Invariants de classes : le cas semi-stable
Jean Gillibert
Nous construisons ici un analogue, pour un sch�ma en groupes semi-stable dont la fibre g�n�rique est une vari�t� ab�lienne, du {\em class-invariant homomorphism} (introduit par M. J. Taylor dans le cadre des sch�mas ab�liens), et nous en donnons une description g�om�trique. Puis nous g�n�ralisons un r�sultat de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau de cet homomorphisme dans le cas d'une courbe elliptique. \medskip \noindent {\sc Abstract.} We define here an analogue, for a semi-stable group scheme whose generic fiber is an abelian variety, of M. J. Taylor's class-invariant homomorphism (defined for abelian schemes), and we give a geometric description of it. Then we extend a result of Taylor, Srivastav, Agboola and Pappas concerning the kernel of this homomorphism in the case of an elliptic curve.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\title{Invariants de classes : le cas semi-stable}

\author{Jean Gillibert}

\email{jean.gillibert@math.unicaen.fr}

\address{Universit� de Caen\\
Laboratoire de Math�matiques Nicolas Oresme (CNRS umr 6139)\\
BP 5186, 14032 CAEN cedex, FRANCE.}

\date{13 Janvier 2004}

%\classification{11Gxx, 11Rxx, 14Kxx}

%\keywords{Torseurs, fibr�s en droites, courbes elliptiques, dualit�}

\begin{abstract}
Nous construisons ici un analogue, pour un sch�ma en groupes semi-stable dont la fibre g�n�rique est une vari�t� ab�lienne, du {\em class-invariant homomorphism} (introduit par M. J. Taylor dans le cadre des sch�mas ab�liens), et nous en donnons une description g�om�trique. Puis nous g�n�ralisons un r�sultat de Taylor, Srivastav, Agboola et Pappas concernant le noyau de cet homomorphisme dans le cas d'une courbe elliptique.

\medskip

\noindent {\sc Abstract.} We define here an analogue, for a semi-stable group scheme whose generic fiber is an abelian variety, of M. J. Taylor's class-invariant homomorphism (defined for abelian schemes), and we give a geometric description of it. Then we extend a result of Taylor, Srivastav, Agboola and Pappas concerning the kernel of this homomorphism in the case of an elliptic curve.
\end{abstract}

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Introduction}

Soit $S$ un sch�ma, et soit $G\rightarrow S$ un $S$-sch�ma en groupes commutatif, fini et plat. Soit $G^D$ le dual de Cartier de $G$. Nous disposons d'un homomorphisme 
\[
\begin{CD}
\pi:H^1(S,G^D) @>>> \pic(G)\\
\end{CD}
\]
explicit� en premier par Waterhouse (voir \cite{w}, Theorem $5$). Supposons que $S=Spec(R)$ soit affine. Alors on peut �crire $G=Spec(H)$, o� $H$ est une $R$-alg�bre de Hopf, et $G^D=Spec(H^*)$, o� $H^*$ est l'alg�bre duale de $H$. Si $X=Spec(C)$ est un $G^D$-torseur, alors $C$ est un $H^*$-comodule, donc un $H$-module. L'image de $X$ par $\pi$ est alors donn�e par la classe de $C\otimes_H (H^*)^{-1}$ dans le groupe $\pic(H)=\pic(G)$.

Nous nous int�ressons ici � un moyen de construction de $G^D$-torseurs dont l'image par $\pi$ est triviale, c'est-�-dire de torseurs dont la structure galoisienne est triviale.

Plus pr�cis�ment, supposons que $S$ soit un sch�ma noeth�rien, excellent, int�gre, normal, de point g�n�rique $\eta$. Soient $A$ et $A'$ deux $S$-sch�mas en groupes semi-stables, dont l'un des deux est � fibres connexes, et tels que $A_{\eta}$ et $A_{\eta}'$ soient deux vari�t�s ab�liennes duales l'une de l'autre. Supposons que $G$ soit un sous-groupe de $A$. On construit alors des $G^D$-torseurs gr�ce � la th�orie de Kummer, puis on en d�duit un homomorphisme
\[
\begin{CD}
\psi:A'(S) @>>> H^1(S,G^D) @>>> \pic(G)\,.\\
\end{CD}
\]
Le r�sultat principal de cet article est le suivant :

\begin{thm}
\label{jg}
Supposons que $A_{\eta}$ soit une courbe elliptique, et que l'ordre de $G$ soit premier � $6$. Alors $A'(S)_{\rm Tors}$ est contenu dans $\ker\psi$.
\end{thm}

Dans le cas particulier o� $A$ est un $S$-sch�ma ab�lien de dimension 1 ({\em i.e.} une $S$-courbe elliptique), et o� $G=A[m]$ (sous-groupe des points de $m$-torsion de $A$), ce r�sultat �tait d�ja connu. D'abord montr� par Srivastav et Taylor dans \cite{st} pour une courbe elliptique � multiplication complexe sur un corps de nombres (en prenant $m$ �gal � une puissance d'un nombre premier $\ell>3$), puis m�me sans l'hypoth�se de multiplication complexe par Agboola dans \cite{a2}, il a �t� finalement prouv� par Pappas dans \cite{p1} (pour un sch�ma ab�lien de dimension 1 sur une base quelconque).

Dans le cas o� $S$ est le spectre de l'anneau des entiers d'un corps de nombres $K$, le th�or�me \ref{jg} admet une interpr�tation arithm�tique. Plus pr�cis�ment, il implique que les anneaux d'entiers de certaines extensions de $K$, engendr�es par des valeurs de fonctions elliptiques, sont libres en tant que modules sur l'alg�bre de Hopf de $G$. Le lecteur trouvera dans \cite{cnt} de plus amples d�tails sur cette question, qui constitue la motivation initiale pour l'�tude de ce probl�me.

Dans le cas o� $A$ est une $S$-courbe elliptique et o� l'ordre de $G$ est une puissance de $2$, Cassou-Nogu�s et Jehanne ont donn� dans \cite{cnj} des exemples de non-annulation de $\psi$ sur les points de torsion. De plus, pour tout nombre premier $\ell$, Pappas a construit dans \cite{p1} une courbe affine lisse $S$ sur un corps fini et un $S$-sch�ma ab�lien $A$ de dimension $2$, tels que, si l'on pose $G=A[\ell]$, alors l'homomorphisme $\psi$ correspondant ne s'annule pas sur au moins un point de $\ell$-torsion.

Cependant la question reste ouverte pour un sch�ma ab�lien de dimension $\geq 2$ sur le spectre de l'anneau des entiers d'un corps de nombres. Nous nous contentons de signaler que $\psi$ s'annule toujours sur les points de torsion d'ordre premier � celui de $G$, quelle que soit la dimension de $A_{\eta}$ (voir la proposition \ref{oo}).

Le premier objectif de notre travail est la construction de $\psi$. Pour cela, nous avons d� adopter une approche diff�rente de celle des auteurs pr�c�dents. Nous sommes amen�s � utiliser (dans la section 2) une th�orie de la dualit� pour les sch�mas semi-stables qui s'�nonce de la fa�on suivante : supposons � nouveau que $G\subseteq A$ soit un sous-groupe fini et plat de $A$ (pour des exemples, voir le paragraphe \ref{explicit}), et consid�rons la suite exacte
\[
\begin{CD}
0 @>>> G @>>> A @>\phi>> A/G @>>> 0\\
\end{CD}
\]
de faisceaux pour la topologie fppf sur $S$. En travaillant dans le petit site fppf des $S$-sch�mas plats (cf. paragraphe \ref{faisceaux}), nous v�rifions l'exactitude de la suite
\[
\begin{CD}
0 @>>> G^D @>>> \Ext_S(A/G,\gm) @>\phi^*>> \Ext_S(A,\gm) @>>> 0\,.\\
\end{CD}
\]
Quand on restreint tous ces faisceaux � l'ouvert de bonne r�duction de $A$, on retrouve un couple d'isog�nies duales entre sch�mas ab�liens.

