{\Large R�les des contraintes sur les signaux de transition de phase. }
G.A.N.I.L.
Bd. H. Becquerel B.P. 5027 F-14021 Caen c�dex
France
L.P.C.
Bd. Mal Juin F-14050 Caen c�dex
vregnard.tex
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% enl�ves la ligne correspondante et �cris les accents � la TeX: � = \'e ...
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%%perso added
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\def\tablename{{\bf Table}}
%
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%
\begin{document}
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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Titre et auteur
%
\title{
{\Large \bf 
R�les des contraintes sur les signaux de transition de phase.
}
}
 
\author{
{\bf 
Vincent R�gnard <regnard@ganil.fr>
} \\ 
G.A.N.I.L., Bd. H. Becquerel B.P. 5027 F-14021 Caen c�dex, France \\
L.P.C. , Bd. Mal Juin F-14050 Caen c�dex, France 
}

\date{}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Resume
%
\begin{center}
{\bf 
Ce papier pr�sente la notion de signal de transition de phase pour un syst�me de taille finie. Il se concentre sur le r�le des contraintes physiques sur ces signaux et la robustesse quant au changement d'ensemble statistique. Des r�sultats obtenus avec un mod�le de gaz sur r�seau sont pr�sent�s en analogie avec les observations effectu�es en collisions d'ions lourds aux �nergies interm�diaires.
} 
\end{center}
%
%---------------------------------------------------------------------
\section{Introduction}
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%
Les transitions de phase dans les syst�mes finis ont �t� �tudi�es dans de nombreux cadres th�oriques. Des approches simples comme le mod�le de gaz sur r�seau permettent d'�tudier certaines propri�t�s comme la coexistence de phases ou la criticit� et d�crire de fa�on qualitative les processus physiques comme la multifragmentation des noyaux atomiques ou des agr�gats d'atomes.
%%qui subissent une transition de phase de type liquide-gaz. Ces derni�res ann�es de nombreux signaux de transition de phase pour ces syst�mes m�soscopiques ont �t� propos�s.
 La description de la transition de phase dans ces syst�mes diff�re de la ph�nom�nologie classique que nous connaissons bien. Pour ces syst�mes de taille finie, les fluctuations des observables sont importantes, les fonctions de partition contenant un nombre fini de termes ne permettent pas aux potentiels thermodynamiques de diverger, le r�le des interfaces n'est plus n�gligeable et surtout les ensembles statistiques ne sont pas �quivalents. Une nouvelle description des transitions de phase pour ces syt�mes doit �tre formul�e.
Apr�s une pr�sentation du mod�le de gaz sur r�seau et quelques rappels de physique statistique, je pr�senterai les effets des contraintes physiques appliqu�es au syst�me, c'est-a-dire le choix d'un ensemble statistique, sur deux signaux de transition de phase.%
%
%---------------------------------------------------------------------
\section{Le mod�le Lattice-gas}
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%
%
Le mod�le du gaz sur r�seau est une extension du mod�le d'Ising.
%% propos� au d�but du si�cle pass� par Lenz pour expliquer le ferromagn�tisme. 
Ce mod�le suppose un r�seau multidimensionnel (3 dimensions dans notre cas) comprenant N sites caract�ris�s par un nombre d'occupation $n_{i}$ (absence (0) ou pr�sence (1) d'une particule sur le site $i$) ainsi qu'une impulsion $\overrightarrow{p_{i}}$. La donn�e des N nombres d'occupation et impulsions associ�es d�finit une configuration microscopique $\{n\}$. 
%%La physique du syst�me �tudi� est impos�e dans le mod�le � travers le choix d'un Hamiltonien.
Le Hamiltonien que nous utilisons dans nos simulations s'�crit de la fa�on suivante:
$$
H(\{n\})=-\frac{\epsilon}{2}\sum_{i \ne j}^{N}n_{i}n_{j}+\sum_{k=1}^{N} n_{i}\overrightarrow{p_{i}}^{2}
$$ 
La premi�re somme traduit une interaction attractive constante entre plus proches voisins sur le r�seau (6 au maximum en 3 dimensions). 
