Sur des vari�t�s de Cauchy-Riemann dont la forme de Levi a une valeur propre positive
Olivier Biquard% \thanks{The author is a member of EDGE, Research Training Network HPRN-CT-2000-00101, supported by the European Human Potential Programme. }
\selectlanguage{english} For certain real hypersurfaces in the projective space, of signature \( (1,n) \), we study the filling problem for small deformations of the CR structure (the other signatures being well understood). We characterize the deformations which are fillable, and prove that they have infinite codimension in the set of all CR structures. This result generalizes the cases of the 3-sphere and of signature \( (1,1) \) to higher dimension. \selectlanguage{frenchb}
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\begin{document}

\title{Sur des vari�t�s de Cauchy-Riemann dont la forme de Levi a une valeur
propre positive}

\date{}
\author{Olivier Biquard%
\thanks{The author is a member of EDGE, Research Training Network HPRN-CT-2000-00101,
supported by the European Human Potential Programme.
}}

\maketitle
\begin{abstract}
\selectlanguage{english}
For certain real hypersurfaces in the projective space, of signature
\( (1,n) \), we study the filling problem for small deformations
of the CR structure (the other signatures being well understood).
We characterize the deformations which are fillable, and prove that
they have infinite codimension in the set of all CR structures. This
result generalizes the cases of the 3-sphere and of signature \( (1,1) \)
to higher dimension.
\selectlanguage{frenchb}
\end{abstract}
Un probl�me classique d'analyse complexe consiste � savoir quand une
vari�t� CR est le bord d'une vari�t� complexe. Concentrons nous sur
la question, d�j� int�ressante, des petites d�formations. Plus pr�cis�ment,
soit \( N \) une vari�t� complexe, telle que la forme de Levi du
bord \( \partial N \) soit non d�g�n�r�e, nous essayons de r�pondre
aux deux probl�mes suivants :

\begin{enumerate}
\item \emph{probl�me de remplissage :} une d�formation CR de \( \partial N \)
est-elle le bord d'une d�formation complexe de \( N \) ? dans l'affirmative,
on dira que la d�formation de \( \partial N \) est \emph{remplissable}
;
\item \emph{probl�me de stabilit� :} supposons que \( N \) soit un ouvert
dans une vari�t� complexe compacte \( V \), est-ce qu'une d�formation
remplissable de \( \partial N \) est induite par une d�formation
de l'hypersurface \( \partial N \) dans \( V \) ?
\end{enumerate}
R�p�tons que dans cet article, nous ne regardons que les petites d�formations,
donc, par exemple dans le probl�me de remplissage, nous ne cherchons
que les remplissages proches de la vari�t� initiale \( N \) ; cela
laisse de c�t� le probl�me global de remplissage de \( \partial N \)
par n'importe quelle vari�t� complexe � bord.

Deux belles applications du th�or�me de Nash-Moser permettent de r�soudre
les deux probl�mes dans beaucoup de cas. En effet le premier probl�me
est r�solu par le th�or�me suivant \cite{Kir79}.

\begin{thm*}
[Kiremidjian]Si la forme de Levi de \( \partial N \) a 0 ou au moins
2 valeurs propres strictement positives, et si \( H^{2}_{c}(N,T^{1,0}_{N})=0 \),
alors toutes les petites d�formations de \( \partial N \) sont remplissables.
\end{thm*}
Le second probl�me est r�solu par le th�or�me suivant \cite{Ham77}.

\begin{thm*}
[Hamilton]Si la forme de Levi de \( \partial N \) a 0 ou au moins
2 valeurs propres strictement n�gatives, et si \( H^{1}(N,T^{1,0}_{N})=0 \),
alors les d�formations complexes de \( N \) sont induites par une
d�formation de \( \partial N \) dans \( V \).
\end{thm*}
Supposons que dans une vari�t� complexe compacte \( V \) on ait une
hypersurface r�elle \( X \), s�parant \( V \) en deux morceaux,
\( V=N\cup M \) et \( \partial N=\partial M=X \), alors les formes
de Levi de \( N \) et \( M \) ont des signatures oppos�es, donc
la condition sur la forme de Levi de \( N \) dans le th�or�me de
Kiremidjian est �quivalente � la condition sur la forme de Levi de
\( M \) dans le th�or�me de Hamilton. Cela sugg�re que le probl�me
de remplissage pour \( N \) pourrait �tre li� au probl�me de stabilit�
pour \( M \), ce qui est le cas, comme on le verra plus loin.

Les deux th�or�mes ci-dessus laissent ouvert le cas o� la forme de
Levi, non d�g�n�r�e, a exactement une valeur propre positive ou n�gative.
Dans ce papier, nous allons nous concentrer sur l'exemple le plus
simple de cette situation.

\begin{example}
\label{ex-base}L'hypersurface r�elle \begin{equation}
\label{def-X}
X^{2n-1}=\{|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=|z_{3}|^{2}+\cdots +|z_{n+1}|^{2}\}\subset P^{n}
\end{equation}
est le bord des deux domaines complexes de \( P^{n} \) d�finis par
\begin{eqnarray}
N^{n} & = & \{|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}<|z_{3}|^{2}+\cdots +|z_{n+1}|^{2}\},\label{def-N} \\
M^{n} & = & \{|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}>|z_{3}|^{2}+\cdots +|z_{n+1}|^{2}\},\label{def-M} 
\end{eqnarray}
 dont les formes de Levi ont pour signatures respectives \( (1,n-2) \)
et \( (n-2,1) \).
\end{example}
Les th�or�mes de Kiremidjian et Hamilton nous indiquent d�j� qu'on
a toujours une r�ponse positive aux probl�mes de remplissage de \( X^{2n-1} \)
du c�t� de \( M^{n} \) pour \( n\neq 3 \) d'une part, de stabilit�
de \( X^{2n-1} \) du c�t� de \( N^{n} \) pour \( n>3 \) d'autre
part.

Pour \( n=2 \), on a \( X=S^{3} \), avec \( N=B^{4} \), et la r�ponse
au probl�me de d�formation est n�gative (il y a un espace de dimension
infinie d'obstruction), tandis que la r�ponse au probl�me de stabilit�
de \( N \) est positive, voir les travaux \cite{BurEps90,Eps92,Lem92,Bla94}.

Pour \( n=3 \), donc en signature (1,1), j'ai montr� \cite{BiqADE}
que les r�ponses aux probl�mes de d�formation et de stabilit� sont
toujours n�gatives (et � chaque fois, l'obstruction est de dimension
infinie).

