证明: $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha \tan \alpha}{1+\cos \alpha}=1$.
$\\frac{\\sin \\alpha}{1-\\cos \\alpha} \\cdot \\frac{\\cos \\alpha \\tan \\alpha}{1+\\cos \\alpha}$

$=\\frac{\\sin \\alpha}{1-\\cos \\alpha} \\cdot \\frac{\\cos \\alpha \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}}{1+\\cos \\alpha}$

$=\\frac{\\sin \\alpha}{1-\\cos \\alpha} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{1+\\cos \\alpha}$

$=\\frac{\\sin ^{2} \\alpha}{1-\\cos ^{2} \\alpha}=\\frac{\\sin ^{2} \\alpha}{\\sin ^{2} \\alpha}=1$.