集合 $A=\{x \mid x<-1$ 或 $x \geq 3\}, B=\{x \mid a x+1 \leq 0\}$, 若 $B \subseteq A$, 则实数 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围是 ( )
【分析】

根据 $B \subseteq A$, 分 $B=\varnothing$ 和 $B \neq \varnothing$ 两种情况讨论, 建立不等关系即可求实数 $a$ 的取值范围.

## 【详解】

解: $\because B \subseteq A$,

$\therefore$ (1)当 $B=\varnothing$ 时, 即 $a x+1 \leqslant 0$ 无解, 此时 $a=0$, 满足题意.

(2)当 $B \neq \varnothing$ 时, 即 $a x+1 \leqslant 0$ 有解, 当 $a>0$ 时, 可得 $x \leqslant-\frac{1}{a}$,

要使 $B \subseteq A$, 则需要 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ -\frac{1}{a}<-1\end{array}\right.$, 解得 $0<a<1$.

当 $a<0$ 时, 可得 $x \geqslant-\frac{1}{a}$,
要使 $B \subseteq A$, 则需要 $\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ -\frac{1}{a} \geqslant 3\end{array}\right.$, 解得 $-\frac{1}{3} \leqslant a<0$,

综上, 实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{1}{3}, 1\right)$.

故选: A.

## 【点睛】

易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为 $\varnothing$.