�������-������������� �������� ����������������� �������� � �����
�.~�.~���������
�.~�.~��������
�.~�.~����
�������� �������� �������� ����
��. �������� 1
614013
�. �����
��������������� ��������� ��������� ������������� ���������� ����������� �������, �������� �������. �������� ����������������� � �������������� �������-�������������� ������������ � ���������� �� ������ �������������� ����� � ����������� ���������� ����������� � ���������� ������������. ��������� ��������� ������ ����������� ���������� ��������� ���������� �� ��������� ��������. ��� 621.372\vspace{2mm}
diffwav11.tex
\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{graphicx}
%\usepackage{russcorr}

%\def\subtitlefont{\subtitlerm \normalbaselineskip = 13pt \normalbaselines}%
\newcommand{\mmrus}{�������������� ������������� ������ � ���������}

%\textwidth=160mm \textheight=220mm \hoffset=-20mm \topmargin=-15mm
\textwidth=170mm \textheight=220mm \hoffset=-20mm \topmargin=0mm

\begin{document}

\title{�������-������������� �������� ����������������� �������� � �����}
\author{�.~�.~���������, �.~�.~��������, �.~�.~����
\\�������� �������� �������� ����, ��. �������� 1, 614013, �. �����}
\maketitle


%\begin{center}
%{\LARGE �������-������������� �������� ����������������� �������� � ����� }
%\\[5mm]
%{\large �.~�.~���������, �.~�.~��������, �.~�.~���� \\
%�������� �������� �������� ����, ��. �������� 1, 614013, �. �����\\[5mm]
%28 ������� 2004 �.} \vspace{7mm}
%\end{center}

\begin{abstract}

��������������� ��������� ��������� ������������� ���������� ����������� �������, �������� �������. ��������
����������������� � �������������� �������-�������������� ������������ � ���������� �� ������ ��������������
����� � ����������� ���������� ����������� � ���������� ������������. ��������� ��������� ������ �����������
���������� ��������� ���������� �� ��������� ��������.

��� 621.372\vspace{2mm}

\end{abstract}

{\bf �������� �����:} �������, �����������������, ���������� ����, �������������

\section{��������}

������ � ��������� ����������������� �������, ��������� �����������, �������� ������������ �������� �����������
������������ ������, ���������� � �������������� ������� \cite{Tikhonov}. ��� ����������� ������������ ��
�������� ������ ������� �������� ������������, ������� ����������� ���������� ������������� $\alpha$ � ���������
� ������� ��� ���������� ����������� ��������� (��������� � ��������� ��������� ������������ ������� ��. �
\cite{Tikhonov,Pikalov,Troitsky}). �� �������� ������������� ������ �������� ���� � ����������� �������� ������
� ���������� ������������, ���� � ���������� ������� ������ � ������� ���������� ������. ��� ���� �����������
������ ������������� ���� ��� ��������������� ��� ������ ����������� ������� ����������� � ��������� �������
����.

�������������� �������������� �������������� ������ ������������� �������� ����������������� ����������� ������
�� ����� �������-������������� ��������, ������� ��������� ������������ ������� ���������� ������������ ������ �
���������� ������������ � ������������ �����. �������-������, �������������� �� ��������� ����������� � ������
�������� ������ ��������������� ������� (��., �������� \cite{matias}), ������� ���� ������������� � �������,
��������� � ���������� ������������ ��������������� �������� � �����.

������ ������� ������������� �������� �������-������� ��� ���������� ����������� ����������� ������ ����
��������� � ������� \cite{MM97,JBO99,my3,aa2002}. � ������ ������ �������� �������-����������������� �����������
� ������ ����� �������� ��� �������� � ��������� �������. ��� ���� ���������� ��������������� ���������
�������-������������� � ������ ����������������� ����������� �������� � ������� �������������� ���������.
������������� ������������� ��������������� �� ���������� ��������.


