(12 分) 受新冠肺炎疫情的影响, 2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘. 某世界五百强企业 $M$ 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行, 资料初审通过后才能进行笔试, 笔试合格后才能参加面试, 面试合格后便正式录取, 且这几个环节能否通过相互独立. 现有甲乙、丙三名大学生报名参加了企业 $M$ 的线上招聘, 并均已通过了资料初审环节. 假设甲通过笔试、面试的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$; 乙通过笔试、面试的概事分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}$;丙通过笔试、面试的概率与乙相同.

（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业 $M$ 正式录取的概率;

（2）求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业 $M$ 正式录取的概率;

(3) 为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作, 企业 $M$ 决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴, 补贴标准如下表:

| 参与环节 | 笔试 | 面试 |
| :---: | :---: | :---: |
| 补贴(元) | 100 | 200 |

记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为 $X$ 元, 求 $X$ 的分布列和数学期望.
（1）设事件 $A$ 表示“甲被企业 $M$ 正式录取”，事件 $B$ 表示“乙被企业 $M$ 正式录取”，事件 $C$ 表示“丙被企业 $M$ 正式录取”,则 $P(A)=rac{1}{2} 	imes rac{1}{3}=rac{1}{6}, P(B)=P(C)=rac{2}{3} 	imes rac{1}{2}=rac{1}{3}$,所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企业 $M$ 正式录取的概率$P_{1}=P(A ar{B} ar{C}+ar{A} B ar{C}+ar{A} ar{B} C)=P(A) P(ar{B}) P(ar{C})+P(ar{A}) P(B) \cdot P(ar{C})$$+P(ar{A}) P(ar{B}) P(C)=rac{1}{6} 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight) 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight)+2 	imes\left(1-rac{1}{6}
ight) 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight) 	imes rac{1}{3}=rac{4}{9}$.（2）设事件 $D$ 表示“甲、乙、丙三人都没有被企业 $M$ 正式录取”，则 $P(D)=P(ar{A} ar{B} ar{C})=P(ar{A}) P(ar{B}) P(ar{C})=\left(1-rac{1}{6}
ight) 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight) 	imes\left(1-rac{1}{3}
ight)=rac{10}{27}$,所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企业 $M$ 正式录取的概率 $P_{2}=1-P(D)=1-rac{10}{27}=rac{17}{27}$.（3） $X$ 的所有可能取值为 $300,500,700,900$, $P(X=300)=rac{1}{2} 	imes rac{1}{3} 	imes rac{1}{3}=rac{1}{18}, \quad P(X=500)=rac{1}{2} 	imes rac{1}{3} 	imes rac{1}{3}+2 	imes rac{1}{2} 	imes rac{2}{3} 	imes rac{1}{3}=rac{5}{18}$, $P(X=700)=2 	imes rac{1}{2} 	imes rac{2}{3} 	imes rac{1}{3}+rac{1}{2} 	imes rac{2}{3} 	imes rac{2}{3}=rac{4}{9}, P(X=900)=rac{1}{2} 	imes rac{2}{3} 	imes rac{2}{3}=rac{2}{9}$.所以 $X$ 的分布列为| $X$ | 300 | 500 | 700 | 900 | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | $P$ | $rac{1}{18}$ | $rac{5}{18}$ | $rac{4}{9}$ | $rac{2}{9}$ |$E(X)=300 	imes rac{1}{18}+500 	imes rac{5}{18}+700 	imes rac{4}{9}+900 	imes rac{2}{9}=rac{2000}{3}$.