Surfaces de del Pezzo sans point rationnel sur un corps de dimension cohomologique un
Jean-Louis Colliot-Th�l�ne et David A. Madore
Pour chaque entier $d=2,3,4$, il existe un corps $F$ de dimension cohomologique $1$ et une surface de del Pezzo de degr� $d$ sur $F$ sans z�ro-cycle de degr� $1$, en particulier sans point rationnel. Les d�monstrations utilisent le th�or�me de Merkur'ev et Suslin, le th�or�me de Riemann-Roch sur une surface et la formule du degr� de Rost.
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\title{Surfaces de del Pezzo sans point rationnel sur un corps de
dimension cohomologique un}
\author{Jean-Louis Colliot-Th�l�ne  et David A. Madore}
\maketitle
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%

\begin{abstract}
Pour chaque entier $d=2,3,4$, il existe un corps $F$
de dimension cohomologique $1$ et une surface de del Pezzo de degr� $d$
sur $F$ sans z�ro-cycle de degr� $1$, en particulier sans point
rationnel. Les d�monstrations utilisent le th�or�me de Merkur'ev et
Suslin, le th�or�me de Riemann-Roch sur une surface  et la formule du
degr� de Rost.
\end{abstract}



{\em Mots-cl�s}�: points rationnels, surfaces de del Pezzo, corps 
de dimension
cohomologique�$1$, th�or�me de Riemann-Roch, formule du degr� de Rost.

Mathematical Subject Classification (MSC 2000)
Primary: 14G05, 12G10, 14C35;
Secondary:  14J26, 11E76

\section{Introduction}

Soit $F$ un corps. D'apr�s Enriques, Manin, Iskovskikh, Mori
(voir \cite{KollarBook} III.2.1), toute
$F$-surface projective, lisse, g�om�\-tri\-quement connexe qui est
(g�o\-m�\-tri\-quement)
\emph{rationnelle}, i.e.�devient birationnelle au plan projectif apr�s
extension finie convenable de $F$, est, sur�$F$, birationnelle
� une surface de l'un des types suivants�:
\begin{itemize}
\item[(1)] surface fibr�e en coniques au-dessus d'une conique�;
\item[(2)] surface de del Pezzo\footnote{Pour ce qui est
des propri�t�s
g�n�rales des surfaces de del Pezzo, nous renvoyons le lecteur
�\cite{KollarBook}�III.3 et \cite{Manin} III�et�IV.}
de degr�$d$, avec $1 \leq d \leq 9$.
\end{itemize}

     Une inspection de cette classification
avait ainsi permis d'observer que lorsque
le corps $F$
est un corps $C_1$ au sens de Lang (cf.�\cite{SerreGC}�II.�3.2)
toute telle surface poss�de
un point rationnel (voir par exemple�\cite{KollarBook}�IV.6.8).
Un corps $C_1$ est de dimension cohomologique�$\leq 1$
au sens de Tate et Serre (c'est-�-dire que $\Br L=0$ pour toute
extension $L/F$ finie, cf. \cite{SerreGC} II.�3).
On peut se demander si plus g�n�ralement
toute surface rationnelle sur un corps de dimension cohomologique�$1$
poss�de un point rationnel. C'est le cas pour les surfaces fibr�es
en coniques au-dessus d'une conique. C'est le cas pour les surfaces
de del Pezzo de degr� au moins �gal �$5$. C'est aussi le cas
pour le degr�$1$, car sur tout corps toute telle surface poss�de un
point rationnel �vident (le point base du syst�me anticanonique).

Le but de cet article est d'�tablir qu'il n'en est pas de m�me
en les autres degr�s�:

\begin{thm}
Il existe une surface cubique lisse $X$ sur�$\mathbb{Q}$ et un
corps�$F$ de dimension
cohomologique�$1$ et de caract�ristique z�ro, tels que $X$ n'ait
pas de point rationnel sur $F$.

Plus pr�cis�ment, $X$ ne
poss�de de point dans aucune extension de
degr� premier � $3$
de $F$.
\label{PrincipalCubic}
\end{thm}

\begin{thm}
Il existe une intersection compl�te lisse $X$
de deux quadriques  dans $\mathbb{P}^4_{\mathbb{Q}}$ et un corps�$F$
de dimension
cohomologique�$1$ et de caract�ristique z�ro, tels que $X$ n'ait
pas de point rationnel sur $F$.

Plus pr�cis�ment, $X$ ne
poss�de de point dans aucune extension de
degr� impair de $F$.
\label{PrincipalDP4}
\end{thm}

Partant de ce dernier th�or�me, il est facile de donner
un exemple de surface de del Pezzo de degr�$2$
sur $F$ sans point rationnel. Pour une autre approche,
on se reportera au  paragraphe 5 ci-dessous.

Le th�or�me�\ref{PrincipalDP4} fournit un contre-exemple
au th�or�me�2 de�\cite{Brumer}, dont il
�tait connu depuis 1981 que la d�monstration est
incorrecte\footnote{L'erreur se trouve dans le dernier lemme,
p.�681 de l'article�: un �l�ment du groupe de Brauer
du corps des fractions de la droite projective qui est
non ramifi� en toute place sauf peut-�tre en une place
de degr� $2$ peut ne pas �tre constant.}.



Sur un corps parfait de dimension cohomologique�$1$, tout
espace homog�ne non vide (non n�cessairement principal) d'un
groupe lin�aire connexe poss�de un point rationnel
(\cite{SerreGC}, III.2.4).
On a donc�:
\begin{cor}
Pour chacune des surfaces $X$ des th�or�mes
\ref{PrincipalCubic}�et�\ref{PrincipalDP4}, il n'existe aucune
application rationnelle d�finie\footnote{Pour les surfaces cubiques,
la d�monstration donne encore ceci sur un corps $p$-adique.}
sur $\mathbb{Q}$ d'un espace homog�ne
d'un $\mathbb{Q}$-groupe lin�aire connexe vers $X$.
\end{cor}
Ceci �te l'espoir imm�diat de ramener l'arithm�tique de telles
surfaces � celle des groupes alg�briques lin�aires.

\medskip


Soit $K$ un corps alg�briquement clos. Une $K$-vari�t�
s�parablement rationnellement connexe est une $K$-vari�t�
pour laquelle il existe un $K$-mor\-phisme $f\colon\mathbb{P}^1_K \to X$
tel que l'image inverse $f^*T_X$ du fibr� tangent $T_X$
soit un fibr� ample sur $\mathbb{P}^1_K$.
En dimension un, on trouve la droite projective.
En dimension deux, la classe de ces vari�t�s co�ncide
avec la classe des surfaces (projectives lisses) rationnelles.
Soit $F$ un corps quelconque. Une $F$-vari�t� projective lisse
g�om�triquement connexe est dite s�parablement rationnellement
connexe si elle l'est apr�s passage � une cl�ture alg�brique de
$F$.

Les th�or�mes \ref{PrincipalCubic}�et�\ref{PrincipalDP4} sont �
mettre en perspective avec plusieurs r�sultats r�cents.

Soit $F=k(C)$ le corps des fonctions d'une courbe projective et lisse
sur un corps $k$ alg�briquement clos.  Graber, Harris et Starr
(\cite{GraberHarrisStarr}, en caract�ristique z�ro) et de�Jong et
Starr (\cite{DeJongStarr}, en toute caract�ristique) ont �tabli que
toute $F$-vari�t� projective, lisse, (g�om�triquement)
s�parablement rationnellement connexe poss�de un point rationnel.

Soit $F=\mathbb{F}$ un corps fini. H.�Esnault a �tabli
dans�\cite{Esnault} que toute $\mathbb{F}$-vari�t� projective, lisse,
(g�om�triquement)  rationnellement connexe par cha�nes (sur
un  corps assez grand)
poss�de un
point $\mathbb{F}$-rationnel.




C'est une question ouverte de savoir si
ces r�sultats sont chacun un cas particulier d'un
�nonc� sur les corps $C_1$.

Rappelons que tout corps $C_1$ est de dimension cohomologique  $\leq 1$.
La r�ciproque n'est pas vraie, comme l'a montr�
J. Ax. Dans \cite{Ax} il a donn�
un exemple d'hypersurface quintique lisse
dans $\mathbb{P}^9_F$, sans point rationnel, sur un corps $F$
de caract�ristique z�ro de dimension cohomologique 1.
   Une telle hypersurface est
une vari�t� de Fano,
donc rationnellement connexe (\cite{KollarBook},  V.2.13).


Un z�ro-cycle  sur une $F$-vari�t�
$X$ est une combinaison
lin�aire � coefficients entiers
de points ferm�s de $X$. Le
degr� d'un tel z�ro-cycle
$\sum_in_iP_i$ est l'entier
$\sum_in_i[F(P_i):F] \in \mathbb{Z}$.



L'hypersurface quintique d'Ax poss�de (de fa�on �vidente) un
z�ro-cycle  de degr�$1$ (il en est de m�me des autres
hypersurfaces construites par Ax dans le m�me article, et qui
�tablissent que pour $r>0$, un corps peut �tre de dimension
cohomologique 1 sans �tre $C_r$).