\section{M����� ���������� �����������������}

����� ������� $f(x)$ ����� ������ ����������� $g(x)$, ��� ���

\begin{equation}
f(x)=\int_{0}^x g(x) dx
\label{funf}
\end{equation}

� ���������� �� ������ ����� $x_n$ � ��������� �� ��������� ��������� ������ $\xi$

\begin{equation}
\tilde{f}_n=f(x_n) + \xi. \label{funfi}
\end{equation}

����������� $g(x)$ ���������� ����� $f(x)$

\begin{equation}
g(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x} \label{fung}
\end{equation}

� � ���������� ������ ����� ���� ����������� ��������� ���

\begin{equation}
\tilde{g}_n=\frac{\tilde{f}_n - \tilde{f}_{n-1}}{\Delta x},
\label{fungi}
\end{equation}
��� $\Delta x = x_n - x_{n-1}$.

� �������� ���� ������� (\ref{fungi}) ����� ����� ������������.
�������� ��� ��������� ������ ������ $|\xi|\leq A$, ����� ��������
\begin{equation}
|g_n|\leq\left| \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{\Delta x} \right| +
2A/\Delta x. \label{eq_abs_gi}
\end{equation}

��� $\Delta x \to 0$ ������ ��������� � ������ ����� (\ref{eq_abs_gi}) ��������� � $g(x)$, � ������ ����� ����
����� ������ �������. ���, � ���������, ���� ������� ������ �� �������� ���������, �� ���������� ����� �����
�������� � ���������� ������� ���������� � (\ref{eq_abs_gi}).

\subsection{����������������� � ���������� ������������}

� ������ ���������� ������� \cite{Gelfand} �������� $\delta$-�������, ���������� ������ ���
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) dx = \int_{0-}^{0+} f(x) \delta(x) dx= f(0),
\label{eq_delta}
\end{equation}
��� $f(x)$ - ������� �������.

��������, ��� $\delta$-������� ���������������. �� ������ �����������, ������������
$\dot \delta$ � ���������� "������", �������� ���������
\begin{equation}
g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x') \dot \delta(x-x') dx' = \int_{0-}^{0+} f(x-x') \dot \delta(x') dx'.
\label{eq_doublet}
\end{equation}

�������, ��� ������� $\dot \delta$ ������� � ������������� �
���������� ����� ����������� ����� $x=x'$. ������� $\dot \delta$
�������� ������  {\it ���������� ����� �������}.

\subsection{����������������� � ������������ �����}

�� ������� � ����������� \cite{Bracewell} ����������������� � ���������� ������������ �������� � ��������� �
��������� ������������. �����-������ ������� $g$ � $f$ ������� ������������
\begin{equation}
\hat{g}(k)=ik\hat{f}(k),
\label{eq_dif_ft}
\end{equation}
��� $\hat{f}(k)$ - ��������� �������������� �����
\begin{equation}
\hat{f}(k)=\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx.
\label{eq_ft}
\end{equation}

����� �������, ������ �����-����� ������� $\hat{f}(k)$, �������
��� � ��������� ������������ �� $ik$ � �������� ��������
�������������� �����, ����� ����� ����������� $g(x)$:
\begin{equation}
g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty ik \left( \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx \right)e^{ikx} dk.
\label{eq_ift}
\end{equation}

�������, ��� ������ $ik$ ����� ���������� �������������� $\dot \delta$. �� ����
\begin{equation}
ik=\int_{-\infty}^\infty \dot \delta (x) e^{-ikx} dx.
\label{eq_ik}
\end{equation}

�������������� ������� ��������� (\ref{eq_ift}) �� �������
����������������� � ���������� ������������ ����������� � ���, ���
��� ���������� �������������� ����� ������������ ���������� �
������� �� ���� ������ �������� ���, � �� ����� ���
����������������� �������� �� ����������� ��������� ���������.

