已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+2, x \leq 2 \\ \sqrt{1-(x-3)^{2}}, 2<x \leq 4\end{array}\right.$, 则定积分 $\int_{1}^{4} f(x) d x$ 的值为 ( )
答案: C

【解析】 依题意, $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$,

其中 $\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$ 表示以 $(3,0)$ 为圆心, 以 1 为半径的上半个圆的面积,

所以 $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x=\left(2 x-\frac{1}{2} x^{2}\right)_{1}^{2}+\frac{1}{2} \pi \times 1^{2}=\frac{1+\pi}{2}$.

故答案为: C.

【分析】依题意, $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$, 根据定积分的几何意义, $\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$