   Kato et Kuzumaki \cite{Kato}
ont pos� la question de savoir si,
sur un corps $F$ de dimension cohomologique�$1$,
    toute hypersurface dans $\mathbb{P}^n_F$ de degr� $d\leq n$
poss�de un z�ro-cycle de degr�$1$.
     Le th�or�me�\ref{PrincipalCubic}
montre qu'il n'en est rien\footnote{L'article \cite{Merk-uinvar}
de Merkur'ev, sur le $u$-invariant des formes quadratiques, fournit
d�j� une r�ponse n�gative � une question plus g�n�rale
de�\cite{Kato}.}.


\medskip

On comparera les th�or�mes \ref{PrincipalCubic}�et�\ref{PrincipalDP4}
avec le r�sultat suivant (\cite{CTThmNinety}, th�o\-r�me�A�(iv))�:
pour
$X$ une surface (g�om�triquement) rationnelle sur un corps $k$ de
caract�ristique�$0$ et de dimension cohomologique $\leq 1$, tout
z�ro-cycle de degr�$0$ est rationnellement �quivalent �$0$.

\smallskip

Les th�or�mes fournissent des exemples de surfaces rationnelles $X$
sur un corps
de dimension cohomologique�$1$ telles que $H^1_{\mathrm{Zar}} (X,
\mathscr{H}^3(\bimu_p^{\otimes 2})) \neq 0$, o� $\bimu_p$ est le
groupe des racines $p$-i�mes de l'unit� et
$\mathscr{H}^3(\bimu_p^{\otimes 2})$ est le faisceau de Zariski
associ� au pr�faisceau $U\mapsto H^3_{\mathrm{\acute et}} (U,
\bimu_p^{\otimes 2})$ (pour $p=3$, resp.�$p=2$).

\medskip

Dans \cite{Ducros}, Ducros montre que pour toute courbe
de genre�$0$ sans point rationnel sur un corps $k$ il
existe un corps $F$, contenant $k$, de dimension cohomologique�$2$,
sur lequel la courbe n'a pas de point. Il utilise pour cela les
th�or�mes de Merkur'ev et Suslin�(\cite{MerkurjevSuslin}).
Nous utilisons aussi  les r�sultats de Merkur'ev
et Suslin,
mais nous avons �galement  recours � d'autres ingr�dients.
Pour les surfaces cubiques, nous utilisons la cohomologie
galoisienne et faisons appel
� la formule du degr� de Rost (cf.�\cite{MerkurjevLens}).
Pour les surfaces de del Pezzo de degr�$4$, nous
utilisons le th�or�me de Riemann-Roch pour les faisceaux inversibles
et un th�or�me d'Amer (\cite{Amer}) et Brumer (\cite{Brumer}) ---
th�or�me�\ref{BrumerAmerTheorem} ci-dessous. Les paragraphes 3�et�4
de cette note (constituant respectivement la d�monstration des
th�or�mes
\ref{PrincipalCubic}�et�\ref{PrincipalDP4}) sont ind�pendants.
Au paragraphe�5, nous donnons une variante de la d�monstration
du th�or�me�\ref{PrincipalDP4}) qui nous a �t� communiqu�e
par J.�Koll�r, et s'applique � d'autres situations�;
on utilise ici le th�or�me de Riemann-Roch pour les fibr�s
vectoriels sur une courbe.


\bigskip

Nous remercions vivement D.�Coray, P.�Gille,  A.�Merkur'ev,
J-P.�Serre, B.�Totaro et tout particuli�rement  J.�Koll�r
pour diverses remarques sur des versions ant�rieures de ce texte.

\section{Construction
de corps de dimension cohomologique 1}

Pour construire un corps de dimension cohomologique�$1$, la technique
utilis�e consiste, pour un certain nombre premier $p$ (ici, $p$ vaut
$2$�ou�$3$ selon le cas), � partir d'un corps $k_0$ quelconque et �
ajouter successivement (et de fa�on transfinie, s'il le faut)
une extension alg�brique de corps maximale de degr� premier �$p$
et les corps de fonctions de
toutes les vari�t�s de Severi-Brauer d'indice $p$.  Nous pr�sentons
dans ce paragraphe les r�sultats relatifs � cette construction.

On a le r�sultat classique suivant (\cite{SerreGC} I.�4.1, prop.�21)�:
\begin{prop}
Soient $p$ un nombre premier et $E$ un corps de caract�ristique
diff�rente de $p$.  On suppose satisfaites les deux hypoth�ses�:
\begin{itemize}
\item[(1)] $E$ n'a pas d'extension finie de
degr� premier � $p$.
\item[(2)]�Le groupe de $p$-torsion de $\Br E$ est nul, ce qui
�quivaut (gr�ce � (1))  � l'hypoth�se
$H^2(E,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=0$.
\end{itemize}
Alors il en est de m�me de celui de
toute extension finie de $E$,
et la dimension cohomologique de $E$ est au plus $1$.
\label{GaloisCohomologyFact}
\end{prop}

L'�nonc� suivant est un peu moins classique�:
\begin{thm} Soient $p$ un nombre premier et $E$ un corps de
caract�ristique diff�rente de $p$. Si $E$ ne satisfait pas les
hypoth�ses de la proposition pr�c�dente, alors soit $E$ poss�de
une extension finie de corps de degr� premier � $p$, soit $E$
contient une racine primitive
$p$-i�me $\zeta_p$ de $1$,  et il existe une alg�bre cyclique
$(a,b)_{\zeta_p}$ non triviale sur $E$, ce qui d�finit une
vari�t� de Severi-Brauer non triviale d'indice $p$ sur $E$.
\label{OtherGaloisCohomologyFact}
\end{thm}

Cet �nonc� r�sulte du th�or�me de Merkur'ev-Suslin,
qui implique que pour $E$ contenant $\zeta_p$, le groupe
$H^2(E,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est engendr� par les cup-produits
d'�l�ments de $H^1(E,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.
Le fait ci-dessus,  moins difficile,
est �tabli � un cran interm�diaire de
la d�monstration de Merkur'ev-Suslin (cf.�\cite{MerkurjevSuslin},
(10.6) et (10.7)).

Le corps de dimension cohomologique�$1$ sera donn� par le r�sultat
suivant, qui d�coule des deux pr�c�dents�:
\begin{thm}
Soient $p$ un nombre premier, $k_0$ un corps de caract�ristique
diff�rente de $p$, et $\mathbi{P}$ une propri�t�, stable par
isomorphisme, des extensions de
$k_0$.  On suppose que
\begin{itemize}
\item[(0)] la propri�t�$\mathbi{P}(k_0)$ est satisfaite,
\item[(1)] si $\mathbi{P}(k)$ est satisfaite, alors $\mathbi{P}(k')$
      est satisfaite pour toute extension alg�brique $k'$ de $k$ de degr�
      premier � $p$,
\item[(2)] si $\mathbi{P}(k)$ est satisfaite, alors, pour
toute vari�t� de Severi-Brauer $Y$ associ�e � une alg�bre
simple centrale
      d'indice�$p$ sur�$k$, la propri�t� $\mathbi{P}(k(Y))$
      est satisfaite pour  le corps des fonctions�$k(Y)$ de $Y$.
\item[(3)] si $\mathbi{P}(k_\iota)$ est satisfaite pour tout membre
    $k_\iota$ d'un syst�me inductif filtrant $(k_\iota)_{\iota\in I}$,
    alors $\mathbi{P}(\varinjlim k_\iota)$ est satisfaite.
\end{itemize}
Dans ces conditions, il existe un corps�$F$, extension de $k_0$, de
dimension cohomologique $\leq 1$,
de groupe de Galois absolu un
pro-$p$-groupe,
tel que la propri�t�
$\mathbi{P}(F)$ soit satisfaite.
\label{InductionTheorem}
\end{thm}
Ce th�or�me est assez connu.  Cependant, faute de d�monstration
satisfaisante dans le cadre g�n�ral, nous en donnons une ci-dessous
pour la commodit� du lecteur.
\begin{proof}[D�monstration du th�or�me�\ref{InductionTheorem}]
Partant du corps $k_0$, on construit par induction transfinie sur
$\alpha$ parcourant la classe des ordinaux (en fait on va donner
ci-dessous une borne sup�rieure sur les $\alpha$ qui nous int�ressent)
des corps $k_\alpha$, extensions de $k_0$, v�rifiant
$\mathbi{P}(k_\alpha)$ pour tout $\alpha$, et avec $k_0 \subseteq
k_\beta \subseteq k_\alpha$ lorsque $\beta\leq\alpha$.

Lorsque $\delta$ est un ordinal limite, on d�finit $k_\delta$ comme la
limite inductive (ou, abusivement, la r�union) des $k_\alpha$ pour
$\alpha<\delta$�: comme chacun des $k_\alpha$ v�rifie
$\mathbi{P}(k_\alpha)$, la propri�t� $\mathbi{P}(k_\delta)$ est
�galement v�rifi�e (d'apr�s (3) ci-dessus).  Reste � expliquer
comment on construit $k_{\alpha+1}$ � partir de $k_\alpha$.

