Th\'eor\`emes d'annulation et lieux de d\'eg\'en\'erescence en petit corang
Pierre-Emmanuel Chaput
petit_corang_arXiv.tex
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\newtheorem{exem}[defi]{Exemple}
\newtheorem{rema}[defi]{Remarque}

\newcommand{\res}[2]{\vspace{.15cm}

\noindent
{\bf #1 :} {\it #2} \vspace{.15cm} 

\noindent \hspace{-.32cm}
}

\begin{document}

\newcommand{\Es}[4]{ {\ }^{#1} \hspace{-2pt} E^{#2,#3}_{#4} }
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\noindent}
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\noindent}
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\noindent}

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 $\bullet$ \end{flushright}}

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#2 \\
#3 \\
#4
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\title{Th\'eor\`emes d'annulation et lieux de d\'eg\'en\'erescence en petit corang}
\author{Pierre-Emmanuel Chaput\\
        Pierre-Emmanuel.Chaput@math.univ-nantes.fr}
\maketitle

\begin{center}
\bf{Abstract}
\footnote{
{\it Classification AMS\/}: 14F17.\\
{\it Mots-cl\'es\/}: Th\'eor\`emes d'annulation, grassmannienne.}
\end{center}

After giving an explicit description of all the non vanishing Dolbeault 
cohomology groups of ample
line bundles on grassmannians, I give two series of
vanishing theorems for ample vector
bundles on a smooth projective variety. They imply
a part of a conjecture by Fulton and Lazarsfeld about the connectivity of some
degeneracy loci.

\vspace{1cm}

\begin{center}
\bf{Introduction}
\end{center}

Soit $X$ une vari\'et\'e projective complexe, $E$ un fibr\'e vectoriel sur
$X$ et $L$ un fibr\'e en droites. Supposons que l'on ait une forme quadratique
sur $E$ \`a valeurs dans $L$, soit une section de $S^2E^* \otimes L$. Si $k$
est un entier, on note $D_k(E)$ le sous-sch\'ema de $X$ o\`u 
cette section est au plus de rang $k$.
Dans \cite[Remark 2,p.50]{fulton}, on peut lire la conjecture suivante
($t(x):=\frac{x(x+1)}{2}$):
\begin{conj}
Soit $E$ un fibr\'e vectoriel
de rang $e$, sur une vari\'et\'e $X$ lisse, projective, connexe 
et de dimension $n$. Supposons que $E$ est
muni d'une forme quadratique \`a valeurs dans un fibr\'e en droites $L$. 
Soit $k$ un entier et supposons que
\begin{itemize}
\item
$\dim D_k(E)=\rho:=n-t(e-k) \geq 1$.
\item
$S^2E^* \otimes L$ est ample.
\end{itemize}
Alors, $D_k(E)$ est connexe.
\label{conjecture}
\end{conj}

Dans cet article, je montre cette conjecture sous l'hypoth\`ese suppl\'ementaire
que $e-k \leq 4$ et $\rho \geq 2$. J'obtiens en fait les r\'esultats 
plus pr\'ecis suivants:
\res{Th\'eor\`eme \ref{degenerescence}}
{
Sous les hypoth\`eses de la conjecture pr\'ec\'edante, \`a part que $X$ n'est plus
suppos\'ee connexe, et si de plus $\rho \geq 2$ et $e-k \leq 4$, alors
l'application de restriction 
$H^q(X,{\cal O}_X) \rightarrow H^q(D_k(E),{\cal O}_{D_k(E)})$ est un
isomorphisme pour $0 \leq q<\rho-1$, et est injective pour $q=\rho-1$.
}

La conjecture de Fulton et Larzarsfeld a \'et\'e r\'esolue en utilisant
une technique diff\'erente par Tu \cite{tu1}, dans le cas o\`u $k$ est pair. Par
ailleurs, \cite{tu2} montre
aussi la connexit\'e, mais \`a condition que $\rho \geq e-k$. Si $e-k=3$ ou 4, ma
borne, 2, est donc meilleure. J'esp\`ere aussi que ce travail est un pas de plus
vers une parfaite compr\'ehension des ph\'enom\`enes combinatoires qui permettent
d'\'etablir les th\'eor\`emes d'annulation. Mentionnons enfin que 
\cite[prop 2.3]{laytimi} donne en utilisant la m�me technique que moi
la connexit\'e d'un lieu de dimension
strictement positive, mais pour $e-k \leq 2$, ce qui, comme le lecteur pourra
le mesurer, simplifie consid\'erablement le probl\`eme.

\lpara

Il est bien connu que la conjecture d\'ecoule de th\'eor\`emes d'annulation ad\'equats
\cite{manivel}: il suffit en effet d'utiliser une r\'esolution 
du faisceau structural de
$D_k(E)$ par des fibr\'es vectoriels qui sont des puissances de Schur de $E$, et
d'appliquer les th\'eor\`emes d'annulation aux termes de cette r\'esolution.
Dans le cas o\`u $e-k \leq 2$, seuls des crochets, \`a savoir des partitions dont
seule la premi\`ere part est \'eventuellement sup\'erieure \`a 2, 
interviennent, et le th\'eor\`eme 2.1 dans \cite{nahm} convient.
Dans cet article, je propose une g\'en\'eralisation de
ce r\'esultat pour des produits tensoriels de crochets. Cette g\'en\'eralisation 
donne bien entendu un th\'eor\`eme d'annulation pour toutes les partitions; 
malheureusement, la borne obtenue est insuffisante pour \'etablir la conjecture.
Je propose donc dans cet article une m\'ethode un peu nouvelle, de ``comparaison
de suites spectrales'', pour \'etablir des th\'eor\`emes d'annulation plus puissants.
Le th\'eor\`eme \ref{degenerescence} est alors cons\'equence des th\'eor\`emes
d'annulation obtenus par cette m\'ethode.

L'efficacit\'e des th\'eor\`emes d'annulation obtenus d\'epend directement de notre
compr\'ehension de la cohomologie des fibr\'es en droites homog\`enes amples sur une
grassmannienne; Snow \cite{snow_classique} a donn\'e pour la calculer 
une m\'ethode 
diagrammatique commode. L'inconv\'enient de cette m\'ethode est qu'il est difficile
d'en d\'eduire, pour $r<e$ et $l$ des entiers fix\'es, l'entier maximal
$p$ tel qu'il existe $q$ avec $H^{p,q}[G(r,e),\ooo(l)] \not = 0$
($G(r,n)$ d\'esigne la grassmannienne des $r$-plans vectoriels dans un espace
vectoriel de dimension $n$ et $\ooo(l)$ est la $l$-i\`eme puissance du 
d\'eterminant du fibr\'e quotient). Pourtant, 
comme nous allons le voir, la d\'etermination de cet entier est cruciale pour
obtenir des th\'eor\`emes d'annulation. Je propose donc une description nouvelle de
la cohomologie de $\ooo(l)$ sur une grassmannienne, bas\'ee sur celle de Snow, et
j'en d\'eduis le th\'eor\`eme \ref{partition_p_max} 
qui permet de d\'eterminer cet entier.

\lpara

Je remercie mon directeur de th\`ese Laurent Manivel pour son aide tout au long 
de l'\'elaboration de cet article.
Cet article a \'et\'e publi\'e \`a Documenta Mathematica \cite{documenta}.

%******************************************************************************

%******************************************************************************

\section{Cohomologie de Dolbeault des fibr\'es $\ooo(l)$ sur une grassmannienne}

%******************************************************************************

\subsection{Description explicite de toutes les partitions admisibles}

Rappelons tout d'abord la description de Snow \cite{snow_classique} des groupes de
cohomologie non nuls sur une grassmannienne. Une partition est suite 
d\'ecroissante finie d'entiers. Je note $\lambda_i$ 
le $i$-i\`eme entier de $\lambda$; c'est par
convention la $i$-i\`eme part de $\lambda$. Le poids de $\lambda$, not\'e
$|\lambda |$, est la somme de ses parts. Sa longueur, $l(\lambda)$, est le
nombre de parts non nulles.
Dans de
nombreuses circonstances, il est pratique de repr\'esenter les partitions
par un diagramme comme le sugg\`ere l'exemple qui suit:
$$
\begin{array}{c}
\yng(6,4,1)\\
\mbox {partition } (6,4,1).
\end{array}
$$
A chaque partition $\lambda$ correspond un foncteur
de la cat\'egorie des espaces vectoriels dans elle-m�me
que j'appelle ``de Schur'' et que je 
note $S_\lambda$ \cite{fulton_harris}.

Lorsque $\lambda$ est une partition, on peut attribuer \`a chaque case de cette
partition son nombre de crochet qui est le nombre de cases de $\lambda$
situ\'ees en-dessous ou \`a droite de cette case, cette case comprise. Par exemple,
les cases de la partition suivante ont \'et\'e num\'erot\'ees 
par leurs nombres de crochets:
$$
\young(6421,31,1).
$$
Convenons alors, si $l$ est un
entier, que $\lambda$ sera appel\'ee $l$-admissible si toutes les cases
re\c{c}oivent un num\'ero diff\'erent de $l$.
 
Snow \cite{snow_classique} a montr\'e qu'il existe une bijection, 
\`a $r<e$ et $l$ fix\'es, entre
les composantes des groupes de cohomologie $H^{p,q}[G(r,e),\ooo (l)]$
et les partitions de
longueur inf\'erieure ou \'egale \`a $r$ dont toutes les parts sont
inf\'erieures ou \'egales \`a $e-r$ (par la suite je les appellerai simplement
partitions de taille $(e-r,r)$) qui sont $l$-admissibles. 
Si $\lambda$ est une partition $l$-admissible, 
soit $\hlm$ (respectivement $\vlm$)
la suite d'entiers telle que
 $\hlm_i$ (respectivement $\vlm_j$) est le nombre de cases 
situ\'ees 
sur la $i$-i\`eme ligne (respectivement sur la $j$-\`eme colonne) dont le 
nombre de crochet est strictement inf\'erieur \`a $l$. Nous allons voir que
$\hlm$ et $\vlm$ sont des partitions.
Si $p=|\lambda|$ et $q$ est le nombre de cases qui ont un
nombre de crochets strictement sup\'erieur \`a $l$, alors 
$H^{p,q}[G(r,e),\ooo(l)]$ contient $S_\mu \C^e$, si $\mu$ est la partition
obtenue en r\'eordonnant toutes les parts $(l-\hlm_i)$ et $\vlm_j$.

Le seul inconv\'enient de cette m\'ethode est que l'ensemble des partitions
$l$-admissibles n'est pas ais\'e \`a d\'ecrire. Je propose dans ce paragraphe de
montrer qu'il est en bijection avec l'ensemble
de toutes les partitions de taille $(l-1,r)$, et d'\'etudier des propri\'et\'es
de cette bijection.

\begin{prop}
L'application $\lambda \mapsto \hlm$ est une bijection de
l'ensemble des partitions $l$-admissibles dans l'ensemble des partitions de
taille $(l-1,r)$.
\label{partition_admissible}
\end{prop}
\noindent
\dem
Tout d'abord si $\lambda$ est $l$-admissible, alors $\forall i,\hlm_i<l$
puisque les nombres de crochet sont strictement d\'ecroissants sur une ligne.
Introduisons quelques notations.
\begin{defi}
\ \\
\vspace{-.5cm}
\begin{itemize}
\item
Soit $h_{i,j}$ le nombre de crochet de la case situ\'ee sur la $i$-i\`eme
ligne et la $j$-\`eme colonne. Convenons que $h_{i,0}=+\infty$. 
\item
Pout tout $i$,
soit ${(g_{i,j})}_{j\in \N}$ la suite strictement croissante d'entiers dont 
l'image est le compl\'ementaire dans $\N$ de l'ensemble des $h_{i,j}$.
\item
Notons $\delta_i$ l'entier
$l-\hlm_i$, tel que $g_{i,\delta_i}=l$. Notons enfin $x_{i,j}$ le num\'ero de
colonne de la derni\`ere case sur la $i$-i\`eme ligne 
de nombre de crochet sup\'erieur \`a $g_{i,j}$.
\end{itemize}
\end{defi}
Ainsi, on a $g_{i,0}=0$, $x_{i,0}=\lambda_i$ et pour $j>>1$, $x_{i,j}=0$, par
nos conventions.

Alors, par la d\'efinition des nombres de
crochet, on a $h_{i-1,j}=h_{i,j}+\lambda_{i-1}-\lambda_i+1$. Les nombres
de crochet qui apparaissent sur la $(i-1)$-i\`eme ligne sont donc
$(1,\cdots, \lambda_{i-1}-\lambda_i$ et les 
$h_{i,j}+\lambda_{i-1}-\lambda_i+1$. Ainsi,
$g_{i-1,j+1}=g_{i,j}+\lambda_{i-1}-\lambda_i+1$. En
particulier, $g_{i-1,\delta_i+1}>l$, donc $\delta_{i-1}\leq \delta_i$ et donc
$\hlm$ est une partition. On d\'emontre maintenant un r\'esultat plus pr\'ecis
que la proposition \ref{partition_admissible}:

\begin{lemm}
Pout toute partition $\nu$ de taille $(l-1,r)$, il existe une unique
partition $l$-admissible $\lambda$ telle que $\hlm = \nu$; pour celle-ci, on a:
\begin{itemize}
\item{$\lambda_i=\lambda_{i+l-\nu_i} + \nu_i$.}
\item{$x_{i,j}=\lambda_{i+j}$.}
\end{itemize}
\label{inverse}
\end{lemm}
\dem
On d\'emontre par r\'ecurrence descendante sur $i_0$ qu'une partition a ses nombres
de crochet diff\'erents de $l$ \`a partir de la ligne $i_0$ et v\'erifie
$\hlm_i=\nu_i$ pour $i \geq i_0$ \ssi elle v\'erifie les deux points du lemme
pour $i\geq i_0$.