Le param�tre $\epsilon$ peut �tre vu comme la profondeur du puits de potentiel d'une interaction g�n�rique � courte port�e. %%Si l'on simplifie ce dernier sous la forme d'une fonction de Heaviside $V(r)=-\epsilon H(\frac{r-r_0}{r_0})$ pour des raisons de facilit� num�rique (o� $r_0$ repr�sente la port�e de l'interaction), un choix de pas du r�seau �gal � $r_0$ permet de limiter l'�tendue de cette somme aux plus proches voisins. 
Cette premi�re somme est responsable de la coh�sion du syst�me et joue un r�le de premi�re importance. La deuxi�me somme prend en compte l'agitation du syst�me � travers l'impulsion des particules du r�seau donnant ainsi des degr�s de libert� suppl�mentaires au syst�me. Cette agitation contribue � la dissociation du syst�me en fragments. 
%%Comme il s'agit d'un hamiltonien de particules ind�pendantes (op�rateur � un corps), son r�le est moins important. 
Les fragments sont identifi�s � l'int�rieur de chaque configuration microscopique par un algorithme de reconnaissance du type Coniglio-Klein~\cite{coniglio}. L'observation du syst�me consiste ensuite � �valuer des observables pertinentes calcul�es sur un �tat microscopique du syst�me.
%
% Un tableau
% [bth]
%% \begin{table*}[bth]
%% \begin{center}
%% \begin{tabular}{||c|*{3}{c|}|}
%% \hline
%% Distribution statistique & Grand Canonique & Canonique & Microcanonique \\
%% \hline
%% \hline
%% Multiplicateurs de Lagrange & $\mu,T$ & $T$ & $0$\\
%% \hline
%% Lois de conservation & $<N>,<E>$ & $N,<E>$ & $N,E$ \\
%% \hline
%% Distribution de probabilit� & $P_{n}=\frac{1}{Z_{\mu,\beta}} e^{-\beta(H_{n}-\mu N_{n})}$ &  $P_{n}=\frac{1}{Z_{\beta}} e^{-\beta H_{n}}$ & $P_{n}=\frac{1}{\Omega (H_{n})} $ \\
%% \hline 
%% \end{tabular}
%% \caption{Tableau r�capitulatif des propri�t�s des ensembles statistiques utilis�s.}
%% \label{tab}
%% \end{center}
%% \end{table*}
%
% Un tableau
% [bth]
\begin{table*}[bth]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|*{2}{c|}|}
\hline
Distribution statistique & Grand Canonique & Canonique  \\
\hline
\hline
Multiplicateurs de Lagrange & $\mu,T$ & $T$ \\
\hline
Lois de conservation & $<N>,<E>$ & $N,<E>$  \\
\hline
Distribution de probabilit� & $P_{n}=\frac{1}{Z_{\mu,\beta}} e^{-\beta(H_{n}-\mu N_{n})}$ &  $P_{n}=\frac{1}{Z_{\beta}} e^{-\beta H_{n}}$ \\
\hline 
\end{tabular}
\caption{Tableau r�capitulant les propri�t�s des ensembles statistiques utilis�s.}
\label{tab}
\end{center}
\end{table*}
%---------------------------------------------------------------------
\section{Ensembles statistiques}
%---------------------------------------------------------------------
%
Les contraintes physiques ext�rieures sur le syst�me �tudi� sont appliqu�es par le biais de multiplicateurs de Lagrange. L'observable $A_{l}$ (variable extensive) associ�e � $\lambda_{l}$ (param�tre intensif) se retrouve alors distribu�e dans un intervalle. Par exemple le multiplicateur de Lagrange associ� au volume est la pression, celui associ� au nombre de particules le potentiel chimique ou encore celui associ� � l'�nergie la temp�rature. Pour toute observable nous pouvons d�finir un param�tre de Lagrange (conjugu� canonique) qui permettra d'obtenir la distribution de cette observable � l'�quilibre de Gibbs, c'est � dire celle maximisant l'entropie statistique sous contraintes. Cette m�thode permet de traiter de fa�on �quiprobable l'information dont on ne dispose pas, le seul biais introduit �tant pr�cis�ment l'information pertinente.\\  
Un algorithme Monte-Carlo de type Metropolis~\cite{metropolis} permet d'�chantilloner diff�rents ensembles statistiques afin d'obtenir les distributions statistiques de micro�tats satisfaisant les contraintes.
Il est possible d'ajouter � ces contraintes des lois de conservations (distribution de Dirac de l'observable conserv�e).
