如图 2-3-27, 在底面为直角梯形的四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A D / / B C, \angle A B C=90^{\circ}, P A \perp$ 平面 $A B C D, A C \cap B D$ $=E, A D=2, A B=2 \sqrt{3}, B C=6$. 求证 $:$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.

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图 2-3-27
$\because P A \perp$ 平面 $A B C D$,

$B D \subset$ 平面 $A B C D$,

$\therefore B D \perp P A$. 又 $\tan \angle A B D=\frac{A D}{A B}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\tan \angle B A C=\frac{B C}{A B}=\sqrt{3}, \therefore \angle A B D=30^{\circ}, \angle B A C=60^{\circ}, \therefore \angle A E B=90^{\circ}$, 即 $B D \perp A C$.

又 $P A \cap A C=A, \therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D, \therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.