效用函数的概念
关键词：直接效用函数，价格，炫耀性消费，间接效用函数摘要：在商品数量和品质确定的情况下，价格对炫耀性消费的效用水平有决定性影响。只要消费者对一种商品存在炫耀性消费倾向，价格向量与商品数量并列作为自变量进入直接效用函数是必要而合理的。在自己的商品消费束和价格向量确定的情况下，他人的消费满足可能影响“同喜同乐消费者”或“反同喜同乐消费者”，因此其他消费者的消费束也应进入原有的直接效用函数。在此基础上，本文进而分析了这种更综合和更一般化的直接效用函数的性质，以及在此基础之上所建立的新的间接效用函数。一、问题的提出  在现代消费者理论中，以商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m三者为自变量的效用函数形式有两类：一类是仅以消费束X为自变量的“直接效用函数”U（X）；另一类是以商品价格向量P和消费者预算约束m两者为自变量的“间接效用函数”v（P,m）。  直接效用函数U（X）的思想是：只要消费者购买（消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量(如价格向量P)如何置定或变动），消费者的偏好或效用大小便唯一地确定。即，确定的消费束X对应确定的效用函数值U（X）。  间接效用函数v（P,m）是建立在仅以消费束X为自变量的直接效用函数U（X）的基础之上的。其思路是：只要消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者一定，消费者在PX=m约束下，最大化其直接效用函数U（X）的值，此时的最大U（X）值即是间接效用函数v（P,m）的函数值。需要特别指出的是，消费者面临的商品价格向量P和消费者预算约束m两者确定，消费者最大化其效用水平的购买消费束X并不要求唯一确定（虽然大多数时候是唯一确定的），但这些不同的向量X所对应的直接效用函数U（X）的值却必须是唯一的“最大值”。  从直接效用函数U（X）的定义，和间接效用函数v（P,m）函数的建立及求解过程我们可以发现，两类效用函数在本质上是完全相同的。间接效用函数v（P,m）是建直接效用函数U（X）的基础之上的。即：无论是直接效用函数U（X），还是间接效用函数v（P,m），只要消费者最终消费的商品数量束X一定，消费者便有确定的效用水平。对于直接效用函数U（X）而言，自变量X对因变量U（X）有“直接的决定作用”，这也是U（X）被称为“直接效用函数”的原因。对于间接效用函数v（P,m）而言，自变量P和m对因变量——效用水平的决定作用，实际上必须通过消费者最终消费的、确定的商品数量束X（或商品数量束集合）来完成。所以，自变量P和m对因变量——效用水平是起“间接性的决定作用”。其求解过程表明，效用水平的大小实际仍由消费束X直接地决定。这也就是v（P,m）为什么被称为“间接效用函数”的原因。  从上述分析中我们可以看到，现代西方经济学关于效用函数与商品价格向量P、消费束（商品数量向量）X、和消费者预算约束m等其他经济变量的关系，被认定为：效用函数值的大小实际上被消费者本人的消费束X唯一地确定；除消费束X之外的其他变量（如P和m）对消费者效用水平的影响，只能通过影响X间接地决定或影响效用水平。即只要消费者购买（或消费）各种商品的数量一定（而不管其他相关的经济变量如价格向量P如何置定或变动），其偏好或效用大小便唯一地确定。然而，实际情形并非如此。  举例而言，设某类消费者具有“炫耀型”偏好，假定该消费者面临的消费可行集为二维实数空间R2中的非负子集，两种商品对于该消费者而言，一种属于普通商品；一种属于“炫耀性”商品，例如，请客吃“排场饭”，戒指，手表（舍却爱情等特殊意义不谈）等。消费者购买消费这种商品很大程度上是为了向外人（甚至包括自己）炫耀自己的消费档次和“品位”，并从中获得某种效用满足。因此，对于同样的消费数量和商品质量，商品价格越高，消费者从中获得的虚荣满足越大。这种偏好行为在现实中非常普遍。即，几乎每一位消费者都可能对某一类或某几类商品存在“炫耀性”消费倾向。  现在的问题是：在消费者消费商品的数量和品质都一定的情况下，消费者的从中获取的效用大小是否真的完全地确定了？举例而言，如果此时两种商品的相对比价发生变化或“炫耀性”商品的价格变为零，即消费者可以免费享用“炫耀性”商品，消费者对于消费“前定”数量和品质的商品的效用评价是否发生变化？  