11. 某物流公司购买了一块长 $A M=30$ 米, 宽 $A N=20$ 米的矩形地形 $A M P N$, 规划建设占地如图中矩形 $A B C D$ 的仓库, 其余地方为道路和停车场, 要求顶点 $C$ 在地块对角线 $M N$ 上, $B, D$ 分别在边 $A M$, $A N$ 上, 假设 $A B$ 长度为 $x$ 米.

(1)要使仓库占地 $A B C D$ 的面积不少于 144 平方米, $A B$ 长度应在什么范围内?

(2)若规划建设的仓库是高度与 $A B$ 长度相同的长方体建筑, 问 $A B$ 长度为多少时仓库的库容最大? (墙体及楼板所占空间忽略不计)

<ImageHere>
：解 (1)依题意三角形 NDC 与三角形 $N A M$ 相似,

$\therefore \frac{D C}{A M}=\frac{N D}{N A}$, 即 $\frac{x}{30}=\frac{20-A D}{20}, A D=20-\frac{2}{3} x$,矩形 $A B C D$ 的面积为 $S=20 x-\frac{2}{3} x^{2}$,定义域为 $0<x<30$,
要使仓库占地 $A B C D$ 的面积不少于 144 平方米,即 $20 x-\frac{2}{3} x^{2} \geqslant 144$,

化简得 $x^{2}-30 x+216 \leqslant 0$ ，解得 $12 \leqslant x \leqslant 18$,

$\therefore A B$ 长度应在 $[12,18]$ 内.

(2)仓库体积为 $V=20 x^{2}-\frac{2}{3} x^{3}(0<x<30)$

$V^{\prime}=40 x-2 x^{2}=0$, 得 $x=0$, 或 $x=20$,

当 $0<x<20$ 时 $V^{\prime}>0$; 当 $20<x<30$ 时 $V^{\prime}<0$,

$\therefore x=20$ 时 $V$ 取最大值 $\frac{8000}{3}$ 米 3 ,

即 $A B$ 长度为 20 米时仓库的库容量最大.