（2020・定远县模拟）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加 2018 年全国高中数学联赛（河南初赛）, 他们取得的成绩（满分 140 分）的茎叶图如图所示, 其中甲班学生成绩的中位数是 81, 乙班学生成绩的平均数是 86 , 若正实数 $a, b$ 满足 $a, G, b$ 成等差数列且 $x, G$, $y$ 成等比数列, 则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值为 ( )

|      |  甲  |      |      |  乙  |      |      |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|      |  8   |  8   |  7   |  6   |      |      |
|  8   | $x$  |  0   |  8   |  0   |  2   | $y$  |
|      |  6   |  5   |  9   |  1   |  3   |  6   |
解: 甲班学生成绩的中位数是 $80+x=81$, 得 $x=1$;

由茎叶图可知乙班学生的总分为 $76+80 \times 3+90 \times 3+(0+2+y+1+3+6)=598+y$,乙班学生的平均分是 86 , 且总分为 $86 \times 7=602$, 所以 $y=4$,
若正实数 $a 、 b$ 满足: $a, G, b$ 成等差数列且 $x, G, y$ 成等比数列,

则 $x y=G^{2}, 2 G=a+b ，$ 即有 $a+b=4, a>0, b>0 ，$

则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{4}(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)=\frac{1}{4}\left(1+4+\frac{b}{a}+\frac{4 a}{b}\right) \geq \frac{1}{4}\left(5+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4 a}{b}}\right)=\frac{1}{4} \times 9=\frac{9}{4}$,

当且仅当 $b=2 a=\frac{8}{3}$ 时, $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$.

故选: C.