已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| \frac{\pi}{2}\right)$, 当 $f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=3$ 时,

$\left|x_{1}-x_{2}\right|_{\text {min }}=\pi$, , 则下列结论正确的是 ( )
因为 $f(x)=\sqrt{3} \sin (\omega x+\varphi)$, 所以 $f(x)_{\text {max }}=\sqrt{3}$,

又 $f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=3$, 所以 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=\sqrt{3}$ 或 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=-\sqrt{3}$,

因为 $\left|x_{1}-x_{2}\right|_{\text {min }}=\pi$, 所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 所以 $\omega=2$, 故 $\mathrm{A}$ 错误;

又, 所以 $\sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

又 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$, 所以 $\varphi=\frac{\pi}{3}$, 所以 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$,

令 $2 x+\frac{\pi}{3}=k \pi(k \in \mathbf{Z})$, 得 $x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,所以函数的对称中心为 $\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}, 0\right)(k \in \mathrm{Z})$, 所以 $\mathrm{B}$ 错误;

由 $2 x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathrm{Z})$, 解得 $x=\frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathrm{Z})$, 故 C 错误;

$y=\sqrt{3} \cos \omega x=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)$, 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 单位长度得

$y=\sqrt{3} \sin \left[2\left(x-\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{2}\right]=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=f(x)$, 故 D 正确,

故选 D.