Une g\'en\'eralisation de l'alg{\`e}bre de Hecke gradu\'ee de type~$\mathbf{B}$
\'e
On \'etudie une alg\`ebre ``proche'' d'une alg\`ebre de Hecke gradu\'ee et r\'ealisable dans l'alg\`ebre de Cherednik rationnelle de type $B$. On introduit pour cette alg\`ebre des modules de la s\'erie principale et l'on d\'emontre un crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e de ces modules. On en d�duit des r�sultats similaires pour une alg�bre associ�e � un syst�me de racines de type $D$. \medskip For a root system of type $B$ we study an algebra similar to a graded Hecke algebra, isomorphic to a subalgebra of the rational Cherednik algebra. We introduce principal series modules over it and prove an irreducibility criterion for these modules. We deduce similar results for an algebra associated to a root system of type $D$.
math0304484.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%% d�but du fran�ais
{\selectlanguage{french}
 
  
  \title[]{Une g\'en\'eralisation de l'alg{\`e}bre de Hecke
    gradu\'ee de type~$\mathbf{B}$}
  \author[C.~Dez{\'e}l{\'e}e]{Charlotte Dez{\'e}l{\'e}e}
  \address{D{\'e}partement de math{\'e}matiques, Universit{\'e}
    de Brest, 29285 Brest cedex, France}
  \email{Charlotte.Dezelee@univ-brest.fr} \date{11 juin 2003}
  \subjclass[2000]{16Sxx, 20Cxx, 17Bxx} \keywords{groupe de
    Weyl, alg\`ebre de Hecke, op{\'e}rateur de Dunkl, s\'erie
    principale}

\begin{abstract} 
  On \'etudie une alg\`ebre ``proche'' d'une alg\`ebre de Hecke
  gradu\'ee et r\'ealisable dans l'alg\`ebre de Cherednik
  rationnelle de type $B$.  On introduit pour cette alg\`ebre
  des modules de la s\'erie principale et l'on d\'emontre un
  crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e de ces modules. On en d�duit
  des r�sultats similaires pour une alg�bre associ�e � un
  syst�me de racines de type $D$.
  
  \medskip
  
  For a root system of type $B$ we study an algebra similar to
  a graded Hecke algebra, isomorphic to a subalgebra of the
  rational Cherednik algebra. We introduce principal series
  modules over it and prove an irreducibility criterion for
  these modules. We deduce similar results for an algebra
  associated to a root system of type $D$.
\end{abstract}



\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\addtocounter{section}{-1}

\section{Introduction}
\label{sec0}

Soit $W \to \GL(\fa_\R^*)$ la repr�sentation << naturelle >>
d'un groupe de Weyl $W$ et $R \subset \fa_\R^*$ le syst�me de
racines associ�.  On peut attacher � cette donn�e plusieurs
familles de $\C$-alg�bres. Nous nous int�ressons ici � deux
d'entre elles:
\begin{itemize}
\item L'alg�bre de Cherednik rationnelle $\che(k)$,
  (cf.~\cite{TL, EG} pour une d�finition pr�cise). Elle d�pend
  d'une fonction de multiplicit�s $W$-invariante $k : R \to \C$
  et elle est engendr�e par $\fa^* = \C \otimes_\R \fa_\R^*$,
  $W$ et des op�rateurs de Dunkl $T_y(k)$ pour $y \in \fa$ (le
  dual de $\fa^*)$.
\item L'alg�bre de Hecke gradu�e $\H(k)$; cette alg�bre d�pend
  elle aussi d'une multiplicit� $k$ et est engendr�e par les
  �l�ments de $\fa$ et $W$, soumis � certaines relations de
  commutation, voir \cite{KR, Lu, Op2}.
\end{itemize}
Les repr�sentations de dimension finie de $\H(k)$ ont �t�
�tudi�es dans, par exemple, \cite{KR, Op2} et celles de
$\che(k)$ dans \cite{BEG, TL}.

Il a �t� remarqu� par plusieurs auteurs, e.g.~\cite{ EG, Ka},
que lorsque $R$ est de type $A_{n-1}$ on peut r�aliser $\H(k)$
dans $\che(k)$ de la fa�on suivante. On fixe une base
(orthonorm�e) $\{e_1,\dots,e_n\}$ de $\fa_\R$, de base duale
$\{z_1,\dots,z_n\}$; alors la sous-alg�bre de $\che(k)$
engendr�e par $W$ et les $z_i T_{e_i}(k)$, $1 \le i \le n$, est
isomorphe � $\H(k)$. Cette alg�bre, que nous noterons $\D$,
existant pour tous les types de syst�mes de racines il est
naturel de l'�tudier et d'examiner les liens qui peuvent
exister avec les alg�bres de Hecke gradu�es (ou leurs
g�n�ralisations).

On se propose ici d'\'etudier les repr\'esentations de
l'alg�bre $\D$ pour un syst�me de racines de type $B_n$, dont
les occurrences sont d\'ej\`a nombreuses. S.~Kakei a par
exemple introduit une famille commutative $D_1,\dots,D_n$
d'�l�ments de $\che(k)$ qui avec $W$ engendrent $\D$. Dans la
premi�re partie nous introduisons (par g�n�rateurs et
relations) une alg�bre $\H_B(\tk)$ dont nous calculons le
centre et montrons qu'elle est isomorphe � $\D$. Il faut noter
qu'ici la fonction $\tk$ d�finie sur $R$ est � valeurs dans
l'alg�bre du sous-groupe $T$ de $W$ engendr� par les r�flexions
associ�es aux racines courtes.

L'�tude des repr�sentations de dimension finie des alg�bres de
Hecke gradu�es repose en grande partie sur celle des modules de
la s�rie principale, not�s $M(\lambda)$. Ils jouent le r�le des
modules de Verma pour une alg�bre de Lie semi-simple et ils
sont param�tr�s par les formes lin�aires $\lambda \in \fa^*$.
Ainsi, tout $\H(k)$-module irr�ductible est quotient d'un
$M(\lambda)$. Nous montrons que pour $\H_B(\tk)$ une �tude
similaire est possible: on d�finit au \S~\ref{sec2} des modules
$M(\gamma \otimes \mu)$ index�s par les caract�res $\gamma
\otimes \mu$ de $S(\fa) \otimes \C T$, c'est � dire par $\gamma
\in \fa^*$ et un caract�re $\mu$ de $T$. Apr�s avoir d�taill�
diff�rentes propri�t�s de ces modules (poids, dual, etc.)  nous
montrons au \S~\ref{sec3} comment leur structure peut se
ramener � celle des modules de la s�rie principale sur une
alg�bre de Hecke gradu�e associ�e � un syst�me de racines de
type $A_{i-1} \times A_{n-i-1}$ d�fini par $\mu$
(cf.~Propositions~\ref{prop11} et~\ref{prop12}) et nous en
d�duisons un crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e pour $M(\gamma
\otimes \mu)$ (cf.~Th\'eor\`eme~\ref{thm13}).  L'�tude de
$\H_B(\tk)$ utilise fortement l'existence d'un th�or�me de
Poincar�-Birkhoff-Witt (PBW) pour cette alg�bre; nous obtenons
ce r�sultat gr�ce au th�or�me de PBW qui existe dans $\che(k)$,
cf.~\cite{EG}.

Pour un syst�me de racines de type $D_n$ une �tude de l'alg�bre
$\D$ montre qu'elle poss�de des propri�t�s (presque) analogues
� celles de $\H_B(\tk)$. Cette �tude repose sur l'inclusion
d'un syst�me de racines de type $D_n$ dans un syt�me de type
$B_n$ et des r�sultats obtenus pr�c�demment pour ce cas. C'est
l'objet de la derni\`ere section (cf., en particulier, le
Th\'eor\`eme~\ref{thm48}).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Notations et pr\'eliminaires}
\label{sec1}


Soit $W_B$ un groupe de Weyl de type $B_n$ r\'ealis\'e comme
groupe de r\'eflexions dans un espace vectoriel r\'eel $V$ de
dimension $n$ et $R_B$ le syst{\`e}me de racines correspondant
\`a cette donn\'ee.
%% \'equip\'e d'un produit scalaire $W(B_n)$-invariant $(. \,
%% ,.)$.
On note $V^*$ le dual de $V$, $<.\, ,.>$ le crochet de
dualit{\'e}, et $V^*_\C$, $V_\C$ les complexifi{\'e}s
respectifs. L'action de $W_B$ s'{\'e}tend naturellement en une
action par automorphismes sur les alg\`ebres sym\'etriques
$S(V_\C)$ et $S(V_\C^*)$.  Si $\alpha \in R_B$, on d\'esigne
par $s_\alpha$ la r\'eflexion associ{\'e}e et $\alpha\spcheck
\in V^*$ la coracine.

On fixe une base orthonorm{\'e}e
$\{\epsilon_1,\epsilon_2,..,\epsilon_n\}$ de $V$ form\'ee de
racines courtes.  On choisit $S_B=\{\epsilon_i- \epsilon_{i+1},
1\leq i \leq n-1 \, ; \, \epsilon_n\}$ comme ensemble de
racines simples de sorte que $R_B^+=\{\epsilon_i \pm
\epsilon_j, 1 \leq i<j \leq n \, ; \, \epsilon_k , 1 \leq k
\leq n\}$ est l'ensemble des racines positives d\'etermin\'e
par ce choix.

Pour tous $1 \le i,j \le n$ on pose $\alpha_{i,j}
=\epsilon_i-\epsilon_j$. Soit $R_A$ le sous-ensemble de $R_B$
constitu{\'e} des $\pm \alpha_{i,j}$, $1 \leq i<j \leq n$;
c'est un syst{\`e}me de racines de type $A_{n-1}$. On note
$W_A$ le sous-groupe de $W_B$ associ{\'e}, $S_A=R_A \cap
S_B=\{\alpha_i =\epsilon_i-\epsilon_{i+1}, 1 \leq i \leq n-1\}$
l'ensemble des racines simples et $\ell$ la longueur sur $W_A$
d\'efinie par $S_A$. L'action par permutation de $W_A$ sur la
base $\epsilon_1,..,\epsilon_n$ d{\'e}finit une action sur
$\{1,..,n\}$ en posant $w*i =j$ si $w(\epsilon_i)=\epsilon_j$,
ce qui permet d'identifier $W_A$ avec le groupe sym\'etrique
$\mathfrak{S}_n$.

L'alg{\`e}bre du groupe $W_B$ est d\'esign\'ee par $\C
W_B=\C\langle t_w, w \in W_B\rangle$.  On {\'e}crira
%% $s_i=s_{\alpha_i}$, 
$t_i=t_{s_{\epsilon_i}}$, $1 \leq i \leq n$,
$s_{p,q}=s_{\alpha_{p,q}}$, $1 \leq p<q \leq n$.

Soit $T$ le sous-groupe (normal ab\'elien) de $W_B$ engendr\'e
par les $s_{\epsilon_i}$, $1 \le i \le n$.  On a donc $T \simeq
\{\pm 1\}^{n}$ et $W_B= T \rtimes W_A$.  Si $T\spcheck$
d\'esigne le groupe des caract\`eres de $T$ on identifie $\C
T\spcheck$ au dual $(\C T)^*$, en \'etendant un \'el\'ement de
$T\spcheck$ en une forme lin\'eaire sur $\CT$.  Le groupe $W_A$
op\`ere sur $T\spcheck$ par la formule $\twisted{w}{\mu}(x) =
\mu(w^{-1}xw)$ pour tous $w \in W_A, \mu \in T\spcheck, x \in
T$. On notera $W_A(\mu)$ le stabilisateur de $\mu \in
T\spcheck$ pour cette action.

On rappelle que tout caract\`ere de l'alg\`ebre $S(V_\C)$ est
d\'etermin\'e par un \'el\'ement de $V_\C^*$ et que l'action de
$w \in W_A$ sur $\gamma \in V^*_\C$ est d\'efinie par
$\twisted{w}{\gamma }(\zeta)=\gamma(w^{-1}(\zeta))$ pour tout
$\zeta \in V_\C$.

%%%
\subsection{ Alg\`ebre de Hecke gradu\'ee}
\label{sec1.1}

Soit $R \subset V$ un syst\`eme de racines de base $S$, de
groupe de Weyl $W$.  Une multiplicit\'e sur $R$ est une
fonction $W$-invariante $c: R \to \C$.  On peut lui associer
une alg\`ebre de Hecke gradu\'ee $\H_{\mathit{gr}}(c,S)$
d\'efinie de la mani\`ere suivante.  L'alg\`ebre
$\H_{\mathit{gr}}(c,S)$ est engendr\'ee par les \'el\'ements
$\zeta \in V$ et $t_w, w \in W$, soumis aux relations:
\begin{itemize}
\item $\C\langle \zeta \in V \rangle \simeq S(V_\C)$,
  $\C\langle t_w, w \in W \rangle \simeq \C W$;
\item $t_{s_\alpha}\zeta=
  s_\alpha(\zeta)t_{s_\alpha}+<\alpha\spcheck,s_\alpha(\zeta)>
  c_\alpha$ pour tout $\alpha \in S$.
\end{itemize}
Cette alg\`ebre v\'erifie un th\'eor\`eme de
Poincar\'e-Birkhoff-Witt
\begin{equation*}
\tag{$\mathrm{PBW}$0} \H_{\mathit{gr}}(c,S) \simeq
S(V_\C)\otimes\CW 
\end{equation*}
comme espace vectoriel, ou $S(V_\C)$-module (cf.~\cite{Lu}).

Pour tout caract\`ere $\gamma : S(V_\C) \to \C$, d\'efini par
$\gamma \in V_\C^*$, on note $\C v_\gamma$ la repr\'esentation
de dimension~$1$ correspondante et l'on construit un module
induit, appel\'e module de la s\'erie principale,
$$
M(\gamma) =
\mathrm{Ind}_{S(V_\C)}^{\H_{\mathit{gr}}(c,S)}(\C v_\gamma).
$$
On sait qu'alors $M(\gamma) = \bigoplus_{w \in W} \C t_w
\otimes v_\gamma$ et l'on dispose d'un crit\`ere
d'irr\'eductibilit\'e pour ce module (cf.~\cite{KR}).  On se
propose de g\'en\'eraliser cette notion, et le crit\`ere
d'irr\'eductibilit\'e, \`a une nouvelle alg\`ebre associ\'ee
\`a un syst\`eme de racines de type $B$.


%%%
\subsection{Une g\'en\'eralisation de l'alg\`ebre de Hecke
  gradu\'ee}
\label{sec1.2}
 
On reprend les notations pr\'ec\'edentes relatives \`a un
syst\`eme de racines de type $B_n$. Soit $\bk= (k,k_c) : R_B
\to \C$ une multiplicit\'e de valeur $k \ne 0$ sur les racines
longues et $k_c$ sur les racines courtes.  G\'en\'eralisons la
notion de multiplicit\'e en d\'efinissant dans ce cadre une
fonction $\tk : R_A \to \CT$ en posant:
$$
\tk_{\alpha_{i,j}}=k(1+t_it_{j})
$$
pour tous $1 \le i \ne j \le n$.  Il r\'esulte de
$wt_it_jw^{-1} = t_{w*i}t_{w*j}$, pour $w \in W_A$, que
$$
\text{$\tk_{w(\alpha)} = w\tk_\alpha w^{-1}$ pour tous $w
  \in W_A$, $\alpha \in R_A$}.
$$
Donc $\tk$ est $W_A$-\'equivariante. Soit alors
$\H_B=\H_B(\tk)$ l'alg\`ebre engendr\'ee par les \'el\'ements
$\zeta \in V$, $t_w \in W_B$ soumis aux relations:

\begin{enumerate}
\item[(a)] $\C\langle \zeta \in V \rangle \simeq S(V_\C)$,
  $\C\langle t_w, w \in W_B \rangle \simeq \C W_B$;
\item[(b)] $t_w \zeta = \zeta t_w$ pour tous $w \in T$, $\zeta
  \in V$;
\item[(c)] $t_{s_\alpha}\zeta=
  s_\alpha(\zeta)t_{s_\alpha}+<\alpha\spcheck,s_\alpha(\zeta)>
  \tk_\alpha$ pour tout $\alpha \in S_A$.
\end{enumerate}
Observons qu'en prenant $\zeta= \epsilon_j$ et $s_\alpha =
s_{\alpha_i}$ dans (c) on obtient:
\begin{equation}
\label{eq1}
t_{s_{\alpha_i}} \epsilon_j = \epsilon_{s_{\alpha_i}*j}
t_{s_{\alpha_i}} - 
<\alpha_i\spcheck,\epsilon_j > \tk_{\alpha_i}.
\end{equation}
Remarquons \'egalement que $\H_B$ est engendr\'ee par les $t_w$
et les $\epsilon_j$ et que, gr\^ace \`a \eqref{eq1}, tout
\'el\'ement de $\H_B$ est combinaison lin\'eaire de mon\^omes
de la forme $\epsilon_1^{j_1} \cdots \epsilon_n^{j_n}t_w$.

