如图, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BD}$, 垂足为 $\mathrm{F}$, 则 $\tan \angle \mathrm{BDE}$ 的值是 ( )

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$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是矩形,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \because$ 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\therefore \mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BEF} \sim \triangle \mathrm{DAF}, \therefore \frac{E F}{A F}=\frac{B E}{A D}=\frac{1}{2}, \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{AF}, \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{3} \mathrm{AE}, \because$ 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\therefore$ 由矩形的对称性得: $\mathrm{AE}=\mathrm{DE}, \quad \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{3} \mathrm{DE}$, 设 $\mathrm{EF}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{DE}=3 \mathrm{x}, \quad \therefore \mathrm{DF}=\sqrt{D E^{2}-E F^{2}}=2 \sqrt{2} \mathrm{x}$, $\therefore \tan \angle \mathrm{BDE}=\frac{E F}{D F}=\frac{x}{2 \sqrt{2} \mathrm{x}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 故选 A.