若点 $\mathrm{P}$ 是曲线 $y=x^{2}-\ln x$ 上任一点, 则点 $\mathrm{P}$ 到直线 $x-y-4=0$ 的最小距离是 ( )
答案: C

【解析】 要使点 $\mathrm{P}$ 到直线 $x-y-4=0$ 的最小距离,

只需点 $P$ 为曲线与直线 $x-y-4=0$ 平行的切线切点,

即点 $P$ 为斜率为 1 的切线的切点, 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right), x_{0}>0$,

$y=x^{2}-\ln x,\left.y^{\prime}\right|_{x=x_{0}}=2 x_{0}-\frac{1}{x_{0}}=1$,

解得 $x_{0}=1_{\text {或 }} x_{0}=-\frac{1}{2}$ (舍去)，

点 $P(1,1)$ 到直线 $x-y-4=0$ 的距离为 $\frac{|1-1-4|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$,
所以曲线 $y=x^{2}-\ln x$ 上任一点到直线 $x-y-4=0$ 距离最小值为 $2 \sqrt{2}$.

故答案为: C.

【分析】与直线 $x-y-4=0$ 平行且与曲线相切时, 切点到直线 $x-y-4=0$ 的距离最小, 利用导数求出切点坐标即可.