离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散结构及其性质，包括离散对象如集合、图、树、布尔代数等的结构、性质、算法和应用。离散数学的研究方向很广泛，下面列举一些常见的研究方向和研究方法：
1. 图论：研究图的结构、性质、算法和应用，包括图的匹配、染色、连通性、最短路径、最小生成树等问题。其中，经典的研究方法包括图的遍历、搜索、割边割点、最短路算法、最小生成树算法等。
2. 组合数学：研究离散对象的组合结构、计数、排列组合等问题，包括组合恒等式、递归关系、生成函数等。研究方法包括递推算法、生成函数等。
3. 计算理论：研究计算机科学中的经典问题，如可计算性、复杂性理论、自动机理论等。经典的研究方法包括图灵机、自动机、形式语言等。
4. 布尔代数：研究布尔函数及其性质、逻辑门电路的设计等问题。经典的研究方法包括真值表、卡诺图、化简等。
5. 离散优化：研究离散问题的优化方法，如线性规划、整数规划、图论优化等。经典的研究方法包括线性规划、整数规划、贪心算法、动态规划等。
6. 组合优化：研究组合结构的最优化问题，如排列、组合、图等的最优化问题。经典的研究方法包括线性规划、整数规划、网络流、割平面等。
7. 离散随机过程：研究离散随机变量、离散时间马尔可夫过程、随机图等问题。经典的研究方法包括概率、马尔可夫链、马尔可夫过程等。
8. 离散动力系统：研究离散时间动力系统的性质、稳定性、混沌等问题。经典的研究方法包括迭代映射、分形等。
9. 图像处理：研究图像的离散表示、图像处理算法及其应用。经典的研究方法包括数字图像处理、图像分割、模式识别等。
10. 离散信号处理：研究离散信号的表示、变换、滤波等问题。经典的研究方法包括离散傅里叶变换、小波变换、数字滤波等。