(本小题8.0分)

如图，在以点 $O$ 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 $A B$ 交小圆于点 $C 、 D$.

(1)求证 $A C=B D$;

(2)若 $A C=3$, 大圆和小圆的半径分别为 6 和 4 , 则 $C D$ 的长度是 $\qquad$ .

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(第 21 题)

## 
【分析】

本题考查了垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.

(1)作 $C H \perp C D$ 于 $H$, 如图, 根据垂径定理得到 $C H=D H, A H=B H$, 利用等量减等量差相等可得到结

论;

(2)连接 $O C$, 如图, 设 $C H=x$, 利用勾股定理得到 $O H^{2}=O C^{2}-C H^{2}=4^{2}-x^{2}$, $O H^{2}=O A^{2}-A H^{2}=6^{2}-(3+x)^{2}$, 则 $4^{2}-x^{2}=6^{2}-(3+x)^{2}$, 然后解方程求出 $x$ 即可得到 $C D$ 的长.

## 【解答】

(1)见答案;

(2)解: 连接 $O C$, 如图, 设 $C H=x$,

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在Rt $\triangle O C H$ 中, $O H^{2}=O C^{2}-C H^{2}=4^{2}-x^{2}$,

在Rt $\triangle O A H$ 中, $O H^{2}=O A^{2}-A H^{2}=6^{2}-(3+x)^{2}$,

$\therefore 4^{2}-x^{2}=6^{2}-(3+x)^{2}$,

解得 $x=\frac{11}{6}$,

$\therefore C D=2 C H=\frac{11}{3}$.

故答案为 $\frac{11}{3}$.

