在平面直角坐标系中, 二次函数 $y=a x^{2}-4 a x+2(a<0)$ 部分图象和一次函数 $y=-\frac{1}{2} x+2$ 的图象如图所示. 已知它们有一个交点为 $A$, 点 $B(-1,-1)$ 在该二次函数图象上, 则它们的另一个交点在 ( )

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解: 把点 $B$ 代入 $y=a x^{2}-4 a x+2$ 中,

得: $a+4 a+2=-1$,

解得 $a=-\frac{3}{5}$,

$\therefore$ 拋物线的解析式为 $y=-\frac{3}{5} x^{2}+\frac{12}{5} x+2$,

联立抛物线和直线的解析式得:

$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{5} x^{2}+\frac{12}{5} x+2 \\ y=-\frac{1}{2} x+2\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{29}{6} \\ y=-\frac{5}{12}\end{array}\right.$,

$\therefore$ 它们的另一个交点坐标为 $\left(\frac{29}{6},-\frac{5}{12}\right)$,

$\because M(4,0), N\left(5,-\frac{1}{2}\right), Q(6,-1)$,

又 $\because 4<\frac{29}{6}<5$,

$\therefore$ 它们的另一个交点在 $M N$ 之间,

故选: $A$.

由点 $B$ 的坐标即可确定二次函数的解析式, 和直线联立即可确定另一个交点的坐标.

本题主要考查二次函数的图象和性质, 关键是要能根据点 $B$ 的坐标确定抛物线的解析式.

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