如图, $B, C, D, E$ 为 $\odot A$ 上的点, $D E=5, \angle B A C+\angle D A E=180^{\circ}$, 则圆心 $A$ 到弦 $B C$ 的距离为 . $\qquad$

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    （第 17 题）


延长 $\mathrm{CA}$ 交 $\odot \mathrm{A}$ 于 $\mathrm{F}$, 连接 $\mathrm{BF}$, 作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ 于 $\mathrm{H}$, 根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出 $\mathrm{BF}$, 根据垂径定理得到 $\mathrm{CH}=\mathrm{HB}$, 根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】解：延长 $C A$ 交 $\odot A$ 于 $F$, 连接 $B F$, 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because \angle B A C+\angle D A E=180^{\circ}, \angle B A C+\angle B A F=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=\angle D A E$,

$\therefore$ 弧 $\mathrm{BF}=$ 弧 $\mathrm{DE}$,
$\therefore B F=D E=5$,

$\because A H \perp B C$,

$\therefore C H=H B$, 又 $C A=A F$,

$\therefore A H=\frac{1}{2} B F=\frac{5}{2}$,

故答案为: $\frac{5}{2}$.

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【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系, 掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键.

