如图, 在半径为 4 的扇形 $O A B$ 中, $\angle A O B=90^{\circ}$, 点 $C$ 是 $A B$ 上一动点, 点 $D$ 是 $O C$ 的中点,连结 $A D$ 并延长交 $O B$ 于点 $E$, 则图中阴影部分面积的最小值为 $(\quad)$

<ImageHere>
【分析】

本题考查扇形面积的计算、解直角三角形, 解答本题的关键是分析出何时阴影部分面积最小. 根据题意和图形, 可以画出相应的辅助线, $O A=4, \angle A O E=90^{\circ}$, 则当 $O E$ 取得最大值时, 阴影部分的面积取得最小值, 则当 $A E$ 和半径为 2 的小圆 $O$ 相切时, $O E$ 最大, 然后计算即可.

【解答】

解: $\because$ 点 $D$ 是 $O C$ 的中点, $O C=4$,

$\therefore O D=2, O A=4$,

$\therefore$ 点 $D$ 在以点 $O$ 为圆心 2 为半径的圆弧上, 如图,

<ImageHere>

$\therefore$ 当 $A E^{\prime}$ 与小圆 $O$ 相切时, $O E^{\prime}$ 最大, 此时 $O C^{\prime}$ 与小圆 $O$ 交于点 $D^{\prime}$,

$\because O A=4, \angle A O E=90^{\circ}$,

$\therefore$ 当 $O E$ 最大时, 阴影部分取得最小值,

$\because \angle A D^{\prime} O=90^{\circ}, O D^{\prime}=2, O A=4$,

$\therefore O A=2 O D^{\prime}$,

$\therefore \angle O A D^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \tan \angle O A E^{\prime}=\frac{O E^{\prime}}{O A}=\frac{O E^{\prime}}{4}$,

即解 $30^{\circ}=\frac{O E^{\prime}}{4} ，$

解得 $O E^{\prime}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore$ 图中阴影部分面积的最小值为: $\frac{90 \pi \times 4^{2}}{360}-\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 4}{2}=4 \pi-\frac{8 \sqrt{3}}{3}$,

故选: $B$.