等腰三角形 $A B C$ 的底边 $A C$ 长为 6 , 其外接圆的半径长为 5 , 则三角形 $A B C$ 的面积是 $\qquad$
【分析】

本题主要考查了三角形的外接圆和外心, 等腰三角形的性质, 勾股定理, 三角形的面积等知识点, 解此题的关键是求出高 $B D$ 的长度, 此题用的数学思想是分类讨论思想.

如图(1)和(2), 由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上, 根据勾股定理求出 $O D$ 的长, 进一步求出 $B D$ 的长, 根据三角形的面积公式即可求出答案.

## 【解答】

解: 连接 $O B$ (或连接并延长 $B O)$ 交 $A C$ 于 $D$, 连接 $O C$,

$\because$ 圆 $O$ 是等腰三角形的外接圆, $O$ 是外心, 且 $A B=B C$,

$\therefore B D \perp A C, A D=D C=3$,

有两种情况:

(1)如图(1):

<ImageHere>

图 (1)

$O C=5$, 由勾股定理得: $O D=\sqrt{O C^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

即: $B D=4+5=9$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 9=27$;

(2)如图(2):

<ImageHere>

图（2）

同法可求 $O D=4, B D=5-4=1$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 1=3$.

故答案为3或27.

