19.  已知向量 $\boldsymbol{m}=(\cos x, \sin x), \boldsymbol{n}=(2 \sqrt{2}+\sin x, 2 \sqrt{2}-\cos x)$, 函数 $f(x)=\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}, x \in \mathbf{R}$. (1)求函数 $f(x)$ 的最大值;

(2)若 $x \in\left(-\frac{3}{2} \pi,-\pi\right)$ 且 $f(x)=1$, 求 $\cos \left(x+\frac{5 \pi}{12}\right)$ 的值.
(1)因为 $f(x)=\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}=\cos x(2 \sqrt{2}+\sin x)+\sin x \cdot(2 \sqrt{2}-\cos x)=2 \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=$ $4 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)(x \in \mathbf{R})$,

所以 $f(x)$ 的最大值是 4 .

(2)因为 $f(x)=1$ ，所以 $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{4}$.

又 $x \in\left(-\frac{3 \pi}{2} ，-\pi\right)$ ，即 $x+\frac{\pi}{4} \in\left(-\frac{5 \pi}{4} ，-\frac{3 \pi}{4}\right)$ ，

所以 $\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

$\cos \left(x+\frac{5}{12} \pi\right)=\cos \left[\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{6}\right]$

$=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos \frac{\pi}{6}-\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \frac{\pi}{6}$

$=-\frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=-\frac{3 \sqrt{5}+1}{8}$.