如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $P A \perp$ 平面 $A B C D,, A D=1, P A=A B=$ $\sqrt{2}$, 点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点. 求异面直线 $E C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值;

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因 $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且底面 $A B C D$ 为矩形, 所以 $A B 、 A D 、 A P$ 两两垂直, 以 $A$ 为原点, $A B$ 、 $A D 、 A P$ 分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系,又因 $P A=A B=\sqrt{2}, A D=1$,所以 $\mathrm{A}(0,0,0), \mathrm{B}(\sqrt{2}, 0,0), \mathrm{C}(\sqrt{2}, 1,0), \mathrm{D}(0,1,0), P(0,0, \sqrt{2})$,因 $E$ 棱 $P B$ 的中点, 所以 $E\left(rac{\sqrt{2}}{2}, 0, rac{\sqrt{2}}{2}
ight)$.所以 $\overrightarrow{E C}=\left(rac{\sqrt{2}}{2}, 1,-rac{\sqrt{2}}{2}
ight), \overrightarrow{P D}=(0,1,-\sqrt{2})$,所以 $\cos \langle\overrightarrow{E C}, \overrightarrow{P D}
angle=rac{1+1}{\sqrt{rac{1}{2}+1+rac{1}{2}} \cdot \sqrt{1+2}}=rac{\sqrt{6}}{3}$,所以异面直线 $E C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为 $rac{\sqrt{6}}{3}$.