如图, $\odot O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆, 其半径为 
过点 $P$ 作 $P D \perp A B$, 连接 $\mathrm{CO}$ 并延长交 $A B$ 于点 $F$, 连接 $A O$, 根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到 $O A=O B=4, C F \perp A B$, 然后利用含 $30^{\circ}$ 角直角三角形的性质得到 $O E=\frac{1}{2} O A=2$, 进而求出 $B E=B O+E O=6$, 然后利用 $C P+\frac{1}{2} B P=C P+P D \leq C F$ 代入求解即可.

【详解】如图所示, 过点 $P$ 作 $P D \perp A B$, 连接 $\mathrm{CO}$ 并延长交 $A B$ 于点 $F$, 连接 $A O$

<ImageHere>

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形, $B E \perp A C$

$\therefore \angle A B E=\angle C B E=\frac{1}{2} \angle A B C=30^{\circ}$

$\because \odot O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆, 其半径为 4

$\therefore O A=O B=4, C F \perp A B$,

$\therefore \angle O B A=\angle O A B=30^{\circ}$

$\therefore \angle O A E=\angle O A B=\frac{1}{2} \angle B A C=30^{\circ}$

$\because B E \perp A C$

$\therefore O E=\frac{1}{2} O A=2$

$\therefore B E=B O+E O=6$

$\because P D \perp A B, \quad \angle A B E=30^{\circ}$

$\therefore P D=\frac{1}{2} P B$

$\therefore C P+\frac{1}{2} B P=C P+P D \leq C F$

$\therefore C P+\frac{1}{2} B P$ 的最小值为 $C F$ 的长度

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形, $B E \perp A C, C F \perp A B$

$\therefore C F=B E=6$
$\therefore C P+\frac{1}{2} B P$ 的最小值为 6 .

故答案为: 6 .

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质, 等边三角形的性质, 含 $30^{\circ}$ 角直角三角形的性质等知识, 解题的关键是熟练掌握以上知识点.

