如图, 矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=2, E$ 为边 $A B$ 的中点, 沿 $D E$ 将 $\triangle A D E$ 折起, 点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处 ( $A_{1} \notin$ 平面 $\left.A B C D\right)$, 若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点, 则在 $\triangle A D E$ 折起过程中, 下列说法错误的是 ( )

<ImageHere>
【分析】

利用翻折前后的不变量、结合反证法, 可证 A, B, C 正确, 从而利用排除法得到正确选项。

## 【详解】

连结 $A C$ 交 $D E$ 于 $N$, 取 $C D$ 的中点 $O$, 连结 $O M, O B, A_{1} N$ 。

对 $\mathrm{A}$, 易证, 平面 $O M B / /$ 平面 $A_{1} D E, B M \subset$ 平面 $O M B$, 所以始终有 $M B / /$ /平面 $A_{1} D E$, 故 $\mathrm{A}$ 正确;

对 $\mathrm{B}$, 因为 $A B=4, B C=2$, 假设 $A_{1} C \perp$ 平面 $A_{1} D E$, 则 $A_{1} C \perp A_{1} D, A_{1} C \perp A_{1} E$,则 $C D^{2}-A_{1} D^{2}=C E^{2}-A_{1} E^{2} \Rightarrow C D=C E$, 因为 $C D=4, C E=2 \sqrt{2}$, 所以 $C D=D E$不成立, 所以假设错误, 故不存在某个位置, 使得 $A_{1} C \perp$ 平面 $A_{1} D E$, 故 $\mathrm{B}$ 正确;
对 C, 当平面 $A_{1} D E \perp$ 平面 $A B C D$ 时, 三棱雉 $A_{1}-A D E$ 的体积最大, $V=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A D E} \cdot h=\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\right) \cdot \sqrt{2}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 故 C 正确;故选: D

<ImageHere>

## 【点睛】

本题考查空间平面图形的翻折问题，考查线面、面面位置关系、体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力, 属于较难问题。