若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y=x^{3}$ 和 $y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9$ 都相切, 则 $\mathrm{a}=\quad(\quad)$
答案:A 解: 由 $y=x^{3}$ 求导得 $y^{\prime}=3 x^{2}$, 设曲线 $y=x^{3}$ 上的任意一点 $\left(x_{0}, x_{0}^{3}\right)$ 处的切线方程为 $y-x_{0}^{3}=3 x_{0}^{2}\left(x-x_{0}\right)$, 将点 $(1,0)$ 代入方程得 $x_{0}=0$ 或 $x_{0}=\frac{3}{2}$.

（1）当 $x_{0}=0$ 时: 切线为 $y=0$, 所以 $a x^{2}+\frac{15}{4} x-9=0$ 仅有一解, 得 $a=-\frac{25}{64}$

(2) 当 $x_{0}=\frac{3}{2}$ 时: 切线为 $y=\frac{27}{4} x-\frac{27}{4}$, 由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{27}{4} x-\frac{27}{4} \\ y=a x^{2}+\frac{15}{4} x-9\end{array}\right.$ 得 $a x^{2}-3 x-\frac{4}{9}=0$ 仅有一解, 得 $a=-1$. 综上知 $a=-1$ 或 $a=-\frac{25}{64}$. 选 A.