Correspondances de Langlands locales dans la cohomologie des espaces de Rapoport Zink
Laurent Fargues
these_appendices.tex
\appendix

\chapter[Repr�sentations automorphes des
groupes
unitaires]
{R�sultats concernant les
repr�sentations automorphes des groupes unitaires, leur cohomologie et
les repr�sentations galoisiennes associ�es}


\section{Hypoth�ses g�n�rales}

Soit $\mathcal{D}=(B,*,V,<.,.>,h)$ une donn�e de type P.E.L. globale
comme dans le premier chapitre. 

 Nous supposerons dans cet appendice que 
 que $\End_B(V)$ est une alg�bre
 � division $D$ sur le corps C.M. $F$. Les vari�t�s de Shimura
 associ�es sont donc propres. Nous supposerons de plus que le
 corps $F$ est de la forme $F^+ \mathcal{K}$ o� $\mathcal{K}|\Q$ est
 une extension quadratique imaginaire. 
 Nous ferons
 �galement l'hypoth�se qu'en toute place $v$ de $F$, l'alg�bre simple
 $D_v$ est soit 
 d�ploy�e soit une alg�bre � division. 

 Soit
$\Phi$ un type C.M. de $F$.
 Rappelons que  
$$
G_1(\R)\simeq \prod_{\tau\in \Phi} U(p_\tau,q_\tau)
$$
o� $p_\tau+q_\tau=n$ et que 
$$
G(\C)\simeq \prod_{\Phi} GL_n (\C) \times \C^\times 
$$
Rappelons que $\rho$ est une repr�sentation alg�brique irr�ductible de
dimension finie de $G_{\C}$ et que nous notons �galement $\rho$ sa
restriction � $G(\R)$. 

Si $v$ est une place finie de $F$ divisant un premier $p$ de $\Q$
d�compos� dans $\mathcal{K}$, le groupe $\GL_n (F_v)$ est un facteur
de $G(\Qp)$. Si $\Pi$ est une repr�sentation automorphe de $G$ on peut
donc d�finir $\Pi_v$ comme repr�sentation irr�ductible de $\GL_n (F_v)$.

Le groupe $G$ �tant anisotrope modulo son centre, l'espace des formes
automorphes sur 
$G$ de caract�re central fix�
est d�compos� discr�tement; il n'y a pas de spectre continu. Si $\Pi$
est une repr�sentation automorphe 
de $G$ on peut donc d�finir sa multiplicit� comme �tant la
multiplicit� de la classe d'isomorphisme de $\Pi$ dans le
$(\mathfrak{g}_\infty,K_\infty)\times G(\A_f)$-module admissible des
formes automorphes se transformant selon le caract�re central de
$\Pi$. Nous noterons $m_\Pi$ cette multiplicit�. 


\section[R�sultats sur les repr�sentations galoisiennes]
{R�sultats de Clozel, Harris et Labesse sur la puret� de la
cohomologie des repr�sentations automorphes} 

Certains des r�sultats �nonc�s ci dessous sont d�montr�s par Clozel
dans \cite{Clozel1} (on pourra �galement consulter le corollaire VII.2.7
de \cite{Har4}) . Ils sont d�montr�s dans le cas de  signature
quelconque par Harris et Labesse dans des notes non publi�es. 

\begin{defi}
Nous noterons $\mathcal{T}(G)_{\rho}$ l'ensemble des repr�sentations
automorphes $\Pi$ de $G$ v�rifiant que $\Pi_\infty$ a de la
cohomologie dans $\rho$. 
\end{defi}

Bien que son �nonc� ne le fasse pas appara�tre, la d�monstration du
r�sultat qui suit utilise la cohomologie des vari�t�s de Shimura de
type P.E.L., et notamment les
r�sultats de Kottwitz sur la cohomologie en une place de bonne
r�duction (\cite{Ko6}), 
 coupl�s aux estimations connues sur les valeurs propres des
 composantes locales des repr�sentations automorphes unitaires
 cuspidales de 
$\GL_n$ (c'est � dire les estimations connues concernant la conjecture
de Ramanujan). 
Plus pr�cis�ment, si $\Pi$ est une repr�sentation automorphe de $G$
intervenant dans la cohomologie de la vari�t� de Shimura associ�e, 
le lien d�montr� par Kottwitz entre les valeurs propres
de Frobenius en une place 
de bonne r�duction (qui v�rifient certaines conditions gr�ce au
th�or�me de puret� de Deligne) 
 et les param�tres de Hecke associ�s permettent de
d�montrer que le motif (tout du moins sa r�alisation $\ell$-adique, De
Rham...)
d�coup� par $\Pi_f$ dans la vari�t� de Shimura est pure de poids
$\dim \Sh$. 


\begin{theo}\label{purete}
Soit $\Pi\in \mathcal{T}(G)_{\rho}$ telle qu'il existe
un premier $p$ de $\Q$ d�compos� dans $\mathcal{K}$ et 
 une place finie
$v$ de $F$ divisant $p$  
v�rifiant :  $\Pi_v$ soit dans la s�rie discr�te. Alors, 
$$
\dim H^i (\mathfrak{g}_\infty,K_\infty ; \Pi_\infty\otimes \rho) =
\left \{ { 1 \text{  si } i=\sum_\tau p_\tau q_\tau =\dim \Sh \atop 
 0 \text{  sinon} } \right.
$$
De plus, $\Pi_\infty$ appartient au L-paquet de la s�rie discr�te de
$G(\R)$ form� des repr�sentations de la s�rie discr�te de $G(\R)$
ayant de la cohomologie dans $\rho$. Ce L-paquet est exactement la
fibre du changement de base vers $G(\C)$ en l'unique repr�sentation
temp�r�e de $G(\C)$ ayant de la cohomologie dans $\rho$ . Son cardinal
est �gal � $\dim r_\mu$ o� $r_\mu$ est la repr�sentation du L-groupe
de $G$ associ�e � $\mu$ (\cite{Langlands1})(conf�re \ref{mutau}). 
\end{theo}

\begin{theo}\label{purete_supercusp}
Sous les hypoth�ses du th�or�me pr�c�dent, supposons de plus que
$\Pi_v$ soit supercuspidale. Alors, pour toute repr�sentation
$\pi'_\infty$ de $G(\R)$ dans le L-paquet de la s�rie discr�te ci
dessus $\Pi'=\pi'_\infty\otimes \Pi_f\in \mathcal{T}(G)_{\rho}$. De
plus, les multiplicit�s $m_\Pi$, $m_{\Pi'}$ de $\Pi$ et $\Pi'$ sont �gales.
\end{theo}

\section[Changement de base quadratique stable]
{R�sultats de Clozel, Harris et Labesse sur le changement de
base quadratique stable}\label{CHL}

Nous �non�ons ici un th�or�me de Harris et Labesse d�montr� dans des
notes non publi�es. Le cas  de signature $(1,n-1)$ est
d�montr� par Clozel dans \cite{Clozel1} (dans le  VII.2 de
\cite{Har4} le r�sultat de Clozel est expliqu� en d�tails, il y est
�galement expliqu� 
comment passer du cas des groupes unitaires au cas des groupes de
similitudes unitaires). Les morphismes de L-groupes associ�s aux
fonctorialit�s de Langlands que d�montrent ce th�or�me sont expos�s
dans la d�monstration du th�or�me \ref{gal_coho_sh}.
\\

 Soit  $p$  un  premier de $\Q$ 
 d�compos� dans $\mathcal{K}$, $p=w_0 w_0^c$. Supposons l'alg�bre �
 division $D=\End_B (V)$ d�ploy�e en $p$. 
Si $(v_i)_{i\in I}$ d�signe un ensemble de repr�sentants des classes
de places $v$ divisant $p$ modulo l'action de $c$, 
$$
G(\Qp)=\prod_{i\in I} \Gl_n (F_{v_i}) \times \Qp^\times 
$$
et si $\pi=(\otimes_i \pi_i)\otimes \chi$ est une repr�sentation
irr�ductible de $G(\Qp)$ on peut d�finir le changement de base 
quadratique de $\pi$ comme �tant 
$$
BC(\pi) =( \otimes_{i\in I}  \pi_i\otimes \check{\pi}_i^c )\otimes
 (\chi\otimes \chi^{-1}) 
$$ 
Lorsque $D$ n'est plus d�ploy�e en $p$ on peut encore d�finir un
changement de base quadratique stable en composant le changement de
base qui vient d'�tre d�crit avec la correspondance de
Jacquet-Langlands locale. 

Si maintenant  $p$ un premier de $\Q$ en lequel $G_{\Qp}$ est non ramifi�, si
$\pi$ est une repr�sentation sph�rique de $G(\Qp)$ on peut alors
d�finir le changement de base non ramifi� de $\pi$ comme
repr�sentation de 
$$
\prod_{v|p} \Gl_n( F_v) \times \prod_{w|p} \mathcal{K}_w^\times 
$$
o� $v$ parcourt des places de $F$ et $w$ de $\mathcal{K}$.
Dans le cas o� $p$ est d�compos� dans $\mathcal{K}$ on retrouve le cas
pr�c�dent restreint aux repr�sentations sph�riques. Dans le cas o� $p$
n'est pas d�compos� dans $\mathcal{K}$, si $BC(\pi)=(\otimes_v \pi'_v)
\otimes \chi_w$, on a les relations 
$$
\forall v \;\;\pi_v'\simeq \check{\pi}'_{v^c}  
$$

Le th�or�me qui suit �nonce l'existence d'un changement de base
quadratique stable pour des repr�sentation automorphes de $G$ vers celles
d'un groupe lin�aire. Le mot stable signifie que l'on a
compos� un changement de base quadratique avec une correspondance de
Jacquet-Langlands.

\begin{theo}\label{BCCC}
Soit $\Pi\in\mathcal{T}(G)_{\rho}$ telle qu'il existe un premier $p$
d�compos� dans $\mathcal{K}$ et une place $v$ de $F^+$ divisant $p$
telle que $\Pi_v$ soit supercuspidale. Il existe alors une 
repr�sentation automorphe cuspidale $\Pi'$ de $\Gl_n(\A_F)$ ainsi
qu'un caract�re de Hecke $\chi$ de $\A_{\mathcal{K}}^\times$ 
 v�rifiant 
\begin{itemize}
\item $\chi=\chi_{\Pi|\A_{\mathcal{K}}^\times}^c$
\item Si $\Pi_p$ est non
ramifi�e alors $(\Pi'\otimes\chi)_p$ est le changement de base non ramifi�
de $\Pi_p$
\item $\Pi'_\infty$ est de la forme $$\prod_{\tau\in \Phi}
\pi'_{\tau}$$
o� $\prod_\tau \pi'_\tau$ est l'unique repr�sentation temp�r�e de
$G_1(\C)$ ayant de la cohomologie dans $\rho_{|G_1(\C)}$. De plus,  $$
\chi_\infty=\rho_{|\C^\times}^{-1}
$$
o� $\C^\times\subset G(\C)$ d�signe l'inclusion du facteur de similitude.
\item $\Check{\Pi}' \simeq {\Pi'}^c$ 
\item Si $p$ est d�compos� dans
$\mathcal{K}$ alors 
$$
(\Pi'\otimes \chi)_p= BC (\Pi_p)
$$
comme repr�sentation de $(\text{Res}_{F/\Q} \Gl_n \times
\text{Res}_{\mathcal{K}|\Q} \Gm)(\Qp)$.
\item $\chi_{\Pi'|\A_{\mathcal{K}}^\times}=\chi/\chi^c$
\end{itemize}
\end{theo}

Par multiplicit� un forte, une telle repr�sentation automorphe $\Pi'$ est unique. 


\section{R�sultats de Harris et Labesse sur la comparaison entre la
formule des traces pour deux groupes unitaires formes int�rieures} 

 Soit $v$ une place finie de $F$ v�rifiant $v\neq v^c$. 
Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes unitaires comme ci dessus, formes
int�rieurs l'un de l'autre tels que $G_1(\A_f^v)=G_2 (\A_f^v)$. 
 Nous notons $JL$ le transfert local des
repr�sentations supercuspidales de $G_{1v}$ et $G_{2 v}$ vers les
repr�sentations de leur forme int�rieur quasid�ploy�e : $\Gl_n
(F_v)$. 

\begin{theo}\label{comparaison_formes_int}
 Soit $\Pi_1\in
\mathcal{T}(G_1)_\rho$ telle que $JL(\Pi_{1v})$ soit supercuspidale. Alors,
pour toute repr�sentation $\pi_\infty$ de $G_2 (\R)$ faisant partie du
L-paquet de la s�rie discr�te ayant de la cohomologie dans $\rho$, il
existe une $\Pi_2\in \mathcal{T}(G_2)_\rho$ telle que 
\begin{itemize}
\item $\Pi_{2\infty}=\pi_\infty$
\item $\Pi_2^{v}\simeq \Pi_1^v$
\end{itemize}
De plus, pour une telle $\Pi_2$
 $$JL(\Pi_{2v})=JL(\Pi_{1v})
$$
et les multiplicit�s de $\Pi_1$ et $\Pi_2$ sont �gales.
\end{theo} 

On d�duit en particulier de ce th�or�me, du th�or�me \ref{purete} et
de la formule de Matushima que si $\Pi_1$ est comme dans
l'�nonc�, la multiplicit� de $\Pi_{1,f}$ dans la cohomologie de la
vari�t� de Shimura associ�e est 
$$
\text{multiplicit�} (\Pi_1) \times \dim r_\mu
$$
Nous verrons en fait dans le th�or�me \ref{gal_coho_sh} que le facteur
$\dim r_\mu$ est la dimension d'une repr�sentation galoisienne telle que la
repr�sentation galoisienne d�compos�e par $\Pi_{1,f}$ dans la
cohomologie 
 est $\text{multiplicit�} (\Pi_1)$-fois cette
repr�sentation. Dans le cas de la signature $(1,n-1)$ ce th�or�me de
divisibilit� est d�montr� par Taylor en utilisant la th�orie de
Hodge-Tate p-adique (� l'origine dans une lettre de Taylor � Clozel,
cet argument est 
esquiss� dans \cite{Har1} page 102; pour plus de d�tails, conf�re
\cite{Har4} et notamment le lemme II.2.2 et la proposition VIII.1.8). Dans le cas g�n�ral, nous
d�duirons ce r�sultat du cas de signature $(1,n-1)$ (th�or�me \ref{gal_coho_sh}).
 

\section{R�sultats de Clozel, Harris, Kottwitz et Taylor sur les repr�sentations
galoisiennes}

Voici une partie de l'�nonc� du th�or�me VIII.1.9 de \cite{Har4} qui
g�n�ralise le th�or�me principal de \cite{Clozel1}. 

\begin{theo}\label{theogalo}
Soit $\Pi$ une repr�sentation automorphe cuspidale de $\Gl_n(\A_F)$
satisfaisant les hypoth�ses suivantes :
\begin{itemize}
\item $\check{\Pi}\simeq \Pi^c$
\item $\Pi_\infty$ a m�me caract�re infinit�simal que
$\check{\rho}_{|G_1(\C)}$
\end{itemize}
Il existe alors une repr�sentation continue
$$
R_\ell (\Pi):\Gal(\bar{F}|F)\ldrt \GL_n (\Qlb)
$$
v�rifiant 
\begin{itemize}
\item En toute place $v$ de $F$ ne divisant pas $\ell$ la restriction de
$R_\ell (\Pi)$ � $W_{F_v}$ est $\s_\ell( \Pi^\vee_v)\otimes
|.|^{\frac{1-n}{2}}$ o� $\s_\ell$ d�signe la 
correspondance de Langlands locale pour $\GL_n(F_v)$. 
\item En toute place $v$ o� $R_\ell (\Pi)$ est non ramifi�e, les
valeurs propres de Frobenius sont alg�briques pures de poids $n-1$
\end{itemize}
\end{theo}

\section{R�sultat de Kottwitz sur les repr�sentations galoisiennes
  obtenues dans la cohomologie des vari�t�s de Shimura en une place de
  bonne r�duction}\label{theo_kott_sh}

Dans l'article \cite{Ko6} Kottwitz d�montre qu'en presque toutes les
places de bonne r�duction, la correspondance de Langlands locale non
ramifi�e est r�alis�e dans la cohomologie des vari�t�s de Shimura que
nous consid�rons. Ce r�sultat est le corollaire des nombreux travaux
de Kottwitz sur la stabilisation de la formule des traces ainsi que de ses
travaux sur le comptage des points des vari�t�s de Shimura sur les
corps finis 
(\cite{Ko1}). 
 Nous renvoyons le lecteur au th�or�me 1 de \cite{Ko6}
 (et au nombreux travaux ant�rieurs de Kottwitz) pour 
l'�nonc�. Le th�or�me \ref{gal_coho_sh} est une g�n�ralisation 
de ce th�or�me �  d'autres places. 

\section[Application au cas P.E.L. de signature quelconque]
{Application aux repr�sentations galoisiennes obtenues dans 
la cohomologie des vari�t�s de Shimura de type P.E.L. de signature quelconque}

Nous montrons que la repr�sentation galoisienne associ�e � une
repr�sentation automorphe d'un groupe unitaire dans une vari�t� de
Shimura de signature quelconque est bien celle pr�dite dans
\cite{Langlands1}, du moins en une place d�compos�e ou bien en
d'autres places sous certaines
hypoth�ses. 

\subsection{Correspondance de Langlands locale pour $\GL_n$ revisit�e}
\label{Lang_Rev}

Soit $F|\Qp$ une extension  de degr� fini.
 Soit 
$$
\s_\ell: \mathcal{A}_\ell (n,F) \iso \mathcal{G}_\ell (n,F)
$$
la correspondance de Langlands locale pour $\Gl_n (F)$ $\ell$-adique, au
sens o� des deux cot�s les repr�sentations sont � valeurs dans des
$\Qlb$-espaces vectoriels et o� nous prenons comme d�finition de
$\mathcal{G}_\ell (n,F)$ : l'ensemble des classes d'isomorphisme de
repr�sentations 
$
\rho: W_F\ldrt \Gl_n(\Qlb)
$
Frobenius semi-simples. L'ensemble $ \mathcal{A}_\ell (n,F)$ est
d�fini de la m�me fa�on que pour des coefficients complexes en
rempla�ant formellement $\C$ par $\Qlb$. 

Consid�rons le groupe $H=\Res_{F/\Qp} (\Gl_{n/F})$, et 
$$ 
\L H=\left ( \prod_{\tau\in I_F} \Gl_n (\Qlb) \right ) \rtimes W_{\Qp}
$$
son $L$-groupe $\ell$-adique o� $I_F=\Hom_{\Qp} (F,\Qpb)$ sur lequel 
$\Gal (\Qpb |\Qp)$ agit par composition. 

Le lemme de Shapiro 
$$
H^1(W_{\Qp}, \L H^0) \simeq H^1 (W_F , \Gl_n (\Qlb))
$$
implique alors l'existence d'une bijection 
$$
\pi\longmapsto \tilde{\s}_\ell (\pi)
$$
entre $\mathcal{A}_\ell (n,F)$ et l'ensemble des classes de morphismes
continus de
$W_{\Qp}$ dans $\L H$ induisant l'identit� apr�s projection sur $W_{\Qp}$, tels que
l'image du Frobenius de $F$ dans $\L H^0$ soit semi-simple, et o� deux
tels morphismes sont dans la m�me classe ssi ils sont conjugu�s par un
�l�ment de $\L H^0$. La correspondance $\tilde{\s}$ est la
correspondance de Langlands locale ``absolue'', c'est � dire sur $\Qp$. 

\subsection{Le morphisme $r_\mu$ local} \label{le_r_mu}

Nous explicitons la d�finition de \cite{Langlands1} dans notre cas.

Soit $H$ comme pr�c�demment et 
$$
\mu:\Gm{/\Qpb} \ldrt H_{/\Qpb}
$$
un cocaract�re. Soit $E\subset \Qpb$ le corps de d�finition de la
classe de conjugaison de $\mu$. 
$$
H_{\Qpb}\simeq \prod_{\tau\in I_F} \Gl_{n\Qpb}
$$
et si via cet isomorphisme $\mu=(\mu_\tau)_{\tau\in I_F}$ o� $\forall
\tau \;\mu_\tau\in \Z^n/\S^n \simeq X_* (\Gl_n)/\text{conjugaison}$,
$\Gal (\Qpb | E)$ est le stabilisateur de $(\mu_\tau)_\tau$ dans $\Gal
(\Qpb |\Qp)$. 

\begin{exem}
Si $\tau_0\in I_F$ est fix� et $\forall \tau\neq \tau_0\;\;$
$\mu_\tau=0$, $\mu_{\tau_0}\neq 0$ alors 
$E=F^{\tau_0}$.
\end{exem}

$\mu$ d�finit un poids dominant $\check{\mu}$ de $\L H^0$ dont la
classe de conjugaison est invariante par $\Gal (\Qpb | E)$. 

Supposons $\check{\mu}$ minuscule donn� par des entiers
$(p_\tau)_{\tau\in I_F}$, $0\leq p_\tau \leq n$, et $\mu_\tau
=(\underbrace{1,\dots, 1}_{p_\tau}, 0, \dots, 0)$. 
A $\check{\mu}$ est associ� la repr�sentation irr�ductible de
dimension finie de $\L H^0$ de plus haut poids $
(1,\dots,1)-\check{\mu}$ (et non $\check{\mu}$, � cause de la
convention homologique de Kottwitz qui identifie $\mu$ au caract�re
d�finissant la filtration de Hodge sur le $H_1$ et non le $H^1$).  
�tendons cette repr�sentation en une repr�sentation $r_\mu$ de $\L
H_E$ en posant que l'action de $W_E$ sur l'espace de plus haut poids
 est triviale. 

Plus explicitement :
$$
{r_\mu}_{|\L H^0}= \bigotimes_{\tau\in I_F} \left ( \bigwedge^{p_\tau} St
\right ) ^* 
$$
o� $St$ d�signe la repr�sentation standard. 
Pour un �l�ment  $\s\in W_E$ 
$$
 (1 \rtimes \s). ( \otimes_\tau v_\tau) = \otimes_\tau v_{\s^{-1}\tau}
$$
(cette expression est bien d�finie car si $\s\in W_E,
p_{\s^{-1}\tau}=p_\tau$).  

Si $\pi\in \mathcal{A}_\ell (n,F)$ on peut donc d�finir 
$$
r_\mu \circ \tilde{\s}_\ell (\pi)_{|E}  \in \mathcal{G}_\ell (\dim r_\mu , E)
$$
\\

Si plus g�n�ralement 
$ H=\prod_{i\in I} \Res_{F_i/\Qp} ( \Gl_{n F_i} )$
pour des corps locaux $p$-adiques $F_i$
, si $\mu=\prod_{i} \mu_i$ est un cocaract�re de $H_{\Qpb}$, si $E_i$ est le
corps r�flex de la composante $\mu_i$ alors, le corps r�flex de $\mu$,
encore not� $E$, v�rifie
$E\subset\prod_i E_i =: M$. De plus, la repr�sentation $r_\mu$ du
L-groupe de $H$ est
encore d�finie et 
$$
r_{\mu_{|M}}=\bigotimes_{i\in I} r_{\mu_i |M}
$$
Ainsi, si $\pi=\otimes_i \pi_i$ est un repr�sentation irr�ductible de
$H(\Qp)$, la repr�sentation 
 $\tilde{\s}_\ell (\pi) : W_{\Qp} \ldrt
\L H$ est d�finie et l'on a l'�galit� 
$$
r_\mu \circ \tilde{\s} (\pi)_{|M} =\bigotimes_{i\in I} \left (r_{\mu_i} \circ
\tilde{\s}_\ell (\pi_i)_{|E_i} \right)_{|M}
$$

\subsection{Le th�or�me} \label{mutau}

 Nous
 supposerons maintenant que le type C.M.  $\Phi$ est induit � partir d'un 
type C.M. de $\mathcal{K}$, c'est � dire qu'il existe un $\tau_0\in
 \Hom (\mathcal{K},\C)$ tel que $\Phi=\{\tau\in \Hom (F,\C)\;|\;
 \tau_{|\mathcal{K}}=\tau_0 \}$.  
Soit $\mu$ le cocaract�re de
$G_{\Qb}$ associ� � la donn�e de Shimura. 
Rappelons que le cocaract�re  $\mu$ est donn� par un uplet
 $(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in \Phi}$ 
o� $p_\tau+q_\tau=n$. Nous reprenons les notations du I. 
\\

Rappelons la formule de Matsushima qui d�compose la cohomologie de De
Rham de la
vari�t� de Shimura en repr�sentations irr�ductibles de $G(\A_f)$ : 
$$
\forall i\;\;\;\; \underset{K}{\limi} H^i (\Sh_K,\LL_\rho) =
\bigoplus_{\Pi\in \mathcal{T} (G)_\rho} \dim H^i
(\mathfrak{g}_\infty, K_\infty; \Pi_\infty \otimes \rho). \;\; \Pi_f 
$$
L'action de $G(\A_f)\times \Gal ( \Qb | E)$ sur cette cohomologie
permet quant � elle de d�composer la cohomologie �tale $\ell$-adique en 
$$
\forall i\;\;\;\; \underset{K}{\limi} H^i (\Sh_K,\LL_\rho) = 
\bigoplus_{\Pi' \in \text{Irr} (G(\A_f))} \Pi' \otimes
R_{\ell,\rho,\mu}^i ( \Pi') 
$$
o� $R_{\ell,\rho,\mu}^i ( \Pi_f)$ est une repr�sentation continue de
$\Gal ( \Qb | E)$. 
De la formule de Matsushima on d�duit que 
$$ \exists i\;
R_{\ell,\rho,\mu}^i ( \Pi')\neq 0 \limpl \exists \Pi\in \mathcal{T}
(G)_\rho \;\; \Pi_f\simeq \Pi'
$$
Du th�or�me \ref{purete_supercusp}, on
d�duit que si $\Pi\in \mathcal{T} (G)_\rho$ et 
si en une place $v$ d�compos�e de $F$, $\Pi_v$ est supercuspidale 
$$
 R_{\ell,\rho,\mu}^i ( \Pi_f) =0 \text{ si } i\neq \dim \Sh
$$
et 
$$
 \dim R_{\ell,\rho,\mu}^{\dim \Sh} (\Pi_f)= m_\Pi \; \dim r_\mu
$$
o� $m_\Pi$ d�signe la multiplicit� de $\Pi$. 
Nous poserons $[R_{\ell,\rho,\mu}^i ( \Pi_f)]$
comme �tant la repr�sentation galoisienne semi-simplifi�e de la repr�sentation pr�c�dente. 

\begin{theo}\label{gal_coho_sh}
Soit $\Pi\in\mathcal{T} (G)_\rho$, soit $[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f) ]$ la
repr�sentation semi-simple de $\Gal(\Qb | E)$ associ�e � $\Pi_f$ en
degr� moiti� dans la 
cohomologie de la vari�t� de Shimura de type P.E.L. associ�e � $\mu$.
Supposons qu'en une place finie $v$ de $F$ divisant un premier de $\Q$  d�compos�
dans $\mathcal{K}$, $\Pi_v$ soit supercuspidale.
Soit $p$ un premier de $\Q$ d�compos� dans $\mathcal{K}$. Notons 
$G(\Qp)=\prod_{i\in I} \Gl_n (F_{v_i})\times \Qp^\times$ et
$\dpt{\Pi_p=\otimes_v \Pi_v \otimes \chi}$.  
 Rappelons qu'un plongement $\nu$ de $\Qb$ dans $\Qpb$ est fix�,
  et qu'on note $\mu_{\Qpb}=\prod_{i\in I} \mu_i$ le cocaract�re de Shimura local
associ�s. Il y alors une �galit� 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f) ]_{|W_{E_\nu}} = [ r_{\mu_{\Qpb}} \circ
\tilde{\s}_\ell (\Pi_p)_{|E_\nu}]^{m_\Pi}\otimes |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}} 
$$
comme repr�sentation semi-simple de $W_{E_\nu}$.

De plus, si pour $i$ dans $I$, $E_i$ d�signe le corps r�flex de $\mu_i$, $E_\nu\subset
 \prod_i E_i =: M$ et 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f) ]_{|W_M} =
 m_\Pi \bigotimes_{i\in I} [ r_{\mu_i |M} \circ \tilde{\s}_\ell
(\Pi_{v_i})_{|M} ] 
\otimes \s_\ell (\chi)^{-1}_{|M}\; |.|^{-\frac{\sum_\tau p_\tau q_\tau}{2}}
$$
\end{theo}

\begin{proof}
La deuxi�me formule est une cons�quence imm�diate de la premi�re.

Commen�ons par quelques pr�liminaires de L-groupes ``$\ell$-adiques''
(�tant donn� que nous ne disposons que de syst�mes compatibles de
repr�sentations galoisiennes et pas de repr�sentation du groupe de
Weil global, nous ne pouvons travailler directement avec des L-groupes
complexes). 
Soit le L-groupe $\ell$-adique de $G$ 
$$
\L G=\left ( \prod_{\tau\in \Phi} \GL_n (\Qlb) \times \Qlb^\times
\right )\rtimes
\Gal (\Qb | \Q) 
$$
o� $\forall \s\in \Gal (\Qb |\Q)\;
\s.((g_\tau)_\tau,z)=((h_\tau)_\tau,z')$ avec 
$$
\forall \tau\in\Phi\;\; h_\tau= \left \{ g_{\s^{-1}\tau} \text{  si }
\s^{-1}\tau \in \Phi \atop \,w ^t(g_{c\s^{-1}\tau})^{-1}w^{-1}\text{  si }
\s^{-1}\tau\notin \Phi \right.
$$
o� 
$$
w= (( -1)^{i-1} \delta_{i, n-j+1})_{i,j}
$$
et
$$
\; z' = z \prod_{\tau\in \Phi \atop \s^{-1} \tau\notin \Phi } \det (
g_\tau) 
$$
L'�l�ment $w$ a �t� choisi de mani�re � ce qu'il envoie
l'image par l'automorphisme $g\mapsto \,^t g^{-1}$ de 
l'�pinglage standard de $\Gl_n$ sur l'�pinglage standard. 
Soit maintenant $H=( \Res_{F/\Q} \Gl_n)\times
\Res_{\mathcal{K}/\Q}\Gm$. Le groupe r�ductif $\Res_{\mathcal{K}/\Q}
G_\mathcal{K}$  
�tant une forme int�rieure de $H$ il y a un isomorphisme de L-groupes
$$
\L \left ( \Res_{\mathcal{K}/\Q} G_\mathcal{K} \right ) \iso \L H
\simeq \left ( \prod_{\tau\in I_F} \Gl_n (\Qlb) \times \C^\times\times\C^\times\right )
\rtimes \Gal (\Qb |\Q)
$$
auquel est associ� la correspondance de Jacquet-Langlands. 
Il y a �galement un morphisme de L-groupes 
\begin{eqnarray*}
\L G & \ldrt & \L  \left ( \Res_{\mathcal{K}/\Q} G_\mathcal{K} \right
) \\
((g_\tau)_\tau,z)\rtimes \s & \longmapsto & ((g_\tau)_\tau, w\,^t
(g_\tau^{-1})_{c\tau} w^{-1},z,z\prod_{\tau\in\Phi} \det g_\tau )\rtimes \s 
\end{eqnarray*}
 auquel est associ� le changement de base quadratique. Le compos� des deux
morphismes ci dessus est associ� au changement de base stable de la
section \ref{CHL}. 

Rappelons que  $E$ d�signe le corps r�flex de $\mu$. Ce corps ne
contient pas forc�ment le corps r�flex de $(F,\Phi)$. 
Comme dans la section pr�c�dente dans le cas local, au cocaract�re
$\mu$ est associ� une 
repr�sentation $r_\mu$ de $\L G_E$ v�rifiant
$$
r_{\mu|\L G^0}=\bigotimes_{\tau\in \Phi} \left ( \bigwedge^{p_\tau} St
\right )^* \otimes (St)^{-1}
$$ 
et 
$$
\forall \s\in \Gal(\Qb | E)\;\;\; r_\mu (\s)\left (\bigotimes_{\tau\in \Phi}
v_\tau\otimes z \right )= \bigotimes_{\tau\in \Phi \atop \s^{-1}\tau \in
  \Phi} v_{\s^{-1}\tau} \bigotimes_{\tau\in \Phi \atop
  \s^{-1}\tau\notin \Phi} \,^{t}\left (\bigwedge^{p_\tau} w^{-1} \right
) ( v_{c\s^{-1}\tau}) \otimes z 
$$

\begin{rema}
  Le morphisme $r_\mu$ est bien d�fini : on doit v�rifier l'�galit�
  pour tout $g$ et $\s$ 
$$
r_\mu (\s) r_\mu (g) r_\mu (\s)^{-1} = r_\mu ( g^{\s} )
$$
Cela ne pose pas de probl�me au niveau des composantes du produit
tensoriel 
 index�es par des $\tau\in \Phi$ v�rifiant $\s^{-1} \tau \in
 \Phi$. Cependant, si $\s^{-1}\tau\notin \Phi$, il faut remarquer
 qu'�tant donn� que $\s$ stabilise la classe de conjugaison $\mu$, 
 $q_{c\s^{-1}\tau} = p_{\tau}$, et que si $g$ est un endomorphisme d'un
 espace vectoriel de dimension $n$ alors pour tout $i$,
$\det (g)^{-1}.
 \bigwedge^{i} g = \,^t \left ( \bigwedge^{n-i} g \right )$.
 \end{rema}

Rappelons que $F^\Phi$ d�signe le corps r�flex de $(F,\Phi)$.
Dans notre cas $F^\Phi=\tau_0(\mathcal{K})$ pour un plongement
$\tau_0$ de $\mathcal{K}$ dans $\C$. Nous
allons nous int�resser au corps compos� $E F^\Phi$. 
On peut d�finir une repr�sentation $r_\mu'$ de $\L H_{EF^\Phi}$ de
la fa�on suivante :
$$
\L H \simeq \left (\prod_{\tau\in \Phi} \Gl_n (\Qlb) \times
\prod_{\tau\in c \Phi} \Gl_n (\Qlb) \times \Qlb^\times \times
\Qlb^\times \right ) \rtimes \Gal(\Qb |\Q)
$$
Posons 
$$
r'_{\mu | \L H^0}=\bigotimes_{\tau\in \Phi} \left ( \bigwedge^{p_\tau} St
\right )^* \bigotimes_{\tau\in c \Phi} 1 \otimes (St)^{-1}\otimes 1
$$
et $\forall \s\in \Gal (\Qb | E F^\Phi)$ 
$$
r'_\mu (\s) (\bigotimes_{\tau\in \Phi} v_\tau \otimes \l)=\bigotimes_{\tau\in
\Phi} v_{\s^{-1}\tau} \otimes \l
$$
Et remarquons maintenant que le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
\L G_{EF^\Phi} & \rTo & \L (\Res_{\mathcal{K}/\Q} G_{\mathcal{K}})_{EF^\Phi} &
\rTo^\sim & \L H_{EF^\Phi} \\
 & \rdTo^{{r_\mu}_{| E F^\Phi} } & & \ldTo_{r'_\mu} \\
& & \Gl_{dim (r_\mu)} (\Qlb) 
\end{diagram}
o� la premi�re application horizontale est l'application associ�e au
changement de base et la seconde � la correspondance de
Jacquet-Langlands d�crites auparavant. 
\\

Notons maintenant $R_1=[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f)]$
la repr�sentation de $\Gal ( \Qb | E)$ 
associ�e � $\Pi_f$ dans la cohomologie de la vari�t�
de Shimura. Soit
$(\Pi',\chi)$ le changement de base stable de $\Pi$ associ� � $\Pi$
gr�ce au th�or�me \ref{BCCC}. Soit $R'$ la repr�sentation
$\ell$-adique de $\Gal (\overline{F} |F)$ associ�e � $\Pi'$ par le
th�or�me \ref{theogalo}. Il r�sulte du th�or�me \ref{BCCC} que $\chi$
est un caract�re de Hecke alg�brique. On peut donc �galement lui associer un
caract�re $\ell$-adique $\chi':\Gal(\overline{\mathcal{K}} |\mathcal{K})\ldrt
\Qlb^\times$.
Faisons maintenant la remarque fondamentale suivante qui r�sulte de
l'�galit� $q_\tau=n- p_\tau$ : 
$$
a:=\sum_{\tau\in \Phi}p_\tau (n-1)-\sum_{\tau\in \Phi} p_\tau q_\tau \equiv 0 \text{ mod } 2
$$
 A l'entier $\frac{a}{2}$ est associ� 
 le caract�re cyclotomique $\ell$-adique tordu $\frac{a}{2}$-fois (qui est
 le caract�re Galoisien $\ell$-adique associ� au caract�re de Hecke
 alg�brique $ ||.||^{a/2}$); nous noterons $(-)\mapsto
 (-)(\frac{a}{2})$ la torsion par ce caract�re. 
 Le couple
$(R',\chi')$ fournit (par le lemme de Shapiro) un morphisme 
$$
R'_2:\Gal(\Qb |\Q) \ldrt \L H
$$
Posons 
$$
R_2=\left ( r'_\mu\circ R'_{2|E F^\Phi }\right )^{m_\Pi} (\frac{a}{2})
$$
comme repr�sentation de $\Gal(\Qb | EF^\Phi)$. 

Montrons que $R_{2|\Gal ( \Qb | EF^\Phi)}=R_1$ ce qui conclura la d�monstration  d'apr�s les
propri�t�s de $R'$ 
�nonc�es  dans le th�or�me  \ref{theogalo}, la forme du changement de
base local en un $p$ d�compos�, la d�finition de $r'_\mu$, le choix
de $a$ et qu'�tant donn� que $p$ est d�compos� dans $\mathcal{K}$, $(E
F^\Phi)_{\nu}= E_\nu$.

Pour montrer que $R_{2|\Gal ( \Qb | EF^\Phi)}=R_1$ il suffit d'apr�s le
  th�or�me de densit� 
de Tchebotarev de montrer que pour presque toutes les places $v$ de $EF^\Phi$,
$ R_{2|W_{(EF^\Phi)_v}}=R_{1 |W_{( EF^\Phi)_v}}$. Restreignons nous aux places $v$
divisant des premiers $p_0$ de $\Q$ tels que $\Pi_{p_0}$ soit non
ramifi�e. L'�galit� ci dessus r�sulte alors de la commutativit� du
diagramme global ci dessus restreint � $W_{(EF^\Phi)_v}$ et du th�or�me de Kottwitz
calculant la repr�sentation galoisiennes non ramifi�e en une place de
bonne r�duction.
\end{proof}

\begin{coro}
Soit $v_0$ une place de $F$ fix�e.
Soit $\nu$ un plongement de $\Qb$ dans $\Qpb$ tel que si $\tau\in
\Phi$ v�rifie $\nu\circ \tau : F\hookrightarrow \Qpb$ n'induise pas
$v_0$ alors $p_\tau=0$ (autrement dit, la donn�e de Shimura locale
associ�e est �tale hors $v_0$). Alors, $E_\nu=E(\mu_{v_0})$ et 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f) ]_{|W_{E_\nu}} = m_\Pi [r_{\mu_{v_0}}\circ
\tilde{\s}_\ell (\Pi_{v_0})_{|E(\mu_{v_0})}] \otimes \s_\ell (\chi)_{|E_\nu}^{-1} \;
|.|^{\frac{-\sum_\tau p_\tau q_\tau}{2}} 
$$
\end{coro}

\begin{rema}
Les repr�sentations $\ell$-adiques des groupes de Weil locaux consid�r�es ci dessus
sont semi-simples et pas seulement Frobenius semi-simples : on a
semi-simplifi� la monodromie de ces repr�sentations. Ainsi, par
exemple si $\rho$ est une repr�sentation galoisienne locale 
$$
[\rho \otimes sp (r)]=r [\rho]
$$
Cependant le th�or�me ci dessus devrait �tre encore vrai sans
semi-simplification de la monodromie, c'est � dire il devrait y avoir
un isomorphisme comme repr�sentations du groupe de Weil-Deligne. 
\end{rema}

Nous allons maintenant nous int�resser � la restriction de la
repr�sentation galoisienne obtenue dans la cohomologie de la vari�t�
de Shimura en une place non d�compos�e. Soit donc $p$ un premier de
$\Q$ inerte dans $\mathcal{K}$. Avec les notations du I, il y a une
d�composition 
$$
G(\Qp)=\prod_{i\in I} \GL_n (F_{v_i}) \times G( \prod_{j\in J} U(n , F_{v_j}))
$$
o� l'on suppose que l'ensemble $J$ param�trant les places de $F$
�gales � leur complexe conjugu�e est non vide. Si $\Pi$ est une
repr�sentation automorphe de $G$ satisfaisant les hypoth�ses du
th�or�me \ref{BCCC}, le changement de base stable global $BC (\Pi)$
consiste en une repr�sentation automorphe $\Pi'$ de $\GL_{n/ F}$ et un
caract�re de Hecke $\chi$ de $\A_{\mathcal{K}}^\times$. La composante en
$p$ de $\Pi'\otimes \chi$ est donc une repr�sentation du groupe
p-adique 
$$
\prod_{i\in I} \left (\GL_n ( F_{v_i})\times \GL_n (F_{v_i^c}) \right )\times
\prod_{j\in J} \GL_n ( F_{v_j}) \times \mathcal{K}_p^\times 
$$
de la forme 
$$
(\Pi'\otimes \chi)_p = \bigotimes_{i\in I} \left ( \pi_i\otimes
  \check{\pi}_i \right )  \otimes \bigotimes_{j\in J} \pi_j \otimes
\chi_p 
$$
o� $\forall j\in J \; \pi_j\simeq \check{\pi}_j$. Nous noterons alors
$$
\text{BC} ( \Pi )_p^0 = \bigotimes_{i\in I} \pi_i \otimes
\bigotimes_{j\in J} \pi_j \otimes \chi_p 
$$
comme repr�sentation de $\prod_{i\in I} \GL_n (F_{v_i}) \times
\prod_{j\in J} \Gl_n ( F_{v_j}) \times \mathcal{K}_p^\times$ qui est
le groupe des $\Qp$-points du groupe alg�brique $\prod_{i\in I} \Res_{F_{v_i}/\Qp}
  \GL_n \times\prod_{j\in J} \Res_{F_{v_j}/\Qp} \GL_n \times
  \Res_{\mathcal{K}_p /\Qp} \Gm$. On peut en
particulier d�finir la repr�sentation $\tilde{\s}_\ell (\text{BC} ( \Pi
)_p^0 )$ de $\Gal ( \Qpb |\Qp)$ dans le L-groupe de ce groupe
r�ductif (conf�re \ref{Lang_Rev}). Dans la d�monstration du th�or�me
pr�c�dent, l'�galit� $R_{2|\Gal(\Qb | E F^\Phi )}=R_1$ implique alors le
th�or�me suivant : 

\begin{theo}
  Pla�ons nous dans le cadre du th�or�me pr�c�dent en supposant cette
  fois ci que $p$ est inerte dans $\mathcal{K}$. Il y a une �galit�
  pour toute $\Pi\in \mathcal{T} (G)_\rho$ : 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f)]_{| W_{(E_\nu \mathcal{K}_p)}} =[
r_{\mu_{\Qpb}} \circ \tilde{\s}_\ell ( \text{BC} (\Pi)^0_p )_{|E_\nu
  \mathcal{K}_p}]^{m_\Pi} \otimes |.|^{-\frac{\dim \Sh}{2}}
$$
et si $\text{BC} (\Pi)^0_p =\otimes_{i\in I} \pi_i \otimes_{j\in J}
\pi_j \otimes \chi$, si $M$ d�signe le produit des corps r�flex
locaux, on a l'�galit� 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu} (\Pi_f)]_{| W_{(M \mathcal{K}_p)}}]
= m_\Pi \bigotimes_{i\in I} [ (r_{\mu_i})_{|M \mathcal{K}_p} \circ
\tilde{\s}_\ell ( \pi_i)_{|M \mathcal{K}_p}\bigotimes_{j\in J}  (r_{\mu_j})_{|M \mathcal{K}_p} \circ
\tilde{\s}_\ell ( \pi_j )_{| M \mathcal{K}_p} \otimes \s_\ell
(\chi)_{|M\mathcal{K}_p} 
$$
\end{theo}

\begin{rema}
Dans le cas d'un groupe unitaire en $3$-variables les travaux de
Rogawski (\cite{Rogawski1} et appendice \ref{BC_local}) montrent que
dans le th�or�me pr�c�dent $BC (\Pi)_p^0$ ne d�pend que de $\Pi_p$ et
que donc la repr�sentation galoisienne d�coup�e par $\Pi_f$ restreinte
� un groupe de d�composition en $p$ ne d�pend
que de $\Pi_f$. 
\end{rema}

Nous allons pr�ciser ce th�or�me dans le cas de d'un groupe unitaire
en trois variables. 

\begin{theo}\label{rep_gal_U3}
Supposons $n=3$ et $G(\Qp)=GU(3)$ le groupe non ramifi� en trois
variables. Soit $\Pi\in\mathcal{T}(G)_\rho$. Supposons  $\Pi_p$
supercuspidale ou bien  une repr�sentation de Steinberg de
$G(\Qp)$. Soit $\psi:W_{\Qp}\ldrt \L GU(3)$ le L-param�tre local
associ� (conf�re l'appendice \ref{Resultats_Rog}; dans le cas de la repr�sentation
not�e $\pi^{s} (\xi)$ dans l'appendice  \ref{Resultats_Rog} ou de la repr�sentation
de Steinberg, le L-param�tre n'est pas trivial sur le facteur $SL_2
(\C)$;  dans ce cas on note $\psi$ la restriction � $W_{\Qp}$ de ce
L-param�tre). Supposons qu'en une place finie de $\Q$ d�compos�e dans $\mathcal{K}$
, $\Pi$ est supercuspidale. Il y a a alors une �galit� 
$$
[R_{\ell,\rho,\mu}(\Pi_f)]_{|W_{E_\nu}}= [r_\mu\circ \psi_{|W_{E_\nu}}]
\; |.|^{-\frac{\dim \Sh}{2}}
$$
\end{theo}

\begin{proof}
Notons $(\Pi',\chi)$ le changement de base stable de $\Pi$
(\ref{CHL}) et $R'$ la repr�sentation $\ell$-adique de $\Gal
(\overline{F}|F)$ associ�e � $\Pi'$ par le th�or�me
\ref{theogalo}. �tant donn� que $\check{\Pi}'\simeq {\Pi'}^c$,
$\check{R}'\simeq {R'}^c$ (utilisant qu'en une place finie de $F$,
$R'$ r�alise la correspondance de Langlands locale on en d�duit que
cet isomorphisme est vrai en toute les places finies
de $F$ et qu'il est donc v�rifi� par le th�or�me de densit� de
Tchebotarev). La repr�sentation
$\Pi$ �tant supercuspidale en une place finie d�compos�e, $\Pi'$ est
supercuspidale en une place finie, et donc la restriction de $R'$ � un
groupe de d�composition en cette place est irr�ductible (il s'agit d'une
propri�t� de la correspondance de Langlands locale). La repr�sentation
$R'$ est donc irr�ductible. Comme dans le lemme 15.1.2 de
\cite{Rogawski1}, il existe un signe $c(R')\in\{ \pm 1 \}$ obstruction �
ce que $R'$ se rel�ve en un L-param�tre $\Gal(\Qb | F^+)\ldrt \L
G_1$. Montrons que $c(R')=1$. Le caract�re $\det (R')$ est le
caract�re $\ell$-adique associ� au caract�re central de $\Pi'$
(puisque cela est v�rifi� en toutes les places finies d'apr�s une
propri�t� standard de la correspondance de Langlands locale).  Comme
dans le lemme 15.1.2 de \cite{Rogawski1}, $c(R')=1$ ssi ce caract�re
central est trivial sur $(F^+)^\times \bc \A_{F^+}^\times$, ce qui est le
cas d'apr�s la derni�re propri�t� du th�or�me \ref{CHL}. Il existe
donc une unique extension de $R'$, 
$$
\varphi':\Gal (\Qb | F^+) \ldrt \L G_1
$$
o� $G_1$ est vu comme groupe sur $F^+$. D'o� un L-param�tre 
$$
\varphi'': \Gal (\Qb |\Q) \ldrt \L G_1
$$
o� cette fois ci $G_1$ est un groupe sur $\Q$. Le caract�re alg�brique
$\chi$ fournit un caract�re $\ell$-adique $\chi'$ qui coupl� �
$\varphi''$ nous donne un L-param�tre 
$$
\varphi : \Gal (\Qb |\Q) \ldrt \L G
$$
L'application de changement de base locale de Rogawski est injective
(\cite{Rogawski1} th�or�me 13.2.1). On montre de m�me que si $GU(3)$
d�signe le groupe de similitudes unitaires $p$-adique non
ramifi�e $3$ variables, si $\varphi:W_{\Qp}\ldrt \L GU(3)$ est un L-param�tre,
$\varphi_{|W_K}$ d�termine $\varphi$ de fa�on unique, o� $K$ est
l'extension quadratique non ramifi�e de $\Qp$. On en d�duit en particulier que
$$
\varphi_{|W_{\Qp}}= \psi
$$
et qu'en toutes les places $v$ o� $\Pi$ est non ramifi�e,
$\varphi_{|W_{\Q_v}}$ est associ� � $\Pi_v$ via la correspondance de
Langlands locale non ramifi�e. 

Consid�rons maintenant $r_\mu\circ \varphi$. Comme dans la d�monstration
pr�c�dente, d'apr�s le th�or�me de Kottwitz (\ref{theo_kott_sh}),
$[r_\mu\circ \varphi]$ est �gal � $[R_{\ell,\mu,\rho} (\Pi_f)]\;
|.|^{-\frac{\dim \Sh}{2}}$ en
presque toutes les places o� $\Pi$ est non ramifi�e. D'o� le r�sultat
d'apr�s le th�or�me de densit� de Tchebotarev. 
\end{proof}


\chapter[Th�orie des types]{R�sultats concernant les types associ�s aux
repr�sentations des groupes p-adiques} \label{Annexe_types}

\section{Quelques propri�t�s g�n�rales des types associ�s aux
repr�sentations supercuspidales des groupes $p$-adiques (\cite{BushKutz})}

Soit $F$ un corps local et $G$ les points � valeurs dans $F $ d'un
groupe r�ductif sur $F$. Soit $\pi$ une repr�sentation supercuspidale
de $G$. Notons $\mathfrak{s}=[\pi,G]$ sa classe d'�quivalence
inertielle. 

Nous ferons l'hypoth�se suivante :

\begin{enonce}{Hypoth�se} \label{hypo_types}
 Il existe un $\mathfrak{s}$ type $(J,\l)$, un 
sous-groupe compact ouvert modulo le centre de $G$, $\tilde{J}$ tel que
$J=\tilde{J}\cap G^1$, et une extension $\tilde{\l}$ de $\l$ �
$\tilde{J}$ tels que 
$$
\pi\simeq c-Ind^G_{\tilde{J}} \; \tilde{\l}
$$
\end{enonce}

Soient maintenant $\chi_1,\chi_2$ deux caract�res non ramifi�s de $G$.

\begin{Fait} On a l'�quivalence 
$$
\pi\otimes\chi_1\simeq \pi\otimes\chi_2 \lssi \chi_{1|\tilde{J}}=
\chi_{2|\tilde{J}}
$$
\end{Fait}

En effet, l'implication de la droite vers la gauche r�sulte de
l'isomorphisme 
$
(c-Ind^G_{\tilde{J}} \pi)\otimes \chi\simeq c-Ind^G_{\tilde{J}} ( \pi\otimes\chi_{|\tilde{J}})
$.
Dans l'autre sens, si $\pi\otimes\chi_1\simeq \pi\otimes\chi_2$, alors 
$(\pi\otimes \chi_1)_{|\tilde{J}} \simeq (\pi\otimes
\chi_2)_{|\tilde{J}}$ or, pour $i=1,2$ il r�sulte de la proposition
5.6 de \cite{BushKutz} que $(\pi\otimes\chi_i)_{|\tilde{J}}=
  \tilde{\l}\otimes\chi_{i|\tilde{J}}$. $\tilde{\l}$ �tant irr�ductible
  de dimension finie, on en d�duit en utilisant le caract�re de
  $\tilde{\l}$ que $\chi_{1|\tilde{J}}=
\chi_{2|\tilde{J}}$.
\\

Notons $X_\C (G)$ le groupe des caract�res non ramifi�s de $G$. Le
groupe $X_\C
(G)$ s'identifie aux points d'un tore alg�brique sur $\C$.

\begin{Fait}\label{Fait_type1} 
Soit $\GG=\{ \chi\in X_\C (G)\; |\; \pi\otimes\chi\simeq \pi \}$, un
sous-groupe fini de $X_\C (G)$. L'alg�bre de Hecke du type,
$\mathcal{H} (\l,G)$ est isomorphe � l'alg�bre des fonctions
r�guli�res sur la composante connexe du centre de Bernstein index�e
par $\mathfrak{s}$. L'alg�bre $\mathcal{H} (\l,G)$ s'identifie donc aux
fonctions r�guli�res sur le tore complexe 
$X_\C(G)/\GG$. 
\end{Fait}

Notons $e_\l\in \mathcal{H} (G)$ l'idempotent associ� �
$\l$ et  $\mathcal{H} (\l,G)=e_\l*\mathcal{H} (G)* e_\l$.  Pour toute
repr�sentation $\pi'$ dans la classe d'�quivalence 
$\mathfrak{s}$, l'espace $\pi' (e_\l). V_{\pi'}$ est un 
 $\mathcal{H} (\l,G)$-module sur lequel  $\mathcal{H} (\l,G)$ op�re
 par un caract�re qui correspond au point associ� � $\pi'$. 

L'application suivante est alors un isomorphisme 
\begin{eqnarray*}
 \mathcal{H} (\l,G) & \iso & \C [ X_\C (G)/\GG ] \\
f & \mapsto & \left [ [\chi ]\mapsto \text{tr}_{\pi\otimes\chi}
(f)\right ]
\end{eqnarray*}
\\

Nous aurons besoin du lemme suivant :

\begin{lemm}\label{lemme_typique} On a l'in�galit� 
$$
\forall g\in\tilde{J}\;\;\;\text{tr}_\pi (e_\l * \delta_g)\neq 0
$$
\end{lemm}
\begin{proof}
Commen�ons par remarquer que 
$$
\text{tr}_\pi ( e_\l*\d_g)=\text{tr}_\pi ( e_\l*\d_g*e_\l)\text{ o� }
e_\l*\d_g*e_\l \in \mathcal{H} (\l,G)
$$
On v�rifie de plus que 
$$
\forall \chi\in X_\C (G) \;\;\; \text{tr}_{\pi\otimes\chi} (e_\l
*\d_g) = \chi (g) \;\text{tr}_{\pi} ( e_\l*\d_g)
$$
et donc, $\text{tr}_\pi (e_\l*\d_g)=0 \lssi $ la fonction r�guli�re
associ�e � $e_\l*\d_g*e_\l$ est nulle $\lssi$ $e_\l*\d_g*e_\l=0$ (gr�ce
� l'isomorphisme ci dessus).

Or, 
$$
(e_\l*\d_g*e_\l)*\d_{g^{-1}}= e_\l * (\d_g*e_\l *\d_{g^{-1}}) = e_\l *e_{\l^g}
$$
�tant donn� que $\l$ s'�tend en $\tilde{\l}$ et que $g\in \tilde{J}$,
$\l^g\simeq \l$ et donc $e_{\l^g}=e_\l$. D'o�
$$
(e_\l*\d_g*e_\l)*\d_{g^{-1}} = e_\l *e_\l =e_\l\neq 0 \limpl e_\l* \d_g
* e_\l\neq 0
$$
\end{proof}

\section{Types pour $\Gl_n$}

Rappelons l'un des th�or�mes principaux de \cite{BushKutzGln} 

\begin{theo}[\cite{BushKutzGln}] Pour $G=\Gl_n$, l'hypoth�se \ref{hypo_types}
de la section pr�c�dente est v�rifi�e. 
\end{theo}

Nous remarquerons de plus que tous les groupes $\tilde{J}$ obtenus
sont contenus dans des normalisateurs de groupes parahoriques dans
$\Gl_n$ (cela est valable pour n'importe quel sous-groupe compact modulo le
centre de $\Gl_n$ et r�sulte de la classification des sous-groupes
compacts maximaux de $\text{PGL}_n$). 

\section{Types pour les groupes unitaires non ramifi�s}
\subsection{Le groupe unitaire en trois variables}\label{types_U3}

Dans \cite{Moy1} le th�or�me suivant est d�montr� :

\begin{theo}
  Supposons $p$ diff�rent de $2$. Toutes les repr�sentations
  supercuspidales du groupe
  unitaire quasi-d�ploy� $U(3)$ sur un corps local p-adique poss�dent
  un type v�rifiant l'hypoth�se \ref{hypo_types}. 
\end{theo}

Nous utiliserons des types pour les groupes de similitudes unitaires
non ramifi�s. Bien que le th�or�me pr�c�dent soit d�montr� dans le cas
des groupes unitaires, on peut l'�tendre aux groupes de similitude
unitaires en utilisant la section \ref{pass_u_gu} 

\subsection{Le groupe unitaire g�n�ral}\label{types_Un}

Dans l'article \cite{Kim1}, Ju-Lee Kim construit des types 
v�rifiant l'hypoth�se \ref{hypo_types} pour des
repr�sentations supercuspidales des groupes unitaires non
ramifi�s. Elle conjecture qu'elle obtient ainsi toutes les
repr�sentation supercuspidales de ces groupes. Ses r�sultats
s'�tendent aux groupes de similitudes unitaires (bien que cela n'est
pas �t� publi�). 


\chapter[U(3)]{R�sultats de Rogawski sur $U(3)$}\label{Resultats_Rog}

Nous rassemblons dans cette annexe les r�sultats de \cite{Rogawski1}
que nous utilisons. La lecture des articles \cite{Rogawski2} et
\cite{Rogawski3} est �galement utile. 

\section{}
\subsection{Notations}

Soit $F|F_0$ une extension quadratique de corps locaux
$p$-adiques. Soit $G=U(3)$ le groupe unitaire en trois variables
quasid�ploy� vu comme groupe sur $F_0$. 

Soit $H=U(2)\times U(1)$ l'unique groupe endoscopique elliptique de $G$. Il est
donc muni d'un morphisme de L-groupes $\L H \ldrt \L G$ d�crit dans le
chapitre 4.6 et 4.7 de \cite{Rogawski1}.

Soit $C=U(1) \times U(1) \times U(1)$ l'unique groupe endoscopique
elliptique de
$H$. 

Les groupes $C$ et $H$ sont les deux groupes endoscopiques 
associ�s �  $G$ (plus g�n�ralement, les
groupes endoscopiques associ�s aux groupes unitaires $U(n)$ sont
d�crits dans la partie 1.2 de \cite{Rogawski2}). 

\subsection{Transfert endoscopique local}
\subsubsection{De $C$ � $H$}

Dans le chapitre 11 de \cite{Rogawski1}, l'existence du transfert
endoscopique des repr�sentations admissibles irr�ductibles de $C$ vers
celles de $H$ est �nonc� (les d�monstrations �tant identiques � celles
de \cite{Lab3}). Il s'agit d'une application injective 
\begin{eqnarray*}
  \Pi (C) & \ldrt & \Pi (H) \\
\theta & \longmapsto & \rho (\theta )
\end{eqnarray*}
o� $\Pi (C)$ d�signe les repr�sentation irr�ductibles de $C(F_0)$
(i.e. les caract�res $\theta=\theta_1\otimes \theta_2 \otimes
\theta_3$ de $U(1)\times U(1) \times U(1)$) et $\Pi (H)$ les L-paquets
de repr�sentations admissibles irr�ductibles irr�ductibles de
$H(\Qp)$. 

\subsubsection{De $H$ � $G$}

Dans le chapitre 13 de \cite{Rogawski1}, l'existence du transfert
local 
\begin{eqnarray*}
  \Pi (H) & \ldrt & \Pi (G) \\
\rho & \longmapsto & \Pi (\rho) 
\end{eqnarray*}
est d�montr�, o� $\Pi(G)$ d�signe l'ensemble des L-paquets associ�s �
$G(F_0)$. 

\subsection{Changement de base local}\label{BC_local}

Dans le chapitre 13.2 de \cite{Rogawski1}, Rogawski d�montre
l'existence d'une application de changement de base quadratique 
$$
BC: \Pi (G) \ldrt \Pi (\GL_{n /F})=\mathcal{A} (3,F)
$$
compatible avec le changement de base global de l'annexe A. 
Son image est constitu�e de repr�sentations de $\GL (3,F)$, $\pi$
v�rifiant $\check{\pi}\simeq \pi^c$ et $\omega_{\pi | F_0^\times}=1$
o� $c$ d�signe l'automorphisme non trivial de $F|F_0$ et $\omega_\pi$
le caract�re central de $\pi$. 

\subsection{Classification des L-paquets supercuspidaux de $G$}

Dans la section 12-2 de \cite{Rogawski1}, il est donn� une description
d�taill�e des L-paquets de repr�sentations de $G(F_0)$. Nous rappelons
cette classification dans le cas des repr�sentations supercuspidales
qui est le seul cas que nous consid�rons. 

\subsubsection{L-paquets supercuspidaux pour H}[proposition 11.1.1 de
\cite{Rogawski1}] 

\begin{defi}
Un L-paquet de repr�sentations de $H$ contient une repr�sentation
supercuspidale ssi ce L-paquet est form� de repr�sentations
supercuspidales (ce fait est faux en g�n�ral). Nous appellerons un tel
L-paquet un L-paquet supercuspidal. 
\end{defi}

Les L-paquets supercuspidaux de repr�sentations de $H$  se scindent en
deux ensembles : 
\begin{itemize}
\item Les L-paquets de cardinal $1$ ou encore L-paquets stables.
 Ce sont les $\{ \rho\}$ o� $\rho$
  est une repr�sentation supercuspidale de $H$ telle que le changement
  de base quadratique $BC(\rho)$ soit une repr�sentation supercuspidale
  de $\GL_2 (F)\times F^\times$.
\item Si $\theta$ est un caract�re de $C$ de la forme
  $\theta_1\otimes\theta_2\otimes\theta_1$ o� $\theta_1\neq \theta_2$,
  le L-paquet transfert endoscopique $\rho (\theta)$ est supercuspidal
  de cardinal $2$. Lorsque $\theta$ parcourt les caract�res de $C$ du
  type pr�c�dent on obtient ainsi tous les L-paquets supercuspidaux de
  $G$ de cardinal plus grand que $1$. Un L-paquet supercuspidal $\Pi$ est de la
  forme $\rho(\theta)$ ssi $BC(\Pi)$ n'est par supercuspidale
  ($BC(\Pi)$ est alors un quotient d'une s�rie principale de $\GL_2
  (F)\times F^\times$ calcul�e en fonction de $\theta$). 
\end{itemize}

\subsubsection{L-paquets supercuspidaux pour G} \label{paquets_sup}

\begin{defi}
Un L-paquet de repr�sentations de $G$ est appel� un L-paquet
supercuspidal s'il est constitu� de repr�sentations supercuspidales.
\end{defi}

Les L-paquets supercuspidaux de repr�sentations de $G$ se scindent en trois sous ensembles
:

\begin{itemize}
\item Les L-paquets de cardinal $1$ ou encore L-paquets stables. Ce
  sont les $\Pi=\{\pi\}$ o� 
  $\pi$ est une repr�sentation supercuspidale telle que $BC(\pi)$
  soit une repr�sentation supercuspidale de $\GL_3 (E)$.
\item Les L-paquets de cardinal $2$. Ils sont construits de la fa�on
  suivante : soit $\rho$ un L-paquet supercuspidal de cardinal $1$ de
  $H$. Alors, le transfert endoscopique $\Pi (\rho)$ est un L-paquet
  supercuspidal de cardinal $2$ de $G$. Un L-paquet supercuspidal
  $\Pi$ est de cette forme ssi $BC(\Pi)$ est une repr�sentation de
  $\GL_3 (F)$ dont le support supercuspidal est une repr�sentation du
  sous groupe de Levi $\GL_2 (F)\times \GL_1 (F)$.
\item Les L-paquets de cardinal $4$. Ils sont construits ainsi : 
Soit $\rho=\rho (\theta)$ un L-paquet supercuspidal de cardinal $2$ de
$H$ tel que si $\theta=\theta_1\otimes \theta_2\otimes \theta_3$ alors
$\theta_1, \theta_2, \theta_3$ sont deux � deux distincts. 
 Le L-paquet obtenu par transfert de $H$ � $G$ de $\rho$, not�
$\Pi (\rho)$ est alors de cardinal $4$. Un L-paquet supercupsidal
$\Pi$ de $G$ est de ce type l� ssi $BC (\Pi)$ est un sous-quotient
d'une s�rie principale de $\GL_3 (F)$. 
\end{itemize}

\subsection{Correspondance de Langlands locale pour les
L-paquets  supercuspidaux de $G$}

Dans le chapitre 15 de \cite{Rogawski1}, il est expliqu� comment 
construire une correspondance de Langlands locale pour les
L-paquets supercuspidaux de $G$ � partir de la correspondance
de Langlands locale pour $\GL_3 (F)$, et la classification pr�c�dente.

Rappelons cette correspondance :
\begin{itemize}
\item L'application $BC:\Pi (G)\ldrt \mathcal{A} (3,F)$ induit une
  bijection entre les L-paquets supercuspidaux de cardinal $1$ et les
  repr�sentations supercuspidales $\pi'$ de $\GL_3 (F)$ v�rifiant
  $\check{\pi}'\simeq {\pi'}^c$ (o� $c$ est l'automorphisme non trivial
  de $F|F_0$) et $\omega_{\pi'|F_0^\times}=1$. 
 Si $\{\pi\}\in \Pi(G)$ est un tel L-paquet, si
  $\varphi:W_F\ldrt \GL_3 (\C)$ est le param�tre de Langlands associ� �
  $BC(\pi)$ (une repr�sentation irr�ductible de dimension $3$), $\varphi$
  d�fini un morphisme de L-groupe $W_F \ldrt \L G_F=\GL_3 (\C)\times
  W_F$ qui poss�de une unique extension en un L-morphisme
  $W_{F_0}\ldrt \L G$. Cela �tablit une bijection entre les L-paquets
  supercuspidaux de cardinal $1$ de $G$ et les classes de
  $\L G^0$-conjugaison $\varphi$ de L-morphismes de $W_{F_0}$ dans $\L G$
  telles que $\varphi_{|W_{F_0}}$ soit irr�ductible. 
\item On �tablit de m�me une correspondance de Langlands locale pour
  les L-paquets supercuspidaux de $H$ de cardinal $1$. Alors, si
  $\Pi=\Pi (\rho)$ est un L-paquet supercuspidal de cardinal $2$ de
  $G$, si $\varphi:W_{F_0}\ldrt \L H$ est le param�tre de Langlands
  associ� � $\rho$, le param�tre associ� � $\Pi$ est celui compos� 
$W_{F_0}\ldrt \L H \ldrt \L G$. Cela �tablit une bijection entre les
L-paquets supercuspidaux de $G$ de cardinal $2$ et les classes de $\L
G^0$-conjugaison de L-morphismes $\varphi:W_{F_0}\ldrt \L G$
telles que $\im (\varphi)$ ne soit pas contenue dans $\L B$, o� $B$ est
un sous-groupe de Borel de $G$, et telles que
$\varphi_{|W_F}$ soit somme de deux repr�sentations irr�ductibles.
\item La correspondance de Langlands locale pour $C$ se d�duit de la
  th�orie du corps de classe local. Si $\Pi=\Pi (\rho (\theta))$ est
  un $L$-paquet supercuspidal de cardinal $4$ de $G$, o� $\theta$ est
  un caract�re de $C$, si $\varphi:W_{F_0}\ldrt \L C$ est le param�tre
  associ� � $\theta$, on associe � $\Pi$ le param�tre compos� 
$W_{F_0}\ldrt \L C \ldrt \L H \ldrt \L G$. Cela d�finit une bijection entre
les L-paquets supercuspidaux de $G$ de cardinal $4$ et les classes de
$\L G^0$-conjugaison de L-morphismes $\varphi: W_{F_0}\ldrt \L G$
telles que $\im (\varphi)$ ne soit pas contenue dans $\L B$, o� $B$ est
un sous-groupe Borel de $G$, et
 telles que
$\varphi_{|W_{F_0}}$ soit somme de trois caract�res.
\end{itemize}

Il y donc une bijection entre les
L-paquets supercuspidaux 
 de $G$ et les classes de $\L G^0$-conjugaison
de L-morphismes $\varphi:W_{F_0}\ldrt \L G$ telles que $\im (\varphi)$ ne
soit pas contenue dans $\L B$ pour un sous-groupe de Borel $B$ de
$G$. L'application de changement de base se lit au niveau des
L-param�tres comme l'application de restriction $\varphi\longmapsto
\varphi_{|W_{F}}$. 

\subsection{Classification des repr�sentations supercuspidales de $G$}
\label{Class_sup}

Comme nous l'avons vu, les repr�sentations supercuspidales de $H$ sont
toutes membres d'un L-paquet supercuspidal. Cela est faux pour $G$. Il
existe une famille de 
 repr�sentations supercuspidales de $G$, $(\pi^s (\xi))_{\xi}$,
toutes membres de L-paquets de
cardinal $2$  qui ne sont pas supercuspidaux.

Ces repr�sentations supercuspidales se construisent ainsi : soit $\xi$
un caract�re de $H$. A $\xi$ est associ� la repr�sentation de
Steinberg $St_H (\xi)$ de $H$ d�finie comme constituante d'une s�rie
principale r�ductible de $H$ (l'autre constituant �tant $\xi$, conf�re
\cite{Rogawski1} 12.1). L'ensemble $\{St_H (\xi) \}$ est un L-paquet
stable de carr� int�grable de repr�sentations de $H$. 
Consid�rons le L-paquet de repr�sentations de $G$, $\Pi (St_H (\xi))$,
transfert endoscopique de $\{St_H (\xi) \}$. C'est un L-paquet de
cardinal $2$ not� 
$$
 \Pi (St_H (\xi))=\{ \pi^2 (\xi),\pi^s (\xi) \}
$$
o� $\pi^s (\xi)$ est une repr�sentation supercuspidale et $\pi^2
(\xi)$ une repr�sentation de carr� int�grable. Alors,

\begin{enonce}{Fait}
Les repr�sentations supercuspidales de $G$ sont soit membres d'un
L-paquet supercuspidal soit de la forme $\pi^s (\xi)$ pour une unique
repr�sentation de dimension $1$ de $H$, $\xi$. 
\end{enonce}

\subsection{Passage de $U(3)$ � $GU(3)$}\label{pass_u_gu}

  Soit $G=GU(3)$ un groupe de similitudes unitaires non ramifi� en $3$
  variables d�fini
  sur $\Qp$ et $G_1\subset G$ le groupe unitaire noyau du facteur de
  similitude. Soit $K|\Qp$ l'extension quadratique non ramifi�e. Il y
  a une inclusion $K^\times\hookrightarrow  Z_G$. 

  \begin{lemm}
    On a l'�galit� suivante 
$$
G(\Qp)=G_1 (\Qp) K^\times
$$
  \end{lemm}
  \begin{proof}
    �tant donn� que $G$ est non ramifi� il y a une d�composition
    d'Iwasawa $G(\Qp)=C.A (\Qp). N(\Qp)$, o� $C$ est compact, $A$ est
    un tore d�ploy� maximal et $N$ unipotent. Donc, $v_p ( c
    (G(\Qp)))=v_p ( c (A(\Qp)))$. Avec les notations de l'appendice D, 
$A(\Qp)=\{\text{diag}(t,x,t^{-1} x^2 )\;|\; t\in \Qp^\times \; x\in
    \Qp^\times \;\}$ et $c=x^2$. Donc, $v_p(c ( G(\Qp)))=2 \Z$. 

De plus, $N_{K/\Qp} ( K^\times )=p^{2\Z} \Zp^\times $ et donc
$c(G(\Qp))\subset N_{K/\Qp} ( K^\times )$. D'o� le r�sultat puisque
$c_{|K^\times} =N_{K/\Qp}$.   
  \end{proof}

  \begin{coro}
    Il y a une bijection entre les repr�sentations irr�ductibles de
    $G(\Qp)$ et les couples $(\pi,\chi)$ o� $\pi$ est une
    repr�sentation irr�ductible du groupe unitaire $G_1 (\Qp)$ et
    $\chi$ un caract�re de $K^\times$ tel que $\omega_{\pi | K^\times}=\chi$.
  \end{coro}

  \begin{coro}
    La description des repr�sentations supercuspidales de $G(\Qp)$ est
    identique � celle de $G_1 (\Qp)$. En particulier, il y a une
    param�trisation des paquets supercuspidaux de $G(\Qp)$ par des
    L-param�tres $\psi: W_{\Qp}\ldrt \L G$ tels que $\im (\psi)$ n'est
    pas contenu dans $\L B$ pour un sous groupe de Borel $B$ de $G$. 
  \end{coro}

\chapter[Isocristaux munis de structures additionnelles]
{Isocristaux munis de structures additionnelles : le cas
 des groupes unitaires}\label{app_cl_sig}

Nous traduisons dans cet appendices les r�sultats de \cite{Ko2} et
\cite{Ko3} dans le cas des groupes de similitudes unitaires quasid�ploy�s.
Nous utiliserons librement les notations de ces deux articles. 

\section{Groupes unitaires en un nombre pair de variables}
\label{Isoc_AU}

Soit $F|\Qp$ non ramifi�e de degr� pair $[F:\Qp]=2d$. Nous notons
comme d'habitude $\s$ le Frobenius de $F|\Qp$ et $\GG$ le groupe de
Galois $\Gal (F|\Qp)$. 
Soit $*=\s^d$
l'involution de degr� $2$ et $F_0$ le corps fixe de $*$. Notons $G$ le
groupe des similitudes unitaires quasid�ploy� en $n$ variables, $n$
pair, 
$$
G=\{g\in \Gl_n(F) \;|\; {}^t g^* J g=c(g) J, c(g)
\in\Qp\* \}
$$
o� $J=\left (
  \begin{array}{cc}
0 & I_{n/2} \\
I_{n/2} & 0 \\
  \end{array}
\right )
$

Un tore maximal de $G$ d�fini sur $\Qp$ est 
$$
T=\left \{\left ( \begin{array}{cccccc}
t_1 \\
& \ddots \\
& & t_{n/2} \\
& & & c (t_1^{-1})^* \\
& & & & \ddots \\
& & & & & c (t_n^{-1})^* 
\end{array} \right ) \;\;|\;\; t_i\in F\*, c\in\Qp\* 
\right \} \simeq (F\*)^{n/2}\times \Qp\*
$$
Un tore d�ploy� maximal est $A=(\Qp\*)^{n/2}\times \Qp\*\subset
(F\*)^{n/2}\times \Qp\*= T$.

$G$ est d�ploy� sur $F$,
$$
G_{F}\simeq \prod_{0\leq i < d-1} \Gl_n(F) \times F\*
$$
Le L-groupe connexe de $G$ est donn� par 
$$
\widehat{G}=\prod_{0\leq i <d } \Gl_n(\C) \times \C\*
$$
sur lequel $\s=\bar{1}\in \Z/2d\Z$ op�re via 
$$
\s.((g_0,\dots,g_{d-1}),c)=(( w {}^t g_{d-1}^{-1} w
,g_0,\dots,g_{d-2}),c\det g_{d-1})
$$
o� $w= ( (-1)^{i-1} \delta_{i, n-j+1})_{i,j}$. 
$$
X_*(T)=\{ (x_{ij})_{i\in \Z/2d\Z, 1\leq j \leq n} \; | \;
x_{i,j}+x_{i+d,j+\frac{n}{2}}=c\in\Z \text{ constant } \}
$$
$\GG=\Z/2d\Z$ agissant par translations de coordonn�e $i$ sur les
$(x_{ij})$

Le groupe de Weyl absolu est 
$$
W=\S_n^d
$$
et 
$$
X_*(T)/W=\{ (x_{ij})\;|\; \forall 0\leq i<d \;\;\forall j\leq j'\;\;
x_{ij}\geq x_{ij'} \}
$$
Le groupe de Weyl relatif sur $\Qp$ est
$W_{\Qp}=(\Z/2\Z)^{\frac{n}{2}}\rtimes\S_{n/2}$
et 
$$
X_*(A)/W_{\Qp} = \{ (y_i)_{1\leq i \leq \frac{n}{2}} \; |\; \forall
  i\leq i' \; y_i\geq y_{i'} \text{ et } \forall i \; y_i\geq 0 \}\times \Z  
$$
$G^{der}$ est simplement connexe et le cocentre $D=G/G^{der}$ est
isomorphe � 
$$
\{(x,t)\in F\*\times \Qp\* \; |\; N_{F/F_0}(x)=t^n\} \text{ via } 
g\mapsto ({\det}_F(g),c(g))
$$
$D\simeq \{\ker N_{F/F_0}:F\*\drt F_0\*\}\times\Qp\*$ puisque $n$ est pair et 
$N_{F/F_0}=t^n\ssi N_{F/F_0}(xt^{-n/2})=1$. On en d�duit ais�ment que,
$$
X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)=X_*(D)_\Gamma =B(D)\simeq \Z/2\Z\times \Z 
$$
Nous normaliserons cet isomorphisme de la fa�on suivante : 
avec les notations pr�c�dentes 
$$
Z (\widehat{G})=\prod_{0\leq i <d} \C^\times \times \C^\times 
$$
et on v�rifie aussit�t avec l'action donn�e de $\s$ sur $\widehat{G}$
que l'on a :
$$
Z( \widehat{G})^\GG = \mu_2 \times \C^\times 
$$
o� $\mu_2 \hookrightarrow (\C^\times)^d$ est le plongement diagonal et
l'isomorphisme est fix� en posant $\mu_2 =\Z/2\Z$. 
\\

Nous allons maintenant nous int�resser aux classes de $\s$ conjugaison
$b\in B(G)$ v�rifiant $v_p(c(g))=1$ ce qui �quivaut � dire que via
l'application $\kappa:B(G)\drt \Z/2\Z\times \Z$ la seconde composante
de $\kappa(b)$ est $1$. 

De telle classes de $\s$ conjugaison classifient des isocristaux
$(N,\Phi)$ munis d'une action de $F$ et d'une polarisation
$<.,.>:N\times N \drt \Qp(1)$ telle que si 
$$
N=\bigoplus_{i\in \Z/d\Z} N(i)
$$
est la d�composition $N(i)=\{n\in N| \forall x\in F \; x.n=\s^i(x) n
\}$, 
$\Phi:N(i)\drt N(i+1)$, alors 
$$
\forall i\neq j+d \; <N(i),N(j)>=0 \text{ et } <.,.> \text{ est
  parfait sur }
N(i)\times N(i+d) 
$$
\vspace{1mm}

{\bf Classes basiques : }

D'apr�s Kottwitz, il y a un isomorphisme 
$$
\kappa:
B(G)_b\xrig{\; \sim \;} \Z/2\Z \times \Z 
$$
o� la seconde composante est $b\mapsto v_p ( c(g))$. 
Il y a donc une bijection entre les classes basiques telles que
$v_p(c(g))=1$ et $\Z/2\Z$. Pour $b\in B(G)_b$, notons $\kappa (b)_1\in
\Z/2\Z$
la premi�re composante de $\kappa (b)$. 

L'unique pente du $\Qp$ isocristal sous-jacent associ�e � une telle classe
est $\frac{1}{2}$.

Le groupe $J_b$ associ� est une forme int�rieure de $G$ qui est un
groupe de similitudes unitaires qui d�pend de $\kappa (b)_1$. On a
en fait le lemme suivant valable pour n'importe quel $G$ et dont la v�rification est facile :
\begin{lemm}
Soit $\kappa : B(G)_b \iso X^* ( Z (\widehat{G})^\GG)$. Via
l'identification $\widehat{G_{ad}}\simeq (\widehat{G})_{sc}$
consid�rons l'isomorphisme de Kottwitz 
$ H^1 ( F, G_{ad}) \iso X^*( Z ((\widehat{G})_{sc})^\GG)$.
Soit l'application $B(G)_b\ldrt H^1 (F,G_{ad})$ qui � une classe
basique $b$ associe la classe de cohomologie d'un cocyle d�finissant la
forme int�rieure $J_b$. Le diagramme suivant est alors commutatif 
\begin{diagram}
B(G)_b & \rTo^\kappa & 
X^* ( Z (\widehat{G})^\GG) \\
\dTo & & \dTo \\
H^1 (F,G_{ad}) & \rTo^\sim  &  X^*( Z( (\widehat{G})_{sc})^\GG) 
\end{diagram}
o� l'application verticale de droite est la composition d'un caract�re
de $ Z (\widehat{G})^\GG $ avec l'application naturelle $
 Z ((\widehat{G})_{sc})^\GG \drt  Z (\widehat{G})^\GG$ induite par
l'application Galois �quivariante $ Z((\widehat{G})_{sc}) \drt  Z
(\widehat{G})$, elle m�me d�duite du morphisme $(\widehat{G})_{sc}
\drt \widehat{G}$.
\end{lemm}

On en d�duit donc le corollaire suivant dans la cadre de notre groupe
unitaire :
\begin{coro}
$$ \forall b\in B(G)_b\;\;
J_b = \left \{ G \text{ si } \kappa (b)_1 =\bar{0} \atop G' \text{ si
} \kappa (b)_1 =\bar{1}  \right.
$$
o� $G'$ d�signe le groupe des similitudes unitaires en $n$ variables
non quasid�ploy�.  
\end{coro}


{\bf Classes quelconques : } 
Si $b\in B(G)$, $v_p(c(g))=1$, et si les pentes du $F$-isocristal 
sous-jacent (avec les notations pr�c�dentes cet isocristal est
$(N(0),\Phi^{2d})$ ) sont : 
$$
\l_1=\frac{d_1}{h_1} >\dots > \l_r=d > d-\l_{1} >\dots >d-\l_{r-1} 
$$
de multiplicit�s $m_1,\dots , m_{r-1},m_r,m_{r-1},\dots,m_1$. Avec les
notations pr�c�dentes pour $X_* (A) /W_{\Qp}$ on a  
$$
Newt(b)=(\underbrace{\frac{\l_1}{2d},\dots,\frac{\l_1}{2d}}_{m_1 h_1},\dots
,\underbrace{\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}}_{m_r/2}) \times (1) \in X_*(A)_\Q/W_{\Qp}
$$
Si $m_r\neq 0$
le centralisateur du morphisme des pentes est le sous-groupe de L�vy 
\begin{eqnarray*}
M &=& \Res_{F/\Qp}(\Gl_{m_1 h_1})\times \dots\times \Res_{F/\Qp}
(\Gl_{m_{r-1}h_{r-1}})
\times GU(F;2m_r) \\
&=& \left \{ \left ( 
\begin{array}{ccccccc}
A_1 \\
& \ddots \\
& & A_{r-1} \\
& & & B \\
& & & & c {}^t A_1^{-*} \\
& & & & & \ddots \\
& & & & & & c {}^t A_{r-1}^{-*}
\end{array} \right ) \; |\; A_i\in\Gl,\; B\in GU\right \}
\end{eqnarray*}
o� $GU(F;2m_r)$ est le groupe des similitudes unitaires quasid�ploy� en $2m_r$
variables. 
Si $m_r=0$,
$$
M=\Res_{F/\Qp}(\Gl_{m_1 h_1})\times \dots\times \Res_{F/\Qp}
(\Gl_{m_{r-1}h_{r-1}})\times \Qp\*
$$

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{3947sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(3024,1824)(5089,-5173)
\thinlines
\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\put(5101,-4861){\line( 1, 0){3000}}
\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\put(5101,-4861){\line( 0, 1){1500}}
\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\put(5101,-4861){\line( 1, 0){1500}}
\put(6601,-4861){\line( 1, 1){1500}}
\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\put(5101,-4861){\line( 4, 1){1200}}
\put(6301,-4561){\line( 2, 1){600}}
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\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\multiput(6301,-4561)(0.00000,-8.95522){68}{\makebox(1.6667,11.6667){\SetFigFont{5}{6}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}.}}
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\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\multiput(6301,-5161)(109.09091,0.00000){6}{\line( 1, 0){ 54.545}}
\put(6901,-5161){\vector( 1, 0){0}}
\put(6301,-5161){\vector(-1, 0){0}}
\special{ps: grestore}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}\multiput(5101,-5161)(114.28571,0.00000){11}{\line( 1, 0){ 57.143}}
\put(6301,-5161){\vector( 1, 0){0}}
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\put(8101,-5161){\vector( 1, 0){0}}
\put(6901,-5161){\vector(-1, 0){0}}
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\special{ps: grestore}\put(5701,-5086){\makebox(0,0)[b]{\smash{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}\special{ps: gsave 0 0 0 setrgbcolor}(1)\special{ps: grestore}}}}
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\end{picture}
\begin{itemize}
\item (2) est autoduale de pente 1/2 et provient d'un groupe unitaire
\item (1) et (3) sont en dualit� de pentes $\l, 1-\l$ et proviennent
  d'un $\Gl$  
\end{itemize}
\end{center}

$b$ est donc d�termin� par les pentes $\l_1,\dots,\l_r$ les
multiplicit�s et par l'�l�ment de $\Z/2\Z$ associ� � la classe basique
de $GU(F;2m_r)$. On a
alors 
$$
J_b=\Gl_{m_1}(D_{\l_1})\times\dots\times \Gl_{m_{r-1}}(D_{\l_{r-1}})
\times H_b
$$
o� $H_b$ est un groupe de similitudes unitaires en un nombre pair de
variables d�ploy� ou non suivant l'invariant dans $\Z/2\Z$ (et o� l'on
pose $H_b= \Qp^\times$ si $m_r =0$).
\\

{\bf Polygone de Hodge : } Soit $\mu\in X_*(T)$ tel que $\mu$ soit
donn� par $\mu=(x_{ij})_{i\in\Z/2d\Z,1\leq j\leq n}$ o�
$$\forall 1\leq
i<d \;\;\forall j\leq a_i\;\; x_{ij}=1,\; \forall j>a_i \;\; x_{ij}=0
$$
o� les $a_0,\dots,a_{d-1}$ sont des entiers compris entre $1$ et $n$,
et o� $c\circ \mu=1$ i.e. $x_{i+d,j+\frac{n}{2}}=1-x_{i,j}$.

