如图, 在平面直角坐标系中, 菱形 $O A B C$ 的顶点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴的正半轴上, 顶点 $C$ 的坐标为 $(4,3), D$ 是抛物线 $y=-x^{2}+6 x$ 上一点, 且在 $x$ 轴上方, 则 $\triangle B C D$ 面积的最大值为

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求出 $B C=O C=5$, 设点 $D\left(x,-x^{2}+6 x\right)$, 然后根据 $\triangle B C D$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times B C \times\left(y_{D}-y_{C}\right)$列式，再利用二次函数求最值的方法解答即可.

【详解】解: $\because$ 菱形顶点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$,

$\therefore O C=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

$\therefore B C=O C=5$,

设点 $D\left(x,-x^{2}+6 x\right)$,
则 $\triangle B C D$ 的面积 $=\frac{1}{2} B C \times\left(y_{D}-y_{C}\right)=\frac{1}{2} \times 5 \times\left(-x^{2}+6 x-3\right)=-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+15$,

$\because-\frac{5}{2}<0$,

$\therefore$ 当 $x=3$ 时, $\triangle B C D$ 面积有最大值 15 ,

故选: C.

【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题, 菱形的性质, 勾股定理的应用, 通过点 $C$ 的坐标确定菱形的边长是解答本题的关键.

