{\hspace*{1.2cm} Kohomologie mit Schranken\\\hspace*{1.2cm} und \\ \hspace*{1.2cm} Fortsetzung holomorpher Funktionen\\ \hspace*{1.2cm} durch\\ \hspace*{1.2cm} lineare stetige Operatoren}
\hspace*{0cm}Dissertation
zur Erlangung eines Doktors der
Naturwissenschaften
(doctor rerum naturalium)
[4cm] Dem Fachbereich Mathematik der
Bergischen Universit�t - Gesamthochschule Wuppertal
vorgelegt von
{\sc Dipl.-Math. M. Matthias Schmitt}
aus Wuppertal
[1cm] Tag der m�ndlichen Pr�fung: 29. Oktober 2001
[1cm] \begin{tabular}{lll} Gutachter: & 1.& {\sc Prof. Dr. D. Vogt}
Bergische Universit�t - Gesamthochschule Wuppertal
& 2. & {\sc Prof. Dr. M. Langenbruch}
Carl von Ossietzky Universit�t Oldenburg \end{tabular}
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% Kopf der
% Dissertation
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\author{\hspace*{0cm}Dissertation\\ zur Erlangung eines Doktors der \\
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vorgelegt von \\
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aus Wuppertal\\[1cm]
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Gutachter: & 1.& {\sc Prof. Dr. D. Vogt},
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\begin{document}
\maketitle
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\section[{\sc Einf�hrung und Ergebnisse}]{Einf�hrung und Ergebnisse}
%\addtocontents{Einf�hrung und Ergebnisse}

Ein h�ufig von verschiedenen Autoren behandeltes Problem ist die
Frage nach Bedingungen oder Kriterien f�r die Existenz einer 
Rechtsinversen $r$ zu einer surjektiven Abbildung $q$. Diese Fragestellung
tritt oft in Form  einer
kurzen exakten Sequenz von Fr\'echetr�umen
\[   0\to E \stackrel{i}{\to} G \stackrel{ q}{\to} F \to 0 \]
auf. Hier ist also $q\circ r=id_F$. $F$ ist in diesem Fall isomorph
zu einem projizierten Unterraum von $G$, n�mlich Bild $r$. 
Man sagt auch, da� die Sequenz zerf�llt.


Bekannte Beispiele f�r eine solche Fragestellung ergeben sich in
der Komplexen Analysis in den Situationen, in denen $F$ der Raum der
holomorphen Funktionen auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit $V$
einer Steinschen Mannigfaltigkeit $X$ ist.

Ist $X$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit, dann sei stets $H(X)$ der
Raum der holomorphen Funktionen auf $X$. F�r Definitionen und
S�tze in diesem Zusammenhang sei auf das Buch von H�rmander \cite{Hoer},
Kapitel 5, verwiesen. Sei $\oka_X$ die Garbe
von Keimen holomorpher Funktionen auf $X$.
 Es sei mit $\Gamma(X,J_V)$ der Raum der
globalen Schnitte �ber $X$ mit Werten in $J_V$ bezeichnet, wobei
$J_V$ die Idealgarbe in der Garbe $\oka_X$ der Keime holomorpher
Funktionen auf $X$ ist, die auf
$V$ verschwinden (vgl. Kapitel 7 in \cite{Hoer}). $\Gamma(X,J_V)$ k�nnen
wir mit dem Teilraum der  holomorphen Funktionen auf $X$ 
identifizieren, die auf $V$ verschwinden.

Nach der Oka-Cartan-Theorie ist die Sequenz
\[  0\to \Gamma(X,J_V)\hookrightarrow H(X) \stackrel{R}{\to} H(V) \to 0 
            \leer{2} (\ast) \]
stets exakt. $R$ ist hierbei die Restriktionsabbildung auf $V$.
  Die Surjektivit�t von $R$ bedeutet gerade die globale
Fortsetzbarkeit 
 von holomorphen Funktionen auf $V$ zu solchen auf $X$ 
(Theorem 7.4.8 in \cite{Hoer}).

Mityagin und Khenkin haben eine Rechtsinverse zu $R$ in $(\ast)$ konstruiert 
f�r den Fall, da� $X$ ein Gebiet in einem $\C^n$ ist, das
sich darstellen l��t durch eine strikt plurisubharmonische
Funktion $u$ auf einer Umgebung $X'$ von $\overline{X}$ als
$X=\{z\in X'\doppelpunkt u(z)<0 \}$, wobei zus�tzlich grad $u\not=0$
auf $\partial X$ ist. Es wird weiter vorausgesetzt, da� $V$ den Rand
von $X$ transversal schneidet
(Theorem 4.2 in \cite{M-H}).




Haupthilfsmittel in \cite{M-H} ist eine Abwandlung von H�rmanders
Theorem B mit Schranken (Theorem 7.6.10 in \cite{Hoer}), angewandt
auf die Garbe $J_V$, die in diesem Fall durch endlich viele globale 
Schnitte erzeugt wird. Im allgemeinen k�nnen wir nicht erwarten, da�
 die Idealgarbe einer analytischen Untervariet�t des $\C^N$ durch endlich
viele globale Schnitte  erzeugt wird. 



Wir werden in dieser Arbeit die Technik von Mityagin und Khenkin
auf Situationen �bertragen, in denen keine endliche Menge von
erzeugenden Schnitten f�r $J_V$ existiert.

Von gro�er Bedeutung sind in diesem Kontext
 Potenzreihenr�ume, da f�r viele R�ume holomorpher Funktionen Darstellungen
als Potenzreihenr�ume bekannt sind.
Ist $\alpha=(a_k)_{k\in \N_0}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit 
$a_k\nearrow \infty$ f�r $k\to \infty$ und $r\in \{0,\infty\}$, dann sei
\[   \Lambda_r(\alpha):= \{ x=(x_0,x_1,\ldots)\in \C^{\N_0}\doppelpunkt
     \norm{\rho}{x} := \sum_{k=0}^\infty \betrag{x_k} e^{\rho\, a_k} <\infty
     \mbox{ f�r alle } \rho<r \}    \]
Im Falle $r=0$ hei�t $\Lambda_r(\alpha)$ Potenzreihenraum endlichen Typs,
im Falle $r=\infty$ hei�t $\Lambda_r(\alpha)$ Potenzreihenraum 
unendlichen Typs.

F�r die Charakterisierung von Fr\'echetr�umen mit aufsteigendem 
Fundamentalsystem von Halbnormen $(\normleer_n)_n$, die
zu einem Potenzreihenraum isomorph sind, sind die folgenden von 
D. Vogt eingef�hrten linear topologischen Invarianten hilfreich
(vgl. Kapitel 29 in \cite{M-V}), wobei diese Eigenschaften auch in vielen anderen
Zusammenh�ngen bedeutsam sind. Sei hierf�r $(E,\normleer_n)$ ein Fr\'echetraum:

\begin{enumerate}

\item[$(\underline{DN})$:] Es gibt ein $n_0\in \N$, so da� f�r jedes $k\in \N$ ein
$K\in \N$, ein $C>0$ und ein $0<\tau<1$ existiert mit
\[   \norm{k}{x} \le C\norm{n_0}{x}^{1-\tau} \norm{K}{x}^{\tau} 
                                       \mbox{ f�r jedes } x \in E \punkt \]
\item[$(DN)$:]  Es gibt ein $n_0\in \N$, so da� f�r jedes $k\in \N$ ein
$K\in \N$ und ein $C>0$  existiert mit
\[   \norm{k}{x}^2 \le C\norm{n_0}{x} \norm{K}{x} \mbox{ f�r jedes } x \in E \punkt \]
\item[$(\Omega)$:]  F�r jedes  $n\in \N$ gibt es ein $k\in \N$, so da� zu jedem 
$K\in \N$ ein $C>0$ und ein $0<\tau<1$ existiert mit
\[   \norm{k}{y}^{\ast} \le C\norm{n}{y}^{\ast 1-\tau} \norm{K}{y}^{\ast \tau} 
                          \mbox{ f�r jedes } y \in E'\punkt \]
\item[$(\overline{\Omega})$:]  F�r jedes  $n\in \N$ gibt es ein $k\in \N$, so da� zu jedem 
$K\in \N$ ein $C>0$  existiert mit
\[   \norm{k}{y}^{\ast 2} \le C{\norm{n}{y}^{\ast}} {\norm{K}{y}^{\ast}} 
                          \mbox{ f�r jedes } y \in E'\punkt \]


\end{enumerate}










Hierbei sei $\normleer_k^{\ast}$ die duale Norm zu der Halbnorm $\normleer_k$, 
d.h. f�r ein Dualelement $\Phi$ ist $\norm{k}{\Phi}^{\ast}
=\sup \{ \betrag{\Phi(x)} \doppelpunkt 
\norm{k}{x}\le 1\} \in \R\cup \{\infty\}$.
  
Wir unterscheiden die F�lle, in denen $H(X)$ isomorph zu einem 
Potenzreihenraum endlichen Typs ist, von den F�llen, in denen
$H(X)$ isomorph zu einem Potenzreihenraum unendlichen Typs ist.
Es mu� nicht zwingend einer der beiden F�lle vorliegen.
Wir sprechen vom endlichen bzw. unendlichen Fall.

Mityagin und Khenkin haben gezeigt, da� die Isomorphie von $H(V)$
und $\Lambda_1(\alpha)$ in dem von Ihnen betrachteten endlichen Fall hinreichend
f�r die Existenz einer Rechtsinversen der Restriktionsabbildung ist
(Proposition 4.2 in \cite{M-H}). In allen endlichen 
F�llen ist die Isomorphie von $H(V)$
und $\Lambda_1(\alpha)$ nach einem Ergebnis von Mityagin aber auch notwendig, denn jeder
unendlichdimensionale, komplementierte Unterraum eines Potenzreihenraumes
endlichen Typs ist isomorph zu einem Potenzreihenraum
endlichen Typs (siehe z.B. Folgerung 29.20 in \cite{M-V}). Im unendlichen
Fall gibt es bislang keine analoge Aussage. 

 





Sei jetzt der unendliche Fall betrachtet, da� $V$ eine abgeschlossene 
Untermannigfaltigkeit des $\C^N$ ist (vgl. \cite{Hoer}, Def. 5.1.4.).
 $V$ ist dann lokal endlich, d.h.
jeder Punkt des $\C^N$ besitzt eine Umgebung, die nur endlich
viele Zusammenhangskomponenten schneidet.

$H(\C^N)$ soll im folgenden stets die Fr\'echetraumtopologie tragen, die
durch die Suprema auf einer abz�hlbaren kompakten Aussch�pfung des 
$\C^N$ erzeugt wird. Die Fr\'echetraumtopologie von $H(V)$ soll f�r 
eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $V$ stets durch die 
Spuren der kompakten Aussch�pfung des $\C^N$ gebildet werden.



Wir wenden uns also solchen Untermannigfaltigkeiten $V$ des $\C^N$ mit
Dimension $d$ zu, f�r die $(\ast)$ zerf�llt, d.h. f�r die
es einen linearen stetigen Operator $E:H(V)\to H(\C^N)$ gibt mit
$(Ef)\mid_V=f$ f�r jedes $f\in H(V)$.

F�r die Existenz eines solchen Ausdehnungsoperators
 haben verschiedene Autoren notwendige und hinreichende Bedingungen gezeigt.
Wir fassen diese in folgendem Satz zusammen und nennen die Zuordnung
zu den einzelnen Autoren im Beweis:

\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{15.2}
�quivalent sind:
\be
\item[1)] Es gibt einen linearen stetigen Operator $E:H(V)\to H(\C^N)$
mit $(Ef)\mid_V=f$ f�r jedes $f\in H(V)$. 
\item[2)] $H(V)$ besitzt (DN).
\item[3)] Jede beschr�nkte plurisubharmonische Funktion auf $V$
ist konstant (Stark-Liouvillesche Eigenschaft).
\item[4)] $H(V)$ ist isomorph zu $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$.
\item[5)] $H(V)$ ist isomorph zu $H(\C^d)$.
\item[6)] Es gibt eine Basisfolge $(f_k)_{k\in \N_0}$ in $H(V)$, so da�
f�r eine fest gew�hlte Folge $\rho_n\nearrow \infty$ gilt:
   \be
   \item[a)] Zu jedem $n\in \N$ gibt es ein $m\in \N$ und ein 
    $C>0$, so da� 
    \[   \norm{n}{f_k}\le C \rho_m^{(k^{\frac{1}{d}})} \foralls k\in \N_0\punkt \]
   \item[b)] Zu jedem $n\in \N$ gibt es ein $m\in \N$ und ein 
    $C>0$, so da�
    \[   \rho_n^{(k^{\frac{1}{d}})} \le C \norm{m}{f_k} \foralls k\in \N_0\punkt \]
   \ee
\ee
\end{satz}


F�r 2)$\Leftrightarrow$1) ist der Splittingsatz von Vogt f�r kurze
exakte Sequenzen von Fr\'echet-Hilbertr�umen anwendbar (siehe z.B. \cite{M-V}, Satz 30.1).
Die hier vorliegenden Fr\'echetr�ume sind nuklear und daher Fr\'echet-Hilbert.

Der Vogtsche Splittingsatz besagt, da� $(\ast)$ (mit $X=\C^N$) spaltet, 
falls $H(V)$ die Eigenschaft (DN)
und $\Gamma(\C^N,J_V)$ die Eigenschaft $(\Omega)$ besitzt. Letzteres ist
f�r jede analytische Teilmenge des $\C^N$ der Fall (siehe z.B. \cite{V1}).

Wenn umgekehrt  $(\ast)$ spaltet,
dann ist $H(V)$ isomorph zu einem projizierten Teilraum von $H(\C^N)$.
Auf abgeschlossene Teilr�ume vererbt sich stets die Eigenschaft (DN).
Also folgt, da� $H(V)$ auch die Eigenschaft (DN) besitzt.

4)$\Leftrightarrow$5) ist elementar (siehe z.B. \cite{Ayt2}).

3)$\Leftrightarrow$2) findet man  in \cite{Ayt2},  Theorem I.12.
Auch Vogt und Zaharyuta sind unabh�ngig zu diesem Ergebnis
gekommen (siehe auch \cite{Ayt1};
bzw. \cite{Z}).

4)$\Rightarrow$6) ist elementar. Man nehme als Basisfolge die Urbilder des
Isomorphismus $H(V)\to \Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$.

F�r  6)$\Rightarrow$4) zeigen wir, da� $T:\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})
\to H(V)$, $(\lambda_k)_{k\in \N_0} \mapsto \sum_{k\in \N_0} \lambda_k f_k$
ein Isomorphismus ist.

Einerseits gibt es wegen a) zu jedem $n\in \N$  ein $m\in \N$ und ein 
    $C>0$, so da� f�r  jedes $\lambda:=(\lambda_k)_{k\in \N_0}$ in 
$\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$ gilt:
\[ \norm{n}{T\lambda} \le \sum_{k\in \N_0} \betrag{\lambda_k} \norm{n}{f_k}
   \le C  \sum_{k\in \N_0} \betrag{\lambda_k}\rho_m^{(k^{\frac{1}{d}})} 
   = C\norm{m}{\lambda} \punkt\]
Andererseits ist $H(V)$ nuklear, und daher ist $(f_k)_k$ in $H(V)$ absolut
nach dem Satz von Dynin-Mityagin (siehe z.B. \cite{M-V}, Satz 28.12). Mit 
b) folgt also, da� zu jedem $n\in \N$  ein $m\in \N$ und ein 
    $C>0$ existiert mit 
\[     \sum_{k\in \N_0} \betrag{\lambda_k}\rho_n^{(k^{\frac{1}{d}})} \le
       C\norm{m}{\sum_{k\in \N_0} \lambda_k f_k}  \foralls 
       \sum_{k\in \N_0} \lambda_k f_k \in H(V)  \punkt \]

5)$\Rightarrow$2) ist klar, da $H(\C^d)$ die Eigenschaft (DN) besitzt.


 

Es verbleibt 2)$\Rightarrow$5) zu zeigen.

Im unendlichen Fall k�nnen wir nicht wie im endlichen Fall ein allgemeines
Argument verwenden, denn es ist  offen, ob jeder unendlichdimensionale,
komplementierte Unterraum eines Potenzreihenraumes unendlichen Typs
wieder isomorph zu einem  Potenzreihenraum unendlichen Typs ist
(vgl. \cite{M-V} S. 354).
 
In ihrer Arbeit \cite{A-K-T} konnten  aber Aytuna, Krone und Terzio\v{g}lu unter
Verwendung eines Ergebnisses von Vogt zeigen, da� 5) aus 2)
folgt (\cite{A-K-T}, Proposition 2.1). Damit ist der Beweis vollst�ndig \Ende 

Anmerkungen zum Beweis zu Satz \auslabelnsatz{15.2}:

Ist $V$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit, so kann man nach dem bekannten Einbettungssatz
(siehe z.B. \cite{Hoer}, Theorem 5.3.9) $V$ als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
in den $\C^N$ einbetten. Die Existenz des Extensionsoperators h�ngt nach Satz
\auslabelnsatz{15.2} nicht von der Art der Einbettung ab. 

In Proposition 6.4 in \cite{M-H} stellten Mityagin und Khenkin die These auf,
da� 1) aus 5)  folgt, wenn man die aus der Isomorphie in 5) herr�hrende
Basisfolge in $H(V)$ gliedweise mit geeigneten Schranken zu einer Folge ganzer Funktionen
fortsetzen kann. Dies ist exakt die Technik in \cite{M-H} zur Konstruktion einer
 Rechtsinversen in der Situation,
wo $V$ eine 
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einem strikt pseudokonvexen Gebiet ist, die
den Rand transversal schneidet. 

Will man der Argumentation in \cite{M-H} unter Verwendung von 
H�rmanders Theorem B mit Schranken folgen, so ergibt sich als
wesentliches Hindernis, da� die Idealgarbe $J_V$ im allgemeinen nicht
durch die Keime endlich vieler globaler Schnitte �ber dem $\C^N$ 
erzeugt werden kann, so wie das �ber beschr�nkten pseudokonvexen
Gebieten m�glich ist (siehe z.B. \cite{Hoer} Theorem 7.2.1 in Verbindung mit 
Theorem 7.2.9).

Wir werden in dieser Arbeit zeigen, wie man dieses Hindernis �berwinden
kann. Damit wird die Konstruktion eines Ausdehnungsoperators durch 
Fortsetzungen von Basisfunktionen in $H(V)$ auch im 
unendlichen Fall  m�glich.

Insbesondere geht es um die Frage, ob dieser konstruktive Ansatz weiterf�hrende
Informationen �ber die \glqq Qualit�t\grqq\  der Stetigkeit des
Ausdehnungsoperators liefert. Das bedeutet f�r jeweils gegebene Gradierungen
auf $H(V)$ und $H(X)$, zu fragen, wie gro� man zu einer vorgegebenen Stufe
in $H(X)$ die Stufe in $H(V)$ w�hlen mu�, damit sich die Fortsetzungen,
die der Ausdehnungsoperator liefert, gegen die Urbildfunktionen jeweils absch�tzen.


Tats�chlich erm�glicht uns dieser Ansatz, eine Reihe von Kriterien
und Bedingungen analog zu denjenigen aus Satz 
\auslabelnsatz{15.2} verschiedener Autoren zu einem Satz �ber die 
Existenz eines linear zahmen Ausdehnungsoperators zusammenzufassen.  




Wir werden also die Argumentation von Mityagin und Khenkin wieder
aufgreifen und ein Theorem B mit Schranken f�r lokal endlich erzeugte Untergarben von 
$\oka^p$, $p\in \N$, in einer Steinschen Mannigfaltigkeit $\Omega$ zeigen.
Hiermit ist eben auch die Idealgarbe $J_A$ einer beliebigen analytischen
Teilmenge $A$ von $\Omega$ erfa�t.

Der Beweis umfa�t die Kapitel 2 bis 5.
Die Grundstruktur ist ein Induktionsverfahren (vgl. Beweis zu Theorem 7.6.10 in \cite{Hoer}).

Wir betrachten dazu das folgende kommutative Diagramm von 
linearen  R�umen und linearen Abbildungen:

\formel{\begin{array}{lllllllll} 
     &     & 0       &     & 0        &    &   0     &      &                      \\
     &     & \uparrow&     & \uparrow &    &\uparrow &      &                      \\
\cdots & \stackrel{P_{1,2}}{\to} & F_{1,2} & \stackrel{P_{1,1}}{\to} & F_{1,1} 
       & \stackrel{P_{1,0}}{\to} & F_{1,0} & \to & 0                               \\
     &     & \uparrow d_{1,2} & & \uparrow d_{1,1} & & \uparrow d_{1,0} & &        \\
\cdots & \stackrel{P_{2,2}}{\to} & F_{2,2} & \stackrel{P_{2,1}}{\to} & F_{2,1} 
       & \stackrel{P_{2,0}}{\to} & F_{2,0} & \to & 0                               \\
     &     & \uparrow d_{2,2} & & \uparrow d_{2,1} & & \uparrow d_{2,0} & &        \\ 
\cdots & \stackrel{P_{3,2}}{\to} & F_{3,2} & \stackrel{P_{3,1}}{\to} & F_{3,1} 
       & \stackrel{P_{3,0}}{\to} & F_{3,0} & \to & 0                               \\
     &     & \uparrow d_{3,2} & & \uparrow d_{3,1} & & \uparrow d_{3,0} & &        \\
     &     &\,\vdots  &     &\,\vdots  &    &\,\vdots   &      &   
\end{array} \einlabeln{15.1.1}  }


In diesem Diagramm seien s�mtliche Zeilen und Spalten exakt bis auf die
erste Spalte von rechts. Diese sei lediglich ein Komplex.

Die folgende Induktion zeigt nun, da� auch die erste Spalte exakt ist.
Dazu zeigen wir indukiv �ber aufsteigendes $n$, 
da� f�r jedes $k=0,1,\ldots$ gilt: 
Zu jedem $x_k\in F_{n,k}$ mit $ d_{n-1,k}\, x_k=0$ und $P_{n,k-1}\,x_k=0$
gibt es ein $y_k\in F_{n+1,k}$ mit $d_{n,k}\,y_k=x_k$ und $P_{n+1,k-1}\, y_k=0$
(hierbei setzen wir $P_{n,-1}:=0$).

Der Induktionsanfang ist klar, wenn wir uns vorstellen, man w�rde 
das Diagramm nach obenhin durch Nullr�ume  und Nullabbildungen erweitern.

Um von $n$ nach $n+1$ zu gelangen, sei $x\in F_{n+1,k}$ mit $d_{n,k}\,x=0$ und 
$P_{n+1,k-1}\,x=0$. Wegen der Exaktheit der Zeilen gibt es ein $y_1\in F_{n+1,k+1}$,
so da� $P_{n+1,k}\, y_1=x$. Sei $y_2=d_{n,k+1} \,y_1$, dann ist wegen
der Kommutativit�t des Diagramms $P_{n,k}\,y_2=d_{n,k}P_{n+1,k}\,y_1=d_{n,k}\,x=0$.

Da auch $d_{n-1,k+1}\,y_2=0$ ist, gibt es nach der Induktionsvoraussetzung
ein $y_3\in F_{n+1,k+1}$ mit $d_{n,k+1}\,y_3=y_2$ und $P_{n+1,k}\,y_3=0$.
Es liegt $y_4:= y_1-y_3$ im Kern von $d_{n,k+1}$. Da $k+1\ge 1$ ist, ist
die $k+1$-te Spalte exakt. Also gibt es $y_5\in F_{n+2,k+1}$ mit 
$d_{n+1,k+1}\, y_5 =y_4$. Man rechnet leicht nach, da� f�r 
$y:=P_{n+2,k}\,y_5\in F_{n+2,k}$ gilt $d_{n+1,k}\,y=x$ und $P_{n+2,k-1}\,y=0$.

F�r die Definitionen der im folgenden vorkommenden Begriffe wie dem des Kokettenraumes
und des Korandoperators $\delta$ 
verweisen wir auf \cite{Hoer}, Chapter 7. Durch den Korandoperator werden Koketten
der L�nge $\sss$ auf Koketten der L�nge $\sss+1$ abgebildet.

Das klassische Beispiel f�r Koketten ist die Cousin-I-Verteilung 
bez�glich einer �berdeckung $(U_i)_{i\in \N}$ eines Gebietes in 
$\C$ bzw. allgemeiner
einer Steinschen Mannigfaltigkeit. Die Cousin Data sind nichts anderes
als eine Kokette $c=(c_{ij})_{ij}$ der L�nge 1, bestehend aus 
holomorphen Funktionen $c_{ij}$ auf $U_i\cap U_j$, f�r die
$\delta c=0$ gilt (vgl. \cite{Hoer}, Theorem 5.5.1). 
Die L�sung $c'=(c'_i)_{i}$ des Cousin-I-Problems ist eine Kokette
der L�nge 0, bestehend aus holomorphen Funktionen $c_i$ auf $U_i$,
f�r die $\delta c'=c$ gilt. Aus der L�sung des 
Cousin-I-Problems auf $\C$ kann man z.B. den Satz von Mittag-Leffler
folgern.

Die Aussage des Theorem B von Cartan, n�mlich da� die
$p$-te Kohomologiegruppe $H^p(\Omega,\F)$ einer
Steinschen Mannigfaltigkeit $\Omega$ mit Werten in
einer koh�renten analytischen Garbe $\F$  f�r
jedes $p>0$ verschwindet (siehe z.B. \cite{Hoer},
Theorem 7.4.3), ist  wesentlich allgemeiner und  abstrakter, umfa�t aber die
L�sbarkeit von Cousin-I-Verteilungen auf Steinschen Mannigfaltigkeiten.   

 Sei jetzt $\U=(U_i)_{i\in \N}$ eine
�berdeckung einer Steinschen Mannigfaltigkeit
 $\Omega$ mit pseudokonvexen relativ kompakten Gebieten mit
der Eigenschaft, da� eine feste �berdeckungsmenge von h�chstens $M$ 
paarweise verschiedenen �berdeckungsmengen geschnitten wird. Dann ist der
Schnitt von $M+1$ paarweise verschiedenen �berdeckungsmengen leer.

In das Diagramm \auslabeln{15.1.1}
setzen wir f�r $F_{n,0}$, $n=0,\ldots,M+1$ jeweils den Kokettenraum 
$C^{M+1-n}(\U,\F)$ von
Schnitten �ber $U_{i_0,\ldots ,i_{M+1-n}}:=
U_{i_0}\cap\ldots\cap U_{i_{M+1-n}}$ mit Werten in $\F$ ein.
$d_{n,0}$ ist dann der Korandoperator $\delta$ der Stufe $M-n$.
$F_{M+2,0}$ sei $\Gamma(\Omega,\F)$ und $d_{M+1,0}:\Gamma(\Omega,\F)\to
C^{0}(\U,\F)$ definieren wir dann durch $f\mapsto (f\mid_{U_i})_{i\in \N}$.
F�r $n\ge M+3$ setzen wir $F_{n,0}:=\{0\}$, wodurch
die obige Induktion nach endlich vielen Schritten abgeschlossen ist.


Einen  Kokettenraum von Koketten der L�nge $\sss+1$ 
 k�nnen wir als Teilraum von $\prod_{i\in \N}$
 $\Gamma(U_{i_0,\ldots,i_\sss},$ $\F)$ auffassen und, wie wir im Kapitel 2 
sehen werden, mit
einer Fr\'echetraumtopologie versehen, die sich aus der Fr\'echetraumtopologie
der R�ume $\Gamma(U_{i_0,\ldots,i_\sss},\F)$ herleiten l��t. Da wir stets
voraussetzen, da� $\F$ eine Untergarbe einer $p$-fachen Kopie von
$\oka$ ist, k�nnen wir auf $\Gamma(U_{i_0,\ldots,i_\sss},\F)$ jeweils die
Fr\'echetraumtopologie der kompakt gleichm��igen Konvergenz 
auf einer aussch�pfenden Folge von kompakten Teilmengen von 
$U_{i_0,\ldots,i_\sss}$ f�r
$p$-tupel holomorpher Funktionen auf $U_{i_0,\ldots,i_\sss}$ induzieren.

In jedem Schritt des oben beschriebenen Induktionsverfahrens werden wir die
Stetigkeits- bzw. Urbildabsch�tzungen nachhalten, um zu einer 
L�sungsabsch�tzung f�r den $\delta$-Operator zu gelangen.

Die Hauptarbeit besteht nun darin, das Diagramm
\auslabeln{15.1.1} mit Fr\'echetr�umen  und stetigen linearen Abbildungen so
aufzuf�llen, da� das Diagramm kommutiert und die erforderlichen
Exaktheitsbedingungen der Zeilen und Spalten erf�llt sind. 
Ferner sind Stetigkeits- bzw. 
Urbildabsch�tzungen zu zeigen. Dies alles geschieht in den Kapiteln 
3 bis 6. 

Die Exaktheit der ersten Spalte in dem Diagramm unter Ber�cksichtigung
von L�sungsabsch�t\-zungen ist nichts anderes als das
angestrebte Theorem B mit Schranken.





Wir wollen mit $\Phi_\gamma(\U)$ die Menge der stetigen plurisubharmonischen
Funktionen bezeichnen, f�r die $\phi\ge 0$ und $\sup_{U_i}\phi\le
\gamma^{\frac{1}{M}} \inf_{U_i}\phi$ f�r jedes $i\in \N$ gilt.

Das in Kapitel 6 gezeigte Theorem B mit Schranken ergibt dann auf der 
nullten Stufe den folgenden Satz, den wir hier ohne die Verwendung
der Begriffe Kokette und Korandoperator formulieren wollen:

\begin{satzohnebeweis}{Satz}\einlabelnsatz{15.2a}
Sei $(K_i)_{i\in \N}$ eine Folge von kompakten Teilmengen mit $K_i\subset U_i$
f�r $i\in \N$ und $\psi$ eine nicht negative plurisubharmonische
Funktion auf $\Omega$. Dann gibt es eine plurisubharmonische Funktion
$\chi$ auf $\Omega$, so da� folgendes gilt:

Zu jeder Doppelfolge $(c_{i,j})_{i,j\in \N}$ mit $c_{i,j} \in 
\Gamma(U_i\cap U_j, \F)$, $c_{i,j}=-c_{j,i} $ und $c_{i,j}+
c_{j,k}+c_{k,i}=0$ f�r alle $i,j,k\in \N$, sowie jedem $\phi\in \Phi_\gamma(\U)$
gibt es eine Folge $(c'_i)_{i\in \N}$ mit $c_i\in \Gamma(U_i,\F)$, 
$c'_i-c'_j=c_{i,j}$ f�r jedes $i,j\in \N$ und eine Absch�tzung
\[   \sum_{i\in \N} \sup_{K_i} e^{-\gamma\phi - \psi -\chi}
                 \sup_{K_i} \betrag{c'_i} \le 
     \sum_{i,j\in \N} \sup_{U_i\cap U_j}e^{-\phi}\sup_{U_i\cap U_j} e^{-\psi}
        \sup_{U_i\cap U_j} \betrag{c_{i,j}} \punkt   \]

\end{satzohnebeweis}


Das entscheidende an der gewonnenen L�sungsabsch�tzung ist, da�
der Gewichtverlust $\chi$ nicht von $\phi\in \Phi_\gamma(\U)$ abh�ngt.
Durch direkte Anwendung des Satzes von der offenen Abbildung auf
den Korandoperator kann dieses Ergebnis nicht gezeigt werden.

Wenn wir f�r  $\Omega$ den $\C^N$ und f�r $\F$ die Idealgarbe $J_V$ der Keime der
auf $V$ verschwindenden holomorphen Funktionen einsetzen, k�nnen
wir mit Hilfe von Satz \auslabelnsatz{15.2a} lokale Fortsetzungen 
einer auf $V$ holomorphen Funktion zu einer
ganzen Funktion zusammensetzen. Hierzu mu�   $V$ nicht singularit�tenfrei
sein. Da wir aber f�r die lokalen Fortsetzungen die Existenz
eines holomorphen Retraktes f�r $V$ verwenden wollen und damit
gewisserma�en optimale Daten f�r die Anwendung von Satz \auslabelnsatz{15.2a}
erhalten, haben wir gefordert, da� $V$ eine abgeschlossene 
Untermannigfaltigkeit des $\C^N$, und damit Steinsch ist.

Wir erhalten aus Satz \auslabelnsatz{15.2a} den in Kapitel 8 gezeigten 
Fortsetzungssatz f�r holomorphe Funktionen
auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit $V$ des $\C^N$ 
( siehe Satz \auslabelnsatz{12.4}):

\begin{satzohnebeweis}{Satz}\einlabelnsatz{15.3}
Seien $\phi_1>0$ und $\phi_2>0$ stetige plurisubharmonische Funktionen auf dem 
$\C^N$. Sei ferner $\gamma>1$ fest. Dann gibt es zu jedem Kompaktum $K$ eine Konstante
$B_K$, so da� zu jedem $f\in H(V)$ und jedem $\alpha >0$ mit 
\formel{
   \log \betrag{f(z)} \le \phi_1(z) +\alpha \phi_2(z) \mbox{ f�r jedes }z\in V   }


eine ganze Funktion $F$ existiert mit 
\be
\item[a)] $F(z)=f(z)$ f�r jedes $z\in V$,
\item[b)] $\sup_K \betrag{ F(z)} \le e^{B_K} e^{\gamma \sup_K (\phi_1+ \alpha\phi_2)}$ 
          f�r jedes Kompaktum $K$.
\ee
Hierbei h�ngt $B_K$ zwar von $\phi_1$ und $\phi_2$ ab, aber nicht von $\alpha$.
\end{satzohnebeweis}





Aus Satz \auslabelnsatz{15.3} folgt nun leicht in Anlehnung an die
Argumentation in \cite{M-H} die Existenz eines Ausdehnungsoperators, wenn
man eine Basisfolge in $H(V)$ zur Verf�gung hat, die von  der
vorausgesetzten
Isomorphie von $H(V)$ zu $H(\C^d)$ induziert wird.

Wir wollen hier wie angek�ndigt als Anwendung von Satz \auslabelnsatz{15.3} die
Bedingungen untersuchen, unter denen der Ausdehnungsoperator dar�berhinaus 
linear zahmen Absch�tzungen gen�gt.

Eine stetig lineare Abbildung $T:(E,\normleer_{E,n})\to 
(F,\normleer_{F,n})$ zwischen den gradierten Fr\'echet\-r�umen
$E$ und $F$ wird als linear zahm bezeichnet, falls es $a,b\in \N_0$ mit $a\not= 0$
gibt, so da� zu jedem $n$ ein $C_n$ existiert mit
\[   \norm{n}{Tx} \le C_n \norm{an+b}{x}  \foralls x\in E  \punkt\]
 

$T$ hei�t zahm, falls $a=1$ gew�hlt werden kann. Gradierungen in 
einem Fr\'echetraum hei�en linear zahm �quivalent, falls die
Identit�t in der jeweiligen Richtung linear zahm ist.

Eine linear zahme Isomorphie von $H(V)$ und $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$
ist leicht durch Eigenschaften einer Basisfolge $(f_k)_k$ in $H(V)$ zu
charakterisieren. Ist n�mlich $H(V)$ zu $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$
linear zahm isomorph, so existiert eine Basisfolge $(f_k)_k$ in $H(V)$ mit
folgenden Eigenschaften:
\be
\item[B1)] Es existieren $a,b\in \N_0$, $a\ge 1$, so da� es zu jedem
$n\in \N$ ein $C\ge 1$ gibt mit
\[   \norm{n}{f_k}\le C e^{(an+b)\, k^{\frac{1}{d}}} \foralls k  \punkt\]
\item[B2)] Es existieren $a,b\in \N_0$, $a\ge 1$, so da� es zu jedem
$n\in \N$ ein $C\ge 1$ gibt mit
\[   \betrag{\lambda_k}\le \norm{an+b}{f} e^{-n\, k^{\frac{1}{d}}} \]
f�r alle $f=\sum_k \lambda_k f_k\in H(V)$ und alle $k$.
\ee

Besitzt andererseits $H(V)$ eine Basisfolge $(f_k)_k$ mit B1) und B2), dann
ist $H(V)$ zu $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$
linear zahm isomorph, denn wegen B1) ist 
\[   \norm{n}{\sum_k \lambda_k f_k}\le C\sum_k \betrag{\lambda_k} 
      e^{(an+b)\, k^{\frac{1}{d}}}  \] 
und wegen B2) ist 
\[  \sum_k \betrag{\lambda_k} e^{n\,k^{\frac{1}{d}}}=
     \sum_k \betrag{\lambda_k} e^{(n+1)\,k^{\frac{1}{d}}} e^{-k^{\frac{1}{d}}} 
    \le C \norm{a(n+1) +b}{f} \sum_k e^{-k^{\frac{1}{d}}} = C'\norm{a(n+1) +b}{f}\punkt \] 
   









F�r Potenzreihenr�ume ist der Begriff linear zahm  von besonderer
Bedeutung, da zueinander isomorphe Potenzreihenr�ume 
$\Lambda_\infty(a_k)$ bzw.  $\Lambda_\infty(b_k)$ stets
linear zahm isomorph sind, verm�ge der Identit�t. Andererseits ist zum Beispiel
bei nuklearen Potenzreihenr�umen eine zahme Isomorphie
sehr viel seltener zu erwarten, da dies $\lim \frac{a_k}{b_k}=
\lim \frac{b_k}{a_k}=1$ impliziert. Wir bemerken hierzu zun�chst,
da� der nukleare Potenzreihenraum $\Lambda_\infty(c_k)$ stets per 
Identit�t zahm isomorph zu 
\[  \{ x\in \C^{\N_0}\doppelpunkt \norm{n}{x}:=\sum_{k=0}^\infty \betrag{x_k}^2
        e^{2n\,c_k} <\infty \mbox{ f�r alle } n\in \N \}  \]
ist. Dann erhalten wir dem Beweis zu Proposition 29.1 in \cite{M-Venglisch} folgend
zu jedem $\theta > 1$ eine Konstante $D\ge 1$, so da� 
$a_k\le \theta b_k + D$ f�r jedes $k\in \N$ ist und umgekehrt.  

Wir wollen durch die Suprema auf folgenden Polyzylindern des $\C^N$
\[  \Delta_n:= \{ z\in \C^N \doppelpunkt \betrag{z_j}\le e^n 
    \foralls 0\le j\le N \} \]
die Standardgradierung $(\normleer_n)_n$ f�r $H(\C^N)$ festlegen.

Auf $V$ sei die Standardgradierung $(\normleer_{H(V),n})_n$ gerade durch die Spuren 
$\Delta_n\cap V$ gegeben. Die Gradierung h�ngt also
von der Einbettung von $V$ in den $\C^N$ ab. Ohne Einschr�nkung
k�nnen wir $0\in V$ annehmen.

Wenn wir die Polyzylinder $\Delta_n$, $n\in \N$, durch
$B_n:=\{z\in \C^N\doppelpunkt \betrag{z}< e^n\}$ ersetzen, erhalten wir
auf $H(\C^N)$ bzw. auf $H(V)$ eine zahm �quivalente Gradierung. Solche
zahm �quivalente Gradierungen fassen wir auch als Standardgradierungen f�r
$H(\C^N)$ bzw.  $H(V)$ auf. 

Auf $H(V)$ ist wegen der Surjektivit�t der Einschr�nkungsabbildung
$H(\C^N)\to H(V)$ ein Quotientenhalbnormensystem durch
\[  \norm{n}{f}^q:=\inf\{ \norm{n}{F}\doppelpunkt F\in H(\C^N)\komma
    F\mid_V=f \}  \]
 gegeben. Es gilt nat�rlich $\normleer_n\le \normleer_n^q$ auf 
$H(V)$ f�r jedes $n$. Da der Satz von der offenen Abbildung gilt,
ist $(\normleer_n^q)_n$ ein zu $(\normleer_{H(V),n})_n$ �quivalentes
Halbnormensystem. 


