Augmentation du niveau pour $\U(3)$
Jo�l Bella�che et Philippe Graftieaux
math0307300.tex
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%\def\theequation{\thesubsubsection.\arabic{equation}}



\newtheorem{prop}[subsubsection]{Proposition}
\newtheorem{superprop}[subsection]{Proposition}
\newtheorem{proposition}[subsubsection]{Proposition}
\newtheorem{theoreme}[subsubsection]{Th�or�me}
\newtheorem{theo}[subsubsection]{Th�or�me}
\newtheorem{lemme}[subsubsection]{Lemme}
\newtheorem{scolie}[subsubsection]{Scolie}
\newtheorem{surtheoreme}{Th�or�me}
\newtheorem{surcorollaire}[surtheoreme]{Corollaire}
\newtheorem{surprop}[subsection]{Proposition}
\newtheorem{surlemme}[subsection]{Lemme}
\newtheorem{conjecture}[subsubsection]{Conjecture}
\newtheorem{corollaire}[subsubsection]{Corollaire}
\newtheorem{proppar}[paragraph]{Proposition}
\newtheorem{theoremepar}[paragraph]{Th�or�me}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{D�finition}
\newtheorem{definitionprov}{D�finition provisoire}
\newtheorem{exemple}{Exemple}
\newtheorem{remarque}{Remarque\!\!}
\newtheorem{exemples}{Exemples}
\newtheorem{remarques}{Remarques}
\newtheorem{choix}{Choix}
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\renewcommand{\theexemple}{\!\!}
\renewcommand{\theremarque}{}
\renewcommand{\theremarques}{\!\!}
 

\def\proofname{D�monstration}
\def\Proof{\medskip\noindent {\it D�monstration --- \ }}
\def\cqfd{\hfill\nobreak\par\medbreak}
\newenvironment{pf}
        {\medskip\noindent {\it D�monstration --- \ }}
        {\hfill\nobreak $\Box$ \par\bigbreak}

\renewcommand{\theremarque}{}
\renewcommand{\L}{{\mathcal L}}
\newcommand{\Zl}{\Z _l}
\newcommand{\anti}{{\overline\ast}}

\newcommand{\Ql}{\Q _l}
\newcommand{\Zq}{\Z _q}
\newcommand{\Qq}{\Q _q}
\newcommand{\Tau}{{\mathcal T}}
\newcommand{\RR}{{\mathcal R}}
\newcommand{\DEF}{\text{DEF}}
\newcommand{\Rec}{\text{Rec}}
\newcommand{\Hom}{\text{Hom}}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\p}{{\mathfrak P}}
\newcommand{\Zp}{{\mathbb Z}_p }
\newcommand{\Qp}{{\mathbb Q}_p }
\newcommand{\F}{ \mathbb F  } 
\newcommand{\C}{{ \mathbb C  }}
\newcommand{\R}{{ \mathbb R  }}
\newcommand{\Q}{{ \mathbb Q } }
\newcommand{\Z}{{ \mathbb Z  }}
\newcommand{\N}{{ \mathbb N  }}

\newcommand{\Fp}{{\mathbb F}_p}
\newcommand{\Fq}{{\mathbb F}_q}

\newcommand{\Hb}{{\mathbb H}}
\newcommand{\HH}{{\mathcal H}}
\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}

\newcommand{\Lie}{\mathrm{Lie}}

\newcommand{\m}{{\mathfrak m}}

\def\proofname{D�monstration}

%les macros que j'utilise vraiment:
\newcommand{\Ker}{{\mathrm{Ker}\,}}
\newcommand{\coker}{{\mathrm{Coker}\,}}
\newcommand{\im}{{\mathrm{Im}\,}}
\newcommand{\Coker}{{\mathrm{Coker}\,}}
\renewcommand{\Im}{{\mathrm{Im}\,}}
\renewcommand{\Re}{{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\ker}{{\mathrm{Ker}\,}}
\newcommand{\Gal}{{\mathrm{Gal}\,}}

\newcommand{\rhobar}{{\bar \rho}}

\newcommand{\Sch}{{\mathcal Sch}}
\newcommand{\FF}{{\mathcal F}}
\newcommand{\X}{{\mathcal X}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\re}{{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\anneau}{{ \mathcal O}}
\newcommand{\MN}{{\mathcal M}}
\newcommand{\M}{{\mathcal M}}
\newcommand{\MM}{{\mathfrak M_N}}
\newcommand{\Mt}{{\widetilde \M}}
\newcommand{\Mtn}{{\widetilde {\M_N}}}
\newcommand{\Mi}{{\M_\infty}}
\newcommand{\LL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\NN}{{\mathcal N}}
\newcommand{\Isom}{{\underline{Isom}}}
\newcommand{\isom}{{\underline{Isom}}}

\newcommand{\Aut}{{\mathrm{Aut}\,}}
\newcommand{\End}{{\mathrm{End}}}
\newcommand{\Id}{{\mathrm{Id}}}

% groupes algebriques
\newcommand{\PU}{{\mathrm{PU}}}
\newcommand{\U}{{\mathrm{U}}}
\newcommand{\SU}{{\mathrm{SU}}}
\newcommand{\PSU}{{\mathrm{PSU}}}
\renewcommand{\O}{{\mathrm{O}}}
\newcommand{\PO}{{\mathrm{PO}}}
\newcommand{\SO}{{\mathrm{SO}}}
\newcommand{\GO}{{\mathrm{GO}}}
\newcommand{\PGO}{{\mathrm{PGO}}}
\newcommand{\PSO}{{\mathrm{PSO}}}
\newcommand{\GU}{{\mathrm{GU}}}
\newcommand{\PGU}{{\mathrm{PGU}}}
\newcommand{\Gl}{{\mathrm {GL}}}
\newcommand{\PGl}{{\mathrm {PGL}}}
\newcommand{\GL}{{\mathrm {GL}}}
\newcommand{\PGL}{{\mathrm {PGL}}}
\newcommand{\SL}{{\mathrm {SL}}}
\newcommand{\Sl}{{\mathrm {SL}}}
\newcommand{\PSl}{{\mathrm {PSL}}}
\newcommand{\Slb}{{ \bf {SL}}}
\newcommand{\Glb}{{ \bf {GL}}}
\newcommand{\Gb}{{ \bf {G}}}
\newcommand{\sat}{{ \mathrm{sat}}}
\newcommand{\lng}{{ \mathrm{long}}}
\newcommand{\const}{{\mathop{\mathrm{const}}}}
% champs algebriques et trucs de ce genre

  % du chapitre 1
\newcommand{\Zc}{{\mathcal Z}}
\newcommand{\et}{{\mathrm{�t}}}
\newcommand{\EE}{{\mathcal E}}\newcommand{\II}{{\mathcal I}}
\newcommand{\T}{{\mathcal T}}
\newcommand{\To}{{{\mathcal T}_\anneau}} 
\newcommand{\spec}{{\mathrm{Spec\,}}}
\newcommand{\elliptique}{{\mathrm{Partie-elliptique}}}
\newcommand{\ello}{{\mathcal{E}_\anneau}}
\newcommand{\ELLO}{{\mathfrak{E}_\anneau}}
\newcommand{\TT}{{\mathfrak T}}
\newcommand{\torique}{{\mathrm{Partie-torique}}}
\newcommand{\spf}{{\mathrm{Spf\,}}}
\newcommand{\ext}{{\mathrm{Ext}}}
\newcommand{\bonext}{{\mathrm{Bonnext}}}
\newcommand{\vareps}{{\varepsilon}}
\newcommand{\CC}{{\mathcal{C}}}
\newcommand{\Pic}{{\mathrm{\rm Pic \,}}}
\newcommand{\Mijc}{{\M_\infty^{j,c}}}
\newcommand{\pr}{{\mathrm{pr}}}
\newcommand{\Nu}{{{\displaystyle{\nu}}}}
   
   %du chapitre 3
\newcommand{\MGN}{{\M_{\Gamma_0(p)}^N}}
\newcommand{\MGun}{{\M_{\Gamma_0(p)}^1}}
\newcommand{\MGi}{{\M_{\Gamma_0(p)}^\infty}}
\newcommand{\MG}{{\M_{\Gamma_0(p)}}}
\newcommand{\MGord}{{\M_{\Gamma_0(p)}^{\mathrm{ord}}}}
\newcommand{\MGordet}{{\M_{\Gamma_0(p)}^{\mathrm{ord,�t}}}}
\newcommand{\MGordmult}{{\M_{\Gamma_0(p)}^{\mathrm{ord,mult}}}}
\newcommand{\MGss}{{\M_{\Gamma_0(p)}^{\mathrm{ss}}}}
\newcommand{\Mss}{{\M^{\mathrm{ss}}}}
\newcommand{\Mord}{{\M^{\mathrm{ord}}}}
\newcommand{\MGG}{{\M'_{\Gamma_0(p)}}}
\newcommand{\D}{{\mathbb D}}
\newcommand{\rosati}{{\mathrm{rosati}}}
\newcommand{\Sh}{{\mathrm{Sh}}}
\newcommand{\rec}{{\mathrm{rec}}}
\newcommand{\tp}{{\mathrm{de type $B_1$}}}
\newcommand{\tpd}{{\mathrm{de type $B_2$}}}
\newcommand{\mtp}{{\M_{1,p}}}
\newcommand{\mtpd}{{\M_{2,p}}}
\newcommand{\mtpn}{{\M_{1,p}^N}}
\newcommand{\mtpdn}{{\M_{2,p}^N}}
\newcommand{\PPP}{{D}}

   %la Steinberg
\newcommand{\St}{\mathrm{St}}
\newcommand{\st}{\mathrm{St}}
 
   %l'algebre de Hecke et son centre.
\newcommand{\Hecke}{{\mathcal{H}}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathcal{Z}}}

\newcommand{\Sc}{{\mathcal{S}}}
\newcommand{\Pc}{{\mathcal{P}}}
\newcommand{\BB}{{\mathcal{B}}}

   % Augmentation du niveau
\newcommand{\G}{{\mathfrak g}}
\renewcommand{\tt}{{\mathfrak t}}
\newcommand{\ppi}{{\varpi}}
\newcommand{\Ind}{{\mathrm{Ind}}}
\newcommand{\Ac}{{\mathcal{A}}}
\newcommand{\Ext}{{\mathrm{Ext}}}
   
   % chapitre 6

\newcommand{\Tor}{{\mathrm{Tor}}}
\newcommand{\un}{{1\hspace{-0.15cm}1}}
%\newcommand{\un}{{\mathbbm{1}}}
\newcommand{\ch}{{\mathrm{ch}}}
\newcommand{\cl}{{\mathrm{Cl}}}

    % chapitre 8
\newcommand{\Res}{{\mathrm{Res}}}
\newcommand{\ses}{{\mathrm{ss}}}
\newcommand{\der}{{\mathrm{der}}}
\newcommand{\pig}{{\varpi}}
\newcommand{\GG}{{\mathfrak{G}}}
\newcommand{\diag}{{\mathrm{diag}}}
\newcommand{\Frob}{{\mathrm{Frob\,}}}
\newcommand{\frob}{{\mathrm{Frob\,}}}
\newcommand{\ord}{{\mathrm{ord}}}
\newcommand{\tr}{{\mathrm{tr}}}
\newcommand{\Rho}{{R}}
\newcommand{\qq}{{\mathfrak{q}}}
\newcommand{\conv}{\ast}
    % ch 4
\newcommand{\muz}{{\mu_0}}
\newcommand{\rhob}{{\bar \rho}}
\newcommand{\sd}{\rtimes}
\newcommand{\val}{{\mathrm{val}}}
\newcommand{\mat}{{\mathrm{mat}}}
\newcommand{\CCC}{{\mathcal{CC}}}
\newcommand{\vz}{{v_0}}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\baselineskip 14pt

\title{Augmentation du niveau pour $\U(3)$}
\author{Jo�l Bella�che et Philippe Graftieaux}
\maketitle
\setcounter{tocdepth}{1} 
{\bf R�sum�} : Nous d�montrons pour la forme compacte � l'infini du
 groupe unitaire � trois variables attach� � une extension CM un
 r�sultat d'augmentation du niveau analogue � celui obtenu par Taylor 
(\cite{taylor}) 
dans le cas de $\Gl_2$. Nous donnons une application aux
 repr�sentations automorphes non temp�r�es.

{\bf Abstract}: We prove, for the unitary group in three variables
attached to a CM extension which is compact at infinity, a
level-raising theorem analogous to the one of Taylor (\cite{taylor}) 
in the case of 
$\Gl_2$. We give an application to non tempered automorphic forms.
 
{\bf AMS MSC} : 11FXX 

\tableofcontents
\bibliographystyle{style} 

\section{Introduction}

Soit $E/F$ une extension CM, et $G=U(3)$ le groupe unitaire � trois
variables sur $F$ attach� � $E$ qui est compact � toutes les
places � l'infini (cf.~\ref{groupeunitaire}). Pour toute
place finie $v$ de $F$, on note $F_v$ le compl�t� de $F$ en $v$
et $G_v=G(F_v)$.   

Soient $K=\prod_{v \text{ place finie de $F$}} K_v$ un sous-groupe 
compact ouvert de $G(\A_{F,f})$
({\it le niveau}), $\Sigma$ l'ensemble fini
des places $v$ o� $K_v$ n'est pas un sous-groupe compact
maximal hypersp�cial, $J$ une repr�sentation complexe lisse
irr�ductible de $\prod_{v \in \Sigma} K_v$ ({\it le type}), 
et $\rho$ une repr�sentation complexe continue irr�ductible
de $G(\A_{F,\infty})$ ({\it le poids}). Pour tout ensemble fini $\Sigma'$
de places de $F$ contenant $\Sigma$, 
soit $\Hecke^{\Sigma'}$ l'alg�bre de Hecke $
 \Hecke(\textstyle{\prod_{v \not \in \Sigma'}' G_v
,\prod_{v \not \in \Sigma'} K_v}).$

Soient $v_0 \not \in \Sigma$ une place finie de $F$  {\bf inerte} 
dans $E$, $q$ le cardinal du corps r�siduel de $F_{v_0}$, 
$B_{v_0}$ un sous-groupe d'Iwahori de $K_{v_0}$, 
$B=B_{v_0} \prod_{v \neq v_0} K_v$ et $T_{v_0}\in \Hecke(G_{v_0},K_{v_0})$ 
l'op�rateur de Hecke standard en $v_0$.

Nous notons $S_{K,J,\rho,\C}$ (resp. $S_{B,J,\rho,\C}$) 
l'espace vectoriel complexe des formes automorphes pour
$G$ de niveau $K$ (resp. $B$), type $J$ et poids $\rho$, et 
$O_{B,J,\rho,\C}$ (resp. $N_{B,J,\rho,\C}$)
le sous-espace de $S_{B,J,\rho,\C}$ des formes 
anciennes (resp. nouvelles) en $v_0$ 
(cf.~\ref{parformescomplexes} et~\ref{oldetnew}). 
Ces espaces sont munis d'une action naturelle de $\Hecke^\Sigma$. 
En particulier, on dispose d'une d�composition en sous-espaces propres
g�n�ralis�s (cf.~\ref{sepgeneralises})
\begin{eqnarray}\label{decompintro}
S_{K,J,\rho,\C} &=& \oplus_\eta S_{K,J,\rho,\C}(\eta),
\end{eqnarray}
o� $\eta$ d�crit un ensemble fini de caract�res complexes de
$\Hecke^\Sigma$, ainsi que d'une d�composition
analogue de $O_{B,J,\rho,\C}$.

Il existe un corps de nombres $L \subset \C$ et un
ensemble fini $S$ de place de $L$ ($L$ et $S$ ne d�pendant
que de $(K,J,\rho)$ et pas de $v_0$) tels que pour toute place finie
$\mu$ de $L$ hors de $S$, l'espace $S_{B,J,\rho,\C}$
(resp. $O_{B,J,\rho,\C}$, $N_{B,J,\rho,\C}$) admette un
mod�le $S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$
(resp. $O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$, $N_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$)
sur $\anneau_\mu$, stable sous l'action de $\Hecke^{\Sigma_\mu}$, o�
$\Sigma_\mu$ d�signe la r�union de $\Sigma$ et des places finies $v$ de $F$ 
de caract�ristique r�siduelle distincte de celle de $\mu$, 
et $\anneau_\mu$ l'anneau des entiers 
du compl�t� $L_\mu$ de $L$ en $\mu$. 
Les caract�res $\eta$ intervenant en~(\ref{decompintro}) sont
alors � valeurs dans $\anneau_\mu$ 
et on a une d�composition 
$O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}
=\oplus_{\eta} O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}(\eta)$.

\begin{surtheoreme}\label{augniv} 
Soient $\psi$ un caract�re de $\Hecke^\Sigma$ tel que 
$S_{K,J,\rho,\C}(\psi)$ est non nul et $\mu$ une place de $L$.
Supposons que $\mu$ est premi�re � $v_0$ et que 
$\lambda:=\psi(T_{v_0}) \in \anneau_\mu$ v�rifie $\lambda \neq q(q^3+1)$. 
Notons  
$c$ le plus petit entier v�rifiant 
$$c \geq \val_\mu(\lambda-q(q^3+1))/2.$$ 
Il existe alors une congruence\footnote{i.e. il existe $f \in
O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)$, $g \in N_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$, avec
$f-g \in \mu^c S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$, 
$f \not \in \mu S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$.}
modulo $\mu^c$ entre  
$O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)$ et $N_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$
dans $S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$. 
\end{surtheoreme}
Nous renvoyons le lecteur au th�or�me~\ref{theoaugniv} et 
au paragraphe~\ref{remarques} pour des compl�ments � cet �nonc�.

