(12 分) 高尔顿(钉)板是在一块坚起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图), 并且每一排铁钉数目都比上一排多一个, 一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央. 从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球, 当小球从两钉之间的间隙下落时, 由于碰到下一排铁钉, 它将以相等的可能性向左或向右落下, 接着小球再通过两铁钉的间隙, 又碰到下一排铁钉. 如此继续下去, 在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小球.

(1) 理论上, 小球落入 4 号容器的概率是多少?

(2) 一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验, 设其中落入 4 号容器的小球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.

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答案:(1) $\frac{1}{4} ;$ （2）分布列见解析.

【解析】(1) 记“小球落入 4 号容器”为事件 $A$,

若要小球落入 4 号容器, 则需要在通过的四层中有三层向右, 一层向左,

$\therefore$ 理论上, 小球落入 4 号容器的概率 $P(A)=C_{4}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}$.

(2) 落入 4 号容器的小球的个数 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$,

$\therefore P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{27}{64}, P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1} \times \frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{27}{64}$,

$P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{9}{64}, \quad P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$,

: $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{1}{64}$ |