如图, $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的两点, $\angle C A B=\angle D B A$, 连结 $B C, C D$.

<ImageHere>

(1)求证: $C D / / A B$.

(2)若 $A B=4, \angle A C D=30^{\circ}$, 求阴影部分的面积.


(1) 根据同弧所对的圆周角相等得到 $\angle A C D=\angle D B A$, 根据 $\angle C A B=\angle D B A$ 得到 $\angle C A B=\angle A C D$, 进而得到结论;

(2) 连结 $O C, O D$, 证明所求的阴影部分面积与扇形 $C O D$ 的面积相等, 继而得到结论.

【详解】(1) 证明: $\because \widehat{A D}=\widehat{A D}$,

$\therefore \angle A C D=\angle D B A$,

又 $\because \angle C A B=\angle D B A$,

$\therefore \angle C A B=\angle A C D$,

$\therefore C D / / A B$;

(2) 解: 如图, 连结 $O C, O D$.

<ImageHere>

$\because \angle A C D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle C A B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A O D=\angle C O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=180^{\circ}-\angle A O D-\angle C O B=60^{\circ}$.

$\because C D / / A B$

$\therefore S_{\triangle} D O C=S_{\triangle} D B C$,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {马形 }} C O D+S_{\triangle} D O C=S_{\text {㟲 }} C O D+S_{\triangle D B C}=\mathrm{S}$ 扇形 $C O D$,

$\because A B=4$,

$\therefore O A=2$,

$\therefore S_{\text {肩形 } C O D}=\frac{n \pi r^{2}}{360}=\frac{60 \times \pi \times 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi$.

$\therefore S_{\text {阴影 }}=\frac{2}{3} \pi$.

【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键.