Soit $\alpha$ un ordinal pour lequel $k_\alpha$ a �t� construit.
Si $k_\alpha$  v�rifie les hypoth�ses de la
proposition�\ref{GaloisCohomologyFact},
c'est-�-dire
s'il n'existe pas d'extension $k'/k_\alpha$ de degr� premier � $p$ et
que $H^2(k_\alpha,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$, alors la dimension
cohomologique de
$k_\alpha$ est $\leq 1$ d'apr�s la proposition en question�: on pose
$k_{\alpha+1} = k_\alpha$�;  dans ce cas $F = k_\alpha$ et on a fini.
Si ces hypoth�ses ne sont pas satisfaites, d'apr�s le
th�or�me�\ref{OtherGaloisCohomologyFact}, on peut trouver soit une
extension $k'/k_\alpha$ finie de degr� premier � $p$, soit une
vari�t� de Severi-Brauer $Y$ d'indice�$p$ sur $k_\alpha$  associ�e
� un symbole $(a,b)_\zeta$ (avec $\zeta$ racine $p$-i�me de l'unit�
dans
$k_\alpha$)�:
    on choisit pour $k_{\alpha+1}$ l'un
ou l'autre corps $k'$ ou $k(Y)$ (indiff�remment, si les deux
conviennent), et les propri�t�s (1)�et�(2) ci-dessus assurent que
$\mathbi{P}(k_{\alpha+1})$ est encore satisfaite.

Il reste maintenant � expliquer pourquoi cette construction transfinie
se termine avant un ordinal que nous allons expliciter ($\kappa$
ci-dessous), c'est-�-dire qu'on ne construit pas une classe propre de
corps de plus en plus gros, mais qu'au contraire on a bien $k_\alpha =
k_\beta$ pour $\beta\leq\alpha$ lorsque $\beta$ est assez grand (donc
$k_\alpha$ de dimension cohomologique�$\leq 1$ par construction).
Remarquons que le foncteur $H^2(\cdot,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$
commute aux limites inductives
filtrantes�: ainsi, lorsque $\delta$ est un ordinal limite,
$H^2(k_\delta,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$
    est bien la limite des $H^2(k_\alpha,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ pour
$\alpha<\delta$.

Soit $\kappa$ le cardinal successeur de $\card k_0 + \aleph_0$ (c'est
donc un cardinal r�gulier ind�nombrable).  Effectuons une fois
pour toutes un choix d'une cl�ture alg�brique $\bar k_\alpha$
de $k_\alpha$ pour chaque $\alpha$, de fa�on compatible aux inclusions
$k_\alpha\subseteq k_\beta$.
Appelons $E_\alpha$ l'ensemble produit cart�sien d'ensembles
$(H^2(k_\alpha,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}))\times (\bar k_\alpha/k_\alpha)$
(o� $\bar k_\alpha/k_\alpha$ est le $k_\alpha$-espace vectoriel quotient
de $\bar k_\alpha$ par $k_\alpha$), et
$\ast$ l'�l�ment $(0,0)$ de ce produit.  On voit alors (par
induction sur $\alpha$) que $\card E_\alpha < \kappa$ pour tout
$\alpha<\kappa$ (puisque c'est le cas �videmment
pour $H^2( k_\alpha,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$
et pour $\bar k_\alpha$).  Supposons par l'absurde que $k_\alpha$
n'est jamais de dimension cohomologique�$\leq 1$ pour $\alpha<\kappa$,
c'est-�-dire que $k_{\alpha+1}$ est toujours une extension propre de
$k_\alpha$�; alors il existe un �l�ment diff�rent de $\ast$ dans
$E_\alpha$ qui s'envoie sur $\ast$ dans $E_{\alpha+1}$.  Une
contradiction r�sulte directement du
lemme�\ref{CombinatorialLemma} ci-dessous.
\end{proof}

\begin{lem}
Soit $\kappa$ un cardinal r�gulier ind�nombrable, et pour chaque
$\alpha<\kappa$ soit $E_\alpha$ un ensemble point� par un �l�ment
$\ast\in E_\alpha$, et $\varphi_\alpha\colon E_{\alpha}\to
E_{\alpha+1}$ tel que $\varphi_\alpha(\ast)=\ast$, et tel que pour
$\delta$ ordinal limite $E_\delta$ soit la limite du syst�me inductif
des $E_\alpha$ pour $\alpha<\delta$ (comme ensembles point�s, avec les
$\varphi_\alpha$ pour morphismes).  On suppose de plus que (1)�$\card
E_\alpha<\kappa$ pour tout $\alpha<\kappa$, et que
(2)�pour tout $\alpha<\kappa$ il existe $x\in E_\alpha$
diff�rent de $\ast$ tel que $\varphi_\alpha(x)=\ast$.
Alors il y a une contradiction.
\label{CombinatorialLemma}
\end{lem}
\begin{proof}
Appelons $N_\alpha\subseteq E_\alpha$ l'ensemble des
�l�ments de $E_\alpha$ qui s'envoient sur $\ast$ dans la limite
inductive $E_\kappa$ de tous les $E_\alpha$ avec $\alpha<\kappa$.
Manifestement les $N_\alpha$ v�rifient les m�mes hypoth�ses que les
$E_\alpha$.  Soit maintenant $\gamma_0=0$, et par r�currence sur le
naturel $k$, soit $\gamma_{k+1}$ le plus petit ordinal $\alpha<\kappa$
tel que tous les �l�ments de $N_{\gamma_k}$ aient pour image $\ast$
dans $N_\alpha$ (un tel $\alpha$ existe puisque chaque �l�ment donn�
de $N_{\gamma_k}$ s'envoie sur $\ast$ dans $N_\kappa$, donc aussi dans
un $N_\beta$ avec $\beta<\kappa$, et en prenant la borne sup�rieure
de ces $\beta$-l�, qui porte sur un ensemble de cardinal $<\kappa$, on
obtient le $\gamma_{k+1}<\kappa$ recherch�, l'in�galit� stricte
provenant de
ce que $\kappa$ est r�gulier).  Soit maintenant $\gamma$ la borne
sup�rieure des $\gamma_k$ pour $k\in\mathbb{N}$�: on a $\gamma<\kappa$
car $\kappa$ est ind�nombrable r�gulier.  Or si $x$ est un �l�ment de
$N_\gamma$, il appartient � un $N_{\gamma_k}$ pour $k\in\mathbb{N}$,
donc s'envoie sur $\ast$ dans $N_{\gamma_{k+1}}$, donc dans
$N_\gamma$, ce qui prouve que $N_\gamma=\{\ast\}$.  Mais ceci
constitue une contradiction, car il existe par hypoth�se un
$x\neq\ast$ dans $E_\gamma$ qui s'envoie sur $\ast$ dans
$E_{\gamma+1}$, donc $x\in N_\gamma$, contredisant $N_\gamma=\{\ast\}$.
\end{proof}

\textbf{Remarques�:} Pour r�sumer cet �pisode combinatoire, disons que
si on part du corps $k=k_0$ et qu'on it�re de fa�on transfinie
l'op�ration de passer � une extension finie de degr� premier �
$p$ ou celle de passer au corps des fonctions d'une vari�t� de
Severi-Brauer, tant que l'une d'elles au moins est possible, n'importe
quel choix de ces extensions finira par donner, en moins de $\kappa$
�tapes, un corps $F$ comme souhait�.  Notons que si on se contente de
prendre des extensions de degr� premier � $p$, on obtient
le corps fixe d'un pro-$p$-Sylow dans le groupe de Galois�: on peut
donc pr�senter diff�remment la construction transfinie (c'est sans
doute plus classique et �vite d'utiliser la notion d'ordinaux, mais
l'argument semble plus \textit{ad hoc} donc moins agr�able) en effectuant
alternativement l'op�ration de prendre le corps fixe d'un
pro-$p$-Sylow et celle de passer au corps des fonctions de toutes les
vari�t�s de Severi-Brauer (� isomorphisme pr�s)
sur le corps pr�c�dent (comparer avec la
construction utilis�e dans \cite{MerkurjevSuslin} (11.4)
et avec celle utilis�e dans�\cite{Ducros}).  Notons que le corps
$F$ finalement obtenu a un cardinal inf�rieur � $\kappa$,
c'est-�-dire, au
plus �gal au cardinal de $k$ si $k$ est infini, au plus d�nombrable
sinon�; avec l'utilisation que nous ferons ci-dessous de ce th�or�me,
$F$ est de cardinal $\leq 2^{\aleph_0}$,
mais un argument simple  permet de voir qu'un sous-corps d�nombrable suffit
d�j�.

