如图, 四边形 $A B C D$ 是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠: 使 $D A$ 边落在 $D C$ 边上, 点 $A$ 落在点 $H$ 处, 折痕为 $D E$; 使 $C B$ 边落在 $C D$ 边上, 点 $B$ 落在点 $G$ 处, 折痕为 $C F$. 若矩形 $H E F G$ 与原矩形 $A B C D$ 相似, $A D=1$, 则 $C D$ 的长为 $($ )

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解: 设 $H G=x$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle A=\angle A D H=90^{\circ}, A D=B C=1$,

由折叠得: $\angle A=\angle D H E=90^{\circ}, A D=D H=1, B C=C G=1$,

$\therefore$ 四边形 $A D H E$ 是矩形,

$\because A D=D H$,

$\therefore$ 四边形 $A D H E$ 是正方形,

$\therefore A D=H E=1$,

$\because$ 矩形 $H E F G$ 与原矩形 $A B C D$ 相似,

$\therefore \frac{G H}{A D}=\frac{H E}{D C}$,

$\therefore \frac{x}{1}=\frac{1}{1+x+1}$,

解得: $x=\sqrt{2}-1$ 或 $x=-\sqrt{2}-1$,

经检验: $x=\sqrt{2}-1$ 或 $x=-\sqrt{2}-1$ 都是原方程的根,

$\because G H>0$,

$\therefore G H=\sqrt{2}-1$,

$\therefore D C=2+x=\sqrt{2}+1$,

故选: $C$.

设 $H G=x$, 根据矩形的性质可得 $\angle A=\angle A D H=90^{\circ}, A D=B C=1$, 再根据折叠的性质可得: $\angle A=$ $\angle D H E=90^{\circ}, A D=D H=1, B C=C G=1$, 从而可得四边形 $A D H E$ 是正方形, 然后利用正方形的性质可得 $A D=H E=1$, 最后利用相似多边形的性质, 进行计算即可解答.

本题考查了相似多边形的性质, 解一元二次方程-公式法, 矩形的性质, 翻折变换(折叠问题), 正方形的判定与性质, 熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.

 