Monodromie alg�brique des groupes d'Artin di�draux
Ivan Marin
diedrauxarx.tex
\documentclass[a4paper,11pt,leqno]{amsart}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage{epsfig,xypic}
\usepackage{amsthm,amssymb,bbm,a4wide}
%\usepackage{bull}
\usepackage{hyperref}
\theoremstyle{plain}
\author[I. Marin]{Ivan Marin}
\address{69 rue S\'ebastien Gryphe\\ F-69007 Lyon\\ France}
\date{28 ao�t 2004}
%\email{marin@maths.univ-evry.fr}
\urladdr{http://www.maths.univ-evry.fr/pages\_perso/~marin}
\title{Monodromie alg�brique des groupes d'Artin di�draux}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newtheorem*{theor}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem*{theore}{Th\'eor\`eme {\rm (Enriquez)}}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{definition}{D\'efinition}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
\newtheorem*{ccor}{Corollaire}
\newtheorem{cor}{Corollaire}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\renewcommand{\theequation}{\thesection-\arabic{equation}}



\newcommand{\la}{\lambda}
\def\Hom{\mathrm{Hom}}
\def\End{\mathrm{End}}
\def\Ker{\mathrm{Ker}\,}
\def\U{\mathsf{U}}
\def\C{\ensuremath{\mathbbm{C}}}
\def\Q{\mathbbm{Q}}
\def\Z{\mathbbm{Z}}
\def\R{\mathbbm{R}}
\def\N{\mathbbm{N}}
\def\ot{\otimes}
\def\k{\mathbbm{k}}
\def\Ass{\mathbbm{Ass}}
\def\AN{\ensuremath{\mathfrak{B}_n}}
\def\om{\omega}
\def\m{\mathfrak{m}}
\def\eps{\epsilon}
\def\g{\mathfrak{g}}
\def\A{\mathbbm{A}}
\def\un{\mathbbm{1}}
\def\onto{\twoheadrightarrow}
\def\into{\hookrightarrow}
\def\ii{\mathrm{i}}
\def\kt{\k^{\times}}
\def\bar{\overline}
\def\Id{\mathrm{Id}}
\def\j{j}
\def\dd{\mathrm{d}}
\def\IXE{\mathcal{X}}
\def\Log{\mathrm{Log}}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\cotg{\mathrm{cotg}}
\def\ss{\tilde{\sigma}}
\def\tt{\tilde{\tau}}
\def\sss{\hat{\sigma}}
\def\ttt{\hat{\tau}}
\def\ooo{\hat{O}}
\def\sb{\overline{\sigma}}
\def\tb{\overline{\tau}}
\def\PPhi{\widetilde{\Phi}}
\def\tp{\tau_{\Phi}}
\def\sp{\sigma_{\Phi}}
\def\J{\mathfrak{J}}
\def\Ad{\mathrm{Ad}}
\def\t{\mathrm{t}} % t_r pour t dans \mathcal{A}(\k),... i.e T \neq 0
\def\PP{\mathrm{P}}
\begin{document}
%\frontmatter

\maketitle

\noindent {\bf R�sum�.}
En vue d'�tudier la th�orie des repr�sentations d'un groupe d'Artin
di�dral $B$, nous construisons des morphismes rationnels de
$B$ vers les inversibles de l'alg�bre des tresses infinit�simales
associ�e. Pour ce faire,
nous construisons des
analogues aux associateurs de Drinfeld en rang 2 pour toutes les
sym�tries di�drales du plan.


\bigskip

\noindent {\bf Abstract.} Towards the study of the representation theory
of any dihedral Artin group $B$, we build rational morphisms
from $B$ to the group of invertible elements of the associated
infinitesimal braids algebra. For this we build analogons of Drinfeld
associators, in rank 2 for arbitrary dihedral symmetries of the plane.




\noindent {\bf MSC 2000.} 20F36, 14F35, 20C08. \\
\noindent {\bf Mots-cl�s.} Groupes d'Artin, monodromie, associateurs, repr�sentations

%\thanks{} (subventions)
%\dedicatory{} (dedicace)



\setcounter{section}{-1}
\section{Introduction}

Soit $W$ un groupe de Coxeter fini, et $B$ le groupe de tresses g�n�ralis�
ou groupe d'Artin associ�. Une pr�sentation de $B$ est d�duite de la
pr�sentation de Coxeter de $W$ en n'imposant pas aux g�n�rateurs
$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ d'�tre
involutifs. On a donc toujours une projection naturelle $\pi : B \to
W$, dont le noyau $P$ est un sous-groupe caract�ristique de $B$ (cf. \cite{COHEN})
appel� groupe des tresses pures
associ� � $W$. Cette d�finition alg�brique de $B$ et $P$ est essentiellement
d�e � Tits. Dans le cas o� $W$ est de type $A_n$, le groupe d'Artin
associ� � $W$ est le groupe de tresses classique sur $n+1$ brins.
Ces groupes naturellement associ�s aux groupes de Coxeter finis
sont infinis de type fini, sans torsion et lin�aires \cite{DIGNE}. Le lien de $B$ avec
$W$ semble suffisamment rigide pour que l'on puisse
esp�rer esquisser une th�orie des repr�sentations de $B$
en lien avec celle de $W$.

Une d�finition topologique de $B$ et $P$, essentiellement d�e � Brieskorn,
provient de la description de $W$ comme groupe de r�flexions
de $\R^n$. Si l'on note $\mathcal{H}$ l'ensemble des hyperplans noyaux des r�flexions
de $W$, et $\mathcal{H}_{\C}$ son complexifi� dans $\C^n$, $P$ s'identifie
au groupe fondamental de $X = \C^n \setminus \mathcal{H}_{\C}$, et $B$ au groupe
fondamental du quotient de $X$ par l'action naturelle de $W$.

Cet espace $X$ est le compl�mentaire dans $\C^n$ ou $\mathbbm{P}^n(\C)$ d'un
arrangement central d'hyperplans et un $K(P,1)$. Soit $\mathfrak{g}_X$
son alg�bre de Lie (gradu�e) d'holonomie. Elle admet une pr�sentation simple
sur $\Z$ par g�n�rateurs et relations, avec un g�n�rateur $\t_H$ (de degr� 1)
par �l�ment $H$ de $\mathcal{H}$, et des relations quadratiques. Soit
$\k$ un corps de caract�ristique 0, et $\k_h = \k((h))$ le corps
des s�ries de Laurent sur $\k$.
On note
$\mathfrak{g}_X[\k] = \mathfrak{g}_X \otimes \k$.
L'action
de $W$ sur $X$ induit une action de $W$ sur $\mathfrak{g}_X$, et on a une
1-forme canonique $\Omega$ sur $X$ � valeurs dans $\U \mathfrak{g}_X[\k]$ qui est
$W$-invariante. On note $\U \mathfrak{g}_X(\k)$ la compl�tion
de $\U \mathfrak{g}_X[\k]$ par rapport � sa graduation naturelle et
$\mathfrak{B}[\k] = \k W \ltimes
\U \mathfrak{g}_X[\k]$, $\mathfrak{B}(\k) = \k W \ltimes
\U \mathfrak{g}_X(\k)$. 
Pour $\k = \C$ les int�grales it�r�es de Chen
permettent d'associer � chaque choix d'un point-base $z$ de X un morphisme
$\int_z : B \to \mathfrak{B}(\C)$.

L'int�r�t de ces morphismes en termes de th�orie des repr�sentations
(en dimension finie et en caract�ristique 0) est le
suivant. A toute repr�sentation $\check{\rho} : W \to GL_N(\C)$
 de $W$ on peut
associer une vari�t� alg�brique
$\mathcal{V}(\check{\rho}) = \{
\rho : \mathfrak{B}[\C] \to M_N(\C) \mid \mathrm{Res}_W \rho =
\check{\rho}\}$
et � tout $\rho \in \mathcal{V}(\check{\rho})$ une repr�sentation
$\rho_h : \mathfrak{B}(\C) \to M_N(\C_h)$ avec $\k_h = \k((h))$,
donc une repr�sentation $\int_z \circ \rho_h : B \to GL_N(\C_h)$ de $B$.
En particulier, chacune des vari�t�s $\mathcal{V}(\check{\rho})$
contient une famille � un param�tre naturelle qui permet d'obtenir les
repr�sentations de l'alg�bre d'Iwahori-Hecke g�n�rique associ�e � $W$.
D'autre part, toute repr�sentation irr�ductible de $\mathfrak{B}[\C]$
donne lieu � une repr�sentation irr�ductible de $B$ sur $\C_h$.


Enfin, ces repr�sentations sont universellement convergentes en $h$,
et les r�pr�sentations irr�ductibles obtenues sur $\C_h$ restent
irr�ductibles apr�s sp�cialisation en $h \in \C$ pour tout $h$ en dehors d'un ensemble
localement fini de complexes. Comme ces op�rations sont compatibles
au coproduit naturel de $\C B$ et de $\mathfrak{B}[\C]$ cela permet
notamment d'introduire des structures naturelle qui refl�tent
\og infinit�simalement \fg\ les alg�bres d'Iwahori-Hecke,
ou encore de d�montrer des r�sultats d'irr�ductibilit� des
produits tensoriels de repr�sentations de $B$ (cf. \cite{BULL,HECKINF}).

Cependant cette construction de monodromie transcendante, �ga\-le\-ment
utilis�e dans \cite{BMR} pour la construction d'alg�bres de Hecke cyclotomiques,
est entach�e de plusieurs d�fauts. Outre la non-canonicit�
du choix d'un point-base dans un espace non contractile, ni m�me
simplement connexe, elle ne permet
pas de rendre compte de l'apparition fr�quente de structures unitaires
sur les repr�sentations de $B$,
et ne garde pas trace du corps de d�finition de la repr�sentation
infinit�simale $\rho$. En particulier,
il serait utile d'avoir, pour tout corps $\k$ de caract�ristique 0, des
morphismes (injectifs) d'alg�bres de Hopf
$\PPhi : \k B \to \mathfrak{B}(\k)$ tels que,
posant $\pi(\sigma_i)=s_i$, $H_i = \Ker (s_i - 1)$ et $\t_i = \t_{H_i}$,
$\PPhi$ v�rifie la 



\medskip



\noindent {\bf Condition fondamentale : } 
Pour tout $i \in [1,n]$, il existe $\la \in \kt$ tel que $\PPhi(\sigma_i)$
est conjugu� � $s_i \exp \la \t_i$ par un �l�ment grouplike
de $\U \mathfrak{g}(\k)$.

\medskip



Sous cette hypoth�se, les raisonnements
de \cite{ASSOC} s'adaptent im\-m�\-dia\-te\-ment et montrent entre autres
que la correspondance $\widehat{\Phi}$ entre
repr�sentations de $\mathfrak{B}[\k]$ sur $\k$ et repr�sentations
de $B$ sur $\k_h$ naturellement associ� � $\PPhi$ est un foncteur
qui pr�serve toutes les propri�t�s essentielles de th�orie
des repr�sentations. En particulier, on a une notion de
repr�sentations formellement unitaires de $B$ sur $GL_N(\R_h)$
qui permettent d'obtenir, apr�s torsion du corps des coefficients
et sp�cialisation en $h$ imaginaire pur proche de 0 des
repr�sentations unitaires de $B$. On a �galement une notion
simple de repr�sentations infinit�simalement unitaires
$\rho : \mathfrak{B}[\R] \to M_N(\R)$, d�finie par
$\rho(s) \in O_N(\R)$ si $s \in W$ et $\rho(\t_H)$ sym�trique, telle que,
si $\rho$ est infinit�simalement unitaire, $\widehat{\Phi}(\rho)$ est
formellement unitaire. L'existence de tels morphismes permettrait notamment
de montrer
qu'il existe sur les repr�sentations des alg�bres de Hecke
une structure unitaire directement issue des repr�sentations orthogonales
de $W$. D'autre part, l'exemple du type $A$ montre que les
structures unitaires connues sur les repr�sentations de $B$
ont toutes une interpr�tation simple au niveau infinit�simal.

On peut construire de tels morphismes pour le type $A$ � l'aide des
associateurs rationnels dont Drinfeld �tablit l'existence dans \cite{DRIN}.
L'id�e
g�n�rale de la d�monstration de Drinfeld est la suivante. A partir
d'un choix de point-bases tangentiels de $X$ on peut construire
un morphisme $\PPhi : B \to \mathfrak{B}(\C)$, qui v�rifie bien 
la propri�t� voulue pour $\la = \ii \pi$. On introduit alors le
groupe des automorphismes $\Gamma$ de $B$ tels que $\PPhi \circ \Gamma$
v�rifie
encore la condition fondamentale. Malheureusement ce groupe discret
est trop petit pour que $\PPhi \circ \Gamma$ puisse �tre d�fini sur $\Q$.
Pour pallier � cette difficult�, on montre que $\PPhi$ s'�tend en
un morphisme $B(\C) \to  \mathfrak{B}(\C)$,
o� $B(\k)$ d�signe l'ensemble des $\k$-points d'un sch�ma en groupe
naturellement reli� � la compl�tion $\k$-pro-unipotente de $P$,
qui contient $B$.
On introduit alors un sous-groupe $G(\k)$ des automorphismes de
$B(\k)$, qui agit librement et transitivement sur l'ensemble de ces
automorphismes. D'un autre c�t�, les scalaires $\la \in \kt$ agissent
sur $\mathfrak{B}(\k)$ par $\t_H \mapsto \la \t_H$, donc sur l'ensemble
des morphismes consid�r�s. On en d�duit qu'� tout $\PPhi$ on peut
associer un sous-groupe � un param�tre de $G(\k)$, donc un �l�ment
non trivial de son alg�bre de Lie $\mathcal{G}(\k)$. Si
le groupe $G(\k)$ est choisi suffisamment petit, un tel �l�ment d�termine
inversement un unique morphisme $\PPhi$. Il suffit donc de montrer que $\mathcal{G}(\k)$
contient des �l�ments non triviaux, et cela d�coule alors du fait
que c'est le cas de $\mathcal{G}(\C)$ � cause de l'existence d'un morphisme
sur $\C$.

C'est cette d�monstration que nous adaptons ici pour montrer l'existence
d'un morphisme $\PPhi$ d�fini sur $\Q$ pour les groupes di�draux,
correspondant au type $I_2(m)$. Pour $m=3$ il s'agit donc d'une
reformulation de la d�monstration de Drinfeld, � ceci pr�s que nous
ne prenons pas en compte l'�quation dite du pentagone, qui n'a pas de
sens en rang 2. Le groupe $G(\k)$ pour $m=3$ est donc ici plus gros
que le groupe de Grothendieck-Teichm�ller consid�r� dans \cite{DRIN}. Pour
$m$ impair c'est un groupe naturellement associ� au groupe d'Artin
$B$, et la d�monstration de Drinfeld s'adapte parfaitement. Si
$m$ est pair il faut se restreindre � un sous-groupe de $G(\k)$,
form� des morphismes compatibles avec l'automorphisme non trivial
du diagramme de Coxeter correspondant � $W$
pour que le raisonnement ci-dessus s'applique. Cette distinction
entre les cas $m$ pair et impair recouvre les diff�rences de th�orie
des repr�sentations de $W$ entre ces deux cas.

Le r�sultat principal de cet article peut donc s'�noncer comme suit

\begin{theor} Si $W$ est de type $I_2(m)$, pour tout corps
$\k$ de caract�ristique 0 il existe un morphisme $\PPhi :
\k B \to \mathfrak{B}(\k)$ qui v�rifie la condition fondamentale.
\end{theor}

Dans \cite{ENRIQUEZ}, B. Enriquez montre l'existence de morphismes en
type $B_n$ qui v�rifient la condition fondamentale. De tels
morphismes existent donc au moins en type $A_n$, $B_n$, et $I_2(m)$.
Dans l'appendice 3 nous �claircissons le lien entre les notations d'Enriquez
et les n�tres.


Une diff�rence notable avec l'approche par int�grales it�r�es
et point-base est que les morphismes associ�s, sur un corps $\k \subset
\R$,
ne sont jamais universellement convergents. En effet, si l'un d'entre
eux l'�tait
toute repr�sentation de $\mathfrak{B}(\R)$ infinit�simalement
unitaire donnerait lieu � des repr�sentations de $B$
unitarisables pour toute sp�cialisation imaginaire pure de $h$. En
particulier, les repr�sentations de l'alg�bre de Hecke $H(q)$ associ�e
� $W$ seraient unitarisables pour toute valeur de $q$ de module 1.
Comme pour le groupe de tresses habituel ($W$ de type $A_n$),
nous montrons en section \ref{reprW} que ce n'est pas le cas. Inversement, cela sugg�re que
d'�ventuelles propri�t�s de convergence de ces morphismes sont reli�es � des
propri�t�s de th�orie de repr�sentation des groupes d'Artin.





\medskip



\noindent {\bf Conventions g�n�rales.} 
Parmi les actions � gauches que nous consid�rerons, la notation
$g \bullet A$ d�signera toujours implicitement la conjugaison par $g$ : 
$g \bullet A = g A g^{-1}$. Comme l'action de $g \in W$ sur $A \in
 \mathcal{A}(\k)$ (d�finie en \ref{algtressinf})s'identifie � la conjugaison de $A$ par $g$
dans $\mathfrak{B}(\k)$ on utilisera �galement cette notation
dans ce cadre. On convient d'autre part $g \bullet xy = g \bullet (x y)$
et $g g' \bullet x = (g g') \bullet x$ pour all�ger les notations.

Si $(a_i)_{r \leq i \leq s }$ est une famille d'�l�ments d'un
mono�de, on utilisera les notations
$$
\prod_{i=r}^{s} a_i = a_r a_{r+1} \dots a_s, \ \ 
\prod_{i=s}^{r} a_i = a_s a_{s-1} \dots a_r
$$

Dans ce qui suit, $\k$ d�signera un corps quelconque de caract�ristique
0, et $\kt$ le groupe
de ses �l�ments non nuls.
Si $A$ est une $\k$-alg�bre, toujours suppos�e unif�re, on d�signera par
$A^*$ le groupe de ses �l�ments inversibles. Si $A$ est une $\k$-alg�bre
de Hopf, toujours suppos�e avec antipode, on d�signera par
$A^{\times}$ le groupe de ses �l�ments grouplike.







\section{G\'en\'eralit\'es}

\subsection{D\'efinitions}

Soit $m \geq 3$, $W$ le groupe di\'edral d'ordre $2m$,
c'est-\`a-dire le groupe de r�flexions de type de Coxeter $I_2(m)$.
On note $\theta = \pi/m$ et $c = 2 \cos(\theta)$.
Deux pr\'esentations classiques de $W$ sont donn\'ees par
$
< s, \om \ \mid \ s^2 = \om^m = 1, s \om = \om^{-1} s >$ et
$<s,s' \ \mid \ s^2 = (s')^2 = 1, (s's)^m = 1 >
$,
le passage entre les deux \'etant donn\'e par les
formules $\om = s's$, $s' = \om s$. Les r\'eflexions de $W$ sont
les \'el\'ements de la forme $s \om^r$ pour $0 \leq r \leq m-1$.


On d\'efinit le groupe d'Artin (ou groupe de tresses g\'en\'eralis\'e)
$B$ associ\'e \`a $W$ par la pr\'esentation
$$
< \sigma, \tau \ \mid \ O = \underbrace{\sigma \tau \sigma \dots }_{m\mbox{ facteurs}} =
\underbrace{\tau \sigma \tau \dots }_{m\mbox{ facteurs}} >
$$
On a un morphisme $\pi : B \to W$ d\'efini par $\sigma \mapsto s$,
$\tau \mapsto s'$, dont le noyau $P$ est appel\'e groupe
de tresses pures associ\'e \`a $W$. Le centre de $B$ est cyclique
infini, engendr� par $O^2 \in P$ si $m$ est impair
et par $O \not\in P$ si $m$ est pair. La diff�rence essentielle
entre les cas pair et impair au niveau de $W$ tient � ce que, d'une part
le centre de $W$ est cyclique d'ordre 2 engendr� par $\om^{\frac{m}{2}}$
si $m$ est pair,
alors qu'il est trivial si $m$ est impair ; d'autre part que $W$ admet deux
classes de conjugaison de r�flexions dans le cas pair, une seule dans
le cas impair.


Le groupe $Out(B)$ a �t� d�termin� dans \cite{GILB} (voir �galement
\cite{PARIS}).
Si $m$ est impair il est cyclique d'ordre 2, engendr�
par l'automorphisme $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$, $\tau \mapsto \tau^{-1}$
(automorphisme \og image miroir de la tresse \fg), qui est compatible
� la projection $\pi : B \to W$. Si $m$ est pair au contraire
ce groupe est infini, engendr� par l'automorphisme image miroir,
un automorphisme d'ordre
infini $\sigma \mapsto \tau^{-1}$, $\tau \mapsto \tau \sigma \tau$,
et l'automorphisme involutif du diagramme de Coxeter $ J : \sigma \mapsto
\tau$, $\tau \mapsto \sigma$. Lorsque $m$ est impair
on peut encore d�finir $J$, mais il est alors int�rieur : il s'agit
de la conjugaison par $O$. Les deux g�n�rateurs suppl�mentaires
de $Out(B)$ dans le cas pair rel�vent les automorphismes
de $W$ d�finis par $s \mapsto \om s$, $\om \mapsto \om$
et $s \mapsto \om s$, $\om \mapsto \om^{-1}$. 
Dans le cas impair
ces automorphismes sont �galement int�rieurs, conjugaisons par
$\om^{\frac{m+1}{2}}$ et $s \om^{\frac{m-1}{2}}$ respectivement.

Tous les
automorphismes de $B$ rel�vent donc un automorphisme de $W$,
et en particulier $P$ est un sous-groupe caract�ristique de $B$
 pour toute valeur de $m$ (il est stable par tout automorphisme).


