如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=120^{\circ}, A C=B C, A B=4$, 半圆的圆心 $O$ 在 $A B$ 上, 且与 $A C, B C$ 分别相切于点 $D$, E.

<ImageHere>

(1) 求半圆 $O$ 的半径;

(2) 求图中阴影部分的面积.
(1) 解: 连结 $O D, O C$,

$\because$ 半圆与 $A C, B C$ 分别相切于点 $D, E$.

$\therefore \angle D C O=\angle E C O$, 且 $O D \perp A C$.

$\because A C=B C$,

$\therefore C O \perp A B$ 且 $O$ 是 $A B$ 的中点.

$\therefore A O=\frac{1}{2} A B=2$.

$\because \angle C=120^{\circ}, \therefore \angle D C O=60^{\circ}$.

$\therefore \angle A=30^{\circ}$.

$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt} \triangle A O D$ 中, $O D=\frac{1}{2} A O=1$

即半圆的半径为 1 .

（2）设 $C O=x$, 则在 Rt $\triangle A O C$ 中, 因为 $\angle A=30^{\circ}$, 所以 $A C=2 x$, 由勾股定理得:

$$
A C^{2}-O C^{2}=A O^{2}
$$

即 $(2 x)^{2}-x^{2}=2^{2}$

解得 $x=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\left(x=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right.$ 舍去 $)$

$\therefore S_{\triangle C C}=\frac{1}{2} A B \cdot O C=\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2 \sqrt{3}}{3}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$.

$\because$ 半圆的半径为 1 ,

$\therefore$ 半圆的面积为 $\frac{\pi}{2}$ ，

$\therefore S_{V=}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{8 \sqrt{3}-3 \pi}{6}$.