如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 连接 $B D$. 若 $\angle C=125^{\circ}$, 则 $\angle A B D$的度数为 $($ )

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首先利用圆内接四边形的性质和 $\angle C$ 的度数求得 $\angle A$ 的度数, 然后利用直径所对的圆周角是直角确定 $\angle A D B=90^{\circ}$, 然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可.

【详解】解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 内接与 $\odot O, \angle C=125^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$,

$\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$,

故选: A.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识, 解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补.

