Le lieu singulier des vari�t�s de Schubert
L. Manivel
On donne une description explicite des composantes irr�ductibles du lieu singulier d'une vari�t� de Schubert dans une vari�t� de drapeaux classique. Cette description implique une conjecture de Lakshmibai et Sandhya.
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\begin{document}

\title{Le lieu singulier des vari�t�s de Schubert}
\author{L. Manivel}
\date{February 2001}

\medskip
\begin{abstract}
On donne une description explicite des composantes irr�ductibles du
lieu singulier d'une vari�t� de Schubert dans une vari�t� de drapeaux
classique. Cette description implique une conjecture de Lakshmibai et
Sandhya. 
\end{abstract}
\maketitle

%\medskip
\section{Enonc� du r�sultat}

On se place sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique
nulle. La vari�t� $\FF_n$ des drapeaux complets de sous-espaces 
d'un espace vectoriel de dimension $n$ est une vari�t� projective
homog�ne de dimension $n(n-1)/2$. Elle admet une d�composition
cellulaire classique dont les adh�rences, les vari�t�s de Schubert,
sont index�es par les permutations de l'intervalle $[1,\ldots ,n]$.
Ces vari�t�s d�pendent du choix d'un drapeau de r�f�rence
$V_{\bullet}$, en fonction desquelles elles se d�finissent de la fa�on
suivante : si $w \in\cS_n$,
$$X_w=\{W_{\bullet}\in \FF_n,
\;\dim (W_p\cap V_q)\ge r_w(p,q),\;1\leq p,q\leq n\},$$
o� la fonction de rang $r_w$ est d�finie par l'identit� 
$r_w(p,q)=\# \{i\leq p,\; w(i)\leq q\}.$ La dimension de cette 
vari�t� est �gale � la longueur $l(w)$ de la permutation
correspondante. 

Un th�or�me de Lakshmibai et Sandhya permet de v�rifier
combinatoirement si une vari�t� de Schubert est ou non singuli�re. 

\medskip\noindent {\bf Th�or�me \cite{ls}.} {\em 
La vari�t� de Schubert $X_w$ est lisse si et seulement si il 
n'existe pas de quadruplet d'entiers $i<j<k<l$ tel que }
$$w(l)<w(j)<w(k)<w(i)\qquad ou \qquad w(k)<w(l)<w(i)<w(j).$$

\medskip
Dans toute la suite, on appellera de tels quadruplets des
configurations de type 4231 et 3412, respectivement.

On sait �galement exprimer de fa�on combinatoire la dimension de
l'espace tangent de Zariski d'une vari�t� de Schubert en chacun des 
points fixes d'un tore compatible avec le drapeau de r�f�rence. 
Ces points fixes correspondent aux permutations $v$ qui sont major�es 
par $w$ pour l'ordre de Bruhat, et la dimension de l'espace tangent de
Zariski en ce point est, d'apr�s le r�sultat principal de \cite{lse}, 
�gale � l'entier 
$$m(w,v) := \#\{i<j,\;\; vt_{ij}\le w\}.$$ 
Il s'ensuit que $X_v$ est incluse dans le lieu singulier de $X_w$ si
et seulement si $m(w,v)>l(w)$. 
Ceci permet en principe de d�terminer ce lieu singulier, modulo
des difficult�s combinatoires non n�gligeables. L'objet de cette note
est de d�crire directement les composantes irr�ductibles du lieu 
singulier d'une vari�t� de Schubert. 

Comme pouvait le laisser imaginer le th�or�me de Lakshmibai et
Sandhya, ces composantes sont de deux origines et correspondent � deux
types de configurations dans le diagramme de la permutation $w$. 
(Rappelons que ce diagramme est l'ensemble des points $(i,w(i))$.
Nous repr�senterons graphiquement ce diagramme en num�rotant 
les lignes de haut en bas, et les colonnes de gauche � droite. 
Voir par exemple \cite{man} pour ces repr�sentations.) Une
configuration 4231 sera dite minimale si elle poss�de les propri�t�s
r�sum�es dans le diagramme ci-dessous : les zones o� figurent un
symbole $\emptyset$ ne doivent pas contenir de point du diagramme; 
dans les zones o� appara�t une fl�che SO-NE (Sud-Ouest - Nord-Est, une
fois pour toutes), les points du
diagramme doivent �tre dispos�s selon cette direction.
A chaque choix d'un point sur chacune des deux fl�ches 
correspond une configuration 4231, mais on ne distingue pas entre
toutes ces configurations. 

$$\epsfbox{sch.1}$$

De m�me, une configuration 3421 sera dite minimale si elle poss�de 
les propri�t�s r�sum�es dans l'un des diagrammes ci-dessous. 
Au contraire du cas pr�c�dent, il est ici possible que n'apparaisse
aucun point du diagramme dans l'une ou l'autre des zones occup�es par
une fl�che.  
\smallskip

$$\epsfbox{sch.2}$$

\smallskip
A ces deux types de configurations minimales, on associe des
permutations  en modifiant localement le graphe
de $w$ de la fa�on suivante. Pour les configurations 4231 : \smallskip 

$$\epsfbox{sch.3}$$

\smallskip 
Pour les configurations 3412, respectivement :
\smallskip 

$$\epsfbox{sch.4}$$

\smallskip 
Dans ces figures, les $\bullet$ d�signent des points du diagramme
de $w$ : on les remplace par les points d�sign�s par des $\circ$ pour
obtenir le diagrame d'une permutation $v$. On notera que le passage 
de $w$ � $v$ augmente la fonction de rang d'une unit� exactement sur
la zone gris�e des figures ci-dessus, et ne la modifie pas ailleurs.
(Pour �tre tout � fait correct, la zone sur laquelle la fonction 
de rang augmente 
est la r�gion polygonale figur�e comme ci-dessus, mais dont
les sommets SE sont des coins externes, c'est-�-dire ne sont pas 
contenus cdans la r�gion en question. On devra garder cette pr�cision
� l'esprit, mais on n'en tiendra pas compte dans les figures qui suivront.)
Cela sera important pour la suite, puisque l'on utilisera
syst�matiquement la fonction de rang comme substitut de l'ordre de
Bruhat : on sait en effet que $v\le w$ �quivaut � $r_v\ge r_w$ 
(\cite{man}, Proposition 2.1.12).

