(12 分) 函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 \leq \varphi \leq \pi)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数.

(1) 求 $\varphi_{\text {的值; }}$

(2) 若 $f(x)$ 图象上的点关于 $M\left(\frac{3}{4} \pi, 0\right)$ 对称.

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(2) 若 $f(x)_{\text {在区间 }}\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

上是单调函数, 求 ${ }^{o}$ 的值.
(1) 因为函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,0 \leq \varphi \leq \pi)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,

所以 $\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$,

因为 $0 \leq \varphi \leq \pi$, 所以 $k=0, \varphi=\frac{\pi}{2}$.

(2) (1) $f(x)$ 的图象关于点 $M$ 对称, 得 $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\sin \left(\omega \cdot \frac{3 \pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=0$,

所以 $\cos \frac{3 \omega \pi}{4}=0$,

又 $a>0$, 所以 $\frac{3 \omega \pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{N}, \therefore \omega=\frac{2}{3}(2 k+1), k \in \mathbb{N}$,

(2)由于 $\omega=\frac{2}{3}(2 k+1), k \in \mathbb{N}$,

因为 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调函数, 所以 $\frac{\pi}{2}-0 \leq \frac{1}{2} \times \frac{2 \pi}{\omega}$, 即 $0<\omega \leq 2$,

所以 $0<\frac{2}{3}(2 k+1) \leq 2$, 所以 $k \leq 2$ 且 $k \in \mathbb{N}$.

当 $k=0$ 时, $\omega=\frac{2}{3}, f(x)=\sin \left(\frac{2}{3} x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \frac{2}{3} x$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是减函数,

满足题意;

当 $k=1$ 时, $\omega=2, f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2 x$, 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是减函数,

满足题意;

当 $k=2$ 时, $\omega=\frac{10}{3}, f(x)=\sin \left(\frac{10}{3} x+\frac{\pi}{2}\right)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上不是单调函数,

不满足题意,

所以，综合得 $\omega=\frac{2}{3}$ 或 2 .