Distributions invariantes sur les groupes r�ductifs quasi-d�ploy�s
Fran�ois Court�s
Soit $F$ un corps local non archim�dien, et $G$ le groupe des $F$-points d'un groupe r�ductif connexe quasi-d�ploy� d�fini sur $F$; dans cet article, on s'int�resse aux distributions sur $G$ invariantes par conjugaison, et � l'espace de leurs restrictions � l'alg�bre de Hecke $\mathcal{H}$ des fonctions sur $G$ � support compact biinvariantes par un sous-groupe d'Iwahori $I$ donn�. On montre tout d'abord que les valeurs d'une telle distribution sur $\mathcal{H}$ sont enti�rement d�termin�es par sa restriction au sous-espace de dimension finie des �l�ments de $\mathcal{H}$ � support dans la r�union des sous-groupes parahoriques de $G$ contenant $I$; on utilise ensuite cette propri�t� pour montrer, moyennant certaines conditions sur $G$, que cet espace est engendr� d'une part par certaines int�grales orbitales semi-simples, d'autre part par les int�grales orbitales unipotentes, en montrant tout d'abord des r�sultats analogues sur les groupes finis.
math0304109.tex
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\author{Fran�ois Court�s} 
\address{Universit� de Poitiers\\SP2MI - D�partement de Math�matiques\\T�l�port 2 - Boulevard Marie et Pierre Curie\\86962 Futuroscope Chasseneuil Cedex}
\email{courtes@mathlabo.univ-poitiers.fr}
\title[Distributions invariantes]{Distributions invariantes sur les groupes r�ductifs quasi-d�ploy�s}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\normalsize
\begin{abstract}
Soit $F$ un corps local non archim�dien, et $G$ le groupe des $F$-points d'un groupe r�ductif connexe quasi-d�ploy� d�fini sur $F$; dans cet article, on s'int�resse aux distributions sur $G$ invariantes par conjugaison, et � l'espace de leurs restrictions � l'alg�bre de Hecke $\mathcal{H}$ des fonctions sur $G$ � support compact biinvariantes par un sous-groupe d'Iwahori $I$ donn�. On montre tout d'abord que les valeurs d'une telle distribution sur $\mathcal{H}$ sont enti�rement d�termin�es par sa restriction au sous-espace de dimension finie des �l�ments de $\mathcal{H}$ � support dans la r�union des sous-groupes parahoriques de $G$ contenant $I$; on utilise ensuite cette propri�t� pour montrer, moyennant certaines conditions sur $G$, que cet espace est engendr� d'une part par certaines int�grales orbitales semi-simples, d'autre part par les int�grales orbitales unipotentes, en montrant tout d'abord des r�sultats analogues sur les groupes finis.
\end{abstract}
%\begin{altabstract}
%Let $F$ be a nonarchimedean local field, and $G$ the group of $F$-points of a connected quasisplit reductive group defined on $F$; in this paper, we will study the distributions on $G$ which are invariant by conjugation, and the vector space of their restrictions to the Hecke algebra $\mathcal{H}$ of the functions on $G$  with compact support and biinvariant by a given Iwahori subgroup $I$. It is first shown that such a distribution on $\mathcal{H}$ is entirely determined by its restriction to the finite-diimensional subspace of $\mathcal{H}$ containing the elements with support in the union of the parahoric subgroups of $G$ containing $I$; this property is then used, by establishing similar results on finite groups, to show, with some conditions on $G$, that this space is generated both by some semisimple orbital integrals and by unipotent integrals.
%\end{altabstract}
\subjclass{22E35 20G40}
\keywords{Reductive $p$-adic groups, orbital integrals, invariant distributions}
\maketitle
\tableofcontents

\def \mth{\mathbb}
\newtheorem{theo}{Th�or�me}[section]
\newtheorem{prop}[theo]{Proposition}
\newtheorem{lemme}[theo]{Lemme}
\newtheorem{cor}[theo]{Corollaire}
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\section{Introduction}

Soit $F$ un corps local non archim�dien, $\mathcal{O}$ son anneau des entiers, ${\mathfrak{p}}$ l'id�al maximal de $\mathcal{O}$, $\varpi$ une uniformisante de $F$; soit $p$ la caract�ristique r�siduelle et $q$ le cardinal du corps r�siduel $\mathcal{O}/{\mathfrak{p}}$ de $F$.

Soit $\underline{G}$ un groupe r�ductif connexe d�fini sur $F$; on supposera $\underline{G}$ quasi-d�ploy� sur $F$. Soit $G=\underline{G}\left(F\right)$ le groupe des $F$-points de $\underline{G}$.

Dans ce qui suit, on s'int�ressera aux distributions sur $G$ invariantes par conjugaison et � support dans l'ensemble des �l�ments de $G$ compacts, c'est-�-dire fixant au moins un point de l'immeuble de $G$. Soit $\mathcal{D}_c$ l'espace de ces distributions, et $\mathcal{D}_{c,1}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{D}_c$ � support dans la r�union des sous-groupes parahoriques de $G$, c'est-�-dire des fixateurs connexes (au sens de Bruhat-Tits) des facettes de l'immeuble de $G$. Consid�rons d'autre part l'alg�bre de Hecke $\mathcal{H}=\mathcal{H}_I$ des fonctions sur $G$ � support compact et biinvariantes par un sous-groupe d'Iwahori $I$ fix�. D'apr�s la conjecture de Howe d�montr�e par Clozel, on sait que, dans le cas de la caract�ristique 0, l'espace des restrictions des �l�ments de $\mathcal{D}_{c,1}$ � cette alg�bre est de dimension finie, et c'est �galement vrai en caract�ristique $p$ gr�ce � la th�orie des corps locaux proches; on peut donc chercher � en exhiber des syst�mes de g�n�rateurs finis.

Si $g$ est un �l�ment compact de $G$, en fixant une mesure invariante par conjugaison sur l'orbite de $g$ dans $G$, on peut d�finir une distribution int�grale orbitale associ�e � $g$, qui est un �l�ment de $\mathcal{D}_c$. On va consid�rer deux familles particuli�res d'�l�ments compacts de $G$:
\begin{itemize}
\item les �l�ments de $G$ semi-simples non ramifi�s de r�duction r�guli�re, c'est-�-dire les �l�ments $g$ appartenant � un sous-groupe parahorique $K$ de $G$ dont l'image dans le groupe fini correspondant est un �l�ment semi-simple r�gulier. De tels �l�ments existent pour $q$ assez grand;
\item les �l�ments unipotents de $G$.
\end{itemize}

Dans \cite[3.2]{wsp2}, J.L. Waldspurger a conjectur� que:
\begin{itemize}
\item la restriction � $\mathcal{H}$ de l'int�grale orbitale d'un �l�ment semi-simple non ramifi� de r�duction r�guli�re ne d�pend que de la classe de conjugaison dans $G$ de l'unique tore non ramifi� maximal le contenant;
\item l'espace engendr� par ces restrictions co�ncide avec l'espace engendr� par les restrictions � $\mathcal{H}$ des int�grales orbitales unipotentes sur $G$.
\end{itemize}

Le but de ce qui suit est de montrer cette conjecture moyennant certaines conditions sur $G$; on va m�me montrer que d'une part les int�grales orbitales des �l�ments semi-simples non ramifi�s de r�duction r�guli�re de $G$, d'autre part les int�grales orbitales unipotentes, engendrent l'espace des restrictions � $\mathcal{H}$ de $\mathcal{D}_{c,1}$ tout entier.

On va chercher � se ramener au cas des groupes finis. L'objet du chapitre $3$ est de montrer que les restrictions � $\mathcal{H}$ des �l�ments de $\mathcal{D}_c$ sont enti�rement d�termin�es par des distributions sur un nombre fini de groupes finis (�ventuel\-lement tordus par un groupe ab�lien libre de type fini).
Pour cela, on aura besoin de quelques pr�liminaires.

Soit $\Gamma=G/G^1$, o� $G^1$ est le sous-groupe de $G$ engendr� par les sous-groupes parahoriques; $\Gamma$ est canoniquement isomorphe � $N_G\left(I\right)/I$, et si $K$ est un sous-groupe parahorique de $K$, $\Gamma_K=N_G\left(K\right)/K$ est canoniquement isomorphe � un sous-groupe de $\Gamma$ (lemme \ref{normpar}). Soit $\mathcal{M}$ l'ensemble des classes de conjugaison dans $G$ de couples $\left(M,K_\mu\right)$, o� $M$ est un sous-groupe de Levi de $G$ et $K_\mu$ un sous-groupe parahorique maximal de $M$; on peut associer de mani�re canonique � chaque sous-groupe parahorique de $G$ un �l�ment de $\mathcal{M}$; si $\left(M,K_\mu\right)$ est un repr�sentant de $\mu$, le lemme \ref{normpar} assure de plus que les groupes ${\mth{G}}=K_\mu/K_\mu^1$ et ${\mth{G}}^+=\gamma^{\mth{Z}}K_\mu/K_\mu^1$, o� $K_\mu^1$ est le premier sous-groupe de congruence de $K_\mu^1$, ne d�pendent pas de $K$. D'autre part, pour tout $\mu\in\mathcal{M}$, si $\left(M,K_\mu\right)$ est un repr�sentant de $\mu$, le sous-groupe $\Gamma_\mu=N_G\left(K_\mu\right)/N_{G^1}\left(K_\mu\right)$ de $\Gamma$ ne d�pend pas de $\left(M,K_\mu\right)$, et pour tout $K$ d'image $\mu$, $\Gamma_K$ est canoniquement isomorphe � un sous-groupe de $\Gamma_\mu$; si $\mathcal{N}$ est l'ensemble des couples $\left(\gamma,\mu\right)$, avec $\mu\in\mathcal{M}$ et $\gamma\in\Gamma_\mu$, on peut donc associer � chaque couple $\left(\gamma,K\right)$, o� $K$ est un parahorique de $G$ et $\gamma\in \Gamma_K$, un �l�ment de $\mathcal{N}$. 

Soit $D\in\mathcal{D}_c$. Pour tout $\nu=\left(\gamma,\mu\right)\in\mathcal{N}$ et tout sous-groupe parahorique $K$ de $G$ d'image $\nu$, la restriction de $D$ � l'espace des fonctions � support dans $\gamma K$ invariantes par le premier sous-groupe de congruence $K^1$ de $K$ s'identifie � une distribution invariante sur ${\mth{G}}^+$ � support dans $\gamma{\mth{G}}$, ou encore � une fonction $\phi$ sur ${\mth{G}}$ invariante par $\gamma$-conjugaison. Soit $C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}$ l'espace de ces fonctions et $C_{cusp}\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}$ le sous-espace des fonction $\gamma$-cuspidales; si $R$ est un syst�me de repr�sentants des sous-groupes de Levi de ${\mth{G}}$ stables par $\gamma$, on a le r�sultat de d�composition suivant (proposition \ref{dcc}):

\begin{prop}
\[C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}=\bigoplus_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}\]
\end{prop}

Dans l'�galit� ci-dessus, si ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ est un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$ stable par $\gamma$, $\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}$ d�signe l'induite tordue par $\gamma$, d�finie par:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f\right):g\in{\mth{G}}\longmapsto\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{x\in{\mth{G}},m\in{\mth{M}},u\in{\mth{U}},g=\gamma^{-1}x\gamma mux}f\left(m\right);\]
on d�duit de la proposition \ref{resind} que cette induite ne d�pend que de ${\mth{M}}$ et pas de ${\mth{P}}$.

Soit $\phi_\nu\left(D\right)$ la composante dans $C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}$ de $\phi$; elle ne d�pend pas du choix de $K$ (lemme \ref{reges}). Soit $T_0$ un tore d�ploy� maximal de $G$ dont l'unique sous-groupe parahorique $K_{T_0}$ est contenu dans $I$, et soit $M_\gamma$ le plus petit sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T_0$ et contenant � la fois $M$ et $\gamma$, et soit l'int�grale:
\[D_{\phi_\nu\left(D\right),\gamma}\left(f\right)=\int_{Z_{M_\gamma}^0\backslash M_\gamma}\left(\int_{M_\gamma}f\left(m^{-1}ym\right)\phi_\nu\left(D\right)\left(\gamma ^{-1}y\right)dy\right)dm.\]
Cette int�grale converge pour tout $f$ (corollaire \ref{cspd2}), et d�finit une distribution invariante sur $M_\gamma$ � support dans l'ensemble des normalisateurs de sous-groupes parahoriques de $M_\gamma$; on en d�duit la distribution invariante sur $G$ suivante:
\[D_{\phi_\nu\left(D\right),\gamma}^G:f\longmapsto D_{\phi_\nu\left(D\right),\gamma}\left(f^{P_\gamma}\right),\]
o� $P_\gamma$ est un sous-groupe parabolique de $G$ de Levi $M_\gamma$, et $f^{P_\gamma}$ est le terme constant de $f$ suivant $P_\gamma$.
Posons maintenant:
\[\tilde{D}=\sum_{\nu\in\mathcal{N}}D_{\overline{\phi_\nu\left(D\right)}}^G;\]
pour les $\nu\in\mathcal{N}$ qui ne sont associ�s � aucun parahorique de $G$, on posera $D_{\overline{\phi_\nu\left(D\right)}}^G=0$.
Soit $\tilde{\mathcal{D}_c}$ le sous-espace de $\mathcal{D}_c$ constitu� des distributions de la forme ci-dessus, et soit $\mathcal{C}_0$ l'espace engendr� par les fonctions sur $G$ � support dans le normalisateur d'un sous-groupe parahorique et biinvariantes par le premier sous-groupe de congruence de ce m�me parahorique; on a (proposition \ref{dprime}):

\begin{prop}
Soit $D\in\mathcal{D}_c$. Alors il existe un unique $D'\in\tilde{\mathcal{D}_c}$ tel que les restrictions de $D$ et $D'$ � $\mathcal{C}_0$ sont identiques; de plus, on a $D'=\tilde{D}$.
\end{prop}

Fixons maintenant un sous-groupe parahorique $I$ de $G$ et consid�rons le sous-espace $\mathcal{C}$ de $C_c^\infty\left(G\right)$ engendr� par les fonctions � support compact biinvariantes par le premier sous-groupe de congruence d'un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $I$. On a (th�or�me \ref{dct}):

\begin{theo}
Pour tout $D\in\mathcal{D}_c$, $\tilde{D}$ co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{C}$. En particulier, si $\tilde{D}=0$, $D$ est nulle sur $\mathcal{C}$.
\end{theo}

Soit $\mathcal{C}_0$ le sous-espace de $\mathcal{C}$ engendr� par les fonctions � support dans le normalisateur d'un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $I$ et biinvariantes par le premier sous-groupe de congruence de ce m�me sous-groupe parahorique, $\tilde{D}$ ne d�pend que de la restriction de $D$ � $\mathcal{C}_0$, et on d�duit alors imm�diatement du th�or�me pr�c�dent le r�sultat suivant (\ref{dc}):

\begin{theo}
Si $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, alors elle est nulle sur $\mathcal{C}$.
\end{theo}

En particulier, si le support de $D$ est contenu dans une classe de $G$ modulo $G^1$, ses valeurs sur $\mathcal{C}$ sont enti�rement d�termin�es par ses valeurs sur un espace de dimension finie. (Si $G$ est semi-simple, c'est m�me vrai pour $D$ quelconque.)

(Remarque: Il devrait �tre possible de g�n�raliser ce r�sultat aux espaces de fonctions de niveau $n$ quelconque.)

On va utiliser ce r�sultat pour montrer son analogue en rempla�ant $\mathcal{C}$ par $\mathcal{H}$.
Consid�rons donc le sous-espace $\mathcal{H}_0$ des �l�ments de $\mathcal{H}$ � support dans la r�union des normalisateurs des sous-groupes parahoriques de $G$ contenant $I$. On a le r�sultat suivant (th�or�me \ref{dh}):

\begin{theo}
Si $D$ est nulle sur $\mathcal{H}_0$, alors elle est nulle sur $\mathcal{H}$.
\end{theo}

Pour montrer les r�sultats cherch�s (chapitres $4$ et $5$), on se ram�ne donc au cas des groupes finis. Soit ${\mth{G}}$ le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif connexe d�fini sur ${\mth{F}}_q$, ${\mth{P}}_0$ un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}$ et $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur ${\mth{G}}$ biinvariantes par ${\mth{P}}_0$. Pour toute fonction $f$ sur ${\mth{G}}$ et tout $g\in{\mth{G}}$, posons:
\[1_g\left(f\right)=\sum_{h\in{\mth{G}}}f\left(h^{-1}gh\right);\]
c'est la somme de $f$ sur l'orbite de $g$. On a les r�sultats suivants (proposition \ref{intorbf}, lemme \ref{ssuf} et corollaire \ref{ssufc}):

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Si $g$ est un �l�ment r�gulier d'un tore maximal ${\mth{T}}$ de ${\mth{G}}$, la restriction � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ de la distribution $1_g$ ne d�pend que de la classe de conjugaison de ${\mth{T}}$ dans ${\mth{G}}$.
\item Soit $R_{\mth{G}}$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tore maximaux de ${\mth{G}}$; supposons que pour tout ${\mth{T}}\in R_{\mth{G}}$, il existe un �l�ment r�gulier $g_{\mth{T}}$ dans ${\mth{T}}$. Si le diagramme de Dynkin de ${\mth{G}}$ ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$, alors les distributions $1_{g_{\mth{T}}}|_{\mathcal{H}_{\mth{G}}}$, $T\in R_G$, engendrent l'espace des distributions invariantes sur $\mathcal{H}_{\mth{G}}$, et en constituent une base si ${\mth{G}}$ est d�ploy�.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{lemme}
Soit ${\mth{T}}$ un tore maximal de ${\mth{G}}$, $g$ un �l�ment r�gulier de $T$; alors la restriction � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ de l'int�grale orbitale $1_g$ est combinaison lin�aire des restrictions des int�grales orbitales unipotentes sur ${\mth{G}}$.
\end{lemme}

\begin{cor}
Si ${\mth{G}}$ est tel que tout tore maximal ${\mth{T}}$ de ${\mth{G}}$ admet au moins un �l�ment r�gulier, et si aucune composante connexe du diagramme de Dynkin de ${\mth{G}}$ n'est de type $E_7$ ou $E_8$, alors les int�grales orbitales unipotentes engendrent l'espace des restrictions � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ des distributions sur ${\mth{G}}$.
\end{cor}

On va ensuite utiliser ces r�sultats pour montrer leur analogue sur $G$. Si $K$ est un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $I$, $K/K^1$ s'identifie au groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif connexe d�fini sur ${\mth{F}}_q$, et $I/K^1$ est un sous-groupe parabolique minimal de ce groupe; on peut donc appliquer les r�sultats pr�c�dents � chacun des $K$ contenant $I$. En recollant les distributions ainsi obtenues et en utilisant le th�or�me \ref{dh}, on d�montre (th�or�mes \ref{intorb} et \ref{intun}, corollaire \ref{intuncor}): 

\begin{theo}
\begin{itemize}
\item Si $g$ est un �l�ment non ramifi� de r�duction r�gu\-li�re d'un tore non ramifi� maximal $T$ de $G$, la restriction � $\mathcal{H}$ de la distribution $J\left(g,\cdot\right)$ ne d�pend que de la classe de conjugaison de $T$ dans $G$.
\item Supposons que $G$ v�rifie:

{\em (C1): Tout tore maximal non ramifi� $T$ de $G$ admet au moins un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re.}

Soit $R$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tores non ramifi�s maximaux de $G$, et pour tout $T\in R$, soit $g_T$ un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$. Si le diagramme de Dynkin de $G$ ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$, alors les distributions $J\left(g_T,\cdot\right)|_\mathcal{H}$ engendrent $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$, et en constituent une base si $G$ est d�ploy� sur $F$.
\end{itemize}
\end{theo}

Notons que (C1) est vraie pour $q$ assez grand (lemme \ref{srg}).

Soit $F_{nr}$ l'extension non ramifi�e maximale de $F$, et $G_{nr}=\underline{G}\left(F_{nr}\right)$. On dira que $p$ est un bon nombre premier pour $G_{nr}$ si, en notant $\Phi_{nr}$ le syst�me de racines de $G_{nr}$ relativement � un tore d�ploy� maximal et $\Delta=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un syst�me de racines simples de $\Phi_{nr}$, pour tout $\beta=\sum_ic_i\alpha_i\in\Phi_{nr}$, si $c_i\neq 0$, $c_i$ n'est pas multiple de $p$. On a:

\begin{theo}
Supposons que $G$ v�rifie (C1), que son diagramme de Dynkin ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$,et que $p$ est un bon nombre premier pour $G_{nr}$. Alors les restrictions � $\mathcal{H}$ des distributions int�grales orbitales unipotentes sur $G$ engendrent $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$.
\end{theo}

\begin{cor}
Si $G$ v�rifie les conditions du th�or�me pr�c�dent, les espaces engendr�s par les restrictions � $\mathcal{H}$ des distributions int�grales orbitales respectivement sur les �l�ments semi-simples r�guliers non ramifi�s de $G$ et sur les �l�ments unipotents de $G$ sont �gaux.
\end{cor}

\section{Pr�liminaires}

Dans ce qui suit, si $H$ est un groupe et $H'$ un sous-groupe de $H$, on notera $N_H\left(H'\right)$ (resp. $Z_H\left(H'\right)$) le normalisateur (resp. le centralisateur) de $H'$ dans $H$. Si $g$ est un �l�ment de $H$, on notera �galement $Z_H\left(g\right)$ le centralisateur de $g$ dans $H$. Enfin, on notera $Z_H=Z_H\left(H\right)$ le centre de $H$.

\subsection{Sous-groupes parahoriques}

Soit $\mathcal{B}=\mathcal{B}_G$ l'immeuble de Bruhat-Tits de $G$, $\mathcal{A}=\mathcal{A}_G$ un appartement de $\mathcal{B}$. Soit $N_0$ l'ensemble des points de $G$ conservant $\mathcal{A}$; c'est un sous-groupe ferm� de $G$, dont la composante neutre $H_0$ est un tore maximal de $G$. Soit $T_0$ la composante d�ploy�e de $H_0$; c'est un tore d�ploy� maximal de $G$, et on a $N_0=N_G\left(T_0\right)$ et $H_0=Z_G\left(T_0\right)$. De plus, $\mathcal{A}$ est un ${\mth{R}}$-espace affine dont la dimension est �gale au rang semi-simple de $G$, et le ${\mth{R}}$-espace vectoriel $V$ associ� � $\mathcal{A}$ est canoniquement isomorphe � $X_*\left(T_0\right)\otimes{\mth{R}}/X_*\left(Z_{G,d}\right)\otimes{\mth{R}}$, o� $Z_{G,d}$ est la composante d�ploy�e du centre de $G$.

Soit $x$ un point de $\mathcal{A}$, et soit $K_x$ le sous-groupe parahorique de $G$ attach� � $x$; 
c'est le fixateur connexe (cf. \cite[II. 4.6.28]{bt}) de la facette $A_x$ de $\mathcal{B}$ contenant $x$.
Si $\mathcal{A}'$ est un autre appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x$, d'apr�s \cite[I. 2.5.8]{bt}, il existe un �l�ment $g$ de $G$ tel que $g\left(\mathcal{A}\right)=\mathcal{A}'$ et que $gx=x$; le tore d�ploy� maximal $T'_0$ de $G$ correspondant � $\mathcal{A}'$ est alors conjugu� � $T_0$ par un �l�ment de $N_G\left(K_x\right)$.

Soit $\Phi_{T_0}$ le syst�me de racines de $G$ relativement � $T_0$, et soit, pour tout $\alpha\in\Phi_{T_0}$, le sous-groupe radiciel $U_\alpha$ de $G$ correspondant; on notera $U_{\alpha,x}=U_{\alpha,K_x}=U_\alpha\cap K_x$. On va d�finir le premier sous-groupe de congruence $K_x^1$ de $K_x$ comme suit: puisque $T_0$ est un tore d�ploy� maximal et $G$ est quasi-d�ploy�, $Z_G\left(T_0\right)$ est un tore; son immeuble de Bruhat-Tits est alors constitu� d'un unique appartement, lui-m�me  constitu� d'une unique facette, et $Z_G\left(T_0\right)$ poss�de donc un unique sous-groupe parahorique $K_{Z_G\left(T_0\right)}$.
On d�finit tout d'abord le premier sous-groupe de congruence $K_{Z_G\left(T_0\right)}^1$ de $K_{Z_G\left(T_0\right)}$ de la mani�re suivante: soit $\underline{T'}$ le tore maximal de $\underline{G}$ tel que $Z_G\left(T_0\right)=\underline{T'}\left(F\right)$. Soit $\overline{F}$ la cl�ture alg�brique de $F$, $\overline{\mathcal{O}}$ son anneau des entiers, $\overline{\mathfrak{p}}$ l'id�al maximal de $\overline{\mathcal{O}}$; fixons un isomorphisme $\phi$ de $\left(\overline{F}^*\right)^d$ dans $\underline{T'}$, o� $d$ est la dimension de $\underline{T'}$. Alors on a $K_{Z_G\left(T_0\right)}=Z_G\left(T_0\right)\cap\phi\left(\left(\overline{\mathcal{O}}^*\right)^d\right)$, qui ne d�pend pas de $\phi$, et on peut poser:
\[K_{Z_G\left(T_0\right)}^1=Z_G\left(T_0\right)\cap\phi\left(\left(1+\overline{\mathfrak{p}}\right)^d\right);\]
ce groupe ne d�pend pas non plus du choix de $\phi$.
D'autre part, soit $A$ une chambre de $\mathcal{A}$ dont l'adh�rence contient $x$; le sous-groupe d'Iwahori $K_A$ de $G$ fixant $A$ est contenu dans $K_x$, donc pour tout $\alpha\in\Phi_{T_0}$, on a $U_{\alpha,K_A}\subset U_{\alpha_x}$. En particulier, posons:
\[U_{\alpha,x+}=\bigcap_AU_{\alpha,K_A},\]
l'intersection portant sur les chambres $A$ de $\mathcal{A}$ dont l'adh�rence contient $x$; $U_{\alpha,x+}$ peut �galement �tre vu comme l'ensemble des �l�ments de $U_\alpha$ fixant point par point un voisinage de $x$ dans $\mathcal{A}$. Si $V$ est l'espace vectoriel associ� � $\mathcal{A}$ et si $H_\alpha$ est l'hyperplan vectoriel noyau de la sym�trie $s_\alpha$ sur $V$ associ�e � $\alpha$, on a $U_{\alpha,x+}=U_{\alpha,x}$ si on est dans un des deux cas suivants:
\begin{itemize}
\item $x+H_\alpha$ n'est pas un mur de $\mathcal{A}$;
\item la facette $A_x$ contenant $x$ n'est pas incluse dans $x+H_\alpha$.
\end{itemize}
Si $x+H_\alpha$ est un mur de $\mathcal{A}$ et si $A_x\subset x+H_\alpha$, $U_{\alpha,x+}$ est le plus grand sous-groupe strict de $U_{\alpha,x}$ de la forme $U_{\alpha,y}$, $y\in\mathcal{A}$; si on pose:
\[K_x^1=K_{Z_G\left(T_0\right)}^1\prod_{\alpha\in\Phi_{T_0}}U_{\alpha,x+},\]
d'apr�s \cite[proposition I.2.2 et corollaire I.2.3]{scst}, ce produit ne d�pend pas de l'ordre dans lequel on place les $\alpha$, et $K_x^1$ est un sous-groupe normal de $K_x$; de plus, le quotient ${\mth{G}}=K_x/K_x^1$ est le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif connexe d�fini sur ${\mth{F}}_q$. De plus, si $K_{T_0}$ est l'unique sous-groupe parahorique de $T_0$ et $K_{T_0}^1$ son premier sous-groupe de congruence, le quotient ${\mth{T}}_0=K_{T_0}/K_{T_0}^1$ s'identifie canoniquement � un tore d�ploy� maximal de ${\mth{G}}$, et l'ensemble des $\alpha\in\Phi_{T_0}$ tels que $U_{\alpha,x+}\subsetneq U_{\alpha,x}$ s'identifie canoniquement au syst�me de racines de ${\mth{G}}$ relativement � ${\mth{T}}_0$.

On notera $C_0\left(G\right)$ le sous-espace des �l�ments de $C_c^\infty\left(G\right)$ annul�s par toute distribution sur $G$ invariante par conjugaison. On notera �galement $C_0\left({\mth{G}}\right)$ le sous-espace des fonctions sur ${\mth{G}}$ annul�es par toute distribution sur ${\mth{G}}$ invariante par conjugaison.

\subsection{Normalisateur d'un sous-groupe parahorique}

Soit $A$ une chambre de $\mathcal{B}$, $I$ le sous-groupe d'Iwahori de $G$ qui fixe $A$, $\mathcal{A}$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $A$, $T_0$ le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}$ et $K_{Z_G\left(T_0\right)}=Z_G\left(T_0\right)\cap I$ l'unique sous-groupe parahorique de $Z_G\left(T_0\right)$; le groupe $W'=W'\left(G/T_0\right)=N_G\left(T_0\right)/K_{Z_G\left(T_0\right)}$ est le {\em groupe de Weyl affine} de $G$ relativement � $T_0$. D'apr�s \cite[3.5]{cai}, c'est le produit semi-direct du groupe $\Gamma_I=N_G\left(I\right)/I$ et du sous-groupe distingu� $W'_0$ de $W'$ engendr� par les sym�tries orthogonales $s'_1,\dots,s'_{n+1}$ par rapport aux murs de $A$ ($n$ d�signant le rang semi-simple de $G$); $\Gamma_I$ agit sur $W'_0$ par permutation des $s'_i$. De plus, on a la d�composition:
\[G=\bigsqcup_{w'\in W'}Iw'I.\]
Par un l�ger abus de notation, si $H$ est un sous-groupe de $G$ contenant $K_{Z_G\left(T_0\right)}$, on notera $W'\cap H$ l'ensemble des �l�ments de $W'$ contenus dans $H$.

Le groupe $W'$ agit transitivement sur l'ensemble des chambres de $\mathcal{A}$; pour tout $w'\in W$, on appelle {\em longueur} de $w'$ (relativement � $A$) et on note $l\left(w'\right)=l_A\left(w'\right)$ la longueur d'une galerie minimale entre $A$ et $w'A$; c'est �galement la longueur $l$ d'une d�composition minimale de $w'$ sous la forme $w'=\gamma s'_{i_1}\dots s'_{i_l}$, $\gamma\in\Gamma_I$. On a pour toute d�composition de ce type:
\[Iw'I=\gamma Is'_{i_1}I\dots Is'_{i_l}I;\]
d'autre part, on a pour tout $i$:
\[Is'_iIs'_iI\subset I\cup Is'_iI.\]
On en d�duit en particulier que, si on pose:
\[G^1=\bigsqcup_{w'\in W'_0}Iw'I,\]
$G^1$ est un sous-groupe normal de $G$, ouvert et ferm� dans $G$, qui ne d�pend pas du choix de $I$;
de plus, posons:
\[\Gamma=G/G^1;\]
d'apr�s ce qui pr�c�de, $\Gamma$ est canoniquement isomorphe � $\Gamma_I$; le groupe $\Gamma_I$ ne d�pend donc, � isomorphisme pr�s, pas de $I$, et chaque �l�ment de $\Gamma$ poss�de un unique repr�sentant dans $W'$ appartenant � $\Gamma_I$.

D'autre part, pour toute partie $J\subsetneq\left\{1,\dots,n+1\right\}$, il existe au moins un point de $\overline{A}$ fix� par les $s'_i$, $i\in J$; le sous-groupe de $G$ engendr� par $I$ et les $s'_i$, $i\in J$ est alors un sous-groupe parahorique $K_J$ de $G$ contenant $I$, et tous les sous-groupes parahoriques de $G$ contenant $I$ peuvent �tre obtenus par ce moyen. $G^1$ contient alors tous ces sous-groupes, donc �galement tous les autres sous-groupes parahoriques de $G$ puisque ceux-ci leurs sont conjugu�s. En particulier, $G^1$ contient tous les sous-groupes compacts des sous-groupes radiciels de $G$ relativement � $T_0$; $G^1$ contient alors tous ces sous-groupes radiciels, donc �galement le groupe qu'ils engendrent, qui est le groupe d�riv� de $G$; on en d�duit que $\Gamma$ est ab�lien.

De plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{normpar}
Soit $J$ une partie de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ distincte de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ lui-m�me. On a:
\[N_G\left(K_J\right)=\Gamma_JK_J,\]
o� $\Gamma_J$ est le sous-groupe des �l�ments de $\Gamma_I$ qui permutent les $\alpha_i$, $i\in J$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Puisque $I\subset K_J$, $N_G\left(K_J\right)$ est une r�union de doubles classes modulo $I$, et il suffit de caract�riser les �l�ments $w'\in W'$ qui normalisent $K_J$. Soit donc un tel $w'\in W'$; �crivons-le $w'=w'_0\gamma$, avec $\gamma\in\Gamma$ et $w'_0\in W'_0$. Puisque $\gamma$ normalise $I$, il stabilise $A$ et permute les faces de $A$; si $A_J$ est la face de $A$ dont $K_J$ est le fixateur connexe, il existe alors $J'$ telle que $\gamma A_J=A_{J'}$; pour que $w'$ normalise $K_J$, on doit donc avoir $w'_0A_{J'}=A_J$. Or puisque $A$ poss�de une unique face de chaque type, d'apr�s \cite[I. 1.3.5]{bt}, il existe une unique face de $A$ transform�e de $A_{J'}$ par un �l�ment de $W'_0$, et cette face est forc�ment $A_{J'}$; on a donc $J'=J$, ce qui implique � la fois que $\gamma\in\Gamma_J$ et que $w'_0A_J=A_J$, d'o� l'on d�duit gr�ce � \cite[I. 1.3.5]{bt} que $w'_0$ est un �l�ment du sous-groupe de $W'_0$ engendr� par les $s_{\alpha_i}$, $i\in J$, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

On en d�duit imm�diatement le corollaire suivant:

\begin{cor}\label{normp2}
Pour tout $J$, $N_G\left(K_J\right)\cap G^1=K_J$.
\end{cor}

Soit maintenant $x$ un point quelconque de $G$, $K_x$ son fixateur connexe dans $G$; on posera $\Gamma_x=\Gamma_{K_x}=N_G\left(K_x\right)/K_x$.

Soit $K$ un sous-groupe parahorique de $G$. Comme son premier sous-groupe de congruence est d�termin� de mani�re unique, il est �galement normalis� par tout �l�ment de $N_G\left(K\right)$.
Supposons que $K$ contient $I$, et soit $\gamma\in N_G\left(I\right)$. Consid�rons le groupe ${\mth{G}}^+={\mth{G}}_\gamma^+=\gamma^{\mth{Z}}K/K^1$; c'est le produit semi-direct de ${\mth{G}}=K/K^1$ par le groupe $\gamma^{\mth{Z}}$. Puisque $\gamma$ peut �tre d'ordre infini, ${\mth{G}}^+$ n'est pas toujours le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif, mais on peut faire la remarque suivante: puisque ${\mth{G}}$ est fini, son groupe d'automorphismes l'est �galement, et il existe donc un entier $b$ tel que $\gamma^b$ agit trivialement par conjugaison sur ${\mth{G}}$; $\gamma^b$ est alors central dans ${\mth{G}}^+$, et ${\mth{G}}^+/\gamma^{b{\mth{Z}}}$ est le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif d�fini sur ${\mth{F}}_q$. On va donc pouvoir appliquer � ${\mth{G}}^+$ certains des r�sultats de \cite{dm}.

On appellera {\em sous-groupe parabolique} de ${\mth{G}}^+$ un sous-groupe de la forme ${\mth{P}}^+=N_{{\mth{G}}^+}\left({\mth{P}}\right)$, o� ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ est un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$. De m�me que dans \cite[proposition 1.5]{dm}, on a une d�composition de la forme ${\mth{P}}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}$, o� ${\mth{M}}^+=N_{{\mth{P}}^+}\left({\mth{M}}\right)$; ${\mth{M}}^+$ est un {\em sous-groupe de Levi} de ${\mth{G}}^+$. De plus, on a ${\mth{P}}={\mth{P}}^+\cap{\mth{G}}$ et ${\mth{M}}={\mth{M}}^+\cap{\mth{G}}$; il y a donc bijection canonique entre les sous-groupes paraboliques (resp. de Levi) de ${\mth{G}}^+$ et ceux de ${\mth{G}}$.

D'autre part, il existe un repr�sentant de $\gamma$ dans ${\mth{G}}^+$ qui est quasi-central (au sens de \cite[1.15]{dm}): c'est une cons�quence imm�diate de \cite[1.16 et 1.34]{dm}. En assimilant $\gamma$ � un tel repr�sentant, et en posant ${\mth{G}}^\gamma={\mth{G}}\cap Z_{{\mth{G}}^+}\left(\gamma\right)$, on en d�duit le r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{centgamma}
Il existe une bijection canonique entre les classes de conjugaison de sous-groupes de Levi de ${\mth{G}}^+$ contenant $\gamma$ et les classes de conjugaison de sous-groupes de Levi de ${\mth{G}}^\gamma$, induite par l'application canonique ${\mth{M}}^+\mapsto{\mth{M}}^+\cap{\mth{G}}^\gamma$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Ce lemme est une cons�quence imm�diate de \cite[proposition 1.40]{dm}.
\end{proof}

Soit ${\mth{P}}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}^+$. Si $f$ est un �l�ment de l'espace $C\left({\mth{G}}^+\right)^{{\mth{G}}^+}$ des fonctions sur ${\mth{G}}^+$ invariante par conjugaison, on d�finit sa restriction � ${\mth{M}}^+$ par:
\[r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}f: m\in{\mth{M}}^+\longmapsto\sum_{u\in{\mth{U}}}f\left(mu\right).\]
Si maintenant $\phi$ est une fonction sur ${\mth{M}}^+$ invariante par conjugaison, on d�finit son induite � ${\mth{G}}^+$ par:
\[\Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi:g\in{\mth{G}}^+\longmapsto\sum_{m\in{\mth{M}}^+,u\in{\mth{U}}^+,h\in{\mth{G}}^+,g=h^{-1}muh}\phi\left(m\right).\]

Consid�rons le produit hermitien d�fini positif sur l'espace des fonctions invariantes sur ${\mth{G}}^+$ � support dans $\gamma{\mth{G}}$, donn� par:
\[\langle f,f'\rangle _{\mth{G}}=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{g\in\gamma{\mth{G}}}\overline{f\left(g\right)}f'\left(g\right).\]
On a les r�sultats suivants:

\begin{lemme}\label{rpf}
Soit $f$ (resp. $\phi$) une fonction centrale sur ${\mth{G}}^+$ (resp. ${\mth{M}}^+$) � support dans $\gamma{\mth{G}}$ (resp. $\gamma{\mth{M}}$). On a:
\[\langle f,\Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle _{\mth{G}}=\langle r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}f,\phi\rangle _{\mth{M}}.\]
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, on a:
\begin{equation*}\begin{split}\langle f,\Ind_{{\mth{M}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle _{\mth{G}}&=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{g\in\gamma{\mth{G}}}\overline{f\left(g\right)}\left(\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{x\in{\mth{G}},m\in\gamma{\mth{M}},u\in{\mth{U}},g=x^{-1}mux}\phi\left(m\right)\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{m\in\gamma{\mth{M}}}\left(\sum_{x\in{\mth{G}},u\in{\mth{U}}}\overline{f\left(x^{-1}mux\right)}\phi\left(m\right)\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{M}}\right)\card\left({\mth{U}}\right)}\sum_{m\in\gamma{\mth{M}},u\in{\mth{U}}}\overline{f\left(mu\right)}\phi\left(m\right)\\&=\langle r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}f,\phi\rangle _{\mth{M}}.\end{split}\end{equation*}
\end{proof}

\begin{prop}\label{resind}
Soit ${\mth{P}}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}^+$ contenant $\gamma$.
\begin{itemize}
\item Soit $f\in C\left({\mth{G}}^+\right)^{{\mth{G}}^+}$ � support dans $\gamma{\mth{G}}$; la restriction $r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}f$ de $f$ � ${\mth{M}}^+$ ne d�pend pas du choix de ${\mth{P}}^+$;
\item soit $\phi\in C\left({\mth{M}}^+\right)^{{\mth{M}}^+}$ � support dans $\gamma{\mth{M}}$; l'induite $\Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi$ de $\phi$ � ${\mth{G}}^+$ ne d�pend pas du choix de ${\mth{P}}^+$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
Si ${\mth{P}}^+={\mth{G}}^+$, le r�sultat est trivial; supposons donc ${\mth{P}}^+$ propre. Soit ${\mth{P}}'{}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}'$ un autre sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}^+$ contenant $\gamma$ et de Levi ${\mth{M}}^+$; on va montrer par r�currence sur le rang semi-simple de ${\mth{G}}^+$ que l'on a:
\[\langle \Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi,\Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle_{\mth{G}}=\langle \Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi,\Ind_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle_{\mth{G}}=\langle \Ind_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi,\Ind_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle_{\mth{G}},\]
ce qui montrera la seconde assertion, la premi�re s'en d�duisant au moyen du lemme \ref{rpf}.

On d�duit de ce m�me lemme \ref{rpf} que ces �galit�s sont �quivalentes �:
\[\langle \phi,r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\Ind_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle=\langle \phi,r_{{\mth{P}}^+}^{{\mth{G}}^+}\Ind_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle=\langle \phi,r_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\Ind_{{\mth{P}}'{}^+}^{{\mth{G}}^+}\phi\rangle.\]
Ces derni�res �galit�s se d�duisent imm�diatement de la formule de Mackey pour les paraboliques de ${\mth{G}}^+$ (cf. \cite[th�or�me 3.2]{dm}) et de l'hypoth�se de r�currence.
\end{proof}

\subsection{�l�ments compacts}

Le but de cette partie est de classifier les parties de $G$ de la forme $\gamma K$, o� $K$ est un sous-groupe parahorique de $G$ et $\gamma\in N_G\left(K\right)$.

On dira qu'un �l�ment de $G$ est {\em compact} dans $G$ s'il est contenu dans le normalisateur d'un sous-groupe parahorique de $G$; $g\in G$ est compact dans $G$ si et seulement si il appartient � un sous-groupe de $G$ compact modulo le centre $Z$ de $G$, ce qui est vrai si et seulement si toutes les valeurs propres de l'application lin�aire $Ad\left(g\right)$ sur $Lie\left(G\right)$ sont de valuation $0$. La notion de compacit� d�pend du groupe consid�r�: en effet, si $H$ est un sous-groupe r�ductif ferm� de $G$, tous les �l�ments compacts de $G$ sont compacts dans $H$, mais la r�ciproque est fausse.

\begin{lemme}\label{parferm}
L'ensemble $G_c$ des �l�ments compacts de $G$ est un ouvert ferm� de $G$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, $G_c$ est r�union de sous-groupes ouverts de $G$; c'est donc un ouvert de $G$. D'autre part, consid�rons l'application $\phi$ de $G$ dans $F\left[X\right]$ telle que pour tout $g\in G$, $\phi\left(G\right)$ est le polyn�me caract�ristique de $Ad\left(g\right)$ sur $Lie\left(G\right)$; $\phi$ est continue, et $G_c$ est l'image r�ciproque par $\phi$ de l'ensemble des polyn�mes de degr� $dim\left(G\right)$ dont toutes les valeurs propres sont de valuation $0$, qui est un ferm� de $F\left[X\right]$; $G_c$ est donc un ferm� de $G$ et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

Soit $x\in\mathcal{B}$, $\mathcal{A}$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x$, $T_0$ le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}$.
Soit $\Phi_x$ l'ensemble des racines de $G$ relativement � $T_0$ telles que $U_{\alpha,x+}$ est strictement contenu dans $U_{\alpha,x}$; d'apr�s ce qui pr�c�de, c'est �galement l'ensemble des racines $\alpha$ telles que $H_\alpha$ est un mur de $\mathcal{A}$ et que $A_x\subset x+H_\alpha$; cet ensemble est un sous-syst�me de racines de $\Phi$. Soit $M_x$ le groupe de $G$ engendr� par $Z_G\left(T_0\right)$ et les $U_\alpha$, o� $\alpha$ d�crit l'ensemble des racines qui sont combinaisons lin�aires � coefficients dans ${\mth{Q}}$ d'�l�ments de $\Phi_x$: c'est un sous-groupe de Levi de $G$, dont la classe de conjugaison ne d�pend pas du choix de $T_0$. On pose $K_{M_x}=K_x\cap M_x$; $K_{M_x} $ est un sous-groupe parahorique maximal de $M_x$ dont la classe de conjugaison ne d�pend pas non plus du choix de $T_0$; la classe de conjugaison $\mu_x$ (dans $G$) du couple $\left(M_x,K_{M_x}\right)$ est donc d�termin�e uniquement par $x$.

(Remarquons que le groupe $H_x$ engendr� par $Z_G\left(T_0\right)$ et les $U_\alpha$, $\alpha\in\Phi_x$, est un sous-groupe r�ductif ferm� de $G$ dont $T_0$ est un tore d�ploy� maximal, mais n'est pas n�cessairement un sous-groupe de Levi de $G$.)

Soit $x,y\in\mathcal{B}$; on dira que $K_x$ et $K_y$ sont {\em associ�s} si $\mu_x=\mu_y$, c'est-�-dire si deux couples $\left(M_x,K_{M_x}\right)$ et $\left(M_y,K_{M_y}\right)$ quelconques sont conjugu�s entre eux. Deux parahoriques de $G$ conjugu�s entre eux sont clairement associ�s; la r�ciproque est fausse.

On notera $\mathcal{M}_0$ l'ensemble des couples $\left(M,K_M\right)$, o� $M$ est un sous-groupe de Levi de $G$ et $K_M$ un sous-groupe parahorique maximal de $M$, et $\mathcal{M}$ l'ensemble des classes de conjugaison d'�l�ments de $\mathcal{M}_0$.

Si $\mathcal{K}_0$ est l'ensemble des couples $\left(K_x,T_0\right)$, o� $x$ est un �l�ment de $\mathcal{B}$ et $T_0$ un tore d�ploy� maximal de $G$ correspondant � un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x$, on a ainsi d�fini deux applications canoniques:
\begin{itemize}
\item une application $\kappa_0$ de $\mathcal{K}_0$ dans $\mathcal{M}_0$;
\item une application $\kappa$ de $\mathcal{B}$ dans $\mathcal{M}$.
\end{itemize}
Puisque $\kappa(x)$ ne d�pend que de la facette contenant $x$, par un l�ger abus de notation, on notera parfois $\kappa\left(K_x\right)=\kappa\left(x\right)$.

Soit $\mu\in\mathcal{M}$ et $\left(M,K_\mu\right)$ un repr�sentant de $\mu$; si $K_\mu^1$ est le premier sous-groupe de congruence de $K_\mu$, le groupe ${\mth{M}}=K_\mu/K_\mu^1$ est l'ensemble des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif connexe $\underline{\mth{M}}$ d�fini sur ${\mth{F}}_q$, qui ne d�pend pas du choix de $\left(M,K_\mu\right)$; de plus, si $x$ est un �l�ment de $\mathcal{B}$ dont l'image par $\kappa$ est $\mu$, le groupe r�ductif fini $K_x/K_x^1$ est canoniquement isomorphe � ${\mth{M}}$.
Pour tout �l�ment $k$ (resp. toute partie $X$) de $K_\mu$ ou de $K_x$, on notera $\overline{k}$ ou $\overline{k}_{\mth{M}}$ (resp. $\overline{X}$ ou $\overline{X}_{\mth{M}}$) son image dans ${\mth{M}}$.

Soit maintenant $\mathcal{A}$ un appartement de $\mathcal{B}$, $T_0$ le tore maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}$, $x\in\mathcal{A}$, $\left(M,K_M\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$, $\mathcal{A}_M$ l'appartement de l'immeuble de $\mathcal{B}_M$ de $M$ associ� � $T_0$ et $x_M$ un point de la facette de $\mathcal{A}_M$ fix�e par $K_M$; on va d�finir une surjection canonique entre $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}_M$. Puisque l'espace vectoriel $V_M$ associ� � $\mathcal{A}_M$ est canoniquement isomorphe � $X_*\left(T_0\right)\otimes{\mth{R}}/X_*\left(Z_{M,d}\right)\otimes{\mth{R}}$, o� $Z_{M,d}$ est la composante d�ploy�e du centre de $M$, et puisqu'on a clairement $Z_{G,d}\subset Z_{M,d}$, on a une surjection canonique entre l'espace vectoriel $V$ associ� � $\mathcal{A}$ et $V_M$. Soit $\phi_x$ la bijection de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}_M$ induite par cette bijection canonique en posant $\phi_x\left(x\right)=x_M$; on va montrer que $\phi_x$ ne d�pend pas du choix de $x$. Soit donc $y$ un autre �l�ment de $\mathcal{A}$ tel que $\kappa_0\left(K_y,T_0\right)$ est de la forme $\left(M,K'_M\right)$;
on va v�rifier que si $y_M$ est un point de $\mathcal{A}_M$ fix� par $K'_M$, on a $\phi_x\left(y\right)=y_M$.

Puisque l'adh�rence de toute chambre de $\mathcal{A}$ contient au moins un $y$, par une r�currence �vidente, on peut supposer que $x$ et $y$ sont s�par�s par un unique mur $H$ de $\mathcal{A}$; soit $\alpha_0'$ la racine affine de $G$ relativement � $T_0$ associ�e � $H$ et contenant $x$ et pas $y$, et $\alpha_0$ la racine de $G$ relativement � $T_0$ associ�e � $\alpha'_0$. Comme $\phi_x$ et $\phi_y$ sont deux applications affines de m�me partie lin�aire, il suffit de consid�rer leurs images respectives en un point donn�.

Pour toute racine $\alpha$ de $M$ relativement � $T_0$, si $U_\alpha$ est le sous-groupe radiciel de $M$ correspondant et $U_{\alpha,K}$ un sous-groupe ouvert compact de $U_\alpha$ maximal parmi ceux contenus dans $K'_M$, $U_{\alpha,K}$ fixe un demi-espace de $\mathcal{A}$ contenant $y$, donc �galement un demi-espace de $\mathcal{A}_M$ contenant $\phi_x\left(y\right)$ (c'est trivial si $\alpha\neq\pm\alpha_0$; si $\alpha=\alpha_0$ (resp. si $\alpha=-\alpha_0$), le demi-espace de $\mathcal{A}_M$ fix� par $U_{\alpha,K}$ est l'adh�rence de la plus grande racine affine de $M$ relativement � $T_0$ strictement contenue dans $\phi_x\left(\alpha'_0\right)$ (resp. de la plus petite contenant strictement $\phi_x\left(\alpha'_0\right)$); or le seul sous-groupe parahorique de $M$ contenant tous les $U_{\alpha,K}$ est $K'_M$, ce qui impose $\phi_x\left(y\right)=y_M$. Par le m�me raisonnement, on voit que si maintenant $y$ est un point quelconque de $\mathcal{A}$, $\phi_x\left(y\right)$ est fix� par $K_y\cap M$; on a donc montr� le r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{bjc}
Il existe une unique surjection affine de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}_M$ qui, � tout $x\in\mathcal{A}$, associe un point $x_M$ de $\mathcal{A}_M$ fix� par $K_x\cap M$.
\end{lemme}

On va maintenant utiliser ce lemme pour montrer le r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{musj}
$\kappa$ et $\kappa_0$ sont surjectives.
\end{lemme}

\begin{proof}
Montrons d'abord que $\kappa_0$ est surjective, c'est-�-dire que pour tout $\mu\in\mathcal{M}$ et tout repr�sentant $\left(M,K_\mu\right)$ de $\mu$, il existe un point $x$ de $\mathcal{B}$ et un tore maximal $T_0$ de $G$ dont l'appartement $\mathcal{A}$ de $\mathcal{B}$ associ� contient $x$, tels que $\left(M,K_\mu\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$.

Soit donc $\mathcal{A}_M$ un appartement de l'immeuble de $M$ contenant un point $x_M$ fix� par $K_\mu$, $T_0$ le tore d�ploy� maximal de $M$ associ� � $\mathcal{A}_M$, $\mathcal{A}$ l'appartement de l'immeuble de $G$ associ� � $T_0$,
et $\phi$ une isom�trie de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}_M$ v�rifiant les conditions du lemme pr�c�dent. Consid�rons l'image r�ciproque $E$ dans $\mathcal{A}$ par $\phi$ de la facette $A_M$ de $\mathcal{A_M}$ contenant $x_M$: c'est un sous-espace affine de $\mathcal{A}$, et pour tout $x\in E$, $K_x$ contient $K_\mu$; puisque $K_\mu$ est un sous-groupe parahorique maximal de $M$, on en d�duit que l'on a $K_x\cap M=K_\mu$; r�ciproquement, pour tout $x\in\mathcal{A}$ tel que $K_x\cap M=K_\mu$, on a $\phi\left(x\right)\in A_M$, donc $x$ appartient � $E$. On en d�duit que $E$ est r�union de facettes de $\mathcal{A}$.

Soit maintenant $A$ une facette de $\mathcal{A}$ de dimension maximale parmi celles contenues dans $E$, et soit $x\in A$.
Alors $K_x$ convient: en effet, soit $\left(M_x,K_{M_x}\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$;
on d�duit de la d�finition de $\kappa_0$ que $M\subset M_x$; d'autre part, le rang de $M_x$ est �gal au rang de $G$ moins la dimension de $A$, qui est �gale � celle de $E$, ce qui donne:
\[rg\left(M_x\right)=rg\left(G\right)-dim\left(E\right)=rg\left(M\right);\]
on en d�duit que $M_x=M$. Enfin, $K_{M_x}=K_x\cap M=K_\mu$, ce qui ach�ve la d�monstration de la surjectivit� de $\kappa_0$.

Montrons maintenant la surjectivit� de $\kappa$: soit $\mu\in\mathcal{M}$, et $\left(M,K_\mu\right)$ un re\-pr�\-sen\-tant de $\mu$ dans $\mathcal{M}_0$. Puisque $\kappa_0$ est surjective, il existe un couple $\left(K_x,T_0\right)\in\mathcal{K}$ dont l'image par $\kappa_0$ est $\left(M,K_\mu\right)$; mais alors, on a $\kappa\left(x\right)=\mu$. Donc $\kappa$ est surjective et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

On va maintenant s'int�resser aux classes de la forme $\left(\gamma,K_x\right)$, avec $x\in\mathcal{B}$ et $\gamma\in N_G\left(K_x\right)$. Soit tout d'abord $\left(M,K\right)\in\mathcal{M}_0$, $T_0$ un tore d�ploy� maximal de $M$, et $x\in\mathcal{B}$ tel que $\kappa_0\left(K_x,T_0\right)=\left(M,K\right)$; il est clair que $N_G\left(K_x\right)\subset N_G\left(M,K\right)$. Posons donc:
\[\Gamma_{\left(M,K\right)}=N_G\left(M,K\right)/N_G\left(M,K\right)\cap G^1.\]
Il est clair que si $\left(M',K'\right)$ est un �l�ment de $\mathcal{M}_0$ conjugu� � $\left(M,K\right)$, $\Gamma_{\left(M',K'\right)}=\Gamma_{\left(M,K\right)}$; $\Gamma_{\left(M,K\right)}$ ne d�pend donc que de la classe de conjugaison $\mu$ de $\left(M,K\right)$, et on le notera alors $\Gamma_\mu$. Pour tout $\mu\in\mathcal{M}$, $\Gamma_\mu$ s'identifie donc � un sous-groupe de $\Gamma$ contenant tous les $\Gamma_x$, avec $x\in\mathcal{B}$ tel que $\kappa\left(x\right)=\mu$. Remarquons que les $\Gamma_x$ ne sont g�n�ralement pas �gaux � $\Gamma_\mu$, ni m�me forc�ment �gaux entre eux.

On a le r�sultat suivant:

\begin{prop}\label{gcj}
Soit $x,x'\in\mathcal{B}$ tels que $K_x$ et $K_{x'}$ sont associ�s, soit $T_0$ (resp. $T'_0$) le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � un appartement $\mathcal{A}$ (resp. $\mathcal{A}'$) contenant $x$ (resp. $x'$) et soit $\left(M,K\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$ (resp. $\left(M',K'\right)=\kappa_0\left(K_{x'},T'_0\right)$). Soit $\gamma$ un �l�ment de $W'\left(G/T_0\right)\cap N_G\left(K_x\right)$ et $\gamma'$ un �l�ment de $W'\left(G,T'_0\right)\cap N_G\left(K_{x'}\right)$ repr�sentant un m�me �l�ment de $\Gamma$ et normalisant chacun un sous-groupe d'Iwahori de $G$; alors les triplets $\left(\gamma,M,K\right)$ et $\left(\gamma',M',K'\right)$ sont conjugu�s dans $G$.
\end{prop}

\begin{proof}
La d�monstration de cette proposition fera l'objet du paragraphe \ref{ddlp}.
\end{proof}

On d�duit de cette proposition que le groupe $\gamma^{\mth{Z}}K_x/K_x^1$ ne d�pend que de $\gamma$ et de $\mu=\kappa\left(x\right)$.
Consid�rons donc l'ensemble $\mathcal{G}$ des couples de la forme $\left(\gamma,x\right)$, $x\in\mathcal{B}$ et $\gamma\in\Gamma_x$, et l'ensemble $\mathcal{N}$ des couples $\nu=\left(\gamma,\mu\right)$, $\mu\in\mathcal{M}$ et $\gamma\in\Gamma_\mu$, et soit l'application $\zeta$ de $\mathcal{G}$ dans $\mathcal{N}$ d�finie par:
\[\zeta:\left(\gamma,x\right)\mapsto\left(\gamma,\kappa\left(x\right)\right);\]
si $\nu\in\mathcal{N}$ poss�de au moins un ant�c�dent $x$ par $\zeta$, on peut lui associer de mani�re canonique le groupe ${\mth{G}}^+={\mth{G}}^+_\nu=\gamma^{\mth{Z}}K_x/K_x^1$. Notons que $\zeta$ n'est g�n�ralement pas surjective.

Puisque $\zeta\left(\gamma,x\right)$ ne d�pend que de $\gamma$ et de la facette contenant $x$, par un l�ger abus de notation, on notera �galement parfois $\zeta\left(\gamma,K_x\right)=\zeta\left(\gamma,x\right)$.

