分式方程 $\frac{x}{x-1}-1=\frac{m}{(x-1)(x+2)}$ 有增根, 则 $m$ 的值为 ( )

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式方程有增根, 得出 $x-1=0, x+2=0$, 再代入求出即可.

本题主要考查对分式方程的增根, 解一元一次方程等知识点的理解和掌握, 理解分式方程的增根的意义是解此题的关键.

【解答】

解: $\because$ 分式方程 $\frac{x}{x-1}-1=\frac{m}{(x-1)(x+2)}$ 有增根,

$\therefore x-1=0$ 或 $x+2=0$,

$\therefore x=1$ 或 $x=-2$.

两边同时乘以 $(x-1)(x+2)$, 原方程可化为 $x(x+2)-(x-1)(x+2)=m$,

整理得, $m=x+2$,

当 $x=1$ 时, 代入得: $m=1+2=3$,

当 $x=-2$ 时, 代入得: $m=-2+2=0$,

当 $m=0$ 时, 方程为 $\frac{x}{x-1}-1=0$,

此方程无解,

$\therefore m=3$ 时, 分式方程有增根,

故选 $D$.