an.tex
\section{Cons�quence sur les coefficients de la s�rie $\mathbf{\hat a(\eps)}$}
\label{sec:an}
D'apr�s \cite{FS}, la fonction $a(\eps)$ est holomorphe dans le
domaine 
$${\mathcal M}=\biggl\{ \eps \Bigl/ \arg(\eps) \in \Bigl]
\frac{-5\pi}{2} +\delta,  \frac{\pi}{2}-\delta\Bigr[, 0<|\eps|\leq|\eps_1|
\biggr\}.$$ 
Pour $\eps_0$ assez petit ($|\eps_0|<|\eps_1|$), le chemin $\gamma$,
d�fini par un arc de cercle de rayon $| \eps_0|$ et deux segments
proches de $[0, \eps_0]$ (voir figure~\ref{fig:integ}) est inclu dans
${\mathcal M}$, et est r�tractile en un point dans ce domaine..

\bigskip
\begin{figure}[ht!]
\center{\includegraphics[scale=0.8]{courbe-integration.ps}}
\caption{ Chemin d'int�gration $\gamma$.}\label{fig:integ}
\end{figure}

Donc pour $\eps \in {\mathcal M}$, on a 
\begin{align*}
a(\eps) &=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{a(u)}{u-\eps}du\\
        &=\frac{1}{2i\pi}\int_{|u|=\rho} \frac{a(u)}{u-\eps}du +
\frac{1}{2i\pi}\int^{\eps_0}_0
\biggl(\frac{a(ue^{-2i\pi})-a(u)}{u-\eps}\biggr) du\\ 
\intertext{puis en d�veloppant en s�rie de $\eps$ et en identifiant les
  coefficients obtenus} 
a_n &=\frac{1}{2i\pi}\int_{|u|=\rho} a(u)u^{-n-1} du
+\frac{1}{2i\pi}\int^{\eps_0}_0
\biggl(a(ue^{-2i\pi})-a(u)\biggr)u^{-n-1} du\\
\intertext{comme le premier terme n'est que de l'ordre de $\rho^{-n}$}
a_n &\sim \frac{1}{2i\pi}\int^{\eps_0}_0\Bigl(a^-(u)-a^+(u)\Bigr)u^{-n-1}
    du\\
\intertext{et que dans cette int�grale, la contribution principale
  vient du voisinage de $0$, le th�or�me \ref{eq:B} m�ne �}
a_n &\sim -\frac{1}{2i\pi} i\frac{8\sqrt 2}{e^{4/3}\sqrt\pi}
\int^{\eps_0}_0 \frac{e^{-4/3u}}{\sqrt u}u^{-n-1} du\,.\\
\intertext{On effectue alors le changement de variable
  $t=\frac{4}{3u}, du=-\frac{4}{3}\frac{dt}{t^2}$} 
a_n &\sim \frac{1}{2\pi}\frac{8\sqrt 2}{e^{4/3}\sqrt\pi}
\int_{+\infty}^{4/3\eps_0} e^{-t}t^{n-1} \sqrt t \; dt \times
\sqrt{\frac{3}{4}} \biggl(\frac{3}{4}\biggr)^n\,.\\
\intertext{Pour $n$ assez grand, $\int_{4/3\eps_0}^0
 \! e^{-t}t^{n-1/2} dt$ est n�gligeable face �
  $\int_{+\infty}^{4/3\eps_0} \!e^{-t}t^{n-1/2} dt$.}
\intertext{Donc} 
a_n &\sim \frac{-1}{2\pi}\frac{8\sqrt 2}{e^{4/3}\sqrt\pi}
    \sqrt{\frac{3}{4}} \biggl(\frac{3}{4}\biggr)^n  
    \Gamma\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr) \\
\intertext{Or}
\Gamma\biggl(n+\frac{1}{2}\biggr) &\sim \sqrt{2\pi n}
\biggl(\frac{n-1/2}{e}\biggr)^{n-1/2} \sim \sqrt{2\pi}
\biggl(\frac{n}{e}\biggr)^n\\ 
\intertext{Donc}
a_n &\sim \frac{-1}{2\pi}\frac{8\sqrt 2}{e^{4/3}\sqrt\pi}
    \sqrt{\frac{3}{4}} \biggl(\frac{3}{4}\biggr)^n \sqrt{2\pi} 
\biggl(\frac{n}{e}\biggr)^n
\end{align*}
\begin{Th}
On a un �quivalent exact pour les coefficients des $\alpha$ \og �
canards\fg:
$$a_n  \sim \frac{-4\sqrt 3}{\pi e^{4/3}}  \biggl(\frac{3n}{4e}\biggr)^n$$
\end{Th}
On rappelle que tous les $\alpha$ donnant des solutions \og canards\fg
sont exponentiellement proches en $\eps$. Ils ont donc tous le
m\^eme d�veloppement asymptotique. Par ailleurs, le r�sultat obtenu (�
$\eps$ donn�) en sommant la s�rie \og au plus petit terme\fg donne
aussi une approximation de $\alpha$ exponentiellement bonne, et est
donc une valeur � canard~\cite{FS}. 

brussel.tex
\chapter{L'�quation du Brusselator}\label{chap:Brusselator}

Le syst�me diff�rentiel du Brusselator appara�t pour l'�tude de
l'�volution cin�tique de certaines r�actions chimiques
auto-catalytiques. Il peut se mettre sous la forme suivante:
\[ \left\{ \begin{array}{rl}
   \eps \dot \chi &=a(1+\chi)^2 y +a\chi^2+(a-1)\chi\\
      \dot y   &=-\chi(1+\chi)-y(1+\chi)^2
           \end{array}
\right. \]
Qualitativement, il y a des solutions �canard� de ce syst�me pour
des valeurs du param�tre $a$ voisines de $a_0=1$. Dans ce cas, la courbe
lente a pour �quation $y=\frac{-\chi^2}{(1+\chi)^2}$, et les trajectoires
des solutions peuvent �tre amen�es � suivre cette courbe lente y
compris sur sa partie instable (cf. figure \ref{fig:Brusselc}).
On s'int�ressera en fait aux grands canards, c'est-�-dire aux trajectoires
qui suivent la partie instable de la courbe jusqu'en $x$ infini.

\begin{figure}[ht!]
\center{\includegraphics[scale=0.85]{Bcanard.ps}}
\caption{Courbe canard du Brusselator}\label{fig:Brusselc}
\end{figure}

\section{Existence de solutions canards}

Nous allons commencer par transformer le syst�me pour obtenir une
�quation sous une forme \og normale\fg, correspondant � celle �tudi�e
dans la partie pr�c�dente (en particulier, nous ram�nerons le point
col pour le relief situ� � l'infini en un point fini). Puis nous
verrons quel est le domaine d'existence des solutions surstables �
l'�quation obtenue.

Pour �tudier ces solutions, nous allons prendre la nouvelle variable
$z=\dot \chi$, ce qui ram�ne la premi�re �quation du syst�me � 
\begin{align*}
a (1+\chi)^2 y&=-a\chi^2-(a-1)\chi+\eps z\\
\intertext{et la seconde �:}
z\frac{dy}{d\chi}=\frac{dy}{dt}&=-(\chi+1)\chi+\chi^2+\frac{a-1}{a}\chi-\frac{\eps}{a}z
=\frac{-\chi-\eps z}{a}\,.\\
\intertext{Or, la premi�re �quation ci-dessus nous donne aussi}
\frac{dy}{d\chi}&=\frac{-2\chi}{(1+\chi)^3}-\frac{a-1}{a}\frac{1-\chi}{(1+\chi)^3}+
\frac{\eps}{a}\frac{2z+(1+\chi)dz/d\chi}{(1+\chi)^3}\,,\\
\intertext{soit}
a(1+\chi)^2\frac{dy}{d\chi}&=-a+\frac{1-\chi}{1+\chi}+
\eps\Bigl(\frac{2z}{1+\chi}+\frac{dz}{d\chi}\Bigr)\,.
\end{align*}
Le syst�me du Brusselator peut donc se ramener � l'�quation suivante, 
que nous appellerons �quation du Brusselator.
$$\eps z \frac{dz}{d\chi}=\frac{2\chi}{1+\chi}
\left(z-\frac{(1+\chi)^3}{2}\right)
+(a-1)z+z\left(z-\frac{(1+\chi)^3}{2}\right)\frac{2\eps}{1+\chi}$$

On voit d�j� sur cette �quation que la fonction 
$\Phi_0(\chi)=\frac{(1+\chi)^3}{2}$ est particuli�re pour cette 
�quation: pour le param�tre $a=1$ elle est solution quand $\eps=0$, et 
c'est alors la seule solution (pour  $\eps=0$ quand on fait varier $a$) 
qui soit continue en $\chi=0$.

\medskip
On effectue le changement de variable suivant, qui ram�ne l'infini en $-1$
et laisse $0$ en $0$.
$$\chi=\frac{-x}{1+x}\ \ , \text{ puis } 
\frac{dx}{d\chi}=-(1+x)^2$$ 
Si on compare alors avec l'�quation de Van der Pol, $0$ correspondra
ici � $1$ (le point col qui n'est, exceptionnellement, pas un point
tournant), $-1$ � $-1$ (l'autre point col du relief).

D'o� l'�quation
\begin{equation}
\label{Brus0}\eps z(x)\frac{dz(x)}{dx}=\frac{2x}{(1+x)^2} 
\Bigl(z-\frac{1}{2(1+x)^3}\Bigr)-\frac{a-1}{(1+x)^2}z 
-z\Bigl(z-\frac{1}{2(1+x)^3}\Bigr)\frac{2\eps}{1+x}
\end{equation}

Montrons que cette �quation est bien du genre �tudi� lors de la
g�n�ralisation (voir partie pr�c�dente). 
On pose pour cela $z=\Phi_0(x)(1+\eps y)$, o�
$\Phi_0(x)$ correspond � la courbe lente, ici $\frac{1}{2(1+x)^3}$, et
on remplace dans l'�quation \eqref{Brus0} apr�s en avoir divis� les
deux membres par $z$ 
$$\eps\Phi'_0(1+\eps y)+\eps^2 y'\Phi_0 =
\frac{2x\eps y}{(1+x)^2(1+\eps y)}
-\frac{a-1}{(1+x)^2}-\Phi_0\eps y\frac{2\eps}{1+x}$$
Donc
$$\eps y'=y\left[4x(1+x)+\frac{\eps}{1+x}\right]+\frac{3}{1+x}
-2(x+1)\frac{a-1}{\eps}-\eps y^2 4x(1+x)\frac{1}{1+\eps y}$$
On voit que autour de $0$, on a:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item $p=1$ et $f(x)=4(1+x)$
\item $g(x,\eps)=\frac{1}{1+x}$
\item $h(x,\eps)=\frac{3}{1+x}$
\item $P(x,\eps,\eps y)=-\frac{4x(1+x)}{1+\eps y}$
\item $Q(x,\eps,y)=-2(x+1)$ avec $\alpha=\frac{a-1}{\eps}$.
\item On prend alors pour $\Dom_0$ l'ensemble $\CC$ priv� du
demi-axe r�el $]-\infty,-1]$.
\item Toutes les hypoth�ses �tant respect�es, vu le relief
repr�sent� figure \ref{fig:Brusselr}, le th�or�me~\ref{th:alphas}
s'applique: pour une valeur de $a$ bien choisie, soit $a^+(\eps)$, il
existe une solution holomorphe $z^+(x)$ qui sera continue en $0$ et
qui a pour domaine d'existence les montagnes Nord et Est et les
vall�es adjacentes; voir fig.~\ref{fig:Brusselr}. Sym�triquement, en
prenant les conjugu�s, on trouve une solution $z^-=\overline{z^+}$
correspondant au param�tre $a=a^-(\eps)=\overline{a^+}$.
\end{list}
Bien �videmment, ces deux solutions $(a,z)$ correspondent toutes les
deux aux s�ries formelles uniques
$$\hat a(\eps)=\sum a_n\eps^n \ \text{ et }\ \hat z(\eps,x)=\sum
z_n(x)\eps^n$$ construites de telle sorte que tous les termes $z_n$
sont continus en $x=0$.
\bigskip

\begin{figure}[ht!]
\caption{Relief correspondant � $\int_0^x 2t(1+t)dt$: domaine accessible 
� partir des sommets Est ou Nord, pour $a=a^+$; les courbes passant par 
$0$ sont les courbes de niveau $R(x)=0$, celles passant par $-1$ ont pour
�quation $R(x)=1/3$.}
\center{\includegraphics[scale=0.7]{Bdomainebis.ps}}
\label{fig:Brusselr}
\end{figure}

Si on regarde ensuite ce qui se passe autour de $-1$, en changeant de
variable: $\tilde x=x-1$, on trouve de mani�re analogue
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item $p=1$, $f(\tilde x)=4(1-\tilde x)$ et $\eps'=\sqrt{\eps}$
\item $g(\tilde x,\eps)=
\frac{1}{\tilde x}$ d'o� aussi $G_0(X)=\frac{1}{X}$
\item $h(\tilde x,\eps)=
\frac{3}{\tilde x}-2\tilde x\frac{a-1}{\eps}$ d'o� aussi
$H_0(X)=\frac{3}{X}$ 
\item $P(\tilde x,\eps,\eps y)=
\frac{4\tilde x(1+\tilde x)}{1+\eps y}$ d'o� aussi
$P_0(X,Y)=\frac{4X}{1+Y}$ 
\item On prend alors pour $\Dom$ la montagne Est (� partir de $-1$)
et �ventuellement une partie des vall�es adjacentes.
\item Les hypoth�ses des th�or�mes~\ref{th:pres}, \ref{cor:pabo}, 
\ref{th:-loin} sont respect�es: 
on peut prolonger le domaine jusqu'en $-1+X_l\sqrt\eps\in \RR$; et la
solution canard admet une sorte de d�veloppement asymptotique en
$\sqrt\eps$ pour des $x$ tels que $|1+x|<|\sqrt\eps|^{1+\nu}$
($\nu>0$), obtenu � partir de la solution formelle de l'�quation
diff�rentielle non singuli�rement perturb�e; tandis que le
d�veloppement asymptotique $\hat z(\eps,x)=\sum z_n(x)\eps^n$ reste
valable, dans le sens du th�or�me \ref{th:-loin}, pour les $x$ (sur la
montagne Est) tels que $|1+x|>|\sqrt\eps|^{1+\mu}$, $0<\nu<\mu<1$.
\end{list}

\section{Estimation de $a^+-a^-$}

L'existence de solutions l� o� on le souhaite est donc
acquise. Maintenant, pour des raisons de simplicit�s de calcul, nous
allons repartir de l'�quation \eqref{Brus0}; la progression suivra alors 
exactement le m�me sh�ma que pour l'�quation de Van der Pol. C'est �
dire que nous allons �tablir une �quation reliant la diff�rence
$a^+-a^-$ � la diff�rence entre les fonctions $z^+-z^-$, �tudi�e au
voisinage du point singulier $-1$; pour pouvoir ensuite estimer chacun
des termes pr�sents dans l'�quation obtenue, nous aurons besoin en
particulier des �quivalents (pour $\eps$ tendant vers $0$) de toutes
les fonctions solutions des �quations int�rieures comme ext�rieures,
et des coefficients de Stokes des solutions int�rieures. Certains des
calculs seront faits ici en pr�liminaires. 

Pour �tudier le voisinage de $-1$,
le changement de variable qui s'impose est en tous cas le suivant
$$x=-1+\eps^{1/2}X\ \ , \ \ z=\eps^{-3/2}Y\,.$$
D'o� l'�quation int�rieure, non singuli�rement perturb�e
$$Y\frac{dY}{dX}=\frac{2(-1+\sqrt\eps X)}{X^2}\Bigl(Y-\frac{1}{2X^3}\Bigr)
-\frac{a-1}{X^2}Y-\frac{2Y}{X}\Bigl(Y-\frac{1}{2X^3}\Bigr)\,.$$

Cette derni�re �quation a pour solution formelle la s�rie $\hat Y=
\sum Y_n(X) \eps^{n/2}$ (et on sait que cette s�rie correspond � une
vraie solution dans certains domaines), avec $Y_0$ solution de 
l'�quation obtenue en posant $\eps=0$, soit
\begin{equation}\label{eq:BY0}
Y_0 \frac{dY_0}{dX}=\frac{-2}{X}\Bigl(Y_0-\frac{1}{2X^3}\Bigr)(Y_0+
\frac{1}{X})\,.
\end{equation}


\subsection{Quelques �quivalents}

Si on cherche des �quivalents pour les premi�res fonctions des s�ries 
$\hat y$ et $\hat Y$, on commence par �crire dans l'�quation 
\eqref{Brus0} la fonction $z$ et le param�tre $a$ sous la forme
$z(\chi)=\Phi_0(\chi)+\eps \Phi_1(\chi)+ o(\eps)$ et
$a=1+a_1\eps+o(\eps)$; on part de
$$\Phi_0(\chi)=\frac{(1+\chi)^3}{2}\,,\ 
\Phi_0(x)=\frac{1}{2(1+x)^3}\,,$$
puis, comme 
$$\Phi_0 \Phi'_0=\frac{2\chi}{1+\chi}\Phi_1+ a_1\Phi_0$$ 
et que $\Phi_1$ doit �tre continue en $0$, on trouve 
$$a_1=3/2\ \ , \ \Phi_1(\chi)=\frac{3(1+\chi)^4}{8}(2+\chi)$$
autrement dit
$$\Phi_1(x)=\frac{3}{8}\frac{2+x}{(1+x)^5}\,.$$
On continue pour obtenir le terme suivant: dans l'�quation du
Brusselator, les termes de degr� $2$ en $\eps$ m�neront � l'�quation
$$\Phi_0\Phi'_1+\Phi'_0\Phi_1=\frac{2\chi}{1+\chi}\Phi_2+a_1\Phi_1+
a_2\Phi_0+\frac{2\Phi_0\Phi_1}{1+\chi} $$
d'o�
$$a_2=15/8\ \ , \ \Phi_2(\chi)=\frac{3(1+\chi)^4}{32}(6\chi^3+29\chi^2
+48\chi+30)$$
autrement dit
$$\Phi_2(x)=\frac{3}{32}\frac{5x^3+23x^2+42x+30}{(1+x)^7}\,.$$
Ensuite, pour la s�rie $\hat Y$, on fait le changement de variable et
on identifie, avec $x=-1+X\sqrt\eps$, les deux s�ries
$$\eps^{3/2}\Bigl(\Phi_0(x)+\eps\Phi_1(x)+\eps^2 \Phi_2(x)\Bigr)=
Y_0(X)+\sqrt\eps Y_1(X)+\eps Y_2(X)+o(\eps)\,, $$ ce qui m�ne �
$$Y_0(X)\underset{X\rightarrow\infty}\sim
\frac{1}{2X^3}+\frac{3}{8X^5}+\frac{9}{16X^7}\ ,\ 
Y_1(X)\sim\frac{3}{8X^4}+\frac{33}{32X^6}\ ,\ Y_2(X)\sim\frac{3}{4X^5}\,.$$


\subsection{Coefficient de Stokes pour l'�quation \eqref{eq:BY0}}

Si l'�quation~\eqref{eq:BY0} a deux solutions conjugu�es $Y_0^+$ et $Y_0^-$, 
born�es toutes deux pour les $X\in\RR$ assez grand, elles ont 
n�cessairement la m�me s�rie asymptotique (dont les termes sont donn�s 
ci-dessus) et la diff�rence entre les deux est donc
exponentionnellement petite. Elle correspond � des termes de Stokes;
nous allons montrer que:
\begin{Lemme}
La diff�rence entre deux solutions born�es en l'infini de
l'�quation~\eqref{eq:BY0} est �quivalente, quand $X$ tend vers
l'infini, �
$$(Y_0^+-Y_0^-)(X)\sim\, 32i\sqrt{{2\pi}}X^4 
e^{-2X^2}\label{Stokes:br}\,.$$
\end{Lemme}
Pour parvenir � ce r�sultat, nous allons essayer de donner, sous une
certaine forme (car on ne peut esp�rer en donner explicitement les
solutions exactes), les solutions de l'�quation.
\begin{align*}
\eqref{eq:BY0}\ Y_0' =&
-\frac{2}{X}Y_0+\frac{1}{X^4}-\frac{2}{X^2}+\frac{1}{X^5Y_0} \\ 
\intertext{On commence par changer de variable en posant $t=1/X$}
\frac{dY_0}{dt} =& \frac{2Y_0}{t}-t^2+2-\frac{t^3}{Y_0}\,,\\
\intertext{puis on introduit la nouvelle fonction $u(t)$ telle que
$Y_0(t)=t^2 u(t)$}
2tu+t^2 u'=& 2tu-t^2+2-t/u\\
  u' =& -1+ \frac{2}{t^2} -\frac{1}{tu}\,,\\ 
\intertext{et $v(t)$ v�rifiant $u(t)=-t-2t^{-1}+v(t)$}
 \frac{dv}{dt} =& \frac{1}{t^2+2-t v(t)}\,.\\
\intertext{� pr�sent plut�t que de regarder $v$ en fonction de $t$, on
prend la fonction r�ciproque: on cherche $t$ en fonction de $v$}
\frac{dt}{dv} =& t(v)^2 +2 -v t(v)\\
\intertext{On reconna�t une �quation de Ricatti. La mani�re habituelle
de r�soudre ce type d'�quation est de poser $t=-\frac{z'(v)}{z(v)}$.}
-\frac{z''}{z}+\frac{{z'}^2}{z^2} =& 2+\frac{z'}{z} v +
\frac{{z'}^2}{z^2}\\
z''+vz'+2z =&0\\
\end{align*}
Cette derni�re �quation est une �quation diff�rentielle
hyperg�om�trique, qui a les deux solutions ind�pendantes suivantes
(parmi d'autres possibles):
\begin{align*}
z_1(v)=v \exp\left(-\frac{v^2}{2}\right)\ \text{ puis }\ &
z_2(v)=v  \exp\left(-\frac{v^2}{2}\right) \int^v_{i\infty}
\frac{1}{w^2} e^{w^2/2} dw\,,\\
\intertext{de d�riv�es}
z'_1(v)=(1-v^2)e^{-v^2/2} \ \text{ et }\ &
z'_2(v)=(1-v^2)e^{-v^2/2} \int^v_{i\infty} \frac{e^{w^2/2}}{w^2} dw
+\frac{1}{v}\,.\\
\end{align*}
On peut finalement �crire toute solution $t(v)$ sous la forme:
$$t(v)=\frac{C_1 (v^2-1)e^{-v^2/2}
+C_2(v^2-1)e^{-v^2/2} \int^v_{i\infty} \frac{e^{w^2/2}}{w^2} dw
-C_2/v}{C_1 v e^{-v^2/2}+C_2 v  
e^{-v^2/2} \int^v_{i\infty} \frac{1}{w^2} e^{w^2/2} dw}$$
Mais toutes ces solutions $t$ ne nous conviennent pas. En effet, on a vu
pr�c�demment que les solutions $Y$ consid�r�es devaient v�rifier la
propri�t� suivante:
\begin{align*} 
Y_0(X)\underset{X\rightarrow\infty}\sim&\, \frac{1}{2X^3}\,,\\
\intertext{soit, apr�s changements de variables,} 
-t^3-2t+t^2v \underset{t\rightarrow 0}\sim&\,  t^3/2\,,\\  
\intertext{ce qui suppose au moins que} 
t(v)\underset{v\rightarrow\infty}\sim&\, 2/v\,.\\
\end{align*} 
Or si on prend $C_2=0$, on trouve $t=\frac{v^2-1}{v}$, qui ne
v�rifie pas cet �quivalent.
 
Par contre, pour toute autre solution (dans le secteur o� elle est
d�finie � l'infini), on trouve le bon �quivalent. On montre en
utilisant des int�grations par parties que, quand
$v\rightarrow\infty$,  
$$\int_{i\infty}^v\frac{e^{w^2/2}}{w^2} dw=\frac{1}{v^3}e^{v^2/2}
\left(1+\frac{3}{v^2}+o(1/v^2)\right).$$
Ce qui fait que, si $C_2\neq 0$,
\begin{align}
z'(v) &\underset{v\rightarrow\infty}\sim -\frac{2}{v^3}\label{eq:z'(v)}\\
z(v)  &\underset{v\rightarrow\infty}\sim\frac{1}{v^2}\label{eq:z(v)}\\
\intertext{et donc}
t(v) &\underset{v\rightarrow\infty}\sim \frac{2}{v}\notag
\end{align}
ce qui donne une solution $Y_0$ qui se comporte bien comme pr�vu �
l'infini. 

Comme $C_2\neq 0$ dans les cas qui nous int�ressent, on �crira
d�sormais $t(v)$ avec une seule constante $C=C_1/C_2$:
$$t(v)=\frac{(v^2-1)e^{-v^2/2}\left(\int_{i\infty}^v
\frac{e^{w^2/2}}{w^2} dw +C\right)-\frac{1}{v}}{ve^{-v^2/2}
\left(\int_{i\infty}^v \frac{e^{w^2/2}}{w^2} dw +C\right)}$$

Si alors $C=0$, la fonction $t^+(v)$ est bien d�finie pour tout $v$
tel que $\arg(v)\in [-\pi/4+\delta,5\pi/4-\delta], \delta>0$, parce
que pour $\arg(v^2)\in ]-\pi/2,\pi/2[$, l'exponentielle $e^{-v^2/2}$
est bien born�e et que pour $\arg(v)\in [\pi/4,3\pi/4]$, ce sont les
int�grales qui sont effectivement exponentionnellement petites. Si on
repasse � la variable $X$, cela donne l'existence d'une solution $Y_0^+$ 
au moins pour tout $X$ assez grand sur l'axe r�el et la montagne Nord
(cf.~figure~\ref{fig:Brusselr}) d'apr�s l'�quivalent $X=1/t(v)\sim 2v$. 

Pour $C=i\sqrt{2\pi}$, on peut r��crire $t(v)$ sous la forme suivante:
$$t^-(v)=\frac{(v^2-1)e^{-v^2/2}
\int^v_{-i\infty}\frac{e^{w^2/2}}{w^2}dw -\frac{1}{v}}{v e^{-v^2/2}
\int^v_{-i\infty} \frac{1}{w^2} e^{w^2/2} dw}$$ 
En effet, en int�grant par parties 
\begin{align*}
\int^{+i\infty}_{-i\infty} \frac{\exp(w^2/2)}{w^2} dw &=
\left[-\frac{\exp(w^2/2)}{w}\right]^{i\infty}_{-i\infty}
+\int^{+i \infty}_{-i\infty} \exp(w^2/2)dw\\
\intertext{et avec le changement de variable $t=iw/\sqrt{2}$,}
&= \sqrt{2}/i \int^{-\infty}_{+\infty} \exp(-t^2)dt=i\sqrt{2{\pi}}
\end{align*}
La solution $t^-$ donne une solution $Y_0^-$ pour des $X$ dans un
domaine sym�trique (par la conjugaison complexe) au domaine image de
$t^+$. 

\smallskip
On consid�re � pr�sent des variables complexes $v^+$ et $v^-$ telles
que $$t^+(v^+)=t^-(v^-) \in \RR.$$
Pour des raisons de sym�trie, ces deux nombres $v^\pm$ sont {\it a
priori} conjugu�s. On souhaite �tudier la diff�rence entre ces deux
nombres quand ils tendent vers $+\infty$. La m�thode sera semblable �
celle utilis�e pour l'�quation de Van der Pol.
\begin{align*}
t^+(v^+)=&\,t^-(v^-) \\
\frac{{z^+}'(v^+)}{z^+(v^+)} =&\, \frac{{z^-}'(v^-)}{z^-(v^-)} \\
			     =&\, \frac{{z^+}'(v^-)
\left(1+i\sqrt{2{\pi}}\frac{(v^2-1)e^{-v^2/2}}{{z^+}'(v^-)}\right)}
{z^+(v^-)\left(1+i\sqrt{2{\pi}}\frac{ve^{-v^2/2}}{{z^+}(v^-)}\right)}
\\
\intertext{Comme les termes $e^{-v^2/2}/z^{(')}$ sont
exponentionnellement petits quand $v\rightarrow\infty$, on peut �crire
des d�veloppements limit�s:} 
			     =&\, \frac{{z^+}'(v^-)}{z^+(v^-)}
\left(1+i\sqrt{2{\pi}}\left[\frac{(v^2-1)e^{-v^2/2}}{{z^+}'(v^-)}
-\frac{ve^{-v^2/2}}{{z^+}(v^-)}\right]+o(\ldots)\right)\\
t^+(v^+)-t^-(v^-)\sim &\, t^+(v^-) i\sqrt{2{\pi}}e^{-v^2/2}
\left[\frac{(v^2-1)}{{z^+}'(v^-)}
-\frac{v}{{z^+}(v^-)}\right]\\
\end{align*}
\begin{align*}
\intertext{D'o�, avec les �quivalents pour $z$ et $z'$ trouv�s en
\eqref{eq:z(v)} et \eqref{eq:z'(v)}}
t^+(v^+)-t^-(v^-)\sim &\,  -i\sqrt{2{\pi}}e^{-v^2/2} v^4 \\
\intertext{Or, comme $v^+$ et $v^-$ sont proches, on peut aussi
�crire}
t^+(v^+)-t^-(v^-)\sim &\left(v^+-v^-\right) {t^+}'(v^+)\,. \\
\intertext{Donc finalement}
v^+-v^- \sim& \frac{i}{2}\sqrt{2{\pi}}e^{-v^2/2} v^6\,. \\  
\intertext{On en d�duit facilement les �quivalents correspondants pour
$(Y_0^+-Y_0^-)(X)$, sachant que}
Y_0^+-Y_0^-=&\, \frac{v^+-v^-}{X^2}\ \text{ et }\ v\sim\frac{2}{t}\sim
2X \,.\\
\intertext{On obtient}
(Y_0^+-Y_0^-)(X)\sim&\, 32i\sqrt{{2\pi}}X^4 
e^{-2X^2}\ \,, \eqref{Stokes:br}\\ 
\intertext{avec donc un coefficient de Stokes}
 & \mathcal{C}=32i\sqrt{2\pi} \,.
\end{align*}


\subsection{L'�quation diff�rentielle pour l'estimation de $a^+-a^-$}

Comme dans la premi�re partie on cherche une �quation diff�rentielle 
en $d(x)=(z^+-z^-)(x)$; on pose aussi $b=a^+-a^-$.

� partir de l'�quation \eqref{Brus0} ci-dessous
\begin{align*}
\eps \frac{dz^+(x)}{dx}&=\frac{2x}{(1+x)^2} 
\Bigl(1-\frac{1}{2z^+(1+x)^3}\Bigr)-\frac{a^+-1}{(1+x)^2} 
-\Bigl(z^+-\frac{1}{2(1+x)^3}\Bigr)\frac{2\eps}{1+x}\\
\intertext{et de la m�me �quation �crite pour $(z^-,a^-)$, on arrive, en
faisant la diff�rence, �}
\eps d'(x)&=\frac{x}{(1+x)^5}\Bigl(\frac{1}{z^-}-\frac{1}{z^+}\Bigr)
-\frac{b}{(1+x)^2}-d\frac{2\eps}{1+x}\\
\eps d'(x)&=d\left(\frac{x}{(1+x)^5z^-z^+}-\frac{2\eps}{1+x}\right)
- \frac{b}{(1+x)^2}\,.
\end{align*}
D'o�, pour tout $x_0$ r�el,
\begin{equation*}
d(x_0)=\frac{-b}{\eps} \int^{x_0}_{+\infty}
\frac{\exp\left({\frac{G_T(x_0)-G_T(t)}{\eps}}\right)}{(1+t)^2} dt
\end{equation*}
avec $G_T(x)=\int^x_0 \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)} dt -2\eps \ln
(1+x)$, soit
\begin{equation}\label{eq:Bb}
d(x_0)=\frac{-be^{G(x_0)/\eps}}{\eps(1+x_0)^2} 
\int^{x_0}_{+\infty} e^{-G(t)/\eps} dt
\end{equation}
o� $G(x)=\int^x_0 \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)} dt$.

\subsection{Calcul de l'�quivalent}

{On peut estimer chacun des termes du produit de \eqref{eq:Bb} (on
travaillera ici avec un $\eps$ r�el positif).}

Avec la m�thode du point col,
\begin{equation}\label{Bint}
\int^{x_0}_{+\infty} e^{-G(t)/\eps} dt \sim
-\sqrt{2\pi\eps}|z(0)|\ \ \text{ avec }\qquad|z(0)|\sim \Phi_0(0)
=\frac{1}{2}\,.
\end{equation}

Puis
\begin{equation}\label{Bd}
d(x_0)\sim \eps^{-3/2} \bigl(Y_0^+(X_l)-Y_0^-(X_l)\bigr)\,.
\end{equation}

Reste $e^{G(x_0)/\eps}$, o� on prend $x_0=-1+X_l\sqrt\eps$. On coupe
l'int�grale correspondant � $G(x_0)$ en deux, en un point
$\lambda(\eps)$ d�pendant peu de $\eps$, comme par exemple
$\lambda(\eps)=-1+{\eps}^{1/20}$; le but �tant qu'� droite on puisse
utiliser l'estimation $z(t,\eps)=\Phi_0(t)+\eps \Phi_1(t)+
\eps^2 \Phi_2(t)+o({\eps}^{2-2/20})$ (th�or�me ~\ref{th:-loin}); et 
� gauche, gr\^ace au corollaire \ref{cor:pabo}, l'estimation
$z(t,\eps)=\f1\eps (Y_0(t/\eps)+\sqrt\eps Y_1(t/\eps)+\eps Y_2(t/\eps))
+o(\sqrt\eps^{1-3/20}$).

$$G(x_0)=\int_0^\lambda \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)} dt +
\int_\lambda^{x_0} \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)} dt\,.$$

Pour $\mathcal{I}_1=\int_0^\lambda \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)} dt$,
on utilise donc pour $z$ la forme $z=\Phi_0+\eps \Phi_1+ o(\eps)$ (on
a bien $o(\eps)$ car $\Phi_2$ est born�e), qui donne
$$\frac{1}{z^+(t)z^-(t)}=\frac{1}{\Phi_0^2}-2\eps\frac{\Phi_1}{\Phi_0^3}
+o(\eps)\,,$$
donc
\begin{align*}
\mathcal{I}_1&=\!\int_0^\lambda\!\! 4t(1+t)dt-
6\eps\!\int_0^\lambda\!\!\frac{t}{1+t}(2+t)dt\\
\mathcal{I}_1&=
\frac{4}{3}\lambda^3+2\lambda^2-\eps\Bigl(3(1+\lambda)^2-3
-6\ln(1+\lambda)\Bigr)\label{BRbemol}\,.\tag{$R\mathcal{I}_1$}
\end{align*}

Pour $\mathcal{I}_2=\int_\lambda^{x_0} \frac{t}{(1+t)^5z^+(t)z^-(t)}
dt$, on se place au voisinage de $t=-1$, et on change de variable:
$t=-1+X\sqrt\eps$, $z=\eps^{-3/2}Y$.
\begin{align*}
\mathcal{I}_2 =&\sqrt\eps
\int_{\frac{\lambda+1}{\sqrt\eps}}^{\frac{x_0+1}{\sqrt\eps}} 
\frac{-1+\sqrt\eps X}{\sqrt\eps^5 X^5 \eps^{-3}Y^-Y^+}dX
 =\eps \int_{\ell}^{X_l}
\frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y^-(X)Y^+(X)}dX\,,\\
\intertext{o� on pose bien s�r $\ell=\frac{\lambda+1}{\sqrt\eps}$. Le
calcul ressemble � celui effectu� plus haut dans le cas de van der
Pol; on commence par d�velopper les fonctions dans l'int�grale suivant
$\eps$, avant d'estimer chacun des termes obtenus, en v�rifiant que le
dernier terme, et les suivants, sont bien n�gligeables par rapport aux
pr�c�dents.}
\intertext{Comme $Y(X)\sim \frac{1}{2X^3}$, l'int�grale converge, y
compris pour $x_0=-1$, et}
\mathcal{I}_2 =&\,\eps\!\int^{X_l}_\ell\!\frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y^-(X)Y^+(X)}dX\\
  =&\,\eps\!\int^{X_l}_\ell\!\frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y_0^-(X)Y_0^+(X)
\left(1+\sqrt\eps\frac{Y_1^+}{Y_0^+}+
\sqrt\eps\frac{Y_1^-}{Y_0^-}+\eps\frac{Y_2^+}{Y_0^+}
+\eps\frac{Y_2^-}{Y_0^-}+o(\eps)\right)}dX\\
  =&\,\eps\!\!\int^{X_l}_\ell\!\!\frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y_0^-(X)Y_0^+(X)}dX
-\eps^{3/2} \int^{X_l}_\ell\!\! \frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y_0^-(X)Y_0^+(X)}
\left(\frac{Y_1^+}{Y_0^+}+\frac{Y_1^-}{Y_0^-}\right)dX\\
 &\phantom{\eps} 
-\eps^2\int^{X_l}_\ell\frac{-1+\sqrt\eps X}{X^5 Y_0^-(X)Y_0^+(X)}
\left(\frac{Y_2^+}{Y_0^+}+\frac{Y_2^-}{Y_0^-}-
\left(\frac{Y_1^+}{Y_0^+}+\frac{Y_1^-}{Y_0^-}\right)^2
\right)dX +{o}(\eps)\\
  =&\underbrace{\int^{X_l}_\ell\frac{-\eps}{X^5Y_0^+Y_0^-}dX}_{(\text{A})}
+\underbrace{\int^{X_l}_\ell
\frac{\eps^{3/2}}{X^4Y_0^2}dX}_{(\text{B})}
+\underbrace{2\eps^{3/2}\int^{X_l}_\ell
\frac{1-\sqrt\eps X}{X^5Y_0^2}\frac{Y_1}{Y_0}dX}_{(\text{C})}\\
   &\phantom{\eps}+\underbrace{2\eps^2\int^{X_l}_\ell
\frac{1-\sqrt\eps X}{X^5Y_0^2}\left(\frac{Y_2}{Y_0}-
2\frac{Y_1^2}{Y_0^2}\right)dX}_{(\text{D})}+o(\eps)\\
\intertext{On s'occupe de chacun des termes de la somme}
\text{D}\sim&\, 2\eps^2\int^{X_l}_\ell\frac{1-\sqrt\eps X}{X^5Y_0^2}
\left(\frac{3}{2X^2}+\f{9}{8X^2}\right)dX
\sim 2\eps^2\int_\ell (1-\sqrt\eps X)
\frac{6+9/2}{X} dX\\
   =&o(\eps)\ \,\,
\left( \text{Rappel: $\ \ell=\frac{\lambda+1}{\sqrt\eps}$} \right)\\
\text{C} \sim&\, 2\eps^{3/2}\int^{X_l}_\ell\frac{1-\sqrt\eps X}{X^5Y_0^2}
\frac{Y_1}{Y_0}dX\sim2\eps^{3/2}\int_\ell(1-\sqrt\eps X)4X\frac{3}{4X}dX\\
   \sim&\,\eps\left(-6(\lambda+1)+3(\lambda+1)^2\right)\\
\text{B} \sim&\, \eps^{3/2} \int_\ell \frac{dX}{X^4\frac{1}{4X^6}
\left(1+\frac{3}{2X^2}+o\left(\frac{1}{X^3}\right)\right)}\\
   \sim&\, \eps^{3/2} \int_\ell\left(4X^2-6+o\left(1/X\right)\right)dX
\sim -\eps^{3/2}\left(\frac{4}{3}\ell^3-6\ell\right)\\
   \sim& -\frac{4}{3}(\lambda+1)^3+6\eps (\lambda+1)\\
\end{align*}
{Pour A, il faut �tre plus pr�cis et distinguer $Y_0^+$ de 
$Y_0^-$; on repasse donc par l'�quation diff�rentielle \eqref{eq:BY0},}  
\begin{align*}
(Y_0^+-Y_0^-)'=&-\frac{2}{X}(Y_0^+-Y_0^-)
+\frac{1}{X^5}\frac{-Y_0^++Y_0^-}{Y_0^-Y_0^-}\\
\intertext{qui donne, en int�grant l'�quation par la m�thode de variation
de la constante, pour tous $\xi$, $\xi_0$ positifs:}
(Y_0^+-Y_0^-)(\xi)=&(Y_0^+-Y_0^-)(\xi_0)\exp\left(-2\ln\frac{\xi}{\xi_0}
-\int^\xi_{\xi_0}\frac{1}{t^5Y_0^-(t)Y_0^+(t)}dt\right)\\
 \int^{X_l}_{\ell}\frac{-1}{t^5Y_0^-Y_0^+}dt=&
\ln\frac{(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}{(Y_0^+-Y_0^-)(\ell)}+2\ln\frac{X_l}{\ell}\,.\\
\end{align*}
{D'apr�s le r�sultat \eqref{Stokes:br} obtenu plus haut,}
\begin{align*}
\text{A} \sim& \,\eps\left(\ln\left(Y_0^+-Y_0^-\right)(X_l)
-\ln\left({\cal C} \ell^4 e^{-2\ell^2}\right)+2\ln\frac{X_l}{\ell}\right)\\
	 \sim& \,\eps\biggl(\ln\left(Y_0^+-Y_0^-\right)(X_l) -\ln{\cal C}
-4\ln(\lambda+1)+2\frac{(\lambda+1)^2}{\eps}+2\ln\eps\\
            &\phantom{\ln\left(Y_0^+-Y_0^-\right)(X_l)}
+2\ln(x_0+1)-2\ln(\lambda+1)\biggr)\,.\\ 
\end{align*}
Enfin,
\begin{multline}\tag{$R\mathcal{I}_2$}
\mathcal{I}_2\sim\text{A+B+C+D}\sim 
-\frac{4}{3}\lambda^3-2\lambda^2+\frac{2}{3}+\eps\biggl(
\ln\left(Y_0^+\!-\!Y_0^-\right)(X_l)+2\ln(x_0+1)\\
-6\ln(\lambda+1)+2\ln\eps-\ln{\cal C}+3(\lambda+1)^2\biggr)\,,
\end{multline}
\begin{align*}
\intertext{puis en reprenant le r�sultat \eqref{BRbemol}}
\exp\left(\frac{\mathcal{I}_1+\mathcal{I}_2}{\eps}\right) &\sim 
\exp\left(\frac{2}{3\eps}\right)\left(Y_0^+-Y_0^-\right)(X_l)(x_0+1)^2
\frac{\eps^2}{\cal C}e^3\,,\\
\intertext{donc avec \eqref{Bd} et \eqref{Bint}, l'�quation
\eqref{eq:Bb} devient}
\eps^{-3/2}\left(Y_0^+\!-\!Y_0^-\right)\!(X_l)&
\sim b\frac{\sqrt{2\pi\eps}e^3
\left(Y_0^+-Y_0^-\right)(X_l)(x_0+1)^2\eps^2e^{2/3\eps}}{2{\cal C}\eps
(x_0+1)^2}\\
\eps^{-3/2} &\sim b\frac{e^3\sqrt{2\pi}}{2{\cal C}}\eps^{3/2}
e^{\frac{2}{3\eps}}\\
b&\sim \frac{2{\cal C}}{\sqrt{2\pi}e^3}
\frac{\exp\left(-\frac{2}{3\eps}\right)}{\eps^3}\,.
\end{align*}
Finalement, on arrive au r�sultat du
\begin{Th}\label{th:eqbrussel}
$$(a^+-a^-)(\eps)
\sim 64ie^{-3}\exp\left(-\frac{2}{3\eps}\right)\eps^{-3}$$
\end{Th}

\section{Cons�quence pour le d�veloppement en s�rie de $a(\eps)$}

\begin{Cor}
Les coefficients $a_n$ du d�veloppement asymptotique de $a^+$ et $a^-$
ont une croissance Gevrey, et v�rifient, quand $n\rightarrow\infty$, 
$$a_n\sim\, 54n^2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} n!$$
\end{Cor}

�tudions d'abord ce qui se passe pour la fonction $a^+(\eps)$ quand on
fait varier l'argument $\theta$ de $\eps$. Il est clair que
$a^+(\eps)$ et $v^+(x,\eps)$ d�pendent holomorphiquement de $\eps$
dans des secteurs centr�s en $0$ (mais pas en $0$
lui-m\^eme). Regardons en particulier ce qui se passe quand on fait
varier $\theta$ entre $0$ � $-2\pi$. En �tudiant le relief
correspondant � $\theta$, on peut d�duire le domaine d'existence de la
solution $v^+$ correspondante (qui varie contin�ment avec $\theta$ lui
aussi); cette �volution du domaine est repr�sent�
figure~\ref{fig:tourne}. On remarque tout de suite que pour $\eps$
r�el, le domaine de $z^+$ pour $\eps e^{-2i\pi}$ correspond au domaine
de $z^-$ pour la valeur $\eps$. Par unicit� des solutions, on en
d�duit que $a^+(\eps e^{-2i\pi})=a^-(\eps)$. C'est de cette propri�t�
que l'on se servira ci-dessous.

\begin{figure}[ht!]
\caption{Domaine d'existence de $z^+$ pour diff�rentes valeurs de 
$\theta=\arg(\eps)$.}
\centerline{\input tourne.pstex_t }
\label{fig:tourne}
\end{figure}


On peut faire exactement les m�mes d�ductions que pour l'�quation de
Van der Pol, les deux solutions $y^+(x,\eps)$ et $y^-(x,\eps)$ �tant
reli�es de la m�me mani�re. On int�gre � nouveau sur un chemin autour
de $\eps=0$ (celui de la figure~\ref{fig:integ}), pour trouver que
\begin{align*}
a_n\sim&\, \frac{1}{2i\pi}\int_0^{\eps_0} b(\eps) \eps^{-n-1} d\eps\,.\\
\intertext{En utilisant le th�or�me~\ref{th:eqbrussel},}
   \sim&\, \frac{1}{2i\pi}\int_0^{\eps_0} 64ie^{-3} 
  \exp\left(-\frac{2}{3\eps}\right)\eps^{-3}\eps^{-n-1} d\eps \\
   \sim&\, \frac{32e^{-3}}{\pi}\int_0^{\eps_0} 
\exp\left(-\frac{2}{3\eps}\right) \eps^{-n-4} d\eps \,.\\
\intertext{Puis on pose $t=2/3\eps$ et on transforme l'int�grale en
   une autre, �quivalente:}
a_n\sim&\, \frac{32e^{-3}}{\pi} \int_0^{+\infty} 
\left(\frac{3}{2}\right)^{n+3} e^{-t}t^{n+2} dt \\
a_n\sim&\, \frac{32e^{-3}}{\pi} \left(\frac{3}{2}\right)^{n+3} (n+2)!
\intertext{Soit, sous une forme plus normale,}
a_n\sim&\, \frac{108e^{-3}}{\pi} n^2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} n!
\end{align*}

calcul.tex
\section{Estimation de $\alpha^+-\alpha^-$}
\label{sec:calculvdp}
\subsection{Pr�liminaires}
\subsubsection{Premiers termes du d�veloppement de $v(u,\eps)$ et $Y(X,\eps)$}
\par\penalty 2000
Le calcul des premiers termes des s�ries pour $a$ et $v$ 
(cf \eqref{eq:serie}) nous donne:
 \begin{align*}
a(\eps)=a_1\eps+a_2\eps^2+\gO(\eps^3) \quad&\quad 
v(u,\eps)=v_0(u)+\eps v_1(u)+\eps^2 v_2(u) +\gO(\eps^3)\\ 
\intertext{o�}
a_1=-\frac{1}{8} \quad&\quad a_2=-\frac{3}{32}\\
\intertext{et}
v_0(u) =\frac{-1}{u+1} \quad&\quad 
v_1(u)=-\frac{1}{8}\frac{u^2+4u+7}{(u+1)^4}\\
 \end{align*}
$$v_2(u) = - \frac {1}{32} \frac {3u^{5} + 21u^{4} + 66u^{3} + 126u^{2} +
159u + 121}{(u + 1)^{7}}$$ 
Par r�currence, on d�montre que pour $n>0$ les $v_n(u)$ sont des
fractions rationnelles, dont le num�rateur est un polyn�me de degr�
$3n-1$, et dont le d�nominateur est $(u+1)^{3n+1}$.

