math0307156.tex
\documentclass[a4paper,9pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,array,amsthm,graphics}
\usepackage{dsfont}\let\mathbb\mathds
\usepackage[english,frenchb]{babel}
\usepackage[all,dvips]{xy}
%\documentclass[9pt]{article}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{a4,amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
%\usepackage{french}
%\usepackage[all]{xy}
%\documentclass[9pt]{article}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{a4,amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm}
%\usepackage{french}
%\usepackage[all]{xy}

% Format De Z�luis
\textwidth=14.5cm
\oddsidemargin=-0cm
\evensidemargin=-0.8cm
\topmargin=-1.2cm
\textheight=23cm
\vsize=29.7cm
\parindent=10mm
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve: }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}%\flushright
\newenvironment{exemple}{\vskip 2mm\noindent {\it Exemple: }}

%%Raccourcis----------------------------------------------------------
\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Dd}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Hh}{\mathbb{H}}
\newcommand{\Bb}{\mathbb{B}}
\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}}

\newcommand{\titau}{{\tilde \tau}}
\newcommand{\tieta}{{\tilde \eta}}
\newcommand{\tiDelta}{{\tilde \Delta}}
\newcommand{\tipsi}{{\tilde \psi}}
\newcommand{\tinu}{{\tilde \nu}}
\newcommand{\tiW}{{\tilde W}}

\newcommand{\Del}{{\Delta}}
\newcommand{\Delstar}{{{\Delta}^*}}


\newcommand{\calo}{\mathcal{O}}
\newcommand{\calv}{\mathcal{V}}
\newcommand{\calm}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cala}{\mathcal{A}}
\newcommand{\calf}{\mathcal{F}}
\newcommand{\calp}{\mathcal{P}}
\newcommand{\calu}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cale}{\mathcal{E}}
\newcommand{\calg}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cald}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cals}{\mathcal{S}}
\newcommand{\caly}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\calx}{\mathcal{X}}
\newcommand{\calh}{\mathcal{H}}
\newcommand{\call}{\mathcal{L}}
\newcommand{\calc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\calk}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cali}{\mathcal{I}}
\newcommand{\calw}{\mathcal{W}}
\newcommand{\calt}{\mathcal{T}}
\newcommand{\calr}{\mathcal{R}}
%minuscules

\newcommand{\pcalp}{\mathcal{p}}
\newcommand{\pcalq}{\mathcal{q}}



\newcommand{\HI}{H^\infty(\Bb)}



\linespread{1.1}


\setcounter{secnumdepth}{3}  % section sous section et sous-soussection . 
\setcounter{tocdepth}{4}     % numerotation jusqu'aux sous-sous-sections dans la table des matieres
%\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{empty}}

%-----------------------------------------------


%\xyoption{dvips}


\newenvironment{theor}
{\vskip 2mm\noindent {\bf Th\'eor\`eme.}}{\vskip 2mm}
\newenvironment{defin}
{\vskip 2mm\noindent {\bf D\'efinition.}}{\vskip 2mm}

\newenvironment{prop}
{\vskip 2mm\noindent {\bf Proposition.}}{\vskip 2mm}

\newenvironment{cor}
{\vskip 2mm\noindent {\bf Corollaire.}}{\vskip 2mm}

%nouveau theoremes-----------------------------------------------------
\newtheorem{theoreme}{Th�or�me} %ecrit les th�or�me avec le num�ro de la section devant
\newtheorem{lemme}{Lemme} 
%\newtheorem{lemme}[theorem]{Lemme}       % compte les lemmes dans le meme compteur que les theoremes
%\newtheorem{corollaire}[theorem]{Corollaire}
%\newtheorem{definition}[theorem]{D�finition}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}

\newtheorem{corollaire}{Corollaire}
\newtheorem{definition}{D�finition}
\newtheorem{proposition}{Proposition}

\theoremstyle{plain}

%\renewcommand{\thetheorem}{\Roman{chapter}.\arabic{section}.\arabic{theorem}} %exemple de style de numerotation des thm (daniel)
%\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{theorem}} %exemple de style de numerotation des thm (daniel)
%\renewcommand{\thetheorem}{\arabic{section}.\arabic{theorem}}
%\newtheorem*{theorem*}{Theoreme} % Ne met pas de num�ro de th�or�me
%\newtheorem*{problem*}{Problem}
\newtheorem*{theoremese}{ Th\'eor\`eme} % Ne met pas de num�ro de th�or�me
\newtheorem*{corollaire*}{Corollaire}

%\newtheorem{cor}[theorem]{Corollaire}

\newtheorem{propdef}{Proposition-Definition}

%\theoremstyle{remarque}
%\newtheorem{remark}[theorem]{Remarque }

%\newtheorem*{exemple*}{Exemple}
%\newtheorem*{exemples*}{Exemples}
%\newtheorem*{example*}{Example}


%\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve: }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}%\flushright
%\newenvironment{exemple}{\vskip 2mm\noindent {\it Exemple: }}



%%Raccourcis----------------------------------------------------------
%\newcommand{\Cc}{\mathbb{C}}
%\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}}
%\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}}
%\newcommand{\Dd}{\mathbb{D}}
%\newcommand{\Hh}{\mathbb{H}}

%\newcommand{\Bb}{\mathbb{B}}
%\newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}}
%\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}}

%\newcommand{\titau}{{\tilde \tau}}
%\newcommand{\tieta}{{\tilde \eta}}
%\newcommand{\tiDelta}{{\tilde \Delta}}
%\newcommand{\tipsi}{{\tilde \psi}}
%\newcommand{\tinu}{{\tilde \nu}}
%\newcommand{\tiW}{{\tilde W}}

%\newcommand{\Del}{{\Delta}}
%\newcommand{\Delstar}{{{\Delta}^*}}


%\newcommand{\calo}{\mathcal{O}}
%\newcommand{\calv}{\mathcal{V}}
%\newcommand{\calm}{\mathcal{M}}
%\newcommand{\cala}{\mathcal{A}}
%\newcommand{\calf}{\mathcal{F}}
%\newcommand{\calp}{\mathcal{P}}
%\newcommand{\calu}{\mathcal{U}}
%\newcommand{\cale}{\mathcal{E}}
%\newcommand{\calg}{\mathcal{G}}
%\newcommand{\cald}{\mathcal{D}}
%\newcommand{\cals}{\mathcal{S}}
%\newcommand{\caly}{\mathcal{Y}}
%\newcommand{\calx}{\mathcal{X}}
%\newcommand{\calh}{\mathcal{H}}
%\newcommand{\call}{\mathcal{L}}
%\newcommand{\calc}{\mathcal{C}}
%\newcommand{\calk}{\mathcal{K}}
%\newcommand{\cali}{\mathcal{I}}


%minuscules

%\newcommand{\pcalp}{\mathcal{p}}
%\newcommand{\pcalq}{\mathcal{q}}



\newcommand{\crzmhs}{{\mathcal Cat}_{{\bf CRZ}-{\mathcal MHS}}}
\newcommand{\crmhs}{{\mathcal Cat}_{{\bf CR}-{\mathcal MHS}}}
\newcommand{\cmhs}{{\mathcal Cat}_{{\bf C}-{\mathcal MHS}}}
\newcommand{\trif}{{\mathcal Cat}_{Trif}}


\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large{\bf STRUCTURES DE HODGE MIXTES ET\\
FIBRES SUR LE PLAN PROJECTIF\\
COMPLEXE}} 
\end{center}
\begin{center}
Olivier PENACCHIO
\end{center}
${}$\\
${}$\\
\begin{center}
{\bf Abstract}
\end{center}
 
The purpose of this work is to geometrize the notion of mixed Hodge structure. Therefore, we associate equivariant vector bundles on the projective plane to trifiltered vector spaces. Making this Rees construction with filtrations arising from mixed Hodge structures gives an equivalence of categories between the category of mixed Hodge structures and a category of equivariant vector bundles on ${\bf P}^{2}_{\bf C}$ that are semistable for a semistability condition with respect to a divisor. Using this dictionary we can recover geometrically some properties of mixed Hodge structures like the abelian caracter of the category of mixed Hodge structures or the fact that higher extensions vanish.

Next, looking at the second Chern class of the Rees bundles, we define the ${\bf R}$-split level of the mixed Hodge structures that generalize the notion of ${\bf R}$-split mixed Hodge structure. This invariant can be expressed in terms of the Hodge numbers $h^{p,q}$ and some Hodge-type integers $s^{p,q}$ that are given by the relative position of the Hodge and conjugate filtrations. When the Hodge numbers are constant for a family of mixed Hodge structures, these numbers vary semicountinously. This allows to define stratifications of the bases of variations of mixed Hodge structures. \\ 
${}$\\
{\bf Keywords}: Structures de Hodge mixtes, Fibr\'es semistables, Fibr\'es \'equivariants.
${}$\\
{\bf MSC-class:} 14C30-32G20.


\tableofcontents
\newpage 



\section{Introduction}
Le d�veloppement de la th�orie de Hodge a permis, � travers les structures additionnelles qu'elle apporte, une compr�hension plus profonde de nombreux invariants topologiques, groupes d'homotopie, groupes de cohomologie, dans le cadre de la g�om�trie alg�brique complexe. Dans ce travail nous nous proposons de g�om�triser la notion de structure de Hodge mixte. Nous associons aux structures de Hodge mixtes, qui sont essentiellement la donn�e d'un espace vectoriel muni de trois filtrations v�rifiant certaines relations d'incidence, des objets g�om�triques que sont les fibr�s vectoriels. Cette construction, "de Rees", est largement inspir�e d'une part par la construction des structures twistorielles mixtes sur la droite projective complexe de C.Simpson \cite{sim2}, d'autre part par la construction de C.Sabbah \cite{sab}, toujours sur la droite projective complexe, de fibr�s vectoriels pour �tudier les structures de Frobenius sur les vari�t�s. Dans \cite{sab}, on construit des fibr�s sur ${\bf P}^1$ � partir de la filtration de Hodge et de la filtration par le poids d'une structure de Hodge. Les structures twistorielles mixtes de \cite{sim2}, fibr�s vectoriels sur ${\bf P}^1$, sont construites, lorsqu'elles viennent de la th�orie de Hodge � partir de la filtration de Hodge et de sa conjugu�e ; les positions relatives des filtrations se traduisent en termes de semistabilit� des fibr�s. Les objets g�om�triques que nous associons aux espaces vectoriels trifiltr�s sont des fibr�s sur le plan projectif complexe ${\bf P}^2$ qui sont �quivariants pour l'action de tores et ont certaines propri�t�s de semistabilit�. Cette construction rassemble en quelque sorte celle de \cite{sab} et de \cite{sim2} puisque lorsque les objets proviennent de structures de Hodge les fibr�s de Rees sont construits � partir de la filtration de Hodge, sa conjugu�e et la filtration par le poids. Cette construction est similaire � celle de Klyachko qui a montr� dans \cite{kly} que les fibr�s vectoriels �quivariants sur les vari�t�s toriques sont �quivalents � certains types d'ensembles de filtrations d'espaces vectoriels et de sa g�n�ralisation par \cite{per}. 

Pour que la correspondance soit pertinente, il ne suffit pas de d�crire les objets associ�s aux structures de Hodge mixtes mais aussi les morphismes entre ces objets. La puissance de la th�orie de Hodge telle qu'elle a �t� d�velopp�e par P.Deligne dans \cite{del2} et \cite{del3} tient au fait que ses constructions sont fonctorielles et au fait que les morphismes entre structures de Hodge qui apparaissent naturellement ont une grande rigidit�, on dit, et nous l'expliciterons plus bas, qu'ils sont strictement compatibles. Nous d�crivons ici les morphismes �quivariants entre fibr�s qui correspondent � ces morphismes strictement compatibles d'espaces vectoriels filtr�s.

La motivation, outre la curiosit� naturelle, pour s'appliquer � g�om�triser ces structures et �crire un "dictionnaire
" th�orie de Hodge-faisceaux �quivariants est de pouvoir traduire les probl�mes �tudi�s en th�orie de Hodge, variations de structures de Hodge, limites de structures de Hodge, modules de structures de Hodge en termes de probl�mes "classiques" de g�om�trie alg�brique, familles de faisceaux �quivariants, limites dans les espaces de modules ou les champs de faisceaux coh�rents �quivariants. Le probl�me de donner un sens � une limite de structures de Hodge mixtes par exemple se traduirait en la question suivante : le champs des objets �quivariants associ�s est-il compact ? Malheureusement, comme nous le d�crivons plus bas, bien que nous puissions \'ecrire un dictionnaire entre structures de Hodge mixtes et fibr\'es \'equivariants, nous n'arrivons pas ici r�ellement � d�finir d'objet g�om�trique �quivalent � une variation de structures de Hodge mixtes.    

\begin{center}
{\bf *}
\end{center}


Ce texte se d�compose en quatre parties et une annexe. La premi�re et la deuxi�me partie sont vou�es � l'�tude ponctuelle et respectivement en famille des espaces vectoriels filtr�s. La troisi�me et la quatri�me sont les applications de la premi�re et de la deuxi�me partie � la th�orie de Hodge dans le sens o� les espaces filtr�s �tudi�s proviennent de structures de Hodge. On verra que la traduction des propri�t�s ponctuelles est ais�e, de la partie 1 � partie 3 alors que l'anti-holomorphicit� est un obstacle � d�crire les familles de structures de Hodge � l'aide de familles alg�briques ou holomorphes de fibr�s �quivariants.

\begin{center}
{\bf **}
\end{center}

D�crivons plus pr�cisement le contenu des quatre parties.\\

 
${\bullet}$ La premi�re aboutit au r�sultat cl� de ce travail puisqu'il d�crit une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des espaces vectoriels munis de trois filtrations et la cat�gorie des fibr�s �quivariants pour l'action d'un tore munis d'une certaine condition de semistabilit�. 

Elle d�bute par de nombreuses sections expositoires des notions utilis�es par la suite. On se place sur un corps $k$ alg�briquement clos de caract�ristique nulle. On rappelle diff�rentes d�finitions sur les filtrations suivant \cite{del2}, la principale �tant la suivante : un morphisme entre espaces vectoriels filtr�s $f:(V,F^{\bullet })\rightarrow (V',F^{\bullet }{}')$ est strictement compatible aux filtrations s'il est non seulement compatible aux filtrations, i.e. pour tout entier $p$, $f(F^{p}) \subset F^{p}{}'$, mais plus, si tout �l�ment de l'image par $f$ de $V$ qui est dans $F^{p}{}'$ provient d'un �l�ment de $F^{p}{}$, i.e.  $$f(F^{p})=\text{Im}(f) \cap F^{p}{}'.$$

La notion cruciale d�finie ensuite est celle de filtrations oppos�es. Trois filtrations finies et d�croissantes d'un m�me espace vectoriel $V$, $W^{\bullet }$, $F^{\bullet }$ et $G^{\bullet }$ sont dites oppos�es si $$ \forall p,q,n, \,\,\, \, , p+q+n\neq 0 \Rightarrow \, Gr^{p}_{F^{\bullet }}Gr^{q}_{G^{\bullet }}Gr^{n}_{W^{\bullet }}V =0.$$
On prendra garde, comme not� dans \cite{del2}, et nous le verrons dans les propri�t�s des fibr�s associ�s � des triplets de filtrations oppos�es, que l'ordre des filtrations importe dans la d�finition. Par le lemme de Zassenhaus $F^{\bullet }$ et $G^{\bullet }$ jouent ici un r�le sym�trique. On pourra lui pr�f�rer la d�finition �quivalente,
$$ (W^{\bullet }, F^{\bullet }, G^{\bullet }) \text{ oppos�es } \Leftrightarrow \forall \,\,\, n,\,\, ( F^{\bullet }, G^{\bullet }) \text{ sont } -n\text{-oppos�es sur } Gr_{W^{\bullet}}^{n}V,$$
dans laquelle la dissym�trie est plus explicite.

On aborde ensuite les constuctions de Rees qui forment la base de la g�om�trisation des espaces vectoriels filtr�s. La philosophie g�n�rale de ces construction est la suivante : � un vectoriel filtr� on associe un fibr� �quivariant pour l'action d'un tore, l'action permet r\'eciproquement de retrouver la filtration sur une des fibres du fibr�. Plus pr�cisement, consid�rons un espace vectoriel muni d'une filtration d�croissante et exhaustive $(V,F^{\bullet })$ on associe un faisceau sur la droite
${\bf A}^{1}=\text{Spec}\,k[u]$, sous-faisceau de $j^{*}(\calo_{{\bf G}_m}\otimes_{k} V)$ (o� $j: {\bf G}_{m} \rightarrow { \bf A}^{1}$) engendr� par les �l�ments de la forme $u^{-p}.w$ pour $w \in F^{p}$. La filtration fournit des "p�les" en $0$. Le faisceau obtenu est le faisceau de Rees $\xi_{{\bf A}^{1}}(V,F^{\bullet })$, il est localement libre et �quivariant pour l'action du tore ${\bf G}_{m}$ par translation sur la base. R�ciproquement, si l'on part d'un fibr� �quivariant sur la droite affine, on peut reconstruire une filtration sur l'espace vectoriel fibre en $1$ du fibr� en regardant l'ordre des p\^oles des sections �quivariantes. La construction de Rees et sa construction inverse donnent une correspondance (cf.\cite{sim2}),

$$
\xymatrix{
\{ \text{Espaces vectoriels filtr�s} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  \text{Fibr�s }{\bf G}_{m}\text{ �quivariants sur }{\bf A}^{1}  \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

On peut poursuivre cette correspondance aux espaces vectoriels munis de deux filtrations. A gauche les morphismes sont les morphismes d'espaces vectoriels filtr�s strictement compatibles aux filtrations, � droite les morphismes sont les morphismes �quivariants de fibr�s vectoriels dont le conoyau est singulier au plus en codimension 2, le lieu de singularit� �tant contenu dans l'origine du plan affine,
$$
\xymatrix{
\{ \text{Espaces vectoriels bifiltr�s} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  \text{Fibr�s }{\bf G}_{m}^{2}\text{ �quivariants sur }{\bf A}^{2}  \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

Si l'on part d'un espace vectoriel trifiltr�  $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, on peut alors d�finir un fibr� sur le plan projectif ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ en recollant les fibr�s sur les affines standards obtenus � partir des trois couples de filtrations.\ C'est le fibr� de Rees associ� � l'espace vectoriel trifiltr� $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$. Les actions des ${\bf G}_{m}^{2}$ se recollent pour former une action du tore quotient� par la diagonale, ${\bf T}={\bf G}_{m}^{3}/\Delta({\bf G}_{m}^{3})$. On peut alors exhiber une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des espaces vectoriels trifiltr�s munie des morphismes strictement compatibles entre les filtrations et la cat�gorie des fibr�s ${\bf T}$-�quivariants sur le plan projectif munie des morphismes �quivariants dont le conoyau est singulier au plus en codimension 2, donc sans torsion. Le conoyau d'un morphisme dans cette cat�gorie est d�fini comme �tant le faisceau r�flexif associ� au conoyau faisceautique, et est donc localement libre puisque l'on est sur une surface. L'�quivalence de cat�gories d�coule donc du fait que le foncteur de Rees est exact de la cat�gorie des espaces vectoriels trifiltr�s munie des morphismes strictement compatibles vers la cat�gorie des faisceaux coh�rents �quivariants sur le plan projectif priv� des trois points origines des cartes affines standard. Le conoyau ainsi d�fini dans la cat�gorie des fibr�s sur le plan projectif complexe co\"{\i}ncide donc en dehors d'un ensemble de codimension $2$ avec le fibr� de Rees associ� au conoyau du morphisme de modules de Rees, ainsi les fibr�s associ�s sont isomorphes car les faisceaux r�flexifs sont enti�rement d�termin�s par leur restriction
au compl�mentaire d'un ensemble de codimension $2$.
 
En vue de l'application � la th�orie de Hodge, il faut traduire la condition filtrations oppos�es en terme de fibr�s de Rees. Par un calcul de classe de Chern, on sait que les fibr�s associ�s aux structures de Hodge doivent \^etre de degr� $0$. On remarquera, en guise de v�rification, que toutes les formules de calcul des invariants des fibr�s associ�s � des filtrations oppos�es $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ sont sym�triques en $F_{1}^{\bullet }$ et $F_{2}^{\bullet }$. Supposons que  $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ forment des filtrations oppos�es. Alors sur chaque espace gradu� associ� � la filtration $F_{0}^{\bullet }$, celle qui joue un r�le dissym�trique, les deux autres filtrations sont oppos�es. Ceci se traduit par le fait que le fibr� ${\bf G}_{m}$-�quivariant obtenu par restriction du fibr� de Rees au diviseur associ� � la filtration $F_{0}^{\bullet }$, ${\bf P}^{1}_{0}$, soit semistable de pente 0. R�ciproquement, si tel est le cas pour un fibr� de Rees, alors les filtrations $(F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ d�finissent bien des filtration $n$-oppos�es sur le gradu� � l'�tape $n$ associ� � $F_{0}^{\bullet }$.
 
Le th�or�me principal est donc,
\begin{theoremese}{\bf 2} La construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ associ� � un espace vectoriel trifiltr� �tablit des �quivalences de cat�gories entre :\\
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes et exhaustives et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action de ${\bf T}$ et des morphismes �quivariants de fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont en codimension $2$, support�es aux points $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$, ${\calf ib}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,opp}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $0$ sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action de ${\bf T}$ et des morphismes �quivariants de fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont en codimension $2$, support�es au point $(1:0:0)$, ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr,opp} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\end{theoremese}  
Pour l'application � la th�orie de Hodge, il faut ajouter de la structure r�elle ; on veut trouver la condition sur les fibr�s de Rees qui traduise le fait que les filtrations $(F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ soient conjugu�es par rapport � une structure r�elle sous-jacente. Le corps de base est ici celui des complexes, ${\bf C}$. Cette condition est une propri�t� d'�quivariance des fibr�s de Rees pour l'action d'une involution anti-holomorphe $\tau$ qui �change les droites associ�es aux filtrations $F_{1}^{\bullet }$ et $F_{2}^{\bullet }$. Un fibr� est ${\bf T}^\tau$-�quivariant s'il est � la fois $\tau $ et ${\bf T}$-�quivariant. On montre alors que,
\begin{theoremese}{\bf 3}
 La cat�gorie des espaces vectoriels complexes de dimensions finies munis d'une structure r�elle sous-jacente, de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es telles que deux d'entre elles soient conjugu�es, l'autre d�finie sur la structure r�elle, et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,opp, {\bf R}}$ est �quivalente � la cat�gorie des ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s vectoriels ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $0$ sur le plan projectif ${\bf P}^2$ et des morphismes de ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont en codimension au plus $2$, support�es au point $(1:0:0)$, ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\end{theoremese}

Ces descriptions et l'�tude faite dans le th�or�me 1 permettent de montrer, de fa�on g�om�trique, que les cat�gories $\calc_{3filtr,opp} $ et $\calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $ sont ab�liennes. On introduit alors la cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ dont les objets sont ceux de $\calc_{3filtr,opp} $ mais dans laquelle les morphismes sont suppos�s compatibles, pas forc�ment strictement compatibles. On retrouve, comme cons�quence des th�or�mes pr�c�dents, le r�sultat de Deligne (\cite{del2}, th 1.2.10.) qui dit que tout morphisme de $\calc_{3filtr,opp}^{-} $ est automatiquement strictement compatible aux filtrations et donc que cette cat�gorie se confond avec $\calc_{3filtr,opp} $.

Il est tr�s important de noter que les cat�gories ab�liennes ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ et ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$ qui sont des sous-cat�gories de la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur le plan projectif ne sont pas des sous-cat�gories ab�liennes de cette cat�gorie. Le foncteur $\Phi_{R}$ n'est pas exact des modules de Rees gradu�s vers les faisceau coh�rents. Les conoyaux dans ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ et ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$ sont d�finis comme les faisceaux r�flexifs (donc localement libres puisque l'on est sur une surface) canoniquement associ�s aux conoyaux faisceautiques. Comme les singularit�s de ces derniers sont au plus en codimension $2$, prendre le faisceau r�flexif associ� ne change pas le degr� et permet
 d'�noncer des propri�t�s de ${\bf P}^{1}_{0}$-semistabilit� et $\mu$-semistabilit�.

La cat�gorie des fibr�s ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ d�finie de la m�me fa�on mais avec une condition de semistabilit� moins forte, la $\mu$-semistabilit�, est ab�lienne (th�or�me $1$, \cite{pen}). Cette remarque nous permet de d�finir la cat�gorie �quivalente des espaces vectoriels munis de trois filtrations "$\mu$-oppos�es", condition sym�trique en les trois filtrations.
${}$\\
${}$\\

$\bullet$ Dans la deuxi�me partie, on veut poursuivre le dictionnaire �tabli dans la premi�re partie pour les espaces vectoriels filtr�s aux familles d'espaces vectoriels filtr�s. Par famille d'espaces vectoriels filtr�s param�tris�e par une base $S$, on entend fibr� vectoriel sur $S$ filtr� par des sous-espaces vectoriels stricts. Lorsqu'on fait la construction de Rees associ�e � un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts et tel que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes sur une vari�t� alg�brique lisse $S$, $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$, on obtient un faisceau de $\calo_{S \times {\bf P}^2}$-modules coh�rent $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})$ qui n'est pas localement libre en g�n�ral, mais toujours r�flexif. Le faisceau de Rees relatif $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})$ est ${\bf T}$-�quivariant pour l'action de ${\bf T}$ sur le produit $S \times {\bf P}^2$ h�rit�e de l'action par translation sur le deuxi�me facteur. On ne sait pas en toute g�n�ralit� retrouver la famille d'espaces vectoriels filtr�s � partir du faisceau de Rees �quivariant. Par contre si la famille est plus rigide i.e. si les rangs d'intersection deux � deux des diff�rents sous-fibr�s ne sautent pas, alors le faisceaux de Rees est un fibr� vectoriel �quivariant dont la donn�e est �quivalente � celle de la famille. Cette hypoth�se est not�e $({\bf H})$. Elle est toujours v�rifi�e par strates, ainsi le dictionnaire relatif est un dictionnaire par strates ; la condition filtrations oppos�es est toujours traduite en terme de ${\bf P}^{1}_{0}$-semistabilit� des restrictions du fibr� de Rees aux $\{s \} \times {\bf P}^{2}$ pour $s \in S$, restrictions permises par l'hypoth�se $({\bf H})$. Ainsi, il vient,
\begin{theoremese}${\bf 4}$ Soit $S$ une vari�t� alg�brique lisse de type fini sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle $k$. La construction des faisceaux de Rees relatifs sur $S \times {\bf P}^2$ �tablit les �quivalences de cat�gories entre :\\
$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et qui v�rifient l'hypoth�se $({\bf H})$ et la cat�gorie $\calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s vectoriels ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion :
$$\xymatrix{
 \calc_{3filtr}(S)+({\bf H}) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr,opp}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient oppos�es, exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et qui v�rifient l'hypoth�se $({\bf H})$ et la cat�gorie\\
$\calf ib_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s vectoriels ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues et dont les restrictions � $\{s\} \times {\bf P}^2$ pour tout $s \in S$ sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $0$ munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion : 
$$\xymatrix{
 \calc_{3filtr,opp}(S)+({\bf H}) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
\end{theoremese}

${}$\\
${}$\\

${\bullet }$ La troisi�me partie est la traduction de la premi�re en termes de structures de Hodge mixtes. En oubliant la structure du r�seau entier et la structure rationnelle, une structure de Hodge mixte est la donn�e d'une filtration exhaustive et croissante $W_{\bullet}$ d'un espace vectoriel r�el $H_{\bf R}$, la filtration par le poids, et d'une filtration exhaustive et d�croissante $F^{\bullet }$ du complexifi� $ H_{\bf C}=H_{\bf R}\otimes_{\bf R}{\bf C}$, la filtration de Hodge telle que, ${\overline F}^{\bullet }$ �tant la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge par rapport � la structure r�elle sous-jacente, le triplet de filtration $(W_{\bullet},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ forme un syst�me de filtrations oppos�es sur $H_{\bf C}$. On fait la construction de Rees associ�e aux donn�es $(H_{\bf C},W^{\bullet},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$, o� $W^{\bullet}$ est la filtration d�croissante canoniquement associ�e � la filtration $W_{\bullet}$. Alors la construction de Rees et la construction inverse,
   
$$
\xymatrix{
\{  (H_{\bf C},W^{\bullet},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet }) \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{ {\xi}_{{\bf P}^2}(H_{\bf C},W^{\bullet},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet }) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
,$$
�tablissent l'�quivalence de cat�gorie donn�e par le th�or�me
\begin{theoremese}{\bf 6}
La construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ associ� � un espace vectoriel trifiltr� �tablit les �quivalences de cat�gories entre :\\
${\bullet}$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes r�elles $\crmhs$ et la cat�gorie des fibr�s vectoriels ${\bf T}^{\tau}$-�quivariants ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $\mu=0$ munie des morphismes ${\bf T}^\tau$-�quivariants dont les singularit�s des conoyaux sont support� part la sous-vari�t� de codimension $2$, $(1:0:0)$ : 
$$
\xymatrix{
\{ \crmhs \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

\end{theoremese}

Ce th�or�me donne une d�monstration g�om�trique des faits suivants :

\begin{corollaire*}$11$(Th�or�me $(1.3.16)$, \cite{del2})\\ 
$\bullet$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes r�elles $\crmhs$ est ab�lienne.\\
$\bullet$ Les foncteurs ``oubli des filtrations'', $Gr_{W}$, $Gr_{F}$, $Gr_{\overline F}$ et $Gr_{W}Gr_{F}\cong Gr_{F}Gr_{W} \cong Gr_{W}Gr_{\overline F} \cong Gr_{\overline F}Gr_{W}$ de $\crmhs$ dans la cat�gorie des espaces vectoriels complexes sont exacts. 
\end{corollaire*}

Explicitons dans le cadre des structures de Hodge mixtes la remarque faite \`a la fin de la pr�sentation de la partie $1$ sur les conoyaux dans la cat�gorie ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ . Consid�rons la suite exacte de structures de Hodge mixtes
$$ 0 \rightarrow A \rightarrow H \rightarrow B \rightarrow 0.$$
Cette suite exacte se traduit par le th�or�me pr�c�dent en la suite exacte dans la cat�gorie\\ $ {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$

$$  0 \rightarrow \xi_{A} \rightarrow \xi_{H} \rightarrow \xi_{B} \rightarrow 0.$$
Cette suite exacte se transforme en couple de suite exactes dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents �quivariants
$$\left\lbrace \begin{array}{l}
0 \rightarrow \xi_{A} \rightarrow \xi_{H} \rightarrow \text{Coker} \rightarrow 0,\\    
{}\\
0 \rightarrow \text{Coker} \rightarrow \xi_{B} \rightarrow \calo_{T} \rightarrow 0,
\end{array}
\right.$$
o� $T$ est un sous-sch�ma de codimension $2$ support� au point $(0:0:1)$. Le foncteur de Rees $\Phi_{R}$ est "exact sur ${\bf P}^{2} \backslash (0:0:1)$". La longueur de $T$ va nous permettre de d�finir un invariant int�ressant des structures de Hodge mixte qui detecte si elles sont ${\bf R}$-scind�es ou non.

Avant de d�crire cet invariant donnons quelques cons�quences du th�or�me. Il permet de retrouver g�om�triquement, � l'aide des r�sultats connus sur les extensions de faisceaux coh�rents sur les surfaces, le fait qu'il n'y a pas d'extension non triviales au del� des premiers groupes d'extensions pour les structures de Hodge mixtes. On donne en effet une autre d�monstration du fait suivant (\cite{carhai}) : soient $A $ et $B$ deux structures de Hodge mixtes, alors, pour tout $p>1$, $\text{Ext}^{p}(B,A)=0.$

Par le biais des fibr�s de Rees, on d�finit aussi un notion de structure de Hodge mixte ind�composable. Toute structure de Hodge mixte se d�compose en sous-structures de Hodge mixtes ind�composables. Ceci permet de comprendre la complexit� de la position relative des filtrations par blocs.

Le reste de la partie 3 est vou� � la d�finition et � l'�tude du niveau de ${\bf R}$-scindement d'une structure de Hodge mixte. Cet invariant de structures de Hodge mixtes, not� $\alpha$, se d�finit � partir des invariants discrets des fibr�s de Rees, fibr�s de degr� $0$. Il est donn� par la deuxi�me classe de Chern de ces fibr�s. Cette classe de Chern est explicit�e par la formule
$$\alpha (H)=\emph{c}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}(H))=\frac{1}{2}\sum_{p,q}(p+q)^{2}(h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H}),$$
o� les entiers $h^{p,q}_{H}$ sont d�finis par 
$$h^{p,q}_{H}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{}^{\bullet }}^{p}Gr^{W^{\bullet }}_{-p-q}H_{\bf C}.$$
Ce sont les nombres de Hodge classiques. Les entiers $s^{p,q}_{H}$ sont donn�s par $$s^{p,q}_{H}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}_{}^{\bullet }}^{q}Gr_{{ F}_{}^{\bullet }}^{p}H_{\bf C}.$$ Ces derniers entiers sont importants pour d�crire les sauts de dimension d'intersection entre les sous-espaces vectoriels que d�finissent la filtration de Hodge et sa congugu�e et donc pour mesurer la complexit� d'une structure de Hodge mixte en terme de position relative des filtrations. Le niveau de ${\bf R}$-scindement g�n�ralise la notion de structure de Hodge mixte ${\bf R}$-scind�e dans le sens o� il prend ses valeurs dans les entiers naturels et on a l'�quivalence suivante $$\alpha(H)=0 \Leftrightarrow H \text{ est }{\bf R}\text{-scind�e}.$$ 
Pour une structure de Hodge mixte ${\bf R}$-scind�e, ce qui est le cas de toutes les structures de Hodge dont la longueur de la filtration par le poids est strictement inf�rieure � $2$, on a pour tous les entiers $p,q$, 
$h^{p,q}_{H}=s^{p,q}_{H}$. L'invariant se comporte bien par rapport aux op�rations classiques sur les structures de Hodge (cf. Th�or�me 7.) et est sur-additif par extensions (cf. Th�or�me 8.).

Dans quelques exemples, pour des courbes complexes de genre $0$ et $1$ qui ne sont pas compl�tes et ont pour singularit�s des singularit�s nodales, on calcule le niveau de ${\bf R}$-scindement des structures de Hodge mixtes sur le premier groupe de cohomologie. L'exemple pertinent le plus simple est celui d'une courbe de genre 0 avec deux points enlev�s et deux points recoll�s. L'espace de modules de telles courbes est isomorphe � ${\bf C}$. Alors l'invariant $\alpha$ est g�n�riquement �gal � $1$, la structures de Hodge mixte est g�n�riquement non scind�e, et vaut $0$ lorsque la classe d'isomorphisme de la courbe est donn�e par un point sur une droite r�elle de ${\bf C}$. Les sauts de $\alpha$ se font en codimension r�elle.      
 
${}$\\
${}$\\

${\bullet}$ La quatri�me partie est d'abord consacr�e � des rappels sur les variations de structures de Hodge mixtes et sur la construction des espaces de modules associ�s. On stratifie ensuite la base d'une variation de structures de Hodge mixtes par l'invariant $\alpha$ qui est semi-continue inferieurement, le niveau de ${\bf R}$-scindement est g�n�riquement le plus haut. On esquisse une id�e d'application de l'existence de telles stratifications sans toutefois parvenir � trouver d'exemple. 

L'ambition d'�crire, au moins sous l'hypoth�se $({\bf H})$, un dictionnaire
entre variations de structures de Hodge et familles de fibr�s sur le plan projectif complexe est vaine. Cette partie ne peut pas �tre l'application de la partie 2 � la th�orie de Hodge comme la 3 l'est de la 1. L'obstacle majeur est que la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge varie �videmment anti-holorphiquement pour une variation de structures de Hodge mixtes. On propose quelques id�es pour pouvoir "d�plier" les filtrations de Hodge et conjugu�es en deux filtrations holomorphes et ensuite appliquer le travail de la partie 2.     



 
${}$\\
${}$\\

${\bullet}$ Dans l'annexe on rappelle la notion de structure twistorielle mixte d'apr�s \cite{sim2} ainsi que la construction de fibr�s sur la sph�re holomorphe associ�s � des paires de filtrations. Les entiers $s^{p,q}$ donnent une expression explicite des structures twistorielles mixtes associ�es � des structures de Hodge mixtes.


\begin{center}
${\bf ***}$
\end{center}

${}$\\
{\bf Remerciements:} Je tiens \`a remercier C.Sabbah pour m'avoir sugg\' er\'e cette d\'emarche, \`a remercier C.Sorger pour les commentaires sur la condition de semistabilit\'e et je tiens \`a exprimer toute ma gratitude et ma reconnaissance \`a C.Simpson pour avoir encadr\'e ce travail.

























%-----------------------------------------
%-----------------------------------------
%---------------------------------------
%\addcontentsline{toc}


\newpage
\section{Construction d'un fibr� sur ${{\bf P}^2}$ associ� � un espace vectoriel trifiltr�}

\subsection{Filtrations}
\subsubsection{Espaces vectoriels filtr�s}

Nous rappelons ici, suivant \cite{del2}, des d�finitions et g�n�ralit�s sur les filtrations. Cette partie est destin�e � fixer les notations et � �noncer des propri�t�s bien connues. On fixe un corps $k$ alg�briquement clos et de caract�ristique nulle.

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $k$.\\
\begin{definition}
Une filtration d�croissante $F^{\bullet }(V)$ (resp. croissante $F_{\bullet }(V)$) de $V$ est une famille de sous-espaces vectoriels $(F^{p}(V))_{p \in {\bf Z}}$ (resp. $(F_{p}(V))_{p \in {\bf Z}}$) de $V$ tels que :
\begin{center}
$\forall\, m,n,  \,\,\,  n\leq m \Rightarrow F^{m}(V) \subset F^{n}(V)$

\end{center}
(resp. $\forall\, m,n \,\,\,   n\leq m \Rightarrow F_{n}(V) \subset F_{m}(V)$).
Un espace vectoriel $V$ muni d'une filtration $F^{\bullet }$ sera appel� espace vectoriel filtr� et not� $(V,F^{\bullet }(V)) $.\\

\end{definition}
On peut associer une filtration d�croissante $F^{\bullet }(V)$ � une filtration croissante $F_{\bullet }(V)$ en posant : $\forall\, m \, \,\,  F_{m}(V)= F^{-m}(V)$. Toutes les d�finitions et propri�t�s que nous donnerons par la suite pour les filtrations d�croissantes se transportent ainsi aux filtrations croissantes.\\ 

\begin{definition}
Une filtration de $V$ est dite exhaustive s'il existe deux entiers $p $ et $q$ tels que : $$F^{p}(V)=\{ 0
 \} \text{ et } F^{q}(V)=V.$$ 
\end{definition}

\begin{definition}
Soient $(V,F^{\bullet }(V))$ et $(V',{F}^{\bullet }(V'))$ deux espaces vectoriels filtr�s. Un morphisme d'objets filtr�s $f$ est un morphisme de $V$ dans $V'$ tel que :

$$\forall m \in {\bf Z},\,\, f(F^{m}(V)) \subset F^{m}(V').$$
\end{definition}

Les espaces vectoriels de dimension finie sur $k$ forment une cat�gorie additive, la d�finition suivante a donc un sens :\\
\begin{definition}
Un morphisme d'objets filtr�s $f:(V,F^{\bullet }(V)) \rightarrow (V',F^{\bullet}(V'))$ est strictement compatible aux filtrations si la fl�che canonique de $\text{Co\"{\i}m}(f)$ dans $\text{Im}(f)$ est un isomorphisme d'objets filtr�s c'est � dire, $V$ et $V'$ �tant des $k$-modules comme espaces vectoriels sur $k$ que :

$$\forall m \in {\bf Z},\,\,\, f(F^{m}(V))=Im(f)\cap F^{m}(V').$$
\end{definition}

A tout espace vectoriel filtr� $(V,F^{\bullet }(V))$ est associ� un espace gradu� qui est une famille de $k$-espaces vectoriels index�e par ${\bf Z}$, $(Gr^{n}_{F^{\bullet }}(V))_{n \in {\bf Z}}=(F^{n}(V)/F^{n+1}(V))_{n \in {\bf Z}}$.

Soit  $j: V' \hookrightarrow V$ un morphisme injectif d'espaces vectoriels sur $k$. Supposons que $V$ soit muni d'une filtration $F^{\bullet }(V)$. On peut alors d�finir sur $V'$ une filtration induite par celle de $V$ : 
\begin{definition}
La filtration $F^{\bullet}(V')$ sur $V'$ induite par  la filtration $F^{\bullet }(V)$ sur $V$ est l'unique filtration qur $V'$ telle que $j$ soit un morphisme strictement compatible aux filtrations c'est � dire que l'on ait :

 $$F^{n}(V')=j^{-1}(F^{n}(V))=V'\cap F^{n}(V).$$

La filtration quotient sur $V/V'$ est l'unique filtration telle que la projection canonique $p:V \rightarrow V/V'$ soit strictement compatible aux filtrations c'est � dire : 

$$F^{n}(V/V')=p(F^{n}(V))\cong(V'+F^{n}(V))/V'\cong F^{n}(V)/(V' \cap F^{n}(V)).$$

\end{definition}

On peut ainsi d�finir par la stricte compatibilit� et la propri�t� universelle des sommes directes la filtration d'une somme directe finie d'espaces vectoriels filtr�s :\\

Soit $(V_{i},F^{\bullet }(V_{i}))_{i \in [1,n]}$ une famille finie d'espaces vectoriels filtr�s. On d�finit une filtration sur $\oplus_{i \in [1,n]}V_{i}$ par :
\begin{center}
$F^{k}(\oplus_{i \in [1,n]}V_{i})=\oplus_{i \in [1,n]} F^{k}(V_{i})$.\\
\end{center}



De fa�on analogue, pour le produit tensoriel d'un nombre fini d'espaces vectoriels filtr�s :\\

Soit $(V_{i},F^{\bullet }(V_{i}))_{i \in [1,n]}$ une famille finie d'espaces vectoriels filtr�s. On d�finit une filtration sur $\otimes_{i \in [1,n]}V_{i}$ par :
\begin{center}
$F^{k}(\otimes_{i \in [1,n]}V_{i})=\sum_{\sum_{i}k_{i}=k} \text{Im}(\otimes_{i \in [1,n]}F^{k_{i}}(V_{i})\rightarrow \otimes_{i \in [1,n]}V_{i})=\sum_{\sum_{i}k_{i}=k} \otimes_{i \in [1,n]}F^{k_{i}}(V_{i})$.
\end{center}
On a aussi, pour deux espaces vectoriels filtr�s $(V,F^{\bullet}(V))$ et $(V',F^{\bullet}(V'))$ :
\begin{center}
$F^{k}\text{Hom}(V,V')=\{f: \, V \rightarrow V' \vert \forall n ,f(F^{n}(V) \subset F^{n+k}(V') \}$
\end{center}
d'o� :

$$\text{Hom}((V,F^{\bullet}(V)),(V',F^{\bullet}(V')))=F^{0}(\text{Hom}(V,V')).$$



\begin{definition} La filtration d�croissante triviale de $V$ not�e $Triv^{\bullet }$ est la filtration exhaustive d�croissante donn�e par $Triv^{i}V=V$ pour $i\leq 0$ et $Triv^{1}V=\{ 0 \}$.\\

Pour $p \in {\bf Z}$, l'op�ration de d�calage $Dec^{p}$ d'une filtration $F^{\bullet }(V)$ associe � cette filtration exhaustive et d�croisante la filtration exhaustive et d�croissante $Dec^{p}F^{\bullet }(V)$ donn�e par $Dec^{p}F^{n}(V)=F^{n+p}(V)$ pour tout $n _in {\bf Z}$.\\
\end{definition}
Cette derni�re filtration est not�e $F[p]^{\bullet}$ dans \cite{del2}. La filtration d�croissante triviale d�cal�e de $p$, not�e $Dec^{p}Triv^{\bullet}$ est celle donn�e par $Dec^{p}Triv^{i}V=V$ pour $i \leq -p$ et $Dec^{p}Triv^{-p+1}V=\{ 0 \}$.\\ 
\\
{\bf Remarque :}
Pour ne pas alourdir les notations, la filtration triviale sur un espace vectoriel sera encore not�e $Triv^{\bullet }$ sur les sous-espaces vectoriels et les espaces vectoriels quotients.
\\


\begin{definition}On notera $\calc_{nfiltr}$ la cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie sur $k$ munis de $n$ filtrations d�croissantes et exhaustives et dont les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations. 
\end{definition}

\subsubsection{Filtrations oppos�es}
On introduit ici, toujours suivant \cite{del2} la notion de filtrations oppos�es. On dira qu'un espace vectoriel $V$ sur $k$ est bifiltr� s'il est muni de deux filtrations $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$, il sera not� $(V,F^{\bullet }(V),G^{\bullet }(V))$. $Gr_{F^{\bullet }}^{n}(V)$ est un quotient d'un sous-objet de $V$ et d'apr�s la section pr�c�dente est donc muni d'une filtration induite par la filtration $G^{\bullet }(V)$ sur $V$. On obtient ainsi un objet bigradu� $(Gr_{G^{\bullet }}^{n}Gr_{F^{\bullet }}^{m}(V))_{n,m \in {\bf Z}}$. Les objets $(Gr_{G^{\bullet }}^{n}Gr_{F^{\bullet }}^{m}(V))_{n,m \in {\bf Z}}$ et $(Gr_{F^{\bullet }}^{m}Gr_{G^{\bullet }}^{n}(V))_{n,m \in {\bf Z}}$ sont canoniquement isomorphes par le lemme de Zassenhaus.\\

\begin{definition}
Deux filtrations finies $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ sur $V$ sont dites $n$-oppos�es si
 $$ \emph{ pour } p+q\neq n, \, \,Gr_{G^{\bullet }}^{n}Gr_{F^{\bullet }}^{m}(V)=0.$$
\end{definition}
 
Si $(V^{p,q})_{(p,q) \in {\bf Z}\times {\bf Z}}$ est un objet bigradu� tel que :\\
$V^{p,q}=0$ sauf pour un nombre fini de couples $(p,q)$ et,\\
$V^{p,q}=0$ pour $p+q \neq n$, alors on d�finit deux filtrations $n$-oppos�es de $V=\sum_{p,q}V_{p,q}$ en posant :
\begin{center}
$F^{p}(V)=\sum_{p' \geq p,q'}V^{p',q'}$\\
$G^{q}(V)=\sum_{q' \geq q,p'}V^{p',q'}$
\end{center} 
on obtient :
\begin{center}
$Gr_{G^{\bullet }}^{n}Gr_{F^{\bullet }}^{m}(V)=V^{m,n}$.\\
\end{center}
Par ces constructions, Deligne �tablit une �quivalence de cat�gories quasi-inverse l'une de l'autre entre la cat�gorie des espaces vectoriels munis de deux filtrations $n$-oppos�es et la cat�gorie des objets bigradu�s d�finis ci-dessus. Cette �quivalence est donn�e par la proposition suivante :\\
\begin{proposition}\cite{del2}
\begin{itemize}\parindent=1cm
\item{(i)} Soient $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ deux filtrations finies sur $V$. Ces deux filtrations sont $n$-oppos�es si et seulement si\\
\begin{center}
$\forall \, p, q ,\,\,\,   p+q=n+1  \Rightarrow  F^{p}(V) \oplus G^{q}(V)\cong V$.
\end{center}
\item{(ii)} Si $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ sont $n$-oppos�es, si l'on pose $V^{p,q}=0$ pour $p+q \neq n$ et $V^{p,q}=F^{p}(V) \cap G^{q}(V)$ pour $p+q=n$, alors $V$ est somme directe des $V^{p,q}$ et $F^{\bullet }$ et $G^{\bullet }$ se d�duisent de la bigraduation $(V^{p,q})_{(p,q)\in {\bf Z}\times {\bf Z}}$ de $V$ par le proc�d� d�crit plus haut.\\
\par\end{itemize}
\end{proposition}
Nous aurons surtout � manipuler des triplets de filtrations oppos�es c'est � dire :\\


\begin{definition}
Trois filtrations finies $W^{\bullet }(V)$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ d'un espace vectoriel complexe $V$ sont dites oppos�es si $$ \forall p,q,n, \,\,\, \, , p+q+n\neq0 \Rightarrow \, Gr^{p}_{F^{\bullet }}Gr^{q}_{G^{\bullet }}Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V) =0$$
\end{definition}

On peut v�rifier ais�ment que si $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ sont des filtrations finies $n$-oppos�es sur l'espace vectoriel $V$ alors les filtrations finies $Dec^{-n}Triv^{\bullet }$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ sont oppos�es sur $V$.\\

Plus g�n�ralement, si $W^{\bullet }(V)$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ sont oppos�es sur $V$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ induisent sur $Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V) $ des filtrations $-n$-oppos�es. En posant $V^{p,q}=Gr^{p}_{F^{\bullet }}Gr^{q}_{G^{\bullet }}Gr^{-p-q}_{W^{\bullet }}(V)$ on a d'apr�s la proposition pr�c�dente une d�composition en somme directe de $Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V) $, $Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V)=\oplus_{p+q=-n}V^{p,q}$.\\

Il est tr�s important de remarquer que dans la d�finition de filtrations oppos�es, les trois filtrations ne jouent pas un r�le sym�trique. Par le lemme de Zassenhaus,  

$$ \forall p,q,n, \,\,\, \,\, Gr^{p}_{F^{\bullet }}Gr^{q}_{G^{\bullet }}Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V) \cong Gr^{q}_{F^{\bullet }}Gr^{p}_{G^{\bullet }}Gr^{n}_{W^{\bullet }}(V), $$
ce qui signifie que les filtrations $F^{\bullet }$ et $G^{\bullet }$ jouent des r�les sym�triques, mais la filtration $W^{\bullet }$ ne joue pas le m�me r�le. Par exemple, soit  $V=k^2=<e,f>_{k}$ �quip� des filtrations d�croissantes et exhaustives $F^{\bullet}_{1}$, $F^{\bullet}_{2}$ et $F^{\bullet}_{3}$ suivantes :\\ 
 \hspace*{.5cm}
$\bullet \ W^{-2}_{}=V, \ W^{-1}_{}=W^{0}=< e>, \  W^{1}_{}=\{0\} $,\\
                \hspace*{.5cm}
$\bullet \ F^{0}_{}=V,\  F^{1}_{}=<f+\lambda e>,\  F^{2}_{}=\{0\}$ o� $\lambda \in k$,\\
\hspace*{.5cm}
$\bullet \  G^{0}_{}=V,\  F^{1}_{}=<f+\mu e>,\  F^{2}_{}=\{0\}$ o� $\mu \in k$.\\
Alors $Gr^{1}_{F^{\bullet }}Gr^{1}_{G^{\bullet }}Gr^{-2}_{W^{\bullet }}(V)$ est de dimension $1$ et $Gr^{-2}_{W^{\bullet }}Gr^{1}_{F^{\bullet }}Gr^{1}_{G^{\bullet }}(V)$ de dimension $0$.\\

Pour bien noter que l'ordre des filtrations importe dans la d�finition on remarquera l'�quivalence suivante 
$$ (W^{\bullet }(V), F^{\bullet }(V), G^{\bullet }(V)) \text{ oppos�es } \Leftrightarrow \forall \,\,\, n,\,\, ( F^{\bullet }(V), G^{\bullet }(V)) \text{ sont } n-\text{oppos�es sur } Gr_{W^{\bullet}}^{n}.$$


Citons un r�sultat sur la cat�gorie des espaces vectoriels munis de trois filtrations oppos�es et des morphismes stricts que nous montrerons par une autre voie, g�om�trique, que celle suivie dans \cite{del2}.\\



\begin{theoremese}(Th.(1.2.10), \cite{del2}) Soit $\calc_{3filtr,opp}$ la cat�gorie dont les objets sont les espaces vectoriels sur $k$ munis de trois filtrations finies oppos�es $W^{\bullet }(V)$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$ et les morphismes sont les morphismes compatibles aux trois filtrations, alors :
\begin{itemize}\parindent=1cm
\item{(i)} $\calc_{3filtr,opp}$ est une cat�gorie ab�lienne.
\item{(ii)} Le noyau (resp. conoyau) d'une fl�che $f: A \rightarrow B$ dans $\calc_{3filtr,opp}$ est le noyau (resp. conoyau) du morphisme d'espaces vectoriels muni des filtrations induites par celles de $A$ (resp. quotient de celles de $B$).
\item{(iii)} Tout morphisme $f: A \rightarrow B $ dans $\calc_{3filtr,opp}$ est strictement compatible aux filtrations $W^{\bullet }(V)$, $F^{\bullet }(V)$ et $G^{\bullet }(V)$. Le morphisme $Gr_{W}(f)$ est compatible aux bigraduations de $Gr_{W}(A)$ et $Gr_{W}(B)$. Les morphismes $Gr_{F}(f)$ et $Gr_{G}(f)$ sont strictement compatibles � la filtration induite par $W$.
\item{(iv)} Les foncteurs oubli des filtrations de $\calc_{3filtr,opp}$ dans la cat�gorie des espaces vectoriels, $Gr_{W}$, $Gr_{F}$, $Gr_{G}$ et $Gr_{W}Gr_{F} \cong Gr_{F}Gr_{W} \cong Gr_{F}Gr_{G}Gr_{W} \cong Gr_{G}Gr_{W} \cong Gr_{W}Gr_{G}$ sont exacts.
\par\end{itemize}
\end{theoremese}



\subsubsection{Filtrations et scindements }

Tous les espaces vectoriels sur $k$ munis de filtrations seront suppos�s de dimension finie. Toutes les filtrations seront suppos�es exhaustives et sauf avis contraire d�croissantes. On note $\text{End}(V)$ l'anneau des endomorphisme de $V$.\\
 
\begin{definition}
Soit $(V,F^{\bullet })$ un espace vectoriel filtr�. Un endomorphisme semi-simple $Y \in \emph{End}(V)$ scinde $F^{\bullet }$ si $\forall k \in {\bf Z} \,\,\, F^{k}=F^{k+1}\oplus E_{k}(Y)$ o� $E_{k}(Y)$ est le sous-espace propre associ� � la valeur propre $k$. $Y$ est une graduation de $(V,F^{\bullet })$.\\
\end{definition}
Toute filtration $F^{\bullet }$ sur un espace vectoriel $V$ peut \^etre scind�e. On peut construire un scindement de la fa�on suivante : $F^{\bullet }$ est d�croissante et exhaustive donc il existe un plus grand indice $p$ tel que $F^{p+1}=\{0\}$ et $F^{p} \neq \{0\}$. Soit $\{f^{p}_{i}\}_{i \in I_p}$ une famille d'�l�ments de $V$ formant une base de $F^p$. On compl�te cette famille dans $F^{p-1}$ par des vecteurs $\{f^{p-1}_{i}\}_{i \in I_{p-1}}$ pour obtenir une base de $F^{p-1}$. On it�re l'op�ration pour obtenir une base de $V$ form�e par la famille finie $\cup_{k \in [q,p]}  \{f^{k}_{i}\}_{i \in I_k}$ o� $q$ est un entier tel que $F^{q}=V$. Cette famille est dite compatible avec la filtration. Soit $Y$ l'endomorphisme de $V$ d�finit par $Y(f^{k}_{i})=k.f^{k}_{i}$ pour $i \in I_{k}$. $Y$ est bien un scindement de $(V,F^{\bullet })$. 

Une tel scindement d�finit une graduation de $V$ i.e. une d�composition de $V$ en une somme directe compatible avec la filtration : $V=\oplus_{k=q}^{k=p}E_{k}(Y)$ et $F^{n}=\oplus_{k=n}^{k=p}E_{k}(Y)$. Nous noterons ${\mathcal Y}(F^{\bullet })$ l'ensemble des endomorphismes de $V$ qui scindent $F^{\bullet }$. \\

Soit $(V,F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ un espace vectoriel muni de deux filtrations. Une bigraduation de $V$, $V=\oplus_{p,q}V^{p,q}$, est dite compatible aux filtrations $F^{\bullet }_{1}$ et $F^{\bullet }_{2}$ si pour tout $p \in {\bf Z}$ :

\begin{center}
 $F^{p}_{1}=\oplus_{a \geq p,q}V^{a,q}$ et $F^{p}_{2}=\oplus_{ p,q \geq b}V^{p,b}$. 
\end{center}
Il existe toujours une graduation de $V$ compatible � $F^{\bullet }_{i}$ associ�e � un endomorphisme $Y_{F^{\bullet }_{i}}$ qui scinde $F^{\bullet }_{i}$ pour $i \in \{1,2\}$. Le lemme suivant signifie que l'on peut trouver deux tels endomorphismes $Y_{F^{\bullet }_{1}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{1})$ et $Y_{F^{\bullet }_{2}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{2})$ qui commutent.\\


\begin{lemme}\label{bigraduation}
Pour tout espace vectoriel muni de deux filtrations $(V,F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ il existe toujours une bigraduation $V=\oplus_{p,q}V^{p,q}$ compatible aux deux filtrations.\\  
\end{lemme}

On dit alors que l'on peut scinder les deux filtrations simultan�ment. La preuve consiste � exhiber une base de $V$ compatible avec les deux filtrations par compl�tions de bases successives. 

%\begin{preuve}
%Les deux filtrations �tant exhaustives, on peut trouver deux entiers $p$ et $q$ tels que $F^{q }_%{1}=F^{q }_{2}=V$ et $F^{p}_{1}=F^{p }_{2}=\{0\}$. Soit $\{f^{k,l}_{i}\}_{i \in I_{p-1,p-1}}$ une famille de vecteurs de $V$ qui forme une base de $F^{p-1}_{1}\cap F^{p-1}_{2}$. On la compl�te en une base de $F^{p-1 }_{1}\cap F^{p-2 }_{2}$ par une famille $\{f^{k,l}_{i}\}_{i \in I_{p-1,p-2}}$. On peut proc�der ainsi jusqu'� $F^{p-1}_{1}\cap F^{q}_{2}=F^{p-1}$. Compl�tons la base de $F^{p-1}_{1}$ � une base de $F^{p-1}_{1}\cup (F^{p-2}_{1} \cap F^{p-2})$ par une famille $\{f^{k,l}_{i}\}_{i \in I_{p-2,p-1}}$. Les indices $(k,l) \in [q,p-1]\times[q,p-1]$ peuvent ainsi \^etre "descendus" de $(p-1,p-1)$ � $(q,q)$ par l'algorithme suivant : tant que $l>q$ on compl�te la base de $F^{k+1}_{1}\cup (F^{k}_{1}\cap F^{l}_{2})$ en une base de $F^{k+1}_{1}\cup (F^{k}_{1}\cap F^{l-1}_{2})$ par une famille de vecteurs $\{f^{k,l}_{i}\}_{i \in I_{k,l-1}}$. Si $l=q$, on compl�te la base de $F^{k}_{1}$ en une base de $F^{k}_{1}\cup (F^{k-1}_{1}\cap F^{p-1}_{2})$ par une famille de vecteurs $\{f^{k,l}_{i}\}_{i \in I_{k-1,p-1}}$. Soient les endomorphismes $Y_{F^{\bullet }_{1}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{1})$ et $Y_{F^{\bullet }_{2}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{2})$ d�finis pour tout $i \in I_{k,l}$ par  $Y_{F^{\bullet }_{1}}(f^{k,l}_{i})=k.f^{k,l}_{i}$ et $Y_{F^{\bullet }_{1}}(f^{k,l}_{i})=l.f^{k,l}_{i}$. Ces deux endomorphismes commutent et scindent bien les deux filtrations. 
%\end{preuve}
 Une telle propri�t� n'est pas vraie en g�n�ral lorsque $V$ est �quip� de plus de deux filtrations. Soit $(V,F^{\bullet}_{1},...,F^{\bullet }_{n})$ un espace vectoriel muni de $n$ filtrations. Il n'est pas toujours possible de trouver $Y_{F^{\bullet }_{i}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{i})$ pour tous $i \in [1,n]$ tels que pour tous $(i,j) \in [1,n]^{2}$, $Y_{F^{\bullet }_{i}}.Y_{F^{\bullet }_{j}}=Y_{F^{\bullet }_{j}}.Y_{F^{\bullet }_{i}}$. 

On peut traduire ceci en terme d'espace multigradu�. Un espace vectoriel $V$ de dimension finie est dit multigradu� d'ordre $n$ s'il est somme directe de sous-espaces vectoriels index�s par des $n$-uplets : $V=\oplus_{(i_{1},...,i_{n})}V^{i_{1},...,i_{n}}$ o� la somme est finie.  Soit $V$ un espace vectoriel multigradu� d'ordre $n$ muni de $n$ filtrations $(F^{\bullet}_{1},...,F^{\bullet }_{n})$. On dit que sa multigraduation est compatible avec les filtrations si pour tout $k \in [1,n]$ et $p \in {\bf Z}$ :
$$  F_{k}^{p}V= \oplus_{(i_{1},...,i_{n}),\,i_{k}\geq p}V^{i_{1},...,i_{n}}.$$
Dire que l'on ne peut pas scinder les $n$ filtrations simultan�ement �quivaut � dire que l'on ne peut pas trouver de multigraduation d'ordre $n$ compatible aux $n$-filtrations.

Ceci peut se produire d�s que l'on a trois filtrations, comme le montre l'exemple suivant :\\ 
\\
\textit{\bf Exemple :}
Soit $V=k^2=<e,f>_{k}$ �quip� des filtrations d�croissantes et exhaustives $F^{\bullet}_{1}$, $F^{\bullet}_{2}$ et $F^{\bullet}_{3}$ suivantes :\\ 
 \hspace*{.5cm}
$\bullet \ F^{0}_{1}=V, \ F^{1}_{1}=<f+\kappa e>, \  F^{2}_{1}=\{0\} $ o� $\kappa \in k$,\\
                \hspace*{.5cm}
$\bullet \ F^{0}_{2}=V,\  F^{1}_{2}=<f+\lambda e>,\  F^{2}_{2}=\{0\}$ o� $\lambda \in k$,\\
\hspace*{.5cm}
$\bullet \  F^{0}_{3}=V,\  F^{1}_{3}=<f+\mu e>,\  F^{2}_{3}=\{0\}$ o� $\mu \in k$.\\
Supposons que $\kappa, \lambda , \mu$ soient distincts deux � deux, sans quoi on est ramen� � la situation de scinder au plus deux filtrations. Scinder $F^{\bullet }_{1}$ et $F^{\bullet }_{2}$ simultan�ment revient � prendre pour bigraduation de $V=V^{1,0} \oplus V^{0,1}$ o� $V^{1,0}=<f+\kappa e>$ et $V^{0,1}=<f+\lambda e>$. $V^{1,0}$ est le sous-espace propre associ� � la valeur $1$ de tout �l�ment dans ${\mathcal Y}(F^{\bullet }_{1})$, ici, pour que les endomorphismes commutent, on doit choisir pour $Y_{F^{\bullet }_{1}}$ l'�l�ment qui a pour sous-espace propre associ� � la valeur $0$, $V^{0,1}$. De m\^eme, $V^{0,1}$ est le sous-espace propre associ� � la valeur $1$ de tout �l�ment dans ${\mathcal Y}(F^{\bullet }_{2})$, ici on doit choisir pour $Y_{F^{\bullet }_{2}}$ l'�l�ment de $\text{End}(V)$ qui a pour sous-espace propre associ� � la valeur $0$, $V^{1,0}$. Ainsi $Y_{F^{\bullet }_{1}}.Y_{F^{\bullet }_{2}}-Y_{F^{\bullet }_{2}}.Y_{F^{\bullet }_{1}}=0$. Comme $\mu \neq \kappa$ et $\mu \neq \lambda$, on ne peut diagonaliser aucun �l�ment $Y_{F^{\bullet }_{3}} \in {\mathcal Y}(F^{\bullet }_{3})$ dans cette base.

On peut regarder l'espace des configuration des trois filtrations comme $k^3$ o� chacunes des coordonn�es $\kappa$, $\lambda $ et $\mu$ sont quelconques dans $k$. Alors le lieu o� l'on peut simultan�ement scinder les trois filtrations est la diagonale g�n�ralis�e de $k^3$ form�e des �l�ments\\
 $\{ (\kappa, \kappa, \mu ),(\kappa,\lambda ,\lambda ), (\kappa, \lambda , \kappa ) \vert (\kappa,\lambda, \mu) \in {k}^{3} \}$.

On peut de m�me g�n�raliser au cas o� les filtrations, �d�termin�es� par le terme d'indice $1$ ici, sont donn�es par des droites quelconques de $k^2$. L'espace des configurations est alors la grassmanienne des droites dans $k^2$, $grass(1,2)={\bf P}^{1}_k$. Le lieu o� l'on peut diagonaliser simultan�ement les trois filtrations est alors la diagonale g�n�ralis�e de ${\bf P}^{1}_{k} \times  {\bf P}^{1}_{k} \times {\bf P}^{1}_{k}$. 

Consid�rons la cat�gorie dont les objets sont les espaces vectoriels munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et scind�es et les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux trois filtrations ${\mathcal C}_{3filtr,sci}$. On peut montrer que :\\

\begin{proposition}
La cat�gorie ${\mathcal C}_{3filtr,sci}$ est ab�lienne.\\

\end{proposition}



Nous allons par la suite �tudier les propri�t�s de $\calc_{3filtr,opp}$, la cat�gorie des espaces vectoriels munis de trois filtrations oppos�es, puis de ${\mathcal C}_{3filtr,sci}$ et de leur intersection vue dans la cat�gorie des espaces vectoriels trifiltr�s munie des morphismes compatibles aux filtrations.

\subsection{Pr�liminaires alg�briques, modules de Rees}

Pour �tudier les espaces vectoriels munis de plusieurs filtrations nous allons leurs associer des objets alg�briques puis g�om�triques. L'objet de cette partie est de d�finir le module de Rees d'un espace vectoriel multifiltr� et d'en d�gager les principales propri�t�s. 

\subsubsection{Modules de Rees}
 Dans cette section, $k$ est toujours un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle. On rappelle que l'on note $\calc_{nfiltr}$ la cat�gorie des espaces vectoriels sur $k$ munis de $n$ filtrations exhaustives et d�croissantes dont les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations. On d�finit le module de Rees de la fa�on suivante :\\


\begin{definition}
Soit $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n})$ un objet de $ \calc_{nfiltr}$. Le module de Rees d'ordre $n$ associ� � $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n})$, not� $R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})$, est le sous-${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-module de\\
 ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n},u_{1}^{-1},u_{2}^{-1},...,u_{n}^{-1}]\otimes_{k} V$ suivant :
$$R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})=\sum_{(p_{1},p_{2},...,p_{n}) \in {\bf Z}^{n}} \,u_{1}^{-p_{1}}u_{2}^{-p_{2}}...\,u_{n}^{-p_{n}}\,(F^{p_{1}}_{1} \cap F^{p_{2}}_{2} \cap ... \cap F^{p_{n}}_{n})$$
\end{definition}

La cat�gorie des espaces vectoriels sur $k$ �tant additive, $\calc_{nfiltr}$ est munie de sommes directes.\\

\begin{lemme}\label{isosummodrees}
Soient $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$, $(V',{F^{\bullet}_{1}}',{F^{\bullet}_{2}}',...,{F^{\bullet}_{n}}') \in \calc_{nfiltr}$ et $(V \oplus V',F^{\bullet}_{1}\oplus {F^{\bullet}_{1}}',F^{\bullet}_{2}\oplus{ F^{\bullet}_{2}}',...,F^{\bullet}_{n}\oplus {F^{\bullet}_{n}}')$ l'objet de $ \calc_{nfiltr}$ qui s'en d�duit par somme directe, on a l'isomorphisme de ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-modules suivant :
$$ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}) \oplus R^{n}(V',{F^{\bullet}_{i}}') \cong R^{n}(V\oplus V',F^{\bullet}_{i}\oplus {F^{\bullet}_{i}}')$$
\end{lemme}

\begin{preuve}
Il suffit de constater que par d�finition de la filtration sur la somme directe :\\
 $(F^{p_1}_{1}\oplus {F^{p_1}_{1}}' \cap F^{p_2}_{2}\oplus {F^{p_2}_{2}}' \cap ... \cap F^{p_n}_{n}\oplus {F^{p_n}_{n}}')=(F^{p_{1}}_{1} \cap F^{p_{2}}_{2} \cap ... \cap F^{p_{n}}_{n}) \oplus ({F^{p_{1}}_{1}}' \cap {F^{p_{2}}_{2}}' \cap ... \cap {F^{p_{n}}_{n}}')$.
\end{preuve}


La cat�gorie des espaces vectoriels sur $k$ �tant munie d'un produit tensoriel, $\calc_{nfiltr}$ est donc une cat�gorie tensorielle :\\


\begin{lemme}\label{isoprodmodrees}
Soient $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$, $(V',{F^{\bullet}_{1}}',{F^{\bullet}_{2}}',...,{F^{\bullet}_{n}}') \in \calc_{nfiltr}$ et $(V \otimes V',F^{\bullet}_{1}\otimes {F^{\bullet}_{1}}',F^{\bullet}_{2}\otimes {F^{\bullet}_{2}}',...,F^{\bullet}_{n}\otimes {F^{\bullet}_{n}}')$ l'objet de $ \calc_{nfiltr}$ qui s'en d�duit par produit tensoriel, on a l'isomorphisme de ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-modules suivant :
$$ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}) \otimes_{{k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]} R^{n}(V',{F^{\bullet}_{i}}') \cong R^{n}(V\otimes_{k} V',F^{\bullet}_{i}\otimes_{k} {F^{\bullet}_{i}}')$$
\end{lemme}

\begin{preuve}
On remarque que : $(F^{p_1}_{1}\otimes_{k} {F^{p_1}_{1}}' \cap F^{p_2}_{2}\otimes_{k} {F^{p_2}_{2}}' \cap ... \cap F^{p_n}_{n}\otimes_{k} {F^{p_n}_{n}}')=(F^{p_{1}}_{1} \cap F^{p_{2}}_{2} \cap ... \cap F^{p_{n}}_{n}) \otimes_{k} ({F^{p_{1}}_{1}}' \cap {F^{p_{2}}_{2}}' \cap ... \cap {F^{p_{n}}_{n}}')$
ce qui permet de conclure. 
\end{preuve}
{\bf Remarque :}
Le deux lemmes pr�c�dents restent vrais pour une famille finie d'�l�ments de $\calc_{nfiltr}$.\\  



\begin{lemme}
Soit $(p_{i}) \in {\bf Z}^{n}$ et $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$, alors l'isomorphisme :
$$(\prod_{i \in [1,n]}u_{i}^{p_i}) .R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}) \cong R^{n}(V,Dec^{p_{i}}F^{\bullet}_{i})$$ est un isomorphisme de ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-modules.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Il suffit de montrer pour tout $k \in [1,n]$ que $u_{k}. R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}) \rightarrow R^{n}(V,Dec^{1_{k}}F^{\bullet}_{i})$, o� �$1_k$� signifie que l'on ne d�cale que la $k$-i�me filtration de $1$, est un isomorphisme de ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-modules. C'est bien le cas car on envoie l'el�ment $u_{k}.(u_{1}^{-p_{1}}...u_{k}^{-p_{k}}...\,u_{n}^{-p_{n}})\,v$ o� $v \in (F^{p_{1}}_{1} \cap ... \cap F^{p_{k}}_{k} \cap ... \cap F^{p_{n}}_{n})$ sur l'�l�ment $ u_{1}^{-p_{1}}...u_{k}^{-p_{k}+1}...\,u_{n}^{-p_{n}}\,v$ o� $v \in (F^{p_{1}}_{1} \cap ...\cap Dec^{1}F^{p_{k}-1}_{k} \cap ... \cap F^{p_{n}}_{n})$ car $Dec^{1}F^{p_{k}-1}_{k}=F^{p_{k}}_{k}$.
\end{preuve}
\begin{center}
{\bf Module de Rees associ� � une espace vectoriel filtr� $(V,F^{\bullet })$ }
\end{center}

Le module de Rees associ� � $(V,F^{\bullet })$, $R(V,F^{\bullet})$, est le sous-${k}[u]$-module de $V$ $\otimes _{k} {k}[u,u^{-1}]$ engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $<u^{-p} a_p,a_p \in F^p>\,$ : $R(V,F^{\bullet})=\sum_{p}\,u^{-p}\,F^{p}$. D'apr�s l'�tude des scindements associ�s � un espace vectoriel filtr�, on peut choisir une base $\{ v_{i} \}_{i \in I}$ de $V$ adapt�e � la filtration c'est � dire telle que pour tout $i \in I$ $v_{i} \in F^{p(i)}-F^{p(i+1)}$. Les �l�ments $u^{-p(i)}v_{i}$ forment une base de $R(V,F^{\bullet})$.\\ 

\begin{lemme}On a les isomorphismes :\\
${}$\\
$(i)$  $R(V,F^{\bullet })/(u-1)\cong V$.\\
${}$\\
$(ii)$ $R(V,F^{\bullet })[u^{-1}]\cong V\otimes k[u,u^{-1}]$.\\
${}$\\
$(iii)$ $R(V,F^{\bullet })/(u)\cong Gr^{F}V$.
\end{lemme}

\begin{preuve}
L'assertion $(i)$ est �vidente.\\
Montrons le $(ii)$. Soit $\{ v_{i} \}_{i \in I}$ une base de $V$ compatible avec la filtration comme exhib� au dessus. L'isomorphisme consiste � envoyer pour tout $i \in I$ l'�l�ment de la base du module de Rees $u^{-p(i)}v_{i} \in R(V,F^{\bullet})$ vers l' �l�ment $v_{i} \in V$.
Pour le (iii), on d�finit le morphisme qui suit : $\Psi : R(V,F^{\bullet }) \rightarrow Gr^{F}V$ par $ \sum_{i \in I}  u^{p(i)}v_{i} \mapsto (\overline{v_{i}})_{i \in I}$ o� $\overline{v_{i}}$ est la projection de $v_{i} \in F^{p(i)} $ sur $Gr_{p(i)}^{F}V$. Soit $\Phi$ la surjection canonique $\Phi :R(V,F^{\bullet }) \rightarrow R(V,F^{\bullet })/(u)$. On a $Ker \Psi =Ker \Phi=u.R(V,F^{\bullet })$. 
\end{preuve}
\begin{center}
{\bf Module de Rees associ� � un espace vectoriel muni de deux filtrations $(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$ }
\end{center}

Le module double de Rees, not� $RR(V,F^{\bullet },{G}^{\bullet  })$, associ� � $(V,F^{\bullet},G^{\bullet})$ est le sous $A$-module $ RR(V,F^{\bullet },{G}^{\bullet }) \subset {k} [{u},{{u}^{-1}},{v},{{v}^{-1}} ] \otimes_{k} V$ engendr� par les �l�ments de la forme ${{u}^{-p}}\,{{v}^{-q}}\,a_{p,q}$ pour $a_{p,q} \in F^{p} \cap G^{q}$ i.e. : $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })=\sum_{p,q}\,u^{-p}\,v^{-q} (F^{p}\cap G^{q})$. D'apr�s l'�tude des scindements associ�s � un espace vectoriel muni de deux filtrations faites plus haut, on sait qu'il existe une base $\{ v_{i,j} \}_{(i,j) _in I \times J}$ de $V$ qui est adapt�e aux deux filtrations c'est � dire telle que l'on ait $F^{p}=< v_{i,j},i \in I , p(i) \leq p, j \in J>$ et de m\^eme $G^{q}=< v_{i,j},j \in J , q(j) \leq q,i\in I>$.

Rappelons que comme pour tout $p$ $Gr^{F}_{p}V$ est le quotient d'un sous-objet $F^pV$ de $V$ par un sous-objet $F^{p+1}V$, il se trouve muni d'une filtration induite par $G^{\bullet}$ (cf section sur les filtrations); ainsi $Gr^{F}V$ est aussi muni d'une filtration induite par $G^\bullet$, que l'on notera $G_{ind}^{\bullet }$. Sym�triquement on notera $F_{ind}^{\bullet }$ la filtration induite par $F^{\bullet }$ sur $Gr^{G}V$.\\



\begin{lemme}\label{lemmedebase}
On a les isomorphismes de ${k}[u]$-modules :\\
${}$\\
$(i)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet})/(v-1)\cong R(V,F^{\bullet})$\\
${}$\\
$(ii)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })/(v)\cong R(Gr^{G}V,F^{\bullet}_{ind})$\\
${}$\\
Ainsi que les isomorphismes de ${k}[v]$-modules :\\
${}$\\
$(iii)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet})/(u-1)\cong R(V,G^{\bullet})$\\
$(iv)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })/(u)\cong R(Gr^{F}V,G^{\bullet}_{ind})$\\
${}$\\
Et les isomorphismes :\\
${}$\\
$(v)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })/(u,v)\cong Gr^{G}Gr^{F}V \cong Gr^{F}Gr^{G}V$.\\
${}$\\
$(vi)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet})/(u-1,v-1)\cong V$.\\
${}$\\
$(vii)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })[u^{-1}]\cong R(V,G^{\bullet})\otimes k[u,u^{-1}]$.\\
${}$\\
$(viii)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })[v^{-1}]\cong R(V,F^{\bullet})\otimes k[v,v^{-1}]$.\\
${}$\\
$(ix)$ $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })[u^{-1},v^{-1}]\cong V\otimes k[u,u^{-1},v,v^{-1}]$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
L'assertion $(i)$ est �vidente. D�montrons la deuxi�me assertion. La preuve est similaire � celle du lemme pr�c�dent, on d�finit le morphisme $\Psi : RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet }) \rightarrow R(Gr^{F}V,G^{\bullet}_{ind})$ par  $ \sum_{p,q}  u^{p}v^{q}a_{p,q} \mapsto (\overline{a_{p,q}})_{p,q \leq 0}$ o� $\overline{a_{p,q}}$ est la projection de $a_{p,q} \in F^{p} \cap G^{q} $ sur $\frac{ F^{p} \cap G^{q} }{ F^{p-1} \cap G^{q}}$. Le r�sultat d�coule du fait que $Ker \Psi= u. RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$.

$(ii)$ et $(iv)$ sont des �nonc�s respectivement �quivalents � $(i)$ et $(ii)$ (en permutant les deux filtrations en jeu $F^{\bullet }$ et $G^{\bullet })$.

Pour prouver $(v)$, on applique le $(ii)$ du lemme pr�c�dent au  ${k}[u]$-module $RR(V,F^{\bullet },G^{\bullet })/(v)\cong R(Gr^{G}V,F^{\bullet}_{ind})$, en d�coule le premier isomorphisme. Le deuxi�me isomorphisme $$Gr^{G}Gr^{F}V \cong Gr^{F}Gr^{G}V$$ 
vient du lemme de Zassenhaus. $(vi)$ est direct, tout comme $(vii)$. $(viii)$ est le pendant de $(vii)$. Pour prouver $(ix)$, on applique le lemme pr�cit� $(ii)$ � $(vii)$ ou $(viii)$. 
\end{preuve}

\subsubsection{Faisceau coh�rent sur $\text{Spec}\,A$ associ� � un $A$-module : construction ${}^\sim$ }


Ce paragraphe suit exactement la construction faite dans \cite{har}. Il a pour but de fixer les notations et les propri�t�s de base de la construction d'un faisceau coh�rent sur $\text{Spec}\,A$ associ� � un $A$-module auxquelles on se r�f\`erera par la suite.\\

\begin{definition}
Soit $A$ un anneau et $M$ un $A$-module. On d\'efinit le faisceau associ� � $M$ sur $\emph{Spec}\, A$, not� $\tilde M$ de la fa�on suivante. Pour tout ideal premier $p \subset A$, soit $M_{p}$ la localisation de $M$ en $p$. Pour tout ouvert $U \subset \emph{Spec}\,A$, on d�finit le groupe $\tilde M (U)$ comme �tant le groupe des fonctions $s: U \rightarrow \cup_{p \in U} M_{p}$ tel que pour tout $p \in U$, $s(p) \in M_{p}$ et tel que localement $s$ est une fraction $m/f$ avec $m \in M$ et $f \in A$.\\

\end{definition}
  
\begin{proposition}\label{tilde1}\cite{har}
Soit $\tilde M$ le faisceau associ� au $A$-module $M$ sur $X=\emph{Spec}\,A$. On a :\\
${}$\\
$(i)$ $\tilde M$ est un ${\mathcal O}_{X}$-module.\\
${}$\\
$(ii)$ Pour tout $p \in X$, le germe $({\tilde M})_{p}$ du faisceau $\tilde M$ en $p$ est isomorphe au module localis� $M_{p}$.\\
${}$\\
$(iii)$ Pour tout $f \in A$, le $A_{f}-$module ${\tilde M}(D(f))$ est isomorphe au module localis� $M_f$.\\
${}$\\
$(iv)$ En particulier, $\Gamma(X,{\tilde M})=M$.\\
\end{proposition}


Nous aurons aussi besoin de la proposition :\\


\begin{proposition}\label{tilde2}\cite{har}
Soit $A$ un anneau et $X=\emph{Spec}\,A$. Soit $A \rightarrow B$ un homomorphisme d'anneaux, et $f: \emph{Spec}\,B \rightarrow \emph{Spec}\,A$ le morphisme de spectres correspondant. Alors :\\
${}$\\
$(i)$ L'application $M \rightarrow {\tilde M}$ donne un foncteur pleinement fid�le de la cat�gorie des $A$-modules vers la cat�gorie des ${\mathcal O}_X$-modules.\\
${}$\\
$(ii)$ Si $M $ et $N$ sont des $A$-modules, alors $\widetilde {M \otimes_{A} N} \cong {\tilde M} \otimes_{{\mathcal O}_X} {\tilde N}$.\\
${}$\\
$(iii)$ Si $\{M_i\}$ est une famille de $A$-modules, alors $\widetilde{\oplus M_i  } \cong \oplus \tilde{M_i}$.\\
${}$\\
$(iv)$ Pour tout $B$-module $N$, on a $f_{*}({\tilde N}) \cong \tilde{( N_{A})}$ o� $N_A$ est $N$ consid�r� comme un $A$-module.\\
$(v)$ Pour tout $A$-module $M$, on a $f^{*}({\tilde M}) \cong \widetilde{M \otimes_{A} B }$.\\
\end{proposition}



\subsection{Faisceaux coh�rents, faisceaux coh�rents r�flexifs}\label{sectionreflexif}


\subsubsection{D�finitions et propri�t�s}

Nous allons introduire ici des notions utiles � l'�tude des faisceaux coh�rents. Nous suivrons essentiellement le plan de \cite{oss}, nous ne rappelerons les d�monstrations que lorsqu'elles introduisent des notions n�cessaires � la suite de notre �tude des espaces vectoriels filtr�s. Commen�ons par quelques notions
d'alg�bre homologique.\\

Dans cette partie, on entendra par vari�t� alg�brique tout sch�ma projectif lisse et s�par� de type fini sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle $k$. 
\begin{center}
{\bf Alg�bre homologique, lieu singulier d'un faisceau coh�rent}
\end{center}
 
Soit $\calf$ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique de dimension $n$. Le germe de sections $\calf_{x}$ est un module finiment engendr� sur l'anneau local r�gulier n{\oe}th�rien $\calo_{X,x}$.\\
\begin{definition}
La dimension projective de $\calf_{x}$ sur $\calo_{X,x}$, $\emph{pd}(\calf_{x})$, est la longueur minimale d'une r�solution projective de $\calf_{x}$.\\
\end{definition} 
D'apr�s \cite{ser}, IV-27, $\text{pd}(\calf_{x})$ est aussi le plus petit entier $k$ tel que pour tout $\calo_{X,x}$-module finiment engendr� $M$ et tout $i > k$ on ait $\text{Ext}^{i}_{\calo_{X,x}}(\calf_{x},M)=0$. Elle est parfois appel�e dimension homologique de $\calf_{x}$ sur $\calo_{X,x}$ et alors not�e $\text{dh}(\calf_{x})$.

