(2020-湖北黄石二中高三) 设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{1}=2$, 对任意 $p, q \in N^{*}$, 都有 $a_{p+q}=a_{p} \cdot a_{q}$, 则 $\frac{S_{n-1} \cdot\left(S_{n-1}+4\right)+260}{a_{n}}\left(n>1\right.$ 且 $\left.n \in N^{*}\right)$ 的最小值为 $(\quad)$


【分析】取 $\boldsymbol{q}=1$, 得出 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, 求出 $a_{n}, S_{n}$, 转化为关于 $\boldsymbol{n}$ 的函数, 利用求最值的方法即可求解.

【详解】当 $q=1$ 时, $a_{p+1}=a_{p} \cdot a_{1}=2 a_{p}, \therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 2 , 公比为 2 的等比数列,

$\therefore a_{n}=2^{n}, \quad \therefore S_{n}=\frac{2\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=2^{n+1}-2, \quad \therefore S_{n-1}=2^{n}-2, \quad \therefore$

$S_{n-1} \cdot\left(S_{n-1}+4\right)=\left(2^{n}-2\right) \cdot\left(2^{n}+2\right)=2^{2 n}-4$,
$\therefore \frac{S_{n-1} \cdot\left(S_{n-1}+4\right)+260}{a_{n}}=\frac{2^{2 n}+256}{2^{n}}=2^{n}+\frac{256}{2^{n}} \geq 2 \sqrt{256}=32$ 当且仅当 $2^{n}=16$, 即 $n=4$ 时, 等号成立.

【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前 $n$ 项和公式, 考查基本不等式的应用, 属于中档题.