设 $A=\left\{x \mid x^{2}+4 x=0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-1=0\right\}$. 若 $A \cap B=B$, 求 $a$ 的值;
【详解】

化简集合 $A$, 得 $A=\{-4,0\}$.

由于 $A \cap B=B$, 则有 $B \subseteq A$ 可知集合 $B$ 或为空集, 或只含有根 0 或 -4 .

(1)若 $B=\varnothing$, 由 $\Delta=4(a+1)^{2}-4\left(a^{2}-1\right)<0$, 得 $a<-1$.

(2) 若 $0 \in B$, 代入 $x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-1=0$,
得 $a^{2}-1=0$, 即 $a=1$ 或 $a=-1$,

当 $a=1$ 时, $B=\left\{x \mid x^{2}+4 x=0\right\}=\{0,-4\}=A$, 符合题意;

当 $a=-1$ 时, $B=\left\{x \mid x^{2}=0\right\}=\{0\} \quad A$, 也符合题意.

(3)若 $-4 \in B$, 代入 $x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-1=0$,

得 $a^{2}-8 a+7=0$, 即 $a=7$ 或 $a=1$,

当 $a=1$ 时, (2)中已讨论, 符合题意;

当 $a=7$ 时, $B=\left\{x \mid x^{2}+16 x+48=0\right\}=\{-12,-4\}$, 不合题意.

综合(1)(2)(3)得 $a=1$ 或 $a \leq-1$.

【点睛】

本题主要考查集合的运算, 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.