math0307005.tex
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%\def \te {{\Theta_{\p_2,5}^{paire, reg}}}
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\def \F {{\mathbb{F}}}
\def \zaqk #1{Z(\sa-{#1},\sq-{#1})}
\def \sta {\widetilde{\sa}}
\def \stq {\widetilde{\sq}}

\begin{document}

~
\vs -1.5 cm

\centerline{\large{\uppercase{\bf{Quelques remarques sur }}}}
\centerline{\large{\uppercase{\bf{les courbes de genre 5}}}}

\vs 0.4 cm

\centerline{\large{Jean \textsc{d'Almeida}, Laurent \textsc{Gruson} et
    Nicolas \textsc{Perrin}}}
%\centerline{\large{Insitut de math{\'e}matiques de jussieu}}
%\centerline{\large{\texttt{nperrin@math.jussieu.fr}}}

%\vs 2 cm

%\tableofcontents

\vs 0.8 cm

\centerline{\Large{\bf Introduction}} 



\vs 0.8 cm

Dans ce texte, nous nous int{\'e}ressons {\`a} la g{\'e}om{\'e}trie des
courbes de genre 5 et plus pr{\'e}cisement aux courbes de genre 5 munies
d'une involution sans point fixe. Nous donnons deux caract{\'e}risa\-tions
g{\'e}om{\'e}triques de l'existence d'une telle involution.
%
%ces courbes
%s courbes de genre 5 munies d'une involution 
%parmis les courbes de genre 5. 
La premi{\`e}re de ces
caract{\'e}ri\-sa\-tions, conjectur{\'e}e dans \cite{ACGH}, est le
point de d{\'e}part de notre {\'e}tude.

%, nous nous sommes
%int{\'e}ress{\'e}s {\`a} la suite d'exercices F-1 {\`a} F-23 du chapitre VI du
%livre \cite{ACGH} (pp 270-274). En particulier la question F-23 semble
%rester ouverte et nous ne connaissons pas de r{\'e}f{\'e}rence qui y
%r{\'e}ponde. Nous nous proposons ici de r{\'e}pondre {\`a} cette question.

\vs 0.4 cm

Consid{\'e}rons $C$ une courbe de genre 5 non hyperelliptique et non
trigonale plong{\'e}e canoniquement dans $\p_4$. Les quadriques qui la
contiennent forment alors un r{\'e}seau (c'est-{\`a}-dire
que l'on a $h^0\I_C(2)=3$). Dans le plan de ce r{\'e}seau, les
quadriques singuli{\`e}res forment une courbe $\GA$ de degr{\'e}
5. La g{\'e}om{\'e}trie de $\GA$ et celle de $C$ sont li{\'e}es (cf. \cite{ACGH}
pp 270-274, nous rappelerons quelques r{\'e}sultats au premier
paragraphe).
%Les exercices F-1 {\`a} F-22 d{\'e}crivent les correspondances entre
%la g{\'e}om{\'e}trie de $C$ et celle de $\GA$ (nous d{\'e}taillerons les
%r{\'e}sultats des ces exercices, sans en donner toutes les preuves, au
%premier paragraphe). 
En particulier, lorsque $C$ est un rev{\^e}tement
double non ramifi{\'e} d'une courbe de genre 3, la quintique $\GA$ se
d{\'e}compose en la r{\'e}union d'une conique et d'une cubique. Les auteurs de
\cite{ACGH} posent la question de la r{\'e}ciproque :
%le probl{\`e}me de l'exercice F-23 est celui de la r{\'e}ciproque : 
si la courbe $\GA$ est la r{\'e}union d'une conique et d'une cubique, la
courbe $C$ est-elle rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une courbe de
genre 3~? Nous r{\'e}pondons par l'affirmative {\`a} cette question au premier
paragraphe en montrant le th{\'e}or{\`e}me suivant,

\vs 0.4 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{0.1} \textit{La courbe $C$ est rev{\^e}tement double
  d'une courbe de genre 3 si et seulement si $\GA$ est r{\'e}union d'une
  conique et d'une cubique,}

\vs 0.4 cm

\noi
compl{\'e}tant ainsi l'{\'e}tude de \cite{ACGH}. Nous rappelons
{\'e}galement, dans ce paragraphe, un isomorphisme birationnel entre
$\mathfrak{M}_5$ (l'espace des modules des courbes de genre 5) et
l'espace des modules des th{\'e}ta-caract{\'e}ristiques support{\'e}es
par une quintique plane.

\vs 0.6 cm

Dans le second paragraphe nous revenons au point de d{\'e}part de cette
{\'e}tude commune qui est un expos{\'e} de Jean d'Almeida au s{\'e}minaire
de g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique de Jussieu dans lequel il cherchait {\`a}
donner une r{\'e}ponse g{\'e}om{\'e}trique au probl{\`e}me pr{\'e}c{\'e}dent.
%de l'exercice F-23. 
Cette {\'e}tude repose notamment sur la description des courbes
lisses de degr{\'e} 8 et de genre 5 de $\p_3$ qui ont une infinit{\'e} de
quadris{\'e}cantes. Nous reprenons en d{\'e}tail cette construction 
g{\'e}om{\'e}trique. Nous d{\'e}crivons une correspondance birationnelle entre
les courbes de genre 5 rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une courbe
de genre 3 et les quintiques planes r{\'e}union d'une conique et d'une
cubique modulo l'action du groupe d'Heisenberg $H$ associ{\'e} {\`a} la
situation (th{\'e}or{\`e}me 2.7). 
%On voit ici que la donn{\'e}e de la
%th{\'e}ta-caract{\'e}ristique sur la quintique plane de la construction de
%\cite{ACGH} a disparu et que l'on doit quotienter l'espace des
%cubiques par le groupe d'Heisenberg $H$. 
Cette construction permet notamment de donner une nouvelle
caract{\'e}risation g{\'e}om{\'e}trique des courbes de genre 5 non
hyperelliptiques rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une courbe de genre
3. Notons $\M_5^{i,i}$ (resp. $\M_5^{i,d}$) les courbes de genre 5
munies d'une involution sans point fixe dont la vari{\'e}t{\'e} de Prym
associ{\'e}e est ind{\'e}composable (resp. d{\'e}compos{\'e}e).

\vs 0.4 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{0.2} \textit{Soit $C$ une courbe lisse de genre
  5.}

(\i) \textit{{\rm Premi{\`e}re caract{\'e}risarion :} On a $C\in\M_5^{i,i}$ si
  et seulement s'il existe un plongement ${\cal M}$  de degr{\'e} 8 de $C$
  dans $\p_3$ pour lequel la courbe $C$ a une infinit{\'e} de
  quadris{\'e}cantes.}

\textit{{\rm Seconde caract{\'e}risarion :} On a $C\in\M_5^{i,i}$ si
  et seulement s'il existe un plongement ${\cal M}'$  de degr{\'e} 7 de $C$
  dans $\p_3$ et une droite $L$ rencontrant $C$ en un point pour lesquels la courbe $C\cup L$ a une infinit{\'e} de quadris{\'e}cantes.}

\vs 0.1 cm

\textit{Dans cette situation, la courbe $Y$ des quadris{\'e}cantes est la m{\^e}me
  quelque soit le plongement, elle est lisse de genre 2 et telle que
  $J(Y)={\rm Prym}(C)$. Notons
  $\mathfrak{J}_0$ les diviseurs ${\cal M}$ de degr{\'e} 8 du premier
  type, $\mathfrak{J}_1$ les diviseurs ${\cal M}'$ de degr{\'e} 7 du
  second type et $\mathfrak{J}$ la r{\'e}union de ces ensembles.  Il y a
  un morphisme $\mathfrak{J}\to J(Y)$ qui est un fibr{\'e} principal
  homog{\`e}ne de groupe $H$ (le groupe d'Heisenberg de $Y$).}

\vs 0.1 cm

(\i\i) \textit{On a $C\in\M_5^{i,d}$ si et seulement s'il existe un
  morphisme de $C$ dans $\p_3$ tel que son image $\overline{C}$ est
  li{\'e}e {\`a} une droite $L$ par une intersection de deux c{\^o}nes cubiques,
  de degr{\'e} 8 et a deux points doubles aux sommets des c{\^o}nes.}

%(\i\i) \textit{Soit $C$ une courbe lisse de genre 5. Il existe un
%  morphisme de $C$ dans $\p_3$ tel que son image $\overline{C}$ est
%  li{\'e}e {\`a} une droite $L$ par une intersection de deux c{\^o}nes cubiques,
%  de degr{\'e} 8 et a deux points doubles aux sommets des c{\^o}nes
%  si et seulement si $C\in\M_5^{i,d}$.}

\vs 0.1 cm

\textit{Dans cette situation, notons $\mathfrak{J}$ les diviseurs de
  degr{\'e} 8 de $C$ qui d{\'e}finissent de tels morphismes. On a un morphisme
  $\mathfrak{J}\to E_1\times E_2$ qui est un fibr{\'e} principal homog{\`e}ne
  de groupe $H$ (les $E_i$ sont les courbes elliptiques d{\'e}finissant
  les c{\^o}nes cubiques et $H$ le groupe d'Heisenberg associ{\'e} {\`a}
  $E_1\times E_2$).}

%\vs 0.4 cm

%Nous ne savons malheureusement pas faire le lien entre cette
%construction et celle de \cite{ACGH}~: les coniques et les 6 points
%d'intersection avec la cubique sont les m{\^e}mes dans les deux
%constructions mais ne savons pas relier g{\'e}om{\'e}triquement (sans passer
%par la courbe de genre 5) les cubiques munies d'une th{\'e}ta-caract{\'e}ristique
%(dans la construction de \cite{ACGH}) et l'orbite de cubiques sous le
%groupe $H$ (obtenue au second paragraphe).

% deux cubiques sont probablement distinctes, l'une munie d'une
% th{\'e}ta-caract{\'e}ristique  et l'autre non. Nous ne savons pas les relier
% g{\'e}om{\'e}triquement (sans passer par la courbe de genre 5).

%\vs 0.4 cm

%Enfin, dans un troisi{\`e}me paragraphe nous donnons une troisi{\`e}me
%description bijective entre les courbes de genre 5 rev{\^e}tement double
%non ramifi{\'e} d'une courbe de genre 3 et les quintiques planes
%r{\'e}union d'une conique et d'une cubique (descrition motiv{\'e}e par 
%le probl{\`e}me de relier les deux constructions pr{\'e}c{\'e}dentes). Elle
%fait intervenir de la g{\'e}om{\'e}trie plane classique en particulier la
%Hessienne d'une cubique qui permet d'{\'e}tablir une correspondance
%birationnelle entre cubiques planes et cubiques planes munies d'une
%th{\'e}ta-caract{\'e}ristique (dans l'espoir d'expliquer la construction
%du second paragraphe et la perte de la th{\'e}ta-caract{\'e}ristique sur la
%cubique plane). Cependant, si nous relions cette construction {\`a}
%celle de \cite{ACGH}, nous ne parvenons pas {\`a} la relier {\`a} la
%construction du deuxi{\`e}me paragraphe.

\vs 0.2 cm

\noi
{\bf Remerciements} : Le troisi{\`e}me auteur remercie Atanas Iliev
pour les nombreuses r{\'e}f{\'e}rences qu'il lui a communiqu{\'e}es. 

\section{La construction de \cite{ACGH}}

%Nous commen\c cons par reprendre rapidement sans en donner les preuves
Rappelons les principaux r{\'e}sultats d{\'e}crits dans 
%des exercices F-1 {\`a} F-22 du chapitre VI de
\cite{ACGH} pp 270-274 : 
%
%\vs 0.2 cm
%
soit $C$ une courbe de genre 5 non hyperelliptique plong{\'e}e
canoniquement dans $\p_4$ (on identifiera $C$ {\`a} son image).
% par le plongement). %Dans ce cas, l
Les quadriques contenant $C$ forment un
r{\'e}seau, c'est-{\`a}-dire ${\rm dim}_{\C}(H^0\I_C(2))=h^0\I_C(2)=3$.

\subsection{Le cas trigonal}

%Les exercices F-1 et F-2 de \cite{ACGH} montrent que l
La courbe $C$ est trigonale si et seulement si toutes les quadriques
du r{\'e}seau sont singuli{\`e}res. On ne peut dans ce cas d{\'e}finir la
quintique $\GA$ de l'introduction.

\vs 0.2 cm

Dans toute la suite nous supposerons que $C$ n'est pas trigonale. On
d{\'e}finit alors la courbe $\GA$ comme lieu des quadriques
singuli{\`e}res du r{\'e}seau. C'est une quintique plane.

%vari{\'e}t{\'e}
%d{\'e}terminantielle. Elle est donc {\'e}quidimensionnelle et de %on calcule
%degr{\'e} 5.

\subsection{L'{\'e}tude g{\'e}n{\'e}rale}

Pour une courbe $C$ g{\'e}n{\'e}rale, on v{\'e}rifie que le r{\'e}seau de
quadriques est {\'e}galement g{\'e}n{\'e}ral et que la courbe $\GA$ est non
singuli{\`e}re. % (exercice F-3). 
%
%\vs 0.2 cm
%
Les singularit{\'e}s de $\GA$ correspondent %exactement 
aux quadriques de
rang 3  du r{\'e}seau et $\GA$ n'a que des point doubles ordinaires
pour singularit{\'e}s (en particulier $\GA$ n'a pas de composante
multiple).%, exercice F-4).

%\vs 0.2 cm
%
%Les points singuliers de $\GA$ sont en bijection avec les pinceaux
%semi-canoniques de $C$ (c'est-{\`a}-dire les $g_4^1$ $\eta$ tels que
%$2\eta=K_C$). Il y a donc au plus 10 tels pinceaux, contre par exemple
%56 pour une courbe hyperelliptique et au plus 1 pour une courbe
%trigonale (exercice F-6).
%
%\vs 0.4 cm
%
%On consid{\`e}re ensuite le lieu singulier $\ts$ du diviseur $\t$ de la
%Jacobienne de $C$ ($\ts$ est donn{\'e} ensemblistement par les $g_4^1$
%de $C$). La courbe $\ts$ est un rev{\^e}tement double de $\GA$. Les fibres
%du morphisme sont donn{\'e}es par les reguli des quadriques du r{\'e}seau. Ce
%morphisme est ramifi{\'e} le long des singularit{\'e}s de $\GA$ (exercice
%F-7). 
%
%\vs 0.2 cm
%
%Par la suite, on montre (exercices F-8 {\`a} F-10) que la courbe $\GA$
%est irr{\'e}ductible si et seulement si la courbe $\ts$ l'est. On
%s'int{\'e}resse maintenant aux cas o{\`u} la courbe $\GA$ n'est pas
%irr{\'e}ductible.
%
%\subsection{Les cas o{\`u} $\GA$ n'est pas irr{\'e}ductible}

\subsubsection{Les droites contenues dans $\GA$}

%On commence par les droites contenues dans $\GA$ et on
%montre %(exercices F-11 et F-12) 
%que l
Les droites contenues dans $\GA$ sont en bijection avec les pinceaux
bi-elliptiques de $C$ (c'est-{\`a}-dire les morphismes de degr{\'e} 2 de $C$
vers une courbe elliptique). Il y en a donc au plus 5.

%\vs 0.2 cm
%
%Il y a {\'e}quivalence entre le fait d'avoir 5 pinceaux bi-elliptiques
%et 10 pinceaux semi-canoniques (ceci correspond au fait que $\GA$ est
%r{\'e}union de 5 droites, exercice F-13). Dans ce cas le r{\'e}seau de
%quadriques est diagonalisable : toutes les quadriques sont
%diagonalisables dans une m{\^e}me base (exercice F-14). 

%\vs 0.1 cm

\subsubsection{Les coniques de $\GA$}

%\subsubsection{Le cas o{\`u} $C$ est revetement double non ramifi{\'e} d'une
%  courbe de genre 3} 

On passe enfin au cas o{\`u} la courbe $\GA$ se d{\'e}compose en une conique
et une cubique. Supposons tout d'abord que $C$ est une rev{\^e}tement
double non ramifi{\'e} d'une courbe $X$ de genre 3. On montre alors que
$\GA$ est r{\'e}union d'une cubique $C_1$ et d'une conique $C_0$. 

%Soit $\a\in J(X)[2]$
%(les {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de la Jacobienne des diviseurs de degr{\'e} 0 sur
%$X$) d{\'e}finissant $C$ comme rev{\^e}tement double de $X$. Notons $\pi$ le
%morphisme de $C$ vers $X$.
%
%\vs 0.2 cm
%
%Consid{\'e}rons la courbe $D=W_2(X)\cap(W_2(X)+\a)$ (ici $W_2(X)=\{\eta\in
%  \pic_2(X)\ /\ h^0\eta>0\}$). La courbe $D$ est de genre $7$. Le
%  foncteur $\pi^*$ nous d{\'e}finit un morphisme de $D\to\ts$. Notons
%  $\tsu$ l'image de ce morphisme (qui ne peut {\^e}tre $\ts$ tout
%  entier). Le morphisme $D\to\tsu$ est de degr{\'e} 2 non
%  ramifi{\'e}. Ainsi $\tsu$ est de genre 4 (exercices F-15 {\`a} F-17). 
%
%\vs 0.2 cm
%
%L'image de $\tsu$ dans $\GA$ est une cubique plane $C_1$ et $\GA$ est
%r{\'e}union de $C_1$ et d'une conique $C_0$. Le morphisme $\tsu\to C_1$
%est ramifi{\'e} en les 6 points d'intersection de $C_0$ et $C_1$. Il en
%est de m{\^e}me du morphisme $\tsz\to C_0$ o{\`u} $\tsz$ est la composante
%de $\ts$ au-dessus de $C_0$ (exercices F-18 {\`a} F-20).
%
%\vs 0.2 cm
%
%La courbe $\tsz$ est donc de genre 2 et sa Jacobienne est la
%vari{\'e}t{\'e} de Prym associ{\'e}e au rev{\^e}tement double non ramifi{\'e}
%$C\to X$ (exercices F-21 et F-22).
%
%\subsection{La question F-23}

\vs 0.4 cm

Pour donner une caract{\'e}risation des courbes de genre 5 munies d'une
involution sans point fixe, 
%(ou ce qui est {\'e}quivalent rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une courbe
%de genre 3), 
nous montrons la r{\'e}ciproque : 
%La question F-23 pose le probl{\`e}me de la r{\'e}ciproque 
%c'est-{\`a}-dire que : si $\GA$ est r{\'e}union d'une conique $C_0$ et d'une
%cubique $C_1$, la courbe $C$ est rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une
%courbe de genre 3.

%\vs 0.2 cm
%
%Nous montrons cette caract{\'e}risation :
%r{\'e}pondons {\`a} cette question par l'affirmative : 

\vs 0.2 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{1.1} \textit{Si $\GA$ est r{\'e}union d'une conique
  $C_0$ et d'une cubique $C_1$, alors la courbe $C$ est rev{\^e}tement
  double non ramifi{\'e} d'une courbe $X$ de genre 3.}

\vs 0.4 cm

%Nous commen\c cons par donner 
Donnons une autre pr{\'e}sentation classique du
probl{\`e}me par %. Consid{\'e}rons 
les r{\'e}seaux de quadriques de $\p_4$. Consid{\'e}rons 
%, ou plus g{\'e}n{\'e}ralement 
l'espace projectif $\p({\rm
  Hom}(\C^3,S^2\C^5)^\vee)$ sur lequel agissent les groupes $PGL_3$ et
$PGL_5$. Dans cet espace projectif consid{\'e}rons l'ouvert $U$ 
%qui correspond {\`a} la situation. Soit donc $U$ l'ouvert 
des $\vp\in\p({\rm Hom}(\C^3,S^2\C^5)^\vee)$ tels que 
\begin{itemize}
\item[(\i)] $\vp:\C^3\to S^2\C^5$ est injective (pour qu'on ait un vrai
  r{\'e}seau de quadriques),
\item[(\i\i)] ${\rm det}(\vp)$ est non nul (vu comme d{\'e}terminant d'une matrice
  sym{\'e}trique de taille $5\times 5$ {\`a} coefficients dans
  ${\C^3}^\vee$),
\item[(\i\i\i)] aucune quadrique du r{\'e}seau n'est d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e
  en deux plans,
\item[(\i v)] l'intersection dans $\p_4$ des quadriques du r{\'e}seau
  forme une courbe lisse de genre 5. %(qui est alors n{\'e}cessairement
%  plong{\'e}e canoniquement).
\end{itemize}

\vs 0.2 cm

\noi
On s'int{\'e}resse maintenant aux actions de $PGL_3$ et $PGL_5$ sur
$U$.
%cet ouvert $U$ (qui est {\'e}videment invariant pour les deux
%actions). On constate alors :

\vs 0.2 cm

\thg{F}{ait}{1.2} \textit{L'action de $PGL_3$ est libre et tous les
  points de $U$ sont stables pour cette action.} 

\vs 0.2 cm

\dm Ceci vient simplement de la condition (\i). Le quotient est
alors un ouvert de $\G(3,S^2\C^5)$ la grassmannienne des sous-espaces
vectoriels de dimension 3 de $S^2\C^5$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{1.3} \textit{Les points de $U$ sont stables pour
  l'action de $PGL_5$.}

\vs 0.2 cm

\dm En effet, C.T.C Wall a {\'e}tudi{\'e} la stabilit{\'e} des
r{\'e}seaux de quadriques dans $\p_n$ (th{\'e}or{\`e}me 0.1 de
\cite{Wall}). En particulier, il montre que si un point $\vp$ est non
stable, alors la courbe de $\p_2$ d{\'e}finie par le d{\'e}terminant ${\rm
  det}(\vp)$ a une composante multiple (corollaire 2,
\cite{Wall}). Ceci ne peut jamais arriver dans notre situation : on
sait que la courbe $C$ de genre 5 intersection des quadriques du
r{\'e}seau est lisse et dans ce cas la courbe $\GA$ (cf. construction de
\cite{ACGH}) qui a pour {\'e}quation ${\rm det}(\vp)$ n'a pas de
composante multiple.\hfill$\Box$ 

\vs 0.2 cm

%On peut donc consid{\'e}rer l
Les deux quotients g{\'e}om{\'e}triques $\U_3=U/PGL_3$ et $\U_5=U/PGL_5$
                                %. Ils 
sont munis respectivement d'une action de
$PGL_5$ et $PGL_3$. Par un r{\'e}sultat de C. T. C. Wall \cite{wall2},
comme tous les points de $U$ sont stables pour les deux actions, ils
sont tous stables pour l'action de $PGL_3\times PGL_5$ et les deux
quotients $\U_3/PGL_5$ et $\U_5/PGL_3$ sont isomorphes au quotient
$U/(PGL_3\times PGL_5)$.

\vs 0.1 cm

Nous donnons deux interpr{\'e}tations de ces deux quotients. Notons
%$\Theta_{\p_2,5}^{paire, reg}$ l'ouvert de la vari{\'e}t{\'e} des
$\Theta_{\p_2,5}^{reg}$ l'ouvert de la vari{\'e}t{\'e} des
th{\'e}ta-caract{\'e}ristiques planes (cf. \cite{Sorger} pour son existence en
toute g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}) support{\'e}ees par une courbe de degr{\'e} 5 
%, paires (c'est-{\`a}-dire $h^0\theta$ est pair) et 
r{\'e}guli{\`e}res (c'est-{\`a}-dire $h^0\theta=0$).

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{1.4} \textit{La vari{\'e}t{\'e} $\U_5$ est isomorphe {\`a}
  l'ouvert $\t_0$ de $\te$ correspondant aux conditions (\i\i\i) et
  (\i v).}

\vs 0.2 cm

\dm On a un morphisme naturel de $\Psi:U\to\te$ donn{\'e} de la mani{\`e}re
suivante : si $\vp\in U$, alors on d{\'e}finit un fibr{\'e} vectoriel sur
$\p_2=\p(\C^3)$ par le conoyau $\theta$ de la fl{\`e}che 
$$(\C^5)^\vee\!\otimes\oo_{\p_2}(-2)\stackrel{\vp}{\fl}\C^5\otimes
\oo_{\p_2}(-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$$ 
qui est {\'e}videment une th{\'e}ta-caract{\'e}ristique %paire 
r{\'e}guli{\`e}re support{\'e}e par une courbe de degr{\'e} 5. Le morphisme est bien
d{\'e}fini sur tout $U$ et la fl{\`e}che $(*)$ %pr{\'e}c{\'e}dente 
est toujours injective car
le d{\'e}terminant ${\rm det}(\vp)$ n'est jamais nul. Ce morphisme est
{\'e}videment invariant sous $PGL_5$.

Ce morphisme est surjectif sur l'ouvert $\t_0$. En
effet, si $\theta\in\te$, alors la suite spectrale de Beilinson
(cf. \cite{OSS}) nous donne la suite spectrale suivante :
$$E_1^{i,j}=H^j\theta(1-i)\otimes\Omega_{\p_2}^i(i)\Longrightarrow
\theta(1)\ {\rm en}\ {\rm degr\acute{e}}\ 0.$$
Ici tous les termes sont nuls sauf $E_1^{0,0}$ et $E_1^{2, 1}$ ce qui
nous donne la r{\'e}solution :
$$0\fl H^1\theta(-1)\otimes\oo_{\p_2}(-1)\stackrel{\vp}{\fl}
H^0\theta(1)\otimes\oo_{\p_2}\fl\theta(1)\fl 0$$
o{\`u} $\vp$ est sym{\'e}trique car $\theta$ est une th{\'e}ta-caract{\'e}ristique,
donc on peut voir $\vp$ comme un {\'e}l{\'e}ment de $U$ (car
$\theta\in\t_0$) en fixant des bases duales de
$H^1\theta(-1)$ et $H^0\theta(1)$.

