如图所示, 平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta, A \in \alpha, B \in \beta, A B$ 与两平面 $\alpha 、 \beta$ 所成的角分别为 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{\pi}{6}$. 过 $A 、 B$ 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 $A^{\prime} 、 B^{\prime}$ ，则 $A B: A^{\prime} B^{\prime}$ 等于( )

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如图: 由已知得 $A A^{\prime} \perp$ 平面 $\beta$,

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$\angle A B A^{\prime}=\frac{\pi}{6}, B B^{\prime} \perp$ 平面 $\alpha, \angle B A B^{\prime}=\frac{\pi}{4}$.

设 $A B=a$, 则 $B A^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2} a, B B^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

在 Rt $\triangle B A^{\prime} B^{\prime}$ 中, $A^{\prime} B^{\prime}=\frac{1}{2} a, \therefore \frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=2$.