已知 $n \in N$, 用数学归纳法证明: $(n+1)(n+2) \cdots(n+n)=2^{n} \times 1 \times 3 \times \cdots \times(2 n-1)$ 时, 从 “ $k$ 到 $k+1$ "左边需增加的代数式是
答案: $2(2 k+1)$

解: 当 $n=k$ 时, 左端 $=(k+1)(k+2) \cdots(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3) \cdots(2 k)$,

当 $n=k+1$ 时, 左端 $=(k+1+1)(k+1+2) \cdots(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)$,
所以当 $k$ 到 $k+1$ “”左端需要增加的代数式为 $\frac{(2 k+1)(2 k+2)}{k+1}=2(2 k+1)$.

【分析】本题考查的是推理与证明中的数学归纳法的证明应用, 重点考察从 $n=k$ 这一步到下一步 $n$

$=\mathrm{k}+1$ 的证明过程, 也就是这道题左端需要增加的代数式.