%%%
\subsection{PBW}
\label{sec1.3}

Soit $\aalg_\mathbb{R}$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
euclidien de dimension $n$, $R_B \subset \aalg_\mathbb{R}^*$ un
syst\`eme de racines de type $B_n$, $\fa= \C \otimes_\R
\fa_\R$, $\calP=S(\fa^*)$, $\calS=S(\fa)$.  Rappelons qu'\`a la
multiplicit\'e $\bar{k} : R_B \to \C$ on peut associer une
alg{\`e}bre de Cherednik rationnelle not\'ee $\che_B(\bk)$,
$\che(\bk)$ ou $\che$, dont une r\'ealisation dans $\End_\C
\calP$ est fournie, via les op\'erateurs de Dunkl, de la
fa\c{c}on suivante (cf.~\cite{TL,EG}). Si $w \in W_B$ on note
ici $t_w \in \Aut \calP$ l'automorphisme associ� et pour tout
$y \in \fa$ on pose
$$
T_y=T_y(\bk) =T_y^B(\bk) = \partial_y + \half\sum_{\alpha
  \in R_B} \bk_\alpha \frac{<{\alpha},{y}>}{\alpha} (1 -
t_{s_\alpha}).
$$
Alors, $\che$ est la sous-alg{\`e}bre de $\End_\C(\calP)$
engendr{\'e}e par les $t_w, w \in W_B$, $x \in \aalg^*$ et les
$T_y$, $y \in \aalg$.  Ces g{\'e}n{\'e}rateurs v\'erifient les
relations suivantes:
\begin{enumerate}   
\item $[T_{y},x] = \dual{y}{x} +\frac{1}{2}\sum_{\alpha \in
    R_B} \bk_{\alpha}<{y},{\alpha}> <{\alpha\spcheck},{x}>
  t_{s_\alpha}$;
\item $t_wxt_{w^{-1}}=w(x)$;
\item $t_wT_{y}t_{w^{-1}}=T_{w(y)}$.
\end{enumerate}   
Il r\'esulte de~\cite[Theorem~1.3]{EG} que l'on a un
th\'eor\`eme de Poincar\'e-Birkhoff-Witt dans $\che$:

\begin{Theoreme}[PBW1]   
\label{PBW1}
Le $\calP$-module $\che$ est isomorphe {\`a}
$\calP\otimes\calS\otimes \C W_B$.
\end{Theoreme}   

Nous allons montrer que $\H_B$ se r\'ealise comme une
sous-alg{\`e}bre de $\che$ \`a l'aide d'op\'erateurs introduits
par S.~Kakei dans~\cite{Ka}.  On fixe une base orthonorm\'ee
$\{e_1,\dots,e_n\}$ de $\fa_\R$, de base duale
$\{z_1,\dots,z_n\}$. Soit $\D_B$ la sous-alg{\`e}bre de $\che$
engendr{\'e}e par les $z_j T_{e_j}$, $j=1,\dots,n$, et les
$t_w$, $w \in W_B$.  On pose:
$$
D_j = D_j^B =z_j T_{e_j} + \sum_{1 \le i < j }
\tk_{\alpha_{i,j}} t_{s_{\alpha_{ij}}}.
$$
(Les $D_j$ sont les op\'erateurs $\DK_{j}^B$ d\'efinis en
\cite[\S~2.3]{Ka}.) Il est clair que
$$
\D_B=\C\langle D_1,\dots,D_n \, ; \, t_w, \, w \in
W_B\rangle.
$$
On v\'erifie facilement que les $D_j$ sont lin\'erairement
ind\'ependants et que l'on a les relations suivantes dans
$\che$:
\begin{enumerate}
\item $D_iD_j=D_jD_i$;
\item $D_j t_i=t_iD_j$;
\item $t_{s_{\alpha_i}}D_j = D_{s_{\alpha_i}*j}t_{s_{\alpha_i}}
  - <\alpha_i\spcheck,\epsilon_j > \tk_{\alpha_i}$.
\end{enumerate}
On pose $V'=\bigoplus_{j=1}^n \R D_j$; comme les $D_j$
commutent, la $\C$-alg\`ebre qu'ils engendrent est un quotient
de $S(V'_\C)$. Elle est en fait \'egale \`a $S(V'_\C)$, comme
le montre le r\'esultat suivant:

\begin{Lemme}[PBW2]
\label{PBW2}
Le $\C$-espace vectoriel $\D_B$ est isomorphe \`a $S(V'_\C)
\otimes \C W_B$.
\end{Lemme}


\begin{proof}
  Si $j=(j_1,\dots,j_n) \in \N^n$ on posera $|j| =j_1 + \cdots
  + j_n$, $z^j =z_1^{j_1}\cdots z_n^{j_n}$, $T^j =
  T_{e_1}^{j_1}\cdots T_{e_n}^{j_n}$ et $D_j=D_1^{j_1}\cdots
  D_n^{j_n}$. Il r\'esulte des relations ci-dessus que tout
  \'el\'ement de $\D_B$ peut s'\'ecrire
  $$
  \textstyle{P=\sum_{d=0}^m \sum_{|j|=d,\, w \in W_B}
    \lambda_{j,w}D^j t_w }
  $$
  pour des $\lambda_{j,w} \in \C$; il s'agit de voir que
  cette \'ecriture est unique. Supposons $P=0$.  Il existe
  alors un couple $(j,w)$ tel que $\lambda_{j,w} \neq 0$ et
  $|j|=m$ maximal pour cette propri\'et\'e.  La d\'efinition
  des $D_p$ et les relations de commutation dans $\che$
  entra\^{\i}nent que si $|p|=d$, $D^p= z^pT^p + Q$ avec $Q \in
  \calP\calS_{d-1}\C W_B$, o\`u l'on a pos\'e
  $\calS_{d-1}=\bigoplus_{|i| \le d-1} \CT^i$. On obtient ainsi
  $P=\sum_{|j|=m, \, w \in W_B} \lambda_{j,w} z^jT^j t_w + R$
  avec $R \in \calP \calS_{m-1}\C W_B$. Le
  Th\'eor\`eme~\ref{PBW1} implique alors que $\lambda_{j,w}=0$
  pour tout $|j|=m$, ce qui contredit l'hypoth\`ese.
\end{proof}


\begin{Theoreme}[PBW3]
%\label{thm1}
\label{PBW3}
L'application $\Phi : \H_B \to \D_B$ d\'efinie par
$$
\Phi(\epsilon_j)= D_j, \quad \Phi(t_w) = t_w, \ \,
\text{pour $j=1,\dots,n$ et $w \in W_B$,}
$$
est un isomorphisme d'alg\`ebres. En particulier, $\H_B$ est
isomorphe \`a $S(V_\C) \otimes \C W_B$ comme $S(V_\C)$-module.
\end{Theoreme}


\begin{proof}
  La d\'efinition par g\'en\'erateurs et relations de $\H_B= \C
  \langle \epsilon_1,\dots,\epsilon_n \, ; \, t_w, \, w \in W_B
  \rangle$ et les relations pr\'ec\'edentes dans $\D_B$
  montrent que $\Phi$ d\'efinit un morphisme surjectif
  d'alg\`ebres. Le Lemme~\ref{PBW2} assure que $\Phi$ est
  injectif. La deuxi\`eme assertion est alors \'evidente.
\end{proof}


%%%
\subsection{Relations de commutation dans $\H_B$} 
\label{sec1.4}

Pr\'ecisons les relations de commutation dans $\H_B$.
Rappelons que l'ensemble d'inversion de $w^{-1} \in W_A$ est
$R(w^{-1}) = \{ \alpha \in R^+_A : w^{-1}(\alpha) \in R^-_A\}$
et que $\ell(s_\alpha w) < \ell(w)$ pour tout $\alpha \in
R(w^{-1})$.

\begin{Lemme}
\label{lem1}
Pour tous $\zeta \in V$ et $w \in W_A$, on a:
$$
t_w \zeta = w(\zeta)t_w + \sum_{\alpha \in R(w^{-1})}
<\alpha\spcheck,w(\zeta)>\tk_{\alpha}t_{s_{\alpha} w} =
w(\zeta)t_w + \sum_{\alpha \in R(w^{-1})}
<\alpha\spcheck,w(\zeta)> t_{s_{\alpha} w}
\tk_{w^{-1}(\alpha)}.
$$
En particulier, pour $1 \leq p<q \leq n$ :
\begin{equation*}
%\label{eq1}
\begin{split}
  t_{s_{p,q}}\zeta=s_{p,q}(\zeta)t_{s_{p,q}}+ & \sum_{p+1 \leq
    j
    <q}<\alpha_{j,q}\spcheck,s_{p,q}(\zeta)>t_{s_{j,q}s_{p,q}}
  \tk_{\alpha_{j,p}}+ \sum_{p+1 \leq
    j<q}<\alpha_{p,j}\spcheck,s_{p,q}(\zeta)>t_{s_{p,j}s_{p,q}}
  \tk_{\alpha_{j,q}} \\ &
  +<\alpha_{p,q}\spcheck,s_{p,q}(\zeta)>\tk_{\alpha_{p,q}}.
\end{split}
\end{equation*}
\end{Lemme}  

\begin{dem}  
  La multiplicit\'e $\tk$ \'etant $W_A$-\'equivariante et
  commutant aux \'el\'ements de $V$, la premi\`ere formule se
  d\'emontre comme celle de \cite[Proposition~1.1(1)]{Op2} dans
  une alg\`ebre de Hecke gradu\'ee. La seconde r\'esulte de
  $R(s_{p,q}^{-1})=R(s_{p,q})=\{\alpha_{j,q},\, \alpha_{p,i} :
  p \leq j <q, \, p+1 \leq i <q \}$.
\end{dem}

D\'efinissons des << op{\'e}rateurs de diff{\'e}rences
divis{\'e}es >> $\Delta_j \in \End S(V_\C)$ par
$$
\Delta_j(p)=k (p-s_{\alpha_j}(p))/{\alpha_j}
$$
pour $p \in S(V_\C)$ et $j \in \{1,\dots,n-1\}$. Rappelons
que dans $\H_{gr}(k,S_A)$ on a $\Delta_j(p) =
t_{s_{\alpha_j}}p-s_{\alpha_j}(p)t_{s_{\alpha_j}}$.  On
g\'en\'eralise donc ces op\'erateurs en d{\'e}finissant, pour
tout $j \in \{1,\dots,n-1\}$, $\tdel_j: S(V_\C) \rightarrow
\H_B$ par
$$
\tdel_j(p)=t_{s_{\alpha_j}}p -
s_{\alpha_j}(p)t_{s_{\alpha_j}},
$$
o\`u ici le calcul s'effectue dans $\H_B$.

 
\begin{Lemme} 
\label{lem2}
Soit $p \in S(V_\C)$, alors pour tout $j \in \{1,\dots,n-1\}$,
on a:
$$
\tdel_j(p)=\Delta_j(p) (1+t_jt_{j+1}) = \tk_{\alpha_j}
(p-s_{\alpha_j}(p))/{\alpha_j}.
$$
\end{Lemme} 
 
\begin{dem} 
  D\'emontrons le r�sultat par r\'ecurrence sur le degr\'e de
  $p$.  Pour $p$ de degr\'e $1$, il provient directement des
  relations (c), \S~\ref{sec1.2}, dans $\H_B$.  Supposons qu'il
  soit vrai pour $p_1,p_2 \in S(V_\C)$ et montrons le pour le
  produit $p_1p_2$.  On a:
\begin{equation*}
\begin{split}
  \tdel_j(p_1p_2) & =
  t_{s_{\alpha_j}}p_1p_2-s_{\alpha_j}(p_1)s_{\alpha_j}(p_2)
  t_{s_{\alpha_j}}
  \\
  & =
  (t_{s_{\alpha_j}}p_1-s_{\alpha_j}(p_1)t_{s_{\alpha_j}})p_2 +
  s_{\alpha_j}(p_1)\tdel_j(p_2) \\
  & = \tdel_j(p_1)p_2 + s_{\alpha_j}(p_1)\tdel_j(p_2) \\ &
  =\Delta_j(p_1)p_2(1+t_jt_{j+1})+s_{\alpha_j}(p_1)
  \Delta_j(p_2)(1+t_jt_{j+1}),
\end{split}
\end{equation*}
car les \'el\'ements de $T$ et $S(V_\C)$ commutent.  Il suffit
alors pour conclure de remarquer que
$\Delta_j(p_1)p_2+s_{\alpha_j}(p_1)\Delta_j(p_2)=
\Delta_j(p_1p_2)$.
\end{dem} 
 
Rappelons que $k\ne 0$. De (PBW3) il r\'esulte donc que
$$
\tdel_j(p) = 0 \iff \Delta_j(p) = 0 \iff s_{\alpha_j}(p) =p.
$$
Ainsi l'intersection des noyaux (dans $S(V_\C)$) des
$\tdel_j$, $j=1,\dots,n$, est l'alg\`ebre $S(V_\C)^{W_A}$ des
\'el\'ements $W_A$-invariants de $S(V_\C)$.

%%%
\subsection{Centre de $\H_B$}
\label{sec1.5}
   
Rappelons que tout \'el\'ement $t_x$, $x \in T$, est de la
forme $t_{\underline{i}}=t_{i_1}\cdots t_{i_j}$ pour un
multi-indice $\underline{i}=\{1 \le i_1 < \cdots <i_j \le n\}$
de longueur $j \in \{0,\dots,n\}$. Remarquons que le groupe
$W_A$ op\`ere dans $\CT$ par conjugaison et que
$t_{\underline{i}}$ est conjugu\'e (par cette action) \`a
$t_{\underline{i}'}$ si et seulement si $|\underline{i}|=
|\underline{i}'|$.  Pour chaque $j \in \{1,..,n\}$, on pose:
$$
\vt_j = \sum_{|\underline{i}|=j} t_{\underline{i}}.
$$
Il est alors facile de voir que l'alg\`ebre d'invariants
$(\CT)^{W_A}$ est \'egale \`a $\C[\vt_1, \dots,
\vt_n]=\bigoplus_{j=0}^n \C \vt_j$.


\begin{lem}
\label{lem3}
Le centralisateur $\{c\in \H_B : [c,V] = 0 \}$ de $V$ dans
$\H_B$ est la sous-alg\`ebre (commutative) $S(V_\C) \otimes
\CT$.
\end{lem}


\begin{dem}
  Soit $0 \ne c \in \H_B$; par (PBW3) on peut {\'e}crire de
  mani{\`e}re unique $c$ sous la forme $\sum_{w \in W_A, \, x
    \in T} p_{w,x}t_wt_x$ pour des $p_{w,x} \in S(V_\C)$ non
  tous nuls.  Posons $\calC=\{(w,x) \in W_A \times T: \;
  p_{w,x} \ne 0\}$ et notons $m = \max\{\ell(w) :\exists x \in
  T, \; (w,x) \in \calC\}$. Si $\xi \in V$ il vient, en
  utilisant le Lemme~\ref{lem1},
\begin{equation*}
\begin{split}
  [c,\xi] & = \textstyle{\sum_{(w,x) \in \calC}} \, p_{w}
  (t_w\xi - \xi t_w)t_x \\
  & = \textstyle{\sum_{(w,x) \in \calC, \, \ell(w)=m}} \, p_{w}
  (w(\xi) - \xi) t_wt_x + \textstyle{\sum_{(w',x') \in W_A
      \times T, \, \ell(w') < m}} \, q_{w',x'}t_{w'}t_{x'}
\end{split}
\end{equation*}
avec $q_{w',x'} \in S(\VC)$. Par cons\'equent (PBW3) assure que
si $c$ est dans le centralisateur de $V$ et $(w,x) \in \calC$
v\'erifie $\ell(w)=m$, alors $w(\xi) = \xi$ pour tout $\xi$,
i.e.~$w=\mathrm{id}$. Donc $m=0$ et $c \in S(V_\C) \otimes
\CT$.
\end{dem}

Rappelons que le centre d'une alg\`ebre de Hecke gradu\'ee
$\H_{\mathit{gr}}(c,S)$ comme en~\ref{sec1.1} est $S(\VC)^{W}$.
Pour $\H_B$ le centre, $Z(\H_B)$, est donn\'e par le
th\'eor\`eme suivant.

