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作出线性约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y-2 \geq 0 \\ k x-y+2 \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right.$, 的可行域. 当 $k>0$ 时, 如图(1)所示, 此时可行域为 $y$轴上方

直线 $x+y-2=0$ 的右上方、直线 $k x-y+2=0$ 的右下方的区域，显然此时 $z=y-x$ 无最小值. 当

$$
k<-1
$$

时. $z=y-x$ 取得最小值 2 ;

当 $k=-1$ 时, $z=y-x$ 取得最小值 -2 , 均不符合题意,

当 $-1<k<0$ 时, 如图(2)所示, 此时可行域为点 $A(2,0), B\left(-\frac{2}{k} ， 0\right), C(0,2)$ 所围成的三角形区域, 当直线 $z=y-x$ 经过点 $B\left(-\frac{2}{k}, 0\right)$ 时, 有最小值, 即 $-\left(-\frac{2}{k}\right)=-4$, 所以得 $k=-\frac{1}{2}$. 故选 D.

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图(1)

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图(2)