Nous consid�rerons les ensembles grand-canonique dans lequel le potentiel chimique et la temp�rature sont fix�s (ie. nombre de particules et energie d�finis en valeur moyenne) ainsi que l'ensemble canonique o� la masse est fix�e et l'�nergie est d�finie en valeur moyenne.
%%, enfin nous nous int�resserons aussi � l'ensemble microcanonique ou �nergie et nombre de particules sont rigoureusement fix�s. 
Les distributions de probabilit� pour chaque ensemble statistique sont rappel�es dans le tableau \ref{tab}.
%
%
%---------------------------------------------------------------------
\section{Bimodalit�}
%---------------------------------------------------------------------
%
Une fois les distributions statistiques de micro�tats obtenues, les projections de la densit� d'�tat sur des directions d'observation jug�es pertinentes permet d'�tudier la physique associ�e au syst�me.

F. Gulminelli et P. Chomaz ont propos�~\cite{cho99} d'utiliser la topologie de la distribution des �v�nements dans l'espace d'observation pour signer la transition de phase pour les syst�mes de taille finie. Dans la zone de co�xistence de phase une bimodalit� (deux maxima) dans la distribution de probabilit� d'une observable permet d'identifier sans ambig�it� chacune des phases; cette observable joue alors le r�le d'un param�tres d'ordre.
 La projection de la densit� de probabilit� dans des espaces d'observation pertinents permet d'identifier l'appartenance des �v�nements � chacune de ces phases.

 La densit� de mati�re est le param�tre d'ordre naturel de la transition de phase liquide-gaz � la limite thermodynamique. Il est toutefois possible de trouver d'autres param�tres d'ordre corr�l�s � la densit�; en particulier on peut s'attendre � ce que la taille du plus gros des fragments ($A_{big}$) puisse servir de param�tre d'ordre. 

 La figure (\ref{density}) repr�sente la distribution des �v�nements grand-canoniques (� la valeur critique du potentiel chimique $\mu = 3\epsilon$) dans l'espace {\it``taille totale du syst�me (ie. densit�) versus taille du plus gros fragment''} et montre la corr�lation entre ces deux observables.
Cette figure montre que m�me en syst�me de toute petite taille la co�xistence de phase est reconnaissable par la bimodalit� de la distribution du param�tre d'ordre. La claire corr�lation entre $A_{big}$ et et la masse totale du syst�me $A_{tot}$ d�montre en plus que $A_{big}$ peut �tre utilis� comme param�tre d'ordre.
Cette observable est facile � manipuler dans les simulations num�riques et accessible assez facilement exp�rimentalement. La densit� �tant beaucoup plus difficile (voire impossible du fait de la difficult� d'acc�der au volume) � mesurer, l'�tude de cette observable est d'un grand inter�t pour faire des analogies ou comparer les r�sultats des mod�les avec l'exp�rience.
\begin{figure}[tb]
\centering\epsfig{file=density_abig_atot.eps,width=7cm}
\caption{Densit� de probabilit� grand-canonique projet�e dans l'espace {\it``nombre total de fragments''} (ordonn�es) versus {\it``taille du plus gros fragment''} (abscisse) pour diff�rentes temp�ratures (dans un r�seau 6x6x6)
%%(sup.g : zone de coexistence, sup.d : zone critique, inf. : surcritique).
}
\label{density} 
\end{figure}
A basse temp�rature la distribution de ces observables est bimodale (la projection sur chaque axe r�v�le deux maxima). Les �v�nements denses (grande masse totale) et ayant un gros plus gros fragment $A_{big}$ sont identifi�s comme appartenant � la phase de type liquide tandis que le deuxi�me lot d'�v�nements (faible densit� et petite taille du plus gros fragment) correspond � la phase gazeuse. En �levant progressivement la temp�rature du syst�me, ces deux lots d'�v�nements se rapprochent l'un de l'autre pour fusionner � la temp�rature critique. Enfin pour les temp�ratures surcritiques la distribution devient monomodale (un maximum), une seule phase fluide subsiste, avec un plus gros fragment de petite taille.
%% correspondant � une phase gazeuse (nombreux petits fragments). 
Ainsi le passage d'une distribution bimodale � une distribution monomodale signe le passage par un point critique correspondant � la transition de phase du second ordre.
