如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象与矩形 $A O B C$ 的边 $A C, B C$ 分别相交于点 $E$, $F$, 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$ 将 $\triangle C E F$ 沿 $E F$ 翻折, $C$ 点恰好落在 $O B$ 上的点 $D$ 处, 则 $k$的值为 ( )

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    (第 10 题)

    
过点 $E$ 作 $E G \perp O B$ 于点 $G$, 根据折叠的性质得 $\angle E D F=\angle A C B=90^{\circ}, E C=E D$, $C F=D F$, 易证 $\triangle G E D \sim \triangle B D F$; 再根据 $E G: D B=E D: D F=4: 3$, 即可求出 $B D$, 然后在 Rt $\triangle D B F$ 中利用勾股定理得到关于 $k$ 的方程, 解方程求出 $k$ 的值即可.

【详解】如图, 过点 $E$ 作 $E G \perp O B$ 于点 $G$,

$\because$ 将 $\triangle C E F$ 沿 $E F$ 对折后, $C$ 点恰好落在 $O B$ 上的 $D$ 点处,

$\therefore \angle E D F=\angle A C B=90^{\circ}, E C=E D, C F=D F$,

$\therefore \angle G D E+\angle F D B=90^{\circ}$, 而 $E G \perp O B$,

$\therefore \angle G D E+\angle G E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle G E D=\angle F D B$,

$\therefore \triangle G E D \sim \triangle B D F$;

又 $\because E C=A C-A E=4-\frac{k}{3}, C F=B C-B F=3-\frac{k}{4}$,

$\therefore E D=4-\frac{k}{3}, D F=3-\frac{k}{4}$,

$\therefore \frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{DF}}=\frac{4-\frac{\mathrm{k}}{3}}{3-\frac{\mathrm{k}}{4}}=\frac{4}{3}$

$\therefore E G: D B=E D: \quad D F=4: 3$, 而 $E G=3$,

$\therefore D B=\frac{9}{4}$,

在 Rt $\triangle D B F$ 中, $D F^{2}=D B^{2}+B F^{2}$,

即 $\left(3-\frac{k}{4}\right)^{2}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}+\left(\frac{k}{4}\right)^{2}$

解得 $k=\frac{21}{8}$,

故选 $D$.

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【点睛】本题考查的是折叠问题、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾
股定理以及三角形相似的判定与性质等知识, 折叠是一种对称变换, 它属于轴对称, 折叠前后图形的形状和大小不变, 位置变化, 对应边和对应角相等.

