(10 分) 运行如下图的程序框图:

(1) 若输入 $x=3$, 求输出的 $k$ 的值;

(2) 若输出 $k=4$, 求输人的实数 $x$ 的取值范围.
(1) 按照程序框图依次执行得: $x=3, k=0 ; x=7, k=1$ ，
$x=15, k=2 ; x=31, k=3 ; x=63, k=4 ; x=123, k=5$,

此时, $x=123>115$, 跳出循环, 此时 $k=5$,

所以输出的 $k$ 的值为 5 .

（2）按照程序框图依次执行得: $x=2 x+1, k=1 ; x=2(2 x+1)+1=4 x+3, k=2$;

$x=2(4 x+3)+1=8 x+7, k=3 ; \quad x=2(8 x+7)+1=16 x+15, k=4$

此时跳出循环, 所以有 $\left\{\begin{array}{l}8 x+7 \leq 115 \\ 16 x+15>115\end{array}\right.$, 解得 $\frac{25}{4}<x \leq \frac{27}{2}$,

所以输人的实数 $x$ 的取值范围为 $\left(\frac{25}{4}, \frac{27}{2}\right]$