如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$, 它的对称轴为直线 $x=-1$. 则下列选项中正确的是 $(\quad)$

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【分析】

本题主要考查二次函数的图象和性质. 熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题
的关键.

由图象开口向上, 可知 $a>0$, 与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方, 可知 $c>0$, 根据对称轴方程得到 $b>0$,于是得到 $a b c>0$, 故 $A$ 错误; 根据二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点, 得到 $b^{2}-$ $4 a c>0$, 求得 $4 a c-b^{2}<0$, 故 $B$ 错误; 根据对称轴方程得到 $b=2 a$, 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$,于是得到 $c-a<0$, 故 $C$ 错误; 当 $x=-n^{2}-2$ ( $n$ 为实数)时, 代入解析式得到 $y=a x^{2}+b x+c=$ $a\left(-n^{2}-2\right)^{2}+b\left(-n^{2}-2\right)+c=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c$, 于是得到 $y=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c \geq c$, 故 $D$ 正确.

## 【解答】

解: 由图象开口向上, 可知 $a>0$,

与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方, 可知 $c>0$,

又对称轴方程为 $x=-1$, 所以 $-\frac{b}{2 a}<0$, 所以 $b>0$,

$\therefore a b c>0$, 故 $A$ 错误;

$\therefore$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点,

$\therefore b^{2}-4 a c>0$,

$\therefore 4 a c-b^{2}<0$, 故 $B$ 错误;

$\because-\frac{b}{2 a}=-1$,

$\therefore b=2 a$,

$\because$ 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$,

$\therefore a-2 a+c<0$,

$\therefore c-a<0$, 故 $C$ 错误;

当 $x=-n^{2}-2$ ( $n$ 为实数)时, $y=a x^{2}+b x+c=a\left(-n^{2}-2\right)^{2}+b\left(-n^{2}-2\right)+c=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c$, $\because a>0, n^{2} \geq 0, n^{2}+2>0$,

$\therefore y=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c \geq c$, 故 $D$ 正确,

故选: D.

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