Doubles m�langes des polylogarithmes multiples aux racines de l'unit�
Georges Racinet
Les valeurs des fonctions polyz�tas aux entiers strictement positifs fournissent une solution au syst�me d'�quations des associateurs de Drinfel'd, aux nombreuses applications en alg�bre quantique. Vues comme int�grales it�r�es, ce sont les p�riodes du groupo�de fondamental motivique de $\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$, d'o� un syst�me fondamental de relations alg�briques, qui implique celui des associateurs mais n'est pas explicite. On �tudie ici la combinatoire d'un autre syst�me de relations, les doubles m�langes, qui provient de manipulations �l�mentaires de s�ries et d'int�grales. On montre qu'il partage une propri�t� importante avec les associateurs et les relations \og{}motiviques\fg{}, est cons�quence de ces derni�res et d�finit une alg�bre de polyn�mes sur $\mathbb{Q}$ (th�or�me d'�calle). On obtient ces r�sultats pour les nombres plus g�n�raux que sont les polylogarithmes multiples aux racines de l'unit� de Goncharov.
MT.tex
%Pour pouvoir modifier a loisir les notations...
\def\mon{\text{\sf M}}
\def\MTG{\text{\sf E}}
\def\MTD{\text{\sf F}}
\def\MTS{\text{\sf S}}
\def\homp#1#2{\hom{\Pi(\k)}{#1}{#2}} % petite abrev pour eviter problemes 
				      % de convention sur ordre des facteurs.
	
\subsection{Le groupe $\MT$}\label{subsec_MT}
On d�crit ici, suivant \vdeux{}{la pr�sentation de }\cite{Del01},
le groupe par lequel se factorise l'action du groupe motivique $\UC_\gr$ 
sur $\pi_1(\Punrac{n})$.
\vdeux{}{Diff�rentes variantes de ces formules apparaissent dans la
litt�rature, provenant de la composition des  automorphismes 
(ext�rieurs s'il y a des probl�mes d'invariance de points-base) 
\og{}sp�ciaux\fg{} de $\pi_1(\Punrac{n})$, �quivariants pour certaines 
sym�tries. On ne fait ici que les consid�rer dans un domaine maximal 
de d�finition.} 
 

\sss{Premi�res d�finitions} 
Soit $\Pi(\k)$ la cat�gorie dont les objets sont $O_\s$, pour $\s\in\GZ$ et 
avec $\homp{O_\s}{O_\t}=\sernc{\k}{\XB}$, 
la composition des fl�ches 
�tant la multiplication des s�ries. Un �l�ment $G$ de $\sernc{\k}{\XB}$ sera
not� $G_{\t,\s}$ lorsqu'il est vu dans $\homp{O_\s}{O_\t}$. 

Pour $\s\in\G$, notons $t_\s$ la substitution $x_\nu\mapsto x_{\s\nu}$ de 
$\sernc{\k}{\XB}$. Soit $C_\s$ l'endofoncteur de $\CC(\k)$ 
donn� sur les objets par $O_\nu\mapsto O_{\s\nu}$ et 
sur les fl�ches par $t_\s$.   

\vdeux{}{Dans le cas $\G=\mub_n$, 
la cat�gorie $\Pi(\k)$ est la $\k$-alg�bre du groupo�de fondamental de 
$\Punrac{n}$, en r�alisation \og{}gradu�e\fg{}. Les $\k$-points de ce dernier 
forment la sous-cat�gorie dont les fl�ches sont les exponentielles 
de Lie. Les $C_\s$ proviennent de l'action de $\mu_n$ sur $\Punrac{n}$ par
rotations.} 



Soit $\MTG(\k)$ l'ensemble des endofoncteurs
de $\Pi(\k)$ agissant trivialement sur les objets, de mani�re $\k$-lin�aire 
et continue sur les fl�ches, qui fixent les $(x_\s)_{\s,\s}$ et qui commutent
aux $C_\s$. � $\FC\in\MTG(\k)$, faisons correspondre l'�l�ment 
$\Phi(\FC)=\FC(1_{1,0})$. 
On d�finit ainsi une application de $\MTG(\k)$ dans $\sernc{\k}{\XB}$. 

\sss{}
Fixons $\FC\in\MTG(\k)$. Comme les fl�ches $1_{0,1}$ et $1_{1,0}$ sont 
inverses l'une de l'autre, $\Phi(\FC)$, on voit que $\FC(1_{0,1})$ est
l'inverse de $\Phi(\FC)$. Pour $\s\in\G$, de $C_\s(1_{1,0})=1_{\s,0}$ d�coule
$\FC(1_{\s,0})=t_\s(\Phi(\FC))$. 

Soit $\kappa_G$ la substitution  
$x_\s\mapsto t_\s(\Phi(\FC))x_\s [t_\s(\Phi(\FC))]^{-1}$, $x_0\mapsto x_0$. 
L'action de $\FC$ sur $\endo{\Pi(\k)}{x_{0,0}}$ est un morphisme continu de 
$\k$-alg�bres. De $(x_\s)_{0,0}=1_{\s,0}(x_\s)_{\s,\s}1_{0,\s}$ 
d�coule imm�diatement que c'est $\kappa_{\Phi(\FC)}$. 

Pour $G,H\in\sernc{\k}{\XB}$, posons, si $G$ est inversible,  
\begin{equation}
\label{eq_defMT}
G\pmt H\ \ass\ G \kappa_G(H) 
\end{equation}
En �crivant $H_{1,0}=1_{1,0}H_{0,0}$, on obtient $\FC(H_{1,0})=\Phi(\FC)\pmt H$. 
Il est clair que l'application $G$ est une bijection de $\MTG(\k)$ 
sur l'ensemble des s�ries inversibles de $\sernc{\k}{\XB}$. Transport�e
par cette bijection, la composition de $\MTG(\k)$ devient $\pmt$, 
en vertu de l'�galit�  tautologique
de $\Phi(\FC_1\FC_2)$ et $\FC_1(\Phi(\FC_2))$.

Le mono�de $\MTG$ est en fait un groupe. Pour cela, 
il suffit de v�rifier la pleine fid�lit�
de tout $\FC\in\MTG(\k)$, qu'on peut se contenter de tester 
sur $\endo{\Pi(\k)}{O_0}$. Or $\kappa_G(\FC)$ est inversible, 
car pro-unipotent. 

L'ensemble des $\FC$ tels que le terme constant de 
$\Phi(\FC)$ soit 1 est clairement un sous-groupe de $\MTG(\k)$. Dans ce cas, 
l'action sur $\homp{O_0}{O_1}$ est elle-m�me pro-unipotente. Elle est 
fid�le car $\FC$ se d�duit de $\FC(1_{1,0})$. Elle 
s'obtient par extension continue des scalaires de $\QM$ � $\k$. 

\begin{prop}
L'ensemble $\MT(\k)$ des s�ries de terme constant 1, muni de la loi 
$\pmt$ d�finit un groupe pro-unipotent agissant par $\pmt$ sur 
$\sernc{\k}{\XB}$.  
\end{prop}	

\sss{Remarques}\label{sss_remMT}
Par d�finition, l'action de $G\in\MT(\k)$ commute � la multiplication par
gauche par $x_1$ et � droite par $x_0$ et passe donc aux quotients par $\pi_Y$
et $\pi_\cv$. 

Si $S\in\MT(\k)$ 
ne d�pend que de $x_1$, l'automorphisme $\kappa_S$ est l'identit�,
car $t_\s(S)$, ne d�pendant que de $x_\s$, commute � $x_\s$. L'action de 
$S$ est alors la multiplication � gauche par $S$ et on a 
$G\pmt S=G\pmt (S\pmt 1)=SG=S\pmt G$. Autrement dit, $S$ est central. 
%On notera encore $\pmt$ 
%la loi de groupe du quotient de $\MT(\k)$ par $1+x_1\serc{\k}{x_1}$.


\sss{}Soit $\MTD(\k)$ le sous-mono�de de $\MTG(\k)$ agissant sur les fl�ches
de $\Pi(\k)$ par morphismes de cog�bres. L'�l�ment $\Phi(\FC)$ param�trant 
$\FC\in\MTD(\k)$ est \glk{}, car $1_{1,0}$ l'est. R�ciproquement, si $G$ 
est un �l�ment \glk{} de $\sernc{\k}{\XB}$, le foncteur 
$\Phi^{-1}(G)$ appartient � $\MTD(\k)$, car son action sur 
$\homp{O_\s}{O_\t}$
est, comme le cas particulier (\ref{eq_defMT}), la composition d'une 
multiplication par un �l�ment \glk{} et d'op�rateurs du type $\kappa_G$, qui
sont tous des morphismes de cog�bres, comme on le voit par test sur les 
�l�ments de $\XB$. En r�sum�:
\begin{prop}\label{prop_expliestable}
   $(\exp(\liel{}{\XB}),\pmt)$ est un sous-groupe pro-unipotent 
de $\MT$ ; il agit par morphisme de cog�bres sur $(\sernc{\k}{\XB},\D)$. 
\end{prop}

\vdeux{}{
On peut �galement consid�rer les sous-groupes de $\MTG$ qui respectent 
d'autres sym�tries, par exemple, pour $G=\triv$,
l'action de $\SG_3$ sur $\Pi(\k)$ provenant de l'action sur 
$\Puntrois$, ou, pour $\G=\mub_n$, l'action de $\ZM/2$ 
sur $\Pi(\k)$ qui provient de l'inversion sur $\Punrac{n}$.} 

\sss{}\label{sss_MTfoncG}
Explicitons les d�pendances en $\G$ par les notations $\Pi_\G$ et 
$\MT(\G)$. Un morphisme de groupes
$\phi:\G\to\G'$ donne un foncteur $\Pi(\G)\to\Pi(\G')$, agissant sur 
les objets par $O_\s\mapsto O_{\phi{\s}}$ et sur les fl�ches par 
$\phi^*$. Il commute aux $C_\s$. Ceci montre que $\phi^*$ est 
un morphisme de groupes pro-unipotents $\MT(\G)\to\MT(\G')$, respectant
les actions sur les $\sernc{\k}{\XB}$. 

Si $\phi$ est injectif, on d�finit un foncteur de la sous-cat�gorie
pleine de $\Pi(\G')$ d'objets les $O_{\phi(\s)}$ dans $\Pi(\G)$ 
par $O_{\phi(\s)}\mapsto O_\s$ et $\phi_*$ sur les fl�ches et commutant 
aux $C_\s$ appropri�s. On en d�duit 
que $\phi_*$ est un morphisme $\MT(\G')\to\MT(\G)$,
respectant les actions. 
\sss{Structure infinit�simale} 
L'alg�bre de Lie $\mt$ du groupe $\MT$ est form�e des s�ries de 
terme constant nul. On notera dans la suite $\Exp$ l'application exponentielle
$\mt\to\MT$, et $\ih{\pcdot}{\pcdot}$ le crochet de Lie\footnote{Cette notation
suit celle de Drinfel'd \cite[p. 851]{DrinQTQH}.} de $\mt$, pour les 
distinguer de l'exponentielle et du crochet usuels de $\sernc{\k}{\XB}$. 
Le crochet de $\mt$ sera appel� {\em crochet d'Ihara}. 
On peut expliciter cette structure gr�ce � la repr�sentation dans 
$\sernc{\k}{\XB}$: 

Soit $\eps$ une variable formelle telle que $\eps^2=0$. 
Pour $\psi\in\mt(\k)$, notons $s_\psi$ l'op�rateur qui associe � 
$v\in\sernc{\k}{\XB}$ le terme en $\eps$ de $(1+\eps\psi)\pmt v$. 
La machinerie standard sur les groupes pro-unipotents donne:
\begin{prop}
   Pour tous $\psi\in\mt(\k)$ et $H\in\sernc{\k}{\XB}$, 
   on a 
\begin{equation}
\Exp(\psi)\pmt H=\exp(s_\psi)(H) 
\end{equation}

Pour tous $\psi_1,\psi_2\in\mt(\k)$, on a 
\begin{equation}
s_{\ih{\psi_1}{\psi_2}}=[s_{\psi_1}, s_{\psi_2}]	
\end{equation}
\end{prop} 
Tenant compte de $s_{\psi}(1)=\psi$ et $G\pmt 1 = G$, on obtient en particulier:
\begin{cor} 
Pour 
tous $\psi_1,\psi_2\in \mt(\k)$, on a 
\begin{eqnarray}
\Exp(\psi)&=&\exp(s_\psi)(1)  \\
\ih{\psi_1}{\psi_2}&=&s_{\psi_1}(\psi_2)-s_{\psi_2}(\psi_1)\label{eq_ihs}
\end{eqnarray}  
\end{cor} 

\sss{}
� partir des d�finitions, il est facile d'expliciter les op�rateurs $s_\psi$:
\begin{prop}
Pour tous $v\in\sernc{\k}{\XB}$ et $\psi\in\mt(\k)$, on a 
\begin{equation}
s_\psi(v) = \psi v + d_\psi(v),
\end{equation} 
o� $d_\psi$ est la d�rivation continue de $\sernc{\k}{\XB}$ caract�ris�e par: 
\begin{equation}
d_\psi(x_\s) = \left\{\begin{array}{ccc}
	[t_\s(\psi), x_\s]&\text{si}&\s\neq 0 \\
	0 &\text{si}&\s=0\end{array}\right.  
\end{equation} 
\end{prop}
On voit imm�diatement que l'op�ration 
$(\psi_1,\psi_2)\mapsto d_{\psi_1}(\psi_2)$ est homog�ne pour le poids et
la longueur (\cf{} \ref{def_Xb}), 
ainsi donc que $(\psi_1,\psi_2)\mapsto s_{\psi_1}(\psi_2)$. 
L'expression (\ref{eq_ihs}) du crochet d'Ihara met en �vidence 
la structure d'alg�bre pr�-Lie  de $\mt$ (voir \cite{Gerstcr}).

  

    













carac.tex
\usepackage{mathrsfs}

\def \AM{{\mathbb{A}}}
\def \BM{{\mathbb{B}}}
\def \CM{{\mathbb{C}}}
\def \DM{{\mathbb{D}}}
\def \EM{{\mathbb{E}}}
\def \FM{{\mathbb{F}}}
\def \GM{{\mathbb{G}}}
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\def \JM{{\mathbb{J}}}
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\def \WM{{\mathbb{W}}}
\def \XM{{\mathbb{X}}}
\def \YM{{\mathbb{Y}}}
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\def \AC{{\mathcal A}}
\def \BC{{\mathcal B}}
\def \CC{{\mathcal C}}
\def \DC{{\mathcal D}}
\def \EC{{\mathcal E}}
\def \FC{{\mathcal F}}
\def \GC{{\mathcal G}}
\def \HC{{\mathcal H}}
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\def \ACC{{\mathscr A}}
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\def\aB{\mathbf{a}}
\def\bB{\mathbf{b}}
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\def\VB{\mathbf{V}}
\def\WB{\mathbf{W}}
\def\XB{\mathbf{X}}
\def\YB{\mathbf{Y}}
\def\ZB{\mathbf{Z}}

descr.tex
\subsection{Divergences logarithmiques}\label{subsec_divlog}
Notre but est ici de d�crire les 
�tapes de Boutet de Monvel qui nous permettront 
d'�tablir la relation de r�gularisation. 

On note $D$ le disque ouvert unit� de $\CM$ et $\HC(D)$ l'alg�bre 
des fonctions holomorphes sur $D$. La lettre $t$ d�signe une variable 
formelle. 


\begin{defi}
  Soit $\divlogs$ l'ensemble des suites $(S_N)_{N>0}$ de nombres 
complexes admettant  un d�veloppement asymptotique du type
$$ S_N = \As((S_N))(\log(N)) + o(\log^\alpha(N)/N), $$ 
avec $\As((S_N))\in\CM[t]$ et $\alpha\in\NM$. 

De m�me, on notera $\divlogf$ l'ensemble des fonctions  $f$ de $\HC(D)$ 
admettant, lorsque $z$ tend vers 1 dans $D$, un d�veloppement du type
$$ f(z) = \As(f)(\log(1-z)) + o\left(\aug(-\log(1-z))^\alpha\right) $$
avec $\As(f)\in\CM[t]$ et $\alpha\in\NM$. 
\end{defi}
Il est clair que $\divlogs$ et $\divlogf$ sont des sous-$\CM$-alg�bres de 
$\CM^\NM$ et $\HC(D)$, respectivement ; que les polyn�mes $\As((S_N))$ et 
$\As(f)$ sont uniquement d�termin�s par ces conditions et que les applications 
$\As$ ainsi d�finies sont toutes deux des morphismes d'alg�bres, gr�ce
� la nature du reste. L'ambigu�t� de notation n'est pas g�nante. 
\sss{}\label{sss_serfonc}
� une suite $(S_N)_{N>0}$, faisons correspondre 
l'unique s�rie enti�re 
$\sum_{n>0}u_n z^n$ telle que $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$.  

\begin{prop}\label{prop_kerAs} 
Si $(S_N)_{N>0}$ appartient � $\divlogs$ et $\As((S_N))=0$, la s�rie enti�re 
associ�e d�finit une fonction $f$ de $\divlogf$, v�rifiant $\As(f)=0$.
\end{prop}
\begin{proof}
On suppose donc qu'on a un entier $\alpha$  tel que 
$$S_N\ \ssa\ \sum_{n=0}^{N-1} u_n = o(log^\alpha(N)/N)$$
Effectuons une transformation d'Abel:
$$f(z)=\sum_{n>0}u_nz^n= \sum_{N>0} 
\left(\sum_{n=1}^{N}u_n\right)(z^N-z^{N+1}) = 
(1-z)\sum_{N>0} z^N o(\log^{\alpha}(N)/N)$$
Il suffit donc d'obtenir l'existence de $\beta>0$ tel que 
\begin{equation}
\sum_{N>0}z^N\log^{\alpha}(N)/N = o((-\log(1-z)^\beta) 
\end{equation}
D�coupons la somme en deux, autour de $1/(1-z)$. En majorant $z$ par 1, on 
obtient
$$ \sum_{0<N<(1-z)^{-1}}z^N\log^\alpha N/N \leq \int_{1}^{(1-z)^{-1}}dt\log^\alpha t/t
= (-\log(1-z))^{\alpha+1}/(\alpha+1)$$
La fonction $\log^\alpha(t)/t$ est d�croissante au voisinage
de $+\infty$. Pour $z$ suffisamment proche de 1, et 
$N\geq (1-z)^{-1}$, 
on a donc $\log^\alpha(N)/N\leq(-\log(1-z))^\alpha(1-z)$, dont on d�duit 
$$\sum_{N\geq (1-z)^{-1}}z^N\log^{\alpha}(N)/N \leq 
(-\log(1-z))^{\alpha}(1-z)\sum_{N\geq (1-z)^{-1}}z^N \leq  
z^{1/1-z}(-\log(1-z))^{\alpha}
$$
Comme $z^{1/1-z}$ tend vers $\exp(-1)$, ceci donne le
r�sultat, avec $\beta=\alpha+1$.
\end{proof}
\sss{}\label{sss_comp}
La s�rie harmonique $H_N=\sum_{n=1}^N1/n$ appartient � $\divlogs$.
On a $\As(H_N)=\gamma+t$, o� $\gamma$ est la constante d'Euler. Le morphisme 
d'alg�bres $\As : \divlogs\to\CM[t]$ est donc surjectif. De m�me, en 
consid�rant la fonction $L_1 : z\mapsto -\log(1-z)$, on voit que 
$\As : \divlogf\to\CM[t]$ est �galement surjectif. 

Soit $k$ un entier positif et 
$(H_{k,N})_{N>0}$ la suite associ�e � la fonction $(L_1)^k/k!$. 
Il sera prouv� au paragraphe \ref{sss_aposteriori} 
que $(H_{k,N})_{N>0}$ appartient � 
$\divlogs$ et que le polyn�me $\As((H_{k,N})_{N>0})$ est de 
degr� $k$. Pour tout $(S_N)_{N>0}\in\divlogs$, il existe donc une 
combinaison lin�aire de $(S_N)$ et des $(H_{k,N})$ qui est dans le noyau 
de $\As$. On en d�duit, gr�ce � la proposition \ref{prop_kerAs}, le r�sultat
ci-dessous, qui ne servira pas avant \ref{sss_asympit}: 
\begin{cor}\label{cor_comp}
La fonction associ�e � un �l�ment de $\divlogs$ appartient � $\divlogf$. 
Il existe une application $\CM$-lin�aire $\comp$ faisant commuter le 
diagrame ci-dessous.
$$\xymatrix{\divlogs\ar[d]\ar[r]^-{\As}&\CM[t]\ar[d]^{\comp} \\
	    \divlogf\ar[r]^-{\As}&\CM[t]} $$ 
\end{cor}
\sss{It�ration}\label{sss_divlogLN} 
Consid�rons les sommes partielles associ�es aux polylogarithmes 
multiples:
\begin{equation}\label{eq_defLN}
L^N_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_r)\ \ass\ 
\sum_{N>n_1>n_2>\cdots>n_r>0} \frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}\cdots z_r^{n_r}}
{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_r^{s_r}}
\end{equation}
\begin{prop}
   Soit $s$ un entier strictement positif, $z$ dans le disque unit� ferm�
de $\CM$ et $(S_N)_{N>0} \in \divlogs$, 
La suite $(T_N)_{N>0}$ 
$$ T_N\ \ass\ \sum_{0<n<N} z^n S_n/n^s$$ 
est encore dans $\divlogs$. La d�riv�e du polyn�me $\As(T_N)$ est $\As(S_N)$. 
La suite $T_N$ est convergente si $(s,z)\neq (1,1)$. 
\end{prop}
\begin{preuve}
On a donc un polyn�me $P$ tel que $S_n = P(\log(n)) + o(\log^\alpha(n)/n)$
Dans un premier temps, on majore $|z|$ par 1. 

Dans le cas $s\geq 2$, la convergence de $T_N$ est �vidente. 
Il faut donc �valuer le reste de la s�rie. 
Au pire, on a � faire � $\sum_{n>N} \log^{\beta}(n)/n^2$, o� $\beta$ est
le degr� de $P$. Ceci est �quivalent � l'int�grale
$$I_\beta\ \ass\ \int_N^{+\infty} \log^{\beta}x^{-2}dx, $$
qui v�rifie $I_\beta = \beta\log^{\beta-1}(N)/N+\beta I_{\beta-1}$ avec 
$I_0=1/N$.  
     
Si $s=1$, on a un terme de la forme $o(\log^\alpha(n))/n^2$, qui 
est trait� comme ci-dessus, et le terme $P(\log(n))/n)$. 
Il suffit de traiter le cas $P(t)=t^k$, pour tout $k\in\NM$. 

En mettant $\log(n+1)-\log(n)$ en facteur dans 
$\log^{k+1}(n+1)-\log^{k+1}(n)$, on obtient:
\begin{equation}\label{eq_conv}
\log^k(n)/n = (\log^{k+1}(n+1)-\log^{k+1}(n))/(k+1) + o(\log^k(n)/n^2)
\end{equation}
La sommation du premier terme donne $\log^{k+1}(N)/(k+1)$. Le reste
est trait� comme pr�c�demment. Ceci prouve les deux premi�res assertions. 

