常见岩石弹性模量与泊松比
泊松比泊松比是一个重要的材料特性。泊松比定义为受载试件的横向应变与纵向应变之比。这个概念如图1所示。在实际情况下，泊松比可以从初始值0变化到约0.5(假设加载后试件体积没有变化)。一般来说，“更硬”的材料比“更软”的材料有更低的泊松比(见表1)。你可能会看到文献报道的泊松比大于0.5；然而，这意味着材料受到应力而开裂，实验误差等。https://pavementinteractive.org/reference-desk/design/structural-design/poissons-ratio/纵波和横波速度和动态模量该测量是根据ASTM D2845推荐的程序进行的，通常是在为UCS测试准备的核心样品上进行。测量了压缩超声波和剪切超声波通过岩心试样的速度，并计算了弹性模量和泊松比。这种方法可以反映岩石的能力。然而，其他因素如各向异性会影响结果，建议至少进行五次测量。由波的速度和试样的容重计算出动态弹性模量和动态泊松比:本构方程:应力-应变关系本构方程告诉我们固体是如何随着应力、温度变化和孔隙压力等的变化而变形的。如何选择本构方程取决于材料的性质、应变变化的大小、应力的大小以及加载速率等因素。固体最简单的本构关系是线弹性，其中应力和应变由常系数线性相关。图3.10中的例子对应了线弹性在各个维度上的应用:胡克定律:在机械常数为k[N/m]的弹簧中产生伸长△ x[m]所需要的力F[N]为考虑一个截面积为 a ，长度为L的棱柱形实心杆。产生延伸率△ x[m]所需的力与L成反比，与A成正比，与E(固体的刚度模量)成正比，使它可以表示为应力σ和应变varepsilon一般来说，应力张量σ通过刚度张量C与应变张量varepsilon成正比线性各向同性弹性考虑一个长度为L的棱柱体，我们在其顶部面3上施加压力σ。底面不允许向3方向移动，但可以向侧面滑动。其他四个面可以向各个方向自由移动。注意，上面的面也可以在方向1和2上变形。杨氏模量E定义为施加应力σ33与所产生的应变(在施加应力的方向上)varepsilon之间的比值固体极有可能在与施加的应力垂直的方向上扩大。泊松比(ν)定义为(-1)乘以垂直于施加应力的应变varepsilon11(或varepsilon22)与施加应力方向的应变varepsilon33之比这两个系数是连续介质力学中常用的弹性常数。稍后我们将看到，在地下，我们几乎从未发现横向“无侧限”应力加载条件。岩石的真实行为不同于线弹性假设。图3.12显示了一个典型的无侧限加载试验示意图。该图在纵轴上绘制轴向应力σa，在横轴上绘制轴向应变varepsilon_a。通常，岩石塞不是完全平行的，或者可能有一些微裂缝。这两个特征使得初始加载应力-应变行为看起来比实际岩石刚度更弱。在初始加载后，岩石可能表现出线性响应-其中杨氏模量被测量-随后软化接近岩石破坏和峰值应力。当试验在无侧限条件下进行时，峰值应力称为岩石的“无侧限抗压强度(UCS)”(在第4节中进一步解释)。当有侧向应变传感器时，泊松比可以在相同的测量范围内测量E。例:计算在无侧限轴向载荷下，承受3,000 psi(轴向)应力的岩石的预期(轴向)应变:E = 1 GPa的软泥岩E = 10 GPa的软砂岩E = 50 GPa的硬石灰岩福格特符号中的各向同性固体将杨氏模量方程和泊松比方程在所有方向上推广，可以得到3个独立方程。剪切应变varepsilon_ij通过剪切模量G=E/[2(1+\nu)]与外加剪切应力成正比，则:因此，所有六个方程都允许将剪切应变张量varepsilon通过遵从四阶张量D作为应力张量σ的函数组合在一起。为了便于计算，我们将应力和应变张量表示为6 * 1矩阵，这样D将是6 * 6矩阵。这种符号叫做福格特符号。因此，四阶张量D可以表示为6 *6矩阵:例如，让我们应用一个应力σ= [0,0，σ33，0,0,0]^T。Dσ的结果为这是我们在上面E和ν的定义中发现的相同的应变。柔度矩阵的逆是刚度矩阵C = D^{-1}，让我们计算应力作为应变的函数。在处理矩阵的计算机代码中，福格特符号更容易编码。Lamé方程与上面所示的方程相同，但使用Lamé参数λ和mu，而不是E和ν。