小题8.0分)

阅读材料: 如果一个数的平方等于 -1 , 记为记 $i^{2}=-1$, 这个数 $i$ 叫做虚数单位, 那么形如 $a+$ $b i(a, b$ 为实数 $)$ 的数就叫做复数, $a$ 叫这个复数的实部, $b$ 叫做这个复数的虚部.它有如下特点:

(1) 它的加, 减, 乘法运算与整式的加, 减, 乘法运算类似例如计算:

$(2+i)+(3-4 i)=(2+3)+(1-4) i=5-3 i:(3+i) i=3 i+i^{2}=3 i-1$.

(2)若他们的实部和虚部分别相等, 则称这两个复数相等; 若它们的实部相等, 虚部互为相反数, 则称这两个复数共轭, 如 $1+2 i$ 的共轭复数为 $1-2 i$.

(1)填空: $i^{3}=$ \$ \qquad \$ $i^{4}=$ \$ \qquad \$ $;$

(2)求 $(2+i)^{2}$ 的共轭复数;

(3)已知 $(a+i)(b+i)=1+3 i$, 求 $a^{2}+b^{2}\left(i^{2}+i^{3}+i^{4} \ldots+i^{2018}\right)$ 的值.


解: (1) $\because i^{2}=-1$,

$\therefore i^{3}=i^{2} \cdot i=-1 \cdot i=-i$,

$i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=-1 \cdot(-1)=1$

(2) 见答案.

## 【分析】

(1)根据 $i^{2}=-1$, 则 $i^{3}=i^{2} \cdot i, i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}$, 然后计算;

(2)根据完全平方公式计算, 出现 $i^{2}$, 化简为 -1 计算, 再根据共轭复数的定义即可求解;

(3)把原式化简后, 根据实部对应实部, 虚部对应虚部列出方程, 求得 $a, b$ 的值, 再代入计算即可求解.

本题考查了实数的运算、完全平方公式, 是信息给予题, 解题步骤为: (1)阅读理解, 发现信息;

(2)提炼信息，发现规律； (3)运用规律，联想迁移.