\subsection{Sous-groupes standard et semi-standard}

Fixons un tore d�ploy� maximal $T_0$ de $G$ et un sous-groupe parabolique minimal $P_0=M_0U_0$ de $G$ tel que $T_0$ est contenu dans le centre de $M_0$. Un sous-groupe parabolique $P=MU$ de $G$ sera dit standard (resp. semi-standard) relativement � $P_0$ et $T_0$ (resp. $T_0$) si $P_0\subset P$ (resp. $M_0\subset P$); $M$ est un sous-groupe de Levi standard (resp. semi-standard) de $G$ s'il contient $M_0$ et s'il existe un $P=MU$ tel que $P$ est standard (resp. semi-standard).

Soit maintenant $M$ un sous-groupe de Levi semi-standard de $G$, $\mathcal{A}_M$ l'appartement de l'immeuble $\mathcal{B}_M$ de $M$ correspondant � $T_0$; soit $K$ un sous-groupe parahorique maximal de $M$ fixant un point de $\mathcal{A}_M$, et soit ${\mth{M}}=K/K^1$; il existe un unique sous-groupe d'Iwahori $I_K$ de $M$ contenu dans $K$ dont l'image $\overline{I}_K$ dans ${\mth{M}}$ est le sous-groupe parabolique minimal ${\mth{P}}_0=\overline{P_0\cap K}$ de ${\mth{M}}$; $I_K$ sera appel� {\em sous-groupe d'Iwahori standard} (relativement � $T_0$) de $K$. Si $K_x$ est un sous-groupe parahorique de $G$ fixant un point $x$ de $\mathcal{A}$ et tel que $\left(M,K\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$, il existe un unique sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$ contenu dans $K_x$ et tel que $I\cap K_x=I_K$; on l'appellera le {\em sous-groupe d'Iwahori standard} de $K_x$ (relativement � $T_0$).

Si $M$ est un sous-groupe de Levi standard de $G$, il existe un unique sous-groupe parabolique standard $P$ de $G$ de Levi $M$; c'est $P=MP_0$. Soit $K_0$ un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $G$ fixant un sommet de l'appartement $\mathcal{A}$ de $\mathcal{B}$ associ� � $T_0$; on a $G=K_0P_0=K_0P$, et $K_0\cap M$ est un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $M$. Fixons des mesures de Haar sur $K_0$ et sur $U$, et d�finissons, pour $f\in C_c^\infty\left(G\right)$, le terme constant de $f$ selon $P$, not� $f^P_{K_0}$ ou $f^P$, par:
\[f^P_{K_0}:m\in M\longmapsto\delta_P\left(m\right)^{\dfrac 12}\int_{K_0\times U}f\left(k^{-1}muk\right)dkdu,\]
o� $\delta_P$ est la fonction module sur $P$; cette d�finition d�pend du choix de $K_0$, mais si $K'_0$ est un sous-groupe de $G$ v�rifiant les m�mes conditions, avec des normalisations convenables des mesures de Haar, $f^P_{K_0}$ et $f^P_{K'_0}$ ne diff�rent que d'un �l�ment de $C_0\left(M\right)$; si $D$ est une distribution invariante sur $M$, $D\left(f^P_{K_0}\right)$ ne d�pend pas de $K_0$ et on pourra donc �crire sans ambigu�t� $D\left(f^P\right)$ sans pr�ciser $K_0$.

\section{Distributions invariantes � support compact}

Le but de cette partie est de montrer que les restrictions � certains sous-espaces de $C_c^\infty\left(G\right)$ des distributions invariantes sur $G$ � support compact sont enti�rement d�termin�es par leurs restrictions � des sous-espaces de dimension finie de fonctions � support dans des normalisateurs de sous-groupes parahoriques de $G$. Pour cela, on va utiliser certaines distributions particuli�res.

\subsection{D�monstration de la proposition}\label{ddlp}

On va maintenant d�montrer la proposition \ref{gcj}.
Montrons d'abord que l'on peut supposer $\gamma=\gamma'$ et $T_0=T'_0$. Soit $A$ une chambre de $\mathcal{A}'$ dont l'adh�rence contient $x'$, et $I$ le sous-groupe d'Iwahori de $G$ fixant $A$; on a $I\subset K_{x'}$. Quitte � remplacer $x$ par $gx$, avec $g$ convenable, et � conjuguer $T_0$ et $\gamma$ par $g$, on peut supposer que $A\subset\mathcal{A}$ et que $K_x$ contient �galement $I$; on peut alors supposer $\gamma\in W'\cap N_G\left(I\right)$ et $\gamma'=\gamma$.
De plus, d'apr�s \cite[corollaire 2.2.6]{bt}, il existe $h\in G'$ fixant $A$ et tel que $h\mathcal{A}=\mathcal{A}'$; quitte � conjuguer $T_0$ et $\gamma$ par $h$, on peut donc supposer $T_0=T'_0$.

Supposons donc $\gamma=\gamma'$ et $T_0=T'_0$, et soit $g\in G$ tel que $g^{-1}\left(M',K'\right)g=\left(M,K\right)$, et soit $\mathcal{A}_M$ (resp. $\mathcal{A}'_M$) l'appartement de l'immeuble $\mathcal{B}_M$ de $M$ associ� � $T_0$ (resp. $g^{-1}T_0g$). Alors $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}'$ contiennent le sommet $y$ de $\mathcal{B}_M$ fix� par $K$, donc d'apr�s \cite[2.5.8]{bt}, il existe $h\in M$ fixant $y$ et tel que $h\mathcal{A}'=\mathcal{A}$. Mais alors on a $\left(gh\right)^{-1}\left(M',K'\right)gh=\left(M,K\right)$ et ${gh}^{-1}T_0gh=T_0$; $\left(M,K\right)$ et $\left(M',K'\right)$ sont donc conjugu�s par un �l�ment $w$ de $W'$, et on a $w^{-1}\left(W'\cap K'\right)w=W'\cap K$.

R�ciproquement, si $w$ est un �l�ment de $W'$ v�rifiant cette derni�re �galit�, posons $\left(M'',K''\right)=w^{-1}\left(M',K'\right)w$. Alors $W'\cap K''=W'\cap K$; les sous-espaces de $\mathcal{A}$ fix�s par $K$ et $K''$ sont alors identiques, et on en d�duit que l'on a $K=K''$, d'o�, puisque $M$ (resp. $M''$) est la fermeture de Zariski de $K$ (resp. $K''$), $M=M''$. Pour montrer la proposition, il suffit donc de trouver $w\in W'$ qui commute avec $\gamma$ et tel que $w^{-1}\left(W'\cap K'\right)w=W'\cap K$.

Montrons maintenant que l'on peut supposer que le centre de $G$ est compact. Soit $Z_{G,d}=\underline{Z_{G,d}}\left(F\right)$ la composante d�ploy�e du centre de $G$; consid�rons le morphisme canonique:
\[\phi:G\hookrightarrow\underline{G}\longrightarrow\underline{G}/\underline{Z_{G,d}}.\]
Il est clair que le noyau de $\phi$ est $Z_{G,d}$; $\phi$ induit donc une injection de $G/Z_{G,d}$ dans $\underline{G}/\underline{Z_{G,d}}$. De plus, le groupe de cohomologie $H^1\left(\Gal\left(\overline{F}/F\right),\underline{Z_{G,d}}\right)$ est trivial (c'est vrai si $\underline{Z_{G,d}}$ est de dimension $1$ par \cite[II. 1, proposition 1]{ser}, et dans le cas g�n�ral car $\underline{Z_{G,d}}$ est produit direct de tores de dimension $1$ d�ploy�s sur $F$), et l'on en d�duit que l'image de $\phi$ est $\left(\underline{G}/\underline{Z_{G,d}}\right)\left(F\right)$, et donc que ce groupe est �gal � $G/Z_{G,d}$. De plus, si $\left(\gamma,M,K\right)$ et $\left(\gamma',M',K'\right)$ sont conjugu�s dans $G$, leurs images le sont clairement dans $G/Z_{G,d}$; r�ciproquement, d'une part $Z_{G,d}$ est contenu � la fois dans $M$ et $M'$, et d'autre part $\gamma$ et $\gamma'$ (resp. $K$ et $K'$) sont contenus dans la m�me classe de $G$ modulo $G^1$, et sont invariants par multiplication par $K_{Z_G\left(T_0\right)}\supset Z_{G,d}\cap G^1$; on en d�duit que si $\left(\gamma,M,K\right)$ et $\left(\gamma',M',K'\right)$ sont conjugu�s modulo $Z_{G,d}$, alors ils le sont dans $G$. Quitte � remplacer $G$ par $G/Z_{G,d}$, on peut donc supposer que le centre de $G$ est compact.

On va commencer par montrer la proposition dans le cas o� le diagramme de Dynkin de $G$ est connexe.
Supposons d'abord $M=G$. On a alors �galement $M'=G$; de plus, il existe $w\in W'\left(G/T_0\right)$ tel que $K_x=w^{-1}K_{x'}w$. Soit $w'\in W'\cap K_x$ tel que $w'{}^{-1}w^{-1}Iww'=I$; $w'$ existe car les images de $I$ et de $w^{-1}Iw$ dans $K_x/K_x^1$ sont deux sous-groupes paraboliques minimaux de ce groupe. Alors $ww'$ normalise $I$, donc appartient � $\Gamma_I$; comme ce groupe est ab�lien et contient $\gamma$, $ww'$ et $\gamma$ commutent. On a donc $\left(ww'\right)^{-1}\left(\gamma,G,K_{x'}\right)ww'=\left(\gamma,G,K_x\right)$ et la proposition est d�montr�e dans ce cas.


Supposone maintenant $M$ et $M'$ propres.
Soit $\Delta=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}\right\}$ l'ensemble des racines de $G$ relativement � $T_0$ correspondant aux murs $H_1,\dots,H_{n+1}$ de $A$ dans $\mathcal{A}$; $\Gamma$ agit sur $\Delta$ par l'interm�diaire de l'image canonique de $\Gamma_I$ dans le groupe de Weyl $W=N_G\left(T_0\right)/Z_G\left(T_0\right)$ de $G$ relativement � $T_0$. Pour toute partie $J$ de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$, on notera $\Delta_J$ l'ensemble des $\alpha_j$, $j\in J$.

Soit $J$ (resp. $J'$) la partie de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ tel que $\Delta_J$ (resp. $\Delta_{J'}$) est un ensemble de racines simples de $M$ (resp. $M'$); $\Delta_J$ et $\Delta_{J'}$ sont stables par $\gamma$.

Soit $O_1,\dots,O_r$ les orbites de $\Delta$ pour l'action de $\gamma$. Pour tout $i$, on notera $K_i$ le sous-groupe parahorique de $G$ engendr� par $I$ et par les �l�ments de $W'$ correspondant aux r�flexions par rapport aux $H_j$, $j\not\in O_i$; $\gamma$ normalise $K_i$, et on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{memepar}
Supposons qu'il existe $i\in\left\{1,\dots,r\right\}$ tel que $K$ et $K'$ sont tous deux inclus dans $K_i$, et conjugu�s par $w\in W'\cap K_i$; alors on peut supposer que $w$ commute avec $\gamma$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, consid�rons le groupe r�ductif fini non connexe ${\mth{G}}_i^+=\gamma^{\mth{Z}}K_i/K_i^1$; $W'\cap K_i$ s'identifie au groupe de Weyl de ${\mth{G}}_i=K_i/K_i^1$ relativement au tore d�ploy� maximal ${\mth{T}}_0=T_0/T_0^1$. Les sous-groupes de Levi ${\mth{M}}^+$ et ${\mth{M}}'{}^+$ de ${\mth{G}}_i^+$, images respectivement de $\gamma^{\mth{Z}}K/K^1$ et $\gamma^{\mth{Z}}K'/K'{}^1$, sont conjugu�s, donc d'apr�s le lemme \ref{centgamma}, en identifiant $\gamma$ � un de ses repr�sentants quasi-centraux dans ${\mth{G}}_i^+$, si ${\mth{G}}_i^\gamma$ est le sous-groupe des �l�ments de ${\mth{G}}_i=K_i/K_i^1$ commutant avec $\gamma$,
les sous-groupes de Levi ${\mth{M}}^\gamma={\mth{M}}^+\cap{\mth{G}}_i^\gamma$ et ${\mth{M}}'{}^\gamma={\mth{M}}'{}^+\cap{\mth{G}}_i^\gamma$ de ${\mth{G}}_i^\gamma$ sont conjugu�s. Or ces sous-groupes sont semi-standard relativement au tore d�ploy� maximal ${\mth{T}}_0^\gamma$ de ${\mth{G}}_i^\gamma$, donc il existe $w'\in W_\gamma=W\left({\mth{G}}_i^\gamma/{\mth{T}}_0^\gamma\right)$ tel que $w'{}^{-1}{\mth{M}}'{}^\gamma w'={\mth{M}}^\gamma$. On en d�duit, toujours gr�ce au lemme \ref{centgamma}, que l'on a $w'{}^{-1}{\mth{M}}'w'={\mth{M}}$. Or $W_\gamma$ s'identifie � l'ensemble des �l�ments de $W'\cap K_i$ commutant avec $\gamma$, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

On va maintenant consid�rer les diff�rents cas, suivant le type de $G$: puisque l'assertion du lemme ne d�pend que de la structure de $W'$, il suffit de consid�rer le type du syst�me de racines de $G$ relativement � $T_0$.

\begin{itemize}
\item Si $G$ est de type $A_n$, d'apr�s \cite{bou}, il existe un entier $s$ divisant $n+1$ et tel que $\Gamma$ est cyclique d'ordre $\dfrac {n+1}s$, $r$ divise �galement $n+1$, est un multiple de $s$ et $\gamma$ est un �l�ment d'ordre $\dfrac {n+1}r$ de $\Gamma$. Si $\alpha_1,\dots,\alpha_{n+1}$ sont num�rot�es dans l'ordre du diagramme de Dynkin, les $O_i$ sont les parties de $\Delta$ de la forme $\left\{\alpha_{i+rk}\mid 0\leq k<\dfrac{n+1}r\right\}$, et $J$ et $J'$ sont (modulo $n+1$) p�riodiques de p�riode $r$.

Supposons d'abord qu'il existe un �l�ment $j$ de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ n'appartenant ni � $J$ ni � $J'$; si $O_i$ est l'orbite contenant $\alpha_j$, $K$ et $K'$ sont contenus dans $K_i$, et $\left(M,K\right)$ et $\left(M',K'\right)$ sont conjugu�s par un �l�ment de $W'\cap K_i$; c'est trivial si $K_i$ est un sous-groupe d'Iwahori de $G$, et si $K_i$ n'est pas un Iwahori, en posant ${\mth{G}}_i=K_i/K_i^1$, ${\mth{M}}=K/K^1$ et ${\mth{M}}'=K'/K'{}^1$, ${\mth{M}}$ et ${\mth{M}}'$ sont des sous-groupes de Levi de ${\mth{G}}_i$, et si $D_1,\dots,D_{\dfrac{n+1}r}$ sont les composantes connexes du diagramme de Dynkin de ${\mth{G}}_i$, puisque $\gamma$ agit transitivement sur les $D_k$, pour tout $k$, le diagramme de Dynkin de ${\mth{M}}$ (resp. ${\mth{M}}'$) est constitu� de $\dfrac{n+1}r$ copies de son intersection avec $D_k$, et ces deux intersections sont isomorphes. De plus, $D_k$ est de type $A_{r-1}$, donc le groupe de Weyl de la composante correspondante de ${\mth{G}}_i$ est isomorphe au groupe sym�trique $S_r$, et il est clair que deux sous-groupes de $S_r$ tous deux engendr�s par des transpositions �l�mentaires et isomorphes entre eux sont conjugu�s. On en d�duit que $K$ et $K'$ sont conjugu�s par un �l�ment de $K_i$, et le lemme \ref{memepar} permet alors de conclure.

On va donc montrer que, quitte � conjuguer $\left(M',K'\right)$ par un �l�ment de $W'$ commutant avec $\gamma$ et convenablement choisi, on peut toujours supposer qu'il existe un $j$ n'appartenant ni � $J$ ni � $J'$.

Le groupe $W'$ se plonge de mani�re canonique dans le groupe de Weyl affine $W'_n$ de $PGL_{n+1}\left(F\right)$ relativement � son tore diagonal, en identifiant, pour tout $j\in\left\{1,\dots,n+1\right\}$, $\alpha_j$ � la racine de ce tore donn�e par:
\[\left(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1}\right)\longmapsto\lambda_j\lambda_{j+1}^{-1},\]
les indices �tant pris modulo $n+1$; le groupe $W'$ s'identifie alors � l'ensemble des �l�ments de $W'_n$ dont la valuation du d�terminant (qui est un �l�ment de ${\mth{Z}}/\left(n+1\right){\mth{Z}}$) est multiple de $s$. Consid�rons l'ensemble:
\[L=\left\{j_1-j_2\mid j_1,j_2\not\in J\right\},\]
et soit $l$ le pgcd des �l�ments de $L$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Le groupe des valuations des d�terminants des �l�ments de $N_{W'_n}\left(W'\cap K\right)$ est $l{\mth{Z}}/\left(n+1\right){\mth{Z}}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, si $w\in N_{W'_n}\left(W'\cap K\right)$, la valuation du d�\-ter\-mi\-nant de $w$ est un multiple de $l$; r�ciproquement, il existe un �l�ment de $N_{W'_n}\left(W'\cap K\right)$ dont la valuation du d�terminant est $l$:
en effet, pour tout couple $\left(j_1,j_2\right)$, $j_1<j_2$, consid�rons l'�l�ment:
\[\Diag\left(1,\dots,1,\varpi,\dots,\varpi,1,\dots,1\right)\]
du tore diagonal de $GL_{n+1}\left(F\right)$, o� les termes valant $\varpi$ sont ceux d'indices $j_1+1$ � $j_2$ inclus; la valuation de son d�terminant est $j_1-j_2$, et sa classe dans $PGL_{n+1}\left(F\right)$ normalise $W'\cap K$.
Le sous-groupe de ${\mth{Z}}/\left(n+1\right){\mth{Z}}$ des valuations des d�terminants des �l�ments de $N_{W'_n}\left(W'\cap K\right)$ contient donc les classes de tous les $j_1-j_2$, donc contient celle de $l$ et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration de la proposition.
Supposons d'abord qu'il existe un couple $\left(j,j'\right)$ et un entier $a$ tels que $j\not\in J$, $j'\not\in J'$ et $j-j'=la$. Puisque $l$ est le pgcd des �l�ments de $L$, on peut �crire (modulo $n+1$):
\[la=\sum_{k=1}^tl_i,\]
o� les $l_i$ appartiennent � $L$; on supposera la d�composition choisie de fa�on � minimiser $t$. On va montrer l'assertion de la proposition par r�currence sur $t$, sachant que le cas $t=0$ correspond au cas $j=j'$ auquel on cherche � se ramener. Soit $j_1,j_2\not\in J$ tels que $j_1-j_2=l_1$, soit $O_i$ l'orbite de $\alpha_{j_1}$, et soit $w$ l'�l�ment du groupe de Weyl de $K_i/K_i^1$ constitu� de $r$ copies de l'�l�ment:
\[\left(\begin{array}{ccccccc}&&&1\\&&&&\ddots\\&&&&&\ddots\\&&&&&&1\\1\\&\ddots\\&&1\end{array}\right)\left.\begin{array}{c}1\\\\\\l_1\\l_1+1\\\\n+1\end{array}\right.;\]
il est clair que $w$ commute avec $\gamma$. Posons $w'=\gamma_n^{j-j_1}w\gamma_n^{j_1-j}$; c'est un �l�ment de $W'$ qui commute avec $\gamma$, et qui envoie $\left\{\alpha_j\mid j\in J\right\}$ sur une partie de $\Delta$ de la forme $\left\{\alpha_j\mid j\in J''\right\}$; $J''$ ne contient alors pas $j-l_1$, et on conclut en appliquant l'hypoth�se de r�currence � $\left(M'',K''\right)=w'\left(M,K\right)w'{}^{-1}$ et $\left(M',K'\right)$.

Posons maintenant $l'=\pgcd\left(s,l\right)$ et supposons qu'il existe un couple $\left(j,j'\right)$ et un entier $b$ tels que $j\not\in J$, $j'\not\in J'$ et $j-j'=l'b$. Soit $c$ un entier tel que $cs+l'b$ est un multiple de $l$, et soit $\left(M'',K''\right)=\gamma ^{cs}\left(M,K\right)\gamma^{-cs}$, et $J''$ d�fini comme pr�c�demment en rempla�ant $w'$ par $\gamma^{cs}$; alors $J''$ ne contient pas $j+cs$, et on peut appliquer le cas pr�c�dent � $\left(M'',K''\right)$ et $\left(M',K'\right)$.

Supposons enfin qu'il n'existe aucun couple $\left(j,j'\right)$ tel que $j\not\in J$, $j'\not\in J'$ et $j-j'$ est multiple de $l'$. Alors d'apr�s le lemme, la valuation du d�terminant de tout �l�ment $w'$ de $W'_n$ tel que $w'{}^{-1}\left(W'\cap K\right)w'=W'\cap K'$ est de la forme $j-j'+la$, donc non multiple de $l'$ sinon $j-j'$ le serait, et en particulier non multiple de $s$; un tel �l�ment ne peut donc pas appartenir � $W'$, et on en d�duit que $W'\cap K$ et $W'\cap K'$ ne sont pas conjugu�s dans $W'$. On arrive donc � une contradiction, ce qui ach�ve la d�monstration pour le cas $A_n$.

\item Supposons maintenant $G$ de type $B_n$, $n\geq 3$. Le diagramme de Dynkin �tendu de $G$ est alors de la forme:

\begin{picture}(300,70)(0,0)
\put(145,20){\circle{6}}
\put(140,7){$\alpha_{n+1}$}
\put(145,50){\circle{6}}
\put(140,37){$\alpha_n$}
\put(143,22){\line(-2,1){23}}
\put(143,48){\line(-2,-1){23}}
\put(115,35){\circle{6}}
\put(110,22){$\alpha_{n-1}$}
\put(88,35){\line(1,0){24}}
\put(85,35){\circle{6}}
\put(80,22){$\alpha_{n-2}$}
\put(58,35){\dashbox{2}(24,0){}}
\put(55,35){\circle{6}}
\put(50,22){$\alpha_2$}
\put(28,33){\line(1,0){24}}
\put(28,37){\line(1,0){24}}
\put(35,35){\line(1,1){10}}
\put(35,35){\line(1,-1){10}}
\put(25,35){\circle{6}}
\put(20,22){$\alpha_1$}
\end{picture}

Si $\gamma$ est non trivial, d'apr�s \cite{bou}, il est d'ordre $2$, permute $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$ et fixe toutes les autres racines; $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$ sont donc racines de $M$ si et seulement si elles sont racines de $M'$. De plus, $\alpha_1$, �tant la seule racine simple courte, est racine de $M$ si et seulement si elle est racine de $M'$. Il y a donc trois cas possibles:
\begin{itemize}

\item si $\alpha_1$ n'est pas racine de $M$, $K$ et $K'$ sont contenus dans $K_1$; si $i$ est le plus grand �l�ment de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ tel que $\alpha_i$ n'est pas racine de $M$, on a $K=K'$ si $i$ vaut $1$ ou $2$, et si $i>2$, $K$ et $K'$ sont conjugu�s par un �l�ment de la composante de type $A_{i-2}$ du groupe de Weyl de $\left(K_1\cap K_i\right)/\left(K_1\cap K_i\right)^1$ (cette assertion se d�montre de la m�me fa�on que l'assertion similaire qui se trouve dans la preuve du cas $A_n$);
le lemme \ref{memepar} permet alors de conclure;
\item si $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$ ne sont pas racines de $M$, m�me chose en rempla�ant $K_1$ par $K_n$ et en prenant pour $i$ le plus petit �l�ment de $\left\{1,\dots,n+1\right\}$ tel que $\alpha_i$ n'est pas racine de $M$;
\item si $\alpha_1$, $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$ sont racines de $M$, soit $j\in\left\{1,\dots,n+1\right\}$ maximal tel que $\alpha_j$ n'est pas racine de $M$; le diagramme de Dynkin de $M$ poss�de alors une composante de type $D_{n-j-1}$ (ou $A_1\times A_1$ avec $\alpha_n$ et $\alpha_{n+1}$ pour racines). Celui de $M'$ en poss�de alors �galement une, ce qui n'est possible que si $\alpha_j$ n'est pas non plus racine de $M'$; $K$ et $K'$ sont alors contenus dans $K_j$, et sont conjugu�s par un �l�ment de la composante de type $B_{j-1}$ du groupe de Weyl de $K_j/K_j^1$; on termine comme dans le cas pr�c�dent.
\end{itemize}

\item Supposons maintenant $G$ de type $C_n$, $n\geq 2$. Le diagramme de Dynkin �tendu de $G$ est alors de la forme:

\begin{picture}(300,70)(0,0)
\put(140,35){\circle{6}}
\put(140,22){$\alpha_{n+1}$}
\put(118,33){\line(1,0){24}}
\put(118,37){\line(1,0){24}}
\put(125,35){\line(1,1){10}}
\put(125,35){\line(1,-1){10}}
\put(115,35){\circle{6}}
\put(110,22){$\alpha_{n}$}
\put(88,35){\line(1,0){24}}
\put(85,35){\circle{6}}
\put(80,22){$\alpha_{n-1}$}
\put(58,35){\dashbox{2}(24,0){}}
\put(55,35){\circle{6}}
\put(50,22){$\alpha_2$}
\put(28,33){\line(1,0){24}}
\put(28,37){\line(1,0){24}}
\put(45,35){\line(-1,1){10}}
\put(45,35){\line(-1,-1){10}}
\put(25,35){\circle{6}}
\put(20,22){$\alpha_1$}
\end{picture}

Si $\gamma$ est non trivial, d'apr�s \cite{bou}, il est d'ordre $2$ et envoie, pour tout $j$, $\alpha_j$ sur $\alpha_{n+2-j}$; de plus, $\alpha_1$ et $\alpha_{n+1}$ �tant les seules racines simples longues, $M$ les admet pour racines si et seulement si $M'$ les admet aussi. Il y a donc deux cas possibles:
\begin{itemize}
\item si $\alpha_1$ et $\alpha_{n+1}$ ne sont pas racines de $M$, $K$ et $K'$ sont contenus dans $K_1$, et sont conjugu�s par un �l�ment de $W'\cap K_1$ qui est de type $A_{n-1}$; on conclut avec le lemme \ref{memepar};
\item si $\alpha_1$ et $\alpha_{n+1}$ sont racines de $M$, soit $j\in\left\{1,\dots,n+1\right\}$ minimal tel que $\alpha_j$ n'est pas racine de $M$; le diagramme de Dynkin de $M$ poss�de alors deux composantes de type $B_{j-1}$ (ou $A_1$ avec respectivement $\alpha_1$ et $\alpha_{n+1}$ pour racines), �chang�es par $\gamma$. Celui de $M'$ poss�de alors �galement de telles composantes, ce qui n'est possible que si $\alpha_j$ n'est pas non plus racine de $M'$; $K$ et $K'$ sont alors contenus dans $K_j$, et sont conjugu�s par un �l�ment de la composante de type $A_{n+1-2j}$ du groupe de Weyl de $K_j/K_j^1$ si $j<\left[\dfrac n2+1\right]$, sachant que le cas $j=\left[\dfrac n2+1\right]$ impose $K=K'$ et que l'assertion du lemme est alors triviale; ici encore, on conclut gr�ce au lemme \ref{memepar}.
\end{itemize}

\item Supposons maintenant $G$ de type $D_n$, $n\geq 4$. Le diagramme de Dynkin �tendu de $G$ est alors de la forme:

\begin{picture}(300,70)(0,0)
\put(145,20){\circle{6}}
\put(140,7){$\alpha_n$}
\put(145,50){\circle{6}}
\put(140,37){$\alpha_{n-1}$}
\put(143,22){\line(-2,1){23}}
\put(143,48){\line(-2,-1){23}}
\put(115,35){\circle{6}}
\put(110,22){$\alpha_{n-2}$}
\put(88,35){\line(1,0){24}}
\put(85,35){\circle{6}}
\put(80,22){$\alpha_{n-3}$}
\put(58,35){\dashbox{2}(24,0){}}
\put(55,35){\circle{6}}
\put(50,22){$\alpha_2$}
\put(27,22){\line(2,1){23}}
\put(27,48){\line(2,-1){23}}
\put(25,20){\circle{6}}
\put(20,7){$\alpha_1$}
\put(25,50){\circle{6}}
\put(20,37){$\alpha_{n+1}$}
\end{picture}

Supposons d'abord $n$ impair. Si $\gamma$ est non trivial, d'apr�s \cite{bou}, il est d'ordre $2$ ou $4$, et $\Gamma$ est un groupe cyclique de cardinal $2$ ou $4$.

\begin{itemize}
\item Si $\gamma$ est d'ordre $4$, ses orbites sont $O_1=\left\{\alpha_1,\alpha_{n-1},\alpha_n,\alpha_{n+1}\right\}$, et pour tout $i\leq\dfrac{n-1}2$, $O_i=\left\{\alpha_i,\alpha_{n-i}\right\}$. Si $\Delta_J$ ne contient pas $O_1$, $\Delta_{J'}$ non plus; $K$ et $K'$ sont alors contenus dans $K_1$, et sont conjugu�s par un �l�ment de $W'\cap K_1$ commutant avec $\gamma$ puisque $K_1/K_1^1$ est de type $A_{n-3}$ et gr�ce au lemme \ref{memepar}. Si $\Delta_J$ contient $O_1$, soit $i\in\left\{1,\dots,n-1\right\}$ minimal tel que $\Delta_i\not\in J$. Si $i=2$ (resp. si $i\geq 3$), le diagramme de Dynkin de $M$ comporte quatre composantes de type $A_1$ (resp. deux composantes de type $D_i$) permut�es par $\gamma$ (resp. permut�es par $\gamma$ et sur lesquelles l'action de $\gamma^2$ est non triviale); c'est donc �galement le cas pour $M'$, ce qui n'est possible que si $\Delta_{J'}$ contient tous les $O_{i'}$, $i'\leq i$, mais pas $O_i$. $K$ et $K'$ sont alors tous deux contenus dans $K_i$, et sont conjugu�s par un �l�ment de la composante de type $A_{n-1-2i}$ du groupe de Weyl de $K_i/K_i^1$ si $i<\dfrac{n-1}2$, sachant que le cas $i=\dfrac{n-1}2$ impose $K=K'$ et que l'assertion du lemme est alors triviale. On conclut gr�ce au lemme \ref{memepar}.
\item Si maintenant $\gamma$ est d'ordre $2$, ses orbites sont $O_1=\left\{\alpha_1,\alpha_{n+1}\right\}$, $O_{n-1}=\left\{\alpha_{n-1},\alpha_n\right\}$, et pour tout $i\in\left\{2,\dots,n-2\right\}$, $O_i=\left\{\alpha_i\right\}$.
Si $\Delta_J$ ne contient ni $O_1$ ni $O_{n-1}$, $\Delta_{J'}$ non plus; $K$ et $K'$ sont alors contenus dans $K_1\cap K_{n-1}$ et on conclut comme d'habitude puisque $\left(K_1\cap K_{n-1}\right)/\left(K_1\cap K_{n-1}\right)^1$ est de type $A_{n-3}$.

Supposons ensuite que $\Delta_J$ contient soit $O_1$ soit $O_{n-1}$; c'est donc �\-ga\-le\-ment le cas de $\Delta_{J'}$.
Soit $i$ (resp. $i'$) minimal tel que $O_i$ n'est pas contenu dans $\Delta_J$ (resp. $\Delta_{J'}$). Si $i=i'$, alors $K$ et $K'$ sont contenus dans $K_i$, et sont �gaux si $i=n-1$ ou $i=n-2$; si $i<n-2$, soit $i_1$ maximal tel que $O_{i_1}$ n'est pas contenu dans $\Delta_J$; $i_1$ est alors �galement l'indice maximal tel que $O_{i_1}$ n'est pas contenu dans $\Delta_{J'}$; de plus, si $i_1=i$ ou $i_1=i+1$, $K$ et $K'$ sont �gaux, et sinon, ils sont conjugu�s par un �l�ment de la composante de type $A_{i_1-i-1}$ du groupe de Weyl de $K_i/K_i^1$, et on conclut encore une fois gr�ce au lemme \ref{memepar}. Si $i\neq i'$, alors dans tous les cas, $\Delta_{J'}$ contient tous les $O_{n-j}$, $j>i$, et pas $O_{n-i}$. Si $\Gamma$ est de cardinal $4$ et si $\gamma'$ est un �l�ment de $\Gamma$ distinct de $1$ et de $\gamma$, en rempla�ant $\left(M',K'\right)$ par $\gamma'{}^{-1}\left(M',K'\right)\gamma$, on est ramen� au cas $i=i'$.
\item Il reste � traiter le cas o� $\Gamma$ est de cardinal $2$ et o� $i\neq i'$; supposons par exemple $i>i'$.

Soit $L_1,\dots,L_t$ des sous-groupes parahoriques de $M$ contenant $I\cap M$ et contenus dans $K$ v�rifiant les propri�t�s suivantes:
\begin{itemize}
\item on a $W'\cap K=\prod_{i=1}^t\left(W'\cap L_i\right)$;
\item pour tout $i\in\left\{2,\dots,t-1\right\}$, le diagramme de Dynkin de $L_i/L_i^1$ est non vide et connexe;
\item le diagramme de Dynkin de $L_1$ (resp. $L_t$) correspond � la r�union des $O_j$, $j<i$ (resp. $j>n-i'$).
\end{itemize}
De tels sous-groupes sont uniques � permutation des $L_i$, $2\leq i\leq t-1$, pr�s. On d�finira de m�me $L'_1,\dots,L'_t$ en rempla�ant $K$ par $K'$.

Soit $GSO'_{2n}$ la forme d�ploy�e de $GSO_{2n}$; ce groupe peut �tre vu comme le sous-groupe des �l�ments $g$ de $GL_{2n}$ tels que ${}^\tau g g$ est une homoth�tie, o� ${}^\tau g$ d�signe la transpos�e de $g$ suivant la diagonale non principale. Soit $PGSO'_{2n}$ le quotient de $GSO'_{2n}$ par son centre; c'est un groupe semi-simple, adjoint et d�ploy� de type $D_n$. Soit $B_{2n}$ le sous-groupe de Borel des �l�ments triangulaires sup�rieurs de $PGSO'_{2n}$, $T_{2n}$ le tore diagonal de $B_{2n}$ et $\alpha'_1,\dots,\alpha'_n$ les racines simples de $PGSO'_{2n}$ relativement � $B_{2n}$ et $T_{2n}$, num�rot�es de fa�on similaire � $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ sur le diagramme de Dynkin.

Si $p\neq 2$, on peut plonger $W'$ dans le groupe de Weyl affine $W'_n$ de $PGSO'_{2n}\left(F\right)$ relativement au tore diagonal (si $p=2$, cela marche encore en rempla�ant $PGSO'_{2n}\left(F\right)$ par $PGSO'_{2n}\left(F'\right)$, o� $F'$ est de caract�ristique r�siduelle diff�rente de $2$; comme on s'int�resse uniquement � la structure de $W'$, ce qui suit reste valide);
un calcul matriciel montre que
si $w'\in W'_n$ normalise $W'\cap K$, on peut �crire $w'=w'_1w''w'_t$, o� $w'_1\in W'\cap L_1$, $w'_t\in W'\cap L_t$ et $w''\in W'\cap M_0$, o� $M_0$ est le sous-groupe de Levi standard de $PGSO'_{2n}\left(F\right)$ (relativement � $B_{2n}$ et $T_{2n}$) admettant $\left\{\alpha'_{i+1},\dots,\alpha'_{n-1-i'}\right\}$ comme ensemble de racines simples. De plus, si $I_n$ est le sous-groupe d'Iwahori standard de $PGSO'_{2n}\left(F\right)$ (c'est-�-dire le groupe des �l�ments de $PGSO'_{2n}\left(\mathcal{O}\right)$ triangulaires sup�rieurs modulo ${\mathfrak{p}}$) et si $\gamma'$ est un g�n�rateur de $N_G\left(I_n\right)/I_n$, $W'\cap K$ et $W'\cap K'$ sont conjugu�s par un �l�ment de $\left(W'\cap M_0\right)\gamma'{}^{\mth{Z}}$; on en d�duit que si $w\in W'_n$ est tel que $w^{-1}\left(W'\cap K\right)w=W'\cap K'$, il existe $w_1\in W'\cap L_1$, $w'_t\in W'\cap L_t$ et un entier $l$ tels que si $w''=ww'_1{}^{-1}w'_t{}^{-1}$, $w''{}^{-1}\left(W'\cap K'\right)w''=W'\cap K$ et $w''{}^{-1}\left(W'\cap M_0\right)w''=W'\cap\gamma'{}^{-l}M_0\gamma'{}^l$, d'o�:
\[w''{}^{-1}\left(W'\cap L'_2L'_3\dots L'_{t-1}\right)w''=W'\cap L_2L_3\dots L_{t-1};\]
de plus, si $w$ appartient � $W'$, $w''$ aussi, et puisque $w'_1$ et $w'_t$ normalisent $W'\cap K$, on a $w''{}^{-1}\left(W'\cap K'\right)w''=W'\cap K$. Enfin, $L_2\dots L_{t-1}$ et $L'_2\dots L'_{t-1}$ sont contenus dans $K_1\cap K_{n-1}$; comme l'action de $\gamma$ est triviale sur $W'\cap K_1\cap K_{n-1}$, $w''$ commute avec $\gamma$ et l'assertion du lemme est d�montr�e.

\end{itemize}

Supposons maintenant $n$ pair. $\Gamma$ est un sous-groupe de $\left({\mth{Z}}/2{\mth{Z}}\right)^2$, et $\gamma$ est toujours d'ordre $2$ s'il est non trivial. On a les cas suivants:
\begin{itemize}
\item si $\gamma$ envoie $\alpha_1$ sur $\alpha_{n+1}$, ses orbites sont $O_1=\left\{\alpha_1,\alpha_{n+1}\right\}$, $O_{n-1}=\left\{\alpha_{n-1},\alpha_n\right\}$ et pour tout $i\in\left\{2,\dots,n-2\right\}$, $O_i=\left\{\alpha_i\right\}$; la suite de la d�monstration est identique au cas $n$ impair et $\gamma$ d'ordre $2$;
\item si $\gamma$ envoie $\alpha_1$ sur $\alpha_{n-1}$, ses orbites sont $O_1=\left\{\alpha_1,\alpha_{n-1}\right\}$, $O_i=\left\{\alpha_i,\alpha_{n-i}\right\}$ pour tout $i\in\left\{2,\dots,\dfrac n2-1\right\}$, $O_{\dfrac n2}=\{\alpha_{\dfrac n2}\}$ et $O_{\dfrac n2+1}=\left\{\alpha_n,\alpha_{n+1}\right\}$. Si $\Delta_J$ contient $O_1$ et $O_{\dfrac n2+1}$, $\Delta_{J'}$ �galement et ce cas ce traite comme celui o� $n$ est impair et $\gamma$ d'ordre $4$; m�me chose si $\Delta_J$ ne contient ni $O_1$ ni $O_{\dfrac n2+1}$. Supposons que $\Delta_J$ contient $O_1$ et pas $O_{\dfrac n2+1}$; s'il en est de m�me de $\Delta_J$, $K$ et $K'$ sont tous deux contenus dans $K_{\dfrac n2+1}$, dont le diagramme de Dynkin est de type $A_{n-1}$, et on conclut comme d'habitude. Si maintenant $\Delta_{J'}$ contient $O_{\dfrac n2+1}$ et pas $O_1$, si $\Gamma$ est de cardinal $4$, en conjugant $\left(M',K'\right)$ par un �l�ment de $\Gamma$ non nul et distinct de $\gamma$, on est ramen� au cas pr�c�dent. Supposons donc $\Gamma$ de cardinal $2$; en consid�rant des sous-groupes parahoriques $L_1,\dots,L_t$ (resp. $L'_1,\dots,L'_t$) de $G$ tels que l'on a:
\[W'\cap K=\prod_{i=1}^t\left(W'\cap L_i\right)\]
(resp.
\[W'\cap K'=\prod_{i=1}^t\left(W'\cap L'_1\right))\]
que pour tout $i$, le diagramme de Dynkin de $L_i/L_i^1$ (resp. $L'_i/L'_i{}^1$) est stable par $\gamma$ et est soit connexe, soit constitu� de deux composantes connexes permut�es par $\gamma$, et que celui de $L_1/L_1^1$ (resp. $L'_1/L'_1{}^1$) contient $O_1$ (resp. $O_{\dfrac n2+1}$), ce cas se traite de fa�on analogue au cas $n$ impair et $\gamma$ d'ordre $2$.
\item Enfin, le cas o� $\gamma$ envoie $\alpha_1$ sur $\alpha_n$ est similaire au pr�c�dent.
\end{itemize}

\item Si $G$ est de type $E_6$, son diagramme de Dynkin �tendu est de la forme suivante:

\begin{picture}(300,100)(0,0)
\put(25,65){\circle{6}}
\put(20,52){$\alpha_1$}
\put(28,65){\line(1,0){24}}
\put(55,65){\circle{6}}
\put(50,52){$\alpha_3$}
\put(58,65){\line(1,0){24}}
\put(85,65){\circle{6}}
\put(90,52){$\alpha_4$}
\put(85,62){\line(0,-1){14}}
\put(85,45){\circle{6}}
\put(90,32){$\alpha_2$}
\put(85,42){\line(0,-1){14}}
\put(85,25){\circle{6}}
\put(80,12){$\alpha_7$}
\put(88,65){\line(1,0){24}}
\put(115,65){\circle{6}}
\put(110,52){$\alpha_5$}
\put(118,65){\line(1,0){24}}
\put(145,65){\circle{6}}
\put(140,52){$\alpha_6$}
\end{picture}

Si $\gamma$ est non trivial, d'apr�s \cite{bou}, il est d'ordre $3$, il engendre $\Gamma$ et on a $O_1=\left\{\alpha_1,\alpha_6,\alpha_7\right\}$, $O_2=\left\{\alpha_2,\alpha_3,\alpha_5\right\}$, $O_3=\left\{\alpha_4\right\}$. Le seul cas o� $\left(M,K\right)$ est diff�rent de $\left(M',K'\right)$ est celui o� $\Delta_J=O_1$ et $\Delta_{J'}=O_2$ (ou l'inverse); $K$ et $K'$ sont alors contenus dans $K_4$ et sont conjugu�s par un �l�ment de $w'\in W'\cap K_4$ commutant avec $\gamma$ ($w'$ envoie chaque �l�ment de $O_1$ sur l'�l�ment de $O_2$ situ� dans la m�me composante connexe du diagramme de Dynkin de $K_4/K_4^1$).

\item Si $G$ est de type $E_7$, son diagramme de Dynkin �tendu est de la forme suivante:

\begin{picture}(300,70)(0,0)
\put(25,45){\circle{6}}
\put(20,32){$\alpha_8$}
\put(28,45){\line(1,0){24}}
\put(55,45){\circle{6}}
\put(50,32){$\alpha_1$}
\put(58,45){\line(1,0){24}}
\put(85,45){\circle{6}}
\put(80,32){$\alpha_3$}
\put(88,45){\line(1,0){24}}
\put(115,45){\circle{6}}
\put(120,32){$\alpha_4$}
\put(115,42){\line(0,-1){14}}
\put(115,25){\circle{6}}
\put(110,12){$\alpha_2$}
\put(118,45){\line(1,0){24}}
\put(145,45){\circle{6}}
\put(140,32){$\alpha_5$}
\put(148,45){\line(1,0){24}}
\put(175,45){\circle{6}}
\put(170,32){$\alpha_6$}
\put(178,45){\line(1,0){24}}
\put(205,45){\circle{6}}
\put(200,32){$\alpha_7$}
\end{picture}

Si $\gamma$ est non trivial, d'apr�s \cite{bou}, il est d'ordre $2$, il engendre $\Gamma$ et on a $O_1=\left\{\alpha_8,\alpha_7\right\}$, $O_2=\left\{\alpha_1,\alpha_6\right\}$, $O_3=\left\{\alpha_3,\alpha_5\right\}$, $O_4=\left\{\alpha_4\right\}$, $O_5=\left\{\alpha_2\right\}$. On a trois cas � consid�rer:
\begin{itemize}
\item si $\Delta_J$ et $\Delta_{J'}$ ne contiennent pas $O_3$, alors $K$ et $K'$ sont contenus dans $K_3$, et sont dans tous les cas conjugu�s par un �l�ment de $W'\cap K_3$; on conclut gr�ce au lemme \ref{memepar};
\item si $\Delta_J$ contient � la fois $O_3$ et $O_4$, le diagramme de Dynkin de $M$, et donc �galement celui de $M'$, est de l'un des types suivants: $A_3$, $D_4$, $A_1\times A_3\times A_1$, $A_1\times D_4\times A_1$, $A_5$, $E_6$, $A_7$. Or on v�rifie ais�ment qu'il existe un unique sous-diagramme stable par $\gamma$ du diagramme de Dynkin �tendu de $E_7$ de chacun de ces types, et donc le seul choix possible pour $\left(M',K'\right)$ est $\left(M',K'\right)=\left(M,K\right)$;
\item si $\Delta_J$ contient $O_3$ et pas $O_4$, le diagramme de Dynkin de $M$, et donc �galement celui de $M'$, est de l'un des types suivants: $A_1\times A_1$, $A_1\times A_1\times A_1$, $A_2\times A_2$, $A_2\times A_1\times A_2$, $A_1\times A_1\times A_1\times A_1$, $A_1\times A_1\times A_1\times A_1\times A_1$, $A_3\times A_3$, $A_3\times A_1\times A_3$. Dans les quatre derniers cas, on conclut comme pr�c�demment. Dans les cas $A_1\times A_1$ et $A_2\times A_2$, $\Delta_{J'}$ ne peut pas contenir $O_4$; $K$ et $K'$ sont donc tous deux contenus dans $K_4$ et on conclut comme d'habitude. Dans le cas $A_1\times A_1\times A_1$, on a $\Delta_J=O_3\cup O_5$, et $\Delta_{J'}$ ne peut pas contenir � la fois $O_1$ et $O_2$; $K$ et $K'$ sont alors tous deux contenus soit dans $K_1$, soit dans $K_2$, et on conclut toujours de la m�me mani�re. Dans le cas $A_2\times A_1\times A_2$, il est facile de voir que le seul cas o� on ne peut pas faire de m�me est le cas o� $\Delta_J=O_2\cup O_3\cup O_5$ et $\Delta_{J'}=O_1\cup O_2\cup O_4$; mais dans ce cas, si $x''$ est un point de la face de $A$ correspondant � $O_1\cup O_2\cup O_5$ et si $\left(M'',K''\right)=\kappa_0\left(K_{x''},T_0\right)$, il suffit d'appliquer le lemme successivement � $\left(\gamma,M,K\right)$ et $\left(\gamma,M'',K''\right)$, puis � $\left(\gamma,M'',K''\right)$ et $\left(\gamma,M',K'\right)$.
\end{itemize}

\item Si $G$ est de type $E_8$, $F_4$, $G_2$ ou $BC_n$, $n\geq 1$, d'apr�s \cite{bou}, on a toujours $\Gamma=\left\{1\right\}$, d'o� $\gamma=1$ et le r�sultat de la proposition est trivial.

\end{itemize}

Soit $W'_0=W'\cap G^1$: montrons maintenant le lemme suivant:

\begin{lemme}
Supposons que le diagramme de Dynkin de $G$ est connexe. Si $w'$ est un �l�ment de $W'$ tel que $w'{}^{-1}\left(M',K'\right)w'=\left(M,K\right)$, il existe $w\in W'$ congru � $w'$ modulo $W'_0$ tel que $w^{-1}\left(\gamma,M',K'\right)w=\left(\gamma,M,K\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $\Gamma_K$ (resp. $\Gamma_{\gamma,K}$) l'image dans $\Gamma$ du sous-groupe $N_{W'}\left(W'\cap K\right)$ de $W'$ (resp. du sous-groupe $N_{W'}\left(\gamma,W'\cap K\right)$ des �l�ments de $W'$ qui commutent avec $\gamma$ et normalisent $W'\cap K$). Il est clair que $\Gamma_{\gamma,K}\subset\Gamma_K$; on va montrer que l'on a en fait l'�galit�, ce qui suffira � d�montrer le lemme puisque, en partant d'un $w$ quelconque v�rifiant $w^{-1}\left(\gamma,M',K'\right)w=\left(\gamma,M,K\right)$, puisque $w\in w'N_{W'}\left(W'\cap K\right)$, on pourra alors toujours rendre $w$ congru � $w'$ modulo $W'_0$ en le multipliant � droite par un �l�ment de $N_{W'}\left(\gamma,W'\cap K\right)$. Supposons donc qu'il existe $\gamma_0\in\Gamma_K$ n'appartenant pas � $\Gamma_{\gamma,K}$; $W'\cap K$ et $W'\cap\gamma_0^{-1}K\gamma_0$ sont alors conjugu�s par un �l�ment de $W'_0$, mais tout �l�ment $w$ de $W'$ tel que $w^{-1}\left(W'\cap\gamma_0^{-1}K\gamma_0\right))w=W'\cap K$ appartient � $\gamma_0^{-1}N_{W'}\left(\gamma,W'\cap K\right)$, qui ne rencontre pas $\Gamma_{\gamma,K}W'_0$. Or d'apr�s ce qui pr�c�de, si $W'\cap K$ et $W'\cap\gamma_0^{-1}K\gamma$ sont conjugu�s dans $\Gamma_{\gamma,K}W'_0$, ils le sont par un �l�ment commutant avec $\gamma$; on aboutit donc � une contradiction, ce qui d�montre l'assertion cherch�e.
\end{proof}

Supposons maintenant que $G$ est produit direct de groupes dont le diagramme de Dynkin est connexe; l'assertion de la proposition, ainsi que celle du lemme pr�c�dent, se d�duisent trivialement du cas pr�c�dent.

Supposons enfin $G$ quelconque; en posant $T=Z_G\left(T_0\right)$, soit $\overline{\Phi}$ (resp. $\overline{\phi^\vee}$, le syst�me de racines (resp. de poids radiciels) de $\underline{G}$ associ� � $\underline{T}$, et $\overline{\Phi_1},\dots,\overline{\Phi_t}$ (resp. $\overline{\Phi_1^\vee},\dots,\overline{\Phi_t^\vee}$) la partition de $\overline{\Phi}$ (resp. $\overline{\Phi^\vee}$) correspondant aux composantes connexes du diagramme de Dynkin de $\underline{G}$. Pour tout $i\in\left\{1,\dots,t\right\}$, soit $\underline{G_i}$ le sous-groupe ferm� de $\underline{G}$ engendr� par $\underline{T}$ et par les sous-groupes radiciels $U_\alpha$, $\alpha\in\overline{\Phi_i}$,et soit $\underline{T_i}$ le sous-tore de $\underline{T}$ engendr� par les images des $\xi\in\overline{\Phi^\vee}-\overline{\Phi_i^\vee}$; $\underline{G_i}$ et $\underline{T_i}$ sont clairement d�finis sur $F$, et $\underline{T_i}$ est central dans $\underline{G_i}$. Soit $G_i=\underline{G_i}\left(F\right)$, $T_i=\underline{T_i}\left(F\right)$ et $H_i=G_i/\left(T_i\cap T_0\right)$; $H_i$ est le groupe des $F$-points d'un groupe alg�brique, et on a une injection canonique:
\[\phi: G\longmapsto H_1\times\dots\times H_t.\]
Soit, pour tout $i$, $K_{x,i}$, $K_{x',i}$, $M_i$, $M'_i$, $K_i$, $K'_i$ les images dans $H_i$ des intersections respectives de $K_x$, $K_{x'}$, $M$, $M'$, $K$, $K'$ avec $G_i$; on v�rifie ais�ment que $K_{x,i}$ et $K_{x',i}$ sont des sous-groupes parahoriques de $H_i$ associ�s et que l'on a, avec un l�ger abus de notation, $\kappa_0\left(K_{x,i},T_0\right)=\left(M_i,K_i\right)$ et $\kappa_0\left(K_{x',i},T_0\right)=\left(M'_i,K'_i\right)$. De plus, si pour tout $i$, $W'_i$ est le groupe de Weyl affine de $H_i$ relqtivement � son tore d�ploy� maximal $T_0/\left(T_i\cap T_0\right)$, on a une injection canonique de $W'$ dans le produit direct des $W'_i$, et si on pose:
\[\gamma=\gamma_1\dots\gamma_t,\]
avec pour tout $i$, $\gamma_i\in W'_i$, alors pour tout $i$, $\gamma_i$ normalise $K_{x,i}$, $K_{x',i}$, $M_i$, $M'_i$, $K_i$ et $K'_i$;
puisque le diagramme de Dynkin de $H_i$ est connexe, on peut lui appliquer la proposition, et obtenir $w_i\in W'_i$ tel que l'on a $w_i\left(\gamma_i,M_i,K_i\right)w_i^{-1}=\left(\gamma_i,M'_i,K'_i\right)$; en posant $w=\left(w_1,\dots,w_t\right)$, on obtient dans $H_1\times\dots\times H_t$:
\[w\left(\gamma,M,K\right)w^{-1}=\left(\gamma,M',K'\right).\]
Il reste donc � v�rifier que l'on peut choisir $w$ dans $W'$. Or si $w'$ est un �l�ment de $W'\subset W'_1\times\dots\times W'_t$ tel que $w'\left(M,K\right)w'{}^{-1}=\left(M',K'\right)$, d'apr�s ce qui pr�c�de, on peut supposer que $w$ est dans la m�me classe que $w'$ modulo $\left(W'_1\times\dots\times W'_t\right)\cap\left(H_1\times\dots\times H_t\right)^1$; or ce dernier groupe contient $W'\cap G^1$, et est un groupe de Coxeter affine de m�me type que celui-ci; ces deux groupes sont donc �gaux, et on en d�duit que si $w'\in W'$, $w$ aussi, ce qui ach�ve la d�monstration. $\Box$

\subsection{Distributions associ�es � des fonctions $\gamma$-cuspidales}

Soit $\mu\in\mathcal{M}$, $\left(M,K_M\right)$ un repr�sentant de $\mu$, et ${\mth{G}}=K_M/K_M^1$ le groupe r�ductif fini associ� � $\mu$; si $\phi$ est une fonction sur ${\mth{G}}$ invariante par conjugaison, $\phi$ est {\em cuspidale} si pour tout sous-groupe parabolique propre ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ de ${\mth{G}}$  et tout $m\in{\mth{M}}$, on a:
\[\sum_{u\in{\mth{U}}}\phi\left(mu\right)=0.\]

La notion de fonction cuspidale peut se g�n�raliser de la fa�on suivante:
soit $\nu=\left(\gamma,\mu\right)\in\mathcal{N}$, et ${\mth{G}}^+=\gamma^{\mth{Z}}{\mth{G}}$ le groupe associ�.
Soit $\phi$ une fonction de ${\mth{G}}^+$ dans ${\mth{C}}$ invariante par conjugaison; on dira que $\phi$ est {\em cuspidale} si pour tout sous-groupe parabolique propre ${\mth{P}}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}$ de ${\mth{G}}^+$ et tout $m\in{\mth{M}}^+$, on a:
\[\sum_{u\in{\mth{U}}}\phi\left(mu\right)=0.\]

Soit $g,h\in{\mth{G}}$; $g$ et $h$ seront dit {\em $\gamma$-conjugu�s} si les �l�ments $\gamma g$ et $\gamma h$ de ${\mth{G}}^+$ sont conjugu�s.
Si $\phi$ est une fonction de ${\mth{G}}$ dans ${\mth{C}}$ invariante par $\gamma$-conjugaison, $\phi$ sera dite {\em $\gamma$-cuspidale} si la fonction $\phi'$ de ${\mth{G}}$ dans ${\mth{C}}$ d�finie par $\phi'\left(g\right)=\phi\left(\gamma^{-1}g\right)$ si $g\in\gamma{\mth{G}}$ et $\phi'\left(g\right)=0$ sinon est cuspidale.

Montrons d'abord qu'il suffit, dans la d�finition pr�c�dente, de consid�rer les sous-groupes paraboliques de ${\mth{G}}^+$ stables par $\gamma$; cela se d�duit imm�diatement du lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout sous-groupe parabolique ${\mth{P}}^+$ de ${\mth{G}}^+$ tel que ${\mth{P}}^+\cap\gamma{\mth{G}}\neq\emptyset$, il existe un sous-groupe parabolique ${\mth{P}}'{}^+$ de ${\mth{G}}^+$ conjugu� � ${\mth{P}}^+$ et stable par conjugaison par $\gamma$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit ${\mth{P}}_0$ un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}$ stable par conjugaison par $\gamma$; il en existe d'apr�s \cite[proposition 1.36]{dm}, et puisque tous les sous-groupes paraboliques minimaux de ${\mth{G}}$ sont conjugu�s entre eux, ${\mth{P}}^+$ contient un conjugu� de ${\mth{P}}_0$. Soit donc $h\in{\mth{G}}$ tel que $h{\mth{P}}_0h^{-1}\subset{\mth{P}}^+$; posons:
\[{\mth{P}}'{}^+=h^{-1}{\mth{P}}^+h.\]
Alors $\gamma^{-1}{\mth{P}}'{}^+\gamma$ contient $\gamma^{-1}{\mth{P}}_0\gamma={\mth{P}}_0$; or puisque ${\mth{P}}^+$ rencontre $\gamma{\mth{G}}$, ${\mth{P}}'{}^+$ aussi, donc ${\mth{P}}'{}^+$ et $\gamma^{-1}{\mth{P}}'{}^+\gamma$ sont conjugu�s entre eux par un �l�ment de ${\mth{G}}$; si ${\mth{P}}'={\mth{P}}'{}^+\cap{\mth{G}}$, ${\mth{P}}'$ et $\gamma^{-1}{\mth{P}}'\gamma$ sont donc deux sous-groupes paraboliques de ${\mth{G}}$ conjugu�s entre eux dans ${\mth{G}}$; puisqu'ils contiennent un m�me sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}$, ils sont �gaux, donc leurs normalisateurs dans ${\mth{G}}^+$ le sont aussi et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

Supposons qu'il existe $x\in\mathcal{B}$ tel que $\gamma\in\Gamma_x$ et $\zeta\left(\gamma,x\right)=\left(\gamma,\mu\right)$; on peut relever $\phi$ en une fonction sur $\gamma K_x$ invariante par conjugaison par $K_x$, que par un l�ger abus de notation on notera �galement $\phi$; on �tendra $\phi$ � $G$ tout entier en posant $\phi\left(g\right)=0$ pour $g\not\in\gamma K_x$.

