如图, 在底面为正方形的四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A=P B=P C=P D=A B=2$,点 $E$ 为棱 $P A$ 的中点, 则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为

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【分析】

做出平行四边形, 将要求的角转化为角 GFD 或其补角为所求角, 在三角形 FDG 中应用余弦定理得到夹角的余弦值.

## 【详解】

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取 $\mathrm{PD}$ 的中点记为 $\mathrm{F}$ 点, $\mathrm{BC}$ 的中点记为 点, 连接 $\mathrm{FG}, \mathrm{GD}$, 因为 $\mathrm{EF} / \mathrm{BC}$, 且 $E F=\frac{1}{2} B C$, $B G=\frac{1}{2} B C$, 故得到四边形 $\mathrm{EFGB}$ 为平行四边形, 故角 GFD 或其补角为所求角, 根据题干得到, 三角形 $\mathrm{PAB}$ 为等边三角形, $\mathrm{BF}$ 为其高线, 长度为 $\sqrt{3}, \mathrm{FG}=\sqrt{3}, \mathrm{DG}=$ $\sqrt{C D^{2}+C G^{2}}=\sqrt{5}$,

$\mathrm{FD}=1$, 根据余弦定理得到 $\cos \angle G F D=\frac{3+1-5}{2 \sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$, 因为异面直线夹角为直角或锐角, 故取正值, 为: $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

## 【点睛】

这个题目考查的是异面直线的夹角的求法; 常见方法有: 将异面直线平移到同一平面内,转化为平面角的问题; 或者证明线面垂直进而得到面面垂直, 这种方法适用于异面直线垂直的时候.