点 $(\sqrt{2}, 2)$ 与点 $\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ 分别在幂函数 $f(x), g(x)$ 的图象上, 问当 $x$ 为何值时, 有:

(1) $f(x)>g(x)$; (2) $f(x)=g(x)$; (3) $f(x)<g(x)$.
设 $f(x)=x^{\alpha}, g(x)=x^{\beta}$.

$\because(\sqrt{2})^{\alpha}=2, \quad(-2)^{\beta}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \alpha=2, \beta=-1$.

$\therefore f(x)=x^{2}, g(x)=x^{-1}$.

分别作出它们的图象, 如图所示. 
由图象知, 当 $x \in(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$ 时, $f(x)>g(x)$;

当 $x=1$ 时, $f(x)=g(x)$;

当 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)<g(x)$.

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