Comme $S_n/n$ tend vers 0, la convergence est dans le cas $s=1, z\neq1$
une application classique de la transformation d'Abel.
%
%La convergence dans le cas $s=1$, est une application classique 
%de la transformation d'Abel. 
%le terme en $o(\log^\alpha(n)/n)$ ne pose
%pas de probl�me. On se ram�ne encore � $P=t^k$, c'est-�-dire 
%$T_N = \sum_{n=1}^N z^n \log^k(n)/n$. Une transformation d'Abel donne:
%\begin{eqnarray*}
% T_N = \sum_{n=1}^N \left(\sum_{m=1}^n z^m\right)
%\left(\frac{\log^k n}{n}-\frac{\log^k(n+1)}{n+1}\right) 
%+ \frac{\log^k(N+1)}{N+1} \sum_{m=1}^N z^m  
%\end{eqnarray*}
%Si $z\neq 1$, les sommes $\sum_{m=1}^n z^m$ sont born�es. 
%Il suffit donc de prouver que la s�rie de terme g�n�ral 
%$\log^k n/n - \log^{k}(n+1)/(n+1)$ est absolument convergente. 
%Pour $k>0$, on extrait $\log^{k}(n+1)/(n+1)$ de (\ref{eq_conv}),
%et on trouve
%$$\frac{\log^k n}{n} - \frac{\log^{k}(n+1)}{n+1}
%=\log^k n\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right) + 
%\frac{k\log^{k-1}(n)}{n(n+1)} + o(\log^k(n)/n^2)$$  
%Pour $k=0$, c'est �vident. 
\end{preuve}
La suite $L^N_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_r)$ se d�duit
de $L^N_{s_2,\ldots,s_r}(z_2,\ldots,z_r)$ comme ci-dessus.
\begin{cor}\label{prop_LNdivlog}
Pour tous entiers strictement positifs $s_1,\ldots,s_r$ 
et tous $z_1,\ldots,z_r$ de module au plus 1, la suite
$(L^N_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_r))_{N>0}$ appartient � $\divlogs$. 
Elle est convergente si et seulement si $(s_1,z_1)\neq(1,1)$.
\end{cor}
\sss{Remarques} Boutet de Monvel consid�re des d�veloppements plus fins,
du type $\sum_{i\geq 0}P_i(\log N)/N^i$. Il aboutit � la jolie formule
$\comp = (d/dt)!$, o� la factorielle d�signe le 
d�veloppement en s�rie enti�re de la fonction $\Gamma$ 
d'Euler au voisinage de $1$. 

Dans \cite{thesejoe}, on utilisait 
des restes en $o(N^{-\alpha-1})$, avec $\alpha\in\RM^*_+$,
plus grossiers qu'ici. Les d�monstrations pour les restes en 
$\log^\alpha(N)/N$ sont celles de \cite{DelNotes}.    
\Subsection{Relations de m�lange des int�grales it�r�es} 
\label{subsec_intit}
\begin{defi} 
Soient $a_1,\ldots,a_p\in\CM$ et $\gamma : [0,1]\to\CM$ un chemin. 
On consid�re l'int�grale �ventuellement divergente:
$$ I_\gamma(a_1,\ldots,a_p)\ \ass\ 
\int_0^1 (\g^*\omega_{a_1})(t_1)
\int_0^{t_1} (\g^*\omega_{a_2})(t_2)
\cdots \int_0^{t_p} (\g^*\omega_{a_p})(t_p),$$
avec, pour tout $a\in\CM:$ 
$$\omega_a(t)\ \ass\ \left\{\begin{array}{ccc}
dt/(a^{-1}-t)&\text{si}&a\neq0\\
dt/t&\text{si}&s=0\end{array}\right.
$$
\end{defi}
Lorsque $\gamma$ �vite les singularit�s $a_1,\ldots,a_p$, cette int�grale
est bien d�finie et ne d�pend que de la classe d'homotopie de $\g$ dans 
$\CM\setminus\{a_1,\ldots,a_p\}$. 
\vdeux{}{Si $p=0$, elle vaudra $1$ par convention.} 

Pour $(a,b)\in\CM^2$, on notera $[a,b]$ 
le chemin  $t\mapsto a + t(b-a)$. 

%La proposition ci-dessous est une application directe du th�or�me de 
%Fubini. Le terme de m�lange s'explique par la pr�sence des battages
%\footnote{En anglais, les {\em shuffle}}, les permutations de $\SG_{p,q}$. 
%\begin{prop}[Relation de m�lange]\label{prop_melange}
%Soient $a_1,\ldots,a_p$ et $a_{p+1},\ldots,a_{p+q}$ deux s�quences de nombres 
%complexes et $\gamma$ un chemin. On a 
%\end{prop}

Goncharov utilise une g�n�ralisation de la formule de 
Kontsevitch. En convenant
que $0^k$ d�signe la s�quence form�e du chiffre $0$ r�p�t� $k$ fois, elle 
s'�crit:    
\begin{prop}\label{prop_formKont}
 Soient $r\in\NM, s_1,\ldots,s_r\in\NM^*$ et $z_1,\ldots,z_r$ 
des nombres complexes tels que $0<|z_i|\leq 1$. Pour tout $z$ du disque 
unit� ouvert de $\CM$, on a
$$ L_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_{r-1},z_{r}z) = I_{[0,z]}
\left(0^{s_1-1}, z_1, 0^{s_2-1}, z_1z_2, \ldots, 0^{s_r-1}, 
z_1z_2\cdots z_r\right)$$ 
\end{prop}
\sss{S�ries de Chen}\label{def_Xb}
Soit $\G$ un groupe commutatif fini, not� multiplicativement.
On consid�re un alphabet $\XB_\G=\{(x_\s)\}$ index� par $\GZ$ 
Lorsqu'il n'y a pas d'ambigu�t� sur $\G$, 
on �crira simplement $\XB$ pour $\XB_\G$. 

On appellera {\em poids} la graduation qui attribue � chaque �l�ment
de $\XB$ le degr� 1. Rappelons que le coproduit $\D$ de $\assl{\QM}{\XB}$, 
vue comme big�bre enveloppante de $\liel{}{\XB}$, est 
homog�ne et est donn� par $ \D x_\s = 1\ot x_\s + x_\s\ot1,\ 
\text{pour tout}\ \s\in\G\cup\{0\}$.  

Supposons $\G$ inclus dans $\CM$. 
� tout chemin $\g$ sur $\PunG$, on associe l'�l�ment suivant de 
$\sernc{\CM}{\XB}$, appel� \emph{s�rie de Chen}. On peut la voir comme une 
sorte de s�rie g�n�ratrice non-commutative des int�grales it�r�es. 
$$ \ItC_\g\ \ass\ \sum_{p\in\NM, a_1,\ldots,a_p\in \G\cup\{0\}}
I_\g(a_1,\ldots,a_p)x_{\s_1}\cdots x_{\s_p}
$$

\begin{prop}[Relation de m�lange]\label{prop_Itabdiag}
Pour tout chemin $\g$ sur $\PunG$,  la s�rie $\ItC_\g$ est \glke{} dans 
$(\sernc{\CM}{\XB},\pcdot,\D)$.
\end{prop}
C'est un fait bien connu, qui remonte aux annees 50 \cite{Chen57}, 
et il en existe de nombreuses d�monstrations.
Une premi�re m�thode \cite{Ree58}, 
est d'�tablir la formule (\ref{exemple_relsh}), qui 
permet d'interpr�ter $I_\gamma$ comme un morphisme d'alg�bres � valeurs dans 
$\CM$, depuis le dual gradu� de $\assl{\QM}{\XB}$ muni du produit de battage 
$\sh$; ce dernier est dual du coproduit $\D$ \cite{Reut}. 

On peut aussi voir $\ItC_{[a,z]}$ comme solution de l'�quation diff�rentielle 
\begin{equation}\label{eq_diff}
   d\ItC_{[a,z]} = \Omega\ItC_{[a,z]}\qtext{avec}
\Omega\ \ass\ \sum_{\s\in\GZ} \omega_\s(z)x_\s
\end{equation}
La primitivit� de $\Omega$ implique que $\D\ItC_{[a,z]}$ et 
$\ItC_{[a,z]}\ot\ItC_{[a,z]}$ sont solutions de $d\JC = \D(\Omega)\JC$, avec
la m�me condition initiale $\JC(a)=1\ot 1$. 

Plus g�n�ralement, $\ItC_\g$ est le transport parall�le \vdeux{}{de $1$} 
le long de $\g$ de la connexion int�grable 
\vdeux{$d+\Omega$}{$d+(\text{multiplication � gauche 
par $\Omega$})$} sur le fibr� trivial
$\PunG\times \sernc{\CM}{\XB}$. C'est ainsi qu'est 
explicit�e la comparaison Betti-de Rham pour $\pi_1(\Punrac{n})$
\cite[12.16]{DelPi1}. Pour $\G=\triv$, 
l'�quation (\ref{eq_diff})
est la r�duction � $\Puntrois$ du syst�me de Knizhnik-Zamolodchikov $\KZ_3$ 
utilis�e par Drinfel'd \cite{DrinQTQH}. 


\sss{Convergence partielle}\label{sss_convpart}
Pour $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$, soit $y_{n,\nu}=x_0^{n-1}x_\nu$. Notons 
$\YB_\G$ l'ensemble des $y_{n,\nu}$, ou simplement $\YB$ s'il n'y a pas 
d'ambigu�t� sur $\G$. La sous-alg�bre de $\assl{\QM}{\XB}$ 
engendr�e par $\YB$ est clairement libre sur $\YB$. Comme espace vectoriel,
elle est engendr�e par les mots en $\XB$ ne se finissant pas par $x_0$ et
il est pratique de l'identifier au quotient de $\assl{\QM}{\XB}$ par l'id�al 
� droite homog�ne $I_0=\assl{\QM}{\XB}x_0$. On notera 
$\pi_Y$ la projection correspondante. 
 
Comme $x_0$ est primitif,  l'id�al $I_0$ est un co�d�al pour $\D$. 
Ceci fait du quotient $\assl{\QM}{\XB}/I_0$ une cog�bre gradu�e, 
qu'on notera par abus $(\assl{\QM}{\YB},\D)$. 
Par homog�n�it�, ces constructions passent � l'extension des scalaires 
compl�t�e. Ceci ne fait pas de $(\assl{\QM}{\YB}, \pcdot, \D)$ une 
big�bre: le coproduit-quotient $\D$ n'est plus un morphisme d'alg�bres. 

Consid�rons $I_{[a,z]}$ comme une fonction de la variable $a$ de 
$]0,1[$. Par la proposition \ref{prop_Itabdiag}, 
L'�l�ment $\pi_Y(\ItC_{[a,z]})$ de $(\sernc{\CM^{]0,1[}}{\YB},\D)$
est \glk{} pour $\D$, car $\pi_Y$ est un morphisme de cog�bres. Ses 
coefficients, du type $I_{[a,z]}(a_1,\ldots,a_r)$ avec $a_r\neq 0$, admettent 
une limite lorsque $a$ tend vers $0$ dans $]0,1[$ 
(prop. \ref{prop_formKont}). Le passage � la limite �tant un morphisme 
d'alg�bres, on en d�duit: 
\begin{prop}\label{prop_Itzdiag}
 Pour tout $z\in]0,1[$, la s�rie 
$$\ItC_{[0,z]} = \sum_{p\in\NM, a_1,\ldots,a_{p-1}\in\GZ, a_{p}\in\G}
I_{[0,z]}(a_1,\ldots,a_p)x_{a_1}\cdots x_{a_p}$$
est un �l�ment \glk{} de la 
cog�bre $(\sernc{\CM}{\YB},\D)$ 
\end{prop}
\sss{}
Soient $\ps$ et $\qs$ (produits et quotients successifs) 
les automorphismes lin{\'e}aires, inverses l'un de l'autre 
de $\assl{\QM}{\XB}$ donn�s par 
\begin{eqnarray}
\ps(x_0^{n_1}x_{\s_1}x_0^{n_2}x_{\s_2}\cdots x_0^{n_r}x_{\s_r}x_0^{n_{r+1}}) 
&=& x_0^{n_1}x_{\s_1}x_0^{n_2}x_{\s_1\s_2}\cdots 
x_0^{n_r}x_{\s_1\s_2\s_r}x_0^{n_{r+1}} \\
\qs(x_0^{n_1}x_{\s_1}x_0^{n_2}x_{\s_2}\cdots x_0^{n_r}x_{\s_r}x_0^{n_{r+1}}) 
&=& x_0^{n_1}x_{\s_1}x_0^{n_2}x_{\s_2\s_1^{-1}}\cdots x_0^{n_r}x_{\s_r\s_{r-1}^{-1}}x_0^{n_{r+1}},
\end{eqnarray}
o� les $n_i$ et les $\s_i$ sont quelconques dans $\NM$ et dans $\G$. Il est
clair que $\ps$ et $\qs$ sont homog�nes pour le poids, ce qui permet d'�tendre
leurs d�finitions � $\sernc{\k}{\XB}$ et que leurs restrictions 
� $\sernc{\k}{\YB}$, qui est stable, sont donn�es par:
\begin{eqnarray}
%\forall s_1,\ldots,s_r \in\NM^*,\ \s_1,\ldots,\s_r\in\G,\
\ps(y_{s_1,\s_1}y_{s_2,\s_2}\cdots y_{s_r,\s_r}) &=&
y_{s_1,\s_1}y_{s_2,\s_1\s_2} \cdots y_{s_r,\s_1\s_2\cdots\s_r} \\
\qs(y_{s_1,\s_1}y_{s_2,\s_2}\cdots y_{s_r,\s_r}) &=&
y_{s_1,\s_1}y_{s_2,\s_2\s_1^{-1}}\cdots y_{s_r,\s_r\s_{r-1}^{-1}},
\end{eqnarray}
pour tous entiers $s_1,\ldots,s_r$ strictement positifs.
 
Consid�rons �galement dans la s�rie g�n�ratrice 
\begin{equation}
\LCC_z\ \ass\ \sum_{s_1,\ldots,s_r, \s_1,\ldots,\s_r} 
L_{s_1,\ldots,\s_r}(\s_1,\ldots,z\s_r)y_{s_1,\s_1}\cdots y_{s_1,\s_r}
\end{equation}
Avec ces notations, la proposition \ref{prop_formKont} se r��crit:
\begin{prop} \label{prop_kontserz}
On a $\LCC_z=\qs(\ItC_z)$ dans $\sernc{\CM^{]0,1[}}{\YB}$
\end{prop}
\sss{Convergence totale}
Le sous-espace vectoriel $\assl{\QM}{\XB}_\cv$ de $\assl{\QM}{\XB}$ 
engendr� par les mots en $\XB$
ne se finissant pas par $x_0$ et ne commen\c cant pas par $x_1$ est lui-aussi
une sous-alg�bre gradu�e, qu'on identifiera au quotient 
$\assl{\QM}{\XB}/I$ avec $I=(x_1\assl{\QM}{\XB} + \assl{\QM}{\XB}x_0)$. 
On notera $\pi_\cv$ la projection correspondante.
Par primitivit� de $x_0$ et $x_1$, le sous-espace $I$ est un co�d�al, 
d'o� un coproduit-quotient, toujours not� $\D$ sur $\assl{\QM}{\XB}_\cv$. 

La proposition \ref{prop_kontserz} montre que 
les coefficients de $\pi_\cv(\ItC_z)$ sont les fonctions 
associ�es comme en \ref{sss_serfonc} aux suites 
$(L^N_{s_1,\ldots,s_r}(\s_1,\ldots,\s_r))_{N>0}$, qui sont convergentes (cor.
\ref{prop_LNdivlog}). Le lemme d'Abel permet de r�p�ter le m�me argument
qu'en \ref{sss_convpart}:
\begin{prop}\label{prop_Itcvdiag}
La s�rie $\ItC_\cv\ \ass\ \lim\limits_{a\to0^+, b\to1^-} 
\pi_\cv(\ItC_a^b)$ est un �l�ment \glk{} de $(\sernc{\CM}{\XB}_\cv,\D)$. 
\end{prop}

L'espace vectoriel $\assl{\QM}{\XB}_\cv$ est �galement la sous-alg�bre de
$\assl{\QM}{\YB}$ engendr�e par les mots en $Y$ ne commen\c cant pas par 
$y_{1,1}=x_1$. On l'identifie encore 
 au quotient $\assl{\QM}{\YB}/y_{1,1}\assl{\QM}{\YB}$. Cela nous am�nera �
noter indiff�remment $\assl{\QM}{\YB}_\cv$ pour $\assl{\QM}{\XB}_\cv$. De
plus, on voit facilement que $\ps$ et $\qs$ commutent � $\pi_\cv$.  

\begin{prop} \label{prop_kontsercv}
La s�rie g�n�ratrice 
\begin{equation}
   \LCC_\cv\ \ass\ \sum_{s_1,\ldots,s_r, \s_1,\ldots,\s_r, 
(s_1,\s_1)\neq(1,1)} 
L_{s_1,\ldots,\s_r}(\s_1,\ldots,\s_r)y_{s_1,\s_1}\cdots y_{s_1,\s_r}
\end{equation}
est �gale � $\qs(\ItC_\cv)$ dans $\sernc{\CM}{\YB}_\cv$
\end{prop}
En effet, $\LCC_\cv$ et $\qs(\ItC_\cv)$ sont les limites terme � terme 
de $\pi_\cv(\LCC_z)$ et $\qs(\pi_\cv(\ItC_{[0,z]}))$ lorsque $z$ tend vers $1^-$ 

\subsection{Relation de m�lange des sommes it�r�es}
On se propose ici de d�crire de mani�re compacte toutes les relations du type
(\ref{exemple_rel2}), lorsque les variables sont dans un sous-groupe 
multiplicatif fini $\G$ fix� de $\CM$.   
Comme en \ref{subsec_intit}, cela se traduira par la
\glkte{} de certaines s�ries g�n�ratrices. 
\sss{D�finitions} \label{sss_defYDet}
Dans $\assl{\QM}{\YB}$, on �tend la notation $y_{n,\nu}$ au cas $n=0$ par la
convention  
\begin{equation}\label{conv_y0}
 y_{0,\s}\ \ass\ \left\{\begin{array}{lcl} 
1 &\text{si}& \s=1\\
0 &\text{si}& \s\neq1
\end{array}\right.
\end{equation}
L'alg�bre $\assl{\QM}{\YB}$ admet une $\NM\times\G$-graduation, 
le {\em poids color�}, obtenue en convenant que $y_{n,\nu}$ est de degr� 
$(n,\nu)$. La premi�re composante, le {\em poids} est h�rit�e de  
$\assl{\QM}{\XB}$. 
La seconde est une $\G$-graduation, qu'on appellera la {\em couleur totale}. 
En convenant que chaque �l�ment de $\YB$ est de degr� 1, on d�finit encore
une autre $\NM$-graduation, la {\em longueur}\footnote{Goncharov utilise le
terme de \og{}profondeur\fg{} (\em{depth}).} 
qui jouera un r�le moins 
important dans la suite. La diff�rence du poids et de la longueur est
le degr� partiel en $x_0$ de $\assl{\QM}{\XB}$. 

Le coproduit $\Det$, d�fini comme morphisme d'alg�bres par la condition
\begin{equation}\label{eq_defDet}
\Det(y_{n,\nu})\ \ass\ \underset{\kappa\lambda=\nu}{\sum_{k+l=n}}
y_{k,\kappa}\ot y_{l,\l},
\end{equation}
est clairement cocommutatif, coassociatif et co�nif�re et fait 
de $(\assl{\QM}{\YB},\pcdot,\Det)$ une big�bre de Hopf --- l'antipode est
fourni par \ref{sss_U} ci-dessous). Il est 
de plus homog�ne pour le poids (et m�me pour le
poids color�), ce qui permet de le prolonger � $\sernc{\k}{\YB}$. Par contre,
il ne respecte pas la graduation de longueur, mais seulement 
la filtration d�croissante associ�e. 

Il est caract�ris�, en tant que morphisme 
d'alg�bres homog�ne pour le poids color�, par le fait que l'�l�ment 
$$\YC\ \ass\ \sum_{(n,\nu)\in \NM\times\G} y_{n,\nu}$$
de $\sernc{\QM}{\YB}$ est \glk{}, comme le montre un calcul imm�diat. 
\sss{Sommes partielles} \label{sss_sommepart}
Les relations du type (\ref{exemple_rel2})
sont d�j� vraies pour
les sommes partielles $L^N_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_r)$ d�finies en 
\ref{sss_divlogLN}.

Fixons $N>0$ et consid�rons dans $\sernc{\CM}{\YB}$ la s�rie g�n�ratrice
\begin{equation}\label{def_LCCN}
\LCC_N\ \ass\ \sum_{r, s_1,\ldots,s_r,\s_1,\ldots,\s_r}
L^N_{s_1,\ldots,s_r}(\s_1,\ldots,\s_r) y_{s_1,\s_1}\ldots y_{s_r,\s_r}
\end{equation}
Ne pas fixer $N$ revient � la voir comme un �l�ment de 
$\sernc{\CM^\NM}{\YB}$, plus pr�cis�ment de $\sernc{\divlogs}{\YB}$
(cor. \ref{prop_LNdivlog}).

Par test sur les g�n�rateurs, on voit que 
pour $\l\in\CM$ et $\nu\in\G$, 
les substitutions $y_{n,\nu}\mapsto \l^ny_{n,\nu}$ et $y_{n,\nu}\mapsto
\nu y_{n,\nu}$ sont des morphismes de cog�bres.\footnote{Pour la premi�re,
il s'agit simplement de l'homog�n�it� de $\Det$.} 
En appliquant une fois la 
premi�re et $m$ fois la seconde � $\YC$, on obtient donc que l'�l�ment 
$$ \YC_m(\l)\ \ass\ \sum_{n\geq 0,\nu\in\G} \nu^m \l^ny_{n,\nu}$$ de
$\sernc{\CM}{\YB}$ est encore \glk{} pour $\Det$. 

Dans le d�veloppement du produit 
$$ P\ \ass\ \YC_{N-1}\left(\frac{1}{N-1}\right)\YC_{N-2}\left(\frac{1}{N-2}\right)
\cdots \YC_{1}\left(\frac{1}{1}\right),$$
les occurences du mot $w\ \ass\ y_{s_1,\s_1}\cdots y_{s_r,\s_r}$ correspondent
aux suites $N>n_1>\cdots>n_r$ d'entiers, le facteur $y_{s_i,\s_i}$ de $w$ 
provenant du facteur $\YC_{n_i}(1/n_i)$ de $P$.
 Le coefficient de $y_{s_i,\s_i}$ dans 
$\YC_{n_i}(1/n_i)$ �tant $\s_i^{n_i}n_i^{-s_i}$, l'occurence 
$N>n_1>\cdots>n_r$ de $w$ dans $P$ porte donc le coefficient 
$\s_1^{n_1}n_1^{-s_1}\cdots \s_r^{n_r}n_r^{-s_r}$. Le coefficient total
de $w$ dans $P$ s'obtenant en sommant les coefficients port�s par
ces occurences, on voit donc que $P$ est �gal � $\LCC_N$. 
Comme chaque $\YC_i(1/i)$ est \glk, on a donc d�montr�:
\begin{prop}\label{prop_LNdiag}
La s�rie g�n�ratrice des sommes partielles $\LCC_N$ est \glke{} 
dans $(\sernc{\CM}{\YB},\Det)$.
\end{prop} 
\sss{Quotient de convergence} 
La formule (\ref{eq_defDet}) exprime en particulier la primitivit� de
$y_{1,1}$ dans $(\assl{\QM}{\YB},\Det)$.
L'id�al � droite $I=y_{1,1}\assl{\QM}{\YB}$ est donc
un co�d�al pour $\Det$, le quotient $\assl{\QM}{\YB}_\cv$ h�rite du 
coproduit $\Det$ et la projection 
$\pi_\cv:\assl{\QM}{\YB}\to\assl{\QM}{\YB}_\cv$ est un morphisme de 
cog�bres. 
Comme en \ref{sss_convpart}, le projet� $\pi_\cv(\LCC_N)$ est 
\glk{} dans $(\sernc{\CM^\NM}{\YB}_\cv, \Det)$ et on peut passer � la limite:
\begin{prop}\label{prop_Ldiag}
L'�l�ment $\LCC_\cv\ \ass\ \lim\limits_{N\to\infty}\pi_\cv(\LCC_N)$ de 
$\sernc{\CM}{\YB}_\cv$ est \glk{} pour le coproduit $\Det$. 
\end{prop}
\sss{Redressement du coproduit $\Det$} \label{sss_U} 
Malgr� la parent� apparente,
au moins au niveau informel, des deux types de relation de m�lange,
$(\assl{\QM}{\YB},\pcdot,\Det)$ n'est pas la big�bre enveloppante de 
$\liel{\QM}{\YB}$, mais elle peut s'y ramener, par un automorphisme 
d'alg�bres.

