用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}>\frac{n}{2}-1\left(n \in \mathrm{N}^{*}, n \geq 2\right)$ 时, 以下说法正确的是 ( )
第一步应该验证当 $n=2$ 时不等式成立, 所以 $\mathrm{A}$ 不正确;因为 $rac{1}{2}+rac{1}{3}+rac{1}{4}+\cdots+rac{1}{2^{k}}-\left(rac{1}{2}+rac{1}{3}+rac{1}{4}+\cdots+rac{1}{2^{k-1}}
ight)=rac{1}{2^{k-1}+1}+rac{1}{2^{k-1}+2}+\cdots rac{1}{2^{k}}$,所以从 “ $n=k$ 到 $n=k+1$ ”左边需要增加的代数式是 $rac{1}{2^{k-1}+1}+rac{1}{2^{k-1}+2}+\cdots+rac{1}{2^{k}}$,所以 $\mathrm{B}$ 不正确; 所以从 “ $n=k$ 到 $n=k+1$ ”左边需要增加 $2^{k-1}$ 项, 所以 $\mathrm{C}$ 不正确;故选 D.