24. 设函数 $f(x)=2 x^{3}-3(a-1) x^{2}+1$, 其中 $a \geq 1$

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间; <br> (2) 求 $f(x)$ 的极值.
：（1）见解析; (2) 当 $a=1$ 时, 函数 $f(x)$ 没有极值; 当 $a>1$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值 1 , 在 $x=a-1$ 处取得极小值 $1-(a-1)^{3}$.

解析：由已知得 $f^{\prime}(x)=6 x[x-(a-1)]$, 令 $f^{\prime}(x)=0$, 解得 $x_{1}=0, x_{2}=a-1$.

(1) 当 $a=1$ 时, $f^{\prime}(x)=6 x^{2}, f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增;

当 $a>1$ 时, $f^{\prime}(x)=6 x[x-(a-1)], f^{\prime}(x), f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表:

| $x$ | $(-\infty, 0)$ | 0 | $(0, \mathrm{a}-1)$ | $\mathrm{a}-1$ | $(\mathrm{a}-1,+\infty)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f^{\prime}(x)$ | + | 0 | - | 0 | + |
| $f(x)$ | $\nearrow$ | 极大值 | $\searrow$ | 极小值 | $\nearrow$ |

从上表可知, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增; 在 $(0, \mathrm{a}-1)$ 上单调递减; 在 $(\mathrm{a}-1,+\infty)$ 上单调递

增. （2）由（1）知, 当 $\mathrm{a}=1$ 时, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 没有极值; 当 $\mathrm{a}>1$ 时, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=0$ 处取得极大值 1 , 在 $\mathrm{x}=\mathrm{a}-1$ 处取得极小值 $1-(\mathrm{a}-1)^{3}$.