# Hvis <math>A</math> er en øvre triangulær <math>n\times n</math> matrix, så består <math>\sigma(A)</math> af elementerne på diagonalen af matricen <math>A</math>.
# Hvis <math>A = C(\Omega) </math>, hvor <math>\Omega</math> er et kompakt Hausdorff rum, så er <math>\sigma(f) = f(\Omega)</math> for alle <math>f \in A</math>.
# <math>l^2(\mathbb{N})</math> er rummet af alle kvadratisk summable sekvenser, som også er et Banach rum. Den unilaterale skift operatoren <math>S</math> er <math>S(x_1,x_2,x_3, \ldots) = (0,x_1,x_2,x-3, \ldots)</math> og dens inverse er <math>S^*(x_1,x_2,x_3, \ldots) = (x_2,x_3,x_4, \ldots)</math>. Her er den nemmeste måde at bestemmespektrum for <math>S</math> er ved først at bestemme spektrum for <math>S^*</math>, da <math>\sigma(S)</math> ikke indeholder nogen egenværdier. Det første vi kan se er at spektret for <math>S^*</math> er indeholdt i mængden <math>\{ \lambda \in \mathbb{C} | |\lambda | \leq \| S^*\|=1 \}</math>. Som det næste kan vi vise at <math>| \lambda | < 1</math> er indeholdt i <math>\sigma(S^*)</math> og er egenværdier. Vi ser at hvis vi vælger vektoren <math>x=(1,z,z^2,\ldots)</math> hvor <math>\lambda < 1</math>, så vil <math>S^* x = \lambda x</math> være opfyldt og dermed er <math>\lambda <1</math> egenværdier for <math>S^*</math>. Og da spektret er lukket er <math>\sigma(S^*) = \{ \lambda \in \mathbb{C} | |\lambda| \leq 1 \}</math>. Så ved at bruge at hvis <math>S^*-\lambda I</math> ikke er invertibel så er <math>S-\lambda I</math> heller ikke invertibel, og dermed, da <math>\| S\| = 1</math> så ser vi at <math>\sigma(S) = \{ \lambda \in \mathbb{C} | |\lambda | \leq 1 \}</math>.
Videnskab Matematik