SUR LA CONJECTURE DES TORES PLATS
NGUIFFO B. BOYOM
{The present work is devoted to compact completely solvable solvmanifolds which admit Kahlerian metrics whose Kahler forms are homogeneous. In particular, we show that such manifolds are diffeomorphic to flat tori. Our proof is based on Dynkin diagrams associated to left invariant closed 2-forms in completely sol\-va\-ble Lie groups. These diagrams are shown to be closely related to Lagrangian fo\-lia\-tions,primitive degrees of homogeneous spaces , and geometric structures such as $ (\bkR^ n, Aff (\bkR^ n ) ) $-structures on symplectic homogeneous spaces. \par Our result may be viewed as a non trivial generalization of a result by C. Benson ans C. Gordon, $\lbrack$BG1$\rbrack$, who showed that compact nilmanifolds $ \Gamma \backslash G $ that admit Kahlerian metrics are diffeomorphic to flat tori. Their proof is based on rational homotopy theory of compact Kahlerian manifolds $\lbrack$DGMS$\rbrack$, the hard Lefschetz theorem and a theorem of K. Nomizu which says that $\bigoplus_k H^k_{De\ Rham}(\Gamma \backslash G) $ is isomorphic to the algebra $\bigoplus_k H^k(L(G),\bkR) , L(G) $ being the Lie algebra of G. McDuff $\lbrack$Mc D1$\rbrack$ gave another proof of Benson-Gordon theorem, by using moments maps of symplectic $ S^1 $-actions. The main starting arguments in the both proofs have no equivalent in the case of general solvable Lie group (e.g. the center of a nilpotent Lie group contains a nontrivial 1-parameter subgroup). To work with completely solvable Lie group, we use very different approach from the ones used by Benson-Gordon and McDuff, (e.g. the existence of affinely flat bilagrangian structures in completely solvable symplectic homogeneous spaces $\lbrack$NB4$\rbrack$, $\lbrack$NB5$\rbrack$, Marsden-Weinstein reduction theory, $\lbrack$MW$\rbrack$ }
math0202257.tex
\documentclass{amsart}
\usepackage{amsfonts,amssymb,epsfig}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}

\newtheorem{thm}{Th�or�me}[subsection]
\newtheorem{cor}[thm]{Corollaire}
\newtheorem{lemma}[thm]{Lemme}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{defn}[thm]{D�finition}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}[thm]{Remarque}
%\numberwithin{equation}{section}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[thm]{Example}

\newcommand{\rank}{{\rm rank} }
\newcommand{\bkR}{\mathbb R}

\begin{document}

\title{SUR LA CONJECTURE DES TORES PLATS}

\author{NGUIFFO B. BOYOM}
\address{GTA, UMR 5030 CNRS, D�partement de Math�matiques, Universit� Montpellier II}
\email{boyom@math.univ-montp2.fr}

\keywords{bilagrangiens, diagrammes orient�s, graphes, r�ductions K�hleriennes}

\subjclass{Primary : 22E 25, 22E45, 53A10; Secondary : 57S10}
\date{December 20, 2001}%

\begin{abstract} {The present work is devoted to compact completely solvable
solvmanifolds which admit Kahlerian metrics whose Kahler forms are homogeneous. In
particular, we show that such manifolds are diffeomorphic to flat tori. Our proof is
based on Dynkin diagrams associated to left invariant closed 2-forms in completely
sol\-va\-ble Lie groups. These diagrams are shown to be closely related to
Lagrangian fo\-lia\-tions,primitive degrees of homogeneous spaces , and geometric
structures such as $ (\bkR^ n, Aff (\bkR^ n ) ) $-structures on symplectic
homogeneous spaces. \par Our result may be viewed as a non trivial generalization of
a result by C. Benson ans C. Gordon, $\lbrack$BG1$\rbrack$, who showed that compact
nilmanifolds $ \Gamma \backslash G $ that admit Kahlerian metrics are diffeomorphic
to flat tori. Their proof is based on rational homotopy theory of compact Kahlerian
manifolds $\lbrack$DGMS$\rbrack$, the hard Lefschetz theorem and a theorem of K.
Nomizu which says that $\bigoplus_k H^k_{De\ Rham}(\Gamma \backslash G) $ is
isomorphic to the algebra $\bigoplus_k H^k(L(G),\bkR) , L(G) $ being the Lie algebra
of G. McDuff $\lbrack$Mc D1$\rbrack$ gave another proof of Benson-Gordon theorem, by
using moments maps of symplectic $ S^1 $-actions. The main starting arguments in the
both proofs have no equivalent in the case of general solvable Lie group (e.g. the
center of a nilpotent Lie group contains a nontrivial 1-parameter subgroup). To work
with completely solvable Lie group, we use very different approach from the ones
used by Benson-Gordon and McDuff, (e.g. the existence of affinely flat bilagrangian
structures in completely solvable symplectic homogeneous spaces
$\lbrack$NB4$\rbrack$, $\lbrack$NB5$\rbrack$, Marsden-Weinstein reduction theory,
$\lbrack$MW$\rbrack$ }
\end{abstract}
\maketitle


\section{Introduction}

Dans ce travail un groupe discret  $\Gamma$ est appel� groupe Kahl�rien s'il est
isomorphe au groupe fondamental d'une vari�t� analytique complexe admettant une
m�trique K�hl�rienne . Dans ce travail nous pr�sentons une vari�t� K�hl�rienne sous
la forme de triplet $( M, \omega , J )$ o� $\omega$ est la forme de K�hler et J est
le tenseur de la structure presque complexe de la vari�t� analytique r�elle M . On
ne sait pas caract�riser les groupes fondamentaux des vari�t�s K�hl�riennes
compactes .Il existe cependant des situations o� l'exsitence de type particulier de
syst�me dynamique diff�rentiable sur M determine la g�om�trie globale de M , c'est �
dire son type de diff�omorphisme . Il en est ainsi quand M est une nilvari�t�
compacte . La premi�re d�monstration publi�e du th�or�me suivant est due � C. BENSON
et C. GORDON dans un travail commun .

\begin{thm}[\cite{BG 1}] Soit  $G $ un groupe de Lie nilpotent connexe , simplement connexe
, contenant un r�seau $\Gamma$ . Si la vari�t� analytique r�elle $\Gamma \backslash
G $ admet une m�trique K�hl�rienne alors $\Gamma \backslash G $ est diff�omorphe au
tore plat.
\end{thm}

De ce th�or�me Dusa McDUFF a publi� une seconde d�monstration en 1978 . La
conjecture des tores plates concerne l'analogue du th�or�me ci-dessus pour les
groupes de Lie compl�tement r�solubles , un des objectifs de ce travail est d'en
donner la d�monstration . Si $ G $ est un groupe de Lie connexe , simplemet connexe
et contenant un r�seau cocompact $\Gamma$ alors une k-forme diff�rentielle d�finie
sur la vari�t� quotient $\Gamma\backslash G $ sera dite G-homog�ne (ou tout
simplement homog�ne quand il n'y a pas de risque de confusion ) si son image inverse
par la projection canonique de $ G $ sur $\Gamma\backslash G $ est une k-forme
invariante par les translations � gauche d�finies par les �l�ments de $ G $ . Nous
d�montrerons � la section 4 de ce travail le r�sultat suivant.

\begin{thm} Soit $ G $ un groupe de Lie compl�tement r�soluble connexe et
simplement connxe . On suppose que $ G $ contient un r�seau cocompact $\Gamma$ et
que la vari�t� analytique r�elle $\Gamma\backslash G $ admet un m�trique K�hl�rienne
dont la forme de K�hler est homog�ne . Alors la vari�t� analytique r�elle
$\Gamma\backslash G $ est diff�omorphe au tore plat .
\end{thm}

Du point de vue de la topologie de la vari�t� r�elle $\Gamma\backslash G $
l'hypoth�se de l'homogen�it� de la forme de K�hler n'est pas vraiment une
restriction . En effet la compl�tement r�solubilit� du groupe de Lie $ G $ entraine
que l'alg�bre de De RHAM de la vari�t� r�elle $\Gamma\backslash G $ est isomporphe �
l'alg�bre de KOSZUL de l'alg�bre de Lie du groupe de Lie $ G $ ; cela est une
g�n�ralisation d'un th�or�me classique de K Nomizu pour les nilvari�t�s compactes
[NK] . Cette g�n�ralisation est le fruit de suite spectrale consultable soit dans A.
Hattori [HA] soit dans A. RAGHUNATHAN [RA]. Il est opportun de signaler que la
d�monstrations de BENSON-GORDON  n'est pas adaptables au cas des groupes de Lie
compl�tement r�solubles, bien que les d�monstrations utilisent le th�or�me de
Nomizu. En effet cette d�monstration s'appuie d�s le d�part sur des propri�t�s des
groupes de Lie nilpotents qui n'ont pas d'�quivalents dans les groupes de Lie
compl�tement r�solubles ,elle fait intervenir des propri�t�s topologiques profondes
des vari�t�s K�hl�riennes compactes , e.g. homotopie rationnelle [DGMS], th�or�me
dur de LEFSCHEZ, triple produit de MASSEY. La m�me r�serve vaut pour la
d�monstration de Dusa McDUFF qui combine une version affaiblie du th�or�me dur de
LEFSCHEZ avec l'application moment g�n�ralis� des actions hamiltoniennes des cercles
( le cercle utilis� vient d'un sous-groupe � un param�tre central intersectant le
r�seau $\Gamma$ suivant un r�seau propre ) . Il convient de signaler que les
techniques utilis�es aussi bien dans [BGl] que dans [McDl] ont permis la d�couverte
de nombreux exemples de vari�t� symplectiques compactes n'admettant pas de m�trique
de K�hler . Il y une literature abondance dans cette direction, [CFG], [McD2], [OT]
et c..  Dans un travail � part [ NB6 ] nous avons mis au point des concepts qui
facilitent ici des incursions efficaces de la g�om�trie affine (voir tout
particuli�rement les sections 2 et 3 de ce travail ).


Les critiques et les remarques du ref�r� ont permis d'am�liorer la pr�sentation de
concepts introduits dans [ NB6 ] ainsi que leur utilisation dans ce travail .
L'auteur lui en sait gr� .



\section{Preliminaires}

\subsection{Diagrammes des 2-formes diff�rentielles}

Soit $G$ un groupes de Lie connexe , simplement connexe et compl�tement r�soluble.
L'alg�bre de Lie des champs de vecteurs invariants par les translations � gauche sur
$G$ est not�e $\frak g$ . On d�signe par   $\Omega_l^2(G)$ l'espace vectoriel des
2-formes diff�rentielles ferm�e et invariantes par les translations � gauche . Nous
allons rappeler bri�vement la notion de diagramme attach� � un couple  $(\omega , F
) \in \Omega^2_l( G ) \times {\mathcal F}(G )$ o�   ${\mathcal F}( G )$ est
l'ensemble des s�ries de composition du groupe de Lie $G$ . Une s�rie de composition
est une filtration de $G$ par des sous-groupes de Lie $G_k$ tels que $\dim\ G_k = k$
et $G_k$ est distingu� dans $G_{k+1}$. Soit $i_k$ l'homomorphisme inclusion de $G_k$
dans $G$ et $\omega_k = i_k^{\ast}\omega$. Soit $g_k$ l'alg�bre de Lie de $G_k$ et
$h_k$ le noyau de la restriction � $g_k$ de $k$ . On d�signe par $H_k$ le
sous-groupe de Lie connexe de $G_k$ d�termin� par $h_k$ , alors les sous-groupes de
Lie $H_k$ et $H_{k+1}$ sont reli�s par une des relations d'inclusion soit $H_k
\subset H_{k+1}$ soit $H_{k+1} \subset H_k$ . Lorsque $H_k \subset H_{k+1}$ les
vari�t�s symplectiques $( G_k/H_k , \omega_k )$ et $( G_{k+1}/H_{k+1} , \omega_{k+1}
)$ sont canoniquement isomorphes. Lorsque $H_{k+1}$ est inclu dans $H_k$ la vari�t�
symplectique $( G_k/H_k , \omega_k )$ est une r�duite d'une action hamiltonienne du
groupe $\bkR$ dans $(G_{k+1}/H_{k+1} , \omega_{k+1} )$, [ MW ] . A tout couple
$(\omega , F ) \in \Omega_l^2( G ) \times {\mathcal F} ( G )$ on fait correspondre
un diagramme $d( \omega, F )$ dont les sommets ont pour coordonn�es les couples $(
G_k , H_k )$ . Ce diagramme est obtenu par adjonction bout � bout des morceaux
semblables aux mod�les �l�mentaires suivants

$$
\circ \rightarrow \circ \leftrightarrows \circ \ \ , \ \ \circ \leftrightarrows
\circ \rightarrow \circ
$$

On a introduit dans  [NB6] les notions suivantes : diagramme semi-normal ; diagramme
semi-nilpotent ; diagramme simple . Pour le travail pr�sent on retiendra que les
deux affirmations suivantes sont �quivalentes:

(a) la forme  $\omega$ poss�de un diagramme simple   $d (  \omega , F )$

(b) la vari�t� symplectique $( G/H ,  \omega )$ poss�de un feuilletage lagrangien L
qui est invariant par l'action � gauche de $G$ sur $G/H$ ; $H$ est le sous-groupe de
Lie connexe d�termin� par le noyau de  $ \omega : \frak g \times \frak g \rightarrow
R$ . On a d�montr� dans [NB6] que si une 2-forme   $\omega \in \Omega_l^2 ( G )$
poss�de un diagramme qui est semi-nilpotent et semi-normal alors elle poss�de un
diagramme simple . Cette notion fournit un cadre pour traiter les formes de K�hler
qui apparaissent dans la conjecture des tores plats . Ce fait a �t� mis en �vidence
par C. Benson et C. Gordon .

\begin{thm} [ \cite{BG 2} ] . Soit $G$ un groupe de Lie connexe , simplement connexe et compl�tement
r�soluble . On suppose que $G$ contient un r�seau cocompact  $\Gamma$ et que $\omega
\in \Omega_l^2 ( G )$ est une forme de rang maximal . Si la vari�t� symplectique $(
G , \omega)$ poss�de une m�trique K�hl�rienne $h = g +  \sqrt{-1}\omega$    alors le
sous-groupe des commutateurs $[G,G]$ h�rite de $\omega$  d'une forme symplectique .
\end{thm}

\subsection{Formes diff�rentielles cocompactes}

 Dans cette sous-section il sera question des vari�t�s homog�nes symplectiques
compactes dont les formes symplectiques sont homog�nes.  Soit $ G $ un groupe de Lie
connexe et simplement connexe quelconque. Soit $ \omega  \in  \Omega^ 2_{l}( G) $ ;
le sous-groupe de Lie connexe $ H_\omega $ dont l'alg�bre de Lie engendre le noyau
de $ \omega $ est suppos� ferm� dans $G$.

\begin{defn}
Un sous-groupe (abstrait) $ \Gamma \subset G $ v�rifie la condition $ (c_\omega ) $
si l'espace des orbites $ \Gamma \backslash G/H_\omega $ de l'action � gauche de $
\Gamma $  dans $ G/H_\omega $ est une vari�t� compacte de dimension positive.
\end{defn}

Dans la suite, on d�signera par $ {\mathcal C}_\omega( G) $ la collection des
sous-groupes $ \Gamma $ de $ G $ qui v�rifie la condition $ (c_\omega )\, . $
%Naturellement $ G \in  {\mathcal C}_\omega( G)\, . $

\begin{defn} Une 2-forme  $\omega \in \Omega^ 2_{\ell}( G) $  est dite cocompacte si
$ {\mathcal C}_\omega( G) $  contient un sous-groupe discret $ \Gamma_ \omega . $
\end{defn}

