如图, 正方形边长为 $a$, 分别以它的 4 条边为直径作半圆, 则圆中阴影部分面积为 ( )<ImageHere>


解: 如图, 连接 $P A 、 P B 、 O P$,

<ImageHere>
则 $S_{\text {半圆 } O}=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8} \pi a^{2}, S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} A B \cdot O P=\frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2}=\frac{1}{4} a^{2}$,

由题意得: 图中阴影部分的面积 $=4\left(S_{\text {半圆 } 0}-S_{\triangle A B P}\right)=4\left(\frac{1}{8} \pi a^{2}-\frac{1}{4} a^{2},\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right) a^{2}$.

故选: $A$.

如图, 作辅助线; 首先求出半圆 $O$ 的面积, 其次求出 $\triangle A B P$ 的面积; 观察图形可以发现：阴影部分的面积 $=4\left(S_{\text {半圆 } 0}-S_{\triangle A B P}\right)$, 求出值, 即可解决问题.

该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题; 解题的关键是作辅助线, 将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差.

 