Forme normale formelle d'une perturbation � s�paratrices fix�es d'un champ hamiltonien quasi-\-ho\-mo\-g�ne
\sc E. Paul
math0303216.tex
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\begin{document}




\title{Forme normale formelle d'une perturbation � s�paratrices fix�es d'un champ
hamiltonien quasi-\-ho\-mo\-g�ne }
\author{\sc E. Paul}
\date{\today}
\maketitle

%\begin{center}
%\textit{Version pr�liminaire FNF.5}
%\end{center}


{\bf R�sum�.} {\footnotesize On classifie � changement de variable formel pr�s
les champs de vecteurs --ainsi que les feuilletages qu'ils d�finissent-- qui
sont des perturbations d'un champ hamiltonien quasi-homog�ne $X_0$ par des
termes de degr� de quasi-homog�n�it� sup�rieur. Le degr� $\delta_0$ du champ
$X_0$ est quelconque, mais on demande que le champ perturb� laisse encore
invariant les s�paratrices de $X_0$. Les formes normales pr�sent�es ici
g�n�ralisent celles obtenues lorsque $X_0$ poss�de une partie lin�aire
semi-simple ou nilpotente. Nous les interpr�tons g�om�triquement en terme de
cohomologie relative au champ initial.}

\bigskip
\bigskip

\noindent{\Large \textbf{Introduction}}

\bigskip

On s'int�resse � la classification formelle de germes de champs de vecteurs
analytiques � l'origine de $\C^n$ qui sont des perturbations d'un champ de
vecteurs quasi-\-ho\-mo\-g�ne $X=X_0+\cdots$, les termes perturbateurs ayant
des degr�s de quasi-homog�n�it� sup�rieur � la partie initiale $X_0$. Deux
relations d'�quivalences nous int�ressent ici:

\bigskip

i) \textit{Classification des champs:} deux champs $X$ et $Y$ sont formellement
(resp. analytiquement) conjugu�s ($X \sim Y$) s'il existe une transformation formelle
(resp. analytique) $\Phi $ telle que
$Y=\Phi ^*X.$

\bigskip 

ii) \textit{Classification des feuilletages:} deux champs $X$ et $Y$ sont
formellement (resp. analytiquement) orbitalement �quivalents ($X
\approx Y$) s'il existe une transformation formelle (resp. analytique) $\Phi $
et une unit� formelle (resp. analytique) $u$ telles que
$Y=u\Phi ^*X.$ Dans ce cas, la conjugaison $\Phi $ envoie les orbites du
premier champ sur celles du second, sans n�cessairement conjuguer leurs flots.

\bigskip 

Le probl�me des formes normales, c'est-�-dire de la d�termination d'un
repr�\-sen\-tant privil�gi� dans les classes d'�quivalences modulo $\sim$ ou
$\approx$, est motiv� d'une part par la n�cessit� de classifier ces champs ou
feuilletages, d'autre part par l'obtention de mod�les sur lequel on pourra
r�pondre � des probl�mes ''d'int�grabilit�'': existences de solutions ou
int�grales premi�res dans une classe de transcendance donn�e. Pour cette
seconde motivation, l'obtention d'un repr�sentant unique dans uns classe
d'�quivalence donn�e n'est pas toujours n�cessaire. La d�termination explicite
de formes normales a �t� tr�s �tudi�e lorsque le premier jet du champ est non
nul, ce que nous ne supposerons plus ici.

\bigskip 

Sur $\C^2$ muni de la forme volume standard, � tout champ $X$ on peut associer
la 1-forme duale $\omega _X=i_Xdx\wedge dy.$ Les relations $\sim$ et $\approx$
se d�finissent de mani�re analogue pour les 1-formes holomorphes. D'apr�s la formule $\Phi ^*\omega
_X=\mbox{Jac}(\Phi )\omega _{\Phi ^*X}$, on a
$$\omega _X\approx\omega _Y\Leftrightarrow X\approx Y$$ ce qui nous permet de
travailler indiff�remment avec les champs ou les formes pour cette
relation. Il n'en est pas de m�me pour la relation de conjugaison $\sim$: les
champs $\frac{\partial}{\partial x}$ et $(1+x)\frac{\partial}{\partial x}$ sont
conjugu�s d'apr�s le th�or�me de redressement des champs r�guliers, mais leurs
formes duales ne le sont pas puisque $dy$ est ferm�e alors que $(1+x)dy$ ne l'est pas.

Nous nous int�ressons ici essentiellement � la classification locale des
feuilletages en dimension deux, mais obtiendrons au passage un r�sultat
partiel de classification des champs de vecteurs lorsque le degr� de quasi-homog�n�it� $\delta_0$
du champ initial est nul: ceci concerne en particulier les champs de type
''Poincar�-Dulac'': $X  =\frac{1}{2pq} (qx\partial_x-py\partial_y)+\cdots$
et les champs de type ''noeud-col'': $X=y\partial_y +\cdots$.

\bigskip 


La classification formelle des champs de vecteurs en toute dimension repose
sur un r�sultat pr�liminaire qui est bien connu lorsque la partie initiale
$X_0$ est un champ semi-simple \cite{MAR}. Nous le g�n�ralisons ici pour une
partie initiale quasi-homog�ne de degr� quelconque: 

\bigskip

{\bf Lemme de pr�\-nor\-ma\-li\-sation formelle des champs.} \textit{On se donne un
sup\-pl�\-men\-taire $V$ de l'image de l'op�rateur ad$(X_0)=[X_0,\cdot]$ dans 
un module de champs formels $M$ gradu� par un degr� de quasi-homog�n�it�. 
Le champ
$X=X_0+\cdots$ est formellement conjugu� � un champ $X_0+Y$ o� $Y$ appartient �
$V$.}

\bigskip

Tout espace de formes pr�normales $V$ est donc, d'apr�s ce lemme, isomorphe au quotient
$H_K^1=M/B_K^1$, $B_K^1=\mbox{Im(ad$X_0$)}$, l'indice ${\scriptstyle K}$
faisant ici r�f�rence aux complexes de Koszul construits � partir de tels op�rateurs ad$(X_0)=[X_0,\cdot]$. 
Dans le cadre de la relation d'�quivalence des feuilletages, nous pouvons diminuer la taille du sous-espace $V$:

\bigskip

{\bf Lemme de pr�\-nor\-ma\-li\-sation formelle des feuilletages.} \textit{On
  se donne un sup\-pl�\-men\-taire
$W$ de $A_K^1=\mbox{Im(ad$X_0$)}+\widehat{\mathcal O}_nX_0$ dans $M$. 
Il existe un champ $Y$ appartenant � $W$, un diff�o\-mor\-phisme formel $\Phi $ et une unit� formelle $u$ tels que
$$\Phi ^*X=u(X_0+Y).$$}




Ces suppl�mentaires �tant fix�s, il n'y a pas unicit� de ces formes normales
formelles dans $V$ ou $W$, d'o� l'appellation
''pr�\-nor\-ma\-li\-sation''. Ceci n�cessitera une r�duction
suppl�\-men\-taire que nous ferons dans une seconde �tape. N�anmoins, cette �tape de pr�normalisation doit �tre
consid�r�e comme l'�tape essentielle du processus de normalisation et non comme
une simple op�ration pr�liminaire. C'est en particulier elle qui est
susceptible de cr�er de la divergence dans les conjuguantes et dans les formes
normales elle-m�mes.

\bigskip

Ces lemmes ram�nent donc l'�tape de pr�\-nor\-ma\-li\-sation des champs (resp. des
feuilletages) �  un choix pertinent pour ce sup\-pl�\-men\-taire $V$ (resp. $W$), c'est-�-dire
� un choix d'�l�ments du module $M$ dont la classe engendre le quotient
$H_K^1=M/B_K^1$, (resp. $G_K^1=M/A_K^1$). On peut remarquer que ces quotients
sont des modules sur l'anneau $\mathcal I$ des int�grales premi�res du champ
initial $X_0$. Il est donc naturel d'imposer lors du choix de $V$ ou $W$ de
pr�server cette structure. L'isomorphisme que nous construirons entre $V$ et 
$H_K^1$ (ou entre $W$ et $G_K^1$) sera un isomorphisme de $\mathcal
I$-modules.
Le r�sultat pr�sent� ici se limite au cadre suivant:


\bigskip

1-  Nous nous pla�ons en dimension 2. Le champ quasi-homog�ne initial $X_0$ est alors
tangent � une hypersurface $S$ (s�paratrice) d'�quation r�duite $h_0=0$. 
Nous supposons que le champ perturb� $X=X_0+\cdots$ reste tangent � cette
hypersurface $S$. En d'autres termes, nous consid�rons une perturbation de
$X_0$ \textit{� s�paratrice fix�e}. 
Dans certains cas, (par exemple $h_0=xy$, $h_0=y^2-x^3$), cette hypoth�se n'en
est pas v�ritablement une: la s�paratrice persiste et, �tant rigide, on la
redresse sur la s�paratrice initiale par un changement analytique de
coordonn�es.  

Fixer les s�paratrices nous conduit � travailler dans le module $M=\widehat\chi(\log S)$ des champs formels
\textit{logarithmiques} pour cette hypersurface $S$, c'est-�-dire des champs
$X$ tels que $X(h_0)$ appartient � l'id�al $(h_0)$. En dimension 2, ce
module est toujours un module libre de rang 2. 
Soit $R$ le champ
$p$-radial (pond�r� par les poids $p_i$ de quasi\--homo\-g�\-n�it�) pour
lequel $X_0$ est quasi-homog�ne. 
Supposons que les champs $X_0$ et $R$ forment une base de 
$\widehat\chi(\log S)$. (Ce sera par exemple le cas sous l'hypoth�se (2-)
ci-dessous). Tout champ logarithmique se d�compose alors en une composante \textit{''int�grable''} (en $X_0$)
et une composante
\textit{''dissipative''} (en $R$): la premi�re
garde $h$ comme int�grale premi�re, alors que la forme logarithmique duale de
la seconde n'est jamais ferm�e. En particulier, en comparant les deux lemmes de
pr�\-nor\-malisation ci-dessus, on constate imm�diatement que si $V$ est un espace de formes
pr�normales pour un champ $X$, sa composante dissipative $W$ est un espace de
formes pr�normales pour le feuilletage d�fini par $X$. L'utilisation de cette
base nous permet de d�montrer facilement (voir �nonc� \ref{PFNF} ) le

\bigskip

{\bf Th�or�me 1.}
\textit{Soit $X_0$ un champ quasi-homog�ne de degr� $\delta_0$ par rapport �
  un champ quasi-radial $R$, laissant invariant une courbe $S$. On suppose que les champs
$X_0$ et $R$ forment une base des champs logarithmiques pour $S$.
Soit $X=X_0+\cdots$ une perturbation de $X_0$ laissant fixe $S$.
\begin{enumerate}
\item 
Le module des formes pr�normales de feuilletages d�finis par
$X$ est 
 $$G_K^1=\mbox{Coker}(X_0)\cdot R.$$  
\item Si le degr� de quasi-homog�n�it� $\delta_ 0$ du champ initial est nul,
 le module des formes pr�normales du champ $X$ est
$$H_K^1=\mbox{Coker}(X_0)\cdot X_0+\mbox{Coker}(X_0)\cdot R.$$
\end{enumerate}}

\bigskip


Le probl�me de la d�termination d'un espace de formes pr�normales est donc
maintenant ramen� � la d�termination du conoyau de $X_0$.