Soit $ \omega  \in  \Omega^ 2_{\ell}( G) $ une forme cocompacte ; les deux vari�t�s
homog�nes $ H_\omega \backslash G $ et $ G/H_\omega $ poss�dent des structures
symplectiques h�rit�es de la forme $ \omega \, . $ Visiblement $ (G/H_\omega ,\omega
) $ est $ G $-homog�ne. Quand une vari�t� symplectique $ (M,\omega) $ poss�de un
feuilletage lagrangien on dira pour abr�ger qu'elle est $ L ${\sl -feuillet�e.\/}
Puisque $ \omega $ est suppos� \^etre cocompacte, fixons un sous-groupe discret $
\Gamma_ \omega \in  {\mathcal C}_\omega( G)\, . $ Le diff�omorphisme inversion $
{\rm Inv}(g) = g^{-1} $ se factorise pour d�finir un diff�omorphisme $ \varphi $ de
$ \Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega $ sur $ H_\omega \backslash G/\Gamma_ \omega
. $ Par ailleurs la forme symplectique de $ G/H_\omega $ h�rit�e de $ \omega$  se
projette en une forme symplectique dans $ \Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega ; $ $
H_\omega $ �tant connexe $ G/H_\omega $ est le rev�tement universel de $ \Gamma_
\omega \backslash G/H_\omega , $ l'application canonique de $ G/H_\omega $ sur $
\Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega $ est un rev�tement symplectique

Supposons $ G $ compl�tement r�soluble, le th�or�me 1.4.1 de [NB6] assure que si $
\omega $ poss�de un diagramme pond�r� simple et est cocompacte, alors $ G/H_\omega $
et $ \Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega $ sont $ L $-feuillet�es. Le rev�tement
universel de $ G/H_\omega $ de $ \Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega $ poss�de une
structure affine dont l'holonomie lin�aire est inclue dans $ S\ell( m,\bkR) \, , $ $
m = \dim \Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega \, . $

Supposons que $ \omega  \in  \Omega^ 2_{\ell}( G) $ soit symplectique, alors elle
est cocompacte si et seulement si $ \Gamma_ \omega $ est un r�seau cocompact dans $
G\ $


\noindent On observe que si $ \Gamma $ est un r�seau cocomppact dans $ G\, et si , $
$ \Gamma \backslash G $ poss�de une 2-forme symplectique alors elle en poss�de une
autre forme symplectique qui est $ G $-homog�ne au sens de [McD1] , c'est-�-dire qui
se rel�ve en une forme symplectique invariante � gauche dans $G$, [HA], mais $
(\Gamma \backslash G,\omega) $ n'est pas en g�n�ral $ G $-homog�ne.

\subsection{D�formations des structures k�hleriennes
$(M,\omega,J)$ qui sont  $\Gamma_{\omega}$-invariantes.}

Nous revenons au cas des groupes de Lie compl�tement r�solubles. Soit $ G $ un tel
groupe. Si $ \omega \in \Omega^ 2_{\ell}( G) $ est cocompacte suivant la d�finition
1.2.2 alors on fixe un sous-groupe $\Gamma_\omega$   dans $C_\omega  (G )$; $ M $
d�signe la vari�t� $ G/H_{\omega} $ munie de l'action � gauche de $ \Gamma_ \omega
\in {\mathcal C}_\omega( G),\Gamma_ \omega $ est discret.

Soit $ {\mathcal K}^a_\omega( M) $ le ``module sur $\Gamma_ \omega$'' des structures
k\"ahl�riennes affinement plates $ (M,\omega ,J,D) $ dans $ (M,\omega) \, ; $ on
d�signe par $ (M,\omega ,J,D) $ la structure K�hl�rienne $ (M,\omega ,J) $ reli�e �
la structure affinement plate $ (M,D) $ par les deux relations $ D\omega  = 0 $ et $
DJ = 0\, . $ \par \noindent En vertu des r�sultats mis en �vidence dans [NB6] on
sait que $ {\mathcal K}^a_\omega( M) $ est non vide quand la combinatoire de $
\omega $ est raisonable. Il en est ainsi en particulier quand $ \omega $ poss�de un
diagramme pond�r� (ou un graphe orient�) simple $ {\rm O} \rightarrow {\rm
O}^{\leftarrow}_{ \rightarrow} {\rm O} \, . $ \par
\bigskip
\noindent{\bf Question 1.} {\sl Existe-t-il une structure \/}$ (M,\omega ,J,D)\in
{\mathcal K}^a_\omega( M) $ {\sl qui est invariante par \/}$ \Gamma_ \omega ? $ \par
\smallskip
\noindent Rappelons que la conjecture des tores plats tente de r�pondre � la
question 2 suivante : $ \omega  \in  \Omega^ 2_{\ell}( G) $ est symplectique et
cocompacte. \par
\bigskip
\noindent{\bf Question 2.} {\sl On suppose que la vari�t� symplectique \/}$ (\Gamma_
\omega \backslash G,\omega ) $ {\sl poss�de une structure k\"ahl�rienne \/}$
(\Gamma_ \omega \backslash G,\omega ,J )\, , $ {\sl � quoi ressemble la vari�t�
compacte \/}$ \Gamma_ \omega \backslash G\, . $

Naturellement si on note $ \pi $ la projection de $ M = G/H_\omega $ sur $ \Gamma_
\omega \backslash G/H_\omega $ et $ {\mathcal K}_\omega $ l'ensemble des structures
k\"ahl�riennes dans $ (\Gamma_ \omega \backslash G/H_\omega )\, , $ toute structure
$ (G_\omega \backslash G/H_\omega ,\omega ,J ) $ se rel�ve en une structure
K�hl�rienne  $(M,\omega ,J) $ dans $ (M,\omega)$; notons $ {\mathcal K}_\omega( M) $
les structures ainsi obtenues dans $(M,\omega)$ (qui se projettent dans $ \Gamma_
\omega \backslash G/H_\omega$). La question 1 �quivaut � l'examen de $ {\mathcal
K}^a_\omega( M) \cap {\mathcal K}_\omega( M)$.

Dans un premier temps nous allons d�montrer le th�or�me clef suivant

\begin{thm}
\label{thm:231} Si $ \omega $  poss�de un diagramme simple $ d(\omega ,F) $ alors si
$ {\mathcal K}_\omega( M) $  est non vide alors $ {\mathcal K}_\omega( M) \cap
{\mathcal K}^a_\omega( M) $  est non vide aussi
\end{thm}

La d�monstration du th�or�me \ref{thm:231} s'appuie sur le th�or�me 1.4.1 de [NB6]
joint au th�or�me de BRUHAT--WHITNEY\footnote{voir Th�or�me \ref{thm:324}} suivant


\begin{thm}[\cite{BW}]. Soient $ (M,J) $ et $ (M,J^\prime) $ deux structures de vari�t�s
analytiques complexes ayant la m�me structure de vari�t� analytique r�elle
sous-jacente. Soit $ N $  une sous-vari�t� analytique r�elle de $ M $  de dimension
$ {1 \over 2} \dim M\, . $
\end{thm}

Si $ N $  est totalement r�elle pour les deux structures complexes $ (M,J) $  et
\par \noindent$ (M,J^\prime) \, , $ alors il existe un voisinage ouvert $ U $  de $
N $ dans $ (M,J)\, , $ un voisinage ouvert $ U^\prime $ de $ N $  dans $
(M,J^\prime) $  et un diff�omorphisme analytique $ \varphi $  de $ U $ sur $
U^\prime $ satisfaisant les conditions (i) $ \varphi( x) = x $  pour tout $ x \in  N
$ et (ii) $ d\varphi_ 0J = J^{\prime}_ od\varphi \ $ \\

{\it D�monstration du th�or�me \ref{thm:231}}. Nous supposons que la 2-forme $
\omega \in \Omega^ 2_{\ell}( M) $ est cocompacte. Dans toute la suite on pose $ H =
H\omega \, . $ La vari�t� compacte $ \Gamma_ \omega \backslash G/H $ a pour
rev�tement universel la vari�t� $ M = G/H\, . $ De plus ce rev�tememnt est
symplecltique. La d�monstration se fait en cinq �tapes. On pose $ 2m = \dim M\, . $
\par

\noindent{\bf 1�re �tape.} Puisque $ \omega $ poss�de un diagramme pond�r� simple le
th�or�me 1.4.1 de [NB6 ] assure l'existence dans la vari�t� symplectique $
(M,\omega) $ d'une structure bilagran\-gienne $ (L,{\mathcal N}) $ dont le
feuilletage $ L $ est $ G $-invariant. De plus la paire $ (L,{\mathcal N}) $ donne
lieu � une unique structure affinement plate $ (M,D) $ qui se comporte vis � vis de
$ (M,\omega ,L,{\mathcal N}) $ suivant les conditions ci-dessous :

\smallskip
\noindent (i) $ DL \subset  L $ et $ D{\mathcal N}\subset{\mathcal N}\, . $ \par
\smallskip
\noindent (ii) $ D\omega  = 0\, . $ \par
\smallskip
\noindent (iii) Dans un voisinage de chaque point $ x\in M\, , $ il existe un
syst�me de coordonn�es de Darboux $ (q_1,...,q_m,p_1,...,p_m ) $ compatible avec $
(L,{\mathcal N}) $ dans le sens suivant : \par \noindent les fonctions locales $ q_i
$ sont des int�grales premi�res de $ {\mathcal N} $ et les fonctions locales $ p_i $
sont des int�grales premi�res de $ L\, . $ \par
\smallskip
\noindent (iv) Soit $ (q^{\prime}_ 1,...,q^{\prime}_ m,p^{\prime}_ 1,...,p^{\prime}_
m ) $ un autre syst�me des coordonn�es de Darboux d�finies dans un voisinage du m�me
point $ x\in M\, , $  et satisfaisant la condition (iii ) alors ces coordonn�es
s'expriment affinement en fonction des pr�c�dentes $$ q^{\prime}_ i = \sum^
m_{j=1}A_{ij}q_j+ c_i, p^{\prime}_ i = \sum^ m_{j=1}A_{ij}p_j+ d_i\, , $$ La matrice
$ A = [A_{ij} ]\, , $ $ 1 \leq  i,j \leq  m $ �tant orthogonale.
\par
\medskip
\noindent Remarques. (a) On v�rifie sans difficult� que tout syst�me des coordonn�es
de Darboux qui v�rifie (iii) est aussi un syst�me des coordonn�es affines de la
structure localement plate $ (M,D)\, , $ (voir $\lbrack$NB j], $ j = 4,5). $
\par
\smallskip
\noindent (b) La condition (iv) entra\^\i ne que $ M $ porte une structure de
vari�t� analytique complexe dont des coordonn�es locales sont les

\begin{equation}
z_i= q_i+ \sqrt{ -1} p_i, 1 \leq  i \leq  m\, .
\end{equation}

(c) La m�me condition (iv) assure que munie de l'atlas complexe d�fini par les
coordonn�es $ z_i $ ci-dessus, la vari�t� complexe $ M $ porte une structure
hermitienne $ h $ qui s'exprime dans les coordonn�es $ z_i $ par

\begin{equation} h = \sum^{ }_ i dz_id\bar  z_i\, .
\end{equation}


(d) visiblement $ h $ est plate et la remarque (a) ci-dessus montre que $ D $ est la
connexion de Levi--Civita de $ h\, . $ \par
\bigskip
\noindent{\bf Conclusion partielle 1.} La vari�t� symplectique $ (M,\omega) $ porte
une structure k\"ahl�rienne affinement plate $ (M,\omega ,J)\, . $ Les feuilles des
feuilletages $ L $ et $ {\mathcal N} $ sont des sous-vari�t�s totalement g�od�siques
de $ (M,D) $ et totalement r�elles de $ (M,J)\, $ \par
\bigskip
\noindent{\bf 2�me �tape.} Dor�navant un syst�me de coordonn�es locales qui
satisfait les conditions (iii) et (iv ) de  (1) est appel� coordonn�es de
Darboux-Hess. On a suppos� que $ {\mathcal K}_\omega( M) $ est non vide ; ce qui
�quivaut � dire que la vari�t� symplectique compacte $ \Gamma_ \omega \backslash M =
\Gamma_ \omega \backslash G/H $ porte une structure k\"ahl�rienne $ (\Gamma_ \omega
\backslash M,\omega ,J_0 )\, . $
\par
\noindent On note encore $ (M,\omega ,J_0 ) $ la structure k\"ahl�rienne image
inverse de $ (\Gamma_ \omega \backslash G/H,\omega ,J_0 ) $ par l'application
rev�tement $ M \mapsto  \Gamma_ \omega \backslash M\, . $ Les feuilles des
feuilletages lagrangiens $ L $ et $ {\mathcal N} $ sont de nouveau des sous-vari�t�s
totalement r�elles de $ (M,J_0 )\, . $
\par \noindent On observe que des deux feuilletages $ L $ et $ {\mathcal N} $ le premier
$ L $ est invariant par $ \Gamma_ \omega \, , $ qui est le groupe fondamental de $
\Gamma_ \omega \backslash M\, . $ \par
\bigskip
\noindent{\bf 3�me �tape}\footnote{Voir Th�or�me \ref{thm:324}} Soit $ L_x $ la
feuille de $ L $ qui passe par le point $ x \in  M\, . $ En vertu du th�or�me de
BRUHAT--WHITNEY, on va choisir deux voisinages ouverts $ U $ et $ U^\prime $ de la
sous-varit� $ L_x $ et un diff�omorphisme $ \varphi $ de $ U $ sur $ U^\prime $ qui
prolonge le diff�omorphisme identit� de $ L_x $ et satisfait la condition
$$ d\varphi  \circ  J = J_0\circ  d\varphi $$
Soit $ (q_1,...,q_m,p_1,...,p_m ) $ un syst�me des coordonn�es de Darboux d�finies
dans un voisinage $ x $ contenu dans $ U \cap  U^\prime $ et v�rifiant les
conditions (i) � (iv) de la premi�re �tape. On suppose que la feuille $ L_x $ de $ L
$ est d�finie par $ p_j= 0\, , $ $ 1 \leq  j \leq  m\, . $ Dans les coordonn�es $
(q_i,p_i ) $ comme ci-dessus. \par \noindent On pose $ (q,p) =
(q_1,...,q_m,p_1,...,p_m )\, ; $ alors on a un diff�omorphisme holomorphe local dont
une forme normale est la suivante
$$ \varphi( q,p) = (q+h(p)\alpha( q,p),k(p)\beta( q,p) $$
o\`u les fonctions $ h $ et $ k $ v�rifient
$$ h(0) = k(0) = 0\, . $$
La matrice de $ d\varphi $ dans les coordonn�es $ (q,p) $ a la forme suivante

$$ d\varphi( q,p) = [ \begin{pmatrix}1 + h(p)a(q,p) &
b(q,p) \\ k(p)c(q,p) &  d(q,p) \end{pmatrix} ]
$$


o� $ h(p) $ et $ k(p) $ sont des fonctions dont les 1-jets sont nuls pour $ p = 0\,
. $ \par \noindent Notons $ TL $ et $ T {\mathcal N} $ les distributions tangentes �
$ L $ et � $ {\mathcal N} $ respectivement. On a bien entendu

$$ JTL = T{\mathcal N}\, , $$

par cons�quent la relation

\begin{equation}
d\varphi  \circ  J = J_o\circ  d\varphi
\end{equation}

montre que $ d\varphi_ x $ envoie $ T_x{\mathcal N} $ sur le sous-espace orthogonal
du sous-espace $ T_xL $ relativement � la m�trique riemannienne de $ (M,\omega ,J_0
)\, . $ Soient $ X $ et $ Y $ deux sections locales de $ TL\, , $ alors $ JX $ et $
JY $ sont des sections locales de $ T{\mathcal N} $ qui sont envoy�s par $ d\varphi_
y $ dans $ J_0T_yL $ pour tout $ y \in L_x\, . $ La relation

\begin{equation}
 d\varphi_ y[JX,JY]_y= [d\varphi JX,d\varphi JY]_y, y \in  L_x
\end{equation}

montre que le syst�me diff�rentiel $ J_0TL $ est int�grable le long de $ L_x\, . $
En d'autres termes par tout $ y \in  L_x $ passe une germe de sous-vari�t� int�grale
maximale de $ J_0TL $ de dimension $ m $ qui n'est pas autre chose que le germe en $
y $ de l'image par $\phi $ de la feuille $ {\mathcal N}_y $ de $ {\mathcal N}\, . $

