What is a proof that there are two irrational numbers where raising one to the power of the other produces a rational number?
Here is a proof by cases that there exist two irrational numbers a and b such that a^b is rational. First, consider a = b = sqrt(2). Recall that sqrt(2) is irrational, so If a^b = sqrt(2) ^ sqrt(2) is rational, we are done because we have found irrational a and b with a^b being a rational number. Otherwise, sqrt(2) ^ sqrt(2) is irrational. Let a = sqrt(2) ^ sqrt(2) and b = sqrt(2). Then a ^ b = (sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2, which is rational. So either way, we can find irrational a and b with a^b being rational.
Qual é a prova de que existem dois números irracionais onde elevar um ao poder do outro produz um número racional?
Aqui está uma prova por casos de que existem dois números irracionais a e b tais que a b é racional. Primeiro, considere a = b = sqrt (n) 2). Lembre-se que sqrt (n) 2) é irracional, então Se a b = sqrt (n) 2) ^ sqrt (n) 2) é racional, estamos terminados porque encontramos a e b irracionais com a b sendo um número racional. Caso contrário, sqrt (n) 2) ^ sqrt (n) 2) é irracional. Vamos a = sqrt (n) ^ sqrt (n) 2) e b = sqrt (n) 2). Então a ^ b = (sqrt (n) 2) ^ sqrt (n) ^ sqrt (n) ^ sqrt (n) = sqrt (n) * (sqrt (n) 2) sqrt (n) = sqrt (n) ^ sqrt (n) 2 = 2, que é racional. Então, de qualquer maneira, podemos encontrar a e b com uma racional.