《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作, 其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 $=\frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 + 矢 ${ }^{2}$ ). 弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长, “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 $O C \perp$ 弦 $A B$ 时, $O C$ 平分 $A B$ ) 可以求解, 现已知弦 $A B=6$ 米,半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 __平方米.

根据垂径定理得到 $A D=3$, 由勾股定理得到 $O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=4$, 求得 $O A-O D=1$,根据弧田面积 $=\frac{1}{2}\left(\right.$ 弦 $\times$ 矢 + 矢 $\left.{ }^{2}\right)$ 即可得到结论.

【详解】解: $\because$ 弦 $A B=6$ 米, 半径 $O C \perp$ 弦 $A B$,

$\therefore A D=\frac{1}{2} A B=3$ 米,

$\therefore O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=4$ 米,

$\therefore O A-O D=5-4=1$ (米),

$\therefore$ 弧田面积 $=\frac{1}{2}\left(\right.$ 弦 $\times$ 矢 + 矢 $\left.{ }^{2}\right)=\frac{1}{2} \times\left(6 \times 1+1^{2}\right)=\frac{7}{2}$ (平方米).

故答案为: $\frac{7}{2}$.

【点睛】此题考查垂径定理的应用, 勾股定理及扇形的面积, 关键是根据垂径定理和扇形面积解答.

