Transcendance de p\'eriodes: \\ \'etat des connaissances
Michel Waldschmidt\thanks{Institut de Math\'ematiques de Jussieu -- UMR 7586 du CNRS
Universit\'e P.~et M.~Curie (Paris VI)
%Th\'eorie des Nombres -- Case 247
175 rue du Chevaleret
Les nombres r�els ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont \og int�ressants\fg, qui apparaissent \og naturellement\fg, qui m�ritent notre attention, forment un ensemble d�nombrable. Dans cet �tat d'esprit nous nous int�ressons aux p�riodes au sens de Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l'�tat de nos connaissances concernant la nature arithm�tique de ces nombres: d�cider si une p�riode est un nombre rationnel, alg�brique irrationnel ou au contraire transcendant est l'objet de quelques th�or�mes et de beaucoup de conjectures. Nous pr�cisons aussi ce qui est connu sur l'approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou alg�briques.
math0502582.tex
% Fichier MahdiaPeriodes-new.tex
% LaTeX
% cr�� le 30 mars 2004
% Titre:  
%            Transcendance de p�riodes:
%            �tat des connaissances
%            Colloque annuel de la SMT 
%            Mars 2004
%%
% mise � jour 27/07/2004
%le 22 juin 2004 : quelques corrections par rapport au texte soumis le 18/06:
%1
%: theor�me remplac� par th�or�me  dans
% La d�monstration par G.V.~{\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i} de son 
%2
% ajout� F.~Lucas dans Y.~Bugeaud, B.~ Adamczevsky  et F.~Lucas 
% r�f�rence compl�t�e dans bibliomiw: 
%B. Adamczewski, Y. Bugeaud \&  F. Luca, 
% 7/07/2004 - quelques coquilles corrig�es
% 22/07: ajout� le nom de Pellarin
% 26/07 permut� Beukers/Wolfart, Adamczewski/Bugeaud
% et ajout�  r�f. Cartier en (5.6)
 %27/07/04   corrections Paula Cohen du 17 juillet
 %29/07 : calE, De plus, il se trouve
 %05/09/2004: petits d�tails:
 % (r�f: 7, 58, 61: auteur - trait - et \S3 l.2: ( 2.10) rplac� par (2.10)

\documentclass[siam10.clo]{siamltex}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
 
\def\cprime{$'$}
 
\renewcommand{\textheight}{16cm}
\renewcommand{\textwidth}{12cm}
\renewcommand{\oddsidemargin}{5cm}
\renewcommand{\evensidemargin}{5cm}
\renewcommand{\topmargin}{0cm} 
 
\begin{document} 

\catcode`\�=\active\def�{{\aa}}       % option a 
\catcode`\�=\active\def�{\c c}        % option c 
\catcode`\�=\active\def�{\c C}        % shift-option C  

\catcode`\�=\active\def�{\"a}        % option u, then  a
\catcode`\�=\active\def�{\"e}        % option u, then  e
\catcode`\�=\active\def�{\"{\i}}     % option u, then  i
\catcode`\�=\active\def�{\"o}        % option u, then  o
\catcode`\�=\active\def�{\"u}        % option u, then  u 
\catcode`\�=\active\def�{\"O}        % option u, then  O
\catcode`\�=\active\def�{\"U}        % option u, then  U
\catcode`\�=\active\def�{\'a}        % option e, then  a
\catcode`\�=\active\def�{\'e}        % option e, then  e
\catcode`\�=\active\def�{\'{\i}}     % option e, then  i
\catcode`\�=\active\def�{\'o}        % option e, then  o
\catcode`\�=\active\def�{\'u}        % option e, then  u
\catcode`\�=\active\def�{\'E}        % option e, then  E
\catcode`\�=\active\def�{\`a}        % option `, then  a
\catcode`\�=\active\def�{\`e}        % option `, then  e
\catcode`\�=\active\def�{\`{\i}}     % option `, then  i
\catcode`\�=\active\def�{\`o}        % option `, then  o
\catcode`\�=\active\def�{\`u}        % option `, then  u
\catcode`\�=\active\def�{\`A}        % option `, then  A
\catcode`\�=\active\def�{\~a}        % option n, then  a
\catcode`\�=\active\def�{\~n}        % option n, then  n
\catcode`\�=\active\def�{\~o}        % option n, then  o
\catcode`\�=\active\def�{\~A}        % option n, then  A
\catcode`\�=\active\def�{\~N}        % option n, then  N
\catcode`\�=\active\def�{\~O}        % option n, then  O
\catcode`\�=\active\def�{\^a}        % option i, then  a
\catcode`\�=\active\def�{\^e}        % option i, then  e
\catcode`\�=\active\def�{\^{\i}}     % option i, then  i
\catcode`\�=\active\def�{\^o}        % option i, then  o
\catcode`\�=\active\def�{\^u}        % option i, then  u
 



\font\goth=eufm10 %at 24 pt


\newcommand{\Beta}{{\mathrm B}}


\newcommand{\BbbC}{{\mathbf C}}
\newcommand{\BbbF}{{\mathbf F}}
\newcommand{\BbbQ}{{\mathbf Q}}
\newcommand{\BbbR}{{\mathbf R}}
\newcommand{\BbbZ}{{\mathbf Z}}

\newcommand{\Qbar}{\overline{\BbbQ}}


\newcommand{\rmh}{{\mathrm h}}


\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\langle\!\langle$}}

\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\,\rangle\!\rangle$}}

\newcommand{\calE}{{\mathcal E}}

\def\rmM{{\mathrm M}}

\newcommand{\calP}{{\mathcal P}}

\newcommand{\us}{\underline{s}}


\def\Zgoth{\hbox{\goth Z}}

\newcommand{\calL}{{\mathcal L}}

\newcommand{\bG}{\mathbf{G}}
\newcommand{\bGm}{\bG_m}
\newcommand{\bGa}{\bG_a}

\def\tg#1{T_e(#1)}


\newcommand{\virgule}{\raise 2 pt \hbox{,}}



 

\newcommand{\calF}{{\mathcal F}}

\newtheorem{theoreme}[equation]{Th�or�me}
\newtheorem{conjecture}[equation]{Conjecture} 
\newtheorem{corollaire}[equation]{Corollaire} 
\newtheorem{lemme}[equation]{Lemme}
\newtheorem{remarque}[equation]{Remarque}
\newtheorem{question}[equation]{Question}
\newtheorem{exemple}[equation]{Exemple}
\newtheorem{propos}[equation]{Proposition}
 
\title{Transcendance de p\'eriodes: \\ \'etat des connaissances
}
 

\author{Michel Waldschmidt\thanks{Institut de Math\'ematiques 
de Jussieu -- UMR 7586 du CNRS,
Universit\'e P.~et M.~Curie (Paris VI),
%Th\'eorie des Nombres -- Case 247\\
175 rue du Chevaleret,
F-75013 Paris
{\tt miw@math.jussieu.fr}
{\tt http://www.math.jussieu.fr/$\sim$miw}}}


\maketitle
 

 


%\keywords{


\begin{keywords}
P�riodes, nombres transcendants, irrationalit�, int�grales, s�ries, approximation diophantienne, mesures d'irrationalit�, mesures de transcendance, mesures d'ind�\-pen\-dance lin�aire, fonctions Gamma, B�ta, z�ta, valeurs z�ta multiples (MZV).


\end{keywords}
 

\begin{AMS}
11J81 11J86 11J89
\end{AMS}
 

\begin{abstract}
Les nombres r�els ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont \og int�ressants\fg, qui apparaissent \og naturellement\fg, qui m�ritent notre attention, forment un ensemble d�nombrable. Dans cet �tat d'esprit nous nous int�ressons aux p�riodes au sens de  Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l'�tat de nos connaissances concernant la nature arithm�tique de ces nombres: d�cider si une p�riode est un nombre rationnel, alg�brique irrationnel ou au contraire transcendant est  l'objet de quelques th�or�mes et de beaucoup de conjectures. Nous pr�cisons aussi ce qui est connu sur l'approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou alg�briques.

 
 

\end{abstract}

\pagestyle{myheadings}
\thispagestyle{plain}
\markboth{Michel Waldschmidt}{\small Transcendance de p\'eriodes
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  The main body  of the paper  


\section{Introduction}



Dans leur article  \cite{KontsevichZagierMU-00} intitul� \og Periods\fg, M.~Kontsevich et D.~Zagier introduisent la notion de p�riodes en en donnant deux d�finitions dont ils disent qu'elles sont �quivalentes; il proposent une conjecture, deux principes et cinq probl�mes. Le premier principe est le suivant: \og {\it chaque fois que vous rencontrez un nouveau nombre et que vous voulez savoir s'il est transcendant, commencez par essayer de savoir si c'est une p�riode}\fg. 

Si la r�ponse est n�gative, alors le nombre est transcendant; en effet les p�riodes forment une sous alg�bre de $\BbbC$ sur le corps $\Qbar$ des nombres alg�briques, donc tout nombre alg�brique est une p�riode. 

Le but de cet expos� est d'examiner ce qui se passe si la r�ponse est positive: {\it que sait-on sur la transcendance de p�riodes? }

Nous consid�rons aussi l'aspect quantitatif de cette question, en liaison avec la question suivante de  \cite{KontsevichZagierMU-00}, \S~1.2  qui pr�c�de leur conjecture 1: quand on veut v�rifier une �galit� entre deux nombres alg�briques, il suffit de calculer ces deux nombres avec une pr�cision suffisante, puis d'utiliser l'in�galit� de Liouville qui �tablit que deux nombres alg�briques distincts de degr� et hauteur born�e ne peuvent �tre trop proches l'un de l'autre. Dans l'exemple qu'ils donnent, d� � D.~Shanks \cite{ShanksFQ-74}:
\begin{equation}
\label{E:Shanks}
\sqrt{11+2\sqrt{29}}+
\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}=
\sqrt{5}+\sqrt{22+2\sqrt{5}},
\end{equation}
la diff�rence $\gamma$ entre les deux membres de (\ref{E:Shanks}) est un nombre alg�brique de degr� $\le 16$ sur $\BbbQ(\sqrt{5},\sqrt{29})$, donc de degr� $\le 64$ sur $\BbbQ$. Pour chacun des  $64$ �l�ments $\epsilon=(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_6)\in\{0,1\}^6$, posons
\begin{eqnarray}
\gamma_\epsilon=
\epsilon_3\sqrt{11+2\epsilon_2\sqrt{29}}
&+&
\epsilon_4\sqrt{16-2\epsilon_2\sqrt{29}+2\epsilon_5\sqrt{55-10\epsilon_2\sqrt{29}}}\nonumber\\
&+&\epsilon_1\sqrt{5}+\epsilon_6\sqrt{22+2\epsilon_1\sqrt{5}}.
\nonumber
\end{eqnarray}
Le nombre
$$
N= \prod_{\epsilon}\gamma_\epsilon
$$
est un entier rationnel. Il suffit de le calculer avec une pr�cision d'un chiffre apr�s la virgule pour v�rifier qu'il satisfait $-1<N<1$, donc qu'il est nul (c'est le cas le plus simple de l'in�galit� de Liouville  \cite{miwGL326-00} \S~3.5). Il s'ensuit qu'un (au moins) des $64$ facteurs $\gamma_\epsilon$ du produit est nul, et l'�galit� (\ref{E:Shanks}) s'en d�duit ais�ment.

