15. 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$, 点 $D$ 在线段 $A C$ 上, 若 $\angle B D C=45^{\circ}$, 则 $B D=$ \$ \qquad \$ $\cos \angle A B D=$ \$ \qquad \$
如图, 在 $\triangle A B D$ 中, 由正弦定理有: $\frac{A B}{\sin \angle A D B}=\frac{B D}{\sin \angle B A C}$, 而 $A B=4, \angle A D B=\frac{3 \pi}{4}$, $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=5, \sin \angle B A C=\frac{B C}{A C}=\frac{3}{5}, \cos \angle B A C=\frac{A B}{A C}=\frac{4}{5}$, 所以 $B D=\frac{12 \sqrt{2}}{5}$.

$\cos \angle A B D=\cos (\angle B D C-\angle B A C)=\cos \frac{\pi}{4} \cos \angle B A C+\sin \frac{\pi}{4} \sin \angle B A C=\frac{7 \sqrt{2}}{10}$.

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【名师点睛】本题主要考查解三角形问题, 即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在 $\triangle A B D$ 中应用正弦定理, 建立方程, 进而得解.解答解三角形问题, 要注意充分利用图形特征.