=== Ladet kugle og skal ===
Et andet relevant system er den ladede kugle eller skal (hul kugle), som kan bruges til at modellere runde partikler såsom [[virus]]-[[kapsid]]er og [[ribosom]]er. Da dette problem er sfærisk kan nabla-operatoren skives med [[sfæriske koordinater]]:
:<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right) = \kappa^2\varphi</math>
hvor de vinkelafhængige led er sat til nul, da kuglen er [[sfærisk symmetri]]sk. Dette kan omskrives:
:<math>\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}r\varphi\right)\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\varphi)-\frac{1}{r^2}r\varphi\right)\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}(r\varphi)-r\varphi\right) = \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial}{\partial r}(r\varphi)+r\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\varphi)-\frac{\partial}{\partial r}(r\varphi)\right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\varphi) = \kappa^2\varphi</math>
Dermed er Helmholtz-ligningen blevet genfundet med <math>r\varphi</math> som funktion:
:<math>\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\varphi) = \kappa^2r\varphi</math>
Ligesom i det forrige eksempel er løsningen en eksponentialfunktion
:<math>r\varphi(r)=B\mathrm{e}^{-\kappa r}</math>
hvor grænsebetingelsen om, at potentialet skal være nul ved store afstande igen er anvendt. For at bestemme <math>B</math> ved kuglens overflade kan Gauss' lov igen anvendes. Det elektriske felt uden for kuglen har samme form som [[Coulombs lov]]:
:<math>E_0(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{r}</math>
hvor <math>Q</math> er kuglens ladning. En ladet skal har det samme elektriske felt omkring sig. Den afledte til det skærmede potential er:
:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial r}=B\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\kappa r}\right)=B\left(-\frac{1}{r^2}\mathrm{e}^{-\kappa r}-\frac{\kappa}{r}\mathrm{e}^{-\kappa r}\right)=-B\left(\frac{1}{r^2}+\frac{\kappa}{r}\right)\mathrm{e}^{-\kappa r}</math>
Ved overfladen er <math>r</math> lig med kuglens [[radius]] <math>R</math>, og <math>B</math> kan dermed findes.
:<math>\begin{align}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)_{r=R}&=-E_0(R)=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{R}\\
-B\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\kappa}{R}\right)\mathrm{e}^{-\kappa R}&=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{1}{R}\\
B\left(1+R\kappa \right)\mathrm{e}^{-\kappa R}&=\frac{QR}{4\pi\varepsilon}\\
B&=\frac{QR}{4\pi\varepsilon(1+R\kappa )}\mathrm{e}^{\kappa R}\end{align}</math>
Det skærmede potential omkring en ladet kugle eller skal er altså:
:<math>\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{\mathrm{e}^{\kappa R}}{\frac{1}{R}+\kappa}\frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\kappa r}</math>
Det ses, at der er en eksponentielt faldende faktor ligesom ved den ladede væg, men også en faktor der er omvendt proportional med afstanden.<ref name="phillips 377">{{cite book |last1= Phillips |first1= Rob |author-link1= |last2= Kondev |first2= Jane |last3= Theriot |first3= Julie |last4= Garcia |first4= Hernan G. |author-link2= |editor1-first= |editor1-last= |editor1-link= |others= |title= Physical Biology of the Cell |url=  |edition= 2. |year= 2003 |publisher= Garland Science |location= |language= engelsk |isbn= 978-0-8153-4450-6 |page= 377-379 |chapter= 9.3.5 - Viruses as Charged Spheres}}</ref> Potentialet har dermed samme form som [[Yukawa-potentiale]]t.
Fysik Kemi