En typisk illustration af fordelen ved at arbejde med Cauchyfølger og gøre brug af fuldstændighed er betragtningen af summation af en [[uendelig række]] af reelle tal (eller mere generelt elementer i et fuldstændigt normeret vektorrum; et [[Banachrum]]). En sådan følge <math> \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}</math> kaldes konvergent, hvis [[afsnitsfølge]]n (''s''<sub>''m''</sub>) er konvergent, hvor her
:<math> s_{m} = \sum_{n=1}^{m} x_{n}</math>.
Fuldstændigheden gør det nu i stedet tilstrækkeligt at betragte størrelser som (hvor her ''p'' > ''q'')
:<math> s_{p} - s_{q} = \sum_{n=q+1}^{p} x_{n}</math>.
Videnskab Matematik