\bigskip

2-  Nous supposons de plus que le champ initial 
$X_0$ est hamiltonien, dual pour la forme $dx\wedge dy$ d'une forme
$\delta^{-1}dh$, o� l'int�grale premi�re $h$ est quasi-homog�ne de degr�
$\delta$. On peut alors v�rifier que les champs $X_0$ et $R$ forment une base
de $\widehat\chi(\log S)$. 
Supposons de plus que $h$
soit � singularit� isol�e.
On d�signe par $J_0$
l'id�al des composantes de $X_0$ dans la base usuelle (qui est aussi l'id�al jacobien de $h$), et par $a_1=1,\cdots
a_{\mu}$, une base de mon�mes engendrant l'espace vectoriel ${\cal O}^2/J_0$.
Nous d�montrons (th�or�me \ref{conoyau})
que le conoyau de la d�rivation hamiltonienne $X_0$ est un $\C[[h]]$-module libre de
rang $\mu$ engendr� par les champs $a_iR$. Ce fait r�sulte essentiellement de
l'existence d'une connexion singuli�re sur cet espace de type Gauss-Manin, et
d'un th�or�me d'indice de B. Malgrange. De ces deux r�sultats nous d�duisons le

\bigskip

{\bf Th�or�me 2.}
\textit{Soit $X=X _0 +\cdots $ une perturbation � s�paratrices fix�es du champ hamiltonien $X _0$. Il
  existe un �l�ment $(d_1,\cdots d_{\mu })$ de $\C[[h]]^{\mu}$, une
  conjugaison formelle $\Phi $ conjuguant orbitalement $X$ au champ formel
$$X _0 +\sum_{i=1}^{\mu }d_i(h){a_iR}.$$ 
De plus, on peut imposer � cette conjugaison d'�tre fibr�e pour le champ $R$, c'est-�-dire d'�tre l'exponentielle d'un champ colin�aire � $R$.}

\bigskip


Nous prouvons de plus que les coefficients formels $d_i(h)$ des formes pr�normales du th�or�me 2 peuvent s'exprimer par des formules int�grales. Pour
cela, nous consid�rons le point de vue dual concernant ces formes normales
formelles en les transf�rant par une ''forme volume logarithmique''
sur le module des formes logarithmiques. Il apparait alors que le module des
formes pr�normales de \textit{feuilletages} est isomorphe au module de
cohomologie relative formelle � la forme initiale ferm�e $\omega_0$
(proposition \ref{calcul.Hrel}). Ceci nous permet, en utilisant une base de formes
horizontales de ce module, d'�crire les coefficients multivalu�s apparaissant
dans cette base comme des int�grales de la partie dissipative de la
forme normale formelle sur les cycles �vanescents de sa partie hamiltonienne.


\bigskip


La non unicit� des formes pr�normales de feuilletages obtenues au th�or�me 2 provient d'une
ambiguit� dans le choix de la conjuguante fibr�e. En effet, on peut faire
op�rer sur l'ensemble des formes pr�normales d'un feuilletage le groupe des
conjuguantes de la forme $\Phi =\exp b(h)R$ o�
$b$ est une s�rie formelle d'une variable. La deuxi�me �tape (r�duction
finale) consiste donc � choisir un repr�sentant dans chaque orbite de cette
action sur l'espace des formes pr�normales de $X$. Il apparait que, apr�s division par une puissance fractionnaire convenable de $h$, les
coefficients $d_i(h)$ se comportent sous cette action comme des \textit{champs de
vecteurs sur un rev�tement fini du disque �point� image de $h$}. Ceci permet de normaliser un des
coefficients  $d_i(h)$ choisi arbitrairement sous forme
$$\frac{ {h}^{m}}{1+\lambda  {h}^{m+n}}.$$
De plus, pour que le r�sidu $\lambda $ soit non nul, il est n�cessaire qu'une
certaine condition de divisibilit� soit satisfaite. On obtient ainsi une classification formelle
de ces feuilletages g�n�ralisant celles connues par Poincar� et
Dulac, ou celles de F. Loray dans le cas des singularit�s cuspidales.

L'observation ci-dessus conduisant � cette r�duction finale appelle
une interpr�tation g�om�trique. Quelle est la signification de ces $\mu$ champs
de vecteurs? On sait d'autre part d'apr�s \cite{JFM}, ou d'apr�s \cite{CM} dans le cas
du cusp, que ce type de
feuilletage avec s�paratrices quasi-homog�nes est compl�tement classifi� par sa
structure transverse. Quel lien existe-t-il entre ces invariants explicites et
l'holonomie du diviseur exceptionnel consid�r�e dans \cite{CM}?

\bigskip

Remarquons enfin que le processus de r�duction finale
ne permet de normaliser sous forme rationnelle qu'une
seule des $\mu $ s�ries $d_i(h)$ apparaissant dans les formes pr�normales. En
cons�quence, d�s que $\mu $ est plus grand que 1, subsistent des s�ries
formelles dans ces formes normales. Supposons maintenant que le champ $X$ soit
analytique. La question de la convergence de ces s�ries se pose alors. On
connait aujourd'hui un exemple (voir \cite{C-D}) o�, dans le cas d'une s�paratrice de type cusp,
ces s�ries divergent.
De plus, dans un travail r�cent, M. Canalis-Durand et R. Schaefke ont �tabli le caract�re 1-sommable des formes normales et
conjuguantes obtenues. Il est donc raisonnable d'esp�rer une $k$-sommabilit�
des formes normales formelles obtenues ici. L'interpr�tation g�om�trique
des invariants souhait�e ci-dessus pourrait nous y aider. Nous nous proposons
de d�velopper
ces deux questions dans un travail ult�rieur.

\bigskip



Remerciements � Frank Loray --son article \cite{LOR} a �t� la principale
source d'inspiration de ce travail--, et Reinhart Schaefke,  pour les
discussions que nous avons eu sur ce sujet. 

\pagebreak

\tableofcontents

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\noindent {\Large \textbf{Notations}}

\bigskip

On d�signe par ${\cal O} _n$ l'anneau des germes de fonctions holomorphes �
l'origine de $\C^n$ et par $\widehat{\cal O} _n$ son compl�t� formel. On
notera $\partial_x$ la d�rivation $\frac{\partial}{\partial x}$ et $h_x$ pour
$\frac{\partial h}{\partial x}$.
Dans tout le texte nous noterons:

\begin{itemize}
\item $d_0$: le degr� de quasi-homog�n�it� de l'�quation r�duite $h_0$ de $S$;
\item $\delta_0$: le degr� de quasi-homog�n�it� du champ initial $X_0$;
\item $\delta$: le degr� de quasi-homog�n�it� de son int�grale premi�re $h$.
\end{itemize}
\pagebreak























\section{Fonctions et champs quasi-\-ho\-mo\-g�nes}

Soit $p=(p_1,\cdots p_n)$ une collection
d'entiers positifs tel que les $p_i$ soient premiers entre eux. 
On consid�re le champ $p$-radial
$$R_{p}=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i\frac{\partial}{\partial x_i}.$$
Pour tout mon�me $x^m=x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ on a
$$R_{p}(x^m)=<p,m>x^m.$$
L'entier $\delta=<p,m>=\sum_{i=1}^{n}p_im_i$ est appel�
${p}$-degr� de quasi-homog�n�it� du mon�me $x^m$. 

\begin{defi}\label{pol.qh}
Une fonction polynomiale $h$ de $\C^n$ dans \C\ est dite quasi-\-ho\-mo\-g�ne de poids
$p$ lorsque le $p$-degr� de chacun des mon�mes
$x^m=x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ de coefficient non nul de $h$ est constant. Cette
constante est le $p$-degr� de quasi-homog�n�it� de $h$. En d'autres
termes, une fonction polynomiale est $p$-quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $\delta$
si et seulement si $$R_{p}(h)=\delta h.$$
\end{defi}
 
Le ${p}$-ordre
$\nu_{p}$ d'une s�rie $\sum_k a_mx^m$ est le minimum des 
${p}$-degr�s des mon�mes de coefficient non nul de cette s�rie. 
L'espace ${\cal P}_n$ des fonctions polynomiales sur $\C^n$ est d�composable en
somme directe des espaces ${\cal P}_n^{\delta}$ des fonctions polynomiales
${p}$-quasi-\-ho\-mo\-g�nes de degr� $\delta $, $\delta $ d�crivant
$\N$. La notion de quasi-homog�n�it� s'�tend aux champs de vecteurs:



\begin{defi} Un champ de vecteurs polynomial
$X=\sum_{i=1}^{n}a_i(x)\frac{\partial}{\partial x_i}$ est quasi\-ho\-mo\-g�ne de poids
$p$ et de degr� $\delta $ si
$$[R_{p},X]=\delta X.$$
\end{defi}

Remarquons qu'avec cette convention, les champs lin�aires $X$ sont quasi-\-ho\-mo\-g�nes de
degr� 0 et les champs constants 
$\frac{\partial}{\partial x_i}$ sont de degr� n�gatif $-p_i$.
Dans la suite, le poids $(p_1,\cdots p_n)$ est fix�. On note $R=R_p$ et
les d�nominations ''quasi-\-ho\-mo\-g�ne, degr�, ordre'' se rapporteront toujours � ce poids.
On v�rifie facilement les r�sultats suivants:

\begin{prop}\label{qh} 
 
i) Soit $a_k$ un polyn�me quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $k$, $X_l$ un champ
quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $l$. Le polyn�me $X_l(a_k)$ est alors quasi-\-ho\-mo\-g�ne, de degr�
$k+l$.

ii) Soit $a_k$ un polyn�me quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $k$, $X_l$ un champ
quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $l$. Le champ $a_kX_l$ est alors quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr�
$k+l$.

iii) Soit $X_k$ un champ quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $k$, $X_l$ un champ
quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $l$. Le champ $[X_k,X_l]$, s'il est non nul, 
est quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr�
$k+l$.

iv) Soit $h$ une fonction de deux variables quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $\delta $. Le
champ hamiltonien $X_h=h_y\partial  _x -h_x\partial _y$
est quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $\delta -p_1-p_2.$ 

\end{prop}


En particulier, tout champ monomial $x^m\frac{\partial}{\partial x_i}$ est
quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr�
$<p,m>-p_i$. En regroupant les champs monomiaux de m�me degr�,
on obtient une d�composition de l'espace des champs formels s'annulant � l'origine en somme
directe de sous-espaces de champs quasi-\-ho\-mo\-g�nes de degr�
$\delta $,
$\delta $ d�crivant $\N$. Ceci permet de d�finir le $p$-ordre d'un tel
champ formel, ainsi que le $p$-degr� d'un champ polynomial.

\bigskip

{\bf Exemple.} Le cusp $h=y^{p}-x^{q}$ est quasi-\-ho\-mo\-g�ne de poids 
$(p_1,q_1)$,
o� $p_1$ et $q_1$ sont d�finis par: $p=dp_1$, $q=dq_1$, $p_1$ premier avec
$q_1$. Il est de $(p_1,q_1)$-degr� $p\vee q=dp_1q_1$. Le champ 
$X_h=h_y\partial  _x -h_x\partial _y$
est $(p_1,q_1)$-quasi-\-ho\-mo\-g�ne de degr� $dp_1q_1-p_1-q_1$. 