Par application du foncteur des sections globales, on d�duit de la suite pr�c�dente un morphisme cobord $\delta:\ext(A,\gm)\rightarrow H^1(S,G^D)$. On d�finit alors $\psi$ comme le compos� des morphismes
\[
\begin{CD}
A'(S) @>\gamma>> \ext(A,\gm) @>\delta>> H^1(S,G^D) @>\pi>> \pic(G)\,,\\
\end{CD}
\]
la fl�che $\gamma$ �tant donn�e par une biextension (voir le paragraphe \ref{bibi}). Si $A$ est un sch�ma ab�lien, et si $G=A[m]$, alors $A'$ est le sch�ma ab�lien dual de $A$, et $\psi$ est le {\em class-invariant homomorphism} de \cite{p1} (g�n�ralisant lui-m�me celui de Taylor \cite{t2}). Cette approche nous permet �galement, � travers quelques d�vissages, de donner une preuve diff�rente de la << description g�om�trique >> de $\psi$, g�n�ralisant celle de \cite{p1} (ce r�sultat appara�t en premier dans \cite{a1} dans le cas d'un sch�ma ab�lien sur le spectre de l'anneau des entiers d'un corps de nombres). Les pr�c�dents auteurs s'appuyaient sur des descriptions explicites de fibr�s en droites sur les vari�t�s ab�liennes, tandis que notre construction permet de se ramener � l'�tude de $\delta$. Ceci fait l'objet de la section 3.

Enfin, le but de la section 4 est de pr�senter une preuve du th�or�me \ref{jg}, que nous obtenons par des arguments analogues � ceux de Pappas \cite{p1}. Nous donnons ensuite deux applications de ce r�sultat.

\medskip

\noindent {\sc Remerciements}

Je tiens � remercier ici Laurent Moret-Bailly pour sa relecture du manuscrit et ses conseils. Je remercie �galement le Referee, dont les nombreuses suggestions m'ont permis d'am�liorer et de clarifier l'exposition. Enfin je remercie vivement John Boxall pour son encadrement, ainsi que
Philippe Cassou-Nogu�s et Martin Taylor qui m'ont soutenu au cours de ce travail.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Extension de l'isog�nie duale}

Rappelons les notations qui seront en vigueur tout au long de cet article : $S$ est un sch�ma noeth�rien, excellent, int�gre, normal, de point g�n�rique $\eta=Spec(K)$. Nous noterons $\gm$ le groupe multiplicatif sur $S$.

\begin{dfn}
\label{ssneron}
On dit qu'un $S$-sch�ma en groupes est semi-stable s'il est commutatif, lisse, s�par�, et si les composantes neutres de ses fibres sont extensions de vari�t�s ab�liennes par des tores.

On dit qu'un $S$-sch�ma en groupes semi-stable $\A$ est n�ronien s'il v�rifie la propri�t� universelle suivante : pour tout $S$-sch�ma lisse $Y$ et tout morphisme $\alpha_K:Y_{\eta}\rightarrow \A_{\eta}$, il existe un unique morphisme $\alpha:Y\rightarrow \A$ prolongeant $\alpha_K$.
\end{dfn}

On fixe une fois pour toutes un $S$-sch�ma en groupes semi-stable $A$ dont la fibre g�n�rique $A_{\eta}$ est une vari�t� ab�lienne. On notera $U\subseteq S$ l'ouvert de bonne r�duction de $A$, de sorte que $A_U$ est un $U$-sch�ma ab�lien.

\subsection{Faisceaux sur le << petit site fppf >>}
\label{faisceaux}
Soit $j:U\rightarrow S$ l'inclusion. On munit la cat�gorie des sch�mas plats sur $S$ (resp. sur $U$) d'une structure de site pour la topologie fppf (on obtient ce qu'on appelle un << petit site fppf >>, la cat�gorie sous-jacente �tant la cat�gorie des $S$-sch�mas plats). Le choix de ce petit site nous permettra de d�montrer le lemme \ref{null}.

Soit $j^*$ le foncteur << image inverse >>, qui � un faisceau sur $S$ associe sa restriction � l'ouvert $U$. Comme $j:U\rightarrow S$ est un objet du petit site fppf sur $S$, $j^*$ est un << foncteur de localisation >> (voir \cite{gro4}, expos� IV, paragraphes 5.1 � 5.4). En particulier, l'image par $j^*$ d'un faisceau repr�sentable (disons par un $S$-sch�ma plat $X$) est repr�sent� par le $U$-sch�ma $X_U:=X\times_S U$.

D'autre part, si $F_1$ et $F_2$ sont deux faisceaux ab�liens sur $S$, la fl�che canonique
$$j^*(\Hom_S(F_1,F_2))\rightarrow \Hom_U(j^*F_1,j^*F_2)$$
est un isomorphisme (voir \cite{gro4}, expos� IV, prop. 12.3, b), p. 502). De plus, $j^*$ est exact et admet un adjoint � gauche $j_{!}$ exact. Par suite, $j^*$ envoie les injectifs sur des injectifs (voir \cite{gro4}, expos� V, paragraphe 2.2). Nous d�rivons alors des deux c�t�s de la fl�che et obtenons un isomorphisme $j^*(\Ext_S(F_1,F_2))\simeq \Ext_U(j^*F_1,j^*F_2)$. En particulier, soit $X$ un $S$-sch�ma en groupes plat tel que $X_U$ soit un $U$-sch�ma ab�lien, alors nous obtenons un isomorphisme
\begin{equation}
\label{iminv}
j^*(\Ext_S(X,\gm))\simeq X_U^t
\end{equation}
o� $X_U^t=\underline\pic_{X_U/U}^0$ est le sch�ma ab�lien dual de $X_U$ (voir \cite{fc}, chap. I, \S\/1). On se sert ici du fait que $\Ext_U(X_U,\gm)$ est isomorphe � $X_U^t$ (voir \cite{gro7}, expos� VII, 2.9.5 et 2.9.6).

\begin{rmq}
Soit $H$ un $S$-sch�ma en groupes commutatif affine, plat et localement de type fini (donc localement de pr�sentation finie, $S$ �tant noeth�rien). Alors les $H$-torseurs pour la topologie fpqc sont repr�sentables. Un argument de descente fid�lement plate (voir \cite{ega4}, prop. 2.7.1) montre que les $H$-torseurs fpqc sont des torseurs fppf, d'o� l'�galit� $H^1_{\rm fpqc}(S,H)=H^1_{\rm fppf}(S,H)$. Un raisonnement analogue montre que, si $H'$ est un autre $S$-sch�ma en groupes commutatif, alors $\ext_{\rm fpqc}(H',H)=\ext_{\rm fppf}(H',H)$.
\end{rmq}

\subsection{Isog�nies duales}
\label{isodu}
Soit $G_{\eta}$ un sous-groupe alg�brique fini de $A_{\eta}$, et soit $B_{\eta}$ la vari�t� ab�lienne quotient $A_{\eta}/G_{\eta}$, nous obtenons une isog�nie $A_{\eta}\rightarrow B_{\eta}$ dont le noyau est �gal � $G_{\eta}$. Alors le noyau de l'isog�nie duale $B_{\eta}^t\rightarrow A_{\eta}^t$ s'identifie au dual de Cartier $G_{\eta}^D$ de $G_{\eta}$.

Ce r�sultat, classique sur un corps, s'�tend au cas des sch�mas ab�liens, pour lesquels on dispose d'une notion de sch�ma dual (voir \cite{fc}, chap. I, \S\/1).

On fixe � pr�sent un sous-$S$-sch�ma en groupes fini et plat $G$ de $A$. Nous noterons $B$ le faisceau quotient $A/G$ pour la topologie fppf sur $S$.

\begin{rmq}
\label{dimsun}
Si $S$ est de dimension $\leq 1$, alors $B$ est repr�sentable par un $S$-sch�ma en groupes, �galement semi-stable (voir \cite{anan}, chap. IV, th�or�me 4.C).
\end{rmq}

Nous avons (par d�finition) une suite exacte
\[
\begin{CD}
0 @>>> G @>>> A @>\phi>> B @>>> 0\\
\end{CD}
\]
de faisceaux ab�liens (sur le petit site fppf de $S$), prolongeant la suite exacte
\[
\begin{CD}
0 @>>> G_U @>>> A_U @>\phi_U>> j^*B @>>> 0\\
\end{CD}
\]
dans laquelle $A_U$ est un $U$-sch�ma ab�lien. On en d�duit que $j^*B$ est le quotient  $A_U/G_U$, donc est repr�sentable par un $U$-sch�ma ab�lien, que nous noterons $B_U$.

