(10 分) 如图, 四边形 $A B C D$ 中, $\angle F$ 为四边形 $A B C D$ 的 $\angle A B C$ 的角平分线及外角 $\angle D C E$ 的平分线所在的直线构成的锐角, 若设 $\angle A=\alpha, \angle D=\beta$;

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图(1)

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图(2)

(1) 如图(1), $\alpha+\beta>180^{\circ}$, 试用 $\alpha, \beta$ 表示 $\angle F$;

（2）如图(2), $\alpha+\beta<180^{\circ}$, 请在图中画出 $\angle F$, 并试用 $\alpha, \beta$ 表示 $\angle F$;

(3) 一定存在 $\angle F$ 吗? 如有, 求出 $\angle F$ 的值, 如不一定, 指出 $\alpha, \beta$ 满足什么条件时, 不存在 $\angle F$.
解: (1) $\because \angle A B C+\angle D C B=360^{\circ}-(\alpha+\beta)$,

$\therefore \angle A B C+\left(180^{\circ}-\angle D C E\right)=360^{\circ}-(\alpha+\beta)=2 \angle F B C+\left(180^{\circ}-2 \angle D C F\right)=180^{\circ}-2(\angle D C F-\angle F B C)=180^{\circ}-2 \angle F$, $\therefore 360^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-2 \angle F$,

$2 \angle F=\alpha+\beta-180^{\circ}$,

$\therefore \angle F=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-90^{\circ} ;$

(2) 如图(2):

$\because \angle A B C+\angle D C B=360^{\circ}-(\alpha+\beta)$,

$\therefore \angle A B C+\left(180^{\circ}-\angle D C E\right)=360^{\circ}-(\alpha+\beta)=2 \angle G B C+\left(180^{\circ}-2 \angle H C E\right)=180^{\circ}+2(\angle G B C-\angle H C E)=180^{\circ}+2 \angle F$, $\therefore 360^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}+2 \angle F$,

$\therefore \angle F=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$;

(3) $\alpha+\beta=180^{\circ}$ 时, 不存在 $\angle F$.

【解析】(1) 先根据四边形内角和等于 $360^{\circ}$, 得出 $\angle A B C+\angle D C B=360^{\circ}-(\alpha+\beta)$, 根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出 $\angle A B C+\left(180^{\circ}-\angle D C E\right)=360^{\circ}-(\alpha+\beta)=2 \angle F B C+\left(180^{\circ}-2 \angle D C F\right)=180^{\circ}-2$ $(\angle D C F-\angle F B C)=180^{\circ}-2 \angle F$, 从而得出结论;

（2）先作出图形, 根据四边形内角和等于 $360^{\circ}$, 得出 $\angle A B C+\angle D C B=360^{\circ}-(\alpha+\beta)$, 根据内角与外角
的关系和角平分线的定义得出 $\angle A B C+\left(180^{\circ}-\angle D C E\right)=360^{\circ}-(\alpha+\beta)=2 \angle G B C+\left(180^{\circ}-2 \angle H C E\right)=180^{\circ}+2$ $(\angle G B C-\angle H C E)=180^{\circ}+2 \angle F$, 从而得出结论;

(3) $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha+\beta=180^{\circ}$ 时, $\angle A B C$ 的角平分线及外角 $\angle D C E$ 的平分线平行, 可知不存在 $\angle F$.