{Sur la construction de mesures selles}
Henry de Th�lin
Nous construisons des mesures selles (dans un sens faible) pour les endomorphismes holomorphes de $\Pp^2(\Cc)$.
math0502369.tex





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\title{{\bf Sur la construction de mesures selles}}
\author{Henry de Th�lin}
\date{}


\begin{document}
\maketitle

%$\Cc, \Rr$%

%% Redefinition Titre
\def\figurename{{Fig.}}%
\def\proofname{Preuve}% for AMS-\LaTeX
\def\contentsname{Sommaire}%
%% Fin






\begin{abstract}

Nous construisons des mesures selles (dans un sens faible) pour les
endomorphismes holomorphes de $\Pp^2(\Cc)$.


\end{abstract}


\selectlanguage{english}
\begin{center}
{\bf{On saddle measures }}
\end{center}

\begin{abstract}

We build saddle measures (in a weak sense) for holomorphic
endomorphisms of $\Cc \Pp^2$.

\end{abstract}


\selectlanguage{francais}

Mots-clefs: dynamique holomorphe, entropie, exposants de Lyapunov.\\
Classification: 32H50, 37FXX.





\section*{{\bf Introduction}}
\par

A partir d'un endomorphisme holomorphe de $\Pp^2(\Cc)$, $f$, de degr�
$d \geq 2$, J.E. Forn{\ae}ss et N. Sibony ont d�fini le courant de
Green $T$ associ� � $f$ (voir \cite{FS} et \cite{FS1}), dont le
support est l'ensemble de Julia de $f$. Ce courant poss�de un
potentiel continu: on peut donc d�finir son auto-intersection $\mu= T
\wedge T$ (voir \cite{FS}). La mesure $\mu$ ainsi obtenue est l'unique
mesure d'entropie maximale $2 \log(d)$ (voir \cite{BD2}) et elle a ses
exposants de Lyapunov minor�s par $\frac{\log(d)}{2}$ (voir
\cite{BD1}).

L'objet de cet article est de d�crire la dynamique de $f$ en dehors du
support de $\mu$. L'entropie topologique de $f$ hors de ce support
�tant major�e par $\log(d)$ (voir \cite{Det2}), il s'agira d'une part
de construire des mesures d'entropie $\log(d)$ et d'autre part, d'�valuer leurs
exposants de Lyapunov.

Quand $f$ est un endomorphisme holomorphe hyperbolique (dans un sens
fort), cela a �t� r�alis� par J.E. Forn{\ae}ss et
N. Sibony dans $\cite{FS3}$. En effet, soient $L$ une droite
projective de $\Pp^2(\Cc)$ et $S$ une valeur d'adh�rence de $S_m=\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1}
\frac{[f^i(L)]}{d^i}$. Le courant $S$ v�rifie $f_{*}S=d S$ et en le tranchant avec $T$, on obtient une
mesure $\nu=T \wedge S$ invariante par $f$. Alors, dans \cite{FS3},
J.E. Forn{\ae}ss et N. Sibony ont d�montr� entre autres que ces mesures
�taient selles (i.e. qu'elles ont un exposant de Lyapunov strictement
positif et un strictement n�gatif).

Quand $f$ est un endomorphisme holomorphe quelconque de $\Pp^2(\Cc)$,
nous pouvons construire comme pr�c�demment des mesures $\nu=T \wedge
S$ invariantes par $f$. L'objectif de cet article est de voir que ces
mesures permettent de d�crire la dynamique de $f$ en dehors du support
de $\mu$. Plus pr�cis�ment, nous aurons tout d'abord (comme dans \cite{BS3}) le

\begin{theoreme}{\label{entropie}}
L'entropie m�trique de $\nu$ est minor�e par $\log(d)$.

\end{theoreme}

En particulier, quand le support de la mesure $\nu$ est disjoint de celui
de la mesure $\mu$, la mesure $\nu$ est d'entropie maximale dans le
compl�mentaire du support de $\mu$ (voir \cite{Det2}).

Les mesures $\nu$ ne sont pas ergodiques en g�n�ral (par exemple si
$f([z:w:t])=[z^2:w^2:t^2]$, elles ont en g�n�ral trois
composantes ergodiques). En particulier, le th�or�me pr�c�dent associ�
� l'in�galit� de Ruelle (voir \cite{Ru} ou le paragraphe \ref{exposant}) ne permet pas d'obtenir que le plus grand
exposant de Lyapunov de $\nu$ est sup�rieur � $0$ en presque tout
point. Cependant, nous atteindrons ce r�sultat en
adaptant les arguments de R. Dujardin (voir \cite{Du3}) � notre
situation. Nous aurons donc le

\begin{theoreme}{\label{th2}}

Pour $\nu$ presque tout point $x$, le plus grand exposant de Lyapunov
en $x$ est sup�rieur ou �gal � $\frac{\log(d)}{2}$.

\end{theoreme}

Pour d�crire la dynamique de $f$ hors du support de $\mu$, il nous reste �
estimer le plus petit exposant de Lyapunov de $\nu$ hors de ce
support. C'est l'objet du

\begin{theoreme}{\label{th3}}
Supposons que $\nu$ ne charge pas les courbes alg�briques.

Alors, pour $\nu$ presque tout point $x$ hors du support de $\mu$, le plus
petit exposant de Lyapunov $\chi_1(x)$ est n�gatif ou nul.

\end{theoreme}

Les mesures $\nu$ sont donc faiblement selles en dehors du support de
$\mu$.

Par ailleurs, dans le paragraphe \ref{exemple},
nous donnerons un exemple de mesure $\nu$ qui ne charge aucune courbe
alg�brique pour laquelle le plus petit exposant de Lyapunov est nul.

Remarquons que si $\nu=T \wedge S$ charge une courbe alg�brique alors
celle-ci est n�cessairement pr�p�riodique. En effet, d'une part $\nu$
est invariante et d'autre part, comme $T$ est � potentiel h�ld�rien, $\nu$ ne charge aucun point. En particulier, nous avons le

\begin{corollaire*}

Si $f$ ne poss�de aucune courbe p�riodique alors toutes les mesures
$\nu=T \wedge S$ construites pr�c�demment ont leur plus petit exposant
de Lyapunov n�gatif ou nul pour presque tout point hors du support de $\mu$.

\end{corollaire*}

Voici maintenant le plan de ce texte: dans le premier paragraphe, nous minorerons
l'entropie de la mesure $\nu$ par $\log(d)$. La seconde et la
troisi�me partie de cet article seront consacr�es � des rappels d'une
part sur la th�orie de Pesin et d'autre part sur les courants tiss�s
(ou g�om�triques) introduits dans \cite{Di}. Ensuite, le quatri�me
paragraphe d�montrera la minoration du plus grand exposant de Lyapunov
de $\nu$, tandis que le cinqui�me traitera de la majoration du plus
petit. Enfin, dans la sixi�me partie, nous donnerons l'exemple de
mesure $\nu$ qui rend le th�or�me \ref{th3} optimal.

$ $

{\bf Remerciements:} Je tiens � remercier T.-C. Dinh et R. Dujardin
pour leurs remarques sur le fond et la forme de cet article.


\section{{\bf Entropie m�trique de la mesure $\nu$}}

Dans ce paragraphe, on consid�re $L$ une droite projective et $S$ une
valeur d'adh�rence de $\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}
\frac{[f^i(L)]}{d^i}$. Le courant $S$ v�rifie $f_{*}S=dS$. Par
ailleurs, en tranchant ce courant avec $T$, on obtient une mesure
$\nu=T \wedge S$ qui est invariante par $f$.

L'objectif de ce paragraphe est alors de d�montrer le

\begin{theoreme*}
L'entropie m�trique de $\nu$ est minor�e par $\log(d)$.

\end{theoreme*}

Avant de passer � la d�monstration de ce th�or�me, nous allons faire
quelques rappels sur l'entropie.

\subsection{{\bf Entropie m�trique}}

Notons $d_n(x,y) = \max_{0 \leq i \leq n-1} \{ d(f^i(x), f^i(y)) \}$
et $B_n(x, \epsilon)$ la boule de centre $x$ et de rayon $\epsilon$
pour cette m�trique.

A partir du th�or�me de Brin-Katok (voir \cite{BK}) nous pouvons
d�finir l'entropie m�trique $h_{\nu}(f)$ de $\nu$ par:
$$h_{\nu}(f)= \int  \sup_{\epsilon > 0} \liminf_{n} - \frac{1}{n} \log
(\nu(B_n(x, \epsilon))) d\nu(x).$$
Cette quantit� d�crit donc la d�croissance moyenne de la masse d'une
boule dynamique $B_n(x, \epsilon)$ pour $\nu$.

Dans \cite{BS3}, E. Bedford et J. Smillie ont donn� une m�thode pour
minorer l'entropie m�trique de certaines mesures. Elle s'appuie sur la
d�monstration du principe variationnel (voir \cite{W}) et plus
pr�cis�ment sur la

\begin{proposition*}

Fixons $\epsilon >0$. Soient $\sigma_n$ une suite de probabilit�s et
$\nu_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f_{*}^i \sigma_n$. Si $\nu_{n_j}$ converge vers $\nu$ et
$\sigma_{n_j}(B_{n_j}(x,\epsilon)) \leq c_{n_j}$ pour toute boule
dynamique $B_{n_j}(x,\epsilon)$ alors:
$$h_{\nu}(f) \geq \limsup - \frac{1}{n_j} \log c_{n_j}.$$

\end{proposition*}

\subsection{{\bf Minoration de l'entropie de $\nu$}}

La d�monstration du th�or�me \ref{entropie} va se faire en deux �tapes. Dans la
premi�re, on va utiliser la proposition pr�c�dente avec $\sigma_n=
\frac{f^{n*} \omega}{d^n} \wedge [L]$ (o� $\omega$ est la forme de
Fubini-Study de $\Pp^2(\Cc)$). Celle-ci nous donnera alors,
exactement comme dans \cite{BS3}, une mesure $\nu^{'}$ d'entropie
minor�e par $\log(d)$. Il restera alors � voir que $\nu$ et $\nu^{'}$
sont �gales.

\subsubsection{Construction d'une mesure d'entropie minor�e par
  $\log(d)$}

Quitte � extraire une sous-suite, nous supposerons que
$S_n=\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{[f^i(L)]}{d^i}$ converge
vers $S$. La preuve �tant la m�me que celle de E. Bedford et
J. Smillie, nous passerons vite sur certains points.

Appliquons la proposition pr�c�dente �  $\sigma_n= \frac{f^{n*} \omega}{d^n} \wedge [L]$. Nous avons
$$ \sigma_{n} ( B_{n}(x,\epsilon)) = \frac{1}{d^{n}}
  \int_{B_{n}(x,\epsilon)} f^{n*} \omega \wedge [L] \leq
  \frac{1}{d^{n}} v^0(f,n,\epsilon)$$
o� $v^0(f,n,\epsilon)$ est le supr�mum sur toutes les boules
  dynamiques $B_{n}(x,\epsilon)$ du volume de $f^{n}(B_{n}(x,\epsilon)
  \cap L)$ compt� avec multiplicit�. Si $\nu_n^{'}$ d�signe la mesure $\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f_{*}^i
  \sigma_n$ et $\nu_{n_j}^{'}$ une sous-suite de 
$\nu_n^{'}$ qui converge vers $\nu{'}$, on a:
$$h_{\nu^{'}}(f) \geq \limsup (- \frac{1}{n_j} \log (
  \frac{1}{d^{n_j}}v^0(f,n_j,\epsilon))).$$
En utilisant le th�or�me de Yomdin (voir \cite{Y}) on obtient alors la
  minoration cherch�e.

Il reste � voir que $\nu$ et $\nu^{'}$ sont �gales. C'est l'objet du
  paragraphe suivant.

\subsubsection{Minoration de l'entropie de $\nu$}

Commen�ons par rappeler bri�vement la construction de $T$ (voir
\cite{FS} et \cite{FS1}).

Comme la forme $f^{*}\omega$ est cohomologue � $d \omega$, on a:
$$\frac{f^{*}\omega}{d}= \omega +dd^c u,$$
o� $u$ est une fonction lisse de $\Pp^2(\Cc)$.

En it�rant cette relation, on obtient que:
$$\frac{f^{i*}\omega}{d^i}= \omega +dd^c G_i,$$
avec $G_i=\sum_{l=0}^{i-1} \frac{u \circ f^l}{d^l}$.

Autrement dit, en passant � la limite, on a $T= \omega + dd^c G$ o� $G$ est une fontion continue qui v�rifie:
$$\max_{\Pp^2(\Cc)}|G_{i}-G| \leq \frac{C}{d^i}.$$
Maintenant
$$\nu_{n_j}^{'}=\frac{1}{n_j} \sum_{i=0}^{n_j -1} f_{*}^i( \frac{f^{n_j*}
  \omega}{d^{n_j}} \wedge [L])=\frac{1}{n_j} \sum_{i=0}^{n_j -1}
  \frac{f^{n_j -i*}
  \omega}{d^{n_j -i}} \wedge \frac{f_{*}^i([L])}{d^i}$$
qui est �gal � 
$$\frac{1}{n_j} \sum_{i=0}^{n_j -1}  (\frac{f^{n_j -i*}
  \omega}{d^{n_j -i}}-T) \wedge \frac{f_{*}^i([L])}{d^i} + \frac{1}{n_j} \sum_{i=0}^{n_j -1}
  T \wedge \frac{f_{*}^i([L])}{d^i}.$$
Le dernier terme est $T \wedge S_{n_j}$ et converge donc vers $\nu$
  car $T$ est � potentiel continu.

Par ailleurs, en appliquant au premier terme une fonction test $\Phi$
  et en utilisant la construction de $T$ on obtient:
$$\int \frac{1}{n_j} \sum_{i=0}^{n_j -1}  (G_{n_j -i} - G) dd^c \Phi
  \wedge \frac{f_{*}^i([L])}{d^i}$$
qui en valeur absolue est major� par $|\Phi|_{C^2} \frac{1}{n_j}
  \sum_{i=0}^{n_j -1} \frac{C}{d^{n_j - i}}$ qui tend bien vers $0$
  quand $j$ cro�t vers l'infini.

Cela montre bien que $\nu$ et $\nu^{'}$ sont �gales.





\section{{\bf Un peu de th�orie de Pesin}}{\label{exposant}}


Dans tout cet article, $\Pp^2(\Cc)$ sera muni d'une famille de cartes
holomorphes $\tau_x : \Cc^2 \mapsto \Pp^2(\Cc)$ avec $\tau_x(0)=x$
et $(x,z) \mapsto \tau_x(z)$ localement $C^{\infty}$.

Soient $f$ un endomorphisme holomorphe de $\Pp^2(\Cc)$ et $\nu$ une
mesure de probabilit� invariante.

Pour faire de la th�orie de Pesin associ�e � $f$, nous allons d�finir
l'extension naturelle $\widehat{\Pp^2(\Cc)}$ de $(\Pp^2(\Cc),f,\nu)$: c'est l'ensemble
$\widehat{\Pp^2(\Cc)}= \{ \widehat{x}=(...,x_{-n},...,x_0) \in \Pp^2(\Cc)^{\Zz^{-}}
\mbox{  ,  } f(x_{-n})=x_{-n+1} \}$, des pr�histoires des points de
$\Pp^2(\Cc)$. Dans cet espace $f$ induit une application $\widehat{f}$
qui est le d�calage � droite et si on note $\pi$ la projection
canonique $\pi(\widehat{x})=x_{0}$, alors $\nu$ se rel�ve par $\pi$ en
une unique mesure de probabilit� $\widehat{\nu}$ invariante par $\widehat{f}$ qui
v�rifie $\pi_{*} \widehat{\nu}= \nu$.

