如图所示, 在平面内, 给定不在同一直线上的点 $A, B, C$, 射线 $B P$ 是 $\angle A B C$ 的平分线, 点 $O$ 到点 $A, B, C$ 的距离均等于 $a$ ( $a$ 为常数), 到点 $O$ 的距离等于 $a$ 的所有点组成图形 $G$, 图形 $G$ 交射线 $B P$ 于点 $D$, 连接 $A D, C D$.

<ImageHere>

(1)求证: $A D=C D$;

(2)过点 $D$ 作直线 $A B$ 的垂线 $D E$, 垂足为 $E$, 作 $D F \perp B C$ 于点 $F$, 延长 $D F$ 交图形 $G$ 于点 $M$, 连接 $C M$.若 $A D=C M$, 求直线 $D E$ 与图形 $G$ 的公共点个数.
解: 如图所示, 依题意画出图形 $G$ 为 $\odot O$, 如图所示,

<ImageHere>

(1) $\because B D$ 平分 $\angle A B C, \therefore \angle A B D=\angle C B D$,

$\therefore \widehat{A D}=\widehat{C D}$,

$$
\begin{gathered}
\therefore A D=C D \\
(2 \because A D=C D, A D=C M
\end{gathered}
$$

$\therefore C D=C M$.

$\because D F \perp B C$

$$
\therefore \angle D F C=\angle C F M=90^{\circ}
$$

在 $R t \triangle C D F$ 和 $R t \triangle C M F$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
C D=C M \\
C F=C F
\end{array},\right.
$$

$\therefore \triangle C D F \cong \triangle C M F(H L)$
$\therefore D F=M F$,

$\therefore B C$ 为弦 $D M$ 的垂直平分线.

$\therefore B C$ 为 $\odot O$ 的直径, 连接 $O D$,

$\because \angle C O D=2 \angle C B D, \angle A B C=2 \angle C B D$,

$\therefore \angle A B C=\angle C O D$,

$\therefore O D / / B E$.

又 $\because D E \perp B A$,

$\therefore \angle D E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O D E=90^{\circ} ，$ 即 $O D \perp D E ，$

$\therefore D E$ 为 $\odot O$ 的切线.

$\therefore$ 直线 $D E$ 与图形 $G$ 的公共点个数为 1 个.