(6 分) 如图, $\triangle A B C$ 为圆 $O$ 的内接三角形, $A B=A C$, 连接 $A O$ 并延长交 $B C$ 于点 $M$.

(1)求证: $A M \perp B C$;

(2)若 $B C=6, A B=3 \sqrt{10}$, 求 $\odot O$ 的半径.

<ImageHere>


(1) 证明 $O A$ 是线段 $B C$ 的垂直平分线, 即可证明 $A M \perp B C$;

（2）连接 $O B$, 根据垂径定理得到 $B M=\frac{1}{2} B C=3$, 根据勾股定理得到 $A M=9$, 设 $O B=O A=r$, 则 $O M=9-r$, 根据勾股定理建立方程求解即可.

【详解】(1) 证明: $\because \triangle A B C$ 为圆 $O$ 的内接三角形,

$\therefore$ 点 $O$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上,

$\because A B=A C$,

$\therefore$ 点 $A$ 在线段 $B C$ 的垂直平分线上,

$\therefore O A$ 是线段 $B C$ 的垂直平分线,

$\therefore A M \perp B C$;

(2) 解: 如图所示, 连接 $O B$,

$\because A M \perp B C$,

$\therefore B M=\frac{1}{2} B C=3$,

$\because A B=3 \sqrt{10}$,

$\therefore A M=\sqrt{A B^{2}-B M^{2}}=9$,

设 $O B=O A=r$, 则 $O M=9-r$,

$\because O B^{2}=B M^{2}+O M^{2}$,

$\therefore r^{2}=3^{2}+(9-r)^{2}$,
解得 $r=5$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 5 .

<ImageHere>

【点睛】本题考查了三角形的外接圆的性质, 勾股定理, 垂径定理等等, 正确地作出辅助线是解题的关键.

