如图, 在 $\odot O$ 中, $C$ 是 $A B$ 上一点, $O A \perp O B$, 过点 $C$ 作弦 $C D$ 交 $O B$ 于 $E$, 若 $O A=D E$,则 $\angle C$ 与 $\angle A O C$ 满足的数量关系是（）

    <ImageHere>

    （第 10 题）

    
连接 $O D$, 易得 $O D=D E=O C$, 进而得到 $\angle C=\angle D$,

$\angle D O E=\angle D E O=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle D\right)$, 利用外角的性质, 得到

$\angle D E O=\angle C+\angle C O E=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$, 又 $\angle C O E=90^{\circ}-\angle A O C$, 得到

$\angle C+90^{\circ}-\angle A O C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$, 即可得出结论.

【详解】解：连接 $O D$,

<ImageHere>

$\because O A=D E$,

$\therefore O D=D E=O C$,

$\therefore \angle C=\angle D, \angle D O E=\angle D E O=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle D\right)$,

$\therefore \angle D E O=\angle C+\angle C O E=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$,

$\because O A \perp O B$,

$\therefore \angle A O B=90^{\circ}, \angle C O E=90^{\circ}-\angle A O C$,

$\therefore \angle C+90^{\circ}-\angle A O C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$,

$\therefore \angle C=\frac{2}{3} \angle A O C$;

故选 C.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质, 三角形的外角的性质. 正确的识图, 确定角之间的和差关系, 是解题的关键.

