正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $O$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心, 则 $A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 ( )

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【分析】

取 $B C$ 中点 $E$, 则所求线面角为 $\angle O A E$, 利用勾股定理求得 $O E, O A$, 作比可求得结

果.

【详解】
取 $B C$ 中点 $E$, 连接 $O E, A E$

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$\because O$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心 $\quad \therefore O E \perp$ 平面 $A B C D$

$\therefore A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角即为 $\angle O A E$

设正方体棱长为 $2 a$, 则 $O E=a, A E=\sqrt{4 a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5} a, O A=\sqrt{5 a^{2}+a^{2}}=\sqrt{6} a$

$\therefore \sin \angle O A E=\frac{O E}{O A}=\frac{a}{\sqrt{6} a}=\frac{\sqrt{6}}{6}$, 即 $A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

故选: $C$

## 【点睛】

本题考查直线与平面所成角的求解, 关键是能够根据线面垂直关系确定所求角, 属于基础题.