Le but de cette note est d'�tendre ces r�sultats au cas des \( X^{2n-1} \)
en dimension sup�rieure (\( n>3 \)). Avant d'�noncer les r�sultats,
observons qu'on a une action de cercle sur \( X^{2n-1} \) donn�e
par (\( \zeta \in S^{1} \)) \[
[z_{1}:\cdots :z_{n+1}]\longrightarrow [\zeta z_{1}:\zeta z_{2}:z_{3}:\cdots :z_{n+1}],\]
 qui s'�tend en une action du disque \( \Delta  \) sur \( N^{n} \).
Cette action de \( S^{1} \) permet de d�composer les tenseurs sur
\( X \) en s�ries de Fourier, et en particulier les d�formations
CR de \( X \), qui sont param�tr�es par des (0,1)-formes sur \( X \)
� valeurs dans \( T^{1,0}_{X} \).

\begin{thm}
\label{th-def}Pour tous les \( n\geq 2 \), la r�ponse au probl�me
de remplissage de \( X^{2n-1} \) comme bord de \( N^{n} \) est n�gative,
et l'espace d'obstruction est de dimension infinie. En outre, une
petite d�formation CR de \( X \) est remplissable si et seulement
si ses coefficients de Fourier strictement n�gatifs s'annulent (modulo
les contactomorphismes de \( X \)).
\end{thm}
Plus pr�cis�ment, on peut trouver une jauge par rapport � l'action
des contactomorphismes de \( X \) telle que la structure CR soit
remplissable si et seulement si ses coefficients de Fourier strictement
n�gatifs s'annulent dans cette jauge. L'espace des obstructions est
explicitement calcul� dans le lemme \ref{lem-obstructions}. En dimensions
3 et 5, le th�or�me est bien s�r d�j� connu, comme mentionn� plus
haut.

\begin{cor}
\label{th-stab}Pour tous les \( n\geq 2 \), la r�ponse au probl�me
de stabilit� de \( M^{n}\subset P^{n} \) est n�gative, et l'espace
d'obstruction est de dimension infinie. En outre, pour \( n\neq 3 \),
une petite d�formation CR de \( X^{2n-1} \) est remplissable du c�t�
de \( N^{n} \) si et seulement si son remplissage du c�t� de \( M^{n} \)
est stable.
\end{cor}
L� encore, la situation en dimensions 3 et 5 �tait d�j� connue. �
noter qu'en dimension 5, il est de plus montr� dans \cite{BiqADE}
que les structure CR obtenues par d�formation de \( X \) dans \( P^{3} \)
sont de codimension infinie dans l'espace des structures CR remplissables
d'un c�t�.

Enfin, nous nous contentons ici d'�tudier la s�rie d'exemples (\ref{ex-base}),
mais il semble plausible que les ph�nom�nes observ�s dans le th�or�me
\ref{th-def} et le corollaire \ref{th-stab} restent valables en
g�n�ral sur les vari�t�s CR de signature \( (1,n-2) \), avec �ventuellement
des obstructions suppl�mentaires de dimension finie.

La m�thode utilis�e s'appuie fortement sur mon article \cite{BiqADE}
; en effet, bien qu'il soit consacr� � la dimension 5, certains r�sultats
y sont d�montr�s en dimension quelconque. En particulier, la param�trisation
du groupe des contactomorphismes y est r�alis�e, et d�montr�e la n�cessit�
que les coefficients de Fourier soient positifs pour avoir un remplissage.
Pour obtenir le cas de la dimension sup�rieure, il faut obtenir une
bonne param�trisation des structures CR (section \ref{sec-1}), et
calculer l'action du groupe des contactomorphismes (section \ref{sec-2})
; cela est r�alis� ici par des techniques diff�rentes de celles de
\cite{BiqADE}, s'�tendant plus facilement en dimension plus grande. 


\section{\label{sec-1}La vari�t� des structures CR sur \protect\( X\protect \)}

Consid�rons l'hypersurface \( X \) de \( P^{n} \) d�finie dans l'exemple
\ref{ex-base}. Remarquons que la projection \( [z_{1}:\cdots :z_{k+1}]\rightarrow ([z_{1}:z_{2}],[z_{3}:\cdots :z_{n+1}]) \)
permet de voir \( X \) comme l'espace total du fibr� en cercles \( \mathcal{O}(-1,1) \)
au-dessus de \( P^{1}\times P^{n-2} \).


\subsubsection*{Int�grabilit�}

Nous noterons \( H\subset TX \) la distribution de contact induite
par la structure CR. Puisqu'une d�formation de la structure de contact
reste �quivalente � \( H \), on peut supposer qu'une d�formation
CR de \( X \) pr�serve \( H \), et est donc param�tr�e par un tenseur
\( \phi \in \Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \), de sorte que
l'espace \( T^{0,1} \) de la nouvelle structure complexe soit constitu�
des \[
h+\phi _{h},\quad h\in T^{0,1}_{X}.\]
 Dans ce cas, la nouvelle structure complexe est int�grable � condition
que \begin{equation}
\label{con-int}
\overline{\partial }\phi +\frac{1}{2}[\phi ,\phi ]=0,
\end{equation}
 o� \( \overline{\partial } \) est l'op�rateur naturel du fibr� holomorphe
\( T'X=T^{\mathbf{C}}X/T^{0,1}X \) sur \( X \), et le crochet \( [\phi ,\phi ]\in \Omega ^{0,2}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \)
est d�fini par \[
[\phi ,\psi ]_{h,k}=[\phi _{h},\psi _{k}]-\phi _{[h,\psi _{k}]^{0,1}}-\phi _{[k,\psi _{h}]^{0,1}}-\big ([\psi _{h},\phi _{k}]-\psi _{[h,\phi _{k}]^{0,1}}-\psi _{[k,\phi _{h}]^{0,1}}\big ).\]
 

Rappelons � pr�sent que le choix d'une forme de contact \( \eta  \),
et donc d'un champ de Reeb \( R \), permet de d�finir une connexion
privil�gi�e sur \( X \), la connexion de Webster ; pour \( h\in H \),
la torsion \( T_{R,h}\in H \) et \( h\rightarrow T_{R,h} \) est
anti-\textbf{\( \mathbf{C} \)}-lin�aire, donc d�finit un �l�ment
\( T_{R,\cdot }\in \Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \). On peut
aussi d�composer 

\[
T'X=\mathbf{C}R\oplus T^{1,0}_{X},\qquad \overline{\partial }=\left( \begin{array}{cc}
\overline{\partial } & \flat \\
T_{R,\cdot } & \overline{\partial }_{H}
\end{array}\right) ,\]
 o� l'op�rateur \( \flat :H\rightarrow H^{*} \) est d�fini par \[
\flat h=h\lrcorner d\eta ;\]
 on remarquera que \( \flat  \) envoie \( T^{1,0}_{X} \) sur \( \Omega ^{0,1}_{X} \),
et on peut l'�tendre par produit ext�rieur en un op�rateur \[
\flat :\Omega ^{0,i}_{X}\otimes T^{1,0}_{X}\rightarrow \Omega ^{0,i+1}_{X}.\]


Dans le cas particulier de \( X \), la structure de fibr� en cercles
au-dessus de \( P^{1}\times P^{n-2} \) permet un choix privili�gi�
de forme de contact \( \eta  \), � savoir la forme de connexion du
fibr� \( \mathcal{O}(-1,1) \), de sorte que le vecteur de Reeb soit
l'action infinit�simale de \( S^{1} \) sur \( X \). Dans ce cas,
\( d\eta  \) provient de la base du fibr�, plus pr�cis�ment \( d(i\eta ) \)
est la courbure de \( \mathcal{O}(-1,1), \) de sorte qu'on a l'�galit�
\[
-d\eta =F=-\omega _{P^{1}}+\omega _{P^{n-2}},\]
 o� \( \omega _{P^{n}} \) est la forme de Fubini-Study de \( P^{n} \).
De plus, la torsion de Webster s'annule, et l'op�rateur \( \overline{\partial } \)
du fibr� \( T'X \) se r�duit � \begin{equation}
\label{eq-dbar}
\overline{\partial }=\left( \begin{array}{cc}
\overline{\partial } & \flat \\
0 & \overline{\partial }_{H}
\end{array}\right) .
\end{equation}
 Par cons�quent, la condition d'int�grabilit� (\ref{con-int}) sur
\( \phi \in \Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \) s'�crit \begin{equation}
\label{con-int2}
\overline{\partial }_{H}\phi +\frac{1}{2}[\phi ,\phi ]=0,\quad \flat \phi =0.
\end{equation}



