当一个多位数位数为偶数时, 在其中间位插入一位数 $k,(0 \leq k \leq 9$, 且 $k$ 为整数 $)$ 得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数. 如: 435729 中间插入数字 6 可得 435729 的一个关联数 4356729 , 其中 $435729=729+435 \times 1000,4356729=729+6 \times 1000+435 \times 10000$.请阅读以上材料, 解决下列问题.

(1)若一个三位关联数是原来两位数的 9 倍, 请找出满足这样的三位关联数;

(2)对于任何一个位数为偶数的多位数, 中间插入数字 $m$, 得其关联数 $(0 \leq m \leq 9$, 且 $m$ 为 3 的倍数), 试证明: 所得的关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除.
设原数为 $a b=10 a+b$, 其关联数为 $a m b=100 a+10 m+b$,

$\because a m b=9 a b$,

$\therefore 100 a+10 m+b=9 \times(10 a+b)$,

$\therefore 5 a+5 m=4 b$,

$\therefore 5(a+m)=4 b$,

$\because b 、 m$ 为整数, $a$ 为正整数, 且 $a 、 b 、 m$ 均为一位数,

$\therefore b=5, a+m=4$,

$\therefore a=1, m=3 ; a=2, m=2 ; a=3, m=1 ; a=4, m=0$.

$\therefore$ 满足条件的三位关联数为 $135 、 225 、 315$ 和 405.

(2)证明：设原数为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n}$ ( $n$ 为偶数), 关联数为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots m \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n}$,原数 10 倍为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n} 0$,

将关联数与原数 10 倍相减得: $m \cdot 10^{\left.\frac{n}{2}+1\right)}-9 \times\left(a_{\frac{n}{2}+1} a_{\frac{n}{2}+2} \ldots a_{n-1} a_{n}\right)$, $\because m$ 和 9 均为 3 的倍数,
$\therefore$ 关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除.