Le simple changement de variable $u=-1+\eps^{1/3} X$ dans le
d�veloppement de $v(u,\eps)$ nous donne alors, apr�s simplification:
\begin{multline*}
\eps^{1/3} v=-\frac{1}{X} -\frac{1}{2X^4} -\frac{5}{4X^7}
-\eps^{1/3}\left(\frac{1}{4X^3} +\frac{9}{8X^6}\right)  
-\eps ^{2/3}\left(\frac{1}{8X^2} +\frac{3}{4X^5}\right)\\ 
-\eps \frac{3}{8X^4} -\eps ^{4/3}\frac{3}{16X^3} 
-\eps^{5/3}\frac{3}{32X^2} +\gO\biggl(\frac{1}{|X|^8}+|\eps|\frac{1}{|X|^5}
+|\eps|^2\frac{1}{|X|^2}\biggr)\,. 
\end{multline*}

Ensuite, comme $Y(X,\eps)=\eps^{1/3}v$ se met sous la forme
$$Y=Y_0+\eps^{1/3}Y_1+\cdots+Y_n\eps^{n/3}+o\left(\eps^{n/3}\right),$$ 
apr�s identification, on trouve pour les $Y_n$:
\begin{align}
 \begin{split}
Y_0&=-\frac{1}{X}-\frac{1}{2X^4}+\gO\left(\frac{1}{X^7}\right) \\
Y_1&=-\frac{1}{4X^3}+\gO\left(\frac{1}{X^6}\right) \\
Y_2&=-\frac{1}{8X^2}+\gO\left(\frac{1}{X^5}\right) \\
Y_3&=\gO\left(\frac{1}{X^4}\right) \\
&\text{et pour $n\geq 4$, on a } \\
Y_n&=\gO\left(\frac{1}{X^2}\right)\text{ ou } Y_n=o\left(\frac{1}{X^2}\right)\,.
 \end{split}\label{eq:SerY}
\end{align}

\bigskip
\subsubsection{�quivalent de $Y_0^+-Y_0^-$}
\par\penalty 2000
On introduit les fonctions suivantes:
$$\Ai_0=\Ai,\ \ \Ai_1:x\mapsto \Ai(jx),\ \ 
\Ai_2:x\mapsto\Ai(j^2x)\,.$$ 
On cherche � estimer la diff�rence de deux des solutions de
\eqref{eq:Y0}. Pour cela, nous nous int�ressons aux deux fonctions
suivantes: 
$$X_1(z)=-2\frac{\Ai'_1(z)}{\Ai_1(z)}\qquad\text{et}\qquad X_2(z)=-2
\frac{\Ai'_2(z)}{\Ai_2(z)}$$ 

Ces deux fonctions v�rifient, � cause de la sym�trie par rapport �
l'axe r�el de l'�quation \eqref{eq:vdpx}, la
relation $X_1(z)=\overline{X_2(\overline{z})}$. Elles correspondent �
deux solutions de l'�quation \eqref{eq:Y0}:
$$Y_0^+(X)=X_2^2\left(z(X)\right)+z(X)\qquad\text{et}
\qquad Y_0^-(X)=X_1^2\left(z(X)\right)+z(X)\,.$$

En particulier, pour $X_1(z)$ sur l'axe r�el, on a:
\begin{align*}
X:=&\, X_1(z)= X_1\Bigl(Y_0^-\bigl(X_1(z)\bigr)-X_1^2(z)\Bigr) 
=X_1\Bigl(Y_0^-(X)-X^2\Bigr)\\
 =&\, X_2(\overline{z})= X_2\Bigl(\overline{Y_0^-(X)-X^2}\Bigr) =
 X_2\Bigl(Y_0^+(X)-X^2\Bigr).\\ 
\intertext{On note dans ce cas}
z^+(X)=&\,Y_0^+(X)-X^2\qquad\text{et}\qquad z^-(X)=Y_0^-(X)-X^2
\end{align*}

On cherche un �quivalent de $Y_0^+-Y_0^-$, et nous allons montrer le
r�sultat suivant:
\begin{Lemme}\label{lemme:Stokes-vdp}
Pour $X$ sur l'axe r�el,
$$(Y_0^+-Y_0^-)(X) \underset{X\rightarrow+\infty}\sim  
\frac{4}{e} X^2 e^{-\frac{2}{3} X^3} i\,.$$
\end{Lemme}
Ce qui revient � r�ussir � calculer exactement un coefficient de
Stokes pour une �quation diff�rentielle non lin�aire; dans le cas 
g�n�ral, ce n'est pas possible.
\bigskip

Pour obtenir ce r�sultat, on utilise le fait que pour $X$ r�el et
suffisamment grand, $Y_0^\pm -X^2$ est presque un r�el n�gatif. Dans
ce cas $|\Ai_k(Y_0^\pm -X^2)|$ est grand pour $k=1$ et $k=2$,
exponentiellement petit par contre pour $k=0$, ce qui justifie
l'utilisation d'un d�veloppement limit� pour estimer les deux
fonctions $\Ai_2(z)=-j^2 \Ai_1(z) -j\Ai_0(z)$ et $\Ai'_2(z)=-j^2
\Ai'_1(z)-j\Ai'_0(z)$. Dans le calcul qui suit, on travaillera en
variable $X$, avec aussi les fonctions $z^\pm(X)$ introduites plus
haut.

\begin{align*}
 X_1\left(Y_0^-(X)-X^2\right) &= X_2\left(Y_0^+(X)-X^2\right)\\
 -2 \frac{\Ai'_1(z^-)}{\Ai_1(z^-)} &= -2 \frac{\Ai'_2(z^+)}{\Ai_2(z^+)} \\
 -2 \frac{\Ai'_1(z^-)}{\Ai_1(z^-)} &= -2 \frac{\Ai'_1(z^+)+j^2
   \Ai'_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)+j^2 \Ai _0(z^+)}\\  
 X_1(z^-) &= X_1(z^+) \biggl( 1+ j^2 \frac{\Ai'_0(z^+)}{\Ai'_1(z^+)}
 -j^2  \frac{\Ai_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)} +o(\ldots) \biggr)\\
 X_1(z^-)-X_1(z^+) &=  X_1(z^+) \biggl(j^2 \frac{\Ai'_0(z^+)}{\Ai'_1(z^+)}
 -j^2  \frac{\Ai_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)} +o(\ldots) \biggr)
\intertext{Il va �tre possible de calculer un �quivalent de
cette diff�rence, ce qui nous m�nera � un �quivalent pour
$Y_0^+-Y_0^-$. En effet, avec une formule de Taylor}
 X_1(z^-)-X_1(z^+) \sim & (z^--z^+)X'_1(z^-) =
 (Y_0^--Y_0^+)X'_1(z^-)
\intertext{sachant que d'apr�s l'�quation diff�rentielle pour $X_1$,
on peut �crire sa d�riv�e} 
X'_1(z^-) &= \frac{X_1^2(z^-)+z^-}{2}\\ 
X'_1\Bigl(z^-(X)\Bigr) &=
\frac{X^2+(Y_0^-(X)-X^2)}{2} \sim -\frac{1}{2X}\,.
\end{align*}
\medskip

Nous allons utiliser les �quivalents d�j� vus pr�c�demment
(cf~\eqref{eq:Ai}) pour estimer les deux fractions
$\f{\Ai'_0(z^+)}{\Ai'_1(z^+)}$ et $\f{\Ai_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)}$,
puisque $z^\pm$ est proche du demi-axe r�el n�gatif quand
$X\rightarrow\infty$:
\begin{align}
\xi =\frac{2}{3}\left( \mu\left(X^2-Y_0(X)\right)\right)^{3/2} &=
\frac{2}{3}\bigl(2^{-2/3}\bigr)^{3/2}
\biggl(X^2+\frac{1}{X}+\gO\Bigl(\frac{1}{X^4}\Bigr)\biggr)^{3/2}
\notag\\
&= \frac{1}{3} \Bigl(X^3+\frac{3}{2} +o(1)\Bigr)\notag\\
\xi_2=\frac{2}{3}\left( j\mu\left(X^2-Y_0(X)\right)\right)^{3/2} &= 
e^{i\pi}\xi =-\xi\notag
\end{align}
\begin{align} 
\frac{\Ai'_0(z^+)}{\Ai'_1(z^+)}-\frac{\Ai_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)} &\sim 
\frac{-e^{-\xi}z^{1/4}}{1} \times \frac{1}{-j(jz)^{1/4}e^\xi} -
\frac{e^{-\xi}}{z^{1/4}} \times  \frac{(jz)^{1/4}}{e^\xi}  \notag\\
        &\sim  e^{-5i\pi/6} e^{-2\xi} +  e^{-5i\pi/6} e^{-2\xi} \notag\\
        &\sim  2e^{-5i\pi/6} e^{-2\xi} \notag
\intertext{En rappelant que}
(Y_0^+-Y_0^-)X'_1(z^-) &\sim  -X_1(z^+) j^2 \left(
\f{\Ai'_0(z^+)}{\Ai'_1(z^+)}- \f{\Ai_0(z^+)}{\Ai_1(z^+)} \right)\notag \\
\intertext{on trouve comme �quivalent pour la diff�rence le r�sultat
  annonc� au lemme~\ref{lemme:Stokes-vdp}:} 
(Y_0^+-Y_0^-)(X) &\sim  \frac{4}{e} X^2 e^{-\frac{2}{3} X^3} i\qquad
\text{ quand $X\rightarrow\infty$ dans $\RR$.}\label{eq:dY0}
\end{align} 



\subsection{�tablissement de l'�quation v�rifi�e par  $\alpha^+-\alpha^-$}

On rappelle l'�quation \eqref{eq:vdpdebase}, v�rifi�e pour 
$(v,\alpha)=(v^+, \alpha^+)$ et $(v^-,\alpha^-)$.
\begin{equation*}
\eqref{eq:vdpdebase}\qquad\eps\frac{dv}{du}=(1-u^2)+\frac{\alpha -u}{v}\,.
\end{equation*}

\medskip
Le but des paragraphes � venir va \^etre d'obtenir une estimation de $
\alpha^+ -\alpha^-$. Pour cela, on commence par chercher une �quation
diff�rentielle en $ v^+-v^-$, o� le terme � calculer sera pr�sent.  On
pose alors
\begin{alignat*}{5}
b& =&\,\alpha^+ -\alpha^-&\qquad & c& =& \,\alpha^+ +\alpha^-\\
d& =&\, v^+-v^-           &\qquad & e& =& \, v^+ +v^-
\end{alignat*}


Quand on effectue la substitution dans l'�quation
\eqref{eq:vdpdebase}, on obtient
\begin{align*}
\eps d' &=(1-u^2)+\frac{\alpha^+-u}{v^+}-(1-u^2)-\frac{\alpha^--u}{v^-}\\
            &=\frac{ud+\alpha^+v^--\alpha^-v^+}{v^+v^-}                \\
            &=\frac{u}{v^+v^-}d+ \frac{\frac{b+c}{2}
               \cdot\frac{e-d}{2}+ \frac{b-c}{2}\cdot\frac{e+d}{2}}{v^+v^-}\\
            &=\frac{u}{v^+v^-}d+\frac{e}{2v^+v^-}b-\frac{c}{2v^+v^-}d  \\
            &=\frac{u-c/2}{v^+v^-}d+\frac{v^+ +v^-}{2v^+v^-}b          \\   
\end{align*}

En rempla�ant $c=\alpha^+ +\alpha^-=1+a^+ +1+a^-$, on obtient en
d�finitive l'�quation voulue.
\begin{Lemme}
On pose $d(u)=v^+(u)-v^-(u)$ et $b=\alpha^+-\alpha^-$. Alors
 l'�quation diff�rentielle suivante est v�rifi�e: 
 \begin{gather*}
\eps d'(u)=f(u)d(u)+g(u)b\\
\intertext{avec}
f(u)=\frac{u-1-a}{v^+v^-}\quad \hbox{et}\quad 
 g(u)=\frac{v^+ +v^-}{2v^+v^-}\\
\intertext{sachant que} 
a=\frac{a^++a^-}{2}=-\frac{1}{8}\,\eps+ \gO (\eps^2)\,.\\
 \end{gather*}
(toutes les fonctions ici d�pendent aussi de $\eps$, cette d�pendance
 n'est pas rappel�e). 
\end{Lemme}
\medskip

On int�gre ensuite cette �quation diff�rentielle avec la m�thode de la
variation de la constante, entre $+\infty$ et $x$ (car $\lim_{+\infty}d=0$):
\begin{gather*}
d(x)=\frac{b}{\eps}e^{F(x)/\eps}\int_{+\infty}^x e^{-F(u)/\eps}
g(u) du,\\
\intertext{o�}
F(t)=\int_{1}^t f(u) du\,.\\
\end{gather*}

Le choix de $x=x_l=-1+X_l\eps^{1/3}$ permet de trouver que
\begin{equation}
b=\eps d(x_l) e^{-F(x_l)/\eps} \frac{1}{\int_{+\infty}^{x_l}
  e^{-F(u)/\eps}g(u)du}\,.  \label{eq:b}
\end{equation}

\subsection{Calcul de l'�quivalent pour $b$} 

On peut trouver une estimation, quand $\eps\rightarrow 0$, de chacun
des facteurs dans le produit de l'�galit� \eqref{eq:b}; le but final
�tant d'en obtenir une pour $b$.

Tout d'abord, on a vu que jusqu'au point $u=x_l$, on pouvait affirmer
que la fonction $v^+(u)=\eps^{-1/3}\:Y^+(\eps^{-1/3}(1+u))$ �tait
�quivalente  � $\eps^{-1/3}\:Y_0^+(\eps^{-1/3}(1+u))$  quand
$\eps\rightarrow 0$. Ce qui nous m�ne �
\begin{equation}
 d(x_l)=v^+(x_l)-v^-(x_l) \underset{\eps\rightarrow 0}{\sim} 
 \eps^{-1/3}\: \Bigl(Y_0^+(X_l)-Y_0^-(X_l)\Bigr)\,. \label{eq:b2}
\end{equation}

\vskip 20pt
Ensuite, l'int�grale pr�sente dans \eqref{eq:b} est susceptible
d'\^etre estim�e avec la m�thode du point col. On constate d'abord que
$$F'(t)=f(t)=0 \Longrightarrow\ t=1+a =\alpha\,.$$
Or on v�rifie sans difficult� que $F(\alpha)=\gO(\eps^2)$.
D'o� 
$$\frac{F(t)}{\eps}= \gO (\eps) +\frac{(t-\alpha)^2}{2\eps}f'(\alpha)
+ \frac{\gO(t-\alpha)^3}{\eps}\,.$$ 
Sachant que $v^\pm(\alpha)=-\frac{1}{2}  +\gO (\eps)$, on trouve  
\begin{align*}
f'(\alpha) &=\frac{1}{v^+(\alpha)v^-(\alpha)} 
     -(v^+v^-)'(\alpha)\frac{\alpha-1-a}{(v^+(\alpha)v^-(\alpha))^2}\\
           &=\left(\frac{1}{(-1/2)^2}+\gO (\eps)\right)+0\\
           &=4+\gO (\eps),
\intertext{donc}
\frac{F(t)}{\eps} &=\frac{2(t-\alpha)^2}{\eps} +
\frac{\gO\Bigl(\bigl|t-\alpha\bigr|^3
  +|\eps|.\bigl|t-\alpha\bigr|^2\Bigr)}{\eps} \\
\intertext{Par ailleurs}
g(\alpha)  &\sim -2\,.\\
\end{align*}
% On en d�duit que 
% $$\int_{x_l}^{+\infty}\!\!\!\! g(t) e^{-F(t)/\eps} dt \sim\!
% \int_{x_l}^{+\infty}\!\!\!\! g(t)
% \exp\Biggl({-\frac{2(t-\alpha)^2}{\eps}+\frac{\gO\Bigl(\bigl|t-\alpha\bigr|^3
%    \!\! +|\eps|.\bigl|t-\alpha\bigr|^2\Bigr)}{\eps}}\Biggr) dt$$
\begin{align*}
\intertext{La contribution principale dans l'int�grale vient du
  voisinage de $\alpha$,  on va donc �crire, apr�s le changement de
  variable $x=(t-\alpha)\sqrt{2/\eps}$,}
-\int_{x_l}^{+\infty}\! g(t) e^{-F(t)/\eps} dt 
 &\sim -\sqrt{\f{\eps}2} \int_{(x_l-\alpha)\sqrt{2/\eps}}^{+\infty}\! 
g\left(\alpha+x\sqrt{\eps/2}\right) 
e^{-F\left(\alpha+x\sqrt{\eps/2}\right)/\eps} dx\\
 & \sim -\sqrt{\f{\eps}2}\ g(\alpha)
\int^{+\infty}_{(-2)\sqrt{2/\eps}} e^{-x^2 +\sqrt{\eps}.
  \gO\bigl(|x|^3+\sqrt{|\eps|}.|x|^2\bigr)}\; dx\\
 &\sim 2\sqrt{\frac{\eps}{2}} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx\,.
\end{align*}
Un �quivalent de l'int�grale est donc:
\begin{equation}
 -\int_{x_l}^{+\infty}\! g(t) e^{-F(t)/\eps} dt \sim
 \sqrt{2{\pi\eps}}\,. \label{eq:b3}
\end{equation}

\vskip 20pt
Il reste � trouver une estimation pour $F(x_l)$. Pour calculer
$F(x_l)$, on peut couper l'intervalle $[x_l,1]$ en deux parties, en un
point $(-1+\lambda)$, o� $\lambda$ est un r�el fix� � choisir entre
$0$ et $2$.  � gauche, on pourra alors raisonnablement estimer $v(u)$
par l'expression $\eps^{-1/3}\bigl(Y_0(X) +\eps^{1/3}\: Y_1(X)
+\eps^{2/3}\: Y_2(X) +\gO(\eps)\bigr)$ d'apr�s le corollaire
\ref{th:serievdp} , et � droite par $v_0+ \eps v_1+\gO(\eps^2)$.

\begin{equation*}
\frac{1}{\eps}F(x_l) =\underbrace{\frac{1}{\eps}
  \int^{-1+\lambda}_1 \frac{u-1-a}{v^+(u)v^-(u)} du}_{(A)} +
\underbrace{\frac{1}{\eps} 
 \int^{x_l}_{-1+\lambda} \frac{u-1-a}{v^+(u)v^-(u)} du}_{(B)}
\end{equation*}


Les calculs des premi�res fonctions $v_n$ et les approximations pour
les $Y_n$ (cf.~\eqref{eq:SerY}) donn�es dans les pr�liminaires permettent 
de donner une estimation  des deux int�grales.
\bigskip
Pour l'expression $(A)$, on part de
$$\frac{1}{v^+(u)v^-(u)}= (u+1)^2 \biggl( 1- \frac{\eps}{4}
\frac{u^2+4u+7}{(u+1)^3} \biggr)+\gO(\eps^2)\,$$
{puisque $v^+$ et $v^-$ ont le m�me d�veloppement asymptotique, d'o�}
\begin{align*}(A)&=\frac{1}{\eps} \int^{-1+\lambda}_1\!\!
    \frac{u-1-a}{v^+(u)v^-(u)} du\\ 
   &= \frac{1}{\eps}\!\! \int^{-1+\lambda}_1 (u-1-a)(u+1)^2
    du -\frac{1}{4} \int^{-1+\lambda}_1 (u-1-a)
    \frac{u^2+4u+7}{u+1} du +\gO(\eps)\,. \\
\intertext{On rappelle que $a=-\eps/8 +\gO(\eps^2)$. Le calcul des int�grales
  nous donne alors}
(A)&= \frac{1}{\eps} \Bigl(\frac{4}{3} -\frac{2\lambda^3}{3}
    +\frac{\lambda^4}{4}\Bigr)+ \Bigl( \frac{1}{3}-
    \frac{\lambda^3}{24} +2\ln \lambda-2\ln(2) \Bigr)
    +\gO(\eps)\,. 
\end{align*}

\vskip 20pt
Pour $(B)$, le calcul se r�v�le plus complexe. On sait que chacune des
deux fonctions $v^+$ et $v^-$ se prolonge � l'aide d'une fonction du
type $Y_\eps$ du th�or�me \ref{ThVdPPtfixe}: 
\begin{align*}
v^\pm(u,\eps)&=\eps^{-1/3}\:Y_\eps^\pm\left(\f{u}{\eps'}\right)
\intertext{avec $X=u/\eps'$, en utilisant le corollaire
\ref{th:serievdp}, }
v^\pm(u,\eps)&=\eps^{-1/3}\left(Y_0^\pm(X)+\eps^{1/3}\: Y_1^\pm(X)
             +\eps^{2/3}\: Y_2^\pm(X) +\eps Y_3^\pm(X)+ 
             \f{\eps^{4/3}}{X}\gO_\eps(1)\right) 
\end{align*}
o� le $\gO_\eps(1)$ est born� quand $\eps\rightarrow0$ et au moins
born� quand $X\rightarrow\infty$. 

Comme $v^+$ et $v^-$ ont le m�me d�veloppement asymptotique pour tout
$u>\rho$ dans un certain secteur autour de l'axe r�el, il est clair
que le d�veloppement en $1/X$ des $Y_n$ donn� plus haut est valable
pour $Y_n^+$ comme pour $Y_n^-$. Ces deux fonctions sont donc
exponentiellement proches en $1/X$ quand $X$ devient grand. On peut
donc �crire,
\begin{align*}
(B)&= \frac{1}{\eps} \int^{x_l}_{-1+\lambda}
    \frac{u-1-a}{v^+(u)v^-(u)} du \\ 
   &=\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!
    \frac{-2+\eps^{1/3}X-a}{Y_0^+(X)Y_0^-(X)} \Bigl( 1 -\!
    \eps^{1/3}Q_1(X) + {\eps}^{2/3} Q_2(X) + \gR(X,\eps) \Bigr) dX\,, 
\intertext{en notant}
Q_1&=\f{Y_1^+}{Y_0^+}+\f{Y_1^-}{Y_0^-}\,,\ \ 
Q_2=\f{{Y_1^+}^2}{{Y_0^+}^2}+\f{Y_1^+Y_1^-}{Y_0^+Y_0^-}
    +\f{{Y_1^-}^2}{{Y_0^-}^2}-\f{Y_2^+}{Y_0^+}-
    \f{Y_2^-}{Y_0^-}\,; 
\intertext{le reste $\gR(X,\eps)$ se trouve �tre de la forme 
$\left(\f{\eps}{X}+{\eps^{4/3}}\right)\gO_\eps(1)$, puisqu'il
correspond � des termes $\eps \f{Y_k^\pm}{Y_0^\pm}$ ($1\leq k\leq 3$)
et $\f{\eps^{4/3}}X\f1{Y_0^\pm}$ respectivement �quivalents quand $X$
devient grand � $\f{\eps}{X}$ et ${\eps^{4/3}}$.}
(B) &= \int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\!\!
     \f{-2+\eps^{1/3}X-a}{Y_0^+(X)Y_0^-(X)} dX -
     \eps^{1/3}\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\!\!
     \f{-2+\eps^{1/3}X-a}{Y_0^+Y_0^-}\:Q_1\ dX\\
    &\phantom{=\,}+ {\eps}^{2/3}\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\!\!
     \f{-2+\eps^{1/3}X-a}{Y_0^+Y_0^-}\:Q_2\ dX 
     +\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\!
     \frac{(-2+\eps^{1/3}X-a)\gR(X,\eps)}{Y_0^+Y_0^-}\:dX
\end{align*}
On appellera les quatre int�grales pr�c�dentes, dans l'ordre,  $(I)$,
$(II)$, $(III)$ et $(IV)$.

\bigskip
Pour $(I)$, regardons d'abord $\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}
\frac{-2}{Y_0^+Y_0^-} dX$. D'apr�s l'�quation diff�rentielle
\eqref{eq:Y0} v�rifi�e par $Y_0$, on a 
\begin{align*}
(Y_0^+-Y_0^-)'(X)               &= \frac{-2}{Y_0^+(X)Y_0^-(X)}
(Y_0^+-Y_0^-)(X)\\ 
\Longrightarrow (Y_0^+-Y_0^-)(X)&= (Y_0^+-Y_0^-)(0) e^{\int^X_0
  \frac{-2}{Y_0^+Y_0^-}dX}\qquad\text{(en int�grant l'�quation).} \\ 
\intertext{Or, quand $X\longrightarrow\infty$, on a vu avec
  \eqref{eq:dY0} que}
(Y_0^+-Y_0^-)(X) &\sim  \frac{4}{e}i X^2 e^{-\frac{2}{3}X^3}\,,
\end{align*}
{donc}
\begin{align*}
\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}} \frac{-2}{Y_0^+Y_0^-} dX 
 &= \ln\biggl(\frac{(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}{i}\biggr) 
-\ln\biggl(\frac{(Y_0^+-Y_0^-)(\lambda\eps^{-1/3})}{i}\biggr)\\
 &=\ln\bigl({-i(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}\bigr) +1 -2\ln 2
+\frac{2\lambda^3}{3\eps}  -2\ln(\lambda\eps^{-1/3})+o(1)\\
 &=\ln\bigl({-i(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}\bigr) 
+\frac{2\lambda^3}{3}\frac{1}{\eps} 
+\frac{2}{3} \ln\eps  -2\ln 2\lambda +1+o(1)\,.
\end{align*}

Pour tous les termes � venir (y compris pour les autres int�grales),
l'int�gration au voisinage de $X_l$ et de tout point fini ne donne au
final que du $o(\eps)$, et il n'y a donc que ce qui se passe quand
$X\rightarrow\infty$ qui nous int�resse. Autrement dit, la diff�rence
entre $Y_n^\pm$ et son d�veloppement en $1/X$ est n�glig�e. Ainsi, pour
$\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\frac{\eps^{1/3}X}{Y_0^+Y_0^-} dX$, on
utilise le d�veloppement asymptotique de $Y_0$:
\begin{align*} Y_0=-\frac{1}{X}-\frac{1}{2X^4}+\gO\Bigl(\frac{1}{X^7}\Bigr)&
\Longrightarrow \frac{1}{Y_0^2}=X^2-\frac{1}{X}
+\gO\Bigl(\frac{1}{X^4}\Bigr)\\ 
\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\frac{\eps^{1/3}X}{Y_0^+Y_0^-} dX&=
 \eps^{1/3} \int_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\! (X^3-1) dX +\gO(\eps^{1/3}) \\
 &=-\eps^{1/3}\frac{\lambda^4}{4\eps^{4/3}}
 +\eps^{1/3}\lambda\eps^{-1/3} +\gO(\eps^{1/3})\\
 &=-\frac{1}{\eps}\frac{\lambda^4}{4} +\lambda +\gO(\eps^{1/3})\,.
\end{align*}

Et pour la derni�re partie de $(I)$,
\begin{align*}
\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\frac{a}{Y_0^+Y_0^-} dX &=
-\frac{\eps}{16}\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}\!\frac{-2}{Y_0^+Y_0^-} dX
\Bigl(1+\gO(\eps)\Bigr) \\
 &=-\frac{\lambda^3}{24}+o(1)\,.
\end{align*}

D'o� finalement
\begin{multline*}
(I)=\frac{1}{\eps}\Bigl(\frac{2\lambda^3}{3}-
\frac{\lambda^4}{4}\Bigr) +\frac{2}{3}\ln\eps -2\ln\lambda -2\ln 2 +1
+\lambda\\
 -\frac{\lambda^3}{24} +\ln\biggl(\frac{(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}{i}\biggr)
+o(1)\,.
\end{multline*}
 
\bigskip
On peut proc�der de mani�re tout a fait identique pour $(II)$
$$(II)= \eps^{1/3}\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}
   \frac{-2+\eps^{1/3}X-a}{Y_0^+Y_0^-}\:Q_1(X)\ dX$$
en utilisant la s�rie asymtotique de $Y_1$ dans $Q_1$ et ne n�gligeant
ce qui est en facteur de $a=\gO(\eps)$.

\begin{gather*}
 Y_1(X)=-\frac{1}{4X^3}+\gO(X^{-6})\quad\Longrightarrow\quad
-\frac{2Y_1}{Y_0^3}=-\frac{1}{2}+o(1)\\
(II)=\eps^{1/3}\int^{\lambda\eps^{-1/3}} \!\frac{-2+\eps^{1/3}X}{2}dX
+o(1)= \frac{\lambda^2}{4}-\lambda+o(1)
\end{gather*}

\bigskip
Et de m\^eme pour $(III)$.
\begin{gather*}
(III)= {\eps}^{2/3}\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}} 
   \!\frac{(-2+\eps^{1/3}X)}{Y_0^2} \Bigr( \frac{Y_1^2}{Y_0^2} -
   2\frac{Y_2}{Y_0} \Bigl) dX \\
Y_2(X)=-\frac{1}{8X^2}+\gO\Bigl(\frac{1}{X^5}\Bigr)\Longrightarrow
-\frac{2Y_2}{Y_0^3}=-\frac{X}{4} +\gO\Bigl(\frac{1}{X^2}\Bigr)
\text{; et } 
\frac{Y_1^2}{Y_0^4}=\gO\Bigl(\frac{1}{X^2}\Bigr)\\
(III)= {\eps}^{2/3}\int^{\lambda\eps^{-1/3}} \!\! (-2+\eps^{1/3}X)
\left(-\frac{X}{4}\right) +o(1) = \frac{\lambda^3}{12}
-\frac{\lambda^2}{4} +o(1)
\end{gather*}

\bigskip

% V�rifions maintenant que $\int^{X_l}_{\lambda\eps^{-1/3}}
% \!\frac{(-2+\eps^{1/3}X-a)\gR(X,\eps)}{Y_0^2}dX$ est un $o(1)$. $\gR
% (X,\eps)$ peut se mettre sous la forme $\eps {\mathcal P}(\eps^{1/3},
% Y_1/Y_0, Y_2/Y_0, \ldots, Y_n/Y_0,\ldots)$ o� ${\mathcal P}$ est une
% s�rie sans terme ind�pendant de tous les $Y_n/Y_0$. 

% Or tous les $Y_n/Y_0$ sont $\leq \gO(1/X)$ pour $n\geq 1$ puisqu'alors
% (d'apr�s ce qui a �t� vu en \eqref{eq:SerY}), $Y_n\leq \gO(1/X^2)$. 
Pour la derni�re int�grale,
\begin{align*}
(IV) &\leq \eps \int_{\lambda\eps^{-1/3}}
\frac{-2+\eps^{1/3}X}{Y_0^2}\left(\f{1}{X}+\eps^{1/3}\right) 
\gO_\eps(1)\ dX\\
     &\leq \eps  \int_{\lambda\eps^{-1/3}}\left( \gO_\eps(X)+\eps^{1/3}     
      \gO_\eps(X^2)\right) dX\\
     &\leq \eps \:  \gO(\eps^{-2/3})\\
     &= o(1)
\end{align*}

\bigskip
En fin de compte, quand on additionne $(A)+(I)+(II)+(III)+(IV)$, on obtient
\begin{align}
\frac{1}{\eps}F(x_l) &= \frac{1}{\eps}\frac{4}{3} +\frac{2}{3}\ln\eps
+\frac{4}{3} -4\ln 2 +\ln\Bigl(\frac{(Y_0^+-Y_0^-)(X_l)}{i}\Bigr)
+o(1) \notag\\
\intertext{Donc}
e^{-F(x_l)/\eps} &\sim e^{-{4}/{3\eps}} \eps^{-2/3}
  \frac{16}{e^{4/3}} \frac{i}{\bigl(Y_0^+-Y_0^-\bigr)(X_l)}\label{eq:b4}
\end{align}
\smallskip

{\small{\bf Remarque}
\par\penalty 10000
On peut signaler que le calcul de $(A)$ ci-dessus n'est pas
indispensable et qu'il suffit de poser $\lambda =0$ dans $(B)$ pour
obtenir le bon r�sultat. Le calcul complet de $(A)$ a cependant �t�
conserv� parce qu'{\sl a priori}, il est indispensable, qu'il peut
l'�tre dans d'autres exemples et parce qu'il permet de d�tecter
d'�ventuelles erreurs. Dans l'autre sens, remplacer $\lambda$ par $X_l
\eps^{1/3}$ dans $(A)$ ne suffit pas pour obtenir le r�sultat complet,
mais donne d�j� les termes $e^{-{4}/{3\eps}} \eps^{-2/3}$.

On peut en revanche choisir effectivement n'importe quel $\lambda$
fix� dans $]0,2[$, ou m�me un $\lambda$ variant tr�s peu avec $\eps$
comme par exemple $\eps^{1/20}$, on aboutira au bon r�sultat, avec 
quelques complications dans le second cas.}


\vskip 20pt
En combinant les r�sultats interm�diaires \eqref{eq:b2},
\eqref{eq:b3} et \eqref{eq:b4}, cela nous donne finalement:
\begin{align*}
\eqref{eq:b}\qquad b \sim& i\eps e^{-{4}/{3\eps}}
\eps^{-2/3} \frac{16}{e^{4/3}}
\frac{\eps^{-1/3}\bigl(Y_0^+-Y_0^-\bigr)(X_l)}{\bigl(Y_0^+-Y_0^-\bigr)(X_l)}
\frac{1}{\sqrt{2\pi\eps}}\\
b \sim&  i\:\frac{e^{-\frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle
                3\eps}}}{\sqrt\eps} \frac{8\sqrt 2}{\sqrt\pi e^{4/3}}
\end{align*}
Soit le
\begin{Th}
$$ \label{eq:B}  \alpha^+-\alpha^- \sim  i\:\frac{e^{-\frac{\scriptstyle 4}{\scriptstyle
                  3\eps}}}{\sqrt\eps} 
               \frac{8\sqrt 2}{\sqrt\pi e^{4/3}}$$
\end{Th} 
On retrouve le r�sultat de \cite{FS} de la proximit� exponentielle des 
deux $\alpha$. Et on confirme que la borne trouv�e: 
$\exp\left(R(-1+\rho)/\eps\right)$ �tait bien optimale. 

courbe-lente.tex
\section{�tude de la courbe lente}

Il est possible de donner, d'une certaine mani�re, une solution exacte
de l'�quation de la courbe lente $\eqref{eq:Y0}$ qui v�rifie les
conditions aux limites voulues. Plus exactement, nous allons d�montrer
le th�or�me suivant:
\begin{Th}
Il existe des solutions de l'�quation diff�rentielle
$$\eqref{eq:Y0}\ \ \qquad Y_0 \frac{dY_0}{dX} =2XY_0+2$$ qui tendent
vers $0$ en l'infini et dont les domaines d'existence contiennent des
secteurs ouverts d'ouverture au moins $\frac{2\pi}{3}$ en l'infini. En
particulier, il y en a une qui est holomorphe dans un secteur
$S\left(\infty,\varrho,-\f{\pi}{6},\f{5\pi}{6}\right)$, et une autre
dans un domaine sym�trique contenant
$S\left(\infty,\varrho,-\f{5\pi}{6},\f{\pi}{6}\right)$. Ces deux
solutions peuvent \^etre prolong�es jusqu'en $0$.
\end{Th}
\bigskip

Pour d�montrer ce th�or�me, on commence par effectuer le changement de
variable suivant:
\begin{alignat}{2}
Y_0(X) &= X^2+z(X)\ \Longrightarrow\quad \eqref{eq:Y0}
&z'(X) &=\frac{2}{X^2+z(X)} \notag\\
\intertext{On regarde ensuite la fonction r�ciproque de la fonction
  $X\mapsto z(X)$ : on consid�re en fait $z\mapsto X(z)$; on sait, 
  d'apr�s les th�or�mes sur les
  fonctions implicites que si $z'$ ne s'annule pas, la d�riv�e de $X$ 
  s'�crira:}
&  & \frac{dX(z)}{dz} &=\frac{X^2(z)+z}{2}\label{eq:vdpx}\,.\\
\intertext{On pose ensuite}
X &=-2\frac{u'}{u}  \hbox{, \ \ d'o�}       &u''+\frac{1}{4}uz&=0,\, 
\text{  qui est une �quation d'Airy.} \notag 
\end{alignat}
Les solutions de l'�quation d'Airy peuvent toutes s'�crire (par
exemple)  � partir des fonctions d'Airy $\Ai$ et ${\mathsf{Bi}}$.

On note 
$$\mu=\sqrt[3]{\frac{1}{4}},\qquad j=e^{2i\pi/3}.$$
Une des solutions correspondra par exemple � $u=\Ai(-\mu j^2 z)$:
$$x=2\mu j^2 \frac{\Ai'(-\mu j^2 z)}{\Ai(-\mu j^2 z)}$$

Or, les r�sultats connus (voir \cite{Ol}) sur $\Ai$ sont:
\begin{align}
 \begin{split}
\Ai(z) &=\frac{e^{-\xi}}{2\sqrt{\pi}z^{1/4}} \biggl( 1+ \gO\Bigl(
\frac{1}{\xi}\Bigr) \biggr)\\
\Ai'(z) &=\frac{-e^{-\xi}z^{1/4}}{2\sqrt{\pi}} \biggl( 1+ \gO\Bigl(
\frac{1}{\xi}\Bigr) \biggr)
 \end{split}\label{eq:Ai}
\intertext{o� $\xi=\frac{2}{3}z^{3/2}$ (en prenant la valeur principale de la
racine), ceci pour} 
-\pi+\delta \leq& \arg z \leq \pi-\delta\quad(\delta>0)\,.\notag
\end{align}
Comme $\arg(-\mu j^2 z)=\arg(z)+\pi/3$, on s'int�resse aux $z$ tels
que $-\frac{4\pi}{3}+\delta \leq \arg z \leq \frac{2\pi}{3}+\delta$,
et on voit que dans ce cas
\begin{align*}
X^2(z) &= 4\frac{{u'}^2(z)}{{u}^2(z)} =4\mu^2 j^4 (-\mu j^2 z) \biggl( 1+ 
\gO\Bigl(\frac{1}{\xi}\Bigr) \biggr)\\
    &=-z+\gO\biggl(\frac{1}{\sqrt{|z|}}\biggr)\,.
\end{align*}
Cette derni�re �galit� permet d'affirmer, en utilisant le th�or�me
d'inversion locale, que la fonction $z\mapsto X(z)$ a un inverse quand
$z$ est dans un voisinage de l'infini dans le secteur propos�, soit la
fonction $X\mapsto z(X)$. 

Et alors $Y_0(X)=X^2+z(X)=\gO({1}/{\sqrt{|z|}})$ tend vers $0$ quand
$X\rightarrow\infty$ pour
$$-\frac{\pi}{6} +\delta' \leq \arg X \leq \frac{ 5\pi}{6} -\delta'$$

On obtient bien une solution $Y_0$ born�e sur un large secteur de
sommet $O$. D'apr�s l'�quation diff�rentielle \eqref{eq:Y0}, $Y_0$ ne
pourrait tendre vers l'infini que quand $X$ tend vers l'infini. En
effet, supposons qu'il existe une suite de points $(X_n)$ convergeant
vers un point fini $X_\infty$, telle que $Y_0(X_n)$ soit une suite non
born�e. Alors la fonction $u_0=1/Y_0$ v�rifie l'�quation 
$$\f{du_0}{dX}=-2Xu_0^2-2u_0^3\,,$$ 
et elle est telle que $u_0(X_n)\rto 0$. Comme $u_0$ n'a pas de
singularit� en $X_\infty$, et que d'apr�s le th�or�me de Painlev� elle
v�rifie $u_0(X_\infty)=0$, il s'agit de la l'unique solution de son
�quation qui s'annule en $X_\infty$, donc de la fonction nulle. Ce qui
est absurde. Les seules singularit�s de $Y_0$ sont donc des z�ros de 
$Y_0$.

