16. 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 角 $\mathrm{A}$ 为 $\frac{\pi}{3}$, 角 $\mathrm{A}$ 的平分线 $\mathrm{AD}$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$, 已知 $A D=2 \sqrt{3}$, 且 $\lambda \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}(\lambda \in R)$, 则 $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{A D}$ 方向上的投影是 \$ \qquad \$ .
由 $\lambda \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ 得 $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$, 因为 $B 、 C 、 D$ 三点共线, 则得到 $\lambda+\frac{1}{3}=1 \Rightarrow \lambda=\frac{2}{3}$, 因此 $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$.

又由 $\angle A=60^{\circ}, \angle A$ 的平分线 $A D$ 交边 $B C$ 与 $D$ 可以如图建系, 其中以 $A$ 为坐标原点,则 $D(3, \sqrt{3})$, 然而此时 $B 、 C$ 两点坐标未知, 可设 $B(m, 0) 、 C(n, \sqrt{3} n)$.

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由 $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$ 得: $\left\{\begin{array}{l}3=\frac{1}{3} m+\frac{2}{3} n \\ \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3} n\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m=3 \\ n=3\end{array}\right.\right.$, 则得 $B(3,0) 、 C(3,3 \sqrt{3})$, 由此得到 $\overline{A B}$ 在 $\overline{A D}$ 方向上的投影为 $|\overline{A B}| \cdot \cos \angle B A D=3 \cdot \cos \frac{\pi}{6}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.