Maintenant, � partir de $f_x = \tau_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \tau_x$,
on peut d�finir une application $D \widehat{f}(\widehat{x})$ de
$\widehat{X}$ � valeur dans $\mbox{Mat}(2, \Cc)$ en posant: $D
\widehat{f}(\widehat{x})= Df_x (0)$ (o� $\pi(\widehat{x})=x$).

C'est �  $D \widehat{f}$ que l'on va appliquer une extension du
th�or�me d'Osedelec (qui est valable dans un cadre non int�grable) et
la th�orie de Pesin.

\begin{theoreme*}{\label{exposants}}(Voir \cite{PS} p.35).
Il existe un bor�lien invariant $\widehat{X} \subset \widehat{\Pp^2(\Cc)}$ avec
$\widehat{\nu}(\widehat{\Pp^2(\Cc)} - \widehat{X})=0$ tel que pour tout
  $\widehat{x}$ dans $\widehat{X}$ on ait:

1) Une d�composition mesurable de $\Cc^2$ en espaces complexes de la forme:
$$\Cc^2= \oplus_{i=1}^{k(\widehat{x})} E_i(\widehat{x})$$
qui v�rifie $D \widehat{f}(\widehat{x})
E_i(\widehat{x})=E_i(\widehat{f} (\widehat{x}) )$.

2) L'existence de fonctions invariantes par $\widehat{f}$ (qui peuvent
valoir $- \infty$):
$$\chi_1(\widehat{x}) < \cdots <\chi_{k(\widehat{x})}(\widehat{x}),$$
avec
$$ \lim_{m \rightarrow + \infty} \frac{1}{m} \log
\| A(\widehat{x},m)v \|=  \chi_i(\widehat{x})$$
pour tout $v \in E_i(\widehat{x}) \setminus \{ 0\}$.

Ici les $A(\widehat{x},m)$ sont d�finis par les relations:
$$A(\widehat{x},m)= D \widehat{f}(\widehat{f}^{m-1}(\widehat{x})) \circ
  \cdots \circ  D \widehat{f}(\widehat{x}) \mbox{       pour } m > 0.$$
3) Si $k(\widehat{x})=2$ alors:
$$\lim_{m \rightarrow  \infty} \frac{1}{m} \log \sin ( \angle (E_1
(\widehat{f}^{m}(\widehat{x})),E_2
(\widehat{f}^{m}(\widehat{x}))))=0.$$


\end{theoreme*}

Les r�els $\chi_i (\widehat{x})$ sont les exposants de Lyapunov de
$\widehat{f}$. Par ailleurs, si on a
$\pi(\widehat{x})=\pi(\widehat{y})=x$ avec $\widehat{x}$ et
$\widehat{y}$ dans $\widehat{X}$, on a $k(\widehat{x})=k(\widehat{y})$
et $\chi_i (\widehat{x})=\chi_i (\widehat{y})$. Cela permet donc de d�finir
les exposants de Lyapunov pour $\nu$-presque tout point $x$.

Dans la suite, nous nous pla�ons sur $\widehat{X}^{'}$ qui est
l'ensemble des points de $\widehat{X}$ pour lesquels $k(\widehat{x})=2$ (c'est-�-dire $\widehat{\nu}$ a deux exposants de Lyapunov distincts) et
$\chi_1(\widehat{x}) > 0$. C'est un bor�lien invariant par
$\widehat{f}$. En particulier, si on consid�re la mesure
$\widehat{\nu}^{'}$ d�finie par $\widehat{\nu}^{'}(A)=\widehat{\nu}(A
\cap \widehat{X}^{'})$, on obtient une mesure invariante par
$\widehat{f}$ pour laquelle
$\log ^{+} \| (D \widehat{f})^{-1} \|$ est int�grable (voir
l'appendice $A.1$ de \cite{K}).

Nous pouvons donc lui appliquer le th�or�me de $\gamma$-r�duction de Pesin
(voir \cite{KH}) et ainsi obtenir:

\begin{theoreme*}($\gamma$-r�duction de Pesin (voir \cite{KH})).

Pour tout $\gamma > 0$, il existe une application $C_{\gamma} :
\widehat{X}^{'} \mapsto GL(2,\Cc)$ et un bor�lien invariant
$\widehat{Y}^{'} \subset \widehat{X}^{'}$ avec
$\widehat{\nu}(\widehat{X}^{'} - \widehat{Y}^{'})=0$ tel que pour tout
$\widehat{x} \in \widehat{Y}^{'}$ on ait:

1) $$\lim_{m \rightarrow  \infty} \frac{1}{m} \log \| C_{\gamma}^{\pm 1} (
\widehat{f}^{m}(\widehat{x})) \|=0$$
(on parle de fonction temp�r�e).

2) La matrice $A_{\gamma}(\widehat{x})= C_{\gamma}^{-1} (
\widehat{f}(\widehat{x})) D \widehat{f} (\widehat{x})
C_{\gamma} (\widehat{x})$ est �gale � $\left( \begin{array}{cc}
\mu_1(\widehat{x}) & 0\\
0 & \mu_2(\widehat{x})\\
\end{array} \right) $
avec 
$$e^{\chi_i (\widehat{x})- \gamma} \leq |\mu_i(\widehat{x})|
\leq e^{\chi_i (\widehat{x})+ \gamma}.$$
3) Enfin, $C_{\gamma} (\widehat{x})$ envoie la d�composition
standard de $\Cc^2$ sur $E_1(\widehat{x}) \oplus E_2(\widehat{x})$.

\end{theoreme*}

Maintenant, si on note $g_{\widehat{x}}$ la lecture de $f_x$ dans ces cartes
(i.e.  $g_{\widehat{x}}= C_{\gamma}^{-1} (\widehat{f}(\widehat{x})) \circ f_x \circ
C_{\gamma} (\widehat{x})$ o� $\pi(\widehat{x})=x$), on en
d�duit la proposition suivante (voir \cite{KH} p. 673):

\begin{proposition*}
Pour tout $\widehat{x} \in \widehat{Y}^{'}$ les $g_{\widehat{x}}$ sont d�finies sur des boules
$B(\delta(\widehat{x}))$ o� $\delta(\widehat{x})$ sont des fonctions
temp�r�es.

Par ailleurs, on a $g_{\widehat{x}}(0)=0$ et $Dg_{\widehat{x}}(0)=\left( \begin{array}{cc}
\mu_1(\widehat{x}) & 0\\
0 & \mu_2(\widehat{x})\\
\end{array} \right)$. Enfin si $g_{\widehat{x}}(w)= Dg_{\widehat{x}}(0)w
+h(w)$ alors $\| D_w h \| \leq \frac{ \| w \| \gamma}{
  \delta(\widehat{x}) }$ pour $w \in B(\delta(\widehat{x}))$.

\end{proposition*}

\begin{remarque*}

Comme $\delta(\widehat{x})$ est temp�r�e, nous pouvons supposer dans
la proposition pr�c�dente que
$e^{- \gamma} <
\frac{\delta(\widehat{f}(\widehat{x}))}{\delta(\widehat{x})} <
e^{\gamma}$ (voir \cite{KH} p. 668).
 \end{remarque*}

Signalons enfin que les exposants de Lyapunov sont reli�s � l'entropie
par le

\begin{theoreme*} In�galit� de Ruelle, cas complexe (voir \cite{Ru}).

Soient $f$ un endomorphisme holomorphe de $\Pp^2$ et $\nu$ une
mesure invariante par $f$. On  a alors:
$$\frac{h_{\nu}(f)}{2} \leq \int \chi^{+} (x) d\nu(x)$$
o� $\chi^{+} (x)= \sum_{i \mbox{, } \chi_i (x) > 0}  \chi_i (x) .$

\end{theoreme*}

















\section{{\bf Courants g�om�triques}}{\label{courant}}

Dans \cite{Di}, T.-C. Dinh a d�montr� que le courant $S$ est
tiss�. Cela signifie que son support contient beaucoup de disques
analytiques.

Dans ce paragraphe, nous allons tout d'abord rappeler la notion de
courant tiss� (que nous appellerons courant g�om�trique), puis nous �tudierons
l'intersection de $S$ avec $T$, en suivant de pr�s l'article de
R. Dujardin (voir \cite{Du2}).



\subsection{{\bf Courants g�om�triques}}

Consid�rons un ouvert $\Omega$ de $\Cc^2$ et $T$ un $(1,1)$ courant
positif.

\begin{definition}

Le courant $T$ est uniform�ment g�om�trique dans $\Omega$ si pour tout
$x \in \mbox{Supp}(T) \cap \Omega$, il existe un bidisque $B$, un
ouvert $U$ de $B$ contenant $x$ et une constante $c(B)$ tels que:
$$T_{|U}= \int_{\Gamma \in \mathcal{G}} [\Gamma \cap U] d \lambda
(\Gamma).$$
Ici $ \mathcal{G}$ est l'ensemble des sous-ensembles analytiques de
$B$ de masse inf�rieure � $c(B)$ et $\lambda$ est une mesure sur cet
espace compact.

\end{definition}

Remarquons que les $\Gamma$ ne sont pas suppos�s disjoints.

De fa�on analogue aux courants laminaires (voir par exemple \cite{C},
\cite{Det1}, \cite{Di} et \cite{Du1}), on peut d�finir:

\begin{definition}

Un courant $T$ est g�om�trique dans $\Omega$ s'il existe une suite
d'ouverts $\Omega_i \subset \Omega$ avec $||T||(\partial \Omega_i)=0$
et une suite croissante $(T_i)_{i \geq 0}$, $\mbox{ }T_i$ uniform�ment
g�om�trique dans $\Omega_i$ tels que $\lim_{i \rightarrow \infty}
T_i=T$.

\end{definition}

\subsection{{\bf Caract�re g�om�trique de $S$}}{\label{geometrique}}

Dans notre contexte, $S$ est un courant g�om�trique (voir \cite{Di}).
Cependant, nous allons voir que de fa�on analogue � R. Dujardin pour
le cas laminaire, nous pouvons raffiner la suite de courants
uniform�ment g�om�triques $S_k$ qui
cro�t vers $S$ de sorte que $T \wedge S_k$ croisse aussi vers $T
\wedge S$.

On commence par fixer un ouvert $\Omega$ et deux projections lin�aires
g�n�riques $\pi_1$ et $\pi_2$. On peut alors recouvrir
$\overline{\Omega}$ par une subdivision en $4$-cubes affines:
$$\Qcal = \{ \pi_1^{-1}(s_1) \times \pi_2^{-1}(s_2) \mbox{  ,  }
(s_1,s_2) \in \Scal_1 \times \Scal_2 \}$$
o� $\Scal_1$ et $\Scal_2$ sont des d�coupages de $\Cc$ en carr�s de taille
$r$. En rempla�ant les courants laminaires par les courants
g�om�triques dans la preuve de R. Dujardin (voir Proposition 4.4 dans
\cite{Du2}), on obtient la

\begin{proposition}{\label{prop4}}

Il existe un courant $S_{\Qcal} \leq S$ uniform�ment g�om�trique dans
les $Q \in \Qcal$ tel que $M_{\Omega}(S-S_{\Qcal}) \leq Cr^2$ (o� $C$ est
une constante universelle et $M_{\Omega}$ est la masse dans
$\Omega$).

\end{proposition}

Nous allons expliquer bri�vement la construction de R. Dujardin car nous en
aurons besoin par la suite. On notera $S_m= \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^i(L)]}{d^i}$ et
quitte � extraire une sous-suite on pourra supposer que $S_m$ converge
vers $S$.

Dans les composantes connexes de $f^i(L)$ au-dessus d'un carr� $s_j$ de
$\Scal_j$ (i.e. dans $\pi_j^{-1}(s_j) \cap f^i(L)$), on a un certain
nombre de disques qui sont des graphes au-dessus de $s_j$ (qui peuvent �ventuellement s'intersecter entre eux). En moyennant les
courants d'int�gration sur les graphes qui ont une aire inf�rieure �
$\frac{1}{2}$, on obtient ainsi deux courants $S_{m, \Qcal_j}$ inf�rieurs �
$S_m$ et qui v�rifient:
$$\langle S_m-S_{m, \Qcal_j}, \pi_j^{*} \omega \rangle \leq Cr^2.$$
Cette in�galit� r�sulte de la formule de Riemann-Hurwitz et du fait
que le genre de $f^i(L)$ vaut $0$.

Par ailleurs, $S_{m, \Qcal_j}$ s'�crit $\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1}
\frac{[C_{\Qcal_j}^i]}{d^i}$ o� les $C_{\Qcal_j}^i$ sont des courbes �
bord dans $\pi_j^{-1}(\partial \Scal_j)$.

On r�unit maintenant ces deux courants en posant:
$$S_{m, \Qcal}=\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1}
\frac{[C_{\Qcal_1}^i \cup C_{\Qcal_2}^i]}{d^i}.$$
C'est un courant uniform�ment g�om�trique dans les cubes de $\Qcal$
car les courbes $C_{\Qcal_1}^i \cup C_{\Qcal_2}^i$ qui composent $S_{m,
  \Qcal}$ sont � bord dans $\partial \Qcal$. De plus, la suite $S_{m,
  \Qcal}$ v�rifie:
$$\langle S_m-S_{m, \Qcal}, \pi_1^{*} \omega + \pi_2^{*} \omega \rangle \leq Cr^2.$$
Pour les valeurs d'adh�rences $S_{\Qcal}$ de $S_{m, \Qcal}$ on a
donc bien:
$$M_{\Omega}(S-S_{\Qcal}) \leq Cr^2.$$
Enfin, il est assez facile de voir que le courant $S_{\Qcal}$
est uniform�ment g�om�trique dans les $Q \in \Qcal$.

$ $

La proposition ci-dessus est le point cl� pour construire une suite
$S_k$ qui cro�t vers $S$ telle que $T \wedge S_k$ croisse vers $T
\wedge S$. En effet, si on reprend les arguments de R. Dujardin (voir
\cite{Du2}), on constate
que pour un quadrillage $\Qcal$ de taille $r$ bien choisi (i.e. bien positionn�), on a:
$$M_{\Omega}(T \wedge S - T \wedge S_{\Qcal}) \leq \epsilon(r).$$
Ici $S_{\Qcal}$ est le courant construit pr�c�demment et
$\epsilon(r)=C \omega(G,r)^{1/3}$, o� $\omega(G,r)$ est le module de
continuit� du potentiel de $T$ de rayon $r$ et $C$ est une
constante universelle. En particulier $\epsilon(r)$ est une suite qui tend vers $0$ quand $r$ d�cro�t vers $0$.

En it�rant le proc�d�, on obtient donc le

\begin{theoreme}

Il existe une suite de subdivisions $\Qcal_k$ de $\overline{\Omega}$ et
une suite $S_k$ de courants uniform�ment g�om�triques dans les cubes
de la subdivision telles que:

i) La suite de courants $S_k$ cro�t vers $S$.

ii) Celle des mesures $T \wedge S_k$ cro�t vers $T \wedge S$.

\end{theoreme}












\section{{\bf Minoration du plus grand exposant de Lyapunov de $\nu$}}

Nous avons vu au d�but de cet article que l'entropie de $\nu$ est
minor�e par $\log(d)$. En utilisant la formule de Ruelle
(voir le paragraphe \ref{exposant}), on obtient alors $$\int \chi^{+}
(x) d\nu(x) \geq \frac{\log(d)}{2}$$
o� $\chi^{+} (x)= \sum_{i \mbox{, } \chi_i (x) > 0}  \chi_i (x) .$\\
Nous allons maintenant raffiner ce r�sultat. Plus pr�cis�ment, en
adaptant les arguments de R. Dujardin (voir \cite{Du3}) � notre cas
qui est non inversible nous allons montrer le:
\begin{theoreme*}

Pour $\nu$ presque tout point $x$, le plus grand exposant de Lyapunov
en $x$ est sup�rieur ou �gal � $\frac{\log(d)}{2}$.

