已知幂函数 $f(x)=x^{-m^{2}+2 m+3}(m \in \mathbf{Z})$ 为偶函数, 且在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式;
$(1) \because f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数,

$\therefore-m^{2}+2 m+3>0$, 即 $m^{2}-2 m-3<0$, 依据函数 $y=m^{2}-2 m-3$ 的图象, 解得 $-1<m<3$.

又 $m \in \mathbf{Z}, \therefore m=0,1,2$, 而当 $m=0,2$ 时, $f(x)=x^{3}$ 不是偶函数; 当 $m=1$ 时, $f(x)=x^{4}$ 是偶函数.

故函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^{4}$.

(2) 由(1)知 $f(x)=x^{4}$, 则 $g(x)=x^{2}+2 x+c=(x+1)^{2}+(c-1)$.

$\because g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立,

$\therefore g(x)_{\min }>2$, 且 $x \in \mathbf{R}$.

又 $g(x)_{\min }=g(-1)=c-1, \therefore c-1>2$, 解得 $c>3$.

故实数 $c$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$.

(2)设函数 $g(x)=\sqrt{f(x)}+2 x+c$, 若 $g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 求实数 $c$ 的取值范围