Il reste {\`a} montrer que les fibres sont les orbites pour l'action de
$PGL_5$ sur $U$. Or les {\'e}lements $\vp\in U$ de la fibre au-dessus de
$\theta\in\te$ sont les matrices sym{\'e}triques $5\times 5$ tel que le
quotient du morphisme de $\oo_{\p_2}$-module $(*)$ est $\theta$. On
peut alors identifier $\C^5$ {\`a} $H^0\theta(1)$ et $\vp$ est uniquement
donn{\'e}e {\`a} action de $PGL_5$ pr{\`e}s par la surjection
$H^0\theta(1)\otimes\oo_{\p_2}\fl\theta(1)$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Notons $\hilb$ le sch{\'e}ma de Hilbert des courbes lisses de
degr{\'e} 8 et de genre $5$ de $\p_4=\p(\C^5)$ non
d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}es (c'est-{\`a}-dire non contenues dans un
hyperplan) et non trigonales.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{1.5} \textit{On a un isomorphisme
  $\U_3\simeq\hilb$.} 

\vs 0.2 cm

\dm
On a un morphisme $\Phi:U\to\hilb$ invariant sous $PGL_3$ donn{\'e} par
l'intersection des quadriques du r{\'e}seau. Ce morphisme est bien {\`a}
valeur dans $\hilb$ gr{\^a}ce aux hypoth{\`e}ses faites sur $U$ (en
particulier comme toutes les quadriques ne sont pas
singuli{\`e}res --- i.e. ${\rm det}(\vp)\neq0$ --- la
courbe n'est pas trigonale). Il est surjectif car toute courbe lisse
$C$ de $\p_4$ de degr{\'e} 8 et de genre 5, non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e est plong{\'e}e
canoniquement et $C$ est n{\'e}c{\'e}ssairement non hyperelliptique. On a
alors $h^0\I_C(2)=3$ ce qui donne un r{\'e}seau de quadriques $\vp\in U$
et la courbe est l'intersection des quadriques du r{\'e}seau.

Cette construction montre que les fibres au-dessus de $C\in\hilb$ sont
exactement donn{\'e}es par les orbites sous $PGL(H^0K_C)$ c'est-{\`a}-dire
sous $PGL_5$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Notons $\M^0_5$ l'ouvert de l'espace des modules des courbes lisses de
genre 5 form{\'e} des courbes non hyperelliptiques et non trigonales. 

\vs 0.2 cm

\thg{C}{orollaire}{1.6} \textit{On a un isomorphisme
  $\M_5^0\simeq\t_0/PGL_3$.}

\vs 0.2 cm

\dm
Comme on sait que $\U_3/PGL_5\simeq\U_5/PGL_3$, il suffit de constater
que l'on a $\hilb/PGL_5\simeq\M_5^0$. Cette correspondance
birationnelle entre $\M_5$ et $\te/PGL_3$ est d{\'e}j{\`a} d{\'e}crite dans
\cite{ACGH}, ch VI, appendix C, th{\'e}or{\`e}me page 301. Nous montrons ici
simplement qu'elle est d{\'e}finie sur tout $\M_5^0$ c'est-{\`a}-dire d{\`e}s que
la courbe est non hyperelliptique et non trigonale. Remarquons par
ailleurs que cette description est utilis{\'e}e dans \cite{Kats} pour
montrer que la vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ des courbes de genre 5 munies
d'une involution sans point fixe est rationnelle.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Nous revenons maintenant au th{\'e}or{\`e}me 1.1.

\vs 0.2 cm

\textit{Preuve du th{\'e}or{\`e}me 1.1.} --- Il s'agit de montrer que si $C$
est une courbe de genre 5 telle que la courbe $\GA$ (d{\'e}finie au
paragraphe 1.1) se d{\'e}compose en une conique $C_0$ et une cubique
$C_1$, alors la courbe $C$ est un rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une
courbe $X$ lisse de genre 3. Nous montrons gr{\^a}ce {\`a} la description
pr{\'e}c{\'e}dente le lemme suivant qui est le nouvel ingr{\'e}dient permettant la
d{\'e}monstration du th{\'e}or{\`e}me 1.1 :

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{1.7} \textit{Il existe un {\'e}l{\'e}ment $\vp\in\p({\rm
  Hom}(\C^3,S^2\C^5)^\vee)$ qui s'envoie sur $C\in\M_5^0$ par $\Phi$
et tel que dans des bases de $\C^5$ la matrice de $\vp$ peut s'{\'e}crire
sous la forme diagonale par blocs
$$\left(\begin{array}{cc}
 A & 0 \\
 0 & B
\end{array}\right)$$
o{\`u} $A$ est une matrice sym{\'e}trique de taille $2\times 2$ {\`a}
coefficients dans $(\C^3)^\vee$ (dont le d{\'e}terminant donne une
{\'e}quation de $C_0$) et $B$ est une matrice sym{\'e}trique de
taille $3\times 3$ {\`a} coefficients dans $(\C^3)^\vee$ (dont le
d{\'e}terminant donne une {\'e}quation de $C_1$).}

\vs 0.2 cm

\dm
Il s'agit donc de montrer que toutes les th{\'e}ta-caract{\'e}ristiques
$\theta\in\te$ ayant pour support $C_0\cup C_1$ peuvent {\^e}tre d{\'e}finie {\`a}
partir d'une matrice de cette forme. 

Soit $\theta$ une telle th{\'e}ta-caract{\'e}ristique et %commen\c cons par
supposons que la conique $C_0$ est lisse. Nous savons (cf. 1.2) 
%d'apr{\`e}s l'{\'e}tude de \cite{ACGH} 
que les quadriques de rang 3 du r{\'e}seau
correspondent exactement aux points singuliers du support de $\theta$
(qui a seulement des points doubles ordinaires). La
fibre du faisceau $\theta$ est donc de dimension 0 en g{\'e}n{\'e}ral sur
$\p_2$, de dimension 1 pour un point g{\'e}n{\'e}ral de $C_0\cup C_1$ et de
dimension 2 aux six points d'intersection de $C_0$ et
$C_1$ (et {\'e}ventuellement en un point singulier de $C_1$). Notons $Z$
le sch{\'e}ma de cette intersection et consid{\'e}rons la restriction de la
r{\'e}solution~de~$\theta$
$$0\fl(\C^5)^\vee\otimes\oo_{\p_2}(-2)\stackrel{\vp}{\fl}
\C^5\otimes\oo_{\p_2}(-1)\fl\theta\fl 0$$
{\`a} la conique $C_0$. On a alors :
$$0\fl \tor_1^{\oo_{\p_2}}(\theta,\oo_{C_0})\fl
(\C^5)^\vee\otimes\oo_{C_0}(-2)\stackrel{\vp}{\fl}
\C^5\otimes\oo_{C_0}(-1)\fl\theta\vert_{C_0}\fl 0.$$
Nous identifions $C_0$ {\`a} $\pu$, il existe alors deux entiers $a$
et $b$ tels que la suite exacte pr{\'e}cedente s'{\'e}crive :
$$0\fl \opu(-b)\fl (\C^5)^\vee\otimes\opu(-4)\stackrel{\vp}{\fl}
\C^5\otimes\opu(-2)\fl\opu(a)\oplus\oo_Z\fl 0.$$ 
Cependant le morphisme central est sym{\'e}trique par hypoth{\`e}se donc si on
applique le foncteur $\hom_{\opu}(\ \bullet\ ,\opu(-6))$, on a la
m{\^e}me suite exacte. Ceci impose en particulier la relation $a=b-6$. Par
ailleurs un calcul de classes de Chern impose que $a+b=4$. Ainsi on a
$a=-1$ et $b=5$. 

Nous identifions maintenant le faisceau $Q$ image de la fl{\`e}che
$\vp$. C'est un faisceau localement libre de rang 4. Il s'{\'e}crit donc
$Q\simeq\oplus_{i=1}^4\opu(-a_i)$ avec $a_i$ des entiers compris entre 2
et 4. Par ailleurs, la sym{\'e}trie de la fl{\`e}che $\vp$ impose que $Q$
v{\'e}rifie la suite exacte suivante : 
$$0\fl Q\fl Q^\vee(-6)\fl\oo_Z\fl 0.$$
Ceci impose la condition $\sum_ia_i=15$ et on a 
%. La seule possibilit{\'e} est alors que 
$Q\simeq\opu(-3)\oplus\opu(-4)^3$. Il existe donc %On voit ainsi que l'on a
un sous-espace vectoriel de dimension 2 isomorphe {\`a} $H^1\opu(-3)$
contenu dans $(\C^5)^\vee$ et de fa\c con duale un quotient de rang 2
de $\C^5$ isomorphe {\`a} $H^0\opu(1)$.

Consid{\'e}rons la fl{\`e}che $Q\stackrel{M}{\fl}Q^\vee(-6)$ qui dans des
d{\'e}compositions de $Q$ et $Q^\vee(-6)$ est de la forme 
$$\left(\begin{array}{cc}
 \a & \b \\
 \ \!\!\!^t\b & \d
\end{array}\right)$$
o{\`u} $\a\in\C^*$ (nous verrons en fin de preuve que le cas $\a=0$ est
impossible), $\b$ est une matrice $1\times 3$ {\`a}
coefficients dans $H^0\opu(1)$ et $\d$ est une matrice $3\times 3$ {\`a}
coefficients dans $H^0\opu(2)$. En jouant sur les d{\'e}compositions de
$Q$ c'est-{\`a}-dire en faisant agir le groupe 
$${\rm Aut}(Q)=\left\{\left(\begin{array}{cc}
\lambda & u \\
0 &\mu
\end{array}\right)\ {\rm o\grave{u}}\ \lambda\in\C^*,\ \mu\in
GL_3(\C)\ {\rm et }\
u\ {\rm est}\ 
%\ {\rm de}\ {\rm taille}\ 1\times3\ 
{\rm \grave{a}}\ {\rm coefficients}\ {\rm dans}\ H^0\opu(1)\right\},$$
on peut trouver une d{\'e}composition dans laquelle $M$ s'{\'e}crit sous la
forme
$$\left(\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 0 & \d'
\end{array}\right)\ \ \ {\rm o\grave{u}}\ \d'\ {\rm est}\ {\rm une}\
{\rm matrice}\ 3\times3\  {\rm \grave{a}}\ {\rm coefficients}\ {\rm
  dans}\ H^0\opu(2).$$
%o{\`u} $\d'$ est une matrice $3\times 3$ {\`a} coefficients dans
%  $H^0\opu(2)$.
La fl{\`e}che $\vp$ %donnant $\theta\vert_{C_0}$ 
peut {\^e}tre {\'e}crite de la mani{\`e}re suivante :
$$\opu(-4)^5\fl Q\stackrel{M}{\fl}Q^\vee(-6)\fl\opu(-2)^5.$$
On fixe la d{\'e}composition pr{\'e}cedente de $Q$, il existe une
d{\'e}composition de $\C^5$ sous la forme $H^0\opu(1)\oplus\C^3$ (et donc
de $(\C^5)^\vee$ sous la forme $H^1\opu(-3)\oplus\C^3$) telle que la
fl{\`e}che de $\opu(-4)^5$ dans $Q$ soit de la forme suivante :
$$\left(\begin{array}{cc}
 m & 0 \\
 0 & I_3
\end{array}\right)$$
o{\`u} $m$ est l'application canonique de $\opu(-4)\otimes
H^1\opu(-3)\to\opu(-3)$ et $I_3$ est la matrice identit{\'e} de taille
$3\times 3$. La fl{\`e}che de $Q^\vee(-6)$ dans $\opu(-2)^5$ est la
transpos{\'e}e de cette fl{\`e}che. La compos{\'e}e est alors dans ces
d{\'e}compositions de la forme :
$$\left(\begin{array}{cc}
 m\ \!^tm & 0 \\
 0 & \d'
\end{array}\right)$$
o{\`u} $m$ et $\d'$ sont les matrices d{\'e}finies ci-dessus. C'est une matrice
{\`a} coefficients dans 
$$H^0\opu(2)\simeq H^0\oo_{\p_2}(1)=(\C^3)^\vee$$ 
et nous avons bien la forme diagonale par blocs recherch{\'e}e.

Si le morphisme $\a:\opu(-3)\to\opu(-3)$ est nul, alors la conique est
singuli{\`e}re. En effet le m{\^e}me raisonnement donne alors un matrice de la
forme 
$$\left(\begin{array}{cc}
 0 & \!\!^tm\ \!\b \\
 \!^t\!\b\ \!m & \d'
\end{array}\right).$$
Mais $\b:\opu(-4)^3\to\opu(-3)$ peut se mettre sous la forme
$\b=(0,\b_1,\b_2)$ avec $\b_1$ et $\b_2$ dans $H^0\opu(1)$. Si on
{\'e}crit $\b'=(\b_1,\b_2)$ on a une matrice de la forme (ici $s\in
H^0\opu(2)$) :
$$\left(\begin{array}{ccc}
 0 & 0 &\!\!^tm\ \!\b \\
 0 & s & * \\
 \!^t\!\b\ \!m & * &* 
\end{array}\right)$$
dont le d{\'e}terminant a $\det(\ \!\!^tm\ \!\b)$ comme facteur double. C'est
impossible.

Dans le cas o{\`u} la conique est singuli{\`e}re, on raisonne de la m{\^e}me
mani{\`e}re en se restreignant aux deux droites. Dans ce cas, la
matrice $A$ peut en plus se diagonaliser.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Nous terminons maintenant la preuve du th{\'e}or{\`e}me 1.1. La courbe $C$ de
genre 5 est l'intersection d'un r{\'e}seau de quadriques diagonalisables
par blocs :
$$\left(\begin{array}{cc}
 A & 0 \\
 0 & B
\end{array}\right).$$
Nous munissons $C$ d'une involution : consid{\'e}rons la
sym{\'e}trie de $\p_4$ donn{\'e}e par la matrice
$$\left(\begin{array}{cc}
 -I_2 & 0 \\
 0 & I_3
\end{array}\right),$$
elle laisse le r{\'e}seau et la courbe $C$ invariants. Il reste {\`a}
v{\'e}rifier que cette involution est sans point fixe. Sur $C$ les
points fixes 
sont les points d'intersection de la courbe avec la droite ou le plan
d{\'e}finis par la d{\'e}composition de $\C^5$. Les points fixes sont donc
donn{\'e}s par les points base du r{\'e}seau $A$ de quadriques de $\pu$ ou du
r{\'e}seau $B$ de quadriques planes. Pour le r{\'e}seau $A$, il n'y a pas de
tels points car la conique d{\'e}finie par le d{\'e}terminant serait
alors une droite double. %or $\GA$ n'a pas de composantes multiples. 
Pour le r{\'e}seau $B$, la formule d'H{\"u}rwitz nous dit que le
nombre de points fixes est multiple de 4. Or un r{\'e}seau de coniques a au
plus 3 points base, l'involution est donc sans point fixe.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Nous pouvons alors compl{\'e}ter le tableau de \cite{ACGH} page 274 qui
r{\'e}sume les liens entre la g{\'e}om{\'e}trie de $C$ et celle de $\GA$ ($\ts$ est
le lieu singulier du diviseur th{\'e}ta de la jacobienne de $C$) :
\begin{itemize}
\item $C$ est trigonale $\Leftrightarrow$ $\GA=\p_2$ $\Leftrightarrow$
  $\t_{sing}$ est la r{\'e}union de deux copies de $C$ conjugu{\'e}es sous
  l'involution et qui se rencontrent en deux points,
\item $C$ n'est pas trigonale $\Leftrightarrow$ $\GA$ est une
  quintique plane $\Leftrightarrow$
  $\t_{sing}/-1=\GA$,
\item $C$ est bi-elliptique $\Leftrightarrow$ $\GA$ contient une droite
  $\Leftrightarrow$ $\t_{sing}$ contient une composante elliptique qui
  est un rev{\^e}tement double de la droite,
\item $C$ est rev{\^e}tement double d'une courbe de genre 3
  $\Leftrightarrow$ $\GA$ contient une conique $\Leftrightarrow$
  $\t_{sing}=\Sigma_1\cup\Sigma_2$ les deux composantes se coupant en
  six points avec $p_a(\Sigma_1)=2$ et $p_a(\Sigma_2)=4$,
\item $C$ n'est pas trigonale et n'a pas de pinceau semi-canonique
  $\Leftrightarrow$ $\GA$ est une quintique plane lisse
  $\Leftrightarrow$ $\t_{sing}$ est irr{\'e}ductible et lisse de genre 11.
\end{itemize}

%\vs 0.2 cm
%
%\thf{Remarque-Question}{1.8} Une sous vari{\'e}t{\'e} remarquable des
%quintiques plane est celle des quintiques planes irr{\'e}ductibles ayant
%exactement 6 points doubles. Nous ne savons pas {\`a} quoi correspondent ces
%quintiques du c{\^o}t{\'e} des courbes de genre 5, ou m{\^e}me s'il existe des
%courbes de genre 5 correspondantes.

\vs 0.2 cm

Notons $\t_0^{3,2}$ le ferm{\'e} de $\t_0$ form{\'e} des
th{\'e}ta-caract{\'e}ristiques dont le support est la r{\'e}union d'une conique et
d'une cubique et notons $\M_5^{i}$ le localement ferm{\'e} de l'espace
des modules des courbes de genre 5 form{\'e} des courbes non
hyperelliptiques et non trigonales qui sont munies d'une involution
sans point fixe. Le th{\'e}or{\`e}me 1.1 et le corollaire 1.6 permettent de
montrer le

\vs 0.2 cm

\thg{C}{orollaire}{1.8} \textit{On a un isomorphisme entre
  $\M_5^{i}$ et $\t_0^{3,2}$.}

\vs 0.2 cm

\thf{Remarques}{1.9} (\i) Ce corollaire permet de red{\'e}montrer le
r{\'e}sultat de P.I. Katsylo \cite{Kats} sur la rationnalit{\'e} de $\M_5^i$. En
effet, $\t_0^{3,2}$ est le produit de la vari{\'e}t{\'e} des coniques planes
qui est {\'e}videment rationnelle par la vari{\'e}t{\'e} des cubiques planes munies d'une
th{\'e}ta-caract{\'e}ristique paire qui est elle aussi rationnelle
(cf. \cite{DolKan} corollaire 5.7.2).

(\i\i) Nous allons dans la suite {\'e}tudier une autre
description de $\M_5^i$. Nous remarquons ici que si $C$ est une courbe
lisse de genre 5 non hyperelliptique munie d'une involution sans point
fixe $i$, alors $C$ est non trigonale. 

En effet, supposons que $C$ soit trigonale. Soit $D$ un $g^1_3$ sur
$C$, si $D$ est invariant par $i$ (i.e. $i^*D=D$), alors l'involution
$i$ induit une involution sur $\pu$ par le morphisme d{\'e}duit de
$D$. Cette derni{\`e}re a n{\'e}cessairement au moins un point
fixe. La fibre du morphisme au-dessus d'un point fixe {\'e}tant stable
par $i$ et form{\'e}e de trois points, elle a au moins un point fixe par
$i$ ce qui est absurde. Si $D$ n'est pas fix{\'e} par l'involution, soit
$D'=i^*D$. On peut alors regarder le morphisme 
$$C\to\p(H^0D)\times\p(H^0D')=\pu\times\pu\subset\p(H^0D\otimes H^0D')=\p_3.$$
L'image de $C$ est une courbe de bidegr{\'e} $(3,3)$ dans la quadrique,
c'est-{\`a}-dire une courbe de genre arithm{\'e}tique $4$, c'est impossible
car $C$ est de genre 5.

\section{Une tentative d'interpr{\'e}tation g{\'e}om{\'e}trique}

Dans ce paragraphe nous d{\'e}crivons d'une nouvelle mani{\`e}re l'espace de
module des courbes de genre 5 rev{\^e}tement double d'une courbe de genre
3 gr{\^a}ce aux quintiques planes r{\'e}union d'une conique et d'une cubique.

\vs 0.2 cm

Remarquons tout d'abord que si $C$ est une courbe de genre 5
rev{\^e}tement double d'une courbe de genre 3, elle est alors munie d'une
involution $i$ sans point fixe. 
%Nous pouvons associer, {\`a} cette
%situation, une courbe $Y$ de genre 2 de la mani{\`e}re suivante : 
La jacobienne de $C$ est, elle aussi, munie d'une involution toujours
not{\'e}e $i$ et on note ${\rm Prym}(C,i)={\rm Im}(i-1)$ la vari{\'e}t{\'e} de
Prym associ{\'e}e (cf. par exemple \cite{ACGH} ch. VI appendix C ou
\cite{mumprym}). C'est alors une surface ab{\'e}lienne principalement
polaris{\'e}e. On a alors un morphisme 
$${\rm Prym}:\M_5^i\to\A_2$$
o{\`u} $\A_2$ est l'espace de modules (grossier) des surfaces ab{\'e}liennes
principalement polaris{\'e}es. L'image d'une courbe $C$ est en g{\'e}n{\'e}ral une
surface ab{\'e}lienne ind{\'e}composable, c'est alors la jacobienne d'une
courbe $Y$ de genre 2. Nous notons $\M_5^{i,i}$ l'ouvert de $\M_5^{i}$
correspondant {\`a} ce cas. Dans le cas contraire,  la vari{\'e}t{\'e} de Prym est
le produit de deux courbes elliptiques et nous notons $\M_5^{i,d}$ le
ferm{\'e} correspondant (le premier cas correspond {\`a} une conique
irr{\'e}ductible contenue dans $\GA$ alors que dans le second cas la
conique est d{\'e}compos{\'e}e en deux droites).

%Notons $\M_5^{i,i}={\rm Prym}^{-1}(\M_2)$ et $\M_5^{i,d}={\rm
%  Prym}^{-1}(\M_1^2)$. 
%le localement ferm{\'e} de l'espace des modules des
%courbes de genre 5 form{\'e} des courbes non hyperelliptiques qui sont
%munies d'une involution sans point fixe et donc l'image par ${\rm
%  Prym}$ est ind{\'e}composable et $\M_5^{i,d}$ le localement ferm{\'e} de
%l'espace des modules des courbes de genre 5 form{\'e} des courbes non
%hyperelliptiques qui sont munies d'une involution sans point fixe et
%donc l'image par ${\rm Prym}$ est d{\'e}composable. 
%On a donc deux morphismes
%$${\rm Prym}:\M_5^i\to\M_2\ \ \ \ {\rm et}\ \ \ \ {\rm
%  Prym}:\M_5^i\to\M_1^2.$$ 
%Notons $\M_5^{i,i}(Y)$ et $\M_5^{i,d}(Y)$ respectivement la fibre de
%chacun de ces morphismes au-dessus d'une courbe $Y$.

\vs 0.2 cm

Nous commen\c cons par d{\'e}crire la fibre de ce morphisme. Elle a {\'e}t{\'e}
{\'e}tudi{\'e}e par de nombreux auteurs (voir par exemple \cite{Don},
\cite{Dona}, \cite{Donsmi} et \cite{Verra}). En particulier A. Verra
\cite{Verra} d{\'e}crit compl{\`e}tement cette fibre (en incluant les
rev{\^e}tement admissibles introduits par \cite{Beauvilleprym}).
%lorsque $A$ est ind{\'e}compos{\'e}e. 
Nous incluons une preuve de ses r{\'e}sultats dans le cas des rev{\^e}tements
de courbes lisses et decrivons plus en d{\'e}tail le cas d'un produit de
courbes elliptiques.

%que la courbe $C$ (de genre 5 munie
%d'une involution sans point fixe) peut {\^e}tre retrouv{\'e}e {\`a} partir de
%donn{\'e}es sur la courbe $Y$.
%d{\'e}crire une correspondance birationnelle entre les courbes de genre 5
%rev{\^e}tement double d'une courbe de genre 3
Nous aurons besoin de quelques rappels sur les courbes de genre 2,
leur jacobienne et la surface de Kummer associ{\'e}e. Pour plus de d{\'e}tails,
voir \cite{Hud} ou \cite{mum}.

\subsection{Notations et rappels}

Soit $A\in\A_2$ une surface ab{\'e}lienne principalement polaris{\'e}e et soit
$\t_A$ son diviseur th{\'e}ta. Ce diviseur d{\'e}finit un morphisme 
$$A\to\p(H^0(2\t_A))\simeq\p_3.$$
L'image $\K$ de ce morphisme est de quotient $A/{\rm Aut}(\t_A)$.

Si $A$ est ind{\'e}composable cette image est la surface de Kummer
$\K\simeq J(Y)/-1$ associ{\'e}e {\`a} la courbe $Y$ de genre 2 telle que
$J(Y)=A$. Si $A$ est d{\'e}composable isomorphe au produit de courbes
elliptiques $E_1\times E_2$, alors le morphisme est de degr{\'e} 4 et
l'image est une quadrique lisse~de~$\p_3$.

Le groupe $H$ des {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de $A$ est fini d'ordre 16
isomorphe {\`a} $(\Z/2\Z)^4$. Ce groupe est le quotient du groupe
d'Heisenberg ${\cal H}$ {\`a} 32 {\'e}l{\'e}ments par son centre (cf. \cite{mum}
ou \cite{mumtata3}). Par abus de notation nous l'appelerons encore
groupe d'Heisenberg associ{\'e} {\`a} $A$. Il agit lin{\'e}airement sur $\p_3$ et
laisse stable la surface $\K$. 

Notons $Z$ son image dans $\K$. Dans le
premier cas $Z$ est l'ensemble des points doubles de $\K$ et $H$ est
le groupe des automorphismes de $\K$ (ils laissent n{\'e}cessairement fixe
$Z$ voir \cite{Hud} ou \cite{mum} p. 353). Dans le second cas, on a
une involution $i_k$ donn{\'e}e par le diviseur $2\t_{E_k}$ sur chacune
des courbes $E_k$. Le lieu de ramification sur $\K$ du
morphisme $A\to\K$ est la r{\'e}union de 4 droites de chaque
famille. L'ensemble $Z$ est le groupe de 16 points obtenus comme
intersection de ces droites. Le groupe $H$ est le sous-groupe du
groupe des automorphismes de $\K$ laissant stable $Z$. 

Remarquons que l'on a une involution $i_1\times i_2$ sur $A$. Notons
$\widetilde{\K}$ le quotient de $A$ par cette involution. On a alors
une suite de morphismes de degr{\'e} 2 $A\to\widetilde{\K}\to\K$.
%qui sont des morphismes de degr{\'e} 2. 
Le premier est ramifi{\'e} au dessus de l'image r{\'e}ciproque de $Z$ dans
$\widetilde{\K}$ alors que le second est ramifi{\'e} au dessus des quatres
droites de chaque famille. 

