中国有悠久的金石文化, 印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体, 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 且此正方体的棱长为 1 . 则该半正多面体共有个面, 其棱长为

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图 1

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图 2
【分析】

第一问可按题目数出来, 第二问需在正方体中简单还原出物体位置, 利用对称性, 平面几何解决.

## 【详解】

由图可知第一层与第三层各有 9 个面, 计 18 个面, 第二层共有 8 个面, 所以该半正多面体共有

$18+8=26$ 个面.

如图, 设该半正多面体的棱长为 $x$, 则 $A B=B E=x$, 延长 $B C$ 与 $F E$ 交于点 $G$, 延长 $B C$ 咬正方体棱于 $H$, 由半正多面体对称性可知, $\triangle B G E$ 为等腰直角三角形,

$\therefore B G=G E=C H=\frac{\sqrt{2}}{2} x, \quad \therefore \quad G H=2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} x+x=(\sqrt{2}+1) x=1$,

$\therefore x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$, 即该半正多面体棱长为 $\sqrt{2}-1$.

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【点睛】

本题立意新颖, 空间想象能力要求高, 物体位置还原是关键, 遇到新题别慌乱, 题目其实很简单,稳中求胜是关键. 立体几何平面化, 无论多难都不怕, 强大空间想象能力, 快速还原图形.