Nous obtenons alors, en appliquant le foncteur $\Hom_S(-,\gm)$ � la premi�re suite, une (longue) suite exacte de cohomologie
\begin{align*}
\Hom_S(A,\gm) \rightarrow \Hom_S(G,\gm) \rightarrow \Ext_S(B,\gm) \rightarrow \Ext_S(A,\gm) \rightarrow \Ext_S(G,\gm)
\end{align*}
dont les termes sont des faisceaux ab�liens sur $S$.

D'autre part, $G$ �tant fini et plat sur $S$, le faisceau $\Hom_S(G,\gm)$ est repr�sentable par $G^D$ (le dual de Cartier de $G$). Pour les m�mes raisons, le faisceau $\Ext_S(G,\gm)$ est nul (voir \cite{gro7}, expos� VIII, 3.3.1). Enfin nous avons le lemme qui suit :

\begin{lem}
\label{null}
Soit $X$ un $S$-sch�ma en groupes plat, dont la fibre g�n�rique $X_K$ est une vari�t� ab�lienne. Alors $\Hom_S(X,\gm)$ est nul.
\end{lem}

\begin{proof}
Nous devons montrer, pour tout sch�ma $S'\rightarrow S$ plat, la trivialit�
du groupe $\Homs_{S'-gr}(X_{S'},\gmss)$. Pour
cela, il suffit de se limiter au cas o� $S$ et $S$' sont affines. Soient donc
$S=Spec(R)$ et $S'=Spec(R')$ o� $R'$ est une $R$-alg�bre plate. Cette hypoth�se de
platitude permet d'affirmer que
$\mathcal{O}_{X_{S'}}(X_{S'})= \mathcal{O}_X(X)\otimes_R R'$. On en d�duit que
$\mathcal{O}_{X_{S'}}(X_{S'})$ est $R'$-plat, sachant que
$\mathcal{O}_X(X)$ est $R$-plat. D'autre part, soit
$K'=R'\otimes_R K$, alors $K'$ est une $K$-alg�bre, et la fl�che $R'\rightarrow K'$ est injective
par $R$-platitude de $R'$. Finalement, on trouve que la fl�che
$$\mathcal{O}_{X_{S'}}(X_{S'})\rightarrow
\mathcal{O}_{X_{S'}}(X_{S'})\otimes_{R'} K'=
\mathcal{O}_{X_{K'}}(X_{K'})$$
est un morphisme injectif d'anneaux. Sa restriction $\mathcal{O}_{X_{S'}}(X_{S'})^{\times}\rightarrow
\mathcal{O}_{X_{K'}}(X_{K'})^{\times}$ est donc injective. En d'autres termes, l'application
$$\Homs_{S'}(X_{S'},\gmss)\rightarrow \Homs_{K'}(X_{K'},\gmkk)$$
obtenue par changement de base $Spec(K')\rightarrow S'$, est
injective. On en d�duit que l'application
$\Homs_{S'-gr}(X_{S'},\gmss)\rightarrow \Homs_{K'-gr}(X_{K'},\gmkk)$
est �galement injective, en ne consid�rant que les morphismes de groupes.

Montrons � pr�sent la trivialit� de $\Homs_{K'-gr}(X_{K'},\gmkk)$. Soit $f:X_{K'}\rightarrow \gmkk$ un morphisme de $K'$-sch�mas en
groupes, $f$ est enti�rement d�termin� par la donn�e du morphisme de
$K'$-alg�bres de Hopf
$f^{\sharp}:K'[x,x^{-1}]\rightarrow
\mathcal{O}_{X_{K'}}(X_{K'})$. D'autre part,
$\mathcal{O}_{X_{K'}}(X_{K'})\simeq
\mathcal{O}_{X_{K}}(X_{K})\otimes_K K'$ et
$\mathcal{O}_{X_{K}}(X_{K})\simeq K$ (car $X_K$ est propre et
g�om�triquement int�gre), donc
$\mathcal{O}_{X_{K'}}(X_{K'})\simeq K'$ en tant que $K'$-alg�bres de
Hopf. La counit� �tant l'unique morphisme de $K'$-alg�bres de Hopf
$K'[x,x^{-1}]\rightarrow K'$, ceci
prouve que $f^{\sharp}$ se factorise par la counit�. Au final, $f$ est
le morphisme trivial. 
\end{proof}

En appliquant le lemme \ref{null} au sch�ma $A$, nous obtenons une suite exacte
\begin{equation}
\label{exsq}
\begin{CD}
0 @>>> G^D @>>> \Ext_S(B,\gm) @>\phi^*>> \Ext_S(A,\gm) @>>> 0\,.\\
\end{CD}
\end{equation}
D'apr�s ce qui pr�c�de (voir (\ref{iminv})), son image par le foncteur $j^*$ est la suite
\[
\begin{CD}
0 @>>> G_U^D @>>> B_U^t @>\phi_U^t>> A_U^t @>>> 0\,.\\
\end{CD}
\]
Cette derni�re admet donc un << prolongement >> sur $S$ en termes de faisceaux.

\subsection{Liens avec la th�orie des biextensions}
\label{bibi}
Soit $A_{\eta}^t$ la vari�t� ab�lienne duale de $A_{\eta}$, et soit $A'$ un $S$-sch�ma en groupes semi-stable prolongeant $A_{\eta}^t$. On sait qu'il existe un unique tel prolongement � fibres connexes (voir \cite{mb}, chap. IV, th. 7.1 (i)).

L'ouvert de bonne r�duction de $A'$ est le m�me que celui de $A$, donc $(A')_U$ co�ncide avec le sch�ma ab�lien dual $A_U^t$ de $A_U$.

Nous voudrions �tablir une dualit� entre $A$ et $A'$ prolongeant celle qui existe d�j� sur les fibres g�n�riques. On sait que la dualit� entre $A_{\eta}$ et $A_{\eta}^t$ d�coule de l'existence d'un fibr� en droites $\mathcal{P}_{\eta}$ sur $A_{\eta}\times_K A_{\eta}^t$, que l'on appelle fibr� de Poincar�. Cependant nous allons envisager ici la dualit� dans un cadre plus g�n�ral � l'aide de la notion de biextension, imagin�e par Mumford dans \cite{mu}. Nous introduisons bri�vement ici cet outil. Pour les d�tails nous renvoyons le lecteur � l'expos� de Grothendieck (\cite{gro7}, expos� VII). Mentionnons �galement Milne (\cite{mil}, Appendix C).

\begin{dfn}
Soient $P$ et $Q$ deux $S$-sch�mas en groupes commutatifs. On peut consid�rer sur $P\times_S Q$, en plus de sa structure naturelle de $S$-sch�ma en groupes, sa structure de $P$-sch�ma en groupes et celle de $Q$-sch�ma en groupes. Ces deux sch�mas en groupes seront not�s respectivement $Q_P$ et $P_Q$.
Une {\em biextension} de $(P,Q)$ par $\gm$ est un $\gm$-torseur $Y$ sur $P\times_S Q$, muni de lois de composition partielles, qui fassent du $P$-sch�ma $Y_P$ une extension de $Q_P$ par $\mathbf{G}_{{\rm m},P}$, et du $Q$-sch�ma $Y_Q$ une extension de $P_Q$ par $\mathbf{G}_{{\rm m},Q}$. En outre, nous demandons que ces deux structures d'extensions soient compatibles en un certain sens (voir \cite{gro7}, expos� VII, \S\/2 ou \cite{mil}, Appendix C).
\end{dfn}

On note $\Biext(P,Q;\gm)$ la cat�gorie des biextensions de $(P,Q)$ par $\gm$.
Soit $Y$ une telle biextension, alors $Y$ d�finit un morphisme de groupes
$$Q(S)\longrightarrow \ext(P,\gm)$$
que nous explicitons : soit $f:S\rightarrow Q$ une section de $Q$, alors $({\rm id}_P \times f)^*(Y)$ est une biextension de $(P,e)$ par $\gm$ (o� $e$ est le $S$-groupe trivial), c'est-�-dire une extension de $P$ par $\gm$.

D'autre part, on note $\biext(P,Q;\gm)$ le groupe constitu� par l'ensemble des classes d'isomorphie de biextensions de $(P,Q)$ par $\gm$. On dispose d'un homomorphisme de groupes
$$t:\biext(P,Q;\gm)\rightarrow \pic(P\times_S Q)$$
qui � toute biextension associe son $\gm$-torseur sous-jacent. On constate que $t$ est une transformation naturelle entre (bi)foncteurs.

