(10 分) 某超市经销一种商品, 成本价为 50 元/千克. (规定每千克售价不低于成本价), 且不高于 85 元, 经市场调查发现, 该种商品每天销售量 $y$ (千克）与销售单价 $x$ （元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示:

| 售价 $x$ (元/千克) | 50 | 60 | 70 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 销售量 $y$ (千克) | 120 | 100 | 800 |

（1）求 $y$ （千克）与 $x$ （元/千克）之间的函数表达式;

(2) 为保证某天获得 1600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元?

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大? 最大利润是多少?

## 


(1) 利用待定系数法求解即可;

（2）根据题意列方程, 解方程即可得到答案;

（3）根据“总利润=每千克利润 $\times$ 销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况.

【详解】解:（1） $\because$ 该种商品每天销售量 $y$ (千克)与销售单价 $x$ (元/千克) 满足一次函数关系

$\therefore$ 设 $y=k x+b$

$\therefore$ 将 $(50,120) 、(60,100)$ 代入上式得:

$\left\{\begin{array}{l}120=50 k+b \\ 100=60 k+b\end{array}\right.$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ b=220\end{array}\right.$

$\therefore y=-2 x+220(50 \leq x \leq 85)$.

(2) 为保证获得 1600 元的销售利润, 则该天的销售单价 $x$ 应满足: $(x-50)(-x+220)=1600$ $\therefore x=90$ 或 $x=70$

$\because 50 \leq x \leq 85$

$\therefore x=70$

答：当销售单价定位 70 元时，销售利润为 1600 元.

（3）设销售利润为 $W$ 元，根据题意得

$W=(x-50)(-2 x+220)$

$=-2 x^{2}+320 x-11000$

$=-2(x-80)^{2}+1800$

$\therefore$ 当 $x=80$ 时, 销售利润最大, 最大值为 1800 元

答: 当销售单价定为 80 元时, 可使当天的销售利润最大, 最大利润是 1800 元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等, 熟练掌握相关知识点是解题的关键.