\begin{Theoreme} 
\label{thm4}
On a $Z(\H_B)=S(V_\C)^{W_A}\otimes(\CT)^{W_A}=\bigoplus_{j=0}^n
S(V_\C)^{W_A}\vt_j.$
\end{Theoreme}   
 
\begin{dem} 
  Observons que $c \in Z(\H_B)$ si et seulement si
  $[c,V]=[c,T]=[t_{s_{\alpha_j}},c] = 0$ pour $j=1,\dots,n-1$.
  Par le Lemme~\ref{lem3}, ceci \'equivaut \`a $c \in S(\VC)
  \otimes \CT$ et $[t_{s_{\alpha_j}},c] = 0$ pour
  $j=1,\dots,n-1$. \'Ecrivons $c=\sum_{x \in T} p_x t_x$ avec
  $p_x \in S(\VC)$. Avec les notations de~\ref{sec1.4} on
  trouve que
\begin{equation*}
\begin{split}
  [t_{s_{\alpha_j}},c] &= \sum_x t_{s_{\alpha_j}}p_x t_x
  -\sum_x
  p_x t_{s_{\alpha_j}} t_{s_{\alpha_j}xs_{\alpha_j}}  \\
  & = \sum_x \bigl(s_{\alpha_j}(p_x) -
  p_{s_{\alpha_j}xs_{\alpha_j}}\bigr) t_{s_{\alpha_j}} t_{x} +
  \sum_x \tdel_j(p_x) t_x.
\end{split}
\end{equation*}
On d\'eduit donc de (PBW3) que $[t_{s_{\alpha_j}},c]=0$ si, et
seulement si, $\tdel_j(p_x)=0$ et
$s_{\alpha_j}(p_x)=p_{s_{\alpha_j}xs_{\alpha_j}}$ pour tous $x
\in T$, $1 \le j \le n-1$. Par la remarque suivant le
Lemme~\ref{lem2} ces conditions \'equivalent \`a $p_x \in
S(\VC)^{W_A}$ et $p_x= p_{wxw^{-1}}$ pour tout $x \in T$, ce
qui compte tenu de la d\'efinition des $\vt_j$ s'\'ecrit aussi
$c= \sum_{j=0}^n p_j \vt_j$ avec $p_j \in S(V_\C)^{W_A}$.
\end{dem} 


%%%
\subsection{Automorphismes et anti-automorphismes de $\H_B$}
\label{sec1.6}
Soit $R$ une $\C$-alg�bre. On note $\RMod{R}$,
resp.~$\ModR{R}$, la cat�gorie des $R$-modules � gauche,
resp.~droite. La sous-cat�gorie de $\RMod{R}$ form�e des
modules de dimension finie est d�sign�e par $\Rmod{R}$. Le
treillis, ordonn� par inclusion, des sous-modules de $M \in
\RMod{R}$ sera not� $\calL_R(M)$ et la longueur de $M$ par
$\lg_R(M)$.  Soit $S$ une autre $\C$-alg�bre et $N \in
\RMod{S}$; on �crira $\calL_R(M) \cong \calL_S(N)$ pour
signifier qu'il existe un isomorphisme de $\C$-espaces
vectoriels $f: M \to N$ tel que $X \mapsto f(X)$ induise un
isomorphisme entre les treillis ordonn�s $\calL_R(M)$ et
$\calL_S(N)$.  Tout $M \in \Rmod{R}$ est de longueur finie et
on peut lui associer la suite $\calS_R(M)=\{[S_i(M)]\}_{1\le i
  \le t}$ des classes d'isomorphisme des sous-quotients simples
de $M$, compt�s sans multiplicit�.  Il est clair que si
$\calL_R(M) \cong \calL_S(N)$, une suite de composition de $M$
est transform�e par $f$ en une suite de composition de $N$ et
les $[f(S_i(M))]$ sont donc les �l�ments de la suite
$\calS_S(N)$.


Rappelons que si $M \in \RMod{R}$ et $\vkappa \in \Aut_\C(R)$,
on peut d�finir un module $\twisted{\vkappa}{M} \in \RMod{R}$
de la fa�on suivante: $\twisted{\vkappa}{M} = M$ comme
$\C$-espace vectoriel, muni de l'action $a\centerdot u
=\vkappa(a).u$ pour $a \in R, u \in M$.  Notons que cette
torsion par $\vkappa$ laisse stable $\Rmod{R}$ et conserve la
longueur. Rappelons aussi qu'un anti-automorphisme
$\C$-lin�aire $\iota$ de $R$ fournit un isomorphisme entre
$\RMod{R}$ et $\ModR{R}$: on fait de $M \in \RMod{R}$ un
$R$-module � droite en posant $M^{\iota} = M$ comme $\C$-espace
vectoriel, muni de la structure de $R$-module � droite d�finie
par $u.a = \iota(a).u$. L'existence de $\iota$ permet de munir
le dual $M^* = \Hom_\C(M,\C)$ d'une structure de $R$-module �
gauche par la formule
$$
< a.f, u > \, = \, < f, \iota(a).u >,
$$
pour tous $a \in R, f \in M^*, u \in M$. Si de plus $\iota$
est involutif et $M \in \Rmod{R}$ l'application bijective
canonique $c_M : M \to M^{**}$ est alors un isomorphisme de
$R$-modules et l'on a $\lg_R(M) = \lg_R(M^*)$.

Donnons des exemples dans l'alg�bre $\hb$ pour lesquels on peut
effectuer les constructions pr�c�dentes. Observons qu'un
�l�ment de $\GL(\hb)$ d�finit un (anti)-automorphisme si, et
seulement si, il pr�serve les relations (a), (b) et (c)
introduites en~\ref{sec1.2}.


\noindent{(1)} Chaque   $w \in W_B$ d�finit un automorphisme
int�rieur de $\hb$ donn� par $\Int(w) : a \mapsto t_w a
t_{w^{-1}}$; le module tordu par l'action de $\Int(w)$ sera
not� $\twisted{w}{M}$.

\noindent{(2)} Le d�terminant dans $\GL(V)$
d�finit le caract�re $\sgn : W_B \to \{\pm 1\}$ par $\sgn(w) =
\det(w)$. En particulier, $\sgn$ fournit un �l�ment de
$T\spcheck$ et pour $\mu \in T\spcheck$ on pose $-\mu =\sgn
\otimes \mu \in T\spcheck$; ce caract�re est d�termin� par
$(-\mu)(t_j) = -\mu(t_j)$ pour tout $j=1,\dots,n$.
L'application $\delta : x \mapsto \sgn(x) t_x$, $x \in T$,
induit un automorphisme de $\CT$ tel que
$\delta(t_it_j)=t_it_j$ pour tous $i,j$. On obtient un
automorphisme de $\hb$ en �tendant $\delta$ comme suit:
$$
\delta(\xi) = \xi, \quad \delta(t_x) = \sgn(x)t_x, \quad
\delta(t_w) = t_w,
$$
pour tous $\xi \in V, x \in T, w \in W_A$.

\noindent{(3)} On v�rifie facilement  que les formules
ci-dessous donnent un anti-automorphisme involutif $\iota$
de~$\hb$:
$$
\iota(\xi) = -\xi, \quad \iota(t_w) = \sgn(w)t_{w^{-1}},
$$
pour tous $\xi \in V, w \in W_B$.

Il r�sulte en particulier de (3) que $\RMod{\hb} \simeq
\ModR{\hb}$ et $\Rmod{\hb} \simeq \modR{\hb}$.
 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
\section{Modules de la s{\'e}rie principale}
\label{sec2}

On va d\'efinir pour $\H_B$, de m\^eme que pour une alg\`ebre
de Hecke gradu\'ee, les modules de la s\'erie principale pour
lesquels on d�montrera dans la section suivante un crit\`ere
d'irr\'eductibilit\'e.

 
%%%
\subsection{Poids des $\H_B$-modules de dimension finie}   
\label{sec2.1}
 
Un morphisme d'alg\`ebres $\tgamma : S(V_\C)\otimes \CT
\rightarrow \C$ est uniquement d�termin� par une forme
lin\'eaire $\gamma \in V_\C^*$ et un caract\`ere $\mu \in
T\spcheck$; nous le noterons $\gamma\otimes\mu$.  On a donc
$(\gamma\otimes\mu)(v \oplus t)=\gamma(v)\mu(t)$, pour $v \in
V_\C$, $t \in \CT$.  On d�signe par $\calA =\{\gamma\otimes \mu
: \gamma \in V_\C^*, \, \mu \in T\spcheck\}$ l'ensemble des
caract�res de $S(V_\C)\otimes\CT$.



Soient $M$ un $\H_B$-module de dimension finie et $\tnu \in
\calA$. Les sous-espaces poids et sous-espaces poids
g\'en\'eralis\'es de $M$ associ\'es \`a $\tnu$ sont
respectivement:
$$
M_{\tnu}=\{ m \in M : \forall a \in V_\C\oplus\CT, \,
a.m=\tnu(a)m \}
$$
et
$$
M_{\tnu}^{\mathit{gen}}=\{ m \in M : \forall a \in
V_\C\oplus\CT, \, \exists k \in \N, (a-\tnu(a))^k.m=0 \}.
$$
On dira que $\tnu$ est un {poids} de $M$ si $M_{\tnu}^{gen}
\ne 0$ (ce qui �quivaut � $M_\tnu \ne 0$).  Comme
$S(V_\C)\otimes\CT$ est une sous-alg\`ebre commutative de
$\H_B$, on a:
$$
M=\bigoplus_{\tnu \in \calA}M_{\tnu}^{\mathit{gen}}.
$$

%%%
\subsection{Modules de la s�rie principale}
\label{sec2.2}

Pour tout $\tgamma =\gamma \otimes \mu \in \calA$ on notera
$\twisted{w}{\tgamma} = \twisted{w}{\gamma} \otimes
\twisted{w}{\mu}$ l'action diagonale de $w \in W_A$ et on
d�signe par $\C v_\tgamma$ le $S(V_\C)\otimes\CT$-module de
dimension $1$ d\'efini par: $a.v_\tgamma = \tgamma(a)v_\tgamma$
pour tout $a \in S(V_\C)\otimes \CT$.  Le $\H_B$-{module de la
  s\'erie principale} $M(\tgamma)$ associ� � $\tgamma$ est le
module induit de $\C v_\tgamma$ \`a $\H_B$:
$$
M(\tgamma)=\H_B\otimes_{S(V_\C^*)\otimes\CT}\C v_\tgamma.
$$
Ce module admet clairement pour base $\{t_w \otimes
v_{\tgamma} : w \in W_A\}$, que l'on peut ordonner de fa\c{c}on
compatible \`a la longueur dans $W_A$.  D'apr\`es les formules
de commutation dans $\H_B$, pour tous $\zeta \in V$, $x \in T$
et $w \in W_A$, il vient:
\begin{equation*}
\label{eqbase}
\zeta t_x.t_w \otimes v_{\tgamma} = \twisted{w}{\tgamma}(\zeta 
x) t_w \otimes v_{\tgamma}-\sum_{\alpha \in R(w^{-1})}
\twisted{w}{\mu}(\tk_{\alpha} 
x)<\alpha\spcheck,\zeta>t_{s_{\alpha}w} \otimes v_{\tgamma}.
\end{equation*}
Comme $\ell(s_{\alpha}w)<\ell(w)$ pour tout $\alpha \in
R(w^{-1})$ les \'el\'ements de $V_\C \bigoplus \CT$ sont
simultan\'ement trigonalis\'es dans la base $\{t_{w} \otimes
v_{\tgamma} : w \in W_A\}$, et les poids de $M(\tgamma)$ sont
les $\{\twisted{w}{\tgamma} : w \in W_A\}$.


La propri\'et\'e suivante montre que l'\'etude des
$\H_B$-modules simples se ram\`ene \`a l'\'etude des modules de
la s\'erie principale sur $\H_B$.

\begin{Prop}
\label{prop5}
Soit $M$ un $\H_B$-module irr\'eductible et $\tgamma$ un poids
de $M$. Alors $M$ est un quotient de $M(\tgamma)$.  En
particulier, un $\H_B$-module simple est de dimension au plus
$|W_A|$.
\end{Prop}

\begin{dem}
  Soit $m_{\tgamma} \in M_{\tgamma} \smallsetminus \{0\}$;
  alors $\C m_{\tgamma}$ est un $S(V_\C)\otimes \CT$-module
  irr\'eductible isomorphe \`a $\C v_\tgamma$.  Comme
  l'induction est le foncteur adjoint de la restriction, il
  existe un unique morphisme de $\H_B$-modules de $M(\tgamma)$
  dans $M$ envoyant $1 \otimes v_\tgamma$ sur $m_\tgamma$.
  Puisque $M$ est irr\'eductible ce morphisme est surjectif et
  $M$ est un quotient de $M(\tgamma)$.
\end{dem}


Rappelons que l'on peut munir le dual de $M \in \Rmod{\hb}$
d'une structure de $\hb$-module gr�ce � l'anti-automorphisme
$\iota$, et que l'on peut << tordre >> $M$ par $\delta$,
cf.~\ref{sec1.6}. Nous d�signerons par $w_0$ l'�l�ment de plus
grande longueur de $W_A$. Pour tout $\tgamma=\gamma \otimes \mu
\in \calA$ on pose
$$
\tgamma^* = (-\twisted{w_0}{\gamma}) \otimes
(-\twisted{w_0}{\mu}).
$$

 
\begin{Prop}
\label{prop6}
Soit $\tgamma=\gamma \otimes \mu \in \calA$. Alors:
$$
\twisted{\delta}{M(\tgamma)} \simeq M(\gamma \otimes
(-\mu)), \qquad M(\tgamma)^* \simeq M(\tgamma^*).
$$
Tout $\H_B$-module irr\'eductible est un sous-module d'un
module de la s�rie principale.
\end{Prop}


\begin{dem}
  Il est clair que $\twisted{\delta}{M(\tgamma)}$ est engendr�
  par $1 \otimes v_{\tgamma}$. De plus, $\delta(\xi).1 \otimes
  v_{\tgamma} = \xi.1 \otimes v_{\tgamma} = \gamma(\xi).1
  \otimes v_{\tgamma}$ et $\delta(t_x).1 \otimes v_{\tgamma}=
  \sgn(x)t_x. 1 \otimes v_{\tgamma}= \sgn(x)\mu(x).1 \otimes
  v_{\tgamma} = (-\mu)(x).1 \otimes v_{\tgamma}$, pour $\xi \in
  V, x \in T$. La propri�t� universelle de $M(\gamma \otimes
  (-\mu))$ fournit alors une surjection $M(\gamma \otimes
  (-\mu)) \to \twisted{\delta}{M(\tgamma)}$, qui est un
  isomorphisme (puisque ces modules sont de m�me dimension).
  
  Pour tout $w \in W_A$, notons $f_{w,\tgamma} \in
  M(\tgamma)^*$ la forme lin�aire d�finie par
  $$
  <f_{w,\tgamma}, t_u \otimes v_{\tgamma} > =
\begin{cases}
  \sgn(w) & \ \text{si $u=w$}; \\
  0 & \ \text{sinon.}
\end{cases}
$$
On a donc $M(\tgamma)^* = \bigoplus_{w \in W_A} \C
f_{w,\tgamma}$ et un calcul facile montre que
$t_g.f_{w,\tgamma}= f_{gw,\tgamma}$ pour tout $g \in W_A$. Il
en d�coule que $M(\tgamma)^* = \hb. f_{w_0,\tgamma}$. Si l'on
montre que $f_{w_0,\tgamma}$ est de poids $\tgamma^*$, on
obtiendra une surjection $M(\tgamma^*) \to M(\tgamma)^*$ qui
donnera l'isomorphisme voulu.

Soient $\xi \in V, w \in W_A$; observons que le
Lemme~\ref{lem1} implique $-\xi.t_{w}\otimes v_\tgamma =
-\gamma(w^{-1}(\xi)).t_{w} \otimes v_\tgamma + \sum_{u \in W_A,
  \, \ell(u) < \ell(w)} \lambda_u.t_u \otimes v_\tgamma$ avec
$\lambda_u \in \C$. On a donc $< \xi.f_{w_0,\tgamma},
t_{w}\otimes v_\tgamma > = 0$ sauf si $w=w_0$, auquel cas on
trouve $-\gamma(w_0(\xi))\sgn(w_0) =
-\twisted{w_0}{\gamma}(\xi)\sgn(w_0)$. Par cons�quent
$\xi.f_{w_0,\tgamma}= -\twisted{w_0}{\gamma}(\xi)
f_{w_0,\tgamma}$.