Retournons � notre question de dualit�. Gr�ce au th�or�me du carr�, on peut munir le fibr� de Poincar� $\mathcal{P}_{\eta}$ d'une unique structure de biextension, que l'on appelle la biextension de Weil, et que l'on note $W_{\eta}$. Le probl�me se reformule alors de la fa�on suivante : peut-on prolonger la biextension $W_{\eta}\in \Biext(A_{\eta}, A_{\eta}^t; \gmk)$ en une biextension qui vive dans $\Biext(A,A'; \gm)$ ? Toujours d'apr�s Grothendieck, il existe une obstruction � ce prolongement (voir \cite{gro7}, expos� VIII, th�or�me 7.1, b)), qui s'incarne sous la forme d'un accouplement (dit de monodromie) entre les groupes de composantes de $A$ et $A'$. Si $A$ ou $A'$ est � fibres connexes, cette obstruction dispara�t :

\begin{prop}
\label{wo}
Supposons que $A$ ou $A'$ soit � fibres connexes. Alors il existe une unique biextension $W$ de $(A,A')$ par $\gm$ prolongeant la biextension de Weil $W_{\eta}$ sur $(A_{\eta},A_{\eta}^t)$.
\end{prop}

\begin{proof}
Consid�rons le foncteur de restriction � la fibre g�n�rique
$$\Biext(A,A'; \gm)\longrightarrow \Biext(A_{\eta}, A_{\eta}^t; \gmk)\,.$$
D'apr�s (\cite{mb}, chap. II, th. 3.6), ce foncteur est une �quivalence de cat�gories. On en d�duit le r�sultat voulu.
\end{proof}

Nous supposons � partir d'ici, et dans toute la suite de ce travail, que $A$ ou $A'$ est � fibres connexes. Nous noterons $W$ la biextension dont l'existence est assur�e par la proposition \ref{wo} ainsi que $\gamma:A'(S)\rightarrow \ext(A,\gm)$ le morphisme d�fini par $W$.

\begin{rmq}
\label{gamma}
Dans le cas o� $A$ est un sch�ma ab�lien, alors $A'$ est le dual de $A$ et $\gamma$ est un isomorphisme. Dans le cas g�n�ral, consid�rons le diagramme commutatif suivant :
\[
\begin{CD}
A'(S) @>\gamma>> \ext(A,\gm) \\
@VVV @VVV \\
A_{\eta}^t(K) @>>> \ext(A_{\eta},\gmk)\,. \\
\end{CD}
\]
D'apr�s (\cite{gro7}, expos� VIII, th�or�me 7.1 et remarque 7.2), la fl�che de droite est injective. Il est clair que la fl�che de gauche est injective (car $A'$ est s�par� sur $S$) et que celle du bas est bijective. Ainsi $\gamma$ est toujours injective. Si de plus $A$ est � fibres connexes et $A'$ est n�ronien (d�f. \ref{ssneron}), alors les fl�ches verticales sont bijectives (celle de gauche d'apr�s la propri�t� universelle de N�ron, celle de droite d'apr�s {\em loc. cit.}), donc $\gamma$ est un isomorphisme.
\end{rmq}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{L'homomorphisme $\psi$ et sa g�om�trie}

Reprenons les notations et hypoth�ses du d�but de la section 2. En appliquant � la suite exacte (\ref{exsq}) le foncteur des sections sur $S$, nous obtenons une suite exacte de cohomologie
\[
\begin{CD}
\cdots @>>> \Ext_S(A,\gm)(S) @>\delta>> H^1(S,G^D) @>>> \cdots\\
\end{CD}
\]
Ce cobord $\delta$ va jouer un r�le essentiel dans la d�finition de notre homomorphisme. Tout d'abord, il convient de mieux conna�tre les objets en jeu, ce qui va nous permettre de donner une autre description (dite << g�om�trique >>) de $\pi\circ\delta$.

\subsection{Description du cobord}
Commen�ons par �noncer un lemme de comparaison entre Ext locaux et globaux.

\begin{lem}
\label{ext}
Soit $X$ un $S$-sch�ma en groupes plat, dont la fibre g�n�rique $X_K$ est une vari�t� ab�lienne. Alors le faisceau $\Ext_S(X,\gm)$ est canoniquement isomorphe au faisceau
$T\mapsto\ext(X_T,\gmt)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Soient $F$ et $F'$ deux faisceaux ab�liens sur $S$. Nous avons alors une suite exacte de groupes ab�liens, d�duite de la suite spectrale locale-globale pour les Ext (voir \cite{gro4}, expos� V, proposition 6.3, 3))
\begin{align*}
H^1(S,\Hom_S(F,F')) \rightarrow \ext(F,F') \rightarrow \Ext_S(F,F')(S) \rightarrow H^2(S,\Hom_S(F,F'))\,.
\end{align*}
En particulier, si $\Hom_S(F,F')$ est nul, alors $\Ext_S(F,F')(S)\simeq\ext(F,F')$. Par suite, le raisonnement �tant encore valable apr�s changement de base plat $T\rightarrow S$, on trouve que $\Ext_S(F,F')(T)\simeq \ext(F|_T,F'|_T)$ fonctoriellement en $T$. Enfin le lemme $\ref{null}$ nous permet d'appliquer ce raisonnement � la situation pr�sente. 
\end{proof}

L'application $\delta$ peut �tre explicit�e : soit $\Gamma\in \ext(A,\gm)$. Alors on peut associer � $\Gamma$, via l'isomorphisme $\ext(A,\gm)\simeq \Ext_S(A,\gm)(S)$, un �l�ment de $H^1(S,G^D)$, que nous noterons $\delta(\Gamma)$ par abus de langage. Le lemme \ref{ext} permet de d�crire $\delta(\Gamma)$ comme �tant le faisceau
$$[\phi^*]^{-1}(\Gamma):T\longmapsto \{\Theta\in \ext(B_T,\gmt)\;|\;\phi^*\Theta=\Gamma_T\}\,.$$
En r�sum�, on peut caract�riser $\delta(\Gamma)$ comme �tant le faisceau des extensions $\Theta$ de $B$ par $\gm$ telles que $\phi^*\Theta=\Gamma$, ce qui justifie l'�criture $\delta(\Gamma)=[\phi^*]^{-1}(\Gamma)$.

\subsection{L'homomorphisme de Waterhouse}
Nous rappelons ici une construction, due � Waterhouse (voir \cite{w}, section 2), qui permet d'associer � toute extension $\Omega$ de $G$ par $\gm$ un $G^D$-torseur.
Consid�rons la suite exacte
\[
\begin{CD}
0 @>>> \gm @>>> \Omega @>>> G @>>> 0\,.\\
\end{CD}
\]
Elle donne lieu, par application du foncteur $\Hom_S(G,-)$, � une suite exacte
\[
\begin{CD}
0 @>>> G^D @>>> \Hom_S(G,\Omega) @>>> \Hom_S(G,G) @>>> 0\\
\end{CD}
\]
(rappelons que $\Ext_S(G,\gm)=0$ d'apr�s \cite{gro7}, expos� VIII, 3.3.1). Par application du foncteur des sections, on obtient un morphisme $\underline\delta:\Homs(G,G)\rightarrow H^1(S,G^D)$. On note alors $\rho(\Omega)$ le $G^D$-torseur $\underline\delta({\rm id})$. Autrement dit, $\rho(\Omega)$ est le faisceau des sections $s:G\rightarrow \Omega$, au sens de la th�orie des extensions. On d�finit ainsi un morphisme $\rho:\ext(G,\gm)\rightarrow H^1(S,G^D)$, et Waterhouse a montr� que $\rho$ est un isomorphisme (voir \cite{w}, Theorem $2'$). Ainsi, en composant les morphismes suivants (o� $l$ est le morphisme naturel)
\[
\begin{CD}
H^1(S,G^D) @>\rho^{-1}>> \ext(G,\gm) @>l>> \pic(G) \\
\end{CD}
\]
on obtient l'homomorphisme $\pi$ de Waterhouse, qui admet une interpr�tation galoisienne, comme nous l'avons pr�cis� dans l'introduction.

