促进学生核心素养发展的高中数学单元教学设计——以“导数及其应用”为例
在以核心素养为导向的基础教育课程改革背景下，促进学生核心素养发展是面向未来的高质量教育教学的应然要求。单元教学是落实学生核心素养培育的基本教学形式。本研究以“导数及其应用”单元教学设计为例，围绕如何恰当选择单元、准确把握数学本质、深入分析课程标准与数学教材、准确设计单元目标、全面设置单元活动、充分开展学习评价六个方面展开讨论，理清单元教学设计方法与思路，阐述如何编制促进学生核心素养发展的高中数学单元教学设计，为广大教育工作者提供借鉴与参考。聚焦核心素养的单元教学是实现高质量课堂教学的关键，做好单元教学设计是实现数学单元教学的基础，也是搭建学生核心素养培育与教师专业发展的桥梁。本研究以高中数学“导数及其应用”单元教学设计为例，以编制教学设计的步骤为主线，从选择单元（主题）入手，依次阐述单元教学设计的流程，尝试理清促进学生核心素养发展的单元教学设计方法与思路，为广大教育工作者提供借鉴与参考。一、恰当选择单元教学主题单元教学设计是从某个知识、技能或方法学习的整体出发，综合考虑学生核心素养长远发展的一个完整的单元教学规划，其核心特征为系统性与整体性。教师在编制教学设计时应注意从学科主体脉络的层面理顺与组建恰当的单元主题。单元可以根据课程标准和教材，从结构化的数学知识、基本的数学思想方法、核心素养（关键能力）培育三个方面来划分。结构化的数学知识主题是最显性的单元，也是教师进行单元教学设计时最常使用的主题单元组建方法之一。各版本数学教科书都是以知识逻辑为主线进行编制，教师通常可以选取课本中的一个章节或知识结构连贯的多个章节，组成以数学知识脉络为主线，层层递进、螺旋上升的知识单元。教师选择此种组建方式时，应深度研读课程标准要求，系统整理教材内容，建立知识结构体系，明确一条主题鲜明的单元教学主线，梳理各部分内容之间的内在联系，聚焦学生的核心素养发展，设计内容完整的单元教学。“导数及其应用”，是学生在学习了函数的平均变化率的基础上，学习导数的概念，了解导数的几何意义，并学习基本初等函数的导数以及求导法则，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等。依照数学知识学习脉络，可以组建如图1所示的“导数及其应用”单元。以“思想方法”与“核心素养（关键能力）”划分，是进阶的单元主题组建方式。以思想方法为主线组建单元，通常可以选取数学思想或数学方法相近的学习内容，组成以一类或多类数学思想方法为主线，由表及里、循序渐进的思想单元，使学生在解决类似问题时可以举一反三、触类旁通。以核心素养为主线组建单元，要整合促进某项核心素养发展的教学内容，把握知识之间的相互关联，在单元教学中渗透、发展一类或多类核心素养。如“数学建模”单元，可以将方程模型、不等式模型、数列模型等融合到一起，突破课本中章节的限制，贯通知识间的联系，突出其中能力素养的部分，帮助学生建立完整的认知结构。二、准确把握数学本质数学具有高度抽象性、严密逻辑性、广泛应用性等特征，数学学科的单元教学设计应该在体现学科特征的基础上，加强对教学设计整体关联性、动态发展性及团队合作性的重视。数学知识之间不是分散的独立个体，而是相互之间环环相扣、逐步发展的。单元教学要强调数学知识的有机统一，整体考虑学生数学思想方法的发展，从宏观的角度把握教学内容的完整结构，凸显知识之间的整体关联。在此阶段，进行教学设计的教师或团队应深入挖掘与理解该单元数学知识的发生发展过程，明确其在学生数学学科知识发展中的重要性，梳理知识与社会生产、生活或技术应用之间的综合联系，以便让学生更好地理解知识的发展过程及实际应用。对单元教学内容的数学内涵、知识体系、数学思想、数学发展进行分析，有利于促进教师通晓知识本身，预测学生学习过程中的困难点，培养学生用数学的眼光观察、思考、表达现实世界的能力。（一）揭示数学内涵数学内涵是揭示某一数学定理或概念的本质属性，是数学知识的核心内容。如导数是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想，是定量刻画函数的局部变化、研究函数性质的基本工具。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，其本质是自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。