已知函数 $f(x)=\frac{1}{a}-\frac{1}{x}(a>0, x>0)$.

(1)求证: $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增函数;

(2)若 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的值域是 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, 求 $a$ 的值.
解: (1)证明: 设 $x_{2}>x_{1}>0$, 则 $x_{2}-x_{1}>0, x_{1} x_{2}>0$,

$\because f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{x_{2}}\right)-\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{x_{1}}\right)=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1} x_{2}}>0$,

$\therefore f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right), \therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调递增的.

$(2) \because f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递增,

$\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(2)=2$, 易得 $a=\frac{2}{5}$.