Rappelons la d�finition d'une suite r�guli�re pour un $A$-module $M$. Une suite d'�l�ments de $A$, $x_{1},x_{2},...,x_{r}$ est une suite r�guli�re pour $M$ si $x_1$ n'est pas un diviseur de z�ro dans $M$ et si pour tout $i=2,...,r$, $x_i$ n'est pas un diviseur de z�ro dans $M/(x_{1},...,x_{i-1})M$. Si $A$ est un anneau local d'id�al maximal $\mathfrak m$, alors la profondeur de $M$, not�e $\text{depth}(M)$, est la longueur maximale d'une suite r�guli�re $x_{1},x_{2},...,x_{r}$ pour $M$ avec pour tout $i$, $x_{i} \in {\mathfrak m }$.\\ 


\begin{definition}
La profondeur du $\calo_{X,x}$-module $\calf_{x}$, $\emph{depth}(\calf_{x})$, est la longueur maximale d'une suite r�guli�re pour $\calf_x$ dans $\calo_{X,x}$.
\end{definition}
Comme $\calo_{X,x}$ est un anneau local r�gulier, les deux notions pr�c�dentes sont reli�es par la formule d'Auslander-Buchsbaum (\cite{ser},\cite{har}) :
$$ \text{pd}(\calf_{x})+\text{depth}(\calf_{x})=\text{dim}(\calo_{X,x}).$$
\begin{lemme}\cite{oss} Soit $\calf$ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique de dimension $n$. Alors :\\
${}$\\
$(i)$ $\emph{pd}(\calf_{x}) \leq k $ si et seulement si pour tout $i > k $ $({\cale xt}^{i}_{\calo_{X}}(\calf,\calo_{X}))_{x}=0$.\\
${}$\\
$(ii)$ $\emph{dim}(\emph{supp} \,{\cale xt}^{i}_{\calo_{X}}(\calf,\calo_{X})) \leq n-i$.\\
\end{lemme}
$${}$$
\begin{definition}
Soit $\calf $ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique $X$. Le $m$-i�me ensemble de singularit� pour la dimension projective de $\calf$ est :
$$ S_{m}(\calf)=\{ x  \in X \vert \emph{depth}(\calf_{x}) \leq m \}.$$
\end{definition}
On a ainsi une suite d'inclusions $X=S_{n}(\calf) \supset S_{n-1}(\calf) \supset ... \supset S_{0}(\calf)$. D'apr�s la formule d'Auslander-Buchsbaum, on peut aussi d�finir ces ensembles par $ S_{m}(\calf)=\{ x  \in X \vert \text{pd}(\calf_{x}) \geq n-m \}$. Du lemme pr�c�dent d�coule donc l'expression :
$$ S_{m}(\calf)= \cup_{i=n-m}^{n} \text{supp} \,{\cale xt}^{i}_{\calo_{X}}(\calf,\calo_{X}).$$
On peut ainsi montrer :\\
\begin{lemme}(\cite{oss}, II, lemme 1.1.4) 
Les ensembles $ S_{m}(\calf)$ sont des sous-ensembles alg�briques ferm�s et $\emph{dim}( S_{m}(\calf)) \geq n-m$.\\
\end{lemme}

Le germe de $\calf$ en $x \in X$, $\calf_{x}$ est un $\calo_{X,x}$-module libre si et seulement si sa dimension projective est nulle, ainsi l'ensemble singulier de $\calf$ donn� par :
$$S(\calf)=\{ x \in X \vert \calf_{x} \text{n'est pas un module libre sur } \calo_{X,x} \}$$
co�ncide avec $S_{n-1}(\calf)$.   
Comme corollaire du lemme pr�c�dent vient donc :\\
\begin{corollaire}
L'ensemble singulier $S(\calf )$ d'un faisceau coh�rent $\calf $ sur une vari�t� alg�brique $X$ est de codimension au moins $1$.\\
\end{corollaire}
Ainsi, sur $X \backslash S(\calf)$, $\calf$ est localement libre. Si $X$ est connexe, on peut donc d�finir le rang du faisceau coh�rent $\calf$ par :
$$ \text{rg}(\calf)=\text{rg}(\calf \vert_{X \backslash S(\calf)}).$$ 

\begin{definition}
Un faisceau coh�rent $\calf $ sur une vari�t� alg�brique $X$ est dit sans torsion si tout germe $\calf_{x}$ est un $\calo_{X,x}$-module sans torsion, i.e. si $f \in \calf_x$ et $a \in \calo_{X,x}$ sont tels que $f.a=0$ alors, ou $f=0$ ou $a=0$.\\
\end{definition}
Les faisceaux localement libres sont sans torsion, les sous-faisceaux de faisceaux sans-torsion sont sans torsion.\\

Le lemme ci-dessus nous donne aussi le r�sultat

\begin{corollaire}\label{singfaiscohcodim2}
L'ensemble singulier d'un faisceau coh�rent sans torsion est au moins de codimension $2$.\\
\end{corollaire}
On en d�duit que tout faisceau coh�rent sans torsion sur une courbe alg�brique est localement libre.

\begin{center}
{\bf Faisceaux r�flexifs}
\end{center}

Soit $\calf $ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique $X$. Le dual de $\calf $ est le faisceau $\calf^{ * } =\calh om (\calf,\calo_{X})$. Il y a un morphisme naturel $\mu : \calf \rightarrow \calf^{**}$.  Le noyau de ce morphisme est le sous-faisceau de torsion $T(\calf )$ de $\calf$ i.e. pour tout $x \in X$ $\text{ker}\, \mu_{x}=\{ f \in \calf_{x} \vert \exists  a \in {\calo_{X,x} \backslash  \{ 0 \}} , fa=0 \}$ (cf \cite{grarem}, p69 pour une preuve dans le cadre analytique).\\

\begin{definition}
Le faisceau coh�rent $\calf $ est dit reflexif si le morphisme naturel $\mu $ de $\calf $ vers son bidual $\calf \rightarrow \calf^{**}$ est un isomorphisme.\\
\end{definition}
les faisceaux localement libres sont des faisceaux r�flexifs. Comme on l'a vu, pour un faisceau coh�rent $\calf $, $\text{ker}\, \mu=T(\calf)$, ainsi faisceaux r�flexifs sont sans torsion. Les faisceaux r�flexifs sont plus g�n�raux que les faisceaux localement libres mais moins g�n�raux que les faisceaux sans torsion. La pr�sentation des faisceaux r�flexifs de la proposition qui suit est utile.\\
\begin{proposition}\cite{har1}\label{har1}
Un faisceau coh�rent $\calf$ sur un sch�ma lisse et s�par� $X$ est r�flexif si et seulement si il peut-�tre inclu localement dans une suite exacte $$ 0 \rightarrow \calf \rightarrow \cale \rightarrow \calg \rightarrow 0 ,$$
o� $\cale $ est localement libre et $\calg$ est sans torsion.\\
\end{proposition}
\begin{preuve}La question est locale, on omet d'�crire les restrictions � des ouverts. Supposons que $\calf$ est r�flexif. $\calf^*$ �tant coh�rent, on peut trouver une r�solution par des faisceaux localements libres $ \call_{1} \rightarrow \call_{0} \rightarrow \calf^{*} \rightarrow 0$. Le foncteur dualisant $\calh om(-,\calo_{X})$ �tant exact � gauche, on obtient la suite exacte $0 \rightarrow \calf^{**} \rightarrow  \call_{0}^{*} \rightarrow \call_{1}^{*} $. Notons par $Im\,\phi$ l'image du morphisme de $ \call_{0}^{*}$ vers $ \call_{1}^{*}$. $\calf $ �tant r�flexif, on a un isomorphisme $\calf \cong \calf^{** }$. En composant par cet isomorphisme on a la suite exacte voulue $ 0 \rightarrow \calf \rightarrow \call^{*}_{0} \rightarrow Im\, \phi \rightarrow 0 $.

R�ciproquement, si on a une suite exacte $ 0 \rightarrow \calf \rightarrow \cale \rightarrow \calg \rightarrow 0 $ avec les propri�t�s voulues, alors $\calf $ est isomorphe � un sous-faisceau d'un faisceau localement libre donc est sans torsion, ainsi l'application naturelle $\mu : \calf \rightarrow \calf^{**}$ est injective. Comme $\cale $ est localement libre, donc r�flexif, on peut voir $\calf^{**}$ comme un sous-faisceau de $\cale$. Ainsi le quotient $\calf^{**}/\calf$, qui est un faisceau de torsion, est isomorphe � un sous-faisceau de $\calg$ et est donc sans torsion car $\calg$ est sans torsion, donc nul, d'o� l'isomorphisme.  
\end{preuve}
Tout faisceau coh�rent $\calf$ a une r�solution par des faisceaux localement libre de la forme :
$$ \call_{1} \rightarrow \call_{0} \rightarrow \calf \rightarrow 0$$
Dualisons cette suite exacte, on obtient : 
$$0 \rightarrow  \calf^{*} \rightarrow \call_{0}^{*} \rightarrow \call_{1}^{*}$$
Notons par $\calg$ l'image du morphisme $\call_{0}^{*} \rightarrow \call_{1}^{*}$, $\calg$ est un sous-faisceau de $\call_{1}^{*}$, donc sans torsion. Il vient donc : 
$$ 0 \rightarrow  \calf^{*} \rightarrow \call_{0}^{*} \rightarrow \calg \rightarrow 0.$$
D'o�, comme corollaire de la proposition pr�c�dente :\\
\begin{corollaire}\label{dualcohref}
Le dual de tout faisceau coh�rent est r�flexif.\\
\end{corollaire}
La proposition qui suit est la principale caract\'erisation des faisceaux r�flexifs dont nous aurons besoin. 
\begin{proposition}\cite{har1}\label{caracrefl}
Un faisceau coh�rent $\calf$ sur une vari�t� $X$ est r�flexif si et seulement si\\
\hspace*{2cm} $(i)$ $\calf$ est sans torsion et,\\
\hspace*{2cm} $(ii)$ pour tout $x \in X$, $\emph{depth}\,\calf_{x} \geq 2$. \\
\end{proposition}
Nous allons voir que les faisceaux r�flexifs sont d�termin�s par leurs restrictions aux ensembles compl�mentaires de sous-ensembles de codimension $\geq 2$. Ce sont en fait les faisceaux coh�rents qui sont � la fois sans torsion et normaux.\\

\begin{definition}Un faisceau coh�rent $\calf$ sur $X$ est normal si pour tout ouvert $\calu \subset X$ et tout sous-ensemble ferm� $Y$ de codimension $\geq 2$, le morphisme de restriction $\calf(\calu) \rightarrow \calf(\calu-Y)$ est bijectif.\\  

\end{definition} 

\begin{proposition}\cite{har1}\label{reflnormal} Soit $\calf$ un faisceau coh�rent sur $X$, alors les conditions suivantes sont �quivalentes :\\ 
\hspace*{2cm} $(i)$ $\calf$ est r�flexif,\\
\hspace*{2cm} $(ii)$ $\calf$ est sans torsion et normal. \\
\end{proposition}

Cette proposition sera utilis�e sous la forme suivante : si $f : \cale \rightarrow \calf$ est un morphisme de faisceaux r�flexifs sur $X$ qui est un isomorphisme en dehors d'un ensemble $Y$ de codimension $\geq 2$, alors $f$ est un isomorphisme sur $X$, en effet, pour tout ouvert $\calu \subset X$, la suite d'isomorphismes suivante permet de conclure : $$  \cale(\calu) \cong \cale(\calu-Y) \cong \calf(\calu-Y) \cong \calf(\calu).$$


\subsubsection{ $\mu$-semistabilit�}

Soit $\calf $ un faisceau coh�rent sans torsion de rang $r$ sur une vari�t� alg�brique $X$. Rappelons que le fibr� en droite d�terminant associ� � $\calf$ est d�finit par $\text{det}(\calf)=(\Lambda^{r} \calf)^{**}$ (d'apr�s \ref{har1}, un faisceau r�flexif de rang $1$ est un fibr� en droites). La premi�re classe de Chern de $\calf$ est d�finie par
$$\text{c}_{1}(\calf)=\text{deg}_{}(\text{det} \calf),$$
et est � valeurs dans ${\bf Z}$ (voir \cite{har} pour la d�finition et les propri�t�s du degr�).\\

 Nous n'avons donc d�finit la premi�re classe de Chern que pour les faisceaux coh�rents sans torsion comme �tant le degr� du fibr� d�terminant qui est un fibr� en droite. Supposons qu'un faisceau coh�rent (avec ou sans torsion) $\calf $ admette une r�solution finie par des faisceaux localement libres $ 0 \rightarrow \calf_{n} \rightarrow \calf_{n-1} \rightarrow ... \rightarrow \calf_{0} \rightarrow \calf \rightarrow 0$. On d�finit alors $\text{det}(\calf )=\otimes_{i}\,\text{det}(\calf_{i})^{(-1)^{i}}$. On peut montrer que cette d�finition ne d�pend pas de la r�solution choisie et permet ainsi de d�finir $\text{c}_{1}(\calf )$. Cette d�finition fait sens ici car d'apr�s \cite{har}, III Ex. 6.8. et 6.9., tout faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique lisse admet une r�solution finie par des faisceaux localement libres.\\

D'apr�s la propri�t� d'additivit� du degr� (cf. \cite{har},Ex. 6.12. p149), la premi�re classe de Chern est additive
c'est � dire si l'on a une suite exacte de faisceaux coh�rents
$$0  \rightarrow \calf ' \rightarrow \calf \rightarrow \calf'' \rightarrow 0,$$
alors,
$$\text{c}_{1}(\calf)=\text{c}_{1}(\calf')+\text{c}_{1}(\calf'').$$
D�finissons la pente de $\calf $ par 
$$\mu(\calf)=\frac{\text{c}_{1}(\calf)}{\text{rg}(\calf)},$$
si $\text{rg}(\calf)=0$, et
$$\mu(\calf)=0,$$
sinon. 

On peut maintenant introduire la notion de semistabilit�.\\

\begin{definition}
Un faisceau coh�rent sans torsion sur $X$ est dit $\mu$-semistable si pour tout sous-faisceau coh�rent tel que $0 \varsubsetneq \cale \subset \calf$ on a
$$\mu(\cale) \leq \mu(\calf).$$ 
\end{definition}


Notons  $\calr efl(\mu)$ la cat�gorie des faisceaux r�flexifs $\mu$-semistables de pente $\mu$ sur une vari�t� alg�brique $X$.\\

Rappelons que par additivit� de la premi�re classe de Chern, si l'on a une suite exacte courte de faisceaux coh�rents sans torsion sur une vari�t� $X$ de la forme
$$ 0 \rightarrow \cale \rightarrow \calf \rightarrow \calg \rightarrow 0,$$
alors,
$$ \mu(\calf)=\frac{\text{c}_{1}(\cale)+\text{c}_{1}(\calg)}{\text{rg}(\cale)+\text{rg}(\calg)},$$
la pente de $\calf$ est donc barycentre des pentes respectives de $\cale$ et $\calg$. De fa�on explicite :$$\mu(\calf)=\frac{1}{{\text{rg}(\calf)}}(\text{rg}(\cale)\mu(\cale) +\text{rg}(\calg)\mu(\calg)).$$

Le lemme suivant g�n�ralise la proposition $5.8$ p$79$ dans \cite{pot}, la d�monstration est similaire.\\
\begin{lemme}\label{exact}
Si l'on a une suite exacte de faisceaux sans torsion $0 \rightarrow \cale \rightarrow \calf \rightarrow \calg \rightarrow 0$ telle que $\cale $ et $\calg$ sont $\mu$-semistables de pente $\mu$, alors $\calf $ est $\mu$-semistable de pente $\mu$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Comme explicit� ci-dessus, $\mu(\calf)$ est barycentre des pentes de $\cale$ et $\calg$, donc $\mu(\calf)=\mu$.

Montrons que $\calf$ est $\mu$-semistable. Soit $\calf'$ un sous-faisceau coh�rent non nul de $\calf$. Il est sans-torsion comme sous-faisceau d'un faisceau sans torsion. Soit $\calg'$ l'image de $\calf'$ dans $\calg$ et $\cale'$ l'intersection $\cale \cap \calf'$. $\cale'$ est coh�rent comme noyau du morphisme de faisceaux coh�rents $ \cale \rightarrow \calf \rightarrow \calf /\calf'$ et sans torsion comme sous-faisceau de $\cale$. $\calg'$ est coh�rent comme conoyau du morphisme de faisceaux coh�rents $\cale' \rightarrow \calf'$ et sans torsion comme sous-faisceau de $\calg$. On a ainsi la suite exacte courte de faisceaux coh�rents sans torsion
$$0 \rightarrow \cale' \rightarrow \calf' \rightarrow \calg' \rightarrow 0$$
donc la pente de $\calf'$ est barycentre � coefficients positifs de $\mu(\cale')$ et $\mu(\calg')$. Si ces faisceaux sont non nuls, on a $\mu(\cale') \leq \mu$ et $\mu(\calg') \leq \mu$ donc $\mu(\calf') \leq \mu$. Si $\cale'=0$, alors $\calf'$ s'dentifie � un sous-faisceau coh�rent de $\calg$, si $\calg'=0$, $\calf'$ est un sous-faisceau coh�rent de $\cale'$, dans ces deux cas, on a �videment $\mu(\calf') \leq \mu$.   
\end{preuve}



Soit $\calf $ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique $X$. On a un morphisme canonique $\nu : \calf \rightarrow \calf^{**}$ dont le noyau est la torsion de $\calf$. D'apr�s le corollaire \ref{dualcohref} p.\pageref{dualcohref}, le faisceau dual d'un faisceau coh�rent est r�flexif donc $\calf^{**}$ est un faisceau reflexif.\\
\begin{definition}
Soit $\calf$ un faisceau coh�rent,  le faisceau $\calf^{**}$ est appel� faisceau r�flexif associ� � $\calf $.\\ 
\end{definition}

\begin{lemme}\label{factorise}
Soit $f: \calf \rightarrow \calg $ un morphisme de faisceaux coh�rents, o� $\calg$ est r�flexif, alors $f$ se factorise de fa�on unique par $\nu : \calf \rightarrow \calf^{**}$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
$\calg $ �tant r�flexif, le morphisme canonique $\nu':\calg \rightarrow \calg^{**}$ est un isomorphisme. Notons par $f^{**}$ l'image de $f$ par le morphisme canonique de $\calh om (\calf, \calg ) \rightarrow \calh om(\calf^{**}, \calg^{**})$. On a le diagramme commutatif suivant :
$$\xymatrix{
\calf \ar[r]^{f} \ar[d]_{\nu} &  \calg \ar[d]_{\nu '}^{\simeq}\\
\calf^{**} \ar[r]_{f^{**}} &  \calg^{**}
}
$$
qui donne la factorisation $f=\nu'{}^{-1}\circ f^{**} \circ \nu$.

\end{preuve}



\begin{lemme}\label{c1pos}
Soit $e : \cale \rightarrow \calf $ un morphisme injectif de faisceaux coh�rents sans torsion de m�me rang sur $X$. Alors les premi�res classes de Chern de $\cale $ et $\calf $ v�rifient l'in�galit� $\emph{c}_{1}(\cale) \leq \emph{c}_{1}(\calf)$. De plus le conoyau $Coker(e)$ du morphisme $e$ est de torsion et $\emph{c}_{1}(Coker(e)) \geq 0$.
%\footnote{ Nous n'avons d�finit la premi�re classe de Chern que pour les faisceaux coh�rents sans torsion comme �tant le degr� du fibr� d�terminant qui est un fibr� en droite. Supposons qu'un faisceau coh�rent $\calf $ admette une r�solution finie par des faisceaux localement libres $ 0 \rightarrow \calf_{n} \rightarrow \calf_{n-1} \rightarrow ... \rightarrow \calf_{0} \rightarrow \calf \rightarrow 0$. On d�finit alors $\text{det}(\calf )=\otimes_{i}\,\text{det}(\calf_{i})^{(-1)^{i}}$. On peut montrer que cette d�finition ne d�pend pas de la r�solution choisie et permet ainsi de d�finir $\text{c}_{1}(\calf )$. Cette d�finition fait sens ici car d'apr�s \cite{har}, III Ex. 6.8. et 6.9., tout faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique lisse admet une r�solution finie par des faisceaux localement libres.}. \\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Prouvons d'abord (cf \cite{oss}, II, lemme 1.1.17) que : un morphisme injectif de faisceau coh�rents sans torsion de m�me rang $e :\cale \rightarrow \calf$ induit un morphisme injectif des fibr�s en droite d�terminants $\text{det}(e) : \text{det }(\cale ) \rightarrow \text{det }(\calf )$. D'apr�s \cite{oss}, m�me lemme, $e$ induit un isomorphisme en dehors de l'ensemble alg�brique $Y=S(\calf) \cup S(\calf/\cale)$ et donc $\text{det}(e)$ est un isomorphisme en dehors de $Y$. Ainsi $\text{ker}(\text{det}(e))$ est un faisceau de torsion sous-faisceau du faisceau localement libre $\text{det}(\cale)$ donc est nul.

De l'injection de fibr�s en droite $\text{det}(e) : \text{det }(\cale) \rightarrow \text{det}(\calf)$ on d�duit :
$$ \text{c}_{1}(\cale)=  \text{c}_{1}(\text{det}(\cale))\leq \text{c}_{1}(\text{det}(\calf))= \text{c}_{1}(\calf).$$
Par la formule de Whitney, on d�duit de la suite exacte $0 \rightarrow \cale \rightarrow \calf \rightarrow Coker(e) \rightarrow 0$ que $ \text{c}_{1}(Coker(e))=\text{c}_{1}(\calf)-\text{c}_{1}(\cale)$ et donc que $\text{c}_{1}(Coker(e)) \geq 0$.

\end{preuve}

\begin{lemme}\label{codim2} Soit $\calf $ un faisceau coh�rent sur une vari�t� alg�brique $X$.\\
\hspace*{0.5cm}$(i)$ Si le morphisme canonique $\nu : \calf \rightarrow \calf^{**}$ est injectif, alors c'est un isomorphisme en dehors d'un ensemble alg�brique $Y$ de codimension $2$.\\
\hspace*{0.5cm}$(ii)$ Si de plus $X$ est compl�te, alors, si le morphisme canonique $\nu : \calf \rightarrow \calf^{**}$ est surjectif et que de plus on a $\emph{c}_{1}(\calf)=\emph{c}_{1}(\calf^{**})$, alors c'est un isomorphisme en dehors d'un ensemble alg�brique $Y$ de codimension $2$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}$(i)$ Le noyau de $\nu$ est la torsion de $\calf$. Si ce noyau est nul c'est que $\calf $ est sans torsion et donc localement libre en dehors d'un sous-ensemble de $X$ de codimension $2$.\\
$(ii)$ Si $\nu$ est une surjection, on peut alors �crire la suite exacte
$$\xymatrix{
0 \ar[r] & T \ar[r] & \calf  \ar[r]^{\nu } &  \calf^{**} \ar[r] &  0}
$$
o� $T$ est le faisceau de torsion de $\calf$. Montrons que la codimension du support de $T$ est au moins $2$ ce qui permettra de conclure. Supposons que $T$ ait une composante $V$ de codimension $1$. Alors, comme $X$ est compl�te, d'apr�s \cite{ful}, il existe une courbe $i:C \hookrightarrow X$, transverse � $V$. $i^{*}T$ est de torsion sur la courbe $C$ donc support� par des points qui contribuent chacun positivement � $\text{c}_{1}(i^{*}T)$, donc $\text{c}_{1}(i^{*}T)>0$. Comme $C$ est transverse � $V$, $\text{c}_{1}(i^{*}T)=i^{*}\text{c}_{1}(T)$, donc $i^{*}\text{c}_{1}(T)>0$ ce qui est une contradiction, $\calf$ et $\calf^{**}$ ayant m\^eme premi�re classe de Chern. Donc $\text{Supp}(T)$ est de codimension au moins $2$ ce qui permet de conclure. 


\end{preuve}






\begin{proposition}\label{caracref}
Soit $\xymatrix{ 0 \ar[r] &\cale \ar[r]^{e} &\calf \ar[r]^{f}& \calg \ar[r]& 0}$ une suite exacte de faisceaux coh�rents sur une vari�t� alg�brique $X$ telle que $\calf$ soit r�flexif et $\calg $ soit sans torsion, alors $\cale $ est r�flexif.\\
\end{proposition}

\begin{preuve} 
Le faisceau coh�rent $\cale$ est un sous-faisceau du faisceau r�flexif $\calf$ et est donc sans torsion, ainsi le morphisme canonique $\nu :\cale \rightarrow \cale^{**}$ est injectif. On veut montrer que $\nu $ est un isomorphisme. D'apr�s le lemme \ref{factorise} p.\pageref{factorise}, on sait que l'on peut factoriser $e$ par $\nu$. On note $e^{**}$ le morphisme qui s'en d�duit. Vient le diagramme commutatif :
 
$$\xymatrix{
{}&  0 \ar[d]\\ 
0 \ar[r] &\cale \ar[r]^{e}\ar[d]^{\nu} &\calf \ar[r]^{f}\ar[d]^{id}& \calg \ar[r] \ar[d]^{\eta}& 0\\
 0 \ar[r] &\cale^{**} \ar[r]^{e^{**}} &\calf \ar[r]^{}& Coker(e^{**})  \ar[r] \ar[d]& 0\\
{} &{} & {} & 0
}
$$
Comme $\cale $ est sans torsion il est localement libre en dehors d'un sous-ensemble alg�brique $Y$ de codimension $2$ dans $X$.Ainsi $\nu \vert_{X \backslash Y} : \cale\vert_{X \backslash Y} \rightarrow \cale^{**}\vert_{X \backslash Y}$ soit un isomorphisme. Ainsi, $ \eta\vert_{X \backslash Y} : \calg \rightarrow Coker(e^{**})\vert_{X \backslash Y}$ est un isomorphisme donc le support du noyau $\text{ker}(\eta)$ est de codimension $2$, donc est de torsion, mais $\calg$ est sans torsion d'o� $\text{ker}(\eta)=0$. Donc $\eta$ est un isomorphisme, il en va ainsi de m�me pour $\nu$, ce qui ach�ve la preuve.

\end{preuve}



\begin{theoreme}\label{muab}
Soit $X$ une vari�t� alg�brique lisse et projective sur un corps $k$ alg�briquement clos de caract�ristique nulle. La cat�gorie $\emph{Refl}_{\mu}(X)$ des faisceaux r�flexifs $\mu$-semistables sur $X$ est ab�lienne.\\ 
\end{theoreme}

\begin{preuve}
Cette cat�gorie est une sous-cat�gorie additive de la cat�gorie des faisceaux vectoriels, elle a des sommes directes par le lemme \ref{exact} p.\pageref{exact}.

Montrons qu'elle est exacte. Soit $f : \cale \rightarrow \calf$ un morphisme dans cette cat�gorie :\\
%$\text{Im}(f)$ est un faisceau coh�rent sans torsion comme sous-faisceau du faisceau localement libre $\calf$. La suite exacte de faisceau $ 0 \rightarrow \text{Ker}(f) \rightarrow \calf \rightarrow \text{Im}(f) \rightarrow 0$  montre que (cf har1) que $\text{Ker}(f)$ est r�flexif donc localement libre. Soit $g : \cald \rightarrow \cale$ un morphisme dans $\text{Sh}_{refl,\mu-semistables,\mu}(X)$ tel que $f \circ g=0$, alors elle se factorise par $i : \text{Ker}(f) \rightarrow \calf$. Donc $\text{Ker}(f)$ est bien un noyau dans cette cat�gorie. 
%Dans la cat�gorie des faisceaux $\text{Im}(f)$, $\text{Coker}(f)$ et $\text{Co�m}(f)$ sont des faisceaux coh�rents et on a les isomorphismes de faisceaux $\text{Co�m}(f)\cong \cale /\text{Ker}(f) \cong \text{Im}(f)$. D�finissons les images, cokernels et co�mages (not�es $I$, $CK$ et $CI$) dans $\calc(\nu)$ comme les satur�s respectifs $I=(\text{Im}(\calf))^{**}$, $CK=(\text{Coker}(f))^{**}$ et $CI=(\text{Co�m}(f))^{**}$.
%Montrons que $CK$ est un cokernel. Soit $h :\calg \rightarrow \calh $ un morphisme dans $\calc(\nu)$ tel que $h \circ f=0$. Alors comme $\text{Coker}(f)$ est un cokernel dans la cat�gorie des faisceaux, on peut factoriser $h$ par un morphisme $\text{Coker}(f) \rightarrow \calh$ que l'on note toujours $h$ puis appliquer le lemme \ref{factorise} p.\pageref{factorise}, pour factoriser par $h': CK \rightarrow \calh$.
%Montrons que $I$ est une image...
%Montrons que $CI$ est une co�mage...
%Reste � montrer que $I \cong CI$ :
On dispose dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents de noyaux, conoyaux, images et co�mages $\text{Ker}(f)$, $\text{Coker}(f)$, $\text{Im}(f)$ et $\text{Coim}(f)$ qui v�rifient les isomorphismes $\text{Im}(f)\cong \cale /\text{Ker}(f) \cong \text{Coim}(f)$ et $\text{Coker}(f) \cong \calg/\text{Im}(f)$. On note $i : \text{Ker}(f) \rightarrow \calf$ et $\pi :
\calg \rightarrow \text{Coker}(f)$.

On d�finit le noyau de $f$ dans la cat�gorie $\text{Refl}_{\mu}(X)$, que l'on note $\calk er$, comme �tant le faisceau r�flexif associ� au noyau de $f$ dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents $\text{Ker}(f)$. Or $\text{Ker}(f)$ est r�flexif. En effet il s'ins�re dans la suite exacte :
$$ 0 \rightarrow \text{Ker}(f) \rightarrow \cale \rightarrow \text{Coim}(f) \rightarrow 0.$$
Or $\text{Coim}(f)\cong\text{Im}(f)$ et $\text{Im}(f)$ est un sous-faisceau du faisceau r�flexif $\calf$, donc sans-torsion, et $\cale $ est r�flexif. D'apr�s la proposition \ref{caracref} p.\pageref{caracref}, $\text{Ker}(f)$ est r�flexif, ainsi $\calk er=\text{Ker}(f)$. 

$\calk er$ est de pente $\mu$ : $\text{Ker}(f)$ est un sous-faisceau coh�rent de $\cale$ donc par semistabilit� de $\cale$, $\mu(\text{Ker}(f))\leq \mu$, de m�me $\text{Im}(f)$ est un sous-faisceau coh�rent de $\calf$ donc $\mu(\text{Im}(f))\leq \mu$. Or $\mu $ est barycentre � coefficients positifs de $\mu(\text{Ker}(f))$ et $\mu(\text{Im}(f))$ donc $\mu(\calk er)=\mu(\text{Ker}(f))=\mu(\text{Im}(f))=\mu$. Il est $\mu$-semistable, sinon il aurait un sous-faisceau coh�rent de pente $ \geq \mu$ mais ce serait aussi un sous-fibr� de $\cale$ ce qui contredirait la semistabilit� de $\cale$.  Montrons que $\calk er$ est bien un noyau dans la cat�gorie $\text{Refl}_{\mu}(X)$. Soit $d : \cald \rightarrow \cale$ un morphisme de faisceaux r�flexifs tel que $e \circ d=0$. Alors $d$ se factorise par $\text{Ker}(f)$ dans la cat�gorie des faisceaux donc par $\calk er$. On a ainsi prouv� que $\calk er$ est un noyau dans $\text{Refl}_{\mu}(X)$. 




% En effet soit $e : \cale \rightarrow \calf $ un morphisme de faisceaux r�flexifs tel que $f\circ e=0$. On peut alors factoriser $e$ par le noyau dans la cat�gorie des faisceaux :
%$$
%\xymatrix{
%\cale \ar[r]^{e} \ar[d]_{e'} & \calf \ar[r]^{f} & \calf \\
%\text{Ker}(f) \ar[ru]_{i}
%}
%$$
%est commutatif, ce qui donne , d'apr�s le lemme \ref{factorise}, la factorisation voulue par le diagramme commutatif suivant :
%$$
%\xymatrix{
%\cale \ar[r]^{e} \ar[d]_{e'} & \calf \ar[r]^{f} & \calf \\
%\text{Ker}(f) \ar[r]_-{\nu} &   \calk er=(\text{Ker}(f))^{**} \ar[u]_{i^{**}}
%}
%.$$

On d�finit le conoyau dans $\text{Refl}_{\mu}(X)$, que l'on note $\calc oker$, comme �tant le faisceau r�flexif associ� au faisceau coh�rent $\text{Coker}(f)$, i.e. $\calc oker=(\text{Coker}(f))^{**}$. On note $\pi^{**}: \calf \rightarrow \calc oker$ le morphisme associ� � $\pi : \calf \rightarrow \text{Coker}(f)$ ($\pi^{**}=\nu \circ \pi$ o� $\nu $ est le morphisme canonique de $\text{Coker}(f)$ vers son bidual). Ainsi d�finit, $\calc oker$ est bien un conoyau dans la cat�gorie des faisceaux r�flexifs : soit $g :\calf \rightarrow \calg$ un morphisme de faisceaux r�flexifs tel que $g \circ f=0$. On peut alors factoriser $g$ ; en effet, dans la cat�gorie des faisceaux 
$$
\xymatrix{
\cale \ar[r]^{f}  & \calf \ar[r]^{g} \ar[d]_{\pi} & \calg\\
{} & \text{Coker}(f) \ar[ru]_{g'}
}
$$
est commutatif, d'o�, par le lemme de factorisation (lemme \ref{factorise}), on obtient le diagramme commutatif :

$$
\xymatrix{
\cale \ar[r]^{f}  & \calf \ar[r]^{g} \ar[dr]^{\pi^{**}} \ar[d]_{\pi} & \calg\\
{} & \text{Coker}(f) \ar[r]_-{\nu} &  \calc oker \ar[u]_{g''}
}
$$
donc $\calc oker$ est bien un conoyau.

Il faut prouver que $\calc oker$ est $\mu$-semistable de pente $\mu$. Consid�rons le faisceau coh�rent $\text{ker}(\pi^{**})$  noyau de $\pi^{**} : \calf  \rightarrow \calc oker$. On a alors un morphisme injectif de $\text{Im}(f)$ vers $\text{ker}(\pi^{**})$. Notons par $T$ le conoyau de ce morphisme et consid�rons le diagramme commutatif form� de suites exactes courtes : 
$$
\xymatrix{
{} & {} & {} & 0 \ar[d]\\
{} & 0 \ar[d] & {} & T\ar[d] \\
0 \ar[r] &\text{Im}(f) \ar[r]\ar[d] &  \calf \ar[r]^{\pi} \ar[d]^{id} & \text{Coker}(f) \ar[r] \ar[d]^{\nu} & 0 \\
0 \ar[r] & \text{Ker}(\pi^{**})  \ar[r] \ar[d] &  \calf \ar[r]^-{\pi^{**}} & \calc oker =(\text{Coker}(f))^{**} \ar[r] \ar[d] & 0\\
{} & T \ar[d] & {} & 0\\
{} & 0
}
$$ 
Comme $\text{rg}(\text{Coker}(f))=\text{rg}((\text{Coker}(f))^{**})$ on a aussi $\text{rg}(\text{Im}(f))=\text{rg}((\text{Ker}(\pi^{**}))^{**})$. Or,\\
$ \text{c}_{1}(\text{Ker}(\pi^{**}))=\text{c}_{1}(\text{Im}(f))+\text{c}_{1}(T)$, donc $\text{c}_{1}(T) \leq 0 $ sans quoi on aurait $\mu(\text{Ker}(\pi^{**})) > \mu$ ce qui nierait la $\mu$-semistabilit� de $\calf$. Mais $\mu(\text{Ker}(\pi^{**})) \leq \mu$ implique $\mu( \calc oker) \geq \mu$ ce qui sachant que $\mu(\text{Coker}(f))=\mu$ implique $\text{c}_{1}(T) \geq 0$ et donc $\text{c}_{1}(T) = 0 $. Ainsi, par le lemme \ref{codim2} p.\pageref{codim2}, $(ii)$, $\nu :  \text{Coker}(f) \rightarrow \calc oker$ est un isomorphisme en dehors d'un sous-ensemble alg�brique $Y$ de $X$ de codimension $2$.  On en d�duit que $\mu( \calc oker)=\mu( \text{ker}(\pi^{**}))=\mu$ et que le morphisme restreint $\text{Im}(f)\vert_{X \backslash Y} \rightarrow \text{ker}(\pi^{**}) \vert_{X \backslash Y}$ est un isomorphisme.


Montrons que $\calc oker$ est $\mu$-semistable. Soit $E$ un sous-faisceau coh\'erent de $\calc oker$ et soit $F$ le faisceau coh\'erent quotient de $\calc oker$ par $E$, on a la suite exacte $0 \rightarrow E \rightarrow \calc oker \rightarrow F \rightarrow 0$. Comme $\pi^{**}: \calf \rightarrow \calc oker$ est surjective, on a un morphisme surjectif de $\calf$ vers $F$. Notons $K$ son noyau, c'est un sous-faisceau coh\'erent de $\calf$. On a la suite exacte $0 \rightarrow K \rightarrow \calf \rightarrow F \rightarrow 0$. Supposons que $\mu(E) > \mu$, alors comme $\mu( \calc oker)=\mu(\calf)=\mu$, il vient $\mu(F) < \mu$ et donc $\mu(K) > \mu$ ce qui contredit la $\mu$-semistabilit\'e de $\calg$. Donc, si $E$ est un sous-faisceau coh\'erent de $\calc oker$, $\mu(E) \leq \mu$. $\calc oker$ est bien $\mu$-semistable.

On d\'efinit ensuite l'image de $f$ dans $Refl_{\mu}(X)$, $\cali m$, comme \'etant le noyau pour le conoyau, c'est \`a dire le faisceau r\'eflexif associ\'e au faisceau coh\'erent $\text{ker}(\pi^{**})$, noyau faisceautique du morphisme de faisceaux r\'eflexifs $\pi^{**} : \calf  \rightarrow \calc oker$. Comme on l'a montr\'e pour le noyau, $\text{ker}(\pi^{**})$ est d\'ej\`a un faisceau r\'eflexif car $\calg $ est r\'eflexif et $\calc oker$ est sans torsion car r\'eflexif. On a vu de plus que $\text{ker}(\pi^{**})$ est $\mu$-semistable de pente $\mu$. Donc l'image $\cali m\cong\text{ker}(\pi^{**})$ est $\mu$-semistable de pente $\mu$.



La co{\"\i}mage $\calc oim$ de $f$ est le faisceau r\'eflexif associ\'e au conoyau du noyau $i: \calk er \rightarrow \calf$. On a $\calc oim=\text{Coker} (i)^{**}$. D'apr\`es l'\'etude faite sur $\calc oker$, $\calc oim$ est $\mu$-semistable de pente $\mu$. De plus d'apr\`es la proposition \ref{caracref} p.\pageref{caracref}, $\calc oim$ est isomorphe \`a $\text{Coim}(f)$. On a :




$$
\xymatrix{
O \ar[r] & \calk er=\text{Ker}(f)  \ar[r]^{i} &  \cale \ar[r] \ar[rd] & \text{Coker}(i^{}) \ar[r] \ar[d]^{\nu}  & 0\\
{} &  {} & {} &  \calc oim=(\text{Coker}(i))^{**}
}
$$

Reste \`a montrer que l'image et la co{\"\i}mage sont isomorphes. Montrons d'abord que le support de $T$ est de codimension au moins $2$. Supposons qu'il contienne une composante $V$ de codimension $1$. Alors, comme $X$ est compl\`ete, d'apr\`es \cite{ful}, il existe une courbe $i:C \hookrightarrow X$ transverse \`a $V$. $i^{*}T$ est de torsion sur $C$ donc est support\'e par des points de $C$ qui contribuent chacun strictement positivement \`a $\text{c}_{1}(i^{*}T)$ donc $\text{c}_{1}(i^{*}T)>0$. Comme $C$ est transverse \`a $V$, $\text{c}_{1}(i^{*}T)=i^{*}\text{c}_{1}(T)$, donc $i^{*}\text{c}_{1}(T)>0$ ce qui est une contradiction. Donc $\text{supp}(T)$ est de codimension au moins $2$. Ainsi il existe un sous-ensemble alg\'ebrique $Y$ de $X$ de codimension au moins $2$ tel que $\calc oker $ et $\text{Coker}(f)$ soient isomorphes sur $X \backslash Y$. Donc, par le diagramme commutatif pr\'ec\'edent, le morphisme de $\text{Im}(f)$ vers $\cali m$ est un isomorphisme sur $X\backslash Y$. Ainsi la compos\'ee des restrictions \`a $X\backslash Y $ de l'isomorphisme sur $X$ entre $\calc oim$ et $\text{Coim}(f)$ puis de l'isomorphisme sur $X$ entre $\text{Coim}$ et $\text{Im}(f)$ et de l'isomorphisme sur $X\backslash Y$ entre $\text{Im}(f)$ et $\cali m$ fournit un isomorphisme entre $\cali m$ et $\calc oim$ sur $X$ priv\'e d'un ensemble de codimension au moins $2$, $Y$. Ces faisceaux \'etant r\'eflexifs, d'apr\`es \cite{har}, ils sont normaux et donc enti\`erement d\'efinis par leurs restrictions aux compl\'ementaires d'ensembles de codimension au moins $2$, d'o\`u l'isomorphisme $\cali m \cong \calc oim$.     


%Reste \`a montrer que les faisceaux r\'eflexifs $\mu$-semistables de pente $\mu$, $\cali m$ et $\calc oim$ sont isomorphes. Comme $\text{Coker}(i)$ est sans torsion car isomorphe au faisceau coh\'erent sans torsion $\text{Im}(f)$, il est localement libre en dehors d'un sous-ensemble $Y$ de $X$ de codimension au moins $2$. Ainsi le morphisme canonique vers le bidual $\nu : \text{Coker}(i) \rightarrow \calc oim$ est un isomorphisme sur $X \backslash Y$.
%$$
%\xymatrix{
%O \ar[r] & \calk er=\text{Ker}(f)  \ar[r]^{i} &  \cale \ar[r] \ar[rd] & \text{Coker}(i^{}) \ar[r] \ar[d]^{\nu}  & 0\\
%{} &  {} & {} &  \calc oim=(\text{Coker}(i))^{**}
%}
%$$
%et de plus $\text{Coker}(i^{})=\text{Coim}(f)\cong \text{Im}(f)$ est sans torsion donc, d'apr�s le lemme \ref{codim2} p.\pageref{codim2}, le morphisme canonique $\nu : \text{Coker}(i^{}) \rightarrow  \calc oim$ est un isomorphisme en dehors d'un sous-ensemble alg\'ebrique $Y'$ de $X$. Ainsi $\mu(   \calc oim)=\mu(\text{Coker}(i^{}))=\mu$. Montrons que $\calc oim$ est $\mu$-semistable. Soit $E$ un sous-faisceau coh\'erent de $\calc oim$. Alors $E \cap \text{Coker}(i)$ est un faisceau coh\'erent. En effet il peut �tre vu comme le noyau du morphisme de faisceaux coh\'erent $E \rightarrow \calc oim \rightarrow \calc oim /\text{Coker}(i)=T$. Notons $T'$ le conoyau de ce morphisme. Ce qui m�ne \`a la suite exacte
%$$ 0 \rightarrow E \cap \text{Coker}(i) \rightarrow E \rightarrow T \rightarrow T'\rightarrow 0.$$ 
%Par le lemme \ref{codim2} p.\pageref{codim2}, on sait que $\text{supp}( T)$ est de codimension au moins $2$, comme $\text{supp}(T') \subset \text{supp}(T)$ on a $\text{c}_{1}(T')=\text{c}_{1}(T)=0$ donc $ \text{c}_{1}(E)=\text{c}_{1}(E \cap \text{Coker}(i))$. $E \cap \text{Coker}(i)$ est un sous-faisceau coh\'erent du faisceau $\mu$-semistable $\text{Coker}(i)$ donc $\mu(E \cap \text{Coker}(i)) \leq \mu$ et donc $\mu(E) \leq \mu$ ce qui prouve que $\calc oim$ est $\mu$-semistable.




%----------------------

%Montrons que $\calc oker$ est $\mu$-semistable. Soit $E$ un sous-faisceau coh�rent de $\calc oker$ et soit $F$ le faisceau coh�rent quotient de $\calc oker$ par $E$, on a la suite exacte $0 \rightarrow E \rightarrow \calc oker \rightarrow F \rightarrow 0$. Comme $\pi^{**}: \calf \rightarrow \calc oker$ est surjective, on a un morphisme surjectif de $\calf$ vers $F$. Notons $K$ son noyau, c'est un sous-faisceau coh�rent de . On a la suite exacte $0 \rightarrow K \rightarrow \calf \rightarrow F \rightarrow 0$. Supposons que $\mu(E) > \mu$, alors comme $\mu( \calc oker)=\mu(\calf)=\mu$, il vient $\mu(F) < \mu$ et donc $\mu(K) > \mu$ ce qui contredit la $\mu$-semistabilit� de $\calg$. Donc, si $E$ est un sous-faisceau coh�rent de $\calc oker$, $\mu(E) \leq \mu$. $\calc oker$ est bien $\mu$-semistable.




%$$
%\xymatrix{
%{} & {} & {} & 0 \ar[d]\\
%{} & 0 \ar[d] & {} & E\ar[d] \\
%O \ar[r] &  \text{Ker}(\pi^{**}) \ar[r]\ar[d] &  \calf \ar[r]^{\pi^{**}} \ar[d]^{id} & (\text{Coker}(f))^{**} \ar[r] \ar[d] & 0 \\
%O \ar[r] & \text{Ker}(\pi^{**})  \ar[r] \ar[d] &  \calf \ar[r] & F \ar[r] \ar[d] & 0\\
%{} & T \ar[d] & {} & 0\\
%{} & 0
%}
%$$    



%On d�finit ensuite l'image de $f$ dans $\text{Refl}_{\mu}(X)$ comme �tant le noyau pour le conoyau, c'est � dire le faisceau r�flexif associ� au faisceau coh�rent $\text{ker}(\pi^{**})$ qui est le noyau faisceautique de $\pi^{**} : \calf  \rightarrow \calc oker$. Comme on l'a montr� pour le noyau, c'est d�j� un faisceau r�flexif car $\calg $ est r�flexif et $\calc oker$ est sans torsion car r�flexif. On note l'image $\cali m$ et on a $\cali m=\text{ker}(\pi^{**})$ et donc $\mu(\cali m)=\mu$. On montre qu'il est $\mu$-semistable par le m�me argument que pour montrer la $\mu$-semistabilit� de $\calk er $. On d�duit du fait que $\calc oker $ et $\text{Coker}(f)$ soient isomorphes en dehors de l'ensemble alg�brique $Y$ de codimension $2$ que $\cali m$ et $\text{Im}(f)$ sont isomorphes en dehors de ce m�me ensemble.

%La co�mage de $f$ est le conoyau du noyau. On la note $\calc oim$, on a $\calc oim=(\text{Coker} (i))^{**}$, c'est le faisceau r�flexif associ� au faisceau coh�rent $\text{Coker} (i)$ conoyau dans la cat�gorie des faisceaux de $i: \calk er \rightarrow \calf$. On a
%$$
%\xymatrix{
%O \ar[r] & \calk er=\text{Ker}(f)  \ar[r]^{i} &  \cale \ar[r] \ar[rd] & \text{Coker}(i^{}) \ar[r] \ar[d]^{\nu}  & 0\\
%{} &  {} & {} &  \calc oim=(\text{Coker}(i))^{**}
%}
%$$
%et de plus $\text{Coker}(i^{})=\text{Coim}(f)\cong \text{Im}(f)$ est sans torsion donc, d'apr�s le lemme \ref{codim2} le morphisme canonique $\nu : \text{Coker}(i^{}) \rightarrow  \calc oim$ est un isomorphisme en dehors d'un sous-ensemble alg�brique $Y'$ de $X$. Ainsi $\mu(   \calc oim)=\mu(\text{Coker}(i^{}))=\mu$. Montrons que $\calc oim$ est $\mu$-semistable. Soit $E$ un sous-faisceau coh�rent de $\calc oim$. Alors $E \cap \text{Coker}(i)$ est un faisceau coh�rent. En effet il peut �tre vu comme le noyau du morphisme de faisceaux coh�rent $E \rightarrow \calc oim \rightarrow \calc oim /\text{Coker}(i)=T$. Notons $T'$ le conoyau de ce morphisme. Ce qui m�ne � la suite exacte
%$$ 0 \rightarrow E \cap \text{Coker}(i) \rightarrow E \rightarrow T \rightarrow T'\rightarrow 0.$$ 
%Par le lemme \ref{codim2} on sait que $\text{supp}( T)$ est de codimension au moins $2$, comme $\text{supp}(T') \subset \text{supp}(T)$ on a $\text{c}_{1}(T')=\text{c}_{1}(T)=0$ donc $ \text{c}_{1}(E)=\text{c}_{1}(E \cap \text{Coker}(i))$. $E \cap \text{Coker}(i)$ est un sous-faisceau coh�rent du faisceau $\mu$-semistable $\text{Coker}(i)$ donc $\mu(E \cap \text{Coker}(i)) \leq \mu$ et donc $\mu(E) \leq \mu$ ce qui prouve que $\calc oim$ est $\mu$-semistable.



%Pour montrer que $\text{Refl}_{\mu}(X)$ est ab�lienne il reste  � prouver que le morphisme canonique entre $ \calc oim $ et $ \cali m$ est un isomorphisme. Rappelons les faits �tablis plus haut :\\
%\hspace*{0.5cm}${\bullet }$ $\cali m$ et $\text{Im}(f)$ sont isomorphes en dehors d'un ensemble alg�brique $Y$ de codimension $2$.\\
%\hspace*{0.5cm}${\bullet }$ Dans la cat�gorie des faisceaux $\text{Coker}(i) \cong \text{Coim}(f) \cong \text{Im }(f)$.\\
%\hspace*{0.5cm}${\bullet }$ $\calc oim$ et $\text{Coker}(f) $ sont isomorphes en dehors d'un ensemble alg�brique $Y'$ de codimension $2$.\\
%Par composition de ces isomorphismes sur $X \backslash (Y \cup Y')$, $\cali m$ et $\calc oim$ sont isomorphes en dehors d'un ensemble de codimension $2$. Or $\cali m$ et $\calc oim$ sont des faisceaux r�flexifs donc normaux i.e. d�termin�s enti�rement par leurs restrictions aux compl�mentaires d'ensembles de codimension $2$, donc, par la proposition \ref{reflnormal} p.\pageref{reflnormal}, $\calc oim \cong \cali m$, ce qui prouve que $\text{Sh}_{refl,\mu-semistables,\mu}(X)$ est ab�lienne. 
%$$
%\xymatrix{
%O \ar[r] &\text{Im}(f) \ar[r] &  \calf \ar[r]^{\pi} \ar[d]^{id} & \text{Coker}(f) \ar[r] \ar[d]^{\nu} & 0 \\
%O \ar[r] & \text{Ker}(\pi^{**})  \ar[r] \ar[d]^{\nu} &  \calf \ar[r]^-{\pi^{**}} & \calc oker =(\text{Coker}(f))^{**} \ar[r]  & 0\\
%{} &  \cali m=(\text{Ker}(\pi^{**}))^{**} \ar[ru]
%}
%$$ 
%et de m�me :
%$$
%\xymatrix{
%O \ar[r] &\text{Ker}(f) \ar[r]^{i}\ar[d]^{\nu} &  \calf \ar[r]^{} \ar[d]^{id} & \text{Coim}(f) \ar[r]  & 0 \\
%O \ar[r] & \calk er=\text{Ker}(i^{**})  \ar[r]^{i^{**}} &  \calf \ar[r] \ar[rd] & \text{Coker}(i^{**}) \ar[r] \ar[d]^{\nu}  & 0\\
%{} &  {} & {} &  \calc oim=(\text{Coker}(i^{**}))^{**}
%}
%$$ 

\end{preuve}

Rappelons que les faisceaux r�flexifs sur les vari�t�s alg�briques de dimension inf�rieure � $2$ sont les faisceaux localement libres. On retrouve le fait bien connu que (pour les courbes voir \cite{pot} et voir \cite{huyleh} pour les surfaces) :\\
\begin{corollaire}
La cat�gorie des fibr�s vectoriels $\mu$-semistables de pente $\mu$ sur une vari�t� alg�brique lisse projective de dimension inf�rieure � $2$ est ab�lienne.\\
\end{corollaire}
${}$\\
{\bf Remarque :} Nous appliquerons le th�or�me \label{muab} et sa d�monstration avec $X={\bf P}^2$ pour montrer que la cat�gorie des fibr�s sur ${\bf P}^2$ avec une condition de semistabilit� plus forte est ab�lienne (cf corollaire \ref{geotrifab} p.\pageref{geotrifab}).\\






\subsection{Faisceau coh�rent de Rees sur ${\bf A}^n$ associ� � un espace vectoriel muni de $n$ filtrations}




\subsubsection{D�finition des faisceaux coh�rents de Rees sur les espaces affines}
Pour �tudier les espaces vectoriels filtr�s de $\calc_{nfiltr}$, on leurs associe des faisceaux coh�rents sur ${\bf A}^n$ par la construction du faisceau coh�rent $\tilde M$ d'un $A$-module de Rees $M$ sur $\text{Spec}(A)$, o� $A$ est un anneau. Le faisceau est coh�rent car, les filtrations �tant exhaustives, le module de Rees est finiment engendr�.\\

\begin{definition}
Le faisceau de Rees associ� � $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$ est le faisecau coh�rent sur ${\bf A}^{n}=\emph{Spec}({k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}])$, $\tilde{ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ obtenu � partir du ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-module de Rees $ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})$. Il sera not� $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$. Ainsi :
 $$\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))= R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})^{\sim }.$$
\end{definition}
%Le faisceau coh�rent sur ${\bf A}^n$ est localement libre car le module de Rees $ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})$ est libre et fini. Pour adopter un language g�om�trique qui nous conviendra mieux par la suite nous parlerons de fibr� vectoriel plut\^ot que de faisceau localement libre.\\
%Cette d�finition donne une premi�re cons�quence directe :\\

Comme $R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}$ est un sous ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-module de ${k}[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1}...,u_{n},u_{n}^{-1}] \otimes V $, $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ est le sous-faisceau de $i^{*}(\calo_{{\bf G}_{m}^{n}}\otimes V)$ engendr� par les sections de la forme $ u_{1}^{-p_{1}}u_{2}^{-p_{2}}...u_{n}^{-p_{n}}w$ o� $w \in F_{1}^{p_1} \cap F_{1}^{p_2} \cap ... \cap F_{1}^{p_n}$. 



\begin{lemme}
La construction du fibr� de Rees  � partir des modules de Rees est fonctorielle et le foncteur $ {\xi}_{{\bf A}^n}(.,.,.)$ qui va de $\calc_{nfiltr}$ vers la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur ${\bf A}^n$ est exact. \\
\end{lemme}

\begin{preuve}
C'est la proposition \ref{tilde2} p.\pageref{tilde2} (i) appliqu�e aux modules de Rees d'ordre $n$.
\end{preuve}

Soit $J$ un ensemble de cardinal fini et pour tout $j \in J$, $(V_{j},(F_{ij}^{\bullet })_{i \in [1,n]})$ un �l�ment de $\calc_{nfiltr}$. $(V_{j},(F_{ij}^{\bullet })_{i \in [1,n]})_{j \in J}$ est donc une famille finie d'�l�ments de $\calc_{nfiltr}$ que l'on notera $(V_{j},F_{ij}^{\bullet })_{j \in J}$. Pour une telle famille :\\

\begin{lemme}\label{isosumfibrees}
$$\xi_{{\bf A}^n}(\otimes_{j \in J}R^{n}(V_{j},F^{\bullet}_{ij})) \cong \otimes_{j \in J}\xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V_{j},F^{\bullet}_{ij}))$$
$$\xi_{{\bf A}^n}(\oplus_{j \in J}R^{n}(V_{j},F^{\bullet}_{ij})) \cong \oplus_{j \in J}\xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V_{j},F^{\bullet}_{ij})).$$
\end{lemme}

\begin{preuve}
Ce sont des applications directes de la proposition \ref{tilde2} p.\pageref{tilde2}, (ii) et (iii). 
\end{preuve}

\subsubsection{Les faisceaux de Rees sont r\'eflexifs}

Pour montrer que les faisceaux de Rees sur les espaces affines sont r�flexifs nous allons utiliser la caract�risation donn�e dans la proposition \ref{caracrefl} p.\pageref{caracrefl}. Il faut donc prouver que le faisceau de Rees $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ est sans torsion (Prop.\ref{caracrefl} p.\pageref{caracrefl},$(i)$) et qu'en tout point
$x \in {\bf A}^n$ l'in�galit� 
 $$\text{depth}(  \xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))_{x}) \geq 2,$$
est v�rifi�e (Prop.\ref{caracrefl} p.\pageref{caracrefl},$(ii)$). La profondeur ici est celle du $\calo_{{{\bf A}^n},x}$-module $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))_{x}$, o� $\calo_{{{\bf A}^n},x}$ est un anneau local d'id�al maximal ${\mathfrak m}_x$.

 La premi�re condition $(i)$ est clairement satisfaite car les modules de Rees $R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})$ sont des ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-modules sans torsion. Pour prouver que la deuxi�me condition est satisfaite nous allons utiliser un lemme alg�brique qui donne une condition suffisante sur un $A$-module $M$ pour que sa profondeur soit sup�rieure ou �gale � deux. Ce lemme n�cessite l'introduction de quelques notions de cohomologie locale.

Soit $A$ un anneau local r�gulier de dimension $n$ et $M$ un $A$-module finiment engendr�. Soit $\mathfrak a$ un id�al de $A$. On d�finit alors le sous-module $\Gamma_{\mathfrak a}(M)$ par
$$ \Gamma_{\mathfrak a}(M)=\{ m \in M \vert {\mathfrak a}^{n.m}=0 \text{ pour } n >> 0 \}.$$
On peut alors montrer (cf \cite{gro}) que le foncteur $ \Gamma_{\mathfrak a}(.)$ qui va de la cat�gorie des $A$-modules dans elle-m�me est exact � gauche. On note ses foncteurs d�riv�s � droite dans la cat�gorie des $A$-modules par $H^{.}_{\mathfrak a}(.)$. On d�finit ainsi le $i$-�me groupe de cohomologie locale de $M$ en $\mathfrak a$ par
$$  H^{.}_{\mathfrak a}(M).$$

Un $A$-module sans torsion $M$ est un sous-module d'un $A$-module libre $L$.\\ 




\begin{definition}
Le satur� $M^{sat}$ de $M$ dans $L$ pour l'id�al $\mathfrak a$ de $A$ est le sous $A$-module de $L$ d�fini par
$$ M^{sat}=\{ l \in L \vert {\mathfrak a}^{k}.l \in M \text{ pour } k >> 0 \}.$$  
\end{definition}

\begin{lemme}\label{sat}
Soit $A$ un anneau local r�gulier de dimension $n$, d'id�al maximal $\mathfrak m$, et $M$ un $A$-module finiment engendr�. Soit $M^{sat}$ le satur� de $M$ pour $\mathfrak m$ par rapport � un $A$-module libre $L$, alors
$$ M^{sat}=M \Longrightarrow \emph{depth}_{\mathfrak m} M \geq 2.$$

\end{lemme}


\begin{preuve}
Consid�rons la suite exacte de $A$-modules
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & M \ar[r] & L \ar[r] & L/M \ar[r] & 0
}.$$
Elle m�ne, d'apr�s \cite{gro}, � la suite exacte longue de cohomologie locale en $\mathfrak m$ :
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & H^{0}_{\mathfrak m}(M) \ar[r] & H^{0}_{\mathfrak m}(L) \ar[r] & H^{0}_{\mathfrak m}(L/M) \ar[r] & {}\\
{} \ar[r] & H^{1}_{\mathfrak m}(M) \ar[r] & H^{1}_{\mathfrak m}(L) \ar[r] & H^{1}_{\mathfrak m}(L/M) \ar[r] & ...
}$$   
Comme $L$ est libre, pour tout $i \geq 0$, $ H^{i}_{\mathfrak m}(L)=0$, donc $ H^{0}_{\mathfrak m}(M)=0$ et pour tout $i \geq 1$ :
$$ H^{i}_{\mathfrak m}(M) \cong H^{i-1}_{\mathfrak m}(L/M).$$
Or dans $L/M$, $ M^{sat}/M \cong H^{0}_{\mathfrak m}(L/M)$. Ainsi :
$$  M^{sat}/M=0 \Longleftrightarrow H^{1}_{\mathfrak m}(M) = H^{0}_{\mathfrak m}(L/M)=0.$$

Pour conclure, rappelons le lien entre la profondeur d'un $A$-module et la cohomologie locale. D'apr�s \cite{har}(III, Ex.3.4.), pour un $A$-module $M$ finiment engendr�, pour tous $k \geq 0$ les conditions suivantes sont �quivalentes : 
\begin{itemize}\parindent=2cm
\item {(i)} $\text{depth}_{\mathfrak m} M \geq k$.
\item {(ii)} $H^{i}_{\mathfrak m}(M)=0$ pour tout $i<k$.
\par\end{itemize}
Ce qui donne le r�sultat voulu car $ H^{0}_{\mathfrak m}(M)=0$ et $H^{1}_{\mathfrak m}(M) =0$.

\end{preuve}






Nous sommes maintenant en mesure de prouver que les faisceaux de Rees sont r�flexifs.\\ 

\begin{proposition}\label{reesreflexif}
Soit $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$ un espace vectoriel muni de $n$ filtrations exhaustives et d�croissantes. Le faisceau de Rees sur ${\bf A}^n$, $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ est un faisceau r�flexif.\\

\end{proposition}


\begin{preuve} La propri�t� est vraie pour les faisceaux de Rees sur la droite affine associ�s � un espace muni d'une seule filtration car ces faisceaux sont sans torsion donc localement libres sur la droite affine. Supposons que ce soit vrai pour $n-1$ filtrations. Alors pour le prouver pour $n$ filtration il suffit de le prouver que le module de Rees est satur� pour l'id�al maximal associ� � L'origine. Dans les autres cas, une coordonn�e �tant non nulle, on se ram�ne toujours, par localisation, � $n-1$ filtrations. Rappelons que ${ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$, le ${k}[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$-module de Rees  associ� � $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) $ est un sous-module du module libre $V \otimes {k}[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$.
D'apr�s le lemme pr�c�dent, il suffit de montrer qu'il est satur� dans $$V \otimes {k}[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$$ pour l'ideal maximal ${\mathfrak m}=(u_{1},u_{2},...,u_{n})$.  

${ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}^{sat}={ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ signifie que pour tout $ l \in  { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}^{sat}$ tel que ${\mathfrak m}.l \in  { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ alors $l \in  { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ (${\mathfrak m}.l \in  { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ signifie que pour tout $x \in {\mathfrak m},\,\, x.l \in { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$).  


Soit $x \in V \otimes {k}[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}] $, alors $x= \sum_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})}\,u_{1}^{-i_{1}}.,u_{2}^{-i_{2}}...u_{n}^{-i_{n}} \otimes v_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$. ${\mathfrak m}.x \in { R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ signifie que pour tout $k \in [1,n]$ :
$$ u_{k}.x= \sum_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})}\,u_{1}^{-i_{1}}.,u_{2}^{-i_{2}}...u_{k}^{-i_{k}+1}...u_{n}^{-i_{n}} \otimes v_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})},$$
c'est � dire que pour tout $k \in [1,n]$ $v_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})} \in F_{1}^{i_{1}} \cap F_{2}^{i_{2}} \cap ... \cap F_{k}^{i_{k}-1} \cap ...\cap F_{n}^{i_{n}}$, donc $v_{(i_{1},i_{2},...,i_{n})}$ est dans l'intersection de tous ces ensembles qui est  $F_{1}^{i_{1}} \cap F_{2}^{i_{2}} \cap ...\cap F_{n}^{i_{n}}$ et ainsi $x \in R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})$.

Pour conclure, suivant le plan anonc� en d�but de section, on utilise le lemme pr�c�dent et la caract�risations des faisceaux r�flexifs : ${ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}^{sat}={ R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}$ implique par le lemme que la profondeur est plus grande que deux ce qui signifie par la proposition que $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ est un faisceau r�flexif. 
\end{preuve}






%{\bf Remarque 1 :} Le lemme \ref{sat} p.\pageref{sat} nous donne la longueur maximale d'une r�solution libre de $\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ sur ${\bf A}^n$. En effet, d'apr�s l'�galit� d'Ausslander-Buchsbaum $$\text{pd}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})) + \text{depth}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))=n,$$ donc $\text{pd}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})) \leq n-2$. On a donc toujours une r�solution par des fibr�s vectoriels sur ${\bf A}^n$ (donc triviaux) de la forme :
%$$ 0 \rightarrow \calo^{r_{n-2}} \rightarrow  ... \rightarrow  \calo^{r_{2}} \rightarrow  \calo^{r_{1}} \rightarrow \xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))\rightarrow 0.$$


{\bf Remarque :} Nous avons vu plus haut qu'un faisceau r�flexif sur une vari�t� de dimension $1$ ou $2$ est localement libre. Un corollaire de la proposition pr�c�dente est donc que les faisceaux de Rees sur ${\bf A}^1$ et ${\bf A}^2$ sont des fibr�s vectoriels. Ceci peut �tre vu directement. Pour une filtration c'est imm�diat car le module de Rees est libre de dimension finie. Comme on l'a vu plus haut, on peut toujours scinder deux filtrations simultan�ment. Prenons une base compatible avec les deux filtrations $\{ w_{i,j} \}_{(i,j) \in I \times J}$. Cette base donne une description directe des g�n�rateurs du module de Rees $R^{2}(F^{\bullet },G^{\bullet })=< u^{-i}.v^{-j} \otimes w_{i,j}>_{(i,j) \in I \times J}$. Ces g�n�rateurs sont sans relation et donnent une trivialisation % en effet $ P(u,v).u^{-i}.v^{-j} \otimes v_{i,j}=Q(u,v) u^{-k}.v^{-l} \otimes v_{i,j}$ o� $P$ et $Q$ sont des polyn�mes implique que $v_{i,j} \in F^{i}\cap    
du faisceau localement libre $\xi_{{\bf A}^2}( R^{2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet}))$.\\
\begin{center} 
{\bf Etude du fibr� de Rees sur ${\bf A}^1$ d'un espace vectoriel filtr� }
\end{center}

Par la construction du faisceau de Rees associ� � un espace vectoriel filtr� on obtient donc un fibr� vectoriel sur ${\bf A}^1$. Le lemme suivant nous donne le comportement du fibr� restreint � l'ouvert ${\bf G}_{m}$.\\

\begin{lemme}On a l'isomorphisme :
${\xi}_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet}) \vert_{ {\bf G}_{m}} \cong V \otimes {\mathcal O}_{{\bf G}_{m}}$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
C'est une application directe de la proposition \ref{tilde1} (iii) p.\pageref{tilde1}.
\end{preuve}

\begin{lemme}On a les isomorphismes :\\
${}$\\
$(i)$ ${\xi}_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet})_{1} \cong V$.\\
${}$\\
$(ii)$ ${\xi}_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet})_{0} \cong Gr^{F}V$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Ces isomorphismes proviennent de la proposition \ref{tilde1} (iii) p.\pageref{tilde1} et de l'�tude des quotients des modules de Rees faite au lemme \ref{lemmedebase}.
\end{preuve}

\begin{proposition}\label{trivialisationderees1}
Le fibr� de Rees est isomorphe au fibr� trivial :
$${\xi}_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet}) \cong \oplus_{p}(Gr^{F^{\bullet}}_{p}V \otimes_k {\mathcal O}_{{\bf A}^1}(-p.0)) \cong {\mathcal O}_{{\bf A}^1}^{n}$$ o� $n=dim_k\,V$.\\ 
\end{proposition}

\begin{preuve}
Ceci est d\^u au fait que l'on peut toujours trouver un scindement de $V$ compatible � la filtration. L'isomorphisme vient du choix de ce scindement $V \cong \oplus_{p}Gr^{F^{\bullet}}_{p}V$. 
\end{preuve}
\begin{center}
{\bf Etude du fibr� de Rees sur ${\bf A}^2$ d'un espace vectoriel muni de deux filtrations }
\end{center}

Notons par $i: {\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m} \hookrightarrow {\bf A}^2$, $i_{1}: {\bf G}_{m} \times {\bf A}^{1} \hookrightarrow {\bf A}^2$ et $i_{2}: {\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m} \hookrightarrow {\bf A}^2$ les diff�rents morphismes d'inclusion. Le faisceau associ� � deux filtrations par la construction de Rees est un fibr� vectoriel. Le lemme suivant nous donne le comportement du fibr� restreint au groupe multiplicatif ${{\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m}}$ et montre comment la construction du fibr� de Rees associ� � deux filtrations g�n�ralise la construction du fibr� de Rees sur ${\bf A}^1$ associ� � une filtration.\\

\begin{lemme}\label{surlesouverts}On a les isomorphismes :\\
${}$
$(i)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet}) \vert_{{\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m}} \cong i_{2}^{*}{\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},Triv^{\bullet}) \cong {\xi}_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet}) \otimes {\mathcal O}_{{\bf G}_{m}}$.\\
${}$\\
$(ii)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})\vert_{{\bf G}_{m} \times {\bf A}^{1}} \cong i_{1}^{*}{\xi}_{{\bf A}^2}(V,Triv^{\bullet},G^{\bullet}) \cong  {\mathcal O}_{{\bf G}_{m}} \otimes {\xi}_{{\bf A}^1}(V,G^{\bullet})$.\\
${}$\\
$(iii)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})\vert_{{\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m}} \cong i_{}^{*}{\xi}_{{\bf A}^2}(V,Triv^{\bullet},Triv^{\bullet})=i^{*}( {\mathcal O}_{{\bf A}^2} \otimes V)= {\mathcal O}_{{\bf G}_{m}}^{2} \otimes V$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
(i) et (ii) d�coulent de la proposition \ref{tilde1} (iii) p.\pageref{tilde1}, avec $f=u$ et $f=v$ respectivement, et du lemme \ref{lemmedebase}. Pour (iii) on peut utiliser \ref{tilde1} (iv) et le m\^eme lemme.
\end{preuve}

\begin{lemme}On a les isomorphismes :\\
${}$
$(i)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})_{(1,0)} \cong Gr^{G}V$.\\
${}$\\
$(ii)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})_{(0,1)} \cong Gr^{F}V$.\\
${}$\\
$(iii)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})_{(0,0)} \cong Gr^{F}Gr^{G}V$.\\
${}$\\
$(iv)$ ${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})_{(1,1)} \cong V$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Ces isomorphismes proviennent de la proposition \ref{tilde1} (iii) p.\pageref{tilde1}, et de l'�tude des quotients des modules de Rees faite au lemme \ref{lemmedebase} p.\pageref{lemmedebase}.
\end{preuve}
 Notons $D_{1}$ et $D_{2}$ les diviseurs (droites affines) d'�quations respectives $u=0$ et $v=0$.\\
\\
\begin{proposition}\label{trivialisationderees}
Le fibr� de Rees est isomorphe au fibr� trivial :
$${\xi}_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet}) \cong \oplus_{p,q}(Gr^{F^{\bullet}}_{p}Gr^{G^{\bullet}}_{q}V \otimes_k {\mathcal O}_{{\bf A}^2}(-pD_{2}-qD_{1})) \cong (\oplus_{p,q}(Gr^{F^{\bullet}}_{p}Gr^{G^{\bullet}}_{q}V) \otimes_k {\mathcal O}_{{\bf A}^2})={\mathcal O}_{{\bf A}^2}^{n}$$ o� $n=dim_k\,V$.\\ 
\end{proposition}

\begin{preuve}
Ceci est d\^u au fait que l'on peut toujours trouver un scindement de $V$ compatible � deux filtrations comme on l'a montr� pr�cedement. Le premier isomorphisme vient du choix de $V \cong \oplus_{p,q}Gr^{F^{\bullet}}_{p}Gr^{G^{\bullet}}_{q}V$. Exhibons le deuxi�me sur chacune des composantes de la somme directe : $$\alpha : s \in (Gr^{F^{\bullet}}_{p}Gr^{G^{\bullet}}_{q}V) \otimes_k {\mathcal O}_{{\bf A}^2}(-pD_{2}-qD_{1}) \rightarrow u^{p}.v^{q}.s \in (Gr^{F^{\bullet}}_{p}Gr^{G^{\bullet}}_{q}V) \otimes_k {\mathcal O}_{{\bf A}^2} .$$ 
\end{preuve}

\subsection{Actions de groupes alg�briques lin�aires et faisceaux de Rees}\label{groupesalg}


\subsubsection{Goupes alg�briques lin�aires, $G$-vari�t�s et $G$-faisceaux}

Le but de cette partie est de fixer les notations, de d�finir les objets que l'on utilisera par la suite ainsi que leurs principales propri�t�s.

On rappelle qu'un groupe alg�brique lin�aire $G$ sur un corps alg�briquement clos $k$ est une vari�t� alg�brique �quip�e d'une structure de groupe et telle que les lois du groupe soient des morphismes de vari�t�s : le produit $\pi : G \times G \rightarrow G , \, (x,y) \mapsto x.y$ et l'application inverse $i : G \rightarrow G, \, x \mapsto x^{-1}$ sont des morphismes alg�briques et il y a un �l�ment neutre $e$. Comme le foncteur contravariant $X \mapsto k[X]$, qui � une vari�t� affine $X$ associe sa $k$-alg�bre des fonctions r�guli�res, �tablit une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des vari�t�s affines sur le corps $k$ et la cat�gorie des $k$-alg�bres de type fini, toute vari�t� alg�brique affine $X$ peut �tre vue comme l'ensemble des homomorphismes de $k$-alg�bres $\text{Hom}_{k}(k[X],k)$. La loi de groupe sur $G$ vient donc des morphismes de $k$-alg�bre suivants :
$$\pi^{*}:k[G] \rightarrow k[G] \otimes k[G] , \, i^{*}:k[G] \rightarrow k[G]$$
l'�l�ment neutre $e$ provient d'un morphisme dans $\text{Hom}_{k}(k[G],k)$, $e: k[G] \rightarrow k$. Notons par $m : k [G] \otimes k[G] \rightarrow k[G]$ la multiplication et par $id$ l'homomorphisme identit� dans $k[G]$. Les axiomes de la loi de groupe de $G$ sont exprim�s par la commutativit� des diagrammes suivants :
 
�l�ment neutre :
$$
\xymatrix{
k[G] &  k[G] \otimes k[G] \ar[l]_{e \otimes id}\\
k[G] \otimes k[G] \ar[u]^{id \otimes e} & k[G] \ar[l]^-{\pi^*} \ar[ul]_{id} \ar[u]_{\pi^*}
}
$$

associativit� :

$$
\xymatrix{
k[G] \otimes k[G] \otimes k[G] &  k[G] \otimes k[G] \ar[l]_-{\pi^{*} \otimes id}\\
k[G] \otimes k[G] \ar[u]^{id \otimes  \pi^*} & k[G] \ar[l]^{\pi^*}  \ar[u]_-{\pi^*}
}
$$

inverse � gauche et � droite :

$$
\xymatrix{
k[G] \otimes k[G] \ar[d]_{m} &  k[G] \otimes k[G] \ar[l]_-{i^{*} \otimes id}\\
k[G]  & k[G] \ar[l]^{e}  \ar[u]_{\pi^*}
}
\hspace{1cm}\xymatrix{
k[G] \otimes k[G] \ar[d]_{m} &  k[G] \otimes k[G] \ar[l]_-{id \otimes i^{*} }\\
k[G]  & k[G]. \ar[l]^{e}  \ar[u]_{\pi^*}
}
$$
{\bf Exemple :} Les groupes affines qui nous int�resseront par la suite sont les tores $({\bf G}_{m})^{n}$, o� $n \in {\bf N}$, produits du groupe affine ${\bf G}_m=\text{Spec}k[u,u^{-1}]$. Les lois de groupe de ${\bf G}_m$ viennent de la commutativit� des diagrammes pr�c�dents, les homomorphismes $\pi^*$, $i^*$ et $e$ sont donn�s par $\pi^{*}u=u \otimes u$, $i^{*}u=u^{-1}$ et $e(u)=1$.\\    

Introduisons la notion de $G$-vari�t�.\\

\begin{definition}Une vari�t� alg�brique $X$ est une $G$-vari�t� s'il existe une action � gauche de $G$ sur l'ensemble $X$ $\sigma : G \times X \rightarrow X,\, \sigma :(g,x) \rightarrow g.x$ qui soit un morphisme de vari�t�s et qui v�rifie pour tous $g,h \in G, \, x \in X$ : $(gh).x=g.(h.x)$ et $e.x=x$. \\
\end{definition}

Soient $X$ et $Y$ deux $G$-vari�t�s. Un morphisme �quivariant entre les $G$-vari�t�s $X$ et $Y$ est un morphisme $f : X \rightarrow Y$ tel que le diagramme suivant commute (on indexe par $X$ resp. $Y$ le morphisme qui donne l'action de $G$ sur $X$ resp. Y) :

$$
\xymatrix{
G \times X  \ar[r]^{id \times f} \ar[d]_{\sigma_X} &  G \times Y   \ar[d]^{\sigma_Y}\\
X  \ar[r]_{f} &  Y
}
$$

Supposons que $X$ soit une $G$-vari�t� affine. Alors d'apr�s l'�quivalence de cat�gories cit�e plus haut entre la cat�gorie des vari�t�s affines et la cat�gorie des $k$-alg�bres finiment engendr�es, l'action est donn�e par un morphisme $\sigma^{*}: k[X] \rightarrow k[G] \otimes k[X]$. La loi du groupe $G$ est toujours not�e par $\pi$. Dire que l'action est une action de groupe signifie que les homomorphismes $\pi^{*} \otimes id$ et $id \otimes \pi^{*}$ co�ncident de $k[G]\otimes k[X]$ vers $k[G]\otimes k[G] \otimes k[X]$ et que l'homomorphisme $(e \otimes id) \sigma^{*}$ de $k[X]$ vers lui-m�me est l'identit�.\\
\\
{\bf Exemple :} Soit $G={\bf G}_m$. La donn�e d'une ${\bf G}_{m}$-action sur une vari�t� affine $X$ est �quivalente � la donn�e d'une graduation de l'alg�bre $k[X]$, i.e. d'une d�composition en somme directe d'espaces vectoriels $k[X]=\oplus_{m \in {\bf Z}} k[X]_{m}$ tels que pour tous $m,n \in {\bf Z}$, $k[X]_{m}.k[X]_{n}\subset k[X]_{m+n}$. L'action de $\sigma$ (ou de fa�on �quivalente l'homomorphisme $\sigma^*$) se d�duisent l'un de l'autre par $\sigma^{*}P=u^{m}\otimes P$ si $P \in k[X]_{m}$.\\
${}$\\
 
   

 D�finissons la notion d'action d'un groupe alg�brique $G$ sur un faisceau coh�rent sur une $G$-vari�t� compatible avec l'action sur la vari�t�. Soit $\calf$ un faisceau coh�rent sur une $G$-vari�t� $X$.\\
\begin{definition}
Le faisceau coh�rent $\calf$ est un $G$-faisceau coh�rent s'il existe un isomorphisme de faisceaux de $\calo_{G \times X}$-modules :
$$ \Psi : \sigma^{*}\calf \cong p_{2}^{*}\calf,$$ 
o� $p_{2}: G \times X \rightarrow X $ est le morphisme projection sur le deuxi�me facteur, tel que la condition de cocycle suivante soit v�rifi�e :
$$ (\pi \otimes id_{X})^{*} \Psi = p_{12}^{*} \circ (id_{G} \otimes \sigma )^{*} \Psi,$$
o� $p_{12}$: $G \times G \times X \rightarrow G \times X $ est le morphisme projection sur les deux derniers facteurs.

Un $G$-fibr� sur une $G$-vari�t� $X$ est un fibr� sur $X$ qui est en plus un $G$-faisceau coh�rent.\\
\end{definition}
L'isomorphisme $\Psi$ est appel� $G$-lin�arisation du faisceau de $\calo_{X}$-modules coh�rents $\calf$. 
Suivant \cite{huyleh}, on donne l'interpr�tation intuitive qui suit. Pour $(g,x) \in G \times X$, on note toujours $g.x$ � la place de
$\sigma(g,x)$. L'isomorphisme de faisceaux de $\calo_{G \times X}$-modules $\Psi $ donne un isomorphismes entre les fibres de $\calf$ :
$$ \Psi_{g,x}: \calf(g.x) \rightarrow \calf(x).$$
Avec cette notation, la condition de cocyclicit� se traduit en :
$$\Psi_{g,x}\circ \Psi_{h,g.x}=\Psi_{h.g,x} : \calf(h.g.x) \rightarrow \calf(x).$$
\begin{definition}Un homomorphisme $\Phi : \calf \rightarrow \calf'$ entre faisceaux de $\calo_{X}$-modules $G$-lin�aris�s est un homomorphisme de $\calo_{X}$-modules qui commute avec les lin�arisations respectives de $\calf$ et $\calf'$, i.e. $\Psi$ et $\Psi'$ ; ceci signifie que
$$\Psi'\circ \sigma^{*}\Phi=p_{2}^{*}\Phi \circ \Psi.$$

\end{definition}


\begin{lemme}\label{gcatab} \cite{thoma}
La cat�gorie des $G$-faisceaux coh�rents est ab�lienne.
\end{lemme}

\begin{preuve}
Cette cat�gorie est clairement additive, montrons qu'elle est munie de noyaux et de conoyaux. Soit $f : \calf \rightarrow \calg$ un morphisme de $G$-faisceaux coh�rents. Notons $\calk er$ et $\calc oker$ le noyau et conoyau de $f$. La projection $p_{2}$ est un morphisme plat. Le morphisme $\sigma $ est la compos�e de l'isomorphisme de $G \times X$ donn� par la fl�che $(g,x) \mapsto (g,g.x)$ et de la projection plate $p_{2}$ et est donc plat. Ainsi les foncteurs $p_{2}^{*}$ et $\sigma^*$ qui vont de la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur $X$ vers la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur $G \times X$ sont exacts. On en d�duit donc le diagramme commutatif ci-dessous, ce qui permet, par le lemme des cinq, de construire les isomorphismes de faisceaux de $\calo_{G \times X}$-modules (les fl�ches en pointill�s) $ \Psi_{\calk er} : \sigma^{*}\calk er \cong p_{2}^{*}\calk er$ et $ \Psi_{\calc oker} : \sigma^{*}\calc oker \cong p_{2}^{*}\calc oker$. La condition de cocycle se v�rifie alors imm�diatement.

$$\xymatrix{ 0 \ar[r]&  \sigma^{*}(\calk er)  \ar[r]^{\sigma^{*}i} \ar@{.>}[d]^{\Psi_{\calk er}}_{\cong}&  \sigma^{*}(\calf) \ar[r]^{\sigma^{*}f} \ar[d]_{\cong}^{\Psi_{\calf}} & \sigma^{*}(\calg)  \ar[r]^{\sigma^{*}\pi} \ar[d]^{\Psi_{\calg} }_{\cong}&  \sigma^{*}(\calc oker) \ar[r] \ar@{.>}[d]^{\Psi_{\calc oker}}_{\cong}& 0\\
 0 \ar[r]&  p_{2}^{*}(\calk er ) \ar[r]^{p_{2}^{*}i}  &  p_{2}^{*}(\cale) \ar[r]^{p_{2}^{*}f}   & p_{2}^{*}(\calg)  \ar[r]^{p_{2}^{*}\pi}  &  p_{2}^{*}(\calc oker) \ar[r] & 0
}
.$$
L'image $\cali m$, qui est un noyau pour le conoyau, est donc un $G$-faisceau coh�rent, de m�me pour la co�mage $\calc oim$ qui est un conoyau pour le noyau donc un $G$-faisceaux coh�rent. La cat�gorie des faisceaux coh�rents sur $X$ est ab�lienne, donc l'image et la co�mage sont isomorphes, notons par $\Phi$ l'isomorphisme d�sign�. Comme pour la commutativit� du diagramme pr�c�dent on a la commutativit� de 
$$\xymatrix{ \sigma^{*}(\calc oim) \ar[r]^{\sigma^{*}\Phi}_{\cong} \ar[d]^{\Psi}_{\cong} &  \sigma^{*}(\cali m) \ar[d]^{\Psi'}_{\cong}\\
p_{2}^{*}(\calc oim) \ar[r]^{p_{2}^{*}\Phi}_{\cong} & p_{2}^{*}(\cali m),
}$$
ce qui prouve que $\Phi$ est un morphisme de $G$-faisceaux coh�rents.  
\end{preuve}
 
Pour g�n�raliser le th�or�me \ref{muab} p.\pageref{muab} aux $G$-faisceaux r�flexifs $\mu$-semistables de pente $\mu$, nous aurons besoin de savoir si le faisceaux r�flexif $\calf^{**}$ associ� � un $G$-faisceau $\calf$ est un $G$-faisceau. Le lemme suivant r�pond par l'affirmative � cette question.\\

Introduisons d'abord la notion d'action plate :

\begin{definition}
Une action $\sigma : G \times X \rightarrow X$ est dite plate si le morphisme de sch�mas correspondant est plat.
\end{definition}


\begin{lemme}\label{grefl}Soit $G$ un groupe alg�brique lin�aire sur $k$ et $X$ une $G$-vari�t� lisse et s�par�e de type fini sur $k$ tels que l'action soit plate.
%\begin{itemize}\parindent=1cm
%\item{(i)}
Soit $\calf$ un $G$-faisceau sur $X$, alors le faisceau r�flexif associ� $\calf^{**}$ est un $G$-faisceau et le morphisme canonique $\nu$ du faisceau $\calf$ vers son bidual est un morphisme de $G$-faisceaux.
%\item{(ii)} Si $f :\cale \rightarrow \calf$ est un morphisme de $G$-faisceaux r�flexifs qui est un isomorphisme en dehors d'un ensemble de codimension $2$, alors c'est un isomorphisme de $G$-faisceaux.\\
%\par\end{itemize}
\end{lemme} 

\begin{preuve} Nous allons montrer que le dual $\calf^{*}$ d'un $G$-faisceau de $\calo_{X}$-modules  coh\'erent $\calf$ est un $G$-faisceaux coh\'erent.

$p_{2}:G\times_{k}X \rightarrow X$ est plate. $\sigma$ est plate comme compos�e de $p_{2}$ avec l'isomorphisme $G \times_{k}X \cong G\times_{k}X$ donn\'e par $(g,x) \mapsto (g,gx)$. Les foncteurs $p_{2}^{*}$ et $\sigma^{*}$ sont donc exacts. Donc, d'apr\`es \cite{har}, proposition 1.8, on a $p_{2}^{*}(\calf^{*})\cong(p_{2}^{*}\calf)^{*}$ et $\sigma^{*}(\calf^{*})\cong(\sigma^{*}\calf)^{*}$. Ainsi l'isomorphisme image de $\Psi_{\calf}$ dans $\text{Hom}((p_{2}^{*}\calf)^{*},(\sigma^{*}\calf)^{*})$ se transporte en isomorphisme dans $\text{Hom}(p_{2}^{*}(\calf^{*}),\sigma^{*}(\calf^{*}))$ ce qui permet de conclure.

On vient de voir que $\calf^{**}$ est un $G$-faisceau. Soit $\Psi_{\calf}^{**}$ le morphisme entre faisceaux r\'eflexif associ\'e � $\Psi_{\calf}$. Alors $\Psi_{\calf}^{**}\circ \sigma^{*}\nu=p_{2}^{*}\nu\circ \Psi_{\calf}$ et $(\sigma^{*}\calf)^{**}\cong \sigma^{*}(\calf^{**})$ et $(p_{2}^{*}\calf)^{**}\cong p_{2}^{*}(\calf^{**})$ permettent de conclure. 

