如图, 点 $E 、 F 、 G 、 H$ 分别是四边形 $A B C D$ 的边 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ 的中点. 则下列说法: (1) 若

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$A C=B D$, 则四边形 $E F G H$ 是菱形; (2)若 $A C \perp B D$, 则四边形 $E F G H$ 是矩形; (3)若四边形 $E F G H$是平行四边形, 则 $A C$ 与 $B D$ 互相平分: (4)若四边形 $E F G H$ 是正方形, 则 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直且相等. 其中正确的个数是 $(\quad)$
$\because$ 点 $E, F, G, H$ 分别是四边形 $A B C D$ 边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点,

$\therefore H G / / A C / / E F, H G=E F=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形, 故(3)错误;

$\because$ 点 $E, F, G, H$ 分别是四边形 $A B C D$ 边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点,

$\therefore E H / / B D / / G F, E H=G F=\frac{1}{2} \mathrm{BD}$,

$\therefore$ 当对角线 $B D=A C$ 时, $E F=F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是菱形, 故(1)正确;

当对角线 $A C \perp B D$ 时, $E F \perp F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是矩形, 故(2)正确;

当对角线 $A C=B D$ 且 $A C \perp B D$ 时, $E F=F G$ 且 $E F \perp F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是正方形, 故(4)正确.

$\therefore$ 正确的说法有 3 个.

故选: $C$.