如图, 在三角形纸片 $A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, A C=9$, 将纸片沿过点 $B$ 的直线折叠, 使
点 $C$ 落在斜边上的点 $E$ 处, 折痕记为 $B D$, 剪去 $\triangle A D E$ 后得到双层 $\triangle B D E$, 再沿着过 $\triangle B D E$ 某顶点的直线将双层三角形剪开, 使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形, 则所得平行四边形的面积是 \$ \qquad \$ .

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根据折纸可知 $\angle C B D=\angle E B D=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

则 $\angle E B D=\angle A=30^{\circ}$,
$\therefore A D=B D$.

在Rt $\triangle D C B$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle D B C=30^{\circ}$,

$\therefore B D=2 C D$,

$\therefore A D=2 C D$,

$\because A C=9$,

$\therefore A D+D C=9$,

即 $2 C D+D C=9 ，$

$\therefore C D=3$,

$\therefore B D=6$

由勾股定理得： $B C=2 \sqrt{3}$.

剪开方式如下:

(1)按图 1 的方式剪开:

$\because$ 剪切线平行于 $D E(C))$,

$\therefore$ 四边形 $D C P E$ 是平行四边形,

$\because D C=D E$,

$\therefore$ 平行四边形 $D C P E$ 是菱形,

$\because \angle E D P=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle E D P$ 是等边三角形,

$\therefore$ 对角线 $P D=3, C E=3 \sqrt{3}$,

$\therefore S=\frac{1}{2} P D \cdot C E=\frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{3}=\frac{9}{2} \sqrt{3}$;

(2)按图 2 的方式剪开(剪切线平行于 $B E(C)$ ),

同理可证: 平行四边形 $D M B N$ 是菱形,

对角线 $B D=6, M N=2 \sqrt{3}$,

$\therefore S=\frac{1}{2} B D \cdot M N=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$.

则所得平行四边形的面积是 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ 或 $6 \sqrt{3}$.

故答案为: $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ 或 $6 \sqrt{3}$.
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