\subsection{����������������� � ��������������
�������-��������������}

� ����� ������ �����������, ����� ����������������� �� ������
�������-������� �������� ������������� ��������� �����
������������������ � ���������� ������������ � � ������������
�����. �������-����� �������� ������� $f(x)$ ����
 \begin{equation}
W_{a,b}\{f\} = \int \psi^*\left({{x-b}\over{a}}\right) f(x) dx,
\label{w_definition}
\end{equation}
 ��� � �������� �������������� �������� $\psi(x)$ ������������
����������� ��� �������������� �������, �������������� ��� �
���������� ������������, ��� � � ������������ �����, � ���������
$a$ � $b$ ����������, ��������������, ������� � ��������� �������
$\psi_{a,b}=\psi\left({{x-b}\over{a}}\right)$.

��������� ����������� ������� �������-����� ������� $g(x)$ �
������� ����������������� �� ������, ����� ��������
\begin{equation}
W_{a,b}\{g\} = \int_{-\infty}^\infty \psi_{a,b}^*(x) g(x) dx = -
\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial\psi^*_{a,b}(x)}{\partial x}
f(x) dx \label{eq_wt}
\end{equation}

����� �������, �������� �������-���������� ������� $f(x)$ ��
��������� $-\frac{\partial\psi_{a,b}(x)}{\partial x}$, � ��������
����� �������� �������-�������������� � ������� �������-���������
$\psi_{a,b}(x)$, ����� �������� ������� ������� $g(x)$:

\begin{equation}
g(x)= \frac{1}{C} \int_{0+}^\infty
\frac{da}{a^3}\int_{-\infty}^\infty db \psi_{a,x}(b) \left(
\int_{-\infty}^\infty dx \chi^*_{a,b}(x) f(x) \right), \label{iwt}
\end{equation}
��� $\chi$ - ������������� �������, $\psi$ - �������������
�������, � $C$ - ���������, ������������ ����������
\begin{equation}
C = {1\over {2\pi}} \int_{-\infty}^\infty
\frac{|\hat{\psi}(k)||\hat{\chi}(k)|}{|k|}dk ={1\over
{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty |\hat{\psi}(k)|^2 dk < \infty.
\label{eq_C}
\end{equation}

����� ���� $\chi$ � $\psi$ (��� ������� � ������� ��������������) �� �������
\begin{equation}
\chi(x)= - \frac{\partial\psi(x)}{\partial x},
\label{eq_diffwav}
\end{equation}
������������, ��� ����������� �� $\psi$ ���������� � �������� ���������.

��������, ���� ������� $\chi=(1-x^2)\exp(-x^2/2)$ � $\psi=-x
\exp(-x^2/2)$ ������������� ������� (\ref{eq_diffwav}). �
��������, ����� �������, ������� ������ �����������, �����
������������ � �������� $\psi$. �� ��������, ����� ���������� ����
��������� �������������� � ������ ��������� ���������� ������.

� �������� ����������� ������ ����� ������������ ���� �������
$\chi=\dot{\delta}$ � $\psi=\delta$. ���������� � ���������
(\ref{iwt}) � ������������ $\delta$-�������, ��� �����������
������� \cite{matias}, ��������

\begin{equation}
g(x)= \int_{-\infty}^\infty dx' g(x')\delta(x-x') = \int_{-\infty}^\infty dx' f(x') \dot{\delta}(x-x').
\label{eq_convdelt}
\end{equation}


\section{������������� ���������� �����������������}\label{part_reg}

������������� ���� ��������� �� �������� ����������� � ��� ������������� �� �������� ������� �������������.

\subsection{������������ ���������� ����������� � ����������
������������}

��� ������������� ������������� ���������� �������� �������������
��������� ������� (\ref{eq_doublet}). ������� � ����������������
������ ��������, ������ ������� ����������� ����������
������������� $\alpha$, ���� ������������ �������� �����������.
���������� ������� $\dot \delta$ ���������������� ����������
�������� �������� � ������� ������� ���������, ������� �����������
������� ������������ ��������� ������� ����. ����������
�������������� ������� �� ���������� ��������� �������� ����������
�������� � �������� ������. ������������ ����� ����������,
�������� ���������� ����� �������, � ������� ����������� ��������.
����� ����� �������� �� ������ ������� \cite{Tikhonov}.

