(12 分) 复数 $z$ 和 $\omega$ 满足 $z a+2 i z-2 i a+1=0$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位。

(1) 若 $z$ 和 $\omega$ 满足 $\bar{a}-z=2 \mathrm{i}$, 求 $z$ 和 $\omega$ 的值:

(2) 求证: 如果 $|z|=\sqrt{3}$, 那么 $|\omega-4 i|$ 的值是一个常数, 并求这个常数.
(1) 设 $z=a+b \mathrm{i} ， \omega=c+d \mathrm{i}(a, b, c, d \in \mathbf{R})$ ，由 $z a+2 \mathrm{i} z-2 \mathrm{i} a+1=0$, 得 $(a+b \mathrm{i})(c+d i)+2 \mathrm{i}(a+b \mathrm{i})-2 \mathrm{i}(c+d i)+1=0$,即 $(a c-b d-2 b+2 d+1)+(a d+b c+2 a-2 c) i=0 ，$所以 $a c-b d-2 b+2 d+1=0$, (1), $a d+b c+2 a-2 c=0$. (2)又 $ar{\omega}-z=2 \mathrm{i}$, 所以 $c-d \mathrm{i}-(a+b \mathrm{i})=2 \mathrm{i}$, 即 $(c-a)-(b+d) \mathrm{i}=2 \mathrm{i}$ ，所以 $c-a=0$, (3), $b+d=-2$. (4)解(1)(2)(3)(4)组成的方程组, 得 $a=0, c=0, d=-1, b=-1$ 或 $a=0, c=0, d=-5, b=3$.所以 $z=-i, a=-i$ 或 $z=3 i, a=-5 i$.(2) 因为 $z a+2 \mathrm{i} z-2 \mathrm{i} a+1=0$, 所以 $z(\omega+2 \mathrm{i})=2 \mathrm{i} \omega-1$,所以 $|z(\omega+2 \mathrm{i})|=|2 \mathrm{i} \omega-1|$ ，即 $|z| \cdot|\omega+2 \mathrm{i}|=|2 \mathrm{i} \omega-1|$ ；又 $|z|=\sqrt{3}$,设 $\omega=x+y\left(i(x, y \in \mathbf{R})
ight.$, 代入上式整理得 $\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}+4 y+4}=\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}+4 y+1}$,两边平方得 $3 x^{2}+3 y^{2}+12 y+12=4 x^{2}+4 y^{2}+4 y+1$,化简得 $x^{2}+y^{2}-8 y=11$,$: \omega-4 i|=| x+y i-4 i \mid=\sqrt{x^{2}+(y-4)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}-8 y+16}=\sqrt{11+16}$$=\sqrt{27}=3 \sqrt{3}$ 是一个常数.