已知函数 $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\cos ^{2} x-m$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期与单调递增区间;

(2) 若 $x \in\left[\frac{5 \pi}{24}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 时, 函数 $f(x)$ 的最大值为 0 , 求实数 $m$ 的值.
(1) $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\cos ^{2} x-m=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\frac{1+\cos 2 x}{2}-m=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)-m-\frac{1}{2}$,则函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\pi$,根据 $-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq 2 x-\frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi, k \in Z$, 得 $-\frac{\pi}{6}+k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{3}+k \pi, k \in Z$,所以函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi}{6}+k \pi, \frac{\pi}{3}+k \pi\right], k \in Z$.

(2) 因为 $x \in\left[\frac{5 \pi}{24}, \frac{3 \pi}{4}\right]$, 所以 $2 x-\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{3}\right]$, 则当 $2 x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{3}$ 时, 函数取得最大值 0 ,
即 $1-m-\frac{1}{2}=0$, 解得 $m=\frac{1}{2}$.

【点评】三角函数的最值问题, 大多是含有三角函数的复合函数最值问题, 常用的方法为: 化为代数函数的最值, 也可以通过三角恒等变形化为求 $y=A \sin \left(\omega_{X}+\phi\right)+B$ 的最值; 或化为关于 $\sin X$ (或 $\cos x$ )的二次函数式, 再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.