圆台的上、下底面半径分别为 $5 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$, 母线长 $A B=20 \mathrm{~cm}$, 从圆台母线 $A B$ 的中点 $M$ 拉一条绳子绕圆台侧面转到点 $A$, 求:

(1)绳子的最短长度;

(2)在绳子最短时, 上底圆周上的点到绳子的最短距离.
)如图所示, 将侧面展开, 绳子的最短距离为侧面展开图中 $A M$ 的长度,

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设 $O B=l$,

则 $\theta \cdot l=2 \pi \times 5, \theta \cdot(l+20)=2 \pi \times 10$,

解得 $\theta=\frac{\pi}{2}, l=20 \mathrm{~cm}$.

$\therefore O A=40 \mathrm{~cm}, O M=30 \mathrm{~cm}$.

$\therefore A M=\sqrt{O A^{2}+O M^{2}}=50 \mathrm{~cm}$.

即绳子最短长度为 $50 \mathrm{~cm}$.

(2)作 $O Q \perp A M$ 于点 $Q$, 交弧 $B B^{\prime}$ 于点 $P$,

则 $P Q$ 为所求的最短距离.

$\because O A \cdot O M=A M \cdot O Q, \quad \therefore O Q=24 \mathrm{~cm}$.

故 $P Q=O Q-O P=24-20=4(\mathrm{~cm})$, 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为 $4 \mathrm{~cm}$.