 
 La question pos�e par Kontsevich et Zagier dans \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~1.2 consiste � savoir si on peut faire de m�me avec les p�riodes. Il s'agirait de d�finir une notion  de complexit� d'une p�riode analogue � celle de hauteur pour un nombre alg�brique, puis de minorer cette complexit� pour une p�riode non nulle afin de remplacer l'in�galit� de Liouville.  Une des suggestions qu'ils font est de compter le nombre de touches n�cessaires pour taper en \TeX\ une int�grale dont la valeur est la p�riode en question. 
 
 Dans cet �tat d'esprit il serait int�ressant de savoir s'il existe des nombres qui sont � la fois une p�riode et un nombre de Liouville. Une r�ponse n�gative signifierait que {\it pour toute p�riode r�elle $\theta$, il existe une constante $c(\theta)>0$ telle que, pour tout nombre rationnel $p/q$ distinct de $\theta$ avec $q\ge 2$, on ait}
 $$
 \left|\theta-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{c(\theta)}}\cdotp
 $$
 Plus ambitieusement on peut demander si les p�riodes (complexes) se comportent, pour l'approximation par des nombres alg�briques, comme presque tous les nombres (complexes) \cite{BugeaudCTM-2004, miwGL326-00}: {\it �tant donn�e une p�riode transcendante $\theta\in\BbbC$, existe-t-il une constante $\kappa(\theta)$ telle que, pour tout polyn�me non nul $P\in\BbbZ[X]$, on ait
 $$
 |P(\theta)|\ge H^{-\kappa(\theta) d},
 $$
 o� $H\ge 2$ est un majorant de la hauteur (usuelle) de $P$ (maximum des valeurs absolues des coefficients) et $d$ son degr�?}



\section{Int�grales ab�liennes}
 

La nature arithm�tique de la valeur de l'int�\-grale d'une fonction alg�brique d'une variable entre des bornes alg�briques (ou infinies) est maintenant bien connue, aussi bien sous l'aspect qualitatif que quantitatif.

%%%%%____________________________________________

\subsection{Genre $0$: logarithmes de nombres alg�briques}

L'outil principal est le th�or�me de Baker sur l'ind�pendance lin�aire, sur le corps $\Qbar$ des nombres alg�briques, de logarithmes de nombres alg�briques. Nous n'utilisons ici que le cas particulier suivant:

\begin{theoreme}
\label{T:Baker}
Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des nombres alg�briques non nuls, $\beta_1,\ldots,\beta_n$ des nombres alg�briques, et, pour $1\le i\le n$, $\log\alpha_i$ un logarithme complexe de $\alpha_i$. Alors le nombre 
$$
\beta_1\log\alpha_1+\cdots+\beta_n\log\alpha_n
$$
est soit nul, soit transcendant.

\end{theoreme}

On en d�duit:

\begin{corollaire}
\label{C:genrezero}
Soient $P$ et $Q$ des polyn�mes � coefficients alg�briques v�rifiant  
$\deg P<\deg Q$ et soit $\gamma$ un chemin ferm�, ou bien un chemin dont les extr�mit�s sont alg�briques ou infinies. Si l'int�grale 
\begin{equation}\label{E:integraledePsurQ}
\int_\gamma \frac {P(z)}{Q(z)} dz
\end{equation}
existe, alors elle est soit nulle, soit transcendante.
\end{corollaire}

 
 Un exemple c�l�bre \cite{SiegelAMS-49} p.~97 est 
 $$
\int_0^1\frac{dt}{1+t^3}=\frac{1 }{
3}\left(\log2+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)
\cdotp
$$

Le corollaire \ref{C:genrezero} se d�duit du th�or�me \ref{T:Baker} en d�composant la fraction rationnelle $P(z)/Q(z)$ en �l�ments simples
 (voir  par exemple \cite{vanderPoortenPAMS-71}). En fait le corollaire  \ref{C:genrezero} est �quivalent au th�or�me \ref{T:Baker}: il suffit d'�crire le logarithme d'un nombre alg�brique comme une p�riode;  pour la d�termination principale, quand $\alpha$ n'est pas r�el n�gatif, on a par exemple
 $$
 \log\alpha=\int_0^\infty \frac{(\alpha-1)dt}{(t+1)(\alpha t+1)}
  $$
tandis que
 $$
 i\pi=2i\int_0^\infty \frac{dt}{1+t^2}\cdotp
 $$ 
 Les mesures d'ind�pendance lin�aire de logarithmes de nombres alg�briques (minorations de combinaisons lin�aires, � coefficients alg�briques, de lo\-ga\-ri\-thmes de nombres alg�briques - voir par exemple \cite{miwGL326-00}) contiennent le fait qu'une int�grale non nulle de la forme (\ref{E:integraledePsurQ}) a une valeur absolue minor�e explicitement en termes des hauteurs de $P$ et $Q$ et de leurs degr�s, ainsi que des hauteurs et degr�s des nombres alg�briques extr�mit�s de $\gamma$.

%%%%%____________________________________________

\subsection{Genre $1$: int�grales elliptiques}

La nature arithm�tique des va\-leurs d'int�grales elliptiques de premi�re ou deuxi�me esp�ce a �t� �tudi�e d�s 1934 \cite{SchneiderCrelle-34} puis 1937 \cite{SchneiderMA-37} par Th.~Schneider. Voici le th�or�me 15 version III de \cite{Schneider-57}.

\begin{theoreme}\label{T:Schneider-genre-un}
Toute int�grale elliptique de premi�re ou deuxi�me esp�ce � coefficients alg�briques et calcul�e entre des bornes alg�briques distinctes a pour valeur un nombre nul ou transcendant.

\end{theoreme}



En particulier {\it toute p�riode non nulle d'une int�grale elliptique de premi�re ou deuxi�me esp�ce � coefficients alg�briques est transcendante.}


Le  th�or�me 16   de \cite{Schneider-57} concerne  {\it  la transcendance du quotient de deux int�grales elliptiques de premi�re esp�ce. }

Une cons�quence que cite Schneider de son th�or�me 17 dans  \cite{Schneider-57}  s'�nonce:   {\it  la valeur prise par une int�grale elliptique de premi�re ou de deuxi�me esp�ce � coefficients alg�briques entre des bornes alg�briques est quotient d'une p�riode par un facteur rationnel ou transcendant. }

Du th�or�me \ref{T:Schneider-genre-un} on d�duit le r�sultat cit� dans \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~1.1:   {\it   si $a$ et  $b$ sont deux nombres alg�briques r�els positifs, l'ellipse  dont les longueurs d'axes sont $a$ et $b$ a un p�rim�tre 
\begin{equation}
\label{E:perimetre}
2\int_{-b}^{b} \sqrt{1+\frac{a^2 x^2}{ b^4-b^2x^2}}\ dx
\end{equation}
qui est  un nombre transcendant. }  Plus g�n�ralement   {\it   la longueur de tout arc dont les extr�mit�s sont des points de coordonn�es alg�briques est un nombre transcendant ou nul.}

 Il en est de m�me pour une lemniscate 
 $$
(x^2+ y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)
$$
quand $a$ est alg�brique.
 
 
 Ces �nonc�s sont d�montr�s par Schneider comme cons�quences de r�sultats sur les fonctions elliptiques.  Voici par exemple la version I du  th�or�me 15 de \cite{Schneider-57}. Soit $\wp$ une fonction elliptique de Weierstrass d'invariants $g_2$ et $g_3$ alg�briques:
 $$
 {\wp'}^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3.
 $$
 Soient $\zeta$ la fonction z�ta de Weierstrass associ�e � $\wp$,  $a$ et $b$ deux nombres alg�briques non tous deux nuls et  $u$ un nombre complexe non p�le de $\wp$. 
  {\it  Alors l'un au moins des deux nombres $\wp(u)$, $au+b\zeta(u)$ est transcendant.}
 



Ainsi en consid�rant les deux courbes elliptiques
$$
y^2=x^3-x \qquad \hbox{et}\qquad
y^2=x^3-x
$$
on en d�duit que   {\it  chacun des deux nombres
 \begin{equation}
 \label{E:GammaUnQuart}
\int_0^1 \frac{dx }{ \sqrt{x-x^3} }
=\frac{1 }{ 2} \Beta(1/4,1/2)=\frac{
\Gamma(1/4)^2 }{ 2^{3/2}\pi^{1/2}}
\end{equation}
et
 \begin{equation}
 \label{E:GammaUnTiers}
\int_0^1 \frac{dx }{ \sqrt{1-x^3} }
=\frac{1 }{ 3} \Beta(1/3,1/2)=\frac{
\Gamma(1/3)^3 }{  2^{4/3}3^{1/2} \pi}
\end{equation}
est transcendant.}

Ces deux formules (comparer avec \cite{Masser} p.21) sont des cas particuliers de la   formule de Chowla-Selberg  (cf 
 \cite{GrossRohrlichIM-78} et \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~2.3) qui exprime les p�riodes de courbes elliptiques de type CM comme des produits de valeurs de la fonction Gamma d'Euler dont une des d�finitions est:
\begin{equation}
\label{E:GammaProduit}
\Gamma(z)=e^{-\gamma z} z^{-1} \prod_{n=1}^\infty \left(
1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}.
\end{equation}
L'extension par G.~Shimura aux vari�t�s ab�liennes de type CM de la formule de Chowla-Selberg donne lieu aux relations de Deligne-Koblitz-Ogus sur la fonction Gamma (voir \cite{BrownawellPapanikolasCrelle-02}). 



%%%%%____________________________________________
 
\subsection{Genre $\ge 1$: int�grales ab�liennes}

Dans \cite{SchneiderCrelle-41}, Th.~Schneider  �tend ses r�sultats aux int�grales ab�liennes. La d�monstration est une extension en plusieurs variables de ses r�sultats ant�rieurs; dans la partie analytique de la d�monstration de transcendance, l'outil essentiel, un lemme de Schwarz, est �tendu en plusieurs variables gr�ce � une formule d'interpolation pour les produits cart�siens. Cela permet � Schneider d'obtenir des �nonc�s sur les fonctions ab�liennes. L'exemple le plus important des r�sultats qu'il obtient est le suivant:


\begin{theoreme}\label{T:Beta}
Soient
 $a$ et  $b$ des nombres rationnels non entiers tels que  $a+b$ ne soit pas non plus un entier. Alors le nombre
\begin{equation}
\label{E:Beta}
\Beta(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b) }{ \Gamma(a+b)}
=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx
\end{equation}
est transcendant.
\end{theoreme}

 

 Les travaux sur la nature arithm�tique des valeurs d'int�grales ab�liennes sont nombreux: ceux de Th.~Schneider en 1940 ont �t� poursuivis par S.~Lang dans les ann�es 1960, puis notamment par  D.W.~Masser gr�ce � la m�thode de Baker dans les ann�es 1980, pour arriver � une solution essentiellement compl�te de la question en 1989 par 
 G.~W�stholz \cite{WustholzAnnM-89} qui a obtenu une extension satisfaisante du 
 th�or�me  \ref{T:Baker} de  Baker  aux groupes alg�briques commutatifs. On conna�t donc essentiellement ce que l'on souhaite sur la  transcendance et  l'ind�pendance lin�aire (sur le corps des nombres alg�briques) d'int�grales ab�liennes de premi�re, seconde ou troisi�me esp�ce. Par exemple J.~Wolfart et G.~W�stholz \cite{WolfartWustholzMA-85} ont montr� que les seules relations lin�aires � coefficients alg�briques entre les valeurs $\Beta(a,b)$ de la fonction B�ta en des points $(a,b)\in\BbbQ^2$ sont celles qui r�sultent des relations de Deligne-Koblitz-Ogus.
 