Ce sont pr�cis�ment les permutations ainsi obtenues qui d�crivent 
le lieu singulier des vari�t�s de Schubert :

\begin{theo}
Les composantes irr�ductibles de la \vs  $X_w$ sont les \vss $X_v$,
o� $v$ d�crit l'ensemble $C(w)$ des permutations d�duites par le proc�d�
ci-dessus des configurations minimales de type 4231 ou 3412 de $w$. 
\end{theo}

Le cas des vari�t�s de Schubert des vari�t�s de drapeaux incomplets
se d�duit sans mal de cet �nonc� : elles sont en effet index�es
par un ensemble restreint de permutations, de fa�on telle que les 
\vss correspondantes dans $\FF_n$ en soient des fibrations localement 
triviales. On peut ainsi retrouver l'�nonc� classique de Svanes 
(\cite{sv}, voir aussi \cite{man}, Th�or�me 3.4.4) 
pour les singularit�s des \vss des grassmanniennes, dont les 
composantes irr�ductibles proviennent d'ailleurs exclusivement de
configurations de type 4231. 

\smallskip Le plan de cet article est le suivant. Dans la section 2, 
on relie les variations de l'entier $m(w,u)$ lorsque $u$ varie, �
l'existence de certaines configurations (Proposition 2). On en d�duit 
dans la section 3 que les \vs $X_u$, pour $u\in C(w)$, sont incluses 
dans le lieu singulier de  $X_w$ , et maximales pour cette propri�t�
(Propositions 3 et 4). Dans la section 4, on montre que toute \vs 
$X_v$ incluse dans le lieu singulier de $X_w$ doit �tre incluse dans 
une \vs $X_u$, avec $u\in C(w)$ (Proposition 5). Le th�or�me 1 s'ensuit
imm�diatement. Dans la section 5, enfin, on d�montre une conjecture
de Lakshmibai et Sandhya, qui donne une caract�risation indirecte de
l'ensemble $C(w)$ (Th�or�me 8). Un cas particulier de cette conjecture
avait �t� obtenu relativement r�cemment 
par Gonciulea et Lakshmibai \cite{gl}.



\section{Pr�liminaires}

On a vu que l'entier $m(w,v) := \#\{i<j,\;\; vt_{ij}\le w\}$ n'�tait
autre que la dimension de l'espace tangent de Zariski de $X_w$ en un 
point de la cellule de Schubert associ�e � $v$ -- cellule qui est  
contenue dans $X_w$ si et seulement si $v\le w$ pour l'ordre de
Bruhat. La dimension de l'espace tangent de Zariski �tant une fonction
semi-continue sup�rieurement, on doit avoir $m(w,u)\ge m(w,v)$ si
$u\le v\le w$, in�galit� qui, combinatoirement parlant, ne semble pas 
�vidente a priori. Comme les composantes maximales du lieu singulier
de $X_w$ seront rep�r�es par les premi�res variations strictement 
positives de l'entier $m(w,v)$, il nous sera essentiel de comprendre
pourquoi et comment il varie. On notera
$$S(w,v)=\{i<j,\;\; vt_{ij}\le w\}.$$

Supposons $u=vt_{kl}$ avec $k<l$ et $v(k)>v(l)$.

On dira que $i<j$ et $k<l$ forment une configuration de type A si $v(i)<v(j)$,
et si les conditions suivantes sont v�rifi�es. Appelons $R_1$ le
rectangle de sommets $(i,v(i))$ (interne) et $(j,v(j))$ (externe),
appelons $R_2$ celui de sommets (externes) $(k,v(k))$ et $(l,v(l))$. 
On demande alors que 
\begin{enumerate}
\item $r_v>r_w$ sur $R_1\backslash R_2$, 
\item $r_v-r_w$ s'annule au moins une fois sur $R_1\cap R_2$. 
\end{enumerate}
Une telle configuration est repr�sent�e dans le diagramme ci-dessous
lorsque $i<k<j<l$ :
\smallskip

$$\epsfbox{sch.5}$$. 

On dira par ailleurs que $i<k<l$ (ou $k<l<i$)
forment une configuration de type $B$ 
si l'on est dans la situation suivante (ou la situation sym�trique 
par rapport � la diagonale SO-NE) : $v(i)<v(l)<v(k)$, et les conditions
suivantes sont v�rifi�es. Appelons $R_1$ le
rectangle de sommets $(i,v(i))$ (interne) et $(k,v(l))$ (externe),
appelons $R_2$ celui de sommets $(i,v(l))$ (interne) et $(k,v(k))$
(externe), appelons enfin $R'_2$ celui de sommets $(k,v(i))$ (interne) 
et $(l,v(l))$ (externe). On demande alors que 
\begin{enumerate}
\item $r_v>r_w$ sur $R_1$, 
\item $r_v-r_w$ s'annule au moins une fois sur $R_2$ et sur $R'_2$. 
\end{enumerate}
Une telle configuration est repr�sent�e dans le diagramme ci-dessous :
\smallskip

$$\epsfbox{sch.6}$$. 

\begin{prop} Avec les notations pr�c�dentes, la diff�rence 
$m(w,u)-m(w,v)$ est �gale
au nombre de configurations de type A ou B. \end{prop}

\dem Soient $i<j$ des entiers. On cherche � comparer les positions
de $ut_{ij}$ et $vt_{ij}$ par rapport � $w$. 

\smallskip\noindent {\em Premier cas.} Supposons que $\{i,j\}
\cap \{k,l\}=\emptyset$. Notons $R_1$ le rectangle de sommets 
$(i,v(i))=(i,u(i))$ et $(j,v(j))=(j,u(j))$, et $R_2$ le rectangle
de sommets $(k,v(k))=(k,u(l))$ et $(l,v(l))=(l,u(k))$. 
Alors les fonctions de rang de $u, v, ut_{ij}$ et $vt_{ij}$se
comparent de la fa�on suivante : 
$$\begin{array}{rcl}
r_u & = & r_v+\chi_{R_2}, \\
r_{ut_{ij}} & = & r_u+\e (v(i)-v(j))\chi_{R_1}, \\
r_{vt_{ij}} & = & r_v+\e (v(i)-v(j))\chi_{R_1}, 
\end{array}$$
o� $\e(t)$ d�signe le signe de l'entier  non nul $t$, et $\chi_R$
la fonction caract�ristique du rectangle $R$. En particulier, le 
fait que $u\le v$ assure que $ut_{ij} \le vt_{ij}$. En cons�quence, 
si les contributions du couple $i,j$ � $S(w,u)$ et $S(w,v)$ sont 
diff�rentes, on doit avoir $ut_{ij}\le w$ mais pas $vt_{ij}\le w$. 
Ceci impose que $v(i)<v(j)$, et $r_u=r_v+\chi_{R_2}-\chi_{R_1}\ge
r_w$, donc $r_v>r_w$ sur $R_1\backslash R_2$. Par contre, 
$r_{vt_{ij}}=r_v-\chi_{R_1}\ngeq r_w$, ce qui signifie que $r_v-r_w$
doit s'annuler quelque part sur $R_2$, et c'est n�cessairement sur 
$R_1\cap R_2$ d'apr�s ce qui pr�c�de. On obtient donc une contribution 
� $m(w,u)-m(w,v)$ �gale au nombre de configurations de type A. 

