已知函数 $f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}$, 对任意的 $p \in(0,1), q \in(0,1)$, 当 $p \neq q$
时, $\frac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}>1$, 则实数 $a$ 的取值范围是
由题意, 分式 $rac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}$ 的几何意义为:表示点 $(p+1, f(p+1))$ 与 $(q+1, f(q+1))$ 连线的斜率,因为实数 $p, q$ 在区间 $(0,1)$ 内, 故 $p+1$ 和 $q+1$ 在区间 $(1,2)$ 内,不等式 $rac{f(p+1)-f(q+1)}{p-q}>1$ 恒成立,所以函数图象上在区间 $(1,2)$ 内任意两点连线的斜率大于 1 ,故函数 $f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}$ 的导数大于 1 在 $(1,2)$ 内恒成立,由函数 $f(x)=a \ln (x+1)-x^{2}$ 满足 $x+1>0$, 即定义域为 $(-1,+\infty)$ ，即 $f(x)=rac{a}{x+1}-2 x>1$ 在 $(1,2)$ 内恒成立, 即 $a>2 x^{2}+3 x+1$ 在 $(1,2)$ 内恒成立,设函数 $g(x)=2 x^{2}+3 x+1$, 根据二次函数的性质，可得函数 $g(x)=2 x^{2}+3 x+1$ 在 $(1,2)$ 上是单调增函数,可得 $g(x)<g(2)=15$, 所以 $a \geq 15$,即实数 $a$ 的取值范围是 $[15,+\infty)$.