  
\subsection{Alg�bre des tresses infinit�simales}
\label{algtressinf}
Soit $m \geq 3$. On pose $\theta = \pi/m$, $\theta_r = r \theta$
et $v_r = (\cos \theta_r, \sin \theta_r)$ pour tout $r \in \Z$. Soit
$\alpha_r \in (\R^2)^*$ la forme lin�aire d�finie par
$\alpha_r(v) = \det(v_r,v)$, $\Delta_r = \Ker \alpha_r \subset \R^2$. Elle
s'�tend en une forme lin�aire sur $\C^2$ encore not�e $\alpha_r$ dont
le noyau est l'hyperplan $H_r \subset \C^2$. Pour toute
$\k$-alg�bre (de Lie) $\mathcal{A}$ avec $\k \subset \C$ et
$\t_0,\dots,\t_{m-1} \in \mathcal{A}$, on peut d�finir la 1-forme
diff�rentielle sur $X = \C^2 \setminus H_0 \cup \dots \cup H_{m-1}$
� valeurs dans $\mathcal{A}$ suivante
$$ \Omega = \sum_{k=0}^{m-1} \t_k \frac{\dd \alpha_k }{\alpha_k}.
$$
On v�rifie imm�diatement que $\Omega$ est int�grable si et seulement
si
$\t_0 + \dots + \t_{m-1}$ commute � chacun des $\t_r$. L'alg�bre
de Lie d'holonomie $\mathfrak{g}$ de $X$, ou alg�bre de Lie des tresses infinit�simales
pures associ�e � $W$, est d�finie sur $\Q$ par g�n�rateurs
$\t_0,\dots,\t_{m-1}$ et relation $T = \t_0 + \dots +\t_{m-1}$ central.
On note $\mathfrak{g}'$ le quotient de $\mathfrak{g}$ par son centre $\Q T$,
et $t_i$ l'image de $\t_i$ dans $\mathfrak{g}'$. Elle
s'identifie � une sous-alg�bre de $\mathfrak{g}$ par $t_i \mapsto
\t_i - \frac{T}{m}$. Pour tout corps
$\k$ de caract�ristique 0 on note $\mathfrak{g}[\k] =
\mathfrak{g} \otimes \k$, $\mathfrak{g}'[\k] = \mathfrak{g}' \otimes
\k$, $\U\mathfrak{g}[\k] =
\U\mathfrak{g} \otimes \k$, $\U\mathfrak{g}'[\k] = \U\mathfrak{g}' \otimes
\k$. Les alg�bres de Lie $\mathfrak{g}[\k]$ et
$\mathfrak{g}'[\k]$ ainsi que leurs alg�bres enveloppantes sont
naturellement gradu�es par $\deg t_i = \deg \t_i = 1$. On note 
$\mathfrak{g}(\k)$, $\mathfrak{g}'(\k)$,
$\mathcal{A}(\k)$ et $\mathcal{A}'(\k)$ leur compl�tion respectivement
� cette graduation. On notera �ventuellement $\t_{H_i} = \t_i$.


Le groupe $W$ agit sur $X$ par la repr�sentation de r�flexion,
$s$ agissant par la matrice $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$
et $\om$ par la rotation d'angle $2 \theta$, et sur $\mathcal{A}(\k)$
par $s.\t_r = \t_{-r}$, $\om . \t_r = \t_{r+2}$, o� l'addition est d�finie
modulo $m$ ($\t_{r+m} = \t_r$). La 1-forme
$\Omega$ � valeurs dans $\mathcal{A}(\k)$ est �quivariante pour ces
actions, donc peut �tre consid�r�e comme une 1-forme sur $X/W$. On
a $P = \pi_1(X)$, $B= \pi_1(X/W)$.

L'action de $W$ sur $\mathcal{A}(\k)$ est h�rit�e de l'action
par conjugaison $g \bullet x = g x g^{-1}$ de $W$ sur l'ensemble de ses r�flexions, l'hyperplan
$H_r$ �tant stable pour la r�flexion $s \om^r$, et $\om \bullet (\om^r s) =
\om^{r+2} s$, $s \bullet( \om^r s) = \om^{-r} s$.
On note $\mathfrak{B}[\k] = \k W \ltimes \U \mathfrak{g}[\k]$
le produit semi-direct d'alg�bres de Hopf correspondant, que l'on appelle
alg�bre (de Hopf) des tresses infinit�simales associ�e � $W$, et on
note $\mathfrak{B}(\k) = \k W \ltimes \U \mathfrak{g}(\k)$
sa compl�tion par rapport � la graduation $\deg(\t_i) = 1$,
$\deg(g) = 0$ si $g \in W$. De fa�on similaire,
on note $\mathfrak{B}'[\k]= \k W \ltimes \U \mathfrak{g}'[\k]$ le quotient
de $\mathfrak{B}[\k]$ par la relation $T = 0$ et
$\mathfrak{B}'(\k)$ sa compl�tion.

\subsection{Repr\'esentations de $W$}
\label{reprW}
Un des mod�les matriciels de la repr\'esentation de r\'eflexion de $W$
(ou de sa contragr\'ediente suivant la convention choisie)
est donn\'e par
$$
\rho(s) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -c & 1 \end{array} \right)
\ \ \ \rho(s') = \left( \begin{array}{cc} 1 & -c \\ 0 & -1 \end{array} \right)
$$
et, de fa\c con g\'en\'erale,
les repr�sentations de $W$ sont d�finies sur $\k = \Q(\cos \theta) \subset \R$.
De plus, elles peuvent �tre d�finies par des matrices
orthogonales sur $\k$. Chacune de ces repr�sentations $\rho : W \to GL_N(\k)$ peut
�tre �tendue � $\mathfrak{B}[\k]$ par $\rho(\t_H) = \rho(s_H)$, o�
$s_H \in W$ d�signe la r�flexion autour de l'hyperplan $H$.
Ces repr�sentations et en particulier l'image par $\rho$ de
$\mathfrak{g}[\k]$ ont �t� �tudi�es dans \cite{BULL,HECKINF}.
On en d�duit comme dans \cite{ASSOC} que,
une fois construit un morphisme $\PPhi$ v�rifiant la condition
fondamentale de l'introduction,
on peut associer � chacune de ces repr�sentations $\rho$ une repr�sentation $\widehat{\Phi}(\rho)
: B \to U_N^{\eps}(\k)$ o� $U_N^{\eps}(\k) \subset GL_N(\k_h)$ d�signe le groupe
unitaire formel associ�e � l'automorphisme topologique de
$\k_h$ d�fini par $h \mapsto -h$. Si un tel morphisme �tait universellement
convergent, par sp�cialisation en tout $h$ imaginaire pur on
obtiendrait des repr�sentations unitaires de $B$. Ces
repr�sentations v�rifient que l'image de $\sigma$ est semisimple et
a pour spectre
$\{ e^{\la h} , - e^{ -\la h} \}$. On en d�duit que, quitte � multiplier
l'image des g�n�rateurs par $v = e^{\la h}$, ces repr�sentations
se factorisent par
l'alg�bre de Hecke associ�e au param�tre $v^2$. De plus, si $\rho$ est
irr�ductible, ces repr�sentations sp�cialis�es en $h$ sont irr�ductibles
pour toute valeur $h$ en dehors d'un ensemble localement fini de complexes.


L'alg�bre de Hecke associ�e au param�tre $u = v^2$ est le quotient de $\C
B$ par les relations $(\sigma + 1)(\sigma - u) =0$,
$(\tau + 1)(\tau - u) =0$. Posons $d_j = 2 \cos j \frac{\pi}{m}$. Alors
(cf. \cite{GP} lemme 8.1.10, et th. 8.3.1) les repr�sentations irr�ductibles
de dimension 2 de cette alg�bre de Hecke sont toutes de la forme $\rho_j$, pour
$1 \leq j \leq \frac{m-1}{2}$, avec
$$
\rho_j(\sigma) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ v d_j & v^2
\end{array} \right) \ \ \   
\rho_j(\tau) = \left( \begin{array}{cc} v^2 & v d_j \\ 0 & -1 
\end{array} \right)
$$
Fixons $j$, et soit $a$ (resp. $b$) le projecteur sur l'espace
propre de $\rho_j(\sigma)$ (resp. $\rho_j(\tau)$) correspondant � la
valeur propre $-1$ parall�lement � l'autre espace propre. Si $\rho_j$
est unitarisable en tant que repr�sentation de $B$, cela implique
que $a$ et $b$ sont autoadjoints positifs, donc qu'il en est de m�me
de $aba$. Mais le spectre de $aba$ est compos� de $0$ et de
$d_j^2/(1+2\cos \alpha)$, si $u = \exp \ii \alpha$. Cela n'est donc
possible que si $\cos \alpha > -1/2$. (Cet argument est emprunt�
� \cite{WENZL}, prop. 2.9.) En particulier, il
ne peut pas exister de morphisme $\PPhi$ universellement convergent
d�fini sur $\R$.



\subsection{Compl�tions de $P$ et de $B$}

Comme $B$ est une extension de $W$ par $P$, $B$ est naturellement isomorphe
\`a $B \ltimes P / \mathcal{Q}$, o\`u $\mathcal{Q}$ est le sous-groupe de $B \ltimes
P$ engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $x . x^{-1}$ pour $x
\in P$. Puisque $P$ est une extension centrale d'un groupe libre par $\Z$,
il est r�siduellement nilpotent sans torsion, c'est-\`a-dire que
$P$ se plonge dans sa compl\'etion $\k$-prounipotente $P(\k)$
(cf. \cite{BOURBAKI} II \S 6 ex. 4 p.91 et \cite{DELIGNE} p. 175-178). L'action par conjugaison de
$B$ sur $P$ s'\'etend en une action de $B$ sur $P(\k)$ et $B$
se plonge dans $B(\k) = B \ltimes P(\k) / \mathcal{Q}$. On en d�duit une surjection
naturelle $\pi : B(\k) \to W$ de noyau $P(\k)$.


Soit $P_r = P/C^r P$ o\`u $C^r P$ est le $r$-i\`eme terme de la suite
centrale descendante de $P$. Le groupe $P_r$ est nilpotent
sans torsion, donc $P_r = \exp L_r$ o\`u $L_r$ est une $\Z$-alg\`ebre de Lie
nilpotente. On a alors $P_r(\k) = \exp L_r \otimes_{\Z} \k$ et
$P(\k)$ est la limite projective des $P_r(\k)$.
C'est un $\k$-sch\'ema en groupe affine ($\k$-groupe) pro-unipotent.
Nous renvoyons � \cite{DG} pour les r�sultats �l�mentaires sur ces objets.
Si l'on
d\'esigne par $L(\k)$ la limite projective des $L_r(\k)$, alors
$P(\k) = \exp L(\k)$. On peut alors d\'efinir, pour
tous $X \in P(\k)$, $\la \in \k$, $X^{\la} = \exp \la x$, si $x = \log
X \in L(\k)$. 


Si $\Gamma$ est un automorphisme continu de $\k$-groupe de $P(\k)$,
on a alors
$\Gamma(X^{\la}) = \Gamma(\exp(\la x)) = \exp(\la \Gamma(x)) = \Gamma(X)^{\la}$,
o\`u $X = e^x$, $x \in L(\k)$ et $\la \in \k$.

De m\^eme, $B(\k)$ est canoniquement muni d'une
structure de $\k$-groupe. Soit $\Gamma$ un automorphisme de $B(\k)$.
On dit que
$\Gamma$ est \emph{pur} si $\pi \circ \Gamma = \pi$. Il se restreint
alors en un automorphisme continu de $P(\k)$.
Soit $g \in B(\k)$ tel que $\pi(g)$ est d'ordre 2 (par exemple
si $\pi(g)$ est une r\'eflexion), et $\la \in \k$. On d\'efinit
$g^{<\la>} = g (g^2)^{\frac{\la - 1}{2}}$. On a $(g^{<\la>})^{<\mu>}
= g^{<\la \mu>}$. Si $\Gamma$ est pur
alors
$\pi(\Gamma(g)) = \pi(g)$ et
$
\Gamma(g)^{<\la>} = \Gamma(g^{<\la>})$.
On montre alors ais\'ement que
$
\Gamma(g^{<\la>})^{<\mu>} = \Gamma(g)^{<\la \mu>} = \Gamma(g^{<\la \mu>})
$
pour tous $\la,\mu \in \k$.


Supposons donn\'e un morphisme $\Gamma : B \to B(\k)$ tel que $\Gamma(\sigma)
= G^{-1} \sigma^{<\la>} G$, $\Gamma(\tau) = F^{-1} \tau^{<\mu>} F$
avec $F, G \in P(\k)$ et $\la,\mu \in \k$. Il s'\'etend
suivant les inclusions naturelles $L_r \hookrightarrow L_r \otimes_{\Z} \k$
en un automorphisme de $\k$-groupe de $B(\k)$ encore not\'e $\Gamma$
tel que $\pi \circ \Gamma = \pi$.


Le centre de $P$ est engendr\'e par
$Z = (\sigma \tau)^m = (\tau \sigma)^m$, et $P$
lui-m\^eme est engendr\'e par $u_0,\dots,u_{m-1}$ o\`u l'on a
d\'efini
$$
u_0 = \sigma^2, u_1 = \tau^2, u_{2r} = (\tau \sigma)^r \bullet \sigma^2,
u_{2r+1} = (\tau \sigma)^r \bullet \tau^2.
$$
On a $u_{m-1} \dots u_1 u_0 = (\sigma \tau)^m = Z$ et, \`a partir
de la description g\'eo\-m\'e\-tri\-que de $P$ comme groupe fondamental
on montre qu'une pr�\-sen\-ta\-tion de $P$ est
$$
<u_0,\dots,u_{m-1},Z \ \mid \ u_{m-1} \dots u_1 u_0 = Z, (Z,u_i) = 1 >
$$
o\`u $(x,y) = xyx^{-1} y^{-1}$. On en d\'eduit que $L(\Q)$
est topologiquement engendr\'ee par des g\'en\'erateurs
$v_0,\dots,v_{m-1},z$ avec $u_i = \exp v_i$, $Z = \exp z$ et
relations $v_0 + \dots + v_{m-1} = z$, $[z,v_i] = 0$. D'autre
part, on a un morphisme $P \to <Z>$ d\'efini par $u_i \mapsto Z$,
$Z \mapsto Z^m$ qui s'\'etend en un morphisme $P(\Q) \to \exp \Q z$
dont la diff\'erentielle $L(\Q) \to \Q z$ est $v_i \mapsto z$, $z \mapsto mz$.
Ceci permet de l'\'etendre en un morphisme $P(\k) \to \exp \k z$. Ce
morphisme est scind\'e par $Z \mapsto Z^{\frac{1}{m}} = \exp (\frac{z}{m})$,
ce qui permet de d\'ecomposer $P(\k)$ en un produit direct $P'(\k)
\times \exp \k z$.
 



\section{L'associateur transcendant}
\setcounter{equation}{0}

\subsection{R\'eduction \`a une variable}

On rappelle que $\theta = \pi/m$, $\theta_r = r\theta$,
$v_r = (\cos \theta_r,\sin \theta_r)$,
$\alpha_r(v) = \det(v_r,v)$. On a $\Ker \alpha_r = \R v_r = \Ker \alpha_{r+m}$
o\`u l'addition est modulo $2m$. Pour $0 \leq r \leq 2m-1$, on note
$U_r = \R_+^* v_r + \R_+^* v_{r+1}$ le demi-c\^one ouvert engendr\'e par
$v_r$ et $v_{r+1}$, $\Delta_r = \R v_r$, $\Delta = \bigcup_{r=0}^{m-1}
\Delta_r$.

En coordonn\'ees polaires, tout $v \in \R^2 \setminus \{ 0 \}$
s'\'ecrit uniquement sous la forme $v = (\rho \cos u, \rho \sin u)$
avec $\rho > 0$, $u \in [0,2\pi[$. On a alors
$\alpha_r(v) = \rho \sin(u - \theta_r)$ et $U_r$ s'identifie
(analytiquement) \`a $\R_+^* \times V_r$, o\`u $V_r = ]\theta_r,
\theta_{r+1}[$. On consid\`ere le syst\`eme diff\'erentiel
sur $\R^2 \setminus \Delta$ \`a valeurs dans $\mathcal{A}(\R)$

\begin{eqnarray} \label{syst1}
\dd F = \Omega F, \ \ \ \Omega = \sum_{r=0}^{m-1} \t_r \frac{\dd \alpha_r}{\alpha_r}.
\end{eqnarray}

Comme $\dd \alpha_r = \sin(u-\theta_r) \dd \rho + \rho \cos(u-\theta_r)
\dd u$, on a
$$
\Omega = \sum_{r=0}^{m-1} \t_r \left(
\frac{\dd \rho}{\rho} + \cotg(u-\theta_r) \dd u \right)
$$
o\`u $\cotg z = \cos z / \sin z$. On en d\'eduit que (\ref{syst1})
est \'equivalent \`a 

\begin{eqnarray} \label{syst2}
\frac{\partial F}{\partial \rho} = \frac{T}{\rho} F \ \ \ 
\frac{\partial F}{\partial u} = \left( \sum_{r=0}^{m-1} \t_r
\cotg(u-\theta_r) \right) F
\end{eqnarray}
avec $T = \sum_{r=0}^{m-1} \t_r$. Il est donc \'equivalent de consid\'erer
le syst\`eme \`a valeurs
dans $\mathcal{A}'(\R)$ donn\'e par $\partial F/ \partial \rho = 0$ et

\begin{eqnarray} \label{syst3}
\frac{\partial F}{\partial u} = \left( \sum_{r=0}^{m-1} t_r
\cotg(u-\theta_r) \right) F
\end{eqnarray}
Ainsi $F$ est une fonction de
$u$, et du fait que $\cotg(u) - 1/u$ est analytique en 0 on d\'eduit
(cf. appendice 1, lemmes \ref{unicitepositive} et
\ref{unicitenegative}) qu'il existe des solutions uniques de
(\ref{syst3}) sur $V_r$ telles que
$$
F_{r,+} \sim (u-\theta_r)^{t_r}, \ u \to \theta_r^+, \ \ F_{r+1,-} \sim
(\theta_{r+1}-u)^{t_{r+1}}, \ u \to \theta_{r+1}^-,
$$
o\`u l'on a pos\'e $t_{r+m} = t_r$,
qui sont \`a valeurs grouplike (cf. appendice 1, lemme \ref{grouplike}).


On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle (\ref{syst3}) pour
$u$ une variable complexe, c'est-\`a-dire d'abord
$u \in \mathcal{B} = \left( [0,2\pi[  + \ii \R \right) \setminus \Theta$, o\`u
$\Theta = \frac{\pi}{m} \Z$. On note $D_r = \theta_r + \ii \R_-$,
$\mathcal{B}' = \mathcal{B} \setminus \bigcup_{r=0}^{m-1} D_r$.
Comme $\mathcal{B}'$ est simplement connexe, chacune des fonctions
$F_{r,\pm}$ s'\'etend en une fonction analytique sur $\mathcal{B}'$.
On en d�duit (cf. appendice 1, lemme \ref{passage}) que $F_{r,+} = F_{r,-}
\exp(\ii \pi t_r)$.


\subsection{\'Equation du demi-tour}

L'\'equation (\ref{syst3}) s'\'ecrit $\dd F = \Omega' F$,
o\`u $\Omega' = \sum_{r=0}^{m-1} t_r \cotg(u -\theta_r) \dd u$
est une 1-forme sur $C = (\C \setminus \Theta)/ \pi \Z$. Notons
$\widehat{C} = C \cup \{ \ii \infty, -\ii \infty \}$ le
compactifi\'e de $C$ en $\ii \infty$ et $- \ii \infty$,
$\widehat{\C} = \C \cup \{ \infty \}$ la sph\`ere de Riemann,
$\zeta = \exp(2 \ii \theta)$ et $\mu_m = \{ \zeta^r \ \mid \ r \in \Z \}$.
On a un isomorphisme $ \widehat{C} \setminus \Theta \to
\widehat{C} \setminus \mu_m$ donn\'e par l'application
$\varphi : u \mapsto \exp(2 \ii u)$, avec $\varphi(\ii \infty) = 0$,
$\varphi(- \ii \infty) = \infty$. On a $\cotg(u) = (\varphi(u)
+ 1)/(\varphi(u) - 1)$, donc
$$
\varphi_* \Omega' = \sum_{r=0}^{n-1} t_r
\frac{z \zeta^{-r} + 1}{z \zeta^{-r} - 1} \frac{\dd z}{z}
= \sum_{r=0}^{m-1} t_r \frac{z+\zeta^r}{z - \zeta^r} \frac{\dd z}{z}
= \sum_{r=0}^{m-1} t_r \frac{2\zeta^r}{z-\zeta^r} \frac{\dd z}{z}
$$
est une 1-forme sur $\C \setminus \left( \mu_m \cup \{ 0 \} \right)$.
Comme $\sum_{r=0}^{m-1} t_r = 0$, on montre ais\'ement que
$\varphi_* \Omega'$ s'\'etend en une 1-forme ferm\'ee sur $\widehat{\C}\setminus
\mu_m$, donc que $\Omega'$ s'\'etend en une 1-forme ferm\'ee sur
$\widehat{C}
\setminus \Theta$. En particulier, le chemin emprunt\'e pour
prolonger analytiquement $F_{0,+}$ au voisinage de $\pi^+$ devient un
lacet homotopiquement trivial de $\widehat{C} \setminus \Theta$,
d'o\`u $F_{0,+}(u) = F_{0,+}(u+ \pi)$,
donc $F_{0,+}(u) \sim (u- \pi)^{t_0}$ quand $u \to 0$
et $F_{0,+} = F_{m,+}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{dtour12c}
\end{center}
\caption{Trivialit\'e homotopique du demi-tour}
\end{figure}


\subsection{Action du groupe di\'edral}

On con\-si\-d�re \`a nou\-veau l'\'e\-qua\-tion (\ref{syst3}), cette fois sur
$Y = (\R \setminus \Theta)/\pi \Z$. On a une action naturelle
du groupe di�\-dral
$W$ sur $\R^2$, o\`u $s$ agit par la matrice
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$
et $\om$ par la rotation d'angle $2 \theta$. Si $v = (\rho \cos u,
\rho \sin u) \in \R^2 \setminus \{ 0 \}$, on a
$$
\begin{array}{lcl}
s . v & = & (\rho \cos(-u), \rho \sin(-u) )\\
\om . v & = & (\rho \cos(u+2\theta), \rho \sin(u+ 2 \theta) )
\end{array}
$$
donc on en d\'eduit une action de $W$ sur $Y$, par $s . u
= -u$, $\om . u = u + 2 \theta$. De l'action de $W$ sur $\mathcal{A}'(\R)$
on d�duit une action de $W$ sur le faisceau $\mathcal{F}$
des solutions de (\ref{syst3}) sur $Y$. En effet, soit $\mathcal{G}$ le
faisceau des fonctions analytiques sur $Y$. Si $U$ est un
ouvert de $Y$, $f \in \mathcal{G}(U)$ et $g \in W$ on note
$g . f \in \mathcal{G}(g . U) : u \mapsto g .  f(g^{-1} . u)$. \'Etendant
cette action aux formes diff\'erentielles, on remarque que
$g . \Omega' = \Omega'$ pour tout $g \in W$, donc
si $f \in \mathcal{F}(U)$ on a $g . f \in \mathcal{F}(g .U)$.
Par comparaison des comportements asymptotiques on en d\'eduit
$\om \bullet F_{r,\pm} = F_{r+2,\pm}$
et
$s \bullet F_{r,\pm} = F_{2m-r,\mp} = F_{-r,\mp}$.