Le cas $c=1$ du th�or�me~\ref{augniv}, 
combin� avec le fameux lemme de Deligne-Serre,
donne en particulier le r�sultat suivant.
\begin{surcorollaire}\label{coraugniv}
Soient $\pi$ une repr�sentation automorphe pour $G$, de dimension infinie 
et non ramifi�e en $v_0$, et 
$\lambda$ la valeur propre de $T_{v_0}$ sur $\pi_{v_0}$. 
Il existe un corps de nombres
$L$ et un ensemble finie de place $S$ de $L$ 
(ne d�pendant que de $\pi$) 
tel que si $\mu \not \in S$ est une place finie de $L$ v�rifiant  
$$\lambda \equiv q(q^3+1) \pmod{\mu},$$
alors il existe une repr�sentation automorphe $\pi'$, de m�me poids 
et de m�me niveau hors $v_0$ que $\pi$, v�rifiant
$\pi_{v_0}^{B_{v_0}} \neq 0$ mais $\pi_{v_0}^{K_{v_0}}=0$ et qui est 
congrue\footnote{i.e. les polyn�mes caract�ristiques des 
matrices de Hecke de $\pi$ et de $\pi'$
en toute place non ramifi�e sont � coefficients dans $L$
et congrus modulo $\mu$} 
� $\pi$ modulo $\mu$. De plus, si $\pi$ contient un certain
type hors $v_0$, on peut aussi supposer qu'il en va de m�me pour $\pi'$.
\end{surcorollaire}

Ce corollaire g�n�ralise \cite[th�or�me 2.4]{clozel}, qui traite le
cas\footnote{� vrai dire, Clozel �nonce son th�or�me pour la forme
quasi-d�ploy�e du groupe unitaire $G$. Mais c'est bien le th�or�me analogue
pour le groupe compact qui est prouv�, et Clozel en d�duit son �nonc� 
pour la forme quasi-d�ploy�e par un argument de
transfert entre les formes int�rieures.}
o� le poids de $\pi$ et le type consid�r� 
sont triviaux, et qui surtout
suppose que $\mu$ est une place {\it banale} pour $G_{v_0}$, i.e. 
$(q-1)(q^3+1)\not \equiv 0 \pmod{\mu}$. 
Dans~\cite[Th�or�me VII.1.4.6]{Joelthese}, 
l'hypoth�se de banalit� de $\mu$
avait �t� affaiblie en une hypoth�se de {\it normalit�} 
$(q^3+1) \neq 0 \pmod{\mu}$. 

La m�thode que nous
 utilisons pour prouver le th�or�me n'est pas la m�me que celle 
de~\cite{clozel} (ou 
de \cite{Joelthese}) bas�e sur les propri�t�s du {\it
 module universel} et sur un argument de densit�, inspir� de Serre, jouant
le r�le du {\it lemme d'Ihara}. Il semble aux auteurs que cette m�thode 
ne peut permettre de lever l'hypoth�se de {\it normalit�}  
de $\mu$, ni
d'obtenir des congruences modulo $\mu^c$ avec $c >1$. Notre m�thode 
se rapproche au contraire de celle de~\cite{taylor}, avec
 quelques diff�rences importantes. La principale est que le lemme
 d'Ihara (\cite[lemme 4]{taylor}) est {\it faux} pour $G=\U(3)$ 
en caract�ristique non  normale, m�me pour des formes de poids
 trivial. Nous devons en quelque sorte majorer son  d�faut 
(lemme~\ref{unautrelemme}), � l'aide d'une �tude combinatoire d'op�rateurs
entres espaces de fonctions sur l'arbre bihomog�ne attach� � $G_{v_0}$
(lemme~\ref{relations}). 
Le fait de traiter des poids quelconques, 
qui ne sont pas n�cessairement 
auto-duaux au caract�re central pr�s comme dans la situation 
de~\cite{taylor}, n�cessite aussi quelques arguments suppl�mentaires. 

Notons enfin que le th�or�me~\ref{augniv} 
et son corollaire restent valables, avec
la m�me preuve, pour n'importe quel groupe alg�brique connexe $G$ sur
$F$, compact aux places � l'infini et de rang un en la place $v_0$ de
$F$. Il suffit de remplacer dans l'�nonc� du th�or�me et de son
corollaire $q(q^3+1)$  par $q^{d'}(q^d+1)$, o� $q^{d'}+1$ et $q^d+1$
sont les valences de l'arbre de Bruhat-Tits\footnote{Rappelons
(\cite{tits}) que cet arbre est soit homog�ne,
soit bihomog�ne. On ram�ne le premier cas au second en introduisant un
sommet au milieu de chaque ar�te, ce qui revient � poser $d'=0$.} 
de $G_{v_0}$, avec $d'\leq d$. 

Revenons au cas $G=U(3)$. � l'aide de la repr�sentation galoisienne
attach�e par Blasius et Rogawski � une repr�sentation automorphe $\pi$ de
$G$, on peut montrer qu'il existe une infinit� de places $v_0$ o�
l'on peut augmenter le niveau de $\pi$. Plus pr�cis�ment :
\begin{surtheoreme} \label{thexistence}
Gardons les notations du th�or�me~\ref{augniv}.
Pour tout entier $n$, il existe un ensemble de densit� 
non nulle de places $v$ de
$F$ inertes dans $E$ 
telles que $\psi(T_v) \equiv q(q^3+1) \pmod{\mu^n}$ et $q+1 \equiv 0
\pmod{\mu^n}$. 
\end{surtheoreme}
En combinant les th�or�mes~\ref{augniv} et~\ref{thexistence}, on obtient 
que les r�ductions modulo $\mu^n$ du caract�re $\psi$
apparaissent dans des espaces de formes nouvelles
pour presque tout $\mu$ et pour $n$ arbitrairement grand.
� cause de l'hypoth�se de banalit�, Clozel ne pouvait d�montrer un tel
r�sultat (avec $n=1$) que sous une hypoth�se de surjectivit� de la
repr�sentation galoisienne attach�e � $\psi$ modulo $\mu$.   

Comme application arithm�tique du th�or�me~\ref{augniv}, on obtient
que toute repr�sentation endoscopique 
non temp�r�e de $G$ est congrue en presque
toute place � une repr�sentation temp�r�e (voir le
th�or�me~\ref{thtemp}). 
Les congruences entre formes 
endoscopiques non temp�r�es et formes
temp�r�es ont une signification arithm�tique importante, en ce
qu'elles traduisent et permettent de montrer des cas des conjectures de
Bloch-Kato.
Dans ce but, une version plus faible du th�or�me pr�c�dent, 
valable seulement pour
un ensemble de densit� non nulle de places, �tait obtenue
par une augmentation
du niveau en une place d�compos�e dans~\cite[chapitre VIII]{Joelthese}, par
l'utilisation de familles $l$-adiques de repr�sentations automorphes 
dans~\cite{joeletgaetan}. 
Obtenir ce r�sultat pour presque toute place �tait une des
motivations initiales de ce travail.

Dans un article en pr�paration, nous montrons comment on peut utiliser
le th�or�me~\ref{augniv} 
pour montrer en toute place la compatibilit� (� semi-simplification
pr�s) de la construction de Blasius-Rogawski (\cite{br})
d'une repr�sentation galoisienne
attach�e � une repr\'esentation automorphe pour $G$ avec la correspondance de
Langlands locale (compatibilit� qui n'est connue jusqu'� pr�sent 
que pour les places non ramifi�es,
ou bien en toute place si l'on suppose que la repr�sentation
automorphe a son changement de base � $E$ de carr� int�grable en au
moins une place finie, d'apr�s les travaux de Harris et Taylor \cite{ht})


{\bf Remerciements :} Les auteurs remercient chaleureusement 
Laurent Clozel et Ga�tan Chenevier 
pour de nombreuses et �clairantes conversations.  
\section{Notations}

Sauf mention explicite du contraire, tous les anneaux ou alg�bres
consid�r�s sont commutatifs et unitaires.

\subsection{Corps}
\label{corps}
Dans tout l'article,  $E/F$ d�signe une extension CM, 
$\anneau_E$ (resp. $\anneau_F$) l'anneau des entiers de $E$ (resp. $F$), 
et $c$ l'�l�ment non trivial de $\Gal(E/F)$. On fixe une cl�ture alg�brique
$\bar E$ de $E$. Pour toute repr�sentation $\rho$ de $\Gal(\bar E/E)$, on 
note $\rho^c$ la repr�sentation $g \mapsto \rho(\gamma g \gamma^{-1})$, 
o� $\gamma$ est un  relev� de $c$ dans $\Gal(\bar E/F)$; 
la repr�sentation $\rho^c$ ne d�pend du choix de 
$\gamma$ qu'� isomorphisme pr�s.  

La lettre $v$ (resp. $w$), �ventuellement munie d'indices, d�signe une 
place finie de $F$ (resp. de $E$); on note $F_v$ (resp. $E_w$)
le compl�t� de $F$ en $v$ 
(resp. de $E$ en $w$), d'anneau d'entiers $\anneau_v$ (resp. $\anneau_w$). 
La lettre $\sigma$ d�signe une place archim�dienne de $F$, 
ce que l'on note $\sigma|\infty$.

On note $\A_F$ (resp. $\A_{F,f}$, $\A_{F,\infty}$) l'anneau des ad�les
de $F$
(resp. les sous-anneaux des ad�les triviaux � l'infini, aux places
finies).

La lettre $L$ d�signe un sous-corps de $\C$, 
dont les places sont d�sign�es par la lettre $\mu$. 
On note $L_0$ le corps $L\cap \R$ et $L_\mu$ le compl�t� de $L$ en $\mu$, 
d'anneau d'entiers $\anneau_\mu$. 


\subsection{Groupe unitaire}\label{groupeunitaire}

On note $G$ l'unique groupe 
unitaire � trois variables sur $F$, 
compact � l'infini associ� � l'extension $E/F$,
qu'on peut d�finir ainsi : pour toute $F$-alg�bre $R$, on pose 
$G(R)=\{g \in \Gl_n(E \otimes_{F} R),\ c(g) g=1\}$.
On note encore $G$ le mod�le de $G$ sur $\anneau_F$ obtenu en posant
$G(R)=\{g \in \Gl_n(\anneau_E \otimes_{\anneau_F} R),\ c(g) g=1\}$
pour toute $\anneau_F$-alg�bre $R$.
  
Pour toute place finie $v$ de $F$, 
on note $G_v$ le groupe $G(F_v)$ et $Z_v$ son centre.

\subsection{Applications lin�aires localement finies} 
Soit $R$ un anneau. 
Pour tout ensemble $X$, 
on note $\CC(X,R)$ (resp. $\CCC(X,R)$)
le $R$-module des fonctions sur $X$ � valeurs dans $R$ 
(resp. nulles en dehors d'un sous-ensemble fini de $X$).  
Nous munissons $R$ de la topologie discr�te et 
$\CC(X,R)$ de la topologie produit,
de sorte que $\CCC(X,R)$ est dense dans $\CC(X,R)$. 
Pour tout $x\in X$, on note $\delta_x$
la fonction caract�ristique de $\{x\} \subset X$. 

Si $X$ et $Y$ sont deux ensembles, on 
dit qu'une application lin�aire $U\colon \CC(X,R) \to \CC(Y,R)$ 
est {\it localement finie} si elle est continue et prolonge
une application lin�aire $\CCC(X,R) \to \CCC(Y,R)$. 
Ceci �quivaut � dire 
que la famille $U(\delta_x)_{x\in X}$ est � valeurs dans  $\CCC(Y,R)$ 
et d�termine $U$. 

Si $U\colon \CC(X,R) \to \CC(Y,R)$ 
est une application lin�aire localement finie, 
on d�finit sa transpos�e $U^\ast\colon \CC(Y,k)\to \CC(X,k)$
comme l'application lin�aire localement finie d�finie par
$U^\ast(\delta_y)=\sum_{x \in X} U(\delta_x)(y) \delta_x$ 
pour tout $y\in Y$.  
L'application $U^\ast$ est l'adjoint de $U$ pour les produit
naturels de $\CC(X,R)$ et $\CC(Y,R)$ et on a l'�galit� $(U^\ast)^\ast=U$.

\subsection{Espaces propres g�n�ralis�s}\label{sepgeneralises}
Soit $R$ un anneau, $M$ un $R$-module et $\Hecke$ un anneau agissant
sur $M$ par $R$-endomorphismes.

Pour tout caract�re $\eta$ de $\Hecke$ � valeurs dans $R$, 
on d�finit le {\em sous-espace propre g�n�ralis�} $M(\eta)$ de $M$
pour $\eta$ comme le sous-module des vecteurs $m$ de $M$ tels que pour 
tout $T\in \Hecke$, 
il existe $n\geq 0$ v�rifiant l'�galit� $(T-\eta(T))^n(m) =0$. 
Si $R$ est un corps et $M$ est de dimension finie, 
il existe une extension finie $R'$ de $R$
et une d�composition $M\otimes R' = \oplus_\eta (M\otimes R')(\eta)$,
o� $\eta$ d�crit une famille finie de caract�res de $\Hecke$ 
� valeurs dans $R'$.  

\section{Pr�liminaires locaux}\label{prelimslocaux}

Dans toute cette partie (sauf en~\ref{dec}), 
on fixe une place finie $v$ de $F$ 
inerte dans $E$. On note $w$ la place de $E$ au dessus de $v$ et 
$q$ le cardinal r�siduel du corps $F_v$, compl�t� de $F$ en $v$. 
Le groupe $G(F_v)$ est alors l'unique groupe unitaire � trois variables 
sur $F_v$ qui se d�ploie sur $E_w$.

Pour ne pas alourdir les notations, et dans cette partie uniquement, 
on note simplement $G$ le groupe $G_v=G(F_v)$, et $Z$ le centre de
$G$, qui est compact.
 
\subsection{Arbre} \label{arbre} Soit $\X$ l'immeuble de Bruhat-Tits  de $G$.
D'apr�s~\cite{tits} ou \cite[1.4]{choucroun}, 
c'est un arbre, et  l'on a une d�composition 
de l'ensemble de ses sommets en deux parties $X \coprod X'$, 
tout sommet de $X$ (resp. $X'$) 
a $q^3+1$ (resp. $q+1$) voisins qui sont tous dans $X'$
(resp. $X$). Les points de $X$ sont les points {\it hypersp�ciaux}
au sens de \cite{tits}, ceux de $X$ sont les points sp�ciaux qui ne
sont pas hypersp�ciaux. On d�signe par $A$ l'ensemble des ar�tes
(non orient�es) de $\X$. 

L'arbre $\X$ est muni d'une action par
automorphisme de $G$, le centre $Z$ agissant par l'identit�. L'action
de $G$ sur $X$ (resp. $X'$) est transitive et le stabilisateur d'un sommet 
$x$ agit encore transitivement sur l'ensemble des 
sommets de $\X$ � distance $n$ de $x$ 
(\cite[1.4, 1.5]{choucroun}), et donc sur l'ensemble des 
�l�ments de $A$ d'origine $x$.

\subsection{Sous-groupes compacts}

\subsubsection{Compacts maximaux}
\label{compacts}

D'apr�s~\cite{bt}, un sous-groupe compact maximal de $G$ fixe un
sommet de $\X$ et
un seul, ce qui d�finit une bijection entre l'ensemble des 
compacts maximaux de $G$ et $X \coprod X'$. 
Il y a donc deux classes de conjugaisons de
sous-groupes compacts maximaux de $G$, ceux qui fixent un sommet de
$X$, qu'on appelle {\it hypersp�ciaux}, et ceux qui fixent un sommet
de $X'$, qu'on appelle {\it sp�ciaux}.

On suppose d�sormais donn� $O \in X$ (resp. $O' \in X'$). 
On note $K$ (resp $K'$) le sous-groupe compact maximal de $G$ qui fixe 
 $O$ (resp $O'$), de sorte que l'on a 
les identifications canoniques $X = G/K=K \backslash G$ (resp. 
$X'= G/K'= K'  \backslash G$), la seconde �tant induite
par l'application inverse de $G$.  

\subsubsection{Sous-groupe d'Iwahori}

On suppose aussi que $O$ et $O'$ sont voisins. Le stabilisateur 
$B=K \cap K'$ de l'ar�te $(O,O')$ est un sous-groupe d'Iwahori de $G$ 
et, par~\ref{arbre}, on a l'identification canonique $G/B=A$.

\subsection{Alg�bres de Hecke}\label{operateurhecke}

\subsubsection{Alg�bre de Hecke sph�rique}
On note $\Hecke$
l'alg�bre de convolution (pour la mesure de Haar $\mu_{K}$ de
volume $1$ sur $K$)
des fonctions sur $G$ � valeurs dans $\Z$, �
support compact, bi-$K$-invariantes
$$\Hecke =\CCC(K\backslash G /K,\Z).$$

Soit $T$ 
la fonction caract�ristique dans 
$\CCC(G/K,\Z)=\CCC(X,\Z)$  
de l'ensemble des sommets � distance 2 de $O$. 
On a $T \in \Hecke$ %(resp. $T'\in \Hecke'$) 
et  les propri�t�s de transitivit� de~\ref{arbre} impliquent 
l'�galit� $\Hecke=\Z[T]$. % (resp.$\Hecke'=\Z[T']$). 

