设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是由正数组成的等比数列, $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和, 已知 $a_{2} a_{4}=1, S_{3}=7$, 则 $S_{5}$ 等于( )
解析 $\because\left\{a_{n}\right\}$ 是由正数组成的等比数列, 且 $a_{2} a_{4}=1$,

$\therefore$ 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 则 $q>0$, 且 $a_{3}^{2}=1$, 即 $a_{3}=1$.

$\because S_{3}=7, \quad \therefore a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{1}{q^{2}}+\frac{1}{q}+1=7$,

即 $6 q^{2}-q-1=0$.

故 $q=\frac{1}{2}$ 或 $q=-\frac{1}{3}$ (舍去),

$\therefore a_{1}=\frac{1}{q^{2}}=4$.

$\therefore S_{5}=\frac{4\left(1-\frac{1}{\left.2^{5}\right)}\right.}{1-\frac{1}{2}}=8\left(1-\frac{1}{2^{5}}\right)=\frac{31}{4}$.