Nous concluons que le syst�me diff�rentiel $ J_0TL $ est compl�tement
int�grable\footnote{Voir aussi Th�or�me \ref{thm:324}}
\par

\noindent{\bf Conclusion partielle 2.} On a d�duit de la structure bilagrangienne $
(L,{\mathcal N}) $ la structure bilagrangienne $ (L,J_0L )\, . $ Puisque $ L,J_0 $
et $ \omega $ sont invariants par $ \Gamma_ \omega $ (ou si on veut par le groupe
fondamental de $ \Gamma_ \omega \backslash M), $ $ (L,J_0L ) $ se projette en une
structure bilagrangienne dans la vari�t� symplectlique $ (\Gamma_ \omega \backslash
M )\, . $

Pour simplifier on pose $ J_0L $ pour $ J_0TL\, . $ \\

\noindent{\bf 4�me �tape.} On note $ D� $ la connexion lin�aire sans torsion d�finie
dans $ M $ par la paire de feuilletages lalgrangiens $ (L,J_0L )\, , $ (voir (17)).
On a $ D�L \subset  L\, , $ $ D�J_0L \subset  J_0L $ et $ D�\omega  = 0\, . $
\par
\bigskip
Remarque . La connexion lin�aire $D�$ et la connexion $D$ d�finie  par la paire
$(L,N )$ coincident sur $L$. Ce sont des connexions symplectiques pr�servant le
feuilletage lagrangien $L$ ,�tant toutes les deux de torsion nulle il diff�rent par
un tenseur sym�trique dont la valeur en chaque point est dans le premier
prolongement � la Guillemin-Sternberg de $Sp(\omega)$ ,  ( [ GS ] , [SS] )

\begin{lemma}
\label{lem:232} Le tenseur de courbure de $ D� $  est nul.\footnote{Voir aussi
Th�or�mes \ref{thm:326} et \ref{thm:327}}
\end{lemma}

\noindent Preuve. On consid�re un syst�me des coordonn�es de Darboux $ (q_i,p_i ) $
de $ (M,\omega) $ satisfaisant les conditions (i) � (iv) de la premi�re �tape.
\par \noindent On pose $ X_i= X_{q_i} $ et $ Y_i= X_{p_i} $ les champs hamiltoniens
correspondant. On a $ JX_i= Y_i $$\quad$ $ 1 \leq  i \leq  m\, , $ $ 2m = \dim M\, .
$ Soit $ \varphi $ le diff�omorphisme local du th�or�me de BRUHAT--WHITNEY. On a

\begin{equation}
J_0X_i(y) = d\varphi_ yY_i(y)
\end{equation}

pour tout $ y \in  L_x\, . $

Le tenseur de courbure de $ D $ est nul sur $ L \times L $ et sur $ J_0L \times
J_0L\, . $ Il reste � calculer ce tenseur pour une par $ (X_i,J_0X_j )\, . $ \par
\noindent Auparavant on observe que $ D $ co\"\i ncide avec $ D^0 $ aussi bien sur $
L \times  L $ que sur $ J_0L \times J_0L\, . $ Autrement dit
$$ D_{X_i}X_j= D^0_{X_i}X_j\, . $$
Et puisque les $ X_i $ sont hamiltoniens et engendrent $ L\, , $ on a

\begin{equation}
 i (Di^0_{X_i}X_j )\omega  = L _{X_i}i (X_j )\omega  = 0\, ,
\end{equation}

c'est � dire que $ D_{X_i}X_j= D^0_{X_i}X_j= 0=. $ Puisque le tenseur de courbure $
R $ de $ D $ vaut
$$ R (X_i,J_oX_j ) = D_{X_i}D_{J_oX_j}- D_{J_oX_j}D_{X_i}- D_{
[X_i,J_oX_j ]}\, , $$ et compte tenu de $ D_{X_i}X_j = 0 $ on a
$$ R (X_i,J_oX_j )X_k= D_{X_i}D_{J_oX_j}X_k - D_{ [X_iJ_oX_j
]}X_k\, . $$ Les calculs ci-dessous sont effectu�s en un point $ y $ de $ L_x $
qu'on omettra volontairement d'expliciter. Ainsi au pont $ y \in  L_x $ on a

\begin{equation}
\omega (R (X_i,J_oX_j )X_k,Y_{\ell} ) = \omega (D_{X_i}D_{jX_J}X_k- D_{ [X_iJ_oX_j
]}X_k,Y_{\ell} )
\end{equation}


On tient maintenant compte du fait que $ DL \subset L$; d'o�

$$
\begin{array}{rl}
D_{X_i}D_{J_oX_j}X_k & = D^o_XD_{J_oX_j}X_k\ {\rm avec} \\
i (D^o_XX^\prime )\omega &  = L(X)L(X^\prime) \omega \ {\rm pour} \ X\ {\rm et} \
X^\prime \ {\rm tangent} \ {\rm \grave a} \ L\, .
\end{array}
$$

L'expression (20) devient maintenant

$$
\begin{array}{ll}
\omega (R (X_i,J_oX_j )X_k,Y_{\ell} ) = & X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_{\ell} ) -
\omega (D_{J_oX_j}X_k, [X_i,Y_{\ell} ] ) \\  &  - \omega ( [ [X_i,J_oX_j ],X_k ]-
D_{X_k} [X_i,J_oX_j ],Y_{\ell} )
\end{array}
$$

Puisque $ [X_i,Y_{\ell} ] = 0\, , $ l'expression ci-dessus est r�duite �
$$ X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_{\ell} ) + \omega ( [X_k,
[X_i,J_oX_j ] ],Y_{\ell} ) - \omega (D_{X_k} [X_i,J_oX_j ],Y_{\ell} )\, . $$ En
vertu de $ D_{X_k}\omega  = 0\, , $ la derni�re expression devient

$$
\begin{array}{ll}
\omega (R (X_i,J_oX_j )X_k,Y_{\ell} ) & = X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_{\ell} ) + X_k
(X_i\omega (J_oX_j,Y_{\ell} ) ) \cr  &  - X_k (X_i\omega (J_oX_j,Y_{\ell} ) ) +
\omega ( [X_i,J_oX_j ],D_{X_k}Y_{\ell} ) \\  &  = X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_{\ell}
) + \omega ( [X_i,J_oX_j ],D_{X_k}Y_{\ell} )\, .
\end{array}
$$


Etant donn� que $ L (X_i )\omega  = 0\, , $ on voit que

$$
\begin{array}{l}
X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_l) + \omega ([X_i,J_oX_j],D_{X_k}Y_l) \\
= X_i\omega (D_{J_oX_j}X_k,Y_l) + X_i\omega (J_oX_j,D_{X_k}Y_l) - \omega
(J_oX_j,[X_i,D_{X_k}Y_l]) \\
= X_i\omega ([J_oX_j,X_k],Y_l) + X_i\omega (D_{X_k}J_oX_j,Y_l) + X_i\omega
(J_oX_j,D_{X_k}Y_l) \\
- \omega (J_oX_j,[X_i,D_{X_k}Y_l]) \ .
\end{array}
$$

Les arguments pr�c�dents i.e. $ L_{X_i}\omega  = 0, \, D\omega  = 0, \,
[X_i,Y_{\ell} ] = 0 $ montrent que l'expression ci-dessus se r�duit �

$$
\begin{array}{rl}
\omega (R (X_i,JX_j )X_k,Y_{\ell} ) = & - X_i (X_k\omega (J_oX_j,Y_{\ell} ) + X_i
(X_k\omega (J_oX_j,Y_{\ell} ) ) )
\\  &  - \omega (J_oX_j, [X_i,D_{X_k}Y_{\ell} ] )
\end{array}
$$

Puisque le tenseur de torsion de $ D $ est nul et que $ [X_k,Y_{\ell} ] = 0 $ on a

$$ \begin{array}{rl} \omega (R (X_i,JX_j )X_k,Y_l ) & = -
\omega (J_oX_j, [X_i,D_{Y_l} X_k ] ) \\  &  = - \omega (J_oX_j,D_{X_i}D_{Y_l} X_k- D
_{D_{Y_l} X_k}X_i ) \\  &  = \omega (J_oX_j,D_{D_{Y_l} X_k}X_i- D_{Y\ell} D_{X_i}X_k
) \\  &  = w (J_oX_j,D^o_{D_{Y_l} X_k}X_i )
\end{array}
$$


Puisque $ D^o_XX_i= 0 $ pour tout $ X $ tangent � $ L $ on conclut que

$$ \omega (R (X_i,J_oX_j )X_k,Y_l ) = 0 $$

d'o�

$$ R (X_i,J_oX_j ) = 0\quad 1 \leq  i,j \leq  m\, . $$

Cela termine la d�monstration du Lemme \ref{lem:232}. \\

\noindent{\bf Conclusion partielle 3.} La paire $ (L,J_oL ) $ d�termine une
structure bilagran\-gienne affinement plate dans $ (M,\omega) $ qui est invariante
par l'action de $ \Gamma_ \omega \, . $ Il donne donc naissance � une structure
affine plate dans $ \Gamma_ \omega \backslash M = \Gamma_ \omega \backslash G/H\, .
$ \\

\noindent{\bf 5�me �tape.} Dans toutes les op�rations effectu�es au cours des �tapes
pr�c�dentes on sait que les donn�es $ \omega ,L,J_o,J_oL $ sont invariantes par $
\Gamma_ \omega \, . $ Il reste � v�rifier que la connexion lin�aire $ D $ d�termin�e
par $ (L,J_oL ) $ est invariante par $ \Gamma_ \omega \, . $ \par \noindent Soit $
\Gamma \in \Gamma_ \omega \, . $ Posons $ D^\Gamma_ XY = \Gamma^{ -1}_\ast
D_{\Gamma_ \ast X}\Gamma_ \ast \, . $ On a alors

$$ \begin{array}{rl} (D^\Gamma_ X\omega )(Y,Z) & = X\omega( Y,Z) - \omega
(\Gamma^{ -1}_\ast D_{\Gamma_ \ast X}\Gamma_ \ast Y,Z ) - \omega (Y,\Gamma^{
-1}_\ast D_{\Gamma_ \ast X}\Gamma_ \ast Z ) \\  &  = X\omega( Y,Z) - \omega (\Gamma_
\ast Y,D_{\Gamma_ \ast X}\Gamma_ \ast Z ) - \omega (D_{\Gamma_ \ast X}\Gamma_ \ast
Y,\Gamma_ \ast Z ) \\  &  = 0\, .
\end{array}
$$

D'un autre c\^ot� $ D^\Gamma L \subset  L $ et $ D^\Gamma J_oL \subset J_o\, L\, . $
\par \noindent Puisque $ D^\Gamma $ est aussi sans torsion on a $ D^\Gamma = D $ par
unicit�.

\noindent{\bf Conclusion finale. }Les donn�es $ (M,\omega ,L,J_oL,D ) $ sont
invariantes par l'action de $ \Gamma_ \omega $ (dans $ M)\, ; $ ces donn�es donnent
lieu � une structure K�hlerienne affinement plate dans $ \Gamma_ \omega \backslash
M\, ; $ d'o\`u le th�or�me 4.1.1.

\bigskip
(1) Pour �tablir la compl�te int�grabilit� de $ {\mathcal N� }= J_oL $ on peut
�viter le recours au th�or�me de Bruhat--Whitney gr\^ace � l'analogue k�hl�rien de
la r�duction symplectique de Marsden--Weinstein, voir les sous-paragraphes
 ci-dessous et particuli�rement le th�or�me de r�duction K�hl�rien .

\subsection{Filtration symplectique de $(M,\omega)$}

Dans ce \S\ $ (M,\omega) $ est une vari�t� symplectique connexe et $ G $-homog�ne
o\`u $ G $ est un groupe de Lie compl�tement r�soluble.

\par \noindent On fixe une identification de $ (M,\omega) $ avec $ (G,H,\omega) $
comme dans les \S\ pr�c�dents. On suppose que $ \omega  \in  \Omega^ 2_l( G) $
poss�de un diagramme pond�r� simple $ d(\omega ,F)\, . $

$$ \circ \rightarrow \circ \leftrightarrows \circ$$

Il est donc associ� � $ (\omega ,F) $ la suite $ (G_k,H_k,\omega_ k ) $ ainsi que
les vari�t�s symplectiques homog�nes $ (M_k,\omega_ k )\, . $ On sait que $
(M_k,\omega_ k ) $ est d�duite de $ (M_{k+1},\omega_{ k+1} ) $ par la m�thode de
r�duction de phase de MARSDEN--WEINSTEIN $\lbrack$MW]. On a le diagramme suivant

$$ \begin{matrix} {\mathcal M}_{k+1} &   \hookrightarrow &
  M_{k+1} \\  \downarrow &    &
\\  M_k &    &
\end{matrix}
$$

gr\^ace auquel on sait que $ M_k $ poss�de un feuilletage symplectique $ {\mathcal
D} $ de codimension 2 subordonn� � l'hypersurface $ {\mathcal M}_{k+1}, $ i.e les
feuilles de $ {\mathcal D} $ qui rencontrent $ {\mathcal M}_{k+1} $ sont contenues
tout enti�res dans $ {\mathcal M}_{k+1}\, . $ De plus chaque feuille de $ {\mathcal
D} $ contenue dans $ {\mathcal M}_{k+1} $ est un rev�tement symplectique de $ M_k\,
. $ On sait en outre que ces rev�tements sont des rev�tements des structures
bilagrangiennes affinement plates. Les vari�t�s en jeu sont connexes et simplement
connexes, de sorte que l'espace des feuilles $ M_{k+1}/{\mathcal D} $ est une
surface symplectique qui h�rite naturellement d'une structure bilagrangienne
affinement plate d�s que $ M_{k+1} $ en poss�de une qui prolonge celles des feuilles
de $ {\mathcal D}\, . $
\par \noindent Les remarques ci-dessus permettent au moyen d'arguments de
r�currence de construire dans les $ (M_{k+1},\omega_{ k+1} ) $ des structures
K�hleriennes affinement plates. \par \noindent Ce proc�d� est utilis� dans [NB 4].


\section{R�ductions K�hl�riennes}

\subsection{Digrammes normaux}

Soit $ (\omega  , F ) \in \Omega^2_l ( G ) x  {\mathcal F}( G )$ . Le diagramme
$d(\omega,F)$ est dit normal si en chaque sommet de coordonn�es $(G_k,H_k)$ $H_k$
est un sous-groupe distingu� de $G_k$ . Dans cette section on s'int�resse uniquement
� celles des 2-formes ferm�es qui sont de rang maximal. Pour le traitement dynamique
de ces formes on peut �viter le recours au th�or�me de BRUHAT--WHITNEY gr�ce �
l'analogue k�hl�rien de th�or�me de r�duction symplectique de MARSDEN--WEINSTEIN.

