（2021$\cdot$浙江杭州市・七年级期中） 2021 年郑州市中招体育考试统考项目为: 长跑、立定跳远、足球运球, 选考项目 ( 50 米跑或 1 分钟跳绳), 为了备考练习, 很多同学准备重新购买足球、跳绳.

(1) 某校九 (1) 班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳, 经班长统计共需要购买足球的有 12 名同学, 需要购买跳绳的有 10 名同学. 请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息, 分别求出足球和跳绳的单价.

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您是对的, 我刚才把足球和跳绳的数黑弄反了.阿紻您好。我要买 12 个足球和 10 根跳绳, 是不是一共 1240 元.

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不对呀, 一共应该是 1400 元.
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(2) 由于足球和跳绳的需求量增大, 该体育用品商店老板计划再次购进足球 $a$ 个和跳绳 $b$ 根 (其中 $a>15$ ), 恰好用了 1800 元, 其中足球每个进价为 80 元, 跳绳每根的进价为 15 元, 则有哪几种购进方案?

（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出, 且单价与（1）中的售价相同, 为了使销售获利最多, 应选择哪种购进方案?


(1) 设足球和跳绳的单价分别为 $x$ 元、 $y$ 元, 由题意列出方程组, 解方程组解可;

(2) 由题意得 $80 a+15 b=1800(a>15)$, 当全买足球时, 可买足球的数量为 22.5, 对 $a 、 b$ 的值进行讨论得两种方案即可; (3) 求出方案一利润和方案二利润, 即可得出结论.

【详解】解: (1) 设足球的单价为 $x$ 元, 跳绳的单价为 $y$ 元,由题意可得: $\left\{\begin{array}{l}12 x+10 y=1400, \\ 10 x+12 y=1240,\end{array}\right.$ 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=100 \\ y=20\end{array}\right.$,答: 足球的单价为 100 元, 跳绳的单价为 20 元.

(2) 由题意得: $80 a+15 b=1800,(a>15)$,

当全买足球时, 可买足球的数量为: $\frac{1800}{80}=22.5, \therefore 15<a<22.5$,

当 $a=16$ 时, $b=\frac{104}{3}$ (舍去)；当 $a=17$ 时， $b=\frac{88}{3}$ (舍去)；当 $a=18$ 时， $b=24$;

当 $a=19$ 时, $b=\frac{56}{3}$ (舍去)；当 $a=20$ 时, $b=\frac{40}{3}$ （舍去）; 当 $a=21$ 时, $b=8$;

当 $a=22$ 时, $b=\frac{8}{3}$ (舍去) ; $\therefore$ 有两种方案: 方案一, 购进足球 18 个, 跳绳 24 根;

方案二, 购进足球 21 个, 跳绳 8 根;

(3) 方案一的销售利润为: $(100-80) \times 18+(20-15) \times 24=480$ (元)

方案二的销售利润为: $(100-80) \times 21+(20-15) \times 8=460$ (元)

$\because 480>460, \therefore$ 购进足球 18 个, 跳绳 24 根时, 销售获利最多.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识; 理解题意, 列出方程组和方程是解题的关键.