10. 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}<0, S_{9}=S_{12}$, 该数列在 $n=k$ 时, 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取到最小值, 则 $k$ 的值是
方法一 由 $S_{9}=S_{12}$, 得 $d=-\frac{1}{10} a_{1}$, 由 $\left\{\begin{array}{l}a_{n}=a_{1}+(n-1) d \leqslant 0 \\ a_{n+1}=a_{1}+n d \geqslant 0\end{array}\right.$, 得

$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{10}(n-1) \geqslant 0 \\ 1-\frac{1}{10} n \leqslant 0\end{array}\right.$,

解得 $10 \leqslant n \leqslant 11 . \therefore$ 当 $n$ 为 10 或 11 时， $S_{n}$ 取最小值，

$\therefore$ 该数列前 10 项或前 11 项的和最小.

方法二 由 $S_{9}=S_{12}$, 得 $d=-\frac{1}{10} a_{1}$,

由 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$,

得 $S_{n}=\left(-\frac{1}{20} a_{1}\right) \cdot n^{2}+\left(\frac{21}{20} a_{1}\right) \cdot n=-\frac{a_{1}}{20}\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}+\frac{441}{80} a_{1}\left(a_{1}<0\right)$,

由二次函数性质可知 $n=\frac{21}{2}=