若 $x \in A$, 且 $\frac{1}{x} \in A$, 则称 $A$ 是“伙伴关系集合”. 在集合 $M=\left\{-1,0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1,2,3,4\right\}$ 的所有非空子集中任选一个集合, 则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
$\because M=\left\{-1,0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1,2,3,4\right\}$ ，

$\therefore$ 集合 $M$ 的所有非空子集的个数为 $2^{9}-1=511$.

$\because$ 若 $-1 \in A$, 则 $\frac{1}{-1}=-1 \in A$; 若 $1 \in A$, 则 $\frac{1}{1}=1 \in A$;
若 $2 \in A$, 则 $\frac{1}{2} \in A, 2$ 与 $\frac{1}{2}$ 成对出现; 若 $3 \in A$, 则 $\frac{1}{3} \in A, 3$ 与 $\frac{1}{3}$ 成对出现;

若 $4 \in A$, 则 $\frac{1}{4} \in A, 4$ 与 $\frac{1}{4}$ 成对出现,

$\therefore$ 集合 $M$ 的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有 $2^{5}-1=31$ (个)

$\therefore$ 在集合 $M$ 的所有非空子集中任选一个集合，

则该集合是“伙伴关系集合”的概率为 $\frac{31}{511}$ ，故答案为 $\frac{31}{511}$.