\section{Perturbation � s�paratrices fix�es: champs et formes logarithmiques}

On fixe maintenant le lieu des s�paratrices $S$ de $X=X_0+\cdots$
o� $S$ d�signe un
germe d'hypersurface analytique � l'origine de $\C^n$, d'�quation r�duite $h_0=0$.
On demande donc que $X$ reste tangent � $S$ c'est-�-dire que $X(h_0)$ appartienne �
l'id�al
$(h_0)$. Ceci est la d�finition d'un champ \textit{logarithmique}.  On d�signe par
$\chi(\log S)$ le ${\cal O} _n$-module des germes de champs
 logarithmiques pour $S$.
Toutes les notions rappel�es ici concernant $\chi(\log S)$ sont expos�es dans
\cite{SAITO.2}. Ce module est stable par crochet de Lie. En dimension deux, il est libre de
rang deux. En dimension sup�rieure, ce n'est plus le cas. On a le crit�re suivant:

\begin{prop}\label{critere}
Les $n$ champs de vecteurs $X_i$ de $\chi(\log S)$ forment une base de ce module si
et seulement si le d�terminant de leurs composantes est produit de $h_0$ par un
unit�.
\end{prop}



Une $q$-forme logarithmique � p�les sur $S$ est une $q$-forme m�romorphe
$\omega $ telle que $h_0\omega $ et $h_0dw$ soient holomorphes. Elles forment un 
${\cal O} _n$-module not� $\Omega ^q(\log S)$. Ces modules munis de la
diff�rentielle ext�rieure usuelle forment un complexe. Les notions de produit
int�rieur et d�rivation de Lie s'�tendent aux champs et formes
logarithmiques. En particulier, le module
$\Omega ^1(\log S)$ est dual de $\chi(\log S)$ pour l'accouplement des champs et
1-formes. Une mani�re duale de caract�riser les hypersurfaces $S$ telles que $\chi(\log S)$ --ou 
$\Omega ^1(\log S)$)-- soit libre est la suivante:

\begin{prop}\label{flog}
Le ${\cal O} _n$-module $\Omega ^1(\log S)$ est libre si et seulement si
$$\wedge_{i=1}^{n}\Omega ^1(\log S)=\Omega ^n(\log S)$$ c'est-�-dire si et seulement
si il existe $n$ 1-formes logaritmiques $\omega _1, \cdots \omega _n$ et une
unit� $u$ de ${\cal O} _n$ telles que 
$$\omega _1\wedge\cdots\wedge \omega _n=u \frac{dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n}{h}.$$
De plus, sous cette condition, les modules $\Omega ^q(\log S)$ sont tous libres de
base  $\omega _{i_1}\wedge\cdots\wedge \omega _{i_q}.$ 
\end{prop}

Notons qu'en g�n�ral, c'est-�-dire en dehors du cas o� $S$ est � croisements
normaux ($\omega_i=dz_i/z_i$), les formes $\omega _i$ ne sont pas toutes ferm�es. 


\begin{rmq}\label{derivation} Si $\chi(\log S)$ est libre de base $\{X_1,\cdots X_n\}$,
et si $\{\omega _1,\cdots \omega _n\}$ est une base de $\Omega ^1(\log S)$ duale de 
$\{X_1,\cdots X_n\}$ pour l'accouplement des champs et 1-formes, pour tout $f$ de ${\cal
O}_n$ on a
$$df=\sum_{i=1}^nX_i(f)\omega _i.$$
\end{rmq}




On se place maintenant en dimension deux. On suppose que $h_0=0$ est une
�quation r�duite de $S$, quasi-\-ho\-mo\-g�ne pour le champ $p$-radial
$R$, de degr� $d_0$. On consid�re la ''forme-volume
logarithmique''
$$\Omega =\frac{dx\wedge dy}{h_0}.$$
Elle induit un isomorphisme $\sharp$
entre $\chi(\log S)$ et $\Omega ^{1}(\log S)$ d�fini par $X^{\sharp }=i_X\Omega
$ o� $i_X$ d�signe le produit int�rieur par $X$. L'isomorphisme inverse est 
not� $\flat$. 

Soit $h_1\cdots h_p$
une d�composition de $h_0$ en �l�ments irr�ductibles et $h$ une fonction quasi-\-ho\-mo\-g�ne de  degr� $\delta $, telle que $h=0$ soit encore 
une �quation de $S$: $h=h_1^{n_1}\cdots h_p^{n_p}$. 
La forme
$$\omega _0=\frac{1}{\delta }\frac{dh}{h}$$
appartient � $\Omega ^{1}(\log S)$. En effet, 
$$h_0\omega _0=h_1\cdots h_p\frac{1}{\delta }\sum_{i=1}^{p}n_i\frac{dh_i}{h_i}$$
est holomorphe, et $h_0d\omega _0$ est trivialement holomorphe 
puisque $\omega _0$ est ferm�e. On s'int�resse au champ logarithmique 
$X_0$ dual de $\omega _0$.

\begin{prop}\label{X_0integrable} Soit $X_0=\omega _0^{\flat}$, et 
$X_h=h_y\partial  _x -h_x\partial _y$ le champ
hamiltonien dual de $dh$ pour la forme volume $dx\wedge dy$. 
On a

i-) $X_0=\frac{h_0}{\delta h}X_h.$ En particulier $h$ est une int�grale premi�re du champ $X_0$.

ii-) $X_0$ est un champ � singularit� isol�e, quasi-\-ho\-mo\-g�ne pour le champ
$p$-radial
$R$, de degr� $\delta _0=d_0-p$.

iii-) Les champs logarithmiques $X_0$ et $R$ forment une base de $\chi(\log S)$ et les
formes logarithmiques $-\omega _R=-R^\sharp$ et $\omega _0=X_0^{\sharp}$ forment une base
duale de $\{X_0, \ R\}$ pour l'accouplement des champs et 1-formes. En particulier, pour tout
$f$ de
${\cal O}_2$, on a
$$df=R(f)\omega _0-X_0(f)\omega _R.$$
\end{prop}

\begin{preuve} i-) De $dx\wedge dy(X_h,\cdot)=dh$, on d�duit
$$\Omega (\frac{h_0}{\delta h}X_h,\cdot)=\frac{dh}{\delta h}=\omega_0,\ \mbox{d'o� }\omega
_0^{\flat}=\frac{h_0}{\delta h}X_h. $$ 

ii-) se d�duit de $dx\wedge dy(X_0,\cdot)=h_0\omega_0$ qui est une forme � singularit�
isol�e. On calcule le degr� de quasi-homog�n�it� de $X_0$ en utilisant la proposition
(\ref{qh}).

iii-) Le crit�re (\ref{critere}) est v�rifi� d'apr�s:
$$\Omega (X_0,R)=\frac{dx\wedge dy}{h_0}(\frac{h_0}{\delta h}X_h,R)=
\frac{dh}{\delta h}(R)=\frac{R(h)}{\delta h}=1.$$ Les autres affirmations se d�duisent de
cette m�me �galit�.
\end{preuve}

\begin{defi} Dans la d�composition unique de tout champ logarithmique en
$aX_0+bR$, nous d�signerons la premi�re composante par ''composante
int�grable'' (elle admet $h$ comme int�grale premi�re), et
la seconde par ''composante dissipative'' (la forme duale $b\omega_R$ n'est
jamais ferm�e). Nous dirons de plus que la composante int�grable est
''hamiltonienne'' lorsqu'elle est duale d'une forme logarithmique de type
$dg/g$ (c'est par exemple le cas lorsque $a=a(h)$).
\end{defi}


\bigskip

{\bf Exemple 1.} (Poincar�-Dulac):

On prend: $h_0=xy$, et $h=x^py^q$ o� $p$ et $q$ sont des entiers strictement
positifs premiers entre eux. Les fonctions $h_0$ et
$h$ sont
�videmment homog�nes mais aussi quasi-\-ho\-mo\-g�nes pour le champ $(q,p)$-radial
$R=qx\partial _x+py\partial _y$. Pour ce champ, on a $d_0=\deg h_0=p+q$,
$\delta\deg h =2pq$,
et $\delta _0=\deg X_0=0$.
Le champ hamiltonien $X_h$ n'est pas � singularit� isol�e
d�s que $p$ ou $q$ est strictement sup�rieur � 1. On a ici:
$$\omega _0=\frac{1}{2pq}(p\frac{dx}{x}+q\frac{dy}{y})\ \ \mbox{et 
}X_0=\frac{1}{2pq} (qx\partial_x-py\partial_y).$$
La base duale de $X_0$ et $R$ est form�e de 
$$-\omega _R=p\frac{dx}{x}-q\frac{dy}{y}\ \ \mbox{et de }\omega _0.$$

\bigskip

{\bf Exemple 2.} (Les singularit�s de type noeud-col):
On pose ici $X_0=y\partial_y$. Le champ
$X_0$ est quasi-\-ho\-mo\-g�ne pour le champ $(1,0)$-radial $R=x\partial _x$
de degr� $\delta _0=0:$
$[x\partial _x, y\partial _y]=0$. 
Deux choix sont ici possible pour la s�paratrice $S$: $x=0$ ou $xy=0$.
Dans le premier cas, les champs $X_0$ et $R$ ne forment pas une base de
$\chi(\log S)$. Le contexte o� nous nous sommes plac�s ici impose donc de ne
consid�rer que les singularit�s de type noeud-col qui conservent les deux axes
comme s�paratrices.


\bigskip

Lorsque l'int�grale premi�re $h$ est elle-m�me � singularit� isol�e, on a
$h_0=h$, et $X_0=\delta^{-1}X_h$. En particulier:

\bigskip

{\bf Exemple 3.} (Le cusp; voir \cite{LOR} et \cite{ZOL}):



On a ici: $h_0=h=y^{p}-x^{q}$ o� $p$ et $q$ sont des entiers strictement
positifs. Dans ce cas, on a vu que $h$ est quasi-homog�ne pour le champ radial
$R=p_1x\partial _x+q_1y\partial _y$, ($p=dp_1$, $q=dq_1$, $p_1$ premier avec
$q_1$), avec $d_0=\delta =p\vee q=dp_1q_1$ et
$\delta _0=dp_1q_1-p_1-q_1$.
La base duale de $X_0$ et $R$ est form�e de $-\omega _R$ et $\omega_0$ avec
$$\omega _R=\frac{1}{h}(-q_1ydx+p_1xdy)\ \ \mbox{et  }
\omega_0=\frac{1}{ \delta}\frac{dh}{ h}.$$

\bigskip



On notera $\widehat\chi(\log S)$, $\widehat\Omega ^1(\log S)$ les compl�t�s
formels de $\chi(\log S)$ et 
$\Omega ^1(\log S)$. Les r�sultats
ci-dessus s'�tendent dans ce contexte formel.




















\section {Pr�\-nor\-ma\-li\-sation des champs et feuilletages}



On se donne un sous-module $M$ du module sur $\widehat{\mathcal O}_n$ des champs de vecteurs
formels, gradu� par un degr� de quasihomog�n�it� $k$: $M=\oplus _k M_k$. On note
$M_{\leq k}=\oplus_{l\leq k} M_k$ le module des champs polynomiaux de degr� au plus $k$.
Soit $X=X_0+\cdots$ un champ dont la partie initiale $X_0$ est
quasi-homog�ne de degr� $\delta_0
$. On consid�re le complexe de Koszul:
$$0\longrightarrow M \stackrel{d^0}{\longrightarrow }
M \stackrel{d^1}{\longrightarrow }
\wedge^2 M \longrightarrow\cdots$$
L'op�rateur $d^0$ est $\mbox{ad}_{X_0}=[X_0,\cdot]$. L'op�rateur $d^1$ est
ici nul (on ne consid�re qu'un seul champ de vecteurs) et rend l'appellation
''complexe de Koszul'' un peu superflue. Nous la conservons n�anmoins car
devient n�cessaire d�s qu'on cherche � normaliser une famille de plusieurs champs de
vecteurs (voir
 \cite{STOLO}). Dans les notations suivantes, l'indice $K$ rappelle l'utilisation de ce complexe
de Koszul:
\begin{eqnarray*}
B_K^1&=& \mbox{Im}(d^0)\\
Z_K^1&=& \mbox{Ker}(d^1)\ \ \ (= M \mbox{ ici})\\ 
H_K^1&=&  Z_K^1/ B_K^1.
\end{eqnarray*}
Le th�or�me suivant g�n�ralise un fait expos� par J. Martinet au
s�minaire Bourbaki \cite{MAR} dans le cas d'un champ initial lin�aire semi-simple. 

