Fock space representations of quantum affine algebras and generalized Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm
Seok-Jin Kang$^{*}$ and Jae-Hoon Kwon$^{\dagger}$
We construct the Fock space representations of classical quantum affine algebras using combinatorics of Young walls. We also show that the crystal graphs of the Fock space representations can be realized as the abstract crystal consisting of proper Young walls. Finally, we give a generalized version of Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm for computing the global bases of the basic representations of classical quantum affine algebras.
math0208204.tex
\documentclass[11pt,leqno]{amsart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{amssymb,latexsym}
\usepackage{texdraw}

%\setlength{\textwidth}{14cm} \setlength{\textheight}{21cm}
%\setlength{\oddsidemargin}{1.2cm}
%\setlength{\evensidemargin}{1.2cm}

%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{\bf Theorem}[section]
\newtheorem{defi}[thm]{\bf Definition}
\newtheorem{prop}[thm]{\bf Proposition}
\newtheorem{cor}[thm]{\bf Corollary}
\newtheorem{lem}[thm]{\bf Lemma}
\newtheorem{rem}[thm]{\bf Remark}
\newtheorem{ex}[thm]{\bf Example}
\numberwithin{equation}{section}


\DeclareMathOperator{\wt}{wt}
\newcommand{\nc}{\newcommand}
\newcommand{\pf}{{\bfseries Proof. }}

\nc{\op}{\oplus} \nc{\pv}{P^{\vee}}

\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbf{F}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\ali}{\alpha_i}
\newcommand{\g}{\mathfrak{g}}
\newcommand{\ot}{\otimes}
\nc{\B}{\mathbf{B}} \nc{\V}{\mathbf{V}}

\nc{\nbinom}[2]{\genfrac{}{}{0pt}{1}{{#1}}{{#2}}}
\nc{\qbinom}[2]{\left[\genfrac{}{}{0pt}{1}{{#1}}{{#2}}\right]}
%\nc{\qbinom}{\begin{bmatrix} {} \\ {} \end{bmatrix}}
\nc{\fit}{\tilde{f}_i} \nc{\eit}{\tilde{e}_i} \nc{\Y}{\mathbf{Y}}

\nc{\ra}{\rightarrow} \nc{\vep}{\varepsilon} \nc{\vphi}{\varphi}
\nc{\h}{\mathfrak{h}} \nc{\oP}{\overline{P}}
%\newcommand{\qed}{\hfill\ensuremath{\square}}


\newbox{\tmppic}
\newbox{\tmpdraw}
\newbox{\tmpfig}
\newbox{\tmpa}
\newbox{\tmpb}

\newcommand{\tris}{ \bsegment \move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0
0)\ifill f:0.7 \esegment }
\newcommand{\recs}{ \bsegment \move(0
0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\ifill f:0.7 \esegment
}

\begin{document}

\title[Fock space representation of quantum affine algebras]
      {Fock space representations of quantum affine algebras
      and generalized Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm}
\author[S.-J. Kang and J.-H. Kwon]{Seok-Jin Kang$^{*}$ and Jae-Hoon Kwon$^{\dagger}$}
\address{School of Mathematics\\ Korea Institute for Advanced Study \\
         207-43 Cheongryangri-dong Dongdaemun-gu \\
         Seoul 130-012, Korea}
\thanks{$^{*}$This research was supported by KOSEF Grant
\# 98-0701-01-5-L and the Young Scientist Award, Korean Academy of
Science and Technology. \\
$^{\dagger}$This research was supported by KOSEF Grant \#
98-0701-01-05-L} \email{sjkang@kias.re.kr, jhkwon@kias.re.kr}

\maketitle


\begin{abstract}
We construct the Fock space representations of classical quantum
affine algebras using combinatorics of Young walls. We also show
that the crystal graphs of the Fock space representations can be
realized as the abstract crystal consisting of proper Young walls.
Finally, we give a generalized version of Lascoux-Leclerc-Thibon
algorithm for computing the global bases of the basic
representations of classical quantum affine algebras.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Introduction}

The {\it crystal basis theory} developed by Kashiwara (\cite
{Kas90,Kas91}) provides us with a very powerful combinatorial
method of studying the structure of integrable modules over
quantum groups. Let $M$ be an integrable module over a quantum
group $U_q({\mathfrak g})$ in the category ${\mathcal{O}}_{int}$
and let $\A_0$ denote the subring of $\mathbb{Q}(q)$ consisting of
regular functions at $q=0$. A {\it crystal basis} of $M$ is a pair
$(L, B)$, where $L$ is an $\A_0$-lattice of $M$ and $B$ is a
$\mathbb{Q}$-basis of $L/qL$ satisfying certain properties
involving {\it Kashiwara operators}. Thus a crystal basis can be
understood as a basis of $M$ at $q=0$ and the set $B$ is given a
structure of colored oriented graph, called the {\it crystal
graph}, that reflects the combinatorial structure of $M$.

It is known that every $U_q({\mathfrak g})$-module $M$ in the
category ${\mathcal{O}}_{int}$ is a direct sum of irreducible
highest weight modules with dominant integral highest weights and
that the crystal bases are preserved under this decomposition
(see, for example, \cite{HK2002,Kas91}). Hence it is a very
natural problem to find a concrete realization of the crystal
graph $B(\la)$ of an irreducible highest weight $U_q({\mathfrak
g})$-module $V(\la)$ with dominant integral highest weight $\la$.


Moreover, one can {\it globalize} the main idea of crystal basis
theory. Let $V(\la)$ be an irreducible highest weight
$U_q({\mathfrak g})$-module with dominant integral highest weight
$\la$, and let $(L(\la), B(\la))$ be the crystal basis of
$V(\la)$. Consider the $\mathbb{Q}$-algebra automorphism of
$U_q({\mathfrak g})$ defined by
$$\overline {q} = q^{-1}, \quad
\overline {e_i} = e_i, \quad \overline {f_i} = f_i, \quad
\overline {q^h} = q^{-h} \quad \text{for} \ \  i\in I, h\in
P^{\vee}.$$ Then we get a $\mathbb{Q}$-linear automorphism of
$V(\la)$ given by
$$P v_{\la} \longmapsto \overline{P} v_{\la}
\quad \text{for} \ \ P \in U_q({\mathfrak g}),$$ where $v_{\la}$
denotes the highest weight vector of $V(\la)$. In \cite{Kas91} and
\cite{Lus90}, Kashiwara and Lusztig independently showed that
there exists a unique {\it global basis} (or {\it canonical
basis}) $G(\la)=\{\,G(b)\,|\, b \in B(\la) \,\}$ of $V(\la)$
satisfying the properties:
\begin{equation*}
\overline {G(b)} =G(b), \quad G(b) \equiv b \ \ \text{mod} \,
qL(\la) \quad \text{for all} \ b\in B(\la).
\end{equation*}
Therefore one naturally gets interested in the following problem:
Given a realization of the crystal graph $B(\la)$ of $V(\la)$, can
we find an effective algorithm for constructing the global basis
$G(\la)$?


\vskip 2mm In \cite{Ka2000}, Kang introduced the notion of {\it
Young walls} as a new combinatorial scheme for realizing the
crystal bases for quantum affine algebras. The Young walls consist
of colored blocks with various shapes that are built on a given
{\it ground-state wall}, and they can be viewed as generalizations
of colored Young diagrams. More precisely, let $U_q({\mathfrak
g})$ be a classical quantum affine algebra of type $A_n^{(1)}$
$(n\ge 1)$, $A_{2n-1}^{(2)}$ $(n\ge 3)$, $D_n^{(1)}$ $(n\ge 4)$,
$A_{2n}^{(2)}$ $(n\ge 1)$, $D_{n+1}^{(2)}$ $(n\ge 2)$ and
$B_n^{(1)}$ $(n\ge 3)$, and let $\Lambda$ be a dominant integral
weight of level 1. Then the description of ground-state wall
$Y_{\La}$, the rules and patterns for building Young walls, and
the action of Kashiwara operators are given explicitly in terms of
combinatorics of Young walls. In this way, the set
$\mathcal{Z}(\La)$ of {\it proper Young walls} is given a
structure of {\it abstract crystal} for the quantum affine algebra
$U_q({\mathfrak g})$, and the crystal $B(\La)$ of the basic
representation $V(\La)$ is realized as the abstract crystal
${\mathcal Y}(\La)$ consisting of {\it reduced proper Young walls}
(see \cite{Ka2000} for more details).


The goal of this paper is to find an effective algorithm for
computing the global basis element $G(Y)$ in $G(\La)$ for each
reduced proper Young wall $Y$ in $\mathcal{Y}(\La)$. For this
purpose, we first construct the {\it Fock space representations}
of quantum affine algebras in a purely combinatorial way. We take
the Fock space ${\mathcal F}(\La)$ to be the
$\mathbb{Q}(q)$-vector space with a basis consisting of proper
Young walls, and define the $U_q({\mathfrak g})$-action on
${\mathcal F}(\La)$ in terms of combinatorics of Young walls. Then
the Fock space ${\mathcal F}(\La)$ becomes an integrable
$U_q({\mathfrak g})$-module in the category ${\mathcal{O}}_{int}$
(see Section 5).


We then show that the crystal of ${\mathcal F}(\La)$ is isomorphic
to the crystal ${\mathcal Z}(\La)$ consisting of proper Young
walls (Theorem \ref{crystal basis for Fock space}). As a
corollary, we get an explicit decomposition of the Fock space
${\mathcal F}(\La)$ into a direct sum of irreducible highest
weight $U_q({\mathfrak g})$-modules by locating the maximal
vectors in the crystal ${\mathcal Z}(\La)$ (Corollary
\ref{decomposition}).


In \cite{KMPY}, Kashiwara, Miwa, Petersen and Yung gave a more
abstract construction of the Fock space representations of quantum
affine algebras. For a dominant integral weight $\La$ of level $l
\ge 1$, the Fock space ${\mathcal F}(\La)$ was realized as the
inductive limit of $q$-deformed wedge spaces arising from a level
$l$ perfect representation. We expect one can construct the higher
level Fock space representations of quantum affine algebras using
combinatorics of Young walls.

Finally, we give a generalized version of Lascoux-Leclerc-Thibon
algorithm (\cite{LLT}) for constructing the global bases of basic
representations of classical quantum affine algebras of type
$A_n^{(1)}$ $(n\ge 1)$, $A_{2n-1}^{(2)}$ $(n\ge 3)$, $D_n^{(1)}$
$(n\ge 4)$, $A_{2n}^{(2)}$ $(n\ge 1)$, $D_{n+1}^{(2)}$ $(n\ge 2)$
and $B_n^{(1)}$ $(n\ge 3)$. More precisely, for each reduced
proper Young wall $Y$ in $\mathcal{Y}(\La)$, we obtain an
effective algorithm for computing the global basis element $G(Y)$
in $G(\Lambda)$ that can be expressed as a $\mathbb{Z}[q]$-linear
combination of proper Young walls (Theorem \ref{LLT}):
$$G(Y)= \sum_{Z \in {\mathcal Z}(\La)} G_{Y, Z}(q) Z \quad
\text{for some} \quad G_{Y, Z}(q) \in \mathbb{Z}[q].$$ By
construction, the matrix coefficients $G_{Y, Z}(q)$ satisfy
certain unitriangular conditions. We expect that there exist some
interesting algebraic structures such that the irreducible modules
at some specializations are parametrized by reduced proper Young
walls and that the decomposition matrices are determined by the
polynomials $G_{Y,Z}(q)$ giving the global basis elements
(cf.\cite{Ar,BK,Gro}).



\vskip 1cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Quantum Groups}


Let $I$ be a finite index set. A square matrix $A=(a_{ij})_{i,j
\in I}$ is called a {\it generalized Cartan matrix} if it
satisfies\,: (i) $a_{ii}=2$ for all $i\in I$, \ \ (ii) $a_{ij} \in
\Z_{\leq 0}$ for all $i,j\in I$, \ \ (iii) $a_{ij}=0$ implies
$a_{ji}=0$. In this paper, we assume that $A$ is {\it
symmetrizable}\,; i.e., there is a diagonal matrix $D=\text{diag}
(s_i \in \Z_{>0} | \, i\in I)$ with positive integral entries such
that $DA$ is symmetric.

Consider the free abelian group
\begin{equation}
P^{\vee} = \left(\bigoplus_{i\in I} \Z h_i \right) \oplus \left(
\bigoplus_{j=1}^{\text{corank}\, A} \Z d_j \right),
\end{equation}
and let ${\mathfrak h}= \Q \otimes_{\Z} P^{\vee}$. The free
abelian group $P^{\vee}$ is called the {\it dual weight lattice}
and the $\Q$-vector space ${\mathfrak h}$ is called the {\it
Cartan subalgebra}.

The {\it weight lattice} and the set of {\it simple coroots} are
defined to be
\begin{equation}
P = \{\, \la \in \mathfrak{h}^* \,|\, \ \la(P^{\vee}) \subset \Z
\,\}, \qquad \Pi^{\vee} = \{\, h_i \,|\, \ i\in I \,\}.
\end{equation}
We denote by $\Pi = \{\, \alpha_i \,|\, \ i\in I \,\}$ the set of
{\it simple roots}, which is a linearly independent subset of
${\mathfrak h}^*$ satisfying
\begin{equation}
\alpha_i(h_j)=a_{ji} \quad \text{for all} \ \ i, j\in I.
\end{equation}

\begin{defi}
{\rm The quintuple $(A, P^{\vee}, P, \Pi^{\vee}, \Pi)$ defined
above is called a {\it Cartan datum} associated with $A$. }
\end{defi}

\vskip 3mm

We denote by $P^{+}=\{\,\la \in P \,|\, \ \la(h_i) \ge 0 \ \
\text{for all} \ i\in I \,\}$ the set of {\it dominant integral
weights}. The free abelian group $Q=\bigoplus_{i\in I} \Z
\alpha_i$ is called the {\it root lattice}. We set $Q_{+} =
\sum_{i\in I} \Z_{\ge 0} \alpha_i$ and $Q_{-} = -Q_{+}$. There is
a partial ordering on ${\mathfrak h}^*$ defined by $\la \ge \mu$
if and only if $\la - \mu \in Q_{+}$. Since the generalized Cartan
matrix $A$ is symmetrizable, there is a nondegenerate symmetric
bilinear form $(\ | \ )$ on ${\mathfrak h}^*$ satisfying
\begin{equation*}
s_i = \dfrac{(\alpha_i|\alpha_i)}{2} \quad \text{and} \quad
\dfrac{2(\alpha_i | \alpha_j)}{(\alpha_i | \alpha_i)} = a_{ij}
\quad \text{for all} \ \ i,j \in I.
\end{equation*}

For an indeterminate $q$, set $q_i = q^{s_i}$ and define
\begin{equation*}
[n]_i = \dfrac{q_i^{n} - q_i^{-n}} {q_i - q_i^{-1}}, \quad [n]_i!
= \prod_{k=1}^n [k]_i, \quad \left[\begin{matrix} m \\ n
\end{matrix}\right]_{i}
 = \dfrac{[m]_i!}{[m-n]_i! [n]_i!}.
\end{equation*}

\begin{defi}\label{defining relations}
{\rm The {\it quantum group} $U_q({\mathfrak g})$ associated with
a Cartan datum $(A, P^{\vee}, P, \Pi^{\vee}, \Pi)$ is the
associative algebra over $\Q(q)$ with 1 generated by the symbols
$e_i$, $f_i$ $(i\in I)$ and $q^h$ $(h\in P^{\vee})$ subject to the
following defining relations\,:
\begin{equation}\label{defining rels}
\begin{aligned}
\ & q^0 = 1, \ \ q^h q^{h'} = q^{h+ h'} \quad (h, h'\in P^{\vee}),\\
\ & q^h e_i q^{-h} = q^{\ali(h)} e_i, \quad
q^h f_i q^{-h} = q^{-\ali(h)} f_i \quad (h\in P^{\vee}, \ i\in I), \\
\ & e_i f_j - f_j e_i = \delta_{ij} \frac{K_i - K_i^{-1}}{q_i -
q_i^{-1}},
\quad \text{where} \quad K_i =  q^{s_i h_i}, \\
\ & \sum_{k=0}^{1-a_{ij}} (-1)^k {\begin{bmatrix} 1-a_{ij} \\ k
\end{bmatrix}}_{i}
e_i^{1-a_{ij}-k} e_j e_i^{k} = 0 \qquad (i \neq j), \\
\ & \sum_{k=0}^{1-a_{ij}} (-1)^k {\begin{bmatrix} 1-a_{ij} \\ k
\end{bmatrix}}_{i} f_i^{1-a_{ij}-k} f_j f_i^{k} = 0 \qquad (i \neq
j).
\end{aligned}
\end{equation}
}
\end{defi}

The quantum group $U_q(\g)$ has a {\it Hopf algebra} structure
with the comultiplication $\Delta$, counit $\varepsilon$, and
antipode $S$ defined by
\begin{equation}
\begin{aligned}\text{}
& \Delta(q^h) = q^h \ot q^h, \\
& \Delta(e_i) = e_i \ot K_i^{-1} + 1 \ot e_i,
\quad \Delta(f_i) = f_i \ot 1 + K_i \ot f_i, \\
& \varepsilon(q^h)=1, \quad
\varepsilon(e_i) = \varepsilon(f_i) = 0, \\
& S(q^h) = q^{-h}, \quad S(e_i) = - e_i K_i, \quad S(f_i) = -
K_i^{-1} f_i
\end{aligned}
\end{equation}
for $h\in P^{\vee}$ and $i\in I$.

\vskip 3mm Let $U^+$ (resp. $U^-$) be the subalgebra of
$U_q(\mathfrak g)$ generated by the elements $e_i$ (resp. $f_i$)
for $i\in I$, and let $U^0$ be the subalgebra of $U_q({\mathfrak
g})$ generated by $q^h$ $(h\in P^{\vee})$. Then we have the {\it
triangular decomposition}\,:
\begin{equation*}
U_q({\mathfrak g}) \cong U^- \otimes U^0 \otimes U^+.
\end{equation*}

A $U_q(\g)$-module $V$ is called a {\it weight module} if it
admits a {\it weight space decomposition} $V = \bigoplus_{\mu \in
P} V_{\mu}$, where $V_{\mu} = \{ v \in V | \ q^h v = q^{\mu(h)} v
\ \ \text{for all} \ h\in P^{\vee} \}$. If $\dim_{\Q(q)} V_{\mu} <
\infty$ for all $\mu \in P$, we define the {\it character} of $V$
by
$$\text{ch} V = \sum_{\mu \in P}
\left(\dim_{\Q(q)} V_{\mu}\right) e^{\mu},$$ where $e^{\mu}$ are
basis elements of the group algebra $\Q(q)[P]$ with the
multiplication given by $e^{\mu} e^{\nu} = e^{\mu+\nu}$ for all
$\mu, \nu \in P$.

A weight module $V$ over $U_q(\g)$ is called a {\it highest weight
module with highest weight $\la$} ($\la\in P$) if there exists a
non-zero vector $v_{\la} \in V$ (called the {\it highest weight
vector}) such that \ (i) $e_i \, v_{\la} = 0$ for all $i\in I$, \
\ (ii) $q^{h} v_{\la} = q^{\la(h)} v_{\la}$ for all $h\in
P^{\vee}$, \ \ (iii) $V= U_q({\mathfrak g}) v_{\la}$.


For example, let $J(\la)$ denote the left ideal of $U_q({\mathfrak
g})$ generated by $e_i$, $q^h - q^{\la(h)} 1$ for $i\in I$, $h\in
P^{\vee}$, and set $M(\la) = U_q({\mathfrak g}) / J(\la)$. Then,
via left multiplication, $M(\la)$ becomes a highest weight
$U_q({\mathfrak g})$-module with highest weight $\la$, called the
{\it Verma module}, and it satisfies the following properties\,:


\begin{prop} {\rm (cf. \cite{HK2002})} \hfill

{\rm (a)} $M(\la)$ is a free $U^-$-module of rank 1.

{\rm (b)} Every highest weight $U_q({\mathfrak g})$-module with
highest weight $\la$ is a homomorphic image of $M(\la)$.

{\rm (c)} $M(\la)$ contains a unique maximal submodule $R(\la)$.

\end{prop}

\noindent The unique irreducible quotient $V(\la) = M(\la) /
R(\la)$ is called the {\it irreducible highest weight
$U_q({\mathfrak g})$-module with highest weight $\la$}.


\begin{defi} \label{defi:O^q_{int}}
{\rm The {\it category ${\mathcal{O}}_{int}$} consists of
$U_q(\g)$-modules $M$ satisfying the following properties\,:

\hskip 2mm (i) $M$ is a weight module,

\hskip 2mm (ii) there exist finitely many $\la_1, \cdots, \la_s
\in P$ such that
$$\text{wt}(M) := \{ \mu \in P | \
M_{\mu} \neq 0 \} \subset \bigcup_{j=1}^s \left(\la_j -
Q_{+}\right),$$

\hskip 3mm (iii) $e_i$ and $f_i$ $(i\in I)$ are locally nilpotent
on $M$. }
\end{defi}


The basic properties of the category ${\mathcal{O}}_{int}$ are
given in the following proposition.


\begin{prop} \label{prop:O^q_{int}} {\rm (cf. \cite{HK2002})} \hfill

{\rm (a)} For each $i\in I$, let $U_{(i)}$ be the subalgebra of
$U_q(\g)$ generated by $e_i$, $f_i$, $K_i^{\pm 1}$, which is
isomorphic to the quantum group $U_q(\frak{sl}_2)$. Then every
$U_q(\g)$-module $M$ in the category ${\mathcal O}_{int}$ is a
direct sum of finite dimensional irreducible $U_{(i)}$-submodules.

{\rm (b)} The category ${\mathcal O}_{int}$ is semisimple.
Moreover, every irreducible object in the category ${\mathcal
O}_{int}$ has the form $V(\la)$ with $\la \in P^{+}$.\qed

\end{prop}



\vskip 1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Crystal Bases}

In this section, we briefly review the {\it crystal basis theory}
for quantum groups developed by Kashiwara (\cite{Kas90, Kas91}).
We will also use the following notation for {\it divided
powers}\,:
$$e_i^{(n)} = e_i^{n} / [n]_i!, \qquad
f_i^{(n)} = f_i^{n} / [n]_i!.$$


Fix an index $i\in I$ and let $M=\bigoplus_{\la \in P} M_{\la}$ be
a $U_q(\g)$-module in the category ${\mathcal O}_{int}$. By the
representation theory of $U_q(\frak{sl}_2)$, every element $v\in
M_\la$ can  be written uniquely as
\begin{equation*}
v = \sum_{k\geq0} f_i^{(k)} v_k,
\end{equation*}
where $k \ge -\la(h_i)$ and $v_k \in \ker e_i \cap M_{\la+k\ali}$.
We define the endomorphisms $\eit$ and $\fit$ on $M$, called the
{\it Kashiwara operators},  by
\begin{equation}
\eit v = \sum_{k\geq1} f_i^{(k-1)} v_k, \qquad \fit v =
\sum_{k\geq0} f_i^{(k+1)} v_k.
\end{equation}

Let $\A_{0} = \{ f/g \in \Q(q)  \, | \, f, g \in \Q[q], \,
g(0)\neq 0 \}$ be the subring of $\Q(q)$ consisting of the
rational functions in $q$ that are regular at $q=0$.


\begin{defi} \label{defi:crystal basis}
{\rm A {\it crystal basis} of $M$ is a pair $(L, B)$, where

\hskip 2mm (i) $L$ is a free $\A_{0}$-submodule $M$ such that $M
\cong \Q(q) \otimes_{\A_{0}} L$,

\hskip 2mm (ii) $B$ is a basis of the $\Q$-vector space $L/qL$,

\hskip 2mm (iii) $L=\bigoplus_{\lambda \in P} L_{\la}$, where
$L_{\la} = L \cap M_{\la}$,

\hskip 2mm (iv) $B=\bigsqcup_{\la \in P} B_{\la}$, where
$B_{\la}=B \cap \left(L_{\la} / q L_{\la} \right)$,

\hskip 2mm (v) $\eit L \subset L$, $\fit L \subset L$ for all
$i\in I$,

\hskip 2mm (vi) $\eit B\subset B\cup \{0\}$, \ $\fit B\subset
B\cup \{0\}$ for all $i\in I$,

\hskip 2mm (vii) for $b, b'\in B$, $\fit b = b'$ if and only if $b
= \eit b'$. }
\end{defi}

\noindent The set $B$ is given a colored oriented graph structure
with the arrows defined by
$$b \stackrel{i} \longrightarrow b' \quad \text{if and only if}
\quad \fit b = b'.$$ The graph associated with $B$ is called the
{\it crystal graph} of $M$ and it reflects the combinatorial
structure of $M$. For instance, we have
\begin{equation*}
\dim_{\Q(q)} M_{\lambda} =\# B_{\lambda} \quad \text{for all} \ \
\lambda \in P.
\end{equation*}

\vskip 3mm

Let $(L,B)$ be a crystal basis of a $U_q(\g)$-module $M$ in the
category ${\mathcal{O}}_{int}$. For each $b\in B$ and $i\in I$, we
define
\begin{equation*}
\varepsilon_i(b)=\max \{\,k\ge 0 \,|\, \, \eit^k b \in B \,\},
\qquad \varphi_i(b) = \max \{\, k\ge 0 \,|\, \, \fit^k b \in B
\,\}.
\end{equation*}

\noindent Then the set $B$ satisfies the following properties.

\vskip 3mm

\begin{prop} {\rm (\cite{Kas91, Kas93, Kas94})}

{\rm (a)} For all $i\in I$ and $b\in B$, we have
\begin{equation*}
\begin{aligned}\text{}
& \varphi_i(b) = \varepsilon_i(b) + \langle h_i, \wt(b) \rangle, \\
& \wt(\eit b)=\wt(b) + \alpha_i, \\
& \wt(\fit b)=\wt(b) - \alpha_i.
\end{aligned}
\end{equation*}

{\rm (b)} If $\eit b \in B$, then
$$\varepsilon_i(\eit b) = \varepsilon_i(b) - 1, \quad
\varphi_i(\eit b) = \varphi_i(b) + 1.$$

{\rm (c)} If $\fit b \in B$, then
$$\varepsilon_i(\fit b) = \varepsilon_i(b) + 1, \quad
\varphi_i(\fit b) = \varphi_i(b) - 1.$$

\end{prop}

\vskip 3mm Moreover, the crystal bases have extremely simple
behavior with respect to taking the tensor product.

\vskip 3mm

\begin{prop} {\rm (\cite{Kas90, Kas91})}
\label{prop:tensor product}  \hfill

Let $M_j$ $(j=1, 2)$ be a  $U_q(\g)$-module in the category
${\mathcal O}_{int}$ and let $(L_j, B_j)$ be its crystal basis.
Set
\begin{equation*}
L = L_1 \otimes_{\A_{0}} L_2, \quad B= B_1 \times B_2.
\end{equation*}
Then $(L,B)$ is a crystal basis of $M_1 \otimes_{\Q(q)} M_2$ with
the Kashiwara operators on $B$ given by
\begin{equation*}
\begin{aligned}\text{}
\eit(b_1\ot b_2)
  &=
  \begin{cases}
  \eit b_1 \ot b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) \geq \vep_i(b_2)$,}\\
  b_1\ot\eit b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) < \vep_i(b_2)$,}
  \end{cases}\\
\fit(b_1\ot b_2)
  &=
  \begin{cases}
  \fit b_1 \ot b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) > \vep_i(b_2)$,}\\
  b_1\ot\fit b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) \leq \vep_i(b_2)$.}
  \end{cases}
\end{aligned}
\end{equation*}\qed
\end{prop}

\vskip 3mm

The set $B_1\times B_2$ will be denoted by $B_1\otimes B_2$. The
{\it tensor product rule} in Proposition \ref{prop:tensor product}
gives a very convenient combinatorial description of the action of
Kashiwara operators on the multi-fold tensor product of crystal
basis. Let $M_j$ be a $U_q(\g)$-module in the category ${\mathcal
O}_{int}$ with a crystal basis $(L_j, B_j)$ \ $(j=1, \cdots, N)$.
Fix an index $i\in I$ and consider a vector $b=b_1 \ot \cdots \ot
b_N \in B_1 \ot \cdots \ot B_N$. To each $b_j \in B_j$ \, $(j=1,
\cdots , N)$, we assign a sequence of $-$'s and $+$'s with as many
$-$'s as $\vep_i(b_j)$ followed by as many $+$'s as
$\vphi_i(b_j)$\,:
\begin{equation*}
\begin{aligned}\text{}
b \, &  =  \, b_1 \otimes b_2 \otimes \cdots \otimes b_N \\
& \longmapsto
 (\underbrace{-, \cdots, -}_{\vep_i(b_1)},
\underbrace{+, \cdots, +}_{\vphi_i(b_1)}, \cdots \cdots,
\underbrace{-, \cdots, -}_{\vep_i(b_N)}, \underbrace{+, \cdots,
+}_{\vphi_i(b_N)}).
\end{aligned}
\end{equation*}
In this sequence, we cancel out all the $(+,-)$-pairs to obtain a
sequence of $-$'s followed by $+$'s\,:
\begin{equation} \label{eq:signature}
\text{$i$-sgn}(b) = (-, -, \cdots, -, +, +, \cdots, +).
\end{equation}
The sequence $\text{$i$-sgn}(b)$ is called the {\it $i$-signature}
of $b$.

Now the tensor product rule tells that $\eit$ acts on $b_j$
corresponding to the rightmost $-$ in the $i$-signature of $b$ and
$\fit$ acts on $b_k$ corresponding to the leftmost $+$ in the
$i$-signature of $b$\,:
\begin{equation}\label{eq:multifold tensor product}
\begin{aligned}\text{}
& \eit b = b_1 \otimes \cdots \ot \eit b_j \ot \cdots \ot b_N, \\
& \fit b = b_1 \otimes \cdots \ot \fit b_k \ot \cdots \ot b_N.
\end{aligned}
\end{equation}
We define $\eit b=0$ (resp. $\fit b=0$) if there is no $-$ (resp.
$+$) in the $i$-signature of $b$.

\vskip 3mm

By extracting the properties of crystal graphs, we define the
notion of abstract {\it crystals} as follows (\cite{Kas93,
Kas94}).

\begin{defi}
{\rm Let $(A, P^{\vee}, P, \Pi^{\vee}, \Pi)$ be a Cartan datum and
let $U_q(\g)$ be the corresponding quantum group.

A {\it crystal associated with} $(A, P^{\vee}, P, \Pi^{\vee},
\Pi)$ (or a {\it $U_q(\g)$-crystal}) is a set $B$ together with
the maps $\wt : B \ra P$, $\vep_i : B \ra \Z\cup\{-\infty\}$,
$\vphi_i : B \ra \Z\cup\{-\infty\}$, $\eit : B \ra B\cup\{0\}$,
and $\fit : B \ra B\cup\{0\}$ satisfying the following
conditions\,:

\hskip 3mm (i) for all $i\in I$, $b\in B$, we have
\begin{equation*}
\begin{aligned}\text{}
& \varphi_i(b) = \varepsilon_i(b) + \langle h_i, \wt(b) \rangle, \\
& \wt(\eit b)=\wt(b) + \alpha_i, \\
& \wt(\fit b)=\wt(b) - \alpha_i,
\end{aligned}
\end{equation*}

\hskip 3mm (ii) if $\eit b \in B$, then
$$\varepsilon_i(\eit b) = \varepsilon_i(b) - 1, \quad
\varphi_i(\eit b) = \varphi_i(b) + 1,$$

\hskip 3mm (iii) if $\fit b \in B$, then
$$\varepsilon_i(\fit b) = \varepsilon_i(b) + 1, \quad
\varphi_i(\fit b) = \varphi_i(b) - 1,$$

\hskip 3mm (iv) $\fit b = b'$ if and only if $b = \eit b'$ for all
$i\in I$, $b, b' \in B$,

\vskip 3mm \hskip 3mm (v) if $\vep_i(b) = - \infty$, then $\eit b
= \fit b = 0$. }
\end{defi}

For instance, if $(L,B)$ is a crystal basis of a $U_q(\g)$-module
in the category ${\mathcal O}_{int}$, then $B$ is a
$U_q(\g)$-crystal.

\vskip 3mm

\begin{defi}
{\rm Let $B_1$ and $B_2$ be crystals. A {\it morphism of crystals}
(or a {\it crystal morphism}) $\psi:B_1 \ra B_2$ is a map
$\psi:B_1 \cup \{0\} \ra B_2 \cup \{0\}$ satisfying the
conditions\,:

\hskip 3mm (i) $\psi(0)=0$,

\hskip 3mm (ii) if $b\in B_1$ and $\psi(b) \in B_2$, then
$$\wt(\psi(b))= \wt(b), \ \  \vep_i(\psi(b))=\vep_i(b),
\ \ \vphi_i(\psi(b)) = \vphi_i(b),$$

\hskip 3mm (iii) if $b, b'\in B_1$, $\psi(b), \psi(b') \in B_2$
and $\fit b =b'$, then $\fit \psi(b) = \psi(b')$. }
\end{defi}

%A morphism of crystals is said to be {\it strict} \,if it commutes
%with the Kashiwara operators $\eit$ and $\fit$ $(i\in I)$.


\begin{defi}
{\rm The {\it tensor product} $B_1 \otimes B_2$ of the crystals
$B_1$ and $B_2$  is defined to be the set $B_1 \times B_2$ whose
crystal structure is given by
\begin{equation}
\begin{aligned}\text{}
\wt(b_1\ot b_2) &= \wt(b_1) + \wt(b_2),\\
\vep_i(b_1\ot b_2)
  &= \max(\vep_i(b_1), \vep_i(b_2) - \langle h_i, \wt(b_1) \rangle),\\
\vphi_i(b_1\ot b_2)
  &= \max(\vphi_i(b_2), \vep_i(b_1) + \langle h_i, \wt(b_2) \rangle),\\
\eit(b_1\ot b_2)
  &=
  \begin{cases}
  \eit b_1 \ot b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) \geq \vep_i(b_2)$,}\\
  b_1\ot\eit b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) < \vep_i(b_2)$,}
  \end{cases}\\
\fit(b_1\ot b_2)
  &=
  \begin{cases}
  \fit b_1 \ot b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) > \vep_i(b_2)$,}\\
  b_1\ot\fit b_2 & \text{if $\vphi_i(b_1) \leq \vep_i(b_2)$.}
  \end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}
}
\end{defi}
\noindent Here, we denote $b_1 \otimes b_2 = (b_1, b_2)$ and use
the convention that $b_1 \ot 0 = 0 \ot b_2 =0$. With the above
definitions, we can check that the category of crystals becomes a
{\it tensor category}.


