(本小题 8.0 分)

如图, 已知等腰三角形 $A B C$ 的底角为 $30^{\circ}$, 以 $B C$ 为直径的 $\odot O$ 与底边 $A B$ 交于点 $D$, 过 $D$ 作 $D E \perp$ $A C$, 垂足为 $E$.

(1)证明: $D E$ 为 $\odot O$ 的切线;

(2)若 $B C=4$, 求 $D E$ 的长.

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(1)证明：连接 $O D$,

$\because O D=O B$,

$\therefore \angle O D B=\angle B$,

$\because A C=B C$,

$\therefore \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle O D B=\angle A$,

$\therefore O D / / A C$

$\therefore \angle O D E=\angle D E A=90^{\circ}$,

$\therefore D E$ 为 $\odot O$ 的切线;

(2) 解：连接 $C D$,

$\because B C$ 为直径,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\because \angle A=30^{\circ}$,

又 $\because A C=B C=4$,

$\therefore A D=A C \cdot \cos 30^{\circ}=4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore D E=\frac{1}{2} A D=\sqrt{3}$.

【解析】(1)连接 $O D$, 由平行线的判定定理可得 $O D / / A C$, 利用平行线的性质得 $\angle O D E=\angle D E A=$ $90^{\circ}$, 可得 $D E$ 为 $\odot O$ 的切线;

(2)连接 $C D$, 由 $B C$ 为直径, 利用圆周角定理可得 $\angle A D C=90^{\circ}$, 由 $\angle A=30^{\circ}, A C=B C=4$, 利用含 $30^{\circ}$ 的角直角三角形和勾股定理可得 $D E$.
本题主要考查了切线的判定, 圆周角定理, 平行线的性质及判定定理, 解题的关键是学会添加常用辅助线.