Par le th\'eor\`eme de Cauchy sur $V_0$ et $V_1$, il existe
$\Phi_0, \Phi_1 \in \mathcal{A}'(\R)$ grouplike tels que
$F_{1,-} = F_{0,+} \Phi_0$, $F_{2,-} = F_{1,+} \Phi_1$.
On en d\'eduit
\begin{eqnarray}
F_{1,+} = F_{1,-} \exp(\ii \pi t_1) = F_{0,+} \Phi_0 \exp(\ii \pi t_1) 
\label{eqa} \\
F_{2,+} = F_{2,-} \exp(\ii \pi t_2) = F_{1,+} \Phi_1 \exp(\ii \pi t_2)
\label{eqb}
\end{eqnarray}

Appliquant $\om^r$ \`a ces deux \'egalit\'es, on a
\begin{eqnarray} \label{eqc}
\left\lbrace \begin{array}{l}
F_{2r+1,+} =  F_{2r,+} (\om^r \bullet \Phi_0) \exp(\ii \pi t_{2r+1}) \\
F_{2r+2,+} =  F_{2r+1,+} (\om^r \bullet \Phi_1) \exp(\ii \pi t_{2r+2})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
Appliquant $\om s$ \`a l'\'equation $F_{1,-} = F_{0,+} \Phi_0$ il vient
$F_{1,+} = F_{2,-} (\om s \bullet \Phi_0)$. Comme $F_{2,-} = F_{1,+}
\Phi_1$ on obtient
\begin{eqnarray}
\Phi_1^{-1} = \om s \bullet \Phi_0 \label{phi0phi1}
\end{eqnarray}
On note $\PP_0 = \Phi_0 \exp(\ii \pi t_1)$, et
$$
\xi = \Phi_0 \exp(\ii \pi t_1) \Phi_1 \exp(\ii \pi t_2 )
= \Phi_0 \exp(\ii \pi t_1) (\om s \bullet \Phi_0^{-1}) \exp(\ii \pi t_2).
$$
Comme $F_{2,+} = F_{0,+} \xi$, on d�duit de l'action de $\om^r$
que $F_{2r+2,+} = F_{2r,+} (\om^r  \bullet \xi)$ d'o\`u, pour tout $r \geq 0$,
\begin{eqnarray} \label{eqcycle}
F_{2r+2,+} = F_{0,+} \prod_{j=0}^r (\om^j \bullet \xi)
\end{eqnarray}


\subsection{Cas $m$ impair} On suppose que $m \geq 3$ est impair.
\begin{lemme} \label{debeqtr} $\Phi_0$ et $\Phi_1$ v\'erifient les \'equations
$\Phi_0 = \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi_1$, $\Phi_1 = \om^{\frac{m+1}{2}}
\bullet \Phi_0$, $\Phi_0^{-1} = s \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi_0$,
$\Phi^{-1} = s \om^{\frac{m-3}{2}} \bullet \Phi_1$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Ces quatre \'equations se d\'eduisent toutes de l'une d'entre
elles par action de $W$ et la relation (\ref{phi0phi1}). Il suffit
donc de d\'emontrer $\Phi_0 = \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi_1$.
Appliquant $\om^{\frac{m-1}{2}}$ \`a (\ref{eqb}) et en utilisant $F_{m+1,+}
= F_{1,+}$, $F_{m,+} = F_{0,+}$, il vient 
$F_{1,+} = F_{0,+} (\om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi_1) \exp(\ii \pi t_1)$.
De (\ref{eqa}) on d\'eduit alors $\Phi_0 = \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet
\Phi_1$.
\end{proof}
On a alors
$$
\xi = \Phi_0 \exp(\ii \pi t_1) ( \om s \bullet \Phi_0^{-1} ) \exp(\ii \pi t_2)
= \PP_0 ( \om^{\frac{m+1}{2}} \bullet \PP_0 )
$$
\begin{lemme}
$\Phi_0$ v\'erifie l'\'equation
$$
\left( \prod_{r=0}^{\frac{m-3}{2}} \om^r \bullet \xi \right) (\om^{\frac{m-1}{2}}
\bullet \PP_0) = 1
$$
c'est-\`a-dire
$$
\left( \prod_{r=0}^{\frac{m-3}{2}}  (\om^r \bullet \PP_0)
(\om^{\frac{m+1}{2}+r} \bullet \PP_0) \right) (\om^{\frac{m-1}{2}}
\bullet \PP_0) = 1
$$
\end{lemme}
\begin{proof} (\ref{eqc}) se r\'e\'ecrit $F_{2r+1,+} = F_{2r,+} (\om^r \bullet
\PP_0)$ et en particulier $F_{m,+} = F_{m-1,+}(\om^{\frac{m-1}{2}} \bullet
\PP_0)$. L'\'enonc\'e se d\'eduit alors de $F_{m,+} = F_{0,+}$ et de la
relation (\ref{eqcycle}) pour $r = (m-3)/2$.
\end{proof}


\subsection{Cas $m$ pair} On suppose que $m \geq 4$ est pair.

On d\'eduit comme dans le cas $m$ impair de la relation (\ref{eqcycle}),
avec cette fois $r = \frac{m}{2} - 1$, et de l'invariance
par demi-tour $F_{m,+} = F_{0,+}$ la relation suivante
\begin{lemme} \label{fineqtr} On a
$$
\prod_{r=0}^{\frac{m}{2} -1} (\om^r \bullet \xi) = 1
$$
\end{lemme}
Nous verrons en section \ref{section6}, lemme \ref{lemmtranspair}, une autre relation v\'erifi\'ee par
$\Phi_0$, qui fait intervenir un automorphisme \emph{ext\'erieur}
de $\mathfrak{B}(\k)$. Cet �l�ment $\Phi_0$ v�rifie
d'autres relations alg�briques (par exemple la relation du
pentagone de Drinfeld si $m=3$), �troitement li�es aux propri�t�s
de d�pendance alg�brique sur $\Q$ de ses coefficients. En particulier,
$\Phi_0$ et ses coefficients semblent reli�s aux s�ries formelles
et aux nombres z�tas multiples
qui apparaissent dans \cite{ENRIQUEZ}. Cependant, seules
les relations �tablies ici sont utiles pour d�finir les
morphismes rationnels qui nous int�ressent dans ce travail.








\section{Associateurs di\'edraux}
\setcounter{equation}{0}

\subsection{D\'efinitions}

Soit $\k$ un corps de caract�ristique 0. L'alg�bre $\mathcal{A}'(\k)$
est une alg�bre de Hopf compl�te au sens de Quillen (cf. \cite{QUILLEN}
appendice A2). On note $\widehat{\otimes}$ le produit tensoriel
compl�t� et $\Delta : \mathcal{A}'(\k) \to \mathcal{A}'(\k)\widehat{\otimes}
\mathcal{A}'(\k)$
son coproduit. Si $x,y \in \mathcal{A}'(\k)$ on identifie
$x \otimes y$ � son image dans  $\mathcal{A}'(\k)\widehat{\otimes}
\mathcal{A}'(\k)$.

\begin{definition} Soit $m \geq 3$ impair. Pour tout $\la \in \k$,
on note $\Ass^{(m)}_{\la}(\k)$ l'ensemble des $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$ tels que
\begin{eqnarray}
\Delta(\Phi) = \Phi \otimes \Phi \label{impeq1} \\
\Phi^{-1} = s \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi \label{impeq2} \\
\left[ 
\prod_{r=0}^{\frac{m-3}{2}} (\om^r \bullet \PP) (\om^{\frac{m+1}{2} + r}
\bullet \PP) \right] (\om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \PP) = 1
\label{impeq3}
\end{eqnarray}
avec $\PP = \Phi e^{\la t_1}$.
\end{definition}

\begin{definition} Soit $m \geq 4$ pair. Pour tout $\la \in \k$,
on note $\Ass^{(m)}_{\la}(\k)$ l'ensemble des $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$ tels
que
\begin{eqnarray}
\Delta(\Phi) = \Phi \otimes \Phi \label{paireq1} \\
\prod_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} (\om^r \bullet \xi)  = 1
\label{paireq3}
\end{eqnarray}
avec $\xi = \Phi e^{\la t_1} (\om s \bullet \Phi^{-1}) e^{\la t_2}$.
\end{definition}

Que $m$ soit pair ou impair, l'action naturelle $W$-invariante
de $\kt$ sur $\mathcal{A}(\k)$ telle que
$\mu \bullet \t_r = \mu \t_r$ laisse stable $\mathcal{A}'(\k)$
et envoie surjectivement $\Ass^{(m)}_{\la}(\k)$ sur
$\Ass^{(m)}_{\la \mu}(\k)$. D'autre part, les \'el\'ements grouplike $\Phi_0$
construits de fa\c con transcendante appartiennent \`a $\Ass^{(m)}_{\ii \pi}(\C)$,
d'apr\`es les lemmes \ref{debeqtr} \`a \ref{fineqtr}, donc $\Ass^{(m)}_1(\C) \neq 0$ pour tout $m \geq 3$. Remarquons que pour
$m = 3$ on retrouve les \'equations des associateurs
de Drinfeld, l'\'equation du demi-tour (\ref{impeq3}) \'etant
celle dite de l'hexagone (l'\'equation du pentagone n'a pas de
sens en rang 2). 

Au premier ordre, on peut d\'ecrire $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$
par $\Phi \equiv 1 + \sum_{r=0}^{m-1} a_r t_r$ avec $a_r \in \k$ et on
peut supposer $\sum_{r=0}^{m-1} a_r = 0$. Si $m$ est impair,
l'\'equation (\ref{impeq2}) impose $a_{m-r+1} = -a_r$ pour tout
$r$, o� on a convenu $a_{m+r} = a_r$. En particulier, $a_1 = -a_0$.
Dans tous les cas, le lemme suivant permet d'\'eliminer les coefficients
$a_0$ et $a_1$, en prenant $f(X) = e^{a_0 X}$. Il refl\`ete,
dans le cas de l'associateur transcendant $\Phi_0$, le fait que
l'on aurait pu modifier les conditions asymptotiques sur $F_{0,+}$
(resp. $F_{1,-}$) par une fonction grouplike de $t_0$ (resp. de $t_1$).
C'est un analogue du changement de jauge ({\it twist}) de Drinfeld.

\begin{lemme} Soit $f(X) = \exp(\alpha X)$ avec $\alpha \in \k$
et $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$. Alors $\Phi' =
f(t_0)^{-1} \Phi f(t_1) \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$. De plus, si $m$ est pair,
$\Phi f(t_1) \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
On a bien $\Delta(\Phi') = \Phi' \otimes \Phi'$. Si $m$ est impair,
$$
s \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi' = f(t_1)^{-1}
(s \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi) f(t_0) =
f(t_1)^{-1} \Phi^{-1} f(t_0) = (\Phi')^{-1}
$$
d'o\`u (\ref{impeq2}) et, si l'on pose $\PP' = \Phi' e^{\la t_1}$,
$$
\PP' = f(t_0)^{-1} \Phi f(t_1) e^{\la t_1} = f(t_0)^{-1} \PP f(t_1).
$$ 
Que $m$ soit pair ou impair, si $\xi = \Phi e^{\la t_1} (\om s \bullet
\Phi^{-1}) e^{\la t_2}$ et $\xi' = \Phi' e^{\la t_1} (\om s
\bullet (\Phi')^{-1}) e^{\la t_2}$, on a
$$
\xi' = f(t_0)^{-1} \Phi f(t_1) e^{\la t_1} f(t_1)^{-1} (\om s \bullet
\Phi^{-1}) f(t_2) e^{\la t_2}
$$
soit $\xi' = f(t_0)^{-1} \xi f(t_2)$ et $\om^r \bullet \xi' =
f(t_{2r})^{-1} (\om^r \bullet \xi) f(t_{2r+2})$. On d\'eduit alors
de (\ref{impeq3}) et (\ref{paireq3}) que $\Phi' \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$,
soit la premi\`ere partie de l'\'enonc\'e.
Si $m$ est pair et $\Phi' = \Phi f(t_1)$, $\Phi'$ est
grouplike, $\om s \bullet \Phi' = (\om s \bullet \Phi) f(t_1)$
et $\xi' = \xi$ d'o\`u $\Phi' \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$. 
\end{proof}
 
La proposition suivante peut se d\'emontrer par un calcul direct,
assez long. Elle peut \'egalement se d\'eduire de
l'automorphisme \og image miroir \fg\ de $B$. C'est ce que nous ferons
� la fin de cette partie.
\begin{prop} \label{assplusmoins}
Pour tout $\la \in \k$, $\Ass^{(m)}_{\la}(\k) = \Ass^{(m)}_{-\la}(\k)$.
\end{prop}



\subsection{Relations entre $\tilde{\sigma}$ et $\tilde{\tau}$}
On fixe $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$, et on pose
$$
\ss = s e^{\la t_0}, \ \ \ \ \tt = \Phi \om s e^{\la t_1} \Phi^{-1}.
$$
On a
$$
\begin{array}{lcl}
\tt \ss & = & \Phi \om s e^{\la t_1} \Phi^{-1} s e^{\la t_0} \\
& = & \om s (\om s \bullet \Phi) e^{\la t_1} \Phi^{-1} s e^{\la t_0} \\
& = & \om (\om^{-1} \bullet \Phi) e^{\la t_{-1}} (s \bullet \Phi)^{-1}
e^{\la t_0} \\
& = & \om ( \om^{-1} \bullet \xi) 
\end{array}
$$
d'o\`u, pour tout $r \geq 1$,
\begin{eqnarray} \label{ttss}
(\tt \ss)^r = \om^r \prod_{j=r}^1 \om^{m-j} \bullet \xi = 
\om^r \prod_{q=m-r}^{m-1} (\om^q \bullet \xi)
\end{eqnarray}

\begin{lemme} \label{relationssttimp} Si $m$ est impair, $(\tt \ss)^{\frac{m-1}{2}} = 
\om^{\frac{m-1}{2}} \PP^{-1}$ et
$$
\ss (\tt \ss)^{\frac{m-1}{2}} = s \om^{\frac{m-1}{2}} \Phi^{-1}
= (\tt \ss)^{\frac{m-1}{2}} \tt
$$
\end{lemme}
\begin{proof} Calcul direct \`a partir de (\ref{ttss}).
\end{proof} 

\begin{lemme} \label{relationssttpair} Si $m$ est pair, $(\tt \ss)^{\frac{m}{2}}
= (\ss \tt)^{\frac{m}{2}} = \om^{\frac{m}{2}}$.
\end{lemme}
\begin{proof}
On d\'eduit par calcul direct de (\ref{ttss}) que $(\tt \ss)^{\frac{m}{2}} =
\om^{\frac{m}{2}}$.
D'autre part, $\ss^{-1} = s e^{-\la t_0}$, $\tt^{-1} = 
\Phi \om s e^{-\la t_1} \Phi^{-1}$. Comme $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)
= \Ass^{(m)}_{-\la}(\k)$, on en d\'eduit que
$ (\tt^{-1} \ss^{-1})^{\frac{m}{2}} = \om^{\frac{m}{2}}$,
d'o\`u $(\ss \tt)^{\frac{m}{2}} = \om^{-\frac{m}{2}} =
\om^{\frac{m}{2}}$.
\end{proof}

\subsection{Aspects particuliers du cas $m$ pair}

Au niveau des groupes di\'edraux, les principales diff\'erences
entre les cas $m$ pair et impair proviennent du fait que, si $m$
est pair, $W$ admet deux classes de conjugaisons de r\'eflexions,
et non plus une. Ceci a pour cons\'equence que, sous l'action de $W$,
les g\'en\'erateurs $\t_r$ de $\mathfrak{g}(\k)$ se
r\'epartissent en deux orbites, suivant que $r$ est pair ou impair. En
particulier, on peut \'etendre l'action de $\kt$ sur $\mathcal{A}
(\k)$ en une action de $\kt \times \kt $,
par $(\alpha ,\beta) . \t_r = \alpha \t_r$ si $r$ est pair,
$(\alpha,\beta) . \t_r = \beta \t_r$ si $r$ est impair. On peut alors
d\'efinir, pour $\la, \mu \in \k$, l'ensemble $\Ass^{(m)}_{\la,\mu}(\k)$
des $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$ v\'erifiant les \'equations
(\ref{paireq1}) et (\ref{paireq3}), avec
cette fois $\xi = \Phi e^{\la t_1} (\om s \bullet \Phi^{-1})
e^{\mu t_2}$. On voit facilement que $(\alpha,\beta) .
\Ass^{(m)}_{\la,\mu}(\k) = \Ass^{(m)}_{\alpha \la,\beta\mu}(\k)$, 
$\Ass^{(m)}_{\la,\la}(\k) = \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$.
Enfin,
si $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la,\mu}(\k)$ et $\ss = s e^{\la t_0}$,
$\tt = \Phi \om s e^{\mu t_1} \Phi^{-1}$, on montre de m\^eme
$(\ss \tt)^{\frac{m}{2}} = (\tt \ss)^{\frac{m}{2}} = \om^{\frac{m}{2}}$.

On a donc $\Ass^{(m)}_{\la,\mu}(\k) = (\la,\mu) \bullet \Ass^{(m)}_1(\k)$
d\`es que $\la \neq 0$ et $\mu \neq 0$.
Les cas
particuliers se ram\`enent donc \`a $\Phi \in \Ass^{(m)}_{0,1}(\k)$
et $\Phi \in \Ass^{(m)}_{1,0}(\k)$. Dans le premier cas
$\ss = s$ donc $\ss^2 = 1$ et $\tt = \Phi \om s e^{t_1} \Phi^{-1}$,
dans le deuxi�me $\ss = s e^{t_0}$ et $\tt = \Phi \om s \Phi^{-1}$
donc $\tt^2 = 1$.


Soit $\varphi$ l'automorphisme involutif de $W$ d\'efini par
$\varphi(s) = \om s$,
$\varphi(\om) = \om^{-1}$ et $f$ l'automorphisme de $\mathfrak{g}[\k]$,
donc de $\mathcal{A}(\k)$, d\'efini sur les
g\'en\'erateurs par $f(\t_r) = \t_{-r+1}$. L'automorphisme $f$
est $\varphi$-\'equivariant, au sens o\`u $f(g \bullet x) = \varphi(g)
\bullet f(x)$ pour tous $g \in W$, $x \in \mathsf{U} \mathfrak{g}(\k)$.
On en d\'eduit un automorphisme involutif $\J$ de $\mathfrak{B}(\k)$. Si $m$
est impair, il s'agit simplement de la conjugaison par $s
\om^{\frac{m-1}{2}}$. Si $m$ est pair en revanche, $\varphi$ est
un automorphisme ext\'erieur de $W$, donc il s'agit d'un
automorphisme ext\'erieur de $\mathfrak{B}(\k)$ qui \'etend
$\varphi$, et \'echange $\t_0$ et $\t_1$.


\subsection{Morphismes de monodromie}
On rappelle que l'on plonge $\mathfrak{B}'(\k)$ dans $\mathfrak{B}(\k)$
par $t_r \mapsto \t_r - T/m$.

Fixons $\la \in \k$, $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k) \subset
\mathcal{A}'(\k)$ et notons $\ss = s e^{\la t_0}$,
$\tt = \Phi \om s e^{\la t_1} \Phi^{-1} \in \mathfrak{B}'(\k)$,
$\sb = s e^{\la \t_0} \in \mathfrak{B}(\k)$,
$\tb = \Phi \om s e^{\la \t_1} \Phi^{-1}
\in \mathfrak{B}(\k)$. On a $\ss = \sb e^{-\la T/m}$,
$\tt = \tb e^{-T \la/m}$.

Si $m$ est impair, on d\'eduit du lemme \ref{relationssttimp} que
$$
\sb (\tb \sb)^{\frac{m-1}{2}} = (\tb \sb)^{\frac{m-1}{2}} \tb
= s \om^{\frac{m-1}{2}} \Phi^{-1} e^{\la T}
$$ 
et $(\sb \tb)^m = (\tb \sb)^m = e^{2 \la T}$. Si $m$
est pair, on d\'eduit du lemme \ref{relationssttpair} que
$(\sb \tb)^{\frac{m}{2}} = (\tb \sb)^{\frac{m}{2}}
= \om^{\frac{m}{2}} e^{ \la T}$ et $(\sb \tb)^m = e^{2 \la T}$.
Dans les deux cas, on a associ\'e \`a $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$
un morphisme $\widetilde{\Phi} : B \to \mathfrak{B}(\k)^{\times}$,
groupe form\'e des \'el\'ements grouplike de $\mathfrak{B}(\k)$,
d\'efini par $\sigma \mapsto \sb$, $\tau \mapsto \tb$. Il est clair
qu'il v�rifie la condition fondamentale de l'introduction.

Remarquons que de la donn\'ee de $\PPhi$ on d\'eduit $\la$ par
la relation $\PPhi( (\sb \tb)^m) = e^{2 \la T}$. Si $m$
est impair on peut \'egalement en d\'eduire $\Phi$, par
$\PPhi( \sb (\tb \sb)^{\frac{m-1}{2}} ) = s \om^{\frac{m-1}{2}}
\Phi^{-1} e^{\la T}$. En revanche si $m$ est pair
cela n'est pas possible puisque $\Phi$ et $\Phi e^{t_1}$ donnent
lieu au m\^eme morphisme $\PPhi$.


On note $p : \mathfrak{B}(\k) \to \k W$ la projection
sur sa composante homog�ene de degr� 0. Comme $p \circ \PPhi(\sigma) = s$ et
$p \circ \PPhi(\tau) = \om s$ on en d\'eduit que $p \circ \PPhi = \pi$
et que
$\PPhi$
se restreint en un morphisme $\PPhi : P \to \exp \mathfrak{g}(\k)
= \mathcal{A}(\k)^{\times}$
qui s'�tend en $\PPhi : P(\k) \to \exp \mathfrak{g}(\k)$
et finalement $\PPhi : B(\k) \to \mathfrak{B}(\k)$.
Il est clair que, si $f \in P'(\k)$, alors $\PPhi(f) \in \exp 
\mathfrak{g}'(\k)$. 

