已知正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和 $S_{n}$, 且 $S_{n}=\frac{1}{2} a_{n}{ }^{2}+\frac{1}{2} a_{n}$, 若数列 $b_{n}=(-1)^{n} \frac{2 n+1}{2 S_{n}}$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 2020 项和为( )
由 $S_{n}=\frac{1}{2} a_{n}{ }^{2}+\frac{1}{2} a_{n}$ 得 $a_{n}=S_{n}-S_{n}=\frac{1}{2} a_{n}{ }^{2}+\frac{1}{2} a_{n}-\left(\frac{1}{2} a_{n-1}{ }^{2}+\frac{1}{2} a_{n-1}\right)$, 整理得

$\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}=\frac{a_{n}-a_{n-1}}{2} \cdot\left(a_{n}+a_{n-1}\right)$ 因 为 $a_{n}>0$ 所 $a_{n}-a_{n-1}=1$, 当 $n=1$ 时 $a_{1}=1 \therefore a_{n}=n \Rightarrow 2 S_{n}=n^{2}+n$

所以, $b_{n}=(-1)^{n} \frac{2 n+1}{n^{2}+n}=(-1)^{n} \frac{2 n+1}{n(n+1)}=(-1)^{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)$ $T_{n}=(-1)^{1}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+(-1)^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+(-1)^{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\cdots+(-1)^{2020}\left(\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}\right)=\frac{1}{2021}-1=-\frac{2020}{2021}$