例如，让我们用Voigt符号写出刚度张量和应变张量乘积的第一个方程:或者同样的其中Lamé参数为:注意mu = G，剪切模量如上所定义。把所有方向的方程放在一起，就得到了Lamé的完整方程集:用Voigt表示法将Lamé方程写成矩阵格式。记住在线性各向同性弹性力学中只有两个独立的本构参数。通常的配对选择是E和ν。但是，根据应用程序和使用的方程，还有其他选项，例如K和G。参数对的完整列表可以在https://en.wikipedia.org/wiki/Young's_modulus中滚动到底部。下图列出了最常见的等价。有效应力和弹性多孔固体的变形和破坏是由于有效应力而不是总应力的作用。因此，胡克定律要求使用有效应力张量而不是总应力张量。公式varepsilon = DS不正确。相反，应力-应变关系需要有效应力:孔隙压力只对正应力有影响(流体压力不能引起固体剪切应变)。因此，只有孔隙压力从总应力张量的对角线项中减去。减去的值在各个方向上是相同的，因为在给定的点位置上，孔隙压力在各个方向上是相同的。严格地说，有效应力张量需要用Biot系数α对孔隙压力进行修正，该系数可以解释固体颗粒随孔隙压力变化的变形。对于大多数问题，α~1的假设是令人满意的。致密砂岩和页岩的岩石基质Biot系数可低至α~0.5。根据线弹性计算水平应力让我们重新讨论半空间中的应力计算问题，例如地球的浅层地下。我们已经知道，垂直总应力Sv = S33是深度和岩石体积密度的函数。有效垂直应力为现在让我们假设半空间没有在水平方向上变形varepsilon11=varepsilon22。这意味着固体是横向包含在“休息”，没有额外的应变被添加压缩或拉伸。这就是没有额外构造应变的沉积盆地的情况。让我们将varepsilon33表示为σ33的函数，并将其代入水平应力σ11和σ22的方程中。结果是或者同样的对于ν~0.25的典型值，水平应力系数为ν/(1-\nν) ~ 1/3 。因此，有效水平应力约为有效垂直应力的三分之一。与流体相反，固体不会以其全部重量向两侧推。它向一侧的推力只占其重量的一小部分，与它向一侧变形的倾向成比例，即泊松比。注意ν→0.5表示ν/(1-\nν) →1。“有效”ν~0.5适用于流体、不排水荷载下的软岩和盐岩。总水平应力由孔隙压力加有效水平应力得到:S11= σ11+ P_p和S22= σ22 + P_p。公式可以近似地给出裂缝梯度的下界，即打开水力裂缝所需的压力。该压力将等于或大于最小水平总应力S_h(假设构造应变为零):梯度是压力(或应力)随深度的变化，即对深度$z$的导数。假设材料的性质是不变的，那么例如，对于岸上条件δS_v / δz ~1psi/ft， δ P_p / δ z ~ 0.44psi/ft， ν= 0.25，则裂缝梯度为δ S_h / δ z = 0.63 psi/ft。下图显示了计算裂缝梯度。现在让我们放松水平应变等于零的假设，这样它们就不是varepsilon_11≠ varepsilon_22 ≠0，而是已知的量。我们再次使用公式σ= C varepsilon。剪切应变为零。因此 varepsilon= [varepsilon_11, varepsilon_ 22, varepsilon_33, 0, 0, 0) ^T。得到的方程是，现在让我们将varepsilon_33代入σ11和σ22的方程中，作为σ33的函数。结果是:水平应变通常是由构造板块运动引起的。因此，我们可以称它们为“构造株”。我们称varepsilon_Hmax为最大(压缩)构造应变，varepsilon_hmin为给定方向上的最小构造应变。因此，最大有效水平应力和最小水平应力分别为:其中E' = E/{1-\nu^2}称为平面应变模量。稍后我们将看到，平面应变模量，而不是杨氏模量，出现在许多与地下应用有关的方程中。这些方程可在https://mybinder.org/v2/gh/dnicolasespinoza/GeomechanicsJupyter/master?filepath=HorizontalStresses_Widget.ipynb上获得。上述算法进一步假设应变随深度线性增加。以下工作流程适用于任何本构(岩石性质)模型的水平总应力计算:计算总垂直应力S_v计算孔隙压力P_p。