已知矩形 $A B C D, A B=1, A D=\sqrt{2}, E$ 为 $A D$ 的中点, 现分别沿 $B E, C E$ 将 $\triangle A B E, \triangle D C E$ 翻折, 使点 $A, D$ 重合, 记为点 $P$, 则几何体 $P-B C E$ 的外接球表面积为
【分析】

利用所给数据易得三线垂直, 进而利用长方体外接球直径为其体对角线长, 再利用外接球的表面积公式即可得到答案.

## 【详解】

由 $A B=1, A D=\sqrt{2}, E$ 为 $A D$ 中点,

可得 $P E=\frac{\sqrt{2}}{2}, P B=P C=1$,

得 $\angle E P B=\angle E P C=90^{\circ}$,

$\angle C P B=90^{\circ}$,

$\therefore P-B C E$ 为长方体一角,

其外接球直径为其体对角线长,

$\therefore 2 R=\sqrt{P E^{2}+P C^{2}+P B^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$,

$\therefore R=\frac{\sqrt{10}}{4}$,

$\therefore$ 外接球表面积为 $4 \pi R^{2}=\frac{5 \pi}{2}$,

故答案为: $\frac{5 \pi}{2}$.

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## 【点睛】

本题考查长方体外接球问题, 长方体外接球的直径为体对角线, 考查推理和计算能力.