\begin{lem}[pr�\-nor\-ma\-li\-sation des champs de vecteurs]\label{Martinet.1} On se donne un
sup\-pl�\-men\-taire
$V$ de $B_K^1$ dans $M$. Il existe un 
champ $Y$ appartenant � $V$ et un diff�o\-mor\-phisme formel $\Phi $ tel que
$$\Phi ^*X=X_0+Y.$$
\end{lem}

\begin{preuve}
Le probl�me �tant formel, on cherche une conjugaison $\Phi $ 
sous forme $\exp Z$ o� $Z$ est un champ de vecteurs formel. On a
$$(\exp Z)^*X=\sum_{k\geq0}\frac{\mbox{ad}_Z^{(k)}}{k!}(X)=X+[Z,X]+\cdots.$$
Remarquons d'abord que d'apr�s la proposition (\ref{qh}), l'op�rateur
$d^0=\mbox{ad}_{X_0}$ est compatible avec la d�composition par le degr�, avec un
d�calage de $\delta_0=\mbox{deg}(X_0)$. Ceci nous permet de d�composer par le
degr� les espaces $B_K^1$, $H_K^1$, et $V$. 
Dans ce qui suit, les indices correspondent au degr� du champ correspondant.
L'existence de $\Phi $ s'�tablit par la r�currence suivante. 
On suppose qu'on a une
telle d�composition jusqu'en degr� $k$, c'est-�-dire qu'il existe un champ
$Y_k$ appartenant � $V_{\leq k}$ et un champ
$Z_{k-\delta_0}$ dans $M_{\leq k-\delta_0}$ tels que
$$(\exp Z_{k-\delta_0})^*X=X_0+Y_k+\widetilde{Y}_{k+1}+\cdots $$
o� $\widetilde{Y}_{k+1}$ appartient �  $M_{k+1}$.
On d�compose ce premier terme du reste dans $M_{k+1}=Im(d^0)_{k+1} \oplus V_{k+1}$:
$$\widetilde{Y}_{k+1}=d^0(Z_{k+1-\delta_0 })+Y_{k+1}.$$
En composant � gauche la conjugaison pr�c�dente par
$\exp(Z_{k+1-\delta_0})$, on fait alors disparaitre le terme
$d^0(Z_{k+1-\delta_0 })$. En effet, en notant $\equiv$ l'�galit� modulo des
termes d'ordre sup�rieur ou �gal � $k+2$, on a
\begin{eqnarray*}
\exp(Z_{k+1-\delta_0})^*\exp(Z_{k-\delta_0 })^*X&\equiv &\exp(Z_{k-\delta_0})^*X+
[Z_{k+1-\delta_0 },\exp(Z_{k-\delta_0})^*X]\\
&\equiv &X_0+Y_k+Y_{k+1}+d^0(Z_{k+1-\delta_0 })+[Z_{k+1-\delta_0},X_0]\\
&\equiv &X_0+Y_k+Y_{k+1}
\end{eqnarray*}
ce qui d�montre le lemme.
\end{preuve}

\begin{rmq}\label{unicite.1}
i) Il n'y a pas d'�nonc� analytique analogue � ce lemme, car nous avons utilis� de
mani�re essentielle le fait qu'une conjugaison formelle est 
l'exponentielle d'un champ formel, fait que nous perdons dans le contexte analytique. 

ii) Pour un suppl�mentaire $V$ fix�, ce
processus ne donne pas un unique champ �quivalent � $X$ dans $V$. En effet,
� chaque �tape, on peut rajouter au champ $Z_{k+1-\delta_0 }$ un champ commutant avec la partie
initiale $X_0$. Ce choix perturbe les termes d'ordre sup�rieur et modifie donc la forme
normale formelle obtenue dans $V$. Pour cette raison, nous parlons seulement
ici de ''pr�normalisation''.
\end{rmq}






Consid�rons maintenant la relation d'�quivalence formelle 
classifiant les champs \textit{� unit� pr�s}:
$$X\approx X' \Leftrightarrow \exists \Phi \in \widehat{\mbox{Diff}}(\C^2,0),\ \exists
u \in \widehat{\cal O}_2,\ u(0)\neq 0,\ \Phi ^*X=uX'.$$










\begin{lem}[pr�\-nor\-ma\-li\-sation des feuilletages]\label{Martinet.2} On se
donne un sup\-pl�\-men\-taire
$W$ de $A_K^1=B_K^1+\widehat{\mathcal O}_nX_0$ dans $M$. 
Il existe un 
champ $Y$ appartenant � $W$, un diff�o\-mor\-phisme formel $\Phi $ et une
unit� formelle $u$ tels que
$$\Phi ^*X=u(X_0+Y).$$
\end{lem}

\textit{Preuve.}
On reprend le raisonnement par r�currence de (\ref{Martinet.1}) avec l'hypoth�se suivante:
on suppose qu'il existe un champ
$Y_k$ appartenant � $W_{\leq k}$, un champ
$Z_{k-\delta_0}$ dans $M_{\leq k-\delta_0}$ et un polyn�me $u_{k-\delta_0 }=1+\cdots$ de degr�
inf�rieur ou �gal � $k-\delta_0 $ tels que
$$(\exp Z_{k-\delta_0})^*X=u_{k-\delta_0 }(X_0+Y_k)+\widetilde{Y}_{k+1}+\cdots $$
o� $\widetilde{Y}_{k+1}$ appartient �  $M_{k+1}$.
On d�compose ce premier terme du reste en
$$\widetilde{Y}_{k+1}=d^0(Z_{k+1-\delta_0 })+a_{k+1-\delta_0 }X_0+Y_{k+1}$$
o� le champ $Y_{k+1}$ appartient � $W_{k+1}$ et $a_{k+1-\delta_0 }$ est quasi-homog�ne de
degr� ${k+1-\delta_0 }$. La conjugaison de $X$ par
$\exp(Z_{k+1-\delta_0})\circ \exp (Z_{k-\delta_0 })$ donne, modulo des
termes d'ordre sup�rieur ou �gal � $k+2$:
\begin{eqnarray*}
\exp(Z_{k+1-\delta_0})^*\exp(Z_{k-\delta_0 })^*X&\equiv & 
u_{k-\delta_0 }(X_0+Y_k)+d^0(Z_{k+1-\delta_0 })+Y_{k+1}+a_{k+1-\delta_0}X_0+\\
&&+[Z_{k+1-\delta_0},(1+\cdots)X_0]\\
&\equiv & u_{k-\delta_0 }(X_0+Y_k)+Y_{k+1}+a_{k+1-\delta_0}X_0\\
&\equiv & (u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0})(X_0+\frac{u_{k-\delta_0 }}{u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0}}Y_k
+\\
&&+\frac{1}{u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0}}Y_{k+1})\\
&\equiv & (u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0})(X_0+Y_k+Y_{k+1})
\end{eqnarray*}
la derni�re �galit� provenant de
$$\frac{u_{k-\delta_0 }}{u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0}}Y_k=(1-a_{k+1-\delta_0}+\cdots)Y_k\equiv Y_k$$
puisque $2k+1-\delta_0 >k+1$ d�s que $k>\delta_0 $, et de
$$\frac{1}{u_{k-\delta_0 }+a_{k+1-\delta_0}}Y_{k+1}=(1+\cdots)Y_{k+1}\equiv
Y_{k+1}.
\ \carre $$





\begin{rmq}\label{unicite.2}
L� encore, il n'y a pas unicit� de la conjuguante et de la forme
normale formelle du feuilletage ainsi obtenues. 
Nous avons m�me plus de libert� dans ces choix que dans la situation pr�c�dente puisque,
� chaque �tape, on peut rajouter au champ
$Z_{k+1-\delta_0 }$ un champ qui ne commute avec la partie initiale $X_0$ que modulo un
champ multiple de $X_0$.
\end{rmq}


\bigskip

Nous nous pla�ons maintenant en dimension 2, et consid�rons une perturbation
$X$ du champ quasi-homog�ne $X_0$ de degr� $\delta_0$ pr�servant un ensemble
analytique invariant $S$. Le champ $X$ appartient donc au module
$M=\widehat{\chi}(\log S)$ des champs logarithmiques pour $S$. Nous supposons que les champs $X_0$ et $R$ forment une base de
$\widehat{\chi}(\log S)$: c'est par exemple le cas lorsque le champ logarithmique $X_0$ est dual d'une 1-forme
$dh/h$, d'apr�s la proposition (\ref{X_0integrable}).
Le champ $X$ s'�crit
$$X=aX_0+bR, $$
avec $a(0)=1$ et $\nu(bR)=\nu(b)+0>\delta_0$ o� $\nu$ d�signe l'ordre de
quasi-homog�n�it� relatif � $R$.
Dans ce contexte, les lemmes de pr�\-nor\-ma\-lisation (\ref{Martinet.1}) et
(\ref{Martinet.2}) peuvent �tre pr�cis�s de la mani�re suivante.
Remarquons d'abord que, puisque $W$ est un suppl�mentaire d'un espace contenant
$\widehat{\cal O}_2\cdot X_0$, $W$ n'a pas de  composante int�grable, et est donc inclus dans 
$\widehat{\cal O}_2\cdot R$: \textit{la composante dissipative (en $R$) d'un
  espace de formes pr�normales du champ $X$ est une espace de formes
  pr�normales du feuilletage d�fini par $X$.} 

Nous pouvons de plus nous limiter � ne consid�rer
que des conjugaisons
du type suivant:

\begin{defi} Nous dirons qu'un diff�omorphisme formel est fibr� par rapport au champ $R$
s'il est l'exponentielle d'un champ multiple de $R$.
\end{defi}

Un tel diff�omorphisme pr�serve donc le feuilletage d�fini par le champ $R$,
feuilletage qui est transverse au feuilletage initial d�fini par le champ
$X_0$ en dehors de $S$.
%Dans la suite, un diff�omorphisme fibr� (sans autre pr�cision) d�signera un
%diff�omorphisme fibr� par rapport au champ radial $R$.



\begin{lem}
[pr�\-nor\-ma\-li\-sation 
� s�paratrices 
fix�es]
\label{Martinet.3} 

On se donne un sup\-pl�\-men\-taire $V$ de $B^1_K$ dans $M=\widehat{\chi}(\log
S)$. Soit $W\subset \widehat{\mathcal O}_2R$ la composante dissipative de $V$,
suppl�mentaire de $A_K^1=B_K^1+\widehat{\mathcal O}_2X_0$ dans
$M$.  

1- Il existe un champ $Y$ appartenant � $V$, un diff�o\-mor\-phisme formel
$\Phi$, tels que $\Phi ^*X=X_0+Y.$

2- Il existe un 
champ $Y$ appartenant � $W$, un diff�o\-mor\-phisme formel $\Phi$ fibr� par
rapport � $R$ et une unit� formelle $u$ tels que
$\Phi ^*X=u(X_0+Y).$
\end{lem}

\begin{preuve} Le module $M=\widehat{\chi}(\log S)$ �tant stable par crochet
 de Lie, cet �nonc� est un corollaire des deux lemmes pr�c�dents
 \ref{Martinet.1} et  \ref{Martinet.2}, sous r�serve de v�rifier
de plus que la conjugaison des feuilletages peut �tre choisie de mani�re
fibr�e. On modifie l'argument de r�currence de  \ref{Martinet.2} en supposant que $\exp Z_{k-\delta_0 }$ est fibr�e, de la
forme $\exp b_{k-\delta_0 }R$, o� $b_{k-\delta_0 }$ est un polyn�me de degr� au plus
$k-\delta_0 $. Dans la d�composition du premier terme du reste
$$\widetilde{Y}_{k+1}=d^0(Z_{k+1-\delta_0 })+a_{k+1-\delta_0 }X_0+Y_{k+1}$$
l'�criture de la somme des deux premiers termes n'est pas unique. On peut ajouter � $Z_{k+1-\delta_0 }$
une composante int�grable quasi-homog�ne de degr� 
$k+1-\delta_0 $ arbitraire: cela n'affectera que la valeur du coefficient $a_{k+1-\delta_0 }$. Nous
utilisons cette libert� pour annuler la composante int�grable de $Z_{k+1-\delta_0 }$ et
choisir ce champ sous la forme $b_{k+1-\delta_0 }R$.
\end{preuve}

\begin{rmq}\label{unicite.3} Deux champs fibr�s
par rapport � $R$ ont m�me image par $d^0$ si et seulement si ils diff�rent d'un champ
fibr� $cR$ tel que $[X_0,cR]=0$, c'est-�-dire d'un champ fibr� $cR$ v�rifiant
$X_0(c)=0$. On peut donc faire op�rer sur l'ensemble des formes
pr�normales d'un feuilletage donn� le
groupe des conjugaisons fibr�es de la forme
$\exp cR$
o� $c$ est une int�grale premi�re de la partie initiale $X_0$.
\end{rmq}

