如图, 直线 $y=k$ 和双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 相交于点 $P$, 过点 $P$ 作 $P A_{0}$ 垂直于 $x$ 轴, 垂足为 $A_{0}, x$ 轴上的点 $A_{0}$,
$A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$ 的横坐标是连续整数, 过点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$ : 分别作 $x$ 轴的垂线, 与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$及直线 $y=k$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}, \ldots B_{n}$ 和点 $C_{1}, C_{2}, \ldots C_{n}$, 则 $\frac{A_{n} B_{n}}{C_{n} B_{n}}$ 的值为 $(\quad)$

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$\because A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$ 为连续整数,

又 $\because$ 直线 $y=k$ 和双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 相交于点 $P$ 的横坐标为 1 ,

$\therefore$ 从 $A_{0}$ 开始, 为 $1,2,3 \ldots, n+1$, 代入 $y=\frac{k}{x}$, 得 $y_{n}=\frac{k}{n+1}$,
即 $A_{n} B_{n}=\frac{k}{n+1}, C_{n} B_{n}=k-\frac{k}{n+1}, A_{n} B_{n} \div C_{n} B_{n}=\frac{k}{n+1} \div\left(k-\frac{k}{n+1}\right)=\frac{1}{n}$.

故选 $C$.