最大模原理与应用.doc
最大模原理与应用
最大模原理与应用 作者：XXX 指导老师：XXX 摘 要 最大模原理是研究解析函数的有力工具.通过对最大模原理相关知识进行学习和研究,本文主要从三方面来探讨其相关理论:第一部分,给出了最大模原理的各种不同的叙述形式并加以证明；第二部分,给出了最大模原理的推广,重点研究了它在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；第三部分，给出了最大模原理的应用. 关键词 最大模原理 最小模原理 引理 定理 三圆定理 1 引言 最大模原理在复变函数理论中是一条经典性定理,它深刻反映了解析函数的性质.前人对最大模原理的内容、证明及应用都从不同方面给出了缜密的研究和推广,而该文鉴于前人研究的基础之上,对此原理的相关理论及其应用作了一个系统的小结,然后在此基础上进一步重点研究了最大模原理在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广；其次进一步研究使用最大模原理证明一些有名的定理和引理。 2 最大模原理的各种不同的叙述形式 2.1 最大模原理（形式1） 若函数在区域内解析，则在内任意点都不能达到最大 值，除非在内恒等于常数。 证明：假设的模在内一点达到最大值， 假定在的某个邻域内，其中. 取充分小的数，使，且使， 设为的一个值，令，有 因此， 所以，，矛盾，即在内任意点都不能达到最大值。 2.2 最大模原理（形式2） 设函数在区域内解析，在内有一点， 使得对于内的所有点， 有 ，则为常数． 证明：设：，，：，. 由柯西积分公式，， 因为对于内的所有点，有， 所以，，所以对于任意，， 由于得任意性，将任意圆映为圆周，即在上市一个常数，由解析函数的唯一性定理. 2.3 最大模原理（形式3） 设为复平面的有界开集，在内解析，在上连续，则. 证明：因为为复平面的有界开集，所以存在一点，对上所有的点都有，如果是一个常数，则结论显然成立.如果不是一个常数，则结论显然成立，由最大模原理（形式2）可知结论成立. 2.4 最大模原理（形式4） 设在区域内解析如果存在一个常数，使得对于（在扩充复平面中的边界）上的所有的点，有，则对于内所有的点，都有. 证明：设，令.因为是连续的，所以是开集.由于上的所有的点，有，所以存在：，使得对于内的所有点，都有，于是，因此，是有界的，是紧集.但，所以对上的点有.故，为空集或为常数.但如果是常数则由假设可得为空集. 3 最大模原理的推广 3.1 最大模原理在关于多个函数的模中的推广 我们已经知道，若恒不为常数的函数在区域内解析，且连续到其区域边界，则仅在其区域边界上达到最大值． 那么，若恒不为常数的函数与都在区域内解析，且都连续到其区域边界，则是否也仅在其区域边界达到最大值呢? 解：作函数, 则对，令 ． 则 （当时,令）． 现再作一函数,根据解析函数的性质，函数仍满足在区域内解析，且连续到其区域边界，应用最大模原理，在其边界某点可取得最大值,即有 ． 但因为 与 , 所以 , 即 ． 因此，也仅在其区域边界达到最大值． 同理，可得到下面结论： 若恒不为常数的函数、…都在区域内解析，而且都连续到其区域边界，则是连续到其区域边界的函数，且仅在其区域边界上达到最大值． 3.2 最大模原理在扩充边界的推广 说明：复平面用表示,如果,令表示在扩充复平面中的边界,并且称之为扩充边界.显然,如果是有界的,则；如果是无界的,则. 有了这些准备之后,我们便可给出最大模原理在扩充边界的推广: 定理：设为内的域,在内是解析的,假如存在一个常数,使得对于上所有的点,有,则对于内所有的点,都有. 在证明之前给出下面的定义: 定义：如果,或,则当趋于时,的上极限定义为 . (如果,则为的度量下的圆). 证明：设是任意实数,取,假如证明了是空集,则定理便得证. 因为是连续的,所以是开集.由于对上的点都有,所以存在一个圆,使得对于内所有点都有.于是,因为这条件当无界且时也成立,所以必是有界的.于是,是闭域.因此应用最大模原理的推论2,并由于,所以对上的点有.因此,或者,或者是一个常数.但如果是常数,由假设也可推出.证毕. 注：此题说明若在区域内是常数，则题中等号成立. 3.3 最大模原理在具有保域性的一类函数上的推广 约定：在扩充复平面上,任何以伸向无穷远处的简单曲线为边界的区域都不包含点,并视两方都伸向无穷远处的简单曲线为经过点的简单曲线. 定理1：设函数在扩充平面的区域内单值连续,为复平面上的区域,则在内任意点都不能达到最大值. 证明：(反证法）假设在区域内一点达到了最大值.即，有令,则.由于为复平面上的区域,所以,又由于区域都是开的，所以必有的某个邻域,于是在内可找到