答案是十分显然的，消费者的效用将会因此而发生变化。  然而，这与现代消费者理论对效用函数的一般认定——“消费者的效用水平实际仅决定于消费（品质确定的）商品的数量”相违背的。在上面所描述的现实中非常普遍的“炫耀型”消费中，消费者的效用水平不单决定于商品的数量向量X，还同时决定于商品的价格向量P。写成函数形式即为：  U=U（x1，x2，p1，p2）  此时，消费商品的数量和价格同时作为效用函数的自变量。二、价格和商品数量同时作为效用函数自变量的合理性  有人会认为，对于“炫耀型”消费，在消费束一定的情况下，商品价格越高，消费者支付的费用越高，他所获取的效用当然应当越大。所以“炫耀型”消费与普通消费并没有什么特别的地方。因此，将消费商品的数量和价格同时作为效用函数的自变量的合理性值得商榷。实际情况真是如此吗？  我们知道，在直接效用函数U=U（x1，x2¼xn）中，消费者支付的总费用（或预算约束）m，以及面临的价格向量P并没有被纳入作为其自变量。这实际上是说，只要消费束中各种商品的数量一定，效用函数值U的大小便唯一地确定，它与消费者支付多少总费用或面临怎样的价格向量没有任何关系。而这与“炫耀型”消费的效用同时决定于商品的数量和价格，显然有根本性的不同。  从直接效用函数U（X）的数学定义，我们可以推知其哲学含义大致是这样的：消费者是非常“实实在在”的，或“自定力”极强的人。这类消费者只在乎自己“实实在在”所消费着的东西，如一件衣服，一碗米饭；消费者根本不在乎消费这些商品过程中，或因价格过低带来的“寒碜感”，或由价格很高带来的“炫耀感”、“自我优越感”等“虚幻的荣光”，只有商品的品质和数量才影响和决定这种消费者的快乐感和满足感；商品价格的高低并不能与商品数量并列地影响他们的快乐感和满足感。可以想象，传统的直接效用函数U（X）所假定的消费者，十分近似于“修行极高”的高僧。  现实中的普通消费者，一般都或多或少地在乎商品消费过程中纯粹因为价格高低而导致的“寒碜感”或“炫耀感”等“虚幻的感觉”。令人遗憾的是，目前的消费者理论所定义的效用函数（至少是直接效用函数）并没有反映这一点。间接效用函数v（P,m）中虽然表面上引入有价格向量P，但根据正统的诠释和它的求解过程，P和m实际必须仅通过消费束X对效用起作用，而不能再与“由P和m决定的”X并列地对效用值产生影响。所以，建立在U（X）的间接效用函数v（P,m）虽然表面上有价格向量P作为自变量，但它实际上仍没有反映一般消费者均一定程度地“爱好虚荣”消费特点。如果要将v（P,m）改造为反映这一点，须对它作新的诠释；即，建立在新的直接效用函数U（X，P）基础之上，对求值过程作新的修正。本文后面将会讲到这一点。  现实中的普通消费者，一般都或多或少地在乎商品消费过程中纯粹因为价格高低而导致的“寒碜感”或“炫耀感”等“虚幻的感觉”，这类行为非常普遍，而并没有什么特殊。例如即使是一些极有鉴赏能力消费者在商场购物过程中也常有这样的行为：例如，某君被人请了一顿饭局和饭后娱乐，该消费者事先并不知道一顿饭局和娱乐价值几何，但他知道其它类别的商品的大致价格水平。假设该消费者也是一个有些喜好铺张浪费、虚荣豪华之人。当饭后（实际狭义的消费已经结束、广义的消费并未结束）被告知在该顿饭局并娱乐上，客户花了两万块钱而不是两千块钱，该消费者从该项消费中获得的“愉快感受”将会因“两万块钱”不同于“两千块钱”而有所不同。此时，商品价格与商品数量（商品品质已经确定）同时构成消费者偏好函数（效用函数）的自变量。在这里，因价格低而导致消费者对商品质量可能不好的猜度可能几乎没有，或者非常之弱。  需要明晰的是，炫耀性商品和炫耀性消费都只能在某种特别的区间范围内成立。超过这一区间，消费者的炫耀性偏好和行为将会变得非常之弱。因此，“将炫耀性商品价格定得离谱地高”的理论反驳和现实商业行为，都是站不住脚的。现实中的任何“炫耀性”消费一般都有预算约束，所以炫耀性商品的定价不可能无限大。即炫耀性商品的高价泡沫也是有一个“度”的，它不可能无休止地发散。  对于消费数量不变，单纯价格变动对消费者效用水平产生影响，一定有人会用信息经济学理论来解释：这是因为信息不对称、不充分造成。例如如果明知道两件衣服除了价格之外，质地及款式等诸多方面并没有什么不同，则只有傻子（非理性人）才会去购买那件10倍价格的衣服。  