方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的六个表面与六个对角面(面 $A A_{1} C_{1} C$ 、面 $A B C_{1} D$ 、面 $A D C_{1} B_{1}$ 、面 $B B_{1} D_{1} D$ 、面 $A_{1} B C D_{1}$ 及面 $\left.A_{1} B_{1} C D\right)$ 所在的平面中, 与棱 $A A_{1}$ 平行的平面共有个.
画出图形如下图所示,

<ImageHere>

结合图形可得 $A A_{1} \|$ 平面 $B B_{1} C_{1} C, A A_{1} \|$ 平面 $D D_{1} C_{1} C, A A_{1} \|$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ 。所以棱 $A A_{1}$ 平行的平面共有 3 个。

答案: 3