\smallskip\noindent {\em Deuxi�me cas.} Supposons que $\{i,j\}
\cap \{k,l\}\neq\emptyset$. Dans le cas o� ces ensembles co�ncident,
on a $ut_{ij})=v$ et $vt_{ij})=u$, qui sont toutes les deux major�es
par $w$. On peut donc supposer que $\{i,j\}\cap \{k,l\}$ est un 
singleton : il y a alors six cas possibles pour la position
relative de ces quatre entiers. Pour chacun de ces cas, il faut
en distinguer trois autres selon la position de $v(i)$ (ou $v(j)$)
par rapport � $v(k)$ et $v(l)$. Examinons soigneusement chacun de
ces dix-huit cas. Ils sont discut�s dans les figures ci-dessous,
o� l'on trouvera : � gauche, la position relative des entiers 
$i, j, k, l$; puis trois doublets de figures correspondant aux trois
positions possibles de $v(i)$ (ou $v(j)$) par rapport � $v(k)$ et
$v(l)$; chaque doublet donne � gauche les positions des points
pertinents du diagramme de $v$ (repr�sent�s par des $\bullet$)
et $vt_{ij}$ (repr�sent�s par des $\circ$, pour ceux qui sont
diff�rents des pr�c�dents), de m�me � droite celles
de $u$ et $ut_{ij}$; sur chaque figure, est de plus repr�sent�e 
l'�cart de la fonction de rang de $vt_{ij}$ � gauche, et $ut_{ij}$
� droite, par rapport � la fonction de rang de $v$ : � une zone gris
clair correspond un �cart de $-1$, � une zone gris fonc� un �cart 
de $+1$. 

$$\epsfbox{sch.10}$$

$$\epsfbox{sch.11}$$

$$\epsfbox{sch.12}$$

$$\epsfbox{sch.13}$$

$$\epsfbox{sch.14}$$

$$\epsfbox{sch.15}$$

Rep�rons les diff�rents cas ci-dessus par leur num�ro de ligne (de 1 �
6 de haut en bas) et leur position dans la ligne (a,b ou c de gauche �
droite). On constate que pour 1a, 2a, 3b, 3c, 4c, 5a, 5b et 6c, les 
permutations $vt_{ij}$ et $ut_{ij}$ sont simultan�ment major�es par 
$w$. Dans les cas 3a et 5c, on a $ut_{ij}\le vt_{ij}$, et si 
$ut_{ij}\le w$, alors n�cessairement $vt_{ij}\le w$. 

Les cas o� $vt_{ij}\le w$ mais $ut_{ij}\nleq w$ proviennent des cas
2b, 2c, 4a et 4b, et sont symbolis�s par les diagrammes ci-dessous, 
o� $r_v-r_w$ doit �tre strictement positive sur les zones gris�es, 
et doit s'annuler dans un des rectangles o� figure un z�ro; les
positions des points du diagramme de $v$ sur les lignes $k$ et $l$ 
sont figur�es par des $\bullet$, l'autre point pertinent par un
$\circ$. 

$$\epsfbox{sch.16}$$

De m�me, les cas o� $ut_{ij}\le w$ mais $vt_{ij}\nleq w$ proviennent 
des cas 1b, 1c, 6a et 6b, et sont symbolis�s par les diagrammes ci-dessous :

$$\epsfbox{sch.17}$$

On constate que les contributions de 1b et 2b d'une part, 4b et 6b 
d'autre part, se compensent exactement. Par contre, celle de 1c est 
n�cessairement sup�rieure � celle de 2c, de m�me que celle de 6a est
sup�rieure � celle de 4a. Les diff�rences de ces contributions
correspondent aux diagrammes suivants :

$$\epsfbox{sch.18}$$

On trouve exactement les configurations de type B. \qed


\section{Les composantes irr�ductibles du lieu singulier}

\begin{prop} Les \vss $X_u$, o� $u\in C(w)$ provient d'une
  configuration minimale de type $4231$, sont des composantes
irr�ductibles du lieu singulier de $X_w$. \end{prop} 

\dem Montrons d'abord que $X_u$ est incluse dans le lieu singulier 
de $X_w$ : il s'agit de v�rifier que $m(w,u)>l(w)$. Notons pour cela
que $u$ se d�duit de $w$ par la succession de 2 s�ries de mouvements
�l�mentaires dont chacune correspond � un cycle (on appelle ici
mouvement �l�mentaire l'�change de deux points du diagramme qui fait
diminuer la longueur d'exactement une unit�) : on commence par 
abaisser le point du diagramme en position 4 par des mouvements
�l�mentaires impliquant les points de la suite NO, puis on le d�place  
vers la gauche par des mouvements �l�mentaires impliquant les points 
de la suite SE. Les r�sultats de ces deux  s�ries de mouvements 
�l�mentaires sont indiqu�s dans la figure ci-dessous. \smallskip

$$\epsfbox{sch.7}$$

\smallskip On obtient finalement une
permutation $v$, dont $u$ se d�duit par un mouvement �l�mentaire 
impliquant le point du diagramme en position 1 et celui o� a �t� amen� 
le point initialement en position 4. Mais apparaissent ici des
configurations de type A : il suffit de prendre un point de la suite $NO$
et un point de la suite $SE$, le rectangle $R_1$ dont ils sont les sommets
satisfait les conditions qui d�finissent une configuration de type A.
\smallskip

$$\epsfbox{sch.8}$$

\smallskip
On constate m�me que ce sont les seules configurations de ce type, et
qu'il n'y a pas de configuration de type B, ce dont on d�duit que 
$$m(w,u)=m(w,v)+(l+1)(m+1)>m(w,v)\ge l(w).$$

Montrons maintenant que $X_u$ est une composante irr�ductible du 
lieu singulier de $X_w$, ce pourquoi il s'agit de d�montrer que si 
$u\le x\le w$ et $l(x)=l(u)+1$, alors $m(w,x)=l(w)$. Parmi ces 
permutations $x$ figure celle que nous venons d'appeler $v$. Or on 
constate sans difficult� que $X_v$ n'est pas incluse dans le lieu
singulier de $X_w$ : en effet, dans la suite de mouvements ci-dessus
permettant de passer de $w$ � $v$, on v�rifie � chaque �tape que
n'appara�t aucune configuration de type A ou B. Cela implique 
au passage que $l(w)=m(w,u)-(l+1)(m+1)$, et l'on doit donc v�rifier
que pour toute autre permutation $x$ comme ci-dessus, on a 
$m(w,u)=m(w,x)+(l+1)(m+1)$.