Notons $U(A)$ l'ouvert de $\p_3^\vee$ --- invariant sous $H$
--- des plans de $\p_3$ qui ne sont pas tangents {\`a} la surface $\K$ et
ne passant pas par un point de $Z$. Notons $\K^\vee\subset\p_3^\vee$
la surface de duale de $\K$ et $Z^\vee$ la r{\'e}union des 16 plans
duaux des 16 points de $Z$. L'ouvert $U(A)$ est $\p_3^\vee$ priv{\'e}
de $\K^\vee\cup Z^\vee$.

%Dans les deux cas on peut consid{\'e}rer la surface de duale
%$\K^\vee\in{\p_3}^\vee$ de $\K$. Elle est isomorphe {\`a} $\K$ de 16
%mani{\`e}res diff{\'e}rentes : le groupe ${\cal H}$ agit par $H$ sur l'espace
%des formes bilin{\'e}aires sym{\'e}triques, resp. antisym{\'e}triques, son action
%est diagonalisable sur ces deux espaces. On obtient ainsi 10 vecteurs
%propres pour les formes sym{\'e}triques et 6 pour les antisym{\'e}triques. Ces
%formes bilin{\'e}aires identifient $\p_3$ et $\p_3^\vee$ et envoient la
%surface $\K$ sur sa duale $\K^\vee$ (pour plus de d{\'e}tails sur le cas
%des courbes de genre 2, voir \cite{Hud} ch. III \S 17 et \S18). 
%
%Soit $Y$ une courbe lisse de genre 2, notons $J(Y)$ sa jacobienne et
%$\t_Y$ son diviseur theta. Ce diviseur d{\'e}finit un morphisme de $J(Y)$
%vers $\p(H^02\t_Y)$ qui est un espace projectif de dimension 3 (nous
%le noterons $\p_3$). Le morphisme est de degr{\'e} 2 et c'est le quotient
%par l'involution $x\mapsto -x$ sur la jacobienne. L'image de ce
%morphisme est la surface de Kummer $\K$ associ{\'e}e.
%
%\vs 0.2 cm
%
%Le groupe $H$ des automorphismes lin{\'e}aire de $\p_3$ qui pr{\'e}servent la
%surface est fini et isomorphe {\`a} $(\Z/2\Z)^4$ (cf. par exemple
%\cite{Hud} ou \cite{mum} p. 353). Ce groupe est en fait l'image du groupe
%des translations par un {\'e}l{\'e}ment d'ordre 2 dans la jacobienne, c'est le
%quotient du groupe d'Heisenberg ${\cal H}$ {\`a} 32 {\'e}l{\'e}ments par son
%centre (cf. \cite{mum} ou \cite{mumtata3}). Par abus de notation nous
%l'appelerons encore groupe d'Heisenberg associ{\'e} {\`a} $Y$.
%
%\vs 0.2 cm
%
%On peut {\'e}galement consid{\'e}rer la surface duale $\K^\vee\in{\p_3}^\vee$
%de $\K$. Elle est en fait isomorphe {\`a} $\K$ de 16 mani{\`e}res diff{\'e}rentes :
%le groupe ${\cal H}$ agit par $H$ sur l'espace des formes bilin{\'e}aires
%sym{\'e}triques, resp. antisym{\'e}triques, son action est diagonalisable sur
%ces deux espaces. On obtient ainsi 10 vecteurs propres pour les formes
%sym{\'e}triques et 6 pour les antisym{\'e}triques. Ces formes bilin{\'e}aires
%identifient $\p_3$ et $\p_3^\vee$ et envoient la surface $\K$ sur sa
%duale $\K^\vee$ (pour plus de d{\'e}tails voir \cite{Hud} ch. III \S 17 et \S18).
%
%\vs 0.2 cm
%
%Les 16 points doubles de $\K$ d{\'e}finissent 16 plans de $\p_3^\vee$, ils
%sont tangents {\`a} $\K^\vee$ selon une conique. Notons $U(Y)$ l'ouvert
%--- invariant sous le groupe $H$ --- form{\'e} des points de $\p_3^\vee$
%qui ne sont pas sur un des ces plans ni sur la surface $\K^\vee$.
%
%\vs 0.2 cm
%
%Lorsque $C\in\M_5^{i,d}$, la vari{\'e}t{\'e} de Prym associ{\'e}e est le produit
%$E_1\times E_2$ de deux courbes elliptiques chacune avec une origine
%marqu{\'e}e $0_1$ et $0_2$ (les diviseurs th{\'e}ta). On a alors un morphisme
%donn{\'e} par deux fois le diviseur th{\'e}ta :
%$$E_1\times E_2\to\p(H^0\oo_{E_1}(20_1))\times\p(H^0\oo_{E_2}(20_2))
%\simeq\pu\times\pu \subset\p(H^0\oo_{E_1}(20_1)\otimes
%H^0\oo_{E_2}(20_2))\simeq\p_ 3.$$
%On note encore $H$ le groupe d'oredre 16 des {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de
%$E_1\times E_2$ et on note $U(Y)$ l'ouvert de $\p_3^\vee$ des plans
%de $\p_3$ qui ne sont pas tangents {\`a} la quadrique $\pu\times\pu$.
%
%\vs 0.2 cm

\subsection{Lien entre $C$ et $A$}

\thg{P}{roposition}{2.1} \textit{On a un isomorphisme
$$U(A)/H\simeq{\rm Prym}^{-1}(A).$$}
% param{\`e}tre les
%  classes d'isomorphisme des courbes de genre 5 lisses non
%  hyperelliptiques munies d'un rev{\^e}tement double vers une courbe de
%  genre 3 et dont la vari{\'e}t{\'e} de Prym associ{\'e}e au rev{\^e}tement est la
%  Jacobienne de $Y$.}
%
\vs -0.5 cm

\dm Nous commen\c cons par associer {\`a} tout point de $x\in U(A)$ une
courbe lisse de genre 5 rev{\^e}tement double d'une courbe de genre
3. 
%Prenons $x\in U(A)$ un repr{\'e}sentant de $\overline{x}\in U(A)/H$. 
Le point $x$ est dans $\p_3^\vee$, il d{\'e}finit donc un plan
$x^\vee$ de $\p_3$ qui 
%n'est pas tangent {\`a} $\K$ car $x\not\in\K^\vee$ et qui ne passe pas
%par un des 16 points doubles de $\K$. Le plan $x^\vee$ 
rencontre donc $\K$ en une courbe lisse $\widetilde{X}$ (car $x\in U(A)$).

Dans le premier cas, la courbe $X=\widetilde{X}$ est une quartique
lisse donc de genre 3. Consid{\'e}rons la courbe $C\subset A$ image
r{\'e}ciproque de $\widetilde{X}$ par le morphisme $A\to\K$. La courbe $C$
est un rev{\^e}tement double de $X$. Il est non ramifi{\'e} car $X$ {\'e}vite les
points doubles de $\K$. 
%La courbe $C$ est la courbe recherch{\'e}e.

Dans le second cas, la courbe $\widetilde{X}$ est une conique
lisse. Consid{\'e}rons encore la courbe $C\subset A$ image r{\'e}ciproque de
$\widetilde{X}$ par le morphisme $A\to\K$. On peut par ailleurs
relever $\widetilde{X}$ en ${X}$ dans $\widetilde{\K}$. Ce rel{\`e}vement
est ramifi{\'e} en 8 points. La courbe ${X}$ est donc lisse de genre
3. Comme $x\in U(A)$ le morphisme induit de $A\to\widetilde{\K}$ donne
un rev{\^e}tement non ramifi{\'e} $C\to X$.

La classe d'isomorphisme de $C$ ne d{\'e}pend pas du repr{\'e}sentant $x$ de
$\overline{x}$ : si on change de repr{\'e}sentant, la courbe $C$ est
translat{\'e}e par un {\'e}l{\'e}ment $\a$ d'ordre 2 dans $A$ et la courbe
$\widetilde{X}$ est obtenue par la transformation lin{\'e}aire
correspondante dans $\p_3$. Nous verrons en fin de d{\'e}monstation
pourquoi $C$ est non hyperelliptique.

\vs 0.2 cm

R{\'e}ciproquement soit $C\in{\rm Prym}^{-1}(A)$ et $X$ le quotient de $C$
par l'involution.
%une courbe de genre 5 non hyperelliptique
%munie d'une involution sans point fixe $i$ et dont le quotient est une
%courbe $X$ de genre 3. Notons $Y$ la courbe de genre 2 associ{\'e}e et
%dont la jacobienne est $J(Y)={\rm Im}(1-i)$. 
Fixons $\xi$ un diviseur de degr{\'e} 1 sur $C$ tel que $2\xi=2i(\xi)$ (il
suffit de prendre $\xi$ tel que $2\xi=x_0+i(x_0)$ avec
$x_0\in C$, ce qui existe toujours car une vari{\'e}t{\'e} ab{\'e}lienne est
divisible). Consid{\'e}rons le morphisme
$$C\to A\ \ \ \ \ \ \ \ $$
\vs -0.9 cm
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto(1-i)(x-\xi)\ \ \ \ \ \ \ \ $$
obtenu en composant l'injection de $C$ dans $J(C)$ donn{\'e}e par
$x\mapsto x-\xi$ avec la fl{\`e}che $1-i$ de $J(C)$ dans $A$.

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{2.2} \textit{Le morphisme $C\to A$ est une immersion.}

\vs 0.2 cm

\dm
Nous commen\c cons par montrer l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che. Soient
$x$ et $y$ dans $C$ tels que leurs images soient les m{\^e}mes dans
$A$. On a alors $x-i(x)=y-i(y)$. Posons $D=x+i(y)$, c'est un
diviseur de degr{\'e} 2 sur $C$ et on a $D=i(x)+y$. Si $x\neq y$, le
diviseur $D$ a au moins 2 sections (car les paires $\{x,i(y)\}$ et
$\{i(x),y\}$ ne peuvent {\^e}tre {\'e}gales). Dans ce cas la courbe $C$ a un
diviseur de degr{\'e} 2 avec au moins 2 sections donc $C$ est
hyperelliptique. C'est absurde d'o{\`u} l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che.

%ou encore $x-y=i(x-y)$. Ceci
%signifie que le diviseur $x-y$ de degr{\'e} 0 provient d'un diviseur $D$
%de degr{\'e} 0 sur la courbe $X$ de genre 3, en d'autres termes, on a 
%$$x-y=\pi^*D,\ \ {\rm o\grave{u}} \ \pi\ {\rm est}\  {\rm le}\ {\rm
%  quotient}\ {\rm de}\  C\ {\rm vers}\ X.$$ 
%Mais le diviseur $D$ est alors de la forme 
%$$D=\sum_{k=1}^np_k-\sum_{k=1}^nq_k$$
%o{\`u} $p_k$ et $q_k$ sont des points de $X$. Le diviseur $\pi^*D$ est
%alors de la forme
%$$\pi^*D=\sum_{k=1}^n(p'_k+i(p'_k))-\sum_{k=1}^n(q'_k+i(q'_k)),$$
%o{\`u} $p'_k$ et $q'_k$ sont des ant{\'e}c{\'e}dents de $p_k$ respectivement
%$q_k$. Cependant comme $\pi^*D=x-y$, alors le diviseur $\pi^*D+y$ doit
%{\^e}tre effectif. Ceci n'est possible que si $\pi^*D=0$, c'est-{\`a}-dire
%$x=y$ d'o{\`u} l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che.

Il reste {\`a} prouver que l'application tangente est {\'e}galement
injective. Nous avons vu que le morphisme $C\fl A$ se factorise par
la fl{\`e}che $1-i:J(C)\to A$. Consid{\'e}rons l'application
$$f:C\to\p(T_{0}J(C))$$
d{\'e}finie par : 
%de la fa\c con suivante : 
soit $x\in C$ et soit $v_x$ un
vecteur tangent {\`a} $C$ en $x$, alors $f(x)$ est le translat{\'e} en
$0$ de l'image de $v_x$ par la diff{\'e}rentielle de l'application
$C\to J(C)$ d{\'e}finie par $x\mapsto x-\xi$. 

L'application $f$ est exactement le plongement canonique de $C$ (voir
par exemple \cite{ACGH} exercices A-5 et A-6 p. 263). Le noyau en
chaque point de la diff{\'e}rentielle de 
$$J(C)\to A$$ 
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \xi\ \ \mapsto\ (1-i)(\xi)$$
est donn{\'e} par l'espace tangent de la jacobienne $J(X)$ de
$X$. L'application tangente de $C\to A$ est injective si et seulement
si la courbe $C$ dans son plongement
canonique ne rencontre pas l'espace projectif correspondant {\`a}
$\p(T_0J(X))$. Ce dernier est le plan projectif associ{\'e} au
sous-espace propre pour la valeur propre 1 de l'involution $i$ sur
$C$.
% (cf. fin de la preuve du th{\'e}or{\`e}me 1.1). 
La courbe $C$ ne rencontre
jamais ce plan car l'involution $i$ est sans point fixe. 
%Nous avons vu {\`a} la fin de la preuve du th{\'e}or{\`e}me 1.1 que si $C$
%n'est pas hyperelliptique, alors $C$ ne rencontre pas le plan c'est
%toujours le cas. 
L'application tangente est donc injective.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

La courbe $C$ est donc plong{\'e}e dans $A$ et est invariante par
l'involution $x\mapsto -x$ de $A$ qui correspond {\`a} l'involution $i$
sur $C$. Soit alors $\widetilde{X}$ l'image de $C$ dans
$\K\subset\p_3$. Il nous suffit de montrer que $\widetilde{X}$ est une
section hyperplane (de degr{\'e} 4 ou 2 selon les cas). Cependant comme le
degr{\'e} du morphisme est 2 ou 4 selon les cas, il suffit de montrer que  
%
%Dans le premier cas, le morphisme $A\to\K$ resteint {\`a} $C$ est donc le
%morphisme de degr{\'e} 2 de $C$ vers $X$ qui doit {\^e}tre lisse de genre
%3. Il nous faut donc montrer que dans $\K\subset\p_3$, la courbe $X$
%est une section hyperplane. Nous allons montrer que 
$$C\cdot(1-i)^*(2\t_A)=8.$$
%ce qui permettra de conclure car $C$ est un rev{\^e}tement double de $X$
%et donc $X$ sera de degr{\'e} 4.

Fixons quelques notations, si $J$ est une vari{\'e}t{\'e} ab{\'e}lienne
principalement polaris{\'e}e, nous notons $\widehat{J}$ sa duale, $\t$ son
diviseur th{\'e}ta et $\l_\t:J\to\widehat{J}$ l'isomorphisme associ{\'e}. 
Dans notre situation, on a un morphisme
$J(X)\stackrel{\pi^*}{\to}J(C)$ et on peut d{\'e}finir 
$$\psi=\l_{\t_X}^{-1}\circ\widehat{\pi^*}\circ\l_{\t_A}:J(C)\to J(X).$$
On a {\'e}galement le morphisme d'inclusion $j:A\to J(C)$ et le
morphime $1-i:J(C)\to A$. On peut alors d{\'e}finir les morphismes 
$$\sigma=\pi^*\times j:J(X)\times A\to J(C)\ \ {\rm et}\ \
\tau=\psi\times(1-i):J(C)\to J(X)\times A$$
et on a (cf. \cite{mumprym}) $\sigma\circ\tau=2\cdot{\rm Id}_C$.

\vs 0.2 cm

\thg{F}{ait}{\!\!} \textit{On a \hs 0.5 cm$4\t_C=2(1-i)^*\t_A+2\psi^*\t_X$.}

\vs 0.2 cm

\dm
Dans \cite{mumprym}, D. Mumford montre que le diagramme suivant
commute :
$$\begin{array}{ccc}
J(X)\times A & \stackrel{\l_{2\t_X}\times\l_{2\t_A}}{\fll} &
\widehat{J(X)}\times \widehat{A} \\
\mapdown{\sigma} & & \mapdown{\widehat{\sigma}} \\
J(C) & \stackrel{\l_{\t_C}}{\fll} & \widehat{J(C)}
\end{array}.$$
%Ce qui montre que l
La compos{\'e}e $J(C)\stackrel{\tau}{\fl}J(X)\times A
 \stackrel{\l_{2\t_X}\times\l_{2\t_A}}{\fll} \widehat{J(X)}\times
\widehat{A} \stackrel{\widehat{\tau}}{\fl}\widehat{J(C)}$ est donc
%en fait
$J(C)\stackrel{\l_{4\t_C}}{\fll} \widehat{J(C)}$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

On peut 
%maintenant 
calculer notre intersection. En effet, on sait que
$C\cdot\t_C=g(C)=5$. Par ailleurs, la restriction de $\psi$ {\`a} $C$ est le
morphisme $\pi$ donc $C\cdot\psi^*\t_X=2X\cdot\t_X=2g(X)=6$. Ainsi on a 
$$C\cdot(1-i)^*(2\t_A)=4C\cdot\t_C-C\cdot2\psi^*\t_X=8.$$


\vs 0.2 cm

Il reste {\`a} montrer que dans la premi{\`e}re construction la courbe $C$
n'est pas hyperelliptique. Si elle {\'e}tait hyperelliptique, son image
par $f$ serait alors une courbe rationnelle normale $C_4$ de degr{\'e} 4
de $\p_4$. L'involution descendrait alors sur $C_4$ 
%Cette courbe serait munie d'une involution correspondant au
%morphisme $\pi:C\to X$ 
(la courbe $C_4$ est l'image du plongement canonique et est donc
invariante par $i$). Mais alors la courbe rationnelle rencontrerait
l'espace propre associ{\'e} {\`a} la valeur propre 1. Ceci impose que
l'application tangente de $C$ vers $A$ serait non injective en un
point. La courbe $C\in A$ aurait alors un cusp ce qui est
absurde.\hfill$\Box$
 
\vs 0.2 cm

Au-dessus de %la vari{\'e}t{\'e} 
$\A_2$, on a un fibr{\'e} projectif de dimension 3
donn{\'e} par $\p(H^0(2\t_A)^\vee)$ au-dessus de $A$. On note
$\mathfrak{U}(\A_2)$ l'ouvert donn{\'e} dans chaque fibre au-dessus de $A$
par $U(A)$. Au-dessus de $\A_2$, on a aussi une fibration
$\mathfrak{H}$ en groupes d'ordre 16 correspondant au-dessus de $A$ au
groupe d'Heisenberg $H$ des {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de
$A$. 
%(le groupe des {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de $A$). 
On a une action fibre {\`a} fibre de $\mathfrak{H}$ sur
$\mathfrak{U}(\A_2)$.

\vs 0.2 cm

\thg{C}{orollaire}{2.3} \textit{La vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ des courbes de
  genre 5 lisses non hyperelliptiques et munies d'une involution sans
  point fixe est isomorphe au quotient
  $\mathfrak{U}(\A_2)/\mathfrak{H}$.}

%Dans l'espace projectif $\p_3=\p(H^0(\t(Y)))$ contenant la surface de Kummer $\K$, il y a 16 plan distingu{\'e}s qui sont tangents {\`a} $\K$ selon une conique. Notons $U(Y)$ l'ouvert

\subsection{Lien avec les courbes planes de degr{\'e} 5}

Dans la situation pr{\'e}c{\'e}dente et pour $C\in\M_5^{i,i}$, la
vari{\'e}t{\'e} ab{\'e}lienne $A={\rm Prym}(C)$ est la jacobienne d'une courbe $Y$
de genre 2. Choisissons $H'$ un des 16 plans tangents {\`a} $\K^\vee$
selon une conique. Le plan $H'$ est tangent {\`a} $\K$ le
long de la conique $C_2$ image du plongement de Veronese de
$\p(H^0(K_Y))$. Ce plan est donc est isomorphe {\`a} $\p(S^2H^0(K_Y))$. La
conique $C_2$ contient 6 points doubles de la surface $\K^\vee$ (que
nous notons $x_k$ pour $k\in[1,6]$).

%Il est tangent {\`a} $\K$ le
%long de la conique $C_2$ image du plongement de Veronese de
%$\p(H^0(K_Y))$. Cette conique contient 6 points doubles (que nous
%notons $x_k$ pour $k\in[1,6]$) de la surface $\K^\vee$.
%
%\vs 0.2 cm
%
%\thf{Remarque}{2.13} Ce choix de $\L$ est {\'e}quivalent au choix d'un
%plan $H'$ parmis les 16 plans tangents {\`a} $\K^\vee$ selon une
%conique. Tous ces plans sont isomorphes {\`a} $\p(S^2H^0(K_Y))$.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{2.4} \textit{La donn{\'e}e d'un point $x\in\p_3^\vee$
  est {\'e}quivalente {\`a} la donn{\'e}e d'une cubique de $H'$ passant par les six
  points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.}

\vs 0.2 cm

\dm
%Nous pr{\'e}sentons deux approches diff{\'e}rentes. 
%
%\vs 0.1 cm
%
%Premi{\`e}re approche : rappelons qu'un point $x\in\p^\vee_3$ correspond
%exactement {\`a} une quadrique $Q$ de $\p(H^0(3K_Y))$ contenant $Y$. Par
%ailleurs, dans l'espace $\p(H^0(3K_Y))$, il existe un point
%particulier $P$ donn{\'e} par le quotient $S^3H^0(K_Y)\to H^0(3K_Y)$. La
%projection par ce point $P$ envoie $Y$ sur la courbe $C_3$ rationnelle
%normale de degr{\'e} 3 de $\p(S^3H^0(K_Y))$. 
%
%La projection de centre $P$ restreinte {\`a} $Q$ est ramifi{\'e}e le long
%d'une quadrique $Q'$ de $\p(S^3H^0(K_Y))$. Cette quadrique $Q'$ passe
%par les 6 points de $C_3$ o{\`u} le morphisme $Y\to C_3$ est ramifi{\'e}.
%
%R{\'e}ciproquement si $Q'$ est une quadrique de $\p(S^3H^0(K_Y))$ passant
%par ces six points, il existe une unique quadrique $Q$ telle que la
%restriction de la projection de centre $P$ {\`a} $Q$ est ramifi{\'e}e le long
%de $Q'$. Cette quadrique contient alors n{\'e}cessairement la courbe
%$Y$. En effet, le morphisme qui a $Q$ associe $Q'$ est injectif. Il va
%de $\p_3^\vee$ dans l'espace projectif de dimension 3 des quadriques de
%$\p(S^3H^0(K_Y))$ passant par les 6 points de $C_3$ o{\`u} le morphisme
%$Y\to C_3$ est ramifi{\'e}. Son image est donc irr{\'e}ductible de dimension 3
%et c'est toutes ces quadriques. 
%
%Nous avons donc vu qu'{\`a} un point $x\in\p_3vee$ correspond exactement
%une quadrique de $\p(S^3H^0(K_Y))$ passant par les 6 points de $C_3$
%o{\`u} le morphisme $Y\to C_3$ est ramifi{\'e}. La loi de r{\'e}ciprocit{\'e} de
%Hermite (cf. par exemple \cite{FH}) donne un isomorphisme  
%$$S^2(S^3(H^0(K_Y)))\simeq S^3(S^2(H^0(K_Y)))$$
%entre les quadriques $Q'$ de $\p(S^3H^0(K_Y))$ et les
%cubiques $C'$ de $\p(S^2H^0(K_Y))$. Par ailleurs, dans cette
%correspondance, la quadrique $Q'$ rencontre la courbe rationnelle
%normale $C_3$ image de $\p(H^0(K_Y))$ par le plongement de Veronese
%exactement en les six points de $\p(H^0(K_Y))$ o{\`u} se rencontrent la
%courbe $C'$ et la conique $C_2$. Les cubiques $C'$ ainsi
%obtenues rencontrent donc $C_2$ en les six points $x_k$ pour
%$k\in[1,6]$.
%
%Remarquons que si le point $x\in\p_3^\vee$ est dans le plan $H'$,
%alors la quadrique $Q$ est un c{\^o}ne passant par $P$ et la quadrique
%$Q'$ est l'image de ce c{\^o}ne par la projection. La quadrique $Q'$
%contient alors la courbe $C_3$ ce qui correspond {\`a} une cubique $C'$
%r{\'e}union de la conique $C_2$ et d'une droite. Le plan $H'$ s'envoie
%donc dans le plan des cubiques contenant $C_2$, l'application est donc
%lin{\'e}aire.
%
%\vs 0.1 cm
%
{\`A} un point $x\in\p^\vee_3$ nous pouvons associer la
surface cubique $W$ polaire de $\K^\vee$. Cette surface cubique
contient en particulier les points doubles de $\K^\vee$. Son
intersection avec le plan $H'$ d{\'e}finit une cubique $C'$ qui passe par
les 6 points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.

Nous d{\'e}crivons cette application. On prend des coordonn{\'e}es $(X,Y,Z,T)$
dans $\p_3^\vee$. Soit $F$ l'{\'e}quation de $\K^\vee$ et $X$ l'{\'e}quation
de $H'$. Nous {\'e}crivons alors
$$F=\lambda X^4+X^3F_1+X^2F_2+XF_3+F_4$$
o{\`u} les $F_i$ sont homog{\`e}nes de degr{\'e} $i$ en $(Y,Z,T)$. Par ailleurs
comme le plan $H'$ est tangent {\`a} $\K^\vee$ le long de la conique
$C_2$, on a $F_4=C_2^2$ (on a ici encore not{\'e} $C_2$ l'{\'e}quation de la
conique $C_2$). On {\'e}crit alors le point $x$ sous la forme $(a,b,c,d)$,
la surface $W$ a pour {\'e}quation
$$a\frac{\partial F}{\partial X}+b\frac{\partial F}{\partial Y}+
c\frac{\partial F}{\partial Z}+d\frac{\partial F}{\partial T}.$$
L'{\'e}quation de la courbe $C'$ dans le plan $H'$ est alors 
$$aF_3+b\frac{\partial F_4}{\partial Y}+c \frac{\partial F_4}{\partial
  Z}+d\frac{\partial F_4}{\partial T}.$$
L'application qui {\`a} $x$ associe $C'$ est donc lin{\'e}aire. Elle va d'un
espace projectif de dimension 3 dans un autre. Nous montrons qu'elle
est bijective : %. Pour cel{\`a} il suffit de montrer que 
son image est de
dimension 3. 