\bigskip


D'apr�s le lemme de pr�normalisation \ref{Martinet.3}, les  quotients qui
nous int�ressent sont maintenant
$$H_K^1=\widehat{\chi}(\log S)/B_K^1$$
pour la classification des champs � s�paratrices fix�es,  et
$$G_K^1=\widehat{\chi}(\log S)/A_K^1\ \mbox{ avec  } A_K^1=\widehat{\cal O}_2\cdot X_0+B_K^1$$
pour la classification de
feuilletages � s�paratrices fix�es. Remarquons que ce sont des modules sur
l'anneau ${\mathcal I}$ des
int�grales premi�res de $X_0$.
On d�signe par $\mbox{Ker}(X_0)$ et $\mbox{Coker}(X_0) =\widehat{\cal
O}_2/\mbox{Im}(X_0)$ les noyau et conoyau du champ $X_0$ vu comme
d�rivation agissant sur $\widehat{\cal O}_2$. 
Ce sont aussi des ${\mathcal I}$-modules.
%On note $\mbox{Coker}(X_0)_\delta$ le sous-module des �l�ments $b$
%de $\mbox{Coker}(X_0)$ d'ordre strictement sup�rieur � l'entier $\delta$.

\begin{thm}\label{PFNF}
Soit $X_0$ un champ quasi-homog�ne de degr� $\delta_0$ par rapport � un champ
quasi-radial $R$, laissant invariant une courbe $S$. On suppose que les champs
$X_0$ et $R$ forment une base des champs logarithmiques pour $S$.
\begin{enumerate}
\item 
%Le module des formes pr�normales de feuilletages d�finis par
%  $X_0+\cdots$ est isomorphe au module 
$G_K^1=\mbox{Coker}(X_0)\cdot R$.
\item Si le degr� $\delta_ 0$ du champ initial est nul (exemples 1 et 2), 
%le module des formes pr�normales du champ  $X_0+\cdots$ est
$$H_K^1=\mbox{Coker}(X_0)\cdot X_0+\mbox{Coker}(X_0)\cdot R.$$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{preuve}
De la relation de quasi-homog�n�it� $[R,X_0]=\delta_0X_0$, on d�duit
$$[X_0,aX_0+bR]=(X_0(a)-\delta_0b)X_0+X_0(b)R.$$
Un champ $X=\alpha X_0+\beta R$ appartient donc � $B^1_K$ si et seulement si
il existe deux coefficients $a$ et $b$ solutions du syst�me
$$\left\{\begin{array}{lll}
X_0(a)-\delta_0b &=&\alpha  \\
X_0(b)& =& \beta 
\end{array}\right.$$
En particulier, un champ $X=\alpha X_0+\beta R$ appartient � 
$A^1_K=\widehat{\cal O}_2\cdot X_0+B_K^1$ si et seulement si
il existe un  coefficient $b$ solution de
$$X_0(b) = 
\beta .$$
L'application
\begin{eqnarray*}
\widehat{\chi}(\log S)\ \ \ \ & \rightarrow& \widehat{\cal O}_2/\mbox{Im}(X_0)\cdot R\\
X=\alpha X_0+\beta R &\mapsto& [\beta ]\cdot R
\end{eqnarray*}
a pour noyau $A_K^1$ et d�finit donc un isomorphisme entre $G_K^1$ et
$\mbox{Coker}(X_0)\cdot R$.



Si le degr� $\delta_0$ est nul, le syst�me pr�c�dent est diagonal, et on
constate imm�\-dia\-tement que $X=\alpha X_0+\beta R$ appartient � $B^1_K$ si et
seulement si il existe deux coefficients $a$ et $b$ solutions de
$X_0(a)=\alpha$ et de $X_0(b)=\beta$. On identifie donc comme ci-dessus
$H_K^1$ et $\mbox{Coker}(X_0)\cdot X_0+\mbox{Coker}(X_0)\cdot R$.
\end{preuve}

\bigskip

Remarquons que d�s que le degr� $\delta_0$ du champ initial est strictement
positif, le probl�me de la d�termination des formes pr�normales de champs
devient plus difficile: il ne se d�compose plus en somme directe des deux
probl�mes ''d�termination d'une classe de feuilletages'' puis ''classification
des champs au sein de cette classe''.

Le th�or�me \ref{PFNF} ram�ne donc la d�termination des espaces de formes
pr�\-nor\-males formelles de feuilletages (et de champs lorsque $\delta_0=0$) au
calcul de $\mbox{Coker}(X_0)$.
Sur les exemples ''classiques'', le conoyau de $X_0$ se calcule ais�ment.
Reprenons les exemples du paragraphe 2:

\bigskip

{\bf Exemple 1.} (Poincar�-Dulac):

Soit $X_0=\frac{1}{2pq} (qx\partial_x-py\partial_y)$, quasi-homog�ne pour 
$R=qx\partial _x+py\partial _y$. Les seules
obstructions � la r�solution de l'�quation $X_0(f)=g$ proviennent des termes
$g_{kp,kq}$ de la s�rie de Taylor de $g$. Le conoyau de $X_0$ est donc ici
$\C[[h]]$, avec $h=x^py^q$. Nous en d�duisons donc qu'il existe des s�ries
formelles d'une variable $a$ et $b$ avec $\nu(b)>0$ telles que

 $$X\sim a(x^py^q)X_0+b(x^py^q)R,  \ \ X\approx X_0+b(x^py^q)R.$$

\bigskip

{\bf Exemple 2.} (Les singularit�s de type noeud-col):

On a ici: $X_0=y\partial_y$ et $R=x\partial _x$.
On v�rifie imm�diatement que le conoyau est ici $\C[[x]]$. Donc pour tout
champ $X=X_0+\cdots$  il existe des s�ries
formelles d'une variable $a$ et $b$ avec $\nu(b)>0$ telles que
 $$X\sim a(x)X_0+b(x)R,  \ \ X\approx X_0+b(x)R.$$

{\bf Exemple 3.} (Le cusp $h=y^p-x^q$):

Soit $X_0= \frac{1}{ \delta}(py^{p-1}\partial_x+qx^{q-1}\partial_y)$.
Le conoyau de cette d�rivation a �t� calcul� par F. Loray dans \cite{LOR}: il
est engendr� sur $\C[[h]]$ par les mon�mes $a_{k,l}=x^ky^l$, $k=0, \cdots
q-2$, $l=0\cdots p-2$. L'espace des formes
pr�normales de feuilletages obtenues ici est donc
%\sum_{\begin{array}{c}{\scriptstyle k=0,\cdots q-2,}\\ {\scriptstyle l=0\cdots p-2}\end{array}}
$$X\approx X_0 +\sum_{k=0,\cdots q-2,\ l=0\cdots p-2}
 \C[[h]]x^ky^l\ R.$$

\bigskip

Nous nous proposons dans le paragraphe suivant, de g�n�raliser ce dernier exemple � toute d�rivation
$X_0=X_h$, o� $h$ est une fonction quasi-homog�ne � singularit� isol�e.



















\section{Conoyau d'une d�rivation hamiltonienne $X_0$}

Nous nous pla�ons sous l'hypoth�se (2-) mentionn�e dans l'introduction: le champ initial 
$X_0$ est hamiltonien, dual pour la forme $dx\wedge dy$ d'une forme
$\delta^{-1}dh$, o� l'int�grale premi�re $h$ est quasi-homog�ne de degr�
$\delta$. Nous savons d'apr�s (\ref{X_0integrable}) que les champs $X_0$ et $R$ forment une base
de $\widehat\chi(\log S)$.
Nous supposons de plus que $h$ est � singularit� isol�e.
On d�signe par $J_0$
l'id�al des composantes de $X_0$ dans la base usuelle (qui est aussi l'id�al jacobien de $h$), et par $a_1=1,\cdots
a_{\mu}$, une base engendrant l'espace vectoriel ${\cal O}^2/J_0$.

Dans ce paragraphe, nous �tudions le champ $X_0$ vu comme op�rateur de
d�rivation sur l'anneau de fonctions $\C\{h\}$ (ou $\C[[h]]$). En d'autres
termes, nous �crivons ici $X_0$ pour d�signer la d�riv�e de Lie ${\mathcal L}_{X_0}$.




\begin{thm}\label{conoyau}\footnote{R. Schaefke a communiqu� � l'auteur une
autre preuve de ce r�sultat, reposant n�anmoins sur un lemme analogue au lemme
de division \ref{lemme de division}.}
Le noyau $\mbox{Ker}(X_0)$ de la
d�rivation $X_0$ est l'anneau ${\mathcal I}=\C\{h\}$ des int�grales premi�res de $X_0$. 
Son conoyau ${\cal O}_2/\mbox{Im}(X_0)$ est le module libre de rang $\mu$ engendr� sur 
$\C\{h\}$ par
$(a_1, a_2,\cdots a_{\mu})$.

On a un r�sultat analogue pour la d�rivation $X_0$ agissant sur l'anneau des s�ries
formelles
$\widehat{\cal O}_2$, en substituant dans l'�nonc� ci-dessus l'anneau $\C\{h\}$ par
$\C[[h]]$.
\end{thm}

\begin{preuve}
Clairement $\C\{h\}$ est inclus dans le noyau
de $X_0$. L'�galit� r�sulte d'un th�or�me de Mattei-Moussu (\cite{MM}):
Puisque $h$ est � singularit� isol�e, elle 
n'est pas une puissance d'une autre int�grale premi�re et toute int�grale premi�re analytique (resp. formelle) du
champ est obtenue par composition � gauche de $h$ par une s�rie convergente (resp.
formelle).

Pour d�terminer le conoyau de $X_0$, nous nous inspirons d'un argument de B. Malgrange utilis�
dans le cadre des modules de cohomologie relative � un germe d'application holomorphe:
\cite{MAL}. On consid�re ici les
$\C\{h\}$-modules
$$E=
%\frac{J_0}{ \mbox{Im}(X_0)}=
\frac{J_0}{\mbox{Im}(X_0)} \    \ \mbox{et  } 
F=\frac{{\cal O}_2}{\mbox{Im}(X_0)}.$$ 


Le quotient $F/E$ est un
espace vectoriel de dimension finie
$\mu$. Ces modules sont munis d'une E-F connexion $\nabla :E    \rightarrow F$ (au sens d�fini dans
\cite{MAL}) que l'on construit � l'aide d'un lemme de division:


\begin{lem}[lemme de division]\label{lemme de division}
Pour tout �l�ment $f$ de $J_0$, il existe $a$ et $b$ dans ${\cal O}_2$ tels que
$$f=ah+X_0(b).$$
De plus, dans cette �criture, le coefficient $a$ repr�sente un unique �l�ment de $F$.
\end{lem}