Soit $u_{n,\nu}$ la partie homog�ne de poids color� $(n,\nu)$ de 
$\log(\YC)$ (\cf{} \ref{sss_defYDet}) et $\UB$ 
l'ensemble des $u_{n,\nu}, (n,\nu)\in\NM^*\times\G$ (en particulier, ceci 
impose $u_{0,\nu}=0$, pour toute valeur de $\nu$). Comme $\YC$ est \glk{},
son logarithme est primitif; $\Det$ �tant homog�ne pour le poids color�,
les $u_{n,\nu}$ sont tous primitifs. 

   Par d�finition, on a 
\begin{equation}
\exp\left(\sum_{n\in\NM,\nu\in\G} u_{n,\nu}\right) = 
\sum_{n\in\NM, \nu\in\G} y_{n,\nu}
\end{equation}
En observant la partie homog�ne de poids color� $(n,\nu)$ et de longueur 1
de cette expression, on voit que la partie de longueur 1 de $u_{n,\nu}$ est
$y_{n,\nu}$. On a donc 
\begin{equation}\label{eq_UYlng1}
 u_{s_1,\s_1}u_{s_2,\s_2}\cdots u_{s_r,\s_r} =
y_{s_1,\s_1}y_{s_2,\s_2}\cdots y_{s_r,\s_r} + 
(\text{termes de longueur $>r$})
\end{equation}
En d'autres termes, la restriction � la 
composante homog�ne de poids $n$ de la 
substitution $y_{n,\nu}\mapsto u_{n,\nu}$ est unipotente. Cela assure 
que cette substitution est un automorphisme d'alg�bres de $\assl{\QM}{\YB}$. 
Compte-tenu de la primitivit� des $u_{n,\nu}$, on a donc prouv�:
\begin{prop}\label{prop_U}
   La $\QM$-alg�bre associative $\assl{\QM}{\YB}$ est librement engendr�e par 
$\UB$. La big�bre $(\assl{\QM}{\YB},\pcdot,\Det)$ est isomorphe � 
$(\assl{\QM}{\UB},\pcdot,\D)$, big�bre enveloppante universelle de 
$\liel{\QM}{\UB}$. 
\end{prop}

\sss{}On utilisera plus loin la 
d�rivation $\d_{u_{s,\s}}$ de $\assl{\QM}{\YB}$
qui envoie $u_{s,\s}$ sur 1 et annule tous les autres $u_{n,\nu}$. Soit $\psi$ 
un 
�l�ment primitif de $(\sernc{\k}{\YB}, \Det)$. D'apr�s la 
proposition ci-dessus, $\psi$ est une s�rie de Lie en les $u_{n,\nu}$. 
On voit facilement que $\d_{u_{s,\s}}(\psi)$ est le coefficient de $u_{s,\s}$
dans $\psi$, car $\d_{u_{s,\s}}$ annule tous les crochets. Compte-tenu de
(\ref{eq_UYlng1}), cela devient:
\begin{prop}\label{prop_deru}
Pour $\psi$ primitif dans $(\sernc{\k}{\YB},\Det)$ et $(s,\s)\in\NM^*\times\G$, on a 
$$\d_{u_{s,\s}}(\psi) = \scal{\psi}{y_{s,\s}}$$
\end{prop}
\sss{Remarques}\label{sss_remqsym}
Dans le cas $\G=\triv$, la big�bre $(\assl{\QM}{\YB},\cdot,\Det)$ est 
celle des fonctions sym�triques non-commutatives \cite{Noncommsym}, 
vue dans la base des fonctions compl�tes. Sa 
duale gradu�e est celle des fonctions 
quasi-sym�triques $(\qsym{}, \et, \delta)$ 
\cite{MalReut}. Les propositions \ref{prop_LNdiag} et \ref{prop_Ldiag} 
se dualisent en interpr�tant $L_N$ (resp. $L$), 
apr�s extension par lin�arit�, comme un morphisme d'alg�bres de $\qsym{}$ dans
$\CM$ (resp. $\qsymcv{}\to\CM$, o� $\qsymcv{}$ est une sous-alg�bre de $\qsym{}$, engendr�e
comme $\QM$-espace vectoriel par les �l�ments de la base duale de 
l'ensemble des mots en $\YB$ 
(les monomiales) 
indic�s par $(s_1,\ldots,s_r)$ avec $s_1\neq 1$; elle est duale du quotient 
$\assl{\QM}{\YB}_\cv$. Pour effectuer des calculs
explicites, il est souvent pr�f�rable de travailler avec $\qsym{}$.  

Pour g�n�raliser  � $\G$ 
quelconque, M. Bigotte \cite{Big} a introduit l'alg�bre des 
\og{}fonctions quasi-sym�triques color�es\fg{}. On laisse au lecteur 
le soin de v�rifier qu'elle est duale de la cog�bre 
$(\assl{\QM}{\YB_\G}, \Det)$. 

La proposition \ref{prop_U} est une g�n�ralisation directe du
cas particulier $\G=\triv$, classique pour les fonctions sym�triques 
non-commutatives. On a des descriptions plus fines de ce changement de base,
ainsi que de nombreuses variantes \cite{Noncommsym,MalReut}.  
On pourrait encore g�n�raliser en rempla\c cant 
$\NM^*\times\G$ par un magma associatif et commutatif $(M,+)$ quelconque, 
dans lequel tout �l�ment aurait un nombre fini de d�compositions en sommes
de deux �l�ments. La convention (\ref{conv_y0}) se formulerait en 
adjoignant un �l�ment neutre � $M$. 

\sss{}Nous aurons dans la suite besoin d'un calcul qui se fait 
habituellement dans $\qsym{}$. Appliqu� � l'�l�ment \glk{} $\LCC_\cv$, 
il redonne l'exemple \ref{exemple_rel2} de l'introduction (voir 
\ref{subsec_conv} pour la notation). 

\begin{prop}\label{prop_etpart}
   Pour tous $v\in\sernc{\k}{\YB}, y_{s,\s}\in \YB$ et $y_{t,\tau}\in \YB$,
on a:
$$ \scal{\Det v}{y_{s,\s}\ot y_{t,\tau}} = \scal{v}{y_{s+t,\s\tau} + 
y_{s,\s}y_{t,\tau} + y_{t,\tau}y_{s,\s}} $$
Pour $v$ primitif pour $\Det$,  $s\neq0$ et $t\neq0$, on a donc 
\begin{equation}\label{eq_etpart}
 \scal{v}{y_{s+t,\s\tau} + y_{s,\s}y_{t,\tau} + y_{t,\tau}y_{s,\s}} = 0
\end{equation}
\end{prop}
\begin{preuve} Comme $\Det$ respecte la filtration de longueur, 
seuls les termes de longueur 1 et 2 de $v$ interviennent. 
L'identification est alors imm�diate. 
La cons�quence (\ref{eq_etpart}) est �vidente.
\end{preuve}
\subsection{R�gularisations} Les s�ries $\ItC_\cv$ et $\LCC_\cv$ sont
peu pratiques � utiliser, car les structures de big�bre ne persistent pas
dans les quotients de convergence. Il est donc b�n�fique
de les relever � des �l�ments diagonaux des deux big�bres concern�es.  
D'un point de vue combinatoire, ce processus n'est pas canonique,
mais on a un bon contr�le de l'ambigu�t�,
permettant de fixer arbitrairement des relev�s $\ItC$ et $\LCC$.  

On peut consid�rer les coefficients apparaissant dans $\ItC$ et $\LCC$ comme
des valeurs r�gularis�es des int�grales it�r�es et des sommes it�r�es
pr�servant chacune la relation de m�lange ad�quate.
Il est bien connu que la formule de Kontsevitch ne survit pas au processus. 
Dans notre formalisme, cela s'�crit $\LCC\neq\qs\pi_Y(\ItC)$. 
 
Les deux types de 
d�veloppements asymptotiques de \ref{subsec_divlog}
fournissent d'autres relev�s, � coefficients polyn�miaux. 
Les propri�t�s de comparaison de \ref{sss_comp} se traduisent,
gr�ce au contr�le de l'ambigu�t� des rel�vements, par la relation de 
r�gularisation, qui exprime $\LCC$ en fonction de $\ItC$. 
On �voque ensuite ses cons�quences et son historique.      

\sss{Cadre g�n�ral}
Soient $\gG$ une $\QM$-alg�bre de Lie gradu�e, $\gG_1$ et $\gG_2$ deux 
sous-alg�bres de Lie de $\gG$, telles que $\gG=\gG_1\oplus\gG_2$, en tant 
qu'espaces vectoriels.  

Le th�or�me de Poincar�-Birkhoff-Witt montre que l'application 
\begin{equation}
\text{PBW} : \begin{array}{ccc}
\Uec{}{\gG_1}\ot\Uec{}{\gG_2}&\longrightarrow&\Uec{}{\gG}\\
a\ot b&\longmapsto&ab
\end{array}
\end{equation}
est un isomorphisme de cog�bres. Notons $\eps$ la co�nit� de $\Uec{}{\gG_1}$.
L'application  $\eps\ot\id : \Uec{}{\gG_1}\ot\Uec{}{\gG_2}\to\Uec{}{\gG_2}$ 
est un morphisme de cog�bres, dont le noyau 
$\gG_1\Uec{}{\gG_1}\ot\Uec{}{\gG_2}$ a pour image 
$\gG_1\Uec{}{\gG}$ par PBW.
La cog�bre-quotient $\Uec{}{\gG}/\gG_1 \Uec{}{\gG}$ est
donc isomorphe � $\Uec{}{\gG_2}$ et on a un diagramme commutatif de 
cog�bres:
\begin{equation}
\xymatrix{
\Uec{}{\gG_1}\ot\Uec{}{\gG_2}\ar@<-1ex>[d]_-{\eps\ot\id}\ar[r]^-{\text{PBW}}&\Uec{}{\gG}\ar[d]^{\pi} \\
\Uec{}{\gG_2}\ar@<-1ex>[u]_-{1\ot\id}\ar[r]^{~}&\Uec{}{\gG}/\gG_1 \Uec{}{\gG}
}
\end{equation}
Les deux fl�ches horizontales de ce diagramme �tant des isomorphismes de 
cog�bres, on d�duit de $1\ot\id$ une section de la projection canonique $\pi$,
avec comme cons�quence:
\begin{prop}\label{prop_regulgen}
Tout �l�ment \glk{} de $\mglk{}(\Uec{\k}{\gG}/\gG_1\Uec{\k}{\gG})$ 
est l'image par $\pi$ d'un �l�ment de $\exp(\k\gG)$. 
Deux tels �l�ments se d�duisent l'un de l'autre par multiplication � gauche
par un �l�ment de $\exp(\k\gG_1)$. 
\end{prop}
On utilisera sans autre commentaire la variante pour les multiplications
� droite. 
\sss{Application � $\ItC_\cv$ et $\LCC_\cv$}
\vdeux{%
D'apr�s le th�or�me d'�limination de Lazard \cite{Reut}\fnote{Pr�ciser}, 
$\liel{}{\UB}$ est somme directe de $\QM u_{1,1}$ et de l'id�al engendr� par 
les $\ad u_{1,1}^k(u_{n,\nu})$ pour $k>0$ et $(n,\nu)$ quelconque.}
{La proposition \ref{prop_regulgen} s'applique notamment lorsque $\gG$ est
une alg�bre de Lie libre sur un alphabet $\AB$ et 
$\gG_1=\k a,$ pour $a\in\AB$: on prend pour $\gG_2$ le premier terme non 
trivial de la filtration d�croissante associ�e au degr� partiel en 
$\AB\moins{a}$.}    
 
La big�bre enveloppante de $\liel{}{\UB}$ est $(\assl{\QM}{\YB},\pcdot,\Det)$
(prop. \ref{prop_U}) et on a $y_{1,1}=u_{1,1}\in\UB$. 
Comme les coefficients de $y_{1,1}$ 
s'additionnent lorsqu'on multiplie deux s�ries \glkes{}, on en d�duit:
\begin{cor}\label{cor_regulDet}
   Toute s�rie $\Phi_\cv$ \glke{} de $(\assl{\QM}{\YB}_\cv,\Det)$ 
   est l'image par $\pi_\cv$ 
d'un �l�ment \glk{} de $(\assl{\QM}{\YB}, \Det)$. 
   Deux tels �l�ments $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont li�s par 
   $$ \Phi_2 = \exp((\l_2-\l_1)y_{1,1})\Phi_1, $$
   o� $\l_i$ est le coefficient de $y_{1,1}$ dans $\Phi_i$, 
   pour $i\in\{1,2\}$. 
\end{cor}
\vdeux{Pour $\gG=\liel{}{\XB}$, on a 
$\gG=\QM x_1\oplus [\gG,\gG]\oplus \QM x_0$. En appliquant deux fois la 
proposition \ref{prop_regulgen}, }
{De m�me, on peut d�composer $\liel{}{\XB}$ en 
$\QM x_1\oplus\hG\oplus\QM x_0$ et appliquer deux fois la proposition 
\ref{prop_regulgen}; }
il vient d'abord une variante pour 
$(\assl{\QM}{\YB},\D)$ du corollaire \ref{cor_regulDet}, puis: 
\begin{cor}\label{cor_regulD}
   Toute s�rie $\Phi_\cv$ \glke{} de $(\assl{\QM}{\XB}_\cv,\D)$ 
   est l'image par $\pi_\cv$ d'un �l�ment \glk{} de $(\assl{\QM}{\XB}, \D)$. 
   Deux tels �l�ments $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont li�s par 
   $$ \Phi_2 = \exp((\l_2-\l_1)x_1)\Phi_1\exp((\mu_2-\mu_1)x_0), $$
   o� $\l_i$ et $\mu_i$ sont respectivement les coefficients de $x_1$ et $x_0$ 
   dans $\Phi_i$, pour $i\in\{1,2\}$. 
\end{cor}    
Ces corollaires peuvent �galement se d�duire \cite{PetMinh,thesejoe}  
d'un processus plus fin de d�composition des exponentielles de Lie, 
bien plus adapt� pour les calculs informatiques que 
les d�veloppements en combinaisons lin�aires de mots. 

\sss{Notations}
On d�signera par $\ItC$ l'unique s�rie \glke{} de $(\sernc{\CM}{\XB},\D)$ 
telle que $\pi_\cv(\ItC)=\ItC_\cv$ 
et dans laquelle les coefficients de $x_0$ et $x_1$ sont nuls. De m�me, 
l'unique �l�ment diagonal de $(\sernc{\CM}{\YB},\Det)$ se projetant par 
$\pi_\cv$ sur $\LCC_\cv$ et dans laquelle le coefficient de $y_{1,1}$ est nul
sera not� $\LCC$. L'existence et l'unicit� de ces deux s�ries 
sont garanties par les corollaires \ref{cor_regulD} et \ref{cor_regulDet}. 

La s�rie $\pi_Y(\ItC)$ est caract�ris�e par le fait qu'elle est 
\glke{} dans $(\sernc{\CM}{\YB},\D)$, ant�c�dent de $\ItC_\cv$ par $\pi_\cv$
et que le coefficient de $y_{1,1}$ y est nul. 


La suite de cette partie est consacr�e � l'obtention d'une formule explicite de
comparaison entre $\ItC$ et $\LCC$.

On adoptera la convention suivante: soient $\k_1$ et $\k_2$ deux 
$\CM$-anneaux,\fnote{Dans le par. de conventions ?}
$f : \k_1\to\k_2$ une application $\CM$-lin�aire et 
$\Phi\in\sernc{\k_1}{\XB}$. On note $\ov{f}(\Phi)$ l'�l�ment de  
$\sernc{\k_2}{\XB}$ obtenu en appliquant $f$ aux coefficients de $\Phi$. 
L'application $\ov f$ ainsi d�finie est un morphisme de 
$\sernc{\CM}{\XB}$-bimodules. Si $f$ est un morphisme d'alg�bres et
$\Phi$ est \glk{} pour $\D$, alors $\ov{f}(\Phi)$ l'est aussi. De m�me
pour les $\YB$ et $\Det$. 


\sss{Interpr�tation pour les sommes it�r�es}\label{sss_regulaset}
Les coefficients de $\LCC_N$ sont des suites de $\divlogs$ 
(prop. \ref{prop_LNdivlog}). 
Comme $\As$ est un morphisme d'alg�bres, $\LCC_t\ \ass\ \ov{\As}(\LCC_N)$
est \glk{} dans $(\sernc{\CM[t]}{\YB},\Det)$ ; il se projette de plus par
$\pi_\cv$ sur $\LCC_\cv$, si l'on consid�re $\sernc{\CM}{\YB}$ comme inclus 
dans $\sernc{\CM[t]}{\YB}$. 
Le coefficient de $y_{1,1}$ dans $\LCC_t$ �tant $\As((H_N))$, �gal � 
$\g+t$, le corollaire \ref{cor_regulDet} 
appliqu� avec $\k=\CM[t]$ d�termine $\LCC_t$:
\begin{equation}\label{eq_LCCt}
   \LCC_t = \exp((\g+t)y_{1,1})\LCC
\end{equation}

\sss{Justifications de \ref{sss_comp}}\label{sss_aposteriori}
Par $1^k$, on entend la s�quence form�e de $k$ fois le nombre $1$. 
Par d�finition, $H_{k,N}\ \ass\ L^N_{1^k}(1^k)$ est le
coefficient de $y_1^k$ dans $\LCC_N$. Le polyn�me $\As((H_{k,N}))$ est
donc le coefficient de $y_1^k$ dans $\LCC_t$. La formule (\ref{eq_LCCt}) 
montre qu'il est de degr� $k$ en $t$.  

D'apr�s la formule de Kontsevitch, $L_{1^k}(1^{k-1},z)$, valeur en $z$  
de la fonction associ�e � $H_{k,N}$, n'est autre que le coefficient de $x_1^k$
dans l'�lement \glk{} $\ItC_{[0,z]}$. 
D'apr�s le lemme ci-dessous, c'est donc $(L_1(z))^k/k!$, car le 
coefficient 
de $x_1$ dans $\ItC_{[0,z]}$ est $L_1(z)$.     
\begin{lemme}\label{lemme_coeffx1}
Soient $\k$ un $\QM$-anneau, $\Phi$ un �l�ment \glk{} de 
$(\sernc{\k}{\XB},\D)$ et 
$\l$ le coefficient de $x_1$ dans $\Phi$. Le coefficient de 
$x_1^k$ dans $\Phi$ est $\l^k/k!$.
\end{lemme}     
\begin{preuve}
Munie du coproduit $\D$ pour lequel $t$ est primitif, $\serc{\QM}{t}$ 
est la big�bre enveloppante universelle compl�t�e 
de l'alg�bre de Lie commutative de base $\{t\}$. 
La substitution $\pi_t: x_1\mapsto t, x_\alpha\mapsto 0$ pour 
$\alpha\neq 1$ est clairement un morphisme de cog�bres de 
$(\sernc{\k}{\XB},\D)$ dans $(\serc{\k}{t},\D)$. L'image de $\Phi$ par 
$\pi_t$ est donc \glke{}, \ie{} de la forme $\exp(\mu t)$. 
La comparaison des termes de degr� 1 donne $\l=\mu$. 
\end{preuve}

\sss{Interpr�tation asymptotique pour les int�grales it�r�es}
\label{sss_asympit}
Les coefficients de $\LCC_z$ et de $\ItC_{[0,z]}$ sont les fonctions 
$z\mapsto L_{s_1,\ldots,s_r}(\s_1,\ldots,z\s_r)$, 
associ�es comme en \ref{sss_serfonc} aux suites 
$(L^N_{s_1,\ldots,s_r}(\s_1,\ldots,\s_r))_{N>0}$, qui sont dans $\divlogs$.
D'apr�s le  
corollaire \ref{cor_comp}, dont on vient de compl�ter la d�monstration,
ce sont donc des �l�ments de $\divlogf$.

On peut donc poser $\ItC_t\ \ass\ \ov\As(\ItC_z)$ ; c'est un �l�ment 
diagonal de
$(\sernc{\CM[t]}{\YB}, \D)$ qui se
projette par $\pi_\cv$ sur $\ItC_\cv$. Le coefficient de $x_1$ dans 
$\ItC_t$ vaut cette fois $-t$, car c'est $\As(L_1)$.  
Le corollaire \ref{cor_regulD} nous donne donc:
\begin{equation}\label{eq_ItCt}
\ItC_t=\exp(-x_1t)\pi_Y(\ItC)
\end{equation}
On voit au passage que $\pi_Y(\ItC)$ s'obtient ---  ainsi donc que 
les valeurs r�gularis�es des int�grales it�r�es de $0$ � $z$  --- 
en prenant le terme 
constant des d�veloppements asympotiques polynomiaux en $\log(1-z)$ 
des int�grales it�r�es de $0$ � $z$ au voisinage de $z=1$. On retrouve 
bien la \og{}r�gularisation canonique\fg{} de Goncharov, et 
la description de l'image d'un chemin aboutissant � un point-base 
tangentiel dans la comparaison Betti-de Rham \cite[15.52]{DelPi1}.
\sss{Comparaison des deux r�gularisations}\label{sss_compregul}
On a $\LCC_z=\qs\ItC_{[0,z]}$ et $\LCC_z$ se d�duit de 
$\LCC_N$ par l'application $\CM$-lin�aire 
$\divlogs\to\divlog_D$ de \ref{sss_comp}.

D'apr�s les d�finitions de $\ItC_t$ et $\LCC_t$ et le corollaire \ref{cor_comp},
on a $\ov{\comp}(\LCC_t)=\qs\ItC_t$. Comme $\ov\comp$ est un endomorphisme de
$\sernc{\CM}{\YB}$-modules � droite, 
on d�duit de (\ref{eq_LCCt}) et (\ref{eq_ItCt}) 
que l'on a $\LCC=\LCC_\corr \qs\pi_Z(\ItC)$, avec 
$\LCC_\corr\ \ass\ \ov\comp(\exp((\g+2t)y_1))$. La s�rie $\LCC_\corr$ est
 un produit d'�l�ments de $\sernc{\CM}{\YB}$ ; elle est donc � coefficients 
dans $\CM$. On a ainsi prouv�: 
\begin{prop}\label{prop_compregul}
 Il existe $S\in\serc{\CM}{y_{1,1}}$ telle que
que $$\LCC=S\cdot\qs\pi_Y(\ItC)$$ \end{prop}
\sss{Relation de r�gularisation} \label{sss_relregul}
La proposition \ref{prop_compregul} suffit � d�terminer de mani�re purement
alg�brique les coefficients de $S$. 

\begin{prop}\label{prop_fixecorr}
   Soit $\k$ un $\QM$-anneau, $\Phi$ un �l�ment \glk{} de 
$(\sernc{\k}{\XB},\D)$, et une s�rie $S$ de $\serc{\k}{t}$ telle
que l'�l�ment $\Phi_\et\ \ass\ S(y_{1,1})\cdot\qs\pi_Y(\ItC) $
de $\sernc{\k}{\YB}$ soit \glk{} pour $\Det$. On a 
$$  S = \exp\left(\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\scal{\Phi}{x_0^{n-1}x_1}
t^n\right) $$
\end{prop}
\begin{preuve}
L'application $\pi_t$ du lemme \ref{lemme_coeffx1} 
se factorise par $\pi_Y$. Le quotient, not� encore 
$\pi_t$, est la substitution $y_{1,1}\mapsto t, y_{n,\nu}\mapsto 0$ pour 
$(n,\nu)\neq (1,1)$. 
Par le lemme 
\ref{lemme_coeffx1}, on a 
$\pi_t\qs\pi_Y(\Phi)=1$, d'o� $\pi_t(\Phi_\et)=S$.  