\begin{lem}
\label{diagref}
Soit $i:G\rightarrow A$ l'inclusion. Alors le diagramme suivant :
\[
\begin{CD}
\pic(A) @<<< \ext(A,\gm) @>\delta>> H^1(S,G^D)\\
@VVV @Vi^*VV @| \\
\pic(G) @<l<< \ext(G,\gm) @>\rho>> H^1(S,G^D) \\
\end{CD}
\]
est commutatif.
\end{lem}

\begin{proof}
La commutativit� du carr� de gauche est claire par fonctorialit�. Soit $\Gamma$ dans $\ext(A,\gm)$, on veut montrer que les torseurs $\delta(\Gamma)$ et $\rho(i^*\Gamma)$ sont isomorphes. D'apr�s ce qui pr�c�de (lemme \ref{ext}), on peut transposer le probl�me dans la cat�gorie des groupes ab�liens. Dans ce cadre, il est bien connu qu'�tant donn�s un groupe $\breve{\rm Z}$, une suite exacte (de groupes ab�liens)
\[
\begin{CD}
0 @>>> \breve{\rm G} @>i>> \breve{\rm A} @>\phi>> \breve{\rm B} @>>> 0\,,\\
\end{CD}
\]
et une extension $\Gamma$ de $\breve{\rm A}$ par $\breve{\rm Z}$, alors il y a bijection entre les sections de $i^*\Gamma$ et les extensions $\Theta$ de $\breve{\rm B}$ par $\breve{\rm Z}$ telles que $\phi^*\Theta=\Gamma$. Le r�sultat d�coule alors des descriptions de $\delta$ et de $\rho$ que nous avons donn�es pr�c�demment.
\end{proof}

\subsection{D�finition de l'homomorphisme}
\label{defpsi}
Nous sommes maintenant en mesure de g�n�raliser la construction de Taylor. Reprenons les notations et hypoth�ses introduites dans le paragraphe \ref{bibi}.

On d�duit du lemme \ref{diagref} le diagramme commutatif suivant :
\[
\begin{CD}
A'(S) @>\gamma>> \ext(A,\gm) @>\delta>> H^1(S,G^D) \\
@. @Vl^1 VV @VV\pi V \\
@. \pic(A) @>>> \pic(G) \\
\end{CD}
\]
et on d�finit $\psi:A'(S)\rightarrow\pic(G)$ comme �tant le compos� de ces morphismes. Dans le cas o� $A$ est un $S$-sch�ma ab�lien, alors $A'$ est le sch�ma ab�lien dual de $A$, la fl�che $\gamma$ est un isomorphisme, et on retrouve le {\em class-invariant homomorphism}, dont la premi�re construction est due � M. J. Taylor (voir \cite{t2}).

\begin{rmq}
\label{geom}
Notons $\mathcal{D}:A'(S)\rightarrow\pic(A)$ la compos�e $l^1\circ\gamma$. Alors le diagramme pr�c�dent montre que, pour tout $p\in A'(S)$, $\psi(p)$ est la restriction de $\mathcal{D}(p)$ � $G$. Ceci g�n�ralise la << description g�om�trique >> de $\psi$ (obtenue par Agboola \cite{a1} dans le cas o� $A$ est un sch�ma ab�lien).

Nous pouvons donner une autre �criture de $\psi$ : soit $p\in A'(S)$, alors on a l'�galit�
$$\mathcal{D}(p)=l^1(({\rm id}_A\times p)^*(W))=({\rm id}_A\times p)^*(t(W))\,.$$
On en d�duit que $\psi(p)=(i\times p)^*(t(W))$, o� $i:G\rightarrow A$ est l'inclusion.
\end{rmq}

\begin{prop}
\label{oo}
Soit $\ord(G)$ l'ordre de $G$. Alors $\ord(G).\psi=0$. En particulier, $\psi$ s'annule sur les points de torsion d'ordre premier � $\ord(G)$.
\end{prop}

\begin{proof}
Le groupe $G$ �tant fini et plat, la multiplication par l'entier $\ord(G)$ est l'application nulle dans $G$, donc est �galement l'application nulle dans le groupe $\ext(G,\gm)$. Or $\psi$ se factorise � travers ce dernier, d'o� le r�sultat.
\end{proof}

\begin{rmq}
\label{imp}
Soit $p\in A'(S)$ un point de $m$-torsion. On peut �crire $m=nN$ o� $N$ est premier � $\ord(G)$, et l'ensemble des facteurs premiers de $n$ est un sous-ensemble de l'ensemble des facteurs premiers de $\ord(G)$. Alors $Np$ est un point de $n$-torsion, et il d�coule de la proposition \ref{oo} que la nullit� de $\psi(Np)$ implique celle de $\psi(p)$.

Quitte � changer $n$ en un multiple, dont les facteurs premiers sont ceux de $G$, on peut supposer que $G$ est un sous-groupe de $A[n]$. Sachant que $Np$ se factorise � travers $A'[n]$, on peut alors �crire (cf. la remarque \ref{geom})
$$\psi(Np)=(i\times Np)^*(t(W)|_{A[n]\times_S A'[n]})\,.$$
Ainsi, pour montrer que $\psi(p)$ est nul, il suffit de montrer que la restriction de $t(W)$ � $A[n]\times_S A'[n]$ est triviale.
\end{rmq}

\subsection{Constructions d'exemples}
\label{explicit}
Pour engendrer un exemple, on doit trouver un sous-$S$-sch�ma en groupes fini et plat $G$ de $A$. Une id�e naturelle est de regarder ce qui arrive si les points de $N$-torsion de $A_{\eta}$ sont rationnels sur $K$. Fixons une cl�ture alg�brique $\overline{K}$ de $K$. Nous avons le r�sultat suivant (voir \cite{mb}, chap. IV, cor. 8.2) :

\begin{prop}
\label{moret}
Soient $N$ un entier naturel, $F_1$ le corps $K(A_{\eta}(\overline{K})[N])$, et $v:S_1\rightarrow S$ le normalis� de $S$ dans $F_1$. Alors $S_1$ est int�gre normal, et $v$ est fini surjectif de rang divisant le cardinal de $\mathbf{GL}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$, o� $g$ est la dimension de $A_{\eta}$. En outre, il existe un $S_1$-sch�ma en groupes semi-stable $A_1^{\sharp}$, contenant $A_1:=A\times_S S_1$ comme sous-groupe ouvert et ayant m�me fibre g�n�rique que lui, tel que le noyau de la multiplication par $N$ dans $A_1^{\sharp}$ soit fini et plat sur $S_1$. Le groupe $A_1^{\sharp}(S_1)[N]$ est isomorphe � $A_{\eta}(\overline{K})[N]$.
\end{prop}

Notre �nonc� diff�re l�g�rement de celui de \cite{mb} ; les d�tails que nous avons rajout�s d�coulent naturellement de la d�monstration de ce dernier. Remarquons �galement que l'hypoth�se d'excellence de $S$ est utilis�e dans ladite d�monstration. Pour notre part, c'est le seul endroit o� nous en ferons usage.

De fa�on analogue, tout point de torsion pris dans $A(S)$ engendre un sous-groupe fini et plat de $A$, comme l'affirme la proposition suivante :

\begin{prop}
\label{satge}
Soit $x\in A(S)$ un point d'ordre fini $m$. Alors $x$ d�finit un morphisme $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})_S\rightarrow A$ dont l'image est un sous-sch�ma en groupes fini et plat de $A$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit $f:(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})_S\rightarrow A$ un morphisme. Alors l'image de $f$ est un sous-groupe quasi-fini et plat de $A$. De plus, d'apr�s \cite{ega2}, corollaire 5.4.3 (ii), l'image de $f$ est propre (car $A$ est s�par� sur $S$, et $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})_S$ est propre sur $S$), donc l'image de $f$ est finie d'apr�s le Main Theorem de Zariski (quasi-fini et propre impliquent fini).
\end{proof}

Pour les courbes elliptiques, nous avons le crit�re suivant (voir \cite{maz1}, prop. 9.1) :

\begin{prop}
\label{mazur}
Supposons que $K$ soit un corps de nombres, et que $S=Spec(\mathcal{O}_K)$ soit le spectre de l'anneau des entiers de $K$. Soit $E\rightarrow S$ le mod�le de N�ron d'une courbe elliptique � r�duction semi-stable d�finie sur $K$, de discriminant minimal $(\Delta)$, et soit $N$ un nombre premier. Alors le groupe $E[N]$ est fini et plat sur $S$ si et seulement si, pour toute place $\mathfrak{p}$ de $K$, $v_{\mathfrak{p}}(\Delta)$ est un multiple de $N$.
\end{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Cas des courbes elliptiques}

Dans cette section, nous donnons plusieurs applications de notre construction, dans lesquelles les vari�t�s ab�liennes en jeu sont des courbes elliptiques semi-stables.

