(12 分) 已知函数 $f(x)=a x+\ln x(a \in \mathbf{R}), g(x)=x^{2}-2 x+2$.

（1）当 $a=1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程;

（2）当 $a=-\frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最大值和最小值;

(3) 若对任意的 $x_{1} \in[-1,2]$, 均存在 $x_{2} \in(0,+\infty)$, 使得 $g\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$, 求 $a$ 的取值范围。
(1) 由已知得函数 $g(x)$ 的定义域为 $(0,1) \cup(1,+\infty)$,函数 $g^{\prime}(x)=rac{\ln x-x \cdot rac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}=rac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}$,当 $x>e_{	ext {时, }} g^{\prime}(x)>0$ ，所以函数 ${ }^{g(x)}$ 的增区间是 $(e,+\infty)$;当 $0<x<e$ 且 $x 
eq 1$ 时, $g^{\prime}(x)<0$, 所以函数 $g(x)$ 的单调减区间是 $(0,1),(1, e)$.(2) 因 ${ }^{f(x)}$ 在 $^{(1,+\infty)}$ 上为减函数, 且 $f(x)=rac{x}{\ln x}-a x$, $f^{\prime}(x)=rac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}-a \leq 0 \quad$ 在 ${ }^{(1,+\infty)}$ 上恒成立. 所以当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)_{	ext {max }} \leq 0$.又 $f^{\prime}(x)=rac{\ln x-1}{(\ln x)^{2}}-a=-\left(rac{1}{\ln x}
ight)^{2}+rac{1}{\ln x}-a=-\left(rac{1}{\ln x}-rac{1}{2}
ight)^{2}+rac{1}{4}-a$,故当 $rac{1}{\ln x}=rac{1}{2}$, 即 $x=e^{2}$ 时, $f^{\prime}(x)_{	ext {max }}=rac{1}{4}-a$.所以 $rac{1}{4}-a \leq 0$, 于是 $a \geq rac{1}{4}$, 故 $a$ 的最小值为 $rac{1}{4}$.