Soit $\mathcal{A}$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x$ et $T_0$ le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}$.
Pour d�finir une distribution sur l'ensemble des conjugu�s de $\gamma K_x$ � partir de $\phi$, on va utiliser un sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T_0$ un peu plus gros que $M$.
Soit $V$ l'espace vectoriel associ� � $\mathcal{A}$; on a une d�composition de $V$ en facettes vectorielles pour l'action de $W$, et tout �l�ment de $W$ qui fixe un point d'une facette donn�e la fixe toute enti�re; on en d�duit que si $V^\gamma$ est le sous-espace des �l�ments de $V$ fix�s point par point par l'�l�ment $w_\gamma$ de $W$ image de $\gamma$ par la surjection canonique de $W'$ dans $W$, $V^\gamma$ est r�union des facettes vectorielles qu'il rencontre.

Consid�rons l'immeuble sph�rique $\mathcal{B}_s$ de $G$; $V$ s'identifie canoniquement � l'appartement de $\mathcal{B}_s$ associ� � $T_0$. Soit ${\mathfrak{A}}$ une facette vectorielle de $V^\gamma\cap V_M$ de dimension maximale; l'ensemble des points de $G$ qui la fixent est un sous-groupe parabolique $P_\gamma$ de $G$ semi-standard relativement � $T_0$. Posons $P_\gamma=M_\gamma U_\gamma$, avec $M_\gamma$  �galement semi-standard relativement � $T_0$; le groupe de Weyl $W_{M_\gamma}$ de $M_\gamma$ fixe point par point le sous-espace de $V$ engendr� par ${\mathfrak{A}}$, qui n'est autre que $V^\gamma\cap V_M$. R�ciproquement, un �l�ment de $W$ qui fixe cet espace appartient � $W\cap P_\gamma=W_{M_\gamma}$; on en d�duit que $W_{M_\gamma}$, et donc $M_\gamma$, ne d�pendent pas du choix de ${\mathfrak{A}}$, et que $M_\gamma$ est le fixateur de $V^\gamma\cap V_M$. En particulier, il contient $M$ et $\gamma$, et si $M'$ est un sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T_0$ contenant $M$ et $\gamma$, l'ensemble des points de $\mathcal{B}_s$ qu'il fixe est contenu dans $V^\gamma\cap V_M$, donc $M_\gamma\subset M'$.
$M_\gamma$ est donc le plus petit sous-groupe de Levi semi-standard de $G$ (relativement � $T_0$) contenant � la fois $M$ et $\gamma$.

Soit $K_\gamma=K_x\cap M_\gamma$; $K_\gamma/K_\gamma^1$ est isomorphe � ${\mth{G}}$ et $\gamma^{\mth{Z}}K_\gamma/K_\gamma^1$ � ${\mth{G}}^+$; si $k$ est un �l�ment de $\gamma^{\mth{Z}}K_\gamma$ (resp. si $X$ est une partie de $\gamma^{\mth{Z}}K_\gamma$), on notera $\overline{k}$ (resp. $\overline{X}$) son image dans ${\mth{G}}^+$. Pour pouvoir d�finir des distributions � support dans l'ensemble des conjugu�s de $\gamma K_\gamma$ dans $M_\gamma$, on va d'abord montrer la proposition suivante:

\begin{prop}\label{cspdp2}
Soit $H$ un sous-groupe ouvert de $M_\gamma$, $C$ une partie compacte de $M_\gamma$. Alors il existe une partie $C'$ de $M_\gamma$, compacte modulo le centre $Z_{M_\gamma}$ de $M_\gamma$, telle que pour tout $m\in M_\gamma-C'$, l'une des deux conditions suivantes soit v�rifi�e:
\begin{itemize}
\item $m^{-1}Cm\cap\gamma K_\gamma=\emptyset$;
\item il existe un sous-groupe parabolique propre ${\mth{P}}^+={\mth{M}}^+{\mth{U}}$ de ${\mth{G}}^+$ tel que l'on a $\overline{m^{-1}Cm\cap\gamma K_\gamma}\subset{\mth{P}}^+$ et $\overline{m^{-1}Hm\cap K_\gamma}\supset{\mth{U}}$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
La d�monstration de cette proposition fera l'objet du paragraphe suivant.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cspd2}
Soit $\phi$ une fonction $\gamma$-cuspidale sur ${\mth{G}}$, relev�e en une fonction sur $M_\gamma$ � support dans $\gamma K_\gamma$. Pour tout $f\in C_c^\infty\left(M_\gamma\right)$, l'int�grale:
\[\int_{Z_{M_\gamma}^0\backslash M_\gamma}\left(\int_{M_\gamma}f\left(m^{-1}ym\right)\phi\left(\gamma ^{-1}y\right)dy\right)dm\]
converge.
\end{cor}

\begin{proof}
Pour montrer ce corollaire, il suffit de montrer que pour tout $f\in C_c^{\infty}\left(M_\gamma\right)$, l'application:
\[\phi_f:m\longmapsto\int_{M_\gamma}f\left(m^{-1}ym\right)\phi\left(\gamma ^{-1}y\right)dy\]
est � support compact modulo $Z_{M_\gamma}^0$. Soit $C$ le support de $f$, et $H$ un sous-groupe ouvert compact de $M_\gamma$ tel que $f$ est biinvariante par $H$. Puisque $C$ est compact, on peut appliquer � $C$ et $H$ la proposition pr�c�dente, et puisque $\phi$ est $\gamma$-cuspidale, la partie $C'$ de $M_\gamma$ donn�e par cette proposition contient le support de $\phi_f$, ce qui montre le corollaire.
\end{proof}

On peut donc, gr�ce � ce corollaire, d�finir une distribution $D_\phi^{M_\gamma}$ sur $M_\gamma$ par:
\[D_\phi^{M_\gamma}:f\in C_c^\infty\left(M_\gamma\right)\longmapsto\int_{Z_{M_\gamma}^0\backslash M_\gamma}\left(\int_{M_\gamma}f\left(m^{-1}ym\right)\phi\left(\gamma ^{-1}y\right)dy\right)dm.\]
Cette distribution est clairement invariante par conjugaison. On d�finira �\-ga\-le\-ment, si $P_\gamma=M_\gamma U_\gamma$ est un sous-groupe parabolique de $G$ dont $M_\gamma$ est un Levi:
\[D_\phi^G:f\in C_c^\infty\left(G\right)\longmapsto D_\phi^{M_\gamma}\left(f^{P_\gamma}\right):\]
cette distribution est �galement invariante. De plus, elle ne d�pend pas du rel�vement de $\phi$ � $M_\gamma$: en effet, soit $x'$ un autre �l�ment de $\zeta^{-1}\left(\nu\right)$ tel que, en tant qu'�l�ment de $\Gamma$, $\gamma\in\Gamma_x'$; soit $\mathcal{A}'$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x'$, $T'_0$ le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}'$, $\left(M',K_{M'}\right)=\kappa\left(K_{x'},T'_0\right)$, $I'$ un sous-groupe d'Iwahori de $G$ contenu dans $K_{x'}$, $\gamma'$ l'unique �l�ment de $\Gamma_{I'}\cap\gamma G^1$ et $M'_{\gamma'}$ le plus petit sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T'_0$ et contenant $M'$ et $\gamma'$. D'apr�s la proposition \ref{gcj}, quitte � remplacer $x'$ par $gx'$, $g\in G$, on peut supposer $T'_0=T_0$ et $\left(\gamma',M',K_{M'}\right)=\left(\gamma,M,K_M\right)$, d'o� $M'_{\gamma'}=M_\gamma$; de plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{unicp}
Il existe un unique sous-groupe parahorique de $M_\gamma$ contenant $K_M$ et normalis� par $\gamma$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Puisque l'assertion du lemme ne d�pend que de $M_\gamma$ et pas de $G$, on aupposera $M_\gamma=G$. Soit $E$ l'ensemble des points de $\mathcal{A}$ fix�s par $K_M$; c'est un sous-espace affine de $\mathcal{A}$ contenant $A_x$ et de m�me dimension que celle-ci, donc engendr� par celle-ci. De plus, d'apr�s le lemme \ref{uneorb}, $\gamma$ permute transitivement les murs de $A_x$; il ne stabilise donc aucune face de $A_x$ autre que $A_x$ elle-m�me. On en d�duit que le sous-espace des �l�ments de $E$ fix�s par $\gamma$ ne coupe aucune face de $A_x$ autre que $A_x$; il est donc enti�rement contenu dans $A_x$, et on d�duit du lemme du point fixe de Bruhat-Tits (\cite[I. 3.2.4]{bt}) que la seule facette de $E$ stabilis�e par $\gamma$ est $A_x$, ce qui d�montre l'assertion du lemme.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, on a $K_x\cap M_\gamma=K_{x'}\cap M_\gamma$, et en notant $\phi_x$ (resp. $\phi_{x'}$) le rel�vement de $\phi$ � $M_\gamma$ obtenu en consid�rant $x$ (resp. $x'$), il existe un �l�ment $g$ de $N_{M_\gamma}\left(K_x\cap M_\gamma\right)$ tel que $\phi_{x'}=\phi_x\circ Ad\left(g\right)$; on en d�duit que $D_{\phi_x}^{M_\gamma}=D_{\phi_{x'}}^{M_\gamma}$, donc que $D_{\phi_x}^G=D_{\phi_{x'}}^G$, ce qui d�montre l'assertion cherch�e.

Calculons maintenant certaines valeurs de ces distributions. Soit $\nu=\left(\mu,\gamma\right)\in\mathcal{N}$, $\left(M,K_\mu\right)$ un repr�sentant quelconque de $\mu$, $T_0$ un tore d�ploy� maximal de $M$, $M_\gamma$ le plus petit sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T_0$ et contenant $M$ et $\gamma$, ${\mth{M}}=K_\mu/K_\mu^1$ et $\phi$ une fonction $\gamma$-cuspidale sur ${\mth{M}}$; supposons-les tels qu'il existe $x\in\mathcal{B}$ tel que $\left(M,K_\mu\right)=\kappa_0\left(K_x,T_0\right)$ et que $\gamma$ s'identifie � un �l�ment de $W'$ normalisant $K_x$,
et consid�rons la distribution $D_\phi^G$: d'apr�s ce qui pr�c�de, on peut supposer, en fixant un sous-groupe parabolique minimal $P_0$ de $G$ contenant $T_0$, que $M$ et $M_\gamma$ sont standards relativement � $P_0$ et que si $I$ est le sous-groupe d'Iwahori standard de $K_x$ relativement � $P_0$, $\gamma\in\Gamma_I$.

D�finissons �galement $\nu,\mu',M',K_{\mu'},T'_0,\gamma',M'_{\gamma'},\phi',x',K_{x'}$ de mani�re similaire; quitte � les conjuguer, on peut supposer que $T'_0=T_0$ et que $K_{x'}$ admet �galement $I$ comme sous-groupe d'Iwahori standard relativement � $P_0$.

On a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{dscp}
On a:
\[D_\phi^G\left(\phi'\right)=0\]
si $\nu\neq\nu'$, et:
\[D_\phi^G\left(\phi'\right)=v_\nu\sum_{n\in N_G\left(\gamma,K_\mu\right)/N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)}\langle \overline{\phi},Ad\left(n\right)\phi'\rangle _{\mth{M}},\]
o� $v_\nu$ est une constante ne d�pendant que de $\nu$, si $\nu=\nu'$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $\gamma\neq\gamma'$, les supports de $D_\phi^G$ et de $\phi'$ sont disjoints, et on a $D_\phi^G\left(\phi'\right)=0$; supposons donc $\gamma=\gamma'$. Soit $K_0$ un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $G$; quitte � le conjuguer, on peut supposer qu'il contient $I$; l'ensemble des doubles classes de $K_0$ modulo $K_0\cap P_\gamma$ � gauche et $K_0\cap K_{x'}$ � droite admet alors pour syst�me de repr�sentants une partie de $W'\cap K_0$. Ecrivons, pour $m\in M$:
\[\phi'{}^{P_\gamma}\left(m\right)=\delta_{P_\gamma}^G\left(m\right)^{\dfrac 12}\int_{K_0}\int_{U_\gamma}\phi'\left(k^{-1}muk\right)dudk.\]
Il est clair que multiplier $k$ � gauche par un �l�ment de $P_\gamma$ revient � conjuguer $m$ par un �l�ment de $M_\gamma$; de plus, $\phi'$ �tant invariante par conjugaison par $I$, $\phi'{}^{P_\gamma}$ est �gale � un �l�ment de $C_0\left(M_\gamma\right)$ pr�s �:
\[f:m\longmapsto\delta_{P_\gamma}^G\left(m\right)^{\dfrac 12}\sum_{w\in\left(K_0\cap P_\gamma\right)\backslash K_0/I}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)\int_{U_\gamma}\phi'\left(w^{-1}muw\right)du.\]
Montrons d'abord les lemmes suivants:

\begin{lemme}\label{iwah}
Supposons $x'$ tel que $K_{x'}$ est un sous-groupe d'Iwahori de $G$; soit $w\in W'$. Alors $K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w$ est un sous-groupe d'Iwahori de $w^{-1}M_\gamma w$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, puisque $K_{x'}$ est un sous-groupe d'Iwahori de $G$, $x'$ est contenu dans une chambre $A$ de $\mathcal{B}$; de plus, puisque $x'\in\mathcal{A}$, $A\subset\mathcal{A}$, donc puisque $w\in W'$, $wA\subset\mathcal{A}$. Soit $\mathcal{A}_{w^{-1}M_\gamma w}$ l'appartement de $w^{-1}M_\gamma w$ associ� � $T_0$, et soit $A'$ la facette contenant l'image de $wA$ par la surjection canonique de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}_{w^{-1}M_\gamma w}$; c'est une chambre de $\mathcal{A}_{w^{-1}M_\gamma w}$, et tout �l�ment de $K_x\cap w^{-1}Mw$ fixe $A'$, donc $K_x\cap w^{-1}M_\gamma w$ est contenu dans le sous-groupe d'Iwahori $K_{A'}$ de $w^{-1}M_\gamma w$ qui fixe $A'$.
R�ciproquement, tout �l�ment de $w^{-1}M_\gamma w$ qui fixe $A'$ fixe son image r�ciproque dans $\mathcal{A}$, et en particulier $wA$; on a donc $K_x\cap w^{-1}M_\gamma w=K_{A'}$ et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

\begin{cor}\label{iw2}
Supposons $x'$ quelconque. Alors $K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w$ est un sous-groupe parahorique de $w^{-1}M_\gamma w$.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, si $A$ est une chambre de $\mathcal{A}$ dans l'adh�rence con\-tient $x'$, $K_{x'}$ contient le sous-groupe d'Iwahori de $G$ qui fixe $A$, dont l'intersection avec $w^{-1}M_\gamma w$ est un sous-groupe d'Iwahori de $w^{-1}M_\gamma w$ d'apr�s le lemme pr�c�dent. De plus, $K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w$ est un sous-groupe compact de $w^{-1}M_\gamma w$ contenu dans $\left(w^{-1}M_\gamma w\right)^1$; c'est donc un sous-groupe parahorique de $w^{-1}M_\gamma w$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{wmuw}
Soit $w\in W'\cap K_0$, $m\in M_\gamma$, $u\in U_\gamma$ tels que $w^{-1}muw\in\gamma K_{x'}$. Alors on a $w^{-1}mw\in\gamma K_{x'}$ et $w^{-1}uw\in K_{x'}$; de plus, $\gamma$ appartient � l'ensemble $\left(W'\cap w^{-1}M_\gamma w\right)\left(W'\cap K_{x'}\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, en posant $h=mu$, $w^{-1}hw$ normalise le groupe $K_{x'}\cap w^{-1}P_\gamma w$, donc par projection sur $w^{-1}M_\gamma w$, on voit que $w^{-1}mw$ normalise le sous-groupe parahorique $K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w$ de $w^{-1}M_\gamma w$; d'apr�s le lemme \ref{normpar}, il existe alors $\gamma'\in W'\cap w^{-1}M_\gamma w$ tel que $w^{-1}mw\in\gamma'\left(K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w\right)$. De plus, on peut supposer que $\gamma'$ normalise le sous-groupe d'Iwahori $I\cap w^{-1}M_\gamma w$ de $w^{-1}M_\gamma w$; comme $K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w\subset\left(w^{-1}M_\gamma w\right)^1$, d'apr�s le lemme \ref{normpar}, $\gamma'$ ne d�pend alors pas de $h$. On en d�duit:
\[\gamma K_{x'}\cap w^{-1}P_\gamma w\subset \gamma'\left(\left(K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w\right)w^{-1}U_\gamma w\right),\]
d'o�, puisque $W=N_G\left(T_0\right)/Z_G\left(T_0\right)$ et $Z_G\left(T_0\right)\subset K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w$:
\[W'\cap\left(\gamma K_{x'}\cap w^{-1}P_\gamma w\right)\subset W'\cap\left(\gamma'\left(K_{x'}\cap w^{-1}M_\gamma w\right)\right).\]
Or $\gamma K_{x'}\cap w^{-1}P_\gamma w$ �tant non vide, il contient au moins une double classe modulo le sous-groupe d'Iwahori $I\cap w^{-1}P_\gamma w$ de $w^{-1}P_\gamma w$, donc le membre de gauche de l'�galit� ci-dessus n'est pas vide; on en d�duit que $\gamma'\in W'\cap\gamma K_{x'}$, donc d'une part que $w^{-1}mw\in\gamma K_{x'}$ et $w^{-1}uw\in K_{x'}$, ce qui d�montre la premi�re assertion, et d'autre part que $\gamma\in \gamma'\left(W\cap K_{x'}\right)$, ce qui d�montre �galement la deuxi�me assertion.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{dscp}. D'apr�s le lemme \ref{wmuw}, on peut �crire, pour tout $m\in M_\gamma$:
\begin{multline*}f\left(m\right)=\delta_{P_\gamma}^G\left(m\right)^{\dfrac 12}\sum_{w\in\left(K_0\cap P_\gamma\right)\backslash K_0/I}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)\\\cdot\int_{w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}}\phi'\left(w^{-1}mwu\right)du.\end{multline*}

Pour tout $w$, si l'image de $w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}$ dans $K_{x'}/K_{x'}^1$ n'est pas r�duite � $\left\{1\right\}$, le terme correspondant de la somme ci-dessus est nul puisque $\phi'$ est $\gamma$-cuspidale. Or on a $w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}\subset K_{x'}^1$ si et seulement si $M'\subset w^{-1}M_\gamma w$. Supposons donc cette condition v�rifi�e: comme d'apr�s le lemme \ref{wmuw}, $\phi_{\mu'}\left(w^{-1}mwu\right)$ est toujours nul si $\gamma\not\in\left(W'\cap w^{-1}M_\gamma w\right)\left(W'\cap K_{x'}\right)=W'\cap w^{-1}M_\gamma w$, on en d�duit que les seuls termes �ventuellement non nuls de la somme ci-dessus sont ceux correspondant aux $w$ tels que $M'_\gamma\subset w^{-1}M_\gamma w$. En particulier $f$ est nulle si $M'_\gamma$ n'est contenu dans aucun conjugu� de $M_\gamma$.

Supposons donc que $M'_\gamma$ est contenu dans un conjugu� de $M_\gamma$; quitte � conjuguer $M_\gamma$ et � remplacer $K_x$ par un sous-groupe parahorique associ�, ce qui ne change pas $D_\phi^G$ d'apr�s ce qu'on a d�j� vu, on peut supposer que $M'_\gamma\subset M_\gamma$.
Soit, pour tout $m$, $W'_m$ l'ensemble des �l�ments $w$ de $\left(K_0\cap P_\gamma\right)\backslash K_0/I$ tels que $w^{-1}mw\in\gamma K_{x'}$; on a alors:
\[f\left(m\right)=\delta_{P_\gamma}^G\left(m\right)^{\dfrac 12}\sum_{w\in W'_m}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)vol\left(w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}\right)\phi'\left(w^{-1}mw\right),\]
d'o�:
\begin{equation*}\begin{split}D_\phi^G\left(\phi'\right)&=D_\phi^G\left(f\right)\\&=\int_{Z_{M_\gamma}^0\backslash M_\gamma}\int_{M_\gamma}\delta_{P_\gamma}^G\left(y\right)^{\dfrac 12}\phi\left(m^{-1}ym\right)\\&\quad\cdot\left(\sum_{w\in W'_y}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)vol\left(w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}\right)\phi'\left(w^{-1}yw\right)\right)dydm\\&=\sum_{\begin{array}{c}w\in\left(K_0\cap P_\gamma\right)\backslash K_0/I\\M'_\gamma\subset w^{-1}M_\gamma w\end{array}}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)vol\left(w^{-1}U_\gamma w\cap K_{x'}\right)\\&\quad\cdot\int_{Z_{M_\gamma}^0\backslash M_\gamma}\int_{M_\gamma\cap m\gamma K_xm^{-1}\cap w\gamma K_{x'}w^{-1}}\phi\left(m^{-1}ym\right)\phi'\left(w^{-1}yw\right)dydm.\end{split}\end{equation*}
Consid�rons, pour tout $w$ et tout $m\in G$ tel que $M_\gamma\cap m\gamma K_xm^{-1}\cap w\gamma K_{x'}w^{-1}$ n'est pas vide, l'int�grale:
\[\int_{M_\gamma\cap m\gamma K_xm^{-1}\cap w\gamma K_{x'}w^{-1}}\phi\left(m^{-1}ym\right)\phi'\left(w^{-1}yw\right)dy.\]
On supposera que $w$ est un �l�ment de $W'\cap K_0$ de longueur minimale dans sa classe � gauche modulo $W'\cap\left(K_0\cap P_\gamma\right)$; on a alors $w\left(I\cap M_\gamma\right)w^{-1}\subset I$.
Quitte � multiplier $m$ par un �l�ment de $I\cap M_\gamma$ � gauche et par un autre � droite, ce qui ne change pas la valeur de l'int�grale puisque $\phi$ et $\phi'$ sont stables par conjugaison par $I$, on peut supposer $m\in N_G\left(T_0\right)$.
D'autre part, quitte � remplacer $m$ par $mw^{-1}$, on peut supposer $w=1$.

Consid�rons le sous-groupe compact $m^{-1}K_{x'}^1m\cap w^{-1}K_x w$ de $G$; pour que l'in\-t�\-gra\-le soit non nulle, il est n�cessaire que l'image de ce sous-groupe dans le groupe $\left(w^{-1}K_x w\right)/\left(w^{-1}K_x^1 w\right)$, identifi� � ${\mth{M}}$, ne contienne aucun sous-groupe qui soit le radical unipotent d'un sous-groupe parabolique de $\left(w^{-1}\gamma^{\mth{Z}}K_x w\right)/\left(w^{-1}K_x^1w\right)$, identifi� � ${\mth{M}}^+$, rencontrant $\gamma{\mth{M}}$, ou, de mani�re �quivalente, d'un sous-groupe parabolique de ${\mth{M}}$ stable par conjugaison par au moins un �l�ment de $\gamma{\mth{M}}$. On va donc montrer que cette condition implique $\nu=\nu'$.

On va d'abord v�rifier que pour tout $m\in N_G\left(T_0\right)$, si $m\gamma K_xm^{-1}\cap\gamma K_{x'}$ est non vide, elle contient un �l�ment de $N_G\left(T_0\right)$. Soit donc $k\in m\gamma K_xm^{-1}\cap\gamma K_{x'}$; $k$ stabilise � la fois $mA_x$ et $A_{x'}$, et ces deux facettes sont alors contenues dans l'appartement $k\mathcal{A}$ de $\mathcal{B}$. Or d'apr�s \cite[I, proposition 2.5.8]{bt}, il existe $g\in G^1$ tel que $gk\mathcal{A}=\mathcal{A}$ et que $g$ fixe $\mathcal{A}\cap k\mathcal{A}$, donc en particulier $mA_x$ et $A_{x'}$, point par point. Autrement dit, $gk\in N_G\left(T_0\right)$ et $g\in mK_xm^{-1}\cap K_{x'}$, donc $gk\in m\gamma K_xm^{-1}\cap\gamma K_{x'}$.

Puisque $gk\in N_G\left(T_0\right)$, $W'\cap\left(m\gamma K_xm^{-1}\cap\gamma K_{x'}\right)$ est non vide; il existe alors $w_x\in W'\cap K_x$, $w_{x'}\in W'\cap K_{x'}$ tels que l'on a:
\[m\gamma w_xm^{-1}=\gamma w_{x'}.\]
On en d�duit que si le groupe $\left(\overline{m^{-1}K_{x'}^1m\cap K_x}\right)_{\mth{M}}$ n'est pas r�duit � l'identit�, il contient le radical unipotent d'un sous-groupe parabolique de ${\mth{M}}$ stable par conjugaison par $\gamma w_x=m^{-1}\gamma w_{x'}m$, et l'int�grale est alors nulle. Dans le cas contraire, on a $m^{-1}K_{x'}^1m\cap K_x\subset K_x^1$, ce qui n'est possible que si on a $m^{-1}Mm=M'$ et $m^{-1}K_\mu m=K_{\mu'}$, c'est-�-dire $\mu=\mu'$. 
Donc la premi�re assertion du lemme est d�montr�e.

Supposons maintenant $M_\gamma=M'_\gamma$, $\nu=\nu'$ et $K_\mu=K_{\mu'}$; on a alors $K_x\cap M_\gamma=K_{x'}\cap M_\gamma$, d'o� $K_x=K_{x'}$ puisque $K_x$ et $K_{x'}$ contiennent tous deux $I$, et pour tous $m\in N_G\left(T_0\right)$ et $w\in N_G\left(T_0\right)\cap K_0$:
\begin{multline*}\int_{M_\gamma\cap m\gamma K_xm^{-1}\cap w\gamma K_xw^{-1}}\phi_\mu\left(m^{-1}ym\right)\phi_{\mu'}\left(w^{-1}yw\right)dy\\=vol\left(K_x\right)\langle \overline{\phi'},Ad\left(wm^{-1}\right)\phi\rangle _{\mth{M}}\end{multline*}
si $wm^{-1}\in N_G\left(\gamma,K_\mu\right)$, et $0$ sinon;
de plus, si $w\in W'\cap K_0$ normalise $M_\gamma$ et $I\cap M_\gamma$, d'apr�s le lemme \ref{unicp}, il normalise aussi $\left(\gamma,K_\mu\right)$ et on a alors $m\in N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)$.
D'autre part, le groupe $N_G\left(\gamma,K_\mu\right)/N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)$ admet un syst�me de repr�sentants dans $N_G\left(T_0\right)$, et puisque $K_0$ est sp�cial, on a:
\[N_G\left(T_0\right)=\left(N_G\left(T_0\right)\cap K_0\right)\left(N_G\left(T_0\right)\cap M_\gamma\right);\]
enfin, pour tout $w\in W'\cap K_0$ tel que $M_\gamma=w^{-1}M_\gamma w$, on a $w^{-1}U_\gamma w\cap K_x=w^{-1}U_\gamma w\cap I$ et:
\begin{equation*}\begin{split}vol\left(\left(K_0\cap P_\gamma\right)wI\right)&vol\left(w^{-1}U_\gamma w\cap K_x\right)\\&=\dfrac{vol\left(K_0\cap P_\gamma\right)vol\left(w^{-1}U_\gamma w\cap I\right)vol\left(I\right)}{vol\left(w^{-1}P_\gamma w\cap I\right)}\\&=\dfrac{vol\left(K_0\cap P_\gamma\right)vol\left(I\right)}{vol\left(M_\gamma\cap I\right)}.\end{split}\end{equation*}
Donc en posant:
\[v_\nu=\dfrac{vol\left(K_0\cap P_\gamma\right)vol\left(K_x\right)vol\left(Z_{M_\gamma}^0\backslash N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)\right)vol\left(I\right)}{vol\left(M_\gamma\cap I\right)},\]
l'assertion du lemme est v�rifi�e.
\end{proof}

\subsection{D�monstration de la proposition}

On va maintenant d�montrer la proposition \ref{cspdp2}. L'assertion ne d�pendant que de $M_\gamma$ et pas de $G$, on supposera $G=M_\gamma$, d'o� $K_x=K_\gamma$. De plus, quitte � remplacer $G$ par $G/Z_{G,d}$, on pourra supposer que le centre de $G$ est compact.
D'autre part, il est clair que la proposition est vraie pour $H$ et $C$ si elle est vraie pour un groupe plus petit que $H$ et une partie compacte de $G$ plus grande que $C$; on pourra donc faire les hypoth�ses suivantes:
\begin{itemize}
\item il existe un sous-groupe parahorique maximal sp�cial $K_0$ de $G$ contenant $K_{Z_G\left(T_0\right)}$ et tel que $C$ est r�union de doubles classes modulo $K_0$;
\item $H$ est compact, et stable par conjugaison par $K_0$.
\end{itemize}
En effet, si $K_0$ est un bon sous-groupe parahorique maximal de $G$, l'ensemble des doubles classes de $G$ modulo $K$ rencontrant $C$ est fini puisque $C$ est compact, donc leur r�union est �galement une partie compacte de $C$;
d'autre part, si $H'$ est un sous-groupe ouvert compact de $G$, il existe un entier $s$ tel que $H'$ contient le $s$-�me sous-groupe de congruence $K_0^s$ de $K_0$, qui est stable par conjugaison par $K_0$.

Si $m$ est un �l�ment de $G$ v�rifiant l'une des deux conditions de l'�nonc�, alors pour tout $m'\in K_0mK_x$, $m'$ v�rifie la m�me condition; c'est clair pour la premi�re, et pour la seconde, en posant $m'=kmk'$, $k\in K_0$, $k'\in K_x$, si ${\mth{P}}^+$ est un sous-groupe parabolique propre de ${\mth{G}}^+$ v�rifiant la condition voulue pour $m$, $\overline{k'}^{-1}{\mth{P}}^+\overline{k'}$ convient pour $m'$; pour montrer la proposition, il suffit donc de consid�rer un ensemble de repr�sentants de $K_0\backslash G/K_x$.

Soit $W$ le groupe de Weyl de $G$ relativement � $T_0$.
On a $W=N_G\left(T_0\right)/Z_G\left(T_0\right)$ et $W'=N_G\left(T_0\right)/K_{Z_G\left(T_0\right)}$, o� $K_{Z_G\left(T_0\right)}$ est l'unique sous-groupe parahorique de $Z_G\left(T_0\right)$; il existe donc une surjection canonique de $W'$ dans $W$, dont le noyau est $Z_G\left(T_0\right)/K_{Z_G\left(T_0\right)}$.
De plus, soit $I$ un sous-groupe d'Iwahori de $G$ contenant $K_{Z_G\left(T_0\right)}$ et contenu dans $K_x$; consid�rons la d�composition de Bruhat:
\[G=\bigsqcup_{w\in W'}IwI.\]
Soit $I'$ un sous-groupe d'Iwhori de $G$ contenant �galement $K_{Z_G\left(T_0\right)}$ et contenu dans $K_0$; il existe $t_0\in T_0$ tel que $I'=t_0It_0^{-1}$, et en multipliant tous les termes de la d�composition ci-dessus par $t_0$ � gauche, on obtient:
\[G=\bigsqcup_{w\in W'}I'wI.\]
D'autre part, puisque $K_0$ est sp�cial, pour tout $w\in W$, il existe un unique $w'\in W'\cap K_0$ dont l'image dans $W$ par la surjection canonique est $w$; on en d�duit que l'on a:
\[G=\bigsqcup_{t\in X}K_0tI=\bigcup_{t\in X}K_0tK_x,\]
o� $X$ est un syst�me de repr�sentants de $Z_G\left(T_0\right)/K_{Z_G\left(T_0\right)}$.
Ce dernier ensemble �tant un groupe ab�lien libre de type fini, on pourra supposer pour all�ger les notations que $X$ est lui-m�me un groupe. De plus, soit $X_0=X\cap T_0K_{Z_G\left(T_0\right)}$; $X_0$ est canoniquement isomorphe � $T_0/K_{T_0}$, donc � $X_*\left(T_0\right)$; de plus, il est d'indice fini dans $X$; $X$ est donc canoniquement isomorphe � un sous-groupe de type fini de $X_*\left(T_0\right)\otimes{\mth{Q}}$.

D'apr�s ce qui pr�c�de, il suffit de montrer que tous les �l�ments de $X$ sauf un nombre fini d'entre eux v�rifient au moins une des deux conditions de la proposition. Pour cela, montrons d'abord le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{mder}
Il existe un compact $T_1\subset Z_G\left(T_0\right)$ tel que pour tout $t\in Z_G\left(T_0\right)-T_1\left(T_0\cap M_{der}\right)$, on a $t^{-1}Ct\cap\gamma K_x=\emptyset$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour montrer ce lemme, on aura besoin du r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{ilexpas}
Soit $t\in X$. Si $\gamma^{-1}t\gamma\not\in w^{-1}twK_{Z_G\left(T_0\right)}$ pour tout $w\in W'\cap K_x$, alors $t^{-1}\gamma K_x t$ et $\gamma K_x$ sont disjoints.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, supposons qu'il existe $g\in\gamma^{-1}t^{-1}\gamma K_x t\cap K_x$; alors si $A_x$ est la facette de $\mathcal{A}$ contenant $x$, $g$ fixe $A_x$ et envoie $t^{-1}A_x$ sur $\gamma^{-1}t^{-1}A_x$. D'apr�s \cite[2.5.8]{bt}, il existe $h\in G^1$ tel que $hg\mathcal{A}=\mathcal{A}$ et que $h$ fixe $\mathcal{A}\cap g\mathcal{A}$, donc en particulier $A_x$ et $\gamma^{-1}t^{-1}A_x$, ou encore $h\in K_x\cap\gamma^{-1}t^{-1}K_xt\gamma$; on en d�duit:
\[hg\in Z_G\left(T_0\right)\cap K_x\cap\gamma^{-1}t^{-1}\gamma K_x t.\]
Il existe donc $w,w'\in W'\cap K_x$ tels que l'on a:
\[w=\gamma^{-1}t^{-1}\gamma w't;\]
de plus, $w$ et $w'$ ont m�me image par la surjection canonique de $W'$ dans $W$, ce qui n'est possible que s'ils sont �gaux. L'assertion du lemme s'en d�duit imm�diatement. 
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{mder}. Consid�rons le sous-groupe $T_2$ de $Z_G\left(T_0\right)$ engendr� par les $t$ tels qu'il existe $w\in W'\cap K_x$ tel que $\gamma^{-1}t\gamma\in w^{-1}twK_{Z_G\left(T_0\right)}$; on va montrer d'une part qu'il existe un compact $T'_1$ de $Z_G\left(T_0\right)$ tel que $T_2\subset T'_1\left(T_0\cap M_{der}\right)$, et d'autre part qu'il existe une partie finie $T''_1$ de $Z_G\left(T_0\right)$ telle que pour tout $t\in Z_G\left(T_0\right)-T''_1T_2$, $t^{-1}Ct\cap\gamma K_x=\emptyset$; $T''_1T'_1$ est alors un compact de $Z_G\left(T_0\right)$ v�rifiant la condition du lemme.

Montrons d'abord la premi�re assertion.
Soit $s$ le rang semi-simple de $G$, $s'$ le nombre de composantes connexes de son diagramme de Dynkin, et soit $\beta_1,\dots,\beta_{s+s'}$ l'ensemble des racines de $G$ relativement � $T_0$ correspondant aux murs de $A$; on supposera les indices choisis de telle sorte que:
\begin{itemize}
\item $\left\{\beta_1,\dots,\beta_s\right\}$ est un ensemble de racines simples de $G$ relativement � $T_0$;
\item si $r$ est le rang semi-simple de $M$, $\left\{\beta_1,\dots,\beta_r\right\}$ est un ensemble de racines simples de $M$.
\end{itemize}
Alors $w_\gamma$ permute les $\beta_j$, $1\leq j\leq s+s'$; on notera pour tout $j$, $\beta_{\gamma\left(j\right)}=w_\gamma\beta_j$.

Soit $\langle \cdot,\cdot\rangle $ le produit de dualit� canonique entre $X^*\left(T_0\right)$ et $X_*\left(T_0\right)$, c'est-�-dire le produit tel que pour tous $\chi\in X^*\left(T_0\right)$ et $\xi\in X_*\left(T_0\right)$, on a:
\[\chi\left(\xi\left(\varpi\right)\right)=\varpi^{\langle \chi,\xi\rangle }.\]
Ce produit s'�tend de fa�on canonique en un produit de dualit� entre $X^*\left(T_0\right)\otimes{\mth{Q}}$ et $X_*\left(T_0\right)\otimes{\mth{Q}}$ � valeurs dans ${\mth{Q}}$, qui se rel�ve en un produit de dualit� entre $X^*\left(T_0\right)\otimes{\mth{Q}}$ et $Z_G\left(T_0\right)$.

On va d'abord montrer que si $t\in T_2$, les valeurs de $\langle \beta_{r+1},t\rangle ,\dots,\langle \beta_{s+s'},t\rangle $ sont d�termin�es par celles de $\langle \beta_1,t\rangle ,\dots,\langle \beta_r,t\rangle $. L'application qui � $t\in Z_G\left(T_0\right)$ associe $\left(\langle \beta_1,t\rangle ,\dots,\langle \beta_{s+s'},t\rangle \right)$ �tant un morphisme de groupes de $Z_G\left(T_0\right)$ dans ${\mth{Q}}^{s+s'}$, il suffit de le montrer pour une partie g�n�ratrice de $T_2$; on peut donc supposer qu'il existe $w\in W'\cap K_x$ tel que $\gamma^{-1}t\gamma\in w^{-1}twK_{Z_G\left(T_0\right)}$.

Supposons d'abord $w=1$.
Puisque par hypoth�se, $\gamma^{-1}t\gamma\in tK_{Z_G\left(T_0\right)}$, on a pour tout $i$:
\[\langle \beta_{\gamma\left(j\right)},t\rangle =\langle \beta_j,t\rangle .\]
De plus, si $J_1,\dots,J_{s'}$ sont les parties de $\left\{1,\dots,s+s'\right\}$ correspondant aux composantes connexes du diagramme de Dynkin, on a pour tout $i$ une relation de la forme:
\[\sum_{j\in J_i}c_i\langle \beta_j,t\rangle =0,\]
les $c_i$ �tant des entiers strictement positifs. Enfin, soit, pour tout $i$, $\Delta_i$ l'ensemble des $\beta_j$, $j\in J_i$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{uneorb}
Pour tout $i$, les �l�ments de $\Delta_i$ qui ne sont pas racines de $M$, s'il en existe, sont tous situ�s dans une m�me orbite $O_i$ pour l'action de $w_\gamma$ sur $\Phi$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Il est clair que l'on peut supposer $s'=1$.
De plus, puisque $G=M_\gamma$, en d�finissant $V$, $V^\gamma$ et $V_M$ comme dans le paragraphe pr�c�dent, on a $V^\gamma\cap V^M=0$.

Consid�rons l'ensemble $\Delta_1=\left\{\beta_1,\dots,\beta_{s+1}\right\}$. On sait que $w_\gamma$ agit sur $\Delta_1$; puisque $\gamma$ normalise $M$, $w_\gamma$ aussi, donc il permute les $\beta_1,\dots,\beta_r$. Supposons l'assertion du lemme fausse; il existe alors au moins une orbite $O$ de $\Phi$ pour l'action de $w_\gamma$ incluse dans $\left\{\beta_{r+1},\dots,\beta_s\right\}$. Si de plus cette orbite est $\left\{\beta_{r+1},\dots,\beta_s\right\}$ tout entier, l'ensemble $\left\{\beta_1,\dots,\beta_s\right\}$ est stable par $w_\gamma$, ce qui n'est possible que si $w_\gamma=1$, c'est-�-dire si $\gamma\in T_0\subset M$; mais alors $G=M$ et l'assertion du lemme est trivialement vraie, d'o� contradiction. On en d�duit que le cardinal de $O$ est strictement inf�rieur � $s-r$.

D'autre part, soit ${\mathfrak{a}}=Hom\left(X^*\left(T_0\right),{\mth{R}}\right)$ l'alg�bre de Lie r�elle de $T_0$; ${\mathfrak{a}}$ est canoniquement isomorphe � $X_*\left(T_0\right)\otimes{\mth{R}}$, donc � $V$ puisqu'on a suppos� le centre de $G$ compact, par l'application $\phi$ d�finie, pour tous $\lambda_i\in{\mth{R}}$ et tous $\chi_i\in X_*\left(T_0\right)$, par:
\[\phi\left(\sum_i\lambda_i\xi_i\right)\left(\chi\right)=\sum_{i\in I}\lambda_i\langle \chi,\xi_i\rangle .\]
Soit ${\mathfrak{a}}^M$ le sous-espace de ${\mathfrak{a}}$ engendr� par les coracines de $M$ relativement � $T_0$;
puisque $\gamma$ normalise $M$, son image $w_\gamma$ par l'application canonique de $W'$ dans $W$ laisse stable ${\mathfrak{a}}^M$, donc �galement son orthogonal ${\mathfrak{a}}_M$ par un produit scalaire $W$-invariant sur ${\mathfrak{a}}$; si $p_M$ est la projection orthogonale de ${\mathfrak{a}}$ sur ${\mathfrak{a}}_M$, $p_M$ commute avec l'action de $w_\gamma$. Soit, maintenant, pour tout $\beta_j\in O$, $e_j$ le vecteur unit� de $V$ normal au mur de $A$ correspondant � $\beta_j$ et dirig� vers $A$; consid�rons le vecteur:
\[e_O=\sum_{j,\beta_j\in O}e_j.\]
Puisque $w_\gamma$ permute les $\beta_j\in O$, il permute �galement les $e_j$, donc fixe $e_O$. D'autre part, on a, pour tout $\xi\in V$, en normalisant convenablement le produit scalaire $W$-invariant sur ${\mathfrak{a}}$:
\[\left(e_j,\xi\right)=\langle \beta_j,\xi\rangle \]
pour tout $j$, d'o�:
\[\left(e_O,\xi\right)=\sum_{\beta_j\in O}\langle \beta_j,\xi\rangle .\]
Puisque $p_M\left(e_O\right)-e_O$ est combinaison lin�aire des coracines de $M$, on a une �galit� de la forme:
\[\left(p_M\left(e_O\right),\xi\right)=\sum_{\beta_j\in O}\langle \beta_j,\xi\rangle -\sum_{j=1}^r\lambda_j\langle \beta_j,\xi\rangle \]
pour tout $\xi\in V$, donc $p_M\left(e_O\right)\neq 0$. Puisque $p_M\left(e_O\right)$ est fix� par $w_\gamma$, le sous-espace des �l�ments de ${\mathfrak{a}}_M$ fix�s par $w_\gamma$ n'est pas r�duit � $0$; or on a ${\mathfrak{a}}_M=V_M$, d'o� contradiction et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

On d�duit de ce lemme et de ce qui pr�c�de que pour tout $i$ et tout $j\in I_i$ tel que $j>r$, on a:
\[\left(\sum_{k\in I_i;k>r}c_k\right)\langle \beta_j,t\rangle =-\sum_{k\in I_i;k\leq r}c_k\langle \beta_k,t\rangle ;\]
comme la somme des $c_k$ du membre de gauche est non nulle, $\langle \beta_j,t\rangle $ ne d�pend que des $\langle \beta_k,t\rangle $, avec $k\in I_i$ et $k\leq r$.

Supposons maintenant $w$ quelconque; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{wprim}
Soit $t\in X$ tel que $\gamma^{-1}t\gamma\in w^{-1}twK_{Z_G\left(T_0\right)}$; il existe $w'\in W'\cap K_x$ tel que $\gamma^{-1}w'{}^{-1}tw'\gamma\in w'{}^{-1}tw'K_{Z_G\left(T_0\right)}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Supposons d'abord $s'=1$. Si $K_x$ est un sous-groupe d'Iwahori de $G$, alors $w=1$, et $w'=1$ convient. Supposons donc que $K_x$ n'est pas un Iwahori: $A_x$ n'est alors pas de dimension maximale, et est contenue dans exactement $r$ murs de $\mathcal{A}$. Soit donc $H_1,\dots,H_r$ les murs de $\mathcal{A}$ la contenant, et ${\mathfrak{D}}_1,\dots,{\mathfrak{D}}_k$ les adh�rences des composantes connexes du compl�mentaire dans $\mathcal{A}$ de la r�union des $H_i$: $\gamma$ permute les ${\mathfrak{D}}_j$, et si ${\mathfrak{D}}_1$ est la composante contenant les $t'A_x$, avec $t'$ tel que $\langle \beta_k,t'\rangle >0$ pour tout $k\leq r$, $\gamma$ laisse ${\mathfrak{D}}_1$ globalement stable. Or on a, pour tout $w''\in W'\cap K_x$:
\[\gamma^{-1}w''{}^{-1}tw''\gamma\in\left(w\gamma^{-1}w''\gamma\right)^{-1}t\left(w\gamma^{-1}w''\gamma\right)K_{Z_G\left(T_0\right)},\]
donc $\gamma$ permute les $w''{}^{-1}tw''K_{Z_G\left(T_0\right)}$, $w''\in W'\cap K_x$; on en d�duit que $\gamma$ permute les facettes de la forme $w''{}^{-1}tw''A_x$. De plus, chaque ${\mathfrak{D}}_i$ contient exactement une des facettes $w''{}^{-1}tw''A_x$; donc si $w'$ est un �l�ment de $W'\cap K_x$ tel que $w'{}^{-1}tw'A_x\in{\mathfrak{D}}_1$, on a $\gamma^{-1}w'{}^{-1}tw'\gamma A_x=w'{}^{-1}tw'A_x$, d'o� l'on d�duit que $\gamma^{-1}w'{}^{-1}tw'\gamma\in w'{}^{-1}tw'K_{Z_G\left(T_0\right)}$ (comme on a suppos� la composante d�ploy�e du centre de $G$ triviale, le stabilisateur de $w'{}^{-1}tw'A_x$ ne contient aucun �l�ment de $X$ autre que $1$).

Supposons maintenant $s'$ quelconque. D�finissons, pour tout $i\in\left\{1,\dots,s'\right\}$, des groupes $T_i$, $H_i$ et $K_{x,i}$ de la m�me fa�on que dans la d�monstration du lemme \ref{gcj}; on a une injection canonique de $G$ dans $H_1\times\dots\times H_{s'}$, et chacun des $H_i$ poss�de un diagramme de Dynkin connexe. De plus, si pour tout $i$, $W'_i$ est le groupe de Weyl affine de $H_i$ relativement � $T_0/\left(T_i\cap T_0\right)$, $W'\cap K_x$ est canoniquement isomorphe au produit direct des $W'_i\cap K_{x,i}$. Ecrivons donc $\gamma=\gamma_1\dots\gamma_{s'}$ et $w=w_1\dots w_{s'}$, o� pour tout $i$, $\gamma_i$ et $w_i$ sont des �l�ments de $W'_i$. Pour tout $i$, $w_i\in W'_i\cap K_{x,i}$ et $\gamma_i$ normalise $K_{x,i}$, qui est un sous-groupe parahorique de $H_i$; on peut donc appliquer l'assertion du lemme � l'image de $t$ dans $H_i$, $\gamma_i$ et $w_i$ et obtenir $w'_i\in W'_i\cap K_{x,i}$ v�rifiant la condition voulue; l'�l�ment $w'=w'_1\dots w'_{s'}$ de $W'\cap K_x$ convient alors pour $t,\gamma,w$.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, on peut appliquer le cas $w=1$ � $w'{}^{-1}tw'$; on en d�duit que les valeurs de $\langle \beta_{r+1},w'{}^{-1}tw'\rangle ,\dots,\langle \beta_{s+s'},w'{}^{-1}tw'\rangle $, et donc toutes les valeurs de $\langle \alpha,w'{}^{-1}tw'\rangle $, $\alpha\in\Phi$, sont d�termin�es par celles des $\langle \beta_i,w'{}^{-1}tw'\rangle$, $i\leq r$. Or on a pour tout $i$:
\[\langle \beta_i,w'{}^{-1}tw'\rangle =\langle w'\left(\beta_i\right),t\rangle ;\]
on en d�duit que les valeurs des $\langle \alpha,t\rangle $ sont d�termin�es par celles des $\langle w'\left(\beta_1\right),t\rangle$, $i\leq r$. Or $w'$ appartient � $W'\cap K_x$, donc son image dans $W$ est un �l�ment du groupe de Weyl de $M$ relativement � $T_0$; les racines $w'\left(\beta_1\right),\dots,w'\left(\beta_r\right)$ constituent donc un ensemble de racines simples de $M$ et l'assertion cherch�e s'en d�duit.

Soit $X_2=X\cap T_2$. D'apr�s ce qui pr�c�de, si $R$ est un syst�me de repr�sentants des orbites de $\gamma$ dans $\left\{\beta_1,\dots,\beta_r\right\}$, l'application:
\[t\in X_2\longmapsto\left(\langle \beta_j,t\rangle \right)_{\beta_j\in R}\]
est un isomorphisme entre $X_2$ et un r�seau de ${\mth{Q}}^{\card\left(R\right)}$; $X_2$ est donc un groupe ab�lien libre de rang $\card\left(R\right)$.

Consid�rons maintenant le groupe $T_0\cap M_{der}$. Le groupe $T_0\cap M_{der}/K_{T_0\cap M_{der}}$ est en bijection canonique avec le sous-groupe de $X_*\left(T_0\right)$ engendr� par les coracines de $M_{der}$ relativement � $T_0$; si $X_d$ est un sous-groupe de $T_0\cap M_{der}$ form� d'un syst�me de repr�sentants des classes modulo $K_{T_0\cap M_{der}}$, d'une part $X_d$ est en bijection canonique avec un sous-groupe de $X_*\left(T_0\right)$, et d'autre part un �l�ment $t'$ de $X_d$ est enti�rement d�termin� par la valeur des $\langle \beta_k,t'\rangle $, $k\leq r$. Si maintenant $X_{d,2}=X_d\cap T_2$, d'une part on a une injection canonique de $X_{d,2}$ dans $X_2$, et d'autre part, par le m�me argument que pour $X_2$, $X_{d,2}$ est un groupe ab�lien libre de rang $\card\left(R\right)$; il est donc isomorphe � un sous-groupe d'indice fini de $X_2$. Soit $X_1$ un syst�me de repr�sentants de $X_2$ modulo ce sous-groupe; posons:
\[T'_1=X_1K_{Z_G\left(T_0\right)};\]
d'apr�s ce qui pr�c�de, $T'_1\left(T_0\cap M_{der}\right)$ contient $T_2$.

Montrons maintenant l'existence de $T''_1$; pour cela, on va utiliser le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{cjp}
La r�union $C_{x,\gamma,0}$ des conjugu�s de $\gamma K_x$ par un �l�ment de $Z_G\left(T_0\right)$ est un ouvert ferm� de $G$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Puisque $C_{x,\gamma,0}$ est r�union de parties ouvertes de $G$, c'est un ouvert de $G$. Il reste � montrer que c'est aussi un ferm� de $G$.

Soit $\left(g_n\right)_{n\geq 1}$ une suite d'�l�ments de $C_{x,\gamma,0}$ convergeant vers un �l�ment $g$ de $G$; on va montrer que $g\in C_{x,\gamma,0}$. Puisque d'apr�s le lemme \ref{parferm}, l'ensemble des �l�ments compacts de $\gamma G^1$ est ferm�, $g$ est compact; soit donc $K'$ un sous-groupe parahorique de $G$ et $\gamma'\in N_G\left(K'\right)$ tels que $g\in\gamma'K'$, et $A'$ la facette de $\mathcal{B}$ stabilis�e par $K'$. Puisque $\gamma'K'$ est ouvert, tous les $g_n$, pour $n$ assez grand, sont dans $\gamma'K'$, et stabilisent alors � la fois $A'$ et une facette de la forme $t_nA_x$, $t_n\in X$. On va montrer qu'il existe une partie finie $X'$ de $X$ telle que pour tout $n$, $g_n$ stabilise une facette de la forme $t'A_x$, $t'\in X'$;
il existe alors au moins un $t'\in X'$ tel que $t'\gamma K_\gamma t'{}^{-1}$ contient une infinit� de $g_n$, et on en d�duit que ce groupe contient �galement $g$.

Soit $\Omega$, $\Omega'$ deux parties de $\mathcal{B}$; on d�finit la {\em distance combinatoire} $d_c\left(\Omega,\Omega'\right)$ de $\Omega$ � $\Omega'$ comme la longueur de la plus petite galerie reliant $\Omega$ � $\Omega'$, c'est-�-dire le plus petit entier $l$ tel qu'il existe des chambres $C_0,\dots,C_l$ de $\mathcal{B}$ telles que:
\begin{itemize}
\item l'adh�rence de $C_0$ rencontre $\Omega$;
\item l'adh�rence de $C_l$ rencontre $\Omega'$;
\item pour tout $i$, $C_i$ et $C_{i+1}$ sont adjacentes.
\end{itemize}
Si $x,y$ sont deux points de $\mathcal{B}$, on d�finit de mani�re analogue $d_c\left(x,y\right)$ et $d_c\left(x,\Omega\right)$.

Soit $d_k$ la distance combinatoire maximale entre deux chambres poss�dant un sommet commun; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{intr}
Pour toutes facettes $B,B',B''$ de $\mathcal{B}$, on a:
\[d_c\left(B,B''\right)\leq d_c\left(B,B'\right)+d_c\left(B',B''\right)+d_k.\]
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $\left(C_0,\dots,C_l\right)$ et $\left(C''_0,\dots,C''_{l''}\right)$ deux galeries tendues respectivement entre $B$ et $B'$ et entre $B'$ et $B''$; les chambres $C_l$ et $C''_0$ ont alors une face commune $B'$, donc au moins un sommet commun, et il existe alors une galerie tendue de la forme $\left(C_l=C'_0,C'_1,\dots,C'_{l'}=C''_0\right)$, avec $l'\leq d_k$; on en d�duit l'asserton du lemme.
\end{proof}

Soit $Q$ un quartier ferm� de $\mathcal{A}$ de sommet $x$ et rencontrant $A'$, et $\Omega$ l'ensemble des points de $Q$ n'appartenant � aucun $tQ$, avec $t\in X-\left\{0\right\}$ tel que $tx\in Q$; $Q$ rencontre un nombre fini de facettes, et l'entier $d_m=\sup_{B,B'}d_c\left(B,B'\right)$, o� $B,B'$ d�crivent l'ensemble des facettes rencontrant $\Omega$, est bien d�fini; de plus, l'ensemble des $tQ$, $t\in X$, constitue une partition de $\mathcal{A}$.

Posons �galement $d_0=d_c\left(A',\mathcal{A}\right)$; puisque pour tout entier $a$, l'ensemble des facettes de $\mathcal{A}$ situ�es � une distance combinatoire d'au plus $a$ de $A'$ est fini, l'assertion cherch�e se d�duit imm�diatement du lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout $t\in X$, il existe $t'\in X$ tel que $d_c\left(A',t'A_x\right)\leq d_0+d_m+2d_k$ et que $\gamma'K'\cap t\gamma K_xt^{-1}\subset t'\gamma K_xt'{}^{-1}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $\gamma'K'$ et $t\gamma K_xt^{-1}$ sont disjoints, l'assertion du lemme est triviale; supposons donc $\gamma'K'\cap t\gamma K_xt^{-1}$ non vide.
Soit $E$ l'enclos de $A'\cup tA_x$ dans $\mathcal{B}$. Supposons d'abord $\gamma=1$; on va montrer par r�currence sur $d_0$ qu'il existe $t'\in X$ tel que $t'A_x\subset E$ et que $d_c\left(A',t'A_x\right)\leq d_0+d_m$. Si $d_0=0$, $A'\subset\mathcal{A}$ et il existe un unique $t'\in X$ tel que $A'$ rencontre $t'Q$; $t'$ convient alors par d�finition de $d_m$.

Supposons maintenant $d_0\geq 1$; soit $A_0$ une chambre de $\mathcal{B}$ dont l'adh�rence contient $A'$ et telle que $d_c\left(A_0,\mathcal{A}\right)=d_0$, $A_1$ une chambre adjacente � $A$ et telle que $d_c\left(A_1,\mathcal{A}\right)=d_0-1$, $\mathcal{A}'$ un appartement contenant � la fois $A_1$ et $A'$ et $H$ le mur de $\mathcal{A}'$ contenant la cloison s�parant $A_0$ et $A_1$.
Par hypoth�se de r�currence appliqu�e � $A_1$, il existe $t'\in X$, une galerie tendue de la forme $\left(A_1,A_2,\dots,A_l\right)$ et un entier $l'$ tels que $l'\leq d_0+d_m$, $tA_x\subset\overline{A_l}$ et $t'A_x\subset\overline{A_{l'}}$. De plus, pour tout $i\geq 1$, $A_i\subset\mathcal{A}$ et est situ�e du m�me c�t� de $H$ que $A_1$ et $A_x$; on d�duit alors de \cite[I, corollaire 2.8.4]{bt} qu'il existe un appartement $\mathcal{A}''$ de $\mathcal{B}$ contenant $A_0$ et le demi-plan de $\mathcal{A}'$ d�limit� par $H$ contenant les $A_i$, $i>0$; puisque $H$ s�pare $A_0$ et $A_1$, $\left(A_0,\dots,A_l\right)$ est une galerie tendue. Donc si $E$ contient au moins une chambre, il contient tous les $\overline{A_i}$, et en particulier $t'A_x$.

Il reste donc � traiter le cas o� $E$ ne contient aucune chambre de $\mathcal{B}$. Soit $H'$ le sous-espace de $\mathcal{A}''$ engendr� par $A'$ et $tA_x$. Puisque $d_0\geq 1$, $H'$ ne peut pas �tre r�duit � un point, et on peut supposer que $\overline{A_1}$ rencontre $H'$: en effet, tous les murs de $\mathcal{A}''$ qui s�parent $A'$ et $tA_x$ coupent un segment reliant $tx$ et un point de $A'$, donc coupent $E$, donc contiennent une facette de $E$; on peut alors choisir $A_1,\dots,A_l$ de fa�on � ce que $\overline{A_1}$ contienne une facette de $E$. On peut alors d�duire l'assertion du lemme de l'hypoth�se de r�currence appliqu�e � une telle facette.

