20. 记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n}>0,6 S_{n}=a_{n}^{2}+3 a_{n}-4$.

    (1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

    (2) 设 $b_{n}=\frac{a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2}}{a_{n} a_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
（1）当 $n=1$ 时, $6 S_{1}=a_{1}^{2}+3 a_{1}-4$, 所以 $a_{1}=4$ 或 -1 (不合, 舍去）.

    因为 $6 S_{n}=a_{n}^{2}+3 a_{n}-4$ (1), 所以当 $n \geqslant 2$ 时, $6 S_{n-1}=a_{n-1}^{2}+3 a_{n-1}-4$ (2),

    由(1)-(2)得 $6 a_{n}=a_{n}^{2}+3 a_{n}-a_{n-1}^{2}-3 a_{n-1}$,

    所以 $\left(a_{n}+a_{n-1}\right)\left(a_{n}-a_{n-1}-3\right)=0$.

    又 $a_{n}>0$, 所以 $a_{n}-a_{n-1}=3$.

    因此 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 4 ，公差为 3 的等差数列.

    故 $a_{n}=4+3(n-1)=3 n+1$.

    (2) 由(1) 得 $b_{n}=\frac{(3 n+1)^{2}+(3 n+4)^{2}}{(3 n+1)(3 n+4)}=2+\frac{3}{3 n+1}-\frac{3}{3 n+4}$,

    所以 $T_{n}=2+\frac{3}{4}-\frac{3}{7}+2+\frac{3}{7}-\frac{3}{10}+\cdots+2+\frac{3}{3 n+1}-\frac{3}{3 n+4}$

    $=2 n+\left(\frac{3}{4}-\frac{3}{7}+\frac{3}{7}-\frac{3}{10}+\cdots+\frac{3}{3 n+1}-\frac{3}{3 n+4}\right)=2 n+\frac{9 n}{4(3 n+4)}$