$\mu_1=\widehat{\mu}_{Z(\widehat{G})^\Gamma}\in \Z/2\Z\times \Z$ est
donn� par 
$$
\mu_1=(\sum_{0\leq i <d-1} a_i \text{ mod } 2, 1 ) 
$$
et $\mu_2\in X_*(A)_\Q=\Q^{n/2}$ est donn� par 
$$
\mu_2=\frac{1}{d} \sum_{0\leq i <d } l_i
$$
o�
\begin{itemize}
\item
  $\dpt{
l_i=(\underbrace{1,\dots,1}_{a_i},\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2})}$
  si $a_i\leq \frac{n}{2}$
\item $\dpt{
l_i=(\underbrace{\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}}_{n/2-a_i},1,\dots,1)
}$ si $a_i>\frac{n}{2}$
\end{itemize}

Et donc finalement : 
$$
 B(G,\mu)   =\left \{
 b\; | \;v_p(c(g))=1,\,
 \kappa(b)_1=\sum_{0\leq i <d} a_i \text{ mod }
  2\text{  et } 
 \left  (  
 \underbrace{ \l_1 ,\dots,\l_1}_{m_1 h_1} ,\dots,\underbrace{\frac{1}{2},
\dots,\frac{1}{2}
}_{m_r/2} \right )
\leq \frac{1}{d} \sum_{0\leq i< d} l_i \right \}
$$
au sens o� le membre de droite doit d'abord �tre ramen� dans la
chambre de Weyl positive de $X_*(A)_\Q$ avant d'�tre compar�.

L'unique classe basique de $B(G,\mu)$ est la classe basique $b$ telle
que $v_p(c(g))=1$ et $\kappa (b)_1\equiv\sum_i a_i \in \Z/2\Z$.
\\

\begin{rema} Dans la description de $B(G,\mu)$ les points terminaux
des polygones n'interviennent pas. En effet,
 la condition que les point terminaux des polygones de
Hodge et de Newton soient �gaux est automatique puisqu'un polygone
sym�trique  a pour dimension le double de sa
hauteur.
\end{rema}

\section{Groupes unitaires en un nombre impair de variables}


Soit $F|\Qp$ comme pr�c�demment et 
$$
G=\{ g\in \Gl_n (F)  \; |\; {}^tg^* J g=c(g) J,\;  c(g)\in\Qp\* \}
$$
o� $J=\left ( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & I_{\frac{n-1}{2}} \\
0 & 1 & 0 \\
I_{\frac{n-1}{2}} & 0 & 0 \\
\end{array} \right )
$

Un tore maximal d�fini sur $\Qp$ est 
$$
T=diag(t_1,\dots,t_{\frac{n-1}{2}},c (t_1^{-1})^*,\dots,c (t_n^{-1})^*)
$$
o� $t_i,x\in F\*, xx^*=c\in\Qp\*$.
$T\simeq (F\*)^{\frac{n-1}{2}}\times \{x\in F\* \; | \;
N_{F/F_0}(x)\in\Qp\*\}$.

Un tore d�ploy� maximal  est
$A=(\Qp\*)^{\frac{n-1}{2}}\times\Qp\*\subset T$. 

$\widehat{G}$ et ${}^L G$ sont de la m�me forme que pr�c�demment.

Notons 
$$
X_*(T)=\{ (x_{ij})_{i\in \Z/2d\Z,1\leq j\leq n}\; |\; \forall j\leq
\frac{n-1}{2}\;\; x_{i,j}+x_{i+d,j+\frac{n+1}{2}}=c,
x_{i,\frac{n+1}{2}}+x_{i+d,\frac{n+1}{2}}=c \}
$$
$W=\S_n^d$ et 
$$
X_*(T)/W = \{ (x_{ij}) \; |\; \forall 0\leq i <d-1\;\; \forall j\leq
j'\; 
\;
x_{ij}\geq x_{ij'} \}
$$
Le groups de Weyl relatif s'identifie quant � lui  �
$W_{\Qp}\simeq (\Z/2\Z)^{\frac{n-1}{2}}\rtimes\S_{\frac{n-1}{2}}
$ et 
$$
X_*(A)/W_{Qp} =\{ (y_j)_{1\leq j\leq \frac{n+1}{2}}\; | \; 
\forall 1\leq j\leq j' <\frac{n+1}{2}\;\; y_j\geq y_{j'}, \; y_1\geq 0\}
$$
\vspace{1mm}

Le cocentre $D$ est isomorphe comme pr�c�demment � 
$$
\{(x,t)\in F\*\times \Qp\*\; |\; N_{F/F_0}(x)=t^n \}
$$
qui est isomorphe � 
$$
\{x\in F\*\;|\; N_{F/F_0}(x)\in \Qp\* \}\times \Qp\*
$$
On en d�duit ais�ment que 
$$
X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)\simeq \Z
$$
et que $\forall b\in B(G)\; \kappa(b)=v_p(c(g))$. 
\\

{\bf Classes basiques : } 
Soit l'isomorphisme de Kottwitz 
$$
\kappa :
B(G)_b\xrig{\;\sim\;}\Z
$$
On en d�duit  qu'il existe une unique classe basique $b$ telle que
$v_p(c(g))=1$. Et on a alors, puisque $G$ ne poss�de pas d'autre forme
int�rieure que lui m�me,  
$$
J_b=G
$$


{\bf Classes quelconques : } La discussion pour les pentes, $M$ et
$J_b$ est la m�me que pr�c�demment � ceci pr�s que la classe basique
du groupe unitaire est unique. On a 
$$
Newt(b)=\left (
  \underbrace{\frac{\l_1}{2d},\dots,\frac{\l_1}{2d}}_{m_1 h_1},\dots,
\underbrace{\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}}_{\frac{m_r-1}{2}},\frac{1}{2}\right )
$$
\\

{\bf Polygone de Hodge : } Supposons donn� $\mu$ par
$\mu=(\mu_{ij})_{i,j}$ tel que 
$$\forall 1\leq
i<d \;\forall j\leq a_i\; x_{ij}=1,\; \forall j>a_i \; x_{ij}=0
$$
et o� $c\circ \mu=1$ i.e. $$x_{i,j}+x_{i+d,j+\frac{n+1}{2}}=1,
x_{i,\frac{n+1}{2}}+x_{i+d,\frac{n+1}{2}}=1$$

$\mu_1=\widehat{\mu}_{|Z(\widehat{G})^\Gamma}$ est donn� par
$\mu_1=1$ et $\mu_2\in X_*(A)_\Q = \Q^{\frac{n+1}{2}}$ est donn� par 
$$
\mu_2=\frac{1}{d} \sum_{0\leq i <d} l_i 
$$
o� \begin{itemize}
\item
  $l_i=(\underbrace{1,\dots,1}_{a_i},\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2},\frac{1}{2} )$
si $a_i\leq \frac{n-1}{2}$ 
\item $l_i=(1,\dots,1,\frac{1}{2})$ si $a_i=\frac{n+1}{2}$
\item
  $l_i=(\underbrace{\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}}_{a_i-\frac{n+1}{2}},1,\dots,1,\frac{1}{2})$ si $a_i>\frac{n+1}{2}$ 
\end{itemize}
Posons $l'_i=l_i$ moins le $\frac{1}{2}$ � droite, alors 
$$
 B(G,\mu) = \left \{ b\;| \; v_p(c(g))=1\text{ et } 
\left (
  \underbrace{\frac{\l_1}{2d},\dots,\frac{\l_1}{2d}}_{m_1 h_1},\dots,
\underbrace{\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}}_{\frac{m_r-1}{2}}\right )
 \leq \frac{1}{d}\sum_{0\leq i< d} l'_i \right \}
$$
\\

\chapter{Espaces adiques et espaces analytiques}\label{an_ad}
\section{Diff�rents espaces}

Soit $k$ un corps valu� complet muni d'une valuation de rang $1$. 

Rappelons qu'il y a  un foncteur pleinement fid�le (\citeg{Berk1}
 1.6.1)
$$
X\longmapsto s(X)
$$ 
de la cat�gorie des espaces analytiques de Berkovich Hausdorff (i.e. $|X|$ est
s�par�) dans la cat�gorie des vari�t�s rigides quasis�par�es.

Si $\AA$ est une alg�bre affino�de, $s(\mathcal{M}(\AA))=Spm(\AA)$. 

Rappelons �galement (\citeg{Hu1} 1.1.11) qu'il y a une �quivalence de
cat�gorie 
$$
Y\longmapsto r(Y)
$$
entre la cat�gorie des vari�t�s rigides quasis�par�es $Y$ sur $k$ et la
cat�gorie des espaces adiques quasis�par�s localement de type fini sur
$\Spa(k,k^0)$. Nous noterons 
$$
X\longmapsto X^{rig}
$$
la compos�e $X\mapsto r(s(X))$ qui est pleinement fid�le.

Rappelons la proposition suivante 
\begin{Fait}(\citeg{Hu1} 8.3.3)
  L'image essentielle de $X\mapsto X^{rig}$ est form�e de la cat�gorie
  des espaces adiques quasis�par�s localement de type fini tendus
  (``taut'') sur $\Spa(k,k^0)$.
\end{Fait}
La condition d'�tre tendu portant uniquement sur l'espace topologie de
l'espace adique (\citeg{Hu1} 5.1.2).
\\

Supposons maintenant la valuation de $k$ discr�te. 

A $\X$ un sch�ma formel localement formellement de type fini sur
$\spf(k^0)$ est associ� un $k$-espace analytique paracompact
$\X^{an}$. Il est muni d'un morphisme de sp�cialisation 
$$
sp:\X^{an}\ldrt \X
$$
Si $Y\subset \X_s$ est un sous-sch�ma localement ferm� de la fibre
sp�ciale de $\X$ on a un isomorphisme canonique 
$$
(\X_{/Y}^\wedge)^{an}\iso sp^{-1}(Y)
$$
o� $sp^{-1}(Y)$ est un domaine analytique localement ferm� dans
$\X^{an}$. 

Si $Y$ est ouvert, $sp^{-1}(Y)$ est ferm� ($Y=D(f)\impl
sp^{-1}(Y)=\{|f|=1\}$.

Si $Y$ est ferm�, $sp^{-1}(Y)$ est ouvert ($Y=V(f)\impl
sp^{-1}(Y)=\{|f|<1\}$. 
\\

A $\X$ est �galement associ� fonctoriellement
un espace adique $t(\X)$. $t$ �tant d�fini localement par 
$t(\spf(A))=\Spa( A,A)$. On peut alors consid�rer l'espace adique 
$$
d(\X)=t(\X)_a
$$
l'ouvert de $t(\X)$ form� des points analytiques i.e. des valuations
ayant un support non ouvert. Si $I$ est un id�al de d�finition de $A$, 
$$
d(\spf(A))=\Spa(A,A)\setminus V(I)
$$
On a alors un morphisme de sp�cialisation d'espaces annel�s 
$$
(d(\X),\O_{d(\X)})\xrig{\l} (\X,\O_{\X})
$$
l'application au niveau des espaces topologiques �tant celle qui
associe � un point $x\in d(\X)$ le support d'une 
 sp�cialisation de $x$ dans
$t(\X)$ form�e d'un point non analytique.

Si $\X/\spf(k^0)$ est adique c'est la bonne d�finition de la fibre
g�n�rique de $\X$ au sens des espaces adiques.

Dans le cas g�n�ral
$$
\widetilde{d}(\X)=t(\X)\setminus V(\pi) \subset d(\X)
$$
est un espace adique ouvert dans $d(\X)$ muni du morphisme de
sp�cialisation obtenu par restriction de $\l$ : 
$$
\widetilde{\l}:\widetilde{d}(\X)\ldrt \X
$$
C'est la bonne d�finition de la fibre g�n�rique au sens de Berthelot
et on a des isomorphismes canoniques commutant aux morphismes de
sp�cialisation 
$$
(\X^{an})^{rig}\simeq \widetilde{d}(\X)
$$
Nous noterons donc $\widetilde{d}(\X)=\X^{rig}$. 

Si maintenant $Y\subset \X_s$ et un sous-sch�ma ferm�, 
$\widetilde{\l}^{-1}(Y)\subset \X^{rig}$ est un ensemble ferm� constructible
et on a un isomorphisme canonique 
$$
(\X_{/Y}^\wedge)^{rig}\simeq (\widetilde{\l}^{-1}(Y))^0
$$
(l'int�rieur de $\widetilde{\l}^{-1}(Y)$).
Ainsi $(\X_{/Y}^\wedge)^{rig}$ s'identifie � un ouvert de $\X^{rig}$
qui est l'ouvert $sp^{-1}(Y)^{rig}$.

Si $\mathcal{Y}\subset \X$ est ouvert, $\mathcal{Y}^{rig}\subset
\X^{rig}$ est l'ouvert $\widetilde{\l}^{-1}(Y)$.
\\

\begin{exem}
 Si $\X=\spf(k^0<X_1,\dots,X_n>)$, $\X^{an}=\BB^n$ la
boule ferm�e analytique, $\X^{rig}=\BB^n$ la boule ferm�e adique
(qui est ouverte dans $\A^n$) 
. Si
$Y=V(0)$, $\X_{/Y}^\wedge=\spf(k^0\llbracket X_1,\dots,X_n\rrbracket)$, 
$sp^{-1}(Y)=\tilde{\BB}^n$ la boule ouverte analytique
 obtenue par recollement
d'une union croissante de boules ferm�es (ce n'est pas l'int�rieur de
la boule ferm�e analytique pour la topologie de Berkovich ! ). 

$\widetilde{\l}^{-1}(Y)=\{|X_i|<1\}\subset \BB^n$ un ferm� (ce n'est
pas un espace adique, c'est un espace pseudo-adique) et
$(\X_{/Y}^\wedge)^{rig}$ est la boule ouverte adique obtenue comme
union croissante des boules ouvertes de rayon strictement inf�rieur �
$1$. $\widetilde{\l}^{-1}(Y)\setminus \widetilde{\l}^{-1}(Y)^0$ est
constitu� de valuations de rang $\geq 2$ qui ne sont pas dans l'espace
de Berkovich.
\\

On remarquera que la stratification associ�e � un ferm� $Y\subset
\X_s$ de la fibre sp�ciale est plus compliqu�e dans le cas de l'espace
adique :
\begin{itemize}
\item La stratification de $\X^{an}$ associ�e est
$
sp^{-1}(Y) \subset \X^{an}$ o� $sp^{-1}(Y)$ est un domaine
analytique ouvert et $\X^{an}\setminus sp^{-1}(Y)$ est un domaine
analytique ferm�. Les deux strates sont donc des espaces analytiques
\item La stratification de $\X^{rig}$ associ�e est 
$$\widetilde{\l}^{-1}(Y)^0\subset 
\widetilde{\l}^{-1}(Y)\subset \X^{an}$$ o� $\widetilde{\l}^{-1}(Y)$
est un espace pseudo-adique (i.e. un germe d'espace adique) et le
compl�mentaire est un espace adique ouvert dans $\X^{rig}$.
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Diff�rents morphismes �tales}

Si $j:\BB^n\hookrightarrow \Aff^n$ d�signe l'inclusion de la boule ferm�e
dans l'espace affine, $j$ est une immersion ouverte au sens des
espaces adiques et est donc �tale. L'espace adique $\BB^n$ est lisse
sur $\Spa(k,k^0)$. Cependant, $j$ n'est pas �tale au sens des espaces
analytiques car $\partial(\BB^n /\Aff^n)\neq\emptyset$. Ainsi, $\BB^n$
n'est pas lisse comme espace analytique sur $k$.
\\

Rappelons :
\begin{defi}\citeg{Berk2} 
  Soit $f:X\drt Y$ un morphisme d'espace analytique. $f$ est
  quasi-�tale si tout point $x\in X$ poss�de un voisinage qui est un
  domaine analytique ferm� �tale au dessus de $Y$.
\end{defi}

\begin{Fait}(\citeg{Berk2} 2.3, resp. \citeg{Hu1} 3.5.1) 
  Si $\X\drt\mathcal{Y}$ est un morphisme de sch�mas formels,
  $\X^{an}\drt \mathcal{Y}^{an}$ est quasi-�tale  et $\X^{rig}\drt
  \mathcal{Y}^{rig}$ est �tale.
\end{Fait}
Par exemple, si $\X\hookrightarrow \mathcal{Y}$ est une immersion
ouverte, donc �tale, 
elle induit une inclusion d'un domaine analytique ferm�
$\X^{an}$ dans $\mathcal{Y}^{an}$ qui n'est pas �tale mais
quasi-�tale. Par contre elle induit une immersion ouverte d'espaces adiques.
\\

Le lien entre les deux notions est le suivant :
\begin{Fait} (\citeg{Hu1} 8.3.4)
  Si $f:X\drt Y$ est quasi-�tale, $f$ est �tale ssi
  $f^{rig}:X^{rig}\drt Y^{rig}$ est partiellement propre.
\end{Fait}
Rappelons qu'un morphisme d'espaces adiques est partiellement propre
s'il v�rifie un crit�re valuatif de propret� (et est localement de
type fini) et qu'un morphisme est propre ssi il est partiellement propre et
quasicompact. 
\\

Ainsi, un domaine analytique ouvert induit une immersion ouverte
d'espace adique qui est partiellement propre et � un ouvert analytique
d'un espace analytique de bord vide sur $k$ est du point de vue adique partiellement
propre (c'est en particulier le cas d'un ouvert analytique de l'espace
analytique associ� � un sch�ma)
\\

Les deux exemples typique d'espace partiellement propre sont les suivants :
\begin{Fait}
  Si $X/k$ est un sch�ma localement de type fini,
  $X^{rig}/\Spa(k,k^0)$ est partiellement propre.
\end{Fait}

\begin{Fait}
Si $\X/\spf (k^0)$ est un sch�ma formel localement formellement de
type fini s�par�, 
$$
\X_s \text{ propre } \limpl \X^{rig} \text{ partiellement propre}
$$
Lorsque $\X$ est adique sur $k^0$, il s'agit m�me d'une �quivalence.
\end{Fait}

\begin{exem}
Le tube au dessus d'un ferm� propre de la fibre sp�ciale d'un sch�ma
formel est partiellement propre.
\end{exem}

Du point de vue des espaces adiques de Huber 

\begin{Fait}
  Soit $f:X\drt Y$ un morphisme d'espaces analytiques. $f^{rig}$ est
  partiellement propre ssi $\partial (X/Y)=\emptyset$. 
\end{Fait}

Si $X=\mathcal{M}(\AA)\xrig{\;\; f\;\;} Y=\mathcal{M}(\mathcal{B})$, $f$ est
partiellement propre s'il existe une immersion ferm�e 
\begin{diagram}
  X & \rInto & \BB^n(0,\e) \times Y \\
& \rdTo_f   & \dTo \\
 & & Y
\end{diagram}
pour $0<\e< 1$ telle que $X$ soit Zariski ferm� dans $\BB^n
(0,1)\times Y$. 


\chapter{Cohomologie $\ell$-adique des espaces analytiques}
\label{coho_l} 

Dans cette section nous donnons des d�monstration des r�sultats non
publi�s de \citeg{Berk4} en suivant \citeg{Hu2}.

\section{Propri�t�s g�n�rales}

Soit $k$ un corps valu� complet et $X$ un $k$-espace analytique
Hausdorff (i.e. $|X|$ est s�par�). Soit $\La$ un anneau de valuation
discr�te complet d'id�al maximal $\mm$ et de caract�ristique
r�siduelle $\ell\neq p$ o� $p=char(k^0/k^{00})$.
\\

\begin{defi}
  Un $\La_\bullet$ faisceau ou encore un faisceau $\La$-adique sur $X_{\et}$ 
 est un syst�me projectif
  $(\F_n)_{n\in \N}$ de faisceaux en $\La$-modules 
 sur $X_{\et}$ v�rifiant $\forall n\;\;
  \mm^n\F_n=0$. Nous noterons $\Lpf_{/X^{\et}}$ la cat�gorie associ�e.
\\
On d�finit de m�me $\La_\bullet -mod$ la cat�gorie des $\La_\bullet$-modules
\\
On notera �galement $\Lf_{/X^{\et}}$ la cat�gorie des
faisceaux de $\La$-modules.
\end{defi}
\vspace{4mm}
$\Lpf_{/X^{\et}}$ est  une cat�gorie ab�lienne
$\La$ lin�aire poss�dant suffisamment d'injectifs.
\\

On a un foncteur exact � gauche 
\begin{eqnarray*}
  \pi_*:\Lpf\Xet &\ldrt & \Lf\Xet \\
 (\F_n)_n &\longmapsto & \limp \F_n \\
\end{eqnarray*}

Si $(\F_n)_n \in \Lpf\Xet $ et $X$ n'est pas compact il n'est pas
raisonnable de poser 
$\GG_c(X,(\F_n)_n)$ comme �tant �gal � $\limp \GG_c (X,\F_n)$ car si 
$(s_n)_n\in \limp \GG_c(X,\F_n)$ il se peut que l'adh�rence de 
 $\cup_n supp(s_n)$ ne
soit pas compact.

Nous adopterons donc la d�finition suivante :
\begin{defi}
  \begin{eqnarray*}
    \GG_!:\Lf\Xet & \ldrt & \Ab \\
  \F &\longmapsto & \GG_c(X,\F) 
  \end{eqnarray*}
 $$\GG_c=\GG_!\circ \pi_*$$ 
On a donc $\GG_c(X,(\F_n)_n)=\{(s_n)_n
\in \limp \GG(X,\F_n) \; |\;\overline{ 
\cup_n supp(s_n)}$ est compact $\}$. 

On posera $$H^p_c(X,(\F_n)_n)=R^p(\GG_c(X,-))((\F_n)_n)$$  
\end{defi}

\begin{rema}
  Si $X$ est compact $\GG_c(X,(\F_n)_n)=\underset{n}{\limp}
\GG(X,\F_n)$. 
\end{rema}

\begin{lemm}\label{flasque}
  Soit $\F$ un faisceau ab�lien sur $X_{\et}$. Si $\forall x\in X\;\;
  \F_x$ est un $\Gal(\mathcal{K}(x)^s|\mathcal{K}(x))$-module acyclique
  et si ${\F_{|}}_{|X|}$ est un faisceau mou, $\F$
  est $\GG_c$ acyclique.
\end{lemm}
\begin{proof} Il suffit de consid�rer le morphisme de site $f:X_{\et}\drt
|X|$. La premi�re hypoth�ses montre que $\forall p>0\;\; R^p f_* (\F)
=0$ car ses fibres en tous les points de $|X|$ sont nulles
(cf. \citeg{Berk1}, 4.2.4)
. La suite
spectrale de Leray associ�e d�g�n�re donc en
$H^p_c(X_{\et},\F)\simeq H^p_c(|X|,\F_{|X|})$ mais  $|X|$ est localement
paracompact donc ${\F_{|}}_{|X|}$ �tant mou il est $\GG_c(|X|,-)$ 
acyclique.
\end{proof}

L'int�r�t du lemme qui suit est qu'il permet de calculer la
cohomologie � support  compact d'un faisceau
$\La$-adique comme l'hypercohomologie � support compact d'un 
complexe de faisceaux de $\La$-modules.

\begin{lemm}\label{Rpp}
  $\R\GG_c=\R\GG_!\circ \R \pi_*$
\end{lemm}

\begin{proof}
 En suivant la preuve du i) du lemme 2.3
 de  \citeg{Hu2}  on voit qu'il
suffit de montrer que si $\forall n\;$
$\I_n$ est un injectif de $\Lmf\Xet$ alors $\prod_{k=0}^\infty \I_k$
est $\GG_!$ acyclique.
Pour cela nous allons appliquer le lemme \ref{flasque}.
 
$$\forall x\in X\;\;\;\;
(\prod_k \I_k)_x\simeq \left ( \prod (\I_k)_x\right )^{disc} 
$$
comme $\Gal(\mathcal{K}(x)^s | \mathcal{K}(x))$-module galoisien
discret, o� si $M$ est un module galoisien $M^{disc}$ d�signe sa partie
discr�te. Or, si $(M_k)_{k\in K}$ sont des $\Gal(\mathcal{K}(x)^s| \mathcal{K}(x))$-modules
discrets 
$$
H^q \left
(\Gal(\mathcal{K}(x)^s |\mathcal{K}(x) ),\left ( \prod_k M_k \right
)^{disc}
\right )\simeq \prod_k H^q( \Gal(\mathcal{K}(x)^s |\mathcal{K}(x) ),M_k)
$$
$\I_k$ �tant injectif comme faisceau de $\La/\mm^n$-modules, 
$\forall x \;\I_{k,x}$ est un $\Gal (\mathcal{K}(x)^s|\mathcal{K}(x))$-module galoisien 
acyclique (\citeg{Berk1}, 4.2.5)
. On en d�duit donc que $\left (\prod_k \I_k \right )_x$
en est �galement un.

De plus,  ${(\prod_k \I_k)_{|}}_{|X|}$ est mou car  il est
flasque et $|X|$ est localement paracompact.
\end{proof}
\vspace{3mm}

D�gageons quelques propri�t�s simples de la cohomologie $\La$-adique :

\begin{lemm}
  Soit $\U(X)$ un ensemble d'ouverts de $X$ tels que $\forall U\in
  \U(X), \overline{U}$ est compact, $\forall U_1,U_2\in \U(X)
  \;\exists U_3\in\U(X)\;\; U_1\cup U_2\subset U_3$ et $\bigcup_{U\in
  \U(X)} U=X$. On a alors,
$$
\GG_c(X,(\F_n)_n)=\underset{U\in \U(X)}{\;\limi\;} \underset{n}{
\limp} \GG_c(U,\F_n)
$$
\end{lemm}

\begin{proof}
 Cela r�sulte de ce que tout compact de $X$ est contenu
dans un �l�ment de $\U(X)$ et r�ciproquement.
\end{proof}

Nous choisirons g�n�ralement $\U(X)=\{$ ouverts $U$ de $X$, $\overline{U}$ est
compact $\}$ ou bien $\U(X)=\{$ ouverts distingu�s de $X\}$ o�
rappelons 
\begin{defi}
  \citeg{Berk4} 
Un ouvert $U$ de $X$ est distingu� s'il peut s'�crire 
$U=V_1\setminus V_2$ o� $V_1$ et $V_2$ sont des domaines analytiques compacts.
\end{defi}
\vspace{5mm}

\begin{lemm}
  \begin{enumerate}
\item Si $i:Y\hookrightarrow X$ est une immersion ferm�e d'espaces
  analytiques
ou une immersion d'un domaine analytique ferm�, il y a un
isomorphisme canonique 
$$
H^p_c(Y,(\F_n)_n)\iso H^p_c(X,(i_*\F_n)_n)
$$ 
\item Si $j:U\hookrightarrow X$ est une immersion ouverte, pour tout
  $(\F_n)_n\in \Lpf\Xet$ 
 il y  a une application naturelle 
$$
H^p_c(U,(\F_{n|U})_n)\ldrt H^p_c(X,(\F_n)_n)
$$
et $\forall (\F_n)_n\in \Lpf_{/U_{\text{�t}}}$ une application
naturelle 
$$
H^p_c(U,(\F_n)_n)\ldrt H^p_c(X,(j_!\F_n)_n)
$$
\item Si $\mathbb{V}$ est un recouvrement ouvert de $X$ tel que
  $\forall V_1,V_2\in \mathbb{V}\;\;\exists V_3\in \mathbb{V}\;\;
  V_1\cup V_2\subset V_3$ 
$$
H^p_c(X,(\F_n)_n)=\underset{V\in \mathbb{V}}{\limi} H^p_c(V,(\F_{n|V})_n)
$$
\end{enumerate}
\end{lemm}

\begin{proof}
 1) Soit le foncteur
\begin{eqnarray*}
  i_*:\Lpf_{/Y^{\text{�t}}} & \ldrt & \Lpf\Xet \\
 (\F_n)_n & \longmapsto & (i_*\F_n)_n 
\end{eqnarray*}
il est exact et poss�de un adjoint � gauche $(\F_n)_n\longmapsto
(i^*\F_n)_n$. Il envoie donc les injectifs sur des injectifs. De plus, 
$|Y|$ �tant ferm� $\GG_c(Y,-)=\GG_c(X,-)\circ i_*$. D'o� le 1).
\\

2) Soit le foncteur  
\begin{eqnarray*}
  j^*:\Lpf\Xet &\ldrt & \Lpf_{/U^{\text{�t}}} \\
(\F_n)_n &\longmapsto & (j^*\F_n)_n 
\end{eqnarray*}
qui est exact et poss�de un adjoint � gauche $(\F_n)_n \mapsto
(j_!\F_n)_n$. On a donc $R^+(\GG_c(U,-)\circ j^*)=R^+\GG_c(U,-)\circ
j^*$. On a de plus une application naturelle 
$$
\GG_c(U,-)\circ j^*\ldrt \GG_c(X,-) 
$$
ce qui conclu la d�monstration de la premi�re partie.

Si maintenant $(\F_n)_n\in \Lpf_{/U^{\text{�t}}}$ il y a une
application canonique d'adjonction 
$$
(\F_n)_n\ldrt (j^*j_!\F_n)_n
$$
L'application cherch�e est alors la compos�e 
$$
H^p_c(U,(\F_n)_n)\drt H^p_c(U,(j^*j_!\F_n)_n)\drt H^p_c(X,(j_!\F_n)_n)
$$
o� la derni�re application est celle d�finie auparavant.
\\

Le 3) est clair car $\underset{V\in\mathbb{V}}{\limi}\circ
\underset{U\in\U(X)}{\limi} =\underset{U\in \U(X)}{\limi}$ et les
limites �tant filtr�es elles sont exactes.
\end{proof}
7
\begin{rema} En g�n�ral l'application 
$$
H^p_c(U,(\F_n)_n)\ldrt H^p_c(U,(j_!\F_n)_n)
$$
n'est pas bijective. Cela est du au fait qu'en g�n�ral $j$ ne poss�de
pas de bonnes propri�t�s de finitude. D�j� dans le cas alg�brique,
pour $X\xrig{ f } Y$ un morphisme de type fini, pour montrer que $(R^+
f_!)((\F_n)_n)=(R^+ f_!\F_n)_n$ pour $(\F_n)_n$ constructible et
$R^+\GG_c\circ R^+f_!=R^+\GG_c$ il faut utiliser les propri�t�s de finitude
de $f_!$: $f_!($constructible$)$ est constructible.

Par exemple, en g�n�ral $H^p_c(\breve{\F}^{ad},\Ql)\neq
H^p_c(\breve{\F},j_!\Ql)$ (cf. \citeg{Hu2}, exemple 2.7 )
\end{rema}

Comme dans le lemme 2.3 de \citeg{Hu2} on a une factorisation 
$R^+\GG_c=\underset{\U(X)}{\limi}\circ \text{Ind}(R^+\rho)\circ R^+\s$
de laquelle on d�duit :
\vspace{1mm}

\begin{prop}
  $\forall (\F_n)_n\in \Lpf\Xet$ il y a des suites exactes : $\forall
  p\in \N$ 
$$
0\ldrt \underset{U\in \U(X)}{\limi} \underset{n}{\limp}^{\!\!\!\! 1}\;\;
H^{p-1}_c(U,\F_n) 
\ldrt H^p_c(X,(\F_n)_n) \ldrt \underset{U\in
  \U(X)}{\limi}\underset{n}{\limp} H^p_c(X,\F_n) \ldrt 0
$$
\end{prop}

\begin{coro} \label{corlim}
  \begin{enumerate} \item[] 
  \item[a)] Si $\forall n\; \forall p \;\;\; \forall U\in \U(X)\;\;\;
    H^p_c(U,\F_n)$ est un $\La/\mm^n$-module de type fini 
$$
\forall p\in \N \;\;\; H^p_c(X,(\F_n)_n)\iso \underset{U\in
  \U(X)}{\limi}
\underset{n\in \N}{\limp} H^p_c(U,\F_n)
$$
\item[b)] $\forall p>2 \dim (X)+\text{cd}_\ell (k)+1 \;\; \forall
  (\F_n)_n\in \Lpf\Xet \;\; H^p_c(X,(\F_n)_n)=0 $ 
et sous l'hypoth�se du a) cela est vrai pour tout $p>2 \dim (X)
+\text{cd}_\ell (k)$
  \end{enumerate}
\end{coro}
\vspace{1mm}

\begin{exem} Si $X=\widetilde{\BB}^n_k$ est la boule ouverte de
dimension $n$, $\U(X)=\{\widetilde{\BB}^n_k(0,\e)\; |\; 0<\e<1\; \}$
les hypoth�ses du a) sont v�rifi�es pour $\Zl=(\Z/\ell^n \Z)_n$  et 
\begin{eqnarray*}
  H^p_c(\widetilde{\BB}^n_k,\Zl) &=& \underset{\e\drt 1}{\limi}
  \underset{
n\in \N}{\limp} H^p_c(\widetilde{\BB}^n_k(0,\e),\Z/\ell^n\Z) \\
&=&  \left \lbrace \begin{array}{l}
  0  \text{ si } p\neq 2n \\
  \Zl \text{ si } p=2n \end{array}\right.
\end{eqnarray*}
\end{exem}

\section{Cohomologie $\ell$-adique des espaces analytiques
  quasi-alg�briques}

Les hypoth�ses faites ici : $X$ quasi alg�brique et $\F$ localement
constant ne sont l� que pour palier � l'existence d'une th�orie des
faisceaux constructibles pour les espaces analytiques comme c'est le
cas pour les espaces adiques (\citeg{Hu1},\citeg{Hu2}).
\\

\begin{defi}\label{def_quasi_alg}
  (\citeg{Berk2},\citeg{Berk4}) $X$ est quasi-alg�brique si $\forall x\in X$
  $\;\exists V_1,\dots,V_n$ des domaines affino�des tels que $x\in
  \bigcap_{i=1}^n V_i, \bigcup_{i=1}^n V_i$ est un voisinage de $x$ et
  tout $V_i$ est quasi-�tale au dessus d'un domaine affino�de de
  l'espace analytique associ� � un sch�ma de type fini sur $k$. 
\end{defi}

\begin{rema}
  D'apr�s \citeg{Berk4} cela implique que l'on peut trouver des $V_i$
  qui sont eux m�mes des domaines affino�des dans l'espace analytique
  associ� � un sch�ma de type fini.
\end{rema}

\begin{rema}
  Tout espace analytique lisse sur $k$ est quasi-alg�brique.
\end{rema}
\vspace{4mm}

\begin{defi}
  $(\F_n)_n\in\Lpf\Xet$ est localement constant si 
$$
\forall m\geq n \;\;\; \F_m\otimes \La/\mm^n\iso \F_n
$$
et $\forall n\;\; \F_n$ est localement constant fini 
sur $X_{\text{�t}}$ comme $\La/\mm^n$-module.
\end{defi}
\vspace{4mm}

\begin{lemm}
  Soit $X$ quasi-alg�brique et $U$ un ouvert distingu� de $X$ ou un
  domaine analytique compact. $\forall \F\in \Lmf\Xet$ localement
  constant fini, $\forall p\in\N\;\;\; H^p_c(U,\F)$ est un
  $\La/\mm^n$-module de type fini. 
\end{lemm}

\begin{proof}
 Si $U$ est un domaine compact c'est le corollaire 5.6 de
\citeg{Berk2}.

Si $U=V_1\setminus V_2$ est un ouvert o� $V_1$ et $V_2$ sont des
domaines compacts cela r�sulte de la suite exacte longue de
cohomologie
\begin{diagram}
 & \rTo & H^p_c(U,\F) & \rTo & H^p( V_1,\F) & \rTo & H^p (V_1\cap
  V_2 ,\F) & \rTo  &
\end{diagram}
et de l'assertion pour un domaine compact.
\end{proof}

\begin{coro}
Si $X$ est quasi-alg�brique et $(\F_n)_n$ est localement constant 
$$
H^p_c(X,(\F_n)_n)=\underset{U\text{
    distingu�}}{\limi}\;\;\underset{n\in \N}{\limp}\;\;\; H^p_c(U,\F_n)
$$
En particulier si $X$ est compact 
$$
H^p(X,(\F_n)_n)=\underset{n\in\N}{\limp} H^p(X,\F_n)
$$
\end{coro}
\begin{proof}
 Cela r�sulte du lemme pr�c�dent et du corollaire
\ref{corlim}.
\end{proof}

\begin{prop} Supposons $cd_\ell (k)<+\infty$. 
  Soit $U$ un ouvert distingu� ou un domaine compact d'un espace
  quasi-alg�brique X, $\F$ localement constant sur $X$. 
 $\forall p\in\N\;\;\; 
(H^p_c(U,\F_n))_n$ est AR $\mm$-adique et $\underset{n\in\N}{\limp}
  H^p_c(U,\F_n)$ est un $\La$-module de type fini.
\end{prop}
\begin{proof}
 $H^p_c(U,\F_1)$ �tant de type fini, la premi�re partie de
la proposition entra�ne la seconde.

Pour tout $n$, soit $C^\bullet (\F_n)$ la r�solution de Godement de
$\F_n$ associ�e aux points de $|X|$ (si $x\in|X|$ il y a un morphisme
de sites $i_x:\spec(\mathcal{K}(x)^s)_{\et}\drt \spec
(\mathcal{K}(x))_{\et} \drt X_{\et}$ et $C^0(\mathcal{G})=\prod_x
{i_x}_* i_x^*\mathcal{G}$ ).

 En utilisant le lemme
\ref{flasque} on v�rifie que c'est une r�solution $\GG_c(U,-)$
acyclique de $\F$. Cette r�solution est scind�e sur chaque
fibre. Etant donn� que $\forall n\;\; \F_n$ est localement constant, 
 pour tout $n\;\;C^\bullet(\F_n)$ est $\La/\mm^n$ plat et 
$$\forall m\geq
 n\;\;\;\;
C^\bullet(\F_m)\otimes \La/\mm^n\iso C^\bullet(\F_n)
$$

Si $m\geq n$ consid�rons la r�solution p�riodique $D^\bullet$ de
$\La/\mm^n$ dans la cat�gorie des $\La/\mm^m$-modules (et
faisceaux) 
\begin{diagram}
  \cdots & \rTo  & \La/\mm^m & \rTo^{\varpi_\La^n} & \La/\mm^m &
\rTo^{\varpi_\La^{m-n}} & \La/\mm^m  & \rTo^{\varpi_\La^n} &\La/\mm^m  & \rTo 0 
\end{diagram}

Pour tout $p$ appliquons la formule de projection (\citeg{Berk1} 5.3.9) :
\begin{eqnarray*}
  C^p(\F_m)\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\La/\mm^m} D^\bullet &= &
C^p(\F_m)\otimes \La/\mm^n \simeq C^p(\F_n) \\
\limpl
R^\bullet\GG_c(C^p(\F_m)\overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\La/\mm^m}
D^\bullet )&\simeq & \GG_c(U,C^p(\F_n)) 
\end{eqnarray*}
et 
$$
R^\bullet\GG_c(U,C^p(\F_m)) \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\La/\mm^m}
D^\bullet
=\GG_c(U,C^p(\F_m))\overset{\mathbb{L}}{\otimes} D^\bullet
$$
\begin{diagram}
 =  \cdots & \rTo  & \GG_c(U,C^p(\F_m)) & \rTo^{\varpi_\La^n} &\GG_c(U,C^p(\F_m))  &
\rTo^{\varpi_\La^{m-n}} &\GG_c(U,C^p(\F_m))    &
\rTo^{\varpi_\La^n} & \GG_c(U,C^p(\F_m))  & \rTo 0 
\end{diagram}

On en d�duit donc que 
$$\GG_c(U,C^p(\F_m))/\pi_\La^n\GG_c(U,C^p(\F_m)) \iso \GG_c
(U,C^p(\F_n))
$$
et que $\GG_c(U,C^p(\F_m))$ est un $\La/\mm^m$-module plat (par
r�currence sur $m$).
\\

$X$ �tant quasi-alg�brique et $\overline{U}$ compact, $\dim
(U)<+\infty$ et donc pour $d>2\dim(U)+cd_\ell(k)$ $\;\; \tau_{\leq d}
\GG_c(U,C^\bullet(\F_n))$ calcule $H^\bullet_c(U,\F_n)$ qui est un
$\La/\mm^n$-module de type fini. On peut alors appliquer le lemme
12-14 de \citeg{FK} pour conclure.
\end{proof}
\vspace{3mm}
\begin{defi}
  Soit $L$ le corps des fractions de $\La$. 
 Un faisceau $L$-adique est un
  faisceau $\La$-adique modulo $\mm$ torsion. 
  On notera pour $\F\in \Lpf$  $\;\;\F\otimes L$ le
  faisceau $ L$-adique associ� et on posera $H^p_c(X,\F\otimes
  L)=H^p_c(X,\F)\otimes L$.

Un faisceau $L$-adique localement constant est un faisceau $L$-adique
de la forme $\F\otimes L$ avec $\F$ localement constant.
\end{defi}
\vspace{2mm}
\begin{coro}\label{Cont}
  Soit $X$ quasi-alg�brique muni d'une action continue (\citeg{Berk2},
  6)
  d'un groupe $G$ tel que $G$ poss�de un pro-p sous-groupe
  ouvert. Soit $\F$ un faisceau $L$-adique  localement
  constant muni d'une action de $G$ compatible � celle sur $X$. Alors,
$H^p_c(X,\F)$ est un $G$-module lisse. 
\end{coro}
\begin{proof}
 Si $\F=\G\otimes L$, $\G$ localement constant, 
 $$
H^p_c(X,\F)=\underset{U\text{ distingu�}}{\limi}\; \left
    [ \underset{n}{\limp} H^p_c(U,\G) \right ]\otimes L $$ 

Soit donc $s\in H^p_c(X,\F)$. Il existe $U$ distingu� tel que $$s\in
\im \left ( H^p_c(U,\G)\otimes L\drt H^p_c(X,\G)\otimes L\right
)$$

Si $U=V_1\setminus V_2$ o� $V_1$ et $V_2$ sont des domaines compacts,
par continuit� de l'action $\exists K\subset G$ un sous-groupe ouvert
tel que $\forall g\in K\;\; g.V_1=V_1,g.V_2=V_2$ et donc $g.U=U$. 
D'apr�s \citeg{Berk2} 7.7,  $\forall n\;\; H^p_c(U,\G_n)$ est un
$K$-module  lisse. Etant un $\La/\mm^n$-module de type fini c'est un
$K$-module  discret. $K$ agit donc continuement sur le $\La$-module de type
fini $\underset{n}{\limp}\; H^p_c(U,\F_n)$. Si $K'\subset K$
 est un sous-pro-p-groupe ouvert, un sous-groupe ouvert $K''$ de $K'$
 s'envoit sur un pro-$\ell$ groupe et agit donc trivialement. Donc,
 $\forall g\in K''\;\; g.s=s$.
\end{proof}

On montre de m�me :
\begin{coro}
  Sous les m�mes hypoth�ses $\Gal(\kb|k)$ agit contin�ment sur
  $H^p_c(X\otimes \widehat{\kb},\F)$ au sens o�  $H^p_c(X\otimes
  \widehat{\kb},\F)$ est une union croissante de $\Gal(\kb|k)$-modules
  de dimension finie continus.
\end{coro}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 

these_introduction.tex
\chapter*{Introduction}

\section*{Motivation g�n�rale}

  Dans l'article \cite{Langlands1} Langlands a pr�dit l'existence d'un
  lien entre les motifs de Grothendieck d�finis sur des corps de
  nombres et certaines repr�sentations automorphes des groupes
  lin�aires. Pour certaines formes modulaires un cas particulier bien
  connu de cette correspondance est r�alis� dans la cohomologie des
  courbes modulaires. Plus g�n�ralement, soit $G$ un groupe r�ductif
  d�fini sur $\Q$ poss�dant une donn�e de Shimura $(G,X)$. Langlands a
  donn� une description conjecturale du motif d�coup� par une
  repr�sentation automorphe $\Pi$ de $G$ dans la vari�t� de Shimura
  $\Sh(G,X)$ en fonction du L-param�tre (conjectural) de $\Pi$
  (\cite{Langlands1}). 

 Dans cette th�se, nous d�montrons des analogues locaux en des places
 non-archim�diennes de cette conjecture. Qu'entendons nous par
 analogue local ? En la place archim�dienne de $\Q$ 
 l'objet local �quivalent naturel de la vari�t� de Shimura $\Sh (G,X)$
 est l'espace sym�trique hermitien $X$ uniformisant la vari�t�
 analytique $\Sh (G,X) (\C)$, tandis que les objets associ�s aux 
 repr�sentations automorphes de $G$ sont les repr�sentations
 irr�ductibles du groupe de Lie $G(\R)$ au sens d'Harisch-Chandra. Les travaux de
 Schmid �tudient ainsi la contribution des s�ries discr�te de $G(\R)$
 dans la cohomologie $L^2$ de $X$ (l'analogue local de l'identification de
 l'action du groupe de Galois motivique consisterait dans ce cas �
 d�terminer une structure de Hodge sur ces espaces de cohomologie).
Les analogues non-archim�diens en un premier $p$ de $\Q$ de l'espace
 sym�trique $X$  sont les espaces rigides $p$-adiques de Rapoport-Zink
 (\cite{RZ}) uniformisant certains ouverts rigides des vari�t�s de
 Shimura $\Sh (G,X)$ (ils ne sont pas d�finis pour tous les couples
 $(G,X)$). 

\section*{Espaces de Rapoport-Zink}

Pour comprendre la  d�finition des espaces de Rapoport-Zink
rappelons que 
 la plupart des vari�t�s de Shimura devraient se d�crire
 comme des espaces de modules de motifs. L'espace $X$ s'interpr�te ainsi
 comme la contrepartie locale archim�dienne de ce point de vue puisque
 c'est un espace de modules de structures de Hodge. Supposons que
 les vari�t�s $\Sh(G,X)$ s'interpr�tent comme espaces de modules de vari�t�s
 ab�liennes. Les espaces de Rapoport-Zink sont alors la contrepartie
 $p$-adique de ce point de vue : ce sont des espaces de modules de
 groupes p-divisibles munis de structures de niveaux. 

 Contrairement � $X$ les espaces de Rapoport-Zink ne sont pas simplement
 connexes; il s'agit d'une tour d'espaces rigides $(\M_K)_K$ index�e
 par les sous groupes compacts ouverts de $G(\Qp)$ telle que si $K'$ est
 un  sous groupe compact ouvert de $K$, le morphisme de transition
 $\M_{K'}\drt \M_K$ est un rev�tement �tale. Cette tour est munie
 d'une action de $G(\Qp)$. Un deuxi�me groupe alg�brique $p$-adique
 entre en jeux,  une forme int�rieure d'un sous groupe
 de Levi de la forme int�rieure quasi-d�ploy�e de $G_{\Qp}$. On le note
 $J_b$. Celui-ci agit sur chaque espace $\M_K$ de mani�re compatible
 aux morphismes de transition. Le
 troisi�me groupe entrant en jeu est le groupe de Weil $W_E$ d'une
 extension de degr� fini de $\Qp$. 

\section*{Esquisse des r�sultats}

Consid�rons la cohomologie �tale
 $\ell$-adique � support compact au sens de Berkovich des $\M_K$ pour
 un $\ell \neq p$, 
$$
H^\bullet_c (\M_K,\Qlb)
$$
Lorsque $K$ varie celle ci est munie d'une action lisse de
$G(\Qp)\times J_b\times W_E$.

 Les r�sultats principaux de cette th�se
concernent des espaces de Rapoport-Zink pour lesquels le groupe $J_b$ est une
forme int�rieure de $G_{\Qp}$. Ce sont ceux qui uniformisent les
strates supersinguli�res des vari�t�s de Shimura de type P.E.L. non
ramifi�es d�finies dans \cite{Ko4}. Le premier r�sultat concerne le
cas o� $G(\Qp)=\GL_n (F)$ 
pour une extension $F|\Qp$ non ramifi�e, et $J_b=D^\times$ o� $D$ est
une alg�bre � division sur $F$. Soit $\text{JL}$ la correspondance de
Jacquet-Langlands qui associe � une repr�sentation irr�ductible de
$D^\times $ une repr�sentation de la s�rie discr�te  de
$\GL_n (F)$. Soit $\rho$ une repr�sentation  de $J_b$ telle
que $\text{JL} (\rho)$ soit supercuspidale. Soit $\pi$ une repr�sentation
supercuspidale de $G(\Qp)$. D'apr�s la correspondance de Langlands
locale (\cite{Har4}), � $\pi$ est associ� un certain L-param�tre
$\psi$. Nous d�montrons que  $\rho\otimes\pi$ intervient
virtuellement dans la somme altern�e de la cohomologie des espaces de
Rapoport-Zink ssi $\check{\pi}=\text{JL}(\rho)$. Nous d�montrons  qu'alors la
repr�sentation galoisienne d�coup�e par $\rho\otimes \pi$ s'exprime 
simplement en fonction du L-param�tre $\psi$. 

Nous d�montrons le m�me type de r�sultat lorsque $G(\Qp)=J_b= \GL_n
(F)$, la correspondance de Jacquet-Langlands �tant alors l'identit�. 

Nous d�montrons �galement le premier cas de loi de r�ciprocit�
non ab�lienne locale construite g�om�triquement et 
associ�e � des groupes autres que des formes
int�rieures des groupes lin�aires. Plus pr�cis�ment, il s'agit du cas
o� $J_b=G(\Qp)=GU(3)$ est le groupe de similitudes unitaires non ramifi� en trois
variables. Contrairement au cas pr�c�dents, les L-paquets de
repr�sentations de $GU(3)$ ne sont pas tous de cardinal $1$. Le
r�sultat est alors du m�me type que pr�c�demment apr�s sommation sur
un tel L-paquet.

\section*{Conjectures de Kottwitz}

Se basant sur la description conjecturale de Langlands du motif, et
en particulier de la repr�sentation galoisienne dans la cohomologie
$\ell$-adique, associ� � une repr�sentation automorphe de $G$ dans la
vari�t� de Shimura $\Sh (G,X)$, ainsi que sur la formule conjecturale 
d'Arthur pour la multiplicit� d'une repr�sentation automorphe dans un
A-paquet discret de $G$, Kottwitz a formul� une conjecture concernant
la contribution d'une repr�sentation ``discr�te'' de $G(\Qp)\times
J_b$ dans les espaces de cohomologie $H^\bullet_c (\M_K,\Qlb)$ ainsi que de
la repr�sentation galoisienne associ�e (\cite{Rapoport2} et
\cite{ECM}). Les r�sultats de cette th�se sont des cas particuliers de
ces conjectures. 

\section*{�nonc�s pr�cis}

Les r�sultats principaux de cette th�se sont les suivants :

\begin{enonce*}{Th�or�me}[th�or�mes III.\ref{theo_princ1} et III.\ref{theo_princ2}]
  Soit $(V,F,b,\mu)$ une donn�e locale  de Rapoport-Zink de type
  E.L. non ramifi�e simple basique (I.\ref{EL_RZ}). Soit $E\subset \Qpb$ le corps
  r�flex associ�.  Soient $\M_K=\M_K (b,\mu)$ les espaces de
  Rapoport-Zink associ�s (I.\ref{esp_RZ_ass}).
\begin{enumerate}
\item
Supposons le groupe r�ductif $J_b$ anisotrope modulo
  son centre, c'est � dire
 $J_b=D^\times$ pour une alg�bre � division
  $D$ sur $F$ d'invariant calcul� en fonction de $\mu$. 
Notons $\text{JL}$ la correspondance de Jacquet-Langlands. 
Soit $\pi$ une
  repr�sentation irr�ductible de $J_b$
telle que $\text{JL}(\pi)$ soit supercuspidale. L'�galit� suivante est
v�rifi�e dans le
  groupe de Grothendieck $\Groth ( G(\Qp)\times W_E)$ 
\begin{eqnarray*}
 \sum_i (-1)^i 
[\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} ( H^i_c ( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),
\pi)]_{cusp} 
 = 
[\text{\text{JL}} (\pi)] \otimes [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell (\text{\text{JL}}
(\pi))_{|E}]\; |.|^{\frac{-\sum_\tau {p_\tau q_\tau}}{2}} 
\end{eqnarray*}
o�
$\tilde{\s}_\ell$ la correspondance de Langlands locale ``absolue''
$\ell$-adique pour le
groupe lin�aire (\ref{Lang_Rev}) et $r_\mu$ la repr�sentation du
L-groupe associ� (\ref{le_r_mu}) sur $E$. 
\item Supposons le groupe r�ductif $J_b$ �gal � $G=\GL_n$. Soit $\pi$ une
  repr�sentation irr�ductible supercuspidale de $J_b$. Il y a une
  �galit� dans $\Groth ( G(\Qp)\times W_E)$ 
$$
\sum_i (-1)^i 
[\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} ( H^i_c ( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),
\pi)]_{cusp} = [\pi]\otimes  [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell (
\pi)_{|E}]\; |.|^{-\sum_\tau \frac{p_\tau q_\tau}{2}}
$$
\end{enumerate}
\end{enonce*}

Dans cet �nonc�, la donn�e de Rapoport-Zink locale est l'analogue
non-archim�dien local d'une donn�e de Shimura. 

\begin{enonce*}{Th�or�me}[th�or�me III.\ref{theo_princ3}]
  Soit $(F,*,V,<.,.>,b,\mu)$ une donn�e locale de type P.E.L. non
  ramifi�e simple basique (I.\ref{PEL_RZ}). Supposons $p\neq 2$, $[F:\Qp]/2$
  impair et $\dim_F (V)=3$. Soit $E\subset \Qpb$ le corps r�flex
  associ�.
Soient $\M_K=\M_k(b,\mu)$ les espaces de Rapoport-Zink associ�s
  (I.\ref{esp_RZ_ass_PEL}). 
\begin{enumerate}
\item 
 Soit
  $\psi:W_{\Qp}\ldrt \L G$ une classe de conjugaison de L-param�tres
  v�rifiant : $\im (\psi )$ n'est pas contenue dans $\L B$ pour un
 sous groupe de  Borel $B$ de $G$. Soit $\Pi (\psi )$ le L-paquet
  supercuspidal de repr�sentations de $G(\Qp)$ associ�
  (\ref{paquets_sup}). Rappelons que $J_b= G(\Qp)=GU(3)$. 
  L'�galit� suivante est v�rifi�e dans 
 $\Groth (G(\Qp)\times W_{E})$ : 
$$ 
\sum_{\pi\in \Pi (\psi)}\left [\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} \left ( H^\bullet_c
( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),\pi\right ) \right ]_{cusp} = \sum_{\pi\in \Pi
  (\psi)} [\pi]\otimes [ r_\mu \circ \psi_{|W_E}]\;
|.|^{-\frac{\sum_\tau p_\tau q_\tau}{4}}
$$ 
En particulier, si $\Pi (\psi)$ est stable la conjecture de Kottwitz
(\cite{Rapoport2},\cite{ECM}). 
est v�rifi�e. 
\item
Soit $\xi$ un caract�re du groupe endoscopique $H$ de $U(3)$
(appendice \ref{Resultats_Rog}) et $St_H (\xi)$ la repr�sentation de Steinberg
associ�e. Soit $\Pi ( St_H (\xi)) = \{ \pi^2 (\xi), \pi^s (\xi) \}$ le
L-paquet transfert endoscopique � $U(3)$ (\ref{Class_sup}). Soit
$\Pi=\{\pi^2,\pi^s\}$ un L-paquet de repr�sentations de $G(\Qp)$ tel
  que $\pi^2_{|U(3)}=\pi^2 (\xi),\pi^s_{|U(3)}=\pi^s (\xi)$. A $\Pi$
  est associ� un L-param�tre $\psi:W_{\Qp}\times \text{SL}_2 (\C)
  \ldrt \L G$. L'�galit� suivante est v�rifi�e 
dans $\Groth (G(\Qp)\times W_{E})$
  : 
  \begin{eqnarray*}
  &\,&  \left [\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} \left ( H^\bullet_c
    (\M_{K}\hat{\otimes} \Cp ,\Qlb),\pi^s\right )\right ]_{cusp} + \left[
    \underset{K}{\limi} \text{Ext}^{\, \bullet}_{J_b-\text{lisse}} (
    H^\bullet_c (\M_{K}\hat{\otimes} \Cp ,\Qlb),\pi^2)\right ]_{cusp}
    \\
 &=& [\pi^s]\otimes [r_\mu\circ \psi_{|W_E}] \;
    |.|^{-\frac{\sum_\tau p_\tau q_\tau }{4}}
  \end{eqnarray*}
\item 
Soit $\chi$ un caract�re de $G(\Qp)$ et $St_G(\chi)$ la repr�sentation
de Steinberg associ�e. L'�galit� suivante est v�rifi�e 
 dans $\Groth ( G(\Q)\times
W_{E})$ : 
$$
\left [ \text{Ext}^\bullet_{J_b-\text{lisse}} \left (  H^\bullet_c
( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb), St_G (\chi)\right )\right ]_{cusp} = 0 
$$
\end{enumerate}
\end{enonce*}
\vspace{3mm}

\section*{Quelques rappels sur la m�thode de Harris,Taylor et Boyer}
\subsection*{Rapide historique}

Lubin et Tate avaient d�j� consid�r� (mais formul� diff�remment bien s�r) le cas
particulier $G=\GL_1$ pour 
lequel les espaces $\M$ sont de dimension $0$, et donn� ainsi une
construction g�om�trique de la loi de r�ciprocit� locale
d'Artin. Carayol a ensuite formul� dans \cite{Carayol1} des
conjectures concernant les espaces de d�formation de Lubin-Tate de
dimension sup�rieure. Ces conjectures ont �t� d�montr�es dans le cas
des corps locaux de caract�ristique $p$ par Boyer
(\cite{Boyer}). Harris et Taylor on alors d�montr� la conjecture de
Langlands locale pour les groupes lin�aires sur des extensions de
degr� fini de $\Qp$ en utilisant cette approche (\cite{Har4}), puisque
dans leur cas la repr�sentation $r_\mu$ est la repr�sentation standard
du groupe lin�aire. 

\subsection*{Quelques points de \cite{Har4}}

Pour comprendre la tactique utilis�e pour d�montrer nos th�or�mes il
nous faut 
rappeler bri�vement certains points de  
(\cite{Har4}). Harris et Taylor 
consid�rent des espaces de d�formation de $\O_F$-modules
divisibles de dimension $1$ et de hauteur $g$, munis d'une structure
 de Drinfeld de niveau $m$, et not�s $\spf (R_{F,g,m})$ (ce sont des
 sch�mas formels). Avec les notations du th�or�me
 III.\ref{theo_princ1} �nonc� pr�c�demment, cela correspond � un choix
 particulier du cocaract�re $\mu$. Les espaces $\M_K$ associ�s sont
 alors une union disjointe infinie des fibres g�n�riques au sens des
 espaces analytiques des $\spf (R_{F,g,m})$. Leur r�sultat est �nonc� en
 termes de cycles �vanescents $\ell$-adiques au sens de Berkovich,
 cependant les r�sultats de la section \ref{tors_ell} de cette th�se
 permettent de faire le lien avec la cohomologie � support compact des
 espaces analytiques $\M_K$. Avec nos notations, ils d�montrent que si
 $\rho$ est une repr�sentation de $J_b$ telle que $\text{JL} (\rho)$
 est supercuspidale alors, 
$$
[\Hom_{J_b} ( H^\bullet_c (
\M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),\rho)]=[\text{JL} (\rho)]\otimes [r_\ell
(\text{JL} (\rho ))]
$$
o� $r_\ell
(\text{JL} (\rho ))$ est une repr�sentation $\ell$-adique de
$W_F$. Ils montrent alors que la correspondance d�finie sur les
repr�sentations supercuspidales 
$$
\pi\longmapsto r_\ell (\pi)
$$
est une correspondance de Langlands locale tordue par un caract�re non
ramifi�. Leur d�monstration utilise certaines vari�t�s de Shimura, dites
``simples'', poss�dant de bon mod�les entiers en tout niveau. Elles
param�trent des vari�t�s ab�liennes $A$ munies de structures
additionnelles (polarisation, action d'une alg�bre) et de structures de
niveau d�finies en $p$ en utilisant la th�orie des structures de
niveau de Drinfeld.  

L'un des points clef est que 
celles-ci sont 
stratifi�es par la classe d'isog�nie du groupe p-divisible
universel $A[p^\infty]$. La strate minimale, ou strate supersinguli�re, est de
dimension $0$, et le compl�t� formel de la vari�t� de Shimura le long
de cette strate est uniformis� par une union disjointe de $\spf
(R_{F,g,m})$. Un point clef de \cite{Har4} remarqu� par Boyer dans
\cite{Boyer} dans le cadre des $\mathcal{D}$-modules elliptiques et
transpos� par Harris et Taylor dans le cadre des groupes p-divisibles,
est que la cohomologie des autres strates est induite parabolique en
$p$, c'est � dire comme repr�sentation de $G(\Qp)$. Cela est une
cons�quence du fait qu'en restriction aux autres strates le groupe
p-divisible universel (pas $A[p^\infty]$, mais un d�duit de celui-ci)
 est une extension d'un groupe �tale par un
groupe du m�me type que celui associ� � la strate supersinguli�re. 
Utilisant que 
les
d�formations de tels groupes p-divisibles s'expriment simplement en
termes des d�formations de leur partie connexe, l'astuce de Boyer s'en
d�duit facilement. Une fois l'astuce de Boyer d�montr�e on peut facilement relier 
 la partie supercuspidale en
$p$ de la 
cohomologie  de la vari�t� de Shimura  � celle des espaces $\spf
(R_{F,g,m})^{an}$, ce qui est la premi�re �tape de la r�currence de
\cite{Har4}. 

\section*{L'approche utilis�e}

Dans \cite{ECM}
M. Harris  esquisse un programme  visant � g�n�raliser
l'approche de \cite{Har4}. 
 Certains points de cette th�se sont inspir�s de ce
programme. Nous utilisons une approche similaire � celle de \cite{Har4}
bas�e sur les travaux de Kottwitz sur les vari�t�s de Shimura de type
P.E.L. (\cite{Ko1}) et ceux de Rapport et Zink sur l'uniformisation
$p$-adique de ces vari�t�s (\cite{RZ}). Les
principaux points de \cite{Har4} ne se transposant  pas dans ce cadre
g�n�ral  et les solutions que nous y avons apport�es  sont les suivants :
\begin{itemize}
\item Contrairement aux vari�t�s ``simples'' de \cite{Har4},
  on ne sait construire en g�n�ral de bon mod�les entiers des
 vari�t�s de Shimura de type P.E.L. non ramifi�es de
  \cite{Ko1}  qu'en niveau maximal
  (compact hypersp�cial, ou parahorique) en $p$. Cela  est li� au fait
  qu'on ne sait pas d�finir de notion de structure de niveau de
  Drinfeld sur les groupes p-divisbles de dimension plus grande que
  un. L'alternative consiste � travailler au niveau des espaces
  rigides d�s que l'on n'est plus en niveau maximal, et par exemple �
  d�finir le tube au dessus d'une strate comme �tant l'image
  r�ciproque par l'application de changement de niveau vers un niveau
  maximal du tube rigide au dessus de la strate consid�r�e. 
\item Du point de vue des cycles �vanescents, 
  le lien entre la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink et
  celle de la strate supersinguli�re via l'uniformisation $p$-adique
  est quasi-imm�diat dans \cite{Har4}. En effet, la fibre sp�ciale des
  espaces $\M_K$ de \cite{Har4} est de dimension $0$. Le lien entre
  les deux est donc un ``probl�me de combinatoire''. Le probl�me dans
  notre cadre est que non seulement nous travaillons d'un point de vue
  rigide, mais en g�n�ral l'uniformisation de \cite{RZ} n'est pas une
  simple r��criture du th�or�me de Serre-Tate; il y a des familles de  d�formations
  par quasi-isog�nie ``continues horizontales'' (c'est � dire non
  discr�tes sur un espace 
  de param�tres de dimension
  $0$)  des groupes $p$-divisibles que nous consid�rons. 
Pour y rem�dier, 
nous
  d�montrons dans la partie II une suite spectrale de
  Hochschild-Serre li�e � l'uniformisation $p$-adique rigide qui relie
  la cohomologie des $\M_K$ � celle de la strate
  supersinguli�re. 
\item  L'astuce de Boyer n'admet pas de g�n�ralisation imm�diate. Soit
  par exemple $X$ un groupe p-divisible sur la cl�ture alg�brique
  d'un corps fini poss�dant deux pentes $\l_1,\l_2$ avec $0<\l_2<\l_2
  < 1$, et une filtration 
$$
0\ldrt X_{\l_2} \ldrt X \ldrt X_{\l_1} \ldrt 0
$$
o� $X_{\l_1}$, resp. $X_{\l_2}$, est isoclin de pente $\l_1$, resp.
$\l_2$. Les d�formations de $X$ ne se d�crivent pas simplement �
partir de celles de $X_{\l_2}$ et de $X_{\l_1}$ comme c'�tait le cas
lorsque $X_{\l_1}$ �tait �tale. 

La r�solution de ce probl�me est � l'origine de la partie la plus
originale de cette th�se, la partie III. Dans \cite{ECM} M.Harris
propose de d�montrer que la cohomologie des strates non basiques est
induite parabolique en $p$ en utilisant une formule des traces de
Lefschetz en g�om�trie rigide. Malheureusement, � part en dimension
$1$ (\cite{Hu4},\cite{St}) une telle formule des traces est loin
d'exister (il faudrait comprendre les termes associ�s aux points fixes
dans le bord des compactifications de Huber au sens des espaces
adiques). La solution que nous apportons � ce probl�me est la suivante
: utilisant les travaux de Fujiwara (\cite{Fuj}) nous d�montrons une
formule des traces de Lefschetz pour la cohomologie des tubes rigides
au dessus des strates des vari�t�s de Shimura que nous consid�rons. La
m�thode consiste alors � comparer cette formule des traces
``$p$-adique'' � la formule des traces de Lefschetz archim�dienne
topologique associ�e � l'uniformisation complexe des vari�t�s de
Shimura. Utilisant 
 la conjugaison stable en une place auxiliaire diff�rente de
$p$ pour s�parer les classes de conjugaison elliptiques r�guli�res 
des non-elliptiques en $p$,  
on montre le r�sultat. Les techniques utilis�es au passage sont
tr�s diverses : th�orie des types, cycles �vanescents rigides...
\item Reste la partie purement automorphe du programme : comparaison
  de la formule des traces d'Arthur pour les groupes unitaires de
  signature quelconque � l'infini. Nous utilisons pour cela des
  r�sultats non publi�s de Harris et Labesse g�n�ralisant ceux de
  Clozel en signature $(1,n-1)$ (\cite{Clozel1}). Ces r�sultats sont
  assujettis � certaines conditions sur les groupes unitaires. Ce sont
  ces conditions qui imposent les restrictions sur $J_b$ dans le
  th�or�mes \ref{theo_princ1} et \ref{theo_princ2}. Pour les r�sultats
  concernant $U(3)$ nous utilisons les r�sultats de Rogawski
  (\cite{Rogawski1}). 

Une meilleur connaissance des la stabilisation de la formule des traces
pour les groupes unitaires permettrait s�rement d'obtenir des
r�sultats complets sur $U(n)$ pour $n$ quelconque. 
\item La partie repr�sentations galoisienne, c'est � dire la
  d�termination du fameux $r_\mu\circ \psi$ est achev�e en
  d�terminant  la restriction � un groupe de d�composition des
  repr�sentations galoisiennes globales d�coup�es par certaines
  repr�sentations automorphes dans les vari�t�s de Shimura associ�es
  aux groupes unitaires. Nous utilisons pour cela l'existence
  (r�sultats non publi�s de Harris et Labesse, r�sultats de Rogawski
  sur $U(3)$) d'un changement de base quadratique stable pour de
  telles repr�sentations automorphes, la d�termination par Kottwitz de
  cette repr�sentation en presque toutes les places non ramifi�es
  ainsi que l'un des r�sultats principaux de \cite{Har4} g�n�ralisant
  le th�or�me principal de Clozel dans \cite{Clozel1}. 

Bien qu'en annexe, ce r�sultat peut �tre consid�r� en soi m�me
comme un r�sultat ind�pendant  de cette th�se. 
\end{itemize}

\section*{Description  des diff�rentes parties}
\subsection*{Partie I}
\begin{itemize}
\item Dans le premier chapitre nous rappelons et explicitons les
  d�finitions de base concernant les vari�t�s de Shimura de type
  P.E.L. non ramifi�es de \cite{Ko1}. 
\item La section \ref{Generalites_RZ} du chapitre 2 contient les d�finitions et
  propri�t�s de base
  concernant les espaces de Rapoport-Zink non ramifi�s sans structure
  de niveau (en tant que sch�mas formels). 

La section \ref{sect_theo_fin}  contient le premier r�sultat de cette th�se,
le th�or�me \ref{TheoFini}. Il s'agit
d'une am�lioration du th�or�me de finitude de 2.18 de \cite{RZ} bas�e
sur des r�sultats r�cents de Zink (\cite{Zink1}). 
Nous montrons que 
`` $J_b\bc \M (b,\mu)$''  est quasi-compact (pour tout $(b,\mu)$) 
, ou encore que sous
l'action de $J_b$ il n'y a qu'un nombre fini d'orbites de composantes
irr�ductibles dans la fibre sp�ciale de $\M (b,\mu)$. Le demi-plan
sup�rieur de Drinfeld poss�de une d�composition cellulaire index�e par
l'immeuble de Bruhat-Tits de $PGL_n$. Comme dans \cite{Mi1} nous
donnons une description des points sur $\bar{\mathbb{F}}_p$ de $\M
(b,\mu)$  comme un sous ensemble de l'immeuble de $G$ sur
$\widehat{\Qp^{nr}}$ 
(section \ref{Description_en_termes_cristaux}  et \ref{Lien_imm_G}).
 Le th�or�me \ref{TheoFini} s'interpr�te
alors comme un th�or�me de finitude sur cet immeuble. Il nous
permettra plus loin d'obtenir des th�or�mes de finitude concernant la 
cohomologie � support compact des $\M (b,\mu)$ comme $J_b$-modules. 

La section 2.5 contient les d�finitions et propri�t�s de base
concernant les espaces $\M_K (b,\mu)$ (structures de niveau, action sur
ces structures). 

Dans cette th�se nous travaillons avec deux th�ories diff�rentes pour
les vari�t�s rigides et leur cohomologie �tale $\ell$-adique � support
compact : la th�orie des espaces analytiques de Berkovich et celle des
espaces adiques de Huber. La premi�re est la version surconvergente de
la seconde: le topos �tale analytique co�ncide avec le topos �tale
adique surconvergent. Les raisons pour lesquelles nous n'avons pas
fix� une des deux th�ories sont multiples :
\begin{itemize}
\item Le th�or�me de lissit� de l'action sur la cohomologie
  $\ell$-adique  � support
  compact est formul� dans le cadre de la th�orie de
  Berkovich. La d�monstration de ce th�or�me n'�tant pas publi�e (\cite{Berk4}), nous en avons mis une
  d�monstration en annexe \ref{coho_l}.
\item Les propri�t�s des cycles �vanescents analytiques de Berkovich
  sont clairement expos�es dans les deux articles \cite{Berk2} et
  \cite{Berk3}. Les propri�t�s des cycles �vanescents adiques de Huber
  sont plus dispers�es. 
\item Cependant, les th�or�mes de finitude de Huber sont plus
  g�n�raux (il a par exemple une d�finition des faisceaux
  constructibles). Nous utilisons notamment les th�or�mes de
  finitude de 
  \cite{Hu2}.  
\end{itemize}
Nous avons donc mis en annexe \ref{an_ad} quelques propri�t�s de bases
qui nous l'esp�rons permettrons au lecteur de passer ais�ment d'une th�orie �
l'autre. 

La d�finition et les propri�t�s de base (lissit� des actions par exemple) de la
cohomologie $\ell$-adique  des espaces de Rapoport-Zink sont donn�es
dans la section \ref{cohomo_de_MK}. Le lemme
\ref{lemme_annulation_Ext} la proposition \ref{Jfin} et le corollaire
\ref{Extf} constituent les trois th�or�mes de finitude concernant
l'action de $J_b$ sur ces espaces de cohomologie. 
\item Le chapitre 3 contient des rappels et des pr�cisions sur les
  r�sultats principaux de \cite{RZ} concernant l'uniformisation des
  vari�t�s de Shimura de type P.E.L.. Pour param�trer les strates de
  ces vari�t�s nous utilisons l'ensemble $B(G,\mu)$ de Kottwitz
  (\cite{Ko3}) des classes d'isomorphismes d'isocristaux munis de
  structures additionnelles v�rifiant le th�or�me de Mazur g�n�ralis�
  (\cite{RR}) sur la position relative des polygones de Hodge et
  Newton (le polygone de Hodge �tant fix� par $\mu$ via la condition de
  Kottwitz). Nous donnons la description explicite de ces ensembles
  (ainsi que des groupes $J_b$ associ�s) 
  dans le cas de $\GL_n$ dans la section \ref{Isoc_GL}, et dans le cas
  unitaire dans l'appendice \ref{app_cl_sig}. 

On retiendra 
une propri�t� importante de 
  l'application d'uniformisation rigide �nonc�e
  dans ce chapitre : c'est un isomorphisme local
  (\ref{iso_loc_unif}). Cependant (remarque \ref{rem_u_pas_tout}),  
 � part dans le cas de la strate
  basique, les ouverts rigides uniformis�s sont beaucoup plus petit
  que les tubes au dessus des strates 
 (c'est d�j� clair dans le cas des
  vari�t�s de \cite{Har4}, o� l'uniformisation de Rapoport-Zink
  uniformise des compl�t�s formels de la strate $\mu$-ordinaire,
  ouverte dans la fibre sp�ciale, le long de sous sch�mas de dimension $0$ de cette fibre
  sp�ciale).  
  C'est l'un des probl�mes
  principaux qu'il faudrait  surmonter pour comprendre la contribution des strates
  non basiques. 
\end{itemize}

\subsection*{Partie II} 
 
  D'apr�s la formule de Matsushima,
  la cohomologie de nos vari�t�s de Shimura s'exprime en termes de 
repr�sentations automorphes du groupe de similitudes unitaires $G$. 
  Une des id�es qui est au coeur de cette th�se est que 
le facteur en $p$ 
(apr�s restriction de la repr�sentation galoisienne � un groupe 
de d�composition en $p$, c'est � dire comme 
comme repr�sentation de $G(\Qp)\times W_{E_\nu}$ o�
  $E_\nu$ est le compl�t� en $p$ du corps r�flex) de  certains
  morceaux de la cohomologie des vari�t�s de Shimura que nous
  consid�rons ne devraient d�pendre que de la cohomologie des objets
  locaux en $p$ que sont les espaces rigides de Rapoport-Zink. 

Dans \cite{Har4} cela est une cons�quence du th�or�me de comparaison
de Berkovich entre cycles �vanescents alg�briques et analytiques
rigides (comparaison entre le site �tale et �tale formel d'un sch�ma
hens�lien). Comme expliqu� auparavant, nous utilisons une
approche diff�rente. Nous d�montrons l'existence d'une suite spectrale
de type Hochschild-Serre  reliant la cohomologie des espaces de
Rapoport-Zink � celle des tubes qu'ils uniformisent
$p$-adiquement. M.Harris avait d�j� d�montr� l'existence d'une telle
suite spectrale dans le cas du demi-plan sup�rieur de Drinfeld
(\cite{Har1}). Il utilisait pour cela la d�composition cellulaire 
du demi-plan et des r�sultats de Berkovich sur les ``$G$-modules
discrets'' (non publi�s). Une telle d�composition n'existe pas en
g�n�ral. 
Notre m�thode est diff�rente et 
s'applique � tous les cas d'uniformisation connus (et conjecturaux,
conf�re \cite{ECM} conjecture 4.2.). 

La principale difficult� dans l'�tablissement d'une telle suite
spectrale provient des coefficients $\ell$-adiques. En effet, les
espaces $\M_K$ ne sont pas quasicompacts et en g�n�ral
$$
H^\bullet_c (\M_K,\Z_\ell)\neq \underset{n}{\limp}
H^\bullet_c (\M_K,\Z/\ell^n \Z)
$$
� cause des probl�mes d'interversion de limite inductive (sur le
support compact des sections) et de limite projective (sur les
coefficients). Nous contournons ce probl�me en nous inspirant de
l'article (\cite{Hu2}). Nous utilisons le foncteur d�riv� $\R\pi_*$ de
l'annexe \ref{coho_l} (ainsi que ses versions �quivariantes) 
introduit par  Ekedeahl dans \cite{Eke} qui envoi des faisceaux
$\ell$-adiques sur des complexes de faisceaux de $\Zl$-modules. 
Gr�ce au lemme \ref{Rpp}
nous
pouvons alors travailler avec les foncteurs d�riv�s des sections �
support compact (not� $\GG_!$) 
 dans la cat�gorie d�riv�e de tels faisceaux
de $\Zl$-modules, �liminant ainsi les probl�mes de faisceaux
$\ell$-adiques. Cela permet de d�montrer le th�or�me g�n�ral
\ref{Hosch}. Le th�or�me principal \ref{sui_spe_hhhh} s'en d�duit. 

L'application fondamentale est la formule de Matsushima $p$-adique
calculant la cohomologie de la strate basique en fonction de la
cohomologie des espaces de Rapoport-Zink basiques (ceux qui
interviennent dans les r�sultats principaux de la th�se) et des
 repr�sentations automorphes d'une forme int�rieure $I^\phi$
de $G$ (corollaire \ref{coro_Matsushima}) : 
il y a une �galit� dans le groupe de Grothendieck
$\text{Groth}(G(\A_f)\times W_{E_\nu})$  
\begin{eqnarray*}
&\;& 
\sum_{i,j \atop { \Pi\in\mathcal{T}(I^\phi) \atop \Pi_\infty =\check{\rho}}}
(-1)^{i+j} \left [ \underset{K_p}{\limi}
  \text{Ext}^{\;i}_{J_b\text{-lisse}}
 \left ( H^j_c(\M_{K_p}\otimes \C_p,\Qlb)(N),\Pi_p\right ) \right ] 
\otimes 
\left [ \Pi^p \right ] \\
&=& \sum_i (-1)^i \left [ \underset{K}{\limi} H^i(
  \Sh_K(G,X)^{an}_{\text{basique}},\LL_{\rho}^{an}) \right ] 
\end{eqnarray*}
o� $\mathcal{T}(I^\phi)$ d�signe l'ensemble des repr�sentations
automorphes de $I^\phi$, et $I^\phi$  v�rifie $I^\phi
(\A_f^p)=G(\A_f^p)$, $I^\phi (\Qp)=J_b$. 

C'est la comparaison g�om�trique 
entre cette formule de Matsushima $p$-adique et
celle archim�dienne
coupl�e � la comparaison analytique 
entre la formule des traces d'Arthur de $G$ et sa
forme int�rieure $I^\phi$ qui permettra de d�montrer 
dans la  partie IV les r�sultats principaux. 

\subsection*{Partie III} 

Le but de cette partie est de d�montrer l'analogue de l'astuce de
Boyer en comparant deux formules des traces : l'une $p$-adique, c'est
� dire utilisant l'uniformisation $p$-adique, l'autre topologique
utilisant l'uniformisation archim�dienne par l'espace sym�trique
hermitien $X$ (un cas particulier de la formule des traces d'Arthur
telle qu'elle est reformul�e dans \cite{Gor_Mac1}). 

\subsubsection*{Chapitre 6} 

Dans ce chapitre nous d�montrons la formule $p$-adique
(th�or�me \ref{Lefschetz_speciale}).
 Plusieurs 
points sont au coeur de cette formule : le th�or�me de Fujiwara, le
fait  que la fibre des cycles �vanescents alg�briques ne d�pend que du
compl�t� formel en ce point... nous renvoyons � l'introduction de ce
chapitre pour plus de d�tails.

Pour d�montrer une telle formule nous utilisons la formule des traces
de Lefschetz 
 modulo $p$, et plus particuli�rement le th�or�me de Fujiwara
 (\cite{Fuj}). Pour cela nous utilisons les cycles �vanescents
 analytiques rigides de Berkovich.  Cependant nos vari�t�s de Shimura 
et les correspondances de Hecke associ�es 
ne poss�dent pas de bon mod�les entiers en tout niveau en $p$. L'id�e
consiste alors � sp�cialiser (au sens de \cite{Fuj})
l'image directe sur la fibre g�n�rique
vers un niveau maximal des correspondances de Hecke en tant que
correspondances cohomologiques. Les correspondances cohomologiques
agissent sur la cohomologie,
 cependant nous avons besoin de
v�rifier que la suite spectrale des cycles �vanescents est
�quivariante vis � vis de ces deux op�rations : image directe
propre et sp�cialisation. C'est une des raisons pour laquelle nous
d�veloppons un formalisme de sp�cialisation des correspondances
cohomologiques rigides dans l'esprit de \cite{Fuj} et montrons que
celui-ci est compatible � l'image directe et � l'isomorphisme de
Berkovich. 

Le th�or�me  \ref{Lefschetz_speciale} est alors une application de ce
formalisme coupl� au th�or�me de Fujiwara (\cite{Fuj}). 

Cependant un point technique doit �tre soulev� : m�me en niveau
compact hypersp�cial $C_0$ seules les correspondances de Hecke � support
dans $C_0$ poss�dent un bon mod�le
entier (pour appliquer le th�or�me de Fujiwara une des deux applications 
de projections de la correspondance doit �tre quasi-finie). 
 Nous voudrions � priori appliquer notre formule des traces en mettant en
$p$ un pseudo-coefficient d'une repr�sentation supercuspidale. Cela
n'est donc pas possible. L'alternative consiste � utiliser la th�orie
des types de Bushnell et Kutzko.
 En effet, si $(J,\l)$ est un type supercuspidal 
l'idempotent associ�
$e_\l$ est � support dans $J$ et donc dans un sous groupe compact
hypersp�cial. Le probl�me est presque r�solu � la remarque suivante
pr�s : $e_\l$ ne permet pas de s�parer les repr�sentations
supercuspidales dans une m�me classe d'�quivalence
inertielle. A tous les types supercuspidaux connus est associ� un
couple $(\tilde{J},\tilde{\l})$ o� $\tilde{J}$ est un sous groupe
compact modulo le centre de $G(\Qp)$ contenant $J$ et $\tilde{\l}$ une
extension de $\l$ � $\tilde{J}$. On remarque alors que l'on peut
s�parer toutes les supercuspidales par les fonctions $e_\l*\delta_g$
o� $g\in \tilde{J}$ (annexe \ref{Annexe_types}). Il suffit donc de faire agir
l'automorphisme associ� � $g\in \tilde{J}$ sur nos mod�les
entiers. Remarquant que pour les groupes $G(\Qp)$ avec lesquels nous
travaillons tous les groupes $\tilde{J}$ sont contenus dans le
normalisateur d'un sous groupe parahorique de $G(\Qp)$ on v�rifie
que l'on peut s'en sortir (\ref{ext_para_lu})
en utilisant les mod�les entiers d�finis en
niveau parahorique de \cite{RZ}. 

\subsubsection*{Chapitre 7} 

Dans ce chapitre nous red�montrons un cas tr�s 
 particulier de la formule
des traces topologique d'Arthur telle qu'elle est reformul�e dans
 \cite{Gor_Mac1} (th�or�me \ref{Lefschetz_generique}). 
En effet, en supposant la vari�t� de Shimura compacte et la correspondance de
 Hecke � support dans les �l�ments r�guliers en une place finie la formule prend une
 forme tr�s simple. 
 
Bien que cette
 formule puisse se d�duire de \cite{Gor_Mac1}, la lecture de
 \cite{Gor_Mac1} (plut�t technique)
 ne la laisse pas du tout transpara�tre (les auteurs
 de \cite{Gor_Mac1} s'int�ressent surtout aux points fixes
 dans le bord). C'est pourquoi nous avons inclus sa d�monstration.  
 
