直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 若 $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=\sqrt{2}, A A_{1}=2$, 则点 $A$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为
【分析】

法一：由已知可以证明出平面 $C_{1} A_{1} B \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 通过面面垂直的性质定理, 可以过 $A$ 作 $A G \perp A_{1} B$, 则 $A G$ 的长为 $A$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离, 利用几何知识求出 $A G$;

法二:利用等积法进行求解.

## 【详解】

法一: $\because C_{1} A_{1} \perp A_{1} B_{1}, C_{1} A_{1} \perp A A_{1}, \therefore C_{1} A_{1} \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$,

又 $\because C_{1} A_{1} \subset$ 平面 $C_{1} A_{1} B$, 平面 $C_{1} A_{1} B \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$.

又 $\because A_{1} B=$ 平面 $C_{1} A_{1} B \cap$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$,

$\therefore$ 过 $A$ 作 $A G \perp A_{1} B$, 则 $A G$ 的长为 $A$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离,

在 Rt $\triangle A A_{1} B$ 中, $A G=\frac{A B \times A A_{1}}{A_{1} B}=\frac{2 \times \sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.

<ImageHere>

法二: 由等体积法可知 $V_{A-A_{B} B C_{1}}=V_{B-A A_{1} C_{1}}$, 解得点 $A$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.

## 【点睛】

本题考查了点到面的距离, 一般方法是通过几何作图, 直接求出点到面的距离, 另一种方法是利用等积法进行求解, 通过二种方法的比较, 后一种方法更方便些.