已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 点 $A 、 F$ 分别为其右顶点和右焦点, $B_{1}(0, b), B_{2}(0,-b)$,若 $B_{1} F \perp B_{2} A$, 则该双曲线的离心率为 ( )
根据题意, 已知双曲线 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 点 $A 、 F$ 分别为其右顶点和右焦点, 设 $A$ $(a, 0), F(c, 0)$, 则 $\overrightarrow{B_{1} F}=(c,-b), \overrightarrow{B_{2} A}=(a, b)$, 若 $B_{1} F \perp B_{2} A$, 则有 $\overrightarrow{B_{1} F} \cdot \overrightarrow{B_{2} A}=a c-b^{2}=0$, 又由 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, 则有 $c^{2}-a^{2}-a c=0$, 变形可得: $e^{2}-e-1=0$, 解得 $e=rac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $rac{1-\sqrt{5}}{2}$ (舍), 故 $e=rac{1+\sqrt{5}}{2}$,