已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$, 则 $|z+i|+|z-i|$ 的最大值是
设 $z=\cos 	heta+i \sin 	heta,(0 \leq 	heta<2 \pi)$.则 $|z+i|+|z-i|=\sqrt{\cos ^{2} 	heta+(\sin 	heta+1)^{2}}+\sqrt{\cos ^{2} 	heta+(\sin 	heta-1)^{2}}$$=\sqrt{2(1+\sin 	heta)}+\sqrt{2(1-\sin 	heta)}=\sqrt{2\left(\sin rac{	heta}{2}+\cos rac{	heta}{2}
ight)^{2}}+\sqrt{2\left(\sin rac{	heta}{2}-\cos rac{	heta}{2}
ight)^{2}}$ $=\sqrt{2}\left|\sin rac{	heta}{2}+\cos rac{	heta}{2}
ight|+\sqrt{2}\left|\sin rac{	heta}{2}-\cos rac{	heta}{2}
ight|$.$ecause 0 \leq 	heta<2 \pi, \quad 	herefore 0 \leq rac{	heta}{2}<\pi$.当 $rac{	heta}{2} \in\left[0, rac{\pi}{4}
ight]_{	ext {时, }} 0 \leq \sin rac{	heta}{2} \leq rac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos rac{	heta}{2} \leq 1$,所以 $|z+i|+|z-i|=2 \sqrt{2} \cos rac{	heta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|$ 的最大值是 $2 \sqrt{2}$;当 $rac{	heta}{2} \in\left(rac{\pi}{4}, rac{3 \pi}{4}
ight]_{	ext {时, }}-rac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos rac{	heta}{2}<rac{\sqrt{2}}{2}<\sin rac{	heta}{2} \leq 1$,所以 $|z+i|+|z-i|=2 \sqrt{2} \sin rac{	heta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|$ 的最大值是 $2 \sqrt{2}$;当 $rac{	heta}{2} \in\left(rac{3 \pi}{4}, \pi
ight)_{	ext {时, }}-1<\cos rac{	heta}{2}<-rac{\sqrt{2}}{2}, 0<\sin rac{	heta}{2}<rac{\sqrt{2}}{2}$, 所以 $\left|\sin rac{	heta}{2}
ight|<\left|\cos rac{	heta}{2}
ight|$,$|z+i|+|z-i|=-2 \sqrt{2} \cos rac{	heta}{2}, \quad|z+i|+|z-i|<2 \sqrt{2}$.