Si le point $x$ est dans le plan $H'$, alors la courbe $C'$ a pour
{\'e}quation (rappelons que $F_4=C_2^2$) :
$$2C_2\bigg(b\frac{\partial C_2}{\partial Y}+c \frac{\partial C_2}{\partial
  Z}+d\frac{\partial C_2}{\partial T}\bigg).$$
%Comme dans le premier cas, l
La courbe $C'$ contient dans ce cas la
conique $C_2$ et on obtient un plan de cubiques de cette mani{\`e}re. Par
ailleurs lorsqu'on prend $x=(1,0,0,0)$, l'{\'e}quation de $C'$ est alors
simplement $F_3$. Cette cubique ne contient pas $C_2$ car sinon la
surface $\K^\vee$ serait singuli{\`e}re de long de toute la conique
$C_2$. L'image est donc de dimension 3.\hfill$\Box$

%\vs 0.1 cm
%
%Remarquons enfin que dans les deux cas si on fait agir un {\'e}l{\'e}ment
%$\a\in H$, on change alors le point $x$ et $\a(x)$ et le plongement
%$3K_Y$ par l'{\'e}l{\'e}ment $\a$ d'ordre 2 correpondant. On obtient alors une
%cubique $\a(C')$ dans le plan $\a(H')$. La situation plane est donc
%identique modulo l'action du groupe $H$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.5} On a ainsi 16 isomorphismes lin{\'e}aires --- $\phi_{H'}$
pour chaque plan $H'$ --- entre le $\p^\vee_3$ contenant $\K^\vee$ et
l'espace projectif de dimension 3, notons le $\p(N(Y))$, des cubiques du
plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
passant par les six points $(x_k)_{k\in[1,6]}$. Chaque isomorphisme
permet de d{\'e}finir une action de $H$ %(qui agit sur $\p^\vee_3$) 
sur $\p(N(Y))$ par $\phi_{H'}\sigma\phi_{H'}^{-1}$ pour $\sigma\in
H$. Toutes ces actions sont les m{\^e}mes car on a
$\phi_{\sigma(H')}=\phi_{H'}\circ\sigma^{-1}$ pour $\sigma\in H$. On a
donc une action bien d{\'e}finie de $H$ sur $\p(N(Y))$

%\vs 0.2 cm
%
%\thg{C}{orollaire}{2.11} \textit{La quotient $\p^\vee_3/H$ est
%  isomorphe {\`a} la vari{\'e}t{\'e} des cubiques du plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
%  passant par les six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.}
%
%\vs 0.2 cm
%
%\dm
%Nous avons vu {\`a} la proposition pr{\'e}c{\'e}dente que si on fixe un plan $H'$
%tangent {\`a} $\K^\vee$ que l'on peut identifier {\`a} $\p(S^2(H^0K_Y))$, il y
%a un isomorphisme entre le points $x\in\p^\vee_3$ et les cubiques de
%$H'$. De plus si on change de plan, c'est-{\`a}-dire si on fait agir le
%groupe $H$, on a vu que la situation plane ne change pas.\hfill$\Box$ 

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.6} La vari{\'e}t{\'e} des courbes de genre 5 non
hyperelliptiques munies d'une involution sans point fixe et de vari{\'e}t{\'e}
de Prym $A=J(Y)$ est isomorphe (proposition 2.1) {\`a} l'ouvert
$U(A)/H$ de $\p_3^\vee/H$. Elle est donc isomorphe {\`a} un ouvert de
$\p(N(Y))/H$. Les orbites de cubiques de cet ouvert ne contiennent en
particulier pas la conique comme composante.

Par ailleurs, la donn{\'e}e de la conique canonique de $\p(S^2(H^0K_Y))$
et des six points $(x_k)_{k\in[1,6]}$ permet de retrouver la courbe
$Y$ comme rev{\^e}tement double de la conique ramifi{\'e} aux 6 points. 

La proposition 2.4 permet de r{\'e}interpr{\'e}ter l'ouvert $U(A)$ comme un
ouvert de l'espace $\p(N(Y))$ des cubiques du plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
passant par les six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$. Nous pouvons donc
r{\'e}interpr{\'e}ter le fibr{\'e} $\mathfrak{U}(\A_2)$ au-dessus de
$\A^i_2$ (les surfaces ab{\'e}liennes ind{\'e}compos{\'e}es) comme un ouvert
${\bf U}$ de la vari{\'e}t{\'e} des courbes planes de degr{\'e} 5
r{\'e}union d'une conique lisse et d'une cubique la coupant en 6
points distincts. Nous avons encore une action sur ${\bf U}$ du
fibr{\'e} en groupe d'Heisenberg $\mathfrak{H}$ au-dessus de $\A^d_2$.

\vs 0.2 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{2.7} \textit{Les constructions pr{\'e}c{\'e}dentes d{\'e}crivent
  un isomorphisme entre la vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ des courbes de genre 5 non
  hyperelliptiques munies d'une involution sans point fixe et la
  vari{\'e}t{\'e} ${\bf  U}/\mathfrak{H}$.}

\textit{Les orbites des courbes ne contiennent en particulier pas les
  courbes de degr{\'e} 5 contenant une conique double.} 

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.8} Il existe une autre param{\'e}trisation (voir par
exemple \cite{L}) de la vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ par les courbes planes de
degr{\'e} 5 r{\'e}union d'une conique $A$ et d'une cubique $B$ (sans
th{\'e}ta-caract{\'e}ristique). Cette param{\'e}trisation fait intervenir des
constructions classique de g{\'e}om{\'e}trie plane et est fortement li{\'e}e {\`a} la
construction de $\cite{ACGH}$ : les coniques $C_0$ et $A$ sont les
m{\^e}mes, la cubique $C_1$ est la Hessienne de la cubique $B$ et la
courbe $X$ est l'enveloppe d'un pinceau de coniques obtenu {\`a} partir de
$A$ et $B$.

\section{Des plongements particuliers}

Nous allons ici r{\'e}aliser l'isomorphisme de la proposition 2.1 de
mani{\`e}re g{\'e}om{\'e}trique, c'est-{\`a}-dire avec des courbes
plong{\'e}es. Nous montrerons ainsi que si $C\in\M_5^i$, alors elle
poss{\`e}de une famille de plongements particuliers qui caract{\'e}risent
l'existence de l'involution sans point fixe.

%\vs 0.4 cm 

\subsection{Pr{\'e}liminaires}

\subsubsection{Le cas $\M_5^{i,i}$}

Soit $Y$ une courbe lisse de genre 2, on note $A$ sa jacobienne et
$\K$ la surface de Kummer associ{\'e}e. Fixons $\L$ un fibr{\'e}
inversible de degr{\'e} 6 sur $Y$. On consid{\`e}re le plongement de
$C$ donn{\'e} par $\L$
dans $\p_4=\p(H^0\L)$. On a toujours $h^0\I_Y(2)=4$
(cf. \cite{GLP}). On a donc un $\p_3$ %=\p(H^0\I_Y(2)^\vee)$ 
de quadriques
contenant $Y$. Remarquons que comme il n'y a pas de diviseur $\xi$ de
degr{\'e} 3 sur $Y$ tel que $h^0\xi=3$, la courbe $Y$ n'a jamais de
tris{\'e}cante dans $\p_4$. 
%(nous utiliserons souvent ce r{\'e}sultat sans le rappeler).

Notons $\cC$ la sous-vari{\'e}t{\'e} de $\p_3$ des quadriques
singuli{\`e}res. C'est une vari{\'e}t{\'e} d{\'e}terminantielle dont la dimension
attendue est 2 et le degr{\'e} attendu 5. 

%Nous identifions $\pic_6(Y)$ avec $J(Y)$ en fixant pour origine le
%diviseur $3K_Y$ noterons $J$ la Jacobienne des diviseurs de degr{\'e} 6 de $Y$ et
%$\K\simeq J/-1$ la surface de Kummer associ{\'e}e.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.1} \textit{La vari{\'e}t{\'e} $\cC$ est la r{\'e}union d'un
  plan et d'une surface de degr{\'e} 4 isomorphe {\`a} $\K^\vee$. Le plan est
  le plan dual du point correpondant {\`a} $\L\in J(Y)$.}

\vs 0.2 cm

\dm
%Cette vari{\'e}t{\'e} est d{\'e}terminantielle, pour trouver sa
%dimension et son degr{\'e} il suffit de montrer qu'elle est de
%dimension au plus 2 (cf par exemple \cite{ACGH}). 
Nous d{\'e}crivons toutes les quadriques $Q$ contenant la courbe
$Y$. 
%Soit donc $Q$ une telle quadrique nous discutons selon le rang de $Q$.

\vs 0.1 cm

1. Si $Q$ est de rang inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 2, alors la quadrique est
   form{\'e}e de la r{\'e}union de deux hyperplans ou d'un hyperplan double. La
   courbe $Y$ est alors d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e ce qui est absurde.

\vs 0.2 cm

2. Si $Q$ est de rang 3, alors son noyau est une droite $L$ de
   $\p_4$. Cette droite rencontre $Y$ en au plus 4 points sinon la
   courbe $Y$ serait contenue dans un hyperplan (engendr{\'e} par la
   droite et 2 autres points de $Y$). Soit donc $x$ la longueur du
   sch{\'e}ma $Y\cap L$, on a $x=0,\ 2$ ou $4$ et consid{\'e}rons la
   projection de centre la droite $L$. Elle d{\'e}finit un morphisme de
   $Y$ vers une conique.

\vs 0.2 cm

\hs 0.1 cm 2.1. Si $x=4$, alors le morphisme est un isomorphisme ce
qui est absurde ($Y$ est de genre~2).

\vs 0.2 cm

\hs 0.1 cm 2.2. Si $x=2$, le mophisme est %on a un morphisme 
de degr{\'e} 2 et est %de $Y$ vers la conique % (qui est isomorphe
                      %{\`a} $\pu$).
donn{\'e} par la compos{\'e}e
du rev{\^e}tement double $Y\to\pu$ d{\'e}fini par $K_Y$ 
avec le plongement de Veronese
$\pu\to\p_2$. 
%$\pu=\p(H^0K_Y)\to\p(S^2H^0K_Y)=\p_2.$
On a donc $\L=2K_Y+D$ o{\`u} $D$
est le diviseur correspondant aux deux points de $L\cap Y$. Le
diviseur $D$ est alors d{\'e}termin{\'e} et de degr{\'e} 2. Les deux points de
$L\cap Y$ sont donc uniquement d{\'e}termin{\'e}s sauf si $D=K_Y$. 

\vs 0.2 cm

\hs 0.6 cm 2.2.1. Ainsi, si $\L\neq 3K_Y$, alors $L$ est unique
(correspondant au diviseur effectif associ{\'e} {\`a} $\L-2K_Y$) et la
quadrique est {\'e}galement unique.

\vs 0.1 cm

\hs 0.6 cm 2.2.2. Si par contre $\L=3K_Y$, alors on a un $\pu$ de
choix pour la droite $L$ (toutes les bis{\'e}cantes qui coupent $Y$ en
deux points en involution), il y a donc le m{\^e}me $\pu$ de quadriques.

\vs 0.2 cm

\hs 0.3 cm 2.3. Si $x=0$, on a alors un morphisme de degr{\'e} 3 de $C$
vers $\pu$. Soit $D$ le diviseur associ{\'e},  on a ${\rm deg}D=3$ et
$h^0D=2$. Le morphisme vers la conique est donn{\'e} par 
$Y\to\p(H^0D)\stackrel{v}{\to}\p(S^2H^0D)$
o{\`u} $v$ est le plongement de Veronese. On a ici $\L=2D$. Si
$D_0$ est un tel diviseur, les autres  
diviseurs sont donn{\'e}s par $D+M$ avec $M$ une demi-p{\'e}riode
(i.e. $2M=0$). On a donc un  
nombre fini de tels diviseurs. La quadrique est alors
d{\'e}termin{\'e}e par $D$. La droite $L$ est le  
quotient de rang 2 suivant : $S^2(H^0D)\to H^0(2D)$ et la
conique l'image de $\p(H^0D)$ dans  
$\p(S^2H^0D)$. 
%Ces quadriques correspondent aux 16 points
%doubles de $\K^\vee$.

\vs 0.3 cm

3. Il reste le cas g{\'e}n{\'e}ral o{\`u} la quadrique est de rang 4, le noyau de
   $Q$ est alors un point $P$ et on projette par rapport {\`a} ce point
   (notons $\pi_P$ cette projection). On obtient alors un morphisme de
   $Y$ vers une quadrique de $\p_3$. Le morphisme $\pi_P\vert_Y$ est de degr{\'e}
   6 si $P\not\in Y$ et de degr{\'e} 5 sinon.

\vs 0.2 cm

\hs 0.3 cm 3.1. Supposons que $P\in Y$, la courbe $\pi_P(Y)$ est de
degr{\'e} divisant 5 dans $\p_3$. Elle ne peut  
{\^e}tre de degr{\'e} 1 sinon $Y$ serait d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e. Elle est donc
de degr{\'e} 5 (et de genre 2) et est contenue dans une unique
quadrique. Ceci nous donne une famille de dimension un~de~quadriques.

\vs 0.2 cm

\hs 0.3 cm 3.2. Reste le cas g{\'e}n{\'e}ral o{\`u} le point $P$ n'est pas dans
$Y$. L'image $\pi_P(Y)$ est alors une courbe  
de degr{\'e} divisant 6, c'est {\`a} dire de degr{\'e} 1, 2, 3 ou 6. De
plus $\pi_P(Y)$ ne peut {\^e}tre plane  
sinon $Y$ serait d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e. Donc $\pi_P(Y)$ est de degr{\'e} 3
ou 6 irr{\'e}ductible et n'est pas plane. 

\vs 0.2 cm

\hs 0.6 cm 3.2.1. Si ${\rm deg}(\pi_P(Y))=3$, alors la courbe
$\pi_P(Y)$ est une cubique gauche et le morphisme $Y\to\pi_P(Y)$ 
est de degr{\'e} 2 donn{\'e} par le diviseur $K_Y$ et la composition avec  
le plongement de Veronese $\p(H^0K_Y)\to\p(S^3H^0K_Y)$. On a
alors n{\'e}cessairement $\L=3K_Y$  
et le point $P$ est d{\'e}termin{\'e} par le conoyau de
$S^3H^0K_Y\to H^0(3K_Y)$. Dans ce cas $\pi_P(Y)$  
est contenue dans un plan de quadriques qui se rel{\`e}ve en un
plan dans $\p(H^0\I_Y(2)^\vee)$. 
%Si $\L\neq 3K_Y$, ce cas est impossible.

\vs 0.1 cm

\hs 0.6 cm  3.2.2. Si ${\rm deg}(\pi_P(Y))=6$, 
%on est dans le cas g{\'e}n{\'e}ral et 
la projection $Y\to\pi_P(Y)$ est birationnelle. La courbe $\pi_P(Y)$
est de degr{\'e} 6 contenue dans une quadrique lisse  
$\overline{Q}$ et son genre g{\'e}om{\'e}trique est 2. Dans
$\overline{Q}$, la classe de $\pi_P(Y)$ est $(a,b)$ avec $a+b=6$ et  
$(a-1)(b-1)\geq 2$. On a donc deux possibilit{\'e}s :
$(a,b)=(2,4)$ ou $(a,b)=(3,3)$. 

\vs 0.1 cm

Si $(a,b)=(2,4)$, la projection sur le premier facteur donne un
morphisme $\vp$ de degr{\'e} 2 de $Y$ vers $\pu$ (donc d{\'e}fini par
$K_Y$). 
%La courbe $\pi_P(Y)$ a un point double qui est un point de
%ramification de $\vp$. La bis{\'e}cante {\`a} $Y$ passant par $P$ d{\'e}finissant
%ce point double d{\'e}coupe sur $Y$ un diviseur {\'e}quivalent {\`a} $K_Y$. Le
%point $P$ est donc sur une bis{\'e}cante $L$ en involution par $K_Y$
%(i.e. $L\cap Y=K_Y$). 
L'image
r{\'e}ciproque d'un point du premier facteur de $\overline{Q}$ dans $C$
est une bis{\'e}cante en involution. La quadrique $Q$ contient donc la
surface $S$ recouverte par les bis{\'e}cantes en involution. Cette surface
est de degr{\'e} 3. Une quadrique contenant $Y$ contient $S$ si et
seulement si elle contient en plus un point $x_0$ de $S-C$. En effet,
dans ce cas on a $C\cup \{x_0 \}\subset S\cap Q$. Mais comme $Q$ est
de degr{\'e} 2 et $S$ de degr{\'e} 3, on a $Q\cap S$ est une courbe de degr{\'e} 6
ou $S\subset Q$. C'est donc que $S\subset Q$.  

L'ensemble des quadriques contenant $x_0$ forme un plan dans
$\p(H^0\I_Y(2))$. Par ailleurs toutes ces quadriques sont
singuli{\`e}res. En effet, si une de ces quadriques {\'e}tait lisse, la
surface $S$ serait alors intersection compl{\`e}te (sur une quadrique
lisse de $\p_4$, toute surface est intersection compl{\`e}te, car le
groupe de Picard de la quadrique est $\Z$). C'est absurde car son
degr{\'e} (qui est 3) devrait alors {\^e}tre un multiple de celui de $Q$ (qui
est 2). Ceci nous donne le plan.  Remarquons que si $\L=3K_Y$, la
surface $S$ est un c{\^o}ne et le plan pr{\'e}c{\'e}dent a {\'e}t{\'e} d{\'e}crit en 3.2.1. 

\vs 0.1 cm

Si $(a,b)=(3,3)$, la courbe $\pi_P(Y)$ a deux
points doubles. On a donc deux bis{\'e}cantes passant par $P$. Soient
$\xi_1$ et $\xi_2$ les diviseurs de degr{\'e}s 2 d{\'e}finis par ces
bis{\'e}cantes. Comme elles sont concourrantes, on a
$h^0(\L-\xi_1-\xi_2)\geq 2$. Or ${\rm deg}(\L-\xi_1-\xi_2)=2$ donc
$\L-\xi_1-\xi_2=K_Y$.  

Ainsi pour tout couple de points de $Y$, on plut{\^o}t pour tout diviseur
$\xi$ de degr{\'e} 2 sur $Y$, il existe un unique diviseur
$\xi'=\L-K_Y-\xi$ tel que les deux bis{\'e}cantes (si $\xi\neq\xi'$)
d{\'e}finies par des sections de $\xi$ et $\xi'$ se rencontrent en un
point $P$. Il y a ici deux cas particuliers a traiter {\`a} part : lorsque
$\xi$ (ou $\xi'$) est $K_Y$ et lorsque $\xi=\xi'$.  
 
En dehors de ces deux cas, la donn{\'e}e du couple $(\xi,\xi')$ d{\'e}finit
deux bis{\'e}cantes distinctes. Le point
d'intersection $P$ est donc bien d{\'e}fini. La projection de $Y$ par $P$
donne une courbe de degr{\'e} 6 ayant deux points doubles. Elle est donc
contenue dans une unique quadrique. 

Si $(\xi,\xi')=(K_Y,\L-2K_Y)$ ou sym{\'e}triquement si
$(\xi,\xi')=(\L-2K_Y,K_Y)$, on a un $\pu$ de bis{\'e}cantes correspondant
aux section de $K_Y$. Ces bis{\'e}cantes rencontrent toutes la droite
d{\'e}finie par $\L-2K_Y$ et par projection par rapport {\`a} cette droite on
retrouve les cas 2.2.1 et 2.2.2 o{\`u} la quadrique est de rang 3 et o{\`u}
$x=2$. Ainsi pour ces couples, on a alors un $\pu$ de quadriques si
$\L=3K_Y$ et une unique quadrique si $\L\neq K_Y$. 

Si enfin $\xi=\xi'$ (ie. si on a un point double de $\K^\vee$), les
deux bis{\'e}cantes sont alors confondues et les tangentes aux points
d'intersection de cette bis{\'e}cante avec $Y$ se rencontrent. On peut
alors choisir pour $P$ n'importe quel point de la bis{\'e}cante. La
projection aura alors un tacnode et sera donc toujours contenue dans
une unique quadrique. On a un $\pu$ de
quadriques.

\vs 0.1 cm

Ainsi, un couple de diviseurs $(\xi,\xi')$ d{\'e}finit un unique c{\^o}ne sauf
pour les points en involution sur la jacobienne : les $(\xi,\xi')$
pour lesquels on a un $\pu$ de quadriques. La surface obtenue est donc
isomorphe {\`a} la duale $\K^\vee$ de la surface de Kummer $\K$ de $Y$. 

\vs 0.3 cm

Montrons que le plan est bien le plan dual correspondant au
point $\L\in{\rm Pic}_6(Y)$. D{\'e}terminons l'intersection de ce plan et
de la surface $\K^\vee$. 
%Il faut traiter s{\'e}parement le cas $\L=3K_Y$ et $\L\neq 3K_Y$.

Si $\L=3K_Y$, 
%une quadrique de l'intersection a dans son sommet
%le lieu d'intersection des bis{\'e}cantes en involution, mais aussi le
%lieu d'intersection de deux bis{\'e}cantes qui ne sont pas en involution
%et qui se coupent. Le sommet de la quadrique est donc une
%droite. L'
l'intersection recherch{\'e}e est form{\'e}e des quadriques du plan
d{\'e}crit en 3.2.1 qui sont de rang 3. Elles forment une conique
double. Ce plan est donc le plan dual du point double de $\K$
qui correspond {\`a} $\L$. Ces quadriques sont exactement les quadriques
singuli{\`e}res dont le sommet rencontre $Y$.  

Si $\L\neq 3K_Y$, on a deux cas. Soit la quadrique a pour sommet une
droite et on est dans la situation 2.2.1. Soit la quadrique a pour
sommet un point et il doit appartenir {\`a} $Y$.
%le sommet de la quadrique doit {\`a} la fois contenir
%l'intersection $P$ de deux bis{\'e}cantes donn{\'e}es par $\xi$ et $\xi'$ tels
%que $\xi+\xi'=\L-K_Y$ et rencontrer une bis{\'e}cante en involution donn{\'e}e
%par $\xi''\in\vert K_Y\vert$.  
%Si $P\not\in Y$, alors $P$ doit {\^e}tre sur
%une bis{\'e}cante en involution donc $P$ doit appartenir {\`a} la droite $L$
%du cas 2.2.1. Dans ce cas on a $\xi$ ou $\xi'$ est $K_Y$. La quadrique
%est unique associ{\'e}e aux deux point de $\L-2K_C$.  
%Si par contre $P\in Y$, alors on est dans la situation 3.1 et on a une
%unique quadrique associ{\'e}e au point $P$.  
On voit que chaque point de la courbe $Y$ d{\'e}finit un point
de l'intersection du plan et de $\K^\vee$, les deux points du diviseur
$\L-2K_C$ se contractant en un m{\^e}me point. L'intersection du
plan et de $\K^\vee$ est donc une courbe de degr{\'e} 4 avec un point
double dont la d{\'e}singularisation est $Y$. C'est le plan dual du point
$\L$.\hfill$\Box$ 

\vs 0.2 cm 

\th{Remarque}{3.2} Soit $\L$ un diviseur de degr{\'e} 6 %fix{\'e} 
sur $Y$ une courbe de genre 2. 
\textit{Se donner un point de $\p_3^\vee$
  %(contenant $\K^\vee$) 
correspond exactement {\`a} se donner un fibr{\'e} vectoriel de rang 2
sur $Y$ de d{\'e}terminant~$\L$.}

En effet, se donner un point du $\p_3^\vee$ contenant $\K^\vee$
revient
{\`a} se donner une quadrique contenant la courbe $Y$ dans le plongement
$\p(H^0\L)$ (cf. proposition 3.1). Comme sur une quadrique de $\p_4$ il
y a un fibr{\'e} vectoriel de rang 2 tautologique, on a alors un fibr{\'e}
vectoriel de rang 2 et de d{\'e}terminant $\L$ sur $Y$. 

R{\'e}ciproquement si on a un fibr{\'e} vectoriel $E$ de rang 2 sur $Y$ et de
d{\'e}terminant $\L$, alors on a une forme quadratique sur $\Lambda^2H^0E$
qui induit une forme quadratique sur $H^0(\Lambda^2E)=H^0\L$. Cette
forme quadratique correspond {\`a} une quadrique contenant $Y$ et donc {\`a}
un point de $\p_3^\vee$.

Cette remarque permet de red{\'e}montrer un r{\'e}sultat de Narasimhan et
Ramanan d{\'e}crivant l'espace des modules des fibr{\'e}s vectoriels de
rang 2 et degr{\'e}s pair \cite{NR}

%\subsubsection{Le lien avec les courbes de genre 5}
%
%Dans ce paragraphe nous montrons plusieurs correspondances
%birationnelles entre les espaces de modules suivants :  
%\begin{itemize}
%\item les courbes $Y$ de genre 2 et un point du $\p_3$ contenant la
%  surface de Kummer duale $\K^\vee$, 
%\item les courbes $C$ de genre 5 rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} d'une
%  courbe $X$ de genre 3, 
%\item les r{\'e}unions d'une conique $C_0$ et d'une cubique $C_1$ dans un
%  m{\^e}me plan. 
%\end{itemize}
%
%\vs 0.2 cm
%
%\vs 0.2 cm
%
%Nous pouvons donc aussi ajouter {\`a} la liste pr{\'e}c{\'e}dente d'espaces de
%modules les fibr{\'e}s vectoriels de rang 2 et de degr{\'e} 6 avec un
%d{\'e}terminant $\L$ fix{\'e}.  
%
%\vs 0.2 cm
%
%Nous construisons des morphismes du premier espace de modules vers les
%suivants. Nous consid{\'e}rons donc une courbe $Y$ de genre 2 plong{\'e}e dans
%$\p_4$ par un diviseur $\L$ de degr{\'e} 6 et une quadrique $Q$ du $\p_4$
%contenant $Y$. Elle correspond {\`a} un point $x$ du $\p_3$ contenant
%$\K^\vee$. 

