=== Egenskaber for Banachrum ===
I det følgende antager vi, at <math> X,Y </math> og <math> Z </math> er <math> \mathbb{C}</math>-[[Banachrum]]. 
* Det følger umiddelbart af definitionen, at enhver kompakt lineær operator er [[begrænset funktion|begrænset]], vi har altså <math> K(X,Y)\subseteq B(X,Y) </math>, hvor <math> B(X,Y) </math> betegner mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra <math> X </math> til <math> Y </math>.
* Da begrænsethed og [[kontinuitet]] er ækvivalente for lineære afbildninger, er enhver kompakt lineær operator også kontinuert.
* Mængden <math> K(X,Y) </math> af alle kompakte lineære operatorer er et [[afsluttet mængde|afsluttet]] [[lineært delrum]] af mængden <math> B(X,Y) </math> af alle begrænsede lineære operatorer. Det vil sige, at følgende gælder:
** Givet operatorer <math> T_1,T_2\in K(X,Y)</math> og et tal <math> c\in\mathbb{C} </math>, så gælder der, at <math>T_1+T_2</math> og <math>cT_1</math> også er kompakte operatorer. 
** Hvis <math> (T_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> er en følge i <math>K(X,Y)</math>, som konvergerer mod en operator <math>T\in B(X,Y)</math>, så er <math>T</math> også kompakt.
* En operator, der er sammensat af en kompakt og en begrænset operator er kompakt. Det vil sige det følgende:
** Hvis <math> T\in K(X,Y) </math> og <math> S\in B(Y,Z)</math>, så er <math> ST\in K(X,Z) </math>. 
** Hvis <math> T\in K(Y,Z) </math> og <math> S\in B(X,Y)</math>, så er <math> TS\in K(X,Z) </math>. 
: I tilfældet hvor <math>X=Y=Z</math> betyder dette, at <math>K(X)</math> er et to-sidet [[ideal (matematik)|ideal]] i <math> B(X) </math>. 
* Det følgende resultat er kendt som '''Schauders Sætning'''<ref name=Conway>{{cite book|last=Conway|first=John B.|title=A course in functional analysis|url=https://archive.org/details/coursefunctional00conw_511|date=1997|publisher=Springer Verlag|isbn=3-540-97245-5|pages=[https://archive.org/details/coursefunctional00conw_511/page/n187 174],175-176|edition=Second}}</ref>: 
: Hvis <math> T\in B(X,Y) </math>, så er <math> T</math> kompakt, hvis og kun hvis den [[adjungerende funkton|adjungerede operator]] <math> T^* </math> er kompakt.
* I modsætning til Hilbertrum, gælder der for Banachrum <math>X,Y</math> generelt ikke, at <math> K(X,Y) </math> er afslutningen (med hensyn til [[operatornorm]]en) af mængden <math> F(X,Y) </math> af operatorer med [[værdimængde|billedmængde]] af endelig dimension. Dette blev vist af [[Per Enflo]] i 1987. Det gælder dog for en speciel klasse af Banachrum, nemlig for Banachrum som har en [[Schauder-basis]]. Man siger, at disse Banachrum har [[approksimationsegenskab]]en. Et eksempel på et Banachrum med approksimationsegenskaben, som ikke nødvendigvis er et Hilbertrum er mængden <math>C(X)</math>, som består af alle [[kontinuerte funktion]]er på et [[kompakt mængde|kompakt]] [[Hausdorffrum]] <math> X </math>. <ref name=Conway />
Videnskab Matematik