M�thodes de Kashiwara-Vergne-Rouvi�re pour certains espaces sym�triques
Cet article est une suite de notre article \cite{To}. En utilisant une d�formation "� la Kontsevich" de la formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces sym�triques, on retrouve les r�sultats de Rouvi�re \cite{rou86}, sur la convolution des distributions invariantes, dans le cas des espaces sym�triques r�solubles et "tr�s sym�triques". \\ This paper follows our previous work \cite{To}. We study the case of symmetric spaces. We recover, by using a Kontsevich's deformation of the Baker-Campbell-Hausdorff formula, Rouvi�re's results \cite{rou86}, on the convolution of invariant distributions, for solvable symmetric spaces and "very symmetric spaces".
KVR.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%

\newtheorem{theo}{Th�or�me}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{cor}{Corollaire}
\newtheorem{rem}{Remarque}
\newtheorem{defi}{D�finition}
\newtheorem{lem}{Lemme}



%%%%%%%%%%%%%%%


\def\g{\mathfrak{g}}
\def\G{\Gamma}
%\def\un{\underline}
\def\ov{\overline}
\def\tr{\mathrm{tr}}
\def\ad{\mathrm{ad}}
\def\p{\mathfrak{p}}
\def\k{\mathfrak{k}}
\def\Exp{\mathrm{Exp}}
\newcommand{\R}{\mathrm{ I\! R}}
\newcommand{\C}{\mathrm{ I\!\!\!C}}


\begin{document}

\bibliographystyle{alpha}
\author{Charles Torossian\footnote{UMR 8553 du CNRS, DMA-ENS, Ecole Normale Sup�rieure, 45 rue d'Ulm 75230 Paris
cedex 05, Charles.Torossian@ens.fr}}
\title{ M�thodes de Kashiwara-Vergne-Rouvi�re pour certains espaces sym�triques}
\date{}
\maketitle





\begin{abstract} Cet article est une suite de notre article
\cite{To}. En utilisant une d�formation  "� la Kontsevich" de la
formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces sym�triques, on
retrouve les r�sultats de Rouvi�re \cite{rou86}, sur la convolution
des distributions invariantes, dans le cas des espaces sym�triques
r�solubles et "tr�s sym�triques".
\\

This paper follows our previous work \cite{To}. We study the case of
symmetric spaces. We recover, by using a Kontsevich's deformation of
the Baker-Campbell-Hausdorff formula, Rouvi�re's results
\cite{rou86}, on the convolution of invariant distributions, for
solvable symmetric spaces and "very symmetric spaces".
\end{abstract}
%
%
%
%
\section*{Introduction}
Dans notre article pr�c�dent \cite{To}, suivant les id�es �labor�es
par Kontsevich \cite{kont} pour la quantification formelle des
vari�t�s de Poisson et d�j� utilis�es dans \cite{ADS} et \cite{AST},
nous avons montr� comment r�soudre certaines conjectures sur la
formule de Campbell-Hausdorff (BCH in English). Plus pr�cis�ment,
nous avons construit une d�for\-mation de la formule BCH, qui
v�rifie une �quation diff�rentielle analogue � celle que l'on trouve
dans l'article  de Kashiwara-Vergne \cite{KV}. Ces �quations ont la
m�me utilit� que celles de l'article de Kashiwara-Vergne. En effet
elles permettent de montrer, comme dans \cite{ADS} et \cite{AST},
que l'application exponentielle modifi�e par la racine carr�e du
jacobien, transporte la convolution des distributions invariantes
sur les alg�bres de Lie (\cite{Du},\cite{KV}, \cite{Ve},\cite{Mo}).
\\

Dans cet article nous consid�rons le cas des espaces sym�triques.
\\

Dans notre m�moire d'Habilitation \cite{hab} nous avons par ailleurs
abord� certains probl�mes d'analyse harmonique pour les espaces
sym�triques. Nous avons notamment expliqu� en quoi le comportement
des espaces sym�triques est � la fois proche et �loign� du cas des
alg�bres de Lie. On peut dire en r�sumant grossi�rement, qu'il
existe une cat�gorie d'espaces sym�triques pour laquelle les
m�thodes des groupes fonctionnent bien (cas nilpotent, r�soluble,
$"G_{\C}/G_{\R}"$, cas "tr�s sym�trique"). Malheureusement le cas
g�n�ral des espaces sym�triques ne peut pas �tre trait� par des
m�thodes s'inspirant simplement du cas des groupes (voir la fin de
cet article pour  quelques remarques).
\\

Dans cet article nous allons d�former la formule de
Campbell-Hausdorff pour les espaces sym�triques g�n�raux.
\\

Nous montrerons que cette d�formation v�rifie, dans les "bons" cas
�voqu�s plus haut (r�soluble ou tr�s-sym�trique), des �quations
analogues au cas des groupes. On en d�duira que l'application
exponentielle modifi�e par la racine carr�e du d�terminant jacobien,
transporte la convolution des germes de distributions invariantes.
Nous retrouvons ainsi les r�sultats de Rouvi�re \cite{rou86} du cas
r�soluble.  Notre d�monstration fournit une preuve dans le cas tr�s
sym�trique ce qui, � notre connaissance, est un r�sultat nouveau.
\\



\noindent {\bf Remerciements:} L'auteur remercie M. Pevzner et le
d�partement de math�ma\-tiques l'Universit� Libre de Bruxelles (ULB)
pour leur invitation (fin janvier 2002). L'auteur y a finalis\'e les
r�sultats de cet article. Nous remercions aussi les organisateurs du
colloque Carmona pour leur invitation. Nous avons eu le plaisir d'y
pr\'esenter les r\'esultats de cet article.


\section{Rappels}

\subsection{Rappels sur la formule de Kontsevich}





La formule de Kontsevich associe � toute structure de Poisson
r�guli�re sur $\R^d$ un �toile-produit formel associatif. Ce n'est
qu'un cas particulier du th�or�me de formalit� d\'emontr\'e par
Kontsevich dans \cite{kont} th�or�me $6.4$.

Lorsque   $f$ et $g$ sont deux fonctions r�guli�res sur $\R^{d}$ et
$\alpha$ un deux-vecteur de Poisson r�gulier sur $\R^d$, Kontsevich
�crit dans \cite{kont} paragraphe $2$, la formule suivante :

\begin{equation}\label{formuleK}
f\star g=fg +\sum _{n=1}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}\sum_{\substack{\G
\in G_{n,2}\\ \Gamma {\mathrm admissible}}}w_{\Gamma} B_{\G}(f,g).
\end{equation}

Cette formule munit l'espace des fonctions r�guli�res sur $\R^d$
d'une structure associative formelle. Dans cette formule $h$ est un
param�tre formel, $G_{n,2}$ d�signe l'ensemble des graphes �tiquet�s
avec $n$ points de premi�re esp�ce et $2$ points de seconde esp�ce,
$\G$ est un graphe dit admissible parmi les graphes de $G_{n,2}$,
$w_{\Gamma}$ est un c\oe fficient obtenu par int�gration sur un
espace de configurations d'une forme diff�rentielle d�pendant de
$\G$ et $B_{\G}$ est un op�rateur bidiff�rentiel construit � partir
de $\G$.

Par souci de clart� et d'autonomie du texte nous allons pr�ciser
maintenant chacun des termes de cette formule et appliquer dans un
second temps cette formule dans le cas des structures de Poisson
lin�aires c'est-�-dire dans le cas du dual des alg�bres de Lie.