 De plus on dispose �ga\-lement maintenant de r�sultats quantitatifs qui permettent de minorer la valeur d'une int�grale ab�lienne quand elle est non nulle -- les estimations les plus r�centes et les plus pr�cises sur ce sujet, dans le cadre g�n�ral des groupes alg�briques, sont dues � �.~Gaudron \cite{GaudronCRAS-01, GaudronFLLEVA-04}.
   
 
 Si les relations lin�aires � coefficients alg�briques entre les valeurs d'int�\-grales ab�liennes sont maintenant bien connues, il n'en est pas de m�me des relations alg�briques. Dans une note de bas de page \cite{GrothendieckIHES-66}, A.~Grothendieck propose un �nonc� conjectural sur la transcendance de p�riodes de vari�t�s ab�liennes d�finies sur le corps des nombres alg�briques. La premi�re formulation pr�cise de cette conjecture est donn�e par S.~Lang dans son livre \cite{LangITN-66}, o� l'on trouve aussi la premi�re formulation de la conjecture de Schanuel sur l'ind�pendance alg�brique des valeurs de la fonction exponentielle (voir aussi \cite{DeligneMSMF-80}). Ces �nonc�s ont �t� d�velopp�s par Y.~Andr� (voir notamment \cite{AndreQCTIGA-97}) qui propose une g�n�ralisation commune des conjectures de Grothendieck et Schanuel. Pour des $1$-motifs attach�s aux produits de courbes elliptiques,  C.~Bertolin \cite{BertolinJNT-02} a explicit� la situation conjecturale en formulant sa conjecture elliptico-torique qui fait intervenir la fonction exponentielle, les fonctions $\wp$ et $\zeta$ de Weierstrass, les int�grales elliptiques et l'invariant modulaire $j$   (voir aussi \cite{miwODPJMS-04} et \cite{miwHyderabad-03}).
 


 

\section{Valeurs de la fonction Gamma d'Euler}
La d�finition (\ref{E:Beta}) de la fonction B�ta  sous forme d'une int�grale montre que ses valeurs aux points de $\BbbQ^2$ o� elle est d�finie sont des p�riodes. De la relation (\ref{E:Beta}) entre les fonctions Gamma et B�ta on d�duit
$$
\Gamma(a_1)\cdots \Gamma(a_n) = \Gamma(a+\cdots+a_n)
\prod_{i=1}^{n-1} \Beta(a_1+\cdots+a_{i-1},a_i).
$$
Il en r�sulte que pour tout $p/q\in\BbbQ$ avec $p>0$ et $q>0$, le nombre $\Gamma(p/q)^q$ est une p�riode. Par exemple
$$
\pi=\Gamma(1/2)^2=\int_0^1x^{-1/2}(1-x)^{-1/2}dx.
$$
De  (\ref{E:GammaUnQuart}) et (\ref{E:GammaUnTiers}) on d�duit aussi des expressions de $\Gamma(1/3)^3$ et $\Gamma(1/4)^4$ comme p�riodes. 


On conna�t bien mieux la nature arithm�tique des valeurs de la fonction  B�ta  d'Euler (gr�ce au th�or�me \ref{T:Beta} de Schneider) que celles de la fonction Gamma. On sait que le nombre $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ est transcendant, gr�ce � Lindemann. La transcendance de $\Gamma(1/4)$ et $\Gamma(1/3)$ a �t� �tablie par  G.V.~{\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i}  \cite{ChudnovskyDANU-76}.
   
\begin{theoreme} \label{T:Chudnovsky}
Les deux nombres
$$
\Gamma(1/4)\quad\hbox{ et}\quad \pi
$$
sont alg�briquement ind�pendants, et il en est de m�me des deux nombres
$$
\Gamma(1/3)\quad\hbox{et}\quad \pi.
$$

\end{theoreme}

Comme l'a remarqu� D.W. Masser on peut aussi �noncer ces r�sultats en disant que les deux nombres
$\Gamma(1/4)$ et $\Gamma(1/2)$
sont alg�briquement ind�pendants et qu'il en est de m�me des deux nombres
$\Gamma(1/3)$ et $ \Gamma(2/3)$.


 Les seules autres valeurs de la fonction $\Gamma$ en des points rationnels dont on sache d�montrer la transcendance sont celles que l'on d�duit de la transcendance en $1/2$, $1/3$ et $1/4$ en utilisant les relations standard satisfaites par la fonction Gamma (voir ci-dessous). Par exemple $\Gamma(1/6)$ est aussi un nombre transcendant.

La d�monstration par G.V.~{\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i}
de son th�or�me \ref{T:Chudnovsky} repose sur le  r�sultat suivant \cite{ChudnovskyDANU-76} concernant les p�riodes et quasi p�riodes de fonctions de Weierstrass, que l'on applique aux courbes elliptiques $y^2=x^3-x$ et $y^2=x^3-1$ gr�ce � (\ref{E:GammaUnQuart}) et (\ref{E:GammaUnTiers})

 {\it 
Soit $\wp$ une fonction elliptique de Weierstrass d'invariants
 $g_2$ et  $g_3$. Soit $\omega$  une p�riode non nulle de $\wp$ et soit $\eta$  la quasi-p�riode associ�e de la fonction z�ta de Weierstrass
 $\zeta$:
 $$
{\wp'}^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3,
\qquad
\zeta'=-\wp,\quad
\zeta(z+\omega)=\zeta(z)+\eta.
$$
Alors deux au moins des nombres
$$
g_2,\
g_3,\
\omega/\pi,\
\eta/\pi
$$
sont alg�briquement ind�pendants.}



De cet �nonc� on d�duit aussi le fait que le nombre (\ref{E:perimetre}) est non seulement transcendant, mais m�me alg�briquement ind�pendant de $\pi$ (cf. \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~1.1).
 


Pour l'instant on ne sait pas obtenir la transcendance (sur $\BbbQ$) de $\Gamma(1/4)$ ni de $\Gamma(1/3)$ sans �tablir le r�sultat plus fort qui est la transcendance de chacun de ces nombres  sur le corps $\BbbQ(\pi)$. D'un point de vue quantitatif de bonnes mesures de transcendance de ces nombres ont �t� �tablies par P.~Philippon puis S.~Bruiltet \cite{BruiltetAA-02}:

\begin{theoreme}
\label{T:Bruiltet}
Pour un polyn�me non constant $P\in\BbbZ[X,Y]$ de degr� $d$ et de hauteur $H$, on a
$$
\log|P(\pi,\Gamma(1/4)|>-10^{326} \bigl((\log H+d\log(d+1)\bigr)
d^2\bigl(\log (d+1)\bigr)^2
$$
et
$$
\log|P(\pi,\Gamma(1/3)|>-10^{330} \bigl((\log H+d\log(d+1)\bigr)
d^2\bigl(\log (d+1)\bigr)^2.
$$

\end{theoreme}

Ainsi $\Gamma(1/4)$ et $\Gamma(1/3)$ ne sont pas des nombres de Liouville.

La prochaine �tape pourrait �tre la transcendance du nombre $\Gamma(1/5)$ (cf. \cite{Masser}, p.~2 et p.~35). Du th�or�me \ref{T:Beta} de Schneider sur la transcendance du nombres $\Beta(1/5,1/5)$ on d�duit que l'un au moins des deux nombres $\Gamma(1/5)$, $\Gamma(2/5)$ est transcendant. Un r�sultat plus pr�cis se d�duit des travaux de P.~Grinspan \cite{GrinspanJNT-02} (voir aussi \cite{VasilevMZ-96}):

\begin{theoreme}
\label{T:Grinspan}
Un au moins des deux  nombres $\Gamma(1/5)$, $\Gamma(2/5)$  est transcendant sur le corps $\BbbQ(\pi)$.

\end{theoreme}

Autrement dit, deux au moins des trois nombres $\Gamma(1/5)$, $\Gamma(2/5)$ et $\pi$ sont alg�briquement ind�pendants.  La d�monstration de  \cite{GrinspanJNT-02} fournit de plus un r�sultat quantitatif. 

Comme la courbe de Fermat 
$x^5+y^5=z^5$ d'exposant $5$ est de genre $2$, sa jacobienne est une surface ab�lienne; il faut donc remplacer dans la d�monstration de {\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i}  les fonctions elliptiques par des fonctions ab�liennes, et c'est pourquoi il est difficile de s�parer les deux nombres $\Gamma(1/5)$ et $\Gamma(2/5)$ quand on veut obtenir la transcendance de chacun d'eux.


Avant de poursuivre avec le d�nominateur $5$, revenons aux d�nominateurs $3$ et $4$. Le th�or�me \ref{T:Chudnovsky} 
a �t� �tendu par Yu.V.~Nesterenko  \cite{NesterenkoMS-96, lnm1752}, qui obtient l'ind�pendance alg�brique de trois nombres: 

\begin{theoreme}
\label{T:Nesterenko}   
Les trois nombres
$$
\Gamma(1/4),\quad\pi \quad\hbox{et}\quad e^\pi
$$
sont alg�briquement ind�pendants, et il en est de m�me de
$$
\Gamma(1/3),\quad\pi \quad\hbox{et}\quad e^{\pi\sqrt{3}}.
$$
\end{theoreme}

La d�monstration par Yu.V.~Nesterenko de son th�or�me \ref{T:Nesterenko} utilise les s�ries d'Eisenstein $E_2$, $E_4$ et $E_6$ (nous utilisons les notations $P$, $Q$, $R$ de Ramanujan):

\begin{equation}
\label{E:Ramanujan}
\left\{
\begin{array}{cccccc}
P(q)\displaystyle
=E_2(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty\frac{nq^n }{ 1-q^n}\virgule\\
Q(q)\displaystyle
=E_4(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty\frac{n^3q^n }{ 1-q^n}\virgule\\
R(q)\displaystyle
=E_6(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty\frac{n^5q^n }{ 1-q^n}\cdotp\\
\end{array} \right.
\end{equation}

Les premiers r�sultats de transcendance sur les valeurs de ces fonctions sont dus � D.~Bertrand dans les ann�es 70. Une avanc�e remarquable a �t� faite  en 1996 par K.~Barr�-Sirieix, G.~Diaz, F.~Gramain et G.~Philibert \cite{BDGP-IM-96}, qui ont r�solu le probl�me suivant de Manin (et de Mahler dans le cas $p$-adique) concernant la fonction modulaire $J=Q^3/\Delta$, o� $\Delta=12^{-3}(Q^3-R^2)$: {\it pour tout $q\in\BbbC$ avec $0<|q|<1$, l'un au moins des deux nombres $q$, $J(q)$ est transcendant.}

