如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=4$, 以点 $A$ 为圆心, 2 为半径的 $\odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$, 交 $A B$ 于点 $E$, 交 $A C$ 于点 $F$, 点 $P$ 是 $\odot A$ 上一点, 且 $\angle E P F=40^{\circ}$, 则图中阴影部分的面积是 $(\quad)$

<ImageHere>
【分析】

本题考查了扇形的面积公式这个知识点, 连接 $A D$, 根据切线的性质得 $A D \perp B C$, 即 $A D=2$ 为 $B C$ 边上的高; 再根据圆周角定理得 $\angle E A F=2 \angle E P F=80^{\circ}$, 而 $S_{\text {阴 }}=S_{\triangle A B C}-S_{\text {扇 } A F}$, 然后利用扇形的面积公式: $S=\frac{n \pi R^{2}}{360}$ 和三角形的面积公式即可计算出图中阴影部分的面积.

【解答】

解: 连接 $A D$, 如图,

<ImageHere>

$\because \odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$,

$\therefore A D \perp B C$, 且 $A D=2$,

又 $\because \angle E A F=2 \angle E P F=80^{\circ}$, 而 $B C=4$,
$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{\triangle A B C}-S_{\text {扇 } A F}=\frac{1}{2} B C \times A D-\frac{80 \pi \times 2^{2}}{360}=4-\frac{8}{9} \pi$,

故选 $A$.