\subsubsection*{D�formations}

Nous voulons montrer que l'espace des \( \phi  \) satisfaisant cette
condition d'int�grabilit� est une vari�t� de dimension infinie. Pour
cela, nous avons besoin d'un peu d'analyse. Soit \( \mathcal{H}^{\ell } \)
l'espace de Folland-Stein des fonctions sur \( X \) ayant \( \ell  \)
d�riv�es horizontales dans \( L^{2} \). Dans tout l'article, on choisira
\( \ell  \) suffisamment grand de sorte que \( \mathcal{H}^{\ell }\subset C^{0} \)
au moins, de sorte que \( \mathcal{H}^{\ell } \) soit une alg�bre,
voir \cite[lemme 5.1]{BiqADE}.

Nous d�finissons alors l'espace \[
\mathcal{J}^{\ell }=\{\phi \in \mathcal{H}^{\ell }(\Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X}),\, \overline{\partial }\phi +\frac{1}{2}[\phi ,\phi ]=0\}.\]
 Pour �tudier \( \mathcal{J}^{\ell } \), nous devons faire une th�orie
de d�formation des structures CR de \( X \).

Remarquons que pour \( \phi \in \Omega ^{0,\cdot }_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \),
on a \begin{equation}
\label{con-1}
\overline{\partial }(\phi \lrcorner d\eta )=(\overline{\partial }\phi )\lrcorner d\eta .
\end{equation}
 D'autre part, si \( \phi ,\psi \in \Omega ^{0,\cdot }_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \)
sont dans le noyau de \( \flat  \), c'est-�-dire v�rifient \[
\phi \lrcorner d\eta =\psi \lrcorner d\eta =0,\]
 alors, d'apr�s (\ref{eq-dbar}), \( \overline{\partial }\phi  \)
et \( \overline{\partial }\psi  \) sont aussi �l�ments de \( \Omega ^{0,\cdot }_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \),
de m�me que \( [\overline{\partial }\phi ,\psi ] \) et \( [\phi ,\overline{\partial }\psi ] \)
; � pr�sent 

\[
\overline{\partial }[\phi ,\psi ]=[\overline{\partial }\phi ,\psi ]+(-1)^{\deg \phi }[\phi ,\overline{\partial }\psi ]\in \Omega ^{0,\cdot }_{X}\otimes T^{1,0}_{X},\]
 donc

\begin{equation}
\label{con-2}
[\phi ,\psi ]\lrcorner d\eta =0.
\end{equation}


Il r�sulte de (\ref{con-1}) et (\ref{con-2}) que \begin{equation}
\label{def-C}
\mathcal{C}^{\cdot }=(\ker \flat ,\overline{\partial }_{H})\subset \Omega ^{0,\cdot }_{X}\otimes T^{1,0}_{X}
\end{equation}
 est une alg�bre diff�rentielle gradu�e ; cette alg�bre gouverne les
d�formations de structures CR sur \( X \), nous allons donc pouvoir
lui appliquer la th�orie classique de d�formation pour �tudier \( \mathcal{J}^{\ell } \).

Tout d'abord, nous avons besoin du calcul de certains groupes de cohomologie,
voir par exemple \cite[I.1]{OkoSchSpi80}.

\begin{lem}
\label{lem-HP}Pour \( 0<q<n \) et tout \( k \), on a \[
H^{q}(P^{n},\mathcal{O}(k))=H^{q}(P^{n},T_{P^{n}}(k))=0,\]
 � la seule exception de \( H^{n-1}(P^{n},T_{P^{n}}(-n-1))=\mathbf{C} \).

Enfin, on a \( H^{0}(P^{1},\mathcal{O}(k))=H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(-k-2))=0 \)
si \( k<0 \).
\end{lem}
Remarquons que, puisque \( X \) est de signature \( (1,n-2) \),
l'op�rateur \( \overline{\partial } \) sur \( X \) est hypoelliptique,
sauf en degr�s \( 1 \) et \( n-2 \). Ainsi l'espace \( H^{2}(\mathcal{C}^{\cdot }) \)
est de dimension finie, sauf pour \( n=4 \) (en dimension \( 7 \)).
Plus pr�cis�ment, on a le r�sultat suivant.

\begin{lem}
\label{lem-H2}En dimension \( 2n-1\neq 7 \), on a \( H^{2}(\mathcal{C}^{\cdot })=0 \).
\end{lem}
\begin{proof}
Les op�rateurs \( \overline{\partial } \) et \( \flat  \) commutent
� l'action de \( S^{1} \), donc on peut se contenter de regarder
le probl�me en d�composant sous l'action de \( S^{1} \). Soit donc
\( \psi \in \Omega ^{0,2}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \) tel que \( \overline{\partial }_{H}\psi =0 \)
et \( \flat \psi =0 \), dans l'espace de poids \( k \) pour l'action
de \( S^{1} \). Cela signifie, en appelant \( t \) la section tautologique
du fibr� \( \mathcal{O}(-1,1) \) sur \( X \), que \( \psi \otimes t^{-k} \)
descend en une section sur \( P^{1}\times P^{n-2} \) du fibr� \( \Omega ^{0,2}\otimes T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \).
Le probl�me se r�duit donc, �tant donn�e sur \( P^{1}\times P^{n-2} \)
une section \( \psi  \) de \( \Omega ^{0,2}\otimes T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \)
satisfaisant \begin{equation}
\label{con-psi}
\overline{\partial }\psi =0,\quad \psi \lrcorner F=0,
\end{equation}
 � trouver une section \( \phi  \) de \( \Omega ^{0,1}\otimes T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \)
satisfaisant \begin{equation}
\label{con-phi}
\overline{\partial }\phi =\psi ,\quad \phi \lrcorner F=0.
\end{equation}


Or, pour tout entier \( k \), on a d'apr�s le lemme \ref{lem-HP}
les �galit�s \begin{multline}
\label{for-H2a}
H^{2}(P^{1}\times P^{n-2},T_{P^{1}}^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k))\\=\bigoplus _{i=0,1}H^{i}(P^{1},\mathcal{O}(2+k))\otimes H^{2-i}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k))=0,
\end{multline}
\begin{multline}
\label{for-H2b}
H^{2}(P^{1}\times P^{n-2},T_{P^{n-2}}^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k))\\=\bigoplus _{i=0,1}H^{i}(P^{1},\mathcal{O}(k))\otimes H^{2-i}(P^{n-2},T_{P^{n-2}}(-k))=0,
\end{multline}
 sauf dans le cas o� \( n-2=3 \) o� on obtient, puisque \( H^{2}(P^{3},T_{P^{3}}(-4))\neq 0 \),
\begin{equation}
\label{for-H2P1P3}
H^{2}(P^{1}\times P^{3},T_{P^{1}\times P^{3}}^{1,0}\otimes \mathcal{O}(4,-4))=H^{0}(P^{1},\mathcal{O}(4))H^{2}(P^{3},T_{P^{3}}(-4)).
\end{equation}


