$H^1$ n'a pas de base compl�tement inconditionnelle
math0009073.tex
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\author{}
\title{$H^1$ n'a pas de base compl�tement inconditionnelle}
\begin{document}

\def\tens{\otimes}
\def\T{\mathbb T}
\def\N{\mathbb N}
\def\sk{\smallskip}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}

\def\res #1#2{ {\leftskip=10mm \rightskip=10mm
\begin{center}{\bf #1}\end{center} \vskip -2mm
{\small \indent #2} \par}}

\newcommand{\theo}[2]{
\sk
\noindent{\bf #1} {\it #2}
\sk
}
 
\maketitle

\res{R�sum�}{\indent On montre que l'espace de Hardy $H^1$ n'admet pas de 
d�composition inconditionnelle de rang fini de l'identit�
en tant qu'espace d'op�rateurs. Il en r�sulte
qu'il n'existe pas de base compl�tement inconditionnelle dans $H^1$.}

\sk

\begin{center}
{\bf $H^1$ does not have any completely unconditional basis}
\end{center}
\res{English summary}{\indent Let $H^1$ be the classical Hardy space 
of analytic functions on
the unit disc. We show that this space does not admit any finite rank 
completely unconditional decomposition of the identity, 
as a consequence 
it fails to have a completely unconditional basis.
}  

\sk
\sk

L'objet de cette note est de montrer que $H^1$ n'admet pas de base 
compl�tement inconditionnelle et plus
g�n�ralement pas de d�composition compl�tement 
inconditionnelle de rang fini. On dit qu'un espace de Banach $X$ admet
une d�compostion inconditionnelle de rang fini s'il existe une suite 
d'endomorphismes de X de rang fini $(P_n)$ tels que
$$ \sup_{\epsilon_n=\pm 1} \sup_N \left\|\sum_{n=0}^N \epsilon_n 
P_n\right\|_{X\to X}
<\infty$$ 
et pour tout $x\in X$, $x=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)$ o� la
s�rie converge inconditionnellement. Si $X$ est un 
espace d'op�rateurs, une telle d�compostion est dite compl�tement
inconditionnelle si en outre
 $$ \sup_{\epsilon_n=\pm 1} \sup_N \left\|\sum_{n=0}^N 
\epsilon_n P_n\right\|_{cb(X, X)}
<\infty.$$ 
 $H^1$ d�signe l'espace de Hardy du tore, il s'agit du sous-espace de
$L^1(\T)$, form� des fonctions int�grables � valeurs complexes sur le cercle 
unit� du plan complexe
ayant tous leurs coefficients de Fourier d'indice n�gatifs nuls.
 Cet espace de Banach admet d'autres descriptions en analyse r�elle, 
par exemple il est constitu� de l'ensemble des fonctions du type
$f+i H(f)$, o� $f$ est une fonction r�elle int�grable sur $\T$ ayant
une transform�e de Hilbert $H(f)$ �galement int�grable. L'autre 
caract�risation importante essentiellement 
d�e � Fefferman, �tablit que les parties 
r�elles des fonctions dans $H^1$ se d�composent en atomes 
(voir \cite{Ga}).    
 
 Le premier r�sultat de th�orie locale pour $H^1$ remonte � Stein 
(\cite{St}), les multiplicateurs de la Vall�e-Poussin 
(convolution avec les noyaux $W_n$, $n\ge 0$ du m�me nom) forment une 
d�composition inconditionnelle de l'identit�, c'est � dire qu'il existe
$K\ge 0$ telle que pour tout choix de signes $\epsilon_n$ et tout 
$N\ge 0$ :
$$\left\|f\ast (\sum_{n=0}^N \epsilon_n W_n)\right\|_{H^1} \le K
 \,\left\|f\right\|_{H^1}$$
et $f\ast (\sum_{n=0}^N W_n) $ tend vers $f$ dans $H^1$ lorsque $N$ tend
vers l'infini. L'�tape suivante �tait de savoir si cet espace de Banach 
admet une base inconditionnelle, Maurey dans 
\cite{Ma} y a r�pondu par l'affirmative mais d'une fa�on assez 
indirecte.
 Ensuite, Wojtaszczyk (\cite W), s'inspirant de travaux de Carleson, a
explicit� une telle base ; le syst�me de Franklin s'av�re �tre une base
inconditionnelle de l'espace atomique $H^1(\mathbb R)$. 
Depuis, la th�orie
des ondelettes a permis de mieux comprendre la situation, voir � 
ce sujet le livre 
d'Yves Meyer \cite{Me}, chapitres V et VI.

