已知函数 $f(x)=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$, 函数 $g(x)$ 的图象由函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位而得到, 则当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $g(x)$ 的单调递增区间是
由函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位,

得到 $g(x)=2 \cos \left[2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=2 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$,

令 $2 k \pi-\pi \leq 2 x-\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi, k \in \mathrm{Z}$, 解得 $k \pi-\frac{5 \pi}{12} \leq x \leq k \pi+\frac{\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$,

即 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{5 \pi}{12}, k \pi+\frac{\pi}{12}\right], k \in \mathbf{Z}$,

则当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, 可得 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$,
故答案为 $\left[-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right]$.