已知一扇形的面积 $S$ 为定值, 求当扇形的圆心角为多大时, 它的周长最小? 最小值是多少?
设扇形的圆心角为 $\alpha$, 半径为 $r$, 弧长为 $l$, 周长为 $C$, 则 $S=\frac{1}{2} l r, r=\frac{2 S}{l}$, 所以 $C=l+2 r=l+\frac{4 S}{l} \geq 2 \sqrt{l \cdot \frac{4 S}{l}}=4 \sqrt{S}$, 当且仅当 $l^{2}=4 S$, 即 $\alpha^{2} r^{2}=4 \times \frac{1}{2} l r=2 l r=2 \alpha r^{2}$, 故 $\alpha=2$ 时, 周长有最小值为 $4 \sqrt{S}$.