 L'espace $H^1$ est muni d'une structure d'espace d'op�rateurs 
au sens de la th�orie d�velopp�e par Blecher-Paulsen et Effros-Ruan
({\it cf} \cite{ER}), 
en d'autre termes $H^1$ peut �tre r�alis� comme un sous-espace 
de l'espace $B(\mathcal H)$
des op�rateurs born�s d'un Hilbert $\mathcal H$
dans lui-m�me (avec $\mathcal H=\ell_2$ 
car $H^1$ est s�parable). On note $S^1$ ($S^1_d$) l'espace 
des op�rateurs � trace
de $\ell_2$ ($\ell_2^d$) muni de sa norme usuelle,
et $H^1(S^1)$ l'ensemble des fonctions de $\T$
� valeurs dans $S^1$ ayant des coefficients de Fourier 
n�gatifs nuls, muni de la norme
induite par $L^1(S^1)$.
La question de l'existence de bases 
inconditionnelles admet un analogue dans cette th�orie. En utilisant
les r�sultats de \cite{Pi}, elle se retraduit de la mani�re suivante :
peut-on trouver une base de $H^1$, $\{\psi_1,\dots,\psi_n,\dots\}$ et
 $K\ge 0$ 
telles que pour tout $N$ entier et toute famille $\{x_i\}$ dans $S_1$
 et 
tout choix de signes $\epsilon_n$:
$$\left\| \sum_{n=0}^N \epsilon_n x_n\tens \psi_n\right\|_{H^1(S^1)}\le
K \, \left\|\sum_{n=0}^N x_n\tens \psi_n\right\|_{H^1(S^1)} \,\,?$$ 
 Pour infirmer cela, on d�montre qu'il n'y a pas d'analogue du r�sultat 
de Stein. 


\theo{Th�or�me }{L'espace $H^1(\T)$ 
n'admet pas de d�composition compl�tement inconditionnelle 
de rang fini de l'identit�.}
 
 Cela signifie qu'on ne peut pas trouver de d�composition 
inconditionnelle $(P_n)$ de rang fini de $H^1$,
 telle que la s�rie $\sum P_n\tens Id_{S^1}$
soit inconditionnelle dans $\mathcal B(H^1(S^1),H^1(S^1))$.
  
Plus pr�cis�ment on montre que si $(P_n)$ est une telle d�composition,
alors  
on peut construire une suite $a_n$ born�e en valeur absolue par 1, 
telle que
$$\left\|\sum a_n P_n\tens Id\right\|_{H^1(S^1_d)\to H^1(S^1_d)}\ge K \ln d.$$

 On a besoin du fait �l�mentaire suivant :
 
\theo{Lemme}{Soit $\sum f_k$
 une s�rie inconditionnelle dans $L_1(\T)$,
alors les s�ries $\sum \epsilon_k f_k$ sont uniform�ment de Cauchy
en $\epsilon_k\in [-1,1]$.}

{\it D�monstration du th�or�me :}
 On adopte la notation, $e_n(t)=e^{2\pi int}$. La preuve 
s'inspire d'un des r�sultats de \cite N. L'id�e est la suivante :
� partir d'une d�composition inconditionnelle de l'identit� $(P_n)$, 
on construit des sortes de 
multiplicateurs qui permettent ensuite de transf�rer la projection 
triangulaire de $S^1_d$ comme endomorphisme de $H^1(S^1_d)$.
\\ Soit $\eta>0$ fix�, on construit par r�currence 
\\ \indent $(\phi_n)$ une suite d'applications de rang fini de la 
forme $\sum a_k P_k$ avec $a_k\in\{0,1\}$,
\\ \indent $(\alpha_n),(\beta_n)$ des suites croissantes d'entiers,
\\ \indent $(\epsilon_n)$ une suite de r�els croissante major�e par
$\eta$, 
\\ telles que,
$$ \forall \, i,j\le n \left\{\begin{array}{cc}
i) \,\,j\le i & \left\|\phi_n(e_{\alpha_i+\beta_j})\right\|\le \epsilon_n\\
ii)\,\,i< j   & 
\left\|\phi_n(e_{\alpha_i+\beta_j})-e_{\alpha_i+\beta_j}\right\|\le \epsilon_n.
\end{array}\right. $$

On initialise, la r�currence par $\alpha_1=\beta_1=0$,
 $\epsilon_1=\epsilon$
un r�el quelconque (petit). On choisit $\phi_1=0$, $(i)$ et $(ii)$ 
sont v�rifi�es.

\sk

On suppose toutes les suites construites jusqu'au rang $n$.
\\ On fixe $\delta>0$.
D'apr�s le lemme, on peut trouver un entier $K$, tel que
$$\forall\, i,j\le n \quad \forall\, l\ge k \ge K \quad 
\forall \, a_k\in \{0,1\},
\quad \left\|\sum_{t=k}^l a_t P_t(e_{\alpha_i+\beta_j})\right\|\le \delta.$$   
On peut supposer que si $\phi_n=\sum_{k=1}^A a_k P_k$, alors $K>A$.

