如图, $P A$ 是 $\odot O$ 的切线, $O P$ 交 $\odot O$ 于点 $B$, 如果 $\sin P=\frac{1}{2}, O B=1$, 那么 $B P$ 的长是 $(\quad)$

<ImageHere>
连接 $O A$,

$\because P A$ 为 $\odot O$ 的切线，

$\therefore \angle O A P=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\because \sin P=\frac{1}{2}, O B=1$,

$\therefore A O=1$, 则 $O P=2$,

故 $B P=2-1=1$.

故选: $C$.