已知 $\mathrm{i}$ 虚数单位, $z_{1}=\frac{3-i}{1+i}$.

(I) 求 $\mid z_{1}$;

(II) 若复数 $z_{2}$ 的虚部为 2 , 且 $z_{1} z_{2}$ 的虚部为 0 , 求 $z_{2}$.
答案: 【解析】 (I)

$$
z_{1}=\frac{3-i}{1-i}=\frac{(3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{4+2 i}{2}=2+i
$$

所以 $\mid z_{1}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$;

(II) 设 $z_{2}=a+2 i(a \in R)$,

则 $z_{1} z_{2}=(2+i)(a+2 i)=(2 a-2)+(a+4) i$,

因为 $z_{1} z_{2}$ 的虚部为 0 ,

所以 $a+4=0$, 即 $a=-4$.

所以 $z_{2}=-4+2 i$.

【分析】(I) 利用复数的四则运算求出 $z_{1}$ 后可求其模. (II) 设 $z_{2}=a+2 i(a \in R)$, 利用复数的乘法计算出 $z_{1} z_{2}$ 后再根据虚部为 0 求出 $a$, 从而可得 $z_{2}$.