����� �� ������������ ������� ������ ����������� � ���������� ������������ �������� ������� ����������� �������
�� ������������ ����� (��������, ������ � ��. \cite{Pikalov, Hamming}), � ����������� ����������� ����������� �
���� �������� �������� (\ref{fungi}). ���������� ������ ��������� �� �������

\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x') u_{\alpha}(x-x') dx',
\label{eq_conv}
\end{equation}
��� $u$ - ������������ ����, ������ �������� ����������� ���������������� ���������� $\alpha$.

����������� �� �������� ���������� �� �������� ������ ������������
����������� ������������� �����. ��������� ������ �����������
���������� ����������� � ���������� ������������ (���
������������� ��������� ������������ ����) ����� ���� ����.

\subsection{������������ ���������� ����������� � ������������ �����}

��� ������������ ������� �� ������������ ����� � ���������� ������������ ���������� ��������� �� ������ ������
������ (���) � ��������� �������. ��������� ��� �������� ��� �������, ���� $k_0(\alpha)$. ������, �����������
����� ��������� ���, �� ����� ����� ������� ������, �� ���� ����� ����������. ����� ���������� ���������
�������������� ����� ����������������� ������������ ������� �������� ��������.

����� ���������� � ��������� ������� ��� �������� - ����������� ������������ ����� ���������� ������� ������ �
���������� ����������� ����� ��������� �� $ik$. �������� (\ref{eq_ift}) � �������� ���� �������� ������������,
��� ��� ��������� �� $ik$ �������� � ��������������� �������� ������� ������. ��� ����������� ������������
������������ ��� � ������� ������ �����������, ����������� ���������������� ���������� (��� $\alpha \to 0$,
������ ����������� ��������� � ������������� � ������������ ������� ��������� � �������). ����� ������� �����
���������� ���������� �����������, ������ �� ��������� ������. ���� ����� ����������� ��� �������:
���������������� ������, �������������� ����� ������������ $ik$ � ���������� ���, � ���������������� �������
������ - ������������ $ik$ � �������� �������.

\subsection{�������-�������������}

��� ������������� �������-��������� ������ ������� ������� � �������� ����������� ������ � ��������������
�������� $\chi$ � ����������� ������ � �������������� �������� $\psi$.

�������������� �� $a$ �� ����� ������� �� �������� �������������� � �������� �������� �� $a_{min}$ �� $a_{max}$.
� ������ ���������������� ���� ����� $a_{min}$ ���������� ������� � ��������� ������� ����. � ���������� ������
������� �������������� �� $a$ ���������� �� ��������� ������������ ��������� � �� ��������� ��������� ������� �
����������� ���� � ��������� ������� �������. ������������ ���������� � ������� ��������� ������� � ���, ���
����� ����������� ��������� �������������, ����� ������� �������������� ������������ ��� ��������� ��������
�������-�������, �.�. $a_{min}$ ������� �� $x$.

\section{�������}
\label{part_example}

\begin{figure}   \centering
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figN2.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG2.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figN3a.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG4.eps}
\caption{��������� ������� � ���������� ����� ����� {\it(������)} � ��������������� �������-������ {\it
(�����)}.}\label{fig_sigf}
\end{figure}

����� ������������ ������� ����������������� �������, ����������, �� ���� ������� � ������������� ����. ��
����������� ������������� ���� ����������� ��������. ������ ������ ������������ ������, �������� �������
�������� ������������� � ��������������� ����� ������� (������� ����������� ��������� ����������� ������ �����
���������, �� ������� ����� ������). � ���� ������ ����� �������, ��� ������ ����� �� �������������� ������� ���
�������� �������������, ��� ��������� �������� �������, ��������� � ��������� ������� �����������. � ��������
������� ������ ������� �������-������� �������.

������ ������ ������������ ����� �������� �� ��������� �� 0 �� 1 � ����� 0.001 ������������� ������,
�������������� �� ������� � ���������, ������� ����������� �������� ������������ �� �������
\begin{equation}
g(x)=\sin(2 \pi x (10 x +10))(1-1/2 \cos(6 \pi x)).
\label{funtest}
\end{equation}

����������� ������� ���������� ������� ������������ ����������
\begin{equation}
g(x)=\left\{
   -2, x\le 0 \atop
   1 , x>0
   \right. .
\label{funtest2}
\end{equation}

������ ������ ����� ������� � �� ����� ��������������� ������������ �� ����������� ������� ������� �����������.
���� ������ ����� ������ � ��������� �� -1 �� 1 � �������������� ������� ����������� ��������� ������ ������� ��
�����������������.