\subsection{Torseurs rigidifi�s}
\label{rigidifications}
Soit $f:X\rightarrow S$ un $S$-sch�ma en groupes. Soit $0_X$ la section unit� de $X$, et soit $\mathcal{L}$ un $\gm$-torseur sur $X$. Une {\em rigidification} de $\mathcal{L}$ est la donn�e d'une section du $\gm$-torseur $0_X^*\mathcal{L}$ sur $S$. On note $\Torsrig(X,\gm)$ la cat�gorie des $\gm$-torseurs rigidifi�s sur $X$. C'est une cat�gorie de Picard strictement commutative (au sens de \cite{gro4}, expos� XVIII, 1.4.2), la loi �tant le produit tensoriel. On note $\pic_r(X)$ le groupe des classes d'isomorphie d'objets de $\Torsrig(X,\gm)$.

Si $\mathcal{N}$ est un $\gm$-torseur sur $X$, on note
$$\mathbf{r}(\mathcal{N}):=\mathcal{N}\otimes (f^*0^*\mathcal{N})^{-1}$$
le $\gm$-torseur rigidifi� associ� � $\mathcal{N}$ (muni de sa rigidification naturelle).

Soient $g:Y\rightarrow S$ un autre $S$-sch�ma en groupes, $0_Y$ la section unit� de $Y$, et $\mathcal{L}$ un $\gm$-torseur sur $X\times_S Y$. Une {\em birigidification} de $\mathcal{L}$ est la donn�e de deux sections : une pour le torseur $(0_X\times {\rm id}_Y)^*\mathcal{L}$ sur $Y$ et une autre pour le torseur $({\rm id}_X\times 0_Y)^*\mathcal{L}$ sur $X$, qui soient compatibles entre elles (c'est-�-dire qui induisent la m�me section pour le torseur $(0_X\times 0_Y)^*\mathcal{L}$ sur $S$). On note $\Torsb(X,Y;\gm)$ la cat�gorie des $\gm$-torseurs birigidifi�s sur $X\times Y$.

Si $\mathcal{N}$ est un $\gm$-torseur sur $X\times_S Y$, on note
$$\mathbf{bir}(\mathcal{N}):=\mathcal{N}\otimes(((0_X\circ f)\times {\rm id}_Y)^*\mathcal{N})^{-1}
\otimes(({\rm id}_X\times (0_Y\circ g))^*\mathcal{N})^{-1}\otimes (f\times g)^*(0_X\times 0_Y)^*\mathcal{N}$$
le $\gm$-torseur birigidifi� associ� � $\mathcal{N}$ (muni de sa birigidification naturelle).

\subsection{D�monstration du th�or�me \ref{jg}}
D'apr�s la remarque \ref{imp}, pour montrer le th�or�me \ref{jg}, il suffit de montrer le th�or�me suivant :

\begin{thm}
\label{ppal}
Supposons que $A_{\eta}$ soit une courbe elliptique, et soit $n$ un entier premier � $6$. Alors le $\gm$-torseur $t(W)|_{A[n]\times_S A'[n]}\in \pic(A[n]\times_S A'[n])$ est trivial.
\end{thm}

Pour d�montrer ce r�sultat, nous allons utiliser une m�thode analogue � celle de Pappas dans \cite{p1}.

\begin{lem}
\label{lemme1}
Le $\gm$-torseur $(t(W)|_{A[n]\times_S A'[n]})^{\otimes n}$ est trivial.
\end{lem}

\begin{proof}
Il suffit de montrer que le groupe $\biext(A[n],A'[n];\gm)$ est tu� par $n$. D'apr�s (\cite{gro7}, expos� VIII, 1.1.2), on a un isomorphisme canonique :
$$\biext(A[n],A'[n];\gm)\simeq\ext(A[n],\mathbf{R}\Hom(A'[n],\gm))\,.$$
Par suite, la multiplication par $n$ �tant nulle dans $A[n]$, elle est �galement nulle dans le groupe $\biext(A[n],A'[n];\gm)$. Ce qu'on voulait.
\end{proof}

\begin{lem}
\label{lemme2}
Pour d�montrer le th�or�me \ref{ppal}, on peut supposer que $A'$ est � fibres connexes, et que le groupe $A(S)[6]$ est isomorphe � $A_{\eta}(\overline{K})[6]$, o� $\overline{K}$ d�signe une cl�ture alg�brique de $K$.
\end{lem}

\begin{proof}
Quitte � remplacer $W$ par sa biextension sym�trique $W^s$, on peut supposer que $A'$ est � fibres connexes. Appliquons la proposition \ref{moret} au sch�ma $A$ en prenant $N=6$. Alors $v:S_1\rightarrow S$ est de rang $k$ divisant $2^53^2$ et il existe un $S_1$-sch�ma en groupes semi-stable $A_1^{\sharp}$, contenant $A_1:=A\times_S S_1$ comme sous-groupe ouvert et ayant m�me fibre g�n�rique que lui, tel que $A_1^{\sharp}(S_1)[6]$ soit isomorphe � $A_{\eta}(\overline{K})[6]$. Soit $A'_1=A'\times_S S_1$, alors $A'_1$ est � fibres connexes. On note $W_1^{\sharp}\in \biext(A_1^{\sharp},A'_1;\gm)$ l'unique biextension dont l'existence est �nonc�e dans la proposition \ref{wo}. Alors la restriction de $W_1^{\sharp}$ � $(A_1, A'_1)$ est �gale � $W_1:=W\times_S S_1$, par unicit� du prolongement.

Pour simplifier, on pose $X:=A[n]\times_S A'[n]$, donc $X\times_S S_1=A_1[n]\times_{S_1} A'_1[n]$.
D'apr�s ce qui pr�c�de, il suffit de montrer que la trivialit� du $\gm$-torseur
$$t(W_1^{\sharp})|_{X\times_S S_1}=t(W_1)|_{X\times_S S_1}= (t(W)|_X)_{S_1}$$
implique la trivialit� du $\gm$-torseur $t(W)|_{X}$.


Le sch�ma $S$ �tant normal, il existe un gros ouvert $V$ de $S$ tel que $S_1\rightarrow S$ soit plat au-dessus de $V$. Nous adoptons ici la terminologie de (\cite{mb}, chap. II, d�f. 3.1) : un gros ouvert $V$ de $S$ est un ouvert tel que, pour tout $x\in S\backslash V$, l'anneau local $\mathcal{O}_{S,x}$ soit de profondeur $\geq 2$. Soit $V_1:=S_1\times_S V$, alors $V_1\rightarrow V$ est fini localement libre de rang $k$.

Comme $X$ est un $S$-sch�ma plat, $X_V$ est un gros ouvert de $X$. Par suite, la fl�che $\pic(X)\rightarrow \pic(X_V)$ est injective, d'apr�s \cite{ega4}, 21.13.3 et 21.13.4. Nous avons alors un diagramme commutatif
$$
\begin{CD}
\pic(X)[n] @>>> \pic(X\times_S S_1) \\
@VVV @VVV \\
\pic(X_V)[n] @>>> \pic(X_V\times_V V_1) \\
\end{CD}
$$
o� la fl�che de gauche est injective. En se servant de la norme associ�e au morphisme $X_V\times_V V_1\rightarrow X_V$ qui est fini localement libre de rang $k$, ainsi que du fait que $k$ divise $2^53^2$, donc est premier � $n$, on montre que le fl�che du bas est injective. On en d�duit que la fl�che du haut est injective. Or, d'apr�s le lemme \ref{lemme1}, $t(W)|_X$ est annul� par $n$. On en d�duit le r�sultat voulu.
\end{proof}

\begin{ntt}
Soit $X$ un $S$-sch�ma. Pour tout sous-sch�ma ferm� $z:Z\subseteq X$ on note $I(Z)$ le faisceau d'id�aux d�finissant $Z$. Lorsque $I(Z)$ est inversible on note $I^{-1}(Z)$ son inverse. De plus, si $p:S\rightarrow X$ est un $S$-point de $X$, on note $\{p\}$ l'image de $p$ dans $X$, qui est sous-sch�ma ferm� de $X$. Enfin, si $X$ est un $S$-sch�ma en groupes commutatif, on note $Z+p$ l'image du morphisme
$$
\begin{CD}
Z\times_S S @>z\times p>> X\times_S X @>+>> X
\end{CD}
$$
o� $+$ d�signe la loi de $X$. On v�rifie que $Z+p$ est un sous-sch�ma ferm� de $X$.
\end{ntt}

\begin{lem}
\label{lemme3}
Soit $E$ un $S$-sch�ma en groupes semi-stable dont la fibre g�n�rique $E_{\eta}$ est une courbe elliptique, et soit $\ez$ la composante neutre de $E$. On pose $A=E$ et $A'=\ez$, alors les hypoth�ses du paragraphe \ref{bibi} sont satisfaites, par auto-dualit� de $E_{\eta}$.

