如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, 对角线 $A C$ 是 $\odot O$ 的直径, $A B=2, I$ 是 $\triangle A D C$ 的内心, $\angle A D B=45^{\circ}$.

(1) 求 $\odot O$ 半径的长.

(2)求证: $B C=B I$.

<ImageHere>
解：(1) $\because A C$ 是 $\odot$ 的直径,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}=\angle A B C$,

<ImageHere>
又 $\angle A D B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle B D C=45^{\circ}$,

$\therefore \overline{A B}=\overline{B C}$,

$\therefore A B=B C$

$\because A B=2$,

$$
\therefore A C=2 \sqrt{2}
$$

$\therefore \odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$;

(2) 连结 $A I$,

$\because I$ 是 $\triangle A D C$ 的内心.

$\therefore \angle D A I=\angle C A I$,

$\angle A I B=\angle D A I+\angle A D I$,

$\angle B A I=\angle B A C+\angle C A I$,

$\because \angle B A C=\angle A D I$,

$\therefore \angle B A I=\angle A I B$

$\therefore A B=B I$,

即 $B C=B I$.