已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $a$, 那么 $\triangle A B C$ 的平面直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积为 ( )
【分析】

由斜二测画法画出正三角形 $A B C$ 的直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 作直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的底边 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的高, 进而求高, 再由三角形的面积公式求得结果。

## 【详解】

如图(1)2所示的实际图形和直观图.

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图(1)

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图(2)

由斜二测画法可知, $A^{\prime} B^{\prime}=A B=a, O^{\prime} C^{\prime}=\frac{1}{2} O C=\frac{\sqrt{3}}{4} a$, 在图(2)中作 $C^{\prime} D^{\prime} \perp A^{\prime} B^{\prime}$ 于 $D^{\prime}$, 则 $C^{\prime} D^{\prime}=$ $\frac{\sqrt{2}}{2} O^{\prime} C^{\prime}=\frac{\sqrt{6}}{8} a$. 所以 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} A^{\prime} B^{\prime} \cdot C^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{6}}{8} a=\frac{\sqrt{6}}{16} a^{2}$.

故选: $D$.

## 【点睛】

本题考查几何体的直观图, 考查基本应用求解能力, 属于基础题。求几何图形的直观图的面积, 方法一, 根据斜二测画法, 作出直观图, 再求直观图的面积; 方法二, 直观图的面积与原平面图形的面积比为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 。