\subsubsection{Le cas $\M_5^{i,d}$}

Soit $A=E_1\times E_2$ une surface ab{\'e}lienne d{\'e}compos{\'e}e o{\`u}
les $E_i$ sont des courbes elliptiques avec un point marqu{\'e}. Soit
$Y=E_1\cup E_2$ la r{\'e}union transversale des deux courbes de genre
1 se rencontrant en leur point marqu{\'e}.
%, notons $A=J(E_1)\times J(E_2)$ le 
%produit des jacobiennes de ces courbes (avec pour origine dans chacune
%des courbe le point d'intersection) 
Notons $\K$ la surface de Kummer associ{\'e}e et fixons
$\L=\L_1\boxtimes\L_2$ un  diviseur de bidegr{\'e} $(3,3)$ sur $Y$. On
plonge alors $Y$ par $\L$ dans $\p(H^0\L)=\p_4$. On a toujours
$h^0\I_Y(2)=4$ et donc un $\p_3=\p(H^0\I_Y(2)^\vee)$ de quadriques
contenant $Y$.

%Remarquons que
%comme il n'y a pas de diviseur $\xi$ de degr{\'e} 3 sur $Y$ tel que
%$h^0\xi=3$, la courbe $Y$ n'a jamais de tris{\'e}cante dans $\p_4$
%(nous utiliserons souvent ce r{\'e}sultat sans le rappeler).

Notons $\Pi_i$ le plan de $\p_4$ contenant $E_i$. 
%
%Remarquons que si $Q$ est une quadrique contenant $Y$, alors pour
%$i\in\{1,2\}$ la quadrique $Q$ contient $\Pi_i$ le plan contenant
%$E_i$.
%
%rencontre le plan $\Pi_1$ contenant $E_1$ en au moins une courbe de
%degr{\'e} 3 donc $Q$ contient $\Pi_1$. De m{\^e}me $Q$ contient $\Pi_2$ le
%plan contenant $E_2$. 
Toutes les quadriques $Q$ contenant $Y$ contiennene les plans
$\Pi_i$. Elles sont donc singuli{\`e}res 
%, contiennent $\Pi_1$ et $\Pi_2$ 
et leur sommet contient le point $P=\Pi_1\cap\Pi_2$.

Notons $\cC$ la sous-vari{\'e}t{\'e} %de $\p_3$ 
des quadriques de rang inf{\'e}rieur {\`a} 3.
%Nous identifions $\pic_6(Y)$ avec $J(Y)$ en fixant pour origine le
%diviseur $3K_Y$ noterons $J$ la Jacobienne des diviseurs de degr{\'e} 6 de $Y$ et
%$\K\simeq J/-1$ la surface de Kummer associ{\'e}e.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.3} \textit{La vari{\'e}t{\'e} $\cC$ est
  isomorphe {\`a} la surface $\K^\vee$.}

\vs 0.2 cm

\dm
%Toutes les quadriques contenant $Y$ contiennent
%$\Pi_1$ et $\Pi_2$ et contiennent 
%le point $P$ dans leur sommet. On
On effectue la projection {\`a} partir du point $P$ et on arrive dans
un espace projectif de dimension 3. Les courbes $E_1$ et $E_2$ (ainsi
que les plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$) ont pour images deux droites
disjointes.
% $L_1$ et $L_2$. 
On cherche toutes les quadriques de rang inf{\'e}rieur 
%ou {\'e}gal 
{\`a} 3 contenant ces deux droites.

Soit $Q$ une telle quadrique et supposons qu'elle est de rang
exactement 3. Soit alors $x$ son sommet (c'est un point). On projette
{\`a} partir de $x$, l'image de $Q$ doit {\^e}tre une conique lisse et
doit contenir l'image des deux droites. Ceci n'est jamais possible. La
quadrique $Q$ est donc r{\'e}union de deux plans chacun contenant l'une
des deux droites. 

Dans $\p_4$ les quadriques contenant $Y$ sont les r{\'e}unions
de deux hyperplans l'un contenant $\Pi_1$, l'autre contenant
$\Pi_2$. Ils forment une surface isomorphe {\`a} $\pu\times\pu$. On a un
morphisme de $E_1\times E_2$ vers cette surface : {\`a} un point de
$E_1$ on associe l'hyperplan contenant $\Pi_2$ et ce point et de
mani{\`e}re sym{\'e}trique pour $E_2$. On retrouve le recouvrement
$E_1\times E_2\to\K^\vee$.\hfill$\Box$

\subsection{La courbe $C$ de genre 5 rev{\^e}tement double d'une courbe
  $X$ de genre $3$.} 

Nous traitons les cas de $\M_5^{i,i}$ et $\M_5^{i,d}$ en m{\^e}me
temps. Soit $Y$ la courbe de genre 2 pr{\'e}c{\'e}dente (lisse ou r{\'e}union de
deux courbes elliptiques se coupant en un point) et $A$ la surface
ab{\'e}lienne correspondante. Soit $\L$ le diviseur de de degr{\'e} 6 qui
permet de plonger $Y$ dans $\p_4$, on choisit $Q$ une quadrique de
rang maximal contenant $Y$ (lisse dans le premier cas et de rang 4
dans le second). Elle correspond {\`a} un point $x$ du $\p_3^\vee$
contenant $\K^\vee$. Nous construisons ici de mani{\`e}re plong{\'e}e
l'isomorphisme d{\'e}crit {\`a} la proposition 2.1.

%\subsubsection{Le cas $\M_5^{i,i}$}
%
%Soit $Y$ une courbe de genre 2 plong{\'e}e dans $\p_4$ par un diviseur
%$\L$ de degr{\'e} 6 et $Q$ une quadrique de $\p_4$ contenant $Y$. Elle
%correspond {\`a} un point $x$ du $\p_3^\vee$ contenant $\K^\vee$. Nous
%construisons ici de mani{\`e}re plong{\'e}e l'isomorphisme d{\'e}crit au th{\'e}or{\`e}me
%2.1.

\vs 0.4 cm

Nous d{\'e}finissons la courbe $C$. Notons $A^\times$ l'ouvert des $\xi\in
A$ tels que $\xi\neq K_Y$ (si $Y$ est lisse) et $\xi\neq(P,y)$ ou
$(x,P)$ sinon. Alors $\xi\in A^\times$ d{\'e}finit une bis{\'e}cante $L_\xi$ de
$Y$. 
%Dans le second cas, $\xi$ d{\'e}finit un point
%de $E_1$ et un point de $E_2$ donc encore une $L_\xi$ bis{\'e}cante de
%$Y$. On suppose que $P\not\in L_\xi$.
%
Consid{\'e}rons la courbe $C\subset A$ d{\'e}finie de la mani{\`e}re
suivante : 
$$C=\overline{\{\xi\in A^\times\ /\ L_\xi\subset Q\}}.$$
%un diviseur $\xi\in{\rm Jac}_2(Y)$, $\xi\neq K_Y$, est dans
%$C$ si et seulement si la bis{\'e}cante qu'il d{\'e}finit est contenue dans la
%quadrique $Q$. Nous prenons ensuite pour $C$ l'adh{\'e}rence de l'ensemble
%des $\xi$ ainsi d{\'e}finis. 
%
%\vs 0.4 cm
%
%Soit $\xi\in{\rm Pic}_2(Y)$, si $\xi\neq K_Y$, alors $h^0\xi=1$ et la
%seule section de $\xi$ d{\'e}finit deux points donc une bis{\'e}cante
%de $Y$.  
%
%Consid{\'e}rons la courbe $C\in{\rm Jac}_2(Y)$ d{\'e}finie de la mani{\`e}re
%suivante : un diviseur $\xi\in{\rm Jac}_2(Y)$, $\xi\neq K_Y$, est dans
%$C$ si et seulement si la bis{\'e}cante qu'il d{\'e}finit est contenue dans la
%quadrique $Q$. Nous prenons ensuite pour $C$ l'adh{\'e}rence de l'ensemble
%des $\xi$ ainsi d{\'e}finis. 

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{3.4} \textit{La courbe $C$ est invariante sous
  l'involution $x\mapsto -x$ de $A$.} 

\vs 0.2 cm

\dm
Dans le premier cas l'involution est donn{\'e}e par $\xi\mapsto\L-K_Y-\xi$.
Soit $\xi\neq K_Y$ et supposons que $\xi\in C$, alors $L_\xi\subset
Q$. Consid{\'e}rons maintenant $\xi'=\L-K_Y-\xi$, la bis{\'e}cante
$L_{\xi'}$ rencontre $L_\xi$. Mais alors $L_{\xi'}$ rencontre $Q$ en
trois points (les deux points de $L_{\xi'}\cap Y$ et le point de
$L_{\xi'}\cap L$). Elle est donc contenue dans $Q$ et on a $\xi'\in C$.

Dans le second cas l'involution est donn{\'e}e sur chacune des courbes
$E_i$ par $x\mapsto y$ o{\`u} $y$ est le troisi{\`e}me point
d'intersection de la droite $(xP)$ avec la courbe $E_i$ dans le plan
$\Pi_i$ ($P$ est le point d'intersection des courbes $E_i$). Si $L$
est une bis{\'e}cante {\`a} $Y$ contenue dans $Q$, la bis{\'e}cante $L'$ obtenue
par l'involution {\`a} partir de $L$ est contenue dans le plan
$\Pi=(P,L)$. Mais $P$ est dans le sommet de $Q$ et $L\subset Q$ donc
$\Pi\subset Q$ et donc $L'\subset Q$. La courbe $C$ est m{\^e}me
invariante par chacunes des involutions des courbes
$E_i$.\hfill$\Box$.

\vs 0.2 cm

\th{Remarque}{3.5} On a pas a priori donn{\'e} de condition pour que
$\xi\in A^\times$ appartienne~{\`a}~$C$. 

Dans le premier cas, si $\xi=K_Y$, on a un $\pu$ de sections et
donc autant de bis{\'e}cantes. Ces bis{\'e}cantes sont soit toutes en
m{\^e}me temps contenues dans $Q$ soit jamais contenues dans $Q$. 
%On a deux cas selon que $\L=3K_Y$ ou non. 
Si $\L=3K_Y$, 
%Dans le premier cas, 
toutes les bis{\'e}cantes d{\'e}finies par $K_Y$ se coupent en un
m{\^e}me point. Ainsi le raisonnement pr{\'e}c{\'e}dent permet de
montrer que si l'une est dans $Q$ elles le sont toutes. Si par contre
$\L\neq 3K_Y$, alors les bis{\'e}cantes d{\'e}finies par $K_Y$
rencontrent toutes la m{\^e}me bis{\'e}cante $L_0$ d{\'e}finie par le
diviseur $\L-2K_Y$. Ainsi si une de ces bis{\'e}cante est dans $Q$,
alors $L_0$ est contenue dans $Q$ et par le raisonnement du lemme 3.4
elles sont toutes contenues dans $Q$.

Dans le second cas, $\xi=(x,P)$ (resp. $(P,y)$) est dans $C$ si et
seulement si le plan engendr{\'e} par la tangente en $P$ {\`a} la courbe
$E_2$ (resp. $E_1$) et le point $x$ (resp. $y$) est contenu dans $Q$.

\vs 0.4 cm

%Nous r{\'e}alisons le morphisme $A\to\K$. 
Soit $\xi\in A$ et consid{\'e}rons $L_\xi$ la bis{\'e}cante de $Y$
ainsi d{\'e}finie. On peut 
alors associer {\`a} $L_\xi$ le plan $H_\xi$ de
$\p(H^0\I_Y(2)^\vee)=\p_3^\vee$ des quadriques contenant $Y\cup
L_\xi$. C'est bien un plan car pour qu'une quadrique contenant $Y$
contienne $L_\xi$ il suffit qu'elle contienne un point de plus de
$L_\xi$. Le raisonnement de la remarque 3.5 permet de d{\'e}finir $H_\xi$
m{\^e}me pour $\xi\in A^\times$.

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{3.6} \textit{Le morphisme $A\to\p_3$ d{\'e}fini par
  $\xi\mapsto H_\xi$ est le morphisme de $A$ dans $\K$.}

\vs 0.2 cm

\dm
Le raisonnement du lemme 3.4 permet de montrer que ce morphisme est
invariant par l'involution sur $A$ (et m{\^e}me par celles des $E_i$ si
$Y$ n'est pas lisse). 

Ce morphisme est bien {\`a} valeur dans $\K$ car les plans de quadriques
ainsi d{\'e}finis sont tangents {\`a} la vari{\'e}t{\'e} $\K^\vee\subset\cC$ de
quadriques singuli{\`e}res. En effet, dans des bases bien choisie les
matrices des quadriques s'{\'e}crivent (dans chacun des cas) sous la forme 
$$\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & x & y \\
0 & 0 & a & a_{2,4} & a_{2,5} \\
0 & a & 0 & a_{3,4} & a_{3,5} \\
x & a_{2,4} & a_{3,4} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
y & a_{2,5} & a_{3,5} & a_{4,5} & a_{5,5} 
\end{array}\right)
\ \ \ \ {\rm ou}\ \ \ \ 
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & x \\
0 & 0 & 0 & y & 0 \\
0 & 0 & y & a_{4,4} & a_{4,5} \\
0 & x & 0 & a_{4,5} & a_{5,5} 
\end{array}\right),$$
le lieu d{\'e}fini par le d{\'e}terminant est bien singulier ce qui montre que
l'on a un plan tangent {\`a} $\K^\vee$. On v{\'e}rifie ais{\'e}ment
que les fibres sont
bien form{\'e}es par les orbites sous l'involution (resp. les
involutions).\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Choisir une quadrique $Q$ contenant $Y$ revient {\`a} choisir un point $x$
de $\p_3^\vee$. Lorsque $Y$ est lisse, 
%Dans le premier cas, 
la quadrique $Q$ d{\'e}finit un point
de  $U(A)$ si et seulement si elle ne contient aucune des 16 droites
$(p_iq_i)_{i\in[1,16]}$ avec $2(p_i+q_i)=\L-K_Y$.
%pas de bis{\'e}cante de $Y$
%passant par deux points fixes de l'involution canonique de $Y$. 

La quadrique $Q$ peut {\^e}tre singuli{\`e}re. Nous expliquons ces cas. 
%Dans ce cas, %on a une courbe $Y$ lisse de genre 2. Nous
Identifions $A={\rm Jac}(Y)$ avec $\pic^6(Y)$ en choisissant le
diviseur $3K_Y$ pour origine. Ceci fixe %, {\`a} l'action du groupe $H$ pr{\`e}s
un plan $H'\subset\p_3^\vee$ tangent {\`a} $\K^\vee$ selon une
conique. Soit $x\in U(A)\subset\p_3^\vee$ un relev{\'e} de
$\overline{x}\in U(A)/H$ d{\'e}finissant une
courbe de genre 5 et soit $\L\in\pic^6(Y)$. Alors, si l'image de $\L$
dans $\K$ n'est pas contenue dans $x^\vee$, la quadrique d{\'e}finie par
$Q$ est lisse, sinon elle est singuli{\`e}re. La quadrique est donc
singuli{\`e}re exactement si $\L\in C\subset A$. Nous verrons que ces cas
donnent des plongements particuliers de $C$. Remarquons que la courbe
$Y$ ne passe jamais par le sommet de $Q$ car sinon $Q$ d{\'e}finirait un
point de $\K^\vee$ ({\`a} l'intersection du plan tangent et de $\K^\vee$,
cf. proposition 3.1) et donc pas un point de $U(A)$.

%%Nous pouvons maintenant caract{\'e}riser les quadriques
%%$Q$ qui d{\'e}finissent des points de $U(A)$.
%Dans le premier cas, la quadrique $Q$ d{\'e}finit un point de  $U(A)$ si et
%seulement si elle ne contient pas de bis{\'e}cante de $Y$ passant par deux
%points fixes de l'involution canonique de $Y$.
%%%dont les tangentes {\`a} $Y$ aux points d'intersection se coupent. 
%Remarquons que $Q$ est singuli{\`e}re si et seulement si le point
%$x\in\p_3^\vee$ est tel que l'image de $\L\in{\rm Pic}^6(Y)$ dans $\K$
%est contenue dans le plan $x^\vee$.

Dans le second cas, 
%le morphisme pr{\'e}c{\'e}dent est ramifi{\'e} aux points
%$(x,y)\in A$ tels que $x$ ou $y$ est fixe pour l'involution $i_1$ ou
%$i_2$ sur la courbe $E_1$ ou $E_2$. L
notons $(x_i)_{i\in[1,4]}$ et $(y_j)_{j\in[1,4]}$ les points fixes des
involutions $i_1$ et $i_2$.
%$i_1\times i_2$ est ramifi{\'e}e aux 16 points
%$(x_i,y_j)_{(i,j)\in[1,4]}$ o{\`u} $x_i$ et $y_j$ sont les points fixes
%pour $i_1$ et $i_2$. 
La quadrique $Q$ d{\'e}finit un point de $U(A)$ si et
seulement si $Q$ est de rang 4 et ne contient aucune droite $(x_iy_j)$. 
%Si $(x_1y_1)\subset Q$, alors $Q$ est dans le plan des quadriques
%contenant $Y$ et $(x_1y_1)$. Ce plan contient la r{\'e}union d'hyperplans
%$<\Pi_1,y_1>\cup<\Pi_2,x_1>$, c'est un point de ramification.

\vs 0.2 cm

%Nous avons donc d{\'e}crit une courbe $C\subset A$ qui est invariante
%pour l'involution de $A$. 
Nous %pouvons maintenant 
d{\'e}finissons la courbe $\widetilde{X}$ comme
l'image de $C$ dans $\K$ et la courbe $X$ comme l'image r{\'e}ciproque
de $\widetilde{X}$
dans $\widetilde{\K}$. Supposons maintenant que $Q$ d{\'e}finit un point
de $U(A)$, alors 

\vs 0.2 cm

%La donn{\'e}e de la quadrique $Q$ correspond {\`a} celle d'un point $x$ dans
%le $\p_3^\vee$ qui contient la surface de Kummer duale $\K^\vee$. Nous
%pouvons alors regarder dans le $\p_3$ qui contient $\K$ le plan
%$x^\vee$ correspondant {\`a} $x$ et son intersection $\widetilde{X}$ avec $\K$. La
%courbe $\widetilde{X}$ est une quartique plane ou une conique (selon que $Y$ est
%$$lisse ou non).
% qui est lisse si et seulement si
%$x\not\in\K^\vee$ ou un des 16 plans correspondants aux points doubles
%de $\K$ (i.e. $x\in U(Y)$).


%\vs 0.2 cm
%
%\thg{L}{emme}{3.6} \textit{La courbe $\widetilde{X}$ l'image de $C$
%  dans $\K$.}
%
%\vs 0.2 cm
%
%\dm
%D{\'e}finissons un morphisme de $C$ vers $\widetilde{X}$. Pour
%cel{\`a} nous commen\c cons par associer {\`a} un point de $C$ un
%point du plan $x^\vee$ (c'est-{\`a}-dire un plan de quadriques
%contenant $Y$ dans $\p_4$ et tel que $Q$ soit une quadrique de ce
%plan.
%
%Soit $\xi\in C$ %$\xi\neq K_Y$ 
%et $L_\xi$ la bis{\'e}cante associ{\'e}e. Nous
%consid{\'e}rons alors le plan des quadriques contenant $Y$ et la droite
%$L_\xi$. Ceci est un plan de $\p(H^0\I_Y(2)^\vee)$ car pour qu'une
%quadrique contenant $Y$ contienne $L_\xi$ il suffit qu'elle contienne un
%point de plus de $L_\xi$. De plus ce plan contient la quadrique $Q$
%puisque $\xi\in C$.
%Le raisonnement de la remarque 3.5 permet de d{\'e}finir ce plan de
%quadriques lorsque $\xi=K_Y$.
%% car les bis{\'e}cantes d{\'e}finies par les
%%sections de $K_Y$ sont sontenues dans une quadrique qui contient $Y$
%%si et seulement l'une d'elle est contenue dans la quadrique.
%
%Le raisonnement du lemme 3.4 permet de montrer que ce morphisme est
%invariant par l'involution sur $C$ (et m{\^e}me par celles des $E-i$ si
%$Y$ n'est pas lisse).
%%voir que l'image de $\xi$ et
%%celle de $\xi'=\L-K_Y-\xi$ sont les m{\^e}mes. 
%
%Par ailleurs ce morphisme est bien {\`a} valeur dans $\widetilde{X}$ c'est-{\`a}-dire que
%les plans de quadriques ainsi d{\'e}finis sont tangents {\`a} $\K^\vee$. En
%effet, soit $\xi\in C$, soit $\xi'$ sont image par l'involution et
%soient $L$ et $L'$ des bis{\'e}cantes associ{\'e}es, elles doivent
%{\^e}tre contenues dans les quadriques du plan. 
%
%Dans le second cas, dans un base bien choisie les matrices
%s'{\'e}crivent sous la forme 
%$$\left(\begin{array}{ccccc}
%0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
%0 & 0 & 0 & 0 & x \\
%0 & 0 & 0 & y & 0 \\
%0 & 0 & y & a_{4,4} & a_{4,5} \\
%0 & x & 0 & a_{4,5} & a_{5,5} 
%\end{array}\right).$$
%Le lieu o{\`u} elles sont singuli{\`e}res est la r{\'e}union de deux
%droites. Le plan de quadriques est donc tangent {\`a} la surface $\K$ et
%d{\'e}finit donc un point de $\widetilde{X}$. Remarquons que dans ce cas
%
%Dans le premier cas, on sait que $L$ et $L'$ se coupent
%et que $L$ et $L'$ doivent  Ainsi si on choisit un base dont le
%premier vecteur est le 
%point d'intersection de $L$ et $L'$ et les deux suivants des points
%de $L$ et $L'$ respectivement, les quadriques qui conviennent ont
%n{\'e}cessairement la forme suivante :
%$$\left(\begin{array}{ccccc}
%0 & 0 & 0 & x & y \\
%0 & 0 & a & a_{2,4} & a_{2,5} \\
%0 & a & 0 & a_{3,4} & a_{3,5} \\
%x & a_{2,4} & a_{3,4} & a_{4,4} & a_{4,5} \\
%y & a_{2,5} & a_{3,5} & a_{4,5} & a_{5,5} 
%\end{array}\right).$$
%On voit alors que si $a=0$, le d{\'e}terminant est n{\'e}cessairement nul
%ce qui donne une droite de quadriques singuli{\`e}res dans notre
%plan. C'est l'intersection de notre plan de quadriques et du plan
%form{\'e} de quadriques singuli{\`e}res (cf. proposition 3.1).
%
%Par ailleurs il y a un point double donn{\'e} par $x=y=0$, il correspond
%{\`a} la quadrique singuli{\`e}re de sommet le point d'intersection $L\cap
%L'$. Ainsi le plan est bien tangent {\`a} $\K^\vee$ et on a un point de
%$\widetilde{X}$.
%
%Remarquons que si pour notre plan on a $x=y=0$ ou bien $a=0$, alors
%toutes les quadriques du plan sont singuli{\`e}res ce qui signifie que le
%plan est celui de la proposition 3.1. Il est encore tangent {\`a}
%$\K^\vee$.
%
%\vs 0.2 cm
%
%On a donc construit un morphisme de $C$ vers $\widetilde{X}$ qui
%identifie deux
%points de $C$ en involution. Il reste enfin {\`a} montrer que la fibre de
%ce morphisme est exactement compos{\'e}e de deux points en involution
%sur $C$. Soit donc $x_0\in \widetilde{X}$ et supposons que $\xi$,
%$\xi'=\L-K_Y-\xi$ et $\xi''$ s'envoient sur un plan de quadriques
%$x_0$, le point $\xi'''=\L-K_Y-\xi''$ s'envoie lui aussi sur
%$x_0$. Soient $L$, $L'$, $L''$ et $L'''$ quatre bis{\'e}cantes
%associ{\'e}es. Nous savons que $L$ et $L'$ se coupent en un point et
%$L''$ et $L'''$ aussi.
%
%Si $L''$ coupe $L$ (resp. $L'$), alors $\xi''+\xi=\L-K_Y$ donc
%%$\xi''=\xi'$ (resp. $\xi''=\xi$). On peut donc supposer que $L''$
%ne coupe ni $L$ ni $L'$. De m{\^e}me on peut supposer que $L'''$ ne coupe
%ni $L$ ni $L'$. 
%
%Supposons tout d'abord que l'un des quatres points $\xi$, $\xi'$,
%$\xi''$ ou $\xi'''$ est le point $K_Y$ (disons $\xi$). Dans ce cas
%toutes les quadriques du plan $x_0$ doivent contenir la surface $S$
%des bis{\'e}cantes de $Y$ en involution (cf. proposition 3.1). Le plan
%$x_0$ est donc le plan de la proposition 3.1. Mais alors les
%quadriques de $x_0$ doivent aussi contenir les deux droites $L''$ et
%$L'''$ qui rencontrent $S$ en seulement deux points. Elles doivent
%donc contenir le plan engendr{\'e} par ces deux droites (car il rencontre
%$S$ en deux droites diff{\'e}rentes de $L''$ et $L'''$). Mais alors soit
%$L_0$ une nouvelle bis{\'e}cante non contenue dans $S$ et diff{\'e}rente de
%$L''$ et $L'''$. Une quadrique contient $L_0$ si et seulement si elle
%contient un point de $L_0$. Il existe donc une droite de quadriques de
%$x_0$ qui contient $L_0$ et sa conjugu{\'e}e $L_0'$ pour l'involution. Les
%quadriques de la droite contiennent alors le plan engendr{\'e} par $L_0$
%et $L_0'$. Cette droite de quadrique contient alors la surface $S$ de
%degr{\'e} 3 et deux plans. C'est absurde.
%
%Si tous les points sont distincts de $\K_Y$, il existe
%alors une droite du plan $x_0$ de quadriques qui contiennet les
%bis{\'e}cantes en involution c'est {\`a} dire la surface $S$. Toutes les
%quadriques de cette droite contiennent les plans engendr{\'e}s par $L$ et
%$L'$ et par $L''$ et $L'''$. C'est absurde pour la m{\^e}me raison que
%pr{\'e}c{\'e}dement. 
%
%La courbe $\widetilde{X}$ est donc l'image de $C$ dans
%$\K$.\hfill$\Box$

%\vs 0.2 cm

%avons alors deux cas selon que le point $x$ appartient {\`a}
%$\K^\vee$ ou un des 16 plans correspondants aux points doubles de
%$\K$ ou non. 

