9. (2019 - 四川高考模拟 (文)) 已知 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $S_{n}=2 a_{n}-2$.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 求数列 $\left\{a_{n}+\log _{2} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1) $\because S_{n}=2 a_{n}-2$,

$\therefore$ 当 $n=1$ 时, $S_{1}=2 a_{1}-2$, 故 $a_{1}=2 a_{1}-2$, 得 $a_{1}=2$.

当 $n \geq 2$ 时, $S_{n-1}=2 a_{n-1}-2$,

故 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(2 a_{n}-2\right)-\left(2 a_{n-1}-2\right)=2 a_{n}-2 a_{n-1}$,

$\therefore$ 当 $n \geq 2$ 时, $a_{n}=2 a_{n-1}$,

$\therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 $a_{1}=2$ 为首项, 以 2 为公比的等比数列,

$\therefore a_{n}=2 \times 2^{n-1}=2^{n}$.

(2) 由（1）知, $a_{n}+\log _{2} a_{n}=2^{n}+n$,

$\therefore\left(a_{1}+\log _{2} a_{1}\right)+\left(a_{2}+\log _{2} a_{2}\right)+\left(a_{3}+\log _{2} a_{2}\right)+\cdots+\left(a_{n}+\log _{2} a_{n}\right)$

$=(2+1)+\left(2^{2}+2\right)+\left(2^{2}+3\right)+\cdots+\left(2^{n}+n\right)$,

$=\left(2+2^{2}+2^{2}+\cdots+2^{n}\right)+(1+2+3+\cdots n)$,

$=2^{n+1}-2+\frac{n^{2}+n}{2}$.