如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $B C$ 边上的高, $\odot P$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 连接 $P A$. 若 $A D=3, B D=1, B C=5$, 则 $P A$ 的长 $(\quad)$.

   <ImageHere>


解: 连接 $P C$, 过点 $P$ 作 $P F \perp B C$ 于 $F$,

<ImageHere>

$\because B D=1, B C=5$,

$\therefore C D=4$,

$\because A D=3$,
$\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+D C^{2}}=5, A B=\sqrt{A D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{10}$,

$\because P F \perp B C$,

$\therefore \angle A F P=\angle A D B=90^{\circ}, A F=\frac{1}{2} A C=2.5, \angle A P F=\frac{1}{2} \angle A P C$,

$\because \angle A B C=\frac{1}{2} \angle A P C$

$\therefore \angle A B C=\angle A P F$,

$\therefore \triangle A B D \backsim \triangle A P F$,

$\therefore \frac{A B}{A P}=\frac{A D}{A F}$ 即 $\frac{\sqrt{10}}{A P}=\frac{3}{2.5}$,

解得: $A P=\frac{5 \sqrt{10}}{6}$,

故选: $B$.

连接 $P C$, 过点 $P$ 作 $P F \perp B C$ 于 $F$, 根据勾股定理得出 $A C=5, A B=\sqrt{10}$, 再由圆周角定理及垂径定理得出 $A F=\frac{1}{2} A C=2.5, \angle A B C=\angle A P F$, 利用相似三角形的判定和性质求解即可.

题目主要考查圆周角定理及垂径定理, 勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质, 理解题意, 作出辅助线, 综合运用这些知识点是解题关键.

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