, 圆形纸片的圆心为 $O$, 半径为 $5 \mathrm{~cm}$, 该纸片上的等边三角形 $A B C$ 的中心为 $O . D, E, F$为圆 $O$ 上的点, $\triangle D B C, \triangle E C A, \triangle F A B$ 分别是以 $B C, C A, A B$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后, 分别以 $B C, C A, A B$ 为折痕折起 $\triangle D B C, \triangle E C A, \triangle F A B$, 使得 $D, E, F$ 重合, 得到三棱雉. 当 $\triangle A B C$ 的边长变化时, 所得三棱雉体积(单位: $\mathbf{c m}^{3}$ )的最大值为

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图, 连接 $D O$ 交 $B C$ 于点 $G$, 设 $D, E, F$ 重合于 $S$ 点, 正三角形的边长为 $x(x>0)$,则 $O G=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} x=\frac{\sqrt{3}}{6} x$.

$\therefore F G=S G=5-\frac{\sqrt{3}}{6} x$,

$S O=h=\sqrt{S G^{2}-G O^{2}}=\sqrt{\left(5-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)^{2}}=\sqrt{\left(5-\frac{\sqrt{3}}{3} x\right)}$,

$\therefore$ 三棱雉的体积 $V=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot h=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} \times \sqrt{\left(5-\frac{\sqrt{3}}{3} x\right)}=\frac{\sqrt{15}}{12} \sqrt{5 x^{4}-\frac{\sqrt{3}}{3} x^{5}}$.
设 $n(x)=5 x^{4}-\frac{\sqrt{3}}{3} x^{5}, x>0$, 则 $n^{\prime}(x)=20 x^{3}-\frac{5 \sqrt{3}}{3} x^{4}$,

令 $n^{\prime}(x)=0$, 即 $4 x^{3}-\frac{x^{4}}{\sqrt{3}}=0$, 得 $x=4 \sqrt{3}$, 易知 $n(x)$ 在 $x=4 \sqrt{3}$ 处取得最大值.

$\therefore V_{\max }=\frac{\sqrt{15}}{12} \times 48 \times \sqrt{5-4}=4 \sqrt{15}$.
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点睛: 对于三棱雉最值问题, 需要用到函数思想进行解决, 本题解决的关键是设好未知量, 利用图形特征表示出三棱雉体积. 当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数$\cdot$的性质进行解决, 当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.