(12 分) 当 $n \in \mathbb{N}^{*}$ 时, 试用数学归纳法证明 $f(n)=n^{3}+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n-1$ 一定是整数.
当 $n=1$ 时, $f(1)=1+rac{3}{2}+rac{1}{2}-1=2$ 是整数,假设当 $n=k, k \in \mathrm{Z}, k>0$ 时, $f(k)=k^{3}+rac{3}{2} k^{2}+rac{1}{2} k-1$ 是整数,则当 $n=k+1$ 时, $f(k+1)=(k+1)^{3}+rac{3}{2}(k+1)^{2}+rac{1}{2}(k+1)-1$$=k^{3}+rac{3}{2} k^{2}+rac{1}{2} k-1+3(k+1)^{2}=f(k)+3(k+1)^{2}$, 显然也是整数,所以当 $n \in \mathbb{N}^{*}$ 时, $f(n)=n^{3}+rac{3}{2} n^{2}+rac{1}{2} n-1$ 一定是整数.