Dans l'imm�diat, contentons-nous du cas \( n>5 \), donc il existe
\( \phi  \) telle que \( \overline{\partial }\phi =\psi  \). Reste
� modifier �ventuellement \( \phi  \) de sorte de v�rifier aussi
la seconde condition dans (\ref{con-phi}). Observons que, par (\ref{con-psi}),
\[
\overline{\partial }(\phi \lrcorner F)=(\overline{\partial }\phi )\lrcorner F=0.\]
 Comme \( H^{2}(P^{1}\times P^{n-2},\mathcal{O}(k,-k))=0 \) pour
\( n-2\geq 1 \), on en d�duit l'existence d'une \( (0,1) \)-forme
\( \alpha  \), � valeurs dans \( \mathcal{O}(k,-k) \), telle que
\( \overline{\partial }\alpha =\phi \lrcorner F \). Il est alors
imm�diat que \( \phi -\overline{\partial }\alpha  \) satisfait les
conditions (\ref{con-phi}).

Finalement, examinons plus pr�cis�ment le cas \( n=5 \), o� on semble
avoir l'espace de cohomologie non nul (\ref{for-H2P1P3}). Observons
tout d'abord que l'application \[
\lrcorner F:H^{2}(P^{3},T_{P^{3}}(-4))\rightarrow H^{3}(P^{3},T_{P^{3}}(-4))\]
 est manifestement un isomorphisme, entre deux espaces tous deux �gaux
� \( \mathbf{C} \). Par cons�quent, l'application \( \psi \rightarrow \psi \lrcorner F \)
d�finit un isomorphisme \begin{eqnarray*}
H^{2}(P^{1}\times P^{3},T^{1,0}_{P^{1}\times P^{3}}\otimes \mathcal{O}(4,-4)) & \rightarrow  & H^{3}(P^{1}\times P^{3},\mathcal{O}(4,-4))\\
 &  & =H^{0}(P^{1},\mathcal{O}(4))H^{3}(P^{3},T_{P^{3}}(-4)).
\end{eqnarray*}
 � pr�sent, consid�rons une forme \( \psi  \) comme dans (\ref{con-psi}),
on d�duit que la condition \( \psi \lrcorner F=0 \) impose l'annulation
de l'image de \( \psi  \) dans \( H^{2}(P^{1}\times P^{2},T^{1,0}_{P^{1}\times P^{3}}\otimes \mathcal{O}(4,-4)) \),
ce qui ach�ve la d�monstration du lemme.
\end{proof}
Le r�sultat essentiel de cette section est le suivant.

\begin{lem}
\label{lem-carte}L'espace \( \mathcal{J}^{\ell } \) est une sous-vari�t�
hilbertienne de \( \mathcal{H}^{\ell }(\Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X}) \),
d'espace tangent en \( 0 \) donn� par les \( \dot{\phi }\in \mathcal{H}^{\ell }(\Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X}) \)
tels que \( \overline{\partial }\dot{\phi }=0 \) (c'est-�-dire \( \overline{\partial }_{H}\dot{\phi }=0 \)
et \( \flat \dot{\phi }=0 \)). De plus, il existe une carte \[
\Phi :T_{0}\mathcal{J}^{\ell }\rightarrow \mathcal{J}^{\ell }\]
 telle que \( \Phi (\dot{\phi }) \) soit � coefficients de Fourier
positifs si et seulement si \( \dot{\phi } \) est � coefficients
de Fourier positifs.
\end{lem}
\begin{proof}
Nous faisons le cas de la dimension \( 2n-1\neq 7 \), le cas de la
dimension \( 7 \) est plus technique et fera l'objet de la section
\ref{sec-dim7}. 

� partir du lemme \ref{lem-H2}, la d�monstration est classique. Choisissons
un inverse � droite \( P \) de l'op�rateur \( \overline{\partial }_{H}:\mathcal{H}^{\ell }(\mathcal{C}^{1})\rightarrow \ker \overline{\partial }_{H}\subset \mathcal{H}^{\ell -1}(\mathcal{C}^{2}) \),
on peut choisir \( P \) commutant � l'action de \( S^{1} \). �tant
donn� \( \dot{\phi } \) satisfaisant \( \overline{\partial }_{H}\dot{\phi }=0 \)
et \( \flat \dot{\phi }=0 \), nous construisons \[
\Phi (\dot{\phi })=\phi _{1}+\phi _{2}+\cdots ,\quad \phi _{1}=\dot{\phi },\quad \phi _{i}=-P\frac{1}{2}\sum _{1\leq j\leq i-1}[\phi _{j},\phi _{i-j}].\]
 Il est important d'�crire cette formule, car comme cons�quence nous
voyons que si \( \dot{\phi } \) n'a que des coefficients de Fourier
positifs ou nuls, alors il en est de m�me pour \( \Phi (\dot{\phi }) \).

R�ciproquement, � partir de \( \phi \in \mathcal{J}^{\ell } \), on
obtient \( \dot{\phi } \) par le choix \[
\dot{\phi }=\phi +P\frac{1}{2}[\phi ,\phi ].\]
 L� encore, \( \dot{\phi } \) n'a que des coefficients de Fourier
positifs s'il en �tait de m�me pour \( \phi  \).
\end{proof}

\section{\label{sec-2}Remplissage}

Ici nous rappelons certains r�sultats de \cite{BiqADE}, valables
en toute dimension, puis nous les appliquons � notre situation.

Habituellement, en th�orie de la d�formation, l'espace \( \mathcal{C}^{0} \)
est constitu� des �quivalences infinit�simales de la situation. Dans
la th�orie d�crite dans la section pr�c�dente, un �l�ment de \( \mathcal{C}^{0} \)
est une section de \( \ker \flat \subset T^{1,0} \), donc en r�alit�
\( \mathcal{C}^{0}=0 \) et il n'y en a pas.


\subsubsection*{Action des contactomorphismes}

Bien entendu, il existe un groupe de jauge agissant sur les structures
CR, � savoir les contactomorphismes de \( X \). Rappelons que, d'apr�s
\cite{Bla94} en dimension 3, et \cite[th�or�me 5.5]{BiqADE} en dimension
sup�rieure, il existe un groupe \( \mathcal{G}^{\ell +1} \) de contactomorphismes
de r�gularit� \( \mathcal{H}^{\ell +1} \), param�tr� pr�s de l'origine
par les fonctions r�elles de r�gularit� \( \mathcal{H}^{\ell +2} \).
Infinit�simalement, une fonction r�elle \( f \) correspond au contactomorphisme
infinit�simal \begin{equation}
\label{cont-inf}
fR-\sharp df,
\end{equation}
 o� \( \sharp :H^{*}\rightarrow H \) est d�fini par \( (\sharp \alpha )\lrcorner d\eta =\alpha  \),
c'est-�-dire \( \sharp =\flat ^{-1} \). Le groupe \( \mathcal{G}^{\ell +1} \)
agit de mani�re lisse sur \( \mathcal{J}^{\ell } \) et l'action infinit�simale
� l'origine est donn�e par \begin{equation}
\label{cont-act}
f\rightarrow \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial }f.
\end{equation}


