(本小题 8.0 分)

如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$, 点 $D$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上, 且 $C D$ 为 $\odot O$ 的切线. 求 $\tan \angle A E C$ 的值.

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解: 连接 $B D, D O, C O, C O$ 与 $A D$ 相交于点 $F$,

<ImageHere>

由切线长定理得 $C A=C D, \angle D C O=\angle A C O$,

$\therefore \angle C F D=\angle C F A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C F A=\angle A D B=90^{\circ}$,

$\because \angle F A C+\angle D A B=\angle D A B+\angle A B D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle F A C=\angle A B D$,

又 $\because A B=A C$,

$\therefore \triangle A F C \cong \triangle B D A$,

$\therefore C F=A D, D B=A F$, 即 $C F=2 A F=2 D F=2 D B$,

$\because \angle C F D=\angle A D B, \angle C E F=\angle B E D$,

$\therefore \triangle C E F \sim \triangle B E D$,

$\therefore \frac{C F}{B D}=\frac{E F}{D E}$,

$\therefore E F=2 D E$,

$\therefore E F=\frac{2}{3} D F=\frac{1}{3} C F$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle C E F$ 中, $\tan \angle A E C=\frac{C F}{E F}=3$.

【解析】见答案