== Gyrationsradius ==
En lignende værdi, der kan beregnes, er [[gyrationsradius]]sen, som beskriver den gennemsnitlige afstand mellem polymerens [[massemidtpunkt]] <math>\vec{R}_{\mathrm{CM}}</math> og hvert enkelt led:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \langle (\vec{R}_i -\vec{R}_{\mathrm{CM}})^2 \rangle</math>
For at finde et udtryk for gyrationsradiussen for den ideelle kæde kan koordinatsystemet for det første vælges således, at massemidpunktet ligger i [[origo]], og positionsvektoren derfor er nul:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \langle \vec{R}_i^2 \rangle</math>
For at relatere det til den tidligere fundne RMS-længde betragtes nu en sum af afstandene mellem de enkelte led. Afstanden <math>\vec{R}_{ij}</math> mellem <math>\vec{R}_i</math> og <math>\vec{R}_j</math> er givet ved:
:<math>\vec{R}_{ij}=\vec{R}_j-\vec{R}_i</math>
Så:
:<math>\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec{R}_{ij}^2=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N(\vec{R}_j-\vec{R}_i)^2=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N(\vec{R}_j^2+\vec{R}_i^2-2\vec{R}_j\cdot \vec{R}_i)=N\sum_{j=1}^N\vec{R}_j^2+N\sum_{i=1}^N\vec{R}_i^2-2\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N\vec{R}_j\cdot \vec{R}_i</math>
Det sidste led er blot et produkt af massemidpunkter og derfor nul
:<math>\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N\vec{R}_j\cdot \vec{R}_i=N^2\left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\vec{R}_j\right)\cdot \left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \vec{R}_i\right)=N^2\vec{R}_{\mathrm{CM}}\cdot \vec{R}_{\mathrm{CM}}=0</math>
Mens resten bliver:
:<math>\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \vec{R}_{ij}^2=\sum_{i=1}^N\vec{R}_i^2</math>
Dermed kan gyrationsradiussen skrives som:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{1}{2N^2}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \langle \vec{R}_{ij}^2 \rangle</math>
Det ses, at elementerne i summen er RMS-længder, så de kan erstattes af det forrige fundne udtryk:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{1}{2N^2}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N a^2 |j-i|</math>
hvor <math>N</math> her er erstattet af <math>|j-i|</math>, hvilket er antallet af led i hver RMS-længde. Denne dobbeltsum kan skrives som to separate summer
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{a^2}{2N^2}\left(2N\sum_{i=1}^N i-2\sum_{i=1}^N i^2\right)</math>
og disse summer kan evalueres:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{a^2}{N^2}\left(N\frac{N(N+1)}{2}-\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right)=\frac{a^2}{N^2}\cdot\frac{3N^2(N+1)-N(N+1)(2N+1)}{6}=a^2\frac{(N+1)(N-1)}{6N}=a^2\frac{N^2-1}{6N}</math>
For store værdier af <math>N</math> er det andet led i tælleren negligibelt, og gyrationsradiussen er derfor givet ved:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{Na^2}{6}</math>
Gyrationsradiussen kan altså også skrives som:
:<math>\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle=\frac{\langle R^2 \rangle}{6}</math>
eller
:<math>R_{\mathrm{G}}\equiv\sqrt{\langle R_{\mathrm{G}}^2 \rangle}=\sqrt{\frac{aL}{6}}</math>
Det ses, at gyrationsradiussen altså har samme afhængighed af <math>N</math> som RMS-længden.<ref name=gyration>{{Kilde| efternavn = Hammouda | fornavn = Boualem | år = 2016| titel = Chapter 26: Radius of gyration calculations | udgiver = [[NIST Center for Neutron Research]]| side = 9-10| url = https://www.ncnr.nist.gov/staff/hammouda/distance_learning/chapter_26.pdf | hentet = 21. april 2021}}</ref>
Fysik Kemi