\bigskip

Nous terminons ce paragraphe avec un r�sultat qui, s'il n'est pas
directement utile dans ce qui suit, sert au moins � motiver certaines
conditions introduites�:
\begin{prop}
Soient $k$ un corps de caract�ristique $0$ et $X$ une vari�t� sur $k$
projective, lisse, g�om�triquement connexe, telle que $H^1(X,
\mathcal{O}_X) = 0$ (hypoth�se satisfaite, par exemple, si $X$ est
$\bar k$-rationnelle).  Alors pour toute extension $K$ de $k$ dans
laquelle $k$ est alg�briquement ferm�, la fl�che naturelle $(\Pic
X_{\bar k})^{\Gal(\bar k/k)} \to (\Pic X_{\bar K})^{\Gal(\bar K/K)}$
est un isomorphisme.
\label{PicardProperty}
\end{prop}
\begin{proof}
Pour all�ger les notations, soit $G_k = \Gal(\bar k/k)$ le groupe de
Galois absolu de $k$, et $G_K = \Gal(\bar K/K)$ celui de $K$, et soit
de plus $H = \Gal(\bar K/\bar kK)$, de sorte que $G_k = \Gal(\bar kK /
K) = G_K/H$.  Sous l'hypoth�se $H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$, on sait
(cf.�\cite{Hartshorne}, chapitre�III exercice�12.6 p.�192) que les fl�ches
naturelles $\Pic X_{\bar k} \to \Pic X_{\bar k K} \to \Pic X_{\bar K}$
sont des isomorphismes. Ainsi
$H$ agit trivialement sur $\Pic X_{\bar K}$.
Ainsi, $(\Pic X_{\bar k})^{G_k}\to (\Pic X_{\bar K})^{G_K}$ est un
isomorphisme.
\end{proof}



\section{Surfaces de del Pezzo de degr�$3$}

Pour d�montrer le th�or�me�\ref{PrincipalCubic}, nous aurons besoin
de certains faits connus sur les surfaces cubiques, qui sont r�sum�s
dans le th�or�me suivant, d� pour l'essentiel � B.�Segre�:
\begin{thm}
Soit $X$ une surface cubique lisse sur un corps $k$ parfait.  Soit
$\bar k$ une cl�ture alg�brique de $k$, soit $\bar X = X\times_{\Spec
k} \Spec\bar k$ et soit $G = \Gal(\bar k/k)$ le groupe de Galois de $\bar
k$ sur $k$.  Alors les deux affirmations suivantes sont �quivalentes�:
\begin{itemize}
\item[(a)] La surface $X$ est $k$-minimale.
\item[(b)] Le groupe $(\Pic\bar X)^G$ des invariants par $G$ du groupe
      de Picard $\Pic\bar X$ de $\bar X$ est (libre) de rang 1.

\end{itemize}
Lorsqu'elles sont satisfaites, l'injection naturelle $\Pic X
\hookrightarrow (\Pic\bar X)^G$ est une bijection,
ces deux groupes sont engendr�s par la classe du fibr�
canonique $\canK_X$ (classe dont l'oppos�e est induite par le
plongement naturel de
la surface cubique $X $ dans $ \mathbb{P}^3_k$),  et
l'application naturelle $\Br k\to \Br
k(X)$ est injective.  \par De plus, si $X$ est diagonale, c'est-�-dire
donn�e par une �quation de la forme $a_0 T_0^3 + a_1 T_1^3 + a_2 T_2^3
+ a_3 T_3^3 = 0$, alors ces conditions sont satisfaites d�s que la
suivante l'est�:
\begin{itemize}
\item[(ii)] aucun des  rapports $a_m
a_n/a_p a_q$, avec $(m,n,p,q)$ permutation de
$(0,1,\penalty0 2,3)$, n'est dans $k^{\times 3}$.
\end{itemize}
\label{SegreWonderfulTheorem}
\end{thm}
\begin{proof}
L'�quivalence de (a)�et�(b) est un th�or�me de B.�Segre
(voir�\cite{Manin}, th�or�me�IV.28.1, page
151). On a les inclusions naturelles de groupes ab�liens libres
de rang un $\mathbb{Z} \canK_X
\hookrightarrow
\Pic(X) \hookrightarrow (\Pic\bar X)^G$, et la classe
de $\canK_X$ n'est pas divisible dans $\Pic\bar X$
(son nombre d'intersection avec une des droites trac�es sur
$\bar X$ vaut $-1$)�: ces inclusions sont donc des �galit�s.

Pour toute $k$-vari�t� projective, lisse, g�om�triquement int�gre
$X$, de corps des fractions $k(X)$, la cohomologie galoisienne
de la suite exacte naturelle
$1 \to \bar k(X)^\times/\bar k^\times \to \Div \bar X \to \Pic \bar X \to
0$ donne la  suite exacte classique
\[
0\to \Pic X \to \Pic\bar X^G \to \Br k \to \Br k(X)
\]
Ceci �tablit l'injectivit� de la fl�che $\Br k\to \Br k(X)$ lorsque
les conditions (a)�et�(b) sont satisfaites.

Enfin, le fait que la condition�(ii) garantisse
la $k$-minimalit� de $X$
est de nouveau un r�sultat de B.�Segre (voir \cite{Manin} 
exercice�III.21.10).
\end{proof}

Le fait suivant, qui �nonce un r�sultat tout � fait parall�le au
th�or�me�\ref{Cub2Iterating} plus bas, pour une autre sorte
d'extension (cf.�(1)�du th�or�me�\ref{InductionTheorem}),
est �vident�:
\begin{lem}
Soient $k$ un corps de caract�ristique�$0$ et $X$ la surface cubique
lisse dans $\mathbb{P}^3_k$ d�finie par l'�quation $a_0 T_0^3 + a_1
T_1^3 + a_2 T_2^3 + a_3 T_3^3 = 0$, o� $a_0,a_1,a_2,a_3 \in k^\times$.
On suppose que
\begin{itemize}
\item[(i)] $X$ n'admet de point dans aucune extension de corps
$k'/k$ de degr� premier � $3$,
\item[(ii)] aucun des  rapports $a_m
a_n/a_p a_q$, avec $(m,n,p,q)$ permutation de
$(0,1,\penalty0 2,3)$, n'est dans $k^{\times 3}$.
\end{itemize}
Alors, si $k'$ est
une extension finie de $k$ de degr� non
multiple de $3$, la surface $X$ �tendue au corps $k'$ v�rifie toujours
les propri�t�s (i)�et�(ii).
\label{Cub1Iterating}
\end{lem}

En combinant ces divers r�sultats et la formule du degr� de Rost,
nous �tablissons maintenant le r�sultat technique principal (qui vise
le�(2)�du th�or�me�\ref{InductionTheorem}).

\begin{thm}
Soient, comme dans le lemme�\ref{Cub1Iterating}, $k$ un
corps de carac\-t�ris\-tique�$0$ et $X$ la surface cubique lisse dans
$\mathbb{P}^3_k$ d�finie par l'�quation $a_0 T_0^3 + a_1 T_1^3 + a_2
T_2^3 + a_3 T_3^3 = 0$, o� $a_0,a_1,a_2,a_3 \in k^\times$.  Supposons
les deux conditions suivantes satisfaites
\begin{itemize}
\item[(i)] $X$ n'admet de point dans aucune extension de corps $k'/k$ de
degr� premier � $3$,
\item[(ii)] aucun des  rapports $a_m
a_n/a_p a_q$, avec $(m,n,p,q)$ permutation de
$(0,1,\penalty0 2,3)$, n'est dans $k^{\times 3}$.
\end{itemize}

     Soient $D$ une alg�bre simple centrale sur $k$
d'indice $3$, $Y$ la surface de Severi-Brauer
associ�e � $D$ et $k(Y)$ son corps des fonctions.

Alors
la $k(Y)$-surface $X\times_{\Spec k}\Spec k(Y)$
v�rifie encore les propri�t�s (i)�et�(ii).

(En particulier, elle n'a pas de point sur $k(Y)$, c'est-�-dire qu'il
n'existe pas d'application rationnelle $Y\dasharrow X$ d�finie sur�$k$.)
\label{Cub2Iterating}
\end{thm}

\begin{proof}
Nous utiliserons les notations et les r�sultats du rapport de
Merkur'ev \cite{MerkurjevLens} sur la formule du degr� de Rost, que
nous rappelons bri�vement ici�; voir aussi
\cite{MerkurjevSteenrod},�\cite{RostDegreeOther} et�\cite{RostDegree}.

A toute vari�t� $Z$  sur un corps $k$ on  attache
un entier naturel $n_Z$, appel� l'indice de $Z$ sur $k$�: c'est par
d�finition le plus grand commun diviseur des degr�s, sur
$k$,  des corps r�siduels
$k(P)$ des points ferm�s $P$ de $Z$�; c'est aussi le p.g.c.d. des
degr�s des extensions finies $K/k$ telles que $X(K)\neq \varnothing$.
De plus, pour $p$ un nombre
premier et
$Z$ projective, on d�finit un invariant $\eta_p(Z)\in
\mathbb{Z}/n_Z\mathbb{Z}$ (tu� par $p$).  Cet invariant v�rifie la
formule du degr� (\cite{MerkurjevLens},�th�or�me�4.1)�: si
$Y$ et $X$ sont des $k$-vari�t�s projectives int�gres de m�me
dimension, et si  $f\colon Y\to X$ est un $k$-morphisme et $\deg f$
d�signe le degr� de $f$ (qui vaut $0$ si $f$ n'est pas dominant, et
$[k(Y):k(X)]$ si $f$ l'est), alors
$n_X$ divise $n_Y$ et $\eta_p(Y) = \deg f\cdot \eta_p(X) \in
\mathbb{Z}/n_X\mathbb{Z}$.  Par ailleurs, on sait calculer $n_Y = p^n$
et $\eta_p(Y)=p^{n-1}\in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ lorsque $Y$ est la
vari�t� de Severi-Brauer d'une alg�bre simple centrale d'indice
$p^n$�: cf.�\cite{MerkurjevSteenrod}��7.2 et�\cite{MerkurjevLens}
remarque�7.5.