\end{preuve}

Les lemmes pr�c�dents, compos�s avec le th�or�me $1$, nous permettent de prouver que la cat�gorie des faisceaux $G$-�quivariants $\mu$-semistables r�flexifs sur une $G$ vari�t� $X$ est ab�lienne. Rappelons que l'on s'est plac� sur un corps de caract�ristique nulle alg�briquement clos. \\

\begin{corollaire}
Soit $G$ un groupe alg�brique lin�aire sur $k$ et $X$ une $G$-vari�t� lisse et s�par�e de type fini sur $k$. Alors la cat�gorie $\emph{Refl}_{\mu-semistable,\mu}(X /G)$ des faisceaux r�flexifs sur $X$ $G$-�quivariants $\mu$-semistables de pente $\mu$ et des morphismes $G$-�quivariants entre ces objets est ab�lienne.  
\end{corollaire}

\begin{preuve} Soit $f:\cale \rightarrow \calf$ un morphisme dans $\text{Refl}_{\mu-semistable,\mu}(X /G)$. Le th�or�me \ref{muab} p.\pageref{muab} nous donne l'existence d'un noyau $\calk er $, d'un conoyau $\calc oker$, puis d'une image $\cali m$ et d'une co�mage $\calc oim$ de $f$ qui sont $\mu $-semistables de pente voulue, et tels que l'image et la co�mage soient isomorphes, i.e., tels qu'il exite un isomorphisme $\xymatrix{ g :\calc oim \ar[r]^{\sim}  & \cali m }$. Le lemme \ref{gcatab} p.\pageref{gcatab} affirme que chacun des faisceaux $\calk er $, $\calc oker$, $\cali m$ et $\calc oim$ est un $G$-faisceaux. Il reste donc � v�rifier, que l'isomorphisme $g$ dans la cat�gorie des faisceaux r�flexifs $\mu$-semistables de pente $\mu$ sur $X$, $\text{Refl}_{\mu-semistable,\mu}(X)$,
 entre objets de la sous-cat�gorie des objets �quivariants munie des morphismes �quivariants $\text{Refl}_{\mu-semistable,\mu}(X /G)$ est $G$-�quivariant. Pour cel\`a revenons � la preuve du th�or�me \ref{muab} p.\pageref{muab}. Pour montrer qu'on avait un isomorphisme $g$ entre la co�mage et l'image, on montrait d'une part que l'on avait un isomorphisme en dehors d'un ensemble de codimension $2$ entre le conoyau faisceautique du noyau not� $\text{Coker}(i)$ et son bidual $\calc oim=(\text{Coker}(i))^{**}$, d'autre part que l'on avait un isomorphisme en dehors d'un ensemble de codimension $2$ entre l'image faisceautique $\text{Im}(f)$ et l'image dans la cat�gorie $\text{Refl}_{\mu-semistable,\mu}(X)$, $\cali m=\text{Ker}(\pi^{**})$. On en tirait, par composition, les images et co�mages faisceautiques �tant isomorphes, un isomorphisme en dehors d'un ensemble de codimension $2$ entre faisceaux r�flexifs, donc un isomorphisme entre faisceaux r�flexifs. Par le lemme \ref{gcatab} p.\pageref{gcatab}, l'isomorphisme entre $\text{Coim}(f)$ et $\text{Im}(f)$ est un morphisme de $G$-faisceaux ; par le lemme \ref{grefl} p.\pageref{grefl}, le morphisme entre $\text{Coim}$ et $\calc oim$ (son faisceau r�flexif associ�) est un morphisme de $G$-faisceaux ; le diagramme de la preuve du th�or�me \ref{muab} suivant
$$
\xymatrix{
0 \ar[r] &\text{Im}(f) \ar[r]\ar[d] &  \calf \ar[r]^{\pi} \ar[d]^{id} & \text{Coker}(f) \ar[r] \ar[d]^{\nu} & 0 \\
0 \ar[r] & \cali m=\text{Ker}(\pi^{**})  \ar[r]  &  \calf \ar[r]^-{\pi^{**}} & \calc oker =(\text{Coker}(f))^{**} \ar[r]  & 0,
}
$$   
montre que le morphisme entre $\text{Im}(f)$ et $\cali m$ est un morphisme de $G$-faisceaux ($\nu$ est un morphisme de $G$-faisceaux par le lemme \ref{grefl} et les morphismes horizontaux sont des morphismes de $G$-faisceaux par le lemme \ref{gcatab}). On en d�duit que $g$ est un morphisme de $G$-faisceaux r�flexifs qui est un isomorphisme, et donc que $\calc oim$ et $\cali m$ sont des $G$-faisceaux isomorphes, ce qui permet de conclure.

\end{preuve}

Comme on l'a vu plus haut, les faisceaux r�flexifs sur une vari�t� de dimension $\leq 2$ sont localement libres, ainsi,\\

\begin{corollaire}\label{gbunab} 
Soit $X$ une $G$-vari�t� du type consid\'er\'e dans le corollaire pr�c�dent, avec de plus $\emph{dim}(X) \leq 2$. Alors la cat�gorie $\text{Bun}_{\mu-semistables,\mu}(X/G)$ des $G$-fibr�s vectoriels $\mu$-semistables de pente $\mu$ et des morphismes $G$-�quivariants entre ces objets est ab�lienne.\\ 
\end{corollaire}

 %\begin{proposition}equiv de cat wag+\\

%\end{proposition}

%\begin{preuve}

%\end{preuve}


Terminons cette section en d�finissant une notion qui nous sera utile pour d�crire une certaine classe de fibr�s vectoriels sur ${\bf A}^3 \backslash \{0,0,0\}$, la classe de ceux qui peuvent �tre obtenus comme images inverses de fibr�s sur le plan projectif ${\bf P}^2$.\\  

\begin{definition}Soit $G$ un groupe alg�brique et $f : X \rightarrow Y$ un morphisme $G$-�quivariant de $G$-vari�t�s. On dit que $f$ est $G$-fibr� principal s'il existe un morphisme �tale surjectif $Y'\rightarrow Y$ et un isomorphisme $G$-�quivariant de $G$-vari�t�s $Y'\times G \rightarrow Y'\times_{Y} X$ ce qui signifie que $X$ est localement pour la topologie �tale isomorphe comme $G$-vari�t� au produit $Y \times G$.\\ 
\end{definition}
Si $X \rightarrow Y$ est un quotient g�om�trique et que $f$ est plate et si le morphisme $(\sigma_{X},p_{1}): X \times G \rightarrow X \times_{Y} X$ est un isomorphisme, alors $f$ est un $G$-fibr� principal.\\

Nous utiliserons cette d�finition dans un cadre restreint :

 Soit l'action de ${\bf G}_m$ sur ${\bf A}^{n} \backslash \{0,0,...,0\}$ donn�e par $$\sigma : (t,(u_{1},u_{2},...,u_{n})) \mapsto (t.u_{1},t.u_{2},...,t.u_{n}).$$

Cette action a un quotient g�om�trique qui est l'espace projectif ${\bf P}^{n-1}$. Le morphisme $f$ est bien plat et $(\sigma_{},p_{1}): ({\bf A}^{n} \backslash \{0,0,...,O\}) \times {\bf G}_m \rightarrow ({\bf A}^{n} \backslash \{0,0,...,0\})\times_{{\bf P}^{n-1}}({\bf A}^{n} \backslash \{0,0,...,0\})$ est bien un isomorphisme, donc $f : {\bf A}^{n} \rightarrow {\bf P}^{n-1}$ est bien un ${\bf G}_m$-fibr� principal. \\  

\begin{definition}
Soit $f : X \rightarrow Y$ un morphisme de $G$-vari�t�s qui soit un quotient g�om�trique et soit $\calf $ un $G$-faisceau coh�rent. On dit alors que $\calf$ descend � $Y$ s'il existe un faisceau coh�rent $\cale$ sur $Y$ tel que l'on ait sur $X$ l'isomorphisme de $G$-faisceaux $\calf \cong f^{*}\cale$.\\
\end{definition} 

La d�finition des $G$-fibr�s principaux sera justifi�e ici par le fait suivant :\\
$\,$\\
{\bf Fait :} (\cite{huyleh}, Th.4.2.14 p.87) Soit $G$ un groupe r�ductif. Si $f : X \rightarrow Y$ est un $G$-fibr� principal et $\calf $ un $G$-faisceau, alors $\calf $ descend.\\

Dans les applications par la suite, $G$ sera toujours r�ductif car on aura toujours $G=({{\bf G}_m})^{n}$, o� $n \in {\bf N}$. En particulier, le fait pr�c�dent sera utilis� sous la forme suivante : si l'on a un ${\bf G}_m$-faisceau $\calf$ sur ${\bf A}^{n} \backslash \{0,0,...,0\}$, alors ce faisceau descend sur ${\bf P}^{n-1}$ i.e. il existe un faisceau $\cale$ sur ${\bf P}^{n-1}$ tel que $f^{*}\cale \cong_{} \calf$ soit un isomorphisme de ${\bf G}_{m}$-faisceaux. 

%\\
%??????????caract�ers
%\\


\subsubsection{Action du groupe multiplicatif $({{\bf G}_m})^n$ sur les faisceaux de Rees associ�s � $n$ filtrations}
Les faisceaux coh�rents de Rees sur ${\bf A}^n$ sont munis d'une structure plus riche par l'action du groupe multiplicatif ${{\bf G}_m}^n$ qui prolonge l'action par translation sur ${\bf A}^n$. 

Notons ${\bf T}^{n}={{\bf G}_m}^{n}$. On a 
\begin{center}
${\bf T}^{n}=\text{Spec}\,k[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},...,t_{n},t_{n}^{-1}]$ et ${\bf A}^{n}=\text{Spec}\,k[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$.
\end{center}
 L'action par translation est donn�e par :

\begin{center}
$\sigma : {\bf T}^{n} \times {\bf A}^{n} \rightarrow {\bf A }^{n}$\\
$(t_{1},t_{2},...,t_{n})\times(u_{1},u_{2},...,u_{n}) \mapsto (t_{1}.u_{1},t_{2}.u_{2},...,t_{n}.u_{n})$
\end{center}
Cette action est duale du morphisme d'anneaux (de la coaction)
\begin{center}
$\sigma^{\sharp} :k[u_{1},u_{2},...,u_{n}] \rightarrow  k[u_{1},u_{2},...,u_{n}] \otimes k[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},...,t_{n},t_{n}^{-1}]$\\
$u_{i} \mapsto u_{i}.t_{i} $
\end{center}
On a aussi le morphisme de projection $p_{2} : {\bf T}^{n} \times {\bf A}^{n} \rightarrow {\bf A }^{n}$ dual du morphisme d'anneaux $p_{2}^{\sharp}:k[u_{1},u_{2},...,u_{n}] \rightarrow  k[u_{1},u_{2},...,u_{n}] \otimes k[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},...,t_{n},t_{n}^{-1}]$ donn� par $p_{2}^{\sharp}: u_{i} \mapsto u_{i} \otimes 1$.\\

\begin{proposition}\label{reesgfib}
Soit $V$ un espace vectoriel sur $k$ muni de $n$ filtrations exhaustives et d�croissantes $(F_{i}^{\bullet })_{i \in [1,n]}$. Le fibr� de Rees sur ${\bf A}^n$ associ� $\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})$ est un ${\bf T}^n$ fibr� pour l'action de ${\bf T}^n$ par translation sur ${\bf A}^n$. 
\end{proposition}

\begin{preuve}
Pour prouver cette assertion, il faut exhiber un isomorphisme entre les faisceaux de $\calo_{{\bf T}^{n} \times {\bf A}^{n}}$-modules $\sigma^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})$ et $p_{2}^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})$. Pour simplifier l'�criture, on notera $A=k[u_{1},u_{2},...,u_{n}]$ et $T=k[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},...,t_{n},t_{n}^{-1}]$. On a d�fini deux morphismes d'anneaux de $A$ vers $A \otimes T$, $p_{2}^{\sharp}$ et $\sigma^{\sharp}$. 

Comme $\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})={R^{n}(V,F_{i}^{\bullet})}^{\sim}$ ($R^{n}(V,F_{i}^{\bullet})$ est un $A$-module), on a d'apr�s la proposition \ref{tilde2} p.\pageref{tilde2}, 
$$p_{2}^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})=({R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,\sigma^{\sharp})}(A\otimes T)})^{\sim} $$
 et, $$\sigma^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})=({R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,p_{2}^{\sharp})}(A\otimes T)})^{\sim}.$$ On a ainsi un isomorphisme de $A \otimes G$-modules
$$\Psi^{\sharp}: R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,\sigma_{2}^{\sharp})}(A\otimes T) \rightarrow R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,p_{2}^{\sharp})}(A\otimes T).$$
Rappelons que le foncteur $\sim$ qui � un $A$-module $M$ associe un faisceau $M^{\sim}$ sur $\text{Spec}\,A$ �tablit une �quivalence de cat�gories, on a donc\\
 
$\text{Hom}_{A\otimes G}( R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,\sigma_{2}^{\sharp})}(A\otimes T) , R^{n}(V,F_{i}^{\bullet}) \otimes_{(A,p_{2}^{\sharp})}(A\otimes T)=$\\
\hspace*{6cm}$\text{Hom}_{\calo_{\text{Spec}\,A \times \text{Spec}\,G}}(\sigma^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i}),p_{2}^{*}\xi_{{\bf A}^n}(V,F_{i})).$\\

D'o� l'isomorphisme de faisceaux de $\calo_{{\bf T}^{n} \times {\bf A}^{n}}$-modules $\Psi$ � droite associ� � $\Psi^{\sharp}$ dans le membre de gauche. 


\end{preuve}

%On notera par le symbole $[X/G]$ une vari�t� alg�brique munie de l'action alg�brique d'un groupe alg�brique $G$.pr�cise().On d�signera par $Bun[X/G]$ la cat�gorie des fibr�s vectoriels $G$-�quivariants sur $X$.()



%Notons, comme de fa�on usuelle, ${\bf G}_{m}=Spec \, k[u,u^{-1}]$. Soit ${\bf T}^{n}=\underbrace{{\bf G}_{m} \times ...\times {\bf G}_{m}}_{n}$, le tore alg�brique associ�. Nous allons d�finir et �tudier la fl�che compos�e :
%\begin{center}
%$\{ \calf iltr_{n} \} \rightarrow $ $\{ $ Modules de Rees d'ordre $n$ $\}$ $\rightarrow $ $\{ $ Fibr�s de Rees sur ${\bf A}^n$ munis d'une action de ${\bf T}^n$ $\}$
%\end{center}
%c'est � dire nous voulons d�finir le foncteur compos�  $\Psi_n$ qui va de la cat�gorie des espaces vectoriels munis de $n$ filtrations exhaustives et d�croissantes $\calf iltr_{n}$ vers la cat�gorie des fibr�s ${\bf T}^n$-�quivariants sur ${\bf A}^n$, $Bun[{\bf A}^{n}/{\bf T}^{n}]$ :
%\begin{center}
%$ \Psi_n : \calf iltr_{n} \rightarrow Bun[{\bf A}^{n}/{\bf T}^{n}].$\\
%$(V,F^{\bullet}_{i} \mapsto \xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$
%\end{center}
%Le groupe alg�brique ${\bf T}^n$ agit sur ${\bf A}^n$ par translation :
%\begin{center}
%${\bf T}^{n} \times {\bf A}^{n} \rightarrow {\bf A }^{n}$\\
%$(t_{1},t_{2},...,t_{n})\times(u_{1},u_{2},...,u_{n}) \mapsto (t_{1}.u_{1},t_{2}.u_{2},...,t_{n}.u_{n})$
%\end{center}
%Soit ${\bf B}^{n}=Spec\, k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$ et $j:{\bf B}^{n} \rightarrow {\bf A}^{n}$ le morphisme d'inclusion. Suivant la construction d'un faisceau coh�rent exhib�e plus haut, on peut voir $\xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ comme le sous-faiseau de $j_{*}(V \otimes_{k} \calo_{{\bf B}^n})$ engendr� par les sections de la forme $\prod_{i \in [1,n]}u_{i}^{p_i}\,v_{(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ o� $v_{(p_{1},p_{2},...,p_{n})}\in F_{1}^{p_{1}} \cap F_{2}^{p_{2}} \cap ...\cap F_{n}^{p_{n}}$. L'action de ${\bf T}^n$ sur $\xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$ est l'action qui prolonge l'action standard de ${\bf T}^n$ sur ${\bf A}^n$ par translation. Elle se voit comme il suit sur les sections de $\xi_{{\bf A}^n}(R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))$. $ j_{*}(V \otimes_{k} \calo_{{\bf B}^n})({\bf A}^{n})\cong V \otimes k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$. L'action est donc d�crite par le morphisme :
%\begin{center}
%${\bf T}^{n} \times j_{*}(V \otimes_{k} \calo_{{\bf B}^n})({\bf A}^{n}) \rightarrow j_{*}(V \otimes_{k} \calo_{{\bf B}^n})({\bf A}^{n})$\\
%$(t_{1},t_{2},...,t_{n})\times (v\otimes P(u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}) \mapsto v \otimes P(t_{1}.u_{1},t_{1}^{-1}.u_{1}^{-1},t_{2}.u_{2},t_{2}^{-1}.u_{2}^{-1},...,t_{n}.u_{n},t_{n}^{-1}.u_{n}^{-1},).$
%\end{center}  
%Ainsi ${\bf T}^{n}$ agit sur l'�l�ment $\prod_{i \in [1,n]}u_{i}^{p_i}\,v_{(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ par :
%\begin{center}

%$(t_{1},t_{2},...,t_{n})\times (v\otimes \prod_{i \in [1,n]}u_{i}^{p_i}\,v_{(p_{1},p_{2},...,p_{n})}) \mapsto v \otimes \prod_{i \in [1,n]}(t_{i}.u_{i})^{p_i}\,v_{(p_{1},p_{2},...,p_{n})}.$
%\end{center}
%Au niveau des modules l'action est h�rit�e de l'action de ${\bf T}^n$ sur $k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$ donn�e par :
%\begin{center}
%${\bf T}^{n} \times  k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}] \rightarrow k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$\\
%$(t_{1},t_{2},...,t_{n})\times  P(u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}) \mapsto P(t_{1}.u_{1},t_{1}^{-1}.u_{1}^{-1},t_{2}.u_{2},t_{2}^{-1}.u_{2}^{-1},...,t_{n}.u_{n},t_{n}^{-1}.u_{n}^{-1},).$
%\end{center} 
%Cette action pr�serve donc le module de Rees $R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}) \subset V \otimes_{k} k[u_{1},u_{1}^{-1},u_{2},u_{2}^{-1},...,u_{n},u_{n}^{-1}]$ dans le sens o� ()\\
%Soient $A$ et $B$ deux $R$-modules (qui peuvent \^etre vus comme des sous-modules d'un m\^eme module) munis de l'action d'un groupe $G$ $\rho_{A} : G \times A \rightarrow A$ et $\rho_{B} : G \times B \rightarrow B$. Soit $f:A \rightarrow B$ un morphisme entre modules. Les actions de $G$ sont dites compatibles au morphisme $f$ si elles commutent avec $f$ i.e. $f \circ \rho_{A}=\rho_{B} \circ f$.

%Soient $E$ et $F$ deux fibr�s sur une vari�t� alg�brique $X$ (qui peuvent \^etre vus comme des sous-fibr�s d'un m\^eme fibr� sur $X$) munis de l'action d'un groupe $G$ $\rho_{E} : G \times E \rightarrow E$ et $\rho_{F} : G \times F \rightarrow F$. Soit $f:E \rightarrow F$ un morphisme entre modules. Les actions de $G$ sont dites compatibles au morphisme $f$ si elles commutent avec $f$ i.e. $f \circ \rho_{E}=\rho_{F} \circ f$.
\begin{lemme}
Les isomorphismes de fibr�s de Rees sur ${\bf A}^n$ donn�s dans le lemme \ref{isosumfibrees} p.\pageref{isosumfibrees}, sont compatibles avec l'action de ${\bf T}^n$ i.e. sont des isomorphismes de ${\bf T}^{n}$-faisceaux de $\calo_{{\bf A}^n}$-modules.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Il suffit de remarquer en utilisant la proposition \ref{tilde2} p.\pageref{tilde2} que pour un morphisme d'anneaux $f^{\sharp}:A \rightarrow B$ et une famille de $A$-modules $\{M_{j} \}$ index�e par $j \in J$, on a, si $f: \text{Spec}\,B \rightarrow \text{Spec}\,A$ est le morphisme associ� � $f^\sharp$, $f^{*}((\otimes_{j}M_{j})^{\sim})=((\otimes_{j}M_{j})\otimes_{A,f}B)^{\sim}=(\otimes_{j}(M_{j}\otimes_{A,f}B))^{\sim}=\otimes_{j}(M_{j}\otimes_{A,f}B)^{\sim}=\otimes_{j}f^{*}(M_{j}^{\sim})$. On montre de m�me que $f^{*}((\oplus_{j}M_{j})^{\sim})=\oplus_{j}f^{*}(M_{j}^{\sim})$. On conclut en appliquant ceci � $f^{\sharp}=\sigma^{\sharp}$ et $f^{\sharp}=p_{2}^{\sharp}$.
\end{preuve}
${}$\\
{\bf Remarque :} Une autre fa{\c c}on de pr\'esenter les actions sur les faisceaux de ${\calo}_{X}$-modules est d'utiliser la notion de comodule, cf.e\cite{saa}.  



\subsubsection{Construction inverse}
Dans cette section nous donnons un premier outil en vue d'\'etablir d'un dictionnaire entre objets filtr�s et fibr�s vectoriels. Pour ceci, on asseoit une correspondance entre les espaces vectoriels filtr�s et bifiltr�s, qui sont des objets alg�briques, et les fibr�s de Rees sur la droite ou le plan affine, i.e. des objets g�om�triques. Cette correspondance fonctionne bien puisqu'on exhibe une �quivalence de cat�gories entre une cat�gorie dont les objets sont des espaces filtr�s, les morphismes sont les morphismes strictement compatibles avec les filtrations et une cat�gorie dont les objets sont des fibr�s vectoriels �quivariants pour l'action d'un certain groupe sur les espaces affines avec des morphismes que nous sp�cifierons plus bas. 

Rappelons que deux foncteurs $F: \calc \rightarrow \calc'$ et $G: \calc' \rightarrow \calc$ d�finissent une �quivalence de cat�gories entre les cat�gories $\calc$ et $\calc'$ si $G\circ F$ est naturellement �quivalent � l'identit� de $\calc $ et $F\circ G$ est naturellement �quivalent � l'identit� de $\calc' $. Rappelons de plus que pour qu'un foncteur entre cat�gories $F: \calc \rightarrow \calc'$ d�finisse une �quivalence de cat�gories entre les cat�gories $\calc$ et $\calc'$, il faut et il suffit que $F$ soit essentiellement surjectif et pleinement fid�le. Essentiellement surjectif signifie que pour tout objet $C'\in \calc'$ il existe un objet $C \in  \calc$ tel que $F(C) \cong C'$. Pleinement fid�le signifie que pour toute paire d'objets $(A,B)$ de $\calc$ l'application d�finie par $F$ induit une bijection de $\text{Hom}_{\calc}(A,B)$ vers $\text{Hom}_{\calc'}(F(A),F(B))$.  

Notons par exemple, et puisque cet exemple sera utilis� pour la preuve de nos �quivalences, que, un anneau $A$ quelconque (resp. noetherien) �tant fix�, le foncteur $\sim$ d\'ecrit plus haut qui � un $A$-module $M$ associe le faisceau $\tilde M$ sur $\text{Spec}(A)$ �tablit une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des $A$-modules (resp. $A$-modules finiment engendr�s) et la cat�gorie des $\calo_{X}$-modules quasi-coh�rents (resp. coh�rents) (cf \cite{har}, Cor.5.5, p. 113).   

On d�signera par $\Phi_{R}$ le foncteur qui � un espace vectoriel muni de $n$ filtrations\\ $(V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n}) \in \calc_{nfiltr}$ associe le faisceau coh�rent sur ${\bf A}^{n}$, $$\xi_{{\bf A}^n}( R^{n}(V,F^{\bullet}_{i}))={\tilde R^{n}(V,F^{\bullet}_{i})}=\Phi_{R}((V,F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2},...,F^{\bullet}_{n})).$$ 

Nous allons montrer que l'on peut d�finir un foncteur inverse , que l'on notera $\Phi_{I}$, qui d�finit avec $\Phi_{R}$ une �quivalence de cat�gorie dans les cas $n=1,2$.\\ 

\begin{center}
{\bf Construction inverse de la construction du fibr� de Rees associ�e � un espace vectoriel filtr� }
\end{center}
Soit $(V,F^{\bullet })$ un espace vectoriel filtr�. Comme on l'a vu plus haut, $\xi_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet })$ est un ${\bf G}_m$-fibr� vectoriel sur ${\bf A}^1$ pour l'action qui prolonge l'action de ${\bf G}_m$ sur ${\bf A}^1$ par translation. L'image de $\Phi_R$ est donc bien dans la cat�gorie voulue. 

R�ciproquement, soit $\calf$ un faisceau localement libre (i.e. un fibr� vectoriel) sur ${\bf A}^1$ muni d'une action de ${\bf G}_m$ prolongeant l'action par translation. Soit $V=\calf_1$, la fibre de ce faisceau au point $1 \in {\bf A}^1$. ${\bf G}_m$ est ab�lien, ainsi on peut d�composer son action suivant ses caract�res, et donc, en regardant l'ordre des z�ros des sections invariantes, avoir une graduation et donc une filtration $F^{\bullet }$ de la fibre au dessus de $1$, $V$. Exprimons ceci en terme de $k[u]$-modules. D'apr�s l'�quivalence donn�e dans l'introduction de cette section, $\calf$ correspond � un $k[u]$-module libre $B=\calf({\bf A}^{1})$. La restriction de l'action par translation � ${\bf G}_{m} \subset {\bf A}^1$ �tant transitive, elle fournit une trivialisation de $\calf \vert_{{\bf G}_m}$ qui en terme de modules donne l'isomorphisme :
$$B \otimes_{k[u]}k[u,u^{-1}] \cong W \otimes_{k} k[u,u^{-1}] . $$
Prenons le quotient � gauche par l'id�al de $k[u,u^{-1}]$, $(u-1)$, on obtient $B/(u-1)B$. A droite on obtient $W$. Cela donne une identification canonique entre l'espace vectoriel $W$ et la fibre en $1$ de $\calf$ (par $B/(u-1)B$, proposition \ref{tilde1}). D'o� l'inclusion :
$$ B \subset V \otimes_{k}k[u,u^{-1}].$$
On obtient ainsi une filtration de $V$ d�croissante et exhaustive en posant $$F^{p}V=\{ v \in V , \, u^{-p}v \in B \}.$$ 

On pose alors :
$$\Phi_{I}(\calf)=(V,F^{\bullet }).$$ 

\begin{proposition}\cite{sim1}\label{inverse1}
Les foncteurs $\Phi_R$ et $\Phi_I$ �tablissent une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis d'une filtration exhaustive et d�croissante et dont les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur ${{\bf A}^{1}}$ munis de l'action de ${{\bf G}_{m}} $ prolongeant l'action standard dont les morphismes sont les morphismes de fibr�s vectoriels dont les conoyaux sont sans torsion donc des faisceaux localement libres sur la droite affine et qui commutent avec l'action :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{1filtr} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

\end{proposition}

  
 

\begin{preuve} $\Phi_I$ �tablit une construction inverse de la construction du fibr� de Rees $\Phi_R$. En effet, si l'on part d'un espace vectoriel filtr� $(V,F^{\bullet })$ et que l'on applique $\Phi_I$ � $\xi_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet })=\Phi_{R}((V,F^{\bullet }))$ on obtient la m�me filtration sur le m�me espace vectoriel $V$ (la fibre en $1$ de $\xi_{{\bf A}^1}(V,F^{\bullet })$). 

R�ciproquement partons d'un fibr� vectoriel $\calf$ muni de l'action du groupe multiplicatif. Par la construction $\Phi_I$ faite au-dessus, on obtient un espace vectoriel filtr� $(V,F^{\bullet })$ associ� au module de Rees $B$ d�finit par $B=\calf ({\bf A}^{1})$. Soit $B'$ le module de Rees associ� � cet espace vectoriel filtr� : $B'=\Phi_{R}(V,F^{\bullet })$. $F^{p}$ a �t� d�fini comme l'ensemble des vecteurs $v \in V$ tels que $u^{-p}v \in B$, donc $B'\subset B$. R�ciproquement, soit $u^{-p}.v \in B$, on a $v \in F^{p}V$ et donc d'apr�s la d�finition de $B'$, $u^{-p}.v \in B'$ donc $B=B'$. 

Reste � montrer que la correspondance est pleinement fid�le. Consid�rons l'application 
\begin{center} $\text{Hom}_{ \calc_{1filtr} }((V,F^{\bullet}),(W,G^{\bullet})) \rightarrow \text{Hom}_{  {\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}) }(\Phi_{R}(V,F^{\bullet}),\Phi_{R}(W,G^{\bullet}))$ \end{center}
d�finie comme il suit : � tout morphisme $f$ dans $\calc_{1filtr}$ on associe un morphisme de modules de Rees qui � $u^{-p}.v$ associe $u^{-p}.f(v)$. La compabilit� du morphisme d'objets filtr�s $f$ assure que $u^{-p}.f(v)$ est bien un �l�ment du module de Rees associ� � $(W,G^{\bullet})$ et donc l'existence du morphisme de module. L'image de $f$ dans $\text{Hom}_{  {\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}) }(\Phi_{R}(V,F^{\bullet}),\Phi_{R}(W,G^{\bullet}))$ est alors le morphisme image du morphisme de $k[u]$-modules par la construction fonctorielle des faisceaux coh�rents associ�s aux modules.\\   

Pour montrer que la correspondance est pleinement fid�le montrons que cette application est bijective. Le terme de source de l'application concerne l'ensemble des morphismes compatibles d'espace vectoriels filtr�s et le terme de droite l'ensemble des morphismes ${\bf G}_m$-�quivariants de ${\bf G }_m$-fibr�s. Commen�ons par montrer la surjectivit� de cette application. Soit \\
$f \in \text{Hom}_{  {\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}) }(\Phi_{R}(V,F^{\bullet}),\Phi_{R}(W,G^{\bullet}))$. D'apr�s la proposition \ref{tilde2}, pour un anneau $A$, l'application $M \rightarrow M^{\sim}$ qui va des $A$-modules vers les faisceaux coh�rents sur $\text{Spec} \,A$ est un foncteur pleinement fid�le. On d�duit de $f$ un morphisme de $k [u]$-modules $f' \in \text{Hom}_{k[u]}(B_{F},B_{G})$ o� $B_{F}$ et $B_{G}$ sont les modules donn�s par les sections globales des deux fibr�s $\Phi_{R}(V,F^{\bullet})({\bf A}^{1})$ et $\Phi_{R}(W,G^{\bullet})({\bf A}^{1})$. Ces modules sont munis de l'action de ${\bf G}_m$ h�rit�e de l'action sur les fibr�s et $f'$ d�finit un morphisme d'espaces vectoriels qui respecte les filtration $f''$. En effet, soit $v \in F^{p}(V)$ alors par d�finition $u^{-p}.v \in B_{F}$. Alors, comme $f'$ respecte l'action $f'(u^{-p}.v)=u^{-p}.P(u).w$ o� $w \in W$ et $P \in k[u]$. Donc $f''(v)=w$ et $f''(F^{p}(V)) \subset G^{p}(W) $ car $u^{-p}.P(u).w \in B_{G} \Longrightarrow w \in G^{p}$. Pour voir que $f''$ est strictement compatible aux filtrations, on exprime le fait que $f$ est un morphisme de ${\bf G}_m$-fibr� i.e. que le noyau, l'image de $f$ sont des fibr�s. On en d�duit un isomorphisme de ${\bf G}_m$-fibr�s entre la co�mage et l'image de $f$ qui descend aux espaces vectoriels filtr�s. L'injectivit� est claire � chacune des �tapes : de  $\text{Hom}_{\calc_{1filtr} }((V,F^{\bullet}),(W,G^{\bullet}))$ vers $\text{Hom}_{ k[u] }(R(V,F^{\bullet}),R(W,G^{\bullet}))$ puis vers $\text{Hom}_{  {\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}) }(\Phi_{R}(V,F^{\bullet}),\Phi_{R}(W,G^{\bullet}))$. On arrive bien dans les morphismes de fibr�s vectoriels car la stricte compatibilit� des morphismes d'espaces filtr�s fait que les images et noyaux des morphismes induits sur les $k[u]$-modules sont sans torsion, les images et noyaux des morphismes dans ${\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m})$ sont donc des sous-faisceaux coh�rents sans torsion, donc singuliers sur des ensembles de codimension au moins $2$, donc localement libres sur la droite affine.  
     


\end{preuve}




\begin{center}
{\bf Construction inverse de la construction du fibr� de Rees associ�e � un espace vectoriel muni de deux filtrations }
\end{center}
Soit $(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$ un espace vectoriel bifiltr�. Le fibr� de Rees $\Phi( V,F^{\bullet },G^{\bullet })=\xi_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet},G^{\bullet})$ est bien d'apr�s la proposition \ref{reesgfib} p.\pageref{reesgfib} un ${{\bf G}_m}^2$-fibr� vectoriel sur le plan affine ${\bf A}^2$. 

R�ciproquement, soit $\calf $ un ${{\bf G}_m}^2$-fibr� vectoriel sur ${\bf A}^2$. Soit $V=\calf_1$ la fibre en $(1,1) \in {\bf A}^2$. On a vu que $\calf \vert_{{{\bf A}^1} \times \{1\}}$ est un ${\bf G}_m$-fibr� sur la droite affine de fibre naturellement isomorphe � $V$ en $1$. On en d�duit donc, comme dans la section pr�c�dente, par le morphisme $\Phi_I$ une filtration $F^{\bullet }$. De m�me on obtient une filtration $G^\bullet$ en restreignant le fibr� � $\{1\} \times {\bf A}^1$ par $(V,G^{\bullet })=\Phi_{I}(\calf \vert_{{ \{ 1 \} \times {\bf A}^1} })$. On en d�duit donc un morphisme que l'on notera toujours $\Phi_I$ de la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur ${{\bf A}^{2}}$ munis de l'action de ${{\bf G}_{m}} \times {{\bf G}_{m}}$ prolongeant l'action standard dont les morphismes sont les morphismes de fibr�s vectoriels qui commutent avec l'action, not�e ${\text Bun}({\bf A}^{2}/({\bf G}^{m})^{2})$, vers la cat�gorie $\calc_{2filtr}$. 



\begin{proposition}\label{inverse2}
On a une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de deux filtrations exhaustives et d�croissantes et dont les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur ${{\bf A}^{2}}$ munis de l'action de ${{\bf G}_{m}} \times {{\bf G}_{m}}$ prolongeant l'action standard dont les morphismes sont les morphismes de fibr�s vectoriels dont les conoyaux sont sans torsion et qui commutent avec l'action :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{2filtr} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\text Bun}({\bf A}^{2}/({\bf G}_{m})^{2}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\end{proposition}

\begin{preuve} Partons d'un espace vectoriel bifiltr� $(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$. La construction du fibr� de Rees �quivariant restreinte � ${\bf A}^{1} \times \{1\}$ et la proposition \ref{inverse1} p.\pageref{inverse1}, nous permettent de voir que par $\Phi_{I} \circ \Phi_{R}$ on r�cup�re la m�me filtration $F^{\bullet }$ sur $V$. On fait de m�me pour la deuxi�me filtration. Ainsi $\Phi_{I}\circ \Phi_{R}((V,F^{\bullet },G^{\bullet }))=(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$.

R�ciproquement, soit $\calf $ un objet de ${\text Bun}({\bf A}^{2}/({\bf G}_{m})^{2})$ et soit $B=\calf ({\bf A}^{2})$ le $k[u,v]$-module associ�. Comme dans la construction inverse dans le cas d'un espace vectoriel filtr�, on a une inclusion $B \subset V \otimes_{k} k[u,u^{-1},v,v^{-1}]$ et les filtrations pr�c�dement d�finies par $\Phi_{I}$ sont enti�rement caract�ris�es par $F^{p}\cap G^{q}=\{ w \in V \vert u^{-p}v^{-q}w \in B \}$. Soit $B'$ le module de Rees associ� � $(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$ et $\calf '=\Phi_{R}(V,F^{\bullet },G^{\bullet })=\Phi_{R}\circ \Phi_{I}(\calf )$ le fibr� vectoriel associ�. D'apr�s la construction des filtrations $B'$ est un sous-module de $B$. On en d�duit un morphisme de fibr�s vectoriels $f : \calf '\rightarrow \calf$. D'apr�s l'�quivalence montr�e dans la section pr�c�dente ce morphisme est un isomorphisme en dehors de $(0,0) \in {\bf A}^2$. En effet, pour tout $x \neq 0 \in {\bf A}^1$ : $f \vert_{\{x \} \times {\bf A}^{1}}: \calf ' \vert_{\{x \} \times {\bf A}^{1}} \rightarrow \calf \vert_{\{x \} \times {\bf A}^{1}}$ est l'isomorphisme de ${\bf G}_m$-fibr�s sur ${\bf A}^1$ de $\Phi_{R}\circ \Phi_{I} (\calg) $ vers $\calg$ donn� dans la section pr�c�dente o� $\calg=(B/(u-x)B)^{\sim }$ et si l'on note par $A$ le $k[v]$-module $B/(u-x)B$, $\Phi_{R}\circ \Phi_{I} (\calg)=(A')^{\sim }$ c'est � dire le ${\bf G}_m$-fibr� vectoriel sur ${\bf A}^1$ associ� � l'espace vectoriel filtr� $\Phi_{I}(\calg)$. Donc pour tous $(x,y) \neq (0,0)$, $f_{(x,y)}:{\calf '}_{(x,y)} \rightarrow \calf_{(x,y)}$ est un isomorphisme. C'est donc un isomorphisme de fibr� vectoriels sur ${\bf A}^{2}- \{(0,0)\}$ or $\calf '$ et $\calf $ sont des fibr�s vectoriels sur ${\bf A}^2$, donc $f$ est un isomorphisme : $\calf'\cong \calf$.

Montrons que cette correspondance est pleinement fid�le. On consid�re l'application
\begin{center} $ \text{Hom}_{\calc_{2filtr}}( (V,F^{\bullet },G^{\bullet }),(W,H^{\bullet },I^{\bullet })) \rightarrow \text{Hom}_{k[u,v]}(R^{2}(V,F^{\bullet },G^{\bullet }),R^{2}(W,H^{\bullet },I^{\bullet }))$, \end{center}
qui est bien d�finie car les morphismes � gauche sont compatibles aux filtrations, compos�e � la filtration

\begin{center} $  \text{Hom}_{k[u,v]}(R^{2}(V,F^{\bullet },G^{\bullet }),R^{2}(W,H^{\bullet },I^{\bullet })) \rightarrow \text{Hom}_{\text{Bun}({{\bf A}^2}/({{\bf G}_m})^{2})}(\Phi_{R}(V,F^{\bullet },G^{\bullet }),\Phi_{R}(W,H^{\bullet },I^{\bullet }))$, 
\end{center}
bien d�finie par la construction fonctorielle $\sim$.\\

Montrons que la compos�e de ces deux fl�ches est bijective. L'injectivit� des deux fl�ches est claire. De plus un morphisme strictement compatible entre espaces vectoriels bifiltr�s donne lieu � un morphisme de modules de Rees dont noyau et image sont sans torsion ce qui prouve que le morphisme induit entre $\xi_{{\bf A}^2}(V,F^{\bullet },G^{\bullet })$ et $\xi_{{\bf A}^2}(W,H^{\bullet },I^{\bullet })$ a son noyau et son image sans torsion. La surjectivit� en termes de morphismes d'espaces vectoriels filtr�s est directe, reste � v�rifier que les morphismes sont strictement compatibles aux filtrations. On v�rifie cela pour $F^{\bullet }$ et $H^{\bullet }$ (resp. $G^{\bullet }$ et $I^{\bullet }$) en se pla�ant sur une droite affine de ${\bf A}^2$ de la forme ${\bf A}^{1} \times \{v_{0} \}$ (resp. $\{ u_{0} \} \times {\bf A}^{1} $) qui �vite le lieu singulier des noyaux et images du morphisme de faisceaux ce qui est toujours possible car ces faisceaux �tant sans torsion, le lieu singulier est de codimension $2$ par le corollaire \ref{singfaiscohcodim2} p.\pageref{singfaiscohcodim2}.    


\end{preuve}


%{\bf Le cas de trois filtrations et plus :}\\

%Les d�monstrations pr�c�dentes des �quivalences de cta�gories entre $\calc_{1filtr} $  et ${\text Bun}({\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}^{1})$ puis $\calc_{2filtr} $  et ${\text Bun}({\bf A}^{2}/({\bf G}_{m})^{2})$ ne peuvent se g�n�raliser lorsqu'on a trois filtrations ou plus. Le point cl�f ? de la d�monstration r�side en effet dans le fait que les faisceaux coh�rents images par $\Phi_R$ des objets de $\calc_{nfiltr}$ sont des faisceaux r�flexifs, d'apr�s la proposition \ref{reesreflexif} p.\pageref{reesreflexif}, donc localement libres en dehors d'un ensemble de codimension $3$, et donc localements libres si $n=1,2$. Partons d'un $({\bf G}_m)^3$-faisceau reflexif $\calf $, il est associ� � un module trigradu� $B=\calf({\bf A}^{3})$ qui permet de d�finir trois filtrations sur la fibre $V=\calf_{(1,1,1)}$, que nous noterons $F^{\bullet }$, $G^{\bullet }$ et $H^{\bullet }$. On pose $\Phi_{I}(\calf)=(V,F^{\bullet },G^{\bullet },H^{\bullet })$. Soit $B'$ le $k[u,v,w]$-module de Rees associ� � l'espace vectoriel trifiltr� $(V,F^{\bullet },G^{\bullet },H^{\bullet })$ et $\calf '=\Phi_{R}(\Phi_{I}(\calf ))$ le faisceau reflexif associ�. Du morphisme de $B'$ vers $B$ on d�duit un morphismes de faisceaux de $\calf '$ vers $\calf $ qui est un isomorphismes en dehors de $(0,0,0)$ par la proposition \ref{inverse2} p.\pageref{inverse2}, mais il n'y a pas de fa�on unique de prolonger un faisceau localement libre sur ${\bf A}^{3}-\{(0,0,0)\}$ � un faisceau reflexif sur ${\bf A}^3$. On ne peut donc pas en d�duire un isomorphisme de $\calf '$ vers $\calf$. Ce probl�me subsiste �videment lorsqu'on a plus de trois filtrations. 





\subsection{Construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ � partir de trois filtrations}

\subsubsection{Construction}
Recouvrons ${\bf P}^{2}=\text{Proj} \ k[u_{0},u_{1},u_{2}]$ par les trois cartes affines standard, $U_{k}=\{(u_{0},u_{1},u_{2}) \in {\bf P}^{2}, u_{k}\neq 0\}={\bf A}^{2}_{ij}=\text{Spec} \ k[\frac{u_{i}}{u_k},\frac{u_{j}}{u_k}]$ o� $i,j,k$ sont deux � deux distincts, $\{i,j,k\}=\{0,1,2\}$ et $i<j$. Sur les trois cartes, on effectue la construction du fibr� de Rees associ� � deux filtrations. Pour les trois triplets $(i,j,k)$ consid�r�s au-dessus on construit le fibr� de Rees $\xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})$ sur $U_{k}={\bf A}^{2}_{ij}$. Nous allons montrer que l'on peut recoller ces faisceaux obtenus sur chacune des cartes affine pour obtenir un faisceau sur ${\bf P}^{2}$. En fait le recollement est simple puisque deux faisceaux sur deux des cartes affines co�ncident sur l'intersection de ces cartes. Il suffit alors pour d�crire la structure de fibr� d'exhiber les trivialisations locales. D'apr�s la description des fibr�s faite dans la proposition \ref{trivialisationderees} p.\pageref{trivialisationderees}, sur chacune des cartes affines les fibr�s sont isomorphes au fibr� trivial ${\mathcal O}_{U_k}^{\text{dim}(V)}$ sur $U_k$ par les isomorphismes $\phi_{k}:{\mathcal O}_{U_k}^{\text{dim}(V)} \rightarrow \xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})$. \\


\begin{propdef}\label{recolledef}
Soit $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ un objet de $\calc_{3filtr}$ On peut recoller les fibr�s de Rees $\xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})$ obtenus � partir de deux filtrations sur chacun des ouverts affines ${U_k}$ o� $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ et $i<j$. On en d�duit un fibr� vectoriel sur ${\bf P}^2$. Le fibr� ainsi obtenu est appel� fibr� de Rees associ� � l'espace vectoriel trifiltr�  $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ et est not� ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$.\\

\end{propdef}

\begin{preuve} On utilise les restrictions des isomorphismes trivialisants des fibr�s de Rees sur les plans affines d�crits plus haut pour former des cocycles d�finissant un fibr�. Introduisons quelques notations. Les intersections deux � deux des ouverts affines standards $U_{k}$ o� $k \in \{0,1,2 \}$ seront not�es $U_{kl}=U_{k}\cap U_{l}$ o� $k,l \in \{0,1,2 \}$ et $k < l$. $j_{kl}$ sera l'inclusion $j_{kl}: U_{kl} \hookrightarrow U_{k}$ et $j_{lk}$ sera l'inclusion $j_{lk}: U_{kl} \hookrightarrow U_{l}$. De m\^eme, on a les trois inclusions $j_{ijk} : U_{ijk} \hookrightarrow U_{ij}$. 
Pour $l \neq k$, on peut supposer par exemple que $l=j$ o� $(i,j,k)$ est un triplet de la forme d�crite plus haut. D'apr�s le lemme \ref{surlesouverts} p.\pageref{surlesouverts}, $ \xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})\vert_{U_{jk}}= \xi_{{\bf A}^{2}_{ik}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{k})\vert_{U_{jk}}$ comme sous faisceaux de $j^{*}_{jk}({\mathcal O}_{U_{ijk}}\otimes V)$. En effet ces deux faisceaux sont �gaux au faisceau $\xi_{{\bf A}^1}(V,F_{i}^{\bullet })\otimes {\mathcal O}_{{\bf G}_{m}}$ sur $U_{jk}=\text{Spec} \ k[u,v,v^{-1}]$, o� ${\bf G}_{m}=\text{Spec} \ k[v,v^{-1}]$. Cela suffit donc � recoller les faisceaux locallement libres sur les cartes affines donc triviaux, les isomorphismes de transition sont les identit�s sur les intersections des cartes affines, les conditions de cocycles sont �videment v�rifi�es. 
\end{preuve}

D�crivons la structure de fibr� vectoriel en donnant des trivialisations. Sur $U_k$ on a l'isomorphisme $\phi_{k}:{\mathcal O}_{U_k}^{\text{dim}(V)} \rightarrow \xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})$. On peut ainsi d�finir $\phi_{kl}=\phi_{l}^{-1}\circ \phi_{k}\vert_{U_{kl}}$ comme fonction de transition entre les fibr�s triviaux sur les cartes $U_{k} $ et $U_{l}$. La condition de cocycle est automatiquement v�rifi�e car $\phi_{k}\vert_{U_{ijk}}(\xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j}))={\mathcal O}_{U_{ijk}}\otimes V$. Ainsi sur $U_{ijk}$ : $\phi_{ij} \circ \phi_{jk} \circ \phi_{kl}=id$.
% Alors, comme $U_{i}=Spec\, k[u,v]$, $U_{j}=Spec\, k[u,v]$ et que l'on recolle ces deux ouverts
%par l'interm�diaire de l'automorphisme de $U_{ij}=Spec\, k[u,u^{-1},v]$, $(u,v) \mapsto (u^{-1},v/u)$, on a les donn�es suivantes : les isomorphismes $\alpha_{i}: {\xi}_{U_{i}}(V,F_{j}^{\bullet },F_{k}^{\bullet }) \cong {\mathcal O}_{U_{i}}^{n}$ pour tout $i$ sur $U_{i}$ (avec les conditions pr�c�dentes pour $j$ et $k$), ${\xi}_{U_{ij}}(V,F_{j}^{\bullet },F_{k}^{\bullet })={\xi}_{U_{ij}}(V,F_{i}^{\bullet },F_{k}^{\bullet })$ (c'est la construction $^{\sim}$ restreinte � $Spec\,k[u,u^{-1},v]$). On peut appliquer le lemme pr�c�dent en prenant ${\mathcal O}_{U_{i}}^n$ pour ${\mathcal E}_{i}$, et $(\alpha_{j}\vert_{U_{ij}}) \circ (\alpha_{i}\vert_{U_{ij}})^{-1}$ pour $\phi_{ij}: {\mathcal E}_{i}\vert_{U_{ij}} \mapsto {\mathcal E}_{j}\vert_{U_{ij}}$. La condition de cocycle est ainsi automatiquement v�rifi�e. Le fibr� est unique � isomorphisme pr�s.
Reste � montrer que la construction ne d�pend pas des bigraduations $V=\oplus_{p,q}V^{p,q}$ choisies pour chaque construction $\xi_{{\bf A}^{2}_{ij}}(V,F^{\bullet}_{i},F^{\bullet }_{j})$ sur les cartes affines $U_{k}$. Supposons que l'on ait une autre graduation $V=\oplus_{p,q}U^{p,q}$. Alors prendre le bigradu� associ� aux filtrations $F^{\bullet }_{i}$ et $F^{\bullet}_{j}$, donne des isomorphismes $V^{p,q} \cong U^{p,q}$. Ces isomorphismes induisent des isomorphismes au niveau des modules de Rees puis des fibr�s de Rees sur les cartes affines $U_{k}$ pour tous les triplets $i,j,k$. Ainsi, changer les bigraduations associ�es aux paires de filtrations revient � changer de trivialisations locales du fibr� localement libre sur ${\bf P}^2$ et conduit donc � un fibr� isomorphe. Le fibr� de Rees ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ est bien d�termin� � isomorphisme pr�s � partir de $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$.\\     
%ecrire avec Schaf




%\begin{figure}[ht] 

%\begin{center}

%\scalebox{1}{\input{petitp2.pstex_t}}

%\end{center}

%\caption {Construction de ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$}

%\end{figure}
${}$\\
{\bf Exemple :}
  Donnons la description explicite du fibr� de Rees associ� � un espace vectoriel de dimension $1$ muni de trois filtrations. Cet exemple est important car on essaiera toujours par la suite de se ramener � une somme directe d'espaces vectoriels de dimension 1 munis de trois filtrations, la construction pr�c�dente se comportant bien pour les sommes directes. Soit $V=k$ muni de trois filtrations. On a forc�ment $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })=(V ,Dec^{r}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})$ o� $r,p,q$ sont les rangs respectifs auxquels $F^{\bullet}_{0}$, $F^{\bullet}_{1}$ et $F^{\bullet}_{2}$ sautent.

 ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet},Dec^{r}Triv^{\bullet})$ est un fibr� en droites sur ${\bf P}^2$ donc de la forme $ O_{{\bf P}^2}(D)$. Explicitons le diviseur $D$. Pour cela notons $D_{k}$ le compl�mentaire de $U_{k}$ dans ${\bf P}^2$ (la droite a l'infini associ�e � l'ouvert affine $U_k$), c'est � dire : pour $k \in \{0,1,2\}$ : $U_{k}=\{ (u_{0}:u_{1}:u_{2}) \in {{\bf P}^2} \vert u_{k}\neq 0 \} \cong {\bf A}^{2}_{ij}$ et $D_{k}=\{ (u_{0}:u_{1}:u_{2}) \in {{\bf P}^2} \vert u_{k}= 0 \} \cong {\bf P}^{1}$. La construction dans le cas d'un fibr� de rang $1$ est simplifi�e par le fait que l'on peut �videmment trouver des trivialisations sur les ouverts compatibles � toutes les filtrations. Une section m�romorphe $s$ du fibr� est donn�e par (on note $v$ un vecteur engendrant la droite $V$) : $ (\frac{u_0}{u_2})^{-r}.(\frac{u_1}{u_2})^{-p}v $ sur $U_{2}$, $ (\frac{u_1}{u_0})^{-p}.(\frac{u_2}{u_0})^{-q}v $ sur $U_{0}$ et $ (\frac{u_0}{u_1})^{-r}.(\frac{u_2}{u_1})^{-q}v $ sur $U_{1}$. D'o� : $D=(s)=-rD_{0}-pD_{1}-qD_{2}$.\\
${}$\\
Nous noterons ce fibr�\footnote{On �crit $(r,p,q)$ et non $(p,q,r)$ car dans les applications \`a la th\'eorie de Hodge $F_{1}^{\bullet}$ et $F_{2}^{\bullet }$ seront la filtration de Hodge et sa filtration oppos�e qui sont d�crites classiquement par les indices $p$ et $q$} $$\xi_{{\bf P}^2}^{r,p,q}.$$ 
On a d�crit l'isomorphisme
$$\xi_{{\bf P}^2}^{r,p,q} \cong \calo_{{\bf P}^2}(-r-p-q).$$




\begin{lemme}\label{plusfois}
Soit $(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i})$ une famille finie d'espaces vectoriels munis de trois filtrations, alors :\begin{center}
 ${\xi}_{{\bf P}^2}(\oplus_{i}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i})) \cong \oplus_{i}{\xi}_{{\bf P}^2}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i}) $. 
  ${\xi}_{{\bf P}^2}(\otimes_{i}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i})) \cong \otimes_{i}{\xi}_{{\bf P}^2}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i}) $.\\
\end{center}
\end{lemme}
 
\begin{preuve}
Rappelons (\cite{har}) que si $M$ et $N$ sont deux $A$-modules, et que l'on note par une tilde la construction du faisceau coh�rent sur $\text{Spec} \ A$ associ�e � un $A$-module, alors : $ (M \oplus N)^{\sim} \cong M^{\sim } \oplus N^{\sim } $ et $(M \otimes_{A} N)^{\sim}  \cong M^{\sim} \otimes_{\text{Spec} \ A} N^{\sim}$. Les constructions des fibr�s de Rees sur les plans affines sur les ouverts standards associ�es � la somme directe et au produit tensoriel se d�duisent donc des constructions sur chacun des facteurs. Les trivialisations sur ces ouverts sont donn�es par chacunes des trivialisations correspondantes aux espaces vectoriels trifiltr�s. Les fonctions de transitions du fibr� associ� � la somme directe et du fibr� associ� au produit tensoriel sont donc donn�es par des blocs correspondants aux somme directes et par produit tensoriel des fonctions de transition. Ainsi le fibr� de Rees de la somme directe est bien la somme de Whitney des fibr�s de Rees associ�s aux espaces vectoriels en somme directe et le fibr� de Rees associ� au produit tensoriel est le produit tensoriel des fibr�s de Rees de chacun des facteurs.
\end{preuve}
                                        
{\bf Construction �quivalente du fibr� de Rees associ� � trois filtrations}\\

Rappelons que la construction du faisceau de Rees associ� � trois filtrations $(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})$ sur l'espace affine ${\bf A}^3$ donne un faisceau coh�rent r�flexif $$\xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})=(R^{3}(V,F^{0},F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })_{u_0})^{\sim}.$$
 
Ce faisceau est en fait un $({\bf G}_{m})^3$-faisceau pour l'action standard de $({\bf G}_{m})^3$ sur ${\bf A}^3$ par translation. Consid�rons la diagonale de $({\bf G}_{m})^3$. La restriction de l'action � la diagonale est l'action d�crite dans la section \ref{groupesalg} p.\pageref{groupesalg}. $\xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{{\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}}$ est bien sur un ${\bf G}_m$-fibr� pour cette action. Comme on l'a vu dans l'�tude de cette action, le morphisme entre la ${\bf G}_m$-vari�t� ${\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}$ et ${\bf P}^2$ est un ${\bf G}_m$-fibr� principal. Donc le\\
${\bf G}_m$-fibr� $\xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{{\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}}$ descend sur ${\bf P}^2$, i.e. il existe un faisceau coh�rent $\cale $ sur ${\bf P}^2$ tel que 
$$ \xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{{\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}} \cong f^{*}\cale$$
soit un isomorphisme de ${\bf G}_m$-fibr�s sur ${\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}$ ($f$ est le morphisme de l'espace affine priv� de l'origine vers l'espace projectif).

Comme l'action de ${\bf G}_m$ est sans point fixe, $\cale $ est unique � isomorphisme pr�s (cf \cite{huyleh}). Donc, � isomorphisme pr�s il existe un unique faisceau coh�rent $\cale $ sur le plan projectif tel que $ \xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{{\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}} \cong f^{*}\cale$ soit un isomorphisme de ${\bf G}_m$-fibr�s. \\ 
 
\begin{proposition}
$$ \xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{{\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}} \cong f^{*} \xi_{{\bf P}^2}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})$$
comme isomorphisme de ${\bf G}_m$-fibr�s sur ${\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}$.\\
\end{proposition}

\begin{preuve}
Pla�ons nous d'abord sur un ouvert affine $U_{k}=\text{Spec}k[\frac{u_{i}}{u_k},\frac{u_{j}}{u_k}]$ de ${\bf P}^{2}=\text{Proj} \ k[u_{1},u_{2},u_{3}]$ d�crit en d�but de section, $U_{0}$ par exemple. $f^{-1}(U_{0})=\{(u_{0},u_{1},u_{2}) \in {\bf A}^{3}\vert\, u_{0}\neq 0 \}$. En terme d'anneaux cette restriction de $f$ est associ�e au morphisme $g : A=k[\frac{u_{1}}{u_0},\frac{u_{2}}{u_0}] \rightarrow B=k[u_{0},u_{0}^{-1},u_{1},u_{2}]=k[u_{0},u_{1},u_{2}]_{u_0}$ ($\text{Spec}\,A={\bf A}^{2}$ et $\text{Spec}\,B=f^{-1}(U_{0})$). Alors,

\begin{eqnarray*}   f^{*} \xi_{{\bf P}^2}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{\text{Spec}\,B}& \cong &(R^{2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \otimes_{A}B)^{\sim}\\
{}&\cong &(( R^{3}(V,F^{0},F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })_{u_0})^{\sim}\\
{} &\cong &\xi_{{\bf A}^3}(V_{},{F_{0}^{\bullet }}_{},{F_{1}^{\bullet }}_{},{F_{2}^{\bullet }}_{})\vert_{\text{Spec}\,B}.
\end{eqnarray*}
 On obtient ainsi trois isomorphismes dans les images r�ciproques des trois cartes affines du plan projectif. Ces isomorphismes se recollent bien car sur le plan projectif se placer sur l'intersection de deux cartes affines revient � ne consid�rer qu'une seule filtration (celle qui est en commun aux constructions sur chacunes des deux cartes affines) et il en va de m�me �au dessus� : l'image r�ciproque de l'intersection est isomorphe � ${\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m}\times {\bf G}_{m}$, et le fibr� restreint � cet ouvert fait appara�tre la construction de Rees avec la filtration voulue dans la direction de la droite affine et est trivial dans les autres directions. On obtient ainsi l'isomorphisme voulu sur ${\bf A}^{3}\backslash \{ (0,0,0) \}$. 

La compatibilit� de cet isomorphisme avec l'action de ${\bf G}_m$ induite par $f^*$ est claire.   
\end{preuve}

{\bf Les fibr�s de Rees sur ${\bf P}^2$ sont des $G$-fibr�s}\\

Le fibr� de Rees ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ est un ${{\bf G}_m}^3$-fibr� sur le plan projectif pour l'action de ${{\bf G}_m}^3$ h�rit�e de l'action par translation sur l'espace affine ${\bf A}^3$. L'action de la diagonale de ${{\bf G}_m}^3$, $\Delta ( {\bf G}_{m}^{3})$ est triviale (o� $\Delta({\bf G}_{m}^{3})$ est l'image du morphisme ${\bf G}_{m} \hookrightarrow {\bf G}_{m}^3$ donn� par $t \mapsto (t,t,t)$). Sur chaque ouvert affine $U_{k}$, on a une action de ${{\bf G}_m}\times {\bf G}_m$ qui est le quotient non canonique ${\bf G}_{m}^{3}/\Delta({\bf G}_{m}^{3})$. Cette action, restreinte aux ouverts standard, correspond \`a l'action de ${{\bf G}_m}\times {\bf G}_m$ que l'on a d�crite sur les fibr�s de Rees associ�s � deux filtrations sur les ouverts affines. L'action de ${{\bf G}_m}^3$ sur ${\bf A}^{3}$ est donn�e par :\\
\begin{center}
$k[u_{0},u_{1},u_{2}] \rightarrow k[u_{0},u_{1},u_{2}] \otimes k[t_{0},t_{0}^{-1},t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1}]$\\
$u_{i} \mapsto u_{i}\otimes t_{i}$, o� $i \in \{0,1,2\}$.
\end{center}
Elle induit, sur $U_{0}=\text{Spec}k[\frac{u_{1}}{u_0},\frac{u_{2}}{u_0}]$ par exemple, l'action de ${{\bf G}_m}\times {\bf G}_{m}=\text{Spec}\,k[\frac{t_{1}}{t_0},\frac{t_{2}}{t_0},{\frac{t_{1}}{t_0}}^{-1},{\frac{t_{2}}{t_0}}^{-1}]$ :\\
\begin{center}
$k[\frac{u_{1}}{u_0},\frac{u_{2}}{u_0}] \rightarrow k[\frac{u_{1}}{u_0},\frac{u_{2}}{u_0}] \otimes k[\frac{t_{1}}{t_0},\frac{t_{2}}{t_0},{\frac{t_{1}}{t_0}}^{-1},{\frac{t_{2}}{t_0}}^{-1}]$\\
$\frac{u_{i}}{u_0}  \mapsto \frac{u_{i}}{u_0} \otimes \frac{t_{i}}{t_0}$, o� $i \in \{ 1,2 \}$.
\end{center}
Le quotient ${{\bf G}_m}\times {\bf G}_{m}$ de ${\bf G}_{m}^{3}$ vient du morphisme :\\
\begin{center}
$k[t_{0},t_{0}^{-1},t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1}] \rightarrow k[t_{0},t_{0}^{-1},t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1}] \otimes k[t,t^{-1}]$\\
$t_{i} \mapsto t_{i}\otimes t $ et $t_{i}^{-1} \mapsto t_{i}^{-1}\otimes t^{-1} $.
\end{center} 
Posons ${\bf T}={\bf G}_{m}^{3}/\Delta({\bf G}_{m}^{3})$, nous avons montr� que\\

\begin{proposition} Le fibr� de Rees sur ${\bf P}^{2}$ associ� � un espace vectoriel muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ est un ${\bf T}$-fibr� pour l'action de ${\bf T}$ par translation sur ${\bf P}^2$.

\end{proposition}
% ${\bf P}^{2}=\text{Proj} \ k[u_{1},u_{2},u_{3}]$ par les trois cartes affines standard $U_{k}=\{(u_{1},u_{2},u_{3}) \in {\bf P}^{2}, u_{k}\neq 0\}={\bf A}^\{2}_{ij}=\text{Spec} \ k[\frac{u_{i}}{u_k},\frac{u_{j}}{u_k}]$ o� $i,j,k$ sont deux � deux distincts, $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ et $i<j$
${}$\\
{\bf Exemple :} Revenons � l'exemple des fibr�s en droite de Rees $\xi_{{\bf P}^2}^{r,p,q}$. D�crivons l'action de ${\bf T}$ sur un des ouverts standards, $U_{0}$ par exemple. Soit $w$ un vecteur qui engendre l'espace filtr� et $s$ une section �quivariante sur $U_{0}$ telle que $s(1)=w$. Alors pour tout $(u_{1},u_{2}) \in {\bf A}^2$, $s(u_{1},u_{2})=u_{1}^{-p}u_{2}^{-q}w$. $p$ et $q$ sont les caract�res de l'action restreinte au plan affine.\\





\subsubsection{Restrictions des fibr�s de Rees aux droites standards}
La construction du fibr\'e de Rees \'etant sym\'etrique par rapport aux trois filtrations, il suffit de d\'ecrire la restriction du fibr\'e � l' une des droites standards. Nous \'etudions ici la restriction � la droite ${\bf P}^{1}_{0}$ qui correspond aux p�les apport\'es par la filtration $F^{\bullet }_{0}$.

\begin{proposition}\label{resfibree}
La restriction du fibr\'e de Rees peut �tre d\'ecrite en terme de fibr\'e de Rees sur ${\bf P}^{1}$ (cf annexe A), en effet,
$${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })\cong \oplus_{r}{\xi}_{{\bf P}^1}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r},F_{1}^{\bullet }{}_{ind},F_{2}^{\bullet }{}_{ind})\otimes \calo_{{\bf P}^1}(-r),$$
o� $F_{1}^{\bullet }{}_{ind}$ et $F_{2}^{\bullet }{}_{ind}$ sont les filtrations induites par $F_{1}^{\bullet }$ et $F_{2}^{\bullet }$ sur l'espace gradu\'e associ\'e � la premi�re filtration.
\end{proposition} 


\subsubsection{R\'esolution par des fibr\'es scind\'es}


On montre que l'on peut trouver une r\'esolution de tout fibr\'es de Rees par des fibr\'es somme de fibr\'es en droite (des $\xi_{{\bf P}^2}^{r,p,q}$). La r\'esolution n'est pas a priori finie et les termes de la r\'esolution d'un fibr\'e de Rees associ\'e \`a des filtrations oppos\'ees ne proviennent pas forc\'ement de filtrations oppos\'ees.




\begin{proposition}
Soit $\xi$ un ${\bf T}$-fibr\'e \'equivariant sur ${\bf P}^2$. Il existe alors un r\'esolution par des ${\bf T}$-fibr\'es scind\'es $\xi_{i}$, $i \geq 0$ :
$$
\xymatrix{
...\ar[r]&   \xi_{1} \ar[r] &  \xi_{0} \ar[r] &  \xi \ar[r] & 0.}
$$



\end{proposition}

\begin{preuve}Nous allons montrer l'assertion plus g\'en\'erale :

Soit $X$ une vari\'et\'e projective lisse munie de l' action plate d'un tore ${\bf T}$, $\sigma$, et soit $\calf$ un faisceau de $\calo_{X}$-modules ${\bf T}$-\'equivariant, alors il existe une r\'esolution de $\calf$ par des fibr\'es scind\'es ${\bf T}$-\'equivariants.

Notons ${\calo}_{X}(1)$ le fibr\'e ample de $X$. D'apr\`es \cite{har}, il existe $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ $\calf(n)=\calf \otimes \calo_{X}(n)$ soit engendr\'e par ses sections. D'o\`u
$$\xymatrix{
H^{0}(X,\calf(n))\otimes \calo_{X} \ar[r] &  \calf(n) \ar[r] & 0. }
$$

C'est un morphisme \'equivariant de faisceaux coh\'erents \'equivariants. En effet, notons par $p$ la projection de $X$ sur le point $*$. Les foncteurs $p^*$ et $p_*$ sont adjoints de la cat\'egorie des ${\bf T}$-faisceaux coh\'erents sur $X$ vers la cat�gorie des ${\bf T}$-faisceaux coh\'erents sur le point i.e. des espaces vectoriels munis de l'action du tore. Le morphisme exhib\'e est donc l' adjoint du morhisme $id$ par
$$
\text{Hom}_{{\bf T},X}(p^{*}V,W)=\text{Hom}_{{\bf T},*}(V,p_{*}W),
$$
o\`u $V=p_{*}\calf(n)$ et $W=\calf(n)$.

Donc le tore ${\bf T}$ op\`ere sur l' espace vectoriel $H^{0}(X,\calf(n))$. L' action se d\'ecompose donc suivant les caract\`eres $\chi$ :
$$
H^{0}(X,\calf(n))=\oplus_{i \in \chi}L_{i},$$
o\`u le tore agit sur $L_i$ par le caract\`ere $\chi$. D'o\`u le morphisme \'equivariant surjectif qui permet de d\'efinir $\xi_{0}$ somme de fibr\'es en droites \'equivariants,
$$\xymatrix{
\oplus_{i \in\chi} 
((\xi^{p_{i},q_{i},r_{i}}_{{\bf P}^2})^{\text{dim}_{\bf C}L_i})\otimes \calo_{X}(-n)  \ar[r] &  \calf \ar[r] & 0. }
$$
Le noyau de ce morphisme est un faisceau coh\'erent \'equivariant sans torsion, on peut donc par la m\^eme m\'ethode trouver une fl\`eche surjective \'equivariante qui permet de d\'efinir $\xi_{1}$. On continue ainsi pour trouver la r\'esolution voulue.
\end{preuve}





\subsubsection{Etude du fibr� de Rees}
Cette partie est pr�paratoire � la section dans laquelle on calcule le caract�re de Chern. L'id�e g�n�rale est d'essayer de ramener l'�tude du fibr� � celle de fibr�s scind�s, somme de fibr�s en droite de Rees de type  $\xi_{{\bf P}^2}^{r,p,q}$. Pour cela on ``s�pare'' les filtrations de fa�on � n'avoir � scinder que deux filtrations simultan�ment, ce qui est toujours possible.

L'�tude du fibr� de Rees associ� � un espace vectoriel muni de trois filtrations (d�croissantes et exhaustives) et de ses invariants va nous permettre de d�celer � quel point les filtrations sont loins d'\^etre dans la position la plus simple, celle o� elles sont simultan�ement scind�es. Rappelons que les trois filtrations $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ sont simultan�ement scind�es s'il existe des sous-espaces vectoriels $V^{p,q,r}$ tels que :
\begin{center}$V =\oplus_{p,q,r}V^{p,q,r}$ (o� la somme est finie) et 
$\left\lbrace \begin{array}{l}
         F_{0}^{r}=\oplus_{\{(p',q',r') \vert r'\leq  r \}}\,V^{p',q',r'},\\
         F_{1}^{p}=\oplus_{\{(p',q',r') \vert p'\leq  p \}}\,V^{p',q',r'},\\
         F_{2}^{q}=\oplus_{\{(p',q',r') \vert q'\leq  q \}}\,V^{p',q',r'}.
\end{array}
\right.$.
\end{center}
$${}$$
\begin{lemme}\label{scin}
Soit $V$ un espace vectoriel muni de trois filtrations $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ simultan�ement scind�es et de scindement $V=\oplus_{p,q,r}V^{p,q,r}$. Alors :
\begin{center}
${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })=\oplus_{p,q,r}{\xi}_{{\bf P}^2}(V^{p,q,r},Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet })$.
\end{center}
\end{lemme}

\begin{preuve}
Il suffit d'�crire que $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })=\oplus_{p,q,r}(V^{p,q,r},{F_{0}^{\bullet }}_{ind},{F_{1}^{\bullet }}_{ind},{F_{2}^{\bullet }}_{ind})$ et que sur chaque "bloc" $V^{p,q,r}$, ${F_{i}^{\bullet }}_{ind}$ est une filtration de niveau $1$, c'est � dire qu'il existe $k_{i}$ tel que $F^{k_i}_{i\  ind}=V^{p,q,r}$ et $F^{k_i}_{i\  ind}=\{0\}$. Sur $V^{p,q,r}$ on a $k_{i}=p$. Et $F^{\bullet }_{i\, ind}$ est donc une filtration triviale d�cal�e $Dec^{p}Triv^{\bullet }$. On applique ensuite le lemme \ref{plusfois} p.\pageref{plusfois}. 
\end{preuve}


Nous n'avons pas de moyens, pour �tudier le fibr� de Rees associ� � trois filtrations\\
 ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, d'�crire des suites exactes en le scindant par l'une des filtrations pour faire appara\^{\i}tre des fibr�s de rang plus bas construits � partir de filtrations qui sont en positions plus simples (on pense ici � la filtration par le poids pour une structure de Hodge mixte et aux structures pures sur chacun des gradu�s par le poids). Ceci vient du fait que, comme on l'a vu plus haut dans la section sur les filtrations, si l'on peut toujours scinder deux filtrations simultan�ment, ce n'est pas en g�n�ral possible pour trois filtrations. Pour pouvoir �tudier ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ on va lui associer un fibr� que l'on pourra d�monter suivant les sous-espaces associ�s aux diff�rentes filtrations.

Eclatons ${\bf P}^2$ en $(0:0:1)$, on notera $e: \widetilde{{\bf P}^2} \rightarrow {\bf P}^2$ le morphisme correspondant � l'�clatement et $E=e^{-1}(0)$ le diviseur exceptionnel. L'�clatement est d�crit dans l'ouvert $U_{0}={\bf A}^{2}_{12}=\text{Spec}\,k[u,v]$ par les morphismes $e_{i}: \text{Spec}\,B_{i} \rightarrow \text{Spec}\,A$ o� $i \in \{1,2\}$ correspondants aux morphismes d'anneaux suivants (on note les morphismes d'anneaux de la m\^eme fa�on) : $e_{0}: A=k[u,v] \rightarrow B_{0}=k[x,y]$ tel que $e_{0}(u,v)=(uv,v)$ et  $e_{1}: A=k[u,v] \rightarrow B_{1}=k[z,t]$ tel que $e_{0}(u,v)=(u,uv)$. $\text{Spec}\,B_{i}$ est not� $U_{0}^{i}$. On fait la construction du fibr� de Rees sur $\text{Spec}\,B_{i}$ associ�e au $B_{i}$-module $R^{2}(V,F_{i}^{\bullet },Triv^{\bullet })$.\\
$\,$\\
{\bf Remarque :}
Sur l'ordre des filtrations. Le but du travail sur le fibr� ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ est de conna{\^\i}tre les positions relatives des filtrations dans le cas o� l'espace vectoriel trifiltr� est un structure de Hodge mixte. Dans ce cas, on prendra $F_{0}^{\bullet }=(W_{\bullet })^{\bullet }$ la filtration croissante associ�e � la filtration par le poids, et $F_{1}^{\bullet }=F_{}^{\bullet }$, $F_{2}^{\bullet }={\overline F}_{}^{\bullet }$ la filtration de Hodge et sa conjugu�e par rapport � la structure r�elle sous-jacente. On va s'int�resser aux quotients par la filtration par le poids qui sont des structures de Hodge pures. C'est pourquoi dans la construction du fibr� associ� � ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, on distingue $F_{0}^{\bullet }$ pour pouvoir quotienter par des sous-espaces vectoriels associ�s � cette filtration alors que les trois filtrations jouent des r\^oles sym�triques dans la construction du fibr� de Rees.\\ 

\begin{propdef}
On peut utiliser les trivialisations locales des fibr�s de Rees associ�s aux paires de filtrations sur les quatre plans affines qui recouvrent $\widetilde{{\bf P}^2}$ pour obtenir un fibr� vectoriel unique � isomorphisme pr�s. Il sera appel� le fibr� vectoriel sur $\widetilde{{\bf P}^2}$ associ� �  ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, il sera not� ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$.\\
\end{propdef}

\begin{preuve}
La preuve est la m\^eme que pour la construction de ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$, on trivialise localement sur les quatre ouverts par l'interm�diaire des isomorphismes $\alpha_{i}$ exhib�s plus haut ce qui permet d'avoir automatiquement les conditions de cocycles et d'utiliser de recoller.
\end{preuve} 


%\begin{figure}[ht] 

%\begin{center}

%\scalebox{1}{\input{petitecl.pstex_t}}

%\end{center}

%\caption {Construction de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$.}

%\end{figure}


\begin{lemme}\label{dirsumxitilde}Soit $(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i})$ une famille finie d'espaces vectoriels munis de trois filtrations, alors :\begin{center}
${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(\oplus_{i}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i},Triv^{\bullet })) \cong \oplus_{i}{\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i},Triv^{\bullet})$. \\
${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(\otimes_{i}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i},Triv^{\bullet })) \cong \otimes_{i}{\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V_{i},{F_{0}^{\bullet }}_{i},{F_{1}^{\bullet }}_{i},{F_{2}^{\bullet }}_{i},Triv^{\bullet})$.  
\end{center}
\end{lemme}
\begin{preuve}
La preuve est similaire � celle du lemme \ref{isosumfibrees}.   

\end{preuve}

D\'ecrivons le fibr\'e $e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$. Il suffit de se placer dans la carte $U_0$, des coordonn\'ees $(u,v)$ d\'ecrites pr\'ec\'edemmemt. Dans la direction de la coordonn\'ee $uv$, le fibr\'e image inverse du fibr\'e est le fibr\'e de Rees sur un affine associ\'e aux filtrations $F^{\bullet}_1$ et $G^{\bullet }$ o\`u $G^{\bullet}$ est la filtration associ\'ee \`a $F^{\bullet }_{1}$ et $F^{\bullet}_{2}$ et d\'efinie par
$$
G^{r}=\sum_{p+q\geq r}F^{p}_{1}\cap F^{q}_{2}.
$$
Cette filtration est appel\'ee la convol\'ee de $F^{\bullet}_{1}$ et $F^{\bullet}_{2}$ suivant \cite{stezuc}. 

 \begin{definition}
Une filtration d�croissante et exhaustive $F^{\bullet }$ est dite positive si le plus petit entier  $p$ tel que $F^{k}=V$ pour tout $k \leq p$ est positif ou nul. Il est �quivalent de dire qu'il existe un morphisme d'objets filtr�s de $(V,Triv^{\bullet })$ vers $(V,F^{\bullet })$.
\end{definition}
La filtration $G^{\bullet}$ est donc positive. Les fibr�s ainsi d�finis sont li�s par le lemme suivant :\\

\begin{lemme}Soit $(V,F^{\bullet }_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ un espace vectoriel muni de trois filtrations. Si $F_{1}^{\bullet}$ et $F_{2}^{\bullet}$ sont positives on a un morphisme injectif de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ vers $e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
La filtration $G^{\bullet}$ est positive donc il existe un morphisme d'objets filtr\'es de $(V,Triv^{\bullet})$ vers $(V,G^{\bullet})$. On en d\'eduit l'existence d'un morphisme de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ vers\\
$e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$. Ce morphisme est un isomorphisme sur un ouvert donc est injectif.
\end{preuve}

En terme de coordonn\'ees, sur chacun des ouverts de $\widetilde{{\bf P}^2}$, on a la description qui suit : notons  $U_{1}'\cong U_{1}$ et $U_{2}'\cong U_{2}$ les images inverses de $U_{1}$ et $U_{2}$ par $e$. Sur les ouverts $U_{1}'$ et $U_{2}'$ il n'y a rien \`a montrer. Tout se passe au dessus de la carte $U_{0}$ dans ${\bf P}^2$ (rappelons qu'un recouvrement affine de $e^{-1}(U_{0})$ est donn� par $U_{0}^{0}$ et $U_{0}^{1}$). Comme on l'a vu plus haut, pour un $A$-module $M$ et un morphisme d'anneaux $A \rightarrow B$, on a $f^{*}({\tilde M}) \cong \widetilde{M \otimes_{A} B }$. Par exactitude de $^\sim$ il suffit donc de montrer qu'on a une fl�che de $B_{i}$-modules $RR(V,F_{i}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow  RR(V,F_{i}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \otimes_{A} B_{i}$ pour $i \in \{1,2\}$ injective. Il suffit de le montrer pour $i=1$.

$RR(V,F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \otimes_{A} B_{1}$ est engendr� par les �l�ments de la forme $u^{-p}.v^{-q}.a_{p,q} \otimes_{A}P(x,y)$ o� $P \in B_{1}$ et $a_{p,q} \in F_{1}^{p } \cap F_{2}^{q }$, or $u^{-p}.v^{-q}.a_{p,q} \otimes_{A}P(x,y)=a_{p,q} \otimes_{A} e_{1}(u^{-p}).e_{1}(v^{-q}).P(x,y)=a_{p,q} \otimes_{A} (x.y)^{-p}.y^{-q}.P(x,y)=a_{p,q} \otimes_{A} x^{-p}.y^{-p-q}.P(x,y)$. Prenons comme fl�che le morphisme injectif : $R^{2}(V,F_{1}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow  R^{2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \otimes_{A} B_{1}$ donn�e par $x^{-p}.a_{p} \mapsto a_{p} \otimes_{A}x^{-p}$ o� $a_{p} \in  F_{1}^{p }$.\\
${}$\\
{\bf Remarque :}
Lorsque le fibr� sera associ� � une struture de Hodge $F_{1}^{\bullet }=F_{}^{\bullet }$ et $F_{2}^{\bullet }={\overline F}_{}^{\bullet }$ et les filtrations au rang $p$ sont donn�es par des $p$-formes et sont donc positives.   
Notons $\mathcal F $ le faisceau quotient de $e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ par ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$, on a la suite exacte : 
\begin{center}
$0 \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \rightarrow {\mathcal F} \rightarrow 0$.
\end{center}
La construction de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ est l�gitim�e par le lemme suivant. Il permet de construire des suites exactes de fibr�s sur $\widetilde{{\bf P}^2}$ associ�s aux sous-espaces et espaces quotients de la filtration $F^{\bullet }_{0}$ et donc de r�duire l'�tude de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ puis de ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ � celle des fibr�s de Rees qui sont des sommes directes de fibr�s en droite et donc de calculer les invariants topologiques du fibr� de Rees associ� � trois filtrations. \\


\begin{lemme}\label{estilde}%exactsequ.tilde
Soit $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ un espace vectoriel muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes, si $V'$ est un sous-espace vectoriel de $V$ donn� par un des termes de la filtration $F_{0}^{\bullet }$(i.e. il existe $p$ tel que $V'=F_{0}^{p}$), alors, en notant par des $'$ les sous-objets et les filtrations
induites sur $V'$ et par des $''$ les objets quotients et les filtrations quotient sur $V''=V/V'$, on a la suite exacte :
\begin{center}
\scalebox{0.9}[1]{$0 \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V',{F'}_{0}^{\bullet },{F'}_{1}^{\bullet },{F'}_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V'',{F''}_{0}^{\bullet },{F''}_{1}^{\bullet },{F''}_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow 0$.} 
\end{center}
\end{lemme}


\begin{preuve}
La suite est �videment exacte sur chacun des quatre ouverts affines decrits plus haut. Le recollement est rendu possible par le fait que sur chaque intersection triple deux filtrations diff�rentes sont en jeu et donc toutes les trivialisations sont compatibles.
\end{preuve}

{\bf Remarque :}
L'id�e donn�e dans la d�monstration du lemme nous donne m\^eme un r�sultat plus fort : tous les quotients de $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ gradu�s par $F^{\bullet }_{0}$ forment des sous-fibr�s de ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$ et leurs quotients sont de m\^eme des sous-fibr�s. \\

Le lemme suivant est l'analogue du lemme \ref{scin} p.\pageref{scin} :\\

\begin{lemme}
Soit $V$ un espace vectoriel muni de trois filtrations $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ scind�es. Alors :
\begin{center}
${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet})=\oplus_{p,q}{\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V^{p,q},Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet})$.
\end{center}
\end{lemme}

\begin{preuve}
La preuve se calque sur celle du lemme \ref{scin}.
\end{preuve}




\subsection{Calcul explicite du caract�re de Chern des fibr�s de Rees}

Le but de cette section est de calculer le caract�re de Chern du fibr� ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ associ� � un
espace vectoriel trifiltr� $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \in \calc_{3filtr}$ afin de voir en quoi ce fibr� diff�re du fibr� trivial obtenu pour la construction associ�e avec trois filtrations simultan�ement scind�es provenant des gradu�s donn�s par les trois filtrations. Pour cel\`a, on utilise la d�composition de la section pr�c�dente pour calculer les caract�res de Chern $\text{ch}({\mathcal F})$ et $\text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))$.\\

Notons ${\widetilde{{D}_{i}}}$ la transform�e stricte dans ${\widetilde{{\bf P}^2}}$ de $D_{i}$ donn�e par l'application de l'�clatement $e$, et $E$ le diviseur exceptionnel.

\begin{proposition}
 Le calcul du caract�re de Chern $\emph{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))$ peut toujours se ramener au calcul des caract�res de Chern $\emph{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))$ pour $(r,p,q) \in {\bf Z}^3$. De plus, en notant  $\eta_{D} \in H^{2}({\widetilde{{\bf P}^2}},{\bf Z})={\bf Z}$ le dual de Poincar� du diviseur $D$ et ${\tilde w}^{4}$ une forme qui engendre $H^{4}({\widetilde{{\bf P}^2}},{\bf Z})={\bf Z}$ :\\
$\emph{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))=1+r {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(r^2+2rp+2rq){\tilde w}^{4}$
On a ainsi la relation :\\
$\emph{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))={\emph{dim}}_kV+ \sum_{p,q,r}{\delta }_{p,q,r}.(r {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(r^2+2rp+2rq){\tilde w}^{4})$
o� ${\delta }_{p,q,r}={\emph{dim}}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V$.\\
\end{proposition}

Avant de d�montrer cette proposition, �tablissons le lemme suivant :\\

\begin{lemme}$ $\\
${\xi}_{{\bf P}^2}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet })\cong O_{{\bf P}^2}(rD_{0}+pD_{1}+qD_{2})$.\\ 
$c_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet }))=r \eta_{D_{0}}+p\eta_{D_{1}}+q\eta_{D_{2}}$.\\${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet })\cong O_{\widetilde {{\bf P}^2}}(r{\tilde D}_{0}+p{\tilde D}_{1}+q{\tilde D}_{2})$.\\
$c_{1}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))=r {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}.$\\

\end{lemme}

\begin{preuve} La premi�re assertion a �t� d�montr�e dans l'exemple qui suit la proposition-definition \ref{recolledef} p.\pageref{recolledef}. Pour distinguer plus bas leurs transform�es strictes dans l'�clat� $\widetilde{{\bf P}^2}$ de ${\bf P}^2$, on garde les notations des $D_{i}$ bien que tous soient homologues dans ${\bf P}^2$ et  d�finissent des fibr�s isomorphes. D'apr�s \cite{gh} par exemple, sur une vari�t� compacte complexe $M$, la classe de Chern d'un fibr� en droite de la forme $\calo_{M}(D)$ pour $D \in \text{Div}(M)$ est donn�e par $c_{1}(\calo_{M}(D))= \eta_{D}$ o� $\eta_{D} \in H^{2}_{DR}(M) $ est le dual de Poincar� de $D$. Ainsi :\\
$$c_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet }))= r.\eta_{D_{0}}+p.\eta_{D_{1}}+q.\eta_{D_{2}}.$$

Le fibr� en droites ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))$ sur ${\widetilde{{\bf P}^2}}$ est de la forme $\calo_{\widetilde {{\bf P}^2}}(D)$ pour $[D] \in \text{Pic}({\widetilde {{\bf P}^2}})={\bf Z}\oplus {\bf Z}$. Un calcul analogue � celui fait dans l'exemple pr�cit� montre l'�galit� $D=r{\tilde D}_{0}+p{\tilde D}_{1}+q{\tilde D}_{2}$ et donc : $$c_{1}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))=r {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}.$$  


\end{preuve}
D�montrons la proposition :
\begin{preuve} D�montrons la premi�re assertion. On notera toujours par $Triv^{\bullet }$ la filtration triviale induite par la filtration triviale sur des sous-espaces ou des espaces quotients de $V$. Soit $V$ un espace vectoriel muni de trois filtrations oppos�es $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$. Rappelons que pour une suite exacte de faisceaux coh�rents de la forme
 $0 \rightarrow {\mathcal G}' \rightarrow {\mathcal G} \rightarrow {\mathcal G}'' \rightarrow 0$ la relation suivante est v�rifi�e : $ \text{ch}( {\mathcal G})= \text{ch}({\mathcal G}')+ \text{ch}({\mathcal G}'')$. Ainsi en filtrant $V$ par $F_{0}^{\bullet }$ et d'apr�s la suite exacte exhib�e dans le lemme \ref{estilde} :

$$\text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))=\sum_{r}\text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,F_{0,ind_{n}}^{\bullet },F_{1,ind_{r}}^{\bullet },{F_{2,ind_{}r}^{\bullet }},Triv^{\bullet })).$$

Comme $F_{0,ind_{r}}^{\bullet }$ est de longueur $1$ sur $Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V$ c'est la filtration d�cal�e de $r$ par rapport � la filtration triviale, donc :

\hspace{1cm}$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,F_{0,ind_{r}}^{\bullet },F_{1,ind_{r}}^{\bullet },{F_{2,ind_{r}}^{\bullet }},Triv^{\bullet }))=$

\hspace{2cm}  $ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet},F_{1,ind_{r}}^{\bullet },{F_{2,ind_{}r}^{\bullet }},Triv^{\bullet })).$

Pour tout $r$, filtrons $Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}$ par la filtration induite par $F_{1,ind_{r}}^{\bullet }$ sur cet espace. Il vient alors :
 
\hspace{1cm}$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet},F_{1,ind_{r}}^{\bullet },{F_{2,ind_{}r}^{\bullet }},Triv^{\bullet }))=$ 

\hspace{2cm}$\sum_{p}  \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{1,ind_{r}}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet},F_{1,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet },{F_{2,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet }},Triv^{\bullet })).$

Or $F_{1,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet }$ est de longueur $1$ sur $Gr_{F_{1,ind_{r}}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V=Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V$, ainsi :

\hspace{1cm}$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{1,ind_{r}}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet},F_{1,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet },{F_{2,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet }},Triv^{\bullet }))=$

\hspace{2cm}$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet },{F_{2,ind_{r},ind_{p}}^{\bullet }},Triv^{\bullet })).$

Le m\^eme argument appliqu� � la derni�re filtration permet de montrer que :

$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))=$

\hspace{1cm} $\sum_{p,q,r}  \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet })).$

Puis finalement que :\\

$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))=$

\hspace{0.5cm}$ \sum_{p,q,r} \,  \text{dim}_k( Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V).\, \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet })).$\\

Ce qui d�montre la premi�re assertion.\\
La deuxi�me d�coule du lemme pr�c�dent. Pour un fibr� en droite $\mathcal L$, on a la relation $ \text{ch}({\mathcal L})=\exp(c_{1}({\mathcal L}))$ c'est � dire sur une surface : $ \text{ch}({\mathcal L})=1+c_{1}({\mathcal L})+{\frac{1}{2}}c_{1}({\mathcal L})^{2}$. Les produits d'intersection dans ${\bf {P^2}}$ sont donn�s par ${{\tilde D}_{0}}^{2}=1,\,{{\tilde D}_{1}}^{2}=0,\,{{\tilde D}_{2}}^{2}=0,\,E^{2}=-1$ et ${{\tilde D}_{0}}.{{\tilde D}_{1}}=1,\,{{\tilde D}_{0}}.{{\tilde D}_{2}}=1,\,E.{{\tilde D}_{1}}=1,\,E.{{\tilde D}_{2}}=1,\,{{\tilde D}_{1}}.{{\tilde D}_{2}}=0$. D'o� :\\

$ \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet },Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))=$\\
\hspace{0.5cm} $1+r {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(r^2+2rp+2rq){\tilde w}^{4}.$
%o� $w$ engendre $H^{4}({\widetilde{{\bf P}^2}},{\bf Z})={\bf Z}$.

