已知函数 $f(x)=-x^{3}+a x^{2}-4$ 在 $x=2$ 处取得极值, 若 $m, n \in$ $[-1,1]$, 则 $f(m)+f^{\prime}(n)$ 的最小值是 $(\quad)$
解析 ：求导得 $f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+2 a x$,

由函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极值知 $f^{\prime}(2)=0$,

即 $-3 \times 4+2 a \times 2=0, \therefore a=3$.

由此可得 $f(x)=-x^{3}+3 x^{2}-4$,

$f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+6 x$,

易知 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,1)$ 上单调递增,

$\therefore$ 当 $m \in[-1,1]$ 时, $f(m)_{\text {min }}=f(0)=-4$.

又 $f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+6 x$ 的图象开口向下, 且对称轴为

$x=1$,

$\therefore$ 当 $n \in[-1,1]$ 时,$f^{\prime}(n)_{\text {min }}=f^{\prime}(-1)=-9$.

故 $f(m)+f^{\prime}(n)$ 的最小值为 -13 . 故选 A.

答案： A