如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 为 $B C$ 上的一点, $E$ 为 $A D$ 上的一点, $B E$ 的延长线交 $A C$于点 $F$. 已知 $\frac{B D}{D C}=\frac{1}{a}, \frac{A E}{D E}=\frac{1}{b}(a, b$ 为不小于 2 的整数 $)$, 则 $\frac{S_{\triangle A B F}}{S_{\triangle D F C}}$ 的值是 $\qquad$ .

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解: 过点 $D$ 作 $D G / / A C$ 交 $B F$ 于点 $G$, 过 $B$ 作 $B M \perp A C$, 过 $D$ 作 $D N \perp A C$,

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$\therefore \triangle B D G \backsim \triangle B C F, \triangle G D E \backsim \triangle F A E$,

$\therefore \frac{D G}{C F}=\frac{B D}{B C}=\frac{1}{a+1}, \frac{D G}{A F}=\frac{E D}{A E}=b$,

$\therefore D G=\frac{1}{a+1} C F, D G=b A F$,

$\therefore \frac{A F}{C F}=\frac{1}{b(a+1)}, \frac{B M}{D N}=\frac{1+a}{a}$,

$\therefore \frac{S_{\triangle A B F}}{S_{\triangle D F C}}=\frac{A F \cdot B M}{C F \cdot D N}=\frac{1}{a b}$;

故答案为: $\frac{1}{a b}$.

过点 $D$ 作 $D G / / A C$ 交 $B F$ 于点 $G$, 过 $B$ 作 $B M \perp A C$, 过 $D$ 作 $D M \perp A C$, 由 $D G / / A C$, 推出 $\triangle B D G \sim \triangle B C F$, $\triangle G D E \sim \triangle F A E$, 进一步推比例线段, 求出色F $=\frac{1}{b(a+1)}, \frac{B M}{D N}=\frac{1+a}{a}$, 再根据三角形面积公式求出 $\frac{S_{\triangle A B F}}{S_{\triangle D F C}}$的值.

本题考查平行线分线段成比例定理, 掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例的应用, 其中辅助线的做法是解题关键.