\subsubsection{Espaces de configurations}



On note par $\mathrm{Conf}_{n,m}$ l'espace des configurations de $n$
points distincts dans le demi-plan de Poincar� (ce sont les points
a�riens) et de $m$ points  distincts sur la droite r�elle (ce sont
les points terrestres). Le groupe:
$$G^{(1)} =\{z\mapsto az+b \hbox{ avec }(a,b)\in\R^*_+\times\R\}$$
agit librement sur $\mathrm{Conf}_{n,m}$. Le quotient~:
$$C_{n,m}=\mathrm{Conf}_{n,m}/G^{(1)}$$
est une vari\'et\'e de dimension $2n+m-2$. Compte tenu de l'action
de ce groupe sur les points terrestres, on peut identifier deux des
points terrestres aux points $0$ et $1$ (� condition que l'on ait
$m\geq 2$, sinon on peut identifier un des points a�riens au
complexe $i$). Dans \cite{kont} paragraphe $5.1$, Kontsevich
construit des compactifications de ces vari�t�s not�es
$\overline{C}_{n,m}$. Ce sont des vari�t�s � coins de dimension
$2n+m-2$. Ces vari�t�s ne sont pas connexes pour $m\geq 2$. On
notera par $\overline{C}^{+}_{n,m}$ la composante connexe qui
contient les configurations o� les points terrestres sont ordonn�s
dans l'ordre croissant (i.e.  on  a $\ov{1}< \ov{2}<\cdots<\ov{m}$).
On introduit de mani�re analogue des vari�t�s de configurations de
$n$ points dans le plan complexe modulo l'action du groupe
$G^{(2)}=\{z\mapsto az+b \hbox{ avec }(a,b)\in\R_+^*\times\C \}$. On
les note $C_n$, ce sont des vari�t�s de dimension $2n-3$. On note
$\overline{C_n}$ les compactifications associ�es (\cite{kont}
paragraphe $5.1$).

Ces vari�t�s sont stratifi�es et chaque strate est d�crite par un
arbre. En termes g�om�triques, les strates sont obtenues par
concentrations it\'er\'ees de points en des amas (\cite{kont}
paragraphe 5.2).


\subsubsection{Graphes admissibles}\label{defgrapheadmissible}
La notion de graphes  admissibles  est maintenant bien �tablie dans
la litt�ra\-ture. On d\'esigne par $G_{n,m}$ l'ensemble des graphes
\'etiquet\'es et orient\'es (les ar�tes sont orient�es) ayant $n$
sommets du premi�re esp�ce (sommets a�riens) et $m$ sommets du
deuxi�me esp�ce (sommets terrestres). Par graphe \'etiquet\'e on
entend un graphe $\Gamma$ muni d'un ordre total sur l'ensemble
$E_\Gamma$ de ses ar\^etes, compatible avec l'ordre des sommets.

Les graphes qui vont intervenir dans la formule de Kontsevich sont
dans $G_{n,2}$ et v�rifie des conditions suppl�mentaires. On dira
qu'ils sont admissibles (\cite{kont} paragraphe $6.1$ et paragraphe
$2$) si
\begin{enumerate}
\item Les ar�tes partent toutes des sommets de premi�re esp�ce.
\item Il part deux ar�tes de chaque sommet de premi�re esp�ce.
\item  Le but d'une ar\^ete est diff\'erent de sa source (il n'y a pas
de boucle).
\item Il n'y a pas d'ar\^etes multiples (m�me source, m�me but).
\end{enumerate}


\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{grapheadmissible.eps}
\caption{\footnotesize Graphe admissible (de type Lie)}\label{graphe
admissible}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Op�rateur diff�rentiel associ� � un graphe}

Soit $\G$ un graphe admissible de $G_{n,2}$. De tout point a�rien
$i$ partent deux ar�tes num�rot�es $(e_{i}^{a},e_{i}^{b})$.

Soit $\alpha$ un deux-vecteur sur $\R^{d}$. On peut alors associer �
tout graphe admissible un op�rateur bi-diff�rentiel sur $\R^{d}$
comme expliqu� dans \cite{kont} paragraphe $2$. On notera
$B_{\G}(f,g)$ l'op�rateur bidiff�rentiel associ� que l'on suppose
agir sur les fonctions $f$ et $ g$.

Expliquons heuristiquement la formule. Sur chaque sommet a�rien on
met le deux-vecteur et sur les sommets terrestres on met les
fonctions $f$ et $g$. Chaque ar�te arrivant sur un sommet d�rive la
fonction associ�e au sommet. On multiplie les fonctions ainsi
obtenues et on somme sur toutes les possibilit�s. Concr�tement la
formule est la suivante. Pour chaque ar�te $e$, on note par $s(e)$
le point a�rien source (d�part) et par $b(e)$ le point but
(arriv�e). Dans la formule ci-dessous $I$ d�crit l'ensemble  les
applications de l'ensemble des ar�tes $E_{\G}$ dans l'ensemble des
indices de coordonn�es $\{1, \cdots d\}$.



$$
B_{\Gamma,\alpha}(f,g) = \sum_{I} \bigg[\prod_{k=1}^n
\big(\prod_{\substack{e \in E_{\Gamma}\\ b(e) = k}}
\partial_{I(e)}\big) \alpha^{I(e_k^a)I(e_k^b)}\bigg]\big( \prod_{\substack{e
\in E_{\Gamma}\\b(e) = \ov{1}}}\partial_{I(e)}\big) f
\big(\prod_{\substack{e\in E_{\Gamma}\\ b(e) = \ov{2}}}
\partial_{I(e)}\big) g.$$




\subsubsection{Forme d'angles}

Soient deux points distincts $(p,q)$ dans le demi-plan de Poincar�
muni de la m�trique de Lobachevsky. On note
\begin{equation}
\phi(p,q)=\frac{1}{2i}\log(\frac{(q-p)(\overline{q}-p)}
{(q-\overline{p})(\overline{q}-\overline{p})}).
\end{equation}
C'est l'angle entre la g�od�sique $(p,\infty)$ et $(p,q)$ o�
l'infini peut �tre vu comme l'infini sur la droite r�elle (figure
[\ref{angle}])

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[]{angle.eps}
\caption{\footnotesize Fonction d'angle}\label{angle}
\end{center}
\end{figure}

La fonction d'angle s'�tend  � la compactification
 $\ov{C}_{2,0}$ en une fonction d'angle r�guli�re. La vari�t� $\ov{C}_{2,0}$ est
 pr�cis�ment d�crite dans l'article de Kontsevich
 (\cite{kont} paragraphe $5.2$), c'est le fameux \oe il (figure [\ref{oeil}]).
  On remarquera, mais c'est
tautologique vu la construction des compactifications, que lorsque
les points $p, q$ s'approchent selon un angle $\theta$, la fonction
d'angle vaut pr�cis�ment cet angle. Lorsque $p$ s'approche de l'axe
r�el la fonction d'angle est nulle et lorsque  $q$ s'approche de
l'axe r�el on obtient deux fois l'angle de demi-droite avec l'axe
r�el.