%$F_{1,ind_{n}}^{\bullet }$ et ${F_{2,ind_{n}}^{\bullet }}$ sont $(-n)$-oppos�es (� rappeler...cf \cite{del2}) sur $Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{n}V$ et d�finissent donc une d�composition de $Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{n}V$ en somme directe: $Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{n}V=\oplus_{p+q=-n}V_{n}^{p,q}$ et les sous espaces $V_{n}^{p,q}$ sont tels que $F_{1,ind_{n}}^{p }=\oplus_{p'\leq p}V_{n}^{p',-n+p'}$ et ${F_{2,ind_{n}}^{q }}=\oplus_{q'\leq q}V_{n}^{-n+q',q'}$. Sur chacun des sous-espaces en somme directe $F_{1,ind_{n},ind}^{\bullet }$ et ${F_{2,ind_{n},ind}^{\bullet }}$ sont de longueur $1$, donc:
%\begin{center}
%$\sum_{n}ch({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{n}V,Dec^{n}Triv^{\bullet},F_{1,ind_{n}}^{\bullet },{F_{2,ind_{}n}^{\bullet }},Triv^{\bullet }))=\sum_{n}\sum_{p+q=-n}ch({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V_{n}^{p,q},Dec^{n}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))=\sum_{n}\sum_{p+q=-n}\,dim_kV_{n}^{p,q}\,ch({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{n}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Triv^{\bullet }))$
%\end{center}
%Prouvons la deuxi�me assertion:\\
%Nous allons prouver l'assertion plus g�n�rale:
%$$ch({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(k,Dec^{p}Triv^{\bullet },Dec^{q}Triv^{\bullet },Dec^{r}Triv^{\bullet }))=...$$
%pour $p,q,r \in {\bf Z}$. 


\end{preuve}
Reste � d�terminer $ \text{ch}(\mathcal F)$. L'id�e pour le faire est de voir que $\mathcal F $ ne d�pend pas de la filtration $F_{0}^{\bullet }$. En effet le support de $\mathcal F $ est dans l'�clat� de la carte affine $U_{0}$ et $\calf $ peut \^etre d�termin� par les restrictions des faisceaux  ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ et ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ � l'�clat� de cet ouvert affine. Or ces restrictions sont construites � partir uniquement des filtrations $F^{\bullet }_{1}$, $F^{\bullet }_{2}$ et $Triv^{\bullet }$ et ne d�pendent pas de la filtration $F_{0}^{\bullet }$. Donc on peut �crire une suite exacte courte :
 $$0 \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \rightarrow {\mathcal F} \rightarrow 0$$ 
pour n'importe quelle filtration exhaustive d�croissante $F^{\bullet }$ de $V$ avec le m\^eme faisceau $\calf$. Ainsi, on va choisir une filtration $F^{\bullet }$ telle que $ \text{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }))$ soit facilement calculable. Pour cela il faut qu'il y ait un scindement commun de $V$ par les trois filtrations $F^{\bullet }$, $F_{1}^{\bullet }$ et $F_{2}^{\bullet }$ ce qui est toujours le cas lorsqu'il n'y a que deux filtrations, comme dans le cas o� $F^{\bullet }=F_{1}^{\bullet }$ ou $F^{\bullet }=F_{2}^{\bullet }$ par exemple.\\


\begin{proposition}
Le caract�re de Chern de $\calf$ est $ \emph{ch}(\calf)=\frac{1}{2}(p+q)^{2}{\tilde w}^{4}$.\\
\end{proposition}

\begin{preuve}
  On a le choix sur $F^{\bullet }$ pour effectuer le calcul. Celui-ci est facilit� si l'on prend par exemple $F^{\bullet }=F_{1}^{\bullet }$. 

La suite exacte courte de faisceaux explicit�e plus haut nous donne :

$$ \text{ch}(\calf)= \text{ch}(e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })) -\text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })).$$
D'apr�s la proposition pr�c�dente, en posant ${\delta }_{p,q}= \text{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V$ :

 $  \text{ch}({\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }))= \text{dim}_kV+ \sum_{p,q}{\delta }_{p,q}.(p {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(p^2+2p^{2}+2pq)w)$.\\
D'un isomorphisme $V \cong Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V$ (rappelons qu'il en existe toujours un) et du lemme \ref{isosumfibrees} on tire :
%              \begin {eqnarray*}
%                |v(z)|^2 & \le &
%                        C_1\left( \ep^2 \|\db v\|^2_{L^{\infty}B(z,\ep)} +
%                        \ep^{-2n} \|v\|^2_{L^2(B(z,\ep))}\right)\\
%                 & \le & C_1\left( N
%                ^2\ep^2 \|\db h\
%                h^{N-1}\|^2_{L^\infty(B(z,\ep))} + \ep^{-2n} \|v e^{-
%                \frac{\psi}{2}} 
%              e^{ \frac{\psi}{2} } \|^2_{L^2(B(z,\ep))} \right).\\
%                                \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) & \cong & {\xi}_{{\bf P}^2}(\oplus_{p,q}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V,\oplus_{p,q}Dec^{p}Triv^{\bullet }_{p,q},\oplus_{p,q}{Dec^{p}Triv^{\bullet }}_{p,q},\oplus_{p,q}Dec^{q}Triv^{\bullet }_{p,q})\\
& \cong &  \oplus_{p,q}{\xi}_{{\bf P}^2}(k,Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})^{dim_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V} .
\end{eqnarray*}
Donc, si l'on note $w^{4}$ le g�n�rateur de $H^{4}({{\bf P}^2},{\bf Z})$ tel que $e^{*}(w^{4})={\tilde w}^{4}$ :\\
${}$\\
$ \text{ch}(e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }))$
\begin{eqnarray*}
&=&e^{*} \text{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{1}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }))\\
&=&e^{*} \text{ch}(\oplus_{p,q}{\xi}_{{\bf P}^2}(k,Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})^{ \text{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V})\\
&=&e^{*}( \text{dim}_kV+\sum_{p,q}{\delta}_{p,q}(p {\eta}_{{ D}_{0}}+ p{\eta}_{{ D}_{1}}+q{\eta}_{{ D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(p^2+p^{2}+q^{2}+2(p^{2}+pq+pq))w^{4})\\
&=& \text{dim}_kV+\sum_{p,q}{\delta}_{p,q}(p {\eta}_{{\tilde D}_{0}}+ p{\eta}_{{\tilde D}_{1}}+q{\eta}_{{\tilde D}_{2}}+{\frac{1}{2}}(p^{2}+p^{2}+q^{2}+2(p^{2}+pq+pq)){\tilde w}^{4}).
\end{eqnarray*}
D'apr�s la formule : $ \text{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(k,Dec^{r}Triv^{\bullet},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})=1+r \eta_{D_{0}}+p\eta_{D_{1}}+q\eta_{D_{2}}$

\hspace{6.5cm} $+{\frac{1}{2}} (r^{2}+p^{2}+q^{2}+2(rp+rq+pq))w^{4}$).\\
\\
Ainsi :
$$ \text{ch}(\calf)=\frac{1}{2}\sum_{p,q}{\delta}_{p,q}(p+q)^{2}{\tilde w}^{4}.$$


\end{preuve}
Finalement, le caract�re de Chern du fibr� ${\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ est donn�e par :\\
\begin{proposition}\label{cherncaracter}%\hspace{1cm}
$ \emph{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })=\emph{dim}_kV$
\begin{eqnarray*}
\hspace{2cm}&+&\sum_{p,q,r}\Bigl[(\emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V).\Bigl((r+p+q){w}^{2}+{\frac{1}{2}}(r^2+2rp+2rq){ w}^{4}\Bigr)\Bigr]\\
\hspace{2cm}&+&\sum_{p,q}\Bigr[(\emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V).({\frac{1}{2}}(p+q)^{2}{ w}^{4})\Bigr]
\end{eqnarray*}
\end{proposition}

\begin{preuve}
C'est une cons�quence directe du calcul de $ \text{ch}(\calf)$ et de $ \text{ch}\,{\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F^{\bullet }_{1},F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet })$.
\end{preuve}
%\textit{Remarque :}
%stabilite des fibre obtenus en fonction des classes de Chern et du rang d'apr�s Drezet et Le Potier cite?
Nous allons effectuer ce calcul dans le cas qui nous int�ressera par la suite c'est � dire celui o� les trois filtrations sont oppos�es. Soit $V$ un espace vectoriel muni de trois filtrations $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ exhaustives,finies et d�croissantes. On rappelle que ces filtrations sont dites oppos�es si $Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{n}=0$ pour $p+q+n \neq 0$. On note $\calc_{3filtr,opp}$ la cat�gorie des espaces vectoriels munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es munie des morphismes compatibles aux filtrations.\\ 

%\textit{Remarque :}
%Si trois filtrations sur $V$ sont scind�es alors elles sont oppos�es. En effet ...???\\                    
\begin{corollaire}
\label{filtrscin}
Soit $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \in \calc_{3filtr,opp}$ alors :\\
$\,$\\
\hspace{1cm} $ \emph{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })= \emph{dim}_kV$

\hspace{3cm} $+{\frac{1}{2}}\sum_{p,q}\Bigl[ \emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V- \emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{-p-q}V \Bigr].(p+q)^{2}.w^{4}$.\\
\end{corollaire}

\begin{preuve}
On applique la formule de la proposition pr�c�dente. Tous les coefficients sont nuls si $p+q+n \neq 0$.  
\end{preuve}
${}$\\
{\bf Remarque :} Lorsque $(F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$ sont trois filtrations oppos�es sur $V$, on a :

$$\text{c}_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) )=-\text{ch}_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) )=0.$$
 

\subsection{Suites exactes de faisceaux associ\'ees aux suites exactes d'espaces trifiltr\'es}

Consid�rons une suite exacte courte dans la cat�gorie ab�lienne des espaces vectoriels munis de trois filtrations oppos�es $\calc_{3filtr,opp}$ :

$$  0 \rightarrow (V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')  \rightarrow (V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})  \rightarrow (V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')  \rightarrow 0$$
et son image par la construction des modules de Rees associ�s :
$$  0 \rightarrow R^{3}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')  \rightarrow R^{3}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})  \rightarrow R^{3}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')  \rightarrow 0 $$
ou de fa�on �quivalente son image par le foncteur qui � tout $k[u,v,w]$-module gradu� fini associe un faisceau coh�rent sur ${\bf P}^2$ : 
$$  0 \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')  \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})  \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')  \rightarrow 0 $$
que nous noterons pour simplifier :
$$ 0 \rightarrow \xi '\rightarrow \xi \rightarrow \xi '' \rightarrow 0 .$$
Cette suite n'est pas exacte en g�n�ral, mais on a seulement la suite exacte :
$$ 0 \rightarrow \xi'\rightarrow \xi \rightarrow \xi''.$$
Notons $(\xi/\xi')^{faisc}$ le quotient faisceautique des fibr�s $\xi $ et $\xi'$ qui s'inscrit dans la suite exacte courte $ 0 \rightarrow \xi '\rightarrow \xi \rightarrow \xi/\xi' \rightarrow 0 $. D'apr�s l'�tude de la section \ref{sectionreflexif} p.\pageref{sectionreflexif} sur les suite exactes de faisceaux r�flexifs (i.e. de fibr�s car on est sur une surface), on a le diagramme commutatif dans lequel toutes les suites sont exactes 
$$
\xymatrix{
{}&{}&{} & 0 \ar[d]\\
0 \ar[r] & \xi' \ar[r] &  \xi  \ar[r] \ar[rd] &  (\xi/\xi')^{faisc} \ar[d] \ar[r]  & 0\\
{} & {  }   & {}  &   \xi''\ar[d]\\
{} & {} &   {}    &  \cals \ar[d] \\
{}  &  {}  &  {}  &  0
}
$$
  


Les caract�ristiques de Chern des fibr�s de Rees associ�s aux espaces vectoriels trifiltr�s qui forment la suite exacte verifient ainsi l'�galit�

$$\text{ch}( \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')) + \text{ch} (\xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}''))= \text{ch} (\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})) + \text{ch}(\cals) .$$

\begin{proposition} Si $(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}) $, $(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')$ et $(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}''))$ sont des �l�ments de $\calc_{3filtr,opp}$, alors    $$\emph{ch}_{2}( \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}'))+\emph{ch}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')) \leq \emph{ch}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})).$$
\end{proposition}
La preuve de cette proposition se d�duit de l'�tude du signe de $\text{ch}_{2}(\cals)$ faite dans le lemme ci-dessous.\\

\begin{lemme}
$$\emph{ch}_{2}(\cals) \geq 0.$$
 \end{lemme}

\begin{preuve}(du lemme) Il faut prouver que si $\calf$ est un faisceau coh�rent sans torsion et si $\cals$ est le conoyau du morphisme canonique $\nu : \calf \rightarrow \calf^{**}$ (qui est injectif car $\calf$ est sans torsion), alors $\text{ch}_{2}(\cals) \leq 0$, ou de fa�on �quivalente, puisque $\text{ch}_{1}(\cals)=0$, $\text{c}_{2}(\cals)\leq 0$. 

\end{preuve}

La suite 
$$  0 \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')  \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})  \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')  \rightarrow 0 $$
est en fait exacte dans la cat�gorie des fibr�s vectoriels dans le sens o� $\xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')$ est le conoyau de $ \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}')  \rightarrow \xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})$ dans la cat�gorie des fibr�s vectoriels obtenu en prenant le bidual du conoyau faisceautique $((\xi/\xi')^{faisc})^{**}$, comme on l'a vu dans la d�monstration du th�or�me \ref{muab} p.\pageref{muab}.\\ 
${}$\\
{\bf Remarque :} D'apr�s la remarque qui suit le corollaire \ref{filtrscin} p.\pageref{filtrscin}, comme le $\text{ch}_1$ de chacun des fibr�s est nul parce que les filtrations sont oppos�es, la proposition peut s'�crire
 $$\emph{c}_{2}( \xi_{{\bf P}^2}(V',F_{0}^{\bullet }{}',F_{1}^{\bullet }{}',F_{2}^{\bullet }{}'))+\emph{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V'',F_{0}^{\bullet }{}'',F_{1}^{\bullet }{}'',F_{2}^{\bullet }{}'')) \leq \emph{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})).$$

\begin{corollaire}
Soit $(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}) \in \calc_{3filtr,opp}$. Alors
$$\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})) \geq 0.$$
\end{corollaire}

\begin{preuve} ``Coupons'' $V$ par l'une de ses trois filtrations, $F^{\bullet}_{0}$ par exemple de fa�on � avoir une suite exacte dans $\calc_{3filtr,opp}$ de la forme 
$$ 0 \rightarrow (F^{p}_{0}V,F_{0}^{\bullet }{}_{inj},F_{1}^{\bullet }{}_{inj},F_{2}^{\bullet }{}_{inj}) \rightarrow (V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}) \rightarrow (V/F^{p}_{0}V,F_{0}^{\bullet }{}_{ind},F_{1}^{\bullet }{}_{ind},F_{2}^{\bullet }{}_{ind}) \rightarrow 0.$$
D'apr�s la proposition pr�c�dente, on a l'in�galit� 
$$\text{c}_{2}( \xi_{{\bf P}^2}(F^{p}_{0}V,F_{0}^{\bullet }{}_{inj},F_{1}^{\bullet }{}_{inj},F_{2}^{\bullet }{}_{inj}))+\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V/F^{p}_{0}V,F_{0}^{\bullet }{}_{ind},F_{1}^{\bullet }{}_{ind},F_{2}^{\bullet }{}_{ind})) \leq \text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}).$$
On peut � nouveau minorer les deux termes de gauche en coupant les deux filtrations obtenus � partir de la premi�re. Comme cette filtration est exhaustive en coupant un nombre fini de fois, on peut arriver � ce que les filtrations soit de longueur $1$ i.e. triviales. La filtration triviale se scinde �videmment simultan�ement avec les deux autres filtrations, les fibr�s obtenus sont donc tous triviaux, donc de deuxi�me classe de Chern nulle. D'o� l'in�galit�.
\end{preuve}
${}$\\
{\bf Exemple :} Donnons un exemple sur un espace vectoriel $V=<e,f>$ sur $k$ de dimension $2$. On d�finit les filtrations (d�croissantes et exhaustives) par\\
\hspace{0.5cm}${\bullet}$ $F^{-2}_{0}=V$, $F^{-1}_{0}=F^{0}_{0}=<e>$ et $F^{1}_{0}=\{ 0\}$.\\
\hspace{0.5cm}${\bullet}$ $F^{0}_{1}=V$, $F^{1}_{1}=<f+\lambda. e>$ et $F^{2}_{1}=\{ 0\}$ o� $\lambda \in k$.\\
\hspace{0.5cm}${\bullet}$ $F^{0}_{2}=V$, $F^{1}_{2}=<f+\kappa. e>$ et $F^{2}_{2}=\{ 0\}$ o� $\kappa \in k$.\\
On v�rifie alors que ces trois filtrations sont oppos�es sur $V$ et que\\ 
\hspace{0.5cm} $\bullet$ $\text{dim}_{k}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{-p-q}V=\left \lbrace \begin{array}{l}
1 \text{ si } p=q=1 \\
1 \text{ si } p=q=0 \\
0 \text{ sinon ,}
\end{array} \right.$\\
si $\lambda=\kappa$,\\
\hspace{0.5cm}$\bullet$ $\text{dim}_{k}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V=\left \lbrace \begin{array}{l}
1 \text{ si } p=q=1 \\
1 \text{ si } p=q=0 \\
0 \text{ sinon ,}
\end{array} \right.$\\
et si $\lambda \neq \kappa$,\\
\hspace{0.5cm}$\bullet$ $\text{dim}_{k}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V=\left \lbrace \begin{array}{l}
1 \text{ si } p=0, q=1 \\
1 \text{ si } p=1, q=0 \\
0 \text{ sinon .}
\end{array} \right.$\\
D'o� le calcul de la deuxi�me classe de Chern\\
$$\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}))=\left|\begin{array}{l}
0 \text{ si } \lambda=\kappa\\
1 \text{ si } \lambda \neq \kappa.
\end{array}\right.
$$ 
On observe que sur l'espace des configurations des filtrations de cet exemple, $k^2$ (le choix de $(\lambda,\kappa) \in k^2$), la classe de Chern du fibr� est g�n�riquement $1$ et qu'elle est z�ro lorsque qu'on peut scinder simultan�ement les filtrations, i.e. sur la strate ferm�e d'�quation $\lambda=\kappa$.    
%{\frac{1}{2}}\sum_{p,q}\Bigl[ \emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V- \emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{-p-q}V \Bigr].(p+q)^{2}.w^{4}$.\\

\subsection{${\bf P}^1$-semistabilit� et $\mu$-semistabilit\'e}

La donn\'ee ``filtrations oppos\'ees'' pour les espaces vectoriels trifiltr\'es se traduit pour les fibr\'es de Rees par une condition de semistabilit\'e que nous allons expliciter dans cette section. Rappelons que la propri�t� que les trois filtrations de l'espace vectoriel $V$, $F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{}$ et $F_{2}^{\bullet }{}$ soient oppos�es est �quivalente au fait que pour tout $n \in {\bf Z}$, $F_{1}^{\bullet }{}$ et $F_{2}^{\bullet }{}$ induisent des filtrations $n$-oppos�es sur $Gr_{F^{\bullet }_{0}}^{-n}$. La condition de semistabilit� des fibr�s de Rees associ�e aux filtrations oppos�es est une semistabilit� de la restriction du fibr� au diviseur qui correspond � la filtration $F^{\bullet }_{0}$, droite que nous noterons ${\bf P}^{1}_{0}$. Notons $j$ le morphisme
$$j : {\bf P}^{1}_{0} \hookrightarrow {\bf P}^{2}.$$

\begin{definition}
Un fibr� $\calf$ sur ${\bf P}^2$ est dit ${\bf P}^{1}_{0}$-semistable si pour tout sous-faisceau coh�rent $\cale$ sur ${\bf P}^{1}_{0}$ tel que $\cale \subset j^{*}\calf$ on a 
$$\mu(\cale) \leq \mu(j^{*}\calf).$$
\end{definition}    
Comme $j^{*}$ induit un isomorphisme de $H^{2}({\bf P}^{2},{\bf Z})$ vers $H^{2}({\bf P}^{1}_{0},{\bf Z})$ on a pour tout faisceau coh�rent $\calf$ sur ${\bf P}^2$, $\text{c}_{1}(j^{*}\calf)=j^{*}\text{c}_{1}(\calf)$ et donc, 
$$ {\bf P}^{1}_{0}\text{-semistable } \Rightarrow \mu\text{-semistable }.$$

Rappelons (cf \cite{gro1}) que tout fibr� $\calf$ sur ${\bf P}^1$ se d�compose de mani�re unique � l'ordre des termes pr�s en somme de fibr�s en droite $\calf \cong \oplus_{i}\,\calo_{{\bf P}^1}(a_{i})^{p_{i}}$. Un tel fibr� est donc semistable seulement si tous les poids $a_{i}$ de la d\'ecomposition sont les m�mes.

\begin{proposition}\label{p1sstable}
 Les fibr�s de Rees associ�s � des filtrations oppos�es sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables.
\end{proposition}     
 
\begin{preuve}
Soit $\calf=\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}))$ un tel fibr�. Il suffit de montrer que $\calf \cong \calo_{{\bf P}^1}(a)^{\text{rang}\calf}$. Ce qui est imm�diat par la proposition \ref{resfibree} car la restriction est alors isomorphe � un fibr\'e de Rees sur ${\bf P}^1$ qui est trivial donc semistable puisque $F_{1}^{\bullet }{}$ et $F_{2}^{\bullet }{}$ induisent des filtration $r$-oppos\'ees sur $Gr_{F^{\bullet }_{0}}^{r}$.
\end{preuve}

On en d�duit, d'apr�s la relation d'ordre entre semistabilit�s donn�e au dessus, les fibr�s de Rees associ�s � des filtrations oppos�es sont $\mu$-semistable.

On peut aussi d�montrer directement la $\mu$-semistabilit� des fibr�s de Rees associ�s � des filtrations oppos�es directement sans passer par la proposition pr�c�dente qui utilise la proposition \ref{resfibree}.

 Rappelons que sur toute vari\'et\'e lisse projective $X$, si $\calf$ est un faisceau coh\'erent de pure dimension $\text{dim}_{k}(X)$ alors il existe un sous-faisceau coh\'erent de $\calf$, $\cale_{max}$ tel que pour tout sous-faisceau coh\'erent $\cale$ de $\calf$, $\mu(\cale)\leq \mu(\cale_{max})$ et en cas d'\'egalit\'e $\cale \subset \cale_{max}$. Le faisceau $\cale_{max}$ est appel\'e le sous-faisceau d\'estabilisant maximal de $\calf$.


\begin{proposition}\label{semistab}
Les fibr\'es de Rees associ\'es aux espaces vectoriels trifiltr\'es dont les filtrations sont oppos\'ees sont $\mu$-semistables de degr\'e $0$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
Soit $\calf=\xi_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}))$ le fibr\'e de Rees associ\'e \`a l'espace vectoriel muni de trois filtrations oppos\'ees $(V,F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{}))$. Par le calcul du caract\`ere de Chern fait au dessus, nous savons que $\calf$ est de degr\'e $0$.

Pour montrer que $\calf$ est $\mu$-semistable nous allons proc\'eder en deux \'etapes. D'abord nous allons d\'emontrer qu'il est $\mu$-semistable dans la cat\'egorie des ${\bf T}$-faisceaux \'equivariants i.e. que tout sous-faisceau ${\bf T}$-\'equivariant a un degr\'e inferieur \`a z\'ero. Nous montrerons ensuite que le faisceau d\'estabilisant peut \^etre muni d'une action de ${\bf T}$ ce qui permettra de conclure.

Soit $\cale$ un sous-faisceau coh\'erent ${\bf T}$-\'equivariant de $\calf$. Alors la d\'ecomposition suivant les caract\`eres de l'action du tore sur $\cale$ est incluse dans la d\'ecomposition pour $\calf$, ce qui prouve que les filtrations associ\'ees \`a cette action sur $\cale$ sont oppos\'ees, et donc que le degr\'e de $\cale$ est $0$.

Soit $\cale_{max}$ le sous-faisceau d\'estabilisant maximal de $\calf$. Montrons qu'il peut-\^etre muni d'une structure de ${\bf T}$-faisceau telle que le morphisme
$$\xymatrix{0 \ar[r]&\cale_{max}\ar[r]&\calf}$$
soit un ${\bf T}$-morphisme. Consid\'erons pour tout $t \in {\bf T}$ le morphisme
$$\xymatrix{f_{t},g_{t}:\{ t \} \times {{\bf P}^2} \ar[r]^-{i} & {\bf T} \times {{\bf P}^2} \ar[r]^-{p_{2},\sigma} & {{\bf P}^2}},
$$
o\`u pour $f$, la deuxi\`eme fl\`eche est $p_2$ et pour $g$, elle est $\sigma$. Alors pour tout $t$, $f_{t}^{*}\cale_{max}$ est le sous-faisceau d\'estabilisant maximal de $f_{t}^{*}\calf$ ($p_{2}$ correspond \`a l'action triviale). De m\^eme comme d'apr\`es \cite{huyleh}, lemme $1.3.5$, le sous-faisceau d\'estabilisant maximal est unique, donc $g_{t}^{*}\cale_{max}$ est le sous-faisceau d\'estabilisant maximal de $g_{t}^{*}\calf$. Or $\calf $ est un ${\bf T}$-faisceau donc si $\Psi$ est l'isomorphisme sur ${\bf T}\times {\bf P}^2$ entre l'image r\'eciproque par le morphisme de l'action et l'image r\'eciproque par le morphisme de projection, il vient,
$$
\xymatrix{
\Psi_{t}:  g_{t}^{*}\calf \ar[r] &f_{t}^{*}\calf
}.$$
Ce qui permet d'exhiber pour tout $t \in {\bf T}$, par unicit\'e du sous-faisceau d\'estabilisant maximal, l'isomorphisme
$$
\xymatrix{
\Psi_{t}\vert_{g_{t}^{*}\cale_{max}}:  g_{t}^{*}\cale_{max} \ar[r] &f_{t}^{*}\cale_{max}
}.$$
$\cale_{max}$ est donc un ${\bf T}$-faisceau.














Tout sous-faisceau $\cale $ de $\calf$ v\'erifie $\mu(\cale)\leq \mu(\cale_{max})=0$ ce qui permet de conclure.






  
\end{preuve}
${}$\\
{\bf Remarque :} L'action du tore l'ensemble des classes d'isomorphismes de faisceaux coh\'erents sans torsion fixe par unicit\'e la classe d'isomorphisme du sous-faisceau d\'estabilisant maximal. Pour montrer que le faisceau est muni d'une action on utilise le fait que $H^{2}({\bf T },\text{Aut}, d'apr�s (\cale_{max}))=0$(\cite{demgab}).










\subsection{Dictionnaire : Espaces vectoriels filtr�s-Fibr�s vectoriels }

Dans cette section nous rassemblons et compl�tons les r�sultats des sections pr�c�dentes afin d'�crire un dictionnaire entre les espaces vectoriels $n$-filtr�s et les fibr�s vectoriels. Nous avons d�j� �tabli � travers les propositions \ref{inverse1} p.\pageref{inverse1} et \ref{inverse2} p.\pageref{inverse2} des �quivalences de cat�gories entre les cat�gories des espaces vectoriels filtr�s ou bifiltr�s munies des morphismes strictement compatibles aux filtrations et les cat�gories des fibr�s ${\bf G}_m$ ou $ {\bf G}_{m}^2$-�quivariants munies des morphismes de fibr�s vectoriels dont les conoyaux sont sans torsion. 

Nous voulons �tablir ce type d'�quivalence entre \index{espaces} vectoriels trifiltr�s et fibr�s vectoriels sur ${\bf P}^2$. Rappelons que l'on note :\\
\hspace*{0.5cm}$\bullet$ $\calc_{nfiltr}$ la cat�gorie des espaces vectoriels munis de $n$-filtrations exhaustives et d�croissantes et dont les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations.\\
\hspace*{0.5cm}$\bullet$ $\calc_{nfiltr,scind}$ la sous-cat�gorie pleine de $\calc_{nfiltr}$ dont les objets sont les espaces vectoriels $n$-filtr�s dont les filtrations sont simultan�ement scind�es.\\
\hspace*{0.5cm}$\bullet$ $\calc_{3filtr,opp}$ la sous-cat�gorie pleine de $\calc_{3filtr}$ dont les objets sont les espaces vectoriels trifiltr�s dont les filtrations sont oppos�es.\\
\hspace*{0.5cm}$\bullet$ $\calc_{3filtr,opp,scind}$ la sous-cat�gorie pleine de $\calc_{3filtr,opp}$ dont les objets sont les espaces vectoriels trifiltr�s dont les filtrations oppos�es sont simultan�ement scind�es.\\

On rappelle que ${\bf T}={\bf G}_{m}^{3}/\Delta({\bf G}_{m}^{3})$ est le tore quotient� par la diagonale. ${\bf P}^{2}=\text{Proj}[u_{0},u_{1},u_{2}]$ est fix\'e et on note ${\bf P}^{1}_{0}$ le diviseur qui correspond � $\text{Proj}[u_{1},u_{2}]$. $P$ est le point $(1:0:0)$.

\begin{theoreme}\label{th2}La construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ associ� � un espace vectoriel trifiltr� �tablit des �quivalences de cat�gories entre :\\
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes et exhaustives et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action h�rit�e de l'action par translation sur ${\bf A}^{3} \backslash \{(0,0,0)\}$ de ${{\bf G}_m}^3$ dont la diagonale agit trivialement et des morphismes �quivariants de fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont en codimension $2$, support�es aux points $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$, ${\calf ib}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et simultan�ement scind�es et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,scind}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels sommes de fibr�s en droite sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action h�rit�e de l'action par translation sur ${\bf A}^{3} \backslash \{(0,0,0)\}$ de ${{\bf G}_m}^3$ dont la diagonale agit trivialement et des morphismes �quivariants de fibr�s, ${\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr,scind} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,opp}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels semistables de pente $0$ sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action h�rit�e de l'action par translation sur ${\bf A}^{3} \backslash \{(0,0,0)\}$ de ${{\bf G}_m}^3$ dont la diagonale agit trivialement et des morphismes �quivariants de fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont en codimension $2$, support�es au point $P=(1:0:0)$, ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr,opp} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

\end{theoreme}  

\begin{preuve}
\hspace*{0.1cm}$\bullet$ Montrons la premi�re �quivalence. Pour v�rifier que les foncteurs $\Phi_{R}$ et $\Phi_{I}$ �tablissent une �quivalence de cat�gorie, commen�ons par prouver que $\Psi_{R}$ est essentiellement surjective. Soit $\xi$ un �l�ment de ${\calf ib}_{}({\bf P}^{2}/{\bf T})$. Les restrictions de $\xi$ aux ouverts affines standards $\calu_{k}=\{ (u_{0},u_{1},u_{2}) \in {\bf P}^{2} \vert u_{k}\neq 0 \}$ pour tout $k \in \{0,1,2 \}$ sont des fibr�s vectoriels $({\bf G}_{m})^2$-�quivariants, not� $\xi_k$. D'apr�s la proposition \ref{inverse2}, chacun de ces fibr�s $\xi_k$ permet de d�finir un couple de filtrations $(F^{\bullet }_{k},G^{\bullet }_{k})$ sur le m�me espace vectoriel donn� par la fibre en $(1:1:1)$ de $\xi$, $V=\xi_{(1:1:1)}$. Comme l'action sur $\xi_k$ et $\xi_{k'}$ est la m�me sur les restrictions de ces fibr�s � $\calu_{k} \cap \calu_{k'}$ ($\xi_{k}\vert_{\calu_{k'}}=\xi_{k'}\vert_{\calu_{k}}=\xi\vert_{\calu_{k}\cap \calu_{k'}}$), les filtrations donn�es par l'action sur les fibr�s restreints sont les m�mes. Ainsi $G^{\bullet}_{0}=F^{\bullet }_{1}$, $G^{\bullet}_{1}=F^{\bullet }_{2}$ et $G^{\bullet}_{2}=F^{\bullet }_{0}$. $\xi $ est donc isomorphe au fibr� obtenu en recollant par l'action les fibr�s
$({\bf G}_{m})^2$-�quivariants sur les cartes affines obtenus � partir des couples de filtrations, donc par la proposition-d�finition \ref{recolledef} p.\pageref{recolledef}, $\xi \cong \xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet }_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet}_{2})$ comme fibr�s vectoriels sur le plan projectif puis de fa�on directe comme ${\bf T}$-fibr�s �quivariants. D'o� l'essentielle surjectivit� de $\Phi_{R}$.    

V�rifions que l'image d'un morphisme $f$ entre deux objets $(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ et $(W,G^{\bullet}_{0},G^{\bullet }_{1},G^{\bullet }_{2})$ dans $\calc_{3filtr}$ par $\Phi_{R}$ est bien un morphisme dans ${\calf ib}_{}({\bf P}^{2}/{\bf T})$. $\Phi_{R}(f)$ est bien par construction un morphisme ${\bf T} $-�quivariant. Reste � v�rifier que son conoyau est sans torsion. La question est locale, pla�ons-nous sur les ouverts affines standards $\calu_k$ d�crits plus haut, sur $\calu_0$ par exemple. Alors le conoyau de $\Phi_{R}(f)\vert_{\calu_0}$ est sans torsion car ce morphisme de fibr�s vectoriels ${{\bf G}_m}^2$-�quivariants est l'image par le foncteur de Rees sur les espaces bifiltr�s, d�j� not� $\Phi_{R}$, du morphisme strictement compatible aux filtrations induit par $f$ en oubliant la premi�re filtration  $\tilde{f}:(V,F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2}) \rightarrow (W,G^{\bullet }_{1},G^{\bullet }_{2})$ dans $\calc_{2filtr}$. Or la proposition \ref{inverse2} affirme que le conoyau de $\Phi_{R}(\tilde{f})$, isomorphe au conoyau de $\Phi_{R}(f)\vert_{\calu_{0}}$, est sans torsion. 

Reste � voir que le foncteur $\Phi_R$ �tablit une correspondance pleinement fid�le. Soient $(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ et $(W,G^{\bullet}_{0},G^{\bullet }_{1},G^{\bullet }_{2})$ deux objets dans $\calc_{3filtr}$. Soient $f,f'$ deux �l�ments de \begin{center}$\text{Hom}_{\calc_{3filtr}}( (V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2}),(W,G^{\bullet}_{0},G^{\bullet }_{1},G^{\bullet }_{2}))$ tels que $\Phi_{R}(f)=\Phi_{R}(f')$\end{center} dans
\begin{center}
 $\text{Hom}_{{\calf ib}_{}({\bf P}^{2}/{\bf T})}(\Phi_{R}((V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})),\Phi_{R}((W,G^{\bullet}_{0},G^{\bullet }_{1},G^{\bullet }_{2})))$.
\end{center}
En se restreignant aux ouverts affines standards $\calu_{k}$, $\Phi_{R}(f)\vert_{\calu_k}=\Phi_{R}(f')\vert_{\calu_k}$ signifie d'apr�s la proposition \ref{inverse2} que les restrictions de $f$ et $f'$ aux espaces vectoriels bifiltr�s par oubli de la filtration $F^{\bullet }_{k}$ sont �gales, ceci sur les trois ouverts, ce qui signifie que $f$ et $f'$ co�ncident sur chacunes des filtrations, i.e. pour tout $k \in \{0,1,2 \}$ et tout $p \in {\bf Z}$, $f(F_{k}^{p})=f'(F^{p}_{k})$) et donc $f$ et $f'$ sont �gaux, d'o� l'injectivit�. Montrons la surjectivit�. Soit $g \in  \text{Hom}_{{\calf ib}_{}({\bf P}^{2}/{\bf T})}(\xi,\xi'))$. Les restrictions $g_k$ aux ouverts affines $\calu_k$ de $g$ sont des morphismes $({\bf G}_{m})^2$-�quivariants de $({\bf G}_{m})^2$-fibr�s vectoriels sur les ouverts affines dont le conoyau est sans torsion puisque $g$ est sans torsion. Ainsi pour tout $k$, $g_{k} \in \text{Hom}_{{\calf ib}({{\bf A}^2}/({{\bf G}_m})^{2})}(\xi\vert_{\calu_{k}},\xi'\vert_{{\calu}_k})$ a un ant�c�dent $f_{k} \in \text{Hom}_{\calc_{2filtr}}(\Phi_{I}(\xi\vert_{\calu_{k}}),\Phi_{I}(\xi'\vert_{{\calu}_k}))$ par la proposition \ref{inverse2}. Les morphismes d'espaces vectoriels bifiltr�s $f_k$ ont deux � deux une filtration en commun, ce qui permet de d�finir un morphisme d'espace vectoriel trifiltr� $f$ qui co�ncide avec les $f_k$ lorsqu'il est restreint aux espaces bifiltr�s. On  a bien $\Phi_{R}(f)=g$ ce qui permet de conclure. (On aurait pu aussi utiliser la proposition \ref{inverse1} appliqu�e aux fibr�s ${\bf G}_m$-�quivariants sur les intersections deux � deux des ouverts standards $\calu_{k} \cap \calu_{k'}$).

\hspace*{0.1cm}$\bullet$ Deuxi�me �quivalence. L'image par $\Phi_R$ d'un espace vectoriel trifiltr� scind� est clairement un fibr� �quivariant sur le plan projectif somme directe de fibr�s en droite �quivariants.

Soit $\xi \in   {\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T})$. $\xi$ est somme de fibr�s en droite ${\bf T}$-�quivariants $\xi=\oplus_{i \in I}\, \xi_i$. Par l'�quivalence pr�c�dente, il existe un espace vectoriel trifiltr� $(V_{i},F^{\bullet }_{i}{}_{0},F^{\bullet }_{i}{}_{1},F^{\bullet }_{i}{}_{2})$ de dimension $1$ tel que $\xi_{i}\cong \Phi_{R}((V_{i},F^{\bullet }_{i}{}_{0},F^{\bullet }_{i}{}_{1},F^{\bullet }_{i}{}_{2}))$. Posons $( V,F^{\bullet }{}_{0},F^{\bullet }{}_{1},F^{\bullet }{}_{2})=\oplus_{i \in I}\,(V_{i},F^{\bullet }_{i}{}_{0},F^{\bullet }_{i}{}_{1},F^{\bullet }_{i}{}_{2})$. On alors, par le lemme \ref{isosumfibrees} p.\pageref{isosumfibrees} l'isomorphisme de fibr�s �quivariants sur le plan projectif $\xi \cong \oplus_{i \in I} \xi_{i} \cong \oplus_{i \in I}  \Phi_{R}((V_{i},F^{\bullet }_{i}{}_{0},F^{\bullet }_{i}{}_{1},F^{\bullet }_{i}{}_{2})) \cong \Phi_{R}( V,F^{\bullet }{}_{0},F^{\bullet }{}_{1},F^{\bullet }{}_{2})$ qui prouve l'essentielle surjectivit� de $\Phi_R$.

La fid�lit� de $\Psi_{R}$ est imm�diate. En effet, si $f$ et $f'$ sont deux morphismes d'espaces vectoriels trifiltr�s scind�s tels que les morphismes de fibr�s sommes de fibr�s en droites �quivariants $\Phi_{R}(f)$ et $\Phi_{R}(f')$ co�ncident, alors $f$ et $f'$ sont �gaux dans $\calc_{3filtr}$, donc dans $\calc_{3filtr,scind}$. Pour la surjectivit�, on peut remarquer que si $\xi $ et $\xi'$ sont des �l�ments de $ {\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T})$, alors, comme $\xi =\oplus_{i \in I}\, \xi_{i}$ et $\xi' =\oplus_{j \in J}\, \xi_{j}'$, on a \begin{center}$\text{Hom}_{ {\calf ib}_{scind}}({\bf P}^{2}/{\bf T})( \xi, \xi')= \oplus_{(i,j) \in I \times J}\text{Hom}_{ {\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T})}( \xi_{i}, \xi_{j}').$ \end{center} Soit $g$ un morphisme dont on veut trouver un ant�c�dent. $g$ se d�compose par blocs en $g^{ij}$. Par la premi�re �quivalence de cat�gories exhib�e au dessus, chacun des termes $g^{ij}$ de cette d�composition admet un ant�c�dent par $\Phi_{R}$, que nous notons $f^{ij}$. Le morphisme d'espaces vectoriels trifiltr�s scind�s obtenu par la famille des $f^{ij}$ a clairement $g$ pour image, ce qui montre la surjectivit�. D'o� la pleine fid\'elit�.      
      

\hspace*{0.1cm}$\bullet$ Troisi�me �quivalence. Soit $\xi \in  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$. %\marginpar{Je crois qu'il faut prendre une action tq $F_{1},F_{2}$ filtr positives par rapport $F_{0}$....?????????}

Consid�rons le foncteur $\Phi_R $ de la cat�gorie des filtrations oppos�es $ \calc_{3filtr,opp}$ vers la cat�gorie des fibr�s �quivariants semistables de pente nulle $ {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$. Ce foncteur est bien d\'efinit par la proposition \ref{p1sstable} p.\pageref{p1sstable}, en effet les fibr\'es de Rees associ\'es aux espaces vectoriels munis de trois filtrations oppos\'ees sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables par cette proposition. Ils sont de pente nulle d'apr\`es les calculs effectu\'es dans la section ``calcul explicite du caract\`ere de Chern des fibr\'es de Rees''.  On voit directement par les caract�risations pr�c�dentes que $\Phi_R$ est injectif. La surjectivit� de $\Phi_R$ est �galement imm�diate.    

Reste \`a voir que le foncteur $\Phi_{I}$ a bien pour images des \'el\'ements de $\calc_{3filtr,opp}$. Par la premi\`ere �quivalence de cat\'egories, \`a partir d'un fibr\'e ${\bf T}$-\'equivariant $\xi_{{\bf P}^2}$ on obtient par le foncteur $\Phi_{I}$ un espace vectoriel trifiltr\'e $(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet })$. Montrons que ces filtrations sont oppos\'ees i.e. que $Gr_{F_{1}}^{p}Gr_{F_{2}}^{q}Gr_{F_{0}}^{r}V\neq0$ implique $p+q+r=0$. C'est \'equivalent \`a montrer que $Gr_{F_{1}}^{p}Gr_{F_{2}}^{q}Gr_{F_{0}}^{r}V=0$ pour tout $p+q+r\neq0$ ce que nous allons d\'ecomposer en deux parties, la partie positive (demi-espace strictement positif), $p+q+r>0$, et la partie n\'egative $p+q+r<0$. Supposons qu'il existe un triplet $(p_{0},q_{0},r_{0})$ dans le demi-espace strictement positif tel que l'espace trigradu\'e associ\'e ne soit pas nul. Alors, on a un morphisme injectif d'espaces vectoriels trifiltr\'es 
$$\xymatrix{0 \ar[r]  & (k,Dec^{r_0}Triv^{\bullet},Dec^{p_0}Triv^{\bullet},Dec^{q_0}Triv^{\bullet}) \ar[r] & (V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }).}$$
 Ce morphisme m\`ene \`a un morphisme injectif de ${\bf T}$-fibr\'es sur le plan projectif$$
\xymatrix{
0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}^{(r_{0},p_{0},q_{0})} \ar[r] &  \xi_{{\bf P}^2} }.$$
Or $\mu(\xi_{{\bf P}^2}^{(r_{0},p_{0},q_{0})})=r_{0}+p_{0}+q_{0}>0$ ce qui contredit la $\mu$-semistabilit\'e de $\xi_{{\bf P}^2}$ donc la ${\bf P}^{1}_{0}$-semistabilit� de ce fibr�. Les espaces trigradu\'es correspondants \`a des indices dans le demi-espace strictement positif sont donc nuls.

Revenons \`a la formule du degr\'e du fibr\'e $\xi_{{\bf P}^2}$. On a
$$ \text{c}_{1}({\xi}_{{\bf P}^2})=\sum_{p,q,r}(\emph{dim}_kGr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{r}V).(r+p+q){w}^{2}.$$
Comme pour tout triplet $(r,p,q)$, $p+q+r \leq 0$, la somme est nulle si et seulement si tous les termes sont nuls ce qui permet de conclure. Les filtrations sont bien oppos\'ees.   

\end{preuve}
%\section{Constructions de fibr�s associ�s � un nombre fini de filtrations}
%G�n�ralisons la construction pr�c�dente. Soit $V$ un espace vectoriel muni de $n$ filtrations d�croissantes et exhaustives :$(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },...,F_{n-1}^{\bullet })$ ... \\q
%Justification de la construction des fibr�s...\\
%\\
%Fibr�s sur ${\bf P}^1$ et cohomologie quantique()


%\xymatrix{
%\{ \calc_{3filtr,scind} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\text Bun}_{split}({\bf P}^{2}/({{\bf G}_m}^{3}/\Delta({{\bf G}_m})) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
%}
%.$$
%\hspace*{0.1cm}$\bullet$ La cat�gorie des espaces vectoriels de dimension finie munis de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,opp}$ est �quivalente � la cat�gorie des fibr�s vectoriels semistables de pente $0$ sur le plan projectif ${\bf P}^2$ munis de l'action h�rit�e de l'action par translation sur ${\bf A}^{3} \backslash \{(0,0,0)\}$ de ${{\bf G}_m}^3$ dont la diagonale agit trivialement et des morphismes �quivariants de fibr� dont le conoyau est sans torsion $\text{Bun}_{split}({\bf P}^{2}/({{\bf G}_m}^{3}/\Delta({{\bf G}_m}))$ :
%$$
%\xymatrix{
%\{ \calc_{3filtr,opp} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\text Bun}_{semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/({{\bf G}_m}^{3}/\Delta({{\bf G}_m})) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
%}
%.$$
D�gageons une premi�re cons�quence de ce th�or�me :

\begin{corollaire}\label{geotrifab}
La cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}$ est ab�lienne.
\end{corollaire}

\begin{preuve}
Ce corollaire se d�duit du fait que ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne. Montrons cette affirmation ; on se place dans le contexte du th�or�me \ref{muab} avec $X={\bf P}^2$, les faisceaux r�flexifs sont donc localement libres. Ce dernier th�or�me et son corollaire \ref{gbunab} montrent que ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne. Pour montrer que la sous-cat�gorie\\ ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne il suffit de voir que le noyau et le conoyau d'un morphisme $f:\cale \rightarrow \calf$ dans cette cat�gorie sont aussi dans cette cat�gorie i.e. que le noyau et le conoyau sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables. 

Consid�rons la suite exacte dans ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$
$$0 \rightarrow \calk er \rightarrow \cale \rightarrow \calf \rightarrow \calc oker \rightarrow 0.$$

La restriction au diviseur ${\bf P}^{1}_{0}$ est un foncteur exact car le seul point de torsion est le point $(0:0:1)$. D'o� la suite exacte dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur la doite projective (avec $j:{\bf P}^{1}_{0} \rightarrow {\bf P}^2$)
$$0 \rightarrow j^{*}\calk er \rightarrow j^{*}\cale \rightarrow j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker \rightarrow 0.$$

La semistabilit� de $j^{*}\calk er$ se d�duit directement de la semistabilit� de $j^{*}\cale$. Soit $\calh$ un sous-faisceau coh�rent de $j^{*}\calc oker $ on peut alors �crire les deux suites exactes $0 \rightarrow \calh \rightarrow j^{*}\calc oker \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh \rightarrow 0$ et $0 \rightarrow \calk \rightarrow j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh \rightarrow 0$ o� $\calk $ est le noyau du morphisme canonique $ j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh $. Comme $j^{*}\calc oker$ et $j^{*}\calf$ sont de degr� $0$, $\mu(\calk) \leq 0$ implique $\mu(\calh) \leq 0$ ce qui permet de conclure.    
% Le corollaire \ref{gbunab} montre que ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne ce qui permet de conclure par l'�quivalence de cat�gorie pr�c�dente. 


\end{preuve}





${\bullet}$ D�finissons la cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ dont les objets sont les espaces vectoriels trifiltr�s dont les filtrations sont oppos�es et dont les morphismes sont les morphismes compatibles aux trois filtrations. Cette derni�re cat�gorie est la cat�gorie �tudi�e par Deligne dans \cite{del2}.\\

La condition sur les morphismes est donc plus faible que celle exig�e pour les morphismes de $\calc_{3filtr,opp}^{}$ ; cette derni�re cat�gorie est une sous-cat�gorie de $\calc_{3filtr,opp}^{-}$. Nous allons voir que la condition de stricte compatibilit� est automatiquement v�rifi�e pour les morphismes de $\calc_{3filtr,opp}^{-}$, autrement dit que tout morphisme dans $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ est strictement compatible aux filtrations, c'est � dire $\calc_{3filtr,opp}^{-}=\calc_{3filtr,opp}^{}$, ce qui est le point essentiel du th�or�me de Deligne (\cite{del2}, Th. (1.2.10) p.12), que le th�or�me pr�c�dent nous permet de retrouver de fa�on g�om�trique. 

\begin{corollaire}\label{thdel} Soit $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ la cat�gorie d�finie ci-dessus.\\
\hspace*{1cm}$(i)$ $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ est une cat�gorie ab�lienne.\\
\hspace*{1cm}$(ii)$ Le noyau (resp. conoyau) d'un morphisme $f:V \rightarrow W$ dans $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ est le noyau (resp. conoyau) du morphisme d'espaces vectoriels sous-jacent muni des filtrations induites par celles de $V$ (resp. celles de $W$).\\
\hspace*{1cm}$(iii)$ Tout morphisme $f: V \rightarrow W$  dans $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ est strictement compatible aux trois filtrations des triplets de filtrations ; le morphisme $Gr_{F_{0}^{\bullet }}(f)$ est compatible aux bigraduations de $Gr_{F_{0}^{\bullet }}(V)$ et $Gr_{F_{0}^{\bullet }}(W)$ ; les morphismes $Gr_{F_{1}^{\bullet }}(f)$ et $Gr_{F_{2}^{\bullet }}(f)$ sont strictement compatibles � la filtration induite par $F^{\bullet }_{0}$.\\
\hspace*{1cm}$(iv)$ Les foncteurs oubli des filtrations, $Gr_{F_{0}^{\bullet }}$, $Gr_{F_{1}^{\bullet }}$, $Gr_{F_{2}^{\bullet }}$, et $$Gr_{F_{0}^{\bullet }}Gr_{F_{1}^{\bullet }} \cong  Gr_{F_{1}^{\bullet }}Gr_{F_{0}^{\bullet }} \cong Gr_{F_{2}^{\bullet }}Gr_{F_{1}^{\bullet }}Gr_{F_{0}^{\bullet }} \cong Gr_{F_{2}^{\bullet }}Gr_{F_{0}^{\bullet }} \cong Gr_{F_{0}^{\bullet }}Gr_{F_{2}^{\bullet }}$$ sont exacts de la cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ vers la cat�gorie des $k$-espaces vectoriels.
\end{corollaire}


\begin{preuve}$(iii)$ Commen�ons par d�montrer la premi�re assertion de $(iii)$. Consid�rons le morphisme $f: V \rightarrow W$ dans $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ et $\Phi_{R}(f)$ le morphisme entre fibr�s vectoriels qui lui est associ�. Ce morphisme de fibr�s vectoriels est de rang constant sauf �ventuellement en un nombre fini de points (i.e. un ensemble de codimension $2$). En effet, si ce n'est pas le cas, le conoyau a de la torsion donc a une premi�re classe de Chern strictement positive et donc son noyau aurait une premi�re classe de Chern strictement positive ce qui contredit la $\mu$-semistabilit� et donc la ${\bf P}^{1}_{0}$-semistabilit� de la source du morphisme entre fibr�s vectoriels. On en d�duit en utilisant le proposition $14$ que les morphismes d'objets filtr�s sont strictement compatibles avec les filtrations puisque le lieu singulier du conoyau est inclus dans le lieu $P=(1:0:0)$.
%Le morphisme de fibr�s vectoriels restriction de $f$ au diviseur ${\bf P}^{1}_{0}$ est donc de rang constant, ce qui permet de conclure pour la deuxi�me assertion et la troisi�me assertion.\\
$(i)$ Tous les morphismes dans $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ sont strictement compatibles donc les cat�gories $\calc_{3filtr,opp}^{}$ et $\calc_{3filtr,opp}^{-}$ sont les m�mes ce qui permet de conclure car la cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}^{}$ est ab�lienne par le corollaire pr�c�dent.\\
%$(iv)$  

$(ii)$ Comme $\calc_{3filtr,opp}^{-}=\calc_{3filtr,opp}^{}$, on peut ramener l'assertion � $\calc_{3filtr,opp}^{}$ qui est alors �vidente.

$(iv)$ Ces foncteurs sont par le dictionnnaire les foncteurs fibre en respectivement les points $(1:1:1)$, $(0:1:1)$, $(1:0:1)$, $(1:1:0)$, au diviseur (droite projective) qui correspond � $F^{\bullet}_{1}$ puis � l'image de $(0:0:1)$ sur ce diviseur, au diviseur (droite projective) qui correspond � $F^{\bullet}_{0}$ puis � l'image de $(0:0:1)$ sur ce diviseur, au diviseur (droite projective) qui correspond � $F^{\bullet}_{2}$ puis � l'image de $(0:1:0)$ sur ce diviseur, au diviseur (droite projective) qui correspond � $F^{\bullet}_{0}$ puis � l'image de $(0:1:0)$ sur ce diviseur. Toutes ces restrictions se font sur des sous-ensembles de ${\bf P}^{2}\backslash P$ et donc pr�serve les suites exactes car les morphismes sont de rang constant sur cet ensemble. 



\end{preuve}








%\begin{corollaire}\label{geotrifab}
%La cat�gorie $\calc_{3filtr,opp}$ est ab�lienne.
%\end{corollaire}

%\begin{preuve}
%Ce corollaire se d�duit du fait que ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne. Montrons cette affirmation ; on se place dans le contexte du th�or�me \ref{muab} avec $X={\bf P}^2$, les faisceaux r�flexifs sont donc localement libres. Ce dernier th�or�me et son corollaire \ref{gbunab} montrent que ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne. Pour montrer que la sous-cat�gorie\\ ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne il suffit de voir que le noyau et le conoyau d'un morphisme $f:\cale \rightarrow \calf$ dans cette cat�gorie sont aussi dans cette cat�gorie i.e. que le noyau et le conoyau sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables. 

%Consid�rons la suite exacte dans ${\calf ib}_{\mu-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$
%$$0 \rightarrow \calk er \rightarrow \cale \rightarrow \calf \rightarrow \calc oker \rightarrow 0.$$

%La restriction au diviseur ${\bf P}^{1}_{0}$ est un foncteur exact car le seul point de torsion est le point $(0:0:1)$. D'o� la suite exacte dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents sur la doite projective (avec $j:{\bf P}^{1}_{0} \rightarrow {\bf P}^2$)
%$$0 \rightarrow j^{*}\calk er \rightarrow j^{*}\cale \rightarrow j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker \rightarrow 0.$$

%La semistabilit� de $j^{*}\calk er$ se d�duit directement de la semistabilit� de $j^{*}\cale$. Soit $\calh$ un sous-faisceau coh�rent de $j^{*}\calc oker $ on peut alors �crire les deux suites exactes $0 \rightarrow \calh \rightarrow j^{*}\calc oker \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh \rightarrow 0$ et $0 \rightarrow \calk \rightarrow j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh \rightarrow 0$ o� $\calk $ est le noyau du morphisme canonique $ j^{*}\calf \rightarrow j^{*}\calc oker/\calh $. Comme $j^{*}\calc oker$ et $j^{*}\calf$ sont de degr� $0$, $\mu(\calk) \leq 0$ implique $\mu(\calh) \leq 0$ ce qui permet de conclure.    
% Le corollaire \ref{gbunab} montre que ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne ce qui permet de conclure par l'�quivalence de cat�gorie pr�c�dente. 


%\end{preuve}

\subsection{Structures r�elles}
Dans cette section on se place sur le corps ${\bf C}$.\\
$\,$\\
Supposons que le ${\bf C}$-espace vectoriel $V$ muni de trois filtrations $(F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})$ ait une structure r�elle sous-jacente $V=V_{\bf R} \otimes_{\bf R} {\bf C}$. Il est ainsi muni d'une conjugaison $\tau : V \rightarrow V$. Nous voulons �tendre la comparaison entre espaces vectoriels munis de trois filtrations et fibr�s �quivariants sur ${\bf P}^2$ pour l'action d'un certain groupe $G$ aux cas o� les filtrations sont munies de certaines structures r�elles. Plus pr�cisement lorsque les filtrations $F_{1}^{\bullet }{}$ et $F_{2}^{\bullet }{}$ sont conjugu�es vis-�-vis de la structure r�elle de $V$. Lorsque $V$ est muni d'une structure r�elle, on peut parler de la filtration conjugu�e $\overline {F^{\bullet }_1}$ � une filtration ${F^{\bullet }_1}$. Pour tout $p$, $\overline {F^{p}_1}$ est le sous-espace $\tau({F^{p }_1})$. Si ${F^{\bullet }_1}$ est exhaustive et d�croissante il en est de m�me pour $\overline {F^{\bullet }_1}$. 

Notons $\calc_{3filtr,opp,{\bf R}}$ la cat�gorie dont les objets sont les espaces vectoriels qui ont une structure r�elle sous-jacente et qui sont munis de trois filtrations (ordonn�es) exhaustives d�croissantes et oppos�es $(F_{0}^{\bullet }{},F_{1}^{\bullet }{},F_{2}^{\bullet }{})$ telle que les filtrations $F_{1}^{\bullet }{}$ et $F_{2}^{\bullet }{}$ sont conjugu�es et $F_{0}^{\bullet }$ est d�j� d�finie au niveau de $V_{\bf R}$ c'est � dire que pour tout $p$, $F^{p}_{0}=\overline{F^{p}_{0}}$ ($F^{\bullet}_{0}$ est une filtration de $V_{\bf R}$ et on note de la m�me fa�on, par abus de notation, la filtration induite sur $V=V_{\bf R} \otimes_{\bf R} {\bf C}$) ; les morphismes sont les morphismes de ${\bf C}$-espaces vectoriels strictement compatibles aux filtrations.    

Nous voulons ici compl�ter le dictionnaire de la section pr�c�dente � $\calc_{3filtr,opp,{\bf R}}$. Il faut pour cela traduire la structure r�elle en terme de structure sur le fibr�, i.e. traduire le fait que deux des filtrations sont conjugu�es, en terme de structure des fibr�s sur ${\bf P}^2$ associ�s aux objets de $\calc_{3filtr,opp,{\bf R}}$ qui sont des objets trifiltr�s.  


Consid�rons l'involution antiholomorphe de ${\bf P}^2$ donn�e par 

$$ \tau_{{\bf P}^2} : {{\bf P}^2} \rightarrow {{\bf P}^2},\,\, [u_{0}:u_{1}:u_{2}] \mapsto [{\overline u_{0}}:{\overline u_{2}}:{\overline u_{1}}].$$
Un fibr� $\cale $ sur ${\bf P}^2$ est un $\tau$-fibr� s'il est muni d'une involution antilin�aire $\tau$ qui induit $ \tau_{{\bf P}^2} $ sur la base. Ceci s'explicite de fa�on faisceautique comme on peut le voir dans \cite{sim2} pour les fibr�s sur ${\bf P}^1
$. Consid\'erons le fibr� $\cale$ comme un faisceau localement libre de $\calo_{{\bf P}^2}$-modules, on peut alors d�finir le faisceau $\tau^{*}\cale$ par
$$ \tau^{*}(\cale)(\calu)=\cale( \tau_{{\bf P}^2}(\calu))$$
pour tout ouvert $\calu$ de ${\bf P}^2$.

 Remarquons que cette d�finition a bien un sens car pour tout ouvert de Zariski $\calu$, $\tau_{{\bf P}^2}(\calu)$ est aussi un ouvert de Zariski. En effet, $\calu={\bf P}^{2}-\{[u_{0}:u_{1}:u_{2}] \vert P_{i}(u_{0},u_{1},u_{2})=0\,\, \text{pour tout}\,\,i \in I \} $ o� $I$ est un ensemble fini qui indexe des polyn�mes homog�nes $P_{i}(u_{0},u_{1},u_{2})$, et donc $\tau_{{\bf P}^2}(\calu)$ est l'ouvert de Zariski compl�mentaire du lieu des z�ros de la famille des polyn�mes ${\overline P}_{i}(u_{0},u_{2},u_{1})$ index�e par $I$.

 $\tau^{*}\cale$ est aussi un $\calo_{{\bf P}^2}$-module localement libre. En effet $\tau^{*}(\cale)(\calu)$ a une structure de $\calo_{{\bf P}^2}(\calu)$-module donn�e par : pour tout $e \in \cale( \tau_{{\bf P}^2}(\calu))$ et $f \in \calo_{{\bf P}^2}(\calu)$ par $f.e={\overline {\tau_{*}(f)}}e$. 

Le foncteur $\tau^*$ qui va de la cat�gorie des faisceaux localement libres sur ${\bf P}^2$ est antilin�aire c'est � dire que l'application induite par $\tau^*$ entre les espaces vectoriels complexes $\text{Hom}(\cale,\cale')$ et $\text{Hom}(\tau^{*}(\cale),\tau^{*}(\cale'))$  est antilin�aire. Il en va ainsi de m�me pour l'application induite en cohomologie $H^{i}(\cale) \rightarrow H^{i}(\tau^{*}(\cale))$. 

Le foncteur $\tau^*$ est une involution. Un $\tau$-fibr�, fibr� muni d'une involution antilin�aire au dessus de $ \tau_{{\bf P}^2}$, peut donc �tre d�fini comme suit :\\
 
\begin{definition}Un $\tau$-fibr� vectoriel sur ${\bf P}^2$ est la donn�e d'un fibr� vectoriel $\cale $ et d'un morphisme $f: \cale \rightarrow \tau^{*}(\cale)$ tel que $\tau^{*}(f) \circ f=\text{id}_{\cale}$.\\
\end{definition}  

Soit ${\bf T}^{\tau}$ le sous-groupe des automorphismes de ${\bf P}^2$ engendr� par $G={{\bf G}_m}^{3}/\Delta({{\bf G}_m})$ et $G.\tau_{{\bf P}^2}$. ${\bf T}^{\tau}$ est engendr� par $G$ et $\tau_{{\bf P}^2}$. Une fibr� vectoriel $\cale $ est un ${\bf T}^{\tau}$-fibr� s'il est � la fois un $G$-faisceau coh�rent et un $\tau$-fibr�.

\begin{lemme}
Le noyau et le conoyau d'un morphisme de ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s sont des ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s.
\end{lemme} 

\begin{preuve}
Le fait que le noyau et conoyau d'un morphisme de $G$-fibr�s soient des $G$-fibr�s a �t� d�montr� dans la section \ref{groupesalg} p.\pageref{groupesalg}. Il reste donc � montrer que l' assertion est vraie pour les $\tau$-fibr�s. 

Soit $h : \cale \rightarrow \calf$ un morphisme de $\tau$-fibr�s. Notons par $\calk er$ et $\calc oker$ le noyau et le conoyau de $h$. Pour tout $\tau$-fibr� $\cale$ vu comme faisceau localement libre, et tout point $P \in {\bf P}^{2}$ on a 
$$(\tau^{*}\cale)_{P}=\lim_{\xymatrix{{} \ar[r]_{ \calu \ni P} & {}}}\tau^{*}\cale(\calu)=\lim_{\xymatrix{{} \ar[r]_{ \calu \ni P} & {}}}\cale({\tau_{{\bf P}^2}}(\calu))=(\cale_{\tau_{{\bf P}^2}})_{P}.$$
Ainsi $\tau^* $ est un foncteur exact.%\footnote{\cite{eis}}. 

Notons par $f_{\cale}$, $f_{\calg}$ les morphismes d�finissant respectivement $\cale $ et $\calg $ comme des $\tau$-fibr�s. L'exactitude du foncteur $\tau^{*}$ donne le diagramme commutatif suivant

$$\xymatrix{ 0 \ar[r]&  \calk \ar[r]^{i} \ar[d]^{f_{\cale } \circ i}&  \cale \ar[r]^{h} \ar[d]^{f_{\cale }} & \calf  \ar[r]^{\pi} \ar[d]^{f_{\calf} }&  \calc oker \ar[r] \ar[d]^{\varphi}& 0\\
 0 \ar[r]&  \tau^{*}(\calk) \ar[r]^{\tau^{*}i} \ar@/^/@{.>}[u]^{\tau^{*}( f_{\cale } \circ i)} &  \tau^{*}(\cale) \ar[r]^{\tau^{*}h}  \ar@/^0.5pc/[u]^{\tau^{*} f_{\cale }} & \tau^{*}(\calf)  \ar[r]^{\tau^{*}\pi} \ar@/^0.5pc/[u]^{\tau^{*} f_{\calf }} &  \tau^{*}(\calc oker) \ar[r] \ar[r] \ar@/^/@{.>}[u]^{\tau^{*} \varphi}& 0}$$
o� $\varphi \circ \pi= \tau^{*}\pi \circ g$. On v�rifie ais�ment que $\tau^{*}( f_{\cale } \circ i) \circ ( f_{\cale } \circ i) = id_{\calk}$. Pour finir \begin{eqnarray*} \tau^{*}\varphi \circ \varphi \circ \pi&  = &\tau^{*} \varphi \circ \tau^{*} \pi \circ g\\
{} & = & \tau^{*} ( \varphi \circ \pi ) \circ g\\
 {} & = & \tau^{*} ( \tau^{*}(\pi ) \circ g ) \circ g \\
{} & = & \pi \circ \tau^{*}g \circ g \\
{} & = & \pi.
\end{eqnarray*}
et donc, $\pi $ �tant surjective, $\tau^{*}\varphi \circ \varphi= id_{\calc oker}$. 

\end{preuve}

Remarquons que $\tau^*$ est aussi une involution antiholomorphe du diviseur ${\bf P}^{1}_{0}$. Notons $\tau_{{\bf P}^1}$ la restriction de $\tau$ � ${\bf P}^{1}_{0}$. La restriction d'un $\tau$-fibr� est un $\tau_{{\bf P}^1}$-fibr� au sens de l'annexe A.

\begin{theoreme}\label{th3}
 La cat�gorie des espaces vectoriels complexes de dimensions finies munis d'une structure r�elle sous-jacente, de trois filtrations d�croissantes, exhaustives et oppos�es telles que deux d'entre elles soient conjugu�es, l'autre d�finie sur la structure r�elle, et des morphismes strictement compatibles aux filtrations $\calc_{3filtr,opp, {\bf R}}$ est �quivalente � la cat�gorie des ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s vectoriels ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}}$-semistables de pente $0$ sur le plan projectif ${\bf P}^2$ et des morphismes de $H$-fibr�s dont les singularit�s du conoyau sont support�es en codimension $2$, par $(0:0:1)$, ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$ :
$$
\xymatrix{
\{ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

\end{theoreme}

\begin{preuve}
  Montrons d'abord qu'avec une telle source et un tel but $\Phi_{R}$ et $\Phi_{I}$ sont bien d�finis. Commen�ons par $\Phi_{R}$. Soit $(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet}_{1},F^{\bullet }_{2})$ un objet de $\calc_{3filtr,opp,{\bf R}}$. On d�finit les fibr�s de Rees suivants : $R^{2}(V,{\overline F}_{0}^{\bullet},{\overline F}_{2}^{\bullet })^{\sim}=R^{2}(V,{F}_{0}^{\bullet},{\overline F}_{2}^{\bullet })^{\sim}$ sur ${\bf A}^{2}=U_{2}=\text{Spec}[u_{0}/u_{2},u_{1}/u_{2}]$,  $R^{2}(V,{\overline F}_{0}^{\bullet},{\overline F}_{2}^{\bullet })^{\sim}=R^{2}(V,{F}_{0}^{\bullet},{\overline F}_{1}^{\bullet })^{\sim}$ sur ${\bf A}^{2}=U_{1}=\text{Spec}[u_{0}/u_{1},u_{2}/u_{1}]$ et $R^{2}(V,{\overline F}_{2}^{\bullet},{\overline F}_{1}^{\bullet })^{\sim}$ sur ${\bf A}^{2}=U_{0}=\text{Spec}[u_{1}/u_{0},u_{2}/u_{0}]$. Le fibr� de Rees obtenu par la construction habituelle est alors $\tau^{*}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet}_{1},F^{\bullet }_{2}))$. Le morphisme $f$ entre $\xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet}_{1},F^{\bullet }_{2})$ et $\tau^{*}(\xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet}_{1},F^{\bullet }_{2}))$ est donn� sur tout affine par le morphisme de modules de Rees $u^{-p}v^{-q}w \mapsto u^{-p}v^{-q}\overline w$. Ainsi $\Phi_{R}$ est bien d�fini. Dans l'autre direction, soit $\xi$ un objet de ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$. Par restriction aux droites affines donn�es par une des coordonn�es �gale � $1$ sur les plans affines standards qui recouvrent le plan projectif on voit que l'action de $\tau$ donne un ismorphisme entre $\xi_{{\bf A}^1}(V_{(1:1:1)},\calf^{\bullet }_{1})$ et $\xi_{{\bf A}^1}(V_{(1:1:1)},{\overline \calf}^{\bullet }_{1})$ et entre $\xi_{{\bf A}^1}(V_{(1:1:1)},\calf^{\bullet }_{1})$ et $\xi_{{\bf A}^1}(V_{(1:1:1)},{\overline \calf}^{\bullet }_{2})$ ce qui permet de conclure par l'�quivalence de cat�gorie entre celle des fibr�s de Rees sur la droite affine et celle des espavecs vectoriels filtr�s. Les correspondances sont donc bien d�finies. 

L'essentielle surjectivit� de $\Phi_{R}$ est claire. $\Phi_{R}$ est bien fid�le : si deux fl�ches de $ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $ $f$ et $f'$ ont m�mes images, elles sont �gales dans $ \calc_{3filtr,opp} $ et donc dans $ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $. La surjectivit� de $\Phi_{R}$ est de m�me �vidente. 

 
\end{preuve}
\begin{corollaire}
$\calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $ est une cat�gorie ab�lienne.

\end{corollaire}

\begin{preuve}
Le lemme pr�c�dent nous dit que la cat�gorie des ${\bf T}^{\tau}$-fibr�s est ab�lienne ce qui associ� au fait que la cat�gorie ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T})$ est ab�lienne nous permet de conclure par l'�quivalence de cat�gorie donn�e dans le th�or�me.
\end{preuve}

\subsection{K-th�orie �quivariante de ${\bf P}^2$ et invariants d'espaces vectoriels filtr�s}

Dans cette section on calcule des invariants discrets des fibr�s de Rees associ�s aux espaces vectoriels trifiltr�s. Ces invariants sont plus fins que le caract�re de Chern qui fait l'objet de la section 1.7, ``Calcul explicite d'un invariant du fibr� de Rees''. Pour ce faire, on calcule la classe des fibr�s $G$-�quivariants sur ${\bf P}^2$ pour l'action standard par translation du tore ${\bf T}$ dans la $K$-th�orie �quivariante de ${\bf P}^2$, ou du moins dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$.

Dans une premi�re partie, on rappelle la d�finition de $K_{0}(X,G)$ pour une $G$-vari�t� $X$, puis on introduit le mat�riel n�cessaire pour donner le ``th�or�me de reconstruction � partir des strates'' de \cite{vevi} qui nous permettra de le d�crire explicitement.  

\subsubsection{D�finition de $K_{*}(X,G)$, reconstruction � partir des strates}
On se place toujours sur un corps $k$ de caract�ristique nulle et alg�briquement clos. Soit $G$ un groupe r�ductif et $X$ une $G$-vari�t�. D'apr�s \ref{gcatab} p.\pageref{gcatab}, la cat�gorie des $G$-fibr�s vectoriels sur $X$ est ab�lienne. On note $K_{0}(X,G)$ la $k$-th�orie de cette  cat�gorie ab�lienne.

$K_{0}(X,G)$ est construit de la fa�on suivante (cf. \cite{hir}) : soit $C(X,G)$ l'ensemble engendr� par les classes d'isomorphismes $[\cale]$ de $G$-fibr�s vectoriels sur $X$. La somme de Whitney $\oplus$ muni $C(X,G)$ d'une structure de semi-groupe. Soit $F(X,G)$ le groupe ab�lien engendr� par $C(X,G)$. Notons $R(X,G)$ le sous-groupe engendr� par les �l�ments de la forme $[\cale]-[\cale']-[\cale'']$ lorsqu'on a la suite exacte courte de $G$-fibr�s
 $0 \rightarrow \cale' \rightarrow \cale \rightarrow \cale'' \rightarrow 0 $. Alors 
$$K_{0}(X,G)=\dfrac{F(X,G)}{R(X,G)}.$$
A partir d'ici on supposera que $G$ est diagonalisable. Pour tout entier positif $s$, notons par $X_{s} \subset X$ le lieu des points o� les stabilisateurs sont de dimension exactement $s$.

Pour tout $s$, on consid�re le fibr� normal � $X_s$ dans $X$, $N_s$. Il est naturellemnt muni d'une action de $G$ pour laquelle les stabilisateurs sont de dimension au plus $s$. Soit $N_{s,s-1}$ le lieu des points o� la dimension du stabilisateur est exactement $s-1$. On a alors un morphisme compos� $\xymatrix{N_{s,s-1} \ar@{^{(}->}[r]^{i}&  N_{s} \ar[r]^{\pi} & X_{s}}$, dont l'image inverse induit un morphisme en $K$-th�orie 
$$ (\pi \circ i)^{*}:K_{*}(X_{s},G) \rightarrow K_{*}(N_{s,s-1},G).$$
Nous d�finirons plus bas (\cite{vevi}, section 3) un morphisme de sp�cialisation par une d�formation du fibr� normal
$$ \text{Sp}^{s-1}_{X,s} :  K_{*}(X_{s-1},G) \rightarrow K_{*}(N_{s,s-1},G).$$
Ces morphismes de sp�cialisation permettent de creconstruire exactement la $K$-th�orie �quivariante de $X$ pour l'action de $G$ � partir de la $K$-th�orie �quivariantes des strates.\\
\begin{theoremese}\cite{vevi} Soit $G$ un groupe diagonalisable de dimension $n$ qui agit sur une vari�t� $X$ s�par�e de type fini sur $k$. Alors les morphismes de restriction $ K_{*}(X,G) \rightarrow K_{*}(X_{s},G)$ induisent un isomorphisme\\
\begin{center}
$ K_{*}(X,G) \cong K_{*}(X_{n},G) \times_{ K_{*}(N_{n,n-1},G)}   K_{*}(X_{n-1},G) \times_{ K_{*}(N_{n-1,n-2},G)}...$
\end{center}
\hspace*{2cm}\begin{center}$...  \times_{ K_{*}(N_{2,1},G)}   K_{*}(X_{1},G) \times_{ K_{*}(N_{1,0},G)}   K_{*}(X_{0},G) .$\\   
\end{center}
${}$\\
\end{theoremese}
En d'autres termes les homomorphismes de restriction $ K_{*}(X,G) \rightarrow K_{*}(X_{s},G)$ induisent un homomorphisme injectif $ K_{*}(X,G) \rightarrow \prod_{s} K_{*}(X_{s},G)$ et un �l�ment $(a_{n},...,a_{0})$ du produit $\prod_{s} K_{*}(X_{s},G)$ est dans l'image de  $K_{*}(X,G)$ si et seulement si l'image inverse de $a_{s} \in  K_{*}(X_{s},G)$ dans  $K_{*}(N_{s,s-1},G)$ co�ncide avec $\text{Sp}^{s-1}_{X,s} (a_{s-1}) \in K_{*}(N_{s,s-1},G)$ pour tout $s \in \{1,...,n\}$.\\
${}$\\
Explicitons les morphismes d'image inverse et de sp�cialisation. Notons d'abord que si $X$ et $Y$ sont des $G$-vari�t�s alg�briques de type fini s�par�es sur $k$ et que si le $G$-morphisme $i : Y \rightarrow X $ est une immersion ferm�e de $Y$ dans $X$ et que le $G$-morphisme $j:X\backslash Y \rightarrow X$ est une immersion ouverte, on a alors une suite exacte de localisation (\cite{thoma}, Th 2.7),
$$\xymatrix{ ... \ar[r]&   K_{n}(Y,G) \ar[r]^{i_{*}} &  K_{n}(X,G) \ar[r]^{j^{*}} &  K_{n}(X\backslash Y,G) \ar[r]^-{\delta} & ...}$$
Soit $s$ un entier positif. Consid�rons l'immersion ferm�e $\xymatrix{ X_{s} \ar@{^{(}->}[r] & X_{\leq s}}$ et $N_{s}$ le fibr� normal qui s'en d�duit. Consid�rons, suivant \cite{ful}, la d�formation du fibr� normal $\pi : M_{s} \rightarrow {\bf P}^1$. Alors le morphisme $\pi$ est plat et $G$-�quivariant et\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ $\pi^{-1}({\bf A}^{1})=X_{\leq s} \times {\bf A}^{1}$ et,\\ 
\hspace*{1cm}$\bullet$ $\pi^{-1}(\infty)=N_{s}$ .\\
Consid�rons la restriction $\pi^{0}$ de $\pi$ � l'ouvert $M_{s}^{0}=(M_{s})_{<s}$. On a alors\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ $(\pi^{0})^{-1}({\bf A}^{1})=X_{< s} \times {\bf A}^{1}$ et,\\ 
\hspace*{1cm}$\bullet$ $(\pi^{0})^{-1}(\infty)=N_{s}^{0}=(N_{s})_{<s}$ .\\
On peut alors d�finir le morphisme de sp�cialisation par la composition de l'image inverse $ K_{*}(X_{<s},G) \rightarrow K_{*}(X_{<s} \times {\bf A}^{1},G)=K_{*}(M_{s}^{0}\backslash N_{s}^{0}, G)$ et du morphisme de localisation $K_{*}(M_{s}^{0}\backslash N_{s}^{0}, G) \rightarrow K_{*}( N_{s}^{0}, G)$. On obtient alors le morphisme voulu en se restreignant � la strate ferm�e sur laquelle les stabilisateurs ont pour dimension exactement $s-1$, le morphisme voulu est celui qui fait commuter le diagramme
$$
\xymatrix{
K_{*}(X_{s-1},G) \ar@{-->}[r]^{\text{Sp}^{s-1}_{X,s}} \ar[d]^{\text{image inverse}} &   K_{*}(N_{s,s-1},G) \\
K_{*}(X_{s-1}\times {\bf A}^{1},G) \ar@{=}[r] &   K_{*}((M_{s}^{0})_{s-1} \backslash N_{s,s-1},G). \ar[u]^{\text{localisation}}}$$ 
\subsubsection{Calcul explicite de $K_{0}({{\bf P}^2},{\bf T})$ et classes des fibr�s de Rees}

Explicitons � l'aide de la section pr�c�dente $K_{0}({{\bf P}^2},{\bf T})$ o� ${\bf T}$ est le groupe diagonal de dimension $2$, ${{{\bf G}_m}^3}/\Delta({{\bf G}_m})$, qui agit par translation sur $X={{\bf P}^2}$ donn�e dans les sections pr�c�dentes. Donons tout d'abord la d�composition en strates du plan projectif pour cette action :\\
Le lieu o� les stabilisateurs sont de dimension $2$ est\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ $X_{2}=(1:0:0) \coprod (0:1:0) \coprod (0:0:1) =: A_{0} \coprod A_{1} \coprod A_{2}$.\\
Le lieu o� les stabilisateurs sont de dimension $2$ est\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ $X_{1}=\{(0:u_{1}:u_{2}) \vert u_{1}.u_{2}\neq 0 \} \coprod \{(u_{0}:0:u_{2}) \vert u_{0}.u_{2}\neq 0 \} \coprod \{(u_{0}:u_{1}:0) \vert u_{0}.u_{1}\neq 0 \} =: {{\bf G}_m}_{12} \coprod {{\bf G}_m}_{02} \coprod {{\bf G}_m}_{01}$.\\
Le lieu o� les stabilisateurs sont de dimension $0$ est\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ $X_{0}=\{(u_{0}:u_{1}:u_{2}) \vert u_{0}.u_{1}.u_{2}\neq 0 \}=: {{\bf G}_m}^{2}$.\\ 

D'apr�s le th�or�me on a $K_{0}({{\bf P}^2},{\bf T})\cong K_{0}(X_{2},{\bf T})\times_{K_{0}(N_{2,1},{\bf T})} K_{0}(X_{1},{\bf T})\times_{K_{0}(N_{1,0},{\bf T})} K_{0}(X_{0},{\bf T})$. Explicitons chacun des termes de ce produit fibr� it�r�.\\
${ }$\\
$\bullet$ Calcul de $K_{0}(X_{2},{\bf T})$ :

On a $K_{0}(X_{2},{\bf T}) \cong K_{0}(A_{0},{\bf T})\oplus K_{0}(A_{1},{\bf T}) \oplus K_{0}(A_{2},{\bf T})$. Chacun des termes du membre de droite se calcule de la m�me fa�on. Calculons $K_{0}(A_{0},{\bf T})$.

