如图所示, 半径为 $R$ 的半圆内的阴影部分是以直径 $A B$ 所在直线为轴, 旋转一周得到的一几何体, 求该几何体的表面积和体积. (其中 $\angle B A C=30^{\circ}$ )
<ImageHere>
$C$ 作 $C O_{1} \perp A B$ 于点 $O_{1}$, 由已知得 $\angle B C A=90^{\circ}$,

$\because \angle B A C=30^{\circ}, A B=2 R$,

$\therefore A C=\sqrt{3} R, B C=R, C O_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2} R$.

$\therefore S_{\text {翡 }}=4 \pi R^{2}, \quad S_{\text {圆维 } A \text {, 侧 }}=\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} R \times \sqrt{3} R=\frac{3}{2} \pi R^{2}$,

<ImageHere>

$\therefore S_{\text {几何体表 }}=S_{\text {球 }}+S_{\text {圆锥 } A O_{1} \text { 侧 }}+S_{\text {圆锥 } B O_{\text {侧 }}}$

$=4 \pi R^{2}+\frac{3}{2} \pi R^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \pi R^{2}=\frac{11+\sqrt{3}}{2} \pi R^{2}$.

又 $\because V_{\text {非 }}=\frac{4}{3} \pi R^{3}$,

$V_{\text {圆秧 } A O_{1}}=\frac{1}{3} \cdot A O_{1} \cdot \pi \cdot C O_{1}^{2}=\frac{1}{4} \pi R^{2} \cdot A O_{1} ，$

$V_{\text {圆锥 } B O_{1}}=\frac{1}{3} \cdot B O_{1} \cdot \pi \cdot C O_{1}^{2}=\frac{1}{4} \pi R^{2} \cdot B O_{1}$,

$\therefore V_{\text {几何体 }}=V_{\text {球 }}-\left(V_{\text {圆锥 } A O_{1}}+V_{\text {圆锥 } B O_{1}}\right)=\frac{5}{6} \pi R^{3}$.