Comme la fonction d'angle est r�guli�re sur la compactification, on
peut consid�rer sa diff�rentielle qui est alors une $1$-forme sur
$\overline{C}_{2,0}$.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{oeil.eps}
\caption{\footnotesize La vari\'et\'e $\ov{C}_{2,0}$, dite \oe il de
Kontsevich }\label{oeil}
\end{center}
\end{figure}


\subsubsection{Poids associ� � un graphe}

Si $\Gamma$ est un graphe admissible dans $G_{n,2}$, alors  toute
ar�te $e$ d�finit par restriction une fonction d'angle not�e
$\phi_{e}$ sur la vari�t� $\overline{C}^{+}_{n,2}$. Le produit
ordonn�
\begin{equation}
\Omega_{\Gamma}=\bigwedge _{e \in E_{\Gamma}} d\phi_{e}
\end{equation}
est donc une $2n$-forme sur  $\overline{C}^{+}_{n,2}$ qui est de
dimension aussi $2n$. Le poids associ� sera donc

\begin{equation}
w_{\Gamma}=\frac{1}{(2\pi)^{2n}}\int_{\overline{C}^{+}_{n,2}}
\Omega_{\Gamma}.
\end{equation}

\subsubsection{Permutation des ar\^etes}

Soit $\Gamma$ un graphe admissible dans $G_{n,2}$ et $\alpha$ un
deux-vecteur r�gulier sur $\R^d$. Le groupe
$\underbrace{S_{2}\times\cdots\times S_{2}}_n$, produit des groupes
de permutations des ar\^etes attach\'es \`a chaque sommet, agit
naturellement sur $\Gamma$ par permutation de l'\'etiquetage des
ar\^etes. On v�rifie que l'on a ($\epsilon(\sigma)$ d�signe la
signature de la permutation $\sigma$):
\begin{eqnarray*}B_{\sigma.\Gamma}&=\varepsilon(\sigma)B_\Gamma
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}\label{permutation} w_{\sigma.\Gamma}&=\varepsilon(\sigma)w_\Gamma,
\end{eqnarray}
de sorte que le produit $w_\Gamma. B_\Gamma$ ne d\'epend pas de
l'\'etiquetage. On remarque aussi que le c\oe fficient $w_{\G}$ et
l'op�rateur $B_{\G}$ ne d�pendent pas de l'ordre des sommets.

\subsubsection{Principe de la d�monstration}
L'associativit� de l'�toile-produit d�fini par Kontsevich r�sulte de
deux ingr�\-dients. Le premier ingr�dient est la formule de Stokes
qui va donner des relations entre les c\oe fficients $w_{\G}$. Le
deuxi�me ingr�dient est un lemme fondamental (\cite{kont} lemme
$6.6$) qui assure que les concentrations a�riennes de plus de trois
points auront des contributions nulles. Au final le d�faut
d'associativit� de cet �toile-produit sera nul car le deux-vecteur
$\alpha$ est un deux-vecteur de Poisson (\cite{kont} paragraphe
$6.4$).


\subsection{Le cas lin�aire}\label{cas lineaire}

Soit $\g$ une alg�bre de Lie de dimension finie sur $\R$. L'espace
vectoriel dual $\g^*$ poss�de une structure de Poisson lin�aire
donn�e par la moiti� du crochet de Lie.  Ces deux notions sont
�quivalentes. Si $e_1, \cdots, e_d$ d\'esigne une base de $\g$,
$e_1^*, \cdots, e_d^*$ la base duale et $\partial_i$ la d\'eriv\'ee
dans la direction du vecteur  $e_i^*$,  alors le deux-vecteur de
Poisson associ� est
$\alpha=\frac{1}{2}\sum_{i,j}[e_i,e_j]\partial_i\otimes\partial_j$.



Dans ce cas (\cite{kont} th\'eor\`eme $8.3.1$) l'ordre des
op�rateurs $B_{\G}$ est suffisamment croissant de sorte que, lorsque
$f$ et $g$ sont deux fonctions polynomiales, la formule de
Kontsevich est en fait une somme finie. Cet �toile-produit v�rifie
pour $X, Y$ dans $\g$ (consid�r�s comme des fonctions lin�aires sur
$\g^*$) la relation
$$X\star Y-Y\star X=h[X,Y].$$
En localisant en $h=1$, l'�toile-produit de Kontsevich d�finit donc
sur l'alg�bre sym�trique $S[\g]$ une structure isomorphe \`a
l'alg�bre enveloppante de $\g$ (\cite{kont} th\'eor\`eme $8.3.1$).


\subsubsection{G�om�trie des graphes}

Dans le cas lin�aire, les graphes qui  vont intervenir de mani�re
non triviale dans la formule (\ref{formuleK}) ont une description
relativement simple. En effet chaque sommet de premi�re esp�ce ne
pourra recevoir qu'au plus une ar�te: ce sont par d\'efinition les
graphes pertinents (relevant graphs)  et on renvoie le lecteur �
l'article \cite{AST} paragraphe $3.1$ pour une description pr�cise
des graphes pertinents qui interviennent dans la formule finale. \\

En fait des arguments \'el\'ementaires (d\'etaill\'es dans
\cite{AST} paragraphe $3.1$) montrent que tout graphe admissible
pertinent se d�compose en produit de graphes simples. Il y a deux
types de graphes simples: ceux qui contiennent une seule roue (et
donc pas de racine) comme dans la figure [\ref{roue}] on les
appellera \textit{graphes de type roue } (\cite{AST} d�finition
$3.1.1$) et ceux qui contiennent une seule racine (et donc pas de
roue) comme dans la figure [\ref{graphe admissible}], ce sont les
\textit{graphes de type Lie} (\cite{Ka} d�finition $3.1$).

\subsubsection{Symbole de $B_{\G}$}



Dans  \cite{AST} paragraphe $3$ on a associ�  � chaque graphe
 admissible $\Gamma$ un symbole $a_{\G}$. C'est une fonction de
$\g\times \g$ � valeurs dans $S[\g]$   donn�e par la formule pour
$X,Y$ dans $\g$

$$a_{\G}(X,Y)=B_{\G}(e^X, e^Y)e^{-X-Y}.$$

Par exemple le symbole associ� au graphe de la figure [\ref{graphe
admissible}] est $$a_{\G}(X,Y)=\frac{1}{8}[[X,[X,Y]],Y]$$ et le
symbole associ� au graphe de la figure [\ref{roue}] est
$$a_{\G}(x,y)=\frac{1}{2^5}\tr_{\g}( \ad[X,Y]\, \ad X\, \ad Y \,\ad Y).$$


Lorsque le graphe est simple de type Lie, alors $a_{\G}(X,Y)$ est
naturellement un �l�ment de l'alg�bre de Lie engendr�e par $X$ et
$Y$. Lorsque $\G$ est produit de graphes simples, le symbole est le
produit des symboles associ�s (\cite{AST} lemme $3.6$).

\subsubsection{Formule de Campbell-Hausdorff en termes de graphes}

Comme d�montr� dans \cite{Ka} th\'er\`eme $5.1$, la formule de
Campbell-Hausdorff s'�crit alors pour $X$ et $Y$ dans $\g$ (la s�rie
est convergente pour $X$ et $Y$ proches de $0$)

\begin{equation}\label{eqCBH}
Z(X,Y)=X+Y +\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{\G}w_{\Gamma}
a_{\G}(X,Y).
\end{equation}

\noindent o� la somme porte sur les graphes simples de type Lie. Les
graphes qui contribuent de mani�re non triviale dans cette formule
n'ont donc qu'une racine et ne poss�dent pas de sym�tries. Par
cons�quent les graphes �tiquet�s (num�rot�s) associ�s � un graphe
g�om�trique (graphe orient� associ� pour lequel on oublie
l'�tiquetage) sont au nombre de $n!2^n$. Le terme $n!$ se compense
avec le terme  $\frac{1}{n!}$ et le terme $2^n$ dispara�t aussi car
on a pris le deux-vecteur de Poisson associ� � la moiti� du crochet
de Lie. On notera $\Gamma(X,Y)$ le symbole associ� au graphe
g�om�trique lorsqu'on prend le deux-vecteur
 de Poisson associ� au crochet de Lie. On a alors la formule
plus synth�tique suivante

\begin{equation}\label{eqCBHgeometrique}
Z(X,Y)=X+Y +\sum_{\Gamma }w_{\Gamma}\Gamma(X,Y)
\end{equation}
 o� la somme porte sur les graphes g�om�triques simples de type Lie.
On remarquera toutefois que le symbole $\Gamma(X,Y)$ est mal d�fini
si le graphe n'est pas �tiquet�. Pour r�soudre ce probl�me il suffit
de remarquer que c'est aussi le cas pour le c\oe fficient
$w_{\Gamma}$ et  que ces deux difficult�s se compensent gr�ce aux
�quations (\ref{permutation}).