L'�quation diff�rentielle nous indique aussi que
$$Y_0\underset{X\rightarrow\infty}{\sim} -\frac{1}{X}\,:$$ comme $Y_0$
est born�e dans un domaine comprenant un secteur en l'infini, d'apr�s
la formule de Cauchy, $Y'_0$ est born�e elle aussi � l'int�rieur de ce
domaine. Donc quand $X$ devient grand, on a n�cessairement que
$2XY_0+2 \rto 0$. D'o� le r�sultat.

Si on veut aller plus loin dans le d�veloppement de $Y_0$, il suffit
de d�composer la fonction $Y_0=-{1}/{X}+\tilde Y$. La fonction $\tilde
Y$ est solution (born�e quand $X$ devient grand dans le bon secteur)
de
$$\tilde {Y'}\tilde Y =2X  \tilde Y+\f{1}{X^3}-\f{\tilde Y}{X^2}+
\f{\tilde {Y'}}{X}\,.$$
$\tilde Y=o(1/X)$; avec Cauchy, on en d�duit donc que $\tilde {Y'}$
est au plus un $o(1/X^2)$.  Dans l'�quation diff�rentielle, les deux
termes les plus importants sont cette fois $2X \tilde Y$ et
${1}/{X^3}$, donc $\tilde Y\sim {-1}/{2X^4}$.

Au total,
$$Y_0=-\frac{1}{X}-\f{1}{2X^4}+o\left(\f{1}{X^4}\right)\,.$$

\vskip 10pt

On peut montrer que la solution propos�e  existe aussi sur l'ensemble
du demi-axe $\{ z\in \CC\ /\ \arg z=-\frac{\pi}{3}\}$.

En effet, pour $z=-jt\quad (t\in {\RR}^+)$,
\begin{gather*}
X(z)=2\mu j^2 \frac{\Ai'(\mu t)}{\Ai(\mu t)} \qquad 
\arg X(z)=\arg j^2+\pi-0=\frac{\pi}{3}\\
\frac{dX}{dt}=\frac{dX}{dz} \frac{dz}{dt}=\frac{X^2(z)+z}{2}(-j) =
-\frac{j^2}{2}\biggl(4\mu^2 \frac{{\Ai'}^2(\mu t)}{\Ai^2(\mu t)} -t
\biggr)\,. \\
\end{gather*}
Le calcul de la d�riv�e de $4\mu^2 {\Ai'}^2(\mu t)-t\Ai^2(\mu t)$, 
montre qu'elle est nulle; cette fonction est par cons�quent
une fonction constante, et r�elle, donc $\frac{-1}{j^2}
 \frac{dx}{dt}$ est une fonction r�elle qui garde un signe constant
 (puisqu'on l'obtient de la pr�c�dente en divisant par $\Ai^2(\mu t)\in
 \RR^+$). 

D'o� l'on peut d�duire que $t\mapsto\frac{x(t)}{-j^2}$ est r�elle et
uniforme sur ${\RR}^+$, donc inversible.

\vskip 10pt

On peut bien s\^ur prolonger analytiquement cette fonction sur tout
domaine simplement connexe ne contenant pas de singularit� de $Y_0$
(les seules singularit�s possibles �tant les points o� $Y_0$
s'annule). 
Cela semble \^etre le cas par exemple (quand on fait des simulations
num�riques) du quart de plan $(\Re z\geq 0,\,\Im
z\geq 0)$. On sait en tous cas que $Y_0$ existe sur une partie de
l'axe r�el, � partir d'un r�el $X_l\geq 0$ jusqu'au voisinage de l'infini.


generali.alpha.tex
\section{Existence de solutions born�es jusqu'en $x=0$}
\label{sec:alpha}

On reprend l'�quation originale, en y introduisant explicitement un
multi-param�tre: 
$$\vec\alpha(\eps)=\Bigl(\alpha_0(\eps),\ldots,\alpha_i(\eps),\ldots,
\alpha_{p-1}(\eps)\Bigr)\,$$
qu'on supposera avoir une s�rie asymptotique
$$\vec\alpha(\eps)\underset{\eps\rightarrow 0}{\sim}\sum_{n=0}^\infty
\vec a_n \eps^n\,.$$ 
On notera aussi
$$\alpha(x,\eps)=\sum_{i=0}^{p-1} x^i \alpha_i(\eps).$$ 

On consid�re donc un cas particulier de l'�quation~\eqref{eq:gen},
qu'on �crira par exemple sous la forme
\begin{equation}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps,\vec\alpha)\bigr) y +h(x,\eps,\vec\alpha) +\eps y^2 
P(x,\eps,\vec\alpha,\eps y)\label{eq:alpha}\tag{{\sc iii}}
\end{equation}
ou encore
\begin{equation}\tag{{\sc iii'}}\label{eq:alphaq}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) +\eps y^2 P(x,\eps, \eps y) 
+Q(x,\eps,\vec\alpha ,y)\,,
\end{equation}
o� on suppose que $Q$ comporte les termes suivants:
\begin{multline}\label{eq:decQ}
Q(x,\eps,\vec\alpha ,y)=\alpha(x,\eps) R_0(x) + 
\eps R_1(x,\eps,\vec\alpha)+\eps y R_2(x,\eps,\vec\alpha)\\ +
\eps y^2  R_3(x,\eps,\vec\alpha,\eps y)+x^p R_4(x,\eps,\vec\alpha)\,,
\end{multline}
avec $R_0(0)\neq 0$. Les deux premiers termes sont issus de $h$, qui
doit donc avoir une forme particuli�re; les termes $R_2$ et $R_3$
viennent de $g$ et $P$ respectivement, dans le cas le plus g�n�ral.

Comme on va s'int�resser maintenant � des solutions $y(x,\eps)$ qui
soient born�es sur un voisinage entier de $0$, il para�t n�cessaire
que cette fois toutes les fonctions qui interviennent dans l'�quation
soient holomorphes en $x=0$.

\medskip
Nous allons dans cette partie tenter de montrer que, dans certaines
conditions, il existe de vraies solutions d'une �quation
diff�rentielle qui existent jusque dans un voisinage d'un point
tournant. Pour cela, nous allons montrer que les vraies solutions qui
existent sur des montagnes (cf.~\ref{sec:loin}) peuvent parfois \^etre
prolong�es jusqu'au point tournant, en se servant des r�sultats du
paragraphe~\ref{sec:pres}. Ensuite, en jouant sur un
(multi-)param�tre, on fera en sorte que ces diff�rents prolongements
aient la m\^eme valeur en $x=0$; cela signifiera que tous ces
prolongements correspondent � une seule solution de l'�quation, qui
existera donc sur la r�union des domaines d'existence de ces solutions.

\subsection{Existence d'une solution formelle continue en $0$}

Dans le cas o� l'�quation~\eqref{eq:alphaq} d�pend lin�airement de
$\alpha(x,\eps)$, elle peut se r��crire
\begin{equation}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) +\eps y^2 P(x,\eps,\eps y) +
\alpha(x,\eps) Q(x,\eps,y)\label{eq:alphas}
\end{equation}
Dans ce cas pr�cis, on peut montrer qu'il existe une solution formelle
� l'�quation qui est continue en $0$, � condition que $Q(0,0,0)$ soit
non nul.
\input serie.tex

\bigskip
Pour le cas non lin�aire en $\alpha$ de l'�quation~\eqref{eq:alphaq},
la m�thode de construction est analogue, mais plus
complexe. Cependant, dans le cas qui nous int�resse o� $Q$ peut
s'�crire sous la forme \eqref{eq:decQ}, l'existence et l'unicit� de la
solution formelle $(\hat y, \hat\alpha)$ reste assur�e (pour une
d�monstration compl�te, voir \cite{CRSS}).

% puisque, entre autres,
% \begin{enumerate}
% \item dans certains cas, on peut avoir plusieurs choix possibles pour 
% $a_0$, le choix d'une valeur pour ce param�tre pouvant donner � chaque
% fois une (unique) solution formelle
% \item l'existence n'est pas forc�ment assur�e: il faut avoir, pour
% tout $n$, que le coefficient $Q_n$ en facteur de $a_n$, soit non nul
% en $x=0$.
% \end{enumerate}

\subsection{Existence de vraies solutions holomorphes jusqu'en 0}

\begin{Th}\label{th:y(0)borne}
On suppose que pour l'�quation~\eqref{eq:alpha}, en plus des
hypoth�ses du th�or�me~\ref{th:pres}, on a que les deux fonctions $g$
et $h$ sont holomorphes en $0$. Alors il existe de vraies solutions
($y,\alpha$), o� $\alpha$ s'�crit n�cessairement
$\alpha(x,\eps)=a_0(x)+a_1(x)\eps +\gO(\eps^2)$ (les deux termes $a_0$
et $a_1$ �tant impos�s), telles que les $y(x,\eps)$ d�finies, born�es
sur une montagne v�rifient en plus les propri�t�s suivantes:
\begin{enumerate}
\item $y(0,\eps)$ est d�finie et born�e quand $\eps$ tend vers $0$.
\item De plus $y(0,\eps)-y(0,0) =\gO(\eps)$ (ou $o(\eps)$).
\end{enumerate}
\end{Th}


D'apr�s le th�or�me~\ref{th:pres}, il existe des solutions $y(x,\eps)$
de l'�quation~\eqref{eq:alpha} dans des domaines tels que
$x>|X_l|\eps'$, ce qui ne permet pas encore de les d�finir en
$0$. Pour arriver jusqu'en $0$, vu le corollaire~\ref{th:+pres}, il
faut encore que $Y_0(X)$ puisse \^etre prolong�e holomorphiquement
jusqu'en $X=0$.

Or pr�cis�ment, dans le cas qui nous int�resse, o� $g$ et $h$ sont
holomorphes en $0$, on a vu que $G_0(X)\equiv 0$ et $H_0(X)\equiv
0$. L'�quation pour $Y_0$ est alors particuli�rement simple:
$$\eqref{eq:Y_0g}\ \ \frac{dY_0}{dX}=\Bigl(X^p f(0)\Bigr) Y_0 +Y_0^2
P_0(X,Y_0)\,,$$ 
et la solution $Y_0$ qui s'impose est une solution �vidente: la
fonction nulle, la seule solution de cette �quation qui tend vers $0$
en l'infini dans un tr�s large secteur; celle-ci existe bien s\^ur en
$X=0$, et on peut utiliser le corollaire~\ref{th:+pres} qui assure
alors l'existence de $y(x,\eps)$ jusqu'en $x=0$.

Mais ce r�sultat ne nous suffit pas, la solution $y(x,\eps)$ obtenue
n'�tant pas born�e quand $\eps\rightarrow 0$. Pour aller plus loin, il
faut regarder exactement les premiers termes de la solution
correspondante $Y(X,\eps')$, que dans les limites du corollaire
\ref{cor:pabo} on mettra sous la forme
$$Y(X,\eps')\sim \sum_{n=0}^\infty Y_n(X) {\eps'}^n\,.$$

\medskip
Montrons que les $p+1$ premiers $Y_n$ sont tous identiquement
nuls.

On sait qu'on a une solution $y_0(x)$ pour $\eps=0$ qui est
continue en $x=0$. L'�quation pour $y_0$ nous donne 
$$y_0(x)=-\frac{h\bigl(x,0,\vec a_0\bigr)}{f(x)x^p}$$ donc
$h\bigl(x,0,\vec a_0\bigr)$ est divisible par $x^p$. Si on pose
$\alpha=a_0+\eps\tilde\alpha$, la fonction $h$ peut se mettre sous la
forme $h(x,\eps,\vec\alpha)=x^p h_1(x)+\eps
h_2(x,\eps,\vec{\tilde\alpha})$. Dans toute la suite, on supposera
qu'on a d�j� �crit $\vec\alpha$ sous cette forme et transform� $g$,
$h$ et $P$ en cons�quence pour obtenir effectivement
l'�quation~\eqref{eq:alpha}:
\begin{multline}\tag{\ref{eq:alpha}}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps g(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha})\bigr) y 
+x^p h_1(x)+\eps h_2(x,\eps,\vec{\tilde\alpha})\\ 
+\eps y^2 \Bigl(x^p P_1(x,\eps y)
+\eps P_2(x,\eps,\vec{\tilde\alpha}, \eps y)\Bigr)
\end{multline}

Le r�sultat pour l'�quation en $Y$, \eqref{Yg}, est le suivant: 
\begin{multline}
\frac{dY}{dX}=\Bigl(X^p f(\eps' X)+\eps'
g(\eps'X,\eps,\vec{\tilde\alpha})\Bigr) Y\\ 
+\eps X^p h_1(\eps'X)+\eps'\eps h_2(\eps'X,\eps,\vec{\tilde\alpha})+ 
Y^2 P_\eps(X,\eps',\vec{\tilde\alpha},Y)\,.
\end{multline}
Donc, par r�currence finie, en faisant l'hypoth�se de r�currence
$Y_{n-1}(X)=0$,  pour $Y_n$, $n$ allant de $0$ � $p$, les �quations
sont �quivalentes � 
$$\frac{dY_n}{dX}=\Bigl(X^p f(0)\Bigr) Y_n\,.$$ 
La fonction nulle est la solution de chacune de ces �quations qui
v�rifie la condition initiale voulue; c'est-�-dire, quand $\eps'$ tend
vers $0$,
$$Y_n\left(\f{x_\rho{\eps'}^\mu}{\eps'}\right)=\f1{{\eps'}^n}\left(\eps
y(x_\rho{\eps'}^\mu,\eps)-\sum_{k=0}^{n-1} {\eps'}^k
Y_k\left(\f{x_\rho{\eps'}^\mu}{\eps'}\right)\right)\ :$$
quand $\eps$ tend vers $0$, $\f\eps{{\eps'}^p}
y(x_\rho{\eps'}^\mu,\eps)$ tend vers $0$ et les autres termes � droite
sont nuls par hypoth�se de r�currence, d'o� la condition 
$$\lim_{X\rightarrow\infty} Y_n(X)=0,\ \ \forall n \leq p\,.$$
\begin{align*}
\intertext{Pour $n=p+1$, on obtient en revanche}
\frac{dY_{p+1}}{dX}&=\Bigl(X^p f(0)\Bigr) Y_{p+1} + X^p h_1(0)\\
\intertext{dont la solution qui nous int�resse v�rifie }
\lim_{X\rightarrow\infty} Y_{p+1}(X)&=\lim_{\eps'\rightarrow 0}
y_0(x{\eps'}^\mu)+o\left({\eps'}^{1-\mu}\right)=y_0(0)
\intertext{c'est-�-dire}
Y_{p+1}(X)&=-\frac{h_1(0)}{f(0)}\,.\\
\end{align*}
On en conclut que $Y(X,\eps')$ est �gal �
$$Y(X,\eps')=\eps \tilde Y(X,\eps') \sim \eps (Y_{p+1}(X)+\eps'
Y_{p+2}(X)+\ldots)\,, $$
d'o� l'on d�duit que
$$y(\eps'X,\eps)=\frac{Y(X,\eps')}{\eps}=\tilde Y(X,\eps')$$
reste born�e en $x=0$ (et dans un petit voisinage de taille $\eps'$
autour de ce point) quand $\eps\rightarrow 0$; ce qui d�montre le
premier point du th�or�me.

\bigskip
Il reste � montrer que l'�quivalent de $y(0,\eps)-y(0,0)$ est d'ordre
$\eps$ au moins. On continue dans ce but le calcul des premiers termes
de la s�rie formelle de $\tilde Y$. 

Revenons d'abord � l'�quation~\eqref{eq:alpha}. Comme il existe une
solution formelle, on sait calculer $y_1(x)$ avec l'�quation suivante:
$$y'_0(x)=x^p f(x) y_1(x) +h_2(x,0,a_1(x))+ y_0^2(x) x^p P_1(x,0)
+y_0(x) g(x,0,0)\,,$$
donc pour que $y_1$ soit continue en $0$, il faut et il suffit que
\begin{equation}\label{prop-y1}
y'_0(x)-h_2(x,0,a_1)- y_0(x)g(x,0,0)\ \text{soit de valuation
$p$ au moins.}
\end{equation}
\medskip
Pour $\tilde Y$, on trouve comme �quation diff�rentielle non
singuli�rement perturb�e
\begin{multline*}
\frac{d\tilde Y}{dX}=\Bigl( X^p f(\eps' X)+
\eps' g(\eps'X,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha}) \Bigr)\tilde Y +X^p h_1(\eps'X)
+\eps'h_2(\eps'X,\eps,\vec{\tilde\alpha})\\
+\eps \tilde Y^2 P_\eps(X,\eps',\vec{\tilde\alpha}, \tilde Y)
\end{multline*}
On ne cherche que les termes $\tilde Y_0$, $\tilde Y_1$,\ldots $\tilde
Y_p$, donc dans l'�quation ci-dessus, on tronquera toutes les s�ries
pour ne garder que les termes de degr� en $\eps'$ strictement
inf�rieur � $p+1$. En particulier, le terme $\eps \tilde Y^2
P_\eps(X,\eps',\vec{\tilde\alpha}, \tilde Y)$ peut \^etre oubli�, et on
obtient pour ces fonctions $\tilde Y_j$ des �quations diff�rentielles
lin�aires. 

Si on cherche � identifier les deux s�ries formelles, celle pour $y$
et celle pour $\tilde Y$, on s'aper�oit que les $\tilde Y_j$ (pour
$j\leq p$) ne devraient d�pendre que de $y_0$, et \^etre de la forme
$\tilde Y_j = \lambda_j X^j$. Nous allons d�montrer que les �quations
pour les $\tilde Y_j$ admettent effectivement de telles solutions. �
partir de l'�quation pour $\tilde Y$,
\begin{multline*}
\sum_{j=1}^p  \lambda_j j X^{j-1} {\eps'}^j \equiv \Bigl(X^p f(\eps'X)+
\eps'g(\eps'X,0,0)\Bigr)\sum_{j=1}^p  \lambda_j  X^{j} {\eps'}^j\\
+X^p h_1(\eps'X)+\eps'h_2(\eps'X,0,a_1)\qquad 
[{\text{mod }}{\eps'}^{p+1}]\,,
\end{multline*}
{en ne regardant dans l'�galit� ci-dessus que les termes
dont le degr� en $\eps'$ est inf�rieur ou �gal � $p$.}
\begin{multline*}
\Longleftrightarrow
\eps'\Bigl(\sum_{j=1}^p  \lambda_j j X^{j-1} {\eps'}^j-
h_2(\eps'X,0,a_1) -g(\eps'X,0,0)\sum_{j=1}^p  \lambda_j  X^{j}
{\eps'}^j\Bigr)\\
\equiv X^p\Bigr(f(\eps'X)\sum_{j=1}^p  \lambda_j  X^{j}
{\eps'}^j +h_1(\eps'X)\Bigr)\qquad [{\text{mod }}{\eps'}^{p+1}] \,.
\end{multline*}
{� gauche, on ne d�passe pas le degr� $p-1$ en $X$, alors
qu'� droite, on commence au degr� $p$; la seule possibilit� d'avoir
cette �galit� est donc que les deux membres soient nuls.}
\begin{align*}
\intertext{� droite, cela donne (toujours en s�ries tronqu�es)}
\sum_{j=1}^p  \lambda_j X^{j}{\eps'}^j 
&\equiv -\frac{h_1(\eps'X)}{f(\eps'X)}=y_0(\eps' X)
\qquad [{\text{mod }}{\eps'}^{p+1}]\\
\intertext{puis � gauche, on retrouve}
&\eps'\Bigl(y'_0(\eps'X)-h_2(\eps'X,0,a_1)-g(\eps'X,0,0)y_0(\eps'X)\Bigr)\\
\intertext{qui d'apr�s la propri�t�~\eqref{prop-y1} est de valuation $p$
en $\eps'X$, donc de valuation $p+1$ en $\eps'$.}
\end{align*}
Ces $\tilde Y_j$ doivent v�rifier en plus une condition initiale, qui
est, quand $\eps'$ tend vers $0$,
\begin{align*}
\tilde Y_j\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)&\sim
\f1{{\eps'}^{p+1+j}}\left(\eps y_0\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)
+\gO(\eps^2) -\sum_{k=0}^{j-1} {\eps'}^k
\tilde Y_k\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)\right)\\
&\sim \f1{{\eps'}^{j}}
y_0\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)-\sum_{k=0}^{j-1} \lambda_k 
\left(x_\rho {\eps'}^\mu\right)^k
\intertext{soit, si $y_0(x)=\sum \lambda_k x^k$,}
\tilde Y_j\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right) 
&\sim \lambda_j  \left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)^j
\end{align*}
Les solutions $\tilde Y_j$ trouv�es formellement sont donc bien aussi
effectivement les solutions des �quations diff�rentielles
correspondantes avec les conditions initiales voulues.

Pour $y(x,\eps)$, on en d�duit alors
\begin{align}
y(\eps'X,\eps) &= \lambda_0 + \eps'\lambda_1 X +\cdots+{\eps'}^p
\lambda_p X^p +\gO(\eps)\notag\\
\label{prop:y}y(0,\eps)-y(0,0) &\sim \eps \tilde Y_{p+1}(0)\ \ \text{ voire
plus petit, si $\tilde Y_{p+1}(0)=0$.}
\end{align} 


\subsection{Une estimation pr�liminaire}

On �tudiera dans la suite de cette partie l'�quation~\eqref{eq:alphaq}
dans laquelle on a d�j� �crit $\vec\alpha=\vec
a_0+\eps\vec{\tilde\alpha}$.
\begin{equation*}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) +\eps y^2 P(x,\eps, \eps y) 
+Q(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha} , y)
\end{equation*}
la fonction $Q$ �tant holomorphe en toutes ses variables; $Q$ s'�crit
comme dans l'�galit� \eqref{eq:decQ}.  

On note encore $Q_{k}^0=R_0(0)\neq 0$.

On notera $\gamma_l$ un chemin descendant le relief � partir d'un
sommet de la $l-$i�me montagne jusqu'en $x=0$ (on rappelle qu'il na\^it
$p+1$ montagnes autour du point $0$).

Nous aurons besoin plus loin de l'estimation suivante:
\begin{Lemmetech}\label{th:col}
Quand $\eps$ tend vers $0$,
$$\int_{\gamma_l}\!\! \exp\left({\frac{1}{\eps}\!\!\int_x^0\!\!\! t^p f(t) dt
+r(x)}\right) \frac{\partial Q}{\partial \tilde\alpha_k} (x,\eps,
\eps\vec{\tilde\alpha}, y)dx \sim \eps
C_k {\eps'}^{k+1} \exp\left({l(k+1)\frac{2i\pi}{p+1}}\right)$$
o� $C_k$ ne d�pend pas de $l$. 
\end{Lemmetech}
Il ne s'agit dans ce lemme que d'un variante de la m�thode du point
col. La valeur de l'int�grale est essentiellement concentr�e l� o� 
$\int_x^0\!\! t^p f(t) dt$ est nulle, c'est-�-dire en $x=0$. Comme
$\exp(r(x))$ et $f(x)$ sont holomorphes et non nulles
au voisinage de $x=0$, l'int�grale est peu diff�rente de
$$\int_{\gamma_l}\!\! e^{r(x)}\exp\left(-\frac{1}{\eps} x^{p+1}
\frac{f(0)}{p+1}\right) \frac{\partial Q}{\partial \tilde\alpha_k} (x,\eps,
\eps\vec{\tilde\alpha}, y)dx$$
et on effectue le changement de variable 
$u=x\times\f{\sqrt[p+1]{f(0)/(p+1)}}{\eps'}$. 

On arrive � l'estimation
$$e^{r(0)}\eps'\sqrt[p+1]{(p+1)/f(0)}\int_{\gamma_l}\!\!e^{-u^{p+1}}
\frac{\partial Q}{\partial\tilde\alpha_k}
\left(u\eps'\sqrt[p+1]{(p+1)/f(0)},\eps,\eps\vec{\tilde\alpha},y\right)du$$
Or $$\f1\eps\frac{\partial Q}{\partial\tilde\alpha_k}
(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha}, y)=x^k R_0
+\eps\left(\Dp{R_1}{\tilde\alpha_k} +y\Dp{R_2}{\tilde\alpha_k} +y^2
\Dp{R_3}{\tilde\alpha_k}\right)+x^p \Dp{R_4}{\tilde\alpha_k}\,, $$ 
et la d�riv�e partielle est donc �quivalente �
$\Dp{Q}{\tilde\alpha_k}\sim\eps x^kQ_k^0$ quand $\eps$ puis $x$
tendent vers $0$. D'o� la nouvelle approximation
$$e^{r(0)}\eps'\sqrt[p+1]{(p+1)/f(0)}\ \eps\, Q_k^0 
\int_{\gamma_l}\!\!e^{-u^{p+1}} \left(u\eps'\right)^k
\left(\sqrt[p+1]{\frac{p+1}{f(0)}}\right)^k du$$
aussi �quivalente �
$$\eps\, C'_k{\eps'}^{k+1}\int_{\gamma_l}e^{-u^{p+1}} u^k du$$
Notons $I_k=\int_{\gamma_1}e^{-u^{p+1}} u^k du$, qui est une int�grale
bien d�finie. Pour passer du chemin
$\gamma_1$ � $\gamma_l$, au moins dans un voisinage de $0$, il suffit
d'effectuer une rotation d'angle $\frac{2(l-1)\pi}{p+1}$. Donc, en
posant $$u=v\exp\left(i \frac{2(l-1)\pi}{p+1}\right)\,$$
on obtient que
\begin{align*}
\int_{\gamma_l}e^{-u^{p+1}} u^k du&=\int_{\gamma_l}e^{-v^{p+1}} v^k
\exp\left(i \frac{2k(l-1)\pi}{p+1}\right) \exp\left(i
\frac{2(l-1)\pi}{p+1}\right)  dv\\
 &=\exp\left(i \frac{2(k+1)(l-1)\pi}{p+1}\right) I_k
\end{align*}
D'o� le r�sultat final:
$$\!\int_{\gamma_l}\!\! \exp\left({\frac{1}{\eps}\!\!\int_x^0\!\!\! t^p
f(t) dt +r(x)}\right) \frac{\partial Q}{\partial \tilde\alpha_k}
(x,\eps, \eps\vec{\tilde\alpha},y)dx \sim 
C_k {\eps'}^{k+1}\eps\ \exp\!\left({(k+1)\frac{2li\pi}{p+1}}\right)\,,$$
la valeur de $C_k$ �tant la constante non nulle
$$C_k=C'_k*I_k\exp\left({-(k+1)\frac{2i\pi}{p+1}}\right)\,.$$

\subsection{Existence de solutions $y(x,\eps)$ exceptionnelles qui
restent born�es dans un voisinage de taille fixe du point 0}

\begin{Th}\label{th:alphas}
Soit l'�quation
\begin{equation}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) 
+\eps y^2 P(x,\eps,\eps y)
+ Q(x,\eps, \eps\vec{\tilde\alpha}, y)\tag{\ref{eq:alphaq}}
\end{equation}
o� toutes les fonctions qui interviennent sont holomorphes dans un
voisinage $\Dom_0$ de $x=0$ (avec $f(0)\neq 0$), holomorphes en $\eps$
dans des secteurs centr�s en $0$, $P$ �tant aussi holomorphe en $\eps
y=0$. $Q$ se d�compose comme en \eqref{eq:decQ}
\begin{multline*}
Q(x,\eps,\vec\alpha ,\eps y)=\alpha(x,\eps) R_0(x) + 
\eps R_1(x,\eps,\vec\alpha)+\eps y R_2(x,\eps,\vec\alpha) \\+
\eps y^2  R_3(x,\eps,\vec\alpha,\eps y)+x^p R_4(x,\eps,\vec\alpha)\,,
\end{multline*}
avec
$$\alpha(x,\eps)=
\sum_{k=0}^{p-1}\alpha_k(\eps)x^k=a_0(x)+\eps\tilde\alpha(x,\eps)\,.$$ 

Dans ce cas, il existe une unique solution formelle $(\hat y=\sum
y_n(x)\eps^n, \hat\alpha=\sum \vec a_n\eps^n)$ telle que $y_n(0)$ est
bien d�finie pour tout $n$.

On construit $p+1$ domaines $\Dom_l\subset\Dom_0$ contenant chacun une
des montagnes (pour le relief $\Re(\int^x \frac{f(t)t^p}{\eps} dt)$)
naissant au voisinage du point col $0$, chacun des domaines $\Dom_l$
�tant  accessible � partir de son sommet, qu'on pourra �ventuellement 
choisir infini (cf. fig~\ref{fig:alphas}).

Alors, si pour un certain $\delta$ fix� et tout $\eps$ assez petit
\begin{equation}\tag{H1}\label{C1}
\frac{|g(x,\eps)|+|h(x,\eps)|+|P(x,\eps,\eps \delta)|}{x^p
f(x)} \hbox{ est born�e sur } 
\bigcup_{l=1}^{p+1} \Dom_l,
\end{equation}
et
\begin{equation}\tag{H2}\label{C2}
\frac{Q(x,\eps,\delta,\delta)}{x^p f(x)}
\hbox{ est born�e sur }  
\bigcup_{l=1}^{p+1} \Dom_l,
\end{equation}
il existe, pour tout $\eps>0$ assez petit, des $\alpha_k(\eps)$ et une
fonction $y(x,\eps)$ holomorphe born�e
sur $\bigcup \Dom_l$ et sur un voisinage complet de $x=0$, 
$\mathcal{B}(0,\rho)$, tels que l'�quation \eqref{eq:alphaq} soit
v�rifi�e. 

Cette solution $(y,\vec\alpha)$ correspond � la solution formelle,
c'est-�-dire qu'elle admet les s�ries formelles solutions comme
d�veloppements asymptotiques:
$$y(x,\eps)\sim\sum_{n=0}^\infty y_n(x)\eps^n,\ \ \ \ 
\vec\alpha(\eps)\sim\sum_{n=0}^\infty \vec a_n\eps^n\,.$$
\end{Th}

\begin{figure}[ht!]
\centerline{\input Domalpha.pstex_t}
\caption{Exemple de voisinage de $0$, avec repr�sentation de $\Dom_1$
et $\Dom_3$ ($p=4$)}\label{fig:alphas}
\end{figure}

% \begin{figure}[ht!]
% \center{\includegraphics[scale=0.77]{Domalpha.ps}}
% \caption{Exemple de voisinage de $0$, avec repr�sentation de $\Dom_1$
% et $\Dom_3$ ($p=4$)} \label{fig:alphas}
% \end{figure}

Pour tout $\tilde\alpha$ dans un voisinage de taille $\eps$ de
$a_1(x)$ (trouv� formellement, comme $a_0$ pr�c�demment), on sait que
sur chaque domaine $\Dom_l$, il existe une solution
$y^{[l]}(x,\eps)$. Si les hypoth�ses du th�or�me~\ref{th:alphas} sont
v�rifi�es, on a montr� (au th�or�me~\ref{th:+pres}) qu'on peut
prolonger ces solutions jusqu'en $x=0$, et qu'elles restent born�es en
ce point quand $\eps\rightarrow 0$.  Pour d�montrer le th�or�me, nous
allons montrer que pour tout $\eps$ assez petit, il existe un
$\tilde\alpha(x,\eps)$ tel que les fonctions $y^{[l]}(x,\eps)$
d�finies chacune sur leur montagne $\Dom_l$ soient toutes �gales en
$x=0$: $y^{[1]}(0,\eps)=y^{[2]}(0,\eps)=\cdots=y^{[p+1]}(0,\eps)$.

\medskip
Regardons comment $y$ varie en fonction de
$\vec{\tilde\alpha}$. L'�quation~\eqref{eq:alphaq} implique, si on la d�rive par
rapport � $\alpha_i$:  
\begin{multline*}
\eps \left(\frac{\partial y}{\partial\tilde\alpha_k}\right)'=
\Dp{Q}{\tilde\alpha_k}(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha},y)
+\frac{\partial y}{\partial \tilde\alpha_k}\times\\
\left[x^p f(x)+\eps
\left(g(x,\eps)+2yP(x,\eps,\eps y)+\eps y^2 \frac{\partial P}{\partial
y}(x,\eps,\eps y)+\f1\eps \frac{\partial Q}{\partial
y}(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha},y)\right)\right]\,.
\end{multline*}
On voit qu'on a une �quation diff�rentielle lin�aire en
$\frac{\partial y}{\partial\tilde\alpha_k}$; les solutions peuvent donc
s'�crire:
$$\frac{\partial y^{[l]}}{\partial\tilde\alpha_k}=\frac{1}{\eps}
\int_{\gamma_l} e^{r(x)}\exp\left(\frac{1}{\eps}\int^0_x t^p f(t)dt\right) 
\frac{\partial Q}{\partial\tilde\alpha_k}(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha},y) 
dx\,,$$
avec
$$r(x)=\int^0_x \left( g(t,\eps)+2yP(t,\eps,\eps y)+\eps y^2
\frac{\partial P}{\partial y}(t,\eps,\eps y)+\f1\eps
\frac{\partial Q}{\partial y}(t,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha},y)\right)dt\,,$$
une fonction born�e quand $\eps$ tend vers $0$, puisque $\Dp{Q}{y}$
est un $\gO(\eps^2)$.
On peut appliquer le lemme~\ref{th:col}, qui nous donne alors:
\begin{equation}
\frac{\partial
y^{[l]}}{\partial\tilde\alpha_k}\underset{\eps\rightarrow 0}\sim
C_k {\eps'}^{k+1}\,\eps\, \exp\left({l(k+1)\f{2i\pi}{p+1}}\right)\,. 
\end{equation}

En reprenant le r�sultat complet du th�or�me~\ref{th:y(0)borne}
(cf.~\eqref{prop:y}), on peut �crire une formule de Taylor pour chacun
des $y^{[l]}$ au voisinage de la fonction $y_0$ en $x=0$:
\begin{align*}
y^{[l]}(0,\eps,\vec{\tilde\alpha})-y_0(0)&=\eps \tilde Y_{p+1}(0)
+\eps\sum_{k=0}^{p-1} \tilde\alpha_k C_k {\eps'}^{k+1}
\exp\left({l(k+1)\frac{2i\pi}{p+1}}\right)+o(\ldots)
\intertext{qui donne, apr�s division par $\eps$,}
\f1\eps \left(y^{[l]}(0,\eps,\vec{\tilde\alpha})-y_0(0)\right)
&=\tilde Y_{p+1}(0) +\sum_{k=0}^{p-1} \check\alpha_k C_k
\exp\left({l(k+1)\frac{2i\pi}{p+1}}\right)+o(\ldots)\,,
\end{align*}
o� $\check\alpha_k=\tilde\alpha_k {\eps'}^{k+1}$. On rappelle que ni
$\tilde Y_{p+1}$ ni $y_0$ ne d�pendent de $l$, $\eps$ ou $\alpha$.

\medskip
Nous allons regarder le vecteur 
$$\gY=\begin{pmatrix}
\frac1\eps\left(y^{[1]}(0,\eps,\vec{\tilde\alpha})-y_0(0)\right)-\eta\\
\frac1\eps\left(y^{[2]}(0,\eps,\vec{\tilde\alpha})-y_0(0)\right)-\eta\\
\vdots\\
\frac1\eps\left(y^{[p+1]}(0,\eps,\vec{\tilde\alpha})-y_0(0)\right)-\eta
\end{pmatrix}$$ 
de taille $p+1$, d�pendant des $p+2$ variables $\eps$, $w_1=\eta$,
$w_2=\check\alpha_0$, $\ldots$, $w_{p+1}=\check\alpha_{p-1}$.  D'apr�s
ce qui pr�c�de, la matrice jacobienne de $\cal Y$ par rapport aux
$p+1$ derni�res variables est 
\begin{gather*}
\Dp{\gY}{w}_{\eps=0,w=(\tilde Y_{p+1}(0),0,\ldots,0)}= 
 \begin{bmatrix} 
  -1 &
C_0\,e^{\left(1\cdot 1\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)} & \ldots &
C_{p-1}\,e^{\left(1\cdot p\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)}\\
  -1 &
C_0\,e^{\left(2\cdot 1\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)} & \ldots &
C_{p-1}{\,}e^{\left(2\cdot p\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 
  -1 &
C_0\,e^{\left((p+1)\cdot 1\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)} & \ldots &
C_{p-1}{\,}e^{\left((p+1)\cdot p\cdot \f{2i\pi}{p+1}\right)}
 \end{bmatrix}
\end{gather*}
Le d�terminant correspondant est non nul. En effet, en factorisant le
jacobien obtenu par colonnes, on obtient 
\[
{\mathit Det}\left(\Dp{\gY}{w}\right)=
-\prod_{k=0}^{p-1} C_{k}
\begin{vmatrix}
1 & \left(\exp\f{2i\pi}{p+1}\right) &  \ldots & 
\left(\exp\f{2i\pi}{p+1}\right)^{p}\\
1 & \left(\exp\f{4i\pi}{p+1}\right) &  \ldots & 
\left(\exp\f{4i\pi}{p+1}\right)^{p}\\
\vdots & \vdots & &\vdots\\
1 & \left(\exp\f{2(p+1)i\pi}{p+1}\right) &  \ldots & 
\left(\exp\f{2i(p+1)\pi}{p+1}\right)^{p}\\
\end{vmatrix}
\]
Le d�terminant qui reste est un d�terminant de Van der Monde, qui est
bien non nul.

On en d�duit que $\gY$ est localement inversible autour de $w=0$. 

On regarde la fonction $\gY(\eps,w)$; on sait que, avec $w_0=(\tilde
Y_{p+1}(0),0,\ldots,0)$, 
\begin{align*}
\gY(0,w_0)&=0 
\intertext{et}
\Dp{\gY}{w}_{(\eps=0,w=w_0)}\ \text{ est inversible}
\end{align*}
D'apr�s le th�or�me des fonctions implicites, il existe donc une
unique fonction $w(\eps)$ telle que $\gY\bigl(\eps,w(\eps)\bigr)=0$,
pour tout $\eps$ dans un voisinage suffisamment petit de $0$.  Les
fonctions $\check\alpha(\eps)$ que l'on en d�duit sont born�es en
$\eps$; donc les fonctions
$\eps\vec{\tilde\alpha}=\check\alpha{\eps'}^{p-k+1}$ tendent vers $0$
avec $\eps$. Cette propri�t� nous suffit pour pouvoir effectivement
appliquer le th�or�me des fonctions implicites: les $\tilde\alpha_k$
sont toujours accompagn�s d'un $\eps$ en facteur dans toute ce
paragraphe. Les fonctions $\eps\vec{\tilde\alpha}(\eps)$ sont
holomorphes en $\eps$ dans des secteurs ouverts en $0$, puisque le
passage de $\eps$ � $\eps'=\eps^{\f{1}{p+1}}$ n'est pas bijectif dans
un visinage du point $0$.

% Dans
% le cas particulier qui nous int�resse, on veut que toutes les
% composantes de $\gY$ soient �gales, pour avoir une seule valeur pour
% les solutions en $0$. Cela est v�rifi�, puisque pour tout $\eta\in
% \CC$ assez petit, il existe donc $\eps$, $\tilde\alpha_0$, \ldots,
% $\tilde\alpha_{p-1}$ tels que
% $$\gY(\eps,\tilde\alpha_0,\ldots,\tilde\alpha_{p-1})=
% \begin{pmatrix}
% y_0(0)+\eta\\
% y_0(0)+\eta\\
% \vdots\\
% y_0(0)+\eta
% \end{pmatrix}\,.$$
% D'apr�s le th�or�me des fonctions implicites, on peut ensuite en
% d�duire l'existence des fonctions $\tilde\alpha_0(\eps)$, \ldots,
% $\tilde\alpha_{p-1}(\eps)$, pour qu'on ait cette propri�t�. Ces
% fonctions ne seront d�finies que pour $\eps$ assez petit dans des
% secteurs centr�s en $\eps=0$ d'angle d'ouverture $\f{2\pi}{p+1}$ (dans
% lesquels le passage de $\eps$ � $\eps'=\eps^{\f{1}{p+1}}$ est
% bijectif).

% Par ailleurs, vu la forme du Jacobien et du syst�me lin�aire qu'il
% permet de construire entre les $\tilde\alpha_k$ et $\eps$, on d�duit
% que
% $$\Dp{\tilde\alpha_k}{\eps}=\gO(1), \ \forall k\leq p-1\,.$$ 
Avec $\vec\alpha$, on trouve en m\^eme temps la fonction $y(x,\eps)$
correspondante � partir de $y(0,\eps)=y_0(0)+\eps \eta(\eps)$; dans
les paragraphes pr�c�dents, on a montr� qu'il s'agissait d'une
fonction born�e, en $x=0$ et dans tous les domaines $\Dom_l$ autour de
$0$. On vient ainsi de finir de d�montrer l'existence de la vraie
solution $(y,\alpha)$ du th�or�me, born�e quand $\eps$ tend vers $0$,
dans l'union des domaines $\Dom_l$.

\medskip
Il reste � justifier que la solution formelle $(\hat y,\hat\alpha)$
est le d�veloppement asymptotique de $(y,\vec\alpha)$. La
d�monstration se fait de mani�re analogue � celle du
th�or�me~\ref{th:loin,c}. On sait que la solution $(y,\vec
a_0+\eps\vec{\tilde\alpha})$ existe, avec $\eps\vec{\tilde\alpha}$ born�e
en $\eps$, et on �crit
\begin{align*}
y(x,\eps)&=y_0(x)+\eps z(x,\eps)\\
a_0(x)+\eps\tilde\alpha(x,\eps)&=a_0(x)+\eps a_1(x)+\eps^2
\breve\alpha(x,\eps)\,.
\end{align*}
Si on introduit ces notations dans l'�quation
diff�rentielle~\eqref{eq:alphaq}, cela donne une �quation
diff�rentielle lin�aire en $z$ avec un param�tre
$\breve\alpha(x,\eps)$ qui intervient lui aussi de mani�re lin�aire:
\begin{multline*}
\eps z' =\left(x^p f(x)+\eps g(x,\eps)\right)z+
\eps\breve\alpha(x,\eps) R_0(x)+x^p 
\f{R_4(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha})-R_4(x,0,0)}\eps +\\
\left(\f{h(x,\eps)-h(x,0)}\eps-y'_0+g(x,\eps) y_0 +y^2 P(x,\eps,\eps
y)+a_1(x,\eps) R_0+ R_1+ y R_2+ y^2 R_3\right)\!
\end{multline*}
(on rappelle que $R_0$ ne d�pend que de $x$; $R_1$, $R_2$ et $R_4$ de
$x$, $\eps$ et $\eps\vec{\tilde\alpha}$; et que $R_3$ d�pend en plus
de $\eps y$).

