10. 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时, 如何确定它的高与底面半径，才使得所用材料最省？
：解 设圆柱的高为 $h$ ，底半径为 $R$ ，则表面积

$S(R)=2 \pi R h+2 \pi R^{2}$,

又 $V=\pi R^{2} h$, 则 $h=\frac{V}{\pi R^{2}}$,

$\therefore S(R)=2 \pi R \cdot \frac{V}{\pi R^{2}}+2 \pi R^{2}=\frac{2 V}{R}+2 \pi R^{2}$,

由 $S^{\prime}(R)=-\frac{2 V}{R^{2}}+4 \pi R=0$,
解得 $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$, 从而 $h=\frac{V}{\pi R^{2}}=2 \sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$, 即 $h=2 R$,

当 $R<\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ 时, $S^{\prime}(R)<0$; 当 $R>\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ 时, $S^{\prime}(R)>0$.

因此, 当 $R=\sqrt[3]{\frac{V}{2 \pi}}$ 时, $S(R)$ 有极小值, 且是 $S(R)$ 的最小值.

答：当罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.