On a $\lambda_r=\nu_r,x_{r,0}=\lambda_r$ et $x_{r,j}=0$ pour $j>0$, de sorte
que
la propri\'et\'e de r\'ecurrence est vraie pour $i_0=r$. Soit maintenant $i_0$ fix\'e
tel que cette hypoth\`ese est v\'erifi\'ee pour $i_0+1$. Alors posons 
$\delta=\delta_{i_0}(=l-\nu_{i_0})$ et
$d=\lambda_{i_0}-\lambda_{i_0+1}$ ($d$ d\'epend de $\lambda_{i_0}$ qui est pour
l'instant inconnu). On a vu que $g_{i_0,0}=0$ et 
$g_{i_0,j+1}=g_{i_0,j}+d+1$ pour $j\geq 0$. Les nombres de 
crochet de $\lambda$ en-dessous et sur la $i_0$-i\`eme ligne sont diff\'erents de
$l$ \ssi $g_{i_0,\delta}=l$, ce qui \'equivaut donc \`a
$d=l-1-g_{i_0+1,\delta_{i_0-1}}$. 
Il existe donc exactement une possibilit\'e
pour $\lambda_{i_0}$. De plus, on a toujours
$x_{i_0,j+1}=x_{i_0+1,j}=\lambda_{i_0+j+1}$ et
le fait qu'effectivement $\hlm_{i_0}=\nu_{i_0}$
implique que
$\lambda_{i_0}=x_{i_0,\delta}+\nu_{i_0}=\lambda_{i_0+\delta}+\nu_{i_0}$.
\fin

\begin{nota}
Si $\nu$ est une partition de taille $(l-1,r)$, je noterai $\widehat \nu$
la partition $\lambda$ telle que $\hlm=\nu$. Par aileurs je noterai
$p(\nu)$ et $q(\nu)$ le poids et le nombre de cases de nombre de crochet
sup\'erieur \`a $l$ de $\lambda$.
\end{nota}

J'ai affirm\'e qu'aussi $\vlm$ est une partition, cela
d\'ecoule du fait que $\lambda^*$ est 
$l$-admissible et
$\vlm={}^h{(\lambda^*)}^-$.
\para

Si $\lambda_1,\lambda_2$ sont des partitions,
on note $\lambda_1 \subset \lambda_2$ le fait que 
$\forall i,\lambda_{1,i} \leq \lambda_{2,i}$.
Par une r\'ecurrence imm\'ediate, le lemme \ref{inverse} implique:
\begin{prop}
Si $\nu_1 \subset \nu_2$, alors 
$\widehat \nu_1 \subset \widehat \nu_2$.
\label{inclusion_inverse}
\end{prop}

\begin{prop}
Soient $k$ et $l$ deux entiers et $\lambda$ une partition. Si $\lambda$ est
$l$-admissible, alors elle est $(kl)$-admissible.
\end{prop}
\dem
En effet, si $G_i$ d\'esigne l'ensemble des entiers naturels qui
n'apparaissent pas parmi les nombres de crochet sur la $i$-i\`eme ligne, on sait
que pour tout $i$, $l\in G_i$ et il existe $d_i$ tel que 
$G_{i-1}=(d_i+1+G_i) \cup \{ 0 \}$.
Une r\'ecurrence imm\'ediate prouve alors que pour tout $i$, $G_i$ v\'erifie la
propri\'et\'e $x\in G_i \Rightarrow x+l\in G_i$. La proposition en d\'ecoule.
\fin

La contrapos\'ee de cette proposition implique que 
pour toute partition $\lambda$ 
exactement inscrite dans un rectangle
$r \times (e-r)$ (c'est-\`a-dire que $\lambda_1=e-r$ et $l(\lambda)=r$), 
il existe une case dont le nombre de crochet est $d$ pour tout
$d$ diviseur de $e-1$. Une telle partition n'est donc pas $d$-admissible. Si
$\lambda$ correspond \`a une composante non nulle de
$H^{*,*}[G(r,\C^e),\ooo(d)]$, on a donc soit $\lambda_1<e-r$ soit 
$l(\lambda)<r$. Ainsi, si $S_\mu\C^e \subset H^{*,*}[G(r,\C^e),\ooo(d)]$, on a
soit $\mu_e=0$, soit $\mu_1=d$. 


%******************************************************************************

\subsection{Partitions admissibles de poids maximal}

Comme nous le verrons au paragraphe suivant, 
pour d\'emontrer des th\'eor\`emes d'annulation
pour la cohomologie de fibr\'es vectoriels amples, il est utile de bien
comprendre la cohomologie des fibr\'es homog\`enes sur une grassmannienne, et plus
pr\'ecis\'ement quelle est, pour $l,n$ et $r$ des entiers quelconques, la valeur
maximale de $p$ telle qu'il existe un entier $q$ avec
$H^{p,q}(G(r,n),\ooo(l))$ non nul. Si $n>rl$, cet entier a \'et\'e d\'etermin\'e
par Laurent Manivel \cite[proposition 1.2.1, p.111]{manivel_these}
et cela a permis de d\'emontrer de nombreux th\'eor\`emes
d'annulation, dont celui de F. Laytimi et W. Nahm concernant les 
partitions en forme de crochets \cite{nahm}. Lorsque $n,r$ et $l$ ne
satisfont plus cette in\'egalit\'e, la combinatoire des partitions $l$-admissibles
devient nettement plus compliqu\'ee et aucun r\'esultat ne donne cet entier $p$.

Soit $n,r,l$ des entiers fix\'es.
Si $a,\alpha,\beta,c,\gamma$ sont des entiers, notons 
$\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$ la partition $\mu$ d\'efinie par:
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
\forall \ i\leq \alpha (l-a), & \mu_i=a\\
\forall \ \alpha (l-a)<i\leq \alpha (l-a) + \beta (l-a+1), & \mu_i=a-1\\
\forall \ \alpha (l-a) + \beta (l-a+1)<i\leq \alpha(l-a)+\beta(l-a+1)+\gamma, 
& \mu_i=c
\end{array}
\right .
$$



Cette partition est de longueur $(\alpha + \beta)(l-a) + \beta + \gamma$ et
un calcul direct utilisant le lemme
\ref{inverse} montre que 
$\widehat \mu_1(a,\alpha,\beta,c,\gamma)=(\alpha + \beta)a-\beta +c$.

Notons $\delta(\alpha,\beta)=\min\{\alpha,\beta\}$ si $\beta \not = 0$,
et $\delta(\alpha,0)=\alpha$. Rappelons que si $\mu$ est une partition,
$\widehat \mu$ a \'et\'e d\'efinie
comme l'unique partition telle que ${}^h\widehat \mu^-=\mu$ (cf lemme
\ref{inverse}).

\begin{theo}
Soient $n,r$ et $l$ des entiers, et $\lambda$ une partition $l$-admissible de
longueur $r$ et telle que $\lambda_1 \leq n-r$.\\
Alors, soit $\lambda$ est de la forme $\widehat \mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$
avec $\gamma \leq l-a$,
soit il existe des entiers $a,\alpha,\beta,c,\gamma$ avec $\gamma \leq l-a$
et tels que
$\widehat \mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$ soit aussi $l$-admissible de
longueur $r$ et de premi\`ere part inf\'erieure ou \'egale \`a
$n-r$, et que de plus
$|\widehat \mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)| \geq |\lambda| + 
\delta(\alpha,\beta)$. De plus, ces entiers sont tels que $\alpha + \beta$ et
$\gamma +c$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $n$
par $l$.
\label{partition_p_max}
\end{theo}
\dem
Consid\'erons $n>r$ et $l$ trois entiers, et soit $\lambda$ une partition
$l$-admissible de longueur au plus $r$ et telle que $\lambda_1 \leq n-r$. 
On va raisonner
sur la partition $\hlm$: nous allons voir que dans trois cas, on peut modifier
cette partition pour en obtenir une de poids sup\'erieur et encore de longueur
au plus $r$ et de m�me premi\`ere part. D\'efinissons une suite $a_i$ par
$$
\left \{
\begin{array}{l}
a_1=1\\
a_{i+1}=\min \{ a_i+l-\hlm_{a_i} , r+1 \}.
\end{array}
\right .
$$
Soit $A$ le plus grand entier $i$ tel que $a_i \leq r$.
Le lemme \ref{inverse} montre que pour $i \leq A$,
$$\lambda_{a_i}=\sum_{i \leq j \leq A} \hlm_{a_j}.$$
En particulier, si $\mu$ est une partition telle que 
$\forall i\leq A,\mu_{a_i}=\hlm_{a_i}$, alors on a $\widehat \mu_1=\lambda_1$.
Par exemple, si $\mu$ la partition d\'efinie par
$\forall i\leq A, \forall j\in [a_i,a_{i+1}-1]$,
$\mu_j=\hlm_{a_i}$, on a, par la proposition \ref{inclusion_inverse},
$\widehat \mu \supset \lambda$, et
$\widehat \mu_1=\lambda_1$. Par exemple, pour $l=5$, on remplace la partition
$\yng(3,2,2,1,1,1)$ par $\yng(3,3,2,2,2,1)$.

\lpara

Supposons qu'il existe des entiers $i,a$ et $b$ avec 
$b \leq a-2$ et tels que

\ \vspace{-3.3cm}

$$
\hspace{-3.5cm}
\begin{array}{cc}
\left \{
\begin{array}{ll} 
\forall j\in [i+1,i+l-a], & \hlm_j=a\\ 
\forall j\in [i+l-a+1,i+2(l-a)+1], & \hlm_j=b.
\end{array}
\right .

&

\setlength{\unitlength}{3mm}
\begin{picture}(5,12)(0,3)
\put(0,6){\line(1,0){8}}
\put(0,3){\line(1,0){8}}
\put(0,0){\line(1,0){4}}

\put(0,0){\line(0,1){6}}
\put(4,0){\line(0,1){3}}
\put(8,3){\line(0,1){3}}

\put(1.5,4.1){$a$}
\put(8.5,4.1){$l-a$}

\put(1.5,1.1){$b$}
\put(4.5,1.1){$l-a$}

\end{picture}

\end{array}
$$
\vspace{.5cm}

\noindent
Alors, consid\'erons la
partition $\mu$ d\'efinie par \vspace{-1cm}
 
$$
\begin{array}{cc}
\hspace{-2cm}
\left \{
\begin{array}{ll}
\forall j\in [i+1,i+l-a], & \mu_j=a-1\\
\forall j\in [i+l-a+1,i+2(l-a)+1], & \mu_j=b+1\\
\forall j \not \in [i+1,i+2(l-a)+1], & \mu_j=\hlm_j.
\end{array}
\right .

&

\setlength{\unitlength}{3mm}
\begin{picture}(8,6)(0,3)
\put(0,6){\line(1,0){8}}
\put(0,3){\line(1,0){8}}
\put(0,0){\line(1,0){4}}

\put(0,0){\line(0,1){6}}
\put(4,0){\line(0,1){3}}
\put(8,3){\line(0,1){3}}

\put(1,4.1){$a-1$}
\put(8.5,4.1){$l-a$}

\put(.5,1.1){$b+1$}
\put(4.5,1){$l-a$}

\end{picture}
\end{array}
$$


Le lemme \ref{inverse} implique que
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
\forall j\in [i+1,i+l-a], & \widehat \mu_j=\lambda_j\\
\forall j\in [i+l-a+1,i+2(l-a)+1], & \widehat \mu_j\geq \lambda_j+1\\
\forall j \not \in [i+1,i+2(l-a)+1], & \widehat \mu_j=\lambda_j.
\end{array}
\right .
$$
Par cons\'equent, on a $|\widehat \mu| \geq |\lambda| + l-a + 1$. Appelons
``transformation A'' le fait de remplacer $\hlm$ par $\mu$.
\para

Supposons enfin l'existence d'entiers $i,a,b,\beta\geq 1$ tels que
\vspace{-1.5cm}

$$
\begin{array}{cc}
\hspace{-.8cm}
\left \{
\begin{array}{ll} 
\forall j\in [i+1,i+ l-a -1], & \hlm_j=a+1\\ 
\forall j\in [i+l-a,i+(1+\beta)(l-a)-1], & \hlm_j=a\\
\forall j\in [i+(1+\beta)(l-a),i+(2+\beta)(l-a)-1], & \hlm_j=b.
\end{array}
\right .

&

\setlength{\unitlength}{3mm}
\begin{picture}(8,6)(0,3)
\put(0,6){\line(1,0){4.5}}
\put(0,4){\line(1,0){4.5}}
\put(0,2){\line(1,0){4}}
\put(0,0){\line(1,0){1}}


\put(0,0){\line(0,1){6}}
\put(1,0){\line(0,1){2}}
\put(4,2){\line(0,1){2}}
\put(4.5,4){\line(0,1){2}}

\put(.7,4.6){$a+1$}
\put(5.1,4.6){$l-a-1$}

\put(1.5,2.6){$a$}
\put(5,2.6){$\beta(l-a)$}

\put(.2,.6){$b$}
\put(1.5,.6){$l-a$}

\end{picture}
\end{array}
$$
\vspace{.3cm}

\noindent
Alors, consid\'erons la
partition $\mu$ d\'efinie par \vspace{-1cm}
$$
\begin{array}{cc}
\hspace{-.8cm}
\left \{
\begin{array}{ll}
\forall j\in [i+1,i+ (1+\beta)(l-a) -1], & \mu_j=a\\
\forall j\in [i+(1+\beta)(l-a),i+(2+\beta)(l-a)-1], & \mu_j=b+1\\
\forall j \not \in [i+1,i+(2+\beta)(l-a)-1], & \mu_j=\hlm_j.
\end{array}
\right .

