如图, $\odot O$ 与 $\triangle A B C$ 的三边分别相切于点 $D, E, F$, 连接 $D E, E F$. 若 $A D=6, B E=7, C F=8$,则 $\tan \angle D E F$ 的值是 ( )

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【分析】

本题主要考查了切线的性质, 切线长定理, 勾股定理, 圆周角定理, 锐角三角函数的概念, 解答本题的关键是掌握求三角形内切圆半径的思路与方法; 连接 $O A 、 O B 、 O C 、 O D 、 O E 、 O F$, 过点 $B$ 作 $B G \perp A C$ 于 $G$, 首先根据切线长定理得出 $A F=A D=6, B D=B E=7, C E=C F=8$, 以及 $\triangle A B C$的三边长, 设 $A G=x$, 则 $C G=A C-A G=14-x$,在Rt $\triangle A B G$ 中, $\angle A G B=90^{\circ}, B G^{2}=A B^{2}-A G^{2}$, 在 $R t \triangle C B G$ 中, $\angle C G B=90^{\circ}, B G^{2}=B C^{2}-C G^{2}$,进一步得出 $A B^{2}-A G^{2}=B C^{2}-C G^{2}$, 即 $13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}$, 解得 $x=5$, 得出 $A G$ 的长,利用勾股定理求出 $B G$ 的长, 利用三角形的面积公式求出 $\triangle A B C$ 的面积, 设 $O D=O E=O F=r$,根据 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B O}+S_{\triangle B C O}+S_{\triangle A C O}$, 求出 $r=4$, 即 $O F=4$, 在 $R t \triangle O A F$ 中, $\angle A F O=90^{\circ}, A F=6$,
$O F=4$, 求出 $\tan \angle A O F=\frac{A F}{O F}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, 最后证明 $R t \triangle A O F \cong R t \triangle A O D(H L)$, 得出 $\angle A O F=$ $\angle A O D=\frac{1}{2} \angle D O F$, 根据圆周角定理可得 $\angle D E F=\frac{1}{2} \angle D O F$, 得出 $\angle D E F=\angle A O F$, 即可解答.

【解答】

解：连接 $O A 、 O B 、 O C 、 O D 、 O E 、 O F$, 过点 $B$ 作 $B G \perp A C$ 于 $G$, 如图:

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则 $O D=O E=O F$,

根据切线的性质可知: $O D \perp A B, O E \perp B C, O F \perp A C$,

$\because A D=6, B E=7, C F=8$,

$\therefore$ 根据切线长定理可知: $A F=A D=6, B D=B E=7, C E=C F=8$,

$\therefore A B=A D+B D=6+7=13, B C=B E+C E=7+8=15, A C=A F+C F=6+8=14$,

$\because B G \perp A C$ 于 $G$,

$\therefore \angle A G B=\angle C G B=90^{\circ}$,

设 $A G=x$ ，则 $C G=A C-A G=14-x$ ，

在Rt $\triangle A B G$ 中, $\angle A G B=90^{\circ}, B G^{2}=A B^{2}-A G^{2}$,

在Rt $\triangle C B G$ 中, $\angle C G B=90^{\circ}, B G^{2}=B C^{2}-C G^{2}$,

$\therefore A B^{2}-A G^{2}=B C^{2}-C G^{2}$, 即 $13^{2}-x^{2}=15^{2}-(14-x)^{2}$, 解得 $x=5$,

$\therefore A G=5$,

$\therefore B G=\sqrt{A B^{2}-A G^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B G=\frac{1}{2} \times 14 \times 12=84$,

设 $O D=O E=O F=r$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B O}+S_{\triangle B C O}+S_{\triangle A C O} \\
& =\frac{1}{2} A B \cdot O D+\frac{1}{2} B C \cdot O E+\frac{1}{2} A C \cdot O F
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{1}{2} \times 13 r+\frac{1}{2} \times 15 r+\frac{1}{2} \times 14 r
$$

$=21 r$

$\therefore 21 r=84$,

$\therefore r=4$,

$\therefore O F=4$,

在Rt $\triangle O A F$ 中, $\angle A F O=90^{\circ}, A F=6, O F=4$,

$\therefore \tan \angle A O F=\frac{A F}{O F}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,

在Rt $\triangle A O F$ 和 $R t \triangle A O D$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
O F=O D \\
O A=O A^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore$ Rt $\triangle A O F \cong R t \triangle A O D(H L)$,

$\therefore \angle A O F=\angle A O D=\frac{1}{2} \angle D O F$,

根据圆周角定理可得 $\angle D E F=\frac{1}{2} \angle D O F$,

$\therefore \angle D E F=\angle A O F$,

$\therefore \tan \angle D E F=\tan \angle A O F=\frac{3}{2}$.

故选 $A$.