已知椭圆 C: $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$, 椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$. (1)求椭圆 $\mathrm{C}$ 的方程; (2)已知动直线 $y=k(x+1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 若线段 $A B$中点的横坐标为 $-\frac{1}{2}$, 求斜率 $\mathrm{k}$ 的值;