&

\setlength{\unitlength}{3mm}
\begin{picture}(8,6)(0,3)
\put(0,6){\line(1,0){4}}
\put(0,4){\line(1,0){4}}
\put(0,2){\line(1,0){4}}
\put(0,0){\line(1,0){1.5}}


\put(0,0){\line(0,1){6}}
\put(1.5,0){\line(0,1){2}}
\put(4,2){\line(0,1){4}}

\put(1.5,4.7){$a$}
\put(4.5,4.6){$l-a-1$}

\put(1.5,2.7){$a$}
\put(4.4,2.6){$\beta(l-a)$}

\put(.25,.8){\tiny{$b$}}
\put(.5,.8){\tiny{$+$}}
\put(.95,.8){\tiny{$1$}}
\put(2,.6){$l-a$}

\end{picture}
\end{array}
$$

Le lemme \ref{inverse} implique que
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
\forall j\in [i,i+ l-a -1], & \widehat \mu_j=\lambda_j\\
\forall j\in [i+l-a,i+(2+\beta)(l-a)-2], & \widehat \mu_j = \lambda_j+1\\
\forall j \not \in [i+1,i+(2+\beta)(l-a)-1], & \widehat \mu_j=\lambda_j.
\end{array}
\right .
$$
En particulier, on a donc $|\widehat \mu| \geq |\lambda| + 2 (l-a)$. Appelons
``transformation B'' le fait de remplacer $\hlm$ par $\mu$.
\lpara


On peut donc construire une suite finie
de partitions $\mu^i$ par r\'ecurrence: tout d'abord, on pose
$\mu^0=\hlm$. Ensuite, on impose que pour passer
de $\mu^i$ \`a $\mu^{i+1}$, soit
on ajoute une case, soit on fait l'une des deux transformations A ou B, 
lorsque cela est possible de fa\c{c}on \`a ce que $\widehat \mu^{i+1}$ reste dans un
rectangle de taille $r \times (n-r)$. A un certain indice $N$, on ne peut
plus faire aucune de ces trois op\'erations. Soit $(b_i)$ les nombres d\'efinis
comme $a_i$ pour la partition $\mu^N$:
$$
\left \{
\begin{array}{l}
b_1=1\\
b_{i+1}=\inf \{ b_i+l-\mu^N_{b_i} , r+1 \}.
\end{array}
\right .
$$
Comme on ne peut plus ajouter de cases, on a
$\mu^N_j=\mu^N_{b_i}$ pour $b_i \leq j \leq b_{i+1}-1$, et comme aucune des
deux configurations \'etudi\'ees ne peut avoir lieu, $\mu^N$ est de type
$\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$ avec $\gamma \leq l-a$. De plus, puisque l'on ne
peut pas ajouter une case, on a soit $l[\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)]=r$,
soit $c=0$. Si $c=0$, $\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$ ne d\'epend pas de $\gamma$;
on peut donc dans tous les cas supposer que
$$\alpha(l-a) + \beta(l-a+1) + \gamma = r.$$

Pour montrer que $|\mu^N| \geq |\lambda| + 
\delta(\alpha,\beta)$, il suffit de montrer que
$|\mu^N| \geq |\mu^{N-1}| + 
\delta(\alpha,\beta)$. Or, quand on applique l'op\'eration A, on obtient une
partition qui  a exactement $l-a$ parts \'egales \`a $a-1$, et quand on applique
l'op\'eration B, on obtient une partition qui a exactement $2(l-a)-1$ parts
\'egales \`a $a$: ce ne sont donc pas des partitions de type
$\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$. On en d\'eduit donc que pour passer de
$\mu^{N-1}$ \`a $\mu^N=\mu(a,\alpha,\beta,c,\gamma)$, on a ajout\'e une case. Soit
cette case se trouvait sur la $r$-i\`eme ligne, et on a
$|\mu^N| - |\mu^{N-1}| = \alpha + \beta + 1$; soit, si $\beta>0$, elle se
trouvait sur la $\alpha(l-a)+\beta(l-a+1)$-i\`eme ligne, et on a
$|\mu^N| - |\mu^{N-1}| = \beta$; soit, enfin, elle se trouvait sur la
$\alpha(l-a)$-i\`eme ligne, et dans ce cas
$|\mu^N| - |\mu^{N-1}| = \alpha$; on voit que dans tous les cas,
$|\mu^N| - |\mu^{N-1}| \geq \delta(\alpha,\beta)$.

Pour achever la preuve du th\'eor\`eme, il ne reste plus qu'\`a calculer 
$\alpha + \beta$ et $\gamma + c$. Or, on a vu que
$\widehat \mu_1(a,\alpha,\beta,c,\gamma)=(\alpha + \beta)a-\beta +c$;
comme les transformations effectu\'ees ne changent pas la premi\`ere part, on en
d\'eduit $\lambda_1=(\alpha+\beta)a - \beta + c$. Par ailleurs,
on a $r=(\alpha + \beta)(l-a)+ \beta + \gamma$. On en d\'eduit donc que
\begin{equation}
n=r+\lambda_1=(\alpha + \beta)\ l+(\gamma +c).
\label{division_euclidienne}
\end{equation}
Or, on a vu que $\gamma \leq l-a$ et $c \leq a$. Par convention, on exclut
les \'egalit\'es $\gamma = l-a$ et $c=a$,
car $\mu(a,\alpha,0,a,l-a)=\mu(a,\alpha+1,0,0,0)$; on a donc
$\gamma + c < l$. La formule (\ref{division_euclidienne}) exprime donc la
division euclidienne de $n$ par $l$, concluant la preuve du th\'eor\`eme.
\fin


%******************************************************************************

%******************************************************************************

\section{Suite spectrale de Borel Le-Potier}

Dans ce paragraphe, je rappelle la d\'efinition de la suite spectrale de
Borel Le-Potier, qui est \`a la base de mes th\'eor\`emes d'annulation.

Soit $\pi:Y \rightarrow X$ une fibration localement triviale
propre et $E$ un fibr\'e vectoriel sur $Y$.
Soit $\Omega^i_{Y/X}$ le fibr\'e des $i$-formes sur $Y$ relatives \`a $\pi$, 
d\'efini par $\Omega^i_{Y/X} = \Lambda^i \Omega_{Y/X}$ et
la suite exacte de fibr\'es sur $Y$ suivante:
$$ 
0 \rightarrow \pi^*\Omega X \stackrel{\pi^*}{\rightarrow} \Omega Y \rightarrow 
\Omega_{Y/X} \rightarrow 0.
$$
Soient aussi les fibr\'es
$G^{t,p}:=\Omega^{p-t}_{Y/X} \otimes \pi^* \Omega^t_X$.
Pour chaque $p$, on a \cite{lepotier1} une suite spectrale 
aboutissant sur $H^{p,q}(Y,E)$ et dont les
termes d'ordre 1 sont:
$$ \Es{p}{t}{q-t}{1} = H^q (Y,G^{t,p} \otimes E). $$

\lpara

\label{para_leray}
Pour calculer les groupes de cohomologie $H^q (Y,G^{t,p} \otimes E)$, on
utilise une suite spectrale de Leray. La suite spectrale de termes d'ordre 2
\begin{equation}
\Ed{p}{t}{k}{j-k}{2} = H^k (X,R^{j-k}\pi_* G^{t,p}) 
= H^{t,k}[X,R^{j-k}\pi_* (E \otimes \Omega^{p-t}_{Y/X})]
\label{leray}
\end{equation}
aboutit sur $\Es{p}{t}{j}{1}$. Introduisons enfin une notation:
\begin{nota}
Si $\pi:Y \rightarrow X$ est une fibration et $E$ un fibr\'e vectoriel sur $Y$,
notons $R^{p,q} \pi_* E$ le faisceau $R^q \pi_* (E \otimes \Omega^p_{Y/X})$.
\label{rpq}
\end{nota}


%******************************************************************************

%******************************************************************************

\section{Th\'eor\`eme d'annulation pour un produit tensoriel de crochets}

W. Nahm et F. Laytimi ont montr\'e un th\'eor\`eme d'annulation pour la cohomologie
d'une puissance de Schur correspondant \`a un crochet d'un fibr\'e ample
\cite[th 2.1]{nahm}. Dans ce
paragraphe, je g\'en\'eralise leur r\'esultat \`a un produit de crochets. Si $\alpha$
et $\beta$ sont des entiers, notons $Z^{\alpha,\beta}$ le foncteur
$S_\lambda$ pour la partition $\lambda$ de longueur $\alpha+1$ et de poids 
$\beta$ telle que $\lambda_1=\beta-\alpha$ et 
$\forall 1<i\leq \alpha + 1, \lambda_i=1$.

\begin{prop}
Soit $E$ un fibr\'e ample de rang $e$ sur une vari\'et\'e $X$
projective et lisse de 
dimension $n$. Soit $a\in \N$,
$(k_i)_{1 \leq i \leq a}$ et $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq a}$ des entiers tels
que $\alpha_i < k_i$; soit $\sigma=\sum \alpha_i$ et $k=\sum k_i$; alors,
$$ H^{p,q} (X, \otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} E)=0 \mbox{ si } 
q> n-p+[\delta(n-p)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1). $$
\label{proposition_q}
\end{prop}
\vspace{-.7cm}
Posons $Q(p,\sigma)=n-p+[\delta(n-p)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1)$.
\\
\dem
Reprenant les id\'ees de \cite{nahm},
soit $C_2^k=\frac{k(k-1)}{2}$ et $\delta$ la fonction d\'efinie par
$\forall n \in \N, C^{\delta(n)}_2 \leq n < C^{\delta(n)+1}_2$.
On peut alors d\'efinir un ordre sur $\N^2$.
Celui-ci est donn\'e par
l'ordre lexicographique sur $\N^3$ et l'injection 
$(x,\sigma) \mapsto (\delta(x)+\sigma,x-C^{\delta(x)}_2,\sigma)$. 
Notons $\NN$ l'ensemble $\N^2$ muni de cet ordre. L'int\'er\^et
principal de $\NN$ est qu'il v\'erifie:

\begin{lemm}\cite{nahm}:
Pour tous $(x,\sigma)\in \NN,\mu \in \Z-\{ 0 \}$, si $r=\delta(x)$
et si $x+\mu r \in \N$, alors
$(x+\mu r,\sigma-\mu)<(x,\sigma)$. \label{ordre}
\end{lemm}

On d\'emontre la proposition par r\'ecurrence sur les couples
$(n-p,\sigma) \in \NN$.
Cette r\'ecurrence peut sembler
peu naturelle et troubler le lecteur; aussi, je donne les 10 premiers \'el\'ements
de $\NN$ pour qu'il puisse suivre plus ais\'ement les premiers pas
de la r\'ecurrence.

$$
\begin{array}{cccccc}
 & \ n-p\ & \ \sigma \ & \ \delta(n-p) + \sigma\ 
& \ n-p-C_2^{\delta(n-p)}\ & \ \sigma \ \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
4 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
5 & 3 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
6 & 1 & 1 & 3 & 0 & 1 \\
7 & 0 & 2 & 3 & 0 & 2 \\
8 & 4 & 0 & 3 & 1 & 0 \\
9 & 2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
10 & 5 & 0 & 3 & 2 & 0 \\
\end{array}
$$

Si on place ces num\'eros d'apparition sur un plan rep\'er\'e par $n-p$ selon l'axe 
des abscisses et $\sigma$ selon l'axe des ordonn\'ees, on obtient le sch\'ema
suivant:
$$
\begin{array}{ccccccc}
 & & & & & & \sigma \\
 & & & & & & \uparrow \\
 & & & & & & 7\\
 & & & & 9 & 6 & 3\\
n-p \ \ \leftarrow & 10 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1\\
\end{array}
$$

\para

La m\'ethode employ\'ee est celle maintenant classique qui consiste \`a constater que
les groupes de cohomologie que l'on cherche \`a annuler apparaissent dans une
suite spectrale qui calcule la cohomologie d'un fibr\'e en droites ample sur une
vari\'et\'e ad\'equate $\cal Y$ elle-m\^eme fibr\'ee au-dessus de $X$. 
Ce dernier groupe est nul par
le th\'eor\`eme de Kodaira si $q$ est suffisant; il suffit donc de s'assurer que
ces groupes ``passent \`a travers'' 
la suite spectrale, ce qui fait intervenir une
r\'ecurrence. 

