如图, $\angle A O B=40^{\circ}, O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线.

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(1) 若 $\angle D O E=10^{\circ}$, 求 $\angle B O D$ 的度数;

(2) 若 $\angle A O D$ 与 $\angle B O D$ 互补, 求 $\angle C O E$ 的度数.
(1) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}, \angle C O D=\angle D O E=10^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$

(2) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}$,

设 $\angle C O D=\angle D O E=x^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=(40+x)^{\circ}, \quad \angle A O D=\angle A O B+\angle B O C+\angle C O D=(80+x)^{\circ}$,

$\because \angle A O D$ 与 $\angle B O D$ 互补

$\therefore \angle A O D+\angle B O D=(40+x)^{\circ}+(80+x)^{\circ}=180^{\circ}$,

$\therefore x=30$

$\therefore \angle C O D=\angle D O E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C O E=2 \angle C O D=60^{\circ}$