导数实质上就是一个求极限的过程，是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。（二）厘清知识体系数学知识内容的本质通常孕育于多学科的知识体系之中，要从现实的框架中深入挖掘才能准确把握其数学本质。导数最早由法国科学家费马用于导出“折射定律”，得到费马原理（最小光程原理），揭示了数学与物理学的密切关系。高中阶段导数经常用于“运动中的瞬时速度”“植物的生长状况”等问题情境，展现了数学与物理、生物学等学科的关联。（三）分析数学思想数学思想是对数学基础知识和方法本质的概括，不同数学知识主线中蕴藏着独特的数学思想。在函数主线中，体悟变化与对应的关系，使用函数的概念与性质分析、解决问题就是函数思想的体现。导数是一类特殊函数，导数的引入和定义始终贯穿着函数思想；学习导数，就是学生基于已有的认知及导数的概念体系，从瞬时变化率抽象出导数的概念，挖掘蕴含在导数中的极限思想。（四）体会数学发展学生对数学本质的体会与掌握是有发展性的，从幼儿对现实世界的观察开始，逻辑思维在其脑海中不断形成与发展，逐步构建出数学的思想。小学阶段，主要是通过具体实例体会函数的思想，例如单价一定，数量越多，总价越高；初中阶段，是建立变量观点下的函数概念，能在具体情境中研究函数的变化，进而研究一类函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等；高中阶段，是要局部定量研究函数的性质、函数模型（一类函数），如单调性、奇偶性、周期性，幂、指、对函数，导数的几何意义与函数极值等，其中对导数的学习主要是通过现实情境反映导数思想和本质；大学阶段，是在学习一般极限的基础上，把导数作为一种特殊的极限来处理，更突出其形式化的特征。三、深入分析课程标准与教材（一）加强对课程标准的研读与分析1.对现行课程标准的分析课程标准是实施素质教育的根本依托，是学校组织教育教学活动的主要依据，对教师教学具有纲领性作用。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“现行课程标准”）在课程内容部分设置了“内容要求”“教学提示”“学业要求”等板块，明确了对数学思想、数学方法、核心素养的解读与应用，教师可以此为依据进行分析，设计单元教学内容。例如在教学“导数概念及其意义”时，教师可借助“感知实际问题背景下的变化率”“探究瞬时速度中导数的应用及其几何意义”等教学活动，通过观察、类比、归纳、抽象等，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识、理解导数的概念和几何意义，发展学生的数学抽象素养；同时，借助“运用导数几何意义求切线方程”的教学活动，加深学生对导数几何意义的认识。在研读与分析课程标准时，教师还要注意依照课程标准对各项能力水平的划分，结合学生能力发展水平目标，合理把握与控制单元教学难度。现行课程标准的“教学与评价建议”部分对如何将核心素养贯穿于教学目标、情境创设、问题设计、教学内容等给出了详细的建议，对教学评价的目的、原则、方式、结果等作出了明确的指示，教师应着重关注该部分内容，依此设计单元教学，做到教、学、评一体化。2.对新旧课程标准的比较除了对现行课程标准进行充分分析以外，建议教师从学科核心素养和课程目标、课程结构以及课程内容等方面比较、分析新旧课程标准之间的共性与差异，以把握课程发展的趋势，推进教学内容及方式的更新，避免“穿新鞋，走旧路”。“导数及其应用”案例从课程内容与核心素养的维度对现行课程标准与《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称“实验版课程标准”）进行对比分析，发现对于“一元函数导数及其应用”的内容要求二者区别不大。现行课程标准删减了实验版课程标准中具体的“定积分与微积分基本定理”和实例问题的内容，在此基础上新增了“微积分的创立与发展”相关内容，突出表现数学文化的相关内容，降低了对实际运算的要求，增加了开放性与拓展性，为学生对数学本质的理解开拓了广阔的学习空间。