在坐标平面上有两个区域 $M$ 和 $N$, 其中区域 $M=\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{l}y \geqslant 0 \\ y \leqslant x \\ y \leqslant 2-x\end{array}\right.\right\}$, 区域 $N=$ $\{(x, y) \mid t \leqslant x \leqslant t+1,0 \leqslant t \leqslant 1\}$, 区域 $M$ 和 $N$ 公共部分的面积用函数 $f(t)$ 表示, 则 $f(t)$ 的表达式为( )
解析

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作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}y \geqslant 0 \\ y \leqslant x \\ y \leqslant 2-x\end{array}\right.$ 所表示的平面区域.

由 $t \leqslant x \leqslant t+1,0 \leqslant t \leqslant 1$, 得

$f(t)=S_{\triangle O E F}-S_{\triangle A O D}-S_{\triangle B F C}$

$=1-\frac{1}{2} t^{2}-\frac{1}{2}(1-t)^{2}$

$=-t^{2}+t+\frac{1}{2}$.