如果是流体静压，则使用δP_p / δz ~ 0.44 psi/ft。如果是非流体静力学的，则使用基于页岩孔隙度φshale的方法，如果给定λp，则直接使用P_p = λp S_v。计算有效竖向应力:σ_v = S_v - P_p计算有效水平应力σ_hmin和σ_Hmax假设线性各向同性弹性，如果构造应变不为零，则使用式3.34，如果构造应变为零。假设地下应力处于屈服状态，使用公式。通过将孔隙压力与有效水平应力相加计算总水平应力:S_Hmax= σHmax+ P_p而且S_hmin= σhmin+ P_p例题:利用线弹性理论计算位于7950 ft (TVD)的Barnett页岩剖面的总水平应力。假设垂直应力梯度dS_v/dz = 23.8MPa/km，超压参数λp = 0.7，页岩杨氏模量E = 5 *10^6 psi，泊松比ν = 0.22，构造应变varepsilon_hmin = 0和varepsilon_Hmax = 0.0002。利用线弹性计算储层压缩性岩石孔隙体积压缩性C_pp是流体流动质量守恒方程中的一个关键参数，因此在扩散系数方程中(1D例):其中总压缩性为C_t = C_g S_g + C_w S_w + C_o S_o + C_{pp}。油藏模拟器通常根据相行为计算流体压缩性(C_g S_g + C_w S_w + C_o S_o)，因此只需输入C_{pp}。例如，压实驱动与岩石压缩性成正比(见https://petrowiki.org/Compaction_drive_reservoirs)。孔隙体积压缩性C_{pp}$告诉我们孔隙体积V_p由于孔隙压力的变化是什么:上面的方程捕捉了总垂直应力S_v保持不变(储层上方覆盖层不变)且横向应变varepsilon_h不变的储层边界条件，这种条件也被称为“单轴应变”变形。这种条件适用于盖层柔顺的长薄储层。C_{pp}的测量是由体积测量得来的。假设孔隙体积dV_p的变化等于体体积dV_b，即所有体变形都是由孔隙度的变化引起的。因此，可以将C_{pp}的定义重写为孔隙度定义为phi = V_p/V_b，圆括号之间的项定义为单轴条件下的体压缩率C_{bp}(注意varepsilon_{vol} = dV_b/V_b)。因此，参数C_{pp}通过孔隙度与大块岩石压缩性C_{bp}联系在一起:其中，对于各向同性弹性固体，无侧向应变的体压缩系数近似等于体约束模量C_{bp} ~M^{-1}的倒数，其中M = (1-ν) E / [(1+ν)(1-2ν)]。这种近似是由于需要对颗粒压缩性进行修正。最后，利用典型力学参数E和ν计算单轴应变孔隙压缩率为:不幸的是，线弹性理论在捕捉岩石在长时间和大应变耗损时的粘弹塑性行为方面非常有限。孔隙体积压缩性的典型值从2到30*10 ^ {6} psi ^{-1} 。刚性胶结岩孔隙体积压缩系数低~ 2 μ,而未胶结疏松沉积物孔隙体积压缩系数高~30μ。例:计算在实验室测试的岩石的孔隙压缩性,孔隙率φ= 0.20,杨氏模量E = 10GPa, ν= 0.20。广义线弹性问题线弹性问题的通解需要结合平衡方程、运动学方程和本构方程。结果是一个位移u为未知的微分方程:其中λ = (νE)/[(1+ν)(1-2ν)]是第一个Lamé参数，G是剪切模量，ρ是岩石块体质量密度，b是物体力加速度向量(通常是重力)。解需要域几何知识，边界条件和初始条件。例如，水力压裂模拟器可以数值求解这些方程。在这节课中，我们将看到1)井筒周围的位移和应力，2)平面裂缝周围的位移和应力的解析解。https://dnicolasespinoza.github.io/node16.htmlhttps://www.britannica.com/science/rock-geology/Stress-strain-relationships【手把手教程】【每日油讯- 汇集主流石油网站最新资讯】http://www.petroleumcloud.cn/news.htmlhttps://www.cqust.edu.cn/info/1042/65666.htm【搜导师小程序提供导师信息检索】【搜导师公众号提供导师研究方向介绍】点击下方“阅读原文”进入www.petroleumcloud.cn