如图, 长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=B C=4, B B_{1}=2 \sqrt{2}$, 点 $E 、 F 、 M$ 分别为 $C_{1} D_{1}, A_{1} D_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点, 过点 $M$ 的平面 $a$ 与平面 $D E F$ 平行, 且与长方体的面相交, 交线围成一个几何图形.

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图 2

(1) 在图 1 中, 画出这个几何图形, 并求这个几何图形的面积 (不必说明画法与理由)

（2）在图 2 中, 求证: $D_{1} B \perp$ 平面 $D E F$.
【分析】

（1）取 $A_{1} B_{1}$ 中点为 $\mathrm{N}$,连接 $N$ 与 $\mathrm{M}$, 则几何图形为 $\mathrm{ACMN}$, 再求其面积.

（2）建系，利用向量的数量积等于 0 , 说明两直线垂直.

【详解】

(1) 设 $N$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点, 连结 $M N, A N 、 A C 、 C M$,

则四边形 $M N A C$ 为所作图形.

由题意知 $M N / / A_{1} C_{1}$ (或//EF), 四边形 $M N A C$ 为梯形,
且 $M N=\frac{1}{2} A C=2 \sqrt{2}$,

过 $M$ 作 $M P \perp A C$ 于点 $P$,

可得 $M C=\sqrt{8+4}=2 \sqrt{3}, P C=\frac{A C-M N}{2}=\sqrt{2}$,

得 $M P=\sqrt{M C^{2}-Q C^{2}}=\sqrt{10}$,

$\therefore$ 梯形 $M N A C$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times(2 \sqrt{2}+4 \sqrt{2}) \times \sqrt{10}=6 \sqrt{5}$.

证明: (2) 示例一: 在长方体中 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

设 $D_{1} B_{1}$ 交 $E F$ 于 $Q$, 连接 $D Q$,

则 $Q$ 为 $E F$ 的中点并且为 $D_{1} B_{1}$ 的四等点, 如图,

$D_{1} Q=\frac{1}{4} \times 4 \sqrt{2}=\sqrt{2}$,

由 $D E=D F$ 得 $D Q \perp E F$, 又 $E F \perp B B_{1}$,

$\therefore E F \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D, \quad \therefore E F \perp D_{1} B$,

$\frac{D_{1} Q}{D_{1} D}=\frac{D_{1} D}{D B}=\frac{1}{2}, \therefore \angle D_{1} Q D=\angle B D_{1} D$,

$\therefore \angle Q D_{1} B+\angle D_{1} Q D=\angle D D_{1} B+\angle B D_{1} Q=90^{\circ}$,

$\therefore D Q \perp D_{1} B, \quad \therefore D_{1} B \perp$ 平面 $D E F$.

示例二: 设 $D_{1} B_{1}$ 交 $E F$ 于 $Q$, 连接 $D Q$, 则 $Q$ 为 $E F$ 的中点,

且为 $D_{1} B_{1}$ 的四等分点, $D_{1} Q=\frac{1}{4} \times 4 \sqrt{2}=\sqrt{2}$,

由 $B B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 可知 $B B_{1} \perp E F$,

又 $B_{1} D_{1} \perp E F, B B_{1} \cap B_{1} D_{1}=B_{1}, \therefore E F \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D, \therefore E F \perp D_{1} B$,

由 $\frac{D_{1} Q}{D_{1} D}=\frac{D_{1} D}{D B}=\frac{1}{2}$, 得 $\tan \angle Q D D_{1}=\tan \angle D_{1} B D$,

得 $\angle Q D D_{1}=\angle D_{1} B D, \therefore \angle Q D B+\angle D_{1} B D=\angle Q D B+\angle Q D D_{1}=90^{\circ}$,

$\therefore D Q \perp D_{1} B$, 又 $D Q \cap E F=Q, \therefore D_{1} B \perp$ 平面 $D E F$.

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## 【点睛】

标准几何体内, 证明垂直, 直接利用向量的数量积等于 0 , 说明两直线垂直.