如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=60^{\circ}, \angle D=30^{\circ}, A B=B C$.

<ImageHere>

(1)求 $\angle A+\angle C$ 的度数;

(2)连接 $B D$, 探究 $A D, B D, C D$ 三者之间的数量关系, 并说明理由.
解：(1)在四边形 $A B C D$ 中,

$\because \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle C=360^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=270^{\circ}$,

故答案为: $270^{\circ}$;

(2)如图所示,

$A D 、 B D 、 C D$ 三者之间的等量关系为: $D B^{2}=D A^{2}+D C^{2}$.

理由如下:

连接 $B D$, 以 $B D$ 为边向下作等边三角形 $\triangle B D Q$,

则 $\angle D B Q=60^{\circ}, B D=B Q$,

$\because \angle A B C=\angle D B Q=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B Q$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B Q$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=C B \\ \angle A B D=\angle C B Q \\ B D=B Q\end{array}\right.$

<ImageHere>

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle C B Q(S A S)$,

$\therefore A D=C Q, \angle A=\angle B C Q$,

$\because \angle A+\angle B C D=\angle B C Q+\angle B C D=270^{\circ}$,

$\therefore \angle D C Q=90^{\circ}$,

$\therefore C D^{2}+C Q^{2}=D Q^{2}$,

$\because C Q=A D, D Q=B D$,

$\therefore C D^{2}+A D^{2}=B D^{2}$.