(12 分) 观察下列各等式:

$\tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ}+\tan 20^{\circ} \tan 60^{\circ}+\tan 60^{\circ} \tan 10^{\circ}=1$;

$\tan 20^{\circ} \tan 30^{\circ}+\tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ}+\tan 40^{\circ} \tan 20^{\circ}=1$

$\tan 33^{\circ} \tan 44^{\circ}+\tan 44^{\circ} \tan 13^{\circ}+\tan 33^{\circ} \tan 13^{\circ}=1$.

(1) 尝试再写出一个相同规律的式子;

（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式;

(3) 并对你写出的 (2) 恒等式进行证明.
答案:(1) $\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ}+\tan 30^{\circ} \tan 50^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 10^{\circ}=1$; (2) 若 $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$, 则

$\tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha=1$ ；（3）证明见解析.

【解析】(1) 例如: $\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ}+\tan 30^{\circ} \tan 50^{\circ}+\tan 50^{\circ} \tan 10^{\circ}=1$.

(2) 若 $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$, 则 $\tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha=1$.

(3) 证明: $\tan \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)}=\frac{\cos \gamma}{\sin \gamma}=\frac{1}{\tan \gamma}$,

又因为 $\tan (\alpha+\beta)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right)=\frac{1}{\tan \gamma}$ ， $\tan (\alpha+\beta) \cdot \tan \gamma=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta} \cdot \tan \gamma=1$,

化简即可得 $\tan \alpha \tan \beta+\tan \beta \tan \gamma+\tan \gamma \tan \alpha=1$.