数学中极限的本质核心是什么？ 
谢邀。
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其实恩格斯在《自然辩证法》和恩格斯在给马克思的信中对导数和极限概念都有很清晰的阐释，考虑到题主是希望从哲学上进行解释，我这里就引用黑格尔的话，并在此基础上进行解释。
黑格尔曾经简单的论述过极限：“在极限观念里，当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴。”
从黑格尔的表述中可以得出两个基本核心内容，一是比率规定，也就是量的关系。比如1/2这个比例关系，它反映的是1/2、2/4、3/6、4/8，也就是n/2n,这样的数列比例关系。质的比率规定也就是不同于原有函数关系的新的函数关系。下面结合求导过程中的例子加以说明：
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作：
这是求导过程中的极限概念。首先是函数y=f(x)中的内部因素自变量x在x0处有增量Δx，这是函数内部变量的自身变化，是一分为二的过程。这既是x的自身分裂，因为Δx是不同于x的，但又是从x中分裂出来的。X与增量Δx是处于对立统一之中。因为在这个过程中无论x取什么数，总是存在着Δx的差异，而“差异就是矛盾。”
在求导数的过程中，建立了原有的自变量和函数之间的比率关系，也就是说在原有自变量的变化和函数之间的变化之间建立了新的函数关系。这就是黑格尔所说的“质的比率规定”。量变的过程导致了质变，形成了新的函数关系，比如对自由落体运动高度和时间关系s=1/2gt2求导，得出了速度和时间的关系v=gt，量变导致了质变，函数关系从距离和时间的关系变成了速度和时间的关系。当两个变量停止了变化，尽管变量停止了变化，但是一种新型的函数关系，一种纯粹的新的数学关系却保留了下来，这是否定之否定，也是一种肯定。所以说极限是准确的，它是在原有函数关系基础上建立的新的函数关系。
我无法将公式写入，题主可自行结合求导公式理解，供参考