21. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数, 对于任意 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$, 都有 $2+\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}<2+\frac{1}{a_{n}}$ 成立，且 $a_{2}=4$.

(1) 求 $a_{1}, a_{3}$ 的值;
: 分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据 (1) 先列出 $a_{1}$所满足条件 $2+\frac{1}{a_{2}}<2\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right)<2+\frac{1}{a_{1}}$, 化简得 $\frac{2}{3}<a_{1}<\frac{8}{7}$, 再根据数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数这一限制条件求出 $a_{1}=1$, 同理可得 $a_{3}=9$ (2) 猜想: $a_{n}=n^{2}$, 用数学归纳法证明的关键由 $\mathrm{k}$ 成立推出 $\mathrm{k}+1$ 成立, 其推导思路同 (1):由条件得 $2+\frac{1}{a_{k+1}}<k(k+1)\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{a_{k+1}}\right)<2+\frac{1}{k^{2}}$, 所以 $\frac{k^{3}(k+1)}{k^{2}-k+1}<a_{k+1}<\frac{k\left(k^{2}+k-1\right)}{k-1}$, 所以 $(k+1)^{2}-\frac{k+1}{k^{2}-k+1}<a_{k+1}<(k+1)^{2}+\frac{1}{k-1}$ 因为 $k \geqslant 3,0<\frac{k+1}{k^{2}-k+1}<1,0<\frac{1}{k-1}<1$,所以 $a_{k+1}=(k+1)^{2}$