Or une telle permutation $x$ s'obtient en choisissant un point de la
suite SE, un point de la suite NO, et en les permutant, ce qui
donne la figure suivante. 

$$\epsfbox{sch.9}$$

On constate qu'appara�t ici une configuration de type A pour chaque 
choix d'un autre point de la suite SE, ou du point $1'$, 
et d'un autre point de la suite NO, ou du point $2'$. Donc 
$m(w,u)\ge m(w,x)+(l+1)(m+1)$, et l'�galit� d�coule du fait 
que $m(w,x)\ge l(w)$ (ou de la constatation qu'il n'appara�t pas
d'autre configuration de type A ou B que les pr�c�dentes). 
La proposition est d�montr�e. \qed

\begin{prop} Les \vss $X_u$, o� $u\in C(w)$ provient d'une
  configuration minimale de type $3412$, sont des composantes
irr�ductibles du lieu singulier de $X_w$. \end{prop} 

\dem On suit le m�me sch�ma de d�monstration que pour la proposition
pr�c�dente. Rappelons que nous avons identifi� deux vari�t�s de
composantes minimales de type 3412, ce qui nous oblige � examiner
deux cas. 

\noindent {\em Premier cas.} On passe de $w$ � $u$ de la fa�on suivante :
on commence par abaisser le point du diagramme en position 3 par 
des mouvements �l�mentaires impliquant les points de la suite NO,
y compris le point du diagramme en position 1; on le d�place 
ensuite � droite � l'aide du point occupant la position 4; 
enfin, on le d�place � nouveau vers la gauche par des mouvements
�l�mentaires impliquant les points de la suite SE.
%, y compris le point occupant la position 2. 
Les r�sultats de ces trois �tapes 
sont indiqu�s dans la figure ci-dessous. \smallskip

$$\epsfbox{schu.1}$$

\smallskip On obtient finalement une
permutation $v$, dont $u$ se d�duit par un mouvement �l�mentaire 
impliquant le point du diagramme en position 2 et celui o� a �t� amen� 
le point initialement en position 3. Mais apparaissent ici des
configurations de type A et de type B. Pour les premi�res, il suffit 
de prendre un point de la suite SE : avec le point en position 33
(i.e. sur la troisi�me ligne en partant du haut, et la troisi�me
colonne en partant de la gauche, sur le quadrillage en pointill� dans
la figure), 
on obtient deux sommets oppos�s d'un rectangle $R_1$ satisfaisant les 
conditions qui d�finissent une configuration de type A. Pour les 
secondes, il suffit de prendre un point de la suite NO, y compris le
point se trouvant sur l'abscisse du point occupant initialement la 
position 1.
\smallskip

$$\epsfbox{schu.2}$$

\smallskip
On constate qu'il n'y a pas d'autre configuration de
type A ou B, ce qui implique que 
$$m(w,u)=m(w,v)+l+m+1>m(w,v)\ge l(w).$$
Comme dans la d�monstration de la proposition pr�c�dente, on s'assure 
que l'on a en fait $m(w,v)=l(w).$

Montrons maintenant que $X_u$ est une composante irr�ductible du 
lieu singulier de $X_w$, ce pourquoi il s'agit de d�montrer que si 
$u\le x\le w$ et $l(x)=l(u)+1$, alors $m(w,u)=m(w,x)+l+m+1$.
Or une telle permutation $x$, � sym�trie pr�s par rapport � l'une des
deux diagonales, s'obtient en choisissant un point de la SE
et en le permutant avec le point occupant la position 22. 

$$\epsfbox{schu.3}$$

On constate qu'appara�t ici une configuration de type A pour chaque 
choix d'un autre point de la suite SE (ou du point $1'$), qui est 
avec le point occupant la position 33 sommet d'un rectangle $R_1$ 
convenable. De m�me, appara�t une configuration de type B pour chaque
point de la suite SE. On obtient ainsi $l$ configurations de type A
et $m+1$ de type B. Donc 
$m(w,u)\ge m(w,x)+l+m+1$, et l'�galit� d�coule du fait 
que $m(w,x)\ge l(w)$ (ou de la constatation qu'il n'appara�t pas
d'autre configuration de type A ou B que les pr�c�dentes). 

\medskip\noindent {\em Deuxi�me cas.} 
Ici, on passe de $w$ � $u$ de la fa�on suivante :
on d�place d'abord vers la gauche le point du diagramme en position 3 par 
des mouvements �l�mentaires impliquant les points de la suite centrale,
y compris le point du diagramme en position 1; on d�place 
ensuite le point du diagramme en position 2 vers la droite 
par des mouvements �l�mentaires impliquant les points de la suite
centrale (d�cal�e).
Les r�sultats de ces deux �tapes 
sont indiqu�s dans la figure ci-dessous. \smallskip

$$\epsfbox{schu.4}$$

\smallskip On obtient finalement une
permutation $v$, dont $u$ se d�duit par un mouvement �l�mentaire 
impliquant le point du diagramme en position 4 et celui o� a �t� amen� 
le point initialement en position 2. Apparait  ici une et une seule
configuration de type B, correspondant au point qui occupe la position
14. \smallskip

$$\epsfbox{schu.5}$$

\smallskip
Par contre, il n'existe aucune configuration de type A. On obtient donc
$$m(w,u)=m(w,v)+1>m(w,v)=l(w).$$

Montrons maintenant que $X_u$ est une composante irr�ductible du 
lieu singulier de $X_w$, ce pourquoi il s'agit de d�montrer que si 
$u\le x\le w$ et $l(x)=l(u)+1$, alors $m(w,u)=m(w,x)+1$.
Or une telle permutation $x$, � sym�trie pr�s par rapport � 
la diagonale SO-NE, s'obtient en choisissant un point de la suite
centrale et en le permutant avec le point occupant la position 41. 

$$\epsfbox{schu.6}$$

On constate qu'appara�t alors une configuration de type B, 
correspondant l� encore au point occupant la position 41.
La proposition est donc d�montr�e. \qed
 
\section{Maximalit�}

Les deux propositions pr�c�dentes permettent d'affirmer que les 
vari�t�s de Schubert $X_u$, lorsque $u$ d�crit $C(w)$, sont bien des
composantes irr�ductibles du lieu singulier de $X_w$. Reste � v�rifier
qu'il n'y en a pas d'autre, ce qui est le point le plus d�licat de la
d�monstration. 

\begin{prop} Si la \vs $X_x$ est incluse dans le lieu singulier de
$X_w$, alors il existe une permutation $u\in C(w)$ telle que $x\le u$.
\end{prop}

\dem On peut supposer qu'il existe une permutation $y$ telle que 
$l(y)=l(x)+1$, $x\le y\le w$, et $m(w,x)>m(w,y)$. D'apr�s la
proposition 2, le graphe de $x$ fait alors appara�tre une
configuration de type A ou B. Notons $D(x)$ l'ensemble des points
o� la diff�rence de fonctions de rang $r_x-r_w$ est strictement
positive. Si l'on choisit un chemin de $w$ � $x$, d�croissant pour 
l'ordre de Bruhat et faisant diminuer la longueur d'un en un, on voit
appara�tre cette r�gion $D(x)$ comme la r�union d'une famille $\cR$
de rectangles dont les sommets sont occup�s par des points du
diagramme de certaines des permutations du chemin choisi. 

