在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A 、 B 、 C$ 对边的边长分别是 $a 、 b 、 c$. 已知 $c=2, C=\frac{\pi}{3}$.

(1)若 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$, 求 $a, b$.

(2)若 $\sin B=2 \sin A$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
解 (1) 由余弦定理及已知条件得

$a^{2}+b^{2}-a b=4$.

又因为 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$,

所以 $\frac{1}{2} a b \sin C=\sqrt{3}$, 由此得 $a b=4$.

联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}-a b=4, \\ a b=4,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2, \\ b=2 .\end{array}\right.$

(2) 由正弦定理及已知条件得 $b=2 a$.

联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}-a b=4, \\ b=2 a,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \\ b=\frac{4 \sqrt{3}}{3} .\end{array}\right.$

所以 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.