如图已知等腰 $\triangle A B C, A B=B C$, 以 $A B$ 为直径的圆交 $A C$ 于点 $D$, 过点 $D$ 的圆 $O$ 的切线交 $B C$ 于点 $E$, 若 $C D=5$, $C E=4$, 则圆 $O$ 的半径是 ( $\quad)$
解: 连接 $0 \mathrm{D}, \mathrm{DB}$

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$,

又 $\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,

$\therefore A D=C D$,

又 $\because \mathrm{AO}=\mathrm{OB}$,

$\therefore \mathrm{OD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的中位线,

$\therefore \mathrm{OD} / / \mathrm{BC}$

$\because \mathrm{DE}$ 是 $\odot 0$ 的切线,

<ImageHere>

$\therefore \mathrm{DE} \perp O \mathrm{OD}$

$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$,

$\because C D=5, C E=4$,

$\therefore \mathrm{DE}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,

$\because \mathrm{S} \triangle \mathrm{BCD}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CD} \div 2=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE} \div 2$

$\therefore 5 \mathrm{BD}=3 \mathrm{BC}$,

$\therefore B D=\frac{3}{5} B C$,

$\because \mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}$,

$\therefore\left(\frac{3}{5} B C\right)^{2}+5^{2}=B C^{2}$

解得 $\mathrm{BC}=\frac{25}{4}$,

$\because A B=B C$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{4}$,
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{4}$,

$\therefore \odot 0$ 的半径是;

$\frac{25}{4} \div 2=\frac{25}{8}$.

故选: D.