Supposons maintenant $\gamma$ quelconque. Soit $\mathcal{A}'$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $E$, et $T'_0$ le tore maximal de $G$ associ�; on peut supposer que $\gamma'\in N_G\left(T'_0\right)$; d'autre part, puisque $\gamma'K'\cap t\gamma K_xt^{-1}$ n'est pas vide, d'apr�s les lemmes \ref{ilexpas} et \ref{wprim} et quitte � remplacer $\gamma'$ par $\gamma'w'$, o� $w'$ est un �l�ment de $N_G\left(T'_0\right)\cap K'$, on peut supposer que $\gamma'$ stabilise $tA_x$. L'ensemble $E$ est alors �galement stable par $\gamma'$, et l'assertion du lemme est vraie s'il existe $t'\in X$ tel que $t'A_x$ est contenue dans $E$ et stable par $\gamma'$ et que $d_c\left(A',t'A_x\right)\leq d_0+d_m+2d_k$. Soit $V$ l'espace vectoriel associ� � $\mathcal{A}$, et $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{A}'$ stables par $\gamma'$; il existe $v\in V$ tel que $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+v$ soit r�union des facettes qu'il contient; il est clair que c'est alors �galement le cas de $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+wv$ pour tout $w\in W'\left(G/T'_0\right)$ commutant avec $\gamma$.
Soit $A_0$ (resp. $A_l$; on supposera $v$ tel que $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+v$ contient un sommet $y'$ de $A_l$. Soit $y=t^{-1}y'$, et soit $A''$ une facette contenue dans $\overline{A_0}\cap\left(\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+v\right)$ (il en existe: en effet, on a $A_0=wA_l$, avec $w\in W'\left(G/T'_0\right)$ commutant avec $\gamma'$, et $\overline{A_0}\cap\left(\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+v\right)=w\left(\overline{A_l}\cap\left(\mathcal{A}'{}^{\gamma'}+w^{-1}v\right)\right)$ est donc non vide); d'apr�s le cas $\gamma=1$, il existe $t'\in X$ tel que $d_c\left(A'',t'y\right)\leq d_0+d_m$ et que $t'y$ appartient � l'enclos de $A''\cup ty$. Or cet enclos est inclus dans $\left(\mathcal{A}'{}^{\gamma'}\cap E\right)+v$; on en d�duit que $t't^{-1}$ stabilise $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}$, donc que $t'A_x$ rencontre $\mathcal{A}'{}^{\gamma'}$; puisque $\gamma t'A_x$ est de m�me type que $t'A_x$, on en d�duit qu'elles sont �gales. D'autre part, $t'y-v\in E\cap t'A_x$, donc $t'A_x\subset E$. Enfin, on a, gr�ce au lemme \ref{intr}:
\begin{multline*}d_c\left(A',t'A_x\right)\leq d_c\left(A',A''\right)+d_c\left(A'',t'y\right)+d_c\left(t'y,t'A_x\right)+2d_k\\\leq 0+\left(d_0+d_m\right)+0+2d_k,\end{multline*}
ce qui ach�ve la d�monstration.
\end{proof}
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, l'ensemble:
\[C_0=C\cap C_{x,\gamma,0}=C\cap\bigcup_{t\in Z_G\left(T_0\right)}t^{-1}\gamma K_x t\]
est un ferm� de $C$. Il est donc compact; puisque les $t^{-1}\gamma K_x t$ sont des ouverts, il existe alors une partie finie $T''_1$ de $Z_G\left(T_0\right)$ telle que l'on a:
\[C_0\subset\bigcup_{t\in T''_1}t\gamma K_x t^{-1}.\]
Pour tout $t'\in Z_G\left(T_0\right)$ tel que $t'{}^{-1}Ct'\cap\gamma K_x\neq\emptyset$, il existe donc $t\in T''_1$ tel que $t'\gamma K_x t'{}^{-1}$ rencontre $t\gamma K_x t^{-1}$; d'apr�s le lemme \ref{ilexpas}, on a alors $t'\in tT_2$, ce qui ach�ve la d�monstration du lemme \ref{mder}.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, il suffit de consid�rer les �l�ments de $T_1\left(T_0\cap M_{der}\right)$. Cet ensemble est r�union finie de classes � gauche modulo $K_{Z_G\left(T_0\right)}X_d$; quitte � remplacer, pour $t$ d�crivant un syst�me de repr�sentants de ces classes, $C$ par $tCt^{-1}$ (et $K_0$ par $tK_0t^{-1}$), il suffit de montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini d'�l�ments de $X_d$ ne v�rifiant aucune des deux conditions de l'�nonc� de la proposition. De plus, soit $X^\gamma$ le sous-groupe des �l�ments $t$ de $X_d$ tels que $\gamma^{-1}t\gamma\in t\left(K_{T_0}\cap M_{der}\right)$; d'apr�s les lemmes \ref{ilexpas} et \ref{wprim}, les seuls �l�ments de $X_d$ susceptibles de ne pas les v�rifier sont ceux appartenant � $w'{}^{-1}X^\gamma w'$ pour au moins un $w'\in W'\cap K_x$; puisque ce groupe est fini, quitte � conjuguer, pour tout $w'$, $C$ et $K_0$ par $w'$, il suffit de consid�rer le cas o� $w'=1$.

Montrons d'abord que l'on peut se limiter � l'�tude d'une chambre positive de $T_0\cap M_{der}$. Soit $\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\right\}$ l'ensemble de racines simples de ${\mth{G}}$ relativement � ${\mth{T}}_0=K_{T_0}/K_{T_0}^1$ correspondant au sosu-groupe parabolique minimal ${\mth{P}}_0$ image de $I$; pour tout $i\leq r$, soit $s_i$ la r�flexion de $W$ correspondant � $\alpha_i$, et soit $s'_i$ (resp. $s'_{i,0}$) l'unique �l�ment de $W'$ poss�dant des repr�sentants dans $K_x$ (resp. $K_0$) et dont l'image dans $W$ est $s_i$. Les $s'_i$ engendrent le sous-groupe $W'\cap K_x$ de $W'$; les $s'_{i,0}$ engendrent un sous-groupe $W'_0$ de $W'\cap K_0$ (qui est $W'\cap K_0$ tout entier si et seulement si $K_x$ est un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $G$). Les groupes $W'\cap K_x$ et $W'_0$ sont tous deux canoniquement isomorphes (par la surjection canonique de $W'$ dans $W$) au sous-groupe $W_x$ de $W$ engendr� par les $s_i$. Pour tout $w\in W_x$, il existe donc $t_w\in X$ tel que pour tout $j\in\left\{1,\dots,r\right\}$, si $w'$ (resp. $w'_0$) est l'unique �l�ment de $W'\cap K_x$ (resp. $W'\cap K_0$) d'image $w$ dans $W$, on a:
\[\langle \beta_j,w'_0{}^{-1}tw'\rangle =\langle \beta_j,w^{-1}tw\rangle +\langle \beta_j,t_w\rangle .\]
D'autre part, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout $j\in\left\{1,\dots,r\right\}$, il existe un �l�ment $w_j$ de $W_x$ tel que $\langle \beta_j,w_j^{-1}tw_j\rangle$ est positif ou nul.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, consid�rons l'�l�ment $t_x=\prod_{w\in W_x}w^{-1}tw$ de $T_0$. Il est invariant par conjugaison par $W_x$, donc en particulier, pour tout $k$, par $s_k$, d'o�:
\[\langle \alpha_k,t_x\rangle =\langle s_{\alpha_k}\alpha_k,s_k,t_x\rangle =\langle -\alpha_k,t_x\rangle,\]
d'o� $\langle \alpha_k,t_x\rangle =0$. Or $\beta_j$ est combinaison lin�aire des $\alpha_k$, donc on a:
\[0=\langle \beta_j,t_x\rangle =\sum_{w\in W_x}\langle \beta_j,w^{-1}tw\rangle ;\]
on en d�duit qu'au moins un terme de la somme est positif ou nul, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

On en d�duit:
\[\langle \beta_j,w'_0{}^{-1}tw'\rangle \geq\langle \beta_j,t_{w_j}\rangle \geq\inf_{w\in W_x}\langle \beta_j,t_w\rangle .\]
Or les $w'_0{}^{-1}tw'$, $w'\in W_{\mu'}$, repr�sentent tous la m�me double classe de $G$ modulo $K_0$ � gauche et $K_x$ � droite; on en d�duit, en posant pour tout $j$:
\[c_j=\inf_{w\in W_x}\langle \beta_j,t_w\rangle ,\]
que ces doubles classes sont index�es par une partie de l'ensemble suivant:
\[E=\left(c_1+{\mth{N}}\right)\times\dots\times\left(c_r+{\mth{N}}\right);\]
il suffit donc de consid�rer l'ensemble $X^{\gamma,+}$ des $t\in X^\gamma$ tels que l'on a:
\[\left(\langle \beta_1,t\rangle ,\dots,\langle \beta_r,t\rangle \right)\in E.\]

Soit $O_1,\dots,O_k$ les orbites de $\left\{\beta_1,\dots,\beta_r\right\}$ pour l'action de $\gamma$. Pour tout $i\in\left\{1,\dots,k\right\}$, posons:
\[a_i=\sup_{j\mid \beta_j\in O_i}\sup_{t''\in T''_1}\langle \beta_j,t''\rangle .\]
Pour tout $i$, tout $t''\in T_1$ et tout $t'\in X^{\gamma,+}$ tel que si $\beta_j\in O_i$, $\langle \beta_j,t'\rangle >a_i$, l'image de $t'{}^{-1}t''\gamma K_x t''{}^{-1}t'\cap\gamma K_x$ dans ${\mth{G}}^+$ est contenue dans le sous-groupe parabolique propre ${\mth{P}}_i^+={\mth{M}}_i^+{\mth{U}}_i$ de ${\mth{G}}^+$ standard relativement � ${\mth{P}}_0$ et ${\mth{T}}_0$ et tel que ${\mth{M}}_i^+$ admet pour syst�me de racines l'ensemble des racines de ${\mth{G}}^+$ qui sont combinaisons lin�aires d'�l�ments de $O_{i'}$, $i'\neq i$; comme d'apr�s la d�monstration du lemme \ref{mder}, $t'{}^{-1}Ct'\cap\gamma K_x$ est r�union des $t'{}^{-1}t''\gamma K_x t''{}^{-1}t'\cap\gamma K_\gamma$, $t''\in T''_1$, son image est alors contenue dans ${\mth{P}}_i^+$. De plus, soit $\alpha$ une racine de ${\mth{G}}^+$ qui n'est pas racine de ${\mth{M}}_i^+$, et soit $U_{\alpha,H}=U_\alpha\cap H$; $U_{\alpha,H}$ est un sous-groupe ouvert de $U_\alpha$, et il existe donc $b_{i,\alpha}\in{\mth{Q}}$ poss�dant la propri�t� suivante: si $t\in X^\gamma$ est tel que $\langle \beta_j,t\rangle \geq b_{i,\alpha}$ pour au moins un $j\in O_i$, $t^{-1}U_{\alpha,H}t$ contient $U_\alpha\cap K_x$. Posons donc:
\[b_i=\sup\left(a_i,\sup_{\alpha}b_{i,\alpha}\right),\]
la somme portant sur les $\alpha$ qui sont racines de ${\mth{G}}^+$ et pas de ${\mth{M}}_i^+$. Si $\langle \beta_j,t'\rangle \geq b_i$, d'une part l'image de $t'{}^{-1}Ct'\cap\gamma K_\gamma$ dans ${\mth{G}}^+$ est contenue dans ${\mth{P}}_i^+$, et d'autre part $t^{-1}Ht$ contient $U_\alpha\cap K_x$ pour tout $\alpha$, donc son image dans ${\mth{G}}$ contient ${\mth{U}}_i$; $t'$ v�rifie donc la deuxi�me condition de la proposition.

On en d�duit que pour que $t'\in X^{\gamma,+}$ ne v�rifie aucune des deux conditions de la proposition, il est n�cessaire que pour tout $i$ et tout $\beta_j\in O_i$, $\langle \beta_j,t'\rangle \leq b_{i,\alpha}$. Or les �l�ments de $X^{\gamma,+}$ v�rifiant ces in�galit�s sont en nombre fini, ce qui ach�ve la d�monstration de la proposition. $\Box$

\subsection{Distributions $\tilde{D}$}

Fixons � nouveau un sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$.
Pour tout sous-groupe parahorique $K$ de $G$ contenant $I$, soit $\mathcal{C}_K$ l'espace des fonctions sur $G$ � support compact et biinvariantes par $K^1$, et $\mathcal{C}_{K,0}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{C}_K$ � support dans $N_G\left(K\right)$; si ${\mth{G}}^+=N_G\left(K\right)/K^1$, $\mathcal{C}_{K,0}$ s'identifie canoniquement � l'espace des fonctions sur ${\mth{G}}^+$. Si $x$ est un point de $\mathcal{B}$ dont le fixateur connexe est $K$, on notera �galement $\mathcal{C}_x=\mathcal{C}_K$, $\mathcal{C}_{x,0}=\mathcal{C}_{K_0}$.

Posons �galement:
\[\mathcal{C}=\sum_{K\supset I}\mathcal{C}_K;\]
\[\mathcal{C}_0=\sum_{K\supset I}\mathcal{C}_{K,0}.\]

Soit $\mathcal{D}_c$ l'espace des distributions sur $G$ invariantes par conjugaison et � support dans l'ensemble $G_c$ des �l�ments compacts de $G$. Pour tout $\nu=\left(\gamma,\mu\right)\in\mathcal{N}$, tout couple $\left(\gamma,K\right)$ d'image $\left(\gamma,\mu\right)$ par $\zeta$ et toute fonction $\gamma$-cuspidale $\phi$ sur ${\mth{G}}=K/K^1$, $D_\phi^G$ est un �l�ment de $\mathcal{D}_c$. Soit donc $\tilde{\mathcal{D}_c}=\tilde{\mathcal{D}_c}\left(G\right)$ le sous-espace de $\mathcal{D}_c$ engendr� par les $D_\phi^G$;
le but de cette section est d'associer de mani�re canonique � tout $D\in\mathcal{D}_c$ un �l�ment $\tilde{D}$ de $\tilde{\mathcal{D}_c}$, qui co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{C}_0$.

Soit $D\in\mathcal{D}_c$, $\nu\in\mathcal{N}$, $\left(\gamma,x\right)\in\mathcal{G}$ tels que $\zeta\left(\gamma,x\right)=\nu$ et que $K_x$ contient $I$; on identifie $\gamma$ � un �l�ment du normalisateur de $I$. Soit $C_{cusp}\left(\gamma K_x\right)$ l'espace des fonctions de $G$ dans ${\mth{C}}$ � support dans $\gamma K_x$, invariantes par $K_x^1$, invariantes par conjugaison par $K_x$ et $\gamma$-cuspidales, c'est-�-dire qui sont le rel�vement � $G$ tout entier d'une fonction cuspidale sur ${\mth{G}}_x^+=\gamma^{\mth{Z}}K_x/K_x^1$; $C_{cusp}\left(\gamma K_x\right)$ est canoniquement isomorphe � l'espace $C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$ des fonctions invariantes par $\gamma$-conjugaison et $\gamma$-cuspidales sur ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$, et la restriction de $D$ � $C_{cusp}\left(\gamma K_x\right)$ s'identifie � une distribution sur $C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$ invariante par $\gamma$-conjugaison; il existe donc une unique fonction $\phi_{\gamma,x}\left(D\right)\in C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$ telle que l'on a, pour tout $f\in C_{cusp}\left(\gamma K_x\right)$:
\[D\left(f\right)=v'_\nu\langle \phi_{\gamma,x}\left(D\right),f\rangle _{{\mth{G}}_x},\]
o� $v'_\nu$ est d�fini de la mani�re suivante:
soit $\mu=\kappa\left(x\right)$, $\left(M,K_\mu\right)$ un repr�sentant de $\mu$, $T_0$ un tore d�ploy� maximal de $M$, $M_\gamma$ le plus petit sous-groupe de Levi de $G$ semi-standard relativement � $T_0$ et contenant $M$ et $\gamma$ (assimil� � un �l�ment de $W'\left(G/T_0\right)$), et $v_\nu$ la constante d�finie dans l'�nonc� du lemme \ref{dscp}; on pose:
\[v'_\nu=\left[N_G\left(\gamma,K_\mu\right):N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)\right]v_\nu.\]

De plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{reges}
$\phi_{\gamma,x}$ ne d�pend que de $\nu$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $x'$ un autre �l�ment de $\mathcal{B}$ tel que $\kappa\left(x'\right)=\mu$ et $\gamma\in N_G\left(K_{x'}\right)$. Soit $\mathcal{A}$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $x$ et $x'$, et $T_0$ le tore maximal associ� � $\mathcal{A}$; gr�ce � la proposition \ref{gcj} et quitte � remplacer $x'$ par $wx'$, o� $w$ est un �l�ment de $W'\left(G/T_0\right)$, on peut supposer que $\left(K_x,T_0\right)$ et $\left(K_{x'},T_0\right)$ ont m�me image $\left(M,K_\mu\right)$ par $\kappa_0$, et que $\gamma$ normalise �galement $K_{x'}$. Si $A_x$ (resp. $A_{x'}$) est la facette de $\mathcal{A}$ contenant $x$ (resp. $x'$), $A_x$ et $A_{x'}$ sont stables par $\gamma$ et engendrent le m�me sous-espace affine $E$ de $\mathcal{A}$, qui est le sous-espace des points fix�s par $K_\mu$. En consid�rant les facettes de $E$ stables par $\gamma$ maximales, on voit qu'il existe une suite $A_x=A_0,A_1,\dots,A_k=A_{x'}$ de telles facettes telles que pour tout $i$, $A_i$ et $A_{i+1}$ ont en commun au moins une face stable par $\gamma$; comme pour tout $i$, tout point de $A_i$ admet $\mu$ comme image par $\kappa$, il suffit de montrer le lemme dans le cas o� $A_x$ et $A_{x'}$ ont en commun une telle face; mais alors il existe un sous-groupe parahorique $K$ de $G$ stable par $\gamma$ et contenant � la fois $K_x$ et $K_{x'}$. Soit ${\mth{G}}=K/K^1$; ${\mth{G}}_x$ et ${\mth{G}}_{x'}=K_{x'}/K_{x'}^1$ s'identifient � un m�me sous-groupe de Levi de ${\mth{G}}$. D'autre part, 
si ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ est un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$ stable par $\gamma$ et de Levi ${\mth{M}}$, et si $f$ est une fonction de ${\mth{M}}$ dans ${\mth{C}}$, en d�finissant l'induite de $f$ � ${\mth{G}}$ tordue par $\gamma$ par:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f\right):g\in{\mth{G}}\longmapsto\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{x\in{\mth{G}},m\in{\mth{M}},u\in{\mth{U}},g=\gamma^{-1}x\gamma mux}f\left(m\right),\]
cette induite est un �l�ment de $C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}$; de plus, on d�duit imm�diatement de la proposition \ref{resind} appliqu�e � ${\mth{G}}^+=\gamma^{\mth{Z}}{\mth{G}}$ qu'elle ne d�pend pas du choix de ${\mth{P}}$.
Si $\gamma=1$, on retrouve bien �videmment l'induite usuelle. On a:

\begin{lemme}\label{find}
Soit ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$ stable par $\gamma$, et $K_P$ son image r�ciproque dans $K$.
Soit $f$ une fonction sur ${\mth{M}}$ invariante par $\gamma$-conjugaison; on a, en relevant $f$ et son induite, ainsi que les �l�ments de $C_0\left({\mth{G}}\right)$, � des fonctions sur $G$ � support dans $K$:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f\right)\in \dfrac{\card\left({\mth{G}}\right)}{\card\left({\mth{P}}\right)}f+C_0\left({\mth{G}}\right).\]
\end{lemme}

\begin{proof}
Puisque $K_x\subset K$ et $K_x^1\supset K^1$, $f$ (en tant que fonction sur $G$) est une fonction � support dans $K$ et biinvariante par $K^1$, et s'identifie donc � une fonction sur ${\mth{G}}$; plus pr�cis�ment, c'est alors une fonction � support dans ${\mth{P}}$ constante sur les $m{\mth{U}}$, $m\in{\mth{M}}$. Or on a, pour tout $g\in{\mth{G}}$:
\begin{equation*}\begin{split}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}f\left(g\right)&=\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{h\in{\mth{G}},m\in{\mth{M}},u\in{\mth{U}},g=\gamma^{-1}h^{-1}\gamma muh}f\left(m\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{h\in{\mth{G}},p\in{\mth{P}},g=\gamma^{-1}h^{-1}\gamma ph}f\left(p\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{h\in{\mth{G}}}f\left(\gamma^{-1}h\gamma gh^{-1}\right).\end{split}\end{equation*}
On a donc:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}f=\dfrac 1{\card\left({\mth{P}}\right)}\sum_{h\in{\mth{G}}}Ad_\gamma\left(h\right)f,\]
et l'assertion du lemme s'en d�duit imm�diatement.
\end{proof}

En appliquant ce lemme successivement � ${\mth{P}}_x=K_x/K^1$ et � ${\mth{P}}_{x'}=K_{x'}/K^1$, puisque ces groupes admettent tous deux ${\mth{G}}_x$ comme composante de Levi, on en d�duit que pour $f\in C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$, les rel�vements de $f$ � respectivement $\gamma K_x$ et $\gamma K_{x'}$ sont des �l�ments de $C_c^\infty\left(G\right)$ qui ne diff�rent que d'un �l�ment de $C_0\left(G\right)$; les restrictions de $D$ � $C_{cusp}\left(\gamma K_x\right)$ et $C_{cusp}\left(\gamma K_{x'}\right)$ induisent donc la m�me distribution sur $C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$, ce qui d�montre le lemme \ref{reges}.
\end{proof}

Dans ce qui suit, on �crira $\phi_\nu\left(D\right)$ � la place de $\phi_{\gamma,x}\left(D\right)$; pour tout $\nu\in\mathcal{N}$ n'admettant aucun ant�c�dent par $\zeta$, on posera $\phi_\nu\left(D\right)=0$. Posons:
\[\tilde{D}=\sum_{\nu\in\mathcal{N}}D_{\overline{\phi_\nu\left(D\right)}},\]
C'est un �l�ment de $\tilde{\mathcal{D}_c}$, et l'application $D\mapsto\tilde{D}$ est clairement lin�aire.

D'apr�s le lemme \ref{dscp}, on a, pour tout $\nu=\left(\gamma,\mu\right)$ et toute fonction $\phi$ $\gamma$-cuspidale sur le groupe r�ductif fini ${\mth{M}}$ associ� � $\mu$, si $M$, $K_\mu$ et $M_\gamma$ sont d�finis comme dans l'�nonc� de ce lemme:
\begin{equation*}\begin{split}\tilde{D}\left(\phi\right)=D_{\phi_\nu\left(D\right)}^G\left(\phi\right)&=v_\nu\sum_{n\in N_G\left(\gamma,K_\mu\right)/N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)}\langle \phi_\nu,Ad\left(n\right)\phi\rangle _{\mth{M}}\\&=v_\nu\sum_{n\in N_G\left(\gamma,K_\mu\right)/N_{M_\gamma}\left(\gamma,K_\mu\right)}\langle Ad\left(n^{-1}\right)\phi_\nu,\phi\rangle _{\mth{M}}.\end{split}\end{equation*}
Or puisque $D$ est invariante, $\phi_\nu$ est invariante par conjugaison par $N_G\left(\gamma,K_\mu\right)$ et on en d�duit:
\[\tilde{D}\left(\phi\right)=D_{\phi_\nu\left(D\right)}^G\left(\phi\right)=v'_\nu\langle \phi_\nu,\phi\rangle _{\mth{M}}=D\left(\phi\right).\]

Les distributions $D$ et $\tilde{D}$ co�ncident donc sur l'espace engendr� par les $\phi$; on va maintenant montrer que modulo $C_0\left(G\right)$, les $\phi$ engendrent $\mathcal{C}_0$. Pour cela, on va montrer un r�sultat de d�composition pour les fonctions invariantes par $\gamma$-conjugaison sur un groupe fini.

Soit ${\mth{G}}$ le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un groupe r�ductif connexe d�fini sur ${\mth{F}}_q$, et ${\mth{G}}^+$ un groupe engendr� par ${\mth{G}}$ et un �l�ment $\gamma$ normalisant ${\mth{G}}$.
Soit ${\mth{M}}$ un sous-groupe de Levi de ${\mth{G}}$ stable par conjugaison par $\gamma$; son normalisateur $N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)$ pour l'action ci-dessus est �galement stable par $\gamma$. On notera $C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right),\gamma}$ le sous-espace des �l�ments $\gamma$-cuspidaux de $C\left({\mth{M}}\right)^{N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right),\gamma}$.

Soit $R$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison des sous-groupes de Levi de ${\mth{G}}$ stables par $\gamma$; on a le r�sultat suivant:

\begin{prop}\label{dcc}
On a les d�compositions suivantes:
\begin{equation*}\begin{split}C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}&=\bigoplus_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}\\&=\bigoplus_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right),\gamma}.\end{split}\end{equation*}
\end{prop}

\begin{proof}
Montrons d'abord l'�galit� des deux sommes de l'�nonc�: pour cela, il suffit de montrer que pour tout ${\mth{M}}\in R$, on a:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}\subset \Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right),\gamma},\]
l'autre inclusion �tant �vidente. Soit donc $f$ un �\-l�\-ment de $C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}$; pour tout $m\in N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)$, en posant:
\[Ad_\gamma\left(m\right)\left(f\right):g\longmapsto f\left(\gamma^{-1}m\gamma gm^{-1}\right),\]
$Ad_\gamma\left(m\right)f$ est �galement $\gamma$-cuspidale et on a:
\[\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(Ad_\gamma\left(m\right)f\right)=\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f\right).\]
Posons donc:
\[f_0=\dfrac 1{\card\left(N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)\right)}\sum_{m\in N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)}Ad_\gamma\left(m\right)f;\]
on a $f_0\in C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right),\gamma}$ et $\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f_0\right)=\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\left(f\right)$, ce qui montre l'assertion cherch�e. De plus, si la premi�re somme est directe, la seconde l'est aussi.

On va maintenant montrer, par r�currence sur le rang semi-simple de ${\mth{G}}$, la premi�re �galit�, ainsi que le fait que la premi�re somme est directe. Si $rg\left({\mth{G}}\right)=0$, $R=\left\{{\mth{G}}\right\}$, toute fonction invariante par $\gamma$-conjugaison sur ${\mth{G}}$ est $\gamma$-cuspidale et l'assertion est triviale. Supposons donc ${\mth{G}}$ de rang non nul; montrons d'abord les lemmes suivants:

\begin{lemme}\label{vin}
On a $C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}=C_{cusp}\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}+\sum_{{\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour montrer ce lemme, il suffit de montrer que $C_{cusp}\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}$ contient l'orthogonal de $\sum_{{\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}$ dans ${\mth{G}}$ pour $\langle \cdot,\cdot\rangle _{\mth{G}}$; puisque ce produit hermitien est d�fini positif, l'assertion du lemme s'en d�duit im\-m�\-dia\-te\-ment. Soit donc $f$ un �l�ment de cet orthogonal; pour tout ${\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}$ et tout $f'\in C\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}$, on a:
\[\langle f,\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}f'\rangle _{\mth{G}}=0.\]
D'apr�s le lemme pr�cedent, on a donc:
\[\langle r_{\mth{M}}^{\mth{G}}f,f'\rangle _{\mth{M}}=0;\]
comme ceci est vrai pour tout ${\mth{M}}$ et tout $f'$, on a $r_{\mth{M}}^{\mth{G}}f=0$ pour tout ${\mth{M}}$, donc $f$ est $\gamma$-cuspidale.
\end{proof}

Pour tout ${\mth{M}}\in\mathcal{F}$, soit $W_{{\mth{M}},\gamma}$ l'ensemble des �l�ments commutant avec $\gamma$ du groupe de Weyl de ${\mth{M}}$ relativement � ${\mth{T}}_0$.

\begin{lemme}\label{fdm}
Soit ${\mth{M}},{\mth{M}}'\in R$; il existe un syst�me de repr�sentants $W_0$ de $W_{{\mth{M}}',\gamma}\backslash W_{{\mth{G}},\gamma}/W_{{\mth{M}},\gamma}$ tel que l'on a:
\[r_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}\circ \Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}=\sum_{w\in W_0}\Ind_{{\mth{M}}'\cap w{\mth{M}}w^{-1},\gamma}^{{\mth{M}}'}\circ Ad\left(w\right)\circ r_{{\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}'w,\gamma}^{\mth{M}}.\]
\end{lemme}

\begin{proof}
Ce lemme est une cons�quence imm�diate du th�or�me 3.2 de \cite{dm}.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{vdx}
Soit ${\mth{M}},{\mth{M}}'\in R$, $\phi$ (resp. $\phi'$) une fonction $\gamma$-cuspidale sur ${\mth{M}}$ (resp. ${\mth{M}}'$) invariante par $N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)$ (resp. $N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}'\right)$). Alors on a:
\[\langle \Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi,\Ind_{{\mth{M}}',\gamma}^{\mth{G}}\phi'\rangle _{\mth{G}}=0\]
si ${\mth{M}}$ et ${\mth{M}}'$ sont distincts, et:
\[\langle \Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi,\Ind_{{\mth{M}}',\gamma}^{\mth{G}}\phi'\rangle _{\mth{G}}=\card\left(N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)/{\mth{M}}\right)\langle \phi,\phi'\rangle _{{\mth{G}}'}\]
si ${\mth{M}}={\mth{M}}'$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Supposons d'abors ${\mth{M}}\neq{\mth{M}}'$. Puisque ${\mth{M}}$ et ${\mth{M}}'$ sont deux �\-l�\-ments de $R$ distincts, au moins l'un d'eux n'est pas contenu dans un conjugu� de l'autre; supposons par exemple que ${\mth{M}}$ n'est pas contenu dans un conjugu� de ${\mth{M}}'$. On a par le lemme \ref{rpf}:
\[\langle \Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi,\Ind_{{\mth{M}}',\gamma}^{\mth{G}}\phi'\rangle _{\mth{G}}=\langle r_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi,\phi'\rangle _{{\mth{M}}'}.\]
Or le lemme \ref{fdm} donne:
\begin{equation}\label{mck}
r_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi=\sum_{w\in W_0}\Ind_{{\mth{M}}'\cap w{\mth{M}}w^{-1},\gamma}^{{\mth{M}}'}\circ Ad\left(w\right)\circ r_{{\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}'w,\gamma}^{\mth{M}}\left(\phi\right),
\end{equation}
o� $W_0$ est d�fini comme dans l'�nonc� de ce lemme; d'autre part, pour tout $w$, puisque ${\mth{M}}$ n'est contenu dans aucun conjugu� de ${\mth{M}}'$, ${\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}'w$ est un sous-groupe de Levi propre de ${\mth{M}}$; comme $\phi$ est $\gamma$-cuspidale, on en d�duit $r_{{\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}'w}^{\mth{M}}\left(\phi\right)=0$. On a donc:
\[r_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi'=0,\]
ce qui d�montre la premi�re assertion du lemme \ref{vdx}.

Supposons maintenant ${\mth{M}}={\mth{M}}'$. Alors les seuls termes non nuls dans le membre de droite de (\ref{mck}) sont ceux correspondant aux $w$ tels que ${\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}w={\mth{M}}$, c'est-�-dire $w\in N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)$; pour un tel $w$, on a:
\[\Ind_{{\mth{M}}\cap w{\mth{M}}w^{-1},\gamma}^{\mth{M}}\circ Ad\left(w\right)\circ r_{{\mth{M}}\cap w^{-1}{\mth{M}}w}^{\mth{M}}\left(\phi\right)=Ad\left(w\right)\phi=\phi\]
puisque $\phi$ est invariante par $N_{{\mth{G}},\gamma}\left({\mth{M}}\right)$. On en d�duit la deuxi�me assertion du lemme \ref{vdx}.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration de la proposition \ref{dcc}. Par hypoth�se de r�\-cur\-rence, on a pour tout ${\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}$:
\[C\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}=\bigoplus_{{\mth{M}}'\in R_{\mth{M}}}\Ind_{{\mth{M}}',\gamma}^{\mth{M}}C_{cusp}\left({\mth{M}}'\right)^{{\mth{M}}',\gamma},\]
o� $R_{\mth{M}}$ est d�fini pour ${\mth{M}}$ de fa�on similaire � $R$ pour ${\mth{G}}$ (notons que deux sous-groupes de Levi de ${\mth{M}}$ peuvent �tre conjugu�s dans ${\mth{G}}$ et pas dans ${\mth{M}}$). On en d�duit, par transitivit� des induites et gr�ce au lemme \ref{vin}:
\[C\left({\mth{G}}\right)^{{\mth{G}},\gamma}=\sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}.\]
Il reste � montrer que la somme est directe. Pour cela, soit, pour tout ${\mth{M}}\in R$, $\phi_{\mth{M}}\in C_{cusp}\left({\mth{M}}\right)^{{\mth{M}},\gamma}$; supposons les $\phi_{\mth{M}}$ tels que l'on a:
\[\sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi_{\mth{M}}=0.\]
Pour tout ${\mth{M}}'\in R$, on a alors, d'apr�s le lemme \ref{vdx}:
\[0=\langle \sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{\mth{G}}\phi_{\mth{M}},\Ind_{{\mth{M}}',\gamma}^{\mth{G}}\phi_{{\mth{M}}'}\rangle _{\mth{G}}=\card\left(N_{{\mth{M}}',\gamma}\left({\mth{M}}'\right)/{\mth{M}}'\right)\langle \phi_{{\mth{M}}'},\phi_{{\mth{M}}'}\rangle _{{\mth{M}}'};\]
on en d�duit que $\phi_{{\mth{M}}'}=0$ pour tout ${\mth{M}}'$ et la proposition est d�montr�e.
\end{proof}

D'apr�s cette proposition, pour tout $x\in\overline{A}$ et tout $\gamma$ normalisant $x$, l'espace des �l�ments de $\mathcal{C}_{x,0}$ invariants par conjugaison par $K_x$ s'identifie � l'espace engendr� par les induites des fonctions $\gamma$-cuspidales sur les sous-groupes de Levi stables par $\gamma$ de ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$, relev�es � des fonctions sur $G$; on va en d�duire, en utilisant le lemme \ref{find}, que ces fonctions $\gamma$-cuspidales engendrent $\mathcal{C}_0$, et donc que $D$ et $\tilde{D}$ co�ncident sur $\mathcal{C}_0$.
Plus pr�cis�ment, on a la proposition suivante:

\begin{prop}\label{dprime}
Soit $D\in\mathcal{D}_c$. Alors il existe un unique $D'\in\tilde{\mathcal{D}_c}$ tel que les restrictions de $D$ et $D'$ � $\mathcal{C}_0$ sont identiques; de plus, on a $D'=\tilde{D}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Montrons d'abord l'unicit� de $D'$: supposons que $D'$ et $D''$ sont deux �l�ments de $\tilde{\mathcal{D}_c}$ tels que $D'|_{\mathcal{C}_0}=D''|_{\mathcal{C}_0}=D|_{\mathcal{C}_0}$. Alors $D_0=D'-D''$ est un �l�ment de $\tilde{\mathcal{D}_c}$ dont la restriction � $\mathcal{C}_0$ est nulle; il suffit donc de montrer qu'une telle distribution est forc�ment nulle. Posons:
\[D_0=\sum_\nu D_{\phi_\nu},\]
o� pour tout $\nu=\left(\mu,\gamma\right)\in\mathcal{N}$, $\phi_\nu$ est une fonction $\gamma$-cuspidale sur le groupe r�ductif fini ${\mth{G}}$ associ� � $\mu$. Si $\left(M,K_\mu\right)$ est un repr�sentant de $\mu$, en identifiant ${\mth{G}}$ � $K_\mu/K_\mu^1$, $\phi_\nu$ est invariante par conjugaison par $N_G\left(\gamma,K_\mu\right)$; pour tout $\nu'=\left(\mu',\gamma'\right)\in\mathcal{N}$ et toute fonction $\phi'$ $\gamma$-cuspidale sur le groupe r�ductif fini ${\mth{G}}'$ associ� � $\mu'$, on a alors, en utilisant le lemme \ref{dscp}:
\[D_0\left(\phi'\right)=\sum_\nu D_{\phi_\nu}\left(\phi'\right)=v'_{\nu'}\langle \overline{\phi_{\nu'}},\phi'\rangle _{{\mth{G}}'}.\]
Or puisque $\phi'$ se rel�ve en un �l�ment de $\mathcal{C}_0$, on a $D_0\left(\phi'\right)=0$; on en d�duit:
\[\langle \overline{\phi_{\nu'}},\phi'\rangle _{{\mth{G}}'}=0.\]
Comme ceci est vrai pour tout $\phi'$, on a $\phi_{\nu'}=0$ pour tout $\nu'$, donc $D_0=0$.

Il reste � montrer que $\tilde{D}$ v�rifie $\tilde{D}|_{\mathcal{C}_0}=D|_{\mathcal{C}_0}$. Comme les sous-espaces de la forme $\mathcal{C}_{x,0}$, $x\in\overline{A}$, engendrent $\mathcal{C}_0$, il suffit de v�rifier l'�galit� des restrictions de $D$ et $\tilde{D}$ � chacun de ces sous-espaces. De plus, pour tout $x\in\overline{A}$ et tout $\gamma\in\Gamma_I$ qui normalise $K_x$, soit $\mathcal{C}_{x,\gamma,0}=\mathcal{C}_{K_x,\gamma,0}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{C}_{x,0}$ � support dans $\gamma K_x$; $\mathcal{C}_{x,0}$ est somme directe des $\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$. On va donc v�rifier l'�galit� des restrictions de $D$ et $\tilde{D}$ � chacun des $\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$.

Soit $x\in\mathcal{B}$, $K_x$ le sous-groupe parahorique de $G$ fixant $x$ et $\gamma$ un �l�ment de $\Gamma_I$ qui normalise $K_x$; on va montrer par r�currence sur le rang de ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$ que $D$ et $\tilde{D}$ co�ncident sur $\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$. Cet espace est canoniquement isomorphe � l'espace des fonctions sur le groupe fini ${\mth{G}}_x$; il existe donc une fonction $\phi_{D,x,\gamma}$ sur ${\mth{G}}_x$ telle que pour tout $f\in\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$, on a:
\[D\left(f\right)=\langle \phi_{D,x,\gamma},f\rangle _{{\mth{G}}_x}.\]
Puisque $D$ est invariante, $\phi_{D,x,\gamma}$ est invariante par $\gamma$-conjugaison; gr�ce � la proposition \ref{dcc}, on peut alors �crire de mani�re unique:
\[\phi_{D,x,\gamma}=\sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{{\mth{G}}_x}\phi_{D,x,\gamma,{\mth{M}}},\]
o� $R$ est un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de sous-groupes de Levi ${\mth{M}}$ de ${\mth{G}}_x$ stables par $\gamma$, et o� pour tout ${\mth{M}}$, $\phi_{D,x,\gamma,{\mth{M}}}$ est une fonction $\gamma$-cuspidale sur ${\mth{M}}$ invariante par $N_{{\mth{G}}_x,\gamma}\left({\mth{M}}\right)$. D'autre part, pour $f\in\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$, posons:
\[f':g\in G\longmapsto\int_{K_x}f\left(k^{-1}gk\right)dk.\]
Puisque $D$ et $\tilde{D}$ sont invariantes, on a $D\left(f\right)=D\left(f'\right)$ et $\tilde{D}\left(f\right)=\tilde{D}\left(f'\right)$; de plus, $f'$ est un �l�ment de $\mathcal{C}_{x,\gamma,0}$, invariant par $\gamma$-conjugaison en tant que fonction sur ${\mth{G}}_x$; on peut donc �crire, en utilisant � nouveau la proposition \ref{dcc}:
\[f'=\sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{{\mth{G}}_x}f_{\mth{M}},\]
o� pour tout ${\mth{M}}$, $f_{\mth{M}}$ est une fonction $\gamma$-cuspidale sur ${\mth{M}}$.
Or soit, pour tout ${\mth{M}}\in R$, ${\mth{P}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}_x$ invariant par $\gamma$ et de Levi ${\mth{M}}$, et $K'$ le sous-groupe parahorique de $G$ contenu dans $K_x$ et dont l'image dans ${\mth{G}}_x$ est ${\mth{P}}$; $f_{\mth{M}}$ se rel�ve en une fonction sur $G$ � support dans $\gamma K'$ biinvariante par $K'_1$, c'est-�-dire en un �l�ment de $\mathcal{C}_{K',\gamma,0}$, et si ${\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}_x$, on a donc par hypoth�se de r�currence:
\[D\left(f_{{\mth{M}}}\right)=\tilde{D}\left(f_{{\mth{M}}}\right).\]
De plus, d'apr�s le lemme \ref{find}, pour tout ${\mth{M}}\subsetneq{\mth{G}}_x$, on a:
\begin{equation*}\begin{split}D\left(\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{{\mth{G}}_x}\left(f_{\mth{M}}\right)\right)&=\dfrac{\card\left({\mth{G}}_x\right)}{\card\left({\mth{P}}\right)}D\left(f_{{\mth{M}}}\right)\\&=\dfrac{\card\left({\mth{G}}_x\right)}{\card\left({\mth{P}}\right)}\tilde{D}\left(f_{{\mth{M}}}\right)\\&=\tilde{D}\left(\Ind_{{\mth{M}},\gamma}^{{\mth{G}}_x}\left(f_{{\mth{M}}}\right)\right).\end{split}\end{equation*}
Pour achever la d�monstration de la proposition, il reste donc � v�rifier que l'on a $D\left(f_{{\mth{G}}_x}\right)=\tilde{D}\left(f_{{\mth{G}}_x}\right)$. 
Or d'apr�s le lemme \ref{vdx}, on a:
\[D\left(f_{{\mth{G}}_x}\right)=\langle \phi_{D,x,\gamma,{\mth{G}}_x},f_{{\mth{G}}_x}\rangle _{{\mth{G}}_x}.\]
Ceci est vrai pour toute $f_{{\mth{G}}_x}\in C_{cusp}\left({\mth{G}}_x\right)^{{\mth{G}}_x,\gamma}$, donc si $\nu=\zeta\left(\gamma,x\right)$, on a, par d�finition de $\phi_\nu\left(D\right)$:
\[\phi_{D,x,\gamma,{\mth{G}}_x}=v'_\nu\phi_\nu\left(D\right).\]
D'autre part, on a, en utilisant la d�finition de $\tilde{D}$ et le lemme \ref{dscp}:
\begin{equation*}\begin{split}\tilde{D}\left(f_{{\mth{G}}_x}\right)&=\sum_{\nu'}D_{\overline{\phi_{\nu'}\left(D\right)}}\left(f_{{\mth{G}}_x}\right)\\&=v'_\nu\langle \phi_\nu\left(D\right),f_{{\mth{G}}_x}\rangle _{{\mth{G}}_x}\\&=D\left(f_{{\mth{G}}_x}\right),\end{split}\end{equation*}
ce qui ach�ve la d�monstration.
\end{proof}

\subsection{Restriction des distributions � $\mathcal{C}$}

On va maintenant montrer le r�sultat suivant:

\begin{theo}\label{dc}
Soit $D\in\mathcal{D}_c$. Si $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, alors elle est nulle sur $\mathcal{C}$.
\end{theo}

\begin{proof}
Si $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, toutes les $\phi_\nu\left(D\right)$ sont nulles, donc $\tilde{D}=0$; le r�sultat se d�duit alors imm�diatement du th�or�me suivant:

\begin{theo}\label{dct}
Pour tout $D\in\mathcal{D}_c$, $\tilde{D}$ co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{C}$. En particulier, si $\tilde{D}=0$, $D$ est nulle sur $\mathcal{C}$.
\end{theo}

Avant de commencer la d�monstration, introduisons quelques notations sup\-pl�\-men\-tai\-res. Soit $\pi$ une repr�sentation irr�ductible temp�r�e de $G$; on d�finit la distribution trace compacte de $\pi$ de la mani�re suivante:
\[tr_c\left(\pi\right):f\in C_c^\infty\left(G\right)\longmapsto\int_Gtr\left(\pi\left(g\right)\right)1_c\left(g\right)f\left(g\right)dg,\]
o� $1_c$ est la fonction caract�ristique de l'ensemble des �l�ments compacts de $G$.

Soit $\pi$ une repr�sentation irr�ductible admissible de $G$, $V$ son espace, et $K$ un sous-groupe parahorique de $G$; soit $V^{K^1}$ le sous-espace des �l�ments de $V$ invariants par le premier sous-groupe de congruence $K^1$ de $K$. Puisque $\pi$ est admissible, $V^{K^1}$ est de dimension finie; de plus, puisque $K^1$ est un sous-groupe normal de $N_G\left(K\right)$, $V^{K^1}$ est stable par $N_G\left(K\right)$; le groupe $N_G\left(K\right)/K^1$ agit donc sur $V^{K^1}$, et la repr�sentation de $N_G\left(K\right)/K^1$ ainsi obtenue sera not�e $\pi^{N_G\left(K\right)}$. Si $H$ est un sous-groupe de $N_G\left(K\right)$ contenant $K$, on notera $\pi^H$ la restriction de $\pi^{N_G\left(K\right)}$ � $H$.

\begin{proof}
On va montrer le th�or�me par r�currence sur le rang semi-simple de $G$. Si ce rang est nul, $G$ poss�de un unique sous-groupe parahorique $K$ et on a $N_G\left(K\right)=G$; on a alors $\mathcal{C}_0=\mathcal{C}$ et le th�or�me se d�duit imm�diatement de la proposition \ref{dprime}. Supposons maintenant $G$ de rang non nul;
on va d'abord montrer la deuxi�me assertion. Soit $D\in\mathcal{D}_c$ telle que $\tilde{D}=0$; d'apr�s la proposition \ref{dprime}, $D$ est alors nulle sur $\mathcal{C}_0$.

Supposons d'abord que $D$ est combinaison lin�aire de traces compactes de re\-pr�\-sen\-ta\-tions temp�r�es; posons:
\[D=\sum_{i=1}^t\lambda_itr_c\left(\pi_i\right),\]
o� les $\lambda_i$ sont des constantes et les $\pi_i$ des repr�sentations irr�ductibles temp�r�es de $G$.

\begin{prop}
Si $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, alors $D$ est nulle sur l'espace des fonctions � support dans l'ensemble $G_{ell}$ des �l�ments elliptiques de $G$.
\end{prop}

\begin{proof}
Dire que $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$ revient � dire que pour tout sous-groupe parahorique $K$ de $G$, on a:
\[\sum_{i=1}^t\lambda_itr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)=0.\]
Pour montrer cette proposition, on va donc tout d'abord �tendre les r�sultats de \cite[III.4]{scst} au cas $G$ r�ductif quasi-d�ploy� quelconque. Fixons un sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$; soit $\mathcal{P}$ l'ensemble de tous les sous-groupes parahoriques de $G$, et $\mathcal{P}_I$ l'ensemble de ceux qui contiennent $I$. Pour toute repr�sentation irr�ductible temp�r�e $\pi$ de $G$, posons comme dans \cite[III.4]{scst}:
\[f_{EP}\left(\pi\right)=\sum_{K\in\mathcal{P}_I}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}vol\left(N_G\left(K\right)/Z\right)^{-1}\varepsilon_{A_K}tr\left(\pi^{N_G\left(K\right)}\right),\]
o� pour tout $K\in\mathcal{P}$, $A_K$ est la facette de l'immeuble de $G$ correspondant � $K$, o� $tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)$ est consid�r�e comme une fonction sur $N_G\left(K\right)$ �tendue � $G$ par z�ro, et o� $\varepsilon_{A_K}$ est d�fini comme dans \cite{scst}.

Soit $h\in G_{ell}$. On a les lemmes suivants:

\begin{lemme}
L'ensemble $X^h$ des points de l'immeuble de $G$ fix�s par $h$ recouvre un nombre fini de facettes.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, le lemme est vrai pour $G/Z_{G,d}$ et l'image de $h$ dans $G/Z_{G,d}$ d'apr�s \cite[III.4.9]{scst}; or les immeubles de $G$ et de $G/Z_{G,d}$ sont isomorphes en tant que complexes simpliciaux, et toute facette fix�e par $h$ dans l'immeuble de $G$ l'est aussi par son image dans $G/Z_{G,d}$, et r�ciproquement.
\end{proof}

\begin{lemme}
On a pour tout $\pi$:
\[\int_{G/Z_{G,d}}f_{EP}\left(\pi\right)\left(g^{-1}hg\right)dg=\sum_{K\in\mathcal{P}}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}\overline{tr\left(\pi^{N_G\left(K\right)}\right)}\left(h\right).\]
\end{lemme}

\begin{proof}
La d�monstration est identique � celle de \cite[III.4.10]{scst}, en rempla�ant $G$ par $G/Z_{G,d}$; la somme du membre de droite est finie gr�ce au lemme pr�c�dent.
\end{proof}

\begin{lemme}
Soit $\psi\in C_c^\infty\left(G\right)$ � support dans $G_{ell}$. On a pour tout $\pi$:
\[tr\left(\pi\right)\left(\psi\right)=\int_G\psi\left(h\right)\int_{G/Z_{G,d}}f_{EP}\left(\pi\right)\left(g^{-1}h^{-1}g\right)dgdh.\]
\end{lemme}

\begin{proof}
La d�monstration est identique � celle de \cite[III.4.16]{scst}.
\end{proof}

\begin{cor}
Sous les m�mes hypoth�ses, on a pour tout $\pi$:
\[tr\left(\pi\right)\left(\psi\right)=\int_G\psi\left(h\right)\sum_{K\in\mathcal{P}}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}\overline{tr\left(\pi^{N_G\left(K\right)}\right)}\left(h^{-1}\right)dh.\]
\end{cor}

Revenons � la d�monstration de la proposition. Pour tout $\psi\in C_c^\infty\left(G\right)$ � support dans $G_{ell}$, on a:
\begin{equation*}\begin{split}\left(\psi\right)&=\sum_i\lambda_itr\left(\pi_i\right)\left(\psi\right)\\&=\int_G\psi\left(h\right)\left(\sum_{K\in\mathcal{P}}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}\sum_i\lambda_i\overline{tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)}\right)\left(h^{-1}\right)dh.\end{split}\end{equation*}
Or l'ensemble des $K\in\mathcal{P}$ intervenant de fa�on non triviale dans le membre de droite est fini: en effet, pour tout $h$ elliptique, il existe un voisinage de $h$ dans $G$ dont tout �l�ment fixe les m�mes facettes que $h$ (par exemple $hK'$, o� $K'$ est un sous-groupe ouvert compact de $G$ contenu dans les fixateurs de toutes les facettes de $X^h$ et de toutes les facettes adjacentes � $X^h$), et le support de $\psi$, �tant compact, admet un recouvrement fini constitu� de tels voisinages. On peut donc �crire:
\[D\left(\psi\right)=\sum_{K\in\mathcal{P}}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}\int_G\psi\left(h\right)\left(\sum_i\lambda_i\overline{tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)}\right)\left(h^{-1}\right)dh.\]
Supposons d'abord $N_G\left(K\right)/K^1$ fini; on a alors, pour tout $i$ et tout $h$:
\[\overline{tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)}\left(h^{-1}\right)=tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)\left(h\right),\]
d'o� l'on d�duit:
\[D\left(\psi\right)=\sum_{K\in\mathcal{P}}\left(-1\right)^{dim\left(A_K\right)}\int_G\psi\left(h\right)\left(\sum_i\lambda_itr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)\left(h\right)\right)dh=0\]
gr�ce � ce qui pr�c�de, et la proposition est d�montr�e dans ce cas.

Supposons maintenant $N_G\left(K\right)/K^1$ quelconque, et consid�rons le groupe $\gamma^{\mth{Z}}K$. On a vu pr�c�demment qu'il existe un entier $b>0$ tel que $\gamma^b$ est dans le centre de $G$; pour tout $i$, il existe donc un caract�re $\chi_i$ de ${\mth{Z}}$ tel que pour tout entier $z$, $\pi_i\left(\gamma^{bz}\right)$ est une homoth�tie de rapport $\chi_i\left(bz\right)$; de plus, $\chi_i$ est unitaire puisque $\pi_i$ l'est. Consid�rons donc la repr�sentation:
\[\chi_i^{-1}\otimes\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K}:\gamma^{\mth{Z}}K/K^1\longmapsto V\left(\pi_i\right)^{K^1},\]
$\chi_i$ �tant �tendu � un caract�re sur $\gamma^{\mth{Z}}K$ par $\chi_i|_K=1$. Cette repr�sentation est triviale sur $\gamma^{b{\mth{Z}}}$, donc induit une repr�sentation du groupe fini $\gamma^{b{\mth{Z}}}K/\gamma^{b{\mth{Z}}}K^1$ canoniquement isomorphe � $K/K^1$. On a donc, pour tout $h\in\gamma^{\mth{Z}}K$:
\[\overline{tr\left(\chi_i^{-1}\otimes\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K}\right)}\left(h^{-1}\right)=tr\left(\chi_i^{-1}\otimes\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K}\right)\left(h\right),\]
d'o�, puisque $\chi_i$ est unitaire:
\[\overline{tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)}\left(h^{-1}\right)=tr\left(\pi_i^{N_G\left(K\right)}\right)\left(h\right).\]
On conclut comme dans le cas o� $N_G\left(K\right)/K^1$ est fini.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du th�or�me. La distribution $D$ est int�grable, invariante et nulle sur $G_{ell}$; d'apr�s \cite[corollaire 3 au th�or�me 3.1]{kzh}, elle est somme d'induites de distributions invariantes $D_M$ sur un ensemble de re\-pr�\-sen\-tants des classes de conjugaison de Levi propres de $G$; de plus, fixons un sous-groupe parahorique maximal sp�cial $K_0$ de $G$ contenant $I$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Soit $f\in C_c^\infty\left(G\right)$ � support dans l'ensemble des �l�ments compacts (resp. non compacts) de $G$, et soit $P=MU$ un sous-groupe parabolique de $G$. Alors $f^P=f^P_{K_0}$ est � support dans l'ensemble des �l�ments compacts (resp. non compacts) de $G$ contenus dans $M$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $P=G$, le r�sultat est trivial; supposons donc $P$ propre. Supposons que $f$ est � support dans l'ensemble des �l�ments compacts de $G$, et soit $l\in M$ non compact dans $G$; on a:
\[f^P\left(l\right)=\int_{K_0\times U}f\left(k^{-1}luk\right)dk.\]
Supposons qu'il existe $k\in K_0$ et $u\in U$ tels que $k^{-1}luk$ est compact dans $G$; alors $lu$ aussi est compact dans $G$. Soit $K_U$ un sous-groupe compact de $U$ contenant $u$; on d�duit de \cite[1.4.3]{cass} qu'il existe un �l�ment $z$ contenu dans le centre de $M$ tel que la suite des $z^{-n}K_Uz^n$, $n>0$, est d�croissante et que l'intersection des $z^{-n}K_Uz^n$ est r�duite � $\left\{1\right\}$. La suite des $z^{-n}luz^n=lz^{-n}uz^n$ converge donc vers $l$; or, tous ces �l�ments sont compacts dans $G$, donc par le lemme \ref{parferm}, $l$ aussi, ce qui est exclu. Donc pour tous $k,u$, $k^{-1}luk$ n'est pas compact dans $G$, donc $f\left(k^{-1}luk\right)=0$; on a donc $f^P\left(l\right)=0$. La d�monstration dans le cas o� $f$ est � support dans les �l�ments non compacts de $G$ est similaire.
\end{proof}

Soit $1_c$ la fonction caract�ristique des �l�ments compacts de $G$. On a:
\[D=D\left(1_c\cdot\right)=\sum_M\left(\Ind_M^GD_M\right)\left(1_c\cdot\right)=\sum_M\Ind_M^G\left(D_M\left(1_c\cdot\right)\right)\]
gr�ce au lemme pr�c�dent; on peut donc supposer que pour tout $M$, on a $D_M=D_M\left(1_c\cdot\right)$, c'est-�-dire que $D_M$ est � support dans $M\cap G_c\subset M_c$.

Soit, pour tout $M$, $\tilde{D}_M$ la distribution sur $M$ d�finie pour $D_M$ de mani�re analogue � $\tilde{D}$ pour $D$; posons:
\[D^\#=\sum_M\Ind_M^G\tilde{D}_M.\]
Par hypoth�se de r�currence, les restrictions de $\tilde{D}_M$ et de $D_M$ � $\mathcal{C}_M$ sont �gales. De plus, si $K$ est un sous-groupe parahorique de $M$ et $\gamma$ un �l�ment de $N_M\left(K\right)$ tel que $\gamma K\not\subset G_c\cap M$, puisque $D_M$ est nulle sur $\gamma K$, $\tilde{D}_M$ aussi; on en d�duit que $\tilde{D}_M$ est � support dans $G_c\cap M$; comme ceci est vrai pour tout $M$, $D^\#\in\tilde{\mathcal{D}_c}\left(G\right)$ d'apr�s le lemme pr�c�dent. Enfin, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{tc}
Soit $f\in\mathcal{C}$, et $P=MU$ un sous-groupe parabolique de $G$. Alors le terme constant $f^P$ de $f$ est somme d'un �l�ment de $\mathcal{C}_M$ et d'un �l�ment de $C_0\left(M\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Il suffit de montrer ce lemme pour $f$ appartenant � une partie g�n�ratrice de $\mathcal{C}$; on supposera donc qu'il existe $g\in G$ et $x\in\overline{A}$ tels que $f$ est la fonction caract�ristique de $K_x^1gK_x^1$. On peut supposer $P$ et $M$ standard relativement � $P_0$ et $T_0$, o� $P_0$ est le sous-groupe parabolique minimal de $G$ d'image $I$ dans $K_0/K_0^1$; on a alors, pour tout $l\in M$:
\begin{equation*}\begin{split}f^P\left(l\right)&=\delta_P^G\left(l\right)^{\dfrac 12}\int_{K_0\times U}f\left(k^{-1}luk\right)dudk\\&=vol\left(K_x^1\right)\delta_P^G\left(l\right)^{\dfrac 12}\sum_{k\in K_0/K_x^1}vol\left(K_x^1gK_x^1\cap k^{-1}lUk\right)\\&=vol\left(K_x^1\right)\delta_P^G\left(l\right)^{\dfrac 12}\sum_{k\in K_0/K_x^1}vol\left(kK_x^1gK_x^1k^{-1}\cap lU\right).\end{split}\end{equation*}
Il suffit de v�rifier que pour tout $k\in K_0$, l'application:
\[l\in M\longmapsto \sum_{k'\in\left(K_0\cap M\right)/\left(K_x^1\cap M\right)}vol\left(k'kK_x^1gK_x^1k^{-1}k'{}^{-1}\cap lU\right)\]
est biinvariante par le premier sous-groupe de congruence d'un sous-groupe parahorique de $M$. Elle l'est d�j� par le sous-groupe ouvert compact $kK_x^1k^{-1}\cap M$ de $M$, qui ne d�pend que de la classe de $k$ � droite modulo $K_x$; de plus, elle-m�me ne d�pend que de la classe de $k$ � gauche modulo $K_0\cap P$. Il suffit donc de montrer l'assertion pour $k$ appartenant � un syst�me de repr�sentants $X$ de $\left(K_0\cap P\right)\backslash K_0/\left(K_0\cap K_x\right)$; puisque $K_x$ contient $K_0^1$ et puisque les images de $K_0\cap P$ et de $K_0\cap K_x$ dans $K_0/K_0^1$ sont des sous-groupes paraboliques standard de $K_0/K_0^1$ (relativement au parabolique minimal $I/K_0^1$ et au tore d�ploy� maximal $T_0/K_{T_0}$), on peut supposer que $X$ est �galement un syst�me de repr�sentants de $\left(W'\cap\left(K_0\cap P\right)\right)\backslash\left(W'\cap K_0\right)/\left(W'\cap\left(K_0\cap K_x\right)\right)$.

