如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面是边长为 2 的正方形, 侧棱 $P A \perp$ 底面 $A B C D$, $P A=2, M, N$ 分别为 $A D, B C$ 的中点.

（I）求证：平面 $P M N \perp$ 底面 $P A D$;

(II) 求 $P M$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值;

(III) 求 $C$ 到平面 $P M N$ 的距离.

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【分析】

（I）先证明 $M N \perp$ 平面 $P A D ，$ 即可得出平面 $P M N \perp$ 底面 $P A D$;

(II) 过 $M$ 作 $M D \perp$ 平面 $P C D$, 连接 $P O$, 得到 $\angle M P O$ 即为所求线面角, 解三角形即可;

（III）设 $C$ 到平面 $P M N$ 的距离为 $h$ ，根据等体积法即可求出结果.

## 【详解】

(I) 证明:

$\because P A \perp$ 面 $A B C D$,

$\therefore P A \perp M N, P A \perp A B$,

$\because M 、 N$ 分别为 $A D 、 B C$ 中点

$\therefore A B / / M N$,

$\because A B \perp A D$,

$\therefore A B \perp$ 平面 $P A D$

$\because A B / / M N$,

$\therefore M N \perp$ 平面 $P A D$,

$\because M N \subset$ 平面 $P M N$,

$\therefore$ 平面 $P M N \perp$ 平面 $P A D$.

(II) 过 $M$ 作 $M D \perp$ 平面 $P C D$, 连接 $P O$

$\therefore \angle M P O$ 即为所求

$\because V_{M-P C D}=V_{P-M C D}$,

即 $\frac{1}{3} \times S_{\triangle P C D} \cdot M D=\frac{1}{3} \times S_{\triangle M C D} \cdot P A ，$

$\therefore \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{2} \times O M=\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 2, \quad O M=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\therefore \sin \angle M P O=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10} ;$

（III）设 $C$ 到平面 $P M N$ 的距离为 $h$,

因为 $V_{P-M N C}=V_{C-P M N}$, 所以 $\frac{1}{3} \times S_{\triangle M N C} \cdot P A=\frac{1}{3} \times S_{\triangle P M N} \cdot h$,

即 $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times 2=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{5} \times h$ ，

所以 $h=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

故 $C$ 到平面 $P M N$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

## 【点睛】

本题主要考查面面垂直的判定、线面角以及点到平面的距离, 熟记判定定理, 灵活运用等体积法求解即可，属于常考题型.