Nous �tablissons ici les propri�t�s �l�mentaires de ces morphismes.

\begin{prop} Soient $\la \neq 0$ et $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$. Le
morphisme $\PPhi : B(\k) \to \mathfrak{B}(\k)^{\times}$ est un isomorphisme
qui envoie $P(\k)$ (resp. $P'(\k)$) sur $\mathcal{A}(\k)^{\times}$
(resp. $\mathcal{A}'(\k)^{\times}$).
\end{prop}
\begin{proof}
On montre d'abord que $\PPhi : P(\k)
\to \exp \mathfrak{g}(\k)$ est un
isomorphisme. Comme c'est un morphisme de $\k$-sch\'emas en groupes
affines connexes (car pro-unipotents) il suffit de montrer que
l'application tangente $\dd \PPhi : L(\k) \to \mathfrak{g}(\k)$
est un isomorphisme de $\k$-alg\`ebres de Lie filtr\'ees compl\`etes.
Notons $u_r = \exp v_r$, $v_r \in L(\k)$. On a $\dd \PPhi (v_r) = 2 \la
t_r + w_r$, avec $w_r$ de valuation au moins 2. De plus,
$\PPhi(Z) = \exp (2 \la T)$, donc $\dd \PPhi (z) = 2 \la T$. D'autre
part, $u_{m-1} \dots u_1 u_0 = Z$ donc $v_0 + v_1 + \dots + v_{m-1} = z$.
On en d\'eduit un morphisme $\varphi : \mathfrak{g}(\k)
\to L(\k)$ tel que $\varphi(t_r) = v_r /2\la$. Alors $c = \dd \PPhi
\circ \varphi$ est un endomorphisme de $\mathfrak{g}(\k)$
tel que $c(t_r) = t_r + w_r$. On en d\'eduit que,
pour tout $x \in \mathfrak{g}(\k)$ la valuation de $c(x) -x $
est strictement sup\'erieure \`a la valuation de $x$ donc $c$ est
inversible et $\dd \PPhi : L(\k) \to \mathfrak{g}(\k)$
est un isomorphisme.

On a $p(\mathfrak{B}(\k)^{\times}) = W$ et $p \circ \PPhi = \pi$, donc
d\`es que $\la \neq 0$ on en
d\'eduit que $\PPhi : B(\k) \to  \mathfrak{B}(\k))^{\times}
$ est injectif. De plus, si $x \in \mathfrak{B}(\k)^{\times}$ et
$x_0 = p(x)$ il existe $\sigma \in B$ tel que $\pi(\sigma) = x_0$. On a
alors $p(\PPhi(\sigma)) = x_0$ d'o� $\PPhi(\sigma^{-1}) x \in
\mathcal{A}(\k)^{\times}$ vaut $\PPhi(g)$ pour un certain $g \in P(\k)$
et $x = \PPhi(\sigma g)$, donc $\PPhi$ est surjectif et donc un
isomorphisme.

\end{proof}




\begin{lemme} \label{caractassimp} Soit $m \geq 3$ impair, $\la \in \k$,
$\Phi \in \exp \mathfrak{g}'(\k)$. On a $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$
si et seulement si il existe un morphisme $\PPhi : B(\k) \to
(\mathfrak{B}(\k))^{\times}$ (n\'ecessairement unique) tel que
$\PPhi(\sigma) = s e^{\la t_0}$ et
$$
\PPhi(\tau) = \Phi
\om s
e^{\la \t_1} \Phi^{-1}, \ \PPhi(O) = s \om^{\frac{m-1}{2}}
\Phi^{-1} e^{\la T},\ \Phi(O^2) = e^{2\la T}
$$
\end{lemme}
\begin{proof}
Si $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$, alors $\PPhi$ est bien d\'efini et
satisfait ces propri\'et\'es comme on vient de le montrer. Inversement,
posons $\PP = \Phi e^{\la t_1} \in \mathcal{A}'(\k)$. De
$\PPhi(O^2) = \PPhi(O)^2$ on d\'eduit (\ref{impeq2}). On montre alors
par calcul direct (cf. lemme \ref{relationssttimp}) que
$$
\PPhi\left(  (\tau \sigma)^{\frac{m-1}{2}} \right)
= \om^{\frac{m-1}{2}} \left( \om^{\frac{m+1}{2}} \bullet
\left( \prod_{q=0}^{\frac{m-3}{2}} \om^q \bullet \xi \right)
\right) e^{\la \frac{T}{m} (m-1)}
$$
avec $\xi = \PP (\om^{\frac{m+1}{2}} \bullet \PP)$ soit,
comme $O = \sigma (\tau \sigma)^{\frac{m-1}{2}}$,
$$
\PPhi(O) = s e^{\la t_0} \PPhi\left( (\tau \sigma)^{\frac{m-1}{2}}
\right) = s \om^{\frac{m-1}{2}} \Phi^{-1} e^{\la T}.
$$
On en d\'eduit  
$$
\om^{\frac{m+1}{2}} \bullet
\left( \prod_{q=0}^{\frac{m-3}{2}} \om^q \bullet \xi \right)
= e^{-\la \t_1} \Phi^{-1} = \PP^{-1}
$$
d'o\`u (\ref{impeq3}).
\end{proof}
\begin{lemme} \label{caractasspair}
Soit $m \geq 4$ pair, $\la \in \k$,
$\Phi \in \exp \mathfrak{g}'(\k)$. On a $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$
si et seulement si il existe un morphisme $\PPhi : B(\k) \to
\mathfrak{B}(\k)^{\times}$ (n\'ecessairement unique) tel que
$\PPhi(\sigma) = s e^{\la \t_0}$ et
$$
\PPhi(\tau) = \Phi
\om s
e^{\la \t_1} \Phi^{-1}, \ \PPhi(O) = \om^{\frac{m}{2}} e^{\la T},
\ \Phi(O^2) = e^{2\la T}
$$
\end{lemme}
\begin{proof} Si $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$, $\PPhi$ v\'erifie bien
ces propri\'et\'es. Inversement, posons $\xi = \Phi e^{\la t_1} 
(\om s \bullet \Phi^{-1}) e^{\la t_2}$. On montre par calcul direct (cf.
lemme \ref{relationssttpair}) que
$$
\PPhi \left( ( \tau \sigma)^{\frac{m}{2}} \right)
= \left( \prod_{q=0}^{\frac{m}{2} -1} \om^q \bullet  \xi \right)
\om^{\frac{m}{2}} e^{\la T}
$$
d'o\`u (\ref{paireq3})
puisque $\PPhi( (\tau \sigma)^{\frac{m}{2}}) = \PPhi(O) = \om^{\frac{m}{2}}
e^{\la T}$.
\end{proof}

Ces deux lemmes nous donnent une d\'emonstration de la
proposition \ref{assplusmoins} alternative au calcul direct. En effet,
soit $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$
et $\Gamma$ l'automorphisme de $B$ d\'efini par $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$,
$\tau \mapsto \tau^{-1}$ (\og image miroir de la tresse \fg). Le
morphisme $\Gamma$ s'\'etend \`a $B(\k)$ et permet de d\'efinir
$\widetilde{\Psi} = \PPhi \circ \Gamma$. On a $\widetilde{\Psi}(\sigma)
= s e^{-\la t_0}$, $\widetilde{\Psi}(\tau) = \Phi \om s
e^{-\la \t_1} \Phi^{-1}$,
$\widetilde{\Psi}(O^2) = \PPhi(O^{-2}) = e^{-2\la T}$,
$\Gamma(O) = O^{-1}$ donc $\widetilde{\Psi}(O) = \om^{\frac{m}{2}}
e^{-\la T}$ si $m$ est pair,
$$
\widetilde{\Psi}(O) = e^{-\la T} \Phi^{-1} s \om^{\frac{m-1}{2}}
= s \om^{\frac{m-1}{2}}  (s \om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \Phi)
e^{-\la T} = s \om^{\frac{m-1}{2}} \iota(\Phi)^{-1} e^{-\la T}
$$
si $m$ est impair. On en d\'eduit que $\widetilde{\Psi}$
est le morphisme associ\'e \`a $\Phi$ et au scalaire $-\la$, et
que $\Phi \in \Ass^{(m)}_{-\la}(\k)$.


\section{Groupe d'automorphismes de $B(\k)$}
\setcounter{equation}{0}



\subsection{Groupe sp\'ecial d'automorphismes}

On suppose $m \geq 3$. On note
$$O = \underbrace{\sigma \tau \sigma \dots}_{\mbox{$m$ facteurs}}.
$$
Si $m$ est impair, $\pi(O)$ est une r\'eflexion. Que $m$ soit pair
ou impair, $\pi(O)$ est d'ordre 2, donc $O$ est justifiable
de la notation $O^{<\la>}$. 

\begin{definition} On note $G^{(m)}(\k)$ l'ensemble des couples
$(\la, f) \in \kt \times P'(\k)$ tels qu'il existe un morphisme
$\tilde{f} : B \to B(\k)$ satisfaisant \`a
\begin{eqnarray} 
\sigma \mapsto \sigma^{<\la>} \label{gma} \\
\tau \mapsto f^{-1} \tau^{<\la>} f \label{gmb} \\
O \mapsto O^{<\la>} f \mbox{\ \ si $m$ est impair,\ \ } O \mapsto O^{<\la>}
 \mbox{\ \ si $m$ est pair.} \label{gmc} \\
O^2 \mapsto (O^2)^{\la} \label{gmd} 
\end{eqnarray}
Si $m$ est pair, (\ref{gmc}) implique naturellement (\ref{gmd}). On \'etend naturellement $\tilde{f}$ en un automorphisme continu pur
de $B(\k)$.
\end{definition}
L'automorphisme $\tilde{f}$ est bien d\'etermin\'e par $f$. Inversement,
si $m$ est impair, la condition (\ref{gmc}) montre que $f$ est d\'etermin\'e
par $\tilde{f}$. On en d\'eduit dans ce cas que l'application $f \mapsto
\tilde{f}$ de $G^{(m)}(\k)$ vers $Aut(B(\k))$ est injective.
Il n'en est pas de m\^eme si $m$ est pair, puisqu'alors $(\la, \tau^2 f)$
correspond au m\^eme morphisme $\tilde{f}$.

Soient maintenant $\tilde{f}_1$, $\tilde{f}_2$ les automorphismes
correspondant \`a deux \'el\'ements $(\la_1,f_1)$ et $(\la_2,f_2)$
de $G^{(m)}(\k)$ et $\tilde{f} = \tilde{f}_1 \circ \tilde{f}_2$.
On a
$
\tilde{f}(\sigma) =  \sigma^{<\la>}
$
avec $\la = \la_1 \la_2$, $\tilde{f}(\tau) = f^{-1} \tau^{<\la>} f$
avec $f = f_1 \tilde{f}_1(f_2)$ et $\tilde{f}(O)$ vaut
$O^{<\la>} f$ si $m$ est impair,  $O^{<\la>}$ si $m$ est pair.
On en d\'eduit une loi de composition interne
associative sur $G^{(m)}(\k)$ donn\'ee par la formule
$$
(\la_1, f_1) * (\la_2 ,f_2) = (\la_1 \la_2, f_1 \tilde{f}_1(f_2)).
$$
Comme de plus $(1,1)$ est un \'el\'ement neutre \'evident et que 
$(\la, f) * (\la^{-1}, (\tilde{f}^{-1})(f^{-1})) = (1,1)$
on vient de munir $G^{(m)}$ d'une loi de groupe, l'identifiant
\`a un sous-groupe des automorphismes de $B(\k)$. 



Pour simplifier les notations, on notera \`a $\la$ fix\'e
$\sss = (\sigma^2)^{\frac{\la-1}{2}} = \sigma^{-1} \sigma^{<\la>} \in P(\k)$
et $\ttt = \tau^{-1} \tau^{<\la>}$, $\ooo = O^{-1}O^{<\la>}$. 


On peut traduire la d�finition de $G^{(m)}(\k)$ par des conditions
al\-g�\-bri\-ques sur les couples $(\la,f)$. Si $m$ est impair les conditions
que l'on obtient ici peuvent se simplifier (voir \ref{ssalglie}).
\begin{lemme}
$G^{(m)}(\k)$ est l'ensemble des couples $(\la,f) \in \kt \times P'(\k)$
tels que
\begin{eqnarray}
O \bullet f = f^{-1} \mbox{\ \   si $m$ est impair.} \label{gexp1} \\
\left[ \prod_{k=\frac{m-1}{2}}^{1} (\tau \sigma)^{-k} \bullet L
\right] \sss = \ooo f \mbox{\ \  si $m$ est impair,} \label{gexp2} \\
\nonumber \prod_{k=\frac{m}{2}-1}^0 ( (\sigma \tau)^{-k} \bullet M) = \ooo
\mbox{\ \   si $m$ est pair.}
\end{eqnarray}
avec $L = \sss f^{-1} \ttt (\tau \bullet f)$, $M = (\tau^{-1} \bullet
(\sss f^{-1})) \ttt f$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $(\la,f) \in G^{(m)}(\k)$. Si $m$ est impair, les conditions (\ref{gmc})
et (\ref{gmd}) impliquent que $
(O^2)^{\la} = \tilde{f}(O)^2$ vaut
$$
(O^{<\la>} f)^2 = (O^2)^{\frac{\la-1}{2}} O
f O^{-1} O^2 (O^2)^{\frac{\la-1}{2}}= (O^2)^{\la} (O \bullet f) f
$$
car $O^2$ est central, d'o\`u (\ref{gexp1}). Soit $V_r = \sigma \tau \dots $
($r$ facteurs) et $E_r \in P(\k)$ tel que $\tilde{f}(V_r) = V_r E_r$.
On a $V_1 = \sigma$, $\tilde{f}(V_1) = \sigma^{<\la>} = \sigma \sss
= V_1 \sss$ d'o\`u $E_1 = \sss$. On a 
$E_{2r+1} = (\sigma^{-1} \bullet E_{2r}) \sss$ et 
$E_{2r+2} = (\tau^{-1} \bullet E_{2r+1}f^{-1}) 
\ttt f$. On en d�duit
$E_{2r+2} = ((\tau^{-1} \sigma^{-1}) \bullet E_{2r}) M$ et
$F_{2r+3} = (\tau \sigma)^{-1} \bullet F_{2r+1} L$ o� l'on a pos�
$E_{2r+1} = F_{2r+1} \sss$,
et enfin que
$$
E_m = \prod_{k = \frac{m}{2} -1}^0 \left( (\sigma \tau)^{-k} \bullet M
\right) \mbox{ ou } E_m = \left[ \prod_{k = \frac{m-1}{2}}^1  (\tau \sigma)^{-k} \bullet L)  
\right] \sss
$$
suivant que $m$ est pair ou impair.
Comme $V_m = O$,
%$\tilde{f}(V_m) = O^{<\la>} f = V_m \ooo f$ 
%donc $E_m = \ooo f$ d'o\`u (\ref{gexp2}). 
on d\'eduit alors (\ref{gexp2}) de (\ref{gmc}). Inversement, on montre
par la m\^eme m\'ethode que, si $(\la,f)$ v\'erifie (\ref{gexp1})
et (\ref{gexp2}), alors $(\la,f) \in G^{(m)}(\k)$.
\end{proof}


\subsection{Action de $G^{(m)}(\k)$ sur $\Ass^{(m)}(\k)$}

Soient $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\mu}(\k)$ et $(\la,f) \in G^{(m)}(\k)$. Leur sont
associ\'es des morphismes $\PPhi$ et $\tilde{f}$ :
$$
B(\k) \stackrel{\tilde{f}}{\to} B(\k) \stackrel{\PPhi}{\to} 
\mathfrak{B}(\k) ^{\times}.
$$
On a
$$
(\PPhi \circ \tilde{f})(\sigma) = \PPhi(\sigma^{<\la>})
= \PPhi(\sigma) \PPhi( (\sigma^2)^{\frac{\la-1}{2}} )
= s e^{\mu t_0} \left( e^{2\mu t_0} \right)^{\frac{\la -1}{2}} = s e^{\la \mu
t_0}
$$
et
$$
(\PPhi \circ \tilde{f} )(\tau) = \PPhi( f^{-1} \tau^{<\la>}
f)
= \PPhi(f)^{-1} \Phi \om s e^{\la \mu t_1}
\Phi^{-1} \PPhi(f).
$$
On pose alors $\Phi .f =  \PPhi(f)^{-1} \Phi$.
On a donc
%$\widetilde{\Phi.f} = \PPhi \circ \tilde{f}$, 
$\Phi . f
\in \exp  \mathfrak{g}'(\k)$.

\begin{lemme} \label{actiongmass} Si $\Phi \in \Ass^{(m)}_{ \mu}(\k)$, $(\la, f) \in G^{(m)}(\k)$
alors $\Phi .f \in \Ass^{(m)}_{\la \mu}(\k)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede et les lemmes \ref{caractassimp} et
\ref{caractasspair} 
%On a $\Phi .f \in \exp  \widehat{\mathfrak{g}'(\k)}$ et
%$\widetilde{\Phi.f} = \PPhi \circ \tilde{f}$ donc d'apr\`es le lemme
%\ref{caractassimp}
il suffit de calculer les images par $\PPhi
\circ
\tilde{f}$ de $O$ et $O^2$.
On a $\PPhi \circ \tilde{f} (O^2) = \PPhi((O^2)^{\la})=\PPhi(O^2)^{\la} = e^{2 \la \mu T}$.
Si $m$ est impair,
$$
\begin{array}{lcl}
\PPhi \circ \tilde{f} (O) & = & \PPhi( O^{<\la>} f) = \PPhi(O)
\PPhi(O^2)^{\frac{\la-1}{2}} \PPhi(f) \\
& = & s \om^{\frac{m-1}{2}} \iota(\Phi)^{-1} e^{\mu T} e^{\mu (\la -1) T}
\PPhi(f) \\
& = & s \om^{\frac{m-1}{2}} \iota( \Phi .f)^{-1}  e^{\la \mu T}.
\end{array}
$$
Si $m$ est pair, $\PPhi \circ \tilde{f}(O) = \PPhi (O^{<\la>}) = 
\PPhi (O) e^{\mu T(\la-1)} = \om^{\frac{m}{2}} e^{\la \mu T}$.
\end{proof}





Si $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\mu}(\k)$ et $f \in P'(\k)$, on peut
toujours
d\'efinir $\Phi . f =  \PPhi(f)^{-1} \Phi \in \exp \mathfrak{g}'(\k)$.

\begin{lemme} \label{lemmetrans}
Soit $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\mu}(\k)$  et $f \in P'(\k)$. Si
$\Phi .f
\in \Ass^{(m)}_{\la \mu}(\k)$ avec $\la \mu \neq 0$ alors $(\la,f) \in G^{(m)}(\k)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
D\'efinissons $\tilde{f}(\sigma) = \sigma^{<\la>}$,
$\tilde{f}(\tau) = f^{-1} \tau^{<\la>} f$. Cette application
s'\'etend en un homomorphisme de groupes du groupe libre sur $\sigma,
\tau$ vers $B(\k)$, telle que $\PPhi \circ \tilde{f} = \widetilde{\Phi .f}$,
donc $\tilde{f}$ se factorise par $B$ parce que $\PPhi$ est injectif
sur $B(\k)$. Par d\'efinition, $\tilde{f}$ satisfait (\ref{gma}),
(\ref{gmb}), et $\PPhi \circ \tilde{f} = \widetilde{\Phi.f}$. On a
$$
\PPhi \circ \tilde{f} (O^2) = e^{2 \la \mu T} = \PPhi(O^2)^{\la}
= \PPhi( (O^2)^{\la})
$$
d'o\`u $\tilde{f}(O^2) = (O^2)^{\la}$, soit (\ref{gmd}), par
injectivit\'e de $\PPhi$. De m\^eme, si $m$ est impair,
$$
\PPhi \circ \tilde{f}(O) = s \om^{\frac{m-1}{2}} \Phi^{-1}
\PPhi(f) e^{\la \mu T} = s \om^{\frac{m-1}{2}} \Phi^{-1}
e^{\la \mu T} \PPhi(f) = \PPhi(O^{<\la>} f)$$
d'o\`u $\tilde{f}(O) = O^{<\la>} f$ par injectivit\'e de $\PPhi$,
soit (\ref{gmc}). Si $m$ est pair, on conclut de m\^eme
\`a partir de $\PPhi \circ \tilde{f}(O) = \PPhi(O^{<\la>}) = O^{<\la \mu>}$.
\end{proof}

On note $\Ass^{(m)}_*(\k)$ la r\'eunion des couples $(\la , \Phi)$
pour $\la \in \kt$, $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$. D'apr\`es le lemme
\ref{actiongmass} on a une action \`a droite de $G^{(m)}(\k)$
sur $\Ass^{(m)}_*(\k)$ par $(\mu,\Phi).(\la,f) = (\mu \la, \Phi.f)$.


\begin{prop} \label{freetransitive}
L'action de $G^{(m)}(\k)$ sur $\Ass^{(m)}_*(\k)$ est libre et transitive.
\end{prop}
\begin{proof}
On d\'emontre d'abord la transitivit\'e. Soient $\Phi \in \Ass^{(m)}_{\la}(\k)$, $\Phi' \in \Ass^{(m)}_{\mu}(\k)$ avec
$\la \mu \neq 0$. On a $\Phi' \Phi^{-1} \in \exp
\mathfrak{g}'(\k)$. Posons $f = \PPhi^{-1}(\Phi' \Phi^{-1}) \in P'(\k)$.
On a alors $\Phi' = \PPhi(f)^{-1} \Phi$
donc $\Phi' = \Phi.f$ et $(\mu/\la, f) \in G^{(m)}(\k)$ d'apr\`es le lemme
\ref{lemmetrans}, donc l'action est transitive. Si $\Phi = \Phi.f$
avec $(\la, f) \in G^{(m)}(\k)$, alors $\PPhi = \PPhi \circ 
\tilde{f}$ donc $\tilde{f}$ est l'identit� par injectivit\'e de $\PPhi$. Cela
implique $\la = 1$ et, au moins si $m$ est impair, $f = 1$. En g\'en\'eral,
comme $f \in P'(\k)$ on a $\Phi .f = \PPhi(f^{-1}) \Phi$
donc $\Phi .f = \Phi \Rightarrow \PPhi(f) = 1 \Rightarrow f=1$
puisque $\PPhi$ est injectif ($\la = 1 \neq 0$).
\end{proof}


\section{Existence d'un associateur rationnel} \label{section6}
\setcounter{equation}{0}


\subsection{G\'en\'eralit\'es}

On fixe $m \geq 3$, ce qui nous permet d'\^oter
l'exposant $(m)$ des notations.
L'action de $\kt$ sur $\mathfrak{B}'(\k)$
qui \`a $\alpha \in \kt$ et $t_i \in \mathfrak{B}'(\k)$ associe
$\alpha t_i$ induit une action de $\kt$ sur $\Ass_*(\k)$ : \`a
$\alpha \in \kt$ et $(\la, \Phi) \in \Ass_*(\k)$ on associe $(\la \alpha,
\Phi_{\alpha})$ o\`u $\Phi_{\alpha}$ est l'image de $\Phi \in
\mathfrak{B}'(\k)$ par l'action de $\alpha$. Le quotient $\Ass_*(\k)/
\kt$ s'identifie \`a $\Ass_1(\k)$. On note
$j : \Ass_1(\k) \hookrightarrow \Ass_*(\k)$ et $q : \Ass_*(\k)
\onto \Ass_1(\k)$ les injections et surjections canoniques.
Si $\Phi \in \Ass_1(\k)$ et $f \in G(\k)$ on pose
$\Phi \star f = q(\Phi.f)$. C'est une action de $G(\k)$ sur
$\Ass_1(\k)$.