 Nous v�rifions de plus en utilisant la th�orie de Hodge $p$-adique 
(th�or�me \ref{lehteoint}) que si l'on
 disposait d'une formule des traces en g�om�trie rigide de la forme
une somme sur des points fixes locaux na�fs + des termes de Lefschetz
 au bord (au sens des compactifications de Huber des espaces adiques,
 conf�re \cite{Hu4} et \cite{St}), la distribution somme sur les points fixes na�fs
 associ�e � des strates non basiques est � support dans des �l�ments
 non-elliptiques r�guliers ce qui ram�nerait la d�monstration de l'astuce de
 Boyer � montrer que la distribution associ�e aux termes au bord est
 ``induite'' en $p$. 

\subsubsection*{Chapitre 8} 
Celui-ci contient quelques propositions destin�es � montrer le
th�or�me principal du chapitre 9.

\subsubsection*{Chapitre 9}

Il contient le th�or�me principal de la partie III (et l'un des
principaux de cette th�se), l'�quivalent de l'astuce de Boyer : le
th�or�me \ref{coho_ind_en_p}. 

La d�monstration consiste � comparer les deux formules des traces :
topologique et $p$-adique. La formule des traces topologique
\ref{Lefschetz_generique} 
pour la trace d'une fonction $f$ dans l'alg�bre de Hecke globale 
 est une combinaison d'int�grales orbitales 
$\mathcal{O}_\g (f_p) \times \mathcal{O}_\g (f^p)$ o� $\g\in G(\Q)$. 
La formule $p$-adique \ref{Lefschetz_speciale}
est une combinaison lin�aire de termes de la forme $a_{\g}(f_p) \times
\mathcal{O}_\g (f^p)$ o� $\g$ est une classe de conjugaison dans un
groupe $I^\phi (\Q)$ qui se transfert (via l'action sur la cohomologie
$\ell$-adique hors $p$ d'une vari�t� ab�lienne) en un �l�ment de
$G(\A_f^p)$ et permet de d�finir $\mathcal{O}_\g (f^p)$. Quant � $
a_{\g}(f_p)$ il s'agit d'une certaine trace sur 
la cohomologie �tale d'un espace rigide de
d�formation (par isomorphismes) de groupes p-divisibles. 
On suppose qu'en une place hors $p\;$ $f$ est � support dans les
�l�ments r�guliers. Toutes les classes de conjugaison 
$\g$ pr�c�dentes sont alors r�guli�res.

Si $f_p$ est dans l'alg�bre de Hecke d'un type supercuspidal, dans la
formule des traces archim�dienne seules des classes de conjugaison 
elliptiques en $p$ contribuent de fa�on non nulle.
Choisissons une place auxiliaire $w$ de $\Q$ diff�rente de $p$.
 �galant les deux
formules des traces et faisant varier les fonctions test en $w$ on en
d�duit que si la classe d'isog�nie $\phi$ ainsi que $\g\in I^\phi
(\Q)$ contribuent de fa�on non nulle alors $\g$ est conjugu� dans
$G(\Q_w)$ � un �l�ment de $G(\Q)$ elliptique dans $G(\Qp)$. 
Regardons alors $\g$ comme un �l�ment de $I^\phi (\Qp)\subset J_b$
(o� $b$ est d�duit de $\phi$). La
forme int�rieure quasid�ploy�e de $J_b$ est le centralisateur du
morphisme des pentes $M(b)$
au sens de \cite{Ko2}, une forme int�rieure d'un
sous groupe de Levi de $G_{\Qp}$. Le transfert de $\g$ vers cette
forme int�rieure est donc un �l�ment de $M(b)(\Qp)$ stablement
conjugu� � un �l�ment elliptique de $G(\Qp)$. Cela n'est donc possible
que si $M(b)=G_{\Qp}$, c'est � dire si $\phi$ intervient dans 
la strate basique. On en d�duit donc que seuls ces termes
interviennent. Appliquant de nouveau la formule des traces $p$-adique
(cette fois ci � la strate basique) on obtient le r�sultat. 

\subsection*{Partie IV} 
Elle contient la d�monstration des r�sultats annonc�s au d�but de cette
introduction en utilisant la formule de Matsushima $p$-adique de la
partie II, le th�or�me \ref{coho_ind_en_p} du III et les r�sultats de
l'annexe A. 



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 










these_partie1.tex
\chapter{Vari�t�s de Shimura de type P.E.L. non ramifi�es} 
\section{Donn�e de Shimura de type P.E.L.}

Soit $\mathcal{D}=(B,*,V,<.,.>,h)$ une donn�e de Shimura de type
P.E.L.(\citeg{Ko1}). Plus pr�cis�ment : 
\begin{itemize}
\item $B$ est une alg�bre simple sur un corps de nombres $F$
\item $*$ est une involution positive sur $B$ : $\forall b\in B \;
  tr(bb^*)>0$ 
\item $(V,<.,.>)$ est un $B$-module hermitien o� $<.,.>:V\times V \drt
  \Q$ est symplectique
\item $h:\C\drt \End_B(V)_\R$ est un morphisme d'alg�bres {\`a} involutions
  o� $\End_B(V)$ est muni de l'adjonction par rapport {\`a} la forme
  symplectique  $<.,.>$ et $\C$ de la conjugaison complexe not�e $c$. De plus
  $<.,h(i).>$ est un produit scalaire.
\end{itemize}
Notons 
$$
G=\{ g\in\Gl_B(V)\; |\; gg^*=c(g)\in \Q^* \}
$$
le groupe des similitudes unitaires d�fini sur $\Q$ associ� et
$G_1=\ker (c)$ le 
groupe unitaire.  
     
Le morphisme $h$ d�finit une $\Q$ structure de Hodge polaris�e munie d'une action 
de $B$. Cette structure de Hodge munie de structures additionnelles est
un point dans la variation de structures de Hodge associ�e aux
vari�t�s de Shimura que nous allons utiliser.

Nous noterons $X$ la classe de $G(\R)$ conjugaison de $h:\C^\times 
\drt G_{\R}$. Au morphisme  $h$ on peut associer 
$$
\mu_h:\C\*\drt G_\C
$$
(ou plut�t sa classe de conjugaison) d�finissant la filtration de Hodge
sur $V_\C=V_0\oplus V_1$ o� $\mu_h (z)=z$ sur $V_1$ et $\mu_h=1$ sur
$V_0$. Dans toute la suite nous suivrons la convention homologique de
Kottwitz, c'est {\`a} dire l'inverse de \cite{Del_Var_Sh}. 

Nous noterons $\Qb$ la cl�ture alg�brique de $\Q$ dans $\C$. 
Soit $E$ le corps reflex associ� {\`a} $\mathcal{D}$. Le corps $E$
est le corps de 
d�finition de la classe de conjugaison de $\mu$, 
$$
E=\Q[tr_\C(b;V_0)\;|\; b\in B] \subset \Qb
$$

\subsection{Le cas (A)}\label{Le_cas_A}

N�cessairement, $F$ est soit un corps
C.M. soit un corps totalement r�el. 
Supposons que $F$ est un corps C.M., ce que nous appellerons le cas
$(A)$. 
 
Fixons $\Phi\subset \Hom (F,\C)$ un type C.M. de $F$. Il existe alors 
des signatures $(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in\Phi}$ telles que $p_\tau+q_\tau=n$ soit 
ind�pendant de $\tau$ dans $\Phi$ et 
$$
G_{1/\R}\simeq \prod_{\tau\in\Phi} U(p_\tau,q_\tau)
$$ 
De plus
$$
G_{\C}\simeq \prod_{\tau\in\Phi} \Gl_n(\C) \times \C\*
$$
le dernier facteur repr�sentant le facteur de similitude d'un �l�ment 
de $G(\C)$. 

Avec ces notations, 

$$
h(z)=\prod_{\tau\in\Phi} \left ( 
\begin{array}{cccccc}
z \\
& \ddots \\
& & z \\
& & & \bar{z} \\
& & & & \ddots \\
& & & & & \bar{z}
\end{array}
\right )
$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\hspace{5mm}
\;\;\underbrace{\hspace{1.8cm}}_{p_\tau} \underbrace{\hspace{1.8cm}}_{q_\tau}
$$
et 
$$
\mu(z)=\prod_{\tau \in\Phi} \left ( 
\begin{array}{cccccc}
z \\
& \ddots \\
& & z \\
& & & 1 \\
& & & & \ddots \\
& & & & & 1 
\end{array}
\right )
\times (z) 
$$

On a la relation
$$
n = [B :F]^{1/2} \; \text{rg}_B V 
$$

Le corps $E$ peut alors se d�crire {\`a} partir de ces donn�es. Faisons
op�rer $\Gal(\Qb | \Q)$ sur les $\Phi$-uplets de couples d'entiers
$(a_\tau,b_\tau)$ de la fa{\c c}on suivante : 
$$\forall \s\in \Gal ( \Qb |
\Q)\;\;\; \s. (a_\tau,b_\tau)_{\tau\in \Phi}= (a'_\tau,b'_\tau)_{\tau\in
\Phi}$$ o� 
$$\forall \tau\in \Phi \;\;
(a'_\tau,b'_\tau) = \left \{ (a_{\s^{-1}\tau},b_{\s^{-1}\tau}) \text{
si } \s^{-1}\tau\in \Phi  \atop 
(b_{c\s^{-1}\tau},a_{c\s^{-1}\tau}) \text{
si } \s^{-1}\tau\notin \Phi \right.
$$
$\Gal(\Qb |E)$ est alors le stabilisateur de $(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in
\Phi}$ pour cette action. 

\begin{exem} Notons $F^\Phi$ le corps r�flex de $(F,\Phi)$ d�fini
  par l'�galit�
$$
\Gal( \Qb | F^\Phi)= \{\tau\in \Gal (\Qb|\Q)\; |\; \tau \Phi=\Phi \;\}
$$ 
Supposons qu'il existe $\tau_0\in \Phi$ tel que $q_{\tau_0}\neq 0$ et
$\forall \tau\neq \tau_0\; (p_\tau,q_\tau)=(n,0)$. Supposons de plus que
$p_{\tau_0}\neq n/2$. Le corps
 $E$ est alors le compos� 
$$
E= F^\Phi. \tau_0 (F) 
$$ 
C'est par exemple le cas de l'article \cite{Clozel1} dans
lequel $(p_{\tau_0},q_{\tau_0})=(1,n-1)$.  

Par contre, dans  \cite{Har4}, $(p_{\tau_0},q_{\tau_0})=(1,n-1)$ tandis que $\forall \tau\neq \tau_0 \; (p_\tau,q_\tau)=(0,n)$. On a encore dans dans ce cas l{\`a} 
$ E= F^\Phi. \tau_0 (F)$.
\end{exem}
\begin{exem} 
Notons $F^+$ le sous-corps totalement r�el maximal de $F$. Supposons
que $F$ est de la forme $F^+.\mathcal{K}$ o� $\mathcal{K}|\Q$ est une
extension quadratique imaginaire et que le C.M. type $\Phi$ est induit
� partir d'un C.M. type de $\mathcal{K}$. Le corps r�flex de $(F,\Phi)$ est
alors $\mathcal{K}$. Nous ferons parfois cette hypoth�se.

Par exemple,sous cette hypoth�se, dans l'exemple pr�c�dent $E=\tau_0 (F)$ ce qui est le cas de \cite{Har4}.  
\end{exem}


\subsection{Le cas (C)}

Consid�rons maintenant le cas o� $F$ est un corps totalement r�el. Dans ce cas
l{\`a},  $G_1$ est, soit une forme d'un produit de groupes
symplectiques, 
soit 
une forme de produits de groupes orthogonaux suivant que $B_\R$ est
un produit d'alg�bres $M_n(\R)$ ou $M_n(\mathbb{H})$ (cas (C) et (D) de 
\citeg{Ko1} respectivement). Nous ne consid�rerons que le premier
cas. Alors, 
$$
G_{1/\R}\simeq \prod_{\tau: F\hookrightarrow \R} Sp_n(\R)
$$
o� $Sp_n=\{g\in \Gl_n \;|\; {}^t g J g= J\},\; J=\left (
\begin{array}{cc}
0 & -I_n \\
I_n & 0 \\
\end{array} \right )
$.
Avec ces notations, 
$$
h(a+ib)=\prod_{\tau:F\hookrightarrow  \R}
\left (
\begin{array}{cc}
a I_n & -b I_n\\
b I_n  & a I_n  \\ 
\end{array}
\right )
$$
et  
$$
\mu(z)=\prod_{\tau:F:\hookrightarrow \R} 
\left (
\begin{array}{cc}
z I_n  & 0 \\
0 & I_n \\ 
\end{array}
\right )
$$

\section{Vari�t�s de Shimura sur $E$}

A la donn�e $\mathcal{D}$ est associ�e une tour $(\Sh_K)_K$, pour des 
sous-groupes compacts ouverts $K$ de 
$G(\A_f)$ suffisamment petits, de vari�t�s quasiprojectives
lisses sur $E$ classifiant les quadruplets $(A,\l,\iota,\overline{\eta})$ o�
:
\begin{itemize}
\item $A$ est un sch�ma ab�lien {\`a} isog�nie pr�s 
\item $\l$ est une polarisation $\Q\*$ homog�ne de $A$. Cette derni�re
  condition signifie que pour
  toute fonction $\a$ d�finie  sur la sch�ma de base du sch�ma ab�lien,
   � valeurs dans $\Q^\times$ et constante sur chaque composante connexe,
   $\l$ est consid�r�e comme �tant �quivalente � $\a \l$. 
\item $\iota:B\drt \End(A)_\Q$ est un morphisme d'alg�bres 
tel que $*$ corresponde {\`a}
l'involution de Rosati associ�e {\`a} $\l$. Cela signifie que si $\dag$
d�signe l'involution de Rosati 
$$
\forall b\in B\;\;\; \iota (b^*)= \iota (b)^{\dag}
$$
 Une condition �quivalente est
de dire que $\l$ induit un morphisme de vari�t�s ab�liennes munies
d'une action de $B$ par quasi-isog�nies entre 
 $(A,\iota)$ et  $(A^\vee,\iota\circ *)$ 
\item $\eta: V\otimes \A_f \ldrt H_1(A,\A_f) [K]$ est un isomorphisme 
de $B\otimes \A_f$-modules symplectiques  
d�finissant une structure de niveau $K$ sur le module de Tate de $A$.
Cet isomorphisme est d�fini {\`a} une constante de $\A_f\*$
pr�s puisqu'il faut fixer un isomorphisme $\A_f(1)\*\simeq \A_f\*$. 
\item La condition suivante est v�rifi�e : 
$$\forall b\in B\;
\det(b;Lie(A))=\det(b;V_0)
$$
Cette condition est l'analogue alg�brique de la condition topologique : $\forall
h'\in X, h'$ est conjugu� {\`a} $h$. 
\end{itemize}

\begin{exem}
Pla{\c c}ons nous dans le cas (A) de la section \ref{Le_cas_A}. L'action de $F$ sur $\text{Lie} (A)$ permet de d�composer 
$$
\Lie (A)=\bigoplus_{\tau\in \Hom (F,\Qb)} \text{Lie} (A)_\tau
$$
o� $F$ agit sur $ \text{Lie} (A)_\tau$ via $\tau$. La condition de Kottwitz se r�crit alors dans ce cadre sous la forme :
\begin{eqnarray*}
\forall \tau\in\Phi\; &\Lie (A)_\tau& \text{ est localement libre de rang } p_\tau [B:F]^{1/2} \\
\text{et } &\Lie (A)_{c\tau} & \text{ est localement libre de rang } q_\tau [B:F]^{1/2}
\end{eqnarray*}

\end{exem}

La tour de vari�t�s 
$(\Sh_K)_K$ est munie d'une action de $G(\A_f)$ par action sur la
structure de niveau $\overline{\eta}$.

La vari�t� de Shimura $\Sh_K$ n'est pas en g�n�ral associ�e {\`a} la
donn�e
de Shimura 
 $(G,X)$. On a en
fait la d�composition suivante d�finie sur $E$ (\citeg{Ko1} section 8) : 
$$
\Sh_K=\coprod_{ker^1(\Q,G)} \Sh_K(G',X)
$$
o� $G'$ parcourt des formes int�rieures de $G$ isomorphes {\`a} $G$ partout
localement, 
et o� $\Sh_K(G',X)$ d�signe le mod�le canonique sur $E$ 
de la vari�t� de Shimura
associ�e {\`a} la donn�e de
Shimura $(G',X)$. 
 Plus pr�cis�ment, si $x\in\Sh_K(\C)$ est associ� {\`a}
$(A,\l,\iota,\overline{\eta})$, $x$ appartient {\`a} la composante index�e par
la classe du $G$-torseur localement trivial 
$$
Isom_{\text{B-mod.symp.}}(V,H_1(A,\Q))
$$
et $G'$ est le groupe des similitudes unitaires associ� au $B$-module
symplectique $H_1 (A,\Q)$.

On remarque (\citeg{Ko1} chapitre 7)
 que dans le cas (C) 
et dans le cas (A) avec $n$ pair,  
 $G$
v�rifie le principe de Hasse, c'est {\`a} dire que $\ker^1 (\Q,G)$ est r�duit {\`a} un seul
�l�ment. 
Dans ces deux cas les vari�t�s $\Sh_K$ sont donc des vari�t�s de
Shimura associ�es {\`a} la donn�e de Shimura $(G,X)$. 

Il est �galement d�montr� dans la section 7 de \citeg{Ko1} que dans le cas 
(A) avec $n$ impair
l'application 
$$ 
\ker^1 (\Q,Z_G)\ldrt \ker^1 (\Q,G)
$$
est surjective. Dans ce cas, tous les groupes $G'$ sont donc en fait isomorphes {\`a}
$G$, et les vari�t�s $\Sh_K$ sont donc une union finie de copies d'un mod�le canonique de la 
vari�t� de Shimura associ�e {\`a} la donn�e $(G,X)$ (\cite{Del_Var_Sh},\cite{Milne_Sh}). 

\section{Syst�mes locaux}

Soit $\ell$ un nombre premier diff�rent de $p$.
Fixons d�finitivement un isomorphisme
$$
\iota : \Qlb \iso \C
$$

Soit $\rho$  une repr�sentation alg�brique complexe de $G$. 
  $\rho$
d�finit alors via $\iota$ un $\overline{\Ql}$ faisceau lisse $\LL_\rho$ sur les
diff�rents $\Sh_K$ lorsque $K$ varie. Il est
muni d'une action de $G(\A_f)$ au sens o� $\forall K_1\subset K_2$, si 
$\Pi_{K_1,K_2}:\Sh_{K_2}\drt \Sh_{K_1}$ d�signe le morphisme de
  changement
de niveau, il y a des isomorphismes 
$ \Pi_{K_1,K_2}^*\LL_\rho
\drt\LL_\rho$   
et pour tout 
$g$ �l�ment de $G(\A_f)$, si $g:\Sh_K\iso\Sh_{g^{-1}K g}$, 
 il y a des
morphismes $g^*\LL_\rho \drt \LL_\rho$, le tout v�rifiant des conditions 
de compatibilit� �vidente. 

La vari�t� 
$\Sh_K$ est munie d'un pro-rev�tement �tale $(\Sh_{K'}\ldrt
\Sh_K)_{K'\lhd K}$ de
groupe $K$. Composant l'application de projection $K\ldrt G(\Ql)$ avec
la repr�sentation $\rho: G(\Ql)\hookrightarrow G(\Qlb) \xrig{\;^\iota \rho\;} \Gl
(V_{\;^\iota\rho})$ on obtient une repr�sentation continue $K\ldrt  \Gl
(V_{\;^\iota\rho})$. Le syst�me local $\LL_\rho$ est celui associ� � cette
repr�sentation. 

\section{Mod�les entiers}
\subsection{Hypoth�se de non ramification}

Fixons un plongement $\nu:\overline{\Q}\hookrightarrow \overline{\Qp}$ et notons $E_\nu$ le compl�t� de $E$ correspondant. 

Soit $\O_B$ un $\Z_{(p)}$ ordre dans $B$ stable par $*$ et tel que
$\O_B\otimes\Z_p$ soit un ordre maximal dans $B_{\Qp}$.

Nous supposerons (conf�re \citeg{Ko1}) : 
\begin{itemize}
\item $B_{\Qp}$ est un produit d'alg�bres de matrices sur des extensions
  non ramifi�es de $\Qp$, c'est {\`a} dire :  
 $B$ est d�ploy�e en toutes les places de
  $F$ divisant $p$ et $F$ est non ramifi� en toutes les places de $F$
  divisant $p$ 
\item Afin de s'assurer que $G_{\Qp}$ est quasid�ploy� nous
 supposerons qu'il existe un
r�seau autodual 
  $\Lambda_0$ dans $V_{\Qp}$ 
\end{itemize}
Sous ces hypoth�ses le groupe $G_{\Qp}$ est non ramifi�.

\subsection{Mod�les}

Sous les hypoth�ses pr�c�dentes Kottwitz construit dans \cite{Ko1} 
 une tour $(S_{\pK})_{\pK} $
de vari�t�s quasiprojectives lisses sur $\O_{E_\nu}$ index�e par des sous-groupes
compacts ouverts 
suffisamment petits  $\pK\subset
G(\A_f^p)$.
 Cette tour est munie d'une action de $G(\A_f^p)$. Le sch�ma
$S_{K^p}$  est d�fini comme l'espace de modules  des quadruplets
$(A,\l,\iota,\overline{\eta^p})$ o� : 
\begin{itemize}
\item $A $ est un sch�ma ab�lien d�fini {\`a} une isog�nie premi�re {\`a} $p$ pr�s 
\item $\l$ est une polarisation premi�re {\`a} $p$ et $\Z_{(p)}\*$
  homog�ne. Cela siginifie que si $\a$ est une fonction  d�finie sur le sch�ma
  de base sur lequel est d�fini $A$, � valeurs dans $\Z_{(p)}\*$ et
  localement constante, alors $\l$ est consid�r�e comme �tant
  �quivalente � $\a\l$. 
\item $\iota:\O_B\drt \End(A)\otimes \Z_{(p)}$ est un morphisme
d'alg�bres 
 transformant l'involution 
$*$ sur $\O_B$ 
en l'involution de Rosati associ�e {\`a} $\l$ sur $\End
 (A)\otimes \Z_{(p)}$
\item $\eta^p:V\otimes \A_f^p \ldrt H_1(A,\A_f^p) [\pK]$ est un
  isomorphisme de $B\otimes \A_f^p$-modules symplectiques 
  d�finissant une structure de
  niveau $K^p$ au sens de la d�finition 2.5.5 de \cite{Ko1}. Cet
  isomorphisme est pris {\`a} un �l�ment de 
  $\A_f^{p\times}$ pr�s. 
\end{itemize}

Le groupe 
$G(\A_f^p)$ op�re sur la tour $(S_{K^p})_{K^p}$ par action sur
$\overline{\eta^p}$. 

Soit un r�seau autodual $\Lambda_0\subset V_{\Qp}$. Soit 
$C_0=Stab_{G(\Qp)}(\Lambda_0)$
le sous-groupe compact hypersp�cial associ�. Il y a alors des 
isomorphismes compatibles pour $K^p$ variant 
$$
S_{\pK}\otimes_{\O_{E_\nu}} E_\nu \iso \Sh_{C_0 \pK}\otimes_{E} E_\nu
$$
Ces isomorphismes d�pendent du choix de $\Lambda_0$. 

\section{Structure de $G(\Qp)$\label{Struct}}
\subsection{Cas (A) }
 On se place dans le cadre de la section \ref{Le_cas_A}. 
Tout �l�ment $\tau\in \Phi$ fournit un plongement 
$$
\nu \circ \tau: F \hookrightarrow \Qpb
$$
Soient $(w_i)_{i\in I}, (w_j)_{j\in J}$ les places de $F$ divisant $p$ 
associ�es {\`a} tous ces plongements lorsque $\tau$ parcourt $\Phi$, et o�
on suppose que  
 $\forall i\in I \;
w_i\neq w_i^c$ et $\forall j\in J \; w_j= w_j^c$.
On a alors,
$$
G_{\Qp}=\prod_{i\in I} \Gl_n (F_{w_i})\times G \left (
\prod_{j\in J} GU(F_{w_j} ; n )
\right )
$$
o� si $J=\emptyset, G(\emptyset)=\Qp\*$, 
 $\Gl_n(F_{w_i})$ d�signe la restriction des scalaires de $F_{w_i}$
{\`a} $\Qp$ de $\Gl_n$, $GU(F_{w_j}; n)$ est la forme
int�rieure quasid�ploy�e du groupe des similitudes unitaires en n
variables sur $F_{w_j}$ vu comme groupe sur $\Qp$ (plus pr�cis�ment, il
 s'agit du sous-groupe de la
restriction des scalaires de $F_{w_j}$ {\`a} $\Qp$ 
 du groupe des similitudes unitaires sur
 $F_{w_j}$ 
 ayant un facteur de similitude  dans $\Qp\*$)  
 et o� le $G$ devant le produit signifie que
l'on prend le sous-groupe du produit form� des uplets ayant m{\^e}me
facteur de similitude.

L'alg�bre semi-simple 
$B_{\Qp}$ est de la forme 
$$
\prod_i \left ( M_d(F_{w_i})\times M_d(F_{w_i})^{opp} \right )
\times \prod_j M_d(F_{w_j})
$$

L'�quivalence de Morita permet de supposer qu'en chaque place on est
dans l'un des cas suivant :  
\subsubsection{ Cas (AL) }

 Soit $i\in I$, 
$B_{\Qp}=F_{w_i}\times F_{w_i},\; \O_{B_{\Qp}}=\O_{F_{w_i}}\times
  \O_{F_{w_i}},\;
(x,y)^*=(y,x),\;  V_{\Qp}=V_i\oplus V_i^\vee,\;
<x\oplus\varphi,x',\oplus\varphi'>
=\varphi'(x)-\varphi(x')$

Un r�seau autodual est de la forme
$\Lambda_0=\Lambda\oplus\Lambda^\vee$ o� $\Lambda$ est un r�seau de $V_i$.

\subsubsection{Cas (AU) }

 Soit $j\in  J$, 
$B_{\Qp}=F_{w_j}$, l'involution
$*$ est �gale {\`a} $\s^{[F_{w_j}:\Qp]/2}$ o� $\s$ est le
Frobenius de l'extension non ramifi�e $F_{w_j}|\Qp$.
$\O_{B_{\Qp}}=\O_{F_{w_j}}$,
Dans une base convenable de $V_j$ identifi� alors {\`a} $F_{w_j}^n$ :
$$
\forall X,Y\in F_{w_j}^n\; \; <X,Y>=\text{Tr}_{F_{w_j}/\Qp}(\a {}^t X^*
J Y) 
$$ 
o� $\a\in F_{w_j}\*$ est tel que $\a^*=-\a$,
$$
J=\left (\begin{array}{cc}
0 & I_{n/2} \\
I_{n/2} & 0 \\
\end{array}\right )
$$
si $n$ est pair  et
$$
J=\left ( \begin{array}{ccc}
0 & 0  & I_{(n-1)/2} \\
0 & 1 & 0 \\
I_{(n-1)/2} & 0 & 0 \\
\end{array} \right )
$$
si $n$ est impair.

Un r�seau autodual dans le cas o� $n$ est pair est alors donn� par 
$\Lambda_0=\Lambda^{(1)}\oplus\Lambda^{(2)}$ o� $\Lambda^{(1)},
\Lambda^{(2)}$ sont deux sous-$\O_{F_{w_j}}$-modules
totalement isotropes tels que l'accouplement  $\Lambda^{(1)}\times 
\Lambda^{(2)}\xrig{<.,.>} \Zp$ soit parfait.

Dans le cas o� $n$ est impair, on peut prendre comme r�seau autodual 
 $\Lambda_0=\Lambda^{(1)}\oplus \O_{F_{w_j}}.\e\oplus
\Lambda^{(2)}$ o� $\Lambda^{(1)}$ et $\Lambda^{(2)}$ sont comme
pr�c�demment et $<\e,\e>=1$. 

\subsection{Cas (C) }
$$
B_{\Qp}=\prod_{w|p} M_d (F_w)
$$
$$
G_{\Qp}=G(\prod_{w|p} GSp_n(F_w))
$$
o� $Gsp$ est le sous-groupe de la restriction des scalaires de $F_w$ {\`a}
$\Qp$ du groupe des similitudes symplectiques qui est form� des �l�ments ayant
un facteur de similitude dans $\Qp\*$, et
o� le $G$ signifie que les facteurs de similitude des diff�rents
facteurs sont �gaux .

On peut supposer par �quivalence de Morita que l'on est dans le cas
suivant : $B_{\Qp}=F_w, \O_{B_{\Qp}}=\O_{F_w}, V_{\Qp}=F_w^n, <X,Y>={}^t XJ
Y$
o� 
$$
J=\left ( \begin{array}{cc}
0 & -I_n \\
I_n & 0 \\
\end{array} \right )
$$
Un r�seau autodual est de la forme $\Lambda_0=\Lambda^{(1)}\oplus
\Lambda^{(2)}$ o� $\Lambda^{(1)},\Lambda^{(2)}$ sont des  
sous-$\O_{F_w}$-modules 
totalement
isotropes et l'accouplement
 $\Lambda^{(1)}\times \Lambda^{(2)} \xrig{<.,.>} \Zp$ est
parfait.

\chapter{Espaces de Rapoport-Zink}
\section{Isocristaux munis de structures additionnelles : le cas de
  $GL_n$}

Nous donnons ici une description explicite pour le groupe lin�aire
de la classification des
isocristaux munis de structures additionnelles donn�e par Kottwitz dans
\citeg{Ko2} et \citeg{Ko3}. �tant donn� que nous avons essentiellement
en vu comme
application dans cette th�se  le cas de $GL_n$ nous avons mis les
autres cas en annexe. 

\subsection{$\GL_n$}\label{Isoc_GL}

Oublions momentan�ment les notations globales du chapitre pr�c�dent.

Soit $F|\Qp$ une extension non ramifi�e de degr� d. Soit  
$G=\Res_{F/\Qp} (\Gl_n)$. Le groupe alg�brique $G$ se d�ploie sur $F$ en 
$$
G_{/F}=\prod_{i\in \Z/d\Z} \Gl_{n/F}
$$
o� le groupe $\Gamma=\Gal(F|\Qp)=\Z/d\Z$ op�re par permutation sur les facteurs
en translatant par un �l�ment de $\Z/d\Z$. 

Un tore maximal de $G$ d�fini sur $\Qp$ est $T=(F\*)^n$. Un tore
d�ploy� maximal est $A=(\Qp\*)^n\hookrightarrow (F\*)^n=T$. Le groupe
de Weyl absolu est $W=(\S_n)^d$. 

\begin{defi}
Le corps  $L$ est  le compl�t� de l'extension maximale non ramifi�e de $\Qp$.

L'automorphisme  $\s$ est le Frobenius g�om�trique de l'extension $L|\Qp$.  
\end{defi}

\begin{defi}
  On appelle isocristal un $L$-espace vectoriel $N$ muni d'une
  application bijective $\s$-lin�aire $V:N\ldrt N$.

On appelle $F$-isocristal un $L$-espace vectoriel $N$ muni d'une
application bijective $\s^d$ lin�aire $V:N\ldrt N$ ($\s^d$ est le
Frobenius g�om�trique de l'extension $L|F$).  
\end{defi}

Rappelons �galement que deux �l�ments $b_1,b_2$ de $G(L)$ sont dits $\s$-conjugu�s s'il existe
un $g$ dans $G(L)$ tel que 
$$
b_1= g b_2 g^{-\s}
$$ 
Rappelons alors la d�finition 
\begin{defi}[\cite{Ko2}]
L'ensemble $B(G)$ d�signe l'ensemble des classes de $\s$-conjugaison
dans $G(L)$.
\end{defi}

L'ensemble 
$B(G)$  classifie les
isocristaux munis d'une action de $F$. A la classe de $\s$-conjugaison
de $b$ est associ�e la classe d'isomorphisme de l'isocristal muni d'une
action de $F$, ($F^n\otimes_{\Qp} L, b \s)$. 
 Il est bien connu que la cat�gorie des isocristaux munis d'une action
 de $F$ 
 est �quivalente {\`a} la cat�gorie des $F$-isocristaux, ce qui
se traduit dans le langage de Kottwitz par le lemme de Shapiro
$B(G)\simeq B(\Gl_{n/F})$ (\citeg{Ko2}).

Un �l�ment  $b\in B(G)$ est donn� par les pentes du $F$-isocristal
associ� $$\l_1=\frac{d_1}{h_1}>\dots>\l_r=\frac{d_r}{h_r}$$ o� $d_i\wedge
h_i=1$, et des multiplicit�s $m_1,\dots,m_r$ v�rifiant $\sum_i m_i h_i=n$. Le
point de Newton associ� (\cite{Ko2}) est
$$
\nu_b=(\underbrace{\frac{\l_1}{d},\dots,\frac{\l_1}{d}}_{m_1
  h_1},\dots,\underbrace{\frac{\l_r}{d},\dots,\frac{\l_r}{d}}_{m_r
  h_r})\in X_*(A)_\Q=\Q^n
$$
(le d�nominateur $d$ provient du fait que les pentes d'un $F$-isocristal sont $d$
fois les pentes de l'isocristal sous-jacent). Le centralisateur du
morphisme des pentes $\nu_b$ est le sous-groupe de Levi 
$$
M_b=\Res_{F/\Qp}(\Gl_{m_1 h_1})\times\dots \times \Res_{F/\Qp}(\Gl_{m_r h_r})
$$
et $b$ provient d'une classe basique de $M_b$, o� l'on rappelle qu'une
classe basique est une classe poss�dant une unique pente.   
Rappelons que l'on note $J_b$ le groupe des automorphismes de
l'isocristal muni de ses structures additionnelles. Dans le cas
pr�sent, la structure additionnelle consiste en l'action de $F$. $J_b$
est donc le groupe des automorphismes du $F$-isocristal associ� : 
$$
J_b=\Res_{F/\Qp}\left (\Gl_{m_1}(D_{\l_1})\right )\times\dots\times \Res_{F/\Qp}\left 
( \Gl_{m_r}(D_{\l_r})\right )
$$
o� $D_\l/F$ est l'alg�bre centrale simple sur $F$ 
d'invariant $\l$. 

Le groupe $G^{der}$ �tant simplement connexe,
$X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)=X_*(D)_\Gamma=B(D)$ o� $D=G/G^{der}$.
Or, le d�terminant induit un isomorphisme de groupes  
 $\det:G/G^{der}\iso \Res_{F/\Qp}\Gm$, et donc $B(D)=\Z$. On identifiera
donc $X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)$ {\`a} $\Z$. 
L'application de Kottwitz $\kappa$ d�finie dans la section 6 de
\cite{Ko5} (conf�re �galement le th�or�me 1.15 de \cite{RR}) est alors 
\begin{eqnarray*}
\kappa : B(G) & \ldrt & \Z=X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma) \\
 b & \longmapsto & v_p(det (b))
\end{eqnarray*}

et est telle que $$\kappa(b)=\dpt{\sum_{i=1}^r m_i d_i}$$
qui est la dimension de l'isocristal ou encore le point terminal du
polygone de Newton.
\\

{\bf  Polygone de Hodge : }
Soit maintenant un cocaract�re $\mu:{\Gm}_{/\overline{\Qp}}\drt
G_{/\overline{\Qp}}$. Ce cocaract�re 
 est d�fini sur $F$ et d�finit un �l�ment de 
$$
X_*(T)/W\simeq \{(x_{ij})_{i\in\Z/d\Z,1\leq j \leq n} |\; x_{ij}\in
\Z, \forall i\;\;
\forall j\leq j' \;\;\; x_{ij}\geq x_{ij'} \}
$$
sur lequel le groupe de Galois $\Gamma$ op�re via $\s.(x_{ij})=(x_{i-1
  j})_{i,j}$. 

Nous supposerons $\mu$ minuscule donn�, avec les notations ci dessus, par $\mu=(\mu_{ij})_{i,j}$ o� 
$\forall i \; \mu_{ij}=1$ pour $1\leq j\leq a_i$ et $\mu_{ij}=0$ si
$j>a_i$, les $a_i$ �tant des entiers compris entre $1$ et $n$. 

Le groupe de Galois $\Gamma=\Z/d\Z$ agit par permutation sur
$(a_i)_{i\in\Z/d\Z}$,  et le
corps de d�finition de la classe de conjugaison de $\mu$ a pour groupe
de  Galois le stabilisateur de $(a_i)_{i\in\Z/d\Z}\in \N^{\Z/d\Z}$
  dans $\GG=\Z/d\Z$. 

Le L-groupe connexe de $G$ est donn� par 
$$
{}^L G^0=\widehat{G}=\prod_{\Z/d\Z} \Gl_n(\C)
$$ 
et le L-groupe par 
${}^LG=\widehat{G}\rtimes \Z/d\Z$ o� $\Z/d\Z$ agit par permutation
cyclique des
composantes. Au cocaract�re $\mu$ de $G$, Kottwitz associe un
caract�re du centre du L-groupe connexe $Z(\widehat{G})$ d�fini par 
$\mu_1=\widehat{\mu}_{|Z(\widehat{G})^\Gamma}\in \Z$ (\cite{Ko3}
section 6.1), 
 et donn� avec nos notations par 
$$
\mu_1=\sum_{i\in \Z/d\Z} a_i
$$
le point terminal du polygone de Hodge.

De m�me (\cite{Ko3} section 6.1), Kottwitz d�finit  $\mu_2$ par 
\begin{eqnarray*}
  X_*(T)_\Gamma & \xrig{\; Newt_T\;} & X_*(A)_\Q=\Q^n \\
\widehat{\mu}_{|\widehat{T}^\Gamma} & \longmapsto & \mu_2 
 \end{eqnarray*}
Avec les notations pr�c�dentes 
$$
\mu_2=\frac{1}{d} \sum_{i\in\Z/d\Z} (\underbrace{1,\dots,1}_{a_i}
,0,\dots , 0) 
$$

Kottwitz d�finit dans la section 6 de \cite{Ko3} le sous ensemble $B
(G,\mu)$ de $B(G)$ form� des classes de $\s$-conjugaison v�rifiant le
th�or�me de Mazur sur la position relative des polygones de Newton et
de Hodge tel qu'il g�n�ralis� dans \cite{RR}. 
D'apr�s ce qui pr�c�de, dans notre cas particulier cet ensemble poss�de la
description suivante   
\begin{eqnarray*}
B(G,\mu) &= &\{b\in B(G)\;|\; Newt(b)\leq \mu_2\in X_*(A)_\Q \text{ et }
\kappa(b)=\mu_1 \} \\
&=& \left \{ 
(\underbrace{\frac{\l_1}{d},\dots,\frac{\l_1}{d}}_{m_1
  h_1},\dots,\underbrace{\frac{\l_r}{d},\dots,\frac{\l_r}{d}}_{m_r
  h_r}) \leq 
\frac{1}{d} \sum_{i\in\Z/d\Z} (\underbrace{1,\dots,1}_{a_i}
,0,\dots , 0) \right \}
 \\ 
 &\hspace{20mm} & \text{ et  }  \sum_{i=1}^r m_i d_i=\sum_{i\in \Z/d\Z} a_i \;\;
 \\
\end{eqnarray*}
o� $\leq$ d�signe l'ordre usuel sur la chambre de Weyl positive
(section 2.1 de \cite{RR}). L'in�galit� s'interp�te comme ``le
polygone de Newton est au dessus du polygone de Hodge'', et l'�galit�
comme ``les points terminaux des polygones de Newton et de Hodge sont
�gaux''. 

\begin{exem}
  Lorsque $F=\Qp$, et $b\in B(G)$, $b\in B(G,\mu)$ ssi l'isocristal
  filtr� $(L^n,b\s,\mu)$ est faiblement admissible au sens de
  Fontaine. 
\end{exem}

Pour un �l�ment de $B(G)$, la condition d'appartenance � $B(G,\mu)$
est donc une condition g�n�ralisant la condition d'admissibilit� faible
de l'isocristal filtr� associ� qui tient compte des structures additionnelles.
\\
%\begin{rema}
%Lorsque $\mu$ est d�fini sur $\Qp$, la condition d'appartenir {\`a}
%$B(G,\mu)$ est �quivalente {\`a} celle d'admissibilit� faible classique du
%$F$-isocristal associ�.
%\end{rema}

{\bf Classes basique dans $B(G,\mu)$ : }

Il existe une unique classe basique dans $B(G,\mu)$. Notons la
$b_0$. Avec les notations pr�c�dentes celle-ci est
donn�e par l'unique pente 
$$
\l=\frac{1}{n} \sum_{i\in \Z/d\Z} \; a_i 
$$
Si la pente $\l$ est �gale � $\dpt{\frac{r}{s}}$ o� $r \wedge s=1$, alors, la multiplicit� de
la pente est $\dpt{\frac{n}{s}}$, et l'on a 
$$
J_{b_0}=\Res_{F/\Qp} \Gl_{\frac{n}{s}} ( D_\l) 
$$

\section{G�n�ralit�s sur les espaces de Rapoport-Zink}\label{Generalites_RZ}

\subsection{Donn�es locales de Rapoport-Zink}

\subsubsection{Donn�e de type E.L. non ramifi�e simple}\label{EL_RZ}

Une donn�e de type E.L. non ramifi�e simple $(F,V,b,\mu)$ 
consiste en la donn�e
\begin{itemize}
\item
 d'une
extension finie non ramifi�e $F$ de $\Qp$ 
\item
d'un $F$-espace vectoriel de
dimension finie $V$
\item d'une classe de $\s$ conjugaison $b\in B(G)$ o�
$G=\Res_{F/\Qp} \Gl (V)$ 
\item 
d'une classe de conjugaison de
cocaract�re minuscule $\mu :{\Gm}_{\Qpb} \ldrt G_{\Qpb}$ du type de
celles de la section \ref{Isoc_GL}.
\end{itemize}
 On suppose que ces donn�es sont reli�es entre elles par la relation 
$$
b\in B(G,\mu)
$$

Notons $I_F=\Hom_{\Qp}( F, \Qpb)$ et $n=\dim_F V$. $\mu$ est alors donn� par des
couples d'entiers
$$
(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in I_F}
$$
v�rifiant $p_\tau+q_\tau=n$ (dans les notations de la section
\ref{Isoc_GL}, ces couples d'entiers sont les $(a_i,n-a_i)_{i\in \Z/
d\Z}$). 

Le corps r�flex local associ� $E$ est le corps de d�finition de la classe
de conjugaison de $\mu$. $\Gal (\Qpb |\Qp)$ op�re par permutation sur
$I_F$. $\Gal ( \Qpb | E)$ est alors le stabilisateur dans
$\Gal(\Qpb|\Qp)$ de
$(p_\tau,q_\tau)$. 

\subsubsection{Donn�e de type P.E.L. unitaire non ramifi�e simple}
\label{PEL_RZ}

Une donn�e de type P.E.L. unitaire non ramifi�e  simple $(F,*,V,<.,.>,b,\mu)$ consiste
en la donn�e 
\begin{itemize}
\item d'une extension finie $F$ de $\Qp$ non ramifi�e munie d'une
involution non triviale $\; *$
\item d'un $F$-espace vectoriel de dimension finie
\item d'un produit hermitien symplectique $<.,.>: V\times V \ldrt \Qp$
qui est tel qu'il existe un r�seau autodual dans $V$ pour ce produit
symplectique 
\item si $G$ d�signe le groupe des similitudes unitaires associ�,
d'une classe de $\s$ conjugaison $b\in B(G)$
\item d'une classe de conjugaison de cocaract�re minuscule 
$\mu:{\Gm}_{\Qpb} \ldrt G_{\Qpb}$
\end{itemize}
On suppose que ces donn�e sont reli�es entre elles par la relation 
$$
c\circ \mu (z) =z 
$$
o� $c$ d�signe le facteur de similitude, et 
$$
b\in B(G,\mu)
$$
Le donn�e d'un tel $\mu$ est �quivalente {\`a} la donn�e de couples
d'entiers
$$
(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in I_F}
$$
v�rifiant $p_\tau+q_\tau=n$ et  $(p_{\tau *},q_{\tau
 *})=(q_\tau,p_\tau)$ (dans la section \ref{Isoc_AU} ces entiers sont
not�s $(a_i)_i$). 

 Le corps r�flex associ� se d�crit comme pr�c�demment.

\subsubsection{Donn�e de type P.E.L. symplectique non ramifi�e simple}

Elle consiste en la donn�e $(F,V,<.,.>,b,\mu)$ v�rifiant des
conditions analogues {\`a} celles du cas unitaire. $G$ est alors le
groupe des similitudes symplectiques. 

\subsection{Espaces de Rapoport-Zink associ�s}

Nous r�crivons la d�finition 3.21 de \cite{RZ} dans nos cas non ramifi�s.
 Notons
$\Eb=\widehat{\Qp^{nr}}$ le compl�t� de l'extension
maximale non ramifi�e de $\Qp$.
. Nous noterons $\bar{k}\simeq
\overline{\mathbb{F}}_p$ le corps r�siduel de $\Eb$.

\subsubsection{Cas E.L. non ramifi�}\label{esp_RZ_ass}

\begin{defi}
Soit $(V,F,b,\mu)$ une donn�e locale de type E.L. non ramifi�e simple. 
Soit $\XX,$ un groupe p-divisible sur $\bar{k}$ muni d'une action de
$\O_F$ et d'isocristal muni de son action de $F$ isomorphe {\`a}
$(V_L,b\s)$ (l'existence d'un tel $\XX$ r�sulte de r�sultats r�cents de
Rapoport et Kottwitz). 
Nous 
noterons $\M (b,\mu)/\spf (\O_{\Eb})$ l'espace de Rapoport-Zink
associ�. C'est l'espace de  
 modules de groupes
p-divisible munis d'une action de $\O_F$, $X$, munis d'une
quasi-isog�nie compatible {\`a} l'action de $\O_F$ 
$$
\rho : \XX \ldrt X
$$
et v�rifiant la condition : si 
$$
\Lie (X)=\bigoplus_{\tau \in I_F} \Lie (X)_\tau
$$
est la d�composition de $\Lie (X)$ suivant l'action de $\O_F$ alors,
$$
\forall \tau\in I_F \;\; \Lie (X)_\tau \text{ est localement libre de
rang } p_\tau
$$
\end{defi}

$\M (b,\mu)$ est localement formellement de type fini sur $\spf (\O_{\Eb})$  ce qui signifie
 que localement
$\M(b,\mu)$ est de la forme 
$$
\spf(\O_{\Eb}<T_1,\dots,T_n>[[ X_1,\dots,X_m]]/I)
$$
pour un id�al $I$.

Il r�sulte de la th�orie de Grothendieck Messing que 
$\M (b,\mu)$ est formellement lisse sur $\spf (\O_{\Eb})$.
Soit $x$ un point ferm� de sa fibre sp�ciale. Le compl�t� formel 
$\M(b,\mu)_{/\{x \}}^{\widehat{}}$ s'identifie {\`a} l'espace de d�formation 
par isomorphismes du groupe $p$-divisible $X^{univ}_x$muni de son action de
$\O_F$ ($X^{univ}$
d�signant le groupe p-divisible universel sur $\M (b,\mu)$).
Il r�sulte de la th�orie de Grothendieck Messing que cet espace de
d�formation est isomorphe au compl�t� formel d'une certaine
Grassmanienne (les fameux mod�les locaux de \cite{RZ} (d�finition
3.27)) en un point : 
$$
\M (b,\mu)^{\widehat{}}_{/\{ x\}} \simeq \spf \left ( \O_{\Eb} [[
X_1,\dots,X_{\sum_\tau p_\tau q_\tau} ]] \right )
$$
\vspace{0mm}

\subsubsection{Cas P.E.L. unitaire non ramifi�} \label{esp_RZ_ass_PEL}

\begin{defi}
Soit $(F,*,V,<.,.>,b,\mu)$ une donn�e locale de type
P.E.L. unitaire non ramifi�e. Nous noterons $\M (b,\mu)/\spf
(\O_{\Eb})$ l'espace de Rapoport-Zink 
associ�.  Soit $(\XX,\l)$ un un groupe $p$-divisible sur $\bar{k}$
muni d'une action de $\O_F$, d'une polarisation principale $\l$ tels
que l'isocristal polaris� de $(\XX,\l)$ muni de son action de $F$
s'identifie {\`a} $(V,b\s,<.,.>)$ (une fois de plus l'existence d'un tel
$(\XX,\l)$ devrait r�sulter de travaux r�cents de Rapoport et
Kottwitz). Alors, le sch�ma formel $\M (b,\mu)$ classifie les groupes p-divisibles
principalement polaris�s $(X,\l')$ munis d'une action de $\O_F$, tels
que via cette action l'involution de Rosati sur $\O_F$ soit donn�e par
l'involution $*$, et munis d'une quasi-isog�nie compatible {\`a} l'action
de $\O_F$ : 
$$
\rho : \XX \ldrt X
$$
tels via $\rho$ $\;\l$ et $\l'$ diff�rent, localement sur la base, d'une constante dans
$\Qp^\times$. On suppose de plus que si 
$$
\Lie (X)=\bigoplus_{\tau\in I_F} \Lie (X)_\tau
$$ 
d�signe la d�composition de $\Lie (X)$ sous l'action de $\O_F$ alors 
$$
\forall \tau \;\; \Lie (X)_\tau \text{ est localement libre de rang }
p_\tau 
$$
\end{defi}

Comme pr�c�demment dans le cas E.L., $\M (b,\mu)$ est formellement
lisse sur $\spf (\O_{\Eb})$. Son compl�t� formel en un point ferm�
de sa fibre sp�cial
 est le spectre formel d'une alg�bre de s�ries
formelles en $\frac{1}{2} \sum_\tau p_\tau q_\tau$ variables. 

\subsection{Cas P.E.L. symplectique}

�tant donn�e une donn�e locale symplectique non ramifi�e simple on peut 
d�finir de la m{\^e}me fa{\c c}on que dans le cas unitaire l'espace de
Rapoport-Zink associ�. Nous le noterons $\M (b,\mu)$. 


\subsection{D�composition d'une donn�e globale non ramifi�e en produits de donn�e
locales simples}\label{Dec_glo_loc}
\subsubsection{Cas (A) }

Revenons aux notations globales du chapitre pr�c�dent. La donn�e
globale  $\mathcal{D}$
coupl�e au plongement $\nu$ fournit une donn�e 
$(B\otimes \Qp, V\otimes \Qp, <.,.>, \mu_{\Qpb})$ o� $\mu_{\Qpb}$ est
obtenu {\`a} partir de $\mu$ gr{\^a}ce {\`a} $\nu$. Celle ci se scinde en un
produit suivant les indices $i$ dans $I$ et $j$ dans $J$.

 Utilisant
l'�quivalence de Morita on en d�duit pour tout $i$ dans $I$ une donn�e
de type $E.L.$ non ramifi�e simple (sans sa classe de $\s$ conjugaison):
$(F_{v_i},V_i,\mu_i)$. Nous noterons $E_i$ son corps r�flex. 
Avec les notations de \ref{EL_RZ},  le cocaract�re 
$\mu_i$
est associ� aux couples suivant d'entiers : soient $\Phi_i \subset
\Phi$ l'ensemble des $\tau$ dans $\Phi$ v�rifiant $\nu\circ \tau$
induit $v_i$, alors
$$
I_{F_{v_i}} = \{ \nu\circ \tau\; |\; \tau\in \Phi_i \}
$$ 
et $\mu_i$ est associ� aux 
$$
(p_{i,\tau},q_{i,\tau})_{\tau\in I_{F_{v_i}}} = (p_{\nu \circ \tau},
q_{\nu\circ \tau})_{\tau\in \Phi_i}
$$

Si maintenant $j\in J$, on obtient une donn�e de type
P.E.L. non ramifi�e unitaire simple 
sans sa classe de $\s$ conjugaison 
$(F_{v_j},V_j,*,<.,.>,\mu_j)$ o� $*$ est la conjugaison complexe et
 $\mu_j$ se calcule de la m{\^e}me fa{\c c}on que
pr�c�demment. Nous noterons $E_j$ son corps r�flex associ�. 
\\

Il y a donc une inclusion 
$$
E_\nu \subset \prod_{i\in I} E_i \prod_{j_\in J} E_j
$$

Remarquons maintenant que 
$$
B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})=\prod_{i\in I} B(\Gl_n(F_{w_i}),\mu_i) \times \prod_{j\in J}
B(GU(F_{w_j},n),\mu_j)
$$
En effet, l'inclusion $G_{\Qp}\hookrightarrow \prod_{i\in I} \Gl_n (
F_{w_i}) \times \prod_{j\in J} GU( F_{w_j},n)$ induit une inclusion
du membre de gauche dans  celui de droite. Si maintenant  $b=((b_i)_{i\in
  I},(b_j)_{j\in J})$ d�signe un �l�ment du membre de droite, pour
tout $j$ dans $J$ la condition d'appartenance � $B(GU(
F_{w_j},\mu_j))$ implique que $v_p (c(b_j))=1$. Quitte �
$\s$-conjuguer les $b_j$ on peut donc supposer que pour tout $j$ dans
$J$, $c(b_j)=p$. Cela montre que $b$ provient d'une classe de
$\s$-conjugaison de $G_{\Qp}$. 

Pour tout �l�ment $b$ de $B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ notons $b=\prod_{i_\in I} b_i
\prod_{j\in J} b_j$ sa d�composition.  Si $b\in B(G,\mu)$ est donn�,
la donn�e globale $\mathcal{D}$ fournit donc des donn�es locales pour
tout $i$ dans $I$ et $j$ dans $J$. 

\begin{defi}
Pour un $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ nous noterons
$(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ la donn�e locale 
de Rapoport-Zink $(B\otimes \Qp,V\otimes\Qp,<.,.>,b,\mu_{\Qpb})$ 
qui se d�compose en un  produit de donn�es simples comme ci dessus. 
\end{defi} 

\subsubsection{Cas (C)} 

La donn�e se d�compose en un produit de donn�es symplectiques non
ramifi�es simples index�es
par les places de $F$ divisant $p$. Pour $b\in
B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})\;$ on note �galement $(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ la donn�e
locale associ�e.

\subsection{Espace de Rapoport-Zink associ� {\`a} $(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ }

Rappelons rapidement la d�finition de l'espace de Rapoport-Zink
associ� {\`a} $\mathcal{D}$ apr�s tensorisation par $\Qp$. 

Soit donc $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$, soit
$\Eb=\widehat{E^{nr}_\nu}=\widehat{\Qp^{nr}}$ le compl�t� de l'extension
maximale non ramifi�e de $E$ 
. Nous noterons $k$ le corps r�siduel de $E_\nu$ et $\bar{k}\simeq
\overline{\mathbb{F}}_p$ le corps r�siduel de $\Eb$. Choisissons un
groupe p-divisible $\mathbb{X}/\bar{k}$ ayant pour isocristal muni de
structures additionnelles $(V\otimes_{\Qp} L,b\s)$. Nous supposerons que
la polarisation de $\XX$ est principale c'est {\`a} dire que le r�seau associ� au
cristal de $\XX$ est autodual dans $V_L$.

Rappelons la d�finition de $\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ : 

\begin{defi} Le sch�ma formel 
  $\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)/\spf(\O_{\Eb})$ est le sch�ma formel localement formellement de
  type fini v�rifiant : $\forall S/\O_{\Eb}$ un sch�ma sur lequel $p$
  est localement nilpotent, 
$$
\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)(S)=\{(X,\l,\iota,\rho) \}/\sim
$$
o� $X$ est un groupe p divisible sur $S$ muni d'une action $\iota$ de
$\O_B\otimes\Zp$, d'une polarisation principale $\l:X\ldrt \check{X}$ 
qui induit l'involution $*$ sur $\O_B\otimes\Zp$, et d'une
rigidification 
$$
\rho:\XX\times_k \overline{S} \ldrt X\times_S \overline{S}  
$$
(o� $\overline{S}$ d�signe la r�duction de $S$ modulo $p$) 
qui est une quasi-isog�nie compatible {\`a} l'action de
$\O_B\otimes\Zp$. On suppose de plus que
via $\rho$ les polarisations associ�es � $<.,.>$ sur $\XX\times_k
\overline{S}$ et $\l$ sur 
$X\times_S\overline{S}$ diff�rent localement sur $\overline{S}$ d'une
constante de $\Qp\*$. Cela signifie qu'il existe une fonction
localement constante $\a:S\ldrt \Qp^\times$ telle que le diagramme
suivant commute 
\begin{diagram}
\XX\times_{\bar{k}} \overline{S} & \rTo ^\rho & X\times_S \overline{S}
\\
\dTo & & \dTo_{\a.(\l\times Id)} \\
\check{\XX}\times_{\bar{k}}\overline{S} & \lTo^{\check{\rho}} & \check{X}\times_S\overline{S}  
\end{diagram}
 On suppose de plus que $X$ v�rifie la condition de Kottwitz
 relativement {\`a} $\mu_{\Qpb}$.
Deux
quadruplets $(X,\l,\iota,\rho)$ et $(X',\l',\iota',\rho')$ sont
�quivalents s'il existe un isomorphisme $f:X\iso X'$ compatible aux
actions, aux polarisations et tel que $f\circ \rho=\rho'$
\begin{diagram}
& & X\times_S\overline{S} \\
 & \ruTo^{\rho} \\
\XX\times_{\bar{k}} \overline{S} & & \dTo_{f}^{\simeq} \\
& \rdTo_{\rho'} \\
& & X'\times_S\overline{S}
\end{diagram}
\end{defi}


\begin{rema}
 Il r�sulte des travaux de Colmez, Fontaine, Breuil
que $\XX$ se rel�ve en un groupe p-divisible sur $\O_{\Eb}$ dont
l'isocristal filtr� est $(V_L,b\s,\mu_{\Qpb})$.
\end{rema}

\begin{rema}
  L'espace $\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ est formellement lisse sur $\spf
  (\O_{\Eb})$. Puisque, comme on la verra, les espaces de
  Rapoport-Zink uniformisent dans certains cas des strates des
  vari�t�s Shimura,
cela peut para�tre en contradiction avec l'existence de
  singularit�s dans ces strates. N�anmoins, la fibre sp�ciale de  
$\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ (le sous sch�ma r�duit) est en g�n�ral
  singuli�re et il n'y a pas de lien entre la lissit� formelle d'un
  sch�ma formel et les singularit�s de sa fibre sp�ciale. Ce qui
  pourrait induire en erreur est l'exemple de l'espace Drinfeld. Dans
  ce cas l�, les singularit�s de la fibre sp�ciale du sch�ma formel de
  Drinfeld (des diviseurs � croisement normaux) sont identiques aux
  singularit�s de la fibre sp�ciale des courbes de Shimura qu'ils
  uniformisent. Cela est d� au fait que ce sch�ma formel est adique
  sur $\spf (\O_{\Eb})$ et que donc, sa r�duction modulo $p$ est un
  sch�ma. En g�n�ral $\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ n'est pas un sch�ma
  formel $p$-adique.
\end{rema}

\subsection{D�composition de l'espace associ� {\`a} $(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ en
produit d'espaces simples de type E.L. et P.E.L.} \label{Dec_glob}
\subsubsection{Cas (A) }

Commen{\c c}ons par remarquer que si $\M (b,\mu)$ d�signe un espace de
Rapoport-Zink de type P.E.L. unitaire non ramifi� simple, celui ci est muni
d'un morphisme 
$$
\b : \M (b,\mu) \ldrt \Qp^\times/\Zp^\times
$$
mesurant le ``d�faut'' de la polarisation du groupe p-divisible
universel {\`a} co{\"\i}ncider avec celle d�finie par $<.,.>$ sur $V_{\Qp}$. 
\\

Soit $X^{univ}$ le groupe p-divisible universel sur
$\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$. L'action de $\O_{B}\otimes \Zp$ sur 
$X^{univ}$, la polarisation $\l$ et $*$ 
 permettent de d�composer $X^{univ}$ en 
$$
X^{univ} = \bigoplus_{i\in I} ( X^{univ}_i \oplus \check{X}^{univ}_i)
\oplus 
\bigoplus_{j\in J} X^{univ}_j
$$

Utilisant le fait que $\O_B\otimes \Zp$ est un ordre maximal, 
on peut appliquer une ``�quivalence de Morita'' {\`a} chaque
terme pour obtenir que
l'espace de Rapoport-Zink associ� {\`a} $(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ 
se d�compose  de la fa{\c c}on suivante si
$J\neq \emptyset$ :
$$
\M(\mathcal{D}_{\Qp},b) = \prod_{i\in I} \M(b_i,\mu_i) \times \left (\prod_{j\in J} \M
(b_j,\mu_j)\right )^1
$$
o�  
$$
\left ( \prod_{j\in J}
\M (b_j,\mu_j) \right )^1\hookrightarrow  \prod_{j\in J}
\M (b_j,\mu_j) 
$$
est l'ouvert ferm� d�fini par l'�galit� : $\forall j,j'\in J,\; \b_j=\b_{j'}$. 

Dans le cas o� $J=\emptyset$, 
$$
\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)=\prod_{i\in I} \M (b_i,\mu_i) \times \Qp\*/\Zp\*
$$

\begin{rema}
Cette d�composition en produit d'espaces plus simples
par �quivalence de Morita  est un des
points clef de tout ce qui suit. Par exemple, elle permet 
dans \cite{Har4} de ramener
l'�tude d'espaces de modules associ�s {\`a} des groupes p-divisibles de
dimension sup�rieur {\`a} $1$ {\`a} celle de groupes p-divisibles de dimension $1$. 
\end{rema}

\begin{exem}\label{defQp}
Supposons que pour un $i\in
I$, $\mu_i$ soit tel qu'il existe un  $\tau_0\in I_{F_{v_i}}$ tel que
$\forall \tau\neq \tau_0 \; p_{i,\tau}=0$.
Alors,  le sch�ma formel 
 $\M(b_i,\mu_i)$ est l'espace de modules des $\O_{F_{w_i}}^{\tau_0}$-modules
$p$-divisibles $X$ (au sens de \cite{Har4}) sur un sch�ma $S$ sur lequel $p$ est localement nilpotent
 munis d'une rigidification avec un  $\O_{F_{w_i}}^{\tau_0}$-module
$p$-divisible sur 
$\overline{\mathbb{F}_p}$ de $F$ isocristal associ� {\`a} $b_i$ et v�rifiant  
$$
\text{Lie}(X)\text{ est un }  \O_S-\text{module
libre de rang } p_{i,\tau_0} 
$$
\end{exem}

\begin{exem}\label{exemAetale}
Avec les notations pr�c�dentes, si pour un $i$ appartenant {\`a} $I$ $\;\mu_i=1$
alors, $B(\Gl_n (F_{w_i},\mu_i))$ est r�duit {\`a} un seul �l�ment $b_i$ qui est
associ� {\`a} un isocristral �tale et  
$$
\M (b_i,\mu_i)=\Gl_n (F_{w_i})/ C_0
$$
comme espace discret (c'est {\`a} dire union disjointe de copies de 
$\spf(\O_{\Eb})$).  

Il en est de m{\^e}me pour un $j$ appartenant {\`a} $J$. 
\end{exem}

\begin{exem}  
Avec les notations de l'exemple \ref{defQp} si $p_{i,\tau_0}=1$ et
 $b_i$ est basique, 
 $\M(b_i,\mu_i)$ param�trise des d�formations par
quasi-isog�nies de $\O_{F_{v_i}}^{\tau_0}$-modules p-divisibles de dimension $1$ et de
hauteur $n$.
$$
\M(b_i,\mu_i)\simeq \spf(\O_{\Eb}[[T_1,\dots,T_{n-1}]])\times \Z 
$$
l'espace de Lubin Tate sur lequel op�re $J_{b_i}=D_{\frac{1}{n}}\*$. 
\end{exem}
 
\subsubsection{Cas (C) } 

Comme ci dessus, il y a une d�composition 
$$
\M(\mathcal{D}_{\Qp},b) =\left ( \prod_{w|p} \M (b_w,\mu_w)\right )^1
$$

\section{Continuit� de l'action de $J_b$}

Nous notons dans cette section $\M$ un espace de Rapoport-Zink associ�
{\`a} une donn�e locale simple ou bien {\`a} une donn�e globale.

Le sch�ma formel $\M$ est muni d'une action {\`a} gauche de $J_b$ via 
$$
\forall g\in J_b\;\; \forall (X,\rho)\in \M\;\;\;\;
(X,\rho).g=(X,\rho\circ g^{-1}) 
$$

Lorsque $\M=\M (\mathcal{D}_{\Qp},\mu_{\Qpb})$, 
cette action se fait composante par composante au sens suivant : dans
le cas (A), 
$\prod_{i\in I} J_{b_i} \times \prod_{j\in J} J_{b_j}$ op�re sur 
$$
\prod_{i\in I} \M (b_i,\mu_i) \times \prod_{j\in J} \M (b_j,\mu_j)
$$
et $J_b\subset \prod_{i\in I} J_{b_i} \times \prod_{j\in J}
J_{b_j}$ stabilise l'ouvert ferm� $$\M(\mathcal{D}_{\Qp},b) \subset \prod_{i\in I} \M(b_i,\mu_i) \times
\prod_{j\in J} \M (b_j,\mu_j)$$

\begin{defi}
Soit $\X$ un sch�ma formel muni d'une action d'un groupe
localement compact 
totalement discontinu $H$. Nous dirons que $H$ agit contin{\^u}ment sur
$\mathfrak{X}$ si tout ouvert  quasicompact $U$ de $\mathfrak{X}$
 est stabilis� par un voisinage de l'identit� dans $H$,
 et si $\mathcal{I}_U\subset
\O_U$ est un id�al de d�finition de $\O_U$, $\forall N\in\N \;$
il existe un sous-groupe compact ouvert $K_N\subset H$ suffisamment
petit tel que $\forall g\in K_N,\; g^*:\O_U/\mathcal{I}_U^N \ldrt
\O_U/\mathcal{I}_U^N$  est l'identit�.
\end{defi}

\begin{prop}\label{ActC} Le groupe 
$J_b$ op�re contin{\^u}ment sur $\M$.
\end{prop}
\begin{proof} On v�rifie ais�ment que l'assertion ci dessus est
�quivalente {\`a} la suivante : si $S$ est un sch�ma quasicompact sur
lequel $p$ est nilpotent et $(X,\rho)\in \M(S)$, il existe un
voisinage de l'identit� dans $J_b$ tel que pour $g $ dans un tel
voisinage, $(X,\rho\circ g)\simeq (X,\rho)$. 

Notons  $\End(\XX)$ l'anneau des endomorphismes du groupe
$p$-divisible $\XX$ muni de ses structures additionnelles ($\l$ et
$\iota$) 
sur $\overline{\mathbb{F}_p}$. L'anneau $\End(\XX)$ est un $\Z_p$-module libre de
type fini. De plus, $\forall N>0, Id+p^N \End(\XX)$ est un
sous-groupe compact ouvert 
de $J_b$ et lorsque $N$ varie cette famille de sous-groupes forme une
base de voisinages de l'identit� dans $J_b$.

Consid�rons la quasi-isog�nie sur $\overline{S}$ 
$$
\rho\circ (Id+p^N (u\times 1)) \circ \rho^{-1}= Id+ p^N 
\rho (u\times 1) \rho^{-1} \in \End(X\times_S\overline{S})_\Q
$$  
Le sch�ma 
$S$ �tant  quasicompact et $p$ nilpotent, par rigidit� des
quasi-isog�nies
$$\forall u\in \End(\XX)\;\exists N \; p^N \rho (u\times 1)\rho^{-1}
\text{ se rel�ve en un endomorphisme de } X/S
$$
 Mais l'alg�bre $\End(\XX)$ est un $\Zp$-
module de type fini. On peut donc trouver un tel $N$ uniform�ment
pour tous les �l�ments $u$ de $\End(\XX)$.
 C'est {\`a} dire, 
 $$\exists N \;\forall u\in\End(\XX) \;\; p^N \rho(u\times 1)\rho^{-1}
\text{ se rel�ve en un endomorphisme de } X$$ Nous noterons  
$ (p^N \rho(u\times
  1)\rho^{-1})\widetilde{}$ ce rel�vement.
 Comme $\End(\XX)$ est un anneau p-adique,
$$
Id+p ( p^N \rho(u\times
  1)\rho^{-1})\widetilde{} \in\Aut (X)
$$
On en d�duit que $\forall u\in\End(\XX)$, $Id+p^{N+1} \rho (u\times
1)\rho^{-1}$ se rel�ve en un automorphisme de $X$ ce qui montre que 
$$
(X,\rho)\simeq (Id+p^{N+1}u).(X,\rho)
$$
\end{proof}

\begin{rema}
Bien s{\^u}r, cette d�monstration s'applique {\`a} un espace de Rapoport-Zink
g�n�ral tel qu'il est d�fini dans \cite{RZ}. 
\end{rema}

\section{Un th�or�me de finitude pour l'action de $J_b$}\label{sect_theo_fin}

Dans cette section nous oublions les notations globales pr�c�dentes et
consid�rons des espaces associ�s {\`a} des donn�s locales simples. 

\begin{defi}
On posera comme pr�c�demment $L=W(\bar{k})_{\Q}$. L'automorphisme $\s$ d�signera toujours un Frobenius
g�om�trique de l'extension non ramifi�e $L|\Qp$. Le cristal associ� {\`a} un groupe p-divisible  
est son cristal de Dieudonn� covariant $(M,V)$ o� $V$ est une application 
$\s$ lin�aire, le Verschiebung.
\end{defi}

Bien que dans notre situation $L=\Eb$ nous pr�f�rons distinguer les
notations puisque le r�le de ces deux corps est totalement diff�rent.

\subsection{Description de $\M(b,\mu)(\bar{k})$ en termes de
  cristaux}\label{Description_en_termes_cristaux}  

Soit donc une donn�e locale de type E.L. ou P.E.L. non ramifi�e simple.

Consid�rons l'isocristal $(V\otimes_{\Qp} L,b\s)$ muni de son action de $F$
et, dans le cas P.E.L.,  de
sa polarisation $$<.,.>:V_L\times V_L\ldrt \Qp(1)$$
 Un �l�ment de $\M(b,\mu)(\bar{k})$
s'identifie alors {\`a} un cristal $M$ dans $(V_L,b\s)$ stable par l'action de
$\O_F$ tel que $M$ comme $\O_L$ r�seau soit autodual {\`a} une constante
de $\Qp\*$ pr�s (c'est {\`a} dire $\exists k\in\Z\; M^\vee=p^k M$) et tel qu'on ait
une �galit� de fonctions polynomiales :
$$
\forall b\in\O_F\;\;\; \det(b;M/VM)=\det(b;V_0)
$$
Dit autrement, la derni�re condition s'exprime en disant que le
polygone de Hodge arithm�tique ``avec structures additionnelles'' est
fix� �gal {\`a} $\mu$. Reprenons les notations de \ref{Generalites_RZ} et
d�taillons les diff�rents cas :
\\

{\bf Cas (AL) : } Reprenons les notations de \ref{Isoc_GL}. 
Posons $N=V_L$, $V=b\s$. D�composons $N$ sous l'action de $F$ 
$$
N=\bigoplus_{i\in\Z/d\Z} N(i)
$$
o�
$$
N(i)=\{ n\in N\; |\; \forall x\in F \; x.n=\s^i (x) n\}
$$
Supposons 
 $\mu$ donn� par des $(a_i)_{i\in \Z/d\Z}$, $1\leq a_i \leq n$
(qui sont les $p_\tau$ dans les notations de \ref{EL_RZ}). Un �l�ment de
 $\M(\bar{k})$ est donn� par un $\O_F\otimes 
\O_L$-r�seau $M\subset N$ tel que $pM\subset VM\subset M$, et si 
$M=\bigoplus_{i\in\Z/d\Z}M(i)$ o� 
$$M(i)=\{m\in
M\;|\; \forall x\in\O_F\; x.m=\s^i(x) m\}$$ alors,  l'inclusion
$VM(i)\subset M(i+1)$ induit une d�composition  
$$
M/VM=\bigoplus_{i\in\Z/d\Z} M(i)/VM(i-1)
$$
o� $M(i)/VM(i-1)$ est un $\bar{k}$-espace vectoriel sur lequel
le corps r�siduel de $F$ agit via le Frobenius g�om�trique � la
puissance $i$. La condition de Kottwitz s'�crit alors avec ces
notations  
$$
\dim_{\bar{k}} M(i)/VM(i-1)=a_i
$$ 
\\

{\bf Cas (AU) : }
Prenons les notations de l'annexe \ref{Isoc_AU}. 
Notons encore $(N,V)$ l'isocristal $(V_L,b\s)$. Le
 produit symplectique sur $V$ induit une polarisation
   $<.,.>:N\times N\ldrt
\Qp(1)$. Si $$N=\bigoplus_{i\in\Z/2d\Z} N(i)$$ est la d�composition de
$N$ sous l'action de $F$ 
comme dans le cas (AL), la
condition d'{\^e}tre  un $F$-module hermitien :
  $$\forall b\in F\; <bv,v'>=<v,b^* v'>$$ s'exprime en
disant que 
$$\forall i\neq j+d\;
<N(i),N(j)>=0
$$
$$\text{et le produit }
<.,.> \text{ est parfait sur } N(i)\times N(i+d)
$$

Avec les notations de \ref{Isoc_AU}
supposons $\mu$ donn� par des entiers $(a_i)_{0\leq i\leq d-1}$.
  Un �l�ment de $\M(b,\mu)(\bar{k})$ est alors donn� par un
$\O_F\otimes\O_L$-r�seau $M=\bigoplus_{i\in\Z/2d\Z} M(i)$ tel que $pM\subset
VM\subset M$, $M$ est autodual {\`a} un �l�ment de $\Qp\*$ pr�s et 
$$\forall\;
0\leq i\leq  d\;\;\;
\dim_{\bar{k}} (M(i)/VM(i-1))=a_i
$$
\\

{\bf Cas (C) : }
L'isocristal $(N,V)$ est polaris� via  $<.,.>:N\times N\ldrt \Qp(1)$. Comme
pr�c�demment il y a une d�composition 
$N=\bigoplus_{i\in\Z/d\Z} N(i)$.
De plus, 
$$
\forall i\neq j \;\; <N(i),N(j)>=0
$$
$$
\text{et } <.,.> \text{ est parfait sur } N(i)\times N(i)
$$ 

 Un �l�ment de
$\M(b,\mu)(\bar{k})$ est alors donn� par un $\O_F\otimes\O_L$-r�seau
$M=\bigoplus_{i\in\Z/d\Z} M(i)$ tel que $pM\subset VM\subset M$, qui
est 
autodual {\`a} un �l�ment de $\Qp\*$ pr�s et tel que 
$$
\forall 0\leq i< d \;\; \dim_k (M(i)/VM(i-1))=n
$$
\vspace{1mm}

{\bf Action de $J_b$ }
Avec les notations pr�c�dentes, le groupe $J_b$ admet la description
suivante  
$$
J_b=\{ g\in \Aut(N,V) \; | \;\forall n,n'\; <gn,gn'>=c(g) <n,n'> \; \}
$$
Pour un �l�ment $g$ de $J_b$ vu comme un �l�ment de $G(L)$, l'action de $g$ sur $\M(\bar{k})$
est, en termes de cristaux $M$, l'application $M\longmapsto g.M$.
\\

\subsection{Lien avec l'immeuble de $G$} \label{Lien_imm_G}

Donnons une autre description de $\M(\bar{k})$ dans l'esprit de la section 4
de 
(\citeg{Mi1}) qui le fait appara{\^\i}tre comme un sous-ensemble de
l'immeuble de $G$ sur $L$ :
$$
\M(b,\mu)(\bar{k})=\{ g\in G(L)/K\; |\; Kg^{-1} bg^\s K=K\mu(p) K\}
$$
o� $K=G(W(k))$ est un sous-groupe compact hypersp�cial. 
 On v�rifie cette �galit� en utilisant 
le lemme 7.4 de 
\citeg{Ko1}.  Le lien avec la d�finition en termes de cristaux est le
suivant :
soit
$M\subset V_L$ un cristal, $M\in\M(\bar{k})$, de stabilisateur $K$
dans $G(L)$.
 A $g\in G(L)/K$ est associ� le r�seaux $g.M$. Lorsque $g$ v�rifie
la condition ci dessus, $g.M$ est bien un cristal de polygone de Hodge
associ� {\`a} $\mu$. Dans cette description, 
 $g_0\in J_b$
  op�re de la fa{\c c}on suivante :
$$ gK\longmapsto g_0 g K$$

\begin{rema}
Si l'on suppose $b$ ``decent'' au sens de \citeg{RZ}, c'est {\`a} dire 
$$
\exists s\;\; (b\s)^s= (s\nu_b)(p) \s^s
$$
o� $\nu_b$ d�signe le morphisme des pentes alors, dans toutes les
consid�rations 
pr�c�dentes on peut remplacer $L$ par $\Q_{p^s}$ l'extension non
ramifi�e de degr� $s$ de $\Qp$.
\end{rema}

\subsection{Orbites de $J_b$ dans $\M (\bar{k})$}

  On note $(X,\rho)$ les �l�ments de $\M(\bar{k})$ o� $X$ d�signe un
  groupe p-divisible sur $\bar{k}$ muni de son action de $\O_F$ et, dans le cas
  unitaire ou symplectique, de sa polarisation principale. La
  quasi-isog�nie $\rho:\XX\ldrt X$ d�signe la rigidification avec le groupe
  p-divisible $\XX$ d�fini sur $\bar{k}$. 

\begin{lemm}\label{OrbJb}
  Deux �l�ments $(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2)\in \M(\bar{k})$ sont dans
  la m�me $J_b$-orbite ssi $$X_1\simeq X_2$$ comme groupes p-divisbles
  munis de structures additionnelles. 
\end{lemm}
\begin{proof}
  Soit $g\in J_b$ tel que $(X_1,\rho_1)\simeq(X_2,\rho_2\circ
  g^{-1})$. Alors, $X_1\simeq X_2$. R�ciproquement, supposons qu'il y
  ait un isomorphisme de groupes p-divisibles munis de structures additionnelles
$$
f: X_1\iso X_2
$$
Consid�rons la quasi-isog�nie $g=\rho_1^{-1}\circ f^{-1} \circ \rho_2 :
\XX\ldrt \XX$. Par d�finition $g\in J_b$. Le diagramme suivant commute
\begin{diagram}
  \XX & \rTo^{\rho_1} & X_1 \\
\dTo_{g^{-1}} & & \dTo^f \\
\XX & \rTo^{\rho_2} & X_2
\end{diagram}
ce qui montre que $(X_1,\rho_1)\simeq (X_2,\rho_2\circ g^{-1})$.
\end{proof}

\subsection{Action sur les composantes irr�ductibles}
\begin{defi} 
Si $\M$ d�signe un espace de Rapoport-Zink, 
nous noterons $\Mb$ la fibre sp�ciale de $\M$ c'est {\`a} dire le 
sous-sch�ma r�duit d�fini sur $\bar{k}$.
\end{defi}


Rappelons (\citeg{RZ}) que les composantes irr�ductibles de $\Mb$
sont des vari�t�s projectives sur $\bar{k}$ et que $\Mb$ �tant localement de
type fini une composante irr�ductible n'intersecte qu'un nombre fini
d'autres composantes. Le groupe $J_b$ permute ces composantes.
\\

\begin{theo}\label{TheoFini} Soit $\M$ un espace de Rapoport-Zink de
type E.L ou P.E.L. non ramifi� simple ou encore associ� {\`a} une donn�e globale 
non ramifi�e.   
Il y a un nombre fini d'orbites de 
 de composantes irr�ductibles de $\Mb$ sous l'action de $J_b$.
\end{theo}

\begin{proof}

Du point de vue de l'immeuble de $G$ sur $L$ ce th�or�me est un
th�or�me de finitude pour l'action de $J_b$ sur l'immeuble qui
g�n�ralise la proposition 2.18 de \citeg{RZ}.

D'apr�s les remarques du d�but, un ouvert quasicompact de $\Mb$
intersecte un nombre fini de composantes irr�ductibles et r�ciproquement une union
finie de composantes irr�ductibles est quasicompacte. Le th�or�me est donc �quivalent
{\`a} l'�nonc� : il existe un ouvert quasicompact $U$ de $\Mb$ tel que
$\Mb=J_b.U$.

On v�rifie en utilisant la section \ref{Dec_glob} que l'on peut se
ramener au cas des espaces associ�s {\`a} une donn�e locale non
ramifi�e simple. Nous supposerons donc que $\M$ est de ce type l{\`a}. 

%Reprenons les notations pr�c�dentes qui d�crivent les �l�ments de $\Mb
%(\bar{k})$ en termes de r�seaux $M$ dans $V\otimes L$. 

Commen{\c c}ons par rappeler le 

\begin{enonce}{Crit�re de quasicompacit�}[corollaire 2.31 de \citeg{RZ}] 
Un ouvert $U$ de $\Mb$ est quasicompact ssi
$\exists M\in \Mb (\bar{k}) \;\exists N\in \N \;$
$$
U(\bar{k})\subset \{M'\in \M(\bar{k}), p^{N}M\subset M'\subset p^{-N} M\} 
$$
de fa{\c c}on �quivalente : 
 $\exists N$, la quasi-isog�nie universelle $\rho^{univ}$ soit
telle que sur $U$ $\; p^N\rho^{univ}$ et $p^N(\rho^{univ})^{-1}$ soient
des isog�nies.
\end{enonce}

La d�monstration consiste maintenant {\`a} exhiber un nombre fini
d'orbites dans $\Mb(\bar{k})$  (ou, dans le cas unitaire et
symplectique, dans un ensebmle plus gros : conf�re les d�finitions
suivant 
\ref{def_quasi}) 
sous l'action de $J_b$ v�rifiant : il existe une constante $c$ telle
que tout point de $\Mb(\bar{k})$ soit {\`a} distance inf�rieure {\`a} $c$ d'un
point d'une de ces orbites.

�tant donn� qu'il n'y a qu'un nombre fini de polygones de Hodge
possibles pour un groupe p-divisible muni de structures additionnelles
isog�ne � $\XX$, l'�nonc� pr�c�dent est �quivalent au m�me �nonc� sans
la condition de Kottwitz sur le polygone de Hodge arithm�tique dans la
d�finition de $\M(\bar{k})$. Nous ignorerons donc cette
condition. Cela signifie  que nous allons d�montrer le th�or�me
annonc� non pas sur 
l'espace $\M$ mais sur l'espace plus gros d�fini de fa�on analogue,
sans la condition de Kottwitz sur le polygone de Hodge. 
 Nous noterons
encore $\M$ cet espace. Le lemme \ref{OrbJb} est bien s�r encore
valable pour cet espace. 
\\

Commen�ons par rappeler la d�finition suivante : 

\begin{defi}[\cite{Zink1} section 3]
  Soit $S$ un sch�ma de caract�ristique $p$ 
et $X$ un groupe p-divisible sur $S$. Soit $\l$
  un nombre rationnel positif. On dit que $X$ est divisible par
  rapport � la pente $\l$ s'il existe des entiers naturels $r,s$ tels
  que $\dpt{\l=\frac{r}{s}}$ et tels que la quasi-isog�nie 
$$
F^s p^{-r} : X \ldrt X^{(p^s)}
$$
soit une isog�nie. 
\end{defi}

Nous allons utiliser le r�sultat suivant de Zink  : 
\begin{prop}[\citeg{Zink1} proposition 12]\label{leZi}
  Soit $K$ un corps parfait de caract�ristique $p$ et $X/K$ un groupe p-divisible
de pentes $\l_1>\dots>\l_r$. 
 Il existe
  une constante $c$ ne d�pendant que de la hauteur de $X$ et un groupe
  p-divisible $Y/K$ muni d'une isog�nie avec $X$ de degr� plus petit
que $c$ tel que $Y$ v�rifie la propri�t� suivante : $Y$ est 
muni d'une filtration par des sous groupes p-divisibles 
$$
(0)=Y_0\subset Y_1 \subset \dots\subset Y_r=Y
$$
telle que pour tout $i$,
$Y_i$ soit divisible par rapport � la pente $\l_i$ et
$ Y_i/Y_{i-1}$ soit de pente $\l_i$.
De plus, une telle filtration se scinde. 
\end{prop}

\begin{proof}[Rappels sur la d�monstration]
Rappelons que dans la d�monstration, si $(M,V)$ est le cristal de $X$ et
si $U=p^{-r_1} V^{s_1}$, on pose
$$
M'=M+UM+\dots+U^{h-1} M
$$
Le point crucial de la d�monstration consiste {\`a} d�montrer que 
$M'$ est stable par $U$.
Une fois cela d�montr� 
 on peut donc d�composer  $M'$ en partie
bijective et topologiquement  nilpotente pour l'action de $U$ :
 $$M'=M'_{bij}\oplus M'_{nil}$$
Rappliquant le m{\^e}me proc�d� {\`a} $M'_{nil}$ pour
$U=p^{-{r_2}}V^{s_2}$ on obtient ainsi par r�currence la filtration
souhait�e. 

