如图 1 的长方形铁皮, 四个角都剪去边长为 30 厘米的正方形, 再四周折起, 做成一个有底无盖的铁盒如图 2, 铁盒底面长方形的长是 $4 a(\mathrm{~cm})$, 宽是 $3 a(\mathrm{~cm})$, 这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积.

(1)请用 $a$ 的代数式表示图 1 中原长方形铁皮的面积;

(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆, 每元钱可漆的面积为 $\frac{a}{50}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, 则油漆这个铁盒需要多少钱(用 $a$ 的代数式表示)?

(3)铁盒的底面积是全面积的几分之几(用 $a$ 的代数式表示)? 若铁盒的底面积是全面积的 $\frac{3}{4}$, 求 $a$的值;

(4)是否存在一个正整数 $a$, 使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍? 若存在, 请求出这个 $a$, 若不存在, 请说明理由.

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图1

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图2
(1)原铁皮的面积是 $(4 a+60)(3 a+60)=12 a^{2}+420 a+3600$;

(2)油漆这个铁盒的表面积是： $12 a^{2}+2 \times 30 \times 4 a+2 \times 30 \times 3 a=12 a^{2}+420 a$,

则油漆这个铁盒需要的钱数是: $\left(12 a^{2}+420 a\right) \div \frac{a}{50}=\left(12 a^{2}+420 a\right) \times \frac{50}{a}=600 a+21000$ (元);

(3)铁盒的底面积是全面积的 $\frac{12 a^{2}}{12 a^{2}+420 a}=\frac{a}{a+35}$;

根据题意得: $\frac{a}{a+35}=\frac{3}{4}$,

解得 $a=105$;

(4)铁盒的全面积是 $4 a \times 3 a+4 a \times 30 \times 2+3 a \times 30 \times 2=12 a^{2}+420 a$,

底面积是 $12 a^{2}$,

假设存在正整数 $n$, 使 $12 a^{2}+420 a=n\left(12 a^{2}\right)$

则 $(n-1) a=35$ ，

则 $a=35, n=2$ 或 $a=7, n=6$ 或 $a=5, n=8$ 或 $a=1, n=36$

所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍, 这时 $a=35$ 或 7 或 5 或 1 .