已知四面体 $A B C D$ 中, $A B=C D=5, A C=B D=\sqrt{34}, A D=B C=\sqrt{41}, O$ 为其外接球球心, $A O$ 与 $A B, A C, A D$ 所成的角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$. 有下列结论:

(1)该四面体的外接球的表面积为 $50 \pi$ (2)该四面体的体积为 10

(3) $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1$ (4) $\angle B A C+\angle C A D+\angle D A B=180^{\circ}$其中所有正确结论的编号为:
【分析】

把四面体补成长方体，结合长方体的性质可求.

## 【详解】

依题意，把四面体补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$ ，则

$a^{2}+c^{2}=34, b^{2}+c^{2}=25, a^{2}+b^{2}=41$, 解得 $a=5, b=4, c=3$;

由于四面体的外接球就是长方体的外接球，所以易得该四面体的外接球的表面积为 $50 \pi$; 该四面体的体积等于长方体的体积去掉三个三棱雉的体积, 易求体积为 20 ; 四面体的外接球的球心 $O$ 是长方体体对角线的中点, 所以 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别等同于长方体的体对角线与 $A B, A C, A D$ 所成的角, 易求 $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=2 ;$

结合选项可知选 A.

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故选: A.

## 【点睛】

本题主要考查四面体的性质, 把四面体补成长方体, 使其位置关系或者度量关系更加清晰, 是求解这类问题的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.