如图, 在边长为 4 的正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 是 $C D$ 边上的一点, 点 $F$ 是点 $D$ 关于直线 $A E$ 对称的点, 连接 $A F 、 B F$, 若 $\tan \angle A B F=2$, 则 $D E$ 的长是 $(\quad)$
解: 过点 $F$ 作 $F N \perp A B$ 于点 $N$, 并延长 $N F$ 交 $C D$ 于点 $M$,

<ImageHere>

$\because A B / / C D$,

$\therefore M N \perp C D$,

$\therefore \angle F M E=90^{\circ}$,

$\because \tan \angle A B F=2$,

$\therefore \frac{F N}{B N}=2$,

设 $B N=x$, 则 $F N=2 x$,

$\therefore A N=4-x$,
$\because$ 点 $F$ 是点 $D$ 关于直线 $A E$ 对称的点,

$\therefore D E=E F, D A=A F=4$,

$\because A E=A E$,

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle A F E(S S S)$,

$\therefore \angle D=\angle A F E=90^{\circ}$,

$\because A N^{2}+N F^{2}=A F^{2}$,

$\therefore(4-x)^{2}+(2 x)^{2}=4^{2}$,

$\therefore x_{1}=0$ (舍),$x_{2}=\frac{8}{5}$,

$\therefore A N=4-x=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}, M F=4-2 x=4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}$,

$\because \angle E F M+\angle A F N=\angle A F N+\angle F A N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E F M=\angle F A N$

$\therefore \cos \angle E F M=\cos \angle F A N$,

$\therefore \frac{F M}{E F}=\frac{A N}{A F}$, 即 $\frac{\frac{4}{5}}{E F}=\frac{\frac{12}{5}}{4}$,

$\therefore E F=\frac{4}{3}$,

$\therefore D E=E F=\frac{4}{3}$.

故选： $C$.

过点 $F$ 作 $F N \perp A B$ 于点 $N$, 并延长 $N F$ 交 $C D$ 于点 $M$, 设 $B N=x$, 则 $F N=2 x$, 则 $A N=4-x$, 由对称的性质得出 $D E=E F, D A=A F=4$, 证明 $\triangle A D E \cong \triangle A F E(S S S)$, 得 $\angle D=\angle A F E=90^{\circ}$, 由勾股定理求出 $x$, 由锐角三角函数的定义可得出答案.

本题考查了正方形的性质, 勾股定理, 锐角三角函数以及对称的性质, 熟练掌握对称的性质是解题的关键.