已知 $z$ 为虚数, 且有 $|z|=5, z^{2}+2 \bar{z}$ 为实数, 若 $z$ 为实系数一元二次方程 $x^{2}+b x+c=0$ 的根, 则此方程为
设 $z=x+y i(x, y \in \mathbf{R}$, 且 $y 
eq 0) ，$则 $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5, x^{2}+y^{2}=25$ ，$z^{2}+2 ar{z}=x^{2}-y^{2}+2 x+(2 x y-2 y) \mathrm{i} \in \mathbf{R}, \quad 	herefore y(x-1)=0, \quad x=1$,$y= \pm 2 \sqrt{6}, z=1 \pm 2 \sqrt{6}$, 所以方程 $x^{2}+b x+c=0$ 的根为 $1 \pm 2 \sqrt{6}$,$z+ar{z}=2=-b, b=-2, z \cdot ar{z}=25=c$,所以方程为 $x^{2}-2 x+25=0$, 故答案为 $x^{2}-2 x+25=0$.