（2016 年全国 III）在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{4}, B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$, 则 $\cos A=$
设 $\triangle A B C$ 中角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 由题意可得 $\frac{1}{3} a=c \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} c$, 则 $a=\frac{3 \sqrt{2}}{2} c$. 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理可得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} c a=\frac{9}{2} c^{2}+c^{2}-3 c^{2}=\frac{5}{2} c^{2}$, 则 $b=\frac{\sqrt{10}}{2} c$.

由余弦定理, 可得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{\frac{5}{2} c^{2}+c^{2}-\frac{9}{2} c^{2}}{2 \times \frac{\sqrt{10}}{2} c \times c}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$, 故选 C.