\textit{Preuve du lemme de division.} 
On remarque d'abord que pour toute
constante $c$ non enti�re n�gative, les op�rateurs $R+c$ sont bijectifs. En effet, 
en utilisant les
d�compositions en composantes quasi-\-ho\-mo\-g�nes $\alpha =\sum \alpha _i$, $\beta =\sum \beta _i$,
l'�galit� $(R+c)(\alpha )=\beta $ �quivaut � $(i+c)\alpha _i=\beta _i$ pour
tout $i$, syst�me que
l'on r�soud formellement ou analytiquement sans autre obstruction que celle annonc�e.
De plus, pour toute constante
$c$ on a la relation de commutation
\begin{eqnarray}
(R+c)X_0=[R,X_0]+X_0R +cX_0=\delta _0X_0+X_0R +cX_0=X_0(R+c+\delta _0).
\end{eqnarray}
ou encore, lorsque $R+c$ est inversible,
\begin{eqnarray}\label{com}
(R+c)^{-1}X_0=X_0(R+c+\delta _0)^{-1}.
\end{eqnarray}
Pour tout �l�ment $f$ de $J_0$, il existe un champ $X$ tel que $f=X(h)$. Choisissons un coefficient $\alpha $ de sorte que le champ $X-\alpha R$ soit de
divergence nulle. Ceci est possible car, si $p$ d�signe la somme des poids de $R$,
\begin{eqnarray*}
\mbox{div}(X-\alpha R)=0 &\Leftrightarrow& \mbox{div}(X)-R(\alpha )-\alpha \mbox{div}(R)=0\\
&\Leftrightarrow& (R+p)(\alpha )=\mbox{div}(X).
\end{eqnarray*}
et on utilise la surjectivit� de l'op�rateur $R+p$. Pour tout
$f$ de $J_0$ on a
$$f=X(h)= \alpha R(h) + (X-\alpha R)(h)= ah +Y(h).$$
Le champ $Y$ �tant de divergence nulle, il existe
une fonction $\tilde b$ telle que 
$$Y=\tilde b_y\partial _x- \tilde b_x\partial _y.$$
On a donc $Y(h)=\tilde b_yh_x-\tilde b_xh_y=X_h(\tilde b)=X_0(b),$ pour
$b=\delta\tilde b$, d'o� l'existence de la d�composition annonc�e.
Pour �tablir son unicit�, il nous faut d�montrer que si $ah=-X_0(b),$
alors $a$ est dans l'image de $X_0$. L'�galit� pr�c�dente s'�crit encore
$$(a    \frac{R}{\delta }+Y)(h)=0$$
et $X_0$ �tant � singularit� isol�e, nous en d�duisons l'existence de $c$ dans
${\cal O}_2$ tel que
$$a     \frac{R}{\delta }+Y=cX_0.$$
Puisque $X_0$ et $Y$ sont de divergence nulle, on obtient en appliquant l'op�rateur de divergence,  
$$\frac{R+p}{\delta }(a)=X_0(c)$$
d'o�, en utilisant la relation de commutation (\ref{com}),
$$a=    (R+p)^{-1}X_0(\delta  c)=X_0(R+p+\delta_0)^{-1}(\delta  c).    \ \ \carre $$


\bigskip

\noindent \textit{Fin de la preuve du th�or�me (\ref{conoyau}).} Ce lemme de division nous
permet de d�finir l'op�rateur 
\begin{eqnarray*}
\nabla:\ \frac{J_0}{ \mbox{Im}(X_0)}&\longrightarrow &\frac{{\cal O}_2}{
\mbox{Im}(X_0)}\\
\end{eqnarray*}
par la formule $\nabla = \frac{R}{\delta  h}$. En effet, pour tout �l�ment de la source
repr�sent� par $f=ah$,
$$\nabla (f)= \frac{R}{\delta  h}(f)=\frac{R}{\delta h}(ah)=\frac{R+\delta  }{\delta }(a),$$ 
est bien d�fini
dans le quotient $F=\frac{{\cal O}_2}{\mbox{Im}(X_0)}.$ Cet op�rateur $\C$-lin�aire est une
connexion de
$\C\{h\}$-modules:
$$ \nabla(l(h)f)=l'(h)\frac{R}{\delta  h}(h)f+l(h)\frac{R}{\delta  h}(f)=l'(h)f+l(h)\nabla(f).$$
De plus, l'op�rateur $\nabla$ est un isomorphisme: ceci r�sulte de la bijectivit� de
l'op�rateur $R+\delta $ et de l'unicit� du coefficient $a$ obtenu au lemme de division.
L'indice
$\chi (\nabla,{\cal O}_2)$ de cet op�rateur est donc nul. Un th�or�me d'indice analytique
pour les $E$-$F$-connexions (voir 
\cite{MAL}, th�or�me (3.2) page 408) nous assure alors que le rang $r$ du module $E$ est
donn� par
$$r=\chi (\nabla,{\cal O}_2)+\mbox{dim}_{\C}F/E=\mu.$$

Pour trouver un syst�me g�n�rateur du module $F$, il suffit de remarquer que le
module $E$ est isomorphe � ${\cal M}\cdot F$ o� ${\cal M}$ d�signe l'id�al
maximal de $\C\{h\}$. En effet, le lemme de division nous permet de d�finir une
application injective
\begin{eqnarray*}
E &\longrightarrow & {\cal M}\cdot F\\
f&\mapsto & ah.
\end{eqnarray*}
La surjectivit� de cette application provient de la quasi-homog�n�it� de $h$.
L'espace vectoriel $F/{\cal M}\cdot F$ est donc isomorphe � $F/E={\cal
O}_2/J_0$ et on obtient un syst�me g�n�rateur de $F$ � partir de
repr�sentants d'une base de cet espace vectoriel par le lemme de Nakayama.

Enfin, il nous reste � v�rifier que $F$ est sans torsion. Soit $f$ un
repr�sentant d'un �l�ment de
$F$ tel que $hf$ soit nul dans $F$. Puisque $hf$ appartient � ${\mathcal M}\cdot F=E$, on peut
lui appliquer l'op�rateur $\nabla=R/\delta  h$, et on a $\nabla(hf)=0$ dans $F$, ce qui
signifie qu'il existe un �l�ment $g$ de ${\mathcal O}_2$ tel que 
$$\nabla(hf)=X_0(g).$$
Les �galit�s interm�diaires du calcul qui suit ont un sens apr�s avoir tensoris� par le
corps des fractions de
$\C\{h\}$:
$$\nabla (hf)=f+h\nabla f=f+h\frac{R}{\delta h}f=\frac{R+\delta }{\delta }(f).$$
On obtient donc en utilisant la relation (\ref{com}),
$$f=(R+\delta )^{-1}X_0(\delta g)=X_0(R+\delta +\delta _0)^{-1}(\delta g)$$
d'o� $f=0$ dans ${\mathcal O}_2/J_0$.

Pour obtenir une version formelle de ce r�sultat, nous devons nous assurer que l'indice formel
$\chi (\nabla,\widehat{\cal O}_2)$ reste �gal � l'indice analytique. D'apr�s \cite{MAL.2},
ceci �quivaut � v�rifier que l'origine est une singularit� r�guli�re pour
l'op�rateur $\nabla$. Pour cela, nous choisissons une base de $E$ engendr�e par des $a_i$ qui
sont des \textit{mon�mes}: $a_i=x^{k_i}y^{l_i}.$ Ceci est toujours possible en utilisant la
notion de base standard consid�r�e par J. Brian�on et A. Galligo dans
\cite{BG}. On peut supposer de plus que $a_1=1.$ Calculons
le syst�me diff�rentiel associ� � $\nabla$ dans cette base, sur le corps des fractions de
$\C\{h\}$. On a
$$\nabla(a_i)=\frac{R}{\delta  h}(a_i)=r _i\frac{a_i}{h}$$
o� $r _i$ est le rationnel positif $\frac{p_1k_i+p_2l_i}{\delta }$. On a donc
%\begin{eqnarray*}\label{calcul.de.nabla}
$$\nabla(\sum_{i=1}^{\mu}d_i(h)a_i)=\sum_{i=1}^{\mu}(\frac{d}{dh}d_i(h)
a_i+d_i(h)r _i\frac{a_i}{h})$$ d'o� le syst�me diagonal 
$$h\frac{d}{dh} d_i(h)+r_id_i(h)=0,\ \ i=1\cdots \mu $$
qui est � point singulier r�gulier.
\end{preuve}

\bigskip

\begin{rmq}\label{solutions} Les solutions de ce syst�me sont de la forme 
$$ d_i(h)=c_ih^{-r_i},\ \ c_i\in \C.$$
\end{rmq}

Le th�or�me (\ref{PFNF}) et la d�termination du conoyau de $X_0$
(\ref{conoyau}) d�montrent le th�or�me 2 �nonc� dans l'introduction.



























\section{Formes pr�normales et cohomologie relative � la forme initiale duale}

Soit $\omega _0=\delta^{-1}dh/h$ la forme logaritmique ferm�e duale de
$X_0$. Le complexe logarithmique formel relatif � $\omega _0$ est d�fini par:
$$\widehat\Omega ^{\cdot}_{DR}(\log S):= 
\frac{\widehat\Omega ^{\cdot}(\log S)}{\omega _0\wedge \widehat\Omega
^{\cdot -1}(\log S)}$$ muni de la diff�rentielle $d$ usuelle
(celle-ci passe au quotient puisque
$\omega _0$ est ferm�e). L'indice ''$\scriptstyle DR$'' pour De Rham Relatif fait r�f�rence
� cette diff�rentielle. La cohomologie logarithmique relative � $\omega
_0$ est la cohomologie de ce complexe. Remarquons que, contrairement au complexe relatif usuel (non
logarithmique) toute 1-forme est ici relativement ferm�e. En effet, puisque $\omega _0\wedge \omega _{R}$ est une base de $\Omega
^{2}(\log S)$ (voir \ref{flog}), toute 2-forme logarithmique est multiple de $\omega _0$, et on a
$\widehat\Omega ^{2}_{DR}(\log S)=0.$ On a donc:
$$\widehat H^1 _{DR}(\log S)= 
\frac{\widehat\Omega ^{1}(\log S)}{\widehat B^{1}_{DR}(\log S)}$$ avec
$$\widehat B^{1}_{DR}(\log S)=\{\alpha \in \widehat\Omega ^{1}(\log
S), \ \exists f,  \ g\in \widehat{\cal O}_2,\  \alpha =df+g\cdot \omega _0 \}.$$On remarquera que $\widehat B^{1}_{DR}(\log S)$ et $\widehat
H^{1}_{DR}(\log S)$ sont encore des
$\C[[h]]$-modules.

\begin{prop}\label{calcul.Hrel} Le module
$\widehat H^{1}_{DR}(\log S)$ est le $\C [[h]]$-module dual du module des
formes pr�normales de feuilletages $G_K^1$: 
$\widehat H^{1}_{DR}(\log S)=\mbox{Coker}(X_0)\cdot \omega_R$.
En particulier, il est libre de rang
$\mu$, engendr� par les formes $a_i\omega _{R}$, $i=1,\cdots \mu$.
\end{prop}



\begin{preuve}
Pour toute $\omega =a\omega _{0}+b\omega _R$ de 
$\widehat\Omega ^{1}(\log S)$ on a, en tenant compte de la formule (\ref{derivation}),
\begin{eqnarray*}
\omega \in \widehat B^{1}_{DR}(\log S) &\Leftrightarrow &
\exists f,  \ g\in \widehat{\cal O}_2, \ 
\omega=df+g\cdot \omega _0 \\
&\Leftrightarrow &
\exists f,  \ g\in \widehat{\cal O}_2,\   
\omega=-X_0(f)\omega _{R}+ (R(f)+g)\omega _0\\
&\Leftrightarrow &
\exists f,  \ l\in \widehat{\cal O}_2,\   
\omega=X_0(f) \omega _{R}+ l\ \omega _0
\end{eqnarray*}
Ainsi l'obstruction � �tre un bord relatif ne porte que sur le seul coefficient de $\omega _R$
et se ram�ne � rechercher les obstructions � la r�solution de l'�quation
$X_0(f)=b$.~\end{preuve}

\bigskip

Cette proposition nous donne une formule int�grale pour le calcul des
coefficients de la forme normale de $X=X_0+\cdots$.
Pour cela, �crivons la version duale du th�or�me 2 �nonc� dans l'introduction: 