\vskip 3mm The existence and uniqueness theorem for crystal bases
is given as follows.

\begin{thm} {\rm (\cite{Kas91})} \label{thm:existence1}
Let $V(\la)$ be the irreducible highest weight $U_q(\g)$-module
with highest weight $\la \in P^{+}$ and highest weight vector
$v_{\la}$. Let $L(\la)$ be the free $\A_{0}$-submodule of $V(\la)$
spanned by the vectors of the form $\tilde f_{i_1} \cdots \tilde
f_{i_r} u_{\la}$ $(i_k \in I, r\in \Z_{\ge 0})$ and set
\begin{equation*}
B(\la) = \{ \tilde f_{i_1} \cdots \tilde f_{i_r} u_{\la} + q
L(\la) \in  L(\la) / q L(\la) \} \setminus \{0\}.
\end{equation*}
Then $(L(\la), B(\la))$ is a crystal basis of $V(\la)$ and every
crystal basis of $V(\la)$ is isomorphic to $(L(\la), B(\la))$.\qed
\end{thm}
One can globalize the main idea of crystal basis theory. Consider
the $\mathbb{Q}$-algebra automorphism of $U_q(\frak{g})$ defined
by
\begin{equation}
\overline {q} = q^{-1}, \quad \overline {e_i} = e_i, \quad
\overline {f_i} = f_i, \quad \overline {q^h} = q^{-h} \quad
\text{for} \ \  i\in I, h\in P^{\vee}.
\end{equation}
This induces a $\mathbb{Q}$-linear automorphism of $V(\la)$ given
by
\begin{equation}
P v_{\la} \longmapsto \overline{P} v_{\la} \quad \text{for} \ \ P
\in U_q({\mathfrak g}),
\end{equation}
where $v_{\la}$ denotes the highest weight vector of $V(\la)$. Let
$\A = \Q[q, q^{-1}]$ and define $V(\la)_{\A} = U_{\A}^{-}
v_{\la}$, where $U_{\A}^{-}$ is the $\A$-subalgebra of $U_q(\g)$
generated by $f_i^{(n)}$ $(i\in I, n \in \Z_{\ge 0})$. Then we
have
\begin{thm}{\rm (\cite{Kas91,Lus90})} \label{thm:existence2}
There exists a unique $\A$-basis $G(\la) =\{\,G(b)\in
V(\la)_{\A}\cap L(\la)  \,|\, \, b\in B(\la) \,\}$ of
$V(\la)_{\A}$ such that
\begin{equation*}
\overline {G(b)} =G(b), \quad G(b) \equiv b \mod{qL(\la)} \quad
\text{for all} \ b\in B(\la).
\end{equation*}\qed
\end{thm}

\vskip 3mm

The basis $G(\la)$ of $V(\la)$ given in Theorem
\ref{thm:existence2} is called the {\it global basis} or the {\it
canonical basis} of $V(\la)$ associated with the crystal basis
$(L(\la),B(\la))$.

\vskip 1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Quantum Affine Algebras}

Let $I=\{0,1,\cdots, n \}$ be an index set and let
$A=(a_{ij})_{i,j \in I}$ be a generalized Cartan matrix of {\it
affine type}. We denote by
\begin{equation*}
P^{\vee} = \Z h_0 \op \Z h_1 \op \cdots \op \Z h_n \op \Z d
\end{equation*}
the {\it dual weight lattice} and $\Pi^{\vee}=\{h_i | \ i \in I
\}$ the {\it simple coroots}. The {\it simple roots} $\alpha_i$
and the {\it fundamental weights} $\La_i$ are given by
\begin{equation*}
\begin{aligned}\text{}
\alpha_i (h_j) & = a_{ji}, \qquad \alpha_i (d) = \delta_{0, i}, \\
\Lambda_i(h_j) & = \delta_{ij}, \qquad \Lambda_i(d)=0 \qquad (i,j
\in I).
\end{aligned}
\end{equation*}
We define the {\it affine weight lattice} to be
\begin{equation*}
P=\{ \lambda \in {\mathfrak h}^* | \ \lambda (P^{\vee}) \subset \Z
\}.
\end{equation*}

\vskip 3mm

The quintuple $(A, \Pi, \Pi^{\vee}, P, P^{\vee})$ is called an
{\it affine Cartan datum}. To each affine Cartan datum, we can
associate an infinite dimensional Lie algebra  $\mathfrak{g}$
called the {\it affine Kac-Moody algebra} (\cite{Kac90}). The
center of the affine Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$ is
1-dimensional and is generated by the {\it canonical central
element}
\begin{equation*}
c=c_0 h_0 + c_1 h_1 + \cdots + c_n h_n.
\end{equation*}
Moreover, the imaginary roots of ${\mathfrak g}$ are nonzero
integral multiples of the {\it null root}
\begin{equation*}
\delta = d_0 \alpha_0 + d_1 \alpha_1 + \cdots + d_n \alpha_n.
\end{equation*}
Here, $c_i$ and $d_i$ $(i\in I)$ are the non-negative integers
given in \cite{Kac90}.

Using the fundamental weights and the null root, the affine weight
lattice can be written as
\begin{equation*}
P=\Z \Lambda_0 \op \Z \Lambda_1 \op \cdots \op \Z \Lambda_n \op \Z
\delta.
\end{equation*}
Set
\begin{equation*}
P^+=\{ \lambda \in P \, | \, \lambda(h_i) \in \Z_{\ge 0} \ \ \
\text{for all} \ \ i\in I \}.
\end{equation*}
The elements of $P$ (resp. $P^{+}$) are called the {\it affine
weights} (resp. {\it affine dominant integral weights}). The {\it
level} of an affine dominant integral weight $\lambda \in P^+$ is
defined to be the nonnegative integer $\lambda(c)$.

\vskip 3mm

\begin{defi}
{\rm The {\it quantum affine algebra} $U_q({\mathfrak g})$ is the
quantum group associated with the affine Cartan datum $(A, \Pi,
\Pi^{\vee}, P, P^{\vee})$.}
\end{defi}

\vskip 3mm The subalgebra of $U_q({\mathfrak g})$ generated by
$e_i$, $f_i$, $K_i^{\pm1}$ $(i\in I)$ is denoted by
$U'_q({\mathfrak g})$, and is also called the {\it quantum affine
algebra}.

%Let
%\begin{equation*}
%\oP^{\vee} = \Z h_0 \op \Z h_1 \op \cdots \op \Z h_n \quad
%\text{and} \quad \overline {\mathfrak h} = \Q \otimes_{\Z}
%\oP^{\vee}.
%\end{equation*}
%Consider $\alpha_i$ and $\Lambda_i$ $(i\in I)$ as linear
%functionals on $\overline{\mathfrak h}$, and set
%\begin{equation*}
%\oP=\Z \Lambda_0 \op \Z \Lambda_1 \op \cdots \op \Z \Lambda_n.
%\end{equation*}
%The elements of $\oP$ are called the {\it classical weights}. The
%algebra $U'_q({\mathfrak g})$ can be regarded as the quantum
%affine algebra associated with the {\it classical Cartan datum}
%$(A, \Pi, \Pi^{\vee}, \oP, \oP^{\vee})$.

%\vskip 3mm

%The projection $\text{cl} : P \longrightarrow \oP$ will be denoted
%by $\lambda \longmapsto \overline{\lambda}$ and we will fix an
%embedding $\text{aff}: \oP \longrightarrow P$ such that
%$$\text{cl} \circ \text{aff} = \text{id},
%\qquad \text{aff} \circ \text{cl} (\alpha_i)=\alpha_i \quad
%\text{for} \quad i\neq 0.$$ We define
%$$\oP^{+} = \text{cl} (P^{+})
%=\{\la \in \oP | \ \la(h_i) \ge 0 \ \ \text{for all} \ \, i\in
%I\}.$$ The elements of $\oP^{+}$ are called the {\it classical
%dominant integral weights}. A classical dominant integral weight
%$\lambda \in \oP^{+}$ is said to have {\it level $l \in \Z_{\ge
%0}$} if $\lambda(c)= l$. Note that it has the same level as its
%affine counterpart.

In this paper, we will focus on the quantum affine algebras of
type $A_n^{(1)}$ ($n\geq 1$), $A_{2n-1}^{(2)}$ ($n\geq 3$),
$D_n^{(1)}$ ($n\geq 4$), $A_{2n}^{(2)}$ ($n\geq 1$),
$D_{n+1}^{(2)}$ ($n\geq 2$) and $B_n^{(1)}$ ($n\geq 3$).


\vskip 1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Combinatorics of Young Walls}

In \cite{Ka2000}, Kang introduced a new family of combinatorial
objects called the {\it Young walls} which can be viewed as
generalizations of colored Young diagrams, and gave a realization
of crystals $B(\La)$ for the basic representations of quantum
affine algebras in terms of {\it reduced proper Young walls}. In
this section, we briefly explain the combinatorics of Young walls.

The Young walls are built of colored blocks of three different
shapes. They are called the blocks of {\it type {\rm I}, type {\rm
II}}, and {\it type {\rm III}}, respectively. For each type of
quantum affine algebras, we use different sets of colored blocks.

\vskip 5mm

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
Type & Shape & Width & Thickness & Height & Volume \\
\hline I & \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10 0) \move(0 0)\lvec(5 5)\lvec(5
15)\lvec(-5 15)\lvec(-10 10) \move(0 10)\lvec(5 15)
\end{texdraw}
} $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10 0)
\end{texdraw}}
 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
II & \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(10
0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0) \move(10 0)\lvec(15 5)\lvec(15
10)\lvec(5 10)\lvec(0 5) \move(10 5)\lvec(15 10)
\end{texdraw}
} $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \textref h:C v:C \move(0
0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)
\end{texdraw}
}
& 1 & 1 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$ \\
III &

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10 0) \move(0 0)\lvec(2.5
2.5)\lvec(2.5 12.5)\lvec(-7.5 12.5)\lvec(-10 10) \move(0
10)\lvec(2.5 12.5) \lpatt(0.3 1) \move(0 0)\lvec(-2.5
-2.5)\lvec(-12.5 -2.5)\lvec(-10 0)
\end{texdraw}
} $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)\lvec(-10 0) \lpatt(0.3 1)\move(-10 0)\lvec(-10
10)\lvec(0 10)
\end{texdraw}}
, \hskip 2mm \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10 0) \move(0 0)\lvec(2.5
2.5)\lvec(2.5 12.5)\lvec(-7.5 12.5)\lvec(-10 10) \move(0
10)\lvec(2.5 12.5) \lpatt(0.3 1) \move(2.5 2.5)\lvec(5 5)\lvec(2.5
5)
\end{texdraw}
} $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(-10 0)\lvec(-10
10)\lvec(0 10)\lvec(-10 0)\lpatt(0.3 1)\move(-10 0)\lvec(0
0)\lvec(0 10)
\end{texdraw}
}

& 1 & $\frac{1}{2}$ & 1 & $\frac{1}{2}$ \\

\end{tabular}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\vskip 5mm

For each dominant integral weight $\La$ of level 1, we fix a frame
$Y_{\La}$ called the {\it ground-state wall of weight $\Lambda$},
and on this frame, we build a wall of thickness less than or equal
to one unit which extends infinitely to the left. The rules for
building the walls are as follows:

\begin{itemize}
\item[(1)] The colored blocks should be stacked in columns. No block
can be placed on top of a column of half-unit thickness.

\item[(2)] Except for the right-most column, there should be no free
space to the right of any block.

\item[(3)] The colored blocks should be stacked in a specified
pattern which is determined by the type of the quantum affine
algebra $U_q(\frak{g})$ and the level 1 dominant integral weight
$\Lambda$.
\end{itemize}

\noindent The coloring of blocks, the description of ground-state
walls and the patterns for building the walls are given in
\cite{Ka2000} (see also Appendix).

\vskip 5mm

\begin{ex}
{\rm If $\frak{g}=B^{(1)}_3$ and $\Lambda=\Lambda_0$, we use the
colored blocks

\vskip 5mm \hskip 4cm
\raisebox{-0.33\height}[0.69\height][0.35\height]{%
\begin{texdraw}
\fontsize{10}{10}\drawdim em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0) \move(10
0)\lvec(12.5 2.5)\lvec(12.5 12.5)\lvec(2.5 12.5)\lvec(0 10)
\move(10 10)\lvec(12.5 12.5) \htext(3 3){$0$}
\end{texdraw}%
} , \hskip 5mm
\raisebox{-0.33\height}[0.69\height][0.35\height]{%
\begin{texdraw}
\fontsize{10}{10}\drawdim em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0) \move(10
0)\lvec(12.5 2.5)\lvec(12.5 12.5)\lvec(2.5 12.5)\lvec(0 10)
\move(10 10)\lvec(12.5 12.5) \htext(3 3){$1$}
\end{texdraw}%
} , \hskip 5mm \raisebox{-0.33\height}[0.69\height][0.35\height]{
\begin{texdraw}
\fontsize{10}{10}\drawdim em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0) \move(10
0)\lvec(15 5)\lvec(15 15)\lvec(5 15)\lvec(0 10) \move(10
10)\lvec(15 15) \htext(3 3){$2$}
\end{texdraw}
}, \hskip 5mm
\raisebox{-0.33\height}[0.69\height][0.35\height]{%
\begin{texdraw}
\fontsize{10}{10}\drawdim em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0) \move(10
0)\lvec(15 5)\lvec(15 10)\lvec(5 10)\lvec(0 5) \move(10 5)\lvec(15
10) \htext(3 1.5){\tiny $3$}
\end{texdraw}%
} .

\vskip 5mm

The walls are built on the ground-state wall

$$Y_{\Lambda_0} = \cdots \raisebox{-0.3\height}{\begin{texdraw} \drawdim
em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4 \move(-42 0)\lvec(0 0)\lvec(2.5
2.5)\lvec(2.5 12.5)\lvec(-39.5 12.5) \move(-42 10)\lvec(0 10)
\move(0 0)\lvec(0 10)\lvec(2.5 12.5) \move(-10 0)\lvec(-10
10)\lvec(-7.5 12.5) \move(-20 0)\lvec(-20 10)\lvec(-17.5 12.5)
\move(-30 0)\lvec(-30 10)\lvec(-27.5 12.5) \move(-40 0)\lvec(-40
10)\lvec(-37.5 12.5) \move(0 0)\lvec(-2.5 -2.5)\lvec(-44.5 -2.5)
\move(-10 0)\rlvec(-2.5 -2.5) \move(-20 0)\rlvec(-2.5 -2.5)
\move(-30 0)\rlvec(-2.5 -2.5) \move(-40 0)\rlvec(-2.5 -2.5)
\htext(-7 3){$_1$} \htext(-17 3){$_0$} \htext(-27 3){$_1$}
\htext(-37 3){$_0$}
\end{texdraw}} = \cdots \raisebox{-0.3\height}{\begin{texdraw} \drawdim
em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4 \move(-5 0)\lvec(40 0)\lvec(40
10)\lvec(-5 10)\move(0 0)\rlvec(0 10)\move(10 0)\rlvec(0
10)\lvec(0 0)\move(20 0)\rlvec(0 10)\lvec(10 0)\move(30 0)\rlvec(0
10)\lvec(20 0)\move(40 10)\lvec(30 0) \move(1 0.5) \bsegment
\htext(5 1){{\tiny$0$}}\htext(15 1){{\tiny$1$}}\htext(25
1){{\tiny$0$}}\htext(35 1){{\tiny$1$}} \esegment
\end{texdraw}}$$

\vskip 5mm

\noindent following the pattern given below.

\vskip 5mm

\begin{center}
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4

\move(-10 0)\lvec(40 0)\move(-10 10)\lvec(40 10)\move(-10
20)\lvec(40 20)\move(-10 30)\lvec(40 30)\move(-10 40)\lvec(40
40)\move(-10 50)\lvec(40 50)\move(0 0)\lvec(0 55)\move(10
0)\lvec(10 55)\move(20 0)\lvec(20 55)\move(30 0)\lvec(30
55)\move(40 0)\lvec(40 55)\move(-10 25)\lvec(40 25)

\move(10 10)\lvec(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(30 10)\lvec(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(10 50)\lvec(0 40)

\move(20 50)\lvec(10 40)

\move(30 50)\lvec(20 40)

\move(40 50)\lvec(30 40)

\htext(2 6){\tiny$0$} \htext(16 2){\tiny $0$} \htext(22 6){\tiny
$0$}\htext(36 2){$_0$}

\htext(6 2){\tiny $1$} \htext(12 6){\tiny $1$} \htext(26 2){\tiny
$1$}\htext(32 6){$_1$}

\htext(2 46){\tiny $0$} \htext(16 42){\tiny $0$} \htext(22
46){\tiny $0$}\htext(36 42){$_0$}

\htext(6 42){\tiny $1$} \htext(12 46){\tiny $1$} \htext(26
42){\tiny $1$}\htext(32 46){$_1$}

\move(0.5 0.5) \bsegment \htext(3 13){$_2$}\htext(13 13){$_2$}

\htext(23 13){$_2$}\htext(33 13){$_2$}

\htext(3 33){$_2$}\htext(13 33){$_2$}

\htext(23 33){$_2$}\htext(33 33){$_2$}

\htext(3 20.5){$_3$}\htext(13 20.5){$_3$}

\htext(23 20.5){$_3$}\htext(33 20.5){$_3$}

\htext(3 25.5){$_3$}\htext(13 25.5){$_3$}

\htext(23 25.5){$_3$}\htext(33 25.5){$_3$} \esegment
\end{texdraw}
\end{center}
}\end{ex}

\vskip 5mm

A wall $Y$ built on the ground-state wall $Y_{\Lambda}$ following
the rules given above is called a {\it Young wall on
$Y_{\Lambda}$}, for the heights of its columns are weakly
decreasing as we proceed from right to left. We often write
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}=(\cdots,y_2,y_1,y_0)$ as an infinite
sequence of its columns.

\vskip 5mm

\begin{defi}{\rm \mbox{}

\begin{itemize}
\item[(1)] A column of a Young wall is called a {\it full
column} if its height is a multiple of the unit length and its top
is of unit thickness.

\item[(2)] For quantum affine algebras of type $A_{2n-1}^{(2)}$
$(n\ge 3)$, $D_n^{(1)}$ $(n\ge 4)$, $A_{2n}^{(2)}$ $(n\ge 1)$,
$D_{n+1}^{(2)}$ $(n\ge 2)$ and $B_n^{(1)}$ $(n\ge 3)$, a Young
wall is said to be {\it proper} if none of the full columns have
the same heights.

\item[(3)] For quantum affine algebras of type $A_n^{(1)}$ $(n\geq 1)$, every
Young wall is defined to be {\it proper}.
\end{itemize}
}
\end{defi}

\vskip 5mm

Let ${\mathcal Z}(\La)$ denote the set of all proper Young walls
on $Y_{\Lambda}$. Then ${\mathcal Z}(\La)$ can be given a
$U_q(\frak{g})$-crystal structure as follows.

\vskip 3mm

\begin{defi}\label {admrmv}
{\rm Let $Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ be a proper Young wall on
$Y_{\Lambda}$.

\begin{enumerate}
\item[(1)] A block of color $i$ (in short, an $i$-block)
in $Y$ is called a {\it removable $i$-block} if $Y$ remains a
proper Young wall after removing the block. A column in $Y$ is
said to be {\it $i$-removable} if the column has a removable
$i$-block.

\item[(2)] A place in $Y$ is called an {\it admissible $i$-slot} if one
may add an $i$-block to obtain another proper Young wall. A column
in $Y$ is said to be {\it $i$-admissible} if the column has an
admissible $i$-slot.
\end{enumerate}
}
\end{defi}


\vskip 5mm


\begin{ex}
{\rm In the following figure, we consider a proper Young wall for
$\frak{g}=B_3^{(1)}$ built on the ground-state wall
$Y_{\Lambda_0}$ and indicate all the removable blocks and
admissible slots.

\vskip 1cm

\hskip 5mm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.15 \linewd 0.4 \arrowheadtype t:F
\arrowheadsize l:4 w:2

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(24 14){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(34 14){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(44 14){$_2$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(44 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(34 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(44 21){\tiny $3$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(44 34){$_2$}
%
\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(0 5) \avec(14 5)

\htext(-50 3){admissible $1$-slot}

\move(0 15) \avec(22 15)

\htext(-50 13){removable $2$-block}

\move(0 33) \avec(24 23)

\move(0 33) \avec(34 27)

\htext(-50 31){admissible $3$-slot}

\move(20 46) \avec(42 46)

\htext(-30 44){removable $0$-block}

\move(60 44) \avec(48 44)

\htext(60 43){removable $1$-block}

\move(60 55) \avec(45 55)

\htext(60 54){admissible $2$-slot}

\move(60 23) \avec(38 23)

\htext(60 22){{\em not} removable $3$-block}
\end{texdraw}}

}
\end{ex}

\vskip 5mm

Fix an index $i\in I$ and let $Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ be a proper
Young wall on $Y_{\Lambda}$. To each column $y_k$ of $Y$, we
assign its {\it $i$-signature} as follows\,:

\begin{enumerate}
\item we assign $-\,-$ if the column $y_k$ is twice $i$-removable
      (the $i$-block will be of type II);
\item we assign $-$ if the column is once $i$-removable,
      but not $i$-admissible (the $i$-block may be of type I, II, III);
\item we assign $-\,+$ if the column is once $i$-removable and
      once $i$-admissible (the $i$-block will be of type II);
\item we assign $+$ if the column is once $i$-admissible, but not
      $i$-removable (the $i$-block may be of type I, II, III);
\item we assign $+\,+$ if the column is twice $i$-admissible
      (the $i$-block will be of type II).
\end{enumerate}

Then we get a finite sequence of $+$'s and $-$'s for $Y$. From
this sequence, we cancel out every $(+,-)$-pair to obtain a finite
sequence of $-$'s followed by $+$'s, reading from left to right.
This sequence is called the {\it $i$-signature} of $Y$.

\vskip 3mm

We now define the {\it abstract Kashiwara operators}
$\tilde{E}_i$, $\tilde{F}_i$ $(i\in I)$ on ${\mathcal Z}(\Lambda)$
as follows.
\begin{enumerate}
\item We define $\tilde{E}_i Y$ to be the proper Young wall
obtained from $Y$ by removing the $i$-block corresponding to the
rightmost $-$ in the $i$-signature of $Y$. We define $\tilde{E}_i
Y = 0$ if there exists no $-$ in the $i$-signature of $Y$.

\item We define $\tilde{F}_i Y$ to be the proper Young wall obtained from $Y$
by adding an $i$-block to the column corresponding to the leftmost
$+$ in the $i$-signature of $Y$. We define $\tilde{F}_i Y = 0$ if
there exists no $+$ in the $i$-signature of $Y$.
\end{enumerate}
\vskip 5mm


\begin{ex}
{\rm (a) Let $\g = B_3^{(1)}$ and let

\vskip 3mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5
%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23.5 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33.5 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43.5 13){$_2$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53.5 13){$_2$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63.5 13){$_2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73.5 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83.5 13){$_2$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43.5 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53.5 26){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63.5 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73.5 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83.5 26){\tiny $3$}

%


\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23.5 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33.5 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43.5 21){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53.5 21){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63.5 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73.5 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83.5 21){\tiny $3$}
%


\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53.5 33){$_2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63.5 33){$_2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73.5 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83.5 33){$_2$}
%

%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}



\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53.5 53){$_2$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63.5 53){$_2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73.5 53){$_2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83.5 53){$_2$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63.5 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73.5 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83.5 61){\tiny $3$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63.5 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73.5 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83.5 66){\tiny $3$}
%
\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63.5 73){$_2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73.5 73){$_2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83.5 73){$_2$}
%
\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}

\htext(-25 -9){$_{\cdot}$}\htext(-15 -9){$_{\cdot}$}\htext(-5
-9){$_{\cdot}$}

\htext(5 -9){$_{\cdot}$}\htext(12 -10){$_+$}\htext(25
-9){$_{\cdot}$}\htext(35 -9){$_{\cdot}$}\htext(41 -10){$_-$}

\htext(50 -10){$_{++}$}\htext(65 -9){$_{\cdot}$}\htext(75
-9){$_{\cdot}$}\htext(85 -9){$_{\cdot}$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}

\vskip 5mm

If $i=3$, we first get the sequence $(\cdots, +, \cdot, \cdot, -,
++, \cdot, \cdot, \cdot)$. After cancelling out $(+,-)$-pairs, we
obtain the $3$-signature $(+,+)$ of $Y$.

Therefore, we have $\tilde{E}_3Y=0$ and

\vskip 3mm

\begin{center}
$\tilde{F}_3 Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5
%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23.5 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33.5 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43.5 13){$_2$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53.5 13){$_2$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63.5 13){$_2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73.5 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83.5 13){$_2$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43.5 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53.5 26){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63.5 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73.5 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83.5 26){\tiny $3$}

%


\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23.5 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33.5 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43.5 21){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53.5 21){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63.5 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73.5 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83.5 21){\tiny $3$}
%


\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53.5 33){$_2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63.5 33){$_2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73.5 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83.5 33){$_2$}
%

%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}



\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53.5 53){$_2$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63.5 53){$_2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73.5 53){$_2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83.5 53){$_2$}
%
\move(55 65)\lcir r:6

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63.5 61){\tiny $3$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 65)\lvec(50 65)\lvec(50
60)\htext(53.5 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73.5 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83.5 61){\tiny $3$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63.5 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73.5 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83.5 66){\tiny $3$}
%
\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63.5 73){$_2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73.5 73){$_2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83.5 73){$_2$}
%
\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad .
\end{center}


\vskip 5mm

(b) Let $\g=A_{4}^{(2)}$ and let \vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}
%
\move(30 45)\lvec(40 45)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
45)\htext(33 46){\tiny $0$}
%
\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_1$}
%
\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 63){$_2$}
%
\move(30 70)\lvec(40 70)\lvec(40 80)\lvec(30 80)\lvec(30
70)\htext(33 73){$_1$}
%
\move(30 80)\lvec(40 80)\lvec(40 85)\lvec(30 85)\lvec(30
80)\htext(33 81){\tiny $0$}
%
\move(2 0)\bsegment \htext(-40 -10){$_{\cdot}$}\htext(-30
-10){$_{\cdot}$}\htext(-20 -10){$_{\cdot}$}\htext(-10
-10){$_-$}\htext(0 -10){$_-$}\htext(12 -10){$_{\cdot}$}\htext(20
-10){$_+$}\htext(30 -10){$_{-+}$}\esegment
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}
\vskip 5mm

If $i=0$, we fist get the sequence $(\cdots, -,-,\cdot, +, -+)$.
After cancelling out $(+,-)$-pairs, we obtain the $0$-signature
$(-,-,+)$ of $Y$.

Therefore, we have \vskip 5mm



\begin{center}
$\tilde{E}_0 Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}
%
\move(5 45)\lcir r:6

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}
%
\move(30 45)\lvec(40 45)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
45)\htext(33 46){\tiny $0$}
%
\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_1$}
%
\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 63){$_2$}
%
\move(30 70)\lvec(40 70)\lvec(40 80)\lvec(30 80)\lvec(30
70)\htext(33 73){$_1$}
%
\move(30 80)\lvec(40 80)\lvec(40 85)\lvec(30 85)\lvec(30
80)\htext(33 81){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\quad , \quad
$\tilde{F}_0 Y=$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}
%
\move(30 45)\lvec(40 45)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
45)\htext(33 46){\tiny $0$}
%
\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_1$}
%
\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 63){$_2$}
%
\move(30 70)\lvec(40 70)\lvec(40 80)\lvec(30 80)\lvec(30
70)\htext(33 73){$_1$}
%
\move(35 85)\lcir r:6

\move(30 80)\lvec(40 80)\lvec(40 85)\lvec(30 85)\lvec(30
80)\htext(33 81){\tiny $0$}
%
\move(30 85)\lvec(40 85)\lvec(40 90)\lvec(30 90)\lvec(30
85)\htext(33 86){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}

}
\end{ex}


\vskip 5mm


Next, we define the maps
$$ \wt : {\mathcal Z}(\La) \longrightarrow P, \quad
\varepsilon_i : {\mathcal Z}(\La) \longrightarrow \Z, \quad
\varphi_i : {\mathcal Z}(\La) \longrightarrow \Z$$ by
\begin{equation}
\begin{aligned}\text{}
{\rm wt}(Y)&=\Lambda-\sum_{i\in I}k_i\alpha_i, \\
\varepsilon_i(Y)&=\text{the number of $-$'s in the $i$-signature of $Y$}, \\
\varphi_i(Y)&=\text{the number of $+$'s in the $i$-signature of
$Y$},
\end{aligned}
\end{equation}
where $k_i$ is the number of $i$-blocks in $Y$ that have been
added to $Y_{\Lambda}$.


\vskip 3mm

Then we have :

\begin{thm}\label {Kang1}{\rm (\cite{Ka2000})}
The set ${\mathcal Z}(\Lambda)$ together with the maps $\wt:
{\mathcal Z}(\Lambda) \longrightarrow  P$, $\tilde{E}_i,
\tilde{F}_i : {\mathcal Z}(\Lambda) \longrightarrow {\mathcal
Z}(\Lambda) \cup \{0\}$, and $\varepsilon_i, \varphi_i : {\mathcal
Z}(\Lambda) \longrightarrow \Z$ {\rm ($i\in I$)} becomes a
$U_q(\g)$-crystal.  \qed
\end{thm}

\vskip 3mm

Let $\delta=d_0\alpha_0+\cdots +d_n\alpha_n$ be the null root of
$U_q(\frak{g})$, and set
\begin{equation}
\begin{aligned}\text{}
a_i = \begin{cases} d_i \quad & \text{if} \ \ \g \neq D_{n+1}^{(2)}, \\
2 d_i \quad & \text{if} \ \ \g = D_{n+1}^{(2)}.
\end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}


\vskip 3mm
\begin{defi}{\rm \mbox{}

\begin{itemize}
\item[(1)] The part of a column in a proper Young wall
is called a {\it $\delta$-column} if it contains $a_{0}$-many
$0$-blocks, $a_{1}$-many $1$-blocks, $\cdots$, $a_{n}$-many
$n$-blocks in some cyclic order.

\item[(2)] A $\delta$-column in a proper Young wall is
called {\it removable} if it can be removed from the top to yield
another proper Young wall.

\item[(3)] A proper Young wall is said to be {\it reduced}
if none of its columns contain a removable $\delta$-column.
\end{itemize}
}
\end{defi}

\vskip 5mm

\begin{ex}{\rm
(a) The following are $\delta$-columns for $\g = B_3^{(1)}$.

\vskip 5mm

\begin{center}
\begin{texdraw}
\textref h:C v:C \fontsize{8}{8}\selectfont \drawdim mm \linewd
0.25 \setunitscale 6  \move(0 0) \bsegment \move(0 0)\lvec(1
0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 1)\lvec(1 1) \move(0
1.5)\lvec(1 1.5) \move(0 2)\lvec(1 2) \move(0 3)\lvec(1 3) \move(0
3)\lvec(1 4) \htext(0.5 0.5){$2$} \htext(0.5 1.25){$3$} \htext(0.5
1.75){$3$} \htext(0.5 2.5){$2$} \htext(0.25 3.75){$0$} \htext(0.75
3.27){$1$} \esegment \move(2.5 0) \bsegment \move(0 0)\lvec(1
0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 0.5)\lvec(1 0.5) \move(0
1)\lvec(1 1) \move(0 2)\lvec(1 2) \move(0 3)\lvec(1 3) \move(0
2)\lvec(1 3) \htext(0.5 3.5){$2$} \htext(0.5 0.25){$3$} \htext(0.5
0.75){$3$} \htext(0.5 1.5){$2$} \htext(0.25 2.75){$0$} \htext(0.75
2.27){$1$} \esegment \move(5 0) \bsegment \move(0 0)\lvec(1
0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 0.5)\lvec(1 0.5) \move(0
1.5)\lvec(1 1.5) \move(0 2.5)\lvec(1 2.5) \move(0 3.5)\lvec(1 3.5)
\move(0 1.5)\lvec(1 2.5) \htext(0.5 1){$2$} \htext(0.5 0.25){$3$}
\htext(0.5 3.75){$3$} \htext(0.5 3){$2$} \htext(0.75 1.72){$1$}
\htext(0.25 2.25){$0$} \esegment \move(7.5 0) \bsegment \move(0
0)\lvec(1 0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 3.5)\lvec(1
3.5) \move(0 1)\lvec(1 1) \move(0 2)\lvec(1 2) \move(0 3)\lvec(1
3) \move(0 1)\lvec(1 2) \htext(0.5 2.5){$2$} \htext(0.5 3.25){$3$}
\htext(0.5 3.75){$3$} \htext(0.5 0.5){$2$} \htext(0.25 1.75){$0$}
\htext(0.75 1.27){$1$} \esegment \move(10 0) \bsegment \move(0
0)\lvec(1 0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 2.5)\lvec(1
2.5) \move(0 1)\lvec(1 1) \move(0 2)\lvec(1 2) \move(0 3)\lvec(1
3) \move(0 0)\lvec(1 1) \htext(0.5 3.5){$2$} \htext(0.5 2.25){$3$}
\htext(0.5 2.75){$3$} \htext(0.5 1.5){$2$} \htext(0.25 0.75){$0$}
\htext(0.75 0.27){$1$} \esegment \move(12.5 0) \bsegment \move(0
0)\lvec(1 0)\lvec(1 4)\lvec(0 4)\lvec(0 0) \move(0 2.5)\lvec(1
2.5) \move(0 1)\lvec(1 1) \move(0 2)\lvec(1 2) \move(0 3)\lvec(1
3) \move(0 0)\lvec(1 1) \htext(0.5 3.5){$2$} \htext(0.5 2.25){$3$}
\htext(0.5 2.75){$3$} \htext(0.5 1.5){$2$} \htext(0.25 0.75){$0$}
\htext(0.75 4.27){$1$} \move(1 4)\lvec(1 5)\lvec(0 5)\lvec(0
4)\lvec(1 5) \esegment
\end{texdraw}
\end{center}

(b) Consider the following proper Young walls for $\g= B_3^{(1)}$.
The first one is reduced, but the second one is not. Note that the
second Young wall contains a removable $\delta$-column.

\vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23.5 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33.5 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43.5 13){$_2$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43.5 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33.5 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43.5 21){\tiny $3$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43.5 33){$_2$}
%
\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}
\hskip 3cm \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5


\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%


\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43.5 13){$_2$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43.5 26){\tiny $3$}


\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43.5 21){\tiny $3$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43.5 33){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43.5 53){$_2$}
%
\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}
\end{center}
}
\end{ex}
\vskip 5mm

Let $\Delta$ be the volume of the $\delta$-column. We list the
value of $\Delta$ for each quantum affine algebra $U_q(\frak{g})$
in the following table.\vskip 3mm

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
$U_q(\frak{g})$ & $\Delta$ \\ \hline
$A^{(1)}_n$ & $n$ \\
$A^{(2)}_{2n-1}$ & $2n-2$ \\
$D^{(1)}_n$ & $2n-4$ \\
$A^{(2)}_{2n}$ & $2n$ \\
$D^{(2)}_{n+1}$ & $2n$ \\
$B^{(1)}_n$ & $2n-2$ \\ %\hline
\end{tabular}
\end{center}\vskip 3mm

Note that $\Delta$ is not necessarily equal to the Coxeter number
or to the dual Coxeter number for $\frak{g}$ (cf. \cite{Kac90}).