\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{roue.eps}
\caption{\footnotesize Graphe simple de type Roue}\label{roue}
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Symbole formel de l'�toile-produit
dans le cas lin�aire et fonction de densit�}
 La propri�t� multiplicative du symbole et la
combinatoire sur les graphes assurent que le symbole formel associ�
� l'�toile-produit de Kontsevich est, dans le cas des alg�bres de
Lie, un produit de deux termes de type exponentiel correspondant aux
contributions des graphes simples de type Lie (c'est la formule de
Campbell-Hausdorff par \cite{Ka} th�or�me $5.1$) et des graphes
simples de type roue (c'est la fonction de densit� par \cite{AST}
proposition $3.7$). Le symbole formel vu dans $S[\g][[h]]$, v�rifie
alors (\cite{AST} proposition $3.8$)

\begin{equation}\label{eqstar}
\big(\exp(X)\star\exp(Y)\big)\exp(-X-Y)
=D(hX,hY)\exp\big(\frac{1}{h}Z(hX,hY)-X-Y\big)
\end{equation}
avec $D(X,Y)$ la fonction de densit� (s�rie convergente pour $X$ et
$Y$ proches de $0$) :
\begin{equation}
D(X,Y)=\exp\Big(\sum_{\Gamma  }w_{\Gamma}\Gamma(X,Y)\Big)
\end{equation}
o� la somme porte sur l'ensemble des graphes g�om�triques simples et
de type roue. On montre (\cite{AST} proposition $3.12$) que cette
fonction vaut

\begin{equation}\label{eqdensite}
D(X,Y)=\frac{j^{1/2}(X)j^{1/2}(Y)}{j^{1/2}(Z(X,Y))}
\end{equation}
avec $j$ le d�terminant jacobien de l'application exponentielle �
savoir
\begin{equation}\label{fonctionj}
j(X)=\det_\g\Big(\frac{1-\exp(-\ad X)}{\ad X}\Big).
\end{equation}

\subsection{Rappel sur les espaces sym�triques}
Soit $\g$ une alg�bre de Lie de dimension finie sur $\R$, on appelle
paire sym�trique, tout couple $(\g, \sigma)$ avec $\sigma$ une
automorphisme de Lie involutif. Habituellement on note $\g=\k\oplus
\p $  la d�composition en espaces propres relativement � $\sigma$.

Lorsque $\g$ est l'alg�bre de Lie d'un groupe de Lie $G$ (connexe et
simplement connexe) et $\sigma$ la diff�rentielle d'un involution de
$G$ (un automorphisme de groupe v�rifiant $\sigma^2=1$), on note
 $G^{\sigma}$ le sous-groupe des points fixes de $\sigma$ dans $G$ et
$K$ la  composante connexe de $G^{\sigma}$ qui contient l'�l�ment
neutre $e$. L'espace $G/K$ est appel� espace sym�trique. Alors $\k$
est l'alg�bre de Lie de $K$, mais
 en g�n�ral $\p$ n'est pas une sous-alg�bre de Lie car on a
 les relations suivantes $[\k, \p] \subset \p$ et $[\p, \p]\subset \k$.
 On peut identifier
 $\p$ \`a l'espace tangent $T_{eK}(G/K)$. Il existe cependant
 sur $\p$ un produit
 triple donn� par la formule pour $X,Y,Z$ dans $\p$
\begin{equation}
(X, Y, Z) \mapsto [[X, Y], Z].
\end{equation}
Les espaces vectoriels munis de produits triples sont pour les
espaces sym�triques, ce que sont les alg�bres de Lie pour les
groupes de Lie (\cite{loos} \textbf{vol I}, paragraphe II-$2$).

L'application exponentielle d�finit un diff�omorphisme local de $\p$
sur $G/K$. On la note $\Exp$ et on notera $\exp_{\g}$ l'application
exponentielle de $\g$ dans $G$. On en d�duit alors l'existence d'une
formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces sym�triques, d�finie
de la mani�re suivante. Pour $X$ et $Y$ dans $\p$ proches de $0$, il
existe une s�rie convergente $Z_{sym}(X,Y)$ � valeurs dans $\p$
telle que l'on ait
$$\exp_{\g}(X)\Exp(Y)=\Exp\big(Z_{sym}(X,Y)\big).$$
En utilisant l'involution $\sigma$ on trouve facilement
\begin{equation}
\exp_{\g}(2Z_{sym}(X,Y))=\exp_{\g}(X)\exp_{\g}(2Y)\exp_{\g}(X).
\end{equation}
Cela nous sugg�re de modifier le crochet de Lie pour $\g$ et de
prendre plut�t deux fois le crochet. Notons $\g_2$ l'alg�bre de Lie
ainsi obtenue et $G_2$ le groupe de Lie connexe et simplement
connexe associ�. Notons $\exp_{\g_2}$  l'application exponentielle
associ�e. On aura alors (le membre de droite est calcul� dans $G_2$)


\begin{equation}\label{eqsym}
\exp_{\g_2}\big(Z_{sym}(X,Y)\big)=
\exp_{\g_2}(X/2)\cdot\exp_{\g_2}(Y)\cdot\exp_{\g_2}(X/2).
\end{equation}


\section{M�thodes de d�formation pour les espaces sym�triques}

\subsection{Calcul de la formule de Campbell-Hausdorff}
Comment exprimer maintenant $Z_{sym}(X,Y)$ en termes de diagrammes?
Cela revient � se demander comment on calcule les produits it�r�s de
l'�toile-produit. La proposition suivante r�sout la question (voir
l'article
\cite{kont} paragraphe $8.3.3.2$ pour un calcul analogue). \\

On consid�re $G_{n,3}$ l'ensemble des graphes �tiquet�s avec $n$
points a�riens et $3$ points terrestres. On place les points
terrestres en $0, s, 1$ avec $s\in ]0,1[$ (figure
[\ref{graphes3pts}]). On �tend la notion de graphes admissibles aux
graphes de $G_{n,3}$ (voir section \ref{defgrapheadmissible}).

Notons $w_{\Gamma}(s)$ la valeur du c\oe fficient obtenu par
int�gration de la forme $\Omega_{\G}$ sur les configurations � $s$
fixe (en d'autres termes on int�gre sur les points a�riens).
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{graphes3pts.eps}
\caption{\footnotesize Graphe avec trois points
terrestres}\label{graphes3pts}
\end{center}
\end{figure}
On consid�re la structure de Poisson lin�aire sur $\g^*$, donn�e par
la moiti� du crochet de Lie. On note $\alpha$ le deux-vecteur
associ�.
\begin{prop}
Pour $f,g,h$ trois fonctions r�guli�res sur $\g^*$ on a
$$f\star g\star k= fgk +\sum _{n=1}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!}
\sum_{\substack{\G \in G_{n,3}\\ \G
\mathrm{admissible}}}w_{\Gamma}(s) B_{\G}(f,g,k).$$

\end{prop}
\noindent {\bf Preuve:} On doit montrer deux choses, d'une part que
l'expression de droite est ind�pen\-dante de $s$ et qu'elle vaut
bien le terme de gauche.