\end{theoreme*}


Quitte � extraire une sous-suite, nous supposerons dans la suite que
$S_m=\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^i(L)]}{d^i}$ converge
vers $S$. De plus, quitte � changer la suite $\frac{1}{m}
\sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^i(L)]}{d^i}$ en une
suite $\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^i(L_i)]}{d^i}$ qui
converge aussi vers $S$, nous
pourrons supposer que $f^i(L)$ n'a pas de multiplicit�.

Avant de donner l'id�e de la preuve, remarquons que le th�or�me revient � d�montrer que
l'ensemble $\{ x \mbox{ , } \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \| D_x f^n  \| <
\frac{\log(d)}{2} \}$ est de mesure nulle pour $\nu$ (la limite existe par le
th�or�me sous-additif de Kingman). Autrement dit, il suffit de montrer
que l'ensemble
$$B_{\alpha, n_0}:= \{ x \mbox{ , } \forall n \geq n_0 \mbox{ , } \frac{1}{n} \log \| D_x f^n  \| <
(1-\alpha)\frac{\log(d)}{2} \}$$
est de mesure nulle pour $\nu$ pourvu que $\alpha$ soit petit et $n_0$ grand.

Enfin, quitte � consid�rer un recouvrement fini de $\Pp^2$ par des
ouverts $\Omega$ et � prendre un $m$ grand, il suffira donc de majorer
$T \wedge S_m(\Omega_n)$ par $\epsilon$ o� 
$$\Omega_n:=\{ x \in \Omega \mbox{ , }  \frac{1}{n} \log \| D_x f^n  \| <
(1-\alpha)\frac{\log(d)}{2} \}.$$

$ $

Voici maintenant l'id�e de la preuve.

Admettons que l'on puisse construire environ $d^{i+n}$ disques consistants
dans $f^{i+n}(L)$. Alors, si on
n'a pas de probl�mes li�s � l'ensemble critique, on obtient $d^{i+n}$
pr�images de ces disques dans $f^i(L)$. La plupart d'entre eux ont
donc une aire inf�rieure � $Kd^{-n}$ (car l'aire de $f^i(L)$ vaut
$d^i$) et on a cr�� ainsi beaucoup de
points qui ne sont pas dans $\Omega_n$.

$ $

Le plan de la preuve du th�or�me sera donc le suivant: dans un premier paragraphe, nous allons construire ces disques dans
$\frac{f_{*}^n S_m}{d^n}$. Ensuite, on prendra les pr�images de ces
disques par $f^n$ et nous utiliserons un argument
longueur-aire. Enfin, la
derni�re partie sera consacr�e � la d�monstration du th�or�me.

\subsection{{\bf Construction des disques}}

Quitte � consid�rer un recouvrement fini de $\Pp^2(\Cc)$ par des
ouverts $U$, nous pouvons supposer que $f^n(\Omega_n) \subset U$.

On consid�re maintenant un d�coupage $\Qcal$ d'un voisinage de $\overline{U}$ en $4$-cubes affines de taille $\frac{1}{k}$. Dans toute la
suite le quadrillage sera consid�r� bien choisi par rapport � la mesure $\nu$. En particulier $\nu$ charge peu un petit voisinage du bord de $\Qcal$
(voir le lemme 4.5 dans \cite{Du2}).
Notons $\Qcal_{\lambda}=\cup Q_{\lambda}$ o� les
$Q_{\lambda}$ sont les homoth�tiques des $Q \in \Qcal$ de
rapport $\lambda$. Quitte � remplacer $\Omega_n$ par l'ouvert $\Omega_n
\cap f^{-n}( \Qcal_{\lambda})$, nous pourrons donc supposer dans la suite que $f^n(\Omega_n) \subset
\Qcal_{\lambda}$ (cela fait changer �ventuellement $m$ en un $m^{'}$
plus grand).

Maintenant, � partir du courant $\frac{f^n_{*} S_m}{d^n}=\frac{1}{m}
\sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^{i+n}(L)]}{d^{i+n}}$, on peut construire un
courant $R_{m, \Qcal}$ uniform�ment g�om�trique dans les cubes du
quadrillage de $\Qcal$ et qui v�rifie (voir le paragraphe \ref{geometrique})
$$\left( T \wedge \frac{f^n_{*} S_m}{d^n} - T \wedge R_{m, \Qcal}
\right) (U) \leq
\epsilon(k).$$
Ici $\epsilon(k)$ ne d�pend pas de $m$ et $n$. En effet d'une part on a
$$M_U \left( \frac{f^n_{*} S_m}{d^n}-R_{m, \Qcal} \right) \leq \frac{C}{k^2}$$
o� $C$ est ind�pendante de $m$ et $n$ et d'autre part comme le quadrillage $\Qcal$
est suppos� bien choisi par rapport � $\nu$, il l'est pour $T
\wedge  \frac{f^n_{*} S_m}{d^n}$ pour des $m$ grands (voir le lemme
4.5 de \cite{Du2}).

Dans la suite, on posera $R_{m, \Qcal}=\int [\Gamma] d \nu_{m, \Qcal}(\Gamma)$. Dans cette expression les $\Gamma$ sont des
disques inclus dans les cubes de $\Qcal$. Ce sont ces disques de
$R_{m, \Qcal}$ que l'on va tirer en arri�re par
$f^n$. 


\subsection{Tir� en arri�re des disques}

Dans la suite, nous allons jeter un certain nombre de disques de
$R_{m, \Qcal}$ de sorte � pouvoir effectuer l'argument longueur-aire
et ainsi cr�er beaucoup de points qui ne seront pas dans $\Omega_n$. A
chaque fois que nous enl�verons un disque $\Gamma$, nous donnerons la
perte $\int_{\Gamma} T$ ainsi enregistr�e.

$ $

Fixons $i$ compris entre $0$ et $m-1$.

On ne consid�rera que les $\Gamma$ qui sont dans $f^{i+n}(L) \cap
Q_{\lambda}$. En particulier, comme $\Gamma$ est un graphe, $f^n(\Omega_n) \cap \Gamma$ est inclus dans un disque
$\Gamma^{'} \Subset \Gamma$ et le module de l'anneau $\Gamma
\setminus \Gamma^{'}$ est minor� par une constante ind�pendante de
$\Gamma$ (qui ne d�pend que de $k$ et de $\epsilon$).

Comme la courbe $f^{i+n}(L)$ n'a pas de multiplicit�, on peut tirer en
arri�re par $f^n$ les disques $\Gamma$. On notera $(\Gamma)_j^{-n}$ et
$(\Gamma^{'})_j^{-n}$ les pr�images de $\Gamma$ et $\Gamma^{'}$ qui
sont dans $f^i(L)$. Le nombre de disques $\Gamma$ pour lesquels
$(\Gamma)_j^{-n}$ est d'aire sup�rieure � $K d^{-n}$ est major� par
$\frac{d^{i+n}}{K}$ (car $f^i(L)$ est d'aire $d^i$). Si on d�signe par
$\Dcal(i)$ l'ensemble de ces disques et qu'on les retire � $R_{m,
  \Qcal}$, on enregistre une perte $\int_{\Dcal(i) \cap Q_{\lambda}} T
\leq C(k) \frac{d^{i+n}}{K}$.

Enfin, si on consid�re un disque $\Gamma$ que l'on n'a pas enlev�, on a
$$\mbox{Diam�tre}((\Gamma^{'})_j^{-n}) \leq C(k, \epsilon) \sqrt{K} d^{-n/2}$$ 
gr�ce � un argument longueur-aire (voir l'appendice de \cite{BD2}).

Alors, quitte � consid�rer un disque interm�diaire entre $\Gamma^{'}$ et $\Gamma$, on obtient gr�ce aux in�galit�s de Cauchy (comme dans \cite{Du3}):
$$\| D f_{j}^{-n}(p)v(p) \| \leq C(k,K, \epsilon) d^{-n/2}$$
pour $p \in \Gamma^{'}$ et un certain vecteur unitaire $v(p)$. Ici
$f_{j}^{-n}$ d�signe la branche inverse de $f^n$ qui envoie $\Gamma$
sur $(\Gamma)_j^{-n}$.

Ces points $f_{j}^{-n}(p)$ v�rifient $\| D f^n(f_{j}^{-n}(p)) \| \geq
\frac{d^{n/2}}{C(k,K, \epsilon)}$ et ils ne peuvent donc pas appartenir �
$\Omega_n$ (si $n$ est suffisamment grand).

\subsection{D�monstration du th�or�me}

Rappelons que nous devons voir que
$$T \wedge S_m( \Omega_n ) \leq \epsilon.$$
Si $p$ est un point de $\Omega_n$, alors $f^n(p)$ est soit
dans un des disques que l'on a enlev�s � $R_{m, \Qcal}$, soit dans la
partie de $\frac{f^n_{*} S_m}{d^n}$ o� il n'y a pas de disque de
$R_{m, \Qcal}$. Autrement dit, en utilisant la relation $f_{*}^n(T \wedge S_m)=T \wedge \frac{f^n_{*} S_m}{d^n}$ et l'estim�e de perte que l'on avait obtenue, on a:
$$T \wedge S_m(\Omega_n) \leq T \wedge \frac{f^n_{*} S_m}{d^n}
(f^n(\Omega_n)) \leq \frac{C(k)}{K}  + \epsilon(k) \leq \epsilon$$
pour $k$ puis $K$ bien choisies.








\section{{\bf Majoration du plus petit exposant de Lyapunov de $\nu$}}

Dans ce paragraphe $\nu$ d�signe toujours la mesure $T \wedge S$.

Nous voulons ici montrer le

\begin{theoreme*}
Supposons que $\nu$ ne charge pas les courbes alg�briques.

Alors, pour $\nu$ presque tout point $x$ hors du support de $\mu$, le plus
petit exposant de Lyapunov $\chi_1(x)$ est n�gatif ou nul.

\end{theoreme*}

Voici le plan de la d�monstration. Dans un premier
paragraphe, nous allons montrer que la mesure de $\{ x \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) = \chi_1(x) > 0 \}$ est nulle. Les
exposants �tant �gaux, nous pourrons en particulier utiliser les travaux de F. Berteloot et C. Dupont (voir
\cite{BDu}) sur les lin�arisations le long d'orbites n�gatives. Dans
le second paragraphe on verra que la mesure de $\{ x \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) > \chi_1(x) > 0 \}$ vaut $0$. Cette fois-ci les exposants �tant disjoints, nous aurons une
direction stable (donn�e par le plus petit exposant) et une direction
instable. Dans ce contexte, nous pourrons en particulier utiliser la
tranform�e de graphe.

\subsection{{\bf Majoration de la mesure de  $ \{ x \not \in
    \mbox{Support} (\mu) \mbox{ , } \chi_2 (x) = \chi_1 (x) > 0 \} $ }}

Avant de passer � l'estimation de cette mesure, nous allons
faire quelques rappels sur le proc�d� de branches inverses de
J.-Y. Briend et J. Duval (voir \cite{BD1}) ainsi que sur la lin�arisation de
F. Berteloot et C. Dupont (voir \cite{BDu}).

\subsubsection{Rappels}{\label{inverse}}

On reprend les notations du paragraphe \ref{exposant}. En particulier
$\tau_x$ d�signe une bonne famille de cartes holomorphes de $\Pp^2$ et
$f_x= \tau_{f(x)}^{-1} \circ f \circ \tau_x$. Dans la suite nous
noterons aussi:
$$f_x^n=\tau_{f^n(x)}^{-1} \circ f^n \circ \tau_x=f_{f^{n-1}(x)} \circ
\cdots \circ f_x$$
et pour $\widehat{x}$ dans l'extension naturelle $\widehat{\Pp^2(\Cc)}$,
$$f_{\widehat{x}}^{-n}= f_{x_{-n}}^{-1} \circ \cdots \circ
f_{x_{-1}}^{-1}$$
(quand cette expression est bien d�finie). On notera aussi
$\widehat{X}$ l'ensemble des bons points de Pesin pour $\widehat{\nu}$
(voir le paragraphe \ref{exposant}).

Le bor�lien $\widehat{X}^{'}= \{ \widehat{x} \in \widehat{X} \mbox{ , }
\chi_1(\widehat{x})= \chi_2(\widehat{x}) \mbox{ , }
\chi_1(\widehat{x}) > 0 \} $ est invariant par
$\widehat{f}$. En particulier, si on consid�re la mesure
$\widehat{\nu^{'}}$ d�finie par $\widehat{\nu^{'}}(A)=\widehat{\nu}(A
\cap \widehat{X}^{'})$, on obtient une mesure invariante pour laquelle
$\log ^{+} \| (D \widehat{f})^{-1} \|$ est int�grable (voir
l'appendice $A.1$ de \cite{K}).

En particulier nous pouvons utiliser d'une part les r�sultats de J.-Y. Briend et J. Duval
(voir \cite{BD1} et \cite{B}) et d'autre part le proc�d� de lin�arisation de
F. Berteloot et C. Dupont (voir \cite{BDu}) pour la mesure
$\widehat{\nu^{'}}$ et ainsi obtenir le

\begin{theoreme*}{\cite{BD1} et \cite{BDu}}.

Soient $\gamma$ et $R$ suffisamment petits.
Il existe un bor�lien $\widehat{Y}^{'} \subset \widehat{X}^{'}$ avec
$\widehat{\nu}(\widehat{X}^{'} - \widehat{Y}^{'})=0$ et des fonctions
mesurables $\eta: \widehat{Y}^{'} \rightarrow ]0,R]$,
    $F: \widehat{Y}^{'} \rightarrow ]0, + \infty[$,
        $C : \widehat{Y}^{'} \rightarrow [1, + \infty[$
            et $S: \widehat{Y}^{'} \rightarrow ]0,R]$
        tels que pour tout $\widehat{x} \in \widehat{Y}^{'}$ et
        tout $n$ dans $\Nn$ on
        ait:

1) $f_{\widehat{x}}^{-n}$ est d�finie sur $B(0, \eta(\widehat{x}))$.

2) $\mbox{Lip} f_{\widehat{x}}^{-n} \leq C(\widehat{x})
e^{-n(\chi_1(\widehat{x})- \gamma/2)}$.

3) $\| D_0 f^n_{x_{-n}} \| \leq F(\widehat{x})
   e^{n(\chi_2(\widehat{x}) + \gamma)}$.

4) $S \leq \eta$ et $D_0 f_{\widehat{x}}^{-n} (B(0,S(\widehat{x})))
\subset f_{\widehat{x}}^{-n} B(0, \eta(\widehat{x}))$.

\end{theoreme*}

\begin{remarque*}

Les deux premiers points proviennent du fait que $\chi_1(\widehat{x}) >
0$ (voir \cite{BD1} et \cite{B}). Le troisi�me est une cons�quence
directe de la th�orie de Pesin. Enfin le dernier point est le seul qui
utilise que $ \chi_1(\widehat{x}) = \chi_2(\widehat{x})$ (voir
\cite{BDu}).

\end{remarque*}








\subsubsection{Majoration de la mesure de $\{ x \not \in
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) = \chi_1(x) > 0 \}$}

Voici le plan de cette majoration.

Apr�s un premier paragraphe consacr� � des pr�liminaires, nous verrons
dans le second que montrer que la mesure de $E_1=\{ x \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) = \chi_1(x) > 0 \}$ est nulle revient � calculer la
mesure pour $\nu$ de pr�images $f_i^{-n}(B)$. Enfin dans le troisi�me
paragraphe nous effectuerons ce calcul.

\subparagraph{1) Pr�liminaires}

$\mbox{ }$

Commen�ons par ramener la majoration de $E_1$ � celle d'un bor�lien
$\widehat{E}_1(n)$ qui aura de bonnes propri�t�s de r�currence et
d'uniformit�.