De plus, {\`a} la premi�re �tape $M\subset M'\subset p^{-r_1 (h-1)}
\subset p^{-h(h-1)} M$ car $r_1\leq s_1 \leq h$. R�p�tant ce type
d'in�galit� {\`a} chaque �tape, le nombre de pentes �tant inf�rieur {\`a} $h$,
l'existence du $c$ s'en d�duit.
\end{proof}


\begin{enonce}{Fait}\label{Fait_divisible}
Si le corps $K$ est alg�briquement clos
et si les pentes $\l_i$ sont fix�es, 
 tous les groupes $Y$ intervenant dans
l'�nonc� du lemme pr�c�dent 
sont isomorphes. Si $\l_1,\dots,\l_r$ d�signent les pentes du cristal 
$(M,V)$ associ� et $(m_i)_{1\leq i \leq r}$ les multiplicit�s associ�es  
$$M \simeq \oplus_{i=1}^r \left (\oplus_{1}^{m_i} M^{\l_i}\right )$$
o� si $\l=\frac{r}{s}, r\wedge s=1$ 
$$
M^\l=W(K)[F,V]/(V^s-p^r,FV-p)
$$
\end{enonce}

Revenons � la d�monstration du th�or�me. 
Expliquons comment d�montrer le th�or�me dans le cas $(AL)$ lorsque
$F=\Qp$, c'est � dire lorsqu'il n'y a pas de structure additionnelle.

 Appliquons le lemme de Zink � $\XX$. Soit donc $Y_0/\bar{k}$
un groupe p-divisible tel qu'il est donn� par le lemme de Zink avec
une isog�nie : $f_0:\XX\ldrt Y_0$. Soit $\widetilde{\mathcal{O}}$
la $J_b$-orbite de $(Y_0,f_0)$ dans $\M (\bar{k})$. 

 Soit maintenant $(X,\rho)\in \M(\bar{k})$. Appliquons le lemme de Zink
� $X$: soit $Y/\bar{k}$ et $f:X\ldrt Y$ l'isog�nie de degr� inf�rieur
� $c$ (o� $c$ ne d�pend pas de $X$ mais seulement de $\XX$ puisqu'il
ne d�pend que de la hauteur du groupe p-divisible). Consid�rons le point $(Y,f\circ \rho)\in \M (\bar{k})$. Il est clair que
ce point est � distance inf�rieure � $c$ de $(X,\rho)$. De plus, 
d'apr�s le lemme \ref{OrbJb} et \ref{Fait_divisible}, 
$(Y,f\circ \rho)\in \widetilde{\O}$. 

 On en d�duit donc le th�or�me lorsqu'il
n'y a pas de structures additionnelles.
%Une variante imm�diate dans la
%d�monstration du lemme  pr�c�dent consistant {\`a} remplacer cristaux
%par $\O_F$-cristaux permet �galement de d�montrer le th�or�me dans le cas
%(AL) lorsque $\mu$ est d�fini sur $\Qp$. 
\\

D�montrons maintenant le cas (AL) en g�n�ral, c'est � dire lorsque
l'on ajoute l'action de $\O_F$. Pour cela d�montrons des variantes de
\ref{leZi} et \ref{Fait_divisible}. 

\begin{lemm}\label{leZi2}
   Soit $K$ un corps parfait de caract�ristique $p$ et $X/K$
   un groupe p-divisible   muni d'une action de $\O_F$
de pentes $\l_1>\dots>\l_r$. 
 Il existe
  une constante $c$ ne d�pendant que de la hauteur de $X$,  un groupe
  p-divisible $Y/K$ muni d'une action de $\O_F$, et d'une isog�nie
  $\O_F$ �quivariante avec $X$ de degr� plus petit
que $c$, tel que $Y$ v�rifie la propri�t� suivante : $Y$ est 
muni d'une $\O_F$-filtration par des sous groupes p-divisibles munis d'une
   action de $\O_F$ 
$$
(0)=Y_0\subset Y_1 \subset \dots\subset Y_r=Y
$$
telle que pour tout $i$,
$Y_i$ soit divisible par rapport � la pente $\l_i$ et
$ Y_i/Y_{i-1}$ soit de pente $\l_i$. 
De plus, une telle filtration se scinde.  
\end{lemm}
\begin{proof}
  Soit $(M,V)$ le cristal de $X$ muni de son action de $\O_F$, c'est
  � dire d'un morphisme $\O_F\ldrt\End ( M,V)$. Reprenons le rappel de
  la d�monstration du lemme \ref{leZi}. L'op�rateur $U$ qui y est
  d�fini commute � l'action de $\O_F$, puisque $V$ commute � l'action
  de $\O_F$. Le cristal $M'$ est donc stable par l'action de
  $\O_F$. La d�composition de $M'$ en parties bijectives et
  topologiquement nilpotente sous l'action de $U$ est donc stable par l'action de
  $\O_F$.
Le reste de la d�monstration est identique. 
\end{proof}

\begin{lemm}
  Soient $Y_1, Y_2$ deux groupes p-divisibles sur un corps
  alg�briquement clos $K$ munis d'une action de
  $\O_F$, isog�nes comme groupes munis d'une action de $\O_F$, et du
  type de ceux fournis par le lemme pr�c�dent. Alors, $Y_1\simeq Y_2$
  comme groupes p-divisibles munis d'une action de $\O_F$. 
\end{lemm}
\begin{proof}
  D'apr�s \ref{Fait_divisible}, la cat�gorie $\Zp$-lin�aire $\mathcal{C}$ des groupes p-divisibles
  sur  $K$ de pente $\l$ divisibles par rapport � $\l$ est
  semi-simple,  d'objet simple ayant pour cristal le cristal
  $M^\l$. L'alg�bre $\End ( M^\l)$ est isomorphe � $\O_{D_\l}$, l'ordre
  maximal dans une alg�bre � division d'invariant $\l$ sur $\Qp$. La
  cat�gorie  des objets de $\mathcal{C}$ munis d'une action de $\O_F$
  est donc �quivalente � celle des $\O_{D_\l}\otimes \O_F$-modules de
  type fini sans torsion (on pourra consulter le chapitre II de
  \citeg{Weil} pour 
  la th�orie des $\O_{D_\l}$ modules de type fini qui est analogue �
  celle des modules de type fini sur un anneau de valuation
  discr�te). L'alg�bre $\O_{D_\l}\otimes \O_{F}$ est isomorphe � $M_d
  (\O_{D'_{\l'}})$ pour un entier $d$ et un nombre rationnel $\l'$, o�
  $D'_{\l'}$ d�signe une alg�bre � division d'invariant $\l'$ sur $F$, et
  $\O_{D'_{\l'}}$ son ordre maximal. Par �quivalence de Morita la
  cat�gorie des  $\O_{D_\l}\otimes \O_{F}$-modules est �quivalente �
  celle des $\O_{D'_{\l'}}$-modules. Or, deux $\O_{D'_{\l'}}$-modules
  de type fini sans torsion $M_1,M_2$ v�rifiant $M_1\otimes \Qp\simeq
  M_2 \otimes \Qp$ comme $D'_{\l'}$-modules sont isomorphes puisqu'ils
  ont m�me rang. D'o� le r�sultat lorsque $Y_1$ et$Y_2$ ont une seule
  pente. Le cas g�n�ral s'en d�duit puisque la d�composition de
  \ref{Fait_divisible} en somme de groupes p-divisibles isoclins  est stable par l'action de
  $\O_F$.   
\end{proof}

En utilisant ces deux lemmes,
la d�monstration du cas (AL) est analogue au cas d�j� d�montr� lorsque
$F=\Qp$ : il suffit de remplacer groupe p-divisible par groupe
p-divisible muni d'une action de $\O_F$. 
\\

Passons maintenant au cas (AU). 
Commen�ons avant par une d�finition 
\begin{defi}\label{def_quasi}
  Soit $S$ un sch�ma et $X$ un groupe p-divisible sur $S$. Soit $N$
  un entier. On appelle polarisation $p^N$-quasi-principale
une polarisation  $\l:X\ldrt \check{X}$ telle que $p^{N} \l^{-1}$ soit
  une isog�nie.  
\end{defi}
Une polarisation $p^0$-quasi-principale est donc une polarisation
principale. 

\begin{defi}
  Soit $N$ un entier. On d�finit le sch�ma formel $\M_{(p^N)}$ sur
  $\spf (\O_{\Eb})$ comme
  �tant l'espace de modules des groupes p-divisibles $X$ sur un sch�ma
  sur lequel $p$ est localement nilpotent, munis d'une action
  de $\O_F$, d'une polarisation $p^N$-quasi-principale $\l$, et d'une
  rigidification $\rho:\XX\ldrt X$ qui est une quasi-isog�nie
  compatible � l'action de $\O_F$ et qui transforme $\l$ en un multiple
  rationnel de la polarisation sur $\XX$. On ne suppose pas la
  condition de Kottwitz v�rifi�e. 
\end{defi}
Il est implicite dans cette d�finition que $\M_{(p^N)}$ est
repr�sentable, ce qui se d�duit du th�or�me 2.16 de \cite{RZ} comme
dans le th�or�me 3.25 de \cite{RZ}. Cependant, nous n'utiliserons que
l'ensemble $\M_{(p^N)} (\bar{k})$. Le sch�ma formel $\M_{(p^N)}$ est muni d'une action de
$J_b$ d�finie de fa�on analogue � celle sur $\M$. Il y a une immersion
$J_b$-�quivariante 
$\M=\M_{(p^0)}\hookrightarrow \M_{(p^N)}$.  

Nous allons d�montrer l'existence d'un entier $N$ et d'un  nombre fini
de $J_b$-orbites
$\widetilde{\O}_1,\dots,\widetilde{\O}_r$ dans $\M_{(p^N)} (\bar{k})$
v�rifiant: il existe une constante $c$ telle que tout �l�ment de $\M(
\bar{k})$ est � distance inf�rieure � $c$ d'une des orbite
$\widetilde{\O}_1,\dots,\widetilde{\O}_r$. Cela d�montrera le th�or�me
dans le cas $(AU)$. 

Commen�ons par une nouvelle variante du lemme \ref{leZi} : 
\begin{lemm}
  Dans l'�nonc� du lemme \ref{leZi2}, supposons de plus $X$ muni d'une
  polarisation principale $\l$ compatible � l'action de $\O_F$ au sens
  o� l'involution de Rosati induit  l'involution $*$ sur $\O_F$. Il
  existe alors un entier $N$ ne d�pendant que de la hauteur de $X$ tel
  que le groupe p-divisible $Y$ soit muni d'une polarisation
  $p^N$-quasi-principale $\l'$ compatible � l'action de $\O_F$ et �
  l'isog�nie entre $X$ et $Y$. 
\end{lemm}
\begin{proof}
Soient $M_1$ le cristal de $X$ et $M_2$ le cristal de $Y$. Soit une
isog�nie 
$f:Y\ldrt X$ de degr� inf�rieur � $c$. Elle 
 induit une inclusion $M_2\ldrt M_1$. Le cristal $M_1$ est muni d'une
 polarisation 
$<.,.>:M_1\times M_1 \ldrt \Zp (1)$ o� $\Zp(1)$ est le cristal
$(W(K),V)$ avec $V$ le Verschiebung sur les vecteurs de Witt. Le
produit symplectique $<.,.>$ est parfait au niveau des $W(K)$-modules
sous-jacents aux cristaux. Si $\La$ est un $W(K)$-r�seau dans le
$W(K)_\Q$ espace vectoriel associ� � $M_1$, nous noterons $\La^\vee$
le r�seau dual par rapport � $<.,.>$. La restriction du produit $<.,.>$ �
$M_2$ donne une polarisation $\l'$ de $Y$ telle que le diagramme
suivant commute
\begin{diagram}[size=1cm]
  X & \rTo^f  &Y \\
\dTo_\l & & \dTo^{\l'} \\
\check{X} & \lTo^{\check{f}} & \check{Y}
\end{diagram}
�tant donn� que le degr� de $f$ est born� par $c$, c'est � dire $[M_1
:M_2] \leq c$, il existe un entier $N$ ne d�pendant que de $c$ et de
la hauteur de $X$ (et donc que de la hauteur de $X$) tel que
$p^N M_1\subset M_2\subset M_1$. Cela implique que 
$$
M_2^\vee\subset p^{-N} M_1^\vee =p^{-N} M_1\subset p^{-2N} M_2 
$$
Et donc, $p^{2N} {\l'}^{-1}$ est une isog�nie. 
\end{proof}

Passons maintenant � un analogue faible de \ref{Fait_divisible} :
\begin{lemm}
  Supposons $K$ alg�briquement clos. Soit $N$ un entier.
  Il n'y a qu'un nombre fini de classes d'isomophismes de groupes
  p-divisibles $Y$ sur $K$ munis d'une action de $\O_F$, d'une polarisation
  $p^N$-quasi-principale compatible � l'action de $\O_F$,  poss�dant une
  $\O_F$-filtration comme dans le lemme pr�c�dent et  isog�nes avec
  leurs structures additionnelles � un m�me $X$ fix�. 
\end{lemm}
\begin{proof}
  Soient $\l_1,\dots,\l_r$ les pentes de $X$ (qui sont sym�triques par
  rapport � $1/2$). Soit l'anneau $R=\prod_{i}
  \O_{D_{\l_i}}$. Cet anneau est Morita-�quivalent � $\End (X)$. Il y
  a un isomorphisme $\End (\check{X})\simeq \End (X)^{opp}$ et la
  polarisation principale $\l$ induit donc une involution sur $\End
  (X)$. Celle-ci induit une involution sur $R$ permutant les facteurs
  $\O_{D_{\l}}$ et $\O_{D_{1-\l}}$. Soit $A$ l'anneau $R\otimes_{\Zp}
  \O_F$ muni de l'involution $\#$ d�duite de celle sur $R$ par
  tensorisation avec celle sur $\O_F$. Consid�rons la cat�gorie
 $\Zp$-lin�aire $\mathcal{C}$ des groupes p-divisibles $Y$ sur $K$, de pentes
  incluses dans l'ensemble $\{\l_1,\dots,\l_r\}$, munis d'une
  action de $\O_F$ et poss�dant une $\O_F$ filtration comme dans
  le lemme \ref{leZi}. Cette cat�gorie est semi-simple, �quivalente �
  la cat�gorie des $A$-modules � gauche de type fini sans torsion. 
 Si $Y$ est comme dans l'�nonc�, le $A$ module associ� est muni d'une
  application symplectique $\#$-hermitienne associ�e � sa polarisation
$$
<.,.>: M\times M \ldrt \Zp
$$
La condition d'�tre $p^N$-quasi-principale signifie que 
$$
M\subset M^\vee\subset p^{-N} M^\vee \subset M\otimes \Qp
$$
Le r�sultat est donc une cons�quence du lemme qui suit. 
\end{proof}

\begin{lemm}\label{finit}
  Soit $A$ une $\Zp$-alg�bre qui est un $\Zp$-module libre de rang
  fini, $*$ une involution de $A$, et $B$ l'anneau $A_{\Qp}$ muni de $*\otimes 1$. 
 Soit $\mathcal{R}$ une classe d'isomorphismes de $A$-modules qui sont
  des $\Zp$ modules libres de type fini. Si $M\in \mathcal{R}$, et
  $<.,.>:M\times M \ldrt \Zp$ est un produit symplectique
  hermitien relativement � $\#$, parfait sur le $\Qp$-espace vectoriel $M_{\Qp}$,  
 nous noterons $M^\vee \subset
  M_{\Qp}$ le r�seau dual.  Soit $N\in \N$. Il existe un nombre fini de
  classes d'isomorphismes de tels $A$-modules  symplectiques
  hermitiens 
  $(M,<.,.>)$ tels que la classe d'isomorphisme de $M$ soit 
  $\mathcal{R}$ et $M\subset M^\vee\subset p^{-N} M$.
\end{lemm}

\begin{proof}
Soit $n$ un entier v�rifiant $n\geq 4N+2$. 
Soit $M$ un $A$-module dont la classe d'isomorphisme est 
$\mathcal{R}$. Il existe un
nombre fini de structures de $A/p^{n} A$-module symplectique hermitien 
sur
$M/p^{n}M$. Montrons que si $<.,.>_1$ et $<.,.>_2$ sont deux
structures  symplectiques hermitiennes  sur $M$ v�rifiant 
$$
\forall x,y\in M\;\;\; <x,y>_1\equiv <x,y>_2\; [p^n]
$$
alors il existe un isomorphisme $(M,<.,.>_1)\simeq (M,<.,.>_2)$, ce qui
conclura. 

Soient donc deux tels produits $<.,.>_1$ et $<.,.>_2$. 
Nous devons montrer l'existence d'un $g\in \Gl_A (M)$ tel que 
$$
\forall x,y\in M\;\;\; <gx,gy>_2 = <gx,gy>_1  
$$
sachant que, relativement � $<.,.>_1$ et $<.,.>_2$, $M^\vee \subset
p^{-N} M$. 

Il existe $u\in \End_{A_{\Qp}} ( M_{\Qp})$ v�rifiant
$$
\forall x,y\in M_{\Qp} \;\; <x,y>_2=<u(x),y>_1
$$
Notons $*$ l'adjonction par rapport � $<.,.>_1$ sur  $\End_{A_{\Qp}} (
M_{\Qp})$. D�sormais tous les r�seaux duaux seront pris par rapport �
$<.,.>_1$. 

On a l'�galit� $u^*=u$ et 
\begin{eqnarray*}
  \forall x,y\in M & \;\; & <u(x),y>\equiv <x,y> \; [p^n] \\
 & \limpl &  (u-Id)(M) \subset p^n M^\vee \subset p^{n-N} M 
\end{eqnarray*}
Cherchons un $\a\in\End_A(M)$ tel que 
$$
\forall x,y\in M\;\; <(Id+p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}\a)(x),(Id+p^{\left [ \frac{n}{2} \right
]+1}\a)(y)>_2 \equiv
<x,y>_1 \;[p^{n+1}] 
$$
Un petit calcul montre que 
si $\a$ est solution de
 $$\a^*+\a=\frac{u-Id}{p^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}}$$
et v�rifie $\a^*(M)\subset M$, 
 $\a$ conviendra. Or, 
\begin{eqnarray*}
  (u-Id)(\La_i)\subset p^{n-N} M &\impl & 
\left (\frac{u-Id}{p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}}
\right )(M) \subset p^{n-{
\left [\frac{n}{2}\right ]-1-N}} M \subset p^{\frac{n}{2}-1-N} M \\
& \impl & \left ( \frac{u-Id}{p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}
} \right )^* (M) \subset p^{\frac{n}{2}-1-2N} M 
\end{eqnarray*}
la derni�re inclusion r�sultant
de
$$
\forall v\in\End_A(M)\;\; v^*(M)\subset p^{-N} M
$$ 
car $\forall x\in M\; v^*(x)\in M^\vee \subset p^{-N} M$ (l'appliquer � $\dpt{v=p^{-\left [
     \frac{n}{2} \right ]+1+N}  \left (\frac{u-Id}{p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}}
\right )} $). 

Donc, comme $n\geq 4N+3$, $\dpt{\left [\frac{n}{2}\right ]-1-2N \geq 1}$ ce qui
  implique (le $1$ �tant l� pour le cas $p=2$) que  
$$
\a=\frac{1}{2} \left [ \left (\frac{u-Id}{p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}
} \right )+ 
\left (\frac{u-Id}{p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1}
} \right )^*\right ]\in \End_A(M)
$$
convient. De plus, $Id+p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1} \a \in \Gl_A(M)$.

Quitte {\`a} modifier $<.,.>_2$ par cet automorphisme on peut maintenant
supposer que $<x,y>_1\equiv <x,y>_2 \; [p^{n+1}]$ et rappliquer la
m�thode de r�solution par r�currence pour obtenir une suite d'�l�ments
de $\Gl_B(V)$ convergeant vers un $g$ tel que $<g\bullet,g\bullet>_2=<\bullet,\bullet>_1$
(�tant donn� que le $g$ construit pr�c�demment appartient � $Id+ p^{
\left [\frac{n}{2}\right ]+1} \End_A(M)$, la convergence est
assur�e). 
\end{proof}

Appliquons maintenant le lemme \ref{OrbJb} (encore valable pour
$\M_{(p^N)}$). On obtient donc l'existence d'un nombre fini de $J_b$-orbites
dans $\M_{(p^N)}(\bar{k})$ tel que tout point soit � distance inf�rieure � $c$
d'une telle orbite. 
\\

Le cas (C) se traite de la fa{\c c}on analogue au cas pr�c�dent 
en utilisant le lemme \ref{finit}.
\end{proof}

\section{Espaces de Rapoport-Zink rigides}
\label{Esp_Rap_rig}
Nous noterons dans cette section $\M$ un espace de Rapoport-Zink
associ� {\`a} une donn�e globale non ramifi�e $\mathcal{D}$ ou bien un
espace de Rapoport-Zink associ� {\`a} une donn�e locale non ramifi�e simple.
Si $\M$ est associ� {\`a} une donn�e globale $\mathcal{D}$ nous noterons  $V$
pour $V\otimes \Qp$, $B$ pour $B\otimes \Qp$ et $\O_B$ pour
$\O_B\otimes \Zp$.
Si $\M$ est associ� � une donn�e locale nous noterons $\O_B$ pour
$\O_F$. 
 On fixe un r�seau autodual $\La_0$ dans $V$. 
$E\subset \Qpb$ d�signera soit $E_\nu$ dans le cas d'un espace associ�
{\`a} une donn�e globale, soit le corps r�flex de la donn� locale dans le
cas d'un espace associ� {\`a} une donn�e locale.

\begin{defi}
 $\M^{an}$ d�signe la fibre g�n�rique de $\M$ sur $\Eb$
au sens des espaces 
analytiques de Berkovich.

On notera $\M^{rig}$ la fibre g�n�rique de $\M$ au sens des espaces
adiques (\cite{Hu1} et l'annexe \ref{an_ad}). 
\end{defi}

\subsection{Torseur des p�riodes}

Si $K|\Eb$ est une extension 
 de degr� fini, {\`a} $x\in \M^{an}(K)=\M(\O_K)$ est associ� un
groupe p-divisible $X=X^{univ}_x$ sur $\O_K$ d'isocristal filtr� 
$$
(V_L,b\s,\breve{\pi}_1(x))
$$
o� $\breve{\pi}_1:\M^{an}\drt \breve{\F}^{ad}$ est la premi�re
composante du morphisme des  p�riodes (\citeg{RZ})

Le module de Tate rationnel de $X$, $V_p(X)$ est une repr�sentation
cristalline de $G_K=\Gal(\overline{K}|K)$ munie d 'une action de $B$
et d'un produit symplectique $B$-hermitien 
$$
V_p(X)\times V_p(X)\xrig{\;\; (.,.)\;\; } \Qp(1)
$$
dans lequel $T_p(X)$ est un r�seau autodual.

On a alors :
$$
V_p(X)\simeq (Fil^0\Hom(V_L,B_{cris}))^{\ph}
$$
o� $V_L$ est filtr� par $\breve{\pi}_1(x)$ et $B_{cris}$ de
fa{\c c}on usuelle, et
$$
V_L=\Hom_{G_K}(V_p(X),B_{cris})
$$
sur lequel $b\s$ provient du Frobenius cristallin 
$\ph$ sur $B_{cris}$ 
 et $\breve{\pi}_1(x)$ de la filtration de $B_{cris}$ (conf�re
\citeg{Bcris}). 

On s'int�resse alors {\`a} la variation du torseur des p�riodes le long de
$\M^{an}$ :
$$
\M^{an}(\overline{\Eb})\ni x \longmapsto
\text{Isom}_{\text{B-mod.symp.}}
(V_p(X^{univ}_x),V)
$$
qui est un $G$-torseur non vide gr{\^a}ce {\`a} la rigidification $\rho$.

D'apr�s \citeg{RZ} dans le cas qui nous int�resse ($G^{der}$ est
simplement connexe ) et plus g�n�ralement gr{\^a}ce {\`a} \citeg{Wint1} et aux
travaux de Colmez et Fontaine, 
\begin{theo}
  Le torseur des p�riodes est constant, trivial sur $\M(\overline{\Eb})$.
\end{theo}

\begin{rema}
 Dans le cas non ramifi� auquel nous nous int�ressons
on peut d�montrer cela de fa{\c c}on encore plus directe de la fa{\c c}on
suivante : $V_p(X)$ et $V$ sont isomorphes comme $B$-modules et
contiennent tous deux un r�seau autodual $T_p(X)$ et $\La_0$. Donc
d'apr�s le lemme 7.2 de 
\citeg{Ko3} ils sont isomorphes comme modules symplectiques.
\end{rema}

\begin{rema}
Plus pr�cis�ment on a le r�sultat suivant : si
$\mu:{\Gm}_{/\overline{\Qp}}\ldrt G_{/\overline{\Qp}}$ et $b\in B(G)$
sont tels que $(\mu,b)$ soit faiblement admissible, la classe de
cohomologie de ce $G$-torseur est 
$$
\kappa(b)-\mu_1\in H^1(\Qp,G)\simeq
\pi_0(Z(\widehat{G})^\Gamma)^D\subset X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)
$$
o� $\kappa:B(G)\drt  X^*(Z(\widehat{G})^\Gamma)$ et
$\mu_1=\widehat{\mu}_{|Z(\widehat{G})^\Gamma}$.

En particulier, si $b\in B(G,\mu)$ (c'est {\`a} dire  $(\mu,b)$ est faiblement
 admissible en
un sens plus fort qui tient compte des structures additionnelles), 
$\kappa(b)=\mu_1$ et la classe du $G$-torseur est triviale.
\end{rema}

\subsection{Structures de niveau}

Au groupe p-divisible universel $X^{univ}/\M$ est associ� un groupe
p-divisible rigide 
$$
(X^{univ})^{an}=\limi X^{univ}[n]^{an}
$$
o� $X^{univ}[n]^{an}/\M^{an}$ est �tale fini de degr� $p^{n ht(\XX)}$. 

$T_p(X^{univ}):=(X[n]^{an})_{n\in \N}$ est donc un $\Zp$ faisceau
analytique �tale localement constant sur des rev{\^e}tements �tales finis,
muni d'une action de $\O_B$ et d'une polarisation 
$$
T_p(X^{univ})\times T_p(X^{univ})\ldrt \Zp(1)
$$
o� $\Zp(1)$
 est le $\Zp$ faisceau analytique $(\mu_{p^n})_{n\in \N}$. Cet
 accouplement de faisceaux est parfait au sens o� il induit un
 isomorphisme 
$$
T_p(X^{univ})^\vee \iso T_p(X^{univ})(-1)
$$
D'apr�s la trivialit� du torseur des p�riodes $\forall
x\in\M^{an}(\overline{\Eb})$ il existe un isomorphisme de $\O_B$-modules
symplectiques 
$$
\La_0\iso T_p(X^{univ}_x)
$$
Si $K\subset C_0$ est un sous-groupe compact ouvert, on peut donc
parler de  structure de niveau $K$ sur $T_p(X^{univ})$ au sens suivant
:
\begin{defi}
  Fixons un $x\in\M(\overline{\Eb})$ dans chaque composante connexe de
  $\M^{an}$. Une structure de niveau $K$ sur $T_p(X^{univ})$ est un
  isomorphisme $\forall x$ de $\O_B$-modules symplectiques 
$$
\eta:\La_0\iso T_p(X^{univ}_x)
$$
tel que via $\eta$ l'action de $\pi_1^{an}(\M^{an},x)$ se fasse {\`a}
travers $K$ agissant sur $\La_0$. Un $\eta$ �tant consid�r� modulo
composition par un �l�ment de $K$. On notera $\bar{\eta}$ sa classe.
\end{defi}

Bien s{\^u}r cette d�finition ne d�pend pas du choix des
$x\in\M(\overline{\Eb})$.

Une d�finition �quivalente est la suivante :

La classe d'isomorphisme de $T_p(X^{univ})$ comme $C_0$ torseur est
donn� par un �l�ment de 
$$\check{H}^1(\M^{an},C_0) := \limp \check{H}^1
(\M^{an},C_0\otimes \Z/p^n\Z)$$ 
Dire qu'un syst�me local est trivial
�quivaut {\`a} dire que cette classe est un cobord. De la m{\^e}me fa{\c c}on, une
trivialisation modulo $K$ d'un �l�ment de
$$\check{Z}^1(\M^{an},C_0)=\limp \check{Z}^1(\M^{an},C_0\otimes
\Z/p^n\Z)$$ 
est un �l�ment  $g\in \check{C}^0 (\M^{an},C_0)$ modulo
$\check{C}^0(\M^{an},K)$ tel que $$c=\text{cobord}(
g) \text{ modulo } K$$

Dit d'une autre fa{\c c}on, $\eta :\La_0\iso T_p(X^{univ}) [K]$ est donn�
par une famille compatible 
$$
\eta_n:\La_0/p^n\La_0 \iso X[n]^{an} \; [K]
$$
o� $\forall n \;\; \exists \{U_i\}_i$ un recouvrement �tale de
$\M^{an}$ et des isomorphismes 
$$
(\eta_n)_i:\La_0/p^n\La_0 \iso  X[n]^{an}_{|U_i}
$$
tels que sur $U_i\cap U_j$, 
$$
(\eta_n)_{i|U_i\cap U_j} \circ (\eta_n)_{|U_i\cap U_j}^{-1}\in
K(U_i\cap U_j)=K^{\pi_0 (U_i\cap U_j)}
$$

$\La_0$ �tant fix�, pour $K\subset C_0$ compact ouvert on d�finit une
tour $(\M_K)_K$ d'espaces analytiques sur $\Eb$ 
munis de morphismes de transition �tales finis pour $K\subset K'$
$$
\Pi_{K,K'}:\M_{K'}\ldrt \M_K
$$
d'oubli de la structure de niveau. $\Pi_{K,K'}$ est
galoisien de groupe $K/K'$ si $K'\lhd K$.

\begin{defi}[\citeg{RZ}]
  $\M_K$ classifie les structures de niveau $K$ sur $T_p(X^{univ})$.
\end{defi}

Nous noterons $\M_K^{rig}$ les espaces adiques correspondants.

\subsection{Action se $G(\Qp)$ sur les structures de niveau}

La tour $(\M_{K})_{K\subset G(\Qp)}$ est munie d'une action de $G(\Qp)$ 
d�crite rapidement dans \citeg{RZ}. Donnons en une description
d�taill�e.  

Si $K\subset C_0$ et  $g\in G(\Qp)$ sont tels que $g^{-1}Kg\subset
C_0$ il y a un
isomorphisme 
$$
g:\M_K\iso\M_{g^{-1}Kg}
$$
d�fini ainsi : si $Y$ est un espace rigide quasicompact sur $\Eb$, un
�l�ment de $\M_K^{rig}(Y)$ est donn� par un $(X,\rho)\in \M(S)$ et un
$\bar{\eta}$ tel que $(X,\rho,\bar{\eta})\in \M^{rig}_K(S^{rig})$ o�
$S/\spf(\O_{\Eb})$ est un sch�ma formel admissible de fibre g�n�rique
$Y$ et 
$$
\eta:\La_0\iso T_p(X^{rig})\;[K]
$$
�tant donn� que $g^{-1}Kg\subset C_0$, le r�seau $g.\La_0$ est stable
par l'action de $K$ et donc $\eta (g.\La_0)$ est stable  par l'action
du $\pi_1$ de $Y$ sur $T_p(X^{rig})$. Il 
d�finit donc un groupe p-divisible rigide $X'$ muni d'une
quasi-isog�nie $X\xrig{f} X'$ telle que via la compos�e 
$$ \ph:
\La_0\otimes \Qp \xrig{\;\simeq\;\eta\otimes 1\; } V_p(X) \xrig{\simeq
  \; f_*} V_p(X')
$$
on ait $\ph^{-1}(T_p(X'))=g.\La_0$. 

$X'$ est de la forme $X^{rig}/U$ o� $U$ est un groupe rigide plat fini
sur $S$ 
et $f$ est de la forme $p^nq$ o� $q:X\twoheadrightarrow X/U$ et
$n\in\Z$. D'apr�s la version relative de la th�orie de Raynaud, apr�s
un �clatement formel admissible $\widetilde{S}\drt S$, $U$ se prolonge
en un groupe plat fini $\widetilde{U}/\widetilde{S}$. Posons 
$$
\widetilde{X}'=(X\times_S \widetilde{S})/\widetilde{U}
$$
et $\widetilde{f}:X\times_S \widetilde{S} \ldrt \widetilde{X}'$ la
  quasi-isog�nie $p^n \widetilde{q}$, o�
  $\widetilde{q}:X\times_S \widetilde{S}
\twoheadrightarrow X\times\widetilde{S}/\widetilde{U}$, qui prolonge $f$
sur $\widetilde{S}$. Munissons $\widetilde{X}'$ de la rigidification 
$$
\widetilde{\rho}:\XX\times_k \overline{\widetilde{S}} \xrig{\;
  \rho\times 1} X_{\widetilde{S}}\times \overline{\widetilde{S}} 
\xrig{f\times 1} \widetilde{X}'\times \overline{\widetilde{S}}
$$
ce qui nous donne un $(\widetilde{X},\widetilde{\rho})\in
  \M(\widetilde{S})$. Quant {\`a} la structure de niveau
  $\widetilde{\eta}$ sur $T_p(\widetilde{X})$, 
$$
\widetilde{\eta}=\eta\circ g
$$
au sens o� le diagramme suivant commute :
\begin{diagram}
g.\La_0 && \rTo^{\eta\otimes 1}& & V_p(X) \\
\uTo^{g} &&& & \dTo \\
\La_0 & \rTo^{ \widetilde{\eta}} & T_p( \widetilde{X}') & \rInto & 
V_p(\widetilde{X}') \\
\end{diagram}
La fibre g�n�rique de $\widetilde{S}$ est $Y$ et alors 
$(\widetilde{W},\widetilde{\rho},\bar{\widetilde{\eta}})\in \M_{g^{-1}K g} (
Y)$ que l'on pose comme �tant �gal {\`a} $g.(X,\rho,\bar{\eta})$.
\\

\begin{rema}
Rappelons  que si $x\in \M^{an}(M)$ pour $M|\Eb$ une extension
 de degr�
fini, il n'est pas n�cessaire d'effectuer un �clatement formel
admissible pour prolonger notre groupe p-divisible sur $\O_M$ ce qui
simplifie la d�finition de l'action de $G(\Qp)$ sur les points 
$\M_K(\overline{\Eb})$. 
\end{rema}

Rappelons �galement que $\forall K\; \M_K$ est muni de l'action de $J_b$
prolongeant celle de $\M^{an}$,
commutant {\`a} celle de $G(\Qp)$ et compatible aux morphismes de
transition.

\begin{exem}
Avec les notations du premier premier chapitre, si $J\neq \emptyset$, si
$$
K=\prod_{i\in I} K_i \times \prod_{j\in J} K_j
$$
$$
\M_K (b,\mu)=\prod_{i\in I} \M_{K_i} (b_i,\mu_i) \times \left (
\prod_{j\in J} \M_{K_j}(b_j,\mu_j) \right )^1
$$
et l'action de $G(\Qp)$ se fait composante par composante.

Si $J=\emptyset$ et si 
$$
K=\prod_{i\in I} K_i \times K_t
$$
o� $K_t$ est un sous-groupe compact ouvert de $\Zp\*$, 
$$
\M_K (b,\mu)=\prod_{in\in I} \M_{K_i} (b_i,\mu_i) \times \Qp\*/ K_t
$$
o� $\Qp\*/K_t$ est l'espace de modules des structures de niveau $K_t$
sur le module de Tate $\Z_p (1)$. 
\end{exem}

\begin{exem}\label{exemtta}
Avec les notations de l'exemple pr�c�dent et en se pla{\c c}ant dans le
cadre de l'exemple 
\ref{exemAetale} (cas �tale) : 
$$
\M_{K_i}(b_i,\mu_i)= G(\Qp)/K_i 
$$
De plus, $J_{b_i}=G(\Qp)$ qui agit {\`a} gauche sur cet
ensemble  et $G(\Qp)$ agit {\`a} droite via les correspondances
de Hecke ensemblistes classiques. 
\end{exem}

\subsection{Quelques propri�t�s des espaces de Rapoport-Zink rigides}

\begin{lemm}\label{Sep} Le sch�ma formel 
$\M$ est  s�par� sur $\spf (\O_{\Eb})$. 
\end{lemm}
\begin{proof}
Il s'agit de montrer que le sous-sch�ma formel localement ferm� 
\begin{diagram}
\M & \rInto^{\Delta\;\;} & \M\times \M
\end{diagram}
est une immersion ferm�e. Soit $(X^{univ},\rho^{univ})$ le
groupe $p$-divisible universel muni de sa rigidification
$\rho^{univ}$. Consid�rons les deux projections 
\begin{diagram}
\M\times \M & \pile{\rTo^{\; \; p_1} \\ \rTo _{\;\; p_2}} & \M
\end{diagram}
L'immersion 
$\Delta$ est alors d�fini comme �tant le lieu d�fini par 
$$
p_1^* (X^{univ},\rho^{univ})\simeq p_2^* (X^{univ},\rho^{univ})
$$
ce qui est �quivalent {\`a} dire que la quasi-isog�nie 
$$ \a=
p_1^* \rho^{univ} \circ (p_2^* \rho^{univ})^{-1} : 
 p_2^* X^{univ} \ldrt  p_1^* X^{univ} 
$$
est un isomorphisme ou encore que $\a$ ainsi que $\a^{-1}$ sont des
isog�nies. D'apr�s la proposition 2.9 de \citeg{RZ} il s'agit d'une
condition ferm�e. 
\end{proof}

Pour comprendre l'�nonc� qui suit il est conseill� de lire l'appendice
\ref{an_ad}. 

\begin{lemm}\label{PartProp}
Pour tout $K$, l'espace analytique $\M_K$ est lisse de bord vide. Le
morphisme des pentes  
$\breve{\pi}_1:\M^{an}\ldrt \breve{\F}^{ad}$ est �tale.  

Traduit dans le langage des espaces adiques : l'espace adique
$\M_K^{rig}$ est lisse 
et partiellement propre et le morphisme  $\breve{\pi}_1$ est partiellement propre.
\end{lemm}
\begin{proof}
Montrons les assertions sur les espaces adiques qui sont �quivalentes
{\`a} celles sur les espaces analytiques.
 
D'apr�s le lemme pr�c�dent, $\M^{rig}$ est s�par�. Pour voir
qu'il est partiellement propre il suffit donc de constater que les
composantes irr�ductibles de sa fibre sp�ciale $\Mb$ sont propres. 

Les morphismes $\Pi_{K,C_0}: \M_K^{rig} \drt \M^{rig}$ �tant finis il en est donc
de m{\^e}me pour les $\M_K^{rig}$.

On sait d�j{\`a} que le morphisme des pentes est �tale au sens des espaces
adiques (proposition 5.17 de \citeg{RZ}). Les espaces adiques $\breve{\F}^{ad}$ et
$\M^{rig}$ 
�tant partiellement propres, le mrophisme $\breve{\pi}_1$ est partiellement propre. 
\end{proof}

\begin{rema}
Ces propri�t�s peuvent �galement se d�duire de l'existence de
l'uniformisation de vari�t�s de Shimura par les $\M_K$. 
\end{rema}

\section{Cohomologie de $\M_K$}\label{cohomo_de_MK}
Reprenons les m{\^e}mes conventions sur $\M$ que celles �nonc�es au d�but de la section \ref{Esp_Rap_rig}.

\subsection{Lissit� de l'action de $J_b$}

Rappelons (section 6 de \citeg{Berk2}) que si $X$ est un $k$-espace analytique le
groupe des automorphismes analytiques de $X$, $\Aut(X)$, est muni d'une
structure de groupe topologique et que par d�finition un groupe topologique $G$
agissant par automorphismes analytiques sur $X$ agit contin{\^u}ment si le 
morphisme induit $G\ldrt \Aut(X)$ est continu. 

On d�duit alors de la proposition \ref{ActC} et du lemme 8.4 de
\citeg{Berk2} :

\begin{coro}\label{ActJ} Le groupe 
  $J_b$ agit contin{\^u}ment sur $\M_K$.
\end{coro}
\vspace{2mm}

\begin{defi}
Nous noterons $H^\bullet_c ({\M_K}\otimes_{\Eb}\C_p
,\Ql)$ la cohomologie {\`a} support compact
$\ell$-adique de l'espace analytique $\M_K\otimes\C_p$
 (conf�re l'annexe \ref{coho_l}).
\end{defi}

\begin{rema}
Le lecteur de d�sirant pas lire l'annexe \ref{coho_l} pourra prendre
comme d�finition de $H^\bullet_c ({\M_K}\otimes_{\Eb}\C_p
,\Ql)$ 
$$
\underset{U}{\limi} \underset{n}{\limp} H^\bullet_c
(U\otimes_{\Eb}\C_p,\Z/\ell^n \Z) \otimes \Ql
$$
o� $U$ parcourt les ouverts relativement compacts de $\M_K$.
\end{rema}

 Cette espace de cohomologie est muni d'une action de
$J_b\times W_{E}$ de la fa{\c c}on suivante : l'action de $J_b$ est celle
induite par l'action sur $\M_K$, l'action du groupe d'inertie de
$\Gal(\overline{\Eb}|\Eb)$ est 
celle induite par action sur les coefficients $\C_p$, quant {\`a} l'action
d'un Frobenius $\s$ 
de $W_E$ elle est induite par la donn�e de descente de
Rapoport-Zink (\citeg{RZ}) $$\a:\M_K\drt \M_K^{(\s)}$$
 La cohomologie
de $\M_K^{(\s)}\otimes_{\Eb} \C_p$ s'identifie {\`a} celle de 
$\M_K\otimes_{\Eb}\C_p$ via 
$1\times \s: \M_K\otimes \C_p\drt \M_K^{(\s)}\otimes \C_p$.  

�tant donn� que la donn�e de descente commute {\`a} l'action de $J_b$, 
$H^\bullet_c ({\M_K}\otimes_{\Eb}\C_p
,\Ql)$ est muni d'une action de $J_b\times W_E$. 
De plus, lorsque le niveau $K$ varie, le syst�me des $ 
H^\bullet_c(\M_K\otimes \C_p,\Ql) 
$
est muni d'une action de $G(\Qp)\times J_b\times W_E$.  

\begin{rema} La donn�e de descente $\a$ n'�tant pas effective, il
s'agit vraiment d'une action de $W_E$ et non d'une action de
$\Gal(\overline{E}|E)$.
\end{rema}
\vspace{0mm}

\begin{defi}
Afin d'all�ger les notations nous noterons d�sormais 
$$
H^\bullet_c(\M_K,\Ql):=H^\bullet_c(\M_K\otimes \C_p,\Ql)
$$
et 
$$ 
H^\bullet_c(\M_K,\Qlb):=H^\bullet_c(\M_K\otimes \C_p,\Ql)\otimes\Qlb
$$
\end{defi}
\vspace{0mm}

\begin{lemm} Il y a un isomorphisme 
  $H^\bullet_c(\M_K,\Ql)\simeq H^\bullet_c (\M_K^{rig},\Ql)$ 
\end{lemm}
\begin{proof}
C'est une cons�quence du lemme \ref{PartProp} et du th�or�me 1.5 de
\citeg{Hu2}. 
\end{proof}

Combinant le th�or�me \ref{Cont} avec les corollaires \ref{ActJ} et
\ref{Quasi_alg} on obtient : 
 
\begin{coro} Pour tout $K$, 
  $H^\bullet_c(\M_K,\Ql)$ est un $J_b\times W_E$-module lisse pour
  l'action de $J_b$ et continu pour l'action de $W_E$.
\end{coro}



\begin{exem}\label{exemcoeta}
Pla{\c c}ons nous dans le cas d'une donn�e locale �tale (
exemple \ref{exemtta}). Alors,
$$
H^q_c(\M_K(b,\mu),\Qlb) = \left \{ {0\text{ si } q\neq 0 \atop 
 \mathcal{C}^\infty_c (G(\Qp)/K) \text{ si } q=0} \right.
$$
et donc, 
$$
\underset{K}{
\limi} H^0_c(\M(b,\mu),\Qlb) =  \mathcal{C}^\infty_c
(G(\Qp)) 
$$
o� l'action de $J_b=G(\Qp)$ se fait par la repr�sentation r�guli�re gauche et
celle de $G(\Qp)$ par la repr�sentation r�guli�re droite. L'action de $W_E$
est l'action triviale. 
\end{exem}



\subsection{Un lemme d'induction }

Soit $\Delta=\Hom_\Z(X^*(G)_{\Qp},\Z)$. Le groupe $J_b$
�tant une forme 
int�rieure d'un sous-groupe de Levi $M$ de $G$, tout $\chi\in
X^*(G)_{\Qp}$ se restreint {\`a} $M$ et se transfert {\`a} $J_b$ en un
$\widetilde{\chi}\in X^*(J_b)_{\Qp}$. Notons 
$$
{J_b^1}=\bigcap_{\chi\in X^*(G)_{\Qp}} \ker |\widetilde{\chi} |
$$
o� 
\begin{eqnarray*}
  |\widetilde{\chi} |:J_b &\drt \Z \\
x & \mapsto & v_p(\widetilde{\chi}(x)) 
\end{eqnarray*}
Il y a une application (\citeg{RZ} 3.52) 
\begin{eqnarray*}
\omega_{J_b}:J_b(\Qp) & \ldrt & \Delta \\
x &\mapsto & [\chi \mapsto \widetilde{\chi}(x)]
\end{eqnarray*}

Il y a �galement une application 
$$
\breve{\pi}_2:\M\ldrt \Delta
$$
$J_b$ �quivariante. $\breve{\pi}_2$ est essentiellement la hauteur de la
rigidification $\rho$ (\citeg{RZ} 3.52).
Notons $\Delta'\subset \Delta$ l'image de $\breve{\pi}_2$ sur laquelle
$J_b$ agit avec un nombre fini d'orbites.
\\

\begin{defi} Pour tout $i$ �l�ment de $\Delta'$ notons
$
  \M_K^{(i)}=\breve{\pi}_2^{-1}(i)
$
\end{defi}
On a donc 
$$
\M_K=\coprod_{i\in \Delta'} \M_K^{(i)}
$$
d�composition de laquelle on d�duit :
\\

\begin{lemm} Il y a un isomorphisme
  $$
H^\bullet_c( \M_K,\Ql)\simeq \bigoplus_{\bar{i}\in\Delta'/J_b}
c-Ind^{J_b}_{{J_b^1}'} H^\bullet_c (\M_K^{(i)},\Ql)
$$ o�
$$
{J_b^1}'=\bigcap_{\chi \in X^* (G)_{\Qp}} \ker ( |\widetilde{\chi}| )
$$
\end{lemm}

L'int�r{\^e}t de ce lemme est que lorsque $b$
est une classe basique ${J_b^1}'=J_b^1$ a un centre compact. 

\begin{rema}
  L'isomorphisme ci dessus est un isomorphisme de $J_b$-modules. En
  fait, le groupe $G(\Qp)$ agit sur $\Delta$. De m�me, il y a une
  action de $W_E$ sur $\Delta$ triviale sur l'inertie de $W_E$ et asoci�e
  au fait que la donn�e de descente de Rapoport-Zink transformant
  la rigidification $\rho$ en $\rho$ compos�e avec le Frobenius, elle
  change sa hauteur. Il y a alors un isomorphisme de $J_b\times
  G(\Qp)\times W_E$-modules
$$
\underset{K}{\limi} H^\bullet_c (\M_K,\Qp) \simeq  
 \bigoplus_{\bar{i}\in\Delta/J_b\times G(\Qp)\times W_E} 
c-Ind^{J_b}_{(J_b\times G(\Qp)\times W_E)^1} \underset{K}{\limi} H^\bullet_c (\M_K^{(i)},\Ql)
$$
o� $(J_b\times G(\Qp)\times W_E)^1$ est le sous-groupe de $J_b\times
  G(\Qp)\times W_E$ agissant trivialement sur $\Delta$. 
\end{rema}


\begin{lemm} \label{lemme_annulation_Ext}
Soit $b$ une classe basique. 
  Si $r$ d�signe le rang semi-simple de $J_b$,  pour
  une repr�sentation lisse $\pi$ de $J_b$, pour $i>r$ 
$$
\Ext^{\; i}_{J_b-lisse} (H^\bullet_c(\M_K,\Ql),\pi)=0
$$
\end{lemm}
\begin{proof}  
$$
\Ext^i_{J_b-\text{lisse}}(c-Ind^J_{J_b^1} H^j_c(\M^{(0)},\Ql),\pi) = 
\Ext^i_{J_b^1-\text{lisse}} (H^j_c(\M^{(0)},\Ql),\pi)
$$
Notons $J_b^0=\bigcap_{\chi \in X^*(M)} \ker (\widetilde{\chi})$
qui est un groupe alg�brique sur $\Qp$ {\`a} centre fini.
 $J_b^0(\Qp)\lhd J_b^1$ et
$J_b^1/J_b^0(\Qp)$ est un groupe compact 
 ce qui implique que si $\rho_1,\rho_2$
sont deux repr�sentations lisses de $J_b^1$, 
$$
\Ext^i_{J_b^1-lisse}(\rho_1,\rho_2)\simeq \Ext^i_{J_b^0-lisse}
(\rho_1,\rho_2)^{
J_b^1/J_b^0}
$$
(c'est une cons�quence de l'exactitude du foncteur $H^0(
J_b^1/J_b^0(\Qp),-)$ pour les co�fficients discrets).  
Dans \citeg{Sch}, il est construit pour toute repr�sentation lisse d'un
groupe alg�brique $H$ sur $\Qp$ ayant un caract�re central $\chi$ sur
$Z_H^0$, la composante connexe neutre du centre,  une r�solution
projective dans la cat�gorie des repr�sentations lisses ayant $\chi$
comme caract�re central sur $Z_H^0$ de longueur inf�rieure {\`a} $r$.

D'o� le r�sultat.
\end{proof}

\subsection{Finitude}

\begin{prop} \label{Jfin} Supposons que $b$ soit la classe
basique. Alors, 
 $\forall \d\in \Delta,$
$$
H^q_c(\M_K^{(\d)},\Ql)
$$
 est un $J_b^1$-module de type fini. De m{\^e}me 
$$
H^q_c(\M_K,\Ql)
$$
est un $J_b$-module de type fini.
\end{prop}

\begin{proof}

On v�rifie en utilisant le th�or�me  \ref{TheoFini} qu'il y a un
nombre fini d'orbites de 
composantes irr�ductibles de $\M^{(\d)}$ sous l'action de $J_b^1$. Si
$Z_1,\dots,Z_t$ sont des repr�sentants de ces orbites, soit 
$$
U=Z_1^{an}\cup\dots\cup Z_t^{an}
$$
le tube au dessus des $Z_i$, un ouvert analytique dans $\M^{an}$
. Notons encore $U$ pour $\Pi_{K,C_0}^{-1}(U)\subset \M_K$. 

 Le corollaire \ref{aa} implique que $U$ s'identifie {\`a} un tube au
dessus d'un ferm� dans 
l'espace analytique 
associ� {\`a} une vari�t� alg�brique propre sur $\O_{\Eb}$. 
 Il r�sulte alors du th�or�me 3.3 (ii) de 
\citeg{Hu2} que 
$$
\dim_{\Qlb}(H^q_c(U,\Qlb))<+\infty
$$ 
Soit $K\subset {J_b^1}$ le stabilisateur de $U$. C'est un sous-groupe
compact ouvert. Consid�rons le recouvrement 
$(g.U)_{\bar{g}\in  J_b^1/K}$ de $\M_K^{(\d)}$. 

Il lui est associ� une suite spectrale de cohomologie de $\check{C}$ech {\`a}
support compact 
(II.\ref{check}) concentr�e en $p\leq 0,\;\dim (\Sh) \geq 
 q\geq 0$ :
$$
E^{pq}_1=\bigoplus_{
\bar{\a}\subset J_b^1/K \atop
|\a|=-p+1 } H^q_c(U(\a),\Ql) \limpl H^{p+q}_c(\M_K^{(0)},\Ql)
$$
o�  $\dpt{U(\a)=\bigcap_{\bar{g}\in \a} g.U}$. 

Cette suite spectrale est $J_b^1$ �quivariante o� 
$$
\forall g\in J^1_b\;\; g_! :  H^q_c(U(\a),\Ql) \iso H^q_c(g.U(\a),\Ql)
$$
Si $\a\subset J_b^1/K$ notons 
$$
K_\a=\bigcap_{\bar{g}\in \a} g K g^{-1} 
$$
Les espaces $H^q_c(U(\a),\Ql)$ sont des $K_\a$-modules lisses puisque
$K_\a$ agit contin{\^u}ment sur $U(\a)$ d'apr�s le corollaire
$\ref{ActJ}$. 

R�crivons $E^{pq}_1$ sous la forme suivante :
$$
E^{pq}_1=\bigoplus_{[\bar{\a}]\in J_b^1\bc\left (  J_b^1/K \right )^{-p+1}}
c-Ind^{J_b^1}_{K_\a} H^q_c (U(\a),\Ql)
$$
\vspace{0mm}

Montrons maintenant que 
$$
\#\{[\bar{\a}]\in J_b^1\bc \left ( J_b^1/K \right )^{-p+1} \; |\; U(\a)\neq \emptyset \}<+\infty
$$

Pour cela, remarquons que si $A$ est une union finie de composantes
irr�ductibles de $\Mb^{(\d)}$, $\{g\in J_b^1\; |\; g.A\cap A\neq
\emptyset\}$ est compact et que donc 
$$
\Omega=\{g\in J_b^1\; |\; g.U\cap U\neq \emptyset \}
$$
est compact et contient $K$.

Si $[\a]=[(\bar{g}_0,\dots,\bar{g}_{-p})]\in J_b^1\bc\left (  J_b^1/K\right
)^{-p+1}$ est tel que $U(\a)\neq \emptyset$ alors, $\forall i\neq
j\;\; g_i^{-1}g_j\in K\bc \Omega $ qui est fini.

Modulo l'action de $J_b^1$ {\`a} gauche sur les $(-p+1)$-uplets on peut
supposer que $g_{-p}\in K$ et donc $\forall i \; \bar{g_i}\in K\bc
\Omega$ qui est fini. D'o� la finitude de l'ensemble. 
\\

On conclu donc que $E^{pq}_1$ est une somme finie d'induites compactes
de repr�sentations de dimension finie et est donc une repr�sentation de
type fini de $J_b^1$. D'apr�s \citeg{BDKV} la cat�gorie des
$J_b^1$-modules  lisses est localement noeth�rienne (i.e. tout objet de type
fini est noeth�rien). On en d�duit que $H^{p+q}_c(\M^{(\d)},\Ql)$
poss�de une filtration finie $F^pH^{p+q}_c(\M^{(\d)},\Ql)$ {\`a} quotients
de type fini et est donc lui m{\^e}me de type fini. 
\end{proof}

\begin{coro}\label{Extf}
 Soit $b$ la classe basique.  
  Pour toute  repr�sentation admissible $\pi$ de $J_b$,
  pour tous $K,p,q$
$$
\dim_{\Qlb} \text{Ext}^{\; p}_{J_b\text{-lisse}} \left ( H^q_c
  (\M_K,\Qlb),\pi \right ) \; <+\infty
$$
\end{coro}
\begin{proof}
 La r�ciprocit� de Frobenius donne un isomorphisme :
$$
\text{Ext}^{\; p}_{J_b\text{-lisse}} \left ( H^q_c
  (\M_K,\Qlb),\pi \right ) \simeq \bigoplus_{\bar{\d}\in \Delta/J_b } 
\text{Ext}^{\; p}_{J_b^1\text{-lisse}} \left ( H^q_c
  (\M_K^{(\d)},\Qlb),\pi_{|J_b^1} \right )
$$
La repr�sentation 
 $\pi_{|J_b^1}$ est encore 
admissible. On conclut
alors gr{\^a}ce {\`a} la proposition pr�c�dente et le lemme qui suit en posant
$\dpt{H=\bigcap_{\chi\in X^* (G) } \ker ( \chi )}$ car 
$$
\text{Ext}^{\; p}_{J_b^1\text{-lisse}} \left ( H^q_c
  (\M_K^{(\d)},\Qlb),\pi_{|J_b^1} \right )
=\text{Ext}^{\; p}_{H(\Qp)\text{-lisse}} \left ( H^q_c
  (\M_K^{(\d)},\Qlb),\pi_{|J_b^1} \right )^{J_b^1/H(\Qp)}
$$
\end{proof}

\begin{lemm}
Soit $H$ un groupe $p$-adique semi-simple, $\pi_1$ une repr�sentation
lisse
de type fini de $H$ et $\pi_2$ une repr�sentation admissible. Alors, 
$$
\forall i \;\; \dim (\text{Ext}^i_{H\text{-lisse}}(\pi_1,\pi_2))<\infty
$$  
\end{lemm}
\begin{proof}
$\pi_1$ �tant de type fini il existe une surjection 
$$ \a: 
\bigoplus_{i\in I} c-ind^H_{K_i}\rho_i \twoheadrightarrow \pi_1
$$
o� $I$ est fini, les $K_i$ sont des sous-groupes compacts ouverts et
les $\rho_i$ de dimension finie. La repr�sentation de droite �tant
elle m{\^e}me de type fini, $\ker (\a)$ est de type fini (locale noeth�rianit� 
de la cat�gorie des repr�sentations lisses de $H$ (\cite{BDKV})) et on
peut rappliquer le processus pour construire ainsi par r�currence une
r�solution projective $P^\bullet \drt \pi_1$ de $\pi_1$ telle que
$\forall q \;P^q$ soit une repr�sentation de type finie de $H$. On
conclut aussit�t puisque si $\rho$ est de type fini et $\pi_2$
admissible alors $\Hom_H(\rho,\pi_2)$ est de dimension finie. En
effet, un
morphisme $H$ �quivariant de $\rho$ dans $\pi_2$ est d�termin� par
l'image d'un nombre fini de vecteurs de $\rho$ engendrant $\rho$. Or
une telle famille finie de vecteurs est contenue dans $\rho^V$ pour un
sous-groupe compact ouvert $V$ et donc d'image dans $\pi_2^V$ qui est de dimension finie. 
\end{proof}

\begin{rema}
 Dans \citeg{Sch} ce lemme est d�montr� d'une autre
fa{\c c}on mais en supposant de plus que $\pi_1$ est admissible. Cette
restriction est donc inutile.
\end{rema}

\begin{coro}
Soit $b$ la classe basique.
Supposons $J_b$ anisotrope modulo son centre
. Alors, 
$$\forall \d\in \Delta \; \forall q\;\;\;\; 
\dim_{\Qlb} H^q_c(\M_K^{(\delta)},\Qlb) <+\infty
$$
\end{coro}

\begin{rema}
Supposons la classe $b$ basique.
On ne peut esp�rer mieux que la proposition \ref{Jfin} dans le cas o�
$J_b$ n'est pas anisotrope modulo son centre. En effet, on pourrait
penser que $H^\bullet_c(\M_K^{(\delta)},\Qlb)$ est un $J_b^1$-module de
longueur finie. Mais cela est faux comme le montre l'exemple �tale
(exemple \ref{exemcoeta}).   
\end{rema}

\chapter{Uniformisation des vari�t�s de Shimura de type P.E.L.}
\label{uniformi_PEL}

L'uniformisation des vari�t�s de Shimura se d�compose en plusieurs
�tapes :
\begin{itemize}
\item stratification de la fibre sp�ciale selon la classe d'isog�nie du
groupe $p$-divisible muni de structures additionnelles
\item raffinement d'une strate en classes d'isog�nies $\phi$ de
vari�t�s ab�liennes munies de structures additionnelles 
\item classes d'isomorphismes dans une classe d'isog�nie :
\begin{itemize}
\item en $p$ gr{\^a}ce {\`a} l'espace $\M_{K_p}$
\item hors $p$ ``tout est �tale'' et il s'agit d'une description de
r�seaux munis de structures de niveau  c'est {\`a} dire d'�l�ments de $G(\A_f^p)/K_p$ 
\end{itemize} 
\end{itemize}

Certaines de ces �tapes apparaissent dans le comptage des points des
vari�t�s de Shimura sur les corps finis. 

\section{Stratification par la classe d'isog�nie du groupe p-divisible}

Reprenons les notations globales du premier chapitre.

Soit $\Sb_{K^p}=S_{K^p}\times_{\O_{E_\nu}} k$ o� $k$ d�signe ici le corps
r�siduel de $E_\nu$. Soit $\mathcal{A}/\Sb$ le sch�ma ab�lien universel.

Gr{\^a}ce au th�or�me de sp�cialisation des cristaux de Grothendieck
g�n�ralis� dans \citeg{RR}, le sch�ma $\Sb$ est stratifi�e par le polygone de
Newton du cristal muni de structures additionnelles 
$R^1 f_{cris *} \O_{\mathcal{A}}$. 

Plus pr�cis�ment, si $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ 
$$
\Sb (b) =\{ x\in \Sb(\kb)\; |\;
(H_{1,cris}(\mathcal{A}_x,W(\kb)_\Q),F)
\simeq (V_{\Qp}\otimes W(\kb)_\Q, b\otimes \s) \}
$$
(l'isomorphisme �tant pris au sens des isocristaux munis de structures
additionnelles). L'ensemble $\Sb(b)$ est l'ensemble des points g�om�triques 
sous-jacents {\`a} un sous-sch�ma localement ferm� r�duit de $\Sb$ encore not�
$\Sb(b)$. On a la stratification 
$$
\Sb=\coprod_{b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})} \Sb(b)
$$
et si $P$ est un polygone fix� 
$$
\coprod_{Newt(b)\geq P} \Sb(b) 
$$
est ferm� dans $\Sb$.
\\

Deux strates se distinguent particuli�rement :
\begin{itemize}
\item la strate basique qui est ferm�e et est associ�e {\`a} la
  classe basique de $B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. Son polygone de Newton est maximal
\item la strate $\mu$-ordinaire associ�e {\`a} l'image via $B(T)\ldrt
  B(G_{\Qp})$ de $\widehat{\mu}_{|\widehat{T}^\Gamma}\in B(T)$ de polygone
  de Newton minimal dans $B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. Elle est ouverte et dense dans
  $\Sb$ (\citeg{Wed})
\end{itemize}

Citons :
\begin{conj} On a l'�quivalence suivante 
  $\Sb(b)\neq \emptyset \ssi b\in B(G,\mu)$ 
\end{conj}
(La conjecture est pour l'implication de la droite vers la gauche,
l'implication de la gauche vers la droite �tant la g�n�ralisation du
th�or�me de Mazur). Il semble que des travaux r�cents de Rapoport et
Kottwitz permettent de d�montrer cette conjecture. Nous montrerons de
tout fa{\c c}on plus tard que la strate basique est non vide, ce qui
est suffisant pour les applications que nous avons en vue dans cette
th�se. 

\section{Uniformisation de Rapoport-Zink}\label{Unif}

Fixons un point base $x\in \Sb(\kb)$. Le th�or�me de Serre Tate permet
d'uniformiser $S$ ``verticalement'' au dessus de $x$ c'est {\`a} dire  sur un
voisinage formel de $x$ :
\begin{center}
$
S^\wedge_{\{x\}} \simeq$: \{ d�formations par isomorphismes du groupe 
p-divisible muni de structures additionnelles $\mathcal{A}_x[p^\infty]$ \}.
\end{center}
Nous voulons uniformiser une plus grande partie de la strate qu'un
point, c'est pourquoi on d�forme le groupe p-divisible non plus par
isomorphismes mais par quasi-isog�nies gr{\^a}ce {\`a} l'espace $\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$.

Soit $\phi$ la classe d'isog�nie du triplet $(\mathcal{A}_x,\l,\iota)$
et 
$$
I^\phi=\Aut(\mathcal{A}_x,\l,\iota)
$$
un groupe r�ductif sur $\Q$. Notons $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ la
classe associ�e {\`a} $\phi$ et $\M=\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)$ l'espace de Rapoport-Zink associ�.

A $\phi$ est alors associ� un ensemble $\St$ 
 de sous-sch�mas ferm�s
projectifs de $\Sb(b)_{\bar{k}}$  (conf�re le th�or�me 6.23 de
 \cite{RZ} pour la d�finition de $\St$ o� cet ensemble est not� $\mathcal{T}$) tel que 
$$
\St(\kb)=\{ y\in \Sb(b)(\kb)\; |\; \text{ la classe d'isog�nie de }
(\mathcal{A}_y,\l,\iota)\in\phi\; \}
$$

Le th�or�me 6.23 de \cite{RZ} affirme alors qu'il y a 
 un isomorphisme de sch�mas formels sur $\spf(\O_{\Eb})$ : 
$$\Theta: 
I^\phi(\Q) \backslash \left ( \M \times G(\A_f^p)/K^p \right )
\iso  \left ( S_{K^p}\otimes_{\O_E} \O_{\Eb} \right )^\wedge_{/\St}
$$
o� l'application d'uniformisation est d�finie en tordant le triplet 
$
(\mathcal{A}_x,\l,\iota)
$
par une d�formation par quasi-isog�nie de
$(\mathcal{A}_x[p^\infty],\l,\iota)$ et en tordant la structure de
niveau $\overline{\eta^p}$ par un �l�ment de $G(\A_f^p)/K^p$.

L'action de $I^\phi (\Q)$ sur $\M$ se fait {\`a} travers $J_b$ par action
de $I^\phi(\Q)$ par quasi-isog�nies sur
$(\mathcal{A}_x[p^\infty],\l,\iota)$ ce qui donne une injection 
$$
I^\phi (\Q)\hookrightarrow J_b
$$
 et sur $G(\A_f^p)$ via l'action
d'un �l�ment de $I^\phi (\Q)$ sur
le module de Tate $H_1(\mathcal{A}_x,\A_f^p)$ ce qui donne une
injection 
$$
I^\phi(\Q) \hookrightarrow G(\A_f^p)
$$

Lorsque $K^p$ varie les diff�rents isomorphismes d'uniformisation sont
compatibles et commutent {\`a} l'action de $G(\A_f)$ (et donc aux
correspondances de Hecke hors $p$) en un sens �vident. 

\subsection{Quelques propri�t�s de l'isomorphisme d'uniformisation}\label{recrit}

Soit $(y_i)_{i\in I}$ un ensemble de repr�sentants des orbites de
$I^\phi (\Q)$ dans $G(\A_f^p)/K^p$, c'est {\`a} dire 
$$
G(\A_f^p)/K^p = \coprod_{i\in I} I^\phi (\Q). y_i
$$
Pour tout $i\in I$ notons $\GG_i=Stab_{I^\phi (\Q)} y_i$ que l'on
verra comme un sous-groupe de $J_b$. 

L'isomorphisme d'uniformisation se r�crit alors : 
$$
\coprod_{i\in I} \GG_i\bc \M \iso \left ( S_{K^p}\otimes
\O_{\Eb}\right )^{\widehat{\;}}_{/\St}
$$

\begin{defi}
  Appelons $\mathcal{C}$ l'ensemble des sous-groupes $\Gamma\subset J_b$ de la forme
  $I^\phi(\Q)\cap (J_b\times K^p)$ pour $K^p\subset G(\A^p_f)$ tel
  qu'il existe un $g\in G(\A_f^p), gK^p g^{-1}$ soit suffisamment petit.
\end{defi}
Les groupes $\Gamma\in \mathcal{C}$ sont exactement les groupes $\GG_i$ 
 qui interviennent dans
les morphismes d'uniformisation ci dessus lorsque $K^p$ et
 $(y_i)_i$ varient.

\begin{lemm}\label{leG} Les �l�ments de $\mathcal{C}$ v�rifient :
\begin{itemize}
\item
  Tout �l�ment $\GG$ dans $\mathcal{C}$ est discret sans
  torsion dans $J_b$. 
\item
$\forall \Gamma_1,\Gamma_2\in\mathcal{C}\;\;$ $\Gamma_2$ et $\Gamma_2$
sont commensurables. 
\item
$\forall A\subset J_b$ fini il existe $\Gamma\in\mathcal{C}$ tel que
$\Gamma\cap A=\emptyset$. 
\end{itemize}
\end{lemm}
\begin{proof}
 Le fait que $\Gamma$ soit discret et sans torsion  est
d�montr� lors de la d�monstration du th�or�me 6.23 de  \citeg{RZ}.

La commensurabilit� r�sulte de la commensurabilit� des $K^p\subset
G(\A_f^p)$ compacts ouverts.

Quant {\`a} la derni�re propri�t�, c'est une cons�quence du fait que si
$\ell\neq p, I^\phi(\Q)\hookrightarrow G(\Ql)$ et $G(\Ql)$ est s�par�
au sens o� pour tout sous-ensemble fini
 $A$ de $\subset G(\Ql)$ il existe un sous-groupe
ouvert de $G(\Ql)$ ne rencontrant pas $A$.
\end{proof}

Rappelons �galement :

\begin{prop}[\citeg{RZ}] Pour tout ouvert quasicompact $U$ dans $\M$,
  pour tout groupe $\GG$ dans $\mathcal{C}$,  l'ensemble 
 $\{\g\in \Gamma\; |\; U.\g\cap U\neq\emptyset\;\}$ est  
  fini, et $\Gamma\setminus \{Id\}$ n'a pas de point fixe dans $\M$.
\end{prop}

Le groupe
$\Gamma$ agit donc en quelque sorte de fa{\c c}on proprement discontinue et
sans points fixes sur $\M$, comme c'est le cas pour les groupes
arithm�tiques uniformisant les points complexes des vari�t�s de
Shimura et agissant sur les domaines sym�triques hermitiens
$X=G(\R)/K_\infty$.

\begin{coro}\label{aa} Tout ouvert quasicompact $U$ dans $\M$ 
  est isomorphe au 
  compl�t� formel d'une vari�t� quasi-projective sur $\O_{\Eb}$ le long d'un
  sous-sch�ma ferm� de sa fibre sp�ciale.
\end{coro}
\begin{proof}
 D'apr�s la proposition pr�c�dente et le lemme \ref{leG}
il existe $\Gamma \in\mathcal{C}$ tel que $\forall g\in\Gamma\;\;
U.\gamma\cap U=\emptyset$. 

On peut ins�rer $\Gamma$ dans des $(\Gamma_i)_{i\in I}$ uniformisant
$S$. Consid�rons alors le compos� 
$$
U\hookrightarrow \M \drt \GG\bc \M \hookrightarrow  \coprod_{i\in I}
\Gamma_i\bc \M \iso
S^\wedge_{/\St}
$$
qui induit une immersion ouverte de $U$ dans $S^\wedge_{/\St}$. L'ouvert $U$
�tant quasicompact, la fibre sp�ciale de l'ouvert de $S^\wedge_{/\St}$
image par ce compos� ne rencontre qu'un nombre fini d'�l�ments de
$\St$. Cet ouvert  
 s'identifie donc au compl�t� formel de $S$ le long d'un ouvert d'une
union finie d'�l�ments de $\St$, i.e. un ouvert d'un ferm� de
$\Sb$. Le sch�ma $S$ �tant quasiprojectif on en d�duit le r�sultat.
\end{proof}

\begin{coro} Pour tout  $\GG$ �l�ment de $\mathcal{C}$ le morphisme 
   $\M\ldrt \GG\bc\M$ est �tale
  (i.e. adique et formellement �tale) et le morphisme d'uniformisation
  est �tale.
\end{coro}
\begin{proof}
 Il faut montrer que le morphisme  $\M\drt \GG\bc\M$ est adique
puisqu'il est clairement formellement �tale. Il suffit de montrer que
ce morphisme est adique en restriction {\`a} tout ouvert
quasicompact de $\M$. Soit $U$ un ouvert quasicompact de $\M$. Choisissons
un sous groupe $\Gamma'\subset \Gamma$ tel que $\Gamma'\in\mathcal{C}$ et $\forall
\gamma\in\Gamma'\setminus\{ Id \}\;\; \g.U\cap
U=\emptyset$. D�composons l'application $U\ldrt \M/\Gamma$ en 
\begin{diagram}
  U & \rInto^j & \M & \rTo^p & \M/\Gamma' \\
& && & \dTo^\pi \\
& && & \M/\Gamma
\end{diagram}
Si l'on choisit $\Gamma'\subset \Gamma$ tel que $\Gamma$ soit de
la forme $I^\phi(\Q)\cap (J_b\times K^p)$ et $\Gamma'$ de la forme
$I^\phi(\Q)\cap {K^p}'$ pour ${K^p}'\subset K^p$, on a un diagramme
commutatif 
\begin{diagram}
  \M/\Gamma' & \rInto & (S_{{K^p}'})_{/\St}^\wedge \\
\dTo^\pi & & \dTo \\
\M/\Gamma & \rInto &  (S_{K^p})_{/\St}^\wedge
\end{diagram}
L'application de droite �tant �tale on en d�duit que $\pi$
l'est. Le morphisme $p\circ j$ �tant une immersion ouverte cela
conclu la d�monstration. 
\end{proof}


\begin{lemm}\label{plgt}
  L'inclusion $I^\phi(\A_f^p)\subset G(\A_f^p)$ est un hom�omorphisme
  sur son image.
\end{lemm}
\begin{proof}
 L'existence d'un isomorphisme de $B\otimes \A_f^p$-modules symplectiques  
$$
\eta:
V\otimes \A_f^p\iso H_1(\AA_x,\A_f^p)
$$
implique que la $\widehat{\Z}^p$ structure sur $G(\A_f^p)$ est la m{\^e}me
que celle induite sur $I^\phi(\A_f^p)$.
\end{proof}

\begin{rema}
 Se donner un isomorphisme $\eta$ comme dans la
d�monstration pr�c�dente est plus fort que se donner $\forall \ell\neq
p$ un isomorphisme $V\otimes\Ql\iso H_1(\AA_x,\Ql)$. C'est ce qui fait
marcher le lemme pr�c�dent.
\end{rema}

\begin{lemm}\label{coco} Pour tout �l�ment $\GG$ dans $\mathcal{C}$,
 le groupe  $\GG$ est cocompact dans $I^\phi (\Q_p)$.
\end{lemm}

\begin{proof} Le groupe r�ductif 
 $I^\phi$ est anisotrope modulo son centre et $I^\phi (\R)$
est compact modulo son centre. On en d�duit que si $K'\subset I^\phi
(\A_f)$ est un sous-groupe compact ouvert l'ensemble
$$
I^\phi(\Q) \backslash I^\phi (\A_f) / K'
$$
est fini.

L'inclusion 
$I^\phi (\A_f)\hookrightarrow J_b\times G (\A_f^p)$ �tant continue, si $K$
est un sous-groupe compact ouvert de $J_b\times G(\A_f^p)$, le groupe
$K\cap I^\phi 
(\A_f)$ est compact ouvert dans $I^\phi (\A_f)$. 

Si $\GG$ est un �l�ment de $\mathcal{C}$, il existe un sous groupe
compact ouvert $K^p$ dans $G(\A_f^p)$
tel que $\GG=I^\phi (\Q)\cap K^p$. Si  $K_p'$ est un sous-groupe
compact ouvert de $I^\phi (\Qp)$ et si l'on pose  $K'=K'_p.(K^p\cap
I^\phi(\A_f^p))$, alors l'inclusion
$$
\GG\backslash I^\phi (\Qp) /K'_p \hookrightarrow I^\phi(\Q)\backslash
I^\phi (\A_f) /K'
$$
montre que l'ensemble de gauche est fini. 
\end{proof}


\subsection{Le cas de la strate basique }\label{str_bas}

Supposons dans cette section que $b=b_0$ est la classe basique de
$B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. 

 D'apr�s \citeg{RZ}(6.34) on a alors :
\begin{itemize}
\item L'ensemble $\{\phi\;|\; b(\phi)=b_0\}$ est fini
\item $\forall \phi\;\; b(\phi)=b_0$, $I^\phi$ est une forme
  int�rieure de $G$
\item $I^\phi(\Qp)=J_b$, $\forall \ell\neq p\;\; I^\phi(\Ql)=G(\Ql)$
  et donc $I^\phi (\A_f)=J_b\times G (\A_f^p)$ (comme groupes topologiques
  d'apr�s \ref{plgt}) 
\item $I^\phi (\R)$ est la forme int�rieure compacte modulo le centre
  de $G(\R)$
\item Le lemme \ref{coco} implique alors que $\forall \GG\in \mathcal{C}\;\; \GG$ est cocompact dans $J_b$ 
\end{itemize}


Dans le cas (A) et (C) de \citeg{Ko1} que nous consid�rons on a en
fait mieux :
\begin{prop}[\citeg{Ko1},\citeg{RZ}]
Le nombre de classes d'isog�nie $\phi$ intervenant dans la strate
basique est �gal a $|\ker^1 (\Q,G)|$.

De plus, pour toutes ces classes d'iosg�nie $\phi$ les groupes $I^\phi$ sont isomorphes sur
$\Q$ et il existe des isomorphismes compatibles avec les isomorphismes 
$I^\phi (\A_f)\simeq J_b\times G(\A_f^p)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Il r�sulte du lemme 6.28 de \citeg{RZ} que les classes d'isog�nie de la strate
basique sur un corps fini $\mathbb{F}_{p^r}$ sont associ�es {\`a} un m{\^e}me
triplet $(\g_0,\g,\delta)$ de \citeg{Ko1}. Le reste de la proposition se
d�duit de \citeg{Ko1}.
\end{proof}

\begin{coro}
On a alors une uniformisation de la strate basique :
$$
\coprod_{\ker^1(\Q,G)} I^\phi (\Q) \bc \left ( \M \times G(\A_f^p)/K^p\right  ) \iso 
\left (S_{K^p}\right )^\wedge_{/\Sb(b_0)}
$$
o� $I^\phi (\Q)\bc G(\A_f^p)/K^p$ est fini.
\end{coro}

\section{Uniformisation rigide}

Revenons au cas d'un $b$ quelconque. 

\begin{lemm}\label{quotrigfo} Pour tout $\GG$ dans 
 $\mathcal{C}$ 
il y a un isomorphisme 
$$\GG\bc \M^{an}\iso \left ( \GG\bc
  \M
  \right )^{an} $$
\end{lemm}

\begin{proof}
 Si $U$est un ouvert quasicompact de $\M$, soit
$\GG'\lhd \GG$, $\GG'\in\mathcal{C}$ choisi tel que $\forall
\g'\in\GG'\setminus\{Id\}\;
\g'.U\cap U=\emptyset$ et tel que le morphisme $\GG'\bc \M\drt \GG\bc \M$ soit �tale fini
galoisien de groupe $\GG/\GG'$.

 Notons $p':\M\drt \GG'\bc \M$, $p:\M\drt \GG\bc\M$ les projections et 
 $V=p^{-1}(p(U))=\dpt{\cup_{\g\in \GG} U.\g}$.

�tant donn� que $\GG'$ est d'indice fini dans $\GG$, 
$p'(V)$ est quasicompact. Le morphisme $p'(V)\drt p(U)$ est galoisien de groupe
$\GG/\GG'$ ce qui implique que 
$$
p(U)^{an}=(\GG/\GG')\bc p'(V)^{an}
$$
De plus, $p'(V)=\GG'\bc V$ au sens o� $p'(V)$ est le sch�ma formel
recoll� des $(\g.U)_{\g\in\GG}$ le long des $\g_1.U\cap \g'\g_2.U$
pour $\g_1,\g_2\in\GG$ et $\g'\in\GG'$. Donc $p'(V)^{an}$ est l'espace
analytique recoll� des domaines analytiques ferm�s $\g.U^{an}$ le long
des ferm�s analytiques $\g_1.U^{an}\cap \g'\g_2.U^{an}$. Cela
implique que $\GG'\bc p'(V)^{an}=V^{an}$.

Au final, 
$$
p(U)^{an}=(\GG/\GG')\bc p'(V)^{an}=(\GG/\GG')\bc (\GG'\bc
V^{an})=\GG\bc V^{an}
$$

�crivant $\M$ comme union croissante de tels $U$ on obtient le
r�sultat.
\end{proof}

Soit maintenant $\phi$ une classe d'isog�nie comme dans la section
\ref{Unif} et $\St$ 
la famille de sous-sch�mas ferm�s de $\Sb_{\bar{k}}$ associ�e. 
Notons $S^\wedge_{K^p}$ le compl�t� p-adique du sch�ma
$S_{K^p}\times_{\O_E}\O_{\Eb}$ et $\Sh_{C_0 K^p}^{an}$ l'espace
analytique sur $\Eb$ 
associ�e {\`a} la vari�t� alg�brique $\Sh_{C_0 K^p}\otimes\Eb$. Il y a
une immersion 
$$
(S^\wedge_{K^p})^{an}\hookrightarrow \Sh_{K^pC_0}^{an}
$$
qui 
est un domaine analytique ferm� �gal {\`a} tout $
\Sh_{K^pC_0}^{an}$ lorsque $S$ est propre ce qui est le cas si $\End_B(V)$
est une alg�bre {\`a} division sur $F$ (\citeg{Ko3}).

Le morphisme de sp�cialisation 
$$
sp: (S^\wedge_{K^p})^{an}\ldrt \Sb_{K^p}
$$
est d�fini sur ce domaine analytique. Si le sch�ma $S$ n'est pas propre les
points de $\Sh_{K^pC_0}^{an}\setminus (S^\wedge_{K^p})^{an}$ se
sp�cialisent sur le bord de la fibre sp�ciale d'une compactification
de $S$. Dit en d'autres termes, les points g�om�triques de 
$(S_{K^p}^\wedge)^{an}$ sont les points g�om�triques $x$ de $
\Sh_{K^p C_0}^{an}$ o� la vari�t� ab�lienne $\mathcal{A}_x$ 
muni de ses structures additionnelles a bonne r�duction.

\begin{defi}
Nous noterons 
$$
\Sh_{C_0 K^p}^{an}(\phi)=\left ((S_{K^p})^\wedge_{/\St}\right )^{an}
$$
la fibre sp�ciale du sch�ma formel compl�t� de $S$ le long de
$\St$.
\end{defi}

C'est le tube au dessus de $\St$ au sens suivant :

$\forall Z\in\St\;\; (S_{/Z}^\wedge)^{an}=sp^{-1}(Z)$ est un
domaine analytique ouvert dans $(S^\wedge)^{an}$. L'espace analytique 
$\Sh_{K^pC_0}^{an}(\phi)$ est alors l'espace analytique recoll� des
ouverts $sp^{-1}(Z),Z\in\St$ le long des $sp^{-1}(Z_1)\cap
sp^{-1}(Z_2),\; Z_1,Z_2\in\St$. On a donc que
$\Sh_{C_0K^p}^{an}(\phi)$ est l'ouvert analytique de $(S^\wedge)^{an}$
union des $sp^{-1}(Z),Z\in\St$. 

\begin{rema}
En fait, on a mieux car les $Z\in\St$ sont des vari�t�s projectives et on
en d�duit que $\Sh_{C_0K^p}^{an}(\phi)$ n'est pas seulement ouvert
dans $(S^\wedge )^{an}$ mais aussi dans $\Sh_{C_0 K^p}^{an}$.
\end{rema}

\begin{rema}\label{rem_u_pas_tout}
A part pour la strate basique, 
$$
\coprod_{\phi,b(\phi)=b} \Sh_{C_0 K^p}^{an}(\phi)\subsetneq sp^{-1}(\Sb(b))
$$
Par exemple, un point de $sp^{-1}(\Sb(b))$ se sp�cialisant sur le
point g�n�rique d'une composante irr�ductible de $\Sb(b)$ n'appartient
pas au membre de gauche pour $b$ diff�rent de la classe basique.
\end{rema}

\begin{defi}
  Si $K_p\subset C_0$, $K=K_pK^p$ nous noterons 
$$
\Sh_K^{an}(\phi)=\Pi_{C_0K^p,K}^{-1}(\Sh_{C_0K^p}^{an}(\phi))
$$
un ouvert analytique de $(\Sh_K)_\eta^{an}$.
\end{defi}
On a alors le th�or�me suivant combin� de l'uniformisation formelle et
du lemme \ref{quotrigfo} :  

\begin{theo}\citeg{RZ}
Pour $K=K_pK^p$ variant
il y a des isomorphisme  compatibles d'espaces analytiques sur $\Eb$ 
$$
I^\phi(\Q)\backslash \left ( \M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p \right ) \iso
\Sh^{an}_K (\phi) 
$$
\end{theo}

\begin{coro}\label{Quasi_alg} Pour tout 
  $K_p$, $\M_{K_p}$ est un espace analytique quasi-alg�brique
  (annexe \ref{def_quasi_alg}). 
\end{coro}

\begin{coro} Pour tout $\GG$
  dans $\mathcal{C}$ le morphisme $\M_K  \ldrt \GG\bc \M_K$ est un
  isomorphisme local d'espace analytiques. 
\end{coro}

\begin{proof}
 Soit $x\in \M^{an}$. D'apr�s le corollaire pr�c�dent, $x$ poss�de une base de voisinages form�e de domaines affino{\"\i}des. De plus, si $sp(x)\in Z$ une composante irr�ductible de $\Mb$, $Z^{an}$ est un voisinage de $x$ v�rifiant 
$$
\{\g\in\GG\; | \;\g. Z^{an}\cap Z^{an} \} \text{ est fini }
$$
$x$ poss�de donc une base de voisinages
affino{\"\i}des $\mathcal{B}$ tels que $\forall V\in\mathcal{B}\;$
$\{\g\in \GG\; |\; \g.V\cap V\neq \emptyset \}$ soit fini. Rappelons
�galement que 
$\GG\setminus\{Id\}$ n'a pas de points fixes dans  $\M^{an}$.