Soit maintenant $x \in T$. On a $<t_x.f_{w_0,\tgamma},
t_{w}\otimes v_\tgamma > = < f_{w_0,\tgamma}, \sgn(x)t_x.
t_{w}\otimes v_\tgamma >$. Mais de $\sgn(x)t_x. t_{w}\otimes
v_\tgamma = \sgn(x) t_w \otimes (t_{w^{-1}xw}.v_\tgamma) =
\sgn(x)\mu(w^{-1}xw).t_{w}\otimes v_\tgamma =
-\twisted{w}{\mu}(x).t_{w}\otimes v_\tgamma$ on tire que
$<t_x.f_{w_0,\tgamma}, t_{w}\otimes v_\tgamma >$ est nul sauf
pour $w=w_0$, auquel cas on obtient $ -\twisted{w_0}{\mu}(x)
\sgn(w_0)$. Donc $t_x.f_{w_0,\tgamma} = -\twisted{w_0}{\mu}(x)
f_{w_0,\tgamma}$.

La derni�re assertion r�sulte du r�sultat pr�c�dent, de la
Proposition~\ref{prop5}, et des propri�t�s g�n�rales sur la
dualit� rappel�es en~\ref{sec1.6}.
\end{dem}


\begin{prop}
\label{prop61}
Soient $\tgamma=\gamma \otimes \mu \in \calA$ et $w \in W_A$.
Il existe un isomorphisme de $\H_B$-modules
$$
M(\tgamma) \longisomto \twisted{w}{M(\tgamma)}, \quad t_g
\otimes v_\tgamma \mapsto t_{wg} \otimes v_\tgamma.
$$
\end{prop}


\begin{dem}
  Consid\'erons l'\'el\'ement $t_w \otimes v_\tgamma$ de
  $\twisted{w}{M(\tgamma)}$. Puisque $t_{w^{-1}u}\centerdot t_w
  \otimes v_\tgamma = t_u\otimes v_\tgamma$ pour tout $u \in
  W_A$, cet l'\'el\'ement engendre le $\H_B$-module
  $\twisted{w}{M(\tgamma)}$. Rappelons (cf.~Lemme~\ref{lem1})
  que pour tout $\eta \in V_\C$ on a
\begin{align*}
  \Int(w)(\eta) &= w(\eta) + \sum_{\alpha \in R(w^{-1})} <
  \alpha\spcheck,w(\eta) > \tk_\alpha t_{s_\alpha},  \\
  \intertext{ou encore} \eta t_w &= t_w w^{-1}(\eta) -
  \sum_{\alpha \in R(w^{-1})} < \alpha\spcheck,\eta> \tk_\alpha
  t_{s_\alpha w}.
\end{align*}
Si $\xi \in V_\C$ il vient donc, dans
$\twisted{w}{M(\tgamma)}$,
\begin{align*}
  \xi\centerdot t_w \otimes v_\tgamma &= w(\xi)t_w \otimes
  v_\tgamma + \sum_{\alpha \in R(w^{-1})} <
  \alpha\spcheck,w(\xi)
  > \tk_\alpha t_{s_\alpha w}  \otimes v_\tgamma \\
  &= t_w \xi\otimes v_\tgamma - \sum_{\alpha \in R(w^{-1})} <
  \alpha\spcheck,w(\xi) > \tk_\alpha t_{s_\alpha w} \otimes
  v_\tgamma + \sum_{\alpha \in R(w^{-1})} <
  \alpha\spcheck,w(\xi)
  > \tk_\alpha t_{s_\alpha w} \otimes v_\tgamma \\
  &= \gamma(\xi) t_w \otimes v_\tgamma.
\end{align*}
D'autre part si $x \in T$ on a: $t_x \centerdot t_w \otimes
v_\tgamma = t_w t_x \otimes v_\tgamma = \mu(x) t_w \otimes
v_\tgamma$.  Ainsi $t_w \otimes v_\tgamma\in
\twisted{w}{M(\tgamma)}$ est de poids $\tgamma$. La propri�t�
universelle de $M(\tgamma)$ fournit un morphisme surjectif de
$M(\tgamma)$ sur le $\H_B$-module $\H_B\centerdot t_w \otimes
v_\tgamma = \twisted{w}{M(\tgamma)}$, d\'etermin\'e par $1
\otimes v_\tgamma \mapsto t_w \otimes v_\tgamma$; par
cons\'equent $t_g \otimes v_\tgamma \mapsto t_g\centerdot t_w
\otimes v_\tgamma = t_{wg} \otimes v_\tgamma$ pour tout $g \in
W_A$. Comme $\dim M(\tgamma) = \dim \twisted{w}{M(\tgamma)}$ ce
morphisme est bijectif.
\end{dem}

Soient $\H_{\mathit{gr}}(c)=\H_{\mathit{gr}}(c,S)$ une
alg\`ebre de Hecke gradu\'ee comme au \S~\ref{sec1.1} et
$M(\lambda)$ le $\H_{\mathit{gr}}(c)$-module de la s\'erie
principale associ\'e \`a $\lambda \in V_\C^*$.  Pour tout $w
\in W$ on peut tordre $M(\lambda)$ par $\Int(w) \in
\Aut_\C(\H_{\mathit{gr}}(c))$ et obtenir le module
$\twisted{w}{M(\lambda})$. Avec ces notations, une preuve
identique \`a celle de la proposition pr\'ec\'edente donne:

\begin{prop}
\label{prop62}
Soient $\lambda \in V_\C^*$ et $w \in W$. Il existe un
isomorphisme de $\H_{\mathit{gr}}(c)$-modules
$$
M(\lambda) \longisomto \twisted{w}{M(\lambda)}, \quad t_g
\otimes v_\lambda \mapsto t_{wg} \otimes v_\lambda.
$$
\end{prop}

\smallskip

\begin{Remarque} 
\label{rem63}
Rappelons \cite[Proposition~2.8]{KR} que si le
$\H_{\mathit{gr}}(c)$-module $M(\lambda)$ est simple, il en est
de m\^eme de $M(\twisted{w}{\lambda})$ pour tout $w \in W$. Si
$\lambda, \gamma \in V_\C^*$ sont quelconques, l'existence d'un
isomorphisme $M(\lambda) \simeq M(\gamma)$ force $\gamma \in
W.\lambda = \{\twisted{w}{\lambda} : w \in W\}$ (car $\gamma$
est alors un poids de $M(\lambda)$). Par cons\'equent sous
l'hypoth\`ese $M(\lambda)$ simple, la condition $M(\lambda)
\simeq M(\gamma)$ est \'equivalente \`a $\gamma \in W.\lambda$.
\end{Remarque}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e}
\label{sec3}

%%%
\subsection{Notations}
\label{sec3.1}

Pour tout $\tnu \in \calA$ on d\'esignera par $\psi : \H_B
\rightarrow \End M(\tnu)$ la repr\'esentation $\H_B$ dans
$M(\tnu)$. S'il n'y a pas risque d'ambigu\"{\i}t\'e, l'action
de $a \in \hb$ sur $v \in M(\tnu)$ sera simplement not\'ee $a.v
= \psi(a)(v)$. Soit $\varpi \in T\spcheck$; rappelons que
$W_A(\varpi)$ est le stabilisateur de $\varpi$ dans $W_A$. On
notera $\H_B(\varpi)$ la sous-alg\`ebre de $\H_B$ engendr\'ee
par $V$, $W_A(\varpi)$ et $T$.

On fixe un caract\`ere $\tgamma=\gamma\otimes\mu \in \calA$ et
un syst\`eme de repr\'esentants $\{w_1=\id,w_2,..,w_s\}$ de
$W_A/W_A(\mu)$.

\begin{Remarque}
\label{rem7}
Les caract\`eres $\twisted{w_j}{\mu}$, $j=1,\dots,s$ sont deux
\`a deux distincts. Par un argument classique il en d\'ecoule
que les formes lin\'eaires $\twisted{w_j}{\mu} \in (\CT)^*$
sont lin\'eairement ind\'ependantes. On peut ainsi trouver des
\'el\'ements $y_i \in T$, $i=1,\dots,s$, tels que la matrice
$[\twisted{w_j}{\mu}(t_{y_i})]_{1 \le i,j \le s}$ est
inversible.
\end{Remarque}

Pour tout $j \in \{1,..,s\}$, on d\'efinit un sous-espace
vectoriel de $M(\tgamma)$ par:
$$
E_j(\tgamma)=\bigoplus_{w \in W_A(\mu)} \C t_{w_j}t_w\otimes
v_\tgamma.
$$
Observons que
$$
E_1(\tgamma)= \bigoplus_{w \in W_A(\mu)} \C t_w\otimes
v_\tgamma, \qquad E_j(\tgamma)=t_{w_j}.E_1(\tgamma).
$$
On a $M(\tgamma)=\bigoplus_{j=1}^s E_j(\tgamma)$ et cette
d\'ecomposition est la d\'ecomposition isotypique du $T$-module
$M(\tgamma)$: le groupe $T$ op\`ere sur $E_j(\tgamma)$ par le
caract\`ere $\twisted{w_j}{\mu}$.


Soit $i \in \{1,\dots, n\}$ et $j_1<j_2<\cdots<j_i$,
$j_{i+1}<\cdots<j_n$ la partition de $\{1,..,n\}$ telle que
$\mu(t_{j_s})=1$ pour $s \in \{1,\dots,i\}$ et
$\mu(t_{j_s})=-1$ pour $s \in \{i+1,\dots,n\}$.  Soit $\sigma
\in W_A$ la permutation telle que $\sigma*j_p=p$ pour $p \in
\{1,..,n\}$.  Observons que pour $p < q$,
$\sigma^{-1}(\alpha_{p,q}) = \alpha_{j_p,j_q} \in R_A^-$ si et
seulement si $j_p > j_q$, ce qui implique $1 \le p \le i < q
\le n$. Donc $R(\sigma^{-1})$ est contenu dans $\{\alpha_{p,q}
: 1 \le p \le i < q \le n\}$. Par cons\'equent
\begin{equation}
\label{eq2}
R(\sigma) = - \sigma^{-1}(R(\sigma^{-1})) \, \subset \,
\{\alpha_{j_q,j_p} : 1 \le p \le i < q \le n\}. 
\end{equation}
On pose
$$
\mu_i=\twisted{\sigma}{\mu}.
$$
Alors, $W_A(\mu_i)$ est le groupe de Weyl $W(R_i)$ associ\'e
au syst\`eme de racines $R_i$ de type $A_{i-1}\times
A_{n-i-1}$, de base
$S_i=\{\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\dots,
\alpha_{n-1}\}$.  Donc $W_A(\mu)=\sigma W_A(\mu_i)
\sigma^{-1}=W_A(\sigma(R_i))$ admet pour base de racines
simples
$$
S(\mu) =\{ \alpha_{j_1,j_2}, \dots, \alpha_{j_{i-1},j_i} ,
\alpha_{j_{i+1},j_{i+2}}, \dots, \alpha_{j_{n-1},j_n}\}.
$$
On notera $\ell_\mu$ la longueur sur $W_A(\mu)$ associ\'ee
\`a $S(\mu)$.


%%%
\subsection{Restriction \`a $E_1(\tgamma)$}
\label{sec3.2}

Rappelons (voir~\ref{sec1.6}) que si $M \in \Rmod{\hb}$ et $w
\in W_A$, $\twisted{w}{M}$ est le $\H_B$-module tordu par
l'action de $\Int(w)$.
 
\begin{Prop}  
\label{prop4}  
Soit $w \in W_A$. On suppose que $\mu(\tk_\alpha)=0$ pour tout
$\alpha \in R(w^{-1})$.  Alors l'application $\phi :
M(\twisted{w^{-1}}{\tgamma}) \rightarrow
\twisted{w}{M(\tgamma)}$, donn\'ee par $\phi(t_g\otimes
v_{\twisted{w^{-1}}{\tgamma}})=t_{wgw^{-1}}\otimes v_\tgamma$
pour tout $g \in W_A$, est un isomorphisme de $\H_B$-modules.
\end{Prop}  
  
\begin{dem} 
  Comme l'espace vectoriel $M(\tgamma)=\twisted{w} M(\tgamma)$
  admet pour base $\{t_g \otimes v_{\tgamma}=t_{w^{-1}gw}
  \centerdot (1 \otimes v_{\tgamma}, g \in W\}$, le vecteur $1
  \otimes v_\tgamma$ engendre $\twisted{w}{M(\tgamma)}$.  Dans
  $\twisted{w}M(\tgamma)$ le groupe $T$ agit sur $1 \otimes
  v_\tgamma$ par le caract�re $\twisted{w^{-1}}{\mu}$; de plus,
  pour tout $\zeta \in V$, il vient en utilisant le
  Lemme~\ref{lem1}:
  $$
  \zeta \centerdot 1 \otimes v_{\tgamma} = t_w \zeta
  t_{w^{-1}}. 1 \otimes v_{\tgamma}=\Bigl(w(\zeta) +
  \sum_{\alpha \in R(w^{-1})}<\alpha\spcheck,
  w(\zeta)>t_{s_{\alpha}} \tk_{\alpha}\Bigr).1 \otimes
  v_{\tgamma}= \twisted{w^{-1}}{\gamma}(\zeta).1 \otimes
  v_{\tgamma}
  $$
  puisque $\tk_{\alpha}.1 \otimes v_{\tgamma}=
  \mu(\tk_{\alpha}).1 \otimes v_{\tgamma}=0$ pour tout $\alpha
  \in R(w^{-1})$.  Donc $1 \otimes v_\tgamma$ est de poids
  $\twisted{w^{-1}}{\tgamma}$ dans $\twisted{w}{M(\tgamma)}$.
  Par la propri\'et\'e universelle de l'induction, il existe un
  unique $\H_B$-morphisme surjectif $\phi$ de
  $M(\twisted{w^{-1}}{\tgamma})$ dans
  $\twisted{w}{M(\tgamma)}$, qui envoie $1\otimes
  v_{\twisted{w^{-1}}{\tgamma}}$ sur $1 \otimes v_\tgamma$.
  Ces deux modules \'etant de dimension $|W_A|$, $\phi$ est
  bijectif.  Enfin, pour tout $g \in W_A$ on a
  $$
  \phi(t_g\otimes v_{\twisted{w^{-1}}{\tgamma}})=\phi(t_g.(1
  \otimes v_{\twisted{w^{-1}}{\tgamma}})) =t_g\centerdot \phi(1
  \otimes v_{\twisted{w^{-1}}{\tgamma}})=t_{wgw^{-1}}.(1
  \otimes v_{\tgamma})=t_{wgw^{-1}} \otimes v_{\tgamma},
  $$
  ce qui d\'emontre la proposition.
\end{dem}  


\begin{cor}
\label{cor5}
{\rm (1)} On a $\mu(\tk_\alpha) =0$ pour tout $\alpha \in
R(\sigma)$ et l'application $\phi :
M(\twisted{\sigma}{\tgamma}) \rightarrow
\twisted{\sigma^{-1}}{M(\tgamma)}$ donn\'ee par
$\phi(t_g\otimes
v_{\twisted{\sigma}{\tgamma}})=t_{\sigma^{-1}g\sigma}\otimes
v_\tgamma$, pour tout $g \in W_A$, est un isomorphisme de
$\H_B$-modules.

\noindent {\rm (2)} Il existe un isomorphisme
$$
\twisted{\sigma}{\phi} : M(\twisted{\sigma}{\tgamma})
\longisomto M(\tgamma)
$$
tel que $\twisted{\sigma}{\phi}(t_g \otimes
v_{\twisted{\sigma}{\tgamma}}) = t_{g \sigma} \otimes
v_\tgamma$.
\end{cor}


\begin{dem}
  (1) Par~\eqref{eq2} on sait que toute racine $\alpha \in
  R(\sigma)$ s'\'ecrit $\alpha_{j_q,j_p}$ avec $1 \le p \le i <
  q \le n$. Par cons\'equent $\mu(\tk_\alpha)= 1
  +\mu(t_{j_p})\mu(t_{j_q})=0$. Il suffit donc d'appliquer la
  proposition pr\'ec\'edente \`a $w=\sigma^{-1}$.

\noindent (2) La Proposition~\ref{prop61} fournit un
isomorphisme de $\twisted{\sigma^{-1}}{M(\tgamma)}$ sur
$M(\tgamma)$ qui envoie $t_u \otimes v_\tgamma$ sur $t_{\sigma
  u} \otimes v_\tgamma$; en le composant avec $\phi$ on obtient
l'isomorphisme $\twisted{\sigma}{\phi}$ voulu.
\end{dem}


Le~(2) du Corollaire~\ref{cor5} montre que l'\'etude du module
$M(\tgamma)$ est \'equivalente \`a celle de
$M(\twisted{\sigma}{\tgamma})$. Nous verrons que $E_1(\tgamma)$
h\'erite d'une structure de $\H_B(\mu)$-module d\'eterminant
celle de $M(\tgamma)$ (cf.~Proposition~\ref{prop12}); il est
donc naturel de comparer les modules $E_1(\tgamma)$ et
$E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma})$, ce que nous ferons au
Th\'eor\`eme~\ref{thm7}.

