(12 分) 如图所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $a=b \cdot \cos C+c \cdot \cos B$, 其中 $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边, 在四面体 $P A B C$ 中, $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S$ 分别表示 $\triangle P A B$, $\triangle P B C, \mathrm{~V} P C A, \triangle A B C$ 的面积, $\alpha, \beta, \gamma$ 依次表示面 $P A B$, 面 $P B C$,面 $P C A$ 与底面 $A B C$ 所成二面角的大小. 写出对四面体性质的猜想, 并证明你的结论.
<ImageHere>
连接 $P H, O A, O B$<ImageHere>$\angle P H O$ 就是平面 $P A B$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角, 则 $\angle P H O=\alpha$$S_{	riangle A O B}=rac{1}{2} 	imes A B 	imes O H, \quad S_{	riangle P A B}=rac{1}{2} 	imes A B 	imes P H, \quad \cos \alpha=\cos \angle P H O=rac{O H}{P H}=rac{S_{	riangle A O B}}{S_{1}}$, $	herefore S_{	riangle A O B}=S_{1} \cos \alpha$, 同理 $S_{	riangle C O B}=S_{2} \cos eta, S_{\mathrm{VAOC}}=S_{3} \cos \gamma$,又 $S=S_{	riangle A O B}+S_{	riangle C O B}+S_{	riangle A O C}$,$	herefore S=S_{1} \cdot \cos \alpha+S_{2} \cdot \cos eta+S_{3} \cdot \cos \gamma$.