沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作, 其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”, 如图. $A B$ 是以 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径的圆弧, $C$ 是弦 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B$ 上, $C D \perp A B$. “会圆术”给出 $A B$ 长 $l$ 的近似值 $s$ 计算公式: $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$, 当 $O A=2$, $\angle A O B=90^{\circ}$ 时, $|l-s|=$ $\qquad$ . （结果保留一位小数）

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    (第 18 题)

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由已知求得 $A B$ 与 $C D$ 的值, 代入 $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$ 得弧长的近似值, 利用弧长公式可求弧长的值, 进而即可得解.

【详解】 $\because O A=O B=2, \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore A B=2 \sqrt{2}$,

$\because C$ 是弦 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B$ 上, $C D \perp A B$,

$\therefore$ 延长 $D C$ 可得 $O$ 在 $D C$ 上, $O C=\frac{1}{2} A B=\sqrt{2}$

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$\therefore C D=O D-O C=2-\sqrt{2}$,

$\therefore s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}=2 \sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2})^{2}}{2}=3$,
$l=\frac{90 \times 2 \times 2 \pi}{360}=\pi$

$\therefore|l-s|=|\pi-3| \approx 0.1$.

故答案为: 0.1 .

【点睛】本题考查扇形的弧长, 掌握垂径定理。弧长公式是关键.