Soit donc $V\in \mathcal{B}$ fix� et 
$$\{\g_1,\dots,\g_d\}=\{\g\in\GG\setminus \{Id \}\;|\; \g.V\cap V\neq \emptyset\}$$
Alors,
$$
\forall i\in\{1,\dots,d\} \;\; \bigcap_{W\in \mathcal{B}\; W\subset
  V } W\cap \g_i.W =\emptyset
$$
car $x$ n'est pas un point fixe de $\g_i$. Par compacit� des
$W\in\mathcal{B}$, 
$$\forall i,\exists W_i\in \mathcal{B}, \;\; W_i\cap \g_i. W_i=\emptyset 
$$
Alors, $W'=\bigcap_{i=1}^d W_i$ est un domaine affino{\"\i}de voisinage de
$x$ v�rifiant $\forall \g\in \GG\setminus \{Id\} \;\; W'\cap \g. W'
=\emptyset$ et $W'\hookrightarrow \GG\bc \M^{an}$.
\end{proof}

\begin{coro}\label{iso_loc_unif}
Le morphisme d'uniformisation 
$$
 \M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p \ldrt \Sh_K^{an}(\phi)
$$
est un isomorphisme local.
\end{coro}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

these_partie2.tex
\chapter[Suite spectrale de Hochschild-Serre]
{Suite spectrale de Hochschild-Serre}

\section{Suite spectrale de Cohomologie de \v{C}ech �quivariante}
\label{check}

Nous adoptons les notations de l'appendice \ref{coho_l} sur la
cohomologie $\ell$-adique des espaces analytiques. 

Soit $k$ un corps valu� complet non archim�dien. 

\begin{defi}
  Nous dirons qu'un $k$-espace analytique est de dimension finie sur $k$
  si $\dim (X) + cd_\ell(k)<+\infty$. 
\end{defi}

\begin{prop}\label{check_equiv}
  Soit $X$ un espace analytique de dimension finie sur $k$ muni d'une
  action d'un groupe $G$ � gauche, soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert
  localement fini de $X$ stable par l'action de $G$ et soit $\F\in
  \Lpf\Xet$ muni d'une action de $G$ compatible � celle sur $X$. Il
  existe  alors un complexe born� $(\I^\bullet)$ 
de faisceaux de $\La$-modules sur
  $X_{\text{�t}}$, muni d'une action de $G$ (compatible � celle sur
  $X$)
comme complexe de
  faisceaux, 
et un complexe double 
$$
C^{p,q}=\bigoplus_{\a\subset I \atop |\a|=-p+1} \GG_c(U(\a),\I^q)
$$
o� $\dpt{U(\a)=\bigcap_{i\in \a} U_i}$, 
o� $C^{p,q}\ldrt C^{p,q+1}$ est induit par $\I^q\ldrt \I^{q+1}$, qui est
muni d'une action de $G$ via les morphismes 
$$
\forall g\in G\;\;\; g_!: 
\GG_c(U(\a),\I^q)\ldrt \GG_c (U(\a).g,\I^q)
$$
tel que la suite spectrale $G$ �quivariante associ�e � la filtration
par les ligne
soit 
$$
E^{pq}_0=C^{pq}\;\;\;\; E^{pq}_1=\bigoplus_{\a\subset I\atop
  |\a|=-p+1} H^q_c(U(\a),\F) \limpl H^{p+q}_c (X,\F)
$$ 
o� l'action sur $H^{p+q}_c(X,\F)$ est celle induite par l'action de
$G$ sur $\F$.
\end{prop}

\begin{proof}
 Par d�finition une action de $G$ sur $\F$ est la donn�e
de morphismes 
$$
\forall g\in G\;\;\; g^*\F \xrig{\; \a_g\; } \F
$$
se composant de fa�on naturelle :
$$\forall g_1,g_2\in G \;\;
\a_{g_2}\circ g_2^*\a_{g_1}=\a_{g_1g_2}$$
 et v�rifiant $\a_e=Id$. De tels morphismes sont n�cessairement des
 isomorphismes et  $\a_{g^{-1}} : (g^{-1})^*\F \drt \F$ est
l'adjoint  
l'inverse de $\a_g$ via l'�galit� $(g^{-1})^*\F= g_*\F$.

Si $U$ est un ouvert de $X$ et $g$ un �l�ment de $G$, le morphisme 
$$
g_! : \R \GG_c ( U, \F) \ldrt \R \GG_c (g.U,\F)
$$
est d�fini de la fa�on suivante : $\a_{g^{-1}}$ d�finit par
adjonction un morphisme $u:\F\drt (g^{-1})_* \F$   et $g_!$ est la
compos� 
\begin{diagram}
\R \GG_c (U,\F) & \rTo^{ \R\GG_c (u) } & \R\GG_c (U, (g^{-1})_* \F) & 
\rTo^\sim & \R\GG_c (g.U,\F)
\end{diagram}
Cela d�finit bien une action � gauche au sens o� $(g_1 g_2)_!= g_{1!}
g_{2!}$.
\\

Si $\I^\bullet$ est un complexe d'injectifs dans $\Lf\Xet$
repr�sentant $\mathbb{R}\pi_* (F)$, l'action de $G$ sur $\F$ induit  une
action de $G$ sur $\mathbb{R}\pi_* (\F)$ dans $\D^+(X_{\text{�t}},\La)$ et donc une
action sur le complexe $\I^\bullet$ � homotopie pr�s au sens o�
$\forall g\in G\;\;$ on a un morphisme de complexes 
$\b_g:g^* \I^\bullet \ldrt\I^\bullet$ tel que $\b_{g_1 g_2}$ soit homotope
� $\b_{g_2}\circ g_2^*\b_{g_1}$. 

Pour avoir une vraie action nous allons nous placer dans une cat�gorie
de faisceaux plus petite.

\begin{defi}
  Si $Y$ est un espace analytique  muni d'une action de $G$, 
  nous noterons $\LpGf_{/Y_{\text{�t}}}$, resp. $\LGf_{/Y_{\text{�t}}}
$ la cat�gorie des faisceaux $\La$-adiques, resp. de $\La$-modules sur
  $Y_{\text{�t}}$ munis d'une action de $G$ compatible � celle sur
  $Y$. Nous noterons $\D(Y_{\et},\La_\bullet-G)$, $\D(Y_{\et},\La-G)$ les
  cat�gories d�riv�es associ�es.
\end{defi}

Les cat�gories 
$\LpGf_{/Y_{\text{�t}}}$ et $\LGf_{/Y_{\text{�t}}}$ 
 sont des cat�gories ab�liennes $\La$ lin�aires. Si l'action de $G$
 sur $Y$ est triviale, elles co�ncident avec
 $\La_\bullet[G]-\mathcal{F}\text{sc}_{/Y_{\text{�t}}}$, resp. 
$\La[G]-\mathcal{F}\text{sc}_{/Y_{\text{�t}}}$, les cat�gories de faisceaux de
 $\La[\GG]$-modules.  
\\ 

 \begin{defi} Notons
\begin{eqnarray*}
   \iota_\bullet:\LpGf_{/Y_{\text{�t}}} &\hookrightarrow & 
 \Lpf_{/{Y_{\et}}} \\
 \iota:\LGf_{/Y_{\text{�t}}} &\hookrightarrow  &\Lf_{/Y_{\et}} 
 \end{eqnarray*} 
les plongements canoniques, et 
\begin{eqnarray*}
  \widetilde{\pi}_* : \LpGf_{/Y_{\text{�t}}} &\ldrt & \LGf_{/Y_{\text{�t}}}
  \\
   (\F_n)_n & \longmapsto & \limp \F_n
\end{eqnarray*}
 \end{defi}

 \begin{lemm} Les cat�gories 
$\LpGf_{/Y_{\text{�t}}}$ et $\LGf_{/Y_{\text{�t}}}$
    poss�dent suffisamment d'injectifs, les foncteurs $\iota_{\bullet}$ et $\iota$
    sont exactes et envoient suffisamment d'injectifs sur des
    injectifs.
 \end{lemm}
\begin{proof}
Les foncteurs 
  $\iota_{\bullet}$ et $\iota$ poss�dent un adjoint � droite
:
$$
\mathcal{G}\longmapsto Ind^G_1 \mathcal{G}=\prod_{g\in G} g^* \mathcal{G}
$$
Soit alors $\mathcal{H}$ un objet de $\LpGf_{/Y_{\text{�t}}}$ (resp. 
de  $\LGf_{/Y_{\text{�t}}}$). 
Si $\iota(\mathcal{H})\hookrightarrow \I$ o� $\I$ est un injectif
(resp. $\iota_{\bullet} \mathcal{H} \hookrightarrow \I$), on a une injection
$\mathcal{H}\hookrightarrow Ind^G_1(\I)$ et le membre de droite est un
injectif puisque $Ind^G_1$ poss�de un adjoint � gauche. On en d�duit
que nos deux cat�gories poss�dent suffisamment d'injectifs. 
De plus $\iota(Ind^G_1 (\I))$ (resp. $\iota_{\bullet} (Ind^G_1 (\I))$)
est un injectif et donc tout objet de l'une de nos deux cat�gories 
 se plonge dans un
injectif d'image un objet injectif par $\iota$
(resp. $\iota_{\bullet}$), d'o� la seconde assertion.
\end{proof}

\begin{lemm}
On a une �galit� 
  $$\iota\circ \mathbb{R}\widetilde{\pi}_*=\mathbb{R}\pi_* \circ \iota_{\bullet}$$
\end{lemm}
\begin{proof}
 Cela r�sulte de l'�galit� $\iota\circ \widetilde{\pi}_*=\pi_*\circ
\iota_{\bullet}$, du lemme pr�c�dent et de
l'exactitude de $\iota$.
\end{proof}

Appliquons maintenant cela � $\F\in \LpGf\Xet$ : 
$$
\iota(\mathbb{R}\widetilde{\pi}_* \F) =\mathbb{R} \pi_* \iota_{\bullet} (\F)
$$
Il existe donc un complexe d'injectifs $\I^\bullet$ dans $\Lf\Xet$ o�
$\I^q=0$ pour $q<<0$ et $\I^\bullet$ est muni d'une action de $G$ tel
que $\I^\bullet \simeq \mathbb{R}\pi_* (\F)$ comme objets de la cat�gorie
d�riv�e munis d'une action de $G$. 

Rappelons que $\mathbb{R}\GG_c=\mathbb{R}\GG_!\circ \mathbb{R}\pi_*$ (lemme \ref{Rpp})
 et que donc la
cohomologie du complexe de $\La[G]$-modules $\GG_c(X,\I^\bullet)$
calcule $H^\bullet (X_{\et},\F)$ muni de son action de $G$. 

$X$ �tant de dimension finie sur $k$, $H^n_c(X,\F)=0$ pour $n>>0$ et
donc, quitte � remplacer $\I^\bullet$ par $\tau_{\leq d} \I^\bullet$
pour $d>>0$ on peut supposer que le complexe $\I^\bullet$ est born�. 
\\

\begin{lemm}
\label{resU}
  Si $f:U\ldrt X$ est �tale, la cohomologie du complexe
$\GG_c(U,\I^\bullet_{|U})$ calcule 
$H^\bullet_c(U,\F_{|U})$. C'est en particulier le cas si $U$ est un
ouvert de $X$.
\end{lemm}
\begin{proof}
 Nous noterons 
\begin{eqnarray*}
  f^*: \Lpf\Xet & \ldrt & \Lpf_{/Y_{\et}} \\
(\mathcal{G}_n)_n & \longmapsto & (f^*\mathcal{G}_n)_n
\end{eqnarray*} qui est exact et
poss�de un adjoint � gauche $(\mathcal(\G_n))_n\longmapsto 
(f_!\mathcal{G}_n)_n$. 

$\pi_*\circ f^*=f^*\circ \pi_*$, donc $\mathbb{R}\pi_*\circ f^*=f^*\circ
\mathbb{R}\pi_*$.
\end{proof}

Nous pouvons maintenant appliquer SGAIV,XVII 6.2.10  pour obtenir des
r�solutions simpliciales: 
$$
\forall\bullet \leq 0 \;\;\;\; J^{\bullet,q} =\bigoplus_{\a\subset I\atop
  |\a|=-\bullet+1 } {e_{\a}}_! e_{\a}^*\I^q \ldrt \I^q
$$
o� $e_\a:U(\a)\hookrightarrow X$.  Ces r�solutions simpliciales sont
celles associ�es au couple de foncteurs adjoints :
$$
(j_!,j^*): (\coprod_{i\in I} U_i)_{\et}^{\widetilde{}} \ldrt X_{\et}^{\widetilde{}} 
$$
o� $j:\coprod_{i\in I} U_i \drt X$
(conf�re \cite{Illusie1} par exemple).

$J^{\bullet\bullet}$ est un complexe double muni d'une action de $G$ : 
$$
J^{p,q}=\bigoplus_{\a\subset I\atop
  |\a|=-p+1 } J^{p,q}_\a
$$
et l'action de $G$ se d�compose sur les composantes en des morphismes
$$\forall g\in G\;\;\;\; g^*J^{p,q}_{g.\a} \ldrt J^{p,q}_\a$$


Le complexe double
 $$
C^{p,q}=\GG_! (X,J^{p,q})=\bigoplus_{\a\subset I\atop |\a|=-p+1} 
\GG_!(U(\a),\I^q_{|U(\a)})
$$
convient alors car d'apr�s le lemme \ref{resU} on a 
$$
E^{pq}_1=\bigoplus_{\a\subset I\atop |\a|=-p+1} H^q_c(U(\a),\F_{|U(\a)})
$$  
\end{proof} 

On peut montrer (nous n'aurons pas besoin de cette proposition) 
  en utilisant des r�solutions par des faisceaux
discrets comme dans  \citeg{Har2} :
\begin{prop}
  Sous les m�mes hypoth�ses que pr�c�demment, supposons de plus $X$
  quasi-alg�brique, $\F$ localement constant, $\forall i \; U_i$ est
  un ouvert distingu� et l'action de $G$ sur $X$ est continue. On peut
  alors trouver un complexe double comme pr�c�demment : 
 $$C^{p,q}= \bigoplus_{\a\subset
  I\atop |\a|=-p+1}
 C^{p,q}_\a$$ tel que $\forall \a\;\; C^{p,q}_\a$ soit un
  $\text{Stab}_G(U(\a))$-module lisse.
\end{prop}
\vspace{1mm}

\section
{Suite spectrale pour l'action d'un
groupe discret}\label{suit_disc}

Soit $X$ un espace analytique de dimension finie sur $k$, $\GG$ un
groupe discret agissant sur $X$ de telle mani�re que $\forall x\in
X\;\;\exists U$ un voisinage de $x$ tel que $\forall \g\in\GG\setminus
\{Id\} \;\;\g. U\cap U=\emptyset$. Le faisceau  $\GG\bc X$ sur le grand
site �tale de $k$ est alors repr�sentable par un espace analytique
obtenu par recollement de tels ouverts (utiliser 
\citeg{Berk1} 1.3.2,1.3.3).

 Soit une extension de degr� fini $L|\Ql$, $V$ un
$L$-espace vectoriel de dimension finie et $\rho:\GG\ldrt \Gl(V_\rho)$ une
repr�sentation continue pour $\GG$ muni de la topologie profinie et
$\Gl(V_\rho)$ de la topologie $\ell$-adique. 

Le morphisme 
$p:X\ldrt \GG\bc X$ �tant un isomorphisme local il est associ� � $\rho$
un
faisceau �tale $L$-adique localement constant $\F_\rho$ 
 sur $\GG\bc X$ : si
$M\subset V_\rho$ est un $\O_L$ r�seau stable par $\GG$, $\forall n\;\;
\rho_n:\GG \ldrt \Gl(M/\varpi_L^n M)$ se factorise par un sous-groupe
d'indice fini $\GG_n\lhd \GG$ et $\F_\rho=(\F_n)_n\otimes_{\O_L} L$
o� $\F_n$ est trivial sur $\GG_n\bc X$ (qui est �tale fini au dessus de
$\GG\bc X$) associ� � la repr�sentation 
$$\pi^{an}_1(\GG\bc X)\ldrt \GG_n\bc \GG \xrig{\;\;\bar{\rho}_n\;\;} \Gl(M/\varpi_L^n M)
$$
\vspace{0mm}
\begin{theo}\label{Hosch} 

\begin{enumerate} \item
Soit $\F$ un faisceau $L$-adique �tale sur $\GG\bc X$. Il y a une
suite spectrale convergente 
$$
E^{pq}_2= \Ext^{\; p}_\GG \left ( H^{-q}_c (X, p^* \F), 1\right )
\limpl H^{-(p+q)}_c ( \GG\bc X, \F)^*
$$
\item
  Il y a une suite spectrale convergente 
$$
E^{pq}_2=\Ext^{\; p}_\GG \left ( H^{-q}_c(X,L),\check{\rho}\right ) 
\limpl H^{-(p+q)}_c(\GG\bc X,\F_\rho)^*
$$
\end{enumerate}
\end{theo}
\vspace{3mm}
\begin{proof}

Commen�ons par remarque que 2) se d�duit de 1). En effet, il y a un
isomorphisme 
de faisceaux munis d'une action de $\GG$
$$
p^* \F_{\rho} \simeq \underline{V}_\rho
$$
o� $\underline{V}_\rho$ d�signe le faisceau constant muni de l'action
de $\GG$ via $\rho$. Donc 
$$
H^{-q}_c ( X,p^*\F)\simeq H^{-q}_c ( X,L) \otimes \rho
$$
comme $\GG$-modules. Si $M$ et $N$ sont deux $L[\GG]$-modules il y a une formule
d'adjonction (puisque $L$ est un corps) 
$$
\Ext^{p}_\GG ( M\otimes \rho, N)\simeq \Ext^{p}_\GG ( M,
\check{\rho}\otimes N)
$$
Qui montre donc que 1) implique 2).
\\

Passons donc maintenant � la d�monstration de 1). 

La d�monstration consiste � �crire un complexe de cohomologie
de $\check{C}ech$ � support compact dont la cohomologie calcule la cohomologie �
support compact de $X$ � coefficients dans $p^* \F$ 
dans la cat�gorie d�riv�e born�e des complexes de $L[\GG]$
modules,  et � identifier
l'image par le foncteur $\R\Hom_\GG (\bullet,1)$  de cet objet avec le
dual d'un
complexe de cohomologie de $\check{C}$ech � support compact dont la
cohomologie est 
la cohomologie � support compact de $\GG\bc X$ � coefficients dans $\F$. 
\\

 Soit $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ par
des ouverts v�rifiant 
$$
\forall i\neq j\; U_i\neq U_j\text{ et }\forall
\g\in\GG\setminus\{Id\}\;\;\; U_i.\g\cap U_i=\emptyset
$$

Nous travaillerons parfois directement avec des faisceaux $L$-adiques 
et des faisceaux de $L$-modules 
pour ne
pas alourdir les notations. Le lecteur effray� pourra travailler avec
des faisceaux $\O_L$ adiques comme pr�c�demment 
 et tensoriser par $L$ d�s qu'il verra un
$H^\bullet_c$.

Soit $\mathcal{G}\in {\O_L}_\bullet-\mathcal{F}\text{sc}\Xet$  tel que
$\F=\mathcal{G}\otimes L$. Consid�rons 
$$
\R \pi_* \mathcal{G} \in \mathbb{D}^+ ( (\GG\bc X)_{\et},\O_L)
$$
et soit $\mathcal{I}^\bullet$ un complexe de faisceaux de $L$-modules
injectifs repr�sentant $(\R\pi_* \mathcal{G})\otimes L$. Tronquons
$\mathcal{I}^\bullet$ de telle mani�re que si l'on note encore
$\mathcal{I}^\bullet$ le tronqu�, la cohomologie du complexe $\GG_!
(\GG \bc X, \mathcal{I}^\bullet)$ calcule $H^\bullet_c ( \GG\bc X,
\F)$. 
$p$ �tant �tale, $p^* \mathcal{I}^\bullet$ est un complexe de
$L$-modules  injectifs qui est muni d'une action de $\GG$. 
De plus, d'apr�s la d�monstration du lemme \ref{resU} 
$$
p^* (\R\pi_* \mathcal G) = \R \tilde{\pi}_* ( p^* \F) 
$$
o� rappelons que $\tilde{\pi}$ est l'�quivalent de $\pi$ mais pour les
faisceaux munis d'une action de $\GG$ compatible � celle sur
$X$. Donc, la cohomologie du complexe
$\GG_! (X,p^*\mathcal{I}^\bullet)$  muni de l'action de $\GG\;$  
 d�duite de celle sur $p^*\mathcal{I}^\bullet$ 
calcule
 $H^\bullet_c ( X, p^* \F)$ comme $\GG$-module. 


Consid�rons le complexe double de cohomologie de $\check{C}$ech �
support compact 
(conf�re la d�monstration de \ref{check_equiv}) associ� �
$p^*\I^\bullet$ et au 
recouvrement $(U_i.\g)_{i\in I,\g\in \GG}$ de $X$ :
\begin{eqnarray*}
  C^{p,q} &=& \bigoplus_{\a\subset I\times \GG \atop |\a|=-p+1}
  \GG_!(U(\a),p^*\I^q) \\
\end{eqnarray*}
o� $\dpt{U(\a)=\bigcap_{(i,\g)\in \a} U_i.\g}$. 

Le groupe $\GG$ op�re sur $C^{\bullet\bullet}$ via les morphismes 
$$
\forall \g\in\GG\;\;\; \GG_!(U(\a),p^*\I^q)
\xrig{\;\; \g_!\;\;} \GG_!(U(\g.\a),\I^q)
$$
 o� pour
un $\g$ l'application $\a\mapsto
\g.\a$ est d�finie gr�ce � l'hypoth�se $\forall i\neq j \; U_i\neq U_j$.

On a alors l'isomorphisme de $\GG$-module 
$$
H^n(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet})\simeq H^n (X,p^*\F)
$$

Posons pour un entier $p$ 
$$\mathcal{P}_p=\{\a\subset I\times\GG\;|\; |\a|=-p+1\;\}
$$ sur lequel $\GG$ agit � gauche via la seconde composante. Remarquons
maintenant : 

 {\bf Identit� fondamentale  : } 
 $$
C^{p,q}= \bigoplus_{\overline{\a}\in \GG\bc \mathcal{P}_p}
  \text{c-Ind}^\GG_1 \; \GG_!(U(\a),p^*\I^q) 
$$
%Consid�rons le complexe double
%$$
%\Hom_\GG(C^{\bullet\bullet},1)\simeq \Hom_\GG \left ( \bigoplus_{\overline{\a}\in
% \GG\bc \mathcal{P}_\bullet} \text{c-Ind}^\GG_1 \; \GG_!(U(\a),\J^\bullet)
%,\check{\rho} \right )
%$$

Il r�sulte de cette identit� que $\text{Tot}^\oplus
C^{\bullet\bullet}$ est un complexe de projectifs dans la cat�gorie
des $L[\GG]$-modules et que donc, si $F$ d�signe le foncteur
contravariant exact � gauche 
$\Hom_\GG(-,1)$, 
$$
\R^n F(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet}) \simeq
H^{-n}(F(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet})) 
$$
o� $\R^nF$ d�signe l'hypercohomologie de $F$. Quant � la seconde suite
spectrale d'hypercohomologie elle donne : 
$$
E^{pq}_2=R^p F (H^{-q}(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet}))\limpl \R^{p+q} F
(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet}) 
$$
or, on sait d�j� que 
$$
R^pF(H^q(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet}))
=\Ext^{\;p}_\GG \left
  ( H^{-q}_c(X,L), 1 \right )
$$

Il reste donc � montrer que $H^n ( F (\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet}))
 \simeq
H^n_c(\GG\bc X,\F)$. 
\\

Le complexe $F(\text{Tot}^\oplus C^{\bullet\bullet})$ est le complexe
simple associ� au complexe double $\Hom_\GG( C^{\bullet\bullet},1)$.
Montrons que $\Hom_\GG(C^{\bullet\bullet},1)$ est isomorphe au dual du
complexe double de cohomologie de $\check{C}$ech � support compact associ� �
$\I^\bullet$ et au 
recouvrement $(p(U_i))_{i\in I}$ de $\GG\bc X$ qui calcule 
$H^\bullet_c (\GG\bc X,\F)$, ce qui conclura. 

Notons $\mathcal{C}_p$ un ensemble de repr�sentants de
$\mathcal{P}_p$ modulo $\GG$. D'apr�s l'identit� fondamentale et la
r�ciprocit� de Frobenius pour les induites compactes 
$$
\Hom_\GG (C^{p,q},1)=\left (\bigoplus_{\a\in\mathcal{C}_p} 
\GG_! (U(\a),p^*\I^q)  \right )^*
$$
C'est le complexe double associ� au complexe de complexes
cosimpliciaux dual du complexe de complexes sipmliciaux 
associ� aux applications 
$$
\forall \a \in \mathcal{C}_{p+1} \forall \b\in \mathcal{C}_p \;\; f_{\a,\b}:
\GG_! (U(\a),p^* \I^q) \ldrt \GG_! ( U (\b),p^* \I^q)
$$
o� $f_{\a,\b}=\g_!$ s'il existe $\g\in \GG \; \g .\a\subset \b$ et
$f_{\a,\b}=0$ sinon.

Le complexe de cohomologie de $\check{C}$ech � support compact associ�
� $\I^\bullet$ et 
$(p(U_i))_{i\in I}$ est :
$$
B^{p,q}=\bigoplus_{\b\subset I\atop |\b|=-p+1} \; \GG_! \left ( \bigcap_{i\in
  \b} p(U_i),\I^q\right )
$$
On v�rifie en utilisant que  $\forall i\;\forall \g\in \GG\setminus\{Id\}\;\;
U_i.\g\cap U_i=\emptyset$ que si 
\begin{eqnarray*}
\xi:\mathcal{C}_p &\ldrt & \{ \b\subset
I\; |\; |\b|=-p+1\; \} \\
\{(i_0,\g_0),\dots,(i_{-p},\g_{-p})\} &\longmapsto &
\{i_0,\dots,i_{-p} \}
\end{eqnarray*}
alors, 
$$
\forall \b \subset I \;\;\;
\bigcap_{i\in \b} p(U_i)=\coprod_{\a\in \mathcal{C}_p\atop \xi(\a)=\b} p(U(\a))
$$
et que donc 
$$
B^{p,q}=\bigoplus_{\a\in \mathcal{C}_p} \GG_!(p(U(\a)),\I^q)
$$
or $p_{|U(\a)}:U(\a)\iso p(U(\a))$ et donc 
$$
\GG_!(p(U(\a)),\I^\bullet)\iso \GG_!(U(\a),p^*\I^\bullet)
$$
d'o� l'isomorphisme 
$$
\Hom_\GG ( C^{\bullet,\bullet},1)\simeq B^{\bullet,\bullet}
$$
(on v�rifie facilement, par exemple au niveau des complexes simpliciaux, que
les applications de bord sont les m�mes)
\end{proof}

\begin{rema}{(\it Ind�pendance du choix du recouvrement)}\label{ind_recouv}

 La suite
spectrale construite dans le th�or�me pr�c�dent semble � priori
d�pendre du choix d'un recouvrement $(U_i)_{i\in I}$ de $X$ v�rifiant
$\forall i\in I \;\forall \g\in \GG\setminus \{ Id \}\;\; U_i\cap \g . U_i
=\emptyset$. Si $\mathcal{U}$ d�signe un tel recouvrement notons
$E^{pq}_r (\mathcal{U})$ la suite spectrale associ�e.  
Si $\mathcal{U}$ et $ \mathcal{V}$ sont deux
tels recouvrements on peut toujours trouver un troisi�me recouvrement
$\mathcal{W}$ plus fin que $\mathcal{U}$ et $\mathcal{W}$ v�rifiant
ces hypoth�ses. 
Si de plus $\mathcal{V}$ est plus fin que $\mathcal{U}$
il a un  isomorphisme de suites spectrales
(pour $r\geq 2$) 
\begin{diagram}[size=1cm]
E^{pq}_r (\mathcal{U}) & \rTo^\sim & E^{pq}_r (\mathcal{V})
\end{diagram}
associ� (il s'agit d'un morphisme naturel d�fini au niveau des
complexes de cohomologie de $\check{C}$ech � support compact qui
induit un isomorphisme puisque c'est le cas au niveau des
$E^{pq}_2$). Ces isomorphismes se composent de fa�on naturel.
On a donc un syst�me inductif de suites spectrales $(E^{pq}_r
(\mathcal{U}))_{\mathcal{U}}$ o� $\mathcal{U}$ parcourt des
recouvrements v�rifiant les hypoth�ses ci dessus et o� 
 $\mathcal{U} \leq \mathcal{V}$ si
$\mathcal{V}$ est plus fin que $\mathcal{U}$. Les morphismes de
transition sont des isomorphismes et si l'on veut une d�finition
canonique ne d�pendant pas du choix d'un recouvrement on peut poser
$$
E^{pq}_r= \underset{\mathcal{U}}{
\limi} E^{pq}_r (\mathcal{U})
$$
\end{rema}

\begin{rema}\label{remeq}
  La suite spectrale est naturelle en $X,\GG,\rho$ au sens suivant :
  si $X',\GG',\rho'$ v�rifient les m�mes hypoth�ses que $X,\GG,\rho$ et si 
$$
f:X\ldrt X',\;\; g:\GG\ldrt \GG'
$$
o� $f$ est �tale fini et $g$ un morphisme de groupe 
sont tels que $$\forall \g\in \GG \;\forall x\in X\;\;
f(x.\g)=f(x).g(\g)$$ et
$$
\rho=\rho'\circ g
$$ 
alors, il y a un morphisme induit :$\bar{f}:X/\GG\ldrt X'/\GG'$ qui
induit un morphisme $\bar{f}^*\F_{\rho'}\ldrt \F_\rho$ qui induit un
morphisme 
${}^t\bar{f}_!:H^{-(p+q)}_c(X'/\GG',\F_{\rho'})^*\ldrt
H^{-(p+q)}_c(X/\GG,\F_\rho)^*$.

Il y a alors un morphisme de suite spectrales $E^{pq}_r(X',\GG',\rho')
\ldrt E^{p,q}_r(X,\GG,\rho)$ qui induit sur la limite ${}^t \bar{f}_!$
et tel que
le morphisme sur les $E^{pq}_2$ soit le morphisme 
$$\Ext^{\; p}_{\GG'} (H^{-q}_c(X',L),\check{\rho}') 
\ldrt \Ext^{\; p}_\GG (H^{-q}_c(X,L),\check{\rho})$$ qui 
se d�duit des deux applications $f_!:H^p_c(X,L)\ldrt H^p_c(X',L)$ et
$\check{\rho}'\ldrt \check{\rho}$ par fonctorialit� des Ext.

Ces  morphismes de suites spectrales se composent
naturellement au sens o� l'application $(X,\GG,\rho)\mapsto E^{pq}_r$
est un foncteur de la cat�gorie des triplets v�rifiant les hypoth�ses
ci dessus et munis de morphismes du type de ceux ci dessus dans la
cat�gorie des suites spectrales.
\end{rema}
\vspace{1mm}

Nous utiliserons en fait la variante suivante du th�or�me pr�c�dent :

\begin{theo}\label{Hoschp} Sous les hypoth�ses pr�c�dentes, 
il y a une suite spectrale $\Gal (\bar{k}| k)$ �quivariante 
$$
E^{pq}_2 = \text{Ext}^p_\GG ( H^{-q}_c ( X\hat{\otimes}_k \hat{\bar{k}}),
\check{\rho}) \limpl H^{-(p+q)}_c (\GG\bc X\hat{\otimes}_k \hat{\bar{k}}, \F_\rho)^*
$$
\end{theo}
\begin{proof}
Reprenons les notations de la d�monstration du th�or�me
pr�c�dent. Appliquons la d�monstration de ce th�or�me au recouvrement 
$(U_i\hat{\otimes} \hat{\bar{k}})_{i\in I}$ de
$X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}}$ et au complexes de faisceaux obtenus �
partir de $\mathcal{I}^\bullet$ par pull-back
vers $X\hat{\otimes}_k \hat{\bar{k}}$. L'�quivariance de la suite
spectrale obtenue ne pose alors pas de probl�me. 
\end{proof}

Les remarques \ref{ind_recouv} et \ref{remeq} s'appliquent bien s�r
�galement au th�or�me \ref{Hoschp}. 

\begin{enonce}{Variantes}
\begin{itemize}
\item Au lieu de nous placer dans le cadre des coefficients
$\ell$-adiques consid�rons des $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ coefficients. La
d�monstration pr�c�dente s'adapte aussit�t (et est m�me plus simple
puisqu'on n'a pas besoin d'utiliser la machinerie du foncteur $\R\pi_*$)
pour montrer l'existence 
d'une suite spectrale du m�me type. Le point clef �tant de remarquer
que si $M$ est un $\overline{\mathbb{F}}_\ell$-espace vectoriel alors $c-Ind^\GG_1
M$  est un $\GG$-module projectif, comme c'�tait le cas pour les $L$ coefficients. 
\item Par contre, si l'on prend comme coefficients un anneau artinien
local $R$
 de corps r�siduel un corps de caract�ristique $\ell$, la d�monstration
 ne marche pas en g�n�ral puisque les $H^{p}_c( U_i, R)$ ne sont pas
 forc�ment des $R$-modules projectifs et les induites compactes de ces
 $R$-modules ne sont donc pas forc�ment des $\GG$-modules projectifs. La
 d�monstration marche encore si tout point de $X$ poss�de une base de
 voisinages form�e d'ouverts $U$ v�rifiant $H^\bullet_c(U,R)$ est un
 $R$-module  libre.
\end{itemize}
\end{enonce}

\section[Une suite spectrale d'Hochschild-Serre pour l'uniformisation 
de R.Z.]{Une suite spectrale de Hochschild-Serre pour l'uniformisation 
de Rapoport-Zink}

La suite spectrale �tablie dans cette section n'est pas seulement
valable dans le cadre des vari�t�s de Shimura de type P.E.L.
consid�r�es dans la premi�re partie mais pour
n'importe quelle vari�t� de Shimura poss�dant une uniformisation par
des espaces rigides ``raisonnables''. 

\subsection{Sp�culations}

L'id�e de l'existence d'une suite spectrale telle qu'elle est �nonc�e
 dans le th�or�me qui suit est due � Michael Harris
(\cite{Har1} 
). Dans \cite{Har1} M.Harris d�montre l'existence de cette suite
 spectrale dans le cas de l'espace de Drinfeld uniformisant des
 vari�t�s de Shimura diff�rentes des n�tres. N�anmoins, la
 d�monstration que nous allons donner s'applique � n'importe quel type
 d'uniformisation. 

Reprenons les notations globales du premier
chapitre. Soit donc $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ et $\phi$ une classe d'isog�nie
associ�e � $b$.

\begin{defi}
$$
G^\phi (\A_f)= J_b \times G(\A_f^p)
$$
\end{defi}
Il y a donc une inclusion 
$$
I^\phi (\A_f) \hookrightarrow G^\phi (\A_f)
$$
via l'action d'un automorphisme de $\phi$ sur l'homologie
cristalline en $p$ et $\ell$-adique pour $\ell\neq p$.

Il y a alors des isomorphismes lorsque $K=K_p K^p$ varie  
\begin{eqnarray*}
I^\phi (\Q) \bc \left ( \M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p\right ) & \iso& 
\left (\M_{K_p}\times I^\phi (\Q) \bc G^\phi (\A_f)/K^p \right ) /J_b
\\
\; [x, y K^p] & \longmapsto & [x, I^\phi (\Q) y K^p ] 
\end{eqnarray*}
o�, contrairement au membre de gauche, $J_b$ agit � droite sur
$\M_{K_p}$ dans le membre de droite. 
 R�crivons donc 
l'isomorphisme d'uniformisation rigide  sous la forme 
$$
\left (\M_{K_p}\times I^\phi (\Q) \bc G^\phi (\A_f)/K^p \right ) /J_b
\iso \Sh_K^{an} (\phi)
$$
De ce point de vue l�, l'uniformisation de Rapoport-Zink est une
uniformisation p-adique. 

Pour simplifier supposons que $\rho=1$. 
Supposons l'existence d'une suite spectrale du type Hochschild-Serre
associ�e au  quotient p-adique pr�c�dent :
$$ E^{pq}_2=
\text{Ext}^{\; p}_{J_b-\text{lisse}} \left ( H^{-q}_c (\M_{K_p}\times
I^\phi(\Q) \bc G^\phi (\A_f)/K^p, \Qlb), 1 \right ) \limpl H^{-(p+q)}_c
(\Sh_K^{an} (\phi), \Qlb)^*
$$
Alors, 
$$
 H^q_c (\M_{K_p}\times
I^\phi(\Q) \bc G^\phi (\A_f)/K^p, \Qlb) = H^q_c (\M_{K_p},\Qlb)
\otimes \Qlb [I^\phi(\Q) \bc G^\phi (\A_f)/K^p]
$$
comme $J_b$-module. Et donc, 
$$
E^{pq}_2 =\text{Ext}^{\; p}_{J_b-\text{lisse}} \left ( H^q_c
(\M_{K_p},\Qlb) , \underbrace{\Homf ( I^\phi (\Q) \bc G^\phi
(\A_f),\Qlb)^{K^p}_{J_b
\text{lisse}}}_{(\mathcal{A}^\phi_1)^{K^p}}\right )
$$
o� $\mathcal{A}^\phi_1$ est un espace de ``formes automorphes sur
$G^\phi$ `` de type $1$ � l'infini.

Le th�or�me qui suit donne une d�monstration de ces sp�culations. 
La d�monstration que nous donnons est valable dans un cadre beaucoup
plus g�n�ral que celui des vari�t�s de Shimura que nous
consid�rons (par exemple dans le cadre de la conjecture 4.2 de \cite{ECM}).
 Elle est diff�rente de celle de \cite{Har1} qui ne se
g�n�ralise pas au cadre g�n�ral.

\subsection{La suite spectrale} 


Rappelons que nous notons 
$$
H^\bullet(\M_K,\Qlb)=H^\bullet(\M_K\otimes \C_p,\Ql)\otimes\Qlb
$$

Fixons $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ et $\phi$ une classe d'isog�nie dans la strate
index�e par $b$ (conf�re le chapitre \ref{uniformi_PEL}). 

Nous allons d�finir un espace de formes automorphes sur $G^\phi(\A_f)$.

\begin{defi}
  $\mathcal{A}^\phi_\rho=\{f:G^\phi(\A_f)\ldrt V_\rho \; |\; f \text{
  est } G^\phi(\A_f) \text{ lisse � droite et } \\ \forall \g\in I^\phi(\Q)\;
  \;
f(\g\bullet)=\rho(\g).f(\bullet) \}$
\end{defi}
\vspace{2mm}

Pour $\g\in I^\phi(\Q), \rho(\g)$ signifie que $\g$ est vu comme un
�l�ment de $G(\Qlb)$ via $I^\phi(\Q)\hookrightarrow
G(\Ql)\hookrightarrow G(\Qlb)$. 

Via l'isomorphisme fix� $\Qlb\iso \C$
on a 
$$
\mathcal{A}^\phi_\rho=\{f:G^\phi(\A_f)\ldrt V_\rho \;|\; f \text{ est
  lisse et } \forall\g\in I^\phi(\Q)\;\; f(\g\bullet)=\rho(\g).f(\bullet)\}
$$
o� ici $\rho(\g)$ est d�fini via $I^\phi(\Q)\hookrightarrow
I^\phi(\C)\hookrightarrow G(\C)$. 

$A^\phi_\rho$ est l'espace des ``formes automorphes sur $G^\phi$'' de
type $\rho$ � l'infini. Il est muni d'une action lisse de
$G^\phi(\A_f)$ par translations � droite.

Si $K^p\subset G(\A_f^p)\subset G^\phi(\A_f)$ nous noterons 
$(\AA^\phi_\rho)^{K^p}$ l'espace des formes invariantes par $K^p$
i.e. de niveau inf�rieur � $K^p$. 

\begin{rema}
Soit $\mathcal{A} (I^\phi)_\rho$ l'espace des formes automorphes sur
$I^\phi$ se transformant via $\check{\rho}_{|I^\phi (\R)}$ � l'infini.
Il y a alors un isomorphisme 
$$
\mathcal{A}^\phi_\rho \simeq Ind^{G^\phi (\A_f)}_{I^\phi (\A_f)}
\mathcal{A} (I^\phi)_\rho
$$
o� $Ind$ d�signe l'induite lisse.
\end{rema}

Soit $N=\dim(\M^{an})=\dim(\Sh)$. Soit $K=K_pK^p$ un niveau.
\\

\begin{defi} Posons 
$$
H^\bullet(\Sh^{an}_K(\phi)
,\LL_\rho)=H^{2N-\bullet}_c(\Sh_K^{an}(\phi)
,\LL_{\check{\rho}})^*(-N)  
$$
Le dual de Poincar� alg�brique. 
\end{defi}

\begin{rema}
Cette d�finition est compl�tement formelle puisqu'� part pour la strate
basique, ces espaces de cohomologie sont de dimension infinie. 

N�anmoins, dans le cas de la strate basique, ces groupes peuvent
s'interpr�ter comme l'aboutissement d'une suite spectrale des cycles
�vanescents $\ell$-adique (II.\ref{cycles_l_adiques})
\end{rema}

\vspace{4mm}

\begin{theo}\label{sui_spe_hhhh}
  Il y a un syst�me compatible de suites spectrales $G(\A_f)\times
  W_{E_\nu}$ �quivariant  
$$
E^{pq}_2(K_pK^p)=\Ext^{\; p}_{J_b\text{-lisse}}\left 
(H^{2N-q}_c(\M_{K_p},\Qlb)(N),(\AA^\phi_\rho)^{K^p}\right )
\limpl H^{p+q}(\Sh^{an}_K(\phi),\LL_\rho^{an})
$$
\end{theo}

Quelques remarques s'imposent avant la d�monstration :
$G(\A_f)=G(\Qp)\times G(\A_f^p)$ et $\forall g\in G(\Qp)$ il y a un
morphisme 
$$
H^{2N-q}_c(\M_{g^{-1}K_p g},\Qlb)\xrig{\; (g^{-1})_!\;} H^{2N-q}_c(\M_{K_p},\Qlb)
$$
qui induit par fonctorialit� des $\Ext$ un morphisme $E^{pq}_2(K_p K^p) 
\drt E^{pq}_2(g^{-1}K_p g K^p)$.
\\
Dire que la suite spectrale est $G(\Qp)$ �quivariante signifie que
ce morphisme est le morphisme associ� au niveau des groupes $E^{pq}_2$ � un
 morphisme de suites spectrales
$$
E^{pq}_r (K_p K^p) 
\drt E^{pq}_r(g^{-1}K_p g K^p)
$$
 qui
induit dans la limite le morphisme usuel 
$$
H^{p+q}(\Sh_K(\phi),\LL_\rho^{an})\ldrt H^{p+q}(\Sh_{g^{-1}Kg}(\phi),\LL_\rho^{an})
$$
Cela signifie �galement que ces morphismes de suites spectrales se
composent de fa�on naturelle. 
De m�me, $G(\A_f^p)$ op�re sur $\AA^\phi_\rho$ et donc induit un
morphisme pour $g\in G(\A_f^p)$ 
$$
(\AA^\phi_\rho)^{K^p}\ldrt (\AA^\phi_\rho)^{g^{-1}Kg}
$$
qui induit le morphisme  $E^{pq}_2(K)\ldrt E^{pq}_2(K_p g^{-1}K^p g)$.
La $G(\A_f^p)$ �quivariance est alors prise au m�me sens que pour
$G(\Qp)$. Quant � l'action de $W_{E_\nu}$ elle se fait sur chaque
$E^{pq}_2 (K)$ et ne pose pas de probl�me d'interpr�tation. 

Reste � expliquer ce que l'on appelle syst�me compatible. Soient donc
$K'_p \subset K_p$ et ${K^p}'\subset K^p$. La compatibilit� signifie
qu'il y a un morphisme de suites spectrales 
$$
E^{pq}_r (K') \ldrt E^{pq}_r (K)
$$
qui est induit au niveau des termes $E^{pq}_{2}$ par les morphismes
$J_b$
�quivariants 
$$
(\Pi_{K_p,K'_p })_! :
H^q_c (\M_{K_p'},\Qlb) \ldrt H^q_c (\M_{K_p},\Qlb)
$$
et l'inclusion
$$
(\mathcal{A}^\phi_\rho )^{K^p} \hookrightarrow (\mathcal{A}^\phi_\rho )^{{K^p}'} 
$$
coupl�s � la fonctorialit� de Ext. 
Bien s\^ur, ces morphismes de transition sont compatibles � l'action
de $G(\A_f)\times W_{E_\nu}$. 

\begin{proof} 
Prenons les notations suivantes pour l'uniformisation rigide : 
$$\Theta : 
I^\phi (\Q) \bc \left ( \M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p \right )\iso
\Sh_K^{an} (\phi) 
$$
Soient $(y_i)_{i\in I}$ des �l�ments de $G(\A_f^p)/K^p$ v�rifiant 
$$
G(\A_f^p)/K^p = \coprod_{i\in I} I^\phi (\Q). y_i 
$$
et notons pour tout $i$ dans $I$ $\;\; \GG_i=Stab_{I^\phi (\Q)}
(y_i)$. Nous verrons les groupes $\GG_i$ comme des sous-groupes de
$J_b$ via le plongement $I^\phi (\Q) \hookrightarrow J_b$. A un tel
choix est associ� un isomorphisme 
$$
\Xi_{(y_i)_i} :
\coprod_{i\in I} \GG_i\bc \M_{K_p} \iso I^\phi (\Q) \bc \left (
\M_{K_p} \times G(\A_f^p)/K^p\right ) 
$$
Notons $\rho_i:\GG_i \ldrt \Gl (V_\rho)$ le morphisme continu (pour
$\GG_i$ muni de la topologie profinie et $V_\rho$ la topologie
$\ell$-adique) d�fini par le compos� 
\begin{diagram}
\GG_i & \rInto & I^\phi ( \Q) & \rInto & G(\Ql) & \rTo^\rho & \Gl (V_\rho)
\end{diagram}


\begin{lemm}\label{fscth}
$$
  \Xi_{(y_i)_i}^*(\Theta^*\LL_\rho) =\coprod_{i\in I} \F_{\rho_i}
$$
o� $ \F_{\rho_i}$ est le syst�me local associ� � $\rho_i$ (cf. le d�but de
la section \ref{suit_disc}). 
\end{lemm}

\begin{proof}
 Il suffit de regarder ce que donne une variation du
niveau $K^p$ � droite sur la d�composition de gauche.
\end{proof}
 
 Nous allons avoir besoin des deux lemmes suivants : 
\begin{lemm}\label{leind} Soit $i\in I$.
  Soient $\pi_1$ une repr�sentation lisse de $J_b$ et $\pi_2$ une
  repr�sentation lisse de $\GG_i$.
$$
\Ext^\bullet_{J_b-\text{lisse}}(\pi_1,Ind^{J_b}_{\GG_i} \pi_2)\simeq \Ext^\bullet_\GG(\pi_1,\pi_2)
$$
o� les induites $Ind$ sont des induites lisses.
\end{lemm}

\begin{proof}
 Cela r�sulte de la r�ciprocit� de Frobenius usuelle pour les groupes
$p$-adiques et de 
ce que $\GG_i$ �tant discret,
$\Ext_{\GG_i-lisse}=\Ext_{\GG_i}$.
\end{proof}

\begin{lemm}\label{leprod}
  Soient $\pi$ et $(\rho_i)_{i\in I}$ des repr�sentations lisses de
  $J_b$.
Il y a un isomorphisme canonique :
$$
\prod_{i\in I} \Ext^\bullet_{J_b-\text{lisse}}(\pi,\rho_i)\simeq
\Ext_{J_b-\text{lisse}}(\pi,\left ( \prod_{i\in I} \rho _i \right )^{\text{lisse}}) 
$$
o� $(\prod_i \rho_i)^{lisse}$ est la partie lisse de la repr�sentation produit.
\end{lemm}

\begin{proof}
 Soit $P_\bullet \twoheadrightarrow \pi$ une r�solution
projective de $\pi$ dans la cat�gorie des $J_b$-modules lisses.
\begin{eqnarray*}
  \prod_{i\in I} \Ext^p_{J_b-\text{lisse}} (\pi,\rho_i) & =&
  \prod_{i\in I} H^p
  (\Hom_{J_b} (P_\bullet,\rho_i)) \\
 &=& H^p \left (\prod_{i\in I} \Hom_{J_b} (P_\bullet,\rho_i)\right ) \\
 &=& H^p \left ( \Hom_{J_b} (P^\bullet,\prod_{i\in I} \rho_i ) \right ) \\
\end{eqnarray*}
or $ \Hom_{J_b} (P^\bullet,\prod_{i\in I} \rho_i )= 
 \Hom_{J_b} (P^\bullet,(\prod_{i\in I} \rho_i)^{lisse} )$
car $P^\bullet$ �tant lisse l'image d'un morphisme de $J_b$-module dans
 $\prod_i \rho_i$ atterrit dans $(\prod_i \rho_i)^{lisse}$. 

D'o� le r�sultat.
\end{proof}


Pour $i\in I$ nous consid�rons la suite spectrale du th�or�me
\ref{Hoschp} (rappelons qu'a fin de ne pas alourdir les notations on
ne note pas les extensions des scalaires � $\Cp$) : 
$$
E^{pq}_2(i)=\text{Ext}^{\; p}_{\GG_{i}} \left (
  H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),\rho_{i}\right ) \limpl H^{-(p+q)}_c
  (\GG_i\bc \M,\F_{\check{\rho}_i})^* 
$$
Le produit de ces suites spectrales est une suite spectrale convergente 
$$
\prod_{i\in I} E^{pq}_2 (i) \limpl \prod_{i\in I}
 H^{-(p+q)}_c (\M/\GG_{i,K^p},\F_{\check{\rho}_{i,K^p}})^*
$$
L'aboutissement de cette suite spectrale se r�crit  
\begin{eqnarray*} &&
\prod_{i\in I}  H ^{-(p+q)}_c  (\M/\GG_{i,K^p},\F_{\check{\rho}_{i,K^p}})^*
\iso  H^{-(p+q)}_c (\coprod_{i\in I} \M/\GG_{i,K^p},\coprod_{i\in I}
\F_{\check{\rho}_{i,K^p}})^* \\  &&\underset{\sim}{\xrig{\; (\Xi_{(y_i)_i })_*
\;}} H^{-(p+q)}_c\left ( I^\phi (\Q)\bc \left ( 
\M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p \right ),\LL_{\check{\rho}} \right)^*
\underset{\sim}{\xrig{\;\;\Theta_*\;\;}} H^{-(p+q)}_c
(\Sh_K^{an}(\phi),\LL_{\check{\rho}})^* \\
 &\;& =  H^{p+q+2N} (\Sh_K^{an} (\phi),\LL_{\rho}) (N)
\end{eqnarray*}
Quant aux premiers termes, gr�ce au lemme  \ref{leind}
$$
\forall i\in I\;\forall p,q\;\; \text{Ext}^{\; p}_{\GG_i}
(H^{-q}_c (\M_{K_p},\Qlb),\rho_i) \simeq \text{Extp}^{\;
p}_{J_b\text{-lisse}} ( H^{-q}_c (\M_{K_p},\Qlb),
\text{Ind}^{J_b}_{\GG_i} \rho_i)  
$$
et donc gr�ce au lemme \ref{leprod}
$$
\prod_{i\in I} E^{pq}_2 (i) \simeq 
\Ext^p_{J_b\text{-lisse}}\left (H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),\left (\prod_i
  \rho_i 
\right )^{\text{lisse}}\right) 
$$

L'ingr�dient suivant est le lemme 
\begin{lemm} Il y a un isomorphisme de $J_b$-modules
$$\zeta_{(y_i)_i} : 
\left ( \prod_{i\in I} Ind_{\GG_i}^J \rho_i
 \right )^{lisse} \iso 
 (\AA^\phi_\rho )^{K^p}
$$
\end{lemm}

\begin{proof} 
D�finissons $\zeta_{(y_i)_i}$. Soit $(f_i)_{i\in I} \in \prod_{i}
Ind_{\GG_i}^J \rho_i$. On a donc, $\forall i\in I \; f_i : J_b\ldrt
V_\rho$ et est tel que $\forall \g \in \GG_i \; f_i
(\g\bullet)=\rho_i (\g) . f_i (\bullet)$. D�finissons
$f=\zeta_{(y_i)_i} ( (f_i)_i)$ : $\left
(\mathcal{A}^\phi_\rho\rho\right )^{K^p}$ s'identifie aux fonctions 
de $J_b \times G(\A_f^p)/K^p $ � valeurs dans $V_\rho$ se transformant
via $\rho$ par l'action � gauche de $I^\phi (\Q)$. 
Soit  $(a,b)\in J_b\times G(\A_f^p)/K^p$. $\exists ! i\in I\; \exists
\g \in I^\phi (\Q) \;\; b=\g.y_i$. Posons alors 
$$
f(a,b)=\rho (\g). f_i (\g^{-1} a)
$$
$f(a,b)$ est bien d�fini car si $b=\g'.y_i$ o� $\g'\in I^\phi (\Q)$
alors ${\g'}^{-1} \g \in \GG_i$ et donc 
\begin{eqnarray*}
\rho ( \g'). f_i ({\g'}^{-1} a)) &=& \rho (\g'). f_i ( ( {\g'}^{-1} \g
)  
\g^{-1} a ) \\ 
&=&  \rho (\g') \rho_i ({\g'}^{-1} \g) f_i (\g^{-1} a) = \rho (\g) f_i
(\g^{-1} a) 
\end{eqnarray*}
Par d�finition de $f$, $\forall \g \in I^\phi (\Q) \; f (\g
\bullet)=\rho (\g). f(\bullet)$. La lissit� de $f$ est claire quant �
l'action de $G(\A_f^p)$ puisqu'elle est invariante par $K^p$, quant �
la lissit� vis � vis de l'action de $J_b$ elle r�sulte de l'existence
d'un sous-groupe compact ouvert $C$ dans $J_b$ v�rifiant $\forall c\in
C\; \forall i\in I \;\; f_i (\bullet c)= f_i (\bullet)$. 

D�finissons l'inverse de $\zeta_{(y_i)_i}$. Si $f\in \left (
\mathcal{A}^\phi_\rho \right )^{K^p}$, $f: J_b \times
G(\A_f^p)/K^p\ldrt V_\rho$, pour un $i$ dans $I$ et $a$ dans $J_b$
posons 
$$
f_i (a)= f (a,y_i)
$$
$f\mapsto (f_i)_i$ est bien l'inverse de $\zeta_{(y_i)_i}$. 
\end{proof}

On obtient donc au final une suite spectrale $W_{E_\nu}$ �quivariante 
$$
E^{pq}_2((y_i)_{i\in I}) = \text{Ext}^{\; p}_{J_b-\text{lisse}} (
H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p}) \limpl 
H^{2N+p+q} ( \Sh_K^{an} (\phi) ,\LL_{\check{\rho}}) (N) 
$$
o� $E^{pq}_2 ((y_i)_i)$ et l'aboutissement ne d�pendent pas du choix
$(y_i)_i$ mais o� les autres termes en d�pendent � priori.

La suite spectrale annonc�e s'obtient en translatant verticalement
cette suite spectrale de $2N$ et en la tordant par $\Qlb (-N)$. 
\\

Montrons qu'en fait cette suite spectrale est ind�pendante du choix
des $(y_i)_i$ au sens suivant :
\begin{lemm}\label{lemme_indep}
  Supposons choisis des $(y'_j)_{j\in J},\; y'_j\in G(\A_f)/K^p$ tels que 
$$
G(\A_f)/K^p = \coprod_{j\in J} I^\phi (\Q). y'_j
$$
Il y alors un isomorphisme naturel de suites spectrales 
$E^{pq}_r ((y_i)_i)\drt E^{pq}_r((y'_j)_j)$ induisant l'identit� sur
$E^{pq}_2$ et l'aboutissement :
\begin{diagram}
  E^{pq}_2((y_i)_{i\in I}) &=&  \text{Ext}^{\; p}_{J_b-\text{lisse}} (
H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p}) \limpl  &
H^{-(p+q)}_c (\Sh_K^{an} (\phi), \LL_{\check{\rho}}) ^*
\\
\dTo^{Id} &&& \dTo_{Id} \\
  E^{pq}_2((y'_j)_{j\in J}) &=& \text{Ext}^{\; p}_{J_b-\text{lisse}} (
H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p}) \limpl &
H^{-(p+q)}_c ( \Sh_K^{an} (\phi),\LL_{\check{\rho}})^*
\end{diagram}
La naturalit� �tant prise au sens o� si l'on fait un troisi�me choix
$(y''_k)_k$ comme ci dessus 
le morphisme de suites spectrales $E^{pq}_r((y_i)_i)\drt
E^{pq}_r((y''_k)_k)$ est le compos� de $E^{pq}_r((y_i)_i)\drt 
E^{pq}_r((y'_j)_j)$ et $E^{pq}_r((y'_j)_j)\drt  E^{pq}_r((x''_k)_k)$
\end{lemm}
\begin{proof}

Quitte � r�indexer on peut supposer que $J=I$ et que $\forall i\in I
\; y'_i\in I^\phi (\Q). y_i$. Fixons pour tout $i$ dans $I$ un $\g_i$
dans $I^\phi (\Q)$ v�rifiant $y'_i=\g_i. y_i$. On a donc 
$$
\forall i\in I \; \GG'_i=Stab_{I^\phi (\Q)} y'_i=\g_i \GG_i \g_i^{-1}
$$
On d�finit comme pr�c�demment $\rho'_i$. 
Notons pour tout $i$ dans $I$ $\; E^{pq}_r (i)'$ la suite spectrale
associ�e � $(\M_{K_p},\GG'_i,\rho_i')$.

Consid�rons l'isomorphisme de suites spectrales
 associ� au morphisme de triplets 
$(X,\GG,\rho)\ldrt (X',\GG',\rho')$ par la remarque \ref{remeq} o�
 $X=X'=\M_{K_p}$, le morphisme 
 $X\drt X'$ est l'action de $\g_i\in J_b$,
 $\GG=\GG_{i},\GG'=\GG'_{i}$ et le morphisme de groupes $\GG\drt \GG'$
 est la conjugaison par $\g_i^{-1}$,
  et le morphisme  $\rho\drt\rho'\circ \text{int}_{\g_i^{-1}}$ est la
 conjugaison par $\rho (\g_i)$. A un tel choix de $(\g_i)_i$ est donc
 associ� un isomorphisme de suites spectrales  
 \begin{diagram}
   E^{pq}_r(i)  & \limpl &
   H^{p+q}_c(\GG_i\bc\M_{K_p},\F_{\check{\rho}_i} ) \\
\dTo_{\simeq}^{\a_{(\g_i)_i}} & & \dTo_{\simeq } \\
 E^{pq}_r(i)' & \limpl &
   H^{p+q}_c(\GG'_i\bc\M_{K_p},\F_{\check{\rho'}_i} ) 
 \end{diagram} 
Le morphisme $\a_{(\g_i)_i}$ induit au niveau des $E^{pq}_2$ un morphisme
$$
\text{Ext}^{\; p}_{\GG_i}
   (H^q_c(\M_{K_p},\Qlb),\rho_i) \ldrt  \text{Ext}^{\; p}_{\GG'_i}
   (H^q_c(\M_{K_p},\Qlb),\rho'_i)
$$
qui se d�crit en utilisant la fonctorialit� de Ext.

Le produit de ces isomorphismes de suites spectrales induit un
isomorphisme  de suites spectrales convergentes 
$$\prod_{i\in I} E^{pq}_r(i)\ldrt \prod_{i\in I}
E^{pq}_r(i)'$$
Rappelons qu'au choix des $y_i$ on a associ� deux isomorphismes 
$$
\prod_{i\in I} E^{pq}_2 (i)\iso \text{Ext}^{\; p}_{J_b\text{-lisse}} (
H^q_c (\M_{K_p},\Qlb), \left (\mathcal{A}^\phi_\rho\right )^{K^p}) 
$$
et 
$$
\prod_{i\in I} H^{-(p+q)}_c (\GG_i \bc \M_{K_p}, \F_{\check{\rho}_i} )^*
\iso H^{-(p+q)}_c (\Sh_K^{an} (\phi),\LL_{\check{\rho}})^*
$$
Il en est de m�me pour $y'_i$. On en d�duit l'existence de
l'isomorphisme de suites spectrales annonc�.

Afin de montrer que ce morphisme induit
bien l'identit� sur les termes associ�s � $r=2$ il faut montrer le
lemme suivant 
\begin{lemm}
  Les diagrammes suivants commutent :
  \begin{diagram}
 & & \prod_i E^{pq}_2(i) \\
& \ruTo^\simeq \\
    \text{Ext}^{\; p }_{J_b\text{-lisse}}(
    H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb),(\mathcal{A}^{\phi}_\rho)^{K^p}) & &\dTo \\
& \rdTo^\simeq \\
 & & \prod_i E^{pq}_2(i)'
  \end{diagram}
  \begin{diagram}
    \prod_i H^{p+q}_c(\GG_i\bc \M,\F_{\rho_i}) \\
 &  \rdTo^\simeq \\
\dTo_\simeq^{\prod_i {\g_i}_!} & & H^{p+q}_c (I^\phi (\Q)\bc (
  \M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p)
,\Theta^*\LL_\rho) \\
 & \ruTo^\simeq \\
 \prod_i H^{-(p+q)}_c(\GG'_i\bc \M,\F_{\rho'_i})
  \end{diagram}
\end{lemm}

\begin{proof}
 Pour le deuxi�me diagramme c'est clair puisque le diagramme
suivant commute :
\begin{diagram}
  \coprod_i \GG_i\bc \M \\
& \rdTo^\simeq \\
\dTo^{\prod_i \g_i} & & I^\phi(\Q)\bc (\M_{K_p}\times G(\A_f^p)/K^p) \\
& \ruTo^\simeq \\
\coprod_i \GG'_i\bc \M 
\end{diagram}
Quant au premier cela se ram�ne ais�ment (il suffit de suivre les
diff�rents isomorphismes) � montrer que le diagramme suivant commute :
\begin{diagram}
   & & \prod_i \text{Ind}^J_{\GG_i} \rho_i \\
& \ruTo^{\zeta_{(y_i)_i}}   \\
(\mathcal{A}_\rho^\phi)^{K^p} && \dTo_{\prod_i \Delta_i} \\
& \rdTo^{\zeta_{(y'_i)_i}} \\
 & & \prod_i \text{Ind}^J_{\GG'_i} \rho'_i
\end{diagram}
o� $\Delta_i:Ind^J_{\GG_i}\rho_i \iso Ind^J_{\GG'_i} \rho'_i$ est
induit par $(\text{int}_{g_i},\rho(\g_i)):(\GG_i,\rho_i)\drt
(\GG'_i,\rho'_i)$. La commutativit� est laiss�e au lecteur.
\end{proof}

Remarquons que l'isomorphisme de suites spectrales ainsi construit
d�pend du choix des $\g_i$ qui ne sont pas uniques. N�anmoins, si l'on
fait un autre choix de $\g_i$ l'isomorphisme de suites spectrales
induit encore l'identit� sur le premier terme de la suite
spectrale. Or deux morphismes de suites spectrales co�ncidant sur les
termes $E^{pq}_2$ co�ncident. L'isomorphisme ne d�pend donc pas du
choix des $\g_i$.

Finalement il reste � v�rifier la naturalit� des morphismes de suites
spectrales construits mais cela est clair par le m�me argument que
pr�c�demment 
puisque sur les termes $E^{pq}_2$
tous donnent l'identit�.
Cela finit la d�monstration de l'ind�pendance des du choix des $y_i$. 
\end{proof}

Afin d'avoir une d�finition intrins�que ne d�pendant pas du choix des 
$(y_i)_i$ nous poserons 
$$
E^{pq}_r = \underset{(y_i)_i}{\limp} E^{pq}_r ((y_i)_i)
$$
o� les isomorphismes de transition sont les isomorphismes construits
dans le lemme \ref{lemme_indep}. Il r�sulte �galement de ce lemme qu'il y a
un isomorphisme  
$$
E^{pq}_2 \iso\text{Ext}_{J_b-\text{lisse}} ( H^{-q}_c (\M_{K_p},\Qlb), (\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p})
$$ 
\\

Reste � v�rifier l'�quivariance de la suite spectrale.

Nous allons faire varier le groupe $K=K_pK^p$, c'est pourquoi nous
pr�ciserons les notations pr�c�dentes en notant 
$$
E^{pq}_r (K, y_i )
$$
la suite spectrale not�e auparavant $E^{pq}_r (i)$, 
$$
E^{pq}_{r} (K, (y_i)_i)
$$
la suite spectrale construite pr�c�demment associ�e � des $(y_i)_i$
v�rifiant 
$$
G(\A_f^p)/K^p=\coprod_{i\in I} I^\phi (\Q). y_i
$$
et 
$$
E^{pq}_r (K)=\underset{(y_i)_i}{\limp} E^{pq}_r (K, (y_i)_i)
$$

Commen�ons par la $G(\Qp)$ �quivariance. 
Soit $g\in G(\Qp)$ et $(y_i)_{i\in I}$. 
Puisque l'action de $G(\Qp)$ commute � celle de
$J_b$, pour
tout $i$ dans $I$  
 $g^{-1}$ induit un isomorphisme de triplet (\ref{remeq})  
$$
(\M_{g^{-1}K_p g},\GG_i,\rho_i)\iso (\M_{K_p},\GG_i,\rho_i)
$$ 
d'o� d'apr�s la remarque \ref{remeq} un isomorphisme de suites spectrales 
$$
E^{pq}_r (K_p,y_i) \iso E^{pq}_r (g^{-1} K_p g,y_i)
$$
qui induit le morphisme annonc� sur les termes $E^{pq}_2$, c'est �
dire le transpos� du morphisme 
$$
H^{-q}_c(\M_{g^{-1}K_p g},\Qlb)\xrig{\; (g^{-1})_!\;} H^{-q}_c(\M_{K_p},\Qlb)
$$
 Prenant le
produit de ces morphismes lorsque $i$ varie on obtient un isomorphisme 
$$
E^{pq}_r (K,(y_i)_i) \iso E^{pq}_r (g^{-1}K_p g K^p,(y_i)_i)
$$
Si de plus on fait un autre choix de $(y'_i)_i$, le diagramme suivant
est commutatif
\begin{diagram}[size=1cm]
 E^{pq}_r (K, (y_i)_i) & \rTo^\sim &  E^{pq}_r (g^{-1}K_p g K^p,
 (y_i)_i) \\
\dTo^\simeq & & \dTo^\simeq \\
 E^{pq}_r (K, (y'_i)_i) & \rTo^\sim &  E^{pq}_r (g^{-1}K_p g K^p,
 (y'_i)_i)
\end{diagram} 
o� les applications verticales sont celles construites dans le lemme
\ref{lemme_indep}. En effet, ce diagramme de suites spectrales commute
au niveau des termes $E^{pq}_2$, il commute donc. 
On en d�duit en prenant la limite un isomorphisme 
$$
E^{pq}_r ( K) \iso E^{pq}_r (g^{-1}K_p g K^p)
$$

Passons � la $G(\A_f^p)$ �quivariance. Soit donc $g\in G(\A_f^p)$
et $(y_i)_i$ comme pr�c�demment. 
 $g$
induit un isomorphisme
\begin{eqnarray*}
\a: G(\A_f^p)/K^p & \iso & G(\A_f^p)/ (g^{-1} K^p g) \\
 x K^p & \mapsto & xg (g^{-1}K^p g) 
\end{eqnarray*}
$\a$ commute � l'action de $I^\phi (\Q)$ et donc, comme $(y_i)_i$ est tel que
$$
G(\A_f^p)/K^p=\coprod_{i\in I} I^\phi (\Q). y_i
$$
alors 
$$
G(\A_f^p)/(g^{-1} K^p g)= \coprod_{i\in I} I^\phi (\Q). \a(y_i)
$$
Remarquons que pour  $i\in I\;\;$ $\GG_i=Stab_{I^\phi (\Q)} y_i=
Stab_{I_\phi (\Q)} \a (y_i)$. Il y a donc des �galit�s
$$
E^{pq}_r (K,y_i)= E^{pq}_r (K_p g^{-1} K^p g, \a (y_i))
$$
Prenant le produit sur $i$ on obtient l'�galit� 
$$
E^{pq}_r (K, (y_i)_i) =E^{pq}_r ( K_p g^{-1} K^p g, (\a(y_i))_i)
$$
Pour montrer que ce morphisme induit bien l'application attendue sur
les termes $E^{pq}_2$ il faut montrer le lemme suivant dont la
d�monstration ne pose aucun probl�me 
\begin{lemm}
Le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
( \mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p} & \rTo^{\zeta_{(y_i)_i}} & \prod_{i\in
I} \text{Ind}^{J_b}_{\GG_i} \rho_i \\
\dTo^\simeq & & \dEqualto \\
 ( \mathcal{A}^\phi_\rho)^{g^{-1}K^p g} & \rTo^{\zeta_{(\a(y_i))_i}} & \prod_{i\in
I} \text{Ind}^{J_b}_{\GG_i} \rho_i 
\end{diagram}
o� l'application verticale de gauche est induite par la translation d'une fonction
de $\mathcal{A}^\phi_\rho$ par $g$. 
\end{lemm}
Si maintenant $(y'_i)_i$ est un autre choix, le diagramme suivant
commute 
\begin{diagram}[size=1cm]
 E^{pq}_r (K, (y_i)_i) & \rTo^\sim &  E^{pq}_r (K_p g^{-1} K^p g,
 (\a(y_i))_i) \\
\dTo^\simeq & & \dTo^\simeq \\
 E^{pq}_r (K, (y'_i)_i) & \rTo^\sim &  E^{pq}_r (K_p g^{-1} K^p g,
 (\a(y'_i))_i)
\end{diagram}
o� les applications verticales sont celles construites dans le lemme
\ref{lemme_indep}. En effet, il r�sulte de la commutativit� du
diagramme pr�c�dent que ce diagramme commute au niveau des termes
$E^{pq}_2$. Il commute donc. Passant � la limite on obtient donc 
un isomorphisme 
$$
E^{pq}_r (K) \iso E^{pq}_r ( K_p g^{-1} K^p g)
$$

Passons maintenant � la compatibilit� lorsque $K$ varie. Soit donc
$K_p'\subset K_p$ un sous-groupe compact ouvert et $K'=K'_p K^p$. Soit $(y_i)_i$ comme
pr�c�demment. Il y a alors pour tout $i$ dans $I$ un morphisme de
triplet 
$$
(\M_{K'_p},\GG_i,\rho_i)\ldrt (\M_{K_p},\GG_i,\rho_i)
$$
qui induit un morphisme de suite spectrale $$E^{pq}_r (K,y_i)\ldrt
E^{pq}_r (K',y_i)$$ Prenant le produit des ces morphismes on obtient
un morphisme de suite spectrale 
$$
E^{pq}_r (K, (y_i)_i) \ldrt E^{pq}_r (K', (y_i)_i) 
$$
dont il est clair qu'il induit bien le morphisme attendu au niveau des
termes $E^{pq}_2$ et qu'il est compatible aux isomorphismes du lemme
\ref{lemme_indep} lorsque l'on fait varier $(y_i)_i$. 

Soit maintenant ${K^p}'\subset K^p$ un sous-groupe compact ouvert et
$K'=K_p {K^p}'$. La projection
$$
pr:G(\A_f^p)/K^p \ldrt G(\A_f^p)/ {K^p}'
$$
est compatible � l'action � gauche de $I^\phi (\Q)$.
 Soit $(y_i)_i$
tel que 
$$
G(\A_f^p)/K^p=\coprod_{i\in I} I^\phi (\Q).y_i
$$
et $(x_j)_j$ des �l�ments de $G(\A_f^p)/{K^p}'$ v�rifiant 
$$
G(\A_f^p)/{K^p}'=\coprod_{j\in J} I^\phi (\Q).x_j
$$
et $\forall j\in J\; \exists i\in I \; pr (x_j)=y_i$. Pour $j\in J$ notons $\b
(j)\in I$ l'�l�ment v�rifiant $pr (x_j)=y_{\b (j)}$. Pour tout $j\in
J$, $\GG_j \subset GG_{\b (j)}$ d'o� un morphisme de triplets
$$
(\M_{K_p},\GG_j,\rho_j)\ldrt (\M_{K_p},\GG_{\b(j)},\rho_{\b (j)})
$$
qui induit un morphisme de suites spectrales 
$$
E^{pq}_r (K, y_{\b (j)}) \ldrt E^{pq}_r (K', y_j)
$$
On obtient donc en assemblant ces morphismes un morphisme de suites spectrales 
$$
E^{pq}_r (K, (y_i)_i) \ldrt E^{pq}_r (K', (x_j)_j)
$$
Il r�sulte du lemme suivant dont la d�monstration ne pose pas de probl�me  que ce morphisme est bien le morphisme
attendu au niveau des termes $E^{pq}_2$.

\begin{lemm}
Le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p} & \rTo^{\zeta_{ (y_i)_i}} &
\prod_{i\in I} \text{Ind}^{J_b}_{\GG_i} \rho_i \\
\dInto & & \dTo \\
(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{{K^p}'} & \rTo^{\zeta_{ (x_j)_j}} &
\prod_{j\in J} \text{Ind}^{J_b}_{\GG_j} \rho_j 
\end{diagram}
o� les morphismes de gauches sont induits par les �galit�s 
$\text{Res}^{\GG_j}_{\GG_{\b(j)}} \rho_{\b(j)}= \rho_j$.
\end{lemm}
Si maintenant $(y'_j)_j$ et $(x'_j)_j$ sont comme ci dessus, il y a un
diagramme commutatif 
\begin{diagram}
E^{pq}_r (K, (y_i)_i) & \rTo & E^{pq}_r (K', (x_j)_j) \\
\dTo^\simeq & & \dTo^\simeq \\
E^{pq}_r (K, (y'_i)_i) & \rTo & E^{pq}_r (K', (x'_j)_j)
\end{diagram}
o� les application verticales sont celles construites dans le lemme
\ref{lemme_indep}. En effet, c'est d�j� le cas au niveau des termes
$E^{pq}_2$. 

On en d�duit un morphisme 
$$
E^{pq}_r (K) \ldrt E^{pq}_r(K')
$$
\\

Les actions de $G(\Qp)$ et de $G(\A_f^p)$  construites commutent et se
composent naturellement 
puisque c'est la cas au niveau des termes $E^{pq}_2$. De m�me, ces
actions commutent aux morphismes de changement de niveau construits ci
dessus. 
\end{proof}
\vspace{4mm}

\begin{coro}
  Il y a une suite spectrale $G(\A_f)\times W_{E_\nu}$ �quivariante 
$$
E^{pq}_2=\underset{K}{\limi}\;
\Ext^{\; p}_{J_b-\text{lisse}}\left 
(H^{2N-q}_c(\M_{K_p},\Qlb)(N),(\AA^\phi_\rho)^{K^p}\right )
\limpl \underset{K}{\limi}\;
H^{p+q}(\Sh^{an}_K(\phi),\LL_\rho^{an})
$$
\end{coro}

\chapter[Matsushima $p$-adique]{Application � la strate basique : ``une formule de Matsushima
$p$-adique''}

Soit $b=b_0$ la classe basique de $B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. Supposons $\Sb (b_0)\neq
\emptyset$ (ce que nous montrerons plus tard).  

Si  la classe d'isogg�nie $\phi$ induit la classe $b_0$, soit $I^\phi$
la forme int�rieure de 
$G$ associ�e. Le groupe r�ductif $I^\phi$ �tant anisotrope modulo son
centre, le $\C$-espace vectoriel 
 $\AA^\phi_\rho$ est l'espace des
formes automorphes sur $I^\phi$ de type � l'infini $\check{\rho}'$ o�  
\begin{diagram}
  \rho':I^\phi (\R) & \rInto & I^\phi (\C) =G(\C) & \rTo^\rho & \Gl (V)
\end{diagram}
au sens o�
$$
\mathcal{A}^{\phi}_{\rho}=\Hom_{I^\phi (\R)} (\check{\rho}',\mathcal{A} (I^\phi ))
$$
Nous noterons encore $\rho=\rho'$. 


Supposons maintenant $\rho$ irr�ductible et soit $\mathcal{A}(I^\phi)$
l'espace des repr�sentations automorphes de $I^\phi$ (ce n'est pas l'ensemble
des classes d'isomorphismes : on tient compte des multiplicit�s).

Le groupe de Lie 
$I^\phi(\R)$ �tant anisotrope modulo son centre, pour un sous groupe
compact ouvert $K^p$ de $G(\A_f^p)$ 
$$
(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p}=\bigoplus_{\Pi\in \mathcal{A}(I^\phi)
  \atop \Pi_\infty=\check{\rho}} \Pi_p\otimes (\Pi^p)^{K^p}
$$

 Il y un isomorphisme pour tous $p$ et $q$ 
$$
\text{Ext}^{\;
  p}_{J_b\text{-lisse}}\left ( H^q_c(\M_{K_p}),(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p}\right )
\simeq \bigoplus_{\Pi\in \mathcal{A}(I^\phi)\atop \Pi_\infty =\check{\rho}} 
\text{Ext}^{\; p}_{J_b\text{-lisse}} \left (
  H^q_c(\M_{K_p}),\Pi_p\right )\otimes (\Pi^p)^{K^p}
$$
o� $H^q_c(\M_{K_p})=H^q_c ( \M_{K_p},\Qlb)$. 
En effet, $H^q_c(\M_{K_p})$ �tant un $J_b$-module de type fini (\ref{Jfin}), les
$\text{Ext}$ se calculent par des r�solutions de $H^q_c(\M_{K_p})$ dont chaque
terme est une somme finie de termes du type 
$c-Ind^{J_b}_{K_0}\pi$ o� $K_0$ 
compact ouvert et $\pi$ de dimension finie. Or,
$$
Hom_{J_b}(c-Ind^{J_b}_{K_0} \pi, (\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p})
\simeq \Hom_{K_0}(\pi, (\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K^p})
=\Hom_{K_0}(\pi,  (\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K_1K^p})
$$
o� $K_1\subset K_0$ est compact ouvert tel que $\pi(K_1)=\{ Id\}$. 
$(\mathcal{A}^\phi_\rho)^{K_1K^p}$ est de dimension finie
(admissibilit� de l'espace des formes automorphes) et donc 
$$
\#\{ \Pi\in\mathcal{A}(I^\phi)\; |\; \Pi_\infty=\rho \;\; \Pi^{K_1
  K^p}\neq (0)\}<+\infty
$$
On en d�duit que le calcul des Ext ne fait intervenir qu'un nombre
fini de $\Pi$ d'o� le r�sultat.

On en d�duit alors en utilisant le lemme I.\ref{lemme_annulation_Ext}
ainsi que la proposition I.\ref{Jfin}
(conf�re \citeg{Har4} pour la d�finition du groupe de
Grothendieck g�n�ralis�  $\text{Groth}(G(\A_f)\times W_{E_\nu})$ ) :
\vspace{4mm}

\begin{coro}
  Il y a une �galit� dans $\text{Groth}(G(\A_f)\times W_{E_\nu})$ :
\begin{eqnarray*}
&\;& 
\sum_{i,j \atop { \Pi\in\mathcal{A}(I^\phi) \atop \Pi_\infty =\check{\rho}}}
(-1)^{i+j} \left [ \underset{K_p}{\limi}
  \text{Ext}^{\;i}_{J_b\text{-lisse}}
 \left ( H^j_c(\M_{K_p}\otimes \C_p,\Qlb)(N),\Pi_p\right ) \right ] 
\otimes 
\left [ \Pi^p \right ] \\
&=& \sum_i (-1)^i \left [ \underset{K}{\limi} H^i(
  \Sh_K^{an}(\phi),\LL_\rho^{an}) \right ] 
\end{eqnarray*}
\end{coro}

La d�composition 
$$
\Sh_K^{an}=\coprod_{\ker^1(\Q,G)} \Sh_K(G',X)^{an}
$$
induit une d�composition 
$$
sp^{-1} (\Sb(b_0))=\coprod_{\ker^1(\Q,G)} \Sh_K^{an}(G',X)\cap sp^{-1}(\Sb(b_0))
$$
o� $ \Sh_K^{an}(G',X)\cap sp^{-1}(\Sb(b_0))$ est un ouvert de
$\Sh_K(G,X)^{an}$. 

\begin{defi}
Dans la d�composition pr�c�dente nous noterons 
$$
\Sh_K(G',X)^{an}_{\text{basique}}= sp^{-1}(b_0)\cap \Sh_K (G',X)^{an}
$$
\end{defi}

Rappelons (section \ref{str_bas}) que dans le cas que nous consid�rons
les groupes $G'$ sont tous isomorphes � $G$, d'o� un isomorphisme 
des mod�les canoniques sur le corps r�flex $E(G,X)$ :
$$
\Sh_K(G,X)\iso \Sh_K(G',X)
$$
Les points g�om�triques dans $\overline{E}$ 
de $\Sh_K(G,X)\cap sp^{-1}(b_0)$ se d�crivent comme �tant associ�s �
des triplets $(A,\l,\iota)$ dont l'isocristal associ� est
basique. L'isomorphisme ci dessus induit donc un isomorphisme
d'ouverts analytiques  
$$
\Sh_K(G,X)_{\text{basique}} \iso \Sh_K(G',X)_{\text{basique}}
$$
Donc, dans $\Groth (G(\A_f)\times W_E)$ on a :
$$
[H^\bullet_c (sp^{-1} (b_0),\LL_\rho^{an})]= |\ker^1(\Q,G) |. 
[H^\bullet_c (\Sh_K(G,X)_{\text{basique}},\LL_{\rho}^{an})]
$$

�tant donn� (\ref{str_bas}) que tous les groupes $I^\phi$ sont
isomorphes et qu'il y  a $|\ker^1(\Q,G)|$ classes $\phi$ dans la
strate basique, en sommant l'�galit� du corollaire pr�c�dent sur tous
les $\phi$ intervenant dans la strate basique et en divisant par 
$|\ker^1(\Q,G)|$ on obtient le corollaire suivant :

\begin{coro}\label{coro_Matsushima}
Choisissons la classe d'isog�nie $\phi$ intervenant dans la strate basique. 
Il y a une �galit� dans $\text{Groth}(G(\A_f)\times W_{E_\nu})$ :
\begin{eqnarray*}
&\;& 
\sum_{i,j \atop { \Pi\in\mathcal{A}(I^\phi) \atop \Pi_\infty =\check{\rho}}}
(-1)^{i+j} \left [ \underset{K_p}{\limi}
  \text{Ext}^{\;i}_{J_b\text{-lisse}}
 \left ( H^j_c(\M_{K_p}\otimes \C_p,\Qlb)(N),\Pi_p\right ) \right ] 
\otimes 
\left [ \Pi^p \right ] \\
&=& \sum_i (-1)^i \left [ \underset{K}{\limi} H^i(
  \Sh_K(G,X)^{an}_{\text{basique}},\LL_\rho^{an}) \right ] 
\end{eqnarray*}
\end{coro}










%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 

these_partie3.tex
\chapter{Formule de Lefschetz sur la fibre sp�ciale}
 
Le but de ce chapitre est d'�tablir la formule des traces
\ref{Lefschetz_speciale} pour la trace de certaines fonctions dans
l'alg�bre de Hecke globale fois un �l�ment du groupe de Weil local $W_{E_\nu}$
sur la cohomologie des strates des vari�t�s de Shimura de type
P.E.L. non ramifi�es en $p$.   

L'un des points clef qui nous permettra d'utiliser cette formule est
que les termes intervenant dedans s'expriment comme un
produit de la trace d'une fonction de l'alg�bre de Hecke en $p$ sur un
espace de cohomologie fois une int�grale orbitale hors $p$.
Cette factorisation des termes locaux dans la formule des traces de
Lefschetz est une cons�quence des trois r�sultats suivants :
\begin{itemize}
\item Le th�or�me de Fujiwara \ref{theoFuji} qui sous certaines
conditions permet d'�crire ces
termes locaux comme la trace de certaines fonctions sur la fibre des
cycles �vanescents.  
\item Le th�or�me de comparaison de Berkovich qui montre que cette
fibre ne d�pend que du compl�t� formel de la vari�t� de Shimura en un
point fixe.
\item Le th�or�me de Serre-Tate (ou plus g�n�ralement l'uniformisation
de Rapoport-Zink) qui montre que ce compl�t� formel ne d�pend que de
la classe d'isomorphisme du groupe p-divisible en un point fixe et qui
permet donc de mettre en facteur la trace de notre fonction dans
l'alg�bre de Hecke en $p$ sur un espace de d�formation de groupes p-divisibles.
\end{itemize}

Pour appliquer ces trois r�sultats nous avons besoin de sp�cialiser
les correspondances de Hecke sur la fibre sp�ciale de mod�les entiers
de nos vari�t�s de Shimura. Malheureusement, � part en niveau
parahorique en $p$, on ne dispose pas de bon mod�les entiers de ces
vari�t�s. L'id�e consiste alors � consid�rer le sp�cialis� au sens de
\cite{Fuj} de l'image
directe sur la fibre g�n�rique vers un niveau parahorique d'une
correspondance de Hecke. Cependant, nous avons ensuite besoin de
montrer que les termes locaux obtenus ne d�pendent finalement que de
la situation originelle sur la fibre g�n�rique.
Afin de faire la lien avec la seconde partie nous avons �galement
besoin d'exprimer nos r�sultats sous forme analytique rigide. 
 C'est pourquoi nous d�veloppons
un formalisme de sp�cialisation des correspondances cohomologiques d'un
point de vue analytique rigide et montrons que l'isomorphisme de
Berkovich (\cite{Berk3}) est compatible � ce formalisme. 


