量子场论、规范场论中的S矩阵、微扰论和拓扑理论
二、规范场理论的构建与微扰论方法和纤维丛微分几何学1、规范场论以一些对称性原理为基础，其中最重要的一条即定域规范不变性原理。
Weyl证明:如果拉格朗日量中用协变倒数取代普通常数，即相对于波函数的相位定域变换来说，狄拉克理论是不变的。
这种取代的可能性表明了电磁场及相位的耦合常数e的普适性，同时，这也意味着如此引入的电磁相互作用，可以用是空的联络常数作纯几何的处理。
现代规范场论的基本思想是杨振宁和米尔斯与1954年提出来的，他们把电荷相互作用作用的规范不变原理推广到作用的情况。
1967年，Faddeev和Popov及deWitt建立了无物质场--米尔斯场量子化的自洽方案，同年，Weinberg和Salam分别独立的提出弱电统一规范理论，在这一模型中，电磁场和中间矢量玻色子场合成为一个多重场--米尔斯场。
Higgs和Klbble最先提出用"对称性自发破缺"来产生矢量玻色子质量的机制，从而为上述弱电统一模型的建立奠定了基础。
1971Hooft证明了无质量场--米尔斯场量子化的普遍方法，实际上能够不作任何改变的运用于对称破缺的情况。
这样就有了为有质量的矢量场建立自洽的量子理论的可能性，而这正是弱作用理论，特别是萨拉姆--温伯格模型所需要的。
在微扰论的框架内建立规范场量子理论的工作已大部分完成。
在Slavnov、Taylor、B.W.Lee和Zinn-Juetin、G.´tHooft和Veltman章中，研究出了不变正规化的不同方法，得到了广义Ward恒等式，创立了微扰论的重整化方法，这样就为杨--米尔斯场建立了一个有限的幺正的散射矩阵。
三、规范对称性和规范场为了描述场(或粒子)的内部性质，如电荷、同位旋、重子数、轻子数、"味"、色等，我们已经引入一种抽象的空间--内禀空间。
在内禀空间转动下，场量(x)作变换:。
其中是规范场的元素，是一个幺正幺模矩阵，Texp称为群的生成元，称为群参数。
当参数与时空坐标x无关时，叫做整体(全域)规范变换。
这时，我们称场具有整体规范不变性，或者说具有整体相位不变性，这个结果是在和无关的情况下得到的。
实际上，这里的整体规范群就是U(1)群。
整体规范对称性反映或决定场的内禀特性，例如电荷、奇异数、重子数等。
在整体规范对称性作用下，描述场量的拉格朗日函数是不变的，内禀对称性对应的守恒流具有守恒荷，当生成元是电荷，奇异数，重子数或同位旋的表示矩阵时，守恒荷就对应于场的电荷、奇异数、重子数或同位旋。
也就是说，内禀空间的转动不会扭曲粒子或场所在的坐标系的时空变量--位置变量与时钟变量，时空底流形上的纤维丛不发生形变;或者说代表电荷、奇异数、重子数等的内禀空间的转动不产生力的效应。
现在，这个附加的规范场，则通过对场量进行规范变换(它体现场与粒子的相互作用)，使得局域时空的均匀与对称性再次得到恢定域规范变换能够改变场量的拉格朗日量，这意味着与定域规范变换有关的内禀空间的转动扭曲了粒子或场所在的坐标系的时空变量--位置变量与时空变量，形成了一个弯曲的纤维丛镶嵌在平直或弯曲的时空坐标的底流形上;或者说内禀空间的转动产生了力的效应，就像轮胎各点之间独立运动导致轮胎表面伸缩出现弹性力;这种新产生的内禀空间扭转力是用规范场产生的规范势来表示的，类似于引力场或者非惯性扭曲时空坐标产生引力效应或惯性力效应。
因此，规范场也具有引力场的曲率特征，比如杨-米尔斯场描述了电荷空间的平行位移，并决定电荷空间的曲率特征。
如果S矩阵存在，它也满足幺正性。
设t=-时系统处于态，t=+时系统处于态，则矩阵元表示从初态至终态的跃迁振幅。
只要由正规乘积项计算出几个典型物理过程的矩阵元，就能够确立全部Feynman 规则。
一旦 Feynman 规则已经确立，就可以反过来进行，先画出物理过程的Feynman 然后依规则读出相应的S矩阵元。
为了写出一个确定物理过程至某一微扰论级的S 矩阵元，首先必须对于给定的外动量，画出所有拓扑上不等价安排的图形，但略去包含真空-真空跃迁的不连接图，并计数每一图形的拓扑权因子W。
拓扑权是指，对于一个给定的图形，如有m 称为该图的拓扑权。
因子，而QED 顶角置换因子为1，因此总有拓扑权因子W=1. 例如，对于光子自能跃迁，当外动量k，给定后，其二级Feynman 两个顶角与两条光子外线连接而成的，两个顶角连成Fermion 圈只有一种方式， 而光子外线连到顶角上有两种方式(左右交换)，故拓扑权为2，可以消去级展开中的1/2!
级因子。
相应的矩阵元可由Feynman 规则写出。
在图表示的意义上，算符的收缩对应 两顶角连成内线，而算符对初、终态的作用对应顶角连到外线。
因此图表示的拓扑权计数恰好使消去1/2!
因子这一结果得到了论证。
二、规范场理论的构建与微扰论方法和纤维丛微分几何学1、规..