\subsubsection{Alg�bre de Hecke-Iwahori}
On appelle alg�bre de Hecke-Iwahori le $\Z$-module 
muni du produit de convolution
$$\Hecke(G,B)=\CCC(B\backslash G /B,\Z)=\CCC(B\backslash A,\Z).$$
Soit $a\in \CCC(B\backslash A,\Z)$ (resp. $a'$) 
la caract�ristique de l'ensemble des �l�ments de $A$ 
d'origine $O$ (resp. $O'$) et distincts de $(O,O')$. 
On d�finit $T_B \in \Hecke(G,B)$ par la formule
$$ T_B:= -a'a-aa'-(q^3-1)a'-(q-1)a-q^3(q-1).$$
On v�rifie ais�ment que $a$ et $a'$ engendrent la $\C$-alg�bre 
$\Hecke(G,B) \otimes \C$ et que $T_B$ est dans le centre de $\Hecke(G,B)$. 
\begin{remarque}
En fait, $T_B$ en est m�me un g�n�rateur (sur $\C$), mais nous n'utiliserons
pas ce fait. Ceci, ainsi que le lemme~\ref{relations}\,(vi), 
est d'ailleurs un petit fragment de la th�orie du centre de 
Bernstein (\cite{bernstein}).
\end{remarque}


\subsection{Combinatoire des formes anciennes}\label{combinatoire}
  
\subsubsection{} 
Dans $\CCC(X,\Z)$, soit $U_1$ la fonction caract�ristique
 de $O$, et $U_2$ la fonction caract�ristique de l'ensemble des voisins
 de $O'$ distincts de $O$. Il est clair que $U_1$ et $U_2$ sont
 $B$-invariantes, i.e. appartiennent � 
$\CCC(B\backslash X,\Z)=\CCC(B \backslash G /K,\Z)$, 
qui est canoniquement muni d'une structure de $\Hecke$-module
par convolution � droite.  

\begin{prop}\label{lazarus}
Le $\Hecke\otimes_\Z \C$-module
$\CCC(B\backslash X,\C)$ 
est libre de base $(U_1,U_2)$.
\end{prop}
\begin{pf} D'apr�s~\cite[prop. 7.2.4]{theselazarus},
le module $\CCC(B\backslash X,\C)$ 
est libre de rang $2$ sur $\Hecke\otimes \C$.
Pour conclure que $(U_1,U_2)$ est une base, il suffit de prouver que
cette famille est g�n�ratrice, ce qui se v�rifie apr�s
passage au quotient par tous les id�aux maximaux de 
$\Hecke \otimes \C=\C[T]$. Autrement dit, il suffit de montrer que pour tout
$\lambda\in \C$, $(U_1,U_2)$ est une base, c'est-�-dire une famille libre, 
du $\C$-espace vectoriel $[\CCC(X,\C)/(T-\lambda) \CCC(X,\C)]^B$ qui est 
de dimension $2$. 
Or, l'�galit� $\lambda_1U_1+\lambda_2U_2 = (T-\lambda)f$, 
avec $\lambda_1,\lambda_2\in \C$ et $f \in \CCC(X,\C)$ 
implique $\lambda_1=\lambda_2=0$ par un argument de support.
\end{pf}
\begin{remarque} Dans~\cite[IV.4.8.2]{Joelthese}, 
cette proposition est d�montr�e plus g�n�ralement en rempla\c cant $\C$
par un anneau quelconque.
\end{remarque}
\begin{lemme}\label{deh} Si l'on voit $U_1$ et $U_2$ comme des fonctions de
 $\CCC(K \backslash G / B,\Z)=\CCC(K \backslash A,\Z)$, Alors $U_1$ 
est la fonction caract�ristique de l'ensemble des ar�tes passant 
par $O$,  et $U_2$ est l'ensemble des ar�tes passant par un voisin de $O$, 
mais pas par $O$.
\end{lemme}
\begin{pf} 
C'est un calcul �vident.
\end{pf}

\subsection{Op�rateurs et relations}\label{operateurs}
Soit $R$ un anneau commutatif. 
Les fonctions a support fini $T \in \Hecke$, %$T'\in \Hecke'$, 
$T_B \in \Hecke(G,B)$, $U_1,U_2 \in 
\CCC(K\backslash G/B,\Z)$
induisent par convolution � droite des op�rateurs localement finis 
$G$-�quivariants � gauche entres les espaces
$\CC(X,R)$, $\CC(X',R)$ et $\CC(X',R)$
que l'on note par les m�mes lettres. Le lemme suivant est une traduction
imm�diate des d�finitions.
\begin{lemme}
Notons $d$ la distance entre les sommets de $\X$. On a 
$$\begin{array}{crcl}
T \colon & \CC(X,R) &\rightarrow &  \CC(X,R) \\ %\ \ \ \ \ & 
%T' : & \CC(X,R) &\rightarrow  & \CC(X',R) \\ 
 & \delta_x & \mapsto &  \ds{\sum_{d(y,x)=2}} \delta_y 
%&&& \delta_{x'}& \mapsto &\ds{\sum_{d(y',x')=2}} \delta_{y'}
\end{array} $$
$$\begin{array}{crclccrcl}
U_1 : &\CC(X,R)& \rightarrow  &
\CC(A,R) & \  & U_2 : &\CC(X,R)& \rightarrow  &
\CC(A,R)  \\
& \delta_x & \mapsto & 
\ds{\sum_{d(x,x')=1}\delta_{(x,x')}}   & & & \delta_x &\mapsto &
\ds{\sum_{d(x',x)=1,\ d(y,x)=2}} \delta_{(x',y)}
\end{array}$$

$$ \text{et}\qquad  T_B= -a'a-aa'-(q^3-1)a'-(q-1)a-q^3(q-1) \Id,$$
o� $a,a'\colon \CC(X,A) \to \CC(X,A)$ sont d�finis par les formules
$$ a\colon \delta_{(x,x')} \mapsto  \sum_{d(y',x)=1, y' \neq x'} 
\delta_{(x,y')}
\text{ \ \ et\ \ }
 a'\colon \delta_{(x,x')} \mapsto \sum_{d(y,x')=1, y \neq x} 
\delta_{(y,x')} $$
pour toute ar�te $(x,x')$ avec $x\in X$ et $x'\in X'$. 
\end{lemme}
\subsubsection{D�finition}
On d�finit les op�rateurs finis $G$-�quivariants
$$ \begin{array}{crclccrcl} U : &\CC(X,R)&
\rightarrow &  
\CC(X',R) &\ \text{ et } \ & U' &: \CC(X',R) &\rightarrow   &\CC(X,R) \\ &\delta_x 
&\mapsto & \ds{\sum_{d(x',x)=1}} \delta_{x'}  & & &\delta_{x'}& 
\mapsto & \ds{\sum_{d(x',x)=1}} \delta_{x}.\end{array}$$


\begin{lemme}\label{relations} 
\begin{itemize} 
\item[(i)] $\ U'U = T + (q^3+1)$. 
\item[(ii)] L'op�rateur $T$ 
est auto-adjoint et 
$U$ est l'adjoint de $U'$.
\item[(iii)] Soient $f_1,f_2 \in \CC(X,R)$. 
On a $U_1 f_1 + U_2 f_2=0$ 
si et seulement si il existe une constante $C\in R$ telle que $U f_2=C$ et 
$f_1-f_2=-C$.
\item[(iv)] Si $R$ est un corps, $U_1 f_1 + U_2 f_2=0$, et 
$T f_2 = \lambda f_2$, avec $\lambda \in R$ et $f_2 \neq 0$, 
on a $\lambda=q(q^3+1)$ ou bien $\lambda=-(q^3+1)$.
\item[(v)] Les op�rateurs $U_1$ et $U_2$ sont injectifs.  
\item[(vi)] $U_i T =T_B U_i$ pour $i=1,2$. 
\end{itemize}
\end{lemme}
\begin{pf} Les preuves de 
(i), (ii) et (vi) sont des calculs �vidents et laiss�es au lecteur
et (v) est triviale. 
Prouvons (iii).
Soit $(x,x')$ une ar�te de $A$, $x\in X$, $x'\in X'$. 
Le fait que 
$(U_1 f_1 + U_2 f_2)(\delta_{x',x})= 0$ s'�crit aussi 
$$f_1(x) + \sum_{y \neq x,\  y \text{ voisin de } x'} f_2(y) 
= 0,$$
soit $$f_1(x)-f_2(x) + (Uf_2)(x')=0.$$
Comme $\X$ est connexe, on en d�duit qu'il existe 
$C\in R$ tel que $U f_2 = C$ sur $X'$,
$f_1-f_2 = -C$ sur $X$. 

Prouvons (iv). On a d'apr�s (i) $U' U f_2 = U' (C) = (q^3+1) C =
 T f_2 + (q^3+1) f_2 = (\lambda + q^3+1) f_2$, d'o� nous tirons
\begin{eqnarray} \label{eq} 
(q^3+1) C = (\lambda + q^3+1) f_2. 
\end{eqnarray}
Si $\lambda \not= -(q^3+1)$, alors la 
relation~(\ref{eq}) implique que $f_2$ est constante, d'o� 
$Tf_2 = q(q^3+1) f_2$, et comme $f_2$ est non nul, 
il vient $\lambda = q(q^3+1)$. 
\end{pf}

\begin{prop}\label{ii} 
\begin{eqnarray*} 
\left( \begin{array}{cc}  U_1^\ast  U_1 & U_1^\ast  U_2 \\
U_2^\ast  U_1 & U_2^\ast  U_2 \end{array} \right) = 
 \left( \begin{array}{cc} q^3+1 & T \\ 
T & q(q^3+1)  + (q-1) T \end{array} \right)
\end{eqnarray*}
\end{prop}
\begin{pf} Pour toute ar�te $(x,x')$ de $A$, avec $x \in X$, 
l'adjoint  $U_1^\ast$ (resp. $U_2^\ast$) de $U_1$ (resp. $U_2$)
envoie $\delta_{(x,x')}$ 
sur $\delta_x$ (resp. sur $\sum_{y \neq x, 
\ d(y,x')=1} \delta_y$). La proposition est alors un calcul 
�vident et laiss� au lecteur.   
\end{pf} 

\begin{remarque} Le d�terminant de cette matrice est un polyn�me en $T$ dont 
les racines sont $-(q^3+1)$ et $q(q^3+1)$.
\end{remarque}

\subsection{Repr�sentations non ramifi�es}
\subsubsection{Notations}
Soit $R$ un anneau commutatif et $\pi$ une
repr�sentation lisse � droite de $G$ sur $R$. 
Pour tout vecteur $u$ de l'espace de $\pi$ et toute fonction 
$f$ sur $G$ localement constante �
support compact, on d�finit 
$$ u \conv f:= \int_G f(g) (\pi(g)v) d\mu_K(g)$$
et pour tout sous-espace vectoriel $V$ de l'espace
de $\pi$, on pose $V \conv f :=\{u \conv f ;\ u \in V\}$.
Lorsqu'il n'y a pas d'ambigu�t�, on note 
encore $f$ l'op�rateur $u \mapsto u*f$. 
Ainsi, $T$ (%resp. $T'$, 
resp. $T_B$) 
d�signe l'op�rateur de convolution par $T$ (%resp. $T'$, 
resp. $T_B$) 
sur l'ensemble $\pi^{K}$ (%resp. $\pi^{K'Z}$, 
resp. $\pi^{B}$)  
des $K$-invariants (%resp. $K'Z$-invariants, 
resp. $B$-invariants) de $\pi$.
\begin{proposition} \label{oldu}
Soit $\pi$ une repr�sentation complexe lisse de $G$ 
(�ventuellement r�ductible) d'espace $V$, 
$\pi'$ la sous-repr�sentation de $G$ engendr�e 
par le sous-espace $\pi^{K}$ de $V$. Alors 
${\pi'}^{B} = \pi^{K} \conv U_1 + \pi^{K} \conv U_2$.
\end{proposition}
\begin{pf}
L'espace de ${\pi'}$ est l'image de l'application 
$$\pi^{K} \conv \CCC(K  \backslash G,\C)\to V,$$ 
et ${\pi'}^{B}$ est donc l'image de l'application 
$\pi^{K} \conv \CCC(K 
\backslash G/B,\C) \to V$. Le r�sultat d�coule donc de la 
proposition~\ref{lazarus}.
\end{pf}

\subsubsection{Tore maximal et sous-groupe de Borel}

On choisit un vecteur non nul $e_1 \in E_w^3$ isotrope pour la forme 
hermitienne standard, $e_2$ tel que $e_1$ et $e_2$ engendrent $(e_1)^\bot$, 
et enfin $e_3$ tel que $(e_1,e_2,e_3)$ soit une base. Dans
toute cette section, on d�crit les �l�ments de $G$ 
par leur matrice dans la base $(e_1,e_2,e_3)$. Le tore diagonal 
$$D=\{\diag(a,b,c(a)^{-1})\ ; a \in E_w^\ast, b \in E_w^\ast, b c(b)=1\}$$
est un tore maximal de $G$, qui contient $Z=\{\diag(b,b,b)\ ;b c(b)=1\}$.
Soit $P$ le stabilisateur dans $G$ de la droite $(e_1)$ : c'est un 
sous-groupe de Borel contenant $D$.
 
\subsubsection{Induites non ramifi�es}

Pour tout 
$\alpha \in \C$, on d�finit $I(\alpha)$ comme la repr�sentation 
induite unitaire de $P$ � $G$ du caract�re de $D$~:
$$\diag(a,b,c(a)^{-1}) \mapsto \alpha^{\val(a)}.$$
Comme ce caract�re est trivial sur $Z$, $I(\alpha)$ est de caract�re central 
trivial.

\subsubsection{Structure des induites non ramifi�es}
\label{induites}
Soit $\alpha\in \C$; 
d'apr�s~\cite[page 126]{KE} ou \cite[th. 2.4.6 et prop 2.4.7]{choucroun},
la repr�sentation $I(\alpha)$ est ind�composable et v�rifie 
les propri�t�s suivantes. 
\begin{itemize} 
\item[(1)] Si $\alpha \not=q^{\pm2}$ et $\alpha \not= -q^{\pm1}$, 
alors $I(\alpha)$ est irr�ductible.
\item[(2)] Si $\alpha = q^{\pm 2}$, alors $I(\alpha)$ a deux 
facteurs de Jordan-H�lder, la Steinberg $\St$ et la repr�sentation unit�.
\item[(3)] Si $\alpha = -q^{\pm 1}$,
 alors $I(\alpha)$ a deux facteurs de Jordan-H�lder, 
l'un non ramifi� not�
$\pi^n$ et l'autre ramifi� not� $\pi^s$.
D'apr�s~\cite[page 396]{rog3}, la repr�sentation $\pi^n$ 
est non temp�r�e et la repr�sentation $\pi^s$ est de 
carr� int�grable. 
\end{itemize}
\subsubsection{Invariants des induites non ramifi�es}
\label{invariants}
\begin{itemize}
\item[(1)] Une repr�sentation admissible irr�ductible poss�de 
un vecteur  $B$-invariant
si et seulement si c'est un facteur de $I(\alpha)$ pour 
un certain $\alpha\in \C$
(\cite{cartier}).
\item[(2)] Pour tout $\alpha \in \C$, $\dim I(\alpha)^{K}=\dim
I(\alpha)^{K'}=1$ et $\dim I(\alpha)^B=2$ (\cite{cartier} ou
\cite[IV.4.8.2 et IV.6.2.5]{Joelthese}).
\item[(3)] $\St^{K}=\dim \St^{K'} = 0$, $\dim (\pi^n)^{K}=
\dim (\pi^s)^{K'}=1$, $(\pi^n)^{K'} = (\pi^s)^{K}=0$ 
(\cite[prop. 2.4.7]{choucroun} ou \cite[IV.4.8.2 et IV.6.2.5]{Joelthese}). 
\end{itemize}

\subsubsection{Matrices de Hecke}
\label{heckeinerte}
Pour tout $\alpha\in \C$, 
d�finissons la matrice de Hecke $\mat_{\pi}$ (� conjugaison pr�s)
de l'unique sous-quotient non ramifi� $\pi$ de 
$I(\alpha)$ comme $$\mat_\pi = \diag(\alpha,1,\alpha^{-1}) \in \Sl_3(\C).$$
Ainsi $\mat_{\pi^n} = \diag(-q,1,-q^{-1})$.

Par exception, dans la th�orie globale (partie~\ref{sectionrepresentations}), 
on note $\mat_{\pi,w}$ pour 
$\mat_{\pi}$ au lieu de $\mat_{\pi,v}$ : cela tient � ce que, � strictement 
parler, $\mat_\pi$ est la matrice de Hecke du changement de base de $\pi$ � 
$E_w$ et non celle de $\pi$.


\subsection{Transformation de Satake}
\label{satakeinerte}
\begin{lemme}
Soit $\alpha\in \C$; l'op�rateur $T$ agit sur la droite 
$I(\alpha)^{K}$ par l'homoth�tie de rapport
$$q^2 (\alpha + \alpha^{-1}) + q-1.$$
En particulier, si $\alpha=q^{\pm 2}$ (resp. $\alpha=-q^{\pm 1}$), alors 
la valeur propre de $T$ est $q(q^3+1)$ (resp. $-(q^3+1)$). 
\end{lemme}
\begin{pf} Voir~\cite[prop 3.1.2]{choucroun}. \end{pf}
\begin{lemme}\label{vptb}
L'op�rateur $T_B$ agit sur $\st^B$ (resp. $(\pi^s)^B$) 
par l'homoth�tie de rapport $q(q^3+1)$ (resp. $-(q^3+1)$).
\end{lemme}
\begin{pf}
Comme $I(\alpha)$ est ind�composable (cf.~\ref{induites}), il 
d�coule de~\cite{borel2} que $I(\alpha)^B$
est un module ind�composable sur $H(G,B)\otimes \C$, donc $T_B$ y agit
par une homoth�tie. En particulier, par le lemme~\ref{relations} (vi), 
le rapport de $T_B$ agissant sur $I(\alpha)^B$ est �gal � celui de 
$T$ agissant sur $I(\alpha)^K$.
Le lemme~\ref{vptb} d�coule donc du lemme pr�c�dent. 
\end{pf}

\subsection{Th�orie locale en une place d�compos�e}
\label{dec}
\label{heckedec}
Soit $v$ une place d�compos�e de $F$. Le choix d'une place $w$ de $E$
divisant $v$ d�termine (� isomorphisme int�rieur pr�s) 
un isomorphisme $G_v \simeq \Gl_3(E_w)=\Gl_3(F_v)$. Si $\pi$ est une
repr�sentation non ramifi�e de $G_v$, on note $\mat_{\pi,w}$ la matrice
de Hecke de $\pi$ vue comme repr�sentation de $\Gl_3(E_w)$ via
l'isomorphisme pr�c�dent. Si $\bar w$ est l'autre place de $E$
au-dessus de $v$, on a, � conjugaison pr�s, $\mat_{\pi,w} =
\mat_{\pi,\bar w}^{-1}$.
  
\section{Sorites sur les congruences} 

Dans cette section on rappelle pour le confort du lecteur quelques r�sultats 
faciles, bien connus et souvent utilis�s dans le contexte des congruences 
entre formes automorphes (voir les travaux de Hida, Ribet, etc.), et
on les �tend quelque peu.

Dans cette partie, $\anneau$ d�signe un 
produit fini d'anneaux de valuation discr�te
et $L$ (resp. $\muz$) 
le produit des corps de fractions (resp. des id�aux maximaux) 
de ces anneaux. On d�signe par $M$ un $\anneau$-module libre de type fini.

