$f(x), g(x)(g(x) \neq 0)$ 分别是定义在 $\mathrm{R}$ 上的奇函数和偶函数, 当 $x<0$ 时, $f^{\prime}(x) g(x)<f(x) g^{\prime}(x)$, 且 $f(-3)=0$, 则不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ 的解集为 ( )
解析: 解答: 由题意 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 是奇函数, 当 $x<0$ 时, $f^{\prime}(x) g(x)<f(x) g^{\prime}(x)$ 时, $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}<0$, 则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上为减函数, 在 $(0,+\infty)$ 上也
为减函数, 又有 $f(-3)=0$, 则有 $\frac{f(-3)}{g(-3)}=0, \frac{f(3)}{g(3)}=0$, 可知 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ 的解集为 $(-3,0) \cup(3,+\infty)$.

分析: 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、利用导数研究函数的单调性, 解决问题的关键是根据单调性与导数关系分析计算即可.