D'autre part, soit $\Delta$ la diagonale de $E\times_S E$, et soit $(q_1,q_2)\in E(S)^2$. On note $\Pc(q_1,q_2)$ le $\gm$-torseur birigidifi� sur $E\times_S E$ d�fini par
$$
\Pc(q_1,q_2)=\mathbf{bir}\left(I^{-1}(\Delta+(q_1,q_2))\otimes I(E\times\{q_2\})\otimes I(\{q_1\}\times E)\right)\,.
$$
Alors la biextension $W$ sur $(E,\ez)$ satisfait : $t(W)=\Pc(q_1,q_2)|_{E\times_S \ez}$.
\end{lem}

\begin{proof}
D'apr�s la th�orie classique des courbes elliptiques, le fibr� de Poincar� $\mathcal{P}_{\eta}=t(W_{\eta})$ sur $E_{\eta}\times_K E_{\eta}$ s'�crit
$$t(W_{\eta})=I^{-1}(\Delta_{\eta})\otimes I(E_{\eta}\times\{0\})\otimes I(\{0\}\times E_{\eta})$$
o� $\Delta_{\eta}$ est la diagonale de $E_{\eta}\times_K E_{\eta}$. De plus, nous avons l'�galit�
$$
\Pc(q_1,q_2)_{\eta}=\mathbf{bir}\left(I^{-1}(\Delta_{\eta}+(q_1,q_2))\otimes I(E_{\eta}\times\{q_2\})\otimes I(\{q_1\}\times E_{\eta})\right)=\mathcal{P}_{\eta}\,.
$$
Il en r�sulte que $\Pc(q_1,q_2)$ est un $\gm$-torseur birigidifi� sur $E\times_S E$ qui prolonge $t(W_{\eta})$. D'autre part le foncteur
$$\Biext(E,\ez;\gm)\longrightarrow \Torsb(E,\ez;\gm)$$
de la cat�gorie des biextensions de $(E,\ez)$ par $\gm$ dans la cat�gorie des $\gm$-torseurs birigidifi�s sur $E\times_S \ez$, est pleinement fid�le (voir \cite{gro7}, expos� VIII, prop. 7.4, b)). De plus, $\ez$ est � fibres connexes, et $S$ est int�gre normal, donc ({\em loc. cit.}) un objet $Z$ du second membre appartient � l'image (essentielle) du foncteur si et seulement si $Z_{\eta}$ provient d'une biextension de $(E_{\eta},E_{\eta})$ par $\gm$.

Soit $\Pc(q_1,q_2)|_{E\times_S\ez}\in\Torsb(E,\ez;\gm)$ la restriction de $\Pc(q_1,q_2)$ � $E\times_S\ez$. D'apr�s ce qui pr�c�de, $\Pc(q_1,q_2)|_{E\times_S\ez}$ provient d'une biextension de $(E,\ez)$ par $\gm$, laquelle prolonge $W_{\eta}$, donc est �gale � $W$ en vertu de la proposition \ref{wo}. Au final, $t(W)$ est �gal � $\Pc(q_1,q_2)|_{E\times_S\ez}$ en tant que $\gm$-torseur birigidifi� sur $E\times_S\ez$.
\end{proof}

\begin{proof}[D�monstration du th�or�me \ref{ppal}]
On suppose ici que $A_{\eta}$ est une courbe elliptique, et l'on note $A=E$ pour le confort du lecteur. D'apr�s le lemme \ref{lemme2}, on peut supposer que $A'$ est � fibres connexes. Par auto-dualit� des courbes elliptiques, la fibre g�n�rique de $A'$ est isomorphe � $E_{\eta}$. Or il existe (au plus) un unique prolongement de $E_{\eta}$ en un $S$-sch�ma en groupes semi-stable � fibres connexes. Par suite, $A'$ est isomorphe � la composante neutre $\ez$ de $E$. On retrouve la situation du lemme \ref{lemme3}.

D'apr�s le lemme \ref{lemme3}, pour montrer le th�or�me \ref{ppal}, il suffit de trouver $(q_1,q_2)\in E(S)^2$ tel que la restriction de $\Pc(q_1,q_2)$ � $E[n]\times_S E[n]$ soit triviale. D'apr�s le lemme \ref{lemme2}, on peut supposer que $E(S)[6]$ est isomorphe � $E_{\eta}(\overline{K})[6]$.

Supposons que la caract�ristique de $K$ soit premi�re � $6$. Alors $E_{\eta}(\overline{K})[6]$ est isomorphe � $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^2$. On peut donc choisir deux points $q_1$ et $q_2$ d'ordre $6$ dans $E(S)$ tels que $q_1-q_2$ soit d'ordre $6$.

Montrons, en raisonnant fibre par fibre, que $\{q_1\}\times E$ est disjoint de $E[n]\times_S E[n]$. Soit $x$ un point de $S$, de corps r�siduel $k(x)$ ; alors l'application de r�duction $E(S)\rightarrow E(k(x))$ est injective sur les points d'ordre premier � la caract�ristique de $k(x)$. Ainsi, $q_1$ peut se r�duire selon les cas en un point d'ordre $2$, $3$ ou $6$. L'entier $n$ �tant premier � $6$, on en d�duit que $\{q_1\}$ ne rencontre pas $E[n]$, d'o� le r�sultat.

Un raisonnement analogue montre que $\Delta+(q_1,q_2)$ et $E\times\{q_2\}$ sont �galements disjoints du sous-sch�ma $E[n]\times_S E[n]$. On en d�duit aussi�t que la restriction de $\Pc(q_1,q_2)$ � $E[n]\times_S E[n]$ est triviale.

Supposons que la caract�ristique de $K$ soit �gale � $2$. Alors $E_{\eta}(\overline{K})[3]$ est isomorphe � $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$. On peut donc choisir deux points $q_1$ et $q_2$ d'ordre $3$ dans $E(S)$ tels que $q_1-q_2$ soit d'ordre $3$. En outre, $S$ �tant int�gre, les caract�ristiques r�siduelles des points de $S$ sont toutes �gales � $2$, donc l'argument utilis� pr�c�demment permet de montrer que la restriction de $\Pc(q_1,q_2)$ � $E[n]\times_S E[n]$ est triviale.

Enfin, si la caract�ristique de $K$ est �gale � $3$, on effectue un raisonnement analogue en consid�rant les points d'ordre $2$.
\end{proof}

\begin{rmq}
Dans les hypoth�ses du paragraphe \ref{bibi}, $A$ ou $A'$ est � fibres connexes. Si l'on se contente de supposer que les groupes de composantes de $A$ et $A'$ sont orthogonaux sous l'accouplement de monodromie, alors $W_{\eta}$ admet � nouveau un (unique) prolongement en une biextension $W$ de $(A,A')$ par $\gm$. Nous ignorons si le th�or�me \ref{ppal} est encore vrai dans ce cadre plus g�n�ral. Signalons simplement que le lemme \ref{lemme3} ne se g�n�ralise pas si l'on supprime l'hypoth�se de connexit�.
\end{rmq}

\subsection{Un exemple elliptique}
Donnons un exemple d'application du th�or�me \ref{jg}. Supposons que $K$ soit un corps de nombres, que $S$ soit le spectre de l'anneau des entiers de $K$, et que $A=E$ soit le mod�le de N�ron sur $S$ de la courbe elliptique $E_{\eta}:=X_0(11)$ (not�e A1(B) par Cremona \cite{cr}) d�finie sur $K$ par l'�quation
$$y^2+y=x^3-x^2-10x-20\,.$$
Le discriminant de cette courbe est $-11^5$, et $E$ est un $S$-sch�ma en groupes semi-stable. Dans le cas pr�sent, on constate (voir \cite{maz1}, p. 258) que $\ez$ contient un sous-groupe isomorphe � $\boldsymbol{\mu}_{5/S}$.
Soit � pr�sent
$$\psi:E(S)\rightarrow \pic(\boldsymbol{\mu}_{5/S})$$
l'homomorphisme de classes correspondant � $G=\boldsymbol{\mu}_{5/S}\subseteq \ez$ et $A'=E$. Le th�or�me \ref{jg} affirme que $\psi$ s'annule sur les points de torsion.