On v�rifie tr�s facilement que les hypoth�ses du th�or�me sont encore
v�rifi�es pour cette �quation:
\begin{enumerate}
\item $f$ et $g$ ne changent pas.
\item la nouvelle fonction $\breve P$ est nulle.
\item la nouvelle fonction $\breve Q(x,\eps,\eps\vec{\breve\alpha},\eps y)$, 
quant � elle, se r�duit � la somme des deux termes
$\eps\breve\alpha(x,\eps)R_0(x)+x^p
\f{R_4(x,\eps,\eps\vec{\tilde\alpha})-R_4(x,0,0)}\eps$. Le premier terme 
ne pose aucune difficult�. Et le second peut s'�crire aussi 
$x^p \breve R_{4}(x,\eps,\eps\vec{\breve\alpha})$.
\item $\breve h(x,\eps)$ correspond � la deuxi�me ligne dans l'�quation 
ci-dessus. Cette fonction qui peut s'exprimer en fonction de $x$ et
$\eps$ uniquement (puisque $y$ et $\eps\tilde\alpha$ sont bien connus)
v�rifie la condition de majoration voulue.
\end{enumerate}
Avec ce qui vient d'\^etre d�montr�, on sait donc qu'il existe
$z(x,\eps)$ et $\eps\breve\alpha(x,\eps)$ born�es en $\eps$ telles que
$z$ existe et est holomorphe en $x=0$, et $\eps\breve\alpha(\eps)$ est
holomorphe en $\eps$.
%  En �crivant, pour $N\in \NN$ l'�quation
% diff�rentielle pour 
% $$R_y(x,\eps)=\f{1}{\eps^{N+1}}\!
% \left(\!y(x,\eps)-\!\sum_{n\leq N} y_n(x)\eps^n\!\right) \text{ et } 
% R_a(x,\eps)=\f{1}{\eps^{N+1}}\!
% \left(\!a(x,\eps)-\!\sum_{n\leq N} a_n(x)\eps^n\!\right),$$
% il est facile de voir qu'elle est du m\^eme type que
% l'�quation~\ref{eq:alphaq}, et que $R_y$ et $R_a$ sont donc des
% fonctions born�es quand $\eps\rightarrow 0$. 

Une simple r�currence suffit ensuite pour clore la d�monstration du
th�or�me~\ref{th:alphas}.

generali.inter.tex
\subsection{Connexion des d�veloppements asymptotiques}

On conserve dans ce paragraphe toutes les hypoth�ses des paragraphes
pr�c�dents.

En regardant alors le r�sultat du th�or�me \ref{th:loin,c} et du
corollaire \ref{cor:pabo}, on s'aper�oit qu'on n'a pas, pour
l'instant, de moyen de donner une bonne estimation de la solution
$y(x,\eps)$ trouv�e pour certains $x$ au voisinage de $0$:
${|\eps'|}^{1-\mu}<|x|<|x_\rho|$ . Or on aimerait avoir une telle
estimation partout o� la solution est d�finie.

Nous allons voir que la solution formelle ext�rieure reste un
d�veloppement asymptotique de la solution pour ces $x$, en adaptant
les d�monstrations du paragraphe \ref{sec:loin}. Les hypoth�ses
\ref{H0} nous indiquent que si $|x|>{|\eps'|}^{\nu}$, $0<\nu<1$,
\begin{align*}
|g(x,\eps)| &< {\text B}_g {|\eps'|}^{-\nu}\\
|h(x,\eps)| &< {\text B}_h {|\eps'|}^{-\nu}
\intertext{puis, comme $f$ est born�e en $0$ et que $h(x,0)$ peut
�tre d'ordre $1/x$ en $x=0$,}
|y_0(x)|=\left|\f{h(x,0)}{x^p f(x)}\right| &<{\text B}_y{|\eps|}^{-\nu}
\end{align*}
On reprend les m�mes d�finitions pour les espaces et les normes
associ�es, et pour les op�rateurs entre ces espaces, qu'� la
page~\pageref{Operateurs}, sauf que tout est cette fois d�fini pour
$x$ dans le domaine 
\[\Dom_\nu^\kappa=\Bigl\{x\in\Dom_0\ \Bigm/ \f{x}{\eps'}=X\in\Dom_C\, 
\text{ et }\ \kappa|x_\rho|>|x|>\f1\kappa{|\eps'|}^{\nu}\Bigr\}\]
Dans un tel domaine, les majorations pour les fonctions d�riv�es
seront les suivantes (quelles que soient les normes choisies sur des
espaces de fonctions holomorphes):
\begin{list}{{$\blacktriangleright$}}{}
\item si $|f(x)|< \text{A}$ pour tout $x\in\Dom^\kappa_\nu$, alors 
dans tout domaine $\Dom_\nu^\varkappa$ ($\varkappa<\kappa$), et pour
un certain $\text{B}>\text{A}$,
$\|f'(x)\|<\f{\text{B}}{|\eps'|^\nu}$. Il ne s'agit l� que d'un cas
particulier de la formule de Cauchy.
\item si pour tout $\nu$, $\eps^m|h(x,\eps)|< \text{A}$, pour tout 
$x\in\Dom_\nu^\kappa$ et $\eps$ assez petit, alors on peut majorer la
diff�rence ${h(x,\eps)-h(x,0)}$:
$\left\|\eps^m\f{h(x,\eps)-h(x,0)}\eps\right\| <
\f{\text{A}}{|\eps|^\nu}$.  En effet, loin de $x=0$, $h$ est
holomorphe en $x$ et admet un d�veloppement asymptotique en $\eps$
uniforme en $x$, ce qui fait que $\left(h(x,\eps)-h(x,0)\right)$
est born� par $\text{C} \eps$; au voisinage de $x=0$, o� $h$ peut
avoir un p\^ole, on ne consid�re que la partie polaire de son
d�veloppement, qui nous emp\^eche d'avoir le m\^eme r�sultat:
$$h_{polaire}(x,\eps)=\f{h_{-1}}x +\cdots+f{h_{-n}}{x^n}+ 
\eps\left(\f{h_{-n-1}}{x^{n+1}}+\cdots+ \f{h_{N}}{x^{N}}\right) 
+\cdots$$ 
Ici $n$ est tel que $n\nu\leq m(p+1)$ pour tout $\nu<1$, donc
$n=m(p+1)$, et $N$ doit \^etre tel que $N\nu\leq (p+1)+m(p+1)$, donc
$N=n+p+1$; en continuant, on peut avoir dans $h_{polaire}$ des termes
en $\eps^2 x^{-2p-2-n}$, etc\ldots . En calculant alors la diff�rence
$h(x,\eps)-h(x,0)$, on trouve alors le r�sultat, qui est vrai pour
toute fonction $h$ v�rifiant la condition.
\end{list} 
\noindent{\bf Note}: Dans tout le reste de ce paragraphe, on omettra 
de noter les constantes $\kappa>1$ successives d�croissantes qui
interviendront, et les constantes multiplicatives $\text{A}$,
$\text{B}$, etc.

On obtient comme majorations
\begin{align*}
\|g\|_{\HH}&=\sup_{x\in\Dom_\nu}\left|\f{g(x,\eps)}{x^p f(x)} 
\right|< {|\eps|}^{-\nu}\,\\
\|h\|_{\HH} &< {|\eps|}^{-\nu}\,\\
\|y_0\| &< {|\eps|}^{-\nu}\,
\intertext{et aussi}
\|y'_0\|_{\HH} &<\f{{|\eps|}^{-\nu}}{|\eps'|^\nu}{|\eps'|}^{-p\nu}
=|\eps|^{-2\nu} 
\intertext{alors que}
\|P\|_{\HH}&\ \text{ reste born�e quand $\eps$ tend vers $0$.}
\end{align*}
Cela va nous permettre de montrer le th�or�me suivant, qui prolonge le
th�or�me \ref{th:loin,c}:
\begin{Th}\label{th:-loin}
Si les hypoth�ses \ref{H0} et celles du th�or�me \ref{th:loin,c} sont
v�rifi�es, alors pour tout $\nu\in\, ]0,1[$, la solution $y(x,\eps)$
et la solution formelle $\hat y$ sont reli�es dans le domaine
$\Dom_\nu^1$ (d�fini ci-dessus) par la relation:
$$\left|y(x,\eps)-\sum_{n=0}^N y_n(x)\eps^n\right|\leq C_N
|\eps|^{(N+1)}|\eps|^{-(N+2)\nu}$$
\end{Th}
Nous commencerons par d�montrer le cas $N=0$, en reprenant
effectivement les m�mes op�rateurs que ceux qu'on trouve en
page~\pageref{Operateurs}.

Alors, si $\|z_k\|< |\eps|^{-2\nu}$, ($\eps^2 z_k$ continue
heureusement � rester aussi petit que n�cessaire), on obtient d'abord
l'in�galit� suivante, d�duite de \eqref{CH}:
\begin{align*}
\|\HHH(z_1)-\HHH(z_2)\|&\leq |\eps|\cdot\|z_1-z_2\|\times\\
                       &\phantom{\leq}\Bigl(\|g\|_{\HH}+
2(\|y_0\|+|\eps| \|z_k\|)\cdot\|P\|_{\HH} +
|\eps|(|\eps|\|z_k\|+\|y_0\|)^2 C\|P\|_{\HH} )\Bigr)\\
		       &\leq|\eps|
		       \left[{|\eps|}^{-\nu}+({|\eps|}^{-\nu}+|\eps|^{1-2\nu})
		       +|\eps|({|\eps|}^{-\nu}+|\eps|^{1-2\nu})^2\right]
\|z_1-z_2\|\\
\|\HHH(z_1)-\HHH(z_2)\|&\leq \left(|\eps|^{1-\nu}+|\eps|^{2-2\nu}
+|\eps|^{4-4\nu}\right)\|z_1-z_2\|\,,
\intertext{et on garde pour l'autre op�rateur l'in�galit� \eqref{CZ},
		       ind�pendante de $\eps$, vraie quelles que
		       soient les normes des $H_k$} 
\| {\ZZZ}(H_1)-{\ZZZ}(H_2) \| &\leq M. \|H_1-H_2\|_{\HH} 
\intertext{ce qui permet d'envisager que la combinaison des deux
		       op�rateurs soit contractante, si les espaces
		       d'arriv�e sont bien les bons. Or, si
		       $\|z\|<|\eps|^{-2\nu}$, d'apr�s \eqref{eq:OH}}
\|\HHH(z)\|_{\HH} & \leq |\eps|\cdot \|z\|
\cdot \|g\|_{\HH} + \left\|y_0+\eps z^2\right\|\cdot 
\left\|P\right\|_{\HH}\\
		  & < |\eps|\cdot|\eps|^{-2\nu}\cdot{|\eps|}^{-\nu}+
{|\eps|}^{-\nu}\\
		  & < |\eps|^{1-3\nu}+{|\eps|}^{-\nu} \\
		  & < \sup\Bigl(|\eps|^{-\nu}, |\eps|^{1-3\nu}\Bigr)
\intertext{et dans l'autre sens, si 
$\|H\|_{\HH}<\sup\Bigl(|\eps|^{-\nu}, |\eps|^{1-3\nu}\Bigr)$, on
reprend l'in�galit� \eqref{eq:OZ}} 
\|\ZZZ(H)\|&\leq  M \left\| y_0g-y'_0+\f{h(x,\eps)-h(x,0)}\eps
                  \right\|_{\HH}+ M \|H\|_{\HH}\\
           & < \Bigl(|\eps|^{-\nu}|\eps|^{-\nu}+
|\eps|^{-2\nu}|+|\eps|^{-\nu}|\eps|^{-\nu}\Bigr)+ 
\Bigl(|\eps|^{-\nu}+|\eps|^{1-3\nu}\Bigr)\\
           & < |\eps|^{-2\nu}
\end{align*}
Ce qui permet d'appliquer effectivement le th�or�me du point fixe et
de d�montrer le th�or�me \ref{th:-loin} pour le cas $N=0$.

Pour le cas g�n�ral, la m�thode est exactement la m�me que pour le
th�or�me \ref{th:loin,c}; on obtient les m�mes �quations pour les
$R_n$, la seule diff�rence est que les fonctions ne sont plus born�es
ind�pendamment de $\eps$, mais sont born�es par une puissance de
$\eps$. Ainsi, en reprenant les notations de la d�monstration,
\begin{align*}
\left\|\f{h_1(x,\eps)}{x^p f}\right\|&\leq \|y_0\| \cdot 
\|g\|_{\HH}+\left\|\f{y'_0}{x^p f}\right\| +
\left\|\sup_\eps \f{h(x,\eps)-h(x,0)}{\eps}\right\|_{\HH} + \|y\|^2 \cdot
\|P\|_{\HH}\\
	& <  {|\eps|}^{-\nu}{|\eps|}^{-\nu}+
|\eps|^{-2\nu} +{|\eps|}^{-\nu}
\sup\Bigl(|\eps|^{-\nu},|\eps|^{1-3\nu}\Bigr)+|\eps|^{-2\nu}\\ 
\left\|h_1\right\|_{\HH} & < |\eps|^{-2\nu}\,.
\end{align*}
Comme $R_1$ v�rifie l'�quation
$$\eps R'_1=(x^pf+\eps g) R_1+h_1\,$$
on voit que $\|R_1\|<|\eps|^{-2\nu}$ et $\|y_1\|<|\eps|^{-2\nu}$, puis
avec $\eps R_2=R_1-y_1$, 
$$\|R_2(x,\eps)\|<\|h_2\|_{\HH}=\|h_1\|_{\HH}+\|g\|_{\HH}\|y_1\|
<|\eps|^{-3\nu}\,.$$ 
Par r�currence on arrive alors sans difficult� au r�sultat complet du
th�or�me, puisqu'on aura toujours
$$h_n(x,\eps)=\f{h_{n-1}(x,\eps)-h_{n-1}(x,0)}{\eps}
-g(x,\eps)y_{n-1}(x)$$
et
$$\|R_n(x,\eps)\|\leq \|h_n\|_{\HH}\,,\text{ comme }\|y_n(x)\|
=\|h_n\|_{\HH}\,.$$


\bigskip

Ce th�or�me de prolongement de la solution ext�rieure va nous
permettre de finir la d�monstration du paragraphe pr�c�dent, en
assurant la connexion � tous les niveaux $n$ entre la s�rie formelle
int�rieure $\sum Y_n(x/\eps'){\eps'}^n$ et la s�rie formelle
ext�rieure $\sum y_n(x)\eps^n$. Nous appellerons cela le
\begin{Cor}\label{th:connexion}
Soit $N$ un entier positif et $\mu\in\, ]0,1[$. Si les $N$ premiers
termes de la s�rie $(Y_0(X),Y_1(X),\ldots,Y_{N-1}(X))$ construite au
corollaire \ref{cor:pabo} existent et sont major�es jusqu'� l'ordre
$N-1$ comme le pr�voit ce corollaire, alors on a encore
\[\left|Y\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right)-\sum_{n=0}^{N}
Y_n(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}){\eps'}^n \right|
\leq |{\eps'}|^{N+1} |{\eps'}|^{-N(1-\mu)}\,,\]
o� $Y_N(X)=\lim_{\eps'\rightarrow 0} Z_N(X,\eps')$. 
\end{Cor}
Il est clair que ce th�or�me suffit � compl�ter la d�monstration par
r�currence du corollaire \ref{cor:pabo}, puisque la condition initiale
pour $Z_{N+1}$ (qui correspond au premier membre divis� par
${\eps'}^{N+1}$) a alors au plus la m\^eme taille que celle pr�vue pour
la fonction elle-m\^eme.

\medskip
Soit $\nu<\mu$, avec pourtant $\nu$ peu diff�rent de $\mu$. Il est
possible d'�crire pour tout $n\geq 0$, d'apr�s le th�or�me
\ref{th:-loin} (on rappelle que ${\eps'}^{p+1}=\eps$).
\begin{align*}
Y\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right)&=
\eps y\left(x_\rho{\eps'}^{\mu},\eps\right)\\
&=\eps y_0\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)+\eps^2
y_1\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right) + \ldots 
+\eps^{n+1}y_n\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)
+o\left(\eps^{(n+1)-(n+2)\nu}\right)
\end{align*}
On d�composera $y$ jusqu'� un $n_0$ tel que $(n_0+1)-(n_0+2)\mu >
(N+1)-N(1-\mu)$. 

On conna\^it une majoration des $y_k$ sur $\Dom_\nu$:
$$\left|\eps^{k}y_k\left(x_\rho {\eps'}^\nu\right)\right| \leq
|\eps'|^{-(p+1)(k+1)\nu}\,.$$ 
Donc les $y_k(x)$, qui sont ind�pendants de $\eps$, ont en $x=0$ au plus
un p\^ole d'ordre $(k+1)(p+1)$.  Autrement dit, $y_k$ (pour tout $k\leq
n$) qui est m�romorphe en $0$ comme toutes les fonctions de l'�quation
\eqref{eq:gen}, s'�crit aussi, au voisinage de $0$
$$y_k(x)=y_{k,-(k+1)(p+1)} x^{-(k+1)(p+1)}+ y_{k,-(k+1)(p+1)+1}
x^{-(k+1)(p+1)+1}+\ldots +y_{k,0} +\ldots$$ 

L'hypoth�se (de r�currence) principale du corollaire est
$$\left|Y\left(x_\rho{\eps}^{\mu-1},\eps'\right)-
\sum_{k=0}^{N-1}{\eps'}^k
Y_k\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)\right|< |\eps'|^N
|\eps'|^{(\mu-1)(N-1)}\,,$$ 
qui implique
$$\left|\eps\sum_{k=0}^{n_0} \eps^ky_k\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)
-\sum_{l=0}^{N-1}{\eps'}^l
Y_l\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)\right| < |\eps'|^N
|\eps'|^{(\mu-1)(N-1)}\,.$$ 

Le premier membre de l'in�galit� ci-dessus correspond aussi � 
$${\eps'}^N Z_N\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right)
+o\left(|\eps'|^N |\eps'|^{(\mu-1)(N-1)}\right)$$ par d�finition de
$Z_N$, qui est major�e dans $\Dom_{C\mu}$, d'apr�s l'hypoth�se de
r�currence.  On peut en d�duire une d�finition de
$Y_N\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)$ � un $o\left(
|\eps'|^{(\mu-1)(N-1)}\right)$ pr�s. En $X$, formellement, on a
d'abord
$$Y_N(X)=\lim_{\eps'\rightarrow 0}\f1{{\eps'}^N}\left(Y(X,\eps')-
\sum_{k\leq N-1} {\eps'}^k Y_k(X)\right)\,.$$
Puis,
\begin{align*}
{\eps'}^N Y_N(X) &= \text{Terme d'ordre } {\eps'}^N \text{ dans }
\sum_{k\geq 0} \eps^{k+1} y_k(X\eps')\\
       &= \text{Terme d'ordre } {\eps'}^N \text{ dans }
\sum_{k\geq 0} \eps^{k+1} \sum_{l\geq 0} y_{k,l-(k+1)(p+1)}
X^{l-(k+1)(p+1)} \f{{\eps'}^l}{{\eps}^{k+1}}
\intertext{ce qui m�ne �}
 Y_N(X) &\sim \sum_{k\geq 0} y_{k,N-(k+1)(p+1)}
X^{N-(k+1)(p+1)}\,:
\end{align*}
comme $Y_N$ est solution d'une �quation diff�rentielle avec une
irr�gularit� singuli�re en l'infini, on sait que ce d�veloppement
formel est effectivement un d�veloppement asymptotique pour $Y_N(X)$.

D'o�
$$Y_N\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right) 
= \sum_{k\leq n_0} y_{k,N-(k+1)(p+1)} 
\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)^{N-(k+1)(p+1)}\!+o\left(
|\eps'|^{(\mu-1)(n_0-(k+1)(p+1)}\right).$$
On peut prndre $n_0$ arbitrairement grand, donc dans la diff�rence
$$\eps\sum_{k=0}^{n_0} \eps^ky_k\left(x_\rho{\eps'}^{\mu}\right)
-\sum_{l=0}^{N}{\eps'}^l Y_l\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)$$ 
il ne reste, � un $o\left(|\eps'|^{N+1} |\eps'|^{(\mu-1)N}\right)$
pr�s, qu'une somme finie de sommes convergentes:
$$\sum_{k\leq n_0}\left( \sum_{n>N-(k+1)(p+1)} 
\eps^{k+1} y_{k,n} \left(x_\rho {\eps'}^\mu\right)^n\right)\,.$$
Or tous les termes de cette somme sont d'ordre, en $\eps'$, au moins
\begin{align*}
 & (k+1)(p+1)+\Bigl(N+1-(k+1)(p+1)\Bigr)\mu\\
=& (k+1)(p+1)(1-\mu) +(N+1) +(N+1)(\mu-1)\\
=& (N+1)-N(1-\mu)+(1-\mu)(kp+p+k)\,.
\end{align*}
Le dernier terme de cette expression �tant strictement positif,
l'ordre est sup�rieur � $ (N+1)-N(1-\mu)$. Ce qui s'�crit
$$\left|Y\left(x_\rho{\eps}^{\mu-1},\eps'\right)-
\sum_{k=0}^{N}{\eps'}^k
Y_k\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1}\right)\right|< |\eps'|^{N+1}
|\eps'|^{(\mu-1)N}\,,$$ 
ce qu'on voulait d�montrer.



generali.loin.tex
\section{Pr�liminaires}

\subsection{Rappel : estimation de Cauchy}

On rappelle pour les d�monstrations � venir la propri�t� de
Cauchy, qu'on utilisera sous la forme suivante:
\begin{Lemmetech}\label{th:derhol}
Soit $f(x_1,\ldots,x_n)$ une fonction holomorphe en
$x=(x_1,\ldots,x_n)$, born�e pour $x$ dans l'ouvert $U=U_1\times
U_2\times\ldots\times U_n)$, et soit $F_1$ un ferm� inclus dans
l'ouvert $U_1$. Alors
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)\ 
\text{est born�e pour } x\in F_1\times U_2\times\ldots\times U_n $$
\end{Lemmetech}

\smallskip
Un corollaire imm�diat de ce lemme indique que si ce n'est pas
$f(x)$, mais $\frac{f(x)}{g(x_k)}$ qui est born�e, alors la fonction  
$\frac{1}{g(x_k)}\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)$ est born�e elle
aussi.

\subsection{Forme normale pour une �quation diff�rentielle}

Plut\^ot que travailler sur une �quation �crite sous la
forme~\eqref{ed} vue dans l'introduction:
$$\eps y'=y f(x,\eps)+h(x,\eps)+\eps y^2 P(x,\eps,y)\,$$ 
nous allons manipuler dans cette section une �quation sous une
forme~\eqref{eq:gen} apparemment moins g�n�rale:
\begin{equation}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) +\eps y^2 P(x,\eps,\eps y)\,.
\tag{\ref{eq:gen}}
\end{equation}
En fait, on se ram�ne facilement � une �quation de ce type.

\smallskip
Soit l'�quation
$$\eps u'= \Psi(x,u(x),\eps)\,,$$ 
o� on demande juste que $\Psi$ soit holomorphe en $x$, m�romorphe en
$u$ et qu'elle admette un d�veloppement asymptotique en $\eps$ quand
$\eps$ tend vers $0$. On suppose aussi qu'il existe une courbe lente
$u_0(x)$, telle que $\Psi(x,u_0(x),0)=0$.

On pose $u(x)=u_0(x)+\eps y(x)$, ou, ce qui donne souvent un r�sultat
plus agr�able � manipuler, $u(x)=u_0(x)\bigl(1+\eps y(x)\bigr)$, et on
lin�arise l'�quation en $y$.
\begin{align*}
\eps u'&= \Psi(x,u,\eps)\,,\\
\intertext{donne, en regroupant dans $\psi_0$ et $\psi_1$ tout ce qui
est lin�aire en $u$, et dans le dernier terme tout ce qui contient
un p�le en $u=0$,}
       &=\psi_0(x,\eps) + u\psi_1(x,\eps) + u^2 \psi_2(x,\eps,u) 
+\f{1}{u^k}\psi_3(x,\eps,u)
\end{align*}
On �crit alors $u=u_0 (1+\eps y)$:
\begin{multline*}
\eps u'_0\bigl(1+\eps y(x)\bigr) +\eps^2 u_0 y'=\psi_0 +u_0\psi_1+
\eps u_0 y\\
+ u_0^2\psi_2+u_0^2(2\eps y +\eps^2 y^2)\psi_2(x,\eps,u_0(1+\eps y)) 
+\f{1}{u_0^k(1+\eps y)^k}\psi_3(x,\eps,u_0(1+\eps y))
\end{multline*}
{Comme $u_0$ est courbe lente, les termes de degr� $0$ en $\eps$
s'�liminent; on divise alors par $\eps$, puis on lin�arise autour de
$y=0$: les termes en $y^k$, $k>0$ ont donc comme facteur un terme
$\f{\eps^k}{\eps}$, ce qui donne bien en particulier, pour $k\geq 2$, 
$\eps y^2 P(x,\eps, \eps y)$. On obtient donc bien une �quation du
type annonc� ci-dessus, sachant que les fonctions $f$, $g$, $h$ et $P$
contiennent �ventuellement des termes avec des facteurs en
$\f{1}{u_0^{k+1}}$.}


Ainsi, dans l'exemple de l'�quation de Van der Pol~\eqref{eq:vdpdebase},
cette proc�dure de normalisation nous donne:
\begin{align*}
\eps v\f{dv}{du}&=(1-u^2)v+\alpha-u\\
\eps \f{dv}{du}&=(1-u^2)+\f{1+a(\eps)-u}{v}\,.\\
\intertext{Puis en posant $v=v_0(1+\eps y)$, $v_0$ �tant
�gal � $\f{-1}{u+1}$,}
\eps\left(v_0(1+\eps y)\right)'&=1-u^2+\f{1+a-u}{v_0(1+\eps y)}\,,\\
\eps v_0 (\eps y')&=1-u^2+\f{1+a-u}{v_0}\left(1-\eps y+\f{\eps^2
y^2}{1+\eps y}\right) -\eps v'_0 (1+\eps y)\,,\\
\left(-\f{\eps}{1+u}\right)\eps y' &=
(1-u^2)\left(\eps y-\f{\eps^2 y^2}{1+\eps y}\right)-a(1+u)
\left(1-\eps y+\f{\eps^2 y^2}{1+\eps y}\right)\\
&\phantom{= +}+\f{\eps}{(1+u)^2}(1+\eps y)\,,\\
\eps y' &=y\left(-(1-u)(1+u)^2+
\eps\left(\f{a}{\eps}(1+u)^2-\f{1}{1+u}\right)\right)\\
&\phantom{= +}+\f{a}{\eps}(1+u)^2-\f{1}{1+u}+\eps y^2\f{1}{1+\eps y}
\left((1-u)(1+u)^2+a(1+u)^2\right)\,.
\end{align*}
Pour cette �quation, l'�tude a �t� faite au voisinage des deux points
cols du relief construit � partir de $-(1-u)(1+u)^2$: autour de $u=1$,
dont on a montr� qu'il n'�tait pas un point tournant dans certains cas
(\cite{FS}); et au voisinage de $-1$, au chapitre~\ref{chap:vdp}. Ce
sont ces deux �tudes que l'on souhaite g�n�raliser ici.

\section{Existence de solutions d'une �quation diff�rentielle pr�s
d'un point tournant}  

Dans les paragraphes \ref{sec:loin} et \ref{sec:pres}, nous allons 
g�n�raliser le th�or�me \ref{ThVdPPtfixe} qui a �t�
d�montr� dans le cas de l'�quation de Van der Pol, au cas suivant:
\begin{equation}\tag{{\sc i}}\label{eq:gen}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps
g(x,\eps)\bigr) y +h(x,\eps) +\eps y^2 P(x,\eps,\eps y)\,.
\end{equation}
Il est clair que $0$ est un point col pour le relief $\Re\left(\int^x
t^p f(t) dt\right)$ correspondant, et c'est donc en g�n�ral un point
tournant pour l'�quation diff�rentielle. On veut �tudier le
comportement des solutions de cette �quation au voisinage de ce point.
Le but va �tre de d�montrer que si on a les bonnes hypoth�ses sur les
fonctions intervenant dans l'�quation, on a l'existence d'une vraie
solution born�e, d'abord pour des $x$ tels que $|x|>\rho$, o� $\rho>0$
est une constante quelconque fix�e ind�pendante de $\eps$ (r�sultat
classique, red�montr� au paragraphe~\ref{sec:loin} ci-dessous, pour
$\eps$ assez petit). Ensuite, que cette solution peut bien souvent
�tre prolong�e dans des domaines de la m\^eme forme, mais avec un
$\rho$ tendant cette fois vers $0$ avec $\eps$:
$|x|>\rho(\eps)=X_l\eps^r$ ($X_l$ constante assez grande, mais
ind�pendante de $\eps$, et $r$ un rationnel strictement positif
donn�). Ce deuxi�me r�sultat sera d�montr� dans un second temps, dans
le paragraphe~\ref{sec:pres}, et on verra que si la solution prolong�e
n'est pas n�cessairement born�e (quand $\eps\rightarrow 0$) dans tout
son domaine d'existence, sa croissance reste contr�l�e et n'est pas,
en tous cas, exponentielle.

Chacun de ces deux r�sultats ne sera en g�n�ral vrai que dans certains
domaines d�termin�s non seulement par la norme de $x$, mais aussi par le
relief; de fait, ces domaines correspondront � peu pr�s � des secteurs
centr�s en $0$, avec des $x$ v�rifiant la condition donn�e ci-dessus:
$|x|>\rho(\eps)$.


\subsection{Existence d'une solution {\protect �}loin{\protect �} de $0$}
\label{sec:loin}

On se fixe donc une constante $\rho$ positive, arbitrairement petite.

On suppose qu'on a, pour l'�quation \eqref{eq:gen}, les hypoth�ses
(\HB) suivantes:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item  $f$ est holomorphe dans $\Dom_0$, o�  $\Dom_0$ est un
domaine ouvert, fini ou infini, contenant $0$, et $f$ ne s'annule pas
sur $\Dom_0$.
\item  $g$, $h$ et $P$ sont holomorphes en $x$ sur $\Dom_0$,
sauf �ventuellement en $0$ o� $g$ ou $h$ peuvent n'�tre que
m�romorphes et avoir un p\^ole. 
\item  $g$, $h$ et $P$ sont holomorphes en $\eps$ dans des
secteurs ouverts $S_0$, centr�s en $0$, et born�es pour tout $x\in
\Dom_0$ fix� quand $\eps\rightarrow0$: on suppose qu'il existe $q$ tel 
que les fonctions $P$, $x^q g(x,\eps)$ et $x^q h(x,\eps)$ ont un
d�veloppement asymptotique en $\eps$ quand $\eps$ tend vers $0$.
\item  $P$ est holomorphe en $\eps y$ dans un voisinage de $0$.
\item  On pose $F(t)=\int^t (u^p f(u))du$ et
$R(t)=\Re\left(\frac{F(t)|\eps|}{\eps}\right)$. On consid�rera �
$\theta=\arg\eps$ fix� un domaine {\bf ferm�} $\Dom_\theta \subset
\Dom_0$, tel que $\Dom_\theta$ soit accessible � partir d'un sommet
$s_\theta$, qui est soit infini, soit dans $\Dom_0\setminus\Dom_\eps$
avec le relief $R(t)$, et tel que $\forall x \in \Dom, |x|\geq \rho$;
on reprendra, pour ce qui concerne l'accessibilit�, les notations de
la d�finition~\ref{def:acc}. Les domaines $\Dom_\eps$ peuvent �tre non
born�s, si $\Dom_0$ l'est.
\end{list}

L'�quation \eqref{eq:gen} a une solution formelle $\hat
y(x,\eps)=\sum^\infty_{n=0} y_n(x) \eps^n$ pour $|x|>\rho$, dont tous
les coefficients $y_n(x)$ sont holomorphes en $x$. Cela se v�rifie en
rempla�ant dans l'�quation $y$ par cette s�rie et en identifiant les
coefficients de $\eps^n$: on trouve alors des relations de r�currence
donnant $y_n$ en fonction des $y_p$ et de leurs d�riv�es (pour
$p<n$). La premi�re relation, obtenue en posant $\eps=0$ donne
$$y_0(x)=-\frac{h(x,0)}{x^p f(x)}$$


\bigskip

Nous allons d�montrer le th�or�me suivant:
\begin{Th}\label{th:loin}
On suppose que pour l'�quation \eqref{eq:gen}, les hypoth�ses {\rm
(\HB)} sont v�rifi�es et que les fonctions
$$\f1{x^p f(x)}\ ,\ \frac{1}{x^p f(x)}\sup_{|y|\leq
\delta}\left(P(x,\eps,\eps y)\right)\ ,\ \frac{g(x,\eps)}{x^p f(x)}\
\text{ et }\ \ \frac{ h(x,\eps)}{x^p f(x)}$$  
sont born�es\footnote[2]{autrement dit, la partie lin�aire homog�ne de
l'�quation diff�rentielle ne devient jamais n�gligeable par rapport
aux autres termes ou aux constantes} pour un certain $\delta$,
$x\in\Dom_0, |x|>r$ ($r$ constante arbitrairement petite) et $\eps\in
S_0,|\eps|<\eps_0$.  On fait varier $\eps$ dans un secteur $S_0$
d'ouverture arbitrairement petite.

Alors, pour tout r�el positif $\rho> r$, il existe un domaine ferm�
�ventuellement non born� $\Dom\subset\Dom_0$, de la forme 
$$\Dom=\bigcap_{\eps\in S_0}\Bigl\{x\in\CC\ \bigl/\ |x|\geq\rho,\,
x\text{ accessible d'un sommet $s_\eps\!$ avec le relief }
\Re\frac{F(x)|\eps|}{\eps}\Bigr\}$$ et une solution $y(x,\eps)$ de
\eqref{eq:gen} existant pour $x\in\Dom$ qui soit born�e ind�pendamment
de $|\eps|$ sur ce domaine. Cette fonction $y(x,\eps)$ tend vers la
fonction $y_0(x)$ quand $\eps$ tend vers $0$ dans $S_0$, uniform�ment
pour $x\in\Dom$.
\end{Th}
Quelques remarques sur les hypoth�ses de ce th�or�me:
\begin{enumerate}
\item L'hypoth�se $1/\Bigl(x^p f(x)\Bigr)$ born�e implique bien
entendu que $f$ ne s'annule pas sur $\Dom$.
\item Comme il existe un $\lambda_\rho$ tel que
$\lambda_\rho|u^p f(u)|\geq |g(u,\eps)|, \forall u\in\Dom$ et $\eps$
assez petit, cela signifie que le (vrai) relief correspondant �
 $\Re\left(\int^t \Bigl(u^p f(u)+\eps g(u,\eps)\Bigr) du\right)$ ne serait qu'une
petite perturbation du relief effectivement consid�r�.
\item Comme $h(x,\eps)/\Bigl(x^p f(x)\Bigr)$ est born�e pour tout
$\eps$ assez petit et �l�ment d'un secteur $S_0$, la fonction $y_0(x)$
est elle aussi born�e sur $\Dom$. Ensuite, d'apr�s l'in�galit� de Cauchy,
$y'_0(x)$ fait aussi partie des fonctions born�es sur $\Dom$.
\item Les points $s_\eps$ et les reliefs ne d�pendent que de
l'argument de $\eps$, et pas de sa norme. L'intersection se fait donc
uniquement sur le (petit) intervalle des arguments de $\eps$ possibles
pour $S_0$. Comme le relief et les sommets d�pendent contin\^ument de
$\arg\eps$, en prenant $S_0$ suffisamment peu ouvert, on est assur�
que le domaine $\Dom$ sera non vide.
\end{enumerate}

\bigskip 
Le th�or�me revient � montrer qu'il existe une vraie solution
holomorphe correspondant � la solution formelle donn�e ci-dessus dans
certains domaines $\Dom$ pour tout $\eps$ assez petit. On commencera
par consid�rer le cas o� $\arg\eps$ est une constante, avec le relief
et le sommet $s$ correspondants. On omettra le plus souvent dans la
suite de rappeler la d�pendance de la fonction $y$ en $\eps$.

\medskip

On cherche cette solution holomorphe sous la forme $y=y_0+\eps z$. 
L'�quation \eqref{eq:gen} devient alors
\begin{multline*}
\eps z'(x)=\bigl(x^p f(x)+\eps g(x,\eps)\bigr) z(x) +y_0 (x) g(x,\eps)
-y'_0(x) +\frac{h(x,\eps)-h(x,0)}{\eps}\\
 +(y_0(x)+\eps z(x))^2 P(x,\eps,\eps y_0(x)+\eps^2 z(x))
\end{multline*}
En utilisant la formule de variation de la constante, on obtient 
$$z (x) =\frac{1}{\eps} \int_{\gamma_x}
e^\frac{F(x)-F(t)}{\eps}
\Bigl(y_0 (t) g(t,\eps)-y'_0(t) +\frac{h(t,\eps)-h(t,0)}{\eps}
+H(t,\eps,z(t)) \Bigr) dt$$ 
avec ${\gamma_x}$ un chemin partant du sommet $s$ et descendant le
relief jusqu'� $x$, et avec la fonction $H(t,\eps,z)=\eps z g(t,\eps)
+(y_0(t)+\eps z)^2 P(t,\eps,\eps y_0(t)+\eps^2 z)$.

\medskip

On souhaite appliquer un th�or�me de point fixe, pour $\eps$ assez
petit fix�. On consid�re pour cela les deux op�rateurs suivants:

\begin{align*}
{\HHH}:\tilde{\ZZ}\subset{\ZZ}&\rightarrow{\HH}\\
           z& \mapsto {\HHH}(z),
\intertext{la fonction ${\HHH}(z)$ �tant telle que 
${\HHH}(z)(x,\eps)=H(x,\eps,z(x,\eps))$ pour tout 
$(x,\eps)\in\Dom\times S_0$,}
\end{align*} 
et\label{Operateurs}
\begin{align*}
{\ZZZ}:\tilde{\HH}\subset{\HH}&\rightarrow{\ZZ}\\ 
           H& \mapsto z=\frac{1}{\eps}
\int_{\gamma_x} e^\frac{F(x)-F(t)}{\eps} \Bigl(y_0 (x)
g(t,\eps)-y'_0(t) +\frac{h(t,\eps)-h(t,0)}{\eps}
+H(t) \Bigr) dt
\end{align*}
o� $\HH$ et $\ZZ$ sont les espaces fonctionnels suivants:
$$\ZZ=\{z(x,\eps)/\ z \hbox{ holomorphe et born�e dans } \Dom\times S_0\}$$ 
\begin{multline*}
\HH=\Bigl\{ H(x,\eps)\,/\ H\hbox{ est holomorphe dans } \Dom\times
S_0,\\
\hbox{ et }\sup_{x\in \Dom} \frac{H(x,\eps)}{x^p f(x)}
\hbox{ est born� ind�pendamment de }\ \eps \Bigr\}
\end{multline*}
Ces deux espaces sont munis des normes correspondantes $\|\cdot\|$ et
$\|\cdot\|_{\HH}$. Avec les hypoth�ses du th�or�me, les fonctions
$g(x,\eps)$, $P(x,\eps,\eps\delta)$ et $h(x,\eps)$ sont dans $\HH$,
ainsi que $\Dp{P}{(\eps y)}$, et avec une norme dans cet espace
que l'on peut majorer ind�pendamment de $\eps$.
\medskip

Alors $\HHH$ et $\ZZZ$ sont des op�rateurs contractants. 
En effet, on peut �crire (en omettant de rappeler les d�pendances de
$g$, $y_0$, $z_k$ et$H_k$  en $x$ et $\eps$), 
\begin{multline*} 
{\HHH}(z_1)-{\HHH}(z_2)= \biggl[ \eps g+ 
\bigl(2\eps y_0 +\eps^2 (z_1+z_2)\bigr)P(x,\eps,\eps{y_0}+\eps^2 z_2)\\
+(y_0^2+2\eps y_0 z_1+\eps^2 z^2_1) \frac{P(x,\eps,\eps{y_0}+\eps^2 z_1)- 
P(x,\eps,\eps{y_0}+ \eps^2 z_2)}{(z_1-z_2)}\biggr] (z_1-z_2)
\end{multline*}
et on constate que, si $\|z_k\|\leq \delta$ (on choisit ici $\delta$
pour que ce soit vrai) et pour $\eps$ assez petit, on se trouve devant
une combinaison lin�aire de fonctions de $\HH$, avec $g$, $P$ et
$\Dp{P}{(\eps y)}$, multipli�es par des fonctions born�es sur $\Dom$, telles
que $y_0$ et $z_1$, $z_2$. Cette combinaison lin�aire est donc born�e,
et comme on peut mettre un $\eps$ en facteur, on a:
\begin{equation}\label{CH}
\|{\HHH}(z_1)-{\HHH}(z_2)\|_{\HH} \leq |\eps|\text{ C }
\|z_1-z_2\|
\end{equation}
Pour l'autre op�rateur, 
% la condition 
% $$ m_\rho |x^p f(x)|\geq \biggr[ g(x,\eps)+|y_0|\sup_{|\delta'|\leq \delta} 
% |P(x,\eps,\eps y_0+\eps^2 \delta')| +|y_0|^2\eps 
% \sup_{|\delta'|\leq \delta}\Bigr|
% \frac{\partial P}{\partial(\eps y)}(\ldots)\Bigl| \biggl]$$
% est v�rifi�e pour un $m_\rho>0$, tout $x\in\Dom$ et tout $\eps$ 
% assez petit (en effet, les deux premiers termes de l'in�galit� sont
% v�rifiables par hypoth�se, le dernier peut s'en d�duire en utilisant
% le lemme~\ref{th:derhol}), donc 
\begin{align*}
{\ZZZ}(H_1)-{\ZZZ}(H_2)&=\frac{1}{\eps}\int_{\gamma_x} 
e^\frac{F(x)-F(t)}{\eps} \Bigl(H_1(t)-H_2(t)\Bigr) dt\\
\| {\ZZZ}(H_1)\!-\!{\ZZZ}(H_2) \| &\leq \f1\eps
\int_{\gamma_x}\!\!\!e^\frac{R(x)-R(t)}{\eps} \|H_1-H_2\|_{\HH}
\left|t^p f(t)\right| dt
\intertext{en utilisant la condition d'accessibilit� du domaine $\Dom$,}
 & \leq \frac{\|H_1-H_2\|_{\HH}}{\eps}
\int_{\gamma_x} e^\frac{R(x)-R(t)}{\eps}\frac{1}{C_{\gamma_x}} 
\frac{-d}{dt} R(t) dt\\ 
 & \leq \|H_1-H_2\|_{\HH} \f{1}{C}
\Bigl[e^\frac{R(x)-R(t)}{\eps}\Bigr]^x_s
\end{align*}
Donc l'op�rateur ${\ZZZ}$ est tel que
\begin{equation}\label{CZ}
\| {\ZZZ}(H_1)-{\ZZZ}(H_2) \| \leq
M. \|H_1-H_2\|_{\HH}
\end{equation}
o� $M$ peut bien �tre choisi ind�pendant de $\eps$.

\medskip
V�rifions que les ensembles d'arriv�e des deux op�rateurs sont bien
ceux qui sont donn�s.

Si $z(x,\eps)\in \ZZ$, 
\begin{equation}\label{eq:OH}
\left\|{\HHH}(z)(x,\eps)\right\|_{\HH}\leq |\eps|\cdot \|z\|
\cdot \|g\|_{\HH} + \left\|y_0+\eps z^2\right\|\cdot 
\left\|P(x,\eps,\eps\delta)\right\|_{\HH}\,,
\end{equation}
ceci, si pour tous les $z$ tels que $\|y_0+\eps z\|\leq \delta$
(d'ailleurs, l'op�rateur n'est d�fini que pour de tels �l�ments de
$\ZZ$, et non sur tout l'espace). 

Si $H(x,\eps)\in \HH$,
\begin{align}
{\ZZZ}(H)&={\ZZZ}(0)+\left({\ZZZ}(H)-{\mathcal
Z}(0)\right)\notag\\ 
\left\|{\ZZZ}(H)\right\| & \leq \left\|{\ZZZ}(0)\right\|
+\left\|{\ZZZ}(H)-{\ZZZ}(0)\right\|\notag\\
 & \leq \f1\eps \left\| y_0g-y'_0+\Dp{h}\eps\right\|_{\HH} e^{\f{R(x)}\eps} 
\int_{\gamma_x} e^{-\f{R(t)}\eps}\left|t^p f(t)\right| dt
 +M \|H-0\|_{\HH}\notag\\
\left\|{\ZZZ}(H)\right\| & \leq  
M \left\| y_0g-y'_0+\Dp{h}\eps\right\|_{\HH}+M \|H\|_{\HH}\label{eq:OZ}
\end{align}
En effet, $y_0 g$, $y'_0$ et $\Dp{h}\eps$ sont dans l'espace $\HH$,
puisque $y_0$ et $y'_0$ sont born�es, et que $g\in\HH$ et $h\in \HH$.

