如图, 在直角梯形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, \angle B=90^{\circ}, A D=3, A B=4, B C=8$, 点 $E 、 F$ 分别在边 $C D 、 B C$ 上, 联结 $E F$. 如果 $\triangle C E F$ 沿直线 $E F$ 翻折, 点 $C$ 与点 $A$ 恰好重合, 那么 $\frac{D E}{E C}$ 的值是 . $\qquad$

<ImageHere>


【分析】

本题考查的是三角形的面积, 勾股定理, 折叠的性质, 平行线分线段对应成比例有关知识, 此题考查知识点较多, 属于中档题.

过点 $D$ 作 $D G \perp A C$, 垂足为 $G$, 先依据勾股定理求得 $A C$ 的长, 然后在 $\triangle A D C$ 中, 利用面积法可求得 $D G$的长, 然后可得到 $A G$ 的长, 从而可得到 $G H$ 的长，最后依据平行线分线段成比例定理求解即可.

## 【解答】

解: 如图所示: 过点 $D$ 作 $D G \perp A C$, 垂足为 $G$.

<ImageHere>

在 $R t \triangle A B C$ 中, 依据勾股定理可知: $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4 \sqrt{5}$

$\because S_{\triangle A D C}=\frac{1}{2} A D \cdot A B=\frac{1}{2} A C \cdot D G$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 3 \times 4=\frac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} D G$.

$$
\therefore D G=\frac{3 \sqrt{5}}{5}
$$

由勾股定理得 $A G=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

由翻折的性质可知 $A H=H C=2 \sqrt{5}$

$$
\therefore G H=A H-A G=2 \sqrt{5}-\frac{6 \sqrt{5}}{5}=\frac{4 \sqrt{5}}{5}
$$

$\because D G / / E H$,

$\therefore D E: E C=G H: H C=\frac{4 \sqrt{5}}{5}: 2 \sqrt{5}=2: 5$.