\par Soient $ G $ un groupe de Lie compl�tement r�soluble de dimension paire $ 2m +
2 $ et $ \omega \in \Omega^ 2_l( G) $ une 2-forme de rang maximal. Si $ \omega $ est
cocompacte alors tout $ \Gamma_ \omega \in  {\mathcal C}_\omega( G) $ qui est
discret est un r�seau cocompact dans $ G\, . $ Ci-dessus est un r�sultat
�l�mentaire.

\begin{lemma}
\label{lem:311} Soient $ G $  un groupe de Lie compl�tement r�soluble et $ \omega $
une 2-forme ferm�e invariante � gauche de rang maximal. Alors $ \omega $  poss�de un
graphe orient� simple $ gr(\omega ,F) $  tel que pour chaque indice $ k\, , $  le
sommet $ H_k $  est distingu� dans $ G_k\, . $
\end{lemma}

{\it Preuve}. On utilise un argument de r�currence �l�mentaire. La conclusion du
Lemme est trivialement vraie en dimension 2. En dimension $ 2m+2 $ on choisit dans $
G $ un sous-groupe connexe de dimension $ 1,G_1, $ qui est distingu� dans $ G\, . $
Soit $ h_1 $ la sous-alg�bre de Lie de l'alg�bre de Lie de $ G $ qui est tangente �
$ G_1. $ On fixe un g�n�rateur $ \zeta $ de $ g_1 $ et on d�signe par $ G_{2m+1} $
le sous-groupe de Lie connexe de $ G $ qui est tangent en l'�l�ment neutre au noyau
de la 1-forme $ i(\zeta) \omega \, . $ Soit $ \underline{G}_{2m} $ le groupe de Lie
quotient de $ G_{2m+1} $ par $ G_1\, . $ Alors $ \underline{G}_{2m} $ h�rite de $
\omega $ d'une 2-forme ferm�e $ \underline{\omega}_{ 2m} $ qui est de rang maximal.
L'argument de r�currence assure l'existence dans $ \underline{G}_{2m} $ d'un drapeau
en sous-groupes $ \underline{F} $ donnant lieu au graphe simple $ gr (
\underline{\omega}_{ 2m},F ) $ qui satisfait la conclusion du Lemme 2.1.1. On note $
\pi $ l'homomorphisme canonique de $ G_{2m+1} $ sur $ \underline{G}_{2m}\, ; $ alors
$ \pi^{ -1}( \underline{F}) \dot \subset  G $ a les propri�t�s requises . En effet
en vertu de l'hypoth�se de r�crrence  la s�rie de composition $F := \underline{G}_l
\subset \underline{G}_2 \subset ... \subset \underline{G}_{2m}$ est telle que pour
chaque indice $k = 1 ,.. , 2m$ le sous-groupe $H_k$ est distingu� dans $G_k$. Il en
r�sulte de l'image inverse par $\pi$ de $\underline{H}_k$ est distingu�e dans celle
de $\underline{G}_k$. \\

\noindent{\it Remarque.} Conform�ment � la configuration (\ref{equation:8}) si le
groupe $ G $ est nilpotent, alors chaque 2-forme cocompacte $ \omega $ de rang
maximal d�finie dans $ G $ donne lieu � une 2-forme cocompacte $
\underline{\omega}_{ 2m} $ dans le groupe $ \underline{G}_{2m}\, . $ Il suffit pour
cela que $ \Gamma_ \omega \cap  G_1 $ soit uniforme dans $ G_1 $ convenablement
choisi dans $G$ . En effet puisque $G$ est nilpotent il existe un sous-groupe � un
param�tre central dans chaque qui
intersecte le r�seau donn� suivant un r�seau dans lui m�me. \\

\noindent Dans la suite on conserve un graphe $ gr(\omega ,F) $ qui satisfait le
Lemme \ref{lem:311} ci-dessus. On a ainsi le diagramme suivant

\begin{equation}
\label{equation:8}
\begin{matrix}  G_1 &    &   G_1 \\
\downarrow  &    &  \downarrow \\
G_{2m+1} &   \stackrel{i}{\rightarrow} & G \\
\downarrow \pi &    & \downarrow \\
\underline{G}_{2m} & \rightarrow & \underline{G}_{2m+1}
\end{matrix}
\end{equation}

et la relation $ i^\ast \omega  = \pi^ \ast \underline{\omega}_{ 2m}\, . $ On se
propose de mettre en �vidence l'analogue k\"ahl�rien de la r�duction symplectique de
MARSDEN--WEINSTEIN.

 A partir de maintenant la situation est la suivante .
On fixe un groupe de Lie compl�tement r�soluble $G$ qui est connexe et simplement
connexe . On suppose que    $\omega \in \Omega^2_l( G )$  est une forme symplectique
cocompacte . On fixe une fois pour toutes un r�seau  $\Gamma_{\omega}$   dans
$C_{\omega}(G)$ , un diagramme normal $d(\omega ,F)$ ainsi qu'un feuilletage
lagrangien $L$ qui est invariant par les translations � gauche dans $G$ . On fixe
une structure bilagrangienne affinement plate $( G , L  , N = J(L) )$ . Soit  $h =
g_{J_0} + \sqrt{-1}\omega$ une m�trique de K�hler invariante par les translations �
gauche dans $G$ d�finies par les �l�ments du r�seau $\Gamma_{\omega}$. Conform�ment
aux notations de la Section 1 soit $J_o$ le tenseur de la structure presque complexe
de $h$ . On se propose de d�montrer la compl�te int�grabilit� de $J_o(L )$ sans
recourir au th�or�me de Bruhat-Whitney. \\

\noindent Notons $ {\mathcal T}_1 $ et $ {\mathcal T}_2 $ les sous-fibr�s vectoriels
de $ TG $ engendr�s par $ \tilde \zeta $ et par $ J_o\tilde  \zeta $ respectivement.
On note $ {\mathcal T}_o $ le sous-fibr� vectoriel orthogonal � $ {\mathcal
T}_1\oplus  {\mathcal T}_2 $ relativement � la m�trique riemannienne $g_{J_0}.$ On a
la somme orthogonale

$$ TG = {\mathcal T}_o\oplus  {\mathcal T}_1\oplus  {\mathcal T}_2\, . $$

En tout $ \Gamma  \in  G $ les sous-espaces vectoriels $ {\mathcal T}_o(\Gamma) $ et
$ {\mathcal T}_1(\Gamma) $ sont tangents � la sous-vari�t� $ \Gamma \cdot G_{2m+1}\,
. $ En particulier, en restriction � $ G_{2m+1}, $ $ {\mathcal T}_1 $ n'est pas
autre chose que le fibr� vertical de la fibration principale

$$ G_1\rightarrow  G_{2m+1}\rightarrow  \underline{G}_{2m} $$

et $ {\mathcal T}_o $ en est le fibr� orthogonal pour la m�trique riemannienne
induite par $ g_J\, . $ Naturellement $ {\mathcal T}_o $ est un sous-fibr� du fibr�
vectoriel complexe $ TG\, . $ Si $ s $ est une section de $ {\mathcal T}_o $ alors
on a $ \omega (\tilde \zeta ,s ) = \tilde  \zeta (J_o\tilde \zeta ,s ) = 0\, . $

\subsection{Quelques r�sultats auxiliaires}

 L'objet principal de cette sous-section est de d�montrer sans recourir au
th�or�me de Bruhat-Whitney que les syst�mes diff�rentiels d�finis respectivement par
$T_o$ et $T_l + T_2$ sont compl�tement int�grables . Comme indiqu� plus haut on
gardera en m�moire la configuration (\ref{equation:8}) reproduit ci-dessous.

$$
\begin{array}{ccc}
                   G_1    &  &   G_1 \\
                   \downarrow & & \downarrow \\
                   G_{2m+1}  & \hookrightarrow &  G \\
                    \downarrow & & \downarrow \\
                   G_{2m} & \hookrightarrow  &    G_{2m+1}
\end{array}
$$

Avec $\dim(G) = 2m + 2$ . L'action de $G_1$ par les translations � gauche dans G est
hamiltonienne .

La vari�t� symplectique $( G_{2m} ,\omega )$ est une r�duite de $( G ,\omega  )$
pour cette action . Nous rappelons que $G$ est muni des structures K�hl�riennes $( G
,\omega , J )$ et $( G ,\omega   , J_o )$ . Les vari�ts symplectiques $(G ,\omega )$
et $(G_{2m} ,\omega )$ sont munies de des structures bilangrangiennes affinement
plates $( G ,\omega   , L , J(L) )$ et $( G_{2m} ,\omega   , L , J(L) )$
respectivement.


On se place d�sormais dans un ouvert connexe U  domaine des coordonn�es de
Darboux-Hess  $( q_1 ,..,q_{m+1} , p_1 , .. ,p_{m+1} )$.
 En d'autres termes les fonctions  $q_i$ et $p_i$ satisfont les
conditions suivantes  (10) \\
       (i) $ \omega   =  \sum_i dq_i  \wedge dp_i$ , \\
       (ii)  les $p_i$ sont des int�grales premi�res du feuilletage langrangien $L$, \\
       (iii)  les fonctions $q_i$ sont des int�grales premi�res de $J(L)$ , \\
       (iv)  $(q_i ,p_i )$ est un syst�me des coordonn�es locales affines de la
 structure affine d�finie par $(L ,J(L) )$ ; de plus si $( q'_i , p'_i )$ est
 un autre syst�me de coordonn�es locales de Darboux-Hess d�fini dans le m�me
domaine $U$ alors le changement de coordonn�es $q' = q'(q,p)$ , $p'=p'(q,p)$ est une
transformation affine rigide de la structure bilangrangienne affinement plate $( L ,
J(L) ) $.


Une fois pour toutes on fixe un syst�me des coordonn�es  de Darboux-Hess adapt� � $(
L , J(L), (q_i,p_i)$ ; on d�signe par $S_i$ le champ de vecteurs hamiltonien de la
fonction $ p_i$ . La propri�t� (i) ci-dessus assure que $J(S_i)$ est le champ de
vecteurs hamiltonien de la fonction $q_i$ . Il en resulte que le syst�me des champs
de vcecteurs $(S_i , J(S_i ) )$ est orthonorm�e pour la m�trique riemanienne $g(u,v)
= ( Ju ,v )$ . Nous allons maintenant mettre en �vidence des propri�t�s
int�ressantes de champs de vecteurs $S_i$.

\begin{lemma}
\label{lem:321} Les champs de vecteurs $S_i$ et le tenseur $J_o$ sont li�s comme il
suit (a) $[ S_i , J_o S_j ]$ est une section de $J_o(L)$, (b) $[ J_o S_i , J_o S_j
]$ est une section de $L$ .
\end{lemma}

D�monstration . (a) On d�signe par $R_u$ le fibr� vectoriel trivial $U \times
{\mathbb R}^{2m+2}$ et par $L_u$ la restriction � l'ouvert $U$ de $L$ . Soit
$\theta_o$ l'homorphisme de fibr� vectoriel de $L_u$ dans $R_u$ d�fini par :

$$\theta (x,v ) = (g_o (S_1 , v ) ,.., g_o (S_{m+1} , v ) , g_o (JS_1 , v ),.., g_o (
JS_{m+1} , v )).$$

On rappelle que $g_o (S_i ,v ) = \omega (J_o S_i , v )$ . L'application $\theta$ est
un plongement de $L$ dans $R_u$ , par cons�quent l'image de Lu est un sous-fibr�
vectoriel trivial de $R_u$ . On choisit une base des sections locales constantes de
$\theta(L_u )$, soit $c_1 ,.. , c_{m+1}$ ; en d'autres termes chaque $c_j$ est une
application constante de l'ouvert $U$ dans ${\mathbb R}^{2m+2}$. On d�signe par
$\alpha_j$ l'image inverse par $\theta$ de la section $c_j$. On obtient ainsi une
nouvelle base des sections de $L_u$ satisfaisant les conditions

\begin{equation}
\label{equation:9}
 \omega( J_o S_i , \alpha_j ) = constante \ \ \ and \ \ \
 \omega( J_o JS_i , \alpha_j ) = constante.
\end{equation}

On utilise maintenant la m�trique Riemanienne $g(u,v) = \omega(Ju,v)$ et sa base *
orthonorm�e $(S_i , JS_i )$ pour d�composer les $(\alpha)_i$ et les $J_o (\alpha_j
)$:

$$J_o (\alpha_i )=\sum_k \omega(JS_k ,J_0 \alpha_i )S_k + \sum_k \omega(J_o
\alpha_i ,S_k )JS_k. $$

Compte tenu des conditions (\ref{equation:9}) ci-dessus on a $[
S_k , J_o \alpha_j ] = O$ pour $j , k = 1 ,.. , m+1 $. Maintenant
consid�rons un triplet $(\alpha_i , S_j , S_k )$ ; on d�duit de la
nullit� de $[ S_j ,J_o \alpha_k ]$ l'identit� suivante
$\omega([S_j,J_o \alpha_i] , J_o S_k ) = \omega ([ S_j ,J_o S_k ]
,J_o \alpha_i ) = o $. Puisque les $J_o \alpha_i$ engendrent le
sous-fibr� lagrangien $J_o (L)$ on en d�duit que les $[ S_j ,J_o
S_k ]$ sont des sections de $J_o (L)$ , (a) est d�montr�.

(b) La seconde assertion d�coule directement de (a) ; en fait puisque les champs de
vecteurs $S_j$ commutent deux � deux on a l'identit� suivante $[J_o S_i , J_o S_j] =
J_o ( [J_o S_i , S_j ] + [ S_i , J_o S_j ] )$ d'o� il d�coule que les $[ J_o S_i ,
J_o S_j ]$ sont des sections de $L$. Cela termine la d�monstration du Lemme
\ref{lem:321}.

Nous sommes maintenant en mesure de d�montrer que $T_o$ est compl�tement int�grable.
Nous supposons que le champ de vecteur $S_1$ est une base de section de $T_1$ . On
utilise de nouveau la m�trique Riemannienne $g_o$ pour d�composer $L$ comme il suit

\begin{equation}
\label{equation:10}
L= T_1 + orth_o ( T_1 ),
\end{equation}

o� $orth_o (T_l )$ est le sous-fibr� orthogonal de $S_1$ relativement � la m�trique
$g_o$ . Consid�rons l'homomorphisme de fibr� vetoriel $\phi$ de $L_u$ dans le fibr�
trivial $U \times {\mathbb R}^{m+1}$ d�fini comme il suit : $\phi (tS_1 ,v ) = ( g
(tS_1 , v ) + tg_o (S_1 ,S_1 ),g(S_2 ,v ) +..+ g(S_m+1 ,v ))$ o� $(tS_1 ,v )$ est
une section de $T_1 \times orth_o (T_1 )$ . L'application $\phi$ est un isomorphisme
de fibr� vectoriel . L'image de $orth_o (T_1 )$ est un sous-fibr� vectoriel de rang
$m$ de $U \times {\mathbb R}^{m+1}$ . Quitte � r�duire U � un domaine de
trivialisation de $\phi ( orth_o (T_1 )$ on choisit une base de section de $\phi (
orth_o (T_1 )$ form�e des sections constantes ,$w_1 ,.. , w_m$  ; chaque $w_j$ est
une application constante de $U$ dans ${\mathbb R}^{m+1}$ . Soit $\beta_j$ l'image
inverse par $\phi$ de $w_j$ . Compte tenu de (\ref{equation:10}) les $\beta_j$  sont
des sections de $( O ) \times orth_o (T_1 )$ , ces sections satisfont les conditions
suivantes $g (S_k ,\beta_j ) = constante$ , pour $j := 1 ,.., m$ et $k:= 1 ,.. ,
m+1$ . Dans la base $g$-orthonorm�e $( S_i , JS_i ) , i:= 1 , ..,m+1$ on d�compose
les $\beta_j = \sum_k \omega (JS_k ,\beta_j )S_k $. Puisque les $\omega ( JS_k ,
\beta_j )$ sont sont constantes on a l'identit�

\begin{equation}
\label{equation:11} [ S_k ,\beta_j ] = 0 , j:= 1,..,m ,k:= 1 ,.., m+1.
\end{equation}