Une configuration de type A ou B met en �vidence des zones
contenues dans $D(x)$ (ou $D(y)$), et des points qui n'en font pas
partie. Notre strat�gie consistera � isoler, � partir de ces zones
et des rectangles de la famille $\cR$ qui doivent les recouvrir, 
des configurations particuli�res de type 4231 ou 3412. Nous les
appellerons configurations gagnantes virtuelles, dans la mesure o� 
elles ne seront a priori pas constitu�es de points du diagramme d'une
meme permutation interm�diaire entre $x$ et $w$. Mais nous v�rifierons
que ces configurations persistent lorsque l'on ``remonte'' de $x$ �
$w$, donnant ainsi finalement une configuration du type attendu dans 
le diagramme de $w$. La position de la configuration obtenue par
rapport � $D(x)$ permettra de conclure. 


\medskip\noindent {\em Premier cas.}  Partons tout d'abord d'une
configuration de type B. Dans le rectangle $R_2$, on choisit 
un point $P$ (resp. $Q$) o� $r_x=r_w$, le plus � gauche (resp. 
le plus bas) possible. On choisit de fa�on sym�trique des points 
$P'$ et $Q'$ dans $R_2'$, comme dans la figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schw.1}$$

On construit alors une configuration virtuelle de la fa�on suivante. 
Le point imm�diatemment � gauche de $P$ est dans $D(x)$ par hypoth�se,
il appartient donc � l'un des rectangles $R_1$ de $\cR$, 
rectangle dont le sommet NE a m�me abscisse que $P$. Consid�rons 
ensuite le point $P_1$ situ� � m�me hauteur que $P$, imm�diatement �
gauche de $R_1$. Si son abscisse est sup�rieure � celle de $P'$, 
soit $R_2$ un rectangle de $\cR$ contenant $P_1$. En proc�dant 
de cette fa�on, on construit une suite de sommets NE de rectangles
de $\cR$ comme dans la figure ci-dessous : � chaque �tape on doit 
distinguer deux cas, selon que le sommet NE du rectangle $R_i$ 
se trouve � une hauteur inf�rieure au dernier point de la suite 
construite, ou non; dans le premier cas, c'est un nouveau point de
la suite, alors que dans le second cas, on ne le prend pas en compte. 

$$\epsfbox{schw.2}$$

On finit par obtenir un rectangle $R_m$ se trouvant au-dessus 
du point $P'$. Consid�rons alors le point $P'_1$ ayant m�me abscisse
que $P'$ et se trouvant imm�diatement sous $R_m$. Si ce n'est pas
$P'$, on choisit un rectangle $R'_1$ de $\cR$ le contenant. Comme
pr�cedemment, on construit ainsi une suite de sommets SO de rectangles
de $\cR$ situ�s au-dessus de $P'$. 

$$\epsfbox{schw.3}$$

En proc�dant sym�triquement avec les points $Q$ et $Q'$, on obtient 
une configuration virtuelle comme ci-dessous, form�e de sommets de
rectangles de $\cR$, la zone gris�e �tant toute enti�re incluse
dans $D(x)$. Appara�t en particulier une configuration 3412. 

Un point essentiel, dans cette configuration, est que chaque point 
de la suite joignant les points en position 1 et 3 est situ� soit �
une altitude sup�rieure � celle de $P$, soit sur une abscisse
inf�rieure � celle de $P'$. De m�me, chaque point 
de la suite joignant les points en position 2 et 4 est situ� soit �
une altitude inf�rieure � celle de $Q'$, soit sur une abscisse
sup�rieure � celle de $Q$. 

$$\epsfbox{schw.4}$$

Montrons maintenant qu'une configuration poss�dant
ces propri�t�s persiste n�cessairement quand on ``remonte le temps'', 
c'est-�-dire quand on effectue une transposition qui diminue la 
longueur. Il suffit �videmment de consid�rer une transposition
affectant au moins l'un des points de la configuration. Si elle en
affecte deux, la pr�sence des points $P,Q,P'$ et $Q'$ emp�che que les 
points en position 1234 soient impliqu�s. On est donc dans la
situation de la figure ci-dessous et l'on retrouve bien une
configuration du m�me type en rempla�ant les points $A$ et $B$
par $A'$ et $B'$. 

$$\epsfbox{schw.5}$$

Si la transposition n'affecte qu'un seul point de la configuration,
supposons que ce soit un des points en position 1234, qu'on peut
supposer �tre le point 3 du fait des sym�tries du probl�me par rapport
aux deux diagonales. A la transposition consid�r�e correspond un
rectangle de $\cR$, donc inclus dans $D(x)$. Si le point 3 en est le
sommet SE, on le remplace par le sommet NE quitte � modifier
�ventuellement la suite de points qui le joint au point 1, comme dans 
la partie gauche de la figure ci-dessous. Si le point 3 est le sommet 
NO du rectangle, qui doit alors se trouver tout entier au-dessus du
point $P$, on le remplace par le sommet SO quitte, l� encore, � modifier
la suite de points qui le joint au point 1, comme dans la partie
droite de la figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schw.6}$$

Au bout du compte, on obtient une configuration poss�dant les m�mes 
propri�t�s, mais constitu�e de points du diagramme de $w$. On v�rifie 
alors sans difficult� qu'elle doit contenir une configuration minimale
de type 3412 ou 4231. Pour cela, on peut tout d'abord supposer que la suite
joignant 1 � 3 ne poss�de aucun point dont l'abscisse soit incluse
entre celles de $P$ et $Q'$ : si c'est le cas, ce point doit se trouver
� une altitude sup�rieure � celle du point 4 et l'on peut alors le
prendre pour point 3. Au vu des sym�tries, on se ram�ne ainsi � une 
configuration du type suivant. 

$$\epsfbox{schw.7}$$

Mais si l'on a des points du diagramme de $w$ � la fois dans le
rectangle central et dans le rectangle NO, par exemple, appara�t 
une configuration 4231 plus petite, et certainement minor�e par une
configuration minimale de type 4231. En cons�quence, soit le rectangle 
central est vide et l'on obtient une configuration minimale de type 
3412, soit il ne l'est pas et l'on peut supposer que les rectangles NO
et SE le sont. Si la suite occup�e par le rectangle central est
orient�e dans la direction SO-NE, on a bien affaire � une
configuration minimale de type 3412. Si ce n'est pas le cas, deux 
points orient�s NO-SE de cette suite donnent, avec les points en
position 1 et 3 par exemple, une configuration 4231 plus petite, et 
certainement minor�e par une configuration minimale de type 4231 
-- au sens o� l'�cart de sa fonction de rang avec celle de $w$ est
strictement positif sur une zone plus grande, ce qui implique bien 
qu'elle est major�e par un �l�ment de $C(w)$.
Cela conclut l'�tude de ce premier cas. 