Supposons $\Ass_1(\k) \neq \emptyset$ et choisissons
$\Phi \in \Ass_1(\k)$. Consid\'erons la suite
\begin{eqnarray} \label{G1GK}
1 \to G_1(\k) \to G(\k) \stackrel{\nu}{\to} \kt \to 1
\end{eqnarray}
o\`u $\nu(\la,f) = \la$. Elle est exacte si et seulement si $\nu$
est surjective. Pour tout $\la \in \kt$ on a $\Phi_{\la}
\in \Ass_{\la}(\k) \subset \Ass_*(\k)$ donc il existe un unique
$g = (\la, \check{g}) \in G(\k)$ tel que $\Phi_{\la} = 
\Phi. \check{g}$. Posant $\Theta_{\Phi}(\la) = g$ on a donc $\Theta_{\Phi}
(1) = (1,1)$ et $\nu \circ \Theta_{\Phi}(\la) = \la$, donc
(\ref{G1GK}) est exacte et \`a chaque $\Phi \in \Ass_1(\k)$ correspond
une section de $\nu$. On a
$$
\begin{array}{lcl}
\Theta_{\Phi}(\kt) & = & \{ g \in GT(\k) \ \mid \ \exists \la \in \kt \ \ \Phi_{\la} = \Phi.g \} \\
& = & \{ g \in GT(\k) \ \mid \ q(\Phi.g) = \Phi \} \\
& = & \{ g \in GT(\k) \ \mid \ \Phi = \Phi \star g \}
\end{array}
$$
ainsi $\Theta_{\Phi}(\kt)$ est le stabilisateur de $\Phi$ pour
l'action de $GT(\k)$ sur $\Ass_1(\k)$. D'autre part, notant
$\mathcal{G}(\k)$ et $\mathcal{G}_0(\k)$ les alg\`ebres de Lie
respectives de $G(\k)$ et $G_1(\k)$, on en d\'eduit une suite
exacte
\begin{eqnarray} \label{g1gk}
0 \to \mathcal{G}_0(\k) \to \mathcal{G}(\k) \stackrel{\dd \nu}{\to} \k
\to 0
\end{eqnarray}
et une section $\dd \Theta_{\Phi}$ de $\dd \nu$. Notant $(\la, g_{\la})
= \Theta_{\Phi}(\la)$, on a
\begin{eqnarray} \label{eqstabl}
\Phi_{\la} = \Phi.g_{\la} = \PPhi(g_{\la}^{-1}) \Phi = (\PPhi \circ
\Theta_{\Phi}(\la^{-1})) \Phi
\end{eqnarray}


D'autre part $G(\k) \subset \kt \times P'(\k)$, d'alg\`ebre de Lie
$\k \times L'(\k)$. Posons $\dd \Theta_{\Phi} (1) = (1,\psi) \in
\k \times L'(\k)$, d'o\`u $\dd \Theta_{\Phi}(l) = (l,l\psi)$. Pour
tout $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$, consid\'erons le 
morphisme de sch\'emas $\mathbbm{G}_m \to \mathcal{A}'(.)$ qui \`a
$\alpha \in \kt $ associe $\Phi_{\alpha}\in \mathcal{A}'(\k)$. Sa diff\'erentielle
permet de construire une d\'erivation $\partial$ de $\mathcal{A}'(\k)$
d\'efinie par $\Phi_{1 + \eps l} = \Phi + \eps l \partial \Phi$
pour $\eps^2 = 0$ et $l \in \k$. Diff\'erenciant (\ref{eqstabl})
en $\la = 1$ on obtient alors $\partial \Phi = - \left( \dd \PPhi
\circ \dd \Theta_{\Phi} (1) \right) \Phi$ soit
\begin{eqnarray} \label{maineq}
 \left( \partial \Phi \right) \Phi^{-1} = - \dd \PPhi(\psi)
\end{eqnarray}
L'existence d'un associateur transcendant implique $\Ass_1(\C) \neq 
\emptyset$, donc les suites (\ref{G1GK}) et (\ref{g1gk}) sont
exactes, c'est-\`a-dire que $\dd \nu$ est non nulle
sur les points rationnels complexes. Comme $\dd \nu$ est d\'efinie
sur $\Q$, il s'ensuit que $\dd \nu$ est non nulle sur $\Q$, donc
que (\ref{g1gk}) est exacte pour $\k = \Q$. Il existe donc
$(1,\psi) \in \mathcal{G}(\Q)$ tel que $\psi \neq 0$.

Dans le cas pair, nous aurons besoin d'introduire un
sous-groupe propre de $G(\k)$.
On note $J$ l'automorphisme de $B$ d\'efini par $J(\sigma) = \tau$,
$J(\tau) = \sigma$. Quand $m$ est impair, il s'agit de la
conjugaison par $O$. Lorsque $m$ est pair, il s'agit d'un
automorphisme \emph{ext\'erieur} de $B$. Dans les deux cas il
se restreint en un automorphisme ext\'erieur de $P$, et il
se prolonge en un automorphisme de $B(\k)$ qui laisse stable
$P(\k)$ et $P'(\k)$.


On note $\J$ l'automorphisme de $\mathfrak{B}(\k)$ d\'efini par
$\J(s) = \om s$, $\J(\om) = \om^{-1}$, $\J(t_{r}) = r_{-r+1}$. Quand
$m$ est impair il s'agit de la conjugaison par $s \om^{\frac{m-1}{2}}$,
quand $m$ est pair d'un automorphisme involutif ext\'erieur de
$\mathfrak{B}(\k)$.

On d\'efinit
$$
\begin{array}{l}
\Ass'_{\la}(\k) = \{ \Phi \in P'(\k) \ \mid \ (\la, \Phi) \in \Ass_{\la}(\k),
\ \ \ \J(\Phi) = \Phi^{-1} \} \\
\Ass'(\k) = \{ (\la,\Phi) \in \Ass(\k) \ \mid \ \J(\Phi) = \Phi^{-1} \} \\
G'(\k) = \{ (\la,f) \in G(\k) \ \mid \ J(f) = f^{-1} \}
\end{array}
$$
et $\Ass'_*(\k) = \Ass'(\k) \cap \Ass_*(\k)$. Soit $\Phi \in \Ass'_{\la}
(\k)$ et $\PPhi : B(\k) \to \mathfrak{B}(\k)^{\times}$
le morphisme associ\'e. On a $\J(\PPhi(\sigma)) = \om s e^{\la t_1}
= \Phi^{-1} \bullet \PPhi(\tau)$ et $\J(\PPhi(\tau)) = \Phi^{-1} \bullet
\PPhi(\sigma)$. On en d\'eduit
\begin{eqnarray}
\label{commJphi} \J \circ \PPhi = \Ad(\Phi^{-1}) \circ \PPhi \circ J
\end{eqnarray}
Si $(\la,f) \in G'(\k)$ et $\tilde{f} : B \to B(\k)$ d\'esigne
le morphisme
associ\'e, on a 
\begin{eqnarray}
\label{commJf} \tilde{f} \circ J = \Ad(f^{-1}) \circ J \circ \tilde{f}
\end{eqnarray}
On en d\'eduit que $G'(\k)$ est un sous-groupe de $G(\k)$. De plus,
on d\'eduit de (\ref{commJphi}) que $\Ass'(\k)$ est stable sous
l'action de $G'(\k)$. Enfin, si $\Phi \in \Ass'_{\mu}(\k)$ avec
$\mu \neq 0$ et $f \in P'(\k)$ tel que $\Phi .f \in \Ass'_{\la \mu}(\k)$,
alors on sait d'apr\`es le lemme \ref{lemmetrans} que $(\la,f)
\in G(\k)$. On a donc $\J(\Phi) = \Phi^{-1}$ et $\J \circ \PPhi(f^{-1})
\J(\Phi) = \Phi^{-1} \PPhi(f)$. On en d\'eduit
$\J \circ \PPhi(f^{-1}) = \Ad(\Phi^{-1}) \circ \PPhi \circ J(f^{-1})$,
d'o\`u $f = J(f)^{-1}$ d'apr\`es (\ref{commJphi}) et l'injectivit\'e de
$\PPhi$. Ainsi l'action de $G'(\k)$ sur $\Ass'_*(\k)$ est libre et
transitive. Si $m$ est impair on a �videmment $\Ass(\k) = \Ass'(\k)$,
$G(\k) = G'(\k)$, etc.


\begin{lemme} \label{lemmtranspair} L'associateur transcendant $\Phi_0$ appartient \`a $\Ass'_{\ii
\pi}(\C)$.
\end{lemme}
\begin{proof} On note $\j$ le g\'en\'erateur de $\Z/2\Z$. On a des
actions de $\Z/2\Z$ sur $\mathcal{A}'(\k)$ et $\R^2$, en faisant
agir $\j$ sur $\mathcal{A}'(\k)$ par $\J$, et sur $\R^2$
comme r\'eflexion par rapport \`a la droite $\Delta$ d'\'equation
$y =  -x \, \cotg \frac{\theta}{2}$
(cf. figure \ref{exterieur}).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{exterieur2}
\end{center}
\caption{L'automorphisme ext\'erieur $\j$ pour $m=8$ et $m=4$} \label{exterieur}
\end{figure}



La forme diff\'erentielle
$\Omega'$ est alors invariante par $\j$, et si $F_{0,+}$, $F_{0,-}$
sont d\'efinis
comme en section 3 on a $\j.F_{0,+} = F_{1,-}$ par comparaison
des comportements asymptotiques. On d\'eduit alors de $F_{1,-} = F_{0,+}
\Phi_0$ que $\J(\Phi_0) = \Phi_0^{-1}$.
\end{proof}

Le raisonnement pr�c�dent s'applique alors, en rempla\c cant
$G(\k)$, $G_1(\k)$ par $G'(\k)$, $G'_1(\k) = G'(\k) \cap G_1(\k)$
et $\mathcal{G}(\k)$, $\mathcal{G}_0(\k)$ par les alg\`ebres de Lie
$\mathcal{G}'(\k)$, $\mathcal{G}'_0(\k)$ de $G'(\k)$, $G'_1(\k)$.

On cherche donc \`a r\'esoudre (\ref{maineq}) avec $(1,\psi) \in
\mathcal{G}'(\k)$. Pour ce faire, il nous faut d'abord
d�finir $\PPhi$ pour tout $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$ de terme
constant �gal � 1.



\subsection{Le morphisme $\PPhi$}

On rappelle que, si $A$ est une alg\`ebre de Hopf (compl\'et\'ee),
$A^{\times}$ d\'esigne le groupe des \'el\'ements grouplike
de $A$, et que si $A$ est une alg\`ebre $A^*$ d\'esigne le
groupe des \'el\'ements inversibles de $A$. 

On suppose $m$ impair. On a d\'efini des \'el\'ements $u_{2r} = 
(\tau \sigma)^r \bullet \sigma^2$, $u_{2r+1} = (\tau \sigma)^r \bullet
\tau^2$ et not\'e que $P'(\k)$ est engendr\'e par $\tilde{u}_r
= u_r Z^{\frac{-1}{m}}$ pour $0 \leq r \leq m-1$ soumis \`a l'unique
relation $\tilde{u}_{m-1} \dots \tilde{u}_0 = 1$. Il s'identifie
donc \`a la compl\'etion $\k$-prounipotente du groupe libre
sur toute partie \`a $m-1$ \'el\'ements de $\{ \tilde{u}_0,\dots,
\tilde{u}_{m-1} \}$. D'autre part, l'automorphisme $J$ laisse
stable $P'(\k)$. On
montre facilement les identit\'es suivantes
\begin{eqnarray}
\forall r \in [0,\frac{m}{2} ] \ \ \ u_{m-2r} = (\tau \sigma)^{-r}
 \bullet \sigma^2 \\
\forall r \in [0,\frac{m}{2} ] \ \ \ u_{m-2r+1} = (\tau \sigma)^{-r} \bullet \tau^2
\end{eqnarray}

On note $x_1 = u_1$, $x_0 = u_0$, $x_r = u_r \dots u_2 u_1$
pour $r \geq 1$, $x_r = u_0 u_{m-1} \dots u_{m+r}$ pour $r \leq 0$. On
montre par r\'ecurrence sur $r$ que
\begin{eqnarray}
\label{descrxd} \forall r \geq 1 \ \ x_{2r} = \underbrace{\tau \sigma \tau \dots \tau}_{2r-1}
\sigma^2 \underbrace{\tau \sigma \tau \dots \tau}_{2r-1} = (\tau \sigma)^r
(\sigma \tau)^r \\
\forall r \geq 0 \ \ x_{2r+1} = ( \underbrace{\tau \sigma \tau \dots
\tau}_{2r+1} )^2 = ((\tau \sigma)^r \tau)^2 \\
\forall r \geq 0 \ \ x_{-2r} = ( \underbrace{\sigma \tau \sigma \dots
\sigma}_{2r+1} )^2 = ((\sigma \tau)^r \sigma)^2 \\
\label{descrxf}\forall r \geq 1 \ \ x_{-2r+1} = \underbrace{\sigma \tau \sigma \dots
\sigma}_{2r-1}
\tau^2 \underbrace{\sigma \tau \sigma \dots \sigma}_{2r-1} =(\sigma \tau)^r (\tau \sigma)^r
\end{eqnarray}
D'autre part, on a $u_1 = x_1$, $u_0 = x_0$, $u_r = x_r x_{r-1}^{-1}$
pour $2 \leq r \leq \frac{m}{2}$, $u_{m-r} = x_{1-r}^{-1} x_{-r}$
pour $1 \leq r < \frac{m-1}{2}$. Posons $\tilde{x}_r = x_r
Z^{\frac{-r}{m}}$ pour $r \geq 1$, $\tilde{x}_{-r} = x_{-r} Z^{-\frac{r+1}{m}}$
pour $r \leq 0$ de telle sorte que $\tilde{x}_r \in P'(\k)$.
On a alors
\begin{eqnarray}
\forall r \geq 1, \ \ J(\tilde{x}_r) = \tilde{x}_{-r+1}. 
\end{eqnarray}

Si $m$ est impair, consid\'erons les deux ensembles
$$ \{ \tilde{u}_0, \tilde{u}_1,\dots, \tilde{u}_{\frac{m-1}{2}},
\tilde{u}_{\frac{m+3}{2}} , \dots, \tilde{u}_{m-1}  \}
= \{ \tilde{u}_0, \dots ,\widehat{\tilde{u}_{\frac{m+1}{2}}},\dots,
\tilde{u}_{m-1} \}
$$
et $\{ \tilde{x}_{-\frac{m-3}{2}},\dots,\tilde{x}_{-1}, \tilde{x}_0,
\tilde{x}_1,\dots, \tilde{x}_{\frac{m-1}{2}} \}$. Le groupe $P'(\k)$
est libre sur le premier ensemble, donc sur le deuxi\`eme d'apr\`es
les identit\'es pr\'ec\'edentes. Pour construire un morphisme
$\PPhi : P'(\k) \to \mathcal{A}'(\k)$ il suffit donc de d�terminer
ses valeurs sur l'un de ces deux ensembles.

Si $m$ est pair, la relation $\tilde{u}_{m-1} \dots \tilde{u}_0 = 1$
est �quivalente � $\tilde{x}_{\frac{m}{2}}
\tilde{x}_{1 - \frac{m}{2}} = 1$. Pour construire un morphisme
$\PPhi : P'(\k) \to \mathcal{A}'(\k)$ il suffit donc de d�terminer
des valeurs $\PPhi(\tilde{x}_r)$ telles que
$\PPhi(\tilde{x}_{\frac{m}{2}})
\PPhi(\tilde{x}_{1 - \frac{m}{2}}) = 1$. 


Pour tout $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)^*$ tel que $\Phi \equiv
1 \mod \mathcal{A}'_1(\k)$, on note
$$
\sigma_{\Phi} = s e^{t_0}, \ \ \tau_{\Phi}   = \Phi \om s e^{t_1}
\Phi^{-1} \in \mathfrak{B}'(\k)
$$
et on d\'efinit un morphisme $\PPhi : P'(\k)\to \mathcal{A}'(\k)^*$
par les formules de la table \ref{tablephix}. On en d�duit les
valeurs de $\PPhi$ sur les �l�ments $\tilde{u}_r$ (table \ref{tablephiu}).
\begin{table}
$$
\begin{array}{lclcl}
\PPhi(\tilde{x}_{2r}) & = & (\tau_{\Phi} \sigma_{\Phi})^r (\sigma_{\Phi}
\tau_{\Phi})^r & \mbox{ si } & 1 \leq 2r < \frac{m}{2} \\
\PPhi(\tilde{x}_{2r+1}) & = &( (\tau_{\Phi} \sigma_{\Phi})^r \tau_{\Phi})^2
 & \mbox{ si } & 1 \leq 2r +1 < \frac{m}{2} \\
\PPhi(\tilde{x}_{-2r}) & = &( (\sigma_{\Phi} \tau_{\Phi})^r \sigma_{\Phi})^2
 & \mbox{ si } & 1-\frac{m}{2}  < -2r  \leq 0 \\
\PPhi(\tilde{x}_{-2r+1}) & = & (\sigma_{\Phi} \tau_{\Phi})^r (\tau_{\Phi}
\sigma_{\Phi})^r & \mbox{ si } & 1-\frac{m}{2}  < -2r+1  \leq 0 \\
\PPhi(\tilde{x}_{\frac{m}{2}}) & = & \om^{\frac{m}{2}}
(\sp^{-1} \tp^{-1})^{\frac{m}{4}} (\sp \tp)^{\frac{m}{4}} & \mbox{si} & \mbox{$m/2$ est pair} \\
\PPhi(\tilde{x}_{1-\frac{m}{2}}) & = & \om^{\frac{m}{2}}
(\tp^{-1} \sp^{-1})^{\frac{m}{4}} (\tp \sp)^{\frac{m}{4}} & \mbox{si} & \mbox{$m/2$ est pair} \\
\PPhi(\tilde{x}_{\frac{m}{2}}) & = & \om^{\frac{m}{2}}
(\underbrace{\sp^{-1} \tp^{-1}\dots }_{\frac{m}{2}})
(\underbrace{\tp \sp \dots }_{\frac{m}{2}}) & \mbox{si} & \mbox{$m/2$ est impair} \\
\PPhi(\tilde{x}_{1-\frac{m}{2}}) & = & \om^{\frac{m}{2}}
(\underbrace{\tp^{-1} \sp^{-1}\dots }_{\frac{m}{2}})
(\underbrace{\sp \tp \dots }_{\frac{m}{2}}) & \mbox{si} & \mbox{$m/2$ est impair} \\
\end{array} 
$$
\caption{Valeurs de $\PPhi$ sur la famille $\tilde{x}$}
\label{tablephix}
\end{table}
Soit enfin $\Phi' =\J(\Phi^{-1})$. Comme $J(\tilde{x}_r) = \tilde{x}_{1-r}$
et $\Ad(\Phi) \circ \J$ envoie
$\sigma_{\Phi'}$ et $\tau_{\Phi'}$ respectivement sur $\tp$
et $\sp$, on a
\begin{eqnarray}
\label{phio} 
\Ad(\Phi) \circ \J \circ \PPhi' = \PPhi \circ J
\end{eqnarray}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{correspux}
\end{center}
\caption{$(u_r)$ et $(x_r)$}
\end{figure}

\begin{table}
$$
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\mbox{Pour tout $m$ : }} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{2r})    =  (\tp \sp)^r \bullet \sp^2 
& 2 \leq 2r < \frac{m}{2} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{2r+1})    =  (\tp \sp)^r \bullet \tp^2 
& 2 \leq 2r+1 < \frac{m}{2} \\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\mbox{Pour $m$ impair : }} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{2r})  =  (\tp \sp )^{\frac{2r-1-m}{2}} \bullet \tp^2  & \frac{m+1}{2} < 2r \leq m-1 \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{2r+1})  =  (\tp \sp )^{\frac{2r+1-m}{2}} \bullet \sp^2  & \frac{m+1}{2} < 2r+1 \leq m-1 \\
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\mbox{Pour $m$ pair : }} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{m-2r})  =  (\tp \sp)^{-r} \bullet \sp^2 &
 1 \leq 2r < \frac{m-2}{2} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{m-2r+1})  =  (\tp \sp)^{-r} \bullet \tp^2 &
 1 \leq 2r+1 < \frac{m-2}{2}  \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{\frac{m}{2}})  =  \om^{\frac{m}{2}}
(\sp^{-1} \tp^{-1})^{\frac{m}{4}} \sp^2 (\sp^{-1} \tp^{-1})^{\frac{m}{4}}
 & \mbox{$\frac{m}{2}$ pair} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{\frac{m}{2}})  =  \om^{\frac{m}{2}}
(\underbrace{\sp^{-1} \tp^{-1} \dots }_{\frac{m}{2}})
\tp^2
(\underbrace{\tp^{-1} \sp^{-1} \dots }_{\frac{m}{2}})
 & \mbox{$\frac{m}{2}$ impair} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{\frac{m}{2}+1})  =  \om^{\frac{m}{2}}
(\sp^{-1} \tp^{-1})^{\frac{m}{4}} \tp^2 (\tp^{-1} \sp^{-1})^{\frac{m}{2}}
(\tp \sp)^{\frac{m}{4}}  & \mbox{$\frac{m}{2}$ pair} \\
\hline
\PPhi(\tilde{u}_{\frac{m}{2}+1})  =  \om^{\frac{m}{2}}
(\sp^{-1} \tp^{-1})^{\frac{m-2}{4}} (\tp^{-1} \sp^{-1})^{\frac{m}{2}}
\sp^2 (\tp \sp)^{\frac{m-2}{4}}
 & \mbox{$\frac{m}{2}$ impair} \\
\hline
\end{array}
$$
\caption{Valeurs de $\PPhi$ sur la famille $\tilde{u}$}
\label{tablephiu}
\end{table}


\subsection{Existence et unicit\'e d'une solution}


Pour tout $n \geq 0$ on note $\mathcal{A}_n'(\k)$
l'id\'eal de $\mathcal{A}'(\k)$ form\'e des \'el\'ements de valuation
au moins $n$.


