王村和元村之间有一座小山，县里计划修建一条通过此小山的公路，以方便两村村民的来往, 如图, 经测量, 从坡底 $B$ 到坡顶 $A$ 的坡角为 $30^{\circ}$, 斜坡 $A B$ 长为 100 米, 根据地形, 要求修好后的公路路面 $B D$ 的坡度是 1: 5 (假设 $A, D$ 两点处于同一铅垂线上). 为减少工程量,若 $A D \leqslant 20$ 米, 则直接开挖, 若 $A D>20$ 米, 就要重新设计, 根据你所学过的知识, 你认为 ( )

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【分析】将原题抽象为关于直角三角形 $A B C$ 和直角三角形 $D B C$ 的问题进行解答, 求出 $A C$的长, 再求出 $A D$ 的长, 算出其差, 即可判断 $A D$ 是否大于 20 米, 然后再作判断.

解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=100$ 米, 则 $A C=100 \times \frac{1}{2}=50$ 米,

$B C=A B \cdot \cos 30^{\circ}=100 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=50 \sqrt{3}$ 米,

又因为 $B D$ 的坡度是 $1: 5$,

则 $\frac{D C}{B C}=\frac{1}{5}$,

解得 $\mathrm{DC}=10 \sqrt{3}$ 米,

于是有 $A D=A C-D C=50-10 \sqrt{3} \approx 32>20$,

$\therefore$ 需要重新设计.
故选 C.