【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试 (一模) 数学试题】在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边

分别为 $a, b, c$, 若 $a=1, \sqrt{3} \sin A \cos C+(\sqrt{3} \sin C+b) \cos A=0$, 则角 $A=(\quad)$
 $\because a=1, \sqrt{3} \sin A \cos C+(\sqrt{3} \sin C+b) \cos A=0$,

$\therefore \sqrt{3} \sin A \cos C+\sqrt{3} \sin C \cos A=-b \cos A$,

$\therefore \sqrt{3} \sin (A+C)=\sqrt{3} \sin B=-b \cos A$,

$\therefore \sqrt{3} a \sin B=-b \cos A$,

由正弦定理可得: $\sqrt{3} \sin A \sin B=-\sin B \cos A$,

$\because \sin B>0, \therefore \sqrt{3} \sin A=-\cos A$, 即 $\tan A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\because A \in(0, \pi), \therefore A=\frac{5 \pi}{6}$. 故选 D.

【名师点睛】本题主要考查解三角形, 熟记正弦定理, 两角和的正弦公式即可, 属于基础题. 解答本题时, 由 $\sqrt{3} \sin A \cos C+(\sqrt{3} \sin C+b) \cos A=0$, 可得 $\sqrt{3} a \sin B=-b \cos A$, 再由正弦定理得到 $\tan A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 结合 $A \in(0, \pi)$, 即可求得 $A$​ 的值.

【2019 年高考全国 I 卷理数】函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^{2}}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为 ( )
A.

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B.

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C.

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D.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_8a964f9ccd87371be6e0g-033,.jpg?height=208&width=434&top_left_y=564&top_left_x=1094)

## 【答案】D

【解析】由 $f(-x)=\frac{\sin (-x)+(-x)}{\cos (-x)+(-x)^{2}}=\frac{-\sin x-x}{\cos x+x^{2}}=-f(x)$, 得 $f(x)$ 是奇函数, 其图象关于原点对称, 排除 $\mathrm{A}$. 又 $\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1+\frac{\pi}{2}}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}=\frac{4+2 \pi}{\pi^{2}}>1, f(\pi)=\frac{\pi}{-1+\pi^{2}}>0$, 排除 B, C, 故选 D.

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象, 渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养, 采取性质法或赋值法, 利用数形结合思想解题. 解答本题时, 先判断函数的奇偶性, 得 $f(x)$ 是奇函数,排除 $A$ ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案.