14. 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{2019}, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{2019}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
因为 $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{n(n+1)},\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 所以 $a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, $a_{2}-a_{1}=1-\frac{1}{2}$,

    $a_{3}-a_{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,

    $\cdots$,

    $a_{2019}-a_{2018}=\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$,

    各式相加, 可得 $a_{2019}-a_{1}=1-\frac{1}{2019}, a_{2019}-\frac{1}{2019}=1-\frac{1}{2019}$,

    所以, $a_{2019}=1$, 故答案为 1