12. 如图, 为测量河对岸 $A 、 B$ 两点的距离, 在河的这边测出 $C D$ 的长为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~km}, \angle A D B$ $=\angle C D B=30^{\circ}, \angle A C D=60^{\circ}, \angle A C B=45^{\circ}$, 求 $A 、 B$ 两点间的距离.

<ImageHere>
$\triangle B D C$ 中, $\angle C B D=180^{\circ}-30^{\circ}-105^{\circ}=45^{\circ}$,

由正弦定理得 $\frac{B C}{\sin 30^{\circ}}=\frac{C D}{\sin 45^{\circ}}$,

则 $B C=\frac{C D \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{4}(\mathrm{~km})$.

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle C A D=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C D$ 为正三角形. $\therefore A C=C D=\frac{\sqrt{3}}{2}(\mathrm{~km})$.

在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得

$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 A C \cdot B C \cdot \cos 45^{\circ}$

$=\frac{3}{4}+\frac{6}{16}-2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{6}}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{8}$,

$\therefore A B=\frac{\sqrt{6}}{4}(\mathrm{~km})$.

答 河对岸 $A 、 B$ 两点间距离为 $\frac{\sqrt{6}}{4} \mathrm{~km}$.