Remarquons tout d'abord qu'il nous suffit de voir que $\nu( \{ x \in
E_1 \mbox{ , } \chi_1(x) \geq \beta > 0  \})$ est nul (avec $\beta$ petit). On notera toujours $E_1$ cet ensemble. Par ailleurs,
$$\nu(E_1)= \widehat{\nu}(\pi^{-1}(E_1))= \widehat{\nu}(\pi^{-1}(E_1)
\cap \widehat{X})$$
o� $\pi$ est la projection de $\widehat{\Pp^2(\Cc)}$ sur $\Pp^2(\Cc)$
et $\widehat{X}$ est l'ensemble des bons points de Pesin (voir le
paragraphe \ref{exposant}).

Ce dernier ensemble $\pi^{-1}(E_1) \cap \widehat{X}$ est inclus dans
$$\widehat{E}_1=\{ \widehat{x} \in \widehat{X} \mbox{ , } \pi(\widehat{x}) \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(\widehat{x}) =
\chi_1(\widehat{x}) \geq \beta \}$$
(car la d�finition des exposants de Lyapunov ne d�pend que des
trajectoires positives).

La majoration de $\nu(E_1)$ se ram�ne donc � celle de
$\widehat{\nu}(\widehat{E}_1)$.

Ensuite, si on reprend les notations du th�or�me pr�c�dent, on constate
que quitte � remplacer $\widehat{E}_1$ par 
$$\widehat{E}_{1,p}= \{
\widehat{x} \in \widehat{E}_1 \cap \widehat{Y}^{'} \mbox{ , }
d(\pi(\widehat{x}),\mbox{Support}(\mu)) \geq \frac{1}{p}   \mbox{ , }     S(\widehat{x}) \geq \frac{1}{p} \mbox{ , } C(\widehat{x})
\leq p \mbox{ , } F(\widehat{x}) \leq p \}$$
pour $p$ grand, on pourra
supposer dans la suite que nous avons ces contr�les.

Enfin, l'ensemble $\widehat{E}_1$ aura de bonnes
propri�t�s de r�currence en utilisant le

\begin{lemme}{\label{recurrence}}

$$(\widehat{\nu}(\widehat{E}_1))^2 \leq \lim_{m \rightarrow  +  \infty}
  \frac{1}{m} \sum_{n=0}^{m-1} \widehat{\nu}(
  \widehat{f}^n(\widehat{E}_1) \cap \widehat{E}_1).$$

\end{lemme}

\begin{proof}

Il suffit d'utiliser d'une part la d�composition de $\widehat{\nu}$ en mesures
ergodiques $\widehat{\nu}_{\alpha}$ et d'autre part le fait qu'une mesure ergodique $\widehat{\nu}_{\alpha}$
v�rifie 
$$\lim_{m \rightarrow +  \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=0}^{m-1}
\widehat{\nu}_{\alpha}(\widehat{f}^n(\widehat{E}_1) \cap
      \widehat{E}_1)=(\widehat{\nu}_{\alpha}(\widehat{E}_1))^2.$$ 

\end{proof}

En effet, gr�ce � ce lemme, pour d�montrer que
 $\widehat{\nu}(\widehat{E}_1)$ (et donc $\nu(E_1)$) est de mesure
 nulle, il nous suffira de montrer que
 $\widehat{\nu}(\widehat{E}_1(n))$ est petit pour $n$ assez grand (avec $\widehat{E}_1(n)=\widehat{f}^n(\widehat{E}_1) \cap
      \widehat{E}_1$). $\widehat{E}_1(n)$ est le bon bor�lien que l'on
 cherchait.

Maintenant, gr�ce au proc�d� de lin�arisation (point $4$ du th�or�me
pr�c�dent), nous avons la

\begin{proposition*}
Il existe $\rho > 0$ tel que:

$$\exists n_0 \mbox{ , } \forall n \geq n_0 \mbox{ , }  \forall
\widehat{x} \in \widehat{E}_1$$ on a:
$$\mbox{Diam�tre int�rieur de } f_{x_{-n}}^n( D_0
f_{\widehat{x}}^{-n}(B(0,\frac{1}{4p}))) \geq \rho.$$

\end{proposition*}

\begin{proof}

Faisons un raisonnement par l'absurde.

Si la proposition est fausse, on obtient des suites $n_l$ et $\widehat{x}_l \in  \widehat{E}_1$ telles
que le diam�tre int�rieur de $f_{(x_l)_{-n_l}}^{n_l}( D_0
f_{\widehat{x}_l}^{-n_l}(B(0,\frac{1}{4p})))$ soit major� par
$\frac{1}{l}$.

Par ailleurs la fonction $g_{n_l}(u)=f_{(x_l)_{-n_l}}^{n_l} D_0
f_{\widehat{x}_l}^{-n_l}(u)$ est d�finie sur $B(0,\frac{1}{p})$ et son
image est incluse dans $B(0,R)$ (voir le point $4$ du th�or�me
pr�c�dent). Quitte � extraire une sous-suite, $g_{n_l}$ converge donc
vers une fonction holomorphe $g: B(0,\frac{1}{p}) \mapsto
\overline{B(0,R)}$.

Maintenant, on a d'une part $D_0 g$ qui est �gal � $I$ et d'autre part le diam�tre
int�rieur de  $g(B(0,\frac{1}{4p}))$ qui vaut $0$. On obtient alors
une contradiction par le th�or�me d'inversion locale.

\end{proof}


\subparagraph{2) Branches inverses}

$\mbox{ }$

Commen�ons par recouvrir $\Pp^2$ par des boules $B$ telles que
$\tau_x^{-1}(B) \subset B(0, \rho)$ pour tout $x$ de $B$ ($\rho$ est
une constante petite qui v�rifie les conclusions de la proposition
pr�c�dente).

Ensuite nous appellerons bonne composante de $f^{-n}(B)$ un ouvert de
la forme $\tau_{y_{-n}} \circ f_{\widehat{y}}^{-n} \circ
\tau_{y_0}^{-1}(B)$ avec $y_0 \in B$ et $\widehat{y} \in
\widehat{E}_1(n)$.

Nous avons alors (comme dans \cite{BD1}):
$$\widehat{\nu} ( \widehat{E}_1(n)
\cap \pi^{-1}(B)) = \widehat{\nu} (\widehat{f}^{-n}( \widehat{E}_1(n)
\cap \pi^{-1}(B))) \leq \nu( \pi (\widehat{f}^{-n}( \widehat{E}_1(n)
\cap \pi^{-1}(B))))$$
car $\pi_{*} \widehat{\nu} = \nu$.

Mais $\pi (\widehat{f}^{-n}( \widehat{E}_1(n)
\cap \pi^{-1}(B)))$ est inclus dans l'union des bonnes composantes de
$f^{-n}(B)$ (que nous noterons $\cup \mbox{BC}$) c'est-�-dire
$$ \widehat{\nu} ( \widehat{E}_1(n)
\cap \pi^{-1}(B)) \leq  \nu ( \cup \mbox{BC}) .$$
Par ailleurs, remarquons qu'une bonne composante ci-dessus �vite un
$\frac{1}{2p}$-voisinage du support de $\mu$ (car d'une part les bonnes
composantes contiennent un point qui est hors d'un
$\frac{1}{p}$-voisinage du support de $\mu$ par d�finition de
$\widehat{E}_1(n)$ et d'autre part les bonnes composantes sont de diam�tre
exponentiellement petit par le point $2$ du th�or�me du paragraphe \ref{inverse}).


\subparagraph{3) Calcul de $\nu(\cup \mbox{BC})$}

$\mbox{ }$

Cette op�ration va se d�rouler en trois �tapes.

Dans la premi�re, nous allons faire des simplifications g�om�triques:
nous remplacerons $\nu$ par $T \wedge S_{\Qcal}$ o� $S_{\Qcal}$ est un
courant uniform�ment g�om�trique et on verra que gr�ce � la
lin�arisation, les bonnes composantes seront presque des
ellipso�des.

Apr�s cette op�ration, nous aurons � d�montrer trois faits. Le premier
est que $T \wedge [ \Gamma] (\mbox{BC})      \leq Cd^{-n}$ pour un disque
$\Gamma$ de $S_{\Qcal}$ et $\mbox{BC}$ une bonne composante. Le second
est que la mesure des graphes (pour la mesure sur les graphes de $S_{\Qcal}$) qui coupent une bonne
composante tend vers $0$ quand $n$ cro�t vers l'infini. Enfin, nous
verrons que le nombre de bonnes composantes de $f^{-n}(B)$ qui �vitent le
petit voisinage du support de $\mu$ est major� par $Cd^n$.

Apr�s avoir d�montr� ces trois faits, nous aurons que $T \wedge S_{\Qcal}(\cup \mbox{BC})$ sera major� par
$Cd^n T \wedge S_{\Qcal}(\mbox{BC}) \leq Cd^n Cd^{-n} \epsilon(n)$ qui
est la majoration cherch�e.

\subparagraph{i) Simplifications g�om�triques}

Quitte � consid�rer un recouvrement fini de $\Pp^2(\Cc)$ par des
ouverts $\Omega$, nous pouvons supposer que $\cup \mbox{BC}$ est
inclus dans $\Omega$. On peut construire un
d�coupage d'un voisinage de $\overline{\Omega}$ en $4$-cubes affines
et un courant $S_{\Qcal}= \int [\Gamma] d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$ uniform�ment g�om�trique dans les cubes de
ce quadrillage tels que la diff�rence $(T \wedge S - T \wedge
S_{\Qcal})(\Omega)$ soit aussi petite que l'on veut (voir le
paragraphe \ref{courant}). Nous pouvons supposer de plus que $\nu$
charge tr�s peu un petit voisinage du bord de $\Qcal$ et alors notre
majoration de $\nu(\cup \mbox{BC})$ se ram�ne � celle de $T \wedge
S_{\Qcal}(\cup \mbox{BC})$ pour les bonnes composantes qui �vitent un
petit voisinage du bord de $\Qcal$. Comme pr�c�demment, nous noterons
toujours $\cup \mbox{BC}$ l'union de ces bonnes composantes.

Expliquons maintenant pourquoi les bonnes composantes ressemblent � des ellipso�des. Notons ici $B_i^{-n}= \tau_{y_{-n}} \circ
f_{\widehat{y}}^{-n} \circ \tau_{y_0}^{-1}(B)$ une des bonnes
composantes de $f^{-n}(B)$.

D'apr�s la proposition pr�c�dente, nous savons que
$$\tau_{y_0}^{-1}(B) \subset B(0,\rho) \subset f_{y_{-n}}^n D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p}).$$
On en d�duit donc que $B_i^{-n} \subset \tau_{y_{-n}} D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p})$ et $D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p})$ est bien un ellipso�de.



\subparagraph{ii) D�monstration des trois faits}

\subparagraph{$\alpha$) Calcul de $T \wedge [ \Gamma] (\tau_{y_{-n}} D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p}))$}

Par construction $\Gamma$ est un graphe (i.e. de la forme
$(z,\phi(z))$) et le diam�tre de $ D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{p})$ est major� par $e^{-
  \chi_1(\widehat{y})n + \gamma n}$.

Par ailleurs, nous avons des contr�les uniformes d'une part sur les
$\tau_{y_{-n}}^{-1}$ et d'autre part sur les d�riv�es de $\phi$ (via
le th�or�me de Cauchy car $\tau_{y_{-n}} D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{p})$ est un peu loin du bord de
$\Qcal$). La partie $\Gamma_0$ de $\tau_{y_{-n}}^{-1}(\Gamma)$ susceptible
de rencontrer $D_0 f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{p})$ se met
donc sous la forme d'un graphe $(z,\psi(z))$ o� $z$ est dans un disque
$D_0$ de taille $e^{-  \chi_1(\widehat{y})n + \gamma n}$ et
$|\psi^{'}(z)| \leq e^{-  \chi_1(\widehat{y})n + \gamma n}$ sur
$D_0$ (on s'est plac� dans un rep�re o� l'axe des abscisses est tangent � $\Gamma_0$ en un point de $ D_0 f_{\widehat{y}}^{-n}
B(0, \frac{1}{4p})$).

Maintenant le calcul de $\int_{\tau_{y_{-n}} D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p})} T \wedge [ \Gamma]=\int_{ D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{4p})} \tau_{y_{-n}}^{*} T \wedge
[ \Gamma_0]$ va se faire par un argument de capacit�.

En effet, notons $\Ecal_i=D_0
f_{\widehat{y}}^{-n} B(0, \frac{1}{ip})$ ($i=1,2,3,4$),
$D^{'}=\pi(\Gamma_0 \cap \Ecal_4)$ et $D=\pi(\Gamma_0 \cap \Ecal_1)$
(o� $\pi$ est la projection du graphe $\Gamma_0$ sur l'axe des
abscisses).

Alors, si on a une fonction $G$ psh dans $\tau_{y_{-n}}(\Ecal_1)$ avec
$0 \leq G \leq Cd^{-n}$ dans cet ensemble et $dd^cG=T$, on aura:
$$\int_{\Ecal_4} \tau_{y_{-n}}^{*} T \wedge [ \Gamma_0]= \int
\tau_{y_{-n}}^{*} T \wedge [ \pi^{*} D^{'}]= \int_{D^{'}} dd^c G \circ
\tau_{y_{-n}} \circ \pi^{-1}$$
(on consid�re $\pi$ comme un biholomorphisme de $\Gamma_0 \cap
\Ecal_4$ sur $D^{'}$).

Enfin comme $0 \leq G \leq C d^{-n}$ sur $\tau_{y_{-n}}(\Ecal_1)$ on a $0
\leq G \circ \tau_{y_{-n}} \circ \pi^{-1} \leq C d^{-n}$ sur $D$ et
alors
$$\int_{\tau_{y_{-n}}(\Ecal_4)} T \wedge [ \Gamma] \leq
\mbox{Cap}(D^{'},D) C d^{-n}.$$
Pour obtenir la majoration de $\int_{\tau_{y_{-n}}(\Ecal_4)} T \wedge
[ \Gamma]$ par $Cd^{-n}$ il reste donc d'une part � voir que
$\mbox{Cap}(D^{'},D)$ est born�e par une constante uniforme et d'autre
part � construire la fonction psh $G$ qui est comprise entre $0$ et
$Cd^{-n}$ sur $\tau_{y_{-n}}(\Ecal_1)$ et qui v�rifie $dd^c G=T$.

$ $

Majoration de $\mbox{Cap}(D^{'},D)$:

Notons $\Delta$ l'axe des abscisses qui est tangent � $\Gamma_0$. On a
d'une part $D^{'} \subset \Delta \cap \Ecal_3$ et d'autre part $\Delta
\cap \Ecal_2 \subset D$ (car $| \psi^{'} | \leq e^{-
  \chi_1(\widehat{y})n + \gamma n}$, $\| D_0 f_{y_{-n}}^n \| \leq p e^{
  \chi_2(\widehat{y})n + \gamma n}$ et $2 \chi_1(\widehat{y}) >
\chi_2(\widehat{y})$).

Cela implique donc que $\mbox{Cap}(D^{'},D) \leq \mbox{Cap}(\Delta
\cap \Ecal_3, \Delta \cap \Ecal_2)$ et il est clair que cette
derni�re quantit� est major�e par une constante uniforme.

$ $

Construction de $G$:

Notons $\pi_0$ la projection de $\Cc^3$ sur $\Pp^2$ et $G_0 \circ
\sigma$ la fonction de Green de $f$ d�finie sur une boule $\tau_{y_0} B(0,\eta(\widehat{y}))$ qui contient $B$ (ici $\sigma$ est une
section locale de $\pi_0$).

$G_0 \circ \sigma$ v�rifie $dd^c (G_0 \circ \sigma)=T$ et $| G_0 \circ
\sigma | \leq \frac{C}{2}$ (voir \cite{FS1}). Par ailleurs on notera $f_i^{-n}$ la branche inverse de $f^n$ telle que $\tau_{y_{-n}} \Ecal_1
\subset f_i^{-n}(\tau_{y_0}B(0,\eta(\widehat{y})))$ (voir le point $4$
du th�or�me de la section \ref{inverse}).

