已知三棱雉 $P-A B C$ 中, $O$ 为 $A B$ 中点, $P O \perp$ 平面 $A B C, \angle A P B=90^{\circ}, P A=P B=2$,则下列说法中错误的是 ( )

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【分析】

利用射影相等可知 $P A=P B=P C$, 利用反证法可知 $A P \perp B C$ 不成立, 构造线面角, 可
得其正弦值的范围为 $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为 $\triangle P B C$ 中与 $P C$ 边平行的中位线.

## 【详解】

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 则 $O A=O B=O C$, 由射线相等即可知 $P A=P B=P C$, 故 A 正确;假设 $A P \perp B C$, 则再根据 $P O \perp B C$, 得 $B C \perp$ 平面 $A P B$, 则 $B C \perp A B$, 与 $\triangle A B C$ 为等边三角形矛盾, 故 B 错误;

当 $\angle A C B=90^{\circ}$ 时, $O C=\sqrt{2}, P C=2$, 过 $C$ 作 $C H \perp A B$, 连结 $P H$, 易知 $\angle C P H$ 为 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角, $\sin \angle C P H=\frac{C H}{2} \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 故 $\angle C P H$ 的范围为 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$, 故 C 正确;取 $M_{1}, M_{2}$ 分别为 $P B, B C$ 的中点, 则平面 $O M_{1} M_{2} / /$ 平面 $A P C$, 则线段 $M_{1} M_{2}$ 为 $M$ 在三角形 $P B C$ 内的轨迹, 其长度为 2 , 故 $\mathrm{D}$ 正确
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## 【点睛】

本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断, 处理这类问题, 可以用已知的定理或性质来证明, 也可以用反证法来说明命题的不成立. 此类问题通常是中档题.