C'est cette perc�e qui a permis � Yu.V.~Nesterenko \cite{NesterenkoMS-96} de d�montrer le r�sultat suivant, cit� dans le \S~2.4 de \cite{KontsevichZagierMU-00}:

 {\it Soit $q\in\BbbC$  un nombre complexe satisfaisant
$0<|q|<1$. Alors trois au moins des quatre nombres
$$ 
q,\
 P(q),\
  Q(q),\
   R(q)
$$
sont alg�briquement ind�pendants.
}

Le th�or�me \ref{T:Nesterenko} en r�sulte en sp�cialisant $q=e^{-2\pi}$ et $q=-e^{-\pi\sqrt{3}}$ car $J(e^{-2\pi})=1728$,
 $$
P(e^{-2\pi})=\frac{3 }{\pi}\virgule
\quad
Q(e^{-2\pi})=3\left(\frac{\omega }{\pi}\right)^4,
\quad
R(e^{-2\pi})=0
%,\quad
%\Delta(e^{-2\pi})={1\over 
%2^6}\left({\omega\over\pi}\right)^{12}
$$
avec   (cf. (\ref{E:GammaUnQuart}))
$$
\omega=\frac{\Gamma(1/4)^2 }{\sqrt{8\pi}}=2.6220575542\dots
$$  
tandis que  $J(-e^{-\pi\sqrt{3}})=0$, 
$$
P(-e^{-\pi\sqrt{3}})=\frac{2\sqrt{3} }{\pi}\virgule
\quad
Q(-e^{-\pi\sqrt{3}})=0,
\quad
R(-e^{-\pi\sqrt{3}})=\frac{27 }{
2}\left(\frac{\omega' }{\pi}\right)^6
%,\quad
%\Delta(-e^{-\pi\sqrt{3}})=-{27\over
%256}\left({\omega_1\over\pi}\right)^{12}
$$ 
avec (cf. (\ref{E:GammaUnTiers}))
 $$
\omega'=\frac{\Gamma(1/3)^3 }{ 2^{4/3}\pi}=2.428650648\dots
$$  
On trouve dans \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~2.3 des commentaires sur les liens entre les p�riodes et les s�ries d'Eisenstein  (et aussi les fonctions th�ta, qui interviennent �ga\-lement dans le travail  \cite{NesterenkoMS-96} de Nesterenko --- voir  \cite{lnm1752}). 

   
Le th�or�me \ref{T:Nesterenko} de Nesterenko et celui  \ref{T:Grinspan} de Grinspan 
sugg�rent le pro\-bl�me ouvert suivant:

  
  \begin{conjecture}
  \label{C:GammaDeuxCinquieme}
Trois au moins des quatre nombres
$$
\Gamma(1/5),\quad\Gamma(2/5),\quad\pi \quad\hbox{et}\quad e^{\pi\sqrt{5}}
$$
sont alg�briquement ind�pendants.
  \end{conjecture}
  
Ce probl�me fait l'objet de travaux r�cents de F.~Pellarin (voir en particulier \cite{PellarinIdeauxStables-04}). 

Plus ambitieusement on peut demander quelles sont toutes les relations alg�briques liant les valeurs de la fonction Gamma en des points rationnels. La question des relations multiplicatives a �t� consid�r�e par D.~Rohrlich. On rappelle d�j� ce que sont les relations standard: pour $a\in\BbbC$ (en dehors des p�les de $\Gamma(x)$, $\Gamma(x+1)$, $\Gamma(1-x)$ ou $\Gamma(nx)$ pour que les formules aient un sens), on a
$$
\Gamma(a+1)=a\Gamma(a), \leqno{\hbox{\rm (Translation)}}
$$
$$
\Gamma(a)\Gamma(1-a)=\frac{\pi }{ \sin(\pi a)} \leqno\hbox{{\rm (Reflexion)}}
$$
et, pour tout $n$ entier positif,
$$
\prod_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(a+\frac{k }{ n}\right)
=(2\pi)^{(n-1)/2} 
n^{-na+(1/2)}\Gamma(na).
\leqno\hbox{{\rm (Multiplication)  }}
$$


Voici la conjecture de Rohrlich:

\begin{conjecture}
\label{C:Rohrlich}
Toute relation multiplicative de la forme
 $$
 \pi^{b/2}\prod_{a\in\BbbQ}\Gamma(a)^{m_a}\in \Qbar
 $$
 avec $b$ et $m_a$  dans  $\BbbZ$ se d�duit des relations standard.
 \end{conjecture}

  

Une formalisation de cette conjecture utilisant la notion de \og distribution universelle\fg\ est donn�e par S.~Lang dans \cite{LangDPP-77}.


Une conjecture plus ambitieuse que \ref{C:Rohrlich}  est celle de Rohrlich-Lang qui concerne non seulement les relations monomiales, mais plus g�n�ralement les relations polynomiales: elle pr�tend que  {\it   l'id�al sur  $\Qbar$  de toutes les relations alg�briques entre les valeurs de  $(1/\sqrt{2\pi})\Gamma(a)$ pour  $a\in\BbbQ$ est engendr� par les relations de distributions, l'�quation fonctionnelle et l'imparit�}.





\section{S�ries de fractions rationnelles} 

Soient $P$ et $Q$ deux fractions rationnelles � coefficients rationnels avec $\deg Q\ge \deg P+2$. {\it Quelle est la nature arithm�tique de la somme de la s�rie
\begin{equation}
\label{E:serie}
  \sum_{  {n\ge 0}\atop {Q(n)\not=0}}
  \frac{P(n) }{ Q(n)} \ \hbox{?}
\end{equation}
}

Cette question a �t� �tudi�e notamment dans
\cite{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01}.
 
La somme de la s�rie (\ref{E:serie}) peut �tre rationnelle: c'est le cas des s�ries {\it t�l�scopiques} dont voici des exemples.


\begin{lemme}
\label{L:telescopique}
Soient
$a$ et $b$ deux �l�ments de $\BbbC^\times$ tels que $b/a\not\in\BbbZ_{\le 0}$ et soit $k$ un entier $\ge 2$. Alors
\begin{equation}
\label{E:telescopique}
\sum_{n=0}^\infty
\prod_{j=0}^{k-1}
\frac{1}{(an+b+ja)} 
=\frac{1}{(k-1)a}
\prod_{i=0}^{k-2}
\frac{1}{ia+b}\cdotp
\end{equation}


\end{lemme}

En particulier, sous les hypoth�ses du lemme \ref{L:telescopique}, si $a$ et $b$ sont des nombres rationnels alors la s�rie a pour valeur un nombre rationnel. Ainsi
$$
\sum_{n=2}^{\infty} 
\sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{n^m}=
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=1.
$$
Un autre  exemple est la somme de la s�rie (\ref{E:serie}) avec $P(X)=1$ et $Q(X)=(X+1)\cdots(X+k)$ pour $k\ge 2$, � savoir
$$
\sum_{n=0}^\infty
\frac{n!}{(n+k)!} 
=\frac{1}{k-1} \cdot \frac{1}{(k-1)!} \cdotp
$$ 

\noindent{\it D�monstration du lemme \ref{L:telescopique}}. 
On utilise la d�composition en �l�ments simples de la fraction rationnelle
\begin{equation}
\label{E:ElementsSimples}
\prod_{j=0}^{h}
\frac{1}{X+ja}=\frac{1}{a^h}\sum_{i=0}^h \frac{(-1)^i}{i!(h-i)!}\cdot
\frac{1}{X+ia}
\end{equation}
d'abord avec $h=k-1$: la somme
$$
S=
\sum_{n=0}^\infty
\prod_{j=0}^{k-1}
\frac{1}{(an+b+ja)} 
$$
de la s�rie du membre de gauche de (\ref{E:telescopique}) s'�crit
$$
S=
\sum_{n=0}^\infty
\sum_{i=0}^{k-1} \frac{c_i}{an+b+ia}\ 
$$
avec
$$
c_i=\frac{(-1)^i}{a^{k-1}i!(k-1-i)!}
\qquad
(0\le i\le k-1).
$$
Comme
$$
\sum_{i=0}^{k-1} c_i=0,
$$
on en d�duit
$$
S=\frac{1}{a^{k-1}}
\sum_{m=0}^{k-2}\frac{d_m}{am+b}
$$
avec
$$
d_m=
\sum_{i=0}^m  \frac{(-1)^i}{i!(k-1-i)!}\cdotp
$$
On v�rifie par r�currence sur $m$, pour $0\le m\le k-2$,
$$
d_m=\frac{1}{k-1}\cdotp \frac{(-1)^m}{m!(k-2-m)!}\cdotp
$$
Il ne reste plus qu'� appliquer de nouveau (\ref{E:ElementsSimples}), mais cette fois-ci avec $h=k-2$. 


 \bigskip
 



  
La somme d'une s�rie (\ref{E:serie}) peut aussi �tre transcendante: des exemples 
\cite{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01} 
sont
$$
 \sum_{n=0}^\infty\frac{1 }{ (2n+1)(2n+2)}=\log2,
$$
$$
\sum_{n=0}^\infty \frac{1 }{ (n+1)(2n+1)(4n+1)}=\frac{\pi }{ 3} \virgule
$$
et
 $$
\sum_{n=0}^\infty\frac {1 }{ (3n+1)(3n+2)(3n+3) } = \frac{\pi\sqrt{3}}{12} 
-\frac{1}{4}\log 3.
$$
%$$
%\sum_{n=0}^\infty\frac {1 }{ (6n+1)(6n+2)(6n+3)(6n+4)(6n+5) } 
%= \frac{1}{4320} (192\log 2 -81 \log 3-7\pi\sqrt{3})
%$$
De fa�on g�n�rale, quand  la fraction rationnelle $Q$ au d�nominateur a uniquement des p�les simples et rationnels, la somme de la s�rie est une  combinaison lin�aire   de logarithmes de nombres alg�\-briques. En effet, d'apr�s \cite{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01} lemme 5, si $k_j$ et $r_j$ sont des entiers positifs avec $r_j\le k_j$ et si $c_j$ sont des nombres complexes, si la s�rie
$$
S=\sum_{n=0}^\infty
\sum_{j=1}^m \frac{c_j}{k_jn+r_j}
$$
converge, alors sa somme est
$$
S=\sum_{j=1}^m  \frac{c_j}{k_j} \sum_{t=1}^{k_j-1} 
(1-\zeta_j^{-r_j t})\log (1-\zeta_j^{t}),
$$
$\zeta_j$ d�signant une racine primitive $k_j$-i�me de l'unit�. Ainsi quand les nombres $c_j$ sont alg�briques et que ce nombre $S$ est non nul, alors non seulement il est transcendant (d'apr�s le th�or�me \ref{T:Baker}), mais en plus on en conna�t de bonnes mesures de transcendance (voir par exemple \cite{miwGL326-00} et \cite{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01}). En particulier il n'est pas un nombre de Liouville.