Notons $\tilde{u}_i = \exp v_i$, $v_i \in L'(\k)$, et $\dd \PPhi :
L'(\k) \to \mathcal{A}'(\k)$ l'application tangente.
On d\'eduit des formules
de la table \ref{tablephiu} que, pour tout $0 \leq i \leq m-1$, on a $\dd \PPhi(v_i) \equiv 2
t_i \mod \mathcal{A}'_2(\k)$. C'est imm�diat pour
$m$ impair (pour $i=m-1$ on utilise
$\tilde{u}_{m-1} \dots \tilde{u}_1 \tilde{u}_0 = 1$), et pour $m$
pair les seuls cas non triviaux sont $i \in \{ \frac{m}{2}, 1 + \frac{m}{2} \}$.
Dans ces cas, on remarque
$(\tp \sp)^{\frac{m}{2}} \equiv \om^{\frac{m}{2}}$ modulo
$\mathcal{A}'_2(\k)$, qui d\'ecoule de ce que $\sum_{k=1}^{\frac{m}{2}}
\om^{-k} - \sum_{k=0}^{\frac{m}{2}-1} s \om^k \in \k W$ agit
par $0$ sur la composante homog�ne de degr� $1$ de $\mathcal{A}'(\k)$.

En particulier, si $\Phi^1 \equiv \Phi^2 \mod
\mathcal{A}'_r(\k)$ on a $\dd \PPhi^1(v_i) \equiv \dd \PPhi^2(v_i)
\mod \mathcal{A}'_{r+1}(\k)$. On peut alors consid\'erer
l'\'equation (\ref{maineq}) pour $\Phi \in \mathcal{A}'(\k)$
tel que $\Phi \equiv 1 \mod \mathcal{A}'_1(\k)$.

\begin{prop} \label{propexsol} Il existe un
unique $\Phi \equiv 1 \mod
\mathcal{A}_1'(\k)$ dans $\mathcal{A}'(\k)$ qui v\'erifie
(\ref{maineq}). De plus, un tel $\Phi$ appartient \`a
$\exp \mathfrak{g}'(\k)$.
\end{prop}
\begin{proof}
On a $\partial \Phi,\dd \PPhi(\psi) \in \mathcal{A}_1'(\k)$
donc (\ref{maineq}) est v\'erifi\'ee modulo $\mathcal{A}_1(\k)$.
Supposons d\'emontr\'e qu'existe $\Phi \equiv 1 \mod
\mathcal{A}'_1(\k)$ v\'erifiant (\ref{maineq}) modulo
$\mathcal{A}'_r(\k)$ pour un certain $r \geq 1$, et que toute autre
solution soit congrue \`a $\Phi$ modulo $\mathcal{A}'_r(\k)$. Pour
montrer la m\^eme chose au rang $r+1$, il suffit de montrer
qu'existe un unique $\Phi' \in \mathcal{A}'(\k)$ homog\`ene
de degr\'e $r$ tel que $\Phi + \Phi'$ soit solution de (\ref{maineq})
modulo $\mathcal{A}'_{r+1}(\k)$, c'est-\`a-dire
$$
 (\partial \Phi + \partial \Phi') (\Phi + \Phi')^{-1}\equiv
- \dd \left( \widetilde{ \Phi + \Phi'} \right) (\psi) \mod
\mathcal{A}'_{r+1}(\k).
$$
Or $\dd \widetilde{\Phi + \Phi'} (v_i) \equiv \dd \PPhi(v_i) \mod
\mathcal{A}'_{r+1}(\k)$ donc $\dd \widetilde{\Phi + \Phi'}
(\psi) \equiv \dd \PPhi(\psi) \mod \mathcal{A}'_{r+1}(\k)$. D'autre
part
$\partial \Phi + \partial \Phi' \in \mathcal{A}'_1(\k)$
donc
$$
 (\partial \Phi + \partial \Phi') (\Phi + \Phi')^{-1} \equiv
 (\partial \Phi + \partial \Phi') \Phi^{-1} \mod
\mathcal{A}'_{r+1}(\k),
$$
et l'\'equation est \'equivalente \`a $(\partial \Phi
+ \partial \Phi' )\Phi^{-1} \equiv - \dd \PPhi(\psi) \mod \mathcal{A}'_{r+1}(\k)$
c'est-\`a-dire $\partial \Phi' \equiv - \left( \dd \PPhi(\psi) \right)
\Phi - \partial \Phi$ et $\partial \Phi'$ est uniquement
d\'etermin\'e. Enfin, $\partial$ se restreint en une bijection sur
chacune des composantes homog\`enes de degr\'e au moins 1 de
$\mathcal{A}'(\k)$, donc $\Phi'$ existe et est uniquement
d\'etermin\'e, ce qui nous permet de conclure par r\'ecurrence
l'existence et l'unicit\'e d'une solution.

Comme $\psi \in \mathcal{G}(\k)$ et d'apr\`es les
formules de la table \ref{tablephiu} on a $\dd \PPhi (\psi) \in \exp 
\mathfrak{g}'(\k)$ donc $\Delta(\dd \PPhi(\psi)) = \dd \PPhi(\psi)
\otimes \dd \PPhi(\psi)$. 
Par l'action naturelle de $\kt$ sur $\mathcal{A}'(\k) \widehat{\otimes}
\mathcal{A}'(\k)$ on peut d�finir, de fa�on analogue � $\partial$,
une d�rivation de $\mathcal{A}'(\k) \widehat{\otimes}
\mathcal{A}'(\k)$ que l'on note encore $\partial$. On a 
$$
\partial ( \Phi \otimes \Phi) = \partial \Phi \otimes \Phi
+ \Phi \otimes \partial \Phi = - ( \dd \PPhi(\psi) \otimes 1
+ 1 \otimes \dd \PPhi(\psi))(\Phi \otimes \Phi)
$$
soit $\partial(\Phi \otimes \Phi) = - \Delta(\dd \PPhi(\psi))(\Phi \otimes
\Phi)$.

Comme $\Delta \circ \partial$ et $\partial \circ \Delta$
sont deux applications lin\'eraires continues
$g:\mathcal{A}'(\k) \to \mathcal{A}'(\k) \widehat{\otimes}
\mathcal{A}'(\k)$ qui v\'erifient
toutes deux l'\'equation $g(RS) = g(R) \Delta(S) + \Delta(R) g(S)$
et co�ncident sur les g\'en\'erateurs $(t_i)$, on a
$\Delta \circ \partial = \partial \circ \Delta$ et 
$\partial(\Delta(\Phi)) = \Delta(\partial \Phi) = - \Delta(
\dd \PPhi(\psi)) \Delta(\Phi)$. Ainsi $\Phi \otimes \Phi$ et
$\Delta(\Phi)$ ont la m\^eme image par l'application
$K \mapsto (\partial K) K^{-1}$, donc ils sont \'egaux
parce qu'ils ont m\^eme terme constant, donc $\Phi$ est grouplike
c'est-\`a-dire $\Phi \in \exp \mathfrak{g}'(\k)$.

\end{proof}

\begin{ccor} Si $\Phi \equiv 1 \mod
\mathcal{A}'_1(\k)$ et $\Phi$ v\'erifie (\ref{maineq}), alors
$\Phi^{-1} = \J( \Phi)$.
\end{ccor}
\begin{proof}
On pose $\Phi' = \J(\Phi^{-1})$. D'apr\`es (\ref{phio}) on a $\Ad(\Phi) \circ \J \circ \dd \PPhi'
= \dd \PPhi \circ J$. D'autre part, comme $\psi \in \mathcal{G}'(\k]$
on a $J(\psi)=-\psi$
Alors $\Phi'\J(\Phi)  = 1$
implique
$$
D(\Phi') = - \Phi' \bullet \J(D(\Phi)) = - \Phi' \bullet
\J(\dd \PPhi ( - \psi )) = - \Phi' \bullet \J \circ \dd \PPhi \circ J(\psi)
$$
Or $\Ad(\Phi') \circ \J \circ \dd \PPhi \circ J = \Ad(\Phi') \circ \J \circ
\Ad(\Phi) \circ \J \circ \dd \PPhi' = 
\Ad(\Phi' \J(\Phi)) \circ \dd \PPhi' = \dd \PPhi'$
d'o\`u $\Phi'$ v\'erifie (\ref{maineq}) d'o\`u $\Phi = \Phi'$ et
$\Phi^{-1} = \J (\Phi)$ par unicit\'e.

\end{proof}

Il reste � v�rifier qu'une telle solution v�rifie l'�quation du
demi-tour.

\subsection{L'alg\`ebre de Lie $\mathcal{G}'(\k)$}
\label{ssalglie}
Soit $(l,\psi) \in \mathcal{G}'(\k)$. Comme $J(f) = f^{-1}$ pour tout
$(\la,f) \in G'(\k)$ on a, d'une part $J(\psi)  = -\psi$, d'autre part
les \'equations (\ref{gexp2}) se simplifient. En effet, posons
$F = \sss f^{-1}$. On a $L = F ((\tau \sigma)^{\frac{m+1}{2}} \bullet F)
= F (\tau \bullet J(F))$. De m�me $M = (\tau^{-1} \bullet F) J(F)$
d'o� $(\sigma \tau)^{-k} \bullet M = \tau^{-1}(\tau \sigma)^{-k}
\bullet (F (\tau \bullet J(F)))$. Posons $F' = F (\tau \bullet J(F))$.
Puisque $\tau$ commute � $\ooo$
lorsque $m$ est pair, on en d\'eduit que $f$ v�rifie les �quations


\begin{eqnarray}
\label{gexp2b}
\left( \prod_{k= \frac{m-1}{2}}^1 (\tau \sigma)^{-k} \bullet F')
 \right) F = \ooo, \prod_{k = \frac{m}{2} -1 }^{0} (\tau \sigma)^{-k}
\bullet F' = \ooo
\end{eqnarray}
suivant que $m$ est pair ou impair. 

Pour lin\'eariser (\ref{gexp2b}) on pose $\la = 1+\eps l$,
$ f= \exp(\eps \psi)$ avec $\psi \in L'(\k)$, $\eps^2 =0$. On a
$\sigma^2 = u_0 = \exp(v_0)$ d'o\`u $\sss = \exp (\eps \frac{l}{2} v_0)$,
$\ooo = \exp( \eps \frac{l}{2} z)$. On en d\'eduit
$
F = \sss f^{-1} = \exp \eps (\frac{l}{2} v_0 -\psi)$
et $\tau \bullet J(F) = \exp \eps(\frac{l}{2} v_1 - \tau\bullet J(\psi))$.
Soient $X_0,\dots,X_{m-1}$ une famille d'ind�termin�es index�e par $\Z/m\Z$,
et $\mathcal{R}= \k\ll X_0,\dots,X_{m-1}\gg/(e^{X_{m-1}}\dots e^{X_0}-1)$.
On note 
$\eta$ l'automorphisme de $\mathcal{R}$ d�fini par $X_i \mapsto
X_{i+1}$, et pour $S \in \mathcal{R}$ on note
$\eta.S$ l'image de $S$ par cet endomorphisme.
Pour tout $m$-uplet
$\underline{x} = (x_0,\dots,x_{m-1})$ d'�l�ments de
$L'(\k)$ ou $\mathcal{A}'_1(\k)$ tels que $e^{x_{m-1}}\dots e^{x_0}=1$
on d�finit $S(\underline{x})$ par
sp�cialisation. Soit $\underline{\tilde{v}} = (\tilde{v}_0,
\dots, \tilde{v}_{m-1})$, avec $\tilde{v}_i = v_i - \frac{z}{m}$ et $S \in \mathcal{R}$ telle que
$\psi = S(\underline{\tilde{v}})$. 

On a $(\tau \sigma)\bullet \tilde{v}_r = \tilde{v}_{r+2}$ et on
v�rifie facilement $\tau^{-1} \bullet u_r = J(u_{r-1})$
donc $\tilde{v}_r = \tau \bullet J(\tilde{v}_{r-1})$. On en d�duit
que $\tau \bullet J(\psi) = (\eta.S)(\underline{\tilde{v}})$
et $\tau \sigma \bullet \psi = (\eta^2.S)(\underline{\tilde{v}})$.
On d�duit alors de (\ref{gexp2b}) que
\begin{eqnarray}
\label{lieeq}
 \sum_{k=0}^{m-1} \eta^k.S(\underline{\tilde{v}}) - \frac{l}{2} 
\sum_{k=0}^{m-1} \tilde{v}_k = 0
\end{eqnarray}
On en d�duit que, pour tout $m$-uplet $\underline{d} \in
\mathcal{A}'_1(\k)^m$ tel que $e^{d_{m-1}}\dots e^{d_0}\equiv 1 \mod
\mathcal{A}_{n+1}(\k)$,
\begin{eqnarray}
\label{liegimpmod}
 \sum_{k=0}^{m-1} \gamma^k.S(\underline{d}) - \frac{l}{2} 
\sum_{k=0}^{m-1} d_k \equiv 0 \mod \mathcal{A}'_{n+1}(\k)
\end{eqnarray}
 


\subsection{L'\'equation du demi-tour}

On suppose que $\Phi$ satisfait (\ref{maineq}), et on pose
$\PP = \Phi e^{t_1}$, $\xi = \Phi e^{t_1} (\om s \bullet \Phi^{-1}) e^{t_2}$.
Les �quations (\ref{impeq3}) et (\ref{paireq3}) s'�crivent alors
$Q = 1$ avec
$$
Q = \prod_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} (\om^r \bullet \xi),
Q = \left[\prod_{r=0}^{\frac{m-3}{2}} (\om^r \bullet \xi)\right] (\om^{\frac{m-1}{2}} \bullet \PP)
$$
suivant que $m$ est pair ou impair. On a $\PP \om s \Phi = \tp$
et $\tp \sp = \xi \om$ d'o� 
$$
\prod_{r=0}^{n-1} (\om^r \bullet \xi) = (\tp \sp)^n \om^{-n}.
$$
Posons $D(Q) = (\partial Q) Q^{-1}$. De $D(AB) = D(A) + A \bullet D(B)$
on d�duit $D(\Phi^{-1}) = - \Phi \bullet D(\Phi)$
et $D(\xi) = D(\Phi) + \PP \bullet t_1 - \tp \bullet D(\Phi)
+ \xi \bullet t_2$. On note $q_0 = 1$, $q_1 = \PP$, $q_{2r} = (\tp \sp)^r$,
$q_{2r+1} =  (\tp \sp)^r \PP$, et $t'_r = q_r \bullet t_r$. Ainsi
$$
D(Q) = \sum_{r=1}^{m} t'_r + \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}}
(\tp \sp)^r \bullet D(\Phi) - \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1}
(\tp \sp)^r \tp \bullet D(\Phi)
$$
que $m$ soit pair ou impair. On veut montrer $Q = 1$. Pour ce faire,
on va montrer par r�currence $Q \equiv 1 \mod \mathcal{A}'_n(\k)$
pour tout $n \geq 1$. On note que, � $n$ fix�, c'est �quivalent �
$D(Q) \equiv 0$. Soit donc $n \geq 1$. A partir de maintenant, les
congruences seront toujours comprises modulo $\mathcal{A}_{n+1}(\k)$.
On suppose donc que $Q \equiv 1 +R$ avec $R$ polyn�me de Lie
homog�ne de degr� $n$.
En utilisant les formules de la table (\ref{tablephiu}) on en d�duit par
un calcul direct les formules
\begin{eqnarray}
\forall r\geq 0 \ \ t'_{r+m} \equiv t'_r \\ 
\forall r\in [0,m-1]\ \ \dd \PPhi(\tilde{v}_r) \equiv 2 t'_r. 
\end{eqnarray}
D'autre part, en utilisant les identit�s
$q_{2r+1}^{-1} q_{2r} = \om^2 \bullet (e^{-t_1} \Phi^{-1})$
et $q_{2r}^{-1} q_{2r-1} = \om^r s \bullet (e^{-t_0} \Phi)$,
on montre par r�currence sur $r \in [1,m-1]$ la formule 
\begin{eqnarray}
e^{2t'_{m-1}} e^{2t'_{m-2}} \dots e^{2t'_{m-r}}
\equiv Q e^{-t_0} (s \bullet q_r ) e^{t_{m-r}} q_{m-r}^{-1}
\end{eqnarray}
En particulier, pour $r = m-1$ on a
$$
e^{2 t'_{m-1}} \dots e^{2 t'_1} \equiv Q e^{-t_0} (s \bullet Q) e^{-t_0}
$$
On pose $t''_{m-1} = t'_{m-1} - R$, $t''_1 = t'_1 - (s \bullet R)$,
$t''_i = t'_i$ si $i \not\in \{1, m-1\}$ et $\underline{t}'' =
(t''_0,\dots,t''_{m-1})$, de telle fa�on que
$e^{2 t''_{m-1}} \dots e^{2 t''_0} \equiv 1$. On utilise maintenant
$$
D(\Phi) = - \dd \PPhi(\psi) = - \dd \PPhi( S( \underline{v})) = - S(\dd \PPhi(
\underline{v})) \equiv - S(
\underline{t}'')
$$
On en d\'eduit
$(\tp \sp)^k \bullet D(\Phi) \equiv - S( (\tp \sp)^k \bullet \underline{t}'')
\equiv - (\eta^{2k} .S)(\underline{t}'')$.
D'autre part,
$$
\begin{array}{lclcl}
 \tp \bullet D(\Phi) & = & - \tp \bullet \dd \PPhi(\psi)
& = & \tp \bullet \dd \PPhi \circ J(\psi) \\
& = & \Ad(\tp \Phi) \circ \J \circ \dd \PPhi(\psi)
& = & \Phi \om s e^{t_1} \bullet \J(\dd \PPhi(\psi)) \\
& = & \J ( \Phi^{-1} s e^{t_0} \bullet \dd \PPhi(\psi)) \\
\end{array}
$$
Comme on d\'eduit des d\'efinitions que $\Phi^{-1} s e^{t_0} \bullet
t'_r = \J (t'_{r+1})$, on a
$$
 \tp \bullet D(\Phi) \equiv \J ( \Phi^{-1} s e^{t_0} \bullet
S( \underline{t}'')) \equiv (\eta .S)(\underline{t}'')
$$
et plus g\'en\'eralement $ (\tp \sp)^k \tp \bullet D(\Phi) \equiv
(\eta^{2k+1} .S)(\underline{t}'')$.
On a donc
$$
D(Q) \equiv t'_1 + \dots + t'_m - \sum_{k=0}^{m -1}
(\eta^k . S)(\underline{t}'')
$$
Appliquant (\ref{liegimpmod}) avec $l = 1$ on en d�duit
$D(Q) \equiv R + s \bullet R$. En utilisant $\J(\Phi) = \Phi^{-1}$ si $m$
est impair et la centralit� de $\om^{\frac{m}{2}}$ dans
le cas pair, on a $\om \bullet Q =  
\xi^{-1} \bullet Q$ donc $\om \bullet R = R$. Ainsi la classe de $D(Q)$, donc $R$, est invariant
sous l'action de $W$, et 
$D(Q) \equiv n R \equiv 2R$.
Ainsi $R =0 $, sauf peut-\^etre si $n =2$.
Pour conclure il nous suffirait
de montrer que l'espaces des polyn\^omes de Lie homog�nes de degr� 2
n'admet pas
de vecteur invariant pour l'action de $W$. C'est vrai si $m$
est impair.

En effet, notons $V$ (resp. $V'$) l'espace des \'el\'ements homog\`enes de degr\'e
1 de $\mathcal{A}(\k)$ (resp. $\mathcal{A}'(\k)$) muni de l'action
restreinte de $W$. Sous cette action,
$V \simeq V' \oplus \un$, et $\Lambda^2 V \simeq \Lambda^2 V' \oplus V'$. Il
suffit de montrer que $E = \Lambda^2 V$ ne contient pas la
repr\'esentation triviale de $W$. On constate ais\'ement que
le caract\`ere $\chi_E$ de $E$ vaut $0$ sur les rotations non
triviales et $\frac{1-m}{2}$ sur les r\'eflections. Comme $\dim E
= \frac{m(m-1)}{2}$ on en d\'eduit que le produit scalaire de $\chi_E$
avec $\un$ est nul, ce qui conclut.

Dans le cas pair, il nous faut utiliser de plus l'invariance par $\J$.
Comme $\J (\Phi) = \Phi^{-1}$ on a $\J (\xi ) = \Phi^{-1} s e^{t_0}
\bullet \xi$ et $\J(Q) = (\Phi^{-1} e^{t_0}) \bullet (s \bullet Q)$
donc $\J (Q) \equiv s \bullet Q \equiv Q$ et $R$ est invariant sous l'action
de $\J$. La conclusion d\'ecoule alors du
fait que
l'espace des polyn\^omes de Lie homog\`enes de degr\'e 2 de $\mathcal{A}'(\k)$
invariants par $W$ et $\J$ est nul.

En effet, 
si l'on note $\Omega = \Ad(s) \circ \J \circ \Ad(\om)
$, $S = \Ad(s)$. Alors $\Omega(t_r) = t_{r+1}$, $\Omega \circ S \circ \Omega
= S$, $S^2= 1$. Soit $W'$ le groupe di\'edral engendr\'e par $\Omega$
et $S$. Il suffit de montrer que $E = \Lambda^2 V$ ne contient pas
de vecteur invariant par $W'$. Le caract\`ere $\chi_E$ de $E$ vaut 0 sur
les rotations non triviales, $\chi_E(\Omega^{\frac{m}{2}}) = -m/2$, 
$\chi_E(S) = (4-m)/2$ et $\chi_E(S \Omega^{\frac{m}{2}}) = (2-m)/2$.
On en d\'eduit $(\chi_E \mid \un) = 0$, ce qui conclut.




\section{Appendice 1 : \'equations Fuchsiennes formelles}
\setcounter{equation}{0}
Nous �tablissons ici des r�sultats bien connus sur les �quations
diff�rentielles fuchsiennes � valeurs dans une
alg�bre de Hopf compl�te, pour lesquels nous n'avons pas trouv� de
r�f�rence convenable.

Soit $\IXE$ un ensemble fini, et $M$ le mono\"\i de libre sur $\IXE$.
On note $\emptyset$ son \'el\'ement neutre, et $(\alpha,\beta)
\mapsto \alpha \star \beta$ son produit de concatenation.
Pour tout corps $\k$ on
note $\mathcal{M}(\k)$ la $\k$-alg\`ebre de Magnus sur $\IXE$,
c'est-\`a-dire l'ensemble des s\'eries formelles sur $\k$ en les
variables non commutatives \'el\'ements de $\IXE$. Si $\k$ est
un corps topologique, on munit $\mathcal{M}(\k)$ de la
topologie produit, c'est-\`a-dire la topologie de la convergence
simple, et de sa graduation naturelle $\mathcal{M}(\k)
= \prod \mathcal{M}_{\alpha}(\k)$ et des projections
naturelles $\pi_{\alpha} : \mathcal{M}(\k) \to \mathcal{M}_{\alpha}(\k)= \k$
pour $\alpha \in M$. Enfin, on note $\omega : \mathcal{M}(\k) \to \N$
la valuation associ\'ee \`a la graduation totale ($\omega(x) = 1$
pour $x \in \IXE$).