Let ${\mathcal Y}(\Lambda)\subset{\mathcal Z}(\Lambda) $ be the
set of all reduced proper Young walls on $Y_{\Lambda}$. Then we
have:

\begin{thm}{\rm (\cite{Ka2000})}
For all $i\in I$ and $Y\in {\mathcal Y}(\La)$, we have
$$\tilde{E}_i Y \in {\mathcal Y} (\La) \cup \{0\},
\qquad \tilde{F}_i Y \in {\mathcal Y}(\La) \cup \{0\}.$$ Hence
${\mathcal Y}(\Lambda)$ is a $U_q(\frak{g})$-crystal. Moreover,
there exists an isomorphism of $U_q(\frak{g})$-crystals
$${\mathcal Y}(\La) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} B(\Lambda)
\qquad \text{given by} \quad Y_{\La} \longmapsto u_{\La},$$ where
$B(\La)$ is the crystal of the basic representation $V(\La)$ of
$U_q(\g)$ and $u_{\La}$ is the highest weight vector in $B(\La)$.
\qed
\end{thm}
\newpage

\vskip 3mm

\begin{ex}
{\rm The crystal ${\mathcal Y}(\La_0)$ for $U_q(B_3^{(1)})$ is
given in Figure 1.}
\end{ex}

\begin{rem}{\rm
When $\zeta$ is a primitive $n$-th root of unity, the finite
dimensional irreducible representations of the (finite) Hecke
algebra ${\mathcal H}_{N}(\zeta)$ can be parametrized by {\it
$n$-reduced} colored Young diagrams. Observe that they are the
same as the reduced proper Young walls of type $A_{n-1}^{(1)}$. We
expect that for each type of classical quantum affine algebras and
level 1 dominant integral weights, there exist some interesting
algebraic structures whose irreducible representations (at some
specialization) are parametrized by reduced proper Young walls. In
\cite{BK}, Brundan and Kleshchev verified this idea by showing
that the irreducible representations of the Heck-Clifford
superalgebra ${\mathcal H}_N(\zeta)$ with $\zeta$ a primitive
$(2n+1)$-th root of unity are parametrized by the set of reduced
proper Young walls of type $A_{2n}^{(2)}$ with $N$ blocks.
}\end{rem}

\newpage

\begin{center}
\begin{texdraw}
\textref h:C v:C \fontsize{8}{8}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:.4 w:.2
\nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0 0)\lvec(-1
0)\ifill f:0.7 \esegment }
%\htext(-7 20){\normalsize $\bullet$ $\Y(\La_0)$ for $B_3^{(1)}$}
\htext(-1.4 24.5){$Y_{\Lambda_0}$} \move(-1 20.5) \bsegment
\move(0 0)\dtri \move(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 1)\lvec(0 1)\lvec(0
0)\lvec(-1 0) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$}
\esegment \move(-1 16) \bsegment \move(0 0)\dtri \move(-1
1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 2)\lvec(0 2)\lvec(0 0)\lvec(-1 0)
\htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\esegment \move(-3 11.5) \bsegment \move(0 0)\dtri \move(-1
0)\dtri \move(-1 1)\lvec(-2 0)\lvec(-2 1)\lvec(0 1)\lvec(-1
0)\lvec(-1 2)\lvec(0 2) \lvec(0 0)\lvec(-2 0) \htext(-0.3
0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7
0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \esegment \move(1 11.5) \bsegment
\move(0 0)\dtri \move(-1 1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1
2.5)\lvec(0 2.5)\lvec(0 0)\lvec(-1 0) \move(-1 2)\lvec(0 2)
\htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\htext(-0.5 2.25){$3$} \esegment \move(-3 6) \bsegment \move(0
0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(-1 1)\lvec(-2 0)\lvec(-2 1)\lvec(0
1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 2.5)\lvec(0 2.5) \lvec(0 0)\lvec(-2 0)
\move(0 2)\lvec(-1 2) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$}
\htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\htext(-0.5 2.25){$3$} \esegment \move(1 6) \bsegment \move(0
0)\dtri \move(-1 1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 3)\lvec(0
3)\lvec(0 0)\lvec(-1 0) \move(-1 2)\lvec(0 2) \move(-1 2.5)\lvec(0
2.5) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-0.5
1.5){$2$} \htext(-0.5 2.25){$3$} \htext(-0.5 2.75){$3$} \esegment
\move(-5 0) \bsegment \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(-2
1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 2.5)\lvec(0 2.5)\lvec(0 0)
\lvec(-2 0)\lvec(-2 2)\lvec(0 2) \move(-2 0)\lvec(-1 1)
\htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-1.3 0.3){$0$}
\htext(-1.7 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-1.5 1.5){$2$}
\htext(-0.5 2.25){$3$} \esegment \move(-1 0) \bsegment \move(0
0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(-1 1)\lvec(-2 0)\lvec(-2 1)\lvec(0
1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 3)\lvec(0 3) \lvec(0 0)\lvec(-2 0) \move(0
2)\lvec(-1 2) \move(0 2.5)\lvec(-1 2.5) \htext(-0.3 0.3){$1$}
\htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7
0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-0.5 2.25){$3$}
\htext(-0.5 2.75){$3$} \esegment \move(3 0) \bsegment \move(0
0)\dtri \move(-1 1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 4)\lvec(0
4)\lvec(0 0)\lvec(-1 0) \move(-1 2)\lvec(0 2) \move(-1 2.5)\lvec(0
2.5) \move(-1 3)\lvec(0 3) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7
0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-0.5 2.25){$3$}
\htext(-0.5 2.75){$3$} \htext(-0.5 3.5){$2$} \esegment \move(-6
-7) \bsegment \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(-2 0)\dtri
\move(-2 1)\lvec(-3 0)\lvec(-3 1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1
2.5) \lvec(0 2.5)\lvec(0 0)\lvec(-3 0) \move(-1 1)\lvec(-2
0)\lvec(-2 2)\lvec(0 2) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7
0.75){$0$} \htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7 0.75){$1$}
\htext(-2.3 0.3){$1$} \htext(-2.7 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\htext(-1.5 1.5){$2$} \htext(-0.5 2.25){$3$} \esegment \move(-3
-7) \bsegment \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(0 0)\lvec(-2
0)\lvec(-2 2.5)\lvec(0 2.5)\lvec(0 0) \move(-2 0)\lvec(-1 1)
\move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(-2 1) \move(-1 0)\lvec(-1 2.5) \move(0
2)\lvec(-2 2) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$}
\htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\htext(-1.5 1.5){$2$} \htext(-0.5 2.25){$3$} \htext(-1.5
2.25){$3$} \esegment \move(0 -7) \bsegment \move(0 0)\dtri
\move(-1 0)\dtri \move(-1 0)\lvec(-1 3)\lvec(0 3)\lvec(0
0)\lvec(-2 0)\lvec(-2 2)\lvec(0 2) \move(-2 1)\lvec(0 1)\lvec(-1
0) \move(-2 0)\lvec(-1 1) \move(0 2.5)\lvec(-1 2.5) \htext(-0.3
0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-1.3 0.3){$0$} \htext(-1.7
0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-1.5 1.5){$2$} \htext(-0.5
2.25){$3$} \htext(-0.5 2.75){$3$} \esegment \move(2 -7) \bsegment
\move(0 0)\dtri \move(-1 1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 5)\lvec(0
5)\lvec(0 0)\lvec(-1 0) \move(0 2)\lvec(-1 2) \move(0 2.5)\lvec(-1
2.5) \move(0 3)\lvec(-1 3) \move(0 4)\lvec(-1 4)\lvec(0 5)
\htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\htext(-0.5 2.25){$3$} \htext(-0.5 2.75){$3$} \htext(-0.5
3.5){$2$} \htext(-0.7 4.75){$0$} \esegment \move(5 -7) \bsegment
\move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri \move(-1 1)\lvec(-2 0)\lvec(-2
1)\lvec(0 1)\lvec(-1 0)\lvec(-1 4)\lvec(0 4) \lvec(0 0)\lvec(-2 0)
\move(0 2)\lvec(-1 2) \move(0 2.5)\lvec(-1 2.5) \move(0 3)\lvec(-1
3) \htext(-0.3 0.3){$1$} \htext(-0.7 0.75){$0$} \htext(-1.3
0.3){$0$} \htext(-1.7 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-0.5
2.25){$3$} \htext(-0.5 2.75){$3$} \htext(-0.5 3.5){$2$} \esegment
\move(-1.5 23.8)\avec(-1.5 21.7)\htext(-1.1 22.9){$0$} \move(-1.5
20.2)\avec(-1.5 18.2)\htext(-1.1 19.4){$2$} \move(-1.75
15.7)\avec(-3.4 13.7)\htext(-2.9 14.9){$1$} \move(-1.25
15.7)\avec(0.3 14.2)\htext(-0.1 15.2){$3$} \move(-3.5
11.2)\avec(-3.5 8.7)\htext(-3.9 10.1){$3$} \move(0.1
11.2)\avec(-3.1 8.7)\htext(-1.9 10.2){$1$} \move(0.5
11.2)\avec(0.5 9.2)\htext(0.9 10.3){$3$} \move(-4.2 5.7)\avec(-5.8
2.7)\htext(-5.4 4.4){$2$} \move(-3.8 5.7)\avec(-1.7
3.2)\htext(-2.4 4.7){$3$} \move(0.3 5.7)\avec(-1.3 3.2)\htext(-0.8
4.7){$1$} \move(0.7 5.7)\avec(2.3 4.2)\htext(1.8 5.2){$2$}
\move(-6.2 -0.3)\avec(-6.9 -4.3)\htext(-6.9 -2.1){$0$} \move(-5.8
-0.3)\avec(-4.1 -4.3)\htext(-4.6 -2.1){$3$} \move(-1.8
-0.3)\avec(-0.9 -3.8)\htext(-1.0 -1.9){$2$} \move(2.3
-0.3)\avec(1.6 -1.8)\htext(1.7 -0.8){$0$} \move(2.7 -0.3)\avec(4.4
-2.8)\htext(3.9 -1.3){$1$} \vtext(-7.5 -8){$\cdots$} \vtext(-4
-8){$\cdots$} \vtext(-1 -8){$\cdots$} \vtext(1.5 -8){$\cdots$}
\vtext(4 -8){$\cdots$} \move(-10 -8.5)\move(7 25)
\end{texdraw}

Figure 1
\end{center}


\vskip 1cm

\section{Fock Space Representation}

Let ${\mathcal F}(\Lambda)=\bigoplus_{Y\in {\mathcal
Z}(\Lambda)}\mathbb{Q}(q)Y$ be the $\mathbb{Q}(q)$-vector space
with a basis ${\mathcal Z}(\Lambda)$ consisting of proper Young
walls. The goal of this section is to define a
$U_q(\frak{g})$-module structure on ${\mathcal F}(\Lambda)$, the
{\it Fock space representation of $U_q(\frak{g})$}.

For this purpose, we introduce some terminologies. Let
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ be a proper Young wall on $Y_{\Lambda}$,
and let $|y_k|$ denote the number of blocks in $y_k$ added to
$Y_{\Lambda}$. We define the {\it associated partition of $Y$} to
be $|Y|=(\cdots,|y_k|,\cdots,|y_1|,|y_0|)$. For proper Young walls
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ and $Z=(z_k)_{k=0}^{\infty}$ in
${\mathcal Z}(\Lambda)$, we define $|Y|\unrhd|Z|$ if and only if
$\sum_{k=l}^{\infty}|y_k|\geq\sum_{k=l}^{\infty}|z_k|$ for all
$l\geq 0$. For example, if \vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(40 50)\lvec(50 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad\quad and \quad
$Z=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(40 50)\lvec(50 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad ,
\end{center}
then we have $|Y|=(3,5,7)\rhd |Z|=(1,5,9)$.

Note that it is not a partial ordering on ${\mathcal Z}(\Lambda)$
since there exist $Y\neq Z$ in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ such that
$|Y|=|Z|$. However, it induces a partial ordering on the set of
associated partitions. (The readers may want to compare it with
the usual dominance ordering. See, for example, \cite{Mac})


Let $S=\{\,k\,|\,s\leq k < t\,\}$ for some $0\leq s <
t\leq\infty$. Then $S$ is a finite or an infinite interval in
$\mathbb{Z}_{\geq 0}$. We define  the {\it {\rm (}$S$-{\rm )}part
of $Y$} to be $Y_S=(y_k)_{k\in S}$. For example, if
$S=\{\,k\in\mathbb{Z}_{\geq 0 }\,|\,k\geq s\,\}$, the
$Y_S=(y_k)_{k=s}^{\infty}$ is itself a proper Young wall in
${\mathcal Z}(\Lambda')$ for some level 1 dominant integral weight
$\Lambda'$. On the other hand, if $S=\{\,k\,|\,s\leq k < t<\infty
\,\}$ is a finite interval, $Y_S$ is no more a proper Young wall,
but a finite collection of columns in $Y$. By restricting our
attentions to the columns in $Y_S$, we may define the notions of
admissible $i$-slots, removable $i$-blocks, the $i$-signature of
$Y_S$, $\varepsilon_i(Y_S)$, and $\varphi_i(Y_S)$ (however, {\rm
wt} can be defined for proper Young walls only).
\begin{ex}{\rm When $\frak{g}=A^{(2)}_4$ and $\Lambda=\Lambda_0$, consider
\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}=$\hskip
3mm\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
%\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
%f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

Note that the $0$-signature of $Y$ is $+$ and  hence
$\varepsilon_0(Y)=0$, $\varphi_0(Y)=1$. If $S=\{\,0,1,2,3,4\,\}$,
then we have \vskip 5mm

\begin{center}
$Y_S=$\hskip 3mm\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
%\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
%f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\quad ,
\end{center}\vskip 5mm

\noindent $\varepsilon_0(Y_S)=2$ and $\varphi_0(Y_S)=0$ since the
$0$-signature of $Y_S=--$. }
\end{ex}

We will now define the action of $U_q(\frak{g})$ on
$\mathcal{Z}(\Lambda)$. Since the action of $q^h$ ($h\in
P^{\vee}$) is easily defined by
\begin{equation}
q^h Y=q^{{\rm wt}(Y)(h)}Y \quad \text{for $Y\in
\mathcal{Z}(\Lambda)$,}
\end{equation}
we will focus on the actions of $e_i$ and $f_i$ ($i\in I$).

\vskip 2mm \noindent {\bf Case 1.} Suppose that the $i$-blocks are
of type I.\vskip 2mm

Let $b$ be a removable $i$-block in $y_k$ of $Y$. We define
$Y_R(b)=(y_{k-1},\cdots,y_{1},y_0)$ to be the part of $Y$
consisting of the columns lying at the right of $b$, and set
\begin{equation}
R_i(b;Y)=\varphi_i(Y_R(b))-\varepsilon_i(Y_R(b))
\end{equation}
If $k=0$, we understand $Y_R(b)=\emptyset$ and $R_i(b;Y)=0$. We
denote by $Y\nearrow b$ the Young wall obtained by removing $b$
from $Y$. Then we define
\begin{equation}
e_i\,Y=\sum_{b}q_i^{-R_i(b;Y)}(Y\nearrow b),
\end{equation}
\noindent where $b$ runs over all removable $i$-blocks in $Y$.

On the other hand, if $b$ is an admissible $i$-slot in $y_k$ of
$Y$, then we define $Y_L(b)=(\cdots,y_{k+2},y_{k+1})$ to be the
Young wall consisting of the columns in $Y$ lying at the left of
$b$, and set
\begin{equation}
L_i(b;Y)=\varphi_i(Y_L(b))-\varepsilon_i(Y_L(b)).
\end{equation}
Here, the wall $Y_L(b)$ is a proper Young wall on $Y_{\Lambda'}$
for some level 1 dominant integral weight $\Lambda'$. We denote by
$Y\swarrow b$ the Young wall obtained by adding an $i$-block at
$b$. Then we define
\begin{equation}
f_i\,Y=\sum_{b}q_i^{L_i(b;Y)}(Y\swarrow b),
\end{equation}
where $b$ runs over all admissible $i$-slots in $Y$.
\begin{ex}{\rm \mbox{}

(a) If $\frak{g}=A^{(1)}_2$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=0$, then
$q_0=q$ and we have\vskip 5mm


$e_0$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_0$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 43){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$ \hskip 5mm $q$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_0$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 43){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 43){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm $q^{-1}$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_0$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 10mm


$f_0$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$ \hskip 5mm $q^{-1}$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_0$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 43){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm
$+$ \hskip 5mm $q$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
3){$_0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
3){$_1$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
3){$_2$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
3){$_0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 43){$_1$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_0$}

\end{texdraw}}\quad .
\vskip 5mm


(b) If $\frak{g}=A^{(2)}_5$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=2$, then
$q_2=q$ and we have \vskip 5mm


$e_2$ \raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$\hskip 5mm $q$
 \raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

%\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
%10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$\hskip 5mm
\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm
$+$\hskip 5mm $q^{-1}$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

%\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
%50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 10mm


$f_2$ \raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$\hskip 5mm $q^{-1}$
\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$\hskip 5mm
\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm $+$\hskip 5mm $q$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

%\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
%50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}

\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad .
\vskip 5mm }
\end{ex}



\vskip 2mm \noindent {\bf Case 2.} Suppose that the $i$-blocks are
of type II.\vskip 2mm

In this case, we have $q_i=q$. Let $b$ be a removable $i$-block in
$y_k$ of $Y$. If the $i$-signature of $y_k$ is $--$, or if the
$i$-signature of $y_k$ is $-$ and there is another $i$-block
beneath $b$, we define $Y\nearrow b$ to be the Young wall obtained
by removing the block $b$ from $Y$. If the $i$-signature of $y_k$
is $-+$, or if the $i$-signature of $y_k$ is $-$ and there is no
$i$-block beneath $b$, then we define $Y\nearrow
b=q^{-1}(1-(-q^2)^{l(b)+1})Z$, where $Z$ is the Young wall
obtained by removing the block $b$ from $Y$ and $l(b)$ is the
number of $y_l$'s with $l<k$ such that $|y_l|=|y_k|$. That is, if

\vskip 5mm \hskip 4cm $Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(50
10)\lvec(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(80 40)\lvec(80
-20)\lvec(-20 -20)

\move(50 10)\lvec(50 -20)

\htext(57 10){$Y_R(b)$}

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
11){$\cdots$}

\move(10 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(3 12)

\htext(12 -1){$_b$}

\move(10 15)\clvec(12 20)(23 20)(25 20)

\move(50 15)\clvec(48 20)(37 20)(35 20)

\htext(26 18){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}\quad ,\vskip 5mm

\hskip 5mm then \hskip 5mm $Y\nearrow b=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(50
10)\lvec(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(80 40)\lvec(80
-20)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
11){$\cdots$}

\htext(-90 3){$\dfrac{(1-(-q^2)^{l(b)+1})}{q}\times$}
\end{texdraw}}\quad .
\vskip 5mm


In either case, we define $Y_R(b)=(y_{l},\cdots,y_{0})$, where $l$
is the integer such that $|y_k|=|y_{k-1}|=\cdots=|y_{l+1}|<|y_l|$,
and set
\begin{equation}
R_i(b;Y)=\varphi_i(Y_R(b))-\varepsilon_i(Y_R(b)).
\end{equation}
If $k=0$, we understand $Y_R(b)=\emptyset$ and $R_i(b;Y)=0$. Then
we define
\begin{equation}
e_i\,Y=\sum_{b}q_i^{-R_i(b;Y)}(Y\nearrow b),
\end{equation}
\vskip -2mm \noindent where $b$ runs over all removable $i$-blocks
in $Y$.

On the other hand, suppose that $b$ is an admissible $i$-slot in
$y_k$ of $Y$. If the $i$-signature of $y_k$ is $++$, or if the
$i$-signature of $y_k$ is $+$ and there is no $i$-block beneath
$b$, then we define $Y\swarrow b$ to be the Young wall obtained by
adding an $i$-block at $b$. If the $i$-signature of $y_k$ is $-+$,
or if the $i$-signature of $y_k$ is $+$ and there is another
$i$-block beneath $b$, then we define $Y\swarrow
b=q^{-1}(1-(-q^2)^{l(b)+1})Z$, where $Z$ is the Young wall
obtained by adding an $i$-block at $b$ and $l(b)$ is the number of
$y_l$'s with $l>k$ such that $|y_l|=|y_k|$. That is, if \vskip 5mm

\hskip 4cm $Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-30 -20)\lvec(-30 0)\lvec(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(50
10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -20)\lvec(-30 -20)

\move(0 10)\lvec(0 -20)\htext(-24 -14){$Y_L(b)$}

\move(40 15) \lvec(40 20)\lvec(50 20)

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(30 10) \lvec(30 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(15
11){$\cdots$}

\move(55 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(43 17)

\htext(60 -3){$_b$}

\move(0 15)\clvec(2 20)(13 20)(15 20)

\move(40 15)\clvec(38 20)(27 20)(25 20)

\htext(16 18){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 0.5cm

\hskip 5mm then \hskip 0.5cm $Y\swarrow b=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-30 -20)\lvec(-30 0)\lvec(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(50
10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -20)\lvec(-30 -20)

\move(40 15) \lvec(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 15)\lfill f:0.8

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(30 10) \lvec(30 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(15
11){$\cdots$}

\htext(-100 0){$\dfrac{(1-(-q^2)^{l(b)+1})}{q}\times$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

In either case, we define $Y_L(b)=(\cdots,y_{l+2},y_{l+1})$, where
$l$ is the integer such that
$|y_{l+1}|<|y_l|=|y_{l-1}|=\cdots=|y_k|$, and set
\begin{equation}
L_i(b;Y)=\varphi_i(Y_L(b))-\varepsilon_i(Y_L(b)).
\end{equation}
Then we define
\begin{equation}
f_i\,Y=\sum_{b}q_i^{L_i(b;Y)}(Y\swarrow b),
\end{equation}
\vskip -2mm \noindent where $b$ runs over all admissible $i$-slots
in $Y$.
\begin{ex}{\rm
If $\frak{g}=A^{(2)}_4$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=0$, then we
have\vskip 5mm

$e_0$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\hskip 3mm $=$\hskip 3mm $q^{2}$
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$+$ \hskip 3mm $q(1+q^{10})$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\quad ,\vskip 10mm


$f_0$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$\hskip 3mm $q^{-1}$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\hskip 5mm
$+$ \hskip 3mm $(1+q^{10})$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(50 45)\lvec(60 45)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
45)\htext(53 46){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

}\end{ex}


\vskip 2mm \noindent {\bf Case 3.} Suppose that the $i$-blocks are
of type III.\vskip 2mm

If $b$ is a removable $i$-block in $y_k$ of $Y$, then we define
$Y\nearrow b$ to be the Young wall obtained by removing the block
$b$ from $Y$. We also consider the following $i$-block $b$ in
$y_k$ of $Y$, which we call a {\it virtually removable
$i$-block}.\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\fontsize{9}{9} \drawdim
em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-10 -20)\lvec(-10 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-10 -20)

\move(60 10)\lvec(60 -20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\htext(65 10){$Y_R(b)$}

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(67 3) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(57 13)

\htext(70 0){$_b$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(26 2){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or
\hskip .7cm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-10 -20)\lvec(-10 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-10 -20)

\move(60 10)\lvec(60 -20)

\htext(65 10){$Y_R(b)$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(30 20)\lvec(30 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(67 3) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53 17)

\htext(70 0){$_b$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(26 2){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

\noindent In this case, we define $Y\nearrow b$ to be \vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-40 10){${(-q_i)^{l(b)}\times}$}

\move(-10 -20)\lvec(-10 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-10 -20)

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(30 20)\lvec(30 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}
\end{texdraw}} \hskip 5mm and
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-40 10){${(-q_i)^{l(b)}\times}$}

\move(-10 -20)\lvec(-10 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-10 -20)

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(50 20)\lvec(50 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

\noindent respectively, where $l(b)\geq 1$ is given in the above
figure. Note that, unlike Case 1 and Case 2, we need to {\it
shift} the blocks from left to right and from back to front (resp.
from front to back). In either case, we define
$Y_R(b)=(y_{k-1},\cdots,y_{0})$, and set
\begin{equation}
R_i(b;Y)=\varphi_i(Y_R(b))-\varepsilon_i(Y_R(b)).
\end{equation}
If $k=0$, we understand $Y_R(b)=\emptyset$ and $R_i(b;Y)=0$. Then
we define
\begin{equation}
e_i\,Y=\sum_{b}q_i^{-R_i(b;Y)}(Y\nearrow b),
\end{equation}
\vskip -2mm \noindent where $b$ runs over all removable and
virtually removable $i$-blocks in $Y$.

On the other hand, if $b$ is an admissible $i$-slot in $y_k$ of
$Y$, then we define $Y\swarrow b$ to be the Young wall obtained by
adding an $i$-block at $b$. We also consider the following
$i$-slot $b$ in $y_k$ of $Y$, which we call a {\it virtually
admissible $i$-slot}:\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(75 30)\lvec(75 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(10 -20)\htext(-14 -14){$Y_L(b)$}

\move(10 10)\lvec(10 20)\lvec(20 20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(50 20)\lvec(50 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(3 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(13 17)

\htext(0 30){$_b$}

\move(34 5)\clvec(26 5)(23 5)(20 10)

\move(46 5)\clvec(54 5)(57 5)(60 10)

\htext(36 2){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or
\hskip 1cm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(75 30)\lvec(75 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(10 -20)\htext(-14 -14){$Y_L(b)$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(3 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(17 13)

\htext(0 30){$_b$}

\move(34 5)\clvec(26 5)(23 5)(20 10)

\move(46 5)\clvec(54 5)(57 5)(60 10)

\htext(36 2){$_{l(b)}$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm


\noindent In this case, we define $Y\swarrow b$ to be \vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-40 10){${(-q_i)^{l(b)}\times}$}

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(75 30)\lvec(75 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(30 20)\lvec(30 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm and
\hskip 2mm \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\fontsize{9}{9}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-40 10){${(-q_i)^{l(b)}\times}$}

\move(-20 -20)\lvec(-20 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60
10)\lvec(60 30)\lvec(75 30)\lvec(75 40)\lvec(90 40)\lvec(90
-20)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

%\move(50 20)\lvec(50 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\end{texdraw}}\quad ,
\end{center}\vskip 5mm

\noindent respectively, where $l(b)\geq 1$ is given in the above
figure. Here again, one can observe that we need to {\it shift}
the blocks from left to right and from back to front (resp. from
front to back). In either case, we define
$Y_L(b)=(\cdots,y_{k+2},y_{k+1})$ and set
\begin{equation}
L_i(b;Y)=\varphi_i(Y_L(b))-\varepsilon_i(Y_L(b)).
\end{equation}
Then we define
\begin{equation}
f_i\,Y=\sum_{b}q_i^{L_i(b;Y)}(Y\swarrow b),
\end{equation}
\noindent where $b$ runs over all admissible and virtually
admissible $i$-slots in $Y$.
\begin{ex}{\rm
If $\frak{g}=B^{(1)}_3$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=0$, then
$q_0=q^2$ and we have \vskip 5mm

$e_0$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

$=$ \hskip 3mm $q^2$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm  $q^6$  \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm $+$ \hskip 5mm \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

%\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
%46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad ,

\vskip 1cm $f_0$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

%\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
%46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 3mm $=$ \hskip 3mm
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

%\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
%46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 3mm $+$ \hskip 3mm $q^2$
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

%\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
%46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\hskip 4cm $+$ \hskip 3mm $q^8$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm
$+$\hskip 3mm $q^4$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm
}
\end{ex}

With these actions, we have
\begin{thm}\label{Fock space}
The Fock space ${\mathcal F}(\Lambda)$ is a $U_q(\frak{g})$-module
in the category ${\mathcal O}_{int}$.
\end{thm}
To prove this theorem, we need to verify that all the defining
relations in \eqref{defining rels} hold in $\mathcal{F}(\Lambda)$.
First, it is straightforward to verify that the following
relations hold
\begin{equation}\label {rel1}
\begin{split}
q^hq^{h'}Y&=q^{h+h'}Y, \\
q^h e_i q^{-h}Y&=q^{\alpha_i(h)}e_i Y, \\
q^h f_i q^{-h}Y&=q^{-\alpha_i(h)}f_i Y,
\end{split}
\end{equation}
for $Y\in {\mathcal Z}(\Lambda)$, $i\in I$ and $h,h'\in P^{\vee}$.
Also, it is clear that $e_i$ and $f_i$ ($i\in I$) act locally
nilpotently on ${\mathcal F}(\Lambda)$. Therefore, by Proposition
B.1 in \cite{KMPY}, we have only to show that
\begin{equation}\label {rel2}
\begin{split}
(e_if_j-f_je_i)Y=\delta_{ij}\frac{K_i-K_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}Y
\end{split}
\end{equation}
for $Y\in {\mathcal Z}(\Lambda)$ and $i,j\in I$.

The rest of this subsection will be devoted to proving the
relation \eqref{rel2}. We first investigate the {\it local
behavior} of $U_q(\frak{g})$-action on ${\mathcal F}(\Lambda)$.


Fix $i\in I$ and let $Y$ be a proper Young wall. We will decompose
$Y$ into a sequence $Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ of parts, reading
from left to right, which are called the {\it $i$-component} of
$Y$.\vskip 2mm


{\bf Case 1.} Suppose that $i$-blocks are of type I. Observe that
the admissible $i$-slots and removable $i$-blocks in $Y$ appear in
one of the following situations:\vskip 5mm


\noindent ( $\rm I_{\infty}$) \hskip 1cm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(0 0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(30
30)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 0)\htext(15
2.5){$_i$}\htext(13 -7.5){\small $_{y_N}$}
\end{texdraw}\hskip 2cm
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(0 0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(30
30)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 0)\move(10 0)\lvec(10
10)\lvec(20 10)\htext(14 2.5){$_i$}\htext(13 -7.5){$_{y_N}$}
\end{texdraw}}
\vskip 3mm

\noindent ( $\rm I_0$)  \hskip 1cm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(30 0)\lvec(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 0)\lfill f:0.8 \move(0
0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(40
30)\lvec(40 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10
0)\htext(34 22.5){$_i$}\htext(33 -7.5){$_{y_N}$}
\end{texdraw}\hskip 2cm
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(30 0)\lvec(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 0)\lfill f:0.8 \move(0
0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(40
30)\lvec(40 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10
0)\htext(34 22.5){$_i$}\htext(33 -7.5){$_{y_N}$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

In case $\rm I_{\infty}$, let $y_N$ be the column containing the
admissible $i$-slot in the ground-state wall or the removable
$i$-block that touches the ground-state wall as indicated in the
above figure. We denote by $Y_0$ the part of $Y$ consisting of
$y_N$ and the blocks in the ground-state wall lying in the left of
$y_N$, and call it an {\it $i$-component of type $\rm
I_{\infty}$}.

In case $\rm I_0$, the column which is $i$-admissible or
$i$-removable is called an {\it $i$-component of type $\rm I_0$}.
If $y_N$ is the left-most $i$-component of type $\rm I_0$ and
there is no $i$-component of type $\rm I_{\infty}$, we denote by
$Y_0$ the part of $Y$ consisting of the blocks lying in the left
of $y_N$. In this case, we call $Y_0$ a {\it trivial
$i$-component}. The parts of $Y$ lying between two $i$-components
of type $\rm I_{\infty}$ or $\rm I_0$ will also be called the {\it
trivial $i$-components}.

In this way, we obtain a unique decomposition
$Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ of $Y$, where each of $Y_k$ is an
$i$-component of type $\rm I_{\infty}$ or $\rm I_0$, or a trivial
$i$-component.

\begin{ex}\label{comp1}{\rm
Let $\frak{g}=A^{(2)}_5$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=2$. If
\begin{center}
$Y=$\hskip 3mm\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}
%
\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40)

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)
%
\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}
%
\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\htext(22
45){\tiny $0$}\htext(26 42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

then we have $Y=(Y_0,Y_1,Y_2,Y_3)$, where\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_0=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\htext(-.2 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8 \htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
\end{texdraw}} : trivial $i$-component, \vskip 5mm

\hskip 1cm $Y_1=$\hskip 2mm
\raisebox{-0.3\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lfill
f:0.8 \htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm I_0$,\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_2=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lfill
f:0.8 \htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
50)\lvec(30 50)\htext(22 45){\tiny $0$}\htext(26 42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\end{texdraw}} : trivial $i$-component and\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_3=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}
%
\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(41 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(41
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm I_0$.\vskip 5mm
}
\end{ex}

Let $Y$ be a proper Young wall with the decomposition
$Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ into $i$-components. To each $Y_k$, we
associate a $U_{(i)}$-module $V_k$ as follows. Then we will view
$Y$ as $Y_0\otimes Y_1 \otimes \cdots \otimes Y_r$ inside
$V_0\otimes V_1 \otimes \cdots \otimes V_r$.

If $Y_k$ is a trivial $i$-component, then we associate the trivial
representation $V_k=U=\mathbb{Q}(q)u$, and we identify $Y_k$ with
$u$. If $Y_k$ is an $i$-component of type $\rm I_{\infty}$ or $\rm
I_0$, then we associate the 2-dimensional representation
$V_k=V=\mathbb{Q}(q)v_0 \oplus \mathbb{Q}(q)v_1$, where the
$U_{(i)}$-action is given by
\begin{equation}\label{I+}
\begin{split}
K_iv_0&=q_iv_0,  \quad K_iv_1=q_i^{-1}v_1, \\
e_iv_0&=0, \quad e_iv_1=v_0,\\
f_iv_0&=v_1, \quad f_iv_1=0.
\end{split}
\end{equation}
We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of $V$ as
follows :\vskip 5mm

($\rm I_{\infty}$) \hskip 1cm $v_0 \leftrightarrow
$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(30
0)\lvec(30 15)\htext(25 2.5){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm
$v_1 \leftrightarrow $\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(30
0)\lvec(30 15)\htext(24 2.5){$_i$}\move(20 0)\lvec(20 10)\lvec(30
10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\vskip 3mm

($\rm I_0$) \hskip 1cm $v_0 \leftrightarrow
$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 -10)\lvec(0
10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\htext(4 12.5){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
$v_1 \leftrightarrow $\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 -10)\lvec(0
10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10) \move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10
20)\lvec(10 10)\lvec(0 10) \htext(4 13){$_i$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

Note that $V$ is isomorphic to the 2-dimensional irreducible
$U_{(i)}$-module $V(1)$ with the crystal basis $(L,B)$, where
\begin{equation*}
L=\mathbb{A}_0v_0 \oplus \mathbb{A}_0v_1, \ \
B=\{\overline{v_0},\overline{v_1} \},
\end{equation*}
and the crystal graph is given by
$$\overline{v_0}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{v_1}.$$

\begin{ex}{\rm In Example \ref{comp1}, we have \vskip 5mm

$Y=$  \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\htext(-.2 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8 \htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 2mm $\otimes$ \hskip 2mm
\raisebox{-0.3\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lfill
f:0.8 \htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 2mm $\otimes$ \hskip 2mm
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lfill
f:0.8 \htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
50)\lvec(30 50)\htext(22 45){\tiny $0$}\htext(26 42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\end{texdraw}}\hskip 2mm $\otimes$\hskip 2mm
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.13 \linewd 0.5

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}
%
\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(41 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(41
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}
\end{texdraw}} \hskip 2mm $\in U\otimes V \otimes U \otimes V$.