D'autres exemples de s�ries de la forme  (\ref{E:serie}) prenant une valeur transcendante sont
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{1 }{ n^2}=\frac{\pi^2 }{ 6}
$$ 
et \cite{BundschuhMM-79}
\begin{equation}
\label{E:Bundschuh}
\sum_{n=0}^\infty\frac {1 }{ n^2+1}=\frac{1 }{ 2}
+\frac{\pi }{ 2}\cdot \frac{ e^\pi+e^{-\pi}
 }{ e^\pi-e^{-\pi}}\cdotp
\end{equation}
La transcendance de ce dernier nombre provient du th�or�me \ref{T:Nesterenko} de Nesterenko.
  

 Ces exemples soul�vent plusieurs questions. Voici la premi�re
 
\begin{question} 
Quelles sont les p�riodes parmi les nombres {\rm (\ref{E:serie})}?
   \end{question}
  
  
 Il y a beaucoup de p�riodes parmi ces nombres   (\ref{E:serie}) (voir par exemple le lemme \ref{L:zeta} ci-dessous),
mais on s'attend plut�t � ce qu'un nombre tel que (\ref{E:Bundschuh}) n'en soit pas une.

Sur la nature arithm�tique des s�ries  (\ref{E:serie}), on peut esp�rer l'�nonc� suivant:
 
\begin{conjecture}
\label{C:Transcendancedeseries} 
Un nombre de la forme
 $$
  \sum_{n\ge 0 \atop   Q(n)\not=0}\frac {P(n) }{ Q(n)}
  $$
est soit rationnel, soit transcendant.
Ce n'est jamais un nombre de Liouville.
De plus, s'il est rationnel, alors la s�rie est \og t�lescopique\fg.

\end{conjecture}

Par \og s�rie t�lescopique\fg \ nous entendons une s�rie dont la somme est rationnelle, la d�monstration de ce fait reposant sur  l'argument du lemme \ref{L:telescopique}.

\par

Le cas particulier des fractions rationnelles de la forme 
$$
P(X)/Q(X)=X^{-s}
$$ 
m�rite une section sp�ciale.


  
\section{Valeurs de la fonction z�ta de Riemann}

Commen�ons par un r�sultat �l�mentaire concernant les valeurs de la fonction z�ta  de Riemann aux entiers positifs.

 
\begin{lemme}
\label{L:zeta}
Pour $s\ge 2$
 $$
 \zeta(s)=\sum_{n\ge 1}\frac {1 }{ n^s}
 $$
est une p�riode.
\end{lemme}


 
\noindent{\it D�monstration:} on v�rifie facilement l'�galit�
\begin{equation}
\label{E:MZVperiodes}
 \displaystyle
 \zeta(s)=\int_{1>t_1>\cdots>t_s>0}
 \frac{dt_1}{t_1}\cdots  \frac{dt_{s-1}}{t_{s-1}} \cdot \frac{dt_s}{1-t_s}
 \cdotp
\end{equation}

Il sera commode d'utiliser la notation des int�grales it�r�es de Chen (\cite{CartierB-00} \S~2.6) et d'�crire la relation (\ref{E:MZVperiodes}) sous la forme
\begin{equation}
\label{E:Chen}
  \zeta(s)=\int_0^1 \omega_0^{s-1}\omega_1
  \quad\hbox{avec}\quad
 \omega_0=\frac{dt }{ t}   \quad\hbox{et}\quad
 \omega_1=\frac{dt }{ 1-t} \cdotp
\end{equation}

La nature arithm�tique des valeurs de la fonction z�ta de Riemann en des entiers positifs {\it pairs} est connue depuis  Euler:
$$
 \pi^{-2k}\zeta(2k)\in\BbbQ\quad\hbox{pour}\quad k\ge 1.
 $$
Ces nombres rationnels s'expriment en termes des nombres de Bernoulli \cite{CartierB-00}, formule (38). �tablir un r�sultat de rationalit� (ou d'alg�\-bricit�) de certains nombres est en g�n�ral plus f�cond que d'�tablir des �nonc�s d'irrationalit� ou de transcendance -- cependant notre propos est de faire le point sur les r�sultats de transcendance: ce sont eux qui assurent que toute la richesse potentielle que rec�lent des relations alg�briques entre les nombres consid�r�s a bien �t� exploit�e.

La principale question diophantienne que posent les nombres d'Euler est de savoir quelles relations alg�briques existent entre les nombres 
$$
\zeta(2),\quad \zeta(3), \quad \zeta(5), \quad \zeta(7)\dots\ ?
$$
 
On conjecture qu'il n'y en a pas (\cite{CartierB-00}  et  \cite{FischlerB-02} Conjecture 0.1). Autrement dit 


\begin{conjecture}\label{C:zeta} 
Les nombres
$$
\zeta(2),\quad \zeta(3), \quad \zeta(5), \quad \zeta(7)\dots\ 
$$
sont alg�briquement ind�pendants.
\end{conjecture}

On sait tr�s peu de choses dans cette direction: le th�or�me de  Lindemann: affirme que le nombre $\pi$ est transcendant, donc aussi $\zeta(2k)$  pour tout  entier $k\ge 1$. En 1978 R.~Ap�ry a d�montr� que le nombre   $\zeta(3)$ est irrationnel.  La d�monstration d'Ap�ry permet de montrer que le nombre $\zeta(3)$ n'est pas un nombre de Liouville, la meilleure mesure d'irrationalit� �tant celle de Rhin et Viola \cite{RhinViolaAA-01}:
$$
\left|\zeta(3)-\frac{p}{q}\right|>q^{-\mu} 
$$
pour $q$ suffisamment grand, avec $\mu=5,513\dots$

Les travaux r�cents de T.~Rivoal, puis de  K.~Ball et  W.~Zudilin notamment, apportent les premi�res informations sur la nature arithm�tique des valeurs de la fonction z�ta aux entiers impairs: par exemple l'espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels engendr� par les nombres $\zeta(2k+1)$, $k\ge 1$ a une dimension infinie   (cf. \cite{FischlerB-02}).
 
Une �tape pr�liminaire en vue d'une d�monstration de la conjecture  \ref{C:zeta} consiste � lin�ariser le probl�me: les m�thodes diophantiennes sont en effet plus performantes pour �tablir des �nonc�s d'ind�pendance lin�aire (comme le th�or�me  \ref{T:Baker} de Baker, ou m�me le th�or�me de Lindemann-Weiserstrass, qui peut s'�noncer de mani�re �quivalente comme un r�sultat d'ind�pendance alg�brique (\cite{FeldmanNesterenko-98}  Th.~2.3') ou lin�aire (\cite{FeldmanNesterenko-98}  Th.~2.3) que pour �tablir des r�sultats d'ind�pendance alg�\-brique. 
 
 Euler avait d�j� remarqu� que le produit de deux valeurs de la fonction z�ta (de Riemann comme on l'appelle maintenant!) �tait  encore la somme d'une s�rie.
En effet, 
de la relation
$$
\sum_{n_1\ge 1} n_1^{-s_1} \sum_{n_2\ge 1} {n_2}^{-s_2}=
\sum_{n_1>n_2\ge 1} n_1^{-s_1}{n_2}^{-s_2}+
\sum_{n_2>n_1\ge 1} n_2^{-s_2}{n_1}^{-s_1}+
\sum_{n\ge 1} n^{-s_1-s_2}
$$ 
on d�duit, pour $s_1\ge 2$ et $s_2\ge 2$,
$$
\zeta(s_1)\zeta(s_2)=\zeta(s_1,s_2)+\zeta(s_2,s_1)+
\zeta(s_1+s_2)
$$
avec
$$\zeta(s_1,s_2)=
\sum_{n_1>n_2\ge 1} n_1^{-s_1}{n_2}^{-s_2}.
$$

Pour $k$, $s_1,\ldots,s_k$  entiers positifs avec $s_1\ge 2$, on pose
$\us=(s_1,\ldots,s_k)$ et 
\begin{equation}
\label{E:serieMZV}
\zeta(\us)=\sum_{n_1>n_2>\cdots>n_k\ge 1}\frac {1 }{
n_1^{s_1}\cdots n_k^{s_k}}\cdotp
\end{equation}
Ces nombres sont appel�s \og valeurs z�ta multiples\fg, ou encore  \og MZV\fg ({\it Multiple Zeta Values}).
 Pour $k=1$ on retrouve bien entendu les nombres d'Euler $\zeta(s)$.

 
\begin{remarque} %\rm  
Chacun des nombres $ \zeta(\us)$ est une p�riode: en effet, avec la notation {\rm (\ref{E:Chen})}  des int�grales it�r�es de Chen,   on a (cf. \cite{CartierB-00} \S~2.6):
\begin{equation}
\label{E:integraleMZV}
  \zeta(\us)=\int_0^1 \omega_0^{s_1-1}\omega_1\cdots
  \omega_0^{s_k-1}\omega_1.
\end{equation}
\end{remarque}
  
   
Le produit de s�ries (\ref{E:serieMZV}) est une combinaison lin�aire de telles s�ries. Par cons�quent l'espace vectoriel (sur $\BbbQ$ ou sur $\Qbar$) engendr� par les $\zeta(\us)$ est aussi une alg�bre sur ce corps. De plus  le produit de deux int�grales (\ref{E:integraleMZV}) est aussi une combinaison lin�aire de telles int�grales. Par diff�rence on obtient  des relations lin�aires non triviales � coefficients rationnels entre les MZV.  On en obtient de nouvelles --- comme celle d'Euler $\zeta(2,1)=\zeta(3) $ --- en y ajoutant les relations que l'on obtient en 
r�gularisant les s�ries et les int�grales divergentes \cite{CartierB-00}. 

  Une description exhaustive des relations lin�aires entre les MZV devrait th�oriquement permettre de d�crire du m�me coup toutes les relations alg�\-briques entre ces nombres, et en particulier de  r�soudre le probl�me \ref{C:zeta} de l'ind�pendance alg�brique sur le corps $\BbbQ(\pi)$ des valeurs de la fonction z�ta aux entiers impairs.
  Le but est donc de d�crire toutes les relations lin�aires � coefficients rationnels entre les MZV. 
Soit
$\Zgoth_p$ le $\BbbQ$-sous-espace vectoriel de $\BbbR$ engendr� par les nombres $\zeta(\us)$ pour $\us$ de \og poids\fg  $s_1+\cdots+s_k=p$, avec $\Zgoth_0=\BbbQ$ et
$\Zgoth_1=\{0\}$.

Voici la conjecture de  Zagier (conjecture (108) de \cite{CartierB-00})
%\cite{ZagierSME-94} 
sur la dimension $d_p$ de $\Zgoth_p$.

  
  
  
\begin{conjecture}
  \label{C:Zagier}
Pour  $p\ge 3$ on a 
$
d_p=d_{p-2}+d_{p-3}$: 
$$
(d_0,\ d_1,\ d_2,\ldots)=
(1,0,1,1,1,2,2,\ldots).
$$
  \end{conjecture}

Cette conjecture s'�crit aussi
$$
\sum_{p\ge 0} d_pX^p=\frac{1 }{ 1-X^2-X^3}\cdotp
$$
Un candidat pour �tre une base de l'espace $\Zgoth_p$ est propos� par M.~Hoffman (\cite{HoffmanJA-97}, Conjecture C):

  
  \begin{conjecture}
  \label{C:Hoffman}
Une base de  $\Zgoth_p$ sur $\BbbQ$ est donn�e par les nombres
$\zeta(s_1,\ldots,s_k)$, $s_1+\cdots+s_k=p$,  o� chacun des $s_i$ est soit
$2$, soit
$3$.