Pour tout ouvert $U \subset \C$ (resp. $U \subset \R$) on dit classiquement
que
$C : U \to \mathcal{M}(\C)$ (resp. $C : U \to \mathcal{M}(\R)$)
est analytique sur $U$ si et seulement si $\pi_{\alpha} \circ C$
est analytique sur $U$ pour tout $\alpha \in M$. 

Soient $A \in \IXE$, $D = \{ z \in \C \ \mid \ |z| < 1 \}$ et
$C : D \to \mathcal{M}(\C)$ analytique sur $D$ telle que,
pour tout $z \in D$, $C(\bar{z}) = \overline{C(z)}$ et
$\omega(C(z)) \geq 1$. On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle
\begin{eqnarray}
G'(z) & = & \left( \frac{A}{z} + C(z) \right) G(z) \label{eqgencomp}
\end{eqnarray}
Elle se restreint en une \'equation diff\'erentielle r\'eelle
sur $]0,1[$,
\begin{eqnarray}
G'(x) & = & \left( \frac{A}{x} + C(x) \right) G(x) \label{eqgenreel}
\end{eqnarray}

\begin{lemme} \label{unicitepositive} Il existe une seule solution $G_+$
de (\ref{eqgenreel}) sur $ ]0,1[$ telle que $G_+(x) \sim x^A$ quand $x \to 0^+$.
%De plus, il existe une fonction analytique $P_+ : ]-1,1[ \to \mathcal{M}(\R)
%$ telle que $G_+(x) = P_+(x) x^A$ pour tout $ x \in ]0,1[$.
\end{lemme}
Dans cet \'enonc\'e, $x^A = \exp(A \log(x))$, et $G(x) \sim x^A$ signifie
que $G(x) x^{-A}$ est une fonction
analytique sur $]-1,1[$, qui vaut 1 en 0.
\begin{proof}
On cherche $G_+(x)$ sous la forme $P(x) x^A$ avec $P$ analytique
et $P(0) = 1$. Ainsi $P(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
p_n x^n$, $p_0 = 0$ et $p_n \in \mathcal{M}(\R)$.
L'\'equation (\ref{eqgenreel}) se r\'e\'ecrit sous la forme
$$
P(x) \frac{A}{x} + P'(x) = \frac{A}{x} P(x) + C(x) P(x)
$$
soit $(*) \ \ x P'(x) + [P(x),A] = x C(x) P(x)$. Notons
$C(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$. L'\'equation implique alors
$$
n p_n+ [p_n,A] = \sum_{r+s = n} c_{r+1} p_s
$$
pour tout $n \geq 0$. Le membre de droite ne comporte que des $p_s$
pour $s < n$, donc l'unicit\'e et l'existence d'une solution formelle
d\'ecoulent par r\'ecurrence de l'inversibilit\'e dans
$\mathcal{M}(\k)$, pour tout $n \geq 1$, de l'op\'erateur
$n - \mathrm{ad}(A)$. Il reste \`a v\'erifier l'analyticit\'e de $P$
ainsi d\'efini.

Notons
$$
P(x) = \sum_{\alpha \in M} f_{\alpha}(x) \alpha, \ \ \ 
C(x) = \sum_{\alpha \in M} g_{\alpha}(x) \alpha \ \ \ 
$$
avec $f_{\alpha}, g_{\alpha} \in \R[[x]]$, les $g_{\alpha}$
\'etant analytiques. Comme $P(0) = 0$, on a $f_{\alpha}(0) = 0$
si $\omega(\alpha) \geq 1$, $f_{\emptyset}(0) = 1$. L'\'equation
$(*)$ s'\'ecrit alors
$$
\sum_{\alpha \in M} \left( x f_{\alpha}'(x) \alpha + f_{\alpha}(x)(\alpha \star A
- A \star \alpha) - \sum_{\beta \star \gamma = \alpha} x g_{\beta}(x)
f_{\gamma}(x) \alpha \right) = 0.
$$
En particulier $x f_{\emptyset}'(x) = x g_{\emptyset}(x) f_{\emptyset}(x)$
donc $f_{\emptyset}'(x) = g_{\emptyset}(x) f_{\emptyset}(x)$
pour $x \neq 0$. Or $g_{\emptyset}(x) = 0$ donc $f_{\emptyset}'(x) =0$
et comme $f_{\emptyset}(0) = 1$, on a $f_{\emptyset}(x) = 1$.

Pour tout $\alpha \in M$, on note $\alpha'$ (resp. $\alpha''$) l'unique
mon\^ome tel que $\alpha = \alpha' \star A$ (resp. $\alpha = A \star
\alpha''$) s'il existe, $\dagger$ sinon et on pose $f_{\dagger}(x) = 0$.
Comme $g_{\emptyset}(x) = 0$ on a, pour tout $\alpha$ tel que $\omega
(\alpha) \geq 1$,
$$
f_{\alpha}'(x) = \frac{f_{\alpha''}(x) - f_{\alpha'}(x)}{x}
+ \sum_{\stackrel{\beta \star \gamma = \alpha}{\omega(\gamma)< \omega
(\alpha)}} g_{\beta}(x) f_{\gamma}(x).
$$
Supposons que les $f_{\gamma}(x)$ pour $\omega(\gamma) < \omega(\alpha)$
soient analytiques sur $]-1,1[$. De plus $f_{\gamma}(0)
= 0$, sauf si $\gamma = \emptyset$. Ainsi $f_{\alpha''}(0) = 
f_{\alpha'}(0) = 0$ sauf si $\alpha = A$. Mais alors $\alpha' = \alpha''
= \emptyset$ et  $f_{\alpha''}(x) - f_{\alpha'}(x) = 0$. Dans tous
les cas on en d\'eduit que $f_{\alpha}'(x) \in \R[[x]]$ et admet
un rayon de convergence au moins \'egal \`a 1.
Il en est donc de m\^eme pour $f_{\alpha}$,
et on conclut par r\'ecurrence sur $\omega(\alpha)$.
\end{proof}

On d\'emontre de la m\^eme fa\c con le lemme 
\begin{lemme} \label{unicitenegative} Il existe une seule solution $G_-$
de (\ref{eqgenreel}) sur $]-1,0[$ telle que $G_-(x) \sim (-x)^A$ quand $x \to 0^-$.
%De plus, il existe une fonction analytique $P_+ : ]-1,1[ \to \mathcal{M}(\R)
%$ telle que $G_+(x) = P_+(x) x^A$ pour tout $ x \in ]0,1[$.
\end{lemme}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{genmono}
\end{center}
\caption{Le domaine $D'$} \label{genmono}
\end{figure}
On montre facilement que ces solutions $G_+$, $G_-$ s'\'etendent
analytiquement au domaine complexe simplement connexe
$D'= D \setminus \ii \R_-$ (voir figure \ref{genmono}) en des solutions de l'\'equation (\ref{eqgencomp}).
Pour \'etudier ces prolongements, on introduit $\Log(z)$, branche
du logarithme complexe d\'efini comme le prolongement de $\log(x)$
pour $ x\in \R_+^*$ sur $D'$ et, pour
$z \in D'$, on note $z^A = \exp(A \Log(z))$.
On a,
pour $x \in ]0,1[$, $\Log(-x) = \log(x) + \ii \pi$ d'o\`u
$$
(-x)^A = \exp(A \Log(-x)) = \exp\left( A (\ii \pi + \log x) \right) =
x^A \exp(\ii \pi A).
$$
Notons alors $\tilde{G}(z) = G_+(z) e^{-\ii \pi A}$. C'est une fonction
analytique sur $D'$ qui v\'erifie l'\'equation (\ref{eqgencomp}).
Il existe une unique fonction $P_+(x)$ analytique r\'eelle sur $]-1,1[$
telle que $G_+(x) = P_+(x) x^A$ pour tout $x \in ]0,1[$. On en
d\'eduit $G_+(z) = P_+(z) z^A$ pour tout $z \in D'$. En
particulier, pour $x \in ]-1,0[$,
$$
\tilde{G}(x) = P_+(x) x^A e^{-\ii \pi A} = P_+(x) (-x)^A. 
$$
On en d\'eduit que $\tilde{G}(x)$ est une fonction
analytique r\'eelle sur $]-1,0[$ telle que $\tilde{G}(x) \sim (-x)^A$ quand
$x$ tend vers $0^-$. D'apr\`es le lemme \ref{unicitenegative} cela
signifie
\begin{lemme} Pour tout $x \in ]-1,0[$, $G_+(x) = G_-(x) e^{\ii \pi A}$
\label{passage}
\end{lemme}

L'alg�bre $\mathcal{M}(\k)$ est la compl�tion de l'alg�bre enveloppante
de l'alg�bre de Lie libre sur $\IXE$. Elle est donc munie
d'une structure d'alg�bre de Hopf compl�te au sens de \cite{QUILLEN}.
Soit $V \subset \Q \IXE \subset \mathcal{M}(\k)$ un sous-espace vectoriel
des combinaisons lin�aires rationnelles d'�l�ments de $\IXE$.
On note $\mathcal{U}(\k)$ le quotient de $\mathcal{M}(\k)$ par
l'id�al de Hopf ferm� qu'il engendre, et $\mathcal{U}^1(\k) = 
\k \IXE / V \otimes \k \subset \mathcal{U}(\k)$. Soient $A$
l'image dans $\mathcal{U}(\k)$ d'un $\hat{A} \in \IXE$ et
$C : D \to \mathcal{U}^1(\C)$ tel que $C(\bar{z}) = \overline{C(z)}$.
Si l'on consid�re l'�quation \ref{eqgenreel} avec cette fois $G$
� valeurs dans $\mathcal{U}(\R)$, les lemmes pr�c�dents sont encore
valables. En effet, l'unicit� des solutions se d�montre de la m�me
fa�on, et leur existence d�coule d'un rel�vement de $A$ en
$\hat{A}$ et de $C$ en une fonction analytique $\hat{C} : D \to
\mathcal{M}(\C)$. On invoquera donc ces lemmes �galement
dans ce cadre.


Soit $\Delta$ le coproduit de $\mathcal{U}(\k)$, et notons
$B(z) = \frac{A}{z} + C(z)$.
Pour tout $z \in D'$, comme $C(z)$ est primitif $B(z)$ l'est �galement.
Alors 
$$
\Delta(G(z))' = \Delta(G'(z)) = \Delta(B(z)) \Delta(G(z)) = (B(z) \otimes 1 + 1 \otimes
B(z))\Delta(G(z))
$$
Soit $\hat{G}(z) = G(z) \otimes G(z)$. On a
$$
\hat{G}'(z) = G'(z) \otimes G(z) + G'(z) \otimes G(z) = (B(z) \otimes 1
+ 1 \otimes B(z)) \hat{G}(z)
$$
Ainsi, $G(z) \otimes G(z)$ et $\Delta(G(z))$ v\'erifient
la m\^eme \'equation diff\'erentielle, et la m\^eme condition
asymptotique parce que $z^A$ est grouplike. Le lemme \ref{unicitepositive}
appliqu� � $\mathcal{U}(\k) \widehat{\otimes} \mathcal{U}(\k)$
consid�r� comme quotient de l'alg�bre de Magnus sur $\IXE \times \IXE$
permet de conclure la d�monstration du lemme suivant :

\begin{lemme} Si $C(x)$ est primitif pour tout $x \in ]-1,1[$
alors, pour tout $z \in D'$, $G_+(z)$ et $G_-(z)$ sont
grouplike. \label{grouplike}
\end{lemme}






\section{Appendice 2 : le cas $m =3$ et les associateurs de Drinfeld}
\setcounter{equation}{0}

\subsection{Associateurs de Drinfeld et associateurs di\'edraux}

Soit $\la \in \k$. Un associateur de Drinfeld $\varphi(A,B)$
tel que d�fini dans \cite{DRIN} est l'exponentielle d'une s\'erie de Lie en deux variables $A$ et $B$,
que l'on peut consid\'erer comme l'exponentielle d'une
s\'erie de Lie en $A$, $B$, $C$ avec relation $A+B+C=0$. Elle
est soumise aux relations
\begin{eqnarray}
\varphi(B,A) = \varphi(A,B)^{-1} \label{drin1} \\
e^{\la A} \varphi(B,A) e^{\la B} \varphi(C,B) e^{\la C} \varphi(A,C) =1
\label{drin2}
\end{eqnarray}
ainsi qu'\`a une troisi\`eme relation qui ne nous sera
pas utile, appel\'ee \'equation du
pentagone. A un tel associateur on peut associer des morphismes
$B \to \mathfrak{B}(\k)$ o\`u $B$ et $\mathfrak{B}(\k)$
sont associ\'es non plus \`a des groupes di\'edraux mais
aux groupes de Coxeter de type $A_n$ pour tout $n \geq 2$. Si
$n=2$, il n'est pas n\'ecessaire d'imposer \`a $\varphi$ de v\'erifier
l'\'equation du pentagone pour que l'application d\'efinie par Drinfeld
soit un morphisme. Comme $A_2 = I_2(3)$, nous pr\'ecisons ici
les rapports entre ces associateurs de Drinfeld et le cas $m=3$.

Soit $m = 3$, $\varphi$ un associateur de Drinfeld, $\bar{\varphi} = 
\varphi(t_0,t_1) \in \exp \mathfrak{g}'(\k)$,
$\Phi = (\bar{\varphi})^{-1} = \varphi(t_1,t_0)$. On a $s \om
\bullet t_0 = t_1$, $s \om
\bullet t_1 = t_0$, $s \om
\bullet t_2 = t_2$. On d\'eduit alors de (\ref{drin1}) que $\Phi$ v\'erifie
(\ref{impeq2}), et de (\ref{drin2}) que $\Phi$ v\'erifie (\ref{impeq3}).
L'ensemble des associateurs de Drinfeld associ\'es \`a $\la \in \k$
s'injecte donc dans $\Ass^{(3)}_{\la}(\k)$.


\subsection{Le groupe de Grothendieck-Teichm\"uller}

Drinfeld introduit d'autre part un groupe $GT(\k)$, dit
de Grothendieck-Teichm\"uller, form\'e des couples de la forme
$(\la, g(X,Y))$, o\`u $\la \in \k$ et $g(X,Y)$, \'el\'ement
de la compl\'etion pro-$\k$-unipotente du groupe libre sur $X$ et $Y$,
satisfait \`a
\begin{eqnarray}
g(X,Y) = g(Y,X)^{-1} \label{drin3} \\
g(X_3,X_1) X_3^{\frac{\la -1}{2}} g(X_2,X_3) X_2^{\frac{\la -1}{2}}
g(X_1,X_2) X_1^{\frac{\la -1}{2}} =1 \label{drin4} 
\end{eqnarray}
pour $X_1 X_2 X_3 = 1$ ainsi qu'\`a une autre \'equation, encore
dite du pentagone.
Le groupe $P$ est engendr\'e par $p_1 = \sigma^2$, $p_2 = \tau^2$,
$p_3 = \sigma^{-1} \tau^2 \sigma = \tau \sigma^2 \tau^{-1}$.
soumis \`a la seule relation $p_3 p_2 p_1 = Z$ avec
$Z = (\sigma \tau)^3$ central. On pose $Y_i = p_i Z^{\frac{-1}{3}}
\in P(\k)$, $f = g( \tau^2 Z^{\frac{-1}{3}}, \sigma^2 Z^{\frac{-1}{3}})
= g(Y_2,Y_1) \in P(\k)$, et $O = \sigma \tau \sigma = \tau \sigma \tau$.
Comme $O \bullet \sigma = \tau$, $O \bullet \tau = \sigma$ et
$O \bullet Z = Z$, on a $O \bullet f = f$ d'apr\`es (\ref{drin3}). On veut
montrer (\ref{gexp2}), c'est-\`a-dire $( (\tau \sigma)^{-1} \bullet J)
\sss =\ooo f$ avec $\ooo = Z^{\frac{\la -1}{2}}$,
$\sss = (p_1)^{\frac{\la -1}{2}}$, $\ttt = (p_2)^{\frac{\la -1}{2}}$
et $J = \sss f^{-1} \ttt (\tau \bullet f)$. C'est \'equivalent
\`a 
$$
(\sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet ( \sss f^{-1}))(\sigma^{-1}
\bullet \ttt) (\sigma^{-1} \bullet f) \sss f^{-1} = Z^{\frac{\la -1}{2}}.
$$
On a $\sigma^{-1} \bullet \ttt = \sigma^{-1} O \bullet \sss
= \tau \sigma \bullet \sss$, $\sigma^{-1} \bullet f = \sigma^{-1} O
\bullet f^{-1} = \tau \sigma \bullet f^{-1}$,
donc il s'agit de montrer
$$
(\sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet F)(\tau \sigma \bullet F) F = Z ^{\frac{\la -1}{2}}
$$
avec $F = \sss f^{-1} = (Z^{\frac{1}{3}})^{\frac{\la -1}{2}}
Y_1^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_2,Y_1)$. Or on a
$$
\left\lbrace
\begin{array}{rclcrcl}
\tau \sigma \bullet \sigma^2 & = & \tau \sigma^2 \tau^{-1} & \mbox{ d'o\`u }
& \tau \sigma \bullet Y_1 & = & Y_3 \\
\tau \sigma \bullet \tau^2 & = & \sigma^2  & \mbox{ d'o\`u }
& \tau \sigma \bullet Y_2 & = & Y_1 \\
\sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet \sigma^2 & = & \tau^2 & \mbox{ d'o\`u }
& \sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet Y_1 & = & Y_2 \\
\sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet \tau^2 & = & \sigma^{-1} \tau^2 \sigma & \mbox{ d'o\`u }
& \sigma^{-1} \tau^{-1} \bullet Y_2 & = & Y_3 \\
\end{array}
\right.
$$
Ainsi il s'agit de v\'erifier
$$
Y_2^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_3,Y_2) Y_3^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_1,Y_3) 
Y_1^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_2,Y_1) = 1
$$
si $Y_3 Y_2 Y_1 = 1$, c'est-\`a-dire  
$$
Y_2^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_1,Y_2) Y_1^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_3,Y_1) 
Y_3^{\frac{\la -1}{2}}g(Y_2,Y_3) = 1
$$
si $Y_1 Y_2 Y_3 = 1$, ce qui est bien \'equivalent \`a (\ref{drin4}). Ainsi
le groupe de Grothendieck-Teichm\"uller s'injecte dans $G^{(3)}(\k)$.

\subsection{L'associateur transcendant et $\varphi_{KZ}$}

On \'etablit ici le lien entre l'associateur $\varphi_{KZ}$
que Drinfeld construit \`a partir de l'\'equation de Knizhnik-Zamolodchikov
et l'associateur transcendant $\Phi_0$ pour $m=3$.

On note $D_1,D_2,D_0$ les droites de $E = \R^3$ euclidien d\'efinies
par les \'equations $D_1 : x_2 = x_3$, $D_0 : x_1 = x_2$, $D_2 :
x_1 = x_3$, $V = \{ (x_1,x_2,x_3) \in E \ \mid \ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \}$
et on pose $D'_i = D_i \cap V$. Une base de $V^*$ est form\'ee des
fonctions $x = x_1 - x_2$, $y = x_1 - x_3$. On munit $V$ de la base
duale.

Soit $\Omega$ la 1-forme correspondant \`a la connection KZ
sur $E \setminus D_0 \cup D_1 \cup D_2$,
$$
\Omega = t_0 \dd \log (x_1 - x_2) + t_1 \dd \log (x_2 - x_3)
+ t_2 \dd \log (x_1 - x_3)
$$
et $V' = V \setminus D'_0 \cup D'_1 \cup D'_2$. On a $t_0 + t_1 + t_2 =0$,
et
$$
\Omega_{|V'} = t_0 \frac{\dd x}{x} + t_1 \frac{ \dd y - \dd x}{y-x}
+ t_2 \frac{\dd y}{y}.
$$
Soit $\phi : V \to V$ donn\'e par la matrice $M = \left(
\begin{array}{cc} \frac{-1}{2} & 1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{array}
\right)$. Les fonctions et formes diff\'erentielles sont transport\'ees
par $\phi_* : V^* \to V^*$ de matrice $ ( ^t M)^{-1}$. On a
$$
\phi_*(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} y , \phi_*(y) =
\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} x + y), \phi_*(x-y)
= \frac{1}{\sqrt{3}} y -x.
$$
On pose $\theta = \pi/3$, $\theta_r = r \theta$ d'o\`u $\theta_0 = 0$,
$\theta_1 = \pi/3$, $\theta_2 = 2 \pi/3$,
$v_r = (\cos \theta_r, \sin \theta_r)$ et $\alpha_r(v) = \det(v_r,v)$. On
a
$$
\alpha_0 = y, \alpha_1 = -x \frac{\sqrt{3}}{2} + y \frac{1}{2},
\alpha_2 = -x \frac{\sqrt{3}}{2} -y \frac{1}{2}.
$$
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{phi}
\end{center}
\caption{Le changement de coordonn\'ees $\phi$} \label{figurephi}
\end{figure}
Notant $D''_i = \phi(D'_i) = \R v_i$, on a $\phi(V') = V''
= V \setminus D''_0 \cup D''_1 \cup D''_2$ (voir figure \ref{figurephi}) et
$$
\phi_*(\Omega_{|V'}) = t_0 \frac{\dd \alpha_0}{\alpha_0} + 
t_1 \frac{\dd \alpha_1}{\alpha_1} + 
t_2 \frac{\dd \alpha_2}{\alpha_2}
$$
On note $\eps : V \to V$ l'application $(s,w) \mapsto (s w , w)$. On a
$$
\begin{array}{lcl}
\eps^{-1} (D'_0) & = & \{ (s,w) \in \R^2 \ \mid \ w=0 \mbox{ ou } s=0 \} \\
\eps^{-1} (D'_1) & = & \{ (s,w) \in \R^2 \ \mid \ w=0 \mbox{ ou } s=1 \} \\
\eps^{-1} (D'_2) & = & \{ (s,w) \in \R^2 \ \mid \ w=0  \} 
\end{array}
$$
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{eclatement}
\end{center}
\caption{L'\'eclatement $\eps$} \label{eclatement}
\end{figure}