On utilise le calcul de la d�riv�e de $w_{\Gamma}(s)$  comme dans
\cite{To} paragraphe $4.1$. Cela revient � utiliser la formule de
Stokes  de mani�re infinit�simale qui est � la base de
l'associativit� (\cite{kont} paragraphe $6.4$). En pratique cela
veut dire que l'on doit concentrer des points. Comme les points $0,
s, 1$ sont sur l'axe r�el, les concentrations que l'on doit
effectuer sont a�riennes (sinon pour des raisons de dimension on se
retrouve dans le cas \cite{kont} paragraphe $6.4.2.2$). Les
concentrations de plus de trois points a�riens sont nulles
(\cite{kont} lemme $6.6$). Les seules expressions non nulles,
proviennent alors des concentrations de deux points a�riens. Elles
se compensent par l'identit� de Jacobi, � savoir $[\alpha,
\alpha]_S=0$ (crochet de Schouten). Le terme de droite est donc
constant.

Maintenant lorsque $s$ tend vers $0$, on obtient toutes les
concentrations de $p$ points a�riens avec leurs $2p$ ar�tes. En
effet, il faut tenir compte des composantes de bord dans les
compactifications des espaces de configurations (\cite{kont}
$6.4.2.1$).  Le r�sultat vaut alors la factorisation
$$(f\star g)\star k.$$ On en retrouve l'associativit� de l'�toile-produit en
consid�rant la limite quand $s$ tend vers $1$.$\Box$
\\

\noindent \textbf{Remarque : } Dans la proposition ci-dessus on n'a
pas utilis� le fait que la structure de Poisson �tait lin�aire, on
en d�duit que cette proposition est vraie pour tout deux-vecteur de
Poisson.
\\

\noindent Pla�ons maintenant le point m�dian en $s=\frac{1}{2}$. On
place en $0$ la fonction $\exp(X/2)$, en $\frac{1}{2}$ la fonction
$\exp(Y)$ et en $1$ la fonction $\exp(X/2)$. On s'int�resse � la
contribution des termes dans

$$\exp(X/2)\star\exp(Y)\star \exp(X/2)=$$
\begin{equation}\label{starSym} \exp(X+Y)+\sum
_{n=1}^{\infty}\frac{h^n}{n!}\sum_{\substack{\G \in G_{n,3}\\
\G\mathrm{admissible}} }w_{\Gamma}(\frac{1}{2})
B_{\G}\Big(\exp(X/2), \exp(Y),\exp(X/2)\Big).
\end{equation}
Le bivecteur de Poisson intervenant est comme d'habitude la moiti�
du crochet de Lie (n'oublions pas que l'on travaille dans $\g_2$).
On fait maintenant intervenir la sym�trie par rapport � la droite
$x=\frac{1}{2}$. Si $\G$ est un graphe, on note $\G^{\wedge}$ le
graphe sym�tris�. Clairement, les quantit�s
$$B_{\G}\Big(\exp(X/2), \exp(Y),\exp(X/2)\Big)$$ et
$$B_{\G^{\wedge}}\Big(\exp(X/2), \exp(Y),\exp(X/2)\Big)$$ sont �gales. Par
contre on a $w_{\G^{\wedge}}=(-1)^n w_{\G}$. On en d�duit que les
contributions des termes avec $n$ impair sont nulles.
\\

La g�om�trie et la combinatoire des graphes intervenant dans la
formule (\ref{starSym}) est clairement identique � celle du
paragraphe \ref{cas lineaire}. On �tend donc toutes les notions
rappel�es au paragraphe \ref{cas lineaire}.
\\

On note de la m�me fa�on que pr�c�demment le symbole de l'op�rateur
$B_{\G}$ lorsqu'on prend pour deux-vecteur de Poisson le crochet de
Lie de $\g_2$. On a donc
\begin{equation}\label{symbolesym}
\G(X,Y)=B_{\G}\Big(\exp(X/2), \exp(Y),\exp(X/2)\Big)\exp(-X-Y).
\end{equation}
On en d�duit, comme dans l'�quation (\ref{eqstar}), que le membre de
gauche dans (\ref{starSym}) est un produit de deux termes de type
exponentiel correspondant aux contributions des graphes simples de
type roue et aux contributions des graphes simples de type Lie. La
contribution dans (\ref{starSym})  des graphes admissibles dont les
composantes simples sont de type Lie calcule le terme de droite dans
(\ref{eqsym}) (c'est le th�or�me $5.1$ de \cite{Ka}). Par cons�quent
la contribution des graphes simples de type Lie dans (\ref{starSym})
correspond � la formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces
sym�triques par (\ref{eqsym}).
\\

En consid�rant les graphes g�om�triques associ�s, on en d�duit comme
pour la formule (\ref{eqCBHgeometrique}) la proposition suivante :
\begin{prop}
La formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces sym�triques
s'�crit pour $X$ et $Y$ dans $\p$ :
$$Z_{sym}(X,Y)=X+Y+ \sum_{\G} w_{\Gamma}(\frac{1}{2}) \G(X,Y)$$
avec la somme portant sur les graphes simples g�om�triques de type
Lie avec trois points terrestres. En particulier on a bien
$Z_{sym}(X,Y) \in \p$.
\end{prop}


Pour les m�mes raisons que \cite{ADS} lemme $2.2$ et $2.3$ ou
\cite{AST} proposition $3.9$, les s�ries associ�es sont convergentes
pour $X$ et $Y$ dans $\p$ proches de $0$. On peut donc prendre $h=1$
et on obtient
\begin{equation}
\exp(X/2)\star\exp(Y)\star
\exp(X/2)=D_{sym}(X,Y)\exp\big(Z_{sym}(X,Y)\big).
\end{equation}
Notons $J_{\g}(X)$ le jacobien de l'application $\Exp$. On a la
formule classique
\begin{equation}
J_{\g}(X)=\det_\p\Big(\frac{\sinh \ad X}{\ad X}\Big).
\end{equation}
En utilisant la fonction de densit� (\ref{eqdensite}) pour les
alg�bres de Lie  et l'associativit� de l'�toile-produit, on peut
calculer sans difficult� la fonction de densit� $D_{sym}(X,Y)$. On
obtient
\begin{equation}\label{eqdensitesym}
D_{sym}(X,Y)=\frac{j_{\g_2}(X/2)j_{\g_2}(Y)^{1/2}}{j_{\g_2}(Z_{sym}(X,Y))^{1/2}}
\end{equation}
o� la fonction $j_{\g_2}$ (\ref{fonctionj}) est calcul�e pour le
crochet double. Or pour $X\in \p$ on a
$$j_{\g_2}(X)=\exp(-\tr_{\g}(\ad X)) J_{\g}(X)^2$$ avec membre de
droite calcul� pour le crochet simple. On en d�duit le lemme
\begin{lem}
On a la formule
\begin{equation}\label{eqdensitesymbis}
D_{sym}(X,Y)=\frac{J_{\g}(X/2)^2 J_{\g}(Y)}{J_{\g}(Z_{sym}(X,Y))}.
\end{equation}
\end{lem}
\subsection{Premi�re D�formation}
On va effectuer maintenant une premi�re d�formation de la formule de
Camp\-bell-Hausdorff et de la fonction de densit�. Elle consiste �
d�former les c\oe fficients $w_{\G}$ en d�pla�ant les points
terrestres dans le demi-plan de Poincar� (\cite{kont} $8.2.3$).
\\

