下列分式是最简分式的为 ( $)$
$A 、 \frac{2 x}{x^{2}+1}$ 的分子、分母都不能再分解, 且不能约分, 是最简分式. 故本选项正确;

B、 $\frac{4}{2 x}=\frac{2}{x}$, 故本选项错误;

C、 $\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1}$, 故本选项错误;

D、 $\frac{1-x}{x-1}=-\frac{x-1}{x-1}=-1$, 故本选项错误;

故选: $A$.