(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B=A C, B D \perp A C$, 垂足为 $E$.

(1)若 $\angle B A C=40^{\circ}$, 则 $\angle A D C=$ $\qquad$ ;

(2)求证: $\angle B A C=2 \angle D A C$;

(3)若 $A B=10, C D=5$, 求 $B C$ 的值.

<ImageHere>

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(1)解: $\because A B=A C, \angle B A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=70^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,

$\therefore \angle A D C=180^{\circ}-\angle B A C=110^{\circ}$,

故答案为: 110 ;

(2)证明: $\because B D \perp A C$,

<ImageHere>

$\therefore \angle A E B=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}-\angle C B D$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=90^{\circ}-\angle C B D$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-2 \angle A B C=2 \angle C B D$,

$\because \angle D A C=\angle C B D$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle D A C$

(3)解：过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle B A H=\angle C A H=\frac{1}{2} \angle C A B, C H=B H$,

$\because \angle B A C=2 \angle D A C$,
$\therefore \angle C A G=\angle C A H$,

过 $C$ 作 $C G \perp A D$ 交 $A D$ 的延长线于 $G$,

$\therefore \angle G=\angle A H C=90^{\circ}$,

$\because A C=A C$,

$\therefore \triangle A G C \cong \triangle A H C(A A S)$,

$\therefore A G=A H, C G=C H$,

$\because \angle C D G=\angle A B C$,

$\therefore \triangle C D G \backsim \triangle A B H$,

$\therefore \frac{C G}{A H}=\frac{C D}{A B}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{B H}{A B}=\frac{1}{2}$,

设 $B H=k, A H=2 k$ ，

$\therefore A B=\sqrt{B H^{2}+A H^{2}}=\sqrt{5} k=10$,

$\therefore k=2 \sqrt{5}$,

$\therefore B C=2 k=4 \sqrt{5}$.

(1)根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论;

(2)根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论;

(3)过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$, 根据等腰三角形的性质得到 $\angle B A H=\angle C A H=\frac{1}{2} \angle C A B, C H=B H$, 过 $C$ 作 $C G \perp$ $A D$ 交 $A D$ 的延长线于 $G$, 根据全等三角形的性质得到 $A G=A H, C G=C H$, 根据相似三角形的性质得到 $\frac{B H}{A B}=\frac{1}{2}$, 设 $B H=k, A H=2 k$, 根据勾股定理即可得到结论.

本题考查了圆内接四边形, 全等三角形的判定和性质, 等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质,勾股定理, 正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.