La premi�re d�formation correspond typiquement au graphe de la
figure [\ref{premiereDeformation}] o� la position du point associ� �
$\exp(Y)$ est rep�r� par la variable $t$. Cette variable d�signe la
position du point dans $\ov{C_{1,2}}^+$, avec le point a�rien sur la
droite d'�quation $x=\frac{1}{2}$. Cela revient � consid�rer des
graphes simples de type Lie de $G_{n,3}$, o� on a plac� les points
de deuxi�me esp�ce en $(0,t,1)$.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{dessinSym.eps}
\caption{\footnotesize Premi�re d�formation typique
}\label{premiereDeformation}
\end{center}
\end{figure}

On ajoute un indice $t$ pour signifier la d�pendance en $t$. La
r�gle concernant les sym�tries dans les c\oe fficients $w_{\G}(t)$
joue de la m�me fa�on que pr�c�demment. Seuls les termes avec un
nombre pair de sommets de premi�re esp�ce vont intervenir.

On effectue comme dans \cite{To} paragraphe $4.1$ le calcul de la
d�riv�e de la fonction
\begin{equation} Z_{sym,t}(X,Y)= X+Y+ \sum_{\G}
w_{\Gamma}(t) \G(X,Y). \end{equation} On ne doit consid�rer que les
concentrations d'un point a�rien sur $\exp(Y)$, les autres
concentrations donnant soit directement $0$ (\cite{kont} lemme
$6.6$) soit s'annulant par compensation due � l'identit� de Jacobi.
On se retrouve avec des c\oe fficients d�riv�s correspondant � des
graphes du genre de la figure [\ref{coefderive}].

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{coefderive.eps}
\caption{\footnotesize Contribution Type dans la
d�riv�e}\label{coefderive}
\end{center}
\end{figure}
Le c\oe fficient $w_{A,B}(t)$ correspondant � un graphe comme dans
la figure [\ref{coefderive}] contient un terme en $dt$. Pour les
m�mes raisons que celles expliqu�es dans \cite{To} proposition
$4.1$, le c\oe fficient $w_{A,B}(t)$ se factorise en un produit
$\widetilde{w_{A}}(t)w_{B}(t)$ o� $w_B(t)$ se calcule � $t$ constant
et $\widetilde{w_A}(t)$ contient toute la contribution de la
diff�rentielle en $t$. En regroupant les graphes qui d�g�n�rent de
la m�me mani�re, on fait appara�tre un terme, au niveau des
symboles,  du genre
\begin{equation}
\partial_{Y}B(X, Y)\cdot [Y, A(X,Y)]
\end{equation}
o� $A, B$ d�signent par abus les symboles des graphes $A, B$. Ces
graphes sont forc�ment des graphes simples admissibles de type Lie
(avec points de deuxi�me esp�ce plac�s en $(0,t,1)$). Remarquons par
ailleurs qu'il s'agit bien du crochet de Lie, car on a pris le
deux-vecteur de Poisson associ� au crochet de Lie. Pour des raisons
de sym�trie, on aura une contribution non triviale des c\oe
fficients lorsque le graphe $B$ a un nombre pair de sommets de
premi�re esp�ce et le graphe $A$ un nombre impair de sommets  de
premi�re esp�ce (� cause de l'ar�te qui joint le point maintenant
a�rien $t$ � la racine de $A$). La factorisation du c\oe fficient
permet alors de tout factoriser comme dans \cite{To} th�or�me $4.2$
:


\begin{equation}\sum_{A,B} w_{A,B}(t) [Y,A(X,Y)]\cdot
\partial_{Y}B(X,Y)=\sum_{A,B}w_{B}(t)\widetilde{w_{A}}(t)[Y,A(X,Y)]\cdot
\partial_{Y}B(X,Y)
\end{equation}
\begin{equation}
[Y, \sum_{A}\widetilde{w_{A}}(t)A(X,Y)]\cdot
\partial_{Y} \left(\sum_{B} w_{B}(t) B(X,Y)\right)=[Y,F_t]\cdot
\partial_{Y}Z_{sym,t}(X,Y). \end{equation}




La convention des signes de \cite{AMM} $I.2.1$, pour l'orientation
des strates donne le signe final. Par ailleurs l'�tiquetage des
graphes n'a plus d'importance une fois qu'on a consid�r� le produit
du c\oe fficient et du symbole (car il y a compensation des signes).
On peut donc travailler directement avec les graphes g�om�triques.

Pour la fonction de densit� on proc�de comme dans \cite{To}
paragraphe $5.2$ et on obtient alors les m�mes �quations que celles
que nous avons �tablies dans \cite{To} th�or�me $4.2$ et th�or�me
$5.2$. Par suite on peut �noncer le th�or�me suivant :

\begin{theo}\label{equationdiff}Soit $(\g, \sigma)$ une paire
sym�trique r�elle. Il existe une s�rie convergente en $X, Y$ dans un
voisinage de $0$ dans  $\p$, on la note $F_{t}(X,Y)$. Elle est �
valeurs dans $\k$ et c'est une $1$-forme en $t$. Il existe une
d�formation de la formule de Campbell-Hausdorff pour les espaces
sym�triques, on la note $Z_{sym, t}(X,Y)$ et  il existe enfin une
d�formation de la fonction de densit�, on la note $D_{sym, t}(X,Y)$
telles  que l'on ait
\begin{equation}\label{eqdiffCBH}{ \mathrm d}Z_{sym,
t}(X,Y)=[Y,F_{t}(X,Y)]\cdot
\partial_{Y}Z_{sym, t}(X,Y)
\end{equation}
 et
\begin{equation}\label{eqdiffdensite}{ \mathrm d}D_{sym, t}(X,Y)=[Y,F_{t}(X,Y)]\cdot \partial_{Y}D_{sym,
t}(X,Y)+ \tr_{\g}\Big(D_{Y}F_t \circ \ad (Y)\Big)D_{sym,
t}(X,Y).\end{equation}
\end{theo}
\noindent La $1$-forme $F_{t}(X,Y)$, correspond �
\begin{equation} \sum_{A}\widetilde{w_A}
(t)A(X,Y) \end{equation}
 avec $A$ un graphe simple g�om�trique de
type Lie (o� les points de deuxi�me esp�ce sont plac�s en $(0,
t,1)$) et $w_A$ le c\oe fficient calcul� en ajoutant une ar�te du
point $t$ vers le sommet de $A$ comme dans la figure
[\ref{coefderive}]. La notation $D_Y F_t(X,Y)$ signifie que l'on a
pris la diff�rentielle partielle de $F_t$ en $Y$.

\subsection{Modification de la fonction de densit� pour les espaces
\\ sym�triques: cas r�soluble et tr�s sym�trique} Les �quations
obtenues dans le th�or�me pr�c�dent ne sont pas satisfaisantes du
point de vue des espaces sym�triques. En effet au lieu de trouver
une $\tr_{\g}$ on aurait aim� trouver une $\tr_{\k}$ dans
(\ref{eqdiffdensite}).