Via la carte \( \Phi  \) d�finie par le lemme \ref{lem-carte}, on
peut voir \( \mathcal{G}^{\ell +1} \) comme agissant plut�t sur \( T_{0}\mathcal{J}^{\ell } \),
par \[
(\alpha ,\dot{\phi })\in \mathcal{G}^{\ell +1}\times T_{0}\mathcal{J}^{\ell }\longrightarrow \Phi ^{-1}\alpha \Phi (\dot{\phi }).\]
 L'action infinit�simale correspondante demeure donn�e par l'op�rateur
\( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \), dont l'image
est ferm�e parce que l'op�rateur \( \overline{\partial } \) est hypoelliptique
en degr� 0 sur les vari�t�s de signature \( (1,n-2) \). Cela implique
aussit�t le corollaire suivant \cite[section 6]{BiqADE}.

\begin{lem}
\label{lem-jauge}Supposons fix� un suppl�mentaire \( W \) de l'image
de \( \mathcal{H}^{\ell +2}(\mathbf{R}) \) par l'op�rateur \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \)
dans \( T_{0}\mathcal{J}^{\ell } \), invariant sous l'action des
automorphismes CR de \( X \). Alors pour tout \( \dot{\phi }\in T_{0}\mathcal{J}^{\ell } \)
proche de \( 0 \), il existe un contactomorphisme \( \alpha  \),
proche de l'identit�, tel que \( \Phi ^{-1}\alpha \Phi (\dot{\phi })\in W \)
; de plus \( \alpha  \) est unique modulo les automorphismes CR de
\( X \).\qed
\end{lem}

\subsubsection*{Condition de remplissage}

Rappelons que notre hypersurface r�elle \( X=\partial N \) de \( P^{n} \)
est le fibr� en cercles \( \mathcal{O}(-1,1) \) sur \( P^{1}\times P^{n-2} \).
Cependant, \( N \) diff�re l�g�rement du fibr� en disques \( \mathcal{O}(-1,1) \)
: d'apr�s la formule (\ref{def-N}), celui-ci n'est autre que l'�clatement
\( \tilde{N} \) de \( N \) le long de \begin{equation}
\label{for-Pn2}
P^{n-2}=\{[0:0:z_{3}:\cdots :z_{n+1}]\}\subset N.
\end{equation}


Rappelons �galement que le fibr� \( \Omega ^{0,1}_{X}\otimes T^{1,0}_{X} \)
provient du fibr� \( \Omega ^{0,1}\otimes T^{1,0} \) sur la base
\( P^{1}\times P^{n-2} \) du fibr� en cercles, ce qui permet de d�composer
le tenseur \( \phi \in \mathcal{J}^{\ell } \) d�finissant une structure
CR suivant ses coefficients de Fourier selon l'action de \( S^{1} \).

Dans cette situation, on a le r�sultat suivant \cite[th�or�me 4.1 et corollaire 4.2]{BiqADE}.

\begin{thm*}
Soit \( D\rightarrow Z \) un fibr� holomorphe en disques, tel que
la forme de Levi du bord \( X=\partial D \) soit non d�g�n�r�e. Alors,
pour une structure CR int�grable sur \( X \), proche de la structure
standard, les deux propri�t�s suivantes sont �quivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe un contactomorphisme de \( X \) qui envoie la structure
CR sur une structure dont les coefficients de Fourier strictement
n�gatifs s'annulent ;
\item la structure CR est le bord d'une d�formation complexe de \( D \)
dont la section nulle \( Z \) demeure une sous-vari�t� complexe.
\end{enumerate}
\end{thm*}
L'application dans notre situation donne la cons�quence suivante.

\begin{cor}
Une structure CR sur \( X=\partial N \), proche de la structure standard,
est remplissable dans \( N \) si et seulement s'il existe un contactomorphisme
qui envoie la structure CR sur une structure dont les coefficients
de Fourier strictement n�gatifs s'annulent.
\end{cor}
\begin{proof}
Le th�or�me pr�c�dent dit que la condition sur les coefficients de
Fourier est la condition pour pouvoir remplir la structure CR dans
\( \tilde{N} \), de sorte que la section nulle \( P^{1}\times P^{n-2} \)
demeure complexe. Il reste � montrer que cela est �quivalent � pouvoir
remplir la structure CR dans \( N \).

Si la structure est remplissable comme une d�formation de \( N \),
alors le \( P^{n-2}\subset N \) donn� par (\ref{for-Pn2}), de fibr�
normal \( \mathcal{O}(1) \), persiste dans la d�formation, et on
obtient une d�formation de \( \tilde{N} \) en �clatant \( N \) le
long de \( P^{n-2} \).

R�ciproquement, si une structure CR est le bord d'une d�formation
de \( \tilde{N} \) pour laquelle la section nulle \( P^{1}\times P^{n-2} \)
reste complexe, alors la structure complexe de \( P^{1}\times P^{n-2} \)
reste la m�me puisque les d�formations complexes de \( P^{1}\times P^{n-2} \)
sont triviales, et le fibr� normal \( \mathcal{O}(-1,1) \) de \( P^{1}\times P^{n-2} \)
ne peut pas non plus changer ; cela signifie que l'on peut contracter
les \( P^{1} \) dans \( P^{1}\times P^{n-2} \) pour obtenir finalement
une d�formation complexe de \( N \), dont la structure CR donn�e
est le bord. 
\end{proof}
Autrement dit, pour savoir si une structure CR est remplissable, il
faut faire agir un contactomorphisme de sorte de tuer les coefficients
de Fourier n�gatifs. Compte tenu du lemme \ref{lem-jauge}, il suffit
de regarder cette question au niveau infinit�simal, sur l'image de
l'op�rateur \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \).
�tant donn�e une structure CR infinit�simale, on cherche donc une
fonction dont les coefficients n�gatifs tuent ceux de la structure
CR, les coefficients positifs �tant fix�s par la condition que la
fonction doit �tre r�elle. Cette id�e aboutit au corollaire suivant
\cite[lemme 6.4]{BiqADE}. Notons \( \pi _{-} \) la projection sur
les coefficients de Fourier n�gatifs ou nuls.

\begin{lem}
\label{lem-coulomb}Choisissons comme suppl�mentaire de l'image de
\( \mathcal{H}^{\ell +2}(\mathbf{R}) \) par \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \)
l'espace \[
W=(\im \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial }\pi _{-})^{\perp },\]
 alors une structure CR int�grable \( \phi =\Phi (\dot{\phi })\in \mathcal{J}^{\ell } \),
proche de 0, est remplissable si et seulement si dans la jauge \( \Phi ^{-1}\alpha \Phi (\dot{\phi })\in W \)
construite par le lemme \ref{lem-jauge}, les coefficients de Fourier
strictement n�gatifs s'annulent.\qed
\end{lem}

\subsubsection*{Calcul des obstructions}

Le lemme \ref{lem-coulomb} n'est utile que si l'on sait d�terminer
l'image de l'op�rateur \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \).
Il suffit de regarder ce qui se passe dans chaque espace de poids
\( k \) sous l'action de \( S^{1} \).

