如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上, 且满足 $C A=C B$, 圆内的弧线是以 $C$ 为圆心, $C A$ 为半径的圆的一部分. 记 $\triangle A B C$ 三边所围成的区域 (灰色部分) 为 I ,右侧月牙形区域 (黑色部分) 为 II. 在整个图形中随机取一点, 记此点取自 I, II
   的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$, 则 ( )

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设圆的半径为 1 , 则区域 I 的面积为 $S_{1}=\frac{1}{2} \times 2 \times 1=1$;

区域 II 的面积 $S_{2}=\frac{1}{2} \pi \times 1^{2}-\left[\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}-\frac{1}{2} \times 2 \times 1\right]=1$,

圆的面积为 $\pi \times 1^{2}=\pi$.
所以 $P_{1}=P_{2}=\frac{1}{\pi}$, 故选 $\mathrm{A}$.