已知幕函数 $g(x)=(2 a-1) x^{a+1}$ 的图象过函数 $f(x)=m^{x-b}-\frac{1}{2} \quad(m>0, B m \neq 1)$ 的图象所经过的定点, 则 $b$ 的值等于 ( )
由于 $g(x)=(2 a-1) x^{a+1}$ 为幂函数, 则 $2 a-1=1$, 解得: $a=1$,

函数 $f(x)=m^{x-b}-\frac{1}{2},(m>0$, 且 $m \neq 1)$, 当 $x=b$ 时, $f(b)=m^{b-b}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, 故 $f(x)$ 的图像

所经过的定点为 $\left(b, \frac{1}{2}\right)$,

所以 $g(b)=\frac{1}{2}$, 即 $b^{2}=\frac{1}{2}$, 解得: $b= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, 故答案选 B