Soit donc $X^n,E^e,p,q,(k_i)$  et $\sigma_0$ v\'erifiant les hypoth\`eses de la
proposition fix\'es. On va montrer l'annulation
de $H^{p,q}(X,\produit{\sigma_0}{E})$ en supposant 
la proposition vraie pour tous
les couples $(p',\sigma)$ tels que $(n-p',\sigma) < (n-p,\sigma_0)$. Supposons 
la suite 
$(k_i)$ croissante. Soit $r=\delta(n-p)$; soit aussi
$l_i$ et $s_i$ les quotients et restes de la division de $k_i$ par $r$:
$k_i=rl_i+s_i$. Un premier
lemme assure que l'on peut supposer que $e>r$ tous les $l_i$ sont
sup\'erieurs ou \'egaux \`a 
$$l_0=
\left \{
\begin{array}{lll}
\frac{r\sigma_0 + (n-p)}{r-1} & si & r>2 \\
\sigma + 1                & si & r=1
\end{array}
\right . $$

\begin{lemm}
Soit $l$ un entier tel que la proposition \ref{proposition_q}
soit vraie pour une 
certaine valeur de $n-p$ et
de $\sigma$, et pour toutes les vari\'et\'es et tous les fibr\'es vectoriels amples,
\`a la condition que tous les $l_i$ soient sup\'erieurs ou \'egaux \`a $l$ et que
$e>\delta(n-p)$. Alors
cette proposition est vraie sans restrictions pour ces valeurs de $e$ et de 
$\sigma$.
\label{astuce_nahm}
\end{lemm}
\dem
Soit $E$ un fibr\'e sur une vari\'et\'e $X$ et $L$ un fibr\'e en droites ample
sur $X$. On peut supposer $l>\delta(n-p)$. 
La proposition est vraie pour $l_i'=l_i + l$
(c'est-\`a-dire, puisque $k_i'=rl_i'+s_i$, pour $k_i'=k_i+rl$)
et les fibr\'es amples $E'$ de rang
sup\'erieur \`a $\delta(n-p)$. Pour le 
fibr\'e ample 
$E'=E\oplus L^{\oplus rl}$ de rang $e+rl$, et pour $k_i'=k_i+rl$,
on a donc l'annulation de 
$H^{p,q} (X, \otimes_i Z^{k_i'-\alpha_i-1,k_i'} E')=0$ si 
$$
\begin{array}{rcl}
q & > & [\delta(n-p)+\sigma][a(e+rl)-k'+2\sigma] - \sigma(\sigma+1)\\
  & = & [\delta(n-p)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1).
\end{array}
$$ 
Mais comme
$Z^{k_i'-\alpha_i-1,k_i'} E' \supset Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} E \otimes 
L^{\otimes rl}$, on en d\'eduit que pour toute vari\'et\'e $X$, tous fibr\'es $E$ et
$L$, $H^{p,q} (X, \otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} E \otimes 
L^{\otimes arl})=0$ si 
$q> [\delta(n-p)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1)$.
En vertu du lemme suivant, ce r\'esultat reste
vrai si $L$ est trivial, et le lemme \ref{astuce_nahm} est donc prouv\'e.
\fin

\begin{lemm}
Soient $n,p,q_0,e$ des entiers et $\lambda$ une partition tels que
$H^{p,q}(X,S_\lambda E \otimes L)=0$ pour toute vari\'et\'e projective lisse $X$
de dimension $n$, 
tout fibr\'e vectoriel ample $E$ de rang $e$
et tout fibr\'e en droites ample $L$ sur $X$, si $q>q_0$.

Alors $H^{p,q}(X,S_\lambda E \otimes L)=0$
sous les m�mes conditions, sauf que $L$ est seulement nef.
\end{lemm}
\dem
La d\'emonstration du lemme 1.5.1 p.128 dans \cite{manivel}
est valable sous ces hypoth\`eses.
\fin

On suppose donc dor\'enavant que $l_1 \geq l_0$ et $e>r$. Si
$0<s<r<e$ sont des entiers et $V$ un espace vctoriel de dimension $e$, 
on notera $M_{s,r}(V)$ la vari\'et\'e de drapeaux absolue constitu\'ee de l'ensemble
des couples $(V_r,V_s)$ de sous-espaces vectoriels de $V$ avec
$$ 0 \subset V_r \subset V_s \subset V, \ \ codim(V_r)=r, \ \ codim(V_s)=s. $$
Soit alors ${\cal M}_{s,r}(E)$ la vari\'et\'e de drapeaux relative \`a $E$, 
c'est-\`a-dire la vari\'et\'e 
fibr\'ee au-dessus de $X$ dont la fibre au-dessus du point $x$ s'identifie \`a la
vari\'et\'e $M_{s,r}(E_x)$ des drapeaux de la forme
$$ (0 \subset E_r \subset E_s \subset E_x), \ \ codim(V_r)=r, \ \ 
codim(V_s)=s. $$
Soit aussi ${\cal Q}^{l+1,l}$ le fibr\'e en droites sur ${\cal M}_{s,r}(V)$ 
dont la fibre au-dessus
du drapeau pr\'ec\'edent s'identifie \`a 
$(\det (E_x/E_s))^{l+1} \otimes (\det (E_s/E_r))^l = \det (E/E_s) \otimes
(\det (E/E_r))^l$. Consid\'erons alors le produit au-dessus de $X$ d\'efini par
${\cal Y} := \times M_{s_i,r} (E) $ et le fibr\'e en droites $\cal L$ au-dessus 
de $\cal Y$ \'egal au
produit $\otimes \pi_i^* {\cal Q}_i$, 
si $\pi_i$ d\'esigne la projection de $\cal Y$
sur ${\cal M}_{s_i,r_i} (E)$ et ${\cal Q}_i$ le fibr\'e ${\cal Q}^{l_i+1,l_i}$ 
sur cette vari\'et\'e de
drapeaux relative. Comme $e>r>s_i$ pour tout $i$, cette vari\'et\'e a bien un sens.

\para

Laurent Manivel a \'etudi\'e une partie de la cohomologie des fibr\'es en droites
$Q^{l+1,l}$ sur une vari\'et\'e de drapeaux absolue, 
partie suffisante pour \'etablir notre
proposition. N\'eanmoins, j'ai besoin de 
g\'en\'eraliser ses r\'esultats \`a un produit de
vari\'et\'es de drapeaux. Cette g\'en\'eralisation sera une cons\'equence facile de la
formule de Kunneth.

\para

Soit donc $M_{s,r}(V)$ une vari\'et\'e de drapeaux absolue et $Q^{l+1,l}$ comme 
pr\'ec\'edemment. Notons $\lambda=l-1,t(r)=\frac{r(r+1)}{2}$ et $k=rl+s$. 
Notons $\pi_{r,s}=\frac{s(2r-s+1)}{2}$ et pour $\pi$ un entier, 
$$n_s(\pi)=\# \{ c \in \{ 0,1 \}^r, |c|=s \mbox{ et } \sum ic_i = \pi \}$$
Ainsi $n_s(\pi)=0$ si $\pi<0$ ou $\pi>\pi_{r,s}$.

Alors, on a 
\cite[proposition 1.2.1, p.111 et lemme 1.3.1, p.114]{manivel_these}:
\begin{prop}
Supposons $p=\lambda . t(r) + \pi$ avec 
$\pi \geq \pi_{r,s} - k + l$. Alors
$$
H^{p,q}(M_{s,r}(V),Q^{l+1,l})= \bigoplus_{\alpha=0}^l 
n_s(\pi + r\alpha) \delta_{q,p-r\lambda-s+\alpha} Z^{k-\alpha-1,k}V. $$
\label{manivel_drapeaux}
\end{prop}

Consid\'erons maintenant un produit $Y=\times M_{s_i,r}(V)$ de vari\'et\'es de 
drapeaux et le fibr\'e en droites $L=\otimes \pi_i^* Q_i$, avec $Q_i$ le
fibr\'e $Q^{l_i+1,l_i}$ sur $M_{s_i,r}(V)$ et $\pi_i$ la projection naturelle
de $Y$ sur $M_{s_i,r}$. Je propose alors la g\'en\'eralisation suivante de la
proposition \ref{manivel_drapeaux}, si $\lambda_i$ d\'esigne $l_i-1$, 
$\lambda=\sum \lambda_i$, $l=\sum l_i$, $s=\sum s_i$, et $k=\sum k_i$: 

\begin{prop}
Supposons que $p=\lambda.t(r) + \pi$ avec 
$\pi \geq \sum \pi_{r,s_i} - k + l$.\\
Soit $\sigma=q+r\lambda+s-p$. Alors
$$ H^{p,q}(Y,L)= n_s(\pi + r \sigma)
\bigoplus_{\alpha_i:\sum \alpha_i=\sigma} \otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}V. $$
\label{produit_drapeaux}
\end{prop}
\vspace{-.4cm}
\noindent
Dans cette proposition, $n_s(\pi)$ d\'esigne le nombre
$$n_s(\pi):=\sum_{\sum \pi_i = \pi} n_{s_i}(\pi_i)= \# \{c_{i,j} 
\in \{0,1\}^{r^2}:
\forall i \ |c_i|=s_i \mbox{ et } \sum_{i,j} j c_{i,j}=\pi \}.$$
Cette proposition montre que le fait qu'un groupe 
$\otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}V$ soit ou non dans
$ H^{p,q}(Y,L)$ ne d\'epend que de la somme $\sigma$ des $\alpha_i$, et non
des valeurs de tous les $\alpha_i$; c'est ce qui fait que l'on obtient un
th\'eor\`eme d'annulation o\`u la borne ne d\'epend aussi que de $\sigma$.
\para
\dem 
On applique tout d'abord la formule de Kunneth:
$$ H^{p,q}(Y,L)=\bigoplus_{\sum p_i=p,\sum q_i=q} \otimes 
H^{p_i,q_i} (M_{s_i,r},Q^{l_i,l_i+1}). $$
Ecrivons chaque $p_i$ comme $\lambda_i t(r) + \pi_i$.
Si une telle suite d'entiers $p_i$ fournit un groupe non nul, alors par la
proposition \ref{manivel_drapeaux}, on a pour tout $i$ la relation
$\pi_i \leq \pi_{r,s_i}$. Si donc il existe $i$ tel que 
$\pi_i < \pi_{r,i} - k_i + l_i$, comme $\pi=\sum \pi_i$, on en d\'eduit que
$\pi < \sum \pi_{r,_i} - k + l$, ce qui contredit l'hypoth\`ese de la 
proposition. Ainsi, pour
tout $i$ on a $\pi_{r,s_i} - k_i + l_i \leq \pi_i \leq \pi_{r,s_i}$, et donc
on peut en d\'eduire  par la proposition \ref{manivel_drapeaux} que
$$H^{p_i,q_i} (M_{s_i,r},Q^{l_i,l_i+1})=\oplus_{\alpha_i} n_s(\pi_i + r 
\alpha_i ) \delta_{q_i,p_i-r\lambda_i-s_i+\alpha_i} Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}V.$$

Si donc $\otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}V$ appara�t dans notre groupe de
cohomologie, cela implique
que $q_i=p_i-r\lambda_i-s_i+\alpha_i$, et par
sommation que $q=p-r\lambda-s+\sigma$. Enfin, la multiplicit\'e de ce groupe
est bien la somme sur les $\pi_i$ des produits des multiplicit\'es de
$Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}V$ dans $H^{p_i,q_i} (M_{s_i,r},Q^{l_i,l_i+1})$, soit
$n_s(\pi)$.
\fin

Notons $\PM=\lambda.t(r)+\sum \pi_{r,s_i}$ et 
$\QM=\lambda.t(r-1)+\sum \pi_{r,s_i}-S$. Une cons\'equence de la proposition
\ref{produit_drapeaux} est:

\begin{prop}
Soit $p$ et $q$ deux entiers. Alors:
\begin{itemize}
\item{Si $p>\PM$ ou $q>\QM$, alors $H^{p,q}(Y,L)=0$.}
\item{Si $p\geq \PM-r\sigma$ ou $q\geq \QM-(r-1)\sigma$, alors
$$H^{p,q}(Y,L) \subset \bigoplus_{\sum \alpha_i \leq \sigma} \otimes_i
Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} V.$$}
\end{itemize}
\label{majoration_pq}
\end{prop}

\Para

On consid\`ere maintenant la fibration en vari\'et\'es de drapeaux
$\pi:{\cal Y} \rightarrow X$
introduite pr\'ec\'edemment. Soit $\Es{P}{i}{j}{m}$
la suite spectrale de Borel-Le Potier, avec
$P=p+\PM-r\sigma_0$.
Le r\'esultat
souhait\'e va \^etre cons\'equence de propri\'et\'es de cette suite spectrale. La 
premi\`ere exhibe un terme de la suite spectrale de Borel-Le Potier qui contient
le groupe que l'on veut annuler:

\begin{lemm}
Soit $q_0=\QM - (r-1)\sigma_0$. Alors
$$\Es{P}{p}{q+q_0-p}{1} \supset H^{p,q}(X,\produit{\sigma_0}{E}).$$
\label{notre_groupe}
\end{lemm}
\dem 
Comme on a suppos\'e que 
$l_1(r-1) \geq r\sigma_0 + (n-p)$, on a
$$
\begin{array}{rcl}
n + \PM - k_1 + l_1     &   =   & n + \PM - l_1(r-1) - s_1\\
                        & \leq  & n + \PM - r \sigma_0 - (n-p)\\
                        &   =   & \PM + p - r\sigma_0 = P.
\end{array}
$$
Ainsi, si $p \leq n$, alors
$P-p \geq P-n \geq \PM - k_1 + l_1$. Si $p>n$, il est clair que
$\Es{P}{p}{q+q_0-p}{1}=0$. On peut donc utiliser les 
propositions \ref{produit_drapeaux} et \ref{majoration_pq} pour obtenir des
renseignements sur les
$H^{P-p,q'}(Y,L)$ pour tous $q'$.
Pour tous les entiers $q_1$ et $q_2$, on a (cf notation \ref{rpq})
$$\Ed{P}{p}{q_1}{q_2}{2}=H^{p,q_1}[X,R^{P-p,q_2}\pi_* {\cal L}].$$
Si $f_{i,j}$ sont les applications de changement de cartes de $E$, on a vu que
$R^{P-p,q_2}\pi_* {\cal L}$ est un fibr\'e vectoriel de fibre type
$H^{P-p,q_2} (Y,L)$ (soit $x\in X$; $Y=\pi^{-1}(x)$ 
et $L$ est la restriction du fibr\'e en droites ${\cal L}$ \`a $Y$), et dont les 
changements de carte sont induits par $f_{i,j}$. Supposons que
$H^{P-p,q_2} (Y,L)=S_\lambda E_x$. Nous savons que $|\lambda|=\sum rl_i+s_i$.
On en d\'eduit donc que pour $g \in GL(E_x)$, l'application induite par $g$
sur $H^{P-p,q_2} (Y,L)$ est $S_\lambda g$. En effet, c'est vrai $g \in SL(E_x)$
par le th\'eor\`eme de Bott et pour $g$ une homoth\'etie, puisque l'application
induite par $\lambda.Id$ est $\lambda^{\sum rl_i+s_i}$ (l'action de
$\lambda.Id$ sur le fibr\'e tangent est triviale).

