15. 设 $a, b>0$, 且 $a+b=2$.

求证: $\frac{a^{2}}{2-a}+\frac{b^{2}}{2-b} \geq 2$.
: 分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是利用柯西不等式前,需要观察不等式的结构特点, 本题可以看作求 $\frac{a^{2}}{2-a}+\frac{b^{2}}{2-b}$ 的最小值, 因而需出现 $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)$ 结构. 把 $\frac{a^{2}}{2-a}+\frac{b^{2}}{2-b} \frac{a^{2}}{2-a}+\frac{b^{2}}{2-b}$ 视为其中的一个括号内的部分, 另一部分可以是 $(2-a)(2-b)$.