某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中, 将两块大小不同的等腰直角三角形 $A B C$ 和等腰直角三角形 $C D E$, 按如图 1 的方式摆放, $\angle A C B=\angle E C D=90^{\circ}$. 该数学兴趣小组进行如下探究, 请你帮忙解答:

(1)【初步探究】如图 1, 试探究 $E D$ 与 $B C$ 的位置关系, 并说明理由;

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图1

(2)【深入探究】如图 2 , 当 $B 、 D 、 E$ 三点共线时,

请探究此位置时线段 $A E 、 B E 、 C E$ 之间的数量关系，并说明理由;

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图2

(3)【拓展延伸】如图 3 , 当 $B 、 D 、 E$ 三点不共线时, 连接 $A E$, 延长 $B D$ 交 $A E$ 于点 $F$,连接 $C F$, 请猜想此位置时线段 $A F 、 B F 、 C F$ 之间的数量关系:

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图3
解: (1) $E D / / B C$, 理由如下:

如图 1,

<ImageHere>

图1

$\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \angle C D E=\angle C B A=\angle C E D=\angle C A B=45^{\circ}$,

$\therefore E D / / B C$

(2) $B E=A E+\sqrt{2} C E$, 理由如下:

如图 2,

<ImageHere>

图2

$\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \angle D C E=\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C, C D=C E, D E=\sqrt{2} C E$,

$\therefore \angle A C E=\angle B C D$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle B C D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A E=B D$,

$\therefore B E=D E+B D$,

$\therefore B E=A E+\sqrt{2} C E$

(3) $B F=A F+\sqrt{2} C F$, 理由如下:

如图 4, 过点 $C$ 作 $C G \perp C F$ 交 $B F$ 于点 $G$,

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图4

由（2）知, $\triangle A C E \cong \triangle B C D$,

$\therefore \angle C A F=\angle C B D$

$\because \angle A C F+\angle A C G=90^{\circ}, \quad \angle A C G+\angle G C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C F=\angle B C G$

$\because \angle C A F=\angle C B G, \quad B C=A C$,

$\therefore \triangle B C G \cong \triangle A C F(\mathrm{ASA})$,

$\therefore G C=F C, \quad B G=A F$,
$\therefore \triangle G C F$ 为等腰直角三角形,

$\therefore G F=\sqrt{2} C F$,

$\therefore B F=B G+G F=A F+\sqrt{2} C F$.