针对一些特别例子，这种反驳在一定程度上是正确的，但问题远非如此简单。更明白的例子或许可以说明这一点。据说在国内曾出售一种价值数千元的极品香烟，我们完全可以假设一位烟草制造方面的专家，同时又是一位瘾君子、一位品烟大师，该君极好奢侈与炫耀，假设他抽的香烟都是烟厂免费赠送，同样的香烟及包装，数百元一包的价格他抽，现在变成数千元一包的他也抽，而且完全可能抽得更欢，抽得更来劲，抽得更得意洋洋。当然，“效用也更大”。此时，我们还能用信息经济学来反驳吗？此时，唯一合理的解释是：炫耀品的价格也是效用函数的自变量；它与被消费商品的数量一起对消费者的效用水平产生决定性作用。  同时，我们还可以设计一个理想实验来验证这一消费倾向的广泛现实性。假设有一位具有丰富外出旅行经验、不甚富裕却又颇好虚荣炫耀的老太太，需要从A城市回到B城市，在B城她有一群经常听其吹嘘并十分艳羡她且相对更贫穷而“世俗”的平常老太太，现有两种交通方式可供其选择：乘飞机或坐火车，并且两种方式均不需其付费。一开始老太太自然会选择乘飞机，现在我们一步步地向其许诺增加坐火车的各种附属服务以提高其安逸和奢华程度以直到“她不知道选什么好”时为止，即达到经济学所谓的“无差异”状态，她也就“随便”选择了其中一种方式，比如坐火车，当火车已经开了好长一段后假设该老太还仍然大致处于“无差异”状态，此时，我们才告诉她坐这种火车的价格是乘飞机的5倍。请问读者诸君：该老太还会仍然大致处于“无差异”状态吗？问题的答案和原因都是显而易见，不言自明。  一而再，再而三地列举这样的例证是绝对必要的。这类仅价格变化就影响消费者效用值的例子在现实世界中是举不胜举地普遍存在。它是本文坚实的立论基础。  炫耀品的价格作为效用函数的自变量，只有与其它商品的价格相比较才有意义，故而应当将所有商品的价格构成的价格向量，而非仅仅将炫耀品的价格，作为自变量纳入效用函数中。所以，只要消费者对一种以上商品存在炫耀性消费倾向，就应当将整体价格向量纳入与商品数量并列的自变量行列。明晰这一点至关重要。  需要特别指出的是，因为炫耀性消费的广泛存在，商品价格与商品数量同时构成消费者偏好函数（效用函数）的自变量，是自然而合理的。这种合理性只有在商品价格被视作为一项与商品“款式”或“质地”类似的“品质”时，才可能不成立。但是，如果商品价格被视作为一项与商品“款式”或“质地”类似的“品质”，即意味着在其他品质不变的情况下，仅仅是因为价格的不同，商品便被当作成千上万种不同的商品。这种强行规定和处理是与常理和“以往的认定”相背的。它有背常理。以往我们均把“其他品质相同”的商品是作为“一种商品”，商品价格不属于商品内在“品质”范畴，它只是商品的外在市场指标。本文认为，这种分划是科学合理的，并且本文给出的新的效用函数也将秉承这一传统。如果商品价格不被当作商品的一项品质，而被当作与商品数量类似的外在市场指标，对于炫耀性消费而言，价格和数量同时独立地作为效用函数的自变量具有充分的合理性。三、炫耀性商品价格影响效用函数的特点分析（1）效用函数对炫耀性商品价格的一阶偏导大于零  对于炫耀性商品，消费者对它们的效用评价并不单纯依赖其数量，在数量和品质一定的情况下，效用的大小很大程度还决定于它的价格高低，以及该商品价格与其他同类炫耀品价格的大小对比。一般地，在消费者消费的商品的数量和品质以及其它商品的价格都一定的情况下，消费者的从确定数量和品质的商品消费中获取的效用大小与炫耀性商品的价格正相关。即消费者的效用函数对炫耀性价格的一阶偏导数大于零：U（x1，x2，¼xn，p1，p2，¼pn）／pi > 0  但是，对于行为性格一向内敛，以艰苦朴素为自觉美德的的特殊人群而言，情况可能正好相反。即这类消费者的效用函数对炫耀性价格的一阶偏导数小于零。  （2）效用函数对炫耀性商品价格的二阶偏导数在一定区间内大于零  炫耀性商品的特殊用途，决定了炫耀性商品的价格越高，效用越大（我们仍然假定商品数量和品质不变）。并且，在价格较低时，增加相同“价格跨度”产生的效用增加，小于价格较高达一定水平时相同“价格跨度”增加带来的效用增加。出现这种情况的原因是因为“炫耀性”商品是追求“档次”的商品。这一特殊性使得商品价格如果达不到一定级别和档次，消费这种商品近似于“白搭”。只有当价格到达一定档次，“炫耀性”效用才开始显现。