(10 分) 某县新农村建设规划了家用光伏发电系统，如图 1 是太阳能电板的实物图,如图 2 是其侧面示意图, 其中 $G F$ 为太阳能电板, $A E, C D$ 均为钢架且垂直于水平面 $E D, A B$ 为水平钢架且垂直于 $C D$, 测得 $A E=A B=0.45 \mathrm{~m}, A C=0.5 \mathrm{~m}$, $A G=C F=0.4 \mathrm{~m}$.

(1)求点 $G$ 到地面的距离;

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图1

(2)

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图2

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图3

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(1) 如图所示, 过点 $G$ 作 $G M \perp D E$ 交 $D E$ 延长线于 $M, G N \perp A E$ 于 $N$, 则四边形 $G M E N$ 是矩形, 利用勾股定理求出 $B C=\frac{\sqrt{19}}{20} \mathrm{~m}$, 证明四边形 $A B D E$ 是矩形, 进而证明
$\triangle A G N \sim \triangle C A B$, 利用系数三角形的性质求出 $A N=\frac{\sqrt{19}}{25} \mathrm{~m}$, 即可求出

$G M=N E=\left(0.45-\frac{\sqrt{19}}{25}\right) \mathrm{m}$, 由此即可得到答案;

(2) 如图所示, 过点 $E$ 作 $E T \perp F K$ 于 $T$, 则四边形 $F G E T$ 是矩形, 先求出 $E T=G F=1.3 \mathrm{~m}$,再证明 $\triangle C B A \sim \triangle K T E$, 利用相似三角形的性质求出 $K E \approx 1.44 \mathrm{~m}$, 即此时 $G F$ 的影子 $E K$ 的长度约为 $1.44 \mathrm{~m}$.

【详解】(1) 解: 如图所示, 过点 $G$ 作 $G M \perp D E$ 交 $D E$ 延长线于 $M, G N \perp A E$ 于 $N$, 则四边形 GMEN 是矩形,

$\therefore G M=N E, G N / / D E$,

在 Rt $\triangle A B C$ 中, 由勾股定理得 $B C=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{20} \mathrm{~m}$,

$\because A E \perp D E, D B \perp D E, A B \perp C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B D E$ 是矩形,

$\therefore \angle B A E=\angle A B C=\angle G N E=90^{\circ}, \quad A B / / D E$,

$\therefore G N / / A B$,

$\therefore \angle A G N=\angle C A B$,

$\therefore \triangle A G N \sim \triangle C A B$,

$\therefore \frac{A N}{B C}=\frac{A G}{A C}$, 即 $\frac{A N}{\frac{\sqrt{19}}{20}}=\frac{0.4}{0.5}$,

$\therefore A N=\frac{\sqrt{19}}{25} \mathrm{~m}$,

$\therefore G M=N E=A E-A N=\left(0.45-\frac{\sqrt{19}}{25}\right) \mathrm{m}$,

$\therefore$ 点 $G$ 到地面的距离为 $\left(0.45-\frac{\sqrt{19}}{25}\right) \mathrm{m}$;

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图2

(2) 解: 如图所示, 过点 $E$ 作 $E T \perp F K$ 于 $T$, 则四边形 $F G E T$ 是矩形,

$\therefore E T=G F=0.4+0.4+0.5=1.3 \mathrm{~m}$,

$\because \angle A E G+\angle A E T=90^{\circ}=\angle K E T+\angle A E T=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E G=\angle K E T$,

同理可证 $\angle A E G=\angle C A B$,

$\therefore \angle K E T=\angle C A B$

又 $\because \angle C B A=\angle K T E=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle C B A \sim \triangle K T E$,

$\therefore \frac{K E}{A C}=\frac{E T}{A B}$, 即 $\frac{K E}{0.5}=\frac{1.3}{0.45}$,

$\therefore K E \approx 1.44 \mathrm{~m}$,

$\therefore$ 此时 $G F$ 的影子 $E K$ 的长度约为 $1.44 \mathrm{~m}$.

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图3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用, 矩形的性质与判定, 勾股定理等等, 正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

