如图, 将四边形纸片 $A B C D$ 沿过点 $A$ 的直线折叠, 使得点 $B$ 落在 $C D$ 上的点 $M$ 处, 折痕为 $A P$,再将 $\triangle P C M, \triangle A D M$ 分别沿 $P M, A M$ 折叠, 此时点 $C, D$ 落在 $A P$ 上的同一点 $N$ 处.给出以下结论: (1) $M$ 是 $C D$ 的中点; (2) $A D / / B C$; (3) $\angle D A M+\angle C P M=90^{\circ}$; (4) 当 $A D=C P$ 时, $\frac{A B}{C D}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.其中正确的个数为 $(\quad)$

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解: $\because$ 将 $\triangle P C M, \triangle A D M$ 分别沿 $P M, A M$ 折叠,

$\therefore D M=M N=C M, \angle D=\angle A N M, \angle C=\angle P N M, \angle D A M=\angle P A M, \angle C P M=\angle A P M$,

$\therefore$ 点 $M$ 是 $C D$ 的中点,

$\because \angle A N M+\angle P N M=180^{\circ}$,

$\therefore \angle D+\angle C=180^{\circ}, \quad \therefore A D / / B C$,

$\therefore \angle D A P+\angle C P A=180^{\circ}$,

$\therefore \angle D A M+\angle C P M=90^{\circ}$,

$\therefore \angle M A P+\angle A P M=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A M P=90^{\circ}$,

由折叠的性质可得, $A D=A N, C P=P N, \angle B=\angle A M P=90^{\circ}, \angle A P B=\angle A P M=\angle C P M=60^{\circ}$,故(1)(2)3)正确.

当 $A D=C P$ 时, $\because A D / / C P$,

$\therefore$ 四边形 $A D C P$ 是平行四边形,

$\therefore A P=C D$,

$\therefore \frac{A B}{C D}=\frac{A B}{A P}=\sin \angle A P B=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故(4)正确.

故选 $D$.