与此同时，现行课程标准明确指出“导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想”，说明了导数在实际教学以及现实应用中的重要地位；“重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养”的要求，则明确指向核心素养的落实。（二）深入开展教材分析比较课程教材是落实国家育人目标、发展学生核心素养的重要载体，是教师教学最重要的参考资料之一，也是学生获取学科基本知识的主要途径。分析教材要从宏观入手，逐步深入。首先通读教材，从教材的整体框架中领会教材的编写意图；同时结合数学学科本质，对教材的理解不是仅限于教材内容本身，而是要建立具有独特个人理解的系统性思想。其次要细读教材，从每个教学内容主线中深入挖掘，理清知识间的脉络关系与逻辑结构，分析教材内容的目的与作用，拓展教材与现实世界的联系，突出数学思想方法与核心素养的应用。最后是精读教材，要从每一个知识点的角度细致分析，剖析学生学习的重点难点，对照现行课程标准中的相关要求，设置合理的情境、教学内容、评价设计。当然，对教材的分析不限于某一册，而需要将该学段乃至各个学段的教材进行筛选整合，择取其中相关的内容，将知识脉络进行统整，重新编排教学思路和教学内容。对于不同版本教材中的相同、相近内容，教师可以对其进行梳理，根据现实情况取其优点，并将之应用到实际教学中。四、准确制定单元目标目标是教师教学、学生学习过程中需要达成的目的和结果，单元目标是单元教学过程的核心，也是单元教学设计的重要依据。从教师的视角看，教学目标要精确表达教学过程中教师和学生需要完成的任务与达成的结果，一般从学科知识能力、思想方法、核心素养等方面综合制定；从学生的视角看，学习目标是具体明确地制定学生的学习任务；综合来看，教学目标与学习目标都是针对学生的学习活动制定的，教师的教学一定指向学生的学习，教学目标必然会转变为学生的学习目标，教师应将传统的教学目标与学习目标有机融合，深入思考学生核心素养的培养方式，做到教、学、评一致。在确定单元目标时，要注意其纲领作用以及层次的多元化。一要结合学情分析使目标的定位符合学生的最近发展区，二要使用可操作、可测量的语言使目标真正达到导教、导学、导评价的作用。单元目标应该在设置上整体把握单元教学内容，使教学过程完整、有序开展，凸显数学知识与数学能力的作用，确保数学学科核心素养的落实落地。例如“导数及其应用”将单元目标按四个教学阶段表述为：1.结合实例，对比平均变化率与瞬时变化率的关系，说出导数的现实意义及研究价值，初步建构单元体系，提升数学抽象的学科素养；2.用数学语言刻画导数的概念，借助导数的概念，探究导数的运算，用导数分析函数单调性、极值、最值，逐步形成用导数思想研究函数的方法，提升数学运算的学科素养；3.在具体情境中构建出函数模型，解决生活中的最优化问题，总结导数在解决函数综合问题中的应用价值，提升数学建模、逻辑推理的学科核心素养；4.以导数的概念、运算、应用为核心进行单元体系重构和过关，建构出应用导数解决函数及生活最优化问题的思维模型。单元教学的每一个教学阶段也需要制定相应的目标，这是更加细化的单元目标。教师可以每个课时或每个完整阶段的教学活动为单位进行设置，从知识技能、思维表达、交流反思等各方面进行详细阐述。例如“导数及其应用”可以将第一阶段的目标表述为：1.研读教材，在跳水运动情境中找出瞬时速度和平均速度的关系，说出由平均速度求瞬时速度过程中体现的数学思想；2.依据割线到切线的变化过程，说出函数平均变化率与瞬时变化率的几何意义；3.类比定性研究二次函数性质的过程，说出导数在研究函数中的作用，初步构建本单元知识体系。五、合理设置单元活动学科知识需要单元活动的承载，单元活动需要学科知识的融入。将数学知识内容与单元整体结构充分融合，将数学知识进行统整关联，才能使数学单元教学具有意义，并凸显以学科核心素养为导向的课程理念。在单元教学的设计思路中，单元活动设计必须扎根于单元目标，并进一步服务于每个阶段目标。教师在设置单元活动时，要区别于传统的以课时为单位的教学设计思路，宏观考虑单元整体教学理念，注重数学思想的形成逻辑。一要重构数学学科知识，设置科学的学生活动内容体系，理清单元活动之间的脉络关系，确保单元活动与单元目标的一致性；二要注重单元活动设计元素的完备，包括引导学生的问题情境、教师教学的方法、教学媒体或板书的选用、学生的学习方式、小组合作的策略等，并给予学生充分的自我表达的机会。