已知函数 $f(x)=\ln x-2 a \sin x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上是单调递增函数, 则 $a$ 的取值范围为 ( )
答案:A

【解析】【解答】解:

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2 a \cos x
$$

因为 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上是单调递增函数

所以 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-2 a \cos x \geq 0$, 而在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上 $\cos x>0$

所以 $a \leq \frac{1}{2 x \cos x}$, 即 $a \leq\left(\frac{1}{2 x \cos x}\right)_{\min }$

令 $h(x)=\frac{1}{2 x \cos x}$, 则 $h^{\prime}(x)=\frac{2 x \sin x-2 \cos x}{(2 \cdot \cos x)^{2}}=\frac{x \sin x-\cos x}{2 x^{2} \cos ^{2} x}$

分子分母同时除以 $\sin x$ ，得
$h^{\prime}(x)=\frac{x \sin x-\cos x}{2 x^{2} \cos ^{2} x}=\frac{x-\frac{1}{\tan x}}{2 x^{2} \cos ^{2} x \sin x}$

令 $g(x)=x-\frac{1}{\tan x}$, 则 $g(x)=x+\left(-\frac{1}{\tan x}\right)$ 在区间 ${ }^{\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]}$ 上为增函数

所以

$$
g(x)_{\max }=g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\tan _{\frac{\pi}{4}}}=\frac{\pi}{4}-1<0
$$

所以 $g(x)<0$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$上恒成立

即 $h^{\prime}(x)=\frac{x-\frac{1}{\tan x}}{2 x^{2} \cos ^{2} x \sin x}<0$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上恒成立

所以函数 $h(x)=\frac{1}{2 x \cos x}$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上为单调递减函数

所以

$$
a \leq\left(\frac{1}{2 x \cos x}\right)_{\min }=h(x)_{\min }=h\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2 \sqrt{2}}{\pi}
$$



【分析】函数在某区间单调递增, 则导数大于等于 0 恒成立, 转化为不等式恒成立问题, 分离常数,构造新的函数求最值即可求出参数的取值范围.