\subsection{Sous-modules satur�s}

%\subsubsection{}

Pour tout sous-module $N$ de $M$, on pose 
$N^\sat:=(N \otimes L) \cap M$ dans $M \otimes L$. 
On a $N=N^{\sat}$ si et 
seulement si $N$ est facteur direct de $M$.

\begin{lemme}\label{noyau}
Soit $u\colon  N \rightarrow M$ un morphisme injectif de 
$\anneau$-module libre de rang fini.
Pour tout entier $\alpha$ assez grand, 
$u(N)^\sat/u(N)$ et $\Ker(u\otimes(\anneau/\muz^\alpha))$ sont
isomorphes en tant 
que $\anneau$-modules. 
\end{lemme}
\begin{pf}
On peut supposer que $\anneau$ est un anneau de
valuation discr�te et que $u(N)^\sat=M$. Par le th�or�me 
des diviseurs �l�mentaires, nous sommes ramen�s 
� ne traiter que le cas �vident o� $M=\anneau$. 
\end{pf}

\subsection{Congruences}

Jusqu'� la fin de cette partie, $A$ et $B$ d�signent des sous modules de $M$
v�rifiant $A=A^\sat$, $B=B^\sat$ et $A \cap B=0$, 
$\mu$ d�signe un id�al maximal de $\anneau$ et $c \geq 1$ un entier.  

\subsubsection{}
On dit qu'il existe une 
{\it congruence modulo $\mu^c$} entre $A$ et $B$ dans $M$, s'il existe 
$f \in A \setminus\mu A$, $g \in B\setminus \mu B$, 
avec $f-g \in \mu^c M$. On appelle
{\it module de congruence} entre $A$ et $B$ (dans $M$) 
le $\anneau$-module $(A \oplus B)^\sat / (A \oplus B)$. 
Ce module tient son nom du lemme suivant.

\begin{lemme} \label{modcong} Il existe des congruences  
modulo $\mu^c$ entre $A$ et $B$
dans $M$ si et seulement si le module de 
congruence contient un sous-module isomorphe � $\anneau/\mu^c$.
\end{lemme}
\begin{pf}
Soit $\pi$ un g�n�rateur de $\mu$.
Si le module de congruence contient un sous-module isomorphe � $\anneau/\mu^c$ 
alors il existe $h \in (A \oplus B)^\sat$, avec 
$\pi^c h \in A \oplus B$ mais $\pi^{c-1} h \not \in A \oplus B$. 
On a alors $\pi^c h = f +g$ avec $f \in A$ et $g \in B$, et
puisque $B=B^\sat$, on a $f \in \pi A$ si et seulement si $g  \in \pi B$, 
ce qui n'est pas car $\pi^{c-1}h \not\in A + B$. 
On a donc une congruence modulo $\pi^c$ entre $f$ et $g$. 

R�ciproquement, si $f$ et $g$ sont en congruences modulo $\pi^c$, alors 
l'�l�ment
$h:=(f-g)/\pi^c \in (A \oplus B)^{\sat}$ est tel que 
$\pi^{c-1} h \not \in (A \oplus B)$. 
\end{pf}

\subsection{Produit hermitien et congruences}

\label{phc} 
Soit $\gamma\colon \anneau \to \anneau$ 
un automorphisme involutif d'anneaux. 
Pour tout module $N$ libre de type fini sur $\anneau$, 
on note $N^\anti$ le $\anneau$ module des formes $\gamma$-lin�aires
(i.e. telles que $f(a n)=\gamma(a) f(n)$ pour $a \in \anneau$, $n \in N$)
sur $N$ et on appelle {\it produit hermitien} sur $N$ tout 
morphisme $\anneau$-lin�aire 
$p_N: N \rightarrow N^\anti$ tel que $p_N(x)(y)=\gamma(p_N(y)(x))$ 
pour tout $x,y \in N$; on dit que $p_N$ est {\it non d�g�n�r�}
 s'il est bijectif. 
Pour toute partie $P$ de $N$, on note alors $P^\bot$ l'ensemble des $x\in N$ 
tel que $p_N(P)(x)=0$ ; c'est un sous-module facteur direct de $N$. 
Si $P$ est un sous-module de $N$, on note 
$p_P : P \rightarrow P^\anti$ la restriction de $p_N$ � $P$. 

Jusqu'� la fin de cette partie, on d�signe par $p_M$ un  
produit hermitien non d�g�n�r� sur $M$ tel que $B \subset A^\perp$. 

\begin{lemme} \label{modprod}
On suppose que $(A+B)^\bot \oplus A$ est facteur direct dans $M$.
Alors le module de congruence entre $A$ et $B$ dans $M$ est isomorphe � 
$A^\anti/p_A(A)$.
\end{lemme}
\begin{pf}
Le morphisme naturel de $\anneau$-modules 
$(A\oplus B)^\sat/(A\oplus B) \to A^\anti/p_A(A)$
induit par $p_M$
est injectif car $B$ est orthogonal � $A$ et surjectif
car toute forme antilin�aire sur $A$ se prolonge par
hypoth�se en une forme antilin�aire sur $M$ nulle sur $(A\oplus B)^\bot$, 
qui du fait de la non-d�g�n�rescence de $p_M$ est l'image par 
$p_M$ d'un �l�ment de $(A\oplus B)^\sat$. 
\end{pf}

Si $u:\,N \rightarrow M$ est un morphisme injectif 
de modules libres munis de produit
scalaires $p_N$ et $p_M$ non d�g�n�r�s, on note 
${}^t u \colon M^\anti \to N^\anti$ la transpos�e de $u$
et on appelle {\it adjoint} de $u$ le 
morphisme $u^\ast=p_{N}^{-1} \circ {}^t u \circ p_M$.
\begin{lemme} \label{longueur}
Pour tout entier $\alpha$ et tout id�al maximal $\mu$ de $\anneau$, on a
$$\lng\Big(\ker (u \otimes(\anneau/\mu^\alpha))\Big) 
\leq \frac12{\val_\mu(\det(u^\ast u))}.$$
\end{lemme}
\begin{pf} 
Soit $P=u(N)^\sat$. Par le lemme~\ref{noyau}, la 
longueur � calculer est major�e par la $\mu$-valuation du 
d�terminant de $u_P\colon N \to P$ dans deux bases
quelconques de $N$ et $P$. Or, puisque $p_N$ est non d�g�n�r�, 
$u^*_P \colon P \to N$ est bien d�fini et $u^*u=u_P^* u_P$. 
Puisque $\det(u_P)$ divise $\det(u^*_P)$ dans $\anneau$, le lemme est prouv�. 
\end{pf} 

\section{Augmentation du niveau}

\subsection{Espaces de formes automorphes}\label{espacesdeformes}

\subsubsection{Niveau, type et poids}\label{ntp}

On fixe un sous-groupe compact ouvert $K=\prod_v K_v$ de $G(\A_{F,f})$
({\it le niveau}). On note $\Sigma$ l'ensemble fini (\cite{tits}) 
des places $v$ o� $K_v$ n'est pas un compact
maximal hypersp�cial et pour toute place $\mu$ d'un corps de nombres $L$,  
on d�signe par $\Sigma_\mu$ la r�union de $\Sigma$ et
des places finies $v$ de $F$ de m�me caract�ristique r�siduelle que $\mu$.
Pour tout ensemble $\Sigma'$ de places de $F$ contenant $\Sigma$ 
on d�finit l'alg�bre de Hecke 
$$\Hecke^{\Sigma'} :=  \Hecke(\textstyle{\prod_{v \not \in S}' G_v,
\prod_{v \not \in S} K_v})$$
qui est aussi le produit tensoriel restreint des $\Hecke(G_v,K_v)$ pour
$v\not\in \Sigma'$.
Cette alg�bre contient l'op�rateur de Hecke $T_v$
d�fini en~\ref{operateurhecke}, 
pour toute place $v \not\in \Sigma'$ inerte dans $E$.

On fixe aussi une repr�sentation complexe 
lisse irr�ductible $(J,V)$ de $\prod_{v \in \Sigma} K_v$ ({\it le type}),
que l'on voit indiff�rement comme une repr�sentation de $K$.
Enfin, on fixe une repr�sentation complexe continue irr�ductible
$(\rho,W)$ de $G(\A_{F,\infty})$ ({\it le poids}).  
On note $\rho^\ast$ (resp. $J^\ast$) la repr�sentation duale de $\rho$
(resp. $J$).

\subsubsection{Espaces de formes automorphes complexes}
\label{parformescomplexes}\label{defB}
On appelle espace des {\em formes automorphes complexes}
de niveau $K$, de type $J$ et de poids $\rho$  
l'espace vectoriel
$$S_{K,J,\rho,\C}:= \Hom_{K \times G(\A_{F,\infty})}(J \otimes \rho,\BB),$$
o� $\BB$ d�signe 
l'espace des fonctions complexes lisses (i.e. invariante par
translation par un ouvert de $G(\A_{F,f})$ et $\CC^\infty$ sur 
$G(\A_{F,\infty})$) sur $G(F)\backslash
G(\A_{F})$. 
De mani�re trivialement �quivalente, on peut voir 
$S_{K,J,\rho,\C}$ comme l'espace des fonctions
complexes lisses $f$ sur $G(F)
\backslash G(\A_F)$ �  valeur dans  
$V^\ast \otimes W^\ast$ et v�rifiant 
\begin{eqnarray}
\label{eqfonc1} && 
f(gku_{\infty})=(J^\ast(k)^{-1}\otimes \rho^\ast(u_\infty)^{-1})
f(g) \text{ pour $g \in G(\A_{F}),\ k \in K,\ 
u_{\infty} \in G(\A_{F,\infty})$}.  
\end{eqnarray}
On peut ainsi voir $S_{K,J,\rho,\C}$ comme le sous-espace 
des $\prod_{v \neq \Sigma} K_v$-invariants
d'un espace de fonctions complexes sur $G(F)
\backslash G(\A_F)$ sur lequel 
$G(\A_F)$ agit � gauche par translation � droite,
de sorte que $S_{K,J,\rho,\C}$ est muni d'une structure de
$\Hecke^\Sigma$-module � gauche. 


Si $f$ v�rifie
l'�quation fonctionnelle~(\ref{eqfonc1}), la restriction $f'$ de
$f$ � $G(\A_{F,f})$ v�rifie 
\begin{eqnarray} \label{eqfonc2} && 
f'(ugk)=(J^\ast(k)^{-1}\otimes \rho^\ast(u_\infty))
f(g) \text{ pour tout $g \in G(\A_{F,f}),\ u \in G(F),\ k \in K$}.  
\end{eqnarray}
et d�termine $f$ par densit�.

\subsubsection{Mod�le sur un corps de nombres}\label{modelecorpsdenombres}

La repr�sentation $(J,V)$ de $K$ se factorise par un quotient fini. 
Il existe donc un corps de nombres $L \subset \C$
et un $L$-mod�le $(J_L,V_L)$ de $(J,V)$.
Quitte � grossir $L$, on peut supposer qu'il est stable par la
conjugaison complexe, ce qui donne un sens � la notion 
de produit hermitien sur $V_L$. Utilisant que $J_L(K)$ est fini, 
nous choisissons un produit hermitien sur $V_L$ stabyle par $J_L$.

Soit $\rho_\C$ le prolongement de 
la repr�sentation $\rho$  du groupe alg\'ebrique r\'eel
$G(\A_{F,\infty})=\prod_{\sigma|\infty} G(\R)$ sur $W$ en
une repr�sentation de $\prod_{\sigma|\infty} G(\C)$ 
sur le m�me espace $W$. Comme $\rho_\C$ est alg�brique, elle   
admet un mod�le sur un corps de nombres. 
Quitte � grossir  $L$, on peut supposer qu'il existe un 
tel $L$-mod�le $(\rho_L,W_L)$, $\rho_L$ �tant une repr�sentation
de $\prod_{\sigma|\infty} G(\sigma\colon F \to L)$, 
que l'extension $L/\Q$ 
est galoisienne et qu'enfin $L$ contient $F$ et n'est pas inclus dans $\R$. 
 
Notons $L_0$ le sous-corps $L \cap \R$ de $L$, de sorte que $[L:L_0]=2$.
Comme $G(\A_{F,\infty})$ est compact, 
$\rho$ laisse stable un produit hermitien sur $W$, 
et il en va donc de m�me de la restriction de $\rho_L$ � 
$\prod_{\sigma| \infty}G(L_0)$. Nous munissons 
$W_L$ d'une telle structure hermitienne. 

Pour tout $u\in G(F)$, et tout plongement $\sigma$ de $F$ dans $\C$,
on a $\sigma(u) \in L_0$ ; il s'ensuit que 
l'�l�ment $\sigma^\ast(u_\infty)$ de $\Gl(W)$ est en fait un �l�ment unitaire
de $\Gl(W_L)$.
Par ailleurs, \cite[5.1]{borel} assure que
$G(F)\backslash G(\A_{F,f})$ est compact, et donc est
muni d'une unique mesure de probabilit� invariante � droite.
Ceci donne un sens � la d�finition suivante. 
\begin{definition}
Soit $S_{K,J,\rho,L}$ 
le $L$-espace vectoriel des fonctions lisses de $G(\A_{F,f})$ dans 
$V_L^\ast \otimes W_L^\ast$ v�rifiant l'�quation
fonctionnelle~(\ref{eqfonc2}), muni du produit hermitien 
obtenu en int�grant celui de $V_L^\ast \otimes W_L^\ast$
sur $G(F)\backslash G(\A_{F,f})$.
Pour toute $L$-alg�bre $R$, on d�finit le $R$-module $S_{K,J,\rho,R}$
des formes automorphes � valeurs dans $L$ par 
$$S_{K,J,\rho,R} := S_{K,J,\rho,L}\otimes_L R,$$ 
c'est un $R$-module hermitien si $R$ est muni d'une involution 
prolongeant la conjugaison complexe de $L$.
\end{definition}
Proc�dant comme en~\ref{parformescomplexes}, on peut
voir $S_{K,J,\rho,R}$ comme le sous-espace des $\prod_{v \neq \Sigma} K_v$
invariants d'une repr�sentation unitaire de $\prod'_{v \neq \Sigma} G_v$. 
Puisque $\Hecke^\Sigma$ est commutative, ses �l�ments 
agissent normalement sur $S_{K,J,\rho,R}$, qui
est donc un $\Hecke^\Sigma \otimes_\Z R$-module 
semi-simple lorsque $R$ est un corps. 

\subsubsection{}\label{pardescription} Explicitons maintenant cette d�finition.
Puisque $G(F)\backslash G(\A_{F,f})$ est compact,
il existe des �l�ments $x_1,\ldots,x_h$ de $G(\A_{F,f})$ 
tels que 
$$G(\A_{F,f})=\coprod_{i=1}^h G(F)x_i K.$$
Pour tout $i=1,\ldots,h$, 
le groupe $\Gamma_i=(x_i^{-1} G(F) x_i) \cap K$ 
est fini car compact et discret, et on a un isomorphisme 
\begin{eqnarray} \label{description} 
S_{K,J,\rho,L} &\rightarrow &
\oplus_{i=1}^h (V_L^\ast \otimes W_L^\ast)^{\Gamma_i}\\
f &\mapsto & (f(x_1),\dots,f(x_h)).\nonumber \end{eqnarray}
D'autre part, le produit hermitien
sur $S_{K,J,\rho,L}$ est � une constante rationnelle pr�s 
la somme sur $i=1,\ldots,h$ de ceux des espaces 
$(V_L^\ast \otimes W_L^\ast)^{\Gamma_i}$, 
pond�r�e par les inverses des cardinaux des sous-groupes $\Gamma_i$.

%?
%Quitte � remplacer $L$ par une extension finie, 
%on peut supposer que, pour tout $i=1,\ldots,h$, on a l'�galit�
%$$(V_L^\ast \otimes W_L^\ast)^{\Gamma_i}\otimes_L \C=
%(V_\C^\ast \otimes W_C^\ast)^{\Gamma_i}.$$
On a montr� l'�nonc� suivant.
\begin{lemme}
L'espace $S_{K,J,\rho,L}$ 
est un $\Hecke^\Sigma$-mod�le de $S_{K,J,\rho,\C}$. 
\end{lemme}

\subsubsection{D�composition de $S_{K,J,\rho,L}$}
\label{decomp} 
Appliquant~\ref{sepgeneralises} au $\Hecke^\Sigma\otimes L$-module
$S_{K,J,\rho,L}$, on peut supposer, 
quitte � remplacer $L$ par une extension 
finie, qu'il existe un ensemble fini $E_{K,J,\rho,L}$ de caract�res de
$\Hecke^\Sigma$ � valeurs dans $L$ et une d�composition
\begin{eqnarray*}
S_{K,J,\rho,L}=\oplus_\eta S_{K,J,\rho,L}(\eta)
\end{eqnarray*}
(en fait, puisque $S_{K,J,\rho,L}$ est un $\Hecke^\Sigma\otimes L$-module 
semi-simple, les sous-espaces propres g�n�ralis�s $S_{K,J,\rho,L}(\eta)$
sont de simples sous-espaces propres pour l'action de $\Hecke^\Sigma$). 

En particulier, dans le cas o� $J=1_\C$ et $\rho=1_\C$ sont
les actions triviales sur $\C$, 
la droite des fonctions constantes
est un sous-$\Hecke^\Sigma\otimes_\Z L$-module 
de $S_{K,1_\C,1_\C,L}$
sur lequel $\Hecke^\Sigma$ agit par un caract�re � valeurs dans $\Z$ 
not� $\eta_\const$. Pour toute place inerte $v \not \in \Sigma$,
on a $\eta_\const(T_v)=q(q^3+1)$, o� $q$ d�signe le cardinal r�siduel de $F_v$.