\bigskip

{\bf Th�or�me $2^\sharp$.}
\textit{Soit $\omega=\omega _0 +\cdots $ une perturbation de la forme ferm�e  
$\omega _0$. Il existe un 
�l�ment $(d_1,\cdots d_{\mu })$ de $\C[[h]]^{\mu}$, 
une conjugaison formelle fibr�e $\Phi $ conjuguant orbitalement $\omega$ �
$$\omega_N=\omega _0 +\sum_{i=1}^{\mu }d_i(h){a_i\omega_R}.$$}

\bigskip

Les 1-formes apparaissant dans cette forme normale $\omega_N$ �tant
relativement ferm�es par rapport � $\omega_0$,
il est naturel de les int�grer sur des cycles dans les feuilles de $\omega_0$,
c'est-�-dire dans les fibres de $h$. Pour ceci la base des formes
${a_i\omega_R}$
n'est pas adapt�e: une base duale de cycles pour une fibre donn�e ne l'est
plus pour les autres fibres lorsqu'on suit ces cycles par trivialisation locale
du fibr� de Milnor induit par $h$. Nous choisissons donc une base de formes $\eta_i$
\textit{horizontales} c'est-�-dire de formes $b_i\omega_R$ dont les coefficients sont
solutions de $\nabla(b)=0.$ D'apr�s $(\ref{solutions})$, il suffit de prendre
$$\eta_i=h^{-r_i}a_i\omega_R,\ \mbox{avec} \ r_i=\frac{p_1k_i+p_2l_i}{\delta }.$$
Fixons une fibre $F$ de $h$ et une base $\gamma_1,\cdots \gamma_\mu$ de
l'homologie de $F$ duale de la restriction des formes $\eta_i$ � $F$. 
Soit $\gamma_i(h)$ les cycles obtenus sur les autres fibres de $h$ � partir de
la fibre $F$ par les
trivialisations locales de la fibration $h$.
D'apr�s la formule (voir \cite{MAL}):
$$\frac{d}{dh}\int_\gamma (h) \eta= \int_\gamma \nabla \eta$$
ces formes horizontales restreintes aux fibres voisines restent duales des
cycles $\gamma_i(h)$. Ecrivons maintenant $\omega_N$
dans cette base horizontale:
$$\omega_N=\omega _0 +\sum_{i=1}^{\mu }\delta_i(h){\eta_i}.$$
Nous avons obtenu:
$$\delta_i(h)=\int_{\gamma_i(h)}\omega_N.$$
Remarquons que les coefficients $\delta_i(h)$ sont multivalu�s, uniformisables
sur un rev�tement fini -les exposants $r_i$ sont rationnels- du disque image
de $h$.
Observons cependant que, en tant que \textit{fonctions}, les $\delta_i$ ne sont pas des invariants de la classe
formelle du feuilletage d�fini par $\omega$. Plus pr�cis�ment,
les fonctions
$$\widetilde\delta_i(h)=\int_{\gamma_i(h)}\omega$$
n'ont pas de raison d'�tre conjugu�es aux
fonctions $\delta_i(h)$ d�finies sur la forme normale $\omega_N$.
La v�ritable nature
de ces invariants apparait dans le paragraphe qui suit. 















\section{R�duction finale.}


D'apr�s la remarque (\ref{unicite.3}), les conjugaisons formelles fibr�es $\Phi $ de la
forme
$\exp b(h)R$ o� $b$ est une s�rie formelle d'une variable, agissent sur l'ensemble des formes
pr�normales formelles du feuilletage d�fini par $X=X _0+\cdots$. Il s'agit ici de
d�finir un repr�sentant privil�gi� unique dans chaque orbite de cette action. Explicitons
celle-ci.

\begin{lem}\label{c.fibree} Soit $R= p_1x\partial_x+p_2y\partial_y$ et $\Phi $ un
diff�omorphisme formel, tangent � l'identit�,  � l'origine de $\C^2$. Les propri�t�s
suivantes sont �quivalentes:


i- $\exists $b$ \in \widehat{\cal O}_1,\ \Phi =\exp b(h)R,$

ii- $\exists $u$ \in \widehat{\cal O}_1, \ u(0)=1,\ \Phi =(xu(h)^{p_1},yu(h)^{p_2}),$

iii- $\exists \varphi  \in \widehat{\cal O}_1,\ \varphi (0)=0, \ \varphi '(0)=1,\ 
h\circ \Phi =\varphi \circ h.$
\end{lem}

\begin{preuve}
Pour v�rifier l'�quivalence entre (i-) et (ii-), on consid�re l'int�grale premi�re
m�romorphe $F=x^{p_2}y^{-p_1}$ du champ radial $R$. Le fait que $\Phi $ soit fibr�e ($\Phi
=\exp B.R$) �quivaut � $F\circ \Phi =F$. En �crivant $\Phi $ sous forme $(xV, yW)$ o� $V$
et $W$ sont des unit�s de $\widehat{\cal O}_2$, cette condition donne
$V^{p_2}=W^{p_1}$ d'o� l'existence d'une unit� $U$ telle que $V=U^{p_1}$ et $W=U^{p_2}.$
De plus, le d�veloppement formel 
$$\exp B.R= \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(B.R) ^{(i)}}{i!}$$
prouve en l'appliquant � $x$ et $y$ que $B=b(h)$ si et seulement si $U=u(h).$
L'�quivalence entre (ii-) et (iii-) se d�duit de la relation de quasi-homog�n�it�
$$h(xu^{p_1},yu^{p_2})=u^{\delta }h(x,y)$$
en posant $\varphi (h)=hu(h)^{\delta }.$
\end{preuve}

\begin{lem} Soit $\Phi $ une conjugaison v�rifiant une des conditions du lemme (\ref{c.fibree}).
On a:
\begin{eqnarray*}
\Phi ^*R&=&\frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}\ R,\\
\Phi ^*X_0&=&(\frac{\varphi (h)}{h})^{\delta _0/\delta }\ X_0.
\end{eqnarray*}
\end{lem}

\begin{preuve}
Soit $\omega _0=\delta ^{-1}dh/h.$ On a
$$\Phi ^*\omega _0=\frac{h\varphi '(h)}{\varphi (h)}\ \omega _0.$$
De plus, le d�veloppement formel de $\Phi =\exp b(h)R$ montre l'existence d'un coefficient
$c(h)$ tel que $\Phi ^*R=c(h)R.$ De la relation $\omega _0(R)=1$, nous d�duisons
$$c(h)=\frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}.$$
Posons $\Phi ^*X_0=aX_0+bR.$ De la relation $\omega _0(X_0)=0$, nous d�duisons $b=0$. 
Le d�veloppement formel de $\Phi =\exp b(h)R$ montre que $a=a(h)$. On calcule maintenant ce
coefficient en �crivant
$$[\Phi ^*R,\Phi ^*X_0]=\Phi ^*[R,X_0]=\Phi ^*\delta _0X_0=\delta _0a(h)X_0$$
soit encore
$$[\frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}\cdot R, a(h)X_0]=\delta _0a(h)X_0$$
d'o�
$$\frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}(\delta a'(h)h+\delta _0a(h))=\delta _0a(h).$$
Cette �quation diff�rentielle d'une variable $h$ et d'inconnue $a$ admet pour solution 
$$a(h)= (\frac{\varphi (h)}{h})^{\delta _0/\delta }$$
d'o� le r�sultat.
\end{preuve}

\bigskip

Consid�rons maintenant une forme pr�normale $Y$ du feuilletage d�fini
par $X=X_0+\cdots$ sous la forme obtenue au th�or�me 1:
$$Y=X_0 +\sum_{i=1}^{\mu } d_i(h)a_iR.$$
On suppose qu'on a choisi une base $a_1=1,\ a_2,\cdots a_{\mu}$ de $\widehat{\cal O}_2 
/ J_0$ form�e de mon�mes $a_i=x^{k_i}y^{l_i}.$ Ceci est toujours possible d'apr�s
\cite{BG}. Pour toute conjugaison $\Phi $ v�rifiant une des conditions du lemme
(\ref{c.fibree}), on a donc
$$\Phi ^*a_i=a_i(xu(h)^{p_1},yu(h)^{p_2})=u(h)^{k_ip_1+l_ip_2}a_i=
(\frac{\varphi (h)}{h})^{r _i}a_i$$
o� $r _i$ est le rationnel $\frac{k_ip_1+l_ip_2}{\delta }$.
Nous obtenons donc:
\begin{eqnarray*}
\Phi ^*Y&=& (\frac{\varphi (h)}{h})^{\delta _0/\delta }\ X_0
+\sum_{i=1}^{\mu }d_i((\varphi (h))\frac{\varphi (h)^{1+r _i}}{h^{1+r _i}\varphi
'(h)}\ a_iR \\
&\approx & X_0 +\sum_{i=1}^{\mu } d_i((\varphi (h))
\frac{\varphi (h)^{1+q_i/\delta }}{h^{1+q_i/\delta }\varphi '(h)}\ a_iR\\
\end{eqnarray*}
o� $q_i$ est l'entier $k_ip_1+l_ip_2-\delta _0$. Nous remarquons donc que si on
pose $\delta _i(h)=h^{1+q_i/\delta }d _i(h)$, le coefficient $\delta _i(h)$ change sous l'action
de $\Phi $ par la formule
$$\delta _i(h)\mapsto \frac{\delta _i\circ \varphi }{\varphi '}(h)$$
et se comporte donc comme un champ de vecteurs (ramifi�) d'une variable $z$: 
$$\theta _i=z^{1+q_i/\delta }d_i(z)\partial _z.$$
Posons $d_i(z)=z^{m_i}u_i(z)$, avec $u_i(0)\neq 0$.
Ce champ ramifi� se rel�ve par $z=\tilde{z}^\delta $ en un champ uniforme
$$\widetilde{\theta _i}=\delta  \tilde{z}^{1+q_i+\delta
m_i}u_i(\tilde{z}^\delta )\partial_{\tilde{z}}.$$ Celui-ci se normalise (voir par exemple
\cite{MR2}) par une transformation $\widetilde{\varphi }$ de la m�me classe (de convergence,
divergence, sommabilit�,...) que $d_i$ en
$$\frac{\delta \tilde{z}^{1+q_i+\delta m_i}}{1+\lambda  \tilde{z}^{q_i+\delta
m_i}}\partial_{\tilde{z}}$$ 
Cette forme normale redescend en
$$\frac{ {z}^{1+q_i/\delta +m_i}}{1+\lambda {z}^{q_i/\delta +m_i}}\partial_{z}.$$
Nous avons donc montr� l'existence d'une conjuguante $\Phi  $ qui normalise 
$d_i(h)$
sous la forme
$$\frac{ {h}^{m_i}}{1+\lambda  {h}^{m_i+q_i/\delta }}.$$
Remarquons que le nombre complexe
$\lambda  $ est le r�sidu de la forme 
$$\frac{u_i^{-1}(\tilde{z}^\delta )}{\tilde{z}^{1+q_i+\delta m_i}}d\tilde{z}.$$
Pour qu'il soit non nul, il est n�cessaire que $\delta $ divise $q_i$. En cons�quence, nous
avons d�montr� l'existence d'une transformation $\Phi $ agissant sur l'ensemble des formes
pr�normales de $X$ et normalisant un des coefficients $d_i$ choisi arbitrairement sous forme
$$\frac{h^{m_i}}{1+\lambda  h^{m_i+n_i}}$$
avec $m_i$ et $n_i$ entiers, $m_i\geq 1$, $n_i\geq 0$, et $\lambda $ nul d�s que $\delta $ ne
divise pas
$q_i=k_ip_1+l_ip_2-\delta _0$. Nous avons obtenu le


\begin{thm}[Classification formelle des feuilletages]\label{f.normale}
Soit $X=X_0 +\cdots $ une perturbation � s�paratrices fix�es du champ quasi-\-ho\-mo\-g�ne
$X_0=(dh/\delta h)^{\flat }=\delta^{-1}X_h$, de degr� $\delta_0$,
$\mu$ le nombre de Milnor
de $X_0$ (ou de $h$),
et $a_i=x^{k_i}y^{l_i}$ une base monomiale de $\widehat{\cal O}_2  / J_0$ o� $J_0$ d�signe
l'id�al engendr� par les composantes de $X_0$. Il existe un 
�l�ment $( d_1,\cdots
 d_{\mu })$ de
$\C[[h]]^{\mu}$ et une conjugaison fibr�e $\Phi $ tangente � l'identit� tels que

i- $\Phi $ conjugue pour la relation $\approx$ le champ $X$ � $$X_0 +\sum_{i=1}^{\mu
} d_i(h)a_i R$$

ii- un des coefficients formels $d_i$, choisi arbitrairement parmi les coefficients $d_j$ non
nuls --par exemple le premier non nul de la suite ordonn�e par le choix de la base $a_i$--
s'�crive sous la forme rationnelle
$$\frac{h^{m_i}}{1+\lambda  h^{m_i+n_i}}$$
avec $m_i$ et $n_i$ entiers, $m_i\geq 1$, $n_i\geq 0$. De plus, le coefficient
$\lambda $ est nul d�s que
le degr� $\delta$ de $h$ ne
divise pas
$k_ip_1+l_ip_2-\delta _0$.
\end{thm}

Quelques commentaires sur cet �nonc�:

\medskip
 
i-) La transformation utilis�e dans cette r�duction finale est dans la m�me classe
de sommabilit� que la forme pr�normale consid�r�e. En particulier, elle converge d�s que
celle-ci est convergente. Les probl�mes de divergence des formes normales
obtenues ne se posent donc que sur l'�tape de pr�normalisation.

