(本小题8.0分)

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $F$ 为 $\odot O$ 上一点, $A C$ 平分 $\angle F A B$ 交 $\odot O$ 于点 $C$. 过点 $C$ 作 $C D \perp A F$ 交 $A F$的延长线于点 $D$.

<ImageHere>

(1)求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2) 若 $D C=3, A D=9$, 求 $\odot O$ 半径
(1)证明：连接 $O C$,

<ImageHere>

$\because A C$ 平分 $\angle F A B$,

$\therefore \angle F A C=\angle C A O$,

$\because A O=C O$,

$\therefore \angle A C O=\angle C A O$,

$\therefore \angle F A C=\angle A C O$,

$\therefore A D / / O C$,

$\because C D \perp A F$,

$\therefore C D \perp O C$,

$\because O C$ 为半径,

$\therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) 解：过点 $O$ 作 $O E \perp A F$ 于 $E$,

<ImageHere>

$\therefore A E=E F=\frac{1}{2} A F, \angle O E D=\angle E D C=\angle O C D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $O E D C$ 为矩形,

$\therefore C D=O E=3, D E=O C$,

设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $O A=O C=D E=r$,

$\therefore A E=9-r$,
$\because O A^{2}-A E^{2}=O E^{2}$

$\therefore r^{2}-(9-r)^{2}=3^{2}$,

解得 $r=5$.

$\therefore \odot O$ 半径为 5 .

【解析】本题主要考查了切线的判定, 矩形的性质与判定, 构造直角三角形是解题的关键.

(1)根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论;

(2)过点 $O$ 作 $O E \perp A F$ 于 $E$, 证明四边形 $O E D C$ 为矩形, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 由勾股定理列出方程求解.