(8 分) 在跳绳时, 绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线. 如图, 正在用绳的甲, 乙两名学生拿绳的手间距为 4 米, 距地面均为 1 米; 学生丙的身高是 1.5 米, 距甲拿绳的手水平距离 1 米, 绳子用到最高处时, 刚好通过他的头顶.

(1)当绳子甩到最高时, 学生丁从距甲拿绳的手 2.5 米处进入游戏, 恰好通过, 根据以上信息试求学生丁的身高?

(2)若现有一身高为 1.7 米的同学也想参加这个活动, 请问他能通过跳绳吗？若能, 则他应离甲多远的地方进入? 若不能, 请说明理由?

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(1) 设丙所在坚直方向为 $y$ 轴, 水平地面为 $x$ 轴, 则甲所在位置对应的坐标为 $(-1,1)$,丙所在位置对应的坐标为 $(0,1.5)$, 乙所在位置对应的坐标为 $(3,1)$, 再利用待定系数法求出该抛物线的解析式, 即可求解;

（2）把抛物线的解析式化为顶点式，可得到顶点坐标, 即可求解.

【详解】(1) 解：设丙所在坚直方向为 $y$ 轴, 水平地面为 $x$ 轴, 则甲所在位置对应的坐标为 $(-1,1)$, 丙所在位置对应的坐标为 $(0,1.5)$, 乙所在位置对应的坐标为 $(3,1)$,

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设该拋物线的解析式 $y=a x^{2}+b x+c$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-b+c=1 \\ c=1.5 \\ 9 a+3 b+c=1\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{6} \\ b=\frac{1}{3} \\ c=\frac{3}{2}\end{array}\right.$,

$\therefore$ 该抛物线的解析式 $y=-\frac{1}{6} x^{2}+\frac{1}{3} x+\frac{3}{2}$,

$\because$ 丁头顶的横坐标为 $2.5-1=1.5$,

$\therefore y=-\frac{1}{6} \times 1.5^{2}+\frac{1}{3} \times 1.5+\frac{3}{2}=\frac{13}{8}$,

即丁同学的身高为 $\frac{13}{8} \mathrm{~m}$;

(2) 解: $y=-\frac{1}{6} x^{2}+\frac{1}{3} x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}(x-1)^{2}+\frac{5}{3}$,

$\therefore$ 顶点坐标为: $\left(1, \frac{5}{3}\right)$,

$\because \frac{5}{3}<1.7$,

$\therefore$ 该同学不能通过跳绳.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用, 明确题意, 准确建立平面直角坐标系, 求出函数解析式是解题的关键.

