如图 1, 正五边形 $A B C D E$ 内接于 $\odot O$, 阅读以下作图过程, 并回答下列问题, 作法:如图 2, (1)作直径 $A F$; (2)以 $F$ 为圆心, $F O$ 为半径作圆弧, 与 $\odot O$ 交于点 $M, N$; (3)连接 $A M, M N, N A$.

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图1

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图2

(1)求 $\angle A B C$ 的度数.

(2) $\triangle A M N$ 是正三角形吗? 请说明理由.

(3)从点 $A$ 开始, 以 $D N$ 长为半径, 在 $\odot O$ 上依次截取点, 再依次连接这些分点, 得到正 $n$ 边形，求 $n$ 的值.

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(1) 根据正五边形的性质以及圆的性质可得 $A B=B C=C D=D E=A E$, 则 $\angle A O C$ (优弧所对圆心角) $=3 \times 72^{\circ}=216^{\circ}$, 然后根据圆周角定理即可得出结论;

（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论;

(3) 运用圆周角定理并结合 (1) (2) 中结论得出 $\angle N O D=144^{\circ}-120^{\circ}=24^{\circ}$, 即可得出结论.

【详解】(1) 解: $\because$ 正五边形 $A B C D E$.

$\therefore A B=B C=C D=D E=A E$,
$\therefore \angle A O B=\angle B O C=\angle C O D=\angle D O E=\angle E O A=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$,

$\because A E C=3 A E$,

$\therefore \angle A O C$ (优弧所对圆心角) $=3 \times 72^{\circ}=216^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2} \times 216^{\circ}=108^{\circ}$;

（2）解: $\triangle A M N$ 是正三角形, 理由如下:

连接 $O N, F N$,

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由作图知: $F N=F O$,

$\because O N=O F$

$\therefore O N=O F=F N$,

$\therefore \triangle O F N$ 是正三角形,

$\therefore \angle O F N=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A M N=\angle O F N=60^{\circ}$,

同理 $\angle A N M=60^{\circ}$,

$\therefore \angle M A N=60^{\circ}$, 即 $\angle A M N=\angle A N M=\angle M A N$,

$\therefore \triangle A M N$ 是正三角形;

(3) $\because \triangle A M N$ 是正三角形,

$\therefore \angle A O N=2 \angle A M N=120^{\circ}$.

$\because A D=2 A E$,

$\therefore \angle A O D=2 \times 72^{\circ}=144^{\circ}$,

$\because D N=A D-A N$

$\therefore \angle N O D=144^{\circ}-120^{\circ}=24^{\circ}$,

$\therefore n=\frac{360}{24}=15$.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 正多边形的性质, 读懂题意, 明确题目中的作图方式，熟
练运用圆周角定理是解本题的关键.