已知函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,1]$, 则函数 $g(x)=\frac{1}{x-2}+f(x-2)$ 的定义域为
【详解】

$\because f(x+1)$ 定义域为 $[-2,1] \quad \therefore-1 \leq x+1 \leq 2$, 即 $f(x)$ 定义域为 $[-1,2]$
由题意得: $\left\{\begin{array}{l}x-2 \neq 0 \\ -1 \leq x-2 \leq 2\end{array}\right.$, 解得: $1 \leq x<2$ 或 $2<x \leq 4$

$\therefore g(x)$ 定义域为: $[1,2) \cup(2,4]$

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查函数定义域的求解问题, 关键是能够通过复合函数定义域确定 $f(x)$ 定义域, 从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.