已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

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(1) 证明: $D_{1} \mathrm{~A} / /$ 平面 $C_{1} B D$;

（2）求异面直线 $D_{1} A$ 与 $B D$ 所成的角.
【分析】

(1) 证明 $D_{1} A / / C_{1} B$, 再根据线面平行的判定定理即可证明结论;

(2) $\angle C_{1} B D$ 即为异面直线 $D_{1} A$ 与 $B D$ 所成的角, 求出即可.

## 【详解】

(1) 证: 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,

$A B / / C_{1} D_{1}$, 且 $A B=C_{1} D_{1}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C_{1} D_{1}$ 为平行四边形,

$\therefore D_{1} A / / C_{1} B$,

又 $\because D_{1} A \not \subset$ 平面 $C_{1} B D, C_{1} B \subset$ 平面 $C_{1} B D$;

$\therefore D_{1} A / /$ 平面 $C_{1} B D$;

(2) 解: $\because D_{1} A / / C_{1} B$,

$\therefore \angle C_{1} B D$ 即为异面直线 $D_{1} A$ 与 $B D$ 所成的角,

设正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 $a$,

则易得 $C_{1} B=B D=C_{1} D=\sqrt{2} a$,

$\therefore \Delta C_{1} B D$ 为等边三角形,

$\therefore \angle C_{1} B D=\frac{\pi}{3}$,

故异面直线 $D_{1} A$ 与 $B D$ 所成的角为 $\frac{\pi}{3}$.

## 【点睛】

本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题.