设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 已知 $a_{1}=3$ 且 $2 a_{n}=S_{n} \cdot S_{n-1}(n \geqslant 2)$, 则 $a_{n}=$ \$ \qquad \$ .
解析: 因为 $2 a_{n}=S_{n} \cdot S_{n-1}(n \geqslant 2)$ 可得 $2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=S_{n} S_{n-1}$, 即得 $\frac{1}{S_{n}}-\frac{1}{S_{n-1}}=-\frac{1}{2}$, 所以数列 $\left\{\frac{1}{S_{n}}\right\}$ 是公差为 $-\frac{1}{2}$, 首项为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列, 所以 $\frac{1}{S_{n}}=\frac{5-3 n}{6}$, 即 $S_{n}=\frac{6}{5-3 n}(n \geqslant 2), a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{18}{(5-3 n)(8-3 n)}$,因为 $a_{1}=3$, 所以 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}3, n=1 \\ \frac{18}{(5-3 n)(8-3 n)}, n \geqslant 2\end{array}\right.$.