Maintenant, en utilisant le lemme 2.3 de Ueda (voir \cite{Ue}), on
peut construire une section $\sigma_n$ de $\pi_0$ telle que $F^n \circ
\sigma_n = \sigma \circ f^n$ sur $f_i^{-n}(\tau_{y_0}B(0,\eta(\widehat{y})))$ (ici $F$ est un relev�
polynomial de $f$ par $\pi_0$). La fonction $G= G_0 \circ \sigma_n +
\frac{C}{2d^n}$ v�rifie alors les conditions que l'on voulait.


\subparagraph{$\beta$) Majoration de la mesure des graphes de
  $S_{\Qcal}$ qui coupent $\tau_{y_{-n}}(\Ecal_4)$}

Il s'agit ici de voir que $\nu_{\Qcal}( \{ \Gamma \mbox{ qui coupent }
\tau_{y_{-n}}(\Ecal_4) \} ) \leq \alpha$ pour $n$ grand.

Remarquons tout d'abord que nous pouvons enlever les bonnes
composantes qui sont dans un petit voisinage de $\{ \nu(S,x) \geq
\alpha \}$ (o� $\nu(S,x)$ est le nombre de Lelong de $S$ en $x$). En
effet, $\nu$ ne chargeant pas  $\{ \nu(S,x) \geq \alpha \}$, ce
voisinage $V$ est de mesure aussi petite que l'on veut. Il s'agira
alors dans la suite de majorer $T \wedge S_{\Qcal} (\cup \mbox{BC})$
o� $\cup \mbox{BC}$ d�signe les bonnes composantes qui �vitent $V$.

Maintenant, si on consid�re un point $x$ hors de $V$, on a l'existence
d'un $r_0(x)$ pour lequel $S \wedge \omega (B(x,r)) < \alpha r^2$ si
$r \leq r_0(x)$ (nous supposerons de plus que $r_0(x)$ est tr�s petit
devant le diam�tre int�rieur de $V$ et la distance minimale entre une
bonne composante et le bord de $\Qcal$).

En utilisant un argument de compacit� sur $\Pp^2 \setminus V$, on en
d�duit que toute bonne composante est incluse dans une boule $B(x,
\frac{r_0(x)}{2})$ pourvu que $n$ soit grand. On a donc bien
$\nu_{\Qcal} (\Gamma \mbox{ qui coupent }
\tau_{y_{-n}}(\Ecal_4)) < \frac{4 \alpha}{\pi}$ car dans le cas
contraire $S_{\Qcal} \wedge \omega (B(x,r_0(x))) \geq \frac{4
  \alpha}{\pi} \frac{r_0(x)^2}{4} \pi=r_0(x)^2 \alpha$ par le
th�or�me de Lelong.
 
\subparagraph{$\gamma$) Majoration du nombre de bonnes
  composantes}{\label{nbe}}

Si on fixe une boule $B \subset \tau_x(B(0, \rho))$ ($x \in B$), on veut majorer le nombre $N$ de bonnes
composantes de $f^{-n}(B)$ hors d'un $\frac{1}{2p}$-voisinage du
support de $\mu$ par $Cd^n$.

Remarquons que tout point $a$ de $B$ a au moins $N$ ant�c�dents hors
du $\frac{1}{2p}$-voisinage du support de $\mu$.

Nous allons maintenant majorer ce nombre d'ant�c�dents en utilisant un
r�sultat de J.E. Forn{\ae}ss et N. Sibony (voir \cite{FS2}).

Si $\Phi$ est une fonction $C^{\infty}$ � support compact, comprise
entre $0$ et $1$, et qui vaut $1$ sur un $\frac{1}{3p}$-voisinage du
support de $\mu$ et $0$ hors d'un $\frac{1}{2p}$-voisinage, on a (voir
le lemme 6.4 de \cite{FS2})
$$\mbox{Cap} \left( \left\{ a \mbox{ , } |\lambda_n(a, \Phi)-\int \Phi d \mu | \geq s \right\} \cap
B(0, \frac{1}{2}), B(0,1) \right) \leq \frac{M |\Phi|_2}{s d^n}.$$
Ici $B(0, \frac{1}{2})$ et $B(0,1)$ sont centr�es en $x$ et
$\lambda_n(a, \Phi)= \frac{1}{d^{2n}} \sum_{f^n(a_i)=a} \Phi(a_i)$.

En particulier, si $a$ est un point de $B$ on a $\lambda_n(a, \Phi) \leq \frac{1}{d^{2n}}
(d^{2n} - N)$ d'o� 
$$| \lambda_n(a, \Phi) - \int \Phi d \mu | = |\lambda_n(a, \Phi) - 1|
\geq \frac{N}{d^{2n}}.$$
En conclusion, nous obtenons (si le rayon de $B$ est sup�rieur � $\frac{\rho}{C}$):

$$\frac{d^{2n}M |\Phi|_2}{N d^n} \geq \mbox{Cap} \left( \left\{ a \mbox{ , } |\lambda_n(a, \Phi)-\int \Phi d \mu | \geq \frac{N}{d^{2n}} \right\} \cap
B(0, \frac{1}{2}), B(0,1) \right) \geq \mbox{Cap}(B,B(0,1)),$$
d'o�
$$\frac{d^{2n}M |\Phi|_2}{N d^n} \geq \left( \frac{1}{\log( \rho / C)} \right) ^2,$$
qui conduit � la majoration de $N$ par la quantit� souhait�e.

\subparagraph{iii) Majoration de la mesure de $E_1$}

Il s'agit ici de majorer $T \wedge S_{\Qcal} (\cup \mbox{BC})$.

Mais:
$$T \wedge S_{\Qcal} (\cup \mbox{BC}) \leq  Cd^n \max_{\mbox{BC}} T \wedge S_{\Qcal} ( \mbox{BC}),$$
car le nombre de bonnes composantes est major� par $Cd^n$, d'o�
$$T \wedge S_{\Qcal} (\cup \mbox{BC}) \leq Cd^n Cd^{-n}
\max_{\mbox{BC}} (\nu_{\Qcal}(\{ \Gamma \mbox{ qui coupent }
\mbox{BC} \})),$$
car $T \wedge [\Gamma](\mbox{BC}) \leq Cd^{-n}$, ce qui implique bien que
$$T \wedge S_{\Qcal} (\cup \mbox{BC}) \leq \epsilon$$
d�s que $n$ est grand puisque $\max_{\mbox{BC}} (\nu_{\Qcal}(\{ \Gamma \mbox{ qui coupent }
\mbox{BC} \} ))$ est aussi petit que l'on veut.




\subsection{{\bf Majoration de la mesure de $\{ x \not \in
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) > \chi_1(x) > 0 \}$}}

Avant de d�montrer que la mesure de cet ensemble est nulle, nous allons commencer par quelques pr�liminaires.



\subsubsection{{\bf Pr�liminaires}}{\label{a}}

Le but de ce paragraphe est de ramener la majoration de la mesure de
$E_2=\{ x \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_2(x) > \chi_1(x) > 0 \}$ � celle de $E_2(i,j)$ o� $E_2(i,j)$ est un ensemble qui
aura de bonnes propri�t�s d'uniformit� et de r�currence.

Remarquons tout d'abord qu'il nous suffit de voir que $\nu( \{ x \in
E_2 \mbox{ , } \chi_1(x) \geq \beta > 0 \mbox{ , } \chi_2(x) - \chi_1(x)
\geq \beta \})$ est nul (avec $\beta$ petit). On notera toujours $E_2$ cet ensemble. Par ailleurs,
$$\nu(E_2)= \widehat{\nu}(\pi^{-1}(E_2))= \widehat{\nu}(\pi^{-1}(E_2)
\cap \widehat{X})$$
o� $\pi$ est la projection de $\widehat{\Pp^2(\Cc)}$ sur $\Pp^2(\Cc)$
et $\widehat{X}$ est l'ensemble des bons points de Pesin (i.e. les
points qui v�rifient les conclusions du premier th�or�me du paragraphe
\ref{exposant}).

Ce dernier ensemble $\pi^{-1}(E_2) \cap \widehat{X}$ est inclus dans
$$\widehat{E}_2=\{ \widehat{x} \in \widehat{X} \mbox{ , } \pi(\widehat{x}) \notin
\mbox{Support}(\mu) \mbox{ , } \chi_1(\widehat{x}) \geq \beta > 0 \mbox{ ,
} \chi_2(\widehat{x}) - \chi_1(\widehat{x}) \geq \beta \}$$
(car la d�finition des exposants de Lyapunov ne d�pend que des
trajectoires positives).

La majoration de $\nu(E_2)$ se ram�ne donc � celle de
$\widehat{\nu}(\widehat{E}_2)$.

Ensuite, puisque sur $\widehat{E}_2$ les exposants sont strictement
positifs, on peut construire $\widehat{Y}^{'} $ avec $\widehat{\nu}
(\widehat{E}_2 - \widehat{Y}^{'})=0$ pour lequel tous les points $\widehat{x}
\in \widehat{Y}^{'} $ v�rifient les points $1$ et $2$ du th�or�me du
paragraphe \ref{inverse} ainsi que les conclusions du deuxi�me
th�or�me du paragraphe \ref{exposant}.

En reprenant alors les notations de ce th�or�me ainsi que celles du
paragraphe \ref{exposant}, on constate que quitte � remplacer $\widehat{E}_2$ par 
$$\widehat{E}_{2,p}= \{
\widehat{x} \in \widehat{E}_2 \cap \widehat{Y}^{'} \mbox{, }
d(\pi(\widehat{x}),\mbox{Support}(\mu)) \geq \frac{1}{p}   \mbox{, }      C(\widehat{x}) \leq p
\mbox{, } \eta(\widehat{x}) \geq  \frac{1}{p} \mbox{, }  \delta(\widehat{x}) \mbox{ et }   \| C_{\gamma}^{\pm 1}
(\widehat{x}) \| \in [\frac{1}{p},p]  \}$$
pour $p$ grand, on pourra supposer dans la suite que nous avons ces
contr�les.

$ $

Nous allons maintenant donner des propri�t�s de r�currence �
$\widehat{E}_2$.

En utilisant le lemme \ref{recurrence} de la partie pr�c�dente en
temps n�gatif au lieu du temps positif, on
en d�duit que montrer que $\widehat{\nu}(\widehat{E}_2)$ est nul d�coule du fait que $\widehat{\nu}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{E}_2)
\cap \widehat{E}_2)$ est petit pour $i$ assez grand. De m�me, si on note $\widehat{E}_2(i)=\widehat{f}^{-i}(\widehat{E}_2)
\cap \widehat{E}_2$ et que l'on utilise � nouveau ce lemme en temps n�gatif, nous sommes ramen�s � montrer que
$\widehat{\nu}(\widehat{f}^{-j}(\widehat{E}_2(i)) \cap
\widehat{E}_2(i))$ est petit avec $i$, $j$ assez grands, pour d�montrer que $\nu(E_2)$ est nul.

Enfin, si on projette sur $\Pp^2$ on obtient:
$$\widehat{\nu}(\widehat{f}^{-j}(\widehat{E}_2(i)) \cap
\widehat{E}_2(i)) \leq \nu(\pi(\widehat{f}^{-j}(\widehat{E}_2(i)) \cap
\widehat{E}_2(i)))= \nu(E_2(i,j))$$
o�
$$E_2(i,j)=\{ x_0 \mbox{ , } \exists \widehat{x} \in \widehat{f}^{-j}(\widehat{E}_2(i)) \cap
\widehat{E}_2(i) \mbox{ avec } \pi(\widehat{x})=x_0 \}.$$

\begin{remarque*}

Si on veut �viter les probl�mes de mesurabilit� de $E_2(i,j)$, on
pourra remplacer dans la suite $E_2(i,j)$ par son adh�rence.

\end{remarque*}

L'ensemble $E_2(i,j)$ est celui que l'on cherchait et par ce que l'on
a fait, montrer que $\nu(E_2)$ est nul d�coule du fait que
$\nu(E_2(i,j))$ est petit.

$ $

Avant de passer � la majoration de $\nu(E_2(i,j))$ faisons une
derni�re modification.

Si $x$ est un point de $\pi(\widehat{E}_2)$, on notera $E_S(x)$ l'image de $E_1(\widehat{x})$ par $D_0
\tau_x$ (ici $\widehat{x} \in \widehat{E}_2$ et
$\pi(\widehat{x})=x$). L'espace $E_S(x)$ est la direction stable en
$x$. Par ailleurs cet espace est bien d�fini car si
$x=\pi(\widehat{x})=\pi(\widehat{y})$ avec $\widehat{x} \mbox{ , }
\widehat{y} \in
\widehat{E}_2$, alors $E_1(\widehat{x})=E_1(\widehat{y})$ (en effet en
$\widehat{x}$ et $\widehat{y}$, les deux exposants de Lyapunov
sont distincts).

Par le th�or�me de Lusin, il existe un compact $K$ de mesure presque
pleine pour $\nu$ sur lequel $x \mapsto E_S(x)$ est continue. Alors
dans la suite, on cherchera � majorer la mesure de $E_2(i,j) \cap
f^{-j}(K)$ pour $\nu$. Nous noterons toujours $E_2(i,j)$ cet
ensemble.


\subsubsection{{\bf Majoration de $\nu(E_2(i,j))$}}

Avant de donner l'id�e de la preuve, nous allons faire la r�duction
g�om�trique habituelle. Quitte � consid�rer un recouvrement fini de
$\Pp^2(\Cc)$ par des ouverts $\Omega$, on peut supposer que $E_2(i,j)
\subset \Omega$. Maintenant, on peut construire un d�coupage $\Qcal$ d'un voisinage de $\overline{\Omega}$ en $4$-cubes
affines et un courant $S_{\Qcal}$ uniform�ment g�om�trique dans les
cubes de $\Qcal$ tels que la diff�rence $(T \wedge S- T \wedge
S_{\Qcal})(\Omega)$ soit aussi petite que l'on veut. Par ailleurs, si
$\Qcal$ est bien choisi, $\nu$ charge peu un petit voisisnage du bord
de $\Qcal$. Autrement dit, si on note $Q$ un cube de $\Qcal$ et
$Q_{\lambda}$ son homoth�tique de rapport $\lambda$, il suffira de
majorer dans la suite
$$T \wedge S_{\Qcal}(E_2(i,j) \cap Q_{\lambda})= \int
\int_{E_2(i,j) \cap Q_{\lambda}} T \wedge [\Gamma] d \nu_{\Qcal}
(\Gamma)$$
$$= \int \int_{E_2(i,j) \cap Q_{\lambda}} \frac{f^{j*}T}{d^j} \wedge [\Gamma] d \nu_{\Qcal}
(\Gamma)= \frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap Q_{\lambda} \cap \Gamma)} T \wedge [f^j(\Gamma)] d \nu_{\Qcal}
(\Gamma).$$

\begin{remarque*}

La derni�re �criture est un peu abusive car on pourrait avoir de la
multiplicit�. Cependant, comme celle-ci ne joue aucun r�le, on fera cet abus: les courbes $f^j(\Gamma)$ seront suppos�es
sans multiplicit� dans toute la suite de la d�monstration.

\end{remarque*}

Voici maintenant le plan de la preuve.

