I [[1979]], mens han var gæsteprofessor ved [[Harvard University]], begyndte Mandelbrot at studere den fraktal, som kaldes [[Juliamængden]]. Han startede fre tidligere arbejder af [[Gaston Julia]] og [[Pierre Fatou]], og ved hjælp af [[datamaskine]]r fremstillede Mandelbrot billeder af Juliamængder til ligningen ''z''<sup>2</sup> – ''c''. Ved undersøgelser af, hvordan disse Juliamængder afhang af den [[komplekse tal|komplekse]] parameter ''c'', opdagede han den efter ham opkaldte [[Mandelbrotmængden|Mandelbrotmængde]]. I [[1982]] publicerede han sine opdagelser i den meget kendte bog ''The Fractal Geometry of Nature''. Bogen beskriver ikke kun Mandelbrot- og Juliamængderne, men desuden et stort antal fraktaler, som bygger på det såkaldte [[Lindenmayersystem|L-system]]. Mest kendt af disse er antagelig "[[Abetræet]]" ([[engelsk (sprog)|engelsk]]: ''monkeys' tree''), som i lighed med mange andre fraktaler i bogen bygger på [[von Kochs snefnug]], en kurve, som Mandelbrot ofte har anvendt som udgangspunkt for sine overvejelser og slutninger.
Matematik Organisationer Uddannelsesinstitutioner Universiteter