8. 设 $x, y, z \in \mathbf{R}, 2 x+2 y+z+8=0$, 则 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}$ 的最小值为
:【解答】 $2 x+2 y+z+8=0 \Rightarrow 2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9$.

考虑以下两组向量:

$u=(2,2,1), v=(x-1, y+2, z-3)$,

由柯西不等式，得 $(u \cdot v)^{2} \leq|u|^{2} \cdot|v|^{2}(u \cdot v)^{2} \leq|u|^{2} \cdot|v|^{2}$ ；

即 $\left[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)^{2}\right] \leq\left(2^{2}+2^{2}+1^{2}\right) \cdot\left[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}\right]$.

所以 $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2} \geq \frac{(-9)^{2}}{9}=9$,

当且仅当 $x=-1, y=-4, z=2$ 时等号成立, 此时取得最小值