\medskip
Donc, vu les in�galit�s \eqref{CH} et \eqref{CZ} le th�or�me du point
fixe est applicable dans ce cas pour l'op�rateur ${\ZZZ} o
{\HHH}$ pour tout $\eps$ dans $S_0$, assez petit.


%\medskip
% La d�monstration du th�or�me \ref{th:loin} est compl�te pour les
% $\eps\in\RR^+_*$ assez petits. Pour passer au cas complexe, il suffit
% de construire le domaine $\Dom$ accessible avec  le relief
% correspondant � $\arg \eps$ et les nouveaux chemins  $\gamma_x$; le
% reste de la  d�monstration est inchang�, l'argument de $\eps$
% n'intervenant pas  ailleurs.

\bigskip

Nous venons de d�montrer exactement qu'il existe une solution $y$ de
l'�quation diff�rentielle �tudi�e qui tend uniform�ment (pour $x\in
\Dom$) vers $y_0$ quand $\eps\rightarrow 0$ dans $S_0$. Cette solution
$y(x,\eps)$ est holomorphe en ses deux variables dans $\Dom\times
S_0$. En regardant un peu plus loin dans le d�veloppement de $y$ on
arrive au th�or�me suivant:
\begin{Th}\label{th:loin,c}
La solution $y$ du th�or�me~\ref{th:loin} admet la solution formelle
$\hat y =\sum y_n(x)\eps^n$ comme d�veloppement asymptotique, uniforme
pour $x\in\Dom$, quand $\eps$ tend vers $0$.
\end{Th}

Nous avons d�j� montr� que la vraie solution $y(x,\eps)$ existe et
qu'elle est born�e dans $\Dom$. Par hypoth�se, on sait pouvoir
d�terminer, pour tout $N$, les $N$ premiers coefficients de la s�rie
formelle $\hat y$: $y_0(x),\ldots, y_{N-1}(x)$. Posons $R_N(x,\eps)$ tel
que 
$$y(x,\eps)=y_0(x)+\eps y_1(x)+\cdots+\eps^{N-1} y_{N-1}(x)
+\eps^N R_N(x,\eps)\,.$$ 
On sait de la fonction $R_N(x,\eps)$ qu'il s'agit, pour tout $\eps\in
S_0$ fix�, d'une fonction holomorphe et born�e en $x\in\Dom$, et que
$\eps^N R_N(x,\eps)$ est born�e, uniform�ment pour $x\in\Dom$, quand
$\eps$ tend vers $0$ dans $S_0$. On souhaite montrer en plus que
$R_N(x,\eps)$ est born�e sur $\Dom\times S_0$, en utilisant une 
�quation diff�rentielle pour $R$.

En rempla�ant dans \eqref{eq:gen}, on obtient une �quation
diff�rentielle pour $R_N$, puisque tous les autres termes sont
connus. Dans le cas $N=1$, pour lequel on sait en plus que
$R_1(x,\eps)$ est born�e sur $\Dom\times S_0$,
\begin{align*}
\eps  \left(y_0+\eps R_1\right)'& = \left(x^P f+\eps g\right)
\left(y_0+\eps R_1\right) +h+\eps \left(y_0+\eps R_1\right)^2 
P(x,\eps,\eps y+\eps^2 R_1)\\
\eps R'_1&=\left(x^p f+\eps g\right) R_1
+y_0 g -y'_0+\f{h(x,\eps)-h(x,0)}\eps+ y^2 P(x,\eps,\eps y)\,,
\end{align*}
(on ne notera plus les d�pendances en $x$ et/ou $\eps$ des fonctions
l� o� il n'y a pas d'ambigu\"it�)

On obtient bien une �quation diff�rentielle en $R_1(x,\eps)$, les
fonctions $y$ et $y_0$ en particulier pouvant \^etre consid�r�es comme
donn�es du probl�me. Cette �quation diff�rentielle est lin�aire en
$R_1$, mais on va se contenter de v�rifier que les fonctions
coefficients v�rifient les propri�t�s du th�or�me \ref{th:loin}. 

Les fonctions $f$ et $g$ ne changent pas, leurs propri�t�s restent. La
nouvelle fonction pour $P$, $P_1$, est nulle. Le nouvel $h$ est
$$h_1(x,\eps)=y_0 g -y'_0+\f{h(x,\eps)-h(x,0)}\eps+ 
y^2 P(x,\eps,\eps y)\,,$$
une fonction holomorphe en $x$ sur $\Dom_0$, sauf �ventuellement en
$x=0$, � cause de la pr�sence de $h$ dans l'expression; elle est
aussi holomorphe en $\eps$ dans $S_0$, et reste born�e quand
$\eps\rightarrow 0$, d'apr�s ce qu'on sait de $y$ et de la fraction en
$h$. Enfin, $h_1$ est bien dans l'espace $\HH$:
$$\left\|\f{h_1(x,\eps)}{x^p f}\right\|\leq \|y_0\| \cdot 
\left\|\f{g}{x^p f}\right\|+\left\|\f1{x^p f}\right\| \cdot \|y'_0\| +
\left\|\sup_\eps \Dp{h(x,\eps)}{\eps}\right\|_{\HH} + \|y\|^2 \cdot
\left\|\f{P(x,\eps,\eps y)}{x^p f(x)}\right\|\,,$$
puisque toutes les normes cit�es existent bien. 

On peut du coup appliquer l'int�gralit� du th�or�me \ref{th:loin}, la
fonction $R_1$ converge quand $\eps$ tend vers $0$, vers une fonction
$y_1(x)$, uniform�ment pour $x\in\Dom$: $R_1(x,\eps)=y_1(x)+\eps
R_2(x,\eps)$. La fonction $R_1$ est, pour tout $\eps$ assez petit,
born�e dans $\Dom$. 

Rien n'emp\^eche de refaire le m\^eme raisonnement pour $R_2$ � partir
de l'�galit� $R_1=y_1+R_2$. On a donc, par r�currence directe,
$$\left\|y(x,\eps)-\sum_{i\leq N-1}y_i(x)\eps^i\right\|\leq 
\eps^N \|R_N(x,\eps)\,\|\ ,$$
o� $R_N$ est, pour tout $N$, une fonction born�e en $\eps$
uniform�ment sur $\Dom$: $\hat y$ est un d�veloppement asymptotique de
$y$.

Pour \^etre complet dans la d�monstration, il faut remarquer que dans
les hypoth�ses \HB, on demande que $h(x,\eps)$ admette un
d�veloppement asymptotique en $\eps$ quand $\eps$ tend vers $0$ dans
$S_0$, ce qui n'est pas le cas {\sl a priori} pour $h_1(x,\eps)$,
puisqu'on n'a pas d'abord cette propri�t� pour $y(x,\eps)$. Mais ce
n'est pas un probl�me: la d�monstration du th�or�me \ref{th:loin}
demande seulement que l'on puisse �crire $h(x,\eps)=h(x,0)+\eps
h_\eps(x,\eps)$, avec $h_\eps$ born�e dans $\Dom\times S_0$, et cela,
on sait d�j� pouvoir le faire pour $y(x,\eps)=y_0(x)+\eps
R_1(x,\eps)$. Ce qui suffit pour appliquer la r�currence.

generali.pres.tex
\subsection{Au voisinage de $0$}\label{sec:pres}

Dans cette section, nous allons montrer qu'il existe des solutions pr�s
du point tournant $0$, tr�s exactement pour des $x$ dans des domaines
$$\left\{\varrho\,\eps^r< |x| \leq \rho,\ \arg(x)\in
[\theta_1,\theta_2]\right\}\ ,\ r=\f1{p+1}\,.$$ 
Ces solutions seront aussi appel�es solutions int�rieures.  Comme il
s'agit de prolonger les solutions trouv�es au paragraphe pr�c�dent, on
conserve les hypoth�ses \HB, et on fixe � nouveau (au moins dans un
premier temps) un argument pour $\eps$, dans $S_0$.

Pour arriver au r�sultat de prolongement, nous regardons maintenant ce
qui se passe au voisinage de $x=0$, en utilisant une �loupe�. Ce
changement de variable donne une �quation non singuli�rement perturb�e
permettant effectivement d'analyser ce qui se passe au voisinage de
$0$. L'�quation obtenue est appel�e �quation int�rieure.

\bigskip
On pose $$Y=\eps y \hbox{ , et } X=\frac{x}{\eps'},$$ sachant que
$\eps'=\eps^{1/(p+1)}$, en prenant (par exemple) la valeur
principale de la racine. En partant de $\eps\in S_0$, on arrive ainsi
� $\eps'\in S'_0$.

L'�quation \eqref{eq:gen} transform�e s'�crit alors
\begin{equation} \label{Yg}
\frac{dY}{dX}=\Bigl(X^pf(\eps' X)+\eps'g(\eps'X,\eps)\Bigr) Y 
+\eps'h(\eps'X,\eps)+ \frac{1}{{\eps'}^p} Y^2 P(\eps'X,\eps,Y)\,.
\tag{{\sc ii}}
\end{equation}

On va se placer dans un domaine $\Dom_C$, qui contient une partie de
la montagne qui prolonge celle de $\Dom$ vers $0$ et de ses deux
vall�es adjacentes, soit, � peu de choses pr�s, l'intersection d'un
secteur ouvert centr� en $0$, d'amplitude $\frac{3\pi}{p+1}$ et de
taille $\rho/\eps'$ et de la boule $|X|>\varrho=|X_l|$ (on se
contentera d'une constante $\varrho$ arbitrairement grande):
$$\Dom_C=\left\{X\in\CC\ \bigl/ \hbox{ }\varrho<|X|\leq\rho/\eps'\hbox{ et
}\arg X\! \in\, \Bigl]\theta,\theta+\frac{3\pi}{p+1}\Bigr[\, \right\}$$


\begin{figure}[ht!]
\caption{Domaine $\Dom_C$}
\centerline{\input domaine.pstex_t }
\label{DC}
\end{figure}

� $X$ donn�, on d�finit le chemin $\Gamma_X$ comme �tant le chemin
descendant le relief entre le point
$x_\rho/\eps'$ et $X$. $x_\rho$ est pris dans l'ensemble des points
\og au-dessus\fg de $\eps'X$ et de module $\rho$ (cf. aussi 
fig.~\ref{DC}).

On a d�fini le domaine $\Dom_C$, de telle mani�re que, pour tout
$X\in\Dom_C$, il existe un tel chemin $\Gamma_X$. 

Une hypoth�se n�cessaire pour continuer est que les trois limites
suivantes existent, au moins en tant que limites ponctuelles, pour
tout $X$ dans un domaine ind�pendant de $\eps$ incluant $\Dom_C$,
comme l'ensemble $\Dom_\infty=\left\{X\in\CC\ \bigl/ \hbox{ }|X|>|X_l|
\hbox{ et }\arg X\!  \in\, \Bigl]\theta,\theta+\frac{3\pi}{p+1}\Bigr[\,
\right\}$, et pour tout $Y$, $|Y|<\delta$, pour un certain $\delta$
fix�:
\begin{equation}\tag{$H_{\rightarrow 0}$}\label{H0}
\left. \begin{split}
\eps' g(\eps'X,{\eps'}^{p+1})&\underset{\eps'\rightarrow 0}{\longrightarrow} 
G_0(X)\\
\eps' h(\eps'X,{\eps'}^{p+1})&\underset{\eps'\rightarrow 0}{\longrightarrow} 
H_0(X)\\
P_\eps(X,\eps',Y)=\frac{P(\eps'X,{\eps'}^{p+1},Y)}{{\eps'}^p}
&\underset{\eps'\rightarrow 0}{\longrightarrow}  P_0(X,Y)
\end{split}\ \ \ \right\}
\end{equation}

Si on regarde ce que l'existence de telles limites signifie, on voit
que ces hypoth�ses sont �quivalentes �: 
\begin{enumerate}
\item $g$ et $h$ ont, au pire, un p�le en $x=0$. Si $g$ a effectivement 
un p�le, alors
\begin{align*}
  g(x,\eps)&=g_0(\eps)+g_1(\eps) x +g_2(\eps) x^2+\ldots+g_n(\eps)
x^n+\ldots+\f{g_{-1}(\eps)}{x}\\ &
+\eps\!\left(\f{g_{-2}(\eps)}{x^2}+\ldots+
\f{g_{-p-2}(\eps)}{x^{p+2}}\right)\! 
 +\eps^2\!\left(\f{g_{-p-3}(\eps)}{x^{p+3}}+ \ldots+
\f{g_{-2p-3}(\eps)}{x^{2p+3}}\right)\!+\ldots\,, 
\intertext{en �crivant $g$ sous sa forme de s�rie de Laurent en
    $x=0$ (en mettant $\eps$ en facteur l� o� il est n�cessaire), dont
    tous les coefficients $g_k$, $k\in\Zed$ sont encore des fonctions
    holomorphes pour $\eps$ dans $S_0$, born�es quand $\eps\rightarrow
    0$; d'o�, ensuite} 
G_0(X)&=\frac{\lim_{\eps\rightarrow 0}g_{-1}(\eps)}{X}+
\frac{\lim_{\eps\rightarrow 0}g_{-p-2}(\eps)}{X^{p+2}}+
\frac{\lim_{\eps\rightarrow 0}g_{-2p-3}(\eps)}{X^{2p+3}}
+\ldots
\end{align*}
Si au contraire $g$ est holomorphe en $x=0$,
alors $G_0(X)\equiv 0$. On obtient les m�mes r�sultats pour $h$ et
$H_0$. Il est clair que, dans tous les cas,
$\eps' g(\eps' X,\eps)$ converge uniform�ment vers $G_0(X)$, puisque
tous les termes des s�ries de Laurent restent born�s dans $\Dom_C$: 
$\eps'X$ et $1/X$ sont en effet born�s dans ce domaine.
\item $P(x,\eps,\eps y)$ peut s'�crire sous la forme $x^p P_1(x,
\eps y)+\eps P_2 (x,\eps,\eps y)$, et on trouve dans ce cas-l� que
$$P_\eps(X,\eps',Y)=X^p P_1(\eps'X, Y)+\eps' P_2(\eps'X,\eps,Y)\,,$$
puis $P_0(X,Y)=X^p P_1(0,Y)$.
\end{enumerate}
\bigskip\bigskip

Pour commencer, nous allons montrer qu'il existe, pour $X$ assez grand, 
une solution $Y_0$, born�e dans un tel domaine $\Dom_C$, de l'�quation
obtenue en posant $\eps'=0$ dans \eqref{Yg}
\begin{equation}
\frac{dY_0}{dX}=\Bigl(X^p f(0)+G_0(X)\Bigr) Y_0 +H_0(X)+Y_0^2
P_0(X,Y_0)\label{eq:Y_0g}
\end{equation} 
Il s'agit l� d'une �quation irr�guli�re singuli�re de rang $p+1$ (en
l'infini), dont on sait qu'elle a des solutions asymptotiques. On
red�montre ici sommairement ce r�sultat.

D'apr�s leurs d�finitions, $G_0(X)$, $H_0(X)$ et
$P_0(X,\delta)/X^{p+1}$ tendent vers $0$ quand $X$ tend vers
l'infini. On peut donc montrer qu'il existe une solution formelle en
$1/X$ � cette �quation\eqref{eq:Y_0g}: $\hat
Y_0(X)=-\frac{H_0(X)}{f(0) X^p}+ \cdots$. Nous allons montrer, avec un
point fixe, qu'il existe une et une seule solution � cette �quation,
qui tende vers $0$ en l'infini, dans certains secteurs d'amplitude
inf�rieure � $3\frac{\pi}{p+1}$; la s�rie formelle ci-dessus sera
s�rie asymptotique � cette solution. On trouve d'abord que $Y_0$ est
solution de l'�quation
$$Y_0(X)=\int_{\infty}^X \exp\left({\int_t^X \Bigl(u^p f(0)
+G_0(u)\Bigr) du}\right) \biggl(H_0(t)+Y_0(t)^2
P_0\left(t,Y_0(t)\right)\biggr) dt\,$$ 
ce qui d�finit un op�rateur $\gY_0$ sur un sous-ensemble de l'espace
des fonctions born�es dans $\Dom_\infty$, qui tendent vers $0$ en
l'infini. Les images de telles fonctions par cet op�rateur sont aussi
dans cet espace. Puis, si $Y_0^+$ et $Y_0^-$ sont deux fonctions de
cet espace on a
\begin{align*}
\begin{split}
\gY_0(Y_0^+)-\gY_0(Y_0^-)&
=\int_{\Gamma_X}  e^{\int_t^X\Bigl( u^p f(0) +G_0(u)\Bigr) du}
(Y_0^+-Y_0^-)\\
&\qquad \times\left((Y_0^++Y_0^-)P_0(t,Y_0^+)+Y_0^-
\frac{P_0(t,Y_0^+)-P_0(t,Y_0^-)}{(Y_0^+-Y_0^-)}\right) dt\\
\|\gY_0(Y_0^+)-\gY_0(Y_0^-)\| &\leq \|Y_0^+-Y_0^-\| \int_{\Gamma_X}
\exp\left({\Re\Bigl(\int_t^X \bigl( u^p f(0) +G_0(u)\bigr) du\Bigr)}\right)\\
&\qquad\times\biggl(2\delta \sup_{|\delta'|<\delta} |P_0(t,\delta')|+
\delta \sup_{|\delta'|<\delta} \Bigl|\frac{\partial P_0}{\partial
Y}(t,\delta')\Bigr|\biggr) dt
\end{split}
\end{align*}
ce qui montre bien, puisque $\frac{\partial P_0}{\partial
Y}(t,\delta)/t^p$ et $P_0(t,\delta)/t^p$ sont born�es, qu'on a un
op�rateur contractant pour tous les $X$ accessibles, au moins pour
l'ensemble des fonctions $Y_0$ major�es par un certain $\delta$:
$$\delta\geq\|Y_0^\pm\|=\underset{|X|>\varrho}{\sup}|Y_0^\pm(X)|\,,$$
ce qui pour un $\delta$ fix� est vrai pour tous les $\varrho$ assez
grands, pusique les fonctions $Y_0$ tendent vers $0$. De m\^eme, si
$\|Y_0\|<\delta$, alors $\|\gY_0(Y_0)\|$ est inf�rieur � $\delta$ pour
un $\varrho$ assez grand, puisque $H_0$ tend aussi vers $0$ en l'infini.

Donc $Y_0$ existe bien dans un domaine de type $\Dom_\infty$.

\bigskip 

On remarque que si l'�quation~\eqref{Yg} est effectivement non
singuli�rement perturb�e, on souhaite montrer un r�sultat d'existence
non trivial, puisqu'il s'agit de solutions dans un domaine non born�
(parce que d�pendant de $\eps$), et avec des conditions initiales
d�pendant de $\eps$ (puisqu'on veut prolonger des solutions du
paragraphe pr�c�dent).

Nous allons d�montrer l'existence de solutions $Y$ de \eqref{Yg} pour
tous les $X$ accessibles � partir d'un point $x_\rho/\eps'$ {\em
fix�}. Nous les cherchons sous la forme $Y=Y_0+\eps' Z$. Alors
\begin{multline}\label{eq:enZ}
\frac{dZ}{dX}=\Bigl(X^p f(\eps'X) +\eps' g(\eps' X,\eps)\Bigr)
Z\\ +\frac{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}
+\left(\frac{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}+
X^p\frac{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}\right)Y_0\\ 
+Y_0^2\frac{{\eps'}^{-p} P(\eps'X,\eps,Y_0+\eps'Z) -P_0(X,Y_0)}{\eps'}
+\Bigl(2Y_0 Z+\eps'Z^2\Bigr)
\frac{P(\eps'X,\eps,Y_0+\eps'Z)}{{\eps'}^p}
\end{multline}
(on omet de rappeler syst�matiquement la d�pendance de $Y_0$ en $X$ et
de $Z$ en $X$ et $\eps'$)

On pose
\begin{align*}
F_\eps(X)=&\int^X (f(\eps't)t^p+\eps'g(\eps't,\eps))dt\\
G(X,\eps')=&\left(\frac{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}+
X^p\frac{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}\right)Y_0
+\frac{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}\\
H(X,\eps',Z)=&Y_0^2\frac{P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)-P_0(X,Y_0)}{\eps'}+
(2Y_0Z+\eps'Z^2)P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)\\
            =&Y_0^2(X)X^p\f{P_1\bigl(\eps'X,Y_0(X)+\eps'Z\bigr)-
P_1\bigl(0,Y_0(X)\bigr)}{\eps'}\\ 
&\phantom{+}+P_2\bigl(\eps'X,\eps,Y_0(X)+\eps'Z\bigr) 
+\left(2Y_0(X)Z+\eps'Z^2\right)P_\eps\bigl(X,\eps',Y_0(X)+\eps'Z\bigr)
\end{align*}
Avec ces notations, on prend
\begin{equation}
Z_H(X,\eps')=\f1{\eps'}\bigl(\eps y(x_\rho,\eps) -Y_0(x_\rho/\eps')\bigr)+
\int_{\Gamma_X} e^{F_\eps(X)-F_\eps(t)} 
(G(t,\eps')+H(t,\eps',Z))dt\,,\label{eq:zgamma}
\end{equation}
o� � $\eps'$ fix�, le premier terme correspond � une condition
initiale aux limites du domaine $\Dom_C$.


On va utiliser un th�or�me de point fixe avec des op�rateurs
ressemblants � ceux du paragraphe pr�c�dent:
\begin{align*}
{\mathcal H}:\tilde{\Zz}\subset{\Zz}&\rightarrow{\Hh}\\
             Z& \mapsto {\mathcal H}(Z),
\end{align*}
{la fonction ${\mathcal H}(Z)$ �tant telle que ${\mathcal
H}(Z)(X,\eps')=H\bigl(X,\eps',Z(X,\eps')\bigr)$ pour tout
$X\in\Dom_C$,} et
\begin{align*}
{\mathcal Z}:\tilde{\Hh}\subset{\Hh}&\rightarrow{\Zz}\\ 
             H& \mapsto Z_H
\end{align*}
la fonction $Z_H(X,\eps')$ �tant d�finie par la relation
\eqref{eq:zgamma}. 

On peut noter que ${\mathcal H}(Z)$ contient ici encore quelques
termes lin�aires en $Z$, qui resteront toutefois born�s par rapport �
ceux pr�sents dans $F_\eps$.

Les deux op�rateurs agissent � nouveau sur des sous-ensembles born�s
d'espaces $\Hh$ et $\Zz$. Ces espaces fonctionnels sont les suivants:
\begin{equation*}
  \Hh=\Biggl\{ H(X)\,/\,H \hbox{ est holomorphe pour tout }X\in\Dom_C,
  \hbox{ et } \sup_{X}\left|\f{H(X)}{X^p f(0)}\right|\hbox{ est
    born�}\Biggr\}
\end{equation*}
et
$$\Zz=\left\{ Z(X)\,/\,Z \hbox{ est holomorphe sur }\Dom_C ,
\hbox{ et tel que }
\sup_{X} {|Z(X)|}\hbox{ est born�}\right\} $$
(les $\displaystyle\sup_X$ sont bien s�r pris pour $X$ dans le
domaine $\Dom_C$).

On voudrait qu'avec les normes correspondantes $\|.\|_{\Hh}$ et  
$\|.\|$, l'in�galit� suivante soit vraie: 
$$\|\HHH(Z_1)-\HHH(Z_2)\|_{\Hh}\leq C_{\HHH}\|Z_1-Z_2\|\,.$$ 
Or, si $\|Z_k\|\leq \delta$,
\begin{multline*}
|\HHH(Z_1)(X,\eps')-\HHH(Z_2)(X,\eps')|(X)\leq \|Z_1-Z_2\|\times
\bigl(|Y_0(X)|+|\eps'|\delta\bigr)\\
 \Biggl(\sup_{|\delta'|\leq \delta}\left|\Dp{P_\eps}{Y}
(X,\eps',Y_0+\eps'\delta')\right|
\left(|Y_0(X)|+|\eps'\delta'|\right)
+ 2\sup_{|\delta'|\leq \delta}
|P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'\delta')|\Biggr)
\end{multline*}
Une condition suffisante est que, pour tout $X$ dans $\Dom_C$ et
tout $\eps'$ assez petit la condition suivante est v�rifi�e:
\begin{multline}\label{HX}
\sup_{|\delta'|\leq \delta}
\left|\Dp{P_\eps}{Y}(X,\eps',Y_0+\eps'\delta')\right|
.\Bigl(|Y_0|+|\eps'\delta'|\Bigr) 
+ 2\sup_{|\delta'|\leq \delta}
\Bigl|P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'\delta')\Bigr|\\
\leq \text{M}_\varrho  \left|f(0)X^p\right|
\end{multline}
Elle l'est en particulier si
\begin{equation*}
\sup_{|\delta'|\leq \delta}\Bigl|P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'\delta')\Bigr|
\leq \text{M}'_\varrho  \Bigl|f(\eps'X)X^p\Bigr|
\end{equation*}
Il suffit de revenir � la variable $x$ pour s'apercevoir que cela
correspond � une des hypoth�ses de croissance compar�e du
th�or�me~\ref{th:loin}:
$$\f{P(x,\eps,\eps y)}{f(x)x^p}=\f{P_1(x,\eps y)}{f(x)}
+\eps\f{P_2(x,\eps,\eps y)}{x^p f(x)}\ \text{ est born�e}\,.$$ 
Cette hypoth�se reste vraie jusqu'en $x=0$ pour le premier terme
puisque $P_1(x,\eps y)/f(x)$ est holomorphe en ce point. En ce qui
concerne le second terme, il reste born� pour tout $x=\eps' C$, $C$
assez grand: $\eps/{x^p}$ est born�e pour les $x$ de cette forme, et
${P_2}/{f}$ est elle aussi holomorphe jusqu'en $x=0$.

On a alors
\begin{equation}\label{ineg:HHH}
\|\HHH(Z_1)-\HHH(Z_2)\|_{\Hh}\leq \Bigl(\|Y_0\|+|\eps'|\delta\Bigr) 
M_\varrho \|Z_1-Z_2\|\,.
\end{equation}

Par ailleurs,
\begin{align}
|\ZZZ(H_1)-\ZZZ(H_2)|(X,\eps') &\leq \int_{\Gamma_X} 
\left| e^{F_\eps(X)-F_\eps(t)} t^p f(0)\right|dt 
\times \|H_1-H_2\|_{\Hh}\,;\notag
\intertext{comme $\eps' g(\eps'X,\eps)$ est une fonction born�e sur 
$\Dom_C$ et que $|f(\eps't) t^p|= \gO\left(|t|^p\right)$, ce qui
implique $K^1_F |t|^p <|F'_\eps(t)|< K^2_F |t|^p$, on voit que}
\|\ZZZ(H_1)-\ZZZ(H_2)\|&\leq C_{\ZZZ}.\|H_1-H_2\|_{\Hh}\,.
\label{ineg:ZZZ} 
\end{align} 
Or ${\sup}_{|X|>\varrho}|Y_0(X)|+|\eps'\delta|$ peut �tre rendu aussi
petit qu'on veut quand $\varrho$ cro�t et que $\eps'$ est suffisamment
petit. Comme par ailleurs $C_{\ZZZ}$ est une constante qu'on peut rendre
ind�pendante de $\eps$ et $X$, et que $M_\varrho$ est
ind�pendante de $\eps$, les deux in�galit�s \eqref{ineg:HHH} et
\eqref{ineg:ZZZ} permettent d'envisager que l'op�rateur $\ZZZ o \HHH$
soit contractant, au moins pour les $X$ dans un certain domaine
$\Dom_C\subset \{X\ /\ |X|>\varrho\}$.

\medskip
Il reste � v�rifier que les images de ces op�rateurs (restreints sur
des boules ouvertes de $\Hh$ ou $\Zz$) sont bien incluses dans les
espaces voulus.

Si $Z$ est une fonction de $\Zz$, dont la norme est major�e par un
certain $\delta>0$, la fonction image $H\bigl(t,\eps',Z(t,\eps')\bigr)$ 
est bien dans l'espace $\Hh$: 
\begin{list}{$\blacktriangleright$}{}
\item $P_\eps$ est dans $\Hh$ (puisque la condition \eqref{HX} est 
v�rifi�e).
\item $P_1(\eps'X,Y_0+\eps'Z)$ et $1/X^p P_2(\eps'X,\eps,Y_0+\eps'Z)$ sont 
holomorphes en toutes leurs variables, et donc born�es pour
$X\in\Dom_C$ et $\|Z\|<\delta$.
\item comme $P_1$ est holomorphe en $\eps'X$, y compris au voisinage de 
$0$, on peut �crire  $P_1(\eps'X,Y_0+\eps'Z)=\sum_{n\geq 0} (\eps'X)^n 
P_{1,n}(Y_0+\eps'Z)$, donc 
\begin{align*}
\f1{\eps'}&\Bigl(P_1(\eps'X,Y_0+\eps'Z)-P_1(0,Y_0)\Bigr)\\
&=\f1{\eps'} \left(P_{1,0}(Y_0+\eps'Z)-P_{1,0}(Y_0)
+\eps' X \sum_{n\geq 1}(\eps'X)^{n-1}P_{1,n}(Y_0+\eps'Z)\right)\\
&=Z\Dp{P_1}{Y}(0,Y_0)\Bigl(1+ o_{\eps'}(1)\Bigr)
+X \sum_{n\geq 1}(\eps'X)^{n-1}P_{1,n}(Y_0+\eps'Z)
\end{align*}
et puisque la somme dans cette expression est born�e par une constante
$C\|P_1\|$, et que la d�riv�e de $P_1$ l'est aussi, on peut majorer
cette diff�rence, dans laquelle intervient toutefois � nouveau un facteur 
$X$.
\end{list}
Cela donne
\begin{multline*}
|H(X,\eps',Z)|\leq \|Y_0^2\|\cdot\delta \cdot 
\left\|\Dp{P_1}{Y}(0,Y_0)\right\|+ \|XY_0^2\|\cdot C\cdot\|P_1\| 
+\|Y_0^2\|\cdot\|P_2\|_{\Hh}\\
+(2\delta\cdot\|Y_0\|+\eps'\delta^2)\cdot
\|P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)\|_{\Hh}\,.
\end{multline*}
On voit que non seulement $\HHH(Z)$ est dans l'espace $\Hh$, mais que
sa norme peut \^etre choisie aussi petite que l'on veut, si on prend
$\eps'$ assez petit et $\varrho$ assez grand, et ceci pour tout
$\delta$ fix�.

\medskip
Dans l'autre sens, regardons quelle est l'image de la fonction nulle
par $\ZZZ$. Cette fonction image est born�e si $G(X,\eps')$ est dans
$\Hh$ et si $\f1{\eps'}\bigl(\eps y(x_\rho,\eps)
-Y_0(x_\rho/\eps')\bigr)$ est born�e quand $\eps$ tend vers $0$.
\[G(X,\eps')=\left(\f{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}+
X^p\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}\right)Y_0
+\f{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}\,. \] 
Or, d'apr�s ce qui a �t� dit sur les cons�quences des hypoth�ses 
$\eqref{H0}$,
\begin{align*}
\eps'g(\eps'X,\eps)&= \eps'\sum_{k\geq 0} g_k(\eps)(\eps'X)^k
+\f{g_{-1}(\eps)}{X} \\
& \phantom{=} +\f{\eps}{{\eps'}^p}
\left({\eps'}^{p-1}\f{g_{-2}(\eps)}{X^2}+\ldots+ 
\eps'\f{g_{-p-1}(\eps)}{X^{p+1}}\right) 
 +\f{g_{-p-2}(\eps)}{X^{p+2}} +\ldots\\
\f{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}&=\sum_{k\geq 0}
g_k(\eps) (\eps'X)^k+\f{g_{-1}(\eps)-g_{-1}(0)}{\eps'X}\\
& \phantom{=}+
\left({\eps'}^{p-1} \f{g_{-2}}{X^2}+\ldots+ 
{\eps'}\f{g_{-p-1}}{X^{p+1}}\right) 
 +\f{g_{-p-2}(\eps)-{g_{-p-2}(0)}}{\eps'X^{p+2}} +\ldots
\end{align*}
Donc $\f{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}$, et de la m\^eme mani�re
$\f{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}$, sont des fonctions qui sont
born�es dans $\Dom_C$; elles sont dans l'espace $\Hh$, et leur norme
dans cet espace tend vers $0$ avec $\eps$.\label{PB}

En revanche, la fraction $\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}$ n'est pas
uniform�ment born�e pour $X\in\Dom_C$. On peut cependant d�montrer le
lemme de majoration suivant:

\begin{Lemmetech}\label{lemme1}
Soit $F(x)$ une fonction holomorphe dans la boule ouverte
$\Dom_F={\mathcal B}(0,\rho)$. Alors, pour tout $X$ tel que
$(\eps'X)\in\Dom_F$,
$$\f{F(\eps'X)-F(0)}{\eps'}=X \tilde F(\eps'X)\,,$$ 
o� $\tilde F$ est une fonction analytique; de plus, si $F$ est born�e,
$\tilde F$ est born�e elle aussi.
\end{Lemmetech}
On �crit d'abord $F(x)=\sum_{n\geq 0} f_n x^n$, puis on en tire
$$ \f{F(\eps'X)-F(0)}{\eps'} =
\sum_{n\geq 1} X f_n \times (\eps'X)^{n-1}\,.$$
On a donc $\tilde F(x)=\sum_{n\geq 1} f_n x^{n-1}$, qui est bien
analytique en $x$, et qui est born�e pour $x\in\Dom_F$ si $F$
l'est.~$\square$

\bigskip

Donc la fraction $\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}$  peut �tre d'ordre
$\gO(X)$; mais parce que $Y_0(X)$ tend vers $0$ quand
$X\rightarrow\infty$ au moins aussi vite que $1/X$, la fonction
$Y_0(X)\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}$ est, elle, bien born�e, et donc 
$X^p Y_0(X)\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}$ est une fonction de $\Hh$, elle
aussi. 

\smallskip
Il ne reste donc qu'une derni�re condition � contr�ler:
on veut montrer que la condition initiale
$Z(x_\rho/\eps',\eps')=\frac{1}{\eps'} \Bigl(\eps y(x_\rho,\eps)
-Y_0(x_\rho/\eps')\Bigr)$ est aussi petite que l'on veut pour tout
$\eps'$ assez petit.
Or $y(x_\rho,\eps)$ est born� en $\eps$, et $Y_0(x_\rho/\eps')$
est �quivalent � 
$$Y_0(x_\rho/\eps')\underset{\eps'\rightarrow
0}\sim\f{H_0(x_\rho/\eps')}{f(0)\left(x_\rho/\eps'\right)^p} \sim
{\eps'}^p \f{H_0(x_\rho/\eps')}{f(0)\left(x_\rho\right)^p}\,,$$
sachant que $H_0(x_\rho/\eps')$ est au mieux un $\gO(\eps')$.  On est
donc assur� que $Z(x_\rho/\eps',\eps')$ est d'ordre au pire
${\eps'}^p$ quand $\eps'$ tend vers $0$, ce qui nous suffit largement.

\medskip
Donc $G(X,\eps')$ est une fonction de $\Hh$, on peut donc �crire
\begin{multline*}
\|\ZZZ(0)\|\leq 
\|Y_0\|\cdot\left\|\f{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}\right\|_{\Hh}+
\left\|X^p Y_0(X)\f{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}\right\|_{\Hh} \\
+\left\|\f{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}\right\|_{\Hh} + 
|Z(x_\rho/\eps',\eps')|
\end{multline*}
Tous ces termes sont born�s, pour tout $\eps'$ assez petit, et ils
d�croissent avec $\varrho=|X_l|$.

\bigskip
On choisit donc $\delta\geq 2\|\ZZZ(0)\|$, puis on augmente la valeur
de $\varrho$ et on fait d�cro\^itre celle de $|\eps'|$ jusqu'� ce que 
$$C_{\ZZZ} M_\varrho (\|Y_0\|+\eps'\delta)<1\ \text{ et que }\ 
\sup_{\|Z\|<2\delta}\|H(X,\eps',Z)\|_{\Hh}<\delta/C_{\ZZZ}\,.$$ 
Dans ce cas, la composition des deux op�rateurs $\HHH$ et $\ZZZ$ est
bien un op�rateur contractant.

\medskip
On peut alors �noncer le th�or�me suivant.
\begin{Th}\label{th:pres}
On suppose que  pour l'�quation~\eqref{eq:gen} les hypoth�ses
\eqref{H0} et celles du th�or�me~\ref{th:loin}, pour tout $r>0$, sont
v�rifi�es dans un $x$-domaine accessible (avec le relief
$\Re\frac{F(x)}{\eps}$), qu'on note � nouveau $\Dom\subset\Dom_0$.
Soit $X_l$ un r�el assez grand, ind�pendant d'$\eps$ si
$|\eps|<\eps_0$. Soit alors pour un tel $\eps$ fix� des domaines
$$\Dom_C=\left\{X\in\CC \bigm/ \varrho<|X|\leq\rho/\eps'\hbox{ et
}\arg X\! \in\, \Bigl]\theta_1,\theta_2\Bigr[\,\right\}$$ 
{ $\theta_1$ et $\theta_2$ �tant choisis, pour un $\eps$ donn�, tels
que tout point $X$ de $\Dom_C$ soit accessible (avec le relief
$\Re\bigl(\eps' u^{p+1} f(0)\bigr)$) � partir d'au moins un point
de la forme $x/\eps'$, o� $x\in\Dom$; et}
$$\Dom_{\eps'}=\Dom\,\cup\,\left\{x\in\CC \bigm/
(x/\eps')\in\Dom_C\right\}\,.$$ 

Alors il existe une solution holomorphe $y$ de \eqref{eq:gen} sur
$\Dom_{\eps'}$ telle que $\eps y$ est born�e quand $\eps$ tend vers
$0$, et $\eps y(X\eps',\eps)=Y(X,\eps')$ tend, uniform�ment pour $X$
dans $\Dom_C$ quand $\eps$ tend vers $0$, vers une fonction $Y_0(X)$
solution de l'�quation \eqref{eq:Y0}.
\end{Th}
\bigskip

On sait qu'il existe une unique solution au probl�me de Cauchy
suivant: $Y(X,\eps')$ est solution de \eqref{Yg} et v�rifie
$Y(x_\rho/\eps',\eps')=\eps y(x_\rho,\eps)$. On vient de montrer que
cette solution existe sur la partie du domaine $\Dom_C$ accessible �
partir du $x_\rho/\eps'$ choisi et qu'elle reste dans un certain
voisinage de $Y_0(X)$. Or, par unicit� des solutions avec la condition
initiale au point $x_\rho$, la solution de \eqref{eq:gen} $y(x,\eps)$
pour $x\in\Dom, |x|\geq \rho$ se prolonge avec la fonction
$\frac{1}{\eps}Y(x/\eps',\eps)$ dans toute la partie de $\Dom_C$
accessible; et comme tout $\Dom_C$ est accessible � partir des
$x_\rho/\eps'$ (et m\^eme d'un nombre fini de tels points), et qu'il
ne peut y avoir qu'un seul prolongement dans ce domaine, $y(x,\eps)$
se prolonge en fait avec $\frac{1}{\eps}Y(x/\eps',\eps)$ pour
l'ensemble des $x\in \eps'\Dom_C$.

Ce qui cl�t la d�monstration du th�or�me.

\bigskip
Cette solution $y(x,\eps)$ est holomorphe en ses deux variables dans
$\Dom_{\eps'}\times S_0$. Pour d�montrer la d�pendance holomorphe en
$\eps'$, puis en $\eps$, de la fonction $Y(X,\eps)$ correspondante, on
proc�de comme pour le th�or�me \ref{th:loin}, en prenant un
$\Dom_\eps'$ accessible pour un intervalle d'arguments de $\eps'$ et en
consid�rant des espaces de fonctions sur $\Dom_C\times S_0$. On ne
d�taillera pas la d�monstration du th�or�me \ref{th:pres} modifi�e
ici.

\subsection{D�veloppement de la solution int�rieure}

La solution $Y(X,\eps')$ trouv�e tend vers $Y_0(X)$ quand
$\eps\rightarrow 0$, uniform�ment pour $X\in\Dom_C$. Admet-elle un
d�veloppement asymptotique de la forme $\hat Y=\sum_{n\geq 0}
Y_n(X){\eps'}^n$, uniform�ment dans tout le domaine $\Dom_C$  ?

La r�ponse n'est pas toujours positive. Si on tente de poser
$$Y(X,\eps')=\sum_{0\leq n\leq N} Y_n(X){\eps'}^n+{\eps'}^{N+1} \tilde
Y(X,\eps')$$ 
et de montrer que $\tilde Y$ est born�e de la m�me mani�re qu'on a
montr� que $Z$ �tait born�e (th�or�me \ref{th:pres}), on se retrouve
face � un probl�me: au cours de la d�monstration, on devait montrer,
page~\pageref{PB}, que $G$ �tait dans $\Hh$, ce qui n'est vrai que
parce que $Y_0$ tend vers $0$ en l'infini. Mais on peut seulement
montrer en g�n�ral que $Z$ est born�e dans $\Dom_C$; une d�monstration
par r�currence g�n�rale, valable sur tout le domaine $\Dom_C$ comme
dans le cas de l'�quation de Van der Pol, est donc exclue.

\medskip
Par contre, on peut arriver � d�montrer le corollaire suivant.
\begin{Cor}\label{cor:pabo}
  La fonction $Y(X,\eps')$ du th�or�me \ref{th:pres} v�rifie la
  propri�t� suivante. Soit $\mu\in ]0,1[$, et $\varrho>0$ un r�el
  assez grand avec le domaine $\Dom_C$ qui en d�pend de la mani�re
  habituelle . Il existe une suite de fonctions $Y_0$, $Y_1$, \ldots,
  $Y_n$, \ldots telle que, pour tout $N$,
\[Y(X,\eps')-\sum_{n=0}^{N-1} Y_n(X){\eps'}^n={\eps'}^{N}
Z_N(X,\eps')\,,\] 
la fonction $Z_N(X,\eps')$ �tant d�finie pour $X\in\Dom_C$, mais
born�e par ${\eps'}^{-(N-1)\mu}$ quand $\eps'$ tend vers $0$ et
seulement pour les $X$ tels que $\varrho<X<|\eps'|^{-\mu}$ (on notera
$\Dom_{C\mu}$ l'ensemble des $X$ born�s de cette mani�re et qui sont 
aussi dans $\Dom_C$).
\end{Cor}
Nous d�montrerons cette propri�t� par r�currence sur $N$, en
r�utilisant une partie de la d�monstration du th�or�me pr�c�dent. On y
traite de fait le cas $N=0$: $Z_1(X,\eps')$ est une fonction born�e,
en particulier pour les $X<|\eps'|^{-\mu}$.