}
\end{ex}


\vskip 3mm {\bf Case 2.} Suppose that the $i$-blocks are of type
II. In this case, the admissible $i$-slots and the removable
$i$-blocks in $Y$ appear in one of the following situations :
\vskip 5mm

($\rm II_{\infty}$) \hskip 1cm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(0 0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(30
30)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 0)\htext(14 1){\small
$_i$}\htext(13 -7.5){\small $_{y_N}$}\move(20 5)\lvec(60 5)
\end{texdraw}\hskip 2cm
\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5
\move(0 0)\lvec(60 0)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50 30)\lvec(30
30)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 0)\move(10 0)\lvec(10
5)\lvec(60 5)\htext(14 1){\small $_i$}\htext(13 -7.5){$_{y_N}$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

($\rm II_0$) \hskip 1cm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -20)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -20)\lvec(0 -20)\lfill
f:0.8 \move(-20 -20)\lvec(30 -20)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\lvec(-10
0)\lvec(-10 -10)\lvec(-20 -10)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(30 10)\move(10 15)\lvec(30 15)\move(10
20)\lvec(30 20)

\htext(3 -27.5){$_{y_N}$}\htext(4 11){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -20)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -20)\lvec(0 -20)\lfill
f:0.8

\move(0 10)\lvec(0 15)\lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(-20 -20)\lvec(30 -20)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\lvec(-10
0)\lvec(-10 -10)\lvec(-20 -10)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(30 10)\move(10 15)\lvec(30 15)\move(10
20)\lvec(30 20)

\htext(3 -27.5){$_{y_N}$}\htext(4 16){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -20)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -20)\lvec(0 -20)\lfill
f:0.8

\move(0 10)\lvec(0 15)\lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(0 15)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 15)\lvec(0 15)\lfill
f:0.8

\move(-20 -20)\lvec(30 -20)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\lvec(-10
0)\lvec(-10 -10)\lvec(-20 -10)\lvec(-20 -20)

\move(10 10)\lvec(30 10)\move(10 15)\lvec(30 15)\move(10
20)\lvec(30 20)

\htext(3 -27.5){$_{y_N}$}\htext(4 16){$_i$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

(${\rm II}_l$) ($l\geq 1$) \hskip 5mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\move(50 10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -10)\lvec(-15
-10)\lvec(-15 0)\lvec(0 0)

\move(50 10)\lvec(65 10)\move(50 15)\lvec(65 15)\move(50
20)\lvec(65 20)

\move(10 10)\clvec(12 5)(23 5)(25 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(37 5)(35 5)

\htext(30 4){$_{l}$}

\htext(4 11){$_i$}\htext(44 16){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\move(50 10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -10)\lvec(-15
-10)\lvec(-15 0)\lvec(0 0)

\move(50 10)\lvec(65 10)\move(50 15)\lvec(65 15)\move(50
20)\lvec(65 20)

\htext(4 11){$_i$}\htext(44 16){$_i$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\hskip 2.5cm\raisebox{-0.7\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill
f:0.8

\move(40 15) \lvec(40 20) \lvec(50 20) \lvec(50 15)\lfill f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\move(50 10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -10)\lvec(-15
-10)\lvec(-15 0)\lvec(0 0)

\move(50 10)\lvec(65 10)\move(50 15)\lvec(65 15)\move(50
20)\lvec(65 20)

\htext(4 11){$_i$}\htext(44 16){$_i$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm
\raisebox{-0.7\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(40 15) \lvec(40 20) \lvec(50 20) \lvec(50 15)\lfill f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)
\lfill f:0.8

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\move(50 10)\lvec(50 30)\lvec(65 30)\lvec(65 -10)\lvec(-15
-10)\lvec(-15 0)\lvec(0 0)

\move(50 10)\lvec(65 10)\move(50 15)\lvec(65 15)\move(50
20)\lvec(65 20)

\htext(4 11){$_i$}\htext(44 16){$_i$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm


In case $\rm II_{\infty}$, let $y_N$ be the column containing the
admissible $i$-slot in the ground-state wall or the removable
$i$-block that touches the ground-state wall as indicated in the
above figure. We denote by $Y_0$ the part of $Y$ consisting of
$y_N$ and the blocks in the ground-state wall lying in the left of
$y_N$, and call it an {\it $i$-component of type $\rm
II_{\infty}$}.

In case $\rm II_0$, the column which is $i$-admissible or
$i$-removable is called an {\it $i$-component of type $\rm II_0$}.
In case ${\rm II}_l$, the whole shaded part containing an
admissible $i$-slot or a removable $i$-block will be called an
{\it $i$-component of type ${\rm II}_l$}.

Let $Y_1$ be the left-most $i$-component of type ${\rm II}_l$
($l\geq 0$). If there is no $i$-component of type $\rm
II_{\infty}$, then we denote by $Y_0$ the part of $Y$ consisting
of the blocks lying in the left of $Y_1$, and call it a {\it
trivial $i$-component}. The parts of $Y$ lying between two
$i$-components of type $\rm II_{\infty}$ or ${\rm II}_l$ ($l\geq
0$) will also be called the {\it trivial $i$-components}.

In this way, we obtain a unique decomposition
$Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ of $Y$, where each $Y_k$ is an
$i$-component of type $\rm II_{\infty}$, ${\rm II}_l$ ($l\geq 0$),
or a trivial $i$-component.

\begin{ex}\label{comp2}{\rm
Let $\frak{g}=A^{(2)}_4$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=0$. If \vskip
5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(63
1){\tiny $0$}
%
\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 6){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 5)\lvec(60 5)\lvec(60 0)\lfill
f:0.8 \htext(63 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 23){$_2$}
%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_1$}
%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 45)\lvec(60 45)\lvec(60
40)\htext(63 41){\tiny $0$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
40)\htext(53 46){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(63 46){\tiny $0$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_1$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_1$}
%
\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 63){$_2$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 63){$_2$}
%
%\move(50 70)\lvec(60 70)\lvec(60 80)\lvec(50 80)\lvec(50
%70)\htext(53 73){$_1$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_1$}
%
%\move(50 80)\lvec(60 80)\lvec(60 85)\lvec(50 85)\lvec(50
%80)\htext(53 81){\tiny $0$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 85)\lvec(60 85)\lvec(60
80)\htext(63 81){\tiny $0$}
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm
then we have $Y=(Y_0,Y_1,Y_2,Y_3)$, where\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_0=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 1){\tiny $0$}

\move(40 5)\lvec(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 5)\htext(43 6){\tiny
$0$}

\htext(-23 1){$\cdots$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm II_{\infty}$,\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_1=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm II_3$,\vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_2=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
40)\htext(53 46){\tiny $0$}


\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_1$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 63){$_2$}

\end{texdraw}} : trivial $i$-component and \vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_3=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(63
1){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 5)\lvec(60 5)\lvec(60 0)\lfill
f:0.8 \htext(63 6){\tiny $0$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_1$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 23){$_2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 45)\lvec(60 45)\lvec(60
40)\htext(63 41){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(63 46){\tiny $0$}
%
\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_1$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 63){$_2$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_1$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 85)\lvec(60 85)\lvec(60
80)\htext(63 81){\tiny $0$}

\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm II_0$.

}
\end{ex}


Let $Y$ be a proper Young wall with the decomposition $Y=(Y_0,Y_1,
\cdots,Y_r)$ into $i$-components. To each $Y_k$, we associate a
$U_{(i)}$-module $V_k$ as follows. Then we will view $Y$ as
$Y_0\otimes Y_1 \otimes \cdots \otimes Y_r$ inside $V_0\otimes V_1
\otimes \cdots \otimes V_r$.

If $Y_k$ is a trivial $i$-component, then we associate the trivial
representation $V_k=U=\mathbb{Q}(q)u$, and we identify $Y_k$ with
$u$.

If $Y_k$ is an $i$-component of type $\rm II_{\infty}$, then we
must have $k=0$ and we associate the 2-dimensional representation
$V_0=V=\mathbb{Q}(q)v_0\oplus \mathbb{Q}(q)v_1$, where
$U_{(i)}$-module action is given by \eqref{I+}. We identify $Y_0$
with the basis element of $V$ as follows :\vskip 5mm

\begin{center}
$v_0 \leftrightarrow$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 1){\tiny $i$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 1){\tiny $i$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 1){\tiny $i$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 1){\tiny $i$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 1){\tiny $i$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 1){\tiny $i$}

\htext(43 6){\tiny $i$}

\htext(-23 1){$\cdots$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
$v_1 \leftrightarrow$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 1){\tiny $i$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 1){\tiny $i$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 1){\tiny $i$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 1){\tiny $i$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 1){\tiny $i$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 1){\tiny $i$}

\move(40 5)\lvec(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 5)\htext(43 6){\tiny
$i$}

\htext(-23 1){$\cdots$}
\end{texdraw}}\quad.
\end{center}
\vskip 5mm

If $Y_k$ is an $i$-component of type $\rm II_0$, then we associate
the 3-dimensional representation $V_k=W_0=\mathbb{Q}(q)w_0\oplus
\mathbb{Q}(q)w_1\oplus \mathbb{Q}(q)w_2$, where the
$U_{(i)}$-module action is given by
\begin{equation}\label{II+}
\begin{split}
& K_iw_0=q_i^2w_0,\ K_iw_1=w_1, \ K_iw_2=q_i^{-2}w_2, \\
& e_iw_0=0, \ e_iw_1=(q_i+q_i^{-1})w_0, \ e_iw_2=w_1, \\
& f_iw_0=w_1, \ f_iw_1=(q_i+q_i^{-1})w_2, \ f_iw_2=0.
\end{split}
\end{equation}
We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of $W$ as
follows :\vskip 5mm

\begin{center}
$w_0 \leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 -10)\lvec(0
10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1 \leftrightarrow$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 -10)\lvec(0
10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(0 15)\lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(4 11){\tiny $i$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_2 \leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5 \move(0 -10)\lvec(0
10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(0 15)\lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\move(0 15)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 15)\lvec(0 15)

\htext(4 11){\tiny $i$}\htext(4 16){\tiny $i$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

Note that $W$ is isomorphic to the 3-dimensional irreducible
$U_{(i)}$-module $V(2)$ with the crystal basis $(L,B)$, where
\begin{equation*}
L =\mathbb{A}_0w_0\oplus \mathbb{A}_0w_1\oplus\mathbb{A}_0w_2, \
B=\{\,\overline{w_k}\,|\,k=0,1,2\,\}.
\end{equation*}
and the crystal graph is given by
$$\overline{w_0}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_1}
\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_2}.$$

If $Y_k$ is an $i$-component of type ${\rm II}_l$ ($l\geq 1$),
then we associate the 4-dimensional representation
\begin{equation*}
V_k=W_l=\mathbb{Q}(q)w_0\oplus\mathbb{Q}(q)w_1\oplus\mathbb{Q}(q)w_2\oplus\mathbb{Q}(q)u,
\end{equation*}
where the $U_{(i)}$-module action is given by
\begin{equation}
\begin{split}
& K_iw_0=q_i^2w_0, \ K_iw_1=w_1, \  K_iw_2=q_i^{-2}w_2 , \ K_iu=u, \\
& e_iw_0= 0, \ e_iw_1=q_i^{-1}(1-(-q_i^2)^{l+1})w_0, \\
& e_iw_2=w_1+q_i(1-(-q_i^2)^l)u, \ e_iu=w_0, \\
& f_iw_0=w_1+q_i(1-(-q_i^2)^l)u, \
f_iw_1=q_i^{-1}(1-(-q_i^2)^{l+1})w_2, \\
& f_iw_2=0, \ f_iu=w_2.
\end{split}
\end{equation}
We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of $W_l$
as follows :\vskip 5mm

\begin{center}
$w_0 \leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(0
10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)


\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\move(10 15)\clvec(12 20)(23 20)(25 20)

\move(50 15)\clvec(48 20)(37 20)(35 20)

\htext(30 20){$_{l}$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.7\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(0
10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\end{texdraw}}\vskip 10mm

$w_2 \leftrightarrow$\raisebox{-0.7\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(0
10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)

\move(0 10) \lvec(0 15) \lvec(10 15)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\move(40 15) \lvec(40 20) \lvec(50 20) \lvec(50 15)

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}

\end{texdraw}}
\hskip 10mm $u \leftrightarrow$\raisebox{-0.7\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5 \move(0 0)\lvec(0
10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)

\move(40 15) \lvec(40 20) \lvec(50 20) \lvec(50 15)

\move(10 10)\lvec(10 15)\lvec(50 15)\lvec(50 10)\lvec(10 10)

\move(20 10) \lvec(20 15) \move(40 10) \lvec(40 15) \htext(25
10){$\cdots$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm
\end{center}

The $U_{(i)}$-module $W_l$ is decomposed as $W_l\cong V(2)\oplus
V(0)$, where
\begin{equation*}
\begin{split}
V(2)&\cong \mathbb{Q}(q)w_0\oplus
\mathbb{Q}(q)(w_1+q_i(1-(-q_i^2)^{l})u)\oplus\mathbb{Q}(q)w_2,\\
V(0)&\cong \mathbb{Q}(q)(u-\frac{q_i}{(1-(-q_i^2)^{l+1})}w_1).
\end{split}
\end{equation*}
Hence, the crystal basis $(L,B)$ of $W_l$ is given by
\begin{equation*}
\begin{split}
L=&\mathbb{A}_0w_0\oplus
\mathbb{A}_0(w_1+q_i(1-(-q_i^2)^{l})u)\oplus\mathbb{A}_0w_2
\\ & \oplus
\mathbb{A}_0(u-\frac{q_i}{(1-(-q_i^2)^{l+1})}w_1), \\
B=&\{\,\overline{w_0},\overline{w_1},\overline{w_2},\overline{u}\,\}
\end{split}
\end{equation*}
with the crystal graph\vskip 5mm
\begin{center}
\raisebox{-0.5\height}{\begin{texdraw} \drawdim em \setunitscale
0.12 \linewd 0.3

\htext(0 0){$\overline{u}$} \htext(0
30){$\overline{w_0}$}\htext(30 30){$\overline{w_1}$}\htext(30
0){$\bar{w_2}$}

\move(15 33) \arrowheadtype t:V \arrowheadsize l:2 w:4 \avec(25
33)

\move(35 23) \arrowheadtype t:V \arrowheadsize l:2 w:4 \avec(35
12)

\htext(19 35){\tiny $i$} \htext(37 17.5){\tiny $i$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

\begin{ex}{\rm
In Example \ref{comp2}, we have \vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\hskip 2mm \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 5)\lvec(-10 5)\lvec(-10 0)\lfill
f:0.8 \htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 1){\tiny $0$}

\move(40 5)\lvec(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 5)\htext(43 6){\tiny
$0$}

\htext(-23 1){$\cdots$}
\end{texdraw}}\hskip 2mm$\otimes$
\raisebox{-0.2\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 2mm$\otimes$
\raisebox{-0.2\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
40)\htext(53 46){\tiny $0$}


\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_1$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 63){$_2$}

\end{texdraw}}\hskip 2mm$\otimes$
\raisebox{-0.2\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(63
1){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 5)\lvec(60 5)\lvec(60 0)\lfill
f:0.8 \htext(63 6){\tiny $0$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_1$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 23){$_2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 45)\lvec(60 45)\lvec(60
40)\htext(63 41){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(63 46){\tiny $0$}
%
\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_1$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 63){$_2$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_1$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 85)\lvec(60 85)\lvec(60
80)\htext(63 81){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

\hskip -2cm$\in V\otimes W_3\otimes U\otimes W_0$.
\end{center}\vskip 5mm

}
\end{ex}


{\bf Case 3.} $\Box={\rm III}$

Suppose that the $i$-blocks are of type III. For convenience, we
denote by $*$ the color $i$, and denote by $\cdot$ the color of
the blocks placed on the opposite side of the $i$-blocks. In this
case, the (virtually) admissible $i$-slots and the (virtually)
removable $i$-blocks in $Y$ appear in one of the following
situations: \vskip 5mm


($\rm III_{\infty}$)\hskip 1cm
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em \setunitscale
0.1 \linewd 0.5

\htext(-4 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8

\htext(46 2){\tiny $\cdot$}\htext(41 6){\tiny $*$}

\move(-10 0)\lvec(70 0)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\lvec(50 20)\lvec(50 0)
\end{texdraw}}
\hskip 2cm \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-5 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8

\htext(46 2){\tiny $\cdot$}\htext(41 6){\tiny $*$}

\move(-10 0)\lvec(70 0)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)
\end{texdraw}}\vskip 10mm


($\rm III_0$)
\begin{center}

\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\htext(1 16){\tiny $*$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(1 16){\tiny $*$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\htext(5 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm

\begin{center}
\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(6 12){\tiny $\cdot$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(1 16){\tiny $*$}\htext(6 12){$\cdot$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){\tiny $\cdot$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm \raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(25 -10)\lvec(25
30)\lvec(10 30)\lvec(10 10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){\tiny $\cdot$}

\htext(5 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm


($\rm III_1$)

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(11 15){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(11 15){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)
\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 15){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(11 15){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 10)

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(15 12){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(15 12){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 15){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)
\end{texdraw}}\hskip 7mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(15 12){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(35 -10)\lvec(35
30)\lvec(20 30)\lvec(20 20)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
\end{center}\vskip 5mm


(${\rm III}_{2l}^+$) ($l\geq 1$)
\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(15 5)(25 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(45 5)(35 5)

\htext(27 3){${2l}$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 15){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 15){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)

\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(15 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(15 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

(${\rm III}_{2l}^-$)  ($l\geq 1$)

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(22 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(20 5)(25 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(40 5)(35 5)

\htext(27 3){$2l$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(22 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm


\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 15){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 15){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 15){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(47 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

(${\rm III}_{2l+1}$)  ($l\geq 1$)

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(15 5)(20 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(45 5)(40 5)

\htext(21 3){$2l+1$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(5 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$\cdot$}

\htext(20 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 1cm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$*$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)

\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\hskip 10mm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)\lfill
f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\htext(16 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\htext(42 16){$\cdot$}

\move(0 0)\lvec(-15 0)\lvec(-15 -10)\lvec(65 -10)\lvec(65
30)\lvec(50 30)\lvec(50 10)
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm


In case $\rm III_{\infty}$, let $y_N$ be the column containing the
admissible $i$-slot in the ground-state wall or the removable
$i$-block that touches the ground-state wall as indicated in the
above figure. We denote by $Y_0$ the part of $Y$ consisting of
$y_N$ and the blocks in the ground-state wall lying in the left of
$y_N$, and call it an {\it $i$-component of type $\rm
III_{\infty}$}.

In case ${\rm III}_{0}$, ${\rm III}_{1}$, ${\rm III}^{\pm}_{2l}$
and ${\rm III}_{2l+1}$ ($l\geq 1$), the whole shaded part
containing (virtually) admissible $i$-slots and (virtually)
removable $i$-blocks will be called an {\it $i$-component of type}
${\rm III}_{0}$, ${\rm III}_{1}$, ${\rm III}^{\pm}_{2l}$ and ${\rm
III}_{2l+1}$ ($l\geq 1$), respectively.

Let $Y_1$ be the left-most $i$-component of type ${\rm III}_{0}$,
${\rm III}_{1}$, ${\rm III}^{\pm}_{2l}$ and ${\rm III}_{2l+1}$. If
there is no $i$-component of type $\rm III_{\infty}$, we denote by
$Y_0$ the part of $Y$ consisting of blocks lying in the left of
$Y_1$, and call it a {\it trivial $i$-component}. The parts of $Y$
lying between two $i$-components of type ${\rm III}_{\infty}$,
${\rm III}_{0}$, ${\rm III}_{1}$, ${\rm III}^{\pm}_{2l}$ and ${\rm
III}_{2l+1}$ will also be called the {\it trivial $i$-components}.

In this way, we obtain a unique decomposition
$Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ of $Y$, where each $Y_k$ is an
$i$-component of type ${\rm III}_{\infty}$, ${\rm III}_{0}$, ${\rm
III}_{1}$, ${\rm III}^{\pm}_{2l}$, ${\rm III}_{2l+1}$ or a trivial
$i$-component.

\begin{ex}\label{comp3}{\rm
Let $\frak{g}=B^{(1)}_3$, $\Lambda=\Lambda_0$ and $i=0$. If \vskip
5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{8}{8}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){$0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny$0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){$1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$2$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$2$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 26){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53 21){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$2$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$2$}
%

%\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
%42){$0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$2$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$2$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$2$}
%
\move(60 80)\lvec(70 90)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\htext(66
82){\tiny $1$}

\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad ,
\end{center}\vskip 5mm

\noindent then we have $Y=(Y_0,Y_1,Y_2,Y_3)$, where \vskip 5mm

\hskip 1cm$Y_0=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\htext(-.2 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8 \htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm III_{\infty}$, \vskip 5mm

\hskip 10mm$Y_1=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}
\fontsize{8}{8}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$2$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm III_3$,\vskip 5mm

\hskip 10mm$Y_2=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}
\fontsize{8}{8}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53 21){\tiny $3$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$2$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$2$}

\end{texdraw}} : trivial $i$-component and\vskip 5mm

\hskip 10mm$Y_3=$ \raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}
\fontsize{8}{8}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$2$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

\move(60 25)\lvec(70 25)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
25)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 25)\lvec(80 25)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
25)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 25)\lvec(90 25)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
25)\htext(83 21){\tiny $3$}


\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$2$}
%

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$2$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$2$}
%
\move(60 80)\lvec(70 90)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\htext(66
82){\tiny $1$}

\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}

\end{texdraw}} : $i$-component of type $\rm III_2^-$.\vskip 5mm
}
\end{ex}

Let $Y$ be a proper Young wall with the decomposition $Y=(Y_0,
Y_1, \cdots, Y_r)$ into $i$-components. To each $Y_k$, we
associate a $U_{(i)}$-module $V_k$ as follows. Then we will view
$Y$ as $Y_0\otimes Y_1\otimes\cdots\otimes Y_r$ inside $V_0\otimes
V_1\otimes\cdots\otimes V_r$.

If $Y_k$ is a trivial $i$-component, then we associate the trivial
representation $V_k=U=\mathbb{Q}(q)u$, and we identify $Y_k$ with
$u$. If $Y_k$ is an $i$-component of type $\rm III_{\infty}$ or
$\rm III_0$, then we associate the 2-dimensional representation
$V_k=V=\mathbb{Q}(q)v_0\oplus\mathbb{Q}(q)v_1$, where the
$U_{(i)}$-module action is given by (\ref{I+}). We identify $Y_k$
with a basis element of $V$ as follows:\vskip 5mm

\begin{center}
$v_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-4 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8

\htext(46 2){\tiny $\cdot$}\htext(41 6){\tiny $*$}

\move(-10 0)\lvec(50 0)
\end{texdraw}}
\hskip 1cm
$v_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw}\drawdim
em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\htext(-5 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8

\htext(46 2){\tiny $\cdot$}\htext(41 6){\tiny $*$}

\move(-10 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

\begin{center}
$v_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.65\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\htext(1 16){\tiny $*$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm $v_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)

\htext(1 16){\tiny $*$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
$v_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.85\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\htext(6 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm
$v_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm

\begin{center}
$v_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(6 12){\tiny $\cdot$}
\end{texdraw}}
\hskip 5mm $v_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(1 16){\tiny $*$}\htext(6 12){$\cdot$}
\end{texdraw}}\hskip 10mm
$v_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){\tiny $\cdot$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm
$v_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.6\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 -10)\lvec(0 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){\tiny $\cdot$}

\htext(5 12){\tiny $*$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm
\end{center}

If $Y_k$ is an $i$-component of type $\rm III_1$, then we
associate the 5-dimensional representation
\begin{equation*}
V_k=W_1=\mathbb{Q}(q)w_0\oplus\mathbb{Q}(q)w_1\oplus\mathbb{Q}(q)w_2\oplus
\mathbb{Q}(q)u\oplus\mathbb{Q}(q)u',
\end{equation*}
where the $U_{(i)}$-module action is given by
\begin{equation}
\begin{split}
&K_iw_0=q_i^2w_0,\ e_i w_0=0, \ f_iw_0=w_1+q_iu, \\
&K_iw_1=w_1,\ e_iw_1=q_i^{-1}w_0,\ f_iw_1=q_i^{-1}w_2, \\
&K_iw_2=q_i^{-2}w_2,\ e_iw_2=w_1+q_iu,\ f_iw_2=0, \\
&K_iu=u,\ e_iu=w_0,\ f_iu=w_2, \\
&K_iu'=u',\ e_iu'=-q_iw_0,\ f_iu'=-q_iw_2.
\end{split}
\end{equation}

We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of $W_1$
as follows:\vskip 5mm
\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$w_2\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(11 15){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$u\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(11 16){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$u'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(11 16){$*$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$w_2\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(15 12){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$u\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(15 12){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\hskip 7mm
$u'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(15 12){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(20 10)\lvec(20 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 -10)\lvec(10 10)

\end{texdraw}}\quad.
\end{center}
\vskip 5mm

The $U_{(i)}$-module $W_1$ is decomposed as $W_1\cong V(2)\oplus
V(0)\oplus V(0)$, where
\begin{equation}
\begin{split}
&V(2)\cong \mathbb{Q}(q)w_0\oplus \mathbb{Q}(q)(w_1 +
q_iu)\oplus \mathbb{Q}(q)w_2, \\
&V(0) \cong \mathbb{Q}(q)(u-q_iw_1)\cong
\mathbb{Q}(q)(u'+q_i^2w_1).
\end{split}
\end{equation}
Hence, the crystal basis $(L,B)$ of $W_1$ is given by
\begin{equation}
\begin{split}
L=&\mathbb{A}_0w_0\oplus \mathbb{A}_0(w_1+q_iu)\oplus
\mathbb{A}_0 w_2 \\
& \oplus \mathbb{A}_0(u-q_iw_1)\oplus
\mathbb{A}_0(u'+q_i^2w_1), \\
B=&\{\,\overline{w_0},\overline{w_1},\overline{w_2},\overline{u},\overline{u'}\,\}
\end{split}
\end{equation}
with the crystal graph
$$\overline{w_0}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_1}
\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_2}\hskip 1cm
\overline{u}\hskip 1cm\overline{u'}.$$

If $Y_k$ is an $i$-component of type ${\rm III}_{2l}^+$, then we
associate the $4$-dimensional representation
\begin{equation*}
V_k=W_{2l}^{\pm}=\mathbb{Q}(q)w_0\oplus \mathbb{Q}(q)w_1\oplus
\mathbb{Q}(q)w_0'\oplus \mathbb{Q}(q)w_1',
\end{equation*}
where the $U_{(i)}$-module action is given by
\begin{equation}
\begin{split}
&K_iw_0=q_iw_0, \ K_iw_1=q_i^{-1}w_1, \\
&K_iw_0'=q_iw_0', \ K_iw_1'=q_i^{-1}w_1', \\
&e_iw_0=0, \ e_iw_1=w_0\pm q_i^{2l}w_0', \\
&e_iw_0'=0, \ e_iw_1'=w_0', \\
&f_iw_0=w_1\mp q_i^{2l}w_1', \ f_iw_1=0, \\
&f_iw_0'=w_1', \ f_iw_1'=0.
\end{split}
\end{equation}

We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of
$W_{2l}^{\pm}$ as follows :\vskip 5mm

$W_{2l}^+$
\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(15 5)(25 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(45 5)(35 5)

\htext(27 3){${2l}$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$w_0'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm

\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$*$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$w_0'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(15 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(15 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm

$W_{2l}^-$
\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(22 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(20 5)(25 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(40 5)(35 5)

\htext(27 3){$2l$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(6 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(22 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm


$w_0'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)
\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 15){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 15){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 15){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(47 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm

\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10) \htext(42
16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$\cdot$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$w_0'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(17 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(45 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

The $U_{(i)}$-module $W_{2l}^{\pm}$ is decomposed as
$W_{2l}^{\pm}\cong V(1)\oplus V(1)$, where
\begin{equation}
\begin{split}
V(2)&\cong \mathbb{Q}(q)w_0\oplus \mathbb{Q}(q)(w_1\mp
q_i^{2l}w_1'), \\
&\cong \mathbb{Q}(q)w_0'\oplus \mathbb{Q}(q)w_1'.
\end{split}
\end{equation}
Hence, the crystal basis $(L,B)$ of $W_{2l}^{\pm}$ is given by
\begin{equation}
\begin{split}
L&=\mathbb{A}_0w_0\oplus \mathbb{A}_0(w_1\mp q_i^{2l}w_1')\oplus
\mathbb{A}_0w_0'\oplus \mathbb{A}_0w_1', \\
B&=\{\,\overline{w_0},\overline{w_1},\overline{w_0'},\overline{w_1'}\,\}
\end{split}
\end{equation}
with the crystal graph
$$\overline{w_0}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_1}\hskip
1cm \overline{w_0'}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_1'}.$$

If $Y_k$ is an $i$-component of type ${\rm III}_{2l+1}$, then we
associate the $6$-dimensional representation
\begin{equation*}
V_k=W_{2l+1}=\mathbb{Q}(q)w_0\oplus \mathbb{Q}(q)w_1\oplus
\mathbb{Q}(q)w_2\oplus \mathbb{Q}(q)u\oplus \mathbb{Q}(q)u'\oplus
\mathbb{Q}(q)u'',
\end{equation*}
where the $U_{(i)}$-module action is given by
\begin{equation}
\begin{split}
&K_iw_0=q_i^2w_0, \ e_iw_0=0, \ f_iw_0=w_1+q_iu+q_i^{2l+1}u'',
\\
&K_iw_1=w_1, \ e_iw_1=q_i^{-1}w_0, \ f_iw_1=q_i^{-1}w_2, \\
&K_iw_2=q_i^{-2}w_2, \ e_iw_2=w_1+q_iu+q_i^{2l+1}u'', \
f_iw_2=0, \\
&K_iu=u, \ e_iu=w_0, \ f_iu=w_2, \\
&K_iu'=u', \ e_iu'=-q_i^{2l+1}w_0, \ f_iu'=-q_i^{2l+1}w_2,
\\
&K_iu''=u'', \ e_iu''=0, \ f_iu''=0.
\end{split}
\end{equation}
We identify the $i$-component $Y_k$ with a basis element of
$W_{2l+1}$ as follows:\vskip 5mm

\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(10 10)\clvec(12 5)(15 5)(20 5)

\move(50 10)\clvec(48 5)(45 5)(40 5)

\htext(23 3){$2l+1$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$w_2\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(5 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$u\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$u'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$\cdot$}

\htext(20 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}\hskip 1cm
$u''\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$*$}

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 10mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
$w_0\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$w_1\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$w_2\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)

\htext(2 16){$*$}

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$u\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)

\htext(12 16){$\cdot$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

$u'\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)

\htext(6 12){$\cdot$}

\end{texdraw}}\hskip 10mm
$u''\leftrightarrow$\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.1 \linewd 0.5

\move(0 -10)\lvec(0 10)\lvec(50 10)\lvec(50 -10)\lvec(0 -10)

\move(10 10)\lvec(10 -10)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)

\htext(16 12){$*$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)

\htext(46 12){$*$}

\htext(27 13){$\cdots$}

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)

\htext(42 16){$\cdot$}

\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm

The $U_{(i)}$-module $W_{2l+1}$ is decomposed as $W_{2l+1}\cong
V(2)\oplus V(0)^{\oplus 3}$, where
\begin{equation}
\begin{split}
V(2)&\cong \mathbb{Q}(q)w_0\oplus
\mathbb{Q}(q)(w_1+q_iu+q_i^{2l+1}u'')\oplus \mathbb{Q}(q)w_2,
\\
V(0)&\cong \mathbb{Q}(q)(u-q_iw_1)\cong
\mathbb{Q}(q)(u'+q_i^{2l+2}w_1)\cong \mathbb{Q}(q)u''.
\end{split}
\end{equation}

Hence, the crystal basis $(L,B)$ of $W_{2l+1}$ is given by
\begin{equation}
\begin{split}
L=& \mathbb{A}_0w_0\oplus
\mathbb{A}_0(w_1+q_iu+q_i^{2l+1}u'')\oplus \mathbb{A}_0w_2 \\
& \oplus \mathbb{A}_0(u-q_iw_1)\oplus
\mathbb{A}_0(u'+q_i^{2l+2}w_1)\oplus \mathbb{A}_0u'', \\
B=&\{\,\overline{w_0},\overline{w_1},\overline{w_2},
\overline{u},\overline{u'},\overline{u''}\,\}
\end{split}
\end{equation}
with the crystal graph
$$\overline{w_0}\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_1}
\stackrel{i}{\longrightarrow}\overline{w_2}\hskip 1cm
\overline{u}\hskip 1cm\overline{u'}\hskip
1cm\overline{u''}.$$\vskip 5mm

\begin{ex}{\rm
In Example \ref{comp3}, we have\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.3\height}{
\begin{texdraw}
\fontsize{8}{8}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\htext(-.2 3){$\cdots$} \move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10
0)\lfill f:0.8 \htext(16 2){$0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){$1$}

\end{texdraw}}\ $\otimes$
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw} \fontsize{8}{8}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$2$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\ $\otimes$
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw} \fontsize{8}{8}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53 21){\tiny $3$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$2$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$2$}

\end{texdraw}} \ $\otimes$
\raisebox{-0.4\height}{\begin{texdraw} \fontsize{8}{8}\drawdim em
\setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$2$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

\move(60 25)\lvec(70 25)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
25)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 25)\lvec(80 25)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
25)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 25)\lvec(90 25)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
25)\htext(83 21){\tiny $3$}


\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$2$}
%

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$2$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$2$}
%
\move(60 80)\lvec(70 90)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\htext(66
82){\tiny $1$}

\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\ $\in V\otimes W_3\otimes U\otimes W_2^-$.
\end{center}\vskip 5mm

}
\end{ex}

\begin{rem}\label{signature}{\rm
Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ with the
decomposition $Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ into $i$-components. For
each $0\leq k\leq r$, let $V_k$ be the $U_{(i)}$-module associated
with $Y_k$, whose crystal basis is $(L_k,B_k)$. We identify $Y_k$
with a basis element of $V_k$. Then $Y_k$ can also be viewed as a
crystal element in $B_k$ and hence, $\varphi_i(Y_k)$ and
$\varepsilon_i(Y_k)$ are well-defined. On the other hand, as a
part of $Y$, we defined $\varphi_i(Y_k)$ (resp.
$\varepsilon_i(Y_k)$) to be the number of $+$'s (resp. $-$'s) in
the $i$-signature of $Y_k$. It is easy to verify that these two
definitions give the same values for the $i$-component $Y_k$.}
\end{rem}


Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ with the
decomposition $Y=(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$ into $i$-components, and
let $V_k$ be the $U_{(i)}$-module associated with $Y_k$ ($0\leq
k\leq r$). Recall that $Y_k$ is identified with a basis element of
$V_k$. Set
\begin{equation}
V_Y=V_0\otimes V_1\otimes\cdots\otimes V_r.
\end{equation}
We define a $\mathbb{Q}(q)$-linear map $\theta_Y : V_Y \rightarrow
{\mathcal F}(\Lambda)$ by
\begin{equation}
\theta_Y(Y_0'\otimes Y_1'\otimes\cdots\otimes
Y_r')=Y'=(Y_0',Y_1'\cdots,Y_r'),
\end{equation}
where $Y_0'\otimes Y_1'\otimes\cdots\otimes Y_r'$ runs over the
basis element of $V_Y$. Then it is easy to see that $\theta_Y$ is
injective and $Y$ is contained in ${\rm Im}\ \theta_Y$.

We are now ready to prove the relation \eqref{rel2}.

\begin{lem}\label {Vy1}
The linear map $\theta_Y$ is a $U_{(i)}$-module homomorphism. In
particular, we have
$$(e_if_i-f_ie_i)Y=\dfrac{K_i-K_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}Y.$$
\end{lem}
\pf By definition of $U_{(i)}$-action on $V_Y$ and
$U_q(\frak{g})$-action on ${\mathcal F}(\Lambda)$, it is rather
tedious but straightforward to verify that
\begin{equation}\label {Weylrel1}
\theta_{Y}(x\cdot v)=x\cdot\theta_{Y}(v) \quad\text{for all $x\in
U_{(i)}$ and $v\in V_Y$}.
\end{equation}
We will prove only when $x=K_i$. Let $v=Y_0'\otimes
Y_1'\otimes\cdots\otimes Y_r'\in V_Y$ and put
$Y'=\theta_Y(v)=(Y_0',Y_1'\cdots,Y_r')$. Then we see from the
action of $K_i$ on $Y_k'\in V_k$ that $K_i v=q_i^lv$ where
$l=\sum_{k=0}^r(\varphi_i(Y_k')-\varepsilon_i(Y_k'))$. By Remark
\ref{signature}, we have $l=\varphi_i(Y')-\varepsilon_i(Y')= {\rm
wt}(Y')(h_i)$, which implies $\theta_{Y}(K_iv)=K_i\theta_{Y}(v)$.