\section{Rappels sur les correspondances cohomologiques }\label{Rappels_coho}

Ce qui suit est principalement tir� des articles \citeg{Lef},
\citeg{Pink} et \citeg{Fuj}.

\subsection{D�finition}

Soit $S$ le spectre d'un corps. Consid�rons un diagramme de sch�mas
sur $S$ 
\begin{diagram}[size=1cm]
 & &  C \\
 &  \ldTo^{c_1}(2,4) & \dTo^{c} & \rdTo(2,4)^{c_2} \\
 & & X_1 \times X_2 \\
 & \ldTo_{p_1} & & \rdTo_{p_2} \\
X_1 & & & & X_2
\end{diagram}
o� $p_1$ et $p_2$ d�signent les deux projections de $X_1\times X_2$ sur
$X_1$ et $X_2$.

 Nous supposerons toujours dans la suite que $c$ est
propre.

\begin{defi}
Si $(\F_1,\F_2)\in \D^b_c (X_1,\Qlb)\times \D^b_c(X_2,\Qlb)$ on note 
$$
\Cohf_C (\F_1,\F_2)=c_* \Homf(c_1^*\F_1,c_2^! \F_2)\in \D^b_c
(X_1\times X_2, \Qlb)
$$
le faisceau des correspondances cohomologiques � support dans $C$.

Nous noterons 
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2)=H^0 (X,\Cohf_C(\F_1,\F_2))=\Hom (c_1^*\F_1,c_2^!\F_2)
$$
Lorsque $C=X_1\times X_2$ on notera $\Cohf$, resp. $\Coh$ pour $\Cohf_C$,
resp. $\Coh_C$
\end{defi}

Rappelons que la formule d'induction implique qu'il y a un
isomorphisme canonique :
$$
c_*c^! \Cohf(\F_1,\F_2)\iso \Cohf_C (\F_1,\F_2)
$$
L'adjonction $c_* c^!\drt Id$ donne une fl�che d'oubli du support 
$$
\Cohf_C(\F_1,\F_2) \ldrt \Cohf(\F_1,\F_2) 
$$
et par application de $H^0(X_1\times X_2,-)$ : 
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2) \ldrt \Coh(\F_1,\F_2) 
$$

\subsection{Seconde d�finition }

La formule de K{\"u}nneth pour $\Homf$ (\citeg{Del-finitude}) implique qu'il
existe un isomorphisme canonique en $\F_1$ et $\F_2$ :
$$
D \F_1 \boxtimes \F_2 \iso \Cohf (\F_1,\F_2)
$$

o� $D\F=\Homf (\F, K_X)$ o� $K_X$ d�signe le faisceau dualisant sur $X$.

\subsection{Exemples}

\begin{itemize}
\item Si $\Delta_X\hookrightarrow X\times_S X$ d�signe la diagonale de
$X\times X$, on a 
$$
\Coh_{\Delta_X} (\F_1,\F_2)\iso \Hom (\F_1,\F_2)
$$
En particulier, pour tout $\F$ on notera $\Delta$ la correspondance
cohomologique sur $\F$ associ�e � $Id\in\Hom (\F,\F)$.
\item Plus g�n�ralement, si $f:X_2\drt X_1$ et $C=\GG_f\subset
X_1\times X_2$ d�signe le graphe de $f$ alors
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2)\simeq \Hom (f^*\F_2,\F_1)
$$
\item A un cycle $C\subset X\times X$
 est associ� une correspondance cohomologique de $\Ql$ dans
$c_2^!\Ql(-d)[2d]$ pour un $d\in \Z$ (cf. \citeg{Lef})
\item Soit $X_0/\Fq$ et $\F\in \mathbb{D}^+(X_0,\Qlb)$. Notons $X=X_0\times_{\Fq}
\Fqb$. Soit $Fr:X_0\ldrt X_0$ l'endomorphisme de Frobenius
relatif � $\Fq$. Il y a un isomorphisme canonique 
$$
Fr^*\F\iso \F
$$
d'o� une correspondance sur $\F$ � support dans le graphe de
$Fr$. Par extension des scalaires cette correspondance donne une
correspondance appel�e correspondance de Frobenius sur
$\overline{\F}=pr_1^*\F$ o� $pr_1:X_0\times_{\Fq}
\Fqb \drt X_0$. Elle est donn�e par 
$$
(Fr\times Id)^* \overline{\F} \ldrt \overline{\F}
$$
\end{itemize}

\subsection{Image directe}

Consid�rons un diagramme commutatif 

\begin{diagram}
 & & C \\
 & \ldTo^{c_1} & \dTo^{f'} & \rdTo^{c_2} \\
X_1 & & & & X_2 \\
\dTo^{f_1} &  & D & & \dTo^{f_2} \\
& \ldTo^{d_1} & & \rdTo^{d_2} \\
Y_1 & & & & Y_2
\end{diagram}

On peut alors d�finir (\citeg{Lef}) un morphisme 
$$
f'_* \Cohf_C (\F_1,\F_2) \ldrt \Cohf_D (f_{1!}\F_1,f_{2*}\F_2 )
$$
qui induit un morphisme image directe
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2)\ldrt \Coh_D (f_{1!}\F_1,f_{2*}\F_2)
$$
not� $u\mapsto f_* u$.

\begin{rema}
Supposons $Y_1=X_1, Y_2=X_2$ et $D=X_1\times X_2$. On retrouve alors
le morphisme d'oubli du support.
\end{rema}

Lorsque $Y_1=Y_2=D=S$ on obtient l'action d'une correspondance
cohomologique sur la cohomologie. Plus pr�cis�ment, il s'agit d'un
morphisme 
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2)\ldrt \Hom_{\D^b_c(\Qlb)} (R\GG_c(X_1,\F_1),R\GG (X_2,\F_2))
$$
et l'on notera $u\mapsto u_*$ le morphisme associ� dans ce cas l�.

\subsection{Un cas particulier}

Supposons $c_1$ propre. Dans ce cas l�, le morphisme du cas pr�c�dent
associ� � l'action d'une correspondance cohomologique se factorise par 
$R \GG_c (X_2,\F_2)\drt R \GG (X_2, \F_2)$ et poss�de une description
simple.

Soit en effet $u:c_1^*\F_1 \ldrt c_2^! \F_2$. Par adjonction, la donn�e
d'un tel $u$ �quivaut � celle de $\tilde{u}:c_{2!} c_1^* \F_1 \ldrt
\F_2$. $u_*$ est alors  d�finie par le compos�e 
\begin{diagram}
R\GG_c (X_1,\F_1) & \rTo^{c_1^*} & R \GG_c (C,c_1^*\F_1) & \rTo^\sim &
R\GG_c(X_2,c_{2!} c_1^*\F_1) & \rTo^{R\GG_c(X_2,\tilde{u})} & R \GG_c (X_2,\F_2)
\end{diagram}
o� la premi�re application est d�finie car $c_1$ est propre.

Le fait que $c_1$ propre implique que la correspondance cohomologique
agit sur la cohomologie � support compact se comprend mieux du point
de vue de la section \ref{Ext_zero}.

\subsection{Restriction}

Soient $V_1\subset X_1$ et $V_2\subset X_2$ deux sous-sch�mas
localement ferm�s. Supposons que $c_2^{-1}(V_2)\subset
c_1^{-1}(V_1)$, d'o� une ``sous-correspondance'' de $c$ 
\begin{diagram}
c_2^{-1}(V_2) & \rTo^{(c'_1,c'_2)} & V_1\times V_2
\end{diagram}
Soit donc $u\in \Coh_C (\F_1,\F_2)$ et $\tilde{u}:c_{2!}c_1^*\F_1 \drt
\F_2$ le morphisme associ� par adjonction.

Consid�rons la ligne suivante 
\begin{diagram}
c'_{2!}{c'_1}^* (\F_{1|V_1})& \rEqualto & c'_{2!} \left (
(c_1^*\F_1)_{|c_2^{-1}(V_2)}\right ) & \rTo^\sim & (c_{2!}c_1^* \F_1)_{|V_2} &
\rTo^{\tilde{u}_{|V_2}} & \F_{2|V_2}
\end{diagram}
o� l'isomorphisme du milieu est un isomorphisme de changement de base. 
Elle d�finit par adjonction une correspondance restreinte. On en
d�duit un morphisme de restriction
$$
\Coh_C (\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_{c_2^{-1}(V_2)}(\F_{1|V_1},\F_{2|V_2})
$$
Dans le cas o� $X_1=X_2$, $V_1=V_2$ nous dirons que $V_1$ est stable
par $c$. 

\subsection{Extension par z�ro}\label{Ext_zero}

Supposons $c_1$ propre. Supposons nous donn� des
compactifications $j_1:X_1\hookrightarrow\overline{X_1}$,
$j_2:X_2\hookrightarrow\overline{X_2}$ ainsi qu'une compactification
$j:C\hookrightarrow \overline{C}$ de $C$
compatible aux deux pr�c�dentes, au sens o� il y a un diagramme
commutatif 
\begin{diagram}
 C & \rInto^j & \overline{C} \\
\dTo^c & & \dTo^{(\overline{c}_1,\overline{c}_2)=\overline{c}} \\
X_1\times X_2 & \rInto^{j_1\times j_2} & \overline{X_1} \times
\overline{X_2} 
\end{diagram}
Il existe alors un isomorphisme canonique (\citeg{Fuj} lemme 1.3.1) 
$$
j_* \Cohf_C(\F_1,\F_2) \iso \Cohf_{\overline{C}} (j_{1!} \F_1,j_{2!} \F_2)
$$
qui induit un isomorphisme 
$$
\Coh_C (\F_1,\F_2) \iso \Coh_{\overline{C}}(j_{1!} \F_1,j_{2!} \F_2)
$$
not� $u\mapsto j_! u$ et qui se d�crit ainsi : $\forall u\in \Coh_C
(\F_1,\F_2)$, $u:c_1^* \F_1 \drt c_2^!\F_2$. $c_1$ �tant propre il
existe un morphisme 
$$
\overline{c_1}^*j_{1!} \F_1 \ldrt j_! c_1^* \F_1
$$
d�fini par adjonction.

Alors, 
\begin{diagram}
j_!u : & \overline{c_1}^*j_{1!} \F_1 & \rTo & j_! c_1^* \F_1 & \rTo^{j_!
(u )} & j_! c_2^! \F_2 & \rTo & \overline{c_2}^! j_{2!} \F_2
\end{diagram}
o� le dernier morphisme est d�fini par adjonction.
\\

L'extension par z�ro est compatible aux images directes au sens o�
``$j_! f_* u =\overline{f}_* j_! u$''.

En particulier, l'action de $u$ sur la cohomologie � support compact
s'interpr�te comme l'action de $j_! u$ : le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
 R\GG_c (X_1,\F_1) & \rTo^{u_*} & R\GG_c (X_2,\F_2) \\
\dTo^{\wr} & & \dTo_{\wr} \\
R\GG (\overline{X_1},j_{1!}\F_1) & \rTo^{(j_!u)_*} & R\GG
(\overline{X_2},j_{2!} \F_2)
\end{diagram}

\subsection{Accouplement des correspondances cohomologiques }

Nous supposerons d�sormais que $X_1=X_2=X$. Consid�rons un diagramme
cart�sien 
\begin{diagram}
& & E=C\times_X D \\
 & \ldTo & \dTo^e & \rdTo \\
C & & &&  D \\
& \rdTo_{c} & &  \ldTo^d \\
&& X\times_S X
\end{diagram}
i.e. $E$ est le support intersection de $C$ et $D$. 

Il y a alors un morphisme (\citeg{Lef} paragraphe 4) d'accouplement des
correspondances cohomologiques 
$$
\Cohf_C(\F_1,\F_2)\otimes \Cohf_D (\F_2,\F_1) \ldrt e_* K_E
$$
qui induit une forme bilin�aire 
\begin{eqnarray*}
\Coh_C(\F_1,\F_2) \otimes \Coh_D (\F_2,\F_1) &\ldrt & H^0 (E,K_E) \\
u\otimes v & \longmapsto & <u,v>
\end{eqnarray*}

\subsection{Termes locaux de Lefschetz} 

Il y a un isomorphisme 
$$
H^0 (E,K_E) \iso \bigoplus_{\b\in \pi_0 (E) } H^0 (\b,K_\b)
$$
et si $\b\in \pi_0 (E)$, $\dim \b=0$, alors $K_\b=\Qlb$ et donc 
$H^0(\b,K_\b)\iso\Qlb$.
On note alors $<u,v>_\b\in \Qlb$ l'image de $<u,v>$ par les deux
applications ci dessus. 

Ces termes locaux sont invariants par localisation �tale. Cependant,
en g�n�ral, ils ne d�pendent pas que de la fibre des faisceaux en des
points fixes.

\subsection{Formule de Lefschetz Verdier Grothendieck}

Elle dit simplement que l'accouplement des correspondances
cohomologiques est compatible aux images directes propres. 

Plus pr�cis�ment, �tant donn� un diagramme commutatif dont les faces
sup�rieures et inf�rieures sont cart�siennes 
\begin{diagram}[size=8mm]
 & & C& & \lTo && E \\
& \ldTo  & \vLine &&& \ldTo  & \dTo_b \\
X\times X &&  \lTo &\HonV & D   \\
\dTo~{f=f_1\times f_2} &&  \dTo & & \dTo \\
  & & C' &  \lTo & \VonH &  \hLine  & E' \\
 & \ldTo &&  &  & \ldTo \\
Y \times Y && \lTo & & D'
\end{diagram}
o� $f_1$ et $f_2$ sont propres. Alors, le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
\Coh_C(\F_1,\F_2)\otimes \Coh_D(\F_2,\F_1) & \rTo & H^0 (E,K_E) \\
\dTo^{f_{1*}\otimes f_{2*} } & & \dTo_{b_*} \\
\Coh_{C'}(f_{1*}\F_1,f_{2*}\F_2)\otimes
\Coh_{D'}(f_{2*}\F_2,f_{1*}\F_1) & \rTo & H^0(E',K_{E'})
\end{diagram}
soit : $$<f_*u,f_*v>=b_*<u,v>$$
\\

En particulier, si $X$ est propre sur $S$, si $(u,v)\in
\Coh_C(\F_1,\F_2)\times \Coh_D(\F_2,\F_1)$ et si $\dim E=0$ alors, 
$u_*\in \Hom( R\GG (X_1,\F_1),R\GG (X_2,\F_2))$ et $v_*\in 
\Hom( R\GG (X_2,\F_2),R\GG (X_1,\F_1))$ et 
$$
\text{Tr} (v_*\circ u_*)=\sum_{\b \in \pi_0 (E)} <u,v>_\b
$$
\\

Supposons de plus que $\F_1=\F_2=\F$ et que $v=\Delta$ la
correspondance diagonale. 
\begin{defi}
Nous noterons
$$\text{Fix}(c)=C\times_{X\times X} \Delta_X$$
et si $\beta\in \pi_0 (\text{Fix} (c))$, $\dim \b=0$ ($\b$ est un point fixe
isol�) 
$$
\text{Loc}_\b (u)=<u,\Delta>_\beta \in \Qlb 
$$
\end{defi}

Ainsi, lorsque tous les points fixes sont isol�s 
$$
\text{tr}(u, R\GG (X,\F))=\sum_{\b\in \pi_0(\text{Fix}(c))}
\text{Loc}_\b (u)
$$

\subsection{Termes locaux na{\"\i}fs} 

Soit $u\in \Coh_C (\F,\F)$ et soit $\b\in \pi_0 (\text{Fix} (c)), \dim
\b=0$. Soit $x=c_1 (\b)=c_2 (\b)\in X$ et supposons $c_2$ quasi-fini
au voisinage de $x$. 

Le morphisme 
$u:c_1^*\F \drt c_2^! \F$ induit par adjonction $\tilde{u}:c_{2!} c_1^* \F \drt \F$, et
$c_2$ �tant quasi-fini au voisinage de $x$ 
$$
(c_{2!}c_1^*\F)_x \simeq \bigoplus_{y\in c_2^{-1} (x)} (c_1^*\F)_y 
$$
D'o� un morphisme $\F_x = (c_1^*\F)_\b \hookrightarrow
(c_{2!}c_1^*\F)_x$ qui compos� avec $\tilde{u}_x$ donne un
endomorphisme 
$$
u_\b\in \End (\F_x)
$$
\begin{defi}
On pose 
$$
\text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u)=\text{Tr} (u_\b)\in \Qlb$$
\end{defi}

\subsection{Interpr�tation des termes locaux na{\"\i}fs comme de vrais
termes locaux}

Bien que $\text{Loc}_\b (u)$ soit invariant par localisation �tale, il
ne d�pend pas que de la limite $\F_{c_1(\b)}$ i.e. en g�n�ral 
$\text{loc}_\b \neq \text{Loc.na{\"\i}f}_\b$. 
\\

Dans \citeg{Pink} il est d�montr� que si $\b$ v�rifie les hypoth�ses
pr�c�dentes alors le calcul de $\text{Loc}_\b (u)$ se ram�ne � la
situation suivante :
$
j:X\setminus \{ x \}\hookrightarrow X
$
est stable par $c$. Et qu'alors, 
$$
\text{Loc}_\b (u)= \text{Loc}_\b (j_! j^* u)+\text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u)
$$
Le premier terme dans le membre de droite s'interpr�tant donc comme
un terme d'erreur par rapport au terme local na{\"\i}f. 

Le calcul de $\text{Loc}_\b (u)$ se ram�ne donc au cas o� la fibre du
faisceau est nulle.

\subsection{Exemples}

\begin{itemize}
\item Si $X$ est lisse, $\F$ localement constant et l'intersection en
$\b$ de $C$ et $\Delta$ est transverse 
$$
\text{Loc}_\b (u)= \text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u) 
$$
\item Si $X$ est lisse, si $u$ est la correspondance sur le faisceau
constant associ� � un cycle, si $\b$ est isol�, l'application classe
de cycle transformant le produit d'intersection des cycles en
cup-produit,
$$
\text{Loc}_\b (u)=(C.\Delta)_\b
$$

\end{itemize}

\subsection{Un lemme sur les termes locaux na{\"\i}fs}

Ce lemme nous servira plus tard dans la d�monstration du th�or�me
\ref{Lefschetz_speciale}.

\begin{lemm}\label{ramene}
Soit 
\begin{diagram}[size=8mm,labelstyle=\scriptstyle]
C & \rTo^{(c_1,c_2)} & X\times X \\
\dTo^{f'} & & \dTo^{f\times f} \\
D & \rTo^{(d_1,d_2)} & Y\times Y
\end{diagram}
un morphisme de correspondances o� les $c_i,d_i (i=1,2)$ sont finis et
o� $f'$ et $f$ sont �tales finis. Supposons que $\dim
\text{Fix}(D)=0$, et que 
$$
\forall \G \;\forall u\in \Coh_D (\G)\;\; \forall \b\in \text{Fix}(D) \;\;\;
\text{Loc}_\b (u)=\text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u)
$$
Alors, $\dim \text{Fix}(C)=0$, et $$\forall \F\;\forall u\in
\Coh_C(\F) \;\forall \b'\in  \text{Fix}(C)\;\;\; \text{Loc}_\b
(u)=\text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u) 
$$
\end{lemm}
\begin{proof}
L'assertion $\dim \text{Fix}(C)=0$ 
 r�sulte du fait que $f'$ envoie les points fixes de $C$
sur ceux de $D$ 
et de la finitude des fibres de $f'$. 

Quant � la seconde assertion elle r�sulte facilement de l'invariance
par localisation �tale des termes locaux de Lefschetz appliqu�e �
$f_*\F$ muni de la correspondance cohomologique $f_* u$ et de la
d�finition des termes locaux na{\"\i}fs. 
\end{proof}

\section{Le th�or�me de Fujiwara}

Le th�or�me qui suit, d�montr� par Fujiwara dans \citeg{Fuj}, avait
�t� conjectur� par Deligne. Des r�sultats partiels avaient �t� obtenus
par Zink (\citeg{Zink_Lef}) et Pink (\citeg{Pink}).

\begin{theo}\label{theoFuji}
Soit \begin{diagram}
C_0 & \rTo^{(c_1,c_2)} & X_0
\end{diagram} une correspondance d�finie sur $\Fq$. Soit $k|\Fq$ et notons 
$X=X_0\times_{\Fq} k$, $C=C_0\times_{\Fq} k$ et $Fr$ la correspondance
de Frobenius sur $X_0$ �tendue � $X$.

Supposons $c_2$ quasi-fini et notons 
$$
\forall \b\in C\;\;\;\; d(\b)=[k(\b):k(c_2(\b))]_{insep.}
. \text{long} \left ( \O_{c_2^{-1}(c_2(\b)),\b}\right )
$$
Alors, $\forall N\in \N \;\; \forall \b\in \text{Fix}(C.Fr^N)$,
$q^N>d(\b) \limpl \b$ est un points fixe isol� et 
$$
\forall \F \; \forall u\in \Coh_{C.Fr^N}(\F,\F) \;\;\; \text{Loc}_\b
(u)=\text{Loc.na{\"\i}f}_\b (u)
$$
\end{theo}

\section{Sp�cialisation des correspondances cohomologiques
alg�briques}

Soit $S=\spec (\O)$ un trait de point g�n�rique $\eta$ et de point
ferm� $s$. Nous noterons $\La$ un anneau de coefficients de torsion
premi�re � $p$ ou bien $\Qlb$. 

Nous noterons $\Rpsi$ (ou souvent, afin de na pas alourdir
les notations, $\rpsi$) le foncteur des cycles �vanescents. De m{\^e}me,
pour un morphisme $f$ au dessus de $S$ nous noterons $f_{\bar{s}}$ sa
fibre sp�ciale �tendue � $\bar{s}$ et $f_\eta$ sa fibre g�n�rique
(mais souvent, lorsqu'il n'y a pas d'ambigu{\"\i}t�, nous noterons
$f$ pour $f_{\bar{s}}$ et $f_\eta$). 

\subsection{R�gles de calculs sur les cycles �vanescents}\label{RegPsi}

\subsubsection{Image directe}

Soit $f:X\ldrt Y$ au dessus de $S$. Il y a alors un morphisme naturel
(\citeg{Cycles} 2.1.7.)  
$$
\rpsi f_* \ldrt f_* \rpsi
$$
qui est un isomorphisme lorsque $f$ est propre. Ce morphisme est bien
s{\^u}r compatible � la composition :
\begin{diagram}[size=9mm]
\rpsi ( (fg)_*) & \rEqualto & \rpsi (f_* g_*) & \rTo & f_* \rpsi (g_*)
\\
\dTo & & & & \dTo \\
(fg)_* \rpsi & \rEqualto & & & f_* g_* \rpsi 
 \end{diagram}

est un diagramme commutatif.

\subsubsection{Image inverse}
Pour $f:X\ldrt Y$ il y �galement un morphisme naturel (\citeg{Cycles} 2.1.7.)
$$
f^* \rpsi \ldrt \rpsi f^* 
$$
qui est un isomorphisme lorsque $f$ est lisse. Comme ci dessus ce
morphisme est compatible � la composition vis � vis de l'�galit�  $(f
g)^*=g^* f^*$.  

\subsubsection{Compatibilit� au changement de base}

\begin{lemm}\label{RpsiBC}
Soit 
\begin{diagram}[size=9mm]
X' & \rTo^{f'} & Y' \\
\dTo^{g'} & & \dTo^g \\
X & \rTo^f & Y 
\end{diagram}
un diagramme sur $S$. Pour $\F\in \D^+ (Y',\Lambda)$ consid�rons le
morphisme de changement de base 
$$
f^* g_* \F \xrightarrow{\; \a (\F)\; } g'_* {f'}^* \F
$$
Le diagramme suivant commute :
\begin{diagram}[size=9mm]
f^* g_* \rpsi (\F) & \rTo^{\a (\rpsi (\F))} & g'_* {f'}^* \rpsi (\F) \\
\uTo & & \dTo \\
f^* \rpsi (g_* \F) & & g'_*\rpsi ({f'}^*\F) \\
\dTo & & \uTo \\
\rpsi (f^*g_* \F) & \rTo^{\rpsi (\a (\F))} & \rpsi (g'_* {f'}^* \F)
\end{diagram}
o� les applications verticales sont d�duites des fonctorialit�s
pr�c�dentes par image directe et image inverse.
\end{lemm}
\begin{proof}
Elle ne pose aucun probl�me.
\end{proof}

\subsection{Sp�cialisation}
Consid�rons un diagramme au dessus de $S$ : 
\begin{diagram}[size=8mm]
 & & C \\
 & \ldTo^{c_1} & & \rdTo^{c_2} \\
X_1 & & & & X_2
\end{diagram}
o� comme d'habitude $c:C\ldrt X_1\times X_2$ est propre. 

Fujiwara a d�fini dans \citeg{Fuj} un morphisme de sp�cialisation des
correspondances cohomologiques 
$$
\Coh_{C_\eta} (\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_{C_{\bar{s}}} (\Rpsi
(\F_1),\Rpsi (\F_2))
$$
La d�finition de ce morphisme utilise l'existence de l'isomorphisme
$\rpsi D \simeq D \rpsi$ qui se transpose mal au cadre de la g�om�trie
rigide. Afin d'avoir une description simple qui se transporte dans le
cadre de la g�om�trie rigide nous allons d�crire le morphisme de
sp�cialisation dans un cadre plus restreint.
Nous ferons pour cela l'hypoth�se suivante :
\\

{\it Hypoth�se : } $c_1$ et $c_2$ sont propres.
\\

Soit donc $u\in \Coh_{C_\eta}(\F_1,\F_2)$, $u:c_{1\eta}^* \F_1 \drt
c_{2\eta}^! \F_2$. $c_2$ �tant propre il lui est associ� 
$\tilde{u}: c_{2\eta *} c_{1\eta }^* \F_1 \drt \F_2$.
D'o� 
$$
\Rpsi (\tilde{u}) : \Rpsi (c_{2\eta *} c_{1\eta }^*\F_1) \ldrt \Rpsi (\F_2)
$$
Appliquant les diverses fonctorialit�s de $\rpsi$ et la propret� de
$c_2$ on obtient alors la ligne suivante : 
\begin{diagram}
c_{2\bar{s}_*} c_{1\bar{s}}^*\Rpsi (\F_1) & \rTo &
c_{2\bar{s}*}\Rpsi (c_{1\bar{s}}^*\F_1) & \lTo^\sim & 
\Rpsi (c_{2\bar{s}*}c_{1\bar{s}}^*\F_1) & \rTo^{ \Rpsi (\tilde{u})} &
\Rpsi (\F_2) 
\end{diagram}
qui fournit par
 adjonction un $u_{\bar{s}}\in \Coh_{C_{\bar{s}}}(\Rpsi
(\F_1),\Rpsi (\F_2))$ dont on peut v�rifier qu'il co{\"\i}ncide avec celui
d�fini par Fujiwara (nous n'utiliserons pas ce fait par la suite).  
\\

La proposition qui suit est d�montr�e par Fujiwara (proposition 1.6.1
de \citeg{Fuj}). N�anmoins nous aurons besoin de d�montrer son
analogue pour les correspondances rigides. Sa d�monstration ne
s'adaptant pas dans le cadre rigide, nous  donnons une d�monstration
(sous nos hypoth�ses plus restrictives) 
qui n'utilise pas la dualit� $D$ et le fait que $\rpsi$ commute �
cette dualit�. 

\begin{rema}
  Si $\mathfrak{X}$ d�signe un sch�ma formel sur $S$ de la forme
  $\widehat{X}_{/V}$ o� $X$ est un sch�ma  s�par� de type fini sur
  $S$, et $V$ un sous sch�ma localement ferm� de sa fibre sp�ciale
  alors, il r�sulte de l'isomorphisme de comparaison de Berkovich
et de la commutation des cycles �vanescents alg�briques � la dualit�  que
  si $\F$ d�signe un faisceau �tale constructible de torsion premi�re
  � $p$ sur $X_{\et}$,  il y a un isomorphisme 
$$
D\Rth ( \F^{an}_{|\X^{an}}) \simeq \Rth ( D( \F^{an}_{|\X^{an}}) )  
$$
(on utilise �galement la commutation de $D$ au foncteur $\F\mapsto
\F^{an}$, conf�re \cite{Berk5}). N�anmoins, cet isomorphisme d�pend �
priori du choix de la r�alisation de $\X$ comme le compl�t� formel
d'un $X$ le long d'un $V$ et n'est donc pas formul� de fa�on
intrins�que. 
\end{rema}

\begin{prop}\label{speima}
Soit un diagramme sur $S$
 \begin{diagram}[size=8mm]
 & & C \\
 & \ldTo^{c_1} & \dTo^{f'} & \rdTo^{c_2} \\
X_1 & & & & X_2 \\
\dTo^{f_1} &  & D & & \dTo^{f_2} \\
& \ldTo^{d_1} & & \rdTo^{d_2} \\
Y_1 & & & & Y_2
\end{diagram}
o� $f_1,f_2,c_1,c_2,d_1,d_2$ sont propres. Alors, le diagramme suivant commute
:
\begin{diagram}[size=9mm]
\Coh_{C_{\eta}} (\F_1,\F_2) & \rTo & \Coh_{C_{\bar{s}}} (\Rpsi
(\F_1),\Rpsi (\F_2)) \\
\dTo^{f_{\eta *}} & & & \rdTo{f_{\bar{s} *}} \\
 & & & & \Coh_{D_{\bar{s}}}(f_{1\bar{s} *}\Rpsi (\F_1), f_{2\bar{s} *} \Rpsi (\F_2))
\\
 & & & \ruTo^\simeq \\
\Coh_{D_{\eta}} ( f_{1 \eta *}\F_1, f_{2\eta * } \F_2) & \rTo &
\Coh_{D_{\bar{s}}} (\Rpsi (f_{1\eta * }\F_1), \Rpsi (f_{2 \eta *}\F_2)
\end{diagram}

\end{prop}
\begin{proof}
Soit $u\in \Coh_{C_\eta} (\F_1,\F_2)$. 
Appliquons le lemme \ref{RpsiBC} au carr� de gauche et au morphisme de
changement de base $d_1^*f_{1*} \ldrt f'_* c_1^* $. On obtient un
diagramme commutatif 
\begin{diagram}[size=1cm]
d_1^* f_{1*} \rpsi (\F_1) & \rTo && & f'_* c_1^* \rpsi (\F_1) \\
\uTo^\simeq & && & \dTo \\
d_1^* \rpsi (f_{1*} \F_1) & & \boxed{\boldsymbol{\mathcal{D}}} & & f'_*\rpsi
(c_1^*\F_1) \\
\dTo & & && \uTo^\simeq \\ 
\rpsi (d_1^* f_{1*} \F_1) & \rTo && & \rpsi (f'_* c_1^*\F_1) 
\end{diagram}

Consid�rons maintenant le diagramme 

\begin{diagram}[size=1cm]
d_{2*} d_1^* f_{1*} \rpsi (\F_1) & \rTo && & d_{2*} f'_* c_1^* \rpsi
(\F_1) & \rEqualto & f_{2*} c_{2*}c_1^* \rpsi (\F_1) &
\rTo^\b & f_{2*} \rpsi (\F_2) \\
\uTo^\simeq & && & \dTo & & \dTo & \ruTo(2,4)~{\scriptstyle{\a}} & \uTo^\simeq  \\ 
d_{2*}d_1^* \rpsi (f_{1*} \F_1) & & 
\boxed{d_{2*}\boldsymbol{\mathcal{D}}} & & d_{2*}f'_*\rpsi 
(c_1^*\F_1) & \rEqualto & f_{2*} c_{2*} \rpsi (c_1^*\F_1)   \\
\dTo & & & &  \uTo^\simeq & & \uTo^\simeq  \\
d_{2*} \rpsi (d_1^* f_{1*} \F_1) & \rTo && & d_{2*}\rpsi (f'_*
c_1^*\F_1)  & & f_{2*} \rpsi (c_{2*} c_1^*\F_1)  \\
\uTo^\simeq & &&& \uTo^\simeq & & \uTo^\simeq \\
\rpsi (d_{2*} d_1^* f_{1*} \F_1) & \rTo & & & \rpsi (d_{2*} f'_*
c_1^*\F_1) & \rEqualto & \rpsi (f_{2*} c_{2*} c_1^* \F_1) & \rTo &
\rpsi (f_{2*} \F_2) \\
\end{diagram}
\\

Le carr� en haut � gauche est obtenu en appliquant $d_{2*}$ �
$\mathcal{D}$. Il commute donc. 
L'application $\a$ est �gale � $f_{2*} \rpsi (\tilde{u})$ (o�
$\tilde{u} : c_{2*} c_1^* \F_1 \drt \F_2$). L'application $\b$ est
d�finie � partir de $\a$ de telle mani�re que le triangle sup�rieur commute. 

L'autre triangle (ou plut{\^o}t trap�ze) et tous les autres rectangles
 dans le diagramme commutent 
 car ils sont tous associ�s � des cas de
fonctorialit� par image directe ou inverse des cycles �vanescents
 (cf. \ref{RegPsi}).  

On en d�duit donc que le grand rectangle ext�rieur  commute. 

Le r�sultat s'en d�duit car en parcourant la ligne du haut on obtient
l'image directe de la correspondance sp�cialis�e tandis qu'en joignant
les deux sommets du haut en passant par les trois autres cot�s on
obtient la sp�cialisation de l'image directe. 

\end{proof}


\begin{coro}
Si $X_1/S$ et $X_2/S$ sont propres alors la suite spectrale des cycles
�vanescents est �quivariante pour l'action de $u_{\bar{s}}$ sur le
terme initial et de $u$ sur l'aboutissement : le diagramme suivant
commute
\begin{diagram}[size=8mm]
R\GG (X_{1\bar{s}},\Rpsi (\F_1)) & \rTo^\sim & R\GG
(X_{1\bar{\eta}},\bar{\F}_1) \\
\dTo^{(u_{\bar{s}})_*} & & \dTo^{\bar{u}_*} \\
  R\GG (X_{2\bar{s}},\Rpsi (\F_2)) & \rTo^\sim & R\GG
(X_{2\bar{\eta}},\bar{\F}_2)
\end{diagram}
\end{coro}

\section{Cycles �vanescents analytiques rigides}
\subsection{Rappels} \label{Rappels_Berk}

Soit $\X$ un sch�ma formel localement formellement de type fini sur $\spf(\O)$ de
fibre g�n�rique $\X^{an}$ et de fibre sp�ciale $\X_s$. 

Il y a un isomorphisme de sites :
$$
(\X_s)_{\et} \iso 
\X_{\et} 
$$
Si de plus $U/\X$ est �tale, $U^{an}/\X^{an}$ est quasi-�tale. On a
donc un diagramme de sites 
\begin{diagram}[size=1cm]
(\X_s)_{\et} & \rEqualto & \X_{\et} & \lTo^\nu & \X^{an}_{q-\et} &
\rTo^\mu & \X^{an}_{\et}
\end{diagram}
\\

Rappelons (m{\^e}me si nous ne l'utiliserons pas dans la suite) que
$\X^{an}_{q-\et}\simeq \X^{rig}_{\et}$ et que $\mu^* :
\widetilde{\X^{an}_{\et}} \ldrt \widetilde{\X^{an}_{q-\et}}$ est
pleinement fid�le d'image essentielle les faisceaux surconvergents sur
$\X^{rig}_{\et}$. 
\\

Berkovich pose alors (\citeg{Berk2},\citeg{Berk3}) 
$$
\Theta =\nu_* \mu^* : \widetilde{(\X^{an})_{\et}} \ldrt \widetilde{(\X^{s})_{\et}}
$$

Si $\hat{\bar{\eta}}$ d�signe le compl�t� de $\bar{\eta}$ il y a
�galement un
foncteur 
$$
\Theta_{\bar{\eta}} :  \widetilde{(\X^{an})_{\et}} \ldrt
\widetilde{(\X^{an}\hat{\otimes}{\hat{\bar{\eta}}})_{\et}} \ldrt
\widetilde{(\X_{\bar{s}})_{\et}} 
$$
obtenu gr�ce � l'extension des scalaires de $\eta$ �
$\hat{\bar{\eta}}$.

Soit $\Lambda$ un anneau local artinien de torsion premi�re �
$p$. Nous consid�rerons 
$$
\Rth : \D^+ ( \X^{an},\Lambda) \ldrt \D^+ ( \X_{\bar{s}}, \Lambda)
$$
$\Rth (\F)$ est muni d'une action de $\Gal (\bar{\eta}| \eta)$ compatible �
celle sur $\X_{\bar{s}}$. 

Rappelons le th�or�me de Berkovich 

\begin{theo}[\citeg{Berk3}] Soit $X/S$ un sch�ma de type fini et
$Y\subset X_s$ un sous-sch�ma localement ferm� de sa fibre
sp�ciale. Pour tout faisceau �tale ab�lien constructible $\F$ de torsion premi�re
� $p$, $\forall q\in \N$ il existe un isomorphisme canonique :
$$
\text{R}^q \Psi_{\bar{\eta}} (\F)_{|Y}\iso \text{R}^q \Theta_{\bar{\eta}} (\widehat{\F}_{/Y})
$$
o� $\widehat{\F}_{/Y}$ d�signe la restriction de $\F^{an}$ sur
$X_\eta^{an}$ au domaine analytique $(\widehat{X}_{/Y})^{an} \hookrightarrow
X_\eta^{an}$. 
\end{theo}

Rappelons comment est construit ce morphisme. Commen{\c c}ons par construire un
morphisme 
$$
\Psi_{\bar{\eta}} (\F)_{|Y} \ldrt \Theta_{\bar{\eta}} (\widehat{\F}_{/Y})
$$
$\Psi_{\bar{\eta}} (\F)_{|Y}$ est le faisceau associ� au pr�faisceau qui
� un $U/Y_{\bar{s}}$ �tale associe $\underset{\mathcal{D}}{\limi}
\bar{\F} (V_\eta)$ o� la limite inductive est prise selon les
diagrammes $\mathcal{D}$ suivants 
\begin{diagram}[size=8mm]
U & & \rTo & & V \\
\dTo & & & & \dTo^{\text{�tale}} \\
Y_{\bar{s}} & \rInto & X_{\bar{s}} & \rTo & \bar{X} 
\end{diagram}

$ \Theta_{\bar{\eta}} (\widehat{\F}_{/Y})$ est le faisceau qui � $U/Y_{\bar{s}}$
�tale associe $\GG(\tilde{U}^{an},\bar{\F}^{an})$ o�
$\tilde{U}/\widehat{X}_{/Y}$ est l'unique rel�vement �tale de $U$ et
$\tilde{U}^{an}/X_{\hat{\bar{\eta}}}^{an}$ est quasi-�tale (rappelons
que si $A\xrig{p} X^{an}$ est quasi-�tale et $\G$ est un faisceau  sur $X^{an}_{\et}$,
$\GG(A_{\et},p^* \G)= \GG(A_{q-\et},\mu^* \G)$). 

Soit donc maintenant $\mathcal{D}$ un diagramme comme pr�c�demment et
$s\in \GG(V_\eta,\bar{\F})$. Le diagramme $\mathcal{D}$ et la
propri�t� de rel�vement unique des morphismes �tales via � vis des
immersions nilpotentes implique qu'il existe un unique morphisme
\begin{diagram}[size=9mm]
\tilde{U} & \rTo^a & \widehat{V}_{/Y} \\
\dTo & \ldTo \\
\widehat{X}_{/Y} 
\end{diagram}
d'o� un morphisme 
\begin{diagram}[labelstyle=\scriptstyle]
\GG(V_\eta,\bar{\F}^{an}) & \rTo^{\text{restriction}} &
\GG(\widehat{V}_{/Y}^{an}, \bar{\F}^{an}) & \rTo^{a^*} & \GG
(\tilde{U}^{an},\bar{\F}^{an}) 
\end{diagram}
L'image de $s$ par ce compos� est l'image par le morphisme que l'on
voulait d�crire au niveau des pr�faisceaux. Il induit le morphisme
cherch� au niveau des faisceaux. 
\\

Si $\a:Y_{\bar{s}}\hookrightarrow X_{\bar{s}} $ et $ \b :
(\widehat{X}_{/Y})^{an} \subset (X_\eta)^{an}$ il y a donc un morphisme 
$$
\a^* \Psi_{\bar{\eta}} \ldrt \Theta_{\bar{\eta}} \b^*
$$
D'o� un morphisme  
$$
\a^* \Rpsi \ldrt \Rth \b^*
$$
Et le th�or�me de Berkovich implique qu'il s'agit d'un isomorphisme
dans la cat�gorie d�riv�e $\D^+_c(X_{\bar{s}},\Lambda)$.

\subsection{Comparaison avec les cycles �vanescents adiques}

  A un sch�ma formel $\X/S$ s�par� localement formellement de type fini est
  associ� un espace adique $\X^{rig}$ not� $\tilde{d} (\X)$ par
  Huber (conf�re l'appendice \ref{an_ad}). Celui ci est muni d'un
  morphisme de sp�cialisation $\tilde{\l}: \X\ldrt \X_s$.
  Ce morphisme induit un morphisme de topos
$$
(X^{rig})_{\et} \ldrt \X_{\et}
$$
Avec les notations pr�c�dentes, les faisceaux �tales ab�liens sur $ X^{rig}$
s'identifient aux faisceaux sur le site quasi-�tale de $\X^{an}$ et ce
morphisme de sites n'est rien d'autre que le morphisme $\nu$ d�fini pr�c�demment. 
Huber
  d�finit alors les cycles �vanescents adiques  (conf�re par exemple 
\cite{Hu3} 3.12) pour  un faisceau $\F$ sur $(\X^{rig})_{\et}$ comme
�tant $\R \tilde{\l}_* \F$. Du point de vue analytique, les cycles
�vanescents adiques ne sont  donc rien d'autre que les $\R \nu_* \F$. 

Les cycles �vanescents adiques et analytiques co�ncident au sens o�
l'on a avec les identifications pr�c�dentes entre le site quasi-�tale
analytique et le site �tale adique l'�galit� 
$$
\forall \F\in \D^+ (\X^{an},\La) \;\; \rth (\F) = \R\tilde{\l}_* (
\mu^* \F) 
$$
Il suffit pour cela de montrer que $\R (\nu_* \mu^*)= \R\nu_* \circ
\mu^*$. Or, il r�sulte par exemple du th�or�me 3.3 de \cite{Berk2}
que $\mu^*$ envoi les faisceaux mous sur des faisceaux
$\nu_*$-acycliques, d'o� le r�sultat. 

Nous n'utiliserons que le point de vue des cycles �vanescents de
Berkovich, mais faisons 
remarquer au lecteur que Huber poss�de des th�or�mes de comparaison
et de finitude plus g�n�raux que ceux d�duits du th�or�me de
comparaison de Berkovich (proposition 3.11
et proposition 3.15 de \cite{Hu3}). 


\subsection{Fonctorialit� de $\Rth$ et de l'isomorphisme de
comparaison}

\subsubsection{Image directe}

Soit $f:\X \ldrt \Y$ un morphisme de sch�mas formels formellement de
type fini sur $S$. Il y a alors un isomorphisme  naturel
(\citeg{Berk3}, corollaire 2.3 (ii))
$$
\Rth f^{an}_* \iso f_{\bar{s}*} \Rth
$$
D'o� en particulier une suite spectrale des cycles �vanescents pour
tout $\X$ : 
$$
R\GG (\X_{\bar{s}},\Rth (\F)) \simeq R\GG( \X^{an}\hat{\otimes}
\hat{\bar{\eta}} , \bar{\F})
$$

\begin{lemm}{\label{Corig1}}
Soit $f:X\ldrt Y$ un morphisme de sch�mas de type fini sur $S$. Soient
$W_0\subset Y_s$ et $W_1\subset X_s$ deux sous-sch�mas ferm�s tels que 
$W_{1 red} \subset f^{-1}(W_0)_{red}$. Le morphisme  $f$ induit donc un morphisme
$\hat{f} : \widehat{X}_{/W_1} \ldrt \widehat{Y}_{/W_0}$. Soit $\F\in
\D^+ ( X_\eta ,\Lambda)$. Il y a alors un diagramme commutatif 
\begin{diagram}[width=2cm]
\Rpsi (f_{\eta *} \F)_{|W_0} & \rTo & \Rth \left ( (\hat{f}^{an})_* 
\widehat{\F}_{/W_1} \right ) \\
\dTo & & \dTo^\simeq \\
\left ( f_{\bar{s}*} \Rpsi (\F) \right )_{|W_0} & \rTo &
\hat{f}_{\bar{s} *} \Rth \left ( \widehat{\F}_{/W_1} 
\right )  
\end{diagram}
\end{lemm}
\begin{proof}

Le diagramme s'ins�re dans le grand diagramme suivant dont on doit
montrer qu'il est commutatif 

\begin{diagram}[width=7mm,height=15mm,labelstyle=\scriptstyle]
\Rpsi (f_{\eta *} \F)_{|W_0} & \rTo^{ A \simeq} & \Rth (
\widehat{(f_{\eta *}\F)}_{/W_0} ) & \rTo^{\rth(\a) \simeq} & 
\Rth \left ( (f_{\eta *}^{an}\F^{an} )_{|(\widehat{Y}_{/W_0})^{an}}
\right ) & \rTo^{\rth (\b) } & \Rth \left ( \hat{f}^{an}_* (
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}})\right )   \\ 
\dTo & && &&& \dTo^{\simeq} \\
\left ( f_{\bar{s}*} \Rpsi (\F) \right )_{|W_0} && \rTo^\gamma & 
(f_{\bar{s}|W_1})_* \left ( \Rpsi (\F)_{|W_1} \right ) & \rTo^{B \simeq} && 
\hat{f}_{\bar{s} *} \Rth \left ( \F^{an}_{|(\widehat{X}_{/W_1})^{an}}
\right ) 
\end{diagram}

 o� $\a$ est induit par l'isomorphisme de changement de
base associ� au diagramme de sites (corollaire 7.5.3 de \cite{Berk1}) 
\begin{diagram}[size=7mm]
X_{\eta,\et}^{an} & \rTo & X_{\eta,\et} \\
\dTo & & \dTo \\
Y_{\eta,\et}^{an} & \rTo & Y_{\eta,\et} 
\end{diagram}
$\b$ et $\gamma$ sont des applications de changement de base associ�es
� des restrictions, $A$ et $B$ sont induites par l'isomorphisme de
Berkovich, et les deux applications verticales sont induites par la
fonctorialit� de $\rpsi$, resp. $\rth$, vis � vis de l'image directe.


Soient $a:W_0\hookrightarrow Y$ et $b:
(\widehat{X}_{/W_1})^{an}\hookrightarrow X_\eta^{an}$. On doit
v�rifier que deux applications naturelles 
\begin{diagram}
a^*\Rpsi R f_{\eta * } & \pile{ \rTo \\ \rTo } & R f_{\bar{s} * } \Rth b^*
\end{diagram}
co{\"\i}ncident. Or, $b$ �tant une quasi-immersion, $b^*$ envoie les
faisceaux mous sur des faisceaux mous qui sont eux m{\^e}mes
$\Theta_{\bar{\eta}}$ acycliques. De plus, $\Theta_{\bar{\eta}}$
envoie les faisceaux mous sur des faisceaux flasques (proposition 2.2
de \cite{Berk3}).
 Donc,
$$
R( f_{\bar{s}*} \Theta_{\bar{\eta}} b^* )= R f_{\bar{s} * } \Rth b^*
$$
Il est �galement clair que $R ( a^* \Psi_{\bar{\eta}} f_{\eta *} )=
a^* \Rpsi R f_{\eta *}$.
On v�rifie alors aussit{\^o}t que les deux  applications naturelles sont
induites par d�rivation des deux applications naturelles 
\begin{diagram}
 a^* \Psi_{\bar{\eta}} f_{\eta *} & \pile{ \rTo \\ \rTo } &
 f_{\bar{s}*} \Theta_{\bar{\eta}} b^* 
\end{diagram}
Dont on doit donc montrer qu'elles sont �gales. Il faut donc montrer
que le diagramme commute sans foncteur d�riv�s et pour un faisceau
$\F$. Il suffit pour cela de d�montrer que le diagramme commute au
niveau des pr�faisceaux d�finissant les cycles �vanescents. 
Soit donc $U/W_{0\bar{s}}$ �tale et $s\in \GG( U, \Psi_{\bar{\eta}} (
f_{\eta *} \F)_{|W_0})$. Cette section est donn�e par un germe de
diagramme 
\begin{diagram}[size=8mm]
  U & \rTo & && V \\
\dTo & & && \dTo_{\text{�tale}} \\
W_{0\bar{s}} & \rInto & Y_{\bar{s}} & \rInto & \bar{Y} 
\end{diagram}
et une section 
$$
t\in \GG( V_{\bar{\eta}}, \overline{f_{\eta *} \F}) = \GG (
V_{\bar{\eta}}, f_{\bar{\eta} *} \bar{\F}) = \GG ( f_{\bar{\eta}}^{-1}
( V_{\bar{\eta}}), \bar{\F}) =\GG (f^{-1} (V)_{\bar{\eta}}, \bar{\F})
$$
La section image de $s$ par les trois application horizontales du haut
est une section $t'\in \GG ( W_{0\bar{s}}, \Theta_{\bar{\eta}} (
\hat{f}^{an}_* ( 
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}}))$ qui se d�crit ainsi :
comme dans le \ref{Rappels_Berk} il y a des diagrammes 
\begin{diagram}[size=8mm]
  \widetilde{U} & \rTo & \widehat{V}_{/W_0}& &   \widetilde{U}^{an} & \rTo & \widehat{V}_{/W_0}^{an} \\
\dTo & \ldTo  & & \text{ et } & \dTo & \ldTo  \\
Y_{/W_0}  & & & & Y_{/W_0}^{an}
\end{diagram}
Il y a donc un morphisme $\xi:(f^{an})^{-1} ( \widetilde{U}^{an}) \ldrt
(f^{an})^{-1} ( \widehat{V}^{an}_{/W_0})$. 
La section $t$ donne une section $u$  de $\GG( (f^{an})^{-1} (
\widetilde{U}^{an}), \bar{\F}^{an})$ par les applications 
\begin{diagram}[size=8mm]
\GG ( f^{-1}(V)_{\bar{\eta}}, \bar{\F}) & \rTo & \GG ( f^{-1}
(V)_{\hat{\bar{\eta}}}^{an}, \bar{\F}^{an}) & \rTo & \GG (
(f^{an})^{-1} ( \widehat{V}^{an}_{/W_0}),\bar{\F}^{an}) & \rTo^{\xi^*}
& \GG(  (f^{an})^{-1} ( \widetilde{U}^{an}),\bar{\F}^{an})
\end{diagram}
or, on a l'�galit�
$$  \GG(  (f^{an})^{-1} ( \widetilde{U}^{an}),\bar{\F}^{an})= \GG (
\widetilde{U}^{an} ,  \hat{f}^{an}_* (
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}}))$$ 
l'image de cette section $u$ par l'application de sp�cialisation 
$$
\GG( \widetilde{U}^{an},  \hat{f}^{an}_* (
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}})) \ldrt \GG ( U, \Theta_{\bar{\eta}} (
\hat{f}^{an}_* ( 
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}}))
$$
est $t'$. De plus, $\GG( U, \hat{f}_{\bar{s} *} \Theta_{\bar{\eta}} (
\F^{an}_{|(\widehat{X}_{/W_1})^{an}} ) = \GG ( f_{|W_1}^{-1}(U),\Theta_{\bar{\eta}} (
\F^{an}_{|(\widehat{X}_{/W_1})^{an}} ))$, et il y a des diagrammes 
\begin{diagram}[size=8mm]
  U_1=(f_{|W_1})^{-1} (U) & &  \rTo && f^{-1} (V)  &&&&  \widetilde{U_1} &
  \rTo & f^{-1} (V)_{/W_1} \\
\dTo & & & & \dTo_{\text{�tale}} & & \text{  }& & \dTo & \ldTo  \\
W_{1\bar{s}} & \rInto & X_{\bar{s}} &\rInto &  \bar{X} && && \widehat{X}_{/W_1}
\end{diagram}

 Par d�finition de
l'application de
commutation naturelle des cycles �vanescents analytiques � l'image
directe,   l'image de $t'$ par
l'application verticale de droite dans le grand diagramme est l'image de
$u$ par la compos�e 
$$
\GG( (f^{an})^{-1} (
\widetilde{U}^{an}), \bar{\F}^{an}) \ldrt \GG ( \widetilde{U_1}^{an},
\bar{\F}^{an}) \ldrt \GG ( U_1 , \Theta_{\bar{\eta}} ( \hat{f}^{an}_* ( 
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}})))
$$
o� la derni�re application est l'application de sp�cialisation
associ�e aux deux diagrammes ci dessus.  Cela donne une description de
l'image de $t$ en parcourant le grand diagramme par le haut puis par
l'application verticale de droite. 

D�crivons l'image de $t$ de l'autre mani�re. 

L'image de $t$ par l'application verticale de gauche compos�e avec
l'application 
$\g$ dans le grand diagramme est donn�e par son image par la compos�e
compos�e  
$$ 
\GG( f^{-1} (V)_{\bar{\eta}}, \bar{\F})  \ldrt \GG ( U_1,
\Psi_{\bar{\eta}} ( \F))= \GG ( U, (f_{\bar{s}|W_1})_*   \Psi_{\bar{\eta}} ( \F)_{|W_1})
$$
o� l'application du milieu est l'application de sp�cialisation
associ�e au diagramme de gauche  ci dessus.
Par d�finition de l'isomorphisme de Berkovich, l'image de $t$, par le
second chemin, dans $\GG(U,(\hat{f}_{\bar{s}})_* \Theta_{\bar{\eta}} (
\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}})) = \GG (U_1, \Theta_{\bar{\eta}}
(\F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}})) $ est l'image de $t$ par la
compos�e 
$$
\GG( f^{-1} (V), \bar{\F}) \ldrt \GG ( f^{-1}(V)^{an}, \bar{\F}^{an})
\ldrt \GG ( \widetilde{U_1}^{an}, \bar{\F}^{an}) \ldrt \GG ( U_1,
\Theta_{\bar{\eta}} ( \F^{an}_{|\widehat{X}_{/W_1}^{an}}))
$$
o� la derni�re application est l'application de sp�cialisation. 

Le fait que ces deux descriptions donnent la m�me image est alors clair
une fois que l'on mes bout � bout les diff�rents morphismes d�crits. 
\end{proof}

\begin{coro}
Dans le lemme pr�c�dent, supposons $Y=S$ et  $f$ propre. Il y a alors un
morphisme Galois �quivariant de suite spectrale des cycles �vanescents 
\begin{diagram}[size=9mm]
H^p( X_{\bar{s}}, R^q\Psi_{\bar{\eta}} \F ) & \rImplies & H^{p+q} (X_{\bar{\eta}},\F)
\\
\dTo & & \dTo \\
H^p(  W_{1\bar{s}} , R^q\Psi_{\bar{\eta}}  \F) & \rImplies & 
H^{p+q} ((\widehat{X}_{/W_1})^{an}\hat{\otimes}\hat{\bar{\eta}}, \F^{an})
\end{diagram}
\end{coro}

\subsubsection{Image inverse}

Soit $f:\X \ldrt \Y$. Il y a alors un morphisme naturel 
$$
f^* \rth \ldrt \rth f^*
$$
d�fini par adjonction gr�ce � l'isomorphisme $f_* \rth f^* \simeq \rth
f_*   f^* $ et l'application d'adjonction $Id\drt f_* f^*$. 

Le morphisme se d�crit ainsi au niveau de la cohomologie : une section
de  $ f^*
R^q\Theta_{\bar{\eta}}\F$ est donn�e �tale localement par  un
$U/\X_{\bar{s}}$ �tale, par un
diagramme 
\begin{diagram}[size=8mm]
U & \rTo& \X_{\bar{s}} \\
\dTo & & \dTo^{f} \\
V  & \rTo & \Y_{\bar{s}}
\end{diagram}
o� $V/\Y_{\bar{s}}$ est �tale, et une section $t\in H^q(\tilde{V}^{an},
\F^{an})$.
Le diagramme se rel�ve en 
\begin{diagram}[size=8mm]
\tilde{U}^{an} & \rTo & \X^{an} \\
\dTo & & \dTo^{f} \\
\tilde{V}^{an}  & \rTo & \Y^{an}
\end{diagram}
et l'image r�ciproque de $t$ par l'application verticale de gauche
donne un �l�ment de $H^q(\tilde{U}^{an},f^*\F)$, ce qui conclut la
description de notre morphisme.
\\

\begin{lemm}\label{Corig2}
Pla{\c c}ons nous dans le cadre du lemme \ref{Corig1}. Il y a alors un
diagramme commutatif 
\begin{diagram}[width=2cm]
\left ( f^* \Rpsi (\F) \right)_{|W_1} & \rTo & \hat{f}_{\bar{s}}^* \Rth
(\widehat{\F}_{/W_0}) \\
\dTo & &   \dTo \\ 
\Rpsi (f^*\F)_{|W_1} &
\rTo & \Rth \left (\hat{f}^{an *} (\widehat{\F}_{/W_0}) \right )
\end{diagram}
o� les deux applications verticales sont celles associ�es � la
fonctorialit� de $\rpsi$ et $\rth$ pour $f^*$.
\end{lemm}
\begin{proof}

Le diagramme s'ins�re dans le diagramme suivant 

\begin{diagram}[size=1cm]
\left ( f^* \Rpsi (\F) \right)_{|W_1} & \rEqualto & (f_{|W_1})^* \left (
\Rpsi (\F)_{|W_0}\right ) & \rTo^{A\sim} & (\hat{f}_{\bar{s}})^* \Rth
(\widehat{\F}_{/W_0}) \\
\dTo & & & &  \dTo \\ 
\Rpsi (f^*\F)_{|W_1} & \rTo^{B\sim} & \Rth (\widehat{f^*\F}_{/W_1}) &
\rEqualto & \Rth \left (\hat{f}^{an *} (\widehat{\F}_{/W_0}) \right )
\end{diagram}
o� $A$ est induit par l'isomorphisme de Berkovich et $B$ est
l'isomorphisme de Berkovich. 

On doit montrer que deux morphismes 
\begin{diagram}
\left ( f^* \Rpsi (\F) \right)_{|W_1} & \pile{ \rTo \\ \rTo } &
 \Rth \left (\hat{f}^{an *} (\widehat{\F}_{/W_0}) \right )
\end{diagram}
co{\"\i}ncident.
Soient $a:W_1\hookrightarrow X_s$ et $b:(\widehat{Y}_{/W_0})^{an}
\hookrightarrow Y_\eta^{an}$. On a donc deux morphismes 
\begin{diagram}
a^* f^* \rpsi & \pile{\rTo \\ \rTo} & \rth \hat{f}^* b^*
\end{diagram}
Rappelons que $\rth= (R \nu_*)\circ \mu^*$.
 Se donner deux tels morphismes �quivaut donc par adjonction �
se donner deux morphismes 
\begin{diagram}
\nu^* a^* f^* \rpsi &  \pile{ \rTo \\ \rTo } & \mu^* \hat{f}^* b^*
\end{diagram}
Ce qui revient � se donner deux morphismes 
\begin{diagram}
\nu^* a^* f^* \Psi &  \pile{ \rTo \\ \rTo } & \mu^* \hat{f}^* b^*
\end{diagram}
ou encore deux morphismes
\begin{diagram}
 a^* f^* \Psi &  \pile{ \rTo \\ \rTo } & \Theta \hat{f}^* b^*
\end{diagram}
On s'est donc ramen� � v�rifier la commutativit� du diagramme dans le
cas o� il n'y a plus de foncteurs d�riv�s, ce qui est facile en
utilisant la d�finition de l'isomorphisme de Berkovich.
\end{proof}

\subsubsection{Compatibilit� au changement de base}

Idem. cas alg�brique.
 
\section{Correspondances cohomologiques analytiques rigides}

$\Lambda$ d�signe un anneau de coefficients de torsion premi�re �
$p$. 

\subsection{D�finition}

Soit 
\begin{diagram}[size=8mm]
 & & C \\
 & \ldTo^{c_1} & & \rdTo^{c_2} \\
X_1 & & & & X_2
\end{diagram}
un diagramme d'espaces analytiques de Berkovich sur $\eta$, et
$(\F_1,\F_2)\in \D^+( X_1,\Lambda)\times\D^+( X_2,\Lambda)$.

\begin{defi}
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2)=\Hom (c_{2*}c_1^*\F_1,\F_2)
$$
\end{defi}

\subsection{Restriction � un domaine analytique}

Soient $U_1\subset X_1, U_2\subset X_2$ deux domaines analytiques
localement ferm�s tels que 
$c_2^{-1}(U_2) \subset c_1^{-1} (U_1)$. Consid�rons la correspondance 
\begin{diagram}[size=1cm]
& & c_2^{-1} (U_2) \\
& \ldTo^{c'_1} & & \rdTo^{c'_2} \\
U_1 & &&& U_2
\end{diagram}

Soit $u\in \Coh_C (\F_1,\F_2)$. Consid�rons le diagramme 
\begin{diagram}[size=8mm]
c_2^{-1}(U_2) & \rInto^b & C \\
\dTo^{c'_2} & & \dTo^{c_2} \\
U_2 & \rInto^a & X_2 
\end{diagram}
duquel il r�sulte un isomorphisme de changement de base $a^*c_{2*}
\iso c'_{2*} b^*$. 

La restriction de $u$ est alors d�finie par la composition suivante 
\begin{diagram}
res(u):& c'_{2*} {c_1'}^* ( \F_{1|U_1}) = c'_{2*} b^* c_1^* \F_1 & 
\lTo^\sim & a^* c_{2*} c_1^* \F_1 & \rTo^{a^* u} & a^* \F_2 = \F_{2|U_2}
\end{diagram}

$res (u)\in \Coh_{c_2^{-1}(U_2)}(\F_{1|U_1},\F_{2|U_2})$ et cela
d�finit un morphisme 
$$
\Coh_C (\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_{c_2^{-1} (V_2)} (\F_{1|U_1},\F_{2|U_2})
$$

\subsection{Image directe}

Soit un diagramme d'espaces analytiques 

\begin{diagram}[size=1cm]
 & & C \\
 & \ldTo^{c_1} & \dTo^{f'} & \rdTo^{c_2} \\
X_1 & & & & X_2 \\
\dTo^{f_1} &  & D & & \dTo^{f_2} \\
& \ldTo^{d_1} & & \rdTo^{d_2} \\
Y_1 & & & & Y_2
\end{diagram}

et soit $u\in \Coh_C (\F_1,\F_2)$. On d�finit $f_* u$ de la fa{\c c}on
suivante 
\begin{diagram}
f_*u: & d_{2*} d_1^* f_{1*} \F_1 & \rTo & d_{2*} f'_* c_1^* \F_1 & 
\rEqualto & f_{2*} c_{2*} c_1^* \F_1 & \rTo^{f_{2*}u} & f_{2*}\F_2
\end{diagram}
o� la premi�re application est d�duite du morphisme de changement de
base associ� au losange de gauche. 
\\

On a donc une application :
$$
\Coh_C (\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_D (f_{1*}\F_1,f_{2*}\F_2)
$$
D'o� en particulier une action sur la cohomologie :
$$
\Coh_C (\F_1,\F_2) \ldrt \Hom ( R\GG (X_1,\F_1), R\GG (X_2,\F_2))
$$
qui est d�finie ainsi :
\begin{diagram}
u_*: & R\GG (X_1,\F_1) & \rTo^{c_1^*} & R\GG (C,c_1^*\F_1) & \rTo^\sim
& R\GG (X_2,c_{2*}c_1^*\F_1 ) & \rTo & R\GG (X_2,\F_2)
\end{diagram}

Ces images directes sont compatibles � la restriction en un sens
facile � d�finir. 

\subsection{Analytification d'une correspondance alg�brique}

Soit 
$$
C\xrig{ (c_1,c_2) } X_1\times X_2
$$
une correspondance alg�brique avec $c_1$ propre. 

Soit $u\in \Coh_C (\F_1,\F_2)$ une correspondance cohomologique
alg�brique o� $(\F_1,\F_2)\in \D^+_c (X_1,\La)\times \D^+_c
(X_2,\La)$. Il lui est associ� un morphisme 
$\tilde{u}:c_{2*}c_1^*\F_1\ldrt \F_2$. $u^{an}$ est alors d�finie
ainsi :
\begin{diagram}[size=18mm]
u^{an} : & c_{2*}^{an} c_1^{an *} \F_1^{an} & \rEqualto & c_{2*}^{an}(
c_1^*\F_1)^{an} & \lTo^\sim & (c_{2*} c_1^* \F_1)^{an} &
\rTo^{\tilde{u}^{an}} & \F_2^{an}
\end{diagram}
o� l'isomorphisme du milieu des l'isomorphisme de changement de base
du corollaire 7.5.3 de \cite{Berk1}. 
D'o� un morphisme
$$
\Coh_C(\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_{C^{an}}(\F_1^{an},\F_2^{an})
$$

On v�rifie facilement que ce morphisme d'analytification est
compatible aux images directes propres. 

\section{Sp�cialisation des correspondances cohomologiques analytiques
rigides}
\subsection{D�finition}

Soit 
\begin{diagram}[size=1cm]
 & & \mathfrak{C} \\
& \ldTo^{c_1} & & \rdTo^{c_2} \\
\X_1 & & && \X_2
\end{diagram}

un diagramme de sch�mas formels localement formellement de type fini
sur $S$, c'est � dire une correspondance formelle. Soit $u\in \Coh_{\CC^{an}} (\F_1,\F_2)$. La correspondance
sp�cialis�e $u_{\bar{s}}$ est d�finie ainsi :
\begin{diagram}
u_{\bar{s}} : & c_{2*} c_1^* \Rth (\F_1) & \rTo & c_{2*} \Rth (c_1^* \F_1) &
\lTo^\sim & \Rth (c_{2*}c_1^*\F_1) & \rTo^{\rth(u)} & \Rth (\F_2)
\end{diagram}
o� l'on a utilis� les diverses fonctorialit�s de $\rth$. Cela d�finit
 un morphisme : 
$$
\Coh_{\CC^{an}} (\F_1,\F_2) \ldrt \Coh_{\CC_{\bar{s}}} (\Rth(\F_1),\Rth(\F_2))
$$

\subsection{Compatibilit� � l'image directe}

Consid�rons la proposition \ref{speima} dans le cadre rigide en ne
faisant aucune hypoth�se de propret� sur les morphismes. 
Sa d�monstration   s'adapte alors automatiquement au
cas rigide en 
changeant $\Psi$ en $\Theta$ et en remarquant que toutes les
hypoth�ses de propret� sont inutiles puisque $\Theta$, contrairement �
$\Psi$, commute toujours aux images directes (il faut bien s{\^u}r
utiliser les diff�rentes fonctorialit�s �tablies pour $\Rth$ pour
adapter la d�monstration). 

On en d�duit donc la compatibilit� entre image directe quelconque et
sp�cialisation dans le cas analytique rigide.

\section[Compatibilit� entre sp�cialisations rigides et
alg�briques]{Compatibilit� entre les sp�cialisations alg�briques et 
analytiques rigides} 

Soit une correspondance sur alg�brique $S$
\begin{diagram}
C & \rTo^{(c_1,c_2)} & X_1\times X_2
\end{diagram}
o� l'on suppose que $c_1$ et $c_2$ sont propres. 
Soient $V_1\subset X_{1s}$ et $V_2\subset X_{2s}$ deux sous-sch�mas ferm�s
de leur fibre sp�ciale. Supposons 
$$
c_2^{-1} (V_2)\subset c_1^{-1} (V_1)
$$
d'o� une correspondance sur $s$ 
\begin{diagram}
c_2^{-1}(V_2) & \rTo^{(c'_1,c'_2)}  & V_1\times V_2
\end{diagram}
et une correspondance formelle 
\begin{diagram}
\CC & \rTo^{(\hat{c}_1,\hat{c}_2)}  & \X_1\times \X_2
\end{diagram}
o� $\CC=\widehat{C}_{/c_2^{-1}(V_2)}$, $\X_1=\widehat{X_1}_{/V_1}$, 
 $\X_2=\widehat{X_2}_{/V_2}$.

\begin{prop} 
Soient $(\F_1,\F_2)\in \D^+_c (X_1,\La)\times \D^+_c (X_2,\La)$. 
Le diagramme suivant commute 
\begin{diagram}[labelstyle=\scriptstyle] 
\Coh_{C_\eta} (\F_1,\F_2) & \rTo^{\text{analytification}} &
\Coh_{C_\eta^{an}}(\F_1^{an},\F_2^{an}) & \rTo^{\text{restriction}} &
\Coh_{\CC^{an}}(\widehat{\F_1}_{/V_1},\widehat{\F_2}_{/V_2}) \\
\dTo^{sp} & & & &  \dTo^{sp} \\
\Coh_{C_{\bar{s}}} (\Rpsi (\F_1),\Rpsi (\F_2)) & \rTo^{\text{restriction}} &
\Coh_{c_2^{-1}(V_2)} (\Rpsi (\F_1)_{|V_1},\Rpsi (\F_2)_{|V_2}) &
\rTo^\sim & \Coh_{\CC_{\bar{s}}} (\Rth (\widehat{\F_1}_{/V_1}),\Rth(\widehat{\F_2}_{/V_2}))
\end{diagram}
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $u\in \Coh_{C_\eta} (\F_1,\F_2)$ et notons $\tilde{u}:c_{2*}c_1^*
\F_1\ldrt \F_2$ le morphisme associ� par adjonction. 
La d�monstration consiste  � appliquer la compatibilit� de
l'isomorphisme de comparaison avec les 
deux cas de fonctorialit� pour les cycles �vanescents.

Appliquons le lemme \ref{Corig2} � $\F_1$ et 
\begin{diagram}[size=1cm]
c_2^{-1}(V_2) & \rInto & C \\
\dTo^{c'_1} & & \dTo^{c_1} \\
V_1 & \rInto & X_1 
\end{diagram}
On obtient alors un diagramme 
\begin{diagram}[width=8mm,height=1cm]
{c'_1}^*\left ( \rpsi (\F_1)_{|V_1}\right ) && \rTo^\sim && (\hat{c}_{1\bar{s}})^* \rth
(\widehat{\F_1}_{/V_1}) \\
\dTo && \boxed{\mathcal{D}} & & \dTo \\
\rpsi  (c_1^*\F_1)_{|c_2^{-1} (V_2)} && \rTo && \rth ( (\hat{c}_1^{an})^*
\widehat{\F_1}_{/V_1}) 
\end{diagram}

Consid�rons maintenant le diagramme suivant 
\begin{diagram}[width=8mm,height=1cm]
c'_{2*}{c'_1}^*\left ( \rpsi (\F_1)_{|V_1}\right ) && \rTo^\sim && c'_{2*}(\hat{c}_{1\bar{s}})^* \rth
(\widehat{\F_1}_{/V_1}) \\
\dTo && \boxed{c'_{2*}\mathcal{D}} & & \dTo \\
c'_{2*}\rpsi  (c_1^*\F_1)_{|c_2^{-1} (V_2)} && \rTo &&
\hat{c}_{2\bar{s}*}\rth ( (\hat{c}_1^{an })^* 
\widehat{\F_1}_{/V_1}) \\
\uTo^\simeq & &&& \uTo^\simeq \\
\left ( c_{2*} \rpsi (c_1^*\F_1)\right )_{|V_2} &&& &
\hat{c}_{2\bar{s}*}\rth \left ( (\widehat{c_1^*\F_1})_{/V_1} \right )
\\
\uTo^\simeq &&& & \uTo^\simeq \\
\rpsi( c_{2*}c_1^* \F_1)_{|V_2}  && \rTo && \rth \left (
\hat{c}_{2*}^{an} (\widehat{c_1^*\F_1})_{/V_1} \right ) \\
 & \rdTo(4,2) &&& \dTo^\simeq \\
 &&&& \rth\left (\widehat{c_{2*}c_1^*\F_1}_{/V_2}\right ) &
 \rTo^{\rth(\tilde{u}^{an}_{|\mathfrak{X}_2^{an}})} & \rth ( \widehat{\F_2}_{/V_2})
\end{diagram}
o� le deuxi�me rectangle commute gr�ce au lemme \ref{Corig1}. 

Le r�sultat s'en d�duit, car les deux �l�ments de $\Coh_{\mathfrak{C}^{an}} (
\rth ( \widehat{\F_1}_{/V_1}),\rth(\widehat{\F_2}_{/V_2}))$ associ�s
se d�duisent de ce diagramme en le parcourant du sommet en haut �
droite vers l'�l�ment en bas � droite des deux fa{\c c}ons possibles en
suivant les bords du diagramme.  
\end{proof}

\section{R�sum� des diff�rentes fonctorialit�s}

Supposons nous donn� un morphisme de correspondances sur $S$ 
\begin{diagram}
C & \rTo^{(c_1,c_2)} & X_1\times X_2 \\
\dTo^{f'} &  & \dTo_{f_1\times f_2} \\
D & \rTo^{(d_1,d_2)} & Y_1\times Y_2 
\end{diagram}

Soient $W_1\subset Y_1, W_2\subset Y_2$ deux ferm�s tels que
$d_2^{-1} (W_2) \subset d_1^{-1} (W_1)$. Soient $V_i=f_i^{-1} (W_i)$,
$i=1,2$ et supposons que $c_2^{-1} (V_2) \subset c_1^{-1} (V_1)$.  

Soient $\mathfrak{C}=\widehat{C}_{/c_2^{-1}(V_2)},
\X_i=\widehat{X}_{/V_i}$, $i=1,2$. Soient 
$\mathfrak{D}=\widehat{D}_{/d_2^{-1}(W_2)},
\mathfrak{Y}_i=\widehat{Y_i}_{/W_i}$, $i=1,2$. Il y a donc un
morphisme de correspondances formelles
\begin{diagram}
\CC & \rTo^{(\hat{c}_1,\hat{c}_2)} & \X_1\times \X_2 \\
\dTo^{\hat{f}'} &  & \dTo_{\hat{f}_1\times \hat{f}_2} \\
\mathfrak{D} & \rTo^{(\hat{d}_1,\hat{d}_2)} & \mathfrak{Y}_1\times
\mathfrak{Y}_2  
\end{diagram}
Qui induit un morphisme de correspondances analytiques. 

Soient $(\F_1,\F_2)\in \D^+_c (X_1,\Lambda)\times \D^+_c (X_2, \Lambda)$. 
Supposons que $c_1,c_2,d_1,d_2,f_1,f_2$ sont propres.  

Le diagramme de la page suivante est alors commutatif.
\newpage

\newsavebox{\diag}
\savebox{\diag}{  
\begin{diagram}[PostScript=RadicalEye,landscape,labelstyle=\scriptstyle,width=4cm,heigth=5cm] 
  & \Coh_{C_{\bar{s}}} (\rpsi \F_1 ,\rpsi \F_2) &&
 \rTo^{\text{restriction+isomorphisme de Berkovich}}  & \Coh_{\CC_{\bar{s}}}
 (\rth \widehat{\F_1}_{/V_1},\rth \widehat{\F_2}_{/V_2}) \\
   \ruTo(1,2)^{\text{sp�cialisation}} & \vLine~{f_{\bar{s}*} + \atop {\text{commutation de } \atop \text{
 l'image directe propre � } \rpsi}} 
 & &  \ruTo(1,2)^{\text{sp�cialisation}} &
 \dTo~{f'_{\bar{s}*} + \atop {\text{commutation de } \atop \text{
 l'image directe � } \rth}}  \\
 \Coh_{C_\eta} (\F_1,\F_2) & \HonV & \rTo^{\text{analytification+
 restriction}} & \Coh_{\CC^{an}}
 (\widehat{\F_1}_{/V_1},\widehat{\F_2}_{/V_2}) \\
  &  \dTo  & &  \\
  &  \Coh_{D_{\bar{s}}} (\rpsi f_{1*}\F_1, \rpsi f_{2*}\F_2) &
 \hLine^{\;\;\text{   restriction+isomorphisme de Berkovich}} &
 \VonH & \rTo  \Coh_{\mathfrak{D}_{\bar{s}}} (\rth
 \widehat{f_{1*}\F_1}_{/W_1}, \rth
 \widehat{f_{2*}\F_1}_{/W_2}) \\
 \dTo^{f_{\eta *}}  \ruTo(1,2)^{\text{sp�cialisation}} & & &
 \dTo^{\hat{f}^{an}_*} \ruTo(1,2)^{\text{sp�cialisation}} \\
\Coh_{D_\eta} (f_{1*}\F_1,f_{2*}\F_2) & \rTo^{\text{analytification+
 restriction}} & & \Coh_{\mathfrak{D}^{an}} (
 \widehat{f_{1*}\F_1}_{/W_1},  \widehat{f_{2*}\F_1}_{/W_2}) 
\end{diagram} 
}

\begin{picture}(100,100)(0,5)
\put(650,-530){\usebox{\diag}}
\end{picture}

\newpage 

\section{Des coefficients de torsion aux coefficients $\ell$-adique}
\label{tors_ell}

Oublions dans cette section les notations pr�c�dentes et reprenons les
notations de l'appendice \ref{coho_l} : en particulier $k$ est un corps valu�
complet, $\Lambda$ un anneau de valuation discr�te complet dont nous
noterons $K_\La$ le corps des fractions. Soit $X$ un $k$-espace
analytique ou bien un espace adique sur $\Spa (k,k^0)$. En g�n�ral
les groupes de cohomologie �tale $\La$-adique 
$$
H^\bullet (X,\La)
$$
ne sont pas d�finis : il n'y a aucune d�finition intrins�que qui
fasse que ces groupes v�rifient de bonnes propri�t�s. Nous allons voir
cependant que dans certains cas, lorsque certaines propri�t�s de
finitude sont satisfaites, on peut donner une d�finition ad-hoc des
$H^\bullet(X,\La)$ satisfaisante.
\begin{defi}
  Soit $q\in \N$. Soit $\F=(\F_n)_n\in \Lpf\Xet$. 
Supposons que $(H^q (X,\F_n))_{n\in \N}$ soit un
  syst�me A.R. $\La$-adique de type fini. On posera alors
$$ 
H^q (X,\F)=\underset{n\in \N}{\limp} H^q (X,\F_n)
$$ 
un $\La$-module de type fini.
\end{defi}

Cette d�finition est justifi�e par la proposition suivante :

\begin{prop}\label{Poincare_adique}
  Supposons $X$ lisse sur $k$ (ou sur $\Spa(k,k^0)$ dans le cas
  adique) de dimension pure $d$
. Soit $\F=(\F_n)_n\in \Lpf\Xet$ localement constant. Soit
  $\check{\F}$ le syst�me local dual. Supposons que $\forall q\in \N\;$ les
  syst�mes 
$$
\left (H^q_c(X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},\F_n)\right )_{n\in \N}\text{ et } 
\left (H^q(X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},(\check{\F})_n)\right )_{n\in \N}
$$
sont A.R. $\La$-adiques de type fini et que l'application 
$$
H^q_c (X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},\F) \ldrt \underset{n\in \N}{\limp}
H^q_c (X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},\F_n) 
$$
est un isomorphisme. 

