已知, 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图像和一次函数的图像交于 $A 、 B$ 两点, 点 $A$ 的横坐标是 -1 , 点 $B$ 的纵坐标是 -
解: (1) $\because$ 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象和一次函数的图象交于 $A 、 B$ 两点, 点 $A$ 的横坐标是 -1 ,点 $B$ 的纵坐标是 -1,

$\therefore A(-1,-2), B(-2,-1)$,

设一次函数的表达式为 $y=k x+b$,

$\because$ 经过 $A(-1,-2), B(-2,-1)$ 点,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-k+b=-2 \\ -2 k+b=-1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b=-3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 这个一次函数的表达式为 $y=-x-3$;

(2) $\because$ 点 $P(m, n)$ 与点 $Q$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore Q(m,-n)$,

$\because$ 点 $P(m, n)$ 在反比例函数图象上,

$\therefore m n=2$,

$\because$ 点 $Q$ 恰好落在一次函数的图象上,

$\therefore n=m+3$,

$\therefore m(m+3)=2$,

$\therefore m^{2}+3 m=2$,

$\therefore m^{2}+n^{2}=m^{2}+(m+3)^{2}=2 m^{2}+6 m+9=2\left(m^{2}+3 m\right)+9=2 \times 2+9=13$;

(3)如图, 过 $M$ 作 $M G \perp x$ 轴于 $G ，$ 过 $N$ 作 $N H \perp x$ 轴于 $H$,

<ImageHere>

$\because M\left(x_{1}, y_{1}\right), N\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 在第一象限图象上的两点,

$\therefore S_{\triangle M O G}=S_{\triangle N O H}=\frac{1}{2}|k|=1$,

$\because x_{2}-x_{1}=2, y_{1}+y_{2}=3$,

$\therefore S_{\triangle M O N}=S_{\text {梯形MNHG }}+S_{\triangle M O G}-S_{\triangle N O H}$

$=S_{\text {栚形 } M N H G}$

$$
\begin{gathered}
=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right) \\
=\frac{1}{2} \times 3 \times 2
\end{gathered}
$$

$=3$.