(2021 春・南海区期末) 如图, 已知 $A M / / B N, \angle A=64^{\circ}$, 点 $P$ 是射线 $A M$ 上一动点 (与点 $A$ 不重合), $B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$, 分别交射线 $A M$ 于点 $C 、 D$, 下列结论: (1) $\angle A C B=\angle C B N$; (2) $\angle C B D$ $=64^{\circ}$; (3)当 $\angle A C B=\angle A B D$ 时, $\angle A B C=29^{\circ}$; (4)当点 $P$ 运动时, $\angle A P B: \angle A D B=2: 1$ 的数量关系不变. 其中正确结论有（）个.

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本题借助平行线的性质、角平分线的性质即可求解.

【答案】解: (1) $\because A M / / B N, \therefore \angle A C B=\angle C B N$ (两直线平行, 内错角相等), 故(1)对;

(2) $\because A M / / B N, \angle A=64^{\circ}, \quad \therefore \angle A B N=180^{\circ}-\angle A=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$;

$\because B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$,

$\therefore \angle C B D=\angle C B P+\angle D B P=\frac{1}{2}(\angle N B P+\angle A B P)=\frac{1}{2} \times \angle A B N=\frac{1}{2} \times 116^{\circ}=58^{\circ}$, 故(2)错;

(3) $\because B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N, \therefore \angle A B C=\angle P B C, \angle P B D=\angle N B D$,

$\because \angle A C B=\angle A B D$ (已知), $\angle A C B=\angle C B N$ (已证) , $\therefore \angle A B D=\angle C B N$, 则 $\angle A B C=\angle N B D$,

$\therefore \angle A B C=\angle P B C=\angle P B D=\angle N B D, \therefore \angle A B C=\frac{1}{4} \angle A B N=29^{\circ}$, 故(3)对;

(4) $\because A M / / B N, \quad \therefore \angle A P B=\angle P B N, \quad \angle A D B=\angle D B N$,

$\because B D$ 分别平分 $\angle P B N, \therefore \angle P B N: \angle D B N=2: 1, \therefore \angle A P B: \angle A D B=2: 1$, 故(4)对, 故选: $C$.

【点睛】本题考查了平行线性质的运用，涉及角平分的性质，灵活运用这两个知识点，便可迎刃而解．本题还考查了学生的推理能力、计算能力, 体现了数学的转化思想.