(本小题8.0分)

$($ 对应目标 $9 、 11 、 12 、 14)$ 阅读下面材料:

小聪遇到这样一个问题: 如图 $1, \angle A O B=\alpha$, 请画一个 $\angle A O C$, 使 $\angle A O C$ 与 $\angle B O C$ 互补.

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图1

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图2

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图3

小聪是这样思考的: 首先通过分析明确射线 $O C$ 在 $\angle A O B$ 的外部, 画出示意图, 如图2所示; 然后通过构造平角找到 $\angle A O C$ 的补角 $\angle C O D$, 如图3所示; 进而分析要使 $\angle A O C$ 与 $\angle B O C$ 互补, 则需 $\angle B O C=\angle C O D$.

因此, 小聪找到了解决问题的方法: 反向延长射线 $O A$ 得到射线 $O D$, 利用量角器画出 $\angle B O D$ 的平分线 $O C$, 这样就得到了 $\angle B O C$ 与 $\angle A O C$ 互补.

（1)小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明;

已知：如图3，点 $O$ 在直线 $A D$ 上，射线 $O C$ 平分 $\angle B O D$.

求证: $\angle A O C$ 与 $\angle B O C$ 互补.

(2)参考小聪的画法, 请在图4中画出一个 $\angle A O H$, 使 $\angle A O H$ 与 $\angle B O H$ 互余. (保留画图痕迹)

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图4

(3) 已知 $\angle E P Q$ 和 $\angle F P Q$ 互余, 射线 $P M$ 平分 $\angle E P Q$, 射线 $P N$ 平分 $\angle F P Q$.若 $\angle E P Q=\beta(0 \cdots \circ<\beta<$ $90 \div \circ$ ), 直接写出锐角 $\angle M P N$ 的度数是
(1)根据画法写出已知和求证, 即可得解; (2)根据小聪的画法, 画出一个 $\angle A O H$,使 $\angle A O H$ 与 $\angle B O H$ 互余即可; (3)根据已知条件画图即可求解;