Montrons que l'on a $K_{0}(A_{0},{\bf T})={\bf Z}[u_{0},u_{0}^{-1},v_{0},v_{0}^{-1}]$. Notons par $V_{1,0}$ le fibr� vectoriel en droite sur $A_0$ muni de l'action lin�aire suivant le premier facteur de ${\bf T}$ et triviale suivant le deuxi�me facteur puis sym�triquement par $V_{1,0}$ le fibr� muni de l'action lin�aire suivant le deuxi�me facteur de ${\bf T}$ et lin�aire suivant le premier facteur. Pour tout entier $m \geq 0$ on pose $V_{m,0}=V_{1,0}^{\otimes m}$, de m�me pour tout entier $n \geq 0$, on pose $V_{0,n}=V_{0,n}^{\otimes n}$. On g�n�ralise aux entiers n�gatifs en posant si $m \leq 0$, $V_{m,0}=V_{-m,0}^{*}$, si $n \leq 0$, $V_{0,n}=V_{0,-n}^{*}$. Puis finalement pour tous entiers $m,n$ $V_{m,n}=V_{m,0}\otimes V_{0,n}$. On note toujours par $[\cale]$ la classe d'un fibr� $\cale$ dans le $K_0$. Consid�rons le morphisme

\begin{center}
$\mu :  {\bf Z}[u_{0},u_{0}^{-1},v_{0},v_{0}^{-1}]  \rightarrow  K_{0}(A_{0},{\bf T})$\\
\end{center}
\begin{center} 
$ \sum_{i,j}\,a_{ij}u_{0}^{i}v_{0}^{j}    \mapsto      \sum_{i,j } \,a_{ij} [V_{i,j}]$\\
\end{center}
$\mu$ est clairement injectif. La surjectivit� vient du fait que tout fibr� vectoriel sur le point se d�compose en somme directe sur $(i,j)$ de fibr�s de rang $a_{i,j}$ sommes directes de $V_{i,j}$, i.e. $\cale \cong \oplus_{i,j} \oplus_{r(i,j)} \, V_{i,j}$ o� $r(i,j)$ est le rang du sous-fibr� de $\cale$ sur lequel ${\bf T}$ agit par le caract�re $(i,j)$.

Ainsi 
$$K_{0}(X_{2},{\bf T})={\bf Z}[u_{0},u_{0}^{-1},v_{0},v_{0}^{-1}]  \oplus {\bf Z}[u_{1},u_{1}^{-1},v_{1},v_{1}^{-1}] \oplus {\bf Z}[u_{2},u_{2}^{-1},v_{2},v_{2}^{-1}].$$  
$\bullet$ Calcul de $K_{0}(X_{1},{\bf T})$ :

On a $K_{0}(X_{1},{\bf T}) \cong K_{0}({{\bf G}_m}_{12},G)\oplus K_{0}({{\bf G}_m}_{02},G) \oplus K_{0}({{\bf G}_m}_{01},{\bf T})$. Chacun des termes du membre de droite se calcule de la m�me fa�on. Calculons $K_{0}({{\bf G}_m}_{12},{\bf T})$.

Rappelons pour ce calcul le fait suivant (Morita): soit $H$ un sous-groupe de ${\bf T}$ qui agit sur $X$ ($X$ est une $H$-vari�t�) et soit $X\times_{H} G /H :=(X \times G/H)/H$. Alors, on a l'isomorphisme\\
\begin{center} $K_{0}(X,H)\cong K_{0}( X\times_{H} G /H,G)$.\\
\end{center}
En appliquant Morita � $X=\{*\}$ et $H={\bf G}_m$ (un des deux facteurs de $G={\bf G}_m$), il vient $K_{0}({{\bf G}_m}_{12},{\bf T})=K_{0}(*,{{\bf G}_m})={\bf Z}[u_{12},u_{12}^{-1}]$. D'o�
$$K_{0}(X_{1},{\bf T})={\bf Z}[u_{12},u_{12}^{-1}] \oplus {\bf Z}[u_{02},u_{02}^{-1}] \oplus {\bf Z}[u_{01},u_{01}^{-1}].$$
$\bullet$ Calcul de $K_{0}(X_{0},{\bf T})$ :

Appliquons � nouveau Morita � $X=* $ et $H=e$ l'�l�ment neutre de ${\bf T}$. Il vient
$$K_{0}(X_{0},{\bf T})=K_{0}(*)={\bf Z}.$$ 
 
Nous avons aussi � calculer ces anneaux pour les fibr�s normaux.\\
${}$\\
$\bullet$ Calcul de $K_{0}(N_{2,1},{\bf T})$ :

Rappelons que $N_{2}$ est le fibr� normal sur $X_{2}$ qui vient de l'immersion ferm�e $X_{2} \rightarrow X_{\leq 2}={{\bf P}^2}$. Il a trois composantes connexes $N_{2,i}$, correspondantes aux trois points. Il est donc ici isomorphe (comme ${\bf T}$-vari�t�), en chaque point $A_{i}$ constituant $X_2$, au plan affine restriction du fibr� tangent au plan projectif en chacun de ces trois points, l'action �tant la m�me. Ainsi, pour la restriction du normal �  $A_0$ par exemple, le lieu o� la dimension des stabilisateurs est $1$ est le produit de droites multiplicatives not� ${{\bf G}_m}_{0,01} \times {{\bf G}_m}_{0,02}$. On a donc
$$N_{2,1}={{\bf G}_m}_{0,01} \times {{\bf G}_m}_{0,02} \coprod {{\bf G}_m}_{1,01} \times {{\bf G}_m}_{0,12} \coprod {{\bf G}_m}_{2,02} \times {{\bf G}_m}_{2,12}.$$      
Dont le $K_{0}$ se d�duit des calculs pr�c�dents.
%$$K_{0}(N_{2,1},{\bf T})=...$$ 
%$\bullet$ Calcul de $K_{0}(N_{1,0},{\bf T})$ :

$N_{1}$ est le fibr� normal sur $X_{1}$ qui vient de l'immersion ferm�e $X_{1} \rightarrow X_{\leq 1}={{\bf P}^2}\backslash \{A_{0},A_{1},A_{2}\}$. Il a trois composantes connexes $N_{1,i}$ o� $i \in \{0,1,2\}$, correpondantes aux trois droites multiplicatives. Comme chacune des composantes connexes de $X_{1}$ est dans un ouvert affine du plan projectif, le fibr� normal � chacune des composantes
${{\bf G}_{m}}_{01}$, ${{\bf G}_{m}}_{02}$ et ${{\bf G}_{m}}_{12}$ est ${{\bf G}_{m}}_{01} \times {{\bf A}^1} $, resp. ${{\bf G}_{m}}_{02} \times {{\bf A}^1}$ puis ${{\bf G}_{m}}_{12} \times {{\bf A}^1}$. L'action se d�duisant de celle sur les ouverts affines, il vient, pour $N_{1,0}$
$$N_{1,0}= {{\bf G}_{m}}_{01} \times {{\bf G}_{m}^1} \coprod {{\bf G}_{m}}_{02} \times {{\bf G}_{m}^1} \coprod {{\bf G}_{m}}_{12} \times {{\bf G}_{m}^1}.$$
Dont le $K_{0}$ se d�duit par les calculs pr�c�dents.
%$$K_{0}(N_{1,0},{\bf T})=...$$
%Explicitons les morphismes qui permettent d'exprimer le produit fibr� % \marginpar{� �crire...}

\begin{proposition}\label{ko} Soit $(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ un objet de $\calc_{3filtr}$, alors la classe de $\xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})$ dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$ est donn�e par
$$[\xi_{{\bf P}^2}(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})]_{K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})}=((P_{A_{0}},P_{A_{1}},P_{A_{2}}),(P_{{\bf G}_{m12}},P_{{\bf G}_{m02}},P_{{\bf G}_{m01}}),P_{{\bf G}_{m}^{2}}),$$
o�,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{0}}=\sum_{p,q}\emph{dim}_{k}Gr^{p}_{F^{\bullet}_{0}}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{1}}V\,\,\,u_{0}^{p}v_{0}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{1}}=\sum_{p,q}\emph{dim}_{k}Gr^{p}_{F^{\bullet}_{0}}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{2}}V\,\,\,u_{1}^{p}v_{1}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{2}}=\sum_{p,q}\emph{dim}_{k}Gr^{p}_{F^{\bullet}_{1}}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{2}}V\,\,\,u_{2}^{p}v_{2}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m12}}=\sum_{p}\emph{dim}_{k}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{0}}V\,\,\,u_{12}^{p}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m02}}=\sum_{p}\emph{dim}_{k}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{1}}V\,\,\,u_{02}^{p}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m01}}=\sum_{p}\emph{dim}_{k}Gr^{q}_{F^{\bullet}_{2}}V\,\,\,u_{01}^{p}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m}^{2}}=\emph{dim}_{k}V$.\\ 
\end{proposition}
\newpage
$\,$
\vspace{4cm}
$\,$\\
{\bf Dictionnaire : Espaces vectoriels trifiltr�s-Fibr�s �quivariants.}
${}$\\
${}$\\
\begin{center}
%\begin{tabular}{|c||c|}
\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

Cat�gorie d'espaces multifiltr�s & Cat�gorie de fibr�s �quivariants sur ${\bf P}^2$\\  %\hline 


\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

 $\calc_{3filtr} $ &  $  {\calf ib}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\

\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,scind} $ &  $  {\calf ib}_{scind}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\


\end{tabular}


\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp} $ &  $  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\
\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $ &  $  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) $ \\
\end{tabular}


\begin{tabular}
{>{\centering}m{2in}
>{\centering}m{2in}}
\hline
$\,$ & $\,$ \\
\end{tabular}

%\caption{Dictionnaire : Espaces vectoriels trifiltr�s-Fibr�s �quivariants.}
\end{center}




%$ \calc_{3filtr} $ &  $  {\text Bun}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\

%\hline

%$\calc_{3filtr,scind} $ & $   {\text Bun}_{split}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\

%\hline

%$ \calc_{3filtr,opp} $ & $  {\text Bun}_{semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\

%\hline




%$ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}} $ &  $  {\text Bun}_{semistable,\mu=0}({\bf P}^{2}/H) $ \\

%\hline


\clearpage












\section{Construction relative}
\subsection{Faisceau de Rees relatif}


Dans cette section, nous voulons �tendre les constructions pr�c�dentes � des ``familles d'espaces vectoriels filtr�s'' param�tr�es par une vari�t� alg�brique, nous et ainsi d�crire une construction relative du fibr� de Rees sur le plan projectif de la partie $1$.\\
${}$\\
En guise d'introduction, pour pr�senter l'id�e de la construction, donnons la construction relative du fibr� de Rees sur la droite affine ${\bf A}^1$ associ�e � un fibr� vectoriel filtr�.\\
${}$\\
Par vari�t� alg�brique on entendra sch�ma lisse de type fini sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle $k$.


\subsubsection{Id�e de la construction}

Soit $S$ une vari�t� alg�brique et $\calv$ un fibr� vectoriel sur $S$. Supposons que $\calv$ soit muni d'une filtration d�croissante et exhaustive par des sous-fibr�s vectoriels stricts $\calf^{\bullet}$. Exhaustive signifie qu'il existe deux entiers $m$ et $n$ tels que $\calf^{m}=\calv$ et $\calf^{n}=S$. Le fait que les sous-fibr�s soient stricts signifie que pour tout $p$, $\calf^p$ est un sous-fibr� vectoriel de $\calv $ (le faisceau de $\calo_{S}$-module localement libre associ� � $\calf^p$ est plus qu'un sous-faisceau du faisceau localement libre associ� � $\calv$). En chaque point $s \in S$, la fibre $\calv_{s}$ de $\calv$ est filtr�e par des sous-espaces vectoriels $\calf^{p}_{s}$, 
$$\calv_{s}=\calf^{m}_{s} \supset \calf^{m-1}_{s} \supset ... \supset \calf^{n}_{s}=S.$$ 

On obtient donc en chaque point $s \in S$ un espace vectoriel filtr� par une filtration exhaustive et d�croissante $(\calv_{s},\calf^{\bullet}_{s})$. On peut faire la construction du fibr� de Rees sur la droite affine pour cette donn�e $\xi_{{\bf A}^1}( \calv_{s},\calf^{\bullet}_{s})$. On veut construire un fibr� vectoriel $\xi(\calv,\calf^{\bullet})$ sur $S \times {{\bf A}^1}$ tel que pour tout $s \in S$ :
$$ \xi(\calv,\calf^{\bullet}) \vert_{\{s \} \times {{\bf A}^1}}\cong \xi_{{\bf A}^1}( \calv_{s},\calf^{\bullet}_{s}).$$    
Rappelons qu'un fibr� vectoriel de rang $n$ sur $S$ est la donn�e d'un sch�ma $\calv$ et d'un morphisme de sch�mas $\pi : \calv \rightarrow S$ ainsi que d'un recouvrement de $S$ par des ouverts $S_{i}, i \in I$ de $S$ et des isomorphismes $\Psi_{i}:{\pi}^{-1}(S_{i}) \rightarrow {\bf A}^{n}_{S_{i}}$, tels que pour tout $i,j \in I$ et pour tout ouvert affine $V=\text{Spec}A \subset S_{i} \cap S_{j}$, l'automorphisme $\Psi=\Psi_{j} \circ \Psi_{i}^{-1}$ de ${\bf A}^{n}_{V}=\text{Spec}A[x_{1},...,x_{n}]$ soit donn� par un automorphisme lin�aire $\theta$ de $A[x_{1},...,x_{n}]$ i.e. tel que l'on ait $\theta(a)=a$ pour $a \in A$ et $\theta(x_{i})=\sum_{i,j}\,a_{ij}\,x_{j}$ o� les $a_{ij}$ sont des �l�ments de $A$. La matrice donn�e par les $a_{ij}$ est inversible. 

Dans ce cadre la donn�e d'un fibr� vectoriel filtr� sur $S$ par une suite d�croissante exhaustive de sous-fibr�s vectoriels stricts se traduit par le fait que pour tout $i,j$ et pour tout ouvert affine $V$ comme d�crit pr�c\'edement, la matrice repr�sentant $\theta$, automorphisme lin�aire de $A[x_{1},...,x_{n}]$, peut �tre choisie dans une base adapt�e triangulaire sup�rieure par blocs. Notons $f^{p}=\text{dim}_{k}\calf^{p}-\text{dim}_{k}S$, le rang du fibr� $\pi \vert_{\calf^{p}}:\calf^{p} \rightarrow S$. Supposons de plus que $\calf^{0}=\calv$ et que $\calf^{m} \varsupsetneq \calf^{m+1}=S$. Alors on peut �crire 
\begin{center}$ {\bf A}^{n}_{V}=\text{Spec}A[x_{1},...,x_{f^{m}-1},x_{f^{m}},x_{f^{m}+1},...,x_{f^{m-1}-1},,x_{f^{m-1}},,x_{f^{m-1}+1},...(...)...,x_{f^{0}}]$.\end{center}
et la matrice qui repr�sente le changement de carte sur l'ouvert affine $V \subset S_{i} \cap S_{j}$ pour le fibr� vectoriel $\calv=\calf^{0}$ dans la base des $x_{i}, \, i \in [1,f^{0}]$, $\theta$, est de la forme
$$\left(
\begin{array}{cccc}
\theta_{m} & * & ... & *\\
0 & \theta_{m-1} &... &* \\
...   & ...&...&...\\
0 & 0 & ... & \theta_{0}\\
\end{array}
\right),$$
les �l�ments diagonaux $\theta_{i}$ sont des matrices inversibles de tailles $(f^{i}-f^{i+1}). (f^{i}-f^{i+1})$, � coefficients dans $A$, la matrice est de taille $f^{0}.f^{0}$.\\
Ainsi la matrice qui repr�sente l'automorphisme de changement de carte sur l'ouvert affine $V \subset S_{i} \cap S_{j}$ pour le fibr� vectoriel $\calf^{p}$ dans la base des $x_{i}, \, i \in [1,f^{0}]$, se d�duit par troncature de la matrice qui repr�sente $\theta$
$$\left(
\begin{array}{cccc}
\theta_{m} & * & ... & *\\
0 & \theta_{m-1} &... &* \\
...   & ...&...&...\\
0 & 0 & ... & \theta_{p}\\
\end{array}
\right),$$
c'est une matrice $f^{p}.f^{p}$.

Chacun des ouverts $S_i$ dans les donn\'ees d�finissant le fibr� peut �tre recouvert par des ouverts affines. On peut donc supposer que les ouverts $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$ sont affines. Nous allons tout d'abord faire la construction relative du fibr� de Rees associ� � un espace vectoriel filtr� sur les ouverts affines $S_{i}$ pour obtenir des fibr�s vectoriels sur les $S_{i}\times {\bf A}^{1}$, $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet })$. Nous recollerons ensuite ces fibr�s pour obtenir le fibr� voulu sur $S\times{\bf A}^{1}$, que nous noterons $\xi(\calv,\calf^{\bullet})$.  

L'anneau $A_{i}[x_{i1},...,x_{if^{m}-1},x_{if^{m}},x_{if^{m}+1},...,x_{if^{m-1}-1},,x_{if^{m-1}},,x_{if^{m-1}+1},...(...)...,x_{if^{0}}]$ issu de la description pr�c�dente du fibr� vectoriel sur la carte affine $S_i$  sera not� $A_{i}[x_{ik}]$ o� $k \in [1,f^{0}]$ ; on note aussi ${\bf A}^{1}=\text{Spec}k[u]$. Consid�rons le $A_{i}[u][x_{ik}]$-module $B_{i}$ tel que
$$B_{i}=<u^{-p}.x_{ik}\vert \,k \leq f^{p}>_{A_{i}[u][x_{ik}]}.$$ 
D�finissons le fibr� vectoriel $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet })$ sur $S_{i}\times {\bf A}^{1}$ par
$$ \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet })=\text{Spec}B_{i}.$$
Le morphisme d'inclusion $\pi_{i}^{\sharp}:A_{i}[u] \rightarrow B_{i}$ donne $\pi_{i}:\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet }) \rightarrow S\times{\bf A}^{1}$ (on notera toujours $f^{\sharp}:A \rightarrow B$ le morphisme d'anneaux associ� au morphisme de sch�mas $f: \text{Spec}B \rightarrow \text{Spec}A$). De plus on a un isomorphisme de $A_{i}[u]$-modules $\varphi_{i}^{\sharp}$ entre $B_{i}$ et $A_{i}[u][x_{ik}]$ d�fini par 
$$\varphi_{i}^{\sharp}: B_{i} \rightarrow  A_{i}[u][x_{ik}], \,\, \varphi_{i}^{\sharp}(x_{ik})=u^{p}.x_{ik},\, \text{ pour } k \in [f^{p+1}+1,f^{p}],$$
 d'o� l'isomorphisme explicite sur $S_{i}\times {{\bf A}^1}$ 

$$ \varphi_{i} :\text{Spec}A_{i}[u][x_{ik}] \rightarrow  \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet }) .$$ 
Comme nous avons pris un recouvrement de d�finition du fibr� par des affines, les ouverts $S_{i}\cap S_{j}$ sont affines, $S_{i}\cap S_{j}=\text{Spec}A_{ij}$ : nous d�noterons l'automorphisme $A_{ij}[u]$-lin�aire de $A_{ij}[u][x_{k}]$ o� $k \in [1,f^{0}]$ par $\theta_{ij}^{\sharp}$. Le morphisme de sch�ma $\theta_{ij}$ qui s'ne d�duit n'est autre que le morphisme de changement de cartes $\Psi=\Psi_{j}\circ\Psi_{i}^{-1}$ pour l'image inverse sur $S \times {\bf A}^1$ du fibr� $\calv$ sur $S$ par la projection sur le premier facteur.  

Les morphismes d'anneaux $\varphi_{i}^{\sharp}$, $\varphi_{i}^{\sharp}$ et $\theta_{ij}$ permettent donc de d�finir des isomorphismes d'anneaux :
$$\varphi_{ij}^{\sharp}:\xymatrix{  (\varphi_{j}^{\sharp})^{-1}(A_{ij}[u][x_{k}]) \ar[r]^-{\varphi_{j}^{\sharp}} &  A_{ij}[u][x_{k}] \ar[r]^-{\theta_{ij}^{\sharp}} &  A_{ij}[u][x_{k}] \ar[r]^-{(\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}} &  (\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}(A_{ij}[u][x_{k}]) },$$
o� l' on omet d'�crire les morphismes de projection de $A_{i}$ ou $A_{j}$ vers $A_{ij}$. On en d�duit les isomorphismes 

$$\varphi_{ij}: \xi_{i}\vert_{S_{i}\cap S_{j}} \cong \xi_{i}\vert_{S_{i}\cap S_{j}}, \,\,\text{ pour tout } \,i,j.$$
Rappelons que\\
{\bf Fait :}(\cite{har}, exercice 1.22, p.69)\\
Soit $S$ un espace topologique et $\{S_{i}\}_{i \in I}$ un recouvrement de $S$ par des ouverts. Supposons que pour tout $i \in I$ on ait un faisceau $\xi_{i}$ et pour tout couple $i,j$ un isomorphisme $\varphi_{ij}: \xi_{i}\vert_{S_{i}\cap S_{j}} \cong  \xi_{i}\vert_{S_{i}\cap S_{j}}$ tel que : $(1)$ pour tout $i$, $\varphi_{ii}=id$ , et $(2)$ pour tout $i,j,k$, $\varphi_{ik}=\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}$ sur $S_{i}\cap S_{j}\cap S_{k}$. Alors il existe un unique faisceau $\xi$ sur $S$ et des isomorphismes $\Psi_{i}:\xi\vert_{S_{i}}\cong \xi_{i}$ tels que pour tous $i,j$, $\Psi_{j}=\varphi_{ij}\circ\Psi_{i}$ sur $S_{i} \cap S_{j}$. $\xi$ est le faisceau obtenu en collant les faisceaux $\xi_{i}$ par les isomorphismes $\varphi_{ij}$. 

Ce fait �nonc� dans la cat�gorie des faisceaux reste vrai dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents et dans la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur une vari\'et\'e alg\'ebrique.\\
${}$

Appliquons ceci aux donn�es $(\{S_{i}\}_{i \in I}, \{\xi_{i}\}_{i \in I},\{\varphi_{ij}\}_{i,j \in I})$ de notre construction. La condition $(1)$ est �videment v�rifi�e. Pour v�rifier la condition $(2)$, il suffit de voir pour tout $i,j,k$ que $\varphi_{ik}^{\sharp}=\varphi_{ij}^{\sharp} \circ \varphi_{jk}^{\sharp}$. Ce qui se ram�ne �
$$   (\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}\circ \theta_{ik}^{\sharp} \circ \varphi_{k}^{\sharp}= ( (\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}\circ \theta_{ij}^{\sharp} \circ \varphi_{j}^{\sharp})\circ( (\varphi_{j}^{\sharp})^{-1}\circ \theta_{jk}^{\sharp} \circ \varphi_{k}^{\sharp}),$$
qui est �quivalent �
$$ \theta_{ik}^{\sharp}= \theta_{ij}^{\sharp}\circ \theta_{jk}^{\sharp},$$
ce qui est vrai puisque $\calv$ est un fibr�. D'o� le fibr� $\pi:\xi \rightarrow S\times {{\bf A}^1}$.\\
${}$\\
Le fibr� vectoriel ainsi obtenu a bien les propri�t�s voulues.\\
\begin{proposition} Soit $\calv \rightarrow S$ un fibr� vectoriel sur un sch�ma $S$ muni d'une filtration exhaustive $\calf^{\bullet }$ par des sous-fibr�s vectoriels stricts, alors le fibr� de Rees $\xi(\calv,\calf^{\bullet }) \rightarrow S \times {\bf A}^{1}$ de la construction pr�c�dente v�rifie\\
\hspace*{1cm} $\bullet$ Pour tout $u \in {\bf A}^{1},\,\,u\neq 0$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet})\vert_{S\times\{u\}} \cong \calv$,\\ 
\hspace*{1cm} $\bullet$  $\xi(\calv,\calf^{\bullet})\vert_{S\times\{0\}} \cong Gr_{\calf^{\bullet}}\calv$,\\
\hspace*{1cm} $\bullet$  Pour tout $s \in S$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet})\vert_{\{s\}\times{{\bf A}^1}} \cong \xi_{{\bf A}^1}(\calv_{s},\calf^{\bullet}_{s})$.\\
\end{proposition}
$Gr_{\calf^{}}\calv$ est le fibr� $\oplus_{p}\calf^{p-1}/\calf^{p}$.\\
${}$\\
Nous d�montrerons ces propri�t�s plus bas, sous certaines hypoth�ses restreintes, dans le cadre plus g�n�ral d'un fibr� muni de trois filtrations par des sous-fibr�s stricts. 

\subsubsection{Construction de Rees associ�e � un fibr� muni de trois filtrations}

Cette partie donne la version relative de la construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ associ�e � un espace vectoriel
muni de trois filtrations. Supposons que l'on ait, dans un sens que l'on pr�cisera, une famille d'espaces vectoriels trifiltr�s $(\calv_{s},\calf_{0}^{\bullet }{}_{s},\calf_{1}^{\bullet }{}_{s},\calf_{2}^{\bullet }{}_{s})$ param�tr�e par un sch�ma $S$. En chaque point de $S$ on peut effectuer la construction du fibr� de Rees sur le plan projectif $\xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf_{0}^{\bullet }{}_{s},\calf_{1}^{\bullet }{}_{s},\calf_{2}^{\bullet }{}_{s}) \rightarrow {\bf P}^{2}$. Nous allons construire un faisceau coh�rent $\xi \rightarrow S \times {\bf P}^{2}$ tel que pour tout point $s \in S$ on ait l'isomorphisme de fibr� vectoriels
$$ \xi\vert_{\{s\}\times {\bf P}^{2}} \cong \xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf_{0}^{\bullet }{}_{s},\calf_{1}^{\bullet }{}_{s},\calf_{2}^{\bullet }{}_{s}).$$ 

Consid�rons un fibr� vectoriel $\calv$ sur un sch�ma $S$ �quip� de trois filtrations exhaustives et d�croissantes par des sous-fibr�s stricts, $\calf_{0}^{\bullet }$, $\calf_{1}^{\bullet }$ et $\calf_{2}^{\bullet }$. Rappelons que dans partie $1$ pour construire un fibr� sur $ {\bf P}^2$ associ� � un espace vectoriel trifiltr� $(V,F^{\bullet}_{0},F^{\bullet}_{1},F^{\bullet}_{2})$ nous construisions tout d'abord les fibr� de Rees associ�s aux couples de filtrations sur les ouverts affines standards du plan projectif pour ensuite recoller ces construtions. Les cartes affines standards �taient et seront not�es $U_{0}$, $U_{1}$ et $U_{2}$. Les fibr�s sur les cartes affines �taient not� $\xi_{U_{i}}(V,F^{\bullet}_{j},F^{\bullet}_{k})$ pour $\{i,j,k\}=\{0,1,2\}$. Nous allons ici suivre la m�me d�marche et donc construire des faisceaux coh�rents $\xi_{i}(\calv,\calf_{j}^{\bullet},\calf_{k}^{\bullet })$ sur chacun des produits $S  \times U_{i}$. Nous recollerons ensuite les trois fibr�s pour obtenir le fibr� de Rees sur $S \times {\bf P}^{2}$, $\xi_{}(\calv_{},\calf_{0}^{\bullet }{}_{},\calf_{1}^{\bullet }{}_{},\calf_{2}^{\bullet }{}_{})$. Explicitions la construction pour deux filtrations.
\begin{center} 
{\bf Construction de $\xi(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet}) \rightarrow S \times {\bf A}^{2}$} 
\end{center}
Soit $\calv \rightarrow S$ un fibr� vectoriel muni de deux filtrations exhaustives et d�croissantes $\calf^{\bullet}$ et $\calg^{\bullet }$ par des sous-fibr�s stricts.

Etudions tout d'abord les propri�t�s des intersections des sous-fibr�s stricts donn�s par les filtrations. Pour tous $(p,q)$, on d�finit le faisceau coh�rent $\calf^{p}\cap \calg^{q}$ comme �tant le noyau du morphisme canonique de fibr�s vectoriels vus comme des faisceaux localement libres
$$\calf^{p}\cap \calg^{q}:= \text{Ker}(\calf^{p}\rightarrow  \calv/\calg^{q}).$$
$\calf^{p}\cap \calg^{q}$ est ainsi un sous-fibr� de $\calf^{p}$ et de $ \calg^{q}$. Par l'inclusion de $\calf^{p}$ dans $\calf^{p-1}$ on voit que $\calf^{p-1}\cap \calg^{q}$ est un sous-faisceau coh�rent de $\calf^{p}\cap \calg^{q}$. D'o� la suite exacte
$$ 0 \rightarrow \calf^{p-1}\cap \calg^{q} \rightarrow \calf^{p}\cap \calg^{q} \rightarrow Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q} \rightarrow 0,$$
qui d�finit le faisceau $Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q}$. C'est un faisceau coh�rent comme conoyau d'un morphisme de faisceaux coh�rents. On prenda garde au fait que  $Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q}$ n'est pas un sous-faisceau de $\calg^{q}$ contrairement � ce que sugg�re cette notation pratique.

De telles consid�rations suivant les deux indices m�nent au diagramme commutatif de faisceaux coh�rents sur $S$ dont les lignes et les colonnes sont exactes
$$\xymatrix{
{}  &  0 \ar[d]  &  0 \ar[d]   &  0 \ar[d]  & {}\\
0  \ar[r]  &   \calf^{p}\cap \calg^{q}  \ar[d] \ar[r] &  \calf^{p-1}\cap \calg^{q} \ar[d] \ar[r] &  Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q}   \ar[d] \ar[r] &  0 \\
0  \ar[r]  &   \calf^{p}\cap \calg^{q-1}  \ar[d] \ar[r] & \calf^{p-1}\cap \calg^{q-1}  \ar[d] \ar[r] &   Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q-1}  \ar[d] \ar[r] &  0 \\
0  \ar[r]  &  \calf^{p}\cap Gr_{\calg}^{q}\calv   \ar[d] \ar[r] &   \calf^{p-1}\cap Gr_{\calg}^{q}\calv \ar[d] \ar[r] &  Gr_{\calf}^{p}Gr_{\calg}^{q}\calv   \ar[d] \ar[r] &  0 \\
{} &  0   & 0   & 0  &  {}
}$$
Ce diagramme permet de d�finir le faisceau coh�rent $Gr_{\calf}^{p}Gr_{\calg}^{q}\calv$.\\
${} $\\

 Dans un premier temps nous allons ajouter une hypoth�se sur ces filtrations : nous supposerons 
\begin{center} ${\bf (H)}$ pour tous $(p,q)$, les faisceaux coh�rents $ \calf^{p}\cap \calg^{q}$ sont des sous-fibr�s stricts de $\calv$.
\end{center}
 Cela signifie que l'une des filtrations induit une filtration par des sous-espaces vectoriels stricts sur chacune des composantes du fibr� vectoriel gradu� associ� � l'autre filtration et r�ciproquement.\\
${}$\\
$\bullet $  Construction de $\xi(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet}) \rightarrow S \times {\bf A}^{2}$ sous l'hypoth�se ${\bf (H)}$ :\\  
${}$\\
La construction se calque sur celle qui est faite dans l'introduction de cette partie pour un fibr� vectoriel muni d'une seule filtration. Pour �tre coh�rent avec les notations de cette introduction, on en gardera les notations pour tout ce qui concerne la filtration $\calf^{\bullet }$ et on mettra des ' pour tout ce qui concerne la filtration $\calg^{\bullet }$. On supposera toujours que le recouvrement d'ouverts $S=\cup_{i \in I}\,S_{i}$ qui permet de d�finir le fibr� $\calv \rightarrow S$ est form� d'affines i.e. que pour tout $i \in I$, $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$. 


 Notons $f^{p}=\text{dim}_{k}\calf^{p}-\text{dim}_{k}S$, le rang du fibr� $\pi \vert_{\calf^{p}}:\calf^{p} \rightarrow S$. Supposons de plus que $\calf^{0}=\calv$ et que $\calf^{m} \varsupsetneq \calf^{m+1}=S$. On note aussi $g^{p}=\text{dim}_{k}\calg^{p}-\text{dim}_{k}S$, le rang du fibr� $\pi \vert_{\calg^{p}}:\calg^{p} \rightarrow S$ et on suppose de plus que $\calg^{0}=\calv$ et que $\calg^{n} \varsupsetneq \calg^{n+1}=S$. On �crit aussi $g^{p,q}=\text{dim}_{k}Gr_{\calf}^{p}\calv\cap \calg^{q}-\text{dim}_{k}S$.

Pour tous $(i,j) \in I$ et tout ouvert affine $V=\text{Spec}A \subset S_{i}\cap S_{j}$ (en particulier pour $U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}=\text{Spec}A_{ij}$) les automorphismes $\Psi_{}=\Psi_{j}\circ\Psi_{i}^{-1}$ de ${\bf A}^{n}_{V}$ sont $A$-lin�aires et compatibles aux filtrations puisque les sous-fibr�s vectoriels qu'elles d�finissent sont stricts et ont pour changement de cartes des restrictions de ces automorphismes. On peut donc �crire ${\bf A}^{n}_{V}$ comme le spectre d'un anneau de polyn�mes qui fasse ``appara�tre'' l'une et l'autre des filtrations. L'hypoth�se ${\bf (H)}$ nous permet de proc�der de la m�me fa�on pour deux filtrations. Dans la matrice associ�e � l'automorphisme $\Psi$ dans l'introduction chaque bloc matrice inversible $\theta_{p}$ o� $p \in [1,f^{0}]$ devient elle-m�me une matrice diagonale par blocs dont la diagonale est compos�e de $n+1$ blocs inversibles de la forme pr�c�dente.\\

%\scalebox{0.65}[0.65]{

%$$\left(
%\begin{array}{cccc}
%\theta_{m}=\left(
%\begin{array}{cccc}
%\theta_{m,n}' & * & ... & *\\
%0 & \theta_{m,n-1}' &... &* \\
%...   & ...&...&...\\
%0 & 0 & ... & \theta_{m,0}'\\
%\end{array}
%\right) & * & ... & *\\
%0 & \theta_{m-1}=\left(
%\begin{array}{cccc}
%\theta_{m-1,n}' & * & ... & *\\
%0 & \theta_{m-1,n-1}' &... &* \\
%...   & ...&...&...\\
%0 & 0 & ... & \theta_{m-1,0}'\\
%\end{array}
%\right) &... &* \\
%...   & ...&...&...\\
%0 & 0 & ... & \theta_{0}=\left(
%\begin{array}{cccc}
%\theta_{0,n}' & * & ... & *\\
%0 & \theta_{0,n-1}' &... &* \\
%...   & ...&...&...\\
%0 & 0 & ... & \theta_{0,0}'\\
%\end{array}
%\right)\\
%\end{array}
%\right).$$
%}
${}$\\
On peut donc �crire que $\theta$ (sur $S_{ij}$) est un automorphisme $A_{ij}$-lin�aire de $A_{ij}[x_{kl_{k}}]$ o� $k \in [1,f^{0}]$ et, comme il existe $p$ tel que $k \in [f^{p+1}+1,f^{p}]$ et $l_{k} \in [g^{p,n},g^{p,0}]$. 
\begin{definition}Le module de Rees associ� � la trivialisation $\Psi_{i}$ sur $S_{i}=\emph{Spec}A_{i}$ du fibr� $\calv$ muni de deux filtrations v�rifiant $(H)$ est le $A_{i}[u,v]$-module
$$B_{i}:=<u^{-p}v^{-q}x_{kl_{k}}\vert k \leq f^{p},\,l_{k}\leq g^{p,q}>_{A_{i}[u,v]}.$$
Le fibr� de Rees $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})$ sur $ S_{i}\times {\bf A}^{2}$ est le fibr� associ� au $A_{i}[u,v]$-module de Rees
$$\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet}):=\text{Spec}B_{i},$$
o� le morphisme $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet}) \rightarrow  S_{i}\times {\bf A}^{2}$ est donn� par le morphisme injectif d'anneaux $\pi_{i}^{\sharp}:A_{i}[u,v] \rightarrow B_{i}$.
\end{definition}   

On a un isomorphisme de $A_{i}[u,v]$-modules $\varphi_{i}^{\sharp}$ entre $B_{i}$ et $A_{i}[u,v][x_{ik}]$ d�fini par 
$$\varphi_{i}^{\sharp}: B_{i} \rightarrow  A_{i}[u,v][x_{ik}], \,\, \varphi_{i}^{\sharp}(x_{ik})=u^{p}v^{q}x_{kl_{k}},\, \text{ pour } k \in [f^{p+1}+1,f^{p}],\,\,l_{k}\in [g^{p,q+1}+1,g^{p,q}]$$
 d'o� l'isomorphisme explicite sur $S_{i}\times {{\bf A}^2}$ 
$$ \varphi_{i} :\text{Spec}A_{i}[u,v][x_{kl_{k}}] \rightarrow  \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet}).$$ 
Comme nous avons pris un recouvrement de d�finition du fibr� par des affines, les ouverts $S_{i}\cap S_{j}$ sont affines, $S_{i}\cap S_{j}=\text{Spec}A_{ij}$ : nous d�noterons l'automorphisme $A_{ij}[u]$-lin�aire de $A_{ij}[u,v][x_{k}]$ o� $k \in [1,f^{0}]$ par $\theta_{ij}^{\sharp}$. Le morphisme de sch�ma $\theta_{ij}$ qui s'ne d�duit n'est autre que le morphisme de changement de cartes $\Psi=\Psi_{j}\circ\Psi_{i}^{-1}$ pour l'image inverse sur $S_{i} \times {\bf A}^2$ du fibr� $\calv$ sur $S_{i}$ par la projection sur le premier facteur.  

Les morphismes d'anneaux $\varphi_{i}^{\sharp}$, $\varphi_{i}^{\sharp}$ et $\theta_{ij}$ permettent donc de d�finir des isomorphismes d'anneaux :
$$\varphi_{ij}^{\sharp}:\xymatrix{  (\varphi_{j}^{\sharp})^{-1}(A_{ij}[u,v][x_{k}]) \ar[r]^-{\varphi_{j}^{\sharp}} &  A_{ij}[u,v][x_{k}] \ar[r]^-{\theta_{ij}^{\sharp}} &  A_{ij}[u,v][x_{k}] \ar[r]^-{(\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}} &  (\varphi_{i}^{\sharp})^{-1}(A_{ij}[u,v][x_{k}]) },$$
o� l' on omet d'�crire les morphismes de projection de $A_{i}$ ou $A_{j}$ vers $A_{ij}$. On en d�duit les isomorphismes 

$$\varphi_{ij}: \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S_{i}\cap S_{j}} \cong \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S_{i}\cap S_{j}}, \,\,\text{ pour tous} \,i,j.$$
et donc, � l'aide de la discussion faite dans l'introduction, par recollement, d'un fibr� $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})$ sur $S\times {\bf A}^2$.\\
${}$\\
$\bullet $ Construction de $\xi(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet}) \rightarrow S \times {\bf A}^2$ dans le cas g�n�ral :\\
${}$\\
Chaque faisceau $\calf^{p}\cap \calg^{q}$ est coh�rent sur $S$, en particulier sur chacun des ouverts affines $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$, on a  $\calf^{p}\cap \calg^{q}=M_{i,pq}^{\sim}$ o� $M_{i,pq}$ est un $A_i$-module finiment engendr�. Comme pour tout $(p,q)$ on a des morphismes injectifs de faisceaux coh�rents $\calf^{p}\cap \calg^{q} \rightarrow \calf^{p-1}\cap \calg^{q}$ et  $\calf^{p}\cap \calg^{q} \rightarrow \calf^{p}\cap \calg^{q-1}$ (qui commutent sur les carr�s d'indices), on d�duit du fait que le foncteur covariant $M \mapsto M^{\sim}$ �tablisse une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie des $A$-modules finiment engendr�s (o� $A$ est n{\oe}therien) et la cat�gorie des $\calo_{\text{Spec}A}$-modules coh�rents un diagramme commutatif de morphismes de $A_{i}$-modules dans le quel chaque fl�che est l'injection du sous-module source dans le module but$$\xymatrix{
M_{i,mn} \ar[r]\ar[d] & M_{i,m-1n} \ar[r]\ar[d] & ... \ar[r]\ar[d]  &  M_{i,0n} \ar[d]\\
M_{i,mn-1} \ar[r]\ar[d] & M_{i,m-1n-1} \ar[r]\ar[d] & ... \ar[r]\ar[d]  &  ...\ar[d]\\
... \ar[r]\ar[d] & ... \ar[r]\ar[d] & ... \ar[r]\ar[d]  &  M_{i,01} \ar[d]\\
M_{i,m0} \ar[r] & ... \ar[r]  & M_{i,10} \ar[r]  &  M_{i,00},}
$$
o� $k \in [1,\text{rang}(\calv)]$. On a $M_{i,m-1n} \cap M_{i,mn-1}=M_{i,mn}$.

Ceci d�crit pour tous $(p,q)$ $M_{i,pq}$ comme un sous-$A_{i}$-module du module libre $M_{i,00}$, not� $M_{i}$. D�finissons alors le $A_{i}[u,v]$-module de Rees associ� � la restriction du fibr� bifiltr� sur $\text{Spec}A_i$
$$B_{i}=\sum_{p,q}\,\,u^{-p}v^{-q}M_{i,pq}.$$ 
On �tend la d�finition pr�c�dente dans ce cadre
\begin{definition}Le $A_{i}[u,v]$-module $B_{i}$ est le module de Rees associ� � la restriction de $\calv$ � $S_{i}$.

Le faisceau coh�rent $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet}):=B_{i}^{\sim}$ sur $S_{i} \times {\bf A}^2$ qui s'en d�duit est le faisceau de Rees associ� � la restriction de $\calv$ � $S_{i}$.\\

\end{definition}

Les restrictions de  $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet})$ et  $\xi_{j}(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet})$ � $(S_{i} \cap S_{j})\times {\bf A}^2$ sont isomorphes. On peut donc recoller les faisceaux coh�rents sur les ouverts $(S_{i} \cap S_{j})\times {\bf A}^2$ qui recouvrent $S \times {\bf A}^2$, d'o� un faisceau coh�rent sur $S \times {\bf A}^2$. Le faisceau de $\calo_{S \times {\bf A}^2}$-modules $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet}) \rightarrow S\times {\bf A}^2$ ainsi obtenu est le faisceau coh�rent de Rees associ� au fibr� vectoriel muni de deux filtrations exhaustives par des sous-fibr�s stricts.\\
${}$\\
{\bf Remarque :} Les deux constructions pr�c�dentes co�ncident lorsque les donn�es de d�part satisfont l'hypoth�se ${\bf (H)}$. Nous avons cependant distingu� les deux cas pour mettre en valeur le fait que la construction sous cette hypoth�se m�ne � un fibr� vectoriel, alors que sans ${\bf (H)}$ on obtient un faisceau coh�rent (qui est en fait r�flexif comme nous le verrons plus bas).

Cette distinction est aussi pr�paratoire aux applications � la th�orie de Hodge de cette construction dans la partie 3. En effet, supposons que les filtrations proviennent d'une variation de structures de Hodge mixtes. Alors la filtration de Hodge et la filtration par le poids qui filtrent le fibr� vectoriel associ� � la variation v�rifient l'hypoth�se ${\bf (H)}$ alors que ce n'est pas le cas pour la filtration par le poids et sa conjugu�e (on pr�cisera plus loin comment la filtration conjugu�e par rapport � une structure r�elle se retrouve � partir d'une filtration par des sous-fibr�s vectoriels stricts alg�briques). Ainsi, $({\bf H})$ est satisfaite pour la construction sur les cartes $S \times {\bf A}^2$ concernant la filtration par le poids et l'une des deux autres filtrations mais pas v�rifi�e en g�n�ral sur la carte concernant la filtration par le poids et sa conjugu�e.

\begin{center}
$({\bf H})$ {\bf ``mauvaise hypoth�se''}


\end{center} 
En fait, pour poursuivre la remarque ci-dessus, l'hypoth�se $({\bf H})$ est illusoire en g�n�ral. Le travail de la recherche d'invariants associ�s aux espaces vectoriels trifiltr�s a pour but de mesurer � quel point elle n'est pas v�rifi�e ou d'�tudier les incidences des strates sur lesquelles elle est v�rifi�e. $({\bf H})$ est une bonne hypoth�se par strates. 
 
${} $\\
%Nous avons ainsi d�fini un fon 


 \begin{center}
{\bf Construction de $\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S \times {\bf P}^{2}$} 
 
\end{center}
 
Consid�rons un fibr� vectoriel $\calv $ sur une vari�t� alg�brique $S$ muni des trois filtrations d�croissantes et exhaustives par des sous-fibr�s stricts $(\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet}_{2})$. Nous venons de voir comment construire des faisceaux de Rees associ�s � deux filtrations par des sous-fibr�s stricts sur le produit de $S$ par le plan affine. Notons $\xi_{j}(\calv,\calf_{k}^{\bullet },\calf_{l}^{\bullet })$ le fibr� sur $S \times U_{j}$ obtenu par cette construction pour $\{j,k,l\}=\{0,1,2\}$ et par $\xi_{i_j}(\calv,\calf_{k}^{\bullet },\calf_{l}^{\bullet })$ sa restriction � l'ouvert affine $S_{i}$, o� $i \in I$.    



\begin{proposition}On peut recoller les faisceaux coh�rents de Rees $\xi_{j}(\calv,\calf_{k}^{\bullet },\calf_{l}^{\bullet })$ sur $S \times U_{j}$ o� $j \in \{0,1,2\}$ pour obtenir le faisceau coh�rent de Rees associ� au fibr� vectoriel muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes par des sous-fibr�s stricts $(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2})$, que l'on note
$$\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S \times {\bf P}^{2}.$$  

\end{proposition}

\begin{preuve}%Les ouverts affines $(S_{i} \times U_{j})_{i \in I,j \in \{0,1,2\} }$ recouvrent $S \times {\bf P}^2$.
De la proposition \ref{proplocales} p.\pageref{proplocales}, on trouve pour tout $(j,j') \in \{0,1,2\}$ tels que $j \neq j'$, avec $n$ l'entier tel que $\{j,j',n\}=\{0,1,2\}$, un isomorphisme  
\begin{eqnarray*}\varphi_{jj'}=\Psi_{j'}^{-1}\circ\Psi_{j}:\xi_{j}(\calv,\calf_{k}^{\bullet },\calf_{l}^{\bullet })\vert_{S \times (U_{j}\cap U_{j'})}&\cong_{\Psi_j} &\xi_{}(\calv,\calf_{n}^{\bullet },\calt riv^{\bullet })\vert_{S \times (U_{j}\cap U_{j'})}\\
{}& \cong_{\Psi_{j'}^{-1}}&\xi_{j'}(\calv,\calf_{k}^{\bullet },\calf_{l}^{\bullet })\vert_{S \times (U_{j}\cap U_{j'})}.
\end{eqnarray*}
Pour d�finir les $\varphi_{jj}$ on prend les isomorphismes identit�s. Pour $\{j,j',j''\}=\{0,1,2\}$, la relation $\varphi_{jj''}=\varphi_{j'j''}\circ\varphi_{jj'}$ est bien v�rifi�e sur $S \times (U_{j} \cap U_{j'} \cap U_{j''})=S \times (U_{0} \cap U_{1} \cap U_{2})$. Toutes les hypoth�ses pour recoller de fa�on unique les faisceaux de Rees relatifs sur les affines sont donc r�unies. On en d�duit le faisceau de Rees $\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S \times {\bf P}^{2}$.
\end{preuve}


\begin{proposition}
Le faisceau coh�rent de Rees $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ sur $S \times {\bf P}^2$ � partir du fibr� vectoriel $\calv$ sur $S$ muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes par des sous-fibr�s stricts est r�flexif.

\end{proposition}
\begin{preuve} D'apr�s la proposition \ref{proplocales} il suffit de regarder en l'origine des $U_{j}$ i.e. aux trois points $S \times \{(1:0:0)\}$, $S \times \{(0:1:0)\}$ et $S \times \{(0:0:1)\}$. En effet, sur les $S \times {\bf G}_{m}^2$ le faisceau est localement libre ainsi que sur $S \times {\bf G}_{m} \times {\bf A}^1$ et $S \times {\bf A}^{1} \times {\bf G}_m$. 
Nous allons utiliser la caract�risation des faisceaux r�flexifs donn�e dans la proposition \ref{reesreflexif} de la partie 1 : un faisceau coh�rent $\xi$ sur $S$ est r�flexif s'il est sans torsion et pour tout $s \in S$ $\text{depht}\,\xi_{s}\geq 2$. La preuve copie celle de la proposition \ref{reesreflexif} pour les faisceaux de Rees sur les espaces affines. L'acception est locale, pla�ons-nous sur les ouverts affines $S_ {i}\times U_{j}$ de la construction de $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ qui recouvrent $S\times {\bf P}^2$ ($i \in I$ et $j \in \{0,1,2\}$).

Etudions la torsion. Pour tout $i$, $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$ et le module $M_{i}$ est un $A_{i}$-module libre. Les modules de Rees $B_{i}$ sont des $A_{i}[u,v]$-modules sans torsion et donc $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ est sans torsion.

Etudions la profondeur. Pour tout $i$, $B_{i}$ est un sous-$A_{i}[u,v]$-module du $A_{i}[u,v]$-module libre $M_{i}[u,u^{-1},v,v^{-1}]$. Consid�rons l'id�al maximal ${\mathfrak m}=A_{i}(u,v)$ de $A_{i}[u,v]$. On veut montrer que $B_{i}$ est �gal � son satur� $B_{i}^{sat}$. Soit $x  \in B_{i}^{sat} \subset M_{i}[u,u^{-1},v,v^{-1}]$. Alors $x$ s'�crit $x=\sum_{(p,q)}u^{-p}v^{-q}m_{i,pq}$. Le fait que $u.x \in B_{i}$ montre que pour pour tous $(p,q)$, $m_{i,pq} \in M_{i,p-1q}$. De m�me $v.x \in B_{i}$ montre que pour pour tous $(p,q)$, $m_{i,pq} \in M_{i,pq-1}$. Ainsi pour tous $(p,q)$,  $m_{i,pq} \in M_{i,pq}$ ce qui prouve que $x \in B_{i}$. Donc $B_{i}=B_{i}^{sat}$. Par le lemme \ref{sat} p.\pageref{sat}, on en d�duit que $\text{depht}_{\mathfrak m}B_{i} \geq 2$. Ce qui permet de conclure.   
\end{preuve}



\subsubsection{Action du tore ${\bf T}^3$ sur le faisceau de Rees}

Soit, comme dans le dictionnaire de la partie $1$, ${\bf T}={\bf G}_{m}^{3}/\Delta({\bf G}_{m}^{3})$. Consid�rons l'action par translation de ${\bf T}$ sur ${\bf P}^{2}$ : 
$$\sigma : {\bf T} \times {\bf P}^{2} \rightarrow {\bf P}^{2}.$$

Soit $S$ une vari�t� alg�brique, on consid�re l'action de ${\bf T}$ sur $S \times {\bf P}^{2}$ triviale dans la direction de $S$ et induite par $\sigma$ dans la direction de ${\bf P}^{2}$; on la note aussi $\sigma$. Elle est donn�e explicitement par
\begin{center}
$\sigma : {\bf T} \times S  \times {\bf P}^{2} \rightarrow S \times {\bf P}^{2}$\\
$(g,s,x) \mapsto (s,\sigma(g,x))$
\end{center}

Les faisceaux coh�rents de Rees sont munis de l'une action de $G$. En effet

\begin{proposition}
Le faisceau de Rees $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ sur $S \times {\bf P}^{2}$ associ� � un fibr� vectoriel muni de trois filtrations par des sous-fibr�s stricts $(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ sur $S$ est �quivariant pour l'action de ${\bf T}$ sur $S \times {\bf P}^2$ donn�e par $\sigma$.
\end{proposition}


\begin{preuve}Notons $p_{2}$ le morphisme de projection de $ {\bf T} \times S  \times {\bf P}^{2}$ sur $S \times {\bf P}^{2}$. Pour montrer que $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ est ${\bf T}$-�quivariant pour $\sigma$, il faut montrer que l'on a un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $ {\bf T} \times S  \times {\bf P}^{2}$, $\Psi : \sigma^{*}\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet }) \cong p_{2}^{*}\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$. L'action de ${\bf T}$ sur le plan projectif pr�serve chacun des ouverts standards le recouvrant, donc l'action sur le produit conserve chaque $S_{i}\times U_{j}$ o� $i \in I$ et $j \in \{0,1,2\}$. On peut donc se restreindre � ces ouverts pour montrer l'isomorphisme. Les morphismes $\sigma$ et $p_{2}$ sont donn�s sur les ouverts affines ${\bf T} \times S_{i} \times U_{j}$ par les morphismes d'anneaux
\begin{center}
$ \sigma^{\sharp}: A_{i}[u,v] \rightarrow A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}] $\\
$\sum_{p,q}a_{i,pq}u^{p}v^{q} \mapsto  \sum_{p,q}a_{i,pq}u^{p}v^{q}\otimes x^{p}y^{q}$\\
\end{center}
et,
\begin{center}
$ p_{2}^{\sharp}: A_{i}[u,v] \rightarrow A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}] $\\
$\sum_{p,q}a_{i,pq}u^{p}v^{q} \mapsto  \sum_{p,q}a_{i,pq}u^{p}v^{q}\otimes 1$\\
\end{center}
o� ${\bf T}=\text{Spec} k[x,x^{-1},y,y^{-1}]$.

L'isomorphisme entre\\ 
$\sigma^{*}\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{{\bf T} \times S_{i} \times U_{j}}\cong (B_{i}\otimes_{A_{i}[u,v],\sigma^{\sharp}}A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}])^{\sim}$\\ 
et,\\ 
$ p_{2}^{*}\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{{\bf T} \times S_{i} \times U_{j}}\cong (B_{i}\otimes_{A_{i}[u,v],p_{2}^{\sharp}}A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}])^{\sim}$ vient de l'isomorphisme de $A_{i}[u,v][x,x^{-1},y,y^{-1}]$ donn� par $\sigma^{\sharp}$ entre $B_{i}\otimes_{A_{i}[u,v],\sigma^{\sharp}}A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}]$ et $B_{i}\otimes_{A_{i}[u,v],p_{2}^{\sharp}}A_{i}[u,v]\otimes k[x,x^{-1},y,y^{-1}]$ et de l'�quivalence de cat�gories donn�e par le foncteur ${}^{\sim}$ qui � un isomorphisme de modules associe un isomorphisme de faisceaux coh�rents. 
\end{preuve}


\subsubsection{Morphismes stricts de fibr�s filtr�s, morphismes de faisceaux de Rees}
Soient $(\calv,\calf^{\bullet}) \rightarrow S$ et $(\calv',\calf'{}^{\bullet}) \rightarrow S$ deux fibr�s vectoriels sur une vari�t� alg�brique $S$, filtr�s par des sous-fibr�s vectoriels stricts, et $f:\calv \rightarrow \calv'$ un morphisme de fibr�s vectoriels.% de rang constant. Alors l'image de $\calv$, $Im(f)$ est un fibr� vectoriel, sous-fibr� de $\calv'$. 

\begin{definition} On dit que $f:(\calv,\calf^{\bullet}) \rightarrow (\calv',\calf'{}^{\bullet})$ est un morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s si pour tout $p$
$$ f(\calf^{p}) \subset \calf'{}^{p},$$
i.e. $ f(\calf^{p})$ est un sous faisceau de $ \calf'{}^{p}$.\\
Lorsque $f$ est un morphisme entre fibr�s vectoriels munis de $n$ filtrations ordonn�es, on dit que c'est un morphisme d'espaces vectoriels filtr�s si c'est un morphisme d'espaces vectoriels filtr�s pour les fibr�s vectoriels munis d'une seule filtration correspondant � chacun des $n$ indices.   
\end{definition}
Remarquons qu'alors pour tout $s \in S$,  $f_{s}(\calf^{p}_{s}) \subset \calf_{s}'{}^p$ i.e. que $f_{s} $ est un morphisme d'espaces vectoriels filtr�s.

Par analogie avec la notion de morphisme d'espaces vectoriels filtr�s strictement compatibles, introduisons la notion de morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s strictement compatibles. 
\begin{definition}Le morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s sur $S$,  $f:(\calv,\calf^{\bullet}) \rightarrow (\calv',\calf'{}^{\bullet})$ est dit strictement compatible aux filtrations si, pour tout $p$
$$ f(\calf^{p}) =Im(f) \cap \calf'{}^{p}.$$
La d�finition s'�tend aux morphismes de fibr�s vectoriels munis de plusieurs filtrations.
\end{definition}
Si $f$ est un morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s sur $S$ strictement compatible aux filtrations, on v�rifie que l'on a bien, pour tout $s \in S$,
$$  f_{s}(\calf^{p}_{s}) =Im(f_{s}) \cap \calf_{s}'{}^{p},$$
et donc qu'un morphisme de fibr�s vectoriels strictement compatible aux filtrations par des sous-fibr�s vectoriels induit bien sur les fibres un morphisme d'espaces vectoriels strictement compatible aux filtrations.

Donnons-nous un morphisme strictement compatible de fibr�s vectoriels bifiltr�s sur une vari�t� $S$, $f :(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet }) \rightarrow (\calv',\calf'{}^{\bullet},\calg'{}^{\bullet})$ o� $\calv $ est de rang $n$ et $\calv'$ de rang $n'$. Recouvrons $S$ par des ouverts affines trivialisant les deux fibr�s $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$ o� $i \in I$. C'est toujours possible quitte � prendre les intersections deux � deux des ouverts trivialisant respectivement l'un et l'autre des fibr�s. La construction du faisceau de Rees sur chacun des ouverts $S_ {i} \times {\bf A}^2$ pour chacun des fibr�s donne pour tout $i$, les fibr�s $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet }) \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^2$ et $\xi_{i}(\calv',\calf'{}^{\bullet},\calg'{}^{\bullet}) \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^2$. Nous allons associer � $f$ un morphisme entre les faisceaux de Rees. Exhibons ce morphisme localement sur les $S_{i} \times {\bf A}^2$. Nous gardons ici les notations pour les fibr�s vectoriels donn�e en d�but de partie, on ajoute des $'$ pour tout ce qui concerne $\calv'$. Le morphisme de fibr�s vectoriels $f$ est d�crit par des morphismes de sch�mas $f_{i}: {\bf A}^{n}_{S_i} \rightarrow {\bf A}^{n'}_{S_{i}}$ dont les morphismes d'anneaux associ�s $f_{i}^{\sharp}:A_{i}[x_{1},...,x_{n'}] \rightarrow A_{i}[x_{1},...,x_{n}]$ sont $A_{i}$-lin�aires. Ces morphismes s'expriment en fonction des trivialisations et de $f$ par le diagramme qui commutatif
$$
\xymatrix{
\pi^{-1}(S_{i}) \ar[r]^-{\Psi_{i}}_{\cong} \ar[d]^{f}&  {\bf A}^{n}_{S_i} \ar@{.>}[d]^{f_i}\\
\pi^{-1}{}'(S_{i}) \ar[r]^-{\Psi_{i}'}_{\cong}&  {\bf A}^{n'}_{S_i} \\  
}.$$   
La stricte compatibilit� du morphisme de fibr�s bifiltr�s signifie que pour tout $i \in I$ et tout $(p,q)$,
$$f_{i}(M_{i,pq})=f_{i}(M) \cap M_{i,pq}'.$$
Le morphisme entre modules de Rees relatifs
\begin{center}
$ f_{i}^{r}{}^{\sharp}: B_{i}=\sum_{p,q}u^{-p}v^{-q}M_{i,pq} \rightarrow B_{i}'=\sum_{p,q}u^{-p}v^{-q} M_{i,pq}'$\\
$x=\sum_{p,q}u^{-p}v^{-q}m_{i,pq} \mapsto f_{i}^{r}(x)=\sum_{p,q}u^{-p}v^{-q} f_{i}(m_{i,pq})$
\end{center} 
est donc bien d�fini. D'o� le morphisme associ� � $f_{i}^{r}$ par la construction ${}^\sim$ (on garde la m�me notation),
$$f_{i}^{r}: \xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet}{},\calg^{\bullet }{}) \rightarrow \xi_{i}(\calv',\calf^{\bullet}{}',\calg^{\bullet }{}') .$$



\begin{proposition} $(i)$ Les $f_{i}^{r}$ sont des morphismes de faisceaux coh�rents ${\bf G}_{m}^{2}$-�quivariants pour l'action de ${\bf G}_{m}^{2}$ sur $S_{i}\times {\bf A}^2$ triviale dans la direction de $S_{i}$ et par translation dans la direction du plan affine.\\
$(ii)$ Les $f_{i}^{r}$ se recollent pour former un morphisme ${\bf G}_{m}^{2}$-�quivariant entre les ${\bf G}_{m}^{2}$-faisceaux de Rees $f^{r}: \xi_{}(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet }) \rightarrow \xi_{}(\calv',\calf'{}^{\bullet},\calg'{}^{\bullet}) $.\\
$(iii)$ Le conoyau du morphisme $f^r$ est un faisceau coh�rent sans torsion.
\end{proposition}

\begin{preuve}$(i)$ Il suffit de voir que l'action (la coaction) est compatible avec le morphisme entre modules de Rees relatifs, i.e. que les diagrammes suivants commutent
$$
\xymatrix{
B_{i} \ar[r]^-{p_{2}^{\sharp}} \ar[d]_-{f_{i}^{\sharp}} &  B_{i} \otimes k[u,u^{-1},v,v^{-1}] \ar[d]^-{f_{i}^{\sharp} \otimes id}\\
B_{i}' \ar[r]^-{p_{2}^{\sharp}}  &  B_{i}' \otimes k[u,u^{-1},v,v^{-1}]\\
}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\xymatrix{
B_{i} \ar[r]^-{\sigma^{\sharp}} \ar[d]_-{f_{i}^{\sharp}} &  B_{i} \otimes k[u,u^{-1},v,v^{-1}] \ar[d]^-{f_{i}^{\sharp} \otimes id}\\
B_{i}' \ar[r]^-{\sigma^{\sharp}}  &  B_{i}' \otimes k[u,u^{-1},v,v^{-1}]\\
},$$
ce qui est bien le cas par la stricte compatibilit� des $f_{i}^{r}$.\\ 
$(ii)$ On v�rifie que pour tout $i,j \in I$, les restrictions � $(S_{i}\cap S_{j}) \times {\bf A}^2$, les $f_{i}^r$, $f_{j}^r$ commutent aux isomorphismes de changement de cartes des deux fibr�s $\varphi_{ij}$ et $\varphi_{ij}'$, ce qui permet de recoller les morphismes pour obtenir un morphisme $f^{r}$ sur le faisceau de Rees obtenu dans la proposition \ref{recolledef} en collant les descriptions locales. L'action �tant triviale dans la direction de $S_{i}$ sur tous les $ S_{i}\times {\bf A}^2$, on peut recoller.\\
$(iii)$ La question est locale. Pla�ons-nous sur les $S_{i} \times {\bf A}^2$. Il suffit de montrer que le conoyau du morphisme de $A_{i}[u,v]$-modules $B_{i}\rightarrow B_{i}'$ est sans torsion.   
\end{preuve}

On en d�duit pour la construction du faisceau de Rees relatif sur le plan projectif :
\begin{corollaire} Soit sur une vari�t� $S$ un morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s par des sous-fibr�s stricts strictement compatibles aux filtrations  $f:(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow (\calv',\calf_{0}'{}^{\bullet },\calf_{1}'{}^{\bullet },\calf_{2}'{}^{\bullet })$. Alors le morphisme de faisceaux de Rees ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ qui s'en d�duit
$$f^{r}:\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow \xi(\calv',\calf_{0}'{}^{\bullet },\calf_{1}'{}^{\bullet },\calf_{2}'{}^{\bullet }),$$
est un morphisme ${\bf T}$-�quivariant pour l'action $\sigma$. De plus, le conoyau de $f^{r}$ est un faisceau sans torsion.
\end{corollaire}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Dictionnaire sous l'hypoth�se $({\bf H})$}


{\bf ATTENTION : dans toute cette section les filtrations par des fibr�s vectoriels doivent v�rifier l'hypoth\`ese }$({\bf H})$.



\subsubsection{ Propri�t�s de $\xi(\calv,\calf^{\bullet},\calg^{\bullet}) \rightarrow S \times {\bf A}^{2}$} 


Etudions les propri�t�s du faisceau coh�rent de Rees associ� � un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s vectoriels stricts. 

\begin{lemme}
Soit $A$ un anneau, $\mathfrak a$ un id�al de $A$ et $B$ un $A$-module. Alors l'application $A/{\mathfrak a}\times B \rightarrow B/{\mathfrak a}$ induite par  $\forall a \in A,\,b \in B, \,\,(a,b) \mapsto a.b \,\emph{mod}\,  aB$ est bilin�aire et induit un isomorphisme 
$$ A/{\mathfrak a} \otimes B \cong B/ {\mathfrak a}B.$$
\end{lemme}

\begin{preuve} Remarquons d'abord que l'application $A/{\mathfrak a}\times B \rightarrow B/{\mathfrak a}$ est bilin�aire. D'o� le morphisme $A/{\mathfrak a}\otimes B \rightarrow B/{\mathfrak a}$. La surjectivit� est �vidente. On construit un morphisme inverse avec la fl�che $ B \rightarrow  A/{\mathfrak a}\otimes B$ qui � $b $ associe ${\overline 1} \otimes b$ dont le noyau est ${\mathfrak a}B$.  



\end{preuve}

\begin{proposition}\label{proplocales} Le faisceau de Rees $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})$ sur $ S\times {\bf A}^2$ obtenu � partir du fibr� vectoriel $\calv$ sur $S$ filtr� par des sous-fibr�s v�rifie les propri�t�s\\
\hspace*{1cm}$(i)$ Pour tout $s \in S$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{\{s\}\times {{\bf A}^2}}\cong  \xi_{{\bf A}^2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{s},\calg^{\bullet}_{s})$ est un isomorphisme de fasiceaux localement libres sur ${\bf A}^2$.\\
\hspace*{1cm}$(ii)$ Pour tout $(u_{0},v_{0}) \in {\bf A}^{2}$ tels que $u_{0}.v_{0}\neq 0$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times (u_{0},v_{0}) }\cong \calv$ est un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S$.\\
\hspace*{1cm}$(iii) $ Pour tout $u_{0}\in {\bf A}^{1}$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times \{u_{0}\} \times {\bf A}^1}\cong \xi(Gr_{\calg}\calv,\calf^{\bullet })$ est un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $S \times {\bf A}^1$ (resp. un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S \times {\bf A}^1$ si les filtrations v�rifient ${\bf (H)}$).\\ 
\hspace*{1cm}$(iv) $ Pour tout $v_{0}\in {\bf A}^{1}$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times {\bf A}^{1} \times \{v_{0}\}}\cong \xi(Gr_{\calf}\calv,\calg^{\bullet })$  est un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $S \times {\bf A}^1$ (resp. un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S \times {\bf A}^1$ si les filtrations v�rifient ${\bf (H)}$).\\ 
\hspace*{1cm}$(v) $ Pour tout $u_{0}\in {\bf A}^{1}$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times (u_{0},0)}\cong \xi(Gr_{\calg}\calv)$ est un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $S $ (resp. un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S $ si les filtrations v�rifient ${\bf (H)}$).\\ 
\hspace*{1cm}$(vi) $ Pour tout $v_{0}\in {\bf A}^{1}$, $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times (0,v_{0})}\cong \xi(Gr_{\calf}\calv,\calg^{\bullet })$  est un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $S $ (resp. un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S $ si les filtrations v�rifient ${\bf (H)}$).\\
\hspace*{1cm}$(vii)$ $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times (0,0)}\cong Gr_{\calf}Gr_{\calg}\calv$  est un isomorphisme de faisceaux coh�rents sur $S$ (resp. un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $S$ si les filtrations v�rifient ${\bf (H)}$).\\
Ainsi que les propri�t�s\\
\hspace*{1cm}$(viii) $ $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times {\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m}}\cong \xi(\calv,\calf^{\bullet },\calt riv^{\bullet})\vert_{S \times  {\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m}}$ est un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $ S \times  {\bf A}^{1}\times {\bf G}_{m}$.\\
\hspace*{1cm}$(ix) $ $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times {\bf G}_{m}\times {\bf A}^{1}}\cong \xi(\calv,\calg^{\bullet },\calt riv^{\bullet})\vert_{S \times  {\bf G}_{m}\times {\bf A}^{1}}$ est un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $ S \times  {\bf G}_{m}\times {\bf A}^{1}$.\\
\hspace*{1cm}$(x) $ $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times {\bf G}_{m}\times {\bf G}_{m}}\cong \xi(\calv,\calt riv^{\bullet },\calt riv^{\bullet})\vert_{S \times  {\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m}}$ est un isomorphisme de fibr�s vectoriels sur $ S \times  {\bf G}_{m}\times {\bf G}_{m}$.\\



 
\end{proposition}

\begin{preuve}
$(i)$ Soit $i \in I$ tel que $s \in S_{i}$. Il faut montrer que $\xi_{i}(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{\{s\}\times {{\bf A}^2}}\cong  \xi_{{\bf A}^2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{s},\calg^{\bullet}_{s})$. Soit ${\mathfrak a}_s$ l'id�al maximal de $A_{i}$ correspondant au point $s \in S_{i}$ et ${\mathfrak a}_s[u,v]$ l'id�al de $A_{i}[u,v]$ correspondant � $\{s\} \times {\bf A}^2$. Soit $j: \{s\} \times {\bf A}^{2}  \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^2$ le morphisme d'inclusion. Alors $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{\{s\}\times {{\bf A}^2}}=j^{*}\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\cong(B_{i} \otimes_{A_{i}[u,v]}  A_{i}[u,v]/{\mathfrak a}_s[u,v])^{\sim} \cong(B_{i}/{\mathfrak a}_s[u,v].B_{i})^{\sim}$; le dernier isomorphisme vient du lemme pr�c�dent. Pour tout $(p,q)$, $M_{i,pq}/{\mathfrak a}_{s}$ est un $k$-espace vectoriel de dimension $\text{dim}_{k}((\calf^{p}\cap\calg^{q})_{s})$ que nous noterons $V_{pq}$. Du diagramme commutatif de $A_{i}$-modules dans lequel les fl�ches sont injectives on peut d�duire par localisation le diagramme de $k$-espaces vectoriels de m�me forme dans lequel toutes les fl�ches sont injectives. On retrouve ainsi les filtrations $F^{\bullet }=\calf^{\bullet}_{s}$ et $G^{\bullet }=\calg^{\bullet}_{s}$ du $k$-espace vectoriel $V=M_{i}/{\mathfrak a}_{s}$. D'o� l'isomorphisme $B_{i}/{\mathfrak a}_s[u,v].B_{i} \cong R^{2}(V,F^{\bullet },G^{\bullet })=R^{2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{s},\calg^{\bullet }_{s})$ qui donne le r�sultat.

$(ii)$ Montrons d'abord qu'il y a isomorphisme sur chacun des ouverts affines $S_{i}$ qui recouvrent $S$. Pour tout $i$, le morphisme d'inclusion $k:S_{i}\times (u_{0},v_{0}) \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^{2}$ vient du morphisme surjectif d'anneaux $A_{i}[u,v]\rightarrow A_{i}[u,v]/(u-u_{0},v-v_{0}).A_{i}[u,v]\cong A_{i}$. $\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\vert_{S \times (u_{0},v_{0})}=k^{*}\xi(\calv,\calf^{\bullet },\calg^{\bullet})\cong (B_{i}\otimes_{A_{i}[u,v]}A_{i}[u,v]/(u-u_{0},v-v_{0}).A_{i}[u,v])^{\sim}\cong(B_{i}/(u-u_{0},v-v_{0}).B_{i})^{\sim}\cong M^{\sim}$ ce qui permet de conclure pour chacun des ouverts affines. Il suffit ensuite de remarquer que les isomorphismes de recollement sur les $(S_{i}\cap S_{j})\times (u_{0},v_{0})$ et les $S_{i}\cap S_{j}$ commutent avec les restrictions.

$(iii)$ Pla�ons-nous sur les ouverts affines. Notons par $k$ le morphisme d'inclusion $S_{i } \times (u_{0},0) \rightarrow S_{i}\times {\bf A}^{1}$ et soit $A_{i}[u,v] \rightarrow A_{i}[u,v]/(u-u_{0},v).A_{i}[u,v]$ le morphisme d'anneaux lui correspondant. 

$(iv)$ Cette assertion se d�duit de la pr�c�dente en �changeant les r�les de $\calf^{\bullet }$ et $\calg^{\bullet }$.

$(v)$ Exhibons d'abord l'isomorphisme sur les affines $S_{i} \times {\bf G}_{m} \times {\bf A}^1$. Le morphisme d'inclusion $S_{i} \times {\bf G}_{m} \times {\bf A}^1 \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^2$ vient du morphisme d'anneaux $A_{i}[u,v] \rightarrow A_{i}[u,u^{-1},v]$. Il suffit donc de v�rifier que $B_{i} \otimes_{A_{i}[u,v]} A_{i}[u,u^{-1},v] \cong \sum_{p,q}u^{-p}M_{i,pq}$ est isomorphe au module de Rees obtenu lorsque la deuxi�me filtration $\calg^{\bullet}$ est triviale. C'est bien le cas puisque ce module n'a pas de terme en $v^{-q}m$ lorsque cette filtration est triviale. Pour conclure on remarque � nouveau que les restrictions commutent aux isomorphismes de recollement.

$(vi)$ C'est le pendant de la pr�c�dente en �changeant les deux filtrations.

$(vii)$ Cette assertion se d�montre de la m�me fa�on que les deux pr�c�dentes. On se place sur les ouverts affines $S_{i} \times {\bf G}_{m} \times {\bf G}_m$. L'inclusion $S_{i} \times {\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m} \rightarrow S_{i} \times {\bf A}^{2}$ vient du morphisme $A_{i}[u,v] \rightarrow A_{i}[u,u^{-1},v,v^{-1}]$. On a un isomorphisme $B_{i} \otimes_{A_{i}[u,v]} A_{i}[u,u^{-1},v,v^{-1}] \cong M_{i}$ ce qui permet de conclure localement. On peut ensuite recoller, car les restrictions commutent aux isomorphismes de recollement. 
  


\end{preuve}






Sous l'hypoth�se $({\bf H})$, on a 

\begin{proposition} Le faisceau r�flexif de Rees $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })$ a les propri�t�s suivantes\\ 
\hspace*{1cm}$\bullet$ Pour tout $s \in S$, $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{\{s\}\times {{\bf P}^2}} \cong \xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf_{0}^{\bullet }{}_{s},\calf_{1}^{\bullet }{}_{s},\calf_{2}^{\bullet }{}_{s}).$\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ Pour tout $(u_{0}:u_{1}:u_{2}) \in {\bf P}^{2}$ tel que $u_{0}u_{1}u_{2}\neq 0$,  $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{S \times  \{(u_{0}:u_{1}:u_{2})\}} \cong \calv$.\\
\hspace*{1cm}$\bullet$ On a aussi $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{S \times  \{(1:0:0)\}} \cong Gr_{\calf_{1}}Gr_{\calf_{2}}\calv$,  $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{S \times  \{(0:1:0)\}} \cong Gr_{\calf_{0}}Gr_{\calf_{2}}\calv$ et  $\xi(\calv,\calf_{0}^{\bullet },\calf_{1}^{\bullet },\calf_{2}^{\bullet })\vert_{S \times  \{(0:0:1)\}} \cong Gr_{\calf_{0}}Gr_{\calf_{1}}\calv$.\\
Un seul gradu� aussi
\end{proposition}

\begin{preuve}
Cette proposition se d�duit de la pr�c�dente par recollement.

\end{preuve}




\subsubsection{Foncteur de Rees}
Nous introduisons ici quelques notation pour d�crire la construction du fibr� de Rees relatif parall�lement � ce qui a �t� fait dans la partie 1 pour les construction de Rees associ� aux espaces vectoriels filtr�s. Rappelons que nous notions $\Phi_{R}$ le foncteur qui � un espace vectoriel filtr� muni de $n$ filtration $(V,F^{\bullet}_{0},...,F_{n-1}^{\bullet })$ associe un faisceau de Rees sur la vari�t� affine ${\bf A}^n$. Nous utilisions la m�me notation pour le foncteur qui � un espace vectoriel muni de trois filtrations associe le fibr� de Rees sur le plan projectif ${\bf P}^2$. 
 
$\Phi_R$ est un foncteur de la cat�gorie des espaces vectoriels filtr�s (resp. bifiltr�s, resp. trifiltr�s) munie des morphismes strictement compatibles aux filtrations vers la cat�gorie des faisceaux localement libres sur ${\bf A}^1$ (resp. ${\bf A}^2$, resp. ${\bf P}^2$) �quivariants pour une certaine action d'un tore et munie des morphismes �quivariants de fibr� pour cette action dont le conoyau est sans torsion. 

Nous d�signerons par $\Phi_{\calr}$ le foncteur relatif, qui � un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts sur une vari�t� alg�brique $S$, $(\calv,\calf^{\bullet}_{0}) \rightarrow S$ (resp. bifiltr� par des sous-fibr�s stricts $(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1}) \rightarrow S$, resp. trifiltr� par des sous fibr�s stricts $(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf_{2}^{\bullet }) \rightarrow S$) associe le fibr� �quivariant (resp. faisceau reflexif �quivariant) pour l'action d'un tore 
\begin{center}
$ \Phi_{\calr}((\calv,\calf^{\bullet}_{0}) \rightarrow S)=\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0}) \rightarrow S \times {\bf A}^1,$\\
resp. $ \Phi_{\calr}((\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1}) \rightarrow S)=\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1}) \rightarrow S \times {\bf A}^2,$\\
resp. $ \Phi_{\calr}((\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S)=\xi(\calv,\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet}_{2}) \rightarrow S \times {\bf P}^2.$
\end{center}

Soit $\calc_{nfiltr}(S)$ la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur $S$ muni de $n$ filtrations par des sous-fibr�s stricts et des morphismes de fibr�s vectoriels strictement compatibles aux filtrations.

Soit $\calf ib(S \times {\bf A}^{1}/{\bf G}_{m})$ la cat�gorie des fibr�s ${\bf G}_m$-�quivariants sur $S \times {\bf A}^1$ muni de l'action par translation sur le deuxi�me facteur et des morphismes de faisceaux $G$-�quivariants dont le conoyau est sans torsion.

Soit $\calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}^{2})$ la cat�gorie des faisceaux r�flexifs ${\bf G}^2$-�quivariants sur $S \times {\bf A}^2$ muni de l'action par translation sur le deuxi�me facteur dont les restrictions � $S \times \{(u_{0},v_{0})\}$, $\{s\} \times {\bf A}^2$, $S \times {\bf A}^{1} \times \{ v_{0} \}$, $S \times \{u_{0}\} \times {\bf A}^{1}$ et $S \times {\bf A}^{1} \times \{v_{0}\}$ pour tout $s,u_{0},v_{0}$ sont des fibr�s vectoriels et des morphismes de faisceaux $G$-�quivariants dont le conoyau est sans torsion.

Soit $\calr efl(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ la cat�gorie des faisceaux r�flexifs ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ munis de l'action par translation sur le plan projectif dont les restrictions aux trois ouverts standards ${\bf A}^2$ sont dans $\calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}^{2})$ et des morphismes ${\bf T}$-�quivariants dont le noyau est sans torsion.

Alors, la section pr�c�dente sur les morphismes de fibr�s de Rees montre que l'on a bien d�fini des foncteurs
\begin{center}
$\Phi_{\calr}:\calc_{1filtr}(S) \rightarrow \calf ib(S \times {\bf A}^{1}/{\bf G}_{m})$\\
$(\calv,\calf^{\bullet }) \mapsto \xi(\calv,\calf^{\bullet })$\\
$( f:(\calv,\calf^{\bullet })) \rightarrow (\calv',\calf^{\bullet }{}'))
\mapsto ( f^{r}:\xi(\calv,\calf^{\bullet }) \rightarrow \xi(\calv',\calf^{\bullet }{}')),$\\
\end{center}




\begin{center}
$\Phi_{\calr}:\calc_{2filtr}(S) \rightarrow \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$\\
$(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1}) \mapsto \xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1})$\\
$( f:(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1})) \rightarrow (\calv',\calf^{\bullet }_{0}{}',\calf^{\bullet}_{1}{}'))
\mapsto ( f^{r}:\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1}) \rightarrow \xi(\calv',\calf^{\bullet }_{0}{}',\calf^{\bullet}_{1}{}'))),$\\
\end{center}



\begin{center}
$\Phi_{\calr}:\calc_{3filtr}(S) \rightarrow \calr efl(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$\\
$(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf_{2}^{\bullet }) \mapsto \xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})$\\
$( f:(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf_{2}^{\bullet })) \rightarrow (\calv',\calf^{\bullet }_{0}{}',\calf^{\bullet}_{1}{}',\calf_{2}^{\bullet }{}'))
\mapsto ( f^{r}:\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet}_{1},\calf_{2}^{\bullet }) \rightarrow \xi(\calv',\calf^{\bullet }_{0}{}',\calf^{\bullet}_{1}{}',\calf_{2}^{\bullet }{}'))).$\\
\end{center}




\subsubsection{Construction relative inverse, foncteur de Rees inverse}
Le but ici est de d�finir un foncteur inverse du foncteur de Rees relatif qui � un espace vectoriel trifiltr� associe un faisceau relatif sur le plan projectif afin d'�tendre le dictionnaire ponctuel au cas relatif. Nous allons tout d'abord d�finir un foncteur inverse relatif ``local'' sur les plans affines pour toute vari�t� alg�brique $S$, $$\Phi_{\cali }: \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2}) \rightarrow   \calc_{2filtr}(S).$$


Soit $\xi$ un objet de $ \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$. Alors par d�finition de cette cat�gorie, $\xi\vert_{S \times \{(1,1)\}}$ est un fibr� vectoriel sur $S$ (du moins modulo l'isomorphisme entre $S$ et $S \times \{(1,1)\}$, nous ferons toujours l'abus de langage). Posons 
$$\Phi_{\cali}(\xi):=\xi\vert_{S \times \{(1,1)\}}.$$
L'action permet de munir $\Phi_{\cali}(\xi)$ de deux filtrations.  $\xi$ est coh�rent, donc il existe des ouverts affines qui recouvrent $S_{i}=\text{Spec}A_{i}$ et des $A_{i}[u,v]$-modules $M_{i}$ tels que $\xi\vert_{S_{i}\times {\bf A}^2}\cong(M_{i})^{\sim}$. L'action de ${\bf G}_{m}^{2}$ sur le faisceau vient du morphisme d'anneaux $\sigma^{\sharp}: M_{i} \rightarrow M_{i}\otimes_{A_{i}[u,v]}k[x,x^{-1},y,y^{-1}]$. Consid�rons l'inclusion $j :S_{i}\times {\bf A}^{1} \times \{1\} \rightarrow S_{i}\times {\bf A}^{2}$. L'action de ${\bf G}_{m}$ sur $\xi\vert_{{S_{i}\times {\bf A}^{1} \times \{1\}}}$ qui est un fibr� vectoriel par hypoth�se vient du morphisme de $A_{i}[u]$-modules  $M_{i}/k[v] \rightarrow M_{i}/k[v]\otimes_{A_{i}[u]}k[x,x^{-1},y,y^{-1}]/k[y,y^{-1}]$. On en d�duit une trivialisation par cette action du fibr� $\xi\vert{S_{i}\times {\bf A}^{1} \times \{1\}}$ sur $S_{i}\times {\bf G}_{m} \times \{1\}$ 
$$\xi\vert_{{S_{i}\times {\bf G}_{m} \times \{1\}}} \cong k^{*}\xi\vert_{S \times \{(1,1)\}}.$$
Pour tout $i \in I$, l'action � gauche induit une action � droite triviale sur la base $S_{i} \times \{(1,1)\}$ que l'on peut d�composer suivant les caract�res
\begin{eqnarray}
\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}}&=&\oplus_{\chi \in X^{*}({\bf G}_{m}(u))}(\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}})^{\chi_u}\\
&=&\oplus_{p \in {\bf Z}}(\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}})^{p_u}
\end{eqnarray}
On a �crit ${\bf G}_{m}(u)$ pour bien indiquer que cette d�composition vient de la ``direction'' $u$ suivant laquelle agit par translation le facteur $x$ dans ${\bf G}_{m}^{2}=\text{Spec}k[x,x^{-1},y,y^{-1}]$. Ceci permet de d�finir une filtration d�croissante et exhaustive par des sous-fibr�s stricts de $\Phi_{\cali}(\xi_{i})=\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}}$, $\calf^{\bullet }_{0,i}$ par
$$  \calf^{p}_{0,i}=\oplus_{q \leq p}(\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}})^{p_u}.$$
De mani�re analogue, en d�composant suivant l'action du deuxi�me facteur, on peut d�finir une filtration exhaustive et d�croissante par des sous-fibr�s stricts de $\Phi_{\cali}(\xi_{i})=\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}}$, $\calf^{\bullet }_{1,i}$,
$$  \calf^{p}_{1,i}=\oplus_{q \leq p}(\xi\vert_{S_{i} \times \{(1,1)\}})^{p_v}.$$
Les filtrations locales par des sous-fibr�s stricts se recollent pour former des filtrations par des sous-fibr�s stricts de $\Phi_{\cali}(\xi_{})=\xi\vert_{S_{} \times \{(1,1)\}}$.

