如图, 已知 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A B$ 是直径, 点 $D$ 在 $\odot O$ 上, $O D / / B C$, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$, 垂足为 $E$, 连接 $C D$ 交 $O E$ 边于点 $F$.

(1)求证: $\triangle D O E \sim \triangle A B C$;

(2)求证: $\angle O D F=\angle B D E$;

(3)连接 $O C$, 设 $\triangle D O E$ 的面积为 $S_{1}$, 四边形 $B C O D$ 的面积为 $S_{2}$, 若 $\frac{S_{1}}{s_{2}}=\frac{2}{7}$, 求 $\sin A$ 的值.

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解: (1)证明: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because D E \perp A B$,

$\therefore \angle D E O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D E O=\angle A C B$,

$\because O D / / B C$

$\therefore \angle D O E=\angle A B C$,
$\therefore \triangle D O E \sim \triangle A B C$

(2)证明: $\because \triangle D O E \sim \triangle A B C$,

$\therefore \angle O D E=\angle A$,

$\because \angle A$ 和 $\angle B D C$ 是 $\overparen{B C}$ 所对的圆周角,

$\therefore \angle A=\angle B D C$,

$\therefore \angle O D E=\angle B D C$,

$\therefore \angle O D F=\angle B D E$

(3)解: $\because \triangle D O E \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{S_{\triangle D O E}}{S_{\triangle A B C}}=\left(\frac{O D}{A B}\right)^{2}=\frac{1}{4}$,

即 $S_{\triangle A B C}=4 S_{\triangle D O E}=4 S_{1}$ ，

$\because O A=O B$,

$\therefore S_{\triangle B O C}=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}$, 即 $S_{\triangle B O C}=2 S_{1}$,

$\because \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2}{7}, S_{2}=S_{\triangle B O C}+S_{\triangle D O E}+S_{\triangle D B E}=2 S_{1}+S_{1}+S_{\triangle D B E}$,

$\therefore S_{\triangle D B E}=\frac{1}{2} S_{1}$,

$\therefore B E=\frac{1}{2} O E$,

即 $O E=\frac{2}{3} O B=\frac{2}{3} O D ，$

$\therefore \sin A=\sin \angle O D E=\frac{O E}{O D}=\frac{2}{3}$.