Rappelons qu'on dit que deux �l�ments $x$ et $y$ de $L$
sont congrus modulo $\mu$ si $x-y \in \mu \anneau_L$, o� 
$\anneau_L$ d�signe l'anneau des entiers de $L$. 
Le lemme suivant est utile pour s�parer les caract�res de $\Hecke^\Sigma$. 
\begin{lemme}\label{egalitecarac}
Soient $\eta$, $\eta'$ deux caract�res de $E_{K,J,\rho,L}$. 
Si pour presque toute place $\mu$ de $L$, les restrictions de
$\eta$ et $\eta'$ � $\Hecke(G_v,K_v)$ sont congrues modulo $\mu$,
alors $\eta$ et $\eta'$ sont congrus modulo $\mu$. 
\end{lemme}
\begin{pf}
Cela r�sulte imm�diatement de l'existence des repr�sentations
galoisiennes de $\Gal(\bar E/E)$ attach�es � $\eta$ et � $\eta'$ 
(cf.~\ref{repattachee}) et du th�or�me de $\check{\text{C}}$ebotarev.
\end{pf}
\begin{lemme}\label{defs}
 Il existe un ensemble fini $S_1$ de nombres premiers (ne d�pendant que
de $(K,J,\rho)$) tel que pour toute
place $\mu$ de $L$ ne divisant aucun �l�ment de $S_1$
et tout couple de caract�res $\eta$, $\eta'$ 
de $E_{K,J,\rho,L} \cup \{\eta_\const\}$, 
$\eta$ est congru � $\eta'$ si et seulement si $\eta=\eta'$.
\end{lemme}
\begin{pf} C'est �vident. 
\end{pf}

\subsection{Mod�les entiers}\label{modeleentier} 
Nous n'allons pas d�finir de structures enti�res ``globales'' des
espaces pr�c�dents, mais seulement en presque toute place $\mu$ 
de $L$. 
\subsubsection{D�finition de $\rho_\muz$.}
Soit $\muz$ une place finie de $L_0=L\cap\R$. 
Notons $L_\muz$ le compl�t� de $L$ en $\muz$ et
$\anneau_\muz$ son anneau d'entiers, qui est 
une alg�bre semi-locale sur l'anneau des entiers du corps local 
$(L_0)_\muz$, munie d'une unique involution prolongeant
celle de $\anneau_L$. 

Pour toute place infinie $\sigma$ de $F$ correspondant � un plongement 
$F \to L_0$, notons $\sigma^{-1}(\muz)$
la trace de $\muz$ sur $F$ par ce plongement, de
sorte que $F_{\sigma^{-1}(\muz)}$ est plong� dans $L_\muz$.  
On a donc un morphisme naturel de groupes, 
compatible aux plongements de $G(F)$,
\begin{eqnarray} \label{morphismemu}
 &&  G(\A_{F,f}) \to \prod_{\sigma|\infty} G(F_{\sigma^{-1}(\muz)}) \to 
\prod_{\sigma|\infty} G(L_\muz). 
\end{eqnarray}
D�finissons une repr�sentation $\rho_\muz$ de $G(\A_{F,f})$ 
sur $W^*_{L_\muz}$ 
en composant (\ref{morphismemu}) avec 
$$\rho_{L_\muz} \colon \prod_{\sigma|\infty} 
G(L_\muz)\to \GL(W^\ast_{L_\muz}).$$
Pour tout $u\in F$, l'�l�ment $\rho_\muz(u)$
de $\GL(W^\ast_{L_\muz})$ est en fait dans $\GL(W^\ast_L)$ 
et on a l'�galit�
\begin{eqnarray}\label{egaliteu}  
\rho_\muz(u)&=&\rho(u_\infty).  
\end{eqnarray}

Enfin, on fixe un $\anneau_L$-r�seau $V^\ast_{\anneau_L}$ 
(resp. $W^\ast_{\anneau_L}$) de $V^\ast_{L}$ (resp. $W^\ast_L$).

\subsubsection{D�finition des mod�les entiers}

\begin{definition}
Pour toute place $\muz$ de $L_0$, soit 
$S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$
le sous $\anneau_\muz$-module de 
$S_{K,J,\rho,L_\muz}$ 
constitu� des fonctions $f$ telles que
$$  \rho_\muz^\ast(g)^{-1}f(g) 
\in V_{\anneau_\muz}^\ast \otimes W_{\anneau_\muz}^\ast 
\hbox{ pour tout $g \in G(\A_{F,f})$.}$$
\end{definition}

Par d�finition, $\rho_\muz$ se factorise par 
$\prod_{v} G(F_v)$, o� $v$ d�crit l'ensemble des places de $F$
de m�me caract�ristique r�siduelle que $\muz$, 
de sorte que l'on 
peut donc encore voir $S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$ comme l'ensemble
des $\prod_{v \not\in \Sigma_\muz} K_v$-invariants 
d'un espace de fonctions sur $G(\A_{F,f})$ sur lequel 
$\prod'_{v \not\in \Sigma_\muz} G_v$ agit par translation � droite.  
On en d�duit que l'action de $\Hecke^{\Sigma_\muz}$ sur  
$S_{K,J,\rho,L_\muz}$ laisse stable 
$S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$.

\subsubsection{D\'efinition de $S_2$.}\label{modelegroupe}
Le morphisme de $L$-sch�mas en groupes
$$\prod_{\sigma|\infty} G \times_\sigma \spec L  
\to \mathop{\mathrm{\bf GL}}(V_L^\ast \otimes W_L^\ast)$$ 
induisant $\rho_L$ se prolonge en un morphisme 
$$\prod_{\sigma|\infty} G \times_\sigma \spec \anneau_L 
\to \mathop{\mathrm{\bf GL}}(V_{\anneau_L}^\ast \otimes W_{\anneau_L}^\ast)$$ 
au dessus d'un ouvert de $\spec \anneau_L$, d'o� l'existence 
d'un ensemble fini $S_2$ de nombres premiers, ne
d�pendant que de $(K,J,\rho)$, tel que pour toute place
finie $\muz$ de $L\cap\R$ ne divisant aucun �l�ment de $S_2$, 
le r�seau $V_{\anneau_\muz}^\ast \otimes W^\ast_{\anneau_\muz}$ 
de $V^\ast_{L_\muz}\otimes W^\ast_{L_\muz}$ 
est stable sous la restriction de
$J_{L_\muz}^\ast \otimes \rho_{L_\muz}^\ast$ 
au sous-groupe $\prod_{\sigma|\infty} G(\anneau_\muz)$
de $\prod_{\sigma|\infty} G(L_\muz)$.

\subsubsection{D\'efinition de $S_3$.}\label{stabilitereseau}
Par d�finition de la topologie ad�lique, il existe  un ensemble $S_3$
de nombres premiers tel que pour toute place finie $v$ de $F$ ne
divisant aucun �l�ment de $S_3$, on a l'�galit� $K_v=G(\anneau_v)$.
Pour toute place finie $\muz$ de $L_0$ ne divisant
aucun �l�ment de $S_2\cup S_3$, 
\ref{modelegroupe} montre alors que la restriction
de $\rho_\muz \otimes J_L$ � $K$ est � valeurs dans  
$\GL(V_{\anneau_L}^\ast\otimes W_{\anneau_L}^\ast)$. 

\subsubsection{D\'efinition de $S_4$.}\label{produitscalaire}
Comme en~\ref{pardescription}, consid�rons une famille 
$x_1,\ldots,x_h$ de repr�sen\-tants de $G(F)\backslash G(\A_{F,f})/K$ 
et, pour $i=1,\ldots,h$, posons $$\Gamma_i= (x_i^{-1}G(F) x_i)\cap K.$$ 
Le sous-$\anneau_L$-module 
$(V_{\anneau_L}^\ast \otimes W_{\anneau_L}^\ast)^{\Gamma_i}$
du $L$-espace vectoriel 
$(V_{L}^\ast \otimes W_{L}^\ast)^{\Gamma_i}$ en est un r�seau. 
De plus, il existe un ensemble fini de nombres premiers $S_4$, 
tel que pour toute place $\muz$ de $L\cap \R$ 
ne divisant aucun �l�ment de $S_4$
et pour tout $i=1,\ldots,h$, la restriction du produit scalaire
de $V^\ast_{L_\muz}\otimes W^\ast_{L_\muz}$
�
$(V^\ast_{\anneau_\muz}\otimes W^\ast_{\anneau_\muz})^{\Gamma_i}$
est � valeurs dans $\anneau_\muz$ et non-d�g�n�r�e. 
Quitte � remplacer $S_4$ par un ensemble le contenant, on 
suppose de plus que $S_4$ ne contient aucun des
diviseurs des cardinaux des groupes finis $\Gamma_1,\ldots,\Gamma_h$. 
\begin{lemme}\label{lemmemodeleentier}
Soit $\muz$ une place finie de $L_0$ 
ne divisant aucun �l�ment de $S_2\cup S_3\cup S_4$, 
alors $S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$ est un 
$\Hecke^{\Sigma_\muz}$-mod�le 
de $S_{K,J,\rho,L_\muz}$, sur lequel le produit hermitien est non d�g�n�r�.
\end{lemme}
\begin{pf} 
Montrons que $S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$ est un r�seau de 
$S_{K,J,\rho,L_\muz}$.
Pour tout $f \in S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$, 
$g \in G(\A_{F,f})$, $u\in G(F)$ et $k\in K$, on a par~(\ref{eqfonc2}) 
et~(\ref{egaliteu})
\begin{eqnarray*}
  \rho_\muz^\ast(ugk)^{-1} f(ugk)
&= &(J^\ast(k)^{-1} \otimes\rho_\muz^\ast(k)^{-1}\rho_\muz^\ast(g)^{-1}
\rho_\muz^\ast(u)^{-1}\rho^\ast(u_\infty))f(g)\\
&= &(J^\ast(k)^{-1} \otimes\rho_\muz^\ast(k)^{-1})
(\rho_\muz^\ast(g)^{-1}f(g)).\end{eqnarray*}
Sous les notations de~\ref{produitscalaire}, 
le calcul pr�c�dent et \ref{stabilitereseau} impliquent que 
$f\in S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$ si et seulement si
$\rho_\muz^\ast(x_i)^{-1}f(x_i)\in 
V_{\anneau_\muz} \otimes W_{\anneau_\muz}$ pour $i=1,\ldots,h$, et donc 
l'isomorphisme~(\ref{description}), avec $R=L_\muz$, 
induit un isomorphisme  
$$ S_{K,J,\rho,\anneau_\muz} \simeq 
\bigoplus_{i=1}^h \Big(\rho_\muz^\ast(x_i)
(V_{\anneau_\muz} ^\ast \otimes 
W_{\anneau_\muz}^\ast)\Big)^{\Gamma_i}.$$
Or, pour $i=1,\ldots,h$, 
le $\anneau_\muz$-module $\Big(\rho_\muz^\ast(x_i)
(V_{\anneau_\muz} ^\ast \otimes  
 W_{\anneau_\muz}^\ast)\Big)^{\Gamma_i}$  
 est un r�seau 
 du $L_\muz$-espace vectoriel 
$(V_{L_\muz} ^\ast \otimes W_{L_\muz}^\ast)^{\Gamma_i}$.  

Il reste � prouver que 
la restriction du produit hermitien $S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$
� $S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}$ est � valeurs dans $\anneau_\muz$
et non d�g�n�r�e, ce qui d�coule de~\ref{produitscalaire} 
puisque ce produit hermitien est  
une somme directe, pond�r�e par des �l�ments inversibles de $\anneau_\muz$,
de produits hermitiens � valeurs dans $\anneau_\muz$ et non d�g�n�r�s.
\end{pf}

\subsubsection{D�finition} On pose 
$S_{K,J,\rho,R} : = S_{K,J,\rho,\anneau_\muz} \otimes_{\anneau_\muz} R$
pour toute $\anneau_\muz$-alg�bre $R$. Cette d�finition est compatible
avec~\ref{modelecorpsdenombres} par le lemme pr�c�dent.

 \begin{remarque}
Le lemme~\ref{lemmemodeleentier} montre en particulier que
la restriction � $\Hecke^{\Sigma_\muz}$ des 
caract�res de $\Hecke^\Sigma$ d�finis en~\ref{decomp}
est � valeurs dans l'anneau localis� en $\mu$ de $\anneau_L$
pour presque toute place finie $\mu$ de $L$.
\end{remarque}



\subsection{Formes anciennes et nouvelles en $v_0$.}
\label{oldetnews}
\subsubsection{D�finition}\label{corpscoeffs}
On appelle {\em corps de d�finition} pour le triplet $(K,J,\rho)$
tout corps de nombres $L \subset \C$ comme 
en~\ref{modelecorpsdenombres} et~\ref{decomp}.
On appelle {\em bonne place} relativement � $(K,J,\rho)$
toute place finie de $L$ ou $L_0$ ne divisant aucun nombre premier des
ensembles $S_i$, $i=1,\ldots,4$, d�finis en~\ref{defs},~\ref{modelegroupe},
\ref{stabilitereseau} et~\ref{produitscalaire}. 
\subsubsection{Notations.}
Dans ce paragraphe, on conserve toutes les notations de~\ref{ntp},
on fixe un corps de d�finition $L$ pour $(K,J,\rho)$ 
et une bonne place $\muz$ de $L_0$.
On fixe aussi une place finie $v_0 \not \in \Sigma_\muz$,
un sous-groupe compact maximal sp�cial $K'_\vz$ 
de $G_\vz$ tel que les points de $X_\vz$  fix�s par $K_\vz$ et
$K'_\vz$ soient voisins, et 
nous notons $B_\vz$ le sous-groupe d'Iwahori $K_\vz \cap K'_\vz$. 
Nous reprenons les notations $X=G_\vz/K_\vz$, $X'=G_\vz/K'_\vz$ et 
$A=G_\vz/B_\vz$ du paragraphe~\ref{prelimslocaux} pour la place 
$v_0$. 

Nous posons enfin $K':=\prod_{v \neq \vz} K_v \times K'_\vz$ et 
$B:=\prod_{v \neq \vz} K_v \times B_\vz$.
Puisque $\vz \not\in \Sigma$, 
la repr�sentation $J$ de $K$ induit une repr�sentation de $K'$ et $B$)
que l'on d�signe par la m�me lettre 
et le corps de nombres $L$ (resp. la place $\muz$ de $L\cap \R$)
satisfait aussi �~\ref{modelecorpsdenombres} (resp.~\ref{modelegroupe},
\ref{stabilitereseau} et~\ref{produitscalaire}) 
pour les triplets $(K',J,\rho)$ et $(B,J,\rho)$,
de sorte que $S_{K',J,\rho,L}$ et $S_{B,J,\rho,L}$  
(resp. $S_{K',J,\rho,\anneau_\mu}$ et $S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$)
sont des mod�les de $S_{K',J,\rho,\C}$ et $S_{B,J,\rho,\C}$  
(resp. $S_{K',J,\rho,L_\mu}$ et $S_{B,J,\rho,L_\mu}$).

On d�signe par $R$ une $\anneau_\muz$-alg�bre. 

\subsubsection{Interpr�tation locale en termes d'arbre}
\label{interpretationlocale}
Soit $\Gamma$ l'image dans $G_\vz$ du sous groupe de $G(F)$ 
d�fini par l'intersection $G(F)\cap \prod_{v\neq v_0} K_v$ dans 
$G(\A_{F,f})$. 
Comme $G(F)G_\vz$ est dense dans $G(\A_{F,f})$, 
et puisque la restriction de la 
repr�sentation $\rho_\muz$ � $G_{v_0}$ est triviale, 
on a l'�galit�
\begin{eqnarray*} 
S_{K,J,\rho,R} &=& \Hom_{\Gamma} 
(J_L\otimes \rho_L,\CC(X,R)).
\end{eqnarray*}
Ceci nous permet voir $S_{K,J,\rho,R}$ comme le sous-module de 
$\CC(X,R) \otimes_{\anneau_\muz}(V_{\anneau_\muz}^\ast 
\otimes V_{\anneau_\muz}^\ast)$ des fonctions 
covariantes sous $\Gamma$. 
Lorsque $R$ est muni d'une involution prolongeant celle de $\anneau_\muz$, 
le produit hermitien sur $S_{K,J,\rho,R}$ 
est l'int�grale sur $\Gamma\backslash X$ du produit tensoriel
du produit 
$\CC(X,\Z) \times \CC(X,\Z) \to \CC(X,\Z)$ par le produit hermitien de 
$(V_{\anneau_\muz}^\ast 
\otimes W_{\anneau_\muz}^\ast)\otimes_{\anneau_\muz} R$.

De m�me, on a
\begin{eqnarray*}
S_{K',J,\rho,R} &=& \Hom_{\Gamma} 
(J_L\otimes \rho_L,\CC(X',R)),\\
S_{B,J,\rho,R} &=& \Hom_{\Gamma} (J_L\otimes \rho_L,\CC(A,R)).
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Op�rateurs entre espaces de formes automorphes}
\label{operateursglobaux}

Les $R$-morphismes $T$, $U_{1}$, $U_{2}$, %$U'_{1}$, $U'_{2}$, 
$U$, $U$ et $T_{B}$ 
d�finis en~\ref{operateurs} 
entres les modules $\CC(X,R)$, $\CC(X',R)$ et $\CC(A,R)$
commutent � l'action de $G_{\vz}$, donc de $\Gamma$, 
sur $X$, $X'$, $A'$ respectivement. 
Les morphismes qu'ils induisent par tensorisation par 
$V_{\anneau_\muz}^\ast 
\otimes W_{\anneau_\muz}^\ast$
d�finissent donc des $R$-morphismes  
entre $S_{K,J,\rho,R}$, $S_{K',J,\rho,R}$ et $S_{B,J,\rho,R}$ que nous
notons par les m�mes lettres. 
Ainsi, l'op�rateur 
$T : S_{K,J,\rho,R} \rightarrow S_{K,J,\rho,R}$ est simplement 
l'op�rateur de Hecke $T_\vz \in \Hecke(G_\vz,K_\vz Z_\vz)$ 
d�fini en~\ref{operateurhecke} et~\ref{ntp}. 

