如图所示, F, E, G, H 分别在矩形 $A B C D$ 的四边上, 连接 $E F, G H$, 且 $E F / / G H$, $A H=B F$. 若 $A D=3, E F+G H=\sqrt{34}$, 则 $\tan \angle D G H=$

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【分析】先延长 $\mathrm{GH}$ 交 $\mathrm{BA}$ 的延长线于 $\mathrm{P}$, 连 $\mathrm{HF}$, 过 $\mathrm{P}$ 作 $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{CD}$, 交 $\mathrm{CD}$ 的延长线于 $Q$,根据四边形 $\mathrm{PEFH}$ 为平行四边形, 即可得出 $\mathrm{PG}=\mathrm{PH}+\mathrm{HG}=\mathrm{EF}+\mathrm{GH}=\sqrt{34}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{PQG}$ 中, 由勾股定理得 QG 的长, 最后根据解直角三角形即可得到 $\tan \angle \mathrm{DGH}$ 的值.

解: 如图, 延长 $\mathrm{GH}$ 交 $\mathrm{BA}$ 的延长线于 $\mathrm{P}$, 连 $\mathrm{HF}$,

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$\because A H=B F, \quad A H / / B F$,

$\therefore$ 四边形 PEFH 为平行四边形,

$\therefore E F=P H$,
$\therefore \mathrm{PG}=\mathrm{PH}+\mathrm{HG}=\mathrm{EF}+\mathrm{GH}=\sqrt{34}$,

如图, 过 $P$ 作 $P Q \perp C D$, 交 $C D$ 的延长线于 $Q$,

$\therefore P Q=A D=3$,

在 Rt $\triangle \mathrm{PQG}$ 中, 由勾股定理得 $\mathrm{QG}=\sqrt{\mathrm{PG}^{2}-P Q^{2}}=5$,

$\therefore \tan \angle \mathrm{DGH}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QG}}=\frac{3}{5}$,

故答案为: $\frac{3}{5}$.