20. 已知 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c, 2 a \cos ^{2} \frac{B}{2}=a+b \sin A, c=6, S_{\triangle A B C}=9$.

(1) 求 $a$ 的值;

(2) 若点 $E 、 F$ 分别在边 $A B 、 B C$ 上, 且 $A E=4, A F \perp C E$, 求 $A F$ 的长.
(1) 由 $2 a \cos ^{2} \frac{B}{2}=a+b \sin A$, 得 $2 a \frac{1+\cos B}{2}=a+b \sin A$,

即 $a \cos B=b \sin A$,

由正弦定理, 得 $\sin A \cos B=\sin B \sin A$, 因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\tan B=1$.

因为 $B \in(0, \pi)$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$. 因为 $c=6, S_{\triangle A B C}=9$,
所以 $\frac{1}{2} a \times 6 \times \sin \frac{\pi}{4}=9$, 即 $B C=a=3 \sqrt{2}$.

(2) 由（1）知 $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形,

$C E=\sqrt{A C^{2}+A E^{2}-2 A C \cdot A E \cos \angle B A C}=\sqrt{10}$,

$\cos \angle A C E=\frac{A C^{2}+C E^{2}-A E^{2}}{2 A C \cdot C E}=\frac{\sqrt{5}}{5}$, 则 $\sin \angle A F C=\sin \angle A C E=\frac{2 \sqrt{5}}{5} ，$

所以 $A F=\frac{A C}{\sin \angle A F C}=\frac{3 \sqrt{10}}{2}$.