如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 已知点 $D$ 在 $B C$ 边上, $A D \perp A C, \sin \angle B A C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B=3 \sqrt{2}, A D=3$, 则 $B D$ 的长为

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$\because \sin \angle B A C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 且 $A D \perp A C, \therefore \sin \left(\frac{\pi}{2}+\angle B A D\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, \therefore \cos \angle B A D=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 在 $\triangle B A D$ 中,
由余弦定理, 得 $B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}-2 A B \cdot A D \cos \angle B A D}=\sqrt{(3 \sqrt{2})^{2}+3^{2}-2 \times 3 \sqrt{2} \times 3 \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}}=\sqrt{3}$