13.【2018 年 4 月 2018 届高三第二次全国大联考】已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=5, a_{6}=a_{4}+4$, 公比为正数的等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{2}=1, b_{3} b_{5}=\frac{1}{16}$.

(I) 求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(II) 设 $c_{n}=\frac{a_{n} b_{n}}{2}$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.
(I) 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$.

因为 $a_{6}=a_{4}+4$, 所以 $a_{6}-a_{4}=2 d=4$, 解得 $d=2$.

所以 $a_{n}=a_{3}+(n-3) d=5+(n-3) \times 2=2 n-1$.

由 $b_{3} b_{5}=\frac{1}{16}$ 及等比中项的性质, 得 $b_{4}{ }^{2}=\frac{1}{16}$,

又显然 $b_{4}$ 必与 $b_{2}$ 同号, 所以 $b_{4}=\frac{1}{4}$.

所以 $q^{2}=\frac{b_{4}}{b_{2}}=\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{4}$. 又公比为正数, 解得 $q=\frac{1}{2}$.

所以 $b_{n}=b_{2} q^{n-2}=1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}$.

( I ) 由 (I) 知, $c_{n}=\frac{a_{n} b_{n}}{2}=\frac{(2 n-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}}{2}=\frac{2 n-1}{2^{n-1}}$,
则 $T_{n}=\frac{1}{2^{0}}+\frac{3}{2^{1}}+\frac{5}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{2} T_{n}=\frac{1}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-3}{2^{n-1}}+\frac{2 n-1}{2^{n}}$

(1)-(2), 得 $\frac{1}{2} T_{n}=\frac{1}{2^{0}}+\frac{2}{2^{1}}+\frac{2}{2^{2}}+\cdots+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2 n-1}{2^{n}}=1+1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2 n-1}{2^{n}}$

$=1+\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2 n-1}{2^{n}}=3-\frac{2 n+3}{2^{n}}$.

所以 $T_{n}=6-\frac{2 n+3}{2^{n-1}}$.