19. 函数 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$.

(1)求函数 $y=f(x)$ 图象的对称轴方程;

(2)讨论函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调性.
$(1) \because f(x)=\sqrt{2} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$ ，且 $T=\pi ， \therefore \omega=2$.

于是 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$. 令 $2 x-\frac{\pi}{4}=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,

得 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}(k \in \mathbf{Z})$ ，即函数 $f(x)$ 图象的对称轴方程为 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}(k \in \mathbf{Z})$.

(2)令 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$ ，得函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k \pi-\frac{\pi}{8} ， k \pi+\frac{3 \pi}{8}\right]$ $(k \in \mathbf{Z})$. 注意到 $x \in\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right]$, 所以令 $k=0$ ，得函数 $f(x)$ 在 $\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调递增区间为 $\left[0, \frac{3 \pi}{8}\right]$;同理，其单调递减区间为 $\left[\frac{3 \pi}{8} ， \frac{\pi}{2}\right]$.