正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 在 $\triangle A_{1} B_{1} D_{1}$ 内部 (不含边界) 存在点 $P$, 满足点 $P$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离等于点 $P$ 到棱 $B B_{1}$ 的距离.分别记二面角 $P-A D-B$ 为 $\alpha$, $P-A C-B$ 为 $\beta, P-B C-A$ 为 $\gamma$, 则下列说法正确的是 ( )
【分析】

如图连接 $P E, P F, P G$, 记 $\alpha=\angle P E Q, \beta=\angle P G Q, \gamma=\angle P F Q$, 因此 $\tan \alpha=\frac{P Q}{Q E}$,
$\tan \beta=\frac{P Q}{Q G}, \tan \gamma=\frac{P Q}{Q F}$, 比较长度关系即得解.

## 【详解】

如图所示，

<ImageHere>

作 $P Q \perp$ 面 $A B C D$ 于 $Q$, 作 $Q E \perp A D$ 于 $E, Q F \perp B C$ 于 $F, Q G \perp A C$ 于 $G$, 连 $P E$, $P F, P G$,

则 $\alpha=\angle P E Q, \beta=\angle P G Q, \gamma=\angle P F Q$.

因此 $\tan \alpha=\frac{P Q}{Q E}, \tan \beta=\frac{P Q}{Q G}, \tan \gamma=\frac{P Q}{Q F}$,

作 $P E_{1} \perp A_{1} D_{1}$ 于 $E_{1}, P F_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 于 $F_{1}, P G_{1} \perp A_{1} C_{1}$ 于 $G_{1}$,

$P G_{1}$ 即点 $P$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离, $P B_{1}$ 即点 $P$ 到棱 $B B_{1}$ 的距离,

因此 $P B_{1}=P G_{1}$,

因为 $Q F=P F_{1}<P B_{1}=P G_{1}=Q G$ ，

因此 $\tan \beta<\tan \gamma$,

因为 $Q G=P G_{1}<P E_{1}=Q E$,

因此 $\tan \alpha<\tan \beta$

综上有: $\tan \alpha<\tan \beta<\tan \gamma$ ，即 $\alpha<\beta<\gamma ，$

故选: $C$

## 【点睛】

本题考查了几何法研究二面角的大小, 考查了学生空间想象, 转化划归, 逻辑推理, 数学运算的能力, 属于较难题.