Observons que, puisque $W_A(\twisted{\sigma}{\mu}) = \sigma
W_A(\mu)\sigma^{-1}$, l'application $\phi$ du
Corollaire~\ref{cor5} donne un isomorphisme d'espaces
vectoriels
$$
\phi : E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma}) \to E_1(\tgamma).
$$


\begin{Lemme}
\label{lem6}
La restriction de $\psi$ \`a $\H_B(\mu)$ munit $E_1(\tgamma)$
d'une structure de $\H_B(\mu)$-module.
\end{Lemme}

\begin{dem}
  L'espace $E_1(\tgamma)$ est \'evidemment stable sous l'action
  de $T$ et de $W_A(\mu)$. Il reste donc \`a montrer qu'il est
  stable sous l'action de $V$; puisque les \'el\'ements de $V$
  et $T$ commutent dans $\H_B$, ceci r�sulte du fait que
  $E_1(\tgamma)$ est la composante isotypique de type $\mu$ du
  $T$-module $M(\tilde{\gamma})$. Afin d'expliquer le r�le que
  va jouer l'alg�bre de Hecke gradu�e $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$
  au \S~\ref{sec3.3} nous donnons ci-dessous une autre preuve
  de ce fait.
  
  Soient $\zeta \in V$, $w \in W_A(\mu)$, et montrons par
  r\'ecurrence sur $\ell_\mu(w)$ que $\zeta.t_w \otimes
  v_{\tgamma} \in E_1(\tgamma)$.  En choisissant une
  d\'ecomposition r\'eduite de $w$ dans $W_A(\mu)$ on peut
  \'ecrire $w=s_{j_l,j_{l+1}}u$ avec $l \in \{1,\dots,n\}
  \smallsetminus \{i\}$ et $u \in W_A(\mu)$ tel que
  $\ell_\mu(u)< \ell_\mu(w)$.  Par d\'efinition des entiers
  $j_r$ on a, pour tout $j \in \{j_l+1,\dots, j_{l+1}-1\}$,
  $\mu(t_j)=-\mu(t_{j_l})=-\mu(t_{j_{l+1}})$.  Donc
  $\mu(\tk_{{j_l,j}}) = \mu(\tk_{{j,j_{l+1}}})=0$ et
  $\mu(\tk_{j_l,j_{l+1}}) = 2k$.  Comme
  $\mu(\tk_{u^{-1}(i),u^{-1}(j)})=\twisted{u}{\mu}(\tk_{i,j})
  =\mu(\tk_{i,j})$ et que $v_\tgamma$ est de poids $\mu$, le
  Lemme~\ref{lem1} appliqu\'e \`a $s_{p,q}=s_{j_l,j_{l+1}}$
  fournit:
  $$
  \zeta.t_w \otimes v_{\tgamma} =
  t_{s_{p,q}}.(s_{p,q}(\zeta).t_{u} \otimes
  v_{\tgamma})-2k<\alpha_{p,q}\spcheck,\zeta>t_{u} \otimes
  v_{\tgamma}.
  $$
  Par r\'ecurrence on a $s_{p,q}(\zeta).t_{u} \otimes
  v_{\tgamma} \in E_1(\tgamma)$, d'o\`u $\zeta.t_w \otimes
  v_{\tgamma} \in E_1(\tgamma)$.
\end{dem} 


En appliquant le Lemme~\ref{lem6} avec
$\twisted{\sigma}{\tgamma}$ \`a la place de $\tgamma$, on
obtient que $E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma})$ h\'erite
naturellement (via $\psi$) d'une structure de
$\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})$-module.  Nous allons maintenant
transporter cette structure \`a $E_1(\tgamma)$ gr\^ace \`a
l'isomorphisme (d'espaces vectoriels) $\phi$ obtenu ci-dessus.

\begin{Theoreme}
\label{thm7}
{\rm (1)} Il existe un morphisme d'alg\`ebres
$$
\rho : \H_B(\twisted{\sigma}{\mu}) \rightarrow \End
E_1(\tgamma)
$$
d\'efini par $\rho(\xi)=\psi(\sigma^{-1}(\xi))$,
$\rho(t_w)=\psi(t_{\sigma^{-1}w\sigma})$, pour $\xi \in V$, $w
\in T \rtimes W_A(\twisted{\sigma}{\mu})$, qui donne une
structure de $\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})$-module sur l'espace
vectoriel $E_1(\tgamma)$.  Pour cette structure, not\'ee
$E_1^{\sigma}(\tgamma)$, on a un isomorphisme de
$\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})$-modules
$$
\vphi : E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma}) \isomto
E_1^{\sigma}(\tgamma)
$$
donn\'e par $\vphi(t_g \otimes
v_{\twisted{\sigma}{\tgamma}}) =t_{\sigma^{-1}g\sigma} \otimes
v_\tgamma$, pour tout $g \in W_A(\twisted{\sigma}{\mu})$.
  
\noindent {\rm (2)} Un sous-espace $N \subset E_1(\tgamma)$ est un
sous-$\H_B(\mu)$-module si et seulement si c'est un
sous-$\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})$-module de
$E_1^{\sigma}(\tgamma)$.
\end{Theoreme}

\begin{dem}
  (1) Nous allons montrer que le morphisme $\rho$ cherch\'e
  n'est autre que $\psi\circ\Int(\sigma^{-1})$ restreint \`a
  $\hb(\twisted{\sigma}{\mu})$. Observons tout d'abord que, par
  d\'efinition, $\psi(\Int(\sigma^{-1})(t_w)) =
  \psi(t_{\sigma^{-1}w\sigma}) \in \End E_1(\tgamma)$ pour tout
  $w \in T \rtimes W_A(\twisted{\sigma}{\mu})$. Il suffit donc
  de v\'erifier que $\psi(\Int(\sigma^{-1})(\xi)) =
  \psi(\sigma^{-1}(\xi))$ sur $E_1(\tgamma)$ pour tout $\xi \in
  V$. Pour ce faire, calculons $\psi(\Int(\sigma^{-1})(\xi)) =
  \psi(t_\sigma^{-1} \xi t_\sigma)$ sur un \'element $v \in
  E_1(\tgamma)$.  Comme dans la preuve de la
  Proposition~\ref{prop4} on obtient:
  $$
  t_\sigma^{-1} \zeta t_{\sigma}. v
  =\Bigl(\sigma^{-1}(\zeta) + \sum_{\alpha \in
    R(\sigma)}<\alpha\spcheck,
  \sigma^{-1}(\zeta)>t_{s_{\alpha}} \tk_{\alpha}\Bigr).v=
  \sigma^{-1}(\zeta).v
  $$
  puisque $\tk_{\alpha}.v= \mu(\tk_{\alpha}).v=0$ pour tout
  $\alpha \in R(\sigma)$ par le Corollaire~\ref{cor5} (on
  rappelle que $\CT$ op\`ere par $\mu$ sur $E_1(\tgamma)$).
  
  Il est clair que $\vphi$ est la bijection lin\'eaire $\phi :
  E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma}) \to E_1(\tgamma)$
  pr\'ec\'edente. Il reste alors \`a v\'erifier que $\phi(a.y)=
  \rho(a)(\phi(y))$ pour tous $a \in
  \H_B(\twisted{\sigma}{\mu}), y \in
  E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma})$. Mais, par le
  Corollaire~\ref{cor5}, on a $\phi(a.y)= a\centerdot \phi(y)=
  \psi(\Int(\sigma^{-1})(a))(y)= \rho(a)(y)$.


\noindent (2) Observons que $N$ est un
sous-$\H_B(\mu)$-module de $E_1(\tgamma)$ si, et seulement si,
$\{\xi.N \subset N, \, t_w.N \subset N\}$ pour tous $\xi \in
V$, $w \in T \rtimes W_A(\mu)$.  Ceci \'equivaut \`a
$\{\sigma^{-1}(\xi).N \subset N, \, t_{\sigma^{-1}(\sigma w
  \sigma^{-1})\sigma}.N \subset N\}$.  Compte tenu de (1),
cette condition s'\'ecrit encore $\{\rho(\xi)(N) \subset N, \,
\rho(t_{w'})(N) \subset N\}$ pour tous $\xi \in V$, $w' \in T
\rtimes W_A(\twisted{\sigma}{\mu})$ (puisque $T \rtimes
W_A(\twisted{\sigma}{\mu}) = \sigma(T \rtimes
W_A({\mu}))\sigma^{-1}$), ce qui signifie que $N$ est un
sous-$\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})$-module de
$E_1^{\sigma}(\tgamma)$.
\end{dem}



\begin{cor}
\label{cor8}
On adopte les notations de~\ref{sec1.6} et du
Th\'eor\`eme~\ref{thm7}. Alors:
$$
\calL_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma)) \cong
\calL_{\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})}
(E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma})), \qquad \lg_{\H_B(\mu)}
E_1(\tgamma) = \lg_{\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})}
E_{1}(\twisted{\sigma}{\tgamma}).
$$
\end{cor}


\begin{dem}
  Par le (2) du Th\'eor\`eme~\ref{thm7} on sait que
  $\calL_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma))=
  \calL_{\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})}(E_1^\sigma({\tgamma}))$,
  et par le (1) du m\^eme th\'eor\`eme on obtient
  $\calL_{\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})}
  (E_1(\twisted{\sigma}{\tgamma})) \cong
  \calL_{\H_B(\twisted{\sigma}{\mu})}(E_1^\sigma({\tgamma}))$.
  D'o\`u le corollaire.
\end{dem}


%%%
\subsection{Cas $\mu=\mu_i$}
\label{sec3.3}
On suppose dans cette section que $\tnu \in \calA$ est de la
forme $\nu\otimes\mu_i$.  On note $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$
l'alg\`ebre de Hecke gradu\'ee associ\'ee au syst\`eme de
racines $R_i$ de $V$ et \`a la multiplicit\'e $c=2k$.  Pour
$\nu \in V_{\C}^*$, $M_i(\nu)$ d\'esignera le module de la
s\'erie principale sur $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$ associ\'e \`a
$\nu$ (not\'e $M(\nu)$ en~\ref{sec1.1}).

Soit $I=\Ker(\mu_i)$ l'id\'eal de $\C T$ engendr\'e par les
$x-\mu_i(x)$, $x\in T$.  Comme les \'el\'ements de $V$
commutent \`a ceux de $T$, l'id\'eal \`a gauche $\H_B(\mu_i) I$
est bilat\`ere; on peut donc d\'efinir l'alg\`ebre quotient
$$
\hbi=\H_B(\mu_i) \otimes_{\C T} (\CT/I) =
\H_B(\mu_i)/\H_B(\mu_i)I.
$$
Le groupe $W_A(\mu_i)$ �tant engendr� par les r�flexions
simples $s_{\alpha_p}$, $\alpha_p \in S_i$, il r�sulte
de~\eqref{eq1} et de (PBW3) que $\H_B(\mu_i)=S(V_\C)\otimes \C
W_A(\mu_i) \otimes \C T$.  Puisque $\C T/I$ est un $T$-module
de dimension~$1$ (de caract\`ere $\mu_i$), on a un isomorphisme
de $S(V_\C)$-modules $\hbi \simeq S(V_\C) \otimes \C
W_A(\mu_i)$.

Remarquons que pour tout $j \ne i$ on a
$\mu_i(t_j)=\mu_i(t_{j+1})$, donc $\mu_i(\tk_j)=2k$.  Les
relations de d\'efinition de $\H_B$ appliqu\'ees aux $\alpha_j
\in S_i$ fournissent alors dans $\hbi$:
\begin{equation*}
t_{s_{\alpha_j}}\zeta=s_{\alpha_j}(\zeta)t_{s_{\alpha_j}
}-2k<\alpha_j\spcheck,\zeta>, 
\end{equation*}
pour tout $\zeta \in V$.  Ces relations co\"{\i}ncident avec
celles d\'efinissant l'alg\`ebre de Hecke gradu\'ee
$\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$.  On en d\'eduit un morphisme
surjectif d'alg\`ebres
$$
F: \H_{\mathit{gr}}(\mu_i)\rightarrow \hbi
$$
d\'efini par $F(\zeta)=\zeta \pmod{\H_B(\mu_i)I}$ et
$F(t_w)=t_w \pmod{\H_B(\mu_i)I}$ pour $\zeta \in V$, $w \in
W_A(\mu_i)$. Puisque $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$ et $\hbi$ sont
isomorphes \`a $S(V_\C) \otimes \C W_A(\mu_i)$ comme
$S(V_\C)$-modules, $F$ est un isomorphisme.


Observons que pour tout $\tnu=\nu \otimes \mu_i \in \calA$, $T$
op\`ere sur le $\H_B(\mu_i)$-module $E_1(\tnu)$ par le
caract\`ere $\mu_i$, donc $E_1(\tnu)$ peut \^etre consid\'er\'e
comme un $\hbi$-module.

\begin{Lemme}
\label{lem9}
L'application $f:M_i(\nu)\rightarrow E_1(\tnu)$ d\'efinie par
$f(t_w \otimes v_\nu)=t_w \otimes v_\tnu$ est un isomorphisme
qui entrelace, via $F$, les actions de
$\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$ et $\hbi$.
\end{Lemme}

\begin{dem}
  Gr\^ace \`a l'isomorphisme $F$, $E_1(\tnu)$ h\'erite d'une
  structure de $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$-module pour laquelle
  il est engendr\'e par le vecteur $1 \otimes v_\tnu$, qui est
  de poids $\nu$ sous l'action de $S(V_\C)$.  La propri\'et\'e
  universelle de $M_i(\nu)$ assure donc l'existence et la
  surjectivit\'e de l'op\'erateur d'entrelacement $f$.  Comme
  $E_1(\tnu)$ et $M_i(\nu)$ sont de dimension $|W_A(\mu_i)|$,
  $f$ est bijective.
\end{dem} 
  

On peut ainsi identifier le $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$-module
$M_i(\nu)$ et le $\H_B(\mu_i)$-module $E_1(\tnu)$, il en
r\'esulte en particulier que:
\begin{equation}
\label{eq4}
\calL_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\nu)) \cong
\calL_{\H_B(\mu_i)}(E_1(\tnu)), \quad
\lg_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}M_i(\nu) =
\lg_{\H_B(\mu_i)} E_1(\tnu).
\end{equation}

%%%
\subsection{Crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e}
\label{sec3.4}

Rappelons que $\sigma$ est tel que $\twisted{\sigma}{\mu}=
\mu_i$. Donc en appliquant~\eqref{eq4} \`a $\tnu =
\twisted{\sigma}{\tgamma} = \twisted{\sigma}{\gamma}\otimes
\mu_i$ et en utilisant le Corollaire~\ref{cor8} on obtient:

\begin{Prop}
 \label{prop11}
 M\^emes notations. On a
 $$
 \calL_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma)) \cong
 \calL_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\twisted{\sigma}{\gamma})),
 \quad \lg_{\H_B(\mu)}E_1(\tgamma)=
 \lg_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}M_i(\twisted{\sigma}{\gamma}).
 $$
 En particulier, $E_1(\tgamma) $ est un $\hb(\mu)$-module
 simple si et seulement si $M_i(\twisted{\sigma}{\gamma})$ est
 un $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$-module simple.
 \end{Prop}
 
 Rappelons que $\calS_R(M)$ d�signe la suite des sous-quotients
 simples d'un $M \in \Rmod{R}$, cf.~\ref{sec1.6}, et que par
 \cite[Proposition2.8(c)]{KR}:
 $$
 \calS_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\twisted{\sigma}{\gamma}))
 =\calS_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\twisted{x\sigma}{\gamma}))
 $$
 pour tout $x \in W_A(\mu_i)$.

\begin{cor}
\label{cor11b}
Soit $w \in W_A$. Alors:
\begin{itemize}
\item il existe une bijection $f :
  \calS_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma)) \to
  \calS_{\H_B(\twisted{w}{\mu})}(E_1(\twisted{w}{\tgamma}))$
  telle que $\dim f(Y) = \dim Y$ pour tout $Y \in
  \calS_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma))$;
\item $E_1(\tgamma) $ est un $\hb(\mu)$-module simple si et
  seulement si $E_1(\twisted{w}{\tgamma})$ est un
  $\H_B(\twisted{w}{\mu})$-module simple.
\end{itemize}
\end{cor}


\begin{dem}
  Il existe $\varsigma \in W_A$ tel que $\twisted{\varsigma
    w}{\mu}=\mu_i$ et l'on peut �crire $\varsigma w = x \sigma$
  pour un $x \in W_A(\mu_i)$. Par la Proposition~\ref{prop11}
  on sait que $\calL_{\H_B(\mu)}(E_1(\tgamma)) \cong
  \calL_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\twisted{\sigma}{\gamma}))$
  et $\calL_{\H_B(\twisted{w}{\mu})}(E_1(\twisted{w}{\tgamma}))
  \cong \calL_{\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)}(M_i(\twisted{\varsigma
    w}{\gamma}))$, l'existence de $f$ d�coule donc du rappel
  pr�c�dent. La deuxi�me assertion est alors �vidente.
\end{dem}