D'apr�s la proposition \ref{prop_U}, on peut �crire $\Phi$ comme 
exponentielle d'une s�rie de Lie en les $u_{n,\nu}$. Pour $n\neq0$, notons 
$\alpha_{n,\nu}$ le coefficient de $u_{n,\nu}$
dans celle-ci. 

Comme $\serc{\CM}{t}$ est commutative, tout crochet
des $u_{n,\nu}$ est dans le noyau de $\pi_t$, d'o� 
\begin{equation}\label{eq_LCCun}
\log\pi_t(\Phi_\et)= \sum_{n\in\NM^*, \nu\in\G}\alpha_{n,\nu}\pi_t(u_{n,\nu})
\end{equation}
On a $\pi_t(u_{n,\nu})=0$ si $\nu\neq 1$, car 
$u_{n,\nu}$ est homog�ne de couleur totale $\nu$. On en d�duit
$$ \sum_{n>0} \pi_t(u_{n,1}) = 
\pi_t\left(\sum_{n\in\NM, \nu\in\Gamma} u_{n,\nu}\right)\ \egdef\ 
\pi_t\log\left(\sum_{n\in\NM, \nu\in\Gamma}y_{n,\nu}\right) = \log(1+t),$$
d'o� l'on tire $\pi_t(u_{n,1})=(-1)^{n-1}t^n/n$ par homog�n�it� de $\pi_t$.
Reportons dans (\ref{eq_LCCun}):
\begin{equation}\label{eq_LCCan}
  \log\pi_t(\Phi_\et)=\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\alpha_{n,1} t^n
\end{equation}
Il reste � d�terminer les $\alpha_{n,1}$. � des termes de longueur 
au moins 2 pr�s, on a $u_{n,\nu}=y_{n,\nu}$ (\cf{} \ref{sss_U}) et donc 
$\Phi_\et=\sum_{n,\nu} \alpha_{n,\nu}y_{n,\nu}$, car une s�rie de Lie n'a pas de 
terme constant. On voit donc que 
$\alpha_{n,1}$ est le coefficient de $y_{n,1}$ dans $\Phi_\et$, \ie{}
$\scal{\Phi}{x_0^{n-1}x_1}$. 
\end{preuve}
Le coefficient de $x_0^{n-1}x_1$ dans $\ItC$ vaut $\z(n)$ si $n\geq 2$ et 
0 si $n=1$. 
\begin{cor}[Relation de r�gularisation] \label{prop_relregul} 
Les s�ries $\LCC$ et $\ItC$ v�rifient
$$\LCC= \exp\left(\sum_{n\geq2}\frac{(-1)^{n-1}\z(n)}{n}y_{1,1}^n\right)\qs\pi_Y(\ItC)$$
\end{cor}
\sss{Cons�quences} 
Les relations DMR (doubles m�langes et r�gularisation) permettent de d�montrer
l'egalit� $\z(2,1)=\z(3)$, qui �tait connue d'Euler, et ne peut 
se d�duire des seuls doubles m�langes, relations de 
poids minimum 4.  

Les relations DMR impliquent\footnote{Voir \cite{thesejoe} cor. III.4.21 p. 97
pour le d�tail, dans 
le cas des polyz�tas.} plus g�n�ralement 
la relation d'Hoffman \cite{Hoffalg}, qui se g�n�ralise 
aux racines de l'unit� \cite{Big} et sur laquelle les calculs de 
\cite{PetMinh, Big} se fondent, en plus des doubles m�langes: elle se ram�ne
� l'absence de terme en $y_{1,1}$ dans le facteur correctif. 
On sait peu sur la r�ciproque, si ce n'est qu'elle est vraie pour les 
polyz�tas aussi loin que 
l'on puisse calculer par ordinateur avec les deux syst�mes, 
\ie{} jusqu'en poids 16.
\sss{Remarques} Le calcul de la proposition \ref{prop_fixecorr}
se ram�ne � la variante de Waring des formules de Newton, 
modulo l'inclusion que nous n'avons pas d�taill�e  
de l'alg�bre des fonctions sym�triques dans celle des quasi-sym�triques, 
elle-m�me incluse dans celle des fonctions quasi-sym�triques color�es (\cf{}
\ref{sss_remqsym}). 

	L'attribution de la relation de r�gularisation est difficile,
m�me en faisant abstraction des diff�rences de langage. Elle appara�t chez 
Goncharov\footnote{Ceci nous avait �chapp� � l'�poque de la r�daction de  
\cite{thesejoe}.} \cite{Gonch98, Gonch2001}, sous une forme duale de la proposition 
\ref{prop_compregul} ; chez �calle \cite{Ecalle}, par des arguments tr�s 
diff�rents, modulo la correspondance 
entre ses moules entiers et nos s�ries g�n�ratrices, sous la forme 
\ref{prop_compregul} ; chez Boutet de Monvel \cite{Boutet}, avec la d�finition
et le calcul complet de $\comp$. Plus  
r�cemment, on trouve dans \cite{Kaneko} des arguments proches,  
cette fois attribu�s � Zagier. 
   
\Subsection{Relations sp�cifiques aux racines de l'unit�} 
\sss{} 
Les relations de distribution du polylogarithme classique 
se g�n�ralisent directement aux polylogarithmes multiples \cite{Gonch2001}:
\begin{prop}\label{prop_distclass}
Soit $d$ un diviseur de l'entier $n$. Si $(s_1,\s_1)\neq(1,1)$, on a 
\begin{equation}\label{eq_distrib}
 \sum_{\t_1^d=\s_1,\t_2^d=\s_2,\ldots,\t_r^d=\s_r}
L_{s_1,\ldots,s_r}(\t_1,\ldots,\t_r)
= d^{r-(s_1+\cdots+s_r)}L_{s_1,\ldots,s_r}(\s_1,\ldots,\s_r)
\end{equation}
\end{prop}
Il s'agit de traduire cela en termes de s�ries g�n�ratrices non-commutatives.
\sss{Fonctorialit�s en $\G$}\label{sss_proj}
Tout morphisme de groupes $\phi:\G\to\G'$ donne lieu � deux substitutions 
$\phi_*:\assl{\QM}{\XB_\G}\to\assl{\QM}{\XB_{\G'}}$ et 
$\phi^*:\assl{\QM}{\XB_{\G'}}\to\assl{\QM}{\XB_\G}$, d�finies par:
\begin{equation}
\phi^*(x_\s) = \left\{
\begin{array}{lcl}
x_0 &\text{si}& \s=0 \\
\sum\limits_{\tau\in\phi^{-1}(\s)}x_\tau &\text{si}& \s\in\G \\
\end{array}\right. \qtext{et}
\phi_*(x_\s) = \left\{
\begin{array}{lcl}
d x_0 &\text{si}& \s=0\\
x_{\phi(s)} &\text{si}& \s\neq 0, 
\end{array}\right. 
\end{equation}
o� $d$ d�signe l'ordre de $\ker\phi$. 

Ces applications pr�servent les structures qu'on a pr�c�demment d�finies. 
Ce sont �videmment des morphismes de cog�bres pour $\D$. Elles stabilisent  
les $\assl{\QM}{\YB}$, commutent � $\pi_Y$. Par test sur les 
$y_{n,\nu}$, on voit que ce sont des morphismes de cog�bres pour $\Det$. 
L'image directe $\phi_*$ commute � 
$\ps$ et $\qs$; si $\phi$ est injective, l'image r�ciproque $\phi^*$
stabilise $\assl{\QM}{\YB}_\cv$ et commute � $\ps,\qs$ et $\pi_\cv$. 

\sss{}\label{sss_distrib}
Soit $\G$ un groupe commutatif fini. 
Pour tout diviseur $d$ de l'ordre de $\G$, notons $p^d$ l'application 
$\s\mapsto\s^d$, $\G^d$ son image et $i_d$ l'inclusion de $\G^d$ dans $\G$.


Pour $\G\subset\CM^*$, on laisse au lecteur le soin de
v�rifier que la proposition \ref{prop_distclass} 
se traduit par l'�galit�, dans $\sernc{\CM}{\YB_{\G^d}}$, de 
$i_d^*(\LCC_\cv)$ et $\pi_\cv p^d_*(\LCC)$. La m�me �galit� 
vaut pour $\ItC$, car $i_d^*$ et $p^d_*$ commutent �
$\ps$ et $\qs$. Les s�ries 
$i_d^*(\ItC)$ et $p^d_*(\ItC)$, toutes 
deux \glkes{}, ont donc m�me image, $i_d^*(\LCC_\cv)$,
par $\pi_\cv$. D'apr�s
le corollaire \ref{cor_regulD},  
il suffit de conna�tre leurs termes en $x_0$ et $x_1$ 
pour les comparer ; on en d�duit facilement 
la relation de distribution r�gularis�e: 
\begin{prop}
Pour tout sous-groupe multiplicatif fini $\G$ de $\CM^*$ et tout
diviseur $d$ de l'ordre de $\Gamma$, on a:
$$  p^d_*(\ItC) =
\exp\left(\sum_{\s^{n/d}=1, \s\neq1}\Li_1(\s)x_1\right)i_d^*(\ItC) $$
\end{prop}

\sss{Relations de poids un} \label{sss_poids1}
Un calcul direct permet d'obtenir, pour $k$ strictement compris entre
$0$ et $n/2$:
\begin{equation}
   L_1(\exp(2ki\pi/n))-L_1(\exp(-2ki\pi/n))) = (n-2k)i\pi
\end{equation}
Lorsque $\nu$ varie dans $\mub_n(\CM)$, 
les $L_1(\nu)-L_1(\nu^{-1})$ sont donc tous colin�aires sur $\QM$, 
avec des coefficients explicites, mais qui  
ne sont pas invariants par automorphismes de $\mub_n(\CM)$, �
l'exception de la conjugaison complexe.%
\footnote{Si $n\not\in\{1,2,3,4,6\}$, auquel cas $\mub_n(\CM)$ a plus de deux 
automorphismes, on voit donc que 
les relations de poids un ne d�coulent pas des autres, qui sont 
invariantes gr�ce aux propri�t�s �num�r�es en \ref{sss_proj}. 
} 
  
D'apr�s \cite{Del01}, ceci traduit la d�pendance non fonctorielle 
de la correspondance Betti-de Rham du choix d'un plongement du corps
cyclotomique dans $\CM$. Par contre, la d�pendance par rapport au choix 
d'une cl�ture alg�brique de $\RM$ est fonctorielle, 
donnant lieu � l'invariance par conjugaison, qui a 
d'int�ressantes cons�quences (voir \ref{subsec_conseq}). 



  







formel.tex
\begin{defi}\label{def_DM}
   Pour tout $\QM$-anneau $\k$ et tout groupe commutatif fini
   $\Gamma$, on note $\DMR(\Gamma)(\k)$ l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments $\Phi$
   de $\sernc{\k}{\XB_{\G}}$ tels que:
\begin{eqnarray}
  (\Phi|1) =  1 &\text{\rm et}& (\Phi|x_0) = (\Phi|x_1) = 0
  \label{eq_Phipoids1}\\ 
  \D\Phi\ =\ \Phi\whot_{\k}\Phi &\text{\rm et}&  \Det\Phi_\et\ =\
  \Phi_\et\whot_{\k}\Phi_\et, \\
\qtext{o{\`u} l'on pose} \Phi_\et\ \ass\ \Phi_\corr\cdot\qs\pi_Y(\Phi)&\text{\rm et}&\Phi_\corr\ \ass
 \   \exp\left(\sum_{n\geq2}
{\frac{(-1)^{n-1}}{n}(\pi_Y(\Phi)|y_{n,1})y_{1,1}^n}\right)\nonumber
\end{eqnarray}

Pour tout plongement $\iota$ de $\G$ dans $\CM^*$, on note
$\DMRP(\iota)(\k)$ l'ensemble des �l�ments $\Phi$ de $\DMR(\G)(\k)$ 
v�rifiant les relations de poids un:
\begin{equation}
   \scal{\Phi}{x_{\xi^k}-x_{\xi^{-k}}} = 
\frac{n-2k}{n-2}\scal{\Phi}{x_\xi-x_{\xi^{-1}}},
\end{equation} 
avec $\xi\ \ass\ \iota^{-1}(exp(2i\pi/n))$ et $k$ compris entre 1 et n/2. 

Soit $n$ l'ordre de $\G$. On note respectivement 
 $\PDMRD(\G)(\k)$ et $\DMRD(\iota)(\k)$ 
l'ensemble des �l�ments $\Phi$ de $\DMR(\G)(\k)$ et de $\DMRP(\iota)(\k)$
v�rifiant pour tout diviseur $d$ de $n$ la relation de distribution:
\begin{equation}\label{dist_DMRD}
  p^d_*(\Phi) =
\exp\left(\sum_{\s^{n/d}=1}(\Phi|x_\s)x_1\right)i_d^*(\Phi) 
\end{equation}
Lorsqu'il n'y a pas d'ambigu�t� sur $\G$ ou $\iota$, 
on le supprimera de la notation.
\end{defi}

Le contenu de la section \ref{sec_descr} se r�sume donc ainsi:
pour tout $\iota$, la s�rie $\ItC(\iota(\G))$, 
d�finie � partir des valeurs prises par les
polylogarithmes multiples sur $\iota(\G)$, est un �l�ment 
de $\DMRD(\iota)(\CM)$. Bien s�r, la donn�e de $\iota$ n'est possible que
si $G$ est cyclique, et �quivaut � celle de $\xi$. Nombre de propri�t�s
se formuleront n�anmoins pour $\G$ quelconque. 

\begin{defi}\label{def_DMl}
   Soient $\k$, $\iota: \G\to\CM^*$, $\xi$ et $n$ comme pr�c�demment. 
On note resppectivement $\DMRP_\l(\k)$ et $\DMRD_\l(\k)$
   l'ensemble des �l�ments $\Phi$ de $\DMRP(\k)$ et $\DMRD_\l(\k)$ 
tels que $(\Phi|\alpha_\iota) = \l$, avec 
$$\alpha_\iota\ \ass\ \left\{\begin{array}{lcl}
	x_0x_1 = y_{2,1} &\text{\rm si}& n\in\{1,2\} \\
	\frac{2n}{n-2}(x_\xi-x_{\xi^{-1}})&\text{\rm si}& n\geq3
\end{array}\right.
$$	 
\end{defi}
Plus g�om�triquement, $\Phi\mapsto\scal{\Phi}{\alpha_\iota}$ 
est un morphisme de sch�mas $\DMRP\to\AM^1$ 
et  $\DMRP_\l(\k)$ est l'ensemble des $\k$-points de la fibre 
de $\DMRP$ au-dessus de $\l : \spec\k\to\AM^1$. 

Pour $n\leq 2$ (auquel cas $\iota$ est unique), 
le coefficient de $x_0x_1$ dans $\ItC$ est 
par d�finition $\z(2)$, et donc cette s�rie appartient � 
$\DMRD_{\z(2)}(\CM)$. 

Pour $n\geq3$, le coefficient de $\iota(x_{\xi^k})$ dans $\ItC$ 
vaut $L_1(\exp(2ki\pi/n))$. D'apr�s \ref{sss_poids1}, on a donc dans ce cas 
$\ItC\in\DMRD_{2i\pi}(\CM)$,

\input{MT}

\Subsection{�nonc� d�taill�}
\begin{theo}\label{theo_moi}
Fixons un plongement $\iota$ d'un groupe commutatif fini dans $\CM^*$.
\begin{itemize} 
   \item $\DMRP_0$ et $\DMRD_0$ sont des sous-sch�mas en groupes de $\MT$.  
   \item Pour tout $\QM$-anneau $\k$ et $\l\in\k$, les groupes 
	$\DMRP_0(\k)$ et $\DMRD_0(\k)$ agissent librement et transitivement
par multiplication $\pmt$ � gauche respectivement sur $\DMRP_\l(\k)$ et 
$\DMRD_\l(\k)$. 
   \item $\DMRP_\l(\k)$ et $\DMRD_\l(\k)$ sont non-vides. 
\end{itemize} 
\end{theo}
Autrement dit, $\DMRP\to\AM^1$ et $\DMRD\to\AM^1$ sont des torseurs triviaux,
respectivement sous $\DMRP_0$ et $\DMRD_0$. 


\subsection{Espaces tangents � l'origine}\label{subsec_dm}
La premi�re �tape de la preuve du th�or�me \ref{theo_moi} concerne
les espaces tangents au voisinage de 1 de $\DMR$ et $\PDMRD$, \ie{} 
les points de la forme $1+\eps\psi$ � coefficients 
l'anneau des nombres duaux $\k[\eps]$. 

On les d�crit en \ref{sss_defdm} et on �tudie en 
\ref{sss_virelng1} les contraintes portant sur les termes de longueur 1
de leurs �l�ments. La propri�t� obtenue est l'origine combinatoire 
de l'intervention de la fl�che $\DMRP\to\AM^1$. 
\sss{D�finitions} \label{sss_defdm}
Pour tout $\QM$-anneau $\k$, et $\G$ quelconque, soit
$\dmr(\k)$ l'ensemble des s�ries $\psi$ de $\sernc{\k}{\XB}$ qui 
v�rifient les �quations: 
\begin{eqnarray}
(\psi|x_0)&=&(\psi|x_1)=0 \\
\D\psi=1\ot_\k\psi + \psi\ot_\k 1 &\text{et}& \Det(\psi_\et)=1\ot_\k\psi_\et +
\psi_\et\ot_\k 1,\label{eq_psiprim}\\
\qtext{o{\`u} l'on pose} \psi_\et\ \ass\ \qs\pi_Y(\psi) + \psi_\corr &\text{et}&
\psi_\corr\ \ass\ \sum_{n\geq 2}
\frac{(-1)^{n-1}}{n} (\psi|y_{n,1})y_{1,1}^n\nonumber
\end{eqnarray}

Soit $\dmrd(\k)$ l'ensemble de celles 
qui v�rifient en outre, pour tout diviseur $d$ de l'ordre de $\G$, 
les relations de distribution 
\begin{equation}\label{dist_dmrd}
p^d_*(\psi) = i_d^*(\psi)+
\sum_{\s^{n/d}=1}(\psi|x_\s)x_1
\end{equation}

On laisse le lecteur se convaincre du fait que $\dmr$ et $\dmrd$ 
sont, au sens plus haut, les espaces tangents � $\DMR$ et $\PDMRD$ 
au voisinage de 1. 

Il est clair que la composante homog�ne de poids $p$ d'un �l�ment de 
$\dmr(\k)$ est encore dans $\dmr(\k)$. On a donc l� un sch�ma vectoriel
(\cf{} \ref{subsec_conv}), associ� au $\QM$-espace vectoriel gradu�, qu'on
notera encore $\dmr$, des �l�ments de $\assl{\QM}{X}$ qui sont dans 
$\dmr(\QM)$. De m�me pour $\dmrd$. 
 

\sss{Termes de longueur 1}\label{sss_virelng1} On exhibe une contrainte portant sur les termes de longueur 1 des �l�ments de $\dmr$. On verra plus loin que 
c'est la seule. 
\begin{prop} \label{prop_virelng1}
Soient $\psi\in\dmr, \nu\in\G$ et $n$ un entier $\geq2$. On a les �galit�s: 
\begin{eqnarray}\label{eq_virelng1_a}
 \scal{\psi_\et}{y_{n,\nu}} + (-1)^n \scal{\psi_\et}{y_{n,\nu^{-1}}} &=& 0
\qtext{si $n\geq3$;}   \\ 
 \scal{\psi_\et}{y_{n,\nu}} + \scal{\psi_\et}{y_{n,\nu^{-1}}} + 
\scal{\psi_\et}{y_{2,1}} &=& 0\qtext{si $n=2$ et $\nu\neq1$.} 
\label{eq_virelng1_b} 
\end{eqnarray}
\end{prop}
\begin{lemme}\label{lemme_virelng1}
  Pour tout {\'e}l{\'e}ment $\psi$ de $\liel{}{\XB}$, tout
  $n\in\NM^*$ et tout $\nu\in\G$, on a   
$$ \scal{\qs\pi_Y(\psi)}{ y_{1,1}y_{n-1,\nu} + (-1)^n
  y_{1,\nu}y_{n-1,\nu^{-1}}} = 0$$
\end{lemme}
\begin{preuve} 
De mani{\`e}re {\'e}quivalente, on doit prouver que l'on a:
$$ \scal{\psi}{x_1x_0^{n-2}x_\nu + (-1)^n x_\nu x_0^{n-2}x_1} = 0$$
Comme $\psi\in\liel{}{X}$, l'antipode $S_X$ le transforme en son 
oppos�. Le coefficient de $x_1x_0^{n-2}x_\nu$ est donc l'oppos� de celui de 
$S_X(x_1x_0^{n-2}x_\nu)=(-1)^n x_\nu x_0^{n-2}x_1$
\end{preuve}
\begin{lemme}\label{lemme_virelng1_2} 
Soient $n\geq 2$ un entier, $\s,\tau\in\G$. 
 Si $n\geq 3$ ou $(\s,\t)\neq(1,1)$, on a, pour tout $\psi\in\liel{}{\XB}$:
\begin{equation}
 \scal{\psi_\et}{y_{n-1,\tau}y_{1,\s\tau^{-1}}} +
  \sum_{p=1}^{n-1} \scal{\psi_\et}{y_{p,\s}y_{n-p,\tau\s^{-1}}} = 0
\end{equation}
\end{lemme}
\begin{preuve}
On peut supposer $\psi$ homog�ne de poids $n$. 
Le terme correctif $\psi_\corr$ est dans ce cas un multiple 
scalaire de $y_{1,1}^n$. 
L'hypoth�se sur $n,\s$ et $\tau$ assure donc que les coefficients de
$y_{1,\s}y_{1,\tau}$ dans $\qs\pi_Y(\psi)$ et $\psi_\et$ sont �gaux.
En utilisant $\ps$, on est donc ramen� � prouver:
\begin{equation}
   \scal{\psi}{x_0^{n-2} x_\tau x_\s} +
  \sum_{p=1}^{n-1} \scal{\psi}{x_0^{p-1} x_\s x_0^{n-p-1} x_\tau} = 0,
\end{equation}
Il s'agit en fait d'un calcul avec le produit $\sh$,
 dual de $\D$, dont on a jusqu'� pr�sent �vit� l'emploi (voir \cite{Reut}). 
Il est d�fini par 
$\scal{a}{b\sh c}=\scal{\D(a)}{b\ot c}$ pour tous $a,b,c\in\assl{\QM}{\XB}$.  
Le d�veloppement de $x_\s \sh x_0^{n-2}x_\tau$ est 
la somme de toutes les insertions possibles de $x_\s$ dans $x_0^{n-2}x_\tau$:
$$x_\s \sh x_0^{n-2}x_\tau = 
x_0^{n-2} x_\tau x_\s +
  \sum_{p=1}^{n-1} x_0^{p-1} x_\s x_0^{n-p-1} x_\tau
$$
Comme $\psi$ est primitif, on a 
$\scal{\psi}{x_\s\sh x_0^{n-1}x_\tau}=\scal{\D\psi}{x_\s\ot x_0^{n-1}x_\tau}=0$
\end{preuve}
\sss{D{\'e}monstration de la proposition \ref{prop_virelng1}}
Le lemme \ref{lemme_virelng1_2}, appliqu�, pour $n\geq3$ ou $\nu\neq1$, � 
$(\s,\tau)=(\nu, \nu)$, puis $(1,\nu)$ donne:
\begin{eqnarray}
\label{eq_virelng1_0} 
\scal{\psi_\et}{y_{n-1,\nu}y_{1,1}} + 
  \sum_{p=1}^{n-1}\scal{\psi_\et}{y_{p,\nu}y_{n-p,1}} &=& 0\qtext{et}\\
\scal{\psi_\et}{y_{n-1,\nu}y_{1,\nu^{-1}}} + 
  \sum_{p=1}^{n-1} \scal{\psi_\et}{y_{p,1}y_{n-p,\nu}} &=& 0,
	\qtext{\ie}\nonumber \\ 
\label{eq_virelng1_1} 
\scal{\psi_\et}{y_{n-1,\nu}y_{1,\nu^{-1}}} + 
   \sum_{p=1}^{n-1} \scal{\psi_\et}{y_{n-p,1}y_{p,\nu}} &=& 0
\end{eqnarray}
Or, pour tout $p$ compris entre 1 et $n-1$, la primitivit� de $\psi_\et$
pour $\Det$ donne (\cf{} \ref{prop_etpart}): 
$$ \scal{\psi_\et}{y_{n,\nu} + y_{p,\nu}y_{n-p,1} + y_{n-p,1}y_{p\nu}} =
0 $$ On tire donc en sommant les {\'e}galit{\'e}s (\ref{eq_virelng1_0}) et
(\ref{eq_virelng1_1}): 
\begin{eqnarray}
  (\psi_\et | y_{n-1,\nu}y_{1,1} + y_{n-1,\nu}y_{1,\nu^{-1}}) -
  (n-1)(\psi_\et | y_{n,\nu}) &=& 0,\qtext{puis}\\
  -(\psi_\et | y_{1,1}y_{n-1,\nu} + y_{1,\nu^{-1}}y_{n-1,\nu}) -
  n(\psi_\et | y_{n,\nu}) - (\psi_\et | y_{n,1}) &=& 0 
\label{eq_virelng1_2}
\end{eqnarray}
L'{\'e}quation (\ref{eq_virelng1_2}) 
somm{\'e}e avec sa variante pour $\nu^{-1}$ pond{\'e}r{\'e}e par $(-1)^n$ 
donne:
\begin{multline}
n(\psi_\et | y_{n,\nu} + (-1)^n
y_{n,\nu^{-1}}) + (1 + (-1)^n) (\psi_\et | y_{n,1}) = \\
\left(\aug\psi_\et \left| y_{1,1}y_{n-1,\nu} + (-1)^n
y_{1,\nu}y_{n-1,\nu^{-1}}\right.\right) 
+ \left(\aug\psi_\et \left| y_{1,\nu^{-1}}y_{n-1,\nu} + (-1)^n
  y_{1,1}y_{n-1,\nu^{-1}}\right.\right)  
\end{multline}
D'apr{\`e}s le lemme (appliqu{\'e} pour $\nu$ et $\nu^{-1}$), on a donc
\begin{equation}\label{eq_virelng1_3}
 n(\psi_\et | y_{n,\nu} + (-1)^n
y_{n,\nu^{-1}}) + (1 + (-1)^n) (\psi_\et | y_{n,1}) = 0
\end{equation}

