（2021 春・济南期中）如图 1 是一个长为 $4 a$, 宽为 $b$ 的长方形, 沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形, 然后用四块小长方形拼成如图 2 的正方形.

(1) 图 2 中的阴影正方形边长表示正确的序号为 \$ \qquad \$ $;$ (1) $a+b$ (2) $b-a$ (3) $(a+b)(b-a)$.

(2) 由图 2 可以直接写出 $(a+b)^{2},(b-a)^{2}, a b$ 之间的一个等量关系是 \$ \qquad \$ ;

(3) 根据 (2) 中的结论, 解决下列问题: (1)若 $m-n=8, m n=20$, 求 $m+n$ 的值; (2)两个正方形 $A B C D$, $A E F G$ 如图 3 摆放, 边长分别为 $x, y$, 若 $x^{2}+y^{2}=12, B E=3$, 直接写出图中阴影部分面积的平方.

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图 1

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图 2

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图 3
) 由图形可得图 2 中的阴影正方形边长为 $b-a$, 故选 2);

(2) 由图 2 中面积公式可得 $(b-a)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$;

(3) (1) 由 (2) 题结论 $(b-a)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$, 可得 $(a+b)^{2}=(b-a)^{2}+4 a b$, 所以 $a+b= \pm$ $\sqrt{(\mathrm{b}-\mathrm{a})^{2}+4 \mathrm{ab}}$, 将 $m-n=8, m n=20$ 的值代入可求得求 $m+n$ 的值; (2) 由题意得 $B E=x-y=3$, 图形阴影面积拼补得后为梯形 $B C F E$ 的面积, 即图中阴影部分面积为 $\frac{(\mathrm{EF}+\mathrm{BC}) \cdot \mathrm{BE}}{2}=\frac{3(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{2}$, 又由完全平方公式 $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$ 得, $x y=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-(x-y)^{2}}{2}=\frac{12-3^{2}}{2}=\frac{3}{2}$, 所以 $(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}$ $=12+2 \times \frac{3}{2}=12+3=15$, 所以. 图中阴影部分面积为 $\left[\frac{3(x+y)}{2}\right]^{2}=\frac{9(x+y)^{2}}{4}=\frac{9 \times 15}{4}=\frac{135}{4}$.

【答案】(1) 由图形可得图 2 中的阴影正方形边长为 $b-a$, 故选(2);

(2) 由图 2 中面积公式可得 $(b-a)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$, 故答案为: $(b-a)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$;

(3)) (1) 由 (2) 题结论 $(b-a)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$, 可得 $(a+b)^{2}=(b-a)^{2}+4 a b$,

$\therefore a+b= \pm \sqrt{(\mathrm{b}-\mathrm{a})^{2}+4 \mathrm{ab}}, \quad \therefore m+n= \pm \sqrt{(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2}+4 m \mathrm{~m}}$

$\therefore$ 当 $m-n=8, m n=20$ 时 $m+n= \pm \sqrt{8^{2}+4 \times 20}= \pm 12$;

(2) 由题意得 $B E=x-y=3$, 图形阴影面积拼补得后为梯形 $B C F E$ 的面积,
即图中阴影部分面积为 $\frac{(\mathrm{EF}+\mathrm{BC}) \cdot \mathrm{BE}}{2}=\frac{3(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{2} ，$

又由完全平方公式 $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$ 得, $x y=\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-(x-y)^{2}}{2}=\frac{12-3^{2}}{2}=\frac{3}{2}$,

$\therefore(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}=12+2 \times \frac{3}{2}=12+3=15$,

$\therefore$ 图中阴影部分面积为 $\left[\frac{3(\mathrm{x}+\mathrm{y})}{2}\right]^{2}=\frac{9(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}}{4}=\frac{9 \times 15}{4}=\frac{135}{4} .=\frac{135}{4}$.

【点睛】此题考查了利用数形结合思想解决整式运算的能力, 关键是能借助图形面积列出整式算式