如何理解严格的条件期望要定义在sigma-field上？
回忆本科时学习过的条件期望概念，其一般定义为某个随机变量在给定另一个随机变量情况下的数学期望，此处两个随机变量可以具有相关性（不仅限于线性相关关系）。
然而我们知道这是在经典概率论框架底下所给出的定义，当我们将概率论体系延展到由测度论作为底层的概率论框架里来时，此时对于条件期望的定义会发生什么样的变化呢？
定义 1 给定一个概率空间 ，其中 分别代表样本空间，事件域和在这二者上所定义的概率测度，此处考虑 的一个子 域 ，定义随机变量 且 。
则我们可以 定义在给定 情况下随机变量的条件期望如下，记为 ，其为上任意满足如下两条性质的随机变量 ：
任意满足 的随机变量 称为条件期望 的一个版本 . 以下我们先验证条件期望 的存在唯一性.
我们先验证 若存在，其必唯一，此处唯一性均在测度论意义下进行讨论，即均讨论几乎处处意义下的唯一性，我们认为两个仅在零测集上取值不同的两个随机变量相同.
引理 1 任意满足 的为可积的.
证明：由条件 ， ，故 ，由条件 可知：
最后一个不等号由绝对值不等式可直接得到，第一个等号为条件期望定义.
在上 ，且由 正部负部的定义可知 ， ，将上述两个式子相加：
故有 ，由 ，故 可积.
以下验证若条件期望存在，则必唯一.
唯一性 若 亦满足条件 ，则有据条件期望的定义可知
且可知 ，记 ，则要证 ，即证 .
最后一个不等号由如下事实得到，据概率下连续性：
故有 .由于此结论对任意 均成立，且在不等式中地位对等，故有 ，综上，则 故在几乎处处意义下，条件期望若存在，则必唯一.
为验证条件期望的存在性，首先介绍一个重要定理： Radon-Nikodym Theorem ， 其在测度的Hahn分解中具有重要意义，其在信息论领域的信息不等式证明中亦有重要意义.
Radon-Nikodym Theorem 令 均为定义在上的 -有限测度，若 ，即 关于 绝对连续，记为 ，则存在函数 ，s.t.，任意 ：
通常被定义为 且被称为 Radon-Nikodym 导数.
以下验证条件期望的存在性.
先假定 ，验证此时条件期望必存在.
命题 1 ，给定概率空间 ，考虑子 -域 ，求证明: 令 ，则据 定义可知其为有限测度，则为 -有限测度.
定义 上的测度 ： 下证 为测度，即证 在上满足非负可列可加性.
非负性：由 且 可知， ；
可列可加性： ，由 为 -域可知其对可列并封闭，故 ，则
故 为测度.
由 可积，取 ，则有 ，故 为 -有限测度.
任意 ，则有 ,故
，即为非负有界随机变量，故 .故此时有 ；
若无界，定义 ，即 与 取小，则有 ，据单调收敛定理可知：
据 Radon-Nikodym Theorem 可知，取 ，据条件期望定义可知：
即 若 为可测函数，记 ，令 ， ，则由 均关于 可测可知， ，则任意 ，有：
故 证毕.
以下对 的物理意义给出一个简要解释以帮助理解条件期望的本质.
首先我们明确事件域 的物理意义，事件域顾名思义即为所有可能事件或事件类构成的集合，即对于某个集合 ，我们所掌握的全体信息，我们可以根据 中所含的信息来判断事件 是否发生；类似的， 即为根据我们所掌握的信息对 的值进行的最佳猜测( best guess )，可与随机猜测作对应，随机猜测即类似于对 的值进行随机化选取(猜测)，以下给出一些具体例子辅助理解此物理意义，这些例子来源于Durrett等人的教材： Probability: Theory and Examples .
以下给出一个简短证明：
例 2 当 与 独立，即任意 及 有：
此时， 证明：
由 为常数可知， ，常数关于任意 -域可测.
任意 ，有
第一个等号将积分区域转换为示性函数即可，第二个等号将前者适当改写即可，第三个等号根据 与 独立可知 与 中的任一集合 独立，故 与 独立，将二重积分化为累次积分即可，或直接采用Fubini定理，第四个等号即示性函数积分为其所对应集合的概率，第六个等号将前者在上求积分即可.
条件期望本身引入较大的用处是为了定义鞅，而要谈鞅则必须谈及 -域流，故条件期望定义在 -域上是一种合理且自然的定义！
码字不易，敬请支持！
发布于 2021-12-10 12:28 匿名用户
这可以写成条件期望 .进一步有了一般的条件期望 .
事件A换成事件 , 条件期望写成 .
变动Y的取值，可知 . 于是有 .
于是写成 .
最后，只留下 域，不再考虑这是由哪个随机变量生成的，得到最一般版本的条件期望 .