如图, 甲楼 $A B$ 高 18 米, 乙楼 $C D$ 坐落在甲楼的正北面, 已知当地冬至中午 12 时, 物高与影长的比是 $1: \sqrt{2}$, 已知两楼相距 20 米, 那么甲楼的影子落在乙楼上的高 $D E=$米. (结果保留根号)

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【分析】

本题考查了平行投影, 解直角三角形的应用, 根据物高与影长的比是 $1: \sqrt{2}$, 得出 $A F$ 的值是解题的关键. 设 $F E \perp A B$ 于点 $F$, 那么在 $\triangle A E F$ 中, $\angle A F E=90^{\circ}$, 解直角三角形 $A E F$ 可以求得 $A F$ 的长,进而求得 $D E=A B-A F$ 即可解题.

【解答】

解：设冬天太阳最低时, 甲楼最高处 $A$ 点的影子落在乙楼的 $E$ 处, 那么图中 $E D$ 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度,

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设 $F E \perp A B$ 于点 $F$, 那么在 $\triangle A E F$ 中, $\angle A F E=90^{\circ}, E F=20$ 米.

$\because$ 物高与影长的比是 $1: \sqrt{2}$,

$\therefore \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{EF}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,

则 $A F=\frac{\sqrt{2}}{2} E F=10 \sqrt{2}$,

故 $D E=F B=18-10 \sqrt{2}$.

故答案为 $(18-10 \sqrt{2})$