$\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a \sin A \cos B+b \cos ^{2} A=\sqrt{2} a$, 则 $\frac{b}{a}=(\quad)$
由正弦定理，得 $\sin ^{2} A \sin B+\sin B \cos ^{2} A=\sqrt{2} \sin A$,

即 $\sin B \cdot\left(\sin ^{2} A+\cos ^{2} A\right)=\sqrt{2} \sin A, \sin B=\sqrt{2} \sin A, \therefore \frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}=\sqrt{2}$​​.