如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=3$, 点 $P$ 是 $A B$ 上(不含端点 $A, B$ ) 任意一点, 把 $\triangle P B C$ 沿 $P C$ 折叠, 当点 $B^{\prime}$ 的对应点落在矩形 $A B C D$ 的对角线上时, $B P=$

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 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$

解(1)点 $A$ 落在矩形对角线 $B D$ 上, 如图 1 所示.

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图1

$\because$ 矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=3$

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}, A C=B D$,

$\therefore A C=B D=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.

根据折叠的性质得： $P C \perp B B^{\prime}$,

$\therefore \angle P B D=\angle B C P$,

$\therefore \triangle B C P \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{B P}{A D}=\frac{B C}{A B}$,
即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}=\frac{8-B P}{10}$,

解得: $B P=\frac{9}{4}$.

(2)点 $A$ 落在矩形对角线 $A C$ 上, 如图 2 所示.

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图2

根据折叠的性质得: $B P=B^{\prime} P, \angle B=\angle P B^{\prime} C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B^{\prime} A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A P B^{\prime} \sim \triangle A C B$,

$\therefore \frac{B \prime P}{B C}=\frac{A P}{A C}$,

即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}$,

解得: $B P=\frac{3}{2}$.

故答案为: $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$.