%%\footnote{La simulation est effectu�e � la densit� critique dans un r�seau 6x6x6.}
\begin{figure}[tb]
\centering\epsfig{file=3Dtrans_abig_macro.eps,width=8.0cm}\\
\centering\epsfig{file=3Dtrans_abig_cano_log.eps,width=8.0cm}
\caption{Distribution de taille du plus gros fragment pour diff�rentes temp�ratures dans l'ensemble grand-canonique (haut) et dans l'ensemble canonique (bas). 
%%La loi de conservation sur la masse totale du syst�me (ensemble canonique) supprime la bimodalit�.
}
\label{3D} 
\end{figure}

La figure (\ref{3D}) (graphique sup�rieure) sch�matise la bifurcation caract�ristique d'une transition de phase. Cette figure montre la distribution grand-canonique du plus gros fragment pour diff�rentes temp�ratures. Le passage de la distribution bimodale de ce param�tre d'ordre � une distribution monomodale est bien localis�e et permet d'identifier le point critique. 
Le graphique inf�rieur sur cette m�me figure pr�sente les distributions du plus gros fragment dans la m�me gamme de temp�ratures pour l'ensemble canonique. Dans cet ensemble la masse a �t� fix�e, c'est-�-dire le nombre de sites occup�s est maintenu constant, alors qu'il �tait libre de fluctuer (sous la contrainte du potentiel chimique) dans l'ensemble grand-canonique. Si l'existence d'une loi de conservation emp�che �videment l'utilisation de la masse totale comme param�tre d'ordre, la bimodalit� de la distribution de taille du plus gros fragment a aussi disparu dans cet ensemble. La contrainte sur l'observable {\it ``masse totale du syst�me''} a fondamentalement chang� la topologie de la distribution de $A_{big}$ � cause de la forte corr�lation entre $A_{big}$ et $A_{tot}$. Le plus gros fragment n'est plus un param�tre d'ordre pour cet ensemble et ne permet plus de caract�riser la co�xistence de phase.         
%%\footnote{ La figure \ref{fragments} disparait dans la version finale}
%
%---------------------------------------------------------------------
\section{Invariance par changement d'�ch�lle}
%---------------------------------------------------------------------
%
Il a �t� propos� de nombreux autres moyens de mettre en �vidence une transition de phase. R. Botet et M. Ploszajczak~\cite{bot00} ont propos� par exemple d'utiliser la th�orie des fluctuations universelles ou $\Delta-scaling$. Cette th�orie d�montre que dans un ph�nom�ne critique la distribution du param�tre d'ordre est invariante par changement d'�ch�lle du syst�me. 
Cette th�orie a des applications en physique nucl�aire pour ce qui concerne la ph�nom�nologie de la multifragmentation des noyaux excit�s � des �nergies comparables � leur �nergie de liaison, si la taille du plus gros fragment est param�tre d'ordre de la transition de phase associ�e � la multifragmentation et si celle-ci est interpr�table comme un ph�nom�ne critique (ie. a lieu en proximit� du point critique du diagramme de phase).
 On attend dans ce cas que la forme de la distribution du plus gros fragment (moyenant une transformation d'�ch�lle) reste la m�me lorsque la taille du syst�me est modifi�e traduisant le caract�re universel de cette distribution. 
%%Les distributions de plus gros fragments centr�es et r�duites doivent �tre identiques pour les syst�mes soumis aux m�mes contraintes quelle que soit la taille du syst�me. 
Le passage par un point critique se traduit par la v�rification du $\Delta-scaling$ de la distribution normalis�e $P_{<m>}(m)$ du param�tre d'ordre $m$ pour diff�rentes tailles de syst�mes :
\begin{equation}
<m>^{\Delta} P_{<m>}(m)= \Phi (z_{\Delta}),  
z_{\Delta} = \frac{m - m^{*}}{<m>^{\Delta}}
\label{botet}
\end{equation}
o� $m^{*}$ et $<m>$ repr�sentent la valeur la plus probable et la valeur moyenne du param�tre d'ordre et $\Phi$ la fonction d'�ch�lle.
Dans une phase d�sordonn�e les distributions des param�tres d'ordre doivent v�rifier $\Delta=1$, le passage par un point critique est sign� par $\Delta=\frac{1}{2}$.
%%Ainsi les moments de premier et second ordre de ces distributions sont identiques. 
