如图,在四边形$ABCD$中,$angleB=60^{circ},AB=DC=4,AD=BC=8$.延长$BC$到$E$,使$CE=4$,连接$DE$,动点$P$从点$B$出发,以每秒2个单位的速度沿$BC-CD-DA$向终点$A$运动,设点$P$运动的时间为$t$秒.$(t>0)$(1)当$t=3$时,$BP=6$;(2)当$t=8$时,点$P$运动到$angleB$的角平分线上;（3）当$0<t<6$时,请用含$t$的代数式表示$triangleABP$的面积$S$;(4)当$0<t<6$时,直接写出点$P$到四边形$ABED$相邻两边距离相等时$t$的值.<ImageHere>
(1)根据动点$P$的运动速度,即可表示出$BP$的长度,再将$t=3$代入即可求出$BP$的长度;(2)根据两组对边分别相等可先求证四边形$ABCD$是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰$triangleABP$,从而可以求解;(3)根据题意分两种情况讨论:(1)当点$P$在$BC$上运动时,(2)当点$P$在$CD$上运动时,分别用含$t$的代数式表示$triangleABP$的面积$S$即可;(4)当$0<t<6$时,点$P$在$BC、CD$边上运动,结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解.【解析】解:(1)$because$动点$P$的运动速度为2单位秒,$thereforeBP=2t$,$therefore$当$t=3$时,$BP=2times3=6$,故答案为:6.(2)$becauseAB=CD,AD=BC$$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeAD//BC$,$thereforeangleAFB=angleCBF$如图1,作$angleABC$的角平分线交$AD$于$F$,<ImageHere>图1$thereforeangleABF=angleFBC$$thereforeangleABF=angleAFB$,$thereforeAF=AB=4$,$thereforeDF=8-4=4$,$therefore$点$P$运动到$angleABC$的角平分线上时,$BC+DC+DF=8+4+4=16$,$thereforet=16div2=8$$therefore$当$t=8$时,点$P$运动到$angleABC$的角平分线上;故答案为:8;(3)$becauseBC+CD=8+4=12$$therefore$当$0<t<6$时,点$P$在$BC$上和$CD$上,分两种情况讨论:(1)当点$P$在$BC$上运动时,$0<tleqslant4$,过点$A$作$AMperpBE$,<ImageHere>$becauseangleB=60^{circ}$,$therefore$在Rt$triangleABM$中,$angleBAM=30^{circ}$,$thereforeBM=frac{1}{2}AB=2,AM=sqrt{3}BM=2sqrt{3}$,此时,$S=S_{triangleABP}=frac{1}{2}timesBPtimesAM=frac{1}{2}times2ttimes2sqrt{3}=2sqrt{3}t(0<tleqslant4)$;(2)当点$P$在$CD$上运动时,$4<t<6$,$triangleABP$的面积为定值,且等于平行四边形$ABCD$面积的一半,此时,$S=S_{triangleABP}=frac{1}{2}timesBCtimesAM=frac{1}{2}times8times2sqrt{3}=8sqrt{3}(4<t<6)$;综上,$S=left{begin{array}{l}2sqrt{3}{t}(0<{t}leqslant4)8sqrt{3}(4<{t}<6)end{array};right.$(4)(1)当点$P$运动到$angleBAD$的角平分线上时,连接$AP$,过点$P$作$PMperpAB,PNperpAD$,<ImageHere>此时$PM=PN$,即点$P$到四边形$ABED$相邻两边$AB$和$AD$的距离相等,$becauseAD//BC$$thereforeangleDAP=angleAPB$,又$becauseAP$平分$angleBAD$,$thereforeangleBAP=angleDAP$,$thereforeangleBAP=angleAPB$,$thereforeBP=2t=BA=4$,解得:$t=2$,(2)当点$P$与运动到$CD$边上时,过点$P$作$PMperpAD,PNperpDE$,<ImageHere>在平行四边形$ABCD$中,$AB//CD,angleB=angleADC=60^{circ}$,$thereforeangleDCE=angleB=60^{circ}$,又$becauseCD=CE=4$,$thereforetriangleCDE$是等边三角形,$thereforeangleCDE=60^{circ}$,$thereforeangleADC=angleCDE$,即$CD$平分$angleADE$,$therefore$当$4leqslantt<6$时,点$P$在$angleADE$的角平分线上运动（含点$P$在$angleE$的角平分线的情况）,此时,点$P$到四边形$ABED$相邻两边$AD$(或$BE$)和$DE$的距离相等.综上:$t=2$或$4leqslantt<6$时,点$P$到四边形$ABED$相邻两边距离相等.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、等边三角形的判定与性质,一次函数的应用,掌握相关性质定理,分段分析,利用数形结合思想解题是关键.