Die Monome in $H(\C^N)$ besitzen bez�glich der Standardgradierung
die Eigenschaften B1) und B2) und zwar jeweils mit $a=1$ und $b=0$.
Die Eigenschaft B2) ist �quivalent zu den Cauchyschen Ungleichungen
f�r ganze Funktionen auf den Polyzylindern $\Delta_n$ (siehe z.B.
\cite{Hoer}, Theorem 2.2.7). Wir haben also gezeigt, da� $H(\C^N)$ sogar
zahm isomorph zu einem Potenzreihenraum $\Lambda_\infty(a_k)$ ist, falls
$a_k$ gerade die Summe der Exponenten des $k$-ten Monoms ist.

$H(\C^N)$ ist daher auch linear zahm isomorph zu $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{N}})$,
aber nicht zahm isomorph, falls $N\ge 2$. Um das einzusehen, sei $(z_l)_k$ eine
Abz�hlung der Monome $z^{\alpha_1}_1\cdot\ldots\cdot z^{\alpha_N}_N$,
wobei $\alpha_1,\ldots,\alpha_N\in \N_0$, mit der Eigenschaft, da� f�r
$s(z^{\alpha_1}_1\cdot\ldots\cdot z^{\alpha_N}_N):=\alpha_1+\ldots+\alpha_N$ gilt
$s(z_l)\le s(z_{k+1})$.

Man zeigt leicht, da� die Anzahl der Monome $z_l$ mit $s(z_l)\le m$
jeweils $\binom{N+m}{m}$ betr�gt. Es gilt daher
\[   \frac{m}{\binom{N+m}{m}^{\frac{1}{N}}} 
     \le \frac{s(z_l)}{k^{\frac{1}{N}}} 
     \le \frac{m}{\left(\binom{N+(m-1)}{m-1} +1\right)^{\frac{1}{N}}} \]
f�r alle $k$ mit $s(z_l)=m$. Die linke und die rechte Seite der
Ungleichung haben den gleichen Grenzwert  f�r $m\to \infty$. Wenn
man den linken Ausdruck ausmultipliziert, sieht man sofort, da�
dieser gegen die $N$-te Wurzel aus $N!$ konvergiert f�r $m\to \infty$.  









F�r den angek�ndigten Charakterisierungssatz ben�tigen wir
noch einige Begriffe und Definitionen.

F�r einen gradierten Fr\'echetraum $(E,\normleer_n)$ wollen wir
die Eigenschaften (DN) und $(\Omega)$ versch�r\-fen:

Wir sagen, da� $(E,\normleer_n)$ (DN) in Standardform besitzt, 
falls f�r alle $n\ge 2$  gilt
\[   \normleer_n^2 \le C_n \normleer_{n-1} \normleer_{n+1}  \punkt  \]

$(E,\normleer_n)$ besitze $(\Omega)$ in Standardform, falls f�r
alle $n\ge 2$ gilt
\[   \normleer_n^{\ast 2} \le D_n \normleer_{n-1}^{\ast} \normleer_{n+1}^{\ast}\]

Aufgrund der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung besitzt $\Lambda_\infty(a_k)$
stets (DN) und $(\Omega)$ in Standardform. Die Konstanten sind alle gleich 1.




Von jetzt an wollen wir annehmen, da� $V$ als analytische 
Untervariet�t des $\C^N$
nur aus einer irreduziblen Komponente besteht. Dies ist genau dann der Fall,
wenn $V$ zusammenh�ngend ist. Da nach Satz \auslabelnsatz{15.2a} die
Existenz eines Ausdehnungsoperators notwendig die Eigenschaft (DN) f�r
$H(V)$ voraussetzt,
besitzt $H(V)$ mindestens eine stetige Norm. Daher impliziert die 
Existenz eines Ausdehungsoperators, da� $V$ ohnehin  nur endlich viele
Zusammenhangskomponenten besitzen kann. 
 

$V$ hei�t algebraisch, falls es eine endliche Menge S  von Polynomen im $\C^N$
gibt, so da� $V=\{ z\in \C^N\doppelpunkt p(z)=0 \foralls p\in S\}$.
Die Anzahl der Polynome in $S$ kann man auf $N$ begrenzen (siehe z.B.
\cite{Kunz}, Chapter V.1).

Das nun folgende  Kriterium f�r eine Teilmenge einer
analytischen Untervariet�t des $\C^N$, eine Teilmenge einer algebraischen
Variet�t zu sein, stammt
von A. Sadullaev (\cite{S1}, Theorem 2.2). 

Sei dazu $L$ die Menge aller plurisubharmonischen Funktionen auf dem $\C^N$, 
f�r die es ein $\alpha(u)\in \R$ gibt, so da� $u(z)\le \log(1+\norm{}{z})
+\alpha(u)$ auf dem $\C^N$. Ist $K\subset \C^N$ ein Kompaktum, dann sei 
 \[  S(z,K):= \sup\{u(z)\doppelpunkt u\in L\komma u\mid_K\le 0\} \punkt \]
Die obere Regularisierte von $S(z,K)$ hei�t Siciaksche 
Extremalfunktion bez�glich $K$.

Das Kriterium besagt nun folgendes:

Eine Teilmenge $A$ einer analytischen Menge im $\C^N$ ist genau dann eine Teilmenge
einer algebraischen Variet�t, falls es ein Kompaktum in $A$ gibt,
so da� $S(z,K)$ lokal wesentlich beschr�nkt ist in $A$.

A. Aytuna verwendet in \cite{Ayt3} dieses Kriterium, um f�r eine irreduzible Komponente $V$
einer analytischen Variet�t im $\C^N$ (die also auch singul�re Punkte
haben darf) zu zeigen, da� $V$ genau dann algebraisch ist, wenn
ein linear zahmer Ausdehnungsoperator $H(V)\to H(\C^N)$ bez�glich der
Standardgradierungen existiert (\cite{Ayt3}, Theorem 2).

%Die Kriterien von Aytuna bzw. Sadullaev f�r die Existenz eines
%linear zahmen Ausdehnungsoperators k�nnen wir nun mit
%den Kriterien f�r die linear zahme Isomorphie von $H(V)$ zu einem
%Potenzreihenraum unendlichen Typs in Verbindung bringen, indem
%wir den Fortsetzungssatz \auslabelnsatz{15.3} anwenden (siehe Kapitel 9).


Wir werden das Kriterium von Sadullaev in Kapitel \ref{Kap10} dazu verwenden,
ein Kriterium f�r die Existenz eines linear zahmen Ausdehnungsoperators abzuleiten,
das das Wachstum plurisubharmonischer Funktionen auf $V$ relativ zu einer 
Standardgradierung beschreibt.

Ist $\phi $ plurisubharmonisch auf $V$, so sei f�r $r\in \R^+_0$
\[   m_{\phi}(r):= \sup\{ \phi(z)\doppelpunkt z\in V, \betrag{z}<e^r \} \punkt \]
Das Kriterium ist erf�llt, falls es $a\in \N$ und $b\in \N_0$ gibt, so da� f�r
jedes auf $V$ plurisubharmonische $\phi $, f�r jedes $\lambda\in [0,1]$ und
alle $r_1,r_2\in \R^+_0$ gilt
\[   m_{\phi}(\lambda r_1 + (1-\lambda) r_2)\le \lambda m_{\phi}(ar_1 +b) + 
         (1-\lambda)m_{\phi}(ar_2 +b)  \punkt \]

Diese Eigenschaft ist st�rker als die Stark-Liouvillesche Eigenschaft (Satz
\auslabelnsatz{15.2}, 3)), denn ist $\phi$ plurisubharmonisch und
 beschr�nkt auf $V$, dann gilt f�r $r>b$
\[   m_{\phi }(r)=m_{\phi }(\frac{n-1}{n}0 + \frac{1}{n} n r)\le 
     \frac{n-1}{n}m_{\phi }(b) + \frac{1}{n}m_{\phi }(anr+b) \stackrel{n\to\infty}{\to}
     m_{\phi }(b)\punkt  \]
Wegen des Maximumprinzips f�r  plurisubharmonische Funktionen auf $V$ (siehe
z.B. \cite{S1}, 1.3) ist $\phi$ auf jedem Kompaktum, das in $\{\betrag{z}< e^r\}$
enthalten ist, konstant. Damit ist $\phi$ auf ganz $V$ konstant.







Wir fassen nun alle Kriterien zusammen:

F�r eine zusammenh�ngende abgeschlossene  Untermannigfaltigkeit $V$
des $\C^N$ der Dimension $d$ gilt der folgende Satz:

\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{15.4}
�quivalent sind:
\be
\item[1)] Es gibt einen linear zahmen Ausdehnungsoperator 
  \[    E: (H(V),\normleer_{H(V),n})\to (H(\C^N),\normleer_{H(\C^N),n})   \]
bez�glich der durch die Polyzylinder $(\Delta_n)_n$ gegebenen Standardgradierungen
auf $H(V)$ bzw. $H(\C^N)$.
\item[2)] $(H(V),\normleer_{H(V),n})$ ist linear zahm isomorph zu einem
nuklearen gradierten Fr\'echetraum $(F,\normleer_n)$, der (DN) in 
Standardform besitzt, und die Quotientenhalbnormen $(\normleer_n^q)_n$ auf
$H(V)$ sind
linear zahm �quivalent zu $(\normleer_{H(V),n})_n$.
\item[3)] Es gibt ein Kompaktum $K$ in $V$, so da� $S(z,K)$ in $V$
lokal wesentlich beschr�nkt ist.
\item[4)] Es gibt $a\in \N$ und $b\in \N_0$, so da� f�r 
jede auf $V$ plurisubharmonische Funktion $\phi$, jedes $\lambda\in [0,1]$ und 
alle $r_1,r_2\in \R_0^+$ gilt mit
$m_{\phi}(r):= \sup\{ \phi(z)\doppelpunkt z\in V, \betrag{z}<e^r \}$:
\[  m_{\phi}(\lambda r_1 + (1-\lambda) r_2)\le \lambda m_{\phi}(ar_1 +b) + 
         (1-\lambda)m_{\phi}(ar_2 +b)  \punkt \] 
 \item[5)] $(H(V),\normleer_{H(V),n})$ ist linear zahm isomorph zu 
$\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$.
\item[6)] $(H(V),\normleer_{H(V),n})$ ist linear zahm isomorph zu
$(H(\C^d), \normleer_{H(\C^d),n})$.
\item[7)] In $H(V)$ gibt es eine Basisfolge $(f_k)_k$ mit B1) und B2).
\item[8)] $V$ ist algebraisch.
\ee
\end{satz}


1)$\Rightarrow$2) ist schlicht, denn das Bild von $E$ ist linear zahm 
isomorph zu einem projizierten Teilraum von $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{N}})$,
der darum (DN) in Standardform besitzt. Zum anderen ist f�r jedes
$f\in H(V)$ die Quotientenhalbnorm $\norm{n}{f}^q\le \norm{H(\C^N),n}{Ef}$.
Also folgt auch die zweite Bedingung von 2) aus 1).

2)$\Rightarrow$5) ist ein Ergebnis von D. Vogt (\cite{V2}, Theorem 2.3), das
wir auf die wegen 2) linear zahme Sequenz $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{N}})
\to F\to 0$ anwenden. Wir erhalten eine linear zahme Isomorphie von
$F$ zu einem Potenzreihenraum $\Lambda_\infty(a_k)$, woraus 5) folgt.

5)$\Rightarrow$1) ist der Spezialfall $\phi(z):=\log \betrag{z}$ von 
Satz \auslabelnsatz{13.2}. Wir zeigen in Kapitel 9, da� Satz
\auslabelnsatz{13.2} leicht aus dem Fortsetzungssatz \auslabelnsatz{15.3} folgt.
 

Die �quivalenzen 3)$\Leftrightarrow$8) und 1)$\Leftrightarrow$8) sind
Spezialf�lle der oben zitierten Ergebnisse von A. Sadullaev
bzw. A. Aytuna. Die �quivalenz 5)$\Leftrightarrow$6)$\Leftrightarrow$7)
sind nach den obigen Ausf�hrungen klar. 

1)$\Rightarrow$4) folgt aus Satz \auslabelnsatz{16.4}. 4)$\Rightarrow$8) folgt
aus Satz \auslabelnsatz{16.5} \Ende





Die Eigenschaft 4) aus Satz \auslabelnsatz{15.4} l��t sich in einer Weise 
verallgemeinern,
die unabh�ngig von der Einbettung der Steinschen Mannigfaltigkeit in einen
$\C^N$ ist: 


Eine Steinsche Mannigfaltigkeit $V$ habe die Eigenschaft (LK), falls eine 
plurisubharmonische Aussch�pfungsfunktion $\psi$, sowie $a\in \N$, $b\in \N_0$
existieren, so da� f�r jede plurisubharmonische Funktion $\phi$ auf 
$V$ und alle $r_1,r_2\in \R_0^{+}$ und jedes $\lambda \in [0,1]$ gilt
\[   m_{\phi}^{\psi}(\lambda r_1 + (1-\lambda)r_2) \le 
       \lambda m_{\phi}^{\psi}(ar_1 + b) + (1-\lambda) m_{\phi}^{\psi}(ar_2 + b)\komma \]
wobei
\[   m_{\phi}^{\psi}(r):= \sup\{ \phi(z)\doppelpunkt z\in V\komma \psi(z)<r \} 
     \mbox{ ist f�r jeder }r\in \R \punkt  \]





Eine in den $\C^N$ eingebettete abgeschlossene zusammenh�ngende Untermannigfaltigkeit
ist also genau dann algebraisch nach Satz \auslabelnsatz{15.4}, falls sie (LK)
mit $\psi(z)=ln\betrag{z}$ f�r $z\in V$ besitzt.

Ferner impliziert (LK) die Stark-Liouvillesche Eigenschaft 
(Satz \auslabelnsatz{15.3}, 3)) f�r zusammenh�ngende Steinsche Mannigfaltigkeiten.

Hieraus leiten sich zwei Fragen ab:
\begin{enumerate}
\item[1)] Ist jede Steinsche Mannigfaltigkeit mit (LK) biholomorph �qui\-valent zu 
 einer algebraischen Variet�t in einem $\C^N$?
\item[2)] Ist die Stark-Liouvillesche Eigenschaft auf einer zusammenh�ngenden
Mannigfaltigkeit �qui\-valent zur Eigenschaft (LK)?
\end{enumerate}

Wenn und nur wenn beide Fragen eine positive Antwort haben, w�re jede 
zusammenh�ngende Steinsche Mannigfaltigkeit $V$, f�r die $H(V)$ die Eigenschaft
(DN) besitzt, isomorph  zu einer algebraischen Variet�t eines $\C^N$.

\vspace{4cm}



An dieser Stelle m�chte ich mich bei den Herren Dr. L. Frerick und Dr. M. Tidten
sehr herzlich bedanken f�r die Bereitschaft zu vielen Anregungen und Gespr�chen,
die das Entstehen dieser Arbeit begleitet haben. Mein ganz besonderer Dank gilt
meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr. D. Vogt, der durch seine geduldige und 
stetige Anregung und Unterst�tzung entscheidend zum Gelingen dieser Arbeit 
beigetragen hat.




 






  
  


  



\newpage   
\section[{\sc Verallgemeinerter L�sungssatz f�r den Korandoperator}]{Der verallgemeinerte L�sungssatz f�r den Korandoperator $\delta$}
%\addtocontents{{\sc Der verallgemeinerte L�sungssatz f�r den Korandoperator $\delta$}}
\label{Kap2} 

Wir f�hren in diesem Kapitel die in Kapitel 1 dargestellte Induktion
in dem Diagramm \auslabeln{15.1.1} durch, indem wir das Diagramm mit 
speziellen Fr\'echetr�umen und linearen stetigen Abbildungen auff�llen.
Dabei ist jede Spaltenabbildung ein Korandoperator.
Wir behandeln die Kommutativit�t des Diagramms und die Exaktheitsbedingungen
an die Zeilen und Spalten  als Eigenschaften der Familie der vorkommenden
Fr\'echetr�ume. Wir zeigen, da� sich die Urbildabsch�tzungen
der exakten Spalten auf die erste Spalte �bertr�gt.

In den folgenden Kapiteln mu� dann gezeigt werden, da� es ein
solches Diagramm von Fr\'echet\-r�umen gibt, wo in der ersten Spalte die Sequenz
der Korandabbildungen zwischen den
Kokettenr�umen
mit Werten in einer lokal endlich erzeugten Untergarbe von
$\oka^p$ steht. 

 







Sei $I$ eine abz"ahlbare Indexmenge. Sei f"ur jedes $k\in \N_0$, $\sss\in \N_0$ eine
Familie  $S_{k,\sss}$ von Fr\'echetr"aumen gegeben, so da� zu jedem Multiindex 
$\alpha=\ffg{0}{} \in I^{\sss +1}$, paarweise verschiedener Indizes aus $I$ ein 
Fr\'echetraum $F_\alpha^k$ mit einem jeweiligen aufsteigenden 
Halbnormensystem $(\normoben{k}{
\alpha,n}{\leer{0.5}})_{n\in \N}$ existiert. Es gelte $F_{\pi(\ffg{0}{})}^k=
F_{\ffg{0}{}}^k$ f"ur jede Permutation $\pi$ der Indizes $\ffg{0}{}$. F�r die
lokalen Banachr�ume von $F_{\ffg{0}{}}^k$ bez�glich $\normoben{k}{
\ffg{0}{},n}{\leer{0.5}}$ sollen die  kanonischen Verbindungsabbildungen injektiv sein und
dichtes Bild besitzen.


Ferner sei f"ur jeden Multiindex $\ffg{1}{}\in I^\sss$ die Anzahl der Fr\'echetr"aume
$F_{i,\ffg{1}{}}^k \in S_{k,\sss}$, $i\in I$, die nicht der Nullraum sind,
gleichm"a�ig f"ur jedes $k\in \N_0$ und $\sss\in \N_0$ durch eine Schranke $M\in \N$
beschr"ankt. Die Menge solcher Indizes $i$ zu einem Multiindex $\ffg{1}{}$ sei
f"ur jedes $k\in \N_0$ gleich. Wir bezeichnen sie mit $I_\ffg{1}{} $. Wir verlangen ferner, 
da� $I_{j,i_1,\ldots,i_\sss} \subset I_{i_1,\ldots,i_\sss}$ f�r jedes $j\in I$ und
jedes $i_1,\ldots,i_\sss\in I^\sss$ ist. 


Ist $\alpha=\ffg{0}{}\in I^{\sss +1}$ ein Multiindex, dann sei mit $\alpha_j$ derjenige 
Multiindex in $I^\sss$ bezeichnet, der durch Streichung des Index $i_j$ entsteht.

Wir f"uhren jetzt den Begriff einer Kokette auf $S_{k,\sss}$, $k\in N_0$, $\sss\in \N_0$ ein:

\begin{satzohnebeweis}{Definition}

Eine Kokette $c=(c_\ffg{0}{})_{\ffg{0}{}\in I^{\sss +1}}$ der L"ange $\sss$ auf der Stufe $k$ 
sei ein Element
aus $\leer{-1.55}\prod\limits_{\ffg{0}{}\in I^{\sss +1}} \leer{-1}F_\ffg{0}{}^k$ 
mit der folgenden alternierenden Eigenschaft:
\[   c_\ffg{0}{}=(-1)^{\mbox{sign }\pi} c_{\pi(\ffg{0}{})} \komma \]
wobei $\pi$ eine Permutation der Indizes $\ffg{0}{}$ ist und sign $\pi$ die minimale Anzahl der 
Transpositionen angibt, in die $\pi$ zerlegt werden kann.
\end{satzohnebeweis}






Man beachte, da� $c_\ffg{0}{}$ und $c_{\pi(\ffg{0}{})}$ Elemente desselben Fr\'echetraumes sind.

Die Menge aller Koketten der L"ange $\sss$ sei mit ${\cal C}(S_{k,\sss})$ bezeichnet.

Wir wollen nun R"aume gewichteter Koketten einf"uhren und diese mit einer Fr\'echetraumtopologie
versehen.

Ist $J$ eine abz"ahlbare Indexmenge und $(F_j)_{j\in J}$ eine Familie von Fr\'echetr"aumen mit
aufsteigenden Halbnormensystemen $(\norm{j,n}{\leer{0.5}})_{n\in \N}$ jeweils in dem 
Fr\'echetraum $F_j$, dann sei 
\[   l_1((F_j)_j):=\{ x=(x_j)_{j\in J}\in \prod_{j\in J} F_j \doppelpunkt 
                \dreinorm{}{n}{x} := \sum_{j\in J}\norm{j,n}{x_j} <\infty\mbox{ f"ur jedes }n\}  \]
der Raum der bez�glich $(F_j)_j$ absolutsummierbaren Folgen.
$l_1((F_j)_j)$ ist also ein linearer Teilraum von $\prod\limits_j F_j$. 
Man zeigt wie im skalaren Fall,
da� $l_1((F_j)_j)$ versehen mit der durch $(\dreinorm{}{n}{\leer{0.5}})_n $
induzierten Topologie ein Fr\'echetraum ist.








Sei jetzt $C=(C_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ eine Familie von  Konstanten aus dem halboffenen
Intervall $(0,1]$ mit 
$C_\alpha=C_{\pi(\alpha)}$ f"ur jede Permutation $\pi$ des Multiindex $\alpha$. Dann sei
\[    {\cal C}( S_{k,\sss},C) := \{ c=(c_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}} \in {\cal C}(S_{k,\sss})
         \doppelpunkt C\cdot c:=(C_\alpha\cdot c_\alpha )_{\alpha\in I^{\sss +1}} \in l_1(S_{k,\sss}) \}
         \punkt \]
F"ur $c\in {\cal C}( S_{k,\sss},C)$ gilt also
\[    \dreinorm{k}{n,C}{c} := \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} C_\alpha \normoben{k}{\alpha,n}{c_\alpha} <\infty \]
f"ur jedes $n\in \N$. Dasjenige Konstantensystem, das nur aus Einsen besteht, bezeichnen wir
mit $1$. 

${\cal C}( S_{k,\sss},C)$ ist versehen mit $(\dreinorm{k}{n,C}{\leer{0.5}})_n$ ein Fr\'echetraum,
denn ${\cal C}( S_{k,\sss},C)= l_1((F^k_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}})$, wobei die Halbnormen in
den $F^k_\alpha$ jeweils mit $C_\alpha$ skaliert sind. 

Ferner sei 
\[   {\cal C}_n(S_{k,\sss},C) := \{ c\in {\cal C}( S_{k,\sss})\doppelpunkt \dreinorm{k}{n,C}{c}
        < \infty \} \punkt  \]











Um einen Korandoperator f"ur Koketten auf der Stufe $k$ einf"uhren zu k"onnen, 
ben"otigen wir f"ur jedes 
$\alpha\in I^{\sss +1}$, $\sss\ge 1$ und $j=0,\ldots, \sss$ lineare stetige  Abbildungen
\[    \iota_{\alpha_j}^{k,\alpha} : F_{\alpha_j}^k \rightarrow F_\alpha^k   \] 
mit folgenden Eigenschaften:

\formel{{\einlabeln{10.1.1}}
         &\mbox{1)}& \normoben{k}{\alpha,n}{\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha} x} \le \normoben{k}{\alpha_j,n}{x}
                       \mbox{ f"ur jedes } n\in \N  \\
         &\mbox{2)}&  \iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}\circ \iota_{(\alpha_j)_i}^{k,\alpha_j} = 
                        \iota_{\alpha_i}^{k,\alpha}\circ \iota_{(\alpha_i)_{j-1}}^{k,\alpha_i} 
                         \mbox{ f"ur } 1\le i<j\le \sss+1  \\
         &\mbox{3)}&  \iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}\circ \iota_{(\alpha_j)_i}^{k,\alpha_j} =
                        \iota_{\alpha_{i+1}}^{k,\alpha}\circ \iota_{(\alpha_{i+1})_j}^{k,\alpha_{i+1}} 
                         \mbox{ f"ur } 0\le j\le i \le \sss  \\
         &\mbox{4)}&   \iota_{\alpha_j}^{k,\alpha} \mbox{ ist injektiv, falls } F^k_\alpha \not=
                       \{0\} \mbox{ ist. }
}

Falls klar ist, auf welcher Stufe $k$ sich die Abbildungen befinden, lassen wir den Index $k$ fort.
Den Korandoperator auf der Stufe $k$ definieren wir nun wie folgt:

F�r $\sss\ge 0$ sei
\formelohne{  \delta^\sss: {\cal C}( S_{k,\sss}) \ni (c_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}} 
            &\mapsto & ((\delta^\sss c)_\beta)_{\beta\in I^{\sss +2}} \in {\cal C}( S_{k,\sss+1}) \\
                     \mbox{ mit }  (\delta^\sss c)_\beta
            &:=&  \sum_{j=0}^{\sss+1} (-1)^j \iota_{\beta_j}^\beta c_{\beta_j}   }







Zwischen zwei Konstantensystemen $C=(C_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ und $D=(D_\beta)_{\beta\in I^{\sss +2}}$
sei die Vergleichsrelation $C\succ D$ genau dann gegeben, falls 
\[   C_\alpha \ge \max_{i\in I_\alpha} D_{i,\alpha} \mbox{ f"ur alle } \alpha\in I^{\sss +1}\punkt \]

F"ur den Korandoperator gilt das folgende 

\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{10.2}
Falls $C\succ D$, dann ist $\delta^\sss$ ein stetiger linearer Operator
${\cal C}_n( S_{k,\sss},C) \rightarrow {\cal C}_n( S_{k,\sss+1},D)$. Ferner gilt 
\be
\item[1)] $ \delta^\sss \circ \delta^{\sss-1} =0$ f"ur $\sss=1,2,\ldots$.
\item[2)] $ \dreinorm{k}{n}{\delta^\sss c} \le M\cdot (\sss+2)\cdot \dreinorm{k}{n}{c}$ f�r
jedes $c\in{\cal C}_n( S_{k,\sss},C)$.
\ee
\end{satz}


Wir zeigen zun"achst $ \delta^\sss \circ \delta^{\sss-1}c =0$ f"ur ein $c\in {\cal C}( S_{k,\sss-1})$.
F"ur $\alpha\in I^{\sss +2}$ gilt:
\formelohne{  (\delta^\sss(\delta^{\sss-1} c))_\alpha 
     &=&  \sum_{j=0}^{\sss+1} (-1)^j \iota_{\alpha_j}^\alpha \left( 
                          \sum_{i=0}^\sss (-1)^i \iota_{(\alpha_j)_i}^{\alpha_j} c_{(\alpha_j)_i}\right) \\
     &=& \leer{-0.5}\sum_{0\le i<j\le \sss+1}\leer{-0.5} (-1)^{i+j} \iota_{\alpha_j}^\alpha\circ
                \iota_{(\alpha_j)_i}^{\alpha_j} c_{(\alpha_j)_i} + 
               \leer{-0.5}\sum_{0\le j\le i \le \sss}\leer{-0.5} (-1)^{i+j} \iota_{\alpha_j}^\alpha\circ
                \iota_{(\alpha_j)_i}^{\alpha_j} c_{(\alpha_j)_i}    }
Wir wenden die Kommutationseigenschaften \auslabeln{10.1.1} an und erhalten mit $n:=j$ und $m:=i+1$
\formelohne{   \leer{-0.5}\sum_{0\le j\le i \le \sss}\leer{-0.5} (-1)^{i+j} \iota_{\alpha_j}^\alpha\circ
                \iota_{(\alpha_j)_i}^{\alpha_j} c_{(\alpha_j)_i}
          &=&  \leer{-0.5}\sum_{0\le j\le i \le \sss}\leer{-0.5} (-1)^{i+j} \iota_{\alpha_{i+1}}^\alpha
                \circ \iota_{(\alpha_{i+1})_j}^{\alpha_{i+1}} c_{(\alpha_{i+1})_j} \\
          &=&  (-1)\cdot\leer{-1}\sum_{0\le n<m\le \sss+1}\leer{-0.5} (-1)^{m+n} \iota_{\alpha_m}^\alpha\circ
                \iota_{(\alpha_m)_n}^{\alpha_m} c_{(\alpha_m)_n} \punkt  }
Also ist $(\delta^\sss(\delta^{\sss-1} c))_\alpha = 0$.
     





Wir zeigen nun die Stetigkeitsabsch"atzung:

\formelohne{ \dreinorm{k}{n}{\delta^\sss c} 
          &=& \sum_{\alpha\in I^{\sss +2}} D_\alpha \normoben{k}{\alpha,n}{\sum_{j=0}^{\sss+1} (-1)^j 
                       \iota_{\alpha_j}^\alpha c_{\alpha_j} }           \\
          &\le& \sum_{\alpha\in I^{\sss +2}} D_\alpha \normoben{k}{\alpha,n}{\sum_{j=1}^{\sss+1} (-1)^j 
                       \iota_{\alpha_j}^\alpha c_{\alpha_j} }  + 
                \sum_{\alpha\in I^{\sss +2}} D_\alpha \normoben{k}{\alpha,n}{c_{\alpha_0}} \punkt   }
F"ur den zweiten Summanden der rechten Seite gilt:
\formelohne{ 
      \sum_{\alpha\in I^{\sss +2}} D_\alpha \normoben{k}{\alpha,n}{c_{\alpha_0}}  
      &=&  \sum_{\beta\in I^{\sss +1} } \sum_{i\in I_\beta^k} D_{i,\beta} \normoben{k}{\beta,n}{c_\beta} \\
      &\le& M  \sum_{\beta\in I^{\sss +1} } C_\beta \normoben{k}{\beta,n}{c_\beta} \\
      &=& M  \dreinorm{k}{n}{c} \punkt }
Durch iteratives Abspalten der weiteren Summanden erhalten wir schlie�lich 
\[   \dreinorm{k}{n}{\delta^\sss c} \le (\sss+2) M \dreinorm{k}{n}{c}  \punkt \]
\hfill $\Box$






Wir bemerken noch, da� f"ur jeden Multiindex $\alpha\in I^{M+2}$ mit paarweise verschiedenen
Indizes aus $I$ der Raum $F_\alpha^k$ stets der Nullraum ist f"ur alle $k$. Denn es gibt ein
$j\in \{1,\ldots,M+1\}$, so da� $F_{i_0,i_j}^k=\{ 0 \}$ ist, sonst w"are die Anzahl
der Indizes in $I_{i_0}$ gr"o�er als $M$, was der Definition von $M$
widerspr�che. Ohne Einschr"ankung sei
$j=1$. Also ist $I_{i_0,i_1}=\emptyset$. Daher ist $I_{i_0,i_1,\ldots,i_M}=\emptyset$,
woraus  $F_{i_0,\ldots,i_{M+1}}^k=\{0\}$ folgt.


Im folgenden wollen wir unter einem System $(S_{k,\sss})_{k,\sss}$ stets ein System von
Fr\'echetr"aumen wie oben verstehen, das einen wohldefinierten Korandoperator
zul"a�t.




Ein Beispiel f"ur ein solches System $S_{k,\sss}$ mit festem $k$ und $\sss=0$  
wird durch die R"aume 
holomorpher Funktionen auf jeweils einem Element einer offenen zusammenh�ngenden
 "Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$
einer komplexen Mannigfaltigkeit gegeben, wobei sich nicht mehr als eine feste Anzahl
von Elementen der "Uberdeckung schneiden sollen. F"ur gr"o�ere 
$\sss$ sind die R"aume holomorpher Funktionen auf den Schnittmengen von jeweils $\sss +1$
"Uberdeckungsmengen zu nehmen.

Die Halbnormensysteme der einzelnen Fr\'echetr"aume sind dann durch die Suprema auf kompakten
Aussch"opfungen der jeweiligen "Uberdeckungsmengen gegeben. Auf den Schnittmengen w"ahlt man
die Schnitte der jeweiligen kompakten Aussch"opfungsmengen.

Die Abbildungen $i_{\alpha_j}^\alpha$ f"ur ein $\alpha\in I^{\sss +1}$ und $ j\in \{0,\ldots,\sss\}$
kann man als Einschr"ankungen der holomorphen Funktionen jeweils auf durch den Schnitt mit
$U_{i_j}$ entstehende kleinen Menge $U_\alpha$ w"ahlen. Hierdurch sind die Eigenschaften
\auslabeln{10.1.1} sofort erf"ullt.

Die Koketten  werden   in diesem Beispiel zu den "ublichen Koketten
holomorpher Funktionen einer Cousin-I-Verteilung, $\delta^1 c=0$ ist dann exakt
die Zykelbedingung.

Wir fassen weitere Voraussetzungen, die wir ben�tigen, zu der folgenden Eigenschaft (E)
zusammen. Die Untereigenschaft (E.1) beschreibt die Bedingungen f�r die Kommutativit�t
des Diagramms \auslabeln{15.1.1}, die Exaktheit der Zeilen sowie Urbild- und 
Stetigkeitsabsch�tzungen. Die Untereigenschaft (E.2) beschreibt Urbildabsch�tzungen
der Spaltenabbildungen. 












\begin{satzohnebeweis}{Definition}
Ein System $S=(S_{k,\sss})_{k,\sss}$ habe die Eigenschaft (E), falls die folgenden
Eigenschaften (E.1) und (E.2) erf"ullt sind:
\be
\item[(E.1):]  Ist $\sss\ge 0$ fest, so gibt es f"ur jedes $\alpha\in I^{\sss +1}$ eine 
exakte Sequenz von linearen stetigen Abbildungen $p^k_\alpha$, $k\ge 0$, die $\not=0$
sind, falls 
$F^{k+1}_\alpha\not=\{0\}$, und die 
invariant unter Permutationen der Indizes in $\alpha$ sind
\be
\item[(E.1.1)] \[    \ldots F_\alpha^3 \stackrel{p_\alpha^2}{\to} F_\alpha^2 \stackrel{p_\alpha^1}{\to}
                            F_\alpha^1 \stackrel{p_\alpha^0}{\to} F_\alpha^0 \to 0 \punkt \]
\ee
Es gelten ferner
\be
\item[(E.1.2)] \[     p_\alpha^k \circ \iota_{\alpha_j}^\alpha = \iota_{\alpha_j}^\alpha \circ p_{\alpha_j}^k
           \mbox{ f"ur } \alpha\in I^{\sss +1}\komma j=0,\ldots,\sss\komma k\ge 0 \komma \]
\ee
sowie die folgenden Eigenschaften:
\be
\item[(E.1.3)] Zu $\alpha\in I^{\sss +1}$, $k\ge 0$ und $n\in \N$ gibt es $C>0$, so da� es f"ur jedes 
$x\in F^k_\alpha$ mit $p_\alpha^{k-1} x=0$ und $\norm{\alpha,n+1}{x}\le 1 $ ein $y\in F^{k+1}_\alpha$
mit $p_\alpha^k y=x$ und $\norm{\alpha,n}{y}\le C$ gibt. Hierbei sei $p^{-1}_\alpha:F_\alpha^0 \to 0$
die Nullabbildung.
\item[(E.1.4)] F"ur alle $n\in \N$, $\alpha\in I^{\sss +1}$ und $k\ge 0$ gibt es ein Konstantensystem
$C_{n,k}=(C_{n,k,\alpha})_{\alpha \in I^{\sss +1}}$, so da�
\[   \dreinorm{k}{n,C_{n,k}}{p^k_\alpha x} \le \dreinorm{k+1}{n,1}{x} \mbox{ f"ur jedes } 
       x\in F_\alpha^{k+1}    \]
\ee
\item[(E.2):] F"ur $k\ge 1$ gelte:
Es gibt eine nicht leere Menge $M_\gamma$ zu einem festen $\gamma> 1$ mit
\be
\item[1.] $ M_\gamma \subset \{ [C:=(C_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}},C':=(C'_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss}}]
           \doppelpunkt C\prec C' \}$,
\item[2.] aus $[C,C'] \in M_\gamma$ folgt $[C^\theta,{C'}^\theta]\in M_\gamma$ f"ur jedes $\theta\ge 1$,
\item[3.] ist $[C,C'] \in M_\gamma$ dann gibt es $C''\prec C$, so da� 
$[C'',C]\in M_\gamma$,
\ee
f"ur die gilt:
Zu jedem Konstantensystem $C_1=(C_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ und $n\in \N$ gibt es ein
Konstantensystem $C_2=(C_{2,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss}}$, so da� f"ur alle $[C,C']\in M_\gamma$ gilt:

Ist $c\in {\cal C}_n( S_{k,\sss},C\cdot C_1)$ mit $\delta^\sss c=0$, dann existiert ein 
$c'\in {\cal C}_{n-1}( S_{k,\sss-1},{C'}^\gamma\cdot C_2)$ mit 
\formelohne{
      \delta^{\sss-1}c' &=& c \mbox{ und} \\
     \dreinorm{k}{n-1,{C'}^\gamma\cdot C_2}{c'} &\le& \dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c}  } 
\ee
\end{satzohnebeweis}





Der nun folgende Satz zeigt, da� auch auf der Stufe $k=0$ L"osungen f"ur den verallgemeinerten
Korandoperator existieren, falls Eigenschaft (E) gilt.

Der Beweis verwendet das Induktionsverfahren, da� f"ur den Beweis des Theorem B von Cartan
auf relativ kompakten holomorph konvexen Stufen verwendet wird (vgl. Beweis von Theorem
7.4.3 bzw. 7.6.10 in \cite{Hoer}).



\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{10.3}
 Sei $(S_{k,\sss})_{k,\sss}$ ein System von Fr\'echetr"aumen, f"ur das die 
Eigenschaft (E) gilt. Dann gilt f"ur $k=0$:

Sei $\gamma>1$ und $M_\gamma$ so gew"ahlt wie in (E.2), dann gibt es zu jedem Konstantensystem 
$C_1=(C_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ und $n\in \N$, $n>2(M+1)$ ein
Konstantensystem $C_2=(C_{2,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss}}$, so da� f"ur alle $[C,C']\in M_\gamma$ gilt:

Ist $c\in {\cal C}_n( S_{0,\sss},C\cdot C_1)$ mit $\delta^\sss c=0$, dann existiert ein 
$c'\in {\cal C}_{n-2(M+1-\sss)}( S_{0,\sss-1},{C'}^{\gamma^{M-\sss}} \cdot C_2)$ mit 
\formelohne{
      \delta^{\sss-1}c' &=& c \mbox{ und} \\
     \dreinorm{0}{n-2(M+1-\sss),{C'}^{\gamma^{M-\sss}} \cdot C_2}{c'} 
                        &\le& \dreinorm{0}{n,C\cdot C_1}{c}  }
\end{satz}







Wir f"uhren eine Induktion "uber fallende $\sss$ durch.

Wir zeigen die folgende von $\sss$ abh�ngige Induktionsbehauptung f�r festes aber beliebiges
$k\ge 0$:

Zu jedem Konstantensystem 
$C_1=(C_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ und $n\in \N$, $n>2(M+1)$ gibt es ein
Konstantensystem $C_2=(C_{2,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss}}$, so da� f"ur alle $[C,C']\in M_\gamma$ gilt:

Ist $c\in {\cal C}_n( S_{k,\sss},C\cdot C_1)$ mit $\delta^\sss c=0$ und
$p_\alpha^{k-1} c_\alpha=0$ f�r alle $\alpha\in I^{\sss+1}$, dann existiert ein 
$c'\in {\cal C}_{n-2(M+1-\sss)}( S_{k,\sss-1},{C'}^{\gamma^{M-\sss}} \cdot C_2)$ mit 
\formelohne{
      p_\alpha^{k-1} c'_\alpha &= & 0 \foralls \alpha\in I^\sss \\
      \delta^{\sss-1}c' &=& c \mbox{ und} \\
     \dreinorm{k}{n-2(M+1-\sss),{C'}^{\gamma^{M-\sss}} \cdot C_2}{c'} 
                        &\le& \dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c}   \punkt}



Der Induktionsanfang $\sss=M+1$ ist klar, da nur Nullelemente auftauchen.

