已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$, 点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合. 若 $M$ 关于 ${ }^{C}$ 的焦点的对称点分别为 $A, E$ ，线段 $M N$ 的中点在 $C$ 上, 则 $|A N|+|B N|=$ \$ \qquad \$ .
答案:12

【解析】【解答】设 $M N$ 的中点为 $D$, 椭圆 $C$ 的左, 右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 如图所示,

<ImageHere>

连接 $D F_{1}, D F_{2}$, 因为 $F_{1}$ 是 $M A$ 的中点, $D$ 是 $M N$ 的中点, 所以 $F_{1} D$ 是 $\triangle M A N$ 的中位线,所以 $\left|D F_{1}\right|=\frac{1}{2}|A N|$, 同理, $\left|D F_{2}\right|=\frac{1}{2}|B N|$, 所以 $|A N|+|B N|=2\left(\left|D F_{1}\right|+\left|D F_{2}\right|\right)$, 因为 $D$ 在椭圆 ${ }^{C}$ 上, 所以根据椭圆的定义, 可得 $\left|D F_{1}\right|+\left|D F_{2}\right|=2 a=6$, 所以 $|A N|+|B N|=12$.故答案为: 12 .

【分析】根据椭圆方程确定 $\mathrm{a}$ 的值, 设 $\mathrm{MN}$ 的中点为 $\mathrm{D}$, 则在 $\Delta_{\mathrm{MAF}_{2}}$ 中 $|A N|_{2}\left|D F_{1}\right|$, 在 $\Delta_{\mathrm{MBN}}$ 中 $|B N|_{=2}\left|D F_{2}\right|$ ，根据椭圆的定义可知: $\left|D F_{1}\right|_{+}\left|D F_{2}\right|_{=2 \mathrm{a}}$.



13. 答案:(1) 解: 由题意可得 $\mathrm{e}^{\frac{c}{a}}={ }^{\frac{\sqrt{3}}{3}}$,又圆 $O$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$,因为直线 $1: x-y+2=0$ 与圆 $O$ 相切, $\mathrm{b}=\frac{2}{\sqrt{1^{1}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$, 由 $\mathrm{a}^{2}=3 \mathrm{c}^{2}=3\left(\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}\right)$, 即 $\mathrm{a}^{2}=3$.所以粗圆 C 的方程为 ${ }^{\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}}=1$

(2) 解: 由 (1) 得知圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=2 . A(-\sqrt{3}, 0)$, 直线 $m$ 的方程为: $y=k(x+\sqrt{3})$.
设 R (x1, y1), S (x2, y2), 由 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}=2 \\ y=k(x+\sqrt{3})\end{array}\right.$

得 $\left(1+k^{2}\right) x^{2}+2 \sqrt{3} k^{2} x+3 k^{2}-2=0$

$x_{1}+x_{2}=\frac{-2 \sqrt{3} k^{2}}{1+k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{3 k^{2} \&-2}{1+k^{2}}$,

由 $\triangle=12 \mathrm{k}^{4}-4\left(1+\mathrm{k}^{2}\right)\left(3 \mathrm{k}^{2}-2\right)>0$ 的 $-\sqrt{2}<\mathrm{k}<\sqrt{2}$

因为 $\triangle \mathrm{ORS}$ 是针角三角形, $\therefore \overrightarrow{Q R} \cdot \overrightarrow{Q S}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=x_{1} x_{2}+k^{2}\left(x_{1}+\sqrt{3}\right)\left(x_{2}+\sqrt{3}\right)=\frac{4 k^{2}-2}{1+k^{2}}<0$. $-\frac{\sqrt{2}}{2}<k<\frac{\sqrt{2}}{2}$

由 $A 、 R 、 S$ 三点不共线，知 $k \neq 0$.

由(1)、(2、(3), 得直线 $m$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 ( $\left.-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right.$ )

【解析】【分析】（1）求得圆 $\mathrm{O}$ 的方程, 运用直线和相切的条件: $\mathrm{d}=\mathrm{r}$, 求得 $\mathrm{b}$, 再由离心率公式和 $a, b, c$ 的关系, 可得 $a$, 进而得到椭圆方程; (2) 先设出点 $R, S$ 的坐标, 利用 $\triangle O R S$ 是针角三角形, 求得 $\overrightarrow{Q R} \cdot \overrightarrow{Q S}=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}<0$, 从而求出斜率 $\mathrm{k}$ 的取值范围