=== Linearitet ===
Vi kan nu gøre modellen mere kompliceret ved at lade skæring med y-aksen være en fri parameter. Vores model vil da hedde:
:<math>f(x)=ax+b</math>,
Vi skal nu estimere både <math>a</math> og <math>b</math>. Vores samlede kvadratareal er givet ved:
:<math>A=\sum_i(aX_i+b-Y_i)^2</math>
Vi får her et udtryk for den afledte for hver parameter. Når vi afleder med hensyn til <math>a</math> skal <math>b</math> holdes konstant og omvendt, hvilket vil sige, at vi bruger [[Partiel afledt|partielle afledte]]. Vi har for <math>b</math> at:
:<math>\left(\frac{\partial A}{\partial b} \right) = \sum_i 2 (a X_i +b-Y_i)</math>
Som før kan den estimerede værdi markeres med en tilde, og den afledte kan sættes lig nul:
:<math>
\begin{align}
\sum_i2(\tilde{a}X_i+\tilde{b}-Y_i)&=0\\
\tilde{a}\sum_iX_i+\sum_i\tilde{b}-\sum_iY_i&=0\\
\tilde{a}\sum_iX_i+N\tilde{b}-\sum_iY_i&=0\\
\tilde{a}\langle X\rangle+\tilde{b}-\langle Y\rangle&=0
\end{align}
</math>
Hvis vi har <math>N</math> datapunkter, kan vi omskrive summen af <math>\tilde{b}</math>.
For <math>a</math>:
:<math>\left(\frac{\partial A}{\partial a}\right)=\sum_i2 (aX_i+ b-Y_i)X_i</math>
Så:
:<math>
\begin{align}
\sum_i2(\tilde{a}X_i+\tilde{b}-Y_i)X_i&=0\\
\tilde{a}\sum_iX_i^2+\tilde{b}\sum_iX_i-\sum_iY_iX_i&=0\\
\tilde{a}\langle X^2\rangle+\tilde{b}\langle X\rangle-\langle YX\rangle&=0
\end{align}
</math>
Filosofi Datalogi Videnskab Matematik Naturvidenskab