点 $P$ 在 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边上, 若 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+2 y \overrightarrow{A C}$, 则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值为
因为点 $P$ 在 $\triangle A B C$ 的 $B C$ 边上, 且 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+2 y \overrightarrow{A C}$, 所以 $x+2 y=1,1 \geq x \geq 0,1 \geq 2 y \geq 0$因此 $x^{2}+y^{2}=(1-2 y)^{2}+y^{2}=5 y^{2}-4 y+1$
当 $y=\frac{2}{5}$ 时 $x^{2}+y^{2}$ 取最小值 $\frac{1}{5}$

故答案为: $\frac{1}{5}$