J.M. Carmona {\it et al.} ont montr�~\cite{car02} que cette th�orie est v�rifi�e dans le mod�le de gaz sur r�seau.
Cette technique est cependant difficle � mettre en oeuvre car la qualit� de la loi d'�ch�lle (\ref{botet}) d�pend �videmment de la valeur de $\Delta$ qui peut � priori varier entre 0 et 1 et n'est pas connue avant l'analyse.
%%et suppose le sacaling des distributions de param�tre d'ordre.
 
En ce qui concerne les donn�es exp�rimentales, le nombre limit� d'esp�ces nucl�aires rend impossible une application directe de la m�thode. Les propri�t�s d'invariance d'�ch�lle ont alors �t� �tudi�es pour une m�me collision d'ions lourds en variant la violence de la collision~\cite{bot01} et un changement de r�gime a �t� observ� de  $\Delta=1$ vers $\Delta=\frac{1}{2}$.
L'ensemble statistique (tri exp�rimental) dans lequel est effectu� cette analyse s'apparente � un ensemble gaussien interm�diaire entre un ensemble microcanonique et un ensemble canonique.

En notant $P(A_{big})$ la distribution du plus gros fragment, $<A_{big}>$ et $\sigma_{A_{big}}$ la moyenne statistique et la variance de cette distribution, l'�quation (\ref{botet}) peut �tre �crite de fa�on �quivalente par l'ensemble des deux relations
\begin{equation}
\sigma_{A_{big}} P(A_{big}) = \Psi (z_{PMS}) = \Psi (\frac{A_{big}-<A_{big}>}{\sigma_{A_{big}}})
\label{pms1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{<A_{big}>}{\sigma^{2\Delta}_{A_{big}}} = Constante
\label{pms2}
\end{equation}
 L'�quation (\ref{pms1}) exprime la transformation qui permet d'obtenir les distributions centr�es $\Psi(z_{PMS})$ de la variable r�duite $z_{PMS}$. Ceci constitue une premi�re �tape qui ne suppose pas la valeur de $\Delta$.
L'�quation (\ref{pms2}) exprime une relation affine entre les logarithmes des valeurs moyennes et des variances des distributions de plus gros fragments
$$
ln(A_{big}) = Cte - \Delta ln(\sigma_{abig})
$$
qui permet, si la loi d'�ch�lle (\ref{pms1}) est v�rifi�e, d'�tablir la valeur de $\Delta$.
%% Dans la phase gazeuse on doit avoir $\Delta=1$ et dans la phase dense $\Delta=\frac{1}{2}$.
%Au voisinage du point critique ce comportement doit etre v�rifi� pour des distributions correspondant � des temp�ratures voisines.
%% Les propri�t�s d'invariance d'�ch�lle ont �t� observ�es pour diff�rentes �nergies dans un intervalle avoisinant le point critique afin de v�rifier la relation exprim�e par l'�quation \ref{pms2} sur diff�rents points du diagramme de phase.
%%  Une �tude exp�rimentale en collisions d'ions lourds~\cite{bot00} avec le multid�tecteur INDRA a montr�  un changement de r�gime $\Delta=1$ vers $\Delta=\frac{1}{2}$ (ou inversement). 
\begin{figure}[tb]
\centering\epsfig{file=scaling_macro.eps,width=5cm}\\
\centering\epsfig{file=scaling_cano.eps,width=5cm}
%%\centering\epsfig{file=scaling_micro.eps,width=5cm}
\caption{Logarithme de la variance de la distribution de taille du plus gros fragment en fonction du logarithme de la valeur moyenne (figure de gauche) et fonctions de scaling (cf. texte) de ces distributions (droite) dans l'ensemble grand-canonique (haut) et canonique (bas).}
\label{scaling} 
\end{figure}

Nous avons appliqu� cette m�thode d'analyse aux donn�es de notre mod�le pour mieux comprendre ce signal. 
 Similairement � la m�thode exp�rimentale, nous avons gard� la taille du r�seau constante (6x6x6, ce qui correspond � 108 particules dans l'ensemble canonique).