\medskip

ii-) De cette r�duction finale des feuilletages d�finis par
$X=X_0+\cdots$,
nous pouvons remarquer que nous avons
caract�ris� chaque classe formelle de feuilletage par une \textit{collection de
$\mu$ champs de vecteurs d'une seule variable, d�finis � conjugaison commune
pr�s sur un rev�tement fini d'ordre $\delta=\deg h$ du disque image de
l'int�grale premi�re $h$ de $x_0$}. Une interpr�tation
g�om�trique de l'alg�bre de Lie engendr�e par ces invariants s'impose donc, ce
que nous nous proposons de d�velopper dans un travail ult�rieur.

\medskip

iii-) L'unicit� des formes normales et conjuguantes donn�es par le th�or�me 
\ref{f.normale} n'est pas compl�te: Nous pouvons encore faire agir le
groupe des transformations fibr�es $\exp b(h)R$ qui pr�servent le coefficient
normalis� sous forme $h^{m_i}/(1+\lambda  h^{m_i+n_i})$, c'est-�-dire du
groupe des diff�omorphismes en $h$ qui se rel�vent en $\tilde h=h^\delta$ en un
diff�omorphisme pr�servant le champ $\theta_i$. Ce groupe est une extension
ab�lienne du  groupe � un param�tre de $\theta_i$ par un groupe fini de
rotations. Son action modifiera les $\mu -1$ autres coefficients $d_j(h)$. Il n'est cependant pas n�cessaire de choisir un repr�sentant
privil�gi� sous cette action pour d�terminer si deux champs $X=X_0+\cdots$
et $X'=X_0+\cdots$ sont formellement conjugu�s. La remarque ii) ci-dessus
r�pond � cette question en la r�duisant � un probl�me de classification
d'alg�bre de Lie d'une seule variable, et � ce titre, ce th�or�me peut donc
�tre consid�r� comme un th�or�me de classification compl�te. 


\bigskip

Appliquons cette r�duction finale des feuilletages aux trois exemples expos�s dans les
paragraphes 2 et 3.

\bigskip

{\bf Exemple 1.} (Poincar�-Dulac) 
Toute forme pr�normale formelle de
$\frac{1}{2pq}(qx\partial_x-py\partial_y)+\cdots$  est du type
$$X_0+d[[x^py^q]]R.$$
La normalisation finale donne ici
$$\Phi ^*X_0=X_0,\ \ \Phi ^*R=\frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}\ R$$
et transforme $d(h)$ en $d\circ \varphi (h) \frac{\varphi (h)}{h\varphi '(h)}$.
Le coefficient $\delta (h)=hd(h)$ se normalise comme un champ de vecteurs, d'o� la forme
normale
$$X_0+ \frac{h^m}{1+\lambda h^m} R,$$ encore �quivalente �
$$(1+\lambda  h^m)\ X_0+ h^m\ R.$$
Celle-ci est une variante des formes normales formelles usuelles: pour retrouver les formes
normales $X_{p/q,m,\lambda }$ propos�es dans \cite{MR2}, il suffit de faire une translation
de $1/2$ sur le r�sidu, et de faire agir un changement de variable lin�aire convenable.

\bigskip

{\bf Exemple 2.} (singularit� de type noeud-col).
Les formes pr�normales formelles de $y\partial_y +\cdots $ sont ici du type
$$y\partial_y +{d}(x)x\partial _x.$$
Les transformations consid�r�es dans la r�duction
finale ($\Phi =\exp b(x)\partial_x$: $(x,y)\mapsto (\varphi(x),y)$) v�rifient ici:
$$\Phi ^*X_0=X_0, \ \ \Phi ^*R=\frac{\varphi }{x\varphi '(x)}R$$
o� $\varphi (x)=\exp b(x)\partial_x(x).$
En posant $d(x)R=\delta (x)\partial_x$,
une telle conjugaison agit sur $\delta (x)$ par $\frac{\delta \circ \varphi }{\varphi '}(x)$ et
permet de le normaliser sous la forme normale d'un champ. On
obtient donc la forme normale formelle usuelle
$$X\approx y\partial_y + \frac{x^{m+1}}{1+\mu  x^m}\partial_x
\approx {(1+\mu  x^m)}y\partial_y + {x^{m+1}}\partial_x.$$

{\bf Exemple 3.} (Le cusp $h=y^p-x^q$.) 
Les formes pr�normales sont ici
$$X_0 +
%\sum_{\begin{array}{c}{\scriptstyle k=0,\cdots q-2,}\\ {\scriptstyle l=0\cdots p-2}\end{array}}
\sum_{k=0,\cdots q-2,\ l=0\cdots p-2}
 d_{k,l}(h)x^ky^l\ R.$$ D'apr�s le th�or�me \ref{f.normale}, la transformation finale permet de normaliser un des coefficients $d_{k,l}(h)$ 
sous forme 
$$\frac{h^{m}}{1+\lambda  h^{m+n}}$$
le r�sidu $\lambda $ �tant nul d�s que
$\delta=p\vee q$ ne divise pas $(k_i+1)p_1+(l_i+1)q_1$.
On retrouve ainsi les formes normales formelles propos�es par Frank Loray dans \cite{LOR}.

\bigskip




Montrons enfin comment nous pouvons d�terminer les formes normales
formelles des \textit{champs} $X=X_0+\cdots$ lorsque le degr� $\delta_0$
de $X_0$ est nul, � partir des formes pr�normales obtenues au point 2) du
th�or�me 1. Examinons d'abord le cas du noeud-col (exemple 2). Les
formes pr�normales formelles obtenues au paragraphe 3 sont:
$$X\sim X_1=a_1(x)X_0+b_1(x)R, \ X_0=y\partial_y,\ R=x\partial_x,\ \nu(b_1)=m>0.$$
D'apr�s la remarque $\ref{unicite.1}$, on peut faire op�rer sur ces formes
pr�normales de $X$ tout diff�omorphisme formel $\Phi =\exp Z$
tel que $Z$ commute avec $X_0$, c'est-�-dire, puisque $[X_0,R]=0$, de la forme
$Z=\alpha (x)X_0+\beta (x)R.$
Consid�rons d'abord l'action d'un diff�omorphisme de type $\exp\beta (x)R
$
c'est-�-dire d'un diff�omorphisme $\Phi$ ne d�pendant que de la seule variable
$x$:  $\Phi(x,y)=\varphi(x)$. La seconde composante de $X_1$ ne d�pendant que
de cette seule variable, nous pouvons choisir $\Phi$ de sorte que 
$$X\sim X_2=a_2(x)X_0+b_2(x)R,\ \mbox{avec }b_2(x)=\frac{x^m}{1+\lambda x^m},
\ a_2=a_1\circ\varphi .$$
On peut maintenant faire agir une conjugaison formelle de la forme $\Phi=
\exp\alpha (x)X_0.$ Elle laisse invariante la premi�re composante de $X_2$
puisque $\alpha (x)X_0$ commute avec $a_2(x)X_0$, et agit sur la seconde par:
\begin{eqnarray*}
(\exp\alpha (x)X_0)^*\ b(x)R&=&
b(x)R + [\alpha (x)X_0,b(x)R ]+ \\
&+&\frac{1}{2}[\alpha (x)X_0,[\alpha (x)X_0,b(x)R ]]+\cdots\\
&=&
b(x)R -b(x)x\alpha'(x)X_0    .
\end{eqnarray*}
d'o�
$$(\exp\alpha (x)X_0)^*\ X_2
= (a_2(x)-b_2(x)x\alpha'(x))X_0 + b_2(x)R.$$
Posons: $a_2(x)=P_m(x)+x^{m+1}v(x)$ o� $P_m$ est un polyn�me de degr� au plus
$m$, et choisissons $\alpha(x)$ de sorte que 
$$v(x)-\frac{\alpha '(x)}{1+\lambda x^m}=0.$$
Nous obtenons
$$X\sim P_m(x)y\partial_y +\frac{x^m}{1+\lambda x^m}x\partial_x.$$
Ces formes normales sont celles obtenus par A.D. Bruno \cite{BRUNO}, et sous
une variante par L. Teyssier \cite{TEY1}. Ce dernier a poursuivi la
classification analytique de ces champs dans \cite{TEY2}.

\bigskip

Un raisonnement identique (la premi�re �tape �tant d�j� explicit�e lors de la
r�duction finale du feuilletage) donne dans le cas des champs de Poincar�-Dulac
(exemple 1) les formes normales formelles suivantes:
$$X\sim P_m(h)X_0 +\frac{h^m}{1+\lambda h^m}R,$$
o� $P_m$ est un polyn�me de degr� au plus
$m$.




\begin{thebibliography}{99}

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{\em D�formations distingu�es d'un point de $\C^2$ ou $\R^2$,} dans
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\end{thebibliography}
\bigskip
\noindent {\sc E. Paul.}
\medskip

\noindent Laboratoire Emile Picard, U.M.R. C.N.R.S. 5580.

\noindent Universit� Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France.

\noindent email: paul@picard.ups-tlse.fr

\end{document}



  Page 13 de la version du 27 01 2003:
Nous nous pla�ons maintenant en dimension deux, et supposons que le champ
quasi-homog�ne initial est ''int�grable''. Plus pr�cis�ment, on
consid�re un polyn�me quasi-homog�ne $h$ de degr� $\delta$. Soit $X_0$ le champ dual de la forme ferm�e $\omega _0=\delta^{-1}dh/h$
�tudi� dans la proposition
\ref{X_0integrable}: il est � singularit� isol�e et poss�de $h$ comme
int�grale premi�re. Si celle-ci est elle m�me � singularit�
isol�e, $X_0$ est au facteur multiplicatif $\delta^{-1}$ pr�s le champ
hamiltonien $X_h$. On suppose de plus que $h$ n'est pas une puissance d'une
autre int�grale premi�re, ce qui assure d'apr�s un th�or�me de Mattei
et Moussu \cite{MM} que l'anneau des int�grales premi�res formelles de
$X_0$ est $\C[[h]]$.
Soit $J_0$ l'id�al engendr� par les composantes de $X_0$, $\mu$ la dimension du
$\C$-espace vectoriel ${\cal O}_2/J_0$, et $(a_1, a_2,\cdots a_{\mu})$  une
base de ${\cal O}_2/J_0$. On peut supposer d'apr�s \cite{BG} que les $a_i$
sont des mon�mes $x^{k_i}y^{l_i}$ et que $a_1=1$. 






math0303216.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}

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