如图, 已知 $\odot O$ 的内接正六边形 $A B C D E F$ 的边心距 $O M=1$, 则该圆的内接正三角形 $A C E$ 的面积为 $($ )<ImageHere>


解: 如图所示, 连接 $O E 、 O F$, 过 $O$ 作 $O N \perp C E$ 于 $N$,

<ImageHere>

$\because$ 多边形 $A B C D E F$ 是正六边形,

$\therefore \angle E O F=60^{\circ}$,

$\because O E=O F$,

$\therefore \triangle E O F$ 是等边三角形,

$\therefore \angle O E M=60^{\circ}$,

$\therefore O M=O E \cdot \sin \angle O E M$,

$\therefore O E=\frac{O M}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$\because \angle O E N=30^{\circ}$,

$\therefore O N=\frac{1}{2} O E=\frac{\sqrt{3}}{3}, E N=1$.

$\therefore C E=2 E N=2$.

故选: A.

连接 $O E 、 O F$, 过 $O$ 作 $O N \perp C E$ 于 $N$, 证出 $\triangle E O F$ 是等边三角形, 根据锐角三角函数的定义求解即可.本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数; 熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键.

 