\medskip\noindent {\em Deuxi�me cas.} Supposons qu'il existe une
configuration de type A pour la paire $x, y$. On se placera dans
le cas o� le rectangle $R_1$ se trouve au NE du rectangle $R_2$, comme
dans la figure qui pr�c�de la Proposition 2, 
les autres cas se traitant de fa�on
analogue (il y a deux autres cas, modulo les sym�tries par rapport
aux deux diagonales).  La zone $R_1 \backslash R_2$ est alors incluse
dans $D(y)$, et doit donc �tre couverte par une famille de rectangles 
de $\cR$,  ne contenant pas les points de $R_1\cap R_2$ qui ne sont pas
inclus dans $D(y)$ (il en existe par hypoth�se). Fixons l'un de ces 
points, disons $O$. 

Supposons tout d'abord qu'il existe dans $\cR$ un rectangle, au-dessus
de $O$, et un autre � droite de $O$, dont les sommets SO soient dans 
$R_2$. Appara�t alors une configuration virtuelle 4231 comme dans la 
figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schv.1}$$

Si tous les rectangles de $\cR$ se trouvant au-dessus de $O$ ont leur
sommet SO en dehors de $R_2$, on construit une configuration de la
fa�on suivante. On consid�re tout d'abord un point de $D(y)$ ayant 
m�me abscisse que $O$, et se trouvant au-dessus de $O$, le plus
bas possible. Ce point est contenu dans un rectangle $C_1$ de $\cR$. 
%Si ce c�t� sup�rieur de ce rectangle est au-dessous de celui de $R_2$,
On recommence alors avec le point se trouvant � m�me abscisse que $O$, 
imm�diatement au-dessus de $C_1$. On finit par obtenir un rectangle
$C_l$ de $\cR$, dont le c�t� inf�rieur  est au-dessus du c�t�
sup�rieur de $R_2$, ou bien contenant le point $S$, sommet NO de $R_1$. 
De la suite des sommets SO de ces rectangles, plus �ventuellement $S$,
on extrait alors une configuration de points comme ci-dessous.  

$$\epsfbox{schv.2}$$

Si n�cessaire, on fait de m�me sym�triquement par rapport � la
diagonale SO-NE. Dans tous les cas, on obtient une configuration du
type suivant, form� d'un ``corps'' ($C$) et de deux ``ailes''($A$ et
$A'$). Chacune 
des ailes peut  �ventuellement �tre r�duite � un seul point. 
Le point $O$ se trouve entre l'extr�mit� SE de l'aile NO, et 
l'extr�mit� NO de l'aile SE. 

$$\epsfbox{schv.3}$$

L'existence du point $O$ est essentielle pour montrer que cette
configuration persiste lorsque l'on remonte de $y$ � $w$. On v�rifie 
cette persistance en raisonnant au cas par cas comme dans la premi�re
partie de cette d�monstration, ce qui ne pr�sente pas de difficult�,
le nombre de cas � examiner �tant fortement limit� par les sym�tries
de la configuration. 

Il existe donc une configuration du m�me type non plus virtuelle, mais
constitu�e de points du diagramme de $w$. Si l'une des ailes de cette
configuration n'est pas r�duite � un point, on obtient une
configuration de type 3412 qui domine manifestement une configuration 
minimale du m�me type. Si les deux ailes sont r�duites � des points, 
on obtient une configuration de type 4231 qui l� encore, domine une
configuration du m�me type. Cela conclut la d�monstration. \qed

\section{La conjecture de Lakshmibai \& Sandhya}

V. Lakshmibai et B. Sandhya conjecturent dans \cite{ls} une
caract�risation indirecte des composantes irr�ductibles 
du lieu singulier d'une \vs
$X_w$. Ces auteurs associent � $w$ un ensemble $Z(w)$ de permutations
$v\le w$ provenant des configurations de type 3412 ou 4231 de $w$ 
de la fa�on suivante. 

Si l'on part d'une configuration 3412, on demande que les points 
du diagramme de $v$ sur les colonnes correspondantes soient dans une 
configuration 1324. De plus, si l'on redresse la configuration 3412
de $w$ en une configuration 1324, la permutation obtenue $v'$ doit
v�rifier $v'\le v$, alors que si l'on transforme la configuration 
1324 de $v$ en une configuration 3412, la permutation obtenue $w'$ doit
v�rifier $w'\le w$. Graphiquement, cela donne la figure suivante :
� gauche, on a repr�sent� par des $\bullet$ les points du diagramme
de $w$, par des $\circ$ ceux de $v'$, 
et � droite, par des $\bullet$ les points du diagramme
de $v$, par des $\circ$ ceux de $w'$. 
On a $r_{v'}=r_w+\chi_A$ et $r_{w'}=r_v-\chi_B$, de sorte que les 
conditions impos�es � $v$ s'�crivent simplement $r_w+\chi_B\le r_v
\le r_w+\chi_A$. En particulier, la r�gion $A$ doit contenir la 
r�gion $B$. 

$$\epsfbox{schv.4}$$

De m�me, si l'on part d'une configuration 4231, on demande que les points 
du diagramme de $v$ sur les colonnes correspondantes soient dans une 
configuration 2413. De plus, si l'on redresse la configuration 4231
de $w$ en une configuration 2413, la permutation obtenue $v'$ doit
v�rifier $v'\ge v$, alors que si l'on transforme la configuration 
2413 de $v$ en une configuration 4231, la permutation obtenue $w'$ doit
v�rifier $w'\le w$. Graphiquement, avec les m�mes conventions que
ci-dessus, on obtient la figure suivante. Ici encore, les conditions
impos�es � $v$ s'�crivent  $r_w+\chi_B\le r_v
\le r_w+\chi_A$, et la r�gion $A$ doit contenir la r�gion $B$. 

