已知二次函数 $L_{1}: y_{1}=x^{2}+6 x+5 k$ 和 $L_{2}: y_{2}=k x^{2}+6 k x+5 k$, 其中 $k \neq 0$.

(1)写出两条有关二次函数 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 共有的性质或结论;

(2)若两条抛物线 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 相交于点 $E, F$, 当 $k$ 的值发生变化时, 判断线段 $E F$ 的长度是否发生变化, 并说明理由;

(3)在（2）中，若二次函数 $L_{1}$ 的顶点为 $M$, 二次函数 $L_{2}$ 的顶点为 $N$;

(1)当 $k$ 为何值时, 点 $M$ 与点 $N$ 关于直线 $E F$ 对称?

(2)是否存在实数 $k$, 使得 $M N=2 E F$ ? 若存在, 求出实数 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由.

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(1) 只需从二次函数的对称轴、与 $y$ 轴的交点等角度考虑就可解决问题;

(2) 可令 $y_{1}=y_{2}$, 求出点 $E 、 F$ 的横坐标, 从而得到点 $E 、 F$ 的坐标, 进行得到 $E F$ 的长,就可解决问题;

（3）易得点 $M 、 N$ 的坐标及直线 $E F$ 的关系式, 然后根据条件建立关于 $k$ 的方程, 就可解决问题.

【详解】(1) 二次函数两条共有性质是:

对于抛物线 $L_{1}: y_{1}=x^{2}+6 x+5 k$, 其对称轴为直线 $x=-\frac{6}{2 \times 1}=-3$,

当 $x=0$ 时, $y_{1}=5 k$, 即抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,5 k)$;

对于抛物线 $L_{2}: y_{2}=k x^{2}+6 k x+5 k$, 其对称轴为直线 $x=-\frac{6 k}{2 \times k}=-3$,

当 $x=0$ 时, $y_{2}=5 k$, 即抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,5 k)$;

则有:

(1)它们的对称轴相同, 都是 $x=-3$,

(2)它们的图象与 $y$ 轴的交点都是 $(0,5 k)$;

（2）线段 $E F$ 的长度不发生变化,

理由: 当 $y_{1}=y_{2}$ 时, $x^{2}+6 x+5 k=k x^{2}+6 k x+5 k$,

整理得: $(k-1)\left(x^{2}+6 x\right)=0$,

$\because k \neq 1$

$\therefore x^{2}+6 x=0$,

解得: $x=0$ 或 -6 ,

不妨设点 $E$ 在点 $F$ 的左边,

则点 $E$ 的坐标为 $(-6,5 k)$, 点 $F$ 的坐标为 $(0,5 k)$,

$\therefore E F=|0-(-6)|=6$,

$\therefore$ 线段 $E F$ 的长度不发生变化;

（3）(1) $y_{1}=x^{2}+6 x+5 k=(x+3)^{2}+5 k-9$ 得 $M(-3,5 k-9)$,

由 $y_{2}=k x^{2}+6 k x+5 k=k(x+3)^{2}-4 k$ 得 $N(-3,-4 k)$,

$\because$ 直线 $E F$ 关系式为 $y=5 k$, 且点 $M$ 与 $N$ 关于直线 $E F$ 对称,

$\therefore-4 k-5 k=5 k-(5 k-9)$,

解得: $k=-1$;

(2) $\because M N=|(5 k-9)-(-4 k)|=|9 k-9|, \quad M N=2 E F=12$,

$\therefore|9 k-9|=12$,

解得 $k_{1}=\frac{7}{3}, k_{2}=-\frac{1}{3}$,

$\therefore$ 实数 $k$ 为 $\frac{7}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}$

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识, 需要注意的是当两点横坐标相同时,两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值.

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