已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左顶点为 $A$, 虚轴长为 8 , 右焦点为 $F$, 且 $\odot F$ 与双曲线的渐近线相切, 若过点 $A$ 作 $\odot F$ 的两条切线, 切点分别为 $M, N$, 则 $|M N|=$ ( )
答案:D

【解析】 $2 b=8: \therefore b=4, A(-3,0), F(5,0)$, 因为 $F$ 到双曲线的渐近线距离为 $b$, 所以 $\odot F$ ： $(x-5)^{2}+y^{2}=16$, 设 $\mathrm{MN}$ 交 $x$ 轴于 $\mathrm{E}$, 则

$F E=\frac{4^{2}}{3+5}=2 \therefore A E=8-2=6, M E^{2}=A E \times E F=12 \therefore M N=2 M E=4 \sqrt{3}$

故答案为: D
分析 先由虚轴长为 8 得到 $\mathrm{b}$ 的值,由焦点 $\mathrm{F}$ 到双曲线的渐近线距离为 $\mathrm{b}$, 得到圆的方程, 由直线与圆相交的性质求出 FE 和 $\mathrm{AE}$ 的长, 再求 MN.