Zum Induktionschritt $\sss+1$ nach $\sss$:

%Wir setzen voraus, da� der Satz f"ur s"amtliche Systeme $(S_{k,\sss})_{k,\sss}$, die
%(E) besitzen, gilt, aber nur bis zur Stufe $\sss+1$.

 Sei $C_1=
(C_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ ein Konstantensystem und $n>2(M+1)$, $n\in \N$.
Sei ferner $[C=(C_{\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}, C'=(C'_{\alpha})_{\alpha\in I^{\sss }}]\in M_\gamma$.

Wir starten mit einem $c\in {\cal C}_{n}(S_{k,\sss},C\cdot C_1)$ mit $\delta^{\sss} c=0$
und $p_\alpha^{k-1}=0$ f�r alle $\alpha\in I^{\sss+1}$.
Nach (E.1.3) gibt es zu
$c_\alpha \in F_\alpha^k $ ein $d_\alpha \in F^{k+1}_\alpha$ mit $p_\alpha^k d_\alpha = c_\alpha$ und 
$\norm{\alpha,n-1}{d_\alpha} \le \tilde{C}_\alpha \norm{\alpha,n}{c_\alpha}$. Hierbei
h�ngt $\tilde{C}_\alpha$ nur von $\alpha$ und $n$ ab.

Wenn wir also $\tilde{C}:=(\tilde{C}_\alpha^{-1})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ setzen, so erhalten
wir ein $d=(d_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}} \in {\cal C}_{n-1}(S_{k+1,\sss},C\cdot\tilde{C}\cdot C_1)$
mit 
\[   \dreinorm{k+1}{n-1,C\cdot\tilde{C}\cdot C_1}{d} \le \dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c}  \]









%Wir wenden auf $d'\in {\cal C}_{n-1}(S_{k+1,\sss+1},C''\cdot D')$ die Induktionsvoraussetzung an. 
Wir w�hlen gem�� der 3. Eigenschaft von $M_\gamma$ ein $C''\prec C$, so da�
 $[C'',C]\in M_\gamma$. Nach Lemma \auslabelnsatz{10.2} folgt dann mit $D':=\tilde{C}\cdot C_1\cdot
(M(\sss+3))^{-1}$, da� $d':=\delta^{\sss+1} d \in{\cal C}_{n-1}(S_{k+1,\sss+1},C''\cdot D')$
und 
\[   \dreinorm{k+1}{n-1, C''\cdot D'}{d'} \le
                        \dreinorm{k+1}{n-1,C\cdot\tilde{C}\cdot C_1}{d} \]
Ist $\alpha \in I^{\sss+2}$, dann folgt wegen (E.1.2)
\formelohne{   p_\alpha^k d'_\alpha
                 &=& p_\alpha^k (\delta^{\sss+1} d)_\alpha  \\
                 &=& \sum_{j=0}^{\sss+2} (-1)^j p_\alpha^k i_{\alpha_j}^\alpha d_{\alpha_j} \\
                 &=& \sum_{j=0}^{\sss+2} (-1)^j i_{\alpha_j}^\alpha p_{\alpha_j}^k  d_{\alpha_j} \\           
                 &=& (\delta^{\sss+1} c)_\alpha \\
                 &=& 0 \punkt    }





Wir k�nnen also auf $d'$ die Induktionsvoraussetzung auf der Stufe $k+1$ anwenden. 
 Es gibt daher ein Konstantensystem $D''$, 
unabh�ngig von $C$, $C''$ und $d'$, so da� zu $d'$ eine 
L�sung der Gleichung $\delta^{\sss} d''= d'$ existiert mit $d''$ in 
${\cal C}_{n-1-2(M+1-\sss-1)}(S_{k+1,\sss},C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D'') $,
$p_\alpha^k d''_\alpha =0$ f�r alle $\alpha \in I^{\sss+1}$  und
\[   \dreinorm{k+1}{ n-1-2(M-\sss),C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D''}{d''} \le
      \dreinorm{k+1}{n-1,C''D'}{d'} \punkt   \]
Hierbei ist ohne Einschr�nkung $D''\le \tilde{C}\cdot C_1$.

Wir setzen nun $h:=d-d''\in {\cal C}( S_{k+1,\sss})$. Dann gilt 
\[   \delta^{\sss} h = \delta^{\sss} d - \delta^{\sss} d'' = d'-d' = 0  \mbox{ und} \]
\formelohne{
                 \dreinorm{k+1}{n-1-2(M-\sss),C^{\gamma^{M-\sss-1}} D''}{h}
     &\le&  \dreinorm{k+1}{n-1, C\cdot D''}{d} + \dreinorm{k+1}{n-1,C''D'}{d'}   \\
     &\le&  \dreinorm{k+1}{n-1, C\cdot\tilde{C}\cdot C_1}{d} + \dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c} \\
     &\le&  2\dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c}   }


Also ist $h\in  {\cal C}_{n-1-2(M-\sss)}(S_{k+1,\sss},C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D'')$








Wir wenden jetzt Eigenschaft (E.2) an: 

Es gibt demnach ein von $C$ und $C'$ unabh�ngiges $D'''=(D'''_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss }}$,
 so da� f�r das Paar $[C^{\gamma^{M-\sss-1}},$ $
{C'}^{\gamma^{M-\sss-1}} ] \in M_\gamma$ gilt: Zu obigem $h\in {\cal C}_{n-1-2(M-\sss)}(S_{k+1 ,\sss},
C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D'')$ gibt es wegen $\delta^{\sss} h=0$ ein $h' \in
{\cal C}_{n-1-2(M-\sss)-1}$ $(S_{k+1,\sss-1},{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot D''')$, so da� 
\formelohne{
     \delta^{\sss-1} h'& = & h  \mbox{ und} \\
     \dreinorm{k+1}{n-1-2(M-\sss)-1,{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot D'''}{h'}
   &\le&  \dreinorm{k+1}{n-1-2(M-\sss),C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D''}{h}  }

Wir zeigen nun, da� $c':=(p^k_\alpha h'_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss }}$ die gesuchte L�sung ist.

Es ist klar, da� $p_\alpha^{k-1}c_\alpha'=0$ f�r alle $\alpha\in I^{\sss}$ gilt. Ferner gilt f�r 
alle $\alpha\in I^{\sss+1}$, da� 
\formelohne{
             (\delta^{\sss-1} c')_\alpha 
     &=&  \sum_{j=0}^\sss (-1)^j \iota_{\alpha_j}^\alpha p^k_{\alpha_j} h'_{\alpha_j} \\
     &\stackrel{(E.1.2)}{=}&  \sum_{j=0}^\sss (-1)^j p^k_{\alpha} \iota_{\alpha_j}^\alpha  h'_{\alpha_j} \\
     &=&  p^k_\alpha(\delta^{\sss-1} h')_\alpha \\
     &=&  p^k_\alpha h_\alpha \\
     &=&  p^k_\alpha d_\alpha - p^k_\alpha d''_\alpha  \\
     &=&  c_\alpha \punkt   }




Wegen (E.1.4) gibt es zur Stufe $n-2(M+1-\sss)$ ein Konstantensystem $\tilde{\tilde{C}}=
(\tilde{\tilde{C}}_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ mit 
\[  \dreinorm{k}{n-2(M+1-\sss),\tilde{\tilde{C}}_\alpha}{p^k_\alpha x} \le
    \dreinorm{k+1}{n-2(M+1-\sss),1}{ x}  \]
f�r jedes $x=(x_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$, $x_\alpha\in F^{k+1}_\alpha$.
Es folgt daher
\formelohne{
               \dreinorm{k}{n-2(M+1-\sss),{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot D'''\cdot \frac{
                  \tilde{\tilde{C}}}{2}}{c'}
    &\le&  \frac{1}{2} \dreinorm{k+1}{n-2(M+1-\sss),{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot D'''}{h'} \\
    &\le&  \frac{1}{2} \dreinorm{k+1}{n-1-2(M+1-\sss),C^{\gamma^{M-\sss-1}}\cdot D''}{h} \\
    &\le&  \dreinorm{k}{n,C\cdot C_1}{c}  }
Wir setzen also $C_2:= D'''\cdot \frac{\tilde{\tilde{C}}}{2}$ und erhalten damit
$c'\in {\cal C}_{n-2(M+1-\sss)}(S_{k,\sss-1},
{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot C_2)$. Damit ist der Induktionsschritt bewiesen \Ende













\newpage
\section[{\sc $\dquer$-L�sungen mit Absch�tzungen}]{$\dquer$-L�sungen 
mit Absch�tzungen auf Steinschen Mannigfaltig\-keiten }


Sei $\Omega$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, die 
abz�hlbar gegen unendlich ist. $\oka$ sei die Garbe von Keimen analytischer Funktionen auf $\Omega$ und $\F$ eine koh�rente analytische Garbe auf $\Omega$. Wir identifizieren f�r eine offene Menge $\Omega'\subset \Omega$ 
die holomorphen Funktionen auf $\Omega'$ mit den Schnitten $\Gamma(\Omega',\oka)$.

Eine $(p,q)$-Form $f$ auf $\Omega$ sei dadurch definiert, da� sie sich auf 
jeder Karte als $(p,q)$-Form in den lokalen Koordinaten schreiben l��t,
d.h. auf einer Karte $U$ existieren Koefizientenfunktionen aus 
$L^2(\Omega,loc)$ bez�glich eines festen Volumenelementes $dV$, so da� $f$
auf $U$ in den lokalen Koordinaten $z_1,\ldots,z_n$ die Form hat
\[   f= {\sum_{|I|=p}}'{\sum_{|J|=q}}' f_{I,J} dz^I\wedge d\overline{z}^J , \]
wobei hier die Notation aus [H�r] verwendet wird. Das bedeutet insbesondere,
da� die Summierung nur �ber aufsteigende Indizes der  L�nge
p bzw. q erfolgt. 

Der Raum der $(p,q)$-Formen auf $\Omega$ hei�e $L^2_{p,q}(\Omega,loc)$.









Wir w�hlen eine hermitsche Metrik $<\cdot,\cdot>$, die folgende 
Eigenschaft hat (siehe [H�r], S. 113): 

Es gibt eine Folge $(\eta_{\nu})_{\nu}$ in $C_{\circ}^{\infty}(\Omega)$,
so da� $0\le \eta_{\nu} \le 1$ und $\eta_{\nu}\equiv 1$ auf einem beliebigen
Kompaktum in $\Omega$, f�r $\nu$ gen�gend gro�, und 
\[  \betrag{\dquer \eta_{\nu}}^2=<\dquer \eta_{\nu},\dquer \eta_{\nu}>\le 1
    \mbox{ auf } \Omega \leer{1} \nu=1,2,\ldots   \]

Mit einer Orthonormalisierung erreicht man, da� zu jedem $z\in \Omega$ eine
offene Umgebung $U$ existiert, sowie $(1,0)$-Formen $\omega_1,\ldots, \omega_n$
mit $C^{\infty}$-Koeffizienten, so da� 
\[   <\omega_j,\omega_k> = \delta_{jk} \mbox{ f�r } z\in U \]







Eine $(p,q)$-Form $f$ l��t sich in eindeutiger Weise in 
$\omega_1,\ldots, \omega_n$ entwickeln:
\[   f={\sum_{|I|=p}}'{\sum_{|J|=q}}' f_{I,J}\leer{0.2} \omega^I\wedge 
          \overline{\omega}^J      \mbox{ auf } U \]
und es gilt 
\[   <f,f>={\sum_{|I|=p}}'{\sum_{|J|=q}}' \betrag{f_{I,J}}^2 \mbox{ auf } U .\]
 
Sei $\phi\in C^2(\Omega)$ und $f\in L^2(\Omega,loc)$, so da� 
\formel{   \norm{\phi}{f}^2:= \int \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV <\infty
\einlabeln{20}}
Der Raum dieser $(p,q)$-Formen sei mit $ L^2_{p,q}(\Omega,\phi)$ bezeichnet.




Sei von jetzt ab  $\Omega$ Steinsch.







 



Es gilt  das folgende Lemma �ber unbeschr�nkte
Operatoren zwischen Hilbertr�umen (siehe \cite{Hoer}, Lemma 4.1.1). 






\begin{satzohnebeweis}{Lemma}\einlabelnsatz{3.1}

Sei $T:H_1\rightarrow H_2$ ein linearer dicht definierter abgeschlossener
Operator. Es gebe $C>0$, so da�
\formel{  
     \norm{H_2}{f}\le C \norm{H_1}{T^* f} \mbox{ f�r alle } f\in F\cap D_{T^*},
\einlabeln{3.0.5} }

wobei $F\subset H_2$ abgeschlossen ist und f�r das Bild von $T$ gilt 
$R_T\subset F$.

Dann existiert zu jedem $f\in F$ ein $g\in H_1$, so da� 
\formel{  Tg=f \mbox{ und } \norm{H_1}{g}\le C \norm{H_2}{f}\einlabeln{3.0.6}
 }
gilt. Hierbei kann in \auslabeln{3.0.6} die gleiche Konstante
$C$ gew�hlt werden wie in \auslabeln{3.0.5}.
\end{satzohnebeweis}

Tats�chlich beweist H�rmander die �quivalenz von \auslabeln{3.0.5} und
\auslabeln{3.0.6}. Die Tatsache, da� in \auslabeln{3.0.6} die gleiche
Konstante gilt, wie in \auslabeln{3.0.5}, folgt unmittelbar aus der 
Anwendung des Satzes von Hahn-Banach  im Beweis.












$\dquer$ definiert folgende lineare abgeschlossene dicht definierte Operatoren
zwischen Hilbertr�umen:
\formel{   T:L_{p,q}^2(\Omega,\phi) & \rightarrow & L_{p,q+1}^2(\Omega,\phi)\\
           S:L_{p,q+1}^2(\Omega,\phi) & \rightarrow & L_{p,q+2}^2(\Omega,\phi)}

 

Den Raum der $(p,q)$-Formen auf $\Omega$ mit $C^{\infty}$-Koeffizienten 
und kompaktem Tr�ger bezeichnen wir mit $D_{(p,q)}(\Omega)$.














Wir ben�tigen die folgende Aussage �ber die L�sungen von
$\dquer$ auf einer Steinschen Mannigfaltigkeit. Da die Beweisf�hrung
sich weitestgehend auf den Beweis zu Theorem 5.3.4 in \cite{Hoer} st�tzt,
k�nnen wir uns hier kurz fassen.


\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{3.3}
Sei $\Omega$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert eine 
streng plurisubharmonische Funktion $\psi\in C^2(\Omega)$, so da�
f�r jede plurisubharmonische Funktion $\phi$ auf $\Omega$ gilt:

Zu jedem $f\in L^2_{(p,q+1)}(\Omega,\phi)$ mit $\dquer f=0$ 
existiert eine L�sung $u\in L^2_{(p,q)}(\Omega,loc)$ der 
Gleichung $\dquer u=f$, so da� \formel{
     \int_{\Omega} \betrag{u}^2 e^{-\phi-\psi} dV \le
        \int_{\Omega} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV .\einlabeln{3.3.1} }
\end{satz}

Wir w�hlen eine streng plurisubharmonische Aussch�pfungsfunktion
$\kappa$ auf $\Omega$ (siehe z.B. \cite{Hoer}, Thm. 5.2.10). Dann
gibt es eine wachsende konvexe Funktion $\chi:\R\to \R$, so da�
f�r jede zweimal differenzierbare plurisubharmonische Funktion $\phi$
die sogenannte basic estimate 
\formel{  \norm{\chi(\kappa)+\phi}{f}^2 \le 
    \norm{\chi(\kappa)+\phi}{T^{\ast}f}^2 + \norm{\chi(\kappa)+\phi}{Sf}^2
    \foralls f\in D_{p,q+1}(\Omega)  
\einlabeln{3.3.2}} gilt.
Die basic estimate gilt auch f�r alle $f\in D_{T^{\ast}}\cap D_S$, da
$D_{p,q+1}(\Omega)$ bez�glich der Graphennorm 
\[   \norm{\chi(\kappa)+\phi}{f}^2 + 
    \norm{\chi(\kappa)+\phi}{T^{\ast}f}^2 + \norm{\chi(\kappa)+\phi}{Sf}^2 \]
dicht in $D_{T^{\ast}}\cap D_S$ liegt.

 Sei jetzt
$F$ der Kern von $S$, dann ist $F$ abgeschlossen in  $L^2_{(p,q+1)}(\Omega,
\chi(\kappa) + \phi)$,
da $S$ abgeschlossen ist. Wir erhalten also

\[  \norm{\chi(\kappa) + \phi}{f} \le \norm{\chi(\kappa) + \phi}{T^{\ast}f} 
  \leer{1}\mbox{ f�r alle }f\in F\cap D_{T^*} \punkt \]

Mit Lemma \auslabelnsatz{3.1} folgt hieraus, da� zu jedem $f\in 
L^2_{(p,q+1)}(\Omega,\chi(\kappa) + \phi)$ mit $\dquer f=0$ ein 
$u\in L^2_{(p,q)}(\Omega,\chi(\kappa) + \phi)$ existiert mit 
\[  \norm{\chi(\kappa)+\phi}{u} \le \norm{\chi(\kappa) + \phi}{f} 
    \le \norm{ \phi}{f} \punkt \]

F�r den �bergang zu einer beliebigen  plurisubharmonischen
Funktion  $\phi$ verwenden wir 
die Standardargumentation wie z.B. im Beweis zu Theorem 4.4.2 in \cite{Hoer}. \hfill $\Box$




\begin{satz}{Korollar}\einlabelnsatz{3.4}
 Ist $\tilde{\Omega}\subset \Omega$ offen und
pseudokonvex, dann existiert zu jedem $f\in L^2_{(p,q+1)}(
\tilde{\Omega},\phi)$ mit $\dquer f=0$ eine L�sung $u\in L^2_{(p,q)}(
\tilde{\Omega},loc)$ der Gleichung $\dquer u=f$, so da�
\[ \int_{\tilde{\Omega}} \betrag{u}^2 e^{-\phi-\psi} dV \le
        \int_{\tilde{\Omega}} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV .  \]
Hier ist $\phi$ eine beliebige plurisubharmonische Funktion auf $\Omega$
 und $\psi$ aus obigem
Satz.
\end{satz}

Wir k�nnen auf $\tilde{\Omega}$ das eingef�hrte Volumenelement f�r
$\Omega$ eingeschr�nkt auf $\tilde{\Omega}$ verwenden.
Da \auslabeln{3.3.2} auch f�r alle $f\in D_{p,q+1}(\tilde{\Omega})$ gilt,
kann man wie im Beweis zu Satz \auslabelnsatz{3.3} argumentieren. \Ende


























                 






\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{3.4.1}
Seien $\Omega_1$, $\Omega_2$ und  $\Omega_3$ offene pseudokonvexe Teilmengen
einer komplexen Mannigfaltifkeit $\Omega$.
Sei $\Omega_1\subset \Omega_2$ relativ kompakt und $\Omega_2\subset \Omega_3$,
ferner sei $q\ge 1$ und $\phi \in \PSH(\Omega_2)$.

Dann gibt es zu jedem $f\in L^2_{(0,q)}(\Omega_2, \phi)$ mit
$\overline{\partial} f=0$ ein $F\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, loc) $ mit
\[ \overline{\partial} F=0 \mbox{ und } F=f \mbox{ auf } \Omega_1  \]
\end{satz}
Wir wenden Satz \auslabelnsatz{3.3} auf $f\in L^2_{(0,q)}(\Omega_2, \phi)$ an und
erhalten ein $u\in L^2_{(0,q-1)}(\Omega_2, loc) $ mit $\overline{\partial}u=f$.% und 
%\[   \int_{\Omega_2} \betrag{u}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}
%         \le \int_{\Omega_2} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV_{\Omega}  \]
%mit einem von $\phi $ und $f$ unabh�ngigen $\psi \in \PSH(\Omega_2)$.




Wir w�hlen eine $C^{\infty}$-Funktion $\chi$ mit Werten im Intervall $[0,1]$, 
so da� der Tr�ger von $\chi $ in $\Omega_2$ liegt und $\Omega_1\subset \chi^{-1}(1)$.

Es sei $w:=\chi u$ und $F:=\overline{\partial} w$. Dann ist 
$F\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, loc)$ und $ \overline{\partial} F=0$.
Ferner gilt
\[   F\mid_{\Omega_1} = \left[ \overline{\partial} u\cdot \chi + u\cdot 
              \overline{\partial} \chi \right]\mid_{\Omega_1} = 
              \overline{\partial} u \mid_{\Omega_1} = f\mid_{\Omega_1} \punkt \]
\hfill $\Box$


\begin{satz}{Korollar}\einlabelnsatz{3.4.2}
Seien $\Omega_1\subset \Omega_2\subset\Omega_3$ pseudokonvexe Teilmengen von $\Omega$
aus Satz \auslabelnsatz{3.3} und sei $\Omega_1$ in $\Omega_2$ relativ kompakt.
 Sei ferner $\phi\in \PSH(\Omega)$ und $q\ge 1$.

Dann gibt es zu jedem $f\in L^2_{(0,q+1)}(\Omega_3, \phi)$ mit $\dquer f=0$
eine L�sung $u\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, loc) $ der Gleichung $\dquer u=f$, 
so da� die Absch�tzung 
\[   \int_{\Omega_1} \betrag{u}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}
         \le \int_{\Omega_2} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV_{\Omega}  \]
mit $\psi$ aus Satz \auslabelnsatz{3.3} erf�llt wird.
\end{satz}
Wir wenden Korollar \auslabelnsatz{3.4} auf $f\in L^2_{(0,q+1)}(\Omega_3, \phi)$
mit $\dquer f=0$ zweifach an und erhalten $u_1\in L^2_{(0,q)}(\Omega_2, \phi + \psi)$
und $u_2\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, \phi + \psi)$ mit 
$f=\dquer u_1$ auf $\Omega_2$ und $f=\dquer u_2$ auf $\Omega_3$, sowie
\formelohne{  \int_{\Omega_2} \betrag{u_1}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}
             & \le& \int_{\Omega_2} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV_{\Omega}\und  \\
               \int_{\Omega_3} \betrag{u_2}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}
             & \le& \int_{\Omega_3} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV_{\Omega}\punkt  }





Dann erf�llt $w:=u_2|_{\Omega_2} -u_1$ die Voraussetzungen von Lemma \auslabelnsatz{3.4.1}.
Wir erhalten daher $W\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, loc)$ mit $\dquer W=0$ und 
$W=w$ auf $\Omega_1$.

Wir setzen $u:= u_2-W\in L^2_{(0,q)}(\Omega_3, loc)$. Da $\dquer u=\dquer u_2 - 
\dquer W = \dquer u_2=f$ gilt auf $\Omega_3$ und 
\formelohne{   \int_{\Omega_1} \betrag{u}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}
             & = & \int_{\Omega_1} \betrag{u_2-u_2+u_1}^2 e^{-\phi-\psi} dV_{\Omega}\\
             &\le& \int_{\Omega_2} \betrag{f}^2 e^{-\phi} dV_{\Omega}\komma }
ist das Korollar gezeigt \Ende

\newpage
\section[{\sc Beweis eines Theorem B mit Schranken f�r $\oka_{\Omega}$}]{Beweis eines Theorem B mit Schranken f�r Koketten mit Wer\-ten in 
der Garbe $\oka_{\Omega}$ von Keimen holomorpher Funktionen auf einer Steinschen
Mannigfaltigkeit}

Im n�chsten Schritt werden wir ein Theorem B mit L�sungsabsch�tzungen
beweisen f�r die Garbe von Keimen holomorpher Funktionen auf
einer Steinschen Mannigfaltigkeit. Dies wird die Eigenschaft E.2  zeigen.

Ein ebensolches L�sungstheorem mit pr�zisen Angaben des Gewichtsverlustes
findet sich in \cite{Hoer}, Proposition 7.6.2. Dieses Ergebnis bezieht sich jedoch 
lediglich auf die Situation im $\C^n$. Deshalb streben wir hier
an, die Situation auf Steinschen Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Dabei
werden die Angaben des Gewichtsverlustes naturgem�� unpr�ziser. Der
Beweisgang wird im wesentlichen gleich verlaufen und zwar als Induktion
�ber $\sss$, wobei in den Beweis des Induktionsanfangs $\sss=1$ der
$\dquer$-L�sungssatz \auslabelnsatz{3.3} eingehen wird.












Sei also $\Omega$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und
$\U:=(U_i)_{i\in I}$ eine abz�hlbare �berdeckung mit Steinschen Gebieten und
der Eigenschaft, da� eine feste �berdeckungsmenge
von h�chstens $M$ verschiedenen �berdeckungsmengen geschnitten wird.
$\W:=(W_i)_{i\in I}$ sei eine Verfeinerung zu $\U$. Insbesondere gelte 
$W_i\subset U_i$ relativ kompakt und $W_i$ Steinsches Gebiet f�r jedes $i\in I$.
 $(\chi_i)_i$ sei eine Teilung der Eins
bez�glich $(W_i)_i$. Wir w�hlen ferner eine plurisubharmonische
Funktion $\phi$, die 
\[      \left( \sum_{i\in I}\betrag{\dquer \chi_i(z)}\right)^2 e^{-\phi}\le 1, 
           \leer{1} z\in \Omega \komma  \]
erf�llt. Es sei $\H_q$ die Garbe von Keimen von $(0,q)$-Formen.
Auf den Stufenindex des Korandoperators $\delta$ wird verzichtet,
wenn sich die entsprechende Stufe aus dem Zusammenhang ergibt.
F�r einen Multiindex $i_0,\ldots ,i_\sss$ bezeichnen wir mit
$U_{i_0,\ldots ,i_\sss}$ den Schnitt $U_{i_0}\cap \ldots \cap U_{i_\sss}$.
Dies gelte f�r $W_{i_0,\ldots ,i_\sss}$ entsprechend.
Die Menge aller auf $\Omega$ plurisubharmonischen Funktionen bezeichnen
wie im folgenden mit PSH$(\Omega)$.

\begin{satz}{Poposition}\einlabelnsatz{3.5}
Sei $(\tilde{W}_i)_{i\in I}$ eine Familie von pseudokonvexen Gebieten mit 
$W_i\subset \tilde{W}_i$ relativ kompakt und $\tilde{W}_i\subset U_i$ f�r
jedes $i\in I$.
Ist $c\in C^\sss(\U,\H_q)$, $\delta c=0$, $\dquer c=0$ und 
\formel{ {\einlabeln{3.5.1} }  \sum_\indnullsigma \int_{\tilde{W}_\indnullsigma} \betrag{
             c_\indnullsigma}^2 e^{-\kappa} dV < \infty    }

f�r eine plurisubharmonische Funktion $\kappa$ auf $\Omega$, dann
existiert $c'\in C^{\sss-1}(\U,\H_q)$  mit $\dquer c'=0$, so
da� $\delta c'=c$ und 
\formel{    \sum_\indeinssigma \int_{W_\indeinssigma} \betrag{
             c'_\indeinssigma}^2 e^{-\kappa-(\phi+\psi)\cdot\sss} dV 
         \le C_\sss \sum_\indnullsigma \int_{\tilde{W}_\indnullsigma} \betrag{
             c_\indnullsigma}^2 e^{-\kappa} dV ,}
wobei $\psi\in \PSH(\Omega)$ unabh�ngig von $\kappa$ und $c$ gew�hlt
werden kann.
\end{satz}

{\sc Bemerkungen:} Das $\psi$ hier ist das gleiche wie in Satz \auslabelnsatz{3.3}.
Die Konstanten $C_\sss$ h�ngen nicht von den Gewichtsfunktionen ab. 






Sei $c\in C^\sss(\U,\H_q)$, $\delta c=0$, $\dquer c=0$. Setze 
\[   b_\indeinssigma:=\sum_i\chi_i c_{i,\indeinssigma} \]
und $b:=(b_\indeinssigma)_\indeinssigma \in C^{\sss-1}(\U,\H_q)$.
Man beachte, da� die Summe jeweils endlich ist.
Es gilt:
\formel{   (\delta^\sminuseins b)_\indnullsigma &=& 
         \sum_{k=0}^\sss (-1)^k \sum_i \chi_i c_{i,\indnullsigmafehl{k}} \\
     &=& \sum_i \chi_i \sum_{k=0}^\sss (-1)^k c_{i,\indnullsigmafehl{k}} \\
     &=& \sum_i \chi_i c_\indnullsigma \\
     &=& c_\indnullsigma ,  }
denn $\delta^\sss c=0$.

Ist $U\subset U_\indeinssigma$ offen, dann gilt f�r $\beta\in PSH(\Omega)$
wegen der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:
\formel{{\einlabeln{3.5.3} } 
   \int_U \betrag{b_\indeinssigma}^2 e^{-\beta} dV &\le& 
   \int_U \sum_i \chi_i \betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2
                                    e^{-\beta} dV  \\
   &\le&  \sum_i \int_{U\cap W_i} \betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2 e^{-\beta} dV 
 \punkt}






Setze $f_\indeinssigma = (\dquer b)_\indeinssigma := \dquer 
b_\indeinssigma$. Hierdurch wird eine Kokette $f:=(f_\indeinssigma
)_\indeinssigma \in C^\sminuseins(\U,\-\H_{q+1})$ definiert. Es gilt:
\formelohne{  f_\indeinssigma =  \dquer b_\indeinssigma
         &=& \sum_i \dquer(\chi_i c_{i,\indeinssigma})  \\
         &=&   \sum_i \dquer\chi_i\wedge c_{i,\indeinssigma} , }
denn $\dquer c=0$. Da $\dquer$ auf jedes einzelne lokale Element
einer Kokette wirkt, vertauscht $\dquer$ mit dem Korandoperator $\delta$
auf jeder Stufe. Daher gilt
\[ \delta^\sminuseins f= \delta^\sminuseins \dquer b =  \dquer \delta^\sminuseins b
         = \dquer c=0  . \]
F�r jedes $U\subset U_\indeinssigma$ und jedes $\beta\in PSH(\Omega)$ gilt
wegen der Wachstumseigenschaft von $\phi$
\formel{ {\einlabeln{3.5.4}} \int_U \betrag{f_\indeinssigma}^2 e^{-\phi-\beta} dV
      &\le&
          \int_U\left(\sum_i\betrag{\dquer \chi_i}\right)
             \left(\sum_i\betrag{\dquer \chi_i}\betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2\right)
                                             e^{-\phi-\beta} dV \\
      &\le& \int_U \sum_i\betrag{\dquer \chi_i}\betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2
                                             e^{-\frac{\phi}{2}-\beta} dV \\
      &\le& \sum_i \int_{U\cap W_i} \betrag{\dquer \chi_i}
                       \betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2 e^{-\frac{\phi}{2}-\beta} dV \\ 
      &\le& \sum_i \int_{U\cap W_i} \betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2 e^{-\beta} dV.  }








Wir f�hren nun eine Induktion �ber $\sigma$ durch:

F�r den Induktionsanfang $\sss=1$ sei $c\in C^1(\U,\H_q)$, $\delta^1 c=0$,
$\dquer c=0$ und 
\[   \sum_{i,j} \int_{U_{i,j}}\betrag{c_{i,j}}^2 e^{-\kappa} dV<\infty \punkt \]
 $b$ und $f$ seien wie oben konstruiert, dann gilt 
$\delta^0 f=0$ und $\dquer f=\dquer\dquer b=0$. $f$ definiert also eine $(0,q+1)$-Form auf
$\Omega$, die $\dquer$-geschlossen ist.  Wir erhalten wegen \auslabeln{3.5.1} 
und \auslabeln{3.5.4} 
\formel{{\einlabeln{3.5.5} }  \int_{\Omega} \betrag{f}^2 e^{-\phi-\kappa} dV
    &\le&
           \sum_j \int_{W_j} \betrag{f_j}^2 e^{-\phi-\kappa} dV  \\
    &\le&
           \sum_j\sum_i \int_{W_i\cap W_j} \betrag{c_{i,j}}^2 e^{-\kappa} dV \\
    &<&   \infty }
Es gibt daher nach Satz \auslabelnsatz{3.3} ein $g\in L^2_{(0,q)}(\Omega,
loc)$ mit $\dquer g=f$ und 
\formel{ \int_{\Omega} \betrag{g}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa}dV \le
         \int_{\Omega} \betrag{f}^2 e^{-\phi-\kappa}dV ,
\einlabeln{3.5.6}}
wobei $\psi$ unabh�ngig von $f$ und $\kappa+\phi$  gew�hlt werden kann.










Setze $c'_i := b_i-g$ f�r jedes $i\in I$. Dann wird durch $c':=(c'_i)_i$ eine Kokette in 
$C^0(\U,\H_q)$ definiert, f�r die 
\[   \delta^0 c'=\delta^0 b -\delta^0 g = \delta^0 b=c \] und
\[   \dquer c'=\dquer b-\dquer g= f-f=0 \mbox{   gilt. } \]
Wir k�nnen wegen \auslabeln{3.5.5} und \auslabeln{3.5.6} absch�tzen
\formelohne{\sum_j \int_{W_j} \betrag{c'_j}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa} dV
    &\le&
       2  \sum_j \int_{W_j} \betrag{b_j}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa} dV +
       2  \sum_j \int_{W_j} \betrag{g}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa} dV \\
    &\le&
       2  \sum_j \sum_i \int_{W_i\cap W_j} \betrag{c_{i,j}}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa} dV +
       2M  \int_{\Omega} \betrag{g}^2 e^{-\phi-\psi-\kappa} dV \\
    &\le&
       2 \sum_{i,j} \int_{W_{i,j}} \betrag{c_{i,j}}^2 e^{-\kappa} dV +
       2M \sum_{i,j} \int_{W_{i,j}} \betrag{c_{i,j}}^2 e^{-\kappa} dV .  }
Mit $C_1:=2(M+1)$ ist der Induktionsanfang gezeigt.
 






F�r den Induktionsschritt $\sminuseins\rightarrow \sss$ sei
$c\in C^\sss(\U,\H_q)$, $\delta^\sss c=0$, $\dquer c=0$ und
\[   \sum_{\indnullsigma} \int_{\tilde{W}_{\indnullsigma}}\betrag{c_{\indnullsigma}}^2
          e^{-\kappa} dV<\infty \punkt \]
 Wir bilden $b$ und $f$ wie oben. Dann ist $f\in C^\sminuseins(\U,\H_{q+1})$ und
$\delta^\sminuseins f=0$, $\dquer f=0$.

Wir k�nnen die Induktionsvorraussetzung auf $f$ und $\kappa + \phi$ anwenden,
denn wegen \auslabeln{3.5.4} gilt
\formel{{\einlabeln{3.5.7}}   \sum_\indeinssigma \int_{\tilde{W}_\indeinssigma} 
                                   \betrag{f_\indeinssigma}^2 e^{-\phi-\kappa} dV
    &\le&
           \sum_{i_0,\indeinssigma} \int_{\tilde{W}_{i_0,\indeinssigma}} 
                                   \betrag{c_\indnullsigma}^2 e^{-\kappa} dV \\
    &<&    \infty }
Es existiert also $b'\in C^{\sss-2}(\U,\H_{q+1})$, $\dquer b'=0$ mit 
$\delta^{\sss-2} b'=f$ und 
\formel{{\einlabeln{3.5.8}} \sum_\indzweisigma \int_{\tilde{\tilde{W}}_\indzweisigma} 
                            \betrag{b'_\indzweisigma}^2
                      & &\hspace{-1cm} e^{-(\kappa+\phi) - (\phi+\psi)(\sss -1)} dV \\
                       &\le&
         C_\sminuseins \sum_\indeinssigma \int_{\tilde{W}_\indeinssigma} \betrag{f_\indeinssigma}^2
                        e^{-\kappa-\phi } dV \komma}
wobei $(\tilde{\tilde{W}}_i)_i$ eine Verfeinerung zu $(\tilde{W}_i)_i$ ist mit 
$W_i\subset\tilde{\tilde{W}}_i$ und $\tilde{\tilde{W}}_i\subset \tilde{W}_i$ jeweils 
relativ kompakt f�r jedes $i\in I$.
 

 




Wir wenden Korollar \auslabelnsatz{3.4.2}  an auf jedes $b'_\indzweisigma$, $U_\indzweisigma$ und 
$\beta=(\kappa + \phi)+(\phi+\psi)(\sss-1)\in PSH(\Omega)$, sowie
$W_\indzweisigma\subset \tilde{\tilde{W}}_\indzweisigma \subset U_\indzweisigma$.

Es existiert also jeweils $b''_\indzweisigma\in L_{(0,q)}^2(U_\indzweisigma,loc)$
mit \formel{{\einlabeln{3.5.9}}   \dquer b''_\indzweisigma
     &=&
          b'_\indzweisigma    \mbox{ und } \\
          \int_{W_\indzweisigma} \betrag{b''_\indzweisigma}^2 e^{-\beta-\psi} dV
     &\le& 
          \int_{\tilde{\tilde{W}}_\indzweisigma} \betrag{b'_\indzweisigma}^2 e^{-\beta} dV   }
Sei $b'':= (b''_\indzweisigma)_\indzweisigma \in C^{\sigma-2}(\U,\H_q)$.
Mit \auslabeln{3.5.7}, \auslabeln{3.5.8} und \auslabeln{3.5.9} erhalten 
wir \formel{{\einlabeln{3.5.10}}  \sum_\indzweisigma \int_{W_\indzweisigma}
                      \betrag{b''_\indzweisigma}^2 e^{-\beta-\psi} dV 
   &\le&
         \sum_\indzweisigma \int_{\tilde{\tilde{W}}_\indzweisigma}
                      \betrag{b'_\indzweisigma}^2 e^{-(\kappa+\phi)-(\phi+\psi)(\sigma-1)} dV \\ 
   &\le&
         C_{\sigma-1} \sum_\indeinssigma \int_{\tilde{W}_\indeinssigma} 
           \betrag{f_\indeinssigma}^2 e^{-\phi-\kappa} dV   \\
   &\le&
         C_{\sigma-1} \sum_\indnullsigma \int_{\tilde{W}_\indnullsigma} 
           \betrag{c_\indnullsigma}^2 e^{-\kappa} dV.   }







Wir setzen $b''':= \delta^{\sigma-2} b''$. Dann ist $b'''\in C^{\sigma-1}(\U,\H_q)$.
Schlie�lich setzen wir $c':= b-b''' \in C^{\sigma-1}(\U,\H_q)$. Dann gilt
\formelohne{   \delta^{\sigma-1} c' = \delta^{\sigma-1}b - \delta^{\sigma-1}b''' 
         &=&  \delta^{\sigma-1}b - \delta^{\sigma-1}\delta^{\sss-2} b'' \\
         &=&  \delta^{\sigma-1}b \\
         &=&  c .  }
und
\formelohne{   \dquer c' = \dquer b - \dquer b''' 
         &=&
              f- \dquer\delta^{\sss-2} b'' \\
         &=&  f-\delta^{\sss-2} \dquer b'' \\
         &=&  f-\delta^{\sss-2} b'  \\
         &=&  f-f\\
         &=&  0 }

  



Es gilt $\beta + \psi= \kappa + (\phi+\psi)\sigma$. Daher erhalten wir
aus \auslabeln{3.5.10} und \auslabeln{3.5.4}:
\formelohne{  \sum_\indeinssigma  \int_{W_\indeinssigma}& &\leer{-1.5}\betrag{c'_\indeinssigma}^2
                   e^{-\kappa-(\phi+\psi)\sigma} dV \\ 
   &\le&
           2\sum_\indeinssigma \sum_i \int_{W_i\cap W_\indeinssigma}\betrag{c_{i,\indeinssigma}}^2
                   e^{-\kappa} dV  \\
   &+ & \leer{0}  2\sum_\indeinssigma \int_{W_\indeinssigma}\betrag{\sum_{j=1}^\sss 
                 (-1)^{j-1} b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
   &\le&  2   \sum_\indnullsigma \int_{W_\indnullsigma}\betrag{c_\indnullsigma}^2
                   e^{-\kappa} dV  \\
   &+ & \leer{0}   2\sum_\indeinssigma \sum_{j=1}^\sss \int_{W_\indeinssigma}\betrag{
                  b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV   }
Es gilt f�r den letzten Summanden
\formelohne{  \sum_\indeinssigma \sum_{j=1}^\sss \int_{W_\indeinssigma}& &\leer{-1.5}\betrag{
                  b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
    &=&  \sum_\indzweisigma \sum_i \int_{W_i\cap W_\indzweisigma} \betrag{
                  b''_\indzweisigma}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
    &+&   \sum_\indeinssigma \sum_{j=2}^\sss \int_{W_\indeinssigma}\betrag{
                  b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
    &\le&  \sum_\indzweisigma M \int_{W_\indzweisigma} \betrag{b''_\indzweisigma}^2
                  e^{-\beta-\psi} dV \\
    &+&   \sum_\indeinssigma \sum_{j=2}^\sss \int_{W_\indeinssigma} \betrag{
                  b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV, }
denn $W_\indzweisigma$ wird von h�chstens $M$ Mengen aus $\W$ geschnitten.
Wenn wir diese Absch�tzung f�r $j=2,\ldots,\sss$ iterativ fortsetzen erhalten wir
\formelohne{   \sum_\indeinssigma \sum_{j=1}^\sss \int_{W_\indeinssigma}& &\leer{-1.5}\betrag{
                  b''_\indeinssigmafehl{j}}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
   &\le&
         \sss M  \sum_\indzweisigma  \int_{W_\indzweisigma}\betrag{
                  b''_\indzweisigma}^2  e^{-\beta-\psi} dV \\
   &\le& \sss M C_{\sss-1} \sum_\indnullsigma  \int_{\tilde{W}_\indnullsigma}\betrag{c_\indnullsigma}^2
                   e^{-\kappa} dV. }
Wir haben also mit $C_\sss := 2(1+\sss^2M C_{\sss-1})$ den Induktionsschritt gezeigt $\Box$ 



{\sc Bemerkung:} Der Beweis zu Proposition \auslabelnsatz{3.5} ist auch mit 
$W_i=U_i$ f�r jedes $i\in I$ durchzuf�hren. Anstelle von Korollar \auslabelnsatz{3.4.2} 
ist dann Korollar \auslabelnsatz{3.4} anzuwenden. Daher gilt Proposition \auslabelnsatz{3.5}
sinngem�� auch f�r $W_i=\tilde{W}_i=U_i$ f�r jedes $i\in I$.

