已知 $\angle \mathrm{AOD}=40^{\circ}$, 射线 $\mathrm{OC}$ 从 $\mathrm{OD}$ 出发, 绕点 $\mathrm{O}$ 以 $20^{\circ}$ 秒的速度逆时针旋转, 旋转时间为 $\mathrm{t}$ 秒.射线 $\mathrm{OE} 、 \mathrm{OF}$ 分别平分 $\angle \mathrm{AOC} 、 \angle \mathrm{AOD}$.

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图(1)

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图(2)

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备用图

(1) 如图(1): 如果 $\mathrm{t}=4$ 秒, 求 $\angle \mathrm{EOA}$ 的度数;

(2) 如图(1): 若射线 $\mathrm{OC}$ 旋转时间为 $\mathrm{t}(\mathrm{t} \leq 7)$ 秒, 求 $\angle \mathrm{EOF}$ 的度数 (用含 $\mathrm{t}$ 的代数式表示);

（3）若射线 $\mathrm{OC}$ 从 $\mathrm{OD}$ 出发时，射线 $\mathrm{OB}$ 也同时从 $\mathrm{OA}$ 出发, 绕点 $\mathrm{O}$ 以 $60^{\circ}$ 秒的速度逆时针旋转, 射线 $\mathrm{OC} 、 \mathrm{OB}$ 在旋转过程中 $(\mathrm{t} \leq 3), \angle C O E=\frac{1}{2} \angle B O E$ 请你借助图(2)与备用图进行分析后,

(i) 求此时 $\mathrm{t}$ 的值;

(ii) $\frac{\angle E O F}{\angle B O C}$ 求的值.
) 解：如图 (1), 根据题意, 得

$\angle \mathrm{DOC}=4 \times 20^{\circ}=80^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{AOD}+\angle \mathrm{DOC}=40^{\circ}+80^{\circ}=120^{\circ}$,

$\because$ 射线 $\mathrm{OE}$ 平分 $\angle \mathrm{AOC}$,

$\therefore \quad \angle E O A=\frac{1}{2} \angle A O C=60^{\circ}$

答: $\angle \mathrm{EOA}$ 的度数为 $60^{\circ}$

（2）解：根据题意, 得

$\angle \mathrm{COD}=(20 \mathrm{t}) \circ$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=(40+20 \mathrm{t})^{\circ}$

$\because$ 射线 $O E 、 O F$ 分别平分 $\angle A O C 、 \angle A O D$,

$\therefore \angle E O A=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2}(40+20 t)^{\circ}=(20+10 t)^{\circ}$

$\angle \mathrm{AOF}=20^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{EOF}=\angle \mathrm{AOE}-\angle \mathrm{AOF}=(10 \mathrm{t})^{\circ}$,

答: $\angle \mathrm{EOF}$ 的度数为 $(10 t)^{\circ}$.

(3) 解: (i) 如图当射线 $\mathrm{OB}$ 在 $\mathrm{OE}$ 右边时,

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图(2

$\angle C O E=\angle A O E=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2}(40+20 t)^{\circ}=(20+10 t)^{\circ}$,

$\angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{AOE}-\angle \mathrm{AOB}=(20+10 \mathrm{t}-60 \mathrm{t})^{\circ}=(-50 \mathrm{t}+20)^{\circ}$,

$\because$ 根据题意: $10 \mathrm{t}+20=\frac{1}{2} \times(-50 \mathrm{t}+20)$,

解得 $\mathrm{t}=-\frac{2}{7}$ (舍去),

当射线 $\mathrm{OB}$ 在 $\mathrm{OE}$ 的左边时,

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备用图

$\angle C O E=\angle A O E=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2}(40+20 t)^{\circ}=(20+10 t)^{\circ}$,

$\angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{AOB}-\angle \mathrm{AOE}=(50 \mathrm{t}-20)^{\circ}$,

$\because$ 由题意得: $10 t+20=\frac{1}{2} \times(50 t-20)$,

解得: $\mathrm{t}=2$

(ii) 当 $\mathrm{t}=2 \mathrm{~S}, \angle \mathrm{EOF}=20^{\circ}, \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{BOE}-\angle \mathrm{COE}=40^{\circ}$,

$\therefore \frac{\angle E O F}{\angle B O C}=\frac{1}{2}$