19. 已知 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是平面上的一组基底, $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+\lambda \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{b}=-2 \lambda \boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$.

(1)若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线, 求 $\lambda$ 的值;

(2)若 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的单位向量, 当 $\lambda \geqslant 0$ 时, 求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 的最大值.
(1)因为 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，所以存在实数 $\mu$ ，使得 $\boldsymbol{b}=\mu \boldsymbol{a}$ ，

所以 $\left\{\begin{array}{l}-2 \lambda=\mu ， \\ \lambda \mu=-1 ，\end{array}\right.$ 解得 $\lambda= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

(2)因为 $\boldsymbol{e}_{1} ， \boldsymbol{e}_{2}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的单位向量，

所以 $\boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{2}=\frac{1}{2} ，$

所以 $a \cdot b=\left(e_{1}+\lambda e_{2}\right) \cdot\left(-2 \lambda e_{1}-e_{2}\right)=-\lambda^{2}-3 \lambda-\frac{1}{2}$.

又 $\lambda \in[0,+\infty)$ ，所以 $\lambda=0$ 时， $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 取最大值为 $-\frac{1}{2}$.