Soit donc $w\in W'\cap K_0$. D'apr�s le corollaire \ref{iw2}, $wK_xw^{-1}\cap M$ est un sous-groupe parahorique de $M$; $wK_x^1w^{-1}\cap M$ est alors son premier sous-groupe de congruence, ce qui d�montre l'assertion cherch�e.
\end{proof}

On a donc pour tout $M$, tout $P=MU$ et pour tout $f\in\mathcal{C}$, puisque $f^P\in\mathcal{C}_M+C_0\left(M\right)$ d'apr�s le lemme \ref{tc} et gr�ce � l'hypoth�se de r�currence:
\[\Ind_M^G\tilde{D}_M\left(f\right)=\tilde{D}_M\left(f^P\right)=D_M\left(f^P\right)=\Ind_M^GD_M\left(f\right),\]
d'o� l'on d�duit que $D^\#\left(f\right)=D\left(f\right)$. En particulier, $D$ et $D^\#$ co�ncident sur $\mathcal{C}_0$; comme $D^\#\in\tilde{\mathcal{D}_c}\left(G\right)$, la proposition \ref{dprime} impose $D^\#=\tilde{D}$. Comme par hypoth�se $\tilde{D}=0$, $D$ est nulle sur $\mathcal{C}$ et la deuxi�me assertion du th�or�me est montr�e pour $D$ combinaison lin�aire de traces compactes.

Supposons maintenant $D$ quelconque.
Pour tout $\gamma\in\Gamma$, soit $\mathcal{C}_\gamma$ (resp. $\mathcal{C}_{0,\gamma}$) le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{C}$ (resp. $\mathcal{C}_0$) � support dans $\gamma G^1$; on va montrer que si $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, elle est nulle sur $\mathcal{C}_\gamma$. Comme $\mathcal{C}$ est somme directe des $\mathcal{C}_\gamma$, la seconde assertion s'en d�duit.

Fixons donc $\gamma\in\Gamma$.
On va montrer qu'il existe une distribution $D'\in\mathcal{D}_c$, combinaison lin�aire de traces compactes, qui co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{C}_\gamma$; la deuxi�me assertion du th�or�me se d�duit alors du cas pr�c�dent. Si $D=0$, c'est �vident; supposons donc $D\neq 0$, et soit $\mathcal{D}_{tc}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{D}_c|_{\mathcal{C}_\gamma}$ qui sont combinaisons lin�aires de traces compactes; ce sous-espace est de dimension finie car, d'apr�s ce qui pr�c�de, un �l�ment de $\mathcal{D}_{tc}$ est enti�rement d�termin� par ses valeurs sur les fonctions � support dans un $\gamma K$, avec $K\supset I$ et $\gamma$ normalisant $K$, biinvariantes par $K^1$, et l'espace de ces fonctions est de dimension finie.
Soit $\left(D_1,\dots,D_t\right)$ une base de $\mathcal{D}_{tc}$ et $e_1,\dots,e_t$ des �l�ments de $\mathcal{C}_\gamma$ v�rifiant $D_i\left(e_j\right)=\delta_{ij}$ pour tous $i,j$; un �l�ment de $\mathcal{D}_c|_{\mathcal{C}_\gamma}$ qui est combinaison lin�aire de traces compactes est enti�rement d�fini par ses valeurs sur les $e_i$. D'autre part, soit $\mathcal{C}_\gamma^0$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{C}_\gamma$ annul�s par toute distribution trace compacte de repr�sentation temp�r�e; les �l�ments de $\mathcal{C}_\gamma^0$ sont alors annul�s par toutes les distributions traces compactes, donc par tous les �l�ments de $\mathcal{D}_c$ d'apr�s \cite[th�or�me 0]{kzh} (si la caract�ristique de $F$ est nulle) et \cite[th�or�me B]{kz2} (si la caract�ristique de $F$ est positive; la d�monstration de Kazhdan marche �galement pour les groupes quasi-d�ploy�s) et en particulier par $D$. Posons donc:
\[D'=\sum_{i=1}^tD\left(e_i\right)D_i.\]
On a $D'=D=0$ sur $\mathcal{C}_\gamma^0$, et pour tout $i$, $D'\left(e_i\right)=D\left(e_i\right)$; or $\mathcal{C}_\gamma^0$ et les $e_i$ engendrent $\mathcal{C}_\gamma$, donc $D|_{\mathcal{C}_\gamma}=D'|_{\mathcal{C}_\gamma}$, ce qui ach�ve la d�monstration de l'assertion cherch�e.

Montrons maintenant la premi�re assertion du th�or�me. Soit $D\in\mathcal{D}_c$ quelconque; d'apr�s la proposition \ref{dprime}, la distribution $D-\tilde{D}$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$. Comme la distribution nulle est un �l�ment de $\tilde{\mathcal{D}_c}$ qui co�ncide avec $D-\tilde{D}$ sur $\mathcal{C}_0$, en appliquant � nouveau la proposition \ref{dprime}, on en d�duit que $\widetilde{D-\tilde{D}}=0$; d'apr�s la deuxi�me assertion du th�or�me, $D-\tilde{D}$ est alors nulle sur $\mathcal{C}$ et le th�or�me est d�montr�. 
\end{proof}
\end{proof}

\subsection{Restrictions des distributions � $\mathcal{H}$}

Conservons le sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$ fix� pr�cedemment. Soit $\mathcal{H}=\mathcal{H}_I$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur $G$ � support compact et biinvariantes par $I$, et $\mathcal{H}_0=\mathcal{H}_{0,I}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{H}_I$ � support dans la r�union des normalisateurs des sous-groupes parahoriques de $G$ contenant $I$; $\mathcal{H}$ (resp. $\mathcal{H}_0$) est clairement un sous-espace de $\mathcal{C}$ (resp. $\mathcal{C}_0$).
On va montrer un r�sultat similaire au th�or�me pr�c�dent pour $\mathcal{H}$ et $\mathcal{H}_0$:

\begin{theo}\label{dh}
Soit $D\in\mathcal{D}_c$ nulle sur $\mathcal{H}_0$. Alors $D$ est nulle sur $\mathcal{H}$.
\end{theo}

\begin{proof}
Montrons d'abord la proposition suivante: soit $\left(\pi,V\right)$ une re\-pr�\-sen\-ta\-tion irr�ductible temp�r�e de $G$, $I$ un sous-groupe d'Iwahori de $G$, et $V^I=V_\pi^I$ le sous-espace des �l�ments de $V$ invariants par $I$. On a:

\begin{prop}
Si $V^I$ est r�duit � $0$, la distribution $tr_c\left(\pi\right)$ est nulle sur $\mathcal{H}$.
\end{prop}

\begin{proof}
En effet, d'apr�s \cite[corollaire � la proposition 2.1]{cl2}, on a, pour tout $f\in C_c^\infty\left(G\right)$:
\[tr_c\left(\pi\right)\left(f\right)=\sum_{P=MU}\left(-1\right)^{rg\left(G\right)-rg\left(M\right)}tr\left(\left(\delta_P^G\right)^{-\dfrac 12}\pi_P\right)\left(\hat{\chi}_Uf^P\right),\]
o� la somme porte sur l'ensemble des sous-groupes paraboliques standard de $G$, et o� pour tout $P=MU$, $\hat{\chi}_U$ est une fonction sur $M$ constante sur les classes modulo $M^1$, et en particulier � la fois invariante par conjugaison et biinvariante par tout sous-groupe d'Iwahori de $M$.

D'autre part, soit $K_0$ le sous-groupe parabolique maximal sp�cial de $G$ intervenant dans la d�finition du terme constant;
on supposera qu'il contient $I$.

Pour tout sous-groupe de Levi $M$ semi-standard de $G$, on notera $\mathcal{H}_M$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur $M$ biinvariantes par $I_M=I\cap M$; le lemme \ref{iwah} montre que ce sous-groupe est bien un Iwahori de $M$.

On a les lemmes suivants:

\begin{lemme}
Soit $f\in\mathcal{H}$, $P=MU$ un sous-groupe parabolique standard de $G$. Alors $f^P\in\mathcal{H}_M+C_0\left(M\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, puisque les sous-groupes d'Iwahori de $M$ sont tous conjugu�s entre eux et par le m�me raisonnement que dans le lemme \ref{tc}, il suffit de montrer que pour tout $k\in K_0$, l'application:
\[l\in M\longmapsto \sum_{k'\in\left(K_0\cap kMk^{-1}\right)/\left(K_x^1\cap kMk^{-1}\right)}vol\left(k'kIgIk^{-1}k'{}^{-1}\cap lU\right)\]
est biinvariante par un sous-groupe d'Iwahori de $M$. Or elle l'est par $kIk^{-1}$, et elle ne d�pend que de la classe de $k$ � gauche modulo $K_0\cap P$; on peut donc supposer que $k\in N_G\left(T_0\right)$, et le lemme \ref{iwah} permet alors de conclure.
\end{proof}

\begin{cor}
Si $f\in\mathcal{H}$, on a $\hat{\chi}_Uf^P\in\mathcal{H}_M+C_0\left(M\right)$.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, �crivons gr�ce au lemme pr�c�dent $f^P=f'+f''$, $f'\in\mathcal{H}_M$, $f''\in C_0\left(M\right)$. Puisque $\hat{\chi}_U$ est biinvariante par tout sous-groupe d'Iwahori de $M$, on a $\hat{\chi}_Uf'\in\mathcal{H}_M$; d'autre part, si $\gamma\in M/M^1$, les restrictions de $f''$ et de $\hat{\chi}_Uf''$ � $\gamma M^1$ sont proportionnelles, donc si $D$ est une distribution invariante sur $M$ � support dans $\gamma M^1$, puisque $D\left(f''\right)=0$, $D\left(\hat{\chi}_Uf''\right)=0$. Si maintenant $D$ est quelconque, on peut �crire de mani�re unique:
\[D=\sum_{\gamma\in M/M^1}D_\gamma,\]
o� pour tout $\gamma$, $D_\gamma$ est � support dans $\gamma M^1$; $M/M^1$ est en g�n�ral infini mais pour tout $\phi\in C_c^\infty\left(M\right)$, tous les $D_\gamma\left(\phi\right)$ sont nuls sauf au plus un nombre fini d'entre eux, donc la somme converge. On a alors:
\[D\left(\hat{\chi}_Uf''\right)=\sum_{\gamma\in M/M^1}D_\gamma\left(\hat{\chi}_Uf''\right)=0,\]
ce qui d�montre le corollaire.
\end{proof}

\begin{lemme}
Soit $P=MU$ un sous-groupe parabolique standard de $G$, $I_M=I\cap M$, $\left(\pi,V\right)$ une repr�sentation irr�ductible admissible de $G$. Si $V^I$ est r�duit � z�ro, alors $\pi_P$ n'admet aucun vecteur non nul invariant par $I_M$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Ce lemme est une cons�quence imm�diate de \cite[th�or�me 3.3.3]{cass}.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration de la proposition. Pour tout $P=MU$, on v�rifie facilement que si $f'\in\mathcal{H}_M$, et si $\sigma$ est une repr�sentation irr�ductible admissible de $M$ et $V_\sigma$ son espace, $\sigma\left(f'\right)$ est un �l�ment de $V_\sigma^{I_M}$; si cet espace est r�duit � $0$, on a donc $\sigma\left(f'\right)=0$. Puisque $V_\pi^I=0$, on d�duit de ce qui pr�c�de que si $f\in\mathcal{H}_I$, tous les $tr\left(\left(\delta_P^G\right)^{-\dfrac 12}{\pi_i}_P\right)\left(\hat{\chi_U}f^P\right)$ sont nuls, ce qui implique $tr_c\left(\pi\right)\left(f\right)=0$. La distribution $tr_c\left(\pi\right)$ est donc nulle sur $\mathcal{H}$ et la proposition est d�montr�e.
\end{proof}

Montrons maintenant le th�or�me. Pour tout $\gamma\in\Gamma$, soit $\mathcal{H}_\gamma$ l'espace des �l�ments de $\mathcal{H}$ � support dans $\gamma G^1$; on va montrer que si $D$ est nulle sur $\mathcal{H}_0$, elle est nulle sur $\mathcal{H}_\gamma$; comme $\mathcal{H}$ est somme directe des $\mathcal{H}_\gamma$, le th�or�me s'en d�duit imm�diatement.

Puisque $\mathcal{H}_\gamma\subset\mathcal{C}_\gamma$, d'apr�s la d�monstration du th�or�me \ref{dc}, il existe un �l�ment de $\mathcal{D}_c$ qui est combinaison lin�aire de traces compactes et qui co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{H}_\gamma$. On pourra donc, ici encore, supposer que $D$ est combinaison lin�aire de traces compactes. Ecrivons:
\[D=\sum_{i=1}^t\lambda_i tr_c\left(\pi_i\right),\]
o� les $\lambda_i$ sont des constantes et les $\pi_i$ des repr�sentations irr�ductibles temp�r�es de $G$.
Pour tout $i$, soit $V_i$ l'espace de $\pi_i$ et $V_i^I$ le sous-espace des vecteurs de $V_i$ invariants par $I$; d'apr�s la proposition pr�c�dente, on peut supposer que tous les $V_i^I$ sont non triviaux.
De plus, soit, pour tout $i$, $\chi_{\pi_i}$ le caract�re central de $\pi_i$; puisque $\pi_i$ admet des vecteurs invariants par $I$, $\chi_{\pi_i}$ est trivial sur $Z_G\cap I=Z_G\cap G^1$, et on peut donc l'�tendre � un caract�re de $G$ trivial sur $G^1$; la distribution:
\[D'=\sum_{i=1}^t\lambda_i\chi_{\pi_i}\left(\gamma\right)tr_c\left(\chi_{\pi_i}^{-1}\pi_i\right),\]
qui est combinaison lin�aire de traces compactes de repr�sentations irr�ductibles temp�r�es de $G$ de caract�re central trivial, co�ncide avec $D$ sur $\mathcal{H}_\gamma$; on pourra donc supposer $D=D'$.
On va montrer que dans ce cas, $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$; d'apr�s le th�or�me \ref{dc}, $D$ est alors nulle sur $\mathcal{C}$ tout entier, et en particulier sur $\mathcal{H}_\gamma$.

Soit, pour tout $x\in\overline{A}$, $K_x$ le fixateur connexe de $x$ dans $G$; c'est un sous-groupe parahorique de $G$ qui contient $I$. Posons ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$, et pour tout $\gamma\in\Gamma_x$, ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}=\gamma^{\mth{Z}}K_x/K_x^1$; pour tous $i,x,\gamma$, consid�rons la repr�sentation $\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K_x}$ de ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}$, dont l'espace est le sous-espace $V_i^{K_x^1}$ des vecteurs de $V_i$ invariants par $K_x^1$.

\begin{lemme}
Toute composante irr�ductible de $\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K_x}$ admet des vecteurs non nuls invariants par le sous-groupe parabolique minimal ${\mth{P}}_{x,0}={\mth{M}}_{x,0}{\mth{N}}_{x,0}$ image de $I$ dans ${\mth{G}}_x$.
 \end{lemme}

\begin{proof}
Puisque $\pi_i^{K_x}$ est, pour tout $\gamma$ normalisant $K_x$, la restriction � ${\mth{G}}_x$ de $\pi_i^{\gamma^{\mth{Z}}K_x}$, il suffit de montrer ce lemme lorsque $\gamma=1$.
Soit $\rho$ une sous-repr�sentation irr�ductible de $\pi_i^{K_x}$; alors d'une part il existe un sous-groupe parabolique ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ de ${\mth{G}}_x$ et une repr�sentation cuspidale $\sigma$ de ${\mth{M}}$ telle que $\sigma$ est contenue dans le module de Jacquet $\rho_{\mth{P}}$, et d'autre part, d'apr�s le th�or�me 5.2 de \cite{mp} (dont la d�monstration de l'assertion d'unicit� est valable en caract�ristique quelconque), si $\rho'$ est une autre sous-repr�sentation irr�ductible de $\pi_i^{K_x}$ et si ${\mth{P}}'={\mth{M}}'{\mth{U}}'$ et $\sigma'$ sont d�finis de la m�me fa�on pour $\rho'$, alors $\left({\mth{M}},\sigma\right)$ et $\left({\mth{M}}',\sigma'\right)$ sont conjugu�s (dans $G$). En particulier, si ${\mth{M}}={\mth{M}}_{x,0}$ et $\sigma$ est la repr�sentation triviale, $\rho_{\mth{P}}$ est somme directe de copies de cette repr�sentation triviale, donc $\rho$ admet des vecteurs invariants par ${\mth{P}}_{x,0}$, et $\rho'$ admet des vecteurs non nuls invariants par le sous-groupe parabolique minimal ${\mth{P}}'$ de ${\mth{G}}_x$; or tous les sous-groupes paraboliques minimaux de ${\mth{G}}_x$ sont conjugu�s, donc $\rho'$ admet aussi des vecteurs non nuls invariants par ${\mth{P}}_{x,0}$.

Il reste donc � montrer que ${\mth{M}}={\mth{M}}_{x,0}$ et $\sigma=1$ conviennent pour au moins une sous-repr�sentation irr�ductible de $\pi_i^{K_x}$. Soit $v$ un �l�ment non nul de $V_i^I\subset V_i^{K_x^1}$, si $V_i^{K_x^1}=W_1\oplus\dots\oplus W_t$ est une d�composition de $V_i^{K_x^1}$ en sous-$K_x$-modules irr�ductibles, �crivons:
\[v=\sum_{j=1}^tv_j,\]
o� pour tout $j$, $v_j\in W_j$. Puisque $\pi_i^{K_x}$ stabilise chacun des $W_j$, on a, pour tout $h\in I$ et tout $j$, $\pi_i\left(h\right)v_j=v_j$, donc $v_j\in V_i^I$; puisque $v$ est non nul, au moins un des $v_j$ est non nul, donc la sous-repr�sentation $\rho$ de $\pi_i^{K_x}$ d'espace $W_j$ admet des vecteurs non nuls invariants par ${\mth{P}}_{x,0}$. Mais alors le module de Jacquet $\rho_{{\mth{P}}_{x_0}}$ admet des vecteurs non nuls invariants par ${\mth{M}}_{x,0}$, ce qui ach�ve la d�monstration du lemme.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, il existe des repr�sentations irr�ductibles $\rho_1,\dots,\rho_s$ de ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}$, appartenant toutes � la s�rie principale, et des constantes $\mu_1,\dots,\mu_s$ telles que pour tout $f\in\mathcal{C}_{x,0}$ � support dans $\gamma^{\mth{Z}}K_x$, on a:
\[D\left(f\right)=\sum_{j=0}^s\mu_jtr\left(\rho_j\right)\left(f\right).\]
Supposons d'abord $\gamma$ d'ordre fini dans ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}$. Alors ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}$ est fini, donc d'apr�s \cite[proposition 11.25]{cr}, puisque $D$ est nulle sur $\mathcal{H}_0$, tous les $\mu_j$ sont nuls, donc $D$ est nulle sur l'ensemble des �l�ments de $\mathcal{C}_{x,0}$ � support dans $\gamma^{\mth{Z}}K_x$. Supposons maintenant $\gamma$ quelconque; on va en fait se ramener au cas d'un groupe fini.
Il existe un entier $b$ tel que $\gamma^b$ poss�de des repr�sentants dans $Z_G$; le sous-groupe $\gamma^{b{\mth{Z}}}$ de ${\mth{G}}_x$ est alors contenu dans le centre de ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}$, donc pour tout $j$, il existe un caract�re $\chi_{\rho_j}$ de ${\mth{Z}}$ tel que pour tout $z\in{\mth{Z}}$, $\rho_j\left(\gamma^{bz}\right)$ est une homoth�tie de rapport $\chi_{\rho_j}\left(z\right)$. De plus, puisque tous les $\chi_{\pi_i}$ sont triviaux, tous les $\chi_{\rho_j}$ aussi; on peut alors passer au quotient ${\mth{G}}^+_{x,\gamma}/\gamma^{b{\mth{Z}}}$, qui est fini, et on est ramen� au cas pr�c�dent.
On en d�duit que $D$ est nulle sur l'ensemble des �l�ments de $\mathcal{C}_{x,0}$ � support dans $\gamma^{\mth{Z}}K_x$; comme ceci est vrai pour tout $x\in\overline{A}$ et tout $\gamma\in\Gamma$ normalisant $K_x$, $D$ est nulle sur $\mathcal{C}_0$, donc sur $\mathcal{H}_\gamma$ et le th�or�me est d�montr�.
\end{proof}

\section{Int�grales orbitales semi-simples}

\subsection{Int�grales orbitales semi-simples sur $G$}

On va maintenant s'int�resser aux distributions int�grales orbitales semi-simples sur $G$. Pour tout $g\in G$ semi-simple r�gulier et tout $f\in C_c^\infty\left(G\right)$, posons:
\[J\left(g,f\right)=\int_{h\in Z_G^0\left(g\right)\backslash G}f\left(h^{-1}gh\right)dg.\]
Cette int�grale converge et la distribution $J\left(g,\cdot\right)$ est invariante; de plus, si $g$ est compact, elle est � support dans l'ensemble des �l�ments compacts de $G$. On peut donc s'int�resser au sous-espace de $\mathcal{D}_c$ engendr� par les $J\left(g,\cdot\right)$, avec $g$ compact.

Dans ce qui suit, on s'int�ressera uniquement aux $J\left(g,\cdot\right)$, $g\in G^1$. Soit $\mathcal{D}_{c,1}$ le sous-espace des �l�ments de $\mathcal{D}_c$ � support dans $G^1$; on va d�crire, moyennant quelques conditions sur $G$, un syst�me de g�n�rateurs de $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$ constitu� d'in\-t�\-gra\-les orbitales semi-simples.

Soit $T$ un tore de $G$. C'est le groupe des $F$-points d'un tore $\underline{T}$ de $\underline{G}$ d�fini sur $F$, et il existe une extension finie $E$ de $F$ telle que $\underline{T}$ est d�ploy� sur $E$. On dit que $T$ est {\em non ramifi�} si $E$ peut �tre choisie non ramifi�e; $T$ sera dit {\em non ramifi� maximal} si $T$ est maximal parmi les tores non ramifi�s de $G$.

Supposons maintenant que $T$ est un tore non ramifi� maximal de $G$. Soit $K_T$ l'unique sous-groupe parahorique de $T$, $K_T^1$ son premier sous-groupe de congruence; ${\mth{T}}=K_T/K_T^1$ est alors le groupe des ${\mth{F}}_q$-points d'un tore de m�me dimension $d$ que $T$ et d�fini sur ${\mth{F}}_q$; si $K$ est un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $K_T$, en posant ${\mth{G}}=K/K^1$, ${\mth{T}}$ s'identifie � un tore maximal de ${\mth{G}}$.

Soit $g$ un �l�ment de $K_T$. Si son image $\overline{g}$ dans ${\mth{T}}$ est un �l�ment r�gulier de ${\mth{T}}$ dans ${\mth{G}}$, alors il est clair que $g$ est un �l�ment r�gulier de $T$ dans $G$. La r�ciproque est fausse, et il existe m�me des cas o� ${\mth{T}}$ ne contient aucun �l�ment r�gulier dans ${\mth{G}}$ (par exemple si $G=GL_n\left(F\right)$, ${\mth{G}}=GL_n\left({\mth{F}}_q\right)$, avec $n\geq q$, et $T$ est le tore diagonal de $G$).
On dira que $g$ est {\em non ramifi� de r�duction r�guli�re} si pour tout sous-groupe parahorique $K$ de $G$ contenant $K_T$, l'image de $g$ dans $K/K^1$ est un �l�ment r�gulier de $K/K^1$.

On va supposer que $G$ v�rifie la condition suivante:

{\em (C1): Tout tore maximal non ramifi� $T$ de $G$ admet au moins un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re.}

Cette condition est vraie pour $q$ suffisamment grand.
Plus pr�cis�ment, con\-si\-d�\-rons le groupe $G/Z_{G,d}$; on a une d�composition de la forme:
\[G/Z_{G,d}=G_0G_1G_2\ldots G_t,\]
o� $G_0$ est un groupe fini et $G_1,\dots,G_t$ sont les groupes des $F$-points de groupes r�ductifs simples et connexes $\underline{G_1},\dots,\underline{G_t}$. Soit $F^{nr}$ l'extension non ramifi�e maximale de $F$; pour tout $i$, soit $G_i^{nr}=\underline{G_i}\left(F^{nr}\right)$, $h_i$ le nombre de Coxeter de $G_i^{nr}$, $T_i$ un tore d�ploy� maximal de $G_i^{nr}$, $X_i=X_*\left(T_i\right)$ et $P_i$ le groupe des poids du syst�me des coracines de $G_i^{nr}$ relativement � $T_i$. On notera, pour tout $i$, $\mathcal{T}_i$ le couple compos� du diagramme de Dynkin de $G_i^{nr}$ et de $P_i$, et $\mathcal{T}$ l'ensemble des $\mathcal{T}_i$.
On a le r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{srg}
Il existe un entier $q_\mathcal{T}$, ne d�pendant que de $\mathcal{T}$, tel que si $q\geq q_\mathcal{T}$, tout tore non ramifi� maximal de $G$ admet des �l�ments non ramifi�s de r�duction r�guli�re.
\end{lemme}

\begin{proof}
Quitte � remplacer $G$ par $G/Z_{G,d}$ et � le d�composer en produit de groupes simples, on peut le supposer simple; on notera alors $h=h_1$, $l=l_1$, $X=X_1$, $P=P_1$. Soit $T=\underline{T}\left(F\right)$ un tore non ramifi� maximal de $G$. Supposons d'abord $T$ d�ploy�; soit $\Phi=\Phi\left(G/T\right)$ le syst�me de racines r�duit de $G$ relativement � $T$, qui est aussi le syst�me de racines r�duit de $G_{nr}$ relativement au tore d�ploy� maximal $T_{nr}=\underline{T}\left(F_{nr}\right)$; si $K$ est un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $G$ contenant l'unique parahorique $K_T$ de $T$, $\phi$ est �galement le syst�me de racines du groupe r�ductif $K$ relativement � son tore maximal $K_T/K_T^1$ (un tel syst�me est toujours r�duit car le groupe est d�ploy�). On va montrer que pour $q$ assez grand, il existe $\xi\in X_*\left(T\right)$ tel que pour tout $\alpha\in\Phi$, $\langle \alpha,\xi\rangle $ n'est pas un multiple de $q-1$; si $x$ est un �l�ment de $\mathcal{O}^*$ dont la r�duction modulo ${\mathfrak{p}}$ est un g�n�rateur de ${\mth{F}}_q^*$, $\xi\left(x\right)$ est alors un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$.

Soit $\Delta=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un ensemble de racines simples de $\Phi$; consid�rons l'application $\phi$ de $X_*\left(T\right)$ dans ${\mth{N}}^n$ d�finie par:
\[\phi:\xi\longmapsto\left(\langle \alpha_1,\xi\rangle ,\dots,\langle \alpha_n,\xi\rangle \right);\]
cette application est injective et son image est un sous-groupe d'indice $\left[P:X\right]$ de ${\mth{Z}}^n$.
Soit $\alpha_M$ la plus grande racine de $\Phi$; �crivons-la:
\[\alpha_M=\sum_ic_i\alpha_i.\]
Pour tout $\xi\in X_*\left(T\right)$ d'image $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ par $\phi$, posons:
\[q_\xi=\sum_{i=1}^nc_ia_i+1,\]
et soit $q_\mathcal{T}$ le minimum des $q_\xi$, avec $\xi$ tel que pour tout $i$, $a_i\geq 1$. Soit $\xi_\mathcal{T}$ un �l�ment de $X_*\left(T\right)$ v�rifiant cette condition et tel que $q_{\xi_\mathcal{T}}=q_\mathcal{T}$; 
si $q-1\geq q_\mathcal{T}$, pour toute racine positive $\alpha$, on a $\langle \alpha,\xi_\mathcal{T}\rangle \in\left\{1,\dots,q-2\right\}$, qui ne contient aucun multiple de $q-1$ par hypoth�se, et l'assertion du lemme est d�montr�e.

Supposons maintenant $T=\underline{T}\left(F\right)$ quelconque, et toujours $q\geq q_\mathcal{T}$; soit $E$ une extension non ramifi�e de $F$ telle que $\underline{T}\left(E\right)$ est d�ploy�, $k=\left[E:F\right]$, et $\sigma$ le g�n�rateur de $\Gal\left(E/F\right)$ dont la r�duction sur les corps r�siduels est le Frobenius $x\mapsto x^q$. Soit $\Phi$ le syst�me de racines de $\underline{G}\left(E\right)$ relativement � $\underline{T}\left(E\right)$, et $\Delta=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un ensemble de racines simples de $\Phi$, et soit $\xi_\mathcal{T}\in X_*\left(\underline{T}\left(E\right)\right)$ construit de la m�me fa�on que dans le cas d�ploy�; consid�rons l'�l�ment suivant:
\[\xi'=\sum_{j=0}^{k-1}\sigma^j\left(\xi_\mathcal{T}\right).\]
C'est une application de $E^*$ dans $\underline{T}\left(E\right)$, stable par $\Gal\left(E/F\right)$ donc � valeurs dans $T$; d'autre part, puisque pour tous $i,j$, on a:
\[\langle \alpha_i,\sigma^j\xi_\mathcal{T}\rangle =q^j\langle \sigma^{-j}\alpha_i,\xi_\mathcal{T}\rangle ,\]
on en d�duit que l'on a, pour tout $j$ et toute $\alpha\in\Phi$ positive:
\[0<\langle \alpha,\sigma^j\xi_\mathcal{T}\rangle <q^j\left(q-1\right),\]
d'o�:
\[0<\langle \alpha,\xi'\rangle <\sum_{j=0}^{k-1}q^j\left(q-1\right)=q^{j^k}-1.\]
Si $x$ est un �l�ment de l'anneau des entiers $\mathcal{O}_E$ de $E$ dont la r�duction modulo l'id�al maximal ${\mathfrak{p}}_E$ est un g�n�rateur de ${\mth{F}}_{q^k}^*$, l'�l�ment $\xi'\left(x\right)$ de $T$ est alors non ramifi� de r�duction r�guli�re dans $\underline{G}\left(E\right)$, donc a fortiori dans $G$ et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

On calculera explicitement les valeurs de $q_\mathcal{T}$ en fonction de $\mathcal{T}$ dans le paragraphe \ref{cqt}.

On va maintenant montrer le th�or�me:

\begin{theo}\label{intorb}
\begin{itemize}
\item Si $g$ est un �l�ment non ramifi� de r�duction r�\-gu\-li�\-re d'un tore non ramifi� maximal $T$ de $G$, la restriction � $\mathcal{H}$ de la distribution $J\left(g,.\right)$ ne d�pend que de la classe de conjugaison de $T$ dans $G$.
\item Supposons que $G$ v�rifie (C1). Soit $R$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tores non ramifi�s maximaux de $G$, et pour tout $T\in R$, soit $g_T$ un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$. Si le diagramme de Dynkin de $G$ ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$, alors les distributions $J\left(g_T,\cdot\right)|_\mathcal{H}$ engendrent $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$, et en constituent une base si $G$ est d�ploy� sur $F$.
\end{itemize}
\end{theo}

\begin{proof}
D'apr�s le th�or�me \ref{dh}, on peut remplacer $\mathcal{H}$ par $\mathcal{H}_0$ dans l'�nonc� ci-dessus; de plus, pour tout �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re $g$ d'un tore non ramifi� maximal $T$ de $G$, on a $g\in G^1$, donc la distribution $J\left(g,\cdot\right)$ est un �l�ment de $\mathcal{D}_{c,1}$, dont la restriction � $\mathcal{H}_0$ ne d�pend que de sa valeur sur le sous-espace $\mathcal{H}'_0$ des �l�ments de $\mathcal{H}_0$ � support dans $G^1$.

Soit $A$ la facette de $\mathcal{B}$ fix�e par $I$; $\mathcal{H}'_0$ est somme, pour $x$ d�crivant $\overline{A}$, des sous-espaces $\mathcal{H}'_{0,x}$ des �l�ments de $\mathcal{H}'_0$ � support dans le fixateur connexe $K_x$ de $x$. Si, comme dans la d�monstration du th�or�me \ref{dh}, on note ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$ et ${\mth{P}}_{0,x}=I/K_x^1$, alors ${\mth{P}}_{0,x}$ est un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}_x$ et $\mathcal{H}'_{0,x}$ s'identifie � l'espace des fonctions sur ${\mth{G}}_x$ biinvariantes par ${\mth{P}}_{0,x}$; de plus, si $T$ est un tore non ramifi� maximal de $G$ tel que $K_T\subset K_x$, $g$ un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$
et $G_g$ un syst�me de repr�sentants de $G$ modulo $Z_G^0\left(g\right)$ � gauche et $K_x$ � droite; on a, pour tout $f\in\mathcal{H}'_{0,x}$:
\[J\left(g,f\right)=\sum_{h\in G_g}vol\left(Z_G^0\left(g\right)\backslash Z_G^0\left(g\right)hK_x\right)\int_{K_x}f\left(k^{-1}h^{-1}ghk\right)dk.\]
Les seuls termes non nuls de la somme ci-dessus sont ceux correspondant aux $h$ tels que $h^{-1}gh\in K_x$; de plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{cpt}
Soit $h\in G$ tel que $h^{-1}gh\in K_x$; alors $h^{-1}K_Th\subset K_x$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, supposons d'abord $T$ d�ploy�; $T$ est alors un tore d�ploy� maximal de $G$, et puisque $K_T\subset K_x$, l'appartement $\mathcal{A}'$ de $\mathcal{B}$ associ� � $T$ contient $x$. D'apr�s \cite[lemme 2.5.8]{bt}, il existe $h'\in G^1$ tel que $h'\mathcal{A}=\mathcal{A}'$ et que $h'$ fixe $\mathcal{A}\cap\mathcal{A}'$ point par point; on a donc en particulier $h'x=x$. On en d�duit que $h'\in K_x$ et que $h'{}^{-1}Th'=T_0$; on peut donc supposer $T=T_0$. De plus, puisque $g$ est r�gulier dans $T_0$ et fixe $hx$, d'apr�s \cite[3.6.1]{t}, $hx\in\mathcal{A}$; on en d�duit que $h^{-1}K_{T_0}h\subset K_x$, ce qui d�montre l'assertion du lemme.

Supposons maintenant $T$ quelconque, et soit $E$ une extension finie non ramifi�e de $F$ telle que $T_E=\overline{T}\left(E\right)$ est d�ploy�. $T_E$ est un tore non ramifi� maximal d�ploy�, donc un tore d�ploy� maximal, de $G_E=\overline{G}\left(E\right)$; de plus, si $\mathcal{B}_E$ est l'immeuble de $G_E$, $\mathcal{B}$ s'identifie canoniquement � l'ensemble des points de $\mathcal{B}_E$ fix�s par $\Gal\left(E/F\right)$. Si $g$ est r�gulier dans $T$, il l'est aussi dans $T_E$, donc d'apr�s ce qui pr�c�de, $h^{-1}K_{T_E}h$ est contenu dans le fixateur connexe $K_{x,E}$ de $x$ dans $G_E$. En consid�rant les intersections avec $G$ de ces deux groupes, on obtient $h^{-1}K_Th\subset K_x$ et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

\begin{cor}
$\overline{h^{-1}gh}$ est un �l�ment semi-simple r�gulier de ${\mth{G}}_x$.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, $h^{-1}K_Th\subset K_x$ d'apr�s le lemme pr�c�dent, et $\overline{h^{-1}gh}$ est un �l�ment r�gulier du tore maximal $\overline{h^{-1}K_Th}$ de ${\mth{G}}_x$.
\end{proof}

D'apr�s ce corollaire, la restriction de $J\left(g,\cdot\right)$ � $\mathcal{H}'_{0,x}$ s'identifie � une somme de distributions int�grales orbitales d'�l�ments semi-simples r�guliers de ${\mth{G}}_x$. On va donc consid�rer les int�grales orbitales d'�l�ments semi-simples r�guliers sur des groupes r�ductifs finis.

On va ainsi montrer un r�sultat analogue � celui du th�or�me, mais concernant les groupes finis.
Soit $\underline{\mth{G}}$ un groupe r�ductif connexe d�fini sur un corps fini ${\mth{F}}_q$, et soit $\mathbf{F}$ une application de Frobenius de $\underline{\mth{G}}$ dans lui-m�me, c'est-�-dire un morphisme bijectif de $\underline{\mth{G}}$ dans lui-m�me tel qu'il existe des entiers $k,l>0$ tels que ${\mathbf F}^k$ est le morphisme induit par l'application $x\mapsto x^{q^l}$ de $\overline{{\mth{F}}_q}$ dans lui-m�me. Soit ${\mth{G}}=\underline{\mth{G}}^{\mathbf F}$ l'ensemble des points de $\underline{\mth{G}}$ stables par $\mathbf{F}$; ${\mth{G}}$ est un groupe r�ductif connexe et fini.

Soit $L$ l'application de Lang de $\underline{\mth{G}}$ dans lui-m�me d�finie par:
\[L:g\mapsto g^{-1}{\mathbf F}\left(g\right).\]
D'apr�s \cite[corollaire au th�or�me 1]{lg}, pour tout sous-groupe ferm� connexe $\underline{\mth{H}}$ de $\underline{\mth{G}}$, $L\left(\underline{\mth{H}}\right)=\underline{\mth{H}}$; en particulier, $L$ est surjective.

Soit $\underline{\mth{B}}=\underline{\mth{T}}\underline{\mth{U}}$ un sous-groupe de Borel de $\underline{\mth{G}}$, avec $\underline{\mth{T}}$ est stable par $\mathbf{F}$ ($\underline{\mth{B}}$ lui-m�me pouvant ne pas l'�tre). Posons $\tilde{X}=L^{-1}\left(\underline{\mth{U}}\right)$; c'est une vari�t� alg�brique affine, stable par multiplication � gauche par ${\mth{G}}$ et par multiplication � droite par ${\mth{T}}=\underline{\mth{T}}^{\mathbf F}$: en effet, pour $x\in\tilde{X}$, $g\in{\mth{G}}$ et $t\in{\mth{T}}$, on a:
\[L\left(gxt\right)=t^{-1}x^{-1}g^{-1}g{\mathbf F}\left(x\right)t=t^{-1}L\left(x\right)t\in\underline{\mth{U}}.\]
Le groupe ${\mth{G}}\times{\mth{T}}$ peut donc �tre assimil� � un groupe fini d'automorphismes de $\tilde{X}$; pour tout $\left(g,t\right)\in{\mth{G}}\times{\mth{T}}$, on peut alors d�finir le nombre de Lefschetz $\mathcal{L}\left(\left(g,t\right),\tilde{X}\right)$ comme dans \cite[7.1.4]{car}.

Pour tout caract�re $\theta$ de ${\mth{T}}$, soit $R_{\underline{\mth{T}},\theta}$ le caract�re de Deligne-Lusztig de ${\mth{G}}$ dans ${\mth{C}}$ associ� � $\underline{\mth{T}}$, d�fini par:
\[R_{\underline{\mth{T}},\theta}:g\longmapsto\dfrac 1{\card\left({\mth{T}}\right)}\sum_{t\in{\mth{T}}}\theta\left(t\right)^{-1}\mathcal{L}\left(\left(g,t\right),\tilde{X}\right);\]
d'apr�s \cite[proposition 7.3.6]{car}, cette application ne d�pend que de $\underline{\mth{T}}$ et pas de $\underline{\mth{B}}$.

Soit $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur ${\mth{G}}$ biinvariantes par un sous-groupe parabolique minimal ${\mth{P}}_0$ de ${\mth{G}}$ fix�; on a:

\begin{prop}\label{intorbf}
\begin{itemize}
\item Si $g$ est un �l�ment r�gulier d'un tore maximal ${\mth{T}}$ de ${\mth{G}}$, la restriction � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ de la distribution $1_g$ ne d�pend que de la classe de conjugaison de ${\mth{T}}$ dans ${\mth{G}}$.
\item Soit $R_{\mth{G}}$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tore maximaux de ${\mth{G}}$; supposons que pour tout ${\mth{T}}\in R_{\mth{G}}$, il existe un �l�ment r�gulier $g_{\mth{T}}$ dans ${\mth{T}}$. Si le diagramme de Dynkin de ${\mth{G}}$ ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$, alors les distributions $1_{g_{\mth{T}}}|_{\mathcal{H}_{\mth{G}}}$ engendrent l'espace des distributions invariantes sur $\mathcal{H}_{\mth{G}}$, et en constituent une base si ${\mth{G}}$ est d�ploy�.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
La d�monstration de cette proposition fera l'objet de la section suivante.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du th�or�me. Puisque pour $g\in G$ semi-simple r�gulier, $J\left(g,\cdot\right)$ ne d�pend que de la classe de conjugaison de $g$, il suffit, pour montrer la premi�re assertion, de v�rifier que si $T$ est un tore non ramifi� maximal de $G$ et si $g,g'$ sont deux �l�ments non ramifi�s de r�duction r�guli�re de $T$, alors $J\left(g,\cdot\right)$ et $J\left(g',\cdot\right)$ co�ncident sur $\mathcal{H}'_0$. Puisque le sous-groupe parahorique $K_T$ de $T$ est un sous-groupe compact de $G^1$, il est contenu dans un sous-groupe parahorique maximal de $G$, donc il fixe au moins un point de $\mathcal{B}$; soit donc $A_T$ une facette de $\mathcal{B}$ de dimension maximale parmi celles fix�es par $K_T$, et $K$ le sous-groupe parahorique correspondant. Quitte � conjuguer $T$, on peut supposer que $K$ contient $I$. Pour tout $x\in\overline{A_T}$, si $K_x$ est le fixateur connexe de $x$, on a $K_T\subset K_x$; $K_T/K_T^1$ est alors un tore maximal de ${\mth{G}}_x=K_x/K_x^1$, et en appliquant la premi�re assertion de la proposition \ref{intorbf} � ${\mth{G}}_x$, $\overline{g}$ et $\overline{g'}$, en posant, pour tout $f\in C_c^\infty\left(G\right)$:
\[J_x\left(g,f\right)=J_{K_x}\left(g,f\right)=\int_{K_x}f\left(k^{-1}gk\right)dk\]
et de m�me pour $g'$, les distributions $J_x\left(g,\cdot\right)$ et $J_x\left(g',\cdot\right)$ co�ncident sur l'espace $\mathcal{H}'_{0,x}$ des fonctions sur $K_x$ biinvariantes par $I$. De plus, si $f$ est un �l�ment de $\mathcal{H}'_0$ dont le support est disjoint de $K_x$, on a clairement $J_x\left(g,f\right)=J_x\left(g',f\right)=0$; $J_x\left(g,\cdot\right)$ et $J_x\left(g',\cdot\right)$ co�ncident donc sur $\mathcal{H}'_0$. 

Soit maintenant $A$ la chambre de $\mathcal{B}$ fix�e par $I$, $x\in\overline{A}$ et $G_g$ un syst�me de repr�sentants de $G$ modulo $Z_G^0\left(g\right)$ � gauche et $K_x$ � droite; on a, pour tout $f\in\mathcal{H}'_{0,x}$:
\begin{equation}\label{decj}\begin{split}J\left(g,f\right)&=\sum_{h\in G_g}vol\left(Z_G^0\left(g\right)\backslash Z_G^0\left(g\right)hK_x\right)\int_{K_x}f\left(k^{-1}h^{-1}ghk\right)dk\\&=\sum_{h\in G_g,h^{-1}gh\in K_x}vol\left(Z_G^0\left(g\right)\backslash Z_G^0\left(g\right)hK_x\right)\int_{K_x}f\left(k^{-1}h^{-1}ghk\right)dk\\&=\sum_{h\in G_g,x\in\overline{A_{h^{-1}Th}}}vol\left(Z_G^0\left(g\right)\backslash Z_G^0\left(g\right)hK_x\right)J_x\left(h^{-1}gh,f\right),\end{split}
\end{equation}
o� $A_{h^{-1}Th}$ est la face de $A$ de dimension maximale parmi celles fix�es par $K_{h^{-1}Th}$ s'il en existe, et $A_{h^{-1}Th}=\emptyset$ sinon; d'apr�s le lemme \ref{cpt}, $x\in\overline{A_{h^{-1}Th}}$ si et seulement si $h^{-1}gh\in K_x$.
On a une d�composition similaire pour $J\left(g',f\right)$; de plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{eqggp}
On a $Z_G^0\left(g\right)=Z_G^0\left(g'\right)$, et pour tout $h\in G_g$, $h^{-1}gh\in K_x$ si et seulement si $h^{-1}g'h\in K_x$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Puisque $g$ et $g'$ sont r�guliers dans $T$, on a:
\[Z_G^0\left(g\right)=Z_G^0\left(T\right)=Z_G^0\left(g'\right).\]
De plus, soit $h\in G_g$ tel que $h^{-1}gh\in K_x$; d'apr�s le lemme \ref{cpt}, $h^{-1}K_Th\subset K_x$, donc $h^{-1}g'h\in K_x$. Puisque d'apr�s la premi�re assertion, on peut supposer $G_{g'}=G_g$, l'autre implication est sym�trique.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme et ce qui pr�c�de, on a:
\[\sum_{h\in G_g,x\in\overline{A_{h^{-1}Th}}}vol\left(Z_G^0\left(g\right)\backslash Z_G^0\left(g\right)hK_x\right)J_x\left(h^{-1}gh,f\right)\]
\[=\sum_{h\in G_{g'},x\in\overline{A_{h^{-1}Th}}}vol\left(Z_G^0\left(g'\right)\backslash Z_G^0\left(g'\right)hK_x\right)J_x\left(h^{-1}g'h,f\right),\]
autrement dit $J\left(g,f\right)=J\left(g',f\right)$, pour tout $f\in\mathcal{H}'_{0,x}$. Comme ceci est vrai pour tout $x\in\overline{A}$, $J\left(g,\cdot\right)$ et $J\left(g',\cdot\right)$ co�ncident sur $\mathcal{H}'_{0,I}$ et la premi�re assertion du th�or�me est d�montr�e.

Montrons maintenant la seconde. Supposons donc que $G$ v�rifie (C1), et que son diagramme de Dynkin ne contient aucune composante de type $E_7$ ou $E_8$; soit $R$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tores non ramifi�s maximaux de $G$, et pour tout $T\in R$, soit $g_T$ un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$, $K_T$ l'unique sous-groupe parahorique de $T$ et ${\mth{T}}=K_T/K_T^1$. Soit $D\in\mathcal{D}_{c,1}$; on va montrer que la restriction � $\mathcal{H}'_0$ de $D$ est combinaison lin�aire de celles des $J\left(g_T,\cdot\right)$.

Soit $K$ un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $I$, et ${\mth{G}}=K/K^1$. D'apr�s la proposition \ref{intorbf}, si $R_K$ est un ensemble de repr�sentants des classes de conjugaison de tores maximaux de ${\mth{G}}$, il existe des constantes $\lambda_{\mth{T}}$, ${\mth{T}}\in R_K$, telles que pour toute fonction $f$ sur $G$ � support dans $K$ et biinvariante par $I$, on a:
\[D\left(f\right)=\sum_{{\mth{T}}\in R_K}\lambda_{\mth{T}}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right),\]
o� pour tout ${\mth{T}}$, $g_{\mth{T}}$ est un �l�ment r�gulier de ${\mth{T}}$; de plus, si $K'$ est un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $K$, et si ${\mth{G}}'=K'/K'{}^1$, ${\mth{G}}$ s'identifie � un sous-groupe de Levi du sous-groupe parabolique ${\mth{P}}$ image de $K$ dans ${\mth{G}}'$, et on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout ${\mth{T}}'\in R_{K'}$ et pour toute fonction $f$ sur $G$ � support dans $K$ et biinvariante par $I$, on a:
\[J_{K'}\left(g_{{\mth{T}}'},f\right)=\card\left(N_{{\mth{G}}'}\left({\mth{T}}'\right)\right)\sum_{\mth{T}}\dfrac{1}{\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right),\]
la somme portant sur l'ensemble des ${\mth{T}}\in R_K$ conjugu�s � ${\mth{T}}'$ dans ${\mth{G}}'$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $R_{K,{\mth{T}}'}$ cet ensemble. Puisque $g_{{\mth{T}}'}$ est r�gulier dans ${\mth{T}}'$, il l'est aussi dans ${\mth{T}}$, donc pour tout $h\in{\mth{G}}'$, $h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h$ appartient � au plus un �l�ment de $R_{K,{\mth{T}}'}$; on en d�duit:
\begin{equation*}\begin{split}J_{K'}\left(g_{{\mth{T}}'},f\right)&=\sum_{h\in{\mth{G}}'}f\left(h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h\right)\\&=\sum_{{\mth{T}}\in R_{K,{\mth{T}}'}}\sum_{h\in{\mth{G}}',h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h\in{\mth{T}}^{\mth{G}}}f\left(h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{{\mth{T}}\in R_{K,{\mth{T}}'}}\sum_{h\in{\mth{G}}',h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h\in{\mth{T}}^{\mth{G}}}J_K\left(h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h,f\right)\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{{\mth{T}}\in R_{K,{\mth{T}}'}}\sum_{h\in{\mth{G}}',h^{-1}g_{{\mth{T}}'}h\in{\mth{T}}}\dfrac{\card\left({\mth{G}}\right)}{\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right)\\&=\card\left(N_{{\mth{G}}'}\left({\mth{T}}'\right)\right)\sum_{{\mth{T}}\in R_{K,{\mth{T}}'}}\dfrac{1}{\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right),\end{split}\end{equation*}
ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme, on a pour tous $K,K',f$:
\begin{equation*}\begin{split}D\left(f\right)&=\sum_{{\mth{T}}\in R_K}\lambda_{\mth{T}}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right)\\&=\sum_{{\mth{T}}'\in R_{K'}}\lambda_{{\mth{T}}'}\card\left(N_{{\mth{G}}'}\left({\mth{T}}'\right)\right)\sum_{{\mth{T}}}\dfrac{1}{\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)}J_K\left(g_{\mth{T}},f\right).\end{split}\end{equation*}
On en d�duit que l'on peut supposer, pour tous $K,K'$ et tout ${\mth{T}}\in R_K$, si ${\mth{T}}'$ est l'unique �l�ment de $R_{K'}$ tel que ${\mth{T}}\in R_{K,{\mth{T}}'}$:
\[\lambda_{\mth{T}}=\dfrac{\card\left(N_{{\mth{G}}'}\left({\mth{T}}'\right)\right)}{\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)}\lambda_{{\mth{T}}'}.\]
Pour tout tore non ramifi� maximal $T$ de $G$, tel qu'il existe un sous-groupe parahorique $K$ de $G$ contenant $I$ et $K_T$, si ${\mth{T}}$ est l'image de $T$ dans ${\mth{G}}=K/K^1$, posons:
\[\mu_T=\card\left(N_{\mth{G}}\left({\mth{T}}\right)\right)\lambda_{\mth{T}};\]
on d�duit de ce qui pr�c�de que $\mu_T$ ne d�pend que de $T$ et pas du choix de $K$.

Soit $d$ le plus petit entier v�rifiant la propri�t� suivante: il existe une face $B$ de $A$ de dimension $d$ et un tore non ramifi� maximal $T$ de $G$ tels que $K_T\subset K_B$, o� $K_B$ est le fixateur connexe de $B$, et que $\mu_T\neq 0$; si une telle face n'existe pas, on pose $d=-1$. On va montrer l'assertion cherch�e par r�currence sur $d$.

Si $d=-1$, la restriction de $D$ � $\mathcal{H}'_0$ est nulle, donc $D$ est nulle sur $\mathcal{H}$ d'apr�s le th�or�me \ref{dh} et l'assertion est triviale. Supposons donc $d\geq 0$, et soit $A_1,\dots,A_s$ les faces de $A$ de dimension $d$; pour tout $j$, soit $\mathcal{H}_{A_j}$ l'espace des fonctions sur $K_j=K_{A_j}$ biinvariantes par $I$.
D'apr�s ce qui pr�c�de, pour tout $j\in\left\{1,\dots,s\right\}$ et tout $f\in\mathcal{H}_{A_j}$, on a:
\[D\left(f\right)=\sum_{{\mth{T}}\in R_{A_j,ell}}\lambda_{{\mth{T}}}J_{K_j}\left(g_{\mth{T}},f\right),\]
o� $R_{A_j,ell}$ est un ensemble de repr�sentants des classes de conjugaison de tores maximaux elliptiques de ${\mth{G}}_j=K_j/K_j^1$.

Si $T$ et $T'$ sont deux tores de $G$ conjugu�s entre eux, alors $K_T$ et $K_{T'}$ le sont �galement, de m�me que $K_T^1$ et $K_{T'}^1$; $G$ agit donc par conjugaison sur l'ensemble des tores finis $K_T/K_T^1$, o� $T$ est un tore de $G$. Montrons d'abord le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{tcj}
Soit $j,j'\in\left\{1,\dots,s\right\}$, soit ${\mth{T}}\in R_{A_j,ell}$ et ${\mth{T}}'\in R_{A_{j'},ell}$; supposons ${\mth{T}}$ et ${\mth{T}}'$ conjugu�s par $h\in G$. Alors $K_j$ et $K_{j'}$ sont associ�s; de plus, si $j=j'$, $h$ normalise ${\mth{G}}_j$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $h\in G$ tel que $h^{-1}{\mth{T}}h={\mth{T}}'$; on a alors, si $T$ est un tore de $G$ tel que ${\mth{T}}=K_T/K_T^1$:
\[K_T\subset K_j\cup hK_{j'}h^{-1}.\]
On en d�duit que $K_T$ fixe � la fois $A_j$ et $hA_{j'}$.

Soit $\mathcal{A}'$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant $A_j$ et $hA_{j'}$ et $T'_0$ le tore d�ploy� maximal de $G$ associ� � $\mathcal{A}'$; posons $\left(M,K_M\right)=\kappa_0\left(K_j,T'_0\right)$, $\left(M',K_{M'}\right)=\kappa_0\left(K_{hA_{j'}},T'_0\right)$. Alors $T$ est un tore elliptique � la fois de $M$ et de $M'$; or puisque $M$ et $M'$ sont tous deux semi-standard relativement � $T'_0$, leur intersection est un sous-groupe de Levi � la fois de $M$ et de $M'$; comme elle contient $T$, on en d�duit que $M=M'$. De plus, $K_M$ et $K_{M'}$ sont deux sous-groupes parahoriques maximaux de $M$ contenant $K_T$; puisque ${\mth{T}}$ est elliptique dans $K_M/K_M^1={\mth{G}}_j$, ils sont �gaux, ce qui montre d'une part que $K_j$ et $K_{j'}$ sont associ�s, et d'autre part, si $j=j'$, que $h$ normalise $M$ et $K_M$, et le lemme est d�montr�.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du th�or�me. Par le m�me raisonnement que dans le lemme \ref{reges}, si $K_j$ et $K_{j'}$ sont associ�s et si $\phi$ est un isomorphisme entre $\mathcal{H}_{A_j}$ et $\mathcal{H}_{A_{j'}}$ obtenu en les identifiant tous deux � l'espace des fonctions sur ${\mth{G}}_j={\mth{G}}_{j'}$ biinvariantes par le parabolique minimal image de $I$, on a $D\left(\phi\left(f\right)\right)=D\left(f\right)$ pour tout $f\in\mathcal{H}_{A_j}$. En particulier, pour tout $j$, si $h$ normalise ${\mth{G}}_j$, on a:
\[D\left(f\right)=\sum_{{\mth{T}}\in R_{A_j,ell}}\lambda_{{\mth{T}}}J_{K_j}\left(g_{\mth{T}},f\right)=\sum_{{\mth{T}}\in R_{A_j,ell}}\lambda_{h^{-1}{\mth{T}}h}J_{K_j}\left(g_{\mth{T}},f\right);\]
si ${\mth{T}}$ et ${\mth{T}}'$ sont deux �l�ments de $R_{A_j,ell}$ conjugu�s dans $G$, on peut donc supposer $\lambda_{{\mth{T}}}=\lambda_{{\mth{T}}'}$.

Si maintenant $T$ et $T'$ sont deux tores non ramifi�s maximaux de $G$ conjugu�s entre eux et tels qu'il existe $j,j'$ tels que ${\mth{T}}=K_T/K_T^1$ et ${\mth{T}}'=K_{T'}/K_{T'}^1$ sont des tores elliptiques maximaux respectivement de ${\mth{G}}_j$ et ${\mth{G}}_{j'}$, d'apr�s le lemme pr�c�dent, $K_j$ et $K_{j'}$ sont associ�s, et on d�duit de ce qui pr�c�de que l'on a encore $\lambda_{{\mth{T}}}=\lambda_{{\mth{T}}'}$, d'o�, puisque ${\mth{G}}_j$ et ${\mth{G}}_{j'}$ sont isomorphes, $\mu_T=\mu_{T'}$; $\mu_T$ ne d�pend donc que de la classe de conjugaison de $T$ dans $G$, et on a, pour tout $j$ et pour tout $f\in\mathcal{H}_{A_j}$:
\[D\left(f\right)=\sum_{T\in R_d}\mu_T\sum_{{\mth{T}}''\in R_{A_j,ell,T}}\dfrac{1}{\card\left(N_{{\mth{G}}_j}\left({\mth{T}}''\right)\right)}J_{K_j}\left(g_{{\mth{T}}''},f\right),\]
o� $R_{A_j,ell,T}$ est l'ensemble des �l�ments de $R_{A_j,ell}$ conjugu�s � ${\mth{T}}$, et o� $R_d$ est l'ensemble des $T\in R$ tel que $R_{A_j,ell,T}$ est non vide pour au moins un $j$.

