Sammen med sin bror Johann Heinrich Baur ledede han den handelsvirksomhed, som deres oldefar havde grundlagt, nu under navnet J.H. & G.F. Baur. Under deres ledelse voksede virksomheden, og den opnåede efterhånden international anseelse gennem finansielle transaktioner med nordeuropæiske lande. Efter hans brors tidlige død blev hans svoger kompagnon, men senere styrede Baur virksomheden alene og gjorde senere sine sønner Georg Friedrich og Franz Johannes til partnere i firmaet. Baur erhvervede sig i 1804 en langstrakt grund på [[Palmaille]], en af Altonas ældste gader, hvor han lod opføre flere huse tegnet af [[C.F. Hansen (arkitekt)|C.F. Hansen]] i [[Nyklassicisme|nyklassicistisk stil]], først nr. 49 til sig selv og senere til sine børn. I 1807 købte han sin brors ejendom i [[Hamburg-Nienstedten]]. Han indtrådte i Altonas Kommerskollegium i 1837, i 1840 blev han udnævnt til kongelig dansk [[etatsråd]], og i 1847 – i anledning af hans guldbryllupsdag – blev han udnævnt til [[konferensråd]]. I den forbindelse udnævnte [[Christian-Albrechts-Universität zu Kiel]] ham til [[æresdoktor]].
Titler Samfund Videnskab Uddannelsesinstitutioner Universiteter