方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+2 y=2 \\ 2 x+3 y=0\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=b\end{array}\right.$ 则关于 $x$ 的不等式 $b x+3 a \geq 0$ 的非负整数解是
将 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=b\end{array}\right.$ 代入方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+2 y=2 \\ 2 x+3 y=0\end{array}\right.$,

得: $\left\{\begin{array}{l}3 a+2 b=2 \\ 6+3 b=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-2\end{array}\right.$ ，

$\therefore$ 不等式为 $-2 x+6 \geq 0$,

解得: $x \leq 3$,

$\therefore$ :该不等式的非负整数解为 $0 、 1 、 2 、 3$.

故答案为 $0 、 1 、 2 、 3$.