Wir sch�pfen jedes $U_i$, $i\in I$ durch pseudokonvexe Gebiete $A_{i,n}$, $n\in \N$ aus, f�r die
f�r jedes $n\in \N$ jeweils $A_{i,n}\subset A_{i,n+1}$ relativ kompakt gilt.
Ohne Einschr�nkung sei $\bigcup_{i\in I} A_{i,1}=\Omega$. F�r 
$(i_0,\ldots, i_\sss)\in I^{\sss +1}$ sei $A_{i_0,\ldots, i_\sss,n}:=A_{i_0,n}\cap\ldots\cap
A_{i_\sss,n}$.









F�r eine Kokette der L�nge $\sss$, die aus Schnitten �ber den �berdeckungsmengen aus der
�ber\-deckung $\U$ besteht
mit Werten in der Garbe von Keimen von $L^2$-Formen sei f�r $\phi\in PSH(\Omega)$
\[   \norm{\phi,n}{c}^2 := \sum_\indnullsigma \int_{A_{i_0,\ldots, i_\sss,n}}
            \betrag{c_\indnullsigma}^2   e^{-\phi} dV  \]
bzw.
\[   \norm{\phi}{c}^2 := \sum_\indnullsigma \int_{U_\indnullsigma}
            \betrag{c_\indnullsigma}^2   e^{-\phi} dV  \]

eingef�hrt. Mit $C_n^\sss(\U,\H_q,\phi)$ bzw. $C^\sss(\U,\H_q,\phi)$ 
 bezeichnen wir die Koketten aus $C^\sss(\U,\H_q)$, 
f�r die 
\[  \norm{\phi,n}{c}^2 < \infty \mbox{ bzw. }       \norm{\phi}{c}^2 < \infty \mbox{ gilt.}   \]
Proposition \auslabelnsatz{3.5} k�nnen wir also auch wie folgt formulieren:


\begin{satzohnebeweis}{Satz}\einlabelnsatz{3.6}
Es gibt eine plurisubharmonische Funktion $\psi$, so da� f�r jedes $n\in \N$,
 eine beliebige plurisubharmonische
Funktion $\kappa$ und $c\in C_{n+1}^\sss(\U,\H_q,\kappa)$ mit $\delta c=0$ und $\dquer c=0$
ein $c'\in C_{n}^{\sss-1}(\U,\H_q)$ mit $\delta c'=c$ und $\dquer c'=0$ existiert, so da�
\[   \norm{\kappa+\psi,n}{c'}^2 \le \norm{\kappa,n+1}{c}^2  \]
erf�llt ist.
\end{satzohnebeweis}


Ein wichtiger Spezialfall von Satz \auslabelnsatz{3.6} ist $q=0$,
 denn die $\dquer$-geschlossenen Schnitte �ber $\Omega$ mit Werten in
 $\H_0$ sind die  holomorphen Funktionen auf $\Omega$.

            















 


   
























\newpage
\section[{\sc Konstruktion einer exakten Sequenz}]{Konstruktion einer exakten Sequenz} \label{Kap5}
Es sei $\Omega$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit und $U\subset\Omega$ offen
holomorph konvex. Sei ${\cal{F}}$ eine koh�rente analytische Garbe auf $\Omega$.
Ist $U\subset\Omega$ relativ kompakt, dann kann auf den Schnitten $\Gamma(U,{\cal{F}})$
in der folgenden Weise eine Fr\'echetraumtopologie eingef�hrt werden:

Nach Theorem A von Cartan gibt es $F_1,\ldots,F_q\in \Gamma(\Omega,{\cal{F}})$, die
${\cal{F}}$ in $U$ erzeugen. In der Umgebung eines jeden Kompaktums $K_p$, $p\in \N$
einer holomorph konvexen kompakten Aussch�pfung $(K_p)_{p\in \N}$ von $U$ wird
${\cal{F}}$ von $F_1,\ldots,F_q$ erzeugt, d.h. f�r jeden Schnitt $x$ von einer 
Umgebung von $K_p$ in ${\cal{F}}$ gibt es auf einer Umgebung von $K_p$ holomorphe 
Funktionen $c_1,\ldots,c_q$, so da� in einer Umgebung von $K_p$ die Darstellung
\[    x=\sum_{j=1}^q c_j F_j   \]
existiert.






Es ist f�r jedes $p\in N$ 
\formel{    \norm{p}{x}:= \inf\limits_{x=\sum_j c_j F_j}\sum_{j=1}^q\ffb{K_p}{c_j} 
        \einlabeln{7.0.0} }
eine Halbnorm und $(\Gamma(U,{\cal{F}}),(\norm{p}{\leer{1}})_p)$ ein Fr\'echetraum
(siehe z.B. \cite{Hoer},Cor. 7.2.6 ).

Der �bergang zu einem anderen Erzeugendensystem liefert ein �quivalentes Halbnormensystem.
Wir bezeichnen mit $H_U({\cal{F}})$ den Raum $\Gamma(U,{\cal{F}})$ zusammen mit 
erzeugenden Schnitten $F_1,\ldots,F_q\in \Gamma(\Omega,{\cal{F}})$ und einer 
holomorph konvexen kompakten Aussch�pfung von $U$. Auf dem Fr\'echetraum $H_U({\cal{F}})$
ist damit eine Fr\'echetraumgradierung festgelegt. 

$H_U(\oka)$ f�llt mit dem Fr\'echetraum der holomorphen Funktionen in $U$ (mit
dem durch Suprema auf der kompakten Aussch�pfung gebildeten Normensystem) zusammen,
falls als Erzeugendensystem die konstante Funktion $1$ gew�hlt wird. Im folgenden
werden wir $H_U(\oka)$ stets in dieser Weise auffassen, falls nichts anderes vermerkt ist.






Sei nun ${\cal{F}}\subset \oka^r$ eine lokal endlich erzeugte Untergarbe, dann ist 
${\cal{F}}$ koh�rent nach dem Satz von Oka (siehe z.B. \cite{Hoer},Theorem 7.1.5). Sei ferner 
$\ffc{F}{q}$ ein Erzeugendensystem von ${\cal{F}}$ in $U$ und $(K_p)_p$ eine
holomorph konvexe kompakte Aussch�pfung.
 Wir wollen nun die entsprechende Gradierung $(\norm{p}{\leer{1}}
)_p$ auf $H_U(\F)$ mit den Suprema auf den $K_p$ vergleichen.
F�r $f\in \Gamma(U,\oka^r)$ sei $[f]_j$ die $j$-te Komponente von $f$. 
$\Gamma(U,{\cal{F}})$ ist als Teilraum
des Raumes der $r$-tupel holomorpher Funktionen in $U$ in der kompakt 
gleichm��igen Topologie abgeschlossen (siehe \cite{Hoer}, Theorem 7.2.12), also induzieren
die Supremumsnormen 
\[   \betrag{x}_p := \ffa{j}{r} \ffb{K_p}{[x]_j} \komma x\in \Gamma(U,\oka^r) \]

eine Fr\'echetraumgradierung auf $\Gamma(U,{\cal{F}})$. Es gilt das folgende












 
\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{7.0.1}
F�r jedes $p\in \N$ gilt \be
\item $\betrag{x}_p \le C_p \norm{p}{x}$ und 
\item $\norm{p}{x}\le C'_p \betrag{x}_{p+1}$
\ee
f�r jedes $x\in \Gamma(U,{\cal{F}})$ mit unabh�ngigen Konstanten $C_p$ und $C'_p$.
\end{satz}


Sei $g\in \Gamma(U,\F)$, $g=\ffa{i}{q} d_j F_j$, dann ist 
\formelohne{
    \betrag{g}_p &=& \ffa{j}{r} \ffb{K_p}{[g]_j}    \\
        &=& \ffa{j}{r} \ffb{K_p}{[\ffa{i}{q} d_iF_i]_j}  \\
        &\le& \ffa{j}{r}\ffa{i}{q} \ffb{K_p}{d_j} \ffb{K_p}{[F_i]_j}  \\
        &\le&  C_p \ffa{j}{r} \ffb{K_p}{d_j}  }

Durch �bergang zum Infimum �ber alle Darstellungen $g=\ffa{i}{q} d_i F_i$
erh�lt man $\betrag{g}_p\le C_p\norm{p}{g}$.



Sei $p\in \N$ fest, dann w�hle eine holomorph konvexe offene Menge $U'$
und $K_{p+1}\supset U' \supset K_p$. Sei $(A_n)_{n\in \N}$ eine 
Aussch�pfung von $U'$ mit holomorph konvexen kompakten Mengen mit 
$A_1=K_p$. Die Abbildung

\formel{ {\einlabeln{7.1.1}  }     \phi: H_{U'}(\oka^q) &\rightarrow &\Gamma(U',\F) \\
            \ffc{c}{q} &\mapsto & \ffa{j}{q} c_jF_j         
}
ist stetig linear zwischen Fr\'echetr�umen, surjektiv und offen (Theorem 
7.2.12 \cite{Hoer}).

Da $\phi$ offen ist, gibt es zu jedem $n\in \N$ ein $m\in \N$ und $C_{n,m}$,
so da� zu jedem $g\in \Gamma(U',\F)$ ein Element $c=(\ffc{c}{q})\in
H_{U'}(\oka^q)$ existiert mit $g=\ffa{j}{q} c_jF_j$ und

\[   \ffa{j}{q} \ffb{A_n}{c_j} \le C_{n,m} \ffa{i}{r}\ffb{A_m}{[g]_i}\punkt \]

Hieraus folgt 
\[   \inf_{g=\sum\limits_{j=1}^{q}c_jF_j} \ffa{j}{q} \ffb{K_p}{c_j} \le
               C\ffa{i}{r} \ffb{K_{p+1}}{[g]_j} ,  \]
f�r $g\in \Gamma(U,\F)$.
Also gilt $\norm{p}{ g } \le C'_p \betrag{g}_{p+1}$  $\Box$







Wir wollen f�r Abbildungen wie in \auslabeln{7.1.1}  Urbildabsch�tzungen
zeigen, falls der Bildraum die Gradierung \auslabeln{7.0.0} tr�gt:

\begin{satz}{Lemma}\einlabeln{7.2a}
Sei $U$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit und sei $(K_p)_p$ eine Aussch�pfung von 
$U$ mit holomorph konvexen kompakten Mengen. Seien ferner $\ffc{F}{q}\in 
\Gamma(U,\oka^r)$ und ${\cal{F}}\subset \oka^r$ die von $\ffc{F}{q}$ erzeugte
Untergarbe. Dann ist 
\[   \phi: H_U(\oka^q) \rightarrow H_U({\cal{F}})\komma \ffc{c}{q}\mapsto 
     \ffa{j}{q} c_jF_j   \]
eine stetige, lineare und surjektive Abbildung und es gilt f�r jedes $\theta >1$:
Zu jedem $f\in H_U({\cal{F}})$ gibt es ein $g\in H_U(\oka^q)$ mit $\phi(g)=f$
und $\betrag{g}_p \le \theta\norm{p}{f} $.
\end{satz}

Nach Theorem 7.2.12 aus \cite{Hoer} ist $\phi$, aufgefa�t als Abbildung in $\Gamma(U,{\cal{F}})$,
linear, stetig und surjektiv, wobei $\Gamma(U,{\cal{F}})$ die kompakt gleichm��ige Topologie 
von $H_U(\oka^q)$ tr�gt. Wegen Lemma \auslabelnsatz{7.0.1} ist daher $\phi$,
aufgefa�t als Abbildung in $H_U({\cal{F}})$ ebenfalls stetig.

Sei $\theta>1$. Sei nun $f\in H_U({\cal{F}})$ mit $\norm{p}{f}\le 1$. Dann gibt es  
nach der Definition von $\norm{p}{f}$
in einer Umgebung von $K_p$ holomorphe Funktionen $c=\ffc{c}{q}$, so 
da� dort $f=\ffa{j}{q}c_j F_j$ gilt und $\ffa{j}{q} \ffb{K_p}{c_j} < \sqrt{\theta}\norm{
p}{f}\le \sqrt{\theta}$.

Sei $\zzd:=\zzd(\ffc{F}{q})$ die Relationsgarbe von $\ffc{F}{q}$, 
d.h. $\Gamma(U,\zzd)$ ist der Kern von $\phi$. $\zzd$ ist 
nach dem Satz von Oka koh�rent in $U$. Ist $d=\ffc{d}{q}\in H_U(\oka^q)$
und $\ffa{j}{q} d_j F_j=f$, dann ist $c-d$ ein Schnitt in die Relationsgarbe �ber
einer Umgebung von $K_p$.

Wir k�nnen eine Folge $(h_n)_n$ in $\Gamma(U,\zzd)$ finden, so da� $\norm{p}{
h_n-(c-d)}\rightarrow 0$ f�r $n\rightarrow\infty$ (siehe \cite{Hoer}, Theorem 7.2.7). Nach
Lemma \auslabelnsatz{7.0.1} folgt 
\[   \ffa{j}{q} \ffb{K_p}{[h_n]_j-(c_j-d_j)}\rightarrow 0 \mbox{ f�r }
n\rightarrow \infty           \]
Zu jedem $\eps>0$ k�nnen wir also $h=\ffc{h}{q}\in \Gamma(U,\zzd)$ finden,
so da� $\ffa{j}{q}\ffb{K_p}{(h_j+d_j) - c_j}<\eps$. Also gilt
$h+d\in \Gamma(U,\oka^q)$, $\phi(h+d)=\ffa{j}{q} (h_j+d_j)F_j=\ffa{j}{q} d_jF_j=f$ und
$\ffa{j}{q} \ffb{K_p}{h_j+d_j}<\sqrt{\theta }+ \eps$. 
Mit $\eps:=\theta-\sqrt{\theta}$ folgt daher $\betrag{h+d}_p\le \theta$. Hieraus
folgt die Behauptung $\Box$











Sei $\F$ wieder allgemein eine koh�rente analytische Garbe �ber $\Omega$ 
und $\ffc{F}{q}\in \Gamma(\Omega,\F)$  erzeugende Schnitte von $\F$ �ber $U\subset\Omega$ 
offen, holomorph konvex und relativ kompakt. Es gilt das folgende 

\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{7.2}
Es gibt eine exakte Sequenz 
\[  \ldots  H_U(\oka^{r_3})\stackrel{p_2}{\rightarrow}
            H_U(\oka^{r_2})\stackrel{p_1}{\rightarrow}
            H_U(\oka^{r_1})\stackrel{p_0}{\rightarrow} \zza \rightarrow 0  \]
Ferner gilt f�r $i\ge 1$: Es gibt ein $C>0$, so da� 
$B_{p+1}^i\cap \abbkern p_{i-1}\subset p_i(C B^{i+1}_p)$, wobei
$B^i_p:=\{f\in H_U(\oka^{r_i}):\norm{p}{f}\le 1\}$, $i\ge 1$ und 
$B^0_p:=\{ f\in \zza : \norm{p}{f}\le 1\}$.


F�r $i=0$ gilt sogar $B^0_p\subset p_0(\theta B_p^1)$ f�r jedes $\theta>1$.
\end{satz}
1) $p_0: H_U(\oka^q)\rightarrow \zza$, $\ffc{c}{q}\mapsto \ffa{j}{q} c_j F_j $ ist eine
lineare, stetige und surjektive Abbildung nach Lemma \auslabelnsatz{7.2a}. Setze also $r_1=q$.
Es folgt sofort $B^0_p\subset p_0(\theta B_p^1)$ f�r jedes $\theta>1$. 


  
2) Sei $\Rscript$ die Relationsgarbe von $\ffc{F}{q}$. 
Es gibt  Schnitte $\ffc{G}{r_2}\in \Gamma(\Omega,\zzd)$, die $\Rscript$ �ber $U$ erzeugen.
Wie unter 1) ist $\tilde{p}_1:H_U(\oka^{r_2})$ $\rightarrow H_U(\zzd)$, 
$\ffc{c}{r_2}\mapsto \ffa{j}{r_2} c_j G_j$ linear, stetig und surjektiv und es gilt
$\{f\in H_U(\zzd):\norm{p}{f}\le 1\} \subset \tilde{p}_1(\theta B_p^2)$ f�r $\theta>1$.

Wenn wir mit $p_1$ die Abbildung $\tilde{p}_1$, aufgefa�t als Abbildung in $H_U(\oka^{r_1})$,
bezeichnen, dann gibt es nach Lemma \auslabelnsatz{7.0.1}, jetzt angewandt auf
$\Rscript$, ein $C'>0$, so da� 
\[ \{ f\in H_U(\oka^{r_1}): p_0 f=0 \mbox{ und } \betrag{f}_{p+1} \le \frac{1}{C'} \}
    \subset \{ f\in H_U(\zzd): \norm{p}{f}\le 1\} \subset \tilde{p}_1(\theta B_p^2) = 
      p_1(\theta B_p^2)      \]

Mit $C:=C'\cdot \theta$ folgt die Behauptung f�r $i=1$, denn $B_{p+1}^1=
C'\cdot\{ f\in H_U(\oka^{r_1})\doppelpunkt \betrag{f}_{p+1} \le \frac{1}{C'} \}$.


 

Durch Iteration des zweiten Schrittes mit den jeweiligen Relationsgarben folgt die
Behauptung f�r alle $i$ $\Box$


















Wir betrachten f�r $U\subset \Omega$ offen holomorph konvex den Raum $l_1(\zza)
:= \{ x=(x_j)_j \in H_U({\cal{F}})^{\N}, \sum_{j=1}^{\infty} \norm{p}{x_j}<\infty
\forall p\in \N \}$.
Dies ist wiederum ein Fr\'echetraum mit dem Halbnormensystem 
\[   \norm{p}{(x_j)_j} := \ffa{j}{\infty} \norm{p}{x_j},\leer{1} p\in \N,  \]
wobei $\norm{p}{\cdot}$ die $p$-te Halbnorm auf $\zza$ ist bez�glich einer 
holomorph konvexen kompakten Aussch�pfung $(K_p)_p$ von $U$.

Wir wollen eine exakte Sequenz 
\[ \cdots\to \zzc\stackrel{p_2^U}{\rightarrow}
          \zzc\stackrel{p_1^U}{\rightarrow}
          \zzc\stackrel{p_0^U}{\rightarrow} \zza\rightarrow 0       \]
mit stetig linearen Abbildungen konstruieren. Hierbei soll f�r jedes 
$U'\subset U\subset\subset \Omega$ jeweils
\[   p_i^{U'}\mid_{{\displaystyle \zzc}} = p_i^U \mbox{ f�r } i\ge 0  \]
gelten. Hierzu ben�tigen wir zun�chst die folgende

%Ist $\F$ global endlich erzeugt in $\Omega$, dann erf�llt die Sequenz
%aus Lemma \auslabeln{7.0.2} die gew�nschte Eigenschaft. 

%F�r eine offene holomorph konvexe Teilmenge $U\subset \Omega$ wollen wir
%die Einbettung $l_1(H_{\Omega}(\F)) \subset \l_1(\zza)$ betrachten.
%Sei $(K_p)_p$ respektive $(K_{p'})_{p'}$  eine holomorph konvexe kompakte 
%Aussch�pfung von $U$ respektive $\Omega$ und seien die zugeh�rigen
%Gradierungen mit $\norm{p}{\hspace}












\begin{satz}{Proposition}\einlabelnsatz{7.3}
 Sei $\F$ ein koh�rente analytische Garbe auf einer Steinschen
Mannigfaltigkeit $\Omega$, $(K_t)_{t\ge 0}$ eine holomorph konvexe kompakte
Aussch�pfung von $\Omega$. Sei $(f_j)$ eine Folge in $\bigoplus_{l\in \N} H_{\Omega}(\F)$.

Sei $p_U:\zzc \rightarrow \ffd{U}{\F}$, $(\lambda_j)_j \mapsto \sum_j \lambda_j f_j$
f�r jedes $U\subset\subset \Omega$ offen, holomorph konvex, eine wohldefinierte stetige lineare 
Abbildung. 

Es gebe Folgen nat�rlicher Zahlen $(a_t)_{t\ge 0}$, $(b_t)_{t\ge 0}$ mit
\[   a_t\le b_t \le a_{t+1},\, t\ge 0 \mbox{ und } b_t<b_{t+1},\, t\ge 0, \]
so da� auf einer Umgebung einer Stufe $K_s$ es Gleichungen
\[    \ffe{f}{b}{t}{i} = \ffa{j}{b_t} c_{t,i,j} f_j  \]
f�r alle $t\ge s$ und $b_t+i\le a_{t+1}$ gibt mit Funktionen $c_{t,i,j}$,
die auf einer Umgebung von $K_s$ holomorph sind und
\formel{{\einlabeln{7.0.2}}  \sup_{{ t\ge s \atop 1\le i\le a_{t+1}-b_t } }
           \ffa{j}{b_t} \ffb{K_s}{c_{t,i,j}} <1   }
erf�llen.

Ferner gelte f�r eine Folge $\lambda=(\lambda_j)_j\in \abbkern p_U$, $U\relkom K_s$,
$r$ beliebig, da� aus $\lambda_{b_r+i}=0$ f�r alle $r\ge t\ge s$, $i=1,\ldots,
a_{r+1}-b_r$ schon 
\formel{    \lambda_j=0 \leer{2}\mbox{ f�r alle $j\ge a_t + 1$ folgt.}  
\einlabeln{7.0.3}}

Sind die vorstehenden Voraussetzungen erf�llt, dann gibt es eine Folge 
$(g_j)_j\in \ffd{\Omega}{\oka}$, so da� f�r ein $U\relkom \Omega$ offen, holomorph konvex
die Abbildung 
\formelohne{  q_U: l_1(H_U(\oka)) &\rightarrow& l_1(H_U(\oka))  \\
              \lambda=(\lambda_j)_j & \mapsto & \sum_j \lambda_j g_j  }
stetig linear ist und $\bild q_U = \abbkern p_U$ ist.
Ferner gelten f�r $(g_j)_j$ die Eigenschaften \auslabeln{7.0.2} und \auslabeln{7.0.3}
entsprechend.
 



\end{satz}



F�r jedes offene holomorph konvexe $U\relkom\Omega$ sei eine holomorph konvexe kompakte
Aussch�pfung $(A_p)_p$ fest gew�hlt. Wir bezeichnen mit $\normleer_p$, 
$p\in \N$ die $p$-te Halbnorm des Fr\'echetraumes $l_1(H_U(\oka))$.

Sei $U\subset K_s$ offen holomorph konvex. Definiere f�r $t\ge s+1$ eine Abbildung $P_{t}^{t-1}:
l_1(H_U(\oka)) \rightarrow l_1(H_U(\oka))$, $\lambda:=(\lambda_l)_l \mapsto
\mu:=(\mu_l)_l$ durch 
\[   \mu_l:= \left\{  \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l} 
             \lambda_l + \ffa{i}{a_t-b_{t-1}} \lambda_{b_{t-1}+i} c_{t-1,i,l} & l\le b_{t-1} \\
             0 & b_{t-1}+1\le l \le a_t \\
             \lambda_l & \mbox{sonst}  
          \end{array}  \right.       \punkt\]
Eigenschaften von $P_{t}^{t-1}$: \begin{enumerate}
\item $P_{t}^{t-1}(\abbkern p_U) \subset \abbkern p_U$.
\item $P_{t}^{t-1}\circ P_{t}^{t-1} = P_{t}^{t-1}$.
\item $P_{t}^{t-1}$ ist stetig mit $\norm{p}{P_{t}^{t-1} \lambda} \le \norm{p}{\lambda}$, $p\in \N$.
\end{enumerate}

ad 1): Sei $\lambda=(\lambda_l)_l\in \abbkern p_U$, das hei�t $\ffa{l}{\infty} \lambda_l f_l =0$.
Es ist 
\formelohne{  \ffa{l}{a_t} \lambda_l f_l &=& \ffa{l}{b_{t-1}} \lambda_l f_l + \ffa{i}{a_t - b_{t-1}} 
              \lambda_{b_{t-1}+i} f_{b_{t-1}+i} \\
             &=&   \ffa{l}{b_{t-1}} \lambda_l f_l  + \ffa{i}{a_t - b_{t-1}} \lambda_{b_{t-1}+i}
                   \left( \ffa{l}{b_{t-1}} c_{t-1,i,l } f_l\right) \\
             &=&  \ffa{l}{b_{t-1}} \left( \lambda_l + \ffa{i}{a_t - b_{t-1}} \lambda_{b_{t-1}+i}
                   c_{t-1,i,l} \right) f_l \\
             &=&   \ffa{l}{b_{t-1}} \mu_l f_l     }
Andererseits ist 
\[  \ffa{l}{a_t} \lambda_l f_l = - \sum_{l=a_t+1}^{\infty} \lambda_l f_l =   - \sum_{l=a_t+1}^{\infty}
       \mu_l f_l = - \sum_{l=b_{t-1}+1}^{\infty} \mu_l f_l   ,    \]
also ist $P_{t}^{t-1}(\lambda) \in \abbkern p_U $.

Die 2. Aussage ist klar.

ad 3): \formelohne{ \norm{p}{P_{t}^{t-1}(\lambda)} &=& \ffa{l}{b_{t-1}} \ffb{A_p}{\lambda_l + 
                       \ffa{i}{a_t - b_{t-1}} \lambda_{b_{t-1}+i} c_{t-1,i,l} }  + 
                             \sum_{l=a_t+1}^{\infty} \ffb{A_p}{\lambda_l}    \\
                    &\le&    \ffa{l}{b_{t-1}} \ffb{A_p}{\lambda_l} +  \sum_{l=b_{t-1}+1}^{a_t}
                             \ffb{A_p}{\lambda_l} +  \sum_{l=a_t+1}^{\infty}\ffb{A_p}{\lambda_l}  \\
                    &=&    \norm{p}{\lambda},    }
da $\ffb{A_p}{c_{t-1,i,l}} <1$ f�r $t\ge s+1$, $i=1,\ldots,a_t - b_{t-1}$, $l=1,
\ldots, b_{t-1}$ .







Definiere $C_i^t \in l_1(H_U(\oka)) $ f�r $i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}$, $t\ge s+1$,
durch die Komponenten 
\[   \left[ C_i^t\right]_l := \left\{ \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l} 
                 c_{t,i,l} & l=1,\ldots, b_t \\
                 -1 & l=b_t +i \\
                 0  & \mbox{sonst} \end{array}  \right.   \]
{\sc Bemerkung:} Es gilt
\[   \ffa{l}{b_{t+1}} [ C_i^t]_l f_l=0 \]
auf einer Umgebung von $K_t$, denn nach Voraussetzung gilt:
\[   \ffa{l}{b_{t+1}} [ C_i^t]_l f_l=\ffa{l}{b_{t}} c_{t,i,l} f_l + (-1)f_{b_t+i} =0\punkt\]
Soweit die Bemerkung.







Es gilt 
\[   \abbkern P_{t}^{t-1} =\left\{ \sum_{i=1}^{a_t-b_{t-1}} \alpha_i C_i^{t-1}\doppelpunkt \alpha_i\in 
        H_U(\oka) \right\}  ,\]
denn ist $\alpha\in H_U(\oka)$, dann gilt f�r $i=1,\ldots,a_t - b_{t-1}$
\formelohne{   
          \left[ P_{t}^{t-1}(\alpha C_i^{t-1})\right]_l 
               &=& \left\{
                \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}  
                   \alpha c_{t-1,i,l} + \alpha(-c_{t-1,i,l}) & l\le b_{t-1}  \\
                    0 & \mbox{sonst} \end{array} \right.  \\
               &=&  0  \punkt         }
Sei andererseits $ P_{t}^{t-1} \lambda =0$, dann folgt $\lambda_l=0 $ f�r $l\ge a_t+1$.
F�r $l\le b_{t-1}$ gilt 
\formelohne{ 
            \lambda_l &=& - \sum_{i=1}^{a_t-b_{t-1}} \lambda_{b_{t-1}+i} c_{t-1,i,l} \\
                  &=& \sum_{i=1}^{a_t-b_{t-1}} (-\lambda_{b_{t-1}+i})[ C_i^{t-1}]_l \komma  }
und da f�r $l=b_{t-1} +i$, $ i=1,\ldots,a_t - b_{t-1}$ 
\[        \lambda_{b_{t-1}+i} = (- \lambda_{b_{t-1}+i} )[ C_i^{t-1}]_l \mbox{ ist}\komma \]
folgt 
\[        \lambda = (\ffc{\lambda}{a_t}) = \sum_{i=1}^{a_t-b_{t-1}}(- \lambda_{b_{t-1}+i} )
                 C_i^{t-1} \punkt \]




Setze  $ Q_{t+n}^t := P_{t}^{t-1}\circ \ldots\circ P^{t+n-1}_{t+n} $. Ist $\lambda\in l_1(H_U(\oka))$ 
fest, dann ist  $( Q_{t+n}^t \lambda)_n$ Cauchyfolge in $l_1(H_U(\oka))$:

Sei dazu $x_n:= Q_{t+n}^t \lambda$, dann ist f�r $p\in \N$ 
\formelohne{   \norm{p}{x_{n+1} - x_n} 
            &=& \norm{p}{
                 P_{t}^{t-1}\circ \ldots \circ P^{t+n-1}_{t+n} \circ P_{t+n+1}^{t+n} \lambda -
                 P_{t}^{t-1}\circ \ldots \circ P_{t+n}^{t+n-1} \lambda }       \\
            &\le& \norm{p}{P_{t+n+1}^{t+n}\lambda - \lambda }  \\
            &=&  \ffa{l}{b_{t+n}} \ffb{K_p}{\lambda_l +\leer{-0.5} \sum_{i=1}^{a_{t+n+1}-b_{t+n}}
                   \leer{-0.5}\lambda_{b_{t+n}+i} c_{t+n,i,l} -\lambda_l }
                  + \sum_{b_{t+n}+1}^{a_{t+n+1}} \ffb{K_p}{\lambda_l}  \\
            &\le&  \sum_{i=1}^{a_{t+n+1}-b_{t+n}} \ffb{K_p}{\lambda_{b_{t+n}+i}} 
                    \ffa{l}{b_{t+n}} \ffb{K_p}{c_{t+n,i,l}} +  \sum_{b_{t+n}+1}^{a_{t+n+1}}
                           \ffb{K_p}{\lambda_l}  \\
            &<& 2 \sum_{b_{t+n}+1}^{a_{t+n+1}}  \ffb{K_p}{\lambda_l}       \punkt    }

Es folgt 
\[    \ffa{n}{\infty} \norm{p}{x_{n+1} -x_n} \le 2 \norm{p}{\lambda} \punkt \]

 


Wir setzen also $Q_t(\lambda):= \lim_n Q_{t+n}^t(\lambda)$ f�r $\lambda\in \zzc$. 
Dann ist $Q_t$ eine lineare Abbildung $Q_t:\zzc\rightarrow \zzc$. Es sei
\[      F_t:=\{ \lambda\in \zzc \doppelpunkt \lambda_l=0 \mbox{ f�r } l\ge b_{t-1}  +1 \}   \]

Eigenschaften von $Q_t$:\be
\item $Q_t$ ist stetig und $\norm{p}{Q_t(\lambda)} \le\norm{p}{\lambda} $ f�r $\lambda\in \zzc$,
      $p\in \N$.
\item $Q_r(\lambda)=\lambda$ f�r $\lambda\in F_t$, $r\ge t$.
\item $Q_t(\lambda)\rightarrow \lambda$ f�r $t\rightarrow \infty$ in $\zzc$.
\item $Q_t(\abbkern p_U)\subset \abbkern p_U$.
\item $Q_t(\lambda) \in F_t$ f�r alle $\lambda\in \abbkern p_U$.
\ee

\be
\item[ad 1)] $ \norm{p}{Q_t\lambda} = \lim_n\norm{p}{Q^t_{t+n}(\lambda)} \le \norm{p}{\lambda}$.
\item[ad 2)] $P_{t}^{t-1} \lambda = \lambda$, falls $\lambda_l=0$ f�r $l\ge b_{t-1}+1$. Daher
ist $Q_{r+n}^r \lambda =\lambda$, falls $\lambda\in F_t$, $r\ge t$ und $n\in \N_0$ .
\item[ad 3)] Sei $p\in \N$ und $\eps>0$, dann gibt es ein $t$, so da� sich $\lambda$ f�r 
$r\ge t$ schreiben l��t als $\lambda=\lambda_1+ \lambda_2$ mit $\lambda_1\in F_r$ und $\norm{p}{\lambda_2}
<\frac{\eps}{2}$. 

Es folgt f�r jedes $r\ge t$ 
\formelohne{
   \norm{p}{Q_r(\lambda)-\lambda} &=& \norm{p}{Q_r(\lambda_1 + \lambda_2) - \lambda}  \\
                          &=& \norm{p}{\lambda_1 + Q_r(\lambda_2) - \lambda}  \\
                          &=& \norm{p}{Q_r(\lambda_2) - \lambda_2}        \\
                          &\le& \norm{p}{\lambda_2} + \norm{p}{\lambda_2}\\
                          & <& \eps   \punkt }
{\sc Bemerkung:} Da $F:=\{ \lambda\in \zzc:\lambda\in F_r \mbox{ f�r ein }r\}$
eine in $\zzc$ totale Menge ist, folgt 3) direkt aus dem Satz von Banach-Steinhaus 
[K�the Bd 2, S.142].
\item[ad 4)] Ist $\lambda\in \abbkern p_U$, dann ist $Q_{t+n}^t(\lambda)\in \abbkern p_U$. Da
$\abbkern p_u$ in $\zzc$ abgeschlossen ist, folgt $Q_t(\lambda)\in \abbkern p_U$.
\item[ad 5)] Sei $r\ge t$, $t+n>r$, $\mu^n:= Q_{t+n}^t \lambda$, $\lambda\in\abbkern p_U$ . Setze 
\[   \mu' := P^{r}_{r+1} (P_{r+2}^{r+1}\circ \ldots \circ P_{t+n}^{t+n-1}\lambda) \komma \]
dann ist $[\mu']_{b_r+i}=0 $ f�r $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$. Andererseits ist 
$\mu^n = P_{t}^{t-1}\circ \ldots \circ P_{r}^{r-1}\mu'$ und damit $\mu_l^n=\mu'_l$ f�r
$l\ge a_r +1$, also folgt $\mu_{b_r+i}^n=0$ f�r $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$.

Sei $\mu:= Q_t(\lambda) = \lim_n  Q^t_{t+n}(\lambda) = \lim_n \mu^n$, dann gilt 
$\mu_l^n\rightarrow \mu_l$ f�r $n\rightarrow \infty$ in $H_U(\oka)$, also
ist $\mu_{b_r+i}=0$ f�r $r\ge t$, $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$. 
Nach Voraussetzung \auslabeln{7.0.3} gilt dann aber bereits $\mu_l=0$ f�r $l\ge a_t+1$,
daher ist $\mu \in F_t$. 
\ee







Wir behalten  die Situation $U\relkom K_s$ bei und setzen f�r $\lambda\in \abbkern p_U$
\[    x_t:= \left\{  \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}  
                   Q_s(\lambda) & t=s-1 \\
                   Q_{t+1}(\lambda) - Q_t(\lambda) & t\ge s   \end{array}\right. \punkt  \]
Es gilt $\sum\limits_{t=s-1}^{\infty} x_t= \lambda$ da $Q_t(\lambda)\rightarrow \lambda$ 
f�r $t\rightarrow \infty$ in $\zzc$.

F�r $t\ge s$ gilt 
\formelohne{   P_{t}^{t-1} x_t 
                   &=& P_{t}^{t-1} (\lim_n Q^{t+1}_{t+n}  (\lambda) - 
                          \lim_n Q^{t}_{t+n}(\lambda)) \\
                   &=& \lim_n( P_{t}^{t-1}\circ Q^{t+1}_{t+n}(\lambda) -
                               P_{t}^{t-1}\circ Q^{t}_{t+n}(\lambda))  \\
                   &=& 0 \punkt          }
Also ist $x_t\in \abbkern P_{t}^{t-1} = \{ \sum\limits_{i=1}^{a_{t}-b_{t-1}} \alpha_i C_i^{t-1}
\komma \alpha_i\in H_U(\oka)\}$. 

Es gibt also $\alpha_{i,t}\in H_U(\oka)$, $i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t} $, so da� 
\[      x_t= \sum_{i=1}^{a_{t}-b_{t-1}} \alpha_{i,t}  C_i^{t-1}  \punkt \] 

Daher ist $\lambda-Q_s(\lambda) = \sum\limits_{t=s}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{a_{t}-b_{t-1}}
\alpha_{i,t}  C_i^{t-1} $.








