若函数 $f(x)=a^{x}-1(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的定义域和值域都是 $[0,2]$, 求实数 $a$ 的值.
当 $a>1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=0, \\ f(2)=2,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=0, \\ a^{2}-1=2,\end{array}\right.$

$\therefore a= \pm \sqrt{3} .21$ 世纪教育网

又 $a>1, \therefore a=\sqrt{3}$.

当 $0<a<1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递减,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=2, \\ f(2)=0,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=2, \\ a^{2}-1=0,\end{array}\right.$ 解得 $a \in \varnothing$,

综上所述, $a=\sqrt{3}$.