Le foncteur $\Phi_{\cali}$ est ainsi bien d�fini au niveau des objets.\\
${}$\\
Consid�rons un morphisme dans la cat�gorie $ \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$, $g : \xi \rightarrow \xi'$. On en d�duit, par restriction � $S \times \{(1,1)\}$, un morphisme de fibr�s vectoriels 
$$g^{i}=\Phi_{\cali}(g):=g\vert_{S \times \{(1,1)\}}: \Phi_{\cali}(\xi) \rightarrow \Phi_{\cali}(\xi').$$
Le morphisme $g$ est ${\bf G}_{m}^2$-�quivariant donc le morphisme $g�$ respecte les filtrations, c'est un morphisme de fibr�s vectoriels filtr�s. Reste � montrer qu'il est strict. Comme l'assertion porte sur chacune des filtrations s�parement, restreignons (en ne consid�rant que la premi�re par exemple) le fibr� � $S \times {\bf A}^{1} \times \{1\}$. 



Le foncteur de Rees relatif inverse $\Phi_{\cali}$ est donc bien d�fini au niveau des morphismes.\\
${}$\\ 
Justifions son appelation de foncteur inverse.

\begin{proposition}
Pour toute vari�t� alg�brique $S$, les foncteurs $\Phi_{\calr}$ et $\Phi_{\cali}$ �tablissent une �quivalence de cat�gories entre la cat�gorie $ \calc_{2filtr}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ munis de deux filtrations exhaustives et d�croissantes par des sous-fibr�s stricts dont les morphismes sont les morphismes stricts de fibr�s vectoriels et la cat�gorie $ \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$ des faisceaux coh�rents r�flexifs ${\bf G}_{m}^2$-�quivariants sur $S \times { \bf G}_{m}^2$ dont les morphismes sont les morphismes �quivariants dont le conoyau est sans torsion
$$\xymatrix{
 \calc_{2filtr}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
\end{proposition}

\begin{preuve}
Montrons que $\Phi_{\cali}$ �tablit une correspondance pleinement fid�le et essentiellement surjective. Soit $\calv \in  \calc_{2filtr}(S)$, alors $\Phi_{\calr}(\calv ) \in \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$. Par la proposition 31, $ \Phi_{\calr}(\calv ) \vert_{S \times \{(1,1)\}}\cong \calv$. Ainsi $\Phi_{\cali}(\Phi_{\calr}(\calv))\cong \calv$ comme fibr�s vectoriels. Les filtrations de $
\Phi_{\cali}(\Phi_{\calr}(\calv))$ co�ncident, modulo l'isomorphisme, avec celles de $\calv$.

Montrons que $\Phi_{\cali}$ est essentiellement surjective. Soit $\xi$ et $\xi'$ dans $ \calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})$ et $g,g' \in \text{Hom}_{\calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})}(\xi,\xi')$ telles que $\Phi_{\cali}(g)=\Phi(g')$ dans $\text{Hom}_{ \calc_{2filtr}(S)}(\Phi_{\cali}(\xi),\Phi_{\cali}(\xi'))$. Alors, comme $\Phi_{\calr}(\Phi_{\cali}(g))$ induit un morphisme isomorphe � $g$ entre les objets $\Phi_{\calr}\circ \Phi_{\cali}(\xi)$ et $\Phi_{\calr}\circ \Phi_{\cali}(\xi')$, et que l'isomorphisme est le m�me pour les deux morphismes identiques $\Phi_{\cali}(g)=\Phi(g')$, il vient $g=g'$, ce qui prouve l'injectivit� de la correspondance. La surjectivit� est claire par la construction de la section sur le morphisme de Rees, � $f \in \text{Hom}_{ \calc_{2filtr}(S)}(\Phi_{\cali}(\xi),\Phi_{\cali}(\xi'))$ on associe le morphisme $\varphi_{}' \circ \Phi_{\calr}(f) \circ \varphi_{}^{-1} \in  \text{Hom}_{\calr efl(S \times {\bf A}^{2}/{\bf G}_{m}^{2})}(\xi,\xi')$ o� $\varphi$ est l'isomorphisme entre $\Phi_{\calr}\circ \Phi_{\cali}(\xi)$ et $\xi$ et $\varphi'$ est l'isomorphisme entre $\Phi_{\calr}\circ \Phi_{\cali}(\xi)$ et $\xi'$.


\end{preuve}

${}$\\
{\bf Remarque :} On d�duit bien s�r de cette proposition une �quivalence de cat�gorie pour les objets munis d'une seule filtration. Il suffit pour cela de restreindre la construction pr�c�dente faites avec deux filtrations dont l'une est triviale � l'un des deux facteurs, d'o� l'�quivalence de cat�gories

$$\xymatrix{
 \calc_{1filtr}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib(S \times {\bf A}^{1}/{\bf G}_{m}^{}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 


\subsubsection{Dictionnaire relatif}
D�finissons quelques cat�gories qui vont entrer dans le dictionnaire relatif.\\
${}$\\
$\bullet$ Soit $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr� stricts et tel que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes. Comme pour les filtrations d'espaces vectoriels, on dira que les trois filtrations sont simultan�ement scind�es s'il existe des sous-fibr�s $\calv^{p,q,r}$ de $\calv$ tels que pour tout $(p,q,r)$,
$\calf^{p}_{0}= \oplus_{p'\geq p,q,r} \calv^{p',q,r}$, $\calf^{q}_{1}= \oplus_{p,q'\geq q,r} \calv^{p,q',r}$ et $\calf^{r}_{2}= \oplus_{p,q,r'\geq r} \calv^{p,q,r'}$. 

Soit $ \calc_{3filtr,scind}(S)$ la sous-cat�gorie pleine de $ \calc_{3filtr}(S)$ dont les objets sont simultan�ement scind�s.

On notera par  $\calf ib_{scind}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ la sous-cat�gorie pleine de $\calr efl(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ dont les objets sont en plus des fibr�s vectoriels sommes de fibr�s en droites.\\
${}$\\
$\bullet $ Soit $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ un objet de $ \calc_{3filtr}(S)$. On dit que les filtrations par des fibr�s stricts sont oppos�es si en tout point les filtrations induites sur les fibres ont cette propri�t�, i.e. si pour tout $s \in S$, $  (\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2}{}_{s})$ est un espace vectoriel muni de trois filtrations oppos�es.

On notera $ \calc_{3filtr,opp}(S)$ la sous-cat�gorie pleine de $ \calc_{3filtr}(S)$ dont les objets sont des fibr�s vectoriels filtr�s dont les filtrations sont oppos�es.

Soit  $\calr efl_{\mu-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ la sous-cat�gorie pleine de $\calr efl(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ dont les objets restreints � $\{s \} \times {\bf P}^2$ pour tout $s \in S$ sont $\mu$-semistables de pente $0$.\\
${}$\\
%$\bullet$ Pla�ons-nous sur le corps ${\bf C}$. Supposons qu'un objet  $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ de $ \calc_{3filtr}(S)$ soit tel (qu'en chaque point $s \in S$ la fibre $\calv_{s}$ soit munie d'une structure r�elle sous-jacente $\calv_{s}{}_{\bf R} \subset \calv_{s}$ comme espaces vectoriels) que $\calv=\calv_{\bf R}\otimes_{\bf R} \calo_{S}$ o� $\calv_{\bf R}$ est un syst�me local sur $S$ de ${\bf R}$-espaces vectoriels. Alors chaque fibre $\calv_{s}$ est muni d'une involution $\tau$ qui pr�serve $\calv_{\bf R}$, $\tau$ agit par conjugaison sur chaque fibre. Supposons de plus que pour tout $s \in S$ et tout $p$, $\tau(\calf^{p}_{2}{}_{s})=\calf^{p}_{2}{}_{s}$. Alors on dira que les filtrations $\calf^{\bullet }_{1}$ et $\calf^{\bullet }_{2}$ sont conjugu�es par rapport � la structure r�elle sous-jacente. 

%Soit $ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}}(S)$ la sous-cat�gorie pleine de $ \calc_{3filtr,opp}(S)$ dont les objets sont munis d'un syst�me local sur $S$ r�el sous-jacent pour lequel les filtrations $\calf^{\bullet}_{1}$ et $\calf^{\bullet }_{2}$ sont oppos�es.

%Consid�rons l'involution anti-holomorphe $\tau$ de $S \times {\bf P}^2$. Avec les notations de la partie 1, elle peut s'�crire $id \times \tau_{{\bf P}^2}$. Elle est explicitement donn�e par
%\begin{center}
%$\tau : S \times {\bf P}^{2} \rightarrow S \times {\bf P}^{2}$\\
%$(s,(u_{0},u_{1},u_{2})) \mapsto (s,({\overline u_{0}},-{\overline u_{2}},{\overline u_{1}})).$
%\end{center}
%Soit $\cale$ un faisceau de $\calo_{S  \times {\bf P}^2}$ localement libre sur $S  \times {\bf P}^2$. On peut alors d�finir le faisceau $\tau^{*}\cale$ par, pour tout ouvert $\calu$,
%$$ \tau^{*}(\cale)(\calu)=\cale(\tau(\calu)).$$
% $\tau^{*}\cale$ est aussi un $\calo_{S \times {\bf P}^2}$-module localement libre. En effet $\tau^{*}(\cale)(\calu)$ a une structure de $\calo_{S \times {\bf P}^2}(\calu)$-module donn�e par : pour tout $e \in \cale( \tau(\calu))$ et $f \in \calo_{{\bf P}^2}(\calu)$ par $f.e={\overline {\tau^{*}(f)}}e$. 

%Soit ${\bf H}$ le sous-groupe des automorphismes de $S \times {\bf P}^2$ engendr� par ${\bf T}$ et $\tau$.
%\begin{definition}Un $\tau$-faisceau coh�rent sur $S \times {\bf P}^2$ est la donn�e d'un faisceau coh�rent $\cale $ et d'un morphisme $f: \cale \rightarrow \tau^{*}(\cale)$ tel que $\tau^{*}(f) \circ f=\text{id}_{\cale}$.\\
%Un ${\bf H}$-faisceau coh�rent est un faisceau coh�rent qui est � la fois un ${\bf T}$-faisceau coh�rent et un $\tau$-faisceau coh�rent.
%\end{definition}  

%On notera par $\calr efl_{semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf H})$ la sous-cat�gorie pleine de $\calr efl(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ dont les objets sont en plus des ${\bf H}$-faisceaux coh�rents.\\

{\bf Ce dictionnaire ne marche que sur les strates sur lesquelles }$({\bf H})$ {\bf est v�rifi�e, les faisceaux r�flexifs devenant des fibr�s}

Nous avons donc montr� sous l'hypoth\`ese $({\bf H})$,
\begin{theoreme} Soit $S$ une vari�t� alg�brique sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle $k$. La construction des faisceaux de Rees relatifs sur $S \times {\bf P}^2$ �tablit les �quivalences de cat�gories entre :\\
$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie $\calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s vectoriels ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion :
$$\xymatrix{
 \calc_{3filtr}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr,scind}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient simultan�ement scind�es, exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie $\calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion : 
$$\xymatrix{
 \calc_{3filtr,scind}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib_{scind}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr,opp}(S)$ des fibr�s vectoriels sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient oppos�es, exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie $\calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s vectoriels ${\bf T}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues et dont les restrictions � $\{s\} \times {\bf P}^2$ pour tout $s \in S$ sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $0$ munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion : 
$$\xymatrix{
 \calc_{3filtr,opp}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
}.$$ 
%Si $k={\bf C}$. On a de plus :\\
%$\bullet$ La cat�gorie $ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}}(S)$ des fibr�s vectoriels � syst�me local r�el sous-jacent sur $S$ trifiltr�s par des sous-fibr�s stricts tels que les filtrations soient conjugu�es, oppos�es, exhaustives et d�croissantes munie des morphismes de fibr�s strictement compatibles aux filtrations et la cat�gorie $\calf ib(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T})$ des fibr�s vectoriels ${\bf T}^{\tau}$-�quivariants sur $S \times {\bf P}^2$ dont les restrictions ont les propri�t�s voulues et dont les restrictions � $\{s\} \times {\bf P}^2$ pour tout $s \in S$ sont ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $0$ munie des morphismes �quivariants de fibr�s dont le conoyau est sans torsion : 
%$$\xymatrix{
% \calc_{3filtr,opp,{\bf R}}(S) \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{\calr}} &   \calf ib_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{\cali}}
%}.$$ 
\end{theoreme}








%\subsubsection{Foncteurs fibres}


\subsection{Stratification associ�e � une famille d'espaces vectoriels trifiltr�s}

On s' int�resse au cas o� l'hypoth�se $({\bf H})$ n'est pas forc�ment satisfaite.

\subsubsection{Stratification platifiante}

Soit $\calf$ un faisceau coh�rent sur un sch�ma projectif $X$ sur un corps alg�briquement clos de caract�ristique nulle $k$. Alors la caract�ristique d'Euler de $\calf$ est
$$\chi(X,\calf)=\sum_{i}(-1)^{i}h^{i}(X,\calf),$$
o� $h^{i}(X,\calf)=\text{dim}_{k}H^{i}(X,\calf)$. Si on fixe un fibr� en droite ample $\calo(1)$ sur $X$, alors le polyn\^ome de Hilbert de $\calf$, $P(X,\calf)$ est donn� par $$m \mapsto \chi(X,\calf \otimes \calo(m)).$$
Supposons, par exemple, que $X$ soit une surface et $\calf $ soit sans torsion et de rang $r$, alors la formule de Riemann-Roch (cf \cite{fri}) donne
$$ \chi(X,\calf)=\dfrac{\text{c}_{1}(\calf).(\text{c}_{1}(\calf)-K_{X})}{2}-\text{c}_{2}(\calf)+r\chi(X,\calo_{X}).$$
Les formules $\text{c}_{1}(\calf \otimes L)=\text{c}_{1}(\calf)+r\text{c}_{1}(L)$ et $\text{c}_{2}(\calf \otimes L)=\text{c}_{2}(\calf)+(r-1)\text{c}_{1}(\calf).\text{c}_{1}(L)+\binom{r}{2} \text{c}_{1}(L)^{2}$ o� $L$ est un fibr� en droite sur $X$ permettent alors de trouver le polyn\^omes de Hilbert de $\calf$. Nous utiliserons ce r�sultat dans le cas o� $X={\bf P}^{2}$. 


Supposons maintenant que nous ayons un faisceau coh�rent de $\calo_{X}$-modules $\calf$ sur un sch�ma $X$ sur $S$ o� $f:X \rightarrow S$ est un morphisme de type fini entre sch�mas n{\oe}theriens. Pour tout $s \in S$ on note la fibre $f^{-1}(s)=\text{Spec}(k(s))\times_{S}X$ de $f$ par $X_{s}$. On note aussi $\calf_{s}$ pour $\calf\vert_{X_s}$. On pense � $\calf$ comme une famille de polyn\^omes param�tris�e par $S$. La notion de ``continuit�'' en famille des $\calf_{s}$ est donn�e par la d�finition :

\begin{definition}
Une famille plate de faisceaux coh�rents sur les fibres de $f$ est un faisceau de $\calo_{X}$-modules coh�rents $\calf$ qui est plat sur $S$ i.e. pour tout $x \in X$, $\calf_{x}$ est plat au dessus de l'anneau local $\calo_{S,f(x)}$. 
\end{definition} 
Nous allons associer une stratification de $S$ � tout faisceau coh�rent $\calf $ sur $S$ telle que sur chacune des strates $S_{P}$, strates donn�es par la constance du polyn\^ome des Hilbert des fibres $P(X_{s},\calf_{s})$, la restriction de $\calf$, $\calf\vert_{S_{P}}$ soit une famille plate de faisceaux coh�rents. 

Pour cela on utilise un th�or�me d\^u � Mumford qui permet de platifier tout faisceau coh�rent en d�coupant de fa�on ad�quate la base par des sous-sch�mas ferm�s.

\begin{theoremese}(Mumford, cf \cite{huyleh} Theorem 2.1.5.) Soit $f:X \rightarrow S$ un morphisme projectif entre sch�mas n{\oe}th�riens, soit $\calo(1)$ un faisceau inversible sur $X$ qui est tr�s ample par rapport � $S$ et $\calf$ un $\calo_{X}$-module coh�rent. Alors l'ensemble $\calp=\{ P(X_{s},\calf_{s}) \vert s \in S \}$ des polyn\^omes de Hilbert des fibres de $\calf $ est fini. De plus il y a un nombre fini de sous-sch�mas locallement ferm�s $S_{P}\subset S$, index�s par les polyn\^omes $P \in \calp$ qui satisfont aux propri�t�s :\\
$\hspace*{2cm}(i)$ Le morphisme naturel $j:\coprod_{P}S_{P} \rightarrow S$ est une bijection.\\
$\hspace*{2cm}(ii)$ Si $g: S'\rightarrow S$ est un morphisme de sch�mas n{\oe}theriens, alors $g^{*}_{X}\calf$ est plat au dessus de $S'$ si et seulement si $g$ se factorise par $j$ o� $g^{*}_{X}:X \times_{S}S' \rightarrow S'$ est le morphisme canonique du produit fibr� vers $S'$.
\end{theoremese}

La stratification $S=\coprod_{P \in \calp}S_{P}$ est la stratification platifiante associ�e au faisceau coh�rent $\calf$.

\subsubsection{Application � une famille d'espaces vectoriels filtr�s}

Soit $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts et tel que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes sur une vari�t� alg�brique lisse $S$. La construction de Rees associ�e � cette famille fournit un faisceau de $\calo_{X \times {\bf P}^2}$-modules coh�rent $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})$. Consid�rons le morphisme de projection sur le deuxi�me facteur $f:X \times {\bf P}^{2} \rightarrow X$. Le faisceau $f^{*}\calo_{{\bf P}^2}(1)$ est tr�s ample par rapport � $S$. Par le th�or�me pr�c�dent on obtient 
\begin{proposition}
L'ensemble  $\calp=\{ P(X_{s},\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})_{s}) \vert s \in S \}$ des polyn\^omes de Hilbert des fibres de $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})$ est fini. De plus il y a un nombre fini de sous-sch�mas locallement ferm�s $S_{P}\subset S$, index�s par les polyn\^omes $P \in \calp$ qui satisfont aux propri�t�s :\\
$\hspace*{1cm}(i)$ Le morphisme naturel $j:\coprod_{P}S_{P} \rightarrow S$ est une bijection.\\
$\hspace*{1cm}(ii)$ Si $g: S'\rightarrow S$ est un morphisme de sch�mas n{\oe}theriens, alors le tir� en arri�re du faisceau de Rees $g^{*}_{X}\calf$ est plat au dessus de $S'$ si et seulement si $g$ se factorise par $j$ o� $g^{*}_{X}:X \times_{S}S' \rightarrow S'$ est le morphisme canonique du produit fibr� vers $S'$. 
\end{proposition}
Pour relier cette stratification par le polyn\^ome de Hilbert des fibres, d�termin�s par la premi�re et la deuxi�me classe de Chern dans $H^{*}({\bf P}^2,k)$ des fibres du faisceau de Rees, aux invariants discrets premi�re et deuxi�me classe de Chern des fibr�s associ�s aux espaces vectoriels filtr�s donn�s par les fibres des filtrations, il faut comparer pour tout $s \in S$ d'une part
$$\text{c}_{1}(\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})_{s})_{s} \text{ � } \text{c}_{1}(\xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2})_{s}{}_{s}),$$
et d'autre part 
$$\text{c}_{2}(\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})_{s})_{s} \text{ � } \text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2})_{s}{}_{s}).$$


\subsubsection{Filtrations oppos�es}
Consid�rons encore $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts et tel que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes sur une vari�t� alg�brique $S$. Supposons de plus que pour tout $s \in S$ l'espace vectoriel trifiltr� d�fini par ces donn�es $(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2}{}_{s})$ soit un espace vectoriel muni de filtrations oppos�es et telles que $\calf^{\bullet }_{1}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{2}{}_{s}$ soient positives (tous les termes d'indices n�gatifs sont �gaux � $\calv$) et que $\calf^{\bullet }_{0}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{1}{}_{s}$ d'une part et $\calf^{\bullet }_{0}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{2}{}_{s}$ d'autre part v�rifient l'hypoth�se ${\bf (H)}$\footnote{Ces hypoth�ses seront v�rifi�es lorsque les donn�es viendront de la th�orie de Hodge}. On veut alors relier les strates de la stratification platifiante de $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})_{s}$ aux classes de Chern des fibr�s de Rees associ�s aux espaces vectoriels donn�s en chaque point.\\
${}$\\
\textbf{Conjecture :} Soit $(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow S$ un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts tel que les filtrations soient oppos�es, exhaustives et d�croissantes sur une vari�t� alg�brique $S$ et telle que de plus que pour tout $s \in S$ l'espace vectoriel trifiltr� d�fini par ces donn�es $(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2}{}_{s})$ soit un espace vectoriel muni de filtrations oppos�es et telles que $\calf^{\bullet }_{1}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{2}{}_{s}$ soient positives et que $\calf^{\bullet }_{0}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{1}{}_{s}$ d'une part et $\calf^{\bullet }_{0}{}_{s}$ et $\calf^{\bullet }_{2}{}_{s}$ d'autre part v�rifient l'hypoth�se $({\bf H})$, alors la filtration platifiante associ�e � $\xi(\calv,\calf^{\bullet }_{0},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2})_{s})$ est au changement d'indice pr�s la stratification associ�e � la deuxi�me classe de Chern des fibr�s sur les fibres de $f: S \times {\bf P}^{2} \rightarrow {\bf P}^{2}$ associ�s aux espaces vectoriels filtr�s donn�s par les fibres $\xi_{{\bf P}^2}(\calv_{s},\calf^{\bullet }_{0}{}_{s},\calf^{\bullet }_{1}{}_{s},\calf^{\bullet }_{2}{}_{s})$. 



\newpage
$\,$
\vspace{2cm}
$\,$\\
{\bf Dictionnaire sous l'hypoth�se ${\bf (H)}$: Famille d'espaces vectoriels trifiltr�s-Faisceaux �quivariants.}
${}$\\
${}$\\
\begin{center}
%\begin{tabular}{|c||c|}
\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

Cat�gorie de familles d'espaces multifiltr�s sur $S$ & Cat�gorie de fibr�s �quivariants sur $S \times {\bf P}^2$\\  %\hline 


\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

 $\calc_{3filtr}(S) $ &  $  {\calf ibr}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\

\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,scind}(S) $ &  $  {\calf ib}_{scind}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\


\end{tabular}


\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp}(S) $ &  $  {\calf ibr}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\
\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}}(S) $ &  $  {\calf ibr}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) $ \\
\end{tabular}


\begin{tabular}
{>{\centering}m{3in}
>{\centering}m{3in}}
\hline
$\,$ & $\,$ \\
\end{tabular}

%\bottomcaption{Dictionnaire sous l'hypoth�se ${\bf (H)}$: Famille d'espaces vectoriels trifiltr�s-Faisceaux �quivariants.}
\end{center}

\vspace{2cm}
$\,$\\

%On indicera par $1+$ ou $2+$ les cat�gories pour lesquelles la filtration index�e par $1$ et la filtration index�e par $2$ sont positives.


\vspace{1cm}
$\,$\\
{\bf Dictionnaire sous l'hypoth�se} ${\bf (H)}$ {\bf pour} $(\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{1})$ {\bf et} $(\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{2})$.
\begin{center}
%\begin{tabular}{|c||c|}
\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

Cat�gorie de familles d'espaces multifiltr�s sur $S$ & Cat�gorie de fibr�s �quivariants sur $S \times {\bf P}^2$\\  %\hline 


\end{tabular}




\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp}(S) $ &  $  {\calr efl}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\
\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{3in}
||>{\centering}m{3in}|}
\hline

$ \calc_{3filtr,opp,{\bf R}}(S) $ &  $  {\calr efl}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistable/S,\mu=0/S}(S \times {\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) $ \\
\end{tabular}


\begin{tabular}
{>{\centering}m{3in}
>{\centering}m{3in}}
\hline
$\,$ & $\,$ \\
\end{tabular}

%\bottomcaption{Dictionnaire sous l'hypoth�se ${\bf (H)}$ pour $(\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{1})$ et $(\calf^{\bullet}_{0},\calf^{\bullet }_{2})$}
\end{center}





\subsection{Transversalit�}
\subsubsection{Une filtration}
Revenons � la construction du fibr� de Rees sur $S \times {\bf A}^1$ associ�e � un fibr� vectoriel $\calv$ sur $S$ muni d'une filtration $\calf^{\bullet }$ par des sous-fibr�s vectoriels stricts de sorte que la filtration soit exhaustive et d�croissante. On obtient un fibr� $\xi(\calv,\calf^{\bullet})$ ${\bf G}_{m}$-�quivariant sur $S \times {\bf A}^1$ pour l'action par translation dans la direction de la droite affine et triviale dans l'autre direction.

Supposons que le fibr� vectoriel $\calv$ sur $S$ soit muni d'une connexion int�grable 
$$\nabla : \calv \rightarrow \Omega_{S}\otimes_{\calo_{S}}\calv.$$   
Alors $\calv $ est muni d'une ``action'' du fibr� tangent $T(S)$ d�duite de la connexion. Elle est donn�e par
\begin{center}
$T(S)\otimes_{\calo_S}\calv \rightarrow \calv ,$\\
$ \eta \otimes v \mapsto \nabla(v)(\eta).$
\end{center}

\begin{lemme}\cite{sim1} Soit $\calv$ un fibr� vectoriel sur $S$ muni d'une connexion int�grable $\nabla$. Supposons aussi que $\calv$ est muni d'une filtration exhaustive et d�croissante par des sous-fibr�s stricts. Alors $(\calf^{\bullet},\nabla)$ satisfait la transversalit� de Griffith $\nabla(\calf^{p}) \subset \Omega_{S}\otimes_{\calo_{S}}\calf^{p-1}$ si et seulement si l'action de $T(S)$ sur $\calv$ s'�tend � une action ${\bf G}_{m}$-invariante du faisceau $T(S \times {\bf A}^{1}/{\bf A}^{1})(-S\times\{0\})$ des champs de vecteurs relatifs qui s'annulent au premier ordre suivant $S \times \{ 0\}$ sur le fibr� $\xi(\calv,\calf^{\bullet})$.   

\end{lemme}

\begin{preuve}
Comme la question est locale sur $S$, on peut supposer que $\calv=\oplus_{p}\calv^{p}$ est une somme de fibr�s vectoriels triviaux et que la filtration par des sous-fibr�s est donn�e par $\calf^{p}=\oplus_{q \geq p}\calv^{q}$ (dans le langage de la construction du fibr� de Rees relatif on se place sur un ouvert affine $S_{i}$ trivialisant le fibr� vectoriel). La connexion $\nabla$ est donn�e en terme de la connexion triviale $d$ par $\nabla=d+A$, o� $A$ est une $1$-forme � valeur dans $\text{End}(\calv)$. On peut d�composer $A$ en somme directe $A=\oplus_{p,q}A_{p,q}$ o� $A_{p,q}$ est une $1$-forme � valeurs dans $\text{Hom}(V^{p},V^{q})$. La transversalit� de Griffith est alors �quivalente �
$$A_{p,q}=0 \text{ pour } q < p-1.$$  
Comme remarqu� pr�c�dement, on peut �crire
$$\xi(\calv,\calf^{\bullet })=\oplus_{p}u^{-p}\calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p}.$$
L'action de ${\bf G}_m$ induit un isomorphisme $\varphi=\oplus_{p}\varphi_{p}$
$$\varphi:\xi(\calv,\calf^{\bullet })\cong \oplus_{p} \calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p},$$
o� $\varphi_{p}$ agit sur $\calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p}$ par multiplication par $u^p$.

On peut �tendre la connexion $\nabla$ � une action ${\bf G}_m$-invariante du champs des vecteurs tangents relatifs dans la direction de $S$. Elle est donn�e en terme de l'isomorphisme $\varphi$ par la fl�che en pointill�s qui rend le diagramme suivant commutatif
$$\xymatrix{
T(S\times {\bf A}^{1}/{\bf A}^{1})\otimes \xi(\calv,\calf^{\bullet }) \ar@{.>}[r]\ar[d]^{id \otimes \varphi} & \xi(\calv,\calf^{\bullet })\\
T(S\times {\bf A}^{1}/{\bf A}^{1})\otimes  \oplus_{p} \calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p} \ar[r]^-{id \otimes \nabla} & \oplus_{p} \calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p} \ar[u]^{\varphi^{-1}}\\
}.$$
Les �l�ments du champs tangent sont �crits sous la forme $\sum_{i}u^{i}\eta_{i}$ o� les vectreurs $\eta_{i}$ sont tangents � $S$. L'action d'un �l�ment $\sum_{i}u^{i}\eta_{i}$ sur $\xi(\calv,\calf^{\bullet })=\oplus_{p}u^{-p}\calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p}$ est donn�e par la matrice $\sum_{i}u^{i}A(\eta_{i})$ i.e. que l'image d'un �l�ment $\sum_{p}u^{-p}v_{p}$ par $\sum_{i}u^{i}\eta_{i}$ est $\sum_{i,p,q}u^{i-p}A_{p,q}(\eta_{i})v_{q}$. Lorsqu'on transporte ceci par l'isomorphisme $\varphi$, l'action sur $ \oplus_{p} \calo_{{\bf A}^1}\otimes \calv^{p}$ est donn�e par la matrice $\sum_{i,p,q}u^{i-p+q}A_{p,q}(\eta_{i})$. C'est l'action sur un voisinage d'un point de $S \times \{0\}$. L'action s'�tend sur $S \times \{0\}$ si et seulement si les termes en puissance de $u$ n�gatives s'annulent. Ainsi la condition que cette action s'�tende � tout champs de vecteur de la forme $\sum_{i\geq 1}u^{i}\eta_{i}$, i.e. les champs de vecteurs relatifs qui s'annulent au premier ordre suivant $S \times \{0\}$, est �quivalente � la condition $A_{p,q}=0$ pour $q<p-1$ qui est la condition de transversalit� de Griffiths. 
\end{preuve}



%\subsubsection{Plusieurs}



%\subsection{le champs des ${\bf T}^3$-fibr� sur ${\bf P}^{2}$}

%\subsubsection{Construction}

%\subsubsection{? est un champs alg�brique}


%\subsection{Semi-continuit�, faiscaux $U$-coh�rents}

%\subsection{Cadre analytique}

\newpage
\section{Fibr�s vectoriels sur le plan projectif et structures de Hodge mixtes}


\subsection{Rappels sur les structures de Hodge mixtes}

\subsubsection{D�finitions}


\begin{center} 
{\bf Structures de Hodge pures}
\end{center}
\begin{definition}
Une structure de Hodge pure de poids $n$, $(H_{\bf Z},(H_{\bf C},F^{\bullet }))$, est la donn�e d'un ${\bf Z}$-module de type fini $H_{\bf Z}$ tel que $H_{\bf C}={\bf C} {\otimes}_{\bf Z} H_{\bf Z}$ soit muni d'une filtration finie d\'ecroissante $F^{\bullet }$ telle que :
 \begin{center}
$H_{\bf C}=F^{0}H_{\bf C}\supset ...\supset F^{p}H_{\bf C} \supset F^{p+1}H_{\bf C} \supset ...\supset F^{n+1}H_{\bf C}=\{ 0 \}$ et\\
$F^{p}H_{\bf C} \oplus \overline{F^{q}}H_{\bf C}=H_{\bf C}$
\end{center} 
pour tous les couples $(p,q)$ tels que $p+q=n+1$, o\`u ${\overline F}^\bullet$ est la filtration compl\`ete d\'eduite de $F^{\bullet }$ par conjugaison complexe par rapport \`a la structure r\'eelle sous-jacente sur $H_{\bf R}={\bf R} {\otimes}_{\bf Z} H_{\bf Z}$.\\
\end{definition}
${}$\\
{\bf Exemple:}
Structure de Hodge de Tate $T \langle -p \rangle$. C'est l'unique structure de Hodge pure de type $(-p,-p)$ et de r�seau entier $(2 \pi i)^{p} {\bf Z}$.\\


La d�finition pr�c�dente est �quivalente � une d�composition de $H_{\bf C}$ en somme directe $H_{\bf C}=\oplus_{p+q=n} \,H^{p,q}$ telle que $H^{p,q}={\overline H}^{q,p}$. L'�quivalence est donn�e dans un sens par $\{ H^{p,q} \} \mapsto F^{p}=\oplus_{p'\geq p}H^{p',n-p'}$ et dans l'autre sens par $ F^{\bullet } \mapsto H^{p,q}=F^{p} \cap {\overline F}^{q}$.
\begin{center}
{\bf Structures de Hodge mixtes}
\end{center}



\begin{definition}
Une structure de Hodge mixte sur un espace $H_{\bf Q}$ consiste en les donn�es suivantes :\\
                 \hspace*{.5cm}
{\bf (i)} \ Une filtration croissante $W_{\bullet }$ sur $H_{\bf Q}$ appel�e filtration par le poids.\\
                \hspace*{.4cm}
{\bf (ii)} \ Une filtration d�croissante appel�e filtration de Hodge $F^{\bullet }$ sur $H=H_{\bf Q}\otimes_{\bf Q}{\bf C}$ qui induit avec sa filtration conjugu�e par rapport � la structure r�elle sous-jacente $H_{\bf R}=H_{\bf Q}\otimes_{\bf Q}{\bf R}$, ${\overline F}^{\bullet }$ une structure de Hodge pure de poids $n$ sur
$Gr^{W}_{n}H=W_{n}\otimes_{\bf Q}{\bf C}/W_{n-1}\otimes_{\bf Q}{\bf C}$.
\end{definition}




Dans le ${\bf (ii)}$, la filtration $F^{\bullet }Gr^{W}_{n}H$ induite par $F^{\bullet }$ sur $Gr^{W}_{n}H$ est donn�e par les quotients successifs :
 $$F^{p }Gr^{W}_{n}H=(F^{p} \cap (W_{n}\otimes_{\bf Q}{\bf C})+W_{n-1}\otimes_{\bf Q}{\bf C}))/ W_{n-1}\otimes_{\bf Q}{\bf C}.$$

Pour \^etre plus pr�cis la condition {\bf (ii)} signifie que $F^{\bullet }Gr^{W}_{n}H$ et ${\overline F}^{\bullet }Gr^{W}_{n}H$ sont $n$-oppos�es sur $Gr^{W}_{n}H$ ce qui signifie, d'apr�s la premi�re partie que $Gr^{p}_{F^{\bullet }Gr^{W}_{n}H}Gr^{q}_{{\overline F}^{\bullet }Gr^{W}_{n}H}H =0$ seulement si $p+q \neq n$ o� ${\overline F}^{\bullet}$ est la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge par rapport � la structure r�elle sous-jacente $H_{\bf R}=H_{\bf Q} \otimes_{\bf Q} {\bf R}$.

Nous n'utiliserons par la suite, ni la structure rationnelle $H_{\bf Q}$, ni le r�seau entier $H_{\bf Z}$. Il nous suffira de consid�rer la filtration par le poids sur $H_{\bf C}=H_{\bf Q} \otimes_{\bf Q} {\bf C}$ que nous noterons $W_{\bullet }$ alors que nous la notions $W_{\bf C} \otimes_{\bf Q} {\bf C}$. Pr�cisons les diff�rents contextes dans les quels nous nous placerons.


\begin{definition}${}$\\
${\bf (i)}$ Soit $\crzmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes comme d�finies ci-dessus (au sens usuel). Les morphismes sont les morphismes de r�seaux entiers tels que les morphismes induits au niveau des filtrations soient strictement compatibles aux filtrations.\\

${\bf (ii)}$ Soit $\crmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes sans strutures enti�re et rationnelle sous-jacentes. Les objets sont les ${\bf R}$-espaces vectoriels filtr�s $(H_{\bf R}, W_{\bullet })$ (filtration par le poids) tels que $H=H_{\bf R}\otimes_{\bf R}{\bf C}$ soit muni d'une filtration appel�e filtration de Hodge de sorte que $F^{\bullet}$ et ${\overline F}^{\bullet}$ soient des filtrations $n$-oppos�es sur $Gr^{W}_{n}H$. Les morphismes sont les morphismes de ${\bf R}$-espaces vectoriels strictement compatibles � la filtration par le poids qui induisent des morphismes strictement compatibles � toutes les filtrations sur les ${\bf C}$-vectoriels.\\
${\bf (iii)}$ Soit $\cmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes complexes sans structure r�elle, rationnelle ou enti�re sous-jacente. Les objets sont des ${\bf C}$-espaces vectoriels $H$ munis de trois filtrations $(W_{\bullet},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet })$ oppos�es. Les morphismes sont les morphismes strictement compatibles aux filtrations.

\end{definition}

On consid�re les foncteurs oublis suivants entre ces diff�rentes cat�gories de structures de Hodge:\\
$ \Phi_{z}: \crzmhs \rightarrow \crmhs $ qui est le foncteur oubli de la structure enti�re et rationnelle sous-jacente � une struture de Hodge mixte au sens usuel.\\
$ \Phi_{r}: \crmhs \rightarrow \cmhs $ qui est le foncteur oubli de la structure r�elle sous-jacente.\\

On peut d�finir un foncteur de $\cmhs$ vers $\crmhs$ de la fa�on suivante (cf \cite{sim2}) : 


Nous avons donc les foncteurs suivants :

$$\xymatrix{  \crzmhs \ar[r]^{\Phi_{z}}& \crmhs  \ar[r]^{\Phi_{r}} &\cmhs \ar@/^/@{.>}[l]^-{H \rightarrow H \oplus {\overline H}} }.$$

Les foncteurs $\Phi_{r}$ et ``$H \rightarrow H \oplus \overline H$'' ne sont pas adjoints. Si l'on part d'un objet de $\crmhs$ dont l'espace vectoriel sous-jacent est de rang $n$, alors l'espace vectoriel sous-jacent de l'image dans cette m�me cat�gorie par la compos�e de ces deux foncteurs est de rang $2n$. 

Par la suite, lorsque rien ne sera pr�cis�, lorsqu'on parlera de structure de Hodge mixte on se placera dans la cat�gorie $\crmhs$. On pourra toujours penser en terme de structures de Hodge au sens usuel i.e. que ce sont des objets de $\crzmhs$ mais les informations que nous fournira l'�tude suivante seront toutes contenues dans les images de ces objets par le foncteur oubli $\Phi_{z}$.    
%$ \Phi_{str}: \cmhs \rightarrow \trif $ qui � une structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf C},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet },W_{\bullet})$ associe l'espace vectoriel complexe trifiltr� muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes $(H_{\bf C},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet },{W_{.}}^{\bullet})$.\\

\begin{definition}
 Soit $H$ une structure de Hodge mixte. Les nombres entiers $$h^{p,q}=dim_{\bf C}Gr_{F^{\bullet }}^{p}Gr_{m}^{W_\bullet }H$$ o\`u $p+q=m$ sont appel�s les nombres de Hodge de la structure de Hodge mixte $H$.\\
\end{definition}
Ces nombres g�n�ralisent les nombres de Hodge dimension des sous-espaces $H^{p,q}$ o� $p+q=n$ pour une structure de Hodge pure de poids $n$. Ils peuvent �tre non nuls en dehors de la droite d'�quation $p+q=n$.\\
${}$\\
{\bf Remarque :} Par la propri�t� de conjugaison des filtrations $F^{\bullet}$ et ${\overline F}^{\bullet}$ associ�es � une structure de Hodge mixte dans $\crzmhs$ ou dans $\crmhs$ on voit que les nombres de Hodge des structures de Hodge au sens usuel ou des structures de hodge r�elle sont sym�triques i.e. pour tout $(p,q)$ on a $h^{p,q}=h^{q,p}$. Une telle propri�t� n'est pas v�rifi�e en g�n�ral pour les structures de Hodge complexes puisque les filtrations de Hodge $F^{\bullet }$ et ${\hat F}^{\bullet }$ sont d�finies ind�pendement.\\  

\begin{definition}
Soit $H$ une structure de Hodge mixte donn\'ee on note ${\mathcal E }_{H}$ le sous-ensemble de ${\bf Z} \times {\bf Z} $ form� par les couples $(p,q) \in {\bf Z}\times {\bf Z}$ tels que les nombres de Hodge $h^{p,q}_{H}$ sont non nuls. Cet ensemble est appel\'e le type de la structure de Hodge $H$.\\
\end{definition}

\begin{definition}
La structure de Hodge $T \langle k \rangle$ est l'unique structure de Hodge de rang $1$, de type $(-k, -k)$ et de r�seau entier $ (2 \pi i )^{k}{\bf Z}$.\\
\end{definition}
${}$\\
{\bf Remarque :} Soit $H$ une structure de Hodge mixte et $k \in {\bf Z}$, alors les types de $H$ et $H \otimes {T \langle k \rangle}$ sont li�s par : ${\mathcal E }_{H \otimes {T \langle k \rangle}}= \{ (p-k,q-k)\in {\bf Z} \times {\bf Z} \vert (p,q) \in {\mathcal E }_{H} \} $.

Pour les filtrations on a les relations pour $p,q,n \in {\bf Z}^{3}$ :

\hspace{1cm}$\left\lbrace \begin{array}{l}
F^{p}(H \otimes {T \langle k \rangle})= F^{p+k}(H),\\   
{\overline F}^{q}(H \otimes {T \langle k \rangle})= {\overline F}^{q+k}(H),\\
W_{n}(H \otimes {T \langle k \rangle})= W_{n+2k}(H),    
\end{array}
\right.$ \hspace{0.5cm} et \hspace{0.5cm} $\left\lbrace \begin{array}{l}
h^{p,q}_{H \otimes {T \langle k \rangle}}=h^{p+k,q+k}_{H }.\\   
\end{array}
\right.$

%\hspace{1cm}$\left\lbrace \begin{array}{l}
%F^{p}(H \otimes {T \langle k \rangle})= F^{p+k}(H),\\   
%{\overline F}^{q}(H \otimes {T \langle k \rangle})= {\overline F}^{q+k}(H),\\
%W_{n}(H \otimes {T \langle k \rangle})= W_{n+2k}(H),    
%\end{array}
%\right.$ \hspace{0.5cm} et \hspace{0.5cm} $\left\lbrace \begin{array}{l}
%t^{p,q}_{H \otimes {T \langle k \rangle}}=t^{p+k,q+k}_{H},\\
%h^{p,q}_{H \otimes {T \langle k \rangle}}=h^{p+k,q+k}_{H }.\\   
%\end{array}
%\right.$


\begin{definition}
${\bf (i)}$ La longueur d'une structure de Hodge mixte est la longueur du plus grand intervalle $[a,b]$ tel que $W_{m}/W_{m-1}\neq0$ pour tout $m \in \{a,b\}$. $a$ et $b$ sont le plus bas et le plus haut poids et la longueur est �gale � $b-a$. Une structure de longueur $0$ est une structure pure.\\
${\bf (ii)}$ Le niveau d'une struture de Hodge mixte est la longueur du plus grand intervalle $[c,d]$ tel que $F_{p}/F_{p-1}\neq0$ pour tout $p \in \{c,d\}$. Le niveau est �gal � $b-a$. Par sym�trie des structures de Hodge. Une structure de niveau $0$ est une tensorisation de structures de Hodge de Tate $T\langle -p \rangle^{k}$ pour $k \in {\bf Z}$.\\ 
\end{definition}



\subsubsection{Structures de Hodge mixtes ${\bf R}$-scind�es}

Contrairement au cas des structures de Hodge pures, on ne pas en g�n�ral trouver de scindement compatible � toutes les filtrations qui composent une struture de Hodge mixte $H$. Ceci est d\^u au fait remarqu� dans la partie $1$ que contrairement aux cas des espaces bifiltr�s, on ne peut pas en g�n�ral trouver de scindement compatibles aux trois filtrations composant un espace vectoriel trifiltr�.  


Rappelons un lemme de Deligne, important dans l'�tude des structure de Hodge mixtes. Bien que les structures de Hodge mixte n'admettent pas en g�n�ral de d�composition en une somme directe de "$(p,q)$-sous-espaces" comme les structures pures, c'est-�-dire de graduation compatible aux trois filtrations, les espaces canoniquement d�finis ci-dessous ont des propri�t�s de d�composition tr�s utiles :
$$ I^{p,q}=(F^{p} \cap W_{p+q}) \cap ({\overline F}^{q} \cap W_{p+q}+\sum_{i \geq 1} \, {\overline F}^{q-i}\cap W_{p+q-i-1}).$$   
En effet,    
\begin{lemme}\cite{del2}\label{lesipq} 

\item{(i)} $I^{p,q}={\overline I}^{q,p} \ \ mod \ W_{p+q-2}. $

\item{(ii)} $W_{m}=\oplus_{p+q \leq m}I^{p,q}$.

\item{(iii)} $F^{p}=\oplus_{i \geq p} \oplus_{q} I^{i,q}$.

\item{(iv)} La projection $W_{m} \rightarrow Gr_{m}^{W}H$ induit un isomorphisme pour $p+q=m$ de $I^{p,q}$ vers le sous-espace de Hodge $(Gr^{W}_{m}H)^{p,q}$.\\ 
\end{lemme}

Quitte � changer les indices, cette d�composition canonique en sous-espaces $I^{p,q}$ donne deux bigraduations canoniques $H_{\bf C}=\oplus_{p,q}I^{p,q}$ associ�es aux paires de filtrations $(W_{\bullet },F^{\bullet })$ et $(W_{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$. La premi�re bigraduation, associ�e � $(W_{\bullet },F^{\bullet })$ est donn�e directement par le lemme pr�c�dent, la deuxi�me associ�e � $(W_{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ est donn�e par $W_{m}=\oplus_{p+q \leq m}{\overline I}^{p,q}$ et ${\overline F}^{q}=\oplus_{i \geq q} \oplus_{p} {\overline I}^{i,p}$. Ces deux bigraduations ne sont pas compatibles � moins que l'on ne soit dans le cadre de la d�finition suivante :
\begin{definition}
Une structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf R},W_{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ est dite {\bf R}-scind�e si les espaces $I^{p,q}$ d�finis de fa�on canonique v�rifient la condition : pour tous $p,q$    $I^{p,q}={\overline I}^{q,p}$.
\end{definition}
Dans le cas o� la structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf R},W_{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ est scind�e, on a : $F^{p}\cap {\overline F}^{q}=\oplus_{p'\geq p,q' \geq q}I^{p',q'}$. Ce qui signifie que les trois filtrations sont simultan�ement scind�es.\\
${}$\\
{\bf Remarque :} D'apr�s le lemme \ref{lesipq} p.\pageref{lesipq}, $(i)$, les structures de Hodge mixtes de longueur inf�rieure � $1$ sont toutes ${\bf R}$-scind�es. En particulier les structures de Hodge pures sont ${\bf R}$-scind�es. 




\subsection{Dictionnaire structures de Hodge-fibr�s vectoriels}
Dans cette section nous allons appliquer les constructions �tablies dans la premi�re partie au cas o� les filtrations proviennent d'une structures de Hodge mixte.

\subsubsection{Construction dans le cas o� les filtrations proviennent d'une structure de Hodge mixte}
Une structure de Hodge mixte est essentiellement la donn�e de trois filtrations $(W_{\bullet }, F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet})$ avec certaines relation d'incidence (elles sont oppos�es). Soit $H=(H_{\bf R},W_{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ une structure de Hodge mixte. Nous allons construire un fibr� sur ${\bf P}^2$ associ� � cette structure de Hodge mixte. Rappelons que dans la construction du fibr� de Rees associ� � trois filtrations nous partions de trois filtrations exhaustives et d�croissantes. Pour ``caract�riser'' la structure de Hodge mixte, nous prendrons donc ici non plus la filtration par le poids qui est croissante mais la filtration d�croissante associ� � la filtration par le poids. Rappelons que l'on d�finit la filtration d�croissante not�e $W^{\bullet}$ associ�e � la filtration croissante $W_{\bullet}$ de $H_{\bf R}$ par,  
$$\text{pour tout } p \in {\bf Z},\,\,\, W^{p}=W_{-p}.$$
Les trois filtrations d�croissantes obtenues sont alors oppos�es. En effet les filtrations de d�part forment une structure de Hodge mixte i.e. que $F^{\bullet }$ et ${\overline F}^{\bullet }$ sont $n$-oppos�e sur $Gr^{W}_{n}$ (dans \cite{del2} on dit que les filtrations de Hodge, sa filtration oppos�e et la filtration d�cal�e $W[n]^{\bullet}$ sont oppos�es). On a donc
$$\text{pour tous } (p,q) \text{ tels que } p+q-n\neq 0,\,\,\, Gr_{F}^{p}Gr_{\overline F}^{q}Gr^{W_{\bullet }}_{n}H=0,$$   
et de fa�on �quivalente
$$\text{pour tous } (p,q) \text{ tels que } p+q+n\neq 0,\,\,\, Gr_{F}^{p}Gr_{\overline F}^{q}Gr_{W^{\bullet}}^{n}H=0.$$


Ainsi � une structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf R},W_{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ on associe un espace vectoriel complexe trifiltr� $(H,W^{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ dont les filtrations sont oppos�es. 

\begin{definition}
Le fibr� de Rees sur le plan projectif ${\bf P}^2$ associ� � la structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf R},W_{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ est le fibr� de Rees construit � partir de l'espace vetoriel trifiltr� $(H,W^{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$.
$$ \xi_{{\bf P}^2}(H):=\xi_{{\bf P}^2}(H,W^{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet }).$$  
\end{definition}

De l'�tude faite dans la partie $1$ il vient : 
\begin{proposition}${}$\\ \label{gradloc}
${\bf (i)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(1:1:1)}\cong H$.\\ 
${\bf (ii)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(1:0:0)}\cong \oplus_{p,q}Gr_{F^{\bullet}}^{p}Gr_{{\overline F}^{\bullet}}^{q}H$.\\ 
${\bf (iii)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(0:1:0)}\cong \oplus_{p,q}Gr_{F^{\bullet}}^{p}Gr_{W^{\bullet}}^{q}H\cong \oplus_{p,q}Gr_{F^{\bullet}}^{p}Gr_{W_{\bullet}}^{-q}H$.\\ 
${\bf (iv)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(0:0:1)}\cong \oplus_{p,q}Gr_{{\overline F}^{\bullet}}^{p}Gr_{W^{\bullet}}^{q}H\cong \oplus_{p,q}Gr_{{\overline F}^{\bullet}}^{p}Gr_{W_{\bullet}}^{-q}H$.\\ 
${\bf (v)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(1:1:0)}\cong\oplus_{q}Gr_{{\overline F}^{\bullet}}^{q}H$.\\ 
${\bf (vi)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(1:0:1)}\cong \oplus_{p}Gr_{{\overline F}^{\bullet}}^{p}H$.\\ 
${\bf (vii)}$ $ \xi_{{\bf P}^2}(H)_{(0:1:1)}\cong \oplus_{n}Gr_{W^{\bullet}}^{n}H\cong \oplus_{n}Gr_{W_{\bullet}}^{-n}H$.\\ 
Ces isomorphismes donnent une correspondance entre les foncteurs fibres et les foncteurs gradu�s associ�s aux trois filtrations.

\end{proposition}


Le fibr�s de Rees associ� � la structure de Hodge mixte $H$ peut �tre vu comme une fa�on de transformer les espaces bigradu�s les uns en les autres. En effet les fibres canoniques aux trois points origines des cartes affines sont isomorphes aux espaces bigradu\'es associ\'es \`a chacune des paires de filtrations.\\ 
${}$\\
{\bf Exemples :} Donnons quelques exemples :\\
$\bullet$ Le fibr� associ� � une structure de Hodge de Tate $T \langle -k \rangle$ est le fibr� trivial ${\bf T}^{\tau}$-�quivariant $$\xi_{{\bf P}^2}^{-2k,k,k}$$ d�crit dans la partie $1$.\\
$\bullet$ Le fibr� associ� � une structure de Hodge pure de poids $n$, $H=\oplus_{p,q,\,\,p+q=n}H^{p,q}$ est le fibr� ${\bf T}^{\tau}$-�quivariant $$\xi_{{\bf P}^2}(H)=\oplus_{p,q,\,\,p+q=n} \xi_{{\bf P}^2}^{-n,p,q}{}^{\text{dim}_{\bf C}H^{p,q}}.$$


\subsubsection{Dictionnaire structures de Hodge-fibr�s sur ${\bf P}^2$ }


Comme cons�quence directe des th�or�mes \ref{th2} p.\pageref{th2} et \ref{th3} p.\pageref{th3}, il vient : 

\begin{theoreme}\label{equivcatmhs}
La construction du fibr� de Rees sur ${\bf P}^2$ associ� � un espace vectoriel trifiltr� �tablit les �quivalences de cat�gories entre :\\
${\bullet}$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes r�elles $\crmhs$ et la cat�gorie des fibr�s vectoriels ${\bf T}^{\tau}$-�quivariants ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $\mu=0$ munie des morphismes ${\bf T}^\tau$-�quivariants dont les singularit\'es des conoyaux sont en codimension $2$, support\'ees au point $(1:0:0)$ : 
$$
\xymatrix{
\{ \crmhs \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$
${\bullet}$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes complexe $\cmhs$ et la cat�gorie des fibr�s vectoriels ${\bf T}$-�quivariants ${\bf P}^{1}_{0}$-semistables de pente $\mu=0$ munie des morphismes ${\bf T}$-�quivariants dont les singularit\'es des conoyaux sont en codimension $2$, support\'ees au point $(1:0:0)$ : 
$$
\xymatrix{
\{ \cmhs \} \ar@<2pt>[r]^-{\Phi_{R}} &  \{  {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) \} \ar@<2pt>[l]^-{\Phi_{I}}
}
.$$

\end{theoreme}

Ce th�or�me donne une d�monstration g�om�trique des faits suivants (Th�or�me $(1.3.16)$, \cite{del2} pour $\crmhs$ et \cite{sim2} pour $\cmhs$) :

\begin{corollaire}\label{corab}${}$\\
$\bullet$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes r�elles $\crmhs$ est ab�lienne.\\
$\bullet$ La cat�gorie des structures de Hodge mixtes complexes $\cmhs$ est ab�lienne.\\ 
$\bullet$ Les foncteurs ``oubli des filtrations'', $Gr_{W}$, $Gr_{F}$, $Gr_{\overline F}$ et $Gr_{W}Gr_{F}\cong Gr_{F}Gr_{W} \cong Gr_{W}Gr_{\overline F} \cong Gr_{\overline F}Gr_{W}$ de $\crmhs$ ou $\cmhs$ dans la cat�gorie des espaces vectoriels complexes sont exacts. 
\end{corollaire}

\begin{preuve}
Les deux premiers points sont des cons�quences directes du fait que les cat�gories de fibr�s vectoriels pr�sentes dans les �quivalences sont ab�liennes comme �tabli dans la premi�re partie.\\

Consid�rons une suite exacte de structures de Hodge mixtes 
$$\xymatrix{ 0 \ar[r]^{i} & A \ar[r] &  H  \ar[r]^{\pi} &  B   \ar[r] & 0}.$$
D'apr�s l'�tude faite dans la section ``suites exactes et $\mu$-semistabilit�'' da la partie $1$, la suite exacte de faisceaux associ�e dans ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau}) $ est  
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}(A) \ar[r]^{i} & \xi_{{\bf P}^2}(H)  \ar[r]^{\pi^{**}} &  \xi_{{\bf P}^2}(B)   \ar[r] & 0}.$$
Elle provient de la suite exacte de faisceaux
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}(A) \ar[r]^{i} & \xi_{{\bf P}^2}(H)  \ar[r]^{\pi} &  \calc oker(i)   \ar[r] & 0},$$
qui fournit la suite exacte
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}(A) \ar[r]^{i} & \xi_{{\bf P}^2}(H)  \ar[r]^-{\pi^{**}} & \xi_{{\bf P}^2}(B)   \ar[r] & T \ar[r] & 0},$$
avec $\xi_{{\bf P}^2}(B)=\calc oker(i)^{**}$ et $\xymatrix{0 \ar[r] & \calc oker(i) \ar[r]^{\nu} & \xi_{{\bf P}^2}(B)  \ar[r] &  T   \ar[r] & 0}$.\\

Le support de $T$ est inclu dans le point $(1:0:0)$ donc pour tout $x \in {\bf P}^{2} \backslash \{(1:0:0)\}$ on a la suite exacte courte
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}(A)_{x} \ar[r]^{i} & \xi_{{\bf P}^2}(H)_{x}  \ar[r]^{\pi^{**}} &  \xi_{{\bf P}^2}(B)_{x}   \ar[r] & 0},$$
ce qui permet de conclure en choisissant $x$ de fa�on ad�quate et en utilisant la proposition \ref{gradloc} p.\pageref{gradloc}. 
 





\end{preuve}

{\bf Dictionnaire : Structures de Hodge mixtes-Fibr�s �quivariants.}
${}$\\
\begin{center}
%\begin{tabular}{|c||c|}
\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

Cat�gorie de structures de Hodge mixtes & Cat�gorie de fibr�s �quivariants sur ${\bf P}^2$\\  %\hline 


\end{tabular}

\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

 $\crmhs{}_{,scind} $ &  ${\calf ib}_{{{\bf P}^{1}_{0}}-semistables,\mu=0,scind}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$  \\

\end{tabular}










\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

 $\crmhs $ &  ${\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$  \\

\end{tabular}


\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

 $\cmhs{}_{,scind} $ &  ${\calf ib}_{{{\bf P}^{1}_{0}}-semistables,\mu=0,scind}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$  \\

\end{tabular}







\begin{tabular}
{|>{\centering}m{2in}
||>{\centering}m{2in}|}
\hline

$ \cmhs $ &  $  {\calf ib}_{{{\bf P}^{1}_{0}}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}) $ \\


\end{tabular}




\begin{tabular}
{>{\centering}m{2in}
>{\centering}m{2in}}
\hline
$\,$ & $\,$ \\
\end{tabular}

%\bottomcaption{Dictionnaire : Structures de Hodge mixtes-Fibr�s �quivariants.}
\end{center}



\subsubsection{Structure de Hodge mixte ind\'ecomposable}

 Soit $\xi_{{\bf P}^2}(H)$ le fibr\'e de Rees associ\'e \`a une structures de Hodge mixte $H$. On dit qu'un fib\'re \'equivariant $\cale$ sur ${\bf P}^2$ est ind\'ecomposable s'il n' est pas somme directe de deux sous-fibr\'es \'equivariants. On peut d\'ecomposer tout fibr\'e $G$-\'equivariant sur le plan projectif, o\`u $G={\bf T}$ ou ${\bf T}^{\tau}$, sur le plan projectif en somme directe de sous-fibr\'es $G$-\'equivariants
$$
\cale=\oplus_{i}\cale_{i}
,
$$    
o\`u les $\cale_i$ sont des sous-fibr\'es $G$-\'equivariants ind\'ecomposables. 

Notons par $H_{i}$ la structure de Hodge associ\'ee au fibr\'e $G$-\'equivariant $\cale_{i}$, on a alors la d\'ecomposition
$$
H=\oplus_{i}H_{i}.
$$
\begin{definition}Une structure de Hodge mixte est dite ind\'ecomposable si le fibr\'e de Rees \'equivariant qui lui est associ\'e est ind\'ecomposable.
 
La d\'ecomposition $H=\oplus_{i}H_{i}$ est appel\'e d\'ecomposition de la structure de Hodge mixte $H$ en structures de Hodge mixtes ind\'ecomposables.
\end{definition}

Remarquons la relation entre le type de $H$ et les types des termes ind\'ecomposables $H_i$
$$
\cale_{H}=\cup_{i}\cale_{H_i}.$$
\begin{lemme}
Soient $A$ et $B$ deux structures de Hodge mixtes s\'epar\'ees, de d\'ecomposition $A=\oplus_{i}A_{i}$ et $B=\oplus_{j}B_{j}$, alors
$$Ext_{MHS}^{1}(B,A)=\oplus_{i,j}Ext_{MHS}^{1}(B_{j},A_{i}).$$
\end{lemme}


%Nous verrons dans la section ? que l'introduction de la notion de structures de Hodge mixte ind\'ecomposable permet de comparer



\subsection{Invariants discrets de structures de Hodge mixtes, d�finition du niveau de ${\bf R}$-scindement}

\subsubsection{Classe d'une structure de Hodge mixte dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$}

Soit $H=(H_{\bf R},W_{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ une structure de Hodge mixte. On d�finit sa classe dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$ comme �tant la classe du fibr� �quivariant associ�
$$[H]=[\xi_{{\bf P}^2}(H)] \in K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T}).$$ 
D'apr�s l'�tude du $K_{0}$ faite dans la partie $1$, la classe du fibr� de Rees associ� � trois filtrations est d�crite par les entiers dimensions des gradu�s et bigradu�s associ�s aux filtrations. Dans le cas o� les filtrations proviennent d'une structure de Hodge mixte ces entiers sont d�crits par les nombres de Hodge, les $h^{p,q}$ d�finis pour tout $(p,q)$ par $h^{p,q}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{W}^{-p-q}H$ et les nombres entiers suivants
\begin{definition}
On d�finit les entiers "$s^{p,q}$" par
$$s^{p,q}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{\overline F}^{q}H.$$
\end{definition} 
Ces entiers vont jouer un r�le important par la suite pour mesurer la complexit� d'une structure de Hodge mixte.

D'apr�s la section ``Calcul explicite de $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$ et classe des fibr� de Rees'' et la proposition \ref{ko} p.\pageref{ko} on a :
\begin{proposition}\label{kor} Soit $H=(H_{\bf R},W_{\bullet},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ un objet de $\crmhs$, alors la classe de $\xi_{{\bf P}^2}(H)$ dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$ est donn�e par
$$[\xi_{{\bf P}^2}(H)]_{K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})}=((P_{A_{0}},P_{A_{1}},P_{A_{2}}),(P_{{\bf G}_{m12}},P_{{\bf G}_{m02}},P_{{\bf G}_{m01}}),P_{{\bf G}_{m}^{2}}),$$
o�,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{0}}=\sum_{p,q}h^{p,q}\,\,\,u_{0}^{p}v_{0}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{1}}=\sum_{p,q}h^{p,q}\,\,\,u_{1}^{p}v_{1}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{A_{2}}=\sum_{p,q}s^{p,q}\,\,\,u_{2}^{p}v_{2}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m12}}=\sum_{n}(\sum_{p,q,p+q=n}h^{p,q})\,\,\,u_{12}^{n}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m02}}=\sum_{p}(\sum_{q}h^{p,q})\,\,\,u_{12}^{p}=\sum_{p}(\sum_{q}s^{p,q})\,\,\,u_{12}^{p}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m01}}=\sum_{q}(\sum_{p}h^{p,q})\,\,\,u_{12}^{q}=\sum_{q}(\sum_{p}s^{p,q})\,\,\,u_{12}^{q}$,\\
$\hspace*{1cm}$ $\bullet$ $P_{{\bf G}_{m}^{2}}=\emph{dim}_{\bf C}V=\sum_{p,q}h^{p,q}=\sum_{p,q}s^{p,q}$.\\ 
\end{proposition}

Soit $H=\oplus_{i} H_{i}$ la d\'ecomposition de la structure de Hodge mixte $H$ en facteurs ind\'ecomposables. On a alors, 
$$
[\xi_{{\bf P}^2}(H)]_{K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})}=\oplus_{i}[\xi_{{\bf P}^2}(H_{i})]_{K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})},$$
et donc 
$$s^{p,q}_{H}=\sum_{i} s^{p,q}_{H_i}.$$

















\subsubsection{D�finition du niveau de ${\bf R}$-scindement des structures de Hodge mixtes}

Dans cette sous-section, comme partout o� l'on parlera de la notion de niveau de ${\bf R}$-scindement d'une structure de Hodge mixte, une structure de Hodge mixte sera une structure de Hodge mixte r�elle i.e. un objet de $\crmhs$.
%A une structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf Q},W_{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ on peut associer les nombres entiers suivants :
%$$\left\lbrace \begin{array}{l}
%         h^{p,q}_{H}=dim_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F^{\bullet }}^{p}Gr_{W_{\bullet }}^{p+q}H_{\bf C} \ \mathrm{pour \ tous}\ p,q \in {\bf Z}, \\
%         s^{p,q}_{H}=dim_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F^{\bullet }}^{p}H_{\bf C}\ \mathrm{ pour\ tous}\ p,q \in {\bf Z}.
         
%\end{array}
%\right.$$ 
Les entiers $h^{p,q}_{H}$ sont les nombres de Hodge classiques associ�s aux structures de Hodge mixtes. Dans le cas o� la structure de Hodge mixte $H$ est ${\bf R}$-scind�e, pour tous $p,q \in {\bf Z}$ on a l'�galit� : 
$$h^{p,q}_{H}=s^{p,q}_{H},$$
en effet $ h^{p,q}_{H}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F^{\bullet }}^{p}Gr_{W_{\bullet }}^{p+q}H_{\bf C}=\text{dim}_{\bf C}I^{p,q}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F^{\bullet }}^{p}H_{\bf C}=s^{p,q}_{H}$.

 Ce n'est pas vrai en g�n�ral comme nous le verrons par la suite. Le calcul des invariants du fibr� de Rees associ� � une structure de Hodge mixte construit va nous permettra de voir � quel point les entiers $s^{p,q}_{H}$ sont proches des nombres de Hodge $h^{p,q}_{H}$, c'est � dire de voir si la structure de Hodge mixte est proche de la structure de Hodge mixte ${\bf R}$-scind�e qui lui est associ�e \cite{catkapsch}.\\

\begin{proposition}
Soit ${\xi}_{{\bf P}^2}(H_{\bf C},W_{.}^{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ le fibr� sur ${\bf P}^2$ associ� � la structure de Hodge mixte $(H_{\bf Q},W_{\bullet },F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})$, alors :
$$ \emph{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}(H_{\bf C},W_{.}^{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet }))= \emph{dim}_{\bf C}H_{\bf C}+\frac{1}{2}\sum_{p,q}(p+q)^{2}(s^{p,q}_{H}-h^{p,q}_{H})w^{4}$$
et donc :
$$\emph{c}_{2}( {\xi}_{{\bf P}^2}(H_{\bf C},W_{.}^{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet }))=\frac{1}{2}\sum_{p,q}(p+q)^{2}(h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H})w^{4}.$$

\end{proposition}

\begin{preuve}
Nous pouvons donner deux preuves de cette proposition � l'aide la premi�re partie. Pour la premi�re, on applique la proposition \ref{filtrscin} p.\pageref{filtrscin} dans le cas o� l'espace vectoriel trifiltr� provient d'une structure de Hodge mixte avec $(V,F^{\bullet }_{0},F^{\bullet }_{1},F^{\bullet }_{2})=(H_{\bf C},W_{.}^{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$. D'o�  $  \text{dim}_{\bf C}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}V= \text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}_{}^{\bullet }}^{q}Gr_{{ F}_{}^{\bullet }}^{p}H_{\bf C}=s^{p,q}_{H}$ et $ \text{dim}_{\bf C}Gr_{F_{2}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{1}^{\bullet }}^{p}Gr_{F_{0}^{\bullet }}^{-p-q}V = \text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{}^{\bullet }}^{p}Gr^{W^{\bullet }_{.}}_{-p-q}H_{\bf C}=h_{H}^{p,q}$ ce qui donne la relation.

La deuxi�me preuve consiste � d�duire le caract�re de Chern du fibr� de sa classe dans $K_{0}({\bf P}^{2},{\bf T})$ en oubliant l'action.
\end{preuve}
Ceci nous am�ne � d�finir le niveau de ${\bf R}$-scindement comme il suit :   
\begin{definition}
Le niveau de ${\bf R}$-scindement d'une structure de Hodge mixte $(H_{\bf Q},W_{\bullet },F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})$ est le nombre entier : $$\alpha (H)=\emph{c}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}(H))=-\emph{ch}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}(H_{\bf C},W_{.}^{\bullet },F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet }))=\frac{1}{2}\sum_{p,q}(p+q)^{2}(h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H}).$$
\end{definition}
Cette d�finition constitue une g�n�ralisation de la notion de structure de Hodge ${\bf R}$-scind�e.






\begin{proposition} Soit $H$ une structure de Hodge mixte r�elle, alors
$$ \alpha(H)=0    \Longleftrightarrow  \text{ La structure de Hodge mixte } H \text{ est }  {\bf R}\text{-scind\'ee. }$$
\end{proposition}
${}$\\
\begin{preuve}
%L'implication $\Leftarrow$ est \'evidente car les $I^{p,q}$ sindent les trois filtrations simultan\'eement.
Si $(H_{\bf Q},W_{\bullet },F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})$ est une structure de Hodge ${\bf R}$-scind�e alors $\alpha (H)=0$. Reciproquement supposons que l'invariant $\alpha $ soit \'egal \`a z\'ero, le fibr\'e de Rees associ\'es aux filtration est alors trivial, ce qui signifie que les scindements sont les m\^emes sur chacunes des cartes affines. Le scindement sur la carte de $(W_{\bullet},F^{\bullet})$ par les $I^{p,q}$ est donc le m\^eme que le scindement par les $S^{p,q}=Gr_{F^\bullet}^{p}Gr_{{\overline F}^{\bullet }}^{q}H_{\bf C}$, scindement sur la carte de $(F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet})$. Les $S^{p,q}$ \'etant envoy\'es sur les $S^{q,p}$, on a $I^{p,q}={\overline I}^{q,p}$ pour tout $(p,q)$, ce qui prouve que la structure est ${\bf R}$-scind\'ee. 

La r�ciproque peut aussi se voir de la fa�on qui suit : si $\alpha(H)=0$, alors les classes de Chern du fibr� sur le plan projectif complexe sont nulles et par la th�orie de Donaldson ce fibr� est donc trivial et donc la structure de Hodge mixte � laquelle il est associ� est scind�e. 
\end{preuve}
${}$\\
{\bf Remarques :} $\bullet$ Notons $H'=(H_{\bf C},W_{\bullet },e^{-i.\delta}.F^{\bullet })$ la structure de Hodge mixte ${\bf R}$-scind�e associ�e � la structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf C},W_{\bullet },F^{\bullet })$. On v�rifie que l'on a bien pour tous $(p,q)$ $h^{p,q}_{H'}=s^{p,q}_{H'}=dim_{\bf C}\,I^{p,q}$ et donc $\alpha(H_{\bf C},W_{\bullet },e^{-i.\delta}.F^{\bullet })=0$.\\
$\bullet$ Pour des raisons de dimension, on a $\sum_{p,q}(h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H})=0$.\\ 
$\bullet$ De m�me
\begin{eqnarray*}
\sum_{p,q}(p+q)(h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H})&=&\sum_{p}p(\sum_{q}\,h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H})+\sum_{q}q(\sum_{p}\,h^{p,q}_{H}-s^{p,q}_{H})\\
&=&\sum_{p}p(\text{dim}_{\bf C}{\overline F}^{q}-\text{dim}_{\bf C}{\overline F}^{q})+\sum_{q}q(\text{dim}_{\bf C}{ F}^{p}-\text{dim}_{\bf C}{ F}^{p})\\
&=&0.
\end{eqnarray*}\\
$\bullet $ Il para\^{\i}t possible que deux structures de Hodge mixtes $H$ et $H'$ aient les m\^emes nombres de Hodge, des niveaux de ${\bf R}$-scindement $\alpha (H)$ et $\alpha (H')$ �gaux mais que leurs nombres $h^{p,q}_H$ et $s^{p,q}_H$ ne soient pas tous �gaux.\\
$\bullet$ On peut d\'emontrer directement par des consid\'erations d'alg\`ebre lin\'eaire la deuxi\`eme implication d\'emontr\'ee dans la proposition pr\'ec\'edente. Supposons que $\alpha(H)=0$ pour une structure de Hodge mixte $H$. On veut montrer que dans ce cas pour tous $(p,q)$ $I^{p,q}={\overline I}^{q,p}$. Supposons que ce ne soit pas le cas. Munissons ${\bf Z}^2$ de l'ordre lexicographique. Soit $(p_{0},q_{0})$ le plus grand des �l�ments $(p,q)$ tels que $I^{p,q}\neq I^{q,p}$ (rappelons que l'on a toujours �galit� modulo $W_{p+q-2}$). Soit $I^{p_{0},q_{0}}_{0}$ le sous-espace vectoriel de $I^{p_{0},q_{0}}$ de dimension maximale v�rifiant l'�galit� $I^{p_{0},q_{0}}_{0}={\overline I}^{q_{0},p_{0}}_{0}$. Il est donn� par $I^{p_{0},q_{0}}_{0}=I^{p_{0},q_{0}}\cap {\overline I}^{p_{0},q_{0}}$. On a par hypoth�se $I^{p_{0},q_{0}}_{0} \subsetneq I^{p,q}$. Ainsi, comme pour tous $(p,q) \geq (p_{0},q_{0})$ l'�galit� $h^{p,q}=s^{p,q}$ est v�rifi�e, on en d�duit l'in�galit� $s^{p_{0},q_{0}}_{H}=\text{dim}_{{\bf C}}\,I^{p_{0},q_{0}}_{0} < \text{dim}_{\bf C}\,I^{p_{0},q_{0}}=h^{p_{0},q_{0}}_{H}$ ce qui contredit l'hypoth�se car le terme correspondant dans la formule de $\alpha$ contribue strictement positivement. 
 
\subsection{Comportement du niveau de ${\bf R}$-scindement par op�rations sur les structures de Hodge mixtes}

Dans cette partie nous allons �tudier le comportement de $\alpha$ lors des diff�rentes op�rations qui peuvent \^etre faites sur des structures de Hodge mixtes. Ces op�ration sont h�rit�es de la structure de cat�gorie ab�lienne et tensorielle de la cat�gorie des structures de Hodge mixtes. %Nous allons �tudier  Morphismes entre structures de Hodge mixtes, quotients, sommes directes, produits tensoriels et extensions.\\




\begin{theoreme}\label{elemalpha}
Pour $H$ et $H'$ deux structures de Hodge mixtes :\\
\hspace*{1cm}$(i)$ pour tout $k \in {\bf Z}$, $\alpha(H \otimes T \langle k \rangle )=\alpha(H)$.\\ 
\hspace*{1cm}$(ii)$ $\alpha(H^{*})=\alpha(H)$ o� $H^{*}=\emph{Hom}_{SHM}(H,T \langle 0 \rangle )$.\\
\hspace*{1cm}$(iii)$ $\alpha ( H \oplus H')=\alpha(H) +\alpha (H')$.\\
 \hspace*{1cm}$(iv)$ $\alpha( H \otimes H')=\emph{dim}(H').\alpha(H)+\emph{dim}(H).\alpha(H')$. 
\end{theoreme}

\begin{preuve}(i)\begin{eqnarray*}\alpha(H \otimes T \langle k \rangle )&=&\frac{1}{2}\sum_{(p,q)\in {\cale}_{H \otimes T \langle k \rangle}}(p+q)^{2}(h^{p,q}_{H \otimes T \langle k \rangle}-s^{p,q}_{H \otimes T \langle k \rangle})\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{(p+k,q+k)\in {\cale}_{H}}(p+q)^{2}(h^{p,q}_{H \otimes T \langle k \rangle}-s^{p,q}_{H \otimes T \langle k \rangle})\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{(p,q)\in {\cale}_{H}}(p+q)^{2}(h^{p-k,q-k}_{H \otimes T \langle k \rangle}-s^{p-k,q-k}_{H \otimes T \langle k \rangle})\\
&=&\alpha(H),
\end{eqnarray*}
d'apr�s la remarque pr�c�dente.\\
(ii) Il suffit d'�crire que ${\cale }_{H^*}=\{(-p,-q) \vert (p,q) \in {\cale}_{ H}$, $s^{p,q}_{H^*}=s^{-p,-q}_{H}$ et $h^{p,q}_{H^*}=h^{-p,-q}_{H}\}$, l'�galit� en d�coule car tous les coefficients $p+q$ sont au carr�.\\
(iii) ${\cale }_{H\oplus H'}={\cale}_{H} \cup {\cale}_{ H'}$. Les filtrations de Hodge et la filtration d�croissante associ�e � la filtration par le poids de $H \oplus H'$ se d�duisent des filtrations respectives de $H$ et $H'$ par somme directe. Les dimensions des quotients sont donc faciles � calculer, on en d�duit : pour $p,q$ entiers, $h^{p,q}_{H \oplus H'}=h^{p,q}_{H}+h^{p,q}_{H'}$ et $s^{p,q}_{H \oplus H'}=s^{p,q}_{H}+s^{p,q}_{H'}$. En d�coule la formule voulue.\\
(iv) D'apr�s le lemme \ref{sumfibrees} :\\
 ${\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C},W^{\bullet }_{.},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet}) \otimes (H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} ')) \cong {\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {},W^{\bullet }_{.} {},F^{\bullet} {},{\overline F}^{\bullet} {} )) \otimes {\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} ')) $.\\
Donc :

$\text{ch}{\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C},W^{\bullet }_{.},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet}) \otimes (H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} '))=$

\hspace{4cm} $\text{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {},W^{\bullet }_{.} {},F^{\bullet} {},{\overline F}^{\bullet} {} ))).\text{ch}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} '))) $.\\
Or les trois filtrations constituant une structure de Hodge �tant mixte �tant oppos�es, on a : 
$\text{ch}_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C},W^{\bullet }_{.},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet}))=0$ et de m\^eme $\text{ch}_{1}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C}{} ',W^{\bullet }_{.}{} ',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet}{} '))=0$. Ainsi :

$\text{c}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C},W^{\bullet }_{.},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet}) \otimes (H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} ')))=$

\hspace{1cm} $\text{dim}_{\bf C}(H_{\bf C}{}').\text{c}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {},W^{\bullet }_{.} {},F^{\bullet} {},{\overline F}^{\bullet} {} )))+\text{dim}_{\bf C}(H_{\bf C}).\text{c}_{2}({\xi}_{{\bf P}^2}((H_{\bf C} {}',W^{\bullet }_{.} {}',F^{\bullet} {}',{\overline F}^{\bullet} {} '))) $.\\
Qui est l'�galit� cherch�e.



\end{preuve}
On peut donc, d'apr\`es le $(iii)$ du th\'eor\`eme, calculer $\alpha$ facteurs ind\'ecomposables par facteurs ind\'ecomposables. 
\begin{corollaire} Soit $H$ un structure de Hodge mixte et $H=\oplus_{i}H_{i}$ sa d\'ecomposition en facteurs ind\'ecomposables, on a alors
$$
\alpha(H)=\sum_{i}\,\,\alpha(H_{i}).
$$
\end{corollaire}

Soient $A=(A_{\bf Z},W_{\bullet }^{A},F^{\bullet}_{A},{\overline F}^{\bullet}_{A})$ et $B=(B_{\bf Z},W_{\bullet }^{B},F^{\bullet}_{B},{\overline F}^{\bullet}_{B})$ deux structures de Hodge mixtes. Nous pouvons alors d�finir  suivant \cite{mor} ou \cite{car} le groupe d'extension de $B$ par $A$ dans la cat\'egorie des structures de Hodge mixtes, not� $\text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$.
%s�par�es c'est � dire telles que le plus haut poids de $A$ est strictement inferieur au poids le plus bas de $A$, 
C'est � dire l'ensemble des classes d'�quivalence � congruence pr�s des suites exactes de structures de Hodge mixtes :
%$$ 0 \rightarrow A \rightarrow H \rightarrow B \rightarrow 0$$
$$
\xymatrix{
 0 \ar[r] &  A        \ar[r]^{i}  & H         \ar[r]^{\pi}     &   B    \ar[r]   & 0  
}
$$

Pour une structure de Hodge mixte $H$ remplissant une telle suite exacte, on �crira : $H \in  \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$. On a bien s\^ur :
 ${\mathcal E }_{H}={\mathcal E }_{A} \cup {\mathcal E }_{B}$.
Nous noterons pour tous $p,q \in {\bf Z}$ $s^{p,q}_{H}$ (resp. $s^{p,q}_{A}$, $s^{p,q}_{B}$) les entiers suivants $\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}_{H}^{\bullet }}^{q}Gr_{{ F}_{H}^{\bullet }}^{p}H_{\bf C}$ (resp. $\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}_{A}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{A}^{\bullet }}^{p}A_{\bf C}$, $\text{dim}_{\bf C}Gr_{{\overline F}_{B}^{\bullet }}^{q}Gr_{F_{B}^{\bullet }}^{p}B_{\bf C}$). On utilisera le m\^eme type de  notation pour les nombres de Hodge $h^{p,q}_{H}$,$h^{p,q}_{A}$ et $h^{p,q}_{B}$.\\
Pour $H \in \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$ nous avons les �galit�s suivantes pour les nombres de Hodge :
\begin{center}
Pour tous $p,q \in {\bf Z}$, $h^{p,q}_{H}=h^{p,q}_{A}+h^{p,q}_{B}$
\end{center}    
Une telle �galit� pour les entiers $s^{p,q}$ n'est pas vraie en g�n�ral ce qui met en �vidence la sur-additivit� de l'invariant $\alpha$ : 


\begin{theoreme}\label{inegext}
Soient $A$ et $B$ deux structures de Hodge mixtes et $H \in \emph{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$, alors :
$$ \alpha(H) \geq \alpha(A)+\alpha(B)$$

\end{theoreme} 

\begin{preuve}
Consid�rons la suite exacte de structures de Hodge mixtes qui donne l'extension
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{i} & H \ar[r]^{\pi} &  B  \ar[r] & 0}.$$
On en d�duit, comme dans la preuve du corollaire \ref{corab} p.\pageref{corab} la suite exacte de faisceaux sur ${\bf P}^2$
$$\xymatrix{ 0 \ar[r] & \xi_{{\bf P}^2}(A) \ar[r]^{i} & \xi_{{\bf P}^2}(H) \ar[r]^{\pi^{**}} &  \xi_{{\bf P}^2}(B)  \ar[r] & T \ar[r]&  0},$$
o� $T$ est de torsion. D 'apr�s le lemme 30, $\text{ch}_{2}(T) \geq 0$. Or $\text{ch}_{2}(T)=-\text{c}_{2}(T)$ car le faisceau $T$ est support� en codimension $2$ donc $\text{c}_{1}(T)=0$. L'in�galit� se d�duit donc de la relation
$\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(A))+\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(B))=\text{c}_{2}(\xi_{{\bf P}^2}(H))+\text{c}_{2}(T)$. 
\end{preuve}

\begin{corollaire}
Soit $H$ une structure de Hodge mixte, alors :    \,\,\,\,       $\alpha(H) \geq 0$.\\

\end{corollaire}

\begin{preuve}
Toute structure de Hodge mixte peut \^etre d�crite comme extension successive de structures de Hodge pures. En effet, si $H$ est une structure de Hodge dont les poids varient entre $0$ et $2n$ par exemple (on peut s'y ramener en tensorisant par une structure de Hodge de Tate, ce qui ne change pas la valeur de $\alpha$ d'apr�s la proposition \ref{elemalpha} p.\pageref{elemalpha}), on a $H \in \text{Ext}_{MHS}^{1}(Gr^{W}_{2n}H,W_{2n-1}H)$. Ainsi par la proposition pr�c�dente $\alpha(H) \geq \alpha(W_{2n-1}H) + \alpha(Gr^{W}_{2n}H)=\alpha(W_{2n-1}H)$ car $\alpha(Gr^{W}_{2n}H)=0$, $Gr^{W}_{2n}H$ �tant une structure de Hodge pure de poids $2n$. De m\^eme $W_{2n-1}H \in \text{Ext}_{MHS}^{1}(Gr^{W}_{2n-1}H,W_{2n-2}H)$ et donc $\alpha(H) \geq \alpha(W_{2n-1}H) \geq \alpha(W_{2n-2}H)$. En poursuivant ainsi :
$$  \alpha(H) = \alpha(W_{2n}H) \geq \alpha(W_{2n-1}H) \geq \alpha(W_{2n-2}H) \geq ...\geq \alpha(W_{0}H)=0,$$
car $W_{0}H$ est une structure de Hodge pure.
\end{preuve}

{\bf Remarques :} $\bullet$ Avec Dr�zet et de Le Potier, \cite{drepot}, on voit que les fibr�s vectoriels $\xi_{{\bf P}^2}(H^{k}(X,{\bf C}),W^{\bullet }_{.},F^{\bullet },{\overline F}^{\bullet })$ sont ``connus''. En effet, on est dans le cas o� $r>1$,$c_1=0$ et $c_2 \leq 0$.\\ 
$\bullet$ Soient $A$ et $B$ deux structures de Hodge mixtes, il existe  $m(A,B) \in {\bf Z}$ ($m=m(h_{A}^{.,.},h_{B}^{.,.},t_{A}^{.,.},t_{B}^{.,.}$)) tel que pour tout $H \in \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$ : $\alpha(H) \in [\alpha(A)+\alpha(B),m(A,B)]$. On a m\^eme plus : pour tout $p \in [\alpha(A)+\alpha(B),m(A,B)]$ il existe $H \in \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$ tel que $\alpha(H)=p$. On en d�duit qu'�tant donn�s des nombres de Hodge $h^{p,q}$, il existe $m(h^{.,.})$ tel que si $H$ est une structure de Hodge mixte qui a ces nombres de Hodge alors $\alpha(H) \in [0,m(h^{.,.})]$.\\
${}$\\ 







La suite de cette section est constitu�e une autre d�monstration du th�or�me sur la sur-additivit� de $\alpha$. Cette preuve est une preuve qui utilise des outils d'alg�bre lin�aire alors que la preuve pr�c�dente est g�om�trique. Elle fournit des expressions de $\alpha$ qui par leurs formes permettront d'�tudier les propri�t�s de semi-continuit� de cet invariant.