 Retournons maintenant � la configuration (\ref{equation:8}) . Le syst�me $( S_1 ,..,S_m ,JS_1,
..,JS_m )$ engendre le sous-fibr� $g$-orthogonal de $T_1$ dans $TG_{2m+1}$ .

\begin{thm}
\label{thm:322} Les syst�mes diff�rentiels d�finis respectivement par  $T_1 + T_2$
et par $T_o$ sont compl�tement int�grables .
\end{thm}

D�monstration . Nous consid�rons la vari�t� holomorphes $(G , J_0 )$ munie de la
m�trique K�hl�rienne $h = g_o +  \sqrt{-1} \omega$ . Les sous-fibr�s vectoriels $T_1
+ T_2$ et $T_0$ sont analytiques complexes . En vertu d'un Th�or�me de David L.
Johnson ,[JD] ,la compl�te int�grabilit� de $T_0$ �quivaut � la compl�te
int�grabilit� de $T_1 + T_2$ . On va montrer que $T_1 + T_2$ est compl�tement
int�grable . On consid�re la base $g$-orthonorm�e $( S_i , JS_i  )$ et la base
$(\beta_j)$ de $orth_0 (T_1 )$ construite ci-dessus . On d�duit de l'identit�
(\ref{equation:11}) ci-dessus et du Lemme \ref{lem:321} les identit�s suivantes
$\omega ([S_1 , J_0 S_1 ] , \beta_j ) = 0$ et $ \omega ( [S_1 , J_0 S_1 ] , J_0
(\beta_j )) = 0$ . Cela montre que le crochet $[ S_1 ,J_0 S_1 ]$ est une section du
sous-fibr� engendr� par le syst�me $(\beta_j , J_0 (\beta_j )$ qui n'est pas autre
chose que $T_0$ . Puisque $T_0$ et $T_1 + T_2$ sont $g_0$ -orthogonaux le crochet
$[S_1 , J_0 S_1]$ est une section de $T_1 + T_2$ . Le th�or�me de David Johnson
�voqu� ci-dessus assure que $T_0$ et $T_1 + T_2$ sont compl�tement int�grables , ce
qui termine la d�monstration du Th�or�me \ref{thm:322}. \\

On va se placer maintenant dans la vari�t� analytique complexe $( G , J_0 )$ . Elle
est �quip�e de deux feuilletages holomorphes transverses $T_1 + T_2$  et $T_0$ . En
outre le feuilletage $T_0$ est subordonn� au sous-groupe de Lie $G_2m+1$ dans le
sens que toute sous-vari�t� int�grale maximale de $T_0$ contenant un point de
$G_{2m+1}$ est enti�rement contenue dans $G_{2m+1}$ . Les feuilles de $T_0$
contenues dans $G_{2m+1}$ sont des rev�tement symplectiques de la vari�t� r�duite $(
G_2m , \omega )$ de la configuration (\ref{equation:8}) . En fait le sous-fibr�
$T_0$ est une connexion principale de la $G_1$ -r�duction   $G_{2m+1}
\longrightarrow G_{2m}$ qui est une $G_1$ - fibration principale . Puisque le groupe
de Lie $G$ est simplement connexe et compl�tement resoluble il en est de m�me de
$G_{2m}$  qui h�rite ainsi de chaque de $T_0$ d'une m�tique K�hl�rienne . Etant
donn� que $T_0$ est une $G_1$ -connexion principale plate la structure K�hl�rienne
de $G_{2m}$ h�rit�e d'une nappe d'holonomie de $T_o$ est ind�pendante de la nappe
choisie . On peut donc �noncer ce qui suit .

\begin{thm}
\label{thm:323} La configuration (\ref{equation:8}) est une r�duction K�hl�rienne de
la vari�t� K�hl�rienne $(G,\omega,J_0)$ .
\end{thm}

{\it Remarque}. On sait d�j� par construction de la m�trique K�hl�rienne $h_ = g_ +
\sqrt{-1} \omega$ que cette derni�re poss�de une r�duction dans $G_{2m}$ . Ainsi les
deux m�triques $h$ et $h_0$ poss�dent des r�ductions dans $G_{2m}$ . Nous continuons
de noter ces deux structures $( G_{2m} , \omega , J )$ et $( G_{2m} ,\omega , J_0 )$
respectivement . Le sous-fibr� lagrangien de $TG_{2m}$ h�rit� du sous-fibr� $L$ de
$TG$ est aussi  abusivement not� $L$ .

Nous allons maintenant d�montrer sans nous servir du th�or�me de
Bruhat-Witney le resultat suivant.

\begin{thm}
\label{thm:324} Le sous-fibr� lagrangien $J_0 (L)$ est compl�tement int�grable .
\end{thm}

{\it D�monstration}. Compte tenu du th�or�me \ref{thm:323} on va proc�der par
r�currence sur la dimension du groupe de Lie G . En dimension 2 il n'y a rien �
d�montrer. Suppososns maintenant le th�or�me \ref{thm:324} vrai en dimensions
inf�rieures � 2m+2 .Il est alors appliquable dans $( G_{2m} , \omega , J_0 (L) )$ .
On supposera alors sans perte de g�n�ralit� que les coordonn�es de Darboux-Hess
$(q_i , p_i ) ,i = 1 , .. , m+1$ sont choisies de sorte que les fonctions  $q_2
,..,q_{m+1} ,p_2 ,.., p_{m+1}$ se projettent en un syst�me des coordonn�es de
Darboux-Hess pour $( G_{2m} , \omega , L ,J(L )$ . Puisque Le sous-fibr� $J_0 (L)$
de $TG_2m$ est compl�tement int�grable il r�sulte
 du Lemme \ref{lem:321} que les champs de vecteurs $J_0 S_i$ pour $i = 2
,..,m+1$ commutent deux � deux . Le m�me Lemme \ref{lem:321} assure que pour tout $i
= 2 ,.., m+1$ les crochets $[S_1 , J_0 S_i ]$ et $[S_i , J_0 S_1 ]$ sont des
sections de $J_0 (L)$ et que $[ J_0 S_1 , J_0 S_i]$ est une section de $L$ . La
m�trique Riemannienne $g_0$ �tant  quasi fibr�e les feuilletages $T_0$ et $T_1 +
T_2$ sont totalement g�od�siques par rapport � la connexion de Levi-Civita de $g_0$
,( [JW ] ). En combinant le lemme 2.3.1 et les propri�t�s g�od�siques rappel�es
ci-dessus on d�duit que les crochets $[ J_0 S_1 ,J_0 S_i]$ sont nuls . Cela termine
la d�monstration du th�or�me \ref{thm:324}.

Maintenant nous sommes en pr�sence d'une structure bilagtrangienne dans $( G ,
\omega )$ d�finie par la paire $( L , J_o (L))$ des feuilletages lagrangiens dans $(
$ G $ , \omega)$. A la section 1 on a d�montr� par un calcul direct la nullit� du
tenseur de courbure de la connexion lin�aire d�finie par la paire $( L,J_0(L))$ . La
proc�dure de r�duction K�hl�rienne de la section 2 contient en fait des ingr�dients
qui permettent de d�montrer rapidement que la structure bilangangienne $( G , \omega
, L , J_0 (L) )$ est affinement plate ; nous nous proposons d'en exhiber des
coordonn�es de Darboux-Hess .En fait consid�rons les coordonn�es de Darboux-Hess de
$( G , \omega , L , J(L) )$ d�j� fix�es  $( q_i ,p_i ) , i = 1 ,.., m+1$  ainsi que
les champs de vecteurs hamiltonienns $S_i$ des fonctions $p_i$ . Le Lemme
\ref{lem:321} joint au Th�or�me \ref{thm:324} a permis de voir que les champs $S_i$
commutent deux � deux et que les crochets $[ S_i ,J_0 S_j ]$ sont des sections de
$J_0 (L )$ . Consid�rons de nouveau l'isomporphisme de fibr� vectoriel de $L_u$ sur
le fibr� trivial $U \times {\mathbb R}^{m+1}$ d�fini par $ \theta ( v ) = ( g_0 (S_1
, v ),.. , g_0 (S_{m+1} , v )$ o� $v$ est une section de $L$ . Soit $c_j$ la section
constante de $U \times {\mathbb R}^{m+1}$ qui envoie tout point de $U$ sur le ji�me
vecteur de la base canonique de ${\mathbb R}^{m+1}$ . On obtient ainsi une base des
sections de $U \times {\mathbb R}^{m+1}$ . Soit $\alpha_j$ l'image inverse par
$\theta$ de la section $c_j$ ; les sections $\alpha_j$ de $L_u$ v�rifient les
conditions suivantes $ \omega (J_0 S_j , \alpha_k ) = \delta_{jk} , j ,k = 1 ,.. ,
m+1 $.

\begin{prop}
\label{prop:325} Les champs de vecteurs $J_0 (\alpha_j )$ sont localement
hamiltoniens.
\end{prop}

{\it D�monstration}. En vertu du lemme \ref{lem:321}  on v�rifie par un calcul
direct facile que la diff�rentielle ext�rieure de $\omega (J_0\alpha_i , . )$ est
nulle sur les couples $(S_i ,S_k ) , (S_i , J_0 S_k )$ et $(J_0S_i , J_0 k )$ . La
proposition \ref{prop:325} est d�montr�e .

On d�duit de la proposition \ref{prop:325} le r�sultat attendu, � savoir le th�or�me
qui suit.

\begin{thm}
\label{thm:326} Les fonctions num�riques locales d�finies par le syst�me des champs
de vecteurs hamiltoniens $( S_j , J_0 \alpha_j )$ sont des syst�mes de coordonn�es
de Darboux-Hess de la structure bilagrangienne $( G , \omega , L ,J_0 (L) )$.
\end{thm}

{\it D�monstration}. En fait on a les identit�s suivantes
$$\omega ( S_i , [S_j ,J_0 \alpha_k ] ) = S_j \omega ( S_i ,J_0 \alpha_k ) = 0.$$
On en d�duit que les crochets
$[ S_j , J_0 \alpha_k ]$ sont des sections de $L $. En vertu du Lemme \ref{lem:321}
$[ S_j , J_0 S_k ]$ est une section de $J_0 (L)$ , on a donc les identit�s $\omega
([ S_j , J_0 \alpha_i ] , J_0 S_k ) = \omega ([ S_j , J_0 S_k ] , J_0 \alpha_i ) = 0
$. Cela montre que les crochets $[ S_j , J_0 \alpha_k ]$ sont tous nuls , $i ,j = 1
,.., m+1$ . La proposition \ref{prop:325} entraine que les champs de vecteur  $J_0
\alpha_i$ commutent deux � deux . Par cons�quent le syst�me $( S_i ,.., S_{m+l} ,J_0
\alpha_1 ,.., J_o \alpha_{m+l} )$ est une base symplectique de $( G ,\omega ))$. Par
construction des $S_i$ et des $\alpha_i$ les fonctions hamiltoniennes locales
d�finies par le syst�me $( S_i , J_0 \alpha_i )$ forment un syst�me des coordonn�es
de Darboux-Hess de $( G ,\omega , L , J_0 (L))$ . Cela ach�ve la d�monstration du
th�or�me \ref{thm:326}.

On d�duit du th�or�me \ref{thm:326} le corollaire important qui suit.

\begin{thm}
\label{thm:327} La structure bilagrangienne affinement plate $( G , \omega , L , J_0
(L) )$ determin� par le th�or�me \ref{thm:326} ci-dessus est invariante par les
translations � gauche dans $ G $ d�finies par les �l�ments du r�seau $
\Gamma_{\omega} $ .
\end{thm}

D�monstration . Les feuilletages lagrangiens $L$ et $J_0 (L)$ sont invariant par
l'action � gauche dans $ G $ du r�seau $\Gamma_{\omega} $. Il en est de m�me de
l'unique connexion sympectique sans torsion qui est associ�e � la paire $( L , J_0
(L))$.

\section{Groupes K�rleriens}

 Cette section 4 est consacr� � des
applications des r�sultats obtenus dans les pr�c�dentes, en particulier ceux de la
section 3.

\subsection{R�seaux K�hleriens des groupes de Lie r�solubles}

L'expression ``groupe k�hlerien'' est utilis�e dans le sens de [ABCKT]. Il s'agit
des groupes $ \Gamma $ qui sont isomorphes aux groupes fondamentaux des vari�t�s
k�hleriennes compactes $ (M,\omega ,J)\, . $

\par \noindent On ne sait pas caract�riser compl�tement les groupes
k�hleriens. La question trait�e ici est d'une nature autre. Elle est li�e en fait �
la dynamique diff�rentiable dans la vari�t� k\"ahl�rienne $ M\, . $
\par
\bigskip
\noindent{\bf Question 1.}  Quelles sont les vari�t�s k\"ahl�riennes compactes $
(M,\omega ,J) $  dont la vari�t� analytique r�elle sous-jacente $ M $  admet une
action localement libre transitive d'un groupe de Lie compl�tement r�soluble.

 \noindent Nous allons r�pondre � la
question moyennant une hypoth�se suppl�mentaire qualifi�e d' Imperfection
g�om�trique. \par \noindent Soit $ G $ un groupe de Lie solution de la question 1
ci-dessus ; soit $ g $ l'alg�bre de Lie de $ G\, . $ En vertu de l'identification de
l'alg�bre de de RHAM $ H^\ast_{ DR}(M,\bkR) $ avec celle de KOSZUL $ H^\ast( g,\bkR)
, $ ($\lbrack$HA],$\lbrack$RA]) la classe de K\"ahler $ [\omega] \in
H^2_{DR}(M,\bkR) $ de $ (M,\omega ,J) $ contient des formes homog�nes $ \omega_ o\in
\Omega^ 2_l( G)\, . $ L'imperfection g�om�trique consiste � supposer que la forme de
K\"ahler $ \omega $ est $ G $-homog�ne. Rappelons de nouveau la signification de
formes symplectque homog�ne d�finie dans un espace homog�ne, ([McD1]). Soit un
groupe de Lie compl�tement r�soluble contenant un r�seau cocompact  $\Gamma$. On
fait op�rer le r�seau $\Gamma$ dans $ G $ par translation � gauche . L'espace des
orbites de cette action de $\Gamma$ est un $ G $-espace homog�ne � droite . Si
$\omega$ est une forme symplectique dans  $\Gamma \backslash G $ alors l'imge
inverse par la projection canonique de $ G $ sur $\Gamma\backslash G $ est une forme
symplectique invariant par les translations � gauche d�finies par les �l�ments du
r�seau $\Gamma$, on dira que la forme symplectique $\omega$ de $\Gamma \backslash G
$ est $G$-homog�ne si son image inverse par $\pi$ est invariante par toutes les
translations � gauche dans le groupe $ G $ .


\noindent Dans la mesure o� le type d'homotopie rationnelle de $ M $ ne d�pend que
de l'alg�bre de de RHAM, l'imperfection g�om�trique est topologiquement neutre, pour
davantage de d�tails le lecteur consultera [BG 1], [BG 2], [McD1].

