（2019 秋・抚州期末）在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅 “赵爽弦图”, 由四个全等的直角三角形围成一个大正方形, 中间空出一个小正方形 (如图阴影部分) 。若直角三角形中较小的锐角为 $\alpha$, 现向大正方形区域内随机投郑一枚飞镖, 要使飞镖落在小正方形内的概率为 $\frac{1}{4}$, 则 $\cos \alpha=$

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解: 由题意, 不妨设大正方形的边长为 2 , 则根据条件中的概率可知小正方形的边长为 1 ,

设图中直角三角形的较短直角边为 $x$, 则 $x^{2}+(x+1)^{2}=4$,

解得 $x=\frac{\sqrt{7}-1}{2}$,

所以图中直角三角形中较小锐角的正余弦值 $\cos \alpha=\frac{\frac{\sqrt{7}-1}{2}+1}{2}=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$.

故答案为: $\frac{\sqrt{7}+1}{4}$.