(本小题8.0分)

如图所示, $\triangle A B C$ 的外接圆圆心 $O$ 在 $A B$ 上, 点 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点, $D M \perp A B$ 于 $M$, 交 $A C$ 于 $N$, 且 $A C=$ $C D$. $C P$ 是 $\triangle C D N$ 的边 $N D$ 上的中线.

<ImageHere>

(1)求证: $A B=D N$;

(2)试判断 $C P$ 与 $\odot O$ 的位置关系, 并证明你的结论.

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【分析】(1)根据圆周角定理可得 $\angle A C B=90^{\circ}$, 则 $\angle N C D=90^{\circ}$, 而 $D M \perp A B$, 根据等角的余角相等得到 $\angle A=\angle D$, 然后根据 “ $A S A$ ” 判断 $\triangle A B C \cong \triangle D N C$ 即可证明结论;

(2)根据直角三角形斜边上的中线性质得 $P C=P N=\frac{1}{2} D N$, 则 $\angle P C N=\angle P N C$, 所以 $\angle A N M=\angle P C N$,而 $\angle A=\angle A C O$, 于是得到 $\angle A C O+\angle P C N=90^{\circ}$,

即 $\angle P C O=90^{\circ}$, 然即可判定 $C P$ 是 $\odot O$ 的切线.

【详解】(1)证明: $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 则 $\angle N C D=90^{\circ}$,

$\because D M \perp A B$,

$\therefore \angle A M N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A=\angle A B C+\angle D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle D$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D N C$ 中

$\angle A=\angle D, A C=C D, \angle A C B=\angle N C D$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D N C(A S A)$,

$\therefore A B=D N$.

(2)解: $C P$ 是 $\odot O$ 的切线. 理由如下:

如图: 连接 $O C$,

<ImageHere>

$\because C P$ 是 $\triangle C D N$ 的边 $N D$ 上的中线, $\angle N C D=90^{\circ}$,
$\therefore P C=P N=\frac{1}{2} D N$,

$\therefore \angle P C N=\angle P N C$,

$\because \angle A N M=\angle P N C$,

$\therefore \angle A N M=\angle P C N$,

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle A=\angle A C O$,

$\because \angle A+\angle A N M=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C O+\angle P C N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle P C O=90^{\circ}$,

$\therefore O C \perp P C$,

$\therefore C P$ 是 $\odot O$ 的切线.

【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质等知识点, 掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答本题的关键.