Notons que $\Hecke^{\Sigma_\muz}$ 
(resp. $\Hecke^{\Sigma_\muz\cup \{v_0\}}$)
agit sur $S_{K,J,\rho,R}$ (resp. $S_{K',J,\rho,R}$ et $S_{B,J,\rho,R}$).
On fait de $S_{B,J,\rho,R}$ un $\Hecke^\Sigma_\muz$-module
en faisant agir $T$ par $T_B$. 

\begin{lemme}\label{lemmeog}
Les $R$-morphismes $T$, $T_B$, $U_1$, $U_2$, $U$, $U'$ satisfont 
les assertions du lemme~\ref{relations}. De plus, 
$U_1$ et $U_2$ (resp. $U$ et $U'$) sont des morphismes de 
$\Hecke^{\Sigma_\muz}$-modules 
(resp. $\Hecke^{\Sigma_\muz \cup\{v_0\}}$).
\end{lemme}
\begin{pf}
La premi�re assertion du lemme r�sulte de~\ref{interpretationlocale}.
La deuxi�me r�sulte de ce que les �l�ments de $G_v$ et $G_\vz$
commutent dans $G(\A_{F,f})$ pour tout $v \neq v_0$. 
\end{pf}


\subsubsection{Formes anciennes et formes nouvelles}\label{oldetnew}

Nous d�finissons l'espace $O_{B,J,\rho,R}$ 
des {\it formes
anciennes} et l'espace $N_{B,J,\rho,R}$ 
des {\it formes nouvelles} � valeurs dans $R$.


On pose tout d'abord 
$$ O_{B,J,\rho,\anneau_\muz }:=  
(U_1\oplus U_2)(S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}^2)^\sat 
\subset S_{B,J,\rho,\anneau_\muz},$$ 
$$N_{B,J,\rho,\anneau_\muz}:= O_{B,J,K,\anneau_\muz}^\bot \subset S_{B,J,\rho,\anneau_\muz}.$$

Puis, pour toute $\anneau_\muz$-alg�bre $R$,
$$ O_{B,J,\rho,\anneau_\muz }:= O_{B,J,\rho,\anneau_\muz}
\otimes_{\anneau_\muz} R  \subset S_{B,J,\rho,R},$$ 
$$ N_{B,J,\rho,\anneau_\muz }:= N_{B,J,\rho,\anneau_\muz}
\otimes_{\anneau_\muz} R  \subset S_{B,J,\rho,R},$$ 

Si $R$ est une $L_\muz$-alg�bre, alors on a l'�galit� $ O_{B,J,\rho,R}:=  
(U_1\oplus U_2)(S_{K,J,\rho,R}^2)$ et, 
puisque le produit hermitien sur $S_{B,J,\rho,\C}$ est d�fini positif,
la d�composition
$S_{B,J,\rho,R}=O_{B,J,\rho,R} \oplus N_{B,J,\rho,R}$. 
Ces assertions ne sont plus vraies {\em a priori} si $R=\anneau_\muz$, 
par exemple. 

\subsection{Le th�or�me}
\begin{theoreme}\label{theoaugniv} 
Soit $(K,J,\rho)$ un niveau, un type, et un poids
comme dans~\ref{ntp}. Soit $L$ un corps de d�finition pour
$(K,J,\rho)$ et $\mu$ une bonne place de $L$ relativement �
$(K,J,\rho)$ au sens de la d�finition~\ref{corpscoeffs}.
Soit $\Sigma$ la r�union de 
l'ensemble des places o� $K$ n'est pas hypersp�cial et 
soit $\psi$ un caract�re de $\Hecke^{\Sigma}$ tel que 
$S_{K,J,\rho,L}(\psi)$ soit non nul.
Soit enfin $\vz$ une place de $F$ inerte dans $E$, hors de $\Sigma$
et de caract�ristique r�siduelle distincte de celle de $\mu$, 
et $\lambda=\psi(T_\vz) \in \anneau_\mu$. 
Si $\displaystyle{\lambda \not \in \{q(q^3+1),-(q^3+1)\}}$, notons  
$c$ le plus petit
entier v�rifiant 
$$c \geq \val_\mu(\lambda-q(q^3+1))/2,$$ 
et si $\lambda=-(q^3+1)$, soit $c=\val_\mu(q^3+1)$;
alors il existe une congruence modulo $\mu^c$ entre  
$O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)$ et $N_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$
dans $S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$. 
\end{theoreme}
\subsubsection{Remarques}\label{remarques}
\begin{itemize}
\item[(1)] Si $\lambda=-(q^3+1)$, alors
$\val_\mu(q^3+1)^2 \geq \val_\mu(\lambda-q(q^3+1))$, 
de sorte que l'on peut toujours prendre pour $c$ la partie
enti�re sup�rieure de $\val_\mu(\lambda-q(q^3+1))/2$, ce qui donne
bien
le th�or�me~\ref{augniv} de l'introduction. Ce cas correspond aux
repr�sentations endoscopiques non temp�r�es (cf.~\ref{nontemp}).
\item[(2)] 
Si $q^3+1$ n'est pas nul modulo $\mu$, i.e. si l'on est en
caract�ristique normale, alors le th�or�me reste vrai en 
prenant $c=\val_\mu(\lambda-q(q^3+1))$
(voir~\ref{remarquefinpreuve}). 
 
\item[(3)]
Soit $\Hecke$ un anneau commutatif contenant $\Hecke^{\Sigma}$
et agissant sur $S_{K,J,\rho,L}$ et $S_{B,J,\rho,L}$ 
de mani�re compatible aux structures enti�res
et aux op�rateurs $U_1$ et $U_2$ d�finis en~\ref{operateursglobaux}.
Dans l'�nonc� du th�or�me, on peut remplacer le caract�re $\psi$
par un caract�re de $\Hecke$ tel que le 
sous-espace propre g�n�ralis� $S_{K,J,\rho,L}(\psi)$ 
(cf.~\ref{sepgeneralises}) est non nul.  On obtient ainsi des formes
nouvelles sur lesquelles on conna�t l'action modulo $\mu^c$ de l'alg�bre 
$\Hecke$ tout enti�re. Cette pr�cision peut �tre utile dans
les applications, en particulier si on prend pour $\Hecke$ le produit
tensoriel de $\Hecke^\Sigma$, avec un ou plusieurs anneaux $\Zc_v$, $v
\in \Sigma$, o� $\Zc_v$ est le centre de l'alg�bre de Hecke 
du type $(K_v,J_v)$
(voir~\ref{remarquefinpreuve2}).

\item[(4)] On peut vraisemblablement �tendre le th�or�me � toutes les
places $\mu$ de $L$ � condition de prendre pour $c$ le plus petit
entier 
plus grand que  $\val_\mu(\lambda-q(q^3+1))/2 - n_\mu$, o� $n_\mu$ est
un entier d�pendant de $\mu \in S$ (et de $(K,J,\rho)$) mais pas de
$v_0$. Les d�tails sont laiss�s au lecteur int�ress�.
\end{itemize}

%En fait, il existe un nombre entier $D$ ne d�pendant que de $(K,J,\rho)$ 
%tel que, pour toute place $\mu$ de $L$ (non plus n�cessairement
%bonne pour $(K,J,\rho)$) et tout entier $c$ v�rifiant 
%$$ c \geq \frac12 \val_\mu(\lambda-q(q^3+1))-\val_\mu D $$
%le th�or�me est encore vrai. 


Le reste de cette partie est consacr�e � la preuve du th�or�me pr�c�dent.
\subsubsection{Notations} On pose 
\begin{eqnarray*} m &:=& \val_{\mu} (\lambda+(q^3+1)),\\  
n &:=& \val_{\mu} (\lambda-q(q^3+1))\\
d &:=& \dim_L S_{K,J,\rho,L}(\psi) \end{eqnarray*}

On note $\muz$ la trace de $\mu$ sur $L_0=L\cap \R$ et
$\anneau_\muz$ le compl�t� de $\anneau_L$ en $\muz$, 
et on pose 
$$ M_0:=(U_1 \oplus U_2)(S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}(\psi)^2)$$
et 
$$ M:=(U_1\oplus
U_2)(S_{K,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)^2)
=M_0 \otimes_{\anneau_\muz} \anneau_\mu.$$
Par le lemme~\ref{lemmeog}, 
on a $M_0^\sat = O_{B,J,\rho,\anneau_\muz}(\psi)$ et
$M^\sat = O_{B,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)=M_0^\sat 
\otimes_{\anneau_\muz} \anneau_\mu$.

Comme en~(\ref{phc}), 
on note $M_0^\anti$ (resp. $(M_0^\sat)^\anti$) l'ensemble des formes  
$\anneau_\muz$-antilin�aires sur $M_0$ (resp. $M_0^\sat$)
et $p_{M_0}\colon M_0 \to M_0^\anti$ 
(resp. $p_{M_0^\sat}$) la restriction du produit hermitien
de $S_{B,J,\rho,\anneau_\muz}$ � $M_0$ (resp. $M_0^\sat$).

\begin{lemme}\label{U1U2}\

(i) Si $\lambda\neq q(q^3+1),-(q^3+1)$, alors le 
morphisme de $L$-espaces vectoriels 
$U_1 \oplus U_2 : S_{K,J,\rho,L}(\psi)^2 \rightarrow 
O_{B,J,\rho,L}$ est injectif. En d'autres termes, les $\anneau_\mu$-r�seaux 
$M$ et $M^\sat$ de $O_{K,J,\rho,L_\mu}(\eta)$ sont de rang $2d$. 

(ii) Si  $\lambda=-(q^3+1)$, alors l'image de  
$U_1 \oplus U_2 : S_{K,J,\rho,L}(\psi)^2 \rightarrow 
O_{B,J,\rho,L}$ est celle du morphisme injectif $U_1$
et les deux r�seaux $M$ et $M^\sat$ de rang $d$ sont �gaux. 
\end{lemme}
\begin{pf} Soient $(f_1,f_2)\in 
\ker (U_1 \oplus U_2)\cap S_{K,J,\rho,L}(\psi)$ 
et $u \in V_L\otimes W_L$. 
Alors $f_1(u)$ et
$f_2(u)$ appartiennent � $\CC(X,L)$ et v�rifient 
$U_1 f_1(u)+U_2 f_2(u)=0$ et $T f_i(u) = \lambda
f_i(u)$ pour $i=1,2$. 

Dans le cas (i), le
lemme~\ref{relations} (iv), appliqu� � $R=L$, implique que $f_1(u)$ et
$f_2(u)$ sont nulles. 
Comme ceci vaut pour tout $u \in V_L \otimes W_L$, c'est que
$f_1$ et $f_2$ sont nulles d'o� la premi�re partie du lemme.

Dans le cas (ii), alors le
lemme~\ref{relations}, (i), implique l'�galit�
$U'Uf_i(u)=0$ pour $i=1,2$. Par l'assertion (ii) du m�me lemme, et 
puisque le produit hermitien sur $S_{K',J,\rho,L}$ est d�fini positif, 
on a donc $Uf_1(u)=Uf_2(u)=0$. Enfin, l'assertion (iii)  
montre que $f_1(u)=f_2(u)$, ce qui prouve que $M$ est l'image de $U_1$. 
Comme le lemme~\ref{relations}, (v), montre que $U_1$ est
injectif sur $S_{K,J,\rho,R}$ pour toute $\anneau_\mu$-alg�bre $R$, 
le lemme~\ref{noyau} donne enfin l'�galit� $M=M^\sat$.  
\end{pf}
\begin{lemme}\label{unautrelemme}
Si $\lambda \neq q(q^3+1), -(q^3+1)$, alors 
$\lng_{\anneau_\mu} (M^\sat/M) \leq dm/2$.
\end{lemme}
\begin{pf}
Le lemme~\ref{noyau} implique que pour tout entier $\alpha$ assez grand, 
le $\anneau_\mu$-module $M^\sat/M$ est isomorphe au noyau de
$(U_1 \oplus U_2)_{|S_{K,J,\rho,R}(\psi)^2}$
avec $R=\anneau/\mu^\alpha$.
D'apr�s le lemme~\ref{relations}, (iii), 
ce module est encore isomorphe � 
$$\{f \in S_{K,J,\rho,R}(\psi), Uf \text{ est constante}\}$$
Par le lemme~\ref{lemmeog}, 
on a pour tout $f  \in S_{K,J,\rho,R}(\psi)$ telle que $Uf$ est
constante et tout $\tau \in \Hecke^{\Sigma_{\muz}}$ l'�galit�
$$ (\eta_\const(\tau)- \psi(\tau)) Uf =  \tau Uf -\psi(\tau)Uf = 
U \tau f -\psi(\tau) U f=0 .$$ 
Or, comme les caract�res $\eta_\const$ et $\psi$ ne sont pas 
congrus modulo $\mu$, le lemme~\ref{egalitecarac}
implique que leurs restrictions � $\Hecke(G_v,K_v)$ sont distinctes
pour une infinit� de places $v \not \in \Sigma$. 
L'ensemble $\Sigma_\muz$ �tant fini, on a n�cessairement $Uf=0$.
 
On a donc prouv� que le $\anneau_\mu$-module  
$M^\sat/M$ est isomorphe � $\ker U_{|S_{K,J,\rho,R}(\psi)}$.
Or, le lemme~\ref{relations}, (i) et (ii), implique l'identit� 
$U^\ast U = T+(q^3+1) = \lambda +(q^3+1)$. 
Puisque $\val_\mu(\lambda+(q^3+1))=m$, on a $\val_\mu(\det U^\ast U)= md$, 
et le lemme d�coule du lemme~\ref{longueur}.
\end{pf}


\begin{lemme}\label{unlemme} 

(i) Si $\lambda\neq q(q^3+1),-(q^3+1)$, alors 
$$\lng_{\anneau_\mu}((M^\anti_0/ p_{M_0}(M_0)) 
\otimes_{\anneau_{\muz}} \anneau_\mu)= d(m+n).$$

(ii) Si $\lambda=-(q^3+1)$, alors 
$\lng_{\anneau_\mu}((M^\anti_0/ p_{M_0}(M_0)) 
\otimes_{\anneau_{\muz}} \anneau_\mu)= d\val_\mu(q^3+1)$.
\end{lemme}
\begin{pf} (i) Par le lemme~\ref{noyau}, $\lng_{\anneau_\mu}(M_0^\anti / 
p_{M_0}(M_0))$
est la $\mu$-valuation du d�terminant de $p_{M_0}$. 
Soit $e_1,\dots,e_d$ est une base orthonorm�e de 
$S_{K,J,\rho,\anneau_\muz}(\psi)$. Par le lemme~\ref{U1U2}, la famille 
$U_1(e_1),U_2(e_1),\dots,U_1(e_d),U_2(e_d)$ de vecteurs de $M_0$
en est une base sur laquelle la matrice de $p_{M_0}$ 
est, d'apr�s la proposition~\ref{ii}, la matrice $(2d,2d)$ diagonale en des blocs $(2,2)$ 
tous �gaux �
$$ \left( \begin{array}{cc} q^3+1 & \lambda \\ 
\lambda & q(q^3+1) + (q-1) \lambda \end{array} \right). $$ 
Le point (i) r�sulte donc du fait que le d�terminant 
de la matrice (2,2) ci-dessus a pour $\mu$-valuation $n+m$
(voir la remarque suivant la proposition~\ref{ii}).

Pour prouver (ii), remarquons que, par le lemme~\ref{U1U2} 
et la proposition~\ref{ii}, la matrice de $p_{M_0}$ est
$q^3+1$ fois la matrice identit� de dimension $d$.
\end{pf}

\begin{prop}\label{existencecong} Le module 
$(M_0^\sat)^\anti /p_{M_0^\sat}(M_0^\sat) $ 
contient un sous-module isomorphe � $\anneau_\mu/\mu^{c}$.
\end{prop}
\begin{pf} Notant $i$ l'injection canonique de $M_0$ dans $M_0^\sat$, 
et $i^\ast$ son adjoint pour $p_{M_0}$ et $p_{M_0^\sat}$, 
on a la suite d'injections 
$$\xymatrix{M_0 \ar[r]^i &  M_0^\sat \ar[r]^{p_{M_0^\sat}}  
& (M_0^\sat)^\anti \ar[r]^{i^\ast}& M_0^\anti },$$
dont la compos�e est $p_{M_0}$. 
Si $\lambda\neq q(q^3+1)$, alors 
$(M_0^\sat/M_0)\otimes \anneau_\mu= M^\sat/M$, 
et les lemmes~\ref{unlemme}\,(i) et~\ref{unautrelemme} impliquent 
\begin{eqnarray*}
\lng_{\anneau_\mu}\Big((M_0^\sat/p_{M_0^\sat} (M_0^\sat))\otimes 
\anneau_\mu\Big) 
&=& \lng_{\anneau_\mu} ((M_0^\anti/p_{M_0}(M_0))\otimes \anneau_\mu) 
- 2 \,\lng_{\anneau_\mu} (M^\sat/M))\\
&\geq& d(n+m)-2(dm/2)\\
&=& dn.
\end{eqnarray*}
Comme  $(M_0^\sat)^\anti /p_{M_0^\sat} (M_0^\sat)$ 
est engendr� par $2d$ �l�ments
comme $\anneau_\muz$-module, la proposition en d�coule.

Si $\lambda=-(q^3+1)$, alors le lemme~\ref{U1U2} montre que
$(M_0^\sat/M_0)\otimes \anneau_\mu=0$, et la proposition
d�coule donc du lemme~\ref{unlemme}\,(ii) et du fait
que $(M_0^\sat)^\anti /p_{M_0^\sat} (M_0^\sat)$ 
est engendr� par $d$ �l�ments.
\end{pf}


\begin{lemme}\label{decompold}
On a la d�composition orthogonale~:
$$O_{B,J,\rho,\anneau_\muz} = 
\oplus_{\eta} O_{B,J,\rho,\anneau_\muz}(\eta) $$
\end{lemme}
\begin{pf}
L'inclusion $O_{B,J,\rho,\anneau_\muz} \supset
\oplus_{\eta} O_{B,J,\rho,\anneau_\muz}(\eta)$
et l'orthogonalit� proviennent de la d�composition 
du paragraphe~\ref{decomp} et du lemme~\ref{lemmeog}.
Le lemme~\ref{defs} montre de plus que 
les caract�res $\eta$ qui interviennent sont deux-�-deux distincts
modulo toutes les places divisant $\muz$. Le 
lemme de Nakayama permet alors d'en d�duire l'autre inclusion. 
\end{pf}

\subsubsection{Preuve du th�or�me~\ref{theoaugniv}}\label{preuve}
Posons $A=S_{B,J,\rho,\anneau_\muz}(\psi)=M_0^\sat$ 
et $B=N_{B,J,\rho,\anneau_\muz}$. 
Par le lemme~\ref{decompold}, on a 
$$(A\oplus B)^\perp
\oplus  A = O_{B,J,\rho,\anneau_\muz}.$$ 
On peut donc appliquer le lemme~\ref{modprod} aux 
sous-$\anneau_\muz$-modules 
$A$ et $B$ de $S_{B,J,\rho,\anneau_\muz}$, dont
on d�duit que 
$(A \oplus B)^\sat /A\oplus B$ 
est isomorphe
� $A^\anti/p_{A}(A)$. 
Or, par la proposition~\ref{existencecong}.
$A^\anti/p_{A}(A) \otimes \anneau_\muz$ 
contient un sous-module isomorphe
� $\anneau_\mu/\mu^c$.
Le lemme~\ref{modcong} appliqu� aux sous-$\anneau_\mu$-modules 
$A \otimes \anneau_\mu$ et $B\otimes\anneau_\mu$ de
$S_{B,J,\rho,\anneau_\mu}$ ach�ve la preuve. 