\noindent Du point de vue des groupes k\"ahleriens la question 1 a des variantes. En
voici une l�g�rement (en apparence !) plus faible. \par
\bigskip
\noindent{\bf Question 2.}  Quelles sont les vari�t�s K\"ahleriennes compactes $
(M,\omega ,J) $  dont les groupes fondamentaux sont isomorphes � des r�seaux
uniformes dans des groupes de Lie compl�tement r�solubles . Les exemples suivants
sont une illustration des questions 1 et 2 ci-dessus . Consid�rons l'espace
vectoriel complexe ${\mathbb C}^2$ muni du produit hermtien canonique . On consid�re
maintenant l'ensemble ${\mathbb Z}^4 $ muni de la loi de composition suivante : $(
p_1 , p_2 ,p_3, p_4 ). (q_1 , q_2 , q_3 , q_4 ) = (p_1 ,p_2 ,p_3 , p_4 ) +
 exp( \sqrt{-1} p_4 \pi/2)(q_1 ,q_2 ), q_3 , q_4 ) .$
On obtient ainsi un groupe discret qui agit proprement et holomorphiquement dans
${\mathbb C}^2$ comme il suit : $(p_1 ,p_2 ,p_3 ,p_4 ). (z_1 ,z_2 ) = (p_1 ,p_2 ,p_3
,p_4 ) + ( z_1 exp( \sqrt{-1}p_4 \pi/2 ) , z_2 )$ . Le produit hermitien de
${\mathbb C}^2$ est invariant par l'action de ${\mathbb Z}^4$ . Ainsi l'espace des
orbites obtenu est une vari�t� K�hl�rienne compacte qui n'admet pas d'action
localement simplement transitive de groupe de Lie compl�tement r�soluble . Pour s'en
convaincre il suffit de calculer le premier nomnbre de Betti de cette vari�t� qui
est inf�rieur � 4 . D'apr�s [ HA ] (voire aussi [ RA ] ) si une telle action
existait alors le premier nombre de Betti de l'espace des orbites vaudrait 4 . \par
\bigskip
\noindent Voici un r�sultat en rapport avec les questions 1 et 2.

\begin{thm}
\label{thm:401}
  Soit $ \Gamma $  un r�seau cocompact dans le groupe de Lie compl�tement
r�soluble $ G $  et soit $ \omega \in \Omega^ 2_l( G) $ une forme symplectique. Si
la vari�t� symplectique $ (\Gamma \backslash G,\omega) $ poss�de une m�trique
k\"ahl�rienne $ (M,\omega ,J) $  alors $ \Gamma $  est virtuellement commutatif.
\end{thm}


\noindent En vertu de l'arsenal mis au point dans les \S\ pr�c�dents on d�duit le
th�or�me \ref{thm:401} du suivant.

\begin{thm}
\label{thm:402}
 Soient $ \Gamma $  un r�seau cocompact dans le groupe de Lie compl�tement
r�soluble $ G $  et $ \omega  \in \Omega^ 2_l( G) $
 une forme symplectique. Si la vari�t� symplectique $ (\Gamma \backslash
G,\omega) $  poss�de une structure k\"ahlerienne $ (\Gamma \backslash G,\omega ,J_0
) $  alors la vari�t� r�elle sous-jacente $ \Gamma \backslash G $  est diff�omorphe
� un quotient fini du tore plat
\end{thm}

 \noindent Avant de tirer d'autres cons�quences des th�or�mes  \ref{thm:401}
 et \ref{thm:402},
nous allons en donner les d�monstrations. \\

{\it D�monstration du th�or�me \ref{thm:402}}. D'apr�s nos hypoth�ses la forme de
K\"ahler $ \omega $ de $ (\Gamma \backslash G,\omega ,J_o ) $ est $ G $-homog�ne. En
vertu du th�or�me 2 de [BG2 ] la 2-forme $ \omega $ poss�de un diagramme pond�r�
simple

$$\circ \rightarrow \circ \leftrightarrows \circ $$

La vari�t� symplectique homog�ne $ (G,\omega) $ poss�de un feuilletage lagrangien $
L\, , $ invariant par les translations � gauche dans $ G\, . $  Nous pouvons
appliquer les ingr�dients d�v�lop�s � la Section 3. Pour cela nous adoptons les
notations des th�or�mes \ref{thm:326} et \ref{thm:327}. En vertu du th�or�me
\ref{thm:327}, $ (G,\omega) $ poss�de une structure K�hlerienne affinement plate
$(G,\omega ,J ,D)\, ; $ les feuilles de $ L $ �tant des sous-vari�t�s totalement
r�elles de $ (G,J ) $ et totalement g�od�siques de $ (G,D )\, . $ Naturellement ni $
J\, , $ ni $ D $ ne sont invariants par $ \Gamma \, . $ L'ensemble $ {\mathcal
K}^a_\omega( G) $ est donc non vide. Par ailleurs $ (G,\omega) $ h�rite de $ (\Gamma
\backslash G,\omega ,J_o ) $ d'une structure k\"ahlerienne not�e aussi $ (G,\omega
,J_o ) $ qui est $ \Gamma $-invariante. A ce point on sait d'apr�s le th�or�me
\ref{thm:231} que l'intersection $ K_\omega( G) \cap K^a_\omega( G) $ est non vide.
En utilisant auxilairement les structures K�hl�riennes  $(G,\omega,J )$ et
$(G,\omega ,J_0 )$ d'une part et la structure bilagrangienne affinement plate
$(G,\omega ,L, J(L) )$ d'autre part nous avons d�montr� que la paire $(L,J_0(L))$
d�finit dans $( G , \omega )$ une structure K�hl�rienne affinement plate voir
Th�or�me \ref{thm:327}. En d'autres termes, $ (G,\omega) $ poss�de une structure
k\"ahlerienne affinement plate $ (G,\omega ,\hat J ) $ qui est $ \Gamma $-invariante
(Th�or�mes \ref{thm:326} et \ref{thm:327}). Cette structure $(G , \omega , L , J_0
(L))$ donne naissance dans la vari�t� compacte $ \Gamma \backslash G $ � une
m�trique K�hl�rienne affinment plate [NB4].
\par

\smallskip
\noindent En vertu des th�or�mes classiques de clasification des vari�t�s des
vari�t�s Riemanniennes plates , [WJ], $ \Gamma \backslash G $ est un quotient fini
du tore plat. Cela termine la d�monstration du th�or�me \ref{thm:402}

\noindent En vertu du th�or�me \ref{thm:402} le groupe fondamental du tore plat est
isomorphe � un sous-groupe distingu� commutatif $ \Gamma_ o\subset  \Gamma $ qui est
d'indice fini dans $ \Gamma $. Cela n'est pas autre chose que le contenu du th�or�me
\ref{thm:401}.

\noindent On observe que $ \Gamma_ o\backslash \Gamma $ est en fait isomorphe au
groupe d'holonomie lin�aire de la vari�t� affinement plate $ (\Gamma \backslash
G,D)\, . $ On a donc du th�or�me \ref{thm:402} d'autres corollaires remarquables
dont le suivant
\par
\bigskip

\begin{thm}
\label{thm:403} Soient $ \Gamma $  un r�seau cocompact dans le groupe de Lie
compl�tement r�soluble $ G $ et $ \omega  \in \Omega^ 2_l( G) $
 une forme symplectique. Si la vari�t� symplectique $ (\Gamma \backslash
G,\omega) $  poss�de une m�trique k\"ahlerienne, alors $ \Gamma $  est un groupe
cristallographique
\end{thm}

\noindent Ce th�or�me est une autre expression du th�or�me \ref{thm:402} , � savoir
que $ {\mathcal K}_\omega( G) \cap {\mathcal K}^a_\omega( G) $ est non vide.
\par \noindent Naturellement la connexion $ D $ est g�od�siquement compl�te.
On peut d�duire ce fait de la g�om�trie affine de $ (\Gamma \backslash G,D)\, , $
(voir $\lbrack$FGH]). De la relation $ D\omega  = 0 $ r�sulte que l'holonomie
lin�aire de $ (\Gamma \backslash G,D) $ habite le groupe unimodulaire $ SL (\omega^
m )\, . $ Des classiques th�or�mes de Bieberbach joints au th�or�me \ref{thm:403} et
au th�or�me de rigidit� des r�seaux [ON] entra�nent les observations ci-dessous.

\par \noindent Soit $ G $ un groupe de Lie compl�tement r�soluble, $ {\rm
Res}(G) $ d�signe l'ensemble des r�seaux uniformes $ \Gamma $ dans $ G $ et $ {\rm
Rig}(G) $ l'ensemble de leurs classes d'isomorphisme. Si deux r�seaux $ \Gamma $ et
$ \Gamma ^\prime $ sont isomorphes alors $ \Gamma \backslash G $ poss�de une
m�trique k\"ahlerienne si et seulement si $ \Gamma ^\prime \backslash G $ en poss�de
une. Cela r�sulte du th�or�me de rigidit� des $ \Gamma $ dans $ G\, . $

Pour les propri�t�s classiques des groupes crystallographiques et les groupes de
Bieberbach on pourra consulter  [ WJ ] . Nous consid�rons les structures
k\"ahleriennes � formes de K�hler $ G $-homog�nes. Puisque ces groupes sont
critallographiques, un des th�or�mes fondamentaux de Bieberbach [W] assure ce qui
suit.

\begin{prop}
\label{prop:404}
 Le sous-ensemble de $ {\rm Rig}(G) $ constitu� des classes des r�seaux
k\"ahleriens dans $ G $ est fini.
\end{prop}


\subsection{Conjectures des tores plats} %%% Subsection 4

 Dans cette sous-section nous allons mettre en �vidence quelques applications des �tudes
men�es dans les sections pr�c�dentes . Nous montrerons comment le th�or�me de C.
Benson et C. Gordon se d�duit rapidement de notre th�or�me \ref{thm:323}. Auparavant
on commencera par s'int�resser � la conjecture des tores plats �nonc�e dans
l'introduction . Cette conjecture a motiv� partiellement [ BN6 ] et le travail
pr�sent . Pourvu des r�sultats mis au point dans les sections 1 , 2 et 3 nous sommes
maintenant en m�sure de d�montrer rapidement le th�or�me suivant

\begin{thm}
\label{thm:411} Soient $ \omega  \in  \Omega^ 2_l( G) $  une forme symplectique et $
\Gamma \subset G $ un r�seau cocompact. Si la vari�t� symplectique $ (\Gamma
\backslash G,\omega) $ poss�de une m�trique k\"ahlerienne, $ (\Gamma \backslash
G,\omega ,J_0 )\, , $ alors la vari�t� r�elle $ \Gamma \backslash G $  est
diff�omorphe au tore plat
\end{thm}

{\it D�monstration}. En fait la d�monstration que nous allons donn�e est une
combinaison de nos th�or�mes \ref{thm:401} et \ref{thm:402} avec un  th�or�me de
HATTORI--RAGHUNATAN (et un th�or�me de Bochner (voir [AB]) si on pr�f�re utiliser
l'argument de la dimension des ``champs de Killing''). En effet conform�ment aux
notations utilis�es dans les sections 1 , 2 et 3 nous d�signons encore par $( G ,
\omega , J_0 )$ la structure K�hl�rienne de dans $ G $ qui est $\Gamma$ -invariante
et qui se projette en la struture $( \Gamma \backslash G , \omega , J_0 )$ . Puisque
la forme de K�hler $\omega$ est $ G $ -homog�ne la machin�rie mise au point dans les
sections 2 et 3 peuvent �tre utlis�es pour construire une structure K�hl�rienne
affinement plate que nous d�signons par $( G , \omega , \hat{J} )$ et qui est
d�finie par la structure bilagrangienne affinement plate $( G , \omega , L , J_0 (L)
)$  ( voir Th�or�me \ref{thm:324} et Th�or�me \ref{thm:326}) . Pour m�moire , la
base symplectique $( S_j  , \alpha_j )$ d�crite pr�c�demment est une base orthnorm�e
de $( $ G $ ,\omega , \hat{J})$ . En appliquant le th�or�me \ref{thm:401} on d�duit
que la vari�t� $\Gamma \backslash G$ est diff�omorphe � un quotient fin du tore
plat. Soit $ \Gamma_o $ le sous-groupe ab�lien de $ \Gamma $ comme dans la preuve du
th�or�me \ref{thm:402}. Les vari�t�s $ \Gamma \backslash G $ et $ \Gamma_
o\backslash G $ ont les m�mes nombres de BETTI. La courbure de Rici de $(  G ,
\omega , J )$ �tant nulle un th�or�me de BOCHNER assure que la dimension de
l'alg�bre des champs de Killing de $ (\Gamma \backslash G, g_{\hat{J} } ) $ est
�gale au premier nombre de BETTI de la vari�t� $\Gamma \backslash G $. En vertu du
th�or�me HATTORI ( ou de RAGHUNATHAN ) le premier nombre de BETTI de $\Gamma
\backslash G $ est �gal � la dimension du premier espace de cohomologie r�elle de
l'alg�bre de Lie des champs de vecteurs invariants � gauche dans le groupe de Lie $
G $. Compte du th�or�me \ref{thm:402} de ce travail le premier nombre de BETTI de
$\Gamma \backslash G $ est �gal � $ 2m = \dim G$. Pailleurs la dimension de premier
espace cohomologie de Koszul-de Rham de G est �gale � la codimension du sous-groupe
des commutateurs de $G$. Cela permet de conclure que le groupe G est commutatif ; il
s'en suit que la vari�t� $\Gamma \backslash G $ est diff�omorphe au tore plat. \\

{\it Remarque}. Naturellement le th�or�me \ref{thm:411} est une g�n�ralisant non
triviale du th�or�me des tores K�hl�riens d�montr� par C. Benson et C Gordon d'une
part , [ BG1 ], ( voir aussi [McD1] )  . Nous observons que dans le cas des
nilvari�t�s trait� par ces auteurs ,leur resultat peut �tre d�duit directement de
notre th�or�me de r�duction K�hl�rienne , Th�or�me \ref{thm:323}. En effet si on se
place dans les hypoth�ses du th�or�me \ref{thm:323} et si on suppose en outre que le
groupe de Lie $ G $ en jeu est nilpotent alors on peut choisir la configuration
(\ref{equation:8}) de sorte que le r�seau $\Gamma$ donne lieu � des r�seaux
cocompacts dans les sous-groupes de Lie $ G_1 $ et $ G_{2m+1} $ . Ainsi la vari�t�
r�duite $( G_{2m} , \omega )$ h�ritera � son tour d'un r�seau cocompact
$\Gamma_{2m}$  , voir Remarque 2.2.3 [NB 6]. Par passage au quotient modulo les
r�seaux le th�or�me de r�duction K�hl�rien , Th�or�me \ref{thm:323}, determine la
vari�t� K�hl�rienne compacte $( \Gamma_{2m} \backslash G_{2m} , \omega ,J_0 )$ .

