已知 $4 x-5 y=0$, 求分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 的值.
【答案】解: $\because 4 x-5 y=0$
$$
\begin{aligned}
& \therefore x=\frac{5 y}{4} \\
& \therefore \frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}=\frac{4 \times \frac{5 y}{4} \times y+y^{2}}{\left(\frac{5 y}{4}\right)^{2}-2 \times \frac{5 y}{4} \times y} \\
& =\frac{5 y^{2}+y^{2}}{\frac{25 y^{2}}{16}-\frac{5 y^{2}}{2}} \\
& =\frac{6}{-\frac{15}{16}} \\
& =-\frac{32}{5}
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 的值为 $-\frac{32}{5}$.
【解析】先将 $4 x-5 y=0$ 变形, 用含 $y$ 的式子表示出 $x$, 再代入分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 化简即可.本题考查了分式的值, 熟练掌握相关运算法则是解题的关键.