Zeige nun, da� $ \sum\limits_{t=s}^{\infty} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \ffb{K_p}{
\alpha_{i,t} } <\infty$ f�r $p\in \N$ ist, und damit $(\alpha_{i,t})_{i,t\ge s}
\in \zzc$ gilt:

Es gibt $D_p\in \R^{+}$, so da� $\norm{p}{\sum\limits_{t=s}^n x_t }< D_p$ gleichm��ig
in $n$ ist. Sei also $n\ge s$ beliebig, dann gilt 
\formelohne{   D_p &>& \norm{p}{\sum_{t=s}^n x_t}  \\
                   &=& \norm{p}{\sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                        \alpha_{i,t}  C_i^t  }   \\
                   &=& \ffa{l}{\infty} \ffb{K_p}{\sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                        \alpha_{i,t}  d_{t,i,l} }     \mbox{ mit}        }  
\[      d_{t,i,l}:= [C_i^t]_l =\left\{ \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
                       c_{t,i,l} & l=1,\ldots b_t  \\
                       -1 & l=b_t + i  \\
                       0  &  \mbox{sonst}   \end{array}\right. \punkt   \]

Setze 
\[      \beta_l := \left\{ \begin{array}{l@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
                      \alpha_{i,t} & l=b_t +i\komma 1\le i \le a_{t+1} - b_{t}\komma
                                         s\le t\le n  \\
                      0            &  \mbox{sonst}   \end{array}\right. \punkt   \]
Dann ist 
\[    \ffa{l}{\infty} \ffb{K_p}{\beta_l} = \sum_{t=s}^{\infty} \left(
            \sum_{l=b_t +1}^{a_{t+1}}\ffb{K_p}{\beta_l} + 
            \sum_{l=a_{t +1}+1}^{b_{t+1}}\ffb{K_p}{\beta_l} \right) = 
            \sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \ffb{K_p}{\alpha_{i,t}} \punkt   \]
Also ist 
\formelohne{D_p &>& \leer{0}\sum_{l=1}^{\infty} \ffb{K_p}{\sum_{t=s}^{n}
                 \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \alpha_{i,t} d_{t,i,l}  }   \\
           &=& \sum_{l=1}^{\infty} \ffb{K_p}{ \beta_l - \sum_{t=s}^{n} 
                     \sum_{{i=1\atop b_t+i\not=l}}^{a_{t+1}-b_{t}} \alpha_{i,t} d_{t,i,l}  }   \\
           &\ge&  \sum_{l=1}^{\infty}\ffb{K_p}{\beta_l} - 
                    \sum_{l=1}^{\infty}\sum_{t=s}^{n} \sum_{{i=1\atop b_t+i\not=l}}^{a_{t+1}-b_{t}}
                    \ffb{K_p}{ \alpha_{i,t}} \ffb{K_p}{  d_{t,i,l}}  \\
           &=& \sum_{l=1}^{\infty}\ffb{K_p}{\beta_l} -  \sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                    \ffb{K_p}{ \alpha_{i,t}} \ffa{l}{b_t} \ffb{K_p}{ c_{t,i,l}} \\
           &\ge&  \sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                    \ffb{K_p}{ \alpha_{i,t}}  -  \rho \sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                    \ffb{K_p}{ \alpha_{i,t}} \mbox{ mit $\rho<1 $ geeignet} \\
           &=& (1-\rho) \sum_{t=s}^{n} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
                    \ffb{K_p}{ \alpha_{i,t}}   \punkt    }




%Wir m�ssen nun noch $x_{s-1}=Q_s(\lambda)$ behandeln:

Oben wurde gezeigt, da� $Q_s(\lambda)\in F_s$, da $\lambda\in $ Kern $p_U$. Das bedeutet, da� 
$\ffa{l}{b_s}[Q_s(\lambda)]_l\cdot f_l =0$.


Da $f_j \in \bigoplus_{l\in \N} H_{\Omega}(\F)$ ist f�r $j=1,2,\ldots$, gibt es ein 
$N_s$, so da� $(f_1)_z,\ldots,(f_{b_s})_z$ einen Untermodul $(\F_s)_z$ von $\F_z^{N_s}$
erzeugen f�r 
$z\in \Omega$. Es ist $\bigcup\limits_{z\in \Omega} (\F_{s})_z=:\F_{s}$ eine koh�rente 
analytische Garbe (\cite{G-R},Chap IV, Sec. B,  Proposition 12). $\F_{s}$ wird also
von $f_1,\ldots,f_{b_s}$ in $\Omega$ global erzeugt (\cite{Hoer}, Theorem 7.2.9).

Ist $\Rscript_{s}:=\Rscript(f_1,\ldots,f_{b_s})$ die Relationsgarbe von
$f_1,\ldots,f_{b_s}$, 
dann gibt es zu jedem offenen $\omega\relkom\Omega$ 
endlich viele globale Schnitte, die $\Rscript_{s}$ in $\omega$ erzeugen ([Grauert
Fritzsche] ).

Wir konstruieren eine Folge $(\overline{g}_j)_j$ in $\zzc$ wie folgt:

$\ffc{\overline{g}}{m_0}$ seien die in $\zzc$ kanonisch eingebetteten globalen
Schnitte, die $\Rscript_0$ in $\stackrel{\circ}{K}_0$ erzeugen.
%
%
% Diese konstruieren 
%wir durch Anwendung von Lemma \auslabelnsatz{7.2} auf $\stackrel{\circ}{K}_0$
%und $\F=\Rscript_0$
%
$\overline{g}_{m_{s-1}+1},\ldots,\overline{g}_{m_{s}}$ seien die in $\zzc$
kanonisch eingebetteten globalen Schnitte, die $\Rscript_s$ in 
$\stackrel{\circ}{K}_s$ erzeugen f�r $s\ge 1$. Ohne Einschr�nkung k�nnen wir annehmen,
da� $m_t$ streng monoton in $t$ w�chst.















F�r jedes $\lambda\in \abbkern p_U$ liegt $Q_s(\lambda)$ in dem Kern der Abbildung 
\[   \pi : H_U(\oka^{b_s}) \rightarrow H_U(\F_s)\komma \ffc{c}{b_s} \mapsto 
                 \sum_j c_j f_j \punkt  \]
Nach Lemma \auslabelnsatz{7.2}    ist 
\[   H_U(\oka^{m_s}) \rightarrow \abbkern \pi \komma  \ffc{c}{m_s} \mapsto 
                 \sum_j c_j \overline{g}_j          \]
eine stetige lineare surjektive Abbildung. 




Insgesamt folgt:

Ist $U\subset K_s$ offen holomorph konvex, dann ist die Abbildung
\formelohne{  
    \tilde{q}_U: H_U(\oka^{m_s})\times \zzc &\rightarrow& \zzc   \\
    \left( (\ffc{\beta}{m_s}),(\alpha_{i,t})_{t\ge s\komma 1\le i\le a_{t} - b_{t-1}}
            \right) &\mapsto& \ffa{j}{m_s}\beta_j \overline{g}_j + \sum_{t\ge s}
                                 \sum_{i=1}^{a_{t}-b_{t-1}} \alpha_{i,t} C_i^t     }
stetig linear mit $\bild \tilde{q}_U =\abbkern p_U$. 





{\sc Bemerkung:} Ist $\lambda\in \abbkern p_U\cap F_r$ f�r ein $r\ge s$, dann gilt
$Q_{t+1}(\lambda)=Q_t(\lambda) = \lambda$ f�r $t\ge r$. Daher gilt 
\formel{{\einlabeln{7.0.5}}   \lambda=\sum_{t=s-1}^{\infty} x_t
         &=& \sum_{t=s-1}^{r-1} x_t = \ffa{j}{m_s}\beta_j 
    \overline{g}_j + \sum_{t=s}^{r-1}   \sum_{i=1}^{a_{t}-b_{t-1}} \alpha_{i,t} C_i^{t-1} \punkt 
}

Die erzeugenden Schnitte $C_i^t$ aus der Abbildung $\tilde{q}_U$ haben den Nachteil, 
da� sie lediglich jeweils auf einer Umgebung
von $K_s$ definiert sind f�r $t\ge s$.

 

 

  

 



  





 














 







Wir zeigen im n�chsten Schritt, da� es globale Schnitte $G_i^t$, $i=1,\ldots,a_{t+1}
 - b_{t}$, $t\ge 0$ gibt, so da�   
\formelohne{  
    \tilde{\tilde{q}}_U: H_U(\oka^{m_s})\times \zzc &\rightarrow& \zzc   \\
    \left( (\ffc{\beta}{m_s}),(\alpha_{i,t})_{t\ge s\komma 1\le i\le a_{t+1} - b_{t}}
            \right) &\mapsto& \ffa{j}{m_s}\beta_j \overline{g}_j + \sum_{t\ge s}
                                 \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \alpha_{i,t} G_i^t     }
stetig linear ist mit $\bild \tilde{\tilde{q}}_U= \abbkern p_U$ f�r $U\relkom K_s$ 
offen, holomorph konvex.

Hierzu ben�tigen wir die folgenden zwei Lemmata:







\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{7.5}
Sei $E$ ein Fr\'echetraum mit einem Fundamentalsystem von stetigen Halbnormen $(\norm{p}{\leer{0.5}})_p$
und $\Phi:E\rightarrow E$ stetig linear. Ferner gelte f�r die Identit�t $Id$ auf $E$, da�
$\norm{p}{ (Id -\Phi)(x)} \le \theta_p\norm{p}{x}$ mit $\theta_p<1$ f�r 
jedes $p\in \N$. 

Dann ist $\Phi $ invertierbar in L($E$) und es gilt 
\[   \norm{p}{\Phi^{-1}x}\le \frac{1}{1-\theta_p} \norm{p}{x}  \]
\end{satz}

Es sei \[ \Psi_n:=\sum_{k=0}^{n} (Id -\Phi)^k \mbox{ mit } (Id-\Phi)^0:=Id \]
Dann gilt f�r $m\ge n$ und f�r alle $p\in \N$ und $x\in E$
\[   \norm{p}{\Psi_m(x)-\Psi_n(x)} = \norm{p}{\sum_{k=n+1}^m (Id -\Phi)^k(x)}
               \le \sum_{k=n+1}^m \theta_p^k \norm{p}{x}  \]
Hieraus folgt insbesondere $\norm{p}{\Psi_m(x)}\le \frac{1}{1-\theta_p}\norm{p}{x} $.


Nach dem Satz von Banach-Steinhaus (siehe z.B. \cite{Koethe}, �39, Nr. 5) gibt es ein 
$\Psi\in {\rm L}(E)$ mit $\Psi_n\rightarrow \Psi$ punktweise. 
Es folgt daher wie beim von Neumannschen Lemma f�r jedes $x\in E$

\[   \Psi \circ \Phi(x) = \lim_n \Psi_n\circ \Phi(x) =x  \]
Genauso folgert man wegen der Stetigkeit von $\Phi$, da� $\Phi\circ\Psi(x)=x$.

Wir setzen also $\Phi^{-1}:=\Psi$. F�r $p\in \N$ gilt 
\[   \norm{p}{\Phi^{-1}} = \lim_n\norm{p}{\Psi_n(x)} \le 
      \frac{1}{1-\theta_p} \norm{p}{x}  \leer{1} \Box  \]







\begin{satz}{Lemma}\einlabeln{7.6}
Sei $(E,(\norm{p}{\leer{0.5}})_p)$ eine Fr\'echetalgebra mit Eins und 
$A=(a_{i,j})_{i,j}$ eine 
unendliche Matrix mit Eintr�gen aus $E$, so da� $A$ eine  Abbildung
aus L$(l_1(E))$ repr�sentiert. Ferner gebe es eine aufsteigende
Folge positiver ganzer Zahlen $(n_m)_m\in \N_0$ mit $n_0=0$, so da�
\[   a_{i,j}=0 \mbox{ f�r } i>n_{m(j)}\komma
                \mbox{ falls } n_{m(j)-1}<j\le n_{m(j)} \]

Ferner gelte f�r die Einheitsmatrix $I$ bestehend aus dem Einselement
der Algebra auf der Diagonalen, da� f�r jedes $v\in l_1(E)$
\[   \norm{p}{ (I -A)(v)} \le \theta_p\norm{p}{v} \mbox{ mit }
 \theta_p<1 \mbox{ f�r  jedes } p\in \N \]

Dann ist $A$ invertierbar auf $l_1(E)$ und f�r $A^{-1}=(b_{i,j})_{i,j}$
gilt   

\[   b_{i,j}=0 \mbox{ f�r } i>n_{m(j)}\komma 
         \mbox{ falls } n_{m(j)-1}<j\le n_{m(j)} \]
\end{satz}

Sei $c_{i,j}^k$ das $i,j$-te Element von $(I-A)^k$, dann zeigt man
wie folgt induktiv �ber $k$, da� 
\[   c_{i,j}^k=0 \mbox{ f�r } i>n_{m(j)}\komma 
       \mbox{ falls } n_{m(j)-1}<j\le n_{m(j )}\]
Der Induktionsanfang $k=1$ ist nach der Voraussetzung an $A$ klar. F�r
den Induktionsschritt $k\rightarrow k+1$ sei zu festem $j$ ein Index $m(j)$ 
so gew�hlt, da�
$n_{m(j)-1}<j\le n_{m(j)}$ ist.  F�r ein festes $i$ gibt es ein $l\in \N$, so da�
$n_{l-1}<i\le n_l$. Dann gilt
\formelohne{  c_{i,j}^{k+1} &=& \sum_{\nu=1}^{\infty} 
              c_{i,\nu}^k c^1_{\nu,j} \\
       &=&    \sum_{\nu=n_{l-1} +1}^{n_{m(j)}} c_{i,\nu}^k c^1_{\nu,j}  }
Damit ist $ c_{i,j}^{k+1}=0$, falls $l-1\ge m(j)$, was der Fall ist, wenn $i>n_{m(j)}$.

Ist $b_{i,j}^n$ das $i,j$-te Element von $A_n:=\sum_{k=0}^n (I-A)^k$, dann folgt
\[   b^n_{i,j}=0 \mbox{ f�r } i>n_{m(j)}\komma 
         \mbox{ falls } n_{m(j)-1}<j\le n_{m(j)} \]
Sei $e_j$ der $j$-te Einheitsvektor in $l_1(E)$. Dann ist das 
$i$-te Element des Vektors $A_n e_j$ gerade $b_{i,j}^n$. 
Da $(A_n e_j)_n$ eine Cauchyfolge in 
$l_1(E)$ ist, die gegen $A^{-1} e_j$ konvergiert, verschwindet f�r $i>n_{m(j)}$ auch das 
$i$-te Element des Vektors $A^{-1} e_j = b_{i,j}$ $\Box$






Wir kommen zur�ck zum Beweis der Proposition \auslabelnsatz{7.3}:

{\sc Bemerkung:} Ist $d\in \Gamma(\omega,\chi)$ ein Schnitt auf einer Umgebung $\omega$
von $K_s$ in eine koh�rente analytische Garbe $\chi$, dann gibt es
 eine Folge $(d_j)_j\subset\Gamma(\Omega,\chi)$, so da� $\norm{K_s}{d-d_j}
\rightarrow 0$, wenn $j\rightarrow \infty$, da $K_s$ holomorph
konvex ist (\cite{Hoer}, Theorem 7.2.7).

Ist  $(D_k^t)_{k=1}^{k_t}$ f�r $t\in \N_0$ eine Folge von Schnitten in $\chi$, so da�
$\ffc{D^t}{k_t}$ jeweils $\chi$ um $K_t$ erzeugt, und ist f�r eine  offene Umgebung
$\tilde{\omega}$ von $K_t$
\[     \norm{K_t}{x}:= \inf_{x=\ffa{k}{k_t} h_k D_k^t}  \ffa{k}{k_t} \ffb{K_t}{h_k} 
       \mbox{ f�r } x\in \Gamma(\tilde{\omega},\chi)\komma  \]
dann gibt es zu vorgegebenem $\eps >0$ ein
$J$, so da� $\norm{K_t}{d-d_j}<\eps$ f�r $j\ge J$, $0\le t \le s$. Soweit die 
Bemerkung.






Sei $\rho<1$ fest. $C_i^t$ ist ein Schnitt in $\Rscript_{t+1}$ auf einer Umgebung von 
$K_t$. Wenden wir \auslabeln{7.0.5} auf $U=\stackrel{\circ}{K}_\tau$, $\tau\le t$ an,
so wird $\Rscript_{t+1}$ in $\stackrel{\circ}{K}_\tau$ durch
\[   M_\tau:=\{ \ffc{\overline{g}}{m_\tau},(C_i^l)_{l=\tau,\ldots,t,i=1,\ldots,a_{l+1}-b_l} \} \]
erzeugt. Nach Theorem 7.2.9 in \cite{Hoer}, einer unmittelbaren Folgerung aus
Theorem A von Cartan, wird  $\Rscript_{t+1}$ auch in pseudokonvexen Umgebungen 
 von $K_{\tau-1}$, die in $\stackrel{\circ}{K}_\tau$ liegen,   durch $M_\tau$ erzeugt.
Sei f�r  einen Schnitt $x$ in $\Rscript_{t+1}$ um $K_\tau$ 
\[    \norm{s,\tau}{x} := \inf\{\sum_{j=1}^{m_{s+1}} \ffb{K_s}{\beta_j} + 
                         \sum_{l=s+1}^t \sum_{i=1}^{a_{l+1}-b_{l}} 
                                               \ffb{K_s}{\alpha_{i,l}}\doppelpunkt
x=\sum_{j=1}^{m_{s+1}} \beta_j \overline{g}_j + 
                    \sum_{l=s+1}^t \sum_{i=1}^{a_{l+1}-b_{l}} \alpha_{i,l} C_i^l \}
                                                                 \punkt  \]
Dann gibt es entsprechend der obigen Bemerkung jeweils
 ein $G_i^t\in \Gamma(\Omega,\Rscript_{t+1})$, so da�
\formel{   \norm{s}{C_i^t - G_i^t} < \frac{\rho}{2}\leer{1} \mbox{ f�r } 
              0\le s\le t-1\komma   i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}     \einlabeln{8.0.0.1}}
Auf diese Weise konstruieren wir f�r jedes $t\ge 0$ jeweils $G_i^t$ 
f�r $i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}$.








 
Ist $s$  fest, dann gibt es somit f�r jedes $\tau\ge s$ jeweils um $K_{s-1}$ eine Darstellung
\[   G_j^\tau - C_j^\tau = \ffa{l}{m_s} \beta_l^{\tau,j} \overline{g}_l + 
                     \sum_{t=s}^\tau  \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \alpha_{t,i}^{\tau,j} C_i^t  \]
mit 
\[   \ffa{l}{m_s}\ffb{K_{s-1}}{\beta_l^{\tau,j}} + \sum_{t=s}^\tau  \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} 
                 \ffb{K_{s-1}}{\alpha_{t,i}^{\tau,j}} < \rho    \]






%Wir erinnern daran, da� $H_{K}(\oka)$ f�r ein holomorph konvexes Kompaktum $K$ 
%der lokale Banachraum mit Norm $\normleer{K}$
%in dem Fr\'echetraum $H_\Omega(\oka)$ ist. Da $K$  holomorph konvex ist, 
%liegt $H_\Omega(\oka)$ in $H_{K}(\oka)$ dicht.


Sei eine Abbildung $H:\zzc^2\rightarrow \zzc^2$ durch $H(\mu^1,\mu^2):=(H_1(\mu^1,\mu^2),
H_2(\mu^1,\mu^2)) $ definiert, wobei wir
\[       \left[ H_1(\mu^1,\mu^2)\right]_l := \left\{ \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l} 
           \mu_l^1 + \sum_{\tau=s}^{\infty} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}
                                           \mu_{b_\tau+j}^2 \beta_l^{\tau,j}   & l=1,\ldots, m_s \\
                 0                                                       & \mbox{sonst}
             \end{array} \right.           \]
setzen 
und $ H_2(\mu^1,\mu^2)= A\mu^2$ mit einer Matrix $A=(a_{l,n})_{l,n}$. Hierbei seien die 
Matrixeintr�ge wie folgt definiert:
\[    a_{l,n} := \left\{  \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
                \alpha_{t,i}^{\tau,j} & l=b_t +i\komma s\le t\le \tau\komma i=1,
                           \ldots,a_{t+1} - b_{t}\komma l\not= b_\tau+j\komma n=b_\tau +j  \\
             1+ \alpha_{t,i}^{\tau,j} & l=n=b_\tau +j\komma t=\tau\komma i=j   \\
                        0          & \mbox{sonst}   \end{array} \right.  \punkt         \]
$H$ h�ngt nat�rlich von $s$ ab. Wir schreiben aus Vereinfachungsgr�nden $H$ statt $H_s$.







Wir zeigen \be
\item $\norm{p}{H_1(\mu^1,\mu^2)}\le \norm{p}{\mu^1} + \norm{p}{\mu^2}$ f�r alle $p\in \N$.
\item $A$ ist eine Abbildung in L$(l_1(H_U(\oka)))$. Es gilt $\norm{p}{A\lambda} \le
      2\norm{p}{ \lambda}$ f�r alle $p\in \N$, $\lambda\in l_1(H_U(\oka))$.
      $A$ ist eingeschr�nkt als Abbildung auf 
\[   N_s := \{ \mu\in \ffd{U}{\oka} \doppelpunkt \mu_1=\ldots  \mu_{b_s}=0\komma
                  \mu_{a_\tau +j}=0\komma \tau\ge 0\komma j=1,\ldots, b_{\tau} - a_\tau  \}  \]
      in sich invertierbar.

%      Es gibt eine Abbildung $G\in {\rm L}(l_1(H_U(\oka)))$ f�r die gilt $G\mid_{N_s}=
%      (A\mid_{N_s})^{-1}$ und f�r jedes $p\in \N$ gilt $\norm{p}{G\lambda}\le 
%      \frac{1}{1-\rho}\norm{p}{\lambda}$ f�r jedes $\lambda\in l_1(H_U(\oka))$. Wir bezeichnen
%      der Einfachheit halber $G$ mit $A^{-1}$.
 
\item $H$ ist eine stetige lineare Abbildung und $\norm{p}{H(\mu^1,\mu^2)}\le 3(\norm{p}{
      \mu^1} + \norm{p}{\mu^2})$ f�r $p\in \N$.
\ee
\be
\item[ad 1)] 
\formelohne{  \norm{p}{ H_1(\mu^1,\mu^2)} &=& \sum_{l=1}^{m_s} \ffb{A_p}{\mu_l^1 +
                  \sum_{\tau\ge s} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}
                                           \mu_{b_\tau+j}^2 \beta_l^{\tau,j}   }  \\
           &\le&  \sum_{l=1}^{m_s} \ffb{A_p}{\mu_l^1} + \sum_{\tau\ge s} 
                     \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}  \ffb{A_p}{\mu_{b_\tau+j}^2} 
                   \sum_{l=1}^{m_s} \ffb{K_{s-1}}{\beta_l^{\tau,j}}    \\
           &\le&  \norm{p}{\mu^1} + \norm{p}{\mu^2}   \punkt   }
\item[ad 2)] Es ist $A\mu\in N_s$ f�r
   $\mu\in N_s$.  F�r $\lambda\in N_s$ gilt
\formelohne{ \norm{p}{(Id_{N_s} - A)\lambda} &=& \sum_{t=s}^{\infty} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
             \ffb{A_p}{ \sum_{\tau=t}^{\infty} \left( 
              \sum_{j=1\atop {i\not=j\komma \!falls \atop t=\tau}}^{a_{\tau+1}-b_{\tau}}
             -\alpha_{t,i}^{\tau,j} \lambda_{b_{\tau}+j}\right)
               + (1-(1-\alpha_{t,i}^{t,i}))\lambda_{b_t+i} }\\
       &\le&  \sum_{t=s}^{\infty} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \sum_{\tau=t}^{\infty}
              \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_{\tau}} \ffb{A_p}{\alpha_{t,i}^{\tau,j} } \betrag{
              \lambda_{b_{\tau}+j} }  \\
       &=&    \sum_{\tau=s}^{\infty} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_{\tau}} \left( \sum_{t=s}^{\tau}
              \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} \ffb{A_p}{\alpha_{t,i}^{\tau,j} }\right) 
              \ffb{A_p}{\lambda_{b_{\tau}+j} } \\
       &<&    \rho \cdot \norm{p}{\lambda}     }
Hieraus folgt einerseits $\norm{p}{A\lambda} = \norm{p}{Id_{N_s}\lambda-(Id_{N_s}-A)\lambda}
\le \norm{p}{\lambda} + \rho \norm{p}{\lambda} \le 2\norm{p}{\lambda}$. Andererseits folgt
aus Lemma \auslabelnsatz{7.6}, da� $A\mid_{N_s}$ invertierbar ist. 

Wir bezeichnen mit $A^{-1}$ die kanonische Fortsetzung von $(A\mid_{N_s})^{-1}$ auf
$l_1(H_U(\oka))$. F�r $A^{-1}$ gilt $\norm{p}{A^{-1}\lambda}\le \frac{1}{1-\rho}\norm{p}{
\lambda}$ f�r jedes $p\in \N$ und jedes $\lambda\in l_1(H_U(\oka))$.












\item[ad 3)] 3) folgt direkt aus 1) und 2).
\ee










Wenn wir den Definitionsraum von $\tilde{q}_U$ und $\tilde{\tilde{q}}_U$ jeweils
kanonisch in  $(l_1(H_U(\oka)))^2$ einbetten, dann
 gilt $\tilde{q}_U(H(\mu^1,\mu^2)) = \tilde{\tilde{q}}_U
(\mu^1,\mu^2)$.

Berechne f�r $\lambda\in \zzc$ mit $\lambda_{\tau,j}:=[\lambda]_{b_\tau + j}$, $\tau\ge s$,
$j=1,\ldots,a_{\tau+1} - b_{\tau}$:
\formelohne{  
           [A \lambda ]_l
         &=& \left\{  \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
                  \sum\limits_{\tau>t} \sumlim_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} a_{l,b_\tau+j}
                                    \lambda_{\tau,j}
               & l=b_t +i\komma t\ge s\komma i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t} \\
              0 & \mbox{sonst} \end{array}
              \right.   \\
         &=&  \left\{  \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
              \begin{array}{l}
              \sumlim_{\tau>t} \sumlim_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \alpha_{t,i}^{\tau,j}
                     \lambda_{\tau,j} \\ 
               +\sumlim_{j=1,i\not=j}^{a_{t+1}-b_t} \alpha_{t,i}^{t,j}\lambda_{t,i} + 
                        (1+\alpha_{t,i}^{t,i})\lambda_{t,i} 
               \end{array}
                 &   l=b_t +i\komma t\ge s\komma i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t} \\
               0 & \mbox{sonst} \end{array} 
              \right.   \\
         &=&   \left\{  \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l}
              \left(\sumlim_{\tau\ge t} \sumlim_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \alpha_{t,i}^{\tau,j}
                     \lambda_{\tau,j}\right) + \lambda_{t,i}       
                 &   l=b_t +i\komma t\ge s\komma i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t} \\
               0 & \mbox{sonst} \end{array} 
              \right.   }  



















Daher ist mit $\mu^2_{\tau,j}:=[\mu^2]_{b_\tau +j}$
\formelohne{ \tilde{q}_U(H(\mu^1,\mu^2)) 
      &=& \sum_{l=1}^{m_s} [H_1(\mu^1,\mu^2)]_l \overline{g}_l + 
           \sum_{t\ge s} \hspace{-0.75em}\sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}\hspace{-0.75em} [A\mu^2]_{l=b_t+i} C_i^t \\
      &=& \sum_{l=1}^{m_s}(\mu_l^1 + \sum_{\tau \ge s} \hspace{-0.75em}
                       \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em}
            \mu^2_{\tau,j} \beta_l^{\tau,j}) \overline{g}_l 
          + \sum_{t\ge s }\hspace{-0.75em}\sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
            (\sum_{\tau\ge t} \hspace{-0.75em}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em} \alpha_{t,i}^{\tau,j}
                                          \mu^2_{\tau,j} + \mu_{t,i}^2) C_i^t  \\
      &=& \sum_{l=1}^{m_s} \mu_l^1 \overline{g}_l +
          \sum_{\tau \ge s} \hspace{-0.75em}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em}\mu^2_{\tau,j}
          \sum_{l=1}^{m_s} \beta_l^{\tau,j} \overline{g}_l
          + \sum_{\tau \ge s} \hspace{-0.75em}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em}\mu^2_{\tau,j}
          \sum_{t=s}^\tau \hspace{-0.4em}\sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}\hspace{-1em}  \alpha_{t,i}^{\tau,j} C_i^t 
          + \sum_{\tau \ge s} \hspace{-0.75em}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em}\mu^2_{\tau,j} C_j^\tau  \\
      &=& \sum_{l=1}^{m_s} \mu_l^1 \overline{g}_l +
          \sum_{\tau \ge s} \hspace{-0.75em}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}\hspace{-1em}\mu^2_{\tau,j} G_j^\tau \\
      &=& \tilde{\tilde{q}}_U(\mu^1,\mu^2)   }

Also ist $\tilde{\tilde{q}}_U: H_U(\oka^{m_s})\times \zzc \rightarrow \zzc$
stetig linear. Bleibt zu zeigen, da� $\bild \tilde{\tilde{q}}_U = \abbkern p_U$:











Sei $x\in \abbkern p_U=\bild \tilde{q}_U$. Finde also $\eta=(\ffc{\eta}{m_s})$,
$\xi=(\xi_j)_j\in \zzc$, so da� 
\[   x=\tilde{q}_U(\eta,\xi)=\ffa{l}{m_s} \eta_l\overline{g}_l + \sum_{t\ge s}\sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}
                   \xi_{b_t+i} C_i^t       \]
Ohne Einschr�nkung ist also $\xi_j=0$ f�r $j\le b_s$ und $j=a_t+i$, $t\ge s$,
$i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}$, d.h. $\xi \in N_s$.

Setze $\lambda:= A^{-1}(\xi)$ und 
\[   \beta_l:= \eta_l - \sum_{\tau=s}^{\infty} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} 
               \lambda_{b_\tau+j} \beta_l^{\tau,j}\komma l=1,\ldots, m_s\komma
               \beta:=(\ffc{\beta}{m_s})  \]
Dann ist  $H_1(\beta,\lambda)=\eta$ und $H_2(\beta,\lambda)=A\lambda= \xi $.
Also ist 
\[   \tilde{\tilde{q}}_U(\beta,\lambda)=\tilde{q}_U(H(\beta,\lambda))=
          \tilde{q}_U(\eta,\xi) =x\punkt \] 
Ist umgekehrt $x\in \bild \tilde{\tilde{q}}_U$, dann ist $x\in \bild \tilde{q}_U=\abbkern p_U$.











Im n�chsten Schritt konstruieren wir aus den Folgen $(\overline{g}_j)_j$ und
$(G_i^t)_{i,t}$ eine Folge $(g_l)_l$ aus $\bigoplus\limits_{l\in \N} H_{\Omega}(\oka)$,
die $\abbkern p_U$ in der gew�nschten
Weise erzeugt und die Eigenschaften \auslabeln{7.0.2} und \auslabeln{7.0.3}
erf�llt.

Wir setzen unter Verwendung der obigen Indexfolge $(m_t)_{t\ge0}$ 
\[ \begin{array}{l@{\leer{0.5}:=\leer{0.5}}l@{\leer{0.2},\leer{0.5}}
                                           l@{\leer{0.2},\leer{0.5}}l}
       g_{m_t+n_{t+1}+i} &  \overline{g}_{m_t+i} & i=1,\ldots,m_{t+1}-m_t & t\ge -1 \\
       g_{m_{t+1}+n_{t+1}+i} & G_i^{t+1} & i=1,\ldots,n_{t+2}-n_{t+1} & t\ge -1\komma
   \end{array}   \]
 
wobei $m_{-1}:=0$ und $n_t:=\sum_{\tau=1}^t a_\tau-b_{\tau-1}$ f�r $t\ge 1$, sowie
$n_0:=0$.

F�r jedes $l\in \N$ ist damit $g_l$ wohldefiniert, denn, da $m_t$ strikt
monoton wachsend ist, gibt es zu jedem $l\in \N$ ein $t\ge -1$, so da�
$m_t+n_{t+1} < l \le m_{t+1} + n_{t+2}$.
Ist also im einen Fall $m_{t} + n_{t+1}<l\le m_{t+1} + n_{t+1}$,
 dann setze $i:=l-(m_{t} + n_{t+1})$.
Ist im anderen Fall  $m_{t+1} + n_{t+1}<l\le m_{t+1} + n_{t+2}$, 
dann setze $i:=l-(m_{t+1} + n_{t+1})$.







Wir wollen Eigenschaft \auslabeln{7.0.2} zeigen. Sei dazu $l\in \N$ und es gelte 
$m_{t} + n_{t+1}<l\le m_{t+1} + n_{t+1}$ f�r ein $t\ge s\ge -1$, dann gilt das folgende



\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{8.0.1} Es gibt f�r $U\subset K_{s-1}$ Funktionen $(\mu_k)_k$ aus 
$H_U(\oka)$, so da�
\[   g_l=\sum_{k=1}^{m_t+n_{t+1}} \mu_k g_k  \]
\end{satz} 
Es ist $g_l=\overline{g}_{m_t+i}$ f�r ein $i\in \{1,\ldots,m_{t+1}-m_t\}$
Also ist $g_l\in \Gamma(\Omega,\Rscript_{t+1})$. Ist $F_t:=\{\lambda\in \zzc
\doppelpunkt \lambda_k=0 \mbox{ f�r } k\ge b_{t-1} +1\}$, dann gilt nat�rlich auch
$g_l\in \abbkern p_U\cap F_{t+2}$. F�r Elemente aus $\abbkern p_U\cap F_{t+2}$ wurde gezeigt,
da� die folgende Darstellung auf $U$ existiert:
\[   g_l= \ffa{k}{m_{s-1}} \tilde{\beta}_k \overline{g}_k + \sum_{\tau=s-1}^{t+1}
          \sum_{j=1}^{a_{\tau}-b_{\tau-1}} \alpha_{j,\tau} C_j^{\tau-1}  \]
Sei $\alpha=(\alpha_l)_l$ eine Folge mit 
$\alpha_{b_{\tau-1}+j}=\alpha_{j,\tau}$ f�r $\tau=s-1,\ldots,t+1$, $j=1,\ldots,
\alpha_{\tau} - b_{\tau-1}$ und $\alpha_l=0$ sonst, dann ist $\alpha\in N_{s-1}$. 
Setze nun $\lambda:=A^{-1}\alpha$ und

\[   \beta_k:= \tilde{\beta}_k - \sum_{\tau=s-1}^{t+1} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau}
        \lambda_{b_\tau +j} \beta_l^{\tau,j}\komma k=1,\ldots,m_s\komma \beta_k=0 \mbox{ sonst}. \]
Hieraus folgt $\tilde{\beta}=H_1(\beta,\lambda)$ und $\alpha=H_2(\beta,\lambda)$. Daher gilt
\[   g_l= \tilde{q}_U(H(\beta,\lambda) = \tilde{\tilde{q}}_U(\beta,\lambda) =
          \ffa{k}{m_{s-1}} \beta_k \overline{g}_k + \sum_{\tau=s-1}^{\infty} 
          \sum_{j=1}^{a_{\tau}-b_{\tau-1}} \lambda_{b_{\tau-1} +j} G_j^{\tau-1}   \]








% Hierzu untersuchen wir $A^{-1}$: 











%Sei $Z(A^{-1},l)$, $Sp(A,k)$ die $l$-te Zeile bzw. $k$-te Spalte von 
%$A^{-1}$ bzw $A$. Es gilt
%\[   Z(A^{-1},l)\cdot Sp(A,k) = \delta_{l,k}   \]
%\formelohne{
 % \delta_{l,k} &=& \sum_{t=0}^{\infty} (\sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} 
  %                 [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i} [ Sp(A,k)]_{b_t+i}  
   %              + \ffa{i'}{b_t-a_t} [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i'} [ Sp(A,k)]_{b_t+i'} ) \\
    %           &\stackrel{k=b_\tau+j}{=} & \sum_{t=0}^{\infty} 
     %              \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i} a_{b_t+i,b_\tau+j} \\
      %         &=& \sum_{t=s}^\tau \sum^{a_{t+1}-b_t}_{{i=1\atop i\not=j  
       %                                     \mbox{\tiny, falls } t=\tau}}
        %            [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}\alpha_{t,i}^{\tau,j} + [Z(A^{-1},l)]_{b_\tau+j} 
         %                                                (1+ \alpha_{\tau,j}^{\tau,j}) \\
%               &=& \sum_{t=s}^\tau \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} 
%                   [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}\alpha_{t,i}^{\tau,j} + [Z(A^{-1},l)]_{b_\tau+j}
%     \punkt }
%Sei $l$ und $\tau$ fest und seien $\tau_0$, $j_0$ so gew�hlt, da� 
%\[   \max_{{t,i\atop t\le \tau\komma i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}}}
 %         \ffb{K_{s-1}}{[Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}} = \ffb{K_{s-1}}{[Z(A^{-1},l)]_{b_{\tau_0}+j_0}} \]
%Sei $k=b_{\tau_0} +j_0$. Wir unterscheiden zwei F�lle: 1. $l=b_{\tau_0} +j_0$ und
%2. $l\not=b_{\tau_0} +j_0$. 

%Im 2. Fall folgt:
%\formelohne{ 
%\ffb{K_{s-1}}{-[Z(A^{-1},l)]_{b_{\tau_0}+j_0}} 
 %  &=& \ffb{K_{s-1}}{\sum_{t=s}^{\tau_0} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}} 
  %                 [Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}\alpha_{t,i}^{\tau_0,j_0} }  \\
   %&\le& \ffb{K_{s-1}}{[Z(A^{-1},l)]_{b_{\tau_0}+j_0}} \sum_{t=s}^{\tau_0} \sum_{i=1}^{a_{t+1}-b_{t}}
    %           \ffb{K_{s-1}}{\alpha_{t,i}^{\tau_0,j_0}}  \\
%   &\le& \ffb{K_{s-1}}{[Z(A^{-1},l)]_{b_{\tau_0}+j_0}} \cdot \rho    }
%Es gilt also $[Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}=0$ f�r $t\le \tau$, $ i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}$
%in diesem Fall.










%Ist also $l=b_\tau +j$ f�r ein $\tau$ und $j$, dann k�nnen wir schlie�en:
%\be
%\item[1)] $[Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}=0$ f�r $t<\tau$, $i=1,\ldots,a_{t+1} - b_{t}$.
%\item[2)] Das maximale Element in der $l$-ten Zeile von $A^{-1}$ ist
%$[Z(A^{-1},l)]_{b_\tau+j}$, d.h. das Diagonalelement.
%\ee
%Um 1) zu zeigen, wenden wir obiges f�r $l=b_\tau+j$ und $\tau'=\tau-1$ an, dann ist 
%$l\not=b_{\tau_0} +j_0$. 

%Um 2) zu zeigen, beachte man, da� nicht alle Zeileneintr�ge der $l$-ten Zeile 
%von $A^{-1}$ verschwinden k�nnen. Ab einem bestimmten $\tau$ tritt daher nur noch
%der 1. Fall ein.

%Aus 1) folgern wir, da� $A^{-1} e_{b_t+i}\in F_{t+1}$ gilt f�r den $(b_t+i)$-ten 
%Einheitsvektor, denn ist $l=b_\tau+j$ und $\tau\ge t+1>t$, dann folgt 
%$[A^{-1} e_{b_t+i}]_l=[Z(A^{-1},l)]_{b_t+i}=0$.








Da $\alpha= \sum_{\tau=s-1}^{t} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \alpha_{b_\tau+j} e_{b_\tau+j}$
ist, folgt mit Blick auf Lemma \auslabelnsatz{7.6} $\lambda=A^{-1} \alpha \in F_{t+1}$.
Damit haben wir
\[   g_l= \ffa{k}{m_{s-1}} \beta_k \overline{g}_k + \sum_{\tau=s-1}^{t+1}
          \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \lambda_{b_\tau +j} G_j^\tau 
    =\sum_{k=1}^{m_{s-1}+n_{s-1}} \mu_k g_k + \sum_{k=m_{s-1}+n_{s-1} +1}^{m_t+n_{t+1}}
            \mu_k g_k \komma   \]
denn $\{ \overline{g}_k\doppelpunkt k=1,\ldots,m_{s-1}\}\subset 
\{ g_k\doppelpunkt k=1,\ldots, m_{s-1}+
n_{s-1} \}$ und $\{ G_j^\tau\doppelpunkt s-1\le\tau\le t+1\komma j=1,\ldots, a_{\tau+1}-b_\tau\} 
\subset \{ g_k\doppelpunkt k=m_{s-1}+n_{s-1}+1,\ldots,m_{t+1}+n_{t+2} \}$.