Comme $D_{Y}F_t$ et $\ad (Y)$ sont des endomorphismes de $\g$ qui
envoient $\k$ sur $\p$ et $\p$ sur $\k$, on en d�duit que l'on a
\begin{equation}
\tr_{\p}\Big(\ad(Y)\circ D_{Y}F_t\Big)=\tr_{\k}\Big(D_{Y}F_t \circ
\ad (Y)\Big)
\end{equation}
puis \begin{equation}\label{tracesurp}\tr_{\g}\Big(D_{Y}F_t \circ
\ad (Y)\Big)=2\tr_{\p}\Big(\ad(Y)\circ
D_{Y}F_t\Big)-\tr_{\k}\Big([D_{Y}F_t, \ad (Y)]\Big)
\end{equation}
\begin{lem}[\cite{rou86} page $573$]\label{lemmerou}
Pour les espaces sym�triques r�solubles et les paires tr�s
sym�triques le commutateur $[D_{Y}F_t, \ad (Y)]$  est \`a trace
nulle sur $\k$.
\end{lem}
On en d�duit alors, que l'on peut transformer facilement les traces
sur $\g$ en des traces sur $\p$ � condition que le terme
$\tr_{\k}([D_{Y}F_t, \ad Y])$ soit nul. C'est exactement l'argument
de Rouvi�re. En particulier on trouve que ce terme est nul dans le
cas des paires sym�triques r�solubles et des paires tr�s sym�triques
(\cite{rou86} paragraphe $5.3$). Une paire tr�s sym�trique est la
donn�e d'une paire sym�trique et d'un automorphisme commutant aux
$\ad X $ et qui envoie $\p$ sur $\k $ et $\k$ sur $\p$ (\cite{rou86}
paragraphe $5$). Pour les paires tr�s sym�triques on a facilement
(\cite{rou86} paragraphe $5.3$ page $573$)
\begin{equation}
\tr_{\k}\Big(D_{Y}F_t \circ \ad Y\Big)=\tr_{\p}\Big(D_{Y}F_t \circ
\ad Y\Big)=\tr_{\k}\Big(\ad Y \circ D_{Y}F_t\Big).
\end{equation}
Des exemples connus de paires tr�s sym�triques, sont les paires
$\g\times\g/\g$ et $\g_{\C}/\g_{\R}$. Dans le premier cas, on prend
$(X,Y) \mapsto (X, -Y)$ et dans le second cas on prend la
multiplication par $i$.
\\

\noindent {\bf Conclusion: } Dans le cas des espaces sym�triques il
est utile de prendre la racine carr�e de la fonction de densit� pour
obtenir une trace sur $\k$ (afin de compenser le c\oe fficient $2$
dans (\ref{tracesurp})).
\subsection{Calcul de la fonction de densit� � l'infini}
On fait tendre $t$ vers l'infini, ce qui revient au m�me de fixer le
point a�rien en $\frac{1}{2} +i$ et de faire tendre les deux points
terrestres vers $\frac{1}{2}$. On d�termine facilement la valeur de
la fonction de densit� � l'infini.
\\

Avant cela introduisons une autre fonction de densit� que l'on note
$E_{1/2}(X,Y)$,  correspondant aux contributions des graphes
admissibles dont les composantes simples sont de type roue  et dont
les points de deuxi�me esp�ce sont plac�s en $\frac{1}{2}$
(correspondant � $\exp(X)$) et en $\frac{1}{2} +i$ (correspondant �
$\exp(Y)$) (voir figure [\ref{densite2}]). Par ailleurs les points
de premi�re esp�ce sont associ�s au deux-vecteur de Poisson associ�
au crochet de Lie.
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{densite2.eps}
\caption{\footnotesize Contribution Type dans la fonction de densit�
$E_{1/2}(X,Y)$ }\label{densite2}
\end{center}
\end{figure}


De mani�re analogue on notera $\exp (Z_{1/2}(X,Y))$ la contribution
des graphes admissibles dont les composantes simples sont de type
Lie et dont les points de deuxi�me esp�ce sont plac�s en
$\frac{1}{2}$  et en $\frac{1}{2} +i$ (voir figure
[\ref{dessinsym2}]).
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{dessinsym2.eps}
\caption{\footnotesize Contribution Type dans $Z_{1/2}$
}\label{dessinsym2}
\end{center}
\end{figure}

\begin{prop}
 Lorsque le point $t$ tend vers l'infini dans la direction imaginaire, on obtient
\begin{equation}\label{eqdensiteinfini}
D_{sym, \infty}(X,Y)=E_{1/2}(X,Y)\frac{J_{\g}^2(X/2)}{J_{\g}(X)}
\end{equation}
\end{prop}
\noindent {\bf Preuve: } En approchant les deux points terrestres
vers $\frac{1}{2}$, on doit tenir compte de toutes les
concentrations de points a�riens sur ces points terrestres. Cela
ajoute un terme correspondant � la fonction de densit� pour les
alg�bres de Lie (\ref{eqdensite}), o� l'on place $\exp(X/2)$ et
$\exp(X/2)$ aux points terrestres, ce qui donne
$$\frac{j_{\g_2}(X/2)}{j_{\g_2}(X)^{1/2}}=\frac{J_{\g}^2(X/2)}{J_{\g}(X)}. \Box $$

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{paupiereMoitie.eps}
\caption{\footnotesize Le point de d�formation reste sur l'axe
$x=\frac{1}{2}$ }\label{paupiereMoitie}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Interpr�tation dans l'\oe il de Kontsevich}
Lorsqu'on a rapproch� nos deux points terrestres en $\frac{1}{2}$,
on retrouve des graphes admissibles o� les points de seconde esp�ce
sont plac�s en  $(\frac{1}{2} +i,\frac{1}{2})$. C'est donc un point
dans $\ov{C_{2, 0}}$ positionn� sur la paupi�re de l'\oe il et sur
l'axe de sym�trie voir figure ([\ref{paupiereMoitie}]). Cela
explique notre choix de notation : on est � la moiti� sur la
paupi�re.




\subsection{Application � la convolution des distributions
$K$-invariantes sur les espaces sym�triques r�solubles ou tr�s
sym�triques}

En reprenant d'une part les arguments �nonc�s dans \cite{AST}
paragraphe $4$ et \cite{KV} paragraphe $2$ sur la convolution des
germes de distributions invariantes et  d'autre part les d�finitions
de \cite{rou86} paragraphe $3$ pour la convolution  sur $\p$, on
d�duit le th�or�me suivant (pour simplifier les notations on a not�
$J$ pour $J_{\g}$) :

\begin{theo}\label{theoconv}
Soit $(\g, \sigma)$ une paire sym�trique r�soluble ou tr�s
sym�trique. Soient $u(x)$ et $v(y)$ des germes de distributions $\ad
\k$-invariantes en $0$ dans $\p$ � supports compatibles. On a alors
la formule suivante \begin{eqnarray*}\left\langle u(x)v(y),
\frac{J^{1/2}(x)J^{1/2}(y)}{J^{1/2}(z_{sym}(x,y))}
\Phi(z_{sym}(x,y))\right\rangle = \left\langle u(x)v(y),
E_{1/2}^{1/2}(x,y)\Phi(z_{1/2}(x,y))\right\rangle
\end{eqnarray*}
\noindent pour $\Phi$ une fonction test � support dans un voisinage
de $0$ dans $\p$.
\end{theo}
\noindent {\bf Preuve:} Les probl�mes de convergence et la
d�finition de supports compatibles sont �tudi�s dans \cite{rou86}
paragraphe $3.3$. La m�thode est par ailleurs strictement identique.
On se contente donc de la partie formelle.