Il y a alors un isomorphisme canonique  de dualit� de Poincar� 
$$
\left ( H^q_c (X,\F)\otimes_\La K_\La\right )^* \iso H^{2d-q}
(X,\check{\F} )(d)\otimes_\La K_\La
$$
\end{prop}

\begin{proof}
  Nous allons appliquer le formalisme de Ekedahl \cite{Eke} dont nous
  utiliserons librement les notations. Soit $f:X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}}\ldrt
  \mathcal{M}(\hat{\bar{k}})$ (resp. $\Spa(
  \hat{\bar{k}},\hat{\bar{k}}^0)$ dans le cas adique). Il y a alors un
  foncteur (section 5 de \cite{Eke})
$$
\R f_! : \D (\mathcal{T}-\underline{\La}) \ldrt \D ( \mathcal{S}-\La)
$$
o� $\mathcal{T}$ est le topos $\widetilde{X_{\et}}$ et 
$\mathcal{S}$  le topos ponctuel
$\widetilde{\mathcal{M}\left (\hat{\bar{k}}\right )_{\et}}$ (resp. $Spa (\hat{\bar{k}},\hat{\bar{k}}^0)_{\et}^{\widetilde{\;}}$)
v�rifiant (conf�re par exemple la fin de l'�nonc� du (iii) du th�or�me 6.3 de
\cite{Eke})
$$
\forall n\in \N \;\; \La/\mathfrak{m}^n \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\La}
\left ( \R f_! \F\right )= \R\GG_c ( X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},\F_n)
\in \D^+ ( ( X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}})_{\et},\La/\mathfrak{m}^n)
$$
(Ce foncteur est � distinguer du foncteur $\R\GG_c (X,-)$ introduit
dans l'appendice \ref{coho_l}) 
Le topos ponctuel $\mathcal{S}$ v�rifie les hypoth�ses du paragraphe
7 de \cite{Eke}.  $\R f_!$ est de dimension cohomologique finie
($R^i f_!$ s'annule en dimension sup�rieure � $2d$ pour les
coefficients de torsion ( \cite{Hu1} 5.3.8, \cite{Berk1}
5.3.11). Donc, d'apr�s les hypoth�ses faites 
$$
\R f_! \F\in \D^b_c ( \mathcal{S}-\La)
$$
D'apr�s le th�or�me 7.1 de \cite {Eke} il y a une �quivalence de
cat�gories 
\begin{diagram}
\D^b_c ( \mathcal{S}-\La) & \pile{ \rTo^{\R\pi_*} \\
  \lTo_{\mathbb{L}\pi^*} } & \D^b_{\text{type fini}} ( \La-\text{mod})
\end{diagram}
o� $\pi_*$ est le foncteur $\limp$,  $\pi^*$ le foncteur $M\mapsto
(M\otimes  \La/\mathfrak{m}^n )_{n\in \N}$, et $\R\pi_*$ et $\mathbb{L}\pi^*$
sont quasi-inverses l'un de l'autre.
Donc, 
\begin{eqnarray*}
  \R f_! \F & \simeq & \mathbb{L} \pi^* ( \R \pi_* \R f_! \F) \\
 & = & \left ( \La/\mathfrak{m}^n \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_\La \R
 \pi_* \R f_! \F \right )_{n\in \N} \\
 & \simeq & \left ( \R\GG_c ( X\hat{\otimes} \hat{\bar{k}},\F_n)\right
 )_{n\in \N}
\end{eqnarray*}
Soit $M^\bullet = \R\pi_* (\R f_! \F )$. La suite spectrale 
$$
E^{ij}_2 = \R ^i \pi_* \left ( (H^j_c ( X\hat{\otimes}\hat{\bar{k}},
  \F_n)_{n\in \N} \right ) \limpl H^{i+j} (M^\bullet )
$$
v�rifie $E^{ij}_2=0$ si $i\neq 0$ car par hypoth�se le syst�me 
$(H^j_c ( X\hat{\otimes} \hat{\bar{k}},\F_n))_{n\in \N}$ est
A.R. $\La$-adique. Donc, 
$$
H^j (M^\bullet) \simeq \underset{n\in \N}{\limp} H^j_c (X,\F_n)
$$
Comme dans le paragraphe 6 de \cite{Eke}, utilisant les propri�t�s de
finitude de la dimension cohomologique de $f_!$, on peut d�finir 
$f^! \La\in \D (\mathcal{T}-\underline{\La})$. Il r�sulte du th�or�me
de dualit� de Poincar� pour les coefficients de torsion ( th�or�me
7.3.1 de \cite{Berk1} dans le
cas analytique et th�or�me 7.5.3 de \cite{Hu1} dans le cas adique) que 
$f^! \La \simeq \underline{\La} (d)[2d]$.
En effet, le morphisme trace pour les coefficients de torsion $\R f_!
f^* (-)(d)[2d]\drt (-)$ s'�tend naturellement en une application de
foncteurs de $\D^b( \mathcal{S}-\La)$ dans $\D^b(\mathcal{S}-\La)$ qui
d�finit par adjonction un morphisme $f^* (-) (d) [2d]\drt f^! (-)$
dans $\D^b (\mathcal{T}-\La)$. Ce morphisme est un isomorphisme
puisqu'apr�s application du foncteur conservatif
$-\overset{\mathbb{L}}{\otimes} \La/\mathfrak{m}$ on obtient
l'isomorphisme dans le cas de torsion (gr�ce au 6.3. (iii) de
\cite{Eke}). 
 La dualit� de Verdier $\La$-adique 
(isomorphisme 6.1 de 
\cite{Eke}) donne alors un
isomorphisme 
$$
\R\Hom ( \R f_! \F, \La_\bullet)
\simeq \R\Hom ( \F , \La_\bullet (d) [2d])
$$  
Le premier terme s'identifie via l'�quivalence de cat�gories ci dessus � 
$$
\R\Hom_\La ( M^\bullet, \La) 
$$
quant au second � 
$$
\R f_* ( \check{\F}(d)[2d])
$$
qui, comme pr�c�demment pour $\R f_!$, est �gal � 
$$
\left ( \R \GG (X,\F_n)\right )_{n\in\N}
$$
Gr�ce � l'hypoth�se que $\forall
j,\; (H^j(X,\check{\F}_n))_n$ est un syst�me  A.R. $\La$-adique de type fini,
si $$N^\bullet=\R\pi_* \R f_* \check{\F} (d)[2d]$$
alors 
$$
\forall j\;\; H^j (N^\bullet)= \underset{n\in\N}{\limp} H^{2d+j} ( X,\check{F}) (d)
$$
On obtient (toujours gr�ce � l'�quivalence du th�or�me 7.1 de
\cite{Eke}) donc 
$$
\R\Hom_\La (M^\bullet, \La) \simeq N^\bullet
$$
dans la cat�gorie d�riv�e born�e des complexes de $\La$-modules �
cohomologie de type fini.
 Si $W$ est un $\La$-module de type fini, 
$$
Ext^{i}_{\La} ( W,\La) = \left \{ \Hom_{\La} ( W_{\text{torsion}},
K_\La/\La) \text{ si } i=1 \atop 
0 \text{ si } i\geq 2 \right.
$$
La suite spectrale 
$$
E^{ij}_2 = Ext_{\La}^i ( H^{-j} (M^\bullet), \La) \limpl H^{i+j} ( N^\bullet)
$$
d�g�n�re donc en des suites exactes pour tout $i$ 
\begin{diagram}[size=8mm]
  0 & \rTo &  \Hom_{\La} ( H^{2d-i+1}_c ( X,
  \La)_{\tiny\text{torsion}}, K_\La/\La )  & \rTo & H^i (
  X,\check{\F})(d) & \rTo &  \Hom_\La ( H^{2d-i}_c ( X, \F),\La) & \rTo 0 
\end{diagram}
qui donne le r�sultat voulu apr�s tensorisation par $K_\La$ puisque le
terme de gauche est de torsion.
\end{proof}

\begin{rema}
  Il est sous entendu que les isomorphismes ci dessus sont Galois �quivariants. 
\end{rema}

\begin{prop}\label{cycles_l_adiques}
  Les hypoth�ses de la proposition pr�c�dente sont v�rifi�es lorsque
  $X$ et $\F$ sont de la forme suivante :
  \begin{itemize}
  \item Il existe un sch�ma s�par� de type fini $Y/k^0$, un faisceau
    �tale alg�brique constructible $\G$ sur $Y_\eta$ et un ouvert $U$
    de la fibre sp�ciale de $Y$, $Y\times_{k^0} k^0/k^{00}$, tels que
    $X$ s'identifie � la fibre g�n�rique au sens des espaces adiques
    du compl�t� formel de $X$ le long de $U$ 
$$
(\widehat{Y}_{/U})^{rig}\subset (Y_\eta)^{rig}
$$ 
et
$\F$ s'identifie � la restriction de $\G^{rig}$ � cet ouvert (et $X$
est lisse et $\F$ est localement constant). 
\item Il existe un sch�ma s�par� de type fini $Y/k^0$,  un faisceau
    �tale alg�brique constructible $\G$ sur $Y_\eta$ et, dans le cas
    analytique, un ferm� propre
    $V$ de
    la fibre sp�ciale de $Y$ tels que $X$ s'identifie au tube au
    dessus de $V$ dans $(Y_{\eta})^{an}$, $( \widehat{Y}_{/V})^{an}$,
    et $\F$ s'identifie � la restriction de $\G^{an}$. Dans le cas adique
    m�mes conditions mais 
    $V$ est seulement suppos� ferm�.   
  \end{itemize}
Soit de plus $\X$ le sch�ma formel $\widehat{X}_{/U}$ dans le premier
cas et $\widehat{X}_{/V}$ dans le second. Soit $(\Rth (\F_n))_{n\in
  \N}$ le syst�me de faisceaux des cycles proches analytiques rigides. Alors, 
$$
(\Rth ( \F_n))_{n} \in \D^b_c ( \X_{\bar{s}}, \La)
$$  
la cat�gorie d�riv�e born�e � cohomologie constructible $2$-colimite
des cat�gories $(\D^b_c ( \X_{\bar{s}}, \La/\mathfrak{m}^n))_{n\in \N}$, et il y a
une suite spectrale des cycles �vanescents de $\La$-modules de type
fini convergente 
$$
E^{pq}_2= H^p ( \X_{\bar{s}}, (\Rth ( \F_n))_n
)=\underset{n\in\N}{\limp} H^{p+q} ( \X_{\bar{s}}, \Rth
( \F_n)) \limpl H^{p+q} ( 
X\hat{\otimes} \hat{\bar{k}}, \bar{\F}) 
$$
\end{prop}
\begin{proof}
  Commen�ons par les assertions sur les cycles �vanescents. Le fait
  que $ \forall n\;
\Rth ( \F_n) \in \D^b_c ( \X_{\bar{s}}, \La/\mathfrak{m}^n)
$ r�sulte du th�or�me de comparaison de Berkovich et du th�or�me de
  de constructibilit� de Deligne (\cite{Del-finitude}) pour les cycles
  �vanescents alg�briques. La formule de K�nneth pour les cycles
  �vanescents alg�briques (appendice de \cite{Illusie2}) coupl�e au
  th�or�me de comparaison de Berkovich montre que
  $$
\forall n\;\; \Rth (\F_{n+1}) \overset{\mathbb{L}}{\otimes} \La/\mathfrak{m}^n
 \simeq  \Rth ( \F_n)
$$ 
(et cet isomorphisme est canonique). On en d�duit que
$$
(\Rth (\F_n))_n \in \D_c^b ( \X_{\bar{s}},\La)
$$
 Il r�sulte �galement de \cite{Del-finitude}
  et de l'annulation des $\text{R}^i\Psi_{\bar{\eta}}$ pour $i$ grand  
  que $(\Rth (\F_n))_n$ est un syst�me A.R. $\La$-adique (utiliser le
  lemme 12.5 de \cite{FK} ou bien \cite{Jou2} 5.3.1). Le th�or�me de
  finitude de la cohomologie 
  �tale des faisceaux constructibles sur un corps de
  \cite{Del-finitude} coupl� au th�or�me 5.3.1 de \cite{Jou2}  montre alors que
  $\forall p\;\forall q$ le $\La_\bullet$-module 
$$
(H^p( \X_{\bar{s}}, \Rth^q ( \F_n)))_{n\in \N}
$$
est A.R. $\La$-adique. Pour tout $n$ il y a une suite
spectrale des cycles �vanescents  
$$
E^{pq}_2 (n)=
H^p ( \X_{\bar{s}}, \Rth ( \F_n))\limpl H^{p+q} ( X\hat{\otimes}
\hat{\bar{k}},\bar{\F}_n) 
$$
On obtient donc une suite spectrale convergente dans la cat�gorie des
$\La_\bullet$-modules 
$$ E^{pq}_2=
(E^{pq}_2 (n))_{n\in \N} \limpl \left (H^{p+q} (  X\hat{\otimes} 
\hat{\bar{k}},\bar{\F}_n )\right )_{n\in \N}
$$
Les premiers termes $E^{pq}_2$ sont dans la cat�gorie des
$\La_\bullet$-modules A.R. $\La$-adiques de type fini. Cette cat�gorie
est une sous-cat�gorie ab�lienne pleine stable par extension de celle
des $\La_\bullet$-modules (\cite{Jou2} th�or�me 5.2.3 et proposition
5.2.4). Le fait 
qu'elle soit ab�lienne implique que  $\forall p\; \forall q \;
\forall r \geq 2\;\; (E^{pq}_r (n))_{n\in \N}$ est 
A.R. $\La$-adique de type fini. $\forall p\; \forall q \;$ l'aboutissement $ (H^{p+q} (  X\hat{\otimes} 
\hat{\bar{k}},\bar{\F}_n ))_{n\in \N}$ est alors muni d'une filtration
finie dont les gradu�s sont A.R. $\La$-adique de type fini. La stabilit� par
extensions de la cat�gorie des $\La_\bullet$-modules
A.R. $\La$-adiques  montre donc que cet aboutissement est 
A.R. $\La$-adique. Consid�rons maintenant le foncteur 
$\limp$ qui va de la cat�gorie des $\La_\bullet$-modules dans celle
des $\La$-modules. En restriction � la cat�gorie des $\La_\bullet$-modules
A.R. $\La$-adiques de type fini il est exact d'image des $\La$-modules de
type fini. Appliquant ce  foncteur exact � la suite spectrale
$(E^{pq}_2 (n))_{n\in \N}$ on obtient donc une suite spectrale
convergente de $\La$-modules de type fini 
$$
E^{pq}_2= H^p ( \X_{\bar{s}}, (\Rth ( \F_n))_n
)=\underset{n\in\N}{\limp} H^{p+q} ( \X_{\bar{s}}, \Rth
( \F_n)) \limpl \underset{n\in \N}{\limp} H^{p+q} ( 
X\hat{\otimes} \hat{\bar{k}}, \bar{\F_n}) 
$$
ce qui termine la d�monstration de la partie cycles �vanescents de la
proposition.  

Passons maintenant � la premi�re partie. Dans tous les cas, on a d�j�
v�rifi� l'hypoth�se concernant $(H^q ( X\hat{\otimes}
\hat{\bar{k}},\check{F_n}))_{n\in \N}$ de la proposition
\ref{Poincare_adique}. Reste donc les assertions concernant la
cohomologie � support compact. Elles r\'esultent dans le cas des espaces
adiques du th�or�me 3.1 de \cite{Hu2} pour l'espace adique
associ� au compl�t� formel
le long de l'ouvert $U$ et du th�or�me 3.3 de \cite{Hu2} dans le cas
de l'espace adique associ� au
compl�t� formel le long du ferm� $V$. Dans le cas o� $V$ est propre,
l'�nonc� pour l'espace analytique de Berkovich associ� au compl�t�
formel le long $V$ est une cons�quence du fait que $V$ propre implique
que l'espace adique est partiellement propre, et que donc sa
cohomologie � support compact co�ncide avec celle de l'espace
analytique associ� (proposition 1.5 de \cite{Hu2}).   
\end{proof}

\begin{defi}
  Soit $C\xrig{ \; (c_1,c_2)\;} X_1\times X_2$ une correspondance
  d'espaces analytiques o� $c_1$ et $c_2$ sont finis. 
  Soient $\F_1,\F_2\in \Lpf\Xet$. On note $\Coh_C (\F_1,\F_2)$ les
  correspondances cohomologiques � support dans $C$ que l'on pose
  �tant �gal � l'ensemble des syst�mes compatibles de correspondances
  dans $\prod_{n\in \N} \Coh_C ( (\F_1)_n, (\F_2)_n)$. 
\end{defi}

Comme pr�c�demment, une correspondance cohomologique agit sur la
cohomologie $\La$-adique lorsque celle ci est bien d�finie
par simple passage � la limite. De plus, dans le cas de la fibre
g�n�rique d'un sch�ma formel, une correspondance sp�cialis�e (�gale
par d�finition au syst�me des correspondances sp�cialis�es) sur les
cycles proches analytiques rigides fournit une suite spectrale
des cycles proches �quivariante comme pr�c�demment. Cela se d�duit par
passage � la limite projective des suites spectrales obtenues dans le
cas de torsion gr�ce � la proposition pr�c�dente.

\begin{rema}
  Soit $(c_1,c_2):C\ldrt X_1\times X_2$ une correspondance analytique
  o� $c_1$ et $c_2$ sont �tales finis. 
  Via la dualit� de Poincar� de la proposition \ref{Poincare_adique},
  l'action d'une correspondance cohomologique $\La$-adique sur la
  cohomologie � support compact doit �tre d�finie comme �tant l'action
  de la correspondance duale si l'on veut que l'isomorphisme de
  Poincar� soit �quivariant. 
\end{rema}

\begin{enonce}{Application}
  La repr�sentation locale fondamentale de \cite{Har4} s'exprime comme
  le dual de Poincar� de la cohomologie $\ell$-adique � support compact
  des espaces de Lubin-Tate. 
\end{enonce}


D�sormais nous utiliserons librement des cycles �vanescents
$\ell$-adiques sans forc�ment citer la proposition
\ref{cycles_l_adiques}. Cette proposition contient tous les �l�ments
n�cessaires (et m�me plus) pour justifier le passage des coefficients
de torsion aux coefficients $\ell$-adiques lorsque cela sera n�cessaire.

\section{Formule des traces g�n�rale}


\begin{theo}
Soit $D \xrightarrow{\; (d_1,d_2) \; } Y_1\times Y_2$ une
correspondance sur $S$ o� $D,Y_1$ et $Y_2$ sont propres sur $S$.

Soit $C \xrightarrow{\; (c_1,c_2) \; } X_1\times X_2$ une
correspondance sur $\eta$, o� $c_1$ et $c_2$ sont finis. 

Soit un morphisme de correspondances sur $\eta$ :
\begin{diagram}
C & \rTo & X_1\times X_2 \\
\dTo^{f'} &  & \dTo_{f_1\times f_2} \\
D_\eta & \rTo & Y_{1\eta}\times Y_{2\eta} 
\end{diagram}
o� $f_1,f_2$ sont �tales finis. 

Soient $V_1\subset Y_{1s}, V_2\subset Y_{2s}$ deux ferm�s v�rifiant 
$d_2^{-1}(V_2)\subset d_1^{-1}(V_1)$. Soient $U_1=(f_1^{an})^{-1} (sp^{-1}
(V_1)), U_2=(f_2^{an})^{-1} (sp^{-1} (V_2))$ les ouverts de $X_1^{an},
X_2^{an}$ associ�s. Supposons $c_2^{an -1} (U_2) \subset c_1^{an
-1}(U_1)$.

Soient $\F_1,\F_2$ deux $\Qlb$ faisceaux lisses sur $X_1$,
resp. $X_2$. Soit $u\in\Coh_C(\F_1,\F_2)$. Soit $v=(f_* u)_{\bar{s}} \in \Coh
(\Rpsi (f_{1*} \F_1),\Rpsi (f_{2*} \F_2))$ la sp�cialisation de l'image
directe de $u$. Il y a alors un morphisme de suites spectrales des
cycles �vanescents commutant � l'action de $\Gal (\bar{\eta} |\eta)$ :
\begin{diagram}
H^p \left (V_{1\bar{s}}, R^q\Psi_{\bar{\eta}} (f_{1*}\F_1)\right ) & 
\rImplies & H^{p+q}\left ( U_1\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},\bar{\F}_1
\right ) \\ 
\dTo^{v_*} & & \dTo^{u^{an}_*} \\
H^p \left (V_{2\bar{s}}, R^q\Psi_{\bar{\eta}} (f_{2*}\F_2)\right ) & 
\rImplies & H^{p+q}\left ( U_2\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},\bar{\F}_2
\right )
\end{diagram}
o� la cohomologie $\ell$-adique des ouverts rigides $U_1,U_2$ est
d�finie comme �tant la Poincar� duale de la cohomologie � support
compact et o� 
$$ u_*^{an} :
H^i (  U_1\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},\bar{\F}_1)
 \xrig{ (c_{1}^{an})^*_{|c_2^{an-1}(U_2)}} H^i ( (c_2^{an})^{-1} (U_2) 
\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},c_1^*\bar{\F}_1)  
\xrig{(c_{2}^{an})_*} H^i ( U_2 
\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},c_{2*} c_1^*\bar{\F}_1)  
$$
$$\hspace{-8cm}\xrig{ H^i (\tilde{u})}
 H^i ( U_2 
\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}},\bar{\F}_2)  
$$
o� $\tilde{u}:c_{2*}c_1^* \F_1\ldrt \F_2$ est associ� � $u$ par adjonction.
\end{theo}

\begin{proof}
Pour $i=1,2$ compl�tons le diagramme 
\begin{diagram}[size=8mm]
&  & X_i \\
 & & \dTo \\
Y_i &  \lInto & Y_{i\eta} 
\end{diagram}
en un diagrame 
\begin{diagram}[size=8mm]
X_i^0 & \lInto & X_i \\
\dTo & & \dTo \\
Y_i &  \lInto & Y_{i\eta} 
\end{diagram}
o� $X_i^0$ est un sch�ma de type fini sur $S$ et 
 $X_i^0/Y_i$ est fini. En particulier,
 $X_i^0$ est propre sur $S$.
 Soit le
diagramme :
\begin{diagram}[heigth=8mm,width=25mm]
 & & C \\
 & & \dTo \\
X_1^0 \times_{Y_1}  D \times_{Y_2} X_2^0 & \lInto &
 X_1\times_{Y_{1\eta}} D_\eta \times_{Y_{2\eta}} X_2 
\end{diagram}
Et, comme ci dessus, soit $C^0$ un mod�le de type fini de $C$ sur $S$ 
et fini au dessus de $X_1^0 \times_{Y_1}  D
\times_{Y_2} X_2^0$. Ce dernier sch�ma �tant propre sur $S$, $C^0$ est
propre sur $S$ 
 (cependant, et c'est la un point important qui nous a
pouss� � d�velopper notre formalisme des correspondances cohomologiques
dans la cat�gorie d�riv�e, on ne peut pas forc�ment trouver de mod�le
$C^0$ tel que  
$C^0/X_1^0$ et $C^0/X_2^0$ soient finis). 

On a donc �tendu la correspondance $C\drt X_1\times X_2$ sur $\eta$
en une correspondance $C^0\drt X_1^0\times X_2^0$ sur $S$. On a
�galement �tendu le morphisme de correspondances $f$ en un morphisme
de correspondances 
sur $S$. Tous les
morphismes �tendus sont propres. 

Remarquons maintenant que l'hypoth�se $c_2^{an-1}(f_2^{an -1}
(U_2))\subset c_1^{an-1} (f_1^{an -1} (U_1))$ implique, gr�ce � la
surjectivit� du morphisme de sp�cialisation, qu'il en est de m{\^e}me sur
la fibre sp�ciale (au niveau des sch�mas r�duits ce qui est suffisant
pour nos besoins cohomologiques �tales) pour les ferm�s
$V_1$ et $V_2$ : $c_{2s}^{-1} (f_{2s}^{-1} (V_2))_{\text{red}} \subset c_{1s}^{-1}
(f_{1s}^{-1} (V_1))_{\text{red}}$. 

Le th�or�me r�sulte donc de la compatibilit� des diff�rentes
fonctorialit�s pour les cycles �vanescents d�montr�es dans les section
pr�c�dentes. 
\end{proof}

Nous supposerons d�sormais que $k(s)$ est le corps fini $\Fq$. Nous
noterons $\eta^{nr}$ le compl�t� de l'extension maximale non ramifi�e
de $\eta$, $\s\in \Gal (\eta^{nr} |\eta )\simeq \Gal (\bar{s} |s )$
le Frobenius g�om�trique et $W_\eta\subset \Gal ( \bar{\eta} | \eta )$
le groupe de Weil. Si $\tau\in W_\eta$ nous noterons $v(\tau)$
l'entier v�rifiant $\tau_{|\eta^{nr}}=\s^{v(\tau)}$. 

Soit $U$ un espace analytique sur $\eta^{nr}$. Pour tout $\tau\in
W_\eta$ il y a un isomorphisme canonique 
$$
\left ( U\hat{\otimes}_{\eta^{nr}} \hat{\bar{\eta}}\right )^{(\tau)}
\simeq 
U^{(\s^{v(\tau)})} \hat{\otimes}_{\eta^{nr}}  \hat{\bar{\eta}}
$$

Si $U$ est un domaine analytique dans un espace analytique de la forme
$X\hat{\otimes} \eta^{nr}$ pour un espace analytique $X$ sur $\eta$, $
U^{(\s^{v(\tau)})}$ est le domaine analytique de $X\hat{\otimes}_\eta {\eta^{nr}}
$ dont les points rigides na{\"\i}fs (ceux du spectre maximal) sont l'image
par $\s^{v(\tau)}$ de ceux de $U$.

De l'isomorphisme ci dessus on d�duit un morphisme (qui n'est pas au
dessus de $ \hat{\bar{\eta}}$) d'espaces analytiques pour
tout $\tau$ 
\begin{diagram}[labelstyle=\scriptstyle]
 U\hat{\otimes}_{\eta^{nr}} \hat{\bar{\eta}} & \rTo^{Id\times \tau} &
 U^{(\s^{v(\tau)})} \hat{\otimes}_{\eta^{nr}}  \hat{\bar{\eta}} 
\end{diagram}
Si maintenant $\F$ est un faisceau sur $X_{\et}$, $(Id\times
\tau)^*\bar{\F}\simeq \bar{\F}$ o� $\bar{\F}$ d�signe le pull-back de
$\F$ � $X\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}}$. On en d�duit pour tout
$\tau$ dans $W_\eta$ un isomorphisme 
$$
H^q \left ( U^{(\s^{v(\tau)})}
\hat{\otimes}_{\eta^{nr}}  \hat{\bar{\eta}}, \bar{\F}\right )
 \xrig{\;\;\; \tau^*\;\; } 
H^q \left (  U\hat{\otimes}_{\eta^{nr}} \hat{\bar{\eta}},
\bar{\F}\right )
$$

Supposons de plus qu'il existe un sch�ma formel $\Y$ sur $S$, un
morphisme $f:X\ldrt \Y^{an}$ et  un point ferm� $y\in \Y_{\bar{s}}$
tels que $U=f^{-1} (sp^{-1} ( y))$. Alors, si $v(\tau)\geq 0$  
$$
U^{(\s^{v(\tau)})}=f^{-1} ( sp^{-1} (Fr^{v(\tau)} (y)))
$$
et on en d�duit donc un isomorphisme lorsque $v(\tau)\geq 0$ 
$$
 H^q \left ( f^{-1} ( sp^{-1} (Fr^{v(\tau)} (y)))
\hat{\otimes}_{\eta^{nr}}  \hat{\bar{\eta}}, \bar{\F}\right )
\xrig{\;\; \tau^*\;\; }
H^q \left (  f^{-1}(sp^{-1}(y))\hat{\otimes}_{\eta^{nr}} \hat{\bar{\eta}},
\bar{\F}\right )
$$

\begin{theo}\label{Fortree}
Pla{\c c}ons nous dans le cadre du th�or�me pr�c�dent lorsque $X_1=X_2=X$,
$Y_1=Y_2=Y$, $\F_1=\F_2=\F$, $V_1=V_2=V$ et $U_1=U_2=U$. Il y a donc
un
diagramme au dessus de $\eta$ :
\begin{diagram}[width=15mm,labelstyle=\scriptstyle]
C & \rTo^{(c_1,c_2)} & X\times X \\
\dTo^{f'} &  & \dTo_{f\times f} \\
D_\eta & \rTo^{(d_{1\eta},d_{2\eta})} & Y_{\eta}\times Y_{\eta} 
\end{diagram}

 Supposons de plus que
$d_{2\bar{s}}$ est fini. Il existe alors un entier $N$ ne d�pendant
que du degr� de $d_{2\bar{s}}$ tel que $\forall u\in \Coh_{C_\eta}
(\F), \forall \tau\in W_\eta \; v(\tau)\geq N $
$$
\text{Tr}\left ( u\times\tau; R\GG (X_{\bar{\eta}}, \bar{\F} )\right ) = 
\sum_{y\in D_{\bar{s}}(\bar{k}) \atop Fr^{v(\tau)}(d_1(y))=d_2 (y)} 
\text{Tr} \left ( u\times\tau ; R\GG \left ( f^{an-1} (sp^{-1}
(d_2(y)))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F} \right)\right )
$$ 
et 
$$
\text{Tr}\left ( u\times\tau; R\GG (U\hat{\otimes} \hat{\bar{\eta}}, \bar{\F}^{an} )\right ) = 
\sum_{y\in D_{\bar{s}}(\bar{k}) \atop { d_2 (y)\in V \atop
Fr^{v(\tau)}(d_1(y))=d_2 (y)}} 
\text{Tr} \left ( u\times\tau ; R\GG \left ( f^{an-1} (sp^{-1}
(d_2(y)))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F} \right)\right )
$$ 
o� l'action de $u\times \tau$ dans le membre de droite est le compos�
des  morphismes 
\begin{diagram}[size=10mm]
 R\GG  ( f^{an-1} (sp^{-1}
(\underbrace{Fr^{v(\tau)} d_1(y)}_{d_2(y)}))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F} ) 
 & \rTo^{\tau^*} &
R\GG \left ( f^{an-1} (sp^{-1}
(d_1(y)))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F} \right) &\rTo^{c_1^*} \\ 
R\GG\left  ( {f'}^{an-1}(sp^{-1}(y))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F}\right ) & 
\rTo^{c_{2*}} &  R\GG \left ( f^{an-1} (sp^{-1}
(d_2(y)))\hat{\otimes} 
\hat{\bar{\eta}}, \bar{\F} \right) 
\end{diagram}
\end{theo}
\begin{proof}
Les cycles �vanescents $\Rpsi ( f_* \F)$ sont munis d'une structure de 
faisceau de Weil et donc d'une correspondance de Frobenius associ�e �
$\tau$ :
$$
Fr^{v(\tau) *} \rpsi (f_*\F) \iso \tau^* \rpsi (f_*\F) \ldrt \rpsi (f_*\F)
$$
 Cette correspondance  commute aux
correspondances cohomologiques sp�cialis�es puisque ces derni�res sont
d�finies sur $s$. 
On peut donc appliquer le th�or�me de Fujiwara 
(\ref{theoFuji}) � la correspondance cohomologique sp�cialis�e
compos�e avec la correspondance de Frobenius ci dessus associ�e �
$\tau$.  

Plus pr�cis�ment, dans le premier cas on applique Fujiwara � tout
$X_s$. Dans le second cas, d'apr�s le th�or�me pr�c�dent, la trace
sur la cohomologie de $U$ est �gale � celle sur la cohomologie des
cycles �vanescents sur V, on applique donc le th�or�me de Fujiwara �
$V$. 

La fibre des cycles �vanescents en un point fixe s'identifie � la
cohomologie du tube au dessus de ce point ferm�. 
Le calcul des termes locaux na{\"\i}fs s'effectue alors en utilisant en
utilisant les deux fonctorialit�s de l'isomorphisme de
comparaison de Berkovich \ref{Corig1} et \ref{Corig2} ainsi que la
compatibilit� de cet isomorphisme � l'action de Galois. 
\end{proof}

\section[Mod�les en niveau parahorique]{Mod�les des vari�t�s de
  Shimura et des espaces de 
Rapoport-Zink en niveau parahorique} 

Nous avons introduit dans le premier chapitre des mod�les entiers de
nos espaces en niveau compact hypersp�cial. Nous aurons n�anmoins
besoin, pour des raisons techniques li�es � la th�orie des types, des
mod�les d�finis dans \cite{RZ} en niveau parahorique en $p$. Ces
mod�les ne nous servirons que comme interm�diaires de
d�monstration. Nous ne rappellerons donc pas leur d�finition. 
Nous reprenons les notations globales de la premi�re
partie. $\mathcal{D}$ d�signera donc une donn�e de type P.E.L. non ramifi�e.

\subsection{Sous-groupes parahoriques et leurs normalisateurs}

Soit $\LL$ une multicha�ne polaris�e de r�seaux dans $V_{\Qp}$
(\cite{RZ} d�finition 3.14). 

Notons 
$$
K_\LL=\{ g\in G (\Qp) \; |\; \forall \Lambda \in \LL\;
g.\Lambda=\Lambda \}
$$
le sous-groupe parahorique associ�. Le normalisateur dans $G(\Qp)$ de
$K_\LL$ est alors d�fini par 
$$
N_\LL = \{ g\in G (\Qp) \; |\; \forall \Lambda \in \LL \;
g.\Lambda\in \LL \}
$$
Si $\LL=(\Lambda_i)_{i\in \Z}$ est uniforme au sens o� $i\mapsto
[\Lambda_i : \Lambda_{i+1}]$ est constant alors 
$$
N_\LL= \{ g \in G(\Qp)\; |\; \exists j\in \Z \;
g.\Lambda_i=\Lambda_{i+j} \}
$$
Nous n'aurons besoin dans la suite que de ce cas l� et nous
supposerons donc que toutes nos multicha�nes sont uniformes.

\begin{exem}
Pla{\c c}ons nous dans le cas (A) lorsque $J=\emptyset$. Par �quivalence de
Morita, la donn�e d'une telle multicha�ne $\LL$ est alors �quivalente
� la donn�e pour tout $i$ dans $I$ d'une multicha�ne 
$\LL_i$ dans $F_{v_i}^n$. Pour un $i$ fix� la donn�e d'une telle
multicha{\^\i}ne est alors �quivalente (modulo l'action de  $\Gl_n
(F_{v_i})$) � la donn�e d'un entier $d$ divisant $n$. Une cha{\^\i}ne
associ�e � $d$ est alors de la forme 
$$
\dots \subset \underbrace{<e_1,\dots,e_n>}_{\Lambda_0} \subset \dots
\subset \underbrace{<\varpi_{F_{v_i}}^{-1} e_1,\dots,\varpi_{F_{v_i}}^{-1}
e_{kd},e_{kd+1},\dots,e_n>}_{\Lambda_k} \subset \dots \subset
\varpi_{F_{v_i}}^{-1} \Lambda_0\subset \dots 
$$ 
et le groupe $K_\LL$ se d�crit ainsi par blocs de taille $d\times d$ : 
$$
K_\LL= \left \{ \left (
\begin{matrix}
\Gl_d (\O_{F_{v_i}}) & \dots & M_d (\O_{F_{v_i}}) \\
\vdots & \ddots \\
\varpi_{F_{v_i}} M_d (\O_{F_{v_i}}) & \dots &  \Gl_d (\O_{F_{v_i}}) 
\end{matrix}\right )\right \}
$$
quant � $N_\LL$, c'est le groupe engendr� par $K_\LL$ et l'�l�ment
suivant 
$$\left (
\begin{matrix}
0 & & & \varpi_{F_{v_i}}^{-1} I_d \\
I_d & \ddots & & 0 \\
  & \ddots & 0 & \vdots \\
  & & I_d & 0
\end{matrix}\right )
$$

\end{exem}

\subsection{Vari�t�s de Shimura}

Dans \cite{RZ}, chapitre 6, il est d�fini des mod�les entiers des
vari�t�s de Shimura de type P.E.L. que nous consid�rons sur $E_{\nu}$
en niveau parahorique, $\Sh_{K_\LL K^p}$. Nous noterons $S_{K_\LL K^p}$
ces mod�les entiers. Lorsque $K^p$ varie ils forment une tour de
vari�t�s quasiprojectives sur $\spec (\O_{E_\nu})$ munie d'une action
de $G(\A_f^p)$. 

\begin{exem}
 Soit $\La_0$ un r�seau autodual dans $V_{\Qp}$ de stabilisateur $C_0$
  dans $G(\Qp)$. 
  Supposons que $\LL$ soit la plus petite multicha�ne contenant $\La_0$. Alors, $K_\LL=C_0$ est compact hypersp�cial
  et $S_{K_\LL 
  K^p}$ est le mod�le entier d�fini pr�c�demment en niveau hypersp�cial.
\end{exem}

Si $\LL$ contient un r�seau autodual $\La_0$ alors, $K_\LL\subset C_0$
et il y a un morphisme  de tours :
$$
(S_{K_\LL K^p} )_{K^p} \ldrt ( S_{C_0 K^p})_{K^p}
$$
�tendant celui d�fini sur la fibre g�n�rique.

\begin{rema}
  En g�n�ral ce morphisme n'est pas fini !
\end{rema}

On ne supposera pas que $\LL$ contient un r�seau autodual, ce qui nous
permettra, par exemple, d'inclure parmi les $K_\LL$ des sous-groupes
compacts maximaux des groupes de similitudes unitaires non
hypersp�ciaux. 

\subsection{Espaces de Rapoport-Zink}

A $b\in B (G_{\Qp}, \mu_{\Qpb})$ est associ� un espace de Rapoport-Zink
$$
\M_{\LL} ( \mathcal{D}_{\Qp}, b)/ \spf (\O_{Eb_\nu})
$$
muni d'une action de $J_b$ (\cite{RZ} d�finition 3.21). Comme
pr�c�demment, cet espace se scinde en produit d'espaces de
Rapoport-Zink associ�s � des donn�es simples. 

Si $K_p\subset K_\LL$, il y a une tour d'espaces rigides $\M_{K_p}$ au
dessus de $\M_\LL^{an}=\M_{K_\LL}$ qui co�ncide avec celle d�finie
auparavant lorsque $K_p\subset K_\LL\cap C_0$. 

\subsection{Extension de l'action du normalisateur d'un parahorique
aux mod�les entiers}\label{ext_para_lu}

\subsubsection{Vari�t�s de Shimura}

L'action de $G (\Qp)$ sur la tour $(\Sh_{K})_K$ permet de d�finir un
morphisme de groupes trivial sur $K_\LL$ 
$$
N_\LL\ldrt \Aut ( \Sh_{K_\LL K^p} )
$$
Le but de cette section est d'�tendre ces automorphismes aux mod�les
entiers ci dessus, c'est � dire d�finir un morphisme 
$$
N_\LL \ldrt \Aut ( S_{K_\LL K^p} )
$$
redonnant celui d'avant sur la fibre g�n�rique et commutant � l'action
de $G(\A_f^p)$. 
\\

Soit donc $g\in N_\LL$. Soit $T$ un sch�ma sur $\spec
(\O_{E_\nu})$. Un �l�ment de $S_{K_\LL K^p} (T)$ est donn� par un
triplet $(A,\l,\bar{\eta^p})$ o� $A$ est une $\LL$-multicha�ne de
vari�t�s ab�liennes sur $T$, $\l$ une polarisation de cette
multicha�ne et $\eta^p$ une structure de niveau hors $p$, le tout
v�rifiant certaines conditions (\cite{RZ} chapitre 6). 

Posons  $g.(A,\l,\bar{\eta^p})= (A',\l',\bar{\eta^p})\in S_{K_\LL K^p}
(T)$  o�  avec les
notations du chapitre 6 de \cite{RZ} : 
$$
\forall \La\in\LL \;\;\; A'_\La=A_{g.\La} \text{ muni de son action de } \O_B
$$
$$
\forall \La_1,\La_2\in \LL\;\; \La_1\subset \La_2 \;\;\;
\rho'_{\La_1,\La_2}=\rho_{g.\La_1, g.\La_2}
$$
Posons pour tout $a$ dans $B^\times$ normalisant l'ordre $\O_B\otimes
\Z_{(p)}$ 
$$
\theta'_a=\theta_a 
$$

D�finissons $\l'$. On doit d�finir pour tout $\La\in \LL$ une
quasi-isog�nie 
$$
\l'_{\La}: A'_{\La} \ldrt \left ( A'_{\La^\vee}\right )^\vee
$$
telle que 
$$
\left ( \rho'_{\La^\vee,\La} \right )^\vee \circ \l'_{\La} : A'_{\La}
\ldrt \left ( A'_{\La} \right )^\vee
$$
soit une polarisation de $A'_{\La}$. 
Posons $\l'_{\La}$ comme �tant �gal � la quasi-isog�nie compos�e 
\begin{diagram}
  A'_\La=A_{g.\La} & \rTo^{\l_{g.\La}} & \left ( A_{(g.\La)^{\vee}}
  \right )^\vee & \rTo^{( \rho_{ (g.\La)^\vee, g. \La^\vee})^\vee} &
  \left ( A_{g.\La^\vee} \right )^\vee = \left (A'_{\La^\vee} \right )^\vee
\end{diagram}
Alors, 
\begin{eqnarray*}
  \left ( \rho'_{\La^\vee, \La} \right )^\vee \circ \l'_{\La} &=& 
\left ( \rho_{g.\La^\vee, g.\La} \right )^\vee \circ \left ( \rho_{
    (g.\La)^\vee, g.\La^\vee} \right )^\vee \circ \l_{g.\La} \\
 &=& \left ( \underbrace{\rho_{
    (g.\La)^\vee, g.\La^\vee} \circ  \rho_{g.\La^\vee,
    g.\La}}_{\rho_{(g.\La)^\vee,g.\La}} \right )^\vee \circ \l_{g.\La}
\end{eqnarray*}
qui est donc bien une polarisation. 
Il reste � v�rifier que $\l': A \ldrt A'$ est bien un morphisme de
multicha�nes, mais cela ne pose pas de probl�me.

Le morphisme ainsi d�fini v�rifie bien les propri�t�s voulues. 

\subsubsection{Espaces de Rapoport-Zink}

Posons $\M_\LL= \M_\LL (\mathcal{D}_{\Qp},b)$.
On d�finit comme ci dessus pour les vari�t�s de Shimura un morphisme 
$$
N_\LL \ldrt \Aut ( \M_\LL ) 
$$
trivial sur $K_\LL$, commutant � l'action de $J_b$ et � la donn�e de
descente de Rapoport-Zink, et �tendant le morphisme d�fini sur la
fibre g�n�rique. 

Sa d�finition est similaire � celle ci dessus en rempla�ant vari�t�s
ab�liennes par groupes p-divisibles. 

\subsection{Uniformisation}

Soit $\phi$ une classe d'isog�nie comme dans la premi�re partie.
Comme dans la premi�re partie, il y a des isomorphismes de tours
lorsque $K^p$ varie (\cite{RZ} th�or�me 6.23)
$$
I^\phi(\Q) \bc \left ( \M_\LL \times G(\A_f^p)/K^p \right ) \iso
(S_{K_\LL K^p} \otimes \O_{\Eb_\nu})^{\wedge{\;}}_{/\St}
$$
compatibles � la donn�e de descente de Rapoport-Zink et commutant �
l'action de $N_\LL$ d�finie ci dessus sur les deux membres. 

\section[Formule des traces pour la cohomologie d'une strate]
{La formule des traces pour la cohomologie des strates d'une
vari�t� de Shimura de type P.E.L.} 

Soit $\mathcal{D}$ une donn�e globale de type P.E.L. non ramifi�e en
$p$. 
Fixons une multicha�ne polaris�e $\LL$ dans $V_{\Qp}$. Soient $K_\LL$
le groupe parahorique associ� et $N_\LL$ son normalisateur.

\subsection{Action de Galois sur les domaines analytiques de
$\M_{K_p}$}

Soit $K_p\subset K_\LL$ un sous-groupe compact ouvert. Rappelons que les
espaces analytiques $\M_{K_p}$ sont d�finis sur
$\Eb=\widehat{\Qp^{nr}}$. Soit 
$$
\a:\M_{K_p}\ldrt \M_{K_p}^{(\s )}
$$
la donn�e de descente de Rapoport-Zink. Soit $U\subset \M_{K_p}$ un
domaine analytique. $\a (U)\subset  \M_{K_p}^{(\s )}$ est alors un
domaine analytique et si $pr: \M_{K_p}^{(\s )}\drt  \M_{K_p}$ d�signe
la projection, $pr (\a(U))$ est un domaine analytique dans $ \M_{K_p}$
que nous noterons $U^{(\a)}$. Il y a alors un morphisme (qui n'est pas
d�fini au dessus de $\Eb$)
$$
U \ldrt U^{(\a)}
$$
D'o� un morphisme $\forall \tau\in W_E\; v(\tau)\geq 0$
\begin{diagram}
H^q \left (U^{(\a^{v(\tau)})}\hat{\otimes}\Cp,\Ql\right ) &
\rTo^{\tau^*} & H^q \left ( U\hat{\otimes} \Cp,\Ql\right )
\end{diagram}
(lorsque la cohomologie $\ell$-adique de $U$ est bien d�finie ce qui
est par exemple le cas si $U$ est le tube au dessus d'un sous-sch�ma
localement ferm� quasicompact de $\Mb$, gr�ce � \ref{aa} de la premi�re
partie et \ref{cycles_l_adiques}).

\subsection{Tubes et leur cohomologie}

$\M_\LL(\bar{k})$ est muni d'une action d'un Frobenius gr�ce �
$\a$. Lorsque $K_\LL=C_0$ cette
action co{\"\i}ncide avec celle d�crite dans \citeg{Mi1} lorsqu'on voit
$\M_\LL(\bar{k})$ comme sous-ensemble de l'immeuble de $G$ sur $L$. Nous
noterons 
$$
\Phi:\M_\LL (\bar{k})\ldrt \M_\LL (\bar{k})
$$
ce Frobenius.

Ainsi, avec les notations pr�c�dentes, si $sp$ d�signe le morphisme de
sp�cialisation associ� � $\M_\LL$ 
$$
sp^{-1}(\Phi y)=sp^{-1} (y)^{(\a)}
$$
Les morphismes de changement de niveau commutant � la donn�e de
descente on en d�duit que 
$$
\Pi_{K_p,K_\LL}^{-1}\left ( sp^{-1}(\Phi.y) \right )= \Pi_{K_p,K_\LL}^{-1}
\left ( sp^{-1} (y) \right )^{(\a)}
$$ 
   
\begin{defi}
$\forall y\in \M (\bar{k}) \; \forall K_p\subset K_\LL$,
$$\M_{K_p}(y)=\Pi_{K_p,K_\LL}^{-1} \left ( sp^{-1} (y)\right )$$ un ouvert
analytique de bord vide dans $\M_{K_p}$ (qui est �tale fini au dessus
du disque ouvert  $\M_{C_0}(y)$).
\end{defi}

$H^q( \M_{K_p}(y) \hat{\otimes} \Cp,\Ql)$ est alors d�fini comme �tant
le Poincar� dual de la cohomologie � support compact. C'est un
$\Ql$-espace  vectoriel de dimension finie muni d'une action lisse de
$Stab_{J_b} (y) \times I_{E_\nu}$, $K_\LL$ agissant quant � lui sur la limite lorsque
$K_p$ varie dans $K_\LL$.
\\

Soit donc maintenant $f_p\in \mathcal{H}(G(\Qp))$ de la forme $f'_p*
\delta_z$ o� $supp (f'_p)\subset K_\LL$ et $z\in N_\LL$, $\tau\in
W_{E_\nu}$ v�rifiant $v(\tau)\geq 0$ et $\g\in J_b$. Supposons que $y\in \M_\LL
(\bar{k})$ v�rifie 
$$
z\g\Phi^{v(\tau)}.y=y
$$
Il y a alors des morphismes bien d�fini pour $K_p$ variant  
\begin{diagram}
H^\bullet ( \M_{K_p}(y),\Ql) & \rTo^{\; z^*\circ \g^* \circ \tau^* \;} & 
H^\bullet (\M_{K_p}(y),\Ql)
\end{diagram}
qui compos�s avec l'action de $f'_p$ permettent de d�finir 
$$
\text{Tr}\left ( f_p\times \g\times \tau ; [H^\bullet (\M
(y),\Ql)]\right ) \in \Ql
$$

\subsection{Le th�or�me}

\begin{defi}
  Soit $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. Pour $K=K_p K^p$ avec $K_p\subset
  C_0$, notons $\Sh^{rig,\geq b}_{K}\subset \Sh_K^{rig}$ le tube au sens des espaces
  adiques au dessus du ferm� 
$$
\bigcup_{b'\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb}) \atop \text{Newton} (b') \geq
  \text{Newton} (b)} \Sb (b')
$$
lorsque $K_p=C_0$, et son image r�ciproque par les morphismes de
changement de niveau sinon. 
\end{defi}

\begin{defi}
 
 Nous noterons 
$$
[H^\bullet ( \Sh^{rig,\geq b}, \LL_\rho) ] = \sum_i (-1)^i
[\underset{K}{\limi} H^i ( \Sh^{rig,\geq b}_K, \LL_\rho)] \in \Groth (
G(\A_f)\times W_{E_\nu})
$$
qui est bien d�fini d'apr�s la proposition \ref{cycles_l_adiques} et
co�ncide avec la m�me d�finition en rempla�ant adique par analytique
lorsque $S_K$ est propre ou bien lorsque $b$ est la classe basique. 
\end{defi}

Il r�sulte alors de la proposition \ref{cycles_l_adiques} que 

\begin{prop}
  Si $b=b_0$ la classe basique, il y a un isomorphisme canonique 
$$
H^\bullet ( \Sh^{rig,\geq b_0}_K,\LL_\rho) \iso H^\bullet ( \Sh^{an}
(b_0),\LL_\rho) 
$$
o� le membre de gauche est celui d�finit ci dessus et celui de droite
celui d�fini formellement dans la seconde partie comme dual de Poincar� alg�brique 
de la cohomologie � support compact du tube au dessus du ferm� propre
$\Sb (b_0)$. 
\end{prop}

\begin{theo}\label{Lefschetz_speciale}
Supposons les vari�t�s de Shimura $S_K$ propres sur $\O_{E_\nu}$. 
Soit $b\in B(G,\mu)$. 
  $f_p\in \mathcal{H}(G(\Qp))$ de la forme $f'_p*
\delta_z$ o� $supp (f'_p)\subset K_\LL$ et $z\in N_\LL$. Soit
$\widetilde{K} \subset G(\A_f^p)$ un compact ouvert. Il existe alors
un $N\in\N$ tel que 
$$
\forall f^p\in \mathcal{H} (G(\A_f^p))\;\; \text{supp}(f^p)\subset
\widetilde{K}, \;\forall \tau\in W_E \;\; v(\tau)\geq N  
$$
\begin{eqnarray*} &\; & 
\text{Tr} \left ( f_p\otimes f^p\times \tau ;[H^\bullet
(\Sh^{rig,\geq b},\LL_\rho)]\right ) 
 = \sum_{\phi\atop \text{Newt}(b(\phi)) \geq \text{Newt} (b)} \hspace{1mm}\sum_{\{\g\}\in \{I^\phi
(\Q)\}} \hspace{4mm} \sum_{[y]\in
I^\phi_\g (\Q) \bc \text{Fix}(z\times \g\times \Phi^{v(\tau)};
\M_\LL (\bar{k}))} \\  &\; & \text{vol}\left ( I^\phi_\g (\Q)_y\bc I^\phi_\g
(\A_f^p)\right ) \; \text{Tr} \rho (\g) \; \; \text{Tr}\left ( f_p\times
\g\times\tau \;\; ;\; [H^\bullet (\M (y),\Ql)]\right ) \; \O_\g (f^p) 
\end{eqnarray*}
o� $I^\phi_\g (\Q)_y = Stab_{I^\phi_\g (\Q)} (y)$.
\end{theo}

\begin{proof}
Toute fonction $f^p\in \mathcal{H} (G(\A_f))$ telle que $
\text{supp}(f^p)\subset\widetilde{K}$ se d�compose en combinaison
lin�aire de fonctions caract�ristiques d'ensembles de la forme $K^p
g^p K^p$ o� $K^p$ est un sous-groupe compact ouvert et o� $K^p
g^p K^p\subset \widetilde{K}$. Quitte � raffiner une telle
d�composition on peut de plus supposer les $K^p$ suffisamment
petit. On peut donc supposer $f^p=1_{K^p g^p K^p}$ avec $K^p$
suffisamment petit. On peut �galement supposer que $f'_p= 1_{K_p g_p
  K_p}$ o� $K_p\subset K_\LL$ et $g_p\in K_\LL$. 

Consid�rons le diagramme suivant de correspondances
de Hecke : 
\begin{diagram}
   & & & Sh_{g_p^{-1} K_pg_p\; (g^{p})^{-1} K^p g^p} \\
 & \ldTo & & \dTo && \rdTo \\
\Sh_{K_p K^p} & && (S_{K_\LL\; (g^{p})^{-1}K^p g^p })_\eta & && \Sh_{K_p K^p}  \\
\dTo & &\ldTo &  & \rdTo && \dTo \\
(S_{K_\LL K^p})_\eta & & && && (S_{K_\LL K^p})_\eta
\end{diagram}

o� la correspondance du bas est d�finie sur $\O_{E_\nu}$. Tordons ces
correspondances par l'isomorphisme associ� � $z$. Et 
appliquons donc le th�or�me \ref{Fortree} � ce diagramme. 
\\

Mais pour obtenir l'�nonc� annonc� il faut tout d'abord remarquer la chose
suivante :
 lorsque $K^p$ diminue et $g^p$ est tel que $K^p g^p K^p\subset
\widetilde{K}$ le degr� des correspondances de Hecke associ�es $[K^p:
K^p\cap g^p K^p g^{p-1}]$ ne reste pas born�. On ne peut donc pas
appliquer directement le th�or�me de Fujiwara si l'on veut obtenir la
borne uniforme $v(\tau)\geq N$ annonc�e lorsque $\text{supp}(
f^p)\subset \widetilde{K}$. 
N�anmoins, fixons un sous-groupe compact ouvert suffisamment petit $K'$
tel que $K'.\widetilde{K}. K'= \widetilde{K}$ et restreignons nous aux
$K^p$ contenus dans $K'$. Pour un tel $K^p$ et $g^p$ tel que $K^p g^p
K^p \subset \widetilde{K}$, il y a un morphisme de correspondances de
Hecke sur $k$ 
\begin{diagram}
\Sb_{K^p\cap g^p K^p g^{p-1}} & \rTo & \Sb_{K^p}\times \Sb_{K^p} \\
\dTo & & \dTo \\
\Sb_{K'\cap g^p K' g^{p-1}} & \rTo & \Sb_{K'} \times \Sb_{K'}
\end{diagram}
Et on peut appliquer le lemme \ref{ramene} � ces correspondances
�tendues � $\bar{k}$ puis tordues par Frobenius. Maintenant,  le degr�
de la correspondance du bas est donn� par $[K' : K'\cap g^p K'
g^{p-1}]$. Or, $K'\bc \widetilde{K} /K'$ est fini et $g^p\in
\widetilde{K}$. On en d�duit que ce degr� reste born�. Et on peut donc
appliquer le th�or�me de Fujiwara sous la forme du th�or�me \ref{Fortree}
uniform�ment lorsque $\text{supp}(f^p)$ reste dans $\widetilde{K}$.  
\\

Pour tout $b'\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$, 
$\Sb (b')( \bar{k})$ est une union
disjointe selon les classes d'isog�nie $\phi$ de sous-ensembles $\St
(\bar{k})$ stables par les correspondances de Hecke. Les points fixes de
$Fr^{v(\tau)}\times \text{Hecke}(K^pg^pK^p)$ sont donc une union
disjointe de points fixes associ�s aux diff�rentes de $\phi$, d'o� la
premi�re somme dans la formule annonc�e. 

De plus, 
$$
\St(\bar{k})\simeq I^\phi (\Q) \bc \left ( \M_\LL (\bar{k})\times
G(\A_f^p)/K^p\right ) 
$$
o� $Fr$ agit via $[\Phi\times Id]$, les correspondances de Hecke de
fa{\c c}on usuelle et $z$ via $[z\times Id]$. Appliquant le lemme 5.3 de
\citeg{Mi1} on obtient 
$$
\text{Fix} \left ( Fr^{v(\tau)}\times K^p g^p K^p\times z ; \St
(\bar{k})\right ) = \coprod_{\{\g\} \in \{ I^\phi (\Q) \}} 
I^\phi_\g (\Q) \bc \text{Fix} \left( \Phi^{v(\tau)} \times z \times \g ;\M_\LL
(\bar{k})\right ) \times \text{Fix} \left ( \g\times  K^p
g^p K^p \right ) 
$$

Fibrons cet ensemble de points fixes par les �l�ments de 
$$
I^\phi_\g (\Q)\bc \text{Fix} \left (\Phi^{v(\tau)}\times z \times \g ;  \M_\LL
(\bar{k})\right )
$$
Le cardinal de la fibre associ�e � la classe de y est
$$
\text{vol} \left ( I^\phi_\g (\Q)_y\bc I^\phi_\g (\A_f^p)\right )\;\;
\O_\g (f^p)  
$$ 
De plus, en tout point $\b$ de la fibre en $[y]$, 
$$
\widehat{\Sb}_{/\b}\simeq \M_{\LL/y}^{\widehat{\;}}
$$
Et les rev{\^e}tements rigides associ�s sont donn�s par l'uniformisation
rigide des vari�t�s de Shimura. On en d�duit que le terme local
associ� dans le th�or�me \ref{Fortree} en un tel point $\b$ est 
$$
 \text{Tr}\left ( f_p\times
\g\times\tau \;\; ;\; [H^\bullet (\M (y),\Ql)]\right ) \;\text{Tr}
\rho (\g)
$$
o� le terme $\text{Tr}\rho (\g)$ provient du fait que $\LL_\rho^{an}$
restreint aux tubes ci dessus est le faisceau constant
$\underline{V_\rho}$. 
\end{proof}

\begin{rema}\label{finitude_classes_conj}
Dans la formule pr�c�dente, lorsque $\widetilde{K}$,$v(\tau)$ et $z$ sont fix�s,
ind�pendamment de $f^p$ le nombre de $\phi$ et de classes de
conjugaison $\{\g\}$ contribuant de fa{\c c}on non nulle est fini.
Pour le voir, posons $f^p=1_{\widetilde{K}}$. Ecrivons $\widetilde{K}$
comme une union disjointe d'un nombre fini de classes doubles 
$$
\widetilde{K} =\coprod_{a\in A} K^p g_a K^p
$$
pour un sous groupe compact ouvert $K^p$ de $G(\A_f^p)$. 
Appliquons la m�thode de la d�monstration � chacune des
correspondances associ�e � ces doubles classes pour compter le nombre
de points fixes des correspondances associ�es (pas la trace des
correspondances cohomologiques). On obtient une formule comme dans la
d�monstration du th�or�me, sans les traces des correspondances
cohomologiques. 
 La finitude du nombre
de points fixes implique alors qu'il existe un nombre fini de
$(\phi,\{\g\})$ tels que $$ \text{Fix} \left( \Phi^{v(\tau)} \times z \times \g ;\M_\LL
(\bar{k})\right )\neq \emptyset$$ 
et $\O_{\gamma} ( 1_{\widetilde{K}}) \neq 0$. Ce dernier point �tant
�quivalent � dire que la classe de $G(\A_f^p)$ conjugaison de $\gamma$ rencontre
le compact $\widetilde{K}$. L'assertion s'en d�duit. 
\end{rema}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 

these_partie4.tex
\chapter[Formule de Lefschetz sur la fibre g�n�rique]
{Formule de Lefschetz sur la fibre g�n�rique}\label{premsect} 

Dans ce chapitre, nous red�montrons un cas particulier tr�s simple de
la formule d'Arthur pour la trace des correspondances Hecke sur la
cohomologie d'intersection des vari�t�s de Shimura, telle qu'elle est
r�interpr�t�e topologiquement dans \cite{Gor_Mac1}. En faisant une
hypoth�se simple (la correspondance de Hecke est � support dans les
�l�ments r�guliers en une place), on s'aper�oit que tous les points
fixes sont des points C.M.. Si l'on se restreint aux vari�t�s de
Shimura de type P.E.L. consid�r�es dans la premi�re section, nous
montrons  (\ref{lehteoint}) que 
si un tel point fixe se sp�cialise sur la strate index�e par un $b\in
B (G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$ alors la classe de conjugaison $\g$ dans
$G(\Q)$ associ�e � ce point fixe est conjugu�e dans $G(\Qp)$ � un
�l�ment du centralisateur du morphisme des pentes (un sous-groupe de
Levi de $G(\Qp)$). En particulier, si $\g$ ne se sp�cialise pas sur la
strate basique, $\g$ n'est pas elliptique. Bien que nous n'utiliserons
pas ce fait par la suite nous avons inclus le th�or�me \ref{lehteoint}
car il fournit une motivation pour l'�nonc� ``la cohomologie des
strates non basiques est induite en $p$'' (th�or�me \ref{coho_ind_en_p}). En
effet, si l'on disposait d'une formule des traces rigides pour la
trace d'un op�rateur de Hecke sur la cohomologie � support compact du
tube rigide sur la 
strate basique faisant intervenir une somme sur des points fixes na�fs 
+ des termes au bord, cela montrerait que la distribution somme sur les points fixes
na�fs associ�e aux strates non basiques est � support dans les
�l�ments non elliptiques. 

\section{G�n�ralit�s sur les points fixes sur la fibre g�n�rique}

Soit $(\Sh_K)_{K\subset G(\A_f)}$ une vari�t� de Shimura associ�e � une donn�e de
Shimura
$(G,X)$. 
La vari�t� alg�brique 
$\Sh_K$ est d�finie sur le corps reflex associ� $E$ et les
correspondances de Hecke �galement. La correspondance associ�e � $KgK$
o� $g\in G(\A_f)$ et $K$ est un sous-groupe compact ouvert de
$G(\A_f)$ est :
\begin{diagram}
  && \Sh_{gKg^{-1}\cap K} & \rTo^g & \Sh_{K\cap g^{-1}Kg} \\
& \ldTo^\Pi && & & \rdTo^\Pi \\
\Sh_K & & &&&& \Sh_K
\end{diagram}

\begin{lemm}
  Toute fonction $f\in \mathcal{H} (G(\A_f))$ est combinaison lin�aire de
  fonctions caract�ristiques $1_{KgK}$ telles que la correspondance de
  Hecke associ�e soit un cycle dans $\Sh_K\times \Sh_K$ :
$$
\Sh_{K\cap gKg^{-1}} \hookrightarrow \Sh_K\times \Sh_K
$$
\end{lemm}
\begin{proof}
  Si $K_1,K_2$ sont deux sous-groupes compacts ouverts de $G(\A_f)$
  contenus dans un m�me sous-groupe compact ouvert suffisamment petit
  alors
$$
\Sh_{K_1\cap K_2}  \hookrightarrow \Sh_{K_1}\times \Sh_{K_2}
$$
Il suffit donc de montrer que $f$ est combinaison lin�aire de
fonctions $1_{KgK}$ o� $K$ et $gKg^{-1}$ sont suffisamment petits. Or,
$f$ est combinaison lin�aire de fonctions $1_{KgK}$ avec $K$ aussi
petit que l'on veut et $KgK\subset \text{supp} (f)$ ($\impl g\in
\text{supp} (f)$). $\text{supp}(f)$ �tant compact, lorsque $K$
``tend'' $\{1\}$, uniform�ment pour $g\in\text{supp} (f)$, $gKg^{-1}$
``tend'' vers $\{ 1\}$.
\end{proof}

�tant donn� que nous nous int�ressons � la trace d'une telle fonction
$f$ dans la cohomologie de vari�t�s de Shimura, ce lemme justifie que
nous ne nous restreignions qu'� de telles correspondances de Hecke.

\begin{enonce}{Hypoth�se} 
  Nous supposerons dans ce chapitre que les correspondances de Hecke
  sont toutes d�finies par des cycles. 
\end{enonce}

De telles correspondances sont donc d�finies par un cycle lisse de $\Sh_K\times
\Sh_K$. 

Si de plus $\rho$ est donn�, la double classe $KgK$ d�finit une correspondance
cohomologique sur $\LL_\rho$ � support dans ce cycle :
$$
c_2^!\LL_\rho = g^*\Pi^*\LL_\rho =g^*\LL_\rho \ldrt \LL_\rho =c_1^*\LL_\rho
$$
Ceci d�finit des morphismes d'alg�bres compatibles pour $K$ variant :
$$
\mathcal{H}(G,K)\ldrt \Coh ( \LL_\rho,\LL_\rho)
$$
Et si 
\begin{eqnarray*}
\pi : \mathcal{H} (G,K) &\ldrt& \End ( H^\bullet ( \Sh_K,\LL_\rho)) \\
 f & \longmapsto & \int_{G(\A_f)} f(g) \rho (g) dg
\end{eqnarray*}
o� $\rho$ est l'action de $G(\A_f)$ sur la cohomologie, alors le
diagramme suivant commute 
\begin{diagram}
  \mathcal{H}(G,K) && \rTo &&  \Coh ( \LL_\rho,\LL_\rho) \\
& \rdTo & & \ldTo \\
 & &  \End ( H^\bullet ( \Sh_K,\LL_\rho)) 
\end{diagram}
o� l'application verticale de droite est d�finie par l'action d'une
correspondance cohomologique sur la cohomologie (\ref{Rappels_coho}). 
\\

Nous allons tout d'abord nous int�resser � la sous-vari�t� des points
fixes de cette correspondance :
$$
\Fix=(\Delta\cap \Sh_{K\cap gKg^{-1}})_{\text{red}}
$$
o� $\Delta$ d�signe la diagonale de $\Sh_K$. Pour cela, nous allons
d�crire ses points complexes :
$$
\Fix(\C)=\Delta(\C)\cap \Sh_{K\cap gKg^{-1}}(\C)=\{ x\in 
\Sh_{K\cap gKg^{-1}}(\C)\;|\; \Pi(x)=\Pi(g.x) \}
$$
Utilisons l'uniformisation complexe : 
$$
\Sh_K(\C)=G(\Q)\bc(X\times G(\A_f)/K)
$$
Dans laquelle $G(\Q)$ op�re librement sur $X\times G(\A_f)/K$ (car
$K$ est suffisamment petit). On utilisera �galement le fait que le
morphisme 
$$
p:X\times G(\A_f)/K\ldrt G(\Q)\bc (X\times G(\A_f)/K)
$$
est un isomorphisme analytique local : tout $(x,yK)\in X\times
G(\A_f)/K$ est tel qu'il existe $\Omega$ voisinage de $x$ dans $X$ tel
que $p:\Omega\times \{yK\} \iso p(\Omega \times \{yK\})$ soit un isomorphisme
analytique. 

La correspondance de Hecke associ�e � $KgK$ s'�crit alors avec ces
notations : 
\begin{diagram}
  &&& [x,y(gKg^{-1}\cap K)] \\
& \ldMapsto & &&& \rdMapsto \\
[x,yK]  &&&&&& [x,ygK]
\end{diagram}
et 
$$
\Fix(\C)=\{ [x,y(gKg^{-1}\cap K)] \;|\; [x,yK]=[x,ygK]\;\}
$$
que l'on peut voir, par hypoth�se, comme un sous-ensemble de $\Sh_K
(\C)$ : 
$$
\Fix(\C)=\{ [x,y K)] \;|\; [x,yK]=[x,ygK]\;\}
$$

Or, 
\begin{eqnarray*}
  [x,yK]=[x,ygK] &\lssi & \exists \g\in G(\Q)\;\; \g.x=x\text{ et }
  \g yK=ygK \\
&\lssi& \exists\g\in G(\Q)\cap ygKy^{-1} \;\; \g.x=x
\end{eqnarray*}
$x,yK$ �tant fix�s un tel $\g$ est unique (action libre de $G(\Q)$ sur
$X\times G(\A_f)/K$) et est semi-simple elliptique dans $G(\R)$ car
$\g\in\text{Stab}_{G(\R)}(x)$.
De plus, si $\g'\in G(\Q)$, alors  
$$
\left\{ 
  {
    \g.x=x \atop
\g.yK= ygK } \right.
\lssi
\left\{ 
  {
    (\g'\g{\g'}^{-1})\g'.x=\g'.x \atop
  (\g'\g{\g'}^{-1})\g' yK=\g'ygK
  }\right.
$$
Et donc $\g'\g{\g'}^{-1}$ est l'unique �l�ment de $G(\Q)$ v�rifiant les
�galit�s de droite.

On a donc d�montr� :
\vspace{2mm}

\begin{lemm}
  Il y a une partition naturelle 
$$
\Fix(\C)=\coprod_{\{\g\}\in \{G(\Q)\}_{ss}\atop \g \text{ elliptique
    dans }G(\R)} \Fix(\C)_{\{\g\}}
$$
o� $\{G(\Q)\}_{ss}$ d�signe les classes de conjugaison 
semi-simples de $G(\Q)$ et 
$$
\Fix(\C)_{\{\g\}}=\{[x,yK]\; |\; \exists \tilde{\g}\in \{\g\} \;\;
\tilde{\g}.x=x \text{ et } \tilde{\g}yK=ygK \;\}
$$
\end{lemm}

\begin{rema}
  On aurait �galement pu d�duire cette d�composition du   lemme 5.3 de
\citeg{Mi1} comme dans la d�monstration de la formule des traces sur
la fibre sp�ciale (th�or�me \ref{Lefschetz_speciale}). 
\end{rema}

\begin{lemm}
  Si la classe de conjugaison $\{\g\}$ est associ�e � un point fixe de
  $KgK$ alors $\{\g\}$ est 
  associ� � tout point de la composante connexe de ce point dans
  $\Fix(\C)$. On a donc une partition 
$$
\pi_0(\Fix(\C))=\coprod_{\{\g\}\in\{G(\Q)\}_{ss}\atop \g \text{ elliptique
    dans }G(\R)
} \pi_0(\Fix(\C))_{\{\g\}}
$$
\vspace{3mm}
\end{lemm}
\begin{proof}
 Il suffit de d�montrer que tout $[x,yK]\in
\Fix(\C)_{\{\g\}}$ poss�de un voisinage $U$ dans $\Sh_K(\C)$ tel que
$U\cap \Fix(\C)\subset \Fix(\C)_{\{\g\}}$ ce qui montrera que
$[x,yK]\mapsto \{\g\}$ est localement constante donc constante sur
chaque composante connexe. 

Fixons $[x,yK]$ dans $\Fix (\C)$ tel que $\g.x=x$ et $\g yK =y gK$ o�
$\g\in G(\Q)$. 

Si $\Omega$ est un voisinage compact de $x$ dans $X$, 
$$
\{g\in G(\R)\; |\; g.\Omega\cap \Omega \neq\emptyset \;\} 
$$
est un compact de $G(\R)$ (�crire $X$ sous la forme $G(\R)/K_\infty$). 

Si de plus $\Omega$ est petit $p$ induit un isomorphisme 
 $\Omega \times yK\iso p(\Omega\times
\{yK\})\subset \Sh_K(\C)$ o� $p(\Omega\times \{yK\})$ est un voisinage de
$[x,yK]$ dans $\Sh_K(\C)$. 

Fixons un $\Omega$ v�rifiant les deux conditions ci dessus : $\Omega$
est  compact
et petit. Si
$(x',yK)\in \Omega \times \{yK\}$ est tel que $[x',yK]=p(x',yK)\in \Fix (\C)$ alors
soit $\g'\in G(\Q)$ l'unique �l�ment tel que 
$$
\left\{ {\g'.x'=x' \atop 
\g'.yK =ygK } \right.
$$
On a donc, $\g'.\Omega\cap \Omega \neq\emptyset \text{ et } \g'\in
ygKy^{-1} \cap G(\Q)$ 

Par discr�tude de $G(\Q)$ dans $G(\A)$, 
$$
A_\Omega=
\{ \g''\in G(\Q) \; |\; \g''.\Omega \cap \Omega \neq \emptyset \text{
  et } \g''\in ygKy^{-1} \; \} 
$$
est fini. Or, lorsque $\Omega$ parcourt des ensembles v�rifiant les
conditions ci dessus,
$$
\bigcap_\Omega A_\Omega =\{\g \}
$$
Et donc, quitte � r�tr�cir $\Omega$ on peut supposer qu'il contient un
seul �l�ment. On pose alors $U=p(\Omega \times yK)$. 
\end{proof}

\begin{prop}
  Tout �l�ment de $\pi_0(\Fix(\C))_{\{\g\}}$ est une composante
  connexe de l'image d'une vari�t� de Shimura associ�e � $G_\g^0$ o� $G_\g$
  d�signe le
  centralisateur de $\g$. 
\end{prop}
\begin{proof}

Soit $[x,yK]\in \Fix(\C)_{\{\g\}}$ o� $\g.x=x\text{ et }
\g.yK=ygK$. Le point $x$ correspond  � un morphisme  $h_x:\mathbb{S}\ldrt G_{/\R}$, et 
$$
\g.x=x\lssi h_x:\mathbb{S}\ldrt (G_\g^0)_{\R}
$$
Le couple 
$(G_\g^0,h_x)$ d�finit alors une vari�t� de Shimura de domaine
hermitien associ� 
$$ Y= 
G_\g^0(\R)/C_{G_\g^0(\R)} (h_x)\hookrightarrow X
$$
Posons $K'=y K y^{-1} \cap G_\g^0 (\A_f)$. 
Le morphisme  $(G_\g^0,h_x)\ldrt (G,h_x)$ induit
alors un morphisme analytique 
\begin{eqnarray*} q: 
\Sh_{K'} (G_\g^0,h_x)(\C) &\ldrt  &
\Sh_K(G,X)(\C) \\  
\; [ x_1, y_1 K' ] &\longmapsto &  [x_1, y_1 y K ]
\end{eqnarray*}
qui est un rev�tement fini au dessus de son image. 

De plus, 
$$
[x,yK]\in \im (q), \text{ et } \im (q)\subset \Fix (\C)_{\{\g\}}
$$
Consid�rons maintenant le lemme suivant 

\begin{lemm}
  Soient $x\in X$ et $g_0\in G(\R)$ tels que $g_0.x=x$. Alors, 
\begin{eqnarray*}
\{ x'\in X\; |\; g_0.x'=x' \; \} &=& \{ g.x \; |\; g\in
C_{G(\R)}(g_0)\;\} \\
&\simeq & C_{G(\R)}(g_0)/ (C_{G(\R)}(g_0)\cap K_\infty) 
\end{eqnarray*}
\end{lemm}
 
\begin{proof}
Soit $K_\infty =Stab_{G(\R)} (x)$. Soit 
$$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}
$$
 une d�composition de Cartan de $\text{Lie}(G(\R))$ o�
 $\mathfrak{k}=\text{Lie}(K_\infty)$. L'application 
 \begin{eqnarray*}
 exp: \mathfrak{p} &\iso & X \\
Z &\longmapsto & exp(Z) .K_\infty \\
0 &\longmapsto & x 
 \end{eqnarray*}
est un diff�omorphisme. 

Si $x'=\exp(Z)K_\infty\in X$ o� $Z\in \mathfrak{p}$, 
$$
g_0.x'=x'  \lssi  \underbrace{
(g_0 \exp(Z)g_0^{-1})}_{\exp(\text{Ad}(g_0)(Z))}.K_\infty
=\exp(Z).K_\infty \\
$$
car $g_0\in K_\infty$. De plus, $g_0\in K_\infty \impl 
\text{Ad}(g_0)(\mathfrak{p})\subset \mathfrak{p}$ et donc,
$\text{Ad}(g_0)(Z)\in\mathfrak{p}$ et l'�galit� 
$\exp(\text{Ad}(g_0)(Z)).K_\infty
=\exp(Z).K_\infty$ implique $\text{Ad}(g_0)(Y)=Y$,
 qui implique elle m�me que $g_0$ commute � $\exp(Z)$. Donc :
\begin{eqnarray*}
\{ x'\in X\; |\; g_0.x'=x' \; \} &=& \{ g.x \; |\; g\in
C_{G(\R)}(g_0)\;\} \\
&=& C_{G(\R)}(g_0)/ (C_{G(\R)}(g_0)\cap K_\infty) 
\end{eqnarray*}
\end{proof}

Appliquons ce lemme � $x$ et $g_0=\g$. On trouve que l'ensemble des
points fixes de $\g$ dans $X$ est $Y$. Le r�sultat s'en d�duit.
\end{proof}

\begin{coro}
  $\Fix$ est lisse sur $E$ (en particulier ses composantes connexes 
sont irr�ductibles). 
\end{coro}
\vspace{1mm}

\begin{exem} Dans la d�composition
$$
\pi_0(\Fix(\C))=\dpt{\coprod_{\{\g\}\in\{G(\Q)\}_{ss}} \pi_0(\Fix(\C))_{\{\g\}}
}$$ 
\begin{itemize}
\item
Les classes de conjugaison elliptiques correspondent aux composantes
de points fixes compactes. 
\item Les classes de conjugaison r�guli�res correspondent aux points
  fixes isol�s (et elles sont automatiquement elliptiques d�s qu'un
tel point fixe existe) 
\end{itemize}
\end{exem}

\section{Points fixes isol�s}

L'id�e sous-jacente � cette section est que tout vecteur tangent dans
l'espace tangent en un point fixe qui est fixe infinit�simalement
donne lieu � une g�od�sique dans l'espace hermitien $X$ qui est form�e de
points fixes, et que donc en tout point fixe isol� l'intersection est
transverse. 
\\

Les points fixes isol�s correspondent comme on l'a  vu aux points
fixes associ�s � des classes de conjugaison $\{\g\}$ o� $\g$ est
r�gulier c'est � dire $G_\g^0$ est un tore (qui est automatiquement
elliptique si un tel point existe). On a donc en particulier :

\begin{lemm}
Les points fixes isol�s sont des points C.M. de $\Sh_K$.
\end{lemm}

Nous aurons besoin du lemme suivant pour appliquer une formule des
traces de Lefschetz. 

\begin{lemm}
  Si $\xi\in \Sh_K(\C)$ est un point fixe isol� de $KgK$ alors, en
  $\xi$, $\Delta$ et $\Sh_{gKg^{-1}\cap K}\hookrightarrow \Sh_K\times
  \Sh_K$ s'intersectent transversalement.
\end{lemm}

\begin{proof} Soit 
$$\xi\in\Fix(\C)_{\{\g\}},\; \xi=[x,yK], \;\g.x=x\text{ et } \g yK=ygK
$$
Soit $\Omega$ voisinage de $x$ dans $X$ tel que $p:\Omega\times \{yK\}
\iso p(\Omega\times \{yK\} )$ soit un isomorphisme et $\Fix(\C)\cap
p(\Omega\times yK)=\{\xi\}$.

On a alors que $p:\Omega\times \{y(gKg^{-1}\cap K)\} \iso p(\Omega \times \{y
(gKg^{-1}\cap K)\})\subset \Sh_{gKg^{-1}\cap K}$.

L'inclusion $\Sh_{gKg^{-1}\cap K}\hookrightarrow \Sh_K\times \Sh_K$
s'identifie alors dans la carte locale $\Omega \times \{ yK\} \simeq \Omega$ � :
\begin{eqnarray*}
  \Omega &\ldrt & \Omega\times\Omega \\
x' &\longmapsto & (x',\g.x')
\end{eqnarray*}
Et $\Delta$ � 
\begin{eqnarray*}
   \Omega &\ldrt & \Omega\times\Omega \\
x' &\longmapsto & (x',x')
\end{eqnarray*}

Les intersections sont donc transverses ssi $d(\g)_x:T_x \Omega \ldrt
T_x\Omega $ ne poss�de pas la valeur propre $+1$. Si
$K_\infty=\text{Stab}_{G(\R)} (x),
\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$ est une d�composition de
Cartan de $\text{Lie}(G(\R))$ telle que
$\mathfrak{g}=\text{Lie}(K_\infty)$ alors, 
\begin{diagram}
  T_x\Omega & \rTo^{d(\g)_x} & T_x\Omega \\
\uTo_{\simeq } & & \uTo_{\simeq} \\
\mathfrak{p} & \rTo^{\text{Ad}(\g)_{|\mathfrak{p}}} & \mathfrak{p}
\end{diagram}
o� $\g\in K_\infty$. L'espace propre associ� � la valeur propre $+1$
s'identifie donc � $$\text{Lie}(C_{G(\R)}(\g))\cap \mathfrak{p}$$ Mais
$C_G(\g)^0$ �tant un tore tel que $C_{G(\R)}(\g)^0\subset K_\infty$, 
$\text{Lie}(C_{G(\R)}(\g))\subset \mathfrak{k}$ et donc 
$$
\text{Lie}(C_{G(\R)}(\g))\cap \mathfrak{p}=0$$

\end{proof}

On d�duit �galement de la d�monstration pr�c�dente :

\begin{coro} \label{Lef_comp}
  Si $\xi\in \Fix(\C)_{\{\g\}}$ est isol� alors 
$$
\text{Lef}_\xi (KgK,\LL_\rho)=\text{Tr} (\rho(\g))
$$
\end{coro}

\section{Le cas des vari�t�s de Shimura de type P.E.L.}

\subsection{Un lemme sur la conjugaison stable}

\begin{lemm}\label{lemstab}
 Soit $G/\Qp$ un groupe r�ductif tel que $G^{der}$ soit simplement connexe. 
  Soit $\g\in G(\Qp)$ r�gulier stablement conjugu� � un �l�ment de
  $M(\Qp)$ o� $M$ est le Levi d'un parabolique propre d�fini
sur $\Qp$. Alors, $\g$ est conjugu� dans $G(\Qp)$ � un �l�ment de $M(\Qp)$.
\end{lemm}

\begin{proof} Supposons que $\g$ soit stablement conjugu� � $\g'\in M
(\Qp)$ :
$$
\g'= g \g g^{-1} \text{  o� } g\in G(\Qpb)
$$
$\g$ et $\g'$ �tant r�guliers, et $G^{der}$ simplement connexe, les
centralisateurs $C_G(\g)$, resp. $C_G(\g')$, sont des tores maximaux
sur $\Qp$ : 
$T$,
resp. $T'$.

L'application d�finie sur $\Qpb$ 
 $$
\text{int}_g : T \iso T'
$$
est en fait un isomorphisme sur $\Qp$ (les centralisateurs de deux
�l�ments stablement conjugu�s sont formes int�rieures l'un de l'autre
via cette application, mais �tant ab�liens, le cocycle int�rieur est
trivial : il s'agit de $c_\s=int_{g g^{-\s}}$ o� $g g^{-\s}\in T$). Elle
induit donc un isomorphisme 
$$
\text{int}_g : T_{d} \iso (T')_d
$$
(o� l'indice $d$ signifie le sous-tore d�ploy� maximal ). 

Rappelons maintenant que si $T$ est un tore maximal de $G$ 
sur $\Qp$, le Levi
d'un  parabolique d�fini sur $\Qp$ minimal parmi ceux contenant $T$
est $ C_G (T_d)$ (cf. Borel, Algebraic groups)
(par exemple, $T$ est elliptique ssi
$T_d\subset Z_G$ ssi $T$ n'est contenu dans aucun parabolique
propre). 

Dans notre cas, l'isomorphisme $\text{int}_g : T_{d} \iso (T')_d$
implique que $C_G ((T')_d) =  g C_G (T_d) g^{-1}$ et que donc, $\g$ et
$\g'$ sont dans deux paraboliques sur $\Qp$ conjugu�s dans
$G(\Qpb)$. Mais (Borel, Algebraic groups) deux paraboliques sur $\Qp$ conjugu�s 
dans $\Qpb$ le sont d�j� sur $\Qp$.
\end{proof}

\subsection{}

Pla�ons nous maintenant dans le cadre des vari�t�s de Shimura de type
P.E.L. non ramifi�es propres �tudi�es dans la premi�re partie. 

\begin{theo}\label{lehteoint}
Soit $\xi\in \Fix(\C)_{\{\g\}}$ un point fixe isol�. Le point $\xi$ appartient
donc � $\Sh_K(\overline{E})$. Supposons que $\xi$ se sp�cialise sur un
point de la strate $\overline{S}(b)$ o� $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$. Alors, $\g$
est conjugu� dans $G(\Qp)$ � un �l�ment de
 $M(b)(\Qp)$, le centralisateur
du morphisme des pentes.
\end{theo}

\begin{proof}
Soit $(A,\l,\iota)$ le triplet associ� � $\xi$ sur une extension
de degr� fini du corps reflex. $A$ est une vari�t� ab�lienne C.M..
Avec les notations pr�c�dentes pour
l'uniformisation complexe on peut supposer que $\xi=[x,yK]$ o�
$\g.x=x$ et $\g.yK=ygK$. La relation $\g.x=x$ implique que $\g$ induit un
automorphisme de la $\Q$ structure de Hodge polaris�e munie de
l'action de $B$ associ�e � $(A,\l,\iota)$ et que donc, $\g$ induit un
automorphisme du triplet $(\A,\l,\iota)$ sur une extension de
degr� fini du corps reflex. Nous noterons $f$ cet automorphisme.
 Rappelons qu'� l'uniformisation complexe est associ�e un choix
d'isomorphisme de $B$-modules symplectiques :
$$
V\iso H^1(A,\Q)
$$
Il y a alors un diagramme commutatif 
\begin{diagram}[width=2cm]
V & \rTo^\simeq & H^1_{\text{B}} (A,\Q) \\
\dTo^\g & & \dTo_{f^*} \\
 V & \rTo^\simeq & H^1_{\text{B}} (A,\Q)
\end{diagram}
Rappelons que l'on note $E$ le compl�t� en une place $v$ divisant $p$
du corps r�flexe. 
Il y a un isomorphisme canonique 
$$
H^1_{\text{B}} (A,\Q) \otimes \Qp \iso H^1_{\text{�t}} (A,\Qp)
$$
o� le second membre est une repr�sentation cristalline du groupe de
Galois absolu d'une extension de degr� fini de $E$ que nous noterons
$K$.  On a donc un
diagramme commutatif :
\begin{diagram}[width=2cm]
 V\otimes \Qp  & \rTo^\simeq& H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp) \\
\dTo^{\g\otimes 1} & & \dTo_{f^*} \\
 V\otimes \Qp  & \rTo^\simeq& H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp) 
\end{diagram}
Notons $F$ le foncteur de Fontaine entre la cat�gorie des
repr�sentations cristallines du groupe de Galois absolu de $K$ et celle
des isocristaux filtr�s admissibles. $F(H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp))$
s'identifie comme isocristal muni de structures additionnelles � la
cohomologie cristalline de la r�duction mod $p$ du triplet
$(A,\l,\iota)$. Dans cette identification, 
$f$ agit sur cet isocristal par un �l�ment de $J_b$. Fixons un
isomorphisme de $L$-modules symplectiques munis d'une action de $B$ :
$$
 F(H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp)) \simeq (V\otimes \Qp)\otimes L 
$$
Il y a donc un diagramme commutatif 
\begin{diagram}[width=2cm]
F(V\otimes \Qp)  & \rTo^\simeq& F( H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp)) &
\rTo^\simeq & (V\otimes\Qp)\otimes L  \\
\dTo^{F(\g\otimes 1)} & & \dTo_{F(f^*)} & & \dTo^g \\
 F(V\otimes \Qp)  & \rTo^\simeq& F(H^1_{\text{�t}}(A_K,\Qp)) &
 \rTo^\simeq  & 
 (V\otimes\Qp)\otimes L  
\end{diagram}
dans lequel $g\in J_b$. 

Trivialisons maintenant le torseur des p�riodes; c'est � dire �tendons
les scalaires � $B_{dR}$. Il y a un isomorphisme canonique 
$$
(V\otimes \Qp)\otimes B_{dR} \iso F(V\otimes \Qp)\otimes_L B_{dR}
$$
d'o� au final un diagramme commutatif 
\begin{diagram}[width=2cm]
V_{\Qp}\otimes B_{dR} & \rTo^\simeq & (V_{\Qp}\otimes L)\otimes B_{dR} \\
\dTo^{\g\otimes 1} & & \dTo_{g\otimes 1} \\
V_{\Qp}\otimes B_{dR} & \rTo^\simeq & (V_{\Qp}\otimes L)\otimes B_{dR}
\end{diagram}
Duquel on d�duit que $\g$ est stablement conjugu� dans $G(L)$ � un
�l�ment de $J_b$.

Rappelons maintenant que dans le cas que nous consid�rons ($G_{\Qp}$
quasid�ploy�) la classe de $\s$-conjugaison 
 $b$ provient d'une classe de $M(b)(L)$ encore not�e $b$,
et que $J_b=\{ g\in M(b)(L)\; |\; gb\s=b\s g \}$. Rappelons �galement
que l'on peut supposer $b$ ``decent'' (conf�re \citeg{RZ}) au sens o� 
pour un $s\in \N$, $(b\s)^s=(s.\nu_b)(p) \s^s$. Dans tous ce qui
pr�c�de on peut alors remplacer $L$ par $\Q_{p^s}$ l'extension non
ramifi�e de degr� $s$ de $\Qp$. La relation $b^{-1} g b= g^\s$ dans
$M(b)(\Q_{p^s})$ montre que la classe de conjugaison de $g$ dans
$M(b)(\Q_{p^s})$ est d�finie sur $\Qp$ et que donc, d'apr�s \citeg{Ko4} ( 
pour les
groupes avec lesquels nous travaillons $M(b)^{der}$ est simplement
connexe), la classe de conjugaison de $g$
dans $M(b)(\overline{\Qp})$ contient un �l�ment de $M(b)(\Qp)$. 

