(12 分) 在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)\left(i=1,2, \cdots, 20,25<x_{i}<65\right)$, 其中 $x_{i}$ 表示年龄, $y_{i}$ 表示脂肪含量, 并计算得到 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}=48280, \sum_{i=1}^{20} y_{i}^{2}=15480$, $\sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}=27220, \bar{x}=48, \bar{y}=27, \sqrt{22} \approx
(1) $ar{x}^{2}=2304, ar{y}^{2}=729, \sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}-20 \overline{x y}=1300$,$\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}=2200, \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-20 ar{y}^{2}=900$,$r=rac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-20 ar{x} ar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-20 ar{y}^{2}}} \approx 0.92$,因为 $y$ 与 $x$ 的相关系数接近 1 ,所以 $y$ 与 $x$ 之间具有较强的线性相关关系, 可用线性回归模型进行拟合,由题可得 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-ar{x}
ight)\left(y_{i}-ar{y}
ight)}{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-ar{x}
ight)^{2}}=rac{\sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}-20 ar{x} ar{y}}{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}}=rac{13}{22} \approx 0.591$,   $\hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=27-0.591 	imes 48 \approx-1.37$,所以 $\hat{y}=0.59 x-1.37$.（2）以频率估计概率，设甲款健身器使用年限为 $X$ (单位: 年),| $X$ | 5 | 6 | 7 | 8 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $p$ | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |$E(X)=5 	imes 0.1+6 	imes 0.4+7 	imes 0.3+8 	imes 0.2=6.6 ;$设乙款健身器使用年限为 $Y$ (单位: 年),| $Y$ | 5 | 6 | 7 | 8 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $p$ | 0.3 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |$E(Y)=5 	imes 0.3+6 	imes 0.4+7 	imes 0.2+8 	imes 0.1=6.1$,因为 $E(X)>E(Y)$, 所以该机构购买甲款健身器材更划算.