在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, A B=1, B C=2$, 将边 $A C$ 绕点 $A$ 旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $A D$, 则 $\tan \angle D C B$ 的值为 \$ \qquad \$ .
如图, 将边 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $A D$, 将边 $A C$ 绕点

$A$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $A D^{\prime}$,

$\therefore A D=A D^{\prime}=A C, \angle C A D=\angle C A D^{\prime}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D^{\prime} A D=180^{\circ}$,

$\therefore D^{\prime}, A, D$ 三点共线,

$\therefore \triangle D^{\prime} C D$ 是等腰直角三角形, $\angle D^{\prime}=\angle D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle D^{\prime} C D=90^{\circ}$,

延长 $A B$ 交 $C D^{\prime}$ 于 $E$, 过 $E$ 作 $E F \perp A D^{\prime}$ 于 $F$,

$\therefore \triangle E F D^{\prime}$ 是等腰直角三角形,

$\because \angle A B C=90^{\circ}, A B=1, B C=2$,

$\therefore A C=\sqrt{5}$,

$\therefore A D^{\prime}=\sqrt{5}$,

设 $D^{\prime} F=E F=x$ ，

$\therefore A F=\sqrt{5}-x$,

$\because \angle A B C=\angle A F E=\angle C A D^{\prime}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=\angle F A E$,

$\therefore \triangle A E F \sim \triangle C A B$,

$\therefore \frac{E F}{A B}=\frac{A F}{B C}$,
$\therefore \frac{x}{1}=\frac{\sqrt{5}-x}{2}$,

$\therefore x=\frac{\sqrt{5}}{3}$,

$\therefore E F=\frac{\sqrt{5}}{3}, A F=\frac{2 \sqrt{5}}{3}$,

$\therefore A E=\sqrt{E F^{2}+A F^{2}}=\frac{5}{3}$,

$\therefore B E=\frac{2}{3}$,

$\therefore \tan \angle D^{\prime} C B=\frac{B E}{B C}=\frac{1}{3}$,

$\because \angle C E B+\angle B C E=\angle B C E+\angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C D=\angle B E C$,

$\therefore \tan \angle D C B=\tan \angle C E B=\frac{B C}{B E}=3$,

综上所述, $\tan \angle D C B$ 的值为 $\frac{1}{3}$ 或 3 ,

故答案为: $\frac{1}{3}$ 或 3 .