Hence
\begin{equation}
\begin{split}
&(e_if_i-f_ie_i)Y=\theta_{Y}((e_if_i-f_ie_i)(Y_0\otimes
Y_1\otimes\cdots\otimes Y_r)) \\
&=\theta_{Y}(\frac{K_i-K_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}(Y_0\otimes
Y_1\otimes\cdots\otimes Y_r))=\frac{K_i-K_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}Y.
\end{split}
\end{equation}
\qed \vskip 3mm

\begin{lem}\label{Vy2} Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$. For $i,j\in I$ with $i\neq
j$, we have
\begin{equation}
(e_if_j-f_je_i)Y=0.
\end{equation}
\end{lem}
\pf The proof is quite lengthy and is based on the case-by-case
check. We give a sketch of the verification and leave the details
to the reader.

For $i\in I$, we define
\begin{align*}
&\text{${\rm adm}_i(Y)$ $=$ the set of all (virtually) admissible
$i$-slots in $Y$}, \\
&\text{${\rm rmv}_i(Y)$ $=$ the set of all (virtually) removable
$i$-blocks in $Y$}.
\end{align*}

Consider
\begin{equation}
\begin{split}
e_if_jY&=\sum_{\substack{b\in{\rm adm}_j(Y) \\ c\in{\rm
rmv}_i(Y\swarrow b)}}q_j^{L_j(b;Y)}q_i^{-R_i(c;Y\swarrow
b)}((Y\swarrow b)\nearrow c), \\
f_je_iY&=\sum_{\substack{c \in{\rm rmv}_i(Y)\\
b\in{\rm adm}_j(Y\nearrow c) }}q_j^{L_j(b;Y\nearrow c
)}q_i^{-R_i(c;Y)}((Y\nearrow c)\swarrow b).
\end{split}
\end{equation}

Let $\Box$ be the type of the $i$-blocks and let $\Box'$ be the
type of the $j$-blocks. Suppose $(\Box,\Box')\neq {\rm (III,III)}$
and observe that
\begin{multline}\label {adrm}
b\in{\rm adm}_j(Y),\, c\in{\rm rmv}_i(Y\swarrow b)  \\
\text{if and only if}\ \ c \in{\rm rmv}_i(Y),\, b\in{\rm
adm}_j(Y\nearrow c).
\end{multline}

In this case, we have $((Y\swarrow b)\nearrow c)=((Y\nearrow
c)\swarrow b)$. Furthermore, if $(\alpha_i|\alpha_j)=0$
(equivalently, $i$-blocks and $j$-blocks are not adjacent in each
column of $Y$) or $b$ is located to the left of $c$, then it is
clear that
\begin{equation}
L_j(b;Y)=L_j(b;Y\nearrow c),\quad R_i(c;Y\swarrow b)=R_i(c;Y),
\end{equation}
which implies that the corresponding two summands in
$(e_if_j-f_je_i)Y$ are cancelled out. Therefore, we have only to
consider the case when $(\alpha_i|\alpha_j)\neq 0$ and $b$ is
located to the right of $c$ and show that
\begin{equation}\label {LiRj}
q_j^{L_j(b;Y)}q_i^{-R_i(c;Y\swarrow b)}=q_j^{L_j(b;Y\nearrow c
)}q_i^{-R_i(c;Y)}.
\end{equation}

On the other hand, we can verify the following :

(i) if $(\alpha_i|\alpha_i)=(\alpha_j|\alpha_j)$, i.e. $s_i=s_j$,
then we have
\begin{equation}
\begin{split}
L_j(b;Y)&=L_j(b;Y\nearrow c)+1, \\
R_i(c;Y\swarrow b)&=R_i(c;Y) +1.
\end{split}
\end{equation}

(ii) if $(\alpha_i|\alpha_i)>(\alpha_j|\alpha_j)$, i.e.
$s_i=2s_j$, then we have
\begin{equation}
\begin{split}
L_j(b;Y)&=L_j(b;Y\nearrow c)+2, \\
R_i(c;Y\swarrow b)&=R_i(c;Y) +1.
\end{split}
\end{equation}

(iii) if $(\alpha_i|\alpha_i)<(\alpha_j|\alpha_j)$, i.e.
$2s_i=s_j$, then we have
\begin{equation}
\begin{split}
L_j(b;Y)&=L_j(b;Y\nearrow c)+1, \\
R_i(c;Y\swarrow b)&=R_i(c;Y) +2.
\end{split}
\end{equation}
It follows that
\begin{equation}
s_jL_j(b;Y)-s_iR_i(c;Y\swarrow b)=s_jL_j(b;Y\nearrow c
)-s_iR_i(c;Y),
\end{equation}
which proves \eqref{LiRj}.

Now suppose that $\Box=\Box'={\rm III}$. Note that
$(\alpha_i|\alpha_i)=(\alpha_j|\alpha_j)$ and
$(\alpha_i|\alpha_j)=0$. For $b\in{\rm adm}_j(Y)$ and $c\in{\rm
rmv}_i(Y\swarrow b)$, set
\begin{equation*}
W^+_{i,j}(b,c)=q_j^{L_j(b;Y)}q_i^{-R_i(c;Y\swarrow b)}((Y\swarrow
b)\nearrow c),
\end{equation*}
and for $c \in{\rm rmv}_i(Y)$ and $b\in{\rm adm}_j(Y\nearrow c)$,
set
\begin{equation*}
W^-_{i,j}(b,c)=q_j^{L_j(b;Y\nearrow c )}q_i^{-R_i(c;Y)}((Y\nearrow
c)\swarrow b).
\end{equation*}
First, consider the following cases.

{\bf Case 1.}\vskip 5mm

\hskip 2cm \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5


\move(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(10 10)\lvec(10 20)\lvec(20 20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(10 20)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(3 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(13 17)

\htext(0 30){$_b$}

\move(-2 22) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(8 12)

\htext(-5 24){$_{b'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(58
12)

\htext(40 30){$_c$}

\move(34 5)\clvec(26 5)(23 5)(20 10)

\move(46 5)\clvec(54 5)(57 5)(60 10)

\htext(38 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or \hskip 1cm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5


\move(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

%\move(10 10)\lvec(10 20)\lvec(20 20)

\move(10 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lfill f:0.8

\move(20 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)\lvec(0 10)

\htext(37 14){$_{\cdots}$}

\move(3 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(18 12)

\htext(0 30){$_b$}

\move(-8 26) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(2 16)

\htext(-11 28){$_{b'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53
17)

\htext(40 30){$_c$}

\move(34 5)\clvec(26 5)(23 5)(20 10)

\move(46 5)\clvec(54 5)(57 5)(60 10)

\htext(38 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 5mm

\noindent where $l=2m$ ($m\geq 0$), $b,b'\in{\rm adm}_j(Y)$ and
$c\in {\rm rmv}_i(Y\swarrow b)\cap{\rm rmv}_i(Y\swarrow b')$. In
this case, we have
\begin{equation*}
\begin{split}
&((Y\swarrow b')\nearrow c)=(-q_i)((Y\swarrow b)\nearrow c), \\
&L_j(b';Y)=L_j(b;Y)-1, \quad R_i(c;Y\swarrow b')=R_i(c;Y\swarrow
b),
\end{split}
\end{equation*}
which yields
\begin{equation}
W^+_{i,j}(b,c)=-W^+_{i,j}(b',c).
\end{equation}
\vskip 2mm

{\bf Case 2.} \vskip 5mm


\hskip 1.5cm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(40 20)\lvec(50 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(3 17)

\htext(-10 29){$_b$}

\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(48
12)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53
17)

\htext(40 30){$_c$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or \hskip 1cm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(0 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(10 10)\lvec(10 20)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(40 20)\lvec(50 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(7 13)

\htext(-10 29){$_b$}

\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(43
17)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(58
12)

\htext(40 30){$_c$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 5mm \noindent where $l=2m$ ($m\geq 0$), $b\in {\rm
adm}_j(Y\nearrow c)\cap{\rm adm}_j(Y\nearrow c')$ and $c,c'\in{\rm
rmv}_i(Y)$. In this case, we have
\begin{equation*}
\begin{split}
&((Y\nearrow c)\swarrow b)=(-q_i)((Y\nearrow c')\swarrow b), \\
&L_j(b;Y\nearrow c)=L_j(b;Y\nearrow c'), \quad
R_i(c;Y)=R_i(c';Y)+1,
\end{split}
\end{equation*}
which yields
\begin{equation}
W^-_{i,j}(b,c)=-W^-_{i,j}(b,c')
\end{equation}
\vskip 2mm


{\bf Case 3.} \vskip 5mm

\hskip 1.5cm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(0 10)\lvec(0 20)\lvec(10 20)

\move(-10 10)\lvec(0 20)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(40 20)\lvec(50 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(3 17)

\htext(-10 29){$_{b'}$}

\move(-17 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-2
12)

\htext(-20 29){$_{b}$}


\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(48
12)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53
17)

\htext(40 30){$_c$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or \hskip .5cm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(-10 10)\lvec(-10 20)\lvec(0 20)

\move(-10 10)\lvec(0 20)

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(10 10)\lvec(10 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(8 12)

\htext(-10 29){$_{b'}$}

\move(-17 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-7
17)

\htext(-20 29){$_{b}$}


\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(43
17)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(58
12)

\htext(40 30){$_c$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(13 5)(10 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(47 5)(50 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\quad ,
\vskip 5mm

\noindent where $l=2m$ ($m\geq 0$),
\begin{equation*}
\begin{split}
& b\in{\rm adm}_j(Y)\cap {\rm adm}_j(Y\nearrow c),\quad b'
\in{\rm adm}_j(Y\nearrow c), \\
\text{and}\ \ & c\in {\rm rmv}_i(Y)\cap {\rm rmv}_i(Y\swarrow
b),\quad c'\in {\rm rmv}_i(Y\swarrow b).
\end{split}
\end{equation*}
In this case, we have
\begin{align*}
W^+_{i,j}(b,c)&=W^-_{i,j}(b,c), \\
W^+_{i,j}(b,c')&=W^-_{i,j}(b',c).
\end{align*}
\vskip 2mm

{\bf Case 4.} \vskip 5mm

\hskip 1.5cm \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(-10 10)\lvec(-10 20)\lvec(0 20)

\move(-10 10)\lvec(0 20)

\move(-10 10)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)

\move(40 10)\lvec(40 20)\lvec(50 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(8 12)

\htext(-10 29){$_{b'}$}

\move(-17 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-7
17)

\htext(-20 29){$_{b}$}


\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(43
17)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53
17)

\htext(40 29){$_{b''}$}

\move(-5 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-5 13)

\htext(-7 -5){$_{c''}$}

\move(55 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(55 13)

\htext(53 -5){$_{c}$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(3 5)(0 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(57 5)(60 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm or \hskip .5cm\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(-10 0)\lvec(-10 10)\lvec(60 10)\lvec(60 30)

\move(-10 10)\lvec(-10 20)\lvec(0 20)

\move(10 10)\lvec(10 20)

\move(-10 10)\lvec(0 20)\lvec(-10 20)\lvec(-10 10)\lfill f:0.8

\move(0 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\lfill f:0.8

\move(40 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50 10)\lfill f:0.8

\move(50 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)

\move(40 10)\lvec(40 20)\lvec(50 20)

\htext(22 14){$_{\cdots}$}

\move(-7 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(3 17)

\htext(-10 29){$_{b'}$}

\move(-17 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-7
17)

\htext(-20 29){$_{c''}$}


\move(33 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(48
12)

\htext(30 29){$_{c'}$}

\move(43 27) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(53
17)

\htext(40 29){$_{c}$}

\move(-5 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(-5 13)

\htext(-7 -5){$_{b}$}

\move(55 0) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(55 13)

\htext(53 -5){$_{b''}$}

\move(24 5)\clvec(16 5)(3 5)(0 10)

\move(36 5)\clvec(44 5)(57 5)(60 10)

\htext(28 2){$_{l}$}
\end{texdraw}}\quad ,\vskip 5mm

\noindent where $l=2m$ ($m\geq 0$),
\begin{equation*}
\begin{split}
& b\in{\rm adm}_j(Y)\cap {\rm adm}_j(Y\nearrow c),\,\, b'
\in{\rm adm}_j(Y\nearrow c), \\ & b''\in{\rm adm}_j(Y)\cap {\rm adm}_j(Y\nearrow c''), \\
 & c\in {\rm rmv}_i(Y)\cap {\rm rmv}_i(Y\swarrow
b),\,\, c'\in {\rm rmv}_i(Y\swarrow b),\\\text{and} \ \ & c''\in
{\rm rmv}_i(Y)\cap {\rm rmv}_i(Y\swarrow b'').
\end{split}
\end{equation*}
Similarly, we have
\begin{align*}
W^+_{i,j}(b,c)&=W^-_{i,j}(b,c), \\
W^+_{i,j}(b,c')&=W^-_{i,j}(b',c), \\
W^+_{i,j}(b'',c'')&=W^-_{i,j}(b'',c'').
\end{align*}
\vskip 2mm

For the other cases, it is easy to verify that \eqref{adrm} holds
and $W^+_{i,j}(b,c)=W^-_{i,j}(b,c)$. Therefore,
$(e_if_j-f_je_i)Y=0$, which completes the proof of the lemma. \qed
\vskip 3mm

{\bf Proof of Theorem \ref{Fock space}}. By Lemma \ref{Vy1}, Lemma
\ref{Vy2} and Proposition B.1 in \cite{KMPY}, the
$U_q(\frak{g})$-action on ${\mathcal F}(\Lambda)$ satisfies all
the relations in \eqref{defining rels}. Therefore, ${\mathcal
F}(\Lambda)$ becomes a $U_q(\frak{g})$-module in the category
${\mathcal O}_{int}$. \qed


\begin{rem}{\rm
If $\frak{g}=A_n^{(1)}$, the Fock space $\mathcal{F}(\Lambda)$ is
equal to the Fock space constructed by Misra and Miwa \cite{MM}
where $\mathcal{Z}(\Lambda)$ is the set of {\it Young diagrams}
and $\mathcal{Y}(\Lambda)$ is the set of {\it $n$-reduced Young
diagrams}. In \cite{KMPY}, Kashiwara, Miwa, Petersen and Yung gave
a more abstract construction of the Fock space representations of
quantum affine algebras. More precisely, for a level $l$ perfect
representation $V$ of $U'_q(\frak{g})$, they first defined the
{\it $q$-deformed wedge space $\bigwedge^r (V^{\rm aff})$} where
$V^{\rm aff}$ denotes the affinization of $V$. Then they defined
the Fock space to be the inductive limit of $q$-deformed wedge
spaces. The set of {\it normally ordered wedges} (defined by the
energy function) form a $\mathbb{Q}(q)$-basis of the Fock space.
For the level 1 case, the Fock space representation constructed in
\cite{KMPY} is isomorphic to $U_q(\frak{g})$-module ${\mathcal
F}(\Lambda)$ constructed in this paper. Moreover, there is a
bijection between the set of normally ordered wedges and the set
of proper Young walls ${\mathcal Z}(\Lambda)$ except for the case
$\frak{g}=D_{n+1}^{(2)}$. We expect that one can also construct
the higher level Fock space representations of quantum affine
algebras using combinatorics of Young walls.}
\end{rem}
\vskip 1cm

\section{Crystal basis of ${\mathcal F}(\Lambda)$.}

Let ${\mathcal L}(\Lambda)=\bigoplus_{Y\in{\mathcal
Z}(\Lambda)}\mathbb{A}_0 Y$. We will show that $({\mathcal
L}(\Lambda),{\mathcal Z}(\Lambda))$ is a crystal basis of
${\mathcal F}(\Lambda)$. In particular, the crystal of ${\mathcal
F}(\Lambda)$ is isomorphic to the $U_q(\frak{g})$-crystal
${\mathcal Z}(\Lambda)$ defined by the abstract Kashiwara
operators $\tilde{E}_i$ and $\tilde{F}_i$ ($i\in I$).

Observe that the pair $({\mathcal L}(\Lambda),{\mathcal
Z}(\Lambda))$ satisfies the first four conditions in Definition
\ref{defi:crystal basis}. For the rest three conditions, the main
step is to show that the Kashiwara operators $\tilde{e}_i$ and
$\tilde{f}_i$ ($i\in I$) on ${\mathcal Z}(\Lambda)$ induced by the
$U_q(\frak{g})$-module action on ${\mathcal F}(\Lambda)$ coincide
with the abstract Kashiwara operators $\tilde{E}_i$ and
$\tilde{F}_i$ ($i\in I$) on ${\mathcal Z}(\Lambda)$ defined in
Section 4. The proof of this step relies on the crystal basis
theory for $U_q(\frak{sl}_2)$-modules and the tensor product rule.


\begin{thm}\label {crystal basis for Fock space}
The pair $({\mathcal L}(\Lambda),{\mathcal Z}(\Lambda))$ is a
crystal basis of the Fock space representation ${\mathcal
F}(\Lambda)$. Moreover, the crystal of ${\mathcal F}(\Lambda)$ is
isomorphic to the $U_q(\frak{g})$-crystal ${\mathcal Z}(\Lambda)$
given in Section 4.
\end{thm}
\pf  We will show that the pair $({\mathcal L}(\Lambda),{\mathcal
Z}(\Lambda))$ satisfies the conditions (v), (vi) and (vii) in
Definition \ref{defi:crystal basis}.

Fix $i\in I$. Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal
Z}(\Lambda)$ with the $i$-component decomposition
$(Y_0,Y_1,\cdots,Y_r)$, and let $V_{Y}=V_0\otimes\cdots\otimes
V_{r}$ be the $U_{(i)}$-module constructed in Section 5. By Lemma
\ref{Vy1}, $\theta_{Y} : V_{Y}\rightarrow {\mathcal F}(\Lambda)$
is an injective $U_{(i)}$-module homomorphism. Since
$(L_{k},B_{k})$ is a crystal basis of $V_{k}$ ($0\leq k\leq r$),
$V_{Y}$ has a crystal basis $(L_{Y},B_{Y})$ given by
\begin{equation}
%\begin{split}
L_{Y}=L_{0}\otimes\cdots\otimes L_{r}, \ \ \
B_{Y}=B_{0}\otimes\cdots\otimes B_{r}.
%\end{split}
\end{equation}
Furthermore, $\theta_{Y}$ satisfies
\begin{equation}\label {theta}
\theta_{Y}(L_{Y})\subset {\mathcal L}(\Lambda),\quad
\overline{\theta_{Y}}(B_{Y})\subset {\mathcal Z}(\Lambda),
\end{equation}
where $\overline{\theta_{Y}} : L_{Y}/qL_{Y}\longrightarrow
{\mathcal L}(\Lambda)/q{\mathcal L}(\Lambda)$ is the injective
$\mathbb{Q}$-linear map induced from $\theta_{Y}$.

Let $\tilde{e}_i$ and $\tilde{f}_i$  be the Kashiwara operators
induced from the $U_{(i)}$-module structure on $V_{Y}$ and
${\mathcal F}(\Lambda)$.  Since $\tilde{e}_i$ and $\tilde{f}_i$
commute with $\theta_{Y}$ and $Y$ is contained in
$\theta_{Y}(L_{Y})$, we have $\tilde{e}_iY, \tilde{f}_iY \in
{\mathcal L}(\Lambda)$. Hence, the condition (v) is satisfied.

Since $\tilde{e}_i$ and $\tilde{f}_i$ commute with
$\overline{\theta_{Y}}$, we also have $\tilde{e}_iY, \tilde{f}_iY
\in {\mathcal Z}(\Lambda)\cup \{0\} \mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$.
Furthermore, if $\tilde{e}_iY\neq 0$ (resp. $\tilde{f}_iY\neq
0$)$\mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$, then
$\tilde{e}_i\tilde{f}_iY=Y$ (resp.
$\tilde{f}_i\tilde{e}_iY=Y$)$\mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$, which
implies that the condition (vi) and (vii) are satisfied. Hence,
$({\mathcal L}(\Lambda),{\mathcal Z}(\Lambda))$ is a crystal basis
of ${\mathcal F}(\Lambda)$.

It remains to show that
\begin{equation}\label{eEfF}
\tilde{e}_i Y=\tilde{E}_i Y, \ \ \tilde{f}_i Y=\tilde{F}_i Y \ \
\ \mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}.
\end{equation}
It follows from Remark \ref{signature} that the $i$-signature of
$Y_0\otimes\cdots\otimes Y_r$ (see Section 2) is equal to the
$i$-signature of $Y$ (see Section 4). Then by the tensor product
rule and the definitions of $\tilde{E}_i$ and $\tilde{F}_i$, we
have
\begin{equation}
\begin{split}
\overline{\theta_{Y}}(\tilde{e}_i(Y_0\otimes\cdots\otimes
Y_r))&=\tilde{E}_iY, \\
\overline{\theta_{Y}}(\tilde{f}_i(Y_0\otimes\cdots\otimes
Y_r))&=\tilde{F}_iY.
\end{split}
\end{equation}
Therefore, we obtain \eqref{eEfF} and conclude that the crystal of
${\mathcal F}(\Lambda)$ is isomorphic to the
$U_q(\frak{g})$-crystal ${\mathcal Z}(\Lambda)$. \qed \vskip 3mm


Using Theorem \ref{crystal basis for Fock space}, one can
decompose the Fock space ${\mathcal F}(\Lambda)$ into a direct sum
of irreducible highest weight modules over $U_q(\frak{g})$ by
locating the maximal vectors in the crystal ${\mathcal
Z}(\Lambda)$.
\begin{cor}\label {decomposition}
\begin{equation}
{\mathcal F}(\Lambda)=
\begin{cases}
\bigoplus_{m\geq 0}V(\Lambda-m\delta)^{\oplus p(m)}
& \text{if $\frak{g}\neq D^{(2)}_{n+1}$,} \\
\bigoplus_{m\geq 0}V(\Lambda-2m\delta)^{\oplus p(m)} & \text{if
$\frak{g}= D^{(2)}_{n+1}$,}
\end{cases}
\end{equation}
where $p(m)$ denotes the number of partitions of $m$.
\end{cor}
\pf We will show that the weight of each maximal vector in
${\mathcal Z}(\Lambda)$ is of the form $\Lambda-m\delta$ (resp.
$\Lambda-2m\delta$) if $\frak{g}\neq D^{(2)}_{n+1}$ (resp.
$\frak{g}=D^{(2)}_{n+1}$) for some $m\geq 0$, and that there
exists a bijection between the set of partitions of $m$ ($m\geq
0$) and the set of maximal vectors in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ with
weight $\Lambda-m\delta$ (resp. $\Lambda-2m\delta$) if
$\frak{g}\neq D^{(2)}_{n+1}$ (resp. $\frak{g}=D^{(2)}_{n+1}$). Let
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}\in{\mathcal Z}(\Lambda)$ be a maximal
vector, i.e., $\tilde{e}_iY=\tilde{E}_iY=0$ for all $i\in I$.
Suppose that $Y$ is the ground-state wall $Y_{\Lambda}$. Since
${\rm wt}(Y_{\Lambda})=\Lambda$ and ${\mathcal
Z}(\Lambda)_{\Lambda}=\{\,Y_{\Lambda}\,\}$, the multiplicity of
$V(\Lambda)$ in ${\mathcal F}(\Lambda)$ is $1$. From now on, we
assume that $Y\neq Y_{\Lambda}$. Let $l$ be the maximum such that
$|y_l|\neq 0$. Suppose that $Y'=(y_k)_{k=l+1}^{\infty}\in{\mathcal
Z}(\Lambda_j)$ for some $j\in I$. Denote by $\Box$ the type of the
$j$-block. Let $\Delta$ be the volume of the $\delta$-column.

{\bf Case 1.} $\Box={\rm I}$

This case occurs only when $\frak{g}=A^{(1)}_n$. Since $y_{l+1}$
is $j$-admissible and $Y$ is a maximal vector, there is a
removable $j$-block on top of $y_l$, and hence  $y_l$ is obtained
by adding some $\delta$-columns to the ground-state wall, or
$|y_l|=m_l\Delta$ for some $m_l\geq 1$. If $l\neq 0$, let $l'$ be
the maximum such that $l'<l$ and $|y_{l'}|>|y_l|$. Note that
$y_{l'+1}$ is $j'$-admissible for some $j'\in I$. Since $Y$ is a
maximal vector, there exists an $j'$-block on top of $y_{l'}$,
which implies that $|y_{l'}|=m_{l'}\Delta$ for some $m_{l'}\geq
1$. By repeating the above argument column by column from left to
right, we conclude that for $0\leq k\leq l$, $|y_k|=m_k\Delta$ for
some $m_k\geq 1$. Moreover, $(m_0,m_1,\cdots,m_l)$ forms a
partition and ${\rm wt}(Y)=\Lambda-(\sum_{k=0}^lm_k)\delta$.\vskip
5mm

\begin{center}
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5
\arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2

\move(-20 0)\lvec(60 0)\move(0 0)\lvec(0 40)\lvec(60 40)\move(0
30)\lvec(60 30)\move(10 0)\lvec(10 40)

\move(40 0)\lvec(40 80)\lvec(60 80)\move(50 0)\lvec(50 80)\move(40
70)\lvec(60 70)

\move(30 0)\lvec(30 40)

\htext(-6 3){$j$}\htext(4 33){$j$}

\htext(34 43){$j'$}\htext(44 73){$j'$}

\htext(3 -7){$y_l$}\htext(43 -7){$y_{l'}$}

\htext(55 15){$\cdots$} \htext(55 55){$\cdots$}\htext(16
15){$\cdots$}

\move(70 25) \avec(70 40)

\move(70 15) \avec(70 0)

\htext(65 18){$m_l\Delta$}

\move(85 45) \avec(85 80)

\move(85 35) \avec(85 0)

\htext(80 38){$m_{l'}\Delta$}

\end{texdraw}
\end{center}\vskip 5mm


{\bf Case 2.} $\Box={\rm II}$

We see from the pattern for ${\mathcal Z}(\Lambda)$ that
$\Lambda=\Lambda_j$. By the maximality of $Y$, the $j$-signature
of $y_{l+1}$ is $+$ and the $j$-signature of $y_l$ is $-$ or $-+$.
Hence $y_l$ is obtained by adding some $\delta$-columns to the
ground-state wall. If $l\neq 0$, let $l'$ be the maximum such that
$l'<l$ and $|y_{l'}|>|y_l|$. Also by the maximality of $Y$, the
$j$-signature of $y_{l'}$ is $-$ or $-+$, which means that
$y_{l'}$ is obtained by adding some $\delta$-columns to the ground
state wall. Repeating the above argument from left to right, we
conclude that for $0\leq k\leq l$, the total volume of the blocks
added on the $k$th column is $m_k\Delta$ for some $m_k\geq 1$.
Hence, $(m_0,\cdots,m_l)$ forms a partition, and ${\rm
wt}(Y)=\Lambda-(\sum_{k=0}^lm_k)\delta$  if $\frak{g}\neq
D^{(2)}_{n+1}$, ${\rm wt}(Y)=\Lambda-2(\sum_{k=0}^lm_k)\delta$ if
$\frak{g}=D^{(2)}_{n+1}$.\vskip 5mm


\begin{center}
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5
\arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2

\move(60 5)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\move(60 5)\lvec(0
5)\lvec(0 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8

\move(20 0)\lvec(20 45)\move(40 50)\lvec(60 50)

\move(-10 0)\lvec(60 0)\move(10 0)\lvec(10 45)\lvec(60 45)
\move(10 40)\lvec(60 40)

\move(10 10)\lvec(60 10)

\move(40 0)\lvec(40 85)\lvec(60 85)\move(50 0)\lvec(50 85)\move(40
80)\lvec(60 80)

\htext(13 -7){$y_l$}\htext(43 -7){$y_{l'}$}

\htext(55 20){$\cdots$} \htext(55 60){$\cdots$}

\move(70 30) \avec(70 45)

\move(70 20) \avec(70 5)

\htext(65 23){$m_l\Delta$}

\move(85 55) \avec(85 85)

\move(85 40) \avec(85 5)

\htext(80 43){$m_{l'}\Delta$}

\htext(4 6){$_j$}\htext(14 41){$_j$}

\end{texdraw}
\end{center}\vskip 5mm

{\bf Case 3.} $\Box={\rm III}$

Let $j'$ be the color of the type III block, with which the
$j$-block forms a unit cube. By the maximality of $Y$, we observe
that the $y_{l+1}$ is $j$-admissible and $y_{l}$ is $j$-removable
but not $j'$-removable. Hence $y_l$ is obtained by adding some
$\delta$-columns to the ground-state wall. If $l\neq 0$, let $l'$
be the maximum such that $l'<l$ and $|y_{l'}|>|y_l|$. If
$y_{l'+1}$ is $j$-admissible, then by the maximality of $Y$,
$y_{l'}$ is $j$-removable but not $j'$-removable. On the other
hand, if $y_{l'+1}$ is $j'$-admissible, then by the maximality of
$Y$, $y_{l'}$ is $j'$-removable but not $j$-removable. As in Case
1 and 2, by repeating the above argument, we conclude that for
$0\leq k\leq l$, the total volume of the blocks added on the $k$th
column is $m_k\Delta$ for some $m_k\geq 1$. Hence,
$(m_0,m_1,\cdots,m_l)$ forms a partition and ${\rm
wt}(Y)=\Lambda-(\sum_{k=0}^lm_k)\delta$.\vskip 5mm


\begin{center}
\begin{texdraw}
\fontsize{6}{6}\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(-20 0)\lvec(60 0)\move(0 0)\lvec(0 40)\lvec(60 40)

\move(0 10)\lvec(60 10)\move(10 0)\lvec(10 40)\move(30 0)\lvec(30
40)\move(40 0)\lvec(40 80)\lvec(60 80)\move(50 0)\lvec(50 80)

\move(40 50)\lvec(60 50)

\move(-10 0)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\lvec(-10 0)\lfill f:0.8

\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8

\move(0 40)\lvec(10 50)\lvec(10 40)\lvec(0 40)

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)

\move(40 80)\lvec(50 90)\lvec(50 80)\lvec(40 80)

\htext(55 20){$\cdots$} \htext(55 60){$\cdots$}


\htext(15 20){$\cdots$} \htext(15 42){$\cdots$}

\move(70 35) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(70
50)

\move(70 25) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(70
10)

\htext(65 28){$m_l\Delta$}

\move(85 60) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(85
90)

\move(85 45) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(85
10)

\htext(80 48){$m_{l'}\Delta$}

\htext(4 -7){$y_l$}\htext(44 -7){$y_{l'}$}

\htext(-8 6){$_j$}\htext(6 42){$_j$}\htext(-4 2){$_{j'}$}

\htext(36 42){$_j$}\htext(31 33){$_{(j')}$}

\htext(46 82){$_{j'}$}\htext(42 73){$_{(j)}$}
\end{texdraw}
\end{center}\vskip 5mm


Conversely, for a given partition $(m_k)_{k=0}^{\infty}$ of a
nonnegative integer $m$, there exists a unique proper Young wall
$Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ such that
$y_k$ is obtained by adding $m_k$ many $\delta$-columns to the
$k$th column of the ground state wall $Y_{\Lambda}$ (hence the
total volume of the blocks added to the $k$th column is
$m_k\Delta$). It is easy to check that $Y$ is a maximal vector
with ${\rm wt}(Y)=\Lambda-m\delta$ (resp. $\Lambda-2m\delta$) if
$\frak{g}\neq D^{(2)}_{n+1}$ (resp. $\frak{g}=D^{(2)}_{n+1}$).
\qed \vskip 1cm

\section{Generalized Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm}
In this section, we generalize Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm
(\cite{LLT}) to obtain an effective algorithm for constructing the
global basis $\mathcal{G}(\Lambda)$ of the basic representation
$V(\Lambda)$ of $U_q(\frak{g})$. Observe that $V(\Lambda)$ is
realized as the $U_q(\frak{g})$-submodule of ${\mathcal
F}(\Lambda)$ generated by the ground state wall $Y_{\Lambda}$.
Also recall that the crystal $B(\Lambda)$ of $V(\Lambda)$ is
isomorphic to the $U_q(\frak{g})$-crystal ${\mathcal Y}(\Lambda)$
consisting of reduced proper Young walls. Thus our goal is the
following: for each reduced proper Young wall $Y\in {\mathcal
Y}(\Lambda)$, we would like to give an algorithm of computing the
corresponding global basis element $G(Y)$ as a linear combination
of proper Young walls in ${\mathcal Z}(\Lambda)$.

For this purpose, we first investigate the action of divided
powers $f_i^{(r)}$ ($i\in I, r\geq 1$) on the proper Young walls.
Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Y}(\Lambda)$ (not
necessarily reduced), and write
\begin{equation}
f_i^{(r)}Y=\sum_{\substack{Z\in {\mathcal Z}(\Lambda) \\ {\rm
wt}(Z)={\rm wt}(Y)-r\alpha_i }}Q_{Y,Z}(q)Z,
\end{equation}
where $Q_{Y,Z}(q)\in \mathbb{Q}(q)$. For each
$Z=(z_k)_{k=0}^{\infty}\in {\mathcal Z}(\Lambda)$ with
$Q_{Y,Z}(q)\neq 0$, there exists a unique sequence of proper Young
walls $Y=Y_{0},Y_{1},\cdots,Y_{r}=Z$ such that

\begin{itemize}
\item[(i)] $\lambda_{k+1}Y_{k+1}=Y_{k}\swarrow b_{k+1}$ for some
$\lambda_{k+1}\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}]$
 and a (virtually) admissible $i$-slot $b_{k+1}$ of $Y_{k}$,
\item[(ii)] $b_{k+1}$ is placed on top of $b_k$ or to the right of $b_k$.
\end{itemize}

\begin{ex}\label{Y1Y2Y3}{\rm
Let $\frak{g}=A^{(2)}_4$, $\Lambda=\Lambda_0$, $i=0$, and consider
\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(-10 0)\lvec(0 0)\lvec(0 10)\lvec(-10 10)\lvec(-10
%0)\htext(-7 1){\tiny $0$}

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

%

\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

%
\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

%
%\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
%40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

%
%\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
%80)\htext(43 81){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm and  \hskip 1cm
$Z=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}
%
\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\move(40 85)\lvec(50 85)\lvec(50 90)\lvec(40 90)\lvec(40
85)\htext(43 86){\tiny $0$}
%
\move(5 54) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(5 44)
\htext(2 55){$_{b_1}$}

\move(35 59) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(35
49) \htext(32 60){$_{b_2}$}

\move(59 83) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(49
83) \htext(60 81){$_{b_3}$}

\move(62 88) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(49
88) \htext(63 86){$_{b_4}$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm
Then, we have a sequence of proper Young walls
$Y=Y_0,Y_1,Y_2,Y_3,Y_4=Z$, where\vskip 5mm

\begin{center}
$Y_1=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}
\end{texdraw}}\quad,\quad
$Y_2=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}
\end{texdraw}}\quad , \quad
$Y_3=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(3
1){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(13
1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 5)\lvec(0 5)\lvec(0 0)\lfill f:0.8
\htext(3 6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 5)\lvec(10 5)\lvec(10 0)\lfill
f:0.8 \htext(13 6){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}
%
\move(0 10)\lvec(10 10)\lvec(10 20)\lvec(0 20)\lvec(0 10)\htext(3
13){$_1$}

\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_1$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(0 20)\lvec(10 20)\lvec(10 30)\lvec(0 30)\lvec(0 20)\htext(3
23){$_2$}

\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 23){$_2$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_2$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(0 30)\lvec(10 30)\lvec(10 40)\lvec(0 40)\lvec(0 30)\htext(3
33){$_1$}

\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_1$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_1$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(0 40)\lvec(10 40)\lvec(10 45)\lvec(0 45)\lvec(0 40)\htext(3
41){\tiny $0$}

\move(10 40)\lvec(20 40)\lvec(20 45)\lvec(10 45)\lvec(10
40)\htext(13 41){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 45)\lvec(20 45)\lvec(20
40)\htext(23 41){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}
%
\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}
\end{texdraw}}

\end{center}\vskip 5mm

\noindent and $\lambda_1=1$, $\lambda_2=q^{-1}(1-q^8)$,
$\lambda_3=1$, $\lambda_4=[2]=(q+q^{-1})$. }
\end{ex}\vskip 3mm


Let $Q_{Y_k,Y_{k+1}}(q)$ be the coefficient of $Y_{k+1}$ in the
expression of $f_iY_{k}$.

