如图, 已知 Rt $\triangle A B C$ 的两条直角边 $A C 、 B C$ 的长分别为 3,4 , 以 $A C$ 为直径作圆与斜边 $A B$ 交于点 $D$, 则 $A D=$ $\qquad$ .

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frac{9}{5}$

【详解】连接 $C D$, 先根据勾股定理求得 $A B$ 的长, 再根据 $\triangle A D C \sim \triangle A C B$ 得出 $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$ 即可求出答案.

【解答】解：如图, 连接 $C D$,

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$\because A C=3, B C=4$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

$\because A C$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$.

$\therefore \angle A D C=\angle A C B$.

又 $\because \angle D A C=\angle C A B$,

$\therefore \triangle A D C \sim \triangle A C B$.
$\therefore \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$, 即 $\frac{A D}{3}=\frac{3}{5}$.

$\therefore A D=\frac{9}{5}$.

故答案是 $\frac{9}{5}$.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质, 勾股定理以及圆的相关性质, 熟练掌握直径所对的圆周角是直角, 从而推出三角形相似是解题的关键.