Dans la situation qui nous int�resse, l'hypoth�se (i) faite sur $X$ se
traduit par $n_X=3$�; par ailleurs on a $n_Y=3$ puisque l'alg�bre $D$
est d'indice $3$, et de plus $\eta_3(Y)=1 \in\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
(ce qui nous int�resse est que cet invariant ne soit pas nul).

Soit $K/k(Y)$ une extension finie de corps de degr� premier � 3.
Soit $Y'$ la normalisation (projective, int�gre)
de $Y$ dans $K$. On dispose donc
du $k$-morphisme fini de $k$-vari�t�s int�gres $p\colon Y' \to Y$.
Si  $X\times_k{k(Y)}$ poss�de un point dans $K$,
alors il existe une application rationnelle $h$, d�finie sur $k$
de $Y'$ vers $X$. Soit $Y''\subseteq Y' \times_kX$ l'adh�rence du graphe de
l'application rationnelle $h$. C'est une $k$-vari�t� projective, int�gre.
On
dispose alors du $k$-morphisme compos� $q\colon Y'' \to Y$,
de degr� premier � 3, et du $k$-morphisme $r\colon Y''\to X$ donn�
par la seconde projection.
En appliquant la formule du degr� r�gulier
(\cite{MerkurjevLens},�th�or�me�4.1) au morphisme $q$,  on obtient
$\eta_p(Y'') = \deg q\cdot \eta_p(Y) \in
\mathbb{Z}/n_Y\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
En appliquant la m�me formule au morphisme $Y''\to X$,
on obtient $\eta_p(Y'') = \deg r\cdot \eta_p(X) \in
\mathbb{Z}/n_X\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. De la premi�re formule
on d�duit  $\eta_p(Y'')\neq 0 \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, de la seconde
on d�duit alors que le degr� de $r$ est premier � 3.
Ainsi l'application naturelle $r^*\colon \mathop{_3\Br}k(X)
\to \mathop{_3\Br}k(Y'')$ induite sur la $3$-torsion
des groupes de Brauer est injective.
Mais par ailleurs la condition�(ii)  implique, d'apr�s le
th�or�me�\ref{SegreWonderfulTheorem}, que la fl�che $\Br k\to \Br
k(X)$ est injective, donc la fl�che naturelle $\mathop{_3\Br}k
\to \mathop{_3\Br}k(Y'')$ l'est aussi.  Mais ceci contredit le fait
que la classe de $D$ dans $\mathop{_3\Br}k$, qui n'est pas nulle,
s'envoie sur la classe nulle dans $\Br k(Y)$, et donc
aussi sur la classe nulle dans $\Br k(Y'')$.
Ceci prouve qu'il n'existe pas d'application $k$-rationnelle $f\colon
Y'\dasharrow X$�: la $k(Y)$-surface $X\times_kk(Y)$ satisfait
l'analogue de la condition (i).

Pour ce qui est de la condition (ii) pour la $k(Y)$-surface
$X\times_kk(Y)$, elle est �vidente, car
$k$ est alg�briquement ferm� dans $k(Y)$.  On peut �galement appliquer
la proposition�\ref{PicardProperty} prouv�e plus haut de fa�on plus
g�n�rale�: pour toute surface cubique  lisse sur $k$,
l'hypoth�se�(b) du  th�or�me�\ref{SegreWonderfulTheorem} est donc
invariante par passage de $k$ � une extension $K$ dans laquelle $k$
est alg�briquement ferm�.
\end{proof}

Pour appliquer le th�or�me�\ref{InductionTheorem},
nous aurons encore besoin du fait suivant (qui vise le�(0) de ce
th�or�me)�:
\begin{lem}
Il existe un corps $k$ de caract�ristique $0$ et quatre
�l�ments  $a_0,a_1,\penalty0 a_2,a_3
\in {\mathbb{Q}}^\times$ tels que la surface cubique lisse $X$ dans
$\mathbb{P}^3_k$
d�finie par l'�quation $a_0 T_0^3 + a_1 T_1^3 + a_2 T_2^3 + a_3 T_3^3
= 0$ v�rifie les conditions (i)�et�(ii) du
lemme�\ref{Cub1Iterating}.
\label{CubStarting}
\end{lem}

\begin{proof}
Prenons $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1\pmod{3}$, et soit
$\tilde a \in\mathbb{F}_p^\times$ qui ne soit pas un cube et $a
\in\mathbb{Z}_p^\times$ qui rel�ve $\tilde a$ modulo $p$.  Posons
$k=\mathbb{Q}$ ou $k=\mathbb{Q}_p$ et consid�rons la surface
cubique $X$ d'�quation
$T_0^3 + p T_1^3 + p^2 T_2^3 - a T_3^3 = 0$.  Le fait (ii) est
�vident.  Pour montrer que $X$ n'a pas de point sur $\mathbb{Q}_p$, il
suffit de consid�rer les valuations des trois termes $T_0^3$, $p
T_1^3$ et $p^2 T_2^3$, qui sont distinctes (modulo�$3$)�: on doit
avoir $\tilde T_0^3 = \tilde a \tilde T_3^3$ apr�s r�duction,
mais comme $\tilde a$ n'est pas un cube c'est impossible.
Plus g�n�ralement, si $k'$ est une extension de $\mathbb{Q}_p$ de
degr� premier � $3$, alors pour la m�me raison $X$ n'a pas non plus de
point sur $k'$ car l'indice de ramification est premier � $3$ (ce qui
permet de reproduire l'argument sur les valuations) et $\tilde a$ n'est
toujours pas un cube dans le corps r�siduel de $k'$.
\end{proof}

(Un th�or�me de Coray \cite{CorayCub} affirme que, sur un corps
$p$-adique, une surface cubique $X$ ne poss�dant pas de point
rationnel v�rifie toujours $n_X=3$, c'est-�-dire n'a de point dans
aucune extension de degr� premier �$3$ --- notre hypoth�se�(i).
C'est une question ouverte de savoir si ce r�sultat vaut sur tout
corps.  Comparer avec le th�or�me�\ref{BrumerAmerTheorem} plus bas.)

\medskip

Ces diff�rents ingr�dients nous permettent maintenant
d'�tablir le th�or�me sur les surfaces cubiques�:
\begin{maincubthm}
Il existe une surface
cubique $X$ lisse dans $\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}$ et un corps $F$
de caract�ristique $0$ et de dimension
cohomologique $1$ tels que $X(F) =
\varnothing$.

Plus pr�cis�ment, $X$ ne poss�de de point dans aucune
extension  de degr� premier � $3$ de $F$.
\end{maincubthm}

\begin{proof}
On part d'un corps $k_0 = k$ et d'une surface cubique $X$ lisse
diagonale dans
$\mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}}$ qui v�rifie sur $ {\mathbb{Q}}$ et sur
$k$ les hypoth�ses (i)�et�(ii) du
lemme�\ref{Cub1Iterating}, comme le lemme�\ref{CubStarting} en
assure l'existence.

Lorsque $K$ est une extension de $k_0$, on appellera $\mathbi{P}(K)$
la propri�t� suivante�: l'extension $X_K = X\times_{\Spec k_0} \Spec
K$ de la surface $X$ � $K$ v�rifie les hypoth�ses (i)�et�(ii) du
lemme�\ref{Cub1Iterating}.

Le lemme�\ref{Cub1Iterating} garantit la condition�(1) du
th�or�me�\ref{InductionTheorem}.  Le th�or�me�\ref{Cub2Iterating}
garantit la condition�(2).  Le lemme�\ref{CubStarting}, pris comme
point de d�part, garantit la condition�(0).  Enfin, la condition�(3)
est tout � fait claire.  Le r�sultat voulu d�coule donc du
th�or�me�\ref{InductionTheorem}.
\end{proof}



\section{Surfaces de del Pezzo de degr�$4$}

Pour prouver le th�or�me�\ref{PrincipalDP4},
nous utiliserons un  r�sultat �l�gant d� � Amer et Brumer
(\cite{Amer}�; \cite{Brumer}, th�or�me�1)�:
\begin{thm}
Soit $k$ un corps (de caract�ristique $>2$),
et soient $Q_1$ et $Q_2$ deux formes quadratiques
en $r$ variables sur $k$.  S'il existe une extension alg�brique $k'/k$
de degr� impair telle que $Q_1$ et $Q_2$ aient un vecteur isotrope
commun dans $k^{\prime r}$ alors elles en ont un d�j� dans $k^r$.
\label{BrumerAmerTheorem}
\end{thm}

(Dans le cas que nous utiliserons, le r�sultat avait �t�
obtenu par Coray�\cite{CorayDP4}.)


