如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\angle C=120^{\circ}, A D=2 A B=4$, 点 $H 、 G$ 分别是边 $A D 、 B C$ 上的动点. 连接 $A H 、 H G$, 点 $E$ 为 $A H$ 的中点, 点 $F$ 为 $G H$ 的中点, 连接 $E F$. 则 $E F$ 的最大值与最小值的差为 $(\quad)$

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如图, 取 $A D$ 的中点 $M$, 连接 $C M 、 A G 、 A C$, 作 $A N \perp B C$ 于 $N$.

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$\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形, $\angle B C D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle D=180^{\circ}-\angle B C D=60^{\circ}, A B=C D=2$,

$\because A M=D M=D C=2$,

$\therefore \triangle C D M$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D M C=\angle M C D=60^{\circ}, A M=M C$,

$\therefore \angle M A C=\angle M C A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore A C=2 \sqrt{3}$,

在Rt $\triangle A C N$ 中, $\because A C=2 \sqrt{3}, \angle A C N=\angle D A C=30^{\circ}$,
$\therefore A N=\frac{1}{2} A C=\sqrt{3}$,

$\because A E=E H, G F=F H$,

$\therefore E F=\frac{1}{2} A G$,

易知 $A G$ 的最大值为 $A C$ 的长, 最小值为 $A N$ 的长,

$\therefore A G$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$, 最小值为 $\sqrt{3}$,

$\therefore E F$ 的最大值为 $\sqrt{3}$, 最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore E F$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故选 $C$.