如图, 棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M$ 为 $B C$ 中点, 这直线 $D_{1} M$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 ( )

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【分析】

先作出直线 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{M}$ 与平面 $\mathrm{ABCD}$ 所成角, 然后求解即可

## 【详解】

连接 DM，因为几何体是正方体,

所以 $\angle \mathrm{D}_{1} M D$ 就是直线 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{M}$ 与平面 $\mathrm{ABCD}$ 所成角,

$\tan \angle \mathrm{D}_{1} \mathrm{MD}=\frac{D D_{1}}{D M}=\frac{a}{\frac{\sqrt{5} a}{2}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

故选 C

## 【点睛】

求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求, 有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱雉的等体积法求得垂线长, 进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值, 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系, 利用向量求解.