在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1}=4, A B=2$, 点 $E, F$ 分别为棱 $B B_{1}$,
$C C_{1}$ 上两点, 且 $B E=\frac{1}{4} B B_{1}, C F=\frac{1}{2} C C_{1}$, 则 $(\quad)$
【分析】

作图, 通过计算可知 $D_{1} E \neq A F$, 取点 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $A M F D_{1}$ 共面, 显然点 $E$ 不在面 $A M F D_{1}$ 内, 由此直线 $D_{1} E, A F$ 异面.

【详解】

$\because D_{1} E=\sqrt{D_{1} B_{1}^{2}+B_{1} E^{2}}=\sqrt{17}, \quad A F=\sqrt{A C^{2}+C F^{2}}=\sqrt{12} \neq D_{1} E$,

如图, 取点 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $A D_{1} / / M F$,

故 $A M F D_{1}$ 共面, 点 $E$ 在面 $A M F D_{1}$ 面外,

故直线 $D_{1} E, A F$ 异面.

故选: A.

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【点睛】

本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题.