\subsubsection{Preuve de la remarque~\ref{remarques}\,(2)}\label{remarquefinpreuve} 
Si $q^3+1$ n'est pas nul modulo $\mu$, prouvons qu'on peut prendre
$c=n$. On peut supposer $n \geq 1$, auquel cas 
$\lambda \equiv q(q^3+1) \not \equiv -(q^3+1) \pmod{\mu}$. 
La formule~(\ref{eq}) 
dans la preuve duu lemme~\ref{relations}\,(iv)
montre alors que le noyau de l'op�rateur 
$U_1 \oplus U_2$ avec $R=\anneau_\mu/\mu$ est constitu� 
de fonctions constantes,
et est donc nul puisque $\eta_\const \not \equiv \psi$. 
Par le lemme~\ref{unlemme}, on en d�duit
l'�galit� $M=(U_1 \oplus
U_2)(S_{K,J,\rho,\anneau_\mu}(\psi)^2)=M^\sat$, c'est-�-dire $M_0^\sat \otimes
\anneau_\mu = M_0 \otimes \anneau_\mu$. 

Par ailleurs, la preuve du lemme~\ref{unlemme}\,(i) montre que 
la matrice du produit hermitien $p_{M_0}$ sur $M_0$ 
dans une base ad�quate est diagonale par blocs (2,2)
tous �gaux � $$ \left( \begin{array}{cc} q^3+1 & \lambda \\ 
\lambda & q(q^3+1) + (q-1) \lambda \end{array} \right). $$ 
Comme cette matrice (2,2) a un d�terminant de $\mu$-valuation $m+n=n$ 
et un premier mineur inversible dans $\anneau_\mu$, 
ses diviseur �l�mentaires sur $\anneau_\mu$ 
sont les id�aux $\anneau_\mu$ 
et $\mu^n$. On en d�duit  
que $(M_0)^\anti/p_{M_0}(M_0)$ contient
un sous-module isomorphe � $\anneau_\mu/\mu^n$, et qu'il en va de
m�me de $(M_0^\sat)^\anti/p_{M_0^\sat}(M_0^\sat)$. On conclut comme
en~\ref{preuve}.

\subsubsection{Preuve de la remarque~\ref{remarques}\,(3)}
\label{remarquefinpreuve2} 
Dans ce cas, la 
d�composition de $S_{K,J,\rho,L}$ 
en sous-espaces propres g�n�ralis�es pour $\Hecke$ 
donn�e par~\ref{sepgeneralises}
est plus fine que celle de~\ref{decomp} (notons que cette fois,
la notion de sous-espaces propres g�n�ralis�s est n�cessaire, 
car l'action de $\Hecke$ n'est pas semi-simple 
{\em a priori}) et les
�nonc�s~\ref{U1U2} �~\ref{existencecong} restent donc valables. 
Suivant le lemme~\ref{defs}, si 
l'on d�finit $S$ de sorte que pour 
toute place $\mu$ ne divisant aucun �l�ment
de $S$, les caract�res $\eta$
de $\Hecke$ intervenant dans cette d�composition sont distincts modulo $\mu$,  
alors la preuve du lemme~\ref{decompold} fonctionne sans changement.  

\section{Repr�sentations automorphes et repr�sentations galoisiennes}
\label{sectionrepresentations}

La repr�sentation unitaire $L^2(G(F) \backslash G(\A_F))$ de
$G(\A_F)$ est somme directe orthogonale de repr�sentations
unitaires irr�ductibles
$$L^2(G(F) \backslash G(\A_F)) \simeq \oplus m(\pi) \pi$$
et les repr�sentations $\pi$ qui apparaissent dans 
cette somme avec une multiplicit�
$m(\pi) \geq 1$ sont appel�s les {\it
repr�sentations automorphes} de $G$.
� cette d�composition correspond une d�composition (cf.~\ref{defB})
$$\BB = \oplus  m(\pi) \pi_{lisse},$$
o� $\pi_{lisse}$ d�signe l'ensemble (dense) des vecteurs lisses de $\pi$.

\subsection{Preuve du corollaire~\ref{coraugniv}}
 
\subsubsection{Des repr�sentations aux formes propres}
\label{repform}

Soient $K$, $(J,V)$, $(\rho,W)$ comme en~\ref{ntp}
et soit $\pi$ une repr�sentation automorphe telle que $\pi_\infty \simeq
\rho$ et $\Hom_{K}(J,\pi)\neq 0$. Alors $\Hom_{K\times G(\A_{F,\infty})}
(J \otimes \rho,\pi)= S_{K,J,\rho,\C}$ 
(en effet, pour tout $f \in \Hom_{K\times G(\A_{F,\infty})}
(J \otimes \rho,\pi)$, $(v,w) \in V \times W$, 
$f(v \otimes w)$ appartient � $\pi_{lisse}$, donc � $\BB$).
De plus, si $\eta$ d�signe le caract�re donnant l'action 
de $\Hecke^\Sigma$ sur $\pi^{\prod_{v \not \in \Sigma} K_v}$, 
alors $\Hom_{K\times G(\A_{F,\infty})}
(J \otimes \rho,\pi) \subset   S_{K,J,\rho,\C}(\eta)$.

\subsubsection{Des formes nouvelles propres aux repr�sentations} 
\label{formrep}

Soient de plus $v_0$ et $B$ comme en~\ref{oldetnews}, 
$\Sigma'$ un ensemble fini de places de $F$ contenant $\Sigma$
et $\eta$ un caract�re de $\Hecke^{\Sigma'}$.
Si $N_{B,J,\rho,\C}(\eta)$ est non nul, alors on peut construire
une repr�sentation automorphe $\pi'$ telle que $\pi'{}^\infty
\simeq \rho$ et $\Hom_{K}(J,\pi') \neq 0$, telle que 
l'action de $\Hecke^{\Sigma'}$ sur 
$\pi^{\prod_{v \not \in \Sigma'} K_v}$ soit donn�e par $\eta$, 
et v�rifiant de plus $\pi'{}^{B}\neq 0$ 
et $\pi'^{K}=0$. 

Soit en effet $0 \neq f \in N_{B,J,\rho,\C}(\eta)$,
soit $(v,w) \in V \times W$ tel que $f(v \otimes w)\neq 0$ 
et soit $\pi$ la repr�sentation unitaire engendr� par $f(v \otimes
w)$ dans $L^2(G(F) \backslash G(\A_F))$. Alors $\pi$ a une
d�composition finie orthogonale (avec �ventuellement des multiplicit�s)
$\pi=\oplus_{i=1}^l \pi_i$ � laquelle correspond une d�composition
$f(v \otimes w)=\sum_{i=1}^l f_i$, avec $f_i \in \pi_i^B$ pour 
$i=1,\ldots,l$. Comme $f \in N_{B,J,\rho,\C}$, 
il existe un indice $j$, $1 \leq j \leq l$, 
tel que $f_j$ n'appartienne pas � l'image de $U_1\oplus U_2$ 
(cf.~\S\ref{combinatoire} et d�finition~\ref{oldetnew}). 
Comme $\pi_j$ est irr�ductible, la proposition~\ref{oldu} 
implique que $\pi_j^K=0$. Les autres assertions sont claires.

\subsubsection{Preuve du corollaire~\ref{coraugniv}}
Soient $\pi$, $v_0$ et $\mu$ v�rifiant les hypoth�ses du 
corollaire~\ref{coraugniv}, $\pi$ �tant telle que $\pi_\infty \simeq
\rho$ et $\Hom_{K}(J,\pi)\neq 0$. Si $\eta$ d�signe le caract�re 
de $\Hecke^\Sigma$ attach� � $\pi$, alors $S_{K,J,\rho,\C}(\eta) \neq 0$ 
par~\ref{repform}. 
Si l'on suppose que $\eta(T_{v_0})\equiv q(q^3+1) \pmod{\mu}$, 
alors le th�or�me~\ref{augniv}, et le lemme de Deligne-Serre,
donnent l'existence d'un caract�re $\eta'$ de $\Hecke^{\Sigma_\mu}$ 
congru � $\eta$ modulo $\mu$ et d'une forme 
$0 \neq g \in N_{B,J,\rho,L}(\eta')$ propre pour $\eta'$.
La construction~\ref{formrep} permet de conclure � l'existence de $\pi'$. 
\smallskip

En compl�ment du corollaire, on obtient~:
\begin{prop} Gardons les notations du corollaire~\ref{coraugniv}.
Alors $\pi'_{v_0}$ est isomorphe soit � $\pi^s$, soit � $\St$. 
Si $q^3+1 \not \equiv 0  \pmod{\mu}$, on peut assurer que
 $\pi'_{v_0} \simeq \St$.
\end{prop}
\begin{pf} La premi�re assertion r�sulte imm�diatement du corollaire
et de~\ref{invariants}. Pour la seconde, notons que la preuve du
corollaire montre qu'on construit $\pi'$ telle que $T_B$ agit sur
$(\pi'_{v_0})^{B_{v_0}}$ par $\lambda \equiv q(q^3+1) \pmod{\mu}$. 
Or, d'apr�s le 
lemme~\ref{vptb}, $T_B$ agit sur $(\pi^s)^B$ par $-(q^3+1)$, et donc on
ne peut avoir $\pi'_{v_0}\simeq \pi^s$.
\end{pf}



\subsection{Un lemme de th�orie des repr�sentations}
Le but de ce paragraphe est de montrer le r�sultat suivant, 
que nous utilisons dans la preuve du
th�or�me~\ref{thexistence} (\S\ref{preuveexistence}).  

\subsubsection{Notations.} 
Soit $L\subset \C$ un corps de nombres stable sous la conjugaison 
complexe et $\mu$ une place de $L$.
Soit $\tau$ une repr�sentation de $\Gal(\bar E/E)$ 
de dimension $d \leq 3$ sur $L_\mu$, 
telle qu'il existe un r�seau sur $\anneau_\mu$ stable sous $\tau$. Si
$\Lambda$ d�signe un tel r�seau, 
on note $\tau_\Lambda$ 
la repr�sentation sur $\anneau_\mu$ 
d'espace $\Lambda$ induite par $\tau$.
\begin{prop}\label{antiautodual}
Si $\tau$ est telle que $\tau^c\simeq \tau^\ast$, 
alors elle admet un r�seau stable $\Lambda$
tel que $\tau_\Lambda^c\simeq \tau_\Lambda^\ast$
apr�s une extension des scalaires ramifi�e de degr� $\leq 3$. 
\end{prop}
\noindent

\subsubsection{} La preuve de la proposition~\ref{antiautodual} utilise 
les deux lemmes suivants, pour lesquels nous introduisons
quelques notations.

Soient $\X$ l'immeuble de Bruhat-Tits attach� � $\Gl_3(L_\mu)$, $X$
l'ensemble de ses sommets, $\Sc$ la partie de $\X$ 
fixe par $\tau$ et $S=\Sc \cap X$. 
Rappelons que les points de $X$ correspondent aux
classes d'homoth�ties $[\Lambda]$ de $\anneau_\mu$-r�seaux $\Lambda$
dans $L_\mu^3$, et que ceux de $S$ sont les classes $[\Lambda]$ avec $\Lambda$
stable sous $\tau$ (\cite[lemme 3.1.2]{ribellaiche}).

\begin{lemme}\label{premierlemme} 
Il existe un automorphisme de complexe polysimplicial
$b$ de $\X$, qui laisse stable $\Sc$, et tel que, pour
 tout $[\Lambda] \in S$, l'�galit� $b([\Lambda])=[\Lambda']$ implique 
$$\tau_\Lambda^c \simeq \tau_{\Lambda'}^\ast.$$
\end{lemme}
\begin{pf} Voir \cite[7.3.3]{joeletgaetan}.
\end{pf}
\begin{lemme} Si $\tau$ est irr�ductible et v�rifie 
$\tau^c \simeq \tau^\ast$, alors il existe un point de $S$ fixe par $b$ 
apr�s une extension des scalaires ramifi�e de degr� $\leq 3$. 
\end{lemme}
\begin{pf} Comme $\tau$ est irr�ductible, l'ensemble $S$ est fini 
d'apr�s~\cite[prop. 3.2.1 et remarque suivante]{ribellaiche}. 
Par~\cite{bt}, il existe donc une facette $F \subset \Sc$ 
telle que $b(F)=F$. L'isobarycentre $x$ de $F$ v�rifie $b(x)=x$ et il
est clair qu'apr�s une extension ramifi�e de
degr� $1 + \dim F$ de $L_\mu$, on a $x \in S$. 
\end{pf}
 
\subsubsection{Preuve de la proposition~\ref{antiautodual}}
Si $\tau$ est irr�ductible, il suffit de combiner les
deux lemmes ci-dessus. Si $\tau \simeq \tau_1 \oplus \tau_2$, o� 
$\tau_1$ et $\tau_2$ sont irr�ductibles de dimension $1$ et $2$ 
respectivement, alors on a $\tau_i^c \simeq \tau_i^\ast$ pour $i=1,2$
et on est ramen� au cas o� $\tau$ est irr�ductible. 
Enfin, si $\tau$ est somme de caract�res, alors 
$\Sc=S$ est r�duit � un seul point et le r�sultat r�sulte
directement du lemme~\ref{premierlemme}.

\subsection{Preuve du th�or�me~\ref{thexistence}}\label{preuveexistence}

\subsubsection{Repr�sentations galoisiennes attach�es aux repr�sentations 
automorphes}

 \label{repattachee}

Soit $\pi$ une repr�sentation automorphe pour $G$.
D'apr�s les travaux de Rogawski, Blasius et Rogawski 
(cf. \cite[th. 1.9.1]{br}), on peut attacher � $\pi$ un corps de d�finition
 $L$, et un 
syst�me compatible $\rho_\mu : \Gal(\bar E/E) \rightarrow \Gl(M_\mu)$ de 
repr�sentations continues de $\Gal(\bar E/E)$
de dimension $3$ sur $L_\mu$, $\mu$ parcourant l'ensemble des places finies 
de $L$, qui v�rifient :

{\it Pour toute place finie $\mu$ de $L$ et toute  place finie $v$ de $F$ non ramifi�e 
dans $E$ o� $\pi$ est non ramifi�e,  et 
toute place $w$ de $E$ au-dessus de $v$,
$\rho_\mu$ est non ramifi�e en $w$, et le polyn�me caract�ristique de
$\rho_\mu(\Frob_w)$ co�ncide avec celui de $\mat_{\pi,w}$.}

Fixons dor�navant une place finie $\mu$ de $L$. 
Compte tenu de la forme des matrices de Hecke 
(\ref{heckeinerte} et \ref{heckedec}), il vient facilement
que la repr�sentation $\rho_\mu$ v�rifient 
$$\rho_\mu^c \simeq \rho_\mu^\ast.$$
Appliquant la proposition~\ref{antiautodual}, 
et en rempla\c cant �ventuellement $L_\mu$ par une extension ramifi�e de
degr� $\leq 3$, on en d�duit qu'il 
existe un r�seau $\Lambda$ de $L_\mu^3$, stable 
sous $\rho_\mu$, tel que la repr�sentation $\rho_\Lambda$ 
de dimension $3$ sur $\anneau_\mu$
d'espace $\Lambda$ induite par $\rho_\mu$ v�rifie
$\rho_\Lambda^c\simeq \rho_\Lambda^\ast$.

\subsubsection{}(Le lecteur pourra comparer avec~\cite[partie 6]{clozel}.)
Choisissons une base de $\Lambda$, ce qui nous permet de voir $\rho_\Lambda$ 
comme un morphisme $\Gal(\bar E/E) \rightarrow \Gl_3(\anneau_\mu)$ et
rappelons que $\gamma$ est un �l�ment d'ordre $2$ de 
$\Gal(\bar E/F)$ relevant la conjugaison de $\Gal(E/F)$, cf.~\ref{corps}.
Pour toute matrice $M$ de $\Gl_3(L_\mu)$, on pose $M^\ast := {}^t M^{-1}$.
L'existence d'un isomorphisme $\rho_\Lambda^c \simeq \rho_\Lambda^\ast$, 
se traduit par celle d'une matrice $A \in \Gl_3(\anneau_\mu)$ 
telle que pour tout $g \in \Gal(\bar E/E)$
\begin{eqnarray} \label{antiauto} 
\rho_\Lambda(\gamma g \gamma^{-1}) = A \rho_\Lambda(g)^\ast A^{-1}. 
\end{eqnarray}
Notons $H$ l'image de $\rho_\Lambda$, 
$C$ le groupe � deux �l�ments $\{1,c\}$ 
La relation~(\ref{antiauto}) permet de faire agir $C$ 
sur le sous-groupe $H$ de $\Gl_3(\anneau/\mu^n)$ 
en faisant op�rer $c$ par $M \mapsto A M^\ast A^{-1}$. 
On d�finit $\tilde H:= H \sd C$ comme �tant le produit semi-direct 
attach� � cette action. La relation~(\ref{antiauto}) implique  
que $\rho_\Lambda$ se prolonge en un morphisme 
$\tilde \rho_\Lambda \colon\Gal(\bar E/F) \rightarrow \tilde H$ 
en posant
$$\left\{ \begin{array}{rcl}
\tilde \rho_\Lambda(\sigma) & := & \rho_\Lambda(\sigma) 
\sd 1, \ \sigma \in \Gal(\bar E/E) \\
\tilde \rho_\Lambda(\gamma) & := & 1 \sd c 
\end{array}\right.$$

\subsubsection{} Soit $n \geq 1$ un entier. 
Notons $H_n$ la r�duction de $H$ modulo $\mu^n$, 
c'est-�-dire l'image de $H$ par le morphisme 
$\Gl_3(\anneau_\mu) \rightarrow \Gl_3(\anneau_\mu/\mu^n)$, 
notons $\tilde H_n$ le produit semi-direct $H_n\sd C$
et $\tilde \rho_n\colon \tilde \Gal(\bar E/F) \to \tilde H_n$ 
le morphisme de groupes induit par $\tilde \rho_\Lambda$.  
Soit $l$ la caract�ristique r�siduelle de $\mu$ et 
$\omega_{l^n} : \Gal(\bar E/F) \rightarrow 
(\Z/l^n\Z)^\ast$ le caract�re cyclotomique. Comme 
l'�l�ment $(1 \sd c, -1)$ de $\tilde H_n \times \Z/l^n \Z$
est l'image de $\gamma$ par $\tilde \rho_n \times \omega_{l^n}$, 
le th�or�me de $\check{\text{C}}$ebotarev implique 
l'existence d'un ensemble
de densit� analytique strictement positive de places $v$ de $F$ telles
que $\tilde \rho_n(\Frob_v)  = 1 \sd c$ et $\omega_{l^n}(\Frob_v)=-1$.
Or, toute place $v$ de $F$ d�compos�e dans $E$ v�rifie 
$\Frob_v \in \Gal(\bar E/E)$ soit 
$\tilde \rho_n (\Frob_v) \in \Gl_3(\anneau_\mu/\mu^n) \sd 1$, 
d'o� l'existence d'un ensemble 
de densit� analytique strictement positive de 
places $v$ de $F$ inertes
dans $E$ telles que 
$\tilde \rho_n(\Frob_v)  = 1 \sd c$ et $\omega_{l^n}(\Frob_v)=-1$.