Mais auparavant, nous allons montrer certaines propri�t�s de
majoration. On introduit dans ce but, pour tout $m\in \Zed$ la classe de
fonctions suivante: $F(X,\eps',y,y_0) \in \gF_m$ si $F$ s'�crit comme une
somme finie telle que
$$F(X,\eps',y,y_0)=\sum_l E_l(X) F_l(\eps'X,\eps',y,y_0)$$
o�
\begin{list}{$\blacktriangleright$}{}
\item $F_l(x,\eps',y,y_0)$ est une fonction born�e, holomorphe au 
voisinage de $x=0$, pour $\eps'$ dans des secteurs $S'_0$ et pour
$|y|\leq \delta$, $|y_0|\leq \delta$; elle admet un d�veloppement
asymptotique uniforme quand $\eps'\rightarrow0$.
\item $X^{-m} E_l(X)$ est holomorphe et born�e ind�pendamment de
$\eps'$ dans $\Dom_{C\mu}$.
\end{list}
Comme propri�t� de ces classes de fonctions, on peut noter que, si
$F\in\gF_m$ et $G\in \gF_n$, alors
\begin{list}{$\star$}{}
\item $F+G$ est dans $\gF_{\sup(m,n)}$.
\item $F\times G$ est dans $\gF_{m+n}$.
\item $\Dp{F}{Y}$ est une fonction de $\gF_m$, quitte � diminuer $\delta$.
\item $\eps'F\in \gF_{m-1}$.
\end{list}
Nous allons d�montrer le lemme suivant:
\begin{Lemmetech}\label{lemme2}
Soit $F(X,\eps',y,y_0)$ une fonction de $\gF_m$. La fonction $\tilde
F$ d�finie comme
$$\tilde F: (X,\eps',y,y_0) \mapsto 
\f{F(X,\eps',y,y_0)-F(X,0,y,y_0)}{\eps'}$$
est une fonction de la classe $\gF_{m+1}$.
\end{Lemmetech}
La d�monstration ressemble � celle du lemme~\ref{lemme1}. On �crit
$F_l$ comme la somme convergente (pour $\eps'X$ assez petit)
$$F_l(\eps'X,\eps',y,y_0)=\sum_{k\geq 0} (\eps'X)^k
F_{l,k}(\eps',y,y_0)\,.$$ 
On arrive alors � l'expression suivante (o� la $\sum_k$ reste
convergente si $\eps'X$ est assez proche de $0$):
\begin{align*}
\tilde F (X,\eps',y,y_0) &= \sum_l E_l\times\! \left( \sum_{k\geq 1} X
F_{l,k}(\eps',y,y_0)
(\eps'X)^{k-1}\!+\f{F_{l,0}(\eps',y,y_0)-F_{l,0}(0,y,y_0)}{\eps'}\!
\right)\!;\\ 
\intertext{comme $F_{l,0}$ admet un d�veloppement asymptotique
uniforme en $\eps'=0$,}
\tilde F (X,\eps',y,y_0) &= \sum_l E_l(X)X 
\tilde F_{l}(\eps'X,\eps',y,y_0)+\sum_l E_l(X) 
\f{F_{l,0}(\eps',y,y_0)-F_{l,0}(0,y,y_0)}{\eps'}\,.
\end{align*}
$|X^{-m-1} E_l(X) X|$  et $|X^{-m-1} E_l(X)|$ �tant born�es dans
$\Dom_{C\mu}$, la fonction $\tilde F$ est donc dans 
$\gF_{m+1}$.~$\square$


\medskip
Pour $N=1$, on reprend l'�quation pour $Z$ \eqref{eq:enZ} vue plus
haut, qui est v�rifi�e par $Z_1$:
\begin{align*}
\f{dZ}{dX}&=f_\eps(X) Z+G(X,\eps')+H(X,\eps',Z)
\intertext{avec}
f_\eps(X)=& f(\eps'X)X^p+\eps'g(\eps'X,\eps)\\
G(X,\eps')=&\left(\frac{\eps'g(\eps'X,\eps)-G_0(X)}{\eps'}+
X^p\frac{f(\eps'X)-f(0)}{\eps'}\right)Y_0
+\frac{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}\\
H(X,\eps',Z)=&Y_0^2 \f{P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)-P_0(X,Y_0)}{\eps'}
+(2Y_0Z+\eps'Z^2)P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)\\
 =& Y_0^2 \f{P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)-P_0(X,Y_0)}{\eps'} +(Y_0+Y)Z
P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)
\end{align*}
Pour simplifier au maximum le terme $H$, nous allons r�organiser
l'�quation, en utilisant le fait que $Y$ est maintenant connue, comme
fonction holomorphe born�e. On reprend la d�composition suivante de
$P_\eps$ donn�e parmi les hypoth�ses:
\begin{align*}
P_\eps(X,\eps',Y)&=X^p P_1(\eps'X,Y)+\eps' P_2(\eps'X,\eps,Y)\,,
\intertext{puis}
X^p P_1(\eps'X,Y)-P_0(X,Y_0)&=X^p \left( P_1(\eps'X,Y)-P_1(0,Y)+
P_1(0,Y)-P_1(0,Y_0)\right)\\
        &=X^p \left( P_1(\eps'X,Y)-P_1(0,Y)\right)\\
&\qquad\qquad+X^p (Y-Y_0)\int_0^1 \Dp{P_1}{Y}\Bigl(0,Y_0+t(Y-Y_0)\Bigr) dt\,;
\end{align*}
ce qui donne
\begin{multline*}
\f{P_\eps(X,\eps',Y_0+\eps'Z)-P_0(X,Y_0)}{\eps'}=X^p
\f{P_1(\eps'X,Y)-P_1(0,Y)}{\eps'}+P_2(\eps'X,\eps,Y)\\
+X^p Z \int_0^1 \Dp{P_1}{Y}\Bigl(0,Y_0+t(Y-Y_0)\Bigr) dt\,.
\end{multline*}
On peut obtenir ainsi comme �quation diff�rentielle pour $Z_1$:
\begin{align*}
\f{dZ_1}{dX}&=f_1\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X)\Bigr) Z_1+
G_1\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),0\Bigr)
\intertext{avec}
f_1(X,\eps',y,y_0)=& f(\eps'X)X^p+\eps'g(\eps'X,\eps)+
\Bigl(Y_0(X)+y\Bigr) P_\eps(X,\eps',y)\\
        &\qquad\qquad+X^pY_0^2(X) \int_0^1 \Dp{P_1}{Y}
\Bigl(0,y_0+t\bigl(y-y_0\bigr)\Bigr) dt\\
G_1(X,\eps',y,y_0)=&\left(\!\frac{\eps'g(\eps'X,\eps)\!-G_0(X)}{\eps'}+\!
X^p\frac{f(\eps'X)\!-f(0)}{\eps'}\right)\!Y_0(X)\\
&\qquad+\frac{\eps'h(\eps'X,\eps)-H_0(X)}{\eps'}\\
&\qquad\qquad+Y_0^2(X) P_2(\eps'X,\eps,y)
+Y_0^2(X) X^p \f{P_1(\eps'X,y)-P_1(0,y)}{\eps'}
\end{align*}
{C'est � partir de cette �quation devenue lin�aire en $Z$ que nous
ferons la d�monstration par r�currence. }
%On notera dans ce qui suit 
%$Z_0(X,\eps')=Y(X,\eps')$.}

\smallskip\pagebreak[1]

D'apr�s ce qui a �t� vu plus haut ces fonctions v�rifient les propri�t�s
suivantes:
\begin{list}{$\blacktriangleright$}{}
\item $f_1(X,\eps',y,y_0)$ est de classe $\gF_p$.
\item $G_1(X,\eps',y,y_0)$ est aussi de la m\^eme classe $\gF_p$.
\item $Z_1$ est une fonction born�e dans $\Dom_\mu$, donc born�e dans
$\Dom_{C\mu}$. 
\end{list}

On note $Y_1(X)$ la solution de l'�quation de $Z_1$ avec $\eps'=0$ qui
est born�e dans $\Dom_\infty$ ($Y_1\in \gF_0$); on montre l'existence
de cette solution comme on a montr� celle de $Y_0$, sachant que
$X^{-p}f_1(X,0,Y_0(X),Y_0(X))$ et $X^{-p}G_1(X,0,Y_0(X),0)$ sont deux 
fonctions born�es dans $\Dom_{C\mu}$.

On pose ensuite
$$Z_1(X,\eps')=Y_1(X)+\eps' Z_2(X,\eps')\,.$$ 



% \smallskip
% Voyons ce qu'on obtient alors pour $N=2$, avec ces d�finitions de
% $Y_1(X)$ et de $Z_2(x,\eps')$. On obtient comme �quation pour la
% fonction $Z_2$:
% \begin{equation*}
% \f{dZ_2}{dX}=f_1(X,\eps',Y) Z_2+G_2(X,\eps',Y,Z_1)
% \end{equation*}
% avec
% \begin{align*}
% G_2(X,\eps',Y,Z_1) = Y_1\f{f_1(X,\eps',Y)
% -f_1(X,0,Y_0)}{\eps'}+ \f{G_1(X,\eps',Z_0)-G_1(X,0,Y_0)}{\eps'}
% \end{align*}

% Avec la formule de variation de la constante, on peut donc calculer
% $Z_2$: 
% \begin{equation*}
% Z_2(X,\eps')= Z_2\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right) +
% \int_{\Gamma^\mu_X} \!\! e^{F_1(X)-F_1(t)}
% G_2(t,\eps',Y(t,\eps'),Z_1(t,\eps')\right) dt\,,
% \end{equation*}
% avec $F_1(X)=\int^X f_1\bigl(t,\eps',Y(t,\eps')\bigr)dt$.

% On utilisera ci-apr�s des normes d�finies sur des espaces de fonctions
% holomorphes pour $X\in\Dom_{C\mu}$, d�duites de celles introduites
% pour les espaces $\Hh$ et $\Zz$; ainsi on note la norme
% $$\|H\|_{\Hh_1}=\sup_{X\in\Dom_{C\mu}} \f{|H(X)|}{|X^p f(0)|}$$ 
% (il est clair
% que $\|H\|_{\Hh_1}\leq \|H\|_{\Hh}$). Le chemin $\Gamma^\mu_X$
% est lui d�duit du chemin $\Gamma_X$, � l'int�rieur du domaine
% $\Dom_{C\mu}$, descendant entre un point $x_\rho{\eps'}^{\mu-1}$ (au
% lieu de $x_\rho{\eps'}^{-1}$ pour $\Gamma_X$) et $X$.

% On veut v�rifier que $Z_2$ est born�e par $|\eps'|^{-\mu}$. Il suffit
% pour cela de comparer la fonction
% $Y_1\f{f_1(t,\eps',Y)-f_1(t,0,Y_0)}{\eps'}
% +\f{G_1(t,\eps',Y)-G_1(t,0,Y_0)}{\eps'}$ � $f_1(t,\eps')$, donc de
% voir quelle est la norme $\|\cdot \|_{\Hh_1}$ de cette premi�re
% fonction.  Or
% \begin{multline*}
% \Bigl(Y_0+Y(X,\eps')\Bigr) P_\eps(X,\eps',Y)-
% \Bigl(Y_0+Y(X,0)\Bigr) P_\eps(X,0,Y_0)=(Y-Y_0)X^pP_1(0,Y)\\
% +(Y_0+Y)X^p\Bigl(P_1(\eps'X,Y)-P_1(0,Y)\Bigr)+
% \eps'(Y_0+Y)P_2(\eps'X,\eps,Y)
% \end{multline*}
% et aussi
% \begin{multline*}
% \int_0^1 \Dp{P_1}{Y} 
% \Bigl(0,Y_0(X)+t\bigl(Y(X,\eps')-Y_0\bigr)\Bigr) dt
% -\int_0^1 \Dp{P_1}{Y}\Bigl(0,Y_0\Bigr) dt\\
% =\int_0^1 t(Y-Y_0)\left(\int_0^1\f{\partial^2 P_1}{\partial Y^2}
% \bigl(0,Y_0+ut(Y-Y_0)\bigr)du\right)dt
% \end{multline*}
% En utilisant le lemme \ref{lemme2}, et en rempla�ant $Y-Y_0$ par 
% $\eps'Z_1$ ($Z_1$ �tant maintenant une fonction connue), on arrive �
% \begin{equation*}
% \f{f_1(t,\eps',Y)-f_1(t,0,Y_0)}{\eps'}= \tilde f_1(t,\eps',Y)+
% \breve f_1(t,\eps',Y,Z_1) 
% \end{equation*}
% les fonctions $\breve f_1$  et $\tilde f_1$ �tant telles que
% \begin{enumerate}
% \item $\tilde f_1(X,\eps',Y)$ est dans $\gF_{p+1}$.
% \item $\breve f_1(X,\eps',Y,\delta')$ est dans $\gF_{p}$ pour tout
% $\delta'$. 
% \item $\breve f_1(X,\eps',Y,Z_1)$ est lin�aire en $Z_1$.
% \end{enumerate}
% Si on multiplie par $Y_1$ qui est born�e dans $\Dom_{C\mu}$, on a donc
% la majoration suivante:
% $$\left\|Y_1(X) \bigl(\breve f_1(X,\eps',Y,Z_1)+\tilde f_1(X,\eps',Y)\bigr)
% \right\|_{\Hh_1} < \text{C} |\eps'|^{-\mu}\,.$$
% De mani�re analogue, comme
% \begin{align*}
% \f{P_2(\eps'X,\eps,Y)-P_2(0,0,Y_0)}{\eps'}&= 
% \f{P_2(\eps'X,\eps,Y)-P_2(0,0,Y)}{\eps'}+
% \f{P_2(0,0,Y)-P_2(0,0,Y_0)}{\eps'}\\
%  &= \tilde P_2(X,\eps',Y)+ Z_1 \int_0^1 \Dp{P_2}{Y}(0,0,Y+t(Y_0-Y))dt\,,
% \end{align*}
% la fonction $\f{G_1(t,\eps',Y)-G_1(t,0,Y)}{\eps'}$ s'�crit comme un
% polyn\^ome de degr� $1$ en $Z_1$ dont le coefficient de degr� $0$ est
% une fonction de la classe $\gF_{p+1}$, et celui de degr� $1$ est de
% classe $\gF_{p}$; sa norme (dans $\Hh_1$) est aussi major�e par une
% constante multipli�e par $|\eps'|^{-\mu}$.

% On pose, comme on vient de le construire,
% $$G_2(X,\eps',Y,Z_1) = Y_1(X)\f{f_1(X,\eps',Y) -f_(X,0,Y)}{\eps'}+
% \f{G_1(X,\eps',Y)-G_1(X,0,Y)}{\eps'}\,.$$ 
% On d�duit des majorations ci-dessus que $Z_2(X,\eps')$
% est une fonction uniform�ment born�e pour $X\in\Dom_{C\mu} $, et de
% norme
% \begin{align}
% \|Z_2(X,\eps')\| &\leq \|G_2\|_{\Hh_1} + 
% \left|Z_2(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps')\right|\label{eq:Z2} \\
%                  &\leq C'|\eps'|^{-\mu}\notag
% \end{align}

\medskip

Nous aurons donc besoin de compl�ter le lemme~\ref{lemme2}, en
regardant ce qu'on peut en d�duire pour les classes $\gG_m^k(Z)$
comprenant les fonctions $G(X,\eps',y,y_0,Z)$, o� $G$ {est un polyn\^ome
en} $Z$ dont les coefficients $G_l$ de $Z^l$ {sont dans} $\gF_{k-lm}$.

L'int�r\^et principal de ces classes $\gG$ de fonctions est que, si on
sait que $X^{-m}Z(X,\eps')$ est une fonction born�e dans
$\Dom_{C\mu}$, alors
$G\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X),Z(X,\eps')\Bigr)$ cro\^it au plus
comme $X^{p+n-1}$ avec $X$ dans ce domaine.


\begin{Lemmetech}\label{bourrin1}
Soit $G(X,\eps',y,y_0,Z)$ une fonction de
$\gG_{m-2}^k(Z)$. Alors on a les propri�t�s suivantes:
\begin{enumerate}
\item $G$ multipli� par une fonction de $\gF_l$ est dans 
$\gG_{m-2}^{k+l}(Z)$.\label{p1}
\item Le produit de $G$ par $Z$ est dans 
$\gG_{m-2}^{k+m-2}(Z)$.\label{p2}
\item $\Dp{G}{Z}(X,\eps',y,y_0,Z)
\in\gG_{m-2}^{k-m+2}(Z)$.\label{p3} 
\item Une fonction $G(X,\eps',y,y_0,Z_{m-1})$ de $\gG_{m-2}^k(Z_{m-1})$ 
peut se transformer en posant $Z_{m-1}=Y_{m-1}(X)+\eps' Z_m$. La fonction
$\tilde G(X,\eps',y,y_0,Z_{m})$ obtenue est alors dans 
$\gG_{m-1}^k(Z_{m})$.\label{p4}
\end{enumerate}
\end{Lemmetech}
\begin{enumerate}
\item Ce premier point est trivial.
\item Pour d�montrer cette propri�t�, on part de la d�finition:
\begin{align*}
G(X,\eps',y,y_0,Z)&=\sum_l G_l {Z}^l, \qquad\qquad
G_l(X,\eps',y,y_0)\in\gF_{k-l(m-2)}\\ G(X,\eps',y,y_0,Z)Z&=\sum_l
G_l {Z}^{l+1} =\sum_l G_{l-1} {Z}^{l},
\end{align*}
{et $G_{l-1}\in\gF_{k-(l-1)(m-2)}=\gF_{k+m-2-l(m-2)}$}
\item On proc�de comme ci-dessus:
\begin{align*}
\Dp{G}{Z}(X,\eps',y,y_0,Z)&=\sum_l G_l l {Z}^{l-1}
=\sum_l (l+1) G_{l+1} {Z}^{l}
\end{align*}
avec $(l+1) G_{l+1}\in \gF_{k-(l+1)(m-2)}=\gF_{k-m+2-l(m-2)}$. D'o� la
propri�t� annonc�e.
\item La d�monstration ici se fait en �crivant
$Z_{m-1}=Y_{m-1}+\eps' Z_m$, o� $Y_{m-1}\in \gF_{m-2}$.  On obtient
alors un polyn\^ome en $Z_m$ dont le terme en ${Z_{m}}^l$ est une
somme de termes de la forme
$$G_{j} \text{C}_j^{l} Y_{m-1}^{j-l}{\eps'}^l {Z_{m}}^l\,,$$
o� $C^l_j$ d�signe le nombre de combinaisons, et $G_j$ est par d�finition 
dans $\gF_{k-j(m-2)}$;
ce qui fait qu'on a en facteur de ${Z_{m}}^l$ une fonction dans
$\gF_{k-j(m-2)+(m-2)(j-l)-l}=\gF_{k-l(m-1)}$, pour tout $l$.  On
remarque en passant que $G(X,\eps',y,y_0,Y_{m-1}(X))$ peut se voir
comme un �l�ment de $\gF_{k}$.
\end{enumerate}

Ces propri�t�s servent essentiellement � d�montrer le lemme suivant:
\begin{Lemmetech}\label{bourrin2}
Soit $G\in \gG_{m-2}^k(Z)$ et $H$ la fonction d�finie par 
$$H(X,\eps')=G\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X),Z_{m-1}(X,\eps')\Bigr).$$ 
Alors il existe $\breve G\in\gG_{m-1}^{k+1}(Z_m)$ telle que
\begin{equation*}
\f1{\eps'}\Bigl(H(X,\eps')-H(X,0)\Bigr)=
\breve G\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X),Z_m(X,\eps')\Bigr)\,.
\end{equation*}
\end{Lemmetech}
On d�compose
\begin{multline}\label{eq:Gm}
\breve G(X,\eps',Y,Y_0,Z_m)=
\f{G\left(X,\eps',Y,Y_0,Z_{m-1}\right) 
-G\left(X,0,Y,Y_0,Z_{m-1}\right)}{\eps'}\\
+\f{G\left(X,0,Y(X,\eps'),Y_0(X),Z_{m-1}\right) 
-G\left(X,0,Y(X,0),Y_0(X),Z_{m-1}\right)}{\eps'}\\
+\f{G\left(X,0,Y_0,Y_0,Z_{m-1}(X,\eps')\right) 
-G\left(X,0,Y_0,Y_0,Z_{m-1}(X,0)\right)}{\eps'}
\end{multline}
Dans cette somme,
\begin{enumerate}
\item Le premier terme correspond, si on utilise le lemme \ref{lemme2}, 
� un polyn\^ome en $Z_{m-1}$ dont le coefficient $H_l(X,\eps',Y,Y_0)$ pour
${Z_{m-1}}^l$ est dans $\gF_{k+1-l(m-2)}$. Si on remplace ensuite
${Z_{m-1}}^l$ par $(Y_{m-1}+\eps' Z_m)^l$, on retrouve le r�sultat de
la propri�t� \ref{p4} ci-dessus.  \par
Le premier terme est donc dans $\gG_{m-1}^{k+1}(Z_m)$.
\item On peut �crire la deuxi�me fraction de \eqref{eq:Gm}, � l'aide 
de la formule de Taylor avec reste int�gral
$$\!\!\f{Y(X,\eps')-Y(X,0)}{\eps'} \int_0^1\!
\Dp{G}{Y}\Bigl(X,0,\bigl[Y_0+t(Y\!-\!Y_0)\bigr](X,\eps'),Y_0,
Z_{m-1}(X,\eps')\Bigr) dt\,.$$ 
L'int�grale st holomorphe en $Y$ et $Y_0$, et c'est aussi un
polyn\^ome en $Z_{m-1}$ qui reste dans $\gG_{m-2}^k(Z_{m-1})$. On le
multiplie par
\begin{align*}
\f{Y(X,\eps')-Y(X,0)}{\eps'}&=Z_1(X,\eps')\\
&=Y_1(X)+\eps' Y_2(X)+\ldots
+{\eps'}^{m-2}Y_{m-1}(X)+{\eps'}^{m-1}Z_{m-1}\,;
\end{align*} 
puisque ${\eps'}^{j-2}Y_{j-1}(X) \in \gF_0$ pour tout $j$, avec les
points \ref{p1} et \ref{p2} du lemme, on sait que le produit est dans 
$$\gG_{m-2}^{k}(Z_{m-1}) \cup \gG_{m-2}^{k-(m-1)+m-2}(Z_{m-1}) 
\subset \gG_{m-2}^{k}(Z_{m-1}).$$
La deuxi�me fraction est donc (largement) dans $\gG_{m-1}^{k+1}(Z_m)$.
\item La troisi�me fraction se r��crit aussi avec une formule de 
Taylor
\begin{multline*}
\f{Z_{m-1}(X,\eps')-{Z_{m-1}(X,0)}}{\eps'}\times\\
\int_0^1 \Dp{G(X,0,Y,Z)}{Z}\Bigl(X,0,Y_0,Y_0,
\left[Z_{m-1}+t(Z_{m-1}-Y_{m-1})\right](X,\eps')\Bigr) dt\,.
\end{multline*}
On int�gre un polyn\^ome en $t$ dont les coefficients sont, d'apr�s la
propri�t� \ref{p3} du lemme pr�c�dent, des �l�ments de
$\gG_{m-2}^{k-m+2}(Z_{m-1})$, ou (avec la propri�t� \ref{p4}) de
$\gG_{m-1}^{k-m+2}(Z_m)$. L'int�grale est donc dans
$\gG_{m-1}^{k-m+2}(Z_m)$. On la multiplie par la fraction, �gale �
$Z_m$. On se retrouve donc dans $\gG_{m-1}^{k-m+2+(m-1)}=
\gG_{m-1}^{k+1}$.$\square$
\end{enumerate}

On fait comme hypoth�ses de r�currence que pour $m\leq n-1$, $Z_{m}$
est solution de l'�quation diff�rentielle
$$\f{dZ_{m}}{dX}=f_1\left(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X)\right)Z_{m}+
G_{m}\left(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X),Z_{m-1}(X,\eps')\right)$$ 
o� $G_{m}(X,\eps',y,y_0,Z)$ est un �l�ment de
$\gG_{m-2}^{p+m-1}(Z_{m-1})$. 
La croissance de la fonction $Z_{m}$ est major�e:
$X^{-m+1}Z_{m}(X,\eps')$ est born�e dans $\Dom_{C\mu}$. Il existe
alors pour tout $m\leq n-1$ une unique fonction $Y_{m}$ solution de
$$\f{dY_m}{dX}=f_1\Bigl(X,0,Y_0(X),Y_0(X)\Bigr)Y_{m}+
G_{m}\Bigl(X,0,Y_0(X),Y_0(X),Y_{m-1}\Bigr)$$
telle que $X^{-m+1}Y_{m}(X)$ est born�e ($Y_m \in \gF_{m-1}$).



\smallskip
Avec ces hypoth�ses, on pose 
$$Z_{n-1}(X,\eps')=Y_{n-1}(X)+\eps' Z_n(X,\eps')\,.$$
On remplace $Z_{n-1}$ par cette expression dans son �quation
diff�rentielle (on ne notera plus les d�pendances de $Y(X,\eps')$ et 
$Y_0(X)$): 
\begin{multline}\label{eq:Zn}
\f{dZ_{n}}{dX}=
f_1(X,\eps',Y,Y_0)Z_{n}+
\f{f_1(X,\eps',Y,Y_0)-f_1(X,0,Y_0,Y_0)}{\eps'}Z_{n-1}\\
+\f{G_{n-1}(X,\eps',Y,Y_0,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Y_0,Y_{n-2})}{\eps'}\,.
\end{multline}
On veut �tudier la croissance de la fonction $G_n$ o� l'on pose
\begin{multline}
G_n(X,\eps',Y,Y_0,Z_{n-1})=
\f{f_1(X,\eps',Y,Y_0)-f_1(X,0,Y_0,Y_0)}{\eps'}Z_{n-1}\\ 
+\f{G_{n-1}(X,\eps',Y,Y_0,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Y_0,Y_{n-2})}{\eps'}
\label{eq:Gn}
\end{multline}
% se d�compose elle aussi sous la forme
% $$G_{n}(X,\eps',Y,Z_{n-1})= H_{n}(X,\eps',Y)+Z_{n-1}
% f_{n}(X,\eps',Y,Z_{n-1})\,,$$ 
% o� $H_n$ est dans $\gF_{p+n-1}$, et la fonction
% $f_{n}(X,\eps',Y,Z_{n-1})$ est un polyn\^ome en $Z_{n-1}$ �
% coefficients dans $\gF_p$ tel que $\left\|f_{n}\bigl
% (X,\eps',Y,Z_{n-1}(X,\eps')\bigr)\right\|_{\Hh_1}$ est born�e.  Si
% cette propi�t� est d�montr�e, on en d�duira que $X^{-n+1}Z_n$ est
% born�e et l'existence de $Y_n$ v�rifiant les bonnes propri�t�s.


\medskip 

L'hypoth�se de r�currence est donc que $G_{n-1}\in
\gG_{n-3}^{p+n-2}(Z_{n-2})$.

Si on applique le lemme \ref{bourrin2} �
$\f{f_1(X,\eps',Y,Y_0)-f_1(X,0,Y_0,Y_0)}{\eps'}$, en consid�rant $f_1$
comme �l�ment de $\gG_{0}^{p}(Z_1)$, on voit que cette fraction est
dans la classe $\gG_{n-2}^{p+1}(Z_{n-1})$; en multipliant encore par
$Z_{n-1}$, on se retrouve, d'apr�s le lemme
\ref{bourrin1} (propri�t� \ref{p2}), dans $\gG_{n-2}^{p+n-1}(Z_{n-1})$.

Quant �
$\f{G_{n-1}(X,\eps',Y,Y_0,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Y_0,Y_{n-2})}{\eps'}$,
le lemme \ref{bourrin2} nous indique qu'il s'agit d'une fonction de
$\gG_{n-3+1}^{p+n-2+1}(Z_{n-1})$, soit $\gG_{n-2}^{p+n-1}(Z_{n-1})$.

Par cons�quent, $G_n(X,\eps',Y,Y_0,Z_{n-1})\in
\gG_{n-2}^{p+n-1}(Z_{n-1})$.


On applique maintenant la formule de variation de la constante pour
l'�quation diff�rentielle \eqref{eq:Zn} concernant $Z_n$:
\begin{equation}\label{eq:Znvar}
Z_n(X,\eps')= Z_n\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right) +
\int_{\Gamma^\mu_X} \!\! e^{F_1(X)-F_1(t)}
G_n\Bigl(t,\eps',Y(t,\eps'),Y_0(t),Z_{n-1}(t,\eps')\Bigr) dt\,,
\end{equation}
avec $F_1(t)=\int^t f_1\bigl(u,\eps',Y(u,\eps'),Y_0(u)\bigr)du$.
Le chemin $\Gamma^\mu_X$
est lui d�duit du chemin $\Gamma_X$, � l'int�rieur du domaine
$\Dom_{C\mu}$, descendant entre un point $x_\rho{\eps'}^{\mu-1}$ (au
lieu de $x_\rho{\eps'}^{-1}$ pour $\Gamma_X$) et $X$.

On en d�duit que
\begin{align}
|Z_n(X,\eps')| &\leq
\sup_{X\in\Dom_{C\mu}} \left|\f{G_n\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_0(X),Z_{n-1}(X,\eps')\Bigr)}{f_1\Bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Y_O(X,\eps')\Bigr)}\right|\notag\\
&\leq \sup_{X\in\Dom_{C\mu}} |X|^{(n-1)}+
\left|Z_n(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps')\right|\label{ineq:Zn} \\
&\leq |\eps'|^{-(n-1)\mu}\,.\quad\square\notag
\end{align}

% Concernant le deuxi�me terme de $G_n$ dans \eqref{eq:Gn}, 
% \begin{align*}
% &\f{G_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Y_{n-2})}{\eps'}\\
% =\,&\f{G_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y,Z_{n-2})}{\eps'}\\
% &\qquad\qquad\qquad
% +\f{G_{n-1}(X,0,Y,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Z_{n-2})}{\eps'}\\
% &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
% +\f{G_{n-1}(X,0,Y_0,Z_{n-2})-G_{n-1}(X,0,Y_0,Y_{n-2})}{\eps'}\\
% =\,&\tilde G_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2}) + Z_1 \int_0^1 \Dp{G_{n-1}}{Y}
% \bigl(X,0,Y+t(Y_0-Y),Z_{n-2}\bigr)dt\\ 
% &\qquad\qquad\qquad\qquad +Z_{n-1} \int_0^1 
% \Dp{G_{n-1}}{Z} \bigl(X,0,Y_0,Z_{n-2}+t(Y_{n-2}-Z_{n-2})\bigr)dt\\
% \end{align*}
% Or, d'apr�s les hypoth�ses sur $G_{n-1}$,
% \begin{enumerate}
% \item $\tilde G_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2})=\tilde H_{n-1}+Z_{n-2}
% \tilde f_{n-1}$. La fonction $ \tilde H_{n-1}$ est alors dans 
% $\gF_{p+n-1}$, et $\tilde  f_{n-1}$ est un polyn\^ome (en $Z_{n-2}$) 
% � coefficients dans $\gF_{p+1}$. Dans  $\tilde  f_{n-1}$ on remplace 
% ensuite $Z_{n-2}$ par $Y_{n-2}+\eps' Z_{n-1}$, pour obtenir, d'une
% part une fonction de $\gF_{p+1}$ ind�pendante de $Z_{n-1}$, d'autre
% part un produit de $\eps'Z_{n-1}$ par un polyn\^ome en $Z_{n-1}$ � 
% coefficients dans $\gF_{p+1}$, ou aussi le produit de $Z_{n-1}$ par un
% polyn\^ome � coefficients dans $\gF_{p}$.
% \item $\Dp{G_{n-1}}{Y}$ est un polyn\^ome en $Z_{n-2}$ dont les 
% coefficients restent dans $\gF_{p}$; c'est encore le cas de
% l'int�grale. On remplace � nouveau $Z_{n-2}$ et le $Z_1$ en facteur en
% fonction de $Z_{n-1}$: les r�sultats sont les m\^emes que pour $\tilde
% G_{n-1}$ (on a un peu mieux en fait, mais cela ne pr�sente pas 
% d'int�r\^et).
% \item $X^{-p-n+2} Z_{n-1} \Dp{G_{n-1}}{Z}$ est born�e. En effet, 
% $\Dp{G_{n-1}}{Z}=\Dp{\left(Z_{n-2}f_{n-1}
% (X,\eps',Y,Z_{n-2})\right)}{Z_{n-2}}$ et
% comme $f_{n-1}$ est un polyn\^ome, on peut majorer sa d�riv�e et obtenir
% $$\left|\Dp{\left(Z_{n-2}f_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2})\right)}{Z_{n-2}}\right|
% \leq \text{deg}(f_{n-1}+1) \left|f_{n-1}(X,\eps',Y,Z_{n-2})
% \right|\,.$$
% On utilise le fait que $X^{-p} f_{n-1}\bigl(X,\eps',Y,
% Z_{n-2}(X,\eps')\bigr)$ est born�e et que $X^{-n+2} Z^{n-1}$ l'est
% aussi pour aboutir au r�sultat annonc�. Par ailleurs,  
% $Z_{n-1} \int \Dp{G_{n-1}}{Z}$ peut encore \^etre  �crit sous forme 
% de polyn\^ome en $Z_{n-1}$.
% \end{enumerate}
% On construit ainsi la fonction $H_n$ dans $\gF_{p+n-1}$ et $f_n$
% polyn\^ome en la variable $Z_{n-1}$ � coefficients dans $\gF_p$, avec
% comme propri�t� que
% $X^{-p}f_n\bigl(X,\eps',Y(X,\eps'),Z_{n-1}(X,\eps')\bigr)$ 
% est born� dans $\Dom_{C\mu}$.

Cependant, cette d�monstration doit encore �tre compl�t�e: il reste �
montrer que la �condition initiale� que l'on choisit �gale �
$$Z_n\left(x_\rho{\eps'}^{\mu-1},\eps'\right)=\f1{{\eps'}^n}\Bigl(\eps
y(x_\rho{\eps'}^\mu,\eps) -Y_0(x_\rho{\eps'}^{\mu-1})-
\ldots-{\eps'}^{n-1}Y_{n-1}(x_\rho{\eps'}^{\mu-1})\Bigr)$$ 
pour assurer la continuit� entre solution int�rieure et ext�rieure
n'est pas plus grande que les autres termes de l'in�galit�
\eqref{ineq:Zn}. Cette propri�t� sera d�montr�e au paragraphe suivant 
(corollaire \ref{th:connexion}); pour le montrer il faudra chercher �
�tendre le domaine de la solution ext�rieure.


On remarque que l'on construit avec cette d�monstration du corollaire
une solution formelle $\hat Y(X,\eps')$ pour l'�quation \eqref{Yg},
qui a une propri�t� ressemblant � celle d'une s�rie asymptotique pour
la vraie solution $Y(X,\eps')$. Mais si on ne contr\^ole leur
croissance de mani�re int�ressante que dans $\Dom_{C\mu}$, tous les
coefficients $Y_n(X)$ existent dans le m\^eme domaine que $Y_0(X)$,
c'est-�-dire pour $X\in\Dom_\infty$.



\bigskip
Comme l'�quation~\eqref{Yg} n'est pas singuli�rement perturb�e, on
peut encore compl�ter le th�or�me~\ref{th:pres} et son premier
corollaire avec le corollaire suivant: 
\begin{Cor}[Principe de prolongement analytique]\label{th:+pres}
En plus de l'ensemble des hypoth�ses du th�or�me~\ref{th:pres},
supposons que la fonction $Y_0$ existe non seulement sur $\Dom_C$,
mais peut �tre prolong�e dans un domaine, accessible ou non,
$\Dom_P\subset\Dom_0$, o� $\Dom_P$ est un domaine born�, tel que
$\Dom_P\cap\Dom_C\neq
\emptyset$. On suppose aussi que toutes les fonctions $g$, $h$ et $P$
ont un prolongement analytique dans ce domaine. Il existe alors une
solution $Z(X,\eps')$ holomorphe sur $\Dom_P$ qui est un prolongement
de la solution $Y(X,\eps')$ du th�or�me~\ref{th:pres}. Cette solution
admet $\hat Y$ comme d�veloppement asymptotique uniforme sur
$\Dom_P$. Dans le domaine $\Dom_P\cup\Dom_C$, cette solution prolong�e
$Y(X,\eps')$ tend uniform�ment vers $Y_0(X)$ quand $\eps'$ tend vers
$0$ et v�rifie encore le corollaire \ref{cor:pabo}.

En particulier, si $0\in\Dom_P$, on peut prolonger les solutions
correspondantes de \eqref{eq:gen},
$y(x,\eps)=\frac{1}{\eps}Y(x/\eps',\eps)$, jusqu'� un voisinage de
$x=0$. Ce voisinage, cependant, n'est que de taille $\eps^{1/(p+1)}$
autour de $0$.

Par ailleurs si on est s�r que $y$ n'est pas exponentiellement
grande (en $\eps$) dans ce voisinage, elle est {\em a priori} de
taille $1/\eps$.
\end{Cor}

La d�monstration de ce corollaire ne pose pas de probl�me. 

Soit $X_0$ un point de $\Dom_P\cap\Dom_C$. D'apr�s le th�or�me, on a
une solution holomorphe $Y(X,\eps)$ sur $\Dom_C$, prolongeant
$y(x,\eps)$, et en particulier, $Y(X_0,\eps')$ est bien
d�fini. L'�quation~\eqref{Yg}, r�guli�rement perturb�e, a une solution
holomorphe sur $\Dom_P$, avec la condition initiale
$Z(X_0,\eps')=Y(X_0,\eps')$. Cette solution admet un d�veloppement
asymptotique $\sum Z_n{\eps'}^n$, qui est n�cessairement �gal � la
s�rie formelle $\hat Y$, par construction: les $Y_n$ et $Z_n$ sont
d�finies par r�currence comme solutions d'�quations diff�rentielles
(les m�mes pour $Y_n$ et $Z_n$, quel que soit $n$) et ces fonctions
admettent la m�me condition initiale en $X_0$, donc $Y_N=Z_N$. Par
unicit�, $Z$ est bien entendu un prolongement de $Y$.


intr.tex

\thispagestyle{empty}
{\large
\vskip 12.5cm
\centerline{\bf �TUDE D'�QUATIONS DIFF�RENTIELLES ORDINAIRES} 
\centerline{\bf SINGULI�REMENT PERTURB�ES,} 
\centerline{\bf AU VOISINAGE D'UN POINT TOURNANT}

\vfill\eject

intro.tex

\section{Notion de relief}

Dans tout ce qui suit, il sera souvent fait mention de �relief� et de
chemins descendants ce relief, notions introduites par
J.~Callot~\cite{Callot}
voici quelques ann�es.

Pour faire comprendre son int�r�t, regardons l'�quation diff�rentielle
singuli�rement perturb�e (c'est-�-dire avec $\eps$ qui tend vers $0$)
lin�aris�e g�n�rale
\begin{equation}\label{ed}\tag{E.diff.}
\eps y'=y f(x,\eps)+h(x,\eps)+\eps y^2 P(x,\eps,y)\,,
\end{equation}
o� toutes les fonctions consid�r�es sont holomorphes dans certains
domaines en toutes leurs variables. On souhaite montrer que cette
�quation admet  une solution holomorphe en ses deux variables
$y(x,\eps)$. Si une telle solution existe, en utilisant la formule de
variation de la constante, on voit que n�cessairement $y$ v�rifie
l'�galit� suivante, dans  laquelle $\gamma^s_x$ d�signe un chemin
diff�rentiable de $\CC$  allant de $s$ � $x$:
$$y(x,\eps)=y(s,\eps)
+\frac{1}{\eps}\int_{\gamma^s_x}e^\frac{F(x,\eps)-F(t,\eps)}{\eps}
\Bigl(h(t,\eps) +\eps y^2 P(t,\eps,y)\Bigr)dt,$$
o� $F(x,\eps)=\int^x f(t,\eps) dt$. Dans tous les cas envisag�s 
ci-apr�s, on supposera que $F(x,\eps)$ est peu diff�rent de $F(x,0)$: 
on aura au pire $F(x,\eps)-F(x,0)=\gO(\eps)$ (ce sera bien s\^ur le 
cas si $f$ est holomorphe en $\eps=0$).

Pour voir s'il existe une solution $y$ born�e quand $\eps$ tend vers
$0$, on s'int�resse particuli�rement au terme exponentiel. Pour $\eps$
r�el positif, on voit bien intuitivement que si la partie r�elle de
$F(x,\eps)-F(t,\eps)$ est positive pour un certain $t$, l'int�grale
est en g�n�ral exponentiellement grande quand $\eps$ tend vers
$0$. C'est � cause de cela que l'on consid�re l'application relief qui
� tout $x$ de $\CC$ associe $R(x,\eps)=\Re(F(x,\eps))$ dans $\RR$,
dont les lignes de niveau ont pour �quation
$\Re(F(x,\eps))=\mathrm{constante}$. Il para�t alors naturel de
supposer l'existence de solutions dans des domaines $\{x /\ \exists\,
\gamma^s_x$, chemin descendant le relief en chacun de ses points$\}$. 
En fait, on en demande un peu plus:
\begin{Def}\label{def:acc}
On dira d'un domaine $\Dom$
qu'il est {\bf accessible} si:
\begin{enumerate}
\item pour tout $x\in\Dom$ on peut trouver un
chemin diff�rentiable  $\gamma_x(u)$ allant d'un point fixe $s\in\Dom$
(appel� sommet de $\Dom$) � $x$; 
\item $\gamma_x$ est tel que $\frac{dR(\gamma_x(u))}{du}
\leq -C_{\gamma_x} |F'(\gamma_x(u)) \gamma'_x(u)|$ pour tout $u$;  
\item les $C_{\gamma_x}$, tous positifs, admettent une borne inf�rieure
strictement positive: $\displaystyle\inf_{x\in\Dom}C_{\gamma_x}$ 
existe et est �gal � $C>0$. 
\end{enumerate}
\end{Def}
Si on a une telle propri�t�, le terme exponentiel de l'int�grale sera
exponentiellement petit quand $\eps$ tend vers $0$, et il est alors
raisonnable d'esp�rer pouvoir contr�ler la valeur de l'int�grale pour
tous les $x\in\Dom$.

Si $\eps$ tend vers $0$ dans une autre direction ($\arg
(\eps)=\theta\neq 0$), on change de relief, et donc de domaine
accessible, en optant cette fois pour $\Re
\frac{F(x,\eps)-F(t,\eps)}{e^{i\theta}}$, la condition d'accessibilit�
restant la m�me avec le nouveau relief. On pr�f�re en g�n�ral
effectuer les �tudes avec un relief fixe (qui donne des chemins
$\gamma_x$ fixe); c'est la raison pour laquelle on travaillera
toujours avec $\arg(\eps)$ constant et $|\eps|\rightarrow 0$.

\medskip Pour l'int�gration num�rique aussi, la propri�t� de relief
est importante:  il n'est pas difficile de v�rifier que pour deux
solutions de l'�quation diff�rentielle $y_a$ et $y_b$ telles que
$y_a(x_0)\neq y_b(x_0)$, la diff�rence entre les deux fonctions se
comportera de mani�re totalement diff�rente (pour $\eps$
arbitrairement petit) suivant qu'on part de $x_0$ le long d'un chemin
qui monte, ou qui descend du relief.  En effet, on aura
$$(y_a-y_b)(x,\eps)=(y_a-y_b)(x_0,\eps)
+\frac{1}{\eps}\int_{\gamma^{x_0}_x}e^\frac{F(x,\eps)-F(t,\eps)}{\eps}
\Bigl(\eps dP(t,\eps,y_a,y_b)\Bigr)dt\,.$$ L'int�grale dans cette
�galit� sera, si $\gamma_x$ descend le relief, exponentiellement
petite en $\eps$; ce qui signifie que les deux solutions resteront
voisines (du moins si le chemin entre $x_0$ et $x$ est de longueur
finie).  Mais l'int�grale deviendra exponentiellement grande si ce
chemin monte le relief; et donc dans ce cas $y_a$ et $y_b$
s'�loigneront tr�s rapidement l'une de l'autre.

Lors d'une int�gration num�rique d'une �quation diff�rentielle du type
cit�, en prenant un petit $\eps$, il sera donc tr�s important de
partir d'un sommet $x_0$, \og haut\fg sur le relief, et d'en rester
aux points accessibles � partir de ce point.

