如图, 在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $M, N$ 分别为棱 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点, 且 $A B=B C$

(1) 求证: 平面 $B M N \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$;

(2) 求证: $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

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【分析】

(1) 先证明 $B M \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$, 即证平面 $\mathrm{BMN} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$.(2) 取 $B C$ 的中点 $P$,
连接 $B_{1} P$ 和 $M P$, 证明 $M N \| P B_{1}$, 再证明 $M N / /$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1} \mathrm{~B}_{1}$.

## 【详解】

(1)证明：因为 $M$ 为棱 $A C$ 的中点, 且 $A B=B C$,

所以 $B M \perp A C$,

因为 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是直三棱柱,

所以 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C$,

因为 $B M \subset$ 平面 $A B C ，$

所以 $A A_{1} \perp B M$,

又因为 $A C, A_{1} A \subset$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$, 且 $A C \cap A_{1} A=A$,

所以 $B M \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$,

因为 $B M \subset$ 平面 $B M N$ ，

所以平面 $B M N \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$.

(2)取 $B C$ 的中点 $P$, 连接 $B_{1} P$ 和 $M P$,

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因为 $M 、 P$ 为棱 $A C 、 B C$ 的中点,

所以 $M P \| A B$, 且 $M P=\frac{1}{2} A B$,

因为 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 是棱柱,
所以 $A_{1} B_{1} \| A B, A_{1} B_{1}=A B$,

因为 $N$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点,

所以 $B_{1} N \| B A$, 且 $B_{1} N=\frac{1}{2} B A$,

所以 $B_{1} N \| P M$, 且 $B_{1} N=P M$,

所以 $M N B_{1} P$ 是平行四边形,

所以 $M N \| P B_{1}$,

又因为 $M N \not \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, P B_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$,

所以 $M N \|$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

## 【点睛】

本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明, 意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.