     
Hieraus folgt das Lemma \Ende
















F�r $t\ge 0$ setzen wir $u_t:=m_{t+1} + n_{t+1}$ und $v_t:=m_{t+1} + n_{t+2}$.
Dann ist $u_t\le v_t\le u_{t+1}$ und $v_{t+1}-v_t\ge m_{t+2}-m_{t+1}>0$ alle
$t\ge 0$. Sei $l\in \N$ mit $m_t+n_{t+1}<l\le m_{t+1} + n_{t+1}$, dann ist
$l=v_{t-1} +i$ mit $i\in \{1,\ldots,m_{t+1}-m_t\} = \{ 1,\ldots,u_t-v_{t-1} \}$.

Nach Lemma \auslabelnsatz{8.0.1} gibt es Funktionen $\mu_{t-1,i,k}$ aus $\zzb$ f�r
$K_{s-2}\subset U\subset K_{s-1}$ und $s\le t$, so da� 
\[    g_{v_{t-1}+i} = \ffa{k}{v_{t-1}}  \mu_{t-1,i,k} g_k  \punkt \]
Wir k�nnen, ohne die Erzeugungseigenschaft der Folge $(g_l)_l$ zu  ver�ndern, die
Folge $(g_l)_l$ bez�glich festem $\rho<1$  wie folgt induktiv skalieren:

Sei $\ffc{\tilde{g}}{v_s}$ bereits skaliert, dann gibt es Funktionen $\tilde{\mu}_{s,i,k}
\in H_U(\oka)$, $K_{s-1}\subset U\subset K_s$, so da� 
\[   g_{v_s+i}=\sum_{k=1}^{v_s} \tilde{\mu}_{s,i,k} \tilde{g}_k \mbox{ auf } U \punkt \]

Sei \formel{{\einlabeln{8.0.1.1}}
    S_{s,i} &:=& \ffa{k}{v_s} \ffb{K_s}{\tilde{\mu}_{t,i,k}} \leer{2} \mbox{f�r } 
                      i=1,\ldots,u_{s+1}-v_s \mbox{ und} \\
    S_s     &:=& \max_{i=1,\ldots,u_{s+1}-v_s} S_{s,i}\cdot\frac{1}{\rho}
       }
F�r $l=v_s +i$ sei $\tilde{g}_l := \frac{g_l}{S_s}$, $i=1,\ldots,u_{s+1}-v_s$. 
F�r $l=u_{s+1}+i$, $i=1,\ldots,v_{s+1}-u_{s+1}$ sei $\tilde{g}_l=g_l$.
Dann gilt f�r die auf diese Weise induktiv skalierte Folge $(\tilde{g}_l)_l$
die Eigenschaft \auslabeln{7.0.2}: Ist $l=v_t +i$, $i\in \{ 1,\ldots,u_{t+1}-v_{t} \}$,
$t\ge s$, dann gibt es in einer Umgebung von $K_{t-1}$ holomorphe Funktionen $\mu_{t,i,k}$,
$k=1,\ldots, v_t$, so da�
\[   \tilde{g}_{v_t+i} = \ffa{k}{v_t} \mu_{t,i,k} \tilde{g}_k   \]
und
\[    \ffa{k}{v_t} \ffb{K_{s-1}}{\mu_{t,i,k}} 
\le \ffa{k}{v_t} \ffb{K_{t-1}}{\mu_{t,i,k}}  \le\rho < 1 \foralls t\ge s \]







Wir benennen von hier an $(\tilde{g}_l)_l$ in $(g_l)_l$ um und definieren f�r ein
$U\relkom \Omega$ holomorph konvex
\[   q_U :\zzc \to \zzc\komma (\mu_l)_l \mapsto \sum_{l} \mu_l g_l   \]



Wir zeigen jetzt, da� $q_U$ stetig ist:

Da $U\subset K_{s-1}$ gilt f�r alle $t\ge s$ und $1\le i\le u_t- v_t$
\[   g_{v_t +i} = \sum_{k=1}^{v_t} \mu_{t,i,k} g_k \leer{0,5} \mbox{ mit }
     \sum_{k=1}^{v_t} \ffb{U}{\mu_{t,i,k}} < 1 \]

Sei $(A_p)_{p\in \N}$ eine kompakte Aussch�pfung von $U$, dann folgt f�r die 
$p$-te Halbnorm des zugeh�rigen Halbnormensystems in $l_1(H_U(\oka))$ induktiv:

\[   \norm{p}{g_{v_t+i}} \le C_{p,s}:= \max \{ \norm{p}{g_k} \doppelpunkt
      1\le k\le v_s \}   \]
f�r jedes $t\ge s$ und $1\le i\le u_t- v_t$.

F�r $t\ge s$ und $1\le i\le v_{t+1} - u_{t+1}$ gilt $g_{u_{t+1}+i} = G_i^{t+2}$.
Um $K_{s-1}$ sind  $C_i^{t+1}$ definiert f�r jedes $t\ge s$, $1\le i\le 
v_{t+1}-u_{t+1}=a_{t+3}-b_{t+2}$, und es gilt $\norm{p}{C_i^{t+1}} \le 2$ f�r
alle $p$.

Wegen \auslabeln{8.0.0.1} in Verbindung mit Lemma \auslabelnsatz{7.0.1} gibt es
$C'_{p,s}$, so da� 

\[   \norm{p}{G_i^{t+1}} \le C_{p,s}' \]
f�r alle $p$ und alle $t\ge s$, $1\le i\le v_{t+1} - u_{t+1}$ gilt.

Daher gibt es zu jedem $p\in \N$ eine Konstante $C_p$, so da�
\formel{ \norm{p}{q_U(\mu)} \le C_p \norm{p}{\mu}
\leer{0,8}\mbox{ f�r jedes } \mu\in l_1(H_U(\oka))  \einlabeln{8.0.1.2} }
 











{\sc Bemerkung:} Es ist $g_l\in \Gamma(\Omega,\Rscript_{t+1})$, f�r $u_t+1\le l\le u_{t+1}$.

Zum Schlu� bleibt nur noch Eigenschaft \auslabeln{7.0.3} zu zeigen:
 

Sei $\mu=(\mu_l)_l\in \abbkern q_U$ f�r ein $U\subset K_{s-1}$ holomorph konvex.
Sei $t\ge s$ und $\mu_{v_r+i}=0$ f�r alle $r\ge t$ und $i=1,\ldots,u_{r+1}-v_r$.
Also ist 
\formelohne{
 0=\sum_{l\ge 1} \mu_l g_l &=&\sum_{l\le u_t} \mu_l g_l + \sum_{r\ge t}\leer{0.8}(\leer{-0.8}
               \sum_{u_r<l\le v_r}\leer{-0.5}\mu_l g_l +\leer{-1} \sum_{v_r<l\le u_{r+1}}
                                                   \leer{-1} \mu_l g_l)\\
         &=&  \sum_{l\le u_t} \mu_l g_l + \sum_{r\ge t} \sum_{i=1}^{a_{r+2}-b_{r+1}}
                   \mu_{u_r+i} G_i^{r+1}   \komma  }
denn $v_r-u_r=n_{r+2}-n_{r+1}= a_{r+2}-b_{r+1}$. Da $\sum_{l\le u_t} \mu_l g_l\in 
\Gamma(\Omega,\Rscript_{t+1})$, folgt nach Indexverschiebung 
\[   0=\sum_{r\ge t+1}\sum_{i=1}^{a_{r+1}-b_{r}}\tilde{\mu}_{r,i}[G_i^r]_k 
     \leer{2}\mbox{ mit }\tilde{\mu}_{r,i}=\mu_{u_{r-1}+i}\mbox{ f�r } k\ge b_{t+1}+1  \]
Also auch nach Umrechnung
\[   0=\sum_{r\ge t+1}\sum_{i=1}^{a_{r+1}-b_{r}} [A\tilde{\mu}]_{b_r+i}[C_i^r]_k 
           \leer{2}    \mbox{ f�r } k\ge b_t+1 \komma \]
wobei $\tilde{\mu}$ eine Folge ist mit $\tilde{\mu}_l=\tilde{\mu}_{r,i} $ f�r
$l=b_r+i$, $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$ und $r\ge t+1$ und $\tilde{\mu}_l=0$ in allen
anderen F�llen.










Setze $\lambda=(\lambda_l)_l$ und $\lambda_l:= [A\tilde{\mu}]_{br+i}$ f�r $l=b_r+i$,
$i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$ und $r\ge t+1$ und sonst gleich Null. Da $[C_j^\tau]_{b_\tau +j}=-1$
f�r $\tau\ge t+1$, $j=1,\ldots,a_{\tau+1} - b_{\tau}$, folgt
\[   \ffb{A_p}{\lambda_{b_\tau+j }} = \ffb{A_p}{\sum_{r\ge t+1}
        \sum^{a_{r+1}-b_{r}}_{{i=1\atop i\not= j,\mbox{{\tiny falls }} r=\tau}} 
          \lambda_{b_r+i} [C_i^r]_{b_\tau+j }  }  \] 
f�r alle $p$, wobei $(A_p)_p$ die oben fest gew�hlte Aussch�pfung von $U$ ist.

Also gilt
\formelohne{
   \sum_{\tau\ge t+1} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \ffb{A_p}{\lambda_{b_\tau+j}}
       &=& \sum_{\tau\ge t+1} \sum_{j=1}^{a_{\tau+1}-b_\tau} \ffb{A_p}{
           \sum_{r\ge t+1} \sum^{a_{r+1}-b_{r}}_{{i=1\atop i\not= j,\mbox{{\tiny falls }} r=\tau}}
               \lambda_{b_r+i} [C_i^r]_{b_\tau+j }  }  \\
       &\le& \sum_{r\ge t+1} \sum_{i=1}^{a_{r+1}-b_r} \ffb{A_p}{\lambda_{b_r+i}}
             \sum_{\tau\ge t+1} 
             \sum^{a_{\tau+1}-b_{\tau}}_{{j=1\atop j\not= i,\mbox{{\tiny falls }} r=\tau}} 
             \ffb{A_p}{[C_i^r]_{b_\tau+j}}  \\
       &=& \sum_{r\ge t+1} \sum_{i=1}^{a_{r+1}-b_r} \ffb{A_p}{\lambda_{b_r+i}}
             \sum_{\tau= t+1}^{r-1} 
             \sum^{a_{\tau+1}-b_{\tau}}_{j=1} 
             \ffb{A_p}{c_{r,i,b_\tau+j}}\\
       &\le& \sum_{r\ge t+1} \sum_{i=1}^{a_{r+1}-b_{r}} \ffb{A_p}{\lambda_{b_r+i}} \cdot \theta }
f�r ein $\theta<1$ nach Eigenschaft \auslabeln{7.0.2} der Voraussetzung.

Hieraus folgt $\lambda_{b_r+i}=0$ f�r $r\ge t+1$, $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$.

Da $\tilde{\mu}\in N_{t+1}$ folgt $\tilde{\mu}=A^{-1}\lambda =0$. Also ist $\tilde{\mu}_{r,i}
=0$ f�r $r\ge t+1$, $i=1,\ldots,a_{r+1} - b_{r}$. Dies bedeutet nach R�ckverschiebung der 
Indizes  $\mu_{u_r+i}=0$
f�r $r\ge t$, $i=1,\ldots,v_{r} - u_{r}$. Insgesamt ist also $\mu_l=0$ f�r
alle $l\ge u_t +1$.

Hieraus folgt Eigenschaft \auslabeln{7.0.3} und die Proposition
\auslabelnsatz{7.3} ist bewiesen \Ende 
 









Ist $U\relkom \Omega$ holomorph konvex. $(A_p)_p$ eine holomorph konvexe kompakte Aussch�pfung
von $U$. Dann sei 
\formelohne{
   B_p &:=& \{ f\in \zzc \doppelpunkt \norm{p}{f} \le 1 \} \\
   B_p^0 &:=& \{ f\in \zza\doppelpunkt \norm{p}{f}\le 1 \}   }
Wir kommen nun zum Hauptergebnis dieses Abschnittes.

\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{8.1} Sei $\F$ ein koh�rente analytische Garbe �ber $\Omega$.
$U\relkom\Omega$ holomorph konvex. Dann gibt es eine exakte Sequenz
\formel{  
   \ldots \zzc\stackrel{p_2^U}{\to} \zzc \stackrel{p_1^U}{\to} \zzc 
      \stackrel{p_0^U}{\to} \zza \to 0 \punkt   \einlabeln{8.0.3}}
Hierbei k�nnen die Abbildungen $p_i^U$, $i=0,1,\ldots$, so gew�hlt werden, da�
$p_i^U=\sum\limits_l \lambda_l f_l^i$ mit von $U$ unabh�ngigen $f_l^i\in l_1(H_\Omega(\oka))$
f�r alle $i\ge 1$ bzw. $f_l^i\in H_\Omega(\F)$ f�r $i=0$.

Es gilt ferner
\formel{  B_{p+1}\cap\abbkern p_{i-1}^U \subset p_i^U(C\cdot B_p) \leer{2}\mbox{f�r } i\ge 1 }
\einlabeln{8.0.4}
und einer von $p$ und $i$ abh�ngigen Konstante $C$, sowie 
\formel{  B_p^0\subset p_0^U(\theta\cdot B_p) \leer{2}\mbox{f�r jedes }\theta>1  
\einlabeln{8.0.5} \punkt }
\end{satz}

Sei $(K_t)_t$ eine holomorph konvexe kompakte Aussch�pfung von $\Omega$. Sei $0<\rho<1$ fest.
Ferner gelten die Bezeichnungen wie in der Proposition \auslabelnsatz{7.3}.

Wir zeigen die Exaktheit von \auslabeln{8.0.3} �ber die induktive Konstruktion 
der $(f_l^i)_l$:

Im Beweis werden wir $i'$ statt $i$ verwenden.














1) Induktionsanfang $i'=0$:

Ist $t\in \N_0$, dann gibt es nach Theorem A von Cartan $\ffc{\tilde{f}}{a_t} \in 
\Gamma(\Omega,\F)$, die $\F$ um $K_t$ erzeugen. Ohne Einschr�nkung ist $(a_t)_{t\ge 0}$ strikt
monoton steigend. (Ist z.B. $\F$ endlich erzeugt, dann werden die Erzeuger dupliziert.)

Setze ferner $f_1^0:=\tilde{f}_1,\ldots, f_{a_0}^0:=\tilde{f}_{a_0}$. Es seien f�r $t>0$ die Schnitte
$\ffc{f^0}{a_t}$ durch Skalierung mit Konstanten aus $\ffc{\tilde{f}}{a_t}$ hervorgegangen.
Betrachten wir $\tilde{f}_{a_t+i}$ in einer Umgebung von $K_t$ nahe genug an $K_t$, dann
lassen sich um $K_t$ holomorphe Funktionen $\lambda_{t,i,j}$, $j=1,\ldots,a_t$ finden, so da� 
\[      \tilde{f}_{a_t+i}= \ffa{j}{a_t} \lambda_{t,i,j} f_j^0 \leer{2}\mbox{gilt.}   \]
Wir setzen $C_{t,i}:=\ffa{j}{a_t} \ffb{K_t}{\lambda_{t,i,j}}$ und $f_{a_t+i}^0 := \tilde{f}_{a_t+i}\cdot
\frac{\rho}{C_{t,i}}$ f�r $i=1\ldots,a_{t+1}-a_t$.

Dann erzeugen $\ffc{f^0}{a_t}$ die Garbe $\F$ um $K_t$. F�r jedes $U\relkom K_s$ holomorph konvex erhalten
wir eine Abbildung 
\[     p_0^U : \zzc \to H_U(\F)\komma (\lambda_l)_l \mapsto \sum_l \lambda_l f_l^0\komma  \]
die surjektiv und stetig linear ist. Denn es gilt f�r $U\relkom K_s $
und eine kompakte Aussch�pfung $(A_p)_{p\in \N}$ von $U$, sowie 
f�r $t\ge s$ 
\formelohne{ \ffb{A_p}{f_{a_t+i}^0} &=& \ffb{A_p}{\ffa{j}{a_t} \lambda_{t,i,j} f_j^0}\frac{\rho}{C_{t,i}} \\
                   &\le& \max_{j=1}^{a_t} \ffb{A_p}{f_j^0}  \ffb{A_p}{\lambda_{t,i,j}}\frac{\rho}{C_{t,i}} \\
                   &<& \max_{j=1}^{a_t} \ffb{A_p}{f_j^0}   }
Also induktiv 
\[   \ffb{A_p}{f_l^0} \le \max_{l=1}^{a_s} \ffb{A_p}{f_l^0} =: C_{p,s}  \leer{2} \mbox{f�r alle }
             l\ge a_s\punkt \]
Also gilt 
\formel{{ \einlabeln{8.0.6}}   \ffb{A_p}{\sum_l \lambda_l f_l^0} 
          &\le& \sum_l \ffb{A_p}{\lambda_l}\ffb{A_p}{f_l^0} \\
                &\le& C_{p,s} \sum_l \ffb{A_p}{\lambda_l} \\
                &=&  C_{p,s} \norm{p}{(\lambda_l)_l}  }
Wir bemerken, da� die $C_{p,s}$ eine gleichm��ige obere Schranke in $p$ besitzen.

$(f_l^0)_l$ erf�llt die Eigenschaften \auslabeln{7.0.2} und \auslabeln{7.0.3} aus der 
Proposition mit $b_t:=a_t$ alle $t$. Eigenschaft \auslabeln{7.0.2} ist wegen der obigen Skalierung
erf�llt und Eigenschaft \auslabeln{7.0.3} gilt automatisch wegen $a_t=b_t$  f�r alle $t$.







2) Die Folgen $(f_l^{i'})_l$ f�r $i'\ge 1$ erhalten wir induktiv durch Anwenden von 
Proposition \auslabelnsatz{7.3}. 

Bezogen auf die Folge $(f_l^{i'-1})_l$ ist damit 
\formelohne{ f_l^{i'} &=& \frac{\overline{g}_{l-n_{t+1}}}{S_{t-1}} \leer{0,5}
                         \mbox{ f�r } v_{t-1} +1\le l\le u_t \mbox{ und} \\
             f_l^{i'} &=& G_{l-n_t}^{t+1} \leer{0,5}
                         \mbox{ f�r } u_{t-1} \le l\le v_t \mbox{, wobei} }
die $S_t$ f�r $t\ge 1$ die Skalierungskonstanten aus \auslabeln{8.0.1.1} sind.





3) Es bleibt \auslabeln{8.0.4} und \auslabeln{8.0.5} zu zeigen. 
Sei $f\in H_U(\F)$ f�r ein $U\relkom \Omega$ holomorph konvex und sei $\norm{p}{f}\le 1$. 
Es sei $s$ so gew�hlt, da� $U\subset K_s $. Da $\ffc{f^0}{a_s}$ globale erzeugende Schnitte von
$\F$ �ber $U$ sind, kann Lemma \auslabelnsatz{7.2} angewandt werden.

Es gibt daher f�r $\theta>1$ Funktionen $\ffc{\lambda}{a_s}\in H_U(\oka)$ mit $\ffa{l}{a_s} \lambda_l f_l^0 
=f$ und $\ffa{l}{a_s} \ffb{A_p}{\lambda_l}\le \theta$. Damit ist $f\in p_0^U(\theta B_p)$.

Sei jetzt $i'\ge 1$, $f\in \abbkern p_{i'-1}^U$ und $\norm{p+1}{f}\le 1$ mit $f=(f_k)_k$.
Da $U\subset K_s$ k�nnen wir mit in $U$ holomorphen Funktionen
$\beta=(\ffc{\beta}{m_s})$ und $\alpha=(\alpha_{i,t})_{t\ge s\komma i=1,
\ldots,a_{t+1}-b_t}$ 
\[   f= \ffa{l}{m_s} \beta_l \overline{g}_l + \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \alpha_{i,t}C_i^t
           \leer{2}\mbox{schreiben, wobei} \]
$(a_t)_t$, $(b_t)_t$, sowie $(C_i^t)_{t,i}$ etc. von der Folge $(f_l^{i'-1})_l$ herr�hren gem��
Proposition \auslabelnsatz{7.3}.

Da $\overline{g}_l\in \Gamma(\Omega,\Rscript_s)$ f�r $l=1,\ldots,m_s$ ist, 
gilt $[\overline{g}_l]_k=0$ f�r $k\ge b_s+1$.
Also gilt 
\[   f_k= \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \alpha_{i,t}[C_i^t]_k \leer{2}\mbox{f�r } 
               k\ge b_s+1 \]

Wie im Beweis der Proposition \auslabelnsatz{7.3} gezeigt wurde, gilt
\formelohne{
    1\ge \sum_{k\ge b_s+1} \ffb{A_{p+1}}{f_k} &=& \sum_{k\ge b_s+1}\ffb{A_{p+1}}{
           \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \alpha_{i,t}[C_i^t]_k}   \\
     &\ge& (1-\rho) \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \ffb{A_{p+1}}{\alpha_{i,t}}\komma   }
wobei $\rho<1$ gem�� \auslabeln{7.0.2} gew�hlt ist.
Sei $\tilde{f}:= f- \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \alpha_{i,t} C_i^t$. Dann ist 
\formelohne{  \norm{p+1}{\tilde{f}} &\le& \norm{p+1}{f} + \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t}
               \ffb{A_{p+1}}{\alpha_{i,t}} \norm{p+1}{C_i^t}  \\
                   &\le& 1+\frac{1}{1-\rho}\cdot 2   }











Da $\ffc{\overline{g}}{m_s}$ die Garbe $\Rscript(f^{i'-1}_1,\ldots,f^{i'-1}_{b_s})$ 
um $K_s$ erzeugt, kann in Anwendung
von Lemma \auslabelnsatz{7.2} und Lemma \auslabelnsatz{7.0.1}
 $\ffc{\gamma}{m_s}\in H_U(\oka)$ gefunden werden, so da� 
\[   \tilde{f}=\ffa{l}{m_s} \gamma_l\overline{g}_l  \leer{2}\mbox{und}\leer{2}
           \ffa{l}{m_s}\ffb{A_p}{\gamma_l}  \le C_{i,p}\komma  \]
wobei $C_{i,p}$ von $f$ unabh�ngig ist.
Wir setzen $\alpha:=(\alpha_l)_l$ mit $\alpha_{b_t+i}:=\alpha_{i,t}$ f�r $t\ge s$, $i=1,\ldots, a_{t+1}-b_t$
und $a_l=0$ sonst.
Sei $\lambda:=A^{-1}\alpha$. Dann gilt 
$\norm{p+1}{\lambda}\le \frac{1}{1-\rho}\norm{p+1}{\alpha} \le \frac{1}{(1-\rho)^2}$.

Wir bilden $\mu=(\mu_l)_l$ durch 
\[   \mu_l:= \left\{ \begin{array}{c@{\leer{0.5} ; \leer{0.5}}l} 
                 \gamma_{m_t+i}\cdot S_{t-1} &\mbox{f�r } l=v_{t-1}+i\komma t\le s-1\komma i=1,
                                                 \ldots,u_{t}-v_{t-1} \\
                 \lambda_{i,t} &\mbox{f�r } l=u_{t}+i \komma t\ge s-1 \komma i=1,
                                                 \ldots,v_{t}-u_{t}   \\
                 0         &\mbox{sonst} \end{array} \right.   \]
Dann folgt
\formelohne{   p_{i'}^U\mu  & = & \sum_l \mu_l f_l^{i'} \\
                         & = & \sum_{t\le s-1} \sum_{i=1}^{u_t-v_{t-1}} \gamma_{m_t+i}\cdot S_{t-1}
                                f_{v_{t-1}+i}^{i'}
                              + \sum_{t\ge s-1} \sum_{i=1}^{v_t-u_{t}} \lambda_{i,t} f_{u_{t}+i}^{i'}\\
                         & = & \sum_{t\le s-1} \sum_{i=1}^{u_t-v_{t-1}} \gamma_{m_t+i}
                                \overline{g}_{m_t+1}
                              + \sum_{t\ge s-1} \sum_{i=1}^{v_t-u_{t}} \lambda_{i,t} G_i^{t+1}\\
                         & = & \ffa{l}{m_s} \gamma_l\overline{g}_l  +  
                               \sum_{t\ge s-1}\ffa{i}{a_{t+2}-b_{t+1}} \lambda_{i,t} G_i^{t+1} \\
                         & = & \tilde{f} + \sum_{t\ge s}\ffa{i}{a_{t+1}-b_t} \alpha_{i,t} C_i^t \\
                         & = & f  }
und $\norm{p}{\mu} = \norm{p}{\gamma} + \norm{p}{\lambda} \le C_{i,p} + \frac{1}{(1-\rho)^2}=:
\tilde{C}_{i,p}$. 
Also ist $f\in p_i^U(\tilde{C}_{i,p} H_p)$\Ende


 












\newpage
\section[{\sc Theorem B mit Schranken}]{
Theorem B mit Schranken f�r lokal endlich erzeugte Untergarben von 
$\oka_{\Omega}^p$}
%\addtocontents{{\sc Theorem B mit Schranken f�r lokal endlich erzeugte Untergarben von 
%$\oka_{\Omega}^p$}}

Wir wollen nun Satz \auslabelnsatz{10.3} anwenden auf Koketten Werten in lokal endlich
erzeugten Untergarben ${\cal F}$ von $\oka^p$ f�r ein beliebiges nat�rliches $p$.
$\oka$ sei hier die Garbe von Keimen holomorpher Funktionen auf einer Steinschen
Mannigfaltigkeit $\Omega$.   
Nach dem Satz von Oka (siehe z.B. \cite{Hoer}, Theorem 6.4.1)
 ist ${\cal F}$ eine koh�rente analytische Garbe.

Sei $(U_i)_{i\in I}$ eine  �berdeckung von $\Omega$ mit relativ kompakten,
Steinschen Gebieten in $\Omega$, wobei
es eine Schranke $M$ geben soll, so da� $U_i$ nicht von mehr als $M$ verschiedenen
Mengen aus $(U_i)_{i\in I}$ geschnitten wird.

Es sei $(A_{i,n})_{i\in I,n\in \N_0}$ ein System von holomorph konvexen kompakten Mengen in 
$\Omega$, so da� f�r jedes $i$ die Folge $(A_{i,n})_n$ eine Aussch�pfung von $U_i$ bildet.
Ohne Einschr�nkung sei $\Omega\subset \bigcup_{i\in I} \stackrel{\circ}{A}_{i,0}$ und 
$A_{i_1,0}\cap\ldots \cap A_{i_\sss,0}=\emptyset$ genau dann, wenn $U_{i_1}\cap\ldots
\cap U_{i_\sss}=\emptyset$. F�r $\alpha=(i_1,\ldots,i_\sss)$ sei $A_{\alpha,n}:=
A_{i_1,n}\cap\ldots \cap A_{i_\sss,n}$. 

Auf den Fr\'echetr�umen der holomorphen Funktionen auf $U_{i_0,\ldots,i_\sss}:= U_{i_0}\cap
\ldots\cap U_{i_\sss}$ ist jeweils eine Gradierung durch 
\[   \betrag{f}_{i_0,\ldots,i_\sss,n} := \ffb{A_{i_0,\ldots,i_\sss,n}}{f(z)}   \]
gegeben. 

Es sei f�r $\alpha\in I^{\sss+1}$, $\sss\ge 0$, jeweils $F^k_\alpha:=  l_1(H(U_\alpha))$, falls
$U_\alpha\not=\emptyset$ f�r 
$k=1,2,\ldots$. Hiebei tr�gt $F^k_\alpha$ die folgende Gradierung:
\[    \norm{\alpha,n}{(f_l)_{l\in \N}} := \sum_{l=1}^{\infty} \betrag{f_l}_{\alpha,n}\komma 
             n\in \N \punkt \]
F�r $k=0$ und $\alpha\in I^{\sss+1}$, $\sss\ge 0$ sei jeweils $F_\alpha^0=\Gamma(U_\alpha,\F)$
versehen mit der Gradierung, die sich durch die Suprema auf $(A_{\alpha,n})_n$ ergibt.

Im Fall  $U_\alpha=\emptyset$ sei $F^k_\alpha:=\{0\}$ f�r $k=0,1,2,\ldots$.

Sei also $S=(S_{k,\sss})_{k,\sss}$ mit $S_{k,\sss}:=\{F_\alpha^k, \alpha\in I^{\sss+1}\}$.

F�r die Indexmengen $I_\alpha$, $\alpha$ Multiindex, gilt dann $I_\alpha=\{i\in I\doppelpunkt U_\alpha\cap U_i
\not= \emptyset\}$. $I_\alpha$ ist also f�r jeden Multiindex $\alpha$ durch $M$ beschr�nkt
und es gilt $I_{\alpha,j}\subset I_\alpha$ f�r jeden Index $j\in I$ und jeden Multiindex 
$\alpha$.




 

F"ur $\alpha\in I^{\sss +1}$,  $\sss\ge 0$ mit $U_\alpha\not=\emptyset$ und $j\in \{0,\ldots,\sss\}$ 
sowie $k\ge 1$ sei 
\[   \iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}: l_1(H(U_{\alpha_j})) \to l_1(H(U_{\alpha}))   \]

diejenige Abbildung, die komponentenweise $H(U_{\alpha_j})$ in $H(U_{\alpha})$ einbettet.
Diese Abbildung ist stetig, linear und injektiv und es gilt:
\[   \norm{\alpha,n}{\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}(f_l)_{l\in \N} } \le 
                   \norm{\alpha_j,n}{(f_l)_{l\in \N} }   \punkt\]
Ist $U_\alpha=\emptyset$, dann soll $\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}$ komponentenweise aus
der Nullabbildung bestehen.




Ist  $k=0$, dann  sei f�r $\alpha\in I^{\sss +1}$, $\sss\ge 0$ mit $U_\alpha\not=\emptyset$
und $j\in \{1,\ldots,\sss\}$
\[    \iota_{\alpha_j}^{0,\alpha}: H_{U_{\alpha_j}}(\F) \to H_{U_{\alpha}}(\F)  \]

die Einschr�nkungsabbildung von Schnitten auf $U_{\alpha_j}$ zu Schnitten auf $U_{\alpha}$.
Die Topologie auf $H_U(\F)$ f�r ein offenes $U\subset \Omega$ wurde in Kapitel \ref{Kap5}
eingef�hrt.
Diese Abbildung ist stetig linear mit 
\[   \norm{\alpha,n}{\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}(f_l)_{l\in \N} } \le 
                   \norm{\alpha_j,n}{(f_l)_{l\in \N} }   \]
f�r alle $n\in \N$. $\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}$ ist ebenfalls injektiv, da ja
$\F\subset \oka^p$ vorausgesetzt ist.

Ist $U_\alpha=\emptyset$, dann soll auch $\iota_{\alpha_j}^{0,\alpha}$ komponentenweise aus
der Nullabbildung bestehen.

Die Eigenschaften \auslabeln{10.1.1} sind erf�llt, da die $\iota_{\alpha_j}^{k,\alpha}$
jeweils Einschr�nkungsabbildungen sind. 









Wir wollen zeigen, da� f�r $S$ die Eigenschaft (E1) gilt:

Wir setzen dazu $p_\alpha^k := p_k^{U_\alpha}$ f�r jedes $k\ge 0$ und $\alpha\in I^{\sss +1}$, $\sss\ge 0$,
 mit $ p^{U_\alpha}_k$ aus  Satz \auslabelnsatz{8.1}. Der Satz besagt gerade,
da� die Folge $(p^{U_\alpha}_k)_{k\in\N_0}$ mit absteigendem $k$ die in (E.1.1) 
geforderte exakte Sequenz bildet. 

Es gilt f�r $(\lambda_l)_l \in  l_1(H_{U_{\alpha_j}}(\oka))$ 
\[   p_\alpha^k\circ \iota_{\alpha_j}^{k+1,\alpha} ( (\lambda_l)_l) = 
                \sum_l \left[ \iota_{\alpha_j}^{k+1,\alpha} ( (\lambda_l)_l)\right]_l f_l^k\mid_{U_\alpha}
              =   \sum_l \lambda_l \mid_{U_\alpha} f_l^k\mid_{U_\alpha} 
              =   \iota_{\alpha_j}^{k+1,\alpha}\circ p_\alpha^k (( \lambda_l)_l)   \]
f�r $\alpha\in I^{\sss +1}$, $j=0,\ldots,\sss$, $k\ge 0$. Hierdurch wird (E.1.2) erf�llt. 

Die Eigenschaft (E.1.3) ist wegen \auslabeln{8.0.4} bzw. \auslabeln{8.0.5} erf�llt. 
(E.1.4) folgt aus 
  \auslabeln{8.0.1.2}.






Wir zeigen nun, da� auch Eigenschaft (E.2) f�r $S$ gilt.

Es sei f�r ein $\gamma>1$
\[ P_\gamma:= \{ \phi \in PSH(\Omega)\doppelpunkt \phi\ge 0\komma
        \sup_{U_i} \phi \le\gamma \inf_{U_i} \phi \mbox{ f�r jedes } i\in I\}\]
Wir setzen
\[   M_\gamma :=\{ [ (\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss +1}} ,
                   (\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss}}] \doppelpunkt
                     \phi\in P_\gamma \}   \]
Wir behaupten, da� zu jedem $\gamma>1$ die offensichtlich nicht leere
Menge $M_\gamma$ die Eigenschaften 1) bis 3) aus (E.2) besitzt:

{\sc dazu:} 

1) Sei $[C,C']\in M_\gamma$, dann gilt f�r alle $\alpha\in I^{\sss +1}$
beziehungsweise $\beta\in I^{\sss}$, da� $0<C_\alpha\le 1$ und $0<C'_\beta
\le 1$. Ist ferner $\alpha\in I^{\sss }$, dann gilt 
\[   C'_\alpha=\sup_{U_\alpha} e^{-\phi} \ge \sup_{U_\alpha\cap U_i} e^{-\phi} \]
f�r jedes $i\in I_\alpha$. Also gilt $C\prec C'$.

2) Ist $\theta>1$ und ist $[C,C']\in M_\gamma$, dann $[C^{\theta},{C'}^{\theta}]
\in M_\gamma$, denn $\theta\phi\in P_\gamma$.

3) Sei $[C, C']=[ (\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss +1}} ,
                   (\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss}}]\in M_\gamma$. 
Dann gilt f�r $C'':=(\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss +2}}$, da�
$[C'',C]\in M_\gamma$ ist.





Es sei $C_1:=(C_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ und $n\in \N$. Es sei 
$[C,C']\in M_\gamma$ und $c\in {\cal C}_n(S_{k,\sss},C\cdot C_1)$ mit 
$\delta^\sss c=0$.

F�r festes $\alpha\in I^{\sss +1}$ und $k\ge 1$ ist $c_\alpha=
(c_{\alpha,l})_{l\in \N}\in l_1(H(U_{\alpha}))$. Wir setzen $c^l:=
(c_{\alpha,l})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$. Jedes $c^l$ ist eine Kokette der L�nge
$\sss$ bez�glich der �berdeckung $(U_i)_{i\in I}$. $\delta^\sss c=0$ 
bedeutet gerade, da� $\delta^\sss c^l=0$ f�r jedes $l\in \N$.

Es gilt f�r jedes $n\in \N$ 
\formelohne{
        \infty > \dreinorm{2}{n,C\cdot C_1}{c}
             &=& \left(\sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
             C_\alpha C_{1,\alpha}   \sum_{l\in\N} \ffb{A_{\alpha,n}}{c_{\alpha,l}} \right)^2 \\ 
             &\ge& \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
             C_\alpha^2 C_{1,\alpha}^2   \left( \sum_{l\in\N} \ffb{A_{\alpha,n}}
                                          {c_{\alpha,l}}\right)^2  \\
             &\ge& \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
           \sum_{l\in\N}   C_\alpha^2 C_{1,\alpha}^2    \ffb{A_{\alpha,n}}
                                          {c_{\alpha,l}}^2  \punkt  }
Es sei  $\phi\in P_\gamma$ die zu $C$ geh�rige Funktion. Wir w�hlen eine 
plurisubharmonische Funktion auf $\Omega$, so da� f�r jedes $\alpha\in I^{\sss +1}$ auf
$U_{\alpha}$ 
\[   e^{\psi_1}\ge C_{1,\alpha}^{-2}\cdot D_\alpha  \]
gilt, wobei $D_\alpha:=\int_{U_{\alpha}}  d\Omega(z)$.

Also gilt
\formelohne{
     \norm{2\phi+\psi_1,n}{c^l}^2 &:= &  \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
                          \int_{A_{\alpha,n}^{\circ}} \betrag{c_{\alpha,l}}^2
                                       e^{-2\phi-\psi_1} d\Omega(z)  \\
                               &\le&   \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
                          D_\alpha \ffb{A_{\alpha,n}}{c_{\alpha,l}}^2  
                                 \sup_{A_{\alpha,n}}    e^{-2\phi-\psi_1} \\
                               &\le&   \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
                       C_\alpha^2 C_{1,\alpha}^2 \ffb{A_{\alpha,n}}{c_{\alpha,l}}^2<\infty}






Wir wenden nun das in Satz  \auslabelnsatz{3.6} gewonnene Theorem B mit 
Schranken f�r die Garbe $\oka=\H_0$ an auf  $n\in \N$ 
und die plurisubharmonische
Funktion $2\phi+ \psi_1$. Danach gibt es eine von $n$ unabh�ngige plurisubharmonische Funktion
$\psi_2$, so da� zu jeder holomorphen Kokette $c^l$ eine holomorphe Kokette ${c'}^l$ existiert mit 
$\delta^{\sss-1} {c'}^l = c^l$ und 
\[     \norm{2\phi +\psi_1 +\psi_2,n-1}{{c'}^l} \le \norm{2\phi+\psi_1,n}{c^l} \punkt\]

Bez�glich des Ma�es $e^{-\psi_1}d\Omega$ und einer jeweils festen offenen Umgebung
$\tilde{U}_\alpha$ von $A_{\alpha,n-2}$ mit $\tilde{U}_\alpha\subset\subset 
A_{\alpha,n-1}^{\circ}$, $\alpha\in I^{\sss }$ gibt es Konstanten $K_{\alpha,n}$,
$\alpha\in I^{\sss }$, so da� 
\[   \ffb{\tilde{U}_\alpha}{f(z)}^2 \le K_{\alpha,n} \int_{A_{\alpha,n-1}^{\circ}}
                 \betrag{f(z)}^2 e^{-\psi_1} d\Omega(z)   \]
f�r jedes $f\in H(A_{\alpha,n-1}^{\circ})\cap L_2(A_{\alpha,n-1}^{\circ}, 
e^{-\psi_1}d\Omega)$.