 

Nous allons maintenant montrer que les treillis ordonn�s
$\calL_{\hb}(M(\tgamma))$ et $\calL_{\hb(\mu)}(E_1(\tgamma))$
sont isomorphes.  Remarquons tout d'abord que (PBW3) et $\C
W_A(\mu) \otimes \CT \otimes S(V_\C) \subset \H_B(\mu)$
impliquent
\begin{equation*} 
  \H_B = \C W_A \otimes \CT \otimes S(V_\C) =
  \Bigl(\bigoplus_{j=1}^s t_{w_j} \C W_A(\mu)\Bigr) \otimes \CT
  \otimes
  S(V_\C)  \subset \sum_{j=1}^s t_{w_j}\H_B(\mu).
\end{equation*}
D'o�:
\begin{equation} \label{eq5}
\H_B = \sum_{j=1}^s t_{w_j}\H_B(\mu).
\end{equation}


\begin{Prop}
\label{prop12}
Le module $M(\tgamma)$ s'identifie � $\H_B \otimes_{\H_B(\mu)}
E_1(\tgamma)$. Les applications $Y \to \hb \otimes_{\hb(\mu)}
Y$ et $X \to X \cap E_1(\tgamma)$ sont des bijections
r�ciproques de $\calL_{\hb(\mu)}(E_1(\tgamma))$ sur
$\calL_{\hb}(M(\tgamma))$.  On a en particulier:
$$
\lg_{\H_B} M({\tgamma}) =\lg_{\H_B(\mu)} E_1(\tgamma).
$$
\end{Prop}


\begin{dem}
  Soit $Y$ un sous-$\hb(\mu)$-module de $E_1(\tgamma)$.
  Puisque $M(\tgamma) = \bigoplus_{j=1}^s
  t_{w_j}.E_1(\tgamma)$, l'�quation~\eqref{eq5} entra�ne que le
  sous-module de $M(\tgamma)$ engendr� par $Y$ est (comme
  sous-espace vectoriel) �gal �
  $$
  \hb.Y = \sum_{j=1}^s t_{w_j}\H_B(\mu).Y =\sum_{j=1}^s
  t_{w_j}.Y= \bigoplus_{j=1}^st_{w_j}.Y.
  $$
  Il en r�sulte que l'application surjective canonique
  $$
  \pi : \hb \otimes_{\hb(\mu)} Y \sto \hb.Y, \quad \pi(a
  \otimes y) = a.y,
  $$
  est un isomorphisme. En effet, supposons $u =\sum_{l=1}^p
  a_l \otimes u_l \in \Ker \pi$. \'Ecrivons $a_l = \sum_{j=1}^s
  t_{w_j}a_{jl}$ avec $a_{jl} \in \hb(\mu)$.  Il vient $\pi(u)
  = \sum_{j,l} t_{w_j}a_{jl}.u_l = \sum_{j=1}^s
  t_{w_j}.\bigl(\sum_{l=1}^pa_{jl}.u_l \bigr)= 0$ avec
  $\sum_{l=1}^pa_{jl}.u_l \in Y$. Donc $\sum_{l=1}^p a_{jl}.u_l
  = 0$ pour tout $j$ et
  $$
  \textstyle{u=\sum_{j,l} t_{w_j} \otimes a_{jl}.u_l =
    \sum_jt_{w_j} \otimes \bigl(\sum_la_{jl}.u_l\bigr) = 0.}
  $$
  Nous pouvons ainsi identifier $\hb \otimes_{\hb(\mu)} Y$
  et $\hb.Y$.  Le foncteur $Y \to \hb \otimes_{\hb(\mu)} Y$
  fournit donc une application injective (qui pr�serve les
  inclusions) de $\calL_{\hb(\mu)}(E_1(\tgamma))$ dans
  $\calL_{\hb}(M(\tgamma))$.  Pour d\'emontrer la proposition
  il nous reste \`a voir que tout sous-module $X$ de
  $M(\tgamma)$ est de la forme $\hb \otimes_{\hb(\mu)} (X \cap
  E_1(\tgamma))$.  Soit $x \in X$, que l'on �crit $x
  =\sum_{j=1}^s t_{w_j}.x_j$ avec $x_j \in E_1(\tgamma)$ pour
  tout $j$. Par la Remarque~\ref{rem7} il existe des $y_i \in
  T$ tels que la matrice $[\twisted{w_j}{\mu}(t_{y_i})]_{i,j}$
  est inversible.  Puisque $T$ op�re sur $t_{w_j}.x_j$ par le
  caract�re $\twisted{w_j}{\mu}$, en appliquant les $t_{y_i}$ �
  $x$ on obtient que $t_{w_j}.x_j \in \CT.x \subset X$ pour
  tout $j$.  Il en r�sulte que $x_j \in X \cap E_1(\tgamma)$ et
  donc $X= \bigoplus_{j=1}^s t_{w_j}.(X \cap E_1(\tgamma))$,
  comme voulu.
\end{dem}

Observons que la proposition pr�c�dente assure que $M(\tgamma)$
est simple si et seulement si $E_1(\tgamma)$ l'est.  Nous
pouvons maintenant en d�duire un crit�re d'irr�ductibilit� pour
les modules $M(\tgamma)$. Rappelons que $\tgamma = \gamma
\otimes \mu \in \calA$ et que $\sigma \in W_A$ est a �t�
introduit en~\ref{sec3.1} de sorte que $\mu_i =
\twisted{\sigma}{\mu}$.  Comme dans~\cite[Theorem~2.10]{KR} on
pose pour tout $\nu \in V_\C^*$:
$$
P_i(\nu) =\{\alpha \in R_i^+ : \nu(\alpha)= \pm 2k\}.
$$


\begin{Theoreme}
\label{thm13}
Les assertions suivantes sont �quivalentes:
\begin{enumerate}[{\rm (i)}]
\item $M(\tgamma)$ est un $\hb$-module simple;
\item $M(\twisted{w}{\tgamma})$ est un $\hb$-module simple pour
  tout $w \in W_A$;
\item $P_i(\twisted{\sigma}{\gamma}) = \emptyset$.
\end{enumerate}
\end{Theoreme}


\begin{dem}
  Par~\cite[Theorem~2.10]{KR} on sait que le
  $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$-module
  $M_i(\twisted{\sigma}{\gamma})$ est simple si et seulement si
  $P_i(\twisted{\sigma}{\gamma}) = \emptyset$. Le th\'eor\`eme
  d\'ecoule donc de la combinaison de la
  Proposition~\ref{prop11}, du Corollaire~\ref{cor11b} et de la
  Proposition~\ref{prop12} (appliqu\'ee \`a $\tgamma$ et
  $\twisted{w}{\tgamma}$).
 \end{dem}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Application � un syst�me de racines de type $D_n$}
\label{sec4}


On d\'efinit dans cette section une sous-alg\`ebre $\hd$ de
$\H_B$ dont l'\'etude des repr\'esentations se d\'eduit du
travail pr\'ec\'edent. Elle peut se r\'ealiser dans l'alg\`ebre
de Cherednik rationnelle de type $D_n$: cette sous-alg\`ebre
est isomorphe � l'alg\`ebre $\D$ de l'introduction pour un
syst\`eme de racines de type $D_n$.

%%%
\subsection{L'alg�bre $\hd$}
\label{sec4.1}
Rappelons que le syst�me de racines $R_B$ contient le syst�me
de racines $R_D$ suivant, de type $D_n$ et de base
$S_D=\{\alpha_i = \epsilon_i - \epsilon_{i+1}, 1 \le i \le n-1;
\, \epsilon_{n-1} + \epsilon_n\}$:
$$
R_D = \{\pm \epsilon_i \pm \epsilon_j : 1 \le i,j \le n\}
\supset R_D^+ = \{\epsilon_i \pm \epsilon_j : 1 \le i <j \le
n\}.
$$
Le groupe de Weyl $W_D$ associ� est �gal � $U \rtimes W_A$,
o� $U$ est le sous-groupe de $T$ engendr� par les
$s_{\epsilon_i}s_{\epsilon_{i+1}}$ pour $1 \le i \le n-1$.
Observons que, puisque $k \ne 0$, on a $\CU = \C[\tk_{\alpha_i}
: 1 \le i \le n-1]$.  Rappelons que l'automorphisme $\delta$
envoie $t_i$ sur $-t_i$; on a donc aussi $\CU = (\CT)^\delta =
\{a \in \CT : \delta(a) = a\}$. (Dans toute la suite on notera
$(\phantom{R})^\delta$ l'espace des $\delta$-invariants.)

On pose
\begin{equation*}
%\label{eq6}
\hd = \hb^\delta = \{ h \in \hb : \delta(h) = h \}.
\end{equation*}
Comme $\hb = S(\VC) \otimes \C W_A \otimes \CT$ (par (PBW3)) et
que $\delta$ est l'identit� sur $S(\VC)$ et $\C W_A$ on a
\begin{equation*}
\tag{PBW4}
\hd = S(\VC) \otimes \C W_A \otimes \CU.
\end{equation*}
D'autre part les relations (a), (b), (c) et
l'�quation~(\ref{eq1}) du \S~\ref{sec1.2} montrent que
$$
\hd = \C \langle \xi \in V; \, w \in W_D \rangle = \C
\langle \xi \in V; \, t_{s_{\alpha_i}}, \, i=1,\dots,n-1
\rangle.
$$


Le calcul du centre de $\hd$ r�sulte de celui de $Z(\hb)$ fait
au \S~\ref{sec1.5}, dont on adopte les notations.

\begin{Theoreme}
\label{thm41}
On a: $Z(\hd) = S(\VC)^{W_A} \otimes (\CU)^{W_A} =
\bigoplus_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}S(\VC)^{W_A} \vartheta_{2i}$.
\end{Theoreme}


\begin{dem}
  Observons tout d'abord que $\delta(\vartheta_j)=(-1)^j
  \vartheta_j$, donc
  $$
  \textstyle{ (\CU)^{W_A} = \CU \cap (\CT)^{W_A}
    =(\CT)^\delta \cap (\CT)^{W_A} =
    \bigoplus_{i=0}^{[\frac{n}{2}]} \C \vartheta_{2i}.  }
  $$
  Soit $c \in Z(\hd)$, c'est � dire $c \in \hd$ et $[c,V] =
  [t_{s_{\alpha_i}},c] = 0$ pour $i=1,\dots,n-1$. Par le
  Lemme~\ref{lem3} la condition $[c,V] =0$ �quivaut � $c \in
  (S(\VC) \otimes \CT)^\delta = S(\VC) \otimes \CU$. La preuve
  du Th�or�me~\ref{thm4} montre alors que $c \in Z(\hd)$ si et
  seulement si $c \in Z(\hb)^\delta = \bigl( \bigoplus_{j=0}^n
  S(\VC)^{W_A} \vartheta_j\bigr)^\delta =
  \bigoplus_{i=0}^{[\frac{n}{2}]}S(\VC)^{W_A} \vartheta_{2i}$.
\end{dem}

%%%
\subsection{R�alisation dans l'alg�bre de Cherednik}
\label{sec4.2}

Rappelons (Th�or�me~\ref{PBW3}) l'existence de l'isomorphisme
$\Phi : \hb \to \D_B$ tel que $\Phi(\epsilon_j)= D_j=D^B_j$ et
$\Phi(w) = w$ pour $w \in W_B$. Par restriction $\Phi$ induit
donc un isomorphisme de $\hd$ sur la sous-alg�bre
$$
\D_D = \C\langle D_1^B,\dots, D_n^B; w \in W_D \rangle = \C
\langle D_1^B,\dots, D_n^B; w \in W_A \rangle.
$$
On peut ainsi r�aliser $\D_D$ comme sous-alg�bre de
l'alg�bre de Cherednik $\calH_B(\bk)$ de type $B_n$, o� $\bk=
(k,k_c)$ comme au \S~\ref{sec1.3}.  Notons que les relations de
d\'efinition de $\H_B$ ne font intervenir la multiplicit\'e
$\bk$ que par sa valeur $k$ sur les racines longues. Ceci
permet de r�aliser $\hd$ comme sous-alg�bre de l'alg�bre de
Cherednik rationnelle $\calH_D(k)$ de type $D_n$. En effet,
choisissons pour multiplicit� $\bk_0=(k,0)$ (i.e.~$\bk$ nulle
sur les racines courtes). L'op�rateur de Dunkl $T_y^B(\bk_0)$,
pour $y \in \fa$, est alors
$$
\textstyle{ T_y^D(k) = \partial_y + \frac{k}{2} \sum_{\alpha
    \in R_D}\frac{<{\alpha},{y}>}{\alpha} (1 - t_{s_\alpha}), }
$$
qui est �gal � l'op�rateur de Dunkl d�fini par $y$ pour le
type $D_n$. L'alg�bre de Cherednik $\calH_D(k)$ �tant
engendr�e, dans $\End_\C S(\fa^*)$, par les $T_y^D(k)$, $y \in
\fa$, $x \in \fa^*$ et $t_w$, $w \in W_D$, s'identifie donc �
une sous-alg�bre de $\calH_B(\bk_0)$. Il est clair que l'image
$\Phi(\hd)$ de l'isomorphisme pr�c�dent est alors contenue dans
$\calH_D(k)$ et co\"{\i}ncide avec la sous-alg�bre $\D$ d�finie
dans l'introduction.

%%%
\subsection{Modules de la s\'erie principale}
\label{sec4.3}


Notons $\mu \mapsto \bar{\mu}$ le morphisme (surjectif) de
restriction entre les groupes de caract�res $T\spcheck$ et
$U\spcheck$. Les ant�c�dents de $\bmu \in U\spcheck$ sont donc
$\mu$ et $-\mu = \sgn \otimes \mu$. On d�signe par $W_A(\bmu) =
\{ w \in W_A : \twisted{w}{\bmu} = \bmu \}$ le stabilisateur de
$\bmu$ dans $W_A$. Remarquons que $\twisted{w}{\bmu} =
\overline{{\twisted{w}{\mu}}}$ pour tout $w \in W$ et que
$W_A(\mu) \subset W_A(\bmu)$. On d�finit deux sous-alg�bres de
$\hd$ par
$$
\hd(\bmu) = \C \langle V, \, W_A(\bmu), \, U \rangle \supset
\hd(\mu) = \C \langle V, \, W_A(\mu), \, U \rangle.
$$
Observons que le noyau $\bar{I}$ du caract�re $\bmu$
engendre un id�al bilat�re de $\hd(\bmu)$ et que l'on peut
ainsi d�finir les alg�bres quotients
$$
\overline{\hd(\bmu)} = \hd(\bmu) /\hd(\bmu) \bar{I}, \quad
\overline{\hd(\mu)} = \hd(\mu) /\hd(\mu)\bar{I}.
$$


Fixons $\mu \in T\spcheck$ et $\sigma \in W_A$ tel que
$\twisted{\sigma}{\mu} = \mu_i$ comme au \S~\ref{sec3.1}. On a
donc $W_A({\mu_i}) = \sigma W_A(\mu)\sigma^{-1}$ et
$W_A({\bmu_i}) = \sigma W_A(\bmu)\sigma^{-1}$. Rappelons que
$W_A(\mu_i)$ est le groupe de Weyl associ\'e au syst\`eme de
racines $R_i$ de type $A_{i-1} \times A_{n-i-1}$ de base $S_i
=\{\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\dots,
\alpha_{n-1}\}$.



\begin{lem}
\label{lem42}
{\rm (1)} On a $W_A(\mu) \ne W_A(\bmu)$ si et seulement si
$n=2m$ et $\twisted{\sigma}{\mu} = \mu_m$. Dans ce cas
$W_A(\bmu_m) = W_A(\mu_m) \rtimes \langle w_0 \rangle$ o� $w_0$
est l'�l�ment le plus long de $W_A$.

