已知 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体.

(1) 求直线 $D A_{1}$ 与 $B C$ 所成角;

(2) 求直线 $D_{1} A$ 与 $B A_{1}$ 所成角;

(3) 求直线 $B D_{1}$ 和 $A C$ 所成角.
【分析】

(1) 由 $A D / / B C$ 得 $\angle D A D_{1}$ 是直线 $D A_{1}$ 与 $B C$ 所成角, 求出 $\angle D A D_{1}$ 即可得解;

(2) 由 $A D_{1} / / C_{1} B$ 得 $\angle C_{1} B A_{1}$ 是直线 $D_{1} A$ 与 $B A_{1}$ 所成角,求出 $\angle C_{1} B A_{1}$ 即可得解;

（3）证明 $A C \perp$ 平面 $B D D_{1}$ 后即可得 $A C \perp B D_{1}$ ， 即可得解.

## 【详解】

(1) 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体,

$\because A D / / B C, \therefore \angle A D A_{1}$ 是直线 $D A_{1}$ 与 $B C$ 所成角,

$\because A D=A A_{1}, A D \perp A A_{1}, \therefore \angle A D A_{1}=\frac{\pi}{4}$,

$\therefore$ 直线 $D A_{1}$ 与 $B C$ 所成角为 $\frac{\pi}{4}$.

(2) $\because A D_{1} / / C_{1} B, \therefore \angle C_{1} B A_{1}$ 是直线 $D_{1} A$ 与 $B A_{1}$ 所成角,

$\because B A_{1}=A_{1} C_{1}=B C_{1}, \therefore \angle C_{1} B A_{1}=\frac{\pi}{3}$,

$\therefore$ 直线 $D_{1} A$ 与 $B A_{1}$ 所成角为 $\frac{\pi}{3}$.

(3) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\therefore A C \perp B D$,

$\because$ 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $D D_{1} \perp$ 平面 $A B C D, A C \subset$ 平面 $A B C D$,

$\therefore D D_{1} \perp A C$,

$\because D D_{1} \cap B D=D, \therefore A C \perp$ 平面 $B D D_{1}$,

$\because B D_{1} \subset$ 平面 $B D D_{1}, \therefore A C \perp B D_{1}$,

$\therefore$ 直线 $B D_{1}$ 和 $A C$ 所成角为 $\frac{\pi}{2}$.

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【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.