Les applications de changement de cartes de $R^{P-p,q_2}\pi_* {\cal L}$ sont
donc les applications $S_\lambda f_{i,j}$, si $f_{i,j}$ est une application
de changement de cartes de $E$. On a donc que
$R^{P-p,q_2}\pi_* {\cal L}=S_\lambda E$.
\para

Or
$H^{P-p,q_0}(Y,L) = \produit {\sigma_0}{V}$. En effet, si un
terme de la forme\\ $\produit {\sigma}{V}$ 
est une composante de ce groupe, alors on doit avoir
$\sigma = q_0 + rL + S - (P-p) = \sigma_0$. Par ailleurs, il est clair que 
$n_s(\sum \pi_{r,s_i})=1$. On en d\'eduit donc que 
$\Ed{P}{p}{q}{q_0}{2}=H^{p,q}(X,\produit{\sigma_0}{E})$.

Par ailleurs, si $q_2>q_0$ et $q_1$ est quelconque, 
$\Ed{P}{p_1}{q_1}{q_2}{2}=0$,
toujours par la proposition \ref{majoration_pq}. 
Enfin, si $q_1>q$ et $q_2<q_0$,
et que 
$H^{p,q_1}(X,\produit{\sigma}{E}) \subset \Ed{P}{p_1}{q_1}{q_2}{2}$, 
on a $\sigma < \sigma_0$ et $H^{p,q_1}(X,\produit{\sigma}{E})=0$ par 
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence. Toutes les diff\'erentielles $d_m$ issus de ou 
aboutissant sur $\Ed{P}{p}{q_0}{q}{m}$ sont donc nulles, et
$\Ed{P}{p}{q_0}{q}{\infty}=H^{p_1,q_1}(X,\produit{\sigma_0}{E})$, ce qui 
implique notre lemme.
\fin

Pour voir que notre groupe pr\'ec\'edent passe
\`a travers la suite spectrale de Borel-Le Potier, il suffit de  montrer 
l'annulation des groupes $\Es{P}{p+m}{q-p-m+\sgn (m)+q_0}{1}$, pour tous les
entiers $m$ non nuls. Soit donc $m$ un tel entier et $p_1,q_1$ et $q_2$ des
entiers tels que $\Ed{P}{p_1}{q_1}{q_2}{\infty}$ soit un \'el\'ement d'une
filtration de $\Es{P}{p+m}{q-p-m+\sgn (m)+q_0}{1}$, c'est-\`a-dire des entiers
tels que:\\
$p_1=p+m \mbox{ et }q_1+q_2-p_1=q-p-m+\sgn (m)+q_0$.
Remarquons que de mani\`ere \'equivalente, on a
$p_1=p+m$ et $q_1+q_2=q+q_0+\sgn (m)$.

De nouveau, il suffit de montrer que tous les groupes
$\Ed{P}{p_1}{q_1}{q_2}{2}$ sont nuls. Or ceux-ci valent
$H^{p_1,q_1}[X,H^{P-p_1,q_2}({\cal Y},{\cal L})]$. Supposons que
$$\produit{\sigma}{V} \subset H^{P-p_1,q_2}(Y,L).$$ Alors par la proposition
\ref{majoration_pq}, $P-p_1 \leq \PM - r\sigma =(P-p) - r(\sigma-\sigma_0)$,
donc $p_1 \geq p + r(\sigma-\sigma_0)$, soit $m \geq  r(\sigma-\sigma_0)$. Par
ailleurs cette m\^eme proposition assure que
$q_2 \leq \QM - (r-1) \sigma = q_0 - (r-1)(\sigma - \sigma_0)$.

L'\'egalit\'e $q_1 + q_2 = q + q_0 + \sgn (m)$ donne alors
$q_1 \geq q + \sgn(m) + (r-1)(\sigma - \sigma_0)$. Notons 
$\mu=\sigma - \sigma_0$, comme nous avons vu que $m\geq r\mu$, 
$\sgn (m) \geq \sgn (\mu)$ et nous avons donc \'etabli:
$$
\begin{array}{c}
\sigma = \sigma_0 + \mu\\
p_1 \geq p + \mu r\\
q_1 \geq q + \sgn (\mu) + (r-1)\mu.\\
\end{array}
$$
Sous ces hypoth\`eses, il ne nous reste plus, en utilisant l'hypoth\`ese de 
r\'ecurrence, qu'\`a prouver l'annulation de $H^{p_1,q_1}(X,\produit{\sigma}{E})$.
Remarquons tout d'abord que l'on peut supposer que $ae-k+\sigma \leq 0$, 
car sinon $\produit{\sigma}{E}=0$.

\Para
\begin{lemm}
Dans l'ensemble ordonn\'e $\NN$, on a:
$(n-p_1,\sigma) < (n-p,\sigma_0)$
\label{ok_recurrence_q}
\end{lemm}
\dem 
Cet ordre \'etant croissant selon les deux coordonn\'ees (c'est-\`a-dire que si
$x\leq x',y \in \N$, alors $(x,y) \leq (x',y)$ et $(y,x) \leq (y,x')$), cela
d\'ecoule du lemme \ref{ordre}.
\fin

\begin{lemm}
Si $q>Q(p,\sigma_0)$ alors $q_1>Q(p_1,\sigma)$.
\label{q_suffisant}
\end{lemm}
\dem 
On peut supposer que $p_1=p+\mu r$ et $q_1=q+\mu (r-1)+\sgn (\mu)$. 
Calculons alors
$Q(p,\sigma_0) - Q(p+\mu r,\sigma_0+\mu) +\sgn (\mu) + (r-1)\mu$. 
Cette quantit\'e vaut:\\
$2\mu r + 2 \mu \sigma_0 + \mu^2 + \sgn (\mu)+ (r+\sigma_0)(ae-k+2\sigma_0)
-[\delta(n-p-\mu r) + \sigma_0 + \mu][ae-k + 2\sigma_0 + 2\mu]$. En remarquant
que $2\mu r + 2 \mu \sigma_0 =2\mu(r+\sigma_0)$ et en factorisant par
$r + \sigma_0$, on en d\'eduit que cette quantit\'e \'egale\\
$(ae-k+2\sigma_0+2\mu)(r+\sigma_0)-(ae-k+2\sigma_0-2\mu)
[\delta(n-p+\mu r) + \sigma_0 - \mu] + \mu^2 + \sgn(\mu)$,
soit $(ae-k+2\sigma)[r+\mu-\delta(r+\mu r)]+\mu^2+\sgn (\mu)$.

Comme $ae-k+\sigma \geq 0$, il d\'ecoule de la d\'efinition de $\delta$
que ce nombre est positif.
\fin

Enfin, on a l'in\'egalit\'e suffisante pour assurer que 
$\Es{P}{p}{q-p+q_0}{\infty}=0$:
\begin{lemm}
On a $P+q+q_0-\dim {\cal Y}>0$.
\label{E_infini_nul}
\end{lemm}
\dem
Tout d'abord, 
$$
2\sum \pi_{r,s_i}-S = 2rS + S - \sum s_i^2 -S \geq rS \mbox{ et }k=(L+a)r+S.
$$
Ainsi:
$$
\begin{array}{cl}
  & P+q+q_0-\dim {\cal Y}\\ 
= & p + q + Lt(r) + Lt(r-1) + 2 \sum \pi_{r,s_i} - S
- (2r-1)\sigma_0 - n - ar(e-r) \\
 \geq & \sigma_0(ae-k+\sigma_0)
\end{array}
$$

\fin 
\Para

Nous avons ainsi (p\'eniblement) achev\'e la 
preuve de la proposition \ref{proposition_q}.
Nous allons maintenant montrer une autre proposition qui
r\'etablit la sym\'etrie entre $p$ et $q$:

\begin{prop}
Soit $E$ un fibr\'e ample de rang $e$ sur une vari\'et\'e $X$ 
projective lisse et de dimension $n$. Soit 
$a\in \N$,
$(k_i)_{1 \leq i \leq a}$ et $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq a}$ des entiers tels
que $\alpha_i < k_i$; soit $\sigma=\sum \alpha_i$ et $k=\sum k_i$, alors
$$ H^{p,q} (X, \otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} E)=0 \mbox{ si } 
p > n - q + [\delta(n-q)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1). $$
\label{proposition_p}
\end{prop}
\vspace{-.6cm}
\dem
Posons $P(q,\sigma)=n-q+[\delta(n-q)+\sigma][ae-k+2\sigma] - \sigma(\sigma+1)$.
La d\'emonstration est tr\`es similaire \`a celle de la proposition
\ref{proposition_q}. En effet, soit $r=\delta(n-q)$ et comme pr\'ec\'edemment
${\cal Y} := \times M_{s_i,r} (E) $ et le fibr\'e en droites $\cal L$ au-dessus 
de $\cal Y$ \'egal au
produit $\otimes \pi_i^* {\cal Q}_i$ , o\`u $l_i$ et $s_i$ sont 
le quotient et le
reste de la division euclidienne de $k_i$ par $r$ et 
${\cal Q}_i={\cal Q}^{l_i,l_i+1}$. Soit aussi
$p+P_{max}-r\sigma_0$, le lemme \ref{notre_groupe}
reste vrai et pour voir que ce groupe passe \`a travers la suite spectrale, il
suffit comme pr\'ec\'edemment de montrer en utilisant l'hypoth\`ese de r\'ecurrence
que si
$$
\begin{array}{c}
\sigma = \sigma_0 + \mu\\
p_1 \geq p + \mu r\\
q_1 \geq q + \sgn (\mu) + (r-1)\mu,
\end{array}
$$
alors $H^{p_1,q_1}(X,\produit{\sigma}{E})=0$.

Ceci d\'ecoule du fait que le lemme \ref{E_infini_nul} reste vrai et 
que l'on a l'analogue des lemmes
\ref{ok_recurrence_q} et \ref{q_suffisant}:

\begin{lemm}
Dans l'ensemble ordonn\'e $\cal N$, on a : $(n-q_1,\sigma) < (n-q,\sigma_0)$.
\label{ordre_q}
\end{lemm}
\dem
On peut aussi supposer que $q_1=q + \sgn (\mu) + (r-1)\mu$ et 
$\sigma = \sigma_0 + \mu$. Alors si $\mu < 0$, $q_1 \geq q + r \mu$ et le lemme
\ref{ordre} s'applique. Si $\mu = 1$, ce m\^eme lemme fonctionne car $q_1 = q + r$.
Pour $\mu>1$,  en posant $x=n-(q+r)$,
ce lemme donne 
$(n-(q+r)-(\mu-1)\delta(n-(q+r)),\sigma+\mu)<(n-(q+r),\sigma + 1)$. Comme
$\delta(n-(q+r)) \leq \delta(n-q)-1$, on a
$(n-(q+r)-(\mu-1)(r-1),\sigma+\mu)<(n-(q+r),\sigma + 1)$.L'\'egalit\'e
$n-q_1= n - q - 1 - \mu (r-1) = n-(q+r)-(\mu-1)(r-1)$ donne alors
$(n-q_1,\sigma)<(n-q,\sigma_0)$, et le lemme est d\'emontr\'e.
\fin

\begin{lemm}
Si $p>P(q,\sigma_0)$ alors $p_1>P(q_1,\sigma)$.
\end{lemm}
\dem 
On peut supposer que $p_1=p+\mu r$ et $q_1=q + \mu (r-1) + \sgn (\mu)$. 
Calculons alors
$P(q,\sigma_0) - P(q + \mu (r-1) + \sgn (\mu),\sigma_0+\mu) + \mu r$. 
Cette quantit\'e vaut:
$$
\begin{array}{c}
2\mu r + 2 \mu \sigma_0 + \mu^2 + \sgn (\mu)+ (r+\sigma_0)(ae-k+2\sigma_0)\\
-[\delta(n-q-\sgn(\mu)-\mu (r-1)) + \sigma_0 + \mu][ae-k + 2\sigma_0 + 2\mu].
\end{array}
$$

\noindent
En remarquant
que $2\mu r + 2 \mu \sigma_0 =2\mu(r+\sigma_0)$ et en factorisant par
$r + \sigma_0$, on voit que cette quantit\'e \'egale
$$
\begin{array}{c}
\mu^2 + \sgn(\mu) + (ae-k+2\sigma_0+2\mu)(r+\sigma_0)\\
-(ae-k+2\sigma_0+2\mu)
[\delta(n-q-\sgn(\mu)-\mu (r-1)) + \sigma_0 + \mu],
\end{array}
$$
soit $(ae-k+2\sigma)[r-\mu-\delta(n-q-\sgn(\mu)-\mu (r-1))]+\mu^2-\sgn (\mu)$.

