9. 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 \leqslant \varphi \leqslant \pi)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 其图象关于点 $M\left(\frac{3 \pi}{4}, 0\right)$ 对称, 且在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$上是单调函数, 求 $\varphi$ 和 $\omega$ 的值.
由 $f(x)$ 是偶函数, 得 $f(-x)=f(x)$,

即函数 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称,

$\therefore f(x)$ 在 $x=0$ 时取得最值,

即 $\sin \varphi=1$ 或 $\sin \varphi=-1$.

依题设 $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$, 解得 $\varphi=\frac{\pi}{2}$.

由 $f(x)$ 的图象关于点 $M$ 对称, 可知
$\sin \left(\frac{3 \pi}{4} \omega+\frac{\pi}{2}\right)=0$,

$\therefore \frac{3 \pi}{4} \omega+\frac{\pi}{2}=k \pi(k \in \mathbf{Z})$,

解得 $\omega=\frac{4 k}{3}-\frac{2}{3}, k \in \mathbf{Z}$,

又 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数,

所以 $T \geqslant \pi, \quad$ 即 $\frac{2 \pi}{\omega} \geqslant \pi$,

又 $\omega>0, \quad \therefore 0<\omega \leqslant 2$.

$\therefore$ 当 $k=1$ 时, $\omega=\frac{2}{3}$;

当 $k=2$ 时, $\omega=2$.

$\therefore \varphi=\frac{\pi}{2}, \omega=2$ 或 $\frac{2}{3}$.