“导数及其应用”案例将单元教学划分为四个学习阶段：第一阶段“整体感知”，主要任务是引导学生自主感知、链接、生成单元知识结构与能力结构；第二阶段“探究建构”，主要任务是引导学生探究单元知识与已有知识、能力、生活的必然联系，独立建构链接；第三阶段“应用迁移”，主要任务是引导学生结合探究建构成果，创新应用，解决问题，并迁移到新情境中，解决真实问题、生成新知；第四阶段“重构拓展”，主要任务是引导学生生成并完善自己的知识结构、能力结构、逻辑结构和价值意义结构，完成清晰大概念的最终建构，拓展创新。每个学习阶段均有3-5个学习活动支撑阶段目标的达成，如在“整体感知”学习阶段，教师共设置了4项学习活动，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而感知导数的概念，知道导数是研究函数性质和解决众多实际问题的重要工具，体会“化曲为直”的极限思想。学习活动1：感知实际问题背景下的变化率设在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为6.5m/s.运动员在时刻距离水面的高度（其中g为重力加速度，），即问题1：在物理学中我们学过平均速度，分别求该运动员在1秒到2秒之间和t=2到2+△秒之间的平均速度（其中△是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0）。问题2：每个时刻的瞬时速度也是我们研究的对象，如何求某个时刻的瞬时速度？尝试求=2s时的瞬时速度。问题3：思考并回答，物理中的平均速度和数学中的平均变化率有什么关系？物理中的瞬时速度和数学中的瞬时变化率又有什么关系？【设计意图】从数学中变化率的角度重新认识物理中的平均速度与瞬时速度。【实施步骤】1.回顾必修一函数的平均变化率内容，让学生根据情境中已知的量计算出相应的平均速度；2.根据自己的理解，计算运动员在1秒到2秒之间的平均速度以及某一时刻的瞬时速度，总结其与两个变化率的关系。学习活动2：感知切线斜率与导数如图2所示，当点沿着抛物线无限趋近于点时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为点处的切线。问题1：割线的斜率如何求？与函数的平均变化率有什么关系？问题2 ：若点为函数图像上的点，写出割线斜率的计算过程。问题3：在Δt趋向于0的过程中，割线无限接近于过点的直线，这条直线我们称为曲线在处的切线，试写出过点的切线斜率。问题4：结合以上两个活动，思考平均变化率与瞬时变化率的几何意义。【设计意图】1 .引导学生用运动变化的观点研究问题，体会割线的极限位置就是切线，直观感知切线斜率的求解过程；2.让学生感受从特殊到一般、从具体到抽象以及类比概括在研究数学问题时的一般性和有效性。【实施步骤】1.小组合作探究，利用之前所学的斜率计算公式计算割线的斜率；2.类比瞬时变化率，感知切线的斜率。学生应用动态数学软件开展小组合作探究，将探究结果整理在学案中；教师巡视，倾听小组交流，将学生的探究过程同步投影在大屏幕上进行分享，让小组代表陈述本组的探究过程和结论，其他小组补充、互评。学习活动3：初步感知导数与函数性质的关系回顾学过的课程，我们研究了二次函数及指、对、幂函数的图像与性质（单调性、最值问题），用定义法、图像法来分析解决一些简单的函数单调性和最值问题。但是还有一些复杂的函数，如函数，还能用已有的知识来画出其图像、分析其性质吗？阅读教材，写出自己的研究思路。【设计意图】1.引出利用导数研究函数的必要性；2.引导学生思考如何研究复杂函数的图像与性质。【实施步骤】1.回顾二次函数及指、对、幂函数图像与性质的研究过程；2.引导学生感知导数与函数单调性、极值、最值之间的联系。学习活动4：体系构建阅读教材及电子学习资源，围绕函数平均变化率、瞬时变化率、割线斜率、切线斜率与导数的关系，以及导数与函数性质的关系，自主构建单元知识与逻辑结构。【设计意图】让学生梳理该学习阶段自身的收获。【实施步骤】1.给出一个构建指导说明；2.要求每一个学生都参与构建，并使用电子学习平台对比展示。六、充分开展学习评价在推动单元整体教学的教育改革过程中，要建立与之相辅相成的学习评价体系，做到教、学、评一体化设计。