如图, 在 $\Delta A B C D$ 中, 对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 点 $E, F$ 分别在 $B D$ 和 $D B$ 的延长线上, 且 $D E=B F$, 连接 $A E, C F$.

(1)求证: $\triangle A D E \cong \triangle C B F$;

(2)连接 $A F, C E$. 当 $B D$ 平分 $\angle A B C$ 时, 四边形 $A F C E$ 是什么特殊四边形?

<ImageHere>
请说明理由.
(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A D=C B, \angle A D C=\angle C B A$,

$\therefore \angle A D E=\angle C B F$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle C B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=C B \\ \angle A D E=\angle C B F, \\ D E=B F\end{array}\right.$

$\therefore \Delta$

$A D E \cong \triangle C B F(S A S)$

平分 $\angle A B C$ 时, 四边形 $A F C E$ 是菱形,

$B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\angle A B D=\angle C B D$,

<ImageHere>

(2)当 $B D$理由: $\because$

$\therefore$

$\because$ 四边形
$A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore O A=O C, O B=O D, A D / / B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C B D$,

$\therefore \angle A B D=\angle A D B$,

$\therefore A B=A D$,

$\therefore$ 平行四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D$,

$\therefore A C \perp E F$

$\because D E=B F$,

$\therefore O E=O F$,

又 $\because O A=O C$,

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是平行四边形,

$\because A C \perp E F$

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是菱形.