如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $F$ 是 $B C$ 边上一点, $A F$ 的延长线交 $D C$ 的延长线于点 $G, D E \perp A G$, 垂足为 $E$, 且 $D E=D C$, 求证: $B F=A E$.

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证明: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=C D, B C / / A D, \angle B=90^{\circ}, D E=C D$,

$\therefore A B=D E, \angle B F A=\angle E A D$,

$\because D E \perp A G$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=\angle B$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D E A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\angle B F A=\angle E A D \\ \angle B=\angle A E D \\ A B=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D E A$,
$\therefore B F=A E$.