小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度. 如图, 旗杆 $P A$ 的高度与拉绳 $P B$ 的长度相等. 小明将 $P B$ 拉到 $P B^{\prime}$ 的位置, 测得 $\angle P B^{\prime} C=\alpha\left(B^{\prime} C\right.$ 为水平线 $)$, 测角仪 $B^{\prime} D$ 的高度为 1 米, 则旗杆 $P A$ 的高度为 $(\quad)$

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设 $P A=P B=P B^{\prime}=x$,

在Rt $\triangle P C B^{\prime}$ 中, $\sin \alpha=\frac{P C}{P B}$,

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$\sin \alpha$,

$\therefore x-1=x \sin \alpha$,

$\therefore(1-\sin \alpha) x=1$,

$\therefore x=\frac{1}{1-\sin \alpha}$.

故选 $A$.