En d'autres termes,  d�s qu'une intersection de
deux quadriques poss�de un z�ro-cycle de degr� impair, elle
poss�de un point rationnel.

�tablissons maintenant que cette propri�t� de ne pas avoir de
z�ro-cycle de degr� impair est pr�serv�e par le passage au corps
des fonctions d'une conique. On comparera la d�monstration du
th�or�me suivant avec celle du th�or�me�\ref{Cub2Iterating},
laquelle reposait sur la formule du degr� de
Rost.
\begin{thm}
Soient $k$ un corps de caract�ristique $0$ et $X$ une intersection
compl�te lisse de deux quadriques dans $\mathbb{P}^4_k$.  On suppose
que $X(k)=\varnothing$ et que le groupe de Picard $\Pic X$ de $X$ est
r�duit aux multiples de la classe $\canK_X$ du fibr� canonique
(classe dont l'oppos�e est induite par le  plongement naturel de
la surface  $X $ dans
$\mathbb{P}^4_k$). Soit $C$
une conique lisse sur $k$.  Alors on a $X(k(C))=\varnothing$.
\label{DP4Iterating}
\end{thm}
\begin{proof}
Supposons par l'absurde qu'il existe une application ration\-nelle
$h\colon C\to X$, qui est alors un morphisme.
L'image de $h$ ne peut pas �tre de dimension�$0$ car elle d�finirait
un point rationnel de $X$.  C'est donc une courbe
g�om�triquement int�gre ${\mit\Gamma}$
d�finie sur $k$.  La classe $[{\mit\Gamma}]$ de ${\mit\Gamma}$ dans
$\Pic X$ s'�crit $n \canK_X$ pour un certain entier $n$ (noter que $n<0$).
D'apr�s la formule d'adjonction (cf.�\cite{Hartshorne}, chapitre�V,
proposition�1.5 et \cite{SerreGACC}, chapitre�IV, n�8,
proposition�5), le genre arithm�tique $p_{\textrm{a}}({\mit\Gamma})$ de
${\mit\Gamma}$ est $2n(n+1)+1$ puisque l'auto-intersection de $\canK_X$ est
$4$.

La fl�che $C\to{\mit\Gamma}$ se factorise par la normalisation
$\varpi\colon\tilde{\mit\Gamma}\to{\mit\Gamma}$ de
${\mit\Gamma}$.
La $k$-courbe $\tilde{\mit\Gamma}$ est g�om�triquement int�gre.
Le genre g�om�trique $p_{\textrm{g}}({\mit\Gamma})$
de ${\mit\Gamma}$ est le genre de $\tilde{\mit\Gamma}$ qui est
$0$ car le genre de $C$ est $0$.  Ainsi, $p_{\textrm{g}}({\mit\Gamma})
= 0$ (qui est pair).  Le
genre arithm�tique $p_{\textrm{a}}({\mit\Gamma})$ de ${\mit\Gamma}$,
comme expliqu� ci-dessus, est $2n(n+1)+1$ (et il est impair).  On a la
suite exacte courte de faisceaux coh�rents sur ${\mit\Gamma}$
suivante�: $0\to \mathcal{O}_{\mit\Gamma} \to
\varpi_*\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}}
\to \mathcal{F}\to 0$ (o� le faisceau gratte-ciel
$\mathcal{F}$ est, par d�finition, le
conoyau ainsi indiqu�).  De plus, d'apr�s \cite{SerreGACC},
chapitre�IV, n�7, proposition�3, le genre arithm�tique de
${\mit\Gamma}$ s'�crit $p_{\textrm{a}}({\mit\Gamma}) =
p_{\textrm{g}}({\mit\Gamma}) + \delta$ o� $\delta =
\sum_{Q\in{\mit\Gamma}} \delta_Q$ est la longueur
sur $k$ du faisceau
$\mathcal{F}$�: ainsi, $\delta$ est impair.  Le cycle
$\sum_{Q\in{\mit\Gamma}} \delta_Q [Q]$ (o� $\delta_Q$ d�signe la
longueur de la fibre en $Q$ de $\mathcal{F}$), sur ${\mit\Gamma}$,
donc sur $X$, est alors de degr� impair, donc, d'apr�s le
th�or�me�\ref{BrumerAmerTheorem}, il y a sur $X$ un point rationnel,
une contradiction.
\end{proof}

La propri�t� $\Pic X = \mathbb{Z}\cdot \canK_X$ est elle-m�me
pr�serv�e
par passage au corps des fonctions d'une conique�: ceci r�sulte de la
proposition�\ref{PicardProperty} plus haut.  Comme pour le cas des
surfaces cubiques, on a $\Pic(X_{\bar k})^{\Gal(\bar k/k)} =
\mathbb{Z} \cdot \canK_X$ si et seulement si $\Pic X = \mathbb{Z}\cdot
\canK_X$�: on a les inclusions naturelles de groupes ab�liens libres de
rang un $\mathbb{Z} \canK_X \hookrightarrow \Pic(X) \hookrightarrow
(\Pic\bar X)^{\Gal(\bar k/k)}$, et la classe de $\canK_X$
n'est pas divisible dans $\Pic\bar X$ (son nombre
d'intersection avec une  droite trac�e
sur $\bar X$ vaut $-1$),
ces inclusions sont donc des �galit�s.

\medskip

On peut maintenant expliciter la surface consid�r�e�:
\begin{prop}
Soit $k$ un corps de caract�ristique�$0$.  On suppose que le degr� de
$k(\sqrt{-1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})$ sur $k$ est $16$.
L'intersection�$X\subset \mathbb{P}^4_k$ des deux quadriques
d�finies par les �quations
\[
\begin{array}{c}
T_0^2 + T_1^2 + T_2^2 + T_3^2 + T_4^2 = 0\\
2 T_0^2 + 3 T_1^2 + 5 T_2^2 + 7 T_3^2 + 11 T_4^2 = 0
\end{array}
\]
est lisse.  Le groupe
$(\Pic X_{\bar k})^{\Gal(\bar k/k)}$ est r�duit aux multiples de
la classe $\canK_X$ du fibr� canonique.
\label{DP4Starting}
\end{prop}
\begin{proof}
La v�rification de la lissit� de�$X$ est imm�diate.

Dans $\bar k^5$ de coordonn�es $(T_0,T_1,T_2,T_3,T_4)$, les deux
vecteurs suivants�:
\[
\begin{array}{c}
(\sqrt{-6},\sqrt{10},\sqrt{-5},1,0)\\
(2\sqrt{5},-3\sqrt{-3},\sqrt{6},0,1)
\end{array}
\]
sont simultan�ment isotropes et orthogonaux pour les deux formes
quadratiques $T_0^2 + T_1^2 + T_2^2 + T_3^2 + T_4^2$ et $2 T_0^2 + 3
T_1^2 + 5 T_2^2 + 7 T_3^2 + 11 T_4^2$.  La droite qui relie les deux
points ainsi d�finis dans $\mathbb{P}^4_{\bar k}$ est donc enti�rement
contenue dans $X_{\bar k}$.  Une v�rification ais�e permet de voir que
l'image de cette droite par les seize �l�ments de
$\Gal(k(\sqrt{-1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}) / k) \cong
(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$ donne bien seize droites distinctes
sur $X_{\bar k}$.

On sait par ailleurs (cf.�\cite{Manin}) que les classes des seize
droites trac�es sur $X_{\bar k}$ engendrent le groupe de Picard.
Comme l'action de $G=\Gal(\bar k/k)$ est transitive sur celles-ci,
$(\Pic X_{\bar k})^G$ est de rang�$1$.
Comme $\canK_X$ n'est pas divisible dans $\Pic
X_{\bar k}$, on a plus pr�cis�ment $(\Pic X_{\bar k})^G =
\mathbb{Z}\cdot \canK_X$.
\end{proof}

\textbf{Remarque�:} Nous avons donn� ici un exemple num�rique pour ne
pas nous embarrasser de calculs  fastidieux.  N�anmoins, si
les deux formes quadratiques consid�r�es sont $a_0 T_0^2 + a_1 T_1^2 +
a_2 T_2^2 + a_3 T_3^2 + a_4 T_4^2$ et $b_0 T_0^2 + b_1 T_1^2 + b_2
T_2^2 + b_3 T_3^2 + b_4 T_4^2$ avec les $a_i$ et les $b_i$ tels
qu'aucun des $d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i$ ne soit nul, alors les seize
droites sont donn�es par
\[
\begin{array}{c}
(\varepsilon_0 \sqrt{\frac{d_{13}d_{23}d_{04}}{d_{01}d_{20}d_{34}}},
\varepsilon_1 \sqrt{\frac{d_{23}d_{03}d_{14}}{d_{12}d_{01}d_{34}}},
\varepsilon_2 \sqrt{\frac{d_{03}d_{13}d_{24}}{d_{20}d_{12}d_{34}}},
1,0)\\
(\delta \varepsilon_0 \sqrt{\frac{d_{14}d_{24}d_{03}}{d_{01}d_{20}d_{43}}},
\delta \varepsilon_1 \sqrt{\frac{d_{24}d_{04}d_{13}}{d_{12}d_{01}d_{43}}},
\delta \varepsilon_2 \sqrt{\frac{d_{04}d_{14}d_{23}}{d_{20}d_{12}d_{43}}},
0,1)\\
\end{array}
\]
(c'est-�-dire que les deux vecteurs en question dans $\bar k^5$ sont
simultan�ment isotropes et orthogonaux pour les deux formes
quadratiques)
en parcourant les choix de signes $(\varepsilon_0, \varepsilon_1,
\varepsilon_2, \delta) \in \{\pm 1\}^4$.  Lorsque le groupe de Galois
d�finit une action transitive sur ces choix de signes, la m�me
d�monstration que ci-dessus s'applique.