On a introduit une d�formation de la formule de Campbell-Hausdorff
et de la fonction de densit�. On a donc une d�pendance en $t$
\begin{equation}
\Psi(t)=\left\langle u(x)v(y), D_{sym,
t}^{1/2}(x,y)\Phi(z_{sym,t}(x,y)) \right\rangle  .
\end{equation}
On calcule facilement la d�riv�e en $t$, compte tenu des �quations
(\ref{eqdiffCBH}) et (\ref{eqdiffdensite}) du th�or�me
\ref{equationdiff}. L'invariance du germe $v(y)$ signifie que l'on a
\begin{equation}
v(y)[y,F_{t}(x,y)]\cdot \partial_y=-\tr_{\p}\Big( \ad(y)\circ
D_{Y}F_t\Big)v(y),
\end{equation}

On obtient alors
\begin{equation}
\Psi'(t)=\left\langle u(x)v(y), m_t(x,y)D_{sym,
t}^{1/2}(x,y)\Phi(z_{sym,t}(x,y)) \right\rangle
\end{equation}
avec $m_t(x,y)= -\frac{1}{2}\tr_{\k}([D_{Y}F_t, \ad y])$. En effet
l'invariance fait dispara�tre le terme en $\tr_{\p}$ dans
(\ref{tracesurp}) (n'oublions pas que l'on a pris la racine carr�e).
Lorsque $(\g,\sigma)$ est une paire tr�s sym�trique ou une paire
r�soluble, la  trace sur $\k$ du crochet est nulle par le lemme
\ref{lemmerou}. On en d�duit que la fonction $\Psi$ est constante.

Il vient $\Psi(0)=\Psi(\infty)$, puis en utilisant
(\ref{eqdensitesymbis}) et (\ref{eqdensiteinfini})
\begin{eqnarray}
\left\langle u(x)v(y), \frac{J(x/2)
J(y)^{1/2}}{J(z_{sym}(x,y))^{1/2}}\Phi(z_{sym}(x,y))\right\rangle = \nonumber\\
\left\langle u(x)v(y),
E_{1/2}^{1/2}(x,y)\frac{J(x/2)}{J(x)^{1/2}}\Phi(z_{1/2}(x,y))
\right\rangle  .
\end{eqnarray}
En changeant un peu l'ordre des termes et en simplifiant par
$J(x/2)$ (la fonction $J$ est invariante par $K$ et l'�nonc� vaut
pour tous germes de  distributions invariantes) on trouve
\begin{eqnarray}
\left\langle u(x)v(y),
\frac{J(x)^{1/2}J(y)^{1/2}}{J(z_{sym}(x,y))^{1/2}}\Phi(z_{sym}(x,y))
\right\rangle= \nonumber\\ \left\langle u(x)v(y),
E_{1/2}^{1/2}(x,y)\Phi(z_{1/2}(x,y)) \right\rangle  . \hfill
\Box\end{eqnarray}

\noindent {\bf Conclusion:} dans les cas de paires sym�triques
�tudi�es, on a trouv� une d�formation ad�quate vis � vis de la
convolution des germes de distributions invariantes sur les espaces
sym�triques.

\subsection{Deuxi�me d�formation}

On utilise maintenant la deuxi�me d�formation, qui consiste �
d�placer dans $\ov{C_{2,0}}$ notre point de la paupi�re vers l'iris
de l'\oe il tout en restant sur l'axe de sym�trie vertical de l'\oe
il. En d'autres termes, on fait se rapprocher les deux points  de
seconde esp�ce  sur l'axe $x=\frac{1}{2}$.
\\

C'est la d�formation que l'on a utilis� dans \cite{To}. La situation
est alors stricto sensu identique. Les �quations que l'on obtient
sont celles de \cite{To} th�or�me $4.2$ et th�or�me $5.2$. Compte
tenu des sym�tries pour les c\oe fficients et le fait que $X$ et $Y$
sont dans $\p$, il est certain que nos champs adjoints sont dans
$\k$. Comme on restreint notre �tude au cas des espaces sym�triques
r�solubles ou tr�s sym�triques, on peut gr�ce au lemme
\ref{lemmerou}, transformer dans l'�quation diff�rentielle
(\ref{eqdiffdensite}) la trace sur $\g$ en une trace sur $\k$ (ou
sur $\p$) � condition de prendre la racine carr�e de la fonction de
densit�.

Sur l'iris de l'\oe il cette fonction de densit� vaut $1$ d'apr�s
\cite{sh} et la d�formation de CBH v�rifie $Z_{1/2, iris}(X,Y)=X+Y$.
On a donc �tabli le th�or�me suivant (on note $J$ pour $J_{\g}$):

\begin{theo}\label{theoconvfinal}
Soit $(\g, \sigma)$ une paire sym�trique r�soluble ou tr�s
sym�trique. Soient $u(x)$ et $v(y)$ des germes de distributions $\ad
\k$-invariantes en $0$ dans $\p$ � supports compatibles. Pour $\Phi$
une fonction test � support dans un voisinage de $0$ dans $\p$, on a
alors la formule suivante
$$\left\langle u(x)v(y),
\frac{J^{1/2}(x)J^{1/2}(y)}{J^{1/2}(z_{sym}(x,y))}
\Phi(z_{sym}(x,y))dx dy= \int u(x)v(y)\Phi(x+y) \right\rangle  . $$
\end{theo}

\noindent {\bf Remarques finales:} \begin{enumerate}\item Quand
$(\g, \sigma)$ est une paire sym�trique r�soluble, le th�or�me
ci-dessus est d�montr� par Rouvi�re \cite{rou86} th�or�me $3.6$ en
utilisant une d�formation homog�ne de la formule de
Campbell-Hausdorff comme dans \cite{KV}.
\item Les d�formations utilis�es dans cet article sont r�guli�res
mais leur jonction n'est pas diff�rentiable. Cela explique notre
choix d'exposition en deux parties et nous permet heureusement de
retrouver les r�sultats de \cite{rou86}.

\item Lorsque $u(x)$ et $v(y)$ correspondent � des distributions de
support $0$, on retrouve que la sym�trisation modifi�e par la racine
carr�e du jacobien, constitue un isomorphisme d'alg�bre de
$S[\p]^{\k}$ (les symboles $K$-invariants) sur $(U(\g)/U(\g)\cdot
\k)^{\k}$, l'alg�bre des op�rateurs diff�rentiels invariants sur
l'espace sym�trique $G/K$. C'est l'isomorphisme de Rouvi�re dans le
cas des espaces sym�triques r�solubles (voir \cite{hab} pour une
synth�se sur ce probl�me).

\item On sait qu'en g�n�ral on ne peut pas obtenir un tel transport des
distributions invariantes en utilisant une modification aussi simple
de l'application exponentielle. On peut s'en convaincre par exemple
en examinant ce qu'est l'homomorphisme d'Harish-Chandra du cas
semi-simple (non tr�s sym�trique). Pour pallier cette difficult�
Rouvi�re a introduit une fonction auxiliaire dans \cite{rou90},
\cite{rou91}, \cite{rou94} pour les fibr�s en droites sur $G/K$,
not�e $e_{\lambda}(x,y)$. Il semble opportun de relier ces r�sultats
avec les m�thodes d�crites dans cet article. Ce programme de
recherche est annonc� dans \cite{hab}.

\end{enumerate}

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%------------Bibliographie-------------------------
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\begin{thebibliography}{Bo-dS}
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\end{thebibliography}






\vskip 12pt
\parindent=0pc
C. Torossian\\
UMR 8553 du CNRS, DMA, �cole Normale Sup�rieure\\
45 rue d'Ulm 75230 Paris cedex 05
\end{document}

math0202217.extracted_bib
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