如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E$ 为 $A B$ 的中点. 试判断在 $B C$ 上是否存在点 $\boldsymbol{F}$, 使得 $E F \perp B D_{1}$. 若存在, 请指出点 $\boldsymbol{F}$ 所在位置并写出证明过程; 若不存在,请说明理由.

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【分析】

假设 $F$ 为中点, 利用 $E F \perp B D, E F \perp D D_{1}$, 可得线面垂直, 然后可得线线垂直, 可得结果.

## 【详解】

存在, $F$ 为 $B C$ 中点, 如图

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试卷第 16 页, 总 22 页
由点 $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点

所以 $E F / / A C$,

在正方体中, $A C \perp B D$ ，所以 $E F \perp B D$

又 $D D_{1} \perp$ 平面 $A B C D$, 且 $E F \subset$ 平面 $A B C D$

所以 $E F \perp D D_{1}$,

由 $D D_{1} \cap B D=D, D D_{1}, B D \subset$ 平面 $B D D_{1}$

所以 $E F \perp$ 平面 $B D D_{1}$, 又 $B D_{1} \subset B D D_{1}$

所以 $E F \perp B D_{1}$

所以存在且 $F$ 为 $B C$ 中点

## 【点睛】

本题考查线面垂直以及线线垂直, 本题重点是通过线面垂直来得到线线垂直, 属基础题.