human
Pourquoi est-ce que la poule a traversé la route?
gpt
La raison classique pour laquelle une poule traverse la route est pour aller de l'autre côté. Cette blague a été popularisée dans les histoires pour enfants et est souvent utilisée pour souligner l'absurdité des réponses simples à des questions complexes.
human
Bonne réponse, dis moi donc comment prouver que 1+1 font 2 en se basant sur les axiomes de l'arithmétique de Peano
gpt
Afin de prouver cela, il convient de définir les 8 axiomes de Peano :
1- ∀x,¬(sx=0) | Cela veut donc dire 0 n’est le successeur de personne, c’est le premier entier
2- ∀x,(x=0∨∃y,x=s(y)) | Si on prend un nombre, soit il est nul, soit il est le successeur d’un autre
3- ∀x,∀y,(s(x)=s(y)⇒x=y) | Si les successeurs respectifs de deux nombres sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Dit autrement, la fonction successeur est injective !
4- ∀x,(x+0=x) | Ajouter 0 à tout nombre ne change pas ce nombre. Autrement dit, 0 est un élément neutre.
5- ∀x,∀y,(x+s(y)=s(x+y)) | Un nombre auquel on ajoute le successeur d’un autre nombre est égal au successeur de la somme de ces deux nombres
6- ∀x,x.0=0 | Tout nombre multiplié par 0 est égal à 0. 0 est un élément dit absorbant.
7- ∀x,∀y,(x.s(y)=(x.y)+x) | C’est en fait la distributivité de la multiplication qui est invoquée ici
8- Pour tout formule ϕ(x,x1​,…,xn​) à n+1 variables, ∀x1​,…,∀xn​,((φ(0,x1​,…,xn​)∧(∀x(φ(s(x),x1​,…,xn​))))⇒∀x,φ(x,x1​,…,xn​))​
Ce dernier axiome ressemble fortement à une propriété de récurrence.

On va donc utiliser pour cela certains des axiomes de Peano énoncés plus haut.
Partons de 1+1. On utilise le fait que 1 est le successeur de 0 :
1+1=1+s(0)

On utilise ensuite le cinquième axiome :
1+s(0)=s(1+0)

Puis le quatrième axiome :
s(1+0)=s(1)

On en conclut donc que
s(1)=2

Ainsi :
1+1=2