如图, 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 内一点, $\angle A E B=90^{\circ}, A E$ 平分 $\angle B A C, D$ 是边 $A B$ 的中点, 延长线段 $D E$ 交边 $B C$ 于点 $F$, 若 $A B=6, E F=1$, 则线段 $A C$ 的长为 $($ )

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【分析】

本题考查角平分线的定义, 直角三角形斜边的中线的性质, 三角形的中位线定理, 平行线的判定, 等腰三角形的性质, 平行线分线段成比例.关键是证明 $D F$ 是 $D F$ 是 $\triangle B A C$ 的中位线.

先由角平分线的定义, 直角三角形斜边的中线的性质证明 $D F / / A C$, 再根据平行线分线段成比例证明 $F$ 是 $B C$ 中点, 最后根据三角形中位线定理即可解答.

## 【解答】

解: $\because \angle A E B=90^{\circ}$, $D$ 是边 $A B$ 的中点, $A B=6$

$\therefore D E=D A=D B=\frac{1}{2} A B=3$,

$\therefore \angle D A E=\angle D E A$,

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$,
$\therefore \angle D A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle D E A=\angle C A E$,

$\therefore \frac{B D}{D A}=\frac{B F}{F C}$,

$\because B D=D A$,

$\therefore B F=F C$,

$\therefore F$ 是 $B C$ 中点,

$\therefore D F$ 是 $\triangle B A C$ 的中位线，

$D F=\frac{1}{2} A C$,

$\because D E=3, E F=1$,

$\therefore D F=4$,

$\therefore A C=8$.

故选 $C$.

 