所以，“炫耀性”消费中效用函数对价格二阶偏导在一定区间上大于零（即价格的边际效用局部递增）；如果某项“炫耀性”消费仅因价格的不同有很多“虚幻”的效用档次，则效用函数对价格二阶偏导在一系列的局部区间上大于零（也即价格的边际效用系列地局部递增）。即：2U（x1，x2，¼xn，p1，p2，¼pn）／pi2 > 0 四、再将其他消费者的消费束引入的直接效用函数以及对应的间接效用函数（1）新的直接效用函数  消费者本人的消费束必须作为效用函数的外生变量如果是我们研究新的直接效用函数问题的暂时前提，秉承前面引入价格向量的思想，从理论上讲，凡是能够与消费者本人的消费束一起并列地对该消费者效用大小产生影响的经济变量，都应当被纳入作为该消费者效用函数的外生自变量。除价格向量外，这样的经济变量可能还有许多，其中最为突出的是其他消费者的消费水平。  与炫耀型消费对炫耀品价格的热衷相类似，一般的消费者都是很“俗气”而且缺乏“定力”的人。比如北京某一消费者吃同样伙食，穿同样的衣衫（设其消费水平与一般民众消费水平大致相当），他（或她）在北京与在东京、纽约或巴黎的“幸福感”或“效用感”一般是不一样的：在北京他（或她）可能会觉得比较“自在”，在巴黎等地则可能会觉得有些“窘迫”、“寒碜”或“难受”，而如果换作是在甘肃省某个贫困的小镇上，该消费者可能又会觉得有些“高高在上”的“陶陶然”，感觉自己好象很“优越”或“消费很有层次”。同一个消费者，消费同样的商品束，究竟是什么原因导致了他（她）的效用大小迥然不同？很显然，并不是消费者在不同的地方效用函数本身发生了什么样的变化，而是因为在不同地方其他消费者的消费水平发生了很大的变化，从而影响到了该消费者的效用水平。这也便是其他消费者的消费水平应当被纳入作为该消费者效用函数外生变量的原因。为了保证效用函数本身不发生改变(或只发生轻微的改变而不致于在此处混淆我们的视听)，我们可以假定消费者在几个不同的地点能够进行足够快速的切换。  从对一般消费者消费行为特征的上述分析可见，将其他消费者的消费水平与价格向量和本人消费束三者同时作为该消费者“直接效用函数”的外生变量是自然而合理的。现在的问题是，如何选择合理有效的经济变量来反映消费者所“在乎”的其他消费者的消费水平，并将其纳入效用函数自变量之列。一种思路是给出消费者所在群体的平均消费水平和富裕程度，同时再给出该群体的贫富悬殊程度（如基尼系数）以及该消费者在其中所处“位置”。这种思路给出的三类变量均有一定程度的粗略性，并不能较充分地反映消费者与他人消费的可能较细腻的攀比心理，同时三类变量显得太繁杂，因此本人不主张使用这一思路。另一种思路是将群体中所有消费者的消费束一起引入，作为该消费者效用函数的自变量。这样，无论他愿意进行多“细”的攀比都可以。这种作法最充分地提供了消费者进行攀比所需的变量，而且只有一类变量，显得非常简明，虽然在实际的消费中，消费者的大脑远不能进行这种需要用最好性能的计算机才可能完成的海量计算），但本人仍偏向于选择这种处理方式。于是第i个消费者的效用函数可以写成如下的函数形式：Ui=Ui（X1，X2，¼，Xn，P）  i＝1，2，¼，n  X1，X2，Xi表示第1个、第2个和第i个消费者消费的消费束；Xi=（xi1，xi2，¼，xik）；xij表示第i个消费者消费或购买第j种商品的数量；群体中共有n个消费者；消费集中共有k种商品；P=（p1，p2，¼，pk）；pj表示第j种商品的价格。当然，完全可以将上面的一系列的函数式合写为矩阵形式：Un´1=Un´1（Xk´ n，P1´k）  上面的矩阵函数实际上表示了n个消费者的效用函数关系，它们均以所有消费者的消费束和总体价格向量作为自变量，当然各个消费者的效用函数相互之间没有什么必然联系，只是可能因为“消费模仿”和价值取向一定程度“趋同”等原因而呈现出某种相似性。将其他消费者的消费束作为某一消费者效用函数的自变量，并不只因为攀比心理或所谓的“红眼病”；也可能因为“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的圣人情结，一如雷锋、焦裕禄、孔繁森之流；或重家人、朋友的“小集体主义”；以至于对敌人、仇人的“幸灾乐祸”等等，不一而足。
表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数。它被用以衡量消费者从消费既定的商品组合中所获得满足的程度。