  \end{conjecture}
  
  

Cette conjecture est compatible avec ce qui est connu  pour  $p\le 16$ (travaux de Hoang Ngoc
Minh notamment). Par exemple, en notant $\{a\}_b$ la suite form�e de $b$ occurences de $a$,  les $7$ valeurs suivantes devraient �tre une base de l'espace vectoriel 
$\Zgoth_{10}$:
\begin{eqnarray}   
&\zeta\bigl(\{2\}_5\bigr),\;
\zeta\bigl(\{2\}_2,\{3\}_2\bigr),\;
\zeta\bigl(\{2,3\}_2\bigr),\;
\zeta\bigl((2,\{3\}_2,2\bigr),\;
\nonumber\\
&\zeta\bigl(3,\{2\}_2,3\bigr),\;
\zeta\bigl(\{3,2\}_2\bigr),\;
\zeta\bigl(\{3\}_2,\{2\}_2\bigr).
\nonumber
\end{eqnarray}


  
  
\begin{exemple}
Voici les petites valeurs de $d_p$:
 
 \smallskip
 \noindent
 $\bullet$
$d_0=1$ car par convention $ \zeta(s_1,\ldots,s_k)=1$ 
pour $k=0$.


 \smallskip
 \noindent
 $\bullet$
$d_1=0$  car $\{(s_1,\ldots,s_k)\; ; \; 
s_1+\cdots+s_k=1,\; s_1\ge 2\}=\emptyset$.


 \smallskip
 \noindent
 $\bullet$
$d_2=1$  car  $\zeta(2)\not=0$


 \smallskip
 \noindent
 $\bullet$
$d_3=1$  car  $\zeta(2,1)=\zeta(3)\not=0$


 \smallskip
 \noindent
 $\bullet$
$d_4=1$  car  $\zeta(4)\not=0$
et
$$
\zeta(3,1)=\frac{1}{4}\zeta(4),\quad
\zeta(2,2)=\frac{3}{4}  \zeta(4),\quad
\zeta(2,1,1)= \zeta(4)=\frac{2}{5}\zeta(2)^2.
$$

\end{exemple}




La premi�re valeur de $d_p$ qui ne soit pas connue est $d_5$. La conjecture \ref{C:Zagier} donne  $d_5=2$, et on sait $d_5\in\{1,2\}$ car
\begin{eqnarray}   
 \zeta(2,1,1,1)&=&\displaystyle\zeta(5),\nonumber\\
\zeta(3,1,1)&=&\displaystyle\zeta(4,1)=\displaystyle2\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3),\nonumber\\
\zeta(2,1,2)&=&\displaystyle
 \zeta(2,3)=\displaystyle\frac{9 }{ 2}\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3),\nonumber\\
\zeta(2,2,1)&=&\displaystyle\zeta(3,2)=\displaystyle3\zeta(2)\zeta(3)-\frac{11 }{ 2}\zeta(5).\nonumber
\end{eqnarray}


Donc  $d_5=2$  si et seulement si le nombre
$\zeta(2)\zeta(3)/\zeta(5)$ est irrationnel.


La conjecture \ref{C:Zagier} pr�dit une valeur exacte pour la dimension $d_p$ de $\Zgoth_p$. La question diophantienne est d'�tablir la minoration. La majoration a �t� �tablie r�cemment gr�ce aux travaux de A.B.~Goncharov   \cite{GoncharovECM-01} et
T.~Terasoma \cite{TerasomaIM-02} (voir aussi le th�or�me 6.4 de \cite{HoffmanJA-97}):  


 
 {\it  Les entiers $\delta_p$ d�finis par la relation de r�currence de la conjecture de Zagier  
$$
\delta_p=\delta_{p-2}+\delta_{p-3}
$$
avec les conditions initiales
$\delta_0=1$, $\delta_1=0$ fournissent une majoration pour la dimension $d_p$ de 
 $\Zgoth_p$. }

  
  
  
\section{Fonctions hyperg�om�triques}


 
 


 
Pour $a$, $b$, $c$ et $z$ nombres complexes avec $c\not\in\BbbZ_{\le 0}$ et  $|z|<1$, on d�finit la {\it fonction hyperg�om�trique de Gauss  } (voir par exemple \cite{FeldmanNesterenko-98}, Chap.~1 \S~3.6, Chap.~2 \S~3.2)
$$
{}_2 F_1\left({a},\
{b}\ ;\
{c}\ \bigl|\
{z}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n }{ (c)_n}\cdot \frac{z^n }{ n!}
$$
o�
$$
(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1).
$$

\begin{exemple}
Si on note 
$K(z)$  l'int�grale elliptique de Jacobi de premi�re esp�ce
$$
K(z)=\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-z^2x^2)}}\virgule
$$
$P_n$ le $n$-i�me polyn�me de Legendre et 
$T_n$ le $n$-i�me polyn�me de Chebyshev:
$$
P_n(z)=\frac{1}{n!}\left(\frac{d}{dz}\right)^n(1-z^2)^n,
\qquad
T_n(\cos z)=\cos (nz)
$$
 on a


 
\begin{equation}
\label{E:Hyper}
\left\{\begin{array}{cccccc}
{}_2 F_1\left({a},\ {1}\ ;\ {1}\ \bigl|\
{z}\right)\ &=& \ \displaystyle \
\frac{1}{(1-z_{\mathstrut})^a} \virgule
\\
{}_2 F_1\left(1,\ {1}\ ;\ {2}\ \bigl|\
{z}\right)\ &=& \ \displaystyle \
\frac{1}{z_{\mathstrut}}\log(1+z) \virgule
\\ 
{}_2 F_1\left({1/2},\ {1}\ ;\ {3/2}\ \bigl|\
{z^2}\right)\ &=& \ \displaystyle \
\frac{1}{2z_{\mathstrut}} \log \frac{1+z}{1-z} \virgule
\\
{}_2 F_1\left({1/2},\ {1/2}\ ;\ {3/2}\ \bigl|\
{z^2}\right)\ &=& \ \displaystyle \
\frac{1}{z_{\mathstrut}} \arcsin z,
\\
{}_2 F_1\left({1/2},\ {1/2}\ ;\ {1}\ \bigl|\
{z^2}\right)\ &=& \ \displaystyle \
\frac{2}{\pi_{\mathstrut}}K(z),
\\
{}_2 F_1\left({-n},\ {n+1}\ ;\ {1}\ \bigl|\
{(1+z)/2}\right)\ &=& \ \displaystyle \
2^{-n}P_n(z),
\\
{}_2 F_1\left({-n},\ {n}\ ;\ {1/2}\ \bigl|\
{(1+z)/2}\right)\ &=& \ \displaystyle \
(-1)^{n}T_n(z).
\end{array} \right.
\end{equation} 

\end{exemple}




 
Pour $c>b>0$ nombres rationnels, on a (Euler, 1748)
$$
{}_2 F_1\left({a},\
{b}\ ;\
{c}\ \bigl|\
{z}\right)=
\frac{\Gamma(c)}
{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1}
 (1-tz)^{-a}dt;
 $$
 de la formule de r�flexion de la fonction Gamma, jointe � la relation (\ref{E:Beta}) liant les fonctions B�ta et Gamma, on d�duit
 $$
 \frac{\Gamma(c)}
{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
\in\frac{1}{\pi}\calP.
$$
Il en r�sulte    \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~2.2 que pour $a$, $b$, $c$ rationnels avec $c\not\in\BbbZ_{\le 0}$ et $z\in\Qbar$ avec $|z|<1$,
\begin{equation}
\label{E:Fdeuxun}
{}_2 F_1\left({a},\
{b}\ ;\
{c}\ \bigl|\
{z}\right)
\in\frac{1}{\pi}\calP.
\end{equation}
Rappelons que
$\calP\subset (1/\pi)\calP$.
Il est sugg�r� dans  \cite{KontsevichZagierMU-00}  \S~2.2 que sous les m�mes conditions, ${}_2 F_1\left({a},{b}\; ;{c} \bigl| {z}\right) $
n'appartient pas � $\calP$.
 
\begin{remarque} %\rm 
Pour $a$, $b$, $c$ r�els avec $c>a+b$ et $c\not\in\BbbZ_{\le 0}$, on a (Gauss)
 $$
 {}_2 F_1\left({a},\
{b}\ ;\
{c}\ \bigl|\
{1}\right)=
\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}
{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}\cdotp
$$
\end{remarque}


\begin{remarque} %\rm 
Une relation remarquable faisant intervenir l'invariant modulaire $j(z)=J(e^{2i\pi z})$ et la s�rie d'Eisenstein $E_4=Q$ (cf {\rm (\ref{E:Ramanujan})}) est la suivante {\rm
 \cite{KontsevichZagierMU-00}  \S~2.3}, due � Fricke et Klein:
$$
{}_2 F_1\left(\frac{1 }{ 12}\virgule\
\frac{5 }{ 12}\ ;\
1\left|\
\frac{1728 }{ j(z)}\right)\right.=Q(z)^{1/4}.
$$


\end{remarque}


La transcendance des valeurs  ${}_2 F_1\left({a},
{b} ;{c} \bigl|{z}\right)$  des fonctions hyperg�om�\-tri\-ques quand $a$, $b$, $c$ et $z$ sont rationnels a �t� �tudi�e d�s 1929 par C.L.~Siegel  \cite{SiegelAMS-49}. On doit � A.B.~Shidlovskii et � son �cole de nombreux r�sultats sur la question (voir \cite{FeldmanNesterenko-98}).
 
En 1988, J.~Wolfart \cite{WolfartIM-88} a �tudi�  l'ensemble  $\calE$ des nombres alg�briques $\xi$ tels que  ${}_2 F_1(\xi)$ soit aussi alg�brique. Quand ${}_2 F_1$ est une fonction alg�brique, $\calE=\overline {\BbbQ}$ est l'ensemble de tous les nombres alg�briques. Supposons maintenant que ${}_2 F_1$ est une fonction transcendante.  Wolfart  \cite{WolfartIM-88} montre que l'ensemble $\calE$ est en bijection avec un ensemble de vari�t�s ab�liennes de type CM -- il s'agit donc d'une extension en dimension sup�rieure du th�or�me de Th.~Schneider sur la transcendance de l'invariant modulaire $j$ (\cite{SchneiderMA-37}, \cite{Schneider-57} Th.~17).  

