已知函数 $f(x)=3^{x}, f(a+2)=81, g(x)=\frac{1-a^{x}}{1+a^{x}}$.

(1)求 $g(x)$ 的解析式并判断 $g(x)$ 的奇偶性;

(2)用定义证明：函数 $g(x)$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上是单调递减函数;

(3)求函数 $g(x)$ 的值域.
【解】(1)由 $f(a+2)=3^{a^{+}}=81$, 得 $a+2=4$, 故 $a=2$, 则 $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}$,

又 $g(-x)=\frac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x)$,

故 $g(x)$ 是奇函数.

(2)证明: 设 $x_{1}<x_{2} \in \boldsymbol{R}, g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)=\frac{1-2 x_{1}}{1+2 x_{1}}-\frac{1-2 x_{2}}{1+2 x_{2}}=\frac{2\left(2 x_{2}-2 x_{1}\right)}{\left(1+2 x_{1}\right)\left(1+2 x_{2}\right)}$.

$\because x_{1}<x_{2}, \quad \therefore 2 x_{1}<2 x_{2}$,

又 $2 x_{1}>0,2 x_{2}>0, \therefore g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)>0$, 即 $g\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right)$, 则函数 $g(x)$ 在 $R$ 上是单调递减函数.

(3) $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=\frac{2-\left(1+2^{x}\right)}{1+2^{x}}=\frac{2}{1+2^{x}}-1$.

$\because 2^{x}>0,2^{x}+1>1, \therefore 0<\frac{1}{1+2^{x}}<1,0<\frac{2}{1+2^{x}}<2, \quad-1<\frac{2}{1+2^{x}}-1<1$, 故函数 $g(x)$ 的值域为 $(-1,1)$.