��� ������� �� ��������� �������� ���� ������������ ������ ����� $f_n$ �� �������
\begin{equation}
f_n=\int_{x_0}^{x_n} g(x) dx + \xi(\mu), \label{funsig}
\end{equation}
��� $\xi(\mu)$ - ����� ��� � ������� $\mu*100\%$ �� �������� ����������� �������� �������.

���������� ������������� ������������ �� ���.~\ref{fig_sigf}. ������� ���� ��������� 30\% ��� ������� �������
(���.~\ref{fig_sigf}, �����) � 10\% ��� �������-�������� ������� (���.~\ref{fig_sigf},~������). �
��������������� ����� ��������������� �������-������� (���.~\ref{fig_sigf},~�����) ����������� ������������
���������, ��������� ����������� ����.

������� �������� $f_n$ �������������� ��� ���������� ���������� ����������� $g_n$ ���������� ����������� �
��������� � �������������� ���������� ����������� $g(x_n)$. ������������������ ������ (���) �����������������
������������ �� ������� \cite{Pikalov}
\begin{equation}
\sigma=\sqrt{\frac{\sum_n(g_n - g(x_n))^2}{\sum_n {g(x_n)}^2}},\label{funsigma}
\end{equation}
��� $g(x_n)$ - �������� ����������� ���������� ������� � ������ $x_n$, $g_n$ - ��������� ����������
�����������������.

\begin{figure}   \centering
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figN5.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG5.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{fig10.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG6.eps}

\caption{����������� ������������������ ������ ����������������� (������~1 - �����, ������~2 - ������) �� ������
���� � ���������� ������������: ������������� ���� - �����, �������� ���� - ����� {\it(������)}; � ���������
������������: ������������� ��� - �����, �������-����������������� - ����� {\it(�����)}. }\label{fig_sigma}
\end{figure}

\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
����� & \multicolumn{2}{c}{����������� �������� $\sigma$}\vline\\
\cline{2-3} & ������ 1 & ������~2 \\ \hline
������������� ����               & 0.42 & 0.31 \\
�������� ����                    & 0.31 & 0.25 \\
\hline
����� (���)+���.����.            & 0.16 & 0.8  \\
����� ����� + ���.����.          & 0.16 & 0.7  \\
���������������� ������          & 0.18 & 0.27 \\
���.����� ������                 & 0.3  & 0.32 \\
\hline
�������-������������� (�����)    & 0.15 & 0.2  \\
������� $a_{min}=(20*x+c)^{-1}$  & 0.12 & -    \\
\hline
\end{tabular}
\caption{��������� ������������� ���������� ���� ��� ���������� �����������.}\label{table1}
\end{table}

� ������ ������ ������������ ��������� ���������:

\emph{������������� ���� � ���������� ������������ + �������� ��������.} ������ ���������� �� �������� ������ �
����� ���������� ����� �������� �������� ��� ������ �����������. ����������� �������� ������ ����,
�������������� $\sigma$, ������������ ����� ������������ ���������� �����, �� ������� ���������� ����������, �
����������� ���������� � ������������� ��������. ����������� �������� ������ ���� ����� �������� 0.018 ���
������� ������� � 0.14 - ��� ������� �������. ����������� �������� $\sigma$ ��������� � �������~\ref{table1}.
���������� ����������� $\sigma$ �� ������ ���� �������� �� ���.~\ref{fig_sigma}.

