, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A D \perp C D, A B / / C D, E, F$ 分别为棱 $P C, C D$的中点, $A B=3, C D=6$, 且 $A C=2 \sqrt{10}$.

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(1) 证明: 平面 $P A D / /$ 平面 $B E F$.

(2) 若四棱雉 $P-A B C D$ 的高为 3 , 求该四棱雉的体积.
【分析】

(1) 根据 $A B=3, C D=6$ 可知 $C D=2 A B$, 由 $A B / / D F$ 可证明 $B F / / A D$, 又根据中位线可证明 $E F / / P D$ 即可由平面与平面平行的判定定理证明平面 $P A D / /$ 平面 $B E F$.

（2）利用勾股定理,求得 $D C$. 底面为直角梯形,求得底面积后即可由四棱雉的体积公式求得解.

## 【详解】

(1) 证明: 因为 $F$ 为 $C D$ 的中点, 且 $C D=2 A B$, 所以 $D F=A B$.

因为 $A B / / C D$, 所以 $A B / / D F$, 所以四边形 $A B F D$ 为平行四边形,所以 $B F / / A D$.

在 $\triangle P D C$ 中, 因为 $E, F$ 分别为 $P C, C D$ 的中点, 所以 $E F / / P D$,

因为 $E F \cap B F=F, P D \cap A D=D$,

所以平面 $P A D / /$ 平面 $B E F$.

(2) 因为 $A D \perp C D$, 所以 $A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=\sqrt{A D^{2}+36}$,

又 $A C=2 \sqrt{10}$,

所以 $A D=2$.

所以四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times(3+6)=9$,

故四棱雉 $P-A B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3} \times 3 \times 9=9$.

## 【点睛】

本题考查了平面与平面平行的判定,四棱雉体积的求法,属于基础题.