\medskip

Ces diff�rents ingr�dients nous permettent maintenant
d'�tablir le th�o\-r�me principal sur les surfaces de del Pezzo
de degr�$4$�:
\begin{maindp4thm}
Il existe une surface $X$ intersection
compl�te lisse de deux quadriques dans $\mathbb{P}^4_\mathbb{Q}$ et
un corps $F$ de caract�ristique $0$ et de dimension
cohomologique $1$ tels que
$X(F) = \varnothing$.

Plus pr�cis�ment, $X$ ne poss�de de
point dans aucune extension
de degr� impair de $F$.
\end{maindp4thm}

\begin{proof}
On part de la surface $X$ donn�e par les �quations de la
proposition�\ref{DP4Starting} sur le corps $k_0 = \mathbb{Q}$.
Alors  $[k_0(\sqrt{-1}, \sqrt{2}, \sqrt{3},
\sqrt{5}) : k_0] = 16$ et $X(k_0) = \varnothing$.

Lorsque $K$ est une extension de $k_0$, on appellera $\mathbi{P}(K)$
la conjonction des deux propri�t�s suivantes�:
\begin{itemize}
\item[(i)] $X_{K}(K) = \varnothing$,
\item[(ii)] $[K(\sqrt{-1}, \sqrt{2}, \sqrt{3},
\sqrt{5}) : K] = 16$.
\end{itemize}
Notons d'ores et d�j� qu'en vertu de la
proposition�\ref{DP4Starting}, la propri�t�(ii) permet de conclure
que $\Pic X_{K} = \mathbb{Z}\cdot \canK_X$.

On veut maintenant appliquer le th�or�me�\ref{InductionTheorem}.  La
propri�t�(i) est pr�serv�e par extension alg�brique de
degr� impair
en vertu du th�or�me�\ref{BrumerAmerTheorem}�; et la propri�t�(ii)
l'est aussi, de fa�on �vidente�: ceci garantit la condition�(1) du
th�or�me�\ref{InductionTheorem}.  La propri�t�(i) est
pr�serv�e, en
pr�sence de la propri�t�(ii), par passage au corps des fonctions
d'une conique, d'apr�s le th�or�me�\ref{DP4Iterating}�; et la
propri�t�(ii) l'est aussi de fa�on �vidente (comparer avec la
proposition�\ref{PicardProperty})�: ceci garantit la condition�(2).
La condition�(0) est assur�e dans notre choix initial.  Enfin, la
condition�(3) est claire.  Le th�or�me�\ref{InductionTheorem} permet
alors de conclure.
\end{proof}


\section{Un raffinement, et quelques applications}

J.�Koll�r nous a indiqu� un raffinement de la d�monstration
du th�or�me�\ref{DP4Iterating}. Avec son accord, nous
d�crivons son argument. L'id�e suppl�mentaire est d'utiliser le
th�or�me de Riemann-Roch pour les fibr�s vectoriels sur une courbe.
Cela permet de faire l'�conomie du  th�or�me�\ref{BrumerAmerTheorem}.


Rappelons qu'on a d�fini au d�but de la d�monstration du
th�or�me�\ref{Cub2Iterating} l'indice $n_Z$ d'une vari�t� $Z$ sur un
corps $k$ comme le p.g.c.d. des degr�s des extensions finies $K/k$
telles que $X(K)\neq \varnothing$.


\begin{thm}
Soient $k$ un corps de caract�risitique $0$ et $X$
une $k$-surface projective, lisse, g�om�triquement int�gre.
Soit $\canK_X \in \Pic X$ la classe canonique.
Soit $\ell$ un nombre premier qui divise l'indice $n_X$ de�$X$.
Soit $C/k$ une $k$-courbe projective, lisse,
int�gre, dont la caract�ristique d'Euler-Poincar�
$\chi_C(\mathcal{O}_C)$ (relative au corps de base $k$) est premi�re
� $\ell$. Soient
$D$ une
$k$-courbe lisse int�gre,
$f\colon D \to C$ un $k$-morphisme fini de degr� premier � $\ell$,
et $g\colon D \to X$ un $k$-morphisme. Alors l'image de $D$
est une $k$-courbe int�gre ${\mit\Gamma}\subset X$ telle que $\ell$ ne
divise pas l'entier
$({\mit\Gamma}\cdot({\mit\Gamma}+\canK_X))/2$.
\label{RiemannRoch}
\end{thm}

\begin{proof}
Si $C$ poss�dait un point ferm� de degr� (sur $k$)
non divisible par $\ell$, comme le degr� de $f$ n'est pas
divisible par $\ell$, il en serait de m�me de $D$,
puis de $X$, ce qui est exclu. Ainsi $\ell$ divise $n_C$.

   Pour les caract�ristiques
d'Euler-Poincar� coh�rentes (o� toutes les dimensions sont prises
sur le corps de base $k$), on a, puisque
$f$ est fini, les �galit�s
$\chi_D(\mathcal{O}_D)=\chi_C(f_*\mathcal{O}_D)$. Comme le morphisme $f$
est fini et plat, le faisceau coh�rent $f_*\mathcal{O}_D$ est un fibr�
vectoriel sur $C$ de rang $r$, o� $r$ est le degr� de $f$. Le
th�or�me de Riemann-Roch pour les fibr�s vectoriels sur la
$k$-courbe
$C$ donne l'�galit�
$\chi_C(f_*\mathcal{O}_D)=\deg(\bigwedge^{\max}(f_*\mathcal{O}_D))+
r\chi_C(\mathcal{O}_C)$. Comme le premier $\ell$ divise $n_C$, il divise
$\deg(\bigwedge^{\max}(f_*\mathcal{O}_D))$. On conclut
$\chi_D(\mathcal{O}_D) \equiv r\chi_C(\mathcal{O}_C) \pmod{\ell}$,
ce qui d'apr�s les hypoth�ses implique
que $\chi_D(\mathcal{O}_D)$ est premier � $\ell$.


   Soit $k_D$ le corps extension finie de $k$
qui est la cl�ture int�grale de $k$ dans le corps des
fonctions de $D$.  Le degr� de $k_D$ sur $k$ est premier � $\ell$,
puisqu'il en est ainsi de celui de $f$. L'image du morphisme
propre $g \colon D \to X$ ne saurait �tre de dimension z�ro�:
ce serait alors un point ferm� de $X$ dont le degr� sur $k$
diviserait celui de $k_D$ sur $k$, ce qui contredirait l'hypoth�se
que $\ell$ divise $n_X$. Soit donc ${\mit\Gamma} \subset X$ la courbe
image de $g$. Soit $\varpi \colon \tilde{\mit\Gamma}\to {\mit\Gamma}$ la
normalisation de
${\mit\Gamma}$. Le morphisme $g$ se factorise en $g_1 \colon D \to
\tilde{\mit\Gamma}$ et $\varpi$. Le morphisme $g_1$
est fini et plat.
Le faisceau $g_{1*}(\mathcal{O}_D)$ est donc un fibr�
vectoriel sur la $k$-courbe lisse int�gre $\tilde{\mit\Gamma}$.
L'indice $n_{\tilde{\mit\Gamma}}$ de $\tilde{\mit\Gamma}$ sur $k$
est divisible par $\ell$.
En appliquant le
th�or�me de Riemann-Roch au fibr� vectoriel $f_{1*}(\mathcal{O}_D)$
sur $\tilde{\mit\Gamma}$,
on obtient ici
$\chi_D(\mathcal{O}_D)=\chi_{\tilde{\mit\Gamma}}(g_{1*}(\mathcal{O}_D)
\equiv s\cdot \chi_{\tilde{\mit\Gamma}} (\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}})
\pmod{\ell}$,
o� $s$ est le degr� du morphisme $g_1$. Comme $\chi_D(\mathcal{O}_D)$
est premier � $\ell$, on conclut qu'il en est de m�me
de $\chi_{\tilde{\mit\Gamma}}(\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}})$.
On a la
suite exacte courte de faisceaux coh�rents sur ${\mit\Gamma}$
suivante�: $0\to \mathcal{O}_{\mit\Gamma} \to
\varpi_*\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}}
\to \mathcal{F}\to 0$ (o� le faisceau
$\mathcal{F}$ est, par d�finition, le
conoyau ainsi indiqu�). La caract�ristique d'Euler-Poincar�
du faisceau gratte-ciel $\mathcal{F}$ est la dimension du $k$-espace
vectoriel
$H^0({\mit\Gamma},
\mathcal{F})$, elle est donc divisible par $\ell$. Comme $\varpi$
est fini, on a
$\chi_{\mit\Gamma}(\varpi_*\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}})
=\chi_{\tilde{\mit\Gamma}}(\mathcal{O}_{\tilde{\mit\Gamma}})$.
On conclut alors que $\chi_{\mit\Gamma}(\mathcal{O}_{\mit\Gamma})$
est premier � $\ell$.  Sur la surface $X$, le th�or�me de Riemann-Roch
pour un faisceau inversible $\mathscr{L}$, ou pour sa classe dans
$\Pic X$, s'�crit
$\chi_X(\mathscr{L})-\chi_X(\mathcal{O}_X)=
(\mathscr{L}\cdot(\mathscr{L}-\canK_X))/2$.
De la suite exacte de faisceaux coh�rents $0 \to
\mathcal{O}_X(-{\mit\Gamma})
\to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{\mit\Gamma} \to 0$ sur $X$
on d�duit
\[
\chi_{\mit\Gamma}(\mathcal{O}_{\mit\Gamma})=
\chi_X(\mathcal{O}_{\mit\Gamma})
= \chi_X(\mathcal{O}_X)-\chi_X(\mathcal{O}_X{{(-\mit\Gamma)}})=-
({\mit\Gamma}\cdot({\mit\Gamma}+\canK_X))/2
\]
ce qui �tablit le th�or�me.
\end{proof}