Commen�ons par remarquer que l'on peut d�finir un complexe �tendu
\( \tilde{\mathcal{C}} \) en rempla�ant l'espace trivial \( \mathcal{C}^{0} \)
du complexe (\ref{def-C}) par un espace non trivial \begin{equation}
\label{ref-Ctilde}
\tilde{\mathcal{C}}^{0}=\{\upsilon \in \mathcal{H}^{\ell +1}(T^{1,0}_{X}),\, (\overline{\partial }_{H}\upsilon )\lrcorner F=0\}.
\end{equation}
 La condition sur \( \upsilon  \) est �quivalente � \( \overline{\partial }(\upsilon \lrcorner F)=0 \),
et des exemples de tels \( \upsilon  \) sont fournis comme \( \sharp \overline{\partial }f \),
o� \( f \) est une fonction complexe ; comme \( \upsilon \lrcorner F \)
est une (0,1)-forme, il y a beaucoup d'autres \( \upsilon  \), puisque
l'op�rateur \( \overline{\partial } \) n'est pas hypoelliptique en
ce degr�.

\begin{lem}
\label{lem-H1}En poids \( k\leq 0 \), le \( H^{1} \) du complexe
�tendu \( \tilde{\mathcal{C}} \) s'identifie � \begin{multline*}
H^{1}(P^{1}\times P^{n-2},T^{1,0}_{P^{1}\times P^{n-2}}\otimes \mathcal{O}(k,-k)) =\\ H^{1}(P^{1},T^{1,0}_{P^{1}}(k))H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k))
  \oplus H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))H^{0}(P^{n-2},T^{1,0}_{P^{n-2}}(-k)).
\end{multline*}

\end{lem}
\begin{proof}
On a clairement une application injective \[
H^{1}(\tilde{\mathcal{C}})\rightarrow H^{1}(P^{1}\times P^{n-2},T^{1,0}_{P^{1}\times P^{n-2}}\otimes \mathcal{O}(k,-k)).\]
 R�ciproquement, il faut v�rifier que tout �l�ment du second espace
de cohomologie provient bien de \( \tilde{\mathcal{C}} \) : nous
le faisons pour les deux morceaux �crits dans l'�nonc� du lemme.

Le premier morceau est le plus simple : un �l�ment dans \[
H^{1}(P^{1},T^{1,0}_{P^{1}}(k))H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k))\]
 peut �tre repr�sent� par une section de \( \Omega ^{0,1}_{P^{1}}\otimes T^{1,0}_{P^{1}}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \),
qui est dans le noyau de \( \flat  \).

Le second morceau est plus compliqu� : un �l�ment dans \[
H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))H^{0}(P^{n-2},T^{1,0}_{P^{n-2}}(-k))\]
 est repr�sent� par une section \( \phi \in \Omega ^{0,1}_{P^{1}}\otimes T^{1,0}_{P^{n-2}}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \),
holomorphe le long de \( P^{n-2} \) ; on remplace \( \phi  \) par
\( \phi +\overline{\partial }\upsilon  \), o� \( \upsilon \in T^{1,0}_{P^{1}}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \)
satisfait l'�quation \[
\overline{\partial }\upsilon \lrcorner F=-\phi \lrcorner F.\]
 Cette �quation s'�crit encore \( \overline{\partial }(\upsilon \lrcorner F)=-\phi \lrcorner F \),
o� \( \upsilon \lrcorner F\in \Omega ^{0,1}_{P^{1}}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \)
et \( \phi \lrcorner F\in \Omega ^{0,1}_{P^{1}}\otimes \Omega ^{0,1}_{P^{n-2}}\otimes \mathcal{O}(k,-k) \),
et l'existence de la solution provient de l'annulation \( H^{1}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k))=0 \).
\end{proof}
� pr�sent, nous pouvons calculer le suppl�mentaire \( W \) du lemme
\ref{lem-coulomb}. Fixons un poids \( k\leq 0 \) de l'action de
\( S^{1} \), soit \( \phi \in T_{0}\mathcal{J}^{\ell } \) en poids
\( k \), nous cherchons une section \( f \) de \( \mathcal{O}(k,-k) \)
telle que \( \phi =\overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial }f \).
La premi�re obstruction est �videmment \[
[\phi ]=0\in H^{1}(\tilde{\mathcal{C}});\]
 si cela est le cas, il existe \( \upsilon \in \tilde{\mathcal{C}}^{0} \)
tel que \( \overline{\partial }_{H}\upsilon =\phi  \). Observons
que \begin{equation}
\label{for-H0}
H^{0}(P^{1}\times P^{n-2},T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k))=H^{0}(P^{1},T^{1,0}_{P^{1}}(k))H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k))
\end{equation}
 est trivial, sauf en degr�s \( k=0 \), \( -1 \) ou \( -2 \). Par
cons�quent, \( \upsilon  \) est unique, sauf en degr�s \( 0 \),
\( -1 \) ou \( -2 \) o� l'ambigu�t� est mesur�e par (\ref{for-H0}). 

Maintenant, \( \flat \upsilon  \) est une (0,1)-forme satisfaisant
d'apr�s (\ref{con-1}) \[
\overline{\partial }\flat \upsilon =\flat \overline{\partial }\upsilon =\flat \phi =0,\]
 et nous cherchons \( f \) telle que \( \overline{\partial }f=\upsilon  \).
Observons que l'espace de cohomologie correspondant, \[
H^{1}(P^{1}\times P^{n-2},\mathcal{O}(k,-k))=H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k)),\]
 est non trivial en g�n�ral, donc il y a une seconde obstruction.
Pour \( k=0 \) ou \( -1 \), cette obstruction s'annule. Pour \( k=-2 \),
l'obstruction correspond exactement � la libert� (\ref{for-H0}) pour
\( \upsilon  \), donc il n'y a pas d'obstruction suppl�mentaire.
En revanche, pour \( k<-2 \), compte tenu de l'unicit� de \( \upsilon  \),
l'obstruction correspondante pour \( \phi  \) est l'espace \( (\overline{\partial }_{P^{1}}\sharp H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k)))H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k)) \),
o� cette notation signifie qu'un sous-espace repr�sentant \( H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k)) \)
a �t� choisi. Nous r�sumons la discussion pr�c�dente dans le r�sultat
suivant.

\begin{lem}
\label{lem-obstructions}Pour \( k\leq 0 \), l'orthogonal de l'image
de \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \) en poids
\( k \) s'identifie � \begin{eqnarray*}
W_{k} & = & H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))H^{0}(P^{n-2},T^{1,0}_{P^{n-2}}(-k))\\
 &  & \oplus \left( H^{1}(P^{1},T^{1,0}_{P^{1}}(k))\oplus \overline{\partial }_{P^{1}}\sharp H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))\right) H^{0}(P^{n-2},\mathcal{O}(-k)).
\end{eqnarray*}
\qed
\end{lem}
Dans ce lemme il faut noter que pour \( k=-1 \) et \( -2 \), on
a $$ \overline{\partial }_{P^{1}}\sharp H^{1}(P^{1},\mathcal{O}(k))=0   .$$
Puisque \( W_{k}\neq 0 \) pour tout \( k<-1 \), on d�duit finalement
de ce calcul le th�or�me \ref{th-def}.

