设全集是实数集 $R$, 集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{2} \leq x \leq 2\right.\right\} ， B=\{x \mid x-a<0\}$.

(I)当 $a=1$ 时，分别求 $A \cap B$ 与 $A \cup B$;

(II) 若 $A \subseteq B$, 求实数 $a$ 的取值范围;

(III)若 $\left(\mathrm{C}_{R} A\right) \cap B=B$, 求实数 $a$ 的最大值.
(I)当 $a=1$ 时, 确定集合 $B$ ，由交、并的定义可得结果; (II)由 $A \subseteq B$ 得 $a>2$; (III)由 $\left(C_{R} A\right) \cap B=B$ 得 $B \subseteq\left(C_{R} A\right)$, 得 $a \leq \frac{1}{2}$, 可得实数 $a$ 的最大值.