（2019 - 湖南师大附中高考模拟（文））已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列, 若 $a_{2} \cdot a_{6} \cdot a_{10}=3 \sqrt{3}, b_{1}+b_{6}+b_{11}=7 \pi$, 则 $\tan \frac{b_{2}+b_{10}}{1-a_{3} \cdot a_{9}}$ 的值是 $(\quad)$


$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列

$$
\therefore a_{2} \cdot a_{6} \cdot a_{10}=a_{6}^{3}=3 \sqrt{3} \quad \therefore a_{6}=\sqrt{3}
$$

$\because\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列 $\quad \therefore b_{1}+b_{6}+b_{11}=3 b_{6}=7 \pi \quad \therefore b_{6}=\frac{7 \pi}{3}$

$\therefore \tan \frac{b_{2}+b_{10}}{1-a_{3} \cdot a_{9}}=\tan \frac{2 b_{6}}{1-a_{6}^{2}}=\tan \frac{\frac{14 \pi}{3}}{1-3}=-\tan \frac{7 \pi}{3}=-\tan \frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$

本题正确选项: $D$
$q=\sqrt{2}+1$. 故 $\frac{a_{5}}{a_{3}}=q^{2}=3+2 \sqrt{2}$.