（12 分）某科研团队发现了一种新型单细胞生物, 在长时间观测后, 科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件: (1)死亡; (2)保持原状; (3) 分裂成两个活细胞; (4)分裂成三个活细胞. 若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞, 试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.
设一个细胞时它存活的概率为 $x$, 则 $x$ 是与当前时间无关的,

一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是 $x$,

变成两个细胞后有存活的概率会变成 $1-(1-x)^{2}$,

类推可得方程 $x=0 \times \frac{1}{4}+x \times \frac{1}{4}+\left[1-(1-x)^{2}\right] \times \frac{1}{4}+\left[1-(1-x)^{3}\right] \times \frac{1}{4}$,

整理得 $x^{2}-4 x+2=0$, 解得 $x=2-\sqrt{2}$ 或 $x=2+\sqrt{2}$ (舍去),

所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为 $P=1-(1-x)^{2}=2 \sqrt{2}-2$.