\noindent {\rm (2)} L'application
$F: \H_{\mathit{gr}}(\mu_i)\rightarrow \overline{\hd(\mu_i)}$
d\'efinie par $F(\zeta)=\zeta \pmod{\H_D(\mu_i)\bar{I}}$ et
$F(t_w)=t_w \pmod{\H_D(\mu_i)\bar{I}}$ pour $\zeta \in V$, $w
\in W_A(\mu_i)$ est un isomorphisme d'alg�bres. On a en
particulier:
$$
\overline{\hd(\mu_i)} \simeq \overline{\hb({\mu_i})} \simeq
\H_{\mathit{gr}}(\mu_i).
$$
\end{lem}


\begin{dem}
  (1) On a vu que $W_A(\mu) \ne W_A(\bmu)$ �quivaut �
  $W_A(\mu_i) \ne W_A(\bmu_i)$.  Soit $w \in W_A(\bmu_i)
  \smallsetminus W_A(\mu_i)$, c'est � dire $\twisted{w}{\mu_i}=
  -\mu_i$. De $\twisted{w}{\mu_i}(t_j) =\mu_i(t_{w^{-1}*j})= -
  \mu(t_j)$ pour tout $j$ on tire que $\sum_j \mu_i(t_j)=
  \sum_j \mu_i(t_{w^{-1}*j}) = -\sum_j \mu_i(t_j)$ et donc
  $\sum_j \mu_i(t_j) = 0$. Cette condition signifie clairement
  que $n=2m$ et $i=m$. Inversement si cette condition est
  v�rifi�e l'�l�ment $w_0$, qui envoie $t_j$ sur $t_{n+1 - j}$,
  v�rifie $\twisted{w}{\mu_m}= -\mu_m$ et par cons�quent $w_0
  \in W_A(\bmu_m) \smallsetminus W_A(\mu_m)$.  L'�galit�
  $W_A(\bmu_m) = W_A(\mu_m) \rtimes \langle w_0 \rangle$ est
  alors triviale.
  
  \noindent (2) On proc�de comme au \S~\ref{sec3.3}. On observe
  que le groupe $W_A(\mu_i)$ est engendr� par les r�flexions
  simples $s_{\alpha_p}$, $\alpha_p \in S_i$, et que par (PBW4)
  il en r�sulte $\H_D(\mu_i)=S(V_\C)\otimes \C W_A(\mu_i)
  \otimes \C U$.  Puisque $\C U/\bar{I}$ est de dimension~$1$
  on a un isomorphisme de $S(V_\C)$-modules
  $\overline{\hd(\mu_i)} \simeq S(V_\C) \otimes \C W_A(\mu_i)$.
  D'autre part, les relations de d\'efinition de $\H_D$
  appliqu\'ees aux $\alpha_j \in S_i$ �tant les m�mes que
  celles d�finissant $\H_{\mathit{gr}}(\mu_i)$, l'application
  $F$ est bien d�finie et est un isomorphisme. Le dernier
  isomorphisme a \'et\'e vu au \S~\ref{sec3.3}.
\end{dem}

Notons $\bar{\calA}=\{ \gamma\otimes\bnu : \gamma \in V_\C^*,
\, \bnu \in U\spcheck\}$ l'ensemble des morphismes d'alg\`ebres
de $S(V_\C)\otimes\CU$ vers $\C$.  Un �l�ment $w \in W_A$ op�re
sur $\bar{\calA}$ par $\twisted{w}(\gamma\otimes\bnu) =
\twisted{w}{\gamma} \otimes \twisted{w}{\bnu}$.  Pour un
$\hd$-module de dimension finie $M$ on d\'efinit de m\^eme
qu'au \S~\ref{sec2.1} les sous-espaces poids et sous-espaces
poids g\'en\'eralis\'es associ\'es \`a un \'el\'ement de
$\bar{\calA}$.  Comme $S(V_\C)\otimes\CU$ est une
sous-alg\`ebre commutative de $\hd$, $M$ est somme directe de
ses sous-espaces poids g\'en\'eralis\'es.
 
Fixons $\bgamma=\gamma\otimes \bmu \in \bar{\calA}$ et
d\'efinissons maintenant le $\hd$-module de la s\'erie
principale $N(\bgamma)$ associ\'e. Si $\C v_\bgamma$ est le
$S(V_\C)\otimes\CU$-module de dimension $1$ d�fini par
$\bgamma$, on induit ce module � $\hd$:
$$
N(\bgamma) =\hd \otimes_{S(V_\C)\otimes\C U} \C v_\bgamma.
$$
Ce module admet pour base $\{t_w \otimes v_{\bgamma} : w \in
W_{A}\}$, ordonn\'ee comme pr\'ec\'edemment. Dans cette base
les �l�ments de $V_\C \bigoplus \CU$ admettent une matrice
triangulaire sup\'erieure et les poids de $N(\bgamma)$ sont
donc les $\twisted{w}{\bgamma}$, $w \in W_A\}$.  On notera
encore $\psi : \hd \to \End_\C N(\bgamma)$ la repr\'esentation
d\'efinie par $N(\bgamma)$.

L'\'etude des $\hd$-modules simples se ram\`ene \`a l'\'etude
des $\hd$-modules de la s\'erie principale car on montre de
m\^eme que pour $\H_B$:

\begin{Prop}
\label{prop43}
Soit $M$ un $\hd$-module simple et $\bgamma \in \bar{\calA}$ un
poids de $M$.  Alors $M$ est quotient de $N(\bgamma)$. En
particulier tout $\hd$-module simple est de dimension au plus
$|W_A|$.
\end{Prop}

Posons $\tgamma = \gamma \otimes \mu \in \calA$. Similairement
� ce qui a �t� fait pour $M(\tgamma)$ on peut d\'ecomposer
$N(\bgamma)$ en composantes isotypiques sous l'action de $U$.
Soient $w_1=\id,\dots,w_r$ des repr\'esentants des classes \`a
gauche de $W_A$ modulo $W_A(\bmu)$; posons
$$
F_j(\bgamma) = \bigoplus_{w \in W_A(\bmu)} \C t_{w_jw}
\otimes v_\bgamma.
$$
On a alors
$$
N(\bgamma) = \bigoplus_{j=1}^r F_j(\bgamma), \quad
F_j(\bgamma) = t_{w_j}. F_1(\bgamma),
$$
et le groupe $U$ op\`ere sur $F_j(\bgamma)$ par le
caract\`ere $\twisted{w_j}{\bmu}$. Observons aussi que les
$\twisted{w_j}{\bmu}$, $j=1,\dots,r$, forment une famille libre
dans le dual $(\CU)^*$ (de m\^eme que les $\twisted{w_j}{\mu}
\in (\CT)^*$ de la Remarque~\ref{rem7}).  Puisque les
\'el\'ements de $S(\VC)$ et $U$ commutent on obtient comme pour
$E_1(\tgamma)$ (voir Lemme~\ref{lem6}):

\begin{lem}
\label{lem43}
La restriction de $\psi$ \`a $\hd(\bmu)$ munit $F_1(\bgamma)$
d'une structure de $\hd(\bmu)$-module.
\end{lem}

Comme $\hd \subset \hb$, le $\hb$-module $M(\tgamma)$ est muni
par restriction d'une structure de $\hd$-module.


\begin{prop}
\label{prop44}
{\rm (1)} Le $\hd$-module $M(\tgamma)$ s'identifie \`a
$N(\bgamma)$ par $t_w \otimes v_\tgamma \mapsto t_w \otimes
v_\bgamma$.

\noindent {\rm (2)} Soit $w \in W_A$; les $\hd$-modules
$N(\bgamma)$ et $\twisted{w}{N(\bgamma)}$ sont isomorphes.

\noindent {\rm (3)}  Il existe un isomorphisme
$$
\twisted{\sigma}{\phi} : N(\twisted{\sigma}{\bgamma})
\longisomto N(\bgamma)
$$
tel que $\twisted{\sigma}{\phi}(t_g \otimes
v_{\twisted{\sigma}{\bgamma}}) = t_{g \sigma} \otimes
v_\bgamma$.

\noindent {\rm (4)} Le module $N(\bgamma)$ s'identifie � $\H_D
\otimes_{\H_B(\bmu)} F_1(\bgamma)$. Les applications $Y \to \hd
\otimes_{\hd(\bmu)} Y$ et $X \to X \cap F_1(\bgamma)$ sont des
bijections r�ciproques de $\calL_{\hd(\bmu)}(F_1(\bgamma))$ sur
$\calL_{\hd}(N(\bgamma))$.

\noindent {\rm (5)} Le $\hd$-module $N(\bgamma)$ est simple si
et seulement si le $\H_D(\bmu_i)$-module
$F_1(\twisted{\sigma}{\bgamma})$ l'est.
\end{prop}
 

\begin{dem}
  (1) De $M(\tgamma) = \bigoplus_{w \in W_A} t_w \otimes
  v_\tgamma$ on tire que $1\otimes v_\tgamma$ engendre
  $M(\tgamma)$ comme $\hd$-module. D'autre part $T$ op\'erant
  sur $1\otimes v_\tgamma$ via le caract\`ere $\mu$, le groupe
  $U$ agit sur cet \'el\'ement via $\bmu$. Donc $1\otimes
  v_\tgamma$ est de poids $\bgamma$ dans le $\hd$-module
  $M(\tgamma)$. La propri\'et\'e universelle de l'induction et
  le fait que $\dim M(\tgamma) = \dim N(\bgamma)$ assurent
  alors de l'existence d'un isomorphisme de $N(\bgamma)$ sur
  $M(\tgamma)$ tel que $t_w \otimes v_\bgamma \mapsto t_w
  \otimes t_\tgamma$ pour tout $w \in W_A$.

\noindent (2) Il suffit d'appliquer la
Proposition~\ref{prop61} en utilisant l'isomorphisme d\'ecrit
en~(1).

\noindent (3) r\'esulte de (1) et du Corollaire~\ref{cor5}. 

\noindent (4) La preuve est la m\^eme que celle de la
Proposition~\ref{prop12} en rempla\c{c}ant $\hb$ par $\hd$, $T$
par $U$, $W_A(\mu)$ par $W_A(\bmu)$ et en utilisant
l'ind\'ependance lin\'eaire des $\twisted{w_j}{\bmu}$,
$j=1,\dots,r$.

\noindent (5) d\'ecoule de (3) et (4). 
\end{dem}

Remarquons que $F_1(\bgamma) = \bigoplus_{w \in W_A(\bmu)} t_w
\otimes v_\bgamma$ est un $\overline{\H_D(\bmu)}$-module
contenant le sous-espace $\bigoplus_{w \in W_A(\mu)} \C \,t_w
\otimes v_\bgamma$. Ce dernier est un
$\overline{\hd(\mu)}$-module qui s'identifie
(cf.~Proposition~\ref{prop44}(1)) au sous-espace
$E_1(\tgamma)$.  Comme $\psi(\hd(\mu)) = \psi(\hb(\mu)) \subset
\End_\C E_1(\tgamma)$ (car ces alg\`ebres sont toutes deux
engendr\'ees par $\psi(V)$ et $\psi(W_A(\mu))$) on peut
indiff\'eremment consid\'erer $E_1(\tgamma)$ comme un
$\overline{\hd(\mu)}$ ou $\overline{\hb(\mu)}$-module.


%%%
\subsection{Crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e de $F_1(\bgamma)$}  
\label{sec4.4}
Le (5) de la Proposition~\ref{prop44} ram\`ene la question de
l'irr\'eductibilit\'e du module $N(\bgamma)$ \`a celle du
$\H_D(\bmu_i)$-module $F_1(\twisted{\sigma}{\bgamma})$ avec
$\twisted{\sigma}{\bgamma}= \twisted{\sigma}{\gamma} \otimes
\mu_i$.  On suppose donc dans ce paragraphe que $\bgamma =
\gamma \otimes \mu$ et $\tgamma = \gamma \otimes \bmu$ avec
$\mu = \mu_i$. Rappelons (Lemme~\ref{lem42}) qu'on a alors
$$
\overline{\hd(\mu)} \simeq \overline{\hb({\mu})} \simeq
\H_{\mathit{gr}}(\mu),
$$
o� $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$ est l'alg�bre de Hecke gradu�e
$\H_{\mathit{gr}}(2k,S_i)$, et que le $\hb(\mu)$-module
$E_1(\tgamma)$ s'identifie au $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module de
la s�rie principale $M(\gamma)$ (cf.~Lemme~\ref{lem9}).
%% 
\subsubsection{Le cas $W_A(\mu)=W_A(\bmu)$} 
\label{sec4.41}
On a ici $\hd(\bmu)=\hd(\bmu)$ et donc $F_1(\bgamma) =
E_1(\tgamma)$ comme $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module. Par
cons�quent:
\begin{equation}
\label{eq6}
\text{$F_1(\bgamma)$ simple $\iff$ $E_1(\tgamma)$ simple $\iff$
$M(\gamma)$ simple $\iff$ $\calP_i(\gamma) = \emptyset$.}
\end{equation}

%% 
\subsubsection{Le cas $W_A(\mu)\ne W_A(\bmu)$} 
\label{sec4.42}
Par le Lemme~\ref{lem42} on sait que: $n=2m$, $\mu = \mu_m$,
$W_A(\bmu) = W_A(\mu) \rtimes \langle w_0 \rangle$ o� $w_0$ est
le plus grand �l�ment de $W_A$. Le syst�me de racines $R_m$ est
de type $A_{m-1} \times A_{m-1}$ et a pour groupe de Weyl
$W_m=W(R_m) \simeq W_A(\mu)\simeq \mathfrak{S}_m \times
\mathfrak{S}_m$. On note $\varpi_0$ le plus grand �l�ment de
$W_m$; on a donc
$$
\varpi_0(\epsilon_j) = \epsilon_{m+1 - j}, \quad
\varpi_0(\epsilon_{m+j}) = \epsilon_{2m+1 - j}
$$
pour $j=1,\dots,m$. D�finissons une involution $\tau \in
\GL(V)$ par
$$
\tau(\epsilon_j) = \epsilon_{m+j}, \, \text{pour tout
  $j\in\{1,\dots, m\}$.}
$$
Comme $\tau(\alpha_{p,q}) = \alpha_{p+m,q+m}$ pour $1 \le p
< q \le m$, l'application $\tau$ permute les �l�ments de
$R_m^+$ et induit un automorphisme (ext�rieur), $w \mapsto
\tau(w)=\tau w \tau$, de $W_m$ qui v�rifie
$$
< \tau(\alpha)\spcheck, \tau(\xi) > = < \alpha\spcheck, \xi
>, \quad \tau(s_\alpha) = \tau s_\alpha \tau =
s_{\tau(\alpha)},
$$
pour tous $\alpha \in R_m$, $\xi \in V$. Remarquons aussi
que l'automorphisme $\omega_0: w \mapsto w_0 w w_0$ de $W_m$
s'�crit
$$
\omega_0 = \Int(\varpi_0) \circ \tau = \tau \circ
\Int(\varpi_0).
$$


\begin{Assertion}
\label{ass45}
{\rm (1)} L'automorphisme $\omega_0$ induit un automorphisme
involutif de $\H_{\mathit{gr}}(2k,S_m)=\H_{\mathit{gr}}(\mu)$
encore not� $\omega_0$ et donn� par
$$
\omega_0(\xi) = w_0(\xi) + 2k \sum_{\alpha \in R_m^+} <
\alpha\spcheck, w_0(\xi) > t_{s_\alpha}, \quad \omega_0(t_w)=
t_{\omega_0(w)},
$$
pour tous $\xi \in V$ et $w \in W_m$.

\noindent {\rm (2)} Le module $\twisted{\omega_0}{M(\gamma)}$
est isomorphe � $M(\twisted{\tau}{\gamma})$, o�
$\twisted{\tau}{\gamma} \in \VC^*$ est d�fini par
$\twisted{\tau}{\gamma}(\xi) = \gamma(\tau(\xi))$.
\end{Assertion}


\begin{dem}
  (1) Commen\c{c}ons par �tendre $\tau \in \GL(V)$ en un
  automorphisme involutif de $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$ en posant
  $\tau(t_w)= t_{\tau(w)}$ pour $w \in W_m$. Il suffit pour
  cela de v�rifier les relations de d�finition de
  $\H_{\mathit{gr}}(2k,S_m)$ sont respect\'ees, ce qui r�sulte
  d'un calcul facile.  Observons ensuite que $\Int(\varpi_0) :
  a \mapsto t_{\varpi_0}a t_{\varpi_0}$ est un automorphisme
  involutif de $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$ qui est donn� par
  $$
  \Int(\varpi_0)(\xi) = \varpi_0(\xi) + 2k \sum_{\alpha \in
    R_m^+} < \alpha\spcheck, \varpi_0(\xi) > t_{s_\alpha},
  \quad \Int(\varpi_0)(t_w)= t_{\varpi_0 w \varpi_0},
  $$
  pour tous $\xi \in V$ et $w \in W_m$ (voir le
  Lemme~\ref{lem1}). Il reste alors � remarquer que
  $$
  \Int(\varpi_0) \circ \tau = \tau \circ \Int(\varpi_0) \in
  \Aut(\H_{\mathit{gr}}(\mu))
  $$
  est l'automorphisme $\omega_0$ cherch�.

