13. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 点 $P_{n}\left(n, S_{n}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ 是曲线 $f(x)=\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x$ 上的点. 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列, 且满足 $b_{1}=a_{1}+1, b_{2}=a_{3}-1$.

(I) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;

(II) 记 $c_{n}=(-1)^{n} a_{n}+b_{n}$, 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和 $T_{n}$.
( I ) 由已知 $S_{n}=\frac{3}{2} n^{2}-\frac{1}{2} n$.

当 $n=1$ 时, $a_{1}=S_{1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$;

当 $n \geq 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\frac{3}{2} n^{2}-\frac{1}{2} n-\left[\frac{3}{2}(n-1)^{2}-\frac{1}{2}(n-1)\right]=3 n-2$.

显然, 当 $n=1$ 时, 上式也成立, 所以 $a_{n}=3 n-2$.
故 $b_{1}=a_{1}+1=1+1=2, b_{2}=a_{3}-1=(3 \times 3-2)-1=6$.

所以等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比 $q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{6}{2}=3$.

故 $b_{n}=b_{1} q^{n-1}=2 \cdot 3^{n-1}$.

(II) 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}=\frac{2\left(1-3^{n}\right)}{1-3}=3^{n}-1$.

数列 $\left\{(-1)^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和记为 $A_{n}$.

当 $n$ 为奇数时, $A_{n}=-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots+a_{n-1}-a_{n}$

$=\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\left(-a_{3}+a_{4}\right)+\cdots+\left(-a_{n-2}+a_{n-1}\right)-a_{n}$

$=\underbrace{3+3+\cdots+3}_{\frac{n-1}{2} \uparrow}-(3 n-2)=3 \times \frac{n-1}{2}-(3 n-2)=\frac{1-3 n}{2}$.

当 $n$ 为偶数时, $A_{n}=A_{n-1}+a_{n}=\frac{1-3(n-1)}{2}+(3 n-2)=\frac{3 n}{2}$.

所以数列 $\left\{(-1)^{n} a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和

$T_{n}=A_{n}+B_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-3 n}{2}+\left(3^{n}-1\right), n \text { 为奇数 } \\ \frac{3 n}{2}+\left(3^{n}-1\right), n \text { 为偶数 }\end{array}=\left\{\begin{array}{l}3^{n}-\frac{3 n+1}{2}, n \text { 为奇数 } \\ 3^{n}+\frac{3 n-2}{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.\right.$