(12 分) 若 $z_{1}, z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根, $\omega=\frac{a(\sqrt{3}+\mathrm{i}) \cdot z_{1}}{z_{2}}$,

且 $|\omega| \leq 2$. 求:

(1) 实数 $a$ 的取值范围;

(2) $|(a-4)+a i|$ 的最大值.
(1) $z_{1}, z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根, $	herefore\left|z_{1}
ight|=\left|z_{2}
ight|$, $|\omega|=\left|rac{a(\sqrt{3}+\mathrm{i}) \cdot z_{1}}{z_{2}}
ight|=rac{|a(\sqrt{3}+\mathrm{i})| \cdot z_{1} \mid}{\left|z_{2}
ight|}=2|a| \leq 2$, 所以 $|a| \leq 1$.(2) $|(a-4)+a \mathrm{i}|=\sqrt{(a-4)^{2}+a^{2}}=\sqrt{2(a-2)^{2}+8}$ 在 $-1 \leq a \leq 1$ 上单调递减,所以当 $a=-1$ 时取到最大值 $\sqrt{26}$.