已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+x+4}{x}, x>0 \\ -\frac{x^{2}-x+4}{x}, x<0\end{array}\right.$,

(1) 判断 $f(x)$ 的奇偶性, 并加以证明;

(2) 讨论 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性, 并证明你的结论.
【详解】

(1) $f(x)$ 为偶函数.

证明如下: $\because f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}+x+4}{x}, & x>0 \\ -\frac{x^{2}-x+4}{x}, & x<0\end{array}\right.$,

当 $x>0$ 时, $-x<0$, 则 $f(x)=\frac{x^{2}+x+4}{x}, f(-x)=-\frac{(-x)^{2}-(-x)+4}{-x}=\frac{x^{2}+x+4}{x}$,

所以 $f(x)=f(-x)$;

当 $x<0$ 时, $-x>0$, 则 $f(x)=-\frac{x^{2}-x+4}{x}, f(-x)=\frac{(-x)^{2}+(-x)+4}{-x}=-\frac{x^{2}-x+4}{x}$,所以 $f(x)=f(-x)$;

综上所述, 对于定义域内任意 $x$, 都有 $f(x)=f(-x)$, 所以 $f(x)$ 为偶函数.

(2) $f(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递减, 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增.

任取 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty), \quad x_{1}<x_{2}, f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{1} x_{2}-4\right)}{x_{1} x_{2}}$,
因为 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty), x_{1}<x_{2}$, 所以 $x_{1} x_{2}>0, x_{2}-x_{1}>0$,

所以, 当 $x_{2}>x_{1}>2$ 时, $x_{1} x_{2}-4>0, f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)>0, f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)$,

当 $2 \geq x_{2}>x_{1}>0$ 时, $x_{1} x_{2}-4<0, f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)<0, f\left(x_{2}\right)<f\left(x_{1}\right)$,

所以 $f(x)$ 在 $(0,2]$ 上单调递减, 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增.

【点睛】

本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定证明, 注意利用定义法证明函数单调性的步骤, 属于中档题.