\bigskip
Cette constatation nous am�ne � deux nouvelles d�finitions:
\begin{Def}
On appellera {\bf montagne}, pour le relief $R(x)$, par rapport au
point $x_0\in\CC$ (dans les cas cit�s, $x_0$ sera un point col pour le
relief $R$), un domaine de $\CC$ connexe et simplement connexe tel que
$x_0$ est accessible avec ce relief � partir de tout �l�ment du
domaine: $R(x)>R(x_0)$.

De m\^eme, on appellera {\bf vall�e} un domaine, toujours simplement
connexe, accessible � partir de $x_0$; les points $x$ du domaine
v�rifient donc: $R(x)<R(x_0)$.
\end{Def}

\section{S�rie formelle Gevrey}

Quand on essaye de donner une solution sous forme de s�rie � une
�quation diff�rentielle singuli�rement perturb�e, on arrive � des
s�ries divergentes, mais dont les termes v�rifient cependant des
propri�t�s de croissance. On est amen� naturellement � introduire les
s�ries Gevrey (cf.~\cite{Wasow1},\cite{Wasow2}).

\begin{Def}
On notera dans toute la suite le {\bf secteur} ouvert centr� en $x_0$,
de rayon $\rho$ et d'angle $]\theta_1,\theta_2[$ sous la forme
$$S(x_0,\rho,\theta_1,\theta_2),\text{ soit } \left\{x\in\CC\,\Bigl/ 
0<|x-x_0|<\rho, \text{ et } \arg(x-x_0)\in\,
]\theta_1,\theta_2[\right\}$$
Si le rayon $\rho$ n'est pas pr�cis�, il sera suppos� infini.
\end{Def}
Par extension, on parlera aussi de secteurs centr�s en l'infini:
$$S(\infty,\varrho,\theta_1,\theta_2)=\left\{x\in\CC\,\Bigl/ 
|x|>\varrho, \text{ et } \arg(x)\in\, ]\theta_1,\theta_2[\right\}$$

\begin{Def}
On dit d'une s�rie formelle $$\sum_{n=0}^\infty a_n \eps^n$$ qu'elle
est {\bf Gevrey} d'ordre $1$ si la s�rie a un rayon de convergence
nul, mais qu'il existe des constantes positives $\mathrm A$ et
$\mathrm B$ telles que, pour tout $n$
$$|a_n|\leq \mathrm{A B}^n n!$$
\end{Def}
Cette d�finition s'�tend bien s\^ur aux s�ries de fonctions 
$$\sum_{n=0}^\infty y_n(x)\eps^n,$$ en rempla�ant $|a_n|$ par
$\|y_n(x)\|$ o� $\|\cdot\|$ d�signe la norme que l'on choisit pour les
fonctions $y_n$.

\begin{Def}
On dit qu'une fonction $a(\eps)$ admet la s�rie $\sum a_n \eps^n$
comme {\bf d�veloppement asymptotique Gevrey} dans un certain secteur
$S=S(0,\rho,\theta_1,\theta_2)$ si $a(\eps)$ est holomorphe sur $S$ et
s'il existe $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, constantes positives, telles
que:
$$\text{pour tout } N\text{ assez grand et tout $\eps$ dans $S$ }, 
\left| a(\eps)-\sum_{n=0}^{N-1} a_n \eps^n\right|
<\mathrm{A}\mathrm{B}^N N! |\eps|^N.$$ 
Dans le cas d'une s�rie de fonctions (de la forme ci-dessus), si la
majoration est ind�pendante de $x$, pour tout $x$ dans un certain
domaine $\Dom$, on parle de s�rie asymptotique {\bf uniforme} sur
$\Dom$.

\end{Def}


On sait qu'il existe une infinit� de fonctions holomorphes $a(\eps)$
admettant $\sum a_n \eps^n$ comme d�veloppement asymptotique en $0$
(on �crit $a\sim \sum a_n \eps^n$).

Si $a\sim \sum a_n \eps^n$, on sait par ailleurs qu'on obtient une
 approximation exponentiellement bonne en $\eps$ de la valeur de
 $a(\eps)$ en sommant la s�rie des $a_n\eps^n$ jusqu'� ce que, �
 $\eps$ fix�, le terme $|a_n\eps^n|$ soit minimum (on parle alors de
 sommation \og au plus petit terme\fg).


%\section{Un th�or�me de point fixe}
%
% Pour d�montrer l'existence de solutions � des �quations
% diff�rentielles, qui v�rifient certaines propri�t�s, on utilisera en
% g�n�ral un th�or�me de point fixe dans des espaces de fonctions
% holomorphes. Il aura toujours approximativement la forme suivante:
% \begin{Lemme}\label{th:pf}
% Soient deux espaces de fonctions, holomorphes dans un domaine $\Dom$
% donn�, $\Hh$ et $\Zz$, munis des normes $\|\cdot\|_{\Hh}$ et
% $\|\cdot\|_{\Zz}$. Ces deux espaces sont complets. On suppose qu'il
% existe deux op�rateurs
% $${\EuFrak 0}_1: \Hh\mapsto\Zz\ 
% \text{ et }\ {\EuFrak 0}_2: \Zz\mapsto\Hh\,,$$
% tels que 
% \begin{align*}
% \forall (h_1,h_2)\in \Hh,\ \ \|h_i\|_{\Hh}\leq\rho,&\  \ 
% \|{\EuFrak 0}_1(h_2)-{\EuFrak 0}_1 (h_1)\|_{\Zz}
% \leq K_\rho\|h_2-h_1\|_{\Hh}\\
% \intertext{et de m\^eme}
%  \forall (z_1,z_2)\in \Zz,\ \ \|z_i\|_{\Zz}\leq\varrho,&\ \  
% \|{\EuFrak 0}_2(z_2)-{\EuFrak 0}_2 (z_1)\|_{\Hh}
% \leq K_\varrho\|z_2-z_1\|_{\Zz}\,.
% \end{align*}
% Alors, si pour tous $\rho$ et $\varrho$ donn�s le produit $K_\rho
% K_\varrho$ peut \^etre rendu inf�rieur � $1$, l'op�rateur ${\EuFrak
% 0}_1 o\,{\EuFrak 0}_2$ sur $\Hh$ est un op�rateur contractant, et
% admet un seul point fixe, qui sera une fonction de $\Hh$, holomorphe
% et born�e avec la norme de cet espace. Ce qui signifie qu'il existe
% une et une seule fonction $h$, fixe par l'op�rateur compos�, dans un
% voisinage assez petit de la fonction nulle.
% \end{Lemme}
% Ainsi, si on part d'une s�rie formelle $\hat y=\sum_{n=0}^\infty y_n
% \eps^n$, on cherchera une fonction correspondante sous la forme
% $y=y_0+\eps z$. Alors si on peut appliquer le th�or�me ci-dessus pour
% $z$, on aura bien s\^ur l'existence et l'unicit� de la fonction $y$
% dans le domaine donn�. $y$ sera born�e dans $\Zz$ si $y_0$ l'est, et
% elle tendra vers $y_0$ quand $\eps$ tend vers $0$, uniform�ment en $x$
% dans le domaine $\Dom$.


\section{S�rie formelle et vraie solution}

On se place dans le cas o� une �quation diff�rentielle (singuli�rement
perturb�e) du type~\eqref{ed}
$$\eps y'=y f(x,\eps)+h(x,\eps)+\eps y^2 P(x,\eps,y)\,$$
admet une solution formelle 
$$\hat y(x,\eps) =\sum_{n=0}^\infty y_n(x)\eps^n.$$

\begin{Def}
Si la s�rie $\sum y_n(x)\eps^n$ est solution formelle de~\eqref{ed},
on appelle classiquement {\bf�courbe lente�} la fonction $y_0(x)$,
obtenue pour la valeur du param�tre $\eps=0$.
\end{Def}

Le probl�me est de montrer qu'il existe une solution holomorphe
$y(x,\eps)$ (existant dans certains secteurs centr�s en $0$ pour la
variable $\eps$, et dans certains domaines pour la variable $x$), qui
admette effectivement $\hat y$ comme d�veloppement asymptotique quand
$\eps$ tend vers $0$.

La r�ponse g�n�rale est loin d'�tre �vidente. Un certain nombre
d'articles (\cite{KS}, \cite{CHAP}) ont �t� r�cemment publi�s � ce
sujet, partant de l'�quation de croissance cristalline
$$\eps^2 \Phi'''+\Phi' = \cos \Phi$$ avec les valeurs aux bornes
$$\Phi(s) \rightarrow-\pi/2\ \text{ quand } s\rightarrow-\infty,\ \ \
\Phi(s) \rightarrow \pi/2\ \text{ quand } s\rightarrow +\infty.$$
Ils d�montrent que s'il existe bien une solution formelle $\hat \Phi=
\sum_{n=0}^\infty \eps^{2n}\Phi_n(s)$, o� $\Phi_0$ v�rifie bien les
valeurs aux bornes et $\lim_\infty \Phi_n =0$ pour tout $n$, il
n'existe pas de solution holomorphe � l'�quation v�rifiant les limites
voulues en l'infini (le probl�me venant d'un terme exponentiellement
petit en $\eps$, qui n'appara\^it donc pas dans la s�rie). Ils donnent
aussi des �bauches de proc�dures pour d�terminer, pour des �quations
plus g�n�rales, si on est en pr�sence de tels cas.

\bigskip

Le travail principal dans cette th�se correspond au probl�me inverse de celui
envisag� pour l'�quation de croissance cristalline. Sachant qu'on a
une solution formelle d'une �quation diff�rentielle qui v�rifie une
certaine propri�t� (dans notre cas, la continuit� en un point qui est
en g�n�ral singulier), il s'agit de montrer qu'il existe effectivement
une vraie solution � l'�quation admettant cette s�rie formelle comme
d�veloppement asymptotique. Cette solution v�rifie alors la m�me
propri�t� (la continuit� en ce point, ou plus exactement le fait que
cette fonction reste born�e au voisinage de ce point quand $\eps$ tend
vers $0$).

\medskip
M\^eme pour ce probl�me particulier, on conna�t des exemples o�
l'existence de solutions formelles � fonctions coefficients continues
en $x=0$ n'implique pas l'existence de vraies solutions born�es, quand
$\eps$ tend vers $0$, au voisinage de $x=0$.  En effet, pour
l'�quation
$$\eps u'=xu+\exp\left(\frac{-1}{\sqrt\eps}\right),$$ 
la solution nulle est solution formelle de l'�quation, qui est
�videmment analytique en $0$. Cependant, les vraies solutions s'�crivent
(en utilisant la formule de variation de la constante, qui met �
nouveau le relief en �vidence, fig.~\ref{fig:relintro})
$$u(x)=u(x_0)\exp\left(\frac{x^2-x_0^2}{2\eps}\right)
+\int^x_{x_0}\frac{1}{\eps} \exp\left(\frac{-1}{\sqrt\eps}\right)
\exp\left(\frac{x^2-t^2}{2\eps}\right)dt $$
ne peuvent pas �tre born�es en $x$, ind�pendamment de $\eps$, dans un
intervalle ouvert autour de $x=0$. Ceci �tant vrai quel que soit les
$x_0$ et $u(x_0)$ choisis: pour $x_0>0$, la solution sera born�e en
$\eps$ pour tout $x\geq 0$, mais ne le sera pas pour un $x<0$
quelconque fix�. On remarquera cependant que, dans cet exemple, les
coefficients de l'�quation ne sont pas tous holomorphes en $\eps$.

\begin{figure}[ht!]
\centerline{\rotatebox{-90}{\includegraphics[scale=0.74]{relintro.ps}}}
\caption{Lignes de relief avec $R(x)=\Re\left(\int^x t dt\right)$; les
signes $-$ et $+$ d�signent respectivement les deux vall�es et
montagnes par rapport au point col $0$.}
\label{fig:relintro}
\end{figure}



\section{Points tournants d'une �quation diff�rentielle}

On trouve diverses d�finitions des points tournants pour une �quation
diff�rentielle dans la litt�rature. La plus classique~\cite{Wasow1}
pour une �quation du type \eqref{ed} est la d�finition �par d�faut�
suivante:
\begin{Def}
$x_0$ est appel� point tournant, pour une �quation \eqref{ed}
admettant une solution formelle $\hat y=\sum y_n \eps^n$, s'il
n'existe pas de vraie solution de l'�quation admettant comme
d�veloppement asymptotique la s�rie formelle $\hat y$, uniform�ment
pour tout $x$ dans un voisinage de $x_0$ (quand $\eps$ tend vers $0$).
\end{Def}
On remarquera que les points tournants sont bien des points du plan
complexe en $x$: les s�ries formelles $\hat y$, sauf si elles
convergent, ne sont des d�veloppements asymptotiques de solutions de
l'�quation que pour des $\eps$ tendant vers $0$ dans certains secteurs
en $\eps$ centr�s en $0$.

D'apr�s ce qui a �t� dit � propos du relief, on constate que les seuls
points susceptibles d'\^etre des points tournants sont les points cols
du relief donn� par $\Re\Bigl(\int^x f(t)dt\Bigr)$, autrement dit l�
o� $f$ s'annule. Ce qui est le cas dans l'exemple pr�c�dent
(fig.~\ref{fig:relintro}). Ou bien �videmment des points singuliers de
ce m\^eme relief. On peut voir en effet que pour un point normal $x$,
il existe toujours un point �au-dessus� de $x$ � partir duquel un
voisinage complet de $x$ est accessible; et il existe donc une
solution born�e dans ce voisinage. En revanche, pour un point $x_0$
qui est un point col, ou singulier, le d�veloppement asymptotique sera
valable en g�n�ral au mieux sur une montagne naissant en $x_0$ et
l'essentiel du domaine accessible � partir du sommet de cette
montagne. Pas forc�ment tout le domaine accessible, car la validit� du
d�veloppement jusqu'en $x_0$ lui m\^eme ne soit pas forc�ment
assur�e. Dans ce qui suit, nous �tudierons comment se comportent les
solutions d'une �quation diff�rentielle au voisinage des points col
pour le relief correspondant. Nous verrons que certains de ces points
ne seront pas, exceptionnellement, des points tournants suivant la
d�finition donn�e ci-dessus.


\section{Ph�nom�ne de Stokes}

Autour d'un point tournant, correspondant � une solution formelle
unique, on trouve en g�n�ral diff�rentes solutions existant dans des
(sous-ensemble de) secteurs ouverts centr�s en ce point; on retrouvera
cette propri�t� classique au th�or�me~\ref{th:loin}. Ces domaines
d'existence sont tous diff�rents, mais l'intersection de deux de ces
domaines distincts n'est pas forc�ment vide. L'explication de cette
diff�rence de comportement de deux solutions, tr�s voisines pour
certains $x$, quand on s'approche des limites d'un domaine (l'une des
solutions reste born�e, alors que l'autre y devient singuli�re) est le
ph�nom�ne de Stokes.

Dans le cas lin�aire, o� les domaines d'existence sont exactement des
secteurs ouverts, on sait~\cite{Wasow1} que la diff�rence entre deux
solutions est un terme du genre $\exp\left(-{P(x)}/{\eps}\right)$. Ce
terme est exponentiellement petit en $\eps$ dans l'intersection des
domaines d'existence (ce qui explique que le d�veloppement
asymptotique reste le m\^eme), mais il devient exponentiellement grand
quand $x$ atteint les limites des secteurs: pour $\eps>0$, quand la
partie r�elle de $P(x)$ devient n�gative.

\smallskip
Dans le cas non lin�aire, le ph�nom�ne est certes plus complexe, mais
reste analogue. Quand on parlera ici de calculer un coefficient de
Stokes, il s'agira de d�terminer la diff�rence de deux solutions � une
�quation donn�e, au moins pour certains $x$ o� ces deux solutions sont
toutes deux d�finies. Cependant alors que dans le cas lin�aire, on
peut trouver le terme exact, on n'aura dans le cas g�n�ral qu'un
�quivalent (dans le meilleur des cas).

\smallskip
Le ph�nom�ne de Stokes est indissociable des points tournants: s'il
n'est pas pr�sent, c'est qu'il existe une solution holomorphe
univalente tout autour du point tournant, correspondant � une unique
s�rie formelle. Dans ce cas, si la s�rie formelle est bien d�finie en
ce point, la solution est holomorphe jusque l�. On n'a plus alors de
point tournant, par d�finition.

\section{Solutions {\protect �}canards{\protect �}}

C'est dans ce cas particulier o� il existe une solution holomorphe
jusqu'en un point col du relief, qui est un �candidat point tournant�,
que l'on parlera de solution canard:
\begin{Def}
La (vraie) solution d'une �quation diff�rentielle du type~\eqref{ed}
$$\eps y'=y f(x,\eps)+h(x,\eps)+\eps y^2 P(x,\eps,y)\,,$$ 
dont le relief correspondant $\Re\Bigl(\int^x f(t,\eps)dt\Bigr)$ admet
un point col est appel�e solution canard si ce point col n'est pas un
point tournant pour elle.
\end{Def}

On consid�rera, dans la suite, uniquement les canards dans des
domaines ouverts du plan complexe. Ils seront bien entendu holomorphes
dans ces domaines. Sur la droite r�elle, il est en revanche possible
de trouver des canards moins r�guliers, dont seules les premi�res
d�riv�es restent born�es dans un intervalle autour du point col.

L'existence de solutions canards a d�j� �t� d�montr�e dans des cas
tr�s g�n�raux. Parmi les r�sultats r�cents, on peut citer les deux
th�or�mes suivants:
\begin{Th}\cite{FSs&r}
Soit l'�quation
$$\eps u' = f(x) u +\eps P(x,u,\eps)$$ 
o� les fonctions $f$ et $P$ v�rifient les propri�t�s suivantes: 
\begin{enumerate} 
\item La fonction $f$ est analytique dans un voisinage complexe 
d'un intervalle r�el $[a,b]$ autour de $0$, et est � valeurs r�elles
sur cet intervalle.  
\item On a $xf(x)>0$ pour tout $x$ r�el non nul de ce voisinage; de 
plus, il existe $\lambda>0$ et $p$ entier impair tels que
$f(x)=\lambda x^p \left(1+\gO(x)\right)$ au voisinage de $0$.
\item Le fonction $P$ est analytique dans un voisinage de $[a,b] 
\times \{0\} \times \{0\}$ dans $\CC^3$.
\end{enumerate} 
Alors on a l'�quivalence suivante: il existe une solution formelle
$\hat u=\sum u_n(x)\eps^n$ dont tous les coefficients $u_n$ sont
analytiques au voisinage de $0$ si et seulement si il existe une
solution canard, tendant vers $u_0$ quand $\eps\rightarrow 0$,
uniform�ment dans un voisinage complexe de $x=0$.
\end{Th}
Ce premier th�or�me montre que dans le cas des solutions canards, il y
a en fait une relation presque automatique entre l'existence d'une
solution formelle et l'existence d'une vraie solution. Le cas des
�quations avec param�tre est un peu diff�rent, puisqu'on ne trouve,
formellement, un param�tre que sous la forme d'une s�rie
formelle. Dans le cas de ces �quations, on conna\^it le r�sultat
suivant:
\begin{Th}\cite{BFSW}
On consid�re l'�quation avec le multiparam�tre $a$ suivante, d�finie
pour $x$ dans un domaine $\Dom$: 
$$\eps u' =\Psi(x,u,a,\eps)\,,$$ 
o� $\Psi$ est une fonction analytique dans un ouvert connexe $D_\Psi$ 
de $\CC\times\CC\times\CC^p\times\CC$. On suppose que 
\begin{enumerate} 
\item Il existe $a_0\in \CC^p$ et une fonction analytique $u_0$ 
tels que $\Psi(x,u_0(x),a_0,0)=0$ pour tout $x\in \Dom$ (il faut bien
s\^ur que si $x\in\Dom$, $(x,u_0(x),a_0,0)$ soit dans $D_\Psi$).
\item La fonction $f(x)=\Dp{\Psi}{u}\Bigl(x,u_0(x),a_0,0\Bigr)$
admet un unique z�ro, $x_0$ dans $\Dom$, qui est d'ordre $p$. Cette
fonction $f$ est celle donnant le relief pour l'�quation, avec la 
relation $R(x)=\Re\left(\int^x f(t) dt\right)$; $x_0$ est donc le seul 
point col pour ce relief dans $\Dom$.
\item Le domaine $\Dom\setminus\{x_0\}$ est la r�union de $p+1$
domaines accessibles, ces domaines �tant �ventuellement non born�s.
\item On note $\Psi_a:x\rightarrow \Psi(x,u_0(x),a,0)$. L'application
\begin{alignat*}{2} 
J:\ & \CC^p&\longrightarrow &\,\CC^p\\
    & a &\longrightarrow
    &\left(\Psi_a(x_0),\Psi'_a(x_0),\ldots,\Psi^{(p-1)}_a(x_0)\right)
\end{alignat*}
est un diff�omorphisme local au voisinage de $a_0$.
\end{enumerate}
Alors l'�quation diff�rentielle admet une solution canard $u(x)$,
voisine de $u_0$, pour une valeur du param�tre $a$ tendant vers $a_0$
avec $\eps$.
\end{Th}

Ce dernier th�or�me d'existence sera red�montr� au �~\ref{sec:alpha} 
(d'une autre mani�re que dans l'article cit�).











introvdp.tex
\label{chap:vdp}

\section{Introduction}

\begin{figure}[ht!]
\center{\includegraphics[scale=0.8]{courbe.ps}}
\caption{Cycle pour $\alpha=0$}
\label{fig:canard}
\end{figure}

L'�quation de van der Pol \cite{vdP}
$$\eps \ddot{u} +(u^2-1)\dot u +u=0$$
est un exemple connu d'�quation diff�rentielle dont les solutions
pr�sentent des oscillations rapides entre deux p�riodes de relaxation.

On consid�rera ici l'�quation de van der Pol \og forc�e\fg
\par\penalty 500
$$\eps \ddot{u} +(u^2-1)\dot u +u=\alpha$$
\par\penalty 500
o� $\dot u$ d�signe la d�riv�e $\frac{du}{dt}$, o� $\eps$ est un
param�tre arbitrairement petit et $\alpha$ un param�tre r�el.

Dans toute la suite, on se limitera au cas $\alpha\geq 0$ (le cas
$\alpha$ n�gatif lui �tant sym�trique). 

Pour �tudier les solutions de cette �quation, on se place dans le plan
des phases (ou plan de Li�nard,~\cite{Lie}), en prenant le syst�me 
�quivalent suivant:
\[ \left\{ \begin{array}{rl}
   \eps \dot u &=y-\frac{u^3}{3}+u\\
      \dot y   &=\alpha -u
           \end{array}
\right. \]


Une �tude sommaire � partir de ce syst�me montre que, pour $\alpha>1$,
la trajectoire rejoint rapidement le voisinage de la cubique
d'�quation $y=u^3/3-u$, puis joint le point $A(\alpha,
\alpha^3/3-\alpha)$ qui est stationnaire.  Pour $\alpha<1$,
$\alpha$ pas trop proche de $1$, la trajectoire finit par contre en un
cycle comprenant deux parties stables de la cubique et deux segments
horizontaux (cf. figure~\ref{fig:canard}). Une �tude locale au
voisinage de $A$ montre d'ailleurs qu'il y a une bifurcation de Hopf
au voisinage de $\alpha=1$: le point stationnaire $A$ est attractif si
$\alpha<1$, et r�pulsif si $\alpha>1$ et on a dans ce cas un cycle
limite dont la taille est d'ordre $\sqrt{1-\alpha}$ (pour les $\alpha$
tr�s peu diff�rents de $1$).

\medskip

Le ph�nom�ne dont il est question ici est cependant distinct, quoique
tr�s voisin quand on fait varier $\alpha$, de celui de la
bifurcation. Il a �t� d�couvert quand E.~Beno{\^\i}t, J.L.~Callot,
F. et M.~ Diener ont cherch� � voir, d'abord num�riquement, comment on
passait (pour $\alpha<1$) d'un cycle de petite taille
$\sqrt{1-\alpha}$ au cycle beaucoup plus grand de la
figure~\ref{fig:canard}; d'apr�s la propri�t� de d�pendance continue
des solutions (et donc du cycle) par rapport au param�tre $\alpha$
(qui intervient de mani�re non singuli�re dans l'�quation), on savait
qu'il devait exister un r�gime interm�diaire entre ces deux cycles.

\begin{figure}[!hp]
\center{\includegraphics[scale=0.5]{petitcanard.ps}}
\caption{Canard interm�diaire; B, d'abscisse $b$, est appel� 
\protect �col\protect � du canard}
\label{fig:candebase}
\end{figure}
\begin{figure}[!hp]
\center{\includegraphics[scale=0.5]{gdcanard.ps}}
\caption{Grand canard}\label{fig:gdcanard}
\end{figure}

Les premiers r�sultats obtenus sur ce probl�me sont les suivants: 
pour $\eps$ arbitrairement petit fix�, on montre \cite{BCDD} que quand
$\alpha$ varie au voisinage de $1$, on peut obtenir un r�gime
interm�diaire entre les deux types de trajectoires cit�s, dans lequel
la trajectoire suit la cubique sur un morceau (aussi grand que l'on
veut) de la partie instable de cette courbe; on appelle les solutions
correspondantes des \og canards\fg. Plus pr�cis�ment, 
\begin{description}
\item{1.} pour des valeurs $\breve\alpha$  voisines de 1 bien 
  choisies, la trajectoire suit la cubique entre ses deux sommets 
  $\bigl(1,-\frac{2}{3}\bigr)$, $\bigl(-1,\frac{2}{3}\bigr)$: on a 
  alors ce qu'on appelle des \og grands canards\fg 
  (cf. figure~\ref{fig:gdcanard});
\item{2.} la trajectoire suit la cubique jusqu'au point d'abscisse 
  $b\in\ ]-1,1[$ si et seulement si
  $|\alpha-\breve\alpha|= 
  \exp\bigl[-\frac{1}{\eps}\bigl(R(b)+o_\eps(1)\bigr)\bigr]$,
  o�  $\breve\alpha$ est une des valeurs � grand canard, et 
  $R(b)=\int^b_1 (\xi-1)(\xi+1)^2 d\xi$ (voir
  figure~\ref{fig:candebase}, et la figure~\ref{fig:COIN} pour
  l'origine de l'appellation de \og canard\fg); 
\item{3.} si $\breve\alpha$ est une valeur � grand canard, la trajectoire
  passe aussi dans un voisinage de taille $\eps$ du point $(u=1,
  y=-2/3)$ et la solution du syst�me correspondante est donc
  n�cessairement continue en ce point (ou plut\^ot: born�e en $\eps$
  dans un voisinage de ce point).
\end{description}

\bigskip

Ce sont ces solutions particuli�res qui vont \^etre �tudi�es. Dans ce
but, on effectue le changement de variables suivant, pour se placer au
voisinage de la cubique: $ y=\frac{u^3}{3}-u+\eps v$, ce qui nous m�ne au
syst�me 
\[ \left\{ \begin{array}{rl}
   \dot u      &=v\\
   \eps \dot v &=v(1-u^2)+\alpha -u
           \end{array}
\right. \]
On �limine la variable temporelle:
\begin{equation}
\eps v\frac{dv}{du}=(1-u^2)v+\alpha -u\,.\tag{E}\label{eq:vdpdebase}
\end{equation}

Comme courbe lente pour cette �quation ({\it i.e.} pour le param�tre
$\eps=0$), on trouve la 
fonction $u\mapsto-\frac{\alpha-u}{1-u^2}$, qui n'est continue en $1$
que si $\alpha=1$. Dans ce cas, on trouve facilement la solution
formelle 
\begin{gather}
\hat \alpha =\sum_{n=0}^{\infty} a_n \eps^n \quad  \quad
\hat v(u) =\sum_{n=0}^{\infty} v_n(u) \eps^n\notag\\
\intertext{avec les formules de r�currence suivantes}
\left. \begin{array}{rl} 
\displaystyle{a_0 =1}     \quad & 
\quad\displaystyle{a_{n+1} =\sum_{j=0}^n v_j(1)v'_{n-j}(1)}\\
\displaystyle{v_0(u) =\frac{-1}{u+1}}  \quad & 
\quad\displaystyle{v_{n+1}(u) =v_0(u)\frac{\sum_{j=0}^n
  v_j(u)v'_{n-j}(u) -a_{n+1}}{u-1}} 
       \end{array}
\right\}\label{eq:serie}
\end{gather}

Une �tude de cette s�rie, r�alis�e par M.~Canalis-Durand avec les
outils de l'analyse Gevrey, a montr�
qu'elle �tait divergente, mais Gevrey d'ordre 1 \cite{CD}.


\medskip
 
Dans \cite{FS}, en �tudiant l'�quation dans le champ complexe,
il est d�montr� que:
\begin{description}
\item{1.} pour $\eps\in\RR^+$, il existe une unique solution 
$(\alpha^+,v^+)$ tel que la solution $v^+$ existe en particulier, pour
n'importe quel $\rho$ r�el positif, dans l'ensemble du secteur infini  
$S\bigl(-1+\rho,-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\bigr)= 
\left\{ z\in\CC\, /\ \arg(z+1-\rho)\in\ ]-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} [
\,\right\}$; 
$v^+$ correspond dans son domaine de d�finition � la solution formelle
$\hat v$;
\item{2.} pour $\alpha^-=\overline{\alpha^+}$, on obtient aussi une vraie
solution $v^-$ existant dans un domaine sym�trique de celui de $v^+$;
\item{3.} il existe une solution ($\alpha(\eps)$, $v(u,\eps)$) 
holomorphe en $\eps$ avec une singularit� en $\eps=0$ qui prolonge la
solution $\bigl(\alpha^+,v^+\bigr)$ dans un large secteur centr� en
$0$ (pour la variable $\eps$); cette solution v�rifie en plus la
propri�t�: $\alpha^-(\eps)= \alpha\left(\eps e^{-2i\pi}\right)$,
$v^-(u,\eps)= v\left(\overline u, \eps e^{-2i\pi}\right)$.
\item{4.} pour tout $\eps \in \CC$ assez petit tel que
$|\arg(\eps)|<\frac{\pi}{2} +\delta$, on a
$$|\alpha(\eps e^{-2i\pi})-\alpha(\eps)|\leq
\exp\biggl(\Re\Bigl(\frac{R(-1+\delta')}{\eps}\Bigr)\biggr)$$ 
o� $\delta$ et $\delta'$ sont des constantes positives, et
$R(x)=\int_1^x (t-1)(t+1)^2 dt$.
\end{description}
\bigskip

L'analyse � partir de cette s�rie formelle ne permet pas cependant de
voir ce qui se passe au voisinage de $(-1)$, puisque la courbe lente y
a une singularit�; alors que le dernier r�sultat ci-dessus laisse
penser qu'on gagnerait en pr�cision si on pouvait remplacer $\delta'$
par quelquechose qui tend vers $0$ avec $\eps$.

Nous allons regarder sp�cifiquement ce qui se passe en ce point en
introduisant un nouveau changement de variable qui cr�e une loupe pr�s
de $(-1)$:
$$u=-1+\eps^{1/3} X\quad,\qquad v=\eps^{-1/3} Y$$
d'o�
\begin{equation}
\eqref{eq:vdpdebase}\Longleftrightarrow \qquad 
Y\frac{dY}{dX} = 2XY \bigl(1-\frac{\eps^{1/3}}{2}X\bigr) 
+\alpha+1-\eps^{1/3}X\tag{E'}\label{eq:vdpnonsing}
\end{equation}
La courbe lente $(\eps\rightarrow 0\Rightarrow\alpha\rightarrow 1)$
suivra l'�quation
\begin{equation}
Y_0 \frac{dY_0}{dX} =2XY_0+2\label{eq:Y0}
\end{equation}

Nous allons �tudier les solutions de \eqref{eq:Y0} born�es � l'infini
et montrer qu'il existe une vraie solution de l'�quation
diff�rentielle~\eqref{eq:vdpnonsing} qui admette un d�veloppement
asymptotique du type $Y(X,\eps)=\sum_{n=0}^\infty
Y_n(X)\eps^{n/3}$. Cette solution correspondra donc aussi � la s�rie
formelle obtenue de \eqref{eq:serie} par le changement de variable;
l'intersection de son domaine d'existence avec le domaine de $z^+$
�tant non nulle et comme elles sont �gales dans cette intersection,
par unicit�, $Y(X,\eps)$ sera le prolongement analytique de $z^+$
jusqu'au point $-1$.

L'existence de cette solution permettra de trouver un �quivalent exact
de la diff�rence $\alpha^+-\alpha^-$ (paragraphe \ref{sec:calculvdp}). �
l'aide de cet �quivalent, nous en d�duirons ensuite un �quivalent pour
les coefficients $a_n$ de $\alpha$ (dans le paragraphe \ref{sec:an}).

num.tex
\section{R�sultats num�riques}

On peut facilement impl�menter le calcul de la suite des $a_n$ en
utilisant les formules de r�currence \eqref{eq:serie}. En particulier,
en calculant les 155 premiers termes (calcul effectu� par Franck
Michel et amicalement transmis) et en regardant le r�sultat de la
multiplication $b_n=a_n\times(4e/3n)^n$, on obtient:

\bigskip
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
\hline
$b_{135}\ $&$-0,5417512651\ $&$b_{136}\ $&$-0,5418690317\ $&$b_{137}\
$&$-0,5419854885\ $\\
\hline
$b_{138}\ $&$-0,5421006603\ $&$b_{139}\ $&$-0,5422145711\ $&$b_{140}\
$&$-0,5423272443\ $\\
\hline
$b_{141}\ $&$-0,5424387024\ $&$b_{142}\ $&$-0,5425489682\ $&$b_{143}\
$&$-0,5426580621\ $\\
\hline
$b_{144}\ $&$-0,5427660064\ $&$b_{145}\ $&$-0,5428728208\ $&$b_{146}\
$&$-0,5429785257\ $\\
\hline
$b_{147}\ $&$-0,5430831405\ $&$b_{148}\ $&$-0,5431866841\ $&$b_{149}\
$&$-0,5432891757\ $\\
\hline
$b_{150}\ $&$-0,5433906324\ $&$b_{151}\ $&$-0,5434910728\ $&$b_{152}\
$&$-0,5435905137\ $\\
\hline
$b_{153}\ $&$-0,5436889722\ $&$b_{154}\ $&$-0,5437864645\ $&$b_{155}\
$&$-0,5438830066\ $\\
\hline 
\end{tabular}
\null
\vskip 10pt
Si on cherche alors les $b_n$ sous la forme $b_n=C+a/\sqrt{n}$ et
$b_n=C+a/\sqrt[3]{n}$, on obtient (en utilisant une formule de
lin�arisation aux moindres carr�s):
$$b_n=-0,5736898877+\frac{0,3710889332}{\sqrt n}   ,\qquad
b_n=-0,5891153498+\frac{0,2429519729}{\sqrt[3]{n}}.$$
Et la constante calcul�e ci-dessus vaut
$$-0,5813148764.$$
On constate donc que la constante calcul�e est compatible avec les
r�sultats num�riques, mais que les �termes correctifs� du
d�veloppement des $a_n$ restent non n�gligeables.

% ; on peut s'attendre �
% des termes en $1/\sqrt n$, venant du d�veloppement de $n!$, et � des
% termes en $1/\sqrt[3] n$, puisqu'on n�glige du $\eps^{1/3}$ dans
% l'estimation de $\alpha^+-\alpha^-$.
\vskip 30pt

Il est aussi possible d'estimer directement la valeur de
$b=\alpha^+-\alpha^-=2\Im(\alpha^+)$ en cherchant les valeurs num�riques
de $\alpha^+$ pour diff�rentes valeurs de $\eps$.



On int�gre num�riquement, pour certains $\eps$ raisonnablement petits, 
l'�quation diff�rentielle~\eqref{eq:vdpdebase}, par exemple
d'une part le long du chemin comprenant les segments $[-1+10i,0]$
puis $[0,1]$ et d'autre part le long de $[9,1]$. Ces deux chemins
ont la propri�t� de descendre le relief (cf.~fig.~\ref{fig:relvdp}, et 
\cite{FS}), c'est � dire qu'une erreur dans l'estimation des valeurs 
initiales (en $-1+10i$ et en $9$) devient exponentionnellement petite
une fois arriv�s en $1$; on prendra donc les valeurs $v(-1+10i)=i/10$
et $v(9)=-1/10$. De plus, un de ces chemins part de la montagne Nord,
l'autre de la montagne Est, et la d�finition de $\alpha^+$ est qu'il
s'agit de la valeur de $\alpha$ pour laquelle il existe une solution
tendant vers $0$ en l'$\infty$ sur ces deux montagnes (N.B.: on
retrouvera la mani�re de construire les $\alpha$ dans la partie
suivante), ce qui sera vrai si et seulement si les deux $v(1)$ trouv�s
sont �gaux.


\begin{figure}[ht!]
\center{\includegraphics[scale=0.64]{vdprelief.ps}}
\caption{Relief pour l'�quation de Van der Pol, et chemins pour 
l'int�gration num�rique}\label{fig:relvdp}
\end{figure}

Une recherche num�rique de ce type donne les approximations suivantes:
\vglue 10pt
\begin{tabular}{|c|l|c|}
\hline
$\eps$ & $\qquad\alpha^+$ & $2\Im (\alpha^+)\times e^{4/3\eps}\sqrt\eps$\\
\hline\hline
$\ 0,20\ $  & $\ 0,9684+0,00153i$          & 1,07\\
\hline
$0,17$ & $\ 0,9733+0.00055i$           & 1,16\\
\hline
$0,14$ & $\ 0,9800+0.000120i$          & 1,23\\
\hline
$0,08$ & $\ 0,9893+1,40\cdot 10^{-7}i$ & 1,37\\
\hline
$0,06$ & $\ 0,9921+6,48\cdot 10^{-10}i$& 1,42\\
\hline
$0,05$ & $\ 0,9935+8,5\cdot 10^{-12}i $& 1,44\\
\hline
$0,04$ & $\ 0,9948+1,23\cdot 10^{-14}i\qquad$& 1,47\\
\hline
\end{tabular}
\vskip 10pt
Ces r�sultats sont compatibles avec la valeur de la constante trouv�e
(�gale environ � 1,68), avec des termes correctifs en $\sqrt\eps$ et
$\sqrt[3]\eps$. 


preintro.tex
\hbox{}
\vskip 70pt plus 5pt

\section*{Introduction}

\bigskip
\bigskip
Soit l'�quation de Van der Pol forc�e
\begin{equation*}
\eps \ddot u+(u^2-1)\dot u +u=\alpha\,,
\end{equation*}
o� $\eps$ est un param�tre que l'on fait tendre vers $0$, et o� $\dot
u$ d�signe la d�riv�e de $u$ par rapport au temps $t$.

Cette �quation est �quivalente au syst�me diff�rentiel
\[ \left\{ \begin{array}{rl}
   \eps \dot u &=y-\frac{u^3}{3}+u\\
      \dot y   &=\alpha -u
           \end{array}
\right. \]
dont on a d�couvert il y a plus de vingt ans certaines solutions
particuli�res, appel�es grands canards: pour certaines valeurs de
$\alpha$, d�pendant de $\eps$, ces solutions restent au voisinage de
la courbe lente $y=\f{u^3}{3}-u$ (obtenue en posant $\eps=0$) y
compris le long de la partie instable de cette courbe, entre les deux
sommets $y=-1$ et $y=1$ (cf. chapitre~\ref{chap:vdp}). Des �tudes avec
les outils de l'analyse non standard, sur la droite r�elle, ont permis
de montrer que l'existence de canards est souvent in�luctable, mais
qu'ils ont une dur�e de vie extr\^emement courte: les valeurs du
param�tre $\alpha$ menant � des canards sont toutes dans un intervalle
de taille $\exp\left(-M/\eps\right)$ (quand $\eps\rightarrow 0^+$, et
pour un certain $M>0$).

Ce syst�me �tant lui-m�me �quivalent � l'�quation
\begin{equation}\tag{\ref{eq:vdpdebase}}
\eps v\frac{dv}{du}=(1-u^2)v+\alpha -u\,,
\end{equation} 
l'�tude de ces solutions canards a pu progresser par le passage d'une
variable $u$ r�elle � une variable dans le champ
complexe~\cite{FS}. La simplification de l'�tude vient essentiellement
du fait que les fonctions solutions, au lieu de n'�tre que de classe
${\cal C}^1$, sont alors toutes holomorphes. Par ailleurs, le lien
avec les points tournants appara�t alors clairement.

On constate d'abord que cette �quation admet une solution formelle
$$\hat v(u,\eps)=\sum_{n=0}^\infty v_n(u) \eps^n\,,\ \ 
\hat\alpha(\eps)=\sum_{n=0}^\infty a_n \eps^n\,,$$
dont la propri�t� (exceptionnelle) est que tous les termes $v_n(u)$
sont analytiques en $u=1$. Ensuite, on peut chercher � faire le
lien entre cette solution formelle et des solutions holomorphes,
born�es en $u=1$ quand $\eps$ tend vers $0$. Si on impose des domaines
d'existence les plus grands possibles, on trouve exactement deux
solutions $v^+(u,\eps)$ et $v^-(u,\eps)$ pour leurs param�tres
respectifs $\alpha^+(\eps)$ et $\alpha^-(\eps)$. Avec ces solutions qui
sont d�finies toutes deux sur le segment $u\in [-1+\rho,1]$, pour tout
$\rho>0$ fix�, on est capable de donner une valeur � $M$; on pourra
choisir
$$M=R(-1+\rho)-R(1) =
\Re\left(\int_1^{-1+\rho} (t-1)(t+1)^2dt\right)\,.$$ 
Outre le premier point tournant $u=1$, on voit ici que l'autre point
tournant $u=-1$ joue aussi un r�le important. Et qu'il pourrait �tre
int�ressant de s'approcher de ce second point, pour remplacer
$-1+\rho$ par $u_1=-1+o_\eps(1)$, $u_1>-1$. D'o� l'id�e d'�tudier le
voisinage des points tournants, pour montrer qu'on peut toujours
contr�ler la croissance, quand $\eps\rightarrow 0$, des solutions
$v^+$ et $v^-$ jusqu'en un tel point $u_1$.

\bigskip
Consid�rons le cas g�n�ral d'une �quation diff�rentielle du premier
ordre non lin�aire
$$\eps y'=y f(x,\eps)+h(x,\eps)+\eps y^2 P(x,\eps,y)\,,$$ 
o� $\eps$ est un petit param�tre complexe, o� $y'$ d�signe la d�riv�e
$\f{dy}{dx}$, et o� les fonctions $f$, $h$ et $P$ sont holomorphes en
$x$ et $y$ dans certains domaines et admettent un d�veloppement en
s�rie (�ventuellement non convergent) en $\eps$.

On peut calculer une solution formelle du type
$$\hat y(x,\eps)=\sum_{n=0}^\infty y_n(x) \eps ^n$$ 
pour cette �quation, � l'aide d'une r�currence sur les coefficients
$y_n(x)$. On peut ensuite au moins esp�rer~\cite{Wasow1} que cette
s�rie en $\eps$, le plus souvent divergente, corresponde � une
solution holomorphe $y(x,\eps)$ quand $\eps$ tend vers $0$ dans des
secteurs $\arg\eps\in\ ]\theta_1,\theta_2[\,$. On sait d'ailleurs 
qu'on a effectivement une solution, sur un voisinage de tout point
$x$ tels que $f(x,0)\neq 0$, qui reste born�e quand $\eps$ tend vers 
$0$~\cite{Sib}.