\begin{rem}
\label{rem-kir}Par le th�or�me de Kiremidjian (voir l'introduction),
une petite d�formation de \( X \) est toujours remplissable de l'autre
c�t�, c'est-�-dire du c�t� de \( M \) d�fini par (\ref{def-M}).
La m�thode utilis�e dans cet article permet de donner une autre d�monstration
de ce fait, plus simple que celle de Kiremidjian qui utilise le th�or�me
de Nash-Moser. En effet, un calcul similaire � celui de la d�monstration
pr�c�dente montre que si \( n>3 \), alors \( W_{k}=0 \) pour \( k\geq 0 \),
si bien qu'une structure CR sur \( X \), proche de la structure standard,
peut toujours �tre ramen�e par un contactomorphisme � une structure
dont les coefficients de Fourier positifs s'annulent, donc remplissable
du c�t� de \( M \).
\end{rem}
%

\begin{rem}
\label{rem-0}Le cas des coefficients invariants sous \( S^{1} \)
(\( k=0 \)) est un peu particulier, puisque la condition que la fonction
\( f \) qui param�tre un contactomorphisme soit r�elle donne une
restriction sur \( f \) en poids \( 0 \). Comme on va le voir dans
la section \ref{sec-3}, les fonctions \( f \) complexes repr�sentent
les d�formations de \( X \) dans \( P^{n} \), et le fait que \( W_{0}=0 \)
indique que les structures CR \( S^{1} \)-invariantes sur \( X \)
sont obtenues par d�formation (�galement \( S^{1} \)-invariante)
de \( X \) dans \( P^{n} \).
\end{rem}

\section{\label{sec-3}Stabilit�}


\subsubsection*{Aspects formels}

Ici nous ne donnons pas tous les d�tails, car nous d�montrerons le
r�sultat \ref{th-stab} par une autre m�thode.

On peut obtenir d'autres structures CR sur \( X \), en d�formant
l'hypersurface r�elle \( X \) dans \( P^{n} \). Si on a une application
\( F:X\rightarrow P^{n} \), on en d�duit sur \( X \) une nouvelle
structure CR. Si on s'int�resse seulement aux petites d�formations
de la sous-vari�t� initiale \( X \), alors la structure de contact
sous-jacente � la structure CR demeure �quivalente � la structure
de contact initiale, via un diff�omorphisme \( \alpha  \) de \( X \).
Par cons�quent, quitte � remplacer \( F \) par \( F\circ \alpha  \),
on peut se limiter � regarder les applications \( F:X\rightarrow P^{n} \)
telles que la structure CR induite sur \( X \) conserve la m�me structure
de contact sous-jacente. Cette condition sur \( F \) s'�crit \begin{equation}
\label{con-F}
Id_{x}F(H_{x})\subset d_{x}F(H_{x}),
\end{equation}
o� \( I \) est la structure complexe de \( V \).

Introduisons l'�l�ment \( \eta ^{c}=\eta +iI\eta  \) de \( \Omega ^{1,0}_{V}|_{X}=(T'X)^{*} \).
Un calcul sans difficult� montre qu'infinit�simalement, la condition
(\ref{con-F}) devient, pour \( \dot{F} \) section de \( TP^{n}|_{X} \)
et \( h\in H \), \[
\eta ^{c}(I\overline{\partial }_{h}\dot{F})=0.\]
 �crivant \( \dot{F}^{1,0}=fR+h \), cette condition se r�crit \[
\overline{\partial }f+h\lrcorner d\eta =0.\]
 On observe donc qu'infinit�simalement, les applications \( F \)
satisfaisant la condition (\ref{con-F}) sont donn�es par les \begin{equation}
\label{defo-inf}
f-\sharp \overline{\partial }f,
\end{equation}
 o� \( f \) est une fonction \emph{complexe} sur \( X \).

Comparant (\ref{defo-inf}) � (\ref{cont-inf}), il est clair que
l'espace des applications infinit�simales satisfaisant (\ref{con-F})
est une complexification de l'espace des contactomorphismes infinit�simaux
; de plus il est facile de v�rifier que l'action infinit�simale de
\( f-\sharp \overline{\partial }f \) sur la structure CR est \[
f\rightarrow \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial }f,\]
 soit la complexification de l'action (\ref{cont-act}). 

Pour r�sumer, l'action des d�formations de \( X \) dans \( P^{n} \),
pr�servant la structure de contact de \( X \), sur les structures
CR de \( X \), appara�t comme complexification de l'action des contactomorphismes.
Cette remarque est utile, mais elle demeure � un niveau formel : en
effet, pour la rendre rigoureuse, il faut construire une param�trisation
des applications de r�gularit� \( \mathcal{H}^{\ell +1} \) satisfaisant
(\ref{con-F}) par des fonctions de r�gularit� \( \mathcal{H}^{\ell +2} \),
ce qui semble difficile quand l'op�rateur \( \overline{\partial } \)
n'est pas hypoelliptique en degr� 1. Comme cons�quence d'une telle
construction, on aurait une d�monstration plus simple du th�or�me
de Hamilton.

Poursuivant ce point de vue formel, on voit que, de mani�re analogue
au lemme \ref{lem-coulomb}, une structure CR \( \Phi (\dot{\phi }) \)
sur \( X \) provient d'une d�formation de \( X \) dans \( P^{n} \)
si \( \dot{\phi } \) est dans l'image de \( \mathcal{H}^{\ell +2}(\mathbf{C}) \)
par l'op�rateur \( \overline{\partial }_{H}\sharp \overline{\partial } \).
En poids \( k<0 \), cela signifie que la structure CR est remplissable
du c�t� de \( N \) ; en poids \( k>0 \), cela signifie que la structure
CR est remplissable de l'autre c�t�, voir la remarque \ref{rem-kir}
; pour le poids \( k=0 \), voir la remarque \ref{rem-0}.

Une structure CR sur \( X \), proche de la structure standard, et
stable (au sens donn� dans l'introduction), est �videmment remplissable
des deux c�t�s. La r�ciproque est vraie, car si on a un remplissage
des deux c�t�s, alors en recollant le long de \( X \), on obtient
une vari�t� complexe compacte qui est une d�formation de \( P^{n} \),
donc exactement \( P^{n} \). Cette observation aboutit � la d�monstration
suivante. 


\subsubsection*{D�monstration du corollaire \ref{th-stab}}

Supposons donn�e sur \( X^{2n-1} \) (\( n>3 \)) une structure CR
int�grable, proche de la structure standard. Par le th�or�me de Kiremidjian
(ou la remarque \ref{rem-kir}), \( X \) est toujours remplissable
du c�t� de \( M \). 

Supposons ce remplissage stable, c'est-�-dire induit par une d�formation
de \( X \) dans \( P^{n} \). Alors il est clair que \( X \) est
aussi remplissable du c�t� de \( N \).

R�ciproquement, supposons \( X \) remplissable du c�t� de \( N \).
Par le th�or�me de Hamilton, ce remplissage est induit par une d�formation
de \( X \) dans \( P^{n} \), donc il y a stabilit� pour le remplissage
de \( X \) du c�t� de \( M \) aussi.