La figure (\ref{scaling}) montre les r�sultats obtenus dans les ensembles grand-canonique (haut) et canonique (bas). La partie gauche de chaque sous-figure montre la relation entre le logarithme de la valeur moyenne ($ln(\kappa_{1}^{2})$) et le logarithme de la variance ($ln(\kappa_{2})$) des distributions du plus gros fragment, chaque point correspond � une temp�rature (basses temp�ratures � droite, hautes � gauche), la partie droite de ces figures superpose les fonctions d'�ch�lle $\Psi(z_{PMS})$.

Dans l'ensemble grand-canonique, comme nous l'avons vu au paragraphe pr�c�dent, les distributions du plus gros fragment dans la zone de coexistence de phase sont bimodales. La variance globale a donc une signification qui n'est plus compatible avec la th�orie des fluctuations universelles. Dans cet ensemble les fonctions d'�ch�lle de ces distributions ne se superposent pas, il n'y a pas d'invariance par changement d'�ch�lle. La relation entre variance et moyenne est lin�aire, aucun accident ne permet dans ce diagrame de d�celer la localisation du point critique. Il est plus judicieux par exemple d'utiliser comme nous l'avons vu la disparition de la bimodalit� pour localiser le point critique. Seules les distributions correspondant � des temp�ratures surcritiques semblent approximativement suivre une loi d'�ch�lle avec $\Delta \approx 1$.
%%mais une analyse approfondie montre que ce scaling est en fait plus une ressemblance qu'une v�ritable invariance par changement d'�ch�lle.

Dans l'ensemble canonique, les conclusions sont tr�s diff�rentes, la valeur moyenne de la taille du plus gros fragment diminue avec la temp�rature, la variance augmente, passe par un maximum puis rediminue 
%%({\it ``rise and fall''}) 
traduisant l'�largissement de la distribution de plus gros fragments observ�e au voisinage de la temp�rature critique. Les fonctions d'�ch�lle sont regroup�es en deux familles distinctes poss�dant une asym�trie propre. Les distributions correspondant aux basses temp�ratures sont inclin�es vers la droite tandis que celles correspondant aux grandes temp�ratures sont pench�es vers la gauche, au passage de la temp�rature critique cette distribution du param�tre d'ordre  s'aplatit avec une forme tr�s large (fluctuation maximale). Assez loin de la temp�rature critique, les distributions de chaque famille se ressemblent beaucoup mais ne suivent pas rigoureusement une loi d'�ch�lle. 
%%Le changement de r�gime $\Delta=1$ en $\Delta \ne 1$ se produit approximativement � la temp�rature critique (intensection des deux fits de tendence dans le diagramme de gauche), mais 
Le $\Delta-scaling$ n'est pas observ� bien que le point critique thermodynamique soit explor� par la simulation (point d'intersection des deux droites dans le diagramme de gauche). En effet, m�me si on accepte d'interpr�ter la ressemblence des distributions comme une loi d'�ch�lle d�form�e par les effets de taille finie, il est clair sur la figure (\ref{scaling}) que la relation entre $ln(A_{big})$ et $ln(\sigma_{A_{big}})$ n'est pas lin�aire sauf peut-�tre pour les temp�ratures fortement surcritiques. Toutefois les interpolations lin�aires de la figure (\ref{scaling}) montrent que si l'on dispose d'un domaine de variation de temp�rature limit�, la r�duction de la variance due � la loi de conservation sur la masse totale peut �tre faussement interpr�t�e comme un changement de r�gime de $\Delta=1$ � $\Delta=\frac{1}{2}$.
%%sauf peut-�tre pour les temp�ratures sous-critiques tr�s voisines de la temp�rature critique.
%%La m�me analyse dans l'ensemble microcanonique nous montre que l'ajout d'une loi de conservation sur l'�nergie a pour cons�quence d'uniformiser les distributions du plus gros fragment. Ces derni�res ne suivent cependant pas une loi d'�ch�lle. L'asym�trie observ�e dans l'ensemble canonique dispara�t. Le {\it ``rise and fall''} du diagramme {\it ``�cart-type versus valeur moyenne''} permet cependant de localiser le passage de la temp�rature critique.
