判断函数 $f(x)=\lg \frac{\tan x+1}{\tan x-1}$ 的奇偶性.
由 $\frac{\tan x+1}{\tan x-1}>0$, 得 $\tan x>1$ 或 $\tan x<-1$.

$\therefore$ 函数定义域为 $\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi-\frac{\pi}{4}\right) \cup\left(k \pi+\frac{\pi}{4}, k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$, 关于原点对称.

$f(-x)+f(x)=\lg \frac{\tan (-x)+1}{\tan (-x)-1}+\lg \frac{\tan x+1}{\tan x-1}$

$=\lg \left(\frac{-\tan x+1}{-\tan x-1} \cdot \frac{\tan x+1}{\tan x-1}\right)=\lg 1=0$.

$\therefore f(-x)=-f(x), \therefore f(x)$ 是奇函数.