Comme $ae-k+\sigma \geq 0$ et que le lemme \ref{ordre_q} implique\\
$\delta(n-q-\sgn(\mu)-\mu(r-1))+\mu \leq \delta(n-q)= r$, 
ce dernier nombre est donc positif.
\fin

\para
On peut maintenant regrouper les propositions \ref{proposition_q} et 
\ref{proposition_p} sous la
forme du
\begin{theo}
Soit $E$ un fibr\'e ample de rang $e$ sur une vari\'et\'e $X$ de dimension $n$, 
$a\in \N$,
$(k_i)_{1 \leq i \leq a}$ et $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq a}$ des entiers tels
que $\alpha_i < k_i$; soit $\sigma=\sum \alpha_i$ et $k=\sum k_i$, alors
$$ 
\begin{array}{c}
H^{p,q} (X, \otimes_i Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i} E)=0 \\
\mbox{ si }\\
p + q > n + [\min [\delta(n-p),\delta(n-q)]+\sigma][ae-k+2\sigma] - 
\sigma(\sigma+1). 
\end{array}
$$
\label{nahm+}
\end{theo}


%******************************************************************************

%******************************************************************************

\section{R\'esultats topologiques en petit co-rang}

%******************************************************************************

\subsection{R\'esultats topologiques}

L'objet de ce paragraphe est la d\'emonstration du
\begin{theo}
Soit $E$ un fibr\'e vectoriel
de rang $e$, sur une vari\'et\'e $X$ lisse, projective et de dimension $n$.
Supposons que $E$ est
muni d'une forme quadratique \`a valeurs dans un fibr\'e en droites $L$. 
Soit $k$ un entier et
supposons que
\begin{itemize}
\item
$\dim D_k(E)=\rho:=n-t(e-k)$.
\item
$S^2E^* \otimes L$ est ample.
\item
$e-k \leq 4$.
\end{itemize}
Alors, l'application de restriction 
$H^q(X,{\cal O}_X) \rightarrow H^q(D_k(E),{\cal O}_{D_k(E)})$ est un
isomorphisme pour $0 \leq q<\rho-1$, et est injective pour $q=\rho-1$.
\label{degenerescence}
\end{theo}
\dem
Notons $D:=D_k(E)$. Tout d'abord,
il existe une r\'esolution du faisceau ${\cal O}_D$ sur ${\cal O}_X$ par des
fibr\'es vectoriels: 
le $i$-i\`eme terme $R^i$ d'une telle r\'esolution est donn\'e par
$$
R^i:=
\bigoplus_
{\begin{array}{c}
\lambda=(2l,\mu,\mu^*)\\
|\mu|+l(2l-1)=i
\end{array}}
S_{\lambda(k-1)} E \otimes L^{-l(2l+k-1)}.$$
Dans cette formule, l'expression $\lambda=(2l,\mu,\mu^*)$ signifie que la
partition $\lambda$ est de rang $2l$, que $\lambda_i=2l+\mu_i$ si 
$1 \leq i \leq 2l$ et $\lambda_{i+2l}=\mu^*_i$. Si $\lambda$ est
une partition, $\lambda(k-1)$ est obtenue en intercalant $k-1$ parts \'egales au
rang de $\lambda$ \`a $\lambda$: si par exemple $\lambda=\yng(3,2,1)$, alors
$\lambda(2)=\yng(3,2,2,2,1)$. Si $k=0$, alors $(2l,\mu,\mu^*)(-1)$ est la
partition $\nu$ telle que $\nu_i=2l+\mu_i$ pour $1 \leq i \leq 2l-1$,
$\nu_{2l}=\mu^*_1+\mu_{2l}$, et $\nu_{2l-1+i}=\mu^*_i$ pour $i \geq 2$. 
\lpara

L'existence de cette r\'esolution, bien connue des sp\'ecialistes, peut se 
justifier de la fa\c{c}on suivante: soit $Y$ l'espace total du fibr\'e
$S^2 E^* \otimes L$ et $D \subset Y$ 
le sch\'ema des formes sym\'etriques de rang au
plus $k$. Par  \cite[th\'eor\`eme 3.19, p.139]{jozefiak} et \cite{nielsen}, 
on a une r\'esolution de $\oo_D$ par des
$\oo_Y$-modules localement libres analogue \`a celle que
j'ai d\'ecrite. La section $s$ de $S^2E^* \otimes L$ induit un morphisme
$X \rightarrow Y$ et, comme l'explique Nielsen \cite{nielsen}, on peut tirer
en arri\`ere cette r\'esolution pour obtenir la r\'esolution de $\oo_{D_k(E)}$
souhait\'ee. Pour cela, il suffit en effet
d'annuler les faisceaux $\underline{Tor}^Y_i(\oo_D,\oo_X)$ pour $i>0$, ce qui
r\'esulte d'une version du corollaire 1.10 de \cite{peskine}, o\`u l'on peut
remplacer, avec leurs notations, l'hypoth\`ese 
$prof(B_{\mathfrak p}) \geq prof(A_{\varphi^{-1}({\mathfrak p})})$ par 
l'hypoth\`ese $prof(B_{\mathfrak p}) \geq dp_A(M)$. Pour annuler
$\underline{Tor}^Y_i(\oo_D,\oo_X)$, on applique
ce corollaire \`a $Spec(B)$ un ouvert 
affine de $X$ trivialisant $S^2E^* \otimes L$, $Spec(A) \subset Y$ 
l'image r\'eciproque de $Spec(B)$ par la projection
$Y \rightarrow X$ et $M$ le $A$-module d\'efinissant le faisceau $\oo_D$
sur $Spec(A)$. Pour tout id\'eal
$\mathfrak p \subset B$ correspondant \`a un point du support de
$M \otimes_A B$, on a $prof(B_{\mathfrak p}) \geq t(e-k)$, 
puisque $X$ est suppos\'ee lisse et $\dim D_k(E)=n-t(e-k)$. L'hypoth\`ese 
$prof(B_{\mathfrak p}) \geq dp_A(M)$ est donc bien v\'erifi\'ee.
\lpara

Convenons qu'une partition $\lambda$ de la forme 
$(2l,\mu,\mu^*)(k-1)$ sera dite
{\it $(k-1)$-sym\'etrique} (si $k-1= 0$, ceci signifie que $\lambda^*=\lambda)$.
Si $\lambda$ est $(k-1)$-sym\'etrique, notons $i(\lambda,k)$ l'entier tel que
$S_{\lambda} E^* \otimes L^{-l(2l+k-1)} \subset R^{i(\lambda,k)}$.

\lpara

En utilisant cette r\'esolution, il est facile de montrer que le th\'eor\`eme
\ref{degenerescence} est cons\'equence de la proposition suivante
(cet argument est par exemple expliqu\'e dans \cite{manivel}):
\begin{prop}
Soit $F$ un fibr\'e vectoriel ample de rang $e$
sur une vari\'et\'e $X$ projective lisse
de dimension $n$. Soit $k$ un entier tel que $0 < e-k \leq 4$
et $\lambda$ une partition 
$(k-1)$-sym\'etrique. Alors,
$H^{n,q}(X,S_\lambda F)=0$ si $q>t(e-k)+1-i(\lambda,k)$.
\label{petite_partition}
\end{prop}
\dem
Puisque $e-k \leq 4$, le rang $2l$ d'une partition $(k-1)$-sym\'etrique et de
longueur inf\'erieure ou \'egale \`a $e$ est n\'ecessairement inf\'erieur ou \'egal \`a 4;
on a donc $l=1$ ou $l=2$. Les partitions obtenues avec $l=2$ 
ne nous posent pas de probl\`eme, car le
th\'eor\`eme A' de \cite{manivel} donne la borne $10-i$. Il suffit donc de traiter
le cas $l=1$.

Pour simplifier les notations, j'ai suppos\'e, dans le tableau suivant, 
que de plus $k=1$, et l'ai list\'e toutes les partitions 
$\lambda$ \`a consid\'erer, et indiqu\'e, en
face, l'entier $q_0$ tel que si $q>q_0$, alors $H^{n,q}(X,S_\lambda E)=0$
pour tout fibr\'e $E$ ample
de rangs 4 et 5. La derni\`ere colonne indique le num\'ero du lemme qui montre
l'annulation du groupe de cohomologie pour la borne indiqu\'ee. L'indication
A' renvoie au th\'eor\`eme A' de
\cite{manivel}.
La colonne interm\'ediaire indique la valeur
de $q_0$ maximale pour montrer le th\'eor\`eme \ref{degenerescence}, qui vaut,
comme nous venons de l'\'etablir,
$t(e-k)+1-i$. Remarquons que lorsque $k$ prend d'autres valeurs que 1 mais
que $e-k$ reste \'egal \`a 3 ou 4, puisque
les lemmes indiqu\'es donnent une borne qui ne d\'epend que de $e-k$, on
obtient encore le r\'esultat de la proposition \ref{petite_partition}.

$$
\begin{array}{cc}
\label{tableau}
rang(E)=4& 
rang(E)=5\\
\\
\hspace{-.2cm}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
\mbox{partition} & {$q_0$} & 7-i & \mbox{lemme}\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(2,2) \vspace{.5mm}} & 4 & 6 & A'\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(3,2,1) \vspace{.5mm}} & 
\parbox{.2cm}{5\\4} & 5 & \parbox{1cm}{\ref{l1}\\\ref{l1+}}\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(3,3,2) \vspace{.5mm}} & 4 & 4 & \ref{l3}\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(4,2,1,1) \vspace{.5mm}} & 2 & 4 & A'\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(4,4,2,2) \vspace{.5mm}} & 0 & 2 & A'\\
\hline
\parbox{2.5cm}{\yng(4,3,2,1) \vspace{.5mm}} & 2 & 3 & \ref{l5}\\
\hline
\end{tabular}
&
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
\mbox{partition} & {$q_0$} & 11-i & \mbox{lemme}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(5,5,2,2,2) \vspace{.5mm}}& 0 & 4 & A'\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(5,2,1,1,1) \vspace{.5mm}} & 3 & 7 & A'\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(2,2) \vspace{.5mm}} & 6 & 10 & A'\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(3,2,1) \vspace{.5mm}} & 8 & 9 & \ref{l1}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(5,4,2,2,1) \vspace{.5mm}} & 
\parbox{.2cm}{4 \\3} & 5 & 
\parbox{1cm}{\ref{l2} \\ \ref{l2+}}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(3,3,2) \vspace{.5mm}} & 8 & 8 & \ref{l3}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(4,2,1,1) \vspace{.5mm}} & 8 & 8 & \ref{l3}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(4,4,2,2) \vspace{.5mm}} & 6 & 6 & \ref{l4}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(5,3,2,1,1) \vspace{.5mm}} & 4 & 6 & \ref{l5}\\
\hline
\parbox{2.6cm}{\yng(4,3,2,1) \vspace{.5mm}} &
\parbox{.2cm}{7 \\6} & 7 &
\parbox{1.5cm}{\ref{l6} \\ \ref{l7}}\\
\hline
\end{tabular}
\end{array}
$$

%******************************************************************************

\newpage
\subsection{Th\'eor\`emes d'annulation}

Dans ce paragraphe, je montre les lemmes annonc\'es dans le pr\'ec\'edent. Soit $X$
une vari\'et\'e projective lisse de dimension $n$,
$E$ un fibr\'e ample de rang $e$ sur $X$, et $L$ un fibr\'e en droites
nef.

Pour des raisons qui sont 
expliqu\'ees apr\`es
le lemme \ref{l2}, je note $\lambda=[a,b,c,d]$ la partition de rang
2 telle que $\lambda_1=a+2,\lambda_2=b+2,\lambda^*_1=e-c,\lambda_2^*=e-d$.
Par exemple, $S_{[0,0,0,0]} E=(\det E)^2$. De m�me, je note $\lambda=[a,b]$
la partition de rang 1 telle que $\lambda_1=a+1$ et $\lambda_1^*=e-b$. Par
la suite, $a\leq b,c\leq d,t,q$ sont des entiers positifs ou nuls.


\begin{lemm}
\ \vspace{-.56cm}
$$
\begin{array}{rcl}
\hspace{2cm}H^{n,q}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t) & =0 & 
\mbox{ si } q>2c+d+2, \mbox{ et }\\
H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t) &=0 & 
\mbox{ si } q>2c+d+1.
\end{array}
$$
\label{l1}
\end{lemm}
\ \vspace{-1cm}\\
\rem
Le th\'eor\`eme \ref{nahm+} donne la borne $2c+2d+2$ au lieu de $2c+d+2$
et les autres r\'esultats que je
connais ont une borne qui d\'epend de $k$ (par exemple, 
\cite[th\'eor\`eme A]{manivel} donne la borne $k+c+d$); il est clair que pour 
d\'emontrer le th\'eor\`eme \ref{degenerescence} par cette m\'ethode, il faut une borne
ind\'ependante de $k$.\\
\dem
Pour montrer ce lemme, je vais appliquer la technique, 
nouvelle \`a ma connaissance,
de ``comparaison de suites spectrales''.

Tout d'abord, on peut supposer que $e-c$ est pair. En effet, supposons
que ce lemme est
vrai pour $e-c$ pair. Si $e-c$ est impair
et $M$ est un fibr\'e en droites ample sur $X$, alors on peut consid\'erer
le fibr\'e vectoriel $E \oplus M$ de rang $e+1$; comme $e+1-c$ est alors pair,
on peut appliquer le lemme, et comme pour le lemme \ref{astuce_nahm}, on en
d\'eduit que $H^{n,q}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)=0$ 
si $q>2c+d+2$ et $H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)=0$
si $q>2c+d+1$.

Soit alors un entier $l$ tel que $e-c=2l$. Consid\'erons
d'abord la vari\'et\'e $Y=\p E^* \times_X \p E^*$, notons $\pi:Y \rightarrow X$ la
projection naturelle, et consid\'erons le fibr\'e en droites 
${\cal L}={\cal O}(2l,e-d) \otimes \pi^* L^t$ sur $Y$. Comme
${\cal O}(2l,e-d)$ est ample (en effet, $E$ est ample) 
et $\pi^*L$ nef, $\cal L$
est ample.
Soit aussi $P=n+(2l-1)+(e-d-1)-1$. 

