如图1, $M N / / P Q$, 直线 $A D$ 与 $M N 、 P Q$ 分别交于点 $A 、 D$, 点 $B$ 在直线 $P Q$ 上, 过点 $B$ 作 $B G \perp A D$, 垂足为点 $G$.

(1)求证: $\angle M A G+\angle P B G=90^{\circ}$;

(2)若点 $C$ 在线段 $A D$ 上(不与 $A 、 D 、 G$ 重合), 连接 $B C, \angle M A G$ 和 $\angle P B C$ 的平分线交于点 $H$, 请在图2中补全图形, 猜想并证明 $\angle C B G$ 与 $\angle A H B$ 的数量关系;

(3)若直线 $A D$ 的位置如图3所示, (2)中的结论是否成立? 若成立, 请证明; 若不成立, 请直接写出 $\angle C B G$ 与 $\angle A H B$ 的数量关系.

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图1

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图2

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图3
【答案】解: (1)如图1, $\because M N / / P Q$,

$\therefore \angle M A G=\angle B D G$,

$\because \angle A G B$ 是 $\triangle B D G$ 的外角, $B G \perp A D$,

$\therefore \angle A G B=\angle B D G+\angle P B G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle M A G+\angle P B G=90^{\circ}$;

(2) $2 \angle A H B-\angle C B G=90^{\circ}$ 或 $2 \angle A H B+\angle C B G=90^{\circ}$, 证明:

(1)如图, 当点 $C$ 在 $A G$ 上时,

<ImageHere>

$\because M N / / P Q$,

$\therefore \angle M A C=\angle B D C$,

$\because \angle A C B$ 是 $\triangle B C D$ 的外角,
$\therefore \angle A C B=\angle B D C+\angle D B C=\angle M A C+\angle D B C$,

$\because A H$ 平分 $\angle M A C, B H$ 平分 $\angle D B C$,

$\therefore \angle M A C=2 \angle M A H, \angle D B C=2 \angle D B H$,

$\therefore \angle A C B=2(\angle M A H+\angle D B H)$,

同理可得, $\angle A H B=\angle M A H+\angle D B H$,

$\therefore \angle A C B=2(\angle M A H+\angle D B H)=2 \angle A H B$,

又 $\because \angle A C B$ 是 $\triangle B C G$ 的外角,

$\therefore \angle A C B=\angle C B G+90^{\circ}$,

$\therefore 2 \angle A H B=\angle C B G+90^{\circ}$, 即 $2 \angle A H B-\angle C B G=90^{\circ}$;

(2)如图, 当点 $C$ 在 $D G$ 上时,

<ImageHere>

图2

同理可得, $\angle A C B=2 \angle A H B$,

又 $\because$ Rt $\triangle B C G$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}-\angle C B G$,

$\therefore 2 \angle A H B=90^{\circ}-\angle C B G$, 即 $2 \angle A H B+\angle C B G=90^{\circ}$;

(3)(2)中的结论不成立. 存在: $2 \angle A H B+\angle C B G=270^{\circ} ; 2 \angle A H B-\angle C B G=270^{\circ}$.

(1)如图, 当点 $C$ 在 $A G$ 上时, 由 $M N / / P Q$, 可得:

<ImageHere>

图3

$\angle A C B=360^{\circ}-\angle M A C-\angle P B C=360^{\circ}-2(\angle M A H+\angle P B H)$,

$\angle A H B=\angle M A H+\angle P B H$,

$\therefore \angle A C B=360^{\circ}-2 \angle A H B$,

又 $\because \angle A C B$ 是 $\triangle B C G$ 的外角,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}+\angle C B G$,

$\therefore 360^{\circ}-2 \angle A H B=90^{\circ}+\angle C B G$,
即 $2 \angle A H B+\angle C B G=270^{\circ}$;

(2)如图, 当 $C$ 在 $D G$ 上时,

<ImageHere>

图3

同理可得, $\angle A C B=360^{\circ}-2(\angle M A H+\angle P B H)$,

$\angle A H B=\angle M A H+\angle P B H$,

$\therefore \angle A C B=360^{\circ}-2 \angle A H B$,

又 $\because$ Rt $\triangle B C G$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}-\angle C B G$,

$\therefore 360^{\circ}-2 \angle A H B=90^{\circ}-\angle C B G$,

$\therefore 2 \angle A H B-\angle C B G=270^{\circ}$.

【解析】(1)依据平行线的性质以及三角形外角性质, 即可得到 $\angle M A G+\angle P B G=90^{\circ}$;

(2)分两种情况讨论: 当点 $C$ 在 $A G$ 上时, 依据平行线的性质以及三角形外角性质,

$2 \angle A H B-\angle C B G=90^{\circ}$; 当点 $C$ 在 $D G$ 上时, 依据平行线的性质以及三角形外角性质,

$2 \angle A H B+\angle C B G=90^{\circ} ;$

(3)分两种情况讨论: 当点 $C$ 在 $A G$ 上时, 依据平行线的性质以及三角形外角性质,

$2 \angle A H B+\angle C B G=270^{\circ}$; 当 $C$ 在 $D G$ 上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，

$2 \angle A H B-\angle C B G=270^{\circ}$.

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，准确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的关键, 难点在于利用三角形外角性质进行计算.