18. (2018 安徽安庆二模) 已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=2$, 且 $a_{1}+1, a_{2}+1, a_{4}+1$成等比数列.

(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式;

(2) 设 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}, n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}$ 是数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 求使 $S_{n}<\frac{3}{19}$ 成立的最大的正整数 $n$.
(1) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则 $a_{n}=2+(n-1) d, n \in \mathbf{N}^{*}$,

由 $a_{1}+1, a_{2}+1, a_{4}+1$ 成等比数列，

得 $\left(a_{2}+1\right)^{2}=\left(a_{1}+1\right)\left(a_{4}+1\right)$, 即 $(3+d)^{2}=3(3+3 d)$,

解得 $d=0$ (舍去) 或 $d=3$.

所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 $a_{n}=3 n-1, n \in \mathbf{N}^{*} . \cdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55$ 分

(2) 因为 $b_{n}=\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3 n-1}-\frac{1}{3 n+2}\right)$,

所以 $S_{n}=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3 n-1}-\frac{1}{3 n+2}\right)\right]$

$$
=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n+2}\right)=\frac{n}{2(3 n+2)}
$$

由 $S_{n}<\frac{3}{19}$ 即 $\frac{n}{2(3 n+2)}<\frac{3}{19}$, 得 $n<12$,

所以使 $S_{n}<\frac{3}{19}$ 成立的最大的正整数 $n=11$.