如图所示, 已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图像与 $x$ 轴交于

$A 、 B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C, O A=O C$, 对称轴为直线 $x=1$,下列结论: (1) $a b c<0$; (2) $a c-b+1=0$; (3) $4 a+2 b+c=0$; (4) $2+c$是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个根. 其中正确的有（）

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根据抛物线的开口方向、对称轴、与 $y$ 轴交点的位置可得 $a 、 b 、 c$ 的取值范围, 由此可判断(1); 由 $O A=O C$ 可得 $\mathrm{A}$ 的坐标, 代入解析式可判断(2); 结合对称轴以及 $C$ 点坐标可得当 $x=2$ 时的函数值, 即可判断(3); 由点 $\mathrm{A}$ 坐标结合对称轴可得点 $B$ 坐标, 据此可判断(4).

【详解】解: $\because$ 二次函数图像开口向下, 交 $y$ 轴于正半轴,

$\therefore a<0, c>0$,

$\because$ 二次函数对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore x=-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a>0$,

$\therefore a b c<0$, 故(1)正确;

$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=c$,

$\therefore C(0, c)$,

又 $\because O A=O C$, 点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴负半轴上,

$\therefore A(-c, 0)$,

把 $A(-c, 0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$, 可得 $a c^{2}-b c+c=0$,

$\therefore a c-b+1=0$, 故(2)正确;

$\because$ 该抛物线对称轴为直线 $x=1, C(0, c)$,

则在该拋物线上点 $C$ 关于直线 $x=1$ 的对称点为 $(2, c)$,

将 $(2, c)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$,

可得 $4 a+2 b+c=c$,

$\therefore 4 a+2 b=0$, 故(3)错误;

$\because A(-c, 0)$, 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore B(2+c, 0)$,

$\therefore 2+c$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个根, 故(4)正确.

综上所述, 正确的结论有(1)(2)(4), 共计 3 个.

故选: C.

【点睛】本题主要考查了抛物线与 $x$ 轴交点以及与二次函数图像与系数的关系, 掌握二次函数的性质是解题的关键.

