如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的弦, $O C \perp A B$, 垂足为 $C, O D / / A B, O C=\frac{1}{2} O D$, 则 $\angle O D B$的度数为 $($ )<ImageHere>


解: 如图所示, 连接 $O B$,

<ImageHere>

$\therefore O B=O D=r$,

$\because O C \perp A B$, 垂足为 $C, O D / / A B, O C=\frac{1}{2} O D$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle O B C$ 中, $O C=\frac{1}{2} O B$,

$\therefore \angle O B C=\angle B O D=30^{\circ}$,

$\because O B=O D=r$,
$\therefore \triangle B O D$ 是等腰三角形,

$\therefore \angle O B D=\angle O D B=\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)=75^{\circ}$,

故选: $C$.

如图所示(见详解), 连接 $O B$, 得 Rt $\triangle O B C$, 且 $O B=O D=r, O C=\frac{1}{2} O D, O D / / A B$, 由此即可求出 $\angle O B C=\angle B O D=30^{\circ}$, 再根据等腰三角形的性质即可求解.

本题主要考查圆与含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形, 等腰三角形性质的综合运用, 掌握圆的知识, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质, 等腰三角形性质是解题的关键.

 