11. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=2 S_{n}+1$, 其中 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, $n \in N^{*}$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 是首项为 1 , 公差为 2 的等差数列, 求数列 $\left\{\mathrm{b}_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和 $\mathrm{T}_{n}$.
(1). 由 $a_{1}=1, a_{n+1}=2 S_{n}+1$, 当 $n=1$ 时, 可得 $a_{2}=2 a_{1}+1=3$.

当 $n \geq 2$ 时, $a_{n}=2 S_{n-1}+1$, 两式相减得: $a_{n+1}-a_{n}=2 a_{n}$, 即 $a_{n+1}=3 a_{n}$, 且 $a_{2}=3 a_{1}$.

故 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 1 为首项, 3 为公比的等比数列.

所以 $a_{n}=3^{n-1}$

(2). 由题意 $b_{n}-a_{n}=1+2(n-1)=2 n-1$, 所以 $b_{n}=3^{n-1}+2 n-1$.

所以 $T_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=\left(3^{0}+3^{1}+\ldots+3^{n-1}\right)+(1+3+\ldots+2 n-1)=\frac{1-3^{n}}{1-3}+n^{2}=\frac{3^{n}-1}{2}+n^{2}$.