10. 已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{1}{2}$, 且椭圆经过点 $N(2,-3)$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程;

(2)求椭圆以 $M(-1,2)$ 为中点的弦所在直线的方程.
：解 (1) 由椭圆经过点 $N(2,-3)$,得 $\frac{2^{2}}{a^{2}}+\frac{(-3)^{2}}{b^{2}}=1$,又 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$, 解得 $a^{2}=16, b^{2}=12$.

$\therefore$ 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$.

(2)显然 $M$ 在椭圆内, 设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是以 $M$ 为中点的弦的两个端点，
则 $\frac{x_{1}^{2}}{16}+\frac{y_{1}^{2}}{12}=1, \frac{x_{2}^{2}}{16}+\frac{y_{2}^{2}}{12}=1$.

相减得 $\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{2}+x_{1}\right)}{16}+\frac{\left(y_{2}-y_{1}\right)\left(y_{2}+y_{1}\right)}{12}=0$.

整理得 $k_{A B}=-\frac{12 \cdot\left(x_{1}+x_{2}\right)}{16 \cdot\left(y_{1}+y_{2}\right)}=\frac{3}{8}$,

则所求直线的方程为 $y-2=\frac{3}{8}(x+1)$,

即 $3 x-8 y+19=0$.