On dit qu'une surface de del Pezzo $X$ est
d�ploy�e sur le corps $L \subseteq
\bar k$ si $X(L) \neq \varnothing$
et si l'inclusion $\Pic(X_L) \hookrightarrow \Pic(\bar X)$
est une �galit�.

\begin{thm}
Soient $k$ un corps de caract�ristique $0$ et $X$ une
surface de del Pezzo de degr� $2$�ou�$4$.
Supposons que $2$ divise l'indice $n_X$ de $X$ sur $k$, que le groupe
de Picard
$\Pic X$ de $X$ est r�duit aux multiples de la classe $\canK_X$ du fibr�
canonique, et que la surface
$X$ est d�ploy�e par une extension galoisienne $L/k$
de degr� une puissance de $2$.  Il existe alors un corps
$F$ contenant $k$, de dimension cohomologique $1$, tel que
$n_{X_F}=2$.
\label{DPKollar}
\end{thm}



\begin{proof}


Pour $K$  une extension de $k$, on note $\mathbi{P}(K)$
la conjonction des deux propri�t�s suivantes�:
\begin{itemize}
\item[(i)] $2$ divise $n_{X_K}$,
\item[(ii)] $K\otimes_k L$ est un corps.
\end{itemize}


Soit $G$ le groupe de Galois de $K$ sur $k$.
On a les inclusions de groupes ab�liens libres de rang un
$\mathbb{Z}\cdot \canK_X \hookrightarrow \Pic(X) \hookrightarrow
\Pic X_K^G \hookrightarrow
(\Pic\bar X)^{\Gal(\bar k/k)}$, et la classe de $\canK_X$
n'est pas divisible dans $\Pic\bar X$,
ces inclusions sont donc des �galit�s.
Sous l'hypoth�se (ii), on a un isomorphisme
de $G$-modules $\Pic X_K \cong \Pic X_{K\otimes_k L}$.
On en d�duit $\mathbb{Z} \cdot \canK_X= (\Pic X_K)^G = (\Pic
X_{K\otimes_k L})^G$, donc $\mathbb{Z}\cdot \canK_X = \Pic(X_L)$.

On veut maintenant appliquer le th�or�me�\ref{InductionTheorem},
avec $p=2$.   La
condition�(0) est assur�e dans notre choix initial.

La propri�t�(i) est trivialement pr�serv�e par extension
alg�brique de degr� impair. La propri�t�(ii)
l'est aussi, de fa�on �vidente�:
ceci garantit la condition�(1) du
th�or�me�\ref{InductionTheorem}.


Supposons que $X_K$ satisfasse (i)�et�(ii).
Soit $C$ une
$K$-conique lisse sans point
rationnel. La caract�ristique d'Euler-Poincar�
de $C$ est $1$. Soit $D$ une $K$-courbe lisse int�gre,
�quip�e 
d'un $K$-morphisme dominant $D \to C$
de degr� impair. Supposons 
$X(K(D)) \neq \varnothing$.
D'apr�s le th�or�me�\ref{RiemannRoch} appliqu� � $\ell=2$,
l'image de la courbe $D$ dans $X_K$
est une courbe ${\mit\Gamma} \subset X_K$ telle que
$({\mit\Gamma}\cdot({\mit\Gamma}+\canK_X))/2$ est impair.
Sous l'hypoth�se $\mathbb{Z} \cdot \canK_X= \Pic X_K$,
il existe un entier $n \in \mathbb{Z}$ tel que ${\mit\Gamma}=n\canK_X$,
et alors $({\mit\Gamma}\cdot({\mit\Gamma}+\canK_X))/2=  \frac{n(n+1)}{2}
(\canK_X\cdot \canK_X)$ est pair puisque
$(\canK_X\cdot \canK_X)$ est soit $4$ soit $2$.
Cette contradiction montre qu'il n'existe pas d'extension $K(D)/K(C)$ de
degr� impair avec $X(K(D)) \neq \varnothing$, en d'autres termes
    $2$ divise $n_{X_{K(C)}}$.
La propri�t�(i) est donc pr�serv�e, en pr�sence de la
propri�t�(ii), par passage au corps des fonctions d'une conique,
et la propri�t�(ii)
l'est aussi de fa�on �vidente�: ceci garantit la condition�(2).

    Enfin, la condition�(3) est claire.   Le
th�or�me�\ref{InductionTheorem} permet alors de conclure.
\end{proof}


\textbf{Remarques�:}
\par\nobreak

(1)�L'existence de surfaces de del Pezzo de degr�$2$ sans point
rationnel sur un corps de dimension cohomologique�$1$ r�sulte
d�j� du th�or�me�\ref{PrincipalDP4}�: on peut en effet partir
d'une surface
de del Pezzo de degr�$4$ avec cette propri�t�
et �clater un point ferm� de degr�$2$ non situ�
sur les $16$ droites.

\medskip
(2)�Au paragraphe pr�c�dent, on a vu des exemples de
surfaces de del Pezzo de degr�$4$ sur $\mathbb{Q}$ satisfaisant
les hypoth�ses du th�or�me�\ref{DPKollar}.
La condition que $2$ divise $n_X$
est trivialement satisfaite pour la surface $X/\mathbb{Q}$ de
la proposition�\ref{DP4Starting}, puisque cette surface
n'a pas de point sur le corps des r�els.
Pour donner un exemple de surface de del Pezzo
de degr�$2$, on partira d'une �quation
$z^2+ax^4+by^4+cz^4=0$, avec $a, b, c \in {\mathbb{Q}}$
tous positifs et suffisamment g�n�raux.
On renvoie au r�cent article \cite{KreschTschinkel}
pour le calcul de l'action du groupe de Galois
sur le groupe de Picard d'une surface de del Pezzo
de degr�$2$.

\medskip

(3)�Comme le remarque J.�Koll�r, les raisonnements
faits aux th�or�mes \ref{DP4Iterating}�et�\ref{RiemannRoch}
ont d'autres applications. En voici une.
Soit $X$ une surface projective et lisse de degr�$4$ dans
${\mathbb{P}}^3_{\mathbb{R}}$. Si $X$ est
��suffisamment g�n�rale��
et si $X$ ne poss�de pas de point r�el, alors il n'y a aucune
courbe de genre z�ro (g�om�triquement int�gre)
trac�e sur $X$.
En d'autres termes, il n'existe pas
de ${\mathbb{R}}$-morphisme d'une ${\mathbb{R}}$-conique lisse
$C$ vers $X$. De fait, si $X$ est assez g�n�rale,
un th�or�me de Max Noether assure que l'on a
$\Pic X= {\mathbb{Z}}\cdot H$, o� $H$ est la classe d'une section
hyperplane.
Supposons qu'il existe un morphisme $C \to X$  comme �voqu�.
Soit ${\mit\Gamma}$ l'image de $C$. On a alors
${\mit\Gamma}=nH \in \Pic X$. On a $\canK_X=0 \in \Pic(X)$.
Le th�or�me�\ref{RiemannRoch} implique alors que
$2$ ne divise pas $2n^2$, ce qui est absurde�: il n'existe donc
pas de tel morphisme.
On comparera ce r�sultat avec le r�sultat de
g�om�trie complexe assurant que sur toute surface $K3$
sur $\mathbb{C}$
il existe au moins une courbe de genre g�om�trique z�ro.



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 \vskip 2,5cm

Jean-Louis Colliot-Th�l�ne

Math�matiques, B�timent 425

Universit�  Paris-Sud

F-91405 Orsay FRANCE

\verb=colliot@math.u-psud.fr=
    \bigskip
 
 David Madore
 
 Math�matiques, B�timent 425

Universit�  Paris-Sud

F-91405 Orsay FRANCE
 
\verb=david.madore@ens.fr=

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\end{document}

math0303168.extracted_bib
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