25. 已知动点 $M(x, y)$ 到直线 $l: x=4$ 的距离是它到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍.

(1) 求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;

答案: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

(2) 过点 $P(0,3)$ 的直线 $m$ 与轨迹 $C$ 交于 $A, B$ 两点. 若 $A$ 是 $P B$ 的中点, 求直线 $m$ 的斜率.

答案: 直线 $\mathrm{m}$ 的斜率 $k= \pm \frac{3}{2}$
：解答: (1) 点 $\mathrm{M}(x, y)$ 到直线 $x=4$ 的距离是它到点 $N(1,0)$ 的距离的 2 倍, 则 $|x-4|=2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}} \Rightarrow \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.

所以, 动点 $\mathrm{M}$ 的轨迹为粗圆, 方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$. (2) $\mathrm{P}(0$, 3), 设

$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,由题意知: $2 x_{1}=0+x_{2}, 2 y_{1}=3+y_{2}$,

椭圆的上下顶点坐标分别是 $(0, \sqrt{3})$ 和 $(0,-\sqrt{3})$, 经检验直线 $m$ 不经过这 2 点, 即直线 $m$ 斜率
$k$ 存在. 设直线 $m$ 方程为: $y=k x+3$. 联立椭圆和直线方程, 整理得:

$$
\begin{aligned}
& \left(3+4 \mathrm{k}^{2}\right) \mathrm{x}^{2}+24 \mathrm{kx}+24=0 \Rightarrow \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{-24 \mathrm{k}}{3+4 \mathrm{k}^{2}}, \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=\frac{24}{3+4 \mathrm{k}^{2}} \\
& \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{1}{2}+2 \Rightarrow \frac{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} \cdot x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}}=\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{(-24 k)^{2}}{\left(3+4 k^{2}\right) \cdot 24}=\frac{9}{2} \Rightarrow k= \pm \frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

所以, 直线 $\mathrm{m}$ 的斜率 $k= \pm \frac{3}{2}$.

分析: 设出动点 $M$ 的坐标, 根据已知条件列方程即可; 设出直线方程与椭圆方程联立, 得出 $k$ 与 $x_{1}, x_{2}$ 的关系式, 利用中点坐标即可得斜率.