La d�monstration de Wolfart utilise le fait que les nombres   ${}_2 F_1(a,b,c;z)$ sont reli�s aux p�riodes de formes diff�rentielles sur la courbe   
$$
y^N=x^A(1-x)^B(1-zx)^C
$$
avec  $A=(1-b)N$, $B=(b+1-c)N$, $C=aN$, tandis que $N$ est le plus petit d�nominateur commun de $a,b,c$ (voir � ce sujet  \cite{KoblitzRohrlichCJM-78}). L'outil transcendant est le   th�or�me du sous-groupe analytique de W�stholz \cite{WustholzAnnM-89}.  � l'occasion de ces recherches,  F.~Beukers et J.~Wolfart \cite{BeukersWolfartD-86} ont �tabli de nouvelles relations qui n'avaient pas �t� observ�es avant, comme 
$$
{}_2 F_1\left(\frac{1 }{ 12}\virgule\
\frac{5 }{ 12}\ ;\
\frac{1 }{ 2}\left|\
\frac{1323 }{ 1331}\right)\right.=\frac{3 }{ 4}\root {4} \of {11}
$$
et
$$
{}_2 F_1\left(\frac{1 }{ 12}\virgule\
\frac{7 }{ 12}\ ;\
\frac{2 }{ 3}\left|\
\frac{64000 }{64009}\right)\right.=\frac{2 }{ 3}\root {6} \of {253}.
$$

Quand le groupe de monodromie de l'�quation diff�rentielle hyperg�o\-m�\-trique satisfaite par ${}_2 F_1$ est un groupe triangulaire arithm�tique,  l'ensemble   $\calE$ est infini. Wolfart  \cite{WolfartIM-88} conjectura que r�ciproquement,  l'ensemble   $\calE$ est fini si le groupe de monodromie n'est pas arithm�tique. Les travaux de P.~Cohen et J.~Wolfart \cite{CohenWolfart-90}, puis de P.~Cohen et J.~W�stholz  \cite{CohenWustholz-99} ont �tabli un lien entre cette question et la conjecture d'Andr�-Oort \cite{AndreLivre-89,Oort-94}, selon laquelle les sous-vari�t�s sp�ciales de vari�t�s de Shimura sont pr�cis�ment les sous-vari�t�s qui contiennent un sous-ensemble Zariski dense de points sp�ciaux. P.~Cohen a remarqu� qu'un cas particulier de la conjecture d'Andr�-Oort en dimension $1$ suffit; le r�sultat crucial a �t� �tabli par B.~Edixhoven et A.~Yafaev \cite{EdixhovenYafaev-03}: {\it dans une vari�t� de Shimura, une courbe contient une infinit� de points appartenant � la m�me orbite de Hecke d'un  point sp�cial si et seulement si elle est de type Hodge}. Cela permet de r�pondre � la question initiale de C.L.~Siegel; de mani�re pr�cise,  en regroupant les r�sultats de \cite{CohenWolfart-90, CohenWustholz-99, EdixhovenYafaev-03, WolfartIM-88}, on d�duit: {\it l'ensemble exceptionnel $\calE$ est en bijection avec un ensemble de points dans la m�me orbite de Hecke d'un point sp�cial (CM) sur une courbe dans une vari�t� de Shimura d�finie sur $\Qbar$.  L'ensemble   $\calE$ est infini si le groupe de monodromie est arithm�tique, il  est fini si le groupe de monodromie n'est pas arithm�tique.}

 
� la fonction hyperg�om�trique de Gauss on associe la fraction continue de Gauss
\begin{eqnarray}
G(z)&=&G(a,b,c;z) =
{}_2 F_1
\left({a},\
{b+1}\ ;\
{c+1}\ \bigl|\
{z}\right) /{}_2 F_1
\left({a},\
{b}\ ;\
{c}\ \bigl|\
{z}\right) 
\nonumber\\
&=&1/\Bigl(1-g_1z/\bigl(1-g_2z/(\cdots)\bigr)\Bigr)
\nonumber
\end{eqnarray}
� coefficients
\begin{eqnarray}
g_{2n-1}&=&(a+n-1)(c-b+n-1)/\bigl((c+2n-2)(c+2n-1)\bigr),
\nonumber\\
g_{2n}&=& (b+n)(c-a+n)/\bigl((c+2n-1)(c+2n)\bigr).
\nonumber
\end{eqnarray}
J.~Wolfart \cite{WolfartBudapest-90} a montr� que si les param�tres  $a,b,c$ sont rationnels, $c\not=0$, $-1,-2,\cdots$, et si $G(z)$ n'est pas une fonction alg�brique, alors pour presque toutes les valeurs alg�briques de l'argument $z$  la valeur de  $G(z)$ est transcendante. Il utilise le th�or�me de G. W�stholz \cite{WustholzAnnM-89} ainsi que des r�sultats de   G. Shimura et Y. Taniyama sur les vari�t�s ab�liennes. 

Pour les nombres dont nous venons de parler, li�s aux fonctions hyperg�o\-m�triques, dont on sait �tablir la transcendance, on conna�t �galement des mesures d'approximation par des nombres alg�briques (voir \cite{FeldmanNesterenko-98} et \cite{GaudronCRAS-01, GaudronFLLEVA-04} notamment).

Les fonctions hyperg�om�triques de Gauss sont des cas particuliers d'une famille plus vaste, form�e des {\it  fonctions hyperg�om�triques g�n�ralis�es} (voir par exemple \cite{FeldmanNesterenko-98} Chap.~2, \S~6).

Pour $p$ entier $\ge 2$ et $a_1,\ldots,a_p$, $b_1,\ldots,b_{p-1}$  et $z$ nombres complexes avec $b_i\not\in\BbbZ_{\le 0}$ et  $|z|<1$, on d�finit 
$$
{}_p F_{p-1}\left(
{{a_1\ ,\ \ldots\ ,\ a_p}\atop {b_1,\ldots,b_{p-1}}}
\ \Bigl|\
{z}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\cdots (a_p)_n }{
(b_1)_n\cdots (b_{p-1})_n}\cdot \frac{z^n }{ n!}\cdotp
$$



\begin{exemple} Les fonctions
$$
{}_1 F_{0}\left(
{{1/n }\atop { }}
\ \Bigl|\ z^n\right)=
\root n \of {1-z^n}
$$
et
$$
{}_3 F_{2}\left(
{{1/4, 1/2, 3/4}\atop {1/3,2/3}}
\ \Bigl|\
\frac{2^8z}{3^3}\right)=
\sum_{k=0}^\infty {{4k}\choose {k}}z^k
$$
sont alg�briques. La fonction de Bessel
$$
J_0(z)=
{}_0 F_{1}\left(
{{ }\atop {1 }}
\ \Bigl|\ \frac{-z^2}{4}\right) =\sum_{n\ge 0}(-1)^n\frac{z^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}
$$
est transcendante.
\end{exemple}

 
 
 
Par r�currence sur $p$ � partir de (\ref{E:Fdeuxun}) 
 on d�montre:


\begin{propos}
\label{P:Hypergeometrique}
Pour  $a_1,\ldots,a_p$, $b_1,\ldots,b_{p-1}$  nombres rationnels avec  $p\ge 2$, $b_i\not\in\BbbZ_{\le 0}$ et pour $z\in\Qbar$ avec $|z|<1$, on a
$$
{}_p F_{p-1}\left(
{{a_1\ ,\ \ldots\ ,\ a_p}\atop {b_1,\ldots,b_{p-1}}}\ 
\Bigl|\
{z}\right)
\in\frac{1}{\pi^{p-1}}\calP.
$$
\end{propos}


On peut consulter \cite{FeldmanNesterenko-98} pour conna�tre l'�tat de la question de la nature arithm�tique des valeurs de fonctions hyperg�om�triques g�n�ralis�es, aussi bien sous l'aspect qualitatif (irrationalit�, transcendance, ind�pendance alg�\-brique) que quantitatif (mesures d'approximation, de transcendance ou d'ind�\-pendance alg�brique).



\section{Mesure de Mahler de polyn�mes en plusieurs variables}

 
Soit $P\in\BbbC[z_1,\ldots,z_n,z_1^{-1},\ldots,z_n^{-1}]$  un polyn�me de Laurent non nul en $n$ variables. On d�finit la mesure de Mahler $\rmM(P)$ et la mesure de Mahler logarithmique $\mu(P)$ par
$$
\mu(P)= \log \rmM(P)=
\int_0^1 \cdots\int_0^1 \log
\left| P(e^{2i\pi t_1},\ldots,e^{2i\pi t_n} ) \right| dt_1\cdots dt_n.
$$

Dans le cas le plus simple $n=1$ on �crit
$$
P(z)=\sum_{i=0}^d a_{d-i}z^i=a_0\prod_{i=1}^d (z-\alpha_i)
$$
et on a
$$
\rmM(P)=|a_0|\prod_{i=1}^d \max\{1,|\alpha_i|\}.
$$
On en d�duit notamment $\mu(P)\in\calP$.

Plus g�n�ralement, 
pour $P\in\Qbar[z_1,\ldots,z_n,z_1^{-1},\ldots,z_n^{-1}]$ on a
$$
\mu(P)\in\frac{1}{\pi^n}\calP.
$$
D.~Boyd et C.J.~Smyth (voir les r�f�rences dans \cite{BoydZakopane-99}) ont calcul� un certain nombre d'exemples de valeurs de la fonction $\mu$ qu'ils ont exprim�es en termes de valeurs sp�ciales de fonctions $L$ attach�es � des caract�res de Dirichlet. D.~Boyd et F.~Rodriguez Villegas ont obtenu des r�sultats du m�me genre faisant intervenir des fonctions $L$ attach�es � des courbes elliptiques. Ensuite D.~Boyd, F.~Rodriguez Villegas, V.~Maillot et S.~Vandervelde ont exprim� certaines mesures de Mahler logarithmiques � l'aide de combinaisons de valeurs de la fonction dilogarithme. Mis � part le c�l�bre exemple
$$
\mu(1+z_1+z_2+z_3)=\frac{7}{2\pi^2}\zeta(3).
$$ 
d� � C.J.~Smyth, les r�sultats connus concernent principalement le cas de deux variables; cependant les travaux de C.~Deninger donnent des espoirs pour le cas g�n�ral.



\section{Exponentielles de p�riodes et p�riodes exponentielles}

\subsection{Exponentielles de p�riodes}

Parmi les suggestions de Kontsevich et Zagier dans \cite{KontsevichZagierMU-00}, on rel�ve dans le \S~1.2 celle qui pr�dit que les nombres $1/\pi$ et $e$ ne sont pas des p�riodes. Parmi les candidats � ne pas �tre des p�riodes on peut ajouter 
$ e^\pi $ et $ e^{\pi^2}$.
 
On conna�t la transcendance de $e^\pi$ (A.O.~Gel'fond, 1929 -- c'est une 
 cons�\-quence du th�or�me \ref{T:Baker}), mais pas celle de $e^{\pi^2}$. 

  
  \begin{conjecture}
  \label{C:troislogs} 
 Soient $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ des nombres alg�briques non nuls. Pour $j=1,2,3$ soit $\log\alpha_j\in\BbbC\setminus\{0\}$ un logarithme non nul de $\alpha_j$, c'est-�-dire un nombre complexe non nul tel que  $e^{\log\alpha_j}=\alpha_j$.  Alors
 $$
( \log\alpha_1)\log\alpha_2)\not=\log\alpha_3.
 $$
   \end{conjecture}
 
 
 
\begin{exemple}   
Avec $\log\alpha_1=\log\alpha_2=i\pi$ on d�duit la
 transcendance du nombre $e^{\pi^2}$. Un autre exemple est la
transcendance du nombre  $2^{\log 2}$.
 \end{exemple}
 
 D'autres conjectures sont propos�es dans \cite{miwHyderabad-03}, � la fois pour la fonction exponentielle (conjectures des trois, quatre, cinq exponentielles) et pour les fonctions elliptiques. Des cas tr�s particuliers de ces conjectures sont �tablis. L'appendice de \cite{miwHyderabad-03} par H.~Shiga �tablit un lien avec des p�riodes de surfaces de Kummer.

