棱雉 $P-A B C$ 中, 平面 $P A B \perp$ 平面 $A B C, \triangle A B C$ 是边长为 6 的等边三角形, $\triangle P A B$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形, 则该三棱雉外接球的表面积为
【分析】

在等边三角形 $A B C$ 中, 取 $A B$ 的中点 $F$, 设其中心为 $O$, 则 $A O=B O=C O=\frac{2}{3} C F=2 \sqrt{3}$, 再利用勾股定理可得 $O P=2 \sqrt{3}$, 则 $O$ 为棱雉 $P-A B C$ 的外接球球心, 利用球的表面积公式可得结果.

## 【详解】

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如图, 在等边三角形 $A B C$ 中, 取 $A B$ 的中点 $F$,

设其中心为 $O$, 由 $A B=6$,

得 $A O=B O=C O=\frac{2}{3} C F=2 \sqrt{3}$,

$\because \triangle P A B$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰角三角形, $\therefore P F \perp A B$,

又因为平面 $P A B \perp$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P F \perp$ 平面 $A B C, \therefore P F \perp O F$,

$O P=\sqrt{O F^{2}+P F^{2}}=2 \sqrt{3}$,

则 $O$ 为棱雉 $P-A B C$ 的外接球球心，

外接球半径 $R=O C=2 \sqrt{3}$,
$\therefore$ 该三棱雉外接球的表面积为 $4 \pi \times(2 \sqrt{3})^{2}=48 \pi$,

故答案为 $48 \pi$.

## 【点睛】

本题考查主要四面体外接球表面积, 考查空间想象能力, 是中档题. 要求外接球的表面积和体积, 关键是求出球的半径, 求外接球半径的常见方法有: (1)若三条棱两垂直则用 $4 R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}(a, b, c$ 为三棱的长); (2) 若 $S A \perp$ 面 $A B C \quad(S A=a)$, 则 $4 R^{2}=4 r^{2}+a^{2}$ ( $r$ 为 $\triangle A B C$ 外接圆半径); (3)可以转化为长方体的外接球; (4)特殊几何体可以直接找出球心和半径.