Dans un premier paragraphe, nous allons construire des disques dans
les courbes $f^j(\Gamma)$. Ainsi, nous pourrons approcher le courant
$\frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j}$ par un courant $\frac{1}{d^j} \sum
[D_{\alpha}(\Gamma)]$ uniform�ment g�om�trique dans un quadrillage que
l'on pr�cisera. La majoration de 
$$\frac{1}{d^j} \int
\int_{f^j(E_2(i,j) \cap Q_{\lambda} \cap \Gamma)} T \wedge [f^j(\Gamma)] d \nu_{\Qcal}
(\Gamma)$$
se ram�nera ainsi � celle de 
$$\frac{1}{d^j} \int \sum \int_{f^j(E_2(i,j) \cap Q_{\lambda} \cap \Gamma)} T \wedge
     [D_{\alpha}(\Gamma)] d \nu_{\Qcal}(\Gamma).$$
Ensuite les disques
     $D_{\alpha}(\Gamma)$ seront s�par�s en deux cat�gories: ceux qui
     sont proches de la direction stable et les autres. La majoration
     de 
$$\frac{1}{d^j}
\int \sum \int_{f^j(E_2(i,j) \cap Q_{\lambda} \cap \Gamma)} T \wedge
     [D_{\alpha}(\Gamma)] d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$$
o� la somme sera
     prise sur chacune des cat�gories sera alors effectu�e dans le
     deuxi�me et le troisi�me paragraphe.

\subparagraph{{1) Approximation de $\int \frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j} d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$}}

$\mbox{ }$

Voici le plan de ce paragraphe: dans un premier
temps on va faire un d�coupage du but, c'est-�-dire on va quadriller
un ouvert $U$ qui contient essentiellement $f^j(\Gamma)$ en $4$-cubes
affines. Puis on compl�tera les courbes
$f^j(\Gamma)$ de sorte � enlever les probl�mes li�s au bord et enfin on construira un courant uniform�ment
g�om�trique qui approximera bien $ \int \frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j} d
\nu_{\Qcal}(\Gamma)$.

\subparagraph{{i) D�coupage du but}}

Quitte � consid�rer un recouvrement fini de $\Pp^2$ par des ouverts
$U$, on pourra supposer que $f^j(E_2(i,j)) \subset U$.

On consid�re maintenant un d�coupage $\Qcal^{'}$ d'un voisinage de $\overline{U}$
en $4$-cubes affines de taille $\frac{1}{l}$. Rappelons que
$\Qcal^{'}$ est de la forme
$$\Qcal^{'}= \{ \pi_1^{-1}(s_1^{'}) \times \pi_2^{-1}(s_2^{'}) \mbox{
  , } (s_1^{'},s_2^{'}) \in \Scal_1^{'} \times  \Scal_2^{'} \}$$
o� $\Scal_1^{'}$ et $\Scal_2^{'}$ sont des quadrillages de $\Cc$ de
  taille $\frac{1}{l}$. Dans la suite ce quadrillage sera suppos� bien
  choisi par rapport au courant $ \int \frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j} d
\nu_{\Qcal}(\Gamma)$ et � la mesure $\nu$. Cela signifie que $T \wedge  \int \frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j} d
\nu_{\Qcal}(\Gamma)$ et $\nu$ chargent peu un petit voisinage du bord
  de $\Qcal^{'}$ (voir le lemme 4.5 de \cite{Du2}). La position du
  quadrillage $\Qcal^{'}$ d�pend donc de $j$ mais sa taille
  (i.e. $\frac{1}{l}$) sera toujours ind�pendante de $j$. Si on note
  $\Qcal^{'}_{\lambda^{'}}=\cup Q^{'}_{\lambda^{'}}$ o� les
  $Q^{'}_{\lambda^{'}}$ sont les homoth�tiques des $Q^{'} \in
  \Qcal^{'}$ de rapport $\lambda^{'}$, on pourra supposer que
  $f^j(E_2(i,j)) \subset \Qcal^{'}_{\lambda^{'}}$ quitte � remplacer
  $E_2(i,j)$ par $E_2(i,j) \cap f^{-j}(\Qcal^{'}_{\lambda^{'}})$. Ici $\lambda^{'}$ ne d�pend que de $\nu$.


\subparagraph{{ii) Compl�tion de $f^j(\Gamma)$}}

Il s'agit ici d'enlever le probl�me que cr�e le bord de $f^j(\Gamma)$
dans la construction des disques dans cette courbe.

Remarquons tout d'abord que l'on peut enlever les $\Gamma$ du support
de $\nu_{\Qcal}$ pour lesquels $\mbox{Aire}(f^j(\Gamma))$ est
sup�rieure � $Kd^j$. En effet, si $\Gcal$ d�signe l'ensemble de ces
$\Gamma$, on a:
$$K d^j \nu_{\Qcal}(\Gcal) \leq \int \int [f^j(\Gamma)] \wedge \omega
d \nu_{\Qcal}(\Gamma) \leq \int f_{*}^{j} S_{\Qcal} \wedge \omega \leq
 \int f_{*}^{j} S \wedge \omega = d^j.$$
Autrement dit, $\nu_{\Qcal}(\Gcal) \leq \frac{1}{K}$ et le fait
d'enlever ces graphes $\Gamma$ � $T \wedge S_{\Qcal}$ modifie peu
cette mesure.

Ensuite, quitte � changer $Q$ en un cube un peu plus petit, nous
pouvons supposer que la longueur de $\partial f^j(\Gamma)$ est major�e
par $K d^{j/2}$ (en utilisant un argument longueur-aire).

$ $

Expliquons maintenant comment on compl�te les courbes $f^j(\Gamma)$.

Consid�rons un carr� $s_1^{'}$ de $\Scal_1^{'}$ et un graphe
$\Delta^{'}$ d'une
fonction holomorphe au-dessus
de celui-ci d'aire inf�rieure � $\frac{1}{2}$. Supposons que l'intersection entre $\Delta^{'}$ et $f^j(\Gamma)$ contienne un ouvert
de $\Delta^{'}$. En utilisant une in�galit� isop�rim�trique, on constate que $\Delta^{'}$ v�rifie un des cas suivants:

- Soit $\mbox{Longueur}(\pi_1( \partial f^j(\Gamma) \cap \Delta^{'}))
  \geq \frac{(1- \lambda^{'}) \delta^{'}}{l}$. Ici $\delta^{'}$ est
  une constante petite qui sera pr�cis�e plus loin.

- Soit cette longueur est plus petite que $\frac{(1- \lambda^{'})
  \delta^{'}}{l}$ mais l'aire de $\pi_1(f^j(\Gamma) \cap \Delta^{'})$ est
sup�rieure � $\frac{1}{l^2}-\frac{(1- \lambda^{'})^2
  \delta^{'2}}{l^2}$.

- Soit $f^j(\Gamma) \cap \Delta^{'}$ est confin�e pr�s du bord de
$\Qcal^{'}$ (i.e. $f^j(\Gamma) \cap \Delta^{'} \subset
(\Qcal^{'}_{\lambda^{''}})^c$ avec $1 > \lambda^{''} > \lambda^{'}$).

- Soit $f^j(\Gamma) \Subset \Delta^{'}$ n'est pas confin�e pr�s du
bord et alors la masse pour $T$ de
$f^j(\Gamma)$  est n�gligeable (si $\delta^{'}$ est petit). Quitte �
enlever ces $\Gamma$ � $T \wedge S_{\Qcal}$ (ce qui ne change presque
pas cette mesure), on pourra supposer
qu'aucun $\Gamma$ ne v�rifie ce dernier cas.

Ce sont les composantes $\Delta^{'}$ des deux premi�res cat�gories que
l'on ajoute � $f^j(\Gamma)$.

En faisant la m�me chose avec les autres carr�s $s_1^{'}$ de
$\Scal_1^{'}$ puis avec $\Scal_2^{'}$, on obtient ainsi un prolongement
$\widetilde{f^j(\Gamma)}$ de $f^j(\Gamma)$.

\begin{remarque*}

A ce stade de la d�monstration $\widetilde{f^j(\Gamma)}$ peut �tre �gal �
$f^j(\Gamma)$. En effet rien ne dit que l'on peut effectivement
compl�ter $f^j(\Gamma)$.

Dans la suite nous verrons que les graphes $\Delta^{'}$ que nous
arriverons � ajouter � $f^j(\Gamma)$ seront des limites de graphes contenus dans des courbes du type $f^p(L)$.

\end{remarque*}

\subparagraph{{iii) Construction du courant uniform�ment g�om�trique}}

La construction est la m�me que celle d�crite apr�s la proposition
\ref{prop4} du paragraphe \ref{geometrique}.

Dans les composantes connexes de $\widetilde{f^j(\Gamma)}$ au-dessus d'un carr� $s_i^{'}$ de
$\Scal_i^{'}$ (i.e. dans $\pi_i^{-1}(s_i^{'}) \cap \widetilde{f^j(\Gamma)}$), on a un certain
nombre de disques qui sont des graphes au-dessus de $s_i^{'}$ (qui peuvent �ventuellement s'intersecter entre eux). En sommant les
courants d'int�gration sur les graphes qui ont une aire inf�rieure �
$\frac{1}{2}$, on obtient ainsi deux courants inf�rieurs �
$\widetilde{f^j(\Gamma)}$: $[C_{\Qcal_1^{'}}^{'}]$ et
$[C_{\Qcal_2^{'}}^{'}]$ o� les $C_{\Qcal_i^{'}}^{'}$ sont des courbes
� bord dans $\pi_i^{-1}(\partial \Scal_i^{'})$. En r�unissant
maintenant ces deux courbes, on obtient:
$$[C_{\Qcal_1^{'}}^{'} \cup C_{\Qcal_2^{'}}^{'}]=\sum
  [D_{\alpha}(\Gamma)],$$
o� les $D_{\alpha}(\Gamma)$ sont des disques dans les cubes $Q^{'}$ de
  $\Qcal^{'}$. Le courant $R_j= \frac{1}{d^j}
\int \sum [D_{\alpha}(\Gamma)] d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$ ainsi construit
est uniform�ment g�om�trique dans les cubes $Q^{'}$ de $\Qcal^{'}$ et
il v�rifie:

\begin{lemme}

$$\langle \frac{1}{d^j} \int [\widetilde{f^j(\Gamma)} \cap
  \Qcal_{\lambda^{'}}^{'}] d \nu_{\Qcal}(\Gamma) -
  R_{j|\Qcal_{\lambda^{'}}^{'}}, \pi_1^{*} \omega + \pi_2^{*} \omega
  \rangle \leq \frac{C}{l^2}$$
Ici $C$ est ind�pendante de $j$.
\end{lemme}

\begin{proof}

Consid�rons les courants $S_{m, \Qcal}= \int [\Gamma] d \nu_{m,
  \Qcal}(\Gamma)$ qui approximent le courant $S$ (voir le paragraphe
  \ref{geometrique}).

L'in�galit� ci-dessus est alors vraie en rempla�ant $\nu_{\Qcal}$ par
  $\nu_{m, \Qcal}$ et $R_j$ par $R_{j,m}$ (o� $R_{j,m}$ est construit
  de fa�on analogue � $R_j$ � partir des courants $\frac{f_{*}^{j}
  S_{m, \Qcal}}{d^j}$). Cela provient, exactement comme dans la
  proposition \ref{prop4}, de la formule de Riemann-Hurwitz
  et du fait que le genre d'une courbe $f^p(L)$ ($p
  \in \Nn$) vaut $0$. Par ailleurs dans cette nouvelle in�galit� le
  $C$ est ind�pendant de $m$ et de $j$.

Maintenant, l'application $F(\Gamma)=\langle [\widetilde{f^j(\Gamma)} \cap
  \Qcal_{\lambda^{'}}^{'}] - \sum [D_{\alpha}(\Gamma) \cap \Qcal_{\lambda^{'}}^{'}],\pi_1^{*} \omega + \pi_2^{*} \omega
  \rangle$ est semi-continue inf�rieurement.

On obtient donc le lemme en passant � la limite sur les mesures
  $\nu_{m, \Qcal}$.

\end{proof}



Maintenant, si on applique $T$, on obtient que la diff�rence
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{\Qcal_{\lambda^{'}}^{'}} T \wedge
[\widetilde{f^j(\Gamma)}]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma) -
\int_{\Qcal_{\lambda^{'}}^{'}} T \wedge R_j$$
est major�e par $\epsilon(l)$ qui est une suite qui tend vers $0$ quand
$l$ cro�t vers l'infini (voir le paragraphe \ref{courant}). Cela
r�sulte d'une part du lemme pr�c�dent et d'autre part qu'�tant donn� que le
quadrillage $\Qcal^{'}$ est suppos� bien choisi par rapport � $T \wedge  \int \frac{[f^j(\Gamma)]}{d^j} d
\nu_{\Qcal}(\Gamma)$ il l'est pour
$$\frac{1}{d^j} \int  T \wedge [\widetilde{f^j(\Gamma)}]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma) -
\int T \wedge R_j$$
(voir le lemme 4.5 de \cite{Du2}).

Par ailleurs, comme nous l'avons dit dans le paragraphe
\ref{geometrique}, la suite $\epsilon(l)$ est ind�pendante de $j$.

Pour majorer la mesure de $E_2$, nous sommes donc ramen�s � majorer 
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$$
par $\epsilon$.

$ $

Ce sont maintenant les disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ que nous allons
s�parer en deux cat�gories. Par ailleurs, comme $f^j(E_2(i,j)) \subset
\Qcal^{'}_{\lambda^{'}}$, on ne consid�rera dans la suite que les disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ qui
entrent dans $\Qcal^{'}_{\lambda^{'}}$.

Fixons $\delta > 0$ et $Q^{'}$ un cube de $\Qcal^{'}$. Nous pouvons
supposer que la variation de la pente de $D_{\alpha}(\Gamma)$ dans
$Q_{\lambda^{'}}^{'}$ est inf�rieure � $\frac{\delta}{4}$ (quitte �
red�couper les disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ via un sous-quadrillage de
$\Qcal^{'})$. De plus, la fonction $x \mapsto E_S(x)$ �tant continue
sur $f^j(E_2(i,j))$, nous pouvons aussi supposer que sur les
$Q_{\lambda^{'}}^{'}$, la variation de cette fonction est inf�rieure �
$\frac{\delta}{4}$.

Maintenant, si $D_{\alpha}(\Gamma)$ est un disque de
$\widetilde{f^j(\Gamma)}$ tel que $\int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma
  \cap Q_{\lambda})} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)] > 0$ alors
n�cessairement $D_{\alpha}(\Gamma)$ contient des points de
$\pi(\widehat{E}_2)$. La s�paration des disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ se fait de la fa�on
suivante. Nous noterons $\Dcal_1$ l'ensemble des disques qui
contiennent un point $x$ de $\pi(\widehat{E}_2)$ avec l'angle entre la tangente � $D_{\alpha}(\Gamma)$ en $x$ et
$E_S(x)$ sup�rieur � $\delta$. Les autres disques $D_{\alpha}(\Gamma)$
(qui sont donc proches de la direction stable) constituent l'ensemble
$\Dcal_2$. Dans la suite, nous aurons donc deux majorations �
effectuer: celle de 
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_1}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$$
et celle de 
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_2}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$$
par $\epsilon$.

Ces majorations vont �tre effectu�es dans les deux paragraphes suivants.


\subparagraph{{2) Majoration de $\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_1}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$}}

$\mbox{ }$

Nous savons que le nombre de disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ dans $\widetilde{f^j(\Gamma)}$
est major� par $C(l)d^j$. En effet les disques que l'on a ajout�s �
$f^j(\Gamma)$ pour obtenir $\widetilde{f^j(\Gamma)}$ contiennent soit
un morceau consistant du bord de $f^j(\Gamma)$ (i.e. de longueur
sup�rieure �  $\frac{(1- \lambda^{'}) \delta^{'}}{l}$), soit une aire
minor�e par $\frac{1}{l^2}-\frac{(1- \lambda^{'})^2
  \delta^{'2}}{l^2}$. Afin de
simplifier les expressions, nous supposerons dans la suite que $C(l) \leq 1$. De
la m�me fa�on, la mesure $\nu_{\Qcal}$ sera consid�r�e de masse $1$.

