如图所示的是-款机械手臂, 由上臂、中臂和底座三部分组成, 其中上臂和中臂可自由转动, 底座与水平地面垂直.在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内, 其示意图如图 1 所示, 经测量, 上臂 $A B=12 \mathrm{~cm}$, 中臂 $B C=8 \mathrm{~cm}$, 底座 $C D=4 \mathrm{~cm}$.
<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

(1)若上臂 $A B$ 与水平面平行, $\angle A B C=60^{\circ}$. 计算点 $A$ 到地面的距离.

(2)在一次操作中, 中臂与底座成 $135^{\circ}$ 夹角, 上臂与中臂夹角为 $105^{\circ}$, 如图 2, 计算这时点 $A$ 到地面的距离.与图 1 状态相比, 这时点 $A$ 向前伸长了多少?
解: (1)如图 1 , 过点 $C$ 作 $C M \perp A B$,垂足为 $M$, 则 $\angle B M C=90^{\circ}$,

<ImageHere>
$\because \angle A B C=60^{\circ}, B C=8 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \angle B C M=30^{\circ}$,

$\therefore B M=\frac{1}{2} B C=4(\mathrm{~cm}), \quad C M=\sqrt{3} B M=4 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$,

$\therefore D M=C M+C D=(4 \sqrt{3}+4) \mathrm{cm}$,

即点 $A$ 到地面的距离为 $(4 \sqrt{3}+4) \mathrm{cm} ;$

(2)如图 2, 过点 $B$ 作 $B G$ 垂直于地面, 垂足为 $G$, 分别过点 $A, C$ 作 $B G$ 的垂线, 垂足分别为 $E, F$,

$\because \angle B C D=135^{\circ}, \angle A B C=105^{\circ}$,

$\therefore \angle B C F=135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}, \angle C B F=45^{\circ}, \angle A B F=105^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$,

<ImageHere>

图2

$\therefore B F=C F=\frac{\sqrt{2}}{2} B C=4 \sqrt{2}(\mathrm{~cm}), A E=A B \times \sin \angle A B F=12 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$,

$B E=\frac{1}{2} A B=6(\mathrm{~cm})$

$\therefore$ 点 $A$ 到地面的距离为 $E G=B F+F G-B E=4 \sqrt{2}+4-6=(4 \sqrt{2}-2) \mathrm{cm}$.

由图 1 可知, 点 $A$ 距底座的距离为 $A M=A B-B M=12-4=8(\mathrm{~cm})$,

$\therefore$ 点 $A$ 向前伸长的距离为 $A E+C F-8=(6 \sqrt{3}+4 \sqrt{2}-8) \mathrm{cm}$.