Pour $n$ impair et sup�rieur � $3$ ou $n=2, \nu\neq 1$, 
l'�quation (\ref{eq_virelng1_3}) donne directement le r�sultat voulu.
Pour $n$ pair, sup�rieur � $3$ et $\nu=1$, l'�quation 
(\ref{eq_virelng1_3}) devient $(\psi_\et|y_{n,1}) = 0$, ce qui 
report� dans (\ref{eq_virelng1_3}) donne � nouveau (\ref{eq_virelng1_a}).
\hfill\qed
\sss{}
On a une r�duction suppl�mentaire:
\begin{prop}\label{prop_y2} 
Soit $\psi\in\dmr$. Si $\G$ est de cardinal au moins 3, le coefficient de 
$y_{2,1}$ dans $\psi$ est nul.
\end{prop}
\begin{preuve}
\vdeux{Pour tout $\psi\in\assl{\QM}{\XB}$, }
{Pour tout $\psi\in\assl{\QM}{\XB}$, 
primitif pour $\D$, le coefficient de $x_\s\ot x_{\s\tau}$ dans 
$\D\psi$ �tant nul, } on a  
 $\scal{\psi}{x_\s x_{\s\tau} + x_{\s\tau} x_\s} = 0$. 
   Si $(\s,\tau)\neq(1,1)$, on en d�duit la nullit� de  
$\scal{\ps\psi_\et}{x_\s x_{\s\tau} + x_{\s\tau} x_\s}$, ce qui donne:
$$
 (\psi_\et | y_{1,\s}y_{1,\tau}) = - (\psi_\et| y_{1,\s\tau}y_{1,\tau^-1}) 
= (\psi_\et | y_{2,\s} + y_{1,\tau^{-1}}y_{1,\s\tau}),$$
la deuxi�me �galit� provenant de la proposition \ref{prop_etpart}.
L'application $(\s,\t)\mapsto(\t^{-1},\s\t)$ est cyclique d'ordre 6.
En it�rant six fois l'�galit� ci-dessus, on obtient facilement 
$$ \scal{\psi_\et}
{y_{2,\s} + y_{2,\tau^{-1}} + y_{2,\s^{-1}\tau^{-1}}
+ y_{2,\s^{-1}} + y_{2,\tau} + y_{2,\s\tau}} =0 $$
Gr�ce � la proposition \ref{prop_virelng1}, ceci entra�ne la nullit� de 
$\scal{\psi_\et}{y_{2,1}}$, � condition qu'il existe  
$\s$ et $\tau$ dans $\Gamma$ tels que $\s$, $\tau$ et $\s\tau$ soient tous
diff{\'e}rents de 1.

Un groupe $\G$ non trivial dans lequel un tel choix est impossible est 
de cardinal 2: 
%Supposons qu'un tel choix soit impossible dans un groupe $\G$ non trivial et
fixons en effet $\s\in\G\setminus\{1\}$;
tout �l�ment $\tau$ de $\G\setminus\{1\}$ est l'inverse de ce $\s$. 
\end{preuve}

\sss{D�finitions de $\dmr_0$ et $\dmrd_0$}\label{sss_defdm0}
L'�quation (\ref{eq_virelng1_a}) interviendra � plusieurs reprises comme 
condition technique dans la suite. C'est cette condition qui est � 
l'origine du fait qu'on obtienne une action fibre � fibre de $\DMRP_0$ sur
$\DMRP$, et non une structure de groupe sur $\DMRP$. 

On notera dans la suite $\dmr_0$ et $\dmrd_0$
l'ensemble des �l�ments $\psi$ de $\dmr$ (resp. $\dmrd$) 
qui v�rifient (\ref{eq_virelng1_a}) pour tout $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$. 
Par les propositions \ref{prop_virelng1} et \ref{prop_y2}, il suffit d'imposer
(\ref{eq_virelng1_a}) pour $n=1$ si $|\G|\geq3$ ; pour $(n,\nu)=(2,1)$ si 
$|\G|\leq2$. 

Pour tout plongement $\iota$ de $\G$ dans $\CM^*$, on voit que 
$\dmr_0$ est l'espace tangent � $\DMRP_0$  
au voisinage de 1. Il est ind�pendant de $\iota$, 
car les relations de poids 1 s'�crivent  
sans coefficients dans le cas d�g�n�r� $\l=0$. 
De m�me $\dmrd_0$ est l'espace tangent � $\DMRD_0$ au voisinage de 1.

Comme cas particulier de (\ref{eq_virelng1_a}), on voit qu'un �l�ment $\psi$ 
de $\dmr_0$ n'a pas de terme en $y_{n,1}$ 
si $n$ est pair. Son terme correctif $\psi_\corr$ est donc une s�rie
impaire en $y_1$.  




intro.tex

Les valeurs aux entiers strictement positifs des fonctions polyz�tas 
\begin{equation}
  \z(s_1,\ldots,s_r)\ \ass\ 
\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_r>0} 1/{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_r^{s_r}}
\end{equation}
fournissent des solutions r�elles de probl�mes de nature purement alg�brique,
souvent dans le domaine de l'alg�bre quantique. 
D�j� consid�r�es par Euler dans le cas $r=2$, elles sont port�es � l'attention
du public par Zagier \cite{ZagierECM} au moment o� elles  
apparaissent comme les 
coefficients de l'associateur de Drinfel'd $\Phi_\KZ$ \cite{DrinQTQH, LeMur}.
Plus r�cemment, Kontsevitch les a retrouv�es dans son isomorphisme de 
formalit� \cite{Kon2}.   

Dans une s�rie d'articles  \cite{Gonch98, GonchDuke, Gonch2001}, Goncharov
s'int�resse � des objets plus g�n�raux, les polylogarithmes multiples. Ce sont
les fonctions de $r$ variables
	complexes d�finies dans le polydisque unit� par:
\begin{equation}\label{def_L}
  L_{s_1,\ldots,s_r}(z_1,\ldots,z_r)\ \ass\ 
\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_r>0} \frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}\cdots z_r^{n_r}}
{n_1^{s_1}n_2^{s_2}\cdots n_r^{s_r}},
\end{equation} 
o� $s_1,\ldots,s_r$ sont des entiers strictement positifs. Ces s�ries 
enti�res sont de rayon de convergence $1$ et ne divergent sur le 
polycercle unit� que pour $(s_1,z_1)=(1,1)$. Les polyz�tas ne sont que les
valeurs de ces fonctions lorsque les $z_i$ valent tous 1. 

Les valeurs des polylogarithmes multiples sont aussi celles d'int�grales 
it�r�es du type
\begin{equation}\label{def_I}
I_{[0,1]}(a_1, \ldots, a_p) =
\int_{0\leq t_p\leq\cdots\leq t_1\leq 1} \bigwedge_{i=1}^p \omega_{a_i}(t_i),
\end{equation}
avec $\omega_a(t)=adt/(a-t)$ pour $a\neq 0$ et $\omega_0(t)=dt/t$. 

Dans le cas des polyz�tas, c'est � Kontsevitch que l'on doit la
formule reliant ces deux types d'objets. 
En convenant que $0^k$ d�signe la s�quence 
form�e du chiffre $0$ r�p�t� $k$ fois, elle s'�crit:
\begin{equation}
\z(s_1,\ldots,s_r) = I_{[0,1]}(0^{s_1-1},1,0^{s_2-1},1,\ldots,0^{s_r-1},1),
\end{equation} 
et Goncharov l'a g�n�ralis�e aux polylogarithmes multiples.

\subsection{Relations de m�lange, exemples}
Notre propos est la combinatoire des relations de \og{}double m�lange\fg{} 
des valeurs des 
polylogarithmes multiples. Pour des raisons de finitude, on se limitera
au cas o� les $z_i$ 
\vdeux{sont des racines $n$\emes{} l'unit�.}{
parcourent le groupe $\mub_n(\CM)$ des racines $n$\emes{} l'unit�, $n$ �tant 
fix�.} 
Ces relations 
proviennent de manipulations formelles �l�mentaires, sur les �critures
(\ref{def_L}) et (\ref{def_I}). 

Par les s�ries enti�re, on obtient par exemple
\begin{multline}\label{exemple_rel2}
L_{s_1}(z_1)L_{s_2}(z_2) = \sum_{n_1,n_2>0} \frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}}
{n_1^{s_1}n_2^{s_2}} = \left(\sum_{n_1>n_2>0} + \sum_{n_2>n_1>0} + 
\sum_{n_1=n_2>0}\right) \frac{z_1^{n_1}z_2^{n_2}}{n_1^{s_1}n_2^{s_2}}\\
 = L_{s_1,s_2}(z_1,z_2)
+ L_{s_2,s_1}(z_2,z_1) + L_{s_1+s_2}(z_1z_2),
\end{multline}
\vdeux{}{et une formule plus compliqu�e pour le produit de deux s�ries du 
type (\ref{def_L}).}

D'un autre cot�, 
le produit de deux simplexes se d�compose en union de simplexes, ce qui fournit
la relation de m�lange des int�grales it�r�es:
\begin{equation}\label{exemple_relsh}
 I_{[0,1]}(a_1,\ldots,a_p)I_{[0,1]}(b_1,\ldots b_q)
= \sum_{\s\in\SG_{p,q}} I_{[0,1]}(a_{\s^{-1}(1)}, \ldots, a_{\s^{-1}(i)})
\end{equation}
Dans cette formule, $\SG_{p,q}$ d�signe l'ensemble des 
$(p,q)$-battages\footnote{En anglais, les {\em shuffles} ; \og{}m�lange\fg{}
est un terme moins pr�cis.}: les
permutations de $\{1,\ldots,p+q\}$ qui sont croissantes sur $\{1,\ldots,p\}$ 
et $\{p+1,\ldots, q\}$.

On a donc deux syst�mes de relations dont la combinatoire semble similaire.
On leur adjoindra la relation de r�gularisation, qui provient 
de l'annulation formelle de certaines divergences. 
Les arguments 
qu'on utilise pour l'obtenir sont emprunt�s � Boutet de Monvel \cite{Boutet}.
On essaie d'en pr�ciser l'historique. 

On forme ainsi le syst�me DMR (Doubles M�langes \& R�gularisation).   
Une conjecture de Kontsevitch et Zagier pr�voit 
\vdeux{que le syst�me DMR }{qu'il est \emph{complet}, \ie{} qu'il }engendre toutes les relations alg�briques entre polyz�tas.
Les valeurs aux racines de l'unit� satisfont �galement � d'autres relations,
distribution et poids un, qu'on regroupe dans le syst�me DMRD, dont 
on sait qu'il n'est pas complet en g�n�ral. 

Au cours de la section \ref{sec_descr}, on donne une description duale 
du syst�me DMRD:
 
�tant donn� un sous-groupe fini multiplicatif $\G$ de $\CM^*$, on consid�re
un alphabet $\XB_\G$ dont les �l�ments, not�s $x_\s$, sont index�s par $\GZ$.
les relations DMRD s'expriment de mani�re compacte sur la s�rie 
\vdeux{}{g�n�ratrice}{} non commutative
\begin{equation}
   \ItC = \sum_{p\in\NM, a_1,\ldots,a_p\in \GZ}
I_\g(a_1,\ldots,a_p)x_{a_1}\cdots x_{a_p},
\end{equation}
qui n'est autre, lorsque $\G=\{1\}$, que le $\Phi_\KZ$ de Drinfel'd.%
\footnote{Nos notations et celles de \cite[\S 5]{DrinQTQH} se correspondent
par $x_0=A, x_1=-B$.} 
La d�finition de $\ItC$ n�cessite de \og{}r�gulariser\fg{} les int�grales 
it�r�es divergentes, c'est-�-dire de leur donner un sens convenable. 
Cela sera fait directement sur les s�ries\vdeux{.}{ g�n�ratrices.} 

On a choisi d'�tablir directement les relations DMRD dans cette optique duale,
cela n'�tant gu�re plus long qu'un rappel de la pr�sentation habituelle et 
la preuve de l'�quivalence. Cela nous a naturellement conduits
� d�tailler les d�monstrations de nombre de propri�t�s �l�mentaires. 

\subsection{Aspects motiviques}
Les int�grales it�r�es du type (\ref{def_I}) ont un sens motivique qui 
explique une grande partie des propri�t�s alg�briques des polyz�tas. On en
donne ici un bref aper\c cu, renvoyant � \cite{DelPi1, Gonch2001, Del01}
pour un expos� complet. 
 

Soit $X=\Punrac{n}$, vu comme sch�ma sur un corps cyclotomique 
$F$ de degr� $n$ et choisissons un plongement complexe $\s$ de $F$. 
Le groupo�de fondamental motivique de $X$, d�fini par 
Goncharov \cite{Gonch2001}, est un
pro-objet de la cat�gorie tannakienne des motifs de Tate mixtes 
sur $\OC_{F,S}$ de {\em loc. cit}. 
Il a les images d�crites par Deligne dans \cite{DelPi1} 
par les foncteurs fibres de r�alisation $\omega_{B,\s}$
(de Betti, relativement � $\s$) et $\omega_\dr$ (de de Rham).
Notamment, en r�alisation de de Rham (d�finie sur $F$)
$\pi_1^\dr(X;a,b)$ est ind�pendant des points-base $a$ et $b$ et
s'identifie aux exponentielles de Lie 
\vdeux{de $\XB$}{form�es sur $\XB\ \ass\ \XB_{\mu_n(\CM)}$}.
\vdeux{D'apr�s \cite{Del01}, on }{On }a 
une $\QM$-structure canonique $\omega_\gr$ sur 
\vdeux{la r�alisation de de Rham. }
{le foncteur-fibre $\omega_\dr$ \cite{Del01}}.


La s�rie $\ItC$ s'interpr�te comme 
l'image du chemin $[0,1]$ par l'isomorphisme de comparaison
\begin{equation}\label{eq_BDR}
 \xymatrix@1{\pi_1^{B,\s}(X;(0,1), (1,0))(\CM)\ar[r]&
\pi_1^\dr(X; (0,1), (1,0))(\CM)}, 
\end{equation}
o� $(0,1)$ et $(1,0)$ sont les points-base tangentiels de Deligne. 
Par la th�orie g�n�rale des cat�gories tannakiennes, les isomorphismes 
entre les foncteurs-fibre $\omega_B$ et $\omega_\gr$ forment une vari�t� 
pro-alg�brique affine sur $\QM$, torseur sous le groupe $\GC_\gr$ des 
automorphismes de $\omega_\gr$. Ce groupe admet une d�composition 
$\GC_\gr = \Gm \ltimes \UC_\gr$, o� $\UC_\gr$ est le noyau de l'action 
sur le motif de Tate $\QM(1)$. Par d�finition, $\GC_\gr$ et $\UC_\gr$ 
commutent � toute fl�che de la forme $\omega_\gr(f)$. 

Soient $G$ et $H$ deux �l�ments de $\sernc{\k}{\XB}$. 
On �tudie en \ref{subsec_MT} le produit $G\pmt H$, d�fini si le terme constant
de $G$ est 1. Ce produit fait des s�ries � terme constant 1 de 
$\sernc{\k}{\XB}$ un groupe pro-unipotent, not� $\MT(\k)$, 
qui agit sur $\sernc{\k}{\XB}$. 
\vdeux{}{Cette op�ration appara�t, sous diverses formes, chez Drinfel'd, 
Goncharov et Ihara.} 

\def\mot{\text{\sf M}}
Il est expliqu� en d�tail dans \cite{Del01} comment l'action de 
\vdeux{$\UC_\dr$}{$\UC_\gr$} sur 
$\pi_1^\gr(X; (0,1), (1,0))$ se factorise par $\MT$, autrement dit, se fait
par la loi $\pmt$.  Deligne utilise 
l'image de $\UC_\gr$ dans $\MT$ pour construire une sous-vari�t� ferm�e 
$\mot$ de $\AM^1\times\MT$ dont 
 $\ItC$ est un point complexe,
exprimant ainsi les relations entre valeurs aux racines de l'unit� 
des polylogarithmes multiples qui sont cons�quences 
de la comparaison Betti-de Rham.\footnote{%
Cette construction nous est plus facile d'acc�s que celle, essentiellement 
�quivalente,
des polyz�tas motiviques $\z_\MC$ de Goncharov \cite{GonchICM}.} 
Une variante de la conjecture des p�riodes
de Grothendieck pr�voit que ce syst�me est complet.
On a une fl�che naturelle $\mot\to\AM^1$. Le tout satisfait � la propri�t�
(M) ci-dessous:

\begin{defi}
   Une sous-vari�t� ferm�e $V$ de $\pi_1^\dr(X; (0,1), (1,0))$ munie 
   d'une fl�che $V\to\AM^1$ dont on note $V_\l$ les fibres au-dessus 
   de $\l\in\AM^1(\k)=\k$ a la propri�t� (M) si $V_0$ est un sous-sch�ma en 
   groupes de $\MT$ et $V\to\AM^1$ est un torseur trivial sous 
   \vdeux{$\MT$.}{l'action de $V_0$ par $\pmt$.}  
\end{defi}
On ne connait pas de description de $\mot$ par un syst�me explicite 
d'�quations. Dans le cas des polyz�tas, 
\vdeux{}{\ie{} $X=\Puntrois$,}{}
la vari�t� $\Ass$ des associateurs 
de Drinfel'd  \cite{DrinQTQH}\footnote{Drinfel'd la note $\MC$. Elle est 
en fait construite dans $\AM^1\times\pi_1^\dr(X; (0,1), (1,0))$ et
munie de la premi�re projection. Ce n'est pas une diff�rence essentielle.} 
est un candidat. Les �quations la d�finissant 
sont li�es aux conditions de coh�rence de Mac-Lane 
et Drinfel'd prouve que $\Ass$ a la propri�t� (M) 
\cite[props. 5.5 \& 5.9]{DrinQTQH}. 
La nature motivique de $\Ass$ fait peu de doute, apparaissant
clairement dans la pr�sentation de Bar-Natan \cite{BarNatGT}.% 
\footnote{On peut interpr�ter
ses cat�gories $\widehat{PAB}$ et $\widehat{PACD}$ comme 
les \og{}tours\fg{} Betti et de Rham des groupo�des fondamentaux des 
espaces de configuration de $n$ points
sur la droite affine, restreints � un jeu de points-base tangentiels.} 
Le groupe 
$\Ass_0$ est la variante de de Rham du groupe de Grothendieck-Teichm�ller ;
Drinfel'd le note $\GRT_1$. 
L'�tude de
$\Ass$, et particuli�rement la recherche d'associateurs rationnels est 
en soi un probl�me important, du fait des nombreuses applications
\cite{Tam2, KEbial1, BarNatNAT, PCinv}. 

Le versant $\ell$-adique de ces objets a �t� �tudi� ind�pendamment par Ihara 
\cite{Ihcont,IhFest,IhIsrael} ; Hain et Matsumoto \cite{HainMat} ont r�cemment 
accompli des progr�s dans cette direction. 

\subsection{R�sultat principal}
Dans la section \ref{sec_formel}, on d�finit, par leurs $\k$-points, des
�l�ments de $\sernc{\k}{\XB}$,   
les vari�t�s pro-alg�briques $\DMRP$ et $\DMRD$ correspondant aux 
syst�mes DMR et DMRD. D'apr�s la section \ref{sec_descr}, $\ItC$ est 
un point complexe de $\DMRP$ et $\DMRD$.  

Une premi�re propri�t� de l'espace tangent $\dmr$ � $\DMRP$ au voisinage 
de la solution �vidente $1$ am�ne � consid�rer une fl�che $\DMRP\to\AM^1$,
attribuant � une s�rie un de ses coefficients. Pour la s�rie $\ItC$, 
ce coefficient n'est autre que $\z(2)$, si l'on travaille avec au plus 
deux racines de l'unit� ; dans les autres cas, c'est un multiple rationnel de 
$2i\pi$.  

On d�finit alors $\MT$ et on en �tudie les propri�t�s les plus imm�diates,
notamment diff�rentielles. 
Cela permet enuite d'expliciter l'�nonce de notre r�sultat principal\vdeux{}{,
annonc� dans \cite{crasjoe1,crasjoe2}}: 
$\DMRP$ et $\DMRD$ 
\vdeux{}{ont la propri�t� (M).} 

\subsection{Preuve}
La d�monstration se fait en deux �tapes. D'abord, on prouve que $\dmr_0$ 
et $\dmrd_0$ sont des sous-alg�bres de Lie de 
$\mt$\vdeux{}{, l'alg�bre de Lie de $\MT$, }
et que les $\DMRP_\l$ 
sont stables par l'action de l'exponentielle, au sens 
de $\MT$, de $\dmr_0$. 
C'est l'objet de la section \ref{sec_tangente}. La d�monstration 
repose sur l'encha�nement de plusieurs miracles combinatoires, et l'auteur
doit bien avouer ne pas avoir d'argument plus direct � proposer: la nature
motivique des relations du type (\ref{exemple_rel2}) n'est pas claire.

