已知函数 $f(x)=\frac{a x+b}{x^{2}+1}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数, 且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

（2）判断函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上的单调性, 并用定义证明;

（3）解关于 $t$ 的不等式, $f\left(t+\frac{1}{2}\right)+f\left(t-\frac{1}{2}\right)<0$.
) $f(0)=0 \Rightarrow b=0, \quad f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5} \Rightarrow a=1 \Rightarrow f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$;

(2) 任取- $1<x_{1}<x_{2}<1$,

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right)\left(1+x_{2}^{2}\right)}<0 \Rightarrow f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$

所以函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是增函数;

(3)

$$
f\left(t+\frac{1}{2}\right)<-f\left(t-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow f\left(t+\frac{1}{2}\right)<f\left(\frac{1}{2}-t\right)\left\{\begin{array} { c } 
{ t + \frac { 1 } { 2 } < \frac { 1 } { 2 } - t } \\
{ - 1 < t + \frac { 1 } { 2 } < 1 } \\
{ - 1 < t - \frac { 1 } { 2 } < 1 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}
t<0 \\
-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2}<t<\frac{3}{2}
\end{array} \Rightarrow-\frac{1}{2}<t<0\right.\right.
$$