Es gilt daher
\formelohne{
    \norm{2\phi+\psi_1,n}{c^l}^2 &\ge& \norm{2\phi+\psi_1+\psi_2,n-1}{{c'}^l}^2
                = \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} \int_{A_{\alpha,n-1}^{\circ}}
                  \betrag{c'_{\alpha,l}}^2 e^{-2\phi-\psi_1-\psi_2} d\Omega \\
                              &\ge& \sum_{\alpha\in I^{\sss}} K_{\alpha,n-1}^{-1}
                  \inf_{A_{\alpha,n-1}} e^{-\psi_2} \inf_{A_{\alpha,n-1}} e^{-2\phi}
                            \ffb{A_{\alpha,n-2}}{{c'}_{\alpha,l}}^2  }
                          
Wir setzen $C_{2,\alpha}:=K^{-\frac{1}{2}}_{\alpha,n-1} \inf_{U_\alpha} e^{-
\frac{1}{2}\psi_2} n(\alpha)^{-1}$ mit einer Funktion $n: I^{\sss} \to \R^{+}$,
so da� \[ \sum_{\alpha\in I^{\sss}} n(\alpha)^{-2} \le 1\punkt \]

Es gilt f�r $\alpha\in I^{\sss }$
\[   {C'}_\alpha^{2\gamma}  = \sup_{U_\alpha} e^{-2\phi\gamma} = e^{-2(\inf_{U\alpha} \phi)
      \gamma} \le e^{-2\sup_{U_\alpha}\phi} = \inf_{U_\alpha}e^{-2\phi} \le \inf_{
      A_{\alpha,n-1}}e^{-2\phi} \punkt \]
Insgesamt folgt: \formelohne{
     \dreinorm{2}{n-2,{C'}^\gamma C_2}{c'}
   &=& \left( \sum_{\alpha\in I^{\sss }} {C'}_\alpha^\gamma C_{2,\alpha} 
               \sum_{l\in \N} \ffb{A_{\alpha,n-2}}{{c'}_{\alpha,l}}\right)^2  \\
   &\le& \left[ \sum_{l\in \N} \left( \sum_{\alpha\in I^{\sss }} n(\alpha)^{-2}
         \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sum_{\alpha\in I^{\sss }} K_{\alpha,n-1}^{-1}
         \inf_{U_\alpha} e^{-\psi_2} {C'}_\alpha^{2\gamma} 
            \ffb{A_{\alpha,n-2}}{{c}_{\alpha,l}}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \right]^2 \\
   &\le& \left[ \sum_{l\in \N} (
                 \norm{2\phi+\psi_1,n}{c^l}^2)^{\frac{1}{2}}\right]^2 \\
   &\le& \left[ \sum_{l\in \N} \left( \sum_{\alpha\in I^{\sss+1 }} 
         {C}_\alpha^2 C_{1,\alpha}^2 \ffb{A_{\alpha,n}}{{c}_{\alpha,l}}^2
                \right)^{\frac{1}{2}}  \right]^2  \\
   &\le& \left[ \sum_{l\in \N} \sum_{\alpha\in I^{\sss+1 }} 
         {C}_\alpha  C_{1,\alpha} \ffb{A_{\alpha,n}}{{c}_{\alpha,l}} \right]^2  \\
   &=&   \dreinorm{2}{n,{C} C_1}{c}             }
            
Damit ist nach Umnummerierung Eigenschaft (E.2) gezeigt.






Wir kommen nun zum Hauptergebnis dieses Abschnittes:

Sei $\Omega$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit und $\F$ eine lokal
endlich erzeugte Untergarbe von $\oka^p$ auf $\Omega$ f�r
irgendein nat�rliches $p$. Sei ferner $(U_i)_{i\in I}$ eine abz�hlbare Steinsche
�berdeckung von $\Omega$, wobei h�chstens $M$ paarweise verschiedene �berdeckungsmengen eine feste �berdeckungsmenge schneiden.

F�r jedes $\alpha\in I^{\sss +1}$, $\sss\ge 0$ wird durch erzeugende Schnitte
$\ffc{F}{q}\in \Gamma(\Omega,\F)$ eine Fr\'echetraum\-topo\-logie auf $\Gamma(U_\alpha,\F)$ induziert. Die
einzelnen Stufen werden durch eine kompakte holomorph konvexe Aus\-sch�pf\-ung
$(A_n)_n$ von $U_\alpha$ gegeben:
\[   \norm{\alpha,n}{f} := \inf_{f=\sum_{j=1}^q d_j F_j} \sum_{j=1}^q \ffb{
          A_n}{d_j}  \]
f�r $f\in \Gamma(U_\alpha,\F)$. Es gilt der folgende 

\begin{satzohnebeweis}{Satz}\einlabelnsatz{11.1} 
Sei f�r jedes $\alpha\in I^{\sss +1}$, $\sss\ge 0$, ein zu $(\normleer_{\alpha,n})_n$
�quivalentes Halbnormensystem $(\betragleer_{\alpha,n})_n$ gegeben auf
 $\Gamma(U_\alpha,\F)$ und sei $m\in \N$ fest gew�hlt. 

Dann gibt es zu jedem $\sss\ge 0$ ein Konstantensystem 
$(D_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss}}$, $0< D_\alpha \le 1$, so da� f�r jede auf 
$\Omega$ plurisubharmonische Funktion $\phi\ge 0$, f�r die es ein $\gamma>1$ gibt mit 
\[    \sup_{U_i} \phi \le \gamma\inf_{U_i} \phi \mbox{ f�r alle } i\in I\komma\]
               
das folgende gilt:

Zu jeder Kokette $c=(c_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$, $\sss\ge 0$, mit 
$c_\alpha\in \Gamma(U_\alpha,\F)$, $\delta^\sss c=0$ und
\formel{ 
     \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} \sup_{U_\alpha} e^{-\phi} \sup_n
         \betrag{c_\alpha}_{n,\alpha} < \infty   \einlabeln{11.1.1} }
gibt es eine Kokette $c':=({c'}_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss }}$
mit ${c'}_\alpha \in \Gamma(U_\alpha,\F)$, $\delta^{\sss-1} c'=c$ und 
\[   \sum_{\alpha\in I^{\sss }} D_\alpha \sup_{U_\alpha}{e^{-\gamma^M \phi}}
           \betrag{{c'}_\alpha}_{\alpha,m}  \le  \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
           \sup_{U_\alpha}{e^{-\phi}}  \sup_n  \betrag{c_\alpha}_{n,\alpha} \]
\end{satzohnebeweis}
{\sc Bemerkung:} Wegen Lemma \auslabelnsatz{7.0.1} sind die Supremumsnormen
in $H(U_\alpha)$ auf einer jeweiligen kompakten Aussch�pfung von $U_\alpha$
ein �quivalentes Halbnormensystem zu $(\normleer_{\alpha,n})_n$.

{\sc Beweis des Satzes:} F�r das in Kapitel \ref{Kap2} definierte System $S$ von Fr\'echetr�umen 
ist oben die Eigenschaft
(E) nachgewiesen worden. Wir wollen Satz \auslabelnsatz{10.3} f�r $S$ anwenden bez�glich der
�berdeckung $(U_i)_i$. Wir �bernehmen die Bezeichnungen aus Kapitel \ref{Kap2}









Wir k�nnen   ohne Einschr�nkung der 
Allgemeinheit annehmen, da� es zu einem festen $m$ ein
 $n\in \N$ und Konstanten $(K_{1,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ gibt, so da�
\[    K_{1,\alpha} \betrag{f}_{\alpha,m} \le \norm{\alpha,n-2(M+1)}{f}  \]
f�r jedes $f\in \Gamma(U_\alpha,\F)$ und jedes $\alpha\in I^{\sss+1}$.

Ferner gibt es $K_{2,\alpha}$, so da�
\[   K_{2,\alpha} \norm{\alpha,n}{f} \le \sup_k \betrag{f}_{\alpha,k} \]
f�r jedes $f\in \Gamma(U_\alpha,\F)$, f�r das die rechte Seite existiert.

Da $\phi\in P_\gamma$ ist $[C:=(\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss +1}},
C':=(\sup_{U_\alpha} e^{-\phi})_{\alpha\in I^{\sss }} ] \in M_\gamma$.
Es sei $C_1:=(K_{2,\alpha})_{\alpha\in I^{\sss +1}}$.

Sei also $c=(c_\alpha)_{\alpha\in I^{\sss +1}}$ mit $\delta^\sss c=0$ und 
\auslabeln{11.1.1}, dann folgt $c\in {\cal C}_n(S_{0,\sss},C\cdot C_1)$,
denn
\[   \dreinorm{}{n,C\cdot C_1}{c} = \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} C_\alpha
           C_{1,\alpha} \norm{\alpha,n}{c_\alpha}  \le  \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}}
            \sup_{U_\alpha} e^{-\phi} \sup_k\betrag{c_\alpha}_{\alpha,k} <\infty \]




Wir wenden Satz \auslabelnsatz{10.3} an und erhalten 
$c'\in {\cal C}_{n-2(M+1-\sss)}(S_{0,\sss-1},{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot C_2)$
mit $\delta^{\sss-1}c'=c$ und 
\[   \dreinorm{}{n-2(M+1-\sss),{C'}^{\gamma^{M-\sss}}\cdot C_2}{c'} \le
     \dreinorm{}{n,C\cdot C_1}{c} \punkt  \]
Hierbei ist das Konstantensystem $C_2$ unabh�ngig von $C$, $C'$ und $c$.
Wir setzen $D_\alpha:= C_{2,\alpha}\cdot K_{1,\alpha}$ f�r $\alpha\in I^{\sss }$ und
erhalten 
\formelohne{  
     \sum_{\alpha\in I^{\sss }} D_\alpha \sup_{U_\alpha} e^{-\gamma^M\phi} 
     \betrag{c_\alpha}_{\alpha,m}
  &\le& \sum_{\alpha\in I^{\sss }} C_{2,\alpha} {C'}^{\gamma^{M-\sss}} 
        \norm{\alpha,n-2(M+1-\sss)}{{c'}_\alpha}  \\
  &\le& \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} C_{1,\alpha} C_\alpha \norm{\alpha,n}{c_\alpha} \\
  &\le& \sum_{\alpha\in I^{\sss +1}} \sup_{U_\alpha} e^{-\phi} \sup_k 
          \betrag{c_\alpha}_{\alpha,k}  \punkt    }
Ende des Beweises $\Box$


\newpage
\section[{\sc Konstruktion einer �berdeckung des $\R^N$}]{Konstruktion 
einer �berdeckung des $\R^N$}

Wir zeigen in diesem Kapitel, da� es spezielle �berdeckungen des
$\R^N$ mit achsenparallelen Kuben gibt:

\begin{satzohnebeweis}{Proposition}\einlabelnsatz{14.1}
Gegeben sei eine stetige Funktion $\phi:\R^N \to \R^{+}$, dann gibt es 
eine abz�hlbare �berdeckung $(K_i)_{i\in I}$ mit achsenparallelen offenen Kuben 
der Seitenl�nge $s_i$, so da� folgendes erf�llt ist:
\be
\item[1)] $\phi(x)> s_i$ f�r jedes $x \in K_i$ und $i\in I$.
\item[2)] F�r jedes $i\in I$ ist die Anzahl der Elemente der Menge
   $\{  j\in I\doppelpunkt K_i\cap K_j\not=\emptyset \}$ durch die 
   Zahl $4^N - 2^N$ beschr�nkt.
\ee
\end{satzohnebeweis}





Sei $T\subset \{ f:\R^{+}_0 \to \R^{+}_0 $ beschr�nkt $\}$ durch folgendes
definiert:

Ist $f\in T$, dann gibt es eine Folge $0=t_0 < t_1 < t_2 <\ldots$ mit $t_k \nearrow \infty$,
so da�
\be
\item[1)] entweder
\ee
   \formel{ t_{k+1}-t_k = t_k - t_{k-1} \mbox{ oder } t_{k+1}-t_k = 
           \frac{1}{2}(t_k - t_{k-1})  \mbox{ gilt }\foralls k\in \N\komma 
          \einlabeln{14.1.0}}
\be
\item[2)] $f(x)=t_{k+1}-t_k$ f�r jedes $x\in [t_k,t_{k+1}[ $ und
          $k=0,1,\ldots$.
\ee



\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{14.2} Sei $(f_k)_k$ eine Folge
wie oben, dann gibt es
zu jedem $k\in\N$  ein $m\in \N$ und $n\in \N_0$, so da�
$t_k= m(t_k-t_{k-1})$ und $t_k-t_{k-1}= 2^{-n} (t_1-t_0)$

\end{satz}
Wir f�hren eine Induktion �ber $k$ durch. Der Induktionsanfang $k=1$ ist klar.
Sei die Behauptung f�r $k>1$ richtig. Dann gilt $m\,t_{k-1}=(m-1)t_k$. Ferner
gibt es ein $n\in \N$, so da� $t_k-t_{k-1}= 2^{-n} (t_1-t_0)$.

Ist im 1. Fall von \auslabeln{14.1.0} $t_{k+1}-t_k = t_k - t_{k-1}$, dann 
folgt zum einen $t_{k+1}-t_k=2^{-n} (t_1-t_0)$, zum anderen folgt
\[  mt_{k+1} = 2mt_k - mt_{k-1} = (2m - m+1)t_k  \]
also gilt
\[  (m+1)t_{k+1} = (m+1)t_k + t_{k+1} \punkt  \]

Im 2. Fall ist  $t_{k+1}-t_k = \frac{1}{2}(t_k - t_{k-1})$. Dann folgt zum
einen $t_{k+1}-t_k=2^{-(n+1)} (t_1-t_0)$, zum anderen folgt
\[ 2m t_{k+1} = 3mt_k - mt_{k-1} = (3m-m+1)t_k \]
also gilt
\[ (2m+1)t_{k+1} = (2m+1)t_k + t_{k+1}  \mbox{ \Ende} \]
 



\begin{satz}{Lemma}
Falls es ein $n_0\in \N$ gibt, so da� $t_1-t_0 = 2^{-n_0}$, dann gibt es zu 
jedem $l\in \N$ ein $k\in \N$, so da� $t_k=l$.
\end{satz}
Da $t_k\nearrow \infty$, gibt es ein $k\in \N$, so da� $t_{k-1}<l\le t_k$.
Nach Lemma \auslabelnsatz{14.2} gibt es $n,m\in \N$, so da�
$t_k=2^{-n}m$, sowie $t_k-t_{k-1} = 2^{-n}$. Hieraus folgt
$t_{k-1}=(m-1)2^{-n}$. Aus
\[   (m-1)2^{-n} < l\cdot 2^n 2^{-n} \le m \cdot2^{-n}   \]
folgt
\[ m-1<l \cdot 2^n \le m  \]
Also gilt $m=l\cdot 2^n$ und damit $t_k=2^{-n}l\, 2^n  = l $ \Ende





\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{14.4}
Sei $\phi :\R_0^{+} \to \R^{+}$ eine stetige Funktion, dann gibt es ein 
$f\in T$, mit $f<\phi $.
\end{satz}
Sei $\tilde{a}_k := \inf \{ \phi(x)\doppelpunkt x\in [k,k+1] \}$ und 
$a_k := \min \{ \tilde{a}_l \doppelpunkt l\le k\} \cup \{1\}$ jeweils f�r 
$k=0,1,2,\ldots$. Dann ist $(a_k)_k$ eine monoton fallende Folge positiver
Zahlen mit $a_0 \le 1$.

Wir konstruieren induktiv eine Folge $(t_k)_k$ mit \auslabeln{14.1.0}
und $t_k - t_{k-1} <a_l$, falls $t_k\in ]l,l+1]$.

Sei die Folge $(t_k)_k$ bereits konstruiert bis zu einem $t_K = l$ und 
sei $t_K - t_{K-1}<a_l$. 
Sei f�r $j\ge 1$ mit $t_{K+j} \le l+1$ 
\formel{
   t_{K+j} := \left\{ \begin{array}{l@{\mbox{ falls }}l}
   t_{K+j-1} + \frac{1}{2} (t_{K+j-1}-t_{K+j-2})\komma & t_{K+j-1}-t_{K+j-2} \ge a_{l+1} \\
   t_{K+j-1} + (t_{K+j-1}-t_{K+j-2})\komma & t_{K+j-1}-t_{K+j-2} < a_{l+1}
   \end{array} \right. \punkt  \einlabeln{14.4.1}}

Dann ist \auslabeln{14.1.0} erf�llt. Es ist klar, da� dann
\[  t_k - t_{k-1} \le t_K - t_{K-1} < a_l \foralls k\ge K \mbox{ mit }
t_k \le l+1 \mbox{ gilt.} \]
 

Es gibt ein $J$, so da� $t_{K+J}=l+1$. Wir zeigen, da� 
$t_{K+J}-t_{K+J-1} < a_{l+1}$ gilt:

Angenommen, es sei $t_{K+J}-t_{K+J-1} \ge a_{l+1}$, dann gilt f�r 
$t_{K+J-i}-t_{K+J-i-1} \ge a_{l+1}$ f�r jedes $1\le i\le J$.
Aus der Konstruktion in \auslabeln{14.4.1} folgt daher f�r
$1\le i\le J$
\[   t_{K+J-i}-t_{K+J-i-1} = 2^{-J+i} ( t_K-t_{K-1})  \]
Andererseits folgt wegen
\formelohne{
   1=t_{K+J} - t_K &=& \sum_{i=0}^{J-1} (t_{K+J-i}-t_{K+J-i-1}) \\
                   &=& (t_K-t_{K-1})\sum_{i=0}^{J-1} 2^{-J+i} \\
                   &<&  t_K-t_{K-1} <a_l \le 1  }
ein Widerspruch.

Der Induktionsschritt der Konstruktion ist damit gezeigt. F�r das
Intervall $[0,1]$ setzen wir $t_0=0$ und $t_1:=2^{-n_0}$, wobei
$2^{-n_0}<a_0$ gelten soll. Wir benutzen \auslabeln{14.4.1}, um
die weiteren $t_k$ bis zur Stelle $1$ zu konstruieren.

Sei $f(x):=t_k-t_{k-1}$ f�r $x\in [t_{k-1},t_k[$. $f$ ist in $T$
und $f(x)<\phi(x)$ f�r jedes $x\in \R_0^{+}$ \Ende









{\sc Beweis der Proposition:}
Wir setzen 
\formelohne{
    A_t     &:=& \{ x\in \R^N \doppelpunkt \betrag{x_j}\le t \foralls 1\le j\le N \}\\
    R_t     &:=& \partial A_t  \\
    \psi(t) &:=& \inf_{x\in R_t} \phi(x)  \punkt }
Da $\psi$ stetig ist, k�nnen wir Lemma \auslabelnsatz{14.4} anwenden.
Wir erhalten eine Folge $0=t_0<t_1<t_2<\ldots$ mit den genannten Eigenschaften.
Nach Lemma \auslabelnsatz{14.2} gibt es zu jedem $k\ge 1$ ein $m\in \N$,
so da� $t_k=m\cdot(t_k-t_{k-1})$. Daher l��t sich $A_{t_k}$ durch
exakt $(2m)^N$ achsenparallele abgeschlossene Kuben der Seitenl�nge
$(t_k-t_{k-1})$ �berdecken. Die Menge dieser Kuben sei mit $U_k$
bezeichnet.

F�r $K\in U_k$ gilt
\[   t_k-t_{k-1} < \phi(x) \foralls x \in K  \komma \]
denn wenn $t_k$ in $]l,l+1]$ liegt, dann folgt 
\[   t_k-t_{k-1} < a_l \le \inf_{t\in [0,l+1]}\psi(t) = 
     \inf_{x\in A_{l+1}}\phi(x) \le\inf_{x\in K}\phi(x) \]

Sei $W_k:=\{K\in U_k\doppelpunkt \stackrel{\circ}{K}\cap A_{t_{k-1}} =
\emptyset \}$. Dann sei $(L_i)_i$ eine Abz�hlung von $\bigcup_{k} W_k$.
Es ist leicht zu sehen, da� $\bigcup_i L_i =\R^N$.

Ist $l_i$ die Seitenl�nge von $L_i$, dann gilt ferner, da� $L_i\cap
L_j\not=\emptyset$ entweder $l_i=l_j$ oder $l_i=2l_j$ oder $l_j=2l_i$ impliziert,
denn ist $L_i\in W_k$, dann ist $L_j\in W_{k-1}\cup W_k\cup W_{k+1}$, wenn
$L_i\cap L_j\not=\emptyset$ ist.

Hieraus folgt wiederum, da� die Anzahl der Elemente in $J_i:=
\{ j\in I\doppelpunkt L_i\cap L_j\not=\emptyset \}$ durch
$4^N-2^N$ beschr�nkt ist.

Die gesuchte �berdeckung $(K_i)_{i\in I}$ erhalten wir durch
jeweilige Vergr��erung der  $L_i$ zu einem Kubus $K_i$ der
Seitenl�nge $s_i$ mit 
\be 
\item[1)] $\stackrel{\circ}{K}_i \supset L_i$,
\item[2)] $l_i<s_i< \inf_{x\in K_i}\phi(x)$ und 
\item[3)] $K_i\cap K_j\not=\emptyset$ nur dann, wenn $L_i\cap L_j\not=\emptyset$,
\ee
f�r alle $i,j\in I$ \Ende

\newpage
\section[{\sc Ein Fortsetzungssatz f�r holomorphe Funktionen}]{Ein 
Fortsetzungssatz f�r holomorphe Funktionen auf Steinschen
Mannigfaltigkeiten}

Als Anwendung von Satz \auslabelnsatz{11.1} zeigen wir den folgenden 
Fortsetzungssatz f�r holomorphe Funktionen 
auf Steinschen Untermannigfaltigkeiten des $\C^N$.

Sei $V$ eine abgeschlossene und damit Steinsche Untermannigfaltigkeit des $\C^N$. 
 Dann gilt der folgende 

\begin{satzohnebeweis}{Satz}\einlabelnsatz{12.1}
Zu jedem Kompaktum $K\subset \C^N$ und jedem $\gamma>1$ gibt es eine Konstante 
$B_{K,\gamma}$, so da�  f�r alle $f\in H(V)$,  und jede stetige Funktion $C_f:
\C^N\to \R_0^+$ das folgende �quivalent ist:
\be
\item[i)] Es gibt eine plurisubharmonische Funktion $\phi>0$ auf dem $\C^N$, so da�
\be
   \item[a)] $\log\betrag{f(z)} \le \phi(z)$ f�r jedes $z\in V$;
   \item[b)] $\sup_K\phi(z)\le \sup_{K\cap V} \log\betrag{f(z)} + \sup_K C_f(z)$
             f�r jedes $K\subset \C^N$ kompakt mit $K\cap V\not= \emptyset$ und 
             $K\supset\not= K_f:=\{z\in V\doppelpunkt \betrag{f(z)}\le 1\} $.
\ee
\item[ii)] F�r jedes $\gamma>1$ gilt: Zu jedem $m\in \N$ und jedem Kompaktum 
            $K_0\subset \C^N$ mit $K_0\cap V\not=\emptyset$ und 
           $K_0\supset\not= K_f$ gibt es eine ganze Funktion $F_{m,K_0}$, so da� 
\be
   \item[a)]$ F_{m,K_0}(z)=f^m(z)$ f�r jedes $z\in V$;
   \item[b)] $ \sup_K \betrag{F_{m,K_0}(z)} \le e^{B_{K,\gamma} + m\gamma\sup_K C_f } 
             \sup_{K\cap V} \betrag{f^m(z)}^\gamma $ f�r jede kompakte Menge
             $K_0\supseteq K\supset\not= K_f$ mit $K\cap V\not= \emptyset$.
\ee
\item[iii)] F�r jedes $\gamma>1$ gilt: Zu jedem $m\in \N$ gibt es eine ganze Funktion
$F_m$, so da�
\be
   \item[a)]$ F_{m}(z)=f^m(z)$ f�r jedes $z\in V$;
   \item[b)] $ \sup_K \betrag{F_{m}(z)} \le e^{B_{K,\gamma} + m\gamma\sup_K C_f } 
             \sup_{K\cap V} \betrag{f^m(z)}^\gamma $ f�r jede kompakte Menge
             $ K\supset\not= K_f$ mit $K\cap V\not= \emptyset$.
\ee
\ee
\end{satzohnebeweis}


Bevor wir mit dem Beweis des Satzes beginnen, ben�tigen wir zwei Lemmata:





\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{12.2}
Sei $X$ ein lokalkompakter, $\sss$-kompakter topologischer Raum. Sei 
$(K_n)_{n\in \N_0}$ eine kompakte Aussch�pfung von $X$ mit
$\stackrel{\circ}{K}_{n+1}\supset K_n$ f�r jedes $n\in \N_0$
 und $(\delta_n)_{n\in \N}$
eine monoton fallende Folge positiver Zahlen. Dann gibt es eine stetige positive
Funktion $\psi$ auf $X$, so da� f�r jedes $x\in X$ ein $n\in \N$ existiert mit
$\psi(x)\le \delta_n$ und $x\in K_n$. 
\end{satz}

Nach dem Lemma von Urysohn finden wir Funktionen $\phi_n:X\to[0,1]$,  $n\in \N$, so
da� $\phi_n(x)=1$ f�r $x\in K_{n-1}$ und $\phi_n(x)=0$ f�r $x\in X\backslash K_n$ (siehe
\cite{M-V}, Lemma 4.18). Sei $\psi_n:=\max(\delta_1\phi_1, \ldots,$ $ \delta_n\phi_n)$.
Dann gilt $\psi_n(x)\le \delta_j$ f�r jedes $x\in X\backslash K_{j-1}$, $j=1,\ldots,n$, und 
$\psi_n(x)\ge \delta_n$ f�r jedes $x\in K_{n-1}$. Es gilt f�r jedes $m\ge n$ und
jedes $x\in K_{n-1}$ daher $\psi_n(x)=\psi_m(x)$. Es wird also durch 
$\psi(x):=\lim_n\psi_n(x)$ auf $X$ eine stetige positive Funktion definiert mit
$\psi(x)=\psi_{n+1}(x)\le \delta_n$ f�r jedes $x\in K_n\backslash K_{n-1}$ \Ende




















%Sei $W$ eine offenen Umgebung von $V$, dann gibt es eine stetige positive Funktion 
%$\eta$ auf dem $\C^N$, so da� f�r jedes $z\in V$ die Kugel $B(z,\eta(z))$
%in $W$ liegt.

%Sei $\alpha(z):=\inf\{ \betrag{x-z}\doppelpunkt x\in W^c\}$ f�r $z\in V$.
%Damit ist $\alpha >0$. Es gibt eine stetige Funktion $\beta$ mit $0< \beta\le\alpha$ auf
%$V$. Da $K\cap V$ kompakt ist f�r jedes kompakte $K\subset \C^N$, gilt 
%$\inf_{K\cap V}\beta >0$.

%Wir w�hlen eine stetige Funktion $\eta$ auf dem $\C^N$ mit $\inf_K \eta
%\le \inf_{K\cap V} \beta$ f�r jedes Kompaktum $K\subset \C^N$.

%Sei $z\in V$ und $x\in B(z,\eta(z))$, dann folgt
%\[   \betrag{z-x}<\eta(z) \le \beta(z) \le \alpha(z) \]
%Hieraus folgt $x\in W$\Ende

%{\sc Bemerkung:} Sei $U\subset \C^N$ mit $\sup\{\betrag{x-y}\doppelpunkt x,y
%\in U\} < \inf_U \eta(z)$, $\eta$ aus Lemma \auslabelnsatz{12.2}
% und sei $U\cap V\not=\emptyset$, dann gilt $U\subset W$. 

%{\sc Beweis:} Sei $z_0\in U\cap V$. Wir zeigen $U\subset B(z_0,\eta(z_0))\subset
%W$. Angenommen, es g�be ein $z\in U$ mit $z\notin B(z_0,\eta(z_0))$,
%dann folgt
%\[   \betrag{z-z_0}\ge \eta(z_0) > \sup\{\betrag{x-y}\doppelpunkt x,y\in U\},\]
%was im Widerspruch zu $z,z_0\in U$ steht.





\begin{satz}{Lemma}\einlabelnsatz{12.3}
Sei $\gamma>1$, $\psi>0$ eine stetige reellwertige Funktion auf einer offenen Menge $\Omega
\subset \C^N$. Dann gibt es eine stetige reellwertige Funktion $\xi>0$ auf $\Omega$,
so da� f�r jedes relativ kompakte, offene $U\subset \Omega$ 
mit $\sup \{\betrag{x-y}\doppelpunkt
x,y\in U\} <\inf_U\xi(z)$ folgt
\[   \sup_U \psi \le \gamma \inf_U\psi  \]

\end{satz}

Zu jedem $K\subset\Omega$ kompakt w�hlen wir $r_K>0$, so da� $\betrag{\log\psi(x)-
\log\psi(y)} <\log \gamma$ f�r $x,y\in K$ mit $\betrag{x-y}<r_K$. 
Hieraus folgt $\frac{\psi(x)}{\psi(y)} < \gamma$ f�r $\betrag{x-y}<r_K$.

Sei $(K_n)_{n\in \N_0}$ eine kompakte Aussch�pfung von $\Omega$. Ohne
Einschr�nkung ist $r_n:=r_{K_n}$, $n\in \N$, eine monoton fallende Folge. Dann gibt
es nach Lemma \auslabelnsatz{12.2} eine stetige positive Funktion $\xi$ auf 
$\Omega$, so da� zu jedem $x\in \Omega$ ein $n\in \N$ existiert mit 
$\xi(x)\le r_n$ und $x\in K_n$. 

Sei $U\subset \Omega$ relativ kompakt mit $\diam(U):=\sup \{\betrag{x-y}\doppelpunkt
x,y\in U\} <\inf_U\xi(z)$. Sei $n\in \N$ so gew�hlt, da� $U\subset K_n$ und es gibt
ein $x\in U$ mit $x\not\in K_{n-1}$, dann folgt $\xi(x)\le r_n$. Also gilt
f�r alle $z,y\in U$, da� $\betrag{z-y}<\xi(x)\le r_{K_n}$. 
Daher folgt $\sup_U\psi \le \gamma \inf_u\psi$ \Ende



%Es gibt eine stetige Funktion $\xi$ auf $\Omega$ mit $\xi(z)<r_K$ f�r jedes $z\in
%K$. 

%Sei $U\subset \Omega$ relativ kompakt mit $\sup \{\betrag{x-y}\doppelpunkt
%x,y\in U\} <\inf_U\xi(z)$. $U\subset K$ f�r ein geeignetes Kompaktum $K\subset 
%\Omega$, dann folgt $\sup_U\psi \le \inf_U\psi$, da f�r alle $x,y\in U$
%$\betrag{x-y}<r_K$ gilt\Ende  












{\sc \bf Beweis von Satz \auslabelnsatz{12.1}:} Wir zeigen zun�chst die �quivalenz
von $ii)$ und $iii)$, wobei $iii)\Rightarrow ii)$ klar ist.

$ii)\Rightarrow iii)$: Sei $(K_n)_{n\in \N}$ eine kompakte Aussch�pfung des $\C^N$ mit
$K_1 \supset\not= K_f$ und $K_1\cap V\not= \emptyset$, dann ist
$(\betrag{F_{m,K_n}})_n$ eine  gleichm��ig auf Kompakta beschr�nkte Folge ganzer
Funktionen. Nach dem Satz von Stieltjes-Vitali in mehreren komplexen Ver�nderlichen
(siehe z.B. \cite{Hoer}, Corollary 2.2.5) gibt es eine ganze Funktion $F_m$, deren
Betrag ein H�ufungspunkt der obigen Folge ist. Damit erf�llt $F_m$ die Aussagen
iii), a) und iii), b).


$i)\Rightarrow ii)$: Wir nehmen zun�chst an, da� $\phi$ stetig ist und wenden Lemma 
\auslabelnsatz{12.3} auf $\phi$ an.

Es gibt eine offene Umgebung $W$ von $V$ im $\C^N$ und eine holomorphe 
Retraktionsabbildung $\pi:W\to V$ mit $\pi(z)=z$ f�r jedes $z\in V$ 
(siehe z.B. \cite{G-R}, Chap. VIII, Sec. C, Theorem 8).
 Allgemeiner als hier ben�tigt zeigt Siu in \cite{Siu}, Corollary 1, 
da� f�r jede komplexe Untermannigfaltigkeit $V$ einer Steinschen Mannigfaltigkeit
$\Omega$ ein holomorpher Retrakt von einer in $\Omega$ offenen Umgebung von $V$  auf 
$V$ existiert.

Sei $\gamma >1$. Wir wenden Lemma \auslabelnsatz{12.3} auf $\phi$, $\gamma$ und 
$W$ an und erhalten eine stetige positive Funktion $\xi$ auf $W$ mit den entsprechenden
Eigenschaften.

Sei f�r ein $U\subset W$ offen und relativ kompakt in $\C^N$ und $x\in U$ jeweils
$B_{x,U}$ die kleinste Kugel um $\pi(x)$, die $U$ enth�lt.

Es sei $K\subset V $ kompakt, $x_0\in K$ beliebig.
% Es gibt es zu jedem $K\subset V$ kompakt ein
%$\eps>0$, so da� f�r jedes $x_0\in K$ die Kugel $B_{\eps}(x_0)\cap V$ relativ
%kompakt in $V$ liegt.
Da $\xi $ stetig und positiv ist auf $W$, gibt es daher ein $\eps_K$, so da�
f�r jedes $y\in K\cup(B_{2\eps_K}(x_0)\cap V)$ gilt
$B_{2\eps_K}(y) \subset W$ und 
\[   \inf\{ \xi(x)\doppelpunkt x\in B_{2\eps_K}(y)\} \ge \frac{1}{2}\xi(y) \ge
     4\eps_K  \punkt \]


Andererseits gibt es ein $\delta_K$, so da� f�r jedes $x_0\in K$ gilt
\[   \betrag{\pi(x)-x}< \eps_K \foralls x\in B_{\delta_K}(x_0) \und \]
\[  \delta_K \le \eps_K  \mbox{ und  damit }\delta_K \le \xi(x_0)  \punkt \]

Sei $x_0\in K$ und $\eta $ eine stetige positive Funktion auf dem $\C^N$ mit
$\eta(x_0) \le \delta_K$. Dann gilt f�r jede offene zusammenh�ngende Umgebung
$U$ von $x_0$ in $W$ mit $\diam(U)<\inf_U \eta$, da� 
$U\subset B_{\delta_K}(x_0) $. Damit ist $\betrag{\pi(x)-x}<\eps_K$ f�r
jedes $x\in U$. Sei $y\in U$, dann ist 
\[  \diam(B_{y,U}) \le 2(\betrag{\pi(x)-x} + \diam(U)) \le 2(\eps_K + \delta_K)
    \le 4 \eps_K  \punkt \]

Da $\betrag{\pi(y)-x_0}<2\eps_K$, gilt $4\eps_K\le \frac{\xi(\pi(y))}{2}$. Also
folgt 
\[  \diam(B_{y,U})\le \inf\{ \xi(x)\doppelpunkt x\in B_{y,U} \}  \punkt \]

Sei nun $(K_n)_{n\in \N_0}$ eine kompakte Aussch�pfung von $V$ und $\delta_n:=
\delta_{K_n}$, dann gibt es nach Lemma \auslabelnsatz{12.2} eine 
stetige positive Funktion $\eta$ auf $V$, so da� zu jedem $x_0\in V$ ein
$n\in \N$ existiert mit $\eta(x_0)\le \delta_n$ und $x_0\in K_n$. Sei
$\tilde{\eta}$ eine positive stetige Funktion auf dem $\C^N$ mit
$\tilde{\eta}(x)=\eta(x)$ f�r jedes $x\in V$ nach dem Theorem von Tietze-Urysohn
(siehe z.B. \cite{Eng}, Theorem 2.1.8). Dann hat $\tilde{\eta}$ die Eigenschaft,  
 da� f�r eine offene zusammenh�ngende Menge $U\subset\C^N$, $U\cap V\not=\emptyset$
mit 
\formel{     \sup\{\betrag{x-y}\doppelpunkt x,y\in U\}< \inf_U\tilde{\eta}(z) 
\einlabeln{12.1.1}}
 schon
folgt $U\subset W$ und $ \sup\{ \betrag{z-y}\doppelpunkt z,y\in B_{x,U}\}
<\inf_{B_{x,U}}\xi(z)$ f�r
jedes $x\in U$.





Wir wenden Satz \auslabelnsatz{14.1} auf $\psi:=\frac{1}{\sqrt{2N}} \tilde{\eta} $ an und 
erhalten eine �berdeckung des $\C^N=\R^{2N}$ mit achsenparallen Kuben $(U_i)_{i\in I}$.

Ist $M:= 16^N-4^N$, dann haben h�chstens M paarweise verschiedene �berdeckungsmengen
aus $(U_i)_{i\in I}$ einen nichtleeren Schnitt mit einer festen �berdeckungsmenge aus
$(U_i)_{i\in I}$.








Es gilt $\sup\{ \betrag{x-y}\doppelpunkt x,y\in U_i\}<\inf_{U_i}\tilde{\eta}$ f�r jedes $i\in I$.
Hieraus folgt:
\be
\item[1)] Ist $U_i\cap V\not=\emptyset$, dann folgt $U_i\subset W$ f�r alle
        $i\in I$.

 
\item[2)] Ist $x\in U_i$ f�r ein $U_i$ mit $U_i\cap V\not=\emptyset$, dann folgt
         $\sup\{\betrag{z-y}\doppelpunkt z,y \in B_{x,U_i} \} < \inf_{B_{x,U_i}} \xi$.
         Mit Lemma \auslabelnsatz{12.3} folgt hieraus $\sup_{B_{x,U_i}} \phi\le
         \gamma \inf_{B_{x,U_i}} \phi$ f�r jedes $x\in U_i$.


 

             
\ee

Sei $U_i\cap V\not=\emptyset$ und  $x\in U_i$, dann folgt
\formelohne{ 
   \log\betrag{f(\pi(x))}  &\le& \phi(\pi(x)) \\
                           &\le& \sup_{B_{x,U_i}}\phi  \\
                           &\le& \gamma \inf_{B_{x,U_i}}\phi \\
                           &\le& \gamma \inf_{U_i} \phi }

Also folgt
\formel{ \sup_{U_i} \log\betrag{f(\pi(x))} \le \gamma \inf_{U_i}\phi }







Wir setzen
\[   f_i(x) := \left\{ \begin{array}{cl} 
               f(\pi(x)) & \komma \mbox{falls $ x\in U_i$ und $U_i\cap V\not=\emptyset$} \\
               0         & \komma \mbox{sonst}
               \end{array} \right.  \punkt \]
Sei ferner $f_{ij}(x):= f_i(x) - f_j(x)$ f�r alle $x\in U_{ij}:=U_i\cap U_j$,
$i,j\in I$, $U_i\cap U_j\not=\emptyset$.

Sei $J:=\{(i,j)\in I^2\doppelpunkt U_i\cap V\not=\emptyset \mbox{ und }
              U_j\cap V=\emptyset\mbox{ oder umgekehrt } \}$. 

Es gilt f�r $(i,j)\in J$
\[   \sup_{U_{ij}} \betrag{f_{ij}} \le \left\{
\begin{array}{cl} \sup_{U_i} \betrag{f(\pi(x))}\mbox{, falls } & U_i\cap V\not=\emptyset \\
                  \sup_{U_j} \betrag{f(\pi(x))}\mbox{, falls } & U_j\cap V\not=\emptyset
\end{array} \right. \punkt \]

Ist $(i,j)\in I^2\backslash J$, dann folgt $f_{ij}\equiv 0$.






Sei $h:I\to \R^{+}$ eine Funktion mit $\sum_{i\in I} h(i)\le 1$. Wir setzen $h_{ij}:=
\min(h(i),h(j))$ f�r $(i,j)\in I^2$.

Es folgt
\formelohne{
   \sum_{(i,j)\in I^2 \atop i\not=j} h_{ij} \sup_{U_{ij}} e^{-\gamma\phi}
                         \sup_{U_{ij}}\betrag{f_{ij}} 
   &=&   \sum_{(i,j)\in J} h_{ij} \sup_{U_{ij}} e^{-\gamma\phi} 
                         \sup_{U_{ij}}\betrag{f_{ij}} \\
   &\le& \sum_{i\in I \atop U_i\cap V\not=\emptyset} h(i) \sup_{U_i} e^{-\gamma\phi}
                         \sup_{U_i} \betrag{f(\pi(z))}\\
   &\le& \sum_{i\in I} h(i) \sup_{U_i} e^{-\gamma\phi} e^{\gamma \inf_{U_i}\phi} \\
   &\le& 1   }


Sei $\J_V$ die Garbe von Keimen holomorpher Funktionen, die auf $V$ verschwinden.
$\J_V$ ist eine analytische koh�rente Garbe
(siehe z.B. \cite{Hoer}, Theorem 6.5.2 i.V.m. Theorem 7.1.5).

