如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 是线段 $A C$ 上一点, $A E: C E=1: 2$, 过点 $C$ 作 $C D / / A B$, 交 $B E$ 的延长线于点 D. 若 $\triangle E C D$ 的面积等于 16 , 则 $\triangle A B C$ 的面积等于（）

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先证明 $\triangle A B E \sim \triangle C D E$, 再根据相似比求出 $S_{\triangle A B E}=4$, 再根据 $\triangle A B E 、 \triangle C B E$ 等高求出 $\triangle C B E$ 的面积, 最后求 $\triangle A B C$ 的面积即可.

【详解】 $\because C D / / A B$

$\therefore \angle B A E=\angle D C E, \quad \angle A B E=\angle C D E$

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle C D E$

$\therefore \frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle C D E}}=\left(\frac{A E}{C E}\right)^{2}$

即 $\frac{S_{\triangle A B E}}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$

$\therefore S_{\triangle A B E}=4$

由于 $\triangle A B E$ 中 $A E$ 边上的高和 $\triangle C B E$ 中 $C E$ 边上的高相等,

故 $\frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle C B E}}=\frac{A E}{C E}=\frac{1}{2}$

$\therefore S_{\triangle C B E}=8$

$\therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B E}+S_{\triangle C B E}=4+8=12$
故选 C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算, 解决本题的关键是证明三角形相似, 熟悉相似比与面积的关系.

