วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มีอะไรที่เหมือนกันและต่างกัน
* สองสาขานี้ต่างกันที่วิธีการแสวงหาความรู้ สำหรับคณิตศาสตร์ การแสวงหาความรู้เกิดขึ้นได้เองจากภายใน หรือถ้าจะใช้ศัพท์เชิงปรัชญาหน่อยก็เรียกได้ว่าเป็นการแสวงหาความรู้แบบ A-priori  นั่นคือเราไม่จำเป็นต้องรับรู้โลกภายนอกเลย ความรู้ทางคณิตศาสตร์ก็สามารถกำเนิดขึ้นมาได้ หรือจะพูดอีกอย่างหนึ่งได้ว่า วิธีการทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีเชิงนิรนัย (deduction) วิธีเชิงนิรนัยนี้ก็คือ การแสวงหาความรู้ใหม่จากความรู้เดิมที่มีอยู่แล้ว กับกฎเกณฑ์บางอย่าง เช่น สมมติเรามีความรู้เดิมอยู่ว่า ถ้าวันไหนฝนตกแล้วเราจะไม่ไปทำงาน และ วันนี้ฝนตก แล้วเราก็มีกฎเกณฑ์ที่เรียกว่า โมดัสโพเน็น อยู่ เราจะสามารถสรุปได้เป็นความรู้ใหม่ทันทีว่า วันนี้เราจะไม่ไปทำงาน ซึ่งถึงแม้ตรงนี้จะดูเป็นเรื่องของตรรกศาสตร์ แต่วิธีการหาความรู้ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดก็เป็นประมาณนี้ วิธีเชิงนิรนัยเป็นวิธีการแสวงหาความรู้มาตั้งแต่สมัยของอริสโตเติล จนช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ก็มีผู้ขยายความต่อไปว่าคณิตศาสตร์นั้นเป็นวิธีการแสวงหาความรู้ที่เรียกว่า axiomatic method โดยความรู้เดิมในที่นี้จะมีศัพท์ที่ใช้เรียกคือคำว่าสัจพจน์ และกฎเกณฑ์ในที่นี้มีศัพท์ที่ใช้เรียกคือคำว่ากฎการอนุมาน  สำนัก axiomatic เชื่อว่าคณิตศาสตร์ก็ไม่ได้เป็นอะไรไปมากกว่าแค่สองส่วนนี้ และถ้ามีครบสองส่วนนี้ แม้แต่เครื่องจักร ก็สามารถนำมาใช้ในการแสวงหาความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้
* ส่วนวิทยาศาสตร์นั้นเป็นเรื่องของการแสวงหาความรู้จากโลกภายนอก ถ้าจะใช้ศัพท์เชิงปรัชญาอีกก็เรียกได้ว่าเป็นการแสวงหาความรู้แบบ A-posteriori ความรู้ทางวิทยาศาสตร์เกิดขึ้นไม่ได้เลยหากปราศจากการรับรู้โลกภายนอก ซึ่งตรงข้ามกับคณิตศาสตร์ และอาจกล่าวได้ว่า วิธีการทางวิทยาศาสตร์เป็นวิธีเชิงอุปนัย (induction) วิธีเชิงอุปนัยนี้คือการแสวงหาความรู้ใหม่จากข้อมูลต่างๆ ภายนอกที่เรารับรู้ได้ เช่น เราเห็นว่าทุกๆ เช้า ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก เราก็สรุปเป็นความรู้ใหม่ได้ว่า ทุกๆ วัน ดวงอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออก ซึ่งความรู้ที่ได้จากวิธีเชิงอุปนัยนี้เป็นความรู้ที่ไม่แน่นอน และสามารถเปลี่ยนแปลงเมื่อมีข้อมูลใหม่ๆ เข้ามา นักปรัชญาอย่าง เบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์ ได้ยกตัวอย่างที่น่าสนใจ (และค่อนข้างจะโหดร้าย) ไว้ว่า สมมติเราเป็นไก่ และทุกๆ เช้า มีเจ้าของฟาร์มเดินเข้ามานำอาหารให้ เราก็สรุปด้วยวิธีเชิงอุปนัยเป็นความรู้ได้ว่า เจ้าของฟาร์มมีเมตตาและจะนำอาหารมาเลี้ยงเราทุกวัน แต่ปรากฏว่าเช้าวันหนึ่งเจ้าของฟาร์มเดินเข้ามาเอาเราไปเชือด ... สรุปได้ว่า ความรู้ของเราที่ได้จากวิธีเชิงอุปนัยนั้นไม่แน่นอน เพราะเราไม่สามารถที่จะรับรู้ข้อมูลได้ครบถ้วน
* ทีนี้ ก็มีหลายครั้งที่ความรู้ทางวิทยาศาสตร์อาจมาจากวิธีการแสวงหาความรู้แบบ A-priori  นั่นคือมีการตั้งสมมติฐานขึ้นมาก่อน และนำกฎการอนุมานต่างๆ มาใช้ช่วยในการพิสูจน์จนเกิดเป็นทฤษฎีหรือความรู้ทางวิทยาศาสตร์ขึ้นมา เช่น ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่ไอน์สไตน์คิดขึ้นนั้น อาจกล่าวได้ว่ามาจากวิธีเชิงนิรนัยมากกว่า คือไอน์สไตน์เริ่มจากการตั้งคำถามกับตัวเองว่าถ้าผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วต่างกันแล้วจะเห็นอัตราเร็วแสงเท่ากันหรือไม่ จากนั้นก็ตั้งสมมติฐานว่า อัตราเร็วของแสงมีค่าเท่ากันไม่ว่าผู้สังเกตจะเคลื่อนที่อย่างไร และก็พิสูจน์ได้หลายทฤษฎีบทที่สำคัญ แต่ทั้งนี้ทั้งนั้น ในทางวิทยาศาสตร์แล้ว