Consid�rons la suite exacte de structures de Hodge mixtes donn�e par la classe d'extension $H \in \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$. D'apr�s le travail de la section $1.6.2$ de la partie $1$, on peut �crire le diagramme 




%$$
%\xymatrix{
%    {} & A          \ar[d]_{\alpha} & H         \ar[r]^{\pi} \ar[d]_{\nu}     &   B    \ar[r] \ar[d]_{\beta}  & 0  \\
%          {}  & A'         \ar[r]^{i'} &  H'         \ar[r]^{\pi'}  &      B     &   {}
%}
%$$


%$$
%\xymatrix{
%{}  &    0   \ar[d] &   0   \ar[d] & 0  \ar[d] &  {}\\
% 0  \ar[r] & A        \ar[r]  \ar[d]_{\alpha} & H         \ar[r]^{\pi} \ar[d]_{\nu}     &   B    \ar[r] \ar[d]_{\beta}  & 0  \\
%          {}  & A'   \ar[d]      &  H'    \ar[d]      &      B  \ar[d]   &   {}\\
%{}  & A'   \ar[d]      &  H'    \ar[d]      &      B  \ar[d]   &   {}\\
%{}  & 0         &  0          &      0   &   {}
%}
%$$


\scalebox{0.70}[1]{
$$
\xymatrix{
{}  &    0   \ar[d] &   0   \ar[d] & 0  \ar[d] &  {}\\
 0  \ar[r] &  {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(A_{\bf C},{W^{A}_{. }}^{\bullet },F_{A}^{\bullet },{\overline F}_{A}^{\bullet },Triv^{\bullet })       \ar[r]  \ar[d] & {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(H_{\bf C},{W^{H}_{.}}^{\bullet },F_{H}^{\bullet },{\overline F}_{H}^{\bullet },Triv^{\bullet })         \ar[r] \ar[d]     &   {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(B_{\bf C},{W^{B}_{.}}^{\bullet },F_{B}^{\bullet },{\overline F}_{B}^{\bullet },Triv^{\bullet })    \ar[r] \ar[d]  & 0  \\
          {}  &  e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(A_{\bf C},{W^{A}_{.}}^{\bullet },F_{A}^{\bullet },{\overline F}_{A}^{\bullet })  \ar[d]      &   e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(H_{\bf C},{W^{H}_{.}}^{\bullet },F_{H}^{\bullet },{\overline F}_{H}^{\bullet })    \ar[d]      &  e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(B_{\bf C},{W^{B}_{.}}^{\bullet },F_{B}^{\bullet },{\overline F}_{B}^{\bullet })      \ar[d]   &   {}\\
{}  &  {\calf}_{A}   \ar[d]      &   {\calf}_{H}    \ar[d]      &       {\calf}_{B}  \ar[d]   &   {}\\
{}  & 0         &  0          &      0   &   {}
}
$$
}











%$$
%\xymatrix{
   
%0 \ar[r]   &   A    \ar[r] \ar[d]    &   H    \ar[r] \ar[d]  &   B   \ar[r]  \ar[d]
%&     0    \\


 %0 \ar[r] &   {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(A_{\bf C},W^{A}_{\bullet },F_{A}^{\bullet },{\overline F}_{A}^{\bullet },Triv^{\bullet })        \ar[r]  &   {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(H_{\bf C},W^{H}_{\bullet },F_{H}^{\bullet },{\overline F}_{H}^{\bullet },Triv^{\bullet })       \ar[r]      &   {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(B_{\bf C},W^{B}_{\bullet },F_{B}^{\bullet },{\overline F}_{B}^{\bullet },Triv^{\bullet })    \ar[r]   & 0  


%}
%$$

%           {} & e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(A_{\bf C},W^{A}_{\bullet },F_{A}^{\bullet },{\overline F}_{A}^{\bullet })         \ar[d]  &  e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(H_{\bf C},W^{H}_{\bullet },F_{H}^{\bullet },{\overline F}_{H}^{\bullet })         \ar[d]  &      e^{*}{\xi}_{{{\bf P}^2}}(B_{\bf C},W^{B}_{\bullet },F_{B}^{\bullet },{\overline F}_{B}^{\bullet })  \ar[d]   &   {}\\

%{}  & {\calf}_{A}  \ar[d]  &  {\calf}_{H}  \ar[d]    & {\calf}_{B}  \ar[d]  &   {}\\

% {}    &  0   \ar[d]     &   0   \ar[d]  &  0  \ar[d] &   {}   










%\begin{center}
%$0 \rightarrow {\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet },Triv^{\bullet }) \rightarrow e^{*}{\xi}_{{\bf P}^2}(V,F_{0}^{\bullet },F_{1}^{\bullet },F_{2}^{\bullet }) \rightarrow \calf \rightarrow 0$.
%\end{center}


o�, d'apr�s la section pr�c�dente, les colonnes sont des suites exactes associ�es � chacunes des structures de Hodge mixtes $A$, $H$ et $B$. La premi�re ligne est une suite exacte car le foncteur ${\xi}_{\widetilde{{\bf P}^2}}(.,.,.,.,Triv^{\bullet })$ est un foncteur exact de la cat�gorie des structures de Hodge mixtes vers la cat�gorie des fibr�s vectoriels sur ${\widetilde{{\bf P}^2}}$. On obtient donc la relation entre les niveaux de ${\bf R}$-scindement des structures de Hodge mixtes :
$$  \alpha (H)= \alpha (A) + \alpha (B)+ \frac{1}{2}\sum_{p,q}\,(p+q)^{2}(s^{p,q}_{A}+s^{p,q}_{B}-s^{p,q}_{H}).$$
Cette relation est importante dans cette autre d�monstration du fait que l'invariant $\alpha$ est sur-additif par extension :\\
${}$\\
{\bf Notation :} pour une structure de Hodge mixte $\bullet $, on d�finit
 $$f^{p,q}_{\bullet}=\text{dim}_{\bf C}F^{p}_{\bullet}\cap{\overline F}^{q}_{\bullet}.$$

La d�monstration du th�or�me utilise le lemme suivant ainsi que son corollaire :\\
  
\begin{lemme}
Soient $V_1$ et $V_2$ deux espaces vectoriels, $V=V_{1}\oplus V_{2}$ et $\pi$ la projection de $V$ sur $V_2$, $i$ l'injection de $V_1$ dans $V$. Soient $W_1$, $W_{1}'$ (resp. $W_2$, $W_{2}'$) des sous-espaces vectoriels de $V_1$ (resp. $ V_{2}$). Si $W$ et $W'$ sont des sous-espaces vectoriels tels que $i(W_{1})=W \cap V_{1},i(W_{1}')=W' \cap V_{1}$ et $\pi (W)=W_{2},\pi (W')=W_{2}'$, alors :

$  \emph{dim}_{\bf C}(W_{1} \cap W_{1}')+ \emph{dim}_{\bf C}(W_{2} \cap W_{2}')-\min(\emph{dim}_{\bf C}(W_{2} \cap W_{2}'),\emph{dim}_{\bf C}(V_{1}))$
\begin{eqnarray*}
 \hspace{4cm}  &   \leq   &   \emph{dim}_{\bf C}( W\cap W')\\
\hspace{4cm} & \leq & \emph{dim}_{\bf C}(W_{1} \cap W_{1}')+\emph{dim}_{\bf C}(W_{2} \cap W_{2}'). 
\end{eqnarray*}

\end{lemme}





\begin{corollaire}
Soient $A$ et $B$ deux structures de Hodge mixtes et $H \in \emph{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$, alors :
$$ \forall (p,q) \in {\bf Z} \times {\bf Z} \,\,\,\, f^{p,q}_{H}-f^{p,q}_{A}-f^{p,q}_{B} \leq 0$$
 
\end{corollaire}

\begin{preuve}(du corollaire)
D'apr�s la construction de $H \in \text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$ (c'est � dire une classe de suite exacte  $0 \longrightarrow A \stackrel{i}{\longrightarrow} H \stackrel{ \pi}{\longrightarrow} B \longrightarrow 0 $) suivant \cite{mor},\cite{car}, pour tout $(p,q) \in {\bf Z} \times {\bf Z}$, on est exactement dans le cadre du lemme pr�c�dent avec : $H_{\bf C}=A_{\bf C}\oplus B_{\bf C}$, $W_1=F^{p}_{A}$, $W_{1}'={\overline F}^{q}_{A}$, $W_1=F^{p}_{B}$, $W_{1}'={\overline F}^{q}_{B}$, $W=F^{p}_{H}$, $W'={\overline F}^{q}_{H}$. Par construction de la filtration de Hodge et sa filtration oppos�e sur l'extension, on a
$i(F^{p}_{A_{\bf C}})=A_{\bf C} \cap F^{p}_{H_{\bf C}}$, $i({\overline F}^{q}_{A_{\bf C}})=A_{\bf C} \cap {\overline F}^{q}_{H_{\bf C}}$ et $\pi(F^{p}_{H_{\bf C}})=F^{p}_{B_{\bf C}}$, $\pi({\overline F}^{q}_{H_{\bf C}})= {\overline F}^{q}_{B_{\bf C}}$ par stricte compatibilit� des morphismes de structures de Hodge.
\end{preuve}




\begin{preuve}(du lemme)
Ecrivons sous forme matricielle les coordonn�es des sous espaces vectoriels $W$ et $W'$ dans $V=V_{1}\oplus V_{2}$ i.e. les repr�sentations matricielles des points $W$ et $W'$ dans les grassmanniennes $G(V,\text{dim}_{\bf C}W)$ et $G(V,\text{dim}_{\bf C}W')$. On note $M_{i}Sev$ la matrice repr�sentant $Sev \subset V_{i}$ dans $G(V_{i},\text{dim}_{\bf C}Sev)$ pour $i \in \{\Box ,1,2\}$. La base de $V$ prise pour la repr�sentation matricielle est la r�union des bases de $V_{1}$ et $V_{2}$. Alors :\\
$MW=\left(
    \begin{array}{ccc}
    M_{1}W_{1}   &   \vert    &      0   \\
    A_{1}     &    \vert       &     M_{2}W_{2}


\end{array}
\right)$    et $MW'=\left(
    \begin{array}{ccc}
    M_{1}W_{1}'   &   \vert    &      0   \\
    A_{1}'     &    \vert       &     M_{2}W_{2}'


\end{array}
\right)$.\\
o� $A_{1}$ et $A_{2}$ sont des matrices quelconques de dimension $\text{dim}_{\bf C}W_{2} \times \text{dim}_{\bf C}V_{1} $ et $\text{dim}_{\bf C}W_{2}' \times \text{dim}_{\bf C}V_{1}$ respectivement (on v�rifie que ce sont bien des sous-espaces vectoriels tels que $i(Sev_{1})=Sev \cap V_{1}$ et $\pi(Sev)=Sev_{2}$). Comme pour deux sous-espaces vectoriels on a l'�galit� sur les dimensions : $\text{dim}(Sev_{1}\cap Sev_{2})+\text{dim}(Vect(Sev_{1},Sev_{2}))=\text{dim}(Sev_{1})+\text{dim}(Sev_{2})$, conna\^{\i}tre la dimension de $Vect(W,W')$ nous donne la dimension cherch�e. Il s'agit donc de trouver le maximum des dimensions des matrices extraites de d�terminant non nul de la matrice : 

\hspace{2cm}$MW=\left(
    \begin{array}{ccc}
    M_{1}W_{1}   &   \vert    &      0   \\
    A_{1}     &    \vert       &     M_{2}W_{2}\\
    --------&   \vert  & --------\\
    M_{1}W_{1}'   &   \vert    &      0   \\
    A_{1}'     &    \vert       &     M_{2}W_{2}'


\end{array}
\right)$\\
Une telle matrice contient des lignes et colonnes obtenues � partir des matrices extraites de d�terminant non nul de dimension maximale pour les sous-espaces engendr�s $Vect( W_{1},  W_{1}')$ et $Vect( W_{2},  W_{2}')$ i.e. les lignes et colonnes compl�t�es � partir de telle matrices extraites dans :

\hspace{2cm} $MW'=\left(
    \begin{array}{c}
    M_{1}W_{1} \\
    M_{1}W_{1}' 
\end{array}
\right)$ et $MW'=\left(
    \begin{array}{c}
    M_{2}W_{2} \\
    M_{2}W_{2}' 
\end{array}
\right)$.\\
On peut donc trouver une matrice extraite de d�terminant non nul de dimension au moins �gale � $ \text{dim}\,Vect( W_{1},  W_{1}')+\text{dim}\,Vect( W_{2},  W_{2}')$. On peut ajouter � cela au plus $\text{min}(\text{dim}\,( W_{2} \cap  W_{2}'), \text{dim} \,V_{1})$ lignes et colonnes pour obtenir une matrice de d�terminant non nul. D'o� l'in�galit� :
\begin{center}
$ \text{dim}(Vect(W_{1},  W_{1}'))+\text{dim}(Vect(W_{2},  W_{2}'))   \leq  \text{dim}(Vect(W_{},  W_{}')) $\\
$  \leq  \text{dim}(Vect(W_{1},  W_{1}'))+\text{dim}(Vect(W_{2},  W_{2}'))+ \text{min}(\text{dim}\,( W_{2} \cap  W_{2}'), \text{dim} \,V_{1})$
\end{center}
En d�coule l'in�galit� voulue en passant aux codimensions. 

%$B=\left(
%    \begin{array}{cccccccccc}
%     1  & 0                  & ... & ...              & 0                & \vert   & 0 & ... & 0 \\
%     \lambda_{1} & 1    &   -1 & 0             & 0                & \vert   & ... & ... & ...           \\
%     ...              & 0                 & 1  & -1               &...               & \vert    & ... & ... & ...           \\
%      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert     & ... &
%c_{ij}=log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2}
%(1+\tau ))})-log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}) & ...   \\
%      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert      & ... & ... & ...          \\
%       \lambda_{k-1}              & ...                & 0   & 1  & -1  & \vert         & ... & ... & ...
%\end{array}
%\right)$\\

\end{preuve}







\begin{preuve}(du th�or�me)
 Comme ${\mathcal E }_{H}={\mathcal E }_{A} \cup {\mathcal E }_{B}$ est un sous-ensemble fini de ${\bf Z} \times {\bf Z}$, on peut trouver $k \in {\bf Z}$ et $N \in {\bf Z}$ tels que ${\mathcal E }_{H \otimes {T \langle k \rangle }}={\mathcal E }_{A \otimes {T \langle k \rangle }} \cup {\mathcal E }_{B\otimes {T \langle k \rangle }} \subset [0,N] \times [0,N]$. D'apr�s le th�or�me \ref{elemalpha} $(i)$, l'�galit� n'est pas modifi�e par tensorisation des structures de Hodge $A$,$B$ et $H$ par une structure de Hodge de Tate. Tensoriser les structures de Hodge dans une extension par une structure de Hodge de Tate ${T \langle k \rangle }$ induit un isomorphisme entre $\text{Ext}^{1}_{MHS}(B,A)$ et $\text{Ext}^{1}_{MHS}(B\otimes {T \langle k \rangle },A\otimes {T \langle k \rangle })$. Quitte � remplacer les structures de Hodge $A,B$ et $H$ par leurs tensoris�es par ${T \langle k \rangle }$, on peut ainsi supposer que  ${\mathcal E }_{H } \subset [0,N] \times [0,N]$. La proposition se ram�ne donc � montrer que : 
$$ \alpha(H) - \alpha(A)-\alpha(B) =\frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[0,N] \times [0,N]}} (p+q)^{2}(s^{p,q}_{A}+s^{p,q}_{B}-s^{p,q}_{H}) \geq 0$$
Pour une structure de Hodge mixte $\bullet$, on a les suites exactes suivantes :

$$
\xymatrix{
{}   &   0  \ar[d]    &    0   \ar[d]   &   {}    &   {}\\
{}   &   F^{p+1}_{\bullet}\cap{\overline F}^{q+1}_{\bullet}  \ar[d]    &    F^{p}_{\bullet}\cap{\overline F}^{q+1}_{\bullet}   \ar[d]   &   {}    &   {}\\
  {}   &   F^{p+1}_{\bullet}\cap{\overline F}^{q}_{\bullet}  \ar[d]    &    F^{p}_{\bullet}\cap{\overline F}^{q}_{\bullet}   \ar[d]   &   {}    &   {}\\
 0  \ar[r]  &   F^{p+1}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q}   \ar[r] \ar[d] &  F^{p}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q}   \ar[r] \ar[d]   &  Gr_{{ {F_{\bullet}}}}^{p}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q}  \ar[r]  &   0\\
{}    &   0    &    0    &  {}   &   {}
}
$$
Et donc la relation sur les dimensions :$$ s^{p,q}_{\bullet}=f^{p,q}_{\bullet}-f^{p+1,q}_{\bullet}-f^{p,q+1}_{\bullet}+f^{p+1,q+1}_{\bullet}.$$
Posons $\alpha(\bullet)=\alpha^{+}(\bullet)-\alpha^{-}(\alpha)$ o� $\alpha^{+}(\bullet)$ est constitu� des termes de la somme avec les nombres de Hodge et $\alpha^{-}(\bullet)$ est constitu� des termes de la somme qui comportent les entiers $s^{p,q}_{\bullet }$. Comme pour tout $(p,q) \in {\bf Z}$ $h^{p,q}_{H}=h^{p,q}_{A}+h^{p,q}_{B}$, $\alpha^{+}$ est additif. Montrer que $\alpha$ est sur-additif revient donc � montrer que $\alpha^{-}$ est sous-additif. On a :
$$\alpha^{-}( {\bullet})= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[0,N] \times [0,N]}} (p+q)^{2}\,s^{p,q}_{\bullet }=\frac{1}{2}\sum_{(p,q) \in {[0,N] \times [0,N]}} (p+q)^{2}(f^{p,q}_{\bullet}-f^{p+1,q}_{\bullet}-f^{p,q+1}_{\bullet}+f^{p+1,q+1}_{\bullet}).$$ 
On effectue un changement d'indice sur les sommes, comme pour tout $p$, $f^{p,N+1}_{\bullet}=0$, pour tout $q$, $f^{N+1,q}_{\bullet}=0$ :
\begin{center}
$\alpha^{-}( {\bullet})= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} \Bigl[ (p+q)^{2}-(p+q-1)^{2}-(p+q-1)^{2}+(p+q-2)^{2}              \Bigr] f^{p,q}_{\bullet}+\frac{1}{2} \sum_{q \in [0,N]}\Bigl[ (0+q)^{2}-(0+q-1)^{2}            \Bigr] f^{0,q}_{\bullet}$\\

$+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}\Bigl[ (p+0)^{2}-(p-1+0)^{2}            \Bigr] f^{p,0}_{\bullet} $.
\end{center}
$\alpha^{-}( {\bullet})= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) f^{p,q}_{\bullet}+\frac{1}{2} \sum_{q \in [0,N]} ( 2q-1) f^{0,q}_{\bullet}+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) f^{p,0}_{\bullet} $,\\
que nous �crirons, afin que les coefficients des $f^{p,q}_{\bullet}$ sous les $\sum$ soient tous positifs, sous la forme :\\
$\alpha^{-}( {\bullet})= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) f^{p,q}_{\bullet}+\frac{1}{2} \sum_{q \in [1,N]} ( 2q-1) f^{0,q}_{\bullet}+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) f^{p,0}_{\bullet}- \frac{1}{2} f^{0,0}_{\bullet}$\\
Ainsi :\\
$\alpha( H)-\alpha(A)-\alpha(B)=\alpha^{-}( H)-\alpha^{-}(A)-\alpha^{-}(B)= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) \Bigl[ f^{p,q}_{H}-f^{p,q}_{A}-f^{p,q}_{B} \Big]+\frac{1}{2}\sum_{q \in [1,N]} ( 2q-1) \Bigl[ f^{0,q}_{H}-f^{0,q}_{A}-f^{0,q}_{B} \Big]+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) \Bigl[ f^{p,0}_{H}-f^{p,0}_{A}-f^{p,0}_{B} \Big]- \frac{1}{2} \Bigl[ f^{0,0}_{H}-f^{0,0}_{A}-f^{0,0}_{B} \Big]$.\\
$f^{0,0}_{H}-f^{0,0}_{A}-f^{0,0}_{B}=\text{dim}_{\bf C}H-\text{dim}_{\bf C}A-\text{dim}_{\bf C}B=0$, donc tous les coefficients des $f^{p,q}_{\bullet}$ dans les $\sum$ �tant positifs, d'apr�s le lemme pr�c�dent, pour tous $(p,q) \in [0,N] \times [0,N]$, $f^{p,q}_{H}-f^{p,q}_{A}-f^{p,q}_{B} \leq 0$. D'o� le r�sultat.




%$$ 0 \rightarrow F^{p+1}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow F^{p}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow Gr_{{ {F_{\bullet}}}}^{p}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow 0$$ 
% $$0 \rightarrow F^{p+1}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow F^{p}_{\bullet}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow Gr_{{ {F_{\bullet}}}}^{p}Gr_{{\overline {F_{\bullet}}}}^{q} \rightarrow 0$$

\end{preuve} 
${}$\\
De la formule explicite de $\alpha$ dans la preuve du th\'eor\`eme  nous tirons le lemme suivant :

\begin{lemme}\label{alphaplus} Si l'on consid�re une famille de structures de Hodge mixtes param�tr�es par une base $S$, alors en tout point $s \in S$, $\alpha_{s}=\alpha^{+}_{s}-\alpha^{-}_{s}$ o� $\alpha^{+}_{s}$ est constitu� des nombres de Hodge en $s$ et  
 $$\alpha^{-}_{s}= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) f^{p,q}_{s}+\frac{1}{2} \sum_{q \in [1,N]} ( 2q-1) f^{0,q}_{s}+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) f^{p,0}_{s}- \frac{1}{2} f^{0,0}_{s}$$.
\end{lemme}







\subsection{Calculs de niveaux de ${\bf R}$-scindemment $\alpha$ de la cohomologie}


D'apr�s Deligne \cite{del2}, \cite{del3}, les groupes de cohomologie des vari�t�s alg�briques (sch�mas de type fini sur ${\bf C}$) sont munis de structures de Hodge mixtes. Dans cette section, on donne des exemples de calcul de l'invariant $\alpha$ pour des structures de Hodge mixtes qui viennent de la cohomologie de vari�t�s alg�briques. Pour ce faire nous explicitons quelques constructions de ces structures de Hodge mixtes. Pr�cisons d'abord certains cas pour lesquels l'invariant $\alpha $ est nul. 

$\alpha$ est nul pour toutes les structures de Hodge mixtes ${\bf R}$-scind�es, ce qui comprend :\\
\hspace*{1.2cm}$\bullet$ Toutes les structures de Hodge pures.\\
\hspace*{1.2cm}$\bullet$ Plus g�n�ralement, toutes les structures de Hodge mixtes de longueur inf�rieure ou �gale � $2$, comme par exemple :\\
\hspace*{2cm}$-$ Les structures de Hodge mixtes sur la cohomologie des vari�t�s projectives � poids (\cite{dol}).\\   
\hspace*{2cm}$-$ La cohomologie des vari�t�s � singularit\'es logarithmiques cf \cite{usu}.

Soit $X$ un sch�ma de type fini sur ${\bf C}$, pour tout $k \in {\bf Z}$, on peut lui associer l'entier
$$\alpha_{k}(X)=\alpha((H^{k}(X,{\bf C}),W^{\bullet},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})).$$

\begin{proposition}
$(i)$ Soit $X$ une vari�t� alg�brique, $X'$ sa normalis�e et $\overline X$ sa compl�t�e, alors pour tout $k \in {\bf Z}$ :
$$\alpha_{k}(X) \geq \alpha_{k}(X')   \text{ et }  \alpha_{k}(X) \geq \alpha_{k}({\overline X}).$$
$(ii)$ Plus g�n�ralement, si $f:X \rightarrow Y$ est un morphisme qui induit un morphisme injectif (resp. surjectif) sur la cohomologie $f^{*}:H^{k}(Y,{\bf C}) \rightarrow H^{k}(X,{\bf C})$, alors, pour tout $k \in {\bf Z}$ :
$$\alpha_{k}(X) \geq \alpha_{k}(Y)   (\text{resp. }  \alpha_{k}(Y) \geq \alpha_{k}({\overline X})).$$ 
\end{proposition}

\begin{preuve}
$(i)$ se d�duit de $(ii)$ � l'aide de \cite{del3}, proposition (8.2.6) : l'application de la normalis�e $X'$ vers $X$ induit un morphisme surjectif en cohomologie, l'application de $X$ vers sa compl�t�e $\overline X$ induit un morphisme injectif  en cohomologie. La cat�gorie des structures de Hodge mixtes �tant ab�lienne, on peut �crire des suites exactes � partir des surjections et injections de structures de Hodge mixtes et donc pour prouver $(ii)$, on �crit les extensions correspondantes � ces fl�ches injectives ou surjectives et on utilise le th�or�me \ref{inegext} p.\pageref{inegext}. 


\end{preuve}

\begin{proposition}
Soient $X$ et $Y$ deux vari�t�s alg�briques, alors :
$$\alpha_{k}(X \times Y)=\sum_{i=0}^{i=k}\,\,\emph{dim}_{\bf C}(H^{k-i}(Y,{\bf C}))\alpha_{i}(X)+\emph{dim}_{\bf C}(H^{i}(X,{\bf C}))\alpha_{k-i}(Y).$$
\end{proposition}

\begin{preuve}
  D'apr�s \cite{del3}, proposition $(8.2.10)$, les isomorphismes de K�nneth sur la cohomologie $H^{*}(X \times Y,{\bf C}) \cong H^{*}(X,{\bf C}) \otimes H^{*}(Y,{\bf C})$ sont des isomorphismes de structures de Hodge mixtes. On applique $(iii)$ du th�or�me \ref{elemalpha} p.\pageref{elemalpha} � la somme donn�e par la formule de K�nneth, puis le $(iv)$ � chacun des facteurs.  

\end{preuve}


\subsubsection{D\'etails des filtrations et calcul de $\alpha$ pour les courbes alg\'ebriques complexes de genre $0$ ou $1$}

Soit $X$ une courbe alg\'ebrique sur ${\bf C}$, $X'$ la normalis\'ee de $X$ et $r: X' \rightarrow X$ le morphisme qui s'en d\'eduit.
Soit ${\overline X}'$ la courbe projective non singuli\`ere dont $X'$ est un ouvert dense et $\overline X$ la courbe d\'eduite de
${\overline X}'$ en contractant chacun des $r^{-1}(s)$ pour $s \in X$.
Notons $\overline r$ le morphisme ${\overline X}' \rightarrow {\overline X}$, et $j$,$j'$ les inclusions respectives de $X$ dans
$\overline X$ et  $X'$ dans ${\overline X}'$.
Soit $S$ l'ensemble fini ${\overline X}-X$. D'o� le carr� cart�sien suivant :
$$
\xymatrix{
     X' \ar@{^{(}->}[r]^{j'} \ar[d]_r  & {\overline X}' \ar[d]^{\overline r} \\
     X \ar@{^{(}->}[r]_{j} & {\overline X}
   }
$$


\begin{proposition}\cite{del3}
 La cohomologie de $X$ est donn\'ee par donn�e par :
\begin{center}
$H^{1}(X,{\bf C})={\bf H}^{1}({\overline X},[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{ \rightarrow } r_{*} {\Omega }_{{\overline
X}'}^{1}(logS)])$
\end{center}
\end{proposition}
de plus\\
\begin{proposition}\cite{del3}
La filtration par le poids est donn�e par :\\
${}$\\
$W_{1}(H^{1}(X,{\bf C}))=Im(H^{1}({\overline X},{\bf C}) \rightarrow H^{1}(X,{\bf C})$\\
$W_{0}(H^{1}(X,{\bf C}))=Ker(H^{1}({\overline X},{\bf C}) \rightarrow H^{1}({\overline X}',{\bf C}).$\\

De plus la suite spectrale d\'efinie par la filtration b\^ete de $[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*}
{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)]$ d\'eg\'en\`ere  en $E_{1}$ et aboutit \`a la filtration de Hodge de $H^{\bullet }(X,{\bf C})$.\\
\end{proposition}
Calculons l'hypercohomologie du complexe $[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*}{\Omega}_{{\overline
X}'}^{1}(logS)]$. Pour un complexe de faisceaux $({\mathcal K^{\bullet }},d)$ sur une vari\'et\'e $X$ muni d'un recouvrement acyclique ${\bf \calu}=(\calu_{i})_{i \in I}$, l'hypercohomologie ${\bf H}^{\bullet }(X,{\mathcal K}^{\bullet })$ du complexe est d\'efinie comme \'etant la cohomologie du complexe total $ C^{(p,q)}=C^{p}({\bf \calu},\delta ,d )$ o\`u $d $ est l'op\'erateur du complexe et $\delta $ celui de $\check{C}$ech associ\'e au recouvrement. ${\bf H}^{\bullet }(X,{\mathcal K}^{\bullet })$ est l'aboutissement des suites spectrales d\'efinies par les filtrations \'evidentes de $C^{(p,q)}$ (cf \cite{gh}).
\\
\\
Le complexe double associ\'e \`a $[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*}{\Omega}_{{\overline
X}'}^{1}(logS)]$ est donc ici, relativement � ${\bf \calu}$ :
\\
${\bf (*)}$

%\begin{equation*}
%\begin{CD}
%{C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})} @>{\delta}>>           {C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal
%O}_{\overline X})}\\
%@VdVV                                                                                         @VVdV\\
%C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) @>{\delta}>>
%C^{1}({\mathcal {UV}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS))\\
%\end{CD}
%\end{equation*}
$$
\xymatrix{
{C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[r]^{\delta} \ar[d]_{d}     &    {C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},{\mathcal O}_{\overline X})}   \ar[d]_{d}\\
C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) \ar[r]_{\delta}  & C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS))
}
$$




Pour voir dans $H^{1}(X,{\bf C})$ les diff�rents sous-espaces associ�s � la filtration par le poids $W_{0} ,W_{1} ,W_{2} $, on utilise la proposition pr\'ec\'edente qui se traduit par :
\begin{center}
$W_{1}H^{1}({X},{\bf C})={\bf H}^{1}({\overline X},[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*}
{\Omega}_{{\overline X} '}^{1}])$
\end{center}
et comme annonc\'e : 
\begin{center}
$W_{2}H^{1}(X,{\bf C})={\bf H}^{1}({\overline X},[{\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*} {\Omega}_{{\overline
X}'}^{1}(logS)])$.
\end{center}
On peut donc "d\'emonter" l'\'etude de l'hypercohomologie comme il suit :
\\
\\
$\bf (**)$
\scalebox{0.8}[0.8]{
$$
\xymatrix {
   {C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[rr] \ar[dd] \ar[dr] && {C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[dr] \ar[dd] |!\hole \\
   & {C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[rr] \ar[dd] && {C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[dd] \\
   C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}) \ar[rr] |!\hole \ar[dr] && C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}) \ar[rd] \\
   &  C^{0}({\coprod_{i} \calu_{i}} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) \ar[rr] && C^{1}({\coprod_{i,j} \calu_{i} \cap \calu_{j}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) \\
 }  
$$
}
${}$\\
o� le diagramme au deuxi�me plan fournit la cohomologie de la compl�t�e de la courbe $\overline X$ qui est isomorphe � $W_{1}H^{1}({ X},{\bf C})$.  



%\begin{equation*}
%\begin{CD}
%{C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})} @>{\delta}>>           {C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal
%O}_{\overline X})}\\
%@VdVV                                                                                         @VVdV\\
%C^{0}({\mathcal {U}} \coprod {\mathcal {V}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}) @>{\delta}>>
%C^{1}({\mathcal {UV}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})\\
%\end{CD}
%\end{equation*}
%qui fournit la cohomologie venant du fait que $X$ soit singuli\`ere. Et le premier diagramme donn\'e.
%\\
%Effectuons le calcul du ${\bf H}^1$ de $\bf (**)$:
%\\
%\\


\subsubsection{Exemple de ${\bf P}^1$ avec quatre points marqu�s}

Explicitons la d�composition pr�c�dente sur le premier groupe de la cohomologie ${ H}^1(X,{\bf C})$ de la courbe $X$ obtenue � partir de ${\bf P}^1$ avec quatre points distincts distingu�s $\{p_{1},p_{2},P_{1},Q_{1} \}$(dans l'ordre) dont on a enlev� les deux premiers $p_{1}$ et $p_{2}$ et recoll� les deux autres $P_{1}$,et $Q_{1}$. (Pour une justification du recollement, voir \cite{ser}, chapitre IV., partie 3.).  

Pour effectuer le calcul, utilisons le recouvrement standard de  ${\bf P}^1$ par les cartes affines de coordonn�es $\calu ={\bf P}^1-\{\infty \}$ munie de la coordonn�e $u$ et $\calv ={\bf P}^1-\{0\}$ munie de la coordonn�e $v$. On notera $\calu \calv$ l'ouvert intersection des deux cartes.

Nous commencerons par calculer la cohomologie de courbe compl�t�e $\overline X$. Soit  $f \in C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal O}_{\overline X})$ (on choisira $u=v^{-1}$ comme coordonn\'ee d'�criture sur ${\mathcal {UV}}$). Alors $f$ et $df$ peuvent s'\'ecrirent :
\begin{center}
$f(u)= \sum_{- \infty}^{\infty} a_{n}u^{n}$ et $df(u)= \sum_{- \infty}^{\infty} na_{n}u^{n-1}$
\end{center}
Prenons pour $g \in C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})$, $g_{0}(u)$ \'egal \`a la partie de
$dg(u)$ \`a exposants positifs en $u$ et $g_{1}(v)$ la partie de $dg(u)$ correspondant aux exposants n\'egatifs en $u$. Alors, on a, pour tout $u \in \calu \calv$ : 
\begin{center}
$\delta (g_{0},g_{1})(u)=dg(u)$
\end{center}
Donc tout \'el\'ement de $C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal O}_{\overline X})$ voit son
image par $d$ dans $C^{1}({\mathcal {UV}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})$ annul\'ee par l'image par $\delta$ d'un \'el\'ement
de $C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})$, donc l'hypercohomologie ${\bf H}^{1}({\overline X},[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*}{\Omega}_{{\overline X} '}^{1}])$ c'est � dire la cohomologie du complexe
$$
\xymatrix{
{C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})} \ar[r]^-{(\delta,d)} &{C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal O}_{\overline X})} \oplus C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})  \ar[r]^-{d+\delta} & C^{1}({\mathcal {UV}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1})
}
$$
%\begin{equation*}
%\begin{CD}
%{C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})} @>{\delta}>>           {C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal
%O}_{\overline X})}\\
%@VdVV                                                                                         @VVdV\\
%C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) @>{\delta}>>
%C^{1}({\mathcal {UV}},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS))\\
%\end{CD}
%\end{equation*}
est d\'etermin\'e par l'image par $\delta$ de $C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})$ dans $C^{1}({\mathcal {UV}},{\mathcal
O}_{\overline X})$.\\

Nous avons donc � chercher quelles sont les images des  \'el\'ements $(h_{0},h_{1}) \in C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal
O}_{\overline X})$. Comme $\overline X$ est donn�e par ${\bf P}^1$ avec deux  points $P_{1}$ et $Q_{1}$ identifi\'es, on doit donc avoir $f(P_{0})=f(Q_{0})$ et comme plus haut, on peut montrer qu'il existe un \'element $(h_{0},h_{1}) \in C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{{\bf P}^1})$ tel que $\delta (h_{0},h_{1})=f$. Cet \'el\'ement n'est cependant pas forc\'ement dans  $C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal
O}_{\overline X})$ mais l'on a :
\\
\begin{center}
$f(P_{1})=h_{0}(P_{1})-h_{1}(P_{1})=h_{0}(Q_{1})-h_{1}(Q_{1})=f(Q_{1})$
donc il existe $\lambda $ tel que
$h_{0}(Q_{1})=h_{0}(P_{1})+\lambda $ et $h_{1}(Q_{1})=h_{1}(P_{1})+\lambda $
\end{center}
Posons $h_{0}'=h_{0}- \lambda (\frac{u-{u_{P_1}}}{{u_{Q_1}}-{u_{P_1}}})$ et  $h_{1}'=h_{1}- \lambda
(\frac{v-v_{P_1}}{v_{Q_1}-v_{P_1}})$. Alors $h_{0}'(Q_{1})=h_{0}'(P_{1})$ et  $h_{1}'(Q_{1})=h_{1}'(P_{1})$ donc ces \'el\'ements sont bien dans $C^{0}({\mathcal U} \coprod {\mathcal V},{\mathcal O}_{\overline X})$ et $h_{0}(u)-h_{1}(u)=f(u)- \lambda (\frac{u-u_{P_1}}{u_{Q_1}-u_{P_1}}-\frac{v-v_{P_1}}{v_{Q_1}-v_{P_1}})$ et donc le coker de $\delta$ est engendr\'e par l'\'el\'ement $(\frac{u-u_{P_1}}{u_{Q_1}-u_{P_1}}-\frac{v-v_{P_1}}{v_{Q_1}-v_{P_1}})$.

Cet \'element est l'image d'un g\'en\'erateur de $H^{1}({\overline X},{\bf C})$, il provient de la boucle dans $\overline X$
form\'ee par l'identification de deux points dans ${\bf P}^1$ (de premier groupe de cohomologie trivial).

Afin de d�terminer $\alpha_{1}(X)=\alpha(H^{1}({\overline X},{\bf C}))$, calculons $F^{1}{\bf H}^{1}({\overline X},[ {\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{ \rightarrow } r_{*} {\Omega }_{{\overline X}'}^{1}(logS)])$. C'est la partie de la cohomologie qui vient du noyau de la fl�che $$\delta \,:\,C^{0}({\calu \coprod \calv} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)) \rightarrow C^{1}({\calu \cap \calv},r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS)).$$ 
Il suffit donc de prendre une forme qui n'est pas exacte $\omega \in C^{0}({\calu \cap \calv} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS))$ et prendre $(\omega,\omega) \in 
C^{0}({\calu \coprod \calv} ,r_{*}{\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(logS))$. D'o� le lemme,

\begin{lemme}

On peut donc prendre pour g\'en\'erateur de $F^{1}H^{1}(X,{\bf C})$ la forme $$\omega=(\frac{1}{u-p_{1}}-\frac{1}{u-p_{2}})du.$$
\end{lemme}
${}$\\

\begin{center}
{\bf Calcul effectif du niveau de ${\bf R}$-scindement de la courbe $X$}
\end{center}
${}$\\

Pour calculer le niveau de ${\bf R}$-scindement associ� � la structure de Hodge mixte du premier groupe de cohmologie de la courbe il faut d�terminer en termes de dimension les positions relatives de la filtration de Hodge et sa filtration conjugu�e, c'est � dire les dimensions des intersections deux � deux des sous-espaces vectoriels qui composent les deux filtrations, de Hodge et conjugu�e. Comme elle est de niveau $1$, il suffit de trouver la dimension  $$s^{1,1}_{H^{1}(X,{\bf C})}=\text{dim}_{\bf C}\,F^{1}H^{1}(X,{\bf C}) \cap {\overline F}^{1}H^{1}(X,{\bf C})$$
qui est $0$ ou $1$. La filtration de Hodge induit une filtration sur le dual du premier groupe de cohomologie par :
\begin{center}
$H^{1}_{DR}(X, {\bf C}) \cong H^{1}_{Betti}(X, {\bf C}) \cong (H_{1}(X, {\bf C}))^{*}=(H_{1}(X, {\bf Z}) \otimes {\bf R})^{*}\otimes {\bf C}$
\end{center}
Choisissons des g�n�rateurs de $H_{1}(X, {\bf Z})$, ${\gamma}_0$ et ${\gamma}_1$. Ces g�n�rateurs serviront de base de $H_{1}(X, {\bf R})$ puis de base invariante par conjugaison complexe de $H_{1}(X, {\bf C})$. Pour ${\gamma}_0$ prenons le
lacet qui serait homologue \`a $0$ dans $X \cup p_0$ et pour ${\gamma}_1$ un lacet d\'ecrivant la boucle form�e par l'identification des deux points. Le resultat ne d\'epend pas du choix des g\'en\'erateurs du $H_1$ puisqu'un choix diff�rent revient � multiplier la matrice des p�riodes par une matrice � coefficients rationnels et pr�serve la colin�arit� complexe. Int\'egrons donc $\omega $ sur les cycles :

\begin{eqnarray*}
<w,{\gamma}_0>&=&\int_{{\gamma}_0}w=2\pi i \text{ (c'est le r\'esidu de } \omega  \text{ en } p_1),\\
<w,{\gamma}_1>&=&\int_{{\gamma}_1}w\\
{}&=& (\int_{0}^{P_1}-\int_{0}^{Q_1}) (\frac{1}{u-p_{1}}-\frac{1}{u-p_{2}})du\\
{}&=&\lbrack \log(\frac{u-p_1}{u-p_2}) {\rbrack}^{Q_1}_{P_1}\\
{}&=&\log(\frac{Q_{1}-p_1}{Q_{1}-p_2})-\log(\frac{P_{1}-p_1}{P_{1}-p_2})
\end{eqnarray*}
L'int\'egrale entre les points $P_{1}$ et $Q_{1}$ sur la courbe $X'$ d\'esingularis\'ee de $X$ repr\'esente en cohomologie le cycle
cr\'e\'e par l'identification de ces points dans $X'$, boucle non nul-homologue dans $X$.\\

Notons $(Q_{1},P_{1},p_{1},p_{2}):=( \frac{Q_{1}-p_{1}}{Q_{1}-p_{2}})/ (\frac{P_{1}-p_{1}}{P_{1}-p_{2}})$ le
birapport des quatre points $Q_{1},P_{1},p_{1},p_{2}$ (lorsque au moins trois d'entre eux sont diff\'erents). Si l'un d'eux est
l'$\infty$ le birapport peut \^etre d\'efini en passant \`a la limite par $(\infty
,P_{1},p_{1},p_{2}):=\frac{P_{1}-p_{2}}{P_{1}-p_{1}}$



Avec cette notation on a $<w,{\gamma}_1>=\log(Q_{1},P_{1},p_{1},p_{2})$. Supposons qu'il existe $\lambda
\in {\bf C}$ tel que le vecteur de ${\bf C}^2$ $(<w,{\gamma}_0>,<w,{\gamma}_1>)$ soit proportionnel (complexe) au vecteur obtenu par conjugaison :
\begin{center}
$( 2\pi i,\log(\frac{Q_{1}-p_1}{Q_{1}-p_2})-\log(\frac{P_{1}-p_1}{P_{1}-p_2}))= \lambda \overline{( 2\pi
i,\log(\frac{Q_{1}-p_1}{Q_{1}-p_2})-\log(\frac{P_{1}-p_1}{P_{1}-p_2}))}$
\end{center}
Comme l'action de $PGL(1)$  sur ${\bf P}^1$ est transitive sur trois points, on peut supposer sans changer la condition de
colin\'earit\'e que l'on a $p_{1}=0, p_{2}=1$ et $P_{1}=\infty$ (on garde la notation $Q_{1}$ pour son image par $\tau$), d'o\`u $\,\,\log(\frac{Q_{1}-p_1}{Q_{1}-p_2})-\log(\frac{P_{1}-p_1}{P_{1}-p_2})=\log(\frac{Q_{1}}{Q_{1}-1})$.
Or la colin\'earit\'e impose que $\lambda =-1$ et donc que $\log(\frac{Q_{1}}{Q_{1}-1})$ soit un imaginaire pur c'est \`a dire que $Q_1$ soit sur la droite $\Re(u)=\frac{1}{2}$. Donc :
$$
\left\lbrace \begin{array}{l}
        s^{1,1}_{H^{1}(X,{\bf C})}=\text{dim}_{\bf C}F^{1}H^{1}(X,{\bf C}) \cap {\overline F}^{1}H^{1}(X,{\bf C})=1 \text{ si } Q_{1} \in \Re(u)=\frac{1}{2},\\
        s^{1,1}_{H^{1}(X,{\bf C})}=0 \text{ autrement, et alors } s^{1,0}_{H^{1}(X,{\bf C})}=1 \text{ et } s^{1,0}_{H^{1}(X,{\bf C})}=1.
\end{array}
\right.
$$
Comme
\begin{eqnarray*}
\alpha_{1}(X_{Q_1})&=&\frac{1}{2}((0+0)^{2}(h^{0,0}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}-s^{0,0}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})})+(1+0)^{2}(h^{1,0}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}-s^{1,0}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}))\\
{}&=&\frac{1}{2}((0+1)^{2}(h^{0,1}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}-s^{0,1}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})})+(1+1)^{2}(h^{1,1}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}-s^{1,1}_{H^{1}(X_{Q_1},{\bf C})}))
\end{eqnarray*}
${}$\\
\begin{proposition}
Ainsi le niveau de ${\bf R}$-scindement du premier groupe de cohomologie de $X=X_{Q_1}$ est donn� par :

$$
\left\lbrace \begin{array}{l}
         \alpha_{1}(X)=\alpha(H^{1}(X,{\bf C}))=0 \,\, si \,\, Q_{1} \in {\mathcal M}_{0,4}- {\{\Re=\frac{1}{2} \}}\\
         \alpha_{1}(X)=\alpha(H^{1}(X,{\bf C}))=1 \,\, si Q_{1} \in \{\Re=\frac{1}{2}\}
\end{array}
\right.
$$
\end{proposition}
\subsubsection{G\'en\'eralisation sur ${\bf P}^1$}












Soit $X={\bf P}^{1}$ avec $m$ points enlev\'es $p_{1},...,p_{m}$ et $2n$ points identifi\'es $P_{1},Q_{1},...,P_{n},Q_{n}$deux � deux (on identifie $P_{k}$ � $Q_{k}$ pour tout $k \in [1,n]$). $H^{1}(S,{\bf C})$ est de rang $m+n-1$, il est engendr\'e par $m+n-1$ \'el\'ements dont $n$ proviennent des boucles form\'ees par l'identification des points et $m-1$ repr\'esentent les lacets autour cr\'e\'es par la non-compl�tude de $X$. Le calcul de l'hypercohomologie est similaire au pr�c�dent, on recouvre ${\overline X}'={\bf P}^{1}$ par les deux ouverts standards $\calu $ $\calv $ munis des coordonn�es $u$ et $v$. Comme g�n�rateurs de $F^{1}H^{1}(X,{\bf C})$  on peut prendre les \'el\'ements $ \omega_{i}=( \frac{1}{u-p_{i}} -\frac{1}{u-p_{i+1}}) du $ avec $i \in [1,m-1]$. ''Filtrons'' l'homologie par la filtration de Hodge :  
D\'esignons par $\gamma_j$ $ j \in [1,m-1]$ les g\'en\'erateurs de $ H_{1}(X,{\bf
C})$ qui sont homologues � z�ro dans $X \cup p_j$ et par $\beta_j$, $j \in [1,n]$ les lacets \'el\'ements du $ H_{1}(X,{\bf C})$
repr\'esentants les boucles donn\'ees par $P_{j}=Q_j$ respectivement et ne passant par aucun autre point $P_{k}=Q_k$ pour $k \in
[1,n]$.

Les $\beta_j$ ne sont pas d\'efinis canoniquement mais modulo les $\gamma_j$. Changer la base du premier groupe d'homologie ne modifie pas les conditions de colin�arit� dans la matrice des p�riodes car cela revient � la multiplier par une matrice � coefficients rationnels.\\ 
Filtrons ${\bf C}^{m+n-1}$ par $F^1$, on obtient alors $m-1$ vecteurs :\\
\begin{center}
$(<\alpha_{1}, \omega_{i}>,...,<\alpha_{m-1}, \omega_{i}>,<\beta_{1}, \omega_{i}>,...,<\beta_{n}, \omega_{i}>)$ pour $i \in
[1,m-1]$
\end{center}
et on regarde s'ils sont colin\'eaires complexes \`a leur conjugu\'e. On obtient une matrice $A=(B,C) \in Mat_{(m-1)\times (m+n-1)}({\bf C}) $ telle que les coefficients de $B=(b_{i,j})_{i \in [1,m-1], j \in
[1,m+-1]}$ sont donn\'es par :
$$
\left\lbrace \begin{array}{l}
        b_{i,j}= 2\pi \sqrt{-1}  \,\, si \,\, i=j\\
        b_{i,j}= -2\pi \sqrt{-1}  \,\, si \,\, i=j+1\\
        b_{i,j}=0 \,\, sinon
\end{array}
\right.
$$
o� les coefficients sont donn�s par les r�sidus des formes qui $\omega_i$. Les coefficients de $C=(c_{i,j})_{i  \in [1,m-1],j \in [m,n+m-1]}$ sont :
\begin{center}
$c_{i,j}=\log(p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j})$
\end{center}
La matrice des p�riodes $A=(B,C)$ est donc :




$$A=\left(
    \begin{array}{ccccccccc}
     2 \sqrt{-1} \pi  & 0                  & ... & ...              & 0                & \vert   & ... & ... & ... \\
     -2 \sqrt{-1} \pi & 2 \sqrt{-1} \pi    &   0 & ...              & 0                & \vert   & ... & ... & ...           \\
     ...              &...                 &...  &...               &...               & \vert    & ... & ... & ...           \\
      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert     & ... &
c_{ij}=(\log(p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j})) & ...            \\
      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert      & ... & ... & ...          \\
       0              & ...                & 0   & -2 \sqrt{-1} \pi & 2 \sqrt{-1} \pi  & \vert         & ... & ... & ...
\end{array}
\right)$$
Les vecteurs lignes de la matrice $A$ engendrent l'image de $F^{1}H^{1}(X,{\bf C})$ sur $H_{1}(X,{\bf C})$ et donc calculer $s^{1,1}_{H^{1}(X,{\bf C})}=dim_{\bf C}\,F^{1}H^{1}(X,{\bf C}) \cap {\overline F}^{1}H^{1}(X,{\bf C})$ revient � calculer le rang de la matrice $\left(
\begin{array}{c}
A\\
{\overline A}
\end{array}
\right) \in  Mat_{(2m-2)\times (m+n-1)}({\bf C}) $. D'apr�s la forme de $B$ ceci revient � voir si chaque vecteur colonne de $A$ est oppos� � son conjugu�, or :
$$c_{i,j}=-{\overline c}_{i,j} \Leftrightarrow \log(p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j})=-{\overline {\log(p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j})}} \Leftrightarrow \vert c_{i,j} \vert =1$$
Finalement notons ${\mathcal M}_{0,m+2n}$ l'espace des modules des courbes stables de genre $0$ sur ${\bf C}$ avec $m+2n$ points marqu�s $(p_{1},...,p_{m},P_{1},Q_{1},...,P_{n},Q_{n})$. Il est naturellement isomorphe � $({\bf P}^{1}-\{0,1,\infty\})^{m+n-1} - \Delta$ o� $\Delta $ est la grande diagonale d�finie par l'ensemble des $n-3$-uplets dec points de $({\bf P}^{1}-\{0,1,\infty\})$ tels que deux au moins co\"{\i}ncident. Ainsi :\\
\begin{proposition} Le niveau de ${\bf R}$-scindement de $X$ est donn� par
$$
\alpha_{1}(X)=(m-1)-\emph{card} \{ i \in [1,m-1]\, \vert \, \forall j \in [m,m+n-1]\,\,, \vert \log (p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j}) \vert=1 \}.
$$
\end{proposition}
${}$\\
{\bf Remarque :} Pour tout $i,j \in [1,m-1] \times [m,m+n-1]$, il existe $\tau \in PGL(1)$ tel que $\tau(p_{i},p_{i+1},P_{j},Q_{j})=(0,1,\infty,\tau(Q_{j}))$ et donc le vecteur ligne $i$ est colin�aire � son conjugu� ssi pour tout $j \in  [m,m+n-1]$ il exite un �l�ment $ \tau \in PGL(1)$  tel que $\tau(Q_{j})$ appartienne � la droite de partie r��lle $\frac{1}{2}$.\\ 
${}$\\



${}$\\
{\bf Remarque :}(Sur les �l�ments de ${\bf H}^{1}({\overline X},[{\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*} {\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(\log S)])$ qui ne sont pas dans\\
 $F^{1}{\bf H}^{1}({\overline X},[{\mathcal O}_{\overline X} \stackrel{d}{\rightarrow} r_{*} {\Omega}_{{\overline X}'}^{1}(\log S)])$).\\
D'apr�s le travail fait sur ${\bf P}^{1}$ avec deux points identifi�s, la partie du $H^{1}(X,{\bf C})$ ne provenant pas des formes logaritmiques est donn�e par :
\begin{center}
$<(\frac{u-u_{P_1}}{u_{Q_1}-u_{P_1}})...(\frac{u-u_{P_n}}{u_{Q_1}-u_{P_n}})-
(\frac{v-v_{P_1}}{v_{Q_1}-v_{P_1}})...(\frac{v-v_{P_n}}{v_{Q_1}-v_{P_n}}),....,(\frac{u-u_{P_1}}{u_{Q_n}-u_{P_1}})...
(\frac{u-u_{P_n}}{u_{Q_n}-u_{P_n}})-
(\frac{v-v_{P_1}}{v_{Q_n}-v_{P_1}})...(\frac{v-v_{P_n}}{v_{Q_n}-v_{P_n}})>$.
\end{center}
Ce sont les \'el\'ements de $H^{1}({ X},{\bf C})$ qui proviennent de $H^{1}({\overline X},{\bf C})$, cr\'e\'es par les boucles
sur ${\bf P}^1$ venant de l'identification des points $P_i$ et $Q_i$. Le reste de la cohomologie est donn\'e par la non
compl\`etude de $X$ i.e. par les \'el\`ements de $H^{1}({ X'},{\bf C})$, exhib�s plus haut.
\\

%-----------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------------









\subsubsection{Les courbes de genre $1$}

Soit $X$ une courbe alg\'ebrique de type finie sur ${\bf C}$ et de genre arithm�tique $1$ avec $m$ points enlev\'es $p_{1},...,p_{m}$ et $2n$ points identifi\'es deux � deux $P_{1},Q_{1},...,P_{n},Q_{n}$. $\overline X'$ est isomorphe au quotient de ${\bf C}$ muni de la coordonn\'ee $z$ par le r\'eseau ${\Lambda}_{\bf Z}= {\bf Z}+{\bf Z} \tau$ o� $\tau \in {\bf C}$ et $Im(\tau )>0$. Cherchons les g\'en\'erateurs de $F^{1}H^{1}(X,{\bf C})$. D'apr\`es \cite{del3} ce sont les \'el\'ements qui proviennent de $ H^{1}(X',{\bf C})$. \\
\begin{proposition}\cite{mum} La fonction
$\Psi(z)= \sum_{i=1}^{i=k-1} \,\lambda_{i} \, \frac{d}{dz} \log( \theta(z-a_{i}))+cste$ avec $\sum_{i=1}^{i=k-1} \lambda_i=1$ est p\'eriodique pour ${\Lambda}_{\bf Z}$ avec des p\^oles simples aux points $a_i+ \frac{1}{2} (1+ \tau )$ et r\'esidus $\lambda_{i}$, o\`u $\theta $ est la fonction theta sur la courbe elliptique donn\'ee par ${\Lambda}_{\bf Z}$, $\theta(z)= \sum_{n \in {\bf Z}} \exp( \pi \sqrt{-1}
n^{2} + 2 \pi \sqrt{-1} n \tau )$.\\
\end{proposition}

On peut donc prendre comme formes g\'en\'eratrices de $F^{1}H^{1}(S,{\bf C})$ :
$$
\left\lbrace \begin{array}{l}
\omega_{0}=dz \text{ et}\\
\omega_{i}=d(\log( \theta(z-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau )))-\log( \theta(z-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau )))) \text{ o\`u}  i \in [1,m-1]
\end{array}
\right.
$$



Soient $\alpha_{0},\alpha_{1},...,\alpha_{m},\beta_{1},...,\beta_{n}$ des g\'en\'erateurs de $H_{1}(X, {\bf C})$ tels que $\alpha_{j}$ pour $ j \in [1,m]$ soit homologue \`a z\'ero dans $ X \cup p_{j}$ et $\beta_{j}$ est un \'el\'ement representant en homologie la boucle dans $X'$ obtenue par le recollement $ P_{j}=Q_{j}$ (les �l�ments $\beta_{j}$ sont d\'efinis modulo les $\alpha_{j}$).\\
Fitrons ${\bf C}^{m+n+1}$ par $F^{1}$, cela donne $m$ vecteurs :\\
$(<H_{1},\omega_{i}>)=(<\alpha_{0},\omega_{i}>,<\alpha_{1},\omega_{i}>,...,<\alpha_{m},\omega_{i}>,<\beta_{1},\omega_{i}>,...,<\beta_{n},\omega_{i}>)$ pour $i \in [1,m]$. Les $<\alpha_{j},\omega_{i}>$ sont donn\'es par les r\'esidus des g\'en\'erateurs de $F^{1}H^{1}$ et les $<\beta_{j},\omega_{i}>$ sont donn\'es par int\'egration le long des boucles $\beta_{j}$ i.e. sur $X'$, par l'int\'egration de la forme $\omega_{i}$ de $P_j$ \`a $Q_j$ :\\

\begin{center}
$<\beta_{j},\omega_{i}>= \int_{P_j}^{Q_j} \, \omega_{i}=\int_{P_j}^{Q_j} \,d(\log( \theta(z-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau )))-\log(
\theta(z-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau )))$\\
i.e. $ <\beta_{j},\omega_{i}>=\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2}
(1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))})$
\end{center}
d'o� la matrice $A=(B,C)$ o\`u $B$ est une matrice de dimension $m \times m+1$ et $C$ une matrice $m \times n$.\\
$$A=\left(
    \begin{array}{cccccccccc}
     1  & 0                  & ... & ...              & 0                & \vert   & 0 & ... & 0 \\
     \lambda_{1} & 1    &   -1 & 0             & 0                & \vert   & ... & ... & ...           \\
     ...              & 0                 & 1  & -1               &...               & \vert    & ... & ... & ...           \\
      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert     & ... &
c_{ij}=\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2}
(1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))}) & ...   \\
      ...             &...                 &...  &...               &...               & \vert      & ... & ... & ...          \\
       \lambda_{m-1}              & ...                & 0   & 1  & -1  & \vert         & ... & ... & ...
\end{array}
\right)$$
o\`u $i \in [1,m-1]$ et $j \in [1,n]$ et les $\lambda $ sont dans ${\bf Z}$.\\

Pour calculer le niveau de ${\bf R}$-scindement, il faut donc d�terminer si $\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))})= \overline{\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))})}$ suivant la configuration des points $p_{i},p_{i+1},Q_{j},Q_{j+1}$. D'o� :

\begin{proposition} Le niveau de ${\bf R}$-scindement de $X$ est donn� par
$
\alpha_{1}(X)=(m-1)-\emph{card} \{ i \in [1,m-1]\, \vert \, \forall j \in [m,m+n-1]\,\,, \vert \,\,$\\
\hspace*{0.5cm}$\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))})=$\\
\hspace*{4cm}$\overline{\log( \frac{\theta(Q_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(Q_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+\tau ))})-\log( \frac{\theta(P_{j}-p_{i}-\frac{1}{2} (1+ \tau
))}{\theta(P_{j}-p_{i+1}-\frac{1}{2} (1+ \tau ))})} \}.$


\end{proposition}
${}$\\


\subsection{Traduction des extensions de structures de Hodge mixtes en termes de fibr�s de Rees}

\subsubsection{$\text{Ext}^{1}$ des structures de Hodge mixtes}
 
Nous allons �tudier les extensions de structures de Hodge mixtes (cf Annexe A pour les d�finitions et propri�t�s classiques des extensions de structures de Hodge) dans le language des fibr�s de Rees �quivariants. 

On se limite dans cette section aux structures de Hodge mixtes de rang $2$ obtenues comme extensions de structures de Hodge de rang $1$ dans la cat�gorie $\crmhs$.

Consid�rons une structure de Hodge de rang deux $H$ qui est une extension de deux structures de Hodge de Tate $A=T \langle - p \rangle $ et $B=T \langle - q \rangle $ telles que $p <q$. Vient la suite exacte de structures de Hodge mixtes
$$ 0 \rightarrow A \rightarrow H \rightarrow B \rightarrow 0.$$
Cette suite exacte se traduit par le th�or�me \ref{equivcatmhs} en la suite exacte dans la cat�gorie\\ $ {\calf ib}_{{\bf P}^{1}_{0}-semistables,\mu=0}({\bf P}^{2}/{\bf T}^{\tau})$

$$  0 \rightarrow \xi_{A} \rightarrow \xi_{H} \rightarrow \xi_{B} \rightarrow 0.$$
Cette suite exacte dans la cat�gorie des faisceaux se transforme en couple de suite exactes
$$\left\lbrace \begin{array}{l}
0 \rightarrow \xi_{A} \rightarrow \xi_{H} \rightarrow \text{Coker} \rightarrow 0,\\    
{}\\
0 \rightarrow \text{Coker} \rightarrow \xi_{B} \rightarrow \calo_{T} \rightarrow 0,
\end{array}
\right.$$
o� $T$ est un sous-sch�ma de codimension $2$ support� au point $(0:0:1)$. Soit $\cali_{T}$ le faisceau d'id�aux qui correspond � $T$, on a alors la suite exacte 
$$  0 \rightarrow \xi_{B}\otimes\cali_{T} \rightarrow \xi_{B} \rightarrow \calo_{T} \rightarrow 0.$$
Ceci permet d'avoir � consid�rer les extensions (�quivariantes) de faisceaux de rang $1$ dans la cat�gorie des faisceaux coh�rents de la forme
$$  0 \rightarrow \xi_{A} \rightarrow \xi_{H} \rightarrow \xi_{B} \otimes \cali_{T} \rightarrow 0.$$

\begin{center}
{\bf Etude $\text{Ext}^{1}(L'\otimes \cali_{T},L)$}
\end{center}

Ici $L$ et $L'$ sont deux fibr�s en droite sur une surface lisse projective $X$ et $T$ un sch�ma de codimension $2$.

L'�tude de ces extensions est faite dans le chapitre $2$ sur les faisceaux coh�rents de \cite{fri}. Pour calculer les extensions globales, on passe par une suite spectrale dont le deuxi�me terme est
$$E^{p,q}_{2}=H^{p}(X,\cale xt^{q}(L'\otimes \cali_{T},L)) \Rightarrow \text{Ext}^{p+q}( L'\otimes \cali_{T},L)).$$
\begin{lemme}(Lemme 7, p.36, \cite{fri}) Soit $R$ un anneau local r�gulier et $I=(f,g)R$ un id�al de $R$ engendr� par deux �l�ments premiers entre eux, alors :\\
$(i)$ $\emph{Hom}_{R}(I,R) \cong R $ et l'isomorphisme est engendr� par l'application naturelle de restriction $\emph{Hom}_{R}(R,R) \rightarrow \emph{Hom}_{R}(I,R)$,\\
$(ii)$ $\emph{Hom}_{R}(I,I)\cong R $ et l'isomorphisme est encore induit par l'application de restriction,\\
$(iii)$ $\emph{Ext}^{1}_{R}(I,R) \cong \emph{Ext}^{2}_{R}(R/I,R) \cong R/I$,\\
$(iv)$ $\emph{Ext}^{k}_{R}(I,R)=0$ pour $k \geq 2$.
\end{lemme} 

La suite spectrale se ram�ne par le lemme � une suite exacte longue
$$ 0 \rightarrow H^{1}(L'{}^{-1}\otimes L) \rightarrow \text{Ext}^{1}(L'\otimes \cali_{T},L) \rightarrow
H^{0}(\cale xt^{1}(L'\otimes \cali_{T},L)) \rightarrow H^{2}(L'{}^{-1}\otimes L)\rightarrow ...$$
Dans le cas d'une surface $\cale xt^{1}(L'\otimes \cali_{T},L)=\calo_{T}$.   
 
Reste � voir si l'extension est juste un faisceau coh�rent ou bien un faisceau localement libre... 

\begin{center}
{\bf Extensions �quivariantes}
\end{center}

Pour calculer les $\text{Ext}^{p}_{G}(\calf,\calg)$ dans la cat�gorie ab�lienne des faisceaux �quivariants on utilise la suite spectrale 
$$ E_{2}^{p,q}=H^{p}(G,\text{Ext}^{q}(\calf, \calg)) \Rightarrow \text{Ext}^{p+q}_{G}(\calf,\calg).$$ 
Lorsque $G$ est un groupe r�ductif, il n'a pas de cohomologie sup�rieure et alors les groupes d' extensions �quivariantes sont donn�s par les extensions invariantes par l' action du groupe, i.e.
$$\text{Ext}^{n}_{G}(\calf,\calg)\cong \text{Ext}^{n}(\calf,\calg)^{G}.$$
Nous utilisons ce r�sultat dans le cas de l'action du groupe r�ductif $G$ qui est le tore qui agit sur le plan projectif complexe.\\


\subsubsection{$\text{Ext}^{p}$ des structures de Hodge mixtes, $p>1$}
Les extensions sup�rieures de structures de Hodge mixtes sont �tudi�es dans \cite{carhai} � l'aide de resolutions projectives relatives.\\

Nous donnons une d�monstration g�om�trique du fait suivant

\begin{proposition}\cite{carhai}
Soient $A $ et $B$ deux structures de Hodge mixtes, alors, pour tout $p>1$,
$$\text{Ext}^{p}_{MHS}(B,A)=0.$$
\end{proposition}

\begin{preuve}
Le lemme pr�c�dent $(iii)$ montre que tous les $\cale xt^p$ locaux sont nuls pour $p>1$, il en va donc de m�me pour les $\text{Ext}^p$ globaux. On conclut par
$$ \text{Ext}^{p}_{MHS}(B,A)\cong \text{Ext}^{p}_{G}(\xi_{B},\xi_{A})\cong \text{Ext}^{p}(\xi_{B},\xi_{A})^{G}=0.$$

\end{preuve}












%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------



\newpage



\section{Stratifications et variations de structures de Hodge, perspectives}




\subsection{Variations de structures de Hodge mixtes}

\subsubsection{Rappel : variations de structures de Hodge}
 Soit $\calv_{\bf C}$ un syst�me local complexe sur une vari�t� $S$. Ici $S$ d�signera un sch�ma lisse projectif sur ${\bf C}$ ou respectivement une vari�t� complexe lisse. Alors le fibr� vectoriel alg�brique (resp. holomorphe) $\calv:= \calo_{X} \otimes_{\bf C} \calv_{\bf C}$ associ� � ce syst�me est muni d'une connexion int�grable $\nabla$ dont l'espace des sections horizontales est $\calv_{\bf C}$. 

La d�finition qui suit peut-�tre donn�e en rempla�ant ${\bf R}$ par tout sous-anneau $A$ de ${\bf R}$, mais nous n'avons pas besoin de ce contexte plus large car toutes les constructions de l'�tude pr�c�dente ne concernent que les structures sur ${\bf R}$ et ${\bf C}$.

\begin{definition} Une variation polaris�e de structures de Hodge de poids $n$ sur $S$ consiste en la donn�e d'un syst�me local de ${\bf R}$-vectoriels de rang fini $\calv_{\bf R}$ ainsi que \\
\hspace*{1cm}$(i)$ d'une filtration d�croissante $...\, \calf^{p+1} \subset \calf^{p}...$ du fibr� vectoriel $\calv$ par des sous-fibr�s vectoriels,\\
\hspace*{1cm}$(ii)$ une forme bilin�aire plate $Q: \calv_{\bf R} \otimes \calv_{\bf R} \rightarrow {\bf R}(-n)$ tel que :\\
\hspace*{2cm}$(a)$ la transversalit� de Griffith soit satisfaite, i.e.
$$\nabla(\calf^{p}) \subset \Omega_{S}^{1}\otimes_{\calo_{S}} \calf^{p-1},$$
\hspace*{2cm}$(b)$ pour tout $s \in S$, le ${\bf R}$-module $\calv_{\bf R}{}_{s}$ muni de la filtration $\calf^{\bullet }_{s}$ et de la forme bilin�aire $Q_{s}$ sont la donn�e d'une structure de Hodge polaris�e de poids $n$.
\end{definition}    
  La situation typique dans laquelle arrivent les variations de structures de Hodge polaris�es est lorsque est donn� un morphisme lisse et projectif $f:X \rightarrow S$ entre deux vari�t�s quasi-projectives sur ${\bf C}$, le syst�me local �tant donn� par $\calv_{\bf R}:=R^{n}f_{*}{\bf R}$, cf \cite{gri1}.  

\subsubsection{D�finition des variations de structures de Hodge mixtes}
 
Dans la situation g�om�trique d�crite ci-dessus, si l'on enl�ve la condition de lissit� et/ou de propret� du morphisme $f$, alors sur un ouvert dense, la famille param�tr�e par $f$ donne lieu � une famille de structures de Hodge mixtes. Pour tout $s$ dans l'ouvert dense, les groupes de cohomologie de la fibre $f^{-1}(s)$ sont �quip�s de structures de Hodge mixtes. Ceci m�ne � la notion de variation graduellement polaris�e de structures de Hodge mixtes.

Comme pour les variations de structures de Hodge, on se limite ici � d�finir les variations de structures de Hodge mixtes � syst�me local sous-jacent r�el, mais la d�finition peut �tre donn�e pour tout syst�me local de $A$-module avec $A$ sous-anneau de ${\bf R}$.
\begin{definition}\cite{stezuc}
 Une variation graduellement polaris�e de structures de Hodge mixtes sur une vari�t� $S$ consiste en la donn�e d'un syst�me local de ${\bf R}$-vectoriels de rang fini $\calv_{\bf R}$ ainsi que \\
\hspace*{1cm}$(i)$ d'une filtration croissante $...\calw^{p} \subset \calw^{p+1}...$ du syst�me local $\calv_{\bf R}$,\\
\hspace*{1cm}$(ii)$ d'une filtration d�croissante $...\,\calf^{p+1} \subset \calf^{p}...$ du fibr� vectoriel $\calv=\calv_{\bf R} \otimes_{\calo_{S}} \calo_{S}$ par des sous-fibr�s vectoriels,\\
\hspace*{1cm}$(iii)$  une suite de forme bilin�aires plates,


$$Q_{k}:Gr^{\calw}_{k}(\calv_{\bf R})\otimes Gr^{\calw}_{k}(\calv_{\bf R}) \rightarrow {\bf R}(-k),$$ tels que :\\
\hspace*{2cm}$(a)$ la transversalit� de Griffith soit satisfaite, 
$$\nabla(\calf^{p}) \subset \Omega_{S}^{1}\otimes_{\calo_{S}} \calf^{p-1},$$
\hspace*{2cm}$(b)$ la donn�e de $Gr^{\calw}_{k}$, de la filtration induite par $\calf^{\bullet}$ sur $\calo_{S}\otimes Gr^{\calw}_{k}$ et de la polarisation $Q_{k}$ soit celle d'une variation de structures de Hodge de poids $k$ .
\end{definition}
  



\subsection{Etude des stratifications associ�es aux variations de structures de Hodge mixtes : notions pr�liminaires}
Les premi�res sections sont pr�paratoires, on introduit d'abord les fibr�s universels sur les vari�t�s de drapeaux, on rappelle quelques notions d'amplitude qui seront n�cessaires pour appliquer les th�or�mes sur les d�g�n�rescences de fibr�s vectoriels.  

\subsubsection{Fibr�s universels, vari�t�s des drapeaux g�n�ralis�s, amplitude }

\begin{center}
{\bf Vari�t�s des drapeaux}
\end{center}

Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'une filtration $F^{\bullet }$ exhaustive et d�croissante :$$  \{ 0 \} =F^{n+1} \subset F^{n} \subset ...\subset F^{0}=V.$$

Nous construisons ici une vari�t� qui param�trise toutes les filtrations de cette forme sur $V$. Notons $f^{p}=dim_{\bf C}F^{p}V$. Il s'agit donc de trouver une vari�t� dont les points param�trisent l'ensemble des filtrations exhaustives et d�croissantes de $V$, $F^{\bullet}$ telles que  $f^{p}=dim_{\bf C}F^{p}V$.\\

\begin{proposition}
Il existe une vari�t� alg�brique lisse compacte ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ qui param�trise toutes les filtrations exhaustives et d�croissantes, on l'appelle vari�t� des drapeaux associ�e � $(V,f^{0},f^{1},...,f^{n})$.\\ 
\end{proposition}  
${}$
{\bf Remarque :}
Dans l'�criture de ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$, on peut omettre $f^{0}=\text{dim}_{\bf C}V$ qui est implicite comme dimension de $V$.\\
${}$\\
{\bf Remarque :}
La vari�t� des drapeaux d�crite ici est une g�n�ralisation de ce que l'on entend par vari�t� des drapeaux habituellement o� les drapeaux sont pris comme �tant les suites de sous-espaces vectoriels $  \{ 0 \} =F_{0} \subset F^{1} \subset ...\subset F_{n}=V$ avec $dim_{\bf C}F_{i}=i$, i.e. des drapeaux complets.\\

Avant de donner la preuve de la proposition, pour fixer les notations, nous allons rappeler la construction des grassmaniennes (\cite{adagri}, \cite{hir} par exemple).\\

D�finissons la grassmanienne des sous-espaces vectoriels complexes de dimension $k$ de l'espace vectoriel complexe $V$ de dimension $m$, $grass(k,m)$ (que l'on pourra aussi noter $grass(k,V)$ suivant le contexte, s'il est �vident ou non que l'on regarde des sous-espaces vectoriels de $V$).\\
Soient $(z_{1},...,z_{m})$ les coordonn�es complexes standard()s sur $V={\bf C}^{m}$. Et soit $L_{k}$ le sous-espace vectoriel d�fini par l'�quation $z_{k+1}=...=z_{m}=0$. Le groupe $GL(m,{\bf C})$ agit transitivement sur les espaces vectoriels de dimension $k$. Le sous-groupe $GL(k,m-k,{\bf C})$ des matrices inversibles qui laisse $L_k$ invariant est constitu� des �l�ments de la forme suivante :
$$  A \in GL(k,m-k,{\bf C}) \text{\,si et seulement si \,}
A=\left(
\begin{array}{cc}
           A'    &     B       \\
           0         &   A''
\end{array}
\right)
$$
o� $A' \in GL(k,{\bf C})$, $A'' \in GL(m-k,{\bf C})$ et $B$ est une matrice $k \times m-k$ quelconque. La grassmanienne $grass(k,V)$ peut donc \^etre identifi�e � $GL(m,{\bf C})/GL(k,m-k,{\bf C})$ et est donc une vari�t� alg�brique lisse sur ${\bf C}$. Elle ainsi naturellement munie de l'action du groupe alg�brique d'automorphismes $GL(m,{\bf C})$. $GL(k,m-k,{\bf C})$ est de codimension $k\times(m-k)$ dans $GL(m,{\bf C})$ donc $grass(k,V)$ est de dimension $k\times(m-k)$.\\

Munissons $V={\bf C}^m$ du produit scalaire hermitien standard. Le groupe unitaire standard associ� $U(m,{\bf C})$ agit �galement de fa�on transitive sur les sous-espaces vectoriels de dimension $k$. Le sous-groupe du groupe unitaire qui fixe $z_{k+1}=...=z_{m}=0$ sera not� $U(k,m-k,{\bf C})$. Il est naturellement isomorphe � $U(k,{\bf C}) \times U(m-k,{\bf C})$. On a donc : 
$$grass(k,m)= U(m,{\bf C}) /(U(k,{\bf C}) \times U(m-k,{\bf C})).$$




\begin{preuve}
Nous allons construire ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ comme sous-vari�t� de $ \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V)$. Notons, pour $x \in grass(k,m)$, par $<x>$ le sous-espace vectoriel de $V$ engendr� par $x$. Ensemblistement, ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ est l'ensemble des $n$-uplets $(x_{1},...,x_{n}) \in  \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V)$ tels que $<x_{i+1}> \subset <x_{i}>$ pour $i \in [1,n-1]$. Rappelons que d'apr�s la description des grassmaniennes, si l'on note par $m$ la dimension de $V$ :
$$ \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V) = \prod_{p=1}^{n}  U(f^{0},{\bf C}) /(U(f^{p},{\bf C}) \times U(f^{0}-f^{p},{\bf C}))$$
Consid�rons maintenant la suite de sous-espaces vectoriels emboit�s de $V$ $\{ L_{f^{i}} \}_{i \in [0,f^{n+1}]} $ :
$$   \{ 0 \}=L_{f^{n+1}} \subset L_{f^{n}} \subset ... \subset L_{f^{i}} \subset L_{f^{i-1}} \subset ...\subset L_{f^{1}} \subset L_{f^{0}}=V$$
o� $L_{f^{i}}$ est d�fini par l'�quation $z_{f^{i}+1}=z_{f^{i}+2}=...=z_{f^{0}}=0$ dans $V={\bf C}^{f^{0}}$ muni des coordonn�es $(z_{1},...,z_{f^{0}})$. C'est un drapeau de la forme d�finie par $(V,f^{0},f^{1},...,f^{n})$.
Le groupe $U(f^{0},{\bf C})$ agit transitivement sur l'ensemble des drapeaux d�finis de la sorte. Notons $U(f^{n},f^{n-1}-f^{n},f^{n-2}-f^{n-1},...,f^{1}-f^{2},f^{0}-f^{1},{\bf C})$ le sous-groupe qui laisse le drapeau standard fixe. Dans la base choisie, les �l�ments de $U(f^{n},f^{n-1}-f^{n},f^{n-2}-f^{n-1},...,f^{1}-f^{2},f^{0}-f^{1},{\bf C})$ sont de la forme :  
$$\left(
\begin{array}{cccccc}
           A_{n}    &     *   &     *   &  ...  &  * &    *    \\
          0    &     A_{n-1}  &     *    &    ...   &   *   &   *   \\
           0    &  0           &         A_{n-2}  &   ... &  *     &   *  \\
          ...    &  ...    &  ... &   ... &... & ...\\       
          0 & 0 & 0 & ... & A_{1} & *\\
          0 & 0 & 0 & ... & 0 & A_{0}
\end{array}
\right)
$$
o� $A_{i} \in U(f^{i}-f^{i+1},,{\bf C})$. Comme c'est un sous-groupe du groupe unitaire, on a aussi la relation $*=0$. Donc $U(f^{n},f^{n-1}-f^{n},f^{n-2}-f^{n-1},...,f^{1}-f^{2},f^{0}-f^{1},{\bf C})\cong U(f^{n},{\bf C}) \times U(f^{n-1}-f^{n},{\bf C})\times ... \times U(f^{0}-f^{1},{\bf C})$ o� le morphisme injectif $i: U(f^{i}-f^{i+1},{\bf C}) \rightarrow 
U(f^{0},{\bf C})$ est donn� par $A \mapsto Diag(I_{f^{n}},...,I_{f^{i+1}-f^{i+2}},A,I_{f^{i-1}-f^{i}},...,I_{f^{0}-f^{1}})$. Ainsi,
$${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)=\frac{U(f^{0},{\bf C})}{U(f^{n},{\bf C}) \times U(f^{n-1}-f^{n},{\bf C})\times ... \times U(f^{0}-f^{1},{\bf C})}$$
est donc une vari�t� alg�brique lisse compacte et est munie de l'action transitive du groupe alg�brique $U(f^{0},{\bf C})$.\\


\end{preuve}
 
On notera l'immersion dans le produit des grassmaniennes par :
$$i_{\bf F}: {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \hookrightarrow \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V) .$$
{\bf Remarque :} Si l'on ne regarde que les drapeaux au sens habituel du terme (cf remarque suivant la proposition pr�c�dente), alors 
$U(f^{n},{\bf C}) \times U(f^{n-1}-f^{n},{\bf C})\times ... \times U(f^{0}-f^{1},{\bf C})$ est le sous-groupe des matrices unitaires diagonales ${\bf T}^{f^{0}}={\bf \Delta}(f^{0},{\bf C}) \cap U(f^{0},{\bf C})$ i.e. un tore complexe de dimension $f^0$.\\

\begin{center}
{\bf Fibr�s universels}
\end{center}
Pour tout $k$ les grassmaniennes $grass(k, f^{0})$ sont munies de fibr� universels $\calu_{k}$, sous-fibr�s du fibr� trivial $grass(k, f^{0}) \times V$ :

%$$
%\xymatrix{
% 0 \ar[r] & A          \ar[r]^{i} \ar[d]_{id_{A}} & H         \ar[r]^{\pi} \ar[d]_{(r,\pi)} \ar[dl]_{r}     &   B    \ar[r] \ar[d]_{id_{B}}  & 0  \\
%          0 \ar[r] & A         \ar[r]^{(1,0)} &  L         \ar[r]^{(0,1)}  &      B  \ar[r]   &0
%}
%$$

$$
\xymatrix{
\calu_{k} \lhook\rightarrow \ar[dr] &     grass(k,f^{0}) \times V \ar[d]\\
                      &  grass(k,f^{0})
}
$$   
La fibre au dessus de $x \in grass(k,f^{0})$ est le sous-espace vectoriel que repr�sente $<x>\subset V$ de la fibre du fibr� trivial en $x$.\\

Notons, pour $q \in [1,n]$, par $\pi_{q}$ la projection :
$$ \pi_{q}: \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V) \rightarrow  grass(f^{q},V)$$
et $\pi_{q}^{*}\calu_{k}$ le ''pull-back'' du fibr� universel le $q$-i�me terme du produit des grassmaniennes.\\

\begin{proposition}  
Le fibr� trivial de rang $f^{0}$ sur $ {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times V$ est muni d'une filtration $\calf^{\bullet}_{univ}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ exhaustive et d�croissante de sous-fibr�s ''universels'' tel que pour tout $x \in 
 {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ la filtration induite sur $V$, $(\calf^{\bullet}_{univ}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V))_{x}$, par les fibres en $x$ des sous-fibr�s soit la filtration param�tr�e par le point $x$ dans la vari�t� des drapeaux.\\
\end{proposition}

\begin{preuve}
Consid�rons pour tout $q \in [1,n]$ les morphismes :
$$\pi_{q}\circ i_{\bf F}: {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \hookrightarrow \prod_{p=1}^{n} grass(f^{p},V) \rightarrow  grass(f^{q},V)$$
Et les pull-back de $\calu_{q}$ par ces morphismes :
$$
\xymatrix{
  ( i_{\bf F}^{*}\circ \pi_{q}^{*})\,\calu_{q} \ar[d]\\
  {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) 
}
$$
Ce sont des sous-fibr�s du fibr� trivial $ {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times V$ tels que la fibre au dessus d'un point $x \in {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) $ soit le sous-espace $<\pi_{q}\circ i_{\bf F}(x)> \subset V$ param�tris� par $\pi_{q}\circ i_{\bf F}(x)$ dans la grassmanienne $grass(f^{p},V)$. Posons pour tout $q \in [1,n]$ :
$$\calf^{q}_{univ}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)= (i_{\bf F}^{*}\circ \pi_{q}^{*})\,\calu_{q}$$
et on a la filtration de $ {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times V$ voulue.
\end{preuve}

\begin{center}
{\bf Amplitude}
\end{center}

Soit $X$ une vari�t� projective. Rappelons qu'un fibr� vetcoriel $\mathcal L$ sur $X$ est ample s'il exite une entier positif $m$ tel que ${\mathcal L}^{\otimes m}$ soit la restriction � $X$ du fibr� en droite ${\mathcal O}(1)$ pour un plongement de $X$ dans un espace projectif. 
Notons par $E^{*}$ le fibr� dual de $E$, $\text{Hom}(E,\calo_{X})$.\\

\begin{lemme} Les fibr�s $((i_{\bf F}^{*}\circ \pi_{q}^{*})\,\calu_{q})^{*}$ sur ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ sont amples.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
cf \cite{gri2}
\end{preuve}

\subsubsection{Lieu de d�g�n�rescence des morphismes de fibr�s vectoriels}

\begin{center}
{\bf Introduction}
\end{center}
 Consid�rons deux familles $\cale$ et $\calf$ de sous-espaces vectoriels d'un m\^eme espace vectoriel $V$ param�tr�es par une vari�t� $X$. En tout point $x \in X$ on a deux espaces vectoriels $\cale_{x}$ et $\calf_{x}$. Le but de cette section est d'�tudier les variations de $\text{dim}_{\bf C}\,\cale_{x}\cap \calf_{x}$ sur $X$dans le cas o� les deux familles sont donn�es par des sous-fibr�s vectoriels d'un m\^eme fibr� vectoriel.