学生的数学学习是一个动态发展的过程，其知识技能、思想方法及核心素养的提升是持续推进的，因此，在教学实施前，教师要对学生的前置知识掌握情况以及数学思想方法的能力水平进行课前诊断性评价。同时，在课程实施过程中，要时刻关注学生的发展状况，建立完善的过程性评价体系，并依此适时调整、优化教学内容与方法。在单元教学完成后，要针对学生的学习成果进行跟踪式结果性评价，摆脱单纯以正误判断学生学习效果的纸笔测试，加入对学生核心素养测试的评价内容。（一）诊断性评价课前的诊断性评价多体现在学情分析中，教师根据诊断性评价结果制定更有针对性的单元目标、设计单元活动，一般采用前期课堂观察、非正式访谈、纸笔测试等方式。教师在设计诊断性评价时要注意不要过多地增加学生的任务负担，以将评价过程融入学生日常学习生活中为佳。在使用纸笔测试等评价方式时，可以与前置单元主题的作业或结果性评价相关联，重点关注学生数学思想方法及核心素养的发展，为本单元教学的开展提供诊断性依据。例如，在开展“导数及其应用”单元教学前，教师可以通过前置章节的课后作业，了解学生对函数图像、单调性定义、方程、不等式等基础知识的掌握程度；通过在课堂中设置提问的环节，了解学生对高中函数知识是否已有比较系统的认识，能否发挥数学抽象、直观想象等核心素养等。（二）过程性评价过程性评价是在教学过程中进行的评价，教师可以从单元活动的合作程度、参与程度、完成情况等不同方面评估学生解决问题的策略和阶段性成果，进而把握学生数学思想方法和数学核心素养的掌握和落实情况。过程性评价一般采用课堂观察、师生互动、小组互评、课后作业等方式实施，教师在设计过程性评价时可以设置量化的评价标准，将学生的学习过程与评价结果记录成册，展示学生知识技能的持续发展过程。例如，“导数及其应用”整体感知阶段——学习活动4，教师引导学生自主构建导数单元知识与逻辑结构，绘制单元知识图谱，进行交流展示、学生互评，并在后续的教学过程中引导学生逐步增添、修订图谱中的内容。将学生的知识发生发展过程显性化，有利于教师根据学生的学习情况适时调整教学内容。（三）结果性评价结果性评价是对单元教学的学习情况的评价，除了传统的纸笔测试，教师还应该设置多元化的评价方式，评价学生是否达成了单元目标，是否具备了运用数学知识解决现实问题的能力，是否形成了数学学科思维、提升了自身核心素养。例如，在“利用导数解决函数综合问题”的学习活动中，教师可以在课后设置开放性作业，让学生总结利用导数解决函数最值问题的一般思路，并根据学生的作答情况分析其逻辑推理以及数学运算等核心素养的掌握情况。以核心素养为导向的单元教学能行之有效地构建碎片知识与数学本质间的教学纽带，使学生的学习过程成为有机整体，促进学生的能力素养发展。在教学设计过程中，要注重把握数学学科本质，从高观点上把握教学内容，强调学生的主体地位，为学生的自由探索提供充足的空间。同时，要将数学单元教学真正融入日常教学活动中，培养单元整体的备课习惯，做到教、学、评一体化，促进学生的核心素养发展，推动数学教育深化改革。本文系课程教材研究所“落实基础教育课程标准实验研究”项目（项目编号：JCSZAXM2022002）高中数学学科阶段性研究成果。“导数及其应用”案例由潍坊实验中学都焕国、于凤雪、庄洪梅教师团队研制。作者：曹一鸣，国家教材委员会专家委员会委员，课程教材研究所兼职研究员、高中数学学科课程实验研究创新团队组长，北京师范大学教授；孙彬博，国家教材委员会专家委员会学科秘书，课程教材研究所助理研究员；苏明宇，北京师范大学博士研究生；李鹏飞，山东二七一教育集团数学学科主任，潍坊实验中学教师。版权声明文章来源于《基础教育课程》杂志2023年第3期（下），转载需注明出处微信编辑|肖雪往期精选●申继亮：养其根，俟其实——教育高质量发展与育人方式变革●钟启泉：从“知识本位”转向“素养本位”——课程改革的挑战性课题●顾之川：高考与语文新课程改革同向同行●张颖：以核心素养为统领的高中物理教材编写——2019版普通高中物理（人教版）教材介绍●吕丽邵志豪：小初高社会主义核心价值观教育一体化建设的实践探究——以东北师范大学附属中学为例●马玉春：增值评价——儿童语文素养评价的思考与实践朱志平：基于共享的主题式教学沙龙●刘屹桥 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