(10 分) 已知函数 $y=f(x)$ 满足: 对任意的 $a, b \in \mathbf{R}, a \neq b$, 都有 $a f(a)+b f(b)>a f(b)+b f(a)$, 试证明: $f(x)$ 为 $\mathrm{R}$ 上的单调递增函数.
答案:证明见解析.

【解析】设 ${ }^{x_{1}}, x_{2} \in \mathbf{R}$, 令 $x_{1}<x_{2}$,由题意得 $x_{1} f\left(x_{1}\right)+x_{2} f\left(x_{2}\right)>x_{1} f\left(x_{2}\right)+x_{2} f\left(x_{1}\right)$,

$\therefore x_{1}\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]+x_{2}\left[f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right]>0$, 可得 $\left[f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right]\left(x_{2}-x_{1}\right)>0$,

$\because x_{1}<x_{2} ， \therefore f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)>0$ ，即 $f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$ ，

$\therefore y=f(x)$ 为 $\mathrm{R}$ 上的单调递增函数.