已知: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{D}, \mathrm{BE}: \mathrm{AB}=3$ : 5, 若 $\mathrm{CE}=\sqrt{2}, \cos \angle \mathrm{ACD}=$ $\frac{4}{5}$, 求 $\tan \angle \mathrm{AEC}$ 的值及 $\mathrm{CD}$ 的长.

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$\tan \angle \mathrm{AEC}=3, \mathrm{CD}=\frac{12}{5} \sqrt{12}$

【解析】在 $\mathrm{RT} \triangle \mathrm{ACD}$ 与 $\mathrm{RT} \triangle \mathrm{ABC}$ 中 $\because \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ACD}+\angle \mathrm{CAD}=90^{\circ} \therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACD}$, $\therefore \cos \angle \mathrm{ABC}=\cos \angle \mathrm{ACD}=\frac{4}{5}$ 在 $\mathrm{RT} \triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\frac{B C}{A B}=\frac{4}{5}$ - 令 $\mathrm{BC}=4 \mathrm{k}, \mathrm{AB}=5 \mathrm{k}$ 则 $\mathrm{AC}=3 \mathrm{k}$

由 $\frac{B E}{A B}=\frac{3}{5}, \mathrm{BE}=3 \mathrm{k}$ 则 $\mathrm{CE}=\mathrm{k}$, 且 $\mathrm{CE}=\sqrt{2}$ 则 $\mathrm{k}=\sqrt{2}, \mathrm{AC}=3 \sqrt{2}$

$\therefore \mathrm{RT} \triangle \mathrm{ACE}$ 中, $\tan \angle \mathrm{AEC}=\frac{A C}{E C}=3$

$\because \mathrm{RT} \triangle \mathrm{ACD}$ 中 $\cos \angle \mathrm{ACD}=\frac{C D}{A C}=\frac{4}{5}, \mathrm{CD}=\frac{12}{5} \sqrt{12}$.