Soit $v$ une place de cet ensemble
et $q$ le cardinal r�siduel de $F_v$; v�rifions 
que $v$ v�rifie la conclusion du th�or�me~\ref{thexistence}. 
D'une part, on a l'�galit� $q+1\equiv 0 (\mod \mu^n)$ puisque $q
=\omega_{l^\infty}(\Frob_v) \equiv -1 \pmod{\mu^n}$. 
D'autre part, en notant $w$ la place de $E$ au dessus de $v$, 
on a $\Frob_w=\Frob_v^2$, d'o� l'�galit� 
dans $\Gl_3(\anneau_\mu/\mu^n)$
$$\rho_n(\Frob_w) = (\tilde \rho_n(\Frob_v))^2=(1\sd c)^2  = 1
= \left(\begin{array}{ccc} q^2 & & \\ & 1 & \\ & & q^{-2} 
\end{array} \right),$$
ce qui par~\ref{satakeinerte} implique que 
l'op�rateur de Hecke $T_v$ agit sur
$\pi_v^{K_v}$ par $q(q^3+1) \pmod{\mu^n}$. 

\subsection{Applications aux repr�sentations endoscopiques non temp�r�es}

\subsubsection{Rappels}
\label{nontemp}
Une repr�sentation automorphe pour $G$ est dite {\it endoscopique non 
temp�r�e} si elle v�rifie les propri�t�s �quivalentes suivantes
\begin{itemize} 
\item[(a)] $\pi_v$ est isomorphe � $\pi^n$ en une place $v$ inerte dans $E$.
\item[(b)] $\pi_v$ est isomorphe � $\pi^n$ en presque toute les places
$v$ inertes dans $E$.
\item[(b')] $\pi_v$ est isomorphe � $\pi^n$ en presque toute les places
$v$ inertes o� $\pi$ est non ramifi�e.
\item[(c)] Il existe deux caract�res de Hecke $\chi$ et $\phi$ de $E$,
v�rifiant  $\chi^c = \chi^{-1}$ et $\phi^c = \phi^{-1}$,  
tels que pour toute place
$w$ de $E$ la matrice de Hecke $\mat_w(\pi)$ soit
$$\diag(\chi(\pig_w)\phi(\pig_w)|\pig_w|^{1/2},\phi(\pig_w),\chi(\pig_w)\phi(\pig_w)|\pig_w|^{-1/2}),$$
o� $\pig_w$ d�signe  une uniformisante de $E_w$.
\item[(d)] $\pi$ est non temp�r�e en presque toute place et est de
dimension infinie.
\end{itemize}

L'�quivalence entre (a) et (b) r�sulte de~\cite[th. 13.3.6 (c)]{roglivre},
l'�quivalence entre (b) et (c) de~\cite[pages 395-398]{rog3} ;
que (c) implique (d) est clair, car les matrices de Hecke des
repr�sentations $1$-dimensionnelles sont de la forme 
$$\diag(\phi(\pig_w)|\pig_w|,\phi(\pig_w),\phi(\pig_w)|\pig_w|^{-1})$$
et (d) implique (c) r�sulte de la classification des $A$-paquets de
$G$ rappel�e 
en~\cite[2.9]{Rog1}, de la construction de la
repr�sentation galoisienne associ�e et des conjectures de Weil,
prouv�es par Deligne.

On conjecture en g�n�ral que les repr�sentations automorphes
qui sont temp�r�es en presque toutes places le sont partout. Pour $G=\U(3)$,
nous montrerons ce r�sultat � l'aide du
th�or�me~\ref{augniv} dans un prochain travail. 
Sans recourir � ce r�sultat, convenons 
d'appeler abusivement {\it temp�r�es} 
les repr�sentations automorphes qui le sont
en presque toute place.
 
\begin{theoreme} Soit $\pi$ une repr�sentation automorphe non
temp�r�e et $L$ un corps de d�finition pour $\pi$. 
Pour presque toute place $\mu$ de $L$
il existe une repr�sentation automorphe temp�r�e $\pi'$ telle que
$\pi' \equiv \pi \pmod{\mu}$. \label{thtemp}
\end{theoreme}



\begin{pf} 
Le corollaire~\ref{coraugniv} et le th�or�me~\ref{thexistence} 
 montrent pour presque toute place $\mu$ de $L$, 
l'existence d'une repr�sentation $\pi'$, d'une place inerte
 $v_0$ o� $\pi$ est non ramifi�e telles que
$(\pi'_{v_0})^{B_{v_0}} \neq 0$ et $(\pi'_{v_0})^{K_{v_0}} =0$ v�rifiant
$\pi'\equiv \pi \pmod{\mu}$.

Reste � montrer qu'on peut imposer que $\pi'$ soit
temp�r�e. 

La forme des matrices de Hecke interdit que $\pi'$ soit de dimension
1, quitte � exclure  encore un nombre fini de $l$. Supposons par
l'absurde que $\pi'$ est endoscopique non temp�r�e, et soit
$\chi'$,$\phi'$
les caract�res de Hecke de $E$ attach�e � $\pi'$. On a $\chi \equiv
\chi' \pmod{\mu}, \psi'\equiv \psi; \pmod{\mu}$. En particulier, les
signes des �quations fonctionnelles $\epsilon(\chi)$ et
$\epsilon(\chi')$ sont les m�mes
(cf. \cite{deligne}). D'apr�s~\cite[th�or�me 1.2]{rog3}, la
multiplicit� de  $\pi$
(resp. $\pi'$) est donn�e par
$$m(\pi)=1/2(1+\epsilon(\chi)(-1)^{N+\deg_\Q F})$$
(resp. $m(\pi')=1/2(1+\epsilon(\chi')(-1)^{N'+\deg_\Q F})$) o� $N$ (resp. $N'$)
est le nombre de places inertes ou ramifi�es o� $\pi$ est du type
$\pi^s$ (cf. {\it loc. cit} pour le sens exact de ``de type $\pi^s$'').  
En la place $v_0$, on a $\pi'_{v_0} \simeq  \pi^s$ 
car $\pi'_{v_0} \simeq \St$ exclurait que $\pi'$ soit endoscopique
(cf.~\cite[th. 14.6.4]{roglivre}), tandis que $\pi_{v_0} \simeq \pi^n$. 
Au places $v \neq v_0$, un choix ad�quat de poids $K$ et du type $J$
assure que $\pi'_v$  de type $\pi^s$ si et seulement si $\pi_v$
l'est. On a donc $N'=N+1$. Ceci exclut que $m(\pi) m(\pi') \geq 1$, et cette 
contradiction prouve le th�or�me.
\end{pf}

{\tiny{ }\  \\
Jo�l Bella�che, Philippe Graftieaux\\
jbellaic@math.unice.fr, graftiea@math.unice.fr\\
Laboratoire J.A.Dieudonne \\ 
Universite de Nice Sophia-Antipolis\\
Parc Valrose\\
06108 Nice Cedex 2\\}


\begin{thebibliography}{9999999} 
\bibitem[Bel1]{Joelthese}{\bf J. Bella�che,} {\it 
Congruences endoscopiques et
repr�sentations galoisiennes }, Th�se de l'universit� Paris 11 
(2002).\\ Disponible sur 
http://www.math.u-psud.fr/theses-orsay/2002/2395.html

\bibitem[Bel2]{ribellaiche}{\bf J. Bella�che,} {\it � propos 
d'un lemme  de Ribet}, � paraitre aux Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,
Pr�pub. DMA 02-17, �cole Normale Sup�rieure (2002). 

\bibitem[Bel-Che]{joeletgaetan}{\bf J. Bella�che et G. Chenevier,} {\it Formes non temp�r�es pour $U(3)$ et conjectures de Bloch-Kato},
Pr�pub. PUMA 672, Universit� de Nice (2002).\\ 
Disponible sur arXiv:mathNT/0212282

\bibitem[Ber]{bernstein} {\bf J. N. Bernstein,} 
{\it Le ``centre'' de Bernstein}, in
{\it Representations of reductive groups over a local field},
 Hermann, 1--32 (1984).

\bibitem[Bla-Rog]{br}{\bf D. Blasius et J.Rogawski,}
{\it Tate class and arithmetic quotient of two-ball}, in \cite{zfpms} 
421--443.

\bibitem[Bor]{borel}{\bf A. Borel,} {\it Some finiteness properties
of adele groups over number fields}, Publ. Math. IHES 
{\bf 16}, 5--30 (1963).

\bibitem[Bor2]{borel2}{\bf A. Borel}
{\it 
Admissible representations of a semi-simple group over a local field with vectors fixed under an Iwahori
   subgroup}, Invent. Math. {\bf 35}, 233--259 (1976).

\bibitem[B-T]{bt}{\bf F. Bruhat et J. Tits,}
{\it Groupes r�ductifs sur un corps local,}
Publ. Math. IHES {\bf 41} (1972).


\bibitem[Car]{cartier}{\bf P. Cartier,} 
{\it Representations of $\p$-adic Groups, }
in \cite{corvallis}, 111--155.

\bibitem[Cho]{choucroun}{\bf F. Choucroun},
{\it Analyse harmonique des groupes
d'automorphismes d'arbres de Bruhat-Tits},
M�m. Soc. Math. France (N.S.) {\bf 58} (1994).

\bibitem[Clo]{clozel}{\bf L. Clozel,}
{\it On Ribet's Level-raising Theorem for $\U(3)$,}
Amer. J. Math. {\bf 122}, 1265--1287 (2000).

\bibitem[Corvallis]{corvallis}{\bf Edited by A. Borel and W. Casselman}, 
{\it Automorphic forms, representations, and
$L$-functions}, {Proc. Sympos. Pure Math {\bf 33}}, Vol. 1 (1977).

\bibitem[Del1]{deligne}{\bf P. Deligne}, 
{\it Les constantes des �quations fonctionnelles des fonctions $L$}, 
in {\it Modular functions of one variable  II},  
Lecture Notes in Math. {\bf 349}, 501--597 (1973).

\bibitem[Key]{KE}{\bf D. Keys},
{\it Principal series representations of special unitary groups over
local fields}, 
Compositio Math. {\bf 51}(1), 115--130 (1984).

\bibitem[H-T]{ht}{\bf M. Harris \& R. Taylor}, 
{\it The geometry and
cohomology of some simple Shimura varieties}, 
Annals of Math. Studies {\bf 151}, Princeton University Press (2001).

\bibitem[Laz]{theselazarus}
{\bf X. Lazarus},
{\it Module universel non ramifi� pour un groupe r�ductif $p$-adique},
Th�se de l'universit� Paris 11, non publi� (2000).

\bibitem[Rog1]{Rog1}{\bf J. Rogawski},
{\it Analytic expression for the number of points mod $p$},
in \cite{zfpms}, 65--109. 

\bibitem[Rog2]{rog3}{\bf J. Rogawski},
{\it The multiplicity formula for A-packets}, 
in \cite{zfpms}, 395--419.

\bibitem[Rog3]{roglivre}{\bf J. Rogawski},
{\it Automorphic representations of unitary groups in three
variables},
Annals of math. studies {\bf 123}, Princeton University Press (1990).

\bibitem[Tay]{taylor}
{\bf R. Taylor },
{\it On Galois representations associated to Hilbert modular forms},
Invent. Math. {\bf 98}, 265--280 (1989).

\bibitem[Tit]{tits}
{\bf J. Tits},
{\it Reductive Groups over Local Fields}, in \cite{corvallis}, 29--69.


\bibitem[ZFPMS]{zfpms}{\bf Edited by R. Langlands and D. Ramakhrisnan},
{\it The Zeta functions of Picard modular surfaces}, 
Publications C.R.M., Montr�al (1992).

\end{thebibliography}

\end{document}



math0307300.extracted_bib
\begin{thebibliography}{9999999} 
\bibitem[Bel1]{Joelthese}{\bf J. Bella�che,} {\it 
Congruences endoscopiques et
repr�sentations galoisiennes }, Th�se de l'universit� Paris 11 
(2002).\\ Disponible sur 
http://www.math.u-psud.fr/theses-orsay/2002/2395.html

\bibitem[Bel2]{ribellaiche}{\bf J. Bella�che,} {\it � propos 
d'un lemme  de Ribet}, � paraitre aux Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,
Pr�pub. DMA 02-17, �cole Normale Sup�rieure (2002). 

\bibitem[Bel-Che]{joeletgaetan}{\bf J. Bella�che et G. Chenevier,} {\it Formes non temp�r�es pour $U(3)$ et conjectures de Bloch-Kato},
Pr�pub. PUMA 672, Universit� de Nice (2002).\\ 
Disponible sur arXiv:mathNT/0212282

\bibitem[Ber]{bernstein} {\bf J. N. Bernstein,} 
{\it Le ``centre'' de Bernstein}, in
{\it Representations of reductive groups over a local field},
 Hermann, 1--32 (1984).

\bibitem[Bla-Rog]{br}{\bf D. Blasius et J.Rogawski,}
{\it Tate class and arithmetic quotient of two-ball}, in \cite{zfpms} 
421--443.

\bibitem[Bor]{borel}{\bf A. Borel,} {\it Some finiteness properties
of adele groups over number fields}, Publ. Math. IHES 
{\bf 16}, 5--30 (1963).

\bibitem[Bor2]{borel2}{\bf A. Borel}
{\it 
Admissible representations of a semi-simple group over a local field with vectors fixed under an Iwahori
   subgroup}, Invent. Math. {\bf 35}, 233--259 (1976).

\bibitem[B-T]{bt}{\bf F. Bruhat et J. Tits,}
{\it Groupes r�ductifs sur un corps local,}
Publ. Math. IHES {\bf 41} (1972).


\bibitem[Car]{cartier}{\bf P. Cartier,} 
{\it Representations of $\p$-adic Groups, }
in \cite{corvallis}, 111--155.

\bibitem[Cho]{choucroun}{\bf F. Choucroun},
{\it Analyse harmonique des groupes
d'automorphismes d'arbres de Bruhat-Tits},
M�m. Soc. Math. France (N.S.) {\bf 58} (1994).

\bibitem[Clo]{clozel}{\bf L. Clozel,}
{\it On Ribet's Level-raising Theorem for $\U(3)$,}
Amer. J. Math. {\bf 122}, 1265--1287 (2000).

\bibitem[Corvallis]{corvallis}{\bf Edited by A. Borel and W. Casselman}, 
{\it Automorphic forms, representations, and
$L$-functions}, {Proc. Sympos. Pure Math {\bf 33}}, Vol. 1 (1977).

\bibitem[Del1]{deligne}{\bf P. Deligne}, 
{\it Les constantes des �quations fonctionnelles des fonctions $L$}, 
in {\it Modular functions of one variable  II},  
Lecture Notes in Math. {\bf 349}, 501--597 (1973).

\bibitem[Key]{KE}{\bf D. Keys},
{\it Principal series representations of special unitary groups over
local fields}, 
Compositio Math. {\bf 51}(1), 115--130 (1984).

\bibitem[H-T]{ht}{\bf M. Harris \& R. Taylor}, 
{\it The geometry and
cohomology of some simple Shimura varieties}, 
Annals of Math. Studies {\bf 151}, Princeton University Press (2001).

\bibitem[Laz]{theselazarus}
{\bf X. Lazarus},
{\it Module universel non ramifi� pour un groupe r�ductif $p$-adique},
Th�se de l'universit� Paris 11, non publi� (2000).

\bibitem[Rog1]{Rog1}{\bf J. Rogawski},
{\it Analytic expression for the number of points mod $p$},
in \cite{zfpms}, 65--109. 

\bibitem[Rog2]{rog3}{\bf J. Rogawski},
{\it The multiplicity formula for A-packets}, 
in \cite{zfpms}, 395--419.

\bibitem[Rog3]{roglivre}{\bf J. Rogawski},
{\it Automorphic representations of unitary groups in three
variables},
Annals of math. studies {\bf 123}, Princeton University Press (1990).

\bibitem[Tay]{taylor}
{\bf R. Taylor },
{\it On Galois representations associated to Hilbert modular forms},
Invent. Math. {\bf 98}, 265--280 (1989).

\bibitem[Tit]{tits}
{\bf J. Tits},
{\it Reductive Groups over Local Fields}, in \cite{corvallis}, 29--69.


\bibitem[ZFPMS]{zfpms}{\bf Edited by R. Langlands and D. Ramakhrisnan},
{\it The Zeta functions of Picard modular surfaces}, 
Publications C.R.M., Montr�al (1992).

\end{thebibliography}