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.7} \textit{La courbe $C$ est lisse de genre 5 et
  c'est un rev{\^e}tement double non ramifi{\'e} de la courbe $X$ qui est
  lisse de genre 3.}

%\vs 0.2 cm
%
%\dm 
%Le lemme pr{\'e}c{\'e}dent montre que l'image de $C$ dans $J/-1=\K$ est
%$X$. Comme $x\not\in U(Y)$, la courbe $X$ est lisse et comme c'est
%une quartique elle est de genre 3. De plus elle ne passe par
%aucun point double de la surface de Kummer $\K$ ce qui signifie que
%l'involution sur $C$ est sans point fixe.\hfill$\Box$

\subsection{Des plongements particuliers de la courbe de genre 5}

Nous avons vu que la donn{\'e}e d'une surface ab{\'e}lienne $A$ et d'un
point $\overline{x}\in U(A)/H$
%dans $\p^\vee_3$ (plus pr{\'e}\-cisement un point $\overline{x}\in
%U(A)/H$) l'espace projectif contenant la surface $\K^\vee$ duale 
correspond {\`a} la donn{\'e}e d'une courbe $C$ de genre 5
munie d'une involution sans point fixe.

%courbe $Y$ de genre 2 et d'un point
%$x$ dans $\p^\vee_3$ (plus pr{\'e}cisement un point $\overline{x}\in
%U(Y)/H$) l'espace projectif contenant la surface $\K^\vee$ duale de la
%surface de Kummer de $Y$ correspond {\`a} la donn{\'e}e d'une courbe $C$ de
%genre 5 munie d'une involution sans point fixe.

Nous montrons maintenant que la donn{\'e}e du diviseur $\L$ de degr{\'e} 6 sur
$Y$ pr{\'e}c{\'e}dent d{\'e}finit un morphisme particulier de $C$ vers un espace
projectif de dimension 3. En effet, dans $\p(H^0\L)$ le point $x\in
U(A)$ correspond {\`a} une quadrique $Q$ (lisse ou de rang 4) contenant
$Y$. 
%Les droites de $Q$ forment alors %\begin{itemize}
%
%\item 
%
Si $Q$ est lisse, la vari{\'e}t{\'e} de ses droites forme un espace projectif de dimension 3 que nous notons $\p(V)$.

Si $Q$ est de rang 4, les droites de $Q$ forment une fibration en $\p_2$ au dessus de $\pu$. Il existe deux
  contractions naturelles de cette fibration vers un espace projectif
  de dimension 3 que nous notons $\p(V_k)$ pour $k\in\{1,2\}$. Elles
  contractent un $\pu\times\pu$ vers une droite $L_k$ selon l'une ou
  l'autre des projections. La quadrique singuli{\`e}re peut alors {\^e}tre vue
  comme la vari{\'e}t{\'e} des droites de $\p(V_k)$ qui rencontrent
  $L_k$. 

Lorsque $Y$ est lisse (cf. le cas 3.2.2, $(a,b)=(2,4)$), on note
  $\p(V)$ l'espace projectif $\p(V_k)$ tel que les $(\a)$-plans
  rencontrent $Y$ en 2 points.

Lorsque $Y$ est singuli{\`e}re, les
  plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ sont des $(\a)$-plans pour un des $\p(V_k)$
  et des $(\b)$-plans pour l'autre. Notons $\p(V)$ l'espace projectif
  $\p(V_k)$ tel que les plans $\Pi_i$ soient des $(\a)$-plans.

%\end{itemize}

\vs 0.2 cm

Dans tous les cas on a donc un morphisme de $C$ vers un espace projectif
$\p(V)$ de dimension~3. 
%Nous supposons pour le moment que lorsque $Y$
%est lisse, la quadrique $Q$ est {\'e}galement lisse.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.8} (\i) \textit{Lorsque $Y$ et $Q$ sont lisses, la
  courbe $C$ est plong{\'e}e dans $\p(V)$, elle est de degr{\'e} 8 et a une
  infinit{\'e} de quadris{\'e}cantes.}

(\i\i) \textit{Lorsque $Y$ est lisse mais $Q$ de
  rang 4, la courbe $C$ est plong{\'e}e dans $\p(V)$ et est de degr{\'e} 7. Il
  existe une droite $L$ telle que la courbe $C\cup L$ a une
  infinit{\'e} de quadris{\'e}cantes.}

(\i\i\i) \textit{Lorsque $Y$ est r{\'e}union de deux courbes elliptiques,
  l'image $\overline{C}$ de la courbe $C$ dans $\p(V)$ est de degr{\'e} 8
  et de genre arithm{\'e}tique 7. Elle est li{\'e}e {\`a} une droite $L$ par une
  intersection de deux c{\^o}nes cubiques. Elle a deux points doubles
  situ{\'e}s aux sommets des c{\^o}nes.}

\vs 0.2 cm

\dm
(\i) %Dans le premier cas, 
%nous avons vu que 
La courbe $C$ est d{\'e}finie comme
les points $\xi\in A$ tels que la bis{\'e}cante $L_\xi$ {\`a} $Y$
d{\'e}finie par $\xi$ est contenue dans la quadrique $Q$. Nous
d{\'e}finissons donc le morphisme $C\to\p(V)$ par %qui {\`a} 
$\xi\mapsto L_\xi$ %associe la bis{\'e}cante correspondante (qui est
                   %une droite contenue dans $Q$). 
Ce morphisme est {\`a} priori d{\'e}fini lorsque
$\xi\neq K_Y$ mais nous pouvons le prolonger, si besoin est, en ce point
car $C$ est une courbe lisse (ce cas appara{\^\i}t lorsque $Q$ est singuli{\`e}re).
%(ce cas n'apparait en fait jamais car alors $Q$ devrait contenir la
%surface $S$ des bis{\'e}cantes en involution, cf. proposition 3.1, ce
%qui impose que $Q$ est singuli{\`e}re et donc $x\not\in U(A)$). 

Soit $p\in Y$, ce point d{\'e}finit une droite $\ell_p$ de $\p(V)$. Cette droite
est quadris{\'e}cante {\`a} l'image de $C$ dans $\p(V)$. En effet, on cherche
les points $q\in Y$ tels que la droite $(pq)$ soit contenue dans
$Q$. Il faut donc que $q$ soit dans l'orthogonal de $p$ pour la
quadrique. Cet hyperplan rencontre $C$ en 6 points et est tangent {\`a}
$C$ en $p$. Il reste donc 4 autres points qui donnent 4 points de
l'image de $C$ dans $\p(V)$ qui sont situ{\'e}s sur $\ell_p$.

La courbe $Y$ d{\'e}finit dans $\p(V)$ une surface r{\'e}gl{\'e}e (l'ensemble des
droites $\ell_p$ pour $p\in Y$). L'image de $C$ dans $\p(V)$ est
exactement le lieu singulier de cette surface. En effet, soit
$\xi\in C$, on a $\xi=p+q$ et l'image de $\xi$ dans $\p(V)$ est {\`a}
l'intersection des droites $\ell_p$ et $\ell_q$. R{\'e}ciproquement si un
point $z$ de $\p(V)$ est dans le lieu singulier de la surface, alors il
est sur deux droites $\ell_p$ et $\ell_q$, la droite de $\p_4$ que $z$
d{\'e}finit est alors contenue dans $Q$ et coupe $C$ en $p$ et $q$. Le
point $z$ est donc dans l'image de $C$.

Nous savons alors que la courbe image de $C$ dans $\p(V)$ est de degr{\'e}
8 et de genre arithm{\'e}tique 5 (cf. \cite{KL}). On a donc bien un
plongement qui est de degr{\'e} 8. La vari{\'e}t{\'e} des quadris{\'e}cantes de $C$
dans ce plongement est la courbe $Y$.

(\i\i) Notons $\overline{C}$ l'image de $C$. La quadrique $Q$ est
l'ensemble des droites rencontrant une droite $L$. Soit $S$ la surface
r{\'e}gl{\'e}e d{\'e}finie par $Y$ et $C'$ son lieu singulier. Un point $y$ de $L$
d{\'e}finit un$(\a)$-plan contenu dans $Q$. Il rencontre $Y$ en deux
points $y_1$ et $y_2$ en involution. Ainsi le point $y$ est {\`a}
l'intersection des droites $\ell_{y_1}$ et $\ell_{y_2}$. La droite $L$
est donc contenue dans $C'$. Par ailleurs, le m{\^e}me raisonnement que
pr{\'e}cedement montre que $\overline{C}\subset C'$ et que les points de $C'$ sont
donn{\'e}s par les bis{\'e}cantes de $Y$ contenues dans $Q$ (la diff{\'e}rence par
rapport {\`a} la situation pr{\'e}c{\'e}dente est le fait que le point $\xi=K_Y$
d{\'e}finit un $\pu$ --- qui donnera $L$ --- de bis{\'e}cantes
suppl{\'e}mentaires). On a donc $C'=\overline{C}\cup L$. Le genre de
$\overline{C}$ est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} celui de $C$ et par les
r{\'e}sultats de \cite{KL}, le genre de $C'$ est 5. On a deux cas :
$\overline{C}$ est de genre 6 et ne rencontre pas $L$ ou
$\overline{C}$ est de genre 5 et rencontre $L$ en un point.  La courbe
$\overline{C}$ rencontre $L$ : en effet, le point $K_Y$ est limite de
points $\xi\in C$ donc la limite des droites $L_\xi$ est une droite
d{\'e}finie par $K_Y$ donc une droite qui rencontre $L$. La courbe
$\overline{C}$ est donc de genre 5, c'est la courbe $C$. La courbe $C'$
est isomorphe {\`a} l'image r{\'e}ciproque de $C\subset J(Y)$ dans $\pic^2(Y)$
(qui est l'{\'e}clatement du point $K_Y$). Remarquons que dans cette
situation, les prongements sont obtenus {\`a} partir du plongement
canonique $K_C$ par projection {\`a} partir d'un point de $C$. Tous les
points de $C$ donnent un tel plongement. 

(\i\i\i) %Dans le dernier cas, e
En d{\'e}crivant la quadrique comme la vari{\'e}t{\'e} des droites de
$\p(V)$ qui rencontrent un droite $L$, on voit que la courbe
$\overline{C}$ est sur l'intersection des deux c{\^o}nes cubiques
d{\'e}finis par les courbes $E_i$. Ces deux c{\^o}nes ont une droite en commun
car les courbes $E_i$ se coupent en un point. La courbe r{\'e}siduelle
doit alors {\^e}tre de degr{\'e} 8 et de genre arithm{\'e}tique 7. Elle a deux
points doubles. Chaque point double correspond aux points de $C$ de la
forme $(x,P)$ et $(P,y)$ ($P$ est le point d'intersection de $E_1$ et
$E_2$). Les deux points doubles sont donc aux sommets des
c{\^o}nes\hfill$\Box$
% et sont ordinaires (sinon la quadrique ne correpond
%pas {\`a} un point de $U(A)$).\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{3.9} Lorsque $Y$ est lisse et $Q$ lisse (resp. de rang
4), la courbe $C$ (resp $C'$) plong{\'e}e dans $\p(V)$ n'est pas 
contenue dans une surface cubique. En effet, supposons que c'est le
cas et soit $S$ une telle surface. Alors $S$ rencontre toutes les
quadris{\'e}cantes de $C$ (resp. $C'$) en quatre points donc $S$ contient
toutes les quadris{\'e}cantes de $C$ (resp. $C'$). La surface $S$ contient
donc la surface r{\'e}gl{\'e}e d{\'e}finie par $Y$, cette derni{\`e}re est de degr{\'e} 6,
c'est absurde.

\vs 0.2 cm

Nous montrons maintenant une r{\'e}ciproque {\`a} cette proposition dans
chacun des deux cas :

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.10} \textit{Soit $\overline{C}$ une courbe de
  $\p(V)$ de degr{\'e} 8 et de genre g{\'e}om{\'e}trique 5 qui est li{\'e}e {\`a} une
  droite par une intersection de deux c{\^o}nes cubiques et qui a deux
  points doubles aux sommets des c{\^o}nes, alors le mod{\`e}le non
  singulier $C$ de $\overline{C}$ est dans $\M_5^{i,d}$.}

\vs 0.2 cm

\dm
Soit $L$ la droite comune aux deux c{\^o}nes cubiques. Soient $E_1$ et
$E_2$ les deux courbes elliptiques de la grassmannienne qui
d{\'e}finissent ces c{\^o}nes. La droite $L$ correspond au point
d'intersection des $E_i$.

Consid{\'e}rons l'incidence point/plan suivante :
$$I=\left\{(p,h)\in\p(V)\times\p(V)^\vee\ /\ p\in h\ {\rm et}\
  L\subset h\right\}.$$
La vari{\'e}t{\'e} %$I$ est l'{\'e}clatement de $L$ dans $\p(V)$. La courbe
%$\widetilde{C}$ transform{\'e}e stricte de $\overline{C}$ est alors lisse
%de genre 5.
%
%Par ailleurs,
$I$ param{\`e}tre les droites de la quadrique
singuli{\`e}re 
$$Q=\{l\in\G(2,\p(V))\ /\ l\cap L\neq\emptyset\}.$$ 
Notons $A=E_1\times E_2$, pour tout $\xi\in A^\times$, on peut d{\'e}finir un
{\'e}l{\'e}ment $L_\xi$ de $I$ comme {\'e}tant la droite passant par les deux
points de $\xi$. On a vu que la courbe
$$C=\overline{\{\xi\in A^\times\ /\ L_\xi\subset Q\}}$$ 
est alors lisse de genre 5. Elle s'envoie sur
$\overline{C}$ et on peut utiliser la construction pr{\'e}c{\'e}dente.\hfill$\Box$
%Le fait que les points doubles soient nous assure que la
%courbe $C$ a une involution sans point fixe.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{3.11} \textit{Soit $C$ une courbe projective de
  genre~5 et de degr{\'e}~8 de $\p_3$. Supposons que $C$ est lisse,
  irr{\'e}ductible et non hyperelliptique ou r{\'e}union d'une courbe lisse $C'$
  %non trigonale 
de degr{\'e} 7 et d'une droite $L$ la rencontrant en un
  point. On suppose que $C$ admet une infinit{\'e} de droites
  quadris{\'e}cantes, alors $C\in\M_5^{i,i}$.}

\textit{La courbe $Y$ des quadris{\'e}cantes de $C$ est lisse de genre 2 et de
  degr{\'e} 6 (dans la grassmannienne). La courbe $C$ peut {\^e}tre retrouv{\'e}e
  {\`a} partir de la courbe $Y$ gr{\^a}ce {\`a} la construction pr{\'e}c{\'e}dente.}

\vs 0.2 cm

\dm
Remarquons que comme $C'$ est lisse de degr{\'e} 7 et de genre 5, elle est alors
non trigonale (cf \cite{Hartsh} exemple 6.4.2).

Nous commen\c cons par remarquer que $C$ ne peut {\^e}tre contenue dans
une surface cubique. En effet, soit $S$ une telle surface, la surface
$S$ rencontre toutes les quadris{\'e}cantes de $C$ en au moins 4
points. Elle contient donc toute les quadris{\'e}cantes de $C$. La surface
$S$ contient ainsi la surface r{\'e}gl{\'e}e $S'$ des quadris{\'e}cantes de
$C$. %Comme $C$ est lisse, 
Le surface $S'$ ne peut {\^e}tre un plan. Si la surface
$S'$ {\'e}tait une quadrique lisse, alors $C$ serait lisse et
hyperelliptique.

Si $S'$ est un c{\^o}ne, alors $C$ passe par le sommet si et seulement si
elle est singuli{\`e}re. Mais alors $C'$ est trigonale (projection par le
sommet de degr{\'e} 3 vers $\pu$). Elle est donc lisse et ne passe pas par
le sommet. La
projection {\`a} partir de celui-ci donne un morphisme de degr{\'e} 4 de $C$
vers une conique plane. Les quadris{\'e}cantes coupent donc $C$ en
exactement 4 points. On rel{\`e}ve alors $C$ dans le mod{\`e}le non singulier
de $S'$ (l'{\'e}clatement du c{\^o}ne en son sommet qui est une surface
rationnelle $F_2$). On {\'e}crit $[C]=af+bh$ o{\`u} $f$ est la classe d'une
fibre et $h$ est la classe d'une section, voir par exemple
\cite{Beauville}. On a les intersections $f^2=0$, $f\cdot
h=1$ et $h^2=2$. Comme $C$ ne passe pas par le sommet du c{\^o}ne, sa
transform{\'e}e stricte ne rencontre pas le diviseur exceptionel $E$ dont
la classe est $h-2f$. On a donc $a=[C]\cdot[E]=0$. Par ailleurs $C$
rencontre les fibres (les quadris{\'e}cantes en exactement 4 points donc
$b=[C]\cdot f=4$. On a donc $[C]=4h$ ce qui donne par la formule
d'adjonction
$$2g(C)-2=[C]\cdot([C]+K)=4h(4h-2h)=16.$$
Ceci donne $g(C)=9$, c'est absurde.

Nous pouvons donc supposer que $S$ est la surface r{\'e}gl{\'e}e des
quadris{\'e}cantes. Le th{\'e}or{\`e}me de Segre (cf. \cite{GP2}
p.412) nous dit alors que si $\sigma$ est le genre de la courbe de
base de $S$ et si $C$ (resp. $C'$) rencontre les r{\`e}gles de $S$ avec
multiplicit{\'e} $k$, alors on a
$$2\ \!{\rm g}(C)-2=(k-1)(2\ \!{\rm deg}(C)-k\ \!{\rm deg}(S))+k\
\!(2\ \!\sigma-2)$$ 
et la m{\^e}me formule avec $C'$. Le genre $\sigma$ est $0$ ou $1$ ce qui donne 
$$3k^2-17k+24=0\ \ \ \ {\rm ou }\ \ \ \ 3k^2-19k+24=0\ \ {\rm pour}\
C\ {\rm lisse}$$
$$\ {\rm et}\ 3k^2-15k+22=0\ \ \ \ {\rm ou }\ \ \ \
3k^2-17k+22=0\ {\rm pour}\ C'.$$
%\ {\rm d\acute{e}compos\acute{e}e}.$$
La seule solution enti{\`e}re pour $C$ lisse est pour $\sigma=0$, on a
alors $k=3$ ce qui est impossible car les r{\`e}gles sont des
quadris{\'e}cantes {\`a} $C$ donc $k\geq 4$. Pour $C'$ la seule solution
enti{\`e}re est pour $\sigma=1$ ce qui donne $K=2$ ce qui est encore
impossible, les r{\`e}gles sont des trid{\'e}cantes {\`a} $C'$.

\vs 0.2 cm

Nous montrons maintenant le

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{3.12} \textit{La courbe n'a pas de quintis{\'e}cante et il
  existe une surface de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} sept singuli{\`e}re le
  long de $C$.}

\vs 0.2 cm

\dm
On peut mettre une structure de vari{\'e}t{\'e} sur la famille des
quadris{\'e}cantes (cf. \cite{GP} ou \cite{ACGH}). L'hypoth{\`e}se signifie
qu'il existe une courbe de la grassmanienne des droites de
$\mathbb{P}_3$ correspondant {\`a} des quadris{\'e}cantes de $C$.
La courbe $C$ n'a pas de 5-s{\'e}cante. En effet, si $D$
est une 5-s{\'e}cante, on a une suite exacte
%
%
$$0 \to \oo_C(-Z) \to \oo_{C\cup D} \to \oo_D \to 0$$
%
o{\`u} $Z = C\cap D$. Il en r{\'e}sulte la suite exacte longue
%
$$0 \to H^0(\oo_C(3h - Z)) 
\to H^0(\oo_{C\cup D}(3)) 
\to H^0(\oo_D(3))\to 0$$
o{\`u} $h$ est la classe d'une section plane de $C$ et donc que
$H^0(\oo_{C\cup D}(3)) = 19$.
On en d{\'e}duit que $C\cup D$ est sur une surface cubique ce qui est
absurde. 

Il existe une surface de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 7 singuli{\`e}re le long de
$C$. En effet, comme $C$ n'est pas sur une %surface 
cubique, on a
$h^1\I_C(3)=0$. De plus %Par ailleurs 
$h^2\I_C(2)=h^1\oo_C(2)=0$ et
$h^3\I_C(1)=0$. Le faisceau $\I_C$ est donc 3-r{\'e}gulier ce qui impose
que $\I_C(4)$ est engendr{\'e} par ses sections (cf \cite{mumcurves}). On
a donc 
%suite exacte $0\to N\to\oo_{\p_3}(-4)\to\I_C\to 0$ qui nous donne 
une surjection $\oo_C(3)\to(\I_C/\I_C^2)(7)$ et comme
$h^1\oo_C(3)=0$, on en d{\'e}duit que $h^1((\I_C/\I_C^2)(7))=0$ et donc
$h^0((\I_C/\I_C^2)(7))=\chi((\I_C/\I_C^2)(7))=64$. On a donc
$h^0(I^2_C(7))
%\ge h^0(I_C (7)) - h^0(N^\vee_{C/\p_3}(7))$ c'est-{\`a}-dire
%$h^0(I^2_C(7)) 
\ge4$.
Il existe donc une surface de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 7
singuli{\`e}re le long de $C$. Cette surface contient toutes les
quadris{\'e}cantes de~$C$.\hfill$\Box$

%
%on a une suite exacte
%%
%$$0 \to T_C \to T_{\p_3/C} \to N_{C/\p_3} \to 0$$
%o{\`u}  $T$ d{\'e}signe le fibr{\'e} tangent et $N$ le fibr{\'e} normal.
%Le fibr{\'e} $N_{C/\p_3}$ {\'e}tant de rang~2, on a 
%$$N_{C/\p_3}^\vee \simeq N_{C/\p_3}\otimes (\det N_{C/\p_3})^\vee
%= N_{C/\p_3}\otimes \oo_{\p_3}(-4) \otimes \omega^{-1}_C$$
%o{\`u} $\omega_C$ d{\'e}signe le fibr{\'e} canonique.
%Comme $T_{\p_3}$ est un quotient de $\oo_{\p_3}(1)^{4}$,
%$N_{C/\p_3}^\vee\otimes \oo_{\p_3}(7)$ est un quotient de 
%$(\oo_{\p_3}(4) \otimes \omega^{-1}_C)^{4}$. On a donc $H^1
%(N^\vee_{C/\p_3}\otimes \oo_{\p_3}(7)) = 0$ ce qui donne 
%$$h^0(N^\vee_{C/\p_3}(7)) = \textrm{deg}(N^\vee_{C/\p_3}(7)) + 2(1-5) = 64.$$
%Comme $N^\vee_{C/\p_3} = I_C / I^2_C$, on a $h^0(I^2_C(7))
%\ge h^0(I_C (7)) - h^0(N^\vee_{C/\p_3}(7))$ c'est-{\`a}-dire $h^0(I^2_C(7)) \ge4$.
%Il existe donc au moins une surface de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 7
%singuli{\`e}re le long de $C$. Cette surface contient toutes les
%quadris{\'e}cantes de $C$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{3.13} \textit{Si deux quadris{\'e}cantes $l$ et $l'$ de $C$
  se coupent en un point $p$ alors $p$ appartient {\`a} $C$. Les droites
  $l$ et $l'$ et la tangente {\`a} $C$ en $p$ ne sont pas coplanaires.}

\vs 0.2 cm

\dm 
Si $p\not\in C$, on a la suite exacte 
%
$$0\to \oo_C (-(C\cap (l \cup l')) \to \oo_{C\cup l\cup l'}
\to \oo_{l\cup l'} \to 0.$$

Apr{\`e}s tensorisation par $\oo_{\p_3}(3)$, on obtient $h^0(\oo_C(3h -
p_1 - \ldots - p_4-q_1 \ldots - q_4) = 12$ et $h^0(\oo_{l\cup l'}(3))
= 7$. Il en r{\'e}sulte que $h^0(\oo_{C\cup l\cup l'}(3)) = 19$
donc $C\cup l\cup l'$ est sur une surface cubique ce qui est absurde. 
On a ici not{\'e} $l\cdot C = p_1 + p_2 + p_3 + p_4$ et $l'\cdot C
= q_1 + q_2 + q_3 + q_4$. 

Si le plan engendr{\'e} par $l$ et $l'$ est tangent {\`a} $C$ en $p$,
toute surface contenant $l$ et $l'$ est tangente {\`a} $C$ en $p$
et on conclut comme pr{\'e}c{\'e}demment avec $l\cdot C = p+p_1+p_2+p_3$ et
$l'\cdot C = p+q_1+q_2+q_3$ et en consid{\'e}rant $h^0\big(\oo_C (3h-2p-
p_1-p_2-p_3-q_1-q_2-q_3)\big)$. On peut, de la m{\^e}me mani{\`e}re, montrer
que par un point de $C$ il ne passe pas trois quadris{\'e}cantes.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Soit $\bar S$ la surface r{\'e}gl{\'e}e engendr{\'e}e par la courbe $Y$ des
quadris{\'e}cantes.