เป็นสิ่งที่ต้องย้ำอยู่เสมอว่า เพียงแค่สมมติฐาน และทฤษฎีบทต่างๆ ที่มาจากสมมติฐานนั้น ไม่สามารถตัดสินได้ว่านี่เป็นความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง เว้นแต่ว่าสมมติฐานและทฤษฎีบทต่างๆ เหล่านั้นจะได้รับการยืนยันอย่างแน่นหนาจากข้อมูลที่มีเสียก่อน ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลที่ได้จากการทดลอง หรือจากการสังเกต สิ่งที่ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษได้รับการยอมรับ และสิ่งที่ทำให้ไอน์สไตน์ได้รับการยกย่อง ส่วนหนึ่งเป็นเพราะความสวยงามในตัวทฤษฎีเอง แต่ส่วนที่สำคัญมากกว่านั้นอย่างยิ่งยวดก็คือ ทฤษฎีนี้ใช้อธิบายข้อมูลต่างๆ ที่ปรากฏขึ้นในเอกภพได้เป็นอย่างดี (ทฤษฎีสัมพัทธภาพเป็นเรื่องของต้นศตวรรษที่ 20 สำหรับในต้นศตวรรษที่ 21 ก็มีทฤษฎีสตริง ที่มีเนื้อหาเชิงฟิสิกส์ที่สวยงามเช่นกัน แต่ก็ยังรอข้อมูลยืนยันอยู่ ถ้ามิติพิเศษในทฤษฎีสตริงใหญ่พอ การค้นพบมิติพิเศษนั้นอาจเป็นไปได้ในเร็ววัน และจะทำให้ทฤษฎีสตริงมีข้อมูลสนับสนุน)
* ในทางตรงกันข้าม ความรู้ทางคณิตศาสตร์ก็อาจมีที่มาจากวิธีเชิงอุปนัยได้เช่นกัน โดยนักคณิตศาสตร์อาจจะมองเห็นรูปแบบและความสัมพันธ์จากข้อมูลที่มีอยู่ แล้วตั้งสมมติฐานขึ้นมาเกี่ยวกับข้อมูลนั้น เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาช ที่บอกว่า ทุก ๆ จำนวนคู่ที่มากกว่า 2 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ แต่ทั้งนี้ทั้งนั้น ในทางคณิตศาสตร์แล้ว เป็นสิ่งที่ต้องย้ำอยู่เสมอเช่นกันว่า ไม่ว่าจะมีข้อมูลสนับสนุนข้อความคาดการณ์นี้มากเพียงใด เราก็ไม่สามารถตัดสินได้ว่านี่เป็นความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริง จนกว่าเราจะมีบทพิสูจน์ที่เป็นไปตามวิธีเชิงนิรนัย เช่น ถึงแม้ว่าเราไล่จำนวนคู่ไปถึงหลักเจ็ดหมื่นล้านและพบว่าจำนวนคู่ทุกตัวนี้สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้หมด นี่ก็ไม่ถือว่าข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาชเป็นจริง ถึงแม้จะมีข้อมูลสนับสนุนมากมายถึงหลักหมื่นล้านก็ตาม
* ทีนี้ก็เป็นที่ถกเถียงกันในสาขาญาณวิทยาช่วงศตวรรษที่ 17 และ 18 ว่าวิธีการแสวงหาความรู้แบบใดที่จะทำให้เราเข้าถึงความจริงได้มากกว่า นักปรัชญาบางคนสนับสนุนการใช้เหตุผลจากภายใน ขณะที่นักปรัชญาอีกฝั่งหนึ่งสนับสนุนการใช้ประสบการณ์จากภายนอก พวกที่สนับสนุนการใช้เหตุผลจากภายในจะถูกเรียกว่าสำนักเหตุผลนิยม ซึ่งนำโดย เรอเน เดส์การตส์ และ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ  ส่วนกลุ่มที่สนับสนุนการใช้ประสบการณ์จากภายนอกจะถูกเรียกว่าสำนักประจักษ์นิยม ซึ่งได้แก่ จอห์น ล็อก และ เดวิด ฮูม  หลังจากนั้นก็มีนักปรัชญาเช่น อิมมานูเอิล คานท์ ที่พยายามประนีประนอมสองแนวคิดนี้เข้าด้วยกัน
* เท่าที่อธิบายมา จะเห็นว่าคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เป็นสาขาวิชาที่มีวิธีการแสวงหาความรู้ที่ต่างกันมากพอดูใช่มั้ย แต่จริงๆ แล้ว ในสังคม หรือในชีวิตประจำวัน เราก็เห็นชัดว่าคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เป็นสองสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกันเหลือเกิน คนที่เก่งคณิตศาสตร์ก็มีแนวโน้มที่จะเก่งวิทยาศาสตร์ และคนที่เก่งวิทยาศาสตร์ (โดยเฉพาะฟิสิกส์) ก็เป็นไปไม่ได้เลยที่จะอ่อนคณิตศาสตร์ ซึ่งตรงนี้ก็อาจจะก่อให้เกิดความสับสน และเกิดคำถามขึ้นมาว่าคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์นั้นต่างกันอย่างไร อย่างเช่นคำถามนี้เป็นต้น ส่วนหนึ่งอาจเป็นเพราะว่าคณิตศาสตร์ในบางสาขานั้นได้ถูกพัฒนาขึ้นมาให้สอดคล้องกับกฏเกณฑ์ต่างๆ ที่มีอยู่ในธรรมชาติได้เป็นอย่างมาก และก็อาจจะไม่มีภาษาใดที่จะอธิบายโลกภายนอกได้ชัดเจนเท่าภาษาคณิตศาสตร์อีกแล้ว