Du point de vue de la structure galoisienne, ce r�sultat peut s'interpr�ter de la fa�on suivante : � tout point $p\in E(S)_{\rm Tors}$ nous avons associ� un $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})_S$-torseur qui a une structure galoisienne triviale. En fait, si $p$ est d'ordre premier � $5$, le torseur associ� est lui-m�me trivial. Les exemples int�ressants sont donc fournis par des points $p$ d'ordre une puissance de $5$ : on pourra prendre $K=\mathbb{Q}(E_{\eta}[5^n])$ avec $n\geq 1$ dans cet exemple.

D'autre part, la proposition \ref{satge} permet de construire d'autres exemples de sous-groupes de $\ez$, lesquels engendrent � leur tour d'autres torseurs.

\subsection{Dualit�}
Nous allons donner une interpr�tation de notre r�sultat en termes de fibr�s en droites. Tout d'abord, on note $\pic_r^0(A_{\eta})$ le sous-groupe de $\pic_r(A_{\eta})$ constitu� par les classes des torseurs qui sont alg�briquement �quivalents � $0$.

D'autre part, on note $\pic_r^0(A)$ l'image r�ciproque de $\pic_r^0(A_{\eta})$ par le morphisme de restriction � la fibre g�n�rique $\mathcal{R}:\pic_r(A)\rightarrow\pic_r(A_{\eta})$.

La th�orie habituelle de la dualit� pour les vari�t�s ab�liennes affirme que l'application
\begin{equation}
\label{fld}
\begin{split}
A_{\eta}^t(K)\;\longrightarrow & \;\pic_r^0(A_{\eta})\\
(p:Spec(K)\rightarrow A_{\eta}^t)\;\longmapsto & \;({\rm id}_{A_{\eta}}\times p)^*(\mathcal{P}_{\eta})\\
\end{split}
\end{equation}
est un isomorphisme de groupes.

Nous allons voir que, sous certaines hypoth�ses, la biextension $W$ permet d'�tablir une dualit� du m�me type entre $A$ et $A'$.

\begin{prop}
\label{linebundle}
Supposons que $A$ soit � fibres connexes, et que $A'$ soit n�ronien (d�f. \ref{ssneron}). Alors l'application
\begin{equation}
\label{fldx}
\begin{split}
A'(S)\;\longrightarrow & \;\pic_r^0(A)\\
(p:S\rightarrow A')\;\longmapsto & \;\mathcal{D}(p)=l^1(({\rm id}_A \times p)^*(W))\\
\end{split}
\end{equation}
est un isomorphisme de groupes.
\end{prop}

\begin{proof}
Rappelons que $\mathcal{D}=l^1\circ\gamma$ (voir le paragraphe \ref{bibi}). D'apr�s la remarque \ref{gamma}, les hypoth�ses que nous avons faites impliquent que l'application $\gamma$ est un isomorphisme de groupes. D'autre part, le foncteur
$$L^1:{\rm EXT}(A,\gm)\longrightarrow \Torsrig(A,\gm)$$
(o� ${\rm EXT}(A,\gm)$ d�signe la cat�gorie des extensions de $A$ par $\gm$) est pleinement fid�le (voir \cite{gro7}, expos� VIII, prop. 7.4, a)). De plus, $A$ est � fibres connexes, et $S$ est int�gre normal, donc ({\em loc. cit.}) un objet $Z$ du second membre appartient � l'image (essentielle) du foncteur $L^1$ si et seulement si $Z_{\eta}$ provient d'une extension de $A_{\eta}$ par $\gmk$.

Consid�rons alors le diagramme commutatif suivant
\[
\begin{CD}
A'(S) @>\gamma>> \ext(A,\gm) @>l^1>> \pic_r(A) \\
@| @VVV @VV\mathcal{R}V \\
A_{\eta}^t(K) @>\sim>> \ext(A_{\eta},\gmk) @>>> \pic_r(A_{\eta}) \\
\end{CD}
\]
dans lequel $l^1$ est l'application induite par le foncteur $L^1$, et $\mathcal{R}$ est l'application de restriction � la fibre g�n�rique. Alors, d'apr�s ce qui pr�c�de, $l^1$ est injective, et son image est �gale � l'image r�ciproque par $\mathcal{R}$ de l'image de l'application (\ref{fld}). Or cette image est �gale � $\pic_r^0(A_{\eta})$, d'o� le r�sultat.
\end{proof}

En combinant la proposition \ref{linebundle} et le th�or�me \ref{ppal}, nous obtenons le r�sultat suivant, qui g�n�ralise le Theorem A de Pappas \cite{p1} :

\begin{cor}
\label{quasifini}
Supposons que $A$ soit � fibres connexes, et que $A_{\eta}$ soit une courbe elliptique. Soit $m$ un entier premier � $6$. Alors, pour tout $\mathcal{L}$ dans $\pic_r^0(A)_{\rm Tors}$, la restriction de $\mathcal{L}$ � $A[m]$ est triviale.
\end{cor}

\begin{rmq}
En g�n�ral, le sch�ma en groupes $A[m]$ est quasi-fini et plat sur $S$, mais n'est pas n�cessairement fini. Cependant, dans le cas particulier o� $S$ est le spectre d'un anneau de Dedekind, le corollaire \ref{quasifini} admet encore une interpr�tation en termes de structure galoisienne de torseurs. Ceci fait l'objet d'un travail en cours de pr�paration.
\end{rmq}

\subsection{Application aux caract�ristiques d'Euler}
Comme l'a montr� Pappas dans \cite{p2}, l'homomorphisme $\psi$ admet une interpr�tation en termes de caract�ristiques d'Euler. Ainsi deux probl�mes de structure galoisienne, {\em a priori} distincts, se retrouvent li�s --- la connexion �tant �tablie par le biais de la th�orie des biextensions.

Plus pr�cis�ment, dans les paragraphes $3.b$ et $3.c$ de \cite{p2}, l'auteur �tudie les caract�ristiques d'Euler dans un cadre g�n�ral. Puis, sous l'hypoth�se de bonne r�duction, il �tablit un lien entre caract�ristiques d'Euler et valeurs de l'homomorphisme $\psi$. Dans ce cadre, son Theorem 6.4 (voir la section 6 de \cite{p2}) d�coule de l'annulation de l'homomorphisme $\psi$.
On v�rifie que les arguments de Pappas s'appliquent {\em mutatis mutandis} � notre situation. On peut alors d�duire du th�or�me \ref{jg} le r�sultat suivant, g�n�ralisant le Theorem 6.4 de Pappas :

\begin{cor}
Soit $S$ le spectre d'un anneau de Dedekind, et soit $G$ un $S$-sch�ma en groupes commutatif, fini et plat.

Soit $Y\rightarrow S$ un mod�le minimal, r�gulier et projectif d'une courbe elliptique � r�duction semi-stable sur $K$, et soit $X\rightarrow Y$ un $G$-torseur. Alors
$$pgcd(12m,2^7\,3^2)\cdot\chi_R^P(\mathcal{O}_X)=0$$
o� $m$ est l'ordre de $G$, et o� $\chi_R^P$ d�signe la caract�ristique d'Euler projective �quivariante. De plus, si $m$ est premier � $6$ et si $R$ est principal, alors $\chi_R^P(\mathcal{O}_X)=0$.
\end{cor}

Pour une d�finition de la caract�ristique d'Euler projective $\chi_R^P$, nous renvoyons le lecteur � l'article de Pappas (voir \cite{p2}, paragraphes $2.b$ et $2.c$).


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\end{document}
math0304110.extracted_bib
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