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{3.14} \textit{La courbe $C$ est le lieu singulier de la
  surface $\bar S$ qui est de degr{\'e} 6. La courbe $Y$ est lisse et de
  genre 2.}

\vs 0.2 cm

\dm
Le degr{\'e} de $\bar S$  est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 7
d'apr{\`e}s le lemme 3.12 et est sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} quatre. Soit $Y$ la
courbe des quadris{\'e}cantes. Elle est irr{\'e}ductible sinon l'une de ses
composantes donne une surface de degr{\'e} inf{\'e}rieur {\`a} 3 contenant
$C$. Remarquons que si $Y$ est plane alors $\bar S$ est un c{\^o}ne et soit
$x$ son sommet. Si $C$ est lisse et $x\not\in C$, alors la projection
{\`a} partir de $x$ est un morphisme de degr{\'e} 4 (car les quadris{\'e}cantes
passent par $x$), son image est donc de degr{\'e} 2 et $C$ est sur un
c{\^o}ne, c'est impossible. Si $x\in C$ et $C$ lisse, alors le morphisme
de projection doit {\^e}tre degr{\'e} au moins 3 et diviser 7, il est donc de
degr{\'e} 7, son image est alors de degr{\'e} 1 et $C$ serait plane,
absurde. Si $C$ n'est pas lisse et $x\not\in C'$ alors la projection
de $C'$ {\`a} partir de $x$ est de degr{\'e} au moins 3 (car les droites sont
au moins tris{\'e}cantes), elle est donc de degr{\'e} 7 ce qui impose que $C'$
est plane, c'est absurde. Si $x\in C'$, la projection est encore au
moins de degr{\'e} 3. Si elle est de degr{\'e} 3 alors on a un ${\bf g}_3^1$
sur $C'$, c'est absurde. Elle doit donc {\^e}tre de degr{\'e} 6 et $C'$ plane,
c'est encore impossible. Ainsi $Y$ n'est pas plane.

Le lieu singulier de $\bar S$ est contenu dans $C$ d'apr{\`e}s
le lemme pr{\'e}cedent, il est donc de degr{\'e} 0, 1, 7 ou 8. Soit $n$ le
degr{\'e} de $Y$ et $p$ son genre g{\'e}om{\'e}trique. Les r{\'e}sultats de \cite{KL}
nous disent que le lieu singulier de $\bar S$ est alors de degr{\'e}
$(n-1)(n-2)/2 - p$ qui vaut % et de genre g{\'e}om{\'e}trique $P$
                   % avec$2P-2=(n-5)(n+2p-2)$. 
$3-p$, $6-p$, $10-p$ ou $15-p$ selon les valeurs de
$n\in[4,7]$. De plus ce degr{\'e} doit appartenir {\`a} $\{0,1,7,8\}$. Mais
comme $Y$ n'est pas contenue dans un plan et est irr{\'e}ductible la
formule de Castelnuovo (cf. \cite{ACGH} p.116) nous donne une borne
sur $p$ qui est 1, 2, 4 ou 6 selon les valeurs de $n$. Ainsi
le degr{\'e} du lieu singulier est contenu dans $[2,3]$, $[4,6]$,
$[6,10]$ ou $[9,15]$ et dans $\{0,1,7,8\}$. Les seules valeurs
possibles sont 7 ou 8 avec $n=6$ et $p=3$ ou 2.

Soit $\widetilde{Y}$ le mod{\`e}le lisse de $Y$. Le lieu singulier de
$\bar S$ peut {\^e}tre vu comme une courbe dans ${\rm
  Div_2}(\widetilde{Y})$ dont le genre arithm{\'e}tique est $P$ avec $2P-2 =
(n-5)(n+2p-2)$ (cf. \cite{A}). Ceci nous donne $P=6$ si $p=3$ ou $P=5$ si
$p=2$. Le premier cas est impossible. Ainsi $Y$ est de degr{\'e} 6 et de
genre g{\'e}om{\'e}trique 2. On peut calculer (cf. \cite{KL}) que la surface n'a
pas de point triple.

Il reste {\`a} montrer que $Y$ est lisse. 
%Remarquons qu'elle est contenue
%dans un hyperplan de la grassmannienne : l'hyperplan des droites qui
%rencontrent $L$. 
%Soit $\L$ le diviseur de degr{\'e} 6 sur $\widetilde{Y}$ qui d{\'e}finit le
%morphisme vers la grassmannienne. On a $\p H^0\L=\p_4$ et la courbe $Y$
%est la projection de $\widetilde{Y}$ {\`a} partir d'un sous-espace
%projectif. 
Si $Y$ n'est pas lisse, alors $p_a(Y)\geq 3$ et 
%ce sous espace est non vide ce qui
%impose que 
$Y$ est contenue dans l'intersection de la grassmannienne
avec un espace projectif de dimension 3. Si cette intersection est
lisse c'est une quadrique form{\'e}e des droites rencontrant deux droites
$L_1$ et $L_2$. Les deux droites sont alors dans le lieu singulier,
c'est impossible. Si l'intersection est singuli{\`e}re, on peut supposer
que c'est un c{\^o}ne (car $Y$ n'est pas plane). Mais alors un calcul dans
la surface $F_2$ mod{\`e}le non singulier de ce c{\^o}ne montre que le genre
g{\'e}om{\'e}trique de $Y$ doit {\^e}tre 3 ou 4. C'est impossible donc $Y$ est
lisse.\hfill$\Box$

%Soit $X$ l'{\'e}clat{\'e} de $\p_3$ le long de $C$ (si $C$ est singuli{\`e}re on
%{\'e}clate d'abord le point double puis la transform{\'e}{\'e} stricte) et $S$
%la transform{\'e}e stricte de $\bar S$. D'apr{\`e}s le lemme 3.12, $S$
%est fibr{\'e}e en droites projectives, les fibres sont les transform{\'e}es
%strictes des quadris{\'e}cantes de~$C$.
%
%On note $D$ le diviseur exceptionnel de l'{\'e}clatement 
%$X\to \mathbb{P}^3$ et $H$ le pull-back d'un plan.
%Le diviseur canonique de $X$ est $K_X = -4H +D$.
%La formule d'adjonction pour une fibre $f$ s'{\'e}crit
%$-2 = K_S.f = (K_X+S).f = S.f$ car 
%$K_X . f = -4Hf + Df = 0$ car $f$ est la transform{\'e}e
%stricte d'une quadris{\'e}cante. Soit $\mu $ la multiplicit{\'e} de $\bar S$
%le long de $C$. Alors $S$ appartient au syst{\`e}me lin{\'e}aire
%$\vert nH - \mu D\vert$ si $n$ est le degr{\'e} de $\bar S$.
%Comme $S.f = -2$, on a  $n = 4\mu - 2$
%c'est-{\`a}-dire $n= 6$ car $4 \le n \le 7$
%et $\mu = 2$. La surface $\bar S$ est donc double le long de $C$.
%Par ailleurs, d'apr{\`e}s le lemme 3.13, les singularit{\'e}s de $\bar S$
%ne peuvent {\^e}tre en dehors de $C$.
%
%Il reste {\`a} montrer que $Y$ est lisse de genre 2. Elle est
%n{\'e}cessairement irr{\'e}ductible sinon $C$ serait sur une cubique. Par
%ailleurs, une surface r{\'e}gl{\'e}e $\bar S$ de $\mathbb{P}_3$ de degr{\'e} $n$
%ayant une section plane
%g{\'e}n{\'e}rale de genre g{\'e}om{\'e}trique $p$ a (en g{\'e}n{\'e}ral) une courbe double de
%degr{\'e} $(n-1)(n-2)/2 - p$ et de genre g{\'e}om{\'e}trique $P$ avec $2P-2 =
%(n-5)(n+2p-2)$. Cette courbe a (en g{\'e}n{\'e}ral) pour seules singularit{\'e}s
%$t=(n-4)[(n-2)(n-3)/6- p]$ points triples qui sont aussi triples pour
%la surface (cf. \cite{KL}). Ainsi dans notre cas, on a $n=6$ et donc
%n{\'e}cessairement
%$p=2$ car le lieu singulier qui est $C$ est de degr{\'e} 8. Le mod{\`e}le non
%singulier d'une section plane g{\'e}n{\'e}rale de $\bar S$ est le m{\^e}me que
%celui de $Y$. La courbe $Y$ est donc de genre g{\'e}om{\'e}trique 2.
%
%Le lieu singulier est alors de degr{\'e} 8 et de genre g{\'e}om{\'e}trique 5. La
%courbe $C$ est donc lisse. Si $Y$ n'est pas lisse, alors un point
%singulier de $Y$ correpond {\`a} une droite dans le lieu singulier de
%${\bar S}$. C'est impossible car $C$ est irr{\'e}ductible.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\textit{Preuve de la proposition 3.11 :}
Notons $\G$ la grasmannienne des droites de $\p_3$, on voit $\G$ comme
une quadrique de $\p_5$ par le plongement de Pl{\"u}cker. Notons $E$ la
restriction du quotient tautologique de $\G$ {\`a} $Y$. Le mod{\`e}le non
singulier de $\bar S$ est $\p_Y(E)$.

Soit $\L=\Lambda^2E=\oo_\G(1)\vert_C$, c'est un fibr{\'e} de degr{\'e} 6. L'espace
$\p_4=\p(H^0\L)$ est un hyperplan de $\p_5$. La courbe $Y$ est
contenue 
%dans $\p_4$ et m{\^e}me 
dans la quadrique $Q$ d{\'e}coup{\'e}e par $\G$
dans $\p_4$. 

La courbe $C$ est isomorphe {\`a} la courbe suivante de $Y_2$ le carr{\'e}
sym{\'e}trique de $Y$ :
$$\tilde{C}=\{(x,y)\in Y_2\ /\ (xy)\subset Q\}.$$
En effet, on d{\'e}finit un morphisme $\tilde{C}\to C$ par $(x,y)\mapsto\ell_x\cap
\ell_y$ o{\`u} $\ell_x$ (resp. $l_y$) d{\'e}signe la droite de $\p_3$ correspondant
{\`a} $x$ (resp. $y$). Ce morphisme est bien d{\'e}fini car si on a
$(xy)\subset Q$, alors les droites $\ell_x$ et $\ell_y$ se rencontrent
et on a (d'apr{\`e}s le lemme 3.13) un point de $C$.
On d{\'e}finit une r{\'e}ciproque $C\to\tilde{C}$ par $z\mapsto(x,y)$ o{\`u} $x$
et $y$ sont les deux quadris{\'e}cantes passant par $z$ (il y en a
exactement deux car la surface n'a pas de point triple). 

%Cet isomorphisme entre $C$ et une courbe $\tilde{C}$ de $Y_2$ est un
%cas particulier du fait que le lieu singulier d'une surface r{\'e}gl{\'e}e de
%base $Y$ peut {\^e}tre vu comme un diviseur de $Y_2$ (cf. \cite{A}).

Nous sommes dans la situation de la proposition 3.8. En particulier on
a une involution $i$ sur $\tilde{C}$ (vue dans $\pic_2(Y)$) donn{\'e}e par
$\xi\mapsto\L-K_Y-\xi$ (cf. proposition 3.1). %Cette involution 
Elle est
donn{\'e}e sur $C$ de la mani{\`e}re suivante : soit $z\in C$, il existe deux
quadris{\'e}cantes $L_1$ et $L_2$ passant par $z$. Soit alors $H$ le plan
engendr{\'e} par ces quadis{\'e}cantes, le plan $H$ rencontre $C$ en 8 points
dont 7 sont sur $L_1\cup L_2$. Le huiti{\`e}me point est
$i(z)$. L'involution est sans point fixe. En effet, si $z=i(z)$, ceci
signifie que $H$ est tangent {\`a} $C$ en $z$ et $H$ contient $L_1$ et
$L_2$. C'est exclu par le lemme 3.13.\hfill$\Box$

%Nous avons vu que $Y$ est lisse de genre 2. La surface r{\'e}gl{\'e}e ${\bar
%  S}$ d{\'e}finie par $Y$ est de degr{\'e} 6 et a pour lieu double $C$. Le
%mod{\`e}le lisse de $\bar S$ est $\p(E)$ o{\`u} $E$ est un fibr{\'e} de rang deux
%et de degr{\'e} $6$ sur $Y$.
%
%On note $\pi : \p(E) \to Y$ la projection. Le morphisme $f : \p(E) \to
%\mathbb{P}_3$ d'image $\bar S$ correspond {\`a} une surjection qui se d{\'e}crit
%comme suit : $V$ est un sous-espace vectoriel de dimension 4
%de $H^0(E)$. La surjection recherch{\'e}e est la compos{\'e}e
%$V\otimes \oo_{\p(E)}\to \pi^\ast E \to \oo_{\p(E)}(1)$.
%Elle provient de l'{\'e}valuation $V\otimes \oo_Y \to E$
%et du quotient tautologique $\pi^\ast E \to \oo_{\p(E})(1)$.
%On remarque que $V\otimes \oo_Y \to E$ est surjectif
%si et seulement si $V\otimes \oo_{\p(E)}\to \oo_{\p(E)}(1)$ l'est.
%Il faut donc supposer que $V$ engendre $E$ (ici $E$ est simplement le
%quotient tautologique sur la grassmannienne).
%
%On note $Y_2$ le carr{\'e} sym{\'e}trique de $Y$ et 
%$\Delta \subset Y \times Y_2$ le diviseur universel
%effectif de degr{\'e} 2. On d{\'e}signe par $a$ et $b$ les projections
%de $Y\times Y_2$ sur $Y$ et $Y_2$.
%On pose $\varepsilon = b\ast (a^\ast  E \otimes \oo_\Delta)$.
%Le module $\varepsilon $ est localement libre de rang quatre
%car la restriction de $b$ {\`a} $\Delta$ est un morphisme
%plat et fini de degr{\'e} 2.
%
%L'image directe par $b$ du morphisme de restriction 
%$a^\ast E \to a^\ast E\times \oo_\Delta$ donne l'application
%$H^0(E) \otimes \oo_{Y_2} \to \varepsilon $ et donc la fl{\`e}che
%$\sigma : V\otimes \oo_{Y_2}\to \varepsilon $.
%La courbe des z{\'e}ros du d{\'e}terminant de $\sigma $ est un mod{\`e}le
%de la courbe double de la surface r{\'e}gl{\'e}e (cf. \cite{A}).
%
%Soit $u :  Y_2 \to J(Y)$ l'application naturelle dans la jacobienne
%de $Y$. On note $\theta $ l'image r{\'e}ciproque sur $Y_2$
%de la classe du diviseur theta de $J(Y)$ et $x$ la classe du diviseur
%$X_q = q + Y \subset Y_2$ avec $q\in Y$. La formule de Poincar{\'e}
%et la formule de projection permettent d'{\'e}tablir que 
%$x^2 = 1$, $x\theta = 2$, $\theta^2 = 2$.
%
%Le th{\'e}or{\`e}me de Grothendieck-Riemann-Roch appliqu{\'e} au 
%morphisme $b$ et au fibr{\'e} $a^\ast E\otimes \oo_\Delta$
%permet de calculer les classes de Chern de $\varepsilon $.
%On a $c_1 (\varepsilon ) = 2\theta$ et $c_2(\varepsilon) =8$.
%Dans le cas qui nous int{\'e}resse, le lieu double de $\bar S$
%s'identifie {\`a} un diviseur de $Y_2$ de classe $2\theta $. Mais
%$u : Y_2 \to J(Y)$ est l'{\'e}clatement de $J(Y)$ en un point
%correspondant {\`a} l'involution hyperelliptique. La courbe $C$ se plonge
%donc dans $J(Y)$ et est {\'e}quivalente {\`a} $2\t(Y)$.
%
%Si $r$ est un point de Weierstrass de $Y$, on a
%$\Theta_Y = \{[y]-[r],y\in Y\}\subset J(Y)$ est le diviseur theta.
%Il est ample. Le syst{\`e}me lin{\'e}aire $\vert 2 \Theta_Y\vert $
%d{\'e}finit un morphisme de degr{\'e} 2 de $J$ vers $\mathbb{P}_3$
%qui donne par passage au quotient un isomorphisme de $J(Y)/-1$
%sur une quartique de $\mathbb{P}_3$ ayant 16 points doubles
%ordinaires : la surface de Kummer. Une section plane g{\'e}n{\'e}rale
%de la surface de Kummer est une courbe lisse de genre 3. $C$ est donc
%un rev{\^e}tement double de cette courbe.\hfill $\Box $

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{3.15} Dans \cite{M}, %son {\'e}tude des courbes de
                                        %genre 8, 
S. Mukai donne une version du lemme~3.12. 

\vs 0.2 cm

Ces r{\'e}sultats nous permettent de donner une nouvelle caract{\'e}risation
g{\'e}om{\'e}trique des cour\-bes de genre 5 rev{\^e}tement double d'une courbe de
genre 3 :

\vs 0.2 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{3.16} \textit{Soit $C$ une courbe lisse de genre
  5.}

(\i) \textit{{\rm Premi{\`e}re caract{\'e}risarion :} On a $C\in\M_5^{i,i}$ si
  et seulement s'il existe un plongement ${\cal M}$  de degr{\'e} 8 de $C$
  dans $\p_3$ pour lequel la courbe $C$ a une infinit{\'e} de
  quadris{\'e}cantes.}

\textit{{\rm Seconde caract{\'e}risarion :} On a $C\in\M_5^{i,i}$ si
  et seulement s'il existe un plongement ${\cal M}'$  de degr{\'e} 7 de $C$
  dans $\p_3$ et une droite $L$ rencontrant $C$ en un point pour lesquels la courbe $C\cup L$ a une infinit{\'e} de quadris{\'e}cantes.}

%\textit{{\rm Seconde caract{\'e}risarion :} On a $C\in\M_5^{i,i}$ si
%  et seulement s'il existe un plongement ${\cal M}'$  de degr{\'e} 7 de $C$
 % dans $\p_3$ et une droite $L$ pour lequel la courbe $C\cup L$ a une
 % infinit{\'e} de quadris{\'e}cantes.}

\vs 0.1 cm

\textit{Dans cette situation, la courbe $Y$ des quadris{\'e}cantes est la m{\^e}me
  quelque soit le plongement, elle est lisse de genre 2 et telle que
  $J(Y)={\rm Prym}(C)$. Notons
  $\mathfrak{J}_0$ les diviseurs ${\cal M}$ de degr{\'e} 8 du premier
  type, $\mathfrak{J}_1$ les diviseurs ${\cal M}'$ de degr{\'e} 7 du
  second type et $\mathfrak{J}$ la r{\'e}union de ces ensembles.  Il y a
  un morphisme $\mathfrak{J}\to J(Y)$ qui est un fibr{\'e} principal
  homog{\`e}ne de groupe $H$.}

\vs 0.1 cm

(\i\i) \textit{On a $C\in\M_5^{i,d}$ si et seulement s'il existe un
  morphisme de $C$ dans $\p_3$ tel que son image $\overline{C}$ est
  li{\'e}e {\`a} une droite $L$ par une intersection de deux c{\^o}nes cubiques,
  de degr{\'e} 8 et a deux points doubles aux sommets des c{\^o}nes.}
%Soit $C$ une courbe lisse de genre 5. 

\vs 0.1 cm

\textit{Dans cette situation, notons $\mathfrak{J}$ les diviseurs de
  degr{\'e} 8 de $C$ qui d{\'e}finissent de tels morphismes. On a un morphisme
  $\mathfrak{J}\to E_1\times E_2$ qui est un fibr{\'e} principal
  homog{\`e}ne de groupe $H$ (les $E_i$ sont les courbes elliptiques
  d{\'e}finissant les c{\^o}nes cubiques).}

\vs 0.2 cm

\dm
Les caract{\'e}risations de $\M_5^{i,i}$ et $\M_5^{i,d}$ d{\'e}coulent des
propositions 3.8, 3.10 et 3.11. Nous d{\'e}crivons les ensembles
$\mathfrak{J}$ de plongements.

(\i) Pla\c cons nous dans le cas $C\in\M_5^{i,i}$ et notons $A=J(Y)$ la
vari{\'e}t{\'e} de Prym associ{\'e}e. la proposition 3.11 nous dit que si on a un
plongement ${\cal M}\in\mathfrak{J}$ de la courbe $C$, alors la courbe
$Y$ est munie d'un plongement $\L$ de degr{\'e} 6 (le plongement de
Pl{\"u}cker) et d'une quadrique $Q$ la contenant (la grassmannienne). La
courbe $C$ fixe un point $\overline{x}\in U(A)/H$ et la quadrique $Q$
d{\'e}finit un rel{\`e}vement $x\in U(A)$ de ce point. On a donc un morphisme 
$$\mathfrak{J}\to A$$
\vs -0.9 cm
$${\cal M}\mapsto\L.\ \ $$
La proposition 3.8 nous dit que ce morphisme est surjectif et que sa
fibre est donn{\'e}e par les quadriques $Q$ qui rel{\`e}vent $\overline{x}$,
c'est-{\`a}-dire par le groupe $H$ des {\'e}l{\'e}ments d'ordre 2 de $A$. 

Le morphisme $\mathfrak{J}\to A$ est le morphisme ${\rm
  Im}(1-i)\stackrel{1-i}{\fll}{\rm Im}(1-i)$ ou enore le morphisme
  $J(Y)\stackrel{2}{\fll}J(Y)$. Remarquons enfin que l'ensemble
  $\mathfrak{J}_1$ des diviseurs du second type est isomorphe {\`a} la
  courbe $C$ : ce sont les projections du plongement canonique de $C$
  par un point de $C$. $\mathfrak{J}_1$ est donc l'image du
  plongement de $C$ dans $J(Y)$.

Le m{\^e}me raisonnement donne le cas (\i\i).\hfill$\Box$

\begin{thebibliography}{99}
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  Courbes de l'espace projectif : vari{\'e}t{\'e}s de s{\'e}cantes. 
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  Mathematics Studies, No. 59 Princeton University Press, Princeton,
  N.J. 1966. 
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  abelian varieties. I. Invent. Math. 1 (1966).
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  theta. III. With the collaboration of Madhav Nori and Peter
  Norman. Progress in Mathematics, 97. Birkh{\"a}user Boston, Inc.,
  Boston, MA, 1991. 
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Contributions to analysis (a collection of papers dedicated to Lipman
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Heinz Spindler } : Vector bundles on complex projective spaces, Basel,
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\bibitem[W2]{wall2} \textit{Charles T.C. Wall} : Geometric invariant theory
  of linear systems. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1983), 93.
\end{thebibliography}

\vs 0.5 cm

\noi
\textsc{Jean D'Almeida}

\noi
Universit{\'e} des Sciences et Technologies de Lille

\noi
F-59665 Villeneuve d'Ascq Cedex, France.

\vs 0.5 cm

\noi
\textsc{Laurent Gruson}

\noi
Universit{\'e} de Versailles

\noi
45 avenue des {\'E}tats-Unis

\noi
F-78035 Versailles, France.

\vs 0.5 cm

\noi
\textsc{Nicolas Perrin}

\noi
Institut de Math{\'e}matiques de Jussieu

\noi
175 rue du Chevaleret

\noi
F-75013 Paris, France.

\end{document}

\noi
{\textsc{Mathematisches Institut der Universit{\"a}t zu K{\"o}ln}}

\noi
{\textsc{Weyertal 86-90}}

\noi
{\textsc{50931 K{\"o}ln}}

\noi
{\textsc{Germany}}

\noi
{email : \texttt{nperrin@mi.uni-koeln.de}}


\end{document}

\subsection{Le lien avec la construction de \cite{ACGH}}

Dans la situation pr{\'e}c{\'e}dente, choisissons $\L=3K_Y$. Dans le
$\p_3^\vee$ contenant $\K^\vee$, le plan tangent de la proposition 2.4
est un plan $H'$ isomorphe {\`a} $\p(S^2H^0(K_Y))$. Il est tangent {\`a} $\K$ le
long de la conique $C_2$ image du plongement de Veronese de
$\p(H^0(K_Y))$. Cette conique contient 6 points doubles (que nous
notons $x_k$ pour $k\in[1,6]$) de la surface $\K^\vee$.

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.13} Ce choix de $\L$ est {\'e}quivalent au choix d'un
plan $H'$ parmis les 16 plans tangents {\`a} $\K^\vee$ selon une
conique. Tous ces plans sont isomorphes {\`a} $\p(S^2H^0(K_Y))$.

\vs 0.2 cm

\thg{P}{roposition}{2.14} \textit{La donn{\'e}e d'un point $x\in\p_3^\vee$
  est {\'e}quivalente {\`a} la donn{\'e}e d'une cubique de $H'$ passant par les six
  points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.}

\vs 0.2 cm

\dm
Nous pr{\'e}sentons deux approches diff{\'e}rentes. 

\vs 0.1 cm

Premi{\`e}re approche : rappelons qu'un point $x\in\p^\vee_3$ correspond
exactement {\`a} une quadrique $Q$ de $\p(H^0(3K_Y))$ contenant $Y$. Par
ailleurs, dans l'espace $\p(H^0(3K_Y))$, il existe un point
particulier $P$ donn{\'e} par le quotient $S^3H^0(K_Y)\to H^0(3K_Y)$. La
projection par ce point $P$ envoie $Y$ sur la courbe $C_3$ rationnelle
normale de degr{\'e} 3 de $\p(S^3H^0(K_Y))$. 

La projection de centre $P$ restreinte {\`a} $Q$ est ramifi{\'e}e le long
d'une quadrique $Q'$ de $\p(S^3H^0(K_Y))$. Cette quadrique $Q'$ passe
par les 6 points de $C_3$ o{\`u} le morphisme $Y\to C_3$ est ramifi{\'e}.

R{\'e}ciproquement si $Q'$ est une quadrique de $\p(S^3H^0(K_Y))$ passant
par ces six points, il existe une unique quadrique $Q$ telle que la
restriction de la projection de centre $P$ {\`a} $Q$ est ramifi{\'e}e le long
de $Q'$. Cette quadrique contient alors n{\'e}cessairement la courbe
$Y$. En effet, le morphisme qui a $Q$ associe $Q'$ est injectif. Il va
de $\p_3^\vee$ dans l'espace projectif de dimension 3 des quadriques de
$\p(S^3H^0(K_Y))$ passant par les 6 points de $C_3$ o{\`u} le morphisme
$Y\to C_3$ est ramifi{\'e}. Son image est donc irr{\'e}ductible de dimension 3
et c'est toutes ces quadriques. 

Nous avons donc vu qu'{\`a} un point $x\in\p_3vee$ correspond exactement
une quadrique de $\p(S^3H^0(K_Y))$ passant par les 6 points de $C_3$
o{\`u} le morphisme $Y\to C_3$ est ramifi{\'e}. La loi de r{\'e}ciprocit{\'e} de
Hermite (cf. par exemple \cite{FH}) donne un isomorphisme  
$$S^2(S^3(H^0(K_Y)))\simeq S^3(S^2(H^0(K_Y)))$$
entre les quadriques $Q'$ de $\p(S^3H^0(K_Y))$ et les
cubiques $C'$ de $\p(S^2H^0(K_Y))$. Par ailleurs, dans cette
correspondance, la quadrique $Q'$ rencontre la courbe rationnelle
normale $C_3$ image de $\p(H^0(K_Y))$ par le plongement de Veronese
exactement en les six points de $\p(H^0(K_Y))$ o{\`u} se rencontrent la
courbe $C'$ et la conique $C_2$. Les cubiques $C'$ ainsi
obtenues rencontrent donc $C_2$ en les six points $x_k$ pour
$k\in[1,6]$.