$$\epsfbox{schv.5}$$

\medskip\noindent {\bf Conjecture \cite{ls}.} {\em Les composantes
irr�ductibles de $X_w$ sont les \vss $X_v$, o� $v$ d�crit l'ensemble
des �l�ments maximaux de $Z(w)$ pour l'ordre de Bruhat.} 

\medskip V�rifier que le th�or�me 1 implique cette conjecture 
ne pr�sente pas de difficult� s�rieuse. On proc�de en deux temps. 

\begin{lemm} Si $u\in Z(w)$, alors le lieu singulier de $X_w$ contient 
$X_u$. \end{lemm}

\dem Supposons par exemple que $u$ provienne d'une configuration 
3412 de $w$. Comme on vient de l'expliquer, on a donc la partie 
gauche de la figure ci-dessous, o� les $\bullet$ sont des points 
du diagramme de $w$ et les $\circ$ des points du diagramme de $u$. 

$$\epsfbox{schv.6}$$

Soit $v$ la permutation obtenue en �changeant les points du diagramme
de $u$ en position 2 et 4. On a $u\le v\le w$ : la premi�re in�galit� 
est �vidente, la seconde d�coule de l'in�galit� $r_w+\chi_B\le r_u$. 
On constate alors que le point du diagramme de $u$ (donc de $v$) en 
position 1 donne avec les deux points modifi�s (indiqu�s par des 
$\times $ dans la figure) une configuration de 
type B. La proposition 2 implique donc que $m(w,u)>m(w,v)\ge
l(w)$, ce qui assure que $X_u$ est incluse dans le lieu singulier de 
$X_w$. 

De m�me, si $u$ provient d'une configuration 4231 de $w$, soit
$v$ la permutation obtenue en �changeant les points du diagramme
de $u$ en position 2 et 4, comme dans la partie droite de la 
figure ci-dessus. On a $u\le v\le w$.
On constate alors que les points du diagramme de $u$ (donc de $v$) en 
position 1 et 3 donnent avec les deux points modifi�s une configuration de 
type A. La proposition 2 implique donc � nouveau que $m(w,u)>m(w,v)\ge
l(w)$, ce qui assure que $X_u$ est incluse dans le lieu singulier de 
$X_w$. \qed

\begin{lemm} L'ensemble  $C(w)$ est inclus dans $Z(w)$. \end{lemm}

\dem Consid�rons par exemple une permutation $v$ provenant d'une 
configuration minimale de type 4231, et choisissons une configuration 
4231 particuli�re de cette configuration, rep�r�e par les indices 
$i, j, k, l$ de la figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schv.7}$$

On a �galement indiqu� les indices not�s ci-dessus $i', j',k',l'$. 
Les zones $A$ et $B$ s'en d�duisent imm�diatement : la premi�re 
est cern�e par un trait plein, la seconde par un trait pointill� dans
la figure ci-dessus. On constate
que la zone o� $r_w>r_v$, qui est repr�sent�e en gris, est comprise 
entre $A$ et $B$ : c'�tait ce  qu'il fallait v�rifier. 

On laissera le lecteur faire le raisonnement analogue pour les  
permutations provenant de configurations minimales de type  3412. \qed

\begin{theo} La conjecture de Lakshmibai et Sandhya est
  vraie. \end{theo}

\dem Il s'agit de v�rifier que $C(w)$ est l'ensemble des �l�ments 
maximaux de $Z(w)$. Si $u$ est maximal dans $Z(w)$, le lemme 6
assure que $X_u$ est dans le lieu singulier de $X_w$, et le th�or�me
1  implique alors l'existence de $v\in C(w)$ tel que $u\le v$. 
Comme $v\in Z(w)$ d'apr�s le lemme 7, et $u$ est maximal dans 
cet ensemble, il vient $u=v$. R�ciproquement, si $u\in C(w)$ et $u\lneq
v$ avec $v\in Z(w)$, alors $X_v$ n'est pas incluse dans le lieu
singulier de $X_w$, ce qui contredit le lemme 6. 
\qed


\bigskip
\begin{thebibliography}{aa}

\bibitem{gl} Gonciulea N., Lakshmibai V. : {\sl Schubert varieties,
    toric varieties, and ladder determinantal varieties}, Ann. 
Inst. Fourier {\bf 47} (1997), 1013-1064.

\bibitem{ls} Lakshmibai V., Sandhya B.: {\sl Criterion for smoothness
of Schubert varieties in $Sl(n)/B$}, Proc. Indian Acad. Sci. {\bf 100} 
(1990), 45-52.

\bibitem{lse} Lakshmibai V., Seshadri S.: {\sl Singular locus of a
Schubert variety}, Bull. A.M.S. {\bf 11} (1984), 363-366.

\bibitem{man} Manivel L. : Fonctions sym�triques, polyn�mes de
    Schubert et lieux de d�g�n�rescence, Cours Sp�cialis�s {\bf 3}, 
Soci�t� Math�matique de France, 1998.

\bibitem{sv} Svanes T. : {\sl Coherent cohomology on Schubert
    subschemes of flag schemes and applications}, Adv. Math {\bf 14}
(1974), 369-453.

\end{thebibliography}

\medskip\noindent
{\sc Laurent Manivel, Institut Fourier}, UMR 5582 du CNRS, Universit� 
Joseph Fourier, BP 74, 38402 Saint Martin d'H�res, France. 

\noindent {\em E-mail} : Laurent.Manivel@ujf-grenoble.fr

\end{document}













\medskip\noindent {\em Deuxi�me cas.}  Partons maintenant d'une
configuration de type B. Dans les rectangles $R_2$ et $R'_2$, on
choisit des points $O$ et $O'$ tels que la partie de $R_2$ qui se
trouve au SO de $O$ (y compris les points imm�diatement � l'ouest ou au
sud), ainsi que   la partie de $R'_2$ qui se trouve au NE de $O'$, 
soient incluses dans $D(x)$. On peut alors trouver des rectangles de
la famille $\cR$ comme indiqu� dans la figure ci-dessous, et faire 
appara�tre une configuration 3412. 

$$\epsfbox{schw.1}$$

On construit alors une suite de rectangles de $\cR$ dont les sommets
soient dans la configuration ci-dessus, la zone gris�e �tant, comme 
pr�c�demment, incluse dans $D(x)$. 

$$\epsfbox{schw.2}$$

Un point essentiel, dans cette configuration, est que chaque point 
de la suite joignant les points en position 1 et 3 est situ� soit �
une altitude sup�rieure � celle de $O$, soit sur une abscisse
inf�rieure � celle de $O'$. Montrons qu'une configuration poss�dant
cette propri�t� persiste n�cessairement quand on remonte le temps, 
c'est-�-dire quand on effectue une transposition qui diminue la 
longueur. Il suffit �videmment de consid�rer une transposition
affectant au moins un des points de la configuration. Si elle en
affecte deux, la pr�sence des points $O$ et $O'$ emp�che que les 
points en position 1234 soient impliqu�s. On est donc dans la
situation de la figure ci-dessous et l'on retrouve bien une
configuration du m�me type en rempla�ant les points $P$ et $Q$
par $P'$ et $Q'$. 

