(10 分) 如图, 在 $\odot O$ 中, 直径 $A B$ 垂直弦 $C D$ 于点 $E$, 连接 $A C, A D, B C$, 作 $C F \perp A D$于点 $F$, 交线段 $O B$ 于点 $G$ (不与点 $O, B$ 重合), 连接 $O F$.

(1)若 $B E=1$, 求 $G E$ 的长.

(2)求证: $B C^{2}=B G \cdot B O$.

(3)若 $F O=F G$, 猜想 $\angle C A D$ 的度数, 并证明你的结论.

<ImageHere>

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(1)由垂径定理可得 $\angle A E D=90^{\circ}$, 结合 $C F \perp A D$ 可得 $\angle D A E=\angle F C D$, 根据圆周角定理可得 $\angle D A E=\angle B C D$, 进而可得 $\angle B C D=\angle F C D$, 通过证明 $\triangle B C E \cong \triangle G C E$ 可得 $G E=B E=1$;

（2）证明 $\triangle A C B \sim \triangle C E B$, 根据对应边成比例可得 $B C^{2}=B A \cdot B E$, 再根据 $A B=2 B O$, $B E=\frac{1}{2} B G$, 可证 $B C^{2}=B G \cdot B O$ ；

(3) 设 $\angle D A E=\angle C A E=\alpha, \angle F O G=\angle F G O=\beta$, 可证 $\alpha=90^{\circ}-\beta, \angle O C F=90^{\circ}-3 \alpha$,通过 SAS 证明 $\triangle C O F \cong \triangle A O F$, 进而可得 $\angle O C F=\angle O A F$, 即 $90^{\circ}-3 \alpha=\alpha$, 则 $\angle C A D=2 \alpha=45^{\circ}$.

【详解】(1) 解: $\because$ 直径 $A B$ 垂直弦 $C D$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E+\angle D=90^{\circ}$,

$\because C F \perp A D$,

$\therefore \angle F C D+\angle D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle F C D$,

由圆周角定理得 $\angle D A E=\angle B C D$,

$\therefore \angle B C D=\angle F C D$,

在 $\triangle B C E$ 和 $\triangle G C E$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle B C E=\angle G C E \\
C E=C E \\
\angle B E C=\angle G E C
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle B C E \cong \triangle G C E(\mathrm{ASA})$,

$\therefore G E=B E=1$;

（2）证明: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

在 $\triangle A C B$ 和 $\triangle C E B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A C B=\angle C E B=90^{\circ} \\ \angle A B C=\angle C B E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A C B \sim_{\triangle C E B}$,

$\therefore \frac{B C}{B E}=\frac{B A}{B C}$,

$\therefore B C^{2}=B A \cdot B E$,

由（1）知 $G E=B E$,

$\therefore B E=\frac{1}{2} B G$,

又 $\because A B=2 B O$,

$\therefore B C^{2}=B A \cdot B E=2 B O \cdot \frac{1}{2} B G=B G \cdot B O$;

（3）解: $\angle C A D=45^{\circ}$, 证明如下:

如图, 连接 $O C$,

<ImageHere>

$\because F O=F G$,

$\therefore \angle F O G=\angle F G O$,

$\because$ 直径 $A B$ 垂直弦 $C D$,

$\therefore C E=D E, \angle A E D=\angle A E C=90^{\circ}$,

又 $\because A E=A E$,

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle A D E(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle D A E=\angle C A E$,

设 $\angle D A E=\angle C A E=\alpha, \angle F O G=\angle F G O=\beta$,

则 $\angle F C D=\angle B C D=\angle D A E=\alpha$,

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle O C A=\angle O A C=\alpha$,

又 $\because \angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle O C F=\angle A C B-\angle O C A-\angle F C D-\angle B C D=90^{\circ}-3 \alpha$,

$\because \angle C G E=\angle O G F=\beta, \angle G C E=\alpha, \angle C G E+\angle G C E=90^{\circ}$

$\therefore \beta+\alpha=90^{\circ}$,

$\therefore \alpha=90^{\circ}-\beta$,

$\because \angle C O G=\angle O A C+\angle O C A=\alpha+\alpha=2 \alpha$,

$\therefore \angle C O F=\angle C O G+\angle G O F=2 \alpha+\beta=2\left(90^{\circ}-\beta\right)+\beta=180^{\circ}-\beta$,

$\therefore \angle C O F=\angle A O F$,

在 $\triangle C O F$ 和 $\triangle A O F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}C O=A O \\ \angle C O F=\angle A O F \\ O F=O F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C O F \cong \triangle A O F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O C F=\angle O A F$,

即 $90^{\circ}-3 \alpha=\alpha$,

$\therefore \alpha=22.5^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=2 \alpha=45^{\circ}$.

【点睛】本题考查垂径定理, 圆周角定理, 全等三角形的判定与性质, 相似三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质等, 难度较大, 解题的关键是综合应用上述知识点, 特别是第 3 问, 需要大胆猜想, 再逐步论证.

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