=== Bevis <math>\varepsilon-\delta</math> ===
I mange tilfælde undlader man at bevise, at en given værdi er en grænseværdi, fordi det er intuitivt klart som i eksemplet med <math>x^2</math>, der nærmer sig 4, når x nærmer sig 2. Lad os alligevel, for at tage et overskueligt eksempel, se beviset for dette for derved at blive introduceret til den bevis-type, der bliver kaldt for <math>\varepsilon-\delta</math>-bevis. Her er først en skitse af fremgangsmåden:<br />
1. Lad <math>\varepsilon>0</math> være givet (standardformulering)<br />
2. Analysér den funktion, du ønsker at vise har den givne grænseværdi<br />
3. Find vha. analysen et <math>\delta>0</math>, der "afparrerer" <math>\epsilon</math><br />.
<br />
Her gennemgås en demonstrationen af dette i praksis:<br />
1. Vi lader et vilkårligt <math>\epsilon</math>, der er større end nul, være givet.<br />
2. Hvis man holder sig inden for intervallet [0,4] er funktionen <math>x^2</math> en [[voksende (matematik)|voksende]] funktion. Hvis man nu kigger på delintervallet <math>[2-\delta,2+\delta]</math>, hvor <math>\delta</math> er et tal mellem 0 og 2, vil funktionsværdierne, da funktionen er voksende, ligge mellem funktionsværdierne i intervallets endepunkter. Et par udregninger viser så, at funktionsværdierne tilhører intervallet <math>[4-4\delta+\delta^2,4+4\delta+\delta^2]</math>. Specielt ligger de inden for det større interval <math>[4-(4\delta+\delta^2),4+(4\delta+\delta^2)]</math>. Ud fra denne lille analyse, er vi nu klar til at finde vores <math>\delta</math>.<br />
3. Vi ønsker altså, at finde et <math>\delta</math>, så funktionsværdierne af intervallet <math>[2-\delta,2+\delta]</math> ligger [[ulighed (matematik)|skarpt]] inden for afstanden <math>\epsilon</math> til den formodede grænseværdi, som er 4. Som det ses af analysen, skal vi nu blot gøre vores <math>\delta</math> så tilpas lille, at <math>4\delta+\delta^2</math> er skarpt mindre end <math>\epsilon</math>. Hvis man ikke bryder sig om at håndtere denne [[andengradsligning]], kan man f.eks. benytte antagelsen, at <math>\delta</math> er skarpt mindre end 2. Dette kan bruges til at opnå følgende ulighed <math>4\delta+\delta^2=(4+\delta)\delta<(4+2)\delta</math>. Dette kan nu igen vurderes mindre end <math>\epsilon</math> ved at vælge et <math>\delta</math>, der er mindre end <math>\tfrac{\varepsilon}{6}</math>.
Videnskab Matematik