已知函数 $f(x)=\log _{a}(1-x)+\log _{a}(x+3)$ 其中 $(0<a<1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域;

(2) 若函数 $f(x)$ 的最小值为 -4 , 求 $a$ 的值.
(1)要使函数有意义,

则有 $\left\{\begin{array}{l}-x>0, \\ x+3>0,\end{array}\right.$ 解之得: $-3<x<1$,

所以函数的定义域为 $(-3,1)$.

(2) 函数可化为: $f(x)=\log _{a}(1-x)(x+3)$

$=\log _{a}\left(-x^{2}-2 x+3\right)$

$=\log _{a}\left[-(x+1)^{2}+4\right]$,

$\because-3<x<1, \quad \therefore 0<-(x+1)^{2}+4 \leqslant 4$.

$\because 0<a<1$,

$\therefore \log _{a}\left[-(x+1)^{2}+4\right] \geqslant \log _{a} 4$,

即 $f(x)_{\min }=\log _{a} 4$;

由 $\log _{a} 4=-4$, 得 $a^{-4}=4, \therefore a=4^{-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.