（2020$\cdot$北京模拟）为贯彻十九大报告中 “要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要 “的要求, 某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况. 现分别从 $A, B, C$ 三块试验田中各随机抽取 7 株植物测量高度, 数据如表（单位：厘米）:

| $A$ 组 |  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  |  16  |
| :----: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $B$ 组 |  12  |  13  |  14  |  15  |  16  |  17  |  18  |
| $C$ 组 |  13  |  14  |  15  |  16  |  17  |  18  |  19  |

假设所有植株的生长情况相互独立. 从 $A, B, C$ 三组各随机选 1 株, $A$ 组选出的植株记为甲, $B$组选出的植株记为乙, $C$ 组选出的植株记为丙.

( I ) 求丙的高度小于 15 厘米的概率;

(II) 求甲的高度大于乙的高度的概率;

(III) 表格中所有数据的平均数记为 $\mu_{0}$. 从 $A, B, C$ 三块试验田中分别再随机抽取 1 株该种植物,它们的高度依次是 $14,16,15$ (单位: 厘米). 这 3 个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$, 试比较 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小. (结论不要求证明)
解：（I ）设事件 $A_{i}$ 为 “甲是 $A$ 组的第 $i$ 株植物”,

事件 $B_{i}$ 为 “乙是 $B$ 组第 $i$ 株植物”,

事件 $C_{\mathrm{i}}$ 为 “丙是 $C$ 组第 $i$ 株植物” $, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

由题意得 $P\left(A_{i}\right)=P\left(B_{i}\right)=P\left(\complement_{i}\right)=\frac{1}{7}, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

设事件 $D$ 为 “丙的高度小于 15 厘米”, 由题意 $D=C_{1} \cup C_{2}$, 且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 互斥,
$\therefore$ 丙的高度小于 15 厘米的概率为:

$P(D)=P\left(C_{1} \cup C_{2}\right)=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$.

(II) 设事件 $E$ 为 “甲的高度大于乙的高度”，

$\therefore$ 甲的高度大于乙的高度的概率为:

$P(E)=P\left(A_{4} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{1}\right)+P\left(A_{6} B_{1}\right)+P\left(A_{7} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{2}\right)+P\left(A_{7} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{3}\right)$ $+P\left(A_{7} B_{3}\right)+P\left(A_{7} B_{4}\right)$

$=10 P\left(A_{4} B_{1}\right)=10 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{7}=\frac{10}{49}$.

(III) 所有数据的平均数 $\mu_{0}=\frac{1}{21}$ $(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19) \approx 14.67$, $\mu_{1}=\frac{1}{24}(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15)$ $\approx 14.71$.

$\therefore \mu_{0}<\mu_{1}$.