已知: 集合 $A=\{x \mid-2 \leqslant x \leqslant 2\}, B=\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 1\}$. 对应 $f: x \rightarrow y=a x$. 若在 $f$ 的作用下能够建立从 $A$到 $B$ 的映射 $f: A \rightarrow B$, 求实数 $a$ 的取值范围.
(1)当 $a \geqslant 0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $-2 a \leqslant a x \leqslant 2 a$.

若能够建立从 $A$ 到 $B$ 的映射, 则 $[-2 a, 2 a] \subseteq[-1,1]$, 即 $\left\{\begin{array}{l}-2 a \geq-1 \\ 2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore 0 \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}$.

(2)当 $a<0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $2 a \leqslant a x \leqslant-2 a$, 若能建立从 $A$ 到 $B$ 的映射,则 $[2 a,-2 a] \subseteq[-1,1]$,
即 $\left\{\begin{array}{l}2 a \geq-1, \\ -2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore-\frac{1}{2} \leqslant a<0$

综合(1)(2)可知 $-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$.