如图, $\odot \mathrm{O}$ 的弦 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 的延长线相交于点 $\mathrm{P}$, 且 $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$. 求证 $\mathrm{PA}=\mathrm{PC}$.

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连接 $\mathrm{AC}$, 由圆心角、弧、弦的关系得出 $A B=C D$, 进而得出 $A D=C B$, 根据等弧所对的圆周角相等得出 $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$, 根据等角对等边证得结论.

【详解】解: 如图, 连接 $A C$.

$\because A B=C D$,

$\therefore A B=C D$.

$\therefore A B+B D=C D+D B$, 即 $A D=C B$.

$\therefore \angle C=\angle A$.

$\therefore P A=P C$

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【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

