（本题8分）一列火车在$A$城的正北$240{~km}$处,以$120{~km}/{h}$的速度驶向$A$城.同时,一辆汽车在$A$城的正东$120{~km}$处,以$120{~km}/{h}$速度向正西方向行驶.假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变,问何时火车与汽车之间的距离最近?当火车与汽车距离最近时,汽车是否已过铁路与公路的交叉口？(火车与汽车的长度忽略不计)
解：如答图，<ImageHere>设经过$th$，火车到达$B$处，汽车到达$C$处，则$AB=|240-120t|$,$AC=|120-120t|$,在Rt$triangleABC$中,$BC=sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$$=sqrt{(240-120t)^{2}+(120-120t)^{2}}$$=sqrt{120^{2}(2-t)^{2}+120^{2}(1-t)^{2}}$$=120sqrt{2t^{2}-6t+5}$$=120sqrt{2left(t-frac{3}{2}right)^{2}+frac{1}{2}}$.当$t=frac{3}{2}{~h}$时,$BC$之间的距离最小,此时$BC=120sqrt{frac{1}{2}}=60sqrt{2}$,$because$当$t=frac{3}{2}{~h}$时,汽车运动的距离为$120timesfrac{3}{2}=180({~km})>120({~km})$,$therefore$汽车已过铁路与公路的交叉口.答:当经过$frac{3}{2}{~h}$时汽车与火车的距离最近,此时汽车已过铁路与公路的交叉口.