11. 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{n}=66, a_{3} a_{n-2}=128, S_{n}=126$, 求 $n$ 和 $q$.
$\because a_{3} a_{n-2}=a_{1} a_{n}, \therefore a_{1} a_{n}=128$, 解方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} a_{n}=128, \\ a_{1}+a_{n}=66,\end{array}\right.$

得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=64, \\ a_{n}=2,\end{array}\right.$

或 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=2, \\ a_{n}=64 .\end{array}\right.$

将(1)代入 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}$, 可得 $q=\frac{1}{2}$,

由 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}$ 可解得 $n=6$.

将(2)代入 $S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}$, 可得 $q=2$,

由 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}$ 可解得 $n=6$. 故 $n=6, q=\frac{1}{2}$ 或 2 .