Remarquons que si le point $x\in\p_3^\vee$ est dans le plan $H'$,
alors la quadrique $Q$ est un c{\^o}ne passant par $P$ et la quadrique
$Q'$ est l'image de ce c{\^o}ne par la projection. La quadrique $Q'$
contient alors la courbe $C_3$ ce qui correspond {\`a} une cubique $C'$
r{\'e}union de la conique $C_2$ et d'une droite. Le plan $H'$ s'envoie
donc dans le plan des cubiques contenant $C_2$, l'application est donc
lin{\'e}aire.

\vs 0.1 cm

Deuxi{\`e}me approche : au point $x\in\p^\vee_3$ nous pouvons associer la
surface cubique $W$ polaire de $\K^\vee$. Cette surface cubique
contient en particulier les points double de $\K^\vee$. Son
intersection avec le plan $H'$ d{\'e}finit une cubique $C'$ qui passe par
les 6 points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.

Nous d{\'e}crivons cette application. On prend des coordonn{\'e}es $(X,Y,Z,T)$
dans $\p_3^\vee$. Soit $F$ l'{\'e}quation de $\K^\vee$ et $X$ l'{\'e}quation
de $H'$. Nous {\'e}crivons alors
$$F=\lambda X^4+x^3F_1+x^2F_2+xF_3+F_4$$
o{\`u} les $F_i$ sont homog{\`e}nes de degr{\'e} $i$ en $(Y,Z,T)$. Par ailleurs
comme le plan $H'$ est tangent {\`a} $\K^\vee$ le long de la conique
$C_2$, on a $F_4=C_2^2$ (on a ici encore not{\'e} $C_2$ l'{\'e}quation de la
conique $C_2$). On {\'e}crit alors le point $x$ sous la forme $(a,b,c,d)$,
la surface $W$ a pour {\'e}quation
$$a\frac{\partial F}{\partial X}+b\frac{\partial F}{\partial Y}+
c\frac{\partial F}{\partial Z}+d\frac{\partial F}{\partial T}.$$
L'{\'e}quation de la courbe $C'$ dans le plan $H'$ est alors 
$$aF_3+b\frac{\partial F_4}{\partial Y}+c \frac{\partial F_4}{\partial
  Z}+d\frac{\partial F_4}{\partial T}.$$
L'application qui {\`a} $x$ associe $C'$ est donc lin{\'e}aire. Elle va d'un
espace projectif de dimension 3 dans un autre. Nous montrons qu'elle
est bijective. Pour cel{\`a} il suffit de montrer que son image est de
dimension 3. 

Si le point $x$ est dans le plan $H'$, alors la courbe $C'$ a pour
{\'e}quation 
$$2C_2\bigg(b\frac{\partial C_2}{\partial Y}+c \frac{\partial C_2}{\partial
  Z}+d\frac{\partial C_2}{\partial T}\bigg).$$
Comme dans le premier cas, la courbe $C'$ contient dans ce cas la
conique $C_2$ et on obtient un plan de cubiques de cette mani{\`e}re. Par
ailleurs lorsqu'on prend $x=(1,0,0,0)$, l'{\'e}quation de $C'$ est alors
simplement $F_3$. Cette cubique ne contient pas $C_2$ car sinon la
surface $\K^\vee$ serait singuli{\`e}re de long de toute la conique
$C_2$. L'image est donc de dimension 3.\hfill$\Box$

%\vs 0.1 cm
%
%Remarquons enfin que dans les deux cas si on fait agir un {\'e}l{\'e}ment
%$\a\in H$, on change alors le point $x$ et $\a(x)$ et le plongement
%$3K_Y$ par l'{\'e}l{\'e}ment $\a$ d'ordre 2 correpondant. On obtient alors une
%cubique $\a(C')$ dans le plan $\a(H')$. La situation plane est donc
%identique modulo l'action du groupe $H$.\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.15} On a ainsi 16 isomorphismes lin{\'e}aires --- $\phi_{H'}$
pour chaque plan $H'$ --- entre le $\p^\vee_3$ contenant $\K^\vee$ et
l'espace projectif de dimension 3, notons le $\p(N(Y))$, des cubiques du
plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
passant par les six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$. Chaque isomorphisme
permet de d{\'e}finir une action de $H$ (qui agit sur $\p^\vee_3$) sur
$\p(N(Y))$ par $\phi_{H'}\sigma\phi_{H'}^{-1}$ pour $\sigma\in H$. Toutes
ces actions sont les m{\^e}mes car on a
$\phi_{\sigma(H')}=\phi_{H'}\circ\sigma^{-1}$ pour $\sigma\in H$. On a
donc une action bien d{\'e}finie de $H$ sur $\p(N(Y))$

%\vs 0.2 cm
%
%\thg{C}{orollaire}{2.11} \textit{La quotient $\p^\vee_3/H$ est
%  isomorphe {\`a} la vari{\'e}t{\'e} des cubiques du plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
%  passant par les six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$.}
%
%\vs 0.2 cm
%
%\dm
%Nous avons vu {\`a} la proposition pr{\'e}c{\'e}dente que si on fixe un plan $H'$
%tangent {\`a} $\K^\vee$ que l'on peut identifier {\`a} $\p(S^2(H^0K_Y))$, il y
%a un isomorphisme entre le points $x\in\p^\vee_3$ et les cubiques de
%$H'$. De plus si on change de plan, c'est-{\`a}-dire si on fait agir le
%groupe $H$, on a vu que la situation plane ne change pas.\hfill$\Box$ 

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.16} La vari{\'e}t{\'e} des courbes de genre 5 non
hyperelliptiques munies d'une involution sans point fixe et de vari{\'e}t{\'e}
de Prym $J(Y)$ est isomorphe (proposition 2.1) {\`a} l'ouvert
$U(Y)/H$ de $\p_3^\vee/H$. Elle est donc isomorphe {\`a} un ouvert de
$\P(N(Y))/H$. Les orbites de cubiques de cet ouvert ne contiennent en
particulier par la conique comme composante.

Par ailleurs, la donn{\'e}e de la conique canonique de $\p(S^2(H^0K_Y))$
et des six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$ permet de retrouver la courbe
$Y$ comme rev{\^e}tement double de la conique ramifi{\'e} aux 6 points. 

La proposition 2.14 permet de r{\'e}interpr{\'e}ter l'ouvert $U(Y)$ comme un
ouvert de l'espace $\p(N(Y))$ des cubiques du plan $\p(S^2(H^0K_Y))$
passant par les six points $x_k$ pour $k\in[1,6]$. Nous pouvons donc
r{\'e}interpr{\'e}ter le fibr{\'e} $\mathfrak{U}(\M_2)$ au-dessus de $\M_2$ comme
un ouvert ${\bf U}$ de la vari{\'e}t{\'e} des courbes planes de degr{\'e} 5
r{\'e}union d'une conique lisse et d'une cubique la coupant en 6 points
distincts. Nous avons encore une action sur ${\bf U}$ du fibr{\'e} en groupe
d'Heisenberg $\mathfrak{H}$ au-dessus de $\M_2$.

\vs 0.2 cm

\thg{T}{h{\'e}or{\`e}me}{2.17} \textit{Les constructions pr{\'e}c{\'e}dentes d{\'e}crivent
  un isomorphisme entre la vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ des courbes de genre 5 non
  hyperelliptiques munies d'une involution sans point fixe et la
  vari{\'e}t{\'e} ${\bf  U}/\mathfrak{H}$.}

\textit{Les orbites des courbes ne contiennent en particulier par les
  courbes de degr{\'e} 5 contenant une conique double.} 

\vs 0.2 cm

\thf{Remarque}{2.18} Il existe une autre param{\'e}trisation (voir par
exemple \cite{L}) de la vari{\'e}t{\'e} $\M_5^i$ par les courbes planes de
degr{\'e} 5 r{\'e}union d'une conique $A$ et d'une cubique $B$ (sans
th{\'e}ta-caract{\'e}ristique). Cette param{\'e}trisation fait intervenir des
constructions classique de g{\'e}om{\'e}trie plane et est fortement li{\'e}e {\`a} la
construction de $\cite{ACGH}$ : les coniques $C_0$ et $A$ sont les
m{\^e}mes et la cubique $C_1$ est la Hessienne de la cubique $B$.


\vs 5 cm


Dans son expos{\'e} du 16 mai 2002 au s{\'e}minaire de g{\'e}om{\'e}trie
alg{\'e}brique de l'institut de math{\'e}matiques de Jussieu, Jean
d'Almeida a d{\'e}crit la g{\'e}om{\'e}trie des courbes $X$ de degr{\'e} 8 et
de genre 5 de $\p_3$ qui ont une infinit{\'e} de quadris{\'e}santes. En
particulier, il a montr{\'e} que la famille de ces quadris{\'e}cantes
forme une courbe $C$ de genre 2 trac{\'e}e sur la grassmannienne $\G$
des droites de $\p_3$.

Consid{\'e}rons l'paplication $i$ de $X$ dans elle m{\^e}me d{\'e}finie de la
fa\c con suivante : par un point $P$ de $X$ il passe exactement deux
quadris{\'e}cantes {\`a} $X$, le plan $H_P$ engendr{\'e} par ces deux
quadris{\'e}cantes coupe $X$ en 8 points dont 7 sont sur les
quadris{\'e}cantes. Le huiti{\`e}me point est $i(P)$.

J. d'Almeida a montr{\'e} que cette application est une involution sans
point fixe de $X$ qui peut {\^e}tre r{\'e}interpr{\'e}t{\'e}e de la mani{\`e}re
suivante : la courbe $C$ d{\'e}finit une surface r{\'e}gl{\'e}e $S$ dans
$\p_3$ (la surface recouverte par les droites $L$ dont le
repr{\'e}sentant $\ell$ dans $\G$ v{\'e}rifie $\ell\in C$). Le lieu
singulier de $S$ est $X$.  La courbe $X$ peut alors {\^e}tre vue
abstraitement comme la courbe des points singuliers dans la jacobienne
$J=Jac_2(C)$ en associant {\`a} chaque point $P$ le couple de
quadris{\'e}cantes passant par $P$ (voir par exemple pour le
cas des surfaces rationnelles). L'involution naturelle $i$ sur $J$
laisse $X$ globalement invariante, c'est l'involution pr{\'e}c{\'e}dente.

On peut alors consid{\'e}rer la courbe $Y=X/i$ qui est une courbe de
genre 3 trac{\'e}e sur la surface de Kummer $J/i$. Le rev{\^e}tement
double non ramifi{\'e} non donne un {\'e}l{\'e}ment $L\in Jac_0(Y)[2]$ (un
diviseur de dgr{\'e} 0 et d'ordre 2). 

%une courbe $Y$ de degr{\'e} 6 (?) et de genre 3. J. D'almeida a montr{\'e}
%que cette courbe est un quotient de $X$ par une involution $i$ sans
%point base. Cette involution est d{\'e}finie de la mani{\`e}re suivante :
%par un point $P$ de $X$ in passe exactement deux quadris{\'e}cantes {\`a}
%$X$, le plan $H_p$ engendr{\'e} par ces deux quadris{\'e}cantes coupe $X$
%en 8 points dont 7 sont sur les quadris{\'e}cantes. Le huiti{\`e}me point
%est $i(P)$. Le morphisme entre $X$ et $Y$ est donn{\'e} par $P\mapsto
%H_p$. 

%J. D'Almeida a re{\'e}interpr{\'e}t{\'e} cette involution de la mani{\`e}re
%suivante : la courbe $X$ peut {\^e}tre vue abstraitement dans la
%Jacobienne $J=Jac_2(C)$ (voir par exemple \cite{PE3} pour le cas des
%courbes rationnelles) en associant {\`a} chaque point $P$ le couple de
%quadris{\'e}cantes passant par $P$. On a une involution naturelle $i$
%sur $J$ qui laisse $X$ globalement invariante. La courbe $C$ est le
%quotient par cette involution, elle peut donc {\^e}tre vue comme une
%courbe trac{\'e}e sur la surface de Kummer $J/i$.

\begin{thebibliography}{99}
%\bibitem[BGG]{BGG} \textit{Joseph N. Berstein, Israel M. Gelfand et Sergei
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\bibitem[S]{Sorger} \textit{Christoph Sorger} : Th{\^e}ta-caract{\'e}ristiques
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  curves. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 289 (1978), no. 1357.
\end{thebibliography}

\noi
{\textsc{Mathematisches Institut der Universit{\"a}t zu K{\"o}ln}}

\noi
{\textsc{Weyertal 86-90}}

\noi
{\textsc{50931 K{\"o}ln}}

\noi
{\textsc{Germany}}

\noi
{email : \texttt{nperrin@mi.uni-koeln.de}}


\end{document}

%Si la vari{\'e}t{\'e} $X$ est int{\`e}gre, alors le groupe de Picard s'identifie
%au groupe des diviseurs de Cartier. Dans ce cas, le groupe de Picard (ou
%des diviseurs de Cartier) modulo {\'e}quivalence num{\'e}rique est not{\'e}
%$N^1(X)$. C'est le dual de $N_1(X)$ gr{\^a}ce {\`a} la forme d'intersection. 

%\vs 0.1 cm

%Si $X$ est int{\`e}gre, s{\'e}par{\'e}e et lisse en codimension 1, alors on peut
%d{\'e}finir son groupe des diviseurs de $\we$ qui est alors $A_{n-1}(X)$
%(o{\`u} $n$ est la dimension de $X$). Nous le noterons {\'e}galement
%$\we(X)$. En g{\'e}n{\'e}ral on a une inclusion $\pic(X)\subset \we(X)$. Si $X$
%est localement factorielle (en particulier si elle est lisse), ces deux
%groupes co{\"\i} ncident.

%\vs 0.1 cm

%Nous noterons $\we_+(X)$ le c{\^o}ne des diviseurs de Weil effectifs. Sa
%restriction au groupe de Picard sera not{\'e}e $\pic_+(X)$ et le c{\^o}ne
%obtenu comme image dans $N^1(X)$ sera not{\'e} $N_+^1(X)$. Nous noterons
%enfin $\neff(X)$ le dual de ce c{\^o}ne qui est un c{\^o}ne dans $N_1(X)$.



R{\'e}ciproquement soit $C$ une courbe de genre 5 non hyperelliptique
munie d'une involution sans point fixe $i$ et dont le quotient est une
courbe $X$ de genre 3. Notons $Y$ la courbe de genre 2 associ{\'e}e et
dont la jacobienne est $J(Y)={\rm Im}(1-i)$. On consid{\`e}re le morphisme
suivant :
$$C\ \fl\ C\times C\fl\ J(C)$$
$$\ \ \ \ x\mapsto(x,i(x))\mapsto x-i(x)$$

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{2.2} \textit{Il existe $\a\in{\rm Ker}(1-i)$ d'ordre 2
  dans $J(C)$ tel que pout tout $x\in C$, on a }
$$x-i(x)+\a\in J(Y).$$

\vs 0.2 cm

\dm
Fixons un point $x_0$. On remarque que pour tout $x\in C$, on a
$$(1-i)(x-i(x))=2(x-i(x)).$$ 
Comme par ailleurs une vari{\'e}t{\'e} ab{\'e}lienne est un groupe divisible
(cf. par exemple \cite{mumab}), il existe $\xi_{x_0}\in J(C)$ tel que
$2\xi_{x_0}=x_0-i(x_0)$. On a alors
$2(1-i)(\xi_{x_0})=2(x_0-i(x_0))$. Il existe donc $\a\in J(C)$ d'ordre
2 tel que 
$$(1-i)(\xi_{x_0})=x_0-i(x_0)+\a.$$
Par ailleurs on a $(1-i)(\a)=0$ donc $\a\in{\rm Ker}(1-i)$.

Soit maintenant $x\in C$ un point quelconque. Le m{\^e}me raisonnement
montre qu'il existe $\xi_{x}\in J(C)$ et $\a'\in{\rm Ker}(1-i)$
d'ordre 2 tels que
$$(1-i)(\xi_{x})=x-i(x)+\a'.$$
On voit alors que l'on a 
$$\a-\a'=(1-i)(\xi_{x_0}-\xi_x-(x_0-x))=(1-i)(u).$$
Ainsi si on pose $\xi'_x=\xi_x+u$, on a 
$$(1-i)(\xi'_{x})=x-i(x)+\a.$$
\vs -0.9 cm\hfill$\Box$

\vs 0.2 cm

Ainsi, {\`a} translation par un {\'e}l{\'e}ment $\a$ d'ordre 2, le morphisme qui a
$x\in C$ associe $x-i(x)$ est {\`a} valeurs dans $J(Y)$.

%ommence par plonger la courbe $C$ dans $J_1(C)$ (le groupe des
%diviseurs de degr{\'e} 1) par $x\mapsto\oo_C(x)$. La courbe $C$ {\'e}tant
%munie d'une involution, c'est encore le cas de $J_1(C)$ (nous prenons
%pour point base de $J_1(C)$ un diviseur $\xi_0$ tel que
%$i(\xi_0)=\xi_0$) et on a un morphisme vers la vari{\'e}t{\'e} de Prym asoci{\'e}e
%donn{\'e} par $\xi\mapsto\xi-i(\xi)$. Nous avons donc un morphisme de
%$C\subset J_1(C)$ vers $J(Y)$ qui est la var{\'e}t{\'e} de Prym.

\vs 0.2 cm

\thg{L}{emme}{2.2} \textit{Le morphisme $C\to J(Y)$ est une immersion.}

\vs 0.2 cm

\dm
Nous pouvons supposer que dans le lemme pr{\'e}c{\'e}dent on a $\a=0$ car la
translation par $\a$ est un isomorphisme de $J(C)$.

\vs 0.1 cm

Nous commen\c cons par montrer l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che. Soient
$x$ et $y$ dans $C$ tels que leurs images soient les memes dans
$J(Y)$. On a alors $x-i(x)=y-i(y)$. Posons $D=x+i(y)$, c'est un
diviseur de degr{\'e} 2 sur $C$ et on a $D=i(x)+y$. Si $x\neq y$, le
diviseur $D$ a au moins 2 sections (car les paires $\{x,i(y)\}$ et
$\{i(x),y\}$ ne peuvent {\^e}tre {\'e}gales). Dans ce cas la courbe $C$ a un
diviseur de degr{\'e} 2 avec au moins 2 sections donc $C$ est
hyperelliptique. C'est absurde d'o{\`u} l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che.

%ou encore $x-y=i(x-y)$. Ceci
%signifie que le diviseur $x-y$ de degr{\'e} 0 provient d'un diviseur $D$
%de degr{\'e} 0 sur la courbe $X$ de genre 3, en d'autres termes, on a 
%$$x-y=\pi^*D,\ \ {\rm o\grave{u}} \ \pi\ {\rm est}\  {\rm le}\ {\rm
%  quotient}\ {\rm de}\  C\ {\rm vers}\ X.$$ 
%Mais le diviseur $D$ est alors de la forme 
%$$D=\sum_{k=1}^np_k-\sum_{k=1}^nq_k$$
%o{\`u} $p_k$ et $q_k$ sont des points de $X$. Le diviseur $\pi^*D$ est
%alors de la forme
%$$\pi^*D=\sum_{k=1}^n(p'_k+i(p'_k))-\sum_{k=1}^n(q'_k+i(q'_k)),$$
%o{\`u} $p'_k$ et $q'_k$ sont des ant{\'e}c{\'e}dents de $p_k$ respectivement
%$q_k$. Cependant comme $\pi^*D=x-y$, alors le diviseur $\pi^*D+y$ doit
%{\^e}tre effectif. Ceci n'est possible que si $\pi^*D=0$, c'est-{\`a}-dire
%$x=y$ d'o{\`u} l'injectivit{\'e} de la fl{\`e}che.

Il reste {\`a} prouver que l'application tangente est {\'e}galement
injective. Remarquons tout d'abord que le morphisme 
$C\fl J(Y)$ qui a $x$ associe $x-i(x)$ se factorise par la fl{\`e}che
$J_1(C)\fl J(Y)$ qui a $\xi$ associe $\xi-i(\xi)$. Ici la fl{\`e}che de
$C$ dans $J_1(C)$ est donn{\'e}e par $x\mapsto\oo_C(x)$.

Fixons $\xi_0\in J_1(C)$ et consid{\'e}rons l'application
$$f:C\to\p(T_{\xi_0}J_1(C))$$
d{\'e}finie de la fa\c con suivante : soit $x\in C$ et soit $v_x$ un
vecteur tangent {\`a} $C$ en $x$, alors $f(x)$ sera le translat{\'e} en
$\xi_0$ de l'image de $v_x$ par la diff{\'e}rentielle de l'application
$C\to J_1(C)$ d{\'e}finie par $x\mapsto\oo_C(x)$. 

L'application $f$ est exactement le plongement canonique de $C$ (voir
par exemple \cite{ACGH} exercices A-5 et A-6 p. 263). Le noyau en
chaque point de la diff{\'e}rentielle de 
$$J_1(C)\to J(Y)$$ 
$$\xi\mapsto\xi-i(\xi)$$
est donn{\'e} par l'espace tangent de la jacobienne $J(X)$ de
$X$. L'application tangente de
$$C\to J_1(C)\to J(Y)$$
est injective si et seulement si la courbe $C$ dans son plongement
canonique ne rencontre pas l'espace projectif correspondant {\`a}
$\p(T_0J(X))$. Ce dernier est le plan projectif associ{\'e} au
sous-espace propre pour la valeur propre 1 de l'involution $i$ sur
$C$. La courbe $C$ ne rencontre jamais ce plan car l'involution $i$
est sans point fixe. 
%Nous avons vu {\`a} la fin de la preuve du th{\'e}or{\`e}me 1.1 que si $C$
%n'est pas hyperelliptique, alors $C$ ne rencontre pas le plan c'est
%toujours le cas. 
L'application tangente est donc injective.








%
%8
Une section plane g{\'e}n{\'e}rique de $\bar S$ a alors un genre
g{\'e}om{\'e}trique {\'e}gal {\`a} deux.

R{\'e}ciproquement, une surface r{\'e}gl{\'e}e $\bar S$ de $\mathbb{P}^3$
de degr{\'e} $n$ ayant une section plane g{\'e}n{\'e}rale de genre g{\'e}om{\'e}trique
$p$ a (en g{\'e}n{\'e}ral) une courbe double de degr{\'e} $(n-1)(n-2)/2 - p$
et de genre g{\'e}om{\'e}trique $P$ avec $2P-2 = (n-5)(n+2p-2)$.
Cette courbe a (en g{\'e}n{\'e}ral) pour seules singularit{\'e}s $t=
(n-4)[(n-2)(n-3)/6- p]$ points triples (qui sont aussi triples pour la
surface).

Avec $n = 6$ et $p=2$, on obtient une courbe de degr{\'e}~8, 
de genre g{\'e}om{\'e}trique~5 avec 0 point triple. Elle est donc lisse~!
Si on note $Y$ le mod{\`e}le lisse d'une section plane g{\'e}n{\'e}rale de
$\bar S$, le mod{\`e}le lisse de $\bar S$ s'{\'e}crit $P(E)$ o{\`u} $E$
est un fibr{\'e} de rang 2 sur $Y$. Le groupe de Picard de $P(E)$
est engendr{\'e} par la classe d'une fibre et $\oo_{P(E)}(1)$.
La forme d'intersection a pour matrice 
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
0 &1\\ 
1 &n\\
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
%
Si $f : P(E) \to \p_3$ est le morphisme d'image $\bar S$, 
le conducteur de $f$ s'{\'e}crit 
$\omega_{P(E)} \otimes f^\ast \omega^\vee_{\bar S}$
avec $\omega_{P(E)} = \pi^\ast (\omega_Y \otimes \Lambda^2E)
\otimes \oo_{P(E)}(-2)$ o{\`u} $\pi : P(E) \to Y$ d{\'e}signe
la projection naturelle. On en d{\'e}duit que dans le cas
$n=6$, $p = 2$ les g{\'e}n{\'e}ratrices sont des quadris{\'e}cantes de la
courbe de degr{\'e} 8 et de genre 5, lieu double de $\bar S$.

%
%9

Cette courbe ne peut {\^e}tre trac{\'e}e sur une surface cubique
sinon cette surface cubique contiendrait les g{\'e}n{\'e}ratrices
de la surface r{\'e}gl{\'e}e de degr{\'e}~6.\\







Pour une courbe lisse de genre $g$, on sait que le lieu
singulier du diviseur theta de la jacobienne 
est de dimension $g-4$ si $C$ n'est pas hyperelliptique
et de dimension $g-3$ si $C$ est hyperelliptique.

Pour une courbe non hyperelliptique de genre 5, $\Theta_{\textrm{sing}}$
est donc une courbe et il est donc naturel d'{\'e}tudier les relations
entre ces deux courbes. Outre son int{\'e}r{\^e}t propre, le r{\'e}sultat
du th{\'e}or{\`e}me peut {\^e}tre vu comme une r{\'e}ciproque (presque) du cas c)
de l'introduction. En effet, chaque quadris{\'e}cante du th{\'e}or{\`e}me d{\'e}finit
 un {\'e}l{\'e}ment de $W^1_4$
et donc de $\Theta_{\textrm{sing}}$ par le th{\'e}or{\`e}me de singularit{\'e}
de Riemann. Il suffit de consid{\'e}rer le pinceau de plans contenant
la quadris{\'e}cante. 

La courbe $Y$ apparaissant dans la d{\'e}monstration
 du th{\'e}or{\`e}me s'identifie donc {\`a} une composante de genre deux 
de $\Theta_{\textrm{sing}}$.cf. D'Almeida. \hfill$\Box$
 
math0307005.extracted_bib
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