\emph{�������� ���� � ���������� ������������ + �������� ��������.} ����������� ������� ���������� �����������
�������� ������ �������� ���� (�� ������ �������� �� ������������� ��������). ����������� �������� ������ ����
����� 0.011 ��� ������� ������� � 0.31 - ��� ������� �������. ����������� �������� $\sigma$ - �
�������~\ref{table1}. ��������� ������� ����������� $\sigma$ �� ������ ���� (���.~\ref{fig_sigma}), �����
������, ��� �������� ���� ���� ����� ������ �������������� �����������, ��� �������������.

\emph{��� � ��������� ������������ + �������� ��������.} ����������� �������� ������� ������� $k_0$,
�������������� $\sigma$, ������������ ��������� �������: ����������� FFT �������, ������������ ������������ ����
�����, ��������������� �������� $k>k_0$, � ����� ����������� �������� FFT � ���������� ����� �������� ��������.
����������� $\sigma$ �� $k_0$ ������������ �� ���.\ref{fig_sigma}. ���������� ����������� $\sigma$ �� $k_0$
�������� �� ���.~\ref{fig_sigma}. ����������� �������� $\sigma$, ����������� ��� ������������� ����������
������� ������ ������, - � �������~\ref{table1}.

\emph{������� ������ � ��������� ������������ + �������� ��������.} ������ ���������� ������� �������������� ���
�� �������. ����������� $\sigma$ �� ������ ������� � ��������� ������������ ���������� ��������� �������:
��������� FFT �������, ���������� ������������ ���� ����� �� ������� ������, � ����� ����������� �������� FFT �
���������� ����� �������� ��������. ����������� �������� ������ ������� ����� 32 ��� ������� ������� � 1 - ���
������� �������. ����������� �������� $\sigma$ - � �������~\ref{table1}.

\emph{���������������� ������ � ��������� ������������.} ��������� ���������� ��� �� $ik$ ���� ������
����������� �����, �������������� � ��������� ������� ���������� ����������� ������������ �� ������������. �����
������, � ����� ��� ��������� ������������, ������������ � ���������� ��� ���������� ��������� ��������������
������ \cite{Pikalov,Levin}. ����������� �������� ������� ������� $k_0$ ����� 32 ��� ������� �������  � 8 - ���
������� �������. ����������� �������� $\sigma$ - � �������~\ref{table1}.

\emph{���������������� ������� ������ � ��������� ������������.} ������������ ���������� ������, �������
��������� ��� �� ������� ������. ������� � ��������� ������������ ������� ������ �� $ik$, ������� ������
$ik\exp(-{k}^2)$, ���������� �������������� �������� ����� ������ ����������� �� �������� ����. �������� ������
������� � ��������� �������, ������ �������� ��������� ��������, �������������� $\sigma$. ����������� ��������
������ ������� ����� 37 ��� ������� ������� � 10 - ��� ������� �������. ����������� �������� $\sigma$
������������ � �������~\ref{table1}.

\emph{������� ����� � ���������� ������������.} �������� ������ �� ���������, ��������� ����������� �� ��������
����� � �������� �������������� ��������. �������� ��������� ������� �� 0.1 �� 0.006, �� ��������� ��������
������ ����������� �����������. ����� ��� ������� �������� �������� ������� ���������� �������-������������� �
��������� ����� � �������������� �� ��������� �� $a_{max}=0.1$ �� $a_{min}$. �������� $a_{min}$, ������
��������������� �������� $\sigma$. ����������� $\sigma$ �� $a_{min}$ (������������� � ��������� ������ ��
������� $\nu=1/(2 a_{min})$) ������������ �� ���.~\ref{fig_sigma}. ����������� �������� $\nu=35$ ��� �������
������� � 7 - ��� ������� �������. ����������� �������� $\sigma$ - � �������~\ref{table1}. ������ �������-������
������������������� ������� (���.\ref{fig_sigf}, �����) ����������, ��� ������������ ����� ����������
������������� � ���� ���������� ��������, ������������� ����� ��������� ������. ��� ���� ����������� ������
����������� ������� � ���� ������� $a_{min}=(10*x+c)^{-1}$. ����� ������� �������� $c$ �������������
������������ $\sigma$. � ���� ������ ��� �������� $c=42$ ���������� ��������� $\sigma=0.12$, ��� ������� �����,
��� ���������, ���������� � �������������� �������������� �����. ��� �������-�������� ������� (������~2)
�������������� ����������� �� �����������, ��� ��� ��� �������-����� (���.\ref{fig_sigf}, ������) �����������
������� �������� ����.