\noindent (2) La d�finition de $\twisted{\omega_0}{M(\gamma)}$
et l'�galit� $\omega_0 = \tau \circ \Int(\varpi_0)$ montrent
que ce module est isomorphe �
$\twisted{\varpi_0}{(\twisted{\tau}{M(\gamma)})}$. Si l'on
prouve que $\twisted{\tau}{M(\gamma)} \simeq
M(\twisted{\tau}{\gamma})$ la Proposition~\ref{prop62} donnera
alors l'isomorphisme voulu. Observons que $1 \otimes v_\gamma
\in \twisted{\tau}{M(\gamma)}$ v�rifie $\xi\centerdot 1 \otimes
v_\gamma = \twisted{\tau}{\gamma}(\xi).1 \otimes v_\gamma$ pour
$\xi \in \VC$ et est donc de poids $\twisted{\tau}{\gamma}$. Il
en d�coule l'existence d'un morphisme surjectif
$M(\twisted{\tau}{\gamma}) \sto \twisted{\tau}{M(\gamma)}$, qui
est un isomorphisme puisque ces deux modules sont de m�me
dimension.
\end{dem}

D�finissons deux sous-alg�bres de $\End_\C F_1(\bgamma)$ par
$$
\mbH(\bmu) = \psi(\hd(\bmu)) \supset \mbH(\mu) =
\psi(\hd(\mu)).
$$
L'isomorphisme $\H_{\mathit{gr}}(\mu) \isomto
\overline{\hd(\mu)}$ induit un morphisme surjectif d'alg�bres
$\psi : \H_{\mathit{gr}}(\mu)\sto \mbH(\mu)$ tel que $\xi
\mapsto \psi(\xi)$ et $t_w \mapsto \psi(t_w)$ pour $\xi \in V,
w \in W_A(\mu)$. Dans $\hd$ l'automorphisme $\Int(w_0)$ est
d�fini par $\Int(w_0)(t_w) = t_{w_0 w w_0}$ et, pour $\xi \in
V$,
$$
\Int(w_0)(\xi)=w_0(\xi) + \sum_{\alpha \in R_D^+} <
\alpha\spcheck, w_0(\xi) > t_{s_\alpha}\tk_{\alpha}.
$$
Remarquons que $\psi(\tk_{\alpha})_{\mid F_1(\bgamma)} = 0$
lorsque $\alpha \notin R_m$, car $\bmu(t_pt_{m+q}) = -1$ pour
$1 \le p,q \le m$, et $\psi(\tk_{\alpha})_{\mid F_1(\bgamma)} =
2k.\id_{F_1(\bgamma)}$ si $\alpha \in R_m$. Par cons�quent
$\Int(w_0)$ donne un automorphisme de $\mbH(\bmu)$, $\Int(w_0)
: a \mapsto \psi(t_{w_0})a \psi(t_{w_0})$ v�rifiant
$$
\Int(w_0)(\psi(\xi))=\psi(w_0(\xi)) + 2k \sum_{\alpha \in
  R_m^+} < \alpha\spcheck, w_0(\xi) > \psi(t_{s_\alpha}).
$$
Il d�coule alors de l'Assertion~\ref{ass45}(1) que $\psi :
\H_{\mathit{gr}}(\mu)\sto \mbH(\mu)$ est tel que
$$
\psi(\omega_0(a)) = \Int(w_0)(\psi(a)) \ \, \text{pour tout
  $a \in \H_{\mathit{gr}}(\mu)$}.
$$

Comme $F_1(\bgamma)$ est un $\mbH(\bmu)$-module, nous pouvons
le consid�rer comme un $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module gr�ce �
$\psi :\H_{\mathit{gr}}(\mu)\sto \mbH(\mu) \subset \mbH(\bmu)$.
Nous allons maintenant �tudier ce
$\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module.  Via l'identification de
$E_1(\tgamma)$ avec $\bigoplus_{w \in W_A(\mu)} \C t_w \otimes
v_\bgamma$ on a
$$
F_1(\bgamma) = E_1(\tgamma) \bigoplus t_{w_0}. E_1(\tgamma).
$$
Soit $a \in \H_{\mathit{gr}}(\mu)$ et $x \in E_1(\tgamma)$;
il vient $\psi(a).(t_{w_0}.x) = t_{w_0}.(\Int(w_0)(\psi(a)))$.
Ceci montre que $t_{w_0}. E_1(\tgamma)$ est un
$\mbH(\mu)$-module isomorphe au module tordu
$\twisted{\Int(w_0)}{E_1(\tgamma)}$. Compte tenu de ce qui
pr�c�de, ce dernier module, regard� comme
$\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module, est isomorphe �
$\twisted{\omega_0}{M(\gamma)}$. Par l'Assertion~\ref{ass45}(2)
on a ainsi prouv�:

\begin{Assertion}
\label{ass46}
Le $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module $F_1(\tgamma)$ est isomorphe
� $M(\gamma) \bigoplus M(\twisted{\tau}{\gamma})$.
\end{Assertion}


Lorsque $M(\gamma)$ est simple la nature du $\hd(\bmu)$-module
$F_1(\bgamma)$ r�sulte de l'assertion qui suit.


\begin{Assertion}
\label{ass47}
Supposons le $\H_{\mathit{gr}}(2k,S_m)$-module $M(\gamma)$
irr�ductible. Alors, le $\hd(\bmu)$-module $F_1(\bgamma)$ n'est
pas simple si et seulement si $M(\gamma) \simeq
M(\twisted{\tau}{\gamma})$.
\end{Assertion}


\begin{dem}
  Observons tout d'abord que l'hypoth�se et
  l'Assertion~\ref{ass46} assurent que $F_1(\bgamma)$ est un
  $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module semi-simple de longueur $2$,
  isomorphe � $M(\gamma) \bigoplus M(\twisted{\tau}{\gamma})$.
  
  Soit $V$ un sous-$\hd(\bmu)$-module de $F_1(\bgamma)$ non nul
  et diff�rent de $F_1(\bgamma)$. En tant que
  $\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module on a par cons�quent $\lg V =1$
  et l'on est dans l'un des deux cas suivants:
\begin{itemize}
\item $F_1(\bgamma)= V \bigoplus t_{w_0}.E_1(\tgamma)$ et donc
  $V \simeq M(\gamma)$;
\item $F_1(\bgamma)= V \bigoplus E_1(\tgamma)$ et donc $V
  \simeq M(\twisted{\tau}{\gamma})$.
\end{itemize}
Pla\c{c}ons nous dans le premier cas (le deuxi�me est
similaire). Puisque $t_{w_0}.F_1(\bgamma) = F_1(\bgamma)$ et
$t_{w_0}.V = V$ on obtient $F_1(\bgamma) = V \bigoplus
t_{w_0}.E_1(\tgamma)$ et donc $V \simeq t_{w_0}.E_1(\tgamma)
\simeq M(\twisted{\tau}{\gamma})$ comme
$\H_{\mathit{gr}}(\mu)$-module. D'o� $M(\gamma) \simeq
M(\twisted{\tau}{\gamma})$.

R�ciproquement supposons $M(\gamma) \simeq
M(\twisted{\tau}{\gamma})$. On a donc $E_1(\tgamma) \simeq
\twisted{\Int(w_0)}{E_1(\tgamma)}$, simple comme
$\mbH(\mu)$-module. Fixons un isomorphisme $f : E_1(\tgamma)
\isomto \twisted{\Int(w_0)}{E_1(\tgamma)}$. On peut it�rer $f$
dans le $\C$-espace vectoriel $E_1(\tgamma)$; il vient, pour $a
\in \mbH(\mu)$ et $x \in E_1(\tgamma)$:
$$
f(a\centerdot x) = f(\Int(w_0)(a).x) =
\Int(w_0)(a)\centerdot f(x) = \Int(w_0)^2(a).f(x)=a.f(x).
$$
Donc $f : \twisted{\Int(w_0)}{E_1(\tgamma)} \to
E_1(\tgamma)$ est $\mbH(\mu)$-lin�aire et il en d�coule que
$f^2$ est un automorphisme de $E_1(\tgamma)$. Par le lemme de
Schur $f^2 = \lambda.\id$ pour un $\lambda \in \C^*$. Soit $z
\in \C^*$ tel que $z^2 = \lambda$; quitte � remplacer $f$ par
$\frac{1}{z} f$ on peut ainsi supposer que $f^2 = \id$.
D�finissons maintenant
$$
V = \{ x + t_{w_0}.f(x) : x \in E_1(\tgamma)\}.
$$
Soit $x \in E_1(\tgamma)$. Pour $a \in \mbH(\mu)$ il vient
$a.(x + t_{w_0}.f(x)) = a.x + t_{w_0}\Int(w_0)(a).f(x) = a.x +
t_{w_0} f(a.x) \in V$. De plus $t_{w_0}.(x + t_{w_0}.f(x)) =
t_{w_0}.x + f(x) = t_{w_0}.f^2(x) + f(x) \in V$. Donc $V$ est
un sous-$\hd(\bmu)$-module de $F_1(\bgamma)$. Comme
l'application $x + t_{w_0}.f(x) \mapsto x$ de $V$ sur
$E_1(\tgamma)$ est un isomorphisme de $\mbH(\mu)$-modules, $V$
est un sous-module propre de $F_1(\bgamma)$.
\end{dem}


%%%
\subsection{Crit\`ere d'irr\'eductibilit\'e de $N(\bgamma)$}  
\label{sec4.5}
On retourne au cas g�n�ral: $\bgamma = \gamma \otimes \bmu \in
\bar{\calA}$, $\tgamma = \gamma \otimes \bmu \in \calA$. On a
fix� $\sigma \in W_A$ comme au \S~\ref{sec3.1} tel que
$\twisted{\sigma}{\tgamma} = \twisted{\sigma}{\gamma} \otimes
\twisted{\sigma}{\mu}$ avec $\twisted{\sigma}{\mu} = \mu_i$
pour un $i \in \{1,\dots,n\}$.  Rappelons que $R_i$ est le
syt�me de racines de type $A_{i-1} \times A_{n-i-1}$ associ�,
de groupe de Weyl $W_i = W(R_i) \simeq \mathfrak{S}_i \times
\mathfrak{S}_{n-i}$.  On sait alors que la condition
$\calP_i(\twisted{\sigma}{\gamma}) = \{\alpha \in R_i^+ :
\gamma(\sigma(\alpha)) = \pm 2k \} = \emptyset$ est n�cessaire
et suffisante pour que $M(\tgamma)$ soit irr�ductible, ou
encore que le $\H_{\mathit{gr}}(2k,S_i)$-module
$M(\twisted{\sigma}{\gamma})$ soit irr�ductible,
cf.~Th�or�me~\ref{thm13}. Lorsque $n=2m$ on a not� $\tau \in
\GL(\VC)$ l'involution telle que $\tau(\epsilon_j) =
\epsilon_{m+j}$, $\tau(\epsilon_{m+j}) =\epsilon_j$ pour tout
$j\in\{1,\dots, m\}$.

Le th�or�me suivant donne un crit�re d'irr�ductibilit� pour
$N(\bgamma)$.


\begin{Theoreme}
\label{thm48}
Avec les notations pr�c�dentes:
\begin{enumerate}
\item[{\rm (a)}] si $W_A(\mu) = W_A(\bmu)$,
  $$
  N(\bgamma) \ \text{simple} \ \iff \ 
  \calP_i(\twisted{\sigma}{\gamma})=\emptyset;
  $$
\item[{\rm (b)}] si $W_A(\mu) \neq W_A(\bmu)$, alors $n=2m$,
  $i=m$, et
  $$
  N(\bgamma) \ \text{simple} \ \iff \ 
  \{\text{$\calP_m(\twisted{\sigma}{\gamma})=\emptyset$ et
    $\twisted{\tau}{\gamma} \notin
    W_m.\twisted{\sigma}{\gamma}$}\}.
  $$
\end{enumerate}
\end{Theoreme}

 
\begin{dem}
  Comme nous l'avons vu au \S~\ref{sec4.4}, l'irr�ductibilit�
  de $N(\bgamma)$ est �quivalente � celle du
  $\hd(\bmu_i)$-module $F_1(\twisted{\sigma}{\bgamma})$.
  
  (a) r�sulte trivialement de~(\ref{eq6}).
  
  (b) Supposons $N(\bgamma)$ simple. Le fait que $M(\tgamma) =
  N(\bgamma)$ comme $\hd$-module force la simplicit� de
  $M(\tgamma)$ comme $\hb$-module,
  i.e.~$M(\twisted{\sigma}{\gamma})$ est un
  $\H_{\mathit{gr}}(2k,S_m)$-module simple. Par
  l'Assertion~\ref{ass47} on obtient que
  $M(\twisted{\sigma}{\gamma})$ n'est pas isomorphe �
  $M(\twisted{\tau}{\gamma})$; la Remarque~\ref{rem63} assure
  alors que $\twisted{\tau}{\gamma} \notin
  W_m.\twisted{\sigma}{\gamma}$.
  
  La r�ciproque est similaire: si $M(\twisted{\sigma}{\gamma})$
  est simple et $\twisted{\tau}{\gamma} \notin
  W_m.\twisted{\sigma}{\gamma}$, la Remarque~\ref{rem63} et
  l'Assertion~\ref{ass47} montrent que
  $F_1(\twisted{\sigma}{\bgamma})$ est irr�ductible.
\end{dem}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



} %% fin du fran�ais
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\refname}{R\'ef\'erences}

\begin{thebibliography}{99}
  
  {\selectlanguage{english}
    
  \bibitem{BEG} Y.~Berest, P.~Etingof and V.~Ginzburg, {\em
      Finite dimensional representations of rational Cherednik
      algebras}, Int. Math. Res. Notices, {\bf 19} (2003),
    1053-1088.
 
  \bibitem{TL} C.~Dez{\'e}l{\'e}e, {\em Repr{\'e}sentations de
      dimension finie de l'alg{\`e}bre de Cherednik
      rationnelle}, Bull. S.M.F., \`a para\^{\i}tre (2003).
  
  \bibitem{EG} P.~Etingof and V.~Ginzburg, {\em Symplectic
      reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed
      Harish-Chandra homomorphism}, Invent. Math., {\bf 147}
    (2002), 243-348.
 
  \bibitem{Ka} S.~Kakei, {\em Intertwining operators for a
      degenerate double affine Hecke algebra and multivariable
      orthogonal polynomials}, J.~Math. Phys., {vol.~39}
    (1998), 4993-5006.
 
   
  \bibitem{KR} C.~Kriloff and A.~Ram, {\em Representations of
      graded Hecke algebra}, Representation Theory, {\bf 6}
    (2002), 31-69.
  
  
  \bibitem{Lu} G.~Lusztig, {\em Affine Hecke algebras and their
      graded versions}, J.~Amer. Soc., {\bf 2} (1989), 599-635.
 
    
  \bibitem{Op2} E.~Opdam, {\em Harmonic analysis for certain
      representations of graded Hecke algebras}, Acta Math.,
    {\bf 175} (1995), 75-121.  }

\end{thebibliography}



\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


math0304484.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}
  
  {\selectlanguage{english}
    
  \bibitem{BEG} Y.~Berest, P.~Etingof and V.~Ginzburg, {\em
      Finite dimensional representations of rational Cherednik
      algebras}, Int. Math. Res. Notices, {\bf 19} (2003),
    1053-1088.
 
  \bibitem{TL} C.~Dez{\'e}l{\'e}e, {\em Repr{\'e}sentations de
      dimension finie de l'alg{\`e}bre de Cherednik
      rationnelle}, Bull. S.M.F., \`a para\^{\i}tre (2003).
  
  \bibitem{EG} P.~Etingof and V.~Ginzburg, {\em Symplectic
      reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed
      Harish-Chandra homomorphism}, Invent. Math., {\bf 147}
    (2002), 243-348.
 
  \bibitem{Ka} S.~Kakei, {\em Intertwining operators for a
      degenerate double affine Hecke algebra and multivariable
      orthogonal polynomials}, J.~Math. Phys., {vol.~39}
    (1998), 4993-5006.
 
   
  \bibitem{KR} C.~Kriloff and A.~Ram, {\em Representations of
      graded Hecke algebra}, Representation Theory, {\bf 6}
    (2002), 31-69.
  
  
  \bibitem{Lu} G.~Lusztig, {\em Affine Hecke algebras and their
      graded versions}, J.~Amer. Soc., {\bf 2} (1989), 599-635.
 
    
  \bibitem{Op2} E.~Opdam, {\em Harmonic analysis for certain
      representations of graded Hecke algebras}, Acta Math.,
    {\bf 175} (1995), 75-121.  }

\end{thebibliography}