如图所示, 已知正三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中, $D$ 是 $A A^{\prime}$ 上的点, $E$ 是 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点, 且 $A^{\prime} E / /$ 平面 $D B C^{\prime}$. 试判断 $D$ 点在 $A A^{\prime}$ 上的位置, 并给出证明.

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$D$ 为 $A A^{\prime}$ 的中点. 证明如下:

取 $B C$ 的中点 $F$, 连接 $A F, E F$, 如图.

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设 $E F$ 与 $B C^{\prime}$ 交于点 $O$, 易证 $A^{\prime} E / / A F, A^{\prime} E=A F$, 易知 $A^{\prime}, E, F, A$ 共面于平面 $A^{\prime} E F A$.

因为 $A^{\prime} E / /$ 平面 $D B C^{\prime}, A^{\prime} E \subset$ 平面 $A^{\prime} E F A$, 且平面 $D B C^{\prime} \cap$ 平面 $A^{\prime} E F A=D O$, 所以 $A^{\prime} E / / D O$.在平行四边形 $A^{\prime} E F A$ 中,

因为 $O$ 是 $E F$ 的中点 (因为 $E C^{\prime} / / B F$, 且 $E C^{\prime}=B F$ ),

所以点 $D$ 为 $A A^{\prime}$ 的中点.