De plus, pour tout $T\in R$, en rempla�ant $D$ par $J\left(g_T,\cdot\right)$ o� $g_T$ est un �l�ment non ramifi� de r�duction r�guli�re de $T$, on obtient, pour tout $f\in\mathcal{H}_{A_j}$, en utilisant \ref{decj}:
\[J\left(g_T,f\right)=\nu_T\sum_{{\mth{T}}''\in R_{A_j,ell,T}}\dfrac{1}{\card\left(N_{{\mth{G}}_j}\left({\mth{T}}''\right)\right)}J_{K_j}\left(g_{{\mth{T}}''},f\right),\]
o� $\nu_T$ est une constante non nulle. La distribution:
\[D'=D-\sum_{T\in R_d}\dfrac{\mu_T}{\nu_T}J\left(g_T,\cdot\right)\]
est alors nulle sur tous les $\mathcal{H}_{A_j}$. Par hypoth�se de r�currence, $D'$ est combinaison lin�aire d'int�grales orbitales de la forme $J\left(g_T,\cdot\right)$, $T\in R$; c'est donc �galement le cas de $D$ et l'assertion cherch�e est d�montr�e.

Supposons maintenant $G$ d�ploy�; on va montrer que les $J\left(g_T,\cdot\right)$, $T\in R$ sont lin�airement ind�pendantes. Supposons que l'on a une relation de la forme:
\[\sum_{T\in R}c_TJ\left(g_T,\cdot\right)=0,\]
avec au moins un des $c_T$ non nul.
Soit $d$ le plus grand entier tel qu'il existe au moins un $T\in R_d$ tel que $c_T\neq 0$, soit $A_1,\dots,A_s$ les faces de $A$ de dimension $d$ et $K_1,\dots,K_s$ les parahoriques de $G$ correspondants. Alors pour tout $j$, en conservant les notations pr�c�dentes, on a, d'apr�s ce qui pr�c�de:
\[\sum_{T\in R_d}c_T\nu_T\sum_{{\mth{T}}''\in R_{A_j,ell,T}}\dfrac{1}{\card\left(N_{{\mth{G}}_j}\left({\mth{T}}''\right)\right)}J_{K_j}\left(g_{{\mth{T}}''},\cdot\right)=0,\]
Or puisque $G$ est d�ploy�, ${\mth{G}}_j=K_j/K_j^1$ l'est aussi, donc d'apr�s la proposition \ref{intorbf}, les $J_{K_j}\left(g_{{\mth{T}}''},\cdot\right)$ sont lin�airement ind�pendantes; l'�galit� ci-dessus n'est alors possible que si pour tout $T$ tel que $R_{A_j,ell,T}$ est non vide, $c_T=0$. Comme ceci est vrai pour tout $j$, on en d�duit que pour tout $T\in R_d$, $c_T=0$, ce qui contredit la d�finition de $d$; on en conclut que tous les $c_T$ sont nuls et que les $J\left(g_T,\cdot\right)$ sont lin�airement ind�pendantes.
\end{proof}

\subsection{D�monstration de la proposition}

On va maintenant d�montrer la proposition \ref{intorbf}. La premi�re assertion se d�duit imm�diatement du lemme suivant:
\begin{lemme}\label{cddl}
Soit ${\mth{T}}$ un tore maximal de ${\mth{G}}$, $g$ un �l�ment r�gulier de ${\mth{T}}$. Pour tout $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$, on a:
\[1_g\left(f\right)=\dfrac 1{\card\left({\mth{T}}\right)}\langle R_{\underline{\mth{T}},1},f\rangle _{\mth{G}},\]
o� $\underline{\mth{T}}$ est l'unique tore maximal de $\underline{\mth{G}}$ contenant ${\mth{T}}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, on a, d'apr�s \cite[proposition 7.5.5]{car}:
\[1_g\left(f\right)=\dfrac{\varepsilon_{Z_{\underline{\mth{G}}}^0\left(g\right)}}{\card\left(Z_{\mth{G}}\left(g\right)\right)\card\left(Z_{\underline{\mth{G}}}^0\left(g\right)\cap{\mth{G}}\right)_p}\sum_{\underline{\mth{T}}'\ni g\mid {\mathbf F}\left(\underline{\mth{T}}'\right)=\underline{\mth{T}}'}\varepsilon_{\underline{\mth{T}}'}\sum_\theta\theta\left(g\right)^{-1}\left(R_{\underline{\mth{T}}',\theta},f\right),\]
o� pour tout $\underline{\mth{T}}'$, $\varepsilon_{\underline{\mth{T}}'}$ est d�fini comme dans \cite[6.5]{car} et vaut $\pm 1$, et o� pour $a$ entier, $a_p$ est la plus grande puissance de $p$ divisant $a$.
Or puisque $g$ est r�gulier dans ${\mth{T}}$, $\underline{\mth{T}}$ est � la fois le centralisateur de $g$ dans $\underline{\mth{G}}$ et le seul tore maximal de $\underline{\mth{G}}$ le contenant; de plus, puisque ${\mth{T}}$ est un tore de ${\mth{G}}$, son cardinal n'est pas multiple de $p$. L'�galit� ci-dessus se r�duit donc �:
\[1_g\left(f\right)=\dfrac 1{\card\left({\mth{T}}\right)}\sum_\theta\theta\left(g\right)^{-1}\left(R_{\underline{\mth{T}},\theta},f\right).\]
Soit $\theta$ un caract�re non trivial de ${\mth{T}}$; on va montrer que $\left(R_{\underline{\mth{T}},\theta},f\right)=0$ pour tout $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$, ce qui montrera le lemme. Pour cela, soit ${\mth{T}}_0$ un tore maximal de ${\mth{G}}$ contenu dans ${\mth{P}}_0$, donc contenant un tore d�ploy� maximal de ${\mth{G}}$, et soit $\underline{\mth{T}}_0$ le tore maximal de $\underline{\mth{G}}$ contenant ${\mth{T}}_0$.
Les couples $\left(\underline{\mth{T}}_0,1\right)$ et $\left(\underline{\mth{T}},\theta\right)$ ne sont pas g�om�triquement conjugu�s;
si $\chi$ est un caract�re irr�ductible de ${\mth{G}}$ tel que $\langle R_{\underline{\mth{T}},\theta},\chi\rangle _{\mth{G}}\neq 0$, on a alors $\langle R_{\underline{\mth{T}}_0,1},\chi\rangle _{\mth{G}}=0$ d'apr�s \cite[th�or�me 7.3.8]{car}, d'o�, par \cite[proposition 7.2.4]{car}, $\langle \Ind_{{\mth{P}}_0}^{\mth{G}}1,\chi\rangle _{\mth{G}}=0$. Or d'apr�s \cite[proposition 11.25]{cr}, cela implique $\langle \chi,f\rangle _{\mth{G}}=0$ pour tout $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$; on en d�duit l'assertion cherch�e.
\end{proof}

Pour montrer la deuxi�me assertion de la proposition, il suffit, d'apr�s le lemme \ref{cddl}, de montrer que les restrictions � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ des distributions $\langle R_{\underline{\mth{T}},1},\cdot\rangle _{\mth{G}}$, o� ${\mth{T}}$ d�crit un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de tores maximaux de ${\mth{G}}$, sont lin�airement ind�pendantes.

Montrons d'abord que l'on peut supposer $\underline{\mth{G}}$ simple et adjoint. Soit $\underline{\mth{Z}}$ le centre de $\underline{\mth{G}}$, et $\underline{\mth{Z}}^0$ sa composante neutre; en posant ${\mth{Z}}^0=\underline{{\mth{Z}}^0}^{\mathbf F}$, on a ${\mth{Z}}^0\subset{\mth{P}}_0$, donc $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ est canoniquement isomorphe � l'alg�bre de Hecke de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}^0$, et pour tout $x\in{\mth{G}}$, si $\overline{x}$ est l'image de $x$ dans ${\mth{G}}/{\mth{Z}}^0$, on a pour tout $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$:
\[\sum_{g\in{\mth{G}}/{\mth{Z}}^0}f\left(g^{-1}\overline{x}g\right)=\dfrac 1{\card\left({\mth{Z}}^0\right)}\sum_{g\in{\mth{G}}}f\left(g^{-1}xg\right).\]
De plus, l'application ${\mth{T}}\mapsto{\mth{T}}/{\mth{Z}}^0$ est une bijection canonique entre les tores maximaux de ${\mth{G}}$ et ceux de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}^0$, et deux tores maximaux sont conjugu�s si et seulement si leurs images sont conjugu�es. Enfin on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Le sous-groupe des points fix�s par $\mathbf{F}$ de $\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}^0$ est canoniquement isomorphe � ${\mth{G}}/{\mth{Z}}^0$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Ce lemme est une cons�quence imm�diate de \cite[1.17]{car}.
\end{proof}

D'apr�s ce lemme et ce qui pr�c�de, la proposition est donc vraie pour ${\mth{G}}$ si et seulement si elle est vraie pour ${\mth{G}}/{\mth{Z}}^0$, et on peut supposer que $\underline{\mth{Z}}^0$ est trivial; $\underline{\mth{G}}$ est alors semi-simple.

Montrons maintenant que l'on peut supposer $\underline{\mth{Z}}$ trivial. Par le m�me raisonnement que pr�c�demment, d'une part la proposition est vraie pour ${\mth{G}}$ si et seulement si elle est vraie pour ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$, et d'autre part, on a une injection canonique de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ dans $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$, qui cette fois n'est plus surjective, mais dont l'image est un sous-groupe normal de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$; de plus, l'ensemble des classes de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$ modulo ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ est index� par $\underline{\mth{Z}}/L\left(\underline{\mth{Z}}\right)$ ($L\left(\underline{\mth{Z}}\right)$ est un groupe car $\underline{\mth{Z}}$ est ab�lien). Ceci reste vrai en rempla�ant $\underline{\mth{G}}$ par n'importe lequel de ses sous-groupes ferm�s ${\mathbf F}$-stables contenant ${\mth{Z}}$, et en particulier par un tore maximal $\underline{\mth{T}}$; on en d�duit en particulier d'une part une bijection canonique entre les tores maximaux de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ et ceux de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$, et d'autre part, puisque $\left(\underline{\mth{T}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$ rencontre toutes les classes de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$ modulo ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$, que deux tores maximaux de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ sont conjugu�s dans $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$ si et seulement si ils le sont dans ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$.
On a donc une bijection canonique entre les classes de conjugaison de tores maximaux de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ et celles de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$.

Soit maintenant ${\mth{P}}_0$ un sous-groupe parabolique minimal de $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$. C'est le groupe des points fixes par ${\mathbf F}$ d'un sous-groupe de Borel ${\mathbf F}$-stable de $\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}$, donc d'apr�s ce qui pr�c�de, ${\mth{P}}_0\cap\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$ est un sous-groupe normal d'indice $\left[\underline{\mth{Z}}:L\left(\underline{\mth{Z}}\right)\right]$ de ${\mth{P}}_0$;
on en d�duit que les alg�bres de Hecke $\mathcal{H}\left(\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}\right)$ et $\mathcal{H}\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$, cons\-ti\-tu\-�es des fonctions biinvariantes respectivement par ${\mth{P}}_0$ et ${\mth{P}}_0\cap\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$, sont canoniquement isomorphes. D'autre part, les espaces des restrictions � ces deux alg�bres des distributions invariantes sur les groupes respectifs sont �\-ga\-le\-ment canoniquement isomorphes: en effet, consid�rons la re\-pr�\-sen\-ta\-tion $\pi=\Ind_{{\mth{P}}_0/{\mth{Z}}}^{{\mth{G}}/{\mth{Z}}}1$. D'apr�s \cite[11.25]{cr}, l'espace des restrictions � $\mathcal{H}\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$ des distributions invariantes sur ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ est engendr� par les traces des sous-repr�sentations de $\pi$; on a �galement une assertion similaire pour $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$ et $\pi'$ d�finie de fa�on similaire � $\pi$. D'autre part, d'apr�s \cite[1.17]{car} appliqu� � $\underline{\mth{G}}$ et $\underline{{\mth{P}}_0}$, les �l�ments de l'espace $V$ de $\pi$ sont les restrictions � ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ des �l�ments de l'espace $V'$ de $\pi'$, et l'application restriction est bijective;
de plus, si $W'$ est un sous-espace irr�ductible de $V'$ et $W$ son image dans $V$, $W$ est stable par $\pi$, et somme de sous-espaces irr�ductibles sur lesquels ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ agit par des repr�sentations toutes conjugu�es entre elles par des �l�ments de $\left(\underline{\mth{T}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$; puisque $\mathcal{H}\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$ est invariante par conjugaison par ce groupe, toutes ces repr�sentations ont m�me trace sur $\mathcal{H}\left({\mth{G}}/{\mth{Z}}\right)$, ce qui d�montre l'assertion cherch�e.

Enfin, si $x$ est un �l�ment semi-simple r�gulier de ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$ et si $f\in\mathcal{H}\left(\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}\right)$, on a:
\[\sum_{g\in{\mth{G}}/{\mth{Z}}}f\left(g^{-1}xg\right)=\dfrac 1{\left[\underline{\mth{Z}}:L\left(\underline{\mth{Z}}\right)\right]}\sum_{g\in\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}}f\left(g^{-1}xg\right);\]
la proposition est donc vraie pour ${\mth{G}}/{\mth{Z}}$, et donc pour ${\mth{G}}$, si et seulement si elle est vraie pour $\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}\right)^{\mathbf F}$, et donc on peut, quitte � remplacer $\underline{\mth{G}}$ par $\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{Z}}$, supposer $\underline{\mth{Z}}$ trivial, c'est-�-dire $\underline{\mth{G}}$ adjoint. Enfin, on peut supposer $\underline{\mth{G}}$ simple par le m�me raisonnement que dans \cite[12.1]{car}.

Soit $W$ le groupe de Weyl de $\underline{\mth{G}}$ relativement � $\underline{\mth{T}}_0$. Puisque $\underline{\mth{T}}_0$ est stable par $\mathbf{F}$, $\mathbf{F}$ agit sur $W$; on dit que deux �l�ments $w,w'$ de $W$ sont $\mathbf{F}$-conjugu�s s'il existe $x\in W$ tel que $w'=x^{-1}w{\mathbf F}\left(x\right)$. La $\mathbf{F}$-conjugaison est clairement une relation d'�quivalence sur $W$; de plus, d'apr�s \cite[proposition 3.3.3]{car}, il existe une bijection canonique entre les classes de conjugaison de tores maximaux de ${\mth{G}}$ et les classes de $\mathbf{F}$-conjugaison de $W$. Soit $W'$ un syst�me de repr�sentants de ces classes; pour tout $w\in W'$, on fixera un tore maximal $\underline{\mth{T}}_w$ de $\underline{\mth{G}}$ tel que ${\mth{T}}_w$ appartient � la classe correspondant � $w$.

Si ${\mth{G}}$ est d�ploy�, l'action de $\mathbf{F}$ sur $W$ est triviale, et les classes de $\mathbf{F}$-conjugaison de $W$ sont les classes de conjugaison ordinaires. Pour tout caract�re irr�ductible $\phi$ de $W$, posons alors:
\[R_\phi=\dfrac 1{\card\left(W\right)}\sum_{w\in W'}\phi\left(w\right)R_{\underline{\mth{T}}_w,1}.\]
Si ${\mth{G}}$ n'est pas d�ploy�, soit $W_1$ le groupe fini d'endomorphismes de ${\mth{T}}_0$ engendr� par $W$ et $\mathbf{F}$, et posons pour tout caract�re irr�ductible $\phi$ de $W_1$:
\[R_\phi=\dfrac 1{\card\left(W\right)}\sum_{w\in W'}\phi\left({\mathbf F}w\right)R_{\underline{\mth{T}}_w,1}.\]
Puisque l'on a �galement pour tout $w\in W'$:
\[R_{\underline{\mth{T}}_w,1}=\sum_\phi\phi\left(w\right)R_\phi\]
si ${\mth{G}}$ est d�ploy�, et:
\[R_{\underline{\mth{T}}_w,1}=\sum_\phi\phi\left({\mathbf F}w\right)R_\phi\]
sinon, l'espace engendr� par les $R_\phi$ est le m�me que celui engendr� par les $R_{\underline{\mth{T}}_w,1}$; on va donc montrer que les restrictions � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ des $\langle R_\phi,\cdot\rangle _{\mth{G}}$ engendrent l'espace des distributions sur $\mathcal{H}_{\mth{G}}$, et en constituent une base si ${\mth{G}}$ est d�ploy�.

Pour cela, consid�rons les caract�res irr�ductibles unipotents de ${\mth{G}}$, c'est-�-dire ceux qui interviennent comme composantes irr�ductibles des $R_{\underline{\mth{T}}_w,1}$. Lusztig (\cite{l3}) les classe en familles de la mani�re suivante: les familles sont les plus petites parties de l'ensemble des caract�res unipotents de $G$ telles que si $\chi$ et $\chi '$ sont deux caract�res intervenant comme composantes de $R_\phi$, pour $\phi$ donn�, ils sont dans une m�me famille, ou encore : deux caract�res unipotents $\chi$ et $\chi '$ de ${\mth{G}}$ sont dans une m�me famille si et seulement si il existe une suite $\chi=\chi_0,\chi_1,\dots,\chi_r=\chi '$ de caract�res unipotents et des caract�res irr�ductibles $\phi_1,\dots,\phi_r$ de $W$ tels que pour tout $i$, $\chi_{i-1}$ et $\chi_i$ interviennent tous deux dans $R_{\phi_i}$.

Supposons d'abord ${\mth{G}}$ d�ploy�. D'apr�s \cite[propositions 10.1.2 et 10.11.2]{car}, il existe une bijection $\phi\mapsto\chi_\phi$ entre les caract�res irr�ductibles de $W$ et ceux de ${\mth{G}}$ intervenant dans la s�rie principale. Consid�rons donc la matrice index�e par les caract�res irr�ductibles de $W$ suivante:
\[M_{\mth{G}}=\left(\langle R_\phi,\chi_{\phi '}\rangle _{\mth{G}}\right)_{\phi,\phi '}.\]
Puisque les $\langle \chi_\phi,\cdot\rangle _{\mth{G}}$ forment une base de l'espace des distributions sur $\mathcal{H}_{\mth{G}}$, il suffit de montrer que cette matrice est inversible.

Soit $\mathcal{F}$ une famille de caract�res unipotents. D'apr�s \cite[12.3]{car}, on peut lui attacher un groupe fini $\Gamma=\Gamma\left(\mathcal{F}\right)$, qui est soit $\left({\mth{Z}}/2{\mth{Z}}\right)^n$, $n\geq 0$, soit le groupe sym�trique $S_n$, $n=3,4,5$, et qui v�rifie la propri�t� suivante: fixons un ensemble de repr�sentants $R$ des classes de conjugaison de $\Gamma$. Soit $M\left(\Gamma\right)$ l'ensemble des couples $\left(x,\sigma\right)$, o� $x\in R$ et $\sigma$ est un caract�re irr�ductible de $Z_\Gamma\left(x\right)$; il existe alors une bijection $\left(x,\sigma\right)\mapsto\chi_{\left(x,\sigma\right)}$ entre $M\left(\Gamma\right)$ et $\mathcal{F}$ telle que pour tout $\left(x,\sigma\right)\in M\left(\Gamma\right)$ et tout caract�re irr�ductible $\phi$ de $W$, si $\left(y,\tau\right)$ est l'�l�ment de $M\left(\Gamma\right)$ tel que $\chi_\phi=\chi_{\left(y,\tau\right)}$, $\langle R_\phi,\chi_{\left(x,\sigma\right)}\rangle _{\mth{G}}$ vaut:
\begin{multline*}\left\{\left(x,\sigma\right),\left(y,\tau\right)\right\}\\=\dfrac 1{\card\left(Z_\Gamma\left(x\right)\right)\card\left(Z_\Gamma\left(y\right)\right)}\sum_{g\in\Gamma,xgyg^{-1}=gyg^{-1}x}\sigma\left(gyg^{-1}\right)\overline{\tau\left(g^{-1}xg\right)}.\end{multline*}
En particulier, les $\left\{\left(x,\sigma\right),\left(x,\sigma\right)\right\}$ sont non nuls, donc pour tout $\phi$, $\chi_\phi$ intervient dans $R_\phi$; on en d�duit que si $\phi,\phi '$ sont tels que $\chi_\phi$ et $\chi_{\phi '}$ ne sont pas dans la m�me famille, $\langle R_\phi,\chi_{\phi '}\rangle _{\mth{G}}=0$. La matrice $M_{\mth{G}}$ est donc (en ordonnant convenablement les $\phi$) diagonale par blocs, chaque bloc �tant constitu� des termes d'indice $\left(\phi,\phi '\right)$ tels que $\chi_\phi$ et $\chi_{\phi '}$ appartiennent � une famille donn�e;
le bloc de $M_{\mth{G}}$ correspondant � $\mathcal{F}$ est constitu� des $\left\{\left(x,\sigma\right),\left(y,\tau\right)\right\}$, o� $\left(x,\sigma\right)\in M\left(\Gamma\left(\mathcal{F}\right)\right)$ est tel qu'il existe un $\phi$ tel que $\chi_\phi=\chi_{\left(x,\sigma\right)}$, et de m�me pour $\left(y,\tau\right)$. Il suffit donc de v�rifier que chacun de ces blocs est inversible; pour cela, il faut consid�rer s�par�ment les diff�rents cas possibles.

Si maintenant ${\mth{G}}$ n'est pas d�ploy�, on obtient une matrice:
\[M_{\mth{G}}=\left(\langle R_\phi,\chi\rangle _{\mth{G}}\right)_{\phi,\chi}\]
qui n'est plus forc�ment une matrice carr�e; ici, les blocs � consid�rer sont compos�s des termes d'indice ${\left(R_\phi,\chi\right)}$ tels que les $\chi$ sont les caract�res de la s�rie principale appartenant � une famille donn�e et les $R_\phi$ sont ceux dans lesquels les $\chi$ interviennent; il suffit de v�rifier pour chacun de ces blocs que, si $r$ est le cardinal de l'ensemble des $\chi$ de la s�rie principale contenus dans la famille correspondante, le bloc est de rang $r$. L� aussi, il faut consid�rer s�par�ment les diff�rents cas possibles.

Supposons d'abord ${\mth{G}}$ de type $A_n$, $n\geq 1$. Alors d'apr�s \cite[13.9]{car}, toutes les familles de caract�res unipotents sont des singletons, et le groupe qui leur est attach� est $\left\{1\right\}$; la matrice $M_{\mth{G}}$ est alors une matrice diagonale dont les termes diagonaux valent $\left\{\left(1,1\right),\left(1,1\right)\right\}=1$; c'est donc la matrice identit�, qui est inversible.

Supposons ensuite ${\mth{G}}$ de type ${}^2A_n$, $n\geq 1$. Alors d'apr�s \cite[13.9]{car}, toutes les familles de caract�res unipotents sont �galement des singletons, et si $\chi$ est un caract�re unipotent, s'il appartient � la s�rie principale, il existe un $\phi$ tel que $R_\phi=\chi$ et le bloc correspondant vaut $\left\{1\right\}$; si $\chi$ n'est pas dans la s�rie principale, le bloc est vide. Ce bloc est donc toujours de m�me rang que le nombre de caract�res de la s�rie principale contenus dans la famille, ce qui montre l'assertion cherch�e.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type $B_n$ ou $C_n$, $n\geq 2$. D'apr�s \cite[13.9]{car}, les caract�res unipotents de ${\mth{G}}$ sont alors en bijection avec les symboles de la forme suivante:
\[\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right),\]
o� $a-b$ est impair et positif, les suites $\left(\lambda_i\right)$ et $\left(\mu_i\right)$ sont des suites strictement croissantes d'entiers naturels, $\left(\lambda_1,\mu_1\right)\neq\left(0,0\right)$, et on a:
\[\sum_{i=1}^a\lambda_i+\sum_{i=1}^b\mu_i-\left[\left(\dfrac{a+b-1}2\right)^2\right]=n,\]
o� pour $x\in{\mth{R}}$, $\left[x\right]$ repr�sente la partie enti�re de $x$; le membre de gauche de l'�galit� ci-dessus est appel� le {\em rang} du symbole. Parmi ces symboles, ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont ceux tels que $a-b=1$.

Soit $\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}\lambda'_1,\lambda'_2,\dots,\lambda'_{a'}\\\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\end{array}\right)$ deux symboles de rang $n$; ils correspondent � deux caract�res de la m�me famille si et seulement si les multi-ensembles $\left\{\lambda_1,\dots,\lambda_a,\mu_1,\dots,\mu_b\right\}$ et $\left\{\lambda'_1,\dots,\lambda'_{a'},\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\right\}$ sont �gaux. Si un �l�ment appara�t dans les deux lignes d'un symbole, il appara�tra �galement dans les deux lignes de tous les symboles de la m�me famille; pour une famille donn�e, si $Z$ est l'ensemble des entiers apparaissant exactement une fois dans les symboles de la famille, et si son cardinal est $2z+1$, lesdits symboles sont alors en bijection avec les parties de $Z$ de cardinal congru � $z$ modulo $2$ (l'image d'un symbole �tant alors l'ensemble des �l�ments de $Z$ se trouvant sur sa ligne du haut si $a-b$ est congru � $3$ modulo $4$ et sur sa ligne du bas sinon), et ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont en bijection avec les parties de $Z$ de cardinal exactement $z$.

Fixons une famille $\mathcal{F}$ de symboles. Elle contient un unique symbole sp�cial; c'est celui pour lequel on a $a-b=1$ et:
\[\lambda_1\leq\mu_1\leq\lambda_2\leq\dots\leq\mu_b\leq\lambda_a.\]
La partie $Z_*$ de $Z$ image de ce symbole par la bijection ci-dessus est l'ensemble des $\mu_i$ diff�rents � la fois de $\lambda_i$ et de $\lambda_{i+1}$; posons �galement $Z^*=Z-Z_*$.

Soit un symbole de $\mathcal{F}$, et soit $M\subset Z$ son image par la bijection ci-dessus. Posons:
\[M^\#=\left(M\cup Z_*\right)-\left(M\cap Z_*\right).\]
Le cardinal de $M^\#$ est pair; de plus, on a:
\[M=\left(M^\#\cup Z_*\right)-\left(M^\#\cap Z_*\right).\]
L'application $M\mapsto M^\#$ est donc une bijection entre les parties de $Z$ de cardinal congru � $z$ modulo $2$ et les parties de $Z$ de cardinal pair; de plus, les parties $M$ de $Z$ de cardinal $z$ sont en bijection avec les parties $M^\#$ de $Z$ telles que $M^\#\cap Z_*$ et $M^\#\cap Z^*$ sont de m�me cardinal.

Soit donc $V$ l'ensemble des parties de $Z$ de cardinal pair. Si $M^\#$ et $N^\#$ sont deux �l�ments de $V$, leur diff�rence sym�trique est encore un �l�ment de $V$; de plus, cette diff�rence d�finit une loi de groupe sur $V$, pour laquelle $V$ est isomorphe � $\left({\mth{F}}_2\right)^{2z}$. Consid�rons la forme altern�e sur $V$ d�finie par:
\[\langle M^\#,N^\#\rangle =\card\left(M^\#\cap N^\#\right)\mod 2.\]
Ecrivons $Z=\left\{z_0,\dots,z_{2z}\right\}$ et posons, pour $1<i<2z$:
\[f_i=\left\{z_0,\dots,z_i\right\}\]
si $i$ est impair, et:
\[f_i=\left\{z_0,\dots,z_{i-2},z_i\right\}\]
si $i$ est pair. Alors $\left(f_1,\dots,f_{2z}\right)$ est une base de $V$, pour laquelle la matrice de la forme altern�e $\langle \cdot,\cdot\rangle $ est la matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont $\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$. Soit $\Gamma$ (resp. $\Gamma '$) le sous-groupe de $V$ engendr� par les $f_i$, $i$ impair (resp. $i$ pair). Pour tout $g'\in\Gamma '$ non nul, l'application lin�aire $\left(-1\right)^{\langle g,\cdot\rangle }$ de $\Gamma$ dans ${\mth{C}}$ est non nulle; $\Gamma '$ est donc canoniquement isomorphe � $\Gamma^*$. De plus, puisque $\Gamma$ est ab�lien, on a $M\left(\Gamma\right)=\Gamma\times\Gamma^*$; $M\left(\Gamma\right)$ est donc en bijection canonique avec $V$. Enfin, soit $M^\#,N^\#\in V$, et soit $\left(x,\sigma\right)$ et $\left(y,\tau\right)$ les �l�ments correspondants de $M\left(\Gamma\right)$; on a:
\[\left\{\left(x,\sigma\right),\left(y,\tau\right)\right\}=\dfrac 1{2^z}\sigma\left(y\right)\tau\left(x\right)=\dfrac 1{2^z}\left(-1\right)^{\langle x',y\rangle +\langle y',x\rangle },\]
o� $x'$ et $y'$ sont les �l�ments de $\Gamma$ correspondant respectivement � $\sigma$ et $\tau$. De plus, on a, puisque $\Gamma=\Gamma^\perp$ et $\Gamma '=\Gamma '{}^\perp$ pour $\langle \cdot,\cdot\rangle $:
\[\langle x',y\rangle +\langle y',x\rangle =\langle x+x',y+y'\rangle =\langle M^\#,N^\#\rangle ,\]
d'o�:
\[\left\{\left(x,\sigma\right),\left(y,\tau\right)\right\}=\dfrac 1{2^z}\left(-1\right)^{\card\left(M^\#\cap N^\#\right)}.\]
Il suffit donc de montrer que la matrice suivante:
\[\mathcal{M}=\left(\left(-1\right)^{\card\left(M^\#\cap N^\#\right)}\right)_{M^\#,N^\#}\]
o� $M^\#$ et $N^\#$ d�crivent l'ensemble $E$ des parties de $Z$ dont les intersections avec $Z_*$ et avec $Z^*$ sont de m�me cardinal, est inversible.
On va en fait montrer le lemme un peu plus g�n�ral suivant que l'on appliquera � la transpos�e de $\mathcal{M}$:

\begin{lemme}\label{intorbf1}
Soit $z,z',d\in{\mth{N}}$, $d'\in{\mth{Z}}$ v�rifiant $d\leq z$, $z-d=z'+d\pm 1$ et $-z'\leq d'\leq z$. Soit $Z^*$ (resp $Z_*$) un ensemble de cardinal $z$ (resp. $z'$), et soit $Z$ l'union disjointe de $Z^*$ et $Z_*$; soit $E$ (resp $F$) l'ensemble des parties $M$ de $Z$ v�rifiant $\card\left(M\cap Z^*\right)=\card\left(M\cap Z_*\right)+d$ (resp. $\card\left(M\cap Z^*\right)=\card\left(M\cap Z_*\right)+d'$).
Alors la matrice:
\[\mathcal{M}'=\left(\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M\right)}\right)_{N\in F, M\in E}\]
a pour rang le cardinal de $F$. En particulier, si $d=d'$, elle est inversible.
\end{lemme}

\begin{proof}
On va montrer le lemme par r�currence sur le cardinal $z+z'$ de $Z$ (en remarquant tout d'abord que la condition $z-d=z'+d\pm 1$ impose $z+z'$ impair). Si $z+z'=1$, on est dans un des cas suivants:
\begin{itemize}
\item $z=1$, $z'=0$, $d$ et $d'$ valent $0$ ou $1$;
\item $z=0$, $z'=1$, $d=d'=0$.
\end{itemize}
Dans tous les cas, on a $E=\left\{Z\right\}$ si $d=1$, et $E=\left\{\emptyset\right\}$ si $d=0$; il en est de m�me pour $F$ en fonction de $d'$. $\mathcal{M}'$ vaut alors $\left(1\right)$ ou $\left(-1\right)$ suivant les cas, et est donc de rang $\card\left(F\right)=1$.

Supposons maintenant que $z+z'>1$, et remarquons d'abord que l'on n'a ni $d=z$ ni $d=z'=0$: en effet, le premier cas impose $0=z'+d\pm 1=z'+z\pm 1$, d'o� $z'+z=1$; quant au second, il impose $z=\pm 1$, d'o� $z+z'=1$.

Appelons $\lambda_1,\dots,\lambda_z$ (resp. $\mu_1,\dots,\mu_{z'}$) les �l�ments de $Z^*$ (resp. $Z_*$); le groupe sym�trique $S_z$ (resp. $S_{z'}$) agit sur $Z^*$ (resp. $Z_*$), et cette action induit une action de $S_z\times S_{z'}$ sur l'ensemble des parties de $Z$; $E$ et $F$ sont stables par cette action. Soit $r=\card\left(E\right)$, $r'=\card\left(F\right)$, et $M_1,\dots,M_r$ (resp. $N_1,\dots,N_s$) les �l�ments de $E$; si $\left(e_1,\dots,e_r\right)$ (resp. $\left(f_1,\dots,f_{r'}\right)$ est la base canonique de ${\mth{R}}^r$ (resp. ${\mth{R}}^{r'}$), on posera, pour tout $i$, $e_{M_i}=e_i$ (resp. $f_{N_i}=f_i$).

Pour tout $i\in\left\{0,\dots,z'\right\}$, soit $E_i$ (resp. $F_i$) l'ensemble des �l�ments $M$ de $E$ (resp. $F$) tels que $M\cap Z_*$ est de cardinal $i$; posons:
\[v_i=\sum_{M\in E_i}e_{M};\]
\[v'_i=\sum_{N\in F_i}f_{N}.\]
Pour toute transposition �l�mentaire $s$ de $S_z$ et tout �l�ment $M$ de $E$ (resp. $N$ de $F$) non invariant par $\left(s,1\right)$, posons:
\[w_{M,s}=e_{M}-e_{\left(s,1\right)\left(M\right)};\]
\[w'_{N,s}=f_{N}-f_{\left(s,1\right)\left(N\right)}.\]
Pour toute transposition �l�mentaire $s'$ de $S_{z'}$ et tout �l�ment $M$ de $E$ (resp. $N$ de $F$) non invariant par $\left(1,s'\right)$, posons enfin:
\[u_{M,s'}=e_{M}-e_{\left(1,s'\right)\left(M\right)};\]
\[u'_{N,s'}=f_{N}-f_{\left(1,s'\right)\left(N\right)}.\]
Consid�rons la famille d'�l�ments de ${\mth{R}}^r$ constitu�e des $v_i$, des $w_{M,s}$ et des $u_{M,s'}$. Cette famille engendre ${\mth{R}}^r$; en effet, on a pour tout $M$, si $i=\card\left(M\cap Z_*\right)$:
\[e_{M}=\dfrac 1{\card\left(E_i\right)}\left(v_i-\sum_{N\in E_i}\left(e_{N}-e_{M}\right)\right);\]
de plus, $S_z\times S_{z'}$ agit transitivement sur $E_i$, et il existe donc pour tout $N\in E_i$, une suite de transpositions �l�mentaires $s_1,\dots,s_l$ de $S_z$ et $s'_1,\dots,s'_{l+l'}$ de $S_{z'}$ telles que, si on pose $N_0=N$ et pour tout $i$, par r�currence, $N_i=\left(s_i,1\right)\left(N_{i-1}\right)$ si $1\leq i\leq l$ et $N_i=\left(1,s'_{i-l}\right)\left(N_{i-1}\right)$ si $l<i\leq l+l'$, on a $N_{l+l'}=M$; on en d�duit:
\[e_{N}-e_{M}=\sum_{i=1}^{l+l'}\left(e_{N_i}-e_{N_{i-1}}\right)=\sum_{i=1}^lw_{N_{i-1},s_i}+\sum_{i=l+1}^{l'}u_{N_{l+i-1},s'_i}.\]
Il en est de m�me pour la famille d'�l�ments de ${\mth{R}}^s$ constitu�e des $v'_i$, des $w'_{N,s}$ et des $u'_{N,s'}$; il suffit donc de montrer que tous ces �l�ments sont dans l'image de $\mathcal{M}$. Consid�rons d'abord les $w'_{N,s}$. Si $d'=z$, il n'en existe pas et l'assertion cherch�e est triviale; supposons donc $d'<z$. Pour tout $s$ et tout $M\in E$, si $s$ permute les �l�ments $\lambda_i$ et $\lambda_{i+1}$ de $Z^*$, avec par exemple $\lambda_i\in M$ et $\lambda_{i+1}\not\in M$, on a:
\begin{equation*}\begin{split}\mathcal{M}'w_{M,s}&=\sum_{N\in F}\left(\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}-\left(-1\right)^{\card\left(\left(s,1\right)\left(M\right)\cap N\right)}\right)e_{N}\\&=\sum_{N\in F}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}\left(e_{\left(s,1\right)N}-e_{N}\right)\\&=-\sum_{N\in F,s\left(N\right)\neq N}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}w'_{N,s}\\&=-2\sum_{N\in F,\lambda_i\in N,\lambda_{i+1}\not\in N}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}w'_{N,s}.\end{split}\end{equation*}

Fixons un $s$; il existe une bijection entre l'ensemble des $M\in E$ tels que $\lambda_i\in M$ et $\lambda_{i+1}\not\in M$ et l'ensemble $E'$ de parties de $Z-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\}$ d�fini de mani�re similaire � $E$ en rempla�ant $d$ par $d-1$ (si $d=0$, on inverse les r�les de  $Z^*-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\}$ et $Z_*$ et on remplace $d$ par $1$), donn�e par $M\mapsto\left(Z-\left\{\lambda_{i+1}\right\}\right)-M$; on a de m�me une bijection entre l'ensemble des $N\in F$ contenant $\lambda_i$ et pas $\lambda_{i+1}$ et l'ensemble $F'$ d�fini de mani�re similaire � $E'$. De plus, on a pour tous $M,N$ contenant $\lambda_i$ et pas $\lambda_{i+1}$, puisque $Z-\left\{\lambda_{i+1}\right\}$ est de cardinal pair:
\begin{equation*}\begin{split}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}&=\left(-1\right)^{\card\left(M\cap\left(\left(Z-\left\{\lambda_{i+1}\right\}\right)-N\right)\right)}\\&=\left(-1\right)^{\card\left(\left(\left(Z-\left\{\lambda_{i+1}\right\}\right)-M\right)\cap\left(\left(Z-\left\{\lambda_{i+1}\right\}\right)-N\right)\right)}.\end{split}\end{equation*}
On v�rifie ais�ment que si $d>0$, le septuplet:
\[\left(z-2,z',d-1,d'-1,Z^*-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\},Z_*,Z-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\}\right)\]
(resp. si $d=0$, le septuplet:
\[\left(z',z-2,1,1-d',Z_*,Z^*-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\},Z-\left\{\lambda_i,\lambda_{i+1}\right\}\right))\]
v�rifie les conditions du lemme; en lui appliquant l'hypoth�se de r�currence, on voit que la matrice constitu�e des termes ci-dessus est surjective; pour tout $M$, $w'_{N,s}$ est donc dans l'image de $\mathcal{M}'$, et ceci est vrai pour tout $s$. Par un raisonnement similaire, tous les $u'_{N,s'}$ sont �galement dans l'image de $\mathcal{M}$ (il n'en existe pas si $d'=-z'$, et si $d'>-z'$, on applique l'hypoth�se de r�currence au septuplet $\left(z,z'-2,d+1,d'+1,Z^*,Z_*-\left\{\mu_i,\mu_{i+1}\right\},Z-\left\{\mu_i,\mu_{i+1}\right\}\right)$), o� $\mu_i,\mu_{i+1}$ sont les �l�ments de $Z_*$ permut�s par $s'$.

Consid�rons maintenant les $v_i$: on a, pour tout $i$:
\[\mathcal{M}'v_i=\sum_{M\in E_i}\sum_{N\in F}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N\right)}f_{N}=\sum_{j=0}^{z'}c_{j,i,z,z',d,d'}v'_j,\]
avec pour tous $i,j$, en fixant $N_j\in F_j$:
\[c_{j,i,z,z',d,d'}=\sum_{M\in E_i}\left(-1\right)^{\card\left(M\cap N_j\right)}.\]
Soit $i_1=\inf\left(z-d,z'\right)$, $j_1=\inf\left(z-d',z'\right)$; $E_i$ (resp $F_j$) est non vide si et seulement si $0\leq i\leq i_1$ (resp. $0\leq j\leq j_1$). On va montrer que pour tous ces $j$-l�, $v'_j$ est dans l'image de $\mathcal{M}$, ce qui est le cas si et seulement si la matrice:
\[\left(c_{j,i,z,z',d,d'}\right)_{0\leq i\leq i_1,0\leq j\leq j_1}\]
est de rang $j_1+1$. Pour cela, fixons une suite croissante $M_0\subset M_1\subset\dots\subset M_{i_1}$, o� pour tout $i$, $M_i\in E_i$; en posant $I=\left\{1,\dots,i_1\right\}$, pour toute partie $I'$ de $I$, posons:
\[M_{I'}=M_0\cup\bigcup_{i\in I'}\left(M_i-M_{i-1}\right).\]
C'est un �l�ment de $E_{\card\left(I'\right)}$: en effet, pour tout $i$, $M_i-M_{i-1}$ contient exactement un �l�ment de $Z^*$ et un �l�ment de $Z_*$, et tous les $M_i-M_{i-1}$ sont disjoints.
Pour toute partie $I'$ de $I$, et tout $N\in F$, soit $\chi$ l'application de l'ensemble des parties de $I'$ dans ${\mth{C}}$ donn�e par:
\[\chi:K\subset I'\mapsto\left(-1\right)^{\card\left(N\cap\left(M_K-M_0\right)\right)}:\]
si on munit l'ensemble des parties de $I'$ de la loi de groupe d�finie par la diff�rence sym�trique, $\chi$ est un caract�re de ce groupe, et on a donc:
\[\sum_{K\subset I'}\chi\left(K\right)=0\]
sauf si $\chi=1$, ce qui est le cas si et seulement si tous les $M_i-M_{i-1}$, $i\in I$, sont soit inclus dans $N$ soit disjoints de $N$. Soit $F_{j,I'}$ l'ensemble des $N\in F_i$ v�rifiant cette condition; posons, pour toute partie $I'$ de $I$ de cardinal $i$:
\begin{equation*}\begin{split}k_{j,i,z,z',d,d'}&=2^{-i}\sum_{k=0}^{i}\left(\begin{array}{c}i\\k\end{array}\right)c_{j,k,z,z',d,d'}\\&=2^{-i}\sum_{N\in F_i}\sum_{K\subset I'}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_K\right)}\\&=\sum_{N\in F_{j,I'}}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_0\right)}.\end{split}\end{equation*}
On a le produit matriciel suivant:
\[\left(k_{j,i,z,z',d,d'}\right)_{j,i}=\left(c_{j,i,z,z',d,d'}\right)_{j,i}\left(2^{-i}\left(\begin{array}{c}i\\i'\end{array}\right)\right)_{i,i'\in\left\{0,\dots,i_1\right\}}.\]
La seconde matrice du membre de droite est ne matrice triangulaire sup�rieure dont les coefficients diagonaux sont $1,2^{-1},\dots,2^{-i_1}$; elle est donc inversible, et on en d�duit que la matrice des $c_{j,i,z,z',d,d'}$ est de rang $j_1-1$ si et seulement si celle des $k_{j,i,z,z',d,d'}$ l'est. On va donc monter que les lignes de cette matrice sont lin�airement ind�pendantes.

Pour tout $i\in\left\{1,\dots,i_1\right\}$, en posant $I'=\left\{1,\dots,i\right\}$, �crivons $F_{j,I'}=F_{j,I',1}\cup F_{j,I',2}$, o� $F_{j,I',1}$ (resp. $F_{j,I',2}$) est l'ensemble des �l�ments de $F_{j,I'}$ qui contiennent $M_i-M_{i-1}$ (resp. disjoints de $M_i-M_{i-1}$). Soit $E'_i$ (resp. $F'_i$) l'ensemble des parties de $Z-\left(M_i-M_{i-1}\right)$ d�fini de mani�re similaire � $E$ (resp. $F$); d�finissons �galement $\left(F'_i\right)_{j,K}$, pour $K\subset I'-\left\{i\right\}$, de mani�re similaire � $F_{j,K}$. Alors les �l�ments de $F_{j,I',2}$ sont exactement ceux de $\left(F'_i\right)_{j,I'-\left\{i\right\}}$, et l'application $N\mapsto N-\left(M_i-M_{i-1}\right)$ est une bijection canonique de $F_{j,I',1}$ dans $\left(F'_i\right)_{j-1,I'-\left\{i\right\}}$; on en d�duit:
\begin{multline*}\sum_{N\in F_{j,I'}}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_0\right)}\\=\sum_{N\in\left(F'_i\right)_{j,I'-\left\{i\right\}}}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_0\right)}+\sum_{N\in\left(F'_i\right)_{j-1,I'-\left\{i\right\}}}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_0\right)},\end{multline*}
soit:
\[k_{j,i,z,z',d,d'}=k_{j,i-1,z-1,z'-1,d,d'}+k_{j-1,i-1,z-1,z'-1,d,d'}.\]
Soit $\lambda_0,\dots,\lambda_{j_1}$ tels que pour tout $i$, $\sum_j\lambda_jk_{j,i,z,z',d,d'}=0$; on en d�duit pour $i\geq 1$:
\[\sum_{j=0}^{j_1-1}\left(\lambda_j+\lambda_{j+1}\right)k_{j,i-1,z-1,z'-1,d,d'}=0.\]
Par hypoth�se de r�currence, la matrice $\left(k_{j,i,z-1,z'-1,d,d'}\right)_{j,i}$ est de rang $j_1$, donc tous les $\lambda_j+\lambda_{j+1}$ sont nuls; on en d�duit, pour tout $j$:
\[\lambda_j=\left(-1\right)^j\lambda_0.\]
Pour achever la d�monstration, il suffit donc de v�rifier que l'on a:
\[\sum_{j=0}^{j_1}\left(-1\right)^jk_{j,0,z,z',d,d'}\neq 0;\]
cela montrera que tous les $\lambda_j$ sont nuls et donc que les lignes de la matrice des $k_{j,i,z,z',d,d'}$ sont bien lin�airement ind�pendantes. Pour tout $j$, on a:
\begin{equation*}\begin{split}k_{j,0,z,z',d,d'}&=c_{j,0,z,z',d,d'}\\&=\sum_{N\in F_j}\left(-1\right)^{\card\left(N\cap M_0\right)}\\&=\left(\begin{array}{c}z'\\j\end{array}\right)\sum_{k=0}^j\left(-1\right)^k\left(\begin{array}{c}d\\k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z-d\\j+d'-k\end{array}\right).\end{split}\end{equation*}
On en d�duit:
\begin{equation*}\begin{split}\sum_{j=0}^{j_1}\left(-1\right)^jk_{j,0,z,z',d,d'}&=\sum_{j=0}^{j_1}\left(-1\right)^j\left(\left(\begin{array}{c}z'\\j\end{array}\right)\sum_{k=0}^j\left(-1\right)^k\left(\begin{array}{c}d\\k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z-d\\j+d'-k\end{array}\right)\right)\\&=\sum_{l=0}^{z-d}\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z-d\\l\end{array}\right)\left(\sum_{j=0}^{z'}\left(\begin{array}{c}z'\\j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d\\j+d'-l\end{array}\right)\right).\end{split}\end{equation*}
Montrons donc le lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout $l$, on a:
\[\sum_{j=0}^{z'}\left(\begin{array}{c}z'\\j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d\\j+d'-l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}z'+d\\l+d-d'\end{array}\right).\]
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, consid�rons le polyn�me $\left(1+X\right)^{z'+d}$. Son terme de degr� $l+d-d'$ est $\left(\begin{array}{c}z'+d\\l+d-d'\end{array}\right)$; or on a:
\[\left(1+X\right)^{z'+d}=\left(1+X\right)^{z'}\left(1+X\right)^{d},\]
et le terme de degr� $l+d-d'$ du membre de droite de cette �galit� vaut:
\[\sum_{j=0}^{z'}\left(\begin{array}{c}z'\\j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d\\l+d-d'-j\end{array}\right).\]
Comme pour tout $j$, on a $\left(\begin{array}{c}d\\l+d-d'-j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}d\\j+d'-l\end{array}\right)$, on trouve bien l'�galit� de l'�nonc�.
\end{proof}

On d�duit de ce lemme que l'on a:
\[\sum_{j=0}^{j_1}\left(-1\right)^jk_{j,0,z,z',d,d'}=\sum_{l=0}^{z-d}\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z-d\\l\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z'+d\\l+d-d'\end{array}\right).\]
Quitte � remplacer $z$ par $z-d$, $z'$ par $z'+d$ et $d'$ par $d'-d$, on peut donc supposer $d=0$; on a alors $z=z'\pm 1$. Supposons par exemple $z'=z+1$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout $k\in{\mth{Z}}$, on a:
\[\sum_{l=0}^z\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z\\l\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z+1\\l+k\end{array}\right)=\left(-1\right)^{\left[\dfrac{z-k+1}2\right]}\left(\begin{array}{c}z\\{\left[\dfrac{z-k+1}2\right]}\end{array}\right).\]
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, le membre de gauche de cette �galit� est �gal �:
\[\sum_{l=0}^z\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z\\l\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z+1\\z+1-l-k\end{array}\right),\]
qui est le terme de degr� $z+1-k$ du polyn�me:
\[\left(X-1\right)^z\left(X+1\right)^{z+1}=\left(X^2-1\right)^z\left(X+1\right).\]
Or pour tout $l\in{\mth{Z}}$, les termes de degr� $2l$ et $2l+1$ de ce polyn�me sont �gaux et valent $\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z\\l\end{array}\right)$. Le terme de degr� $z-k+1$ est donc �gal au membre de droite de l'�galit� de l'�nonc�, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

En appliquant ce lemme au cas $k=-d'$, on a:
\[\sum_{l=0}^z\left(-1\right)^l\left(\begin{array}{c}z\\l\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}z+1\\l-d'\end{array}\right)=\left(-1\right)^{\left[\dfrac{z+d'+1}2\right]}\left(\begin{array}{c}z\\{\left[\dfrac{z+d'+1}2\right]}\end{array}\right).\]
Puisque $d'$ est compris entre $-z'=-z-1$ et $z$, on a $0\leq\left[\dfrac{z+d'+1}2\right]\leq z$, le membre de droite de l'�galit� ci-dessus est non nul, ce qui ach�ve la d�monstration.
\end{proof}

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type $D_n$, $n\geq 4$. D'apr�s \cite[13.9]{car}, il existe une surjection de l'ensemble des caract�res unipotents de ${\mth{G}}$ dans l'ensemble des symboles de la forme suivante (modulo inversion des deux lignes):
\[\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right),\]
o� $a-b$ est multiple de $4$, les suites $\left(\lambda_i\right)$ et $\left(\mu_i\right)$ sont des suites strictement croissantes d'entiers naturels, $\left(\lambda_1,\mu_1\right)\neq\left(0,0\right)$, et on a:
\[\sum_{i=1}^a\lambda_i+\sum_{i=1}^b\mu_i-\left[\left(\dfrac{a+b-1}2\right)^2\right]=n\]
(le membre de gauche de l'�galit� ci-dessus est ici encore appel� le rang du symbole); un symbole $\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right)$ a deux ant�c�dents par cette surjection si $a=b$ et pour tout $i$, $\lambda_i=\mu_i$, et un seul dans tous les autres cas.
Parmi ces symboles, ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont ceux tels que $a=b$.

Soit $\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right)$ un symbole de rang $n$. Si $a=b$ et $\lambda_i=\mu_i$ pour tout $i$, les deux caract�res unipotents correspondants sont dans deux familles distinctes et r�duites � eux-m�mes; sinon, si $\left(\begin{array}{c}\lambda'_1,\lambda'_2,\dots,\lambda'_{a'}\\\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\end{array}\right)$ est un autre symbole de rang $n$, ces deux symboles correspondent � deux caract�res de la m�me famille si et seulement si les multi-ensembles $\left\{\lambda_1,\dots,\lambda_a,\mu_1,\dots,\mu_b\right\}$ et $\left\{\lambda'_1,\dots,\lambda'_{a'},\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\right\}$ sont �gaux. On en d�duit, de m�me que dans le cas $B_n/C_n$, que si $Z$ est l'ensemble des entiers apparaissant exactement une fois dans les symboles d'une famille, et si son cardinal est $2z$, lesdits symboles sont en bijection avec les couples non ordonn�s de parties de $Z$ de cardinal congru � $z$ modulo $2$ de la forme $\left(M,Z-M\right)$ (l'image d'un symbole �tant alors le couple form� de l'ensemble des �l�ments de $Z$ se trouvant sur chacune des deux lignes), et ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont en bijection avec les couples de parties de $Z$ de cardinal exactement $z$ de la forme ci-dessus.

Si $z=0$, on est dans le cas o� $a=b$ et $\lambda_i=\mu_i$ pour tout $i$ et $\mathcal{M}=\left(1\right)$ est clairement inversible; supposons donc $z>0$.
Soit $M$ une partie de $Z$ de cardinal congru � $z$ modulo $2$; posons:
\[M^\#=\left(M\cup Z_*\right)-\left(M\cap Z_*\right).\]
D'apr�s ce que l'on a d�j� vu, l'application $M\mapsto M^\#$ est une bijection entre les parties de $Z$ de cardinal congru � $z$ modulo $2$ et les parties de $Z$ de cardinal pair; de plus, les parties $M$ de $Z$ de cardinal $z$ sont en bijection avec les parties $M^\#$ de $Z$ telles que $M^\#\cap Z_*$ et $M^\#\cap Z^*$ sont de m�me cardinal; enfin; on a pour tout $M$:
\[\left(Z-M\right)^\#=Z-M^\#.\]
Consid�rons le ${\mth{F}}_2$-espace vectoriel $V$ constitu� de l'ensemble des parties de $Z$ de cardinal pair muni de la diff�rence sym�trique, et la forme altern�e sur $V$ d�finie par:
\[\langle M^\#,N^\#\rangle =\card\left(M^\#\cap N^\#\right)\mod 2.\]
Puisque le cardinal de $Z$ est pair, on a pour tous $M^\#,N^\#$:
\[\langle M^\#,Z-N^\#\rangle =\langle M^\#,N^\#\rangle .\]
Consid�rons donc l'espace $V_1=V/\left\{0,Z\right\}$; les �l�ments de $V_1$ sont les couples non ordonn�s de la forme $\left(M^\#,Z-M^\#\right)$, o� $M^\#$ est de cardinal pair. $V_1$ est muni de la forme altern�e induite par celle de $V$, et par un raisonnement similaire � celui du cas $B_n/C_n$, il suffit de montrer que la matrice:
\[\mathcal{M}=\left(\left(-1\right)^{\langle {\mathcal{C}}_1,{\mathcal{C}}_2\rangle }\right)_{\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2}\]
o� $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ d�crivent l'ensemble des couples non ordonn�s $\left(M^\#,Z-M^\#\right)$ de parties de $Z$ tels que les intersections de $M^\#$ avec $Z_*$ et avec $Z^*$ sont de m�me cardinal, est inversible.

Soit $x$ un �l�ment de $Z_*$ quelconque; l'ensemble des couples non ordonn�s de parties de $Z$ de la forme $\left(M^\#,Z-M^\#\right)$ tels que $M^\#$ est de cardinal pair (resp. $M^\#$ est de cardinal pair et $M^\#\cap Z_*$ et $M^\#\cap Z^*$ ont m�me cardinal) est en bijection avec l'ensemble des parties $M_1^\#$ de $Z-\left\{x\right\}$ de cardinal pair (resp. de cardinal pair et dont les intersections avec $Z_*-\left\{x\right\}$ et $Z^*$ ont m�me cardinal); l'image de $\left(M^\#,Z-M^\#\right)$ est celle des deux qui ne contient pas $x$. On a donc:
\[\mathcal{M}=\left(\left(-1\right)^{\card\left(M_1^\#\cap N_1^\#\right)}\right)_{M_1^\#,N_1^\#}\]
o� $M_1^\#$ et $N_1^\#$ d�crivent l'ensemble des parties de $Z-\left\{x\right\}$ dont les intersections avec $Z_*-\left\{x\right\}$ et avec $Z^*$ sont de m�me cardinal, et une telle matrice est inversible d'apr�s la d�monstration du cas $B_n/C_n$.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type ${}^2D_n$, $n\geq 4$. D'apr�s \cite[13.9]{car}, il existe une bijection de l'ensemble des caract�res unipotents de ${\mth{G}}$ dans l'ensemble des symboles de la forme suivante:
\[\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right),\]
o� $a-b$ est positif et congru � $2$ modulo $4$, les suites $\left(\lambda_i\right)$ et $\left(\mu_i\right)$ sont des suites strictement croissantes d'entiers naturels, $\left(\lambda_1,\mu_1\right)\neq\left(0,0\right)$, et on a:
\[\sum_{i=1}^a\lambda_i+\sum_{i=1}^b\mu_i-\left[\left(\dfrac{a+b-1}2\right)^2\right]=n\]
(le membre de gauche de l'�galit� ci-dessus est ici encore appel� le rang du symbole).
Parmi ces symboles, ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont ceux tels que $a-b=2$.

Soit $\left(\begin{array}{c}\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_a\\\mu_1,\dots,\mu_b\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}\lambda'_1,\lambda'_2,\dots,\lambda'_{a'}\\\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\end{array}\right)$ deux symboles de rang $n$; ces deux symboles correspondent � deux caract�res de la m�me famille si et seulement si les multi-ensembles $\left\{\lambda_1,\dots,\lambda_a,\mu_1,\dots,\mu_b\right\}$ et $\left\{\lambda'_1,\dots,\lambda'_{a'},\mu'_1,\dots,\mu'_{b'}\right\}$ sont �gaux. Encore une fois, on en d�duit de m�me que dans le cas $B_n/C_n$ que si $Z$ est l'ensemble des entiers apparaissant exactement une fois dans les symboles d'une famille, et si son cardinal est $2z$, lesdits symboles sont en bijection avec les parties de $Z$ de cardinal inf�rieur � $z$ et congru � $z-1$ modulo $2$, et ceux correspondant � des caract�res de la s�rie principale sont en bijection avec les parties de $Z$ de cardinal exactement $z-1$.

