正四棱台的两底边长分别为 $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}$, 高是 $1 \mathrm{~cm}$, 它的侧面积为( )
$\because$ 四棱台的两底边长分别为 $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}$, 高是 $1 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 上底边到上底中心的距离是 $\frac{1}{2} \mathrm{~cm}$, 下底边到下底中心的距离是 $1 \mathrm{~cm}$,

那么梯形的高, 就是斜高为 $\sqrt{1^{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}(\mathrm{~cm})$,

一个梯形的面积就是 $\frac{1}{2}(1+2) \times \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3 \sqrt{5}}{4}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

$\therefore$ 棱台的侧面积 $S=3 \sqrt{5}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

故选 D.