(12 分) 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=6, \angle B A C=\frac{2 \pi}{3}, D$ 为边 $B C$ 的中点, $M$ 为中线 $A D$ 的中点.

(1) 求中线 $A D$ 的长;

(2) 求 $\overrightarrow{B M}$ 与 $\overrightarrow{A D}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值.
解法 1: (1) 由已知, $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \times 6 \cos \frac{2 \pi}{3}=-9$,

又 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$,

所以 $|\overrightarrow{A D}|^{2}=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{A B}|^{2}+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+|\overrightarrow{A C}|^{2}\right)=\frac{1}{4}(9-18+36)=\frac{27}{4}$,

所以 $|\overrightarrow{A D}|=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(2) 由 (1) 知, $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A M}-\overrightarrow{A B}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})-\overrightarrow{A B}=-\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}$,

所以 $|\overrightarrow{B M}|^{2}=\frac{9}{16} \times 9-\frac{3}{8} \times(-9)+\frac{1}{16} \times 36=\frac{171}{16}$, 从而 $|\overrightarrow{B M}|=\frac{3 \sqrt{19}}{4}$.

$\overrightarrow{B M} \cdot \overrightarrow{A D}=\left(-\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}\right) \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})=-\frac{3}{8} \times 9-\frac{2}{8} \times(-9)+\frac{1}{8} \times 36=\frac{27}{8}$,

$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{B M} \cdot \overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{B M}||| \overrightarrow{A D} \mid}=\frac{27}{8} \times \frac{4}{3 \sqrt{19}} \times \frac{2}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{57}}{19}$

解法 2: (1) 以点 $A$ 为原点, $A B$ 为 $x$ 轴, 过点 $A$ 且垂直于 $A B$ 的直线为 $y$ 轴建系,

则 $A(0,0), B(3,0), C(-3,3 \sqrt{3})$,
因为 $D$ 为边 $B C$ 的中点, 所以 $D\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{A D}=\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$,

所以 $|\overrightarrow{A D}|=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(2) 因为 $M$ 为中线 $A D$ 的中点, 由 (1) 知, $M\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$,

所以 $\overrightarrow{B M}=\left(-3, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$,

所以 $|\overrightarrow{B M}|=\sqrt{9+\frac{27}{16}}=\frac{3 \sqrt{19}}{4}, \overrightarrow{B M} \cdot \overrightarrow{A D}=\frac{27}{8}$,

$\cos \theta=\frac{\overrightarrow{B M} \cdot \overrightarrow{A D}}{|\overrightarrow{B M}||\overrightarrow{A D}|}=\frac{27}{8} \times \frac{4}{3 \sqrt{19}} \times \frac{2}{3 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{57}}{19}$.