如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $B C$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D, C D$ 平分 $\angle A C B$. 若 $A D=2$, $B D=3$, 则 $A C$ 的长为 $\qquad$ .

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    （第 15 题）


根据题意, 由垂直平分线的性质得到 $\angle B=\angle D C B, A B=5$, 再由角平分线得到 $\angle A C D=\angle D C B=\angle B$, 结合 $\angle A=\angle A$, 证得 $\triangle A C D \sim \triangle A B C$, 进而根据对应边成比例求解即可.

【详解】 $\because B C$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D, B D=3$,

$\therefore C D=B D=3$,

$\therefore \angle B=\angle D C B$,

$\because A D=2$,

$\therefore A B=A D+B D=5$,

$\because C D$ 平分 $\angle A C B$,

$\therefore \angle A C D=\angle D C B=\angle B$,

$\because \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A C D \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{A C}{A B}=\frac{A D}{A C}$, 即 $\frac{A C}{5}=\frac{2}{A C}$,

解得, $A C=\sqrt{10}$,

故答案为: $\sqrt{10}$.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质及三角形相似的判定及性质, 熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键.