On d�duit donc au final que $\g$ est stablement conjugu� dans $G(\Qp)$
� un �l�ment de $M(b)(\Qp)$. On conclut alors gr�ce au lemme \ref{lemstab}.
\end{proof}

\begin{rema}
  Dans la derni�re partie de la d�monstration, nous n'avons fait
  qu'expliquer l'existence du transfert des classes de conjugaison
  stables de $J_b$ vers celles de sa forme int�rieure quasi-d�ploy�e
  $M(b)$. Par exemple, lorsque $J_b$ est le groupe des unit�s d'une
  alg�bre � division $D\*$, ce transfert est le transfert des classes de
  conjugaison de $D\*$ vers les classes de conjugaison elliptiques de
  $\GL_n$. 
\end{rema}

\section{Formule de Lefschetz}

\begin{theo}\label{Lefschetz_generique}
Soit $\Sh (G,X)$ une vari�t� de Shimura compacte. 
Soit $f=\otimes_v f_v\in \mathcal{H} ( G(\A_f))$ telle qu'il existe
$v$ telle que $\text{supp} ( f_v) \subset G(\Q_v)_{reg}$. Alors, 
$$
\text{tr}\left ( f; [H^\bullet(\Sh,\LL_\rho)]\right )  
= \sum_{\{\g\}\in \{ G(\Q)\} \atop {\g \text{r�gulier} \atop {\g
\text{ elliptique dans } G(\R)}}}\; \text{vol} ( G(\Q)_\g \bc G(\A_f)_\g
)\; \text{tr} \rho (\g) \; \O_\g ( f)
$$
\end{theo}
\begin{proof}
On peut supposer que $f$ est de la forme $1_{KgK}$ o� $K=\prod_v K_v$
et $K_v g_v K_v\subset G(\Q_v)_{reg}$.
Appliquons la formule des traces de Lefschetz � la correspondance de
Hecke associ�e. 
 Soit $\g\in G(\Q)$ elliptique
dans $G(\R)$. $\Fix (\C)_{\{ \g\}}\neq \emptyset \impl \g$ est
r�gulier. En effet, une relation du type $\g yK= ygK$ implique que $\g
y_v K_v =y_v g_v K_v$  qui implique que $y_v^{-1} \g y_v \in K_v g_v
K_v\subset G (\Q_v)_{reg}$. Tous les points fixes sont donc isol�s. Et
la somme dans la formule annonc�e provient de la d�composition 
$$
\Fix (\C)=\coprod_{{\{\g\}\in \{ G(\Q)\} \atop
 {\text{r�gulier} \atop {\g
\text{ elliptique dans } G(\R)}}}} \Fix (\C)_{\g}
$$
Reste donc � montrer que 
$$
\sum_{\xi\in \Fix (\C)_{\{\g\}}} \; \text{Lef}_\xi (KgK, \LL_\rho) = 
 \text{vol} ( G(\Q)_\g \bc G(\A_f)_\g
)\; \text{tr} \rho (\g) \; \O_\g ( f)
$$
On sait (corollaire \ref{Lef_comp}) que $\text{Lef}_\xi (KgK,
\LL_\rho)$ est constant sur $\Fix (\C)_{\{\g\}}$ et vaut
$\text{tr}\rho (\g)$. Il faut donc calculer 
$
\# \Fix (\C)_{\{\g\}} 
$. 
$\g$ �tant r�gulier, $\text{Fix} (\g ; X)$ est r�duit � un seul
�l�ment. On en d�duit que $\Fix (\C)_{\{ \g\}}$ est en bijection avec
$$
G(\Q)_\g \bc \{ yK \; |\; y^{-1}\g y \in KgK \;\}
$$
qui est de cardinal $\text{vol} ( G(\Q)_\g \bc G (\A_f)_\g) \; \O_\g
(f)$. 
\end{proof}

\begin{rema}
  Cette formule se d�duit de \cite{Gor_Mac1} en remarquant gr�ce au
  th�or�me 5.2 de \cite{Gor_Mac1} que la somme des caract�res des
  s�ries discr�tes de $G(\R)$ ayant m�me caract�re infinit�simal que
  $\check{\rho}$ �valu�e en un $\g$ r�gulier est $\text{tr}\rho
  (\g)$. 
\end{rema}


\begin{rema}
  Lorsque le support de $f$ reste dans un compact fix� de $G(\A_f)$,
  les classes $\{\g\}$ intervennant dans la formule ci dessus
  varient dans un ensemble fini ne d�pendant que de ce compact. Cela
  peut se voir de deux fa�ons : la premi�re en utilisant la
  proposition 8.2 de \cite{Ko7} qui implique qu'il y a un nombre fini
  de classes de $G(\A)$-conjugaison contenant un �l�ment  de
  $G(\Q)$ et rencontrant un compact de $G(\A)$ fix� (ce qui est le cas
  ici puisque nos classes sont elliptiques � l'infini); la deuxi�me de
  la m�me mani�re que dans la remarque (\ref{finitude_classes_conj}). 
\end{rema}

















%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 

these_partie5.tex
\chapter[Caract�risation par les traces]
{Caract�risation des �l�ments de $\Groth (G( \A_f))\times
W_{E_\nu}$ par leurs traces}

\section{Un lemme d'alg�bre lin�aire}

Soir $K$ un corps et $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension
finie. Soient $u\in \End (V)$ et $v\in \Gl (V)$. Le but du lemme qui
suit est de montrer que si l'on conna�t $\text{tr}(u v^N)$ pour $N$
grand alors on conna�t $\text{tr} (u)$.

Pour cela on s'inspire de la formule classique : si $P(T)=\det ( Id -
T v)$ alors si $F(T)=\sum_{N\geq 0} \text{tr} ( v^{N+1} ) T^N$, $F$
est une fraction rationnelle et $F(T) dT= - dlog P$. Ainsi, puisque $v$
est inversible $$\text{Res}_\infty (F(T) dT)= v_\infty (P^{-1}) = 
\dim (V)=\text{tr} (Id)$$

\begin{lemm}\label{lemalg}
Soit 
$$
F(T)=\sum_{N\geq 0} \text{tr} (u v^{N+1})\; T^N\in K[[T]]
$$
La s�rie formelle 
$F$ est une fraction rationnelle de degr� $-1$ et 
$$
\text{Res}_\infty ( F(T) dT)= \text{tr} (u)
$$
\end{lemm}
\begin{proof}
On peut supposer $K$ alg�briquement clos de caract�ristique $0$. 
 Soit $v=v_s+ v_n$ la
d�composition de $v$ en parties semi-simples et nilpotentes.
Supposons le lemme d�montr� pour $v$ semi-simple. 
On a alors
\begin{eqnarray*}
F(T)&=&\sum_{N\geq 0} \sum_{k=0}^{N+1} \left ( N+1 \atop k \right )
\text{tr} \left ( u 
v_n^k  v_s^{N+1-k} \right ) T^N \\
&=&  \sum_{k=0}^{\dim V} \sum_{N+1\geq k \atop N\geq 0}  \left ( N+1
  \atop k \right ) 
\text{tr} \left ( u  
v_n^k  v_s^{N+1-k} \right ) T^N \\
&=& \sum_{N\geq 0} \text{tr} ( u v_s^{N+1}) T^N + \sum_{k=1}^{\dim V}
 \underbrace{ \sum_{N\geq k-1}\left ( N+1 \atop k \right ) \text{tr} \left ( u 
v_n^k  v_s^{N+1-k} \right ) T^N}_{\frac{T^{k-1}}{k!} \frac{d^k}{dT^k}
\left ( F_k (T)\right )}
\end{eqnarray*}
o� $$F_k (T)=\sum_{N\geq 0} \text{tr} ( u v_n^k v_s^{-k} v_s^{N+1})
T^N$$ 
Le terme de gauche est une fraction rationnelles par application du cas
semi-simple � $u$ et $v_s$, quant au terme de droite cela r�sulte du
fait que pour tout $1\leq k\leq n$, $F_k(T)$ est une fraction
rationnelle par application du cas semi-simple � $uv_n^k v_s^{-k}$ et
$v_s$. La s�rie formelle $F$ est donc une fraction rationnelle. De
plus, par hypoth�se, 
$\deg F_k =-1$ et donc $\dpt{\deg \left ( \frac{d^k}{dT^k} (T F_k (T))
  \right ) \leq -k-1 }$. Cela implique que 
$$
\deg \left ( \frac{T^{k-1}}{k!} \frac{d^k}{dT^k} ( T F_k (T)) \right )
\leq -2 
$$
et est donc de r�sidu nul en l'infini. La cas semi-simple implique
donc les autres cas. 

Reste � d�montrer le lemme dans le cas o� $v$ est semi-simple. Soit
donc $v$ semi-simple. Pour tout $w\in \Gl (V)$ 
$$
\text{tr} ( u (w^{-1} v w)^{N+1})= \text{tr} ( u w^{-1} v^{N+1} w)=
\text{tr} ( (wuw^{-1}) v^{N+1}) 
$$
et $\text{tr} (wuw^{-1})=\text{tr} (u)$. On peut donc supposer que
$V=K^n$ et que la matrice de $v$ dans la base canonique de $K^n$ est
la matrice diagonale $diag (\l_1,\dots,\l_n)$ (o� $\forall i
\;\l_i\neq 0$). Notons $(a_{ij})_{i,j}$ la matrice de $u$. Alors, 
\begin{eqnarray*}
F(T) &=&  \sum_{N=0}^{+\infty} \sum_{i=1}^n a_{ii} \l_i^{N+1} t^N \\
 &=& \sum_{i=1}^n a_{ii} \frac{\l_i}{1 - \l_i T}
\end{eqnarray*}
or $\dpt{\l_i\neq 0 \impl \text{Res}_\infty \left ( \frac{ \l_i}{1-\l_i T}
dT\right ) =1}$. D'o� le r�sultat.
\end{proof}

\begin{rema}
L'int�r�t de ce lemme est que si $P$ est un polyn�me alors 
$$
\text{Res}_\infty P(T) dT =0
$$
Ainsi, si l'on modifie la s�rie d�finissant $F(T)$ dans le lemme
pr�c�dent par un nombre fini de termes on peut encore retrouver la
trace de $u$. 
\end{rema}

\section{S�paration des repr�sentations sph�riques par les traces
de fonctions � support dans les �l�ments r�guliers} 

\begin{prop}\label{sep_spherique}
Soit $H/\Qp$ un groupe r�ductif non ramifi� tel que $H(\Qp)\drt H_{ad} (\Qp)$ soit surjectif. Soit 
$$
\sum_{\pi\in \Irr(G(\Qp))} a_\pi [\pi] \in \Groth (G(\Qp))\hat{\otimes}\C
$$  
(i.e. $\a_\pi\in \C$ et 
$\forall \; K_p\subset H(\Qp)$ compact ouvert $\#\{\pi \; |\;
a(\pi)\neq 0\;\text{ et } \pi^{K_p}\neq (0)\;\}<\infty$)

Si $\forall f_p\in \mathcal{H}(H(\Qp)), \text{supp}(f_p)\subset
H(\Qp)_{reg}$ on a :
$$
\sum_\pi a_\pi \text{tr}\; \pi (f_p)=0
$$
Alors, $\forall \;\pi$ sph�rique $\; a(\pi)=0$.
\end{prop}
\begin{proof} Ce r�sultat est essentiellement contenu dans 
 \citeg{Lab2} dont nous utiliserons librement les notations. 

Commen�ons par remarquer que dans \citeg{Lab2}, si le param�tre $t$
est r�gulier alors la fonction �l�mentaire $f_t$ est � support dans
les �l�ments r�guliers de $H(\Qp)$. D'apr�s la proposition 5 de
\citeg{Lab2} on a en prenant $f_p=f_t$ avec $t$ r�gulier :
$$
\sum_{{\pi\text{sous-quotient}} \atop {\text{d'une s�rie principale} \atop
  \text{non ramifi�e}}} a_\pi\; \text{tr}\; \pi (f_t)=0
$$
i.e. on peut s�parer les sous-quotients des s�ries principales non
ramifi�es des autres �l�ments de $\Irr (H(\Qp))$.

Remarquant que les �l�ments r�guliers $t$ engendrent le groupe
$A(\Qp)/A(\Zp)$, 
la proposition 7 de \citeg{Lab2} coupl�e � l'ind�pendance lin�aire des
caract�res  (ici l'ind�pendance lin�aire des caract�res 
non ramifi�s $\l$
� valeurs dans $\C^*$ du groupe des points
 dans $\Qp$ d'un tore d�ploy� maximal ) permet de s�parer les $\pi$
 sous-quotients de s�ries principales non ramifi�es associ�es � des
 $\l,\l'$ tels que$\forall w\in W\;\; \l^w\neq \l'$. 

La proposition 8 (cf. �galement la remarque qui la suit) permet � $\l$
(modulo l'action de $W$ ) fix� de s�parer dans les sous-quotients
irr�ductibles de la s�rie principale non ramifi�e le sous-quotient
sph�rique des autres sous-quotients. D'o� le r�sultat.

\end{proof}

\section{Le th�or�me}

Soit $G$ un groupe de similitudes unitaires sur $\Q$ comme dans le I. 

\begin{theo}\label{Caract_Traces}
Soit $A\in \Groth ( G(\A_f)\times W_{E_\nu})$ tel que pour tout type
supercuspidal $(J,\l)$ de $G(\Qp)$, $\forall g\in \tilde{J}$ le sous-
groupe compact modulo le centre associ�, $\forall f^p\in \mathcal{H} (
G( \A_f^p))$ telle qu'il existe $w \neq p$ v�rifiant $\text{supp} (
f_w)\subset G(\Q_w)_{reg}$ il existe un $N\in \N$ tel que $\forall
\tau\in W_{E_\nu}$ v�rifiant $v(\tau)\geq N$ si 
$$
f=(e_\l * \delta_g)\otimes f^p
$$
on ait 
$$
\text{tr} ( f\times \tau ; A)=0
$$
Alors,
$$
A_{cusp}=0
$$
\end{theo}

\begin{proof}
fixons $\s\in W_{E_\nu}$ tel que $v(\s)=1$. Consid�rons la
distribution sur $G(\A_f)$
$$
f \mapsto \sum_{N\geq 0} \text{tr} ( f\times \tau \s^{N+1} ; A) T^N
$$
qui est � valeurs dans $\C (T)$ d'apr�s le lemme
\ref{lemalg}. Appliquant l'application lin�aire $$
\text{Res}_\infty : \C(T)\ldrt \C
$$
� cette distribution on d�duit du lemme \ref{lemalg} et de la remarque
qui le suit que dans l'�nonc�
du th�or�me on peut prendre n'importe quel $\tau\in W_{E_\nu}$
ind�pendamment de $f^p$. 

Fixons $\pi_0$ une repr�sentation supercupsidale de $G(\Qp)$ et
$(\l,J)$ un type associ�. Notons 
$$
A=\sum_{\Pi\in \text{Irr} ( G( \A_f))} \; [\Pi]\otimes [\rho (\Pi)]
$$
o� $[\rho (\Pi)]\in \Groth ( W_{E_\nu})$. Fixons $f^p \in \mathcal{H}(
G( \A_f^p))$ v�rifiant $\exists w \neq p\; \text{supp} ( f_w)\subset G
(\Q_w)_{reg}$ et consid�rons la distribution sur $G(\Qp)$: 
$$
f_p \longmapsto \text{tr}( f_p\otimes f^p \times \tau ;A)
=\sum_{\pi\in \text{Irr} ( G (\Qp))} \underbrace{\left( \sum_{\Pi\in \text{Irr} (
G(\A_f)) \atop \Pi_p \simeq \pi} \text{tr} (f^p;\Pi^p)\; \text{tr} (
\tau; \rho (\Pi))\right )}_{a_\pi} \; \text{tr}_\pi ( f_p)
$$
Il r�sulte de la d�finition de $\Groth ( G( \A_f)\times W_{E_\nu})$
que pour tout sous-groupe compact ouvert $K_p$ de $G(\Qp)$ 
$$
\#\{ \pi\; |\; \pi^{K_p}\neq (0) \text{ et } a_\pi\neq 0\: \}<+\infty
$$
Si $K_p$ est tel que $e_\l\in \mathcal{H} ( G(\Qp)// K_p)$ alors
$\forall g\in \tilde{J}\; \forall \pi\;\; \pi (e_\l* \delta_g)=\pi
(e_\l) \pi (g)$ et donc, 
$$
\#\{ \pi\; |\; \pi (e_\l*\delta_g)\neq 0 \text{ et } a_\pi\neq 0\: \}<+\infty
$$
Il existe donc un ensemble fini $E$ de caract�res non ramifi�s de $G(\Qp)$
v�rifiant 
$$
\forall \chi,\chi'\in E\;\; \chi\neq \chi' \limpl \pi_0\otimes
\chi\not\simeq \pi_0\otimes \chi'
$$
et 
$$
\sum_{\chi\in E} a_{\pi_0\otimes \chi} \text{tr}_{\pi_0\otimes\chi} ( e_\l * \delta_g)=0 
$$
or, $\text{tr}_{\pi_0\otimes \chi}( e_\l *\delta_g)= \chi (g)
\text{tr}_{\pi_0} ( e_\l*\delta_g)$ et  $\text{tr}_{\pi_0} (
e_\l*\delta_g)\neq 0$ (lemme \ref{lemme_typique}). On en d�duit 
$$
\forall g\in \tilde{J} \;\; 
\sum_{\chi\in E} a_{\pi_0\otimes \chi} \;\chi (g)=0
$$
Rappelons (annexe \ref{Annexe_types}) que $\pi_0\otimes \chi \not\simeq \pi_0\otimes \chi'
\ssi \chi_{|\tilde{J}} \neq \chi'_{|\tilde{J}}$ et donc par
ind�pendance lin�aire des caract�res 
$$
a_{\pi_0}=0
$$
\\

Fixons maintenant $\Pi_0\in \text{Irr} (G (\A_f))$ v�rifiant $\Pi_{0 p}
\simeq \pi_0$. Fixons toujours $\tau \in W_{E_\nu}$. 
 Soit $w$ une place de $\Q$ en laquelle $G(\Q_w)$ est non
ramifi� de type adjoint et $\Pi_{0 w}$ sph�rique. Fixons $f^{p w}\in
\mathcal{H} ( G (\A_f^{p w}))$. Il r�sulte de l'�galit� $a_{\pi_0}=0$
que l'on a la relation  
$$
\forall f_w\in \mathcal{H} ( G (\Q_w)) \;\;\; \text{supp} ( f_w)\subset G
(\Q_w)_{reg} 
$$
$$
\sum_{\pi\in \text{Irr} ( G (\Q_w))} \left ( 
\sum_{\Pi\in \text{Irr} ( G (\A_f)) \atop \Pi_p\simeq \pi_0}
\text{tr}_{\Pi^{p w}}( f^{pw}) \text{tr} (\tau; \rho (\Pi)) \right )
\text{tr}_\pi (f_w) =0 
$$
On d�duit donc  du lemme \ref{sep_spherique} que 
$$
\forall f^{pw}\in \mathcal{H} ( G (\A_f^{pw})) \; \forall \tau\in
W_{E_\nu} \;\; \sum_{\Pi\in\text{Irr} ( G(\A_f)) \atop {\Pi_p\simeq
\Pi_{0 p} \atop{ \Pi_w\simeq \Pi_{0 w}}}} \text{tr}_{\Pi^{pw}} ( f^{pw} )
\text{tr} ( \tau; \rho (\Pi)) =0
$$
Fixons un niveau $K^{pw}$ tel que $(\Pi_0^{pw})^{K^{pw}}\neq
(0)$. Alors, si
$$ X=
\{ \Pi^{pw}\in \text{Irr} ( G (\A_f^{pw})) \; |\;
(\Pi^{pw})^{K^{pw}} \neq (0) \text{ et } \rho ( \Pi_{0,p}\otimes
\Pi_{0,w}\otimes \Pi^{pw})\neq (0)\}
$$
$\# X <+\infty$. Les repr�sentations semi-simples de $W_{E_\nu}$ de
dimension finie sur $\C$ sont �quivalentes aux repr�sentations
semi-simples de dimension finie sur $\C$ de la $\C$-alg�bre 
$$ R =\underset{i\in \N}{
\limi} \C [ W_{E_\nu}/ \Gal ( \overline{E}_\nu | E_\nu)^{(i)}]
$$
Il r�sulte alors de l'ind�pendance lin�aire des caract�res que les
traces des �l�ments de  
$$
\mathcal{H} ( G ( \A_f^{pw}) // K^{pw}) \otimes_\C R 
$$
permettent de s�parer les 
$$
\Pi^{pw} \otimes \rho (\Pi_{0,p}\otimes \Pi_{0,w}\otimes \Pi^{pw})\;,\;\;\;
\Pi^{pw}\in X
$$
 On en d�duit donc que
$$
[\rho ( \Pi_0)]=0
$$
\end{proof}

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these_partie6.tex
\chapter{Le th�or�me}

Soit $\mathcal{D}$ une donn�e de type P.E.L. non ramifi�e en $p$, et
$\Sh_K$ les vari�t�s de Shimura associ�es, que nous supposerons
compactes. Nous supposerons pour cela  que $D=\End_B(V)$ est une
alg�bre � division. Nous supposerons de plus qu'en toutes les places finies
de $F$, $D$ est soit d�ploy�e soit une alg�bre � division.
 Nous supposerons �galement que l'on est
dans le cas (A), c'est � dire dans le  cas unitaire et 
 que le corps C.M. $F$ est de la forme $F^+\mathcal{K}$ o�
$\mathcal{K}|\Q$ est une extension quadratique imaginaire.

Rappelons que l'on note 
$$
G(\Qp)=\prod_{i\in I} \Gl_n (F_{v_i}) \times G ( \prod_{j\in J} U (
n; F_{v_j}) )
$$

Le facteur de droite n'�tant pas tout � fait un produit, ses
repr�sentations ne se d�crivent pas imm�diatement � partir des
repr�sentations de chaque facteur.   
Afin de ne pas trop alourdir les notations  nous supposerons donc dans
ce chapitre que $J=\emptyset$ ou bien que $\#J=1$, ce qui est suffisant
pour les applications que nous avons  en vue. 

Si $$A=\sum_{\Pi \in \text{Irr} (G(\A_f))} [\Pi]\otimes [\s(\Pi)] \in
\Groth (G(\A_f)\times W_{E_\nu})$$ on note $$A_{cusp}=\sum_{\Pi \atop
\Pi_p \text{ supercuspidale}} [\Pi]\otimes [\s (\Pi)]
$$


\begin{theo}\label{coho_ind_en_p}
\begin{enumerate}
\item
Supposons $p$ d�compos� dans $\mathcal{K}$  (et donc 
 $J=\emptyset$), alors 
$$ 
\left [ \underset{K}{\limi} H^\bullet (\Sh_K ,\mathcal{L}_\rho) \right ]_{cusp}
=  
\left [ \underset{K}{\limi} H^\bullet (\Sh_K^{an} (b_0) ,\mathcal{L}_\rho) \right ]_{cusp}
$$ 
\item
Supposons $p$ inerte dans $\mathcal{K}$ et $\#J=1$.
Supposons d�montr� l'existence d'une application de changement de base
local en $p$ pour les groupes unitaires non ramifi�s 
(ce qui est le cas pour $U(3)$, \ref{BC_local}) et l'existence de
types pour les repr�sentations supercuspidales des groupes unitaires
non ramifi�s en $p$ (conf�re \ref{types_Un}) (c'est le cas pour $U(3)$
lorsque $p\neq 2$, \ref{types_U3}). On a alors l'�galit� 
$$
\left [ \underset{K}{\limi} H^\bullet (\Sh_K ,\mathcal{L}_\rho) \right
]_{|W_{E_\nu \mathcal{K}_p},cusp}
=  
\left [ \underset{K}{\limi} H^\bullet (\Sh_K^{an} (b_0) ,\mathcal{L}_\rho) \right ]_{|W_{E_\nu \mathcal{K}_p},cusp}
$$
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{proof}
La d�monstration consiste � comparer deux formules des traces, l'une
sur la fibre g�n�rique, l'autre sur la fibre sp�ciale.
\\

Nous donnons la d�monstration  dans le cas o� $\#J=1$, le cas o�
$J=\emptyset$ �tant plus simple puisqu'il suffit dans les
d�monstrations de remplacer le groupe de similitudes unitaires associ�
� la place index�e par $J$ par
$\Qp^\times$. 
\\

Commen�ons par rappeler quelques notations. Notons $J=\{ j \}$. 
 Fixons une repr�sentation
supercuspidale $\pi_0$ de $G(\Qp)$. Via l'isomorphisme 
$$
G(\Qp)\simeq \prod_{i\in I} \Gl_n (F_{v_i})\times GU (n;F_{v_j})
$$
notons 
$$
\pi_0=\otimes_{i\in I} \pi_{0,i} \otimes \pi_{0,j}
$$
o� les repr�sentations $\pi_{0,i}$  et $\pi_{0,j}$ sont supercuspidales. Pour tout $k$
 dans $I\cup J$  soit 
$(\l_k,J_k)$  un type associ� � la classe
d'�quivalence inertielle de 
$\pi_{0,k}$. Nous noterons $\tilde{J}_k$
le sous-groupe compact modulo 
le centre  associ�
(conf�re l'annexe \ref{Annexe_types})), et  
$\tilde{\l}_k$ l'extension de $\l_k$ �
$\tilde{J}_k$ v�rifiant  
$$ \forall i\in I\;\;
\pi_{0,i}\simeq c-Ind^{\Gl_n( F_{v_i})}_{\tilde{J}_i}
\tilde{\l}_i\text{ et } \forall j\in J\;\; \pi_{0,j}\simeq
c-Ind^{ GU(n;F_{v_j})}_{\tilde{J}_j} 
$$
Pour tout $k$ dans $I\cup J$ fixons $g_k\in \tilde{J}_k$, et soit
$e_{\l_k}$ l'idempotent de l'alg�bre de Hecke associ� d�fini par 
$$
e_{\l_k}(g)=\left \{ 0\text{ si } g\notin J_k \atop \frac{\dim
\l_k}{vol (J_k)} \chi{\l_k} (g) \text{ si } g\in J_k \right.
$$

Posons 
\begin{eqnarray*} \forall k\in I\cup J\;\;\;
f_k &=& e_{\l_k}* \delta_{g_k}\\
 f_p &=& \otimes_{i\in I} f_i \otimes f_j \in \mathcal{H} (G(\Qp))
\end{eqnarray*}
Soient $f^p \in \mathcal{H} ( G( \A_f^p))$ et $\tau\in W_{E_\nu\mathcal{K}_p}$.

Commen�ons par �tablir la formule des traces sur la fibre g�n�rique. 
Plus pr�cis�ment, on cherche une expression pour 
$$
\text{tr} ( f\times \tau ; [H^\bullet (\Sh,\mathcal{L}_\rho)])
$$
Si la repr�sentation $\Pi \in \text{Irr} ( G( \A_f))$ est telle que $\Pi$ intervienne
dans $[ H^\bullet ( Sh,\mathcal{L}_\rho)]$, la non nullit� de
$\text{tr} ( f ; \Pi)$ implique que
$\Pi_p$ est supercuspidale et qu'il existe un caract�re non ramifi� $\chi$
de $G(\Qp)$ tel que 
$\Pi_p\simeq \pi_0 \otimes \chi$.

Il r�sulte donc de l'annexe A que :
\begin{eqnarray*} 
&\text{tr} & (f\times \tau ; [ H^\bullet ( Sh, \mathcal{L}_\rho) ] ) \\
&=& \sum_{\Pi\in \text{Irr}( G (\A_f)) \atop {\Pi_p \in [\pi_0, G (\Qp)]
\atop \exists \Pi'\in \mathcal{T} (G)_\rho \; \Pi=\Pi'_f} }
m_\Pi\; \text{tr}_\Pi (f) \;\text{tr}\left ( \tau; r_{\mu_{\Qpb}}\circ
\tilde{\s}_\ell ( \text{BC}(\Pi_p) )_{| E_\nu} |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}}\right )
\end{eqnarray*}
o� $m_\Pi$ est la multiplicit� d'une $\Pi'\in \mathcal{T}(G)_\rho$
v�rifiant $\Pi\simeq \Pi'_f$ et $BC$ d�signe le changement de base
local  (qui existe par hypoth�se en la place $v_j$). 

On dispose seulement d'une formule des traces pour la trace d'une
fonction de l'alg�bre de Hecke (th�or�me \ref{Lefschetz_generique}),
mais pas pour $f\times \tau$.
C'est pourquoi nous avons besoin du lemme suivant :

\begin{lemm} Pour tout $\tau\in W_{E_\nu \mathcal{K}_p}$
il existe une fonction $$\tilde{f}_p^{\tau} \in \bigotimes_{i\in I} \left (e_{\l_i} *
\mathcal{H} ( \Gl_n ( F_{v_i}))* e_{\l_i}\right ) \otimes ( e_{\l_j} *
\mathcal{H} ( GU(n; F_{v_j} ) ) * e_{\l_j}) \subset \mathcal{H} ( G(\Qp))$$
telle que $\forall \chi$ caract�re non ramifi� de $G(\Qp)$ on ait 
$$
\text{tr} ( \tilde{f}_p^{\tau}; \pi_0\otimes \chi)= \text{tr} ( f_p;
\pi_0\otimes \chi) \; \text{tr} \left ( \tau; r_{\mu_{\Qpb}}\circ
\tilde{\s}_\ell (\pi_0\otimes \chi) |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}}\right ) 
$$
\end{lemm}
\begin{proof}

Notons $X_{\Qlb} (G(\Qp))$ le groupe des caract�res non ramifi�s de
$G(\Qp)$ � valeurs dans $\Qlb^\times$. Le groupe $X_{\Qlb} (G(\Qp))$
s'identifie aux points � valeurs dans $\Qlb$ d'une vari�t� alg�brique
de type fini sur $\Qlb$ (plus pr�cis�ment un tore). De plus, soit le
groupe fini 
$$
\GG=\{ \chi\in  X_{\Qlb} (G(\Qp))\; |\; \pi_0\otimes \chi \simeq \pi_0
\}
$$ 
Les fonctions r�guli�res sur le tore quotient par $\GG$ s'identifient �
l'alg�bre de Hecke du type $\l=\otimes_i \l_i \otimes \l_j$ de
$G(\Qp)$ (annexe \ref{Fait_type1}).  
 
Consid�rons maintenant la fonction 
\begin{eqnarray*} F:
X_{\Qlb} (G(\Qp)) & \ldrt & \Qlb \\
\chi & \longmapsto & \text{tr} ( f_p; \pi_0\otimes \chi) \; \text{tr}
( \tau;   r_{\mu_{\Qpb}}\circ
\tilde{\s}_\ell ( \pi_0\otimes\chi )_{| E_\nu} |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}})
\end{eqnarray*}

�tant donn� que $\tilde{\s}_\ell$ est d�fini au niveau des classes
d'isomorphisme de repr�sentations, $F$ est invariante par $\GG$ et
descend donc en une fonction sur  $X_{\Qlb} (G(\Qp))/\GG$. Montrons
que cette fonction est r�guli�re. 

Un tel $\chi$ �l�ment de $X_{\Qlb} (G(\Qp))$ est de la forme 
$$
\chi=\otimes_{i\in I} (\chi_i \circ \det) \otimes \chi_j
$$
o� $\forall i \; \chi_i$ est un caract�re non ramifi� de
$F_{v_i}^\times$ et $\chi_j$ de $GU( n; F_{v_j})$. Le caract�re $\text{BC} (\chi_j)$ est
un caract�re non ramifi� de $\Gl_n (F_{v_j})\times \Qp^\times$� Notons
$\text{BC}(\chi_j)=( \chi'_j \circ \det ) \otimes \chi''_j$. L'application
$\chi_j \mapsto \text{BC} (\chi_j)$ est r�guli�re (on peut la d�crire
explicitement). 
On a alors, 
$$
( \pi_{0,i}\otimes \chi_i)(f_i)= \pi_{0,i} (f_i)\; \chi_i ( \det g_i)\;
\text{ et } \;( \pi_{0,j}\otimes \chi_j)(f_j)= \pi_{0,j} (f_j)\; \chi_j (  g_j)
$$
duquel on d�duit 
$$
\text{tr} ( f_p; \pi_0 \otimes \chi) = \text{tr} ( f_p;
\pi_0). \prod_{i\in I} \chi_i (\det g_i) \;\chi_j (g_j)
$$
De plus, 
$$ \forall i\in I\;\;
\s_\ell ( \pi_{0,i}\otimes \chi\circ \det)=\s_l ( \pi_{0,i})\otimes
\s_\ell (\chi) 
$$
o� $\s_\ell (\chi_i): W_{F_{v_i}}\ldrt \Qlb^\times$ est associ� �
$\chi_i$ par la th�orie du corps de classe local, 
et 
$$
\s_{\ell} ( \text{BC} ( \pi_{0,j}\otimes \chi_j)) = \s_\ell (
\text{BC}(\pi_{0,j}) \otimes ((\chi'_j\circ \det)\otimes \chi''_j))
=\s_\ell (\text{BC} (\pi_{0,j})) \otimes \s_\ell (\chi'_j) \otimes
\s_\ell (\chi''_j) 
$$
Utilisant le fait que pour tout $k$ dans $I\cup J$ l'extension $E_k |\Qp$ est non
ramifi�e on en d�duit : 
$$
r_{\mu_{\Qpb}}\circ \tilde{\s}_\ell ( \pi_0\otimes \chi) (\tau) =(
r_{\mu_{\Qpb}}\circ \tilde{\s}_\ell (\pi_0) (\tau)) . \prod_{i\in I}
\chi_i (p)^{-v(\tau) \sum_{\tau\in \Hom_{\Qp} (F_{v_i},\Qpb)}
p_{i}}  \chi'_j
(p)^{-v (\tau) p_j}    \chi''_j (p)^{-v (\tau)}
$$
o� les $p_i,p_j$ sont des entiers associ�es � $\mu$. La fonction 
 $F$ est donc une fonction r�guli�re. D'apr�s l'annexe \ref{Fait_type1} il  existe donc $\tilde{f}_p^{\tau}\in
 \mathcal{H} (\l, G(\Qp))$ v�rifiant 
$$
\forall \chi\in X_{\Qlb} ( G(\Qp))\;\;\; F( \chi)= \text{tr}_{\pi_0\otimes
\chi} ( \tilde{f}_p^{\tau})
$$
\end{proof}

\begin{rema}
On peut aussi utiliser le th�or�me de Paley-Wiener scalaire
(\cite{Paley_Wiener})  pour
obtenir l'existence d'une fonction $\tilde{f}_p^{\tau}\in \mathcal{H} ( G(
\Qp))$ v�rifiant 
$$
\forall \pi \in \text{Irr} ( G(\Qp))\;\; \text{tr}_\pi ( \tilde{f}_p^{\tau})=
\text{tr}_\pi (f_p)\;  \text{tr}
( \tau;   r_{\mu_{\Qpb}}\circ
\tilde{\s}_\ell ( \pi )_{| E_\nu} |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}})
$$
Cependant
nous aurons besoin par la suite de l'annulation des int�grales
orbitales de $\tilde{f}_p^{\tau}$ sur les �l�ments r�guliers non
elliptiques. Pour la fonction $\tilde{f}_p^{\tau}$ du lemme ci dessus ce sera
une cons�quence 
facile de l'appartenance de $\tilde{f}_p^{\tau}$ � l'alg�bre de Hecke d'un
type supercuspidal. Si l'on veut utiliser le th�or�me de Paley-Wiener
scalaire et non le lemme ci dessus, cela est une cons�quence du
th�or�me A-(b) de \cite{Kazhdan1}.  
\end{rema}

Posons $\tilde{f}^\tau=\tilde{f}_p^{\tau}\otimes f^p$ qui d�pend donc de $\tau$. Il r�sulte du lemme que
l'on a l'�galit� 
$$
\text{tr} ( \tilde{f}^\tau ; [H^\bullet ( \Sh,\LL_\rho)]) = 
\text{tr} ( f\times\tau ; [H^\bullet ( \Sh,\LL_\rho)]) 
$$

Supposons maintenant qu'en une place $w$ de $\Q$, $f_w$ soit �
support dans les �l�ments r�guliers de $G(\Q_w)$ (on suppose $f$
d�compos�e en un produit $\otimes_{v} f_v$). Il r�sulte de
l'�galit� pr�c�dente ainsi que du th�or�me \ref{Lefschetz_generique} que :
$$
\text{tr}\left ( f\times \tau ; [ H^\bullet (\Sh,\mathcal{L}_\rho )]\right)
= \sum_{\{\g \} \in \{ G(\Q) \} \atop {\g \text{ r�gulier} \atop \g
\text{ elliptique dans }G(\R)}} vol ( G(\Q)_\g \bc G (\A)_\g)
\text{tr} \rho (\g) \; \O_\g ( \tilde{f}_p^\tau) \; \O_\g ( f^p)
$$
Remarquons maintenant qu'�tant donn� que $\tilde{f}^\tau_p$ est dans l'alg�bre
de Hecke associ�e � un type supercuspidal, pour tout �l�ment $\g$ de
$G(\Qp)$ semi-simple r�gulier non elliptique $\O_\g (\tilde{f}_p)=0$.

D'o� la formule 
$$
\text{tr}\left (f\times\tau; [ H^\bullet (\Sh,\mathcal{L}_\rho)]\right )
=
 \sum_{\{\g \} \in \{ G(\Q) \} \atop { \g \text{ r�gulier} \atop \g
\text{ elliptique dans }G(\R) \text{ et } G(\Qp) }} vol ( G(\Q)_\g \bc G (\A)_\g)
\text{tr} \rho (\g) \; \O_\g ( \tilde{f}_p^\tau) \; \O_\g ( f^p)
$$
\\

Passons maintenant � la formule des traces sur la fibre sp�ciale.

Soit donc $f_p$ comme pr�c�demment fix�e d�finitivement. Soit
$\tilde{K}\subset G( \A_f^p)$ 
un compact. Il r�sulte du th�or�me \ref{Lefschetz_speciale} appliqu� �
toute la vari�t� de Shimura qu'il existe un entier $N$ 
 tel que $\forall \tau\in W_{E_\nu\mathcal{K}_p}$, $ \; v(\tau)\geq N$, $ \;
\forall f^p\in \mathcal{H} ( G(\A_f^p))\; \text{supp} ( f^p)\subset
\tilde{K}$
$$
\text{tr}\left (f\times \tau; [H^\bullet (\Sh,\mathcal{L}_\rho)]\right
) = \sum_\phi \sum_{\{\g\}\in \{ I^\phi (\Q)\}} \l_{\phi,\{\g\},\tau} \;
\O_\g ( f^p) 
$$
o� $\l_{\phi,\{\g\},\tau}=0$ sauf pour un nombre fini de $(\phi,\{\g\})$
(ce nombre fini tendant vers l'infini lorsque $\tilde{K}$
grossi et $v(\tau)$ varient). Nous choisirons de plus $N$ suffisemment grand de tel fa�on que le
th�or�me \ref{Lefschetz_speciale}  s'applique �galement � la strate basique.

On a donc l'�galit�  
$$
\text{tr}\left (f\times \tau; [H^\bullet (\Sh^{an}(b_0),\mathcal{L}_\rho)]\right
) = \sum_{\phi, b(\phi)=b_0}  \sum_{\{\g\}\in \{ I^\phi (\Q)\}} \l_{\phi,\{\g\},\tau} \;
\O_\g ( f^p) 
$$ 
Remarquons que si $\phi$ n'est pas basique et $\g \in I^\phi (\Q)$ alors
$\g$ est dans une forme int�rieure d'un Levi propre de $G(\Qp)$, $J_b$. 
\\

Nous pouvons maintenant comparer les formules des traces sur la fibre
g�n�rique et sur la fibre sp�ciale. 

Fixons un compact $\tilde{K}$ dans 
$G(\A_f^p)$.
Soit $v_1\neq p$ une place de $\Q$ d�compos�e dans
$\mathcal{K}$. Supposons le compact $\tilde{K}$ de la forme $\tilde{K}_{v_1}
\times \tilde{K}^{v_1}$. Soit $f_p$ comme pr�c�demment et
$f^{p,v_1}\in \mathcal{H} ( G ( \A_f^{p,v_1}))$ telle que $\text{supp} (
f^{p,v_1})\subset \tilde{K}^{v_1}$, et en une place $f$ est � support
dans les �l�ments r�guliers.
Soit $\tau\in W_{E_{\nu}\mathcal{K}_p}$ tel que $v(\tau)\geq N$ o� $N$ est associ�
� $\tilde{K}$. 
Pour une fonction $f_{v_1}$, on note  $\tilde{f}_p^\tau$ la fonction associ�e � $\tau$ et
$\tilde{f}^\tau= \tilde{f}_p \otimes f^p$. D�sormais, $\tau$ et
$f^{v_1}$ sont fix�s.  
 Alors, 
$$
\forall f_{v_1}\;\; \text{supp} (f_{v_1})\subset \tilde{K}_{v_1} \;\;\;\;
\sum_{\{\g \} \in \{ G(\Q) \} \atop { \g \text{ r�gulier} \atop \g
\text{ elliptique dans }G(\R) \text{ et } G(\Qp) }} \a_{\{\g \}}
 \O_\g ( f_{v_1})
= \sum_\phi \sum_{\{\g\}\in \{ I^\phi (\Q)\}} \b_{\phi,\{\g\}} \O_\g ( f_{v_1})
$$
o� l'on a pos� 
$$
\a_{\{\g\}}=  vol ( G(\Q)_\g \bc G (\A)_\g)
\text{tr} \rho (\g) \; \O_\g ( (\tilde{f}^\tau)^{v_1})
$$
et $b_{\phi,\{\g\}}=\l_{\{\g\},\tau} \; \O_\g ( f^{p,v_1})$ qui d�pendent
de $f^{v_1}$ et $\tau$. 

Regroupons les termes par classes de conjugaison dans $G(\Q_{v_1})$:
on obtient 
$$
\sum_{\{\g'\}\in \{ G (\Q_{v_1})\}_{reg}} \left ( 
\sum_{\{\g \} \in \{ G(\Q) \} \atop { \g \text{ r�gulier} \atop { \g
\text{ elliptique dans }G(\R) \text{ et } G(\Qp)\atop {
\g \sim \g'} }}} \a_{\{\g\}} - \sum_{\phi,\{\g\}\in I^\phi (\Q) \atop
\g \sim \g'} \b_{\phi,\{ \g\}} \right ) \;\O_{\g'} ( f_{v_1})=0
$$
o�, �tant donn� que $\text{supp} ( f_{v_1})$ reste dans le compact
$\tilde{K}_{v_1}$, la somme porte sur un nombre fini de classes de
conjugaisons semi-simples r�guli�res dans $G(\Q_{v_1})$ intersectant
le compact $\tilde{K}_{v_1}$.

�tant donn� que les classes de conjugaison sont ferm�es, disjointes et
en nombre fini on peut les s�parer par des �l�ments $f_{v_1}\in
\mathcal{H} ( G (\Q_{v_1}))$ v�rifiant $\text{supp} ( f_{v_1})\subset
\tilde{K}_{v_1}$. 

On obtient donc $\forall \g'\in G (\Q_{v_1})$ semi-simple r�gulier 
$$
\sum_{\{\g \} \in \{ G(\Q) \} \atop { \g \text{ r�gulier} \atop { \g
\text{ elliptique dans }G(\R) \text{ et } G(\Qp)\atop {
\g\sim \g'} }}} \a_{\{\g\}} =\sum_{\phi,\{\g\}\in I^\phi (\Q) \atop
\g \sim \g'} \b_{\phi,\{ \g\}}
$$
Remarquons maintenant que si $\phi$ est non basique et $\g_1\in I^\phi
(\Q)$ r�gulier, $\g_1$ ne peut �tre conjugu� dans $G(\Q_{v_1})$ � un �l�ment
$\g_2$ de $G(\Q)$ elliptique dans $G(\Q_p)$. En effet, 
$\g_1$ vu comme �l�ment de $J_b$ se transfert en un �l�ment $\g'_1$ de
$M(b)$ (le centralisateur du morphisme des pentes) la forme int�rieure
quasi-d�ploy�e de $J_b$ (l'explicitation de l'existence de ce
transfert est faite � la fin du th�or�me III.\ref{lehteoint}).
 L'�l�ment 
$\g_2$ serait
alors stablement conjugu� � un �l�ment $\g'_1$ d'un Levi propre de
$G(\Qp)$ ce qui d'apr�s le lemme \ref{lemstab} 
est incompatible avec le fait que $\g_2$ est elliptique r�gulier.

On en d�duit donc :
$$
\sum_{\phi\text{ non basique}\atop \{\g\}\in \{I^\phi (\Q)\}} \b_{\phi,\{
\g \}} =0
$$
On peut maintenant appliquer de nouveau le th�or�me
\ref{Lefschetz_speciale} � la strate basique pour obtenir que 
 $\forall f_{v_1},\text{ supp} (f_{v_1})\subset \tilde{K}_{v_1} $
$$
\text{tr} \left ( f\times \tau ; [H^\bullet
(\Sh,\mathcal{L}_\rho)]\right )
= \text{tr} \left ( f\times \tau ; [H^\bullet
(\Sh^{an}(b_0),\mathcal{L}_\rho)]\right )
$$
Nous pouvons mainteant faire varier $f^{v_1}$ et $\tau$ tels que
$\text{supp} (f^{v_1})\subset \tilde{K}^{v_1}$ et $v(\tau)\geq N$.  
On peut alors appliquer le th�or�me \ref{Caract_Traces} pour conclure.
\end{proof}

\begin{rema}
  Dans le th�or�me pr�c�dent, dans le second cas, lorsque $G$ est un
  groupe de similitudes unitaires en trois variables la restriction de
  $W_{E_\nu}$ � $W_{E_\nu \mathcal{K}_p}$ est inutile. C'est une
  cons�quence du th�or�me \ref{rep_gal_U3}.
\end{rema}

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%%% End: 

these_partie7.tex
\chapter{}

Nous d�montrons dans cette partie les principaux r�sultats de
cette th�se, � savoir les conjectures de Kottwitz 
(\cite{Rapoport2} conjecture 5.1, \cite{ECM} conjecture 5.3 et la
conjecture 5.4 qui est une g�n�ralisation de la conjecture de
Kottwitz) pour la partie supercuspidale de la cohomologie des espaces
de Rapoport-Zink basiques suivants :
\begin{itemize}
\item Les espaces de type E.L. non ramifi�s pour lesquels le groupe
  $J_b$ est anisotrope modulo le centre ou bien �gal � $G$ (th�or�mes
  \ref{theo_princ1} et \ref{theo_princ2}) 
 (la  restriction sur $J_b$ 
  provient du fait que cette hypoth�se simplifie la comparaison des
  formules des traces)
\item Pour les espaces de type P.E.L. non ramifi�s  associ�s au groupe
  unitaire $U(3)$ sur des extensions de degr� impaires de $\Qp$
  , $p\neq 2$, nous les d�montrons
  pour les repr�sentations 
  supercuspidales stables. Nous d�montrons des r�sultats plus faibles
  pour les autres repr�sentations supercuspidales. (th�or�me \ref{theo_princ3})  
\item De m�me pour $U(n)$ en supposant certains faits connus
  concernant l'analyse harmonique sur les groupes unitaires locaux et
  globaux en $n$ variables.
\end{itemize}
Avec
le cas des espaces de type P.E.L. non ramifi�s associ�s au groupe
$U(3)$ nous donnons ainsi  le
premier exemple de loi de r�ciprocit� locale non ab�lienne construite
g�om�triquement et associ�e � des groupes autres que des formes
int�rieures du groupe lin�aire.

\begin{rema}
  Si l'on sait d�montrer la conjecture de Kottwitz pour les espaces de
  Rapoport-Zink associ�s � des donn�es simples, on sait la d�montrer
  pour des produits de tels espaces, c'est � dire des espaces
  associ�s � des donn�es semi-simples. C'est une simple application de
  la formule de  K�nneth. En particulier, les r�sultats annonc�s  
  restent valables pour des produits des espaces non ramifi�s de type
  E.L. et P.E.L. pour lesquels le r�sultat est d�montr�. 
\end{rema}

\section{Espaces de type E.L. non ramifi�s}
\subsection{Construction de donn�es globales � partir de donn�es
  locales}
\subsubsection{Le r�sultat de Clozel}\label{Construction_unitaire}

Commen�ons par rappeler les r�sultats de la seconde section de
\cite{Clozel1} qui donnent une condition n�cessaire et suffisante pour
qu'une famille de formes int�rieures locales d'un groupe unitaire
presque-partout localement triviale provienne d'un groupe unitaire
global. Ces conditions sont d�duites du formalisme d�velopp� par
Kottwitz pour �tudier la cohomologie galoisienne des groupes r�ductifs
sur les corps de nombres.

Soit donc $F$ un corps C.M. de sous corps totalement r�el maximal
$F^+$. Supposons nous donn�e une famille $(U_v)_v$, o� $v$ parcourt les
places de $F^+$, de groupes unitaires en $n$ variables sur $F^+_v$
(nous entendons par l� que $U_v$ est une forme int�rieure du groupe
$U(n)_{F^+_v}$ o� $U(n)/F^+$ est le groupe unitaire quasi-d�poly� en $n$
variables associ� � l'extension quadratique $F|F^+$). Soit $\Phi$ un
type C.M. de $F$. Lorsque $v$ parcourt les places infinies de $F^+$,
les groupes $U_v$ sont donc donn�s par des couples d'entiers
$(p_\tau,q_\tau)_{\tau\in \Phi}$ tels que si $\tau$ induit $v$ alors
$$
U_v \simeq U(p_\tau,q_\tau)
$$
Si $v$ est une place de $F^+$ d�compos�e dans $F$, $U_v$ est du type 
$\GL_a(D)$ o� $a|n$ et $D/F^+_v$ est une alg�bre � division
d'invariant $\dpt{\frac{r}{n/a}}$ avec $r\wedge n/a=1$. Avec les
notations de (2.3) de \cite{Clozel1}, lorsque $n$ est pair, 
l'invariant local associ� dans
$\mu_n^D\simeq \Z/n\Z$ est $ra \text{ mod } n$. Dans ce cas, 
la composante en $v$ de l'invariant global
associ� est donc $ ra\text{ mod } 2$. Qui est non nul ssi $a$ est
impair (puisque $a$ impaire implique $r$ impair). 

Si $v$ est une place finie de $F^+$ inerte dans $F$, si $n$ est impaire, il
y a un unique groupe unitaire en $n$ variables sur $F^+_v$, le groupe
unitaire quasi-d�ploy�. Le groupe $U_v$ est donc ce groupe.
 Si $n$ est pair, il y en a deux : la forme
quasid�ploy�e et l'autre (suivant que le discriminant de la forme
hermitienne d�finissant le groupe est une norme de l'extension quadratique ou non). Dans ce cas
l�, il y a donc deux possibilit�s pour $U_v$. 

Les r�sultats de la section 2 de \cite{Clozel1} s'�noncent ainsi : 

\begin{prop}\label{prop_Clozel1}
  Supposons que pour presque tout $v$, $U_v$ est quasi-d�ploy�. 

Si $n$ est impair, il existe un groupe unitaire $U/F^+$ tel
que $\forall v\;\; U_{F^+_v}\simeq U_v$. 

Si $n$ est pair, notons $A$ le cardinal de l'ensemble des places
finies d�ploy�es  de $F^+$ telles que $U_v$ soit de la forme $\GL_a (D)$ avec $a$
impair, notons $B$ le cardinal des places finies inertes de $F^+$ telles que
$U_v$ soit non quasi-d�ploy�. Il existe un groupe unitaire $U/F^+$ tel
que $\forall v\;\; U_{F^+_v}\simeq U_v$ ssi
$$
 \frac{n}{2} [F^+ : \Q] +\sum_{\tau\in \Phi} p_\tau \equiv A + B
 \text{ mod } 2
$$

Dans tous les cas, $U$ est le groupe unitaire associ� � $(\mathcal{B},*)$ o�
$\mathcal{B}/F$ est une alg�bre simple et $*$ une involution de
seconde esp�ce.
\end{prop}

\subsubsection{Un lemme}

\begin{lemm}\label{tot_reel}
  Soit $F'|\Qp$ une extension de degr� fini. Il existe un corps
  de nombres totalement r�el $F^0$ tel que $p$ soit inerte dans $F^0$
  et $F^0_p\simeq F'$. 
  
\end{lemm}
\begin{proof}
  �crivons pour cela $F'=\Q_p(\a)$ avec $P\in\Q_p[X]$ le polyn�me
minimal de $\a$. On peut choisir $\a$ tel que $P$ soit unitaire �
coefficients dans $\Z_p$. Notons $d$ le degr� de $P$.
 Alors, le lemme de Krasner montre que
pour $Q\in\Z_p[X]$ suffisamment proche de $P$, $Q$ est
irr�ductible et une racine de $Q$ engendre $F'$.
\\

Par densit� de $\Z$
dans $\Z_p$ le lemme se ram�ne alors  � montrer que pour
tout polyn�me $Q\in\Z[X]$ de degr� $d$,
 pour tout voisinage $p$-adique de $Q$
dans les polyn�mes � coefficients entiers
de degr� $d$ il existe un polyn�me
dont toutes les racines soient r�elles.
Le fait que dans dans l'extension construite � partir d'une racine
d'un tel polyn�me, $p$ reste inerte est cons�quence du fait que le
polyn�me de $\Z[X]$ est irr�ductible dans $\Qp[X]$. 
\\

Soit   $E=\R[X]_d$ le $\R$-espace vectoriel des polyn�mes de degr�
inf�rieure ou �gal � $d$. Pour tout entier $N$, $p^N.\Z[X]_d$ est
un r�seau de $E$. Consid�rons l'isomorphisme de $\R$-espaces vectoriels
\begin{eqnarray*}
\varphi:E &\ldrt & \R^{d+1} \\
R &\longmapsto & (R(0),\dots,R(d))
\end{eqnarray*}
Le groupe 
$\varphi(p^N.\Z[X]_d)$ est un r�seau de $\R^{d+1}$. Et l'on veut montrer
que $\varphi(Q+p^N.\Z[X]_d)$ intersecte l'ensemble $\{x_0<0,x_1>0,x_2<0,\dots\}$.
Or on montre ais�ment que pour tout r�seau $\La$ et tout $x\in\R^{d+1}$,
$x+\La$ intersecte un tel ensemble.
\end{proof}


\subsubsection{Construction d'une donn�e de type P.E.L. globale �
  partir d'une donn�e de Rapoport-Zink locale de type E.L. non ramifi�e simple}

Soit $(F',V',b',\mu')$ une donn�e de type E.L. non ramifi�e simple
(I.\ref{EL_RZ}) sans sa classe de $\s$-conjugaison. 
 Nous notons $n=\dim_{F'} (V')$. 
Soit $F^+$ un corps de nombres totalement r�el dans lequel $p$ est
inerte et tel que $F^+_p\simeq F'$ (lemme \ref{tot_reel}). Nous fixons
d�finitivement un  isomorphisme $F^+_p\iso F'$.  
Soit $\mathcal{K}$ un
corps quadratique imaginaire dans lequel $p$ est d�compos�. Notons $F$
le corps C.M. $F^+ \mathcal{K}$. Notons $p=v_1 v_1^c$ la d�composition
de $p$ dans $F$. Fixons un plongement $\nu : \Qb \hookrightarrow \Qpb$
(o�, rappelons le, $\Qb\subset \C$). D�finissons le type C.M. $\Phi$
de $F$ de la fa�on suivante :
$$
\Phi=\{ \tau\in \Hom (F , \Qb)\;|\; \nu \circ \tau : F\hookrightarrow
\Qpb \text{ induit } v_1\;\}
$$
Rappelons que le cocaract�re $\mu'$ est donn� par des couples
d'entiers $(p'_\tau,q'_\tau)_{\tau\in \Hom_{\Qp} (F',\Qpb)}$. Pour 
  $\tau \in \Phi$, $\tau$ induit un plongement $\nu\circ \tau : F
  \hookrightarrow \Qpb$ qui via l'isomorphisme $F_{v_1}\simeq F'$
  (induit par l'isomorphisme $F^+_p\simeq F'$) induit un plongement 
 $\a (\tau)\in \Hom_{\Qp}(F',\Qpb)$. Nous noterons $(p_{\tau},q_\tau)=(p'_{\a
   (\tau)},q'_{\a(\tau}))$. 

Construisons un syst�me $(U_v)_v$ comme dans le
\ref{Construction_unitaire}. Pour toute place $v$ de $F^+$ divisant l'infini,
il existe un unique $\tau\in \Phi$ tel que $\tau$ induise $v$. Posons
alors 
$$
U_v=U(p_\tau,q_\tau)
$$ 
Posons �galement 
$$
U_p=\Gl_n ( F')
$$
Choisissons une place finie $w$ de $F^+$ diff�rente de $p$,
 d�compos�e dans $F$, et posons 
$U_w$ comme �tant �gal au groupe des unit�s d'une alg�bre � division
sur $F^+_w$. Posons pour toute place finie $w'$ de $F^+$ d�compos�e
dans $F$, 
diff�rente de $p$ et $w$, $U_{w'}=\GL_n (F^+_{w'})$. 
Si $n$ est impair, faisons un choix quelconque (presque partout
quasi-d�ploy�) 
 de groupes unitaires $U_{w''}$ en les places $w''$ de $F^+$ inertes
 dans $F$. Si $n$ est pair, on peut toujours choisir le nombre de
 $U_{w"}$ non quasi-d�ploy�s de tel mani�re que l'�quation de la
 proposition \ref{prop_Clozel1} soit satisfaite. 

A ce choix de groupes locaux,
la proposition \ref{prop_Clozel1} associe un couple
$(\mathcal{B},*)$ o� $\mathcal{B}$ est une alg�bre simple sur $F$ et
$*$ une involution de seconde esp�ce sur $\mathcal{B}$. 

�tant donn� qu'en la place $w$,
$\mathcal{B}$ est une alg�bre � division, $\mathcal{B}$ est une
alg�bre � division. Posons $$B=\mathcal{B}^{opp}$$ qui est donc muni de
l'involution $*$. 
 Sur $\R$ l'involution $*$
devient conjugu�e � une involution positive. D'apr�s le lemme 2.8 de
\cite{Ko1}, l'ensemble des $b\in B^{*=1}\otimes \R$ tels que
le produit sym�trique  $(x,y)_b=\text{tr}_{B_\R/\R} (x b y^*)$ 
sur $B_\R\times B_\R$ soit
positif est un c�ne ouvert non vide. Par un argument de densit�, cet
ensemble 
rencontre donc l'ensemble $B^\times\cap B^{*=1}$. 
On en d�duit qu'il existe  un
$b\in B^\times$ tel que $b^*=b$ et tel que l'involution $\#$ 
d�finie sur $B$ par 
$$ \forall x\in B\;\;\;
x^\#=b x^* b^{-1}
$$
est une involution positive de seconde esp�ce. Fixons un tel $b$ et
notons $\#$ l'involution 
associ�e.
 Soit $\beta\in F$ tel
que $\b^\#=-\b$. 
 Posons $V=B$ vu comme $B$-module � gauche. Consid�rons le produit
 $<.,.>$ d�fini sur $V\times V$ par 
$$
\forall x,y\in V\;\;\; <x,y>=\text{tr}_{B/\Q} ( x b^{-1} \beta y^\# )
$$
C'est un produit symplectique qui fait de $V$ un $(B,\#)$-module
hermitien. De plus, 
\begin{eqnarray*}
\forall a\in \mathcal{B}=\End_B (V)\;\forall x,y\in V\;\;
<a(x),y> & =& < xa, y> \\
 &=& \text{tr}_{B/\Q} ( x a b^{-1} \beta y^\# ) \\
 &= & \text{tr}_{B/\Q} ( x b^{-1} \beta (bab^{-1}) y^\# ) \\
 &=& \text{tr}_{B/\Q} (x b^{-1} \beta (y
 \underbrace{(bab^{-1})^\#}_{a^*} )^\# ) \\
 &=& <x, a^* (y)>
\end{eqnarray*}
On en d�duit donc que $\mathcal{B}=\End_B (V)$ muni de l'adjonction
associ�e � $<.,.>$ est �gal au couple $(\mathcal{B},*)$. Soit $G$ le
groupe des similitudes unitaires associ� � $(B,\#,V,<.,.>)$ et $G_1$
le groupe unitaire. Le groupe $G_1$ est donc le groupe unitaire associ� �
$(\mathcal{B},*)$. �tant donn� qu'� l'infini les signatures
$(p_\tau,q_\tau)$ sont fix�es, il existe une unique classe de
$G_1(\R)$-conjugaison $h$ 
 de morphisme d'alg�bre � involution de $(\C,c)$ dans
$(\mathcal{B},*)$ telle que le produit $<.,h(i).>$ soit d�fini
positif. Fixons un tel $h:\C\ldrt \End_B (V)$. Et posons 
$$
\mathcal{D}=(B,\#,V,<.,.>,h)
$$
qui est une donn�e de type P.E.L. au sens du chapitre I. 

D'apr�s le choix fait pour $\Phi$ et les $(p_\tau,q_\tau)$ en fonction
des $(p'_\tau,q'_\tau)$ on en d�duit la proposition suivante :

\begin{prop}\label{existence_donnee}
  �tant donn�e une donn�e locale de type E.L. non ramifi�e simple sur
  une extension de $\Qp$, 
  il existe une donn�e globale de type P.E.L. $\mathcal{D}
=(B,\#,V,<.,.>,h)$, un plongement $\nu:\Qb\hookrightarrow \Qpb$ tel
  que  via $\nu$, $\mathcal{D}$ induise (i.e. apr�s �quivalence de
  Morita, conf�re I.\ref{Dec_glo_loc}) la donn�e locale. On peut de
  plus supposer que $\End_B(V)$ est une alg�bre � division qui est en
  toutes les places finies soit d�ploy�e, soit une alg�bre �
  division. On peut �galement supposer le corps C.M. $F$ de la forme
  $F^+\mathcal{K}$ o� $\mathcal{K}$ est un corps quadratique
  imaginaire et o� $p$ est inerte dans $\F^+$ et d�compos� dans $\mathcal{K}$. 
\end{prop}

\subsection{Le th�or�me principal}

Si $H$ est un groupe r�ductif p-adique, si $V$ est un $H$-module
lisse, 
on peut d�finir le sous $H$-module $V_{cusp}$ de $V$, la partie
supercuspidale, en utilisant par exemple le centre de Bernstein :
$$
V_{cusp}= \bigoplus_{e} e.V
$$
o� $e$ parcourt les idempotents du centre de Bernstein de $H$ associ�s
aux classes d'�quivalences inertielles des repr�sentations
supercuspidales de $H$. 

\begin{theo}\label{theo_princ1}
  Soit $(V,F,b,\mu)$ une donn�e locale  de Rapoport-Zink de type
  E.L. non ramifi�e simple basique. Soit $E\subset \Qpb$ le corps
  r�flex associ�.  
Supposons le groupe r�ductif $J_b$ anisotrope modulo
  son centre, c'est � dire
 $J_b=D^\times$ pour une alg�bre � division
  $D$ sur $F$ d'invariant calcul� en fonction de $\mu$. 
Notons $JL$ la correspondance de Jacquet-Langlands. 
Soit $\pi$ une
  repr�sentation irr�ductible de $J_b$
telle que $JL(\pi)$ soit supercuspidale. Il y a une �galit� dans le
  groupe de Grothendieck $\Groth ( G(\Qp)\times W_E)$ 
\begin{eqnarray*}
 \sum_i (-1)^i 
[\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} ( H^i_c ( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),
\pi)]_{cusp} 
 = 
[\text{JL} (\pi)] \otimes [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell (\text{JL}
(\pi))_{|E}]\; |.|^{\frac{-\sum_\tau {p_\tau q_\tau}}{2}} 
\end{eqnarray*}
o�
$\tilde{\s}_\ell$ la correspondance de Langlands locale ``absolue''
$\ell$-adique pour le
groupe lin�aire (\ref{Lang_Rev}) et $r_\mu$ la repr�sentation du
L-groupe associ� (\ref{le_r_mu}) sur $E$. 
\end{theo}

Rappelons avec les notations du I.\ref{Isoc_GL} que la classe de
conjugaison de  $\mu$ est donn�e par
des entiers $(a_i)_{i\in \Z/d\Z}$, et que $J_b$  est
anisotrope  ssi 
$$
\left (\sum_{i\in \Z/d\Z} a_i \right )\wedge n =1
$$
Alors, $J_b= D^\times$ o� l'invariant local de $D$ est $\frac{1}{n}
\sum_i a_i\in \Q/\Z$. 

Il peut �galement arriver, lorsque $n|\sum_i a_i$,  que $J_b$ soit �gal
� $G(\Qp)$. Cela ne veut pas dire que les groupe p-divisibles associ�s
sont �tales (ce qui est la cas ssi $\forall i\; a_i=0$),
car le groupe $J_b$ tient compte de l'action de $F$.
 Dans ce cas l�, la correspondance de Jacquet-Langlands est
 l'identit� et on a le th�or�me suivant : 

 \begin{theo} \label{theo_princ2}
    Soit $(V,F,b,\mu)$ une donn�e locale  de Rapoport-Zink de type
  E.L. non ramifi�e simple basique. Soit $E\subset \Qpb$ le corps
  r�flex associ�.  
Supposons le groupe r�ductif $J_b$ �gal � $G=\GL_n$. Soit $\pi$ une
  repr�sentation irr�ductible supercuspidale de $J_b$. Il y a une
  �galit� dans $\Groth ( G(\Qp)\times W_E)$ 
$$
\sum_i (-1)^i 
[\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} ( H^i_c ( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),
\pi)]_{cusp} = [\pi]\otimes  [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell (
\pi)_{|E}]\; |.|^{-\sum_\tau \frac{p_\tau q_\tau}{2}}
$$
\end{theo}

Voici la d�monstration des deux th�or�mes ci dessus :

\begin{proof}
 Soit $\mathcal{D}$ une donn�e de type P.E.L. globale induisant la
 donn�e locale, comme dans la proposition \ref{existence_donnee}. Soit
 $\Sh$ la vari�t� de Shimura associ�e.
 Le groupe $G(\Qp)$ est $\GL_n
 (F_v)\times \Qp^\times$ (o� $F_v$ est le corps local not� $F$ dans
 les �nonc�s). Notons $\M(b,\mu)$ l'espace de Rapoport-Zink local
 associ� � la donn�e locale. L'espace de Rapoport-Zink associ� �
 $\mathcal{D}$ en $p$ 
 et � la classe basique $b\in B(G_{\Qp},\mu_{\Qpb})$
 est donc $$\M(\mathcal{D}_{\Qp},b)=\M(b,\mu)\times \Qp^\times
 /\Zp^\times$$ 
D'apr�s les r�sultats de l'appendice A,  dans le groupe de
 Grothendieck $\Groth (G(\A_f)\times W_{E_\nu})$, si 
$$
[H^\bullet (\Sh,\LL_\rho)] =\mid \ker^1 (\Q,G) \mid \; \sum_{\Pi\in \text{Irr} (G(\A_f))}
[\Pi]\otimes [R_{\ell,\rho,\mu}(\Pi)]
$$
la repr�sentation semi-simple $ [R_{\ell,\rho,\mu}(\Pi')]$ est non nulle ssi
il existe $\Pi\in \mathcal{T}(G)_\rho$ telle que $\Pi'\simeq
\Pi_f$. De plus, pour une telle $\Pi\in \mathcal{T}(G)_\rho$,
contribuant � $[H^\bullet (\Sh,\LL_\rho)]_{cusp}$, i.e. telle que
$\Pi_p$ soit supercuspidale, 
$$
 [R_{\ell,\rho,\mu}(\Pi_f)]= m_\Pi [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell
 (\Pi_p)] \; |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}}
$$
o� $m_\Pi$ d�signe la multiplicit� de $\Pi$ dans l'espace des
formes automorphes sur $G$. On obtient donc l'�galit� suivante 
$$
[H^\bullet (\Sh,\LL_\rho)]_{cusp}=\mid \ker^1 (\Q,G)\mid \sum_{\Pi\in
  \mathcal{T}(G)_\rho \atop { \Pi_p \text{ supercuspidale}}} [\Pi_f]
\otimes [r_\mu\circ \tilde{\s}_\ell
 (\Pi_p)] \; |.|^{-\frac{\dim Sh}{2}}
$$
 Soit $\phi$ une classe d'isog�nie
intervenant dans la strate basique et $I^\phi$ le groupe r�ductif
associ�.
 Rappelons que $I^\phi (\R)$ est la forme compacte modulo le
centre de $G(\R)$, que $I^\phi(\Qp)=J_b\times \Qp^\times$ et que
$I^\phi (\A_f^p)=G(\A_f^p)$.

Le corollaire \ref{coro_Matsushima} coupl� au th�or�me
\ref{coho_ind_en_p} montre que l'on a l'�galit� suivante : 
$$
[H^\bullet (\Sh,\LL_\rho)]_{cusp}=\mid \ker^1 (\Q,G)\mid 
\sum_{\Pi\in \mathcal{T}(I^\phi) \atop {\Pi_\infty=\check{\rho} \atop { 
 \Pi_p \text{ supercuspidale}}}}
 [\underset{K}{\limi} \text{Hom}_{J_b\times\Qp^\times} ( H^\bullet_c
(\M_K (\mathcal{D}_{\Qp},b),\Qlb),\Pi_p)]\otimes [\Pi^p] 
$$
Si $\Pi_p=\pi_1\otimes \chi$ o� $\pi_1$ est une repr�sentation
irr�ductible de $J_b$ et $\chi$ un caract�re de $\Qp^\times$, il y a
un isomorphisme
$$
\underset{K}{\limi} \text{Hom}_{J_b\times\Qp^\times} ( H^\bullet_c
(\M_K (\mathcal{D}_{\Qp},b),\Qlb),\Pi_p)
=\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} ( H^\bullet_c
(\M_K (b,\mu),\Qlb),\pi_1)\otimes \chi 
$$
comme repr�sentation de $G(\Qp)=\GL_n (F)\times \Qp^\times$. 

Fixons $\rho=1$.
Il existe une repr�sentation automorphe $\Pi$ de $I^\phi$ telle
que $\Pi_p=\pi\otimes 1$ et $\Pi_\infty=1$ (\cite{Clozel2}). 
 Utilisons le th�or�me \ref{comparaison_formes_int} appliqu� aux
   groupes formes int�rieurs $I^\phi$ et $G$. On obtient alors le r�sultat en �galant
   les deux expressions ci dessus pour $[H^\bullet 
   (\Sh,\LL_\rho)]_{cusp}$ et en prenant la partie
   $\Pi_f^p$-isotypique (apr�s avoir divis� par $\mid \ker^1 (\Q,G)\mid
   m_\Pi$, o� $m_\Pi$ d�signe la multiplicit� de $\Pi$ dans l'espace
   des formes automorphes sur $I^\phi$  qui est �gale
  � celle de $\pi_\infty\otimes JL(\Pi_p)\otimes \Pi^p_f$ dans l'espace des formes
  automorphes sur $G$ pour une repr�sentation de la s�rie discr�te
  $\pi_\infty$ ayant de la cohomologie dans $\rho$, 
d'apr�s \ref{comparaison_formes_int}). 
\end{proof}

\section{espaces de type P.E.L.}
\subsection{Construction de donn�es globales � partir de donn�es
  locales} 

Soit $F'|\Qp$ une extension non ramifi�e de degr� pair. On veut
trouver un corps de nombres totalement r�el $F^+$ et un corps
quadratique imaginaire $\mathcal{K}|\Q$ dans lesquels $p$ est inerte, 
tels que $F^+_p$ et $\mathcal{K}_p$ soient lin�airement disjointes
(c'est � dire $p$ reste inerte dans $F^+ \mathcal{K}$) et tels que 
$F'=F^+_p \mathcal{K}_p$. Cela est
possible ssi $[F':\Qp]$ n'est pas un multiple de $4$ (utiliser le
lemme \ref{tot_reel}). De la m�me mani�re que pour la proposition
\ref{existence_donnee} on montre alors la proposition suivante :

  \begin{prop}\label{donnee_ccc}
    �tant donn�e une donn�e locale de type P.E.L. non ramifi�e simple
    sur une extension de $\Qp$ de degr� qui n'est pas un multiple de
    $4$, il existe une donn�e globale de type
    P.E.L. $\mathcal{D}=(B,\#,V,<.,.>,h)$,  un
    plongement $\nu:\Qb\hookrightarrow \Qpb$ tel que via $\nu$,
    $\mathcal{D}$ induise la donn�e locale. On peut de plus supposer
    que $\End_B(V)$ est une alg�bre � division qui est en toutes les
    places finies soit d�ploy�e, soit une alg�bre � division. On peut
    �galement supposer le corps C.M. $F$ de la forme $F^+\mathcal{K}$
    o� $\mathcal{K}$ est un corps quadratique imaginaire. 
  \end{prop}

\subsection{Le th�or�me principal pour $GU(3)$}

\begin{theo}\label{theo_princ3}
  Soit $(F,*,V,<.,.>,b,\mu)$ une donn�e locale de type P.E.L. non
  ramifi�e simple basique. Supposons $p\neq 2$, $[F:\Qp]/2$
  impair et $\dim_F (V)=3$. Soit $E\subset \Qpb$ le corps r�flex associ�.
\begin{enumerate}
\item 
 Soit
  $\psi:W_{\Qp}\ldrt \L G$ une classe de conjugaison de L-param�tre
  v�rifiant : $\im (\psi )$ n'est pas contenue dans $\L B$ pour un
 sous groupe de  Borel $B$ de $G$. Soit $\Pi (\psi )$ le L-paquet
  supercuspidal de repr�sentations de $G(\Qp)$ associ�
  (\ref{paquets_sup}). Rappelons que $J_b= G(\Qp)=GU(3)$. Il y a une
  �galit� dans $\Groth (G(\Qp)\times W_{E})$ : 
$$ 
\sum_{\pi\in \Pi (\psi)}\left [\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} \left ( H^\bullet_c
( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb),\pi\right ) \right ]_{cusp} = \sum_{\pi\in \Pi
  (\psi)} [\pi]\otimes [ r_\mu \circ \psi_{|W_E}]\;
|.|^{-\frac{\sum_\tau p_\tau q_\tau}{4}}
$$ 
En particulier, si $\Pi (\psi)$ est stable la conjecture de Kottwitz
est v�rifi�e. 
\item
Soit $\xi$ un caract�re du groupe endoscopique $H$ de $U(3)$
(appendice \ref{Resultats_Rog}) et $St_H (\xi)$ la repr�sentation de Steinberg
associ�e. Soit $\Pi ( St_H (\xi)) = \{ \pi^2 (\xi), \pi^s (\xi) \}$ le
L-paquet transfert endoscopique � $U(3)$ (\ref{Class_sup}). Soit
$\Pi=\{\pi^2,\pi^s\}$ un L-paquet de repr�sentations de $G(\Qp)$ tel
  que $\pi^2_{|U(3)}=\pi^2 (\xi),\pi^s_{|U(3)}=\pi^s (\xi)$. A $\Pi$
  est associ� un L-param�tre $\psi:W_{\Qp}\times \text{SL}_2 (\C)
  \ldrt \L G$. Il y a une �galit� dans $\Groth (G(\Qp)\times W_{E})$
  : 
  \begin{eqnarray*}
  &\,&  \left [\underset{K}{\limi} \Hom_{J_b} \left ( H^\bullet_c
    (\M_{K}\hat{\otimes} \Cp ,\Qlb),\pi^s\right )\right ]_{cusp} + \left[
    \underset{K}{\limi} \text{Ext}^{\, \bullet}_{J_b-\text{lisse}} (
    H^\bullet_c (\M_{K}\hat{\otimes} \Cp ,\Qlb),\pi^2)\right ]_{cusp}
    \\
 &=& [\pi^s]\otimes [r_\mu\circ \psi_{|W_E}] \;
    |.|^{-\frac{\sum_\tau p_\tau q_\tau }{4}}
  \end{eqnarray*}
\item 
Soit $\chi$ un caract�re de $G(\Qp)$ et $St_G(\chi)$ la repr�sentation
de Steinberg associ�e. Il y a une �galit� dans $\Groth ( G(\Q)\times
W_{E})$ : 
$$
\left [ \text{Ext}^\bullet_{J_b-\text{lisse}} \left (  H^\bullet_c
( \M_K\hat{\otimes}\Cp,\Qlb), St_G (\chi)\right )\right ]_{cusp} = 0 
$$
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{proof}
  Soit $\mathcal{D}$ une donn�e globale de type P.E.L. induisant la
  donn�e locale comme dans la proposition \ref{donnee_ccc}. Soit $\Sh$
  la vari�t� de Shimura associ�e. Il y a un isomorphisme d'espaces
  analytiques $\M (\mathcal{D}_{\Qp},b)\simeq \M (b,\mu)$. Soit $\phi$
  une classe d'isog�nie intervenant dans la classe basique. 

Dans les trois cas de l'�nonc�, pour chacun des L-paquets locaux en
$p$, $\Pi$ (dans le troisi�me cas $\{ St_G (\chi) \}$ est un L-paquet,
conf�re page 174 de \cite{Rogawski1}),  
 on peut trouver une repr�sentation irr�ductible de $G(\A_f^p)$, $\Pi^p$,
telle que 
$$ \forall \pi_p\in \Pi\;\;
\text{Triv}_\infty \otimes \pi_p\otimes \Pi^p \in \mathcal{T}
(I^\phi)_{Triv_\infty} 
$$
En effet, il suffit de choisir une repr�sentation $\pi_p\in \Pi$, de la
globaliser (\cite{Clozel2}) (dans le troisi�me cas cela est une
cons�quence du fait que $St_G (\chi)$ est de carr� int�grable). Alors,
les L-paquets globaux de repr�sentations de $G$ �tant stables (c'est
une cons�quence du fait que $\End_B(V)$ est une alg�bre � division,
\cite{Rogawski1} th�or�me 14.6.3) tous les �l�ments d'un m�me L-paquet
apparaissent avec la m�me multiplicit� dans le spectre discret de
$G$ (multiplicit� qui est $1$). 

Utilisons le th�or�me \ref{rep_gal_U3}
Le r�sultat s'en d�duit comme dans la d�monstration du th�or�me
\ref{theo_princ1} en prenant la partie $\Pi^p$ isotypique dans les
deux expressions diff�rentes pour $[H^\bullet (\Sh,\Qlb)]_{cusp}$  en
termes  de repr�sentations automorphes de $G$ et $I^\phi$, et en
utilisant le fait que si deux repr�sentations automorphes de $G$,
resp. $I^\phi$, sont isomorphes hors $p$ elle sont dans le m�me
L-paquet global et que donc leur composante en $p$ sont dans le m�me
L-paquet local (\cite{Rogawski1})(et en utilisant �galement le fait
�nonc� ci dessus que 
la multiplicit� est constante pour tous les �l�ments d'un m�me L-paquet
global). 
\end{proof}

\subsection{Sp�culations}

Le th�or�me pr�c�dent ne donne une d�monstration de la conjecture de
Kottwitz que dans le cas des repr�sentations supercuspidales $\pi$
telles que $\{ \pi \}$ soit un L-paquet, c'est � dire telles que le
changement de base de $\pi$ soit une repr�sentation supercuspidale de 
$\GL_3 (F)\times K^\times$. La raison de ``l'�chec'' de la m�thode dans le
cas  des autres repr�sentations supercuspidales de $G(\Q)$ est que
quelque soit la globalisation d'une repr�sentation locale en une repr�sentation
globale de $G$, le L-paquet global obtenu (il faudrait plut�t parler
de A-paquet) 
 est stable et donc les
multiplicit�s de chaque �l�ment sont �gales. On obtient donc dans tous
les cas dans les membres de gauche du th�or�me \ref{theo_princ3} une
somme sur tous les �l�ments du L-paquet local qui ne permet pas de
s�parer chaque terme. 

Voila une strat�gie permettant d'attaquer la conjecture de Kottwitz
dans les autres cas : il faudrait travailler avec des groupes unitaires
$G$ qui ne sont plus associ�s � une alg�bre � division mais � $M_3
(F)$. En effet, dans ce cas l� le spectre discret de $G$ est beaucoup plus
riche que dans le cas pr�c�dent. Par exemple, avec les notations de
\ref{paquets_sup} si $\rho$ est une repr�sentation supercuspidale
stable de $H(\Qp)$, si $\Pi (\rho)$ d�signe le L-paquet associ� de
$U(3)$ celui ci est de cardinal $2$. On peut globaliser $\rho$ en
une repr�sentation de l'analogue global du groupe endoscopique local
$H$ (\cite{Rogawski1}) dont le changement de base � $GL_2$ est cuspidale, puis consid�rer le transfert endoscopique global
de cette repr�sentation � $U(3)$.  Notons $\Pi$ le L-paquet global
obtenu. Avec les notations de \cite{Rogawski1}, $\Pi\in \Pi_e (G)$.
 En $p$, le L-paquet local associ� � $\Pi$ est le L-paquet
local $\Pi (\rho)$. De plus, les multiplicit�s de chaque �l�ment de ce
L-paquet global dans le spectre discret de $G$ sont calcul�es dans
\cite{Rogawski1} (conf�re �galement \cite{Rogawski2}). Ces
multiplicit�s ne sont pas constantes. On peut ainsi esp�rer obtenir
suffisamment de relations pour isoler chaque facteur dans les sommes des
membres de gauche du th�or�me \ref{theo_princ3}.
Cependant, pour l'alg�bre � division $M_3 (F)$ les vari�t�s de Shimura
associ�es ne sont pas en g�n�ral compactes.  
Pour avoir des vari�t�s de Shimura compactes, il faut imposer 
que le groupe unitaire � l'infini poss�de un 
facteur simple compacte (c'est � dire $\exists \tau\; p_\tau=0$ ou
$q_\tau=0$). Cela implique que la vari�t� de Shimura est propre sur la
fibre g�n�rique. Il resterait � v�rifier que c'est �galement le cas
pour les mod�les entiers (un exercice en th�orie des mod�les de
N�ron). 





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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "thesef"
%%% End: 



















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\def\Y{\mathfrak{Y}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\S{\mathfrak{S}}
\def\D{\boldsymbol{D}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\CC{\mathfrak{C}}
\def\Cp{\mathbb{C}_p}
\def\Fq{\mathbb{F}_q}
\def\Fqb{\overline{\mathbb{F}}_q}
\def\L{\mathcal{L}}
\def\La{\Lambda}
\def\A{\text{{\bf A}}} 
\def\Aff{\mathbb{A}}
\def\O{\mathcal{O}}
\def\F{\mathcal{F}}
\def\I{\mathcal{I}}
\def\J{\mathcal{J}}
\def\*{^\times }
\def\dpt{\displaystyle}
\def\GL{\text{\bf GL}}
\def\G{\mathcal{G}}
\def\Ga{\text{\bf G}_a} 
\def\Gm{\mathbb{G}_m}         
\def\l{\lambda}
\def\g{\gamma}
\def\BB{\mathbb{B}}
\def\w{\omega}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\ph{\varphi}
\def\sg{\boldsymbol{\sigma}}
\def\e{\epsilon}
\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\lssi{\Longleftrightarrow}
\def\impl{\Rightarrow}
\def\limpl{\Longrightarrow}
\def\drt{\rightarrow}
\def\ldrt{\longrightarrow}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Qb{\overline{\mathbb{Q}}}
\def\Ql{\mathbb{Q}_\ell}
\def\Qlb{\overline{\mathbb{Q}_\ell}}
\def\Qp{\mathbb{Q}_p}
\def\Qpb{\overline{\mathbb{Q}_p}}
\def\Zp{\mathbb{Z}_p}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\mm{\mathfrak{m}}
\def\Zl{\mathbb{Z}_\ell}
\def\Hom{\text{Hom}}
\def\Homf{\underline{\text{Hom}}}
\def\ord{\text{ord}}
\def\Rpsi{\text{R}\Psi_{\bar{\eta}}}
\def\rpsi{\text{R}\Psi}
\def\Rth{\text{R}\Theta_{\bar{\eta}}}
\def\rth{\text{R}\Theta}
\def\Coh{\text{Coh}}
\def\Cohf{\underline{\text{Coh}}}
\def\WF{\boldsymbol{\mathcal{W}}}
\def\Gal{\boldsymbol{\text{\bf Gal}}}
\def\={\! = \!}
\def\inc{\! \in \!}
\newcommand{\citeg}[1]{{\bf\cite{#1}}}
\def\ind{\text{Ind}}
\def\spec{\boldsymbol{Spec}}
\def\spf{\boldsymbol{Spf}}
\def\Sym{\boldsymbol{Sym}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\ens{\boldsymbol{\mathcal{E}ns}}
\def\limp{\underset{\longleftarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\limi{\underset{\longrightarrow}{\text{ lim }}\;}
\def\nilp{\boldsymbol{Nilp}}
\def\comp{\boldsymbol{Comp}}
\def\mod{\boldsymbol{Mod}}
\def\Ab{\boldsymbol{Ab}}
\def\Frac{\text{Frac}}
\def\Isoc{\boldsymbol{Isoc}}
\def\Ww{\underset{\rightarrow}{\boldsymbol{W}}}
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\def\iso{\xrightarrow{\;\sim\;}}
\def\mod{\text{ mod }}
\def\End{\text{End}}
\def\Aut{\text{Aut}}
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\def\pK{K^p}
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\def\Res{\text{Res}}
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\newarrow{Equalto} =====

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\title{Correspondances de Langlands locales dans la 
cohomologie des espaces de Rapoport Zink} 
\author{Laurent Fargues}
\email{lfargues@math.jussieu.fr}

\begin{document}


\frontmatter
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\newtheorem{Fait}{Fait}[section]

\maketitle

\tableofcontents


\include{these_introduction}

\mainmatter

\part{Vari{\'e}t{\'e}s de Shimura de type P.E.L. et espaces
de Rapoport-Zink} 
\include{these_partie1}

\part{Une suite spectrale d'Hochschild-Serre pour l'uniformisation de
Rapoport-Zink} 
\include{these_partie2}

\part{Contribution de la cohomologie de la strate basique}
\include{these_partie3}
\include{these_partie4}
\include{these_partie5}
\include{these_partie6}

\part{Application {\`a} la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink de
type E.L. et  P.E.L.}
\include{these_partie7}

\include{these_appendices}

\backmatter

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\bibliography{biblio}
\end{document}






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\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
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