Au cours de la section \ref{sec_transitivite}, on compl�te la d�monstration du 
th�or�me en montrant que l'action de $\exp(\dmr_0)(\k)$ sur $\DMRP_\l(\k)$ est 
transitive pour tout $\k$. Cela r�sulte de la nature d'espace tangent de 
$\dmr_0$ et de l'existence d'une solution particuli�re: $\ItC$. L'argument 
est inspir� de \cite{BarNatGT}. Au prix d'une certaine gymnastique formelle,
essentiellement tautologique, on le d�veloppe dans un cadre un peu plus 
g�n�ral. 

On �tudie ensuite 
quelques cons�quences directes du th�or�me. Notamment, on exhibe  
certains �l�ments irr�ductibles de $\dmrd_0$ �gaux, dans le cas des 
polyz�tas, � ceux de $\grt_1$ d�finis par Drinfel'd \cite{DrinQTQH}. 
Dans tous les cas, ils engendrent l'alg�bre
de Lie de $\mot_0$ dans la description de Deligne \cite{Del01}.
Autrement dit, les relations motiviques impliquent les
relations DMRD. 

\subsection{Remerciements}Les plus vifs sont adress�s � Pierre Cartier,
qui a encadr� ce travail, et � Pierre Deligne pour ses patientes 
explications. La pr�sentation de la section \ref{sec_descr} profite 
directement des raccourcis de \cite{DelNotes}. 

Merci �galement � S. Aicardi, J. Bella�che, L. Boutet de Monvel, F. Digne,
B. Enriquez, 
A. Goncharov, I. Marin, J.--C. Novelli, M. Petitot et C. Reutenauer.

Ce travail a �t� effectu� alors que l'auteur pr�parait une th�se �
l'universit� de Picardie-Jules-Verne et �tait membre du d�partement 
de math�matiques de l'�cole Normale Sup�rieure. L'auteur 
b�n�ficie actuellement d'une bourse post-doctorale de l'ESF � 
l'universit� de M�nster, o� la r�daction a �t� achev�e.  

\subsection{Terminologie, notations, rappels, abus}\label{subsec_conv}
Les anneaux sont suppos�s commutatifs et unif�res, les alg�bres sont
associatives et unif�res; les cog�bres sont coassociatives et co�nif�res.
Un $\QM$-anneau est un anneau contenant $\QM$. Le groupe � un 
�l�ment est not� $\triv$. On fixe une cl�ture alg�brique $\CM$ de $\RM$. 
 

On adopte le point de vue fonctoriel sur les sch�mas, utilis� notamment 
par Demazure et Gabriel \cite{Demaz}: 
un sch�ma affine 
sur $\QM$ est un foncteur repr�sentable de la cat�gorie des $\QM$-anneaux.
Une vari�t� pro-alg�brique affine est une limite projective de sch�mas 
alg�briques affines. C'est encore un sch�ma affine. 
La lettre $\k$ d�signe en g�n�ral un $\QM$-anneau quelconque, qui sert 
de variable pour ces foncteurs. 

On utilise implicitement le produit tensoriel gradu� et le produit 
tensoriel compl�t�. Ce dernier est parfois not� $\whot$ si l'on tient 
� pr�ciser. 

Un $\QM$-espace vectoriel gradu� $V$ dont les composantes homog�nes
sont de dimension finie donne lieu � un sch�ma vectoriel 
$\k\mapsto V\whot\k$. On le notera simplement $V$, utilisant $V(\k)$ si 
n�cessaire. 
La $\QM$-alg�bre correspondante est l'alg�bre sym�trique du dual gradu� 
de $V$ (voir \cite[p. 147]{Demaz} pour le cas usuel). 

On note $\mglk(C)$ l'ensemble des �l�ments {\em\glks{}}\footnote{Cela
a �t� jug� pr�f�rable � l'utilisation r�p�t�e de \og{}group-like\fg{}.}
 d'une cog�bre 
$(C,\eps,\D)$, c'est-�-dire les $x\in C$ qui v�rifient 
$\D x = x\ot x$ et $\eps(x)=1$. 
Dans le cas o� $C$ est une big�bre gradu�e, rappelons que l'application 
exponentielle est une bijection
de l'ensemble des �l�ments primitifs du compl�t� $\wh{C}$ dans l'ensemble
des �l�ments \glks{} de $\wh{C}$. 

Pour un ensemble $Z$, on d�signe respectivement 
par $\assl{\k}{Z}$ et $\liel{\k}{Z}$
l'alg�bre associative libre et l'alg�bre de Lie libre 
sur $Z$ � coefficients dans $\k$. Dans tous les cas que l'on consid�rera, 
une graduation 
convenable permettra de d�finir les alg�bres filtr�es compl�tes
correspondantes, not�es $\sernc{\k}{Z}$ et $\whliel{\k}{Z}$ et de traiter
leurs �l�ments comme des s�ries formelles. \vdeux{}{On renvoie au livre 
de Reutenauer \cite{Reut} pour un expos� et une bibliographie complets 
� propos des alg�bres de Lie libres.}   

Pour ces objets libres, on qualifiera de {\em substitution} un morphisme dans
la cat�gorie appropri�e d�fini par son action sur les g�n�rateurs. 

Pour $w$ mot en $Z$ et $\Phi\in\sernc{\k}{Z}$, la notation 
$\scal{\Phi}{w}$ d�signe le coefficient de $w$ dans $\Phi$ et est �tendue
� tout �l�ment de $\assl{\k}{Z}$ par lin�arit� sur le membre de droite. 
On l'utilisera �galement pour les �l�ments de puissances tensorielles.
On en fait l'usage le plus limit� possible.

Une $\QM$-alg�bre de Lie $\gG$ est consid�r�e comme incluse dans son 
alg�bre enveloppante universelle $\Ue{}{\gG}$. 
C'est une big�bre de Hopf pour le coproduit $\D$ pour lequel les 
�l�ments de $\gG$ sont primitifs, la co�nit� $\eps$ par 
$\gG\subset\ker\eps$ et l'antipode $S$ par $S(x)=-x$ pour tout $x\in\gG$.  
Si $\gG$ est gradu�e et ses composantes homog�nes de dimension finie, 
on note $\Uec{\k}{\gG}$ le compl�t� � coefficients dans $\k$, munie de 
la structure de big�bre obtenue par l'extension continue des scalaires 
$\whot\k$. 

On utilisera fr�quemment la propri�t� imm�diate suivante: 
un morphisme d'alg�bres (resp. une 
d�rivation) entre deux 
big�bres est un morphisme de cog�bres (resp. une cod�rivation) 
si l'identit� appropri�e est vraie sur un syst�me de g�n�rateurs. 
Par exemple, si $\gG$ est stable pour une d�rivation de $\U{\gG}$, celle-ci
est une cod�rivation.

 







plan.tex
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\def\vdeux#1#2{#2}
\numberwithin{equation}{section}

\title%[Doubles m�langes des polylogs multiples]
{Doubles m�langes des polylogarithmes multiples aux racines de l'unit�}

\author{Georges Racinet}
\address{Mathematisches Institut, Einsteinstra\ss e 62, D--48149, M�nster} 
\email{racinet@math.uni-muenster.de}
\urladdr{http://www.dma.ens.fr/~racinet}
\date{\today}

\begin{document}
\frontmatter
\selectlanguage{french}
\begin{abstract}
   Les valeurs des fonctions polyz�tas aux entiers strictement positifs 
fournissent une solution au syst�me 
d'�quations des associateurs de Drinfel'd, aux nombreuses applications en
alg�bre quantique. Vues comme int�grales it�r�es, ce sont les p�riodes 
du groupo�de fondamental motivique de $\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$, 
d'o� un syst�me fondamental de relations alg�briques, 
qui implique celui des associateurs mais n'est pas explicite.  

  On �tudie ici la combinatoire d'un autre syst�me de relations, 
les \emph{doubles m�langes}, qui provient de manipulations �l�mentaires de 
s�ries et d'int�grales. On montre qu'il partage une propri�t� importante 
avec les associateurs et les relations \og{}motiviques\fg{}, est cons�quence de
ces derni�res et d�finit une alg�bre de polyn�mes sur $\mathbb{Q}$ 
(th�or�me d'�calle).  On obtient ces r�sultats pour les nombres plus g�n�raux
que sont les polylogarithmes multiples aux racines de l'unit� de Goncharov.
\end{abstract} 
\begin{altabstract}
  The values at positive integers of the polyzeta functions are solutions 
of the polynomial equations arising from Drinfeld's associators, which have
numerous applications in quantum algebra. Considered as iterated integrals 
they become periods of the motivic fundamental groupoid of 
$\mathbb{P}^1\setminus\{0,1,\infty\}$. From there comes a fundamental, yet 
no more explicit, system of algebraic relations; it implies the system of 
associators. 

   We focus here on the combinatorics properties of another system of 
relations, the ``double shuffles'', which comes from elementary series and
integrals manipulations. We show that it shares an important property with
associators and ``motivic'' relations, is implied by the latter and defines
a polynomial algebra over $\mathbb{Q}$ (�calle's theorem). We obtain these
results for more general numbers: values of Goncharov's multiple polylogarithms
at roots of unity.
\end{altabstract}	
\maketitle
\section{Introduction}\label{sec_intro}
 \input{intro}
\section{Description combinatoire des relations}\label{sec_descr}   
 \input{descr}
\section{�tude formelle des relations DMRD}\label{sec_formel}
 \input{formel}
\section{Action tangente}\label{sec_tangente}
 \input{tangente}
\section{Transitivit�}\label{sec_transitivite}
 \input{transitivite}


\nocite{IhICM, Hoffalg, Demaz, IhIsrael, Broad, Chen}

\bibliographystyle{joeplain}
\bibliography{defs,motifs,quantique,divers,homotopie,polychoses,combi,moi,traites,ICM}
\setcounter{tocdepth}{2}
\newpage
\tableofcontents
\end{document}
















tangente.tex
On �tablit dans cette section les r�sultats ci-dessous, qui forment la 
partie la plus difficile de la d�monstration du th�or�me. 
\begin{prop}\label{prop_DMRstable}
   Soient $\G$ un groupe commutatif fini et $\k$ un $\QM$-anneau.  
\begin{itemize}
	\item Les espaces tangents $\dmr_0$ et $\dmrd_0$ sont des 
sous-alg�bres de Lie de $\mt$.
	\item Les ensembles 
$\DMR(\k)$ et $\PDMRD(\k)$ sont stables par $\exp(s_\psi)$, pour tout 
$\psi$ appartenant respectivement � $\dmr_0(\k)$ et $\dmrd_0(\k)$. 
	\item L'action de $\exp(s_\psi)$ sur $\DMR(\k)$ commute �
la fl�che $\DMR(\k)\to\k$ d�finie par tout plongement de $\G$ dans $\CM^*$.  
\end{itemize}
\end{prop}
Gr�ce � la formule de Campbell-Hausdorff, le premier point implique que 
$\Exp(\dmr_0)$ et $\Exp(\dmrd_0)$ sont des sous-sch�mas en groupes 
de $\MT$. Le deuxi�me indique alors qu'il agit par multiplication $\pmt$ 
� gauche sur $\DMR$ (resp. $\PDMRD$). 

De \ref{subsec_infY} � \ref{subsec_DMRst}, 
on ne consid�re comme coproduit que
$\Det$. Par \og{}primitif\fg{}, il faut donc entendre par exemple 
\og{}primitif pour $\Det$\fg{}. 

\Subsection{Les op�rateurs infinit�simaux de $\MT$, vus sur $\qyg$}\label{subsec_infY}
\sss{D�finitions}
Pour tous $\psi,v\in\qxg$, comme $d_\psi$ est une d�rivation qui annule 
$x_0$, on a 
$$s_\psi(vx_0)=\psi vx_0+d_\psi(vx_0)=\psi vx_0+d_\psi(v)x_0$$ 
Il s'ensuit que le noyau $\qxg x_0$ de $\pi_Y$ est 
stable par $s_\psi$. Soit alors $s_\psi^Y$, l'endomorphisme du $\k$-module 
$\qyg$ tel que le diagramme ci-dessous commute: 
$$\xymatrix{
\qxg \ar[r]^{s_\psi}\ar[d]^{\qs\pi_Y} & \qxg\ar[d]^{\qs\pi_Y} \\
\qyg \ar[r]^{s_\psi^Y} & \qyg}
$$

On consid�rera �galement l'endomorphisme $D_\psi^Y$ de $\qyg$ donn� par
$$D_\psi^Y(v)\ \ass\ s_\psi^Y(v) - v\qs\pi_Y(\psi)$$ 
\sss{} 
Pour calculer explicitement $s_\psi^Y(v)$, on doit choisir
$w\in\qxg$ tel que $\pi_Y(w)=v$. Comme l'inclusion de $\qyg$ dans $\qxg$ 
est une section de $\pi_Y$, on peut prendre $w=v$. 

Par exemple, on a $\pi_Y(x_1)=y_{1,1}$,
$\qs(y_{1,1})=y_{1,1}$ et $s_\psi(x_1)=\psi x_1 + [x_1,\psi]=x_1\psi$, d'o�
on tire $\s_\psi^Y(y_{1,1})=\qs\pi_Y(x_1\psi)=y_{1,1}\qs\pi_Y(\psi)$. 
En d'autres termes:
\begin{prop}\label{prop_DpsiYy1}
Pour tout $\psi\in\qxg$, on a $D_\psi^Y(y_{1,1})=0$.
\end{prop}
On constate �galement la propri�t� suivante:
\begin{prop}\label{prop_Dpsider}
   Pour tout $\psi\in\qxg$, l'op�rateur $D_\psi^Y$ est une d�rivation de 
$\qyg$.
\end{prop}
\begin{preuve}
   Par lin�arit� et une r�currence �vidente, il suffit de d�montrer:
$$ D_\psi^Y(y_{n,\nu}w) = D_\psi^Y(y_{n,\nu})w + y_{n,\nu}D_\psi^Y(w),$$
pour tout $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$ et tout $w\in\assl{\QM}{\YB}$, homog�ne
de couleur totale $\ov{w}$. 

Remarquons d'abord que, pour $v\in\assl{\QM}{\YB}$, homog�ne
de couleur totale
$\ov{v}$ on a $\ps(vw) = \ps(v)t_{\ov{v}}(w)$, ce qui se v�rifie facilement dans le cas o� $v$ et $w$ sont des mots de $\YB$ et s'�crit encore:
\fnote{Rappel : $t_\nu$ est la substitution $x_0\mapsto x_0, x_\s\mapsto 
x_{\s\nu}$.}
\begin{equation}\label{eq_deriv_r}
vw = \qs(\ps(v)t_{\ov{v}}\ps(w))
\end{equation}
D'apr�s la d�finition de $\ps$, on voit d'autre part que $\qs(v)$ est 
homog�ne de couleur totale $\ov{v}$ si et seulement si tous les mots de
$\XB$ intervenant dans $v$ se terminent par $x_v$. 

En appliquant la d�finition de $D_\psi^Y$, on a
\begin{gather}
D_\psi^Y(y_{n,\nu}w) = \qs\pi_Y\left[\aug 
d_\psi(y_{n,\nu}t_\nu\ps(w)) + \psi y_{n,\nu} t_\nu \ps(w)\right] 
- y_{n,\nu}w\qs\pi_Y(\psi) \nonumber\\
 = \qs\pi_Y\left[\aug
d_\psi(y_{n,\nu})t_\nu\ps(w)) + \psi y_{n,\nu} t_\nu \ps(w) 
-y_{n,\nu}t_\nu\ps(w)t_{\nu\ov w}\psi \right]\nonumber\\
=  \qs\pi_Y\left[\aug 
d_\psi(y_{n,\nu})t_\nu\ps(w) + y_{n,\nu}t_\nu d_\psi(\ps(w))
+ \psi y_{n,\nu} t_\nu \ps(w) -y_{n,\nu}t_\nu\ps(w)t_{\nu\ov w}\psi \right],
\label{eq_deriv1}
\end{gather}
cette derni�re ligne s'obtenant en �crivant que $d_\psi$ est une d�rivation
et qu'elle commute, par d�finition, � $t_\nu$. 
On obtient de m�me 
\begin{equation}\label{eq_deriv2}
D_\psi^Y(y_{n,\nu}) = \qs\pi_Y\left[\aug
d_\psi(y_{n,\nu}) + \psi y_{n,\nu} -y_{n,\nu}t_\nu(\psi)\right]
\end{equation}
En revenant � la d�finition de $d_\psi$, on en d�duit imm�diatement que 
$D_\psi^Y(y_{n,\nu})$ est �gal � 
$\qs\pi_Y[-x_0^{n-1}t_\nu(\psi)x_\nu+\psi y_{n,\nu}]$ et est donc 
homog�ne de couleur totale $\nu$. On peut donc multiplier
(\ref{eq_deriv2}) � droite par $\ps(w)$ en utilisant (\ref{eq_deriv_r}).
Il vient:
\begin{equation}
D_\psi^Y(y_{n,\nu}) w = \qs\pi_Y\left[\aug
d_\psi(y_{n,\nu})t_\nu\ps(w) + \psi y_{n,\nu}t_\nu\ps(w) 
-y_{n,\nu}t_\nu(\psi)\t_\nu(\ps(w))
\right]\label{eq_deriv3}
\end{equation}
D'un autre c�t�, on a, plus facilement 
\begin{eqnarray}
\nonumber y_{n,\nu}D_\psi^Y(w) &=& y_{n,\nu}\qs\pi_Y\left[\aug
d_\psi(\ps(w)) + \psi\ps(w) -\ps(w) t_{\ov w}(\psi)\right]\\
&=& \qs\pi_Y\left[\aug
y_{n,\nu}t_\nu d_\psi(\ps(w)) + y_{n,\nu}t_\nu(\psi\ps(w)) 
- y_{n,\nu}t_\nu(\ps(w))t_{\nu\ov w}(\psi)\right]
\label{eq_deriv4}
\end{eqnarray}
La somme des seconds membres de (\ref{eq_deriv3}) et 
(\ref{eq_deriv4}) est bien celui de (\ref{eq_deriv1}). 
\end{preuve}

\sss{Remarques} Dans le cas $\G=\triv$ des polyz�tas, l'op�rateur 
$D_\psi^Y$ est simplement la restriction � $\qyg$ de la d�rivation continue 
$D_\psi$ d�finie par $D_\psi(x_0)=[x_0,\psi]$ et $D_\psi(x_1)=0$. 
Les propositions \ref{prop_DpsiYy1} et \ref{prop_Dpsider} 
sont alors �videntes. Dans le cas g�n�ral, on peut toujours consid�rer 
$D_\psi^Y$ comme la restriction de $v\mapsto \qs d_\psi \ps(v) - \psi\qs(v)$ 
� $\qyg$, mais ceci n'est plus une d�rivation de $\qxg$.
 
\subsection{Remont�e}Si $\psi_1$ et $\psi_2$ sont deux �l�ments de 
$\qxg$ ayant la m�me image 
par $\pi_Y$, il n'est pas vrai en g�n�ral que $s_{\psi_1}^Y$ et 
$s_{\psi_2}^Y$ 
soient �gales. On d�crit ici une section de $\pi_Y$ adapt�e aux 
�l�ments de $\liel{}{X}$. 
\sss{}
Notons $\d_{x_0}$ la d�riv�e partielle par rapport � $x_0$ dans 
$\assl{\QM}{\XB}$, c'est-�-dire la d�rivation qui envoie $x_0$ sur $1$ 
et les $(x_\s)_{\s\in\G}$ sur 0. Elle est homog�ne pour toutes les 
graduations de $\assl{\QM}{\XB}$ pour lesquelles les �l�ments de $\XB$ sont
homog�nes, en particulier le poids et la longueur. 
On v�rifie facilement
qu'elle commute � $\ps$ et que $\qyg$ est stable par $\d_{x_0}$.  

Soit $\sec$ l'application de $\qyg$ dans $\qxg$ d�finie par 
\begin{equation}
\sec(\psi)\ \ass\ \sum_{i\geq 0} \frac{(-1)^i}{i!}\d_{x_0}^i(\psi)x_0^i
\end{equation}

Pour $\psi\in\qyg$, on a clairement $\pi_Y\sec\psi=\psi$. Tout �l�ment 
$\psi$ de $\qxg$ s'�crit de mani�re unique sous la forme 
$\sum_{i\geq 0}\psi_i x_0^i$ si l'on impose aux $\psi_i$ 
d'appartenir � $\qyg$, et $\psi_0$ n'est autre que $\pi_Y(\psi)$. 
La condition $\d_{x_0}(\psi)=0$ est donc �quivalente � 
$$ \sum_{i\geq 0}\d_{x_0}(\psi_i) x_0^i + 
\sum_{i\geq 0} (i+1)\psi_{i+1} x_0^i $$ 
Les $\d_{x_0}(\psi_i)$ appartenant � $\qyg$, ceci est encore �quivalent � 
la relation de r�currence $(i+1)\psi_{i+1}+\psi_i=0$, 
pour tout $i\in\NM$. On en d�duit 
que les conditions $\d_{x_0}(\psi)=0$ et $\psi=\sec(\psi_0)$ sont �quivalentes.
Autrement dit:
\begin{prop}\label{prop_sec}
   L'application $\sec:\qyg\to\ker\d_{x_0}\subset\qxg$ est l'inverse de 
la restriction de $\pi_Y$ � $\ker\d_{x_0}$. 
\end{prop}

De la d�finition de $\d_{x_0}$ d�coule par une r�currence imm�diate que 
$\d_{x_0}$ annule tout �l�ment de $\liel{}{X}$ homog�ne
de poids au moins 2. Pour $\psi\in\whliel{\k}{\XB}$,
on a donc simplement $\d_{x_0}(\psi)=(\psi|x_0)$. De plus, on a 
$\d_{x_0}(y_{1,1}^n)=0$, et donc $\sec(y_{1,1}^n)=y_{1,1}^n$. De tout 
cela s'ensuit:
\begin{prop}\label{cor_sec}
   Pour $\psi\in\dmr(\k)$, on a $\psi=\ps\sec(\psi_\et) - \psi_\corr$. 
\end{prop}

\sss{Propri�t�s de $\d_{x_0}$ sur $\assl{\QM}{Y}$.}
La restriction de $\d_{x_0}$ � $\qyg$ est la d�rivation
qui envoie $y_{n,\nu}=x_0^{n-1}x_\nu$ sur $(n-1)y_{n-1,\nu}$.
Elle est donc homog�ne de degr� $(-1,1)$ 
pour le poids color� et de degr� -1 pour la longueur. 
\begin{prop}
   Pour tous $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$, on a 
\vdeux{$\d_{x_0} u_{n,\nu}=(n-1)y_{n,\nu}$}
{$\d_{x_0} u_{n,\nu}=(n-1)u_{n,\nu}$}.
\end{prop} 
\begin{preuve}
Dans l'alg�bre $\sernc{\QM[t]}{\YB}$, consid�rons la d�rivation 
$\QM$-lin�aire $\d_t$ par rapport � $t$. Notons $\d=\d_{x_0}-t^2\d_t$. 
Comme $t^2$ est central, $\d$ est encore une d�rivation. 

