如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $D, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle D O C=90^{\circ}, A C=2, B D=2 \sqrt{2}$, 则 $\odot O$ 的半径为 ( )

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【分析】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

作半径 $O E \perp A B$, 连接 $D E$, 作 $B F \perp D E$ 于 $F$, 如图, 利用等角的余角相等得到 $\angle D O E=\angle A O C$, 则 $D E=$ $A C=2$, 利用三角形内角和可计算出 $\angle B D E=135^{\circ}$, 所以 $\angle B D F=45^{\circ}$, 从而可计算出 $D F=B F=2$,利用勾股定理计算出 $B E=2 \sqrt{5}$, 然后根据 $\triangle B O E$ 为等腰直角三角形可得到 $O B$ 的长.

## 【解答】

解: 作半径 $O E \perp A B$, 连接 $D E$, 作 $B F \perp D E$ 于 $F$, 连接 $B E$, 如图,

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$\because \angle D O C=90^{\circ}, \angle A O E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D O E=\angle A O C$,

$\therefore D E=A C=2$,

$\because \angle B D E=180^{\circ}-\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=135^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=45^{\circ}$,

$\therefore D F=B F=\frac{\sqrt{2}}{2} B D=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{2}=2$,

$\therefore E F=D E+D F=4$,

在Rt $\triangle B E F$ 中, $B E=\sqrt{B F^{2}+E F^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because \triangle B O E$ 为等腰直角三角形,

$\therefore O B=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{5}=\sqrt{10}$.

故选: D.

