Why does the divide and average method for computing square roots work?
The divide and average method for computing square roots starts with a guess of the square root. For example, to compute the square root of 8, we might start with 3, since we know 9 is the square of 3. Given a guess, the method is a formula for generating the next guess. The formula states the next guess should be average of the current guess and the square (the number for which you want compute the square root) divided by the guess. Returning to our example, the next guess is (3 + 8/3)/2 = 17/6. Applying this formula repeatedly yields a guess which is closer and closer to actual square root.

The reason this works is that limit of the sequence of guesses generated by this formula is the square root. To see this, first recognize that in the limit, next guess must be equal to the current guess. The guesses get closer and closer until, after an infinite number of steps, they are the same. Using a variable X to represent the limit and applying the formula yields an equation which can be solved for X via algebra. The solution is that X must be square root.
Por que o método de divisão e média para calcular raízes quadradas funciona?
O método de divisão e média para calcular raízes quadradas começa com uma conjectura da raiz quadrada. Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de 8, podemos começar com 3, já que sabemos que 9 é o quadrado de 3. Dado um conjectura, o método é uma fórmula para gerar a próxima conjectura. A fórmula afirma que a próxima conjectura deve ser a média da conjectura atual e do quadrado (o número para o qual você quer calcular a raiz quadrada) dividido pela conjectura. Voltando ao nosso exemplo, a próxima conjectura é (3 + 8/3) / 2 = 17/6. Aplicando repetidamente esta fórmula, obtemos uma conjectura que é mais próxima e mais próxima da raiz quadrada real. A razão para isso funcionar é que o limite da sequência de conjecturas gerada por esta fórmula é a raiz quadrada. Para ver isso, primeiro reconheça que no limite, a conjectura deve ser igual à raiz quadrada.