Il en r�sulte que le remplissage de \( X \) du c�t� de \( M \) est
stable si et seulement si \( X \) est remplissable du c�t� de \( N \),
c'est-�-dire v�rifie les conditions du th�or�me \ref{th-def}. En
particulier les obstructions sont les m�mes que pour ce probl�me,
donc donn�es par le lemme \ref{lem-obstructions}.\qed 

\begin{rem}
Dans \cite{CatLem92}, Catlin et Lempert construisent des exemples
\( X^{2k-1} \) de vari�t�s CR, strictement pseudoconvexes, plong�es
dans \( P^{n} \) (\( n>k \)), dont les d�formations CR ne sont pas
induites par une d�formation du plongement. Il est possible d'analyser
ce probl�me en termes similaires aux d�formations qui apparaissent
dans cette section---l'absence de d�formation du plongement provient
alors d'une obstruction cohomologique explicite.
\end{rem}

\section{Le cas de la dimension 7\label{sec-dim7}}

En dimension 7, la d�monstration du lemme \ref{lem-carte} est compliqu�e
par le fait que le \( H^{2} \) du complexe \( \mathcal{C} \) est
non nul, et m�me de dimension infinie car \( \overline{\partial } \)
n'est pas hypoelliptique en degr� 2. On explique ici comment rem�dier
� ce probl�me.

Fixons donc \( 2n-1=7 \). Comme pour \( k\geq 0 \), \( k\neq 3 \),
on a par le lemme \ref{lem-HP} \[
H^{1}(P^{1}\times P^{2},T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k))=0,\]
 on d�duit, comme dans le lemme \ref{lem-H1}, qu'en un poids \( k\geq 0 \),
\( k\neq 3 \), la cohomologie \( H^{1}(\tilde{\mathcal{C}}) \) s'annule.
Pour \( k=3 \), on a \[
H^{1}(P^{1}\times P^{2},T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(3,-3))=H^{0}(P^{1},\mathcal{O}(3))H^{1}(P^{2},T^{1,0}P^{2}(-3)),\]
 mais par le m�me raisonnement tenu pour traiter (\ref{for-H2P1P3}),
on montre que malgr� tout la cohomologie \( H^{1}(\tilde{\mathcal{C}}) \)
s'annule encore. Il en r�sulte finalement que \( H^{1}(\tilde{\mathcal{C}}) \)
est concentr� sur les poids \( k<0 \).

D'un autre c�t�, en reprenant les formules (\ref{for-H2a}) et (\ref{for-H2b}),
on voit que pour \( k\leq 0 \) \[
H^{2}(P^{1}\times P^{2},T^{1,0}\otimes \mathcal{O}(k,-k))=0,\]
 donc au contraire \( H^{2}(\tilde{\mathcal{C}}) \) est concentr�
sur les poids \( k>0 \).

En particulier, on voit que l'image du crochet \( H^{1}(\tilde{\mathcal{C}})H^{1}(\tilde{\mathcal{C}})\rightarrow H^{2}(\tilde{\mathcal{C}}) \)
est concentr� en degr�s n�gatifs, donc ne peut �tre que nulle dans
\( H^{2}(\tilde{\mathcal{C}}) \) :

\begin{lem}
L'application \[
H^{1}(\tilde{\mathcal{C}})H^{1}(\tilde{\mathcal{C}})\rightarrow H^{2}(\tilde{\mathcal{C}})\]
 induite par le crochet est identiquement nulle.\qed
\end{lem}
� partir de l�, il est assez facile de d�duire le lemme \ref{lem-carte}.
En effet, tout �l�ment de \( T_{0}\mathcal{J}^{\ell } \) peut �tre
repr�sent� par \[
\dot{\phi }+\overline{\partial }\upsilon ,\]
 o� \( \dot{\phi } \) est un repr�sentant � coefficients de Fourier
n�gatifs de la classe induite dans \( H^{1}(\tilde{\mathcal{C}}) \),
et \( \upsilon \in \tilde{\mathcal{C}}^{0} \). Pour \( \dot{\phi } \)
seul, le proc�d� de g�n�ration de \( \Phi (\dot{\phi }) \), comme
dans la d�monstration du lemme \ref{lem-carte}, par \[
\Phi (\dot{\phi })=\phi _{1}+\phi _{2}+\cdots ,\quad \phi _{1}=\dot{\phi },\quad \phi _{i}=-P\frac{1}{2}\sum _{1\leq j\leq i-1}[\phi _{j},\phi _{i-j}],\]
 fonctionne, puisqu'on reste avec des coefficients de Fourier n�gatifs,
alors que \( H^{2} \) est concentr� en poids positifs. Par des arguments
g�n�raux, cela signifie que la r�solution pour \( \dot{\phi }+\overline{\partial }\upsilon  \)
est �galement possible.

\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }
\providecommand{\og}{``}
\providecommand{\fg}{''}
\providecommand{\smfandname}{et}
\providecommand{\smfedsname}{\'eds.}
\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
\begin{thebibliography}{Ham77}

\bibitem[BE90]{BurEps90}
{\scshape D.~M. Burns {\normalfont \smfandname} C.~L. Epstein} -- {\og
  Embeddability for three-dimensional {C}{R}-manifolds\fg}, \emph{J. Amer.
  Math. Soc.} \textbf{3} (1990), no.~4, p.~809--841.

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{\scshape O.~Biquard} -- {\og M{\'e}triques autoduales sur la boule\fg},
  \emph{Invent. Math.} (2002).

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{\scshape J.~S. Bland} -- {\og Contact geometry and {C}{R} structures on
  ${S}\sp 3$\fg}, \emph{Acta Math.} \textbf{172} (1994), no.~1, p.~1--49.

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{\scshape D.~Catlin {\normalfont \smfandname} L.~Lempert} -- {\og {A note on
  the instability of embeddings of Cauchy-Riemann manifolds.}\fg}, \emph{J.
  Geom. Anal.} \textbf{2} (1992), no.~2, p.~99--104.

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{\scshape C.~L. Epstein} -- {\og C{R}-structures on three-dimensional circle
  bundles\fg}, \emph{Invent. Math.} \textbf{109} (1992), no.~2, p.~351--403.

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{\scshape R.~S. Hamilton} -- {\og Deformation of complex structures on
  manifolds with boundary. {I}. {T}he stable case\fg}, \emph{J. Differential
  Geom.} \textbf{12} (1977), no.~1, p.~1--45.

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{\scshape G.~K. Kiremidjian} -- {\og A direct extension method for {C}{R}
  structures\fg}, \emph{Math. Ann.} \textbf{242} (1979), no.~1, p.~1--19.

\bibitem[Lem92]{Lem92}
{\scshape L.~Lempert} -- {\og On three-dimensional {C}auchy-{R}iemann
  manifolds\fg}, \emph{J. Amer. Math. Soc.} \textbf{5} (1992), no.~4,
  p.~923--969.

\bibitem[OSS80]{OkoSchSpi80}
{\scshape C.~Okonek, M.~Schneider {\normalfont \smfandname} H.~Spindler} --
  \emph{Vector bundles on complex projective spaces}, Birkh\"auser Boston,
  Mass., 1980.

\end{thebibliography}


\smallskip{}
{\raggedleft \noun{Irma}, Universit� Louis Pasteur et \noun{Cnrs},\par}

{\raggedleft 7 rue Ren� Descartes, F-67084 Strasbourg Cedex\par}

\smallskip{}
\raggedleft \texttt{olivier.biquard@math.u-strasbg.fr}
\end{document}

math0202277.extracted_bib
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