Soit $(\psi_n)_{n\geq 0}$ une suite
d'�l�ments homog�nes de poids $n$ 
de $\assl{\QM}{\YB}$ et 
\vdeux{$\Psi=\sum_{n}\psi_n$}{$\Psi\ \ass\ \sum_{n}\psi_nt^n$}.
On v�rifie facilement que les conditions
\begin{equation}\label{eq_dx0un}
\left[\text{Pour tout}\ n>0,\ \d_{x_0}(\psi_n)=(n-1)\psi_{n-1}\right]
\qtext{et}\d\Psi=0
\end{equation}
sont �quivalentes. La premi�re est v�rifi�e pour 
$\psi_n=\sum_{\nu\in\G} y_{n,\nu}$, et dans ce cas, la s�rie 
$\Psi$ n'est autre que $\YC_1(t)$, avec les notations de \ref{sss_sommepart}. 

Soit $\UC(t)$ la s�rie $\sum_{n,\nu} t^n u_{n,\nu}$. Par d�finition 
des $u_{n,\nu}$, on a $\UC(t)=\log(\YC_1(t))$. 
Comme  $\YC_1(t)$ v�rifie (\ref{eq_dx0un}), 
en d�veloppant le logarithme et en utilisant que $\d$ est une d�rivation,
on en d�duit $\d\UC(t)=0$. 

Pour tout $n>0$, on a donc $\d_{x_0}(\psi_n)=(n-1)\psi_{n-1}$, avec 
$\psi_n=\sum_{\nu\in\G}u_{n,\nu}$. La proposition en d�coule, car $\d_{x_0}$
est homog�ne pour la couleur totale. 
\end{preuve}

Comme l'ensemble des
�l�ments primitifs de $\assl{\QM}{\YB}$ est l'ensemble des polyn�mes de Lie
en les $u_{n,\nu}$, cela implique: 
\begin{cor}\label{cor_derAprim}
   L'ensemble des primitifs de $\qyg$ est stable par $\d_{x_0}$. 
\end{cor} 
On aurait aussi pu v�rifier directement par calcul sur les $y_{n,\nu}$ que 
$\d_{x_0}$ est une cod�rivation, redonnant ainsi ce corollaire, 
\subsection{Action par cod�rivation}
On �tablit ici par calcul direct le r�sultat ci-dessous, dont la proposition 
\ref{prop_DMRstable} sera une cons�quence quasi-directe. 
\begin{prop} \label{prop_coder}
  Pour tout $\psi\in\dmr_0$, l'application 
$s_{\ps\sec(\psi_\et)}^Y$ est une cod�rivation. 
\end{prop}

\sss{Retournements} 
Notons $\ret_Y$ l'anti-automorphisme d'alg�bres de $\qyg$ tel que 
$ret_Y(y_{n,\nu})=y_{n,\nu^{-1}}$, pour $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$. 
Par test sur les $y_{n,\nu}$, c'est un morphisme de cog�bres qui fixe 1,
d'o� en particulier:
\begin{prop}\label{prop_retYprim}
L'ensemble des �l�ments primitifs de $\qyg$ est stable 
par $\ret_Y$. 
\end{prop}

Cet op�rateur appara�t dans l'expression des $D_\psi^Y(y_{n,\nu})$ lorsque 
$S_X(\psi)=-\psi$. 
\footnote{Rappelons que $S_X$, l'antipode de $(\assl{\QM}{\XB},\cdot\D)$, 
est l'anti-automorphisme d'alg�bres 
 de $\assl{\QM}{\XB}$ qui envoie $x_\s$ sur $-x_\s$, pour tout $x_\s\in\XB$}
Cette condition est v�rifi�e en particulier par les �l�ments de 
$\liel{}{\XB}$. 
\begin{lemme}\label{lemme_Dpsiyn}
   Soit $\psi$ un �l�ment homog�ne de poids $p$ de $\assl{\k}{\XB}$ tel que  
   $S_X(\psi)=-\psi$. Soient $(\psi_{i,\g})_{0\leq i\leq p, 
\g\in\G}$ les �l�ments de $\qyg$ de couleur totale $\g$ caract�ris�s par:
\begin{equation*}
   \psi = \sum_{i\geq0}\ps(\psi_{i,\g})x_0^i
\end{equation*}
   Avec ces notations, on a pour tout $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$:
\begin{equation}\label{eq_Dpsilng1}
   D_\psi^Y(y_{n,\nu}) = \sum_{i\geq 0}\left(\aug\psi_iy_{n+i,\nu\gamma^{-1}}
+(-1)^py_{n+i,\nu\gamma}\ret_Y(\psi_{i\gamma})\right)
\end{equation}
\end{lemme}
\begin{preuve}
    On a successivement 
\begin{eqnarray*}
s_\psi(y_{n,\nu})&=&s_\psi(x_0^{n-1}x_\nu)=\psi x_0^{n-1}x_\nu + x_0^{n-1}x_\nu t_\nu(\psi) - x_0^{n-1}t_\nu(\psi)x_\nu, \qtext{d'o�} \\
s_\psi^Y(y_{n,\nu})&=& \qs(\psi x_0^{n-1}x_\nu) + y_{n,\nu}\pi_Y\psi 
- \qs(x_0^{n-1}\psi x_\nu)  
\end{eqnarray*}
Le r�sultat voulu d�coule alors de la d�finition de $D_\psi^Y$ et du 
lemme imm�diat ci-dessous, compte-tenu de $S_X(\psi)=-\psi$. 
\end{preuve}
\begin{lemme}\label{lemme_DpsiYn0}
  Pour tout {\'e}l{\'e}ment $\psi=\sum_{i\geq0,\g\in\G}\ps(\psi_{i,\g})x_0^i$ de $\qxg$, 
homog{\`e}ne de poids $p$, les  $\psi_{i,\g}$ {\'e}tant homog�nes de couleur 
totale $\g$ dans $\qyg$ et tout $(n,\nu)\in\NM^*\times\G$, les formules 
suivante sont valables: 
\begin{eqnarray*} 
\qs(\psi x_0^{n-1}x_\nu)
   &=&\sum_{i\geq0, \g\in\G}\psi_{i,\g} y_{n+i,\nu\gamma^{-1}}\\
\qs(x_0^{n-1}t_\nu S_X(\psi)x_\nu)
  &=&(-1)^p\sum_{i\geq0}{y_{n+i,\nu\gamma}\ret_Y(\psi_{i,\g})}
\end{eqnarray*}
\end{lemme}
%\begin{preuve}
%C'est imm�diat. \demo{lemme \ref{lemme_DpsiYn0_ann}}
%\end{preuve}
\sss{Abr�viations}\label{sss_abrev}
�tant donn� que $s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)}$ d�pend lin�airement de $\psi$, pour 
d�montrer la proposition \ref{prop_coder}, il suffit de traiter le cas o�
$\psi$ est un �l�ment homog�ne de poids $p$ de $\dmr_0$. On le supposera
fix� dans la suite et on adoptera les notations suivantes:
\begin{itemize}
   \item on abr�ge $D_{\ps\sec(\psi_\et)}^Y$ en $D$
   \item pour tout $(i,\g)\in\NM\times\G$, on note $\psi_{i,\gamma}$ la 
composante homog�ne de couleur totale $\g$ de $((-1)^i\d_{x_0}^i/i!(\psi_\et)$
et on pose 
$\chi_{i,\g}\ \ass\ (-1)^p \ret_Y(\psi_{i,\g})$. 
   \item on pose $z_{i,k}^{\g,\nu}\ \ass\ \psi_{i,\g}y_{k,\nu\g^{-1}} + y_{k, \nu\g}\chi_{i,\g}$, pour tout $(i,k,\g,\nu)\in\NM^2\times\G^2$.   
\end{itemize}
D'apr�s la stabilit� des primitifs par $\d_{x_0}$ et $\ret_Y$ 
(cor. \ref{cor_derAprim} et prop. \ref{prop_retYprim}) et l'homog�n�it� de 
$\Det$ pour la couleur totale, comme $\psi_\et$ est primitif, 
tous les $\psi_{i,\g}$ et $\chi_{i,\g}$ le sont. 

\sss{Calcul de $D$ sur les $y_{n,\nu}$}
D'apr�s le corollaire \ref{cor_sec}, 
$\ps\sec(\psi_\et)$ est la somme du polyn�me de Lie $\psi$ de 
$\qxg$ et de $\psi_\corr$, par d�finition multiple scalaire de 
$\scal{\psi}{y_p}x_1^p$, et donc nul par la proposition \ref{prop_virelng1} 
si $p$ est pair. 
Il s'ensuit que $\ps\sec(\psi_\et)$ est transform� en son oppos� par $S_X$, 
ce qui permet d'appliquer le lemme \ref{lemme_Dpsiyn}. Avec les abr�viations 
de \ref{sss_abrev}, cela s'�crit, pour $n>0$ et $\nu\in\G$:
\begin{equation}\label{eq_propcoder05}
D(y_{n,\nu})=\sum_{(i,\g)\in\NM\times\G} z^{\g,\nu}_{i,i+n}
\end{equation}
Ceci reste en fait vrai pour $n=0$, avec la convention (\ref{conv_y0}):
c'est le cas particulier $k=0$ du lemme ci-dessous, qui interviendra 
�galement dans le calcul final. 
\begin{lemme}\label{lemme_final}
Pour tout entier  $(k,\kappa)\in\NM\times\G$, on a 
\begin{equation}\label{eq_Dcoder2}
\sum_{i\geq k, \gamma\in\G} z^{\gamma,\kappa}_{i,i-k} = 0 
\end{equation}
\end{lemme}
\begin{preuve}
On a $D(y_{1,1})=0$ (prop. \ref{prop_DpsiYy1}). Avec la 
 formule (\ref{eq_propcoder05}) cela s'�crit
$$ \sum_{i\geq 0, \gamma\in\G} z^{\g,1}_{i,i+1} = 0 $$
D'apr�s la proposition \ref{prop_deru}, en appliquant la d�rivation 
$\partial_{u_{k+1,\kappa^{-1}}}$ � cette �galit�, on obtient:
$$ \sum_{i\geq k, \gamma\in\G}
\left(\aug y_{i+1,\g^{-1}}(\psi_{i,\g}|y_{k+1,\kappa^{-1}}) + 
y_{i+1,\g}(\chi_{i,\g}|y_{k+1,\kappa^{-1}}) + z_{i,i-k}^{\gamma,\kappa}
\right) = 0
$$
Pour achever la d�monstration du lemme, Il suffit donc de prouver l'�galit� 
$$ \sum_{i\geq k, \gamma\in\G}
\left(\aug y_{i+1,\g^{-1}}(\psi_{i,\g}|y_{k+1,\kappa^{-1}}) + 
y_{i+1,\g}(\chi_{i,\g}|y_{k+1,\kappa^{-1}})\right)=0 $$ 
Les $\psi_{i,\g}$ et $\chi_{i,\g}$ �tant homog�nes de poids $p-i$ et 
de couleurs totales respectives $\g$ et $\g^{-1}$, les termes de cette somme 
autres que
$(i,\g)=(p-k-1,\kappa)$ et 
$(i,\g)=(p-k-1,\kappa^{-1})$ sont nuls ; celle-ci 
 vaut donc:  
\begin{eqnarray*}
&& y_{p-k,\kappa^{-1}}(\psi_{p-k-1,\kappa^{-1}}|y_{k,\kappa^{-1}})
+ y_{p-k,\kappa^{-1}}(\chi_{p-k-1,\kappa^{-1}}|y_{k,\kappa^{-1}})\\
&=& \frac{(p-1)!}{k!}y_{p-k,\kappa^{-1}}(\psi_\et | y_{p,\kappa^{-1}}
+ (-1)^p y_{p,\kappa}),
\end{eqnarray*}
et ceci est nul par d�finition de $\dmr_0$. 
\end{preuve}

\sss{D�monstration de la proposition \ref{prop_coder}}
La multiplication � droite par $\psi_\et$ est une cod�rivation car 
$\psi_\et$ est primitif. Il suffit donc de d�montrer que 
$D=D_{\ps\sec(\psi_\et)}^Y$ est 
une cod�rivation. Comme $D$ est une d�rivation, il suffit d'obtenir 
l'identit� de cod�rivation sur les g�n�rateurs de $\qyg$, \ie{}
\begin{equation}\label{eq_Dcoder}
\forall(n,\nu)\in\NM^*\times\G,\ 
\Det D(y_{n,\nu}) = (\id\whot D + D\whot\id)\Det(y_{n,\nu}) 
\end{equation}

Abr�geons $a\ot b + b\ot a$ en $\sym(a\ot b)$.
La primitivit� des $\psi_{i,\g}$ et $\chi_{i,\g}$ permet d'obtenir 
\begin{equation}\label{eq_Detz}
\Det(z^{\g,\nu}_{i,j}) = \underset{\kappa\l=\nu}{\sum_{k+l=i}} 
\sym(y_{k,\kappa}\ot z^{\g,\l}_{i,l})
\end{equation}
Le premier membre de (\ref{eq_Dcoder}) est donc, en utilisant la formule 
(\ref{eq_propcoder05}): 
\begin{equation}
  \Det D(y_{n,\nu}) = 
\underset{\g\in\G}{\sum_{i\geq 0}}\,
\underset{\kappa\in\G}{\sum_{k=0}^{i+n}}
\sym\left(\aug z_{i,k}^{\g,\kappa}\ot y_{n+i-k, \nu\kappa^{-1}}\right)
\end{equation}

�valuons le second membre de (\ref{eq_Dcoder}):
$$\begin{array}{ccccc}
&&(D\ot\id+\id\ot D)\Det(y_{n,\nu}) &=& (D\ot\id +\id\ot D)
 \underset{\kappa\l=\nu}{\sum\limits_{k+l=n}} 
y_{k,\kappa}\ot y_{l,\lambda}\\
&=& \underset{\kappa\l=\nu}{\sum\limits_{k+l=n}} 
\sym\left(\aug D(y_{k,\kappa})\ot y_{l,\lambda}\right)
&=& \underset{\kappa\in\G}{\sum\limits_{k=0}^n}\, 
\underset{\gamma\in\G}{\sum\limits_{i\geq 0}}
\sym\left(\aug z_{i,i+k}^{\gamma,\kappa}\ot y_{n-k,\nu\kappa^{-1}}\right)
\\[5ex]
&=& \underset{\g\in\G}{\sum\limits_{i\geq 0}}\,
\underset{\kappa\in\G}{\sum\limits_{k=i}^{i+n}}
\sym\left(\aug z_{i,k}^{\g,\kappa}\ot y_{n+i-k, \nu\kappa^{-1}}\right)
\end{array}$$

La diff�rence des deux membres de (\ref{eq_Dcoder}) est donc 
\begin{gather*}
\underset{\g\in\G}{\sum_{i\geq 0}}\,
\underset{\kappa\in\G}{\sum_{k=0}^{i-1}}
\sym\left(\aug z_{i,k}^{\g,\kappa}\ot y_{n+i-k, \nu\kappa^{-1}}\right)
= \underset{\g\in\G}{\sum_{i\geq 0}}\,
\underset{\kappa\in\G}{\sum_{k=1}^{i}}
\sym\left(\aug z_{i,i-k}^{\g,\kappa}\ot y_{n+k, \nu\kappa^{-1}}\right)\\
= \underset{\kappa\in\G}{\sum_{k\geq 1}}
\sym\left[\Aug
  \left(\aug \underset{\g\in\G}{\sum_{i\geq k}} z_{i,i-k}^{\g,\kappa}\right)
  \ot y_{n+k,\nu\kappa^{-1}}\right]
\end{gather*}
Or cette derni�re expression est nulle d'apr�s le lemme \ref{lemme_final}.\qed
\subsection{Preuve de la proposition \ref{prop_DMRstable}}
\label{subsec_DMRst}
Il nous reste essentiellement � v�rifier que les termes correctifs se 
comportent bien.

\sss{}\label{calc_spsi1} Soient $\psi,v\in\qxg$. 
On a $d_\psi(x_1 v)=[x_1,\psi] v + x_1 d_\psi(v)$, d'o� l'on tire 
\begin{equation}
   s_\psi(x_1v) = x_1 s_\psi(v)
\end{equation}
Soit $n$ un entier. La d�rivation $d_{x_1^n}$ annule par d�finition $x_0$ et,
 pour tout $\s\in\G$, on a $d_{x_1}(x_\s)=[x_\s,x_\s^n]=0$. On en d�duit donc
\begin{equation}
   s_{x_1^n}(v) = x_1^n v
\end{equation}
Il r�sulte de ces deux informations que $s_\psi$ et $s_{x_1^n}$ commutent. 
Tout ceci n'est que le cas particulier $\k=\QM[\eps]$ des remarques de 
\ref{sss_remMT}.

On a $\qs\pi_Y(x_1 v)=y_{1,1}\qs\pi_Y(v)$, d'o� 
des formulations analogues pour les $s_\psi^Y$.
\sss{Termes de longueur 1}\label{ssslng1}
L'application bilin�aire $(\psi,\Phi)\mapsto s_\psi(\Phi)$ est homog�ne pour la longueur. Il en r�sulte si $\psi$ est sans 
terme constant que la partie de longueur 1 de $s_\psi^n(\Phi)$ est nulle pour
$n>1$. 
De plus, si le terme constant de $\Phi$ vaut 1, le terme en $y_{n,\nu}$ de 
$s_\psi(\Phi)$ est celui de $s_\psi(1)=\psi$. Ceci s'�crit �galement
\begin{equation}
 \scal{\exp(s_\psi)(\Phi)}{y_{n,\nu}} = \scal{\psi+\Phi}{y_{n,\nu}}
\end{equation}
De m�me, le terme de poids 1 de $\exp(s_\psi)\Phi$ est celui de $\psi+\Phi$. 

Cela s'applique notamment au cas o� $\psi$ et $\Phi$ sont respectivement une 
s�rie et une exponentielle de Lie. 

\sss{Crochet d'Ihara} 
Rappelons que l'on a $s_\psi(1)=\psi$, et donc $\qs\pi_Y(\psi)=s^Y_\psi(1)$,
pour tout $\psi\in\qxg$.

Soient $\psi_1$ et $\psi_2$ deux �l�ments de $\dmr_0$. L'alg�bre de Lie 
libre $\liel{\k}{\XB}$ est stable pour le crochet d'Ihara (prop. \ref{prop_expliestable}). Celui-ci
�tant homog�ne pour le poids et la longueur,
$\ih{\psi_1}{\psi_2}$ n'a
aucun terme de poids 1, et donc pas de terme en $x_0$ ni $x_1$, ni de 
longueur 1 et v�rifie donc (\ref{eq_virelng1_a}) pour tout $n$. 

D'autre part, 
$s_{\ih{\psi_1}{\psi_2}}$ est le crochet de $s_{\psi_1}$ et $s_{\psi_2}$. 
Comme $\psi_i=\ps\sec\psi_{i,\et}+\psi_{i,\corr}$, pour $i=1,2$, on d�duit de 
\ref{calc_spsi1} l'�galit� 
\begin{eqnarray*}
 [s_{\psi_1},s_{\psi_2}] &=& [s_{\ps\sec\psi_{1,\et}}, s_{\ps\sec\psi_{2,\et}}],
\qtext{d'o�}\\{}
[s^Y_{\psi_1},s^Y_{\psi_2}](1) &=& 
[s^Y_{\ps\sec\psi_{1,\et}}, s^Y_{\ps\sec\psi_{2,\et}}](1)
\end{eqnarray*}
Le membre de gauche de cette derni�re �galit� vaut 
$\qs\pi_Y(\ih{\psi_1}{\psi_2})$. Le membre de droite est l'image de 1 par une 
cod�rivation pour $\Det$: c'est donc un �l�ment primitif pour $\Det$. 
On a donc prouv� que $\dmr_0$ est une sous-alg�bre de Lie de $\mt$. 

\sss{Fin de la preuve pour $\DMR${}} Soit $\Phi\in\DMR(\k)$ et $\psi\in\dmr_0(\k)$. Il 
s'agit de prouver que $\Exp(\psi)\pmt\Phi=\exp(s_\psi)(\Phi)$ 
appartient � $\DMR(\k)$. 

Le coefficient de $x_0$ (resp. $x_1$) dans $\exp(s_\psi)(\Phi)$ est nul,
car c'est la somme de celui de $\psi$ et celui de $\Phi$. On sait d�j�
(prop. \ref{prop_expliestable}) que $\exp(s_\psi)(\Phi)$ est 
\glk{}\vdeux{}{ pour $\D$}.
 

L'exponentielle d'une cod�rivation est un morphisme de cog�bres. 
L'�l�ment 
$$G\ \ass\ \exp(s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)})(\Phi_\et)$$ 
est donc \glk{} pour $\Det$. Comme $\ps\sec(\psi_\et)$ et $\psi$ (resp.
$\Phi_\et$ et $\qs\pi_Y(\Phi)$) sont �gales � 
l'addition (resp. la multiplication � gauche) d'une s�rie ne d�pendant que 
de $x_1 (=y_{1,1})$ pr�s, on d�duit 
des remarques de \ref{calc_spsi1} que $G$ et 
$\qs\pi_Y\exp(s_\psi)(\Phi)$ sont �gales, � multiplication � gauche pr�s 
par une s�rie ne d�pendant que de $y_{1,1}$. Celle-ci est 
alors automatiquement $\left[\exp(s_\psi)(\Phi)\right]_\corr$, d'apr�s
les r�sultats de \ref{sss_relregul}. 
%
% %
%
%dans $(\sernc{\k}{\YB},\Det)$. 
%Tout d'abord, les remarques de \ref{ssslng1} permettent de voir facilement 
%qu'on a 
%\begin{equation}
% \left[\exp(s_\psi)(\Phi)\right]_\corr = \Phi_\corr\exp(\psi_\corr)
%\end{equation}

%D'autre part, on a $\psi=\ps\sec(\psi_\et)-\psi_\corr$, d'o�, par d�finition 
%des $s_\psi^Y$:
%\begin{equation}
%\qs\pi_Y(\exp(s_\psi)(\Phi)) = \exp(s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)}-s^Y_{\psi_\corr})
%\Phi_\corr^{-1}\Phi_\et
%\end{equation}
%Avec les remarques de \ref{calc_spsi1}, comme $\psi_\corr$ et 
%$\Phi_\corr$ ne comportent que des puissances de $x_1$, cela se 
%r��crit 
%\begin{eqnarray*}
%\qs\pi_Y(\exp(s_\psi)(\Phi)) &=& \exp(-\psi_\corr)\Phi_\corr^{-1}
%\exp(s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)})(\Phi_\et),\qtext{soit encore}\\{}
%[\exp(s_\psi)(\Phi)]_\et&\egdef&[\exp(s_\psi)(\Phi)]_\corr\qs\pi_Y(\exp(s_\psi)(\Phi))=\exp(s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)})(\Phi_\et)
%\end{eqnarray*}
%Comme $s^Y_{\ps\sec(\psi_\et)}$ est une cod�rivation, son exponentielle
%est un morphisme de cog�bres et $[\exp(s_\psi)(\Phi)]_\et$ est bien \glk{}.
%\qed
%\subsection{Relations de distribution et de poids un}\label{subsec_DMRPDst}

\sss{Distribution}
Soient $\Phi_1,\Phi_2$ deux s�ries de termes constants 1 et 
satisfaisant, pour tout 
diviseur $d$ de l'ordre de $\G$ � (\ref{dist_DMRD}): 
on a $S_k\in\serc{\k}{x_1}$ tel que 
$p^d_*(\Phi_k)=S_k\cdot i_d^*(\Phi_k)$ pour $k\in\{1,2\}$.

 
Les applications $i_d^*$ et 
$p^d_*$ sont des morphismes de sch�mas en groupes de $\MT(\G)$ 
dans $\MT(\G^d)$. Comme les $S_k$ sont de plus centrales dans $\MT(\G^d)$, 
la relation de distribution vaut pour $\Phi_1\pmt\Phi_2$, � multiplication
� gauche pr�s par $S_1S_2$, qu'on calcule facilement. Si les $\Phi_k$ sont 
des exponentielles de Lie, sans termes en $x_0$ ni $x_1$, 
on conclut plus rapidement par les arguments de \ref{sss_distrib}. 

