已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \cos ^{2} x+1$, 将 $f(x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$, 纵坐标保持不变; 再把所得图象向上平移 1 个单位长度, 得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 若 $g\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{2}\right)=9$, 则 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的值可能为 ( )
答案:C

【解析】

函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \cos ^{2} x+1=\sqrt{3} \sin 2 x-\cos 2 x=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$,
将函数 $y=f(x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 得 $y=2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象;

再把所得图象向上平移 1 个单位, 得函数 $y=g(x)=2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ 的图象, 易知函数 $y=g(x)$ 的值域为 $[-1,3]$.

若 $g\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{2}\right)=9$, 则 $g\left(x_{1}\right)=3$ 且 $g\left(x_{2}\right)=3$, 均为函数 $y=g(x)$ 的最大值,

由 $4 x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$, 解得 $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in Z)$;

其中 $x_{1} 、 x_{2}$ 是三角函数 $y=g(x)$ 最高点的横坐标,

$\therefore\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的值为函数 $y=g(x)$ 的最小正周期 $T$ 的整数倍, 且 $T=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}$. 故选 C.