10. 已知函数 $f(x)=4 \cos \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$.

(1)求 $\omega$ 的值;

(2)讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调性.
(1) $f(x)=4 \cos \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2} \sin x \omega \cdot \cos \omega x+2 \sqrt{2} \cos ^{2} \omega x$

$=\sqrt{2}(\sin 2 \omega x+\cos 2 \omega x)+\sqrt{2}=2 \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}$.

因为 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 且 $\omega>0$,

从而有 $\frac{2 \pi}{2 \omega}=\pi$, 故 $\omega=1$.

(2) 由(1)知 $f(x)=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}$.

若 $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$, 则 $\frac{\pi}{4} \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{5 \pi}{4}$.

当 $\frac{\pi}{4} \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{\pi}{2}$, 即 $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{8}$ 时, $f(x)$ 单调递增;

当 $\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{5 \pi}{4}$, 即 $\frac{\pi}{8} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时, $f(x)$ 单调递减。

综上可知, $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{8}\right]$ 上单调递增, 在区间 $\left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递减.