(6 分) 如图, 正五边形 $A B C D E$ 的两条对角线 $A C, B E$ 相交于点 $F$.

(1)求 $\angle F A E$ 的度数;

(2)求证: 四边形 $C D E F$ 为菱形.

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(1) 利用正五边形的性质求出 $\angle B A E$ 及 $\angle A B E$ 度数, 得出 $\angle B A F=\angle B C A=36^{\circ}$,最后求出 $\angle F A E$ 的度数;

（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证.

【详解】(1) 解: $\because$ 正五边形 $A B C D E$

$\therefore A B=A E=D E=C D, \angle B A E=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{5}=108^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E=\angle A E B=\frac{180^{\circ}-\angle B A E}{2}=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$

同理: $\angle B A F=\angle B C A=36^{\circ}$,

$\therefore \angle F A E=\angle B A E-\angle B A F=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$.

(2) 证明: $\because \angle F A E=72^{\circ}$,

$\therefore \angle A F E=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$,
$\therefore A E=E F$, 同理 $B C=C F$

$\therefore E F=C F=D E=C D$

$\therefore$ 四边形 $C D E F$ 为菱形.

【点睛】本题考查了正多边形的性质及菱形的判定, 利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键.