En revanche, les points $x_0$ tels que $f(x_0,0)=0$ font partie le
plus souvent~\cite{Wasow2} des points tournants pour cette �quation:
on voit bien que les coefficients $y_n$ calcul�s sont alors en g�n�ral
singuliers en $x=x_0$. Il para\^it alors difficile que la solution
formelle $\hat y$ puisse �tre le d�veloppement asymptotique d'une
solution holomorphe dans tout un voisinage de $x_0$ (la non-existence
d'une telle solution est pr�cis�ment la d�finition d'un point
tournant). Cependant, dans certains cas particuliers, il existe tout
de m\^eme une s�rie formelle dont tous les termes sont analytiques en
$x_0$; ce genre de r�sultat est obtenu par exemple en introduisant un
(multi-)param�tre sous la forme d'une s�rie formelle. Si une telle
s�rie formelle existe, cela permet d'envisager l'existence d'une
solution � l'�quation diff�rentielle, qui reste analytique en
$x_0$. Ces solutions particuli�res, holomorphes en un point
g�n�ralement tournant pour les solutions d'une �quation diff�rentielle
donn�e, sont celles qu'on a appel�es, par g�n�ralisation, solutions
canards holomorphes, ou solutions surstables. L'existence de ces
canards d�pend souvent du choix d'un (multi-)param�tre $\alpha(\eps)$,
pr�sent dans les fonctions $f$, $h$ et/ou $P$, qui s'�crit lui aussi,
bien s�r, au moins comme une s�rie formelle en $\eps$.

On a ainsi pu d�montrer \cite{BFSW} dans un cas tr�s g�n�ral que les
valeurs du param�tre $a$ donnant des canards sont exponentiellement
proches en $\eps$, et qu'on peut trouver un bon majorant de la
constante $M$ g�n�ralis�e de la mani�re suivante: si $\alpha^+(\eps)$
et $\alpha^-(\eps)$ sont deux valeurs � canards,
$$\|\alpha^+-\alpha^-\| < C \exp\left(-\f{M}{\eps}\right)\,,
\text{ pour tout $\eps>0$ assez petit,} $$ 
et pour un certain $C$ assez grand d�pendant de la valeur de $M$
choisie; comme dans le cas de l'�quation de Van der Pol, $M$ peut
s'�crire $M=R(x_1)-R(x_0)$, o� $R$ d�signe l'application
$R(x)=\Re\left(\int_0^x f(t,0) dt\right)$; $x_1$ est � nouveau un
point dans le domaine d'existence $\Dom$ de plusieurs solutions
canards \og maximales\fg, point qu'on a int�r�t � prendre le plus
proche possible d'un autre point tournant de l'�quation pour obtenir
la meilleure in�galit�.

L'id�e des recherches entreprises ici a donc �t� d'�tudier les
solutions au voisinage des points tournants pour voir si cela ne
permettait pas de s'approcher de ces points (i.e. de prendre un $x_1$
qui tend vers une singularit� quand $\eps$ tend vers $0$), et donc
de pr�ciser l'in�galit� ci-dessus. L'int�r�t principal d'un tel
r�sultat �tant qu'il permet ensuite de donner une estimation ou au
moins une bonne majoration des coefficients des s�ries formelles
correspondant � $\alpha$.

\bigskip
Dans le cas de l'�quation de Van der Pol, au chapitre~\ref{chap:vdp},
on montrera que les solutions canards $v^+$ et $v^-$ existent
effectivement dans des domaines contenant le segment $[-1+X_l
\eps^{1/3}, 1]$ (au lieu de $[-1+\rho,1]$ pour tout $\rho$ strictement
positif), ceci pour une constante $X_l$ suffisamment grande, mais qui
peut �tre choisie ind�pendante de $\eps$; la d�monstration utilisera
une �quation int�rieure �quivalente � \eqref{eq:vdpdebase}, mais non
singuli�rement perturb�e. La propri�t� d�montr�e permet ensuite
effectivement de donner un �quivalent pour les coefficients $a_n$ des
param�tres $\alpha$ � canards:
$$a_n\underset{n\infty}\sim \frac{-2\sqrt 6}{\pi\sqrt\pi 
e^{4/3}}n^{-1/2}\left(\frac{3}{4}\right)^n n!$$

\medskip
Le r�sultat de l'�tude des solutions au voisinage des points tournants
sera g�n�ralis� et compl�t� au �~\ref{sec:pres} pour une �quation
g�n�rale  que l'on r��crit sous la forme
\begin{equation*}
\eps y'=\bigl(x^p f(x)+\eps g(x,\eps,\alpha)\bigr) y +h(x,\eps,\alpha)
+\eps y^2 P(x,\eps,\alpha, \eps y)\,,
\end{equation*}
dont on �tudie le point tournant $0$ (pour $p>0$).  

Cette �quation singuli�rement perturb�e admet une solution (dite:
ext�rieure) � distance finie du point tournant � l'int�rieur de
certains secteurs centr�s en ce point tournant; la d�monstration de
l'existence de cette fonction est rappel�e au paragraphe
�~\ref{sec:loin}. Cette premi�re �quation est �quivalente � une
�quation int�rieure; celle-ci, si elle est r�guli�re en $\eps$,
poss�de au moins une solution particuli�re, qui peut \^etre connect�e
avec la solution ext�rieure. Le domaine en $x$ de toute solution
holomorphe born�e en $\eps$ de l'�quation de d�part peut donc �tre
�tendu jusqu'� une distance $X_l\eps^{1/(p+1)}$ des points tournants:
\[\Dom=\left\{x\in\CC\,/\,|x|>X_l \eps^{1/(p+1)}\ \text{ et } 
\arg(x)\in\,\, ]\theta_1,\theta_2[\,\right\}\, ,\text{ pour des $X_l$
assez grands}\,.\] 
Dans ce nouveau domaine, cette solution n'est pas
n�cessairement born�e quand $\eps\rightarrow 0$, mais sa croissance
reste cependant contr\^ol�e et ne devient pas exponentielle.

\smallskip
Au �~\ref{sec:alpha}, � l'aide de ce r�sultat, on d�montre
l'existence, dans certains cas, de solutions surstables dans un
voisinage complet d'un point tournant, si on choisit correctement le
(p-multi-)param�tre $\alpha$ en fonction de $\eps$.

\medskip
Au chapitre~\ref{chap:Brusselator}, on s'int�resse alors � l'�quation
du Brusselator, transfom�e en l'�quation diff�rentielle suivante, avec
$a$ pour param�tre,
$$\eps z(x)\frac{dz(x)}{dx}=\frac{2x}{(1+x)^2}
\Bigl(z-\frac{1}{2(1+x)^3}\Bigr)-\frac{a-1}{(1+x)^2}z
-z\Bigl(z-\frac{1}{2(1+x)^3}\Bigr)\frac{2\eps}{1+x}\,.$$ 
Le syst�me du Brusselator �quivalent est connu pour avoir des
solutions canards pour certaines valeurs d'un param�tre, mais l'�tude
du domaine de ces solutions dans le plan complexe n'avait pas encore
�t� faite. Gr\^ace � la g�n�ralisation du chapitre pr�c�dent, il
devient facile de red�montrer l'existence des canards holomorphes et
de d�crire leur domaine d'existence �tendu. Comme pour le cas de
l'�quation de Van der Pol, on peut ensuite trouver un �quivalent
(quand $n\rightarrow \infty$) pour les coefficients des param�tres �
canards.

\medskip
� noter que, pour l'�quation du Brusselator comme pour l'�quation de
Van der Pol, il faut commencer par r�ussir � calculer des coefficients
de Stokes pour une �quation diff�rentielle non lin�aire avant de
pouvoir donner les �quivalents cit�s. Les multiplicateurs de Stokes,
qui apparaissent autour d'un point tournant ne sont pas exactement
calculables dans le cas non lin�aire, mais dans les deux exemples
cit�s, on r�ussit � en d�terminer un �quivalent complet.





ptfixe.tex
\section{Existence d'une solution de \eqref{eq:vdpnonsing}, 
$Y(X,\eps)$, qui est voisine de $Y_0$}

Nous utiliserons un th�or�me de point fixe pour montrer que certaines
solutions de~\ref{eq:vdpnonsing} tendent vers $Y_0$ quand $\eps$ tend
vers $0$.
$$\eqref{eq:vdpnonsing}
\qquad YY'=2XY\Bigl(1-\frac{\eps'}{2}X\Bigr)+\alpha+1
-\eps'X,\qquad\text{avec }\eps'=\eps^{1/3}$$
On �crit $Y$ sous la forme $Y=Y_0+\eps'Z$. On rappelle \eqref{eq:Y0}:
$Y_0Y'_0=2XY_0+2$.

Alors
\begin{multline*}
Y_0Y'_0+\eps'Z'(Y_0+\eps' Z)+\eps'Z\left(2X+\frac{2}{Y_0}\right)\\
= 2XY_0-\eps'X^2 Y_0+\eps'ZX(2-\eps'X) +\alpha-1+2-\eps'X
\end{multline*}
\begin{align*}
\Longleftrightarrow\ Z' &= -X^2 +\frac{a/\eps'-X-2Z/Y_0}{Y_0+\eps'Z}\\
  &\text{ avec}  \quad a=\alpha-1=\gO(\eps)=o(\eps')\,.\\ 
\end{align*}

Apr�s lin�arisation de cette �quation diff�rentielle, on obtient
\begin{align}
Z'=&-X^2+u_0\left(\frac{a}{\eps'}-X\right) -Z\Bigl( u_0^2(2+a-\eps'X)
\Bigr) +\eps' h(Z,X,\eps')\label{eq:Zvdp}\\
\qquad&\text{o� }\qquad u_0(X)=\frac{1}{Y_0(X)}
= -X+\f{1}{2X^2} +o\left(\f{1}{X^2}\right) \notag\\
\qquad&\text{et }\qquad h(Z,X,\eps')=Z^2 u_0^3\,
\frac{2+a-\eps'X}{1+\eps' u_0 Z}\,.\notag\\
\end{align}

On introduit les fonctions 
\begin{eqnarray*}
F(x) &=& \int^x -u_0^2(t) (2+a-\eps' t) dt,\\
\text{et } R(x) &=& \Re\bigl(F(x)\bigr)\,.
\end{eqnarray*}

On d�signera par $\gamma_X$ un chemin dans le plan complexe partant
d'un point (�ventuellement infini) � d�terminer et allant jusqu'� $X$.
 
En int�grant l'�quation diff�rentielle avec la m�thode de variation de
la constante, on voit que $Z$ satisfait � l'�galit�:
$$Z(X)=\int_{\gamma_X} e^{F(X)-F(t)} \Biggl( -t^2+ u_0(t)
\left(\frac{a}{\eps'}-t\right) +\eps'h(Z,t,\eps') \Biggr) dt\,.$$

\vskip 10pt
On souhaite montrer qu'on peut appliquer un th�or�me de point fixe,
pour montrer qu'il existe une et une seule solution � l'�quation
\eqref{eq:vdpnonsing} qui tend vers $Y_0$ quand $\eps$ tend vers $0$.
On se place pour cela dans un domaine ouvert $\DD$ (qui
sera pr�cis� par apr�s) et on consid�re deux solutions not�es $Y_1$ et
$Y_2$ arbitrairement proches de $Y_0$. 

Soit alors $h_i=h(Y_i,t,\eps')$, pour $i=1,2$.

On trouve
$$h_1-h_2=\Bigl[u_0(t)\bigl(2+a-\eps't\bigr)\Bigr]
\Bigl[u_0(t)\bigl(Y_1-Y_2\bigr)\Bigr] 
\frac{(Y_1+Y_2)u_0+\eps'Y_1Y_2u_0^2}{(1+\eps'Y_1u_0)(1+\eps'Y_2u_0)}$$

On est donc amen� � introduire les espaces fonctionnels suivants:
\begin{align*}
{\EuFrak H} &=\Bigl\{\text{fonctions holomorphes $h$ sur $\DD$}\Bigl/
\sup_{t\in \DD} \frac{|h(t)|}{|u_0(t)|\cdot|2+a-\eps't|} 
\text{ soit fini}\Bigr\}\\
{\EuFrak Y} &=\Bigl\{\text{fonctions holomorphes $Y$ sur $\DD$}\Bigl/
\sup_{t\in \DD} |Y(t)|\cdot|u_0(t)| \text{ soit fini}\Bigr\}\\
\intertext{que l'on munit des normes correspondantes 
$\| h \|_\EuH \text{ et } \| Y \|_\EuY$ respectivement.}
\end{align*}
\begin{alignat*}{5}
\text{Soit }\qquad {\EuFrak 0}_H :\quad&\tilde{\EuY}&
\rightarrow &{\EuH} &\quad\text{ et }\qquad&
{\EuFrak 0}_Y :\quad&\tilde{\EuH}&\rightarrow &&{\EuFrak Y}\,. \\ 
& Y &\mapsto & h(Y,t,\eps') &&& h &\mapsto && Z(X)
\end{alignat*}
Ces deux op�rateurs sont bien d�finis au moins sur des sous-ensembles
$\tilde{\EuH}$ et $\tilde{\EuY}$ des espaces ${\EuH}$ et $\EuY$ (ceci
sera repr�cis� plus loin).

Nous allons montrer que l'op�rateur ${\EuFrak 0}_Yo {\EuFrak 0}_H$ est
une contraction sur ces ensembles.

$$\|h_1 -h_2\|_\EuH \leq \|Y_1 -Y_2\|_\EuY \frac{ \|Y_1\|_\EuY+
\|Y_2\|_\EuY+|\eps'|\cdot\|Y_1\|_\EuY \|Y_2\|_\EuY}{( 1 -|\eps'|
\cdot\|Y_1\|_\EuY)  ( 1 -|\eps'|\cdot\|Y_2\|_\EuY)}$$
donc si $\|Y_1\|_\EuY$ et $\|Y_2\|_\EuY$ sont major�es par
$\delta$, et pour $\eps'<1/\delta$, on a 
\begin{equation}
\|h_1 -h_2\|_\EuH \leq \|Y_1 -Y_2\|_\EuY \frac{2\delta
  +|\eps'|\delta^2}{ (1-|\eps'|\delta)^2 }\,.\label{ineg1}
\end{equation}

Par ailleurs, si $Y_k(X,\eps')=\EuO_Y(h_k(X,\eps'))$,
\begin{align*}
Y_1-Y_2 &=\int_{\gamma_X} e^{F(X)-F(t)} \eps'(h_1-h_2) dt\\
\intertext{d'o�}
\|Y_1 -Y_2\|_\EuY\! &\leq \sup_{X\in \DD} |u_0(X)| |\eps'|
\int_{\gamma_X} e^{R(X)-R(t)} |h_1-h_2| dt\\
 &\leq  |\eps'|.\|h_1 -h_2\|_\EuH\sup_{X\in \DD} e^{R(X)}
\negthickspace\!\! \int_{\gamma_X}  \!\!\negthickspace e^{-R(t)}
\Bigl|u_0^2(t)\bigl(2+a-\eps't\bigr)\Bigr|  
\biggl|\frac{u_0(X)}{u_0(t)}\biggr| dt
\end{align*}

Choisissons un $X$ tel que: pour tout $X'$ tel que 
$|X'|\geq |X|$, $u_0(X')$ est peu
diff�rent de $-X'$. Plus pr�cis�ment, on va choisir $\gamma_X$ et $X$
tels que:
\begin{enumerate}
\item $\gamma_X(t) \in \DD$ pour tout $t$.
\item $\gamma_X$ va de l'infini � $X$ avec $\gamma_X(t)=e^{i\theta} t$,
o� $t$ est un r�el allant de $+\infty$ � $|X|$, et $\theta=\arg X$.
\end{enumerate}

Alors, pour $\theta$ dans l'intervalle $\Bigl]\frac{3\pi}{8}+\delta,
\frac{\pi}{2}-\delta\Bigr[$, 
\begin{align*}
F(X)-F(t) =
&\int^{|t|e^{i\theta}}_{|X|e^{i\theta}} -u_0^2(\phi) (2+a-\eps' \phi)
d\phi \qquad\quad t=|t|e^{i\theta}\\
     =&\int^{|t|}_{|X|} (2+a)(-\phi^2) d\phi +\eps'\int^{|t|}_{|X|} 
           \phi^3 d\phi +o(|t|^2) \\
     =&\frac{2+a}{3} e^{i(3\theta-\pi)} |t|^3 +\frac{\eps'}{4}
     e^{4i\theta} |t|^4  +o(|t|^2)
\end{align*}
La partie r�elle de cette derni�re expression est positive, (pour
$|t|$ assez grand donn� ind�pendamment de $|\eps'|$, pour tout
$\arg(\eps')$ assez voisin de $0$) et croissante avec $|t|$. Donc si
on choisit un $X$ assez grand, il existe un $\mu>0$ tel que
\begin{equation}
\mu \Bigl|\frac{d}{dt} R\bigl(\gamma_X(t)\bigr)\Bigr| \geq  \Bigl|
F'\bigl(\gamma_X(t)\bigr)\Bigr|\,, \text{ pour tout $t$,}\label{eq:Haddock}
\end{equation}
d'o� on d�duit
\begin{align}
\|Y_1-Y_2\|_\EuY &\leq |\eps'|. \|h_1-h_2\|_\EuH \sup_{X\in \DD}
e^{R(X)} \int_{\gamma_X} e^{-R(t)} \mu \biggl| \frac{d}{dt}\notag
R\bigl(\gamma_X(t)\bigr)\biggr| dt \\ 
\|Y_1-Y_2\|_\EuY &\leq |\eps'|\cdot \mu \cdot \|h_1-h_2\|_\EuH\label{ineg2}
\end{align}

\penalty -500
Nous pouvons maintenant pr�ciser le domaine $\DD$:
\begin{list}{$\bullet$}{}
\item 
$\DD \subset (\text{Domaine de }Y_0)$ (pour que $u_0$ soit d�finie).
\item 
Tout point de $X\in\DD$ peut �tre joint de l'infini par un chemin
$\gamma_X$ v�rifiant~\eqref{eq:Haddock}.
\item
$(2+a-\eps't)$ ne s'annule pas pour $t$ dans ce domaine.
\end{list}

\vskip 10pt
Le domaine $\DD$ n'est pas vide: avec les conditions donn�es, on peut
prendre par exemple pour $\DD$ un secteur
$S\left(\infty,2|X_f|,\f{3\pi}{8}+\delta ,\f{\pi}{2}-\delta\right)$.

\smallskip
Alors, pour $\eps$ assez petit, les in�galit�s $\eqref{ineg1}$ et
$\eqref{ineg2}$ signifient que ${\EuO}_Y o {\EuO}_H$ peut
�tre un op�rateur contractant.

Il ne reste qu'� v�rifier qu'on a bien ${\EuO}_Y({\EuH}) 
\subset {\EuY}$ et que  ${\EuO}_H({\Euy}) 
\subset {\EuH}$ o� ${\Euy}$ est une boule ouverte de
${\EuY}$. 

Si $Y\in \EuY$ et $\|Y\|_{\EuY}<\f{1}{2\eps'}$ (on a l� la
description de l'ensemble ${\Euy}$), alors
\begin{align*}
{\EuO}_H(Y)=h(Y,X,\eps')&=u_0(X) (Y(X) u_0(X))^2 
\f{2+a-\eps'X}{1+\eps' u_0(X) Y(X)}\\
\| h(Y,X,\eps')\|_\EuH &\leq \sup_{X\in \DD} 
\left|\f{(y u_0)^2}{1+\eps' u_0 y}\right|
\end{align*}
qui est bien born�, et � $Y$ fix� est aussi born� pour tout $\eps'$
assez petit, puisque $|u_0 Y|$ est born� pour $X\in \DD$ quand $Y\in
\EuY$. 

Si $h\in \EuH$, 
\begin{align*}
{\EuO}_Y(h)&=Z(h,X,\eps')\\
                   &=\int_{\gamma_X} e^{F(X)-F(t)} \Biggl( -t^2+ u_0(t)
\left(\frac{a}{\eps'}-t\right) +\eps'h(t,\eps') \Biggr) dt\\
                   &=Z(0,X,\eps')+
\left(Z(h,X,\eps')-Z(0,X,\eps')\right)
\intertext{La diff�rence dans la parenth�se ne posant pas de probl�mes 
vu ce qui a �t� montr� ci-dessus (la fonction nulle est clairement
dans l'espace $\EuH$), on regarde uniquement le premier terme.}
Z(0,X,\eps')&=\int_{\gamma_X} e^{F(X)-F(t)} \left( -t^2+ u_0(t)
\left(\frac{a}{\eps'}-t\right) \right) dt
\intertext{On retrouve quelque chose d'analogue � la d�monstration
concernant la diff�rence des fonctions $Y_1-Y_2$.}  
\|Z(0,X,\eps')\|_\EuY\! &\leq \f{1}{|\eps'|}\sup_{X\in \DD} |u_0(X)| 
\int_{\gamma_X} e^{R(X)-R(t)} \left|-t^2 \eps'+u_0(t)
\left({a}-\eps't\right)\right| dt\\
 &\leq  \f{1}{|\eps'|}.\sup_{X\in \DD} e^{R(X)}
\negthickspace\!\! \int_{\gamma_X}  \!\!\negthickspace e^{-R(t)}
\left|-t^2 u_0\eps'+u_0^2(t)\left(a-\eps't\right)\right|  
\left|\frac{u_0(X)}{u_0(t)}\right| dt\\
\|Z(0,X,\eps')\|_\EuY\! &\leq  \|-u_0\eps't(u_0(t)+t)+a
u_0^2(t)\|_\EuH \sup_{X\in \DD} e^{R(X)} \int_{\gamma_X} e^{-R(t)} \mu
\biggl| \frac{d}{dt} R\bigl(\gamma_X(t)\bigr)\biggr| dt 
\intertext{La fonction $-u_0\eps't(u_0(t)+t)+a u_0^2(t)$ est bien dans
$\EuH$: $u_0(t)=-t+o(1/t)$, donc la fonction est major�e par
$\left|u_0(t)(1+|at|+|\eps'|)\right|<\left|u_0(t)(2+a-\eps't)\right|$
pour tout $\eps$ assez petit.}
\end{align*}
$$\|Z(0,X,\eps')\|_\EuY\ \text{ existe bien, }\
Z(0,X,\eps')\in\EuY\,.$$ 

\bigskip
On peut donc appliquer le th�or�me du point fixe, ce qui nous donne
l'existence et l'unicit� de la solution de
\eqref{eq:Zvdp}, $Z(X,\eps')$, dans l'espace $\EuY$: cette fonction
est holomorphe et tend vers $0$ quand $X\rightarrow\infty$, pour tout
$\eps'$.

On en d�duit:

\begin{Th}\label{ThVdPPtfixe}
Il existe une solution $Y_\eps$ de \eqref{eq:vdpnonsing} sur un
domaine $\DD$ contenant un secteur ouvert centr� en l'infini (de
taille ind�pendante de $|\eps'|$) d'ouverture un peu inf�rieure �
$\pi/8$.  $Y_\eps$ tend vers $0$ en l'infini et elle est telle que
$Y_\eps\underset{\eps\rightarrow 0}{\longrightarrow} Y_0$
uniform�ment.  

Ce domaine $\DD$ peut m�me �tre encore �tendu.
\end{Th}
\bigskip

Montrons qu'on peut, en effet, prendre un domaine $\DD$ plus grand que
celui propos�. Comme l'�quation~\eqref{eq:vdpnonsing} n'est pas
singuli�re, les chemins $\gamma_X$ peuvent �tre rallong�s d'une
distance arbitraire (mais finie) � partir de $X_f$ (par exemple, on
peut aller jusqu'� $0$, ou $X_l$); l'int�grale $$\int_{\gamma_X}
e^{R(x)-R(t)}|u_0^2(t)\bigl(2+a-\eps't\bigr)|
\biggl|\frac{u_0(X)}{u_0(t)}\biggr| dt$$ restera effectivement born�e
si on �vite les singularit�s de $Y_0$, puisque toutes les fonctions
qu'elle contient sont holomorphes et donc born�es sur tout compact
inclus dans leurs domaines de d�finition. Et puisqu'il n'y a pas dans
cette int�grale de singularit� en $\eps$, on pourra choisir des bornes
ind�pendantes de $\eps$.

\medskip

On peut m�me �tendre $\DD$ sur une partie de l'axe r�el, et
ce jusque $|\eps|^{-1/3}$ par exemple. En effet, supposons que l'on
ait d�j� prolong� $\gamma_X$ de $X$ � $X_l$, puis �ventuellement � 
$X_0 \in \RR^+$, $X_0$ assez grand.

Alors 
\begin{align*}
R(x) =&\, \text{Cste} + \int^x_{X_0} -t^2 (2+a-\eps't)dt +o(x^2)\\
\frac{d}{dt} R(t) =& -t^2 (2+a-\eps't) +o(t) \in \RR^-\ \text{ si }\ t\leq
\frac{1}{\eps'} \\ 
\intertext{(pour $\eps'$ assez petit, $a$ �tant de l'ordre de
  ${\eps'}^3$)}
\|Y_1-Y_2\|_\EuY \leq&\, |\eps'|. \|h_1-h_2\|_\EuH \sup_x e^{R(x)}
\int_0^{{1}/{\eps'}} e^{-R(t)} \Bigl(-\frac{d}{dt}R(t)\Bigr) dt\\
                  \leq&\, |\eps'|. \|h_1-h_2\|_\EuH \times \text{Cste}
\end{align*}
ce qui implique une convergence uniforme sur $[X_l,\eps^{-1/3}]$,
puisque l'in�galit� $\eqref{ineg1}$ reste bien s�r v�rifi�e tant que
l'on ne s'approche pas des singularit�s o� des z�ros de la fonction
$u_0$.


\vskip 10pt

Cette solution $Y_\eps$ de \eqref{eq:vdpnonsing} correspond � une
solution $v$ de \eqref{eq:vdpdebase} qui existe donc, pour $\eps>0$, au
moins jusqu'en $2|X_f|e^{i7\pi/16} \times \eps^{1/3}$, sur le segment
$[-1+X_l\eps^{1/3},0]$ et qui co�ncide au voisinage de l'infini avec
la solution $y$ �tudi�e dans \cite{FS}: ce sont des prolongements
holomorphes l'une de l'autre.

Cette solution $Y_\eps$ admet un d�veloppement asymptotique uniforme:
\begin{Cor}\label{th:serievdp}
Il existe une suite de fonctions $Y_n(X)$ holomorphes en $X$ et
tendant vers $0$ quand $X$ tend vers l'infini telle que, pour tout
$N\in\NN$, et $X\in\DD$,
$$\left|Y_\eps(X,\eps')-\sum_{n=0}^N Y_n(x){\eps'}^n\right|\leq 
{\eps'}^{N+1}|R_N(X)|\,,$$
o� la fonction born�e $R_N$ v�rifie en outre
$$\lim_{X\rightarrow\infty} R_N(X)=0\,.$$
\end{Cor}

Le cas $N=0$ correspond au th�or�me pr�c�dent. On va d�montrer le cas
g�n�ral par r�currence, � partir du cas $N=1$. On reprend l'�quation
\ref{eq:Zvdp}:
$$Z'=-X^2+u_0\left(\frac{a}{\eps'}-X\right) -Z\Bigl( u_0^2(2+a-\eps'X)
\Bigr) +\eps' h(Z,X,\eps')\,.$$
On a montr� que $Z(X,\eps')$ �tait une fonction qui existait, dans
l'espace $\EuY$, et que sa norme $\|Z\|_{\EuY}$ �tait born�e 
ind�pendamment de $\eps'$.

On d�finit $Y_1$ comme solution de l'�quation diff�rentielle ci-dessus
avec $\eps'=0$: 
$$Y_1'(X)=-X^2-X u_0(X) -2 Y_1(X) u_0^2(X)\,,$$ born�e dans $\DD$.
Dans le secteur $[3\pi/8+\delta,\pi/2-\delta]$ consid�r�, le
coefficient du terme homog�ne, $-u_0^2(X)$, a une partie r�elle qui
tend vers $+\infty$.  Il existe donc une et une solution $Y_1$ de
l'�quation diff�rentielle qui soit born�e dans le secteur
consid�r�. De plus, le terme non homog�ne est d'ordre au plus $-X^2-X
u_0(X)=o(1)$; on peut en d�duire, comme pour $Y_0$, que $Y_1(X)$ tend
vers $0$ en l'infini.

On pose maintenant $Z(X,\eps')=Y_1(X)+\eps'Z_1(X,\eps')$.

Alors $Z_1(X,\eps')$ est solution de
\begin{align*}
\eps'Z'_1&=u_0\left(\frac{a}{\eps'}\right)+\eps'h(Z,X,\eps')
-(Y_1+\eps'Z_1)\Bigl( u_0^2(2+a-\eps'X)\Bigr) +2Y_1u_0^2\\
Z'_1    &=-Z_1(2+a-\eps'X) u_0^2+u_0\left(\frac{a}{{\eps'}^2}\right)
+u_0^2 Y_1\left(X-\f{a}{\eps'}\right)+h(Z,X,\eps')\,,
\end{align*}
ce qui est une �quation diff�rentielle lin�aire en $Z_1$ (le fait que
$Z$ puisse s'�crire en fonction de $Z_1$ n'est pas g�nant: on sait que
cette fonction $Z$ existe, et $h(Z,X,\eps')$ peut �tre consid�r� comme
une donn�e, comme fonction de $\EuH$).

On peut r�soudre cette �quation:
$$Z_1(X,\eps')= e^{F(X,\eps')}\int_{\gamma_X}
e^{-F(t,\eps')}\left(u_0(t)\left(\frac{a}{{\eps'}^2}\right) 
+u_0^2(t) Y_1(t)\left(t-\f{a}{\eps'}\right)+h(Z,t,\eps')
\right)dt \,,$$
en rappelant que $F(X,\eps')=\int^X  -u_0^2(t) (2+a-\eps' t) dt$.

Alors, puisque $|u_0(t)(2+a-\eps' t)|>0$ dans $\DD$, et que les
fonctions $\f{h\bigl(Z(t,\eps'),t,\eps'\bigr)}{u_0(t)}\ $ et
${Y_1(t)}{u_0(t)}$ sont born�es, il est clair que $Z_1(X,\eps')$ est
une fonction born�e, qui reste dans l'espace $\EuY$. Ce qui d�montre
le cas $N=1$.

Pour la suite de la d�monstration par r�currence, elle devient
�vidente � partir de l'�quation diff�rentielle obtenue pour $Z_1$: on
va trouver � chaque fois $Z_{n-1}(X,\eps')=Y_{n-1}(X)+\eps'Z_n$, puis
$$Z'_n=-Z_1(2+a-\eps'X) u_0^2+ h_n(X,\eps')\,,$$ avec
$h_n(X,\eps')=\f{h_{n-1}(X,\eps')-h_{n-1}(X,0)}{\eps'} +2u_0^2(X)
Y_{n-1}(X)$. $h_n$ est une fonction de $\EuH$ avec l'hypoth�se de
r�currence qu'on peut exprimer comme ceci: $h_n\in\EuH$ et $Z_{n-1}\in
\EuY$. Donc, en r�solvant l'�quation, on voit � nouveau que
$Z_n(X,\eps')$ est une fonction de $\EuY$.

Ce qui suffit � d�montrer le th�or�me.





serie.tex
Nous allons montrer que l'�quation \eqref{eq:alphas} poss�de une
unique solution formelle $(\hat y,\ \hat a)$ qui
s'�crit comme s�rie formelle
$$\hat y =\sum_{n\geq 0} \eps^n y_n(x)\ \text{ et }\
\hat a=\sum_{n\geq 0} \eps^n {a_n(x)},\qquad 
a_n(x)=\sum_{k=0}^{p-1} \alpha_{k,n} x^k\,, $$
o� les $y_n$ eux-m�mes sont des fonctions de $x$ qui sont soit
holomorphes en $x$, soit au moins admettent, quand  $x$ tend vers $0$,
une s�rie asymptotique born�e en $0$, not�e $\hat y_n$. Tous les $a_n(x)$
sont, quant � eux, des polyn�mes de degr� inf�rieur ou �gal � $p-1$ en
$x$. Pour obtenir ce r�sultat, il suffit essentiellement de remplacer
dans \eqref{eq:alphas} $y$ et les $\alpha_k$ par leur s�rie formelle, 
les fonctions holomorphes en $\eps$: $g$, $h$ et $P$ par leur s�rie, 
puis d'identifier les coefficients de $\eps^n$.

On �crira la fonction $Q$ sous la forme 
$$ Q(x,\eps,y)= \sum_{n=0}^\infty Q_n(x,y) \eps^n\,,$$ et on
d�composera de la m\^eme mani�re la fonction $P(x,\eps,\eps y)$ par
rapport � $\eps$. Ce type de notation vaudra aussi pour $h(x,\eps)$ et
$g(x,\eps)$.
 
\bigskip
On commence pour $n=0$ par:
\begin{equation*}
0=x^p f(x) y_0(x) +h_0(x) + a_0(x) Q_0(x,y)
\end{equation*}
(on remarque que $Q_0(x,y)=Q(x,0,0)$).
D'o� 
\begin{equation}
y_0(x)=-\frac{h_0(x) + a_0(x) Q(x,0,0)}{x^p f(x)}\label{eq:y0}
\end{equation}
On souhaite que $y_0$ soit continue en $0$. Il faut et il suffit pour
cela que la valuation de $h_0(x) + a_0(x) Q(x,0,0)$ soit sup�rieure ou
�gale � $p-1$. Ce sera effectivement le cas si (et seulement si) on 
choisit pour $a_0(x)$ le polyn�me obtenu par division des s�ries en
$x$ suivantes: $-h_0(x)$ par $Q(x,0,0)$. Cela nous donne bien une et
une seule valeur possible pour $a_0$ puis $y_0$.

Supposons � pr�sent que l'on ait montr� l'existence (et l'unicit�) des
$n$ premiers termes des s�ries $\hat y$ et $\hat a$, donc regard� les
coefficients de $\eps^k$ pour $k\leq n-1$. Alors, on obtient l'�galit�
suivante pour le coefficient de $\eps^n$:
\begin{multline*}
ny_{n-1}(x)=x^p f(x) y_n(x) +\! \sum_{k\leq n-1} g_k(x) y_{n-1-k}(x)
+h_n(x) +P_{n-1}(x,y)\\
+\sum_{k\leq n} a_k(x)Q_{n-k}(x,y)
\end{multline*}
On peut v�rifier que $P_{n-1}(x,y)$, le coefficient de $\eps^{n-1}$
dans $y^2P(x,\eps,\eps y)$ ne d�pend que de $x$ et de $y_0,
y_1,\ldots, y_{n-1}$. De m�me, $Q_k(x,y)$, d'apr�s la forme de $Q$, ne
d�pend que de $x$ et de $y_0, y_1,\ldots, y_{k-1}$.

Cela permet de trouver
$$y_n=\frac{\displaystyle ny_{n-1}-\sum_{k\leq n-1} g_k(x) y_{n-1-k}
+h_n(x) +P_{n-1}(x,y) +\sum_{k\leq n} a_k(x)Q_{n-k}(x,y)}{x^p f(x)}$$

Or l'expression
$$ny_{n-1}-\sum_{k\leq n-1} g_k(x) y_{n-1-k}
+h_n(x) +P_{n-1}(x,y) +\sum_{k\leq n-1} a_k(x)Q_{n-k}(x,y)$$
peut s'�crire (au moins formellement) comme une s�rie en $x$ si on 
remplace tous les $y_k$ pour $k<n$ par leur s�rie (formelle)
respective. On choisit alors le polyn�me
$a_n(x)$ tel que les $p$ premiers termes du num�rateur de la fraction
ci-dessus soient nuls, {i.e.} que $y_n$ reste born�e en $x=0$, �
nouveau en effectuant une division de s�ries. 

Il existe un unique polyn�me $a_n$ de degr� inf�rieur ou �gal �
$p-1$ qui v�rifie la propri�t� voulue, puis le $y_n$ calcul� est bien
s�r unique lui aussi.

\bigskip

Nous pouvons ainsi construire des s�ries uniques $\hat a$ et $\hat y$,
solutions formelles de \eqref{eq:alphas}, telles que tous les
coefficients de $\hat y$ restent born�s quand $x$ tend vers $0$. En
revanche, rien ne prouve l'existence pour tout $\eps$ assez petit
d'une vraie solution $y(x,\eps), a(x,\eps)$ � l'�quation 
diff�rentielle qui soit continue et born�e quand $\eps\rightarrow 0$
dans un voisinage de $0$.

these.tex
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%\input pagegarde.tex
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\tableofcontents
\newpage
\listoffigures
\newpage

\input preintro.tex
\chapter{D�finitions, propri�t�s �l�mentaires}\input intro.tex
\newpage
\begin{figure}[hp!]
\center{\includegraphics*[40mm,40mm][330mm,230mm]{CANARD.ps}}
\caption{Canard, dit {\protect �}de Van der Pol\protect �}\label{fig:COIN}
\end{figure}

\chapter{Les canards de Van der Pol}

\input introvdp
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\input an
\input num


\chapter{G�n�ralisation}\input generali.loin.tex
\input generali.pres.tex
\input generali.inter.tex
\newpage\input generali.alpha.tex
\newpage\input brussel.tex


\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{BCDD}
�ric Beno\^it, Jean-Louis Callot, Francine Diener, and Marc Diener.
\newblock Chasse au canard.
\newblock {\em Collectanea Mathematica}, 31(1--3):37--119, 1981.

\bibitem{BFSW}
�ric Beno\^it, Augustin Fruchard, Reinhard Sch�fke, and Guy Wallet.
\newblock Solutions surstables des �quations diff�rentielles complexes lentes
  rapides � point tournant.
\newblock {\em Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.}, 7(4):627--658, 1998.

\bibitem{Callot}
Jean-Louis Callot.
\newblock Champs lents-rapides complexes � une dimension lente.
\newblock {\em Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.}, 4\up{e} S�rie, t. 26:149--173, 1993.

\bibitem{CRSS}
M.~Canalis-Durand, J.~P. Ramis, R.~Sch{\"a}fke, and Y.~Sibuya.
\newblock Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations.
\newblock {\em J. Reine Angew. Math.}, 518:95--129, 2000.

\bibitem{CD}
Mireille Canalis-Durand.
\newblock Caract�re {G}evrey du d�veloppement formel des solutions canard de
  l'�quation de van der {P}ol.
\newblock {\em C. R. Acad. Sciences Paris S�r. I Math.}, 311(1):27--30, 1990.

\bibitem{CHAP}
S.~J. Chapman, J.~R. King, and K.~L. Adams.
\newblock Exponential asymptotics and {S}tokes lines in nonlinear ordinary
  differential equations.
\newblock {\em Proc. R. Soc. Lond.}, 454:2733--2755, 1998.

\bibitem{FS}
Augustin Fruchard and Reinhard Sch\"afke.
\newblock Exceptional complex solutions of the forced {V}an der {P}ol equation.
\newblock {\em Funkcialaj Ekvacioj}, 42(2):201--223, 1999.

\bibitem{FSs&r}
Augustin Fruchard and Reinhard Sch�fke.
\newblock Surstabilit� et r�sonance.
\newblock {\em Pr�publications de l'I.R.M.A.}, 1999.

\bibitem{KS}
M.~D. Kruskal and H.~Segur.
\newblock Asymptotics beyond all orders in a model of crystal growth.
\newblock {\em Stud. Appl. Math.}, 85:129--181, 1991.

\bibitem{Lie}
A.~Li�nard.
\newblock �tude des oscillations entretenues.
\newblock {\em Revue g�n�rale d'�lectricit�}, 22(23):901--954, 1928.

\bibitem{Ol}
F.W.J. Olver.
\newblock {\em Asymptotics and special functions}.
\newblock New York, Academic Press, 1974.

\bibitem{Sib}
Yasutaka Sibuya.
\newblock Sur la r�duction analytique d'un syst�me d'�quations diff�rentielles
  ordinaires lin�aires contenant un param�tre.
\newblock {\em J. Fac. Sci. Univ. Tokyo}, 7(1):527--540, 1958.

\bibitem{vdP}
van~der Pol.
\newblock Relaxation oscillations.
\newblock {\em Philos. Mag.}, (2--7):978--992, 1926.

\bibitem{Wasow1}
Wolfgang Wasow.
\newblock {\em Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations}.
\newblock Dover Publications, New York, 1965.

\bibitem{Wasow2}
Wolfgang Wasow.
\newblock {\em Linear Turning Point Theory}.
\newblock Springer, New York, 1985.

\end{thebibliography}

\end{document}

math0102079.extracted_bib
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{BCDD}
�ric Beno\^it, Jean-Louis Callot, Francine Diener, and Marc Diener.
\newblock Chasse au canard.
\newblock {\em Collectanea Mathematica}, 31(1--3):37--119, 1981.

\bibitem{BFSW}
�ric Beno\^it, Augustin Fruchard, Reinhard Sch�fke, and Guy Wallet.
\newblock Solutions surstables des �quations diff�rentielles complexes lentes
  rapides � point tournant.
\newblock {\em Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.}, 7(4):627--658, 1998.

\bibitem{Callot}
Jean-Louis Callot.
\newblock Champs lents-rapides complexes � une dimension lente.
\newblock {\em Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.}, 4\up{e} S�rie, t. 26:149--173, 1993.

\bibitem{CRSS}
M.~Canalis-Durand, J.~P. Ramis, R.~Sch{\"a}fke, and Y.~Sibuya.
\newblock Gevrey solutions of singularly perturbed differential equations.
\newblock {\em J. Reine Angew. Math.}, 518:95--129, 2000.

\bibitem{CD}
Mireille Canalis-Durand.
\newblock Caract�re {G}evrey du d�veloppement formel des solutions canard de
  l'�quation de van der {P}ol.
\newblock {\em C. R. Acad. Sciences Paris S�r. I Math.}, 311(1):27--30, 1990.

\bibitem{CHAP}
S.~J. Chapman, J.~R. King, and K.~L. Adams.
\newblock Exponential asymptotics and {S}tokes lines in nonlinear ordinary
  differential equations.
\newblock {\em Proc. R. Soc. Lond.}, 454:2733--2755, 1998.

\bibitem{FS}
Augustin Fruchard and Reinhard Sch\"afke.
\newblock Exceptional complex solutions of the forced {V}an der {P}ol equation.
\newblock {\em Funkcialaj Ekvacioj}, 42(2):201--223, 1999.

\bibitem{FSs&r}
Augustin Fruchard and Reinhard Sch�fke.
\newblock Surstabilit� et r�sonance.
\newblock {\em Pr�publications de l'I.R.M.A.}, 1999.

\bibitem{KS}
M.~D. Kruskal and H.~Segur.
\newblock Asymptotics beyond all orders in a model of crystal growth.
\newblock {\em Stud. Appl. Math.}, 85:129--181, 1991.

\bibitem{Lie}
A.~Li�nard.
\newblock �tude des oscillations entretenues.
\newblock {\em Revue g�n�rale d'�lectricit�}, 22(23):901--954, 1928.

\bibitem{Ol}
F.W.J. Olver.
\newblock {\em Asymptotics and special functions}.
\newblock New York, Academic Press, 1974.

\bibitem{Sib}
Yasutaka Sibuya.
\newblock Sur la r�duction analytique d'un syst�me d'�quations diff�rentielles
  ordinaires lin�aires contenant un param�tre.
\newblock {\em J. Fac. Sci. Univ. Tokyo}, 7(1):527--540, 1958.

\bibitem{vdP}
van~der Pol.
\newblock Relaxation oscillations.
\newblock {\em Philos. Mag.}, (2--7):978--992, 1926.

\bibitem{Wasow1}
Wolfgang Wasow.
\newblock {\em Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations}.
\newblock Dover Publications, New York, 1965.

\bibitem{Wasow2}
Wolfgang Wasow.
\newblock {\em Linear Turning Point Theory}.
\newblock Springer, New York, 1985.

\end{thebibliography}