\sk 

On d�termine $\beta_{n+1}$ ; 
\\ \indent puisque les $P_k$ sont de rang fini, on a $\lim_{\beta\to \infty}
P_k(e_\beta)=0$ dans $H^1$ car $e_\beta$ tend faiblement vers 0.
On choisit $\beta_{n+1}$ suffisament grand pour que pour tout 
$\beta \ge \beta_{n+1}$ et tout choix $(a_k)_1^K\in \{0,1\}^K$ 
(il y en a un nombre fini)
$$\left\|\sum_{k=1}^K a_k P_k(e_\beta)\right\|\,< \,\delta.$$
On d�termine $\phi_{n+1}$ ; 
\\ \indent puisque $\sum P_k$ tend simplement vers l'identit� de $H^1$, 
on peut trouver un entier $N>K$ de sorte que pour tout $i\le n$ 
$$\left\| \sum_{k=1}^N P_k(e_{\alpha_i+\beta_{n+1}}) \,-\,e_{\alpha_i+\beta_{n+1}}
\right\|<\delta.$$
On pose $\phi_{n+1}=\phi_n+\sum_{k=K}^N P_k$. Le choix de $K$ assure 
que $\phi_{n+1}$ est de la forme 
$\sum a_k P_k$ avec $a_k\in\{0,1\}$.
\\ \indent On v�rifie $(ii)$ pour $i<n+1$
$$\left.\begin{array}{lcl}
\left\|\phi_{n+1}(e_{\alpha_i+\beta_{n+1}})-e_{\alpha_i+\beta_{n+1}}\right\|
& \le & \left\|\phi_{n}(e_{\alpha_i+\beta_{n+1}})\right\| +
 \left\|\sum_{k=1}^{K-1} P_k
(e_{\alpha_i+\beta_{n+1}})\right\|\\
& & +\left\|\sum_{k=1}^N P_k
(e_{\alpha_i+\beta_{n+1}})-e_{\alpha_i+\beta_{n+1}}\right\|\\
 & \le & \delta+\delta +\delta \\
 &\le &3 \delta.
\end{array}\right.$$
On v�rifie $(ii)$ pour $i<j\le n$
$$\left.\begin{array}{lcl}
\left\|\phi_{n+1}(e_{\alpha_i+\beta_{j}})-e_{\alpha_i+\beta_{j}}\right\|
& \le &\left\|\phi_{n}(e_{\alpha_i+\beta_{j}})-e_{\alpha_i+\beta_{j}}\right\|
 +\left\|\sum_{k=K}^N P_k(e_{\alpha_i+\beta_{j}})\right\|
\\ & \le & \epsilon_n+\delta.
\end{array}\right. $$
Il reste � fixer $\alpha_{n+1}$ et v�rifier $(i)$.
\\ \indent Puisque $\phi_{n+1}$ est de rang fini, 
$\lim_{\alpha\to\infty}
\phi_{n+1}(e_\alpha)=0$ dans $H^1$, on peut donc choisir $\alpha_{n+1}$
de sorte que $(ii)$ soit v�rifi�e pour $i=n+1$
$$\forall \, j\le n+1 \qquad 
\left\|\phi_{n+1}(e_{\alpha_{n+1}+\beta_{j}})\right\|
\le \delta.$$
 Dans le cas o� $j\le i\le n$, on a 
$$\left.\begin{array}{lcl}
\left\|\phi_{n+1}(e_{\alpha_{i}+\beta_{j}})\right\|& \le& 
\left\|\phi_{n}(e_{\alpha_{i}+\beta_{j}})\right\|+\left\|\sum_{k=K}^N 
P_k(e_{\alpha_i+\beta_{j}})\right\|\\
 & \le & \epsilon_n + \delta.
\end{array}\right. $$
 Finalement, avec $\epsilon_{n+1}=\max (3\delta, \epsilon_n+\delta)$,
l'hypoth�se de r�currence est v�rifi�e pour un choix
convenable de $\delta$, et on peut en outre supposer 
que $\epsilon_{n+1}\le (1+2^{-(n+1)})\epsilon_n$.

\sk 

 En r�sum�, il est possible de construire des suites avec les propri�t�s
$(i)$ et $(ii)$, avec $\epsilon_n\le \epsilon\prod_{k=1}^n (1+2^{-k})<\eta$
pour $\epsilon$ suffisamment petit.

