如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为矩形, 点 $\boldsymbol{E}$ 在线段 $\boldsymbol{P A}$ 上, $P C / /$ 平面 BDE.

(1)求证: $A E=P E$;

(2) 若 $\triangle P A D$ 是等边三角形, $A B=2 A D$, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 四棱雉 $P-A B C D$ 的体积为 $9 \sqrt{3}$, 求点 $E$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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【分析】

(1)连结 $A C 、 B D$, 交于点 $M$, 连结 $M E$ 则 $M$ 是 $A C$ 中点, 由 $P C / /$ 平面 $B D E$, 得 $P C / / M E$,由此能证明 $\mathrm{AE}=\mathrm{PE}$.

(2) 以 $A D$ 中点 $O$ 为原点, $O A$ 为 $x$ 轴, 在平面 $A B C D$ 中, 过点 $O$ 作 $A B$ 的平行线为 $\mathrm{y}$ 轴, 以 $\mathrm{OP}$ 为 $\mathrm{z}$ 轴, 建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出 $\mathrm{E}$ 到平面 $\mathrm{PCD}$ 的距离.

## 【详解】

(1)连结 $A C 、 B D$, 交于点 $M$, 连结 $M E$,

$\because$ 底面 $A B C D$ 为矩形, $\therefore M$ 是 $A C$ 中点,

$\because P C / /$ 平面 $B D E, \therefore P C / / M E, \therefore$ 在 $\triangle P A C$ 中, $\mathrm{ME}$ 为 $\triangle P A C$ 的中位线,

又 $\mathrm{M}$ 为中点, $\therefore \mathrm{E}$ 为中点

$\therefore A E=P E$.

(2) $\because \triangle P A D$ 是等边三角形, $A B=2 A D$, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$,

$\therefore$ 以 $A D$ 中点 $O$ 为原点, $O A$ 为 $x$ 轴, 在平面 $A B C D$ 中, 过点 $O$ 作 $A B$ 的平行线为 $y$ 轴,以 $O P$ 为 $z$ 轴, 建立空间直角坐标系,

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设 $A D=x, \because$ 四棱雉 $P-A B C D$ 的体积为 $9 \sqrt{3}$,

$\therefore \frac{1}{3} \times x \times 2 x \times \sqrt{x^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}=9 \sqrt{3}$, 解得 $x=3$.

$\therefore A\left(\frac{3}{2}, 0,0\right), P\left(0,0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right), E\left(\frac{3}{4}, 0, \frac{3 \sqrt{3}}{4}\right), D\left(-\frac{3}{2}, 0,0\right), C\left(-\frac{3}{2}, 6,0\right)$.

$\overrightarrow{P E}=\left(\frac{3}{4}, 0,-\frac{3 \sqrt{3}}{4}\right), \overrightarrow{P C}=\left(-\frac{3}{2}, 6,-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{P D}=\left(-\frac{3}{2}, 0,-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$,

设平面 $P C D$ 的法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$,

则 $\left\{\begin{array}{c}\vec{n} \cdot \overrightarrow{P C}=-\frac{3}{2} x+6 y-\frac{3 \sqrt{3}}{2} z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P D}=-\frac{3}{2} x-\frac{3 \sqrt{3}}{2} z=0\end{array}\right.$, 取 $x=\sqrt{3}$, 得 $\vec{n}=(\sqrt{3}, 0,-1)$,

$\therefore E$ 到平面 $P C D$ 的距离 $d=\frac{|\overrightarrow{P E} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

## 【点睛】

本题考查线段相等的证明, 考查点到直线的距离的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力, 考查函数与方程思想, 是中档题.