On note $\Delta_0$, $\Delta_1$ et $\Delta_2$ les droites de $\R^2$
d'\'equations respectives $s=0$, $s=1$, $w=0$ et
$V^e = V \setminus \Delta_1 \cup \Delta_2 \cup \Delta_3$
(voir figure \ref{eclatement}). L'application
$\eps$ est un isomorphisme analytique $V^e \to V'$. De $x = s w$,
$y = w$ on d\'eduit
$$
\eps^*\left(\frac{\dd x}{x} \right) = \frac{\dd w}{w} + \frac{\dd s}{s}, 
\eps^*\left(\frac{\dd y}{y}\right) = \frac{\dd w}{w}, 
\eps^*\left(\frac{\dd x - \dd y}{x-y}\right) = \frac{\dd w}{w} + \frac{\dd s}{s-1}
$$
et
$$
\eps^* \left( \Omega_{|V'} \right) = \left( \frac{t_0}{s} + 
\frac{t_1}{s-1} \right) \dd s.
$$
L'\'equation diff\'erentielle $G'(s) = \left( \frac{t_0}{s}
+ \frac{t_1}{s-1} \right) G(s)$
sur $]0,1[$ admet deux solutions $G_{\pm}(s)$ d\'etermin\'ees
par $G_+(s) \sim (1-s)^{t_1}$ pour $s \to 1^-$, 
$G_-(s) \sim s^{t_0}$ pour $s \to 0^+$, et on a par d\'efinition
$\varphi_{KZ} = G_+^{-1} G_-$, c'est-\`a-dire $G_- = G_+
\varphi_{KZ}$. On en d\'eduit deux fonctions $F_{\pm} = G_{\pm}
(\frac{x}{y})$, solutions de $\dd F = \Omega F$ sur $\{ (x,y) \in V \ 
\mid \ 0<x<y \}$ uniquement d\'etermin\'ees par
$$
F_+ \sim \left( 1 - \frac{x}{y} \right)^{t_1} \mbox{ quand }
\frac{x}{y} \to 1^-, \ \  
F_- \sim \left( \frac{x}{y} \right)^{t_0} \mbox{ quand }
\frac{x}{y} \to 0^+.
$$
Or $\phi_*(\frac{x}{y}) = \frac{-\alpha_0}{\alpha_2}$, $\phi_*
(1 - \frac{x}{y}) = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$. On en d\'eduit
deux fonctions $\tilde{F}_{\pm}$ solutions de $\dd F = 
(\phi_* \Omega) F$ telles que
$$
\tilde{F}_+ \sim \left( \frac{\alpha_1}{\alpha_2} \right)^{t_1} \mbox{ quand }
\frac{-\alpha_0}{\alpha_2} \to 1^-, \ \  
\tilde{F}_- \sim \left( \frac{-\alpha_0}{\alpha_2} \right)^{t_0} \mbox{ quand }
\frac{-\alpha_0}{\alpha_2} \to 0^+.
$$
Passant en coordonn\'ees polaires, on a 
$$
\tilde{F}_+ \sim \left( \frac{\theta-u}{\sin(\theta)} \right)^{t_1} \mbox{ quand }
u \to \theta^-, \ \  
\tilde{F}_- \sim \left( \frac{u}{\sin(2\theta)} \right)^{t_0} \mbox{ quand }
u \to 0^+.
$$
Posons $\beta = 1/\sin \theta = 1/ \sin 2 \theta$. On a donc
$\tilde{F}_+ \beta^{-t_1} \sin (\theta -u)^{t_1}$ quand
$u \to \theta^-$, $\tilde{F}_- \beta^{-t_0} \sim u^{t_0}$
quand $u \to 0^+$, c'est-\`a-dire $\tilde{F}_+ \beta^{-t_1} = F_{1,-}$
et $\tilde{F}_- \beta^{-t_0} = F_{0,+}$. Comme $F_{1,-} =
F_{0,+} \Phi_0$ et $\tilde{F}_+ \varphi_{KZ} = \tilde{F}_-$, on a
$$
\varphi_{KZ} = \beta^{-t_1} \Phi_0^{-1} \beta^{t_0}
$$

  
\section{Appendice 3 : Associateurs d'Enriquez et morphismes en type $B$}

Dans \cite{ENRIQUEZ}, B. Enriquez d�finit des analogues des
associateurs de Drinfeld, qui lui permettent d'obtenir des morphismes
du groupe d'Artin de type $B_n$ vers les �l�ments grouplike
de certaines alg�bres de Hopf compl�tes. Dans cet appendice nous �tablissons le
lien entre ces morphismes et ceux qui nous int�ressent ici.

On d�signera par W(S) le groupe de Coxeter associ� au diagramme
de Coxeter $S$,
%les groupes de Coxeter par leur type de diagramme. Par
%exemple, $A_{n-1} = \mathfrak{S}_n$. Si $W$ d�signe un groupe de Coxeter,
%on note 
$A(S)$ (resp. $P(S)$) le groupe d'Artin (resp. le groupe
de tresses pures g�n�ralis�) associ�. D'autre part, on note $\mathcal{B}_n
= A(A_{n-1})$ le groupe de tresses habituel, et $\mathcal{P}_n
= P(A_{n-1})$ le groupe de tresses pures.

\subsection{Le groupe d'Artin de type $B$ et les groupes $G(N,1,n)$}

On note $\tau, \sigma_1, \dots, \sigma_{n-1}$ les g�n�rateurs
standard de $A(B_{n})$. On a $\tau \sigma_1 \tau \sigma_1
= \sigma_1 \tau \sigma_1 \tau$, $\tau$ commute � $\sigma_i$ si $i >1$,
et les $\sigma_1,\dots, \sigma_{n-1}$ v�rifient les relations de
$\mathcal{B}_n$. Ce groupe appara�t comme groupe de tresses g�n�ralis�
associ� non seulement � $B_n$, mais � une famille de groupes
de r�flexions complexes.

On note $W_{N,n}$ le groupe de r�flexions complexes, de
type $G(N,1,n)$ dans la classification de ST, d�fini comme 
%Rappelons que le groupe $W_{N,n}$G(N,1,n)$ est 
l'ensemble des �l�ments de $GL_N(\C)$ not�s
$[\underline{a},\sigma]$ avec $\underline{a} = (a_1,\dots,a_n)$,
$a_i \in \C$ et $a_i^N = 1$, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$,
tels que 
$$
[\underline{a},\sigma](z_1,\dots,z_n)= (a_1z_{\sigma(1)},\dots,a_nz_{\sigma(n)})
$$
% : z_j \mapsto a_j z_{\sigma(j)}$,
%$[\underline{a},\sigma] : z_j \mapsto a_j z_{\sigma(j)}$,
%o� $(z_1,\dots,z_n)$ d�signe un �l�ment g�n�rique de $\C^n$.
Pour $N>1$ l'action de ce groupe est irr�ductible, et on a $W_{1,n}=
\mathfrak{S}_n$, $W_{2,n} = W(B_n)$.
%le groupe de Coxeter de type $B_n$
%c'est-�-dire le groupe de l'hyperocta�dre. 
On note
$s = [(\zeta,1,\dots,1), 1]$ avec $\zeta = e^{2 \ii \pi/m}$.
Dans tous les cas on a une d�composition de $W_{N,n}$ en produit semi-direct
$(\Z/N \Z)^n \rtimes \mathfrak{S}_n$, $s$ correspondant
� $(1,0,\dots,0) \in (\Z/N \Z)^n$.

Pour les propri�t�s de ces groupes et de leurs groupes de tresses
g�n�ralis�, nous renvoyons � \cite{BMR}. Rappelons que $s$
et les transpositions v�rifient, outre les relations du groupe
sym�trique sur les transpositions $s_i = (i \ i+1)$, les relations
$s s_1 s s_1 = s_1 s s_1 s$, $s^N=1$,  et $s$ commute � $s_i$
pour $i > 1$. D'autre part le compl�ment dans $\C^n$ des hyperplans
de r�flexions est
$$
X_{N,n} = \{ (z_1,\dots,z_n) \ \mid \ z_j \neq 0, z_j \neq \zeta^a z_k \}
$$
dont le groupe fondamental est not� $P_{N,n}$. On v�rifie facilement que l'alg�bre d'holonomie $\mathfrak{g}_{N,n} = \mathfrak{g}_{X_{N,n}}$
de $X_{N,n}$ est exactement l'alg�bre $t_{n+1,N}$ de \cite{ENRIQUEZ}.
Cette derni�re est engendr�e par des g�n�rateurs $t(a)^{i,j}$ et $t_0^{1,i}$
pour
$i,j \in [2,n]$, et on trouve parmi les relations de d�finition
$t(a)^{ij} = t(-a)^{ji}$. Plus pr�cis�ment, notant
$v(a)^{i,j} = t(a)^{i+1,j+1}$, $u_i =
t_0^{1,i+1}$, les g�n�rateurs
$v(a)^{i,j}$ correspondent aux hyperplans $z_i = \zeta^a z_j$, 
les �l�ments $u_i$ aux hyperplans
$z_i = 0$. Il suffit alors de v�rifier que les relations de d�finition
sont les m�mes pour en conclure $\mathfrak{g}_{N,n} \simeq
t_{n+1,N}$ comme alg�bre de Lie gradu�e. 


Pour tout $N > 1$, le quotient $X_{N,n}/W_{N,n}$ a $A(B_n)$
comme groupe fondamental. La preuve du theor�me 7.1 et
le corollaire 7.5 de \cite{ENRIQUEZ} montre l'existence
de morphismes $A(B_n) \to (\U \g_{N,n}(\k))^{\times}
 \rtimes
W_{N,n}$ pour tout corps $\k$ de caract�ristique 0, donn�s par
$$\tau \mapsto s \exp(u_1), \ \ \ \sigma_i = \Psi_i s_i \exp(N v(0)^{i,i+1}/2) \Psi_i^{-1} $$
o� $\Psi_i \in (\U \g_{N,n}(\k))^{\times}$. Dans les
termes de l'introduction, pour $N=2$ cela montre
\begin{theore} Si $W$ est de type $B_n$, pour tout corps
$\k$ de caract�ristique 0 il existe un morphisme $\PPhi : \k B \to \mathfrak{B}
(\k)$ qui v�rifie la condition fondamentale.
\end{theore}
Pour $N>2$, cela montre l'existence de morphismes de
ce type pour les groupes de r�flexions complexes $W_{N,n}$ et leur groupe
de tresses g�n�ralis� au sens de \cite{BMR}. Cela permet �galement
d'esp�rer �largir ces propri�t�s aux groupes de r�flexions complexes.


\subsection{Les groupes $K_{N,n}$ et $P_{N,n}$}

B. Enriquez obtient des isomorphismes de la compl�tion pro-$\k$-unipotente
d'un sous-groupe $K_{N,n}$ de $\mathcal{P}_n$ avec
le groupe des �l�ments grouplike de $\U \g_{N,n}(\k)$.
Nous montrons que
ce sous-groupe $K_{N,n}$ est naturellement isomorphe � $P_{N,n}$.


Le groupe $K_{N,n}$ est d�fini dans \cite{ENRIQUEZ} comme suit.
On note $x_{ij}$ les g�n�rateurs classiques de $\mathcal{P}_n$,
et $F'_n$ le sous-groupe engendr� par les $x_{1,i}$, $i \in [2,n]$. Il
est classique que $F'_n$ est libre sur ces g�n�rateurs, et que l'on a
une d�composition
$\mathcal{P}_n \simeq \mathcal{P}'_{n} \ltimes
F'_{n-1}$ o� $\mathcal{P}'_n \simeq \mathcal{P}_{n-1}$ laisse fixe le
premier brin.
Il est classique que
l'action par conjugaison de $A(A_{n-1}) = \mathcal{B}_n$  
sur les g�n�rateurs libres $x_{1i}$ de $F'_n$
est l'action d'Artin. En particulier, $\mathcal{P}'_n$ agit
trivialement sur l'ab�lianis� $\Z^{n-1}$ de $F'_n$, et on en d�duit un
morphisme $\mathcal{P}_n \to \Z^{n-1}$ puis par r�duction modulo $N$
un morphisme $\mathcal{P}_n \to (\Z/N \Z)^{n-1}$, dont
$K_{N,n}$ est par d�finition le noyau. Dans \cite{ENRIQUEZ}, $\mathcal{P}_n$
(et donc $K_{N,n}$) est consid�r� comme un sous-groupe
de $A(B_{n-1})$. Cette interpr�tation, visuellement �vidente
en termes de tresses g�om�triques, peut se d�crire alg�briquement
comme suit.



On a un morphisme
surjectif $A(B_n) \to A(A_{n-1})$ donn� par $\tau \mapsto 1$,
$\sigma_i \mapsto \sigma_{i}$. Ce morphisme est scind�, par
$\sigma_i \mapsto \sigma_{i}$. Son noyau $F_n$ est
un groupe libre de rang $n$ sur les g�n�rateurs 
$$
\gamma_i = \sigma_{i-1} \sigma_{i-2} \dots \sigma_1 \tau \sigma_1^{-1}
\dots \sigma_{i-2}^{-1} \sigma_{i-1}^{-1}
$$
De plus, l'action de $A(A_{n-1})$ sur lui
est l'action d'Artin (cf. \cite{PARIS} prop 2.1) :
$\sigma_i$ envoie $\gamma_i$ sur $\gamma_{i+1}$,
$\gamma_{i+1}$ sur $\gamma_{i+1}^{-1} \gamma_{i} \gamma_{i+1}$ et
$\gamma_j$ sur $\gamma_j$ si $j \not\in \{i,i+1\}$.
En particulier, le morphisme d'ab�lianisation
$F_n \to \Z^n$ est �quivariant, par rapport � l'action de $A(A_{n-1})$
sur $F_n$, l'action par permutation de $\mathfrak{S}_n$
sur $\Z^n$, et le morphisme naturel $A(A_{n-1}) \to \mathfrak{S}_n$.
On en d�duit un morphisme surjectif $A(B_n) \simeq
A(A_{n-1}) \ltimes F_n \to \mathfrak{S}_n \ltimes \Z^n$. Il envoie
$\tau$ sur $(1,0,\dots,0) \in \Z^n$ et $\sigma_i$ sur $(i-1,i)
\in \mathfrak{S}_n$ pour $i > 1$. En composant avec la
projection canonique $\Z \mapsto \Z/N \Z$, on en d�duit
des morphismes $\pi_N : A(B_n) \to \mathfrak{S}_n \ltimes (\Z/N \Z)^n$.
On a $\pi_N(\tau) = ( \bar{1},0,\dots,0) \in (\Z/N \Z)^n$,
$\pi_N(\sigma_i) = (i-1,i) \in \mathfrak{S}_n$ pour $i >1$. Il s'agit donc
du morphisme d�j� mentionn� $A(B_n) \to W_{N,n}$, en particulier
pour $N=2$
de la projection naturelle du groupe de tresses g�n�ralis� $A(B_n)$
sur le groupe de Coxeter $W(B_n)$.


On a alors $A(B_n) \simeq \mathcal{B}_n \ltimes F_n$. Consid�rons
l'isomorphisme $F'_n \to F_n$ d�fini par $x_{1i} \mapsto \gamma_{i-1}$.
On d�duit de la compatibilit� des actions le diagramme commutatif suivant,
dans lequel les fl�ches horizontales sont des isomorphismes
et les fl�ches verticales des injections.

$$
\xymatrix{
 & F'_n \rtimes A(A_{n-1}) \ar[r] & F_n \rtimes A( A_{n-1})  \ar[r] &  A(B_n)\\
\mathcal{P}_{n+1} \ar[r] & F'_n \rtimes \mathcal{P}_n \ar[r] \ar[u] & 
F_n \rtimes \mathcal{P}_n \ar[u]\\
}
$$
L'inclusion $\mathcal{P}_{n+1} \hookrightarrow A(B_n)$ est celle donn�e
par la composition des fl�ches du diagramme.
Comme la restriction de $\pi_N$ � $F_n \rtimes \mathcal{P}_n$
est simplement $(F_n \to (\Z/N \Z)^n) \times 1$,
on en d�duit bien que son noyau $P_{N,n}$ s'identifie � $K_{N,n+1}$.
%au noyau dans $P_{n+1}$.
%de l'application $x_{1i} \mapsto e_i$ ($i$-\ieme vecteur de base de
%$(\Z/N \Z)^n)$) et $x_{ij} \mapsto 0$ si $i,j >1$. Ainsi, le
%groupe $K_{N,n}$ d'Enriquez (p. 17) s'identifie inversement au
%noyau de la restriction � $F_n \rtimes P_n$ de $\pi_N$. Comme
%le noyau de $\pi_N$ est inclus dans $F_n \rtimes P_n$, on
%en d�duit que $K_{N,n} \simeq \Ker \pi_N$. 
 






\begin{thebibliography}{BBMRR}

\bibitem[Bo]{BOURBAKI} N. Bourbaki, {\it Groupes et alg�bres de Lie,
chapitres 2 et 3},
Actualit�s scientifiques et industrielles 1349, Hermann (1972).
\bibitem[BMR]{BMR} M. Brou�, G. Malle et R. Rouquier,
{\it Complex reflection groups, braid Groups, Hecke algebras}
J. Reine Angew. Math. {\bf 500}, 127-190 (1998). 
\bibitem[CoP]{COHEN} A.M. Cohen et Luis Paris, {\it On a theorem
of Artin}, � para�tre au J. Group Theory
\bibitem[De]{DELIGNE} P. Deligne, {\it Le groupe fondamental
de la droite projective moins trois points}, in
Galois groups over $\mathbbm{Q}$, Publ., Math. Sci. Res. Inst. {\bf 16},
79-297 (1989).
\bibitem[DG]{DG} M. Demazure et P. Gabriel,
{\it Groupes alg�briques. Tome I: G�om�trie alg�brique. G�n�ralit�s. Groupes commutatifs}
North-Holland (1970).
\bibitem[CrP]{PARIS} J. Crisp et Luis Paris,
{\it Artin groups of type $B$ and $D$}, preprint math.GR/0210438, � para�tre � Adv. Geom. 
\bibitem[Di]{DIGNE} F. Digne, {\it On the linearity of Artin braid groups},
J. Algebra {\bf 268 } No.1, 39-57 (2003).
\bibitem[Dr]{DRIN} V.G. Drinfel'd, {\it On quasitriangular quasi-hopf
algebras and a group closely connected with $\mathrm{Gal}(\overline{\Q}/\Q)$},
Leningrad Math. J. {\bf 2} No. 4, 829-860 (1991).
\bibitem[En]{ENRIQUEZ} B. Enriquez, {\it Quasi-reflection algebras,
multiple polylogarithms at roots of 1, and analogues of the group GT},
preprint math.QA/0408035, ao�t 2004.
\bibitem[GP]{GP} M. Geck et G. Pfeiffer, {\it Characters of Finite Coxeter Groups
and Iwahori-Hecke Algebras}, London Math. Society Monographs
New Series { \bf 21}, Clarendon Press (2000).
\bibitem[GHMR]{GILB} N.D. Gilbert, J. Howie, V. Metaftsis, et E. Raptis,
{\it Tree actions of automorphism groups},
J. Group Theory {\bf 3} No.2, 213-223 (2000). MS
\bibitem[Qu]{QUILLEN} D. Quillen, {\it Rational homotopy theory}, Ann. Maths
{\bf 90} No. 2, 205-295 (1969).
\bibitem[Ma1]{ASSOC} I. Marin, {\it On the representation theory of
braid groups}, soumis pour publication.
\bibitem[Ma2]{BULL} I. Marin, {\it Irr�ducitibilit� g�n�rique des produits
tensoriels de monodromies}, Bull. Soc. Math. Fr.
{ \bf 132}  201-232 (2004).
\bibitem[Ma3]{HECKINF} I. Marin, {\it Alg�bres de Hecke infinit�simales},
C. R., Math., Acad. Sci. Paris {\bf 337 }, No.5, 297-302 (2003).
\bibitem[We]{WENZL} H. Wenzl, {\it Hecke algebras of type $A_n$
and subfactors}, Invent. Math. {\bf 92}  No. 2, 349--383 (1988).
\end{thebibliography}

\end{document}



math0502115.extracted_bib
\begin{thebibliography}{BBMRR}

\bibitem[Bo]{BOURBAKI} N. Bourbaki, {\it Groupes et alg�bres de Lie,
chapitres 2 et 3},
Actualit�s scientifiques et industrielles 1349, Hermann (1972).
\bibitem[BMR]{BMR} M. Brou�, G. Malle et R. Rouquier,
{\it Complex reflection groups, braid Groups, Hecke algebras}
J. Reine Angew. Math. {\bf 500}, 127-190 (1998). 
\bibitem[CoP]{COHEN} A.M. Cohen et Luis Paris, {\it On a theorem
of Artin}, � para�tre au J. Group Theory
\bibitem[De]{DELIGNE} P. Deligne, {\it Le groupe fondamental
de la droite projective moins trois points}, in
Galois groups over $\mathbbm{Q}$, Publ., Math. Sci. Res. Inst. {\bf 16},
79-297 (1989).
\bibitem[DG]{DG} M. Demazure et P. Gabriel,
{\it Groupes alg�briques. Tome I: G�om�trie alg�brique. G�n�ralit�s. Groupes commutatifs}
North-Holland (1970).
\bibitem[CrP]{PARIS} J. Crisp et Luis Paris,
{\it Artin groups of type $B$ and $D$}, preprint math.GR/0210438, � para�tre � Adv. Geom. 
\bibitem[Di]{DIGNE} F. Digne, {\it On the linearity of Artin braid groups},
J. Algebra {\bf 268 } No.1, 39-57 (2003).
\bibitem[Dr]{DRIN} V.G. Drinfel'd, {\it On quasitriangular quasi-hopf
algebras and a group closely connected with $\mathrm{Gal}(\overline{\Q}/\Q)$},
Leningrad Math. J. {\bf 2} No. 4, 829-860 (1991).
\bibitem[En]{ENRIQUEZ} B. Enriquez, {\it Quasi-reflection algebras,
multiple polylogarithms at roots of 1, and analogues of the group GT},
preprint math.QA/0408035, ao�t 2004.
\bibitem[GP]{GP} M. Geck et G. Pfeiffer, {\it Characters of Finite Coxeter Groups
and Iwahori-Hecke Algebras}, London Math. Society Monographs
New Series { \bf 21}, Clarendon Press (2000).
\bibitem[GHMR]{GILB} N.D. Gilbert, J. Howie, V. Metaftsis, et E. Raptis,
{\it Tree actions of automorphism groups},
J. Group Theory {\bf 3} No.2, 213-223 (2000). MS
\bibitem[Qu]{QUILLEN} D. Quillen, {\it Rational homotopy theory}, Ann. Maths
{\bf 90} No. 2, 205-295 (1969).
\bibitem[Ma1]{ASSOC} I. Marin, {\it On the representation theory of
braid groups}, soumis pour publication.
\bibitem[Ma2]{BULL} I. Marin, {\it Irr�ducitibilit� g�n�rique des produits
tensoriels de monodromies}, Bull. Soc. Math. Fr.
{ \bf 132}  201-232 (2004).
\bibitem[Ma3]{HECKINF} I. Marin, {\it Alg�bres de Hecke infinit�simales},
C. R., Math., Acad. Sci. Paris {\bf 337 }, No.5, 297-302 (2003).
\bibitem[We]{WENZL} H. Wenzl, {\it Hecke algebras of type $A_n$
and subfactors}, Invent. Math. {\bf 92}  No. 2, 349--383 (1988).
\end{thebibliography}