ルベーグ積分とは何ですか？
数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合にはその関数のグラフと x 軸の間の面積と見なすことができます。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、英: Lebesgue integral）は、積分をより多くの関数へ拡張したものです。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要なく、不連続でもよく、関数値として無限大をとるこもあります。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできます。
直感的な解釈として、積分の定義方法を直感的に理解できるように、山の（海抜より上の部分の）体積を計算する例を考えます。この山の境界は、明確に定まっているとします。これが積分範囲です。
ルベーグ積分は、山の等高線を地図にし、この等高線にそって地図を裁断して地図をいくつかのパーツに分解します。これらのパーツは面積を計算できる平面図形なので測度が分かっており、パーツの面積とそのパーツの最も低い点の標高を掛け合わせて、各パーツの値を足したものを「ルベーグ和」といいます。この「ルベーグ和」はルベーグ積分を構成する単関数の積分に相当します。等高線の間隔を半分にしていったときの「ルベーグ和」の極限値が山の体積になります。