\sk

On utilise cette construction pour minorer 
$$C=\sup_{a_k\in \{0,1\} }
\left\|\sum a_k P_k\otimes Id_{S^1_d}\right\|_{H^1(S^1_d)
\to H^1(S^1_d)} \qquad \qquad (*) $$
En particulier, les $\left\|\phi_n\otimes Id_{S^1_d}\right\|$
avec les $\phi_n$ 
construits pr�c�demment sont born�es par $C$.
Soit $X=(x_{i,j})$ une matrice de taille $d$, l'�l�ment de $H^1(S^1_d)$ 
d�fini par 
$$Z=diag(e_{\alpha_i})Xdiag(e_{\beta_i}),$$
o� $diag(d_i)$ est la matrice diagonale de taille $d$ ayant pour entr�es les
$d_i$, v�rifie $$\left\|Z\right\|_{H^1(S^1_d)}=\left\|X\right\|_{S^1_d}.$$
 \\ On note $T$ la projection triangulaire sup�rieure dans $S^1_d$ ;
il s'agit de l'application lin�aire de $S^1_d$ dans lui-m�me qui
� une matrice $X=(x_{i,j})_{1\le i, j\le d}$ associe la 
matrice 
$$T(X)=(x_{i,j}1_{\{j>i\}}).$$
 Les 
propri�t�es $(i)$ et $(ii)$ impliquent
$$\left\|\phi_n\otimes 
Id_{S^1_d}(Z)-Id_{H^1}\otimes T(Z)\right\|_{H^1(S^1_d)}\le
\epsilon_n d^2 \left\|X\right\|_{S^1_d}.$$
D'autre part, $Id_{H^1}\otimes T(Z)=diag(e_{\alpha_i})T(X)diag(e_{\beta_i})$
et donc $\left\|Id_{H^1}\otimes T(Z)\right\|_{H^1(S^1_d)}=
\left\|T(X)\right\|_{S^1_d}$, d'o�
$$  \left\|T(X)\right\|_{S^1_d}\le \epsilon_n d^2 \left\|X\right\|_{S^1_d} 
+ C \left\|X\right\|_{S^1_d}.$$
$\epsilon_n$ pouvant �tre arbitrairement petit, on en d�duit que 
$C$ domine la norme de la projection triangulaire dans $S^1_ d$ 
qui est de l'ordre
de $\ln d$ d'apr�s \cite {Kp}, ce qui termine la preuve.

\theo{Corollaire}{
$H^1$ n'admet pas de base compl�tement inconditionnelle.}
 
Si tel �tait le cas, les projections sur les vecteurs de base formeraient
une d�compostion compl�tement inconditionnelle de l'identit�.

 Il d�coule de \cite{N} ou de \cite {Pe} 
que l'estimation en $\ln d$ pour la contante
$(*)$ est optimale et atteinte pour la d�composition de Stein.
 
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{ER} Effros E. et Ruan Z.J. {\it Operator spaces.} Oxford Univ.
Press. � para�tre. 

\bibitem{Ga} Garnett, J. {\it Bounded analytic functions}, Academic Press, 
New York, 1981.

\bibitem{Kp} Kwapie\'n, S. et Pe\l czy\'nski A.  
The main triangle projection in matrix spaces and its
applications. {\it Studia Math}. 34 (1970) 43-68.

\bibitem{Ma} Maurey, B. Isomorphismes entre espace $H^1$,
{\it Acta math.} 145 (1980) p 79-120.

\bibitem{Me} Meyer Y. {\it Ondelettes} Hermann 1990. 

\bibitem{N} Nazarov F., Pisier G., Treil S., Volberg A. Sharp 
estimates in vector Carleson imbedding theorem and for vector
paraproducts. � para�tre.  

\bibitem{Pe} Petermichl S. Dyadic shift and a logarithmic estimate
for Hankel operator with matrix symbol,
{\it C. R. Acad. Sci. Paris} 2000, � para�tre.

\bibitem{Pi} Pisier, G. {\it Non-commutative vector valued $L_p$-spaces and
completely $p$-summing maps}, Ast�risque 247 (1998).

\bibitem{St} Stein, E. Multiplicateurs et fonctions de Littlewood-Paley, 
{\it C. R. Acad. Sci. Paris S�rie A-B}, 263 (1966) A 716-719.

\bibitem{W} Wojtaszczyk, P. The Franklin system is an unconditional basis
in $H^1$, {\it Arkiv f�r Mat.}, 20 (1982), 293-300.

\end{thebibliography}
\noindent \'Eric Ricard
\\Universit{\'e} Paris VI
\\{\'E}quipe d'analyse
\\4 place Jussieu
\\75252 Paris Cedex 05 
\\France

\end{document} 


math0009073.extracted_bib
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completely $p$-summing maps}, Ast�risque 247 (1998).

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