12. 已知圆内接四边形 $A B C D$ 的边长 $A B=2, B C=6, C D=D A=4$, 求圆内接四边形
$A B C D$ 的面积.
](本地图片-2697.jpg)

连接 $B D$ ，则四边形面积

$S=S_{\triangle A B D}+S_{\triangle C B D}=\frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot \sin A+\frac{1}{2} B C \cdot C D \cdot \sin C$.

$\because A+C=180^{\circ}, \therefore \sin A=\sin C$.

$\therefore S=\frac{1}{2}(A B \cdot A D+B C \cdot C D) \cdot \sin A=16 \sin A$.

由余弦定理: 在 $\triangle A B D$ 中, $B D^{2}=2^{2}+4^{2}-2 \times 2 \times 4 \cos A=20-16 \cos A$,

在 $\triangle C D B$ 中, $B D^{2}=4^{2}+6^{2}-2 \times 4 \times 6 \cos C=52-48 \cos C$,

$\therefore 20-16 \cos A=52-48 \cos C$.

又 $\cos C=-\cos A, \therefore \cos A=-\frac{1}{2} . \therefore A=120^{\circ}$.

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的面积 $S=16 \sin A=8 \sqrt{3}$.