如图所示, 一个正四棱雉(底面是正方形, 从顶点向底面引垂线, 垂足是底面中心的四棱雉)的正方形底面的边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 高与斜高的夹角为 $30^{\circ}$, 则正四棱雉的表面积为 $\mathrm{cm}^{2}$.

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$\because$ 该四棱锥的侧面是底边长为 $4 \mathrm{~cm}$ 的全等的等腰三角形, $\therefore$ 要求侧面积, 只需求等腰三角形底边上的高即可, 可构造直角三角形求解. 如题图所示, 正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成 Rt $\triangle P O E$.

$\because O E=2 \mathrm{~cm}, \angle O P E=30^{\circ}$,

$\therefore$ 斜高 $P E=\frac{O E}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4(\mathrm{~cm})$.

$\therefore S_{\text {校维侧 }}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot B C \cdot P E=4 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 4=32\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

$\therefore S_{\text {表 }}=S_{\text {侧 }}+S_{\text {底 }}=32+4 \times 4=48\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.