26. （2018 全国卷 I ) 在平面四边形 $A B C D$ 中, $\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, B D=5$.

(1)求 $\cos \angle A D B$;

(2)若 $D C=2 \sqrt{2}$, 求 $B C$.
(1)在 $\triangle A B D$ 中, 由正弦定理得 $\frac{B D}{\sin \angle A}=\frac{A B}{\sin \angle A D B}$.

由题设知, $\frac{5}{\sin 45^{\circ}}=\frac{2}{\sin \angle A D B}$, 所以 $\sin \angle A D B=\frac{\sqrt{2}}{5}$.

由题设知, $\angle A D B<90^{\circ}$, 所以 $\cos \angle A D B=\sqrt{1-\frac{2}{25}}=\frac{\sqrt{23}}{5}$.

(2)由题设及(1)知, $\cos \angle B D C=\sin \angle A D B=\frac{\sqrt{2}}{5}$. 在 $\triangle B C D$ 中, 由余弦定理得:

$B C^{2}=B D^{2}+D C^{2}-2 \cdot B D \cdot D C \cdot \cos \angle B D C=25+8-2 \times 5 \times 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{5}=25$.

所以 $B C=5$.