Nous allons maintenant faire la majoration de $\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_1}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$, en admettant
certaint points que nous d�montrerons ensuite.

On d�coupe $\Pp^2$ en ouverts disjoints simplement connexes $B$ tels que $\tau_x^{-1}(B) \subset
B(0, \frac{1}{4 p^4})$ pour tout $x$ de $B$. Ensuite, nous noterons
$\cup \mbox{BC}$ l'union des bonnes composantes dans les $f^{-i}(B)$
(i.e. des ouverts de la forme $\tau_{y_{-i}} \circ f_{\widehat{y}}^{-i} \circ \tau_{y_0}^{-1} (B)$ avec $\widehat{y}$ et
$\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})$ dans $\widehat{E}_2$ et $y_0$ dans
$B$).

Remarquons que par d�finition de $E_2(i,j)$, nous pouvons recouvrir $f^j(E_2(i,j))$ par des bonnes
composantes $\tau_{y_{-i}} \circ f_{\widehat{y}}^{-i} \circ
\tau_{y_0}^{-1} (B)$ avec $y_{-i} \in f^j(E_2(i,j))$. Par ailleurs, si $i$ est assez grand, celles-ci �vitent
un petit voisinage du support de $\mu$. En effet, d'une part
$d(\pi(\widehat{x}), \mbox{Support}(\mu)) \geq \frac{1}{p}$ si
$\widehat{x}$ est dans $\widehat{E}_2$ (voir le paragraphe \ref{a}) et d'autre
part, les bonnes composantes sont de diam�tre exponentiellement petit
(voir le point $2$ du th�or�me du paragraphe \ref{inverse}). Le nombre
des bonnes composantes qui recouvrent $f^j(E_2(i,j))$ est donc major�
par $Nd^i$ (voir le paragraphe $\gamma$ de la section \ref{nbe}).

Nous verrons que si $\mbox{BC}$ est une de ces bonnes composantes
alors $\int_{\mbox{BC}} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)] \leq C
d^{-i}$. Cela viendra du fait que $D_{\alpha}(\Gamma)$ n'est pas
proche de la direction stable. Maintenant, si $\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_1}
 T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$ est sup�rieur �
$\epsilon$, alors il existe un disque $D_{\alpha}(\Gamma)$ avec
$\int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} T \wedge
[D_{\alpha}(\Gamma)] \geq \epsilon$. Par ce qui pr�c�de, ce disque coupe
au moins $\frac{\epsilon}{C} d^i$ bonnes composantes (car celles-ci
sont disjointes). De plus, ces
bonnes composantes sont incluses dans un $(e^{- \beta i + \gamma
  i})$-voisinage $V$ de ce disque (par le point $2$ du th�or�me de la
section \ref{inverse}). Nous verrons que la mesure $\epsilon(i)$ pour
$\nu$ de ce voisinage tend vers $0$ quand $i$ cro�t vers l'infini et
ceci uniform�ment sur les disques $D_{\alpha}(\Gamma)$.

Quitte � remplacer $E_2(i,j)$ par $E_2(i,j) \setminus f^{-j}(V)$
nous sommes ramen�s � majorer 
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_1}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$$
par $\epsilon - \epsilon(i)$ avec $f^j(E_2(i,j))$ qui �vite $V$.

Comme pr�c�demment, si ce n'est pas la cas, on obtient un disque
$D_{\alpha}(\Gamma)$ avec 
$$\int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} T \wedge
[D_{\alpha}(\Gamma)] \geq \epsilon - \epsilon(i).$$
Ce disque coupe donc
au moins $\frac{\epsilon - \epsilon(i)}{C}d ^i$ bonnes composantes qui
sont disjointes des pr�c�dentes.

On a donc construit $\left( \frac{\epsilon}{C}+\frac{\epsilon -
  \epsilon(i)}{C} \right) d ^i$ bonnes composantes hors d'un petit
voisinage du support de $\mu$.

En it�rant maintenant le proc�d� et en utilisant le fait qu'il y a au
plus $Nd^i$ bonnes composantes hors de ce voisinage du support de
$\mu$, on obtient l'existence d'un $k \leq \frac{2CN}{\epsilon}$ pour
lequel $\int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} T \wedge
[D_{\alpha}(\Gamma)] \leq \epsilon -k \epsilon(i)$ (avec $i$ grand). Ici
$E_2(i,j)$ est le $E_2(i,j)$ initial auquel on a enlev� $k$
voisinages du m�me type que $V$.

Nous avons donc la majoration que nous voulions.

$ $

Il reste maintenant � montrer les points que nous avons admis: le fait
que $\int_{\mbox{BC}} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)] \leq C
d^{-i}$ o� $\mbox{BC}$ est une bonne composante de $f^{-i}(B)$ et la
majoration de la mesure pour $\nu$ d'un $(e^{- \beta i + \gamma
  i})$-voisinage de $D_{\alpha}(\Gamma)$ par $\epsilon(i)$.

\subparagraph{{i) Majoration de $\int_{\mbox{BC}} T \wedge
    [D_{\alpha}(\Gamma)]$ par $ Cd^{-i}$}}

Rappelons d'une part que l'on consid�re ici une bonne composante $\mbox{BC}=\tau_{y_{-i}} \circ
f_{\widehat{y}}^{-i} \circ \tau_{y_0}^{-1} (B)$ (avec $\widehat{y}$ et
$\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})$ dans $\widehat{E}_2$, $y_0$ dans $B$
et $y_{-i} \in f^j(E_2(i,j))$), et d'autre part que $\tau_{y_0}^{-1}(B)
\subset B(0,\frac{1}{4p^4})$ et $\frac{1}{p} \leq \|
C_{\gamma}^{\pm 1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \| \leq p$.

Comme dans la majoration de la mesure de $E_1$, si on note
$D_{\alpha}^0(\Gamma)$ la partie de
$C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ
\tau_{y_{-i}}^{-1}(D_{\alpha}(\Gamma))$ susceptible de rencontrer
$C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ
f_{\widehat{y}}^{-i} B(0, \frac{1}{p})$, alors $D_{\alpha}^0(\Gamma)$
se met sous la forme d'un graphe $(z, \psi(z))$ o� $z$ est dans un
disque $D_0$ de taille $e^{-\chi_1(\widehat{y})i + \gamma i}$ et $|
\psi^{'}(z) | \leq e^{-\chi_1(\widehat{y})i + \gamma i}$ sur $D_0$
(on s'est plac� dans un rep�re orthonorm� o� l'axe des abscisses est parall�le � une tangente � $D_{\alpha}^0(\Gamma)$ en
un point $x$ de $C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ
f_{\widehat{y}}^{-i} \circ \tau_{y_0}^{-1} (B)$).

Maintenant, comme l'angle entre $D_{\alpha}(\Gamma)$ et
$E_S(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))=D_0 \tau_{y_{-i}}
E_1(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))$ est sup�rieur �
$\frac{\delta}{2}$, la partie $\Delta_{\alpha}^0(\Gamma)$ de
$D_{\alpha}^0(\Gamma)$ susceptible de rencontrer $C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ
f_{\widehat{y}}^{-i} B(0, \frac{1}{p})$ se met aussi sous la forme
d'un graphe $(z, \phi(z))$ dans le rep�re orthonorm�
$$(C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})),C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))E_1(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))).$$
Ici $z$ est dans un disque $D$ de taille essentiellement
$e^{-\chi_1(\widehat{y})i + \gamma i}$ et $| \phi^{'}(z) | \leq
C(\delta)$ pour $z \in D$.

Nous pouvons maintenant utiliser la transform�e de graphe. Plus
pr�cis�ment, si on note comme dans le paragraphe \ref{exposant},
$g_{\widehat{x}}=C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}(\widehat{x})) \circ f_x
\circ C_{\gamma}(\widehat{x})$ (o� $\pi(\widehat{x})=x$) on a la

\begin{proposition}

Soit $\gamma_0 > 0$. Si $i$ est assez grand, l'image de $\Delta_{\alpha}^0(\Gamma) \cap
C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ f_{\widehat{y}}^{-i} B(0,
\frac{1}{p^4})$ par $g_{\widehat{f}^{-1}(\widehat{y})} \circ \cdots
  \circ g_{\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})}=C_{\gamma}^{-1}(\widehat{y})
    \circ \tau_{y_0}^{-1} \circ f^i \circ \tau_{y_{-i}} \circ
      C_{\gamma}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))$ est un graphe
      $(z,\psi(z))$ au-dessus d'une partie $D_i$ de $C_{\gamma}^{-1}(\widehat{y})
      E_2(\widehat{y})$ qui v�rifie $| \psi(z_1) - \psi(z_2) | \leq
      \gamma_0 |z_1 - z_2|$ si $z_1$ et $z_2$ sont dans $D_i$.

\end{proposition}

\begin{proof}

La d�monstration va utiliser la g�n�ralisation de la transform�e de
graphe qui se trouve dans l'appendice.

Les fonctions $g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}$ ont les propri�t�s
suivantes (voir le paragraphe \ref{exposant}):

- $D_0 g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}=\left( \begin{array}{cc}
\mu_1(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})) & 0\\
0 & \mu_2(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))\\
\end{array} \right) $
avec pour $i=1,2$
$$e^{\chi_i (\widehat{y})- \gamma} \leq |\mu_i(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))|
\leq e^{\chi_i (\widehat{y})+ \gamma}.$$
- Sur $B(0,\delta(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})))$, on a
$$g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}(w)=D_0
g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}w+h(w)$$
avec $\| D_w h \| \leq \frac{\gamma \| w
  \|}{\delta(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))}$.

Autrement dit, dans le rep�re 
$$(C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))E_1(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})),C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))),$$
$g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}$ s'�crit:
$$g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}=(\mu_1(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))x+
\alpha(x,y),\mu_2(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y}))y + \beta(x,y))$$
o� $| \alpha |_{C^1}, | \beta |_{C^1} \leq (e^{- \chi_1
  (\widehat{y})l+3 \gamma l}) \frac{\gamma}{p}$ sur $B(0,\frac{e^{- \chi_1
  (\widehat{y})l+2 \gamma l}}{p^2})$ (en effet
$\delta(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})) \geq \frac{e^{- \gamma l}}{p}$
  puisque $\delta$ est une fonction temp�r�e et $\delta(\widehat{y})
  \geq \frac{1}{p}$).

Nous consid�rons $| \alpha |_{C^1}$ et $| \beta |_{C^1}$ sur $B(0,\frac{e^{- \chi_1
  (\widehat{y})l+2 \gamma l}}{p^2})$ car cette boule contient $C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})) \circ
f_{\widehat{y}}^{-l} B(0,\frac{1}{p^4})$ (voir le point $2$ du
th�or�me section \ref{inverse}).

Commen�ons maintenant par regarder l'image de $\Delta_{\alpha}^0(\Gamma) \cap
C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})) \circ f_{\widehat{y}}^{-i} B(0,
\frac{1}{p^4})$ par $g_{\widehat{f}^{-i}(\widehat{y})}$. Par
l'appendice cette image est un graphe au-dessus d'un certain ouvert de
$$C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y})).$$
Il s'�crit donc, dans le rep�re
$$(C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y}))E_1(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y})),C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y}))),$$
$(\phi_1(z),z)$ avec $z \in D_1$. Par ailleurs,
toujours gr�ce � l'appendice, on a pour $z_1$ et $z_2$ dans $D_1$,
$$| \phi_1(z_1) - \phi_1(z_2) | \leq
\frac{\mu_1(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))C(\delta) + \max(| \alpha |_{C^1},| \beta |_{C^1})
  (1+C(\delta))}{\mu_2(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))- \max(| \alpha |_{C^1},| \beta |_{C^1})
  (1+C(\delta))} | z_1 - z_2 |$$
c'est-�-dire
$$| \phi_1(z_1) - \phi_1(z_2) | \leq \left(
\frac{\mu_1(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))}{\mu_2(\widehat{f}^{-i}(\widehat{y}))}
+ \gamma \right) C(\delta) | z_1 - z_2 | \leq t C(\delta) | z_1 - z_2
|$$
avec $0 < t < 1$ le tout si $i$ est grand.

Enfin, on peut remarquer que le graphe que l'on vient de construire
est dans $C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+1}(\widehat{y})) \circ
f_{\widehat{y}}^{-i+1} B(0,\frac{1}{p^4})$.

Si $i$ est grand, on peut donc recommencer ce que l'on vient de faire
$i_0$ fois et on obtient ainsi un graphe $(\phi_{i_0}(z),z)$
au-dessus de $D_{i_0} \subset
C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+i_0}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-i+i_0}(\widehat{y}))$
qui v�rifie:
$$| \phi_{i_0}(z_1) - \phi_{i_0}(z_2) | \leq t^{i_0}C(\delta) | z_1 - z_2
| \leq \gamma_0 | z_1 - z_2|,$$
si $z_1$ et $z_2$ sont dans $D_{i_0}$.

Ensuite, toujours gr�ce � la transform�e de graphe (voir l'appendice)
et � la majoration des termes d'ordre deux de
$g_{\widehat{f}^{-l}(\widehat{y})}$ (i.e. $| \alpha |_{C^1}$ et $| \beta |_{C^1}$) par $(e^{- \chi_1
  (\widehat{y})l+3 \gamma l}) \frac{\gamma}{p}$ sur $B(0,\frac{e^{- \chi_1
  (\widehat{y})l+2 \gamma l}}{p^2})$, quand on continue � pousser en
avant le graphe $(\phi_{i_0}(z),z)$, on obtient
toujours des graphes $\phi_l$ au-dessus d'une r�gion $D_l$ de
$C_{\gamma}^{-1}(\widehat{f}^{-i+l}(\widehat{y}))E_2(\widehat{f}^{-i+l}(\widehat{y}))$.
De plus, ces graphes v�rifient:
$$| \phi_{l}(z_1) - \phi_{l}(z_2) | \leq \gamma_0 | z_1 - z_2|,$$
pour $z_1$ et $z_2$ dans $D_l$ et $l$ compris entre $i_0 +1$ et $i$.

Le cran $i$ donne alors ce que l'on voulait d�montrer.

\end{proof}


Notons $g$ le graphe obtenu par la proposition.

Il nous reste � calculer 
$$\int_{\mbox{BC}} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]= \frac{1}{d^i} \int_B T
\wedge  [ \tau_{y_0} \circ C_{\gamma}(\widehat{y})(g)] \leq \frac{1}{d^i}
\int_{C_{\gamma}^{-1}(\widehat{y})B(0,\frac{1}{4p^4})}
C_{\gamma}^{*}(\widehat{y}) \tau_{y_0}^{*} T \wedge [g].$$
Comme dans le paragraphe pr�c�dent, nous allons utiliser un argument
de capacit�.

En effet, si on note
$\Bcal_l=C_{\gamma}^{-1}(\widehat{y})B(0,\frac{1}{lp^4})$
($l=1,2,3,4$), $\Delta$ une direction complexe parall�le �
$C_{\gamma}^{-1}(\widehat{y})E_2(\widehat{y})$ qui coupe $g$ en un
point de $\Bcal_4$ et $\pi$ la projection
orthogonale sur $\Delta$, on a d'une part $\pi(g \cap \Bcal_4) \subset
\Delta \cap \Bcal_3$ et d'autre part $\Delta \cap \Bcal_2 \subset
\pi(g \cap \Bcal_1)$ (si $\gamma_0$ est assez petit par rapport � une
constante qui d�pend de $p$).

Autrement dit, comme dans le paragraphe pr�c�dent,
$$\int_{\mbox{BC}} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)] \leq \frac{C}{d^i}
\mbox{Cap}(\Delta \cap \Bcal_3, \Delta \cap \Bcal_2) \leq
\frac{C}{d^i}.$$

Il nous reste maintenant � majorer la mesure pour $\nu$ d'un $(e^{-
  \beta i + \gamma i})$-voisinage d'un disque $D_{\alpha}(\Gamma)$ par
  une suite $\epsilon(i)$ qui tend vers $0$ uniform�ment sur les $D_{\alpha}(\Gamma)$.


