(12 分) 如图, 正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 4 , 将它剪去 4 个全等的直角三角形,得到四边形 $E F G H$. 设 $A E$ 的长为 $x$, 四边形 $E F G H$ 的面积为 $y$.

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(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式;

(2)当 $A E$ 取何值时, 四边形 $E F G H$ 的面积为 10 ?

(3)四边形 $E F G H$ 的面积是否存在最小值？若存在, 求出最小值; 若不存在, 请说明理由.

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(1) 先证出四边形 $E F G H$ 为正方形, 用未知数 $x$ 表示其任一边长, 根据正方形面积公式即可解决问题;

（2）代入 $y$ 值, 解一元二次方程即可;

（3）把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值.

【详解】(1) 解: $\because$ 在正方形纸片 $A B C D$ 上剪去 4 个全等的直角三角形,

$\therefore \angle A H E=\angle D G H, \angle D G H+\angle D H G=90^{\circ}, H G=H E$,

$\because \angle E H G=180^{\circ}-\angle A H E-\angle D H G$,

$\angle E H G=90^{\circ}$, 四边形 $E F G H$ 为正方形,

在 $\triangle A E H$ 中, $A E=x, A H=B E=A B-A E=4-x, \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore H E^{2}=A E^{2}+A H^{2}=x^{2}+(4-x)^{2}=2 x^{2}-8 x+16$,

$\therefore$ 正方形 $E F G H$ 的面积 $y=H E^{2}=2 x^{2}-8 x+16$;

$\because A E, A H$ 不能为负,

$\therefore 0 \leq x \leq 4$,

故 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=2 x^{2}-8 x+16(0 \leq x \leq 4)$

（2）解: 令 $y=10$, 得 $2 x^{2}-8 x+16=10$,

整理, 得 $x^{2}-4 x+3=0$,

解得 $x_{1}=1, x_{2}=3$,

故当 $A E$ 取 1 或 3 时, 四边形 $E F G H$ 的面积为 10 ;

(3) 解: 存在.

正方形 $E F G H$ 的面积 $y=2 x^{2}-8 x+16=2(x-2)^{2}+8(0 \leq x \leq 4)$;

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y$ 有最小值 8 , 即四边形 $E F G H$ 的面积最小为 8 .

【点睛】本题考查二次函数的应用. 解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配方化为顶点式，即可求解.