Soit $Z^*$ (resp; $Z_*$) les parties de $Z$ d�finies comme dans le cas $B_n/C_n$; si  $M$ est une partie de $Z$, posons ici aussi:
\[M^\#=\left(M\cup Z_*\right)-\left(M\cap Z_*\right).\]
L'application $M\mapsto M^\#$ induit une bijection de l'ensemble des parties de $Z$ de cardinal $z$ (resp. $z-1$) dans l'ensemble $Z_0$ (resp. $Z_1$) des parties $M^\#$ de $Z$ telles que $\card\left(M^\#\cap Z^*\right)=\card\left(M^\#\cap Z_*\right)$ (resp. $\card\left(M^\#\cap Z_*\right)-1$).

D'apr�s \cite[3.15.2]{l1}, il suffit de v�rifier que la matrice:
\[\mathcal{M}=\left(\left(-1\right)^{\card\left(M^\#\cap N^\#\right)}\right)_{M^\#\in Z_0,N^\#\in Z_1}\]
est de rang $r=\card\left(Z_1\right)$; c'est un cas particulier du lemme \ref{intorbf1}, que l'on applique � la transpos�e de $\mathcal{M}$ en posant $z'=z-1$, $d=0$ et $d'=-1$.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type ${}^3D_4$; d'apr�s \cite[1.17]{l2},
la s�rie principale de ${\mth{G}}$ poss�de six caract�res unipotents, quatre constituant quatre familles � eux seuls et les deux restants dans une m�me famille $\mathcal{F}$ de cardinal $4$; d'autre part, $W$ poss�de sept caract�res irr�ductibles, et les �l�ments de $\mathcal{F}$ interviennent dans les $R_\phi$ correspondant � trois d'entre eux; d'apr�s \cite[1.18]{l2}, la matrice bloc correspondante est:
\[M_1=\dfrac 12\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&-1\\1&1\end{array}\right),\]
qui est clairement de rang $2$.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type $G_2$. D'apr�s \cite[13.9]{car}, la s�rie principale de ${\mth{G}}$ poss�de six caract�res unipotents, deux constituant deux familles � eux seuls et les quatre restants dans une m�me famille $\mathcal{F}$ de cardinal $8$; d'autre part, $W$ poss�de six caract�res irr�ductibles, et les �l�ments de $\mathcal{F}$ interviennent dans les $R_\phi$ correspondant � quatre d'entre eux; d'apr�s \cite[13.6]{car}, la matrice bloc correspondante est:
\[M_2=\left(\begin{array}{cccc}\dfrac 16&\dfrac 12&\dfrac 13&\dfrac 13\\\dfrac 12&\dfrac 12&0&0\\\dfrac 13&0&\dfrac 23&-\dfrac 13\\\dfrac 13&0&-\dfrac 13&\dfrac 23\end{array}\right),\]
dont le d�terminant vaut $-\dfrac 16$ et qui est donc inversible.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type $F_4$. D'apr�s \cite[13.6, 13.9]{car}, il suffit de consid�rer les deux matrices suivantes:
\[M_3=\dfrac 12\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&-1\\1&-1&1\end{array}\right),\]
\[M_4=\left(\begin{array}{ccccccccccc}\dfrac 1{24}&\dfrac 18&\dfrac 18&\dfrac 1{12}&\dfrac 14&\dfrac 14&\dfrac 18&\dfrac 18&\dfrac 18&\dfrac 13&\dfrac 14\\\dfrac 18&\dfrac 38&\dfrac 38&\dfrac 14&\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 18&-\dfrac 18&-\dfrac 18&0&-\dfrac 14\\\dfrac 18&\dfrac 38&\dfrac 38&\dfrac 14&-\dfrac 14&-\dfrac 14&-\dfrac 18&-\dfrac 18&-\dfrac 18&0&\dfrac 14\\\dfrac 1{12}&\dfrac 14&\dfrac 14&\dfrac 16&0&0&\dfrac 14&\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 13&0\\\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 14&0&\dfrac 12&0&\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 14&0&0\\\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 14&0&0&\dfrac 12&-\dfrac 14&-\dfrac 14&\dfrac 14&0&0\\\dfrac 18&-\dfrac 18&-\dfrac 18&\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 14&\dfrac 38&-\dfrac 18&\dfrac 38&0&\dfrac 14\\\dfrac 18&-\dfrac 18&-\dfrac 18&\dfrac 14&\dfrac 14&-\dfrac 14&-\dfrac 18&\dfrac 38&-\dfrac 18&0&-\dfrac 14\\\dfrac 18&-\dfrac 18&-\dfrac 18&\dfrac 14&-\dfrac 14&\dfrac 14&\dfrac 38&-\dfrac 18&\dfrac 38&0&-\dfrac 14\\\dfrac 13&0&0&-\dfrac 13&0&0&0&0&0&\dfrac 23&0\\\dfrac 14&-\dfrac 14&\dfrac 14&0&0&0&\dfrac 14&-\dfrac 14&-\dfrac 14&0&\dfrac 12\end{array}\right).\]
Le d�terminant de $M_3$ vaut $-\dfrac 12$, celui de $M_4$ vaut $\dfrac 1{192}$; elles sont donc toutes deux inversibles.

Supposons maintenant ${\mth{G}}$ de type $E_6$. D'apr�s \cite[13.6, 13.9]{car}, il suffit de consid�rer la matrice $M_3$ et la matrice suivante:
\[M_5=\left(\begin{array}{ccccc}\dfrac 16&\dfrac 12&\dfrac 13&\dfrac 13&\dfrac 16\\\dfrac 12&\dfrac 12&0&0&-\dfrac 12\\\dfrac 13&0&\dfrac 23&-\dfrac 13&\dfrac 13\\\dfrac 13&0&-\dfrac 13&\dfrac 23&\dfrac 13\\\dfrac 16&-\dfrac 12&\dfrac 13&\dfrac 13&\dfrac 16\end{array}\right),\]
dont le d�terminant vaut $\dfrac 16$ et qui est donc inversible.

Supposons enfin ${\mth{G}}$ de type ${}^2E_6$. D'apr�s \cite[1.15]{l2} et \cite[13.6, 13.9]{car}, il suffit de consid�rer les matrices suivantes:
\[M_6=\dfrac 12\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}\right),\]
\[M_7=\left(\begin{array}{ccccc}\dfrac 23&\dfrac 13&0&0&-\dfrac 13\\\dfrac 13&\dfrac 16&-\dfrac 12&-\dfrac 12&\dfrac 13\\0&-\dfrac 12&\dfrac 12&-\dfrac 12&0\\0&-\dfrac 12&-\dfrac 12&\dfrac 12&0\\-\dfrac 13&\dfrac 13&0&0&\dfrac 23\end{array}\right).\]
La premi�re est hermitienne par \cite[13.9]{car}, donc inversible; le d�terminant de la seconde est $-\dfrac 16$, donc elle est �galement inversible. $\Box$

{\bf Remarque:} si ${\mth{G}}$ est de type $E_7$ ou $E_8$, d'apr�s \cite[13.9]{car}, il existe des familles (une pour $E_7$ et deux pour $E_8$) de caract�res unipotents de $G$ qui sont de cardinal $4$ et qui contiennent exactement deux caract�res de la s�rie principale, et les matrices blocs correspondantes sont �gales �:
\[M_8=\dfrac 12\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\]
qui n'est pas inversible; les $R_\phi$ ne sont alors pas lin�airement ind�pendants, et ne peuvent pas non plus engendrer l'espace des distributions sur $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ puisqu'ils sont en nombre �gal � la dimension de cet espace; ${\mth{G}}$ ne v�rifie donc aucune des deux assertions de la proposition.

\subsection{Calcul de $q_\mathcal{T}$}\label{cqt}

D'apr�s la d�monstration du lemme \ref{srg}, dont on reprendra les notations, il suffit de consid�rer le cas o� $G$ est simple et admet un tore non ramifi� maximal $T$ d�ploy�, ce que l'on supposera par la suite. Les syst�mes de racines de $G$ et de $G_{nr}$ relativement � un tore d�ploy� maximal sont alors isomorphes; on notera $\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un syst�me de racines simples, et ${\alpha_1}^\vee,\dots,{\alpha_i}^\vee$ le syst�me de coracines simples associ�.
Pour chaque type, la nom�rotation des racines est la m�me que dans la proposition \ref{gcj} (ici, on ne consid�re plus que le diagramme de Dynkin non �tendu). Toujours d'apr�s la d�monstration du lemme \ref{srg}, il suffit de consid�rer le syst�me de racines r�duit de $G$ relativement � $T$.

\begin{itemize}
\item Supposons d'abord $G$ de type $A_n$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est cyclique d'ordre $r$ divisant $n+1$, et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,-1,0,0,\dots,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(-1,2,-1,0,\dots,0\right);\]
\ldots
\[\phi\left({\alpha_{n-1}}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,-1,2,-1\right);\]
\[\phi\left({\alpha_n}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,0,-1,2\right).\]
On voit donc que pour tout $i$, $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ appartient au sous-groupe des �\-l�\-ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant:
\[a_1+2a_2+\dots+na_n\in(n+1){\mth{Z}}.\]
Ce sous-groupe �tant un sous-groupe d'ordre $n+1$ de ${\mth{Z}}^n$, ils l'engendrent; on en d�duit que $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ est un sous-groupe d'ordre $r$ de ${\mth{Z}}^n$ le contenant, et le seul sous-groupe v�rifiant ces propri�t�s est le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant:
\[a_1+2a_2+\dots+na_n\in r{\mth{Z}}.\]
On a $\left(1,\dots,1\right)\in\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ si et seulement si $r$ divise $\dfrac{n\left(n+1\right)}2$, ce qui est toujours le cas si $r$ est impair; si $r$ est pair, c'est vrai si et seulement si $r$ divise $\dfrac{n+1}2$. Dans ce cas, puisque d'apr�s \cite{bou}, pour tout $i$, $c_i=1$, on a $q_\mathcal{T}=n+1$.

Supposons donc que $r$ est pair et ne divise pas $\dfrac{n+1}2$. Alors $n$ est forc�ment impair, et l'�l�ment $\left(1,\dots,1,2,1,\dots,1\right)$, o� le terme d'indice $\dfrac{n+1}2$ vaut $2$, appartient � $X_*\left(T\right)$: en effet, on a:
\begin{equation*}\begin{split}1+2+\dots+\dfrac{n-1}2+\left(n+1\right)+\dfrac{n+3}2+\dots+n&=\dfrac{n\left(n+1\right)}2+\dfrac{n+1}2\\&=\dfrac{n+1}2\left(n+1\right),\end{split}\end{equation*}
qui est un multiple entier de $n+1$, donc de $r$. On a alors $q_\mathcal{T}=n+2$.

\item Supposons maintenant $G$ de type $B_n$, $n\geq 2$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est d'ordre $1$ ou $2$ ($2$ si $G$ est simplement connexe, $1$ si $G$ est adjoint), et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,-1,0,0,\dots,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(-1,2,-1,0,\dots,0\right);\]
\ldots
\[\phi\left({\alpha_{n-1}}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,-1,2,-1\right);\]
\[\phi\left({\alpha_n}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,0,-2,2\right).\]
Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent donc le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant:
\[a_1+a_3+a_5+\dots+a_m\in 2{\mth{Z}},\]
o� $m=n-1$ si $n$ est impair et $m=n$ si $n$ est pair. Si $G$ est simplement connexe, $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ est �gal � ce groupe.

D'apr�s \cite{bou}, on a $c_1=1$ et $c_i=2$ pour tout $i>1$; on en d�duit que si $G$ est adjoint,
ou si $G$ est simplement connexe et $n$ est congru � $3$ ou $4$ modulo $4$, on a $\left(1,\dots,1\right)\in\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$, d'o� $q_\mathcal{T}=2n$. Si maintenant $G$ est simplement connexe et $n$ est congru � $1$ ou $2$ modulo $4$, $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ ne contient pas $\left(1,\dots,1\right)$, mais contient $\left(2,1,\dots,1\right)$, d'o� $q_\mathcal{T}=2n+1$.

\item Supposons maintenant $G$ de type $C_n$, $n\geq 2$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est d'ordre $1$ ou $2$ ($2$ si $G$ est simplement connexe, $1$ si $G$ est adjoint), et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,-1,0,0,\dots,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(-1,2,-1,0,\dots,0\right);\]
\ldots
\[\phi\left({\alpha_{n-1}}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,-1,2,-2\right);\]
\[\phi\left({\alpha_n}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,0,-1,2\right).\]
Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent donc le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant $a_n\in 2{\mth{Z}}$. Ce groupe ne contient jamais $\left(1,\dots,1\right)$, mais contient toujours $\left(1,\dots,1,2\right)$; comme d'apr�s \cite{bou}, on a $c_i=2$ pour $i<n$ et $c_n=1$, on en d�duit $q_\mathcal{T}=2n+1$ si $G$ est simplement connexe et $q_\mathcal{T}=2n$ si $G$ est adjoint.

\item Supposons maintenant $G$ de type $D_n$, $n\geq 4$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est isomorphe � un sous-groupe de ${\mth{Z}}/4{\mth{Z}}$ si $n$ est impair (resp. $\left({\mth{Z}}/2{\mth{Z}}\right)^2$ si $n$ est pair), et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,-1,0,0,\dots,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(-1,2,-1,0,\dots,0\right);\]
\ldots
\[\phi\left({\alpha_{n-2}}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,-1,2,-1,-1\right);\]
\[\phi\left({\alpha_{n-1}}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,0,-1,2,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_n}^\vee\right)=\left(0,\dots,0,0,-1,0,2\right).\]
Supposons d'abord $n$ impair. Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent le sous-groupe des �\-l�\-ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant:
\[2a_1+2a_3+2a_5+\dots+2a_{n-2}+a_{n-1}-a_n\in 4{\mth{Z}}.\]
En posant $r=\left[P:X\right]$, le groupe $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ est alors le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant:
\[2a_1+2a_3+2a_5+\dots+2a_{n-2}+a_{n-1}-a_n\in r{\mth{Z}}.\]
Si $r$ vaut $1$ ou $2$, ou si $r=4$ et $n$ est congru � $1$ modulo $4$, on a $\left(1,\dots,1\right)\in\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$. Comme on a, d'apr�s \cite{bou}, $c_1=c_{n-1}=c_n=1$ et $c_i=2$ pour tout $i$ diff�rent des pr�c�dents, on en d�duit que l'on a $q_\mathcal{T}=2n-2$. Si maintenant $r=4$ et $n$ est congru � $3$ modulo $4$, $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ ne contient pas $\left(1,\dots,1\right)$ mais contient $\left(2,1,\dots,1\right)$, d'o� $q_\mathcal{T}=2n-1$.

Supposons maintenant $n$ pair. Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_n\right)$ de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant les conditions suivantes:
\[(E_1):a_1+a_3+a_5+\dots+a_{n-1}\in 2{\mth{Z}};\]
\[(E_2):a_{n-1}+a_n\in 2{\mth{Z}}.\]
Le groupe $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ est alors le groupe des �l�ments de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant une partie de $\{(E_1),(E_2)\}$ de cardinal $m$, avec $r=2^m$. Si $r=\left[P:X\right]=1$, ou si $r$ vaut $2$ ou $4$ et si $n$ est multiple de $4$, $\left(1,\dots,1\right)$ v�rifie les m�mes conditions et on a $q_\mathcal{T}=2n-2$. Si maintenant $r$ vaut $2$ ou $4$ et $n$ est congru � $2$ modulo $4$, $\left(1,\dots,1\right)$ v�rifie toujours $(E_2)$, mais plus $(E_1)$, et $\left(2,1,\dots,1\right)$ v�rifie les deux; on a donc $q_\mathcal{T}=2n-1$ sauf dans le cas o� $r=2$ et $\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$ est le sous-groupe des �l�ments de ${\mth{Z}}^n$ v�rifiant $(E_2)$, auquel cas on a $q_\mathcal{T}=2n-2$.

\item Supposons maintenant $G$ de type $E_6$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est d'ordre $1$ ou $3$ ($3$ si $G$ est simplement connexe, $1$ si $G$ est adjoint) et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,0,-1,0,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(0,2,0,-1,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_3}^\vee\right)=\left(-1,0,2,-1,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_4}^\vee\right)=\left(0,-1,-1,2,-1,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_5}^\vee\right)=\left(0,0,0,-1,2,-1\right);\]
\[\phi\left({\alpha_6}^\vee\right)=\left(0,0,0,0,-1,2\right).\]
Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_6\right)$ de ${\mth{Z}}^6$ v�rifiant:
\[a_1-a_3+a_5-a_6\in 3{\mth{Z}}.\]
L'�l�ment $\left(1,\dots,1\right)$ v�rifie toujours cette condition, et on d�duit de \cite{bou} que l'on a $q_\mathcal{T}=12$.

\item Supposons maintenant $G$ de type $E_7$. D'apr�s \cite{bou}, le groupe $P/X$ est d'ordre $1$ ou $2$ ($2$ si $G$ est simplement connexe, $1$ si $G$ est adjoint) et on a:
\[\phi\left({\alpha_1}^\vee\right)=\left(2,0,-1,0,0,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_2}^\vee\right)=\left(0,2,0,-1,0,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_3}^\vee\right)=\left(-1,0,2,-1,0,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_4}^\vee\right)=\left(0,-1,-1,2,-1,0,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_5}^\vee\right)=\left(0,0,0,-1,2,-1,0\right);\]
\[\phi\left({\alpha_6}^\vee\right)=\left(0,0,0,0,-1,2,-1\right);\]
\[\phi\left({\alpha_7}^\vee\right)=\left(0,0,0,0,0,-1,2\right).\]
Les $\phi\left({\alpha_i}^\vee\right)$ engendrent donc le sous-groupe des �l�ments $\left(a_1,\dots,a_7\right)$ de ${\mth{Z}}^7$ v�rifiant:
\[a_2+a_5+a_7\in 2{\mth{Z}}.\]
L'�l�ment $\left(1,\dots,1\right)$ de ${\mth{Z}}^7$ ne v�rifie pas cette condition, mais $\left(1,\dots,1,2\right)$ la v�rifie. On d�duit donc de \cite{bou} que l'on a $q_\mathcal{T}=18$ si $G$ est adjoint et $q_\mathcal{T}=19$ si $G$ est simplement connexe.

\item Supposons maintenant $G$ de type $E_8$, $F_4$ ou $G_2$. Dans tous ces cas, $P/X$ est trivial et on a donc toujours $\left(1,\dots,1\right)\in\phi\left(X_*\left(T\right)\right)$. On d�duit donc de \cite{bou} que l'on a:
\begin{itemize}
\item $q_\mathcal{T}=30$ si $G$ est de type $E_8$;
\item $q_\mathcal{T}=12$ si $G$ est de type $F_4$;
\item $q_\mathcal{T}=6$ si $G$ est de type $G_2$;
\end{itemize}
\end{itemize}

On a ainsi, dans tous les cas, montr� le r�sultat suivant:

\begin{prop}
Supposons que $q\geq h+1$, o� $h$ est le nombre de Coxeter de $G_{nr}$. Alors tout tore non ramifi� de $G$ admet des �l�ments de r�duction r�guli�re.

Si $G$ est adjoint, c'est vrai �galement si $q=h$.
\end{prop}

\section{Int�grales orbitales unipotentes}

\subsection{Orbites unipotentes et sous-groupes parahoriques}

Consid�rons maintenant les distributions int�grales orbitales unipotentes sur $G$. Pour tout $u\in G$ unipotent et tout $f\in C_c^\infty\left(G\right)$, posons, si $U$ est l'orbite de $u$ dans $G$:
\[J_U\left(f\right)=\int_{u\in Z_G^0\left(u\right)\backslash G}f\left(h^{-1}uh\right)dh;\]
cette int�grale converge, et la distribution $J\left(u,\cdot\right)$ est invariante et � support dans l'ensemble des �l�ments unipotents de $G$, qui est contenu dans l'ensemble des �l�ments compacts de $G^1$; c'est donc un �l�ment de $\mathcal{D}_{c,1}$. Le but de cette partie est de montrer que, moyennant certaines conditions sur $G$, les restrictions � $\mathcal{H}$ des distributions int�grales orbitales unipotentes engendrent $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$ tout entier.

Plus pr�cis�ment, soit $F_{nr}$ l'extension non ramifi�e maximale de $F$, et soit $G_{nr}=\underline{G}\left(F_{nr}\right)$; on supposera que $p$ est un "bon" nombre premier pour $G_{nr}$, c'est-�-dire que si $\Phi_{nr}$ est le syst�me de racines de $G_{nr}$ relativement � un tore d�ploy� maximal et $\Delta=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un syst�me de racines simples de $\Phi_{nr}$, pour tout $\beta=\sum_ic_i\alpha_i\in\Phi_{nr}$, si $c_i\neq 0$, $c_i$ n'est pas multiple de $p$. Plus pr�cis�ment, on aura:
\begin{itemize}
\item si $G_{nr}$ est de type $A_n$, $p$ quelconque;
\item si $G_{nr}$ est de type $B_n$, $C_n$, $D_n$ ou $BC_n$, $p\neq 2$;
\item si $G_{nr}$ est de type $E_6$, $E_7$, $F_4$ ou $G_2$, $p\neq 2,3$;
\item si $G_{nr}$ est de type $E_8$, $p\neq 2,3,5$;
\item si le diagramme de Dynkin de $G_{nr}$ est non connexe, $p$ est bon pour chacune des composantes.
\end{itemize}

Si $p$ est bon pour $G_{nr}$, il l'est �galement pour $\underline{G}$; il existe alors, d'apr�s \cite{beal}, une application de Springer sur $\underline{G}$, c'est-�-dire un morphisme bijectif $\psi$ de vari�t�s entre la vari�t� des �l�ments unipotents de $\underline{G}$ et celle des �l�ments nilpotents de $Lie\left(\underline{G}\right)$, v�rifiant les propri�t�s suivantes:
\begin{itemize}
\item pour tout $u\in\underline{G}$ unipotent et tout $g\in\underline{G}$, $\psi\left(g^{-1}ug\right)=Ad\left(g^{-1}\right)\psi\left(u\right)$;
\item l'image par $\psi$ de chaque orbite unipotente de $\underline{G}$ est une orbite nilpotente de $Lie\left(\underline{G}\right)$ toute enti�re.
\end{itemize}
On voit ais�ment que $\psi$ est enti�rement d�termin�e par sa valeur en un �l�ment $u$ de l'unique orbite unipotente de dimension maximale de $\underline{G}$, et que si on a � la fois $u\in G$ et $\psi\left(u\right)\in Lie\left(G\right)$, $\psi$ est fix�e par $\Gal\left(\overline{F}/F\right)$; dans ce dernier cas, $\psi$ induit un morphisme bijectif de vari�t�s entre la vari�t� des �l�ments unipotents de $G$ et celle des �l�ments nilpotents de $Lie\left(G\right)$, que l'on appellera �galement application de Springer. On a une assertion similaire en rempla�ant $F$ et $G$ par $F_{nr}$ et $G_{nr}$.

Soit $u$ un �l�ment unipotent de $G$, et soit $K$ un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $u$; l'image $\overline{u}$ de $u$ dans ${\mth{G}}=K/K^1$ est un �l�ment unipotent de ${\mth{G}}$. Si $f$ est une fonction sur $G$ � support dans $K$ et biinvariante par $K^1$, on peut donc �crire, en identifiant $f$ � une fonction sur ${\mth{G}}$:
\begin{equation}\label{intu}
J\left(u,f\right)=\sum_{h\in G_u}\dfrac{vol\left(Z_G^0\left(u\right)\backslash Z_G^0\left(u\right)hK\right)}{vol\left(K\right)}1_{\overline{h^{-1}uh}}\left(f\right),
\end{equation}
o� $G_u$ est un syst�me de repr�sentants des doubles classes de $G$ modulo $Z_G^0\left(u\right)$ � gauche et $K$ � droite, et o�, si $u'$ est un �l�ment unipotent de ${\mth{G}}$, $1_{u'}\left(f\right)$ est la somme des valeurs de $f$ sur l'orbite de $u'$. Gr�ce au th�or�me \ref{dh}, l'�tude des distributions int�grales orbitales unipotentes sur $G$ peut donc se faire � l'aide des int�grales orbitales unipotentes sur les groupes finis.

Soit $\mu\in\mathcal{M}$, $\left(M,K_\mu\right)$ un repr�sentant de $\mu$, ${\mth{M}}=K_\mu/K_\mu^1$ et $m$ un �l�ment de ${\mth{M}}$ n'appartenant � aucun sous-groupe de Levi de ${\mth{M}}$; on appellera {\em $G$-orbite} (anisotrope) de $m$ dans ${\mth{M}}$ l'ensemble des conjugu�s de $m$ par un �l�ment de $N_G\left(K_\mu\right)$; une telle orbite ne d�pend pas du choix de $\left(M,K_\mu\right)$.
Si $m$ appartient � un sous-groupe de Levi ${\mth{M}}'$ de ${\mth{M}}$,
on appellera {\em $G$-orbite} de $m$ dans ${\mth{M}}$ la r�union des orbites de ${\mth{M}}$ rencontrant la $G$-orbite de $m$ dans ${\mth{M}}'$.

Dane ce qui suit, on va associer � chaque couple $\left(\mu,O\right)$, o� $\mu\in\mathcal{M}$ et $O$ est une $G$-orbite unipotente anisotrope du groupe ${\mth{M}}$ associ� � $\mu$, une orbite unipotente de $G$. On notera $\Lambda$ l'ensemble des couples $\left(\mu,O\right)$.

Consid�rons l'immeuble $\mathcal{B}_{nr}$ du groupe $G_{nr}=\underline{G}\left(F_{nr}\right)$. On a une action du groupe de Galois $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ sur cet immeuble, et $\mathcal{B}$ s'identifie � l'ensemble des points de $\mathcal{B}_{nr}$ fixes pour cette action. De plus, l'injection $\mathcal{B}\mapsto\mathcal{B}_{nr}$ pr�serve les facettes, c'est-�-dire que pour toute facette $A$ de $\mathcal{B}$, il existe une facette $A'$ de $\mathcal{B}_{nr}$ telle que $A=A'\cap\mathcal{B}$; $A'$ est alors stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$. R�ciproquement, par le th�or�me du point fixe de Bruhat-Tits (\cite[I. 3.2.4]{bt}), toute facette de $\mathcal{B}_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ contient un �l�ment de $\mathcal{B}$; on a donc une bijection canonique entre l'ensemble des facettes de $\mathcal{B}$ et l'ensemble des facettes de $\mathcal{B}_{nr}$ stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$. On en d�duit une bijection canonique entre l'ensemble des parahoriques de $G$ et l'ensemble des parahoriques de $G_{nr}$ stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$: si $K$ est un parahorique de $G$ d'image $K_{nr}$, on a $K=K_{nr}\cap G$.

Soit $K_{nr}$ un sous-groupe parahorique de $G_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$; son premier sous-groupe de congruence $K_{nr}^1$ est �galement stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, et le quotient $K_{nr}/K_{nr}^1$ est un groupe r�ductif $\underline{\mth{G}}$ sur $\overline{{\mth{F}}_q}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)\simeq \Gal\left(\overline{{\mth{F}}_q}/{\mth{F}}_q\right)$, donc d�fini sur ${\mth{F}}_q$; si $K=K_{nr}\cap G$, le quotient $K/K^1$ s'identifie au groupe ${\mth{G}}$ des ${\mth{F}}_q$-points de $\underline{\mth{G}}$.

Soit ${\mathbf F}$ le Frobenius de $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, qui s'identifie � celui de $\Gal\left(\overline{{\mth{F}}_q}/{\mth{F}}_q\right)$; on peut d�finir sur $G_{nr}$ l'application de Lang de la m�me fa�on que sur un groupe d�fini sur un corps fini, par:
\[L: g\longmapsto g^{-1}{\mathbf F}\left(g\right).\]
On a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{apls}
Soit $H_{nr}$ le groupe des $F_{nr}$-points d'un groupe alg�brique d�fini sur $F$, et $K_{nr}$ un sous-groupe ouvert de $H_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, contenu dans un sous-groupe parahorique $K_{0,nr}$ de $H_{nr}$ et tel que le quotient $K_{nr}/\left(K_{0,nr}^1\cap K_{nr}\right)$, en tant que groupe alg�brique sur $\overline{\mth{F}}_q$, est connexe; la restriction � $K_{nr}$ de l'application de Lang est surjective.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour tout entier $s>0$, d�finissons le $s$-�me groupe de con\-gru\-ence $K_{0,nr}^s$ de $K_{0,nr}$ de la m�me fa�on que pour les parahoriques de $G$. Fixons un entier $s$ tel que $K_{0,nr}^s\subset K_{nr}$; un tel $s$ existe car les $K_{0,nr}^s$ constituent une base de voisinage de l'unit�; de plus, $K_{0,nr}^s$ est normal dans $K_{nr}$. Consid�rons le groupe $\underline{\mth{H}}=K_{nr}/K_{0,nr}^s$; c'est un groupe alg�brique connexe de dimension finie d�fini sur ${\mth{F}}_q$. L'application de Lang sur un tel groupe �tant surjective, on en d�duit que pour tout $g\in K_{nr}$, il existe $h_0\in K_{nr}$ tel que $g\in h_0^{-1}{\mathbf F}\left(h_0\right)K_{0,nr}^s=h_0^{-1}K_{0,nr}^s{\mathbf F}\left(h_0\right)$. Posons maintenant:
\[g_s=h_0g{\mathbf F}\left(h_0\right)^{-1}\in K_{0,nr}^s\]
et consid�rons le groupe $\underline{\mth{G}}_s=K_{0,nr}^s/K_{0,nr}^{s+1}$. C'est encore un groupe alg�brique connexe de dimension finie d�finie sur ${\mth{F}}_q$; l'application de Lang y est donc �galement surjective, et on en d�duit l'existence de $h_s\in K_{0,nr}^s$ tel que $g_{s+1}=h_sg_s{\mathbf F}\left(h_s\right)^{-1}\in K_{0,nr}^{s+1}$. Par une r�currence �vidente, on obtient, pour tout $i\geq s$, un $h_i\in K_{0,nr}^i$ et un $g_{i+1}=h_ig_i{\mathbf F}\left(g_i\right)^{-1}\in K_{0,nr}^{i+1}$. Consid�rons maintenant l'�l�ment:
\[h=\ldots h_i\ldots h_{s+2}h_{s+1}h_sh_0\in K_{nr};\]
le produit converge puisque pour tout $i\geq s$, $h_i\in K_{0,nr}^i$, et l'on a:
\[hg{\mathbf F}\left(h\right)^{-1}\in\bigcap_{i}K_{0,nr}^i=\left\{1\right\},\]
d'o� $g=L\left(h\right)$, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

Soit $O$ une orbite unipotente anisotrope de ${\mth{G}}$, et soit $O'$ l'orbite de $\underline{\mth{G}}$ contenant $O$; $O'$ n'est pas toujours anisotrope, mais elle est toujours stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$.

Soit $\underline{\mth{P}}=\underline{\mth{M}}\underline{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de $\underline{\mth{G}}$, et soit $\underline{\mth{M}}_{der}$ (resp. $\underline{\mth{U}}_{der}$) le groupe d�riv� de $\underline{\mth{M}}$ (resp. $\underline{\mth{U}}$); on dit que $\underline{\mth{P}}$ est distingu� si $dim\left(\underline{\mth{M}}_{der}\right)=dim\left(\underline{\mth{U}}\right)-dim\left(\underline{\mth{U}}_{der}\right)$.

Soit $\underline{\mth{T}}$ un tore maximal de $\underline{\mth{G}}$, et $\underline{\mth{B}}$ un sous-groupe de Borel de $\underline{\mth{G}}$ contenant $\underline{\mth{T}}$, que l'on supposera stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$. Soit $\Phi_{K_{nr}}$ le syst�me de racines de $\underline{\mth{G}}$ relativement � $\underline{\mth{T}}$, et $\Phi_{K_{nr}}^+$ l'ensemble des racines de $\Phi_{K_{nr}}$ positives relativement � $\underline{\mth{B}}$. Puisque $p$ est bon pour $G_{nr}$, il l'est �galement pour $\underline{\mth{G}}$, et il existe alors un sous-groupe parabolique $\underline{\mth{P}}=\underline{\mth{M}}\underline{\mth{U}}$ de $\underline{\mth{G}}$ contenant $\underline{\mth{B}}$, un sous-groupe parabolique distingu� $\underline{{\mth{P}}'}=\underline{{\mth{M}}'}\underline{{\mth{U}}'}$ de $\underline{\mth{M}}$ contenant $\underline{\mth{B}}\cap\underline{\mth{M}}$ et un �l�ment $\overline{u}$ de $O'$ tels que $\overline{u}$ est un �l�ment de $\underline{{\mth{U}}'}$ appartenant � l'orbite de Richardson de $\underline{{\mth{P}}'}$; c'est une cons�quence de \cite[corollaire au th�or�me I.3.5 et th�or�me II.1.5]{pomm} lorsque $\underline{\mth{G}}$ est semi-simple, et dans le cas g�n�ral, c'est vrai dans le groupe semi-simple $\underline{\mth{G}}_{der}$, donc a fortiori dans $\underline{\mth{G}}$.

Soit $\Phi_{\underline{\mth{G}}}=\Phi_{K_{nr}}$ le syst�me de racines de $\underline{\mth{G}}$ relativement � $\underline{\mth{T}}$, et $\Phi_{K_{nr}}^+$ l'ensemble des racines positives de $\Phi_{K_{nr}}$ relativement � $\underline{\mth{B}}$.

Soit $\overline{\mathcal{U}}$ (resp. $\overline{\mathcal{N}}$) la vari�t� des �l�ments unipotents (resp. nilpotents) de $\underline{\mth{G}}$ (resp. $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$), et $\overline{\psi}$ une application de Springer de $\overline{\mathcal{U}}$ dans $\overline{\mathcal{N}}$, que l'on supposera invariante par $\Gal\left(\overline{\mth{F}}_q/{\mth{F}}_q\right)$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{sli}
On peut supposer $\overline{u}$ tel que $\overline{n}=\overline{\psi}\left(\overline{u}\right)$ est de la forme:
\[\overline{n}=\sum_{\alpha\in\Phi_n}\overline{n}_\alpha,\]
o� $\Phi_n$ est une partie de $\Phi_{K_{nr}}^+$ constitu�e d'�l�ments lin�airement ind�pendants, et o� pour tout $\alpha\in\Phi_n$, $n_\alpha$ est un �l�ment de $Lie\left(\underline{\mth{U}}_\alpha\right)$, o� $\underline{\mth{U}}_\alpha$ est le sous-groupe radiciel de $\underline{\mth{G}}$ correspondant � $\alpha$.
\end{lemme}

\begin{proof}
La d�monstration est identique � celle de \cite[E.III.4.2.9]{beal}, sachant que la g�n�ralisation de \cite[E.III.4.2.8]{beal} au cas $p$ bon quelconque se d�duit de \cite{pomm} et que l'on utilise la graduation suivante de $Lie\left(\underline{\mth{M}}\right)$: pour toute racine simple $\alpha_i$ de $\underline{\mth{M}}$ relativement � $\underline{\mth{T}}$ et $\underline{\mth{B}}\cap\underline{\mth{M}}$, on pose $c\left(\alpha_i\right)=0$ si $\underline{\mth{U}}_\alpha\subset\underline{{\mth{M}}'}$ et $c\left(\alpha_i\right)=2$ sinon; pour tout $\alpha=\sum_i\lambda_i\alpha_i$, on pose $c\left(\alpha\right)=\sum_i\lambda_ic\left(\alpha_i\right)$. On a alors:
\[Lie\left(\underline{\mth{M}}\right)=\bigoplus_{j\in 2{\mth{Z}}}Lie\left(\underline{\mth{M}}\right)_j,\]
avec:
\[Lie\left(\underline{\mth{M}}\right)_0=Lie\left(\underline{\mth{T}}\right)\oplus\bigoplus_{\alpha,c\left(\alpha\right)=0}Lie\left(\underline{\mth{U}}_\alpha\right)=Lie\left(\underline{{\mth{M}}'}\right),\]
et, pour tout $j\neq 0$:
\[Lie\left(\underline{\mth{M}}\right)_j=\bigoplus_{\alpha,c\left(\alpha\right)=j}Lie\left(\underline{\mth{U}}_\alpha\right).\]
Remarquons que si $p$ est assez grand, on retrouve ainsi la graduation associ�e � un ${\mathfrak{sl}}_2$-triplet contenant $\overline{n}$.
\end{proof}

D'autre part, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{ptor}
Soit $\overline{v}\in O'\cap{\mth{G}}$; les orbites unipotentes de ${\mth{G}}$ contenues dans $O'$ sont en bijection avec les �l�ments de ${\mth{G}}\backslash L^{-1}\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)\right)/Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $\overline{v}'\in O'\cap{\mth{G}}$, et soit $g\in\underline{\mth{G}}$ tel que $g^{-1}\overline{v}'g=\overline{v}$. On a alors �galement:
\[{\mathbf F}\left(g\right)^{-1}\overline{v}'{\mathbf F}\left(g\right)=\overline{v},\]
d'o�:
\[L\left(g\right)=g^{-1}{\mathbf F}\left(g\right)\in Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right).\]
R�ciproquement, si $g'$ est un �l�ment de $\underline{\mth{G}}$ qui v�rifie l'assertion ci-dessus, on a $g'\overline{v}g'{}^{-1}={\mathbf F}\left(g'\right)\overline{v}{\mathbf F}\left(g'{}^{-1}\right)$, d'o� $g'\overline{v}g'{}^{-1}\in{\mth{G}}$.

D'autre part, il est clair que si $g'\in\underline{\mth{G}}$ est tel que $\overline{v}''=g'\overline{v}g'{}^{-1}\in{\mth{G}}$, $\overline{v}''$ appartient � la m�me ${\mth{G}}$-orbite que $\overline{v}'$ si et seulement si on a $g'\in{\mth{G}}gZ_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)$, ce qui montre le lemme.
\end{proof}

On va maintenant associer � la $G_{nr}$-orbite contenant $O'$ une orbite unipotente de $G_{nr}$; pour cela, on aura besoin de quelques pr�liminaires. Soit $A_{nr}$ la facette de $\mathcal{B}_{nr}$ fix�e par $K_{nr}$, $\mathcal{A}_{nr}$ un appartement de $\mathcal{B}_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}\right)$ et contenant $A_{nr}$, et $T_{nr}$ le tore d�ploy� maximal de $G_{nr}$ correspondant � $\mathcal{A}_{nr}$; $\Phi_{K_{nr}}$ s'identifie � un sous-syst�me de racines r�duit et stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ du syst�me de racines $\Phi_{nr}$ de $G_{nr}$ relativement � $T_{nr}$. Soit $H'_{nr}=\underline{H'}\left(F_{nr}\right)$ le sous-groupe de $G_{nr}$ engendr� par $T_{nr}$ et les sous-groupes radiciels $U_{\alpha,nr}$, $\alpha\in\Phi_{K_{nr}}$; c'est un sous-groupe r�ductif ferm� de $G_{nr}$ d�fini sur $F$.

Montrons qu'il existe un sous-groupe $\underline{H}$ de $\underline{H}'$ d�fini sur $F$, ferm�, r�ductif et d�ploy� sur $F_{nr}$ dont le syst�me de racines relativement � un tore maximal s'identifie canoniquement � $\Phi_{K_{nr}}$:
pour tout $\alpha\in\Phi_{K_{nr}}$, consid�rons le sous-groupe radiciel $U_{\alpha,nr}$ de $H_{nr}$. D'apr�s \cite[II. 4.1.9 et 4.1.16]{bt}, il existe une extension s�parable finie $E_{nr}$ de $F_{nr}$ telle que $U_{\alpha,nr}$ est de l'une des deux formes suivantes:
\begin{itemize}
\item $U_{\alpha,nr}$ est isomorphe � $E_{nr}$;
\item il existe une extension quadratique s�parable $E'_{nr}$ de $E_{nr}$ telle que $U_{\alpha,nr}$ est isomorphe au groupe des �l�ments unipotents triangulaires sup�rieurs du la forme d�ploy�e de $SU_3\left(E'_{nr}/E_{nr}\right)$ (d�finie comme l'ensemble des �l�ments $g$ de $GL_3\left(E'_{nr}\right)$ v�rifiant ${}^\tau g\sigma(g)=1$, o� ${}^\tau g$ est la transpos�e de $g$ par rapport � la diagonale non principale et $\sigma$ l'�l�ment non trivial de $\Gal\left(E'_{nr}/E_{nr}\right)$.
\end{itemize}
Dans les deux cas, soit $U_{0,\alpha,nr}$ le groupe des points de $U_{\alpha,nr}$ dont l'image est � coordonn�es dans $F_{nr}$; c'est un sous-groupe ferm� de dimension $1$ de $U_{\alpha,nr}$, et c'est le groupe des $F_{nr}$-points d'un sous-groupe ferm� $\underline{U_{0,\alpha}}$ de $\underline{H'}$ de dimension 1; de plus, on d�duit des relations de commutation entre �l�ments unipotents de $G_{nr}$ (cf. \cite[annexe]{bt}) que pour tous $\alpha,\beta\in\Phi_{K_{nr}}$, $[U_{0,\alpha,nr},U_{0,\beta,nr}]$ est inclus dans le produit des $U_{0,\gamma,nr}$, $\gamma\in\Phi_{K_{nr}}$. Consid�rons donc, en posant $T_{nr}=\underline{T}(F_{nr}$, le groupe $\underline{H}$ engendr� par $\underline{T}$ et les $\underline{U_{0,\alpha}}$, $\alpha\in\Phi_{K_{nr}}$: d'apr�s ce qui pr�c�de, il v�rifie les conditions voulues.

On notera $H$ (resp. $H_{nr}$) l'ensemble de ses $F$-points (resp $F_{nr}$-points).
Il est clair que si $\underline{H'}$ est lui-m�me d�ploy� sur $F_{nr}$, on a $\underline{H}=\underline{H'}$.

Soit $\mathcal{U}_{nr}$ (resp. $\mathcal{N}_{nr}$) la vari�t� des �l�ments unipotents (resp. nilpotents) de $H_{nr}$ (resp. $Lie\left(H_{nr}\right)$); on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Il existe une application de Springer $\psi_{nr}$ de $\mathcal{U}_{nr}$ dans $\mathcal{N}_{nr}$ telle que pour tout $v'\in K_{nr}\cap\mathcal{U}_{nr}$ d'image $\overline{v'}$ dans $\underline{\mth{G}}$, l'image de $\psi_{nr}\left(v'\right)$ dans $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$ est $\overline{\psi}\left(\overline{v'}\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $v$ un �l�ment de $K_{nr}$ et $\overline{v}$ son image, que l'on supposera appartenir � l'orbite unipotente de dimension maximale de $\underline{\mth{G}}$, et soit $\psi'_{nr}$ une application de Springer quelconque de $\mathcal{U}_{nr}$ dans $\mathcal{N}_{nr}$. Soit $X=\psi_{nr}\left(v\right)$; on montre comme dans le lemme \ref{sli} qu'il existe $h\in\underline{H}$ tel que $Ad\left(h^{-1}\right)X$ est un �l�ment de $Lie\left(\underline{H}\right)$ de la forme:
\[Ad\left(h^{-1}\right)X=\sum_{\alpha\in\Delta_{nr}}n_\alpha,\]
o� $\Delta_{nr}$ est un ensemble de racines simples de $\Phi_{K_{nr}}$ et o� pour tout $\alpha$, $n_\alpha$ appartient � $Lie\left(\underline{U}_\alpha\right)$, o� $\underline{U}_\alpha$ est le sous-groupe radiciel de $\underline{H}$ correspondant � $\alpha$. Quitte � multiplier $h$ � droite par un �l�ment de $\underline{T}$, on peut m�me supposer que l'on a $Ad\left(h^{-1}\right)X\in Lie\left(H_{nr}\right)$ et que pour tout $\alpha$, $n_\alpha$ appartient � $Lie\left(U_{\alpha,nr}\cap K_{nr}\right)$ et est d'image non nulle dans $\underline{\mth{G}}$. L'image de $Ad\left(h^{-1}\right)X$ dans $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$ est alors un �l�ment $\overline{X'}$ de l'orbite nilpotente de dimension maximale de $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$, et il existe alors un �l�ment $\overline{h'}\in\overline{\mth{G}}$ tel que $Ad\left(\overline{h'}^{-1}\right)\overline{X'}=\overline{v}$. Soit $h'$ un �l�ment de $K_{nr}$ d'image $\overline{h'}$ dans $\underline{\mth{G}}$, et soit $\psi_{nr}$ l'unique application de Springer de $\mathcal{U}_{nr}$ dans $\mathcal{N}_{nr}$ telle que l'on a:
\[\psi_{nr}:v\longmapsto Ad\left(h'{}^{-1}h^{-1}\right)X;\]
l'image de $\psi_{nr}\left(v\right)$ dans $\underline{\mth{G}}$ est alors $\overline{\psi}\left(\overline{v}\right)$, et pour tout $v'\in K_{nr}$ dont l'image $\overline{v'}$ appartient � l'orbite unipotente de dimension maximale de $\underline{\mth{G}}$, puisque $v'$ est conjugu� � $v$ dans $\underline{H}$, l'image de $\psi_{nr}\left(v'\right)$ dans $\underline{\mth{G}}$ vaut $\overline{\psi}\left(\overline{v'}\right)$.

Supposons maintenant que $v'\in\mathcal{U}_{nr}\cap K_{nr}$ est tel que son image $\overline{v'}$ dans $\underline{\mth{G}}$ n'appartient pas � l'orbite unipotente de dimension maximale de $\underline{\mth{G}}$. Quitte � le conjuguer, on peut supposer que $v'$ appartient � $U_{0,nr}=\prod_{\alpha\in\Phi_{K_{nr}}^+}U_{\alpha,nr}$; on trouve alors facilement une droite $D$ de $Lie\left(U_{0,nr}\right)$ contenant $\psi_{nr}\left(v'\right)$, telle qu'il existe un isomorphisme de $D$ dans $F_{nr}$ qui envoie $D\cap Lie\left(K_{nr}\right)$ dans l'anneau des entiers $\mathcal{O}_{nr}$ de $F_{nr}$ et que les images dans $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$ de tous les �l�ments de $D\cap Lie\left(K_{nr}\right)$ correspondant � des �l�ments de $\mathcal{O}_{nr}^*$ (resp. l'id�al maximal $\mathfrak{p}_{nr}$ de $\mathcal{O}_{nr}$) sont contenues dans l'orbite nilpotente de dimension maximale de $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$ (resp. sont �gales � $\overline{\psi}\left(\overline{v}\right)$): si $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ sont les racines simples de $\Phi_{K_{nr}}^+$ n'intervenant pas dans l'�criture de $\overline{\psi}\left(\overline{v}\right)$ comme somme d'�l�ments des sous-groupes radiciels associ�s aux �l�ments de $\Phi_{K_{nr}}^+$, et si pour tout $i$, $n_i$ est un �l�ment de $Lie\left(U_{\alpha_i}\cap H_{nr}\cap K_{nr}\right)$ d'image non nulle dane $\underline{\mth{G}}$, la droite:
\[D=\{\psi_{nr}(v)+z\sum_{i=1}^kn_i\mid z\in F_{nr}\}\]
convient. Soit $V=\psi_{nr}^{-1}\left(D\right)$: c'est une sous-vari�t� ferm�e de dimension $1$ de $U_{0,nr}$, et d'apr�s ce qui pr�c�de, si $\overline{V}$ (resp $\overline{v'}$) est l'image de $V\cap K_{nr}$ (resp. $v'$) dans $\underline{\mth{G}}$, l'image de $D\cap Lie\left(K_{nr}\right)$ dans $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$ est la r�union de $\overline{\psi}\left(\overline{V}\right)-\left\{\overline{\psi}\left(\overline{v'}\right)\right\}$ et d'un singleton; or elle est ferm�e, donc elle contient �galement $\overline{\psi}\left(\overline{v'}\right)$; puisque l'image de $\psi_{nr}\left(v'\right)$ n'appartient pas � l'orbite nilpotente de dimension maximale de $Lie\left(\underline{\mth{G}}\right)$, on en d�duit qu'elle appartient au singleton, donc qu'elle est �gale � $\overline{\psi}\left(\overline{v'}\right)$, ce qui ach�ve la d�monstration.
\end{proof}

Soit $n$ un �l�ment de $Lie\left(H_{nr}\right)$ de la forme:
\[n=\prod_{\alpha\in\Phi_n}n_\alpha,\]
o� pour tout $\alpha\in\Phi_n$, $n_\alpha$ est un �l�ment de $Lie\left(U_{\alpha,nr}\cap K_{nr}\right)$ dont l'image dans $Lie\left(\underline{\mth{U}}\right)$ est $\overline{n}_\alpha$. Un tel $n$ est clairement nilpotent.
Soit $u=\psi_{nr}^{-1}\left(n\right)$, et soit $O_{nr}$ l'orbite dans le groupe $H_{nr}\cap K_{nr}$.

Soit $\underline{P}_0$ le sous-groupe parabolique minimal de $\underline{H}$ engendr� par $\underline{T}$ et les sous-groupes radiciels $\underline{U}_\alpha$, $\alpha\in\Phi_{K_{nr}}^+$;
soit $\underline{P}=\underline{M}\underline{U}$ l'unique sous-groupe parabolique de $\underline{H}$ standard (relativement � $\underline{P}_0$ et $\underline{T}$) tel que l'image de $\underline{P}\cap K_{nr}$ dans $\underline{\mth{G}}$ est $\underline{\mth{P}}=\underline{\mth{M}}\underline{\mth{U}}$,
et $\underline{P'}=\underline{M'}\underline{U'}$ le sous-groupe parabolique de $\underline{M}$ standard (relativement � $\underline{P}_0\cap \underline{M}$ et $\underline{T}$) tel que l'image de $\underline{P'}\cap K_{nr}$ dans $\underline{\mth{G}}$ est $\underline{{\mth{P}}'}=\underline{{\mth{M}}'}\underline{{\mth{U}}'}$; il est clair d'apr�s la classification de \cite{bc} (valable pour tout $p$ bon par \cite{pomm}) que $\underline{P'}$ est un sous-groupe parabolique distingu� de $\underline{M}$; d'autre part, l'image de $O_{nr}\cap U'_{nr}$ dans $\underline{\mth{G}}$ est l'intersection de $\underline{\mth{U}}'$ et de l'orbite de Richardson de $\underline{{\mth{P}}'}$; on en d�duit que $O_{nr}\cap U'_{nr}$ est Zariski-dense dans $U'_{nr}$, et donc qu'elle est contenue dans l'orbite de Richardson de $\underline{P'}$. On notera $P_{0,nr}$ (resp. $P_{nr}$, $M_{nr}$, $U_{nr}$, $P'_{nr}$, $M'_{nr}$, $U'_{nr}$) le groupe des $F_{nr}$-points de $\underline{P}_0$ (resp. $\underline{P}$, $\underline{M}$, $\underline{U}$, $\underline{P'}$, $\underline{M'}$, $\underline{U'}$).

L'orbite $O_{nr}$ ainsi d�finie n'est pas unique et d�pend du choix de $n$: on notera $\mathcal{U}_{nr}$ l'ensemble des $O_{nr}$ possibles, et $\mathcal{U}_{nr}^0$ l'ensemble des �l�ments de $\mathcal{U}_{nr}$ stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$.
Ce dernier ensemble n'est pas vide: en effet, il est clair que $P_{0,nr}$ et $T_{nr}$ sont stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$. Soit $\sigma\in \Gal\left(F_{nr}/F\right)$. Puisque $O'$ rencontre ${\mth{G}}$, $\overline{u}$ et $\sigma\left(\overline{u}\right)$ sont conjugu�s;
d'apr�s \cite[th�or�me II.1.7 (ii)]{pomm}, on en d�duit que $\underline{\mth{M}}$ et $\sigma\left(\underline{\mth{M}}\right)$ sont conjugu�s. De plus, si $w$ est un �l�ment du groupe de Weyl $W\left(\underline{\mth{G}}/\underline{\mth{T}}\right)$ tel que $w^{-1}\underline{\mth{M}}w=\sigma\left(\underline{\mth{M}}\right)$ (il en existe puisque $\underline{\mth{M}}$ et $\sigma\left(\underline{\mth{M}}\right)$ sont semi-standard relativement � $\underline{\mth{T}}$ et conjugu�s entre eux) et $w^{-1}\left(\underline{\mth{M}}\cap\underline{\mth{B}}\right)w=\sigma\left(\underline{\mth{M}}\cap\underline{\mth{B}}\right)$, on a $w^{-1}\underline{{\mth{P}}'}w=\sigma\left(\underline{{\mth{P}}'}\right)$; en effet, les syst�mes de racines de $\underline{{\mth{M}}'}$ et de $w\sigma\left(\underline{{\mth{M}}'}\right)w^{-1}$ sont les m�mes � un automorphisme du diagramme de Dynkin de $\underline{\mth{M}}$ pr�s, et on v�rifie imm�diatement, en se ramenant au cas o� le diagramme de Dynkin de $\underline{\mth{M}}$ est connexe et en consid�rant successivement chaque cas de la classification de \cite{bc}, que ${\overline{\mth{P}}'}$ est toujours invariant par un tel automorphisme. Dans ce qui suit, on supposera $O_{nr}\in\mathcal{U}_{nr}^0$.

On a alors le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{ptor2}
Soit $v$ un �l�ment de $O_{nr}\cap K\cap H$; les orbites unipotentes de $K\cap H$ contenues dans $O_{nr}$ sont en bijection avec les �l�ments de l'ensemble:
\[\left(K\cap H\right)\backslash L^{-1}\left(Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)\right)/Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right).\]
\end{lemme}

\begin{proof}
La d�monstration est identique � celle du lemme \ref{ptor}.
\end{proof}

\begin{cor}\label{bcorb}
Il existe une bijection canonique entre les orbites unipotentes de $K\cap H$ contenues dans $O_{nr}$ et les orbites unipotentes de ${\mth{G}}$ contenues dans $O'$, qui � l'orbite de $v\in O_{nr}\cap K\cap H$ associe celle de sa classe dans ${\mth{G}}$.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, soit $v\in O_{nr}\cap K\cap H$, et $\overline{v}$ sa classe dans ${\mth{H}}$; on d�duit de la classification de \cite[13.1]{car} appliqu�e successivement � $\underline{H}/Z_{\underline{H}}$ et � $\underline{\mth{G}}/Z_{\underline{\mth{G}}}$ que l'ensemble des classes dans $\underline{\mth{G}}$ des �l�ments de $Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)$ est exactement $Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)$. De plus, si $g\in L^{-1}\left(Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)\right)$, son image dans $\underline{\mth{G}}$ appartient � $L^{-1}\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)\right)$; d'autre part, posons:
\[C_v=Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)/Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)^0.\]
Puisque $v\in H$, $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ agit sur $C_v$, et l'application de Lang sur $K_{nr}$ induit une bijection de $K\cap H\backslash L^{-1}\left(Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\right)\left(v\right)/Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)$ dans l'ensemble des classes de $C_v$ pour la relation d'�quivalence suivante: $x\equiv y$ si et seulement si il existe $z\in C_v$ tel que $x=z^{-1}y{\mathbf F}\left(z\right)$.
De m�me, en d�finissant $C_{\overline{v}}$ de mani�re analogue � $C_v$, l'application de Lang sur $\underline{\mth{G}}$ induit une bijection de ${\mth{G}}\backslash L^{-1}\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\right)\left(\overline{v}\right)/Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right)$ dans l'ensemble des classes de $C_{\overline{v}}$ pour la relation d'�quivalence similaire. Or on d�duit de \cite[13.1]{car} que dans tous les cas, $C_v$ et $C_{\overline{v}}$ sont canoniquement isomorphes et que $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ agit de la m�me mani�re sur l'un et sur l'autre; on en d�duit une bijection canonique:
\[K\cap H\backslash L^{-1}\left(Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)\right)/Z_{K_{nr}\cap H_{nr}}\left(v\right)\longrightarrow {\mth{G}}\backslash L^{-1}\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\right)\left(\overline{v}\right)/Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{v}\right),\]
qui � chaque double classe associe l'ensemble de ses images dans $\underline{\mth{G}}$. L'assertion du lemme se d�duit alors imm�diatement des lemmes \ref{ptor} et \ref{ptor2}.
\end{proof}

D'apr�s ce corollaire, on peut associer � chaque orbite unipotente $O$ de ${\mth{G}}$ contenue dans $O'$ une orbite unipotente $U_O$ de $G$, qui est celle contenant l'orbite unipotente de $K\cap H$ ant�c�dent de $O$ par la bijection en question.

Consid�rons la relation de pr�ordre sur les orbites unipotentes de $G$ (resp. $G_{nr}$) d�finie de la fa�on suivante: $U\leq U'$ si $U$ est contenue dans l'adh�rence de $U'$. On dira qu'un �l�ment d'un ensemble d'orbites unipotentes de $G$ (resp. $G_{nr}$) est minimal s'il l'est pour cette relation.

On a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{ormin}
Les orbites de $G_{nr}$ contenant les �l�ments de $\mathcal{U}_{nr}$ sont minimales parmi celles rencontrant $uK_{nr}^1$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, supposons d'abord $G_{nr}$ d�ploy�, et $K_{nr}$ maximal sp�\-cial; on a alors $H_{nr}=G_{nr}$. Soit $v\in uK_{nr}^1$ unipotent; si $w\in Z_{K_{nr}}\left(v\right)$, son image dans $\underline{\mth{G}}$ est clairement dans $Z_{\underline{\mth{G}}}\left(u\right)$. Consid�rons le morphisme canonique $Z_{K_{nr}}\left(v\right)\rightarrow Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{u}\right)$. Il induit un morphisme canonique $Lie\left(Z_{K_{nr}}\left(v\right)^0\right)\rightarrow Lie\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{u}\right)^0\right)$, qui se factorise en:
\[Lie\left(Z_{K_{nr}}\left(v\right)^0\right)\rightarrow\overline{Lie\left(Z_{K_{nr}}\left(v\right)^0\right)}\rightarrow Lie\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{u}\right)^0\right).\]
Puisque $Lie\left(Z_{K_{nr}}\left(v\right)^0\right)$ est un ouvert de $Lie\left(Z_{G_{nr}}\left(v\right)^0\right)$ et puisque le second morphisme est injectif, on en d�duit:
\[dim\left(Lie\left(Z_{G_{nr}}\left(v\right)^0\right)\right)=dim\left(Lie\left(Z_{K_{nr}}\left(v\right)^0\right)\right)\leq dim\left(Lie\left(Z_{\underline{\mth{G}}}\left(\overline{u}\right)^0\right)\right).\]
Or d'apr�s \cite[13.1]{car}, on a l'�galit� pour $v=u$; on en d�duit:
\[dim\left(Z_{G_{nr}}\left(v\right)\right)\leq dim\left(Z_{G_{nr}}\left(u\right)\right),\]
ce qui d�montre que l'orbite de $u$ est minimale parmi les orbites unipotentes rencontrant $uK_{nr}^1$.

