如图, $\triangle A B C$ 中, 以 $B C$ 为直径的圆交 $A B$ 于点 $D, \angle A C D=\angle A B C$.

求证: $\mathrm{CA}$ 是圆的切线.

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【分析】由 $B C$ 为圆的直径, 利用直径所对的圆周角为直角, 得到 $\triangle B D C$ 为直角三角形, 利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余, 再由已知的角相等, 等量代换可得出 $\mathrm{AC}$ 与 $\mathrm{BC}$ 垂直, 进而确定出 $\mathrm{CA}$为圆的切线.

证明: $\because \mathrm{BC}$ 为圆的直径,

$\therefore \angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{DCB}=90^{\circ}$,

又 $\because \angle A C D=\angle A B C$,

$\therefore \angle \mathrm{ACD}+\angle \mathrm{DCB}=90^{\circ}$, 即 $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BC}$ 为圆的直径,

$\therefore \mathrm{CA}$ 为圆的切线.