解函数的单调性. 利用定义法求函数在给定的区间上的单调性的方法是: 首先在定义域上任取两个数 $x_{1}<x_{2}$, 然后作差 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)$, 通过通分和因式分解后, 判断 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)$ 的正负, 由此得到函数在给定区间上的单调性.