二项式 $\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}^{n}}\right)^{n}$ 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.

(1) 求所有二项式系数的和;

(2) 求展开式中的有理项.
答案: (1) 【解析】 由题意, 二项展开式中, 有且只有第三项的二项式系数最大, 可得 $n=4$,因此所有二项式系数的和 $C_{4}^{0}+C_{4}^{1}+\cdots+C_{4}^{4}=2^{4}=16$.

(2) 【解析】 二项展开式的通项为:

$$
T_{r+1}=C_{4}^{r}(\sqrt{x})^{4-r} \cdot\left(\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right)^{r}=C_{4}^{r} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{r} x^{2-\frac{3 r}{4}}
$$

由有理项的定义, 可得 $2-\frac{3 r}{4} \in Z$, 所以 $r=0$ 或 $r=4$,

因此所求有理项为 $T_{1}=C_{4}^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0} \cdot x^{2}=x^{2}, \quad T_{5}=C_{4}^{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4} \cdot x^{-1}=\frac{1}{16 x}$.