如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的弦, 半径 $O C \perp A B$, 垂足为 $D$, 弦 $C E$ 与 $A B$ 交于点 $F$, 连接 $A E$, $A C, B C$.

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(1)求证: $\angle B A C=\angle E$;

(2)若 $A B=8, D C=2, C E=3 \sqrt{10}$, 求 $C F$ 的长.


(1)由垂径定理, 得 $A D=B D \quad A C=B C$, 由圆周角定理, 得 $\angle B A C=\angle E$;

(2) 可证 $\triangle A C F \sim \triangle E C A$ 得 $\frac{A C}{E C}=\frac{C F}{C A} ;$ Rt $\triangle A D C$ 中, 勾股定理求得 $A C=\sqrt{A D^{2}+D C^{2}}=2 \sqrt{5}$,于是 $C F=\frac{2 \sqrt{10}}{3}$.

【详解】(1) 证明: $\because O C \perp A B \quad O C$ 是 $\odot O$ 的半径

$\therefore A D=B D, \quad A C=B C$ (垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧)

$\therefore \angle B A C=\angle E$ (同弧或等弧所对的圆周角相等)

(2) 解: $\because \angle B A C=\angle E$ 又 $\because \angle A C F=\angle E C A$

$\therefore \triangle A C F \sim \triangle E C A$ (两角分别相等的两个三角形相似)

$\therefore \frac{A C}{E C}=\frac{C F}{C A}$ (相似三角形对应边成比例)

$\because A B=8$

$\therefore A D=B D=4$

在 Rt $\triangle A D C$ 中 $\angle A D C=90^{\circ} \quad A D=4 \quad C D=2$

$\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+D C^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{5}$ (勾股定理)

即 $\frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{10}}=\frac{C F}{2 \sqrt{5}}$

$\therefore C F=\frac{2 \sqrt{10}}{3}$.

【点睛】本题考查垂径定理, 相似三角形的判定和性质, 圆周角定理; 由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键.