D\'eterminons les groupes $\Ed{P}{t}{i}{j}{2}$ de la suite spectrale de Leray
introduite au paragraphe \ref{para_leray}. Ceux-ci valent, par la formule
(\ref{leray}), $H^{t,i}[X,R^{P-t,j}\pi_*\ooo(2l,e-d) \otimes L^t]$.
Ces groupes sont donc nuls si $t>n$ ou $P-t>(2l-1)+(e-d-1)$. En effet, si $V$
est un espace vectoriel fix\'e et $l$ et $m$ sont des entiers positifs,
alors $H^{i,j}[\p V,\ooo(l)]=0$ si
$i \geq l$ (cons\'equence directe de la proposition 
\ref{partition_admissible}), et donc 
$H^{i,j}[\p V \times \p V,\ooo(l,m)]=0$ si $i \geq l+m$ 
(formule de K\" unneth). Les seules valeurs possibles sont donc
$t=n$ ou $t=n-1$, et on a
$$
\begin{array}{rcl}
\Ed{P}{n-1}{i}{0}{2} & = & 
H^{n-1,i}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t),
\mbox{\ \ \  et }\\
\Ed{P}{n}{i}{0}{2} & = & 
H^{n,i}(X,L^t \otimes R^{(2l-1)+(e-d-1)-1,0}\pi_* \ooo(2l,e-d))\\
& = & H^{n,i}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)\\
& \oplus & H^{n,i}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E \otimes L^t).
\end{array}
$$

\noindent
Ces suites spectrales sont donc d\'eg\'en\'er\'ees, et on en d\'eduit que
$$
\begin{array}{rcl}
\Es{P}{n-1}{q-n+1}{1} & = &H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E 
\otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t),\\
\Es{P}{n}{q-n}{1} & = & H^{n,q}
(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)\\
& \oplus & H^{n,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E \otimes L^t),
\end{array}
$$
et les autres
termes sont nuls. Par ailleurs,
$\Es{P}{p}{q-p}{\infty}$ est une composante de
$H^{P,q}(X,{\cal L})$; il est donc nul par le th\'eor\`eme de Kodaira
si 
$$P+q>n+2(e-1), \mbox{ soit } q>n+2(e-1)-P=c+d+1.$$
On en d\'eduit donc que dans ce
cas, la fl�che connectant $\Es{P}{n-1}{q-n+1}{1}$ et
$\Es{P}{n}{q-n+1}{1}$ est un isomorphisme, ce qui conduit \`a:

$$
\begin{array}{rl}
& H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]} E \otimes L^t)\\ 
= & H^{n,q+1}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)\\
\oplus & H^{n,q+1}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E \otimes L^t)
\mbox{ si } q>c+d+1.
\end{array}
$$

\lpara

En consid\'erant une autre suite spectrale, on va obtenir une autre \'egalit\'e
faisant intervenir ces termes; en comparant ces \'egalit\'es, on prouvera qu'ils
sont nuls. Soit donc maintenant $Y=G_2(E^*) \times_X \p E^*$ et
${\cal L}={\cal O}(l,e-d)$ sur $Y$, et posons $P=n+3(l-1)+(e-d-1)-1$. 
On a alors
de fa\c{c}on similaire
$\Es{P}{n-1}{q-n+l}{1}=H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)$,
mais par contre,
$\Es{P}{n}{q-n+l-1}{1}=H^{n,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E \otimes L^t)$.
Ceci conduit \`a l'\'egalit\'e
$$
H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t)=
H^{n,q+1}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]} E \otimes L^t)
\mbox{ si } q>2c+d+1.
$$

\lpara

En comparant ces \'egalit\'es, on obtient
$$H^{n,q}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]} E \otimes L^t)=0,$$
soit la premi\`ere affirmation du lemme.
En utilisant la r\`egle de \litt, on va montrer l'autre r\'esultat du lemme.
En effet, rappelons que $c \leq d$; si $c=d$, on peut conclure; 
supposons donc $c<d$. Cette r\`egle implique que
$$
\begin{array}{rcl}
S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E & = & 
\bigoplus_{0 \leq x \leq c+1} S_{[1,0,x,d+c+1-x]}E \bigoplus R_1\\
S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E & = & 
\bigoplus_{0 \leq x \leq c} S_{[1,0,x,c+d+1-x]}E \bigoplus R_2,\\
\end{array}
$$
o\`u $R_1$ et $R_2$ sont des sommes de composantes de type
$S_{[0,0,x,y]}$, que l'on sait d\'ej\`a annuler. L'annulation de la cohomologie
de $S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,d]}E \otimes L^t$ entraine donc celle de
$S_{[0,c]}E \otimes S_{[1,d+1]}E \otimes L^t$, 
et le lemme est alors cons\'equence d'une
des \'egalit\'es d\'emontr\'ees.
\fin

\para

Notons que ce lemme montre par exemple
$H^{n,q}(X,S_{[1,0,c,c+1]}E)=0$ si $q>3c+2$, car
$S_{[1,0,c,c+1]}E \subset S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,c]}E$. Ce n'est pas la
borne indiqu\'ee dans le tableau p. \pageref{tableau}.
En effet, pour cette partition particuli\`ere, 
on peut un peu raffiner le raisonnement pr\'ec\'edent. Auparavant, je souhaite
faire une remarque d'ordre g\'en\'eral qui all\`egera les calculs.

En g\'en\'eralisant le raisonnement utilis\'e pour le lemme pr\'ec\'edent,
on voit que l'on obtient simultan\'ement l'annulation de
$H^{p_1,q}(X,S_{\lambda_1} E)$ et celle de
$H^{p_2,q}(X,S_{\lambda_2} E)$; supposons que $p_1<p_2$: la borne $q_1$
obtenue pour le groupe $H^{p_1,q}(X,S_{\lambda_1} E)$ est la
diff\'erence entre la dimension de $Y$ et la somme $i+j+p_1$, o\`u
$i$ et $j$ sont les entiers tels que
si $V$ est un espace vectoriel fix\'e, $Y_V$ la fibre
de la projection $Y \rightarrow X$, et ${\cal L}_V$ la restriction du fibr\'e en
droites $\cal L$ sur une telle fibre, alors 
$H^{i,j}(Y_V,{\cal L}_V)=S_\lambda V$. La borne $q_2$ pour
$H^{p_2,q}(X,S_{\lambda_2} E)$ vaut $q_1+t$, o\`u $t$ est l'entier tel
que les fl�ches de la suite spectrale connectent
$H^{p_1,q}(X,S_{\lambda_1} E)$ et
$H^{p_2,q+t}(X,S_{\lambda_2} E)$. Attention,
cette recette n'est bien s�r valable
que si aucun autre terme de la suite spectrale ne vient compenser les termes
que l'on veut annuler. Par ailleurs, on peut facilement exprimer cette
diff\'erence:

\begin{rema}
Une suite spectrale donn\'ee par un fibr\'e en droites sur
$G_r(E^*) \times_X G_s(E^*)$ peut montrer l'annulation de
$H^{p,q}(X,S_{[a,b]}E \otimes S_{[c,d]}E \otimes L^t)$ pour
$q>(r-1)a+rb+(s-1)c+sd$.
\label{rema_borne}
\end{rema}
\dem
En effet, comme je l'ai expliqu\'e, il s'agit d'\'evaluer la diff\'erence entre
$\dim G_r(V)$ et $i+j$, o\`u $i$ et $j$ sont les entiers tels que
$H^{i,j}(G_r(V),{\cal O}(l))=S_{[a,b]}V$. Cette diff\'erence vaut
$ra+(r-1)b$, car $i=(l-1)t(r)-ar,j=(l-1)t(r-1)-a(r-1)$, et
$\dim V=rl-a+b$.
\fin

Dans le lemme qui suit, je traite des partitions qui sont un cas particulier de
celles trait\'ees par le lemme \ref{l1}; pour ces partitions particuli\`eres, je
peux r\'eduire de 1 la borne donn\'ee par le lemme \ref{l1}.

\begin{lemm}
Supposons $c>0$. \vspace{-.1cm}
$$
\begin{array}{rcl}
H^{n,q}(X,S_{[1,0,c+1,c]}E \otimes L^t) & =0 & 
\mbox{ si } q>3c+1, \mbox{ et }\\
H^{n-1,q}(X,S_{[0,0,c,c]}E \otimes L^t) &=0 & 
\mbox{ si } q>3c.
\end{array}
$$
\label{l1+}
\end{lemm}
\ \vspace{-.8cm}\\
\dem
Tout d'abord, on peut supposer que $e-c$ est impair et
$e-c>>0$. Dans la d\'emonstration du lemme \ref{l1}, 
j'ai montr\'e comment tenir compte
de $L^t$; pour all\'eger les notations, je suppose dor\'enavant que $t=0$.

Soit alors $l$ un entier tel que $e-c=2l+1$. Consid\'erons
d'abord la vari\'et\'e $Y=\p E^* \times_X \p E^*$, et le fibr\'e
${\cal O}(2l+1,2l+1)$ sur $Y$.
Comme dans la d\'emonstration du lemme pr\'ec\'edent, on montre que
$$
2H^{n,q+1}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[0,c]})=
H^{n-1,q}(X,S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,c]}E) \mbox{ si } q>2c+1.$$
Soit maintenant 
${\cal O}(2l,l+1) \rightarrow \p E^* \times_X G_2(E^*)$. On a alors de fa\c{c}on
similaire
$$H^{n,q+1}(X,S_{[1,c+2]}E \otimes S_{[0,c-1]} E)=
H^{n-1,q}(X,S_{[0,c+1]}E \otimes S_{[0,c-1]} E) 
\mbox{ si } q>3c.$$
Par la r\`egle de \litt,
$S_{[1,c+1]} E \otimes S_{[0,c]}E=S_{[1,c+2]}E \otimes S_{[0,c-1]} E
\oplus S_{[1,0,c,c+1]}E$
(\`a des termes de type $S_{[0,0,x,y]}E$ pr\`es), et
$S_{[0,c]}E \otimes S_{[0,c]}E=S_{[0,c-1]}E \otimes S_{[0,c+1]}E
\oplus S_{[0,0,c,c]}E$. 

Je donne maintenant une derni\`ere \'egalit\'e faisant
intervenir $H^{n,q+1}(X,S_{[1,0,c,c+1]}E)$
et $H^{n-1,q}(S_{[0,0,c,c]}E)$, qui permettra de conclure.
Consid\'erons ${\cal O}(e-c)\rightarrow G_2(E^*)$. Par la proposition
\ref{partition_admissible}, une partition $\lambda$, de taille au plus
$(e-2) \times 2$, $(e-c)$-admissible, v\'erifie soit 
$\lambda_1,\lambda_2 \leq e-c-2$, soit $\lambda_1=\lambda_2+e-c-1$. Dans le
deuxi\`eme cas, $|\lambda|=\lambda_1+\lambda_2\leq [e-2-(e-c-1)]+[e-2]=e+c-3$.
Par contre, la partition $(e-c-2,e-c-2)$ est de poids $2(e-c-2)$. Il est clair
qu'\`a $c$ fix\'e, si $e$ est grand, le poids de cette partition est strictement
sup\'erieur \`a toute constante plus le 
poids d'une partition du deuxi\`eme type. Quitte \`a
augmenter $e$, on peut donc faire comme si seules les partitions du premier
type intervenaient. En posant $P=n+2(e-c-2)-1$, on montre alors que
$$
H^{n,q+1}(X,S_{[1,0,c,c+1]}E)=H^{n-1,q}(X,S_{[0,0,c,c]}E) \mbox{ si }
q>2c+1.
$$

Les trois \'egalit\'es montrent que si $q>3c$, alors 
$H^{n,q+1}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes
S_{[0,c]}E)=0$. La premi\`ere implique alors le reste du lemme.
\fin

\begin{lemm}
\ \vspace{-.52cm}
$$
\begin{array}{rcccl}
\parbox{1.5cm}{\ }&H^{n,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[b+1,1]}E \otimes L^t) & 
= & 0 & \mbox{ si } q>a+2, \mbox{ et }\\
&H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]} \otimes S_{[b,0]}E \otimes L^t)& = & 0 &
\mbox{ si } q>a+1.
\label{l2}
\end{array}
$$
\end{lemm}
\noindent
\rem
Ce lemme me donne l'occasion de justifier
mes notations. Les partitions les plus
faciles \`a traiter sont celles qui correspondent \`a une puissance du d\'eterminant:
en effet, puisque $(\det E)^l$ est ample pour tout $l$, le th\'eor\`eme de
Kodaira donne directement que
$H^{p,q}(X,(\det E)^l)=0$ si $p+q>n$. Lorsqu'on s'\'ecarte de cette partition,
je vais expliquer qu'il existe
une sym\'etrie entre le fait d'allonger les premi\`eres parts et le fait de
creuser le bas de la partition. Autrement dit, 
dans la notation $\lambda=[a,b,c,d]$, $a$ et $c$, et $b$ et $d$, jouent des
r�les sym\'etriques. On peut d'ailleurs remarquer que le th\'eor\`eme 
\ref{nahm+} n'\'echappe pas \`a ce principe: si l'on note 
$r=\min \{\delta(n-p),\delta(n-q)\}$, alors la borne vaut
$q_0=n-p+(r+\sigma)(ae-k+2\sigma)-\sigma(\sigma+1)$. 
Or, avec mes notations, on a
$Z^{k_i-\alpha_i-1,k_i}=[\alpha_i,e-k_i+\alpha_i]$. Notons 
$\beta_i=e-k_i+\alpha_i$; on a $ae-k+\sigma=\sum_i (e-k_i+\alpha_i)=
\sum_i \beta_i=:\tau$. Ainsi, on a donc
\begin{equation}
q_0=n-p+(r+\sigma)(\tau+\sigma)-\sigma(\sigma+1)
=n-p+r(\sigma+\tau)+\sigma(\tau-1).
\label{nahm_symetrique}
\end{equation}
On voit bien que cette formule est sym\'etrique en $\sigma$ et $\tau\ (-1)$. Le
lecteur intrigu\'e pourra s'amuser de constater que la d\'emonstration
du th\'eor\`eme \ref{nahm+} fonctionne de fa\c{c}on tout \`a fait similaire si l'on
fait jouer par $\tau$ le r�le jou\'e par $\sigma$, 
et donne le m�me r\'esultat. Il est vraisemblable que
le d\'emonstration de th\'eor\`emes d'annulation efficaces pour des partitions de
rang strictement sup\'erieur \`a 1 utilise une r\'ecurrence qui fasse intervenir de
fa\c{c}on combin\'ee $\sigma$ et $\tau$. 

