已知正三棱雉 $A-B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上, 其底面边长为 $3, E, F, G$ 分别为侧棱 $A B, A C, A D$ 的中点.若 $O$ 在三棱雉 $A-B C D$ 内, 且三棱雉 $A-B C D$ 的体积是三棱雉 $O-B C D$ 体积的 3 倍, 则平面 $E F G$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 ( )
【分析】

$M$ 是底面 $\triangle B C D$ 的中心, 则 $O$ 在 $A M$ 上, 而由 $V_{A-B C D}=3 V_{O-B C D}$ 得 $A M=3 O M, A M$ 与平面 $E F G$交于点 $N, N$ 是过平面 $E F G$ 的截面圆圆心, 在 $\triangle O B M$ 中由勾股定理求得 $R^{\circ}$, 再由截面圆性质可求得截面圆半径.

## 【详解】

如图, $M$ 是底面 $\triangle B C D$ 的中心, 则 $O$ 在 $A M$ 上, 而由 $V_{A-B C D}=3 V_{O-B C D}$ 得 $A M=3 O M$, 设 $O A=R$,则 $O M=\frac{R}{2}$, 又 $B C=C D=D B=3, M$ 是 $\triangle B C D$ 中心, 则 $M B=\frac{\sqrt{3}}{3} \times 3=\sqrt{3}, \therefore$ 由 $O B^{2}=O M^{2}+B M^{2}$ 得 $R^{2}=\left(\frac{R}{2}\right)^{2}+(\sqrt{3})^{2}$, 解得 $R=2$, 设 $A M$ 与平面 $E F G$ 交于点 $N$, $\because E 、 F 、 G$ 分别是 $A B, A C, A D$ 的中点, 则 $N$ 是 $A M$ 的中点, $\therefore M N=\frac{1}{2} A M=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} R=\frac{3}{2}$, $O N=M N-O M=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$, 设平面 $E F G$ 截球 $O$ 所得截面圆半径为 $r$, 则 $r=\sqrt{R^{2}-O N^{2}}=\sqrt{2^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}, \therefore$ 此圆面积为 $\pi r^{2}=\pi \times\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4} \pi$. 故选 A.

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## 【点睛】

本题考查棱雉与其外接球, 解题关键首先是确定球的半径, 然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积. 记住结论：正棱雉的外接球球心一定在其高上.