La d�monstration du th�or�me 1 de [ BD1 ] peut alors �tre faite par recurrence sur
la dimension des nilvari�t�s . Ainsi une fois suppos� par hypoth�se de recurrence
que $\Gamma_{2m} \backslash G_{2m} $ est un tore plat, le diagramme
(\ref{equation:8}) donne lieu � un diagramme analogue suivant :

$$
\begin{array}{cc}
{\mathbb T}^1  & \\
\downarrow & \\
M_{2m+1} & \longrightarrow \Gamma \backslash G \longrightarrow {\mathbb T}^1 \\
\downarrow & \\
{\mathbb T}^{2m}  &
\end{array}
$$

dans lequel la colonne et la ligne sont des fibr�s en tores plats . En vertu du
Th�or�me \ref{thm:322} la colonne est un fibr� trivial . Par cons�quent la vari�t� $
M_{2m+l} $ est diff�omorphe au tore plat . Il reste seulement montrer que sous les
hypot�ses du th�or�me 1 de [BGl] la ligne du diagramme ci-dessus est une fibration
triviale. Il suffit pour cela de combiner le th�or�me de Nomizu avec la suite
spectrale de Hochschild-Serre. \par


\noindent On peut exprimer le th�or�me 4.0.1 sous une forme qui fasse appara�tre les
r�sultats de [BG1] et de [McD1] comme corollaires de ceux obtenus dans ce travail.

\begin{thm}
Soient $ \omega  \in \omega^ 2_l( G) $  une forme symplectique et $ \Gamma \subset G
$  un r�seau cocompact dans le groupe de Lie compl�tement r�soluble $ G\, . $  Si $
(\Gamma \backslash G,\omega) $ poss�de une structure k\"ahl�rienne $ (\Gamma
\backslash G,\omega ,J) $ alors $ G $ est commutatif
\end{thm}

\noindent Preuve. On sait que les vari�t�s compactes $ \Gamma_ o\backslash G $ et $
\Gamma \backslash G $ ont les m�mes nombres de BETTI r�els.
\par \noindent En vertu d'un classique th�or�me de Hurewicz on a les �galit�s
$$ b_1(\Gamma \backslash G) = {\rm rang}({\mathcal D}\Gamma \backslash \Gamma)  =
{\rm rang} (\Gamma_ o ) = \dim G $$ o\`u $ {\mathcal D}\Gamma $ est le sous-groupe
des commutateurs de $ \Gamma \, . $
\par
\noindent Puisque $ b_1(\Gamma \backslash G) = \dim H^1(g,\bkR) $ o\`u $\frak g$ est
l'alg�bre de Lie de $ G $ il en r�sulte que $ {\mathcal D}{\frak g} = [{\frak
g},{\frak g}] = (0).$
\par
\smallskip
\noindent Pour terminer on va donner un exemple de groupe de Lie r�soluble qui
contient un r�seau uniforme ab�lien sans �tre compl�tement r�soluble et en tirer la
r�ponse � une conjecture de [BG 2].


\begin{example}
\label{exo:413}
Soit $ G $ le groupe de Lie dont la vari�t� analytique sous-jacente
est $ {\mathbb C}^2 $ muni du produit

\begin{equation}
\label{equation:12} (z_1,z_2 ) (z^{\prime}_ 1,z^{\prime}_ 2 ) = (z_1+ z^{\prime}_ 1
\exp ( \sqrt{ -1} {\pi \over 2} y_2 ),z_2+z^{\prime}_ 2 )
\end{equation}

ou $ z_i= x_i+ \sqrt{ -1} y_i\quad i = 1,2\, . $ \par \noindent L'expression
(\ref{equation:12}) d�finit dans $ {\mathbb C}^2 $ une structure de groupe de Lie
r�el de dimension 4. On pose $ \Gamma  = [{\mathbb Z} + \sqrt{ -1} {\mathbb Z} ]
\times [{\mathbb Z} + 4 \sqrt{ -1} {\mathbb Z} ] $ o\`u $ {\mathbb Z} $ est l'anneau
des nombres entiers ; $ \Gamma $ est un r�seau commutatif cocompact dans $ G\, . $
Les translations � gauche par les $ \Gamma  \in \Gamma $ co�ncident avec les
translations dans le groupe vectoriel $ \bkR^ 4, $ de sorte que la vari�t� quotient
$ \Gamma \backslash G $ est le tore plat $ {\mathbb T}^ 4. $ Soit $ h $ la m�trique
k\"ahl�rienne canonique de $ {\mathbb C}^ 4\, : $

$$ h(z) = dz_1d\bar  z_1+ dz_2d\bar  z_2\, . $$

La m�trique $ h $ est invariante par les translations � gauche par les $ \Gamma \in
\Gamma \, ; $ elle donne par passage au quotient la m�trique de K�hler standard du
tore plat $ {\mathbb T}^ 4. $

\par \noindent Pour $ z \in  G $ $ Ad(z) $ est l'image de $ z $
par la repr�sentation adjointe. Dans la base canonique de $ {\mathbb C}^ 2 $ la
matrice de $ Ad(z) $ est

$$ Ad(z) =  \begin{pmatrix}  \cos {\pi y_2 \over 2} &
  - \sin {\pi y_2 \over 2} &   0 &   - {\pi y_1
\over 2} \\  \sin {\pi y_2 \over 2} &   \cos {\pi y_2 \over 2} &   0 &
 { \pi x_1 \over 2} \\  0 &   0 &
1 &   0 \\  0 &   0 &   0 &   1 \end{pmatrix}
$$

les valeurs propres des $ Ad(z) $ ne sont pas toutes r�elles. Ainsi $ G $ n'est pas
compl�tement r�soluble. \par \noindent Il a �t� conjectur� ce qui suit, [BG 2].


\noindent Soit $ G $ un groupe de Lie r�soluble contenant un r�seau cocompact $
\Gamma $ tel que $ \Gamma \backslash G $ est diff�omorphe au tore plat. \par
\noindent Si $ \Gamma \backslash G $ poss�de une m�trique k\"ahl�rienne alors $ G $
est compl�tement r�soluble.
\end{example}


L'exemple \ref{exo:413}  montre qu'il n'en est rien.

\subsection{Groupes de Lie Kahhl�riens}
 Nous rappelons un r�sultat d�j� ancien [ NB7 ] qui peut �tre d�duit
sans difficult�s du th�or�me de r�duction K�hl�rien . Un groupe de Lie muni d'une
structure K�hl�rienne invariante par les translations � gauche est appel� groupe de
Lie K�hl�rien . Le cardre naturel de traitement des groupes de Lie K�hl�riens est
celui des vari�t�s K�hl�riennes homog�nes , [ DV ]  [ DN ] . Cependant les groupes
de Lie K�hl�riens compl�tement r�solubles jouissent des propri�t�s assez fines qui
viennent d'un avatar de la g�om�trie Riemannienne , [ DP ] qu'est la g�om�trie
hessienne . Soit $( M , D )$ une vari�t� localement plate .Une m�trique Riemannienne
$g$ d�finie dans M est dite localement hessienne si au voisinage de tout point de
$M$ existe une fonction lisse $h$ dont la $D$-hessienne est le tenseur m�trique $g$,
c'est � dire que l'on a $g = D^2(h)$ . Les groupes de Lie K�hl�riens sont en fait
des vari�t� tube des groupes de Lie h�ssiens . \\

{\it Mod�les standard}. Soit $G$ un groupe de Lie connexe , simplement connexe dont
l'alg�bre de Lie des champs des vecteurs invariants par les translations � gauche
est $\frak g $ . Soit ${\frak g}^{\ast} $ l'espace vectoriel dual de $\frak g $ ; si
$(G,D)$ est une structure localement plate invariante � gauche dans $G$ alors
l'espace vectoriel ${\frak g} + {\frak g}^{\ast} $ en h�rite d'une structure
d'alg�bre de Lie dont le crochet est d�fini par la formule $   [ ( f , X ) , ( f'
,X' ) ]  =( fD_X' - f'D_X , [ X , X' ] ) $. Le fibr� cotangent T*G  poss�de une
structure de groupe de Lie dont l'alg�bre de Lie est identifi�e avec ${\frak
g}^{\ast} + {\frak g} $ , nous d�signerons ce groupe de Lie par $G_D$ . Soit
$\omega_D$ la 2-forme diff�rentielle invariante sur $G_D$ engendr�e par
 $\omega (( f,X ) , ( f' , X )) = f( X' ) - f' ( X ) $.
Cette forme est ferm�e . D'un autre c�t� $G_D$ poss�de une structure de vari�t�
localement plate d�finie par la connection invariante � gauche suivante $\hat{D}_{(
f ,X )} ( f' , X' ) = ( - f' D_X  , D_X X'  )$ . Le triplet $( T^{\ast}G
,\omega,\hat{D} )$ d�finit une structure de vari�t� symplectique localement plate
invariante par les translations � gauche dans $T^{\ast}G$ . Supposons maintenant que
$G$ poss�de une m�trique Riemannienne D-hessienne , $\frak g $ ,alors $T^{\ast}G$
poss�de une m�trique de K�hler $h$ dont la partie r�elle est quasi-fibr� , [ DP ] .
Notons $f$ l'isomorphisme de $\frak g$ sur ${\frak g}*$ d�fini par la metrique $g$.
Alors $T^{\ast}G$ poss�de une structure de vari�t� analytique complexe dont le
tenseur
 de la structure presque complexe $J$ est d�fini par $J ( f(Y) , X ) = f( X ) , - Y )$
. On v�rifie par un calcul direct que la forme symplectique $ \omega $ est
J-invariante est que $ \omega ( JX ,X )$ est d�finie positive. Si on suppose que la
m�trique $D$-hessienne $ g $ est invariante � gauche dans G alors le triplet
$(T^{\ast}G ,\omega, J)$ d�finit un groupe de Lie K�hl�rien dont la m�trique
Riemannienne est quasi-fibr� sur $(G,g)$ . A ce point on n'a pas fait d'hypoth�se
particuli�re sur $G$ ; si ce dernier est compl�tement r�soluble alors le mod�le qui
vient d'�tre construit est standard. Plus pr�cis�ment on a

\begin{thm}Tout groupe de Lie K�hl�rien connexe simplement connexe et compl�tement
r�soluble est le cotangent d'un  groupe de Lie compl�tement r�soluble $G$ muni d'une
structure structure affine invariante � gauche $( G , D )$ et d'une m�trique
Riemannienne localement $D$-hessienne invariante � gauche .
\end{thm}

{\it Esquisse de d�monstration}. Soit  $( G ,  \omega  , J )$ un groupe de Lie
K�hl�rien de dimension r�elle $2m$ . Gr�ce au th�or�me 3.2.2 de \cite{NB 6} on sait
que $ ( G ,\omega )$ poss�de un feuilletage lagrangien bi-invariant $L \subset TG$.
Le th�or�me \ref{thm:324} assure que l'orthogonal Riemannien de $ L , J( L ) $ ,
d�finit un syst�me diff�rentiel compl�tement int�grable. Notons $G_L$ et $G_{J(L)}$
respectivement les feuilles de $ L $ et de $ J (L ) $ qui passent par l'�l�ment
neutre de $ G $; $ G $ est produit semi-direct de $ G_{J(L)} $ par $ G_L $. Le
tenseur de la structure presque complexe J d�finit un isomorphisme canonique de
l'ag�bre de Lie de $ G_L $ sur son espace vectoriel dual ; on peut ainsi identifi�
$G$ avec le fibr� cotangent $ T^{\ast}G_{J(L)} $. On d�finit dans $ G_{J(L)} $ la
connexion lin�aire invariante � gauche dont la d�rivation covariante $D$ est donn�e
par la formule $ D_X Y = - J [ X , J(Y) ] $ , $X$ et $Y$ �tant des �l�ments de
l'alg�bre de Lie de $ G_{J(L)} $ .Cette connexion est localement plate . Sous
l'identification de $G$ avec $T^{\ast}G_{J(L)}$ la forme symplectique $\omega $
d�vient $ \omega_D $. Pour terminer on v�rifie directement la v�racit� de
l'assertion suivante.

\begin{prop}
La restriction � $ G_{J(L)} $ de la partie r�elle de h est localement D-hessienne.
\end{prop}

Pour terminer on observe que pour un groupe de Lie compl�tement r�soluble non
commutatif G les deux  assertions suivantes s'excluent mutuellement : ( a )  $G$
poss�de une structure de groupe de Lie K�hl�rien , ( b )  $G$ contient un r�seau
cocompact .




\bibliographystyle{amsplain}
\begin{thebibliography}{ABCDEF}


\bibitem[ABCKT]{ABCKT}
J. AMOROS, N. BURGER, K. CORLETTE, D. KOSCHICK and D. TOLEDO. {\it Fundamental
groups of compact K�hler manifolds.} Amer Math. Soc. Math. survey and Monographs
vol. 44.

\bibitem[AU 1]{AU 1}
L. AUSLANDER. {\it Bieberbach's groups on space groups and discrete uniform
subgroups of Lie groups}. Ann. Math. 71 (1960) 579--590.



\bibitem[AU 2]{AU 2}
L. AUSLANDER. {\it An exposition of the structures of solvmanifolds.} Bull. of Amer.
Math. Soc. 79 (1973) 227--261.

\bibitem[BG 1]{BG 1}
C. BENSON and C. GORDON. {\it K�hler and symplectic structures on nilmanifolds}.
Topology 27 (1988) 513--518.

\bibitem[BG 2]{BG 2}
C. BENSON and C. GORDON. {\it K�hler structures on compact solvmanifolds.} Proc. of
the Amer. Math. Soc. 108 (1990) 971--990.

\bibitem[BE]{BE}
A. BESSE. Enstein manifolds. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 3. Folge.
Band 10.

\bibitem[B0]{B0}
N. BOURBAKI.  Groupes et Alg�bres de Lie. vol. 7. Hermann Paris.

\bibitem[BW]{BW}
F. BRUHAT and H. WHITNEY. Comment. Math. Helv. 33 (1959) 132--160.

\bibitem[CFG]{CFG}
L. CORDERO, M. FERNANDEZ and A. GRAY. {\it Symplelctic manifolds with no K�hler
structure.} Topology 25 (1986) 375--380.

\bibitem[DGMS]{DGMS}
P. DELIGNE, P. GRIFFITHS, J. MORGAN and D. SULLIVAN. {\it Real homotopy theory of
K�hler manifolds.} Inv. Math. 29 (1975) 245--274.

\bibitem[DN]{DN}
J. DORFNEISTER and K. NAKAJIMA. {\it The fundamental conjecture.} Acta Math. 160
(1988) 13--70.

\bibitem[DP]{DP}
Ph. DELANOE , {\it Remarques sur les vari�t�s localement hessiennes}. Osaka J. Math.
26 (1989), 65-69.

\bibitem[FGG]{FGG}
M.FERNANDEZ , M. GOTAY and A. GRAY {\it Compact parallelizable four dimensional
symplecric manifolds.} Proc. Amer Math Soc 103 ( 1988) 1209- 1212 .

\bibitem[FGH]{FGH}
D. FRIED, W. GOLDMAN and M.W. HIRSCH. {\it Affine manifolds with nilpotent holonomy
group.} Comment Math. Helv. 56 (1981) 487--523.

\bibitem[G]{G}
M. GROMOV. {\it  Sur le groupe fondamental d'une vari�t� K�hl�rienne.} CR. Acad.
Sci. Paris 308 (1989) 67--70.

\bibitem[GPV 1]{GPV 1}S.G. GINDIKIN, I.I.
PIATECCKII, SAPIRO and E.B. VINBERG. {\it Homogeneous K\"ahler manifolds.} Geometry
of homogeneous bounded domains, CIME 1967.

\bibitem[GPV 2]{GPV 2} S.G. GINDIKIN, I.I.
PIATECCKII, SAPIRO and E.B. VINBERG. {\it On the classification and canonical
realization of complex homogeneous bounded domains.} Trans. Moscow Math. Soc. 13
(1964) 340--403.

\bibitem[GH]{GH}
W. GOLDMAN and M.W. HIRSCH. {\it Affine manifolds and Orbits of Algebraic groups.}
Trans. Amer. Math. Soc. 295 (1986) 175--197.

\bibitem[GM]{GM}
W. GOLDMAN and J.J. NILLSON. {\it The deformation theory of representations of
fundamental groups of compact K�hler manifolds.} Publ. Math. IHES 67 (1988) 43--96.

\bibitem[GS]{GS}
V. GUILLEMIN and M. STENZEL. {\it  Grauert tube and the homogeneous Monge-Ampere
equations.} J. Diff. Geom. 34 (1991) 561--570.

\bibitem[GSS]{GSS}
V.GULLEMIN and S. STERNBERG. {\it The algebraic model for transitive differential
geometry.} Bull. Amer Math Soc 70 ( 1964 ) 16-47 .

\bibitem[HA]{HA}
A. HATTORI. {\it Spectral sequence in the de RHAM cohomology of fibre bundles.} Fac.
sei. Univ. Tokyo 8 (1960) 289--331.

\bibitem[HH]{HH}
A.HESS. {\it Connection on symplectic manifolds and Geometric quantization.} Lecture
Notes in Math.

\bibitem[HW]{HW}
W.Y. HISIANG. {\it Cohomology theory of topological transformation groups}. Erg. der
Math. une chrer Gr. band 85 Springer--Verlag.