Supposons ensuite que $K_{nr}$ n'est plus n�cessairement maximal, mais est contenu dans un sous-groupe parahorique maximal hypersp�cial $K_{0,nr}$ de $G_{nr}$, toujours avec $G_{nr}$ d�ploy�. Pour montrer l'assertion du lemme, il faut alors montrer que les orbites de $G_{nr}$ contenant les �l�ments de $\mathcal{U}_{nr}$ sont exactement les orbites unipotentes minimales parmi celles rencontrant $u\underline{{\mth{U}}_0}K_{0,nr}^1$, o� $\underline{{\mth{U}}_0}$ est le radical unipotent du sous-groupe parabolique de $\underline{{\mth{G}}_0}=K_{0,nr}/K_{0,nr}^1$ image de $K_{nr}$.
Cette assertion se d�duit, par une r�currence �vidente, du cas pr�c�dent et du lemme suivant:

\begin{lemme}\label{uzero}
L'orbite de $\overline{u}$ est l'unique orbite unipotente minimale parmi celles qui rencontrent $\overline{u}\underline{{\mth{U}}_0}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par la correspondance de Springer, on voit que l'assertion du lemme est �quivalente � l'assertion correspondante concernant $\overline{n}$. Soit donc $\overline{n'}\in\overline{n}+Lie\left(\underline{{\mth{U}}_0}\right)$; �crivons-le:
\[\overline{n'}=\sum_{\alpha\in\Phi_{K_{0,nr}}^+}n'_\alpha,\]
o� $\Phi_{K_{0,nr}}^+$ est d�fini de mani�re analogue � $\Phi_{K_{nr}}^+$.
Soit $\Delta_0=\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ l'ensemble des racines simples de $\Phi_{K_{0,nr}}^+$, les indices �tant choisis de telle sorte que $\Delta_{nr}=\{\alpha_{r+1},\dots,\alpha_n\}$. Pour tout $\alpha\in\Phi_{K_{0,nr}}^+$ de la forme:
\[\alpha=\sum_{i=1}^nc_i\alpha_i,\]
posons:
\[c\left(\alpha\right)=\sum_{i=1}^rc_i.\]
Pour tout $x\in\overline{{\mth{F}}_q}$, posons:
\[\overline{n'_x}=\sum_{\alpha\in\Phi_{K_{0,nr}}^+}x^{c\left(\alpha\right)}n'_\alpha.\]
Il est clair que l'ensemble $\left\{\overline{n'_x}\mid x\in\overline{{\mth{F}}_q}\right\}$ est une sous-vari�t� ferm�e de $\underline{\mth{G}}$, que $\overline{n'_0}=\overline{n}$ et que pour tout $x\neq 0$, $\overline{n'_x}$ appartient � l'orbite de $\overline{n'}$; on en d�duit que $\overline{n}$ appartient � l'adh�rence de l'orbite de $\overline{n'}$; comme ceci est vrai pour tout $\overline{n'}$, l'orbite de $\overline{n}$ est l'unique orbite minimale parmi celles rencontrant $\overline{n}+Lie\left(\underline{{\mth{U}}_0}\right)$, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{ormin}.
Supposons maintenant $K_{nr}$ quelconque, toujours avec $G_{nr}$ d�ploy�, et soit $K_{0,nr}$ un sous-groupe parahorique maximal de $G_{nr}$ contenant $K_{nr}$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{extsp}
Il existe une extension finie $E_{nr}$ de $F_{nr}$ telle que si $K_{0,E_{nr}}$ est le sous-groupe parahorique maximal de $\underline{G}\left(E_{nr}\right)$ contenant $K_{0,nr}$, $K_{0,E_{nr}}$ est sp�cial.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $x_0$ un point sp�cial quelconque de l'appartement $\mathcal{A}_{nr}$, et soit $\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ un ensemble de racines simples de $G_{nr}$ relativement � $T_{nr}$. Pour tout $i$, consid�rons une forme affine $f_i$ sur $\mathcal{A}_{nr}$ d�finie de la fa�on suivante:
\begin{itemize}
\item si $V_{nr}$ est l'espace vectoriel associ� � $\mathcal{A}_{nr}$ et $H_i$ l'hyperplan de $V_{nr}$ associ� � $\alpha_i$, le noyau de $f_i$ est $x_0+H_i$;
\item les points o� $f_i$ prend des valeurs enti�res sont exactement les hyperplans de la forme $x'+H_i$, o� $x'$ est un sommet de $\mathcal{A}_{nr}$, qui sont r�union de facettes de $\mathcal{A}_{nr}$.
\end{itemize}
Une telle forme affine est unique au signe pr�s; de plus, l'ensemble des points sp�ciaux de $\mathcal{A}_{nr}$ est exactement l'ensemble des points o� toutes les $f_i$ prennent des valeurs enti�res. D'autre part, si $E_{nr}$ est une extension finie galoisienne de $F_{nr}$, soit $\mathcal{B}_{E_{nr}}$ l'immeuble de $\underline{G}\left(E_{nr}\right)$, et $\mathcal{A}_{E_{nr}}$ l'appartement de $\mathcal{B}_{E_{nr}}$ correspondant � l'unique tore d�ploy� maximal de $\underline{G}\left(E_{nr}\right)$ contenant $T_{nr}$; l'appartement $\mathcal{A}_{nr}$ s'identifie � l'ensemble des points de $\mathcal{A}_{E_{nr}}$ fix�s par $\Gal\left(E_{nr}/F_{nr}\right)$, et l'ensemble des points de $\mathcal{A}_{nr}$ correspondant � un sous-groupe parabolique maximal sp�cial de $\underline{G}_{E_{nr}}$ est exactement l'ensemble des points $x'$ tels que pour tout $i$, $f_i\left(x'\right)\in\dfrac 1{\left[E_{nr}:F_{nr}\right]}{\mth{Z}}$.
Pour montrer le lemme, il suffit donc de v�rifier qu'il existe $E_{nr}$ v�rifiant ces conditions, ce qui est toujours le cas si, en notant $x$ le sommet de $\mathcal{A}_{nr}$ fix� par $K_{0,nr}$, pour tout $i$, $f_i\left(x\right)$ est un rationnel dont le d�nominateur n'est pas multiple de $p$.

Il est clair que l'on peut supposer que le diagramme de Dynkin de $G_{nr}$ est connexe. Si $G_{nr}$ est de type $A_n$, tout sous-groupe parahorique maximal de $G_{nr}$ est sp�cial et il suffit de poser $E_{nr}=F_{nr}$; on supposera donc que $G_{nr}$ n'est pas de type $A_n$. Consid�rons, pour tout $i$, l'hyperplan de $\mathcal{A}_{nr}$ sym�trique de $x_0+H_i$ par rapport � $x$; une telle sym�trie pr�serve la structure simpliciale de $\mathcal{A}_{nr}$, donc il est r�union de facettes; de plus, il contient le sommet $x''$ de $\mathcal{A}_{nr}$ sym�trique de $x_0$ par rapport � $x$. Comme ceci est vrai pour tout $i$, $x''$ est sp�cial, donc pour tout $i$, $f_i\left(x''\right)\in{\mth{Z}}$; comme $x$ est le milieu du segment $\left[x'',x_0\right]$, on en d�duit que pour tout $i$, $f_i\left(x\right)\in \dfrac 12{\mth{Z}}$. Or puisque $p$ est bon pour $G_{nr}$, il est diff�rent de $2$; on en d�duit l'assertion cherch�e.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{ormin}.
Soit $K_{0,E_{nr}}^1$ le premier sous-groupe de congruence de $K_{0,E_{nr}}$;
on a:
\[K_{0,nr}^1=K_{0,E_{nr}}^1\cap G_{nr};\]
en effet, si $x$ est un point de l'immeuble $\mathcal{B}_{E_{nr}}$ de $G_{E,nr}$ dont $K_{0,E_{nr}}$ est le fixateur connexe, les deux membres de l'�galit� ci-dessus sont �gaux au groupe des �l�ments de $G_{nr}$ fixant un voisinage de $x$ dans $\mathcal{B}_{E_{nr}}$. L'assertion du lemme se d�duit alors imm�diatement du cas pr�c�dent.

Supposons enfin $G_{nr}$ quelconque, et soit $E'_{nr}$ une extension de $F_{nr}$ sur laquelle $\underline{G}$ est d�ploy�; l'assertion est vraie pour $\underline{G}\left(E'_{nr}\right)$ d'apr�s ce qui pr�c�de, et si $K_{E'_{nr}}$ est un sous-groupe parahorique de $\underline{G}\left(E'_{nr}\right)$ contenant $K_{nr}$, par un argument similaire � celui du cas pr�c�dent, on a:
\[K_{nr}^1=K_{E'_{nr}}^1\cap G_{nr};\]
elle est donc �galement vraie pour $G_{nr}$ par restriction.
\end{proof}

On en d�duit imm�diatement, par restriction, le corollaire suivant:

\begin{cor}\label{orminc}
Parmi les orbites unipotentes de $G$ rencontrant $uK^1$, les orbites rencontrant un �l�ment de $\mathcal{U}_{nr}^0$ sont minimales.
\end{cor}

Fixons maintenant une orbite $U_O$ de $G$ rencontrant un �l�ment de $\mathcal{U}_{nr}^0$; on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{unica}
Soit $K_1$ un autre sous-groupe parahorique de $G$, ${\mth{G}}_1=K_1/K_1^1$, $O_1$ une orbite anisotrope de ${\mth{G}}_1$, et $U_{O_1}$ une orbite de $G$ associ�e � $O_1$ de la m�me fa�on que $U_O$ l'est � $O$. Si $U_O$ rencontre l'image r�ciproque de $O_1$ dans $K_1$ et est minimale dans celle-ci, alors $K$ et $K_1$ sont associ�s et $O$ et $O_1$ sont contenues dans la m�me $G$-orbite de ${\mth{G}}\equiv{\mth{G}}_1$.
\end{lemme}

\begin{proof}

Soit $v\in U_0\cap O_1K_1^1$; quitte � conjuguer $v$ et $K_1$ par un �l�ment de $G$ convenable, on supposera $v\in H$.

Tout d'abord, montrons que l'on peut supposer que $K_1$ contient $K_{T_0}$. Soit $A_1$ la facette de $\mathcal{B}$ dont le fixateur connexe est $K_1$ et $\mathcal{A}'$ un appartement de $\mathcal{B}$ contenant � la fois $A$ et $A_1$; d'apr�s \cite[2.5.8]{bt}, il existe $k\in G^1$ tel que $k\mathcal{A}=\mathcal{A}'$ et que $k$ fixe $\mathcal{A}\cap\mathcal{A'}$; en particulier, $k$ fixe $A$, donc $k\in K$. De plus, il est clair que si dans ce qui pr�c�de, on remplace $T_0$ par $kT_0k^{-1}$, on conjugue tous les sous-groupes radiciels, et donc �galement $H$, par $k$; on peut donc choisir $kuk^{-1}$ � la place de $u$, et l'orbite associ�e � $O$ est alors $kU_Ok^{-1}=U_O$; on peut donc, quitte � remplacer $T_0$ par $kT_0k^{-1}$, $H$ pat $kHk^{-1}$ et $v$ par $kvk^{-1}$, supposer $K_{T_0}\subset K_1$. Le groupe $K_{1,H}=K_1\cap H$ est alors un sous-groupe parahorique de $H$; de plus, ${\mth{H}}_1=K_{1,H}/K_{1,H}^1$ est un sous-groupe r�ductif ferm� de ${\mth{G}}_1$ qui contient l'image de $v$, donc qui rencontre $O_1$, et $O_1\cap{\mth{H}}_1$ est r�union d'orbites unipotentes anisotropes de ${\mth{H}}_1$. De plus, $K_H=K\cap H$ est un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $H$.

Supposons $K_H$ et $K_{1,H}$ associ�s dans $H$; ils sont alors conjugu�s par un �l�ment $h$ de $H$, et en particulier, $K_{1,H}$ est �galement maximal sp�cial. Soit $(L,K_L)=\kappa_0(K,T_0)$, $(L_1,K_{L_1})=\kappa_0(K_1,T_0)$; $L_1$ est alors un sous-groupe de Levi de $G$ contenant $H$, et de m�me rang semi-simple que $H$; en effet, si ce n'�tait pas le cas, $H$ serait contenu dans un sous-groupe de Levi propre de $L_1$, et $O_1$ rencontrerait alors un sous-groupe de Levi propre de ${\mth{G}}_1=L_1/L_1^1$, ce qui est exclu par hypoth�se. D'autre part, par d�finition de $H$, $L$ est �galement un sous-groupe de Levi de $G$ contenant $H$ et de m�me rang semi-simple que $H$; on a donc $L=L_1$. De plus, $K_L$ (resp. $K_{L_1}$) est l'unique sous-groupe parahorique de $L$ contenant $K_H$ (resp. $K_{1,H}$); on en d�duit que $K_L$ et $K_{L_1}$ sont conjugu�s par $h$, et donc que $K$ et $K_1$ sont associ�s. Enfin, il est clair que si $O$ et $O_1$ rencontrent une m�me $H$-orbite de ${\mth{G}}$, elles sont contenues dans la m�me $G$-orbite; il suffit donc de montrer le lemme dans le cas o� $G=H$.

Supposons donc $G=H$; $K$ est alors un sous-groupe parahorique maximal sp�cial de $G$, et $U_O$ est une orbite unipotente anisotrope. On a le lemme suivant:

\begin{lemme}
Soit $U'$ une orbite unipotente de $G$ minimale parmi celles rencontrant $O_1K_1^1$; alors $U'$ rencontre $L_1\cap O_1K_1^1$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par une r�currence �vidente, il suffit de consid�rer le cas o� $L_1$ est propre maximal, sachant que si $L_1=G$ il n'y a rien � d�montrer. Soit $V_1$ et $V_1^-$ les radicaux unipotents des deux sous-groupes paraboliques de $G$ semi-standard (relativement � $T_0$) admettant $L_1$ pour composante de Levi; on a la d�composition d'Iwahori:
\[K_1=\left(V_1^-\cap K_1\right)\left(L_1\cap K_1\right)\left(V_1\cap K_1\right).\]
Soit $u'\in U'\cap O_1K_1^1$; on va montrer qu'il existe $v\in V_1\cap K_1$ tel que $v^{-1}u'v\in L_1V_1^-$. En inversant les r�les de $V_1$ et $V_1^-$, on obtiendra ensuite un $v^-\in V_1^-\cap K_1$ tel que ${v^-}^{-1}v^{-1}u'vv^-\in L_1V_1\cap L_1V_1^-=L_1$, ce qui d�montrera le lemme.

Soit $A_1$ l'ar�te de $\mathfrak{A}$ fix�e par $K_1$, $x'_1$ le sommet de $A_1$ tel que si $K'_1$ est le sous-groupe parahorique maximal de $G$ fixant $x'_1$, on a $K'_1\cap L_1V_1=K_1\cap L_1V_1$, $A_2$ l'ar�te de $\mathcal{A}$ sym�trique de $A_1$ par rapport � $x'_1$, et $K_2$ le fixateur connexe de $A_2$; puisque $A_1$ et $A_2$ engendrent la m�me droite $D$ de $\mathcal{A}$, $K_1$ et $K_2$ sont associ�s. On va montrer qu'il existe $v_1\in K_1\cap V_1$ tel que $v_1^{-1}u_1v_1\in O_1K_1^1\cap O_1K_2^1$; en consid�rant ensuite les ar�tes $A_3,A_4,\cdots$ de $D$ telles que pour tout $i$, $A_i$ est le sym�trique de $A_{i-1}$ par rapport au sommet $x'_{i-1}$ de $A_{i-1}$ distinct de $x'_{i-2}$, on obtient ainsi par r�currence pour tout $i$ un �l�ment $v_i$ de $K_i\cap V_1$ tel que $v_i^{-1}\cdots v_1^{-1}u_1v_1\cdots v_i\in\bigcap_{j=1}^iO_1K_j^1$. De plus, la suite des $K_i\cap V_i$ est une base de voisinage de l'unit� dans $V_i$; on en d�duit que le produit infini des $v_i$ converge vers un �l�ment $v$ de $K_1\cap V_1$ tel que $v^{-1}u_1v$ appartient � $\bigcap_{i=1}^\infty O_1K_i^1$, qui n'est autre que $O_1\left(K_1^1\cap L_1V_1^-\right)\subset L_1V_1^-$.

Montrons donc l'existence de $v_1$. Soit $\overline{u'}$ (resp ${\mth{P}}'_1$) l'image de $u'$ (resp. $K_1$) dans ${\mth{G}}'_1=K'_1/{K'_1}^1$; ${\mth{G}}_1$ s'identifie � une composante de Levi de ${\mth{P}}'_1$, et $\overline{u'}$ appartient � une orbite unipotente de ${\mth{G}}'_1$ minimale parmi celles rencontrant $O_1{\mth{P}}'_1$. Pour montrer l'existence de $v_1$, il suffit de montrer l'existence d'un �l�ment $\overline{v_1}$ du radical unipotent ${\mth{U}}'_1$ de ${\mth{P}}'_1$ tel que $\overline{v_1}^{-1}\overline{u'}\overline{v_1}\in O_1$; puisque $K'_1\cap L_1V_1=K_1\cap L_1V_1$, l'image de $V_1$ dans ${\mth{G}}'_1$ est �gale � ${\mth{U}}'_1$, et il existe donc un repr�sentant $v_1$ de $\overline{v_1}$ appartenant � $V_1$, qui v�rifie la condition cherch�e.

Posons ${\mth{G}}'_1=\underline{\mth{G}}'_1({\mth{F}}_q)$, ${\mth{G}}_1=\underline{\mth{G}}_1({\mth{F}}_q)$, ${\mth{U}}'_1=\underline{\mth{U}}'_1({\mth{F}}_q)$. D'apr�s le lemme \ref{uzero} appliqu� � $\underline{\mth{P}}'_1$, par minimalit� de l'orbite de $\overline{u'}$, il existe $v'_1\in\underline{\mth{P}}'_1$ tel que ${v'_1}^{-1}\overline{u'}v'_1\in\underline{\mth{G}}_1$, et il est clair que l'on peut supposer $v'_1\in\underline{\mth{U}}'_1$; puisque la composante dans $\underline{\mth{G}}_1$ de ${v'_1}^{-1}\overline{u'}v'_1$ est la m�me que celle de $\overline{u'}$, on a ${v'_1}^{-1}\overline{u'}v'_1\in{\mth{G}}_1$; si ${\mathbf F}$ est le Frobenius de $\Gal\left(\overline{\mth{F}}_q/{\mth{F}}_q\right)$, on a donc ${\mathbf F}(v'_1)^{-1}\overline{u'}{\mathbf F}(v'_1)={v'_1}^{-1}\overline{u'}v'_1$. On en d�duit:
\[v'_1{\mathbf F}(v'_1)^{-1}\in Z_{\underline{\mth{G}}'_1}(\overline{u'})\cap\underline{\mth{U}}'_1.\]
Or d'apr�s \cite[13.1]{car}, le groupe $Z_{\underline{\mth{G}}'_1}(\overline{u'})\cap\underline{\mth{U}}'_1$ est toujours connexe; l'application de Lang y est surjective, et on obtient $v''_1\in Z_{\underline{\mth{G}}'_1}(\overline{u'})\cap\underline{\mth{U}}'_1$ tel que l'on a:
\[v'_1{\mathbf F}(v'_1)^{-1}={v''_1}^{-1}{\mathbf F}(v''_1),\]
c'est-�-dire $v''_1v'_1\in{\mth{G}}'_1$. En posant $\overline{v_1}=v''_1v'_1$, on obtient $\overline{v_1}^{-1}\overline{u'}\overline{v_1}\in O_1$, ce qui est l'assertion cherch�e.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{unica}. D'apr�s le lemme pr�c�dent, $U_O$ rencontre $L_1$; or $U_O$ est anisotrope, donc $L_1=G$ et $K_1$ est maximal.
Soit $x$ (resp. $x_1$) le sommet de $\mathcal{B}$ fix� par $K$ (resp. $K_1$); on va montrer qu'il existe $g\in G$ tel que $gx_1=x$, c'est-�-dire que $K$ et $K_1$ sont conjugu�s.

D'apr�s la d�finition de $U_O$, $v$ est conjugu� � $u$ par un �l�ment de $K_{nr}$; on d�duit donc de la d�finition de $u$ qu'il existe un appartement $\mathcal{A}'_{nr}$ de $\mathcal{B}_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ et tel que l'ensemble des points de $\mathcal{A'}_{nr}$ fix�s par $v$ est l'intersection de $t=\card\left(\Phi_n\right)$ racines affines $\alpha'_1,\dots,\alpha'_t$ telles que pour tout $i$, la facette $A_{1,nr}$ de $\mathcal{B}$ contenant $x_1$ appartient � la fronti�re de $\alpha'_i$.
Soit $\mathfrak{C}_{nr}$ un quartier de $\mathcal{A}'_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ contenu dans cette intersection, et soit $\mathcal{A}''_{nr}$ un appartement de $\mathcal{B}_{nr}$ contenant � la fois $A_{1,nr}$ et un sous-quartier $\mathfrak{C}'_{nr}$ de $\mathfrak{C}_{nr}$ que l'on pourra, quitte � le r�duire, supposer �galement stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$; si $P'_{0,nr}=M'_{0,nr}U'_{0,nr}$ est le sous-groupe parabolique minimal de $G_{nr}$ associ� � la direction de $\mathfrak{C}_{nr}$, il existe $v\in U'_{0,nr}$ tel que $v\mathcal{A}''_{nr}=\mathcal{A}'_{nr}$; de plus, on d�duit des relations de commutation entre �l�ments unipotents de $G_{nr}$ (cf. \cite{chev} et \cite[annexe]{bt}) que $vA_{1,nr}$ est situ� sur l'intersection des $\alpha'_i$; enfin, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
On peut choisir $\mathcal{A}''_{nr}$ et $v$ tels que $v\in G$ et $\mathcal{A''}_{nr}$ est stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, puisque $A_{1,nr}$ et $\mathfrak{C}'_{nr}$ sont stables par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, l'appartement ${\mathbf F}(\mathcal{A}''_{nr})$, o� $\mathbf{F}$ est le Frobenius de $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, les contient �galement. De plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}
L'application de Lang sur $U'_{0,nr}$ est surjective.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, pour tout $y\in\mathfrak{C'}_{nr}$ stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, elle est surjective sur $K_y\cap U'_{0,nr}$ par le lemme \ref{apls}, et la r�union de ces sous-groupes est $U'_{0,nr}$ tout entier.
\end{proof}

On en d�duit qu'il existe $v'\in U'_{0,nr}$ tel que ${v'}^{-1}{\mathbf F}(v'){\mathbf F}(\mathcal{A}''_{nr})=\mathcal{A}''_{nr}$; l'appartement $v'\mathcal{A}''_{nr}$ est alors stable par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$. De plus, on a:
\[\mathbf{F}\left(v'v\right)\mathcal{A}''_{nr}=v'v\mathcal{A}''_{nr}=\mathcal{A}'_{nr},\]
donc $v^{-1}{v'}^{-1}\mathbf{F}\left(v'v\right)$ appartient � l'intersection de $U'_{0,nr}$ et de $N_{G_{nr}}\left(T'_{0,nr}\right)$, o� $T'_{0,nr}$ est le tore maximal associ� � $\mathcal{A}'_{nr}$. Or une telle intersection est forc�ment r�duite � l'identit�: en effet ses �l�ments sont des �l�ments unipotents de $N_{G_{nr}}\left(T'_{0,nr}\right)$ qui fixent un quartier de $\mathcal{A}'_{nr}$, donc $\mathcal{A}'_{nr}$ tout entier; ce sont donc des �l�ments de $Z_{G_{nr}}\left(T'_{0,nr}\right)$, qui est un tore et ne contient pas d'�l�ments unipotents autres que $1$. On en d�duit $v'v\in G$. L'assertion du lemme est donc vraie en prenant $v'\mathcal{A}''_{nr}$ et $v'v$ � la place de $\mathcal{A}''_{nr}$ et $v$.
\end{proof}

On en d�duit que $vx_1$ est un point de $\mathcal{A}'_{nr}$ fix� par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$ et situ� sur le sous-espace affine $E$ de $\mathcal{A}'_{nr}$ engendr� par $A_{nr}$. Or le seul point v�rifiant ces propri�t�s est $x$: en effet, s'il existe un autre point $y$ de $E$ fix� par $\Gal\left(F_{nr}/F\right)$, ce groupe fixe point par point la droite de $E$ engendr�e par $x$ et $y$; comme l'intersection de $A_{nr}$ et d'une telle droite est un segment ouvert, elle n'est pas r�duite � $x$ et on obtient une contradiction. On en d�duit que l'on a $vx_1=x$ et donc que $K$ et $K_1$ sont conjugu�s. Quitte � remplacer $K$ par $vK$, on peut donc supposer $K=K_1$; le fait que $O$ et $O_1$ sont contenues dans une m�me $G$-orbite de ${\mth{G}}$ se d�duit imm�diatement du corollaire \ref{bcorb}.


\end{proof}

Soit $\Lambda$ l'ensemble des couples $\left(\mu,O\right)$, o� $\mu\in\mathcal{M}$ et $O$ est une $G$-orbite unipotente anisotrope du groupe fini ${\mth{M}}$ associ� � $\mu$; on a ainsi montr� le r�sultat suivant:

\begin{prop}\label{unipsj}
Il existe une injection $\phi$ de $\Lambda$ dans l'ensemble des orbites unipotentes de $G$, qui poss�de la propri�t� suivante: pour tout couple $\left(\mu,O\right)$, si $K$ est un sous-groupe parahorique de $G$ dont l'�l�ment de $\mathcal{M}$ associ� est $\mu$, $U_O=\phi\left(\mu,O\right)$ est une orbite unipotente de $G$ minimale parmi celles rencontrant l'image r�ciproque de $O$ dans $K$; de plus, si $\left(M,K_\mu\right)$ est un repr�sentant de $\mu$, $U_O$ rencontre $K_\mu$.
\end{prop}

Soit maintenant $\mu\in\mathcal{M}$, $\left(M,K_M\right)$ un repr�sentant de $\mu$, ${\mth{G}}=K_M/K_M^1$, $O$ une $G$-orbite unipotente de ${\mth{G}}$ et $U=U_O=\phi\left(\mu,O\right)$. Si $O$ est anisotrope, on posera $r\left(O\right)=dim\left(U_O\right)$; si $O$ et quelconque, si ${\mth{M}}$ est un Levi de ${\mth{G}}$ et $O_{\mth{M}}$ une $G$-orbite unipotente anisotrope de ${\mth{M}}$ tels que $O_{\mth{M}}\subset O$, on posera $r\left(O\right)=r\left(O_{\mth{M}}\right)$. On a le r�sultat suivant:

\begin{lemme}\label{co}
Soit $\mu'\in\mathcal{M}$, $K'$ un sous-groupe parahorique de $G$ tel que $\kappa\left(K'\right)=\mu'$, ${\mth{G}}'=K'/K'{}^1$, et $\mathcal{U}'$ l'ensemble des $G$-orbites unipotentes de ${\mth{G}}'$. On a une �galit� de la forme:
\[J_U|_{\mathcal{C}_{K',0}}=\sum_{O'\in\mathcal{U}'}c_{U,O'}1_{O'},\]
avec pour tout $O'$:
\begin{itemize}
\item si $K'$ est associ� � un sous-groupe de $K$ et si $O'\subset O$, on a $c_{U,O'}\neq 0$;
\item si $O'$ ne v�rifie pas la condition ci-dessus et si $r\left(O'\right)\geq r\left(O\right)$, on a $c_{U,O'}=0$.
\end{itemize}
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, on a par (\ref{intu}), pour tout $f\in\mathcal{C}_{K',0}$, si $u$ est un �l�ment quelconque de $U$:
\[J_U\left(f\right)=\sum_{O'\in\mathcal{U}'}\left(\sum_{h\in G_u,\overline{h^{-1}uh}\in O'}\dfrac{vol\left(Z_G^0\left(u\right)\backslash Z_G^0\left(u\right)hK'\right)}{vol\left(K'\right)}\right)1_O\left(f\right),\]
d'o� pour tout $O'\in\mathcal{U}$:
\[c_{U,O'}=\sum_{h\in G_u,\overline{h^{-1}uh}\in O'}\dfrac{vol\left(Z_G^0\left(u\right)\backslash Z_G^0\left(u\right)hK'\right)}{vol\left(K'\right)}.\]
Soit $O'\in\mathcal{U}'$ telle que $r\left(O'\right)\geq r\left(O\right)$; si l'image r�ciproque de $O'$ dans $K'$ ne rencontre pas $U$, il n'existe aucun $h\in G_u$ tel que $h^{-1}uk\in K'$ et $\overline{h^{-1}uh}\in O'$, et donc $c_{U,O'}=0$. Supposons donc que l'image r�ciproque de $O'$ dans $K'$ rencontre $U$.
Soit ${\mth{M}}$ un Levi de ${\mth{G}}'$ et $O'_{\mth{M}}$ une orbite unipotente anisotrope de ${\mth{G}}'$ tels que $O'_{\mth{M}}\subset O'$. Soit ${\mth{P}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}'$ de Levi ${\mth{M}}$, et $K'_{\mth{P}}$ le sous-groupe parahorique de $G$ image r�ciproque de ${\mth{P}}$ dans $K'$; d'apr�s la proposition \ref{unipsj}, $U_{O'_{\mth{M}}}$ est minimale parmi les orbites unipotentes de $G$ rencontrant l'image r�ciproque d'un �l�ment $u'$ quelconque de $O'_{\mth{M}}$ dans $K'_{\mth{P}}$; comme $K'{}^1\subset K'_{\mth{P}}{}^1$, a fortiori, $U_{O'_{\mth{M}}}$ est minimale parmi les orbites unipotentes de $G$ rencontrant $u'K'{}^1$, et on a donc $r\left(O'\right)=r\left(O'_{\mth{M}}\right)\leq r\left(O\right)$. De plus, par le lemme \ref{unica}, si $U$ est �galement minimale parmi les orbites unipotentes de $G$ rencontrant $u'K'{}^1$, $K$ et $K'_{\mth{P}}$ sont associ�s et, en identivfiant ${\mth{G}}$ � ${\mth{M}}$, on a $O'_{\mth{M}}=O$, ce qui d�montre la deuxi�me assertion du lemme.

Montrons maintenant la premi�re: supposons que $K'$ est associ� � un sous-groupe de $K$ et que $O'\subset O$.
Alors la somme d�finissant $c_{U,O'}$ comporte au moins un terme non nul; puisque ces termes sont tous positifs, on en d�duit que $c_{U,O'}\neq 0$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{ioli}
Les int�grales orbitales $J_{U_O}$ sont lin�airement in\-d�\-pen\-dan\-tes sur $\mathcal{C}_0$.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, supposons qu'il existe des constantes $\lambda_{O'}$, $O'\in\Lambda$, telles que $\sum_{O'}\lambda_{O'}J_{U,O'}|_{\mathcal{C}_0}=0$; on va montrer par r�currence sur $r\left(O'\right)$ qu'elles sont toutes nulles. Fixons donc $\left(\mu',O'\right)\in\Lambda$, et supposons que pour tout $\left(\mu,O\right)\in\Lambda$ telle que $r\left(O\right)>r\left(O'\right)$, on a $\lambda_O=0$. Soit $K$ un sous-groupe parahorique de $G$ contenant $I$, et ${\mth{G}}=K/K^1$; �crivons, comme dans le lemme pr�c�dent, pour tout $\left(\mu,O\right)\in\Lambda$:
\[J_{U_O}|_{\mathcal{C}_{K,0}}=\sum_{O''}c_{U_O,O''}1_{O''},\]
o� $O''$ d�crit l'ensemble des orbites unipotentes de ${\mth{G}}$. On en d�duit, en identifiant $1_{O'}$ � un �l�ment de $\mathcal{C}_0$:
\[J_{U_O}\left(1_{O'}\right)=c_{U_O,O'},\]
d'o�:
\[0=\sum_{O,r\left(O\right)\leq r\left(O'\right)}\lambda_OJ_{U_O}\left(1_{O'}\right)=\sum_{O,r\left(O\right)\leq r\left(O'\right)}\lambda_Oc_{U_O,O'}.\]
Or d'apr�s le lemme pr�c�dent, si $r\left(O\right)\leq r\left(O'\right)$, $c_{U_O,O'}=0$ si $O\neq O'$; l'�galit� pr�c�dente se r�duit donc �:
\[\lambda_{O'}c_{U_{O'},O'}=0.\]
Comme, toujours par le lemme pr�c�dent, $c_{U_{O'},O'}\neq 0$, on a $\lambda_{O'}=0$, ce qui d�montre le corollaire.
\end{proof}

\subsection{Quelques r�sultats sur les groupes finis}

\begin{lemme}\label{ssuf}
Soit ${\mth{G}}$ un groupe fini r�ductif et connexe, ${\mth{P}}_0$ un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}$, $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur ${\mth{G}}$ biinvariantes par ${\mth{P}}_0$. Soit ${\mth{T}}$ un tore maximal de ${\mth{G}}$, $g$ un �l�ment r�gulier de $T$; la restriction � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ de l'int�grale orbitale $1_g$ est combinaison lin�aire des restrictions des int�grales orbitales unipotentes sur ${\mth{G}}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $\underline{\mth{G}}$ un groupe r�ductif connexe d�fini sur ${\mth{F}}_q$ et $\mathbf F$ une application de Frobenius de $\underline{\mth{G}}$ dans lui-m�me tels que ${\mth{G}}=\underline{\mth{G}}^{\mathbf F}$; pour tout tore maximal ${\mth{T}}$ de $G$, soit $\underline{\mth{T}}$ le tore maximal ${\mathbf F}$-stable de ${\mth{G}}$ tel que ${\mth{T}}=\underline{\mth{T}}^{\mathbf F}$. Si $g_{\mth{T}}$ est un �l�ment r�gulier de ${\mth{T}}$, on a, d'apr�s le lemme \ref{cddl}, pour tout $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$:
\[1_{g_{\mth{T}}}\left(f\right)=\dfrac 1{\card\left({\mth{T}}\right)}\langle R_{\underline{\mth{T}},1},f\rangle _{\mth{G}},\]
o� $R_{\underline{\mth{T}},1}$ est l'application de Deligne-Lusztig de ${\mth{G}}$ dans ${\mth{C}}$ d�finie dans la d�\-mons\-tra\-tion du th�or�me \ref{intorb}. Or d'apr�s la d�monstration du lemme \ref{cddl}, tous les $\langle R_{\underline{\mth{T}},\theta},f\rangle _{\mth{G}}$, $\theta\neq 1$, sont nuls, et on peut donc �crire:
\begin{equation*}\begin{split}\langle R_{\underline{\mth{T}},1},f\rangle _{\mth{G}}&=\sum_\theta\langle R_{\underline{\mth{T}},\theta},f\rangle _{\mth{G}}\\&=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{g\in{\mth{G}}}f\left(g\right)\sum_\theta R_{\underline{\mth{T}},\theta}\left(g\right).\end{split}\end{equation*}
D'autre part, on a pour tout $g\in{\mth{G}}$, d'apr�s la d�monstration de \cite[th�or�me 7.5.1]{car}:
\[\sum_\theta R_{\underline{\mth{T}},\theta}\left(g\right)=\mathcal{L}\left(\left(g,1\right),\tilde{X}\right),\]
o�, comme dans la d�monstration du th�or�me \ref{intorb}, $\tilde{X}=L^{-1}\left(\underline{\mth{U}}\right)$, $\underline{\mth{U}}$ �tant le radical unipotent d'un sous-groupe de Borel $\underline{\mth{B}}$ de $\underline{\mth{G}}$ contenant $\underline{\mth{T}}$, et o� $\mathcal{L}\left(\left(g,1\right),\tilde{X}\right)$ est le nombre de Lefschetz; si $g=su$ est la d�composition de Jordan de $g$, ce nombre v�rifie, d'apr�s \cite[7.1.10]{car}:
\[\mathcal{L}\left(\left(g,1\right),\tilde{X}\right)=\mathcal{L}\left(\left(u,1\right),\tilde{X}^{\left(s,1\right)}\right),\]
o� $\tilde{X}^{\left(s,1\right)}$ est l'ensemble des points de $\tilde{X}$ fix�s par $\left(s,1\right)$, c'est-�-dire l'ensemble des �l�ments $h$ de $\tilde{X}\subset\underline{\mth{G}}$ v�rifiant $sh=h$. Or cet ensemble est vide si $s\neq 1$, c'est-�-dire si $g$ n'est pas unipotent; on en d�duit:
\[\langle R_{\underline{\mth{T}},1},f\rangle _{\mth{G}}=\sum_{g\in{\mth{G}},g\mbox{ unipotent}}f\left(g\right)\sum_\theta R_{\underline{\mth{T}},\theta}\left(g\right).\]
Puisque les $R_{\underline{\mth{T}},\theta}$ sont des fonctions sur ${\mth{G}}$ invariantes par conjugaison, si $\mathcal{U}$ est l'ensemble des orbites unipotentes de ${\mth{G}}$, on peut reformuler l'�galit� ci-dessus de la mani�re suivante:
\[\langle R_{\underline{\mth{T}},1},f\rangle _{\mth{G}}=\sum_{u\in\mathcal{U}}\left(\sum_\theta R_{\underline{\mth{T}},\theta}\left(u\right)\right)1_u\left(f\right),\]
o� pour tout $u\in\mathcal{U}$, $1_u$ est l'int�grale orbitale sur $u$, ce qui d�montre le lemme.
\end{proof}

\begin{cor}\label{ssufc}
Si ${\mth{G}}$ est tel que tout tore maximal ${\mth{T}}$ de ${\mth{G}}$ admet au moins un �l�ment r�gulier, et si aucune composante connexe du diagramme de Dynkin de ${\mth{G}}$ n'est de type $E_7$ ou $E_8$, alors les int�grales orbitales unipotentes engendrent l'espace des restrictions � $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ des distributions sur ${\mth{G}}$.
\end{cor}

\begin{proof}
Ce corollaire se d�duit imm�diatement du lemme pr�c�dent et de la proposition \ref{intorbf}.
\end{proof}

Soit maintenant ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$ et $O'$ une $G$-orbite unipotente anisotrope de ${\mth{M}}$. On peut assimiler $1_{O'}$ � la fonction caract�ristique de $O'$ dans ${\mth{M}}$; on peut alors d�finir la distribution $\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}1_{O'}$ sur ${\mth{G}}$. On d�duit de la d�finition de l'induite que l'on a:
\[\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}1_{O'}=\sum_O\dfrac{\card\left(Z_{\mth{G}}\left(u\right)\right)}{\card\left({\mth{P}}\right)}\card\left(O'{\mth{U}}\cap O\right)1_O,\]
la somme portant sur les $G$-orbites unipotentes de ${\mth{G}}$; $u$ d�signe un �l�ment quelconque de $O$. De plus, on a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{infgf}
Avec les notations pr�c�dentes, pour tout $O$, $O'{\mth{U}}\cap O$ ne peut �tre non vide que si on a soit $O'\subset O$, soit $r\left(O'\right)>r\left(O\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $K_{\mth{P}}$ le sous-groupe parahorique de $G$ image r�\-ci\-pro\-que de ${\mth{P}}$ dans $K$, $\left(M,K_M\right)=\kappa_0\left(K_{\mth{P}}\right)$, $\mu'$ la classe de $\left(M,K\right)$ dans $\mathcal{M}'$ et $u$ un repr�sentant dans $K_M$ de $U_{O'}$. Soit $P=MU$ l'unique sous-groupe parabolique de $G$ de Levi $M$ tel que l'image de $P\cap K$ dans ${\mth{G}}$ est ${\mth{P}}$; si $O'{\mth{U}}\cap O$ est non vide, $O$ admet un repr�sentant dans $G$ de la forme $uv$, $v\in U$; un tel repr�sentant est clairement unipotent, et si $O'$ n'est pas contenue dans $O$, l'orbite $V$ de $uv$ dans $G$ ne contient pas $u$. Or il existe $t\in N_G\left(K_M\right)$ tel que $t^{-1}\left(U\cap K\right)t\subset U\cap K^1$: si $T_0$ est un tore d�ploy� maximal de $G$ contenu dans $M$, il suffit de choisir $t$ tel que pour toute racine $\alpha$ de $G$ relativement � $T_0$ telle que $U_\alpha\subset U$, $\alpha\left(t\right)$ est de valuation strictement positive. L'�l�ment $t^{-1}uvt$ est alors un �l�ment de $K$ dont l'image dans ${\mth{G}}$ est dans $O'$, et on d�duit de la proposition \ref{unipsj} que $\phi\left(\mu',O'\right)\subset\overline{V}$. Puisque $O'$ n'est pas contenue dans $O$, on d�duit du lemme \ref{unica} que $\phi\left(\mu',O'\right)$ n'est pas minimale dans $\overline{V}$, d'o� $r\left(O'\right)>r\left(O\right)$.
\end{proof}

Soit maintenant $f$ une fonction sur ${\mth{G}}$; on dira que $f$ est {\em cuspidale} si la fonction centrale $f^{\mth{G}}=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)}\sum_{g\in{\mth{G}}}Ad\left(g\right)f$ est cuspidale. Pour une telle fonction $f$, on a en particulier, pour tout sous-groupe de Levi ${\mth{M}}$ propre de ${\mth{G}}$ et toute orbite unipotente $O'$ de ${\mth{M}}$:
\begin{equation*}\begin{split}\left(\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}1_{O'}\right)\left(f\right)&=\left(\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}1_{O'}\right)\left(f^{\mth{G}}\right)\\&=\langle 1_{O'},r_{\mth{M}}^{\mth{G}}f^{\mth{G}}\rangle _{\mth{M}}\\&=0.\end{split}\end{equation*}
Fixons un sous-groupe parahorique minimal ${\mth{P}}_0={\mth{M}}_0{\mth{U}}_0$ de ${\mth{G}}$ et un tore d�ploy� maximal ${\mth{T}}_0$ de ${\mth{G}}$. Soit $\mathcal{H}_{\mth{G}}$ l'alg�bre de Hecke des fonctions sur ${\mth{G}}$ biinvariantes par ${\mth{P}}_0$; on notera $\mathcal{H}_{{\mth{G}},cusp}$ le sous-espace des �l�ments cuspidaux de $\mathcal{H}_{\mth{G}}$. 

Soit ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ un sous-groupe parabolique de ${\mth{G}}$ standard (relativement � ${\mth{P}}_0$ et ${\mth{T}}_0$); par restriction, $\mathcal{H}_{\mth{M}}$ s'identifie canoniquement � une sous-alg�bre de $\mathcal{H}_{\mth{G}}$. On a le lemme suivant:

\begin{lemme}\label{dchk}
Soit $R$ un syst�me de repr�sentants des classes de conjugaison de sous-groupes de Levi standard de ${\mth{G}}$; on a la d�composition suivante:
\[\mathcal{H}_{\mth{G}}=\sum_{{\mth{M}}\in R}\mathcal{H}_{{\mth{M}},cusp},\]
et la somme est directe modulo $C_0\left({\mth{G}}\right)\cap\mathcal{H}_{\mth{G}}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit $f\in\mathcal{H}_{\mth{G}}$. D'apr�s la proposition \ref{dcc}, on peut �crire de mani�re unique, en posant pour tout ${\mth{M}}\in R$:
\[f^{\mth{G}}=\sum_{{\mth{M}}\in R}\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{\mth{M}},\]
o� $f_{\mth{M}}$ est une fonction centrale et cuspidale sur ${\mth{M}}$; de plus, pour tout ${\mth{M}}$, si ${\mth{P}}={\mth{M}}{\mth{U}}$ est un parabolique de ${\mth{G}}$ contenant ${\mth{M}}$, d'apr�s le lemme \ref{find}, $\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{\mth{M}}$ et $f_{\mth{M}}$ ne diff�rent que par un �l�ment de $C_0\left({\mth{G}}\right)$. Pour montrer le lemme, il suffit donc de montrer que pour tout ${\mth{M}}$, $f_{\mth{M}}\in\mathcal{H}_{\mth{M}}+C_0\left({\mth{G}}\right)$.

Pour toute fonction $\phi$ sur ${\mth{G}}$ et tout ${\mth{M}}\in R$, on posera $r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}\phi=r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}\left(\phi^{\mth{G}}\right)$. Montrons le lemme suivant:

\begin{lemme}
Pour tout ${\mth{M}}\in R$, $r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}f\in\mathcal{H}_{\mth{M}}+C_0\left({\mth{M}}\right)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
En effet, soit ${\mth{P}}_0={\mth{M}}_0{\mth{U}}_0$ un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{G}}$ tel que ${\mth{M}}_0\subset{\mth{M}}$, ${\mth{T}}_0$ le tore d�ploy� maximal de ${\mth{G}}$ contenu dans ${\mth{M}}_0$, $W$ le groupe de Weyl de ${\mth{G}}$ relativement � ${\mth{T}}_0$, et $W'$ un syst�me de repr�sentants de $W$ modulo $W\cap{\mth{M}}$ � gauche; on a:
\begin{equation*}\begin{split}r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}f&=\dfrac 1{\card\left({\mth{G}}\right)\card\left({\mth{U}}\right)}\sum_{g\in{\mth{G}}}\sum_{u\in{\mth{U}}}f\left(g^{-1}\cdot ug\right)\\&=\sum_{w\in W}\dfrac{\card\left({\mth{P}}w{\mth{P}}_0\right)}{\card\left({\mth{M}}\right)\card\left({\mth{G}}\right)\card\left({\mth{U}}\right)}\sum_{m\in{\mth{M}}}\sum_{u\in{\mth{U}}}f\left(w^{-1}m^{-1}\cdot muw\right).\end{split}\end{equation*}
Cette derni�re fonction est �gale � un �l�ment de $C_0\left({\mth{M}}\right)$ pr�s �:
\[\sum_{w\in W}\dfrac{\card\left({\mth{P}}w{\mth{P}}_0\right)}{\card\left({\mth{G}}\right)\card\left({\mth{U}}\right)}\sum_{u\in{\mth{U}}}f\left(w^{-1}\cdot uw\right).\]
Consid�rons, pour tout $w$, la fonction $\sum_uf\left(w^{-1}\cdot uw\right)$. Elle est biinvariante par $w{\mth{P}}_0 w^{-1}\cap{\mth{M}}$; or ce groupe est un sous-groupe parabolique minimal de ${\mth{M}}$, et est donc conjugu� dans ${\mth{M}}$ � ${\mth{P}}_0\cap{\mth{M}}$, et on en d�duit l'assertion du lemme.
\end{proof}

Revenons � la d�monstration du lemme \ref{dchk}; on va montrer, par r�currence sur le rang semi-simple de ${\mth{M}}$, que pour tout ${\mth{M}}$, $f_{\mth{M}}\in\mathcal{H}_{\mth{M}}+C_0\left({\mth{G}}\right)$. Fixons donc un ${\mth{M}}$, et supposons que pour tout ${\mth{M}}'\in R$ de rang strictement inf�rieur, on a $f_{{\mth{M}}'}\in\mathcal{H}_{{\mth{M}}'}\subset\mathcal{H}_{\mth{G}}$. D'apr�s le lemme pr�c�dent, on a:
\[\sum_{{\mth{M}}'\in R}r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}\Ind_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}f_{{\mth{M}}'}\in\mathcal{H}_{{\mth{M}}}+C_0\left({\mth{M}}\right).\]
Or si $\phi\in C_0\left({\mth{G}}\right)$, $\phi^{\mth{G}}=0$, donc $r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}\phi=0$; on en d�duit, en utilisant le lemme \ref{find}:
\[\sum_{{\mth{M}}'\in R}r_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{{\mth{M}}'}\in\mathcal{H}_{{\mth{M}}}+C_0\left({\mth{M}}\right);\]
d'autre part, si ${\mth{M}}'$ n'est pas contenu dans un conjugu� de ${\mth{M}}$, le lemme \ref{vdx} montre que $r_{{\mth{M}}}^{\mth{G}}\Ind_{{\mth{M}}'}^{\mth{G}}f_{{\mth{M}}'}=0$.
Enfin, pour tout ${\mth{M}}'$ distinct de ${\mth{M}}$ et contenu dans un conjugu� de ${\mth{M}}$, par hypoth�se de r�currence, $f_{{\mth{M}}'}\in\mathcal{H}_{{\mth{M}}'}+C_0\left({\mth{G}}\right)\subset\mathcal{H}_{{\mth{M}}}+C_0\left({\mth{G}}\right)$ (cette inclusion est �vidente si ${\mth{M}}'\subset {\mth{M}}$, et le lemme \ref{find} permet de ce ramener � ce cas), d'o� $r_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{{\mth{M}}'}\in\mathcal{H}_{{\mth{M}}}+C_0\left({\mth{G}}\right)$ d'apr�s le lemme pr�c�dent; on en d�duit que $r_{\mth{M}}^{\mth{G}}\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{\mth{M}}\in\mathcal{H}_{\mth{M}}+C_0\left({\mth{G}}\right)$; enfin, on d�duit imm�diatement du lemme \ref{fdm} que l'on a:
\[r_{\mth{M}}^{\mth{G}}\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}f_{\mth{M}}\in f_{\mth{M}}+C_0\left({\mth{G}}\right),\]
ce qui permet de conclure.
\end{proof}

\subsection{Le r�sultat principal}

On va maintenant d�montrer le r�sultat principal de cette partie:

\begin{theo}\label{intun}
Supposons que $G$ v�rifie (C1), que son diagramme de Dynkin ne contient aucune composante connexe de type $E_7$ ou $E_8$,et que $p$ est bon pour $G_{nr}$. Alors les restrictions � $\mathcal{H}$ des distributions int�grales orbitales unipotentes sur $G$ engendrent $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$.
\end{theo}

\begin{proof}
Ici encore, gr�ce au th�or�me \ref{dh}, il suffit de consid�rer les restrictions des distributions au sous-espace $\mathcal{H}'_0$ des �l�ments de $\mathcal{H}$ � support dans la r�union des parahoriques de $G$ contenant $I$. On va montrer l'assertion suivante: si $f$ est un �l�ment de $\mathcal{H}'_0$ tel que pour tout $\left(\mu,O\right)\in\Lambda$, $J_{U_O}\left(f\right)=0$, alors $f$ annule toute distribution invariante sur $G$; comme $\mathcal{H}'_0$ est de dimension finie, cela implique l'assertion du th�or�me.

Soit donc $D\in\mathcal{D}_{c,1}$. Pour tout sous-groupe parahorique $K$ de $G$ contenant $I$, si $\mathcal{H}_K$ est l'ensemble des �l�ments de $\mathcal{H}'_0$ � support dans $K$, on peut �crire, gr�ce au corollaire \ref{ssufc}:
\[D|_{\mathcal{H}_K}=\sum_{O\in\mathcal{U}'_K}\lambda'_O1_O,\]
o� $\mathcal{U}'_K$ est l'ensemble des orbites unipotentes de ${\mth{G}}=K/K^1$. De plus, puisque $D$ est invariante par conjugaison, si $O$ et $O'$ sont deux orbites unipotentes contenues dans une m�me $G$-orbite, on peut supposer $\lambda'_O=\lambda'_{O'}$; on peut donc reformuler la somme ci-dessus de la fa�on suivante:
\[D|_{\mathcal{H}_K}=\sum_{O\in\mathcal{U}_K}\lambda_O1_O,\]
o� $\mathcal{U}_K$ est l'ensemble des $G$-orbites unipotentes de ${\mth{G}}$.

Consid�rons l'ensemble des classes de $G$-conjugaison de couples $\left({\mth{M}},O'\right)$, o� ${\mth{M}}$ est un sous-groupe de Levi de ${\mth{G}}$ et $O'$ une $G$-orbite unipotente anisotrope de ${\mth{M}}$. Cet ensemble est en bijection canonique avec l'ensemble des $G$-orbites unipotentes de ${\mth{G}}$: � une telle $G$-orbite $O$, on associe un sous-groupe de Levi ${\mth{M}}$ minimal rencontrant $O$, et $O'=O\cap{\mth{M}}$; de plus, on d�duit du lemme \ref{infgf} que la matrice:
\[\left(\card\left(O'{\mth{U}}\cap O\right)\right)_{O,O'},\]
o� $O'$ d�crit l'ensemble des seconds membres des �l�ments de $\Lambda$, est triangulaire sup�rieure, � coefficients diagonaux non nuls puisqu'il est clair que si $O'\subset O$, $\card\left(O'{\mth{U}}\cap O\right)\neq 0$. Elle est donc inversible, et on peut alors �crire $D|_{\mathcal{H}_K}$ sous la forme:
\[D|_{\mathcal{H}_K}=\sum_{\left({\mth{M}},O'\right)\in R_K}d_{O',{\mth{G}},D}\Ind_{\mth{M}}^{\mth{G}}1_{O'}.\]
On en d�duit, si $\mathcal{U}_{K,anis}$ est l'ensemble des $G$-orbites unipotentes anisotropes de ${\mth{G}}$:
\[D|_{\mathcal{H}_{K,cusp}}=\sum_{O'\in \mathcal{U}_{K,anis}}d_{O',{\mth{G}},D}1_{O'}.\]
Notons que si $D=J_U$, o� $U$ est une orbite unipotente de $G$, l'�galit� ci-dessus est valable pour la restriction de $D$ � l'espace $\mathcal{C}_{K,0,cusp}$ des �l�ments cuspidaux de $\mathcal{C}_{K,0}$ tout entier.

Pour toute $O'\in \mathcal{U}_{K,anis}$, on posera $d_{O',U}=d_{O',{\mth{G}},J_U}$; on obtient alors une matrice carr�e $A=\left(d_{O',U_{O''}}\right)_{O',O''}$, o� $O'$ et $O''$ d�crivent l'ensemble des seconds membres des �l�ments de $\Lambda$, qui est inversible d'apr�s le corollaire \ref{ioli}.

Soit maintenant $K_1,\dots,K_t$ les sous-groupes parahoriques maximaux de $G$ contenant $I$.
Soit $f\in\mathcal{H}_0$;
posons:
\[f=\sum_{i=1}^tf_i,\]
o� pour tout $i$, $f_i$ est un �l�ment de $\mathcal{H}_{K_i,0}$.
Pour tout $i$, soit $R_i$ un syst�me de repr�sentants des classes d'association de sous-groupes parahoriques $K'$ de $G$ tels que $I\subset K'\subset K$; d'apr�s le lemme \ref{dchk}, on peut �crire, de fa�on unique modulo $C_0\left(G\right)$:
\[f_i=\sum_{K'\in R_i}f_{i,K'},\]
avec pour tout $K'$, $f_{i,K'}\in\mathcal{H}_{K',cusp}$. Pour tout $\mu\in\mathcal{M}$, posons:
\[f_\mu=\sum_{K'\in\kappa^{-1}\left(\mu\right)}\sum_{i,K'\in R_i}f_{i,K'}.\]
Il est clair que l'on a:
\[f=\sum_{\mu\in\mathcal{M}}f_\mu;\]
d'autre part, on d�duit du lemme \ref{find} que pour tout sous-groupe parahorique $K'$ de $G$ contenant $I$, si $\mu=\kappa^{-1}\left(K'\right)$, $f_\mu\in\mathcal{H}_{K',cusp}+C_0\left(G\right)$. Fixons donc, pour tout $\mu$, un sous-groupe parahorique $K_\mu$ de $G$ contenant $I$ et tel que $\kappa\left(K_\mu\right)=\mu$; quitte � rajouter � $f$ un �l�ment de $\mathcal{H}\cap C_0\left(G\right)$, on pourra supposer $f_\mu\in\mathcal{H}_{K_\mu,cusp}$ pour tout $\mu$.

Pour tout $\left(\mu,O'\right)\in\Lambda$, �crivons:
\[J_{U_{O'}}\left(f\right)=\sum_{\mu'\in\mathcal{M}}J_{U_{O'}}\left(f_{\mu'}\right)=\sum_{\mu'\in\mathcal{M}}\sum_{O''\in\mathcal{U}_{K_{\mu'},anis}}d_{O'',O'}1_{O''}\left(f_{\mu'}\right).\]
Pour tout $\left(\mu',O''\right)\in\Lambda$, consid�rons la distribution $D_{O''}$ sur $\mathcal{H}'_0$ d�finie par:
\[D_{O''}|_{\mathcal{H}_{K_{\mu''},cusp}}=1_{O''}|_{\mathcal{H}_{K_{\mu''},cusp}}\]
pour tout $\mu''$ tel que $K_{\mu''}$ est contenu dans $K_{\mu'}+C_0\left(G\right)$, et:
\[D_{O''}|_{\mathcal{H}_{K_{\mu''},cusp}}=0\]
pour tout $\mu''$ ne v�rifiant pas cette condition; on obtient alors:
\[J_{U_{O'}}\left(f\right)=\sum_{\left(\mu',O''\right)\in\Lambda}d_{O'',O'}D_{O''}\left(f\right).\]
Or on sait que la matrice des $d_{O'',O'}$ est inversible;
on en d�duit $D_{O''}\left(f\right)=0$ pour tout $O''$, d'o�, par une r�currence �vidente,
pour tout $(\mu',O'')\in\Lambda$, $1_{O''}\left(f_{\mu'}\right)=0$, d'o� $D\left(f_{\mu''}\right)=0$ pour tout $\mu''$, donc $D\left(f\right)=0$, ce qui d�montre le th�or�me.
\end{proof}

\begin{cor}\label{intuncor}
Si $G$ v�rifie les conditions du th�or�me pr�c�dent, les espaces engendr�s par les restrictions � $\mathcal{H}$ des distributions int�grales orbitales respectivement sur les �l�ments semi-simples r�guliers non ramifi�s de $G$ et sur les �l�ments unipotents de $G$ sont �gaux.
\end{cor}

\begin{proof}
En effet, d'apr�s le th�or�me pr�c�dent et le th�or�me \ref{intorb}, ces deux espaces sont �gaux � $\mathcal{D}_{c,1}|_\mathcal{H}$.
\end{proof}

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\end{document}

math0304109.extracted_bib
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