如图拋物线 $y=a x^{2}+b x+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$.

<ImageHere>

（1)求该抛物线的函数表达式.

(2)若该抛物线 $y$ 轴交于点 $C$, 顶点为 $F$, 点 $D(2,3)$, 在该抛物线上, 求四边形 $A C F D$的面积


(1) 由 $A, B$ 两点的坐标, 利用特定系数法即可求得抛物线解析式;

(2)连接 $C D$, 则可知 $C D / / x$ 轴, 由 $A 、 F$ 的坐标可知 $F, A$ 到 $C D$ 的距离, 利用三角形面积公式可求得 $\triangle A C D$ 和 $\triangle F C D$ 的面积, 则可求得四边形 $A C F D$ 的面积.
$\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+3$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$, 可得:

$\left\{\begin{array}{c}a-b+3=0 \\ 9 a+3 b+3=0\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=-1 \\ b=2\end{array}\right.$,

拋物线解析式为 $y=-x^{2}+2 x+3$;

(2)

连接 $C D$

<ImageHere>

$\because y=-x^{2}+2 x+3=-(x-1)^{2}+4$,

$\therefore F(1,4), C(0,3)$,

$\because D(2,3)$,

$\therefore C D=2$, 且 $C D / / x$ 轴,

$\because A(-1,0)$,

$\therefore S_{\text {四边形 } A C F D}=S_{\triangle A C D}+S_{\triangle F C D}=\frac{1}{2} \times 2 \times 3+\frac{1}{2} \times 2 \times(4-3)=4$

【点睛】本题为二次函数的综合应用, 涉及待定系教法、三角形的面积、二次函数的性质、及转化思想等知识, 在(2)中注意把四边形转化为两个三角形, 本题考的知识点较多, 综合性较强, 难度适中.