�� ���.\ref{fig_diff} ������������ ������� ������������� ����������� ��������� �������� � ���������� ����������
����������������� ������� �� ������ �������� ����� ��� ����������� �������� $a_{min}$ (��� �������������
�������������� �����������). �������-������ ����������� ��������, ����������� �� ���.~\ref{fig_diff},�����,
���������� ������������� ������������ ������� � �������� ����������.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figN6.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG7.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figN3.eps}
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{figG3.eps}
\caption{����������� ��������� ��������, ����������� ������������� - �����; ��������� ������ � ��������������
�������� ����� ��� ����������� �������� $a_{min}$ - ����� {\it(������)}. �������-������ ����������� ���������
�������� {\it(�����)}.}
\label{fig_diff}
\end{figure}

\section{����������}

�������� c �������������� �������-�������������� ��������� ��������� ���������� ����������������� � ��������
����. ����������� �������� ������� ��������� ����� ����� ��������� �������� ������� �� ��������� � ��������
���������� � ��������� ������������.

������ ������� ������������ ������ ����� ������������ ��� ������� �������� ����� (� ��������, ����������,
������������� � �.�.). ��������, ������������ ��������� �����, � �������� �������� ������ ���������������
����������, ����� ������� \cite{Levin}
\begin{equation}
g(r)=-\frac{1}{\pi}\int_{r}^{\infty} \frac{dp}{\sqrt{p^2-r^2}} \frac{\partial f(p)}{\partial p},
\label{eq_abel}
\end{equation}
��� $f(p)$ - ���������� � ��������� ������������ ������������ ������.

� ����� ������ ������� ��������� ������ ���������� �������� � ��������� �������������� ������, ������� �����
����� ���� �������� ����� ������ ����������� ����������� ������� \cite{Pikalov}
\begin{equation}
g(x,y)=-\frac{1}{2\pi^2}\int_{0}^{\pi} d\phi \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{p-x\sin\phi+y\cos\phi}
\frac{\partial f(p,\phi)}{\partial p}, \label{eq_irt}
\end{equation}
��� $f(p,\phi)$ - ���������� � ��������� ������������ ������������ ������.

� ������ \cite{frick_etal_98} �������� ��� ��������, ������������, ��� ����� ��������� ���������� �������� ����,
����������� � ������� ��-�� ��������, � �������� �������� �������������� ������� ��������� �������. ����
�������� ����� ����������� � �� �������������� ������ � ���������� ����������� � ������� � ���� ������ �
���������. �� ������ ���� � ������� ������ "�������" ��������� ����������� �������-����� $W_{a,b}$ ��������
������� $\tilde f(x)$, � �� ������ ���� - �� ������� (\ref{iwt}) ����������������� ������� �����������
$g(x)=f'(x)$. ��� ���� �� ������ ���� ������������ {\it ������} �������-������� $\chi(x)$.

\vspace{5mm} {\bf �������������.} ������ ��������� ��� ���������� ��������� ������ ����-���� � 03-02-04031, ����
� 03-02-16384 � ������-���������������� ������ (����� PE-009-0). �� ����� ���������� ���������� ��������� ���
(����� ������� ������).

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Tikhonov}
{\it ������� A., ������� �.} ������ ������� ������������ �����. �.:�����, 1986.

\bibitem{Pikalov}
{\it ������� �.�., ���������� �.�.} ���������� ������. �����������: �����. ��������� ������������ ����� ���, 1995.

\bibitem{Troitsky}
{\it T������� �.�.} �������������� ������ ����������. �.:����� � �����, 1989.

\bibitem{matias}
{\it Holschneider M.} Wavelets: Tool of analysis. Oxford: Oxford University Press, 1995.

\bibitem{MM97}
{\it ��������� �.�., ���� �.�.} �������-���������� � �������� ���� //
\mmrus, ���.5. �����: ��-�� ����, 1997. 86-92.

