在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中, $A B=2, A D=3, A A_{1}=2, E$ 是 $A A_{1}$ 的中点, $F$ 是棱 $A D$ 上一点, $A F=1$, 动点 $P$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内, 且三棱雉 $P-B E F$ 与三棱锥 $B-D_{1} E F$ 的体积相等, 则直线 $C P$ 与 $B B_{1}$ 所成角的正切值的最小值为
【分析】

过 $D_{1}$ 构造与平面 $B E F$ 平行的平面, 得出 $P$ 的轨迹, 从而可得出当所求角最小时对应的
$P$ 的位置.

## 【详解】

解析: 因为 $V_{P-B E F}=V_{B-D_{1} E F}=V_{D_{1}-B E F}$, 设 $C_{1} G=1, C_{1} C$ 的中点为 $M$,则 $D_{1} G / / B F, M G / / E F$, 因为 $D_{1} G \not \subset$ 平面 $B E F, B F \subset$ 平面 $B E F$,所以 $D_{1} G / /$ 平面 $B E F, M G \not \subset$ 平面 $B E F, E F \subset$ 平面 $B E F$,所以 $M G / /$ 平面 $B E F$, 又因为 $D_{1} G \cap G M=G$,

所以平面 $D_{1} G M / /$ 平面 $B E F$,

所以 $P \in$ 平面 $D_{1} G M$, 因为 $P \in$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

因为平面 $D_{1} G M \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}=D_{1} G$ ，

所以 $P$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的轨迹为线段 $D_{1} G$,

在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内, 过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} H$ 垂直于 $D_{1} G$, 垂足为 $H$, 连接 $C H$,则 $\angle C_{1} C H$ 为直线 $C P$ 与 $B B_{1}$ 所成的最小角, 所以 $\tan \angle C_{1} C H=\frac{C_{1} H}{C_{1} C}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

故选: C

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【点睛】

本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题.