如图, 已知在直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^{2}-8 a x+3(a<0)$ 与 $y$ 轴交于点 $\mathrm{A}$, 顶点为 $D$. 其对称轴交 $X$ 轴于点 $B$, 点 $P$ 在抛物线上, 且位于抛物线对称轴的右侧.

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(1)当 $A B=B D=5$ 时, 求拋物线的表达式;

(2)在（1）的条件下, 当 $D P / / A B$ 时, 求点 $P$ 的坐标;


(1) 用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标, 对称轴, 利用两点间距离, 即可;

（2）先确定出直线 $A B$ 解析式, 再由 $D P / / A B$ 确定出直线 $D P$ 解析式, 利用方程组确定出交点坐标;

（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决, 即选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底.

【详解】(1) 解: $\because y=a x^{2}-8 a x+3=a(x-4)^{2}+3-16 a$,

$\therefore$ 对称轴为 $x=4, \quad B(4,0), A(0,3)$,

$\because A B=B D=5$

$\because$ 抛物线的顶点为 $D$, 其对称轴交 $x$ 轴于点 $B$,

$\therefore 3-16 a=B D=5$,

$\therefore a=-\frac{1}{8}$

$\therefore y=-\frac{1}{8} x^{2}+x+3$,

（2）解: $\because B(4,0), A(0,3)$,

$\therefore$ 直线 $A B$ 解析式为 $y=-\frac{3}{4} x+3$,

$\because D P / / A B$,

设直线 $D P$ 解析式为 $y=-\frac{3}{4} x+b$,

$\because D(4,5)$ 在直线 $D P$ 上,

$\therefore b=8$,

$\therefore$ 直线 $D P$ 解析式为 $y=-\frac{3}{4} x+8$,

由 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4} x+8 \\ y=-\frac{1}{8} x^{2}+x+3\end{array}\right.$,

$\therefore x_{1}=10, \quad x_{2}=4$ (舍),

$\therefore P\left(10, \frac{1}{2}\right) ;$

