(本小题8.0分)
如图, 四边形 $A B C D$ 内接于半圆 $O, A B$ 是直径, $C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点, 延长 $A D, B C$ 交于点 $E$.

(1)求证: $C E=C D$.

(2)若 $A B=5, B C=\sqrt{5}$, 求 $A D$ 的长.

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(1)连接 $A C$, 根据 $C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点, 得 $\angle E A C=\angle B A C$, 根据 $A B$ 是直径, 知 $\angle A C E=\angle A C B=90^{\circ}$,再利用 $A S A$ 证明 $\triangle A C E \cong \triangle A C B$, 得 $B C=E C$, 从而证明结论;

(2)连接 $B D$, 利用两个角相等证明 $\triangle A B C \sim \triangle B E D$, 得 $\frac{A B}{B E}=\frac{B C}{E D}$, 可得 $E D$ 的长, 从而得出答案.

本题主要考查了圆周角定理, 圆心角、弧、弦的关系, 相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质等知识, 证明 $\triangle A B C \sim \triangle B E D$ 是解题的关键.

