如图, 拋物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 经过坐标原点 $O$, 且顶点为 $A(2,-4)$.

<ImageHere>

(1)求拋物线的表达式;

(2)设抛物线与 $x$ 轴正半轴的交点为 $B$, 点 $P$ 位于抛物线上且在 $x$ 轴下方, 连接 $O A 、 P B$,若 $\angle A O B+\angle P B O=90^{\circ}$, 求点 $P$ 的坐标.


(1) 设抛物线的表达式为 $y=a(x-2)^{2}-4$, 将 $O(0,0)$ 代入可得 $y=x^{2}-4 x$;

（2）过 $\mathrm{A}$ 作 $A T \perp y$ 轴于 $T$, 过 $P$ 作 $P K \perp x$ 轴于 $K$, 设 $P\left(m, m^{2}-4 m\right)$, 求出 $B(4,0)$; 根据 $\angle A O B+\angle A O T=90^{\circ}, \angle A O B+\angle P B O=90^{\circ}$, 得 $\angle A O T=\angle P B O$, 故 $\triangle A O T \sim \triangle P B K$, 从而 $\frac{2}{-m^{2}+4 m}=\frac{4}{4-m}$, 即可解得答案.

【详解】(1) 解：设抛物线的表达式为 $y=a(x-2)^{2}-4$,

将 $O(0,0)$ 代入得: $4 a-4=0$,

解得 $a=1$,

$\therefore y=(x-2)^{2}-4=x^{2}-4 x$;

(2) 过 $\mathrm{A}$ 作 $A T \perp y$ 轴于 $T$, 过 $P$ 作 $P K \perp x$ 轴于 $K$, 如图:

<ImageHere>

设 $P\left(m, m^{2}-4 m\right)$ ，

在 $y=x^{2}-4 x$ 中, 令 $y=0$ 得 $x=0$ 或 $x=4$,

$\therefore B(4,0)$;

$\because \angle A O B+\angle A O T=90^{\circ}, \quad \angle A O B+\angle P B O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A O T=\angle P B O$,

$\because \angle A T O=90^{\circ}=\angle P K B$,

$\therefore \triangle A O T \sim \triangle P B K$,

$\therefore \frac{A T}{P K}=\frac{O T}{B K}$,

$\because A(2,-4)$,

$\therefore \frac{2}{-m^{2}+4 m}=\frac{4}{4-m}$,

解得 $m=\frac{1}{2}$ 或 $m=4$ (此时 $P$ 与 $B$ 重合, 舍去),

$\therefore P\left(\frac{1}{2},-\frac{7}{4}\right)$.

【点睛】本题考查二次函数综合应用, 涉及待定系数法, 三角形相似的判定与性质, 解题的关键是证明 $\triangle A O T \sim \triangle P B K$, 用对应边成比例列式求出 $m$ 的值.