Wir wenden nun Satz \auslabelnsatz{11.1} auf die Kokette $(f_{ij})_{(i,j)\in I^2}$ an.
Es gilt $f_{ij} \in \Gamma(U_{ij}, \J_V)$ und $\delta^1((f_{ij})_{ij}) =0$, denn
f�r $i,j,k\in I$ gilt $f_{ij} + f_{jk} - f_{ik} =0$ auf $U_i\cap U_j\cap U_k$.
\auslabeln{11.1.1} ist mit $\gamma \phi$ erf�llt. Sei $V_i\subset\subset U_i$, 
$i\in I$  jeweils eine offene holomorph konvexe Teilmenge und es gelte 
$\bigcup_{i\in I} V_i=\C^N$.

Satz \auslabelnsatz{11.1} liefert dann eine Kokette $(d_i)_{i\in I}$ mit $d_i \in \Gamma(
U_i, \J_V)$, $i\in I$ und $\delta^0((d_i)_i) = (f_{ij})_{ij}$ also
$d_i - d_j=f_{ij}$ auf $U_{ij}$ f�r alle $(i,j)\in I^2$.

Ferner liefert der Satz Konstanten $(D_i)_{i\in I}$ mit $0<D_i\le 1$, die unabh�ngig
von $\phi$ und $(f_{ij})_{ij}$ sind, so da� die folgende Absch�tzung gilt:

\[   \sum_{i\in I} D_i \sup_{U_i} e^{-\gamma^{M+1} \phi} \sup_{V_i} \betrag{d_i}
     \le \sum_{(i,j)\in I^2 \atop i\not=j} h_{ij} \sup_{U_{ij}} e^{-\gamma\phi}
                         \sup_{U_{ij}}\betrag{f_{ij}} \le 1   \]

Sei ohne Einschr�nkung $D_i\le h_i$ f�r alle $i\in I$.




Wir erhalten zu $f$ eine Fortsetzung $F$ auf dem $\C^N$, indem wir 
\[ F(z) := f_i(z) - d_i(z)  \] f�r jedes $z\in U_i$, $i\in I$, setzen.
$F$ ist wohldefiniert und ganz, denn es gilt $f_i(z) - d_i(z) = f_j(z) - d_j(z)$ 
auf jeder nichtleeren �berlappungsmenge $U_{ij}$.



Wir untersuchen nun $\sup_K\betrag{F(z)}$ f�r ein Kompaktum $K\subset \C^N$:

Sei $I_K:=\{ i\in I\doppelpunkt V_i\cap K\not=\emptyset \}$. $I_K$ ist endlich, 
denn angenommen, es gebe eine Folge $(i_j)_j$ paarweise verschiedener Indizes in $I_K$, dann
sei $(z_j)_j$ eine Folge von Punkten aus $K$ mit $z_j\in V_{i_j}$. Sei
$z\in K$ ein H�ufungspunkt von $(z_j)_j$, dann gibt es ein $l\in I_K$, so da�
$z\in V_l$. $V_l$ hat dann allerdings einen nichtleeren Schnitt mit mehr als endlich 
vielen $V_i$, $i\in I_K$, was ein Widerspruch zu der endlichen �berlappungsordnung
von $(V_i)_i$ ist.

Es gilt
\formelohne{
  \sup_K \betrag{F(z)}
  &\le& \sup_K \betrag{F(z)} \sup_{K} e^{-\gamma^{M+1}\phi} \sup_{K} e^{\gamma^{M+1}\phi}
               (\min_{i\in I_K} D_i)  (\min_{i\in I_K} D_i)^{-1}  \\
  &\le& \left( \sup_{K} e^{\gamma^{M+1}\phi} \right) (\min_{i\in I_K} D_i)^{-1}
           \sum_{i\in I_K} D_i \sup_{V_i} \betrag{F(z)} \sup_{V_i} e^{-\gamma^{M+1}\phi}\punkt }

Wegen
\formelohne{
   \sum_{i\in I_K} D_i \sup_{V_i} \betrag{f_i(z)-d_i(z)} \sup_{V_i} e^{-\gamma^{M+1}\phi}
   &\le& 1 + \sum_{i\in I_K} h_i \sup_{V_i} \betrag{f_i(z)}\sup_{V_i} e^{-\gamma^{M+1}\phi} \\
   &\le& 1 + \sum_{i\in I_K \atop V_i\cap V\not= \emptyset} h_i 
              e^{\gamma^{M+1}\inf_{U_i}\phi} e^{-\gamma^{M+1}\inf_{U_i}\phi} \\
   &\le& 2 }
erhalten wir mit $B_{K,\gamma}:=\log(2(\min_{i\in I_K} D_i)^{-1})$
\formel{
   \sup_K \betrag{F(z)} \le e^{B_{K,\gamma}}  \sup_{K} e^{\gamma^{M+1}\phi} \le 
          e^{B_{K,\gamma} + \gamma^{M+1} \sup_K C_f} \sup_{K\cap V}\betrag{f(z)}^{\gamma^{M+1}}\punkt }
Hierbei h�ngt die Konstante $B_{K,\gamma}$ nur von $K$, $\gamma$ und der gew�hlten �berdeckung 
$(U_i)_i$ ab. $M$ ist nur von $N$ abh�ngig.




Wir betrachten nun die Potenzen $f^m$, $m\in \N$.

Es gilt f�r jedes Kompaktum $K\supset\not= K_f$ mit $K\cap V\not=\emptyset$
\formelohne{
   \log\betrag{f^m(z)}   &\le& m\cdot \phi \mbox{ f�r jedes } z\in V \\
   \sup_K m\cdot \phi(z) &\le& \sup_{K\cap V} \log \betrag{f^m(z)} + m\sup_K C_f(z)\punkt }

Nach dem bisher Bewiesenen erhalten wir $F_m\in H(\C^N)$, $m\in \N$, mit 
\formel{\einlabeln{12.3.10}
  F_m                   &=&    f^m(z) \mbox{ f�r jedes $z\in V$ und } \\
  \sup_K\betrag{F_m(z)} &\le&  e^{B_{K,\gamma} + \gamma^{M+1}m \sup_K C_f} 
                           \sup_{K\cap V}\betrag{f^m(z)}^{\gamma^{M+1}}  
   } 
f�r jedes Kompaktum $K\supset \not= K_f$ mit 
$K\cap V \not= \emptyset$.



Sei jetzt $\phi$ eine beliebige plurisubharmonische Funktion, die i) erf�llt.
Dann w�hlen wir eine fallende Folge plurisubharmonischer $C^{\infty}$-Funktionen 
$(\phi_k)_{k\in \N}$,
die punktweise gegen $\phi$ strebt (siehe z.B. \cite{Klim}, Theorem 2.9.2). 

Es gibt  also nach Lemma \auslabelnsatz{12.2} 
stetige positive Funktionen $(G_k)_{k\in \N}$ auf dem $\C^N$, so da�
\[  \sup_K \phi_k \le \sup_{K\cap V}\log\betrag{f(z)} + \sup_K(C_f + G_k)  \]
f�r jedes Kompaktum $K\supset\not= K_f$ mit $K\cap V\not=\emptyset$, wobei
$\sup_K G_k \to 0$, falls $k\to\infty$. Wir erhalten also \auslabeln{12.3.10}
auch mit $C_f+G_k$ an Stelle von $C_f$.



Wenn wir abh�ngig von $K$  ein gen�gend gro�es $k$ w�hlen, erhalten
wir in Anwendung von \auslabeln{12.3.10} ein $F_{m,k}$, 
wobei $m\sup_K G_k$ durch ein weiteres
$\gamma$ abgefangen werden kann. 
Es gibt also f�r jedes $m\in \N$ ein $F_{m,K}\in H(\C^N)$ mit  
\formelohne{
  F_{m,K}                   &=&    f^m(z) \mbox{ f�r jedes $z\in V$ und } \\
  \sup_L\betrag{F_{m,K}(z)} &\le&  e^{B_{L,\gamma} + \gamma^{M+2}m \sup_L C_f} 
                           \sup_{L\cap V}\betrag{f^m(z)}^{\gamma^{M+2}}  }
 f�r jedes 
kompakte $L$ mit $K\supset L\supset\not= K_f$ und $L\cap V\not=\emptyset$.
                   
Da wir den Beweis f�r jedes $\gamma>1$ durchlaufen lassen k�nnen,
folgt $ii)$. 

$ii)\Rightarrow i)$: Wir w�hlen eine kompakte Aussch�pfung $(K_n)_{n\in \N}$ mit 
$K_1\supset K_f$ und $K_1\cap V\not=\emptyset$. Es sei $\phi_{m,n}:=
\log \betrag{F_{m,K_n}}$ f�r $n,m\in \N$, wobei das zugeh�rige $\gamma$ in ii) jeweils 
$1+\frac{1}{n} $ sein soll.

F�r ein $n\in \N$ ist die Funktion
\[   \phi_n(z):= \overline{\lim_{\zeta \to z}}\, \overline{\lim_{m}} \,
                 \frac{\phi_{m,n}(\zeta)}{m}  \]
plurisubharmonisch, denn die $(\phi_{n,m}/m)_m$ sind in $m$ lokal gleichm��ig
nach oben  beschr�nkte plurisubharmonische Funktionen 
(vergleiche Theorem 2.9.17 in \cite{Klim}).


Sei $K_n\supset K$ und $\stackrel{\circ}{K}\supset L$ f�r 
kompaktes $L$ und $L\supset\not= K_f$. Ist $z$ im Inneren 
von $K$, dann folgt
\[   \phi_n(z) \le  \overline{\lim_{m}} \, \sup_{\zeta\in K}
     \betrag{\phi_{m,n}(\zeta)/m} \le (1+\frac{1}{n}) \sup_K C_f + (1+\frac{1}{n})
     \sup_{K\cap V}\betrag{f}  \]
Wegen der Stetigkeit von $C_f$ und $\betrag{f}$ folgt
\[   \inf\{ (1+\frac{1}{n}) \sup_K C_f + (1+\frac{1}{n})\sup_{K\cap V}\betrag{f}
                    \doppelpunkt K\supset 
     L  \} = (1+\frac{1}{n}) \sup_{L} C_f + (1+\frac{1}{n})
                     \sup_{L\cap V}\betrag{f} \]
und damit
\[   \sup_{L} \phi_{n} \le (1+\frac{1}{n}) \sup_{L} C_f + 
                                  (1+\frac{1}{n})\sup_{L\cap V}\betrag{f} \punkt \]
Mit der gleichen Argumentation ist 
\[  \phi(z) := \overline{\lim_{\zeta \to z}}\, \overline{\lim_{n}} \, 
                 \phi_{n}(\zeta) \]
plurisubharmonisch und  es gilt f�r jedes  $K\subset \C^N$ kompakt mit 
$K\cap V\not= \emptyset$ und $K\supset\not= K_f$ 
\[  \sup_K\phi \le \sup_K C_f + \sup_{K\cap V} \log\betrag{f}  \punkt \]


Ferner gilt f�r $z\in V$
\[   \phi_n(z) \ge \overline{\lim_{\zeta \to z\atop \zeta\in V}} \,\overline{\lim_{m}}
     \frac{m\log\betrag{f(\zeta)}}{m} = \log\betrag{f(z)} \punkt \]
Hieraus folgt $\phi(z)\ge \log\betrag{f(z)}$ f�r jedes
$z\in V$ \Ende










F�r Anwendungen ziehen wir aus dem Beweis des Satzes \auslabelnsatz{12.1}
folgendes Ergebnis:




 
\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{12.4}
Seien $\phi_1>0$ und $\phi_2>0$ stetige plurisubharmonische Funktionen auf dem 
$\C^N$. Sei ferner $\gamma>1$ fest. Dann gibt es zu jedem Kompaktum $K$ eine Konstante
$B_K$, so da� zu jedem $f\in H(V)$ und jedem $\alpha >0$ mit 
\formel{
   \log \betrag{f(z)} \le \phi_1(z) +\alpha \phi_2(z) \mbox{ f�r jedes }z\in V   
\einlabeln{12.4.1}}

eine ganze Funktion $F$ existiert mit 
\be
\item[a)] $F(z)=f(z)$ f�r jedes $z\in V$,
\item[b)] $\sup_K \betrag{ F(z)} \le e^{B_K} e^{\gamma \sup_K \phi_1+ \alpha\phi_2}$ 
          f�r jedes Kompaktum $K$.
\ee
Hierbei h�ngt $B_K$ zwar von $\phi_1$ und $\phi_2$ ab, aber nicht von $\alpha$.
\end{satz}


Es gibt nach doppelter Anwendung von Lemma \auslabelnsatz{12.3} eine Funktion $\xi$,
so da� f�r jedes $U\subset \Omega$ mit 
\[ \sup \{ \betrag{x-y} \doppelpunkt x,y \in U\} < \inf_U \xi(z)  \]
folgt
\[  \sup_U \phi_1 \le \gamma \inf \phi_1 \mbox{ und } 
                     \sup_U \phi_2 \le \gamma \inf \phi_2  \punkt \] 
F�r solche $U$ gilt dann aber 
\formel{ 
     \sup_U (\phi_1 + \alpha\phi_2 )
   &\le& \sup_U \phi_1 + \sup_U \alpha\phi_2 \\
   &\le& \gamma \inf_U \phi_1 + \alpha\gamma\inf_U \phi_2  \\
   &\le& \gamma \inf_U (\phi_1 + \alpha\phi_2)   }
f�r jedes $\alpha\in \R_0^{+}$.

In dem Beweis zu Satz \auslabelnsatz{12.1} kann daher f�r jedes $\alpha>0$ die gleiche
�berdeckung $(U_i)_i$ gew�hlt werden.

Ist $f\in H(V)$ mit \auslabeln{12.4.1} gegeben, dann existiert nach \auslabeln{12.3.10}
f�r jedes $\gamma>1$ eine
ganze Funktion $F$ mit 

\[   \sup_K \betrag{F(z)} \le e^{B_{K,\gamma}} 
                         \sup_K e^{\gamma^{M+1} (\phi_1+\alpha\phi_2)}, \]
wobei $B_{K,\gamma}$ unabh�ngig von $f$ und $\alpha$ ist \Ende



\newpage
\section[{\sc Existenz eines linear zahmen 
Fortsetzungsoperators}]{Ein Kriterium f�r die Existenz eines linear zahmen 
Fortsetzungsoperators}
%\addtocontents{{\sc Ein Kriterium f�r die Existenz eines linear zahmen 
%Fortsetzungsoperators}}

Sei $V$ eine in den $\C^N$ eingebettete zusammenh�ngende abgeschlossene
Untermannigfaltigkeit. $\phi$ sei eine stetige plurisubharmonische 
Aussch�pfungsfunktion des $\C^N$ mit $\inf_{z\in V} \phi(z)<1$.

Sei 
\[  K_n:= \overline{\{z\in \C^N\doppelpunkt \phi(z) < n\} } 
             \mbox{ f�r }n\in \N \]
und 
\formelohne{
    \norm{n}{F} &:=& \sup_{z\in K_n}\betrag{F(z)}\mbox{ f�r } 
                        F\in H(\C^N) \mbox{ bzw. }  \\
    \betrag{f}_n &:=& \sup_{z\in K_n\cap V}\betrag{f(z)}\mbox{ f�r } 
                        f\in H(V)   }
Wir fixieren die Halbnormensysteme $(\normleer_n)_n$ und 
$(\betragleer_n)_n$ und behandeln $(H(\C^N),\normleer_n)$ bzw.
$(H(V),\betragleer_n)$ von nun an als gradierte Fr\'echetr�ume.








\begin{satzohnebeweis}{Definition}
Seien $(X,\normleer_n)$ und $(Y,\betragleer_n)$ gradierte Fr\'echetr�ume,
dann bezeichnen wir einen Operator $T:(X,\normleer_n)\to (Y,\betragleer_n)$
als linear zahm, falls es Konstanten $\alpha\in \N$ und $\beta\in \N_0$ gibt,
so da� zu jedem $k\in \N$ ein $C_k>0$ existiert mit
\[   \betrag{T(x)}_k \le C_k \norm{\alpha k + \beta}{x} \foralls x\in X \punkt\]

Kann $\alpha=1$ gew�hlt werden, so hei�t der Operator zahm.

Zwei gradierte Fr\'echetr�ume $X,Y$ hei�en linear zahm bzw. zahm isomorph
zueinander, falls es einen Isomorhismus $\Phi:X\to Y$ gibt, so da�
$\Phi$ und $\Phi^{-1}$ linear zahm bzw. zahm sind. Zwei Gradierungen
$(\betragleer_n)_n$ und $(\normleer_n)_n$ auf $X$ hei�en linear zahm
bzw. zahm �quivalent zueinander, falls die Identit�t $(X,\betragleer_n)\to
(X,\normleer_n)$ ein linear zahmer bzw. zahmer Isomorphismus ist.


\end{satzohnebeweis}


Die Restriktionsabbildung $R:(H(\C^N),\normleer_n)\to (H(V),\betragleer_n)$
ist ein zahmer Operator.




Sei $0\le a_0\le a_1\le \ldots$ eine wachsende Folge von Zahlen mit
$a_k \sim k^{\frac{1}{d}}$ f�r ein festes $d\in \N$, d.h. es
gibt eine Konstante $C>0$, so da� 
\[   \frac{1}{C} k^{\frac{1}{d}} \le a_k \le C k^{\frac{1}{d}} 
                   \foralls k\in \N \punkt \]

Der Potenzreihenraum unendlichen Typs, definiert durch 
\[   \Lambda_{\infty}(a_k) := \{ x\in \C^{\N_0}\doppelpunkt \norm{n}{x}^\infty := 
        \sum_{k=0}^{\infty} \betrag{x_k} e^{na_k} < \infty \}  \]
ist dann nuklear und zahm isomorph zu $\Lambda_\infty(k^{\frac{1}{d}})$ (vergleiche
hierzu \cite{M-V}, Satz 29.6).
%Au�erdem ist $\Lambda_{\infty}(a_k)$ shiftstabil, da� hei�t 
%(zahm) isomorph zu $L(a_k):=\Lambda_{\infty}(a_k)\oplus \C$

{\sc Bemerkung:} Ist $V$ eine Steinsche Mannigfaltigkeit der Dimension $d$
und ist $H(V)$ isomorph zu einem Potenzreihenraum unendlichen Typs 
$\Lambda_{\infty}(a_k) $, dann ist $a_k \sim k^{\frac{1}{d}}$ (siehe hierzu
z.B. \cite{Ayt2}, Proposition I.1).



\begin{satz}{Satz}\einlabelnsatz{13.1a}
Zu jedem linear zahmen Operator $T: (\Lambda_\infty(a_k),\normleer_n^\infty)\to
(H(V),\betragleer_n)$ gibt es ein linear zahmes Lifting $L:
(\Lambda_\infty(a_k),\normleer_n^\infty) \to (H(\C^N),\normleer_n)$ mit
$T=R\circ L$
\end{satz}







 

Sei $f_k := T e_k$, wobei $e_k$ der $k$-te Einheitsvektor in $\Lambda_{\infty}(a_k)$
sei, $k\in \N_0$. Dann folgt 
\[   \sup_{K_n\cap V}\betrag{f_k}\le C_n e^{(\alpha n + \beta)a_k} \]
f�r jedes $n\in \N$ und jedes $k\in \N_0$.

Wir w�hlen eine stetige plurisubharmonische Funktion $\phi_1$ auf dem
$\C^\N$, so da� f�r jedes $n\ge 2$ gilt
\[   \inf_{z\notin K_{n-1}} \phi_1(z) \ge \log C_n \und \phi_1(z) \ge \log C_1
              \foralls z\in \C^N \punkt \]
Ferner sei eine plurisubharmonische Funktion $\phi_2$ f�r jedes $z\in \C^N$
durch 
\[   \phi_2(z) := \max(\alpha(\phi(z) + 1) + \beta, \alpha+\beta )\]
definiert. F�r diese gilt
\[   \sup_{K_n} \phi_2 \le \alpha(n+1)+\beta \foralls n\in \N \punkt \]






Da wir Satz \auslabelnsatz{12.4} anwenden wollen bei festem $\gamma>1$, 
m�ssen wir \auslabeln{12.4.1} zeigen:

Sei $z\in (K_n\backslash K_{n-1})\cap V$, $n\ge 2$, dann folgt f�r jedes
$k\in \N_0$

\[   \log\betrag{f_k(z)} \le \sup_{K_n\cap V}\log\betrag{f_k} \le \log C_n
                                    + (\alpha n + \beta)a_k  \punkt\]

Andererseits ist f�r jedes $z\notin K_{n-1}\cap V$
\[  \phi_1(z) \ge \log C_n \und \phi_2(z) \ge \alpha((n-1)+1) +\beta \]

Ist $z\in K_1\cap V$, dann folgt
\[   \log\betrag{f_k(z)} \le \sup_{K_1\cap V}\log\betrag{f_k(z)} \le
     \log C_1 + (\alpha + \beta)a_k \le \phi_1(z) + a_k \phi_2(z) \]

Hieraus folgt insgesamt 
\[   \log \betrag{f_k(z)} \le \phi_1(z) + a_k \phi_2(z) \foralls z\in V \]

 Satz \auslabelnsatz{12.4} liefert also f�r jedes $k\in \N_0$ eine ganze Funktion $F_k$ mit
\be
\item[a)] $F_k(z) = f_k(z)$ f�r jedes $z\in V$, $k\in \N_0$,
\item[b)] $\sup_{K_n} \betrag{F_k(z)}\le e^{B_{K_n} + \gamma \sup_{K_n}( \phi_1
                                            + a_k\phi_2}) $ 
          f�r jedes $n\in \N$ und $k\in \N_0$.
\ee

Dies wenden wir f�r $\gamma=2$ an und erhalten eine Folge ganzer Funktionen
$(F_k)_k$ mit a) und b).

Wir setzen f�r eine Folge $(\lambda_k)_k \in \Lambda_\infty(a_k)$ 
\[   L((\lambda_k)_k):= \sum_{k=0}^\infty \lambda_k F_k \punkt \]







Durch die folgende Absch�tzung wird die Wohldefiniertheit und 
linear Zahmheit gleichzeitig gezeigt. Die Linearit�t von $L$ ist offensichtlich.
F�r jedes $n\in \N$ gilt 

\formelohne{
\norm{n}{L((\lambda_k)_k)}
               &=& \sup_{K_n} \betrag{\sum_{k=0}^\infty \lambda_k F_k} \\
               &\le& \sum_{k=0}^\infty \betrag{\lambda_k} 
                     e^{B_{K_n} + 2 \sup_{K_n} (\phi_1 + a_k\phi_2)} \\
               &\le& e^{B_{K_n}} e^{2\sup_{K_n} \phi_1}
                     \sum_{k=0}^\infty \betrag{\lambda_k} e^{2(\alpha(n+1) + \beta) a_k} \\
               &=&   D_n \norm{2\alpha n + 2(\alpha + \beta)}{(\lambda_k)_k}\punkt  }
   
Der Satz ist bewiesen \Ende
 



Wir zeigen nun das angek�ndigte Ergebnis: 

\begin{satz}{Korollar}\einlabelnsatz{13.2}
Ist $(H(V),\betragleer_n)$ linear zahm isomorph zu einem Potenzreihenraum unendlichen
Typs $\Lambda_\infty(a_k)$, dann gibt es einen linear zahmen Ausdehnungsoperator
$(H(V),\betragleer_n)\to (H(\C^N),\normleer_n)$.

\end{satz}
Sei $T: (\Lambda_\infty(a_k),\normleer_n^\infty)\to
(H(V),\betragleer_n)$ ein  linear zahmer Isomorphismus.

 Wir verwenden das im Beweis zu 
Satz \auslabelnsatz{13.1a} konstruierte linear zahme Lifting $L:
(\Lambda_\infty(a_k),\normleer_n^\infty) \to (H(\C^N),\normleer_n)$ mit
$T=R\circ L$. Wir setzen nun $E:=L\circ T^{-1}$. E ist daher linear zahm und 
es gilt 
\[   R\circ E( \sum_{k=0}^\infty \lambda_k f_k)=R\circ L((\lambda_k)_k)=
     R(\sum_{k=0}^\infty \lambda_k F_k)=\sum_{k=0}^\infty \lambda_k f_k\punkt \]
Also gilt $R\circ E=id_{H(V)}$ \Ende
 


           



\newpage
\section[{\sc Konvexit�t plurisubharmonischer Funktionen}]{Konvexit�t
plurisubharmonischer Funktionen auf abgeschlos\-senen
Untermannigfaltigkeiten des $\C^N$} \label{Kap10}

In diesem Kapitel wollen wir die Konvexit�t plurisubharmonischer Funktionen
auf Steinschen Untermannigfaltigkeiten $V$ des $\C^N$ untersuchen und zwar relativ
zu den Kugeln im $\C^N$ mit Radius $r$ und Mittelpunkt im Ursprung.

%Wir werden die plurisubharmonischen Funktionen auf $V$ als Hartogsfunktionen
%darstellen und Satz \auslabelnsatz{} verwenden, um eine Art Fortsetzung auf
%en $\C^N$ zu konstruieren. 

Wir werden die Algebraizit�t von $V$ in einen Zusammenhang mit der Qualit�t der 
Konvexit�t plurisubharmonischer Funktionen auf $V$  bringen.

Ausgehend von der Existenz eines linear zahmen Ausdehnungsoperators 
verwenden wir die Argumentation von A. Aytuna in \cite{Ayt3}, um eine
Konvexit�tsbedingung f�r plurisubharmonische Funktionen auf $V$ herzuleiten.
W�hrend A. Aytuna direkt die zur Algebraizit�t von $V$ �quivalente 
Bedingung von A. Sadullaev (siehe \cite{S1}, Theorem 2.2, bzw. Kapitel 1) zeigt,
werden wir hier ferner zeigen, da� die Bedingung von A. Sadullaev �quivalent zu der
angesprochenen Konvexit�tsbedingung f�r plurisubharmonische Funktionen auf $V$
ist. 

Wir ben�tigen zun�chst das folgende Lemma (siehe \cite{Rock}, Corollary 17.1.5),
das direkt aus dem 
Satz �ber konvexe H�llen von Caratheodory  folgt (siehe \cite{Rock}, Theorem 17.1).

Hier k�nnen wir uns auf die Situation in der reellen Ebene beschr�nken:

\begin{satzohnebeweis}{Lemma}\einlabelnsatz{16.1} 
Sei $f:\R^+_0\to \R$ eine monoton wachsende Funktion und sei $E:=\{
(x,f(x))\doppelpunkt x\in \R^+_0 \}$. $ch(E)$ sei die konvexe H�lle
von $E$. Sei ferner $h(x):= \inf\{ y\doppelpunkt (x,y)\in ch(E)\}$.
Dann ist $h$ eine konvexe Funktion und es gilt 
\[   h(x)=\inf\{ \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)\doppelpunkt x=\lambda x_1
+(1-\lambda)x_2\komma \lambda\in [0,1]\komma x_1,x_2\in \R^+_0 \}   \]
\end{satzohnebeweis}

Hieraus folgt eine Aussage �ber eine schwache Form von Konvexit�t:

\begin{satz}{Proposition}\einlabelnsatz{16.2}
Sei $f:\R^+_0\to \R$ eine monoton wachsende Funktion und seien
$a,b\in \R^+_0$, $a\ge 1$. Dann sind �quivalent:

\begin{enumerate}
\item[1)] $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(ax_1+b) + (1-\lambda)f(ax_2 + b)$ f�r alle
$\lambda \in [0,1]$, $x_1,x_2\in \R^+_0$.
\item[2)] Es gibt ein konvexe Funktion $h$, so da� 
\formelohne{   h(x)&\le& f(x) \mbox{ f�r alle } x\ge 0 \mbox{ und } \\
       f(x)&\le& h(ax+b) \mbox{ f�r alle } x\ge 0\punkt }
\end{enumerate}
\end{satz}
%\begin{enumerate}
 2)$\Rightarrow$1): Sei $x_1,x_2\in \R^+_0$ und $\lambda\in [0,1]$, dann gilt
\formelohne{ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) 
     &\le& h(a(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)+b) \\
     &\le& \lambda h(ax_1+b) + (1-\lambda)h(ax_2+b) \\
     &\le& \lambda f(ax_1+b) + (1-\lambda)f(ax_2+b) \punkt }
 1)$\Rightarrow$2):
Wir w�hlen zu $f$ die Funktion $h$ aus Lemma \auslabelnsatz{16.1}. $h$ ist
konvex und liegt unterhalb von $f$. Sei $x\in \R^+_0$ fest. Ist $\eps>0$, dann 
k�nnen wir nach Lemma \auslabelnsatz{16.1} $x_1,x_2\in \R^+_0$ w�hlen, so da�
$ax+b=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ und $\lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)\le h(ax+b)+\eps$.
Wegen 1) ist 
\formelohne{ \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)
   &\ge & f(\lambda(\frac{x_1-b}{a}) + (1-\lambda) (\frac{x_2-b}{a})) \\
   &= & f(x) \punkt } 
F�r $\eps\searrow 0$ erhalten wir $f(x)\le h(ax+b)$. Da $x\in \R^+_0$ 
beliebig gew�hlt war, folgt 2) \Ende
%\end{enumerate}









Sei $\Phi\in PSH(\C^N)$, dann sei $M_{\Phi}(r):=\sup \{ \Phi(z)\doppelpunkt
\betrag{z}=e^r \}$ f�r $r\in \R^+_0$. $M_{\Phi}(r)$ ist eine konvexe 
wachsende Funktion nach dem Hadamarschen Drei-Kreise-Satz f�r plurisubharmonische
Funktionen (siehe z.B. \cite{Hoer1}, Theorem 4.1.13).

Sei $V$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\C^N$ und sei
durch die Spuren der Kugeln $B_r:=\{ z\in \C^N\doppelpunkt \betrag{z}<e^r\}$, 
$r\in \R^+_0$,
auf $V$ eine Gradierung $\norm{n}{f}:=\sup_{B_n\cap V} \betrag{f}$, $n\in \N$,
$f\in H(V)$, f�r $H(V)$ gegeben.

Es gilt der folgende Satz:

 


\begin{satz}{Satz} \einlabelnsatz{16.3}
Sei $E:H(V) \to H(\C^N)$ ein linear zahmer Ausdehnungsoperator, d.h. es
gebe $a,b\in \N_0$, $a\ge 1$, so da� f�r alle $n\in \N$ ein $C_n>0$ existiert mit
\formel{  \sup_{B_n} \betrag{E(f)(z)} \le C_n \norm{an+b}{f} \foralls f\in H(V)
        \einlabeln{16.3.1}\punkt }
Dann gibt es zu jedem $\phi\in PSH(V)$ ein $\Phi\in PSH(\C^N)$ mit 
\formelohne{  \sup_{B_r\cap V} \phi(z) &\le& M_{\Phi}(r) \mbox{ und } \\
      M_{\Phi}(r) &\le& \sup_{B_{ar+a+b}\cap V} \phi(z) \foralls r\ge 0 \punkt }
\end{satz}



Jedes $\psi\in PSH(\C^N)$ besitzt nach einem Ergebnis von Bremermann (\cite{Brem},
Theorem 2)
eine Hartogsdarstellung auf dem $\C^N$ 
\[    \psi(z)= \overline{\lim_n}\,  \frac{\log\betrag{f_n(z)}}{c_n} \mbox{ mit }
      f_n \in H(\C^N) \foralls n\in \N \punkt \]
Ohne Einschr�nkung gilt $c_n\nearrow \infty$. Der Fortsetzungssatz f�r 
plurisubharmonische Funktionen auf einer abgeschlossenen komplexen Untermannigfaltigkeit
des $\C^N$ von Sadullaev (siehe \cite{S-C}, Theorem 1.1) zeigt, da� auch
jedes $\phi\in PSH(V)$ eine Hartogsdarstellung
\formel{    \phi(z)= \overline{\lim_n}\, \frac{\log\betrag{f_n(z)}}{c_n} \mbox{ mit }
      f_n \in H(V) \foralls n\in \N \einlabeln{16.3.2} }
besitzt. Sei also $\phi\in PSH(V)$ mit einer Darstellung wie in \auslabeln{16.3.2}
gegeben. 

Wir zeigen, da� $\{ \frac{\log\betrag{E(f_n)}}{c_n} \doppelpunkt n\in \N \} $ eine
lokal gleichm��ig beschr�nkte Familie ist.

Sei $D_r:=\sup_{B_r\cap V} \phi(z)$, $r\ge 0$. Nach dem Hartogslemma
(siehe z.B. \cite{S1}, Theorem 1.4) gibt es zu jedem $\eps>0$ und 
jedem $r'<r$ ein $n_0$, so da� f�r alle $n\ge n_0$
\[   \sup_{B_{r'}\cap V} \frac{\log\betrag{f_n(z)}}{c_n} \le D_r + \eps\punkt \]

Wir setzen $b':=a+b$. F�r jedes $r\in \R^+_0$ liefert \auslabeln{16.3.1} f�r
jedes $f\in H(V)$ die Absch�tzung
\[   \sup_{B_r} \betrag{E(f)(z)} \le C_r \norm{ar+b'}{f} \komma \]
wobei $C_r=C_m$ f�r $m-1\le r\le m$ ist.

Wir erhalten zu jedem $\eps>0$ und jedem $r'<r$ ein $n_0$, so da� f�r
$n\ge n_0$ gilt
\formelohne{  \sup_{B_{r'}}\frac{\log\betrag{E(f_n)(z)}}{c_n}
     &\le& \frac{\log C_{r'}}{c_n} + \sup_{ B_{ar'+b'}\cap V}
                        \frac{\log\betrag{f_n(z)}}{c_n}   \\
     &\le& \frac{\log C_{r'}}{c_n} + D_{ar+b'} + \eps \punkt } 





Also ist $\{ \frac{\log\betrag{E(f_n)}}{c_n} \doppelpunkt n\in \N \} $  eine
lokal gleichm��ig beschr�nkte Familie. Daher ist 
\[   \Phi(z):= \overline{\lim_{\zeta\to z}}\, \overline{\lim_n}\, \frac{\log\betrag{E(f_n)(\zeta)}}{c_n}\]
eine plurisubharmonische Funktion auf dem $\C^N$ (siehe z.B. \cite{Klim}, Theorem
2.9.17).


F�r $r'<r''<r$ und jedes $\eps >0$ gilt dann
\formelohne{  M_{\Phi}(r')  
   &\le& \sup \{ \Phi(z)\doppelpunkt \betrag{z} < e^{r''} \}  \\
   &\le& \sup_{B_{r''}} \overline{\lim_n} \frac{\log\betrag{E(f_n)(z)}}{c_n} \\
   &\le& \overline{\lim_n}\, ( \frac{\log C_{r''}}{c_n} + D_{ar+b'} + \eps) \\
   &=&   D_{ar+b'} + \eps \punkt}

Da $M_{\Phi}(r)$ stetig ist in $r$, folgt insgesamt $M_{\Phi}(r)\le 
\sup_{B_{ar+a+b}\cap V} \phi(z)$.



Wegen des Maximumprinzips f�r plurisubharmonische Funktionen auf $V$ gilt
umgekehrt auch $\sup_{B_r\cap V} \phi(z) \le M_{\Phi}(r)$ f�r $r>0$ \Ende 

Man beachte, da� wegen der Regularisierung zwar $\phi(z)\le\Phi(z)$ f�r jedes
$z\in V$, aber nicht notwendig $\phi(z)=\Phi(z)$ gilt.





Sei f�r ein $\phi\in PSH(V)$ eine Funktion $m_{\phi} :\R^+_0\to \R$ durch
$ m_{\phi}(r):= \sup_{B_r\cap V} \phi(z)$ definiert, wobei wie oben 
$B_r:=\{ z\in \C^N\doppelpunkt \betrag{z}<e^r\}$ sei.

Kombiniert mit Proposition \auslabelnsatz{16.2} ergibt sich



\begin{satzohnebeweis}{Satz} \einlabelnsatz{16.4}
Unter den Voraussetzungen von Satz \auslabelnsatz{16.3} gilt  
f�r jedes $\phi\in PSH(V)$ und jedes $\lambda\in [0,1]$, sowie
jedes $r_1,r_2\in \R^+_0$
\formel{   m_{\phi}(\lambda r_1 + (1-\lambda)r_2) \le \lambda m_{\phi}(ar_1 + b') + (1-\lambda)
     m_{\phi}(ar_2+b')  \komma \einlabeln{16.4.1} }
wobei $a,b$ aus Satz \auslabelnsatz{16.3} sind und $b'=a+b$.
\end{satzohnebeweis}

  
Wir zeigen nun, da� aus \auslabeln{16.4.1} bereits folgt, da� $V$ algebraisch ist.

\begin{satz}{Satz} \einlabelnsatz{16.5}
Sei $V$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\C^N$ und f�r
jede plurisubharmonische Funktion auf $V$ gelte \auslabeln{16.4.1}, dann
ist $V$ algebraisch.
\end{satz}

Wir zeigen, da� die Siciaksche Extremalfunktion $S(z,K)$ f�r mindestens ein
Kompaktum $K\subset V$ lokal beschr�nkt ist auf $V$.
Dann k�nnen wir ein Ergebnis von Sadullaev anwenden, nach dem dann und nur dann
$V$ algebraisch ist. Sadullaevs Ergebnis ist allgemeiner als hier
ben�tigt, es erfa�t  n�mlich auch  
Variet�ten, die singul�re Punkte besitzen (\cite{S1}, Theorem 2.2).

$S(z,K)$ ist f�r ein Kompaktum $K\subset V$ wie folgt definiert:

\[  S(z,K):= \overline{\lim_{\zeta\to z}}\, \sup\{ u(\zeta)\doppelpunkt u\le 0 \mbox{ auf }
      K \komma u\in L\} \komma  \]
wobei
\[  L:=\{ u\in PSH(\C^N)\doppelpunkt \mbox{ es gibt } \alpha=\alpha(u)\doppelpunkt
       u(z)\le \log(1+\betrag{z}) + \alpha \foralls z\in \C^N \} \punkt \]

Sei $u\in L$, $u\le 0$ auf $\overline{B_0\cap V}$. Sei $\phi:=u\mid_{\textstyle V}$. 
Aus Proposition \auslabelnsatz{16.2} folgt die Existenz einer
konvexen Funktion $h$, so da� $h(r)\le m_{\phi}(r)$ und $m_{\phi}(r)\le 
h(ar+b)$ f�r alle $r\ge 0$.
Also ist
\formelohne{ h(r) &\le& \sup\{ \log(1+\betrag{z}) + \alpha(u) \doppelpunkt 
    \betrag{z}< e^r \}  \\
   &\le& \log(1+e^r) + \alpha(u)  \\
   &\le& r + \alpha(u) + \log 2 }
f�r $r\ge 0$.

Damit ist $h$ eine lineare Funktion mit Steigung kleiner
oder gleich 1 auf $\R^+_0$ und wegen
$h(0)\le m_{\phi}(0)\le 0$ liegt $h$ unterhalb der Identit�t $\R^+_0 \to \R^+_0$.

Ist $z\in V$, dann w�hlen wir $r\ge 0$, so da� $z\in B_r\cap V$.
Also gilt 
\[  u(\zeta) = \phi(\zeta) \le m_{\phi}(r) \le h(ar +b) \le ar +b \]
f�r alle $\zeta\in V$ nahe $z$. Damit ist $S(z,\overline{B_0\cap V})$ lokal
beschr�nkt in $V$ \Ende





\newpage \addcontentsline{toc}{section}{\sc Literatur}
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math0202263.extracted_bib
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