已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$, 求下列各式的值:
(1) $a+a^{-1}$;
(2) $a^{2}+a^{-2}$.
【详解】

(1) $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ 平方得 $a+2+a^{-1}=5$,

$\therefore a+a^{-1}=3$;

（2）由（1） $a+a^{-1}=3$, 平方得 $a^{2}+2+a^{-2}=9$,

$\therefore a^{2}+a^{-2}=7$.

【点睛】

本题考查指数幂的运算, 属于基础题.