圆台的两个底面面积之比为 $4: 9$, 母线与底面的夹角是 $60^{\circ}$, 轴截面的面积为 $180 \sqrt{3}$, 则圆台的母线长 $l=0$
【分析】

设圆台的上底面半径为 $2 r$, 根据面积比可知下底面半径为 $3 r$; 利用圆台的轴截面面积构造关于 $r$ 的方程, 求得 $r$ 后, 利用 $A D=2 A E$ 即可得到结果.

## 【详解】

设圆台的上底面半径为 $2 r$, 则其下底面半径为 $3 r$

可作圆台的轴截面如下图所示:

<ImageHere>

其中 $D E \perp A B, C F \perp A B, \angle D A E=\angle C B F=60^{\circ}$
$\therefore D E=C F=\sqrt{3} r, A E=B F=r, E F=4 r$

$\therefore$ 轴截面面积 $S=S_{D E F D C}+S_{\triangle A D E}+S_{\triangle B F C}=4 r \cdot \sqrt{3} r+r \cdot \sqrt{3} r=180 \sqrt{3}$

解得: $r=6 \quad \therefore$ 母线长 $l=A D=2 A E=2 r=12$

本题正确选项: $D$

## 【点睛】

本题考查圆台母线长的求解问题, 关键是能够利用圆台轴截面面积构造方程求出上下底面半径, 属于基础题.