Define
\begin{equation}
Q^{\circ}_{Y,Z}(q)=\prod_{k=0}^{r-1}Q_{Y_{k},Y_{k+1}}(q)\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}].
\end{equation}
Note that each $b_k$ ($1\leq k\leq r$) can be viewed as an
$i$-block (not necessarily removable) in $Z$. When $b_k$'s are of
type ${\rm II}$, we define
\begin{equation}\label {JST}
\begin{split}
J_1&=\{\,k\,|\,b_{k-1} \text{ lies beneath } b_k\,\}, \\
J_2&=\{\,k\,|\,\text{there exists an $i$-block {\rm(}$\neq
b_{k-1}${\rm )} beneath $b_k$ in $Z$}\,\}, \\
J_3&=\{\,k\,|\,\text{there exists no $i$-block on top of and
beneath
$b_k$ in $Z$}\,\}, \\
S&=\{\,k\in J_2\,|\, \text{$b_k$ and $b_{k-1}$ lie in the same $i$-component of $Z$} \,\}, \\
T&=\{\,k\in J_3\,|\,k+1\in S\,\}
\end{split}
\end{equation}
Set $l=|J_1|$, $m=|J_2|$ and $n=|J_3|$. For each $k\in S$, let
$\mu_k=q\lambda_k$. Note that $2l+m+n=r$. Then we have

\begin{lem}\label {QYZ} Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$,
and suppose that $Q_{Y,Z}(q)\neq 0$ for some $Z\in {\mathcal
Z}(\Lambda)$ with ${\rm wt}(Z)={\rm wt}(Y)-r\alpha_i$. Then we
have
\begin{equation}\label {qyz}
Q_{Y,Z}(q)=
\begin{cases}
Q^{\circ}_{Y,Z}(q)q_i^{\binom{r}{2}}
& \text{ if the $i$-blocks are of type {\rm I} or {\rm III}}, \\
Q^{\circ}_{Y,Z}(q) \dfrac{q^{\sigma(l,m,n)}}{[2]^{l}\prod_{k\in
S}\mu_k} & \text{ if the $i$-blocks are of type {\rm II}},
\end{cases}
\end{equation}
where
$\sigma(l,m,n)=4\binom{l}{2}+\binom{m}{2}+\binom{n}{2}+2l(m+n)+mn$.

In particular, we have $Q_{Y,Z}(q)\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}]$.
\end{lem}

\begin{ex}{\rm In Example \ref{Y1Y2Y3}, we have
$J_1=\{4\}$, $J_2=\{2\}$ and $J_3=\{1\}$. Also, we have $S=\{2\}$,
$T=\{1\}$. Since $Q_{Y,Z}^{\circ}(q)=q^{-1}(1-q^8)[2]$,
$\mu_2=q\lambda_2=(1-q^8)$ and $\sigma(1,1,1)=5$, it follows that
\begin{equation*}
Q_{Y,Z}(q)=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)\times \frac{q^5}{[2](1-q^8)}=q^4.
\end{equation*}
Hence, the coefficient of $Z$ in $f_0^{(4)}Y$ is $q^4$.

}
\end{ex}




{\bf Proof of Lemma \ref{QYZ}}

{\bf Case 1.} Suppose that the $i$-blocks are of type I or III. We
will use induction on $r$. For $r=1$, it is clear. Suppose that
\eqref{qyz} holds for $r-1$. Let $Z_{k}$ be the proper Young wall
in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ ($1\leq k\leq r$) such that $b_k$ is
also a (virtually) admissible $i$-slot of $Z_k$ and $Z_{k}\swarrow
b_k=Z$ (up to scalar multiplication). By definition of
$Q_{Y,Z}(q)$, we have
\begin{equation*}
[r]_iQ_{Y,Z}(q)=\sum_{k=1}^rQ_{Y,Z_{k}}(q)Q_{Z_{k},Z}(q).
\end{equation*}
Note that
\begin{equation*}
\begin{split}
Q_{Z_{k},Z}(q)&=Q_{Z_{k},Z}^{\circ}(q), \\
Q_{Y,Z_{k}}^{\circ}(q)Q_{Z_{k},Z}^{\circ}(q)&=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)q_i^{2(r-k)}.
\end{split}
\end{equation*}
By induction hypothesis, we have
\begin{equation*}
\begin{split}
[r]_iQ_{Y,Z}(q)&=\sum_{k=1}^rQ_{Y,Z_{k}}^{\circ}
(q)Q_{Z_{k},Z}^{\circ}(q)q_i^{\binom{r-1}{2}} \\
&=\sum_{k=1}^rQ_{Y,Z}^{\circ}(q)q_i^{2(r-k)+\binom{r-1}{2}} \\
&=\sum_{k=1}^rQ_{Y,Z}^{\circ}(q)q_i^{2(r-k)-r+1+\binom{r}{2}}
=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)q_i^{\binom{r}{2}}[r]_i.
\end{split}
\end{equation*}
This completes the induction argument.\vskip 3mm

{\bf Case 2.} Suppose that $i$-blocks are of type II. We will also
use induction on $r$. For $r=1$, it is clear. Suppose that
\eqref{qyz} holds for $r-1$ ($r\geq 2$). Set $J=J_1\sqcup J_2
\sqcup J_3$. For $k\in J$, let $Z_{k}$ be the unique proper Young
wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ such that $b_k$ is also an
admissible $i$-slot of $Z_k$ and $Z_k\swarrow b_k=\lambda_kZ$
($\lambda_k$ was already given in the definition of $b_k$). We
have
\begin{equation}
\lambda_k=
\begin{cases}
[2] & \text{if $k\in J_1$}, \\
q^{-1}(1-(-q^2)^{l_k+1}) & \text{if $k\in J_2$ and $k\geq 2$}, \\
1 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
for some $l_k\geq 0$, and $\mu_k=(1-(-q^2)^{l_k+1})$ for $k\in S$.
As in Case 1, we have
\begin{equation}
[r]_iQ_{Y,Z}(q)=\sum_{k\in J}Q_{Y,Z_{k}}(q)Q_{Z_k,Z}(q),
\end{equation}
and
\begin{equation*}
\begin{split}
Q_{Z_{k},Z}(q)&=Q_{Z_{k},Z}^{\circ}(q), \\
Q_{Y,Z_{k}}^{\circ}(q)Q_{Z_{k},Z}^{\circ}(q)&=
\begin{cases}
Q_{Y,Z}^{\circ}(q)q^{2(r-k)}\frac{(1-(-q^2)^{l_{k+1}})}{(1-(-q^2)^{l_{k+1}+1})}
& \text{if $k\in T$},  \\
Q_{Y,Z}^{\circ}(q)q^{2(r-k)} & \text{otherwise}.
\end{cases}
\end{split}
\end{equation*}

By induction hypothesis, we have {\allowdisplaybreaks
\begin{align*}
[r]_iQ_{Y,Z}(q)&=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)\times\\
& \Bigg( \sum_{k\in
J_1}\frac{q^{\sigma(l-1,m,n+1)+2(r-k)}}{[2]^{l-1}\prod_{k'\in
S}\mu_{k'}} +  \sum_{k\in J_2\setminus S
}\frac{q^{\sigma(l,m-1,n)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in S}\mu_{k'}}
\\ & \quad +\sum_{k\in J_3\setminus
T}\frac{q^{\sigma(l,m,n-1)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S}\mu_{k'}} + \sum_{k\in
S}\frac{q^{\sigma(l,m-1,n)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S\setminus\{k\}}\mu_{k'}} \\ & \quad + \sum_{k\in
T}\frac{q^{\sigma(l,m,n-1)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S\setminus\{k+1\}}\mu_{k'}}
\frac{(1-(-q^2)^{l_{k+1}})}{(1-(-q^2)^{l_{k+1}+1})}\Bigg).
\end{align*}
On the other hand,
\begin{align*}
&\sum_{k\in
S}\frac{q^{\sigma(l,m-1,n)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S\setminus\{k\}}\mu_{k'}} + \sum_{k\in
T}\frac{q^{\sigma(l,m,n-1)+2(r-k)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S\setminus\{k+1\}}\mu_{k'}}\frac{(1-(-q^2)^{l_{k+1}})}{(1-(-q^2)^{l_{k+1}+1})}
\\
&=\frac{1}{[2]^{l}\prod_{k'\in S}\mu_{k'}}\sum_{k\in
T}\biggl(q^{\sigma(l,m-1,n)+2(r-k-1)}
(1-(-q^2)^{l_{k+1}+1})  \\
& \hskip 5cm + q^{\sigma(l,m,n-1)+2(r-k)}
(1-(-q^2)^{l_{k+1}})\biggr)
\\
&=\frac{1}{[2]^{l}\prod_{k'\in S}\mu_{k'}}\sum_{k\in
T}\left(q^{\sigma(l,m-1,n)+2(r-k-1)}+q^{\sigma(l,m,n-1)+2(r-k)}\right).
\end{align*}
Since
\begin{equation*}
\begin{split}
\sigma(l-1,m,n+1)&=\sigma(l,m,n)-r+2\\
\sigma(l,m-1,n)&=\sigma(l,m,n-1)=\sigma(l,m,n)-r+1,
\end{split}
\end{equation*}
we have
\begin{align*}
&[r]Q_{Y,Z}(q)\\
&=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)\frac{q^{\sigma(l,m,n)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S}\mu_{k'}}\left( \sum_{k\in J_1}q^{-r+1+2(r-k+1)}+\sum_{k\in
J}q^{-r+1+2(r-k)} \right) \\
&=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)\frac{q^{\sigma(l,m,n)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S}\mu_{k'}}\left( \sum_{k=1}^rq^{-(r-1)+2(r-k)} \right)
=Q_{Y,Z}^{\circ}(q)\frac{q^{\sigma(l,m,n)}}{[2]^{l}\prod_{k'\in
S}\mu_{k'}}[r],
\end{align*}
} which completes our induction argument.

Finally, since $[2]^{l}\prod_{k\in S}\mu_{k}$ divides
$Q_{Y,Z}^{\circ}(q)$, we have $Q_{Y,Z}(q)\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}]$.
\qed\vskip 3mm



Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ and let
$b$ be a block in $Y$. Suppose that $b$ lies in the $k$th column
of $Y$. The {\it coordinate of $b$} is defined to be $(k,l)$ where
$l$ is the number of unit cubes lying below $b$. Note that two
different blocks of type II or III have the same coordinate if
they are parts of a unit cube. Also, each coordinate corresponds
to a unit cube in a given pattern.

\begin{ex}{\rm
The block $b$ in the following figure has the coordinate
$(1,4)$.\vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(12 26){\tiny $4$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(22 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(32 26){\tiny $4$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(42 26){\tiny $3$}

\move(10 20)\lvec(20 30)\lvec(20 20)\lvec(10 20) \htext(16
22){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 30)\lvec(30 20)\lvec(20 20) \htext(26
22){\tiny $4$}

\move(30 20)\lvec(40 30)\lvec(40 20)\lvec(30 20) \htext(36
22){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 30)\lvec(50 20)\lvec(40 20) \htext(46
22){\tiny $4$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(35 54) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(35
42)\htext(34 57){$_b$}
\end{texdraw}}
\end{center}
\vskip 5mm }
\end{ex}




Let $c=(k,l)$ ($k,l\geq 0$) be a coordinate of a block in the
pattern for ${\mathcal Z}(\Lambda)$. We define the {\it ladder at
$c$} to be the finite sequence of coordinates as follows;
\begin{equation*}
c=(k,l), (k-1, l+\Delta'), (k-2, l+2\Delta'), \cdots ,
(0,l+k\Delta'),
\end{equation*}
where $\Delta'=\Delta -1$ (resp. $\Delta$) if $\frak{g}=A_n^{(1)}$
(resp. $\frak{g}\neq A_n^{(1)}$) (This is a generalization of the
ladder for Young diagrams. See \cite{JK}).
\begin{ex}{\rm If $\frak{g}=B^{(1)}_3$ and $\Lambda=\Lambda_0$, then $\Delta=4$. There are two ladders in the following figure. The
left one is the ladder at $(7,0)$, and the right one is the ladder
at $(3,1)$.\vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

%\move(0 0)\lvec(10 0)\lvec(10 10)\lvec(0 10)\lvec(0 0)\htext(2
%6){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\htext(12
6){\tiny $1$}

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
%\move(0 0)\lvec(10 10)\lvec(10 0)\lvec(0 0)\lfill f:0.8 \htext(6
%2){\tiny $1$}

\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(16 2){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}

\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_2$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 30)\lvec(10 30)\lvec(10
20)\htext(13 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 26){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(10 20)\lvec(20 20)\lvec(20 25)\lvec(10 25)\lvec(10 20)
\htext(13 21){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 25)\lvec(50 25)\lvec(50
20)\htext(53 21){\tiny $3$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(10 30)\lvec(20 30)\lvec(20 40)\lvec(10 40)\lvec(10
30)\htext(13 33){$_2$}

\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_2$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%

\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(10 50)\lvec(10 40) \htext(12
46){\tiny $1$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40) \htext(22
46){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40) \htext(32
46){\tiny $1$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50) \lvec(50
40)\htext(52 46){\tiny $1$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(10 40)\lvec(20 50)\lvec(20 40)\lvec(10 40) \htext(16
42){\tiny $0$}

\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40) \htext(26
42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\move(50 40)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\lvec(50 40) \htext(56
42){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(10 50)\lvec(20 50)\lvec(20 60)\lvec(10 60)\lvec(10
50)\htext(13 53){$_2$}

\move(20 50)\lvec(30 50)\lvec(30 60)\lvec(20 60)\lvec(20
50)\htext(23 53){$_2$}

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_2$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_2$}

\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$_2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$_2$}
%
\move(10 60)\lvec(20 60)\lvec(20 65)\lvec(10 65)\lvec(10 60)
\htext(13 61){\tiny $3$}

\move(20 60)\lvec(30 60)\lvec(30 65)\lvec(20 65)\lvec(20 60)
\htext(23 61){\tiny $3$}

\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 65)\lvec(30 65)\lvec(30 60)
\htext(33 61){\tiny $3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 65)\lvec(50 65)\lvec(50
60)\htext(53 61){\tiny $3$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 65)\lvec(60 65)\lvec(60
60)\htext(63 61){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(10 60)\lvec(20 60)\lvec(20 70)\lvec(10 70)\lvec(10
60)\htext(13 66){\tiny $3$}

\move(20 60)\lvec(30 60)\lvec(30 70)\lvec(20 70)\lvec(20
60)\htext(23 66){\tiny $3$}

\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 66){\tiny $3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 66){\tiny $3$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 66){\tiny $3$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 66){\tiny $3$}

\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(10 70)\lvec(20 70)\lvec(20 80)\lvec(10 80)\lvec(10
70)\htext(13 73){$_2$}

\move(20 70)\lvec(30 70)\lvec(30 80)\lvec(20 80)\lvec(20
70)\htext(23 73){$_2$}

\move(30 70)\lvec(40 70)\lvec(40 80)\lvec(30 80)\lvec(30
70)\htext(33 73){$_2$}

\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(50 70)\lvec(60 70)\lvec(60 80)\lvec(50 80)\lvec(50
70)\htext(53 73){$_2$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_2$}

\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$_2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$_2$}
%
\move(10 80)\lvec(20 90)\lvec(20 80)\lvec(10 80) \htext(16
82){\tiny $0$}

\move(20 80)\lvec(30 90)\lvec(30 80)\lvec(20 80) \htext(26
82){\tiny $1$}

\move(30 80)\lvec(40 90)\lvec(40 80)\lvec(30 80) \htext(36
82){\tiny $0$}

\move(40 80)\lvec(50 90)\lvec(50 80)\lvec(40 80) \htext(46
82){\tiny $1$}

\move(50 80)\lvec(60 90)\lvec(60 80)\lvec(50 80) \htext(56
82){\tiny $0$}

\move(60 80)\lvec(70 90)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\htext(66
82){\tiny $1$}

\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}
%
\move(10 80)\lvec(20 80)\lvec(20 90)\lvec(10 90)\lvec(10
80)\htext(12 86){\tiny $1$}

\move(20 80)\lvec(30 80)\lvec(30 90)\lvec(20 90)\lvec(20
80)\htext(22 86){\tiny $0$}

\move(30 80)\lvec(40 80)\lvec(40 90)\lvec(30 90)\lvec(30
80)\htext(32 86){\tiny $1$}

\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 90)\lvec(40 90)\lvec(40
80)\htext(42 86){\tiny $0$}

\move(50 80)\lvec(60 80)\lvec(60 90)\lvec(50 90)\lvec(50
80)\htext(52 86){\tiny $1$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 90)\lvec(60 90)\lvec(60
80)\htext(62 86){\tiny $0$}

\move(70 80)\lvec(80 80)\lvec(80 90)\lvec(70 90)\lvec(70
80)\htext(72 86){\tiny $1$}

\move(80 80)\lvec(90 80)\lvec(90 90)\lvec(80 90)\lvec(80
80)\htext(82 86){\tiny $0$}

\move(10 0)\lvec(5 0)\move(10 10)\lvec(5 10)\move(10 20)\lvec(5
20)\move(10 30)\lvec(5 30)\move(10 40)\lvec(5 40)\move(10
50)\lvec(5 50)\move(10 60)\lvec(5 60)\move(10 70)\lvec(5
70)\move(10 80)\lvec(5 80)\move(10 90)\lvec(5 90)

\move(10 95)\lvec(10 90)\move(20 95)\lvec(20 90)\move(30
95)\lvec(30 90)\move(40 95)\lvec(40 90)\move(50 95)\lvec(50
90)\move(60 95)\lvec(60 90)\move(70 95)\lvec(70 90)\move(80
95)\lvec(80 90)\move(90 95)\lvec(90 90)

\move(15 5)\linewd 1 \lcir r:6 \move(25 45)\linewd 1 \lcir r:6
\move(35 85)\linewd 1 \lcir r:6

\move(55 15)\linewd 1 \lcir r:6 \move(65 55)\linewd 1 \lcir r:6
\move(75 95)\linewd 1 \lcir r:6

\end{texdraw}}
\end{center}\vskip 5mm
}\end{ex}

Let $Y$ be a reduced proper Young wall in ${\mathcal Y}(\Lambda)$
and let $y_l$ be the left-most column in $Y$ with $|y_l|\neq 0$.
Take a block $b$ lying at the top of $y_l$ and let $i$ be its
color. (If the $b$ is of type III and there is another block of
type III on top of $y_l$, we take the block at the front.) Suppose
that the coordinate of $b$ is $c=(k,l)$ and let $L_c$ be the
ladder at $c$. We denote by $Y\cap L_c$ the $i$-blocks in $Y$
whose coordinates are in $L_c$. (In fact, $L_c$ is the left-most
ladder that has a nontrivial intersection with $Y$.) We define
$\overline{Y}$ to be the proper Young wall that is obtained from
$Y$ by removing all the $i$-blocks in $Y\cap L_c$. Then it is easy
to see that $\overline{Y}$ is also reduced. That is, we remove all
the $i$-blocks along the left-most ladder to obtain another
reduced proper Young wall. This process will play a crucial role
in constructing the global basis $\mathcal{G}(\Lambda)$ of
$V(\Lambda)$.
\begin{ex}{\rm \mbox{}

(a) If $\frak{g}=A_5^{(2)}$ and\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)
%
\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}
%
\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40)

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)
%
\move(20 50)\lvec(30 50)\lvec(30 60)\lvec(20 60)\lvec(20
50)\htext(23 53){$_2$}

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}
%
\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 63){$_3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}
%
\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\htext(22
45){\tiny $0$}\htext(26 42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}

\move(15 15)\linewd 1 \lcir r:6 \move(25 55)\linewd 1 \lcir r:6
\end{texdraw}}\quad ,\quad then
$\overline{Y}=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(10 0)\lvec(20 0)\lvec(20 10)\lvec(10 10)\lvec(10 0)

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)
%
%\move(10 10)\lvec(20 10)\lvec(20 20)\lvec(10 20)\lvec(10
%10)\htext(13 13){$_2$}

\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 30)\lvec(20 30)\lvec(20
20)\htext(23 23){$_3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_3$}
%
\move(20 30)\lvec(30 30)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\lvec(20
30)\htext(23 33){$_2$}

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(20 40)\lvec(30 40)\lvec(30 50)\lvec(20 50)\lvec(20 40)

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30 40)

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40)
%
%\move(20 50)\lvec(30 50)\lvec(30 60)\lvec(20 60)\lvec(20
%50)\htext(23 53){$_2$}

\move(30 50)\lvec(40 50)\lvec(40 60)\lvec(30 60)\lvec(30
50)\htext(33 53){$_2$}

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}
%
\move(30 60)\lvec(40 60)\lvec(40 70)\lvec(30 70)\lvec(30
60)\htext(33 63){$_3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_3$}
%
\move(10 0)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\lvec(10 0)\lfill f:0.8
\htext(11 5){\tiny $1$}\htext(16 1){\tiny $0$}

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(22 5){\tiny $0$}\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(32 5){\tiny $1$}\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(42 5){\tiny $0$}\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 40)\lvec(30 50)\lvec(30 40)\lvec(20 40)\htext(22
45){\tiny $0$}\htext(26 42){\tiny $1$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(32
45){\tiny $1$}\htext(36 42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\htext(42
45){\tiny $0$}\htext(46 42){\tiny $1$}

%\move(15 15)\linewd 1 \lcir r:6 \move(25 55)\linewd 1 \lcir r:6
\end{texdraw}}\quad.
\end{center}
\vskip 5mm

(b) If $\frak{g}=A_4^{(2)}$ and\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(63
1){\tiny $0$}
%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 5)\lvec(60 5)\lvec(60 0)\lfill
f:0.8 \htext(63 6){\tiny $0$}
%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_1$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 45)\lvec(60 45)\lvec(60
40)\htext(63 41){\tiny $0$}
%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
40)\htext(53 46){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(63 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_1$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 63){$_2$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(50 70)\lvec(60 70)\lvec(60 80)\lvec(50 80)\lvec(50
70)\htext(53 73){$_1$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_1$}
%
\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\move(50 80)\lvec(60 80)\lvec(60 85)\lvec(50 85)\lvec(50
80)\htext(53 81){\tiny $0$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 85)\lvec(60 85)\lvec(60
80)\htext(63 81){\tiny $0$}

\move(25 5)\linewd 1 \lcir r:6 \move(35 45)\linewd 1 \lcir r:6
\move(45 85)\linewd 1 \lcir r:6
\end{texdraw}}\quad , \quad then
$\overline{Y}=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(53
1){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(63
1){\tiny $0$}
%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 5)\lvec(50 5)\lvec(50 0)\lfill
f:0.8 \htext(53 6){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 5)\lvec(60 5)\lvec(60 0)\lfill
f:0.8 \htext(63 6){\tiny $0$}
%

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

\move(50 10)\lvec(60 10)\lvec(60 20)\lvec(50 20)\lvec(50
10)\htext(53 13){$_1$}

\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

\move(50 20)\lvec(60 20)\lvec(60 30)\lvec(50 30)\lvec(50
20)\htext(53 23){$_2$}

\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

\move(50 30)\lvec(60 30)\lvec(60 40)\lvec(50 40)\lvec(50
30)\htext(53 33){$_1$}

\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_1$}
%
%\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
%40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 45)\lvec(50 45)\lvec(50
40)\htext(53 41){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 45)\lvec(60 45)\lvec(60
40)\htext(63 41){\tiny $0$}
%
%\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
%40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(50 40)\lvec(60 40)\lvec(60 50)\lvec(50 50)\lvec(50
40)\htext(53 46){\tiny $0$}

\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(63 46){\tiny $0$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(50 50)\lvec(60 50)\lvec(60 60)\lvec(50 60)\lvec(50
50)\htext(53 53){$_1$}

\move(60 50)\lvec(70 50)\lvec(70 60)\lvec(60 60)\lvec(60
50)\htext(63 53){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(50 60)\lvec(60 60)\lvec(60 70)\lvec(50 70)\lvec(50
60)\htext(53 63){$_2$}

\move(60 60)\lvec(70 60)\lvec(70 70)\lvec(60 70)\lvec(60
60)\htext(63 63){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(50 70)\lvec(60 70)\lvec(60 80)\lvec(50 80)\lvec(50
70)\htext(53 73){$_1$}

\move(60 70)\lvec(70 70)\lvec(70 80)\lvec(60 80)\lvec(60
70)\htext(63 73){$_1$}
%
%\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
%80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\move(50 80)\lvec(60 80)\lvec(60 85)\lvec(50 85)\lvec(50
80)\htext(53 81){\tiny $0$}

\move(60 80)\lvec(70 80)\lvec(70 85)\lvec(60 85)\lvec(60
80)\htext(63 81){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm


(c) If $\frak{g}=B_3^{(1)}$ and\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(50 0)\lvec(60 0)\lvec(60 10)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\htext(52
6){\tiny $1$}

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}
%
\move(50 0)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\lvec(50 0)\lfill f:0.8
\htext(56 2){\tiny $0$}

\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}
%
\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}
%
\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%
\move(60 40)\lvec(70 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60
40)\htext(62 46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(70 40)\lvec(60 40) \htext(66
42){\tiny $1$}

\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$_2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$_2$}
%
\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$_2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$_2$}
%
\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}

\move(55 5)\linewd 1 \lcir r:6 \move(65 45)\linewd 1 \lcir r:6
\move(75 85)\linewd 1 \lcir r:6
\end{texdraw}}\quad , \quad then
$\overline{Y}=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(60 10)\lvec(70 10)\lvec(70 20)\lvec(60 20)\lvec(60
10)\htext(63 13){$_2$}

\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 30)\lvec(60 30)\lvec(60
20)\htext(63 26){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(60 20)\lvec(70 20)\lvec(70 25)\lvec(60 25)\lvec(60
20)\htext(63 21){\tiny $3$}

\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(60 30)\lvec(70 30)\lvec(70 40)\lvec(60 40)\lvec(60
30)\htext(63 33){$_2$}

\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%
\move(60 40)\lvec(70 50)\lvec(60 50)\lvec(60 40)\htext(62
46){\tiny $0$}

\move(70 40)\lvec(80 40)\lvec(80 50)\lvec(70 50)\lvec(70
40)\htext(72 46){\tiny $1$}

\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(70 40)\lvec(80 50)\lvec(80 40)\lvec(70 40) \htext(76
42){\tiny $0$}

\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(70 50)\lvec(80 50)\lvec(80 60)\lvec(70 60)\lvec(70
50)\htext(73 53){$_2$}

\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$_2$}
%
\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 65)\lvec(70 65)\lvec(70
60)\htext(73 61){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(70 60)\lvec(80 60)\lvec(80 70)\lvec(70 70)\lvec(70
60)\htext(73 66){\tiny $3$}

\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(70 70)\lvec(80 70)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\lvec(70
70)\htext(73 73){$_2$}

\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$_2$}
%
\move(70 80)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\lvec(70 80)\htext(76
82){\tiny $0$}

\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\htext(86
82){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}\vskip 5mm }
\end{ex}

\begin{prop}\label {QbarY Y=1} Let $Y$ be a reduced proper Young wall
in ${\mathcal Y}(\Lambda)$.
Suppose that ${\rm wt}(\overline{Y})={\rm wt}(Y)+r\alpha_i$ for
some $i\in I$ and $r\geq 1$. Then we have
\begin{equation*}
f_i^{(r)}\overline{Y}=Y+\sum_{\substack{Z\in {\mathcal Z}(\Lambda) \\
{\rm wt}(Z)={\rm wt}(Y) \\ Z\neq Y }}Q_{\overline{Y},Z}(q)Z.
\end{equation*}
That is, we have $Q_{\overline{Y},Y}(q)=1$.
\end{prop}
\pf By definition of $\overline{Y}$, there exists a unique
sequence of proper Young walls $Y_0=\overline{Y},\cdots,Y_r=Y$
such that for $1\leq k\leq r$

(i) $Y_k=Y_{k-1}\swarrow b_k$ (up to scalar multiplication) for
some admissible $i$-slot $b_k$ of $Y_{k-1}$,

(ii) there exists no admissible $i$-slot located to the left of
$b_k$.

In other words, $\{\,b_k\,|\,1\leq k\leq r\,\}$ are added to
$\overline{Y}$ from left to right and from bottom to top with no
admissible $i$-slot to the left of each $b_k$.

Suppose that $b_k$'s are of type I or III. Then it is easy to see
that
\begin{equation*}
Q_{\overline{Y},Y}^{\circ}(q)=\prod_{k=0}^{r-1}
Q_{Y_{k},Y_{k+1}}(q)=q_i^{-\binom{r}{2}},
\end{equation*}
which implies that $Q_{\overline{Y},Y}(q)=1$ by Lemma \ref{QYZ}.

Suppose that $b_k$'s are of type II. Let $J_1$, $J_2$, $J_3$ be
the sets given in \eqref{JST}. Set $l=|J_1|$, $m=|J_2|$, and
$n=|J_3|$. By definition of $\overline{Y}$, $m\leq 1$ and if
$m=1$, then $J_2=\{\,1\,\}$ and $b_1$ is placed on the column
which is part of the ground-state wall. Also, (ii) implies that
$n\leq 1$ and that if $n=1$, then $J_3=\{\,r\,\}$. Note that
$S=T=\emptyset$. Thus we have
\begin{equation*}
Q^{\circ}_{\overline{Y},Y}(q)=[2]_i^{l}
q_i^{-4\binom{l}{2}-\binom{m}{2}-\binom{n}{2}-2l(m+n)-mn},
\end{equation*}
which implies that $Q_{\overline{Y},Y}(q)=1$ by Lemma \ref{QYZ} .
\qed\vskip 3mm

Let $Y$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$. Let $L$
be a ladder which has a nontrivial intersection with $Y$. Suppose
that there are $r$ many $i$-blocks in $Y\cap L$ for some $r\geq 0$
and $i\in I$. Move these $i$-blocks to the first $r$ many
$i$-slots in $L$ from the bottom. Repeat this procedure ladder by
ladder until no block can be moved downward along a ladder. Then
we obtain another proper Young wall $Y^{R}$, which we call the
{\it reduced form of $Y$}. By definition, $Y^{R}$ is a reduced
proper Young wall. Moreover, we have $|Y^R|\unrhd|Y|$ and the
equality holds if and only if $Y$ is reduced.

\begin{ex}{\rm \mbox{}\vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.3\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%
\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$_2$}
%
\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$_2$}
%
\move(80 80)\lvec(90 90)\lvec(80 90)\lvec(80 80)\htext(82
86){\tiny $0$}

\move(85 85)\linewd 0.5 \lcir r:6

\move(65 5)\linewd 0.5 \lcir r:6

\linewd 0.5

\move(82 79) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(68
11)
\end{texdraw}}\hskip 5mm $\longrightarrow$ \hskip 5mm
\raisebox{-0.3\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%
\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
%
\move(80 50)\lvec(90 50)\lvec(90 60)\lvec(80 60)\lvec(80
50)\htext(83 53){$_2$}
%
\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 65)\lvec(80 65)\lvec(80
60)\htext(83 61){\tiny $3$}
%
\move(80 60)\lvec(90 60)\lvec(90 70)\lvec(80 70)\lvec(80
60)\htext(83 66){\tiny $3$}
%
\move(80 70)\lvec(90 70)\lvec(90 80)\lvec(80 80)\lvec(80
70)\htext(83 73){$_2$}
%
\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62 6){\tiny
$0$}

\move(85 65)\linewd 0.5 \lellip rx:6 ry:16

\move(75 25)\linewd 0.5 \lellip rx:6 ry:16

\linewd 0.5

\move(80 58) \arrowheadtype t:F \arrowheadsize l:4 w:2 \avec(76
40)
\end{texdraw}}\hskip 5mm $\longrightarrow$ \hskip 5mm
\raisebox{-0.35\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.12 \linewd 0.5

\move(60 0)\lvec(70 0)\lvec(70 10)\lvec(60 10)\lvec(60 0)\htext(62
6){\tiny $0$}

\move(70 0)\lvec(80 0)\lvec(80 10)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\htext(72
6){\tiny $1$}

\move(80 0)\lvec(90 0)\lvec(90 10)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\htext(82
6){\tiny $0$}

%
\move(60 0)\lvec(70 10)\lvec(70 0)\lvec(60 0)\lfill f:0.8
\htext(66 2){\tiny $1$}

\move(70 0)\lvec(80 10)\lvec(80 0)\lvec(70 0)\lfill f:0.8
\htext(76 2){\tiny $0$}

\move(80 0)\lvec(90 10)\lvec(90 0)\lvec(80 0)\lfill f:0.8
\htext(86 2){\tiny $1$}

%
\move(70 10)\lvec(80 10)\lvec(80 20)\lvec(70 20)\lvec(70
10)\htext(73 13){$_2$}

\move(80 10)\lvec(90 10)\lvec(90 20)\lvec(80 20)\lvec(80
10)\htext(83 13){$_2$}
%
\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 30)\lvec(70 30)\lvec(70
20)\htext(73 26){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 30)\lvec(80 30)\lvec(80
20)\htext(83 26){\tiny $3$}

%
\move(70 20)\lvec(80 20)\lvec(80 25)\lvec(70 25)\lvec(70
20)\htext(73 21){\tiny $3$}

\move(80 20)\lvec(90 20)\lvec(90 25)\lvec(80 25)\lvec(80
20)\htext(83 21){\tiny $3$}
%
\move(70 30)\lvec(80 30)\lvec(80 40)\lvec(70 40)\lvec(70
30)\htext(73 33){$_2$}

\move(80 30)\lvec(90 30)\lvec(90 40)\lvec(80 40)\lvec(80
30)\htext(83 33){$_2$}
%
\move(80 40)\lvec(90 40)\lvec(90 50)\lvec(80 50)\lvec(80
40)\htext(82 46){\tiny $0$}
%
\move(80 40)\lvec(90 50)\lvec(90 40)\lvec(80 40) \htext(86
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\hskip 5mm$=Y^R$
\end{center}\vskip 5mm


}
\end{ex}

\begin{lem}\label {ord}{\rm (cf.\cite{JK})}
Let $Y$ be a reduced proper Young wall in ${\mathcal Y}(\Lambda)$
and let $Z$ be a proper Young wall in ${\mathcal Z}(\Lambda)$ such
that $|\overline{Y}|\unrhd |Z^{R}|$. Suppose that ${\rm
wt}(\overline{Y})={\rm wt}(Y)+r\alpha_i$ for some $i\in I$ and
$r\geq 1$. Then, for each $W\in{\mathcal Z}(\Lambda)$ appearing in
the expression of $f_i^{(r)}Z$, we have

{\rm (a)} $|Y|\unrhd|W^{R}|$.

{\rm (b)} If $|Y|=|W|$, then $|\overline{Y}|=|Z|$ and $Z$ is a
reduced proper Young wall.

