如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板$ABC$放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点$C$坐标为$(-1,0)$,点$A$的坐标为$(0,2)$,一次函数$y=k+b$的图象经过点$B,C$,反比例函数$y=frac{{m}}{{x}}$图象也经过点$B$.(1)求反比例函数的关系式;(2)直接写出当$x<0$时,$kx+b-frac{{m}}{{x}}<0$的解集.(3)若$P$是$y$轴正半轴一点,当$triangleACP$是等腰三角形时,求出点$P$的坐标.<ImageHere>
(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,利用$AAS$证明$triangleBFCcongtriangleCOA$,得$CF=OA=2,BF=$$OC=1$,可知点$B$的坐标,代入反比例函数解析式即可;(2)根据图象直接可得答案;（3）分$AP=AC、PA=PC、CA=CP$三种情形,分别画出图形,从而解决问题.【解析】解：(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,<ImageHere>$becauseangleBCA=90^{circ}$,$thereforeangleBCF+angleACO=90^{circ}$.又$becauseangleCAO+angleACO=90^{circ}$,$thereforeangleBCF=angleCAO$$becauseangleBFC=angleCOA=90^{circ},BC=AC$.$thereforetriangleBFCcongtriangleCOA(AAS)$,$thereforeCF=OA=2,BF=OC=1$,$therefore$点$B$的坐标为$(-3,1)$,将点$B$的坐标代入反比例函数解析式可得:$1=frac{{k}}{-3}$解得:$k=-3$,故可得反比例函数解析式为:$y=frac{3}{x}$;(2)结合点$B$的坐标及图象,可知:当$x<0$时,$kx+b-frac{m}{x}<0$的解集为:$-3<x<0$;（3）分三种情况求解：如图,<ImageHere>(1)当$AP=AC$时,$because$点$P$在$y$轴正半轴,$thereforeP_{1}$符合要求,$P_{2}$不符合要求,$becauseA(0,2),C(-1,0)$,$thereforeAC=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}$,$therefore{AP}_{1}={AC}=sqrt{5}$,$therefore0{P}_{1}={OA}+{AP}{P}_{1}=2+sqrt{5}$,$therefore{P}_{1}(0,2+sqrt{5})$(2)当$AC=CP$时,$P_{3}$在$y$轴负半轴,不符合题意,在正半轴上点$P$与点$A$重合,不符合题意,故$AC=CP$时,不存在;(3)当$AP=CP$时,设$P_{4}(0,m)$,$thereforeP_{4}C=P_{4}A=2-m$,在Rt$triangleOCP_{4}$中，由勾股定理，得$1^{2}+m^{2}=(2-m)^{2}$,解得,${m}=frac{3}{4}$,$therefore{P}_{4}left(0,frac{3}{4}right)$,综上所述,点$P$坐标为$left(0,frac{3}{4}right)$或$(0,2+sqrt{5})$.【点睛】本题是反比例函数综合题,主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,函数与不等式的关系等知识,构造全等三角形求出点$B$的坐标是解题的关键.