(2020内蒙古高三) 记等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 已知 $a_{1}=1, S_{4}+2 S_{2}=3 S_{3}$, 设 $m, n$ 是正整数, 若存在正整数 $i j(1<i<j)$, 使得 $m a_{i}, m n, n a_{j}$ 成等差数列, 则 $m n$ 的最小值为 $(\quad)$


【分析】由 $S_{4}+2 S_{2}=3 S_{3}$, 求得公比 $q=2$, 得到 $a_{n}=2^{n-1}$, 再由 $m a_{i}, m n, n a_{j}$ 成等差数列, 结合基本不等式, 即可求解.

【详解】由题意, 因为 $S_{4}+2 S_{2}=3 S_{3}$, 可得 $S_{4}-S_{3}=2\left(S_{3}-S_{2}\right)$, 可得 $a_{4}=2 a_{3}$, 即 $\frac{a_{4}}{a_{3}}=2$, 所以等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $\boldsymbol{q}=2$, 所以 $a_{n}=2^{n-1}$. 又由 $m a_{i}, m n, n a_{j}$ 成等差数列, 得 $2 m n=m a_{i}+n a_{j}=m 2^{i-1}+n 2^{j-1} \geq 2 m+4 n \geq 4 \sqrt{2 m n}$, 令 $t=\sqrt{2 m n}(t>0)$, 则 $t^{2} \geq 4 t$, 所以 $t \geq 4$,由 $\sqrt{2 m n} \geq 4$, 得 $m n \geq 8$, 当且仅当 $m=4, n=2$ 时等号成立. 所以 $m n$ 的最小值为 8故选: $D$.

【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列, 以及基本不等式的综合应用, 其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质, 准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力.