(10 分) 设全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x \mid 1 \leq x<4\}, B=\{x \mid 2 a \leq x<3-a\}$.

(1) 若 $a=-2$, 求 $B \cap A$;

(2) 若 $A \cup B=A$, 求实数 $a$ 的取值范围.
【分析】

(1)利用集合间的交集运算求解;

(2)由 $A \cup B=A$ 得 $B \subseteq A$, 再分 $B=\phi$ 和 $B \neq \phi$ 讨论.

## 【详解】

(1) 若 $a=-2$, 则 $B=\{x \mid-4 \leq x<5\}$, 又 $A=\{x \mid 1 \leq x<4\}$, 所以 $B \cap A=\{x \mid 1 \leq x<4\}$.

(2) 若 $A \cup B=A$ ，则 $B \subseteq A$.

当 $B=\phi$ 时, $2 a \geq 3-a, a \geq 1$;

当 $B \neq \phi$ 时,

由 $\left\{\begin{array}{l}a<1, \\ 2 a \geq 1, \\ 3-a \leq 4\end{array}\right.$, 解得 $\frac{1}{2} \leq a<1$.

综上可知, 实数 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.