(本小题8.0分)

如图, 在 $\odot O$ 中, $A B$ 为直径, 过圆上一点 $C$ 作切线 $C D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $D$.

(1)求证: $\angle B A C=\angle B C D$;

(2)若 $\angle B A C=30^{\circ}, A B=4$, 求图中阴影部分的面积.

<ImageHere>
(1)证明: 连接 $O C$,

$\because C D$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O C \perp C D$,

$\therefore \angle O C B+\angle B C D=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle A B C=90^{\circ}$,

$\because O C=O B$,

$\therefore \angle O C B=\angle A B C$,

$\therefore \angle B A C=\angle B C D$

(2) 解: $\because \angle B A C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=2 \angle B A C=60^{\circ}$,

$\therefore C D=O C \cdot \tan \angle C O D=2 \sqrt{3}$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=S_{\triangle O C D}-S_{\text {扇形 } C O B}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2-\frac{60 \pi \times 2^{2}}{360}=2 \sqrt{3}-\frac{2}{3} \pi$.

【解析】(1)连接 $O C$, 根据切线的性质得到 $O C \perp C D$, 根据圆周角定理得到 $\angle A C B=90^{\circ}$, 根据等腰三角形的性质得到 $\angle O C B=\angle A B C$, 进而证明结论;

(2)根据圆周角定理求出 $\angle B O C$, 根据正切的定义求出 $C D$, 根据扇形面积公式计算即可.

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形面积计算, 掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是
解题的关键.