关于函数 $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$, 有以下命题:

(1)函数 $f(x)$ 的定义域是 $\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{1}{2} k \pi+\frac{3 \pi}{8}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$;

(2)函数 $f(x)$ 是奇函数;

(3)函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称;

(4)函数 $f(x)$ 的一个单调递增区间为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

其中, 正确的命题序号是
函数 $f(x)$ 应满足 $2 x-\frac{\pi}{4} \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$, 即 $x \neq \frac{1}{2} k \pi+\frac{3 \pi}{8}, k \in \mathbf{Z}$, 故(1)正确; 由于 $f(-x)=\tan \left(-2 x-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \neq \tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)=f(x)$, 故 (2) 错； 将 $x=\frac{\pi}{8}$ 代入 $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 得到 $f\left(\frac{\pi}{8}\right)=\tan \left(2 \times \frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{4}\right)=0$, 故(3)正确; 由 $k \pi-\frac{\pi}{2}<2 x-\frac{\pi}{4}<k \pi+\frac{\pi}{2}$,
$k \in \mathbf{Z}$ 知函数的单调增区间为 $\left(\frac{1}{2} k \pi-\frac{\pi}{8}, \frac{1}{2} k \pi+\frac{3 \pi}{8}\right), k \in \mathbf{Z}$, 故(4)错.