Soient $\phi : \cale \rightarrow \calf $ un morphisme de fibr�s vectoriels complexes de rang $m$ et $n$ sur une vari�t� complexe lisse. Il existe un recouvrement de $X$ par des ouverts sur lesquels les fibr�s $\cale$ et $\calf$ sont triviaux. Soit $U$ un tel ouvert. Sur $U$, $\phi $ est donn�e par une matrice $m \times n$ de fonctions � valeurs complexes. On peut donc d�finir le rang de $\phi$ sur $U$. Ce rang ne depend pas des ouverts de trivialisations choisis. On peut donc poser :
$$D_{r}(\phi)=\{ x \in X \vert \text{rang}(\phi(x)) \leq r \}.$$     
C'est une sous-vari�t� de $X$. On obtient donc une suite de sous-vari�t�s de $X$ :
$$ \emptyset \subset D_{0}(\phi) \subset D_{1}(\phi) \subset ... \subset D_{\text{min}(m,n)}(\phi)=X.$$
Si $\phi$ est suffisament g�n�rique, pour tout $r$ tel que $0 \leq r \leq \text{min}(m,n)$, $D_{r}(\phi)$ a pour codimension $(m-r).(n-r)$.
Consid�rons maintenant deux sous-fibr�s $\calg$ et $\calh$ d'un m\^eme fibr� $\calv$. En tout point $x \in X$ on a deux sous-espaces vectoriels $\calg_{x}$ et $\calh_{x}$ de $\calv_{x}$. Nous voulons calculer $\text{rang}(\phi (x))$ en fonction de $x$.
Notons $i : \calg \rightarrow \calv $ l'inclusion de $\calg$ dans $\calv$ et $\pi : \calv \rightarrow \calv/\calh$ la projection. Consid�rons le morphisme de fibr�s composition des deux morphismes :
$$ \pi \circ i : \calg \longrightarrow \calv \longrightarrow \calv/\calh.$$
En tout point $x \in X$ on a un morphisme d'espaces vectoriels :
$$ (\pi \circ i)_{x} : \calg_{x} \longrightarrow \calv_{x} \longrightarrow \calv_{x}/\calh_{x}.$$ 

On a $\text{rang}((\pi \circ i)_{x})=\text{dim}_{\bf C}{\calg_{x}}-\text{dim}_{\bf C}\calg_{x}\cap \calh_{x}$, i.e. $\text{rang}((\pi \circ i)_{x})=\text{rang}(\calg)-\text{dim}_{\bf C}\calg_{x}\cap \calh_{x}$. On est dans la situation d�crite plus haut avec $\cale=\calg$, $\calf=\calv/\calh$ et $\phi = \pi \circ i$. On peut donc d�finir les lieux :
\begin{eqnarray*}
D_{r}(\calg,\calh)&=&\{ x \in X \vert \text{dim}_{\bf C}(\calg_{x}\cap \calh_{x}) \geq r \}\\
 &=&\{x \in X \vert \text{rang}((\pi \circ i)_{x}) \leq \text{rang}(\calg-r \}\\
 &=&\{x \in X \vert \text{rang}(\phi)_{x}) \leq \text{rang}(\calg)-r \}\\
 &=&D_{\text{rang}_{\bf C}{\calg}-r}(\phi).
\end{eqnarray*}
Pour tout $r \in [\text{max}(0,\text{rang}(\calg)+\text{rang}(\calh)-\text{rang}(\calv)), \text{min}(\text{rang}(\calg),\text{rang}(\calh))]$. 
D'o� la suite de sous-vari�t�s de $X$ :
$$ X = D_{\text{max}(0,\text{rang}(\calg)+\text{rang}(\calh)-\text{rang}(\calv))}(\phi) \supset  ... \supset D_{\text{min}(\text{rang}(\calg),\text{rang}(\calh))}(\phi) \supset \emptyset.$$


\begin{center}
{\bf D�g�n�rescence sur le produit de vari�t�s des drapeaux}
\end{center}
Nous allons appliquer le travail de la section pr�c�dente aux fibr�s tautologiques sur les vari�t�s des drapeaux ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$. Pour $p \in [0,n]$, d�signons par $\calf^{p}$ le fibr� $i_{\bf F}^{*}\circ \pi_{p}^{*}\,\calu_{p}$ sur ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$. Notons par $\pi_{i}$ pour $i \in \{1,2 \}$ les projections respectives de ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ sur le premier et deuxi�me facteur. On dispose donc, pour tous $(p,q) \in [0,n]^2$ de fibr�s "tautologiques" $\pi_{1}^{*}(\calf^{p})$ et $\pi_{2}^{*}(\calf^{q})$, sous-fibr�s vectoriels du fibr� trivial $\calv ={\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times V$. Au dessus d'un point $(x,y)$, la fibre de $\pi_{1}^{*}(\calf^{p})$ est le $p$-i�me sous-espace vectoriel de $V$ du drapeaux param�tr� par $x \in  {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$. On a les morphismes suivants : 

$$
\xymatrix{
\calv  & \pi_{2}^{*}(\calf^{q}) \ar@{^{(}->}[l] \ar[r]^{\pi_{2}^{*}} \ar[d] & \calf^{q} \ar[d]\\
\pi_{1}^{*}(\calf^{p}) \ar@{^{(}->}[u] \ar[d]^{\pi_{1}^{*}} \ar[r] &   {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \ar[r]^-{\pi_{2}} \ar[d]^{\pi_{1}} &  {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)\\
\calf^{p} \ar[r] &  {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) &   
}
.$$
Consid�rons le morphisme de fibr�s vectoriels :
$$\phi^{p,q} : \pi_{1}^{*}(\calf^{p}) \longrightarrow \calv \longrightarrow \calv /\pi_{2}^{*}(\calf^{q}),$$
et les applications pour tous $(p,q) \in [0,n]^{2}$ :
$$
\xymatrix{
\varphi^{p,q} :& {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \ar[r] & {\bf Z}\\
 & (x,y) \ar@{|->}[r] & \text{rang} \phi^{p,q}_{(x,y)}
}  
.$$
En tout point $(x,y)$, $\varphi^{p,q}_{(x,y)}=\text{dim}_{\bf C} \calf^{p}_{x} \cap \calf^{q}_{y}$.\\

\begin{lemme}\label{flagsci}
Pour tous $(p,q) \in [0,n]^2$ $\varphi^{p,q}$ est semi-continue sup�rieurement sur le produit des vari�t�s de drapeaux ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ et prend toutes les valeurs de $[\text{max}(0,f^{p}+f^{q}-f^{0}),\text{min}(f^{p},f^{q})]$.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Pour la premi�re assertion il suffit de prouver que l'application du produit des Grassmaniennes $grass(f^{p},V) \times grass(f^{q},V)$ dans ${\bf Z}$ donn�e par :
$$ (G,H) \longmapsto \text{dim}_{\bf C}\, G \cap H $$
est semi-continue sup�rieurement.\\ 

Donnons la d�monstration suivant \cite{catdelkap}. Soient $G'$ et $H'$ proches de $G$ et $H$. Il existe un automorphisme proche de l'identit� $g \in GL(V)$ tel que $g.G'=G$. On peut supposer que $G'=G$. Soit $I_1$ un suppl�mentaire de $G \cap H$ dans $G$. Soit $I_2$ un suppl�mentaire de $G+H$ dans $V$. On a ainsi $G=G \cap H \oplus I_1$ et $V=G + H \oplus I_2$. $I_1$ et $I_2$ sont en somme directe. Posons $I=I_{1}\oplus I_{2}$, on a alors $V=G \oplus I$ et $G=G \cap H \oplus G \cap I$. Lorsque $H'$ est assez proche de $H$, $H'$ peut \^etre vu comme le graphe d'une application $h': H \mapsto I$. L'application qui a $H'$ associe l'application $h'$ est continue. Soit $x$ un �l�ment de $H'$. $x$ s'�crit $(u,h'(u))$. $x $ est dans $G$ si et si seulement si $u \in G$ et $h'(u) \in I$ sont dans $G$ ce qui implique que $u \in G \cap H$. En d�coule l'in�galit� sur les dimensions.

\end{preuve}

On peut donc d�finir pour tous $(p,q) \in [0,n]^2$ conform�ment � la section pr�c�dente les sous-ensembles analytiques du produit des vari�t�s des drapeaux :
$$ D_{r}(\varphi^{p,q})=\{ (x,y) \in {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \vert \text{rang}\, \varphi^{p,q}_{(x,y)} \leq r \}$$
pour obtenir une suite de sous-vari�t�s analytiques :
$$  \emptyset \subset ...\subset D_{r}(\varphi^{p,q}) \subset  D_{r+1}(\varphi^{p,q}) \subset ...\subset {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V).$$
Pour des raisons de dimensions si $r < \text{max}(0,f^{p}+f^{q}-f^{0})$ alors $ D_{r}(\varphi^{p,q})=\emptyset$ et si $r > \text{min}(f^{p},f^{q})$ alors $ D_{r}(\varphi^{p,q})=X$. 

Les vari�t�s des drapeaux sont des vari�t�s projectives. On peut en effet plonger la vari�t� des drapeaux ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ dans ${\bf P}^{N}$ pour $N$ assez grand par l'application de Veronese it�r�e, de m�me pour le produit. Par G.A.G.A. les sous-ensembles analytiques $ D_{r}(\varphi^{p,q})$ sont donc des sous-ensembles alg�briques. 

Posons pour tous $(p,q) \in [0,n]^2$ et tous $r \in {\bf Z}$ $\cals_{r}(\varphi^{p,q})= D_{r}(\varphi^{p,q})- D_{r-1}(\varphi^{p,q})$. C'est le lieu sur ${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V)$ des points tels que le rang de $\varphi$ soit exactement �gal � $r$.\\

\begin{proposition}La ${\bf Z}$-d�composition d�finie par les strates alg�briques $ \cals_{r}(\varphi^{p,q})$ d�finit une stratification de Whitney du produit des vari�t�s de drapeaux 
$${\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V) \times {\bf Flag}(f^{0},f^{1},...,f^{n},V).$$

\end{proposition}


%\textit{Exemple :}Celui de Strasbourg.

%\textit{Exemple :}Les drapeaux complets.


%\textit{Exemple :}Les drapeaux "incomplets"
%\subsubsection{Stratifications sur des quotients}
%\subsubsection{Stratifications sur des sous-vari�t�s}




\subsubsection{Espaces classifiants de structures de Hodge mixtes}
\begin{center}
{\bf Cadre}
\end{center}
Suivant le contexte, on se placera dans les cat�gories suivantes :
\begin{itemize}\parindent=1.5cm
\item {(i)} $\crzmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes au sens usuel.
\item {(ii)} $\crmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes sans strutures enti�res sous-jacentes.
\item {(iii)} $\cmhs$ la cat�gorie des structures de Hodge mixtes complexes sans structures r�elles sous-jacentes.
\item {(iv)} $\trif$ la cat�gorie des espaces vectoriels munis de trois filtrations exhaustives et d�croissantes .

\par\end{itemize}
${}$\\
On a les foncteurs oublis suivants entre ces diff�rentes cat�gories :\\

$ \Phi_{z}: \crzmhs \rightarrow \crmhs $ qui est le foncteur oubli de la structure enti�re sous-jacente � une struture de Hodge mixte.

$ \Phi_{r}: \crmhs \rightarrow \cmhs $ qui est le foncteur oubli de la structure r��lle sous-jacente.

$ \Phi_{str}: \cmhs \rightarrow \trif $ qui � une structure de Hodge mixte $H=(H_{\bf C},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet },W_{\bullet})$ associe l'espace vectoriel complexe trifiltr� muni de trois filtrations exhaustives et d�croissantes $(H_{\bf C},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet },{W_{.}}^{\bullet})$.
\\
Pour exhiber les constuctions d'espaces classifiants, nous aurons besoin d'�quiper les morphismes entre structures de Hodge mixtes. Ceci est possible d'apr�s le th�or�me de Deligne que nous avons d�montrer g�om�triquement dans la partie 3 qui affirme que la cat�gorie des structures de Hodge mixtes $\crmhs $ est ab�lienne. De plus elle est ferm�e par sommes directes, produits tensoriels et dualisation.\\


D'apr�s la d�composition de Deligne \ref{lesipq}, la donn�e d'une structure de Hodge mixte sur $V=V_{\bf Q}\otimes {\bf C}$ induit une strucure de Hodge mixte sur $gl(V)$ de bigraduation associ�e :
$$ gl(V)^{r,s}=\{ \alpha \in gl(V) \vert \forall p,q \, \alpha : I^{p,q} \rightarrow I^{p+r,q+s} \}.$$


Soit $\cals$ une polarisation gradu�e de la structure de Hodge mixte $(V,W_{\bullet },F^{\bullet })$ et $G_{\bf C}=\{ g \in GL(V)^{ W_{\bullet }} \vert Gr(g) \in Aut_{\bf C}(\cals) \}$.
 Alors $(W_{\bullet },F^{\bullet })$ d�finit une structure de hodge mixte sur $\mathfrak{g}=Lie(G_{\bf C})$ par la bigraduation :
$$ {\mathfrak{g}}^{r,s}=gl(V)^{r,s}\cap Lie(G_{\bf C}).$$
\begin{definition} 
Soit $W_{\bullet }$ une filtration croissante d'un espace vectoriel complexe de dimension finie $V$. Alors un endomorphisme semi-simple $Y \in gl(V)$ gradue() $W_{\bullet }$ si pour tout $k$ $W_{k}=W_{k-1}\oplus E_{k}(Y)$ o� $E_{k}(Y)$ est le sous-espace propre de $Y$ associ� � la valeur propre $k$.\\
\end{definition}
Notons $\caly (W_{\bullet})$ l'ensemble des graduations de $W_{\bullet}$.\\
\\
Pour d�crire $\caly (W_{\bullet})$, consid�rons $Lie_{-1}$ l'id�al nilpotent de $gl(V)$ d�fini par :
$$ Lie_{-1}=\{ g \in gl(V) \vert \forall k \,\alpha(W_{k})\subset W_{k-1} \}$$
Il vient alors :\\
\begin{theoremese}\cite{catkapsch}\label{explie}Le groupe de Lie unipotent $\exp (Lie_{-1})$ agit de fa�on simple et transitive sur $\caly(W_{\bullet })$.\\
\end{theoremese}

\begin{center}
{\bf Rappel des classifiants de structures de Hodge pures polaris�es}
\end{center}
Pour fixer les notations et pr�parer le travail pour les structures de Hodge mixtes, rappelons la construction des espaces classifiants des structures de Hodge pures polaris�es d'apr�s Griffiths (\cite{gri1}, \cite{gri2} et \cite{grisch}).\\
Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie et muni d'une structure rationnelle $V_{\bf Q}$ et d'une forme bilin�aire non-d�g�n�r�e :
$$ Q: V_{\bf Q} \otimes V_{\bf Q} \rightarrow {\bf Q}$$
de la m\^eme parit� que $k$, pour $k$ un entier fix�. Donnons-nous une partition de $dim \,V$ par une somme d'entiers naturels $\{ h^{p,k-p} \}$ sym�triques par rapport � la diagonales i.e. $h^{p,q}=h^{q,p}$. On peut alors construire l'espace classifiant de toutes les structures de Hodge pures de poids $k$ sur $V$, polaris�es par $Q$ et satifaisant $dim_{\bf C}H^{p,k-p}=h^{p,k-p}$. 
$$ \cald = \cald (V,Q,\{ h^{p,k-p} \})$$
On peut �quiper cet ensemble d'une structure de vari�t� complexe de la fa�on suivante. Posons $f^{p}= \sum_{r \geq p}h^{r,k-r}$ et soit $\check \calf$ la vari�t� des drapeaux consistant en toutes les filtrations d�croissantes $F^{\bullet}$ de $V$ telles que $dim_{\bf C}F^{p}=f^{p}$.\\
\begin{lemme}
$\check \calf$ est une vari�t� alg�brique lisse.\\
\end{lemme}
\begin{preuve}A �t� faite plus haut, dans l'�tude des vari�t�s des drapeaux.

\end{preuve}


Soit ${\check \cald} \subset \check \calf$ le sous-ensemble des filtrations qui v�rifient la premi�re des relations bilin�aires de Hodge-Riemann $Q(F^{p},F^{k-p+1})=0$. Le lemme qui suit est une cons�quence du lemme pr�c�dent :\\

\begin{lemme}
$\check \cald$ est une vari�t� alg�brique lisse.\\
\end{lemme}
\begin{preuve}
Le groupe de Lie complexe
$G_{\bf C}=\text{Aut}_{\bf C}(Q) $ agit transitivement sur $\check \cald$ et donc $\check \cald$ est une sous-vari�t� lisse de $\check \calf$. 
\end{preuve} 

L'espace ainsi d�finit est classifiant dans le sens suivant : soit $\calv \rightarrow S$ une variation de structures de Hodge pures polaris�es.  Le choix d'un point de base $s_{0} \in S$ d�termine une repr�sentation de  monodromie :
$$ \rho : {\pi}_{1}(S,s_{0}) \rightarrow \text{Aut} ( {\calv_{s_{0}}}).$$
Notons $\Gamma $ le sous-groupe $\rho({\pi}_{1}(S,s_{0}))$, la repr�sentation de la monodromie peut s'�crire $ \rho : {\pi}_{1}(S,s_{0}) \rightarrow \Gamma $. Le choix du point de base nous donne donc une application :
$$\Phi: S \rightarrow \cald /\Gamma.$$




\begin{center}
{\bf Classifiants dans $\crzmhs \,$,$\, \crmhs$ }
\end{center}
%()expliquer le choix d'une structure de Hodge de reference

Nous avons d�finit suivant \cite{stezuc} la notion de variation de structure de Hodge mixte graduellement polaris�e $\calv \rightarrow S$. On peut associer � une telle donn�e un espace classifiant $\calm$ et un morphisme de la base de la variation vers cet espace classifiant (modulo le choix d'un point de base). Cet espace classifiant se construit de la fa�on suivante (\cite{usu}, \cite{pea}) :

Soit $V$ un espace vectoriel complexe muni d'une structure rationnelle sous-jacente $V_{\bf Q}$ et d'une filtration croissante $W_{\bullet}$ d�finie aussi sur ${\bf Q}$, la filtration par le poids. Donnons-nous aussi un ensemble $\cals $ de polarisations sur les espaces gradu�s associ�s � la filtration par le poids, c'est � dire une suite de formes bili�aires de $(-1)^{k}$-paires $${\cals }_{k}: Gr_{k}^{W} \otimes Gr_{k}^{W} \rightarrow {\bf C}$$ 
et une partition de $\text{dim}_{\bf C}V$ par des entiers $\{h^{p,q}\}$.

 On peut alors construire l'espace classifiant $\calm $ des structures de Hodge mixtes graduellement polaris�es par $\cals $ et v�rifiant la condition de dimension 
$$\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{p+q}^{W}V=\text{dim}_{\bf C}I^{p,q}_{(F^{\bullet },W_{\bullet })}=h^{p,q}.$$ 

Commen�ons, de fa�on similaire au cas des structures de Hodge pures, par construire la vari�t� des drapeaux $\check \calf$ de toutes les filtrations d�croissantes $F^{\bullet }$ de $V$ telles que $\text{dim}_{\bf C}F^{p}=f^{p} $ o� $f^{p}=\sum_{r \geq p,s}h^{r,s}$. C'est une vari�t� alg�brique lisse d'apr�s l'�tude des vari�t�s des drapeaux.

D�finissons ensuite $\check \calf(W_{\bullet})$ comme �tant la sous-vari�t� de $\check \calf$ correspondant aux filtrations $F^{\bullet}$ de $V$ qui v�rifient en plus la propri�t� 
$$\text{dim}_{\bf C}F^{p}Gr_{k}^{W_{\bullet }}=f^{p}_{k},$$ 
o� $f^{p}_{k}=\sum_{r \geq p}h^{r,k-r}$. Le lemme suivant prouve que $\check \calf(W_{\bullet})$ est lisse, sa d�monstration est similaire � celle du lemme pr�c�dent :
\begin{lemme}
Le groupe de Lie complexe $GL(V)^{W_{\bullet}}=\{ g \in GL(V) \vert \forall k g : W_{k} \rightarrow W_{k} \}$ agit transitivement sur $\check \calf(W_{\bullet})$. $\check \calf(W_{\bullet})$ est donc lisse.\\ 

\end{lemme}



Soit ensuite $\check \calm$ l'ensemble des filtrations $F^{\bullet} \in \check \calf(W_{\bullet})$ qui satifont � la premi�re des relations bilin�aires de Hodge-Riemann $\forall k \,\cals_{k}(F^{p}Gr_{k}^{W_{\bullet}},F^{k-p+1}Gr_{k}^{W_{\bullet }})=0$. Alors :\\
\begin{lemme}
Le groupe de Lie complexe $G_{\bf C}=\{ g \in GL(V)^{W_{\bullet}} \vert Gr(g) \in Aut_{\bf C}({\cals}) \}$ agit transitivement sur $\check \calm$ qui est donc lisse.\\
\end{lemme}

\begin{preuve}
Soit $\caly (W_{\bullet })$ l'ensemble des graduations de $V$ par $W_{\bullet }$, 
$$\caly (W_{\bullet })=\{ Y \vert Y:Gr^{W_{\bullet }}V \cong {\rightarrow } V \}.$$ 
Soit 
$$\check \cald =\bigoplus_{k} {\check \cald}(Gr_{k}^{W_{\bullet}},{\cals_{k}},h^{p,k-p}),$$ 
et, 
$$\check \calx = \check \cald \times \caly (W_{\bullet }).$$ 
Soit $\pi :\check \calx \rightarrow \check \calm $ la projection qui envoie un point $ (\oplus_{k}F^{\bullet}_{k},Y) \in {\check \calx}$ sur la filtration $F^{\bullet } \in {\check \calm}$ d�termin�e par la filtration $\oplus_{k}F^{\bullet}_{k}$ sur $Gr^{W_{\bullet }}$ et l'isomorphisme $Y: Gr^{W_{\bullet }}V \cong{\rightarrow } V$ c'est � dire : $F^{p}=\oplus_{k}Y(F^{p}_{k})$. L'application $\pi $ est surjective et le diagramme suivant est commutatif :

$$
\xymatrix{
{\check \calx } \times G_{\bf C}  \ar[d] \ar[r]^{(\pi,id)} & {\check \calm} \times G_{\bf C} \ar[d]\\
{\check \calx }  \ar[r]^{\pi} & {\check \calm}, 
}
$$
et l'application $\pi :\check \calx \rightarrow \check \calm $ est donc $G_{\bf C}$-�quivariante. Ainsi si l'on montre que $G_{\bf C}$ agit transitivement sur $\check \calx$, on aura aussi prouv� que l'action de $G_{\bf C}$ est transitive sur $\check \calm$. Soit un point $P \in {\check \calx}$, $P=(\oplus_{k}F^{\bullet}_{k},Y)$. Nous allons montrer la transitivit� dans les deux directions du produit $\check \calx = \check \cald \times \caly(W_{\bullet })$. D'une part le sous-groupe de $G_{\bf C}$, $G_{\bf C}^{Y}=\coprod_{k} G_{\bf C}(Gr_{k}^{W_{\bullet}},{\cals_{k}},h^{p,k-p}) $ agit transitivement sur $\check \cald$ tout en maintenant le scindement $Y$ constant. D'autre part, d'apr�s le th�or�me \ref{explie} p.\pageref{explie} le groupe de Lie unipotent $\exp(Lie_{-1})$ agit de fa�on simple et transitive sur $\caly(W_{\bullet })$ et laisse $\check \cald $ fixe. D'o� la transitivit� de l'action sur $\check \calx$ et donc sur $\check \calm$. 

\end{preuve} 

Pour toute variation graduellement polaris�e de structures de Hodge mixtes au dessus d'une vari�t� $S$ nous avons donn� la construction d'un espace classifiant $\calm$. Cet espace est classifiant dans le sens o� toute variation de structures de Hodge mixtes associ�e au choix d'un point de base $s_{0}\in S$ donne lieu � un morphisme $$\Phi: S \rightarrow \calm /\Gamma,$$ o� $\Gamma$ est l'image du groupe fondammental de $S$ par la repr�sentation de monodromie $\rho$ associ�e au syst�me local sous-jacent � la variation de structures de Hodge mixtes, $\rho : \pi_{1}(S,s_{0}) \rightarrow \text{Aut}(\calv_{s_{0}})$. L'application $\Phi$ admet un rel�vement au rev�tement universel $\tilde S$ de $S$, qui m�ne au diagramme commutatif :
$$\xymatrix{ {\tilde S} \ar[r]^{\tilde \Phi} \ar[d] &  \calm \ar[d]\\
S \ar[r]^{\Phi} & \calm /\Gamma.}$$

Au dessus de $\calm$ il y a un fibr� vectoriel universel $\calv$ filtr� par des sous-fibr�s stricts $\calf^{\bullet }$ tels que le tir� en arri�re de ces donn�es par le morphisme $\Phi$ permet de retrouver la variation de structure de Hodge mixtes associ�e � $\Phi$. 


\begin{center}
{\bf Strate des structures de Hodge mixtes ${\bf R}$-scind�es}
\end{center}

Nous donnons ici une remarque (cf \cite{pea}, p.17) sur les structures de Hodge qui sont ${\bf R}$-scind�es. Par les m�mes m�thodes que pour montrer que l'action de $G_{\bf C}$ est transitive, on montre que le groupe de Lie r�el 
$$G_{\bf R}=\{ g \in GL(V_{\bf R})^{W} \vert Gr(g) \in \text{Aut}_{\bf R}(\cals) \}$$
agit transitivement sur la vari�t� $\calc^{\infty}$ $\calm_{\bf R} \subset \calm$ qui param�trise toutes les filtrations de Hodge qui donne lieu � une structure de Hodge mixte qui est ${\bf R}$-scind�e. En particulier l'action de ${ G}_{\bf R}$ pr�serve donc la sous-vari�t� $\calm_{\bf R}$.

 On peut g�n�raliser cette remarque aux autres strates que la strate $\alpha =0$, $\calm_{\bf R}$. Puisque l'action de $G_{\bf R}$ ne modifie pas les positions relatives de la filtration de Hodge et de sa conjugu�e :
\begin{proposition}
L'action de $G_{\bf R}$ pr�serve les strates sur lesquelles l'invariant $\alpha$ est constant, i.e. pr�serve le niveau de ${\bf R}$-scindement.  
\end{proposition} 





\subsection{Etude des stratifications associ�es aux variations de structures de Hodge mixtes, exemple des variations de structures de Hodge mixtes de Tate}

Consid�rons une variation de structures de Hodge mixtes $(\calv,\calw_{\bullet },\calf^{\bullet})$ sur une vari�t� $S$. En tout point $x \in S$, le niveau de ${\bf R}$-scindement de la structure de Hodge mixte au point $x$ est donn� par
$$\alpha(H_{x})=\frac{1}{2}\sum_{p,q}\,(p+q)^{2}(h^{p,q}_{x}-s^{p,q}_{x}).$$

Les nombres de Hodge sont constants sur la base. En effet ils sont donn�s par $h^{p,q}_{x}=\text{dim}_{\bf C}\,(Gr^{\calf}_{p}Gr_{\calw}^{p+q}\calv)_{x}$ et correspondent par d�finition d'une variation de structures de Hodge mixtes aux nombres de Hodge d'une variation de structures de Hodge pures de poids $p+q$. Les sommes $\sum_{p'\geq p}\, h^{p',p+q-p'}$ sont constantes pour tout $p$ car elles donnent les rangs des fibr�s induits par les $\calf^{p}$ sur $\calw_{p+q}/\calw_{p+q-1}$. 

Pour tout $x$, $h^{p,q}_{x}=h^{p,q}$.


En terme des fibr�s de Hodge, sous-fibr�s stricts de $\calv$, la formule devient
$$\alpha(H_{x})=\sum_{p,q}\,(p+q)^{2}(h^{p,q}-\text{dim}_{\bf C}Gr_{\calf_x}^{p}Gr_{{\overline \calf}_x}^{q}).$$
Dans la partie ``comportement du niveau de ${\bf R}$-scindement par op�rations sur les structures de Hodge mixtes'' on a d�compos� $\alpha$ en une partie avec les nombres de Hodge $h^{p,q}$ et une partie avec les $s^{p,q}$, $\alpha(\bullet)=\alpha^{+}(\bullet)-\alpha^{-}(\bullet)$. Avec
$$\alpha^{-}_{s}= \frac{1}{2} \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) f^{p,q}_{s}+\frac{1}{2} \sum_{q \in [1,N]} ( 2q-1) f^{0,q}_{s}+\frac{1}{2} \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) f^{p,0}_{s}- \frac{1}{2} f^{0,0}_{s}.$$
$\alpha^{+}(\bullet)$ est constant.

La filtration conjugu�e � la filtration de Hodge varie de fa�on anti-holomorphe sur la base de la variation de structures de Hodge mixtes. On ne peut donc utiliser directement l' �tude des morphismes de fibr� sur S de la forme
$$ \calf^{p} \rightarrow  \calv \rightarrow \calv / {\overline \calf}^{q},$$ 
car ces morphismes ne sont pas holomorphes mais $\calc^{\infty}$. Pour nous placer dans un cadre holomorphe, nous allons "d�plier" la variation. 

Consid�rons la filtration de Hodge universelle $ \calf^{\bullet }$ au dessus du classifiant $\calm$ et les deux familles de filtrations $ \calf^{\bullet }_{1}$ et $ \calf^{\bullet }_{2}$ au dessus du produit $\calm \times \calm$ donn�es comme tir�es en arri�re de $ \calf^{\bullet }$ sur $\calm$ par les deux projections sur le produit. $\calm$ est naturellement �quip� d'une conjugaison complexe car chaque point de $\calm$ repr�sente une filtration de Hodge dont la conjugu�e est aussi dans le classifiant. Soit $z \in \calm$, on a alors,
$$ \text{dim}_{\bf C}( \calf^{p }_{1} \cap \calf^{q}_{2})_{(z,{\overline z})}=\text{dim}_{\bf C}( \calf^{p }_{} \cap {\overline \calf}^{q }_{})_{z}.$$

Ainsi nous voulons �tudier les sauts du niveau de ${\bf R}$-scindement des structures de Hodge mixtes donn�es par la variation en fonction des sauts de la quantit� $\alpha$ donn�e en fonction des $f^{p,q}$ et des $h^{p,q}$ sur le produit des classifiants par le morphisme $$\calm \rightarrow \calm \times \calm,\,\,\,z\mapsto (z,{\overline z}).$$ 

On veut donc �tudier la stratification associ�e � l'invariant $\alpha$ par l'interm�daire de la stratification du classifiant par le morphisme $$\phi : S \rightarrow \calm \rightarrow \calm \times \calm .$$

Pour d�finir la stratification de $\calm \times \calm$ nous avons le r�sultat :

\begin{proposition}\label{alphasci}
L'invariant $alpha$ sur le produit du classifiant $\calm \times \calm$ associ\'e \`a la variation de structures de Hodge mixtes $\calv \rightarrow S$ est semi-continu sup�rieurement sur la base de la variation � valeurs enti�res et d�finit donc une stratification 
$$\calm \times \calm=\coprod_{i \in I}(\calm \times \calm)_{i}.$$
\end{proposition}
\begin{preuve}
C'est une application directe de la formule de $\alpha^{-}$ et du lemme \ref{flagsci} p.\pageref{flagsci}.
\end{preuve}
Par l'�tude pr�c�dente de d�g�n�rescence sur la vari�t� des drapeaux nous pouvons donner un expression explicite des strates pour $\alpha $. La semi-continuit� sup�rieure des $\varphi^{p,q}$ sur $\calm \times \calm$, donn�s ici par les rangs des morphismes de fibr�s
$$ p_{1}^{*}\calf^{p} \rightarrow  \calv \rightarrow \calv / p_{2}^{*}{\calf}^{q},$$
est �quivalente � la semi-continuit� inf�rieure des $f^{p,q}$. 

Etudions pour tout $n $ l'ouvert $\{ s \in \calm \times \calm \vert \alpha(s) \geq \} $. Rappelons que l'on note
$D_{r_{p,q}}=\{ s \in \calm \times \calm \vert f^{p,q} \leq r \}.$
Alors, on rappelle que $\alpha^{+}(s)=\alpha^{+}(s_{0})$ est constant sur la base,
\begin{eqnarray*}
{} & \alpha(s) &  \geq n\\
\Leftrightarrow & \alpha^{-}(s) &  \leq  \alpha^{+}(s_{0})-n\\
\Leftrightarrow & \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) f^{p,q}_{s} & \leq  \alpha^{+}(s_{0})-\frac{1}{2} \sum_{q \in [1,N]} ( 2q-1) f^{0,q}_{s}\\
{} & {} &- \sum_{p \in [1,N]}(2p-1) f^{p,0}_{s}+ f^{0,0}_{s}-n,
\end{eqnarray*}
Notons par $C$ tout ce qui est constant dans le menbre de droite, il vient,
\begin{eqnarray*}
\alpha(s)   \geq  C-n  \Leftrightarrow & {}\\
{}   &     s \in \cup_{ \{ r_{p,q},p,q\, \in {\bf Z}^{3} \vert \sum_{(p,q) \in {[1,N] \times [1,N]}} ( 2pq+4) r^{p,q}_{s} \leq C-n \} } \cap_{p,q}\,\,D_{r_{p,q}}
\end{eqnarray*}
Par intersection avec l'image de $\calm $ dans le produit on en d�duit une stratification qui donne le niveau de ${\bf R}$-scindement des structures de Hodge mixtes, d' apr�s la proposition 

\begin{proposition}\label{alpharesci}
Le niveau de scindement $\alpha$ associ\'e \`a une variation de structures de Hodge mixtes sur $S$ est semi-continu inf�rieurement sur le rev�tement universel de $S$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
Montrons d'abord qu'il est semi-continu inf�rieurement sur $\calm$. Comme $\alpha=\alpha^{+}-\alpha^{-}$ et comme $\alpha^{+}$ est constant, il faut montrer que $-\alpha^{-}$ est semi-continu inf�rieurement. $-\alpha^{-}$ est somme � coefficients positifs des fonctions $s \mapsto -f^{p,q}$ d'apr�s le lemme \ref{alphaplus} p. \pageref{alphaplus} et de la fonction $s \mapsto f^{0,0}$ qui elle est constante comme rang de l'espace vectoriel fibre. Ces fonctions sont semi-continues inf�rieurement d'apr�s le lemme \ref{flagsci} p.\pageref{flagsci} ce qui permet de conclure (on peut en effet toujours supposer que l'une des deux filtration est fixe dans le lemme bien qu'elles soient li�es car conjugu�es, l'automorphisme $g$ pour passer de l'un � l'autre ne varie plus holomorphiquement mais de fa�on $\calc^{\infty}$ mais seule la continuit� est n�cessaire pour conclure ici).

Le rev�tement universel de $S$ est alors stratifi� par $\alpha$ d'apr�s l'existence d'un morphisme de ce rev�tement vers $\calm$ associ� � la variation de structures de Hodge mixtes :
$${\widetilde S}=\coprod_{i \in I}\,{\widetilde S}_{i}.$$
\end{preuve}

\begin{center}
{\bf Strates $\alpha=cste$ et hypoth�se $({\bf H})$}
\end{center}
${}$\\

Consid�rons une variation de structures de Hodge mixtes $\calv \rightarrow S$ sur une vari�t� $S$ que l'on supposera simplement connexe pour simplifier. On en d�duit une stratification de $S$ par le niveau de ${\bf R}$-scindement
$${ S}=\coprod_{i \in I}\,{ S}_{i}.$$

\begin{theoreme}
Soit $X$ une sous-vari�t� de $S$ incluse dans l'une des strates $S_{i}$ de la d�composition associ�e � la variation de structures de Hodge mixtes sur $S$ alors l'hypoth�se $({\bf H})$ est v�rifi�e sur $X$ pour la variation de structures de Hodge mixtes associ�e sur $X$.

R�ciproquement si $({\bf H})$ est v�rifi�e pour la restriction de la variation � une sous-vari�t� $X$ alors $X$ est incluse dans l'une des composantes de la stratification associ�e � la variation de structures de Hodge mixtes.
\end{theoreme}



\begin{preuve}
L'invariant $\alpha$ est somme des $x \mapsto -f^{p,q}_{x}$ qui sont des fonctions semicontinues sup�rieurement d'apr�s le lemme $40$ et de la fonction $x \rightarrow f^{0,0}_{x}$ qui est constante comme rang du syst�me local sous-jacent � la variation. La somme �tant constante, ces fonctions sont constantes donc d'apr�s la partie II $({\bf H})$ est v�rifi�e.

La r�ciproque est imm�diate puisque les $t^{p,q}$ sont constants si $({\bf H})$ est v�rifi�e, en effet cette hypoth�se est �quivalente � la constance des fonctions $x \mapsto \text{dim}_{\bf C} Gr_{\calf^{\bullet}}^{p}{}_{s}Gr_{{\overline \calf}^{\bullet}}^{q}{}_{s}$ qui ne sont autres que les fonctions $x \mapsto t^{p,q}_{x}$.
\end{preuve}

\subsection{Perspectives}
\subsubsection{G�om�triser les variations de structures de Hodge mixtes}
Comme pr�cis� ci-dessus, on ne peut appliquer directement les constructions de Rees faites dans la partie 2 aux variations de structures de Hodge, m�me par strates. En effet, le principal obstacle est le fait que la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge varie de fa�on anti-holomorphe. 

Consid�rons une variation de structures de Hodge mixtes sur une base $S$. Cette variation telle que nous voulons l'�tudier ici est la donn�e d'un ${\bf R}$-syst�me local $\calv_{\bf R}$ filtr� par une filtration d�croissante de sous-syst�mes locaux $\calw^{\bullet}_{\bf R}$ (comme pour le cas ponctuel, pour se ramener � la situation de trois filtrations d�croissantes, on associe � la filtration croissante $\calw_{\bullet}$ par des sous-syst�mes locaux du syst�me local $\calv_{\bf R}$ une filtration d�croissante $\calw^{\bullet }$ en posant, pour tout entier $k$, $\calw^{k}=\calw_{-k}$), d'une filtration d�croissante $\calf^{\bullet }$ du fibr� vectoriel $\calv:=\calo_{S}\otimes \calv_{\bf R}$ tels que la connexion canonique associ�e au syst�me local, $\nabla$, satisfasse la tranversalit� de Griffith pour la filtration $\calf^{\bullet }$ et qu'en tout point $s \in S$, $(\calv_{s},\calw^{\bullet}_{s}, \calf^{\bullet}_{s}, {\overline \calf}^{\bullet}_{s})$ d�finissent un triplet (ordonn�) de trois filtrations oppos�es sur un espace vectoriel. La filtration ${\overline \calf}^{\bullet}_{s}$ se d�duit de la filtration de Hodge de la fibre au point $s$ par conjugaison par rapport � la structure r�elle sous-jacente. Cette donn�e nous fournit un fibr� vectoriel plat muni de trois filtrations par des sous-espaces vectoriels stricts $(\calv, \calw^{\bullet}, \calf^{\bullet }, {\overline \calf}^{\bullet })$, le probl�me pour une utilisation directe de la partie 2 est que les sous-fibr�s d�finis par la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge ne sont pas holomorphes mais anti-holomorphes. On ne peut donc pas utiliser directement le dictionnaire par strates donn� dans l'�tude des constructions de Rees relatives.

Pour palier ce probl�me, nous allons ``d�plier'' les donn�es qui correspondent � une variation de structures de Hodge mixtes sur $S$, qui contiennent de l'holomorphie et de l'antiholomorphie, en donn�es holomorphes sur le produit de $S$ par elle-m�me, de fa�on � ``rendre holomorphe'' la filtration conjugu�e � la filtration de Hodge et retrouver la situation initiale en consid�rant les tir�s en arri�re des objets d�finis sur le produit $S\times S$ par le morphisme $(i,{\overline i})$ d�fini par :
$$(i,{\overline i}) :S \rightarrow S  \times S ,\,\,\, (i,{\overline i})(s)=(s,{\overline s}).$$
Nous voulons voir la vari�t� originale $S$ comme "l'antidiagonale" du produit $S \times S$. 
  
Consid�rons la situation directement sur le produit du classifiant par lui-m�me. Nous voudrions �tudier les variations de structures de Hodge � partir des objets qu'elles permettent de d�finir sur $\calm \times \calm$.
Ces donn�es sont, en notant $V=\calv_{s_0}$ la fibre choisie pour r�f�rence :\\
\hspace*{1.3cm}$(i)$ le syst�me local $\calv:=\calm \times \calm \times V$,\\
\hspace*{1.3cm}$(ii)$ la filtration d�croissante associ�e � la filtration par le poids $\calw^{\bullet}$,\\
\hspace*{1.3cm}$(iii)$ la filtration $\calf^{\bullet}_{1}:=p_{1}^{*}\calf^{\bullet}$ par des sous-fibr�s vectoriels stricts, et,\\
\hspace*{1.3cm}$(iv)$ la filtration $\calf^{\bullet}_{2}:=p_{2}^{*}\calf^{\bullet}$ par des sous-fibr�s vectoriels stricts,\\
o� $p_{1}$ et $p_{2}$ sont les projections sur le premier et deuxi�me facteur de $\calm \times \calm$ vers $\calm$,\\
\hspace*{1.3cm}$(v)$ deux connexions int�grables $\nabla_{i}$ o� $i \in \{1,2\}$ telles que $\calf^{\bullet }_{i}$ v�rifie la transversalit� de Griffith pour $\nabla_{i}$.

Les deux connexions pouvant se d�duire l'une de l'autre, on peut remplacer les donn�es $(i),(ii),(iii),(iv),(v)$ par $(i),(ii),(iii),(iv),(v)'$ o� $(v)'$ ne porte que sur $\nabla_{1}$ par exemple.    

${}$\\

Alors $(\calv,\calw^{\bullet},\calf^{\bullet }_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow \calm \times \calm$ est un fibr� vectoriel filtr� par des sous-fibr�s stricts et tel que les filtrations soient exhaustives et d�croissantes et tels que de plus pour tout $x \in \calm \times \calm$, la donn�e de $(V,\calw^{\bullet}_{x},\calf^{\bullet }_{1}{}_{x},\calf^{\bullet }_{2}{}_{x})$ est celle d'un espace vectoriel muni de trois filtrations oppos�es. 

On peut faire la construction de Rees relative exhib�e plus haut pour obtenir un faisceau r�flexif �quivariant pour l'action du groupe ${\bf T}$ sur $\calm \times \calm \times {\bf P}^2$ qui provient de l'action de ce groupe sur ${\bf P}^2$, $$\xi(\calv,\calw^{\bullet},\calf^{\bullet}_{1},\calf^{\bullet }_{2}) \rightarrow \calm \times \calm \times {\bf P}^2.$$ 

Rappelons l'hypoth�se ${\bf (H)}$. Elle est satisfaite si pour tout $(p,q)$, les faisceaux coh�rents $Gr^{p}_{\calf_{1}} Gr^{q}_{\calf_{2}}\calv$ sont des faisceaux localement libres sur $\calm \times \calm$, cela revient au m�me de demander que les fonctions sur cette vari�t� $x \mapsto \text{dim}_{\bf C} Gr^{p}_{\calf_{1}{}_x} Gr^{q}_{\calf_{2}{}_x}\calv_{x}$ soient constantes. On sait par la partie 2 qu'il existe une stratification de $\calm \times \calm=\coprod_{i \in I}(\calm \times \calm)_{i}$ telle que sur chaque strate les restrictions sont des fibr�s vectoriels et tellles que l'on peut d�crire le fibr� vectoriel trifiltr� en fonction du fibr� �quivariant associ�.
 
Supposons que l'on ait un ensemble de propri�t�s $(P)$ � ajouter aux donn�es\\
$(i),(ii),(iii),(iv),(v)$ tel que l'on puisse �tablir, une �quivalence entre variation de structures de Hodge mixtes sur $\calm $ et objets holomorphes (ou alg�briques suivant le contexte) donn�s par $(i),(ii),(iii),(iv),(v)$ et $(P)$ sur le produit $\calm \times \calm$, alors au moins sur les strates sur lesquelles l'hypoth�se ${\bf (H)}$ est v�rifi�e, on pourrait traduire la donn�e d'une variation de structures de Hodge mixtes sur $S$ en termes de fibr�s sur $\calm \times \calm \times {\bf P}^{2}$, �quivariant pour l'action habituelle du tore sur le produit h�rit�e de l'action sur le plan projectif, ${\bf P}^{1}$-semistable par rapport � $\calm \times \calm$ plus une condition $(P)'$ associ�e � $(P)$. Les construction de Rees sur les diff�rents $\calm \times \calm \times {\bf A}^{1}$ dans cette description feraient appara\^{\i}tre la propri�t� de transversalit� de Griffiths (pour les filtrations issues de Hodge et conjugu�e) et la platitude de la filtration par le poids comme d�crit dans le lemme qui conclut la partie 2, int�grons ces propri�t�s dans $(P)'$, on aurait alors la description g�om�trique des variations de structures de Hodge mixtes suivante, en notant $VSHMP$ les variations de structures de Hodge mixtes graduellement polaris�es,  

$$\xymatrix{ VSHMP \text{ sur } \calm \ar@{.>}[r] \ar@{.>}[rd] & \text{Sys. locaux }+\,(i),(ii),(iii),(iv),(v)+\,(P)   \ar@{.>}[d] \ar@{.>}[l]\\ & \calf ib_{{\bf P}^{1}-semistables/\calm \times \calm,\mu=0/\calm \times \calm}(\calm \times \calm \times {\bf P}^{2}/{\bf T})+\,(P)' \ar@{.>}[lu] \ar@{.>}[u] }$$

\subsubsection{Structures de Hodge limites}
La possibilit� de g�om�triser les notions de structures de Hodge mixtes limites d�pend �videmment directement du dictionnaire escompt� ci-dessus. Modulo ces �quivalences d�finir des objets g�om�triques associ�s aux structures de Hodge mixtes limites reviendrait � appr�hender les limites d'objets dans les espaces de modules ou champs des objets de 
$$\calf ib_{{\bf P}^{1}-semistables/\calm \times \calm,\mu=0/\calm \times \calm}(\calm \times \calm \times {\bf P}^{2}/{\bf T})+\,(P)'.$$   

\subsubsection{Rigidit� de variations de structures de Hodge mixtes}
Rappelons le th�or�me suivant, d\^u \`a Deligne,
\begin{theoremese} Une variation admissible de structures de Hodge mixtes sur une vari�t� k\"alherienne compactifiable est compl�tement d�temin�e par sa repr�sentation de monodromie et sa valeur en un point, i.e. que, un syst�me local filtr� $(\calv,\calw^{\bullet})$ �tant donn� sur une vari�t� du type consid�r� $S$ et en un point $s \in S$ une filtration d�croissante $F^{\bullet }_s$ telle que $(\calv_{s},\calw^{\bullet}_{s},F^{\bullet }_{s})$ d�terminent une structure de Hodge mixte, alors il existe au plus une variation de structures de Hodge mixtes admissible qui prolonge ces donn�es. 
\end{theoremese}
On propose ici une id�e pour trouver des exemples, � partir des donn�es du th�or�me, i.e. une repr�sentation du groupe fondamental et d'une structure de Hodge mixtes en un point, de telles donn�es qui ne se prolongent pas en variation admissible de structures de Hodge mixtes. 

Consid�rons donc un syst�me local filtr� sur une vari�t� $S$, $(\calv,\calw^{\bullet})$ et une filtration qui donne une structure de Hodge en un point. On peut alors en d�duire une stratification du rev\^etement universel de $S$, $\tilde S$ par le niveau de ${\bf R}$-scindement. Une telle stratification doit donner des informations g�om�triques (homologie) sur $\tilde S$, th�oriques puisqu'elles correspondent � une repr�sentation du groupe fondamental qui ne provient pas forc�ment d'une variation de structures de Hodge mixtes. Si ces informations sont contraires � ce que l'on connait de la vari�t�, alors c'est qu'il n'y a aucune variation de structures de Hodge mixtes correspondant aux donn�es initiales.

Si l'on a une description des variations de structures de Hodge mixtes sur un classifiant $\calm$ en termes de fibr�s trifiltr�s sur $\calm \times \calm$ comme explicit� au-dessus, alors la g�om�trie des strates est bien connues dans de nombreux cas car elle est donn�e par la d�g�n�rescence de morphismes de fibr�s vectoriels. Par exemple sur $\calm \times \calm$, les fibr�s $p_{1}^{*}\calf^{p}$ et $p_{2}^{*}\calf^{q}$ sont des sous-fibr�s des fibr�s universels, donc le fibr� $\text{Hom}(p_{1}^{*}\calf^{p},\calv p_{2}^{*}\calf^{q})$ est ample et donc suivant \cite{fullaz}, si la dimension attendue du lieu o� le morphisme est de rang inf�rieur ou �gal � $r$, $2.\text{dim}(\calm)-(f^{p}-r)(f^{q}-r)$ est au moins $1$, alors ce lieu est connexe.
 
On a des r�sultats plus fort lorsqu'on peut �quiper les fibr�s dont on �tudie les d�g�n�rescences de formes bilin�aires (cf \cite{deb}), qui pourraient provenir ici des polarisations associ�es aux variations de structures de Hodge mixtes.  



%\subsection{dessins}

%\begin{figure}[ht] 

%\begin{center}

%\scalebox{1}{\input{try.pstex_t}}

%\end{center}

%\caption {Exemple saut de $\alpha$}

%\end{figure}



%blablablabla  gGGGjhklhj

%\begin{figure}[ht] 

%\begin{center}

%\scalebox{1}{\input{essi.pstex_t}}

%\end{center}

%\caption {Exemple saut de $\alpha$}

%\end{figure}


%\begin{figure}[ht] 

%\begin{center}

%\scalebox{1}{\input{tryagain.pstex_t}}

%\end{center}

%\caption {Exemple saut de $\alpha$}

%\end{figure}



%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c||c|}
%\hline
%$X_{\Rr}$ non s�parante &$X_{\Rr}$  s�parante\\
%\hline \hline

%$Y_{\Rr}$ est maximal et &$Y_{\Rr}$ est s�parant et\\
% $\widetilde{X_{\Rr}}$ est non s�parante &$\widetilde{X_{\Rr}}$ est 
%s�parante\\

%\hline

%$Y_{\Rr}$ est  non s�parant et & $Y_{\Rr}$ est non s�parant
%et\\$\widetilde{X_{\Rr}}$ est un nid et $p - n \equiv k^2 \pm 2 \;
%\mbox{mod} \; 16.$ & $\widetilde{X_{\Rr}}$ est non s�parante\\

%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}


\clearpage
\section*{Annexe  : Structures twistorielles mixtes.}
\addcontentsline{toc}{section}{Annexe 1 : Structures twistorielles mixtes}
\setcounter{section}{5}
%\setcounter{section}{1}
\setcounter{theoreme}{0}

%{\bf ANNEXE A : Structures twistorielles mixtes.}\\
$${}$$
Dans cet appendice on rappelle la notion de structures twistorielles mixtes d'apr�s \cite{sim2}. Les entiers $s^{p,q}$ introduits dans la section d'application � la th�orie de Hodge permettent de donner une description explicite des structures twistorielles mixtes en fonction des dimensions d'intersection des sous-espaces vectoriels que d�finissent les filtrations qui composent une structure twistorielle �quivariante.

On fixe une droite projective ${\bf P}^1$ avec ses points $0,1,\infty$ et le fibr� en droite standard ${\calo}_{{\bf P}^1}$.
\begin{definition}Une structure twistorielle est un fibr� vectoriel $\cale$ sur la droite projective ${\bf P}^{1}=\emph{Proj}\,{\bf C}[u,v]$. L'espace vectoriel sous-jacent est $\cale_{1}$, la fibre en $1$ du fibr�.\\
\end{definition}

Elle est dite pure de poids $\omega$ si $\cale$ est semistable de pente $\omega$. D'apr�s Grothendieck, \cite{gro1}, tout fibr� vectoriel sur ${\bf P}^{1}$ est somme directe de fibr�s en droite. Cela est �quivalent � dire que $\cale=\oplus_{i} \,\calo_{{\bf P}^{1}}(a_{i})^{i}$.\\
\begin{definition}
Une structure twistorielle mixte est la donn�e d'une filtration croissante $\calw_{\bullet}\cale$ par des sous-fibr�s stricts d'une structure twistorielle $\cale$ telle que pour tout $i$ les fibr�s quotients $\calw_{i}\cale / \calw_{i-1}\cale$ soit une structure twistorielle pure de poids $i$. La filtration $\calw_{\bullet }\cale$ est appel�e filtration par le poids. Elle est dite pure si le gradu� associ� � la filtration par le poids est non trivial en un seul degr�. \\  
\end{definition}  

Rappelons comment l'on peut fabriquer un fibr� vectoriel sur ${\bf P}^1$ � partir de deux filtrations. Le travail qui a �t� fait sur ${\bf P}^2$ est une g�n�ralisation de cette construction. 

Soit $(V,F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet })$ un espace vectoriel muni de deux filtrations d�croissantes et exhaustives. On peut alors faire la construction du fibr� de Rees de la droite affine pour chacune des filtrations. Pour $(V,F^{\bullet})$ par exemple, on construit le faisceau localement libre $\xi(V,F^{\bullet})$ comme pr�cis� dans la partie $1$. Si l'on note $j:{\bf G}_{m} \rightarrow {\bf A}^1$ l'inclusion, ce faisceau est le sous-faisceau de $j_{*}(V \otimes_{\bf C} \calo_{{\bf G}_m}$ engendr� par les sections de la forme $u^{-p}v_{p}$ pour $v_{p} \in F^{p}$ (avec ${\bf A}^{1}=\text{Spec}k[u]$). Nous avons vu, partie $1$, section 1.5.2, que c'est un faisceau ${\bf G}_{m}$-�quivariant pour l'action qui recouvre l'action de ${\bf G}_m$ par translation sur la base ${\bf A}^1$ (cf plus bas). Comme d�crit plus haut, ou suivant \cite{sim1}, la construction $(V,F^{\bullet}) \mapsto \xi(V,F^{\bullet})$ admet une construction inverse qui � partir d'un faisceau ${\bf G}_{m}$-�quivariant sur la droite affine donne un espace vectoriel filtr�. Si l'on part d'un fibr� vectoriel obtenu � partir d'un espace vectoriel filtr� par le constrcution de Rees, la construction inverse donne la m�me filtration sur le m�me espace vectoriel, la fibre en $1$.

Revenons au deux filtrations. Par la construction d�crite, nous obtenons deux faisceaux localement libres ${\bf G}_{m}$-�quivariants sur la droite affine. Nous allons recoller ces deux faisceaux par l'interm�daire de l'automorphisme de ${\bf G}_{m}$, $u \mapsto u^{-1}$. Ceci est possible car les restrictions � ${\bf G}_m$ des faisceaux de Rees associ�s � chacune des filtrations sont trivialis�s par l'action. On en d�duit deux isomorphismes $\xi(V,F^{\bullet})\cong {\bf G}_{m}\times V$ et $\xi(V,{\hat F}^{\bullet})\cong {\bf G}_{m}\times V$. Le recollement se fait donc par l'automorphismes de ${\bf G}_{m} \times V$ donn� par $(t,v) \mapsto (t^{-1},v)$. Le fibr� de Rees obtenu est le fibr� ${\bf G}_m$ �quivariant
$$\xi(V,F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet }).$$

On a alors le r�sultat suivant : $F^{\bullet}$ et ${\hat F}^{\bullet}$ sont $n$-oppos�es si et seulement si $\xi(V,F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet }) $ est une somme directe de ${\calo}_{{\bf P}^1}(n)$. 

Ceci se montre facilement en utilisant un scindement commun $V=\oplus_{p,q}V^{p,q}$ aux deux filtrations $F^{\bullet}$ et ${\hat F}^{\bullet}$ ; ce qui est toujours possible. Alors $(V,F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet})$ est somme directe d'objets munis de deux filtrations triviales d�cal�es $\oplus_{p,q}(V^{p,q},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})$. Or,
\begin{eqnarray*}
\xi(V^{p,q},Dec^{p}Triv^{\bullet},Dec^{q}Triv^{\bullet})&=&V^{p,q}\otimes_{\bf C}\calo_{{\bf P}^1}(p.O+q.\infty)\\
{}&\cong & V^{p,q} \otimes_{\bf C}\calo_{{\bf P}^1}(n),
\end{eqnarray*}    
donne l'expression de $\xi(V,F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet})$ en prenant la somme directe sur les couples $(p,q)$, ce qui permet de conclure l'�quivalence annonc�e.\\
${}$\\   
Rappelons que le groupe ${\bf G}_m$ agit sur ${\bf P}^1$ par translation
\begin{eqnarray*}
\mu:& {\bf G}_{m} \times {\bf P}^{1} \rightarrow  & {\bf P}^{1}\\
{} & (t,u) \mapsto &  t.u
\end{eqnarray*}
Une structure twistorielle mixte $(\cale,\calw^{\bullet})$ est dite ${\bf G}_{m}$-�quivariante s'il existe un isomorphisme de faisceaux coh�rents filtr�s sur ${\bf G}_{m} \times {\bf P}^{1}$
$$\rho : \mu^{*}(\cale,\calw^{\bullet})\cong p_{2}^{*}(\cale,\calw^{\bullet}),$$
o� $p_{2}$ est la projection sur le deuxi�me facteur, tel que les deux morphismes que l'on peut en d�duire sur ${\bf G}_{m} \times {\bf G}_{m} \times {\bf P}^{1}$ 
$$(\mu \circ \mu)^{*}(\cale,\calw^{\bullet}) \cong  p_{3}^{*}(\cale,\calw^{\bullet}),$$
o� $p_{3}$ est la projection sur le troisi�me facteur.

\begin{proposition}\cite{sim2}\label{equivcar} La cat�gorie des structures twistorielles mixtes ${\bf G}_{m}$-�quivariantes est �quivalente � la cat�gorie des structures de Hodge mixtes complexes.
\end{proposition}
Donnons une id�e de la preuve. Comme nous l'avons au dessus et dans l'�tude des constructions de Rees sur la droite affine, un espace vectoriel filtr� est la m�me chose qu'un fibr� ${\bf G}_m$-�quivariant sur la droite affine ${\bf A}^1$. D'un tel fibr� �quivariant on peut donc d�duire deux filtrations sur la fibre au dessus du point $1$. La filtration par le poids est donn�es par la filtration de cette fibre au dessus de $1$ par $\calw^{\bullet}$. Dans l'autre sens, on fait la construction du fibr� de Rees associ� � deux filtrations ($F^{\bullet}$ et ${\hat F}^{\bullet}$). Le fibr� obtenu est filtr� par des sous-fibr�s stricts associ�s � la filtration par le poids car � chaque niveau de cette filtration, en  partant du plus bas, on a un sous-fibr� strict. C'est bien une structure twistorielle mixte car chaque composante du gradu� associ� � la filtration par le poids du fibr� de Rees, not�e $\calw_{\bullet}$, est isomorphe � la construction du fibr� de Rees associ� au filtrations $F^{\bullet}$ et ${\hat F}^{\bullet}$ induite sur gradu� associ� par la filtration par le poids de la structures de Hodge complexe. Or les filtrations $F^{\bullet}$ et ${\hat F}^{\bullet}$ sont par hypoth�se oppos�es sur chaque composante du gradu�, ainsi chaque composante du gradu� par la filtration $\calw_{\bullet}$ est pur i.e. de fa�on �quivalente pour un fibr� vectoriel sur ${\bf P}^1$, semistable de pente l'indice de la composante de la graduation.        


Soit $H=(H_{\bf R},W_{\bullet}, F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})$ une structure de Hodge mixte r�elle\\
(resp. $H=(H_{\bf C},W_{\bullet}, F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet})$ une structure de Hodge mixte complexe). 
Les entiers $s^{p,q}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{\overline F}^{q}$ (resp. $s^{p,q}=\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{\hat F}^{q}$) permettent d'expliciter la forme scind�e (qui existe toujours d'apr�s le r�sultat de Grothendieck) de la structure twistorielle mixte associ�e par la proposition \ref{equivcar} p.\pageref{equivcar} � la structure de Hodge mixte r�elle (resp. complexe). En effet d'apr�s la d�composition en somme directe explicit�e pour l'�quivalence entre espce vectoriel muni de filtrations oppos�es d'une part et fibr�s de Rees sur ${\bf P}^1$ semistable, il vient, avec $H_{\bf C}=H_{\bf R}\otimes_{\bf R} {\bf C}$,
\begin{eqnarray*}
\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet})&=&\oplus_{(p,q)\in \cale_{H}}\xi(V^{p,q},DecTriv^{p},DecTriv^{q})\\
{}&\cong&\oplus_{(p,q)\in \cale_{H}}\calo(p+q)^{\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{\overline F}^{q}},
\end{eqnarray*} 
et ainsi
$$\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })\cong\oplus_{(p,q) \in \cale_{H}}\calo(p+q)^{s^{p,q}},$$ 
(resp. $\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\hat F}^{\bullet })\cong\oplus_{(p,q) \in \cale_{H}}\calo(p+q)^{s^{p,q}}$).
Le fibr� de Rees est filtr� par des sous-fibr�s stricts associ�s � la filtration par le poids. La construction �tant fonctorielle, pour tout $n \in {\bf Z}$, on a la suite exacte
$$0 \rightarrow \calw_{n-1}\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet }) \rightarrow \calw_{n}\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet }) \rightarrow Gr_{\calw}^{n}\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet }) \rightarrow 0.$$
Or $Gr_{\calw}^{n}\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })\cong \xi(Gr_{W}^{n}H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$. Les filtrations de Hodge et conjugu�e sont oppos�es sur le gradu� associ� � la filtration par le poids, donc 
\begin{eqnarray*}
Gr_{\calw}^{p}\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })&\cong &\oplus_{(p,q) \in \cale_{H},p+q=n}\calo(p+q)^{\text{dim}_{\bf C}Gr_{F}^{p}Gr_{W}^{n}}\\
{}& \cong &\oplus_{(p,q) \in \cale_{H},p+q=n}\calo(p+q)^{h^{p,q}}
\end{eqnarray*}

Donc $\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ est construit par extensions successives � partir de fibr�s de la forme $\oplus_{(p,q) \in \cale_{H},p+q=n}\calo(p+q)^{h^{p,q}}$ 
En calculant d'une part le rang et d'autre part la premi�re classe de Chern de la structure twistorielle mixte associ�e � une strcuture de Hodge mixte par l'expression explicite en fonction des entiers $s^{p,q}$ ou des entiers de Hodge $h^{p,q}$, on retrouve les relations (qui se d�duisent aussi de relations sur les dimensions) $\sum_{(p,q) \in \cale_{H}}(h^{p,q}-s^{p,q})=0$ et $\sum_{(p,q) \in \cale_{H}}(p+q)(h^{p,q}-s^{p,q})=0$, ce qui justifie l'emploi d'une expression quadratique pour d�finir l'invariant $\alpha$, 
$$\alpha(H)=\sum_{(p,q) \in \cale_{H}}(p+q)^{2}(h^{p,q}- s^{p,q}).$$  

Le fibr� $\xi(H_{\bf C},F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet })$ associ� � la structure de Hodge mixte r�elle $H=(H_{\bf R},W_{\bullet}, F^{\bullet},{\overline F}^{\bullet}) \in \crmhs$ ne conserve que les donn�es de la structure de Hodge mixte complexe associ�e par le morphisme oubli de la structure r�elle $\crmhs \rightarrow \cmhs$. Dans \cite{sim2}, on introduit une involution antiholomorphe $\tau$ de ${\bf P}^1$ et une notion de faisceau $\tau$-�quivariant. Cette construction dans le cas de ${\bf P}^1$ a �t� suivie pour la partie ``Structures r�elles'' du dictionnaire entre espaces vectoriels trifiltr�s et fibr�s sur le plan projectif. Ici l'information de la conjugaison entre les filtrations qui permettent de former le fibr� de Rees est cod�e par la $\tau$-�quivariance du fibr� de Rees associ� � ces filtrations. Un fibr� est dit ${\bf G}_{m}^{\tau}$-�quivariant s'il est � la fois ${\bf G}_m$ et $\tau$-�quivariant.

\begin{proposition}\cite{sim2}\label{equivcar} La cat�gorie des structures twistorielles mixtes ${\bf G}_{m}^{\tau}$-�quivariantes est �quivalente � la cat�gorie des structures de Hodge mixtes r�elles.
\end{proposition}

\clearpage







\addcontentsline{toc}{section}{Bibliographie}

\begin{thebibliography}{fardetoila}


% \bibitem[C]{car} Carlson, { Extensions of Mixed Twistor Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \&  Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.



% \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972), 5-57.


%\bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 4(?) (1975), 6-77.

%\bibitem[G-H]{grihar}Griffith {\&} Harris, { Principles of Algebraic Geometry} Wiley, 1978.

%\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.

%\bibitem[P]{pen}Penacchio, {title??}, th�se, Universit� Paul Sabatier, Toulouse , � sousmettre ???? 2001. 

%\bibitem[Si]{sim} Simpson, { The Hodge filtration on nonabelian cohomology}, math/alg-geom/9604005 .

%-------------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------------

%\bibitem[Br]{bri} Brieskorn, {Die monodromie der isolierten Singularit\"aten von Hyperfl\"aschen}, Math. Ann. 2 (1970) p103-161.

\bibitem[C]{car} J.Carlson, { Extensions of Mixed Hodge Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \& Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.

\bibitem[C-H]{carhai} J.Carlson, R.Hain.


\bibitem[Cat]{cat} Cattani, { Mixed Hodge Structures}, Topics in Transcendental Algebraic Geometry, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, vol. 106,pp.75-100.

\bibitem[C-D-K]{catdelkap} Cattani E., Deligne P., Kaplan A., { On the locus of Hodge classes}, J.Amer.Math.Soc. 8 (1995), no.2, 483-506.





\bibitem[C-K-S]{catkapsch} Cattani E.,Kaplan A.,Scmid W.:{ Degeneration of Hodge Structures } Ann.of Math. 123.(1986),457-535.



\bibitem[Deb]{deb} O.Debarre, { Lieux de d�g�n�rescence } math.AG/9812072.


%  \bibitem[Del0]{del0} Deligne, {Equations diff\'erentielles \`a points singuliers r\'eguliers}, Lectures notes in Math. 163. Springer (1970).

  \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. IHES 40 (1972), 5-57.


 \bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 40 (1975), 6-77.


\bibitem[Dem-Gab]{demgab} Demazure, Gabriele, { Sch�mas en groupe}.

\bibitem[Dol]{dol} I.Dolgachev, { Wheighted projectives varieties, group actions and vector fields}, Lecture Notes in Mathematics 956, Springer, Berlin, 1982. 

 \bibitem[Dr-LeP]{drepot} J.M.Drezet, J.Le Potier, { Fibr�s stables et fibr�s exeptionnels sur ${\bf P}^2$.} Ann.Scient.Ec.Norm.Sup. 18 (1985), 193-244.


% \bibitem[E.Z]{ez} F. El Zein, { Th\'eorie de Hodge des cycles �vanescents} Ann. scient. Ec. Norm. Sup., $4^{eme}$ s�riet.19, 1986, p.107 � 184. 

\bibitem[Fri]{fri} R.Friedman, { Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles} Universitext, Springer-Verlag 1998.

\bibitem[Ful]{ful} W.Fulton, { Intersection Theory }, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, vol.2, Springer-Verlag, Berlin, 1984. 

\bibitem[Ful-Laz]{fullaz} W.Fulton, R.Lazarsfeld, { On the connectedness of degeneracy loci and special divisors }, Acta Math. 146 (1981), 271-283. 


\bibitem[Gra-Rem]{grarem} H.Grauert, R.Remmert, { Coherent Analytic Sheaves}, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 265, Springer-Verlag.


\bibitem[Gr1]{gri1} P.A.Griffiths, { Periods of integrals on algebraic manifolds I,II}, Amer.J.Math.90 (1968), 568-626; 805-865.

\bibitem[Gr2]{gri2} P.A.Griffiths, ed { Topics in Transcendental Algebraic Geometry}, Annals of Math Studies, Princeton U.Press, 1984.

\bibitem[Gr-Ad]{adagri} P.A.Griffiths,J.Adams  { Topics Algebraic And Analytic Geometry}, Princeton U.Press, 1974.



\bibitem[G-H]{gh} Griffiths P. Harris J. { Principles of Algebraic Geometric } Wiley, New York.


\bibitem[Gr-Sch]{grisch} P.A.Griffith and W.Schmid, { Recent developments in Hodge theory}: A discussion of techniques and results, Proc. Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups, pp. 31-127, Bombay 1973; Oxford Univ. Press, 1975.

\bibitem[Gor-McP]{gormac} M.Goresky, R.MacPherson, { Stratified Morse Theory}, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.Band 14, Springer-Verlag, 1987.


\bibitem[G]{gro} A.Grothendieck, { Local Cohomology} (notes by R.Hartshorne), Lecture Notes in Math.41, Springer-Verlag, Heidelberg (1967), 106pp.

\bibitem[G1]{gro1} A.Grothendieck, { Sur la classification des fibr�s holomorphes sur la sph�re de Riemann} Am.J.Math.79(1957), 121-138.

\bibitem[H]{har} R.Hartshorne, { Algebraic Geometry}, Springer GTM 52,1977.

\bibitem[H1]{har1} R.Hartshorne, { Stable Reflexive Sheaves}, Math.Ann. 254 (1980), no.2, 121--176.

\bibitem[Hir]{hir} F.Hirzebruch, { Topologicals Methods in Algebraic Geometry}, Springer-Verlag, 1978.

\bibitem[Hu-L]{huyleh} D.Huybrechts, M.Lehn, { The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves}, A Publication of the Max-Planck-Institut f�r Mathematik, Bonn, Vol. E31.

\bibitem[Ka]{kal} V.Yu.Kaloshin, { A Geometric Proof of the Existence of Whitney Stratifications}, math/AG/0010144.

\bibitem[Kly]{kly} A.A.Klyachko, { Vector Bundles and Torsion Free Sheaves on the Projective Plane}. Preprint Max Planck Institut f\"ur Mathematik, 1991.


\bibitem[LeP]{pot} J.Le Potier, { Fibr�s vectoriels sur les courbes alg�briques}, Publ.Math.Paris 7, Vol 35.

%\bibitem[Hoff]{hof} J.H.Hoffman, { The Hodge theory of stable curves } Memoirs of the AMS 168, (1983) .



 \bibitem[Mcl]{mac} Maclane, { Homology}, Springer-Verlag, Berlin-Heildelberg-New York (1975).


 \bibitem[Mal]{mal} Malgrange, { Int\'egrales assymtotiques et monodromie}, Ann. scient. Ec. Norm. Sup. $4^{eme}$ s\'erie, t. 7, 1974, p405 \`a 430.

\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.


 \bibitem[Mum1]{mum} D.Mumford, { Tata Lectures on Theta I }, Progress in Mathematics, Birkh\"auser.

 \bibitem[Mum2]{mum} D.Mumford, J.Fogarty {Geometric Invariant Theory  }, Erg. Math. 34, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, Heildelberg (1982).

 \bibitem[OSS]{oss} C.Okonek, M.Schneider, H.Spindler, { Vector Bundles on Complex Projectives Spaces}, Progress in Mathematics, Birk\"auser (1980).


\bibitem[Pea]{pea} G.Pearlstein, { Variations of Mixed Hodge Structures, Higgs Fields, and Quantum Cohomology}, math.AG/9808106.


\bibitem[Pen]{pen} O.Penacchio, {Structures de Hodge mixtes et faisceaux r�flexifs semistables}, C.R.Acad.Sci. Paris, Ser. I 335 (2002), 475-480.

\bibitem[Per]{per} M.Perling, {Graded Rings and Equivariant Sheaves on Toric Varieties}, math.AG/0205311.

\bibitem[Saa]{saa} N.Saavedra Rivano, { Cat�gories Tannakiennes}, Lecture Notes in Mathematics, vol.265, Springer-Verlag, 1972.

\bibitem[Sa]{sab} C.Sabbah, { Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings}, Exposition.Math. 16 (1998), no.1, 1-57.

\bibitem[S]{ser} J.P.Serre, { Alg�bre locale, multiplicit�s}, Lecture Notes in Math. 11. Springer 1975.
\bibitem[Si1]{sim1} C.T.Simpson, { The Hodge filtration on nonabelian cohomology}, math/alg-geom/9604005 .
\bibitem[Si2]{sim2} C.T.Simpson, { Mixed twistor structures}, math/alg-geom/9705006 .


%\bibitem[Sch]{sch}Schmid, {Variation of Hodge structure : the singularities of the period mapping}, Inventiones math 22 (1973) p211 \`a 320.




%\bibitem[Ste]{ste} Steenbrink, { Limits of Hodge Structures}, Inventiones math. 31, 229-257 (76).

%  \bibitem[Ste]{ste1} Steenbrink, { Real and Complex Singularities}, Symp. Math Oslo, 1976, p525 \`a 563.

 \bibitem[Ste-Zu]{stezuc} J.Steenbrink, S.Zucker, { Variations of Mixed Hodge Structures}, Invent. math. 489-542 (1985).

\bibitem[Th]{tho} R.Thom, { Ensembles et morphismes stratifi�s}, Bull.Amer.Math.Soc. 75 (1969), 240-284.

 \bibitem[Tho]{thoma} R.W.Thomason, { Algebraic K-theory of group scheme actions}, Algebraic topology and algebraic K-theory (Princeton, W.J, 1983), 539--563, Ann. of Math. Stud., 113 Princeton Univ. Press, 1987.

\bibitem[U]{usu} S.Usui, { Variation of mixed Hodge structures arising from logarithmic deformations. II Classifying spaces}, Duke Math. J. 51 (1984) no. 4, 851-875.

% \bibitem[Var ]{var} Varchenko, { Asymtotic Hodge Structure in the Vanishing Cohomology}, Math. USSR Izvestija Vol.18(1982), No.3.

%----------------------------------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------------------------------


\bibitem[W]{wag} P.Wagreich, {Structure of Quasi-Homogeneous Singularities}.



% \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972), 5-57.




%\bibitem[Gr1]{gri1} P.A.Griffiths, { Periods of integrals on algebraic manifolds I,II}, Amer.J.Math.90 (1968), 568-626; 805-865.

%\bibitem[Gr2]{gri2} P.A.Griffiths, ed { Topics in Transcendental Algebraic Geometry}, Annals of Math Studies, Princeton U.Press, 1984.

%\bibitem[Gr-Ad]{adagri} P.A.Griffiths,J.Adams  { Topics Algebraic And Analytic Geometry}, Princeton U.Press, 1974.



%\bibitem[Gr-Sch]{grisch} P.A.Griffith and W.Schmid, { Recent developments in Hodge theory}: A discussion of techniques and results, Proc. Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups, pp. 31-127, Bombay 1973; Oxford Univ. Press, 1975.

%\bibitem[Gor-McP]{gormac} M.Goresky,R.MacPherson, { Stratified Morse Theory}, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.Band 14, Springer-Verlag, 1987.











% \bibitem[C]{car} Carlson, { Extensions of Mixed Twistor Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \&  Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.



 
%\bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 4(?) (1975), 6-77.

%\bibitem[G-H]{grihar}Griffith {\&} Harris, { Principles of Algebraic Geometry} Wiley, 1978.

%\bibitem[H]{har}Hartshorne, { Algebraic Geometry} Springer GTM 52,1977.

%\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.

%\bibitem[P]{pen}Penacchio, {title??}, th�se, Universit� Paul Sabatier, Toulouse , � sousmettre ???? 2001. 


% \bibitem[OSS]{oss} C.Okonek, M.Schneider, H.Spindler, { Vector Bundles on Complex Projectives Spaces}, Progress in Mathematics, Birk{\i}auser (1980).

% \bibitem[Ba,Sta]{bs} Banica(?), Stanasila, { Algebraic methods in the global theory of complex spaces}, Wiley 1976.

\bibitem[Ve-Vi]{vevi} G.Vezzosi, A.Vistoli { Higher algebraic K-theory for actions of diagonalizable groups} math.AG/0107174.











\end{thebibliography}

\end{document}



 
    















math0307156.extracted_bib
\begin{thebibliography}{fardetoila}


% \bibitem[C]{car} Carlson, { Extensions of Mixed Twistor Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \&  Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.



% \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972), 5-57.


%\bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 4(?) (1975), 6-77.

%\bibitem[G-H]{grihar}Griffith {\&} Harris, { Principles of Algebraic Geometry} Wiley, 1978.

%\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.

%\bibitem[P]{pen}Penacchio, {title??}, th�se, Universit� Paul Sabatier, Toulouse , � sousmettre ???? 2001. 

%\bibitem[Si]{sim} Simpson, { The Hodge filtration on nonabelian cohomology}, math/alg-geom/9604005 .

%-------------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------------

%\bibitem[Br]{bri} Brieskorn, {Die monodromie der isolierten Singularit\"aten von Hyperfl\"aschen}, Math. Ann. 2 (1970) p103-161.

\bibitem[C]{car} J.Carlson, { Extensions of Mixed Hodge Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \& Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.

\bibitem[C-H]{carhai} J.Carlson, R.Hain.


\bibitem[Cat]{cat} Cattani, { Mixed Hodge Structures}, Topics in Transcendental Algebraic Geometry, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, vol. 106,pp.75-100.

\bibitem[C-D-K]{catdelkap} Cattani E., Deligne P., Kaplan A., { On the locus of Hodge classes}, J.Amer.Math.Soc. 8 (1995), no.2, 483-506.





\bibitem[C-K-S]{catkapsch} Cattani E.,Kaplan A.,Scmid W.:{ Degeneration of Hodge Structures } Ann.of Math. 123.(1986),457-535.



\bibitem[Deb]{deb} O.Debarre, { Lieux de d�g�n�rescence } math.AG/9812072.


%  \bibitem[Del0]{del0} Deligne, {Equations diff\'erentielles \`a points singuliers r\'eguliers}, Lectures notes in Math. 163. Springer (1970).

  \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. IHES 40 (1972), 5-57.


 \bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 40 (1975), 6-77.


\bibitem[Dem-Gab]{demgab} Demazure, Gabriele, { Sch�mas en groupe}.

\bibitem[Dol]{dol} I.Dolgachev, { Wheighted projectives varieties, group actions and vector fields}, Lecture Notes in Mathematics 956, Springer, Berlin, 1982. 

 \bibitem[Dr-LeP]{drepot} J.M.Drezet, J.Le Potier, { Fibr�s stables et fibr�s exeptionnels sur ${\bf P}^2$.} Ann.Scient.Ec.Norm.Sup. 18 (1985), 193-244.


% \bibitem[E.Z]{ez} F. El Zein, { Th\'eorie de Hodge des cycles �vanescents} Ann. scient. Ec. Norm. Sup., $4^{eme}$ s�riet.19, 1986, p.107 � 184. 

\bibitem[Fri]{fri} R.Friedman, { Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles} Universitext, Springer-Verlag 1998.

\bibitem[Ful]{ful} W.Fulton, { Intersection Theory }, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgebiete 3. Folge, vol.2, Springer-Verlag, Berlin, 1984. 

\bibitem[Ful-Laz]{fullaz} W.Fulton, R.Lazarsfeld, { On the connectedness of degeneracy loci and special divisors }, Acta Math. 146 (1981), 271-283. 


\bibitem[Gra-Rem]{grarem} H.Grauert, R.Remmert, { Coherent Analytic Sheaves}, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 265, Springer-Verlag.


\bibitem[Gr1]{gri1} P.A.Griffiths, { Periods of integrals on algebraic manifolds I,II}, Amer.J.Math.90 (1968), 568-626; 805-865.

\bibitem[Gr2]{gri2} P.A.Griffiths, ed { Topics in Transcendental Algebraic Geometry}, Annals of Math Studies, Princeton U.Press, 1984.

\bibitem[Gr-Ad]{adagri} P.A.Griffiths,J.Adams  { Topics Algebraic And Analytic Geometry}, Princeton U.Press, 1974.



\bibitem[G-H]{gh} Griffiths P. Harris J. { Principles of Algebraic Geometric } Wiley, New York.


\bibitem[Gr-Sch]{grisch} P.A.Griffith and W.Schmid, { Recent developments in Hodge theory}: A discussion of techniques and results, Proc. Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups, pp. 31-127, Bombay 1973; Oxford Univ. Press, 1975.

\bibitem[Gor-McP]{gormac} M.Goresky, R.MacPherson, { Stratified Morse Theory}, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.Band 14, Springer-Verlag, 1987.


\bibitem[G]{gro} A.Grothendieck, { Local Cohomology} (notes by R.Hartshorne), Lecture Notes in Math.41, Springer-Verlag, Heidelberg (1967), 106pp.

\bibitem[G1]{gro1} A.Grothendieck, { Sur la classification des fibr�s holomorphes sur la sph�re de Riemann} Am.J.Math.79(1957), 121-138.

\bibitem[H]{har} R.Hartshorne, { Algebraic Geometry}, Springer GTM 52,1977.

\bibitem[H1]{har1} R.Hartshorne, { Stable Reflexive Sheaves}, Math.Ann. 254 (1980), no.2, 121--176.

\bibitem[Hir]{hir} F.Hirzebruch, { Topologicals Methods in Algebraic Geometry}, Springer-Verlag, 1978.

\bibitem[Hu-L]{huyleh} D.Huybrechts, M.Lehn, { The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves}, A Publication of the Max-Planck-Institut f�r Mathematik, Bonn, Vol. E31.

\bibitem[Ka]{kal} V.Yu.Kaloshin, { A Geometric Proof of the Existence of Whitney Stratifications}, math/AG/0010144.

\bibitem[Kly]{kly} A.A.Klyachko, { Vector Bundles and Torsion Free Sheaves on the Projective Plane}. Preprint Max Planck Institut f\"ur Mathematik, 1991.


\bibitem[LeP]{pot} J.Le Potier, { Fibr�s vectoriels sur les courbes alg�briques}, Publ.Math.Paris 7, Vol 35.

%\bibitem[Hoff]{hof} J.H.Hoffman, { The Hodge theory of stable curves } Memoirs of the AMS 168, (1983) .



 \bibitem[Mcl]{mac} Maclane, { Homology}, Springer-Verlag, Berlin-Heildelberg-New York (1975).


 \bibitem[Mal]{mal} Malgrange, { Int\'egrales assymtotiques et monodromie}, Ann. scient. Ec. Norm. Sup. $4^{eme}$ s\'erie, t. 7, 1974, p405 \`a 430.

\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.


 \bibitem[Mum1]{mum} D.Mumford, { Tata Lectures on Theta I }, Progress in Mathematics, Birkh\"auser.

 \bibitem[Mum2]{mum} D.Mumford, J.Fogarty {Geometric Invariant Theory  }, Erg. Math. 34, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, Heildelberg (1982).

 \bibitem[OSS]{oss} C.Okonek, M.Schneider, H.Spindler, { Vector Bundles on Complex Projectives Spaces}, Progress in Mathematics, Birk\"auser (1980).


\bibitem[Pea]{pea} G.Pearlstein, { Variations of Mixed Hodge Structures, Higgs Fields, and Quantum Cohomology}, math.AG/9808106.


\bibitem[Pen]{pen} O.Penacchio, {Structures de Hodge mixtes et faisceaux r�flexifs semistables}, C.R.Acad.Sci. Paris, Ser. I 335 (2002), 475-480.

\bibitem[Per]{per} M.Perling, {Graded Rings and Equivariant Sheaves on Toric Varieties}, math.AG/0205311.

\bibitem[Saa]{saa} N.Saavedra Rivano, { Cat�gories Tannakiennes}, Lecture Notes in Mathematics, vol.265, Springer-Verlag, 1972.

\bibitem[Sa]{sab} C.Sabbah, { Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings}, Exposition.Math. 16 (1998), no.1, 1-57.

\bibitem[S]{ser} J.P.Serre, { Alg�bre locale, multiplicit�s}, Lecture Notes in Math. 11. Springer 1975.
\bibitem[Si1]{sim1} C.T.Simpson, { The Hodge filtration on nonabelian cohomology}, math/alg-geom/9604005 .
\bibitem[Si2]{sim2} C.T.Simpson, { Mixed twistor structures}, math/alg-geom/9705006 .


%\bibitem[Sch]{sch}Schmid, {Variation of Hodge structure : the singularities of the period mapping}, Inventiones math 22 (1973) p211 \`a 320.




%\bibitem[Ste]{ste} Steenbrink, { Limits of Hodge Structures}, Inventiones math. 31, 229-257 (76).

%  \bibitem[Ste]{ste1} Steenbrink, { Real and Complex Singularities}, Symp. Math Oslo, 1976, p525 \`a 563.

 \bibitem[Ste-Zu]{stezuc} J.Steenbrink, S.Zucker, { Variations of Mixed Hodge Structures}, Invent. math. 489-542 (1985).

\bibitem[Th]{tho} R.Thom, { Ensembles et morphismes stratifi�s}, Bull.Amer.Math.Soc. 75 (1969), 240-284.

 \bibitem[Tho]{thoma} R.W.Thomason, { Algebraic K-theory of group scheme actions}, Algebraic topology and algebraic K-theory (Princeton, W.J, 1983), 539--563, Ann. of Math. Stud., 113 Princeton Univ. Press, 1987.

\bibitem[U]{usu} S.Usui, { Variation of mixed Hodge structures arising from logarithmic deformations. II Classifying spaces}, Duke Math. J. 51 (1984) no. 4, 851-875.

% \bibitem[Var ]{var} Varchenko, { Asymtotic Hodge Structure in the Vanishing Cohomology}, Math. USSR Izvestija Vol.18(1982), No.3.

%----------------------------------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------------------------------


\bibitem[W]{wag} P.Wagreich, {Structure of Quasi-Homogeneous Singularities}.



% \bibitem[Del2]{del2} Deligne, { Th\'eorie de Hodge II } Publ. Math. I.H.E.S. 40 (1972), 5-57.




%\bibitem[Gr1]{gri1} P.A.Griffiths, { Periods of integrals on algebraic manifolds I,II}, Amer.J.Math.90 (1968), 568-626; 805-865.

%\bibitem[Gr2]{gri2} P.A.Griffiths, ed { Topics in Transcendental Algebraic Geometry}, Annals of Math Studies, Princeton U.Press, 1984.

%\bibitem[Gr-Ad]{adagri} P.A.Griffiths,J.Adams  { Topics Algebraic And Analytic Geometry}, Princeton U.Press, 1974.



%\bibitem[Gr-Sch]{grisch} P.A.Griffith and W.Schmid, { Recent developments in Hodge theory}: A discussion of techniques and results, Proc. Int. Coll. on Discrete Subgroups of Lie Groups, pp. 31-127, Bombay 1973; Oxford Univ. Press, 1975.

%\bibitem[Gor-McP]{gormac} M.Goresky,R.MacPherson, { Stratified Morse Theory}, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.Band 14, Springer-Verlag, 1987.











% \bibitem[C]{car} Carlson, { Extensions of Mixed Twistor Structures}, Journ\'ees de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique d'Angers 1979, A.Beauville (Editor), Sijthoff \&  Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1980, pp. 107-128.



 
%\bibitem[Del3]{del3} Deligne, { Th\'eorie de Hodge III } Publ. Math. IHES 4(?) (1975), 6-77.

%\bibitem[G-H]{grihar}Griffith {\&} Harris, { Principles of Algebraic Geometry} Wiley, 1978.

%\bibitem[H]{har}Hartshorne, { Algebraic Geometry} Springer GTM 52,1977.

%\bibitem[M]{mor}Morgan, {The Algebraic Topology of smooth Algebraic Varieties} Publ. Math. I.H.E.S., 48 (1978), 137-204.

%\bibitem[P]{pen}Penacchio, {title??}, th�se, Universit� Paul Sabatier, Toulouse , � sousmettre ???? 2001. 


% \bibitem[OSS]{oss} C.Okonek, M.Schneider, H.Spindler, { Vector Bundles on Complex Projectives Spaces}, Progress in Mathematics, Birk{\i}auser (1980).

% \bibitem[Ba,Sta]{bs} Banica(?), Stanasila, { Algebraic methods in the global theory of complex spaces}, Wiley 1976.

\bibitem[Ve-Vi]{vevi} G.Vezzosi, A.Vistoli { Higher algebraic K-theory for actions of diagonalizable groups} math.AG/0107174.











\end{thebibliography}