MonteCarlo方法及其简单应用
科技信息1.引言MonteCarlo方法，源于第二次世界大战美国关于研制原子弹的"曼哈顿计划"。
本文介绍了MonteCarlo方法的思想，从计算定积分和古典概率两方面的应用进行研究，给出了实例及其Mathematica实现程序。
2.MonteCarlo方法2.1MonteCarlo方法思想概述MonteCarlo方法，有时也称随机模拟(RandomSimulation)方法或统计试验(StatisticalTesting)方法。
它的基本思想是:首先建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解;然后通过对模型或过程的观察、抽样来计算所求参数的统计特征;最后给出所求解的近似值,而解的精度可用估计值的标准误差来表示。
MonteCarlo方法以概率统计理论为基础,以随机抽样(随机变量的抽样)为手段，在很多方面有重要的应用。
它的优点表现在三个方面:方法和程序的结构简单，易分析、易理解;收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关，很好地避免了维数问题;受问题条件限制的影响较小，很好的提高可行性。
再结合大数定理、就可以运用MonteCarlo方法进行随机模拟，解决一些实际的问题。
3.MonteCarlo方法在定积分中的应用3.1随机投点法对于定积分θ=ba乙f(x)dx。
图1假设我们向Ω中进行随机投点。
例11777年，法国学者Buffon提出用试验方法求圆周率π的值。
则我们可以计算该针与任一平行线相交的概率。
此处随机投针可以这样理解:针中心与最近的平行线间的距离x均匀地分布在区间上，针与平行线间的夹角φ(不管相交与否)均匀地分布在区间上(如图2)。
于是，针与线相交的充要条件是xsinφ≤l2，从而针线相交概率为:P=^P(x≤l2sinφ)=π0乙l2sinφ0乙2πdxdφ=2lπ图2而由大数定律可以估计出针线相交的概率P=mn，其中π为掷针次数，m为针线相交次数，从而圆周率π=2nlm。
3.2样本平均值法对积分θ=ba乙f(x)dx，设g(x)是(a,b)上的一个密度函数，改写θ=ba乙f(x)g(x)g(x)dx=Ef(x)g(x)乙乙(4)MonteCarlo方法及其简单应用曲靖师范学院数学与信息科学学院王坤本文介绍了MonteCarlo方法的思想，主要从定积分计算方面介绍了随机投点法和平均值法，并将其推广到二重积分、三重积分和多重积分情形，最后以棋手分奖金问题介绍了MonteCarlo方法在古典概率问题中的应用，分析了误差，介绍了减少误差的方法，并给出这些方法的实例及其Mathematica实现程序。
MonteCarlo方法积分计算古典概率模拟针与线的几种位置xφllxlφ高校理科研究513--科技信息由矩法，若有n个来自g(x)的观测值，则可给出θ的一个矩估计，这便是样本平均值法的基本原理。
后面将给出一个例子说明此方法的应用。
在Mathematica中模拟程序见附录2。
5.在古典概率问题中的应用下面的例子说明了MonteCarlo方法在古典概率中的应用。
例3甲乙两位棋手棋艺相当，现他们在一项奖金为1000元的比赛中相遇，比赛为五局三胜制，已经进行了三局的比赛，结果为甲三胜一负，现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平
分析:平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平。
现在我们用计算机模拟两位棋手后面的比赛，是否就可以知道奖金分配方案。
由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每局的比赛胜负的机会各半。
Mathematica中函数产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半，可以用随机数1表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜。
按所说方案分配奖金，1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金。
模拟结果:甲:750，乙:250(程序见附录1)最终以甲分到34;乙分到14。
实际上，因为比赛只需进行两局。
则可分出胜负。
结果无非是以下四种情况之一:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。
上面四种情况可看出，甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14。
在Mathematica中模拟程序见附录3。
6.2误差蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。
通常，MonteCarlo方法的误差ε定义为ε=λασN姨上式中λα与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出λα。
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点:第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。
第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值σ^=1NNi=1ΣX2i-(1NNI=1ΣXI)2姨来代替，在计算所求量的同时，可计算出σ^。
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。
它定义为σ2c，其中c是观察一个子样的平均费用。
显然σ2c越小，方法越有效。
总的来说，增大样本n的值对计算机要求较高;减小方差的技巧都只具有指导思想上的意义。
对于实际的计算问题，往往要求对涉及的随机变量有先验的了解，或者对发生的物理过程的性态有一定的认识。
通过利用这些预知的信息采取相应的手段减小误差，提高精度。