22.【2019 年高考全国 I 卷理数】 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 设 $(\sin B-\sin C)^{2}=\sin ^{2} A-\sin B \sin C$.

(1) 求 $A$;

(2) 若 $\sqrt{2} a+b=2 c$, 求 $\sin C$.
(1) 由已知得 $\sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin ^{2} A=\sin B \sin C$, 故由正弦定理得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$.由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2}$.

因为 $0^{\circ}<A<180^{\circ}$, 所以 $A=60^{\circ}$.

(2) 由 (1) 知 $B=120^{\circ}-C$, 由题设及正弦定理得 $\sqrt{2} \sin A+\sin \left(120^{\circ}-C\right)=2 \sin C$,即 $\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos C+\frac{1}{2} \sin C=2 \sin C$, 可得 $\cos \left(C+60^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
由于 $0^{\circ}<C<120^{\circ}$, 所以 $\sin \left(C+60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 故

$\sin C=\sin \left(C+60^{\circ}-60^{\circ}\right)=\sin \left(C+60^{\circ}\right) \cos 60^{\circ}-\cos \left(C+60^{\circ}\right) \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题, 涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用, 解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简, 得到余弦定理的形式或角之间的关系.