如图, 在几何体 $A C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 四边形 $A D D_{1} A_{1}, C D D_{1} C_{1}$ 为矩形, 平面 $A D D_{1} A_{1} \perp$ 平面 $C D D_{1} C_{1}, B_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}, A D=C D=1, A A_{1}=A_{1} B_{1}=2, E$为棱 $A A_{1}$ 的中点.

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(1) 证明: $B_{1} C_{1} \perp C E$;

(2) 设 $A_{1} D$ 与 $A D_{1}$ 的交点为 $O$, 试问: 在线段 $B_{1} A_{1}$ 上是否存在一点 $N$, 使得 $O N \|$ 平面 $B_{1} C_{1} C$.
【分析】

(1) 先证明线 $C C_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 可得 $C C_{1} \perp B_{1} C_{1}$, 根据 $B_{1} E^{2}=B_{1} C_{1}^{2}+E C_{1}^{2}$ 可证明 $B_{1} C_{1} \perp C_{1} E$, 从而可证 $B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $C C_{1} E$, 由线面垂直的性质可得结论 (2) 设 $M$为线段 $B_{1} A_{1}$ 的中点, 可证四边形 $C D M B_{1}$ 为平行四边形, 取 $M A_{1}$ 的中点 $N$, 连 $0 N$ 由中位线可知, $O N / / C B_{1}$, 即可证明.

【详解】

(1) 因为 $B_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$, 所以 $B_{1} A_{1} \perp D D_{1}$,

又 $D D_{1} \perp D_{1} A_{1}, B_{1} A_{1} \cap D_{1} A_{1}=A_{1}$, 所以 $D D_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

因为 $D D_{1} / / C C_{1}$, 所以 $C C_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, B_{1} C_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 所以

$C C_{1} \perp B_{1} C_{1}$,

因为平面 $A D D_{1} A_{1} \perp$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$, 平面 $A D D_{1} A_{1} \cap$ 平面 $C D D_{1} C_{1}=D D_{1}, C_{1} D_{1} \perp D D_{1}$,

所以 $C_{1} D_{1} \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$,

经计算可得 $B_{1} E=\sqrt{5}, B_{1} C_{1}=\sqrt{2}, E C_{1}=\sqrt{3}$,

从而 $B_{1} E^{2}=B_{1} C_{1}^{2}+E C_{1}^{2}$,

所以在 $\Delta B_{1} E C_{1}$ 中, $B_{1} C_{1} \perp C_{1} E$,

又 $C C_{1}, C_{1} E \subset$ 平面 $C C_{1} E, C C_{1} \cap C_{1} E=C_{1}$,

所以 $B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $C C_{1} E$,

又 $C E \subset$ 平面 $C C_{1} E$, 所以 $B_{1} C_{1} \perp C E$.

（2）当 $A_{1} N=\frac{1}{4} A_{1} B_{1}$ 时, $O N \|$ 平面 $B_{1} C_{1} C$.

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其理由如下：

因为 $B_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}, C_{1} D_{1} \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$, 所以 $C_{1} D_{1} / / B_{1} A_{1}, \therefore C D / / B_{1} A_{1}$,设 $M$ 为线段 $B_{1} A_{1}$ 的中点, 又 $C D=\frac{1}{2} B_{1} A_{1}=1$,

$\therefore C D / / B_{1} M, C D=B_{1} M$,

所以四边形 $C D M B_{1}$ 为平行四边形,

所以 $D M / / C B_{1}$,
又因为中位线的性质，所以 $O N / / D M$ ，

所以 $O N / / C B_{1}$,

因为 $O N \not \subset$ 平面 $B_{1} C_{1} C, C B_{1} \subset$ 平面 $B_{1} C_{1} C$,

所以 $O N \|$ 平面 $B_{1} C_{1} C$.

## 【点睛】

本题主要考查了线面垂直的判定与性质, 面面垂直的性质, 线面平行的判定, 属于中档题.