14. 渐开线 $\left\{\begin{array}{l}x=6(\cos \varphi+\varphi \sin \varphi), \\ y=6(\sin \varphi-\varphi \cos \varphi)\end{array}\right.$ ( $\varphi$ 为参数)的基圆的圆心在原点, 把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为
: 解答: 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径 $r=6$,其方程 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=36$,把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变), 得到的曲线的方程为 $\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}+y^{2}=36$, 整理可得 $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{36}=1$, 这是一个焦点在 $x$ 轴上的椭圆. $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{144-36}=6 \sqrt{3}$, 故焦点坐标为 $(6 \sqrt{3}, 0)$ 和 $(-6 \sqrt{3}, 0)$.

分析: 本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程, 解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程结合椭圆性质分析计算即可