(9 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D$ 是 $\odot O$ 的一条弦, 且 $C D \perp A B$ 于 $E$, 连接 $A C$, $O C, B C$.

<ImageHere>

(1) 求证: $\angle 1=\angle 2$;

(2) 若 $B E=2, C D=6$, 求 $\odot O$ 的半径的长.


(1) 根据垂径定理和圆的性质, 同弧的圆周角相等, 又因为 $\triangle A O C$ 是等腰三角形,即可求证.

（2）根据勾股定理, 求出各边之间的关系, 即可确定半径.

【详解】(1) 证明:

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$,

<ImageHere>

$\therefore B C=B D$.

$\therefore \angle A=\angle 2$.

又 $\because O A=O C$,

$\therefore \angle 1=\angle \mathrm{A}$.

$\therefore \angle 1=\angle 2$.

(2) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D \perp A B, C D=6$

$\therefore \angle C E O=90^{\circ}, C E=E D=3$.

设 $\odot O$ 的半径是 $R, E B=2$, 则 $O E=R-2$

$\because$ 在 Rt $\triangle O E C$ 中, $R^{2}=(R-2)^{2}+3^{2}$

解得: $R=\frac{13}{4}$

$\therefore \odot O$ 的半径是 $R=\frac{13}{4}$.

【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质, 关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算.

