22. (2018 广西桂林、百色、崇左三模) 记公差 $d \neq 0$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 已知 $a_{1}=2+\sqrt{2}, \quad S_{3}=12+3 \sqrt{2}$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 及前 $n$ 项和 $S_{n}$;

(2) 试问: 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中是否存在三项 $a_{r}, a_{s}, a_{t}\left(r<s<t, r, s, t \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 恰好成等比数列?若存在, 求此三项; 若不存在, 请说明理由.
(1) 由 $a_{1}=2+\sqrt{2}, S_{3}=12+3 \sqrt{2}=3 a_{1}+3 d=12+3 \sqrt{2}$, 得 $d=2 \cdots \cdots 2$ 分所以 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d=2 n+\sqrt{2}$, 3 分 $S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{n(2+\sqrt{2}+2 n+\sqrt{2})}{2}=n^{2}+(\sqrt{2}+1) n$

（2）假设存在三项 $a_{r}, a_{s}, a_{t}$ 成等比数列, 则 $a_{s}^{2}=a_{r} a_{t}$,

即有 $(2 s+\sqrt{2})^{2}=(2 r+\sqrt{2})(2 t+\sqrt{2})$ ，

整理得 $\left(r t-s^{2}\right) \sqrt{2}=2 s-r-t$,

若 $r t-s^{2} \neq 0$, 则 $\sqrt{2}=\frac{2 s-r-t}{r t-s^{2}}$,

因为 $r<s<t, r, s, t \in \mathrm{N}^{*}$,

所以 $\frac{2 s-r-t}{r t-s^{2}}$ 是有理数,

这与 $\sqrt{2}$ 是无理数矛盾.

若 $r t-s^{2}=0$, 则 $2 s-r-t=0$, 从而 $e=s=t$, 这与 $r<s<t$ 矛盾.

综上可知, 不存在满足题意的三项 $a_{r}, a_{s}, a_{t}$.