%%\footnote{ La figure \ref{nbsigma} disparait dans la version finale}  
%
%---------------------------------------------------------------------
\section{Conclusion}
%---------------------------------------------------------------------
%
%% Nous avons vu que la transition de phase liquide-gaz peut �tre mise en �vidence dans les sy�mes de taille finie en �tudiant la topologie de la distribution de micro�tats. Le choix d'un param�tre d'ordre pertinent pour un ensemble statistique donn� permet d'identifier le moment ou le syst�me passe d'une co�xistence de phase � une phase unique. Nous avons vu � travers le choix du plus gros fragment comme param�tre d'ordre que ce signal de transition est intimement li� � l'ensemble statistique (ie. les contraintes appliqu�es � notre syst�me). Une observable peut �tre param�tre d'ordre pour un ensemble et ne plus l'�tre pour un autre ensemble. Il faut alors chercher une autre observable qui deviendra param�tre d'ordre pour cet autre ensemble.
%% L'analyse de scaling nous a montr� une nouvelle fois comment un signal de transition de phase peut �tre modifi� par le changement d'ensemble statistique, le changement de r�gime d'invariance par changement d'�ch�lle (param�tre $\Delta$) dans les ensembles canonique et microcanonique n'existe pas dans l'ensemble grand-canonique. Nous avons vu que l'asym�trie des distributions du plus gros fragment permet de distinguer chacune des phases. Ainsi il apparait judicieux de chercher � trouver un param�tre d'ordre ou un autre signal de transition de phase qui se base sur des observables d'asym�trie. \\
%% La recherche d'un signal universel de transition de phase est difficile. Nous avons vu dans ce document comment un signal peut �tre modifi� par le tri des �v�nements, ces signaux sont sensibles � de nombreuses autres hypoth�ses. Les travaux r�cents dans le domaine de la physique statistique tendent � montrer que des effets tels que la violation de statistique, la prise en compte de m�canismes de r�action, la detection exp�rimentale imparfaite, les effets de taille finie ou encore la sensibilit� � un mod�le peuvent modifier de fa�on tr�s importante, supprimer ou cr�er un signal de transition de phase. Une analyse crois�e des ces signaux est n�cessaire pour permettre la mise en �vidence d'une transition de phase.
Dans cette contribution nous avons montr� que les distributions des observables et les moments associ�s (moyenne, variance ...) d�pendent de fa�on critique de l'ensemble statistique consid�r� (ie. les contraintes appliqu�es � notre syst�me). Ceci est sp�cialement important dans la recherche d'un param�tre d'ordre pour une transition de phase. Une observable peut �tre param�tre d'ordre pour un ensemble statistique et ne plus l'�tre pour une autre. En particulier notre �tude montre qu'il est difficile de penser que $A_{big}$ puisse �tre utilis� comme param�tre d'ordre dans les exp�riences de multifragmentation nucl�aire �tant donn� sa corr�lation avec la masse totale du syst�me qui est fortement contrainte dans les exp�riences. Par contre des observables se basant sur l'asym�trie des distributions du plus gros fragment semblent tr�s prometteuses.
%
% Mes Figures
%
%% \begin{figure}
%% \centering\epsfig{file=fragbig.eps,width=10cm}
%% \caption{Distribution en taille des fragments dans les ensembles grand-canonique(ligne sup�rieure), canonique (ligne centrale) et microcanonique (ligne inf�rieure) en zone de coexistence (colonne gauche) au voisinage du point critique (colonne centrale) et pour une temp�rature surcritique (colonne de droite). Le trait plein repr�sente la distribution de tous les fragments. La zone hachur�e repr�sente la distribution du plus gros fragment.}
%% \label{fragments} 
%% \end{figure}
%% %
%% %
%% %
%% \begin{figure}
%% \rotatebox{270}{
%% \centering\epsfig{file=ca2_log.eps,width=5cm}}
%% \caption{Qualit� du scaling des distributions de taille du plus gros fragment reposant sur un test de Kolmogorov exprim� en nombre d'�cart-type pour des distributions identiques (cf. texte) pour les distributions de l'ensemble canonique. En abscisse et en ordonn�e se trouvent repr�sent�es les diff�rentes temp�ratures utilis�es.}
%% \label{nbsigma} 
%% \end{figure}
%
%
%---------------------------------------------------------------------
\begin{thebibliography}{99}
%---------------------------------------------------------------------
%
%
%
\bibitem{coniglio}
A. Coniglio, W. Klein, J. Phys. A13, (1980) p2775
%
\bibitem{metropolis}
N. Metropolis et al., J. Chem. Phys. 21 (1953) p1087
%
\bibitem{cho99} Ph. Chomaz et al., PRE 64 (2001) p046114
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