\bibitem{JBO99}
{\it Patrickeyev I., Frick P.} Lymphocyte nucleus reconstruction via wavelet tomography //
Journal of Biomedical Optics. 1999. N~7. 376-380.

\bibitem{my3}
{\it �������� �.�.} ��������� �������-���������� ������������� �����
// \mmrus. ���.7. �����: ��-�� ����, 1999. 86-91.

\bibitem{aa2002}
{\it Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D.} Wavelet-tomography of the Galactic magnetic field. I.The
method // Astronomy and astrophysics. 2002. 391. 361-368.

\bibitem{Gelfand}
{\it �������� �.�., ����� �.�.} ���������� ������� � �������� ��� ����. �.:�����, 1959.

\bibitem{Bracewell}
{\it Bracewell R.} Fourier Transform and Its Application. McGrow-Hill, Inc., 1965.

\bibitem{Hamming}
{\it ������� �.} �������� �������. �.: ��������� �����, 1980.

\bibitem{Levin}
{\it Levin G.G.}(Ed.)~Analytical Methods for Optical Tomography, SPIE, 1992.

\bibitem{frick_etal_97}
{\it Frick P.,  Baliunas S., Galyagin D., Sokoloff D., Soon W.}
Wavelet analysis of stellar chromospheric activity variations //
Astrophysical Journal. 1997. 483. 426-434.

\bibitem{frick_etal_98}
{\it Frick P., Grossmann A., Tchamichian Ph.} Wavelet analysis of signals with gaps //
Journal of Mathematical Physics. 1998. 39. N~8. 4091-4107.

\end{thebibliography}

\end{document}

math-ph0412094.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Tikhonov}
{\it ������� A., ������� �.} ������ ������� ������������ �����. �.:�����, 1986.

\bibitem{Pikalov}
{\it ������� �.�., ���������� �.�.} ���������� ������. �����������: �����. ��������� ������������ ����� ���, 1995.

\bibitem{Troitsky}
{\it T������� �.�.} �������������� ������ ����������. �.:����� � �����, 1989.

\bibitem{matias}
{\it Holschneider M.} Wavelets: Tool of analysis. Oxford: Oxford University Press, 1995.

\bibitem{MM97}
{\it ��������� �.�., ���� �.�.} �������-���������� � �������� ���� //
\mmrus, ���.5. �����: ��-�� ����, 1997. 86-92.

\bibitem{JBO99}
{\it Patrickeyev I., Frick P.} Lymphocyte nucleus reconstruction via wavelet tomography //
Journal of Biomedical Optics. 1999. N~7. 376-380.

\bibitem{my3}
{\it �������� �.�.} ��������� �������-���������� ������������� �����
// \mmrus. ���.7. �����: ��-�� ����, 1999. 86-91.

\bibitem{aa2002}
{\it Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D.} Wavelet-tomography of the Galactic magnetic field. I.The
method // Astronomy and astrophysics. 2002. 391. 361-368.

\bibitem{Gelfand}
{\it �������� �.�., ����� �.�.} ���������� ������� � �������� ��� ����. �.:�����, 1959.

\bibitem{Bracewell}
{\it Bracewell R.} Fourier Transform and Its Application. McGrow-Hill, Inc., 1965.

\bibitem{Hamming}
{\it ������� �.} �������� �������. �.: ��������� �����, 1980.

\bibitem{Levin}
{\it Levin G.G.}(Ed.)~Analytical Methods for Optical Tomography, SPIE, 1992.

\bibitem{frick_etal_97}
{\it Frick P.,  Baliunas S., Galyagin D., Sokoloff D., Soon W.}
Wavelet analysis of stellar chromospheric activity variations //
Astrophysical Journal. 1997. 483. 426-434.

\bibitem{frick_etal_98}
{\it Frick P., Grossmann A., Tchamichian Ph.} Wavelet analysis of signals with gaps //
Journal of Mathematical Physics. 1998. 39. N~8. 4091-4107.

\end{thebibliography}