11. 若函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} a x^{2}+(a-1) x+1$ 在区间 $(1,4)$ 上为减函数,在区间 $(6,+\infty)$ 上为增函数, 试求实数 $a$ 的取值范围.
：解 函数 $f(x)$ 的导数 $f^{\prime}(x)=x^{2}-a x+a-1$.

令 $f^{\prime}(x)=0$, 解得 $x=1$ 或 $x=a-1$.

当 $a-1 \leqslant 1$ 即 $a \leqslant 2$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上为增函数，不合题意.

当 $a-1>1$ 即 $a>2$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上为增函数, 在 $(1, a$ $-1)$ 上为减函数，在 $(a-1,+\infty)$ 上为增函数.

依题意应有当 $x \in(1,4)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x \in(6,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$.

$\therefore 4 \leqslant a-1 \leqslant 6$, 解得 $5 \leqslant a \leqslant 7$.

$\therefore a$ 的取值范围是[5,7].