已知在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $\angle B A C=120^{\circ}, A B=A C=A A_{1}=2$, 若棱 $A A_{1}$ 在正视图的投影面 $\alpha$ 内, 且 $A B$ 与投影面 $\alpha$ 所成角为 $\theta\left(30^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}\right)$. 设正视图的面积为 $m$, 侧视图的面积为 $n$, 当 $\theta$ 变化时, $m n$ 的最大值是

<ImageHere>
【分析】

利用 $A B$ 与投影面 $\alpha$ 所成角为 $\theta, \angle B A C=120^{\circ}, A B=A C=2, A A_{1}=2, \angle B A D=\theta$, 将正视图的面积 $m$ 和侧视图的面积 $n$ 用 $\theta$ 的三角函数表示, 利用辅助角公式结 $30^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}$, 可求解 $m n$ 的最大值.

【详解】

<ImageHere>

$A B$ 与投影面 $\alpha$ 所成角为 $\theta$ 时, 平面 $A B C$ 如图所示,

$\therefore B C=2 \sqrt{3}, \angle C A E=60^{\circ}-\theta$,

$\therefore B D=A B \sin \theta, D A=A B \cos \theta, A E=A C \cos \left(60^{\circ}-\theta\right)$,

$E D=D A+A E=2 \cos \left(60^{\circ}-\theta\right)+2 \cos \theta$,

故正视图的面积为 $m=E D \times A A_{1}=4\left[\cos \left(60^{\circ}-\theta\right)+\cos \theta\right]$

侧视图的面积为 $n=B D \times A A_{1}=4 \sin \theta$,

$\therefore m n=16 \sin \theta\left[\cos \left(60^{\circ}-\theta\right)+\cos \theta\right]$

$=16 \sin \theta\left[\cos 60^{\circ} \cos \theta+\sin \theta \sin 60^{\circ}+\cos \theta\right]$

$=12 \sin 2 \theta+8 \sqrt{3} \sin ^{2} \theta$

$=8 \sqrt{3} \sin \left(2 \theta-30^{\circ}\right)+4 \sqrt{3}$

$\because 30^{\circ} \leq \theta \leq 60^{\circ}, \quad \therefore 30^{\circ} \leq 2 \theta-30^{\circ} \leq 90^{\circ}$,
故 $m n$ 的最大值 $12 \sqrt{3}$, 故答案为 $12 \sqrt{3}$.

## 【点睛】

本题考查了三视图的投影的认识和理解, 以及二倍角公式与利用辅助角公式求最值, 属于中档题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种: (1)化成 $y=a \sin ^{2} x+b \sin x+c$ 的形式利用配方法求最值; (2)形如 $y=\frac{a \sin x+b}{c \sin x+d}$ 的可化为 $\sin x=\phi(y)$ 的形式利用三角函数有界性求最值;

(3) $y=a \sin x+b \cos x$ 型, 可化为 $y=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (x+\phi)$ 求最值 .