11. 已知 $x>0, y>0$, 且 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$, 求 $x+y$ 的最小值.
方法一 $\because \frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$,

$\therefore x+y=(x+y) \cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)=10+\frac{y}{x}+\frac{9 x}{y}$.

$\because x>0, \quad y>0, \quad \therefore \frac{y}{x}+\frac{9 x}{y} \geqslant 2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{9 x}{y}}=6$.

当且仅当 $x=\frac{y x}{y}$, 即 $y=3 x$ 时, 取等号.

又 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1, \therefore x=4, y=12$.

$\therefore$ 当 $x=4, y=12$ 时, $x+y$ 取最小值 16 .

方法二 由 $_{x}+\frac{9}{y}=1$, 得 $x=\frac{y}{y-9}$,

$\because x>0, \quad y>0, \quad \therefore y>9$.

$x+y=\frac{y}{y-9}+y=y+\frac{y-9+9}{y-9}=y+\frac{9}{y-9}+1$

$=(y-9)+\frac{9}{y-9}+10$.

$\because y>9, \quad \therefore y-9>0$,

$\therefore y-9+\frac{9}{y-9}+10 \geqslant 2 \sqrt{(y-9) \cdot \frac{9}{y-9}}+10=16$,

当且仅当 $y-9=\frac{9}{y-9}$, 即 $y=12$ 时取等号.

又 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$, 则 $x=4$,

$\therefore$ 当 $x=4, y=12$ 时, $x+y$ 取最小值 16 .