已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上, $A B=A C=2$,

## $B C=2 \sqrt{2}$, 若球 $O$ 的表面积为 $72 \pi$, 则这个直三棱柱的体积是 ( )
【分析】

由题, 棱柱为直棱柱, 底面为直角三角形, 利用球的表面积求得球半径, 再利用外接球求得棱柱的高, 最后求得体积即可.

## 【详解】

由题, $S=4 \pi r^{2}=72 \pi, r=3 \sqrt{2}$,

因为 $A B=A C=2, B C=2 \sqrt{2}$, 易知三角形 $\mathrm{ABC}$ 为等腰直角三角形,

故三棱柱的高 $h=2 \sqrt{r^{2}-\left(\frac{1}{2} B C\right)^{2}}=8$

故体积 $V=\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 8=16$

故选 A

## 【点睛】

本题考查了棱柱的外接球的问题, 解题的关键是找球心的位置, 求出棱柱的高, 属于中档题型.