蛋形九巧板源于 1983 年上市的“哥伦布蛋形拼图”（如图 1），是七巧板的变形和延伸. 如图 $2, A B, C D$ 是 $\odot O$ 两条互相垂直的直径, 分别以点 $A, B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画圆弧, 交 $A C, B C$ 的延长线于点 $E, F$, 再以点 $C$ 为圆心, $C E$ 的长为半径画 $E F$, 形成蛋形九巧板轮廓. 若 $A B=2$, 则蛋形九巧板外围周长为 $\qquad$ .


分别求出 $A B 、 A F$ 和 $E F$ 的长即可求出结果.

【详解】解: 根据题意知, $\triangle A O C$ 和 $\triangle B O C$ 都是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$,

$\because A B=2$,

$\therefore O A=O C=O B=1$,

$\therefore A C=B C=\sqrt{2}$

$\therefore C F=C E=A E-A C=2-\sqrt{2}$,

$\therefore A B$ 的长 $=\frac{1}{2} \times 2 \pi \times \frac{2}{2}=\pi$,

$A F$ 的长 $=B E$ 的长 $=\frac{45 \times \pi \times 2}{180}=\frac{\pi}{2}$,

$E F$ 的长 $=\frac{90 \times \pi \times(2-\sqrt{2})}{180}=\frac{(2-\sqrt{2}) \pi}{2}$,

所以, 蛋形九巧板外围周长 $=\pi+2 \times \frac{\pi}{2}+\frac{(2-\sqrt{2}) \pi}{2}$

$=\frac{(6-\sqrt{2}) \pi}{2}$

$=3 \pi-\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$.

【点睛】本题主要考查了弧长的计算, 解答此题应注意复杂的不规则的图形需要把图形分解看成几个规则图形的组合

