已知 $f(x)$ 是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 上是减函数. 求证: $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数.
证明: 设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $(-\infty, 0)$ 上的任意两个值, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $-x_{1}>-x_{2}>0$.
$\because f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数,

$\therefore f\left(-x_{1}\right)<f\left(-x_{2}\right)$.

又 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore-f\left(x_{1}\right)<-f\left(x_{2}\right)$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数.