17. 在 $\triangle A B C$ 中, $a 、 b 、 c$ 分别是内角 $A 、 B 、 C$ 的对边, 且 $\sqrt{3} b \cos A=\sin A(a \cos C+c \cos A)$.

    (1) 求角 $A$ 的大小;

    (2) 若 $a=2 \sqrt{3}, \triangle A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
(1) $\because \sqrt{3} b \cos A=\sin A(a \cos C+c \cos A), \therefore$ 由正弦定理可得:

    $\sqrt{3} \sin B \cos A=\sin A(\sin A \cos C+\sin C \cos A)=\sin A \sin (A+C)=\sin A \sin B$,

    即 $\sqrt{3} \sin B \cos A=\sin A \sin B$,

    $\because \sin B \neq 0, \therefore \tan A=\sqrt{3}, \because A \in(0, \pi), \quad \therefore A=\frac{\pi}{3}$.

    (2) $\because A=\frac{\pi}{3}, a=2 \sqrt{3}, \triangle A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}, \therefore \frac{1}{2} b c \sin A=\frac{\sqrt{3}}{4} b c=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$,

    $\therefore b c=5, \therefore$ 由余弦定理可得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,

    即 $12=b^{2}+c^{2}-b c=(b+c)^{2}-3 b c=(b+c)^{2}-15$, 解得: $b+c=3 \sqrt{3}$,

    $\therefore \triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=2 \sqrt{3}+3 \sqrt{3}=5 \sqrt{3}$.

    （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 $\sqrt{3} \sin B \cos A=\sin A \sin B$, 由 $\sin B \neq 0$, 可求 $\tan A=\sqrt{3}$, 结合 $A \in(0, \pi)$, 可求 $A=\frac{\pi}{3}$.

    (2) 利用三角形的面积公式可求 $b c=5$, 进而根据余弦定理可得 $b+c=3 \sqrt{3}$, 即可计算 $\triangle A B C$ 的周长的值.