如图是某风车示意图, 其相同的四个叶片均匀分布, 水平地面上的点 $M$ 在旋转中心 $O$ 的正下方. 某一时刻, 太阳光线恰好垂直照射叶片 $O A, O B$, 此时各叶片影子在点 $M$ 右侧成线段 $C D$, 设太阳光线与地面的夹角为 $\alpha$, 测得 $\tan \alpha=\frac{2}{3}, M C=8.5 m, C D=13 \mathrm{~m}$, 风车转动时,叶片外端离地面的最大高度等于 \$ \qquad \$ $m$.

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【分析】

本题考查了解直角三角形的应用, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 作辅助线, 构建直角 $\triangle C N D$, 证明 $\triangle H M C \sim \triangle E F G$, 根据垂直于地面的木棒 $E F$ 与影子 $F G$ 的比为2: 3, 列比例式可得 $H M$ 的长, 由三角函数的定义可得 $C N$ 的长, 从而得 $O A=O B=\sqrt{13}$, 由此可解答.

【解答】

解：如图, 设 $A C$ 与 $O M$ 交于点 $H$, 过点 $C$ 作 $C N \perp B D$ 于 $N$,

<ImageHere>

$\because H C / / E G$,

$\therefore \angle H C M=\angle E G F$,

$\because \angle C M H=\angle E F G=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle H M C \sim \triangle E F G$,

$$
\therefore \frac{H M}{C M}=\frac{E F}{F G}
$$

$\because \tan \alpha=\frac{H M}{C M}=\frac{2}{3}$,
即 $\frac{H M}{8.5}=\frac{2}{3} ，$

$\therefore H M=\frac{17}{3}$,

$\because B D / / E G$,

$\therefore \angle B D C=\angle E G F$,

$\therefore \tan \angle B D C=\tan \angle E G F$

$\therefore \frac{C N}{D N}=\frac{E F}{F G}=\frac{2}{3}$,

设 $C N=2 x, D N=3 x$, 则 $C D=\sqrt{13} x$,

$\therefore \sqrt{13} x=13$,

$\therefore x=\sqrt{13}$,

$\therefore A B=C N=2 \sqrt{13}$,

$\therefore O A=O B=\frac{1}{2} A B=\sqrt{13}$,

在Rt $\triangle H M C$ 中, $C H=\sqrt{H M^{2}+C M^{2}}=\sqrt{\left(\frac{17}{3}\right)^{2}+\left(\frac{17}{2}\right)^{2}}=\frac{17}{6} \sqrt{13}$,

$\therefore \sin \angle C H M=\frac{C M}{C H}=\frac{\frac{17}{2}}{\frac{17 \sqrt{13}}{6}}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

在Rt $\triangle A H O$ 中, $\because \angle A H O=\angle C H M$,

$\therefore \sin \angle A H O=\sin \angle C H M=\frac{A O}{O H}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$,

$\therefore \frac{\sqrt{13}}{O H}=\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

$\therefore \mathrm{OH}=\frac{13}{3}$

$\therefore O M=O H+H M=\frac{13}{3}+\frac{17}{3}=10$,

以点 $O$ 为圆心, $O A$ 的长为半径作圆, 当 $O B$ 与 $O M$ 共线时, 叶片外端离地面的高度最大, 其最大高度等于 $(10+\sqrt{13})$ 米.

故答案为 $(10+\sqrt{13})$.