已知如图, 以 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 的 $A C$ 边为直径作 $\odot 0$ 交斜边 $A B$ 于点 $E$, 连接 $E O$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $D$,点 $F$ 为 $B C$ 的中点, 连接 $E F$

(1) 求证: $\mathrm{EF}$ 是 $\odot 0$ 的切线;

(2) 若 $\odot 0$ 的半径为 $3, \angle \mathrm{EAC}=60^{\circ}$, 求 $\mathrm{AD}$ 的长。

<ImageHere>
证明: (1) 连接 F0

易证 $0 \mathrm{~F} / / \mathrm{AB}$

$\because A C \odot 0$ 的直径

$\therefore \mathrm{CE} \perp \mathrm{AE}$

<ImageHere>

$\because 0 \mathrm{~F} / / \mathrm{AB}$

$\therefore 0 \mathrm{~F} \perp \mathrm{CE}$

$\therefore 0 \mathrm{~F}$ 所在直线垂直平分 $\mathrm{CE}$

$\therefore \mathrm{FC}=\mathrm{FE}, \quad 0 \mathrm{E}=0 \mathrm{C}$

$\therefore \angle \mathrm{FEC}=\angle \mathrm{FCE}, \quad \angle 0 \mathrm{EC}=\angle 0 \mathrm{CE}$

$\because$ Rt $\triangle \mathrm{ABC}$

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$

即: $\angle 0 \mathrm{CE}+\angle \mathrm{FCE}=90^{\circ}$

$\therefore \angle 0 \mathrm{EC}+\angle \mathrm{FEC}=90^{\circ}$

即: $\angle \mathrm{FE} 0=90^{\circ}$

$\therefore \mathrm{FE}$ 为 $\odot 0$ 的切线

$\because \odot 0$ 的半径为 3

<ImageHere>

$\therefore \mathrm{A} 0=\mathrm{C} 0=\mathrm{E} 0=3$

$\because \angle \mathrm{EAC}=60^{\circ}, 0 \mathrm{~A}=0 \mathrm{E}$
$\therefore \angle \mathrm{E} 0 \mathrm{~A}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{EOA}=60^{\circ}$

$\because$ 在 Rt $\triangle O C D$ 中, $\angle C O D=60^{\circ}, \quad O C=3$

$\therefore C D=3 \sqrt{3}$

$\because$ 在 Rt $\triangle A C D$ 中, $\angle A C D=90^{\circ}$,

$C D=3 \sqrt{3}, \quad A C=6$

$\therefore A D=3 \sqrt{7}$