Le lemme \ref{l2}, pour cette sym\'etrie, est le
sym\'etrique du lemme \ref{l1}; il se d\'emontre de fa\c{c}on tout \`a fait similaire.\\
\dem
On se ram\`ene comme pr\'ec\'edemment au cas $e+a$ pair, puis
on consid\`ere
le fibr\'e en droites ${\cal O}(e+a,e+b)$ sur $\p E^* \times_X \p E^*$,
et le fibr\'e en droites ${\cal O}(e+b,\frac{e+a}{2})$ sur
$\p E^* \times_X G_2(E^*)$. On utilise aussi, comme pour d\'emontrer
le lemme \ref{l1}, la r\`egle de \litt. En tenant compte de la remarque
\ref{rema_borne}, on trouve ainsi
$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]} \otimes S_{[a+1,1]}E)=0$ si 
$q>a+1$.
Dans la
suite spectrale, il y a une fl\`eche entre
$H^{n,q+1}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[a+1,1]}E)$ et
$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]} \otimes S_{[a+1,1]}E)$; 
$H^{n,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[a+1,1]}E)$ s'annule donc si
$q>a+2$.
\fin

Par ailleurs, on peut, comme le fait le lemme \ref{l1+}, raffiner un peu le
lemme pr\'ec\'edent pour traiter certains cas particuliers:
\begin{lemm}
Supposons $a>0$. \vspace{-.1cm}
$$
\begin{array}{rcl}
H^{n,q}(X,S_{[a+1,a,0,1]}E \otimes L^t) & =0 & 
\mbox{ si } q>a+1, \mbox{ et }\\
H^{n-1,q}(X,S_{[a,a,0,0]}E \otimes L^t) & =0 & 
\mbox{ si } q>a.
\end{array}
$$
\label{l2+}
\end{lemm}
\dem
Similaire \`a celle du lemme \ref{l1+}.
\fin

\lpara
\begin{lemm}\hspace{-.2cm}
$H^{n,q}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E \otimes L^t)=
H^{n,q}(X,S_{[0,c+2]}E \otimes S_{[0,c]}E \otimes L^t)=0$
si $q>4c+4$, et
$H^{n-1,q}(X,S_{[1,c+1]} \otimes S_{[0,c]}E \otimes L^t) = 0$
si $q>4c+3$.
\label{l3}
\end{lemm}
\dem
Comme pr\'ec\'edemment, on peut supposer que $e-c$ est pair et $t=0$; soit donc
$l$ tel que $e-c=2l$. Consid\'erons le fibr\'e en droites ${\cal O}(2l,2l)$ sur
$\p E^* \times_X \p E^*$, et la suite spectrale 
correspondante pour $P=n+2(2l-1)-2$.
Les termes $\Es{P}{i}{j}{1}$ ne peuvent 
�tre non nuls que si $i$ vaut $n,n-1$, ou
$n-2$. Or $\Es{P}{n-2}{q-n+2}{1}=H^{n-2,q}(X,S_{[0,c]} E 
\otimes S_{[0,c]} E)$, qui est nul si $q>4c+2$ par le th\'eor\`eme
\ref{nahm+}. On en d\'eduit donc que si $q>4c+2$, alors
$$
\begin{array}{ll}
 & H^{n,q+2}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E) \oplus
2H^{n,q+2}(X,S_{[2,c+2]}E \otimes S_{[0,c]}E)\\
= & 2H^{n-1,q+1}(X,S_{[1,c+1]} \otimes S_{[0,c]}E).
\end{array}
$$
De m�me, en consid\'erant 
${\cal O}(2l,l)\rightarrow \p E^* \times_X G_2(E^*)$, on
montre que 
\cent{$H^{n,q+2}(X,S_{[2,c+2]}E \otimes S_{[0,c]}E)=
H^{n-1,q+1}(X,S_{[1,c+1]} \otimes S_{[0,c]}E)$ si $q>4c+2$.}
Ce syst\`eme donne
$H^{n,q+2}(X,S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E)=0$. Mais comme
$$S_{[1,c+1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E 
\supset S_{[2,c+2]}E \otimes S_{[0,c]}E,$$
on en d\'eduit qu'aussi
$H^{n,q+2}(X,S_{[2,c+2]}E \otimes S_{[0,c]}E)=0$, et donc\\
$H^{n-1,q+1}(X,S_{[1,c+1]} \otimes S_{[0,c]}E)=0$.
\fin

\lpara

Le sym\'etrique du lemme pr\'ec\'edent est:
\begin{lemm}
$H^{n,q}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[a+1,1]}E \otimes L^t)=
H^{n,q}(X,S_{[a+2,2]}E \otimes S_{[a,0]}E \otimes L^t)=0$ si $q>2a+4$ et
$H^{n-1,q}(X,S_{[a+1,1]} \otimes S_{[a,0]}E \otimes L^t)=0$ si $q>2a+3$.
\label{l4}
\end{lemm}
\dem
Comme pour le lemme pr\'ec\'edent, on pose $2l=a+e$ et $t=0$,
et on compare les suites spectrales correspondant
\`a ${\cal O}(2l,2l) \rightarrow \p E^* \times_X \p E^*$ et
${\cal O}(2l,l) \rightarrow \p E^* \times_X G_2(E^*)$.
\fin

Jusqu'\`a maintenant, nous avons consid\'er\'e des partitions de type
$[a,\epsilon] \otimes [b,\epsilon']$ ($\epsilon,\epsilon'=0$ ou 1), ou de type
$[\epsilon,a] \otimes [\epsilon',b]$.
Etudions finalement des partitions ``panach\'ees'', c'est-\`a-dire
de type $[a,\epsilon,b,\epsilon']$.
\begin{lemm}
Si $a$ et $c$ ont m�me parit\'e, alors
$H^{n,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[1,c+1]}E \otimes L^t)=0$ si $q>2c+2$, et
$H^{n,q}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[0,c]}E \otimes L^t)=0$ si $q>a+2$.
Si $q>\max(a,2c)+1$, alors 
$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E \otimes L^t)=0$.
\label{l5}
\end{lemm}
\rem
Ce lemme illustre la difficult\'e du probl\`eme qui consiste \`a obtenir des
th\'eor\`emes d'annulation optimaux: le lemme \ref{l4} avec $a=1$
donne la borne 6 pour
la partition $\yng(5,3,2,1,1)$ (si $e=5$); 
cette borne convient pour d\'emontrer le
th\'eor\`eme \ref{degenerescence} mais n'est pas optimale, puisque le lemme
\ref{l5}
donne la borne 4 ($a=3,c=1$).
Par contre, j'aurai besoin de cette bonne borne pour
montrer le lemme \ref{l6}.
Pour d\'emontrer un analogue du th\'eor\`eme \ref{degenerescence}
en tous rangs, il faut probablement prendre en compte ce genre de
subtilit\'es.\\
\dem
On suppose que $a+e=2l,e-c=2m$ et $t=0$. Si l'on consid\`ere
${\cal O}(2l,2m) \rightarrow \p E^* \times_X \p E^*$, alors on obtient
\cent{$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E)
=H^{n,q+1}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[1,c+1]}E) \oplus
H^{n,q+1}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[0,c]}E)$ si $q>c+1$. \vspace{.2cm}}
Avec ${\cal O}(2l,m) \rightarrow \p E^* \times_X G_2(E^*)$, on a
\cent{$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E)=
H^{n,q+1}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[0,c]}E)$ si $q>2c+2$.\vspace{.2cm}}
Enfin, ${\cal O}(l,2m) \rightarrow G_2(E^*) \times_X \p E^*$, donne
\cent{$H^{n-1,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E)=
H^{n,q+1}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[1,c+1]}E)$ si $q>a+2$.\vspace{.2cm}}

Le lemme d\'ecoule de ces trois remarques.
\fin

\begin{lemm}
Si $a$ et $c$ ont m�me parit\'e, alors
\cent{$H^{n-2,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E \otimes L^t)=0$ si
$q>a+2c+2$.}
\label{n-2}
\end{lemm}
\dem
Si $t=0,2l=e+a$ et $2m=e-c$, on regarde la suite spectrale associ\'ee \`a
${\cal O}(l,m) \rightarrow G_2(E^*) \times_X G_2(E^*)$, pour 
$P=n+(2e-l-3)+(3(m-1))-2$. Par la remarque \ref{rema_borne},
pour $q>a+2c+2$, celle-ci compare
$H^{n-2,q}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[0,c]}E)$ et
$H^{n,q+2}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[0,c]}E) \oplus
H^{n,q+2}(X,S_{[a,0]}E \otimes S_{[1,c+1]}E)$. Or, ces deux
derniers groupes sont
nuls, gr�ce au lemme \ref{l5}, si $q>\max\{a,2c\}$.
\fin

\begin{lemm}
Si $a$ et $c$ ont m�me parit\'e, alors
\cent{$H^{n,q}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E \otimes L^t)=0$ si
$q>a+2c+4$.}
\label{l6}
\end{lemm}
\dem
Si $t=0$, $2l=e+a$ et $2m=e-c$, alors 
${\cal O}(2l,2m) \rightarrow \p E^* \times_X \p E^*$ donne, pour $q>a+2c+2$,
$$
\begin{array}{rl}
& H^{n,q+2}(X,S_{[a+1,1]}E \otimes S_{[1,c+1]}E) \oplus
H^{n,q+2}(X,S_{[a+2,2]}E \otimes S_{[0,c]}E)\\
\oplus & H^{n,q+2}(X,S_{[0,a]}E \otimes S_{[2,c+2]}E)\\
= & H^{n-1,q+1}(X,S_{[1,a+1]}E \otimes S_{[0,c]}E) \oplus
H^{n-1,q}(X,S_{[0,a]}E \otimes S_{[1,c+1]}E).
\end{array}
$$
En effet, $H^{n-2,q}(X,S_{[a,0]} \otimes S_{[0,c]}E)=0$ si $q>a+2c+2$ par le
lemme \ref{n-2}. De m�me, ${\cal O}(l,2m) \rightarrow G_2(E^*) \times_X \p E^*$
et ${\cal O}(2l,m) \rightarrow \p E^* \times_X G_2(E^*)$
donnent respectivement, pour
$q>2a+c+2$,
$$
\begin{array}{rcl}
H^{n,q+2}(X,S_{[a+2,2]}E \otimes S_{[0,c]}E) & = &
H^{n-1,q+1}(X,S_{[1,a+1]}E \otimes S_{[0,c]}E) \mbox{ et }\\
H^{n,q+2}(X,S_{[0,a]}E \otimes S_{[2,c+2]}E) & = &
H^{n-1,q}(X,S_{[0,a]}E \otimes S_{[1,c+1]}E).
\end{array}
$$
\fin
\lpara

Remarquons enfin que l'on peut am\'eliorer la borne pour
$S_{[2,1]}E \otimes S_{[1,2]}E$. En effet, en g\'en\'eralisant la d\'emonstration 
du lemme pr\'ec\'edent, on voit que l'annulation\\
$H^{n-2,q}(X,S_{[1,0]}E \otimes S_{[0,1]}E)=0$ si $q>q_0$ implique
$H^{n,q}(X,S_{[2,1]}E \otimes S_{[1,2]}E)=0$ si $q>q_0+2$. Le lemme pr\'ec\'edent
utilisait la borne $q_0=5$ montr\'ee dans le lemme \ref{n-2}; je vais montrer
que $H^{n-2,q}(X,S_{[1,0]}E \otimes S_{[0,1]}E)=0$ si $q>4$ par un argument qui
ne fonctionne que pour $S_{[1,0]}E \otimes S_{[0,1]}E$. 
La remarque sp\'ecifique est que, par
la r\`egle de \litt,
$$S_{[1,0]}E \otimes S_{[0,1]}E = 
(\det E)^2 \oplus \det E \otimes S_{[1,1]}E.$$
Puisque $H^{n-2,q}(X,(\det E)^2)=0$ si $q>2$, il suffit de montrer que
$H^{n-2,q}(X,\det E \otimes S_{[1,1]}E)=0$ si $q>4$. Pour cela, on peut
supposer que le rang de $E$ est multiple de 4, $e=4f$, et on regarde
la suite spectrale correspondant \`a
${\cal O}(f,4f) \rightarrow G_4(E) \times_X \p E$. Dans cette suite spectrale,
notre groupe, $H^{n-2,q}(X,\det E \otimes S_{[1,1]}E)=0$, est connect\'e \`a
$H^{n-3,q-1}(X,(\det E)^2)$ (qui s'annule si $q-1>3$),
$H^{n-1,q+1}(X,\det E \otimes S_{[2,2]}E)$ (nul pour $q+1>5$: lemme \ref{l5}),
et enfin $H^{n,q+1}(X,\det E \otimes S_{[3,3]}E)=0$ (nul pour $q+1>3$ par le
th\'eor\`eme A' de \cite{manivel}). On a donc d\'emontr\'e

\begin{lemm}
$H^{n,q}(X,S_{[2,1]}E \otimes S_{[1,2]}E)=0$ si $q>6$.
\label{l7}
\end{lemm}
Ceci illustre \`a nouveau la complexit\'e du sujet: on obtient de meilleures bornes
pour des partitions sp\'ecifiques que celles obtenues par la m\'ethode g\'en\'erale.
Par ailleurs, comme nous utilisons une r\'ecurrence, le fait de ne pas obtenir
le th\'eor\`eme d'annulation optimal pour une partition pr\'ecise se r\'epercute sur de
nombreuses autres partitions, entrainant progressivement la ``catastrophe''.

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\end{document}

math0502131.extracted_bib
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