Si $\psi$ est une s�rie de Lie v�rifiant (\ref{dist_dmrd}),  
$p^d_*(\psi)=S+i_d^*(\psi)$, o� $S$ ne d�pend que de $x_1$, il 
est clair pour les m�mes raisons que $\Exp\psi$ v�rifie (\ref{dist_DMRD}), 
si les coefficients de $x_0$ et $x_1$ dans $\psi$ sont nuls. 
\sss{Poids un}
Soit $\iota$ un morphisme de groupes $\G\to\CM^*$. L'�l�ment $\alpha_\iota$ 
de la d�finition \ref{def_DMl} est homog�ne de longueur 1. 
Par d�finition, si $\psi$ appartient � $\dmr_0(\k)$, on a 
$\scal{\psi}{\alpha_\iota}=0$. D'apr�s \ref{ssslng1}, on a donc pour 
tout $\Phi\in\sernc{\k}{\XB}$:
$$\scal{\exp(s_\psi)(\Phi)}{\alpha_{\iota}}=\scal{\Phi}{\alpha_\iota}$$
Ceci donne la stabilit� des relations de poids un et le point 
iii) de la proposition \ref{prop_DMRstable}. 
 












transitivite.tex
\def\Mm{\AM^1}
\def\Y{\wh{C}}
\def\Gal{\text{\rm Gal}}
\Subsection{Approximations successives}\label{subsec_approx}
\sss{}
Il est classique d'interpr�ter les actions 
de $\Gm$ en termes $\ZM$-graduations. 
De m�me, 
une action du mono�de multiplicatif $\Mm$ sur un sch�ma affine 
$X=\spec A$ correspond � la donn�e 
d'une $\NM$-graduation sur $A$: on munit $A\times\QM[t]$ de la graduation 
port�e par le membre de droite, et on la ram�ne � $A$ par le morphisme 
d'alg�bres \vdeux{$A\to A\times\QM[t]$}{$A\to A\ot\QM[t]$} 
d�finissant l'action.\fnote{Pr�ciser le 
r�le de l'associativit� de l'action}.

On supposera dans tout ce qui suit que 
les composantes homog�nes de $A$ sont de dimension finie. 
La multiplication de $A$ fait alors 
du dual gradu� de $A$ une cog�bre gradu�e 
$(C,\eps, \D)$ dont on notera $C_n$ la composante homog�ne de degr� $n$. 
�tendons $\D$ et $\eps$ au compl�t� $\Y(\k)$.
L'ensemble des $\k$-points de $X$ s'interpr�te alors 
comme l'ensemble des �l�ments \glks{} de 
$(\Y(\k), \eps, \D)$. Dans ce cadre, $\l\in\k=\Mm(\k)$ agit sur la composante 
homog�ne de degr� $n$ de $\Y(\k)$ par multiplication par $\l^n$, et ceci
redonne l'action de $\Mm$ sur $X$. 

\sss{} Identifions le $(n+1)$\eme{} quotient $\tr{\Y}{n}(\k)$ de 
$\Y(\k)$ par la filtration associ�e � la graduation de $C$ 
� $\oplus_{i=0}^n C_i\ot\k$ et notons $\tr{\pi}{n}$ la 
projection de $\Y(\k)$ sur $\tr{\Y}{n}(\k)$ correspondante. 
 
Soit $\tr{X}{n}(\k)$ l'ensemble des �l�ments $\Phi$ de 
$\tr{\Y}{n}(\k)$ qui sont 
\glks{} modulo des termes de degr� $n+1$, \ie{} qui v�rifient
\begin{equation}\label{def_Xn}
\D\Phi = (\tr{\pi}{n}\whot\tr{\pi}{n})(\Phi\whot\Phi)\qtext{et}\eps(\Phi)=1
\end{equation}
Il est clair que $X$ est la limite projective des $\tr{X}{n}$. 

\sss{}
Par d�finition, un $\k$-point de 
l'espace tangent $T_\Phi X$ � $X$ au voisinage de $\Phi\in X(\QM)$ 
est un �l�ment $\psi$ de $Y(\k)$ tel que $\Phi+\eps\psi$ soit un 
$\k[\eps]$-point de $X$, \ie{} \glk{} dans $Y(\k[\eps])$. Cela se traduit par
la condition 
\begin{equation}\label{eq_tangent}
   \D\psi = \Phi\ot\psi + \psi\ot\Phi
\end{equation}
Si $\Phi$ est stable par l'action de $\Mm$, il en est de m�me de l'espace 
tangent, qui est donc un sch�ma vectoriel associ� � un espace vectoriel 
gradu�. Plus concr�tement, les composantes homog�nes 
de degr� $>0$ de $\Phi$, vu comme �l�ment de $\Y(\k)$, sont nulles. 
Par homog�n�it� de $\D$, les composantes homog�nes 
d'un �l�ment $\psi$ de $T_\Phi(X)$ sont encore dans $T_\Phi(X)$, et 
$\psi$ en est la somme infinie. Si l'on pref�re voir $\Phi$ comme un 
morphisme d'alg�bres $A\to\QM$, cela fait de $T_\Phi X(\k)$ l'ensemble 
des $\Phi$-d�rivations de $A$ dans $\k$.  

\sss{} \label{sss_hyp}
Supposons $X$ muni d'un morphisme $X\To{\alpha}\AM^1$, dont 
on notera $X_\l$ la fibre au-dessus d'un point $\l\in\k$, jouissant des
propri�t�s suivantes:
\begin{enumerate}
\item Homog�n�it�: le diagramme ci-dessous est commutatif. 
\begin{equation}
 \xymatrix{X\times \Mm \ar[rr]\ar[d]_{\alpha\times\id} && X\ar[d]^{\alpha} \\
 \Mm\times\Mm \ar[rr]_-{(\l,\mu)\mapsto \l\mu} && \Mm}
\end{equation}
\item Il existe un �l�ment de $X_0(\QM)$ 
stable par l'action de $\Mm$ et un seul. On le note $1$. 
\item Soit $\xG$ l'espace tangent � $X$ au voisinage de $1$. La fibre sp�ciale
$\xG_0$ est une alg�bre de Lie et on a une action  
de $\exp(\xG_0)$ sur $X$, qui est homog�ne, 
\ie{} qui respecte les actions de $\Mm$ et commute � $\alpha$. 
\item L'application $\exp(\xG_0)(\k)\to X_0(\k)$ donn�e par l'action 
sur $1$ est injective pour tout $\k$.
\item Il existe un $\QM$-anneau $\KM$ et $\l\in\KM$ inversible tel que 
$X_\l(\KM)$ soit non-vide.
\end{enumerate}

\begin{prop} \label{prop_trans}
Sous ces hypoth�ses, l'action de $\exp(\xG_0)$ sur $X$ est
transitive et $X_\l(\k)$ est non-vide pour tout $\k$ et tout $\l\in\k$. 
On a un isomorphisme $X_0\simeq\exp(\xG_0)$.
\end{prop}
Les deux paragraphes suivants sont consacr�s � la preuve de cette proposition.
\sss{} 
Le morphisme $X\to\AM^1$ donne un morphisme de cog�bres 
$\Y(\k)\to\serc{\k}{t}$. Par l'hypoth�se d'homog�n�it�, il commute 
aux $\tr{\pi}{n}$. 

La formule (\ref{def_Xn}) implique en particulier que le 
terme de degr� $0$ d'un �l�ment de $\tr{X}{n}(\k)$ est \glk{}. Il est 
donc �gal � 1, par l'hypoth�se ii). 

\begin{prop}\label{prop_etape}
   la diff�rence de deux �l�ments de $\tr{X}{n+1}_\l(\k)$ ayant m�me 
image par $\tr{\pi}{n}$ est un �l�ment homog�ne de degr� $n+1$ de $\xG_0(\k)$.

Si un �l�ment de $\tr{X}{n}(\QM)$ admet un relev� dans $\tr{X}{n+1}(\k)$, 
il en admet un dans \vdeux{$\tr{X}{n}(\QM)$}{$\tr{X}{n+1}(\QM)$}.
\end{prop}
\begin{preuve}
�crivons les composantes homog�nes d'un �l�ment $\Phi\in\tr{X}{n}(\k)$: 
\begin{equation}
\Phi = 1+\Phi_1+\cdots+\Phi_n
\end{equation}
La condition portant sur un �l�ment $\Phi_{n+1}$ de $Y(\k)$, homog�ne de degr� $n+1$, pour que $\Phi+\Phi_{n+1}$ appartienne � $\tr{X}{n+1}$ s'�crit:
$$
\D(\Phi_{n+1})-1\ot\Phi_{n+1}-\Phi_{n+1}\ot 1
=\underset{k,l>0}{\sum_{k+l=n+1}}\Phi_k\ot\Phi_l
$$
Sous cette forme, la premi�re assertion est �vidente, compte-tenu de la 
caract�risation (\ref{eq_tangent}) de $\xG(\k)$ et de la lin�arit� de 
$\Y(\k)\to\serc{\k}{t}$. 
 La seconde revient � dire qu'un 
syst�me lin�aire � coefficients rationnels ayant une 
solution dans $\k$ admet une solution dans $\QM$. 
\end{preuve}


\sss{Prise en compte de l'action} Un $\k$-point de $\exp(\xG_0)$ agit 
sur $\Y(\k)$ par morphisme de cog�bres. En exprimant ceci pour les 
nombres duaux $\k[\eps]$, 
on trouve une action, homog�ne, de $\xG_0$ sur $\Y$ par cod�rivations
qu'on notera encore $(\psi, v)\mapsto s_\psi(v)$. 
� nouveau, l'action de $\Exp(\psi)$ sur $\Y(\k)$ se fait par $\exp(s_\psi)$, 
pour $\psi\in\xG_0(\k)$. 

L'application $\psi\mapsto s_\psi(1)$ est un endomorphisme 
$\k$-lin�aire de la partie homog�ne de degr� $n$ de $\xG_0(\k)$. 
L'hypoth�se iv) appliqu�e �
$\QM[\eps]$ montre qu'il est injectif pour $\k=\QM$, 
donc bijectif par finitude de la dimension. 
Par extension des scalaires, il est donc inversible pour tout $\k$. 

Enfin, on d�finit pour tout $n$ une action de $\exp(\xG_0)$ sur 
$\tr{\pi}{n}(\Y)$ par l'action sur $\Y$, suivie de $\tr{\pi}{n}$. Avec
l'homog�n�it� et le fait que $s_\psi$ est une cod�rivation, 
on voit que $\tr{X}{n}$ est stable par cette action. 
Si $\psi$ est homog�ne de degr� $n$, 
l'action de $\exp(s_\psi)$ sur $\tr{X}{n}$ est simplement l'addition de 
$s_\psi(1)$. 

\begin{prop}\label{prop_transfaible}
   Soit $\k$ un $\QM$-anneau et $\l\in\k$. Si $X_\l(\k)\neq\vide$, l'action 
de $\exp(\xG_0)$ est transitive sur chaque $\tr{X}{n}_\l(\k)$ et sur 
$X_\l(\k)$. 
\end{prop} 
\begin{preuve}
   On raisonne par r�currence, le cas $n=0$ �tant trivial.  
Supposons le r�sultat �tabli pour un entier 
$n$. Tout d'abord, 
$\tr{X}{n+1}(\k)$ contient $\tr{\pi}{n+1}(X(\k))$ et n'est donc pas vide. 
Soient $\tr{\Phi}{n+1}_1$ et $\tr{\Phi}{n+1}_2$ deux �l�ments de 
$\tr{X}{n+1}_\l(\k)$. Notons $\tr{\Phi}{n}_1$ et $\tr{\Phi}{n}_2$ leurs 
images par $\tr{\pi}{n}$. Par hypoth�se de r�currence, il existe 
$\psi\in\xG_0(\k)$ tel que
$ \tr{\Phi}{n}_2 = \tr{\pi}{n}\exp(s_\psi)\tr{\Phi}{n}_1$.

Soit $\Psi$ l'image 
de $\tr{\Phi}{n+1}_1$ par $\tr{\pi}{n+1}\exp(s_\psi)$. C'est un �l�ment 
de $\tr{X}{n+1}_\l(\k)$, dont l'image par $\tr{\pi}{n}$ est $\tr{\Phi}{n}_2$.
D'apr�s la proposition \ref{prop_etape}, 
$\tr{\Phi}{n+1}_2-\Psi$ est un �l�ment de $\xG_0(\k)$, 
homog�ne de degr� $n+1$, donc de la forme $s_{\psi_{n+1}}(1)$. 
Comme $\tr{\pi}{n+1}\exp(s_{\psi_{n+1}})$ est pr�cis�ment  
l'addition de $s_{\psi_{n+1}}(1)$, ceci ach�ve la r�currence.
Le passage � la limite ne pose pas de probl�me. 
\end{preuve}

Comme $1$ est �l�ment de $X_0(\QM)$, on a 
d�j� l'isomorphisme de $\exp(\xG_0)$ et de $X_0$.

\begin{prop} \label{prop_existence}
Il existe un �l�ment de $X_1(\QM)$.
\end{prop}
\begin{preuve}
   Il suffit de montrer pour tout $n$ que tout $\Phi\in\tr{X}{n}(\QM)$ 
peut se relever � $\tr{X}{n+1}(\QM)$. De l'hypoth�se v), on 
d�duit par l'action de $\Mm$ un �l�ment $\Psi$ de $X_1(\KM)$. 
La proposition pr�c�dente fournit $\psi\in\xG_0(\KM)$ tel que 
$\tr{\pi}{n}\exp(s_\psi)$ envoie $\tr{\pi}{n}(\Psi)$ sur $\Phi$. 
L'image de $\tr{\pi}{n+1}(\Psi)$ par $\tr{\pi}{n+1}\exp(s_\psi)$
est un relev� � coefficients dans $\KM$ de $\Phi$. On conclut avec
la proposition \ref{prop_etape}.
\end{preuve}

Pour achever la preuve de la proposition \ref{prop_trans}, 
il reste � v�rifier 
que $X_\l(\k)$ n'est jamais vide. Il suffit pour cela de consid�rer
l'action homog�ne de $\l$ sur un �l�ment de $X_1(\QM)$.  

\subsection{Preuve du th�or�me \ref{theo_moi}}
Si $\G$ est de cardinal au moins 3, la proposition \ref{prop_trans} 
s'applique 
directement � $X=\DMRP$ (resp. $\DMRD$). On prend l'action 
de $\AM^1$ sur $\sernc{\k}{\XB}$ d�finie par le poids, pour laquelle 
l'hypoth�se de finitude est d�j� vraie. 
La stabilit� de $X$ pour l'action de $\AM^1$ est laiss�e au lecteur. 
Les propri�t�s i) et ii) et l'homog�n�it� dans iii) 
sont �videntes. 
La propri�t� iii) est l'�nonc� de la proposition 
\ref{prop_DMRstable} ; 
iv) est vraie par construction de $\MT$ ; v) est donn�e par $\ItC$,
�l�ment de $\DMRD_{2i\pi}(\CM)$.
 
Dans les cas $\G=\triv$ et $\G=\{\pm 1\}$ appara�t une difficult�.
La fl�che $\DMRP\to\AM^1$, donn�e dans ces cas par le coefficient 
de $y_{2,1}$, est de degr� 2:
l'action homog�ne de $\mu\in\k$ 
sur $\DMRP_\l(\k)$ est � valeurs dans $\DMRP_{\l\mu^2}(\k)$. 

Tous les arguments utilis�s dans \ref{subsec_approx} restent valables, 
� l'exception de la derni�re phrase (pour la proposition 
\ref{prop_existence} remarquer que les racines carr�es existent dans $\KM$, 
qui est ici $\CM$).
La conclusion reste vraie si l'on prouve l'existence d'un �l�ment 
pair de $\Phi\in\DMRD_1(\QM)$, \ie{} dont toutes les 
composantes de degr� impair sont nulles: Dans $\k[\sqrt{\l}]$,
l'action homog�ne de $\sqrt{\l}$ sur $\Phi$ ne fait intervenir que des
puisances paires de $\sqrt{\l}$ et fournit donc un �l�ment de $\DMRD_\l(\k)$.

Soit $\Phi\in\DMRD_1(\QM)$. L'image de $\Phi$ par l'action homog�ne de $-1$, 
�tant encore dans $\DMRD_1(\QM)$, est de la forme $\exp(s_\psi)(\Phi)$, avec
$\psi\in\dmrd_0(\QM)$. On v�rifie facilement que $\exp(s_\psi/2)(\Phi)$ 
est stable par l'action homog�ne de $-1$, et est donc pair.

\Subsection{Cons�quences}\label{subsec_conseq}
\sss{Th�or�me d'�calle} Fixons un plongement $\iota : \G\to\CM^*$. 
Un �l�ment $\Phi$ (pair si $\G=\triv$ ou $\G=\{\pm1\}$) 
de $\DMRD_1(\QM)$ fournit un isomorphisme de sch�mas 
$$ \AM^{1}\times\dmrd_0\longisomto\DMRD $$
qui n'est pas canonique. L'alg�bre affine de $\DMRD$, 
qu'on peut voir comme engendr�e par des symboles formels repr�sentant les 
valeurs de polylogarithmes multiples sur $\G$ et soumis aux relations DMRD, 
est donc isomorphe au produit tensoriel de $\QM[t]$ et de l'alg�bre
sym�trique form�e sur le dual gradu� de $\dmrd$.\footnote{Cette derni�re est
aussi la duale gradu�e de l'alg�bre enveloppante universelle de $\dmrd$.} L'isomorphisme respecte
les graduations, � condition d'attribuer le degr� 2 � $t$ si $\G=\triv$ 
ou $\G=\{\pm 1\}$. Un r�sultat analogue vaut pour $\DMRP$. 

Pour $\G=\triv$, ceci est le th�or�me d'�calle \cite{Ecalle}, dont la 
d�monstration repose en partie sur des m�thodes similaires (lin�arisation
par une alg�bre de Lie isomorphe � $\dmrd$, \cf{} 
\cite[Appendice A]{thesejoe}).   
\sss{Irr�ductibles de Drinfel'd} 
Les propri�t�s �num�r�es en \ref{sss_proj} s'appliquent en particulier 
aux automorphismes de $\G$, qui fournissent donc par image directe des 
automorphismes de $\DMRD, \dmrd$, etc. On note dans la suite 
$N$ l'ordre de $\G$ et $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler.  


La composition $F$ de l'action homog�ne de $-1$ avec l'application 
image directe associ�e � $\s\mapsto\s^{-1}$ est 
la substitution $x_\s\mapsto -x_{\s^{-1}}, x_0\mapsto-x_0$. 
Elle est involutive. C'est, pour notre 
cas, ce que Deligne appelle le Frobenius r�el \cite{DelPi1}.

Comme $F$ fixe les $x_\s-x_{\s^{-1}}$, elle commute � $\DMRP\to\AM^1$. 
Par le th�or�me \ref{theo_moi}, 
il existe donc un �l�ment $\psi$ de $\dmrd(\CM)$, tel que 
$F(\ItC)=\exp(-s_\psi)(\ItC)$. De $F^2=\id$, on d�duit $F(\psi)=-\psi$. 
Cet �l�ment d�pend du plongement $\iota$ 
de $\G$ dans $\CM^*$. On obtient ainsi 
$\phi(N)$ �l�ments $\psi_\iota$. Ils sont 
permut�s par les automorphismes de $\G$ et �gaux au signe pr�s 
� leurs images par l'inversion. On les indice par le choix d'un 
$\iota$ dans chaque orbite de l'inversion. 

Soit $\psi_{n,\iota}$ la composante homog�ne de degr� $n$ de $\psi_\iota$. 
Dans le cas $N=1$, les $\psi_n$ sont les �l�ments irr�ductibles de 
$\grt_1(\CM)$ exhib�s par Drinfel'd \cite[p. 860]{DrinQTQH}.
D'apr�s \cite{Del01}, les composantes homog�nes non nulles des 
$\psi_{n,\iota}$ 
engendrent en g�n�ral l'image dans $\mt$ de l'alg�bre de Lie du  
groupe motivique $\UC_\gr$. Appliquant la propri�t� (M) de l'introduction 
dans les deux cas,
on obtient que la vari�t� des relations d'origine motivique est incluse 
dans $\DMRD$. Autrement dit, les relations DMRD sont d'origine motivique. 

On calcule facilement le terme de longueur 1 des $\psi_{n,\iota}$, 
 en utilisant \ref{ssslng1}: 

Dans le cas r�el $N\leq 2$, l'inversion de $\G$ est l'identit� 
et $F$ se r�duit � l'action homog�ne de $-1$. La s�rie $\psi$ est 
impaire. Pour $n\geq 1$, son terme de longueur 1 et de poids $n$ 
vaut $2\z(2n+1)y_{2n+1,1}$. 
On a $\psi_1=0$ pour $N=1$ et $\psi_1=2\log(2)y_{1,-1}$ pour 
$N=-1$. 

Dans le cas g�n�ral, $\psi_{n,\iota}$ vaut $\sum\limits_{\s\in\G} (L_n(\iota(\s)) - (-1)^n L_n(\iota(\s^{-1})))y_{n,\s} $

Les $\psi_{n,\iota}$ non nuls ont donc 
un terme de longueur non nul. Ils sont lin�airement ind�pendants, et 
irr�ductibles, car le crochet d'Ihara est homog�ne pour la longueur. 


\begin{prob}
Pour quelles valeurs de $N$ les $\psi_{n,\iota}$ 
engendrent-ils $\dmrd_0$ ? Sont-ils libres ? 
\end{prob}
Comme mentionn� dans l'introduction, on n'attend pas en g�n�ral 
de r�ponse positive. Pour $N=1$, ce probl�me est une variante des 
questions de Drinfel'd \cite{DrinQTQH} � propos de $\grt_1$, parfois 
qualifi�e de \og{}conjecture de Deligne-Drinfel'd.\fg{} La premi�re 
question de la variante pour 
l'image de l'alg�bre de Lie du compl�t� pro-$\ell$ de
$\Gal(\ov{\QM}/\QM)$ dans $\grt_1(\QM_\ell)$ (conjecture de Deligne-Ihara) 
a �t� r�solue par Hain et Matsumoto \cite{HainMat}. 

L'alg�bre de Lie de $\UC_\gr$ est libre, engendr�e par des �l�ments 
dont les images dans $\mt$ sont les $\psi_n$. La premi�re question 
revient donc � demander si toutes les relations d'origine motivique
proviennent de DMRD. La seconde est �quivalente � l'injectivit� de 
$\UC_\gr\to\MT$.
 
Deligne a prouv� la libert� pour $N\in\{2,3,4\}$ (non publi�). 
Pour $N=1$, on a obtenu par ordinateur une r�ponse positive
aux deux questions jusqu'en poids 19; 
cela fera l'objet d'un autre article \cite{ENR}. 

Les conjectures de transcendance et la conjecture de Deligne-Drinfel'd am�nent 
�galement � la question transversale:
\begin{prob}
   Les alg�bres de Lie $\grt_1$ et $\dmr_0$ sont elles �gales ? 	
\end{prob}
Une r�ponse positive ram�nerait la construction 
explicite d'associateurs rationnels � celle d'�l�ments de $\DMRP_1(\QM)$,
ce qu'on esp�re �tre plus facile. 





  








 









plan.bbl
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  de la d{\'e}mo. de $\DCC_5=\DCC_\infty$. Il explique que ceci est une version
  \og alg{\`e}bre de Lie\fg\ du fait que $\GT_1(\k)$ est le groupe des
  automorphismes ext{\'e}rieurs sp{\'e}ciaux de la tour de tresses, mais ne
  donne pas d'indication pour savoir si \c ca remonte. Aucune info sur le
  groupe de Galois, si ce n'est des renvoois {\`a} \cite{IhICM}.}

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