\bibitem[JD]{JD}
L.D. JOHNSON. {\it K�hler submersion and holomorphic connection.} Jour Diff Geom  15
(1980) 71-79.

\bibitem[JW]{JW}
L.D.JOHNSON  and L.B. WITT . Totally geodesic foliations . Jour Diff Geom 15
(1980 ) 225-235 .


\bibitem[KL 1]{KL 1}
J.L. KOSZUL. {\it Homologie et Cohomologir des Alg�bres de Lie.} Bull. Soc. Math.
France 48 (1950) 65--127.

\bibitem[KL 2]{KL 2}
J.L. KOSZUL. {\it D�formations des vari�t�s localement plates.} Ann. Inst. Fourier
18 (1968).

\bibitem[L]{L}P. LIBERMANN. {\it  Probl�me
d'�quivalence en g�om�trie symplectique.} Ast�risque 107 (1983) 43--68. \par

\bibitem[MA]{MA}
Y. MATSUSHIMA. {\it  On discrete subgroups and Homogeneous spaces of nilpotent Lie
groups.} Nagoya Math. Jour. 2 (1951) 95--110.

\bibitem[McD 1]{Mc D 1}
Dusa Mc DUFF. {\it The moment map for circle action on symplectic manifolds} JGP 5
(1988) 149--160.

\bibitem[McD 2]{Mc D 2}
Dusa Mc DUFF. {\it Example of simply connected symplectic manifolds non
k\"ahlerian.} Jour. Diff. Geom. 70 (1984) 267--277.

\bibitem[MI]{MI}
J. MILNOR. {\it Fundamental groups of complete affinely flat manifolds.} Adv. in
Math. 25 (1977) 178--187.

\bibitem[MO 1]{MO 1}
G.D. MOSTON. {\it Cohomology of topological groups and solomanifolds.} Ann. of Math.
73 (1961) 20--48.

\bibitem[MO 2]{MO 2}
G.D. MOSTON. {\it  Fundamental groups of homogeneous spaces.} Ann. of Math. 66
(1957) 249--255.

\bibitem[MW]{MW}
J. MARSDEN and WEINSTEIN. {\it Reduction of symplectic manifolds with symmetry.}
Reports on Math. Phys. 5 (1974) 121--130.

\bibitem[NB 1]{NB 1}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Vari�t�s symplectiques affines.} Manuscripta Math. 64 (1989)
1--33.

\bibitem[NB 2]{NB 2}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures affines homotpes � z�ro.} Jour. Diff. Geom. 33
(1990) 859--911.

\bibitem[NB 3]{NB 3}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures affines isotropes des groupes de Lie.} Annalli
Scuo. Norm. Sup. Pisa.

\bibitem[NB 4]{NB 4}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it M�triques k\"ahl�riennes affinement plates.} Proc. London
Math. Soc. 3 (1993) 358--380.

\bibitem[NB 5]{NB 5}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures localement plates dans certaines vari�t�s
symplectiques.} Math Scand. 76 (1995) 61--84.

\bibitem[NB 6]{NB 6}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Sur les actions hamiltoniennes quasi-primitives} ( soumis ).


\bibitem[NK]{NK}
K. NOMIZU. {\it  On the cohomology of compact homogeneous spaces of nilpotent Lie
groups.} Ann. of Math. 59 (1954) 531--538.

\bibitem[ON]{ON}A.L. ONISCHIK. {\it Inclusion
relations among transitive compact groups.} Amer. Math. Soc. Translations S.2 50
(1966) 5--58.

\bibitem[RA]{RA}S. RAGHUNATHAN.  Discrete
subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Math. 68 Springer Verlag 1972.

\bibitem[RC]{RC} C. RAMANUJAM.{\it  A topological
characterisation of the affine plane as an Algebraic Variety.} Ann. of Math. 94
(1971) 69--88.

\bibitem[RW]{RW}J. ROELS and A. WEINSTEIN. {\it
On functions whose Poisson brackets are constant.} J. Math. Phys. 12. 1482--1486.

\bibitem[SA]{SA}M. SATO. {\it Sur certains groupes
de Lie r�solubles.} Sci. pap. Univ. Tokyo 7 (1957) $I$--$II$ ; 157--168.

\bibitem[SE]{SE}J.P. SERRE. GAGA. Ann. Inst.
Fourier 6 (1956) 1--42.

\bibitem[SH]{SH}
H. SHIMA. {\it Homogeneous hessian manifolds}. Ann. Inst. fourier 30 (1980), 91-128.

\bibitem[SS]{SS} I.M. SINGER and S. STERNBERG. {\it The infinte groups of Lie and Cartan.}
Journ. d'Ananlyse Math. Jerusalem 15 ( 1965 ) 1-114 .

\bibitem[TH]{TH}W. THURSTON. {\it Some simple of
symplectic manifolds.} Proc. Amer. Math. Soc. 55 (1976) 456--478.

\bibitem[WE]{WL}A. WEILL.  Introduction �
l'�tude des vari�t�s k\"ahl�riennes. Hermann Paris 1958.

\bibitem[WN]{WN}A. WEINSTEIN.{\it Symplectic
manifolds and their lagrangian submanifolds.} Adv. In Math. 6 (1971) 329--346.

\bibitem[WOJ]{WOJ} J.A. WOLF . Spaces of constant curvature , McGraw-Hill , New York , 1967 .

\bibitem[WO]{WO}N.M.J. WOODHOUSE. Geometric
quantization. Oxford Math. Monographs. Larendon Press Oxford.

\end{thebibliography}


\end{document}

math0202257.extracted_bib
\begin{thebibliography}{ABCDEF}


\bibitem[ABCKT]{ABCKT}
J. AMOROS, N. BURGER, K. CORLETTE, D. KOSCHICK and D. TOLEDO. {\it Fundamental
groups of compact K�hler manifolds.} Amer Math. Soc. Math. survey and Monographs
vol. 44.

\bibitem[AU 1]{AU 1}
L. AUSLANDER. {\it Bieberbach's groups on space groups and discrete uniform
subgroups of Lie groups}. Ann. Math. 71 (1960) 579--590.



\bibitem[AU 2]{AU 2}
L. AUSLANDER. {\it An exposition of the structures of solvmanifolds.} Bull. of Amer.
Math. Soc. 79 (1973) 227--261.

\bibitem[BG 1]{BG 1}
C. BENSON and C. GORDON. {\it K�hler and symplectic structures on nilmanifolds}.
Topology 27 (1988) 513--518.

\bibitem[BG 2]{BG 2}
C. BENSON and C. GORDON. {\it K�hler structures on compact solvmanifolds.} Proc. of
the Amer. Math. Soc. 108 (1990) 971--990.

\bibitem[BE]{BE}
A. BESSE. Enstein manifolds. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 3. Folge.
Band 10.

\bibitem[B0]{B0}
N. BOURBAKI.  Groupes et Alg�bres de Lie. vol. 7. Hermann Paris.

\bibitem[BW]{BW}
F. BRUHAT and H. WHITNEY. Comment. Math. Helv. 33 (1959) 132--160.

\bibitem[CFG]{CFG}
L. CORDERO, M. FERNANDEZ and A. GRAY. {\it Symplelctic manifolds with no K�hler
structure.} Topology 25 (1986) 375--380.

\bibitem[DGMS]{DGMS}
P. DELIGNE, P. GRIFFITHS, J. MORGAN and D. SULLIVAN. {\it Real homotopy theory of
K�hler manifolds.} Inv. Math. 29 (1975) 245--274.

\bibitem[DN]{DN}
J. DORFNEISTER and K. NAKAJIMA. {\it The fundamental conjecture.} Acta Math. 160
(1988) 13--70.

\bibitem[DP]{DP}
Ph. DELANOE , {\it Remarques sur les vari�t�s localement hessiennes}. Osaka J. Math.
26 (1989), 65-69.

\bibitem[FGG]{FGG}
M.FERNANDEZ , M. GOTAY and A. GRAY {\it Compact parallelizable four dimensional
symplecric manifolds.} Proc. Amer Math Soc 103 ( 1988) 1209- 1212 .

\bibitem[FGH]{FGH}
D. FRIED, W. GOLDMAN and M.W. HIRSCH. {\it Affine manifolds with nilpotent holonomy
group.} Comment Math. Helv. 56 (1981) 487--523.

\bibitem[G]{G}
M. GROMOV. {\it  Sur le groupe fondamental d'une vari�t� K�hl�rienne.} CR. Acad.
Sci. Paris 308 (1989) 67--70.

\bibitem[GPV 1]{GPV 1}S.G. GINDIKIN, I.I.
PIATECCKII, SAPIRO and E.B. VINBERG. {\it Homogeneous K\"ahler manifolds.} Geometry
of homogeneous bounded domains, CIME 1967.

\bibitem[GPV 2]{GPV 2} S.G. GINDIKIN, I.I.
PIATECCKII, SAPIRO and E.B. VINBERG. {\it On the classification and canonical
realization of complex homogeneous bounded domains.} Trans. Moscow Math. Soc. 13
(1964) 340--403.

\bibitem[GH]{GH}
W. GOLDMAN and M.W. HIRSCH. {\it Affine manifolds and Orbits of Algebraic groups.}
Trans. Amer. Math. Soc. 295 (1986) 175--197.

\bibitem[GM]{GM}
W. GOLDMAN and J.J. NILLSON. {\it The deformation theory of representations of
fundamental groups of compact K�hler manifolds.} Publ. Math. IHES 67 (1988) 43--96.

\bibitem[GS]{GS}
V. GUILLEMIN and M. STENZEL. {\it  Grauert tube and the homogeneous Monge-Ampere
equations.} J. Diff. Geom. 34 (1991) 561--570.

\bibitem[GSS]{GSS}
V.GULLEMIN and S. STERNBERG. {\it The algebraic model for transitive differential
geometry.} Bull. Amer Math Soc 70 ( 1964 ) 16-47 .

\bibitem[HA]{HA}
A. HATTORI. {\it Spectral sequence in the de RHAM cohomology of fibre bundles.} Fac.
sei. Univ. Tokyo 8 (1960) 289--331.

\bibitem[HH]{HH}
A.HESS. {\it Connection on symplectic manifolds and Geometric quantization.} Lecture
Notes in Math.

\bibitem[HW]{HW}
W.Y. HISIANG. {\it Cohomology theory of topological transformation groups}. Erg. der
Math. une chrer Gr. band 85 Springer--Verlag.

\bibitem[JD]{JD}
L.D. JOHNSON. {\it K�hler submersion and holomorphic connection.} Jour Diff Geom  15
(1980) 71-79.

\bibitem[JW]{JW}
L.D.JOHNSON  and L.B. WITT . Totally geodesic foliations . Jour Diff Geom 15
(1980 ) 225-235 .


\bibitem[KL 1]{KL 1}
J.L. KOSZUL. {\it Homologie et Cohomologir des Alg�bres de Lie.} Bull. Soc. Math.
France 48 (1950) 65--127.

\bibitem[KL 2]{KL 2}
J.L. KOSZUL. {\it D�formations des vari�t�s localement plates.} Ann. Inst. Fourier
18 (1968).

\bibitem[L]{L}P. LIBERMANN. {\it  Probl�me
d'�quivalence en g�om�trie symplectique.} Ast�risque 107 (1983) 43--68. \par

\bibitem[MA]{MA}
Y. MATSUSHIMA. {\it  On discrete subgroups and Homogeneous spaces of nilpotent Lie
groups.} Nagoya Math. Jour. 2 (1951) 95--110.

\bibitem[McD 1]{Mc D 1}
Dusa Mc DUFF. {\it The moment map for circle action on symplectic manifolds} JGP 5
(1988) 149--160.

\bibitem[McD 2]{Mc D 2}
Dusa Mc DUFF. {\it Example of simply connected symplectic manifolds non
k\"ahlerian.} Jour. Diff. Geom. 70 (1984) 267--277.

\bibitem[MI]{MI}
J. MILNOR. {\it Fundamental groups of complete affinely flat manifolds.} Adv. in
Math. 25 (1977) 178--187.

\bibitem[MO 1]{MO 1}
G.D. MOSTON. {\it Cohomology of topological groups and solomanifolds.} Ann. of Math.
73 (1961) 20--48.

\bibitem[MO 2]{MO 2}
G.D. MOSTON. {\it  Fundamental groups of homogeneous spaces.} Ann. of Math. 66
(1957) 249--255.

\bibitem[MW]{MW}
J. MARSDEN and WEINSTEIN. {\it Reduction of symplectic manifolds with symmetry.}
Reports on Math. Phys. 5 (1974) 121--130.

\bibitem[NB 1]{NB 1}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Vari�t�s symplectiques affines.} Manuscripta Math. 64 (1989)
1--33.

\bibitem[NB 2]{NB 2}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures affines homotpes � z�ro.} Jour. Diff. Geom. 33
(1990) 859--911.

\bibitem[NB 3]{NB 3}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures affines isotropes des groupes de Lie.} Annalli
Scuo. Norm. Sup. Pisa.

\bibitem[NB 4]{NB 4}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it M�triques k\"ahl�riennes affinement plates.} Proc. London
Math. Soc. 3 (1993) 358--380.

\bibitem[NB 5]{NB 5}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Structures localement plates dans certaines vari�t�s
symplectiques.} Math Scand. 76 (1995) 61--84.

\bibitem[NB 6]{NB 6}
NGUIFFO B. BOYOM. {\it Sur les actions hamiltoniennes quasi-primitives} ( soumis ).


\bibitem[NK]{NK}
K. NOMIZU. {\it  On the cohomology of compact homogeneous spaces of nilpotent Lie
groups.} Ann. of Math. 59 (1954) 531--538.

\bibitem[ON]{ON}A.L. ONISCHIK. {\it Inclusion
relations among transitive compact groups.} Amer. Math. Soc. Translations S.2 50
(1966) 5--58.

\bibitem[RA]{RA}S. RAGHUNATHAN.  Discrete
subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Math. 68 Springer Verlag 1972.

\bibitem[RC]{RC} C. RAMANUJAM.{\it  A topological
characterisation of the affine plane as an Algebraic Variety.} Ann. of Math. 94
(1971) 69--88.

\bibitem[RW]{RW}J. ROELS and A. WEINSTEIN. {\it
On functions whose Poisson brackets are constant.} J. Math. Phys. 12. 1482--1486.

\bibitem[SA]{SA}M. SATO. {\it Sur certains groupes
de Lie r�solubles.} Sci. pap. Univ. Tokyo 7 (1957) $I$--$II$ ; 157--168.

\bibitem[SE]{SE}J.P. SERRE. GAGA. Ann. Inst.
Fourier 6 (1956) 1--42.

\bibitem[SH]{SH}
H. SHIMA. {\it Homogeneous hessian manifolds}. Ann. Inst. fourier 30 (1980), 91-128.

\bibitem[SS]{SS} I.M. SINGER and S. STERNBERG. {\it The infinte groups of Lie and Cartan.}
Journ. d'Ananlyse Math. Jerusalem 15 ( 1965 ) 1-114 .

\bibitem[TH]{TH}W. THURSTON. {\it Some simple of
symplectic manifolds.} Proc. Amer. Math. Soc. 55 (1976) 456--478.

\bibitem[WE]{WL}A. WEILL.  Introduction �
l'�tude des vari�t�s k\"ahl�riennes. Hermann Paris 1958.

\bibitem[WN]{WN}A. WEINSTEIN.{\it Symplectic
manifolds and their lagrangian submanifolds.} Adv. In Math. 6 (1971) 329--346.

\bibitem[WOJ]{WOJ} J.A. WOLF . Spaces of constant curvature , McGraw-Hill , New York , 1967 .

\bibitem[WO]{WO}N.M.J. WOODHOUSE. Geometric
quantization. Oxford Math. Monographs. Larendon Press Oxford.

\end{thebibliography}