{\rm (c)} If $|Y|=|W|$ and $\overline{Y}=Z$, then $Y=W$.
\end{lem}
\pf (a) Let $L$ be the left-most ladder which has a nontrivial
intersection with $Y$. Denote by $y_p,y_{p-1},\cdots,y_{p-s}$
($s\geq 0$) the first $s+1$ columns in $Y$ which meet $L$, and
denote by
$\overline{y}_p,\overline{y}_{p-1},\cdots,\overline{y}_{p-s}$
($s\geq 0$) the corresponding columns in $\overline{Y}$. Since
$Z^R=(z^R_k)_{k=0}^{\infty}$ is reduced, we have
\begin{equation}
|\overline{y}_{p-t}|\geq|z^R_{p-t}|\hskip 5mm\text{for $0\leq
t\leq s$}.
\end{equation}
Since $W=(w_k)_{k=0}^{\infty}$ (and hence
$W^R=(w_k^R)_{k=0}^{\infty}$) is given by adding $r$ many
$i$-blocks on $Z$, we also have
\begin{equation}
|y_{p-t}|\geq|w^R_{p-t}|\hskip 5mm\text{for $0\leq t\leq s$}.
\end{equation}
Therefore, if $s'\leq s$, then
\begin{equation}
\sum_{t=0}^{s'}|y_{p-t}|\geq\sum_{t=0}^{s'}|w^R_{p-t}|,
\end{equation}
and if $s< s'\leq p$, then
\begin{equation}
\sum_{t=0}^{s'}|y_{p-t}|=\sum_{t=0}^{s'}|\overline{y}_{p-t}|+r\geq
\sum_{t=0}^{s'}|z^R_{p-t}|+r\geq\sum_{t=0}^{s'}|w^R_{p-t}|.
\end{equation}
Hence we conclude $|Y|\unrhd|W^R|$.

(b) Suppose that $|Y|=|W|$. Since $|\overline{y}_p|\geq|z_p|$ and
$w_p$ is obtained by adding some $i$-blocks on $z_p$, we have
$\overline{y}_p=z_p$ and $y_p=w_p$. Suppose that for $0\leq u\leq
t < s$,
\begin{equation}
\overline{y}_{p-u}=z_{p-u},\quad y_{p-u}=w_{p-u}.
\end{equation}
Note that
\begin{equation}
\sum_{u=0}^{t+1}|\overline{y}_{p-u}|\geq\sum_{u=0}^{t+1}|z^R_{p-u}|
\geq\sum_{u=0}^{t+1}|z_{p-u}|.
\end{equation}
By our hypothesis, we have
$|\overline{y}_{p-t-1}|\geq|z_{p-t-1}|$. Since
$|y_{p-t-1}|=|w_{p-t-1}|$ and $w_{p-t-1}$ is obtained by adding
some $i$-blocks on $z_{p-t-1}$, we have
$\overline{y}_{p-t-1}=z_{p-t-1}$ and $y_{p-t-1}=w_{p-t-1}$. By
induction, $\overline{y}_{p-u}=z_{p-u}$ and $y_{p-u}=w_{p-u}$ for
$0\leq u\leq s$. Since all the $i$-blocks are added on
$(\overline{y}_k)_{k=p-s}^{\infty}$ and $(w_k)_{k=p-s}^{\infty}$,
we have $(\overline{y}_k)_{k=0}^{p-s-1}=(y_k)_{k=0}^{p-s-1}$ and
$(w_k)_{k=0}^{p-s-1}=(z_k)_{k=0}^{p-s-1}$, which implies
$|y_k|=|\overline{y}_k|=|w_k|=|z_k|$ for all $0\leq k\leq p-s-1$.
Hence, $|\overline{Y}|=|Z|=|Z^R|$ and $Z$ is reduced.

(c) follows directly from the proof of (b) \qed\vskip 3mm

Let $Y$ be a reduced proper Young wall in ${\mathcal Y}(\Lambda)$.
There exists a unique sequence of reduced proper Young walls
$\{Y_{k}\}_{k=0}^N$ such that $Y_{0}=Y$, $Y_{1} =
\overline{Y_{0}}$, $\cdots$, $Y_{k+1}=\overline{Y_{k}}$, $\cdots$,
$Y_{N}=\overline{Y_{N-1}} = Y_{\Lambda}$. Suppose that
$Y_{k}=\overline{Y_{k-1}}$ is obtained by removing $r_{k}$ many
$i_{k}$-blocks from $Y_{k-1}$ ($1\leq k\leq N$). We define
\begin{equation}
A(Y)=f_{i_1}^{(r_1)}\cdots f_{i_N}^{(r_N)}Y_{\Lambda}\in
V(\Lambda)_{\mathbb{A}}.
\end{equation}
\begin{ex}{\rm If $\frak{g}=A_4^{(2)}$, $\Lambda=\Lambda_0$ and \vskip 5mm

\begin{center}
$Y=$\raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}
%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}
%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}

%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}

%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}

%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}

%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 50)\lvec(30 50)\lvec(30
40)\htext(33 46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

%
\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\end{texdraw}}\quad , then we have
 $A(Y)=f_0^{(4)} f_1^{(2)} f_2^{(2)} f_1^{(2)} f_0^{(3)}
f_1 f_2 f_1 f_0 Y_{\Lambda_0}$.
\end{center}\vskip 5mm

}
\end{ex}

By definition, $\overline{A(Y)}=A(Y)$. Write
\begin{equation}
A(Y)=\sum_{Z\in{\mathcal Z}(\Lambda)} A_{Y,Z}(q)Z,
\end{equation}
where $A_{Y,Z}(q)\in \mathbb{Q}(q)$. Then, the coefficients
$A_{Y,Z}(q)$ satisfy the following properties.
\begin{prop}\label {AYZ} Let $Y$ be a reduced proper Young wall in
${\mathcal Y}(\Lambda)$. Then, for a proper Young wall
$Z\in{\mathcal Z}(\Lambda)$, we have

{\rm (a)} $A_{Y,Z}(q)\in \mathbb{Z}[q,q^{-1}]$,

{\rm (b)} $A_{Y,Z}(q)=0 \text{ unless } |Y|\unrhd |Z^R|$ and ${\rm
wt}(Y)={\rm wt}(Z)$,

{\rm (c)} if $A_{Y,Z}(q)\neq 0$ and $|Y|=|Z|$, then $Y=Z$ and
$A_{Y,Y}(q)=1$.
\end{prop}
\pf We will use induction on $l$, the number of blocks in $Y$
which have been added to $Y_{\Lambda}$. If $l=1$, it is clear.
Suppose that $l>1$, and (a)--(c) hold for $l'<l$. If
$A(Y)=f_{i_1}^{(r_1)}\cdots f_{i_N}^{(r_N)}Y_{\Lambda}$ for some
$N\geq 1$, then we have
\begin{equation}
\begin{split}
A(Y)&=f_{i_1}^{(r_1)}A(\overline{Y})
=\sum_{|\overline{Y}|\unrhd|Z^R|}A_{\overline{Y},Z}(q)f_{i_1}^{(r_1)}Z
\\
&=\sum_{|\overline{Y}|\unrhd|Z^R|}A_{\overline{Y},Z}(q) \left (
\sum_{|Y|\unrhd|W^R|}Q_{Z,W}(q)W\right ) \hskip 1cm\text{by Lemma
\ref{ord} (a)}
\\
&=\sum_{|Y|\unrhd|W^R|}\left
(\sum_{|\overline{Y}|\unrhd|Z^R|}A_{\overline{Y},Z}(q)Q_{Z,W}(q)
\right )W.
\end{split}
\end{equation}
By induction hypothesis and Lemma \ref{QYZ}, we have
\begin{equation}
A_{Y,W}(q)=\sum_{|\overline{Y}|\unrhd|Z^R|}A_{\overline{Y},Z}(q)Q_{Z,W}(q)
\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}],
\end{equation}
and $A_{Y,W}(q)=0$ unless $|Y|\unrhd |W^R|$ and ${\rm wt}(Y)={\rm
wt}(W)$.

If $A_{Y,W}(q)\neq 0$ and $|Y|=|W|$, then Lemma \ref{ord} (b)
implies that $|Z|=|\overline{Y}|$ for $A_{\overline{Y},Z}(q)\neq
0$. Hence, $Z=\overline{Y}$ by induction hypothesis. Finally, we
have $Y=W$ by Lemma \ref{ord} (c), and  hence
$A_{Y,Y}(q)=A_{\overline{Y},\overline{Y}}(q)Q_{\overline{Y},Y}(q)=1$
by Proposition \ref{QbarY Y=1}, which completes the induction
argument. \qed\vskip 3mm

For proper Young walls $Y=(y_k)_{k=0}^{\infty}$ and
$Z=(z_k)_{k=0}^{\infty}$, we define $|Y|> |Z|$ if there exists
$k\geq 0$ such that $|y_k| > |z_k|$ and $|y_l|=|z_l|$ for all
$l>k$. Thus we have a total ordering on the set of partitions.
Note that $|Y|\unrhd|Z|$ implies $|Y|\geq |Z|$. Now we define a
total ordering $>$ on the set $\mathcal{Z}(\Lambda)$ of proper
Young walls as follows. First, we fix an arbitrary total ordering
$\succ$ on the set of proper Young walls with the same associated
partition. Then we define
\begin{multline}
Y>Z\quad \text{if and only if} \\
{\rm (i)} \,\,|Y|>|Z|\,\,\,\,\text{ or }\,\, {\rm (ii)}\,\,|Y|=|Z|
\text{ and } Y \succ Z\,\,.
\end{multline}
For example, if $|Y|\unrhd|Z|$ and $|Y|\neq|Z|$, then we have
$Y>Z$.

Let $Y$ be a reduced proper Young wall in $\mathcal{Y}(\Lambda)$.
By Proposition \ref{AYZ}, we may write
\begin{equation*}
A(Y)=Y+\sum_{Y>Z}A_{Y,Z}(q)Z.
\end{equation*}
It follows that the set ${\mathcal A}(\Lambda)=\{\,A(Y)\,|\,Y\in
{\mathcal Y}_{\circ}(\Lambda)\,\}$ is linearly independent over
$\mathbb{Q}(q)$. Since $\dim V(\Lambda)_{\lambda}= |{\mathcal
Y}(\Lambda)_{\lambda}|$ for $\lambda \leq \Lambda$, we conclude
that $\mathcal{A}(\Lambda)$ is a $\mathbb{Q}(q)$-basis of
$V(\Lambda)$.

Let $\mathcal{G}(\Lambda)=\{\,G(Y)\,|\,Y\in {\mathcal
Y}(\Lambda)\,\}$ be the global basis of $V(\Lambda)_{\mathbb{A}}$.
Then for each reduced proper Young wall $Y\in {\mathcal
Y}(\Lambda)$, we may write
\begin{equation}
G(Y)=\sum_{Z\in{\mathcal Z}(\Lambda)} G_{Y,Z}(q)Z\in
V(\Lambda)_{\mathbb{A}}\cap {\mathcal L}(\Lambda)
\end{equation}
for some $G_{Y,Z}(q)\in \mathbb{A}_0$. Since
$\mathcal{G}(\Lambda)$ is an $\mathbb{A}$-basis of
$V(\Lambda)_{\mathbb{A}}$, $G(Y)$ can be expressed as an
$\mathbb{A}$-linear combination of the vectors
$f_{i_1}^{(r_1)}\cdots f_{i_N}^{(r_N)}Y_{\Lambda}$. By Lemma
\ref{QYZ}, it is easy to see that
$G_{Y,Z}(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$. Moreover, since $G(Y)\equiv Y
\mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$, the coefficients $G_{Y,Z}(q)$
satisfy the following properties:

\hskip 2mm(i) $G_{Y,Z}(q)\in\mathbb{Q}[q]$,

\hskip 2mm(ii) $G_{Y,Z}(q)\in q\mathbb{Q}[q]$ unless $Y=Z$,

\hskip 2mm(iii) $G_{Y,Y}(q)=1$.


On the other hand, since $\mathcal{G}(\Lambda)$ and
$\mathcal{A}(\Lambda)$ are both $\mathbb{Q}(q)$-basis of
$V(\Lambda)$, there exists the transition matrix
$H=(H_{Y,W}(q))_{Y,W\in{\mathcal Y}(\Lambda)}$ such that
\begin{equation}\label {GHA}
G(Y)=\sum_{W\in {\mathcal Y}(\Lambda)} H_{Y,W}(q)A(W),
\end{equation}
where the indices are decreasing with respect to the total
ordering $>$ on $\mathcal{Y}(\Lambda)$. Since
$\overline{G(Y)}=G(Y)$ and $\overline{A(W)}=A(W)$, we have
$H_{Y,W}(q)=H_{Y,W}(q^{-1})$ for all $Y,W\in
\mathcal{Y}(\Lambda)$. The following proposition provides the last
ingredients for our algorithm.

\begin{prop}\label {HYW}\mbox{}

{\rm (a)} The coefficients $H_{Y,W}(q)$ satisfy the following
properties:

\hskip 4mm{\rm (i)} $H_{Y,W}(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$.

\hskip 4mm{\rm (ii)} $H_{Y,W}(q)=0$ unless $Y\geq W$ and ${\rm
wt}(Y)={\rm wt}(W)$.

\hskip 4mm{\rm (iii)} $H_{Y,Y}(q)=1$.

{\rm (b)} The set $\mathcal{A}(\Lambda)$ is an $\mathbb{A}$-basis
of $V(\Lambda)_{\mathbb{A}}$.
\end{prop}
\pf (a) Consider the following square matrices indexed by
${\mathcal Y}(\Lambda)$
\begin{equation}
G=(G_{Y,Z}(q)),\quad A=(A_{W,Z}(q)),
\end{equation}
where the indices are given by the total ordering $>$ in a
decreasing manner. Then by \eqref{GHA}, $G=HA$. Since $A$ is an
upper triangular matrix whose diagonal entries are all 1, we
conclude that $A$ is invertible and the entries of $A^{-1}$ are in
$\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$. It follows that $H=GA^{-1}$ and
$H_{Y,W}(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$ for all
$Y,W\in\mathcal{Y}(\Lambda)$. This proves (i).

Next, let $W$ be the reduced proper Young wall in
$\mathcal{Y}(\Lambda)$ that is maximal with respect to the total
ordering $>$ on $\mathcal{Y}(\Lambda)$ among the ones with
$H_{Y,W}(q)\neq 0$. By the maximality of $W$ and Proposition
\ref{AYZ} (b), we have
$G_{Y,W}(q)=H_{Y,W}(q)A_{W,W}(q)=H_{Y,W}(q).$ Since
$G_{Y,W}(q)\in\mathbb{Q}[q]$ and
$G_{Y,W}(q)=H_{Y,W}(q)=H_{Y,W}(q^{-1})=G_{Y,W}(q^{-1})$,
$G_{Y,W}(q)$ must be a constant. It follows that $Y=W$ and
$H_{Y,Y}(q)=G_{Y,Y}(q)=1$. This proves (ii) and (iii).

(b) By (i) and \eqref{GHA}, every element of
$\mathcal{G}(\Lambda)$ can be expressed as an $\mathbb{A}$-linear
combination of the elements in $\mathcal{A}(\Lambda)$. Hence,
$\mathcal{A}(\Lambda)$ is an $\mathbb{A}$-basis of
$V(\Lambda)_{\mathbb{A}}$. \qed \vskip 3mm

Observe that, by Proposition \ref{HYW} (a), $H$ is invertible and
$H^{-1}$ is also an upper triangular matrix whose diagonal entries
are all $1$. Hence for each reduced proper Young wall
$Y\in{\mathcal Y}(\Lambda)_{\lambda}$ ($\lambda\leq \Lambda$),
$A(Y)$ can be expressed uniquely as
\begin{equation}\label {H'YZ}
A(Y)=G(Y)+\sum_{\substack{Z\in {\mathcal Y}(\Lambda)_{\lambda}
\\ Y>Z }}H'_{Y,Z}(q)G(Z),
\end{equation}
for some $H'_{Y,Z}(q)\in \mathbb{Q}[q,q^{-1}]$ such that
$H'_{Y,Z}(q)=H'_{Y,Z}(q^{-1})$.

Now, we are ready to give a generalized version of
Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm for constructing the global basis
element $G(Y)$ (cf.\cite{LLT}).

Fix a weight $\lambda\leq \Lambda$ of $V(\Lambda)$, and we list
all the reduced proper Young walls in ${\mathcal
Y}(\Lambda)_{\lambda}$ using the total ordering $>$:
\begin{equation*}
Y_1>Y_2>\cdots>Y_l.
\end{equation*}
We will construct the basis element $G(Y_k)$ ($1\leq k\leq l$) in
a recursive way.

First, by \eqref{H'YZ}, we have $G(Y_l)=A(Y_l)$ because $Y_l$ is
the minimal element. Suppose that we have computed
$G(Y_{k+1}),\cdots,G(Y_l)$. Then, by \eqref{H'YZ}, there exist
uniquely determined coefficients
$\gamma_s(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$ ($k< s\leq l$) with
$\gamma_s(q)=\gamma_s(q^{-1})$ such that
\begin{multline}\label {GAY}
G(Y_k)=A(Y_k)-\gamma_{k+1}(q)G(Y_{k+1}) \\
-\gamma_{k+2}(q)G(Y_{k+2})-\cdots-\gamma_l(q)G(Y_l).
\end{multline}
Since $G(Y_k)\equiv Y_k \mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$ and
$\gamma_s(q)=\gamma_s(q^{-1})$, $\gamma_s(q)$ ($k< s\leq l$) are
determined recursively as follows:
\begin{itemize}
\item[(G.1)] if $A_{Y_k,Y_{k+1}}(q)=\sum_{i=-r}^{r'}a_iq^{i}$, then
$\gamma_{k+1}(q)=\sum_{i=1}^{r}a_{-i}(q^i +q^{-i}) + a_0$.

\item[(G.2)] if the coefficient of $Y_s$ ($s>k+1$) in $A(Y_k)-\sum_{p=k+1}^{s-1}
\gamma_p(q)G(Y_{p})$ is given by $\sum_{i=-r}^{r'}a_iq^{i}$, then
$\gamma_{s}(q)=\sum_{i=1}^{r}a_{-i}(q^i +q^{-i}) + a_0$.
\end{itemize}
Using this procedure, one can construct $G(Y_k)$ $(k=1,\cdots,l)$.

To summarize, we obtain the {\it generalized
Lascoux-Leclerc-Thibon algorithm} :
\begin{thm}\label {LLT} Let $Y$ be a reduced proper Young wall in ${\mathcal
Y}(\Lambda)$. Then the corresponding global basis element $G(Y)$
can be constructed recursively using the algorithm given in
\eqref{GAY}, {\rm ($G.1$)} and {\rm ($G.2$)}. Moreover $G(Y)$ has
the form
\begin{equation}\label {G(Y)}
G(Y)=Y+\sum_{\substack{Z\in{\mathcal Z}(\Lambda) \\
|Y|\rhd|Z|}}G_{Y,Z}(q)Z,
\end{equation}
where  $G_{Y,Z}(q)\in q\mathbb{Z}[q]$ for $Y\neq Z$.\qed
\end{thm}


By the construction of $G(Y)$ and Proposition \ref{AYZ} (b), we
have
\begin{equation}
G_{Y,Z}(q)=0 \quad \text{unless $|Y|\unrhd|Z^R|$}.
\end{equation}
Hence, we can also apply the modified algorithm introduced in
\cite{Mathas} as follows.

Let $Y\in{\mathcal Y}(\Lambda)$ be a reduced proper Young wall and
suppose that $G(\overline{Y})$  and $G(Y')$ ($Y>Y'$) have been
constructed. Set $C(Y)=f_i^{(r)}G(\overline{Y})$ where ${\rm
wt}(Y)={\rm wt}(\overline{Y})-r\alpha_i$. Note that
$C(Y)=\overline{C(Y)}$. By Lemma \ref{ord} (a) and Proposition
\ref{QbarY Y=1}, we have
\begin{equation}
C(Y)=Y+\sum_{|Y|\unrhd|Z^R|}C_{Y,Z}(q)Z
\end{equation}
for some $C_{Y,Z}(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$. Hence, for each
$Y'\in{\mathcal Y}(\Lambda)$, there exists uniquely determined
coefficients $\zeta_{Y,Y'}(q)\in\mathbb{Q}[q,q^{-1}]$ with
$\zeta_{Y,Y'}(q)=\zeta_{Y,Y'}(q^{-1})$ such that
\begin{equation}\label{GCY}
G(Y)=C(Y)-\sum_{Y>Y'}\zeta_{Y,Y'}(q)G(Y').
\end{equation}
Since $G(Y)\equiv Y \mod{q{\mathcal L}(\Lambda)}$ and
$\zeta_{Y,Y'}(q)=\zeta_{Y,Y'}(q^{-1})$, the coefficients
$\zeta_{Y,Y'}(q)$ are determined recursively as follows:
\begin{itemize}
\item[$(G'.1)$] if $Y'$ is the maximal one such that $Y>Y'$ and
$C_{Y,Y'}(q)=\sum_{i=-r}^ra_iq^{i}$, then
$\zeta_{Y,Y'}(q)=\sum_{i=1}^{r}a_{-i}(q^i +q^{-i}) + a_0$.

\item[$(G'.2)$] if the coefficient of $Y'$ in $C(Y)-\sum_{Y>Z>Y'}
\zeta_{Y,Z}(q)G(Z)$ is given by $\sum_{i=-r}^ra_iq^{i}$, then
$\zeta_{Y,Y'}(q)=\sum_{i=1}^{r}a_{-i}(q^i +q^{-i}) + a_0$.
\end{itemize}

To summarize, we obtain the {\it modified generalized LLT
algorithm}:

\begin{cor}
Let $Y$ be a reduced proper Young wall in ${\mathcal Y}(\Lambda)$.
Then the corresponding global basis element $G(Y)$ can be
constructed recursively using the algorithm given in \eqref{GCY},
{\rm ($G'.1$)} and {\rm ($G'.2$)}.\qed
\end{cor}



In the following, we illustrate several examples.
\begin{ex}{\rm Suppose that $\frak{g}=A_4^{(2)}$. Note that $q_0=q$, $q_1=q^2$, and
$q_2=q^4$.

(a) Let $Y$ be the one of the following reduced proper Young
walls:\vskip 5mm

\begin{center}
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}} \hskip 1cm
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}
\hskip 1cm \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .
\end{center}
Then $Y$ is the smallest one among the reduced proper Young walls
with the same weight with respect to the total ordering.
Therefore, we have $A(Y)=G(Y)$ by \eqref{H'YZ} and \vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\ )= f_1f_0^{(2)}f_1f_2f_1f_0 Y_{\Lambda}
=\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\quad + \quad q^2
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(40 45)\lvec(50 45)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
45)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}$\quad ,\vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\ )= f_1f_2f_1f_0^{(2)}f_1f_2f_1f_0 Y_{\Lambda}
=\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}\quad + \quad q^2
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\end{texdraw}}$\quad ,\vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )=f_0f_1f_0^{(3)}f_1f_2f_1f_0
Y_{\Lambda}= \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}$\quad .\vskip 10mm



(b) Observe that  \vskip 5mm

$A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )=f_1f_0f_1f_2f_1f_0^{(3)}f_1f_2f_1f_0Y_{\Lambda}$\vskip
5mm

\hskip 1cm $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}
$+$\quad $q^2$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad
$+$\quad $(1+q^4)$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

\hskip 1cm $+$\quad $q^2$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad $+$\quad $q$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad $+$\quad $q^3$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm


On the other hand, \vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )$
$=A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )$
$=f_0f_1f_2f_1^{(2)}f_0^{(3)}f_1f_2f_1f_0Y_{\Lambda}$ \vskip 5mm

$=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad $+$\quad $q$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 40)\lvec(40 40)\lvec(40 45)\lvec(30 45)\lvec(30
40)\htext(33 41){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad $+$ \quad $q^3$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(40 80)\lvec(50 80)\lvec(50 85)\lvec(40 85)\lvec(40
80)\htext(43 81){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 63){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

Therefore,

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )$
$=A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )-G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}} \ )$\vskip 5mm

\hskip 1cm $=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}
$+$\quad $q^2$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad
$+$\quad $q^4$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(23
1){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(33
1){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(43
1){\tiny $0$}

%
\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 5)\lvec(20 5)\lvec(20 0)\lfill
f:0.8 \htext(23 6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 5)\lvec(30 5)\lvec(30 0)\lfill
f:0.8 \htext(33 6){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 5)\lvec(40 5)\lvec(40 0)\lfill
f:0.8 \htext(43 6){\tiny $0$}

%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_1$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_1$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_1$}
%
\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 23){$_2$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 23){$_2$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_1$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_1$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 45)\lvec(40 45)\lvec(40
40)\htext(43 41){\tiny $0$}
%
\move(40 40)\lvec(50 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40
40)\htext(43 46){\tiny $0$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

}
\end{ex}

\begin{ex}{\rm Suppose that $\frak{g}=B_3^{(1)}$. Note that $q_0=q_1=q_2=q^2$ and
$q_3=q$.\vskip 5mm

(a) We have \vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \ )= A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \ )
=f_3f_2f_0^{(2)}f_2f_3^{(2)}f_2f_1^{(2)}f_2f_3^{(2)}f_2f_0Y_{\Lambda_0}$\vskip
5mm

$=$  \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad $+$ \quad $q^2$
 \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(40 50)\lvec(50 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad $+$ \quad $q^4$
 \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(40 50)\lvec(50 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad $+$ \quad $q^4$
 \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%
\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%
\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40) \htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(40 50)\lvec(50 50)\lvec(40 40) \htext(42
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad ,\vskip 10mm


$G(\ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
\end{texdraw}} \
)=A(\ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
\end{texdraw}} \ )=f_3f_2f_0f_3f_2f_1f_3f_2f_0Y_{\Lambda_0}$\vskip 5mm


$=$ \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(20 20)\lvec(30 20)\lvec(30 25)\lvec(20 25)\lvec(20 20)
\htext(23 21){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q(1-q^4)$
 \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(40 25)\lvec(50 25)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40 25)
\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
\end{texdraw}}\quad$+$\quad$q(1+q^2)$
 \raisebox{-0.5\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%
\move(40 25)\lvec(50 25)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40 25)
\htext(43 26){\tiny $3$}

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm


(b) Observe that \vskip 5mm

$A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \
)=f_2f_0f_2f_3^{(2)}f_2f_1^{(2)}f_0f_2f_3^{(2)}f_2f_0Y_{\Lambda_0}$\vskip
5mm

$=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $(1+q^4)$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\vskip 5mm

\hskip 1cm $+$\quad $q^2$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 66){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^4$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(40 80)\lvec(50 90)\lvec(40 90)\lvec(40 80)\htext(42
86){\tiny $0$}
%

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 66){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

On the other hand,\vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \ )=A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}} \ )=f_0f_2f_3^{(2)}f_2^{(2)}f_1^{(2)}f_0f_2f_3^{(2)}f_2f_0Y_{\Lambda_0}$
\vskip 5mm

$=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}
\end{texdraw}}\quad $+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 66){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(30 40)\lvec(40 50)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\htext(36
42){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}
\quad$+$\quad $q^4$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}

\move(40 80)\lvec(50 90)\lvec(40 90)\lvec(40 80)\htext(42
86){\tiny $0$}
%

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 70)\lvec(50 70)\lvec(50 80)\lvec(40 80)\lvec(40
70)\htext(43 73){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 70)\lvec(40 70)\lvec(40
60)\htext(43 66){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(40 60)\lvec(50 60)\lvec(50 65)\lvec(40 65)\lvec(40 60)
\htext(43 61){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm

Hence,\vskip 5mm

$G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \
 ) = A(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \
)-G(\ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}} \ )$\vskip 5mm

\hskip 1cm$=$ \raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad$+$\quad $q^2$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(20 10)\lvec(30 10)\lvec(30 20)\lvec(20 20)\lvec(20
10)\htext(23 13){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad $+$\quad $q^4$
\raisebox{-0.4\height}{
\begin{texdraw}
\drawdim em \setunitscale 0.13 \linewd 0.5

\move(20 0)\lvec(30 0)\lvec(30 10)\lvec(20 10)\lvec(20 0)\htext(22
6){\tiny $0$}

\move(30 0)\lvec(40 0)\lvec(40 10)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\htext(32
6){\tiny $1$}

\move(40 0)\lvec(50 0)\lvec(50 10)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\htext(42
6){\tiny $0$}
%

\move(20 0)\lvec(30 10)\lvec(30 0)\lvec(20 0)\lfill f:0.8
\htext(26 2){\tiny $1$}

\move(30 0)\lvec(40 10)\lvec(40 0)\lvec(30 0)\lfill f:0.8
\htext(36 2){\tiny $0$}

\move(40 0)\lvec(50 10)\lvec(50 0)\lvec(40 0)\lfill f:0.8
\htext(46 2){\tiny $1$}
%
\move(30 30)\lvec(40 30)\lvec(40 40)\lvec(30 40)\lvec(30
30)\htext(33 33){$_2$}

\move(30 10)\lvec(40 10)\lvec(40 20)\lvec(30 20)\lvec(30
10)\htext(33 13){$_2$}

\move(40 10)\lvec(50 10)\lvec(50 20)\lvec(40 20)\lvec(40
10)\htext(43 13){$_2$}
%

\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 30)\lvec(30 30)\lvec(30
20)\htext(33 26){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 30)\lvec(40 30)\lvec(40
20)\htext(43 26){\tiny $3$}


\move(30 20)\lvec(40 20)\lvec(40 25)\lvec(30 25)\lvec(30 20)
\htext(33 21){\tiny $3$}

\move(40 20)\lvec(50 20)\lvec(50 25)\lvec(40 25)\lvec(40 20)
\htext(43 21){\tiny $3$}
%

\move(40 50)\lvec(50 50)\lvec(50 60)\lvec(40 60)\lvec(40
50)\htext(43 53){$_2$}

\move(40 30)\lvec(50 30)\lvec(50 40)\lvec(40 40)\lvec(40
30)\htext(43 33){$_2$}
%

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(40 50)\lvec(40 40) \htext(41
46){\tiny $0$}

\move(40 40)\lvec(50 50)\lvec(50 40)\lvec(40 40) \htext(46
42){\tiny $1$}

\end{texdraw}}\quad .\vskip 5mm
}
\end{ex}
\vskip 1cm

\section{Appendix}
In this section, we list the patterns for building the walls which
are given in \cite{Ka2000}.

(a) $A_n^{(1)}$ ($n\geq 1$),

\begin{center}
On $Y_{\Lambda_i}$: \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw} \textref
h:C v:C \fontsize{8}{8}\selectfont \drawdim em \setunitscale 1.9
\move(0 0)\rlvec(-7.7 0) \move(0 1)\rlvec(-7.7 0) \move(0
2)\rlvec(-7.7 0) \move(0 3.5)\rlvec(-7.7 0) \move(0
4.5)\rlvec(-7.7 0) \move(0 5.5)\rlvec(-7.7 0) \move(0
6.5)\rlvec(-7.7 0) \move(0 0)\rlvec(0 6.7) \move(-1 0)\rlvec(0
6.7) \move(-2 0)\rlvec(0 6.7) \move(-3.5 0)\rlvec(0 6.7)
\move(-4.5 0)\rlvec(0 6.7) \move(-5.5 0)\rlvec(0 6.7) \move(-6.5
0)\rlvec(0 6.7) \move(-7.5 0)\rlvec(0 6.7) \move(-0.5 0.5)
\bsegment \htext(0 0){$i$} \htext(0 1){$i\!\!+\!\!1$} \vtext(0
2.25){$\cdots$} \htext(0 3.5){$n$} \htext(0 4.5){$0$} \htext(0
5.5){$1$} \htext(-1 0){$i\!\!-\!\!1$} \htext(-1 1){$i$} \vtext(-1
2.25){$\cdots$} \htext(-1 3.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1 4.5){$n$}
\htext(-1 5.5){$0$} \htext(-2.25 0){$\cdots$} \htext(-2.25
1){$\cdots$} \htext(-3.5 0){$2$} \htext(-3.5 1){$3$} \htext(-4.5
0){$1$} \htext(-4.5 1){$2$} \htext(-5.5 0){$0$} \htext(-5.5
1){$1$} \htext(-6.5 0){$n$} \htext(-6.5 1){$0$} \esegment
\end{texdraw}}
\end{center}%

(b) $A_{2n-1}^{(2)}$ ($n\geq 3$),

\begin{center}
On $Y_{\Lambda_0}$ : \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw} \textref
h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm \setunitscale 5
\nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0 0)\lvec(-1
0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri
\move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0
1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0 3.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6)\rlvec(-4.3 0) \move(0
7)\rlvec(-4.3 0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 0)\rlvec(0 9.3) \move(-1 0)\rlvec(0 9.3) \move(-2
0)\rlvec(0 9.3) \move(-3 0)\rlvec(0 9.3) \move(-4 0)\rlvec(0 9.3)
\move(-1 0)\rlvec(1 1) \move(-2 0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1
1) \move(-4 0)\rlvec(1 1) \move(-1 7)\rlvec(1 1) \move(-2
7)\rlvec(1 1) \move(-3 7)\rlvec(1 1) \move(-4 7)\rlvec(1 1)
\vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-0.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-1.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-2.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-3.5 5.25){$\cdots$}
\htext(-0.25 7.27){$1$} \htext(-0.75 7.75){$0$} \htext(-1.25
7.27){$0$} \htext(-1.75 7.75){$1$} \htext(-2.25 7.27){$1$}
\htext(-2.75 7.75){$0$} \htext(-3.25 7.27){$0$} \htext(-3.75
7.75){$1$} \htext(-0.25 0.27){$1$} \htext(-0.75 0.75){$0$}
\htext(-1.25 0.27){$0$} \htext(-1.75 0.75){$1$} \htext(-2.25
0.27){$1$} \htext(-2.75 0.75){$0$} \htext(-3.25 0.27){$0$}
\htext(-3.75 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-1.5
1.5){$2$} \htext(-2.5 1.5){$2$} \htext(-3.5 1.5){$2$} \htext(-0.5
6.5){$2$} \htext(-1.5 6.5){$2$} \htext(-2.5 6.5){$2$} \htext(-3.5
6.5){$2$} \htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-2.5
8.5){$2$} \htext(-3.5 8.5){$2$} \htext(-0.5 4){$n$} \htext(-1.5
4){$n$} \htext(-2.5 4){$n$} \htext(-3.5 4){$n$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
%
%
On $Y_{\Lambda_1}$ : \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw} \textref
h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm \setunitscale 5
\nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0 0)\lvec(-1
0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri
\move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0
1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0 3.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6)\rlvec(-4.3 0) \move(0
7)\rlvec(-4.3 0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 0)\rlvec(0 9.3) \move(-1 0)\rlvec(0 9.3) \move(-2
0)\rlvec(0 9.3) \move(-3 0)\rlvec(0 9.3) \move(-4 0)\rlvec(0 9.3)
\move(-1 0)\rlvec(1 1) \move(-2 0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1
1) \move(-4 0)\rlvec(1 1) \move(-1 7)\rlvec(1 1) \move(-2
7)\rlvec(1 1) \move(-3 7)\rlvec(1 1) \move(-4 7)\rlvec(1 1)
\vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-0.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-1.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-2.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-3.5 5.25){$\cdots$}
\htext(-0.25 7.27){$0$} \htext(-0.75 7.75){$1$} \htext(-1.25
7.27){$1$} \htext(-1.75 7.75){$0$} \htext(-2.25 7.27){$0$}
\htext(-2.75 7.75){$1$} \htext(-3.25 7.27){$1$} \htext(-3.75
7.75){$0$} \htext(-0.25 0.27){$0$} \htext(-0.75 0.75){$1$}
\htext(-1.25 0.27){$1$} \htext(-1.75 0.75){$0$} \htext(-2.25
0.27){$0$} \htext(-2.75 0.75){$1$} \htext(-3.25 0.27){$1$}
\htext(-3.75 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \htext(-1.5
1.5){$2$} \htext(-2.5 1.5){$2$} \htext(-3.5 1.5){$2$} \htext(-0.5
6.5){$2$} \htext(-1.5 6.5){$2$} \htext(-2.5 6.5){$2$} \htext(-3.5
6.5){$2$} \htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-2.5
8.5){$2$} \htext(-3.5 8.5){$2$} \htext(-0.5 4){$n$} \htext(-1.5
4){$n$} \htext(-2.5 4){$n$} \htext(-3.5 4){$n$}
\end{texdraw}}
\end{center}%

