如图, 在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $M, N$ 分别是 $A C$ 和 $B B_{1}$ 的中点.求证: $M N / /$平面 $A_{1} B_{1} C$.

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【分析】

取 $A_{1} C$ 的中点 $D$, 由中位线定理和平行线的传递性可证四边形 $D M N B_{1}$ 为平行四边形,可得 $M N / / B_{1} D$, 再根据线面平行的判定定理即可证明结果.

## 【详解】

证明: 取 $A_{1} C$ 的中点 $D$, 连接 $M D, B_{1} D$.

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$\because M, D$ 分别为 $A C, A_{1} C$ 的中点, $\therefore M D / / A A_{1}$ 且 $M D=\frac{1}{2} A A_{1}$.

又 $N$ 为 $B_{1} B$ 的中点, $\therefore B_{1} N / / A A_{1}$ 且 $B_{1} N=\frac{1}{2} A A_{1}$,

$\therefore M D / / B_{1} N$ 且 $M D=B_{1} N, \therefore$ 四边形 $D M N B_{1}$ 为平行四边形,

$\therefore M N / / B_{1} D$.

$\because M N \not \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C, B_{1} D \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C$,

$\therefore M N / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$.

## 【点睛】

本题主要考查了平行线的传递性和线面平行的判定定理, 属于基础题.