已知 $P A \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, D, E$ 分别为 $P B, P C$ 上的点, 且 $A D \perp P B$, $A E \perp P C$

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(1) 求证: $P C \perp D E$;

(2) 若 $A B=2 B C=2$, 直线 $A B$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$, 求二面角 $C-D A-E$ 的余弦值.
【分析】

(1) 先证明 $B C \perp$ 平面 $P A B$, 可得 $B C \perp A D$, 证明 $A D \perp$ 平面 $P B C$ ，得 $P C \perp A D$, 再证明 $P C \perp$ 平面 $A D E$ ，即可证明 $P C \perp D E$;

(2) 过点 $B$ 作 $B E / / A P$, 则 $B Z \perp$ 平面 $A B C$, 分别以 $B A, B C, B Z$ 所在直线为 $x$ 轴, $y$轴, $z$ 轴建立空间直角坐标系, 设 $P A=a$, 根据 $P C \perp$ 平面 $A D E$, 可得 $\overrightarrow{P C}=(-2,1,-a)$是平面 $A D E$ 的一个法向量, 从而向量 $\overrightarrow{P C}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 所成的角的余弦值的绝对值为 $\frac{2}{3}$, 可求 $P A$ 的值, 利用题目条件求出平面 $C A D$ 的一个法向量, 利用夹角公式可得二面角 $C-D A-E$ 的余弦值.

## 【详解】

(1) 证明：因为 $P A \perp P A \perp$ 平面 $A B C, \therefore P A \perp B C$,

又 $B C \perp A B, A B \cap P A=A$,

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B, \therefore B C \perp D A$.

又 $A D \perp P B, B C \cap P B=B$,

$\therefore D A \perp$ 平面 $P B C, \therefore A D \perp P C$.

又 $P C \perp A E, A E \cap D A=A$,

$\therefore P C \perp$ 平面 $D E A, \therefore P C \perp D E$.

(2) 过点 $B$ 作 $B Z / / P A$, 则 $B Z \perp$ 平面 $A B C$, 如图所示

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分别以 $B A, B C, B Z$ 所在直线为 $x$ 轴, $y$ 轴, $z$ 轴建立空间直角坐标系.

设 $P A=a$ ，则 $A(2,0,0), C(0,1,0), P(2,0, a)$ ，

因为 $P C \perp$ 平面 $A D E$,

$\therefore \overrightarrow{P C}=(-2,1,-a)$ 是平面 $A D E$ 的一个法向量,

$\therefore$ 向量 $\overrightarrow{P C}$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 所成的角的余弦值的绝对值为 $\frac{2}{3}$,

又 $\overrightarrow{A B}=(-2,0,0)$,

$|\cos \langle\overrightarrow{P C}, \overrightarrow{A B}\rangle|=\left|\frac{\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{P C}| \cdot|\overrightarrow{A B}|}\right|=\left|\frac{4}{2 \sqrt{a^{2}+5}}\right|=\frac{2}{3}$,

$\therefore a=2, \quad \therefore P A=2$.

在 $\triangle P A B$ 中, $P A=A B$, 又 $A D \perp P B$,

$\therefore D$ 为 $P B$ 中点, $\therefore D(1,0,1)$,

$\therefore \overrightarrow{A C}=(-2,1,0), \overrightarrow{D A}=(1,0,-1)$,

设平面 $C A D$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x, y, z)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D A}=0\end{array}, \therefore\left\{\begin{array}{l}-2 x+y=0 \\ x-z=0\end{array}, \therefore \vec{n}=(1,2,1)\right.\right.$,

又 $\overrightarrow{P C}=(-2,1,-2)$ 是平面 $A D E$ 的法向量,

$\therefore \cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{P C}\rangle=\frac{2}{\sqrt{1+1+4} \cdot \sqrt{4+1+4}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$,

二面角 $C-D A-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{9}$.

## 【点睛】

本题考查空间垂直关系的证明与二面角所成平面角的计算, 考查空间推理能力与空间建模思想, 对学生计算求解能力要求较高, 属于中等题.