$\triangle A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $a c \sin 2 B$.

(I) 求 $\sin B$ 的值;

(II) 若 $C=5,3 \sin ^{2} C=5 \sin ^{2} B \cdot \sin ^{2} A$, 且 $B C$ 的中点为 $D$, 求 $\triangle A B D$ 的周长.
( I ) 由 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a c \sin B=a c \sin 2 B$.

得 $\frac{1}{2} \sin B=2 \sin B \cos B, \because 0<B<\pi, \therefore \sin B>0$, 故 $\cos B=\frac{1}{4}, \therefore \sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}} \sqrt{\frac{\sqrt{15}}{4}}$;

(II) 由（I ) 和 $3 \sin ^{2} C=5 \sin ^{2} B \cdot \sin ^{2} A$ 得 $16 \sin ^{2} C=25 \sin ^{2} A$, 由正弦定理得 $16 c^{2}=25 a^{2}, \because c=5, \therefore a=4$, $B D=\frac{1}{2} a=2$, 在 $\triangle A B D$ 中, 由余弦定理得: $A D^{2}=c^{2}+B D^{2}-2 c \cdot B D \cdot \cos B=25+4-2 \times 5 \times 2 \times \frac{1}{4}=24$ $\therefore A D=2 \sqrt{6}, \therefore \triangle A B D$ 的周长为 $c=B D+A D=7+2 \sqrt{6}$.