$$\epsfbox{schw.3}$$

Si la transposition n'affecte qu'un seul point de la configuration,
supposons que ce soit un des points en position 1234, qu'on peut
supposer �tre le point 3 du fait des sym�tries du probl�me par rapport
aux deux diagonales. A la transposition consid�r�e correspond un
rectangle de $\cR$, donc inclus dans $D(x)$. Si le point 3 en est le
sommet SE, on le remplace par le sommet NE quitte � modifier
�ventuellement la suite de points qui le joint au point 1, comme dans 
la partie gauche de la figure ci-dessous. Si le point 3 est le sommet 
NO du rectangle, qui doit alors se trouver tout entier au-dessus du
point $O$, on le remplace par le sommet SO quitte, l� encore, � modifier
la suite de points qui le joint au point 1, comme dans la partie
droite de la figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schw.4}$$

Au bout du compte, on obtient une configuration poss�dant les m�mes 
propri�t�s, mais constitu�e de points du diagramme de $w$. On v�rifie 
alors sans difficult� qu'elle doit contenir une configuration minimale
de type 3412 ou 4231. Tout d'abord, on peut supposer que la suite
joignant 1 � 3 ne poss�de aucun point dont l'abscisse soit incluse
entre celle de $O$ et $O'$ : si c'est le cas, ce point doit se trouver
� une altitude sup�rieure � celle du point 4 et l'on peut alors le
prendre pour point 3. Au vu des sym�tries, on se ram�ne ainsi � une 
configuration du type suivant. 

$$\epsfbox{schw.5}$$

Mais si l'on a des points du diagramme de $w$ � la fois dans le
rectangle central et dans le rectangle NO, par exemple, appara�t 
une configuration 4231 plus petite, et certainement minor�e par une
configuration minimale de type 4231. En cons�quence, soit le rectangle 
central est vide et l'on obtient une configuration minimale de type 
3412, soit il ne l'est pas et l'on peut supposer que les rectangles NO
et SE le sont. Si la suite occup�e par le rectangle central est
orient�e dans la direction SO-NE, on a bien affaire � une
configuration minimale de type 3412. Si ce n'est pas le cas, deux 
points orient�s NO-SE de cette suite donnent, avec les points en
position 1 et 3 par exemple, une configuration 4231 plus petite, et 
certainement minor�e par une configuration minimale de type 4231.










Notons $R_+(0)$ (resp. $R_-(O)$)
l'ensemble des  rectangles de $\cR$ qui rencontrent $R_2$ ou son bord 
juste � la verticale (resp. � la droite) de $O$. 

a. Supposons que $R_+(O)$ contienne un rectangle dont le c�t� gauche 
soit � droite de celui de $R_2$, et que sym�triquement,  $R_-(O)$
contienne un rectangle dont le c�t� inf�rieur soit au dessus de celui 
de $R_2$. Appara�t alors une configuration gagnante virtuelle 4231 
comme dans la figure ci-dessous. 

$$\epsfbox{schv.1}$$













b. Supposons que $R_+(O)$ contienne un rectangle $R_0$ dont le c�t� gauche 
soit � droite de celui de $R_2$, mais  que  $R_-(O)$ ne
contienne que des rectangles dont le c�t� inf�rieur soit au dessous de 
celui de $R_2$. Appara�t alors une configuration 3412 comme dans la 
figure ci-dessous. Supposons que $R_0$
ne contienne pas le point en position 3. Le point indiqu� $a_1$ sur la
figure est alors inclus dans un rectangle de la famille $\cR$. Si ce
rectangle a son c�t� gauche � droite de celui de $R_0$, soit $s_1$ son 
sommet externe SO. On passe ensuite au point indiqu� $a_2$ sur la
figure, m�me si le rectangle pr�c�dent a son c�t� gauche � gauche 
de celui de $R_0$. En it�rant ce proc�d� jusqu'� atteindre le point en
position 3, on construit une configuration gagnante virtuelle de type 
3412. 

$$\epsfbox{schv.2}$$

c. Supposons que $R_+(O)$ ne contienne que des rectangles  dont le 
c�t� gauche soit � gauche de celui de $R_2$, et que  $R_-(O)$ ne
contienne que des rectangles dont le c�t� inf�rieur soit au dessous de 
celui de $R_2$. En proc�dant comme dans le cas pr�c�dent, mais aussi
bien en direction du point 3 que de celui num�rot� 5 dans la
figure ci-dessous, on construit alors une configuration gagnante
virtuelle de type 3412. 

$$\epsfbox{schv.3}$$






L'existence du point $O$ est essentielle pour montrer que cette
configuration persiste lorsque l'on remonte de $y$ � $w$. Montrons 
par r�currence que persistera une configuration du type suivant, o�
la zone gris�e est incluse dans $D(x)$ : 

$$\epsfbox{schv.4}$$

Examinons comment cette configuration peut-�tre affect�e lorsque l'on 
remonte vers $w$ dans le graphe de Bruhat. Supposons que le point en
position 4 soit d�plac�. A sym�trie pr�s par rapport � la diagonale 
SO-NE, il ne peut l'�tre que de l'une des fa�ons consid�r�es dans les
figures ci-dessous. On a indiqu� dans chaque cas comment l'on
retrouvait une configuration du m�me type, en tenant compte du fait 
que la modification effectu�e nous donne au passage un rectangle de $\cR$. 

$$\epsfbox{schv.5}$$

Sym�triquement, la m�me discussion vaut pour le cas o� c'est le point
en position 1 qui est d�plac�. Reste � traiter le cas o� c'est le
point en position 2, ou 3 par sym�trie, qui bouge. Notons d'abord
qu'ils ne peuvent bouger tous les deux simultan�ment, puisque cela
impliquerait que $O$ est dans $D(y)$, ce qui n'est pas le cas. Pour
les m�mes raisons, les mouvements possibles pour 2 sont limit�s : ils
doivent avoir lieu dans un rectangle ne contenant pas $O$. Les cas
possibles sont repr�sent�s dans la figure ci-dessous, o� l'on constate 
� nouveau que l'on retrouve apr�s le mouvement consid�r� une
configuration du m�me type. 

$$\epsfbox{schv.6}$$

Par r�currence, on en d�duit l'existence d'une configuration du m�me 
type non plus virtuelle, mais constitu�e de points du diagramme de
$w$. \smallskip


math0102124.extracted_bib
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