(c) $D_n^{(1)}$ ($n\geq 4$),
\begin{center}
On $Y_{\Lambda_0}$ : \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw}\textref
h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm \setunitscale 5
\nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0 0)\lvec(-1
0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri
\move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0
1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0 3.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3
0) \move(0 10)\rlvec(-4.3 0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0
11.3) \move(-3 0)\rlvec(0 11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
0)\rlvec(1 1) \move(-2 0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1 1)
\move(-4 0)\rlvec(1 1) \move(-1 9)\rlvec(1 1) \move(-2 9)\rlvec(1
1) \move(-3 9)\rlvec(1 1) \move(-4 9)\rlvec(1 1) \htext(-0.3
0.25){$1$} \htext(-0.75 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$n\!\!-\!\!2$}
\htext(-0.5 6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-0.3
9.25){$1$} \htext(-0.75 9.75){$0$} \htext(-0.5 10.5){$2$}
\htext(-2.3 0.25){$1$} \htext(-2.75 0.75){$0$} \htext(-2.5
1.5){$2$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \htext(-2.5
4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.5 6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.5
8.5){$2$} \htext(-2.3 9.25){$1$} \htext(-2.75 9.75){$0$}
\htext(-2.5 10.5){$2$} \htext(-1.3 0.25){$0$} \htext(-1.75
0.75){$1$} \htext(-1.5 1.5){$2$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$}
\htext(-1.5 4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.5 6){$n\!\!-\!\!2$}
\htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-1.3 9.25){$0$} \htext(-1.75
9.75){$1$} \htext(-1.5 10.5){$2$} \htext(-3.3 0.25){$0$}
\htext(-3.75 0.75){$1$} \htext(-3.5 1.5){$2$} \vtext(-3.5
2.75){$\cdots$} \htext(-3.5 4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.5
6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.5 8.5){$2$} \htext(-3.3 9.25){$0$}
\htext(-3.75 9.75){$1$} \htext(-3.5 10.5){$2$} \htext(-0.3
4.75){$n$} \htext(-2.3 4.75){$n$} \htext(-1.75 5.25){$n$}
\htext(-3.75 5.25){$n$} \move(-1 4.5)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-2 4.5)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-3 4.5)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-4 4.5)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \htext(-1.5 4.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
4.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 5.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5
5.25){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-1.5
7.25){$\cdots$} \vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-3.5
7.25){$\cdots$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
On $Y_{\Lambda_1}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw} \textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0
0)\lvec(-1 0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1
0)\dtri \move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 10)\rlvec(-4.3
0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0 11.3) \move(-3 0)\rlvec(0
11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(1 1) \move(-2
0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1 1) \move(-4 0)\rlvec(1 1)
\move(-1 9)\rlvec(1 1) \move(-2 9)\rlvec(1 1) \move(-3 9)\rlvec(1
1) \move(-4 9)\rlvec(1 1) \htext(-0.3 0.25){$0$} \htext(-0.75
0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$}
\htext(-0.5 4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-0.5 6){$n\!\!-\!\!2$}
\htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-0.3 9.25){$0$} \htext(-0.75
9.75){$1$} \htext(-0.5 10.5){$2$} \htext(-2.3 0.25){$0$}
\htext(-2.75 0.75){$1$} \htext(-2.5 1.5){$2$} \vtext(-2.5
2.75){$\cdots$} \htext(-2.5 4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.5
6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.5 8.5){$2$} \htext(-2.3 9.25){$0$}
\htext(-2.75 9.75){$1$} \htext(-2.5 10.5){$2$} \htext(-1.3
0.25){$1$} \htext(-1.75 0.75){$0$} \htext(-1.5 1.5){$2$}
\vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \htext(-1.5 4){$n\!\!-\!\!2$}
\htext(-1.5 6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-1.3
9.25){$1$} \htext(-1.75 9.75){$0$} \htext(-1.5 10.5){$2$}
\htext(-3.3 0.25){$1$} \htext(-3.75 0.75){$0$} \htext(-3.5
1.5){$2$} \vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \htext(-3.5
4){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.5 6){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.5
8.5){$2$} \htext(-3.3 9.25){$1$} \htext(-3.75 9.75){$0$}
\htext(-3.5 10.5){$2$} \htext(-0.3 4.75){$n$} \htext(-2.3
4.75){$n$} \htext(-1.75 5.25){$n$} \htext(-3.75 5.25){$n$}
\move(-1 4.5)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45 0.45)\rlvec(0.05 0.05)
\move(-2 4.5)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45 0.45)\rlvec(0.5 0.5)
\move(-3 4.5)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45 0.45)\rlvec(0.05 0.05)
\move(-4 4.5)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45 0.45)\rlvec(0.5 0.5)
\htext(-1.5 4.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 4.75){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-0.5 5.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 5.25){$n\!\!-\!\!1$}
\vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$}
\end{texdraw}}
\end{center}
\begin{center}
On $Y_{\Lambda_{n-1}}$ : \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw}
\textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0
0)\lvec(-1 0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1
0)\dtri \move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 10)\rlvec(-4.3
0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0 11.3) \move(-3 0)\rlvec(0
11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 4.5)\rlvec(1 1) \move(-2
4.5)\rlvec(1 1) \move(-3 4.5)\rlvec(1 1) \move(-4 4.5)\rlvec(1 1)
\htext(-0.3 0.25){$n$} \htext(-0.5 1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-0.5
2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$2$} \htext(-0.3 4.75){$1$}
\htext(-0.75 5.25){$0$} \htext(-0.5 6){$2$} \vtext(-0.5
7.25){$\cdots$} \htext(-0.5 8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-0.3
9.25){$n$} \htext(-0.5 10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.3 0.25){$n$}
\htext(-2.5 1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$}
\htext(-2.5 4){$2$} \htext(-2.3 4.75){$1$} \htext(-2.75 5.25){$0$}
\htext(-2.5 6){$2$} \vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \htext(-2.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.3 9.25){$n$} \htext(-2.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.75 0.75){$n$} \htext(-1.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \htext(-1.5
4){$2$} \htext(-1.3 4.75){$0$} \htext(-1.75 5.25){$1$} \htext(-1.5
6){$2$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$} \htext(-1.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.75 9.75){$n$} \htext(-1.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.75 0.75){$n$} \htext(-3.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \htext(-3.5
4){$2$} \htext(-3.3 4.75){$0$} \htext(-3.75 5.25){$1$} \htext(-3.5
6){$2$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$} \htext(-3.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.75 9.75){$n$} \htext(-3.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \move(-1 0)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-2 0)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-3 0)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-4 0)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-1 9)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-2 9)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-3 9)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-4 9)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \htext(-3.5 9.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
0.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 9.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5
0.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 0.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5
9.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 9.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5
0.75){$n\!\!-\!\!1$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
On $Y_{\Lambda_n}$ : \raisebox{-1\height}{\begin{texdraw} \textref
h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm \setunitscale 5
\nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0 0)\lvec(-1
0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1 0)\dtri
\move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0
1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0 3.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3
0) \move(0 10)\rlvec(-4.3 0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0
11.3) \move(-3 0)\rlvec(0 11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
4.5)\rlvec(1 1) \move(-2 4.5)\rlvec(1 1) \move(-3 4.5)\rlvec(1 1)
\move(-4 4.5)\rlvec(1 1) \htext(-0.75 0.75){$n$} \htext(-0.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5
4){$2$} \htext(-0.3 4.75){$1$} \htext(-0.75 5.25){$0$} \htext(-0.5
6){$2$} \vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \htext(-0.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-0.75 9.75){$n$} \htext(-0.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.75 0.75){$n$} \htext(-2.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \htext(-2.5
4){$2$} \htext(-2.3 4.75){$1$} \htext(-2.75 5.25){$0$} \htext(-2.5
6){$2$} \vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \htext(-2.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-2.75 9.75){$n$} \htext(-2.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.3 0.25){$n$} \htext(-1.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \htext(-1.5
4){$2$} \htext(-1.3 4.75){$0$} \htext(-1.75 5.25){$1$} \htext(-1.5
6){$2$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$} \htext(-1.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-1.3 9.25){$n$} \htext(-1.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.3 0.25){$n$} \htext(-3.5
1.5){$n\!\!-\!\!2$} \vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \htext(-3.5
4){$2$} \htext(-3.3 4.75){$0$} \htext(-3.75 5.25){$1$} \htext(-3.5
6){$2$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$} \htext(-3.5
8.5){$n\!\!-\!\!2$} \htext(-3.3 9.25){$n$} \htext(-3.5
10.5){$n\!\!-\!\!2$} \move(-2 0)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-1 0)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-4 0)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-3 0)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-2 9)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-1 9)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \move(-4 9)\rlvec(0.5 0.5)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.05 0.05) \move(-3 9)\rlvec(0.05 0.05)\rmove(0.45
0.45)\rlvec(0.5 0.5) \htext(-0.5 0.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5
9.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 0.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5
9.25){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 0.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5
9.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 0.75){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
9.75){$n\!\!-\!\!1$}
\end{texdraw}}
\end{center}

(d) $A_{2n}^{(2)}$ ($n\geq 1$)
\begin{center}
On $Y_{\Lambda_0}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw} \textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \move(0 0)\lvec(-4 0)\lvec(-4 0.5)\lvec(0
0.5)\ifill f:0.7 \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
6)\rlvec(-4.3 0) \move(0 7)\rlvec(-4.3 0) \move(0 7.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 9.3) \move(-1 0)\rlvec(0 9.3) \move(-2 0)\rlvec(0 9.3)
\move(-3 0)\rlvec(0 9.3) \move(-4 0)\rlvec(0 9.3) \htext(-0.5
0.25){$0$} \htext(-1.5 0.25){$0$} \htext(-2.5 0.25){$0$}
\htext(-3.5 0.25){$0$} \htext(-0.5 0.75){$0$} \htext(-1.5
0.75){$0$} \htext(-2.5 0.75){$0$} \htext(-3.5 0.75){$0$}
\htext(-0.5 1.5){$1$} \htext(-1.5 1.5){$1$} \htext(-2.5 1.5){$1$}
\htext(-3.5 1.5){$1$} \htext(-0.5 4){$n$} \htext(-1.5 4){$n$}
\htext(-2.5 4){$n$} \htext(-3.5 4){$n$} \htext(-0.5 6.5){$1$}
\htext(-1.5 6.5){$1$} \htext(-2.5 6.5){$1$} \htext(-3.5 6.5){$1$}
\htext(-0.5 7.25){$0$} \htext(-1.5 7.25){$0$} \htext(-2.5
7.25){$0$} \htext(-3.5 7.25){$0$} \htext(-0.5 7.75){$0$}
\htext(-1.5 7.75){$0$} \htext(-2.5 7.75){$0$} \htext(-3.5
7.75){$0$} \htext(-0.5 8.5){$1$} \htext(-1.5 8.5){$1$} \htext(-2.5
8.5){$1$} \htext(-3.5 8.5){$1$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$}
\vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$}
\vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-0.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-1.5 5.25){$\cdots$} \vtext(-2.5 5.25){$\cdots$}
\vtext(-3.5 5.25){$\cdots$}
\end{texdraw}}
\end{center}
%

(e) $D_{n+1}^{(2)}$ ($n\geq 2$),
\begin{center}
On $Y_{\Lambda_0}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw} \textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \move(0 0)\lvec(-4 0)\lvec(-4 0.5)\lvec(0
0.5)\ifill f:0.7 \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 10)\rlvec(-4.3 0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0
11.3) \move(-3 0)\rlvec(0 11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3)
\htext(-0.5 0.25){$0$} \htext(-1.5 0.25){$0$} \htext(-2.5
0.25){$0$} \htext(-3.5 0.25){$0$} \htext(-0.5 0.75){$0$}
\htext(-1.5 0.75){$0$} \htext(-2.5 0.75){$0$} \htext(-3.5
0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$1$} \htext(-1.5 1.5){$1$} \htext(-2.5
1.5){$1$} \htext(-3.5 1.5){$1$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$}
\vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$}
\vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-1.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 4){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-3.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 4.75){$n$} \htext(-1.5
4.75){$n$} \htext(-2.5 4.75){$n$} \htext(-3.5 4.75){$n$}
\htext(-0.5 5.25){$n$} \htext(-1.5 5.25){$n$} \htext(-2.5
5.25){$n$} \htext(-3.5 5.25){$n$} \htext(-0.5 6){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-1.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 6){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-3.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-0.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-1.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-2.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-3.5 7.25){$\cdots$} \htext(-0.5 8.5){$1$} \htext(-1.5
8.5){$1$} \htext(-2.5 8.5){$1$} \htext(-3.5 8.5){$1$} \htext(-0.5
9.25){$0$} \htext(-1.5 9.25){$0$} \htext(-2.5 9.25){$0$}
\htext(-3.5 9.25){$0$} \htext(-0.5 9.75){$0$} \htext(-1.5
9.75){$0$} \htext(-2.5 9.75){$0$} \htext(-3.5 9.75){$0$}
\htext(-0.5 10.5){$1$} \htext(-1.5 10.5){$1$} \htext(-2.5
10.5){$1$} \htext(-3.5 10.5){$1$}
\end{texdraw}}\hskip 2cm
On $Y_{\Lambda_n}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw}\textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim
mm \setunitscale 5 \move(0 0)\lvec(-4 0)\lvec(-4 0.5)\lvec(0
0.5)\ifill f:0.7 \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9.5)\rlvec(-4.3
0) \move(0 10)\rlvec(-4.3 0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0
11.3) \move(-3 0)\rlvec(0 11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3)
\htext(-0.5 0.25){$n$} \htext(-1.5 0.25){$n$} \htext(-2.5
0.25){$n$} \htext(-3.5 0.25){$n$} \htext(-0.5 0.75){$n$}
\htext(-1.5 0.75){$n$} \htext(-2.5 0.75){$n$} \htext(-3.5
0.75){$n$} \htext(-0.5 1.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 1.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-1.5
2.75){$\cdots$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \vtext(-3.5
2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$1$} \htext(-1.5 4){$1$}
\htext(-2.5 4){$1$} \htext(-3.5 4){$1$} \htext(-0.5 4.75){$0$}
\htext(-1.5 4.75){$0$} \htext(-2.5 4.75){$0$} \htext(-3.5
4.75){$0$} \htext(-0.5 5.25){$0$} \htext(-1.5 5.25){$0$}
\htext(-2.5 5.25){$0$} \htext(-3.5 5.25){$0$} \htext(-0.5 6){$1$}
\htext(-1.5 6){$1$} \htext(-2.5 6){$1$} \htext(-3.5 6){$1$}
\vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$}
\htext(-0.5 8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 8.5){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-2.5 8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 8.5){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-0.5 9.25){$n$} \htext(-1.5 9.25){$n$} \htext(-2.5
9.25){$n$} \htext(-3.5 9.25){$n$} \htext(-0.5 9.75){$n$}
\htext(-1.5 9.75){$n$} \htext(-2.5 9.75){$n$} \htext(-3.5
9.75){$n$} \htext(-0.5 10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$}
\end{texdraw}}
\end{center}

(f) $B_n^{(1)}$ ($n\geq 3$),
\begin{center}
On $Y_{\Lambda_0}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw}\textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0
0)\lvec(-1 0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1
0)\dtri \move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 10)\rlvec(-4.3
0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0 11.3) \move(-3 0)\rlvec(0
11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(1 1) \move(-2
0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1 1) \move(-4 0)\rlvec(1 1)
\move(-1 9)\rlvec(1 1) \move(-2 9)\rlvec(1 1) \move(-3 9)\rlvec(1
1) \move(-4 9)\rlvec(1 1) \move(0 5)\rlvec(-4.3 0) \htext(-0.3
0.25){$1$} \htext(-0.75 0.75){$0$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-0.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-0.3
9.25){$1$} \htext(-0.75 9.75){$0$} \htext(-0.5 10.5){$2$}
\htext(-2.3 0.25){$1$} \htext(-2.75 0.75){$0$} \htext(-2.5
1.5){$2$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \htext(-2.5
4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5
8.5){$2$} \htext(-2.3 9.25){$1$} \htext(-2.75 9.75){$0$}
\htext(-2.5 10.5){$2$} \htext(-1.3 0.25){$0$} \htext(-1.75
0.75){$1$} \htext(-1.5 1.5){$2$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$}
\htext(-1.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 6){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-1.3 9.25){$0$} \htext(-1.75
9.75){$1$} \htext(-1.5 10.5){$2$} \htext(-3.3 0.25){$0$}
\htext(-3.75 0.75){$1$} \htext(-3.5 1.5){$2$} \vtext(-3.5
2.75){$\cdots$} \htext(-3.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 8.5){$2$} \htext(-3.3 9.25){$0$}
\htext(-3.75 9.75){$1$} \htext(-3.5 10.5){$2$} \htext(-0.5
4.75){$n$} \htext(-2.5 4.75){$n$} \htext(-1.5 5.25){$n$}
\htext(-3.5 5.25){$n$} \htext(-1.5 4.75){$n$} \htext(-3.5
4.75){$n$} \htext(-0.5 5.25){$n$} \htext(-2.5 5.25){$n$}
\vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$}
\end{texdraw}}\hskip 1cm On $Y_{\Lambda_1}$:\raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw} \textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \nc{\dtri}{ \bsegment \move(-1 0)\lvec(0 1)\lvec(0
0)\lvec(-1 0)\ifill f:0.7 \esegment } \move(0 0)\dtri \move(-1
0)\dtri \move(-2 0)\dtri \move(-3 0)\dtri \move(0 0)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 1)\rlvec(-4.3 0) \move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0
3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3 0) \move(0 10)\rlvec(-4.3
0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0 11.3) \move(-3 0)\rlvec(0
11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(1 1) \move(-2
0)\rlvec(1 1) \move(-3 0)\rlvec(1 1) \move(-4 0)\rlvec(1 1)
\move(-1 9)\rlvec(1 1) \move(-2 9)\rlvec(1 1) \move(-3 9)\rlvec(1
1) \move(-4 9)\rlvec(1 1) \move(0 5)\rlvec(-4.3 0) \htext(-0.3
0.25){$0$} \htext(-0.75 0.75){$1$} \htext(-0.5 1.5){$2$}
\vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5 4){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-0.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 8.5){$2$} \htext(-0.3
9.25){$0$} \htext(-0.75 9.75){$1$} \htext(-0.5 10.5){$2$}
\htext(-2.3 0.25){$0$} \htext(-2.75 0.75){$1$} \htext(-2.5
1.5){$2$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \htext(-2.5
4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5
8.5){$2$} \htext(-2.3 9.25){$0$} \htext(-2.75 9.75){$1$}
\htext(-2.5 10.5){$2$} \htext(-1.3 0.25){$1$} \htext(-1.75
0.75){$0$} \htext(-1.5 1.5){$2$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$}
\htext(-1.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 6){$n\!\!-\!\!1$}
\htext(-1.5 8.5){$2$} \htext(-1.3 9.25){$1$} \htext(-1.75
9.75){$0$} \htext(-1.5 10.5){$2$} \htext(-3.3 0.25){$1$}
\htext(-3.75 0.75){$0$} \htext(-3.5 1.5){$2$} \vtext(-3.5
2.75){$\cdots$} \htext(-3.5 4){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5
6){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 8.5){$2$} \htext(-3.3 9.25){$1$}
\htext(-3.75 9.75){$0$} \htext(-3.5 10.5){$2$} \htext(-0.5
4.75){$n$} \htext(-2.5 4.75){$n$} \htext(-1.5 5.25){$n$}
\htext(-3.5 5.25){$n$} \htext(-1.5 4.75){$n$} \htext(-3.5
4.75){$n$} \htext(-0.5 5.25){$n$} \htext(-2.5 5.25){$n$}
\vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$}
\vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$}
\end{texdraw}}\vskip 5mm

On $Y_{\Lambda_n}$ : \raisebox{-1\height}{
\begin{texdraw}\textref h:C v:C \fontsize{6}{6}\selectfont \drawdim mm
\setunitscale 5 \move(0 0)\lvec(-4 0)\lvec(-4 0.5)\lvec(0
0.5)\ifill f:0.7 \move(0 0)\rlvec(-4.3 0) \move(0 1)\rlvec(-4.3 0)
\move(0 2)\rlvec(-4.3 0) \move(0 3.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
4.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 5.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
6.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0 8)\rlvec(-4.3 0) \move(0 9)\rlvec(-4.3
0) \move(0 10)\rlvec(-4.3 0) \move(0 11)\rlvec(-4.3 0) \move(0
0)\rlvec(0 11.3) \move(-1 0)\rlvec(0 11.3) \move(-2 0)\rlvec(0
11.3) \move(-3 0)\rlvec(0 11.3) \move(-4 0)\rlvec(0 11.3) \move(-1
4.5)\rlvec(1 1) \move(-2 4.5)\rlvec(1 1) \move(-3 4.5)\rlvec(1 1)
\move(-4 4.5)\rlvec(1 1) \htext(-0.5 0.25){$n$} \htext(-0.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-0.5 2.75){$\cdots$} \htext(-0.5
4){$2$} \htext(-0.3 4.75){$1$} \htext(-0.75 5.25){$0$} \htext(-0.5
6){$2$} \vtext(-0.5 7.25){$\cdots$} \htext(-0.5
8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-0.5 9.25){$n$} \htext(-0.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 0.25){$n$} \htext(-2.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-2.5 2.75){$\cdots$} \htext(-2.5
4){$2$} \htext(-2.3 4.75){$1$} \htext(-2.75 5.25){$0$} \htext(-2.5
6){$2$} \vtext(-2.5 7.25){$\cdots$} \htext(-2.5
8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-2.5 9.25){$n$} \htext(-2.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 0.75){$n$} \htext(-1.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-1.5 2.75){$\cdots$} \htext(-1.5
4){$2$} \htext(-1.3 4.75){$0$} \htext(-1.75 5.25){$1$} \htext(-1.5
6){$2$} \vtext(-1.5 7.25){$\cdots$} \htext(-1.5
8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-1.5 9.75){$n$} \htext(-1.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 0.75){$n$} \htext(-3.5
1.5){$n\!\!-\!\!1$} \vtext(-3.5 2.75){$\cdots$} \htext(-3.5
4){$2$} \htext(-3.3 4.75){$0$} \htext(-3.75 5.25){$1$} \htext(-3.5
6){$2$} \vtext(-3.5 7.25){$\cdots$} \htext(-3.5
8.5){$n\!\!-\!\!1$} \htext(-3.5 9.75){$n$} \htext(-3.5
10.5){$n\!\!-\!\!1$} \move(0 0.5)\rlvec(-4.3 0) \move(0
9.5)\rlvec(-4.3 0) \htext(-3.5 9.25){$n$} \htext(-3.5 0.25){$n$}
\htext(-2.5 9.75){$n$} \htext(-2.5 0.75){$n$} \htext(-1.5
0.25){$n$} \htext(-1.5 9.25){$n$} \htext(-0.5 9.75){$n$}
\htext(-0.5 0.75){$n$}
\end{texdraw}}
\end{center}
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\small
\begin{thebibliography}{BK}

\bibitem{Ar}
S.~Ariki, \emph{On decomposition number of Hecke algebra of
$G(m,1,n)$}, J. Math. Kyoto Univ. \textbf{36} (1996), 789--808.

\bibitem{BK}
J.~Brundan, A.~Kleshchev, \emph{Hecke-Clifford superalgebras,
crystals of type $A_{2l}^{(2)}$ and modular branching rules for
$\widehat{S_n}$}, Represent. Theory \textbf{5} (2001), 317--403
(electronic).

%\bibitem{Dr}
%V. G. Drinfel'd, \emph{Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter
%equation}, Soviet Math. Dokl. {\bf 32} (1985), 254--258.

%\bibitem{DJ1}
%R.~Dipper, G.~James, \emph{Representations of Hecke algebras of
%the general linear group}, Proc. Lond. Math. Soc. \textbf{52}
%(1986), 20--52.

%\bibitem{DJ2}
%R.~Dipper, G.~James, \emph{Blocks and idempotents of the Hecke
%algebra of the general linear group}, Proc. Lond. Math. Soc.
%\textbf{54} (1987), 57--82.

\bibitem{Gro}
I.~Grojnowski, \emph{Affine  $\widehat{sl_p}$ controls the modular
representation theory of the symmetric group and related Hecke
algebras}, preprint (1999).

%\bibitem{Hayashi}
%T.~Hayashi, \emph{$q$-analogue of Clifford and Weyl algebras --
%spinor and oscillator representations of quantum enveloping
%algebras}, Commun. Math. Phys. \textbf{127} (1990), 129--144.

\bibitem{HK2002}
J.~Hong, S.-J. Kang, \emph{Introduction to Quantum Groups and
Crystal Bases}, Graduate Studies in Mathematics {\bf 42}, Amer.
Math. Soc., 2002.

\bibitem{JK}
G. James, A. Kerber, \emph{The representation theory of the
Symmetric groups}, \textbf{16}, Encyclopedia of Mathematics,
Addison-Wesley, Massachusettes, 1981.

%\bibitem{J}
%M. Jimbo, \emph{A $q$-difference analogue of $U({\mathfrak g})$
%and the Yang-Baxter equation}, Lett. Math. Phys. {\bf 10} (1985),
%63--69.

%\bibitem{JMMO}
%M.~Jimbo, K.~C. Misra, T.~Miwa, M.~Okado, \emph{Combinatorics of
%representations of ${U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))$ at $q=0$},
%Commun. Math. Phys. \textbf{136} (1991), 543--566.

\bibitem{Kac90}
V.~Kac, \emph{Infinite Dimensional Lie Algebras}, Cambridge
University Press, 3rd ed., 1990.

\bibitem{Ka2000}
S.-J. Kang, \emph{Crystal bases for quantum affine algebras and
combinatorics of Young walls}, RIM-GARC preprint {\bf 00-2}
(2000), to appear in Proc. Lond. Math. Soc.

%\bibitem{KMN1}
%S.-J. Kang, M.~Kashiwara, K.~C. Misra, T.~Miwa, T.~Nakashima, and
%  A.~Nakayashiki, \emph{Affine crystals and vertex models}, Int. J. Mod. Phys.
%  A. \textbf{Suppl. 1A} (1992), 449--484.

%\bibitem{KMN2}
%S.-J. Kang, M.~Kashiwara, K.~C. Misra, T.~Miwa, T.~Nakashima, and
%  A.~Nakayashiki, \emph{Perfect crystals of quantum affine {L}ie
%algebras}, Duke Math.
%  J. \textbf{68} (1992), 499--607.

%\bibitem{KKLS}
%S.-J. Kang, J.-A. Kim, H. Lee, D.-U. Shin, \emph{Young wall
%realization of crystal bases for classical Lie algebras}, KIAS
%preprint {\bf M-01006} (2001), submitted.

\bibitem{KK1}
S.-J. Kang, J.-H. Kwon, \emph{Quantum affine algebras,
combinatorics of Young walls, and global bases}, KIAS preprint
{\bf M-01007} (2001), to appear in Electron. Res. Announc. Amer.
Math. Soc.

\bibitem{Kas90}
M.~Kashiwara, \emph{Crystalizing the $q$-analogue of universal
enveloping algebras}, Commun. Math. Phys. \textbf{133} (1990),
249--260.

\bibitem{Kas91}
M. Kashiwara, \emph{On crystal bases of the $q$-analogue of
universal enveloping algebras}, Duke Math. J. \textbf{63} (1991),
465--516.

\bibitem{Kas93}
M. Kashiwara, \emph{Crystal bases and Littelmann's refined
Demazure character formula}, Duke Math. J. \textbf{71} (1993),
839--858.

\bibitem{Kas94}
M. Kashiwara, \emph{Crystal bases of modified quantized enveloping
algebra}, Duke Math. J. \textbf{73} (1994), 383--413.

\bibitem{KMPY}
M. Kashiwara, T. Miwa, J.-U. H. Petersen, C. M. Yung,
\emph{Perfect crystals and $q$-deformed Fock space}, Selecta Math.
{\bf 2} (1996), 415--499.

\bibitem{LLT}
A.~Lascoux, B.~ Leclerc, J-Y. Thibon, \emph{Hecke algebras at
roots of unity and crystal bases of quantum affine algebras},
Commun. Math. Phys. \textbf{181} (1996), 205--263.

%\bibitem{Lus88}
%G.~Lusztig, \emph{Quantum deformation of certain simple modules
%over enveloping algebras}, Adv. Math. \textbf{70} (1988),
%237--249.

\bibitem{Lus90}
G. Lusztig, \emph{Canonical bases arising from quantized
enveloping algebras}, J. Amer. Math. Soc. \textbf{3} (1990),
447--498.

\bibitem{Mac}
I. G. Macdonald, {\em Symmetric functuins and Hall polynomials},
Oxford University Press, 2nd ed.,  1995.

\bibitem{Mathas}
A. Mathas, {\em Iwahori-Hecke Algebras and Schur Algebras of the
Symmetric group}, University Lecture Note Series {\bf 15}, Amer.
Math. Soc., 1999.

\bibitem{MM}
K.~Misra, T.~Miwa, \emph{Crystal base for the basic representation
of ${U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))$}, Commun. Math. Phys.
\textbf{134} (1990), 79--88.

\end{thebibliography}
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

math0208204.extracted_bib
\begin{thebibliography}{BK}

\bibitem{Ar}
S.~Ariki, \emph{On decomposition number of Hecke algebra of
$G(m,1,n)$}, J. Math. Kyoto Univ. \textbf{36} (1996), 789--808.

\bibitem{BK}
J.~Brundan, A.~Kleshchev, \emph{Hecke-Clifford superalgebras,
crystals of type $A_{2l}^{(2)}$ and modular branching rules for
$\widehat{S_n}$}, Represent. Theory \textbf{5} (2001), 317--403
(electronic).

%\bibitem{Dr}
%V. G. Drinfel'd, \emph{Hopf algebras and the quantum Yang-Baxter
%equation}, Soviet Math. Dokl. {\bf 32} (1985), 254--258.

%\bibitem{DJ1}
%R.~Dipper, G.~James, \emph{Representations of Hecke algebras of
%the general linear group}, Proc. Lond. Math. Soc. \textbf{52}
%(1986), 20--52.

%\bibitem{DJ2}
%R.~Dipper, G.~James, \emph{Blocks and idempotents of the Hecke
%algebra of the general linear group}, Proc. Lond. Math. Soc.
%\textbf{54} (1987), 57--82.

\bibitem{Gro}
I.~Grojnowski, \emph{Affine  $\widehat{sl_p}$ controls the modular
representation theory of the symmetric group and related Hecke
algebras}, preprint (1999).

%\bibitem{Hayashi}
%T.~Hayashi, \emph{$q$-analogue of Clifford and Weyl algebras --
%spinor and oscillator representations of quantum enveloping
%algebras}, Commun. Math. Phys. \textbf{127} (1990), 129--144.

\bibitem{HK2002}
J.~Hong, S.-J. Kang, \emph{Introduction to Quantum Groups and
Crystal Bases}, Graduate Studies in Mathematics {\bf 42}, Amer.
Math. Soc., 2002.

\bibitem{JK}
G. James, A. Kerber, \emph{The representation theory of the
Symmetric groups}, \textbf{16}, Encyclopedia of Mathematics,
Addison-Wesley, Massachusettes, 1981.

%\bibitem{J}
%M. Jimbo, \emph{A $q$-difference analogue of $U({\mathfrak g})$
%and the Yang-Baxter equation}, Lett. Math. Phys. {\bf 10} (1985),
%63--69.

%\bibitem{JMMO}
%M.~Jimbo, K.~C. Misra, T.~Miwa, M.~Okado, \emph{Combinatorics of
%representations of ${U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))$ at $q=0$},
%Commun. Math. Phys. \textbf{136} (1991), 543--566.

\bibitem{Kac90}
V.~Kac, \emph{Infinite Dimensional Lie Algebras}, Cambridge
University Press, 3rd ed., 1990.

\bibitem{Ka2000}
S.-J. Kang, \emph{Crystal bases for quantum affine algebras and
combinatorics of Young walls}, RIM-GARC preprint {\bf 00-2}
(2000), to appear in Proc. Lond. Math. Soc.

%\bibitem{KMN1}
%S.-J. Kang, M.~Kashiwara, K.~C. Misra, T.~Miwa, T.~Nakashima, and
%  A.~Nakayashiki, \emph{Affine crystals and vertex models}, Int. J. Mod. Phys.
%  A. \textbf{Suppl. 1A} (1992), 449--484.

%\bibitem{KMN2}
%S.-J. Kang, M.~Kashiwara, K.~C. Misra, T.~Miwa, T.~Nakashima, and
%  A.~Nakayashiki, \emph{Perfect crystals of quantum affine {L}ie
%algebras}, Duke Math.
%  J. \textbf{68} (1992), 499--607.

%\bibitem{KKLS}
%S.-J. Kang, J.-A. Kim, H. Lee, D.-U. Shin, \emph{Young wall
%realization of crystal bases for classical Lie algebras}, KIAS
%preprint {\bf M-01006} (2001), submitted.

\bibitem{KK1}
S.-J. Kang, J.-H. Kwon, \emph{Quantum affine algebras,
combinatorics of Young walls, and global bases}, KIAS preprint
{\bf M-01007} (2001), to appear in Electron. Res. Announc. Amer.
Math. Soc.

\bibitem{Kas90}
M.~Kashiwara, \emph{Crystalizing the $q$-analogue of universal
enveloping algebras}, Commun. Math. Phys. \textbf{133} (1990),
249--260.

\bibitem{Kas91}
M. Kashiwara, \emph{On crystal bases of the $q$-analogue of
universal enveloping algebras}, Duke Math. J. \textbf{63} (1991),
465--516.

\bibitem{Kas93}
M. Kashiwara, \emph{Crystal bases and Littelmann's refined
Demazure character formula}, Duke Math. J. \textbf{71} (1993),
839--858.

\bibitem{Kas94}
M. Kashiwara, \emph{Crystal bases of modified quantized enveloping
algebra}, Duke Math. J. \textbf{73} (1994), 383--413.

\bibitem{KMPY}
M. Kashiwara, T. Miwa, J.-U. H. Petersen, C. M. Yung,
\emph{Perfect crystals and $q$-deformed Fock space}, Selecta Math.
{\bf 2} (1996), 415--499.

\bibitem{LLT}
A.~Lascoux, B.~ Leclerc, J-Y. Thibon, \emph{Hecke algebras at
roots of unity and crystal bases of quantum affine algebras},
Commun. Math. Phys. \textbf{181} (1996), 205--263.

%\bibitem{Lus88}
%G.~Lusztig, \emph{Quantum deformation of certain simple modules
%over enveloping algebras}, Adv. Math. \textbf{70} (1988),
%237--249.

\bibitem{Lus90}
G. Lusztig, \emph{Canonical bases arising from quantized
enveloping algebras}, J. Amer. Math. Soc. \textbf{3} (1990),
447--498.

\bibitem{Mac}
I. G. Macdonald, {\em Symmetric functuins and Hall polynomials},
Oxford University Press, 2nd ed.,  1995.

\bibitem{Mathas}
A. Mathas, {\em Iwahori-Hecke Algebras and Schur Algebras of the
Symmetric group}, University Lecture Note Series {\bf 15}, Amer.
Math. Soc., 1999.

\bibitem{MM}
K.~Misra, T.~Miwa, \emph{Crystal base for the basic representation
of ${U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))$}, Commun. Math. Phys.
\textbf{134} (1990), 79--88.

\end{thebibliography}