\subparagraph{{ii) Majoration de $\nu((e^{-
  \beta i + \gamma i} ) \mbox{-voisinage d'un disque }
  D_{\alpha}(\Gamma))$}}

Il s'agit ici de voir que
$$ \forall \alpha \mbox{ , } \exists i_0 \mbox{ , } \forall i \geq i_0
\mbox{ , } \forall D_{\alpha}(\Gamma) \mbox{ , } \nu((e^{-
  \beta i + \gamma i} ) \mbox{-voisinage d'un disque }
  D_{\alpha}(\Gamma)) \leq \alpha.$$
Faisons un raisonnement par l'absurde. Si ce qui pr�c�de est faux, on
obtient une suite de disques $D_n$ (d'aire inf�rieure � $\frac{1}{2}$)
et une suite $i_n$ telles que $ \nu((e^{-
  \beta i_n + \gamma i_n} ) \mbox{-voisinage de }
  D_n) \geq \alpha$.

Quitte � extraire une sous-suite, $D_n$ converge vers un disque $D$ et
on a n�cessairement $\nu(D) \geq \frac{\alpha}{2}$.

Pour obtenir une contradiction, nous allons montrer que $D$ est inclus
dans $\{ x \mbox{, } \nu(S,x) > 0 \}$, ce qui contredira le fait que
$\nu$ ne charge pas les ensembles alg�briques.

Le disque $D$ vit dans un cube $Q^{'}$ de $\Qcal^{'}$. On peut
construire un quadrillage $\Qcal^{''}$ d'un voisinage $V$ de
$\overline{Q^{'}}$ en $4$-cubes affines et un courant $S_{\Qcal^{''}}$
uniform�ment g�om�trique dans ces cubes tels que la diff�rence $(T
\wedge S - T \wedge S_{\Qcal^{''}})(V)$ soit tr�s petite devant
$\alpha$.

Quitte � supposer que $\nu$ ne charge pas $\partial Q^{'}$ ainsi que
le bord de $\Qcal^{''}$, on peut trouver $Q^{''} \in \Qcal^{''}$ avec
$Q^{''} \Subset Q^{'}$ tel que:
$$\int \int_{D \cap Q^{''}_{\lambda^{''}}} T \wedge [\Gamma] d
  \nu_{\Qcal^{''}}(\Gamma) \geq \epsilon(\alpha) > 0$$
o� $ Q^{''}_{\lambda^{''}}$ est l'homoth�tique de $Q^{''}$ de rapport
  $\lambda^{''}$ et $S_{\Qcal^{''}}= \int [\Gamma] d
  \nu_{\Qcal^{''}}(\Gamma)$.

Maintenant, si $\Gamma$ est un disque de $S_{\Qcal^{''}}$ dans
  $Q^{''}$, on a deux possibilit�s: soit $D \cap \Gamma \cap
  Q^{''}_{\lambda^{''}}$ contient un ouvert de $D$, soit $ \int_{D
  \cap Q^{''}_{\lambda^{''}}} T \wedge [ \Gamma] =0$ (car si
  l'intersection entre $D$ et $\Gamma$ dans $Q^{''}_{\lambda^{''}}$
  contient une infinit� de points, on est dans le premier cas).

Autrement dit, comme il y a un nombre fini de $\Gamma$ pour lesquels
  $D \cap \Gamma \cap  Q^{''}_{\lambda^{''}}$ contient un ouvert de
  $D$ (car l'aire de $D$ est major�e par $\frac{1}{2}$), il en existe un avec $\nu_{\Qcal^{''}}(\Gamma) \geq \epsilon^{'}(\alpha)$. Mais alors
  $S_{\Qcal^{''}}$ (et donc $S$) a des nombres de Lelong strictement
  positifs sur $D \cap \Gamma$ (par le th�or�me de Lelong) donc $D
  \subset \{x \mbox{, } \nu(S,x) > 0 \}$ et on obtient ainsi une contradiction.


\subparagraph{{3) Majoration de $\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda})} \sum_{\Dcal_2}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  d \nu_{\Qcal}(\Gamma)$}}

$\mbox{ }$

Pour simplifier, nous supposerons toujours que le nombre de disques
$D_{\alpha}(\Gamma)$ dans $f^j(\Gamma)$ est major� par $d^j$ et que
$\nu_{\Qcal}$ est de masse $1$. Rappelons que $f^j(E_2(i,j)) \subset
\Qcal^{'}_{\lambda^{'}}$.

Si la quantit� ci-dessus est minor�e par $\epsilon$, on peut trouver
un cube $Q^{'}$ de $\Qcal^{'}$ et un $\Gamma$ pour lesquels on a:
$$\frac{1}{d^j} \int \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}) \cap Q_{\lambda^{'}}^{'}} \sum_{\Dcal_2}
T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  \geq \frac{\epsilon}{C(l)}$$
o� $C(l)$ est le nombre de cubes de $\Qcal^{'}$.

Maintenant, on peut construire un cube $C$ et un polydisque $P$ qui
        ont les propri�t�s suivantes:

- $C \subset P \Subset Q_{\lambda^{''}}^{'}$ (avec $1 > \lambda^{''} >
        \lambda^{'}$).

- $C$ et $P$ ont leur base parall�le � $E_s(x)$ o� $x$ est un point de
        $f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap Q_{\lambda}) \cap C$.

- L'ensemble $\Dcal$ des disques $D_{\alpha}(\Gamma)$ dans $\Dcal_2$ qui passent par
        $C$ est constitu� de graphes au-dessus de  $E_s(x)$ dans
        $P$.

- $\frac{1}{d^j} \int \sum_{\Dcal} \int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}) \cap C} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  \geq
        \frac{\epsilon}{C(l)C(\delta, \lambda^{'})}$ (dans la suite
        nous remplacerons $\frac{\epsilon}{C(l)C(\delta,
        \lambda^{'})}$ par $\epsilon$).

Cela implique qu'il y a au moins $\frac{\epsilon}{C(l)}d^{j}$ disques
        $D_{\alpha}(\Gamma)$ tels que $\int_{f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}) \cap C} T \wedge [D_{\alpha}(\Gamma)]  > 0$ (car
        $\int_{D_{\alpha}(\Gamma) \cap Q^{'}_{\lambda^{'}}} T \leq
        C(l)$). On notera toujours $\Dcal$ l'ensemble de ces disques.

Si $D$ est l'intersection avec $P$ d'un de ces disques de $\Dcal$, il
        contient une infinit� de points de $f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}) \cap C$. On peut donc construire une branche inverse
        $\tau_{x_0} \circ f_{\widehat{f}^{j}(\widehat{x})}^{-j} \circ
        \tau_{x_j}^{-1}$ qui envoie $D$ dans $\Gamma$ (ici
        $\widehat{f}^j(\widehat{x}) \in \widehat{E}_2$, $\pi \widehat{f}^j(\widehat{x}) = x_j
        \in f^j(E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}) \cap D \cap C$ et $x_0 \in E_2(i,j) \cap \Gamma \cap
        Q_{\lambda}$).

Maintenant, si on utilise la transform�e de graphe en temps n�gatif,
        on constate que $\tau_{x_0} \circ
        f_{\widehat{f}^j(\widehat{x})}^{-j} \circ \tau_{x_j}^{-1}
        (D_1)$ (o� $D_1$ est un disque $D_{\alpha}(\Gamma)$ de $\Dcal$
        intersect� avec $P$) est un graphe au-dessus du disque $D(x_0,
        e^{- \chi_1(\widehat{x})j - \gamma j})$ dans $E_S(x_0)=D_0
        \tau_{x_0}E_1(\widehat{x})$ et que par ailleurs ce graphe est
        exponentiellement plat (si $\delta$ et $P$ sont suffisamment
        petits).

Si $D_1$ est diff�rent de $D$, on en d�duit donc que la pr�image de
        $D_1$ par $\tau_{x_0} \circ
        f_{\widehat{f}^j(\widehat{x})}^{-j} \circ \tau_{x_j}^{-1}$ ne
        peut pas �tre dans $\Gamma$ (sinon cela contredirait le fait que
        $\Gamma$ est un graphe pour $j$ grand).

Autrement dit, il existe au moins $\frac{\epsilon}{C(l)}d^j$
        bonnes composantes distinctes de la forme $\tau_{x_0} \circ
        f_{\widehat{f}^j(\widehat{x})}^{-j} \circ
        \tau_{x_j}^{-1}(Q_{\lambda^{'}}^{'})$ qui coupent $\Gamma$.

Maintenant, comme au paragraphe pr�c�dent, on enl�ve un $(e^{- \beta j
        + \gamma j})$-voisinage $V$ de $\Gamma$ � $E_2(i,j)$ (ce
        voisinage est de masse $\epsilon(j)$ pour $\nu$) et on
        recommence ce que l'on vient de faire en rempla�ant
        $E_2(i,j)$ par $E_2(i,j) \setminus V$, puis on it�re le
        proc�d�.

Comme le nombre de bonnes composantes dans les pr�images
        $f^{-j}(Q_{\lambda^{'}}^{'})$ est born� par $Nd^j$, le proc�d�
        finit par s'arr�ter et on obtient la majoration voulue.






\section{\bf{Un exemple}}{\label{exemple}}

Il s'agit ici de donner un exemple de mesure $\nu=T \wedge S$, qui ne
charge pas d'ensemble alg�brique et pour laquelle le plus petit
exposant $\chi_1(x)$ est nul pour presque tout point $x$.

Cette mesure va �tre construite � partir d'une application holomorphe
qui a un disque de Siegel. Plus pr�cis�ment, soit $R(z)= \lambda z + z^2$ avec $\lambda=e^{2 i
  \pi \theta}$ o� $\theta$ est irrationnel et diophantien (voir
\cite{CG} p.43 et p.55). $R$ a donc un disque de Siegel qui contient
$0$ (voir \cite{BM} p.33). En particulier $R$ est conjugu�e � la
rotation $z \mapsto \lambda z$ au voisinage de $0$. C'est-� dire,
il existe une fonction holomorphe $\Phi$ localement inversible au
voisinage de $0$, pour laquelle $\Phi \circ R(z)= \lambda \Phi(z)$.

Si on consid�re un point $a$ de la courbe de
Jordan $|\Phi|= \epsilon$ (avec $\epsilon$ petit), alors $\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1}
\delta_{R^i(a)}$ converge vers la mesure de Lebesgue $\alpha$ de
$|\Phi|= \epsilon$. Cela provient du fait qu'une rotation d'angle
irrationnel sur le cercle unit� est uniquement ergodique (voir
\cite{KH} p. 146). Maintenant, soit $f$ est l'endomorphisme holomorphe de
$\Pp^2(\Cc)$ d�fini par:
$$f([z:w:t])=[\lambda zt + z^2: \lambda wt+w^2:t^2].$$
Dans la suite, on se place dans la carte $t=1$.

L'image de la droite $z=a$ par $f^i$ est la droite $z=R^i(a)$
(parcourue $2^i$ fois). Autrement dit, si $S$ est une valeur
d'adh�rence de $\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} \frac{[f^i(L)]}{2^i}$,
alors $S= \int [N] d \alpha(N)$ o� $\alpha$ est la mesure de Lebesgue pr�c�dente et $N$ est une droite qui passe par le point $[0:1:0]$ et
par un point de $| \Phi |= \epsilon$.

En particulier, comme $\alpha$ et $T \wedge [N]$ ne chargent aucun point, $T \wedge S$ ne
charge aucune courbe alg�brique.

Enfin, comme $D$ est un disque de Siegel, il est assez facile de voir
que pour tout point $x$ du support de $\nu$ on a $\chi_1(x)=0$.








\newpage

\section{\bf{Appendice: la transform�e de graphe}}

Dans cet appendice nous allons pr�senter une petite g�n�ralisation de
la transform�e de graphe (voir \cite{KH}).

Le cadre de ce paragraphe est $\Cc^2$. Nous noterons $g$ l'application 
$$g(x,y)=(\lambda x + \alpha(x,y), \mu y + \beta(x,y))$$
avec $\alpha$, $\beta$ v�rifiant $\alpha(0)= \beta(0)=0$, $| \alpha
|_{C^1} \mbox{ , } | \beta |_{C^1} \leq \delta$ dans une boule
$B=B(0,r) \subset \Cc^2$ et $0 < | \mu | < | \lambda |$. Soit maintenant $\{ (x, \phi(x)) \mbox{ , } x \in D \}$ un graphe
inclus dans $B$ au-dessus de $D$ qui v�rifie $| \phi(x_1)-\phi(x_2) |
\leq \gamma |x_1-x_2 |$.

Le th�or�me de la transform�e de graphe que nous allons �noncer donne
des conditions sur $\delta$, $\gamma$, $\lambda$ et $\mu$ pour que
l'image du graphe pr�c�dent par $g$ soit encore un graphe.

\begin{theoreme*}

Si $\delta (1 + \gamma) < | \lambda|$ alors l'image par $g$ du graphe
pr�c�dent est un graphe au-dessus de $\pi(g(\mbox{graphe de } \phi))$
(o� $\pi$ est la projection sur l'axe des abscisses).

Par ailleurs, si $(x,\psi(x))$ d�signe ce nouveau graphe, nous avons:
$$| \psi(x_1)- \psi(x_2) | \leq \frac{ | \mu | \gamma +
  \delta(1+\gamma)}{ | \lambda| - \delta(1 + \gamma)} |x_1-x_2 |.$$

\end{theoreme*}

\begin{proof}

La seule diff�rence avec la d�monstration qui se trouve dans \cite{KH}
p. $250$, c'est que nous ne sommes pas dans une situation
globale. Cependant, comme cela ne change rien � la preuve, nous ne
d�montrerons que le premier point du th�or�me.

Soit $G: D \mapsto \Cc$ la fonction d�finie par $G(x)=\lambda x +
\alpha(x, \phi(x))$. C'est l'abscisse du point $g(x, \phi(x))$. Pour
voir que $g(\mbox{graphe de } \phi)$ est un graphe au-dessus de
$\pi(g(\mbox{graphe de } \phi))$, il suffit de voir que $G$ est une
bijection de $D$ sur $G(D)$. Autrement dit, si $x_0 \in G(D)$, il faut
d�montrer que $G(x)=x_0$ (avec $x \in D$) a une unique solution.

Soit $F(x)= \lambda^{-1} x_0 -  \lambda^{-1} \alpha(x,
\phi(x))$. L'�quation $G(x)=x_0$ �quivaut � $F(x)=x$.
Par ailleurs, si $x_1 \mbox{, } x_2 \in D$, on a:
$$| F(x_1) - F(x_2) | = | \lambda ^{-1} \alpha(x_1, \phi(x_1)) -
\lambda^{-1} \alpha(x_2, \phi(x_2))| \leq | \lambda |^{-1} |
\alpha|_{C^1} d((x_1, \phi(x_1)),(x_2, \phi(x_2)))$$
car $(x_i, \phi(x_i)) \in B$ pour $i=1,2$.

On obtient donc
$$| F(x_1) - F(x_2) | \leq | \lambda |^{-1} \delta (1 + \gamma)
|x_1-x_2 |.$$
Maintenant si $\delta (1 + \gamma) < |\lambda|$ alors $| F(x_1) -
F(x_2) | \leq t |x_1-x_2 |$ avec $t < 1$ et l'�quation $F(x)=x$ a donc
bien une unique solution dans $D$.



\end{proof}



\newpage




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\end{thebibliography}

\bigskip

Henry de Th�lin\\
Universit� Paris-Sud (Paris 11)\\
Math�matique, B�t. 425\\
91405 Orsay\\
France


 

\end{document}












math0502369.extracted_bib
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