Les r�sultats partiels que l'on conna�t sur la conjecture \ref{C:troislogs} et les questions autour de la conjecture des quatre exponentielles \cite{LangITN-66, miwGL326-00, miwHyderabad-03}   reposent sur la m�thode de transcendance qui a permis � Th. Schneider de r�soudre le septi�me probl�me de Hilbert en 1934. On peut noter que cette m�thode fait jouer un r�le essentiel au th�or�me d'addition alg�brique de la fonction exponentielle, � savoir $e^{x+y}=e^xe^y$, et n'utilise pas l'�quation diff�rentielle de cette fonction, contrairement � ce qui est sugg�r� � la fin du \S~2.4 de \cite{KontsevichZagierMU-00}. Une autre m�thode de transcendance qui ne fait pas intervenir de d�rivations est celle de Mahler qui fait l'objet du livre de K.~Nishioka \cite{NishiokaLN}. Notons � ce propos que la conjecture 5.4 de \cite{miwODPJMS-04} sur la  transcendance de nombres dont le d�veloppement dans une base est donn� par une suite \og automatique\fg, qui faisait l'objet de travaux de J.H.~Loxton et A.J.~van der Poorten utilisant la m�thode de Mahler, vient d'�tre r�solue par B.~ Adamczewski,  Y.~Bugeaud  et F.~Lucas \cite{AdamczewskiBugeaudLucas-04, AdamczewskiBugeaud-04}, gr�ce � une m�thode enti�rement diff�rente de celle de Mahler, bas�e sur le th�or�me du sous-espace de W.M.~Schmidt. 

La conjecture \ref{C:troislogs} est un cas tr�s particulier de la conjecture selon laquelle {\it des logarithmes $\BbbQ$-lin�airement ind�pendants de nombres alg�briques sont alg�briquement ind�pendants.} Un des exemples les plus importants de nombres qui s'expriment comme valeur d'un polyn�me en des logarithmes de nombres alg�briques est celui de d�terminants de matrices dont les coefficients sont de tels logarithmes. Certains r�gulateurs sont de cette forme, et d�cider s'ils sont nuls ou non peut �tre consid�r� comme un probl�me de transcendance. Quand ils ne sont pas nuls on conjecture que ces d�terminants sont transcendants, et que ce ne sont pas de nombres de Liouville.



\subsection{P�riodes exponentielles}

La d�finition suivante est donn�e dans  \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~4.3. Il est pr�cis� dans l'introduction de   \cite{KontsevichZagierMU-00} que la derni�re partie de ce texte est l'{\oe}uvre uniquement du premier auteur.

\noindent{\bf D�finition}
 Une {\it p�riode exponentielle} est une int�grale absolument convergente du produit d'une fonction alg�brique avec l'exponentielle d'une fonction alg�brique, sur un ensemble semi-alg�brique, o� tous les polyn�mes intervenant dans la d�finition ont des coefficients alg�briques.

 
\begin{exemple} 
\noindent
     
  Dans l'alg�bre des p�riodes exponentielles, on trouve �videmment les p�\-riodes, mais aussi les nombres 
  $$
  e^\beta=\int_{-\infty}^\beta e^xdx
  $$
  quand $\beta$ alg�brique, le nombre
  $$
\sqrt{\pi}=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx,
$$
les valeurs de la fonction Gamma aux points rationnels:
$$
\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-t}t^s \cdot \frac{dt }{ t}\virgule
$$
ainsi que  les valeurs des fonctions de Bessel aux points alg�briques
$$
J_n(z)=%\frac{1 }{ 2i\pi}
 \int_{|u|=1} 
\exp\left( \frac{z }{ 2}\Bigl(u-\frac{1 }{ u}\Bigr)\right)\frac {du }{ u^{n+1}
}\cdotp 
$$

\end{exemple}

Ces exemples sont interpr�t�s par S.~Bloch et H.~Esnault {\rm \cite{BlochEsnault-99} } comme des p�riodes issues d'une dualit� entre cycles homologiques et formes diff�rentielles pour des connections ayant des points singuliers irr�guliers sur des surfaces de Riemann.

 






%%%%%____________________________________________

\subsection{Constante d'Euler}
 
  


On ne sait pas d�montrer que le nombre  
$$
\gamma=\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1 }{ 2}+\frac{1 }{ 3}+\cdots
+\frac{1 }{ n}-\log n\right)=0.5772157\dots
$$
  est irrationnel \cite{SondowPAMS-03}, mais on attend mieux:
 

 
  

  
  
  \begin{conjecture}
  \label{C:gammanonperiode}
  Le nombre $\gamma$ est transcendant.
    \end{conjecture}
    
    Un r�sultat encore plus fort est sugg�r� par Kontsevich et Zagier \cite{KontsevichZagierMU-00} \S~1.1 et \S~4.3:
  
  
\begin{conjecture} 
  \label{C:Trdcegamma}
  Le nombre  $\gamma$ n'est pas une p�riode, ni m�me une p�riode exponentielle.
  \end{conjecture}


%%%%%____________________________________________

\subsection{Un
analogue en dimension $2$ de la constante d'Euler}
  
   
  Pour chaque
$k\ge 2$,  d�signons par  $A_k$ l'aire minimale d'un disque ferm� de  $\BbbR^2$ contenant au moins $k$ points de $\BbbZ^2$. Pour $n\ge 2$, posons \cite{GramainWeberMC-85}
$$
\delta_n=-\log n+\sum_{k=2}^n \frac{1 }{ A_k}\quad
  \hbox{et}\quad
  \delta=\lim_{n\rightarrow \infty}\delta_n.
 $$ 

  
F.~Gramain conjecture:
  
  \begin{conjecture}
  \label{C:Gramain}
$$
\delta=1+\frac{4 }{\pi}\bigl(\gamma L'(1)+ L(1)\bigr),
$$ 
  o�  $\gamma$ est la constante d'Euler  et 
$$
L(s)=\sum_{n\ge 0}(-1)^n (2n+1)^{-s}.
$$
est la fonction $L$ du corps quadratique $\BbbQ(i)$ (fonction B�ta de Dirichlet). 

\end{conjecture}
 
Comme
$
L(1)={\pi/ 4}
$ et 
\begin{eqnarray} 
\nonumber
\displaystyle
L'(1)&
\displaystyle
=&\displaystyle
\sum_{n\ge 0}(-1)^{n+1}\cdot\frac{\log(2n+1) }{  2n+1}\hfill\quad
\nonumber
\\ 
&
\displaystyle
=&\displaystyle
\frac{\pi }{ 4}\bigl(3\log
 \pi+2\log 2+\gamma-4\log\Gamma(1/4)\bigr),
 \nonumber
 \end{eqnarray}  
la conjecture \ref{C:Gramain} s'�crit aussi
$$
\delta=1+3\log
 \pi+2\log 2+2\gamma-4\log\Gamma(1/4)
=1.82282524\dots 
$$ 
Le meilleur encadrement connu pour $\delta$  est \cite{GramainWeberMC-85} 
$$
1.811\dots<\delta<1.897\dots
$$
Il semble vraisemblable que ce nombre $\delta$ n'est pas une p�riode (et par cons�\-quent est transcendant), mais, �tant donn� le peu d'information que nous avons sur lui,  ce n'est probablement pas le meilleur candidat pour r�soudre la question de \cite{KontsevichZagierMU-00} (\S~1.2 problem 3) qui consiste � exhiber un nombre qui n'est pas une p�riode!


  
%%%%%____________________________________________

\section{Caract�ristique finie}


Les questions diophantiennes concernant les nombres complexes ont des analogues dans les corps de fonctions en caract�ris\-tique finie qui ont  fait l'objet de nombreux travaux \cite{Goss-92}. Les premiers outils d�velopp�s par L.~Carlitz (1935) ont �t� utilis�s par I.I.~Wade (1941) qui a obtenu les premiers �nonc�s de transcendance. Apr�s divers travaux, notamment de J.M.~Geijsel et P.~Bundschuh en 1978, la th�orie a �t� d�velopp�e de mani�re approfondie par Jing Yu � partir des ann�es 1980, d'abord dans le cadre des modules elliptiques qui avaient �t� introduits par V.G.~Drinfel'd en 1974, ensuite dans le cadre des $t$-motifs de G.~Anderson � partir de 1986. Pendant longtemps les r�sultats en caract�ristique finie �taient des analogues des r�sultats classiques relatifs aux nombres complexes, jusqu'� ce que Jing Yu obtiennent des �nonc�s qui vont plus loin que leurs analogues complexes \cite{JingYu-92}. 

L'utilisation, introduite dans ce contexte par L.~Denis en 1990, de la d�rivation par rapport � la variable du corps de fonctions, produit des �nonc�s qui n'ont pas d'�quivalents dans le cas classique des nombres complexes. Une autre particularit� de la caract�ristique finie est la possibilit� de consid�rer des produits tensoriels, permettant parfois de ramener des questions d'ind�pen\-dance alg�brique � des probl�mes d'ind�pendance lin�aire (un bel exemple est donn� par S.~David et L.~Denis dans \cite{DavidDenis-02}).

Deux expos�s de synth�se sur ce th�me sont donn�s, l'un en 1992  par Jing Yu dans \cite{JingYu-92}, l'autre en 1998 par W.D.~Brownawell \cite{BrownawellTrichy-98}.


%%%%%____________________________________________

\subsection{Un
analogue en caract�ristique finie de la constante d'Euler}


Un r�sultat remarquable en caract�ristique finie est la transcendance de l'ana\-logue de la constante d'Euler. Le nombre complexe $\gamma$ peut �tre d�fini par
$$
\gamma=\lim_{s\rightarrow 1}\left(\zeta(s)-\frac{1 }{ s-1}\right)
$$
quand $\zeta$ d�signe la fonction z�ta de Riemann:
$$
{\zeta}(s)=\prod_{p} (1-p^{-s})^{-1}.
$$
Dans ce produit $p$ d�crit l'ensemble de nombres premiers. En caract�ristique finie le produit correspondant porte sur les polyn�mes irr�ductibles unitaires � coefficients dans un corps fini $\BbbF_q$ � $q$ �l�ments. Dans ce cas le produit converge au point $s=1$, et la valeur en ce point est donc un analogue de la constante d'Euler (dans un compl�t� $C$ d'une cl�ture alg�brique de $\BbbF_q((1/T))$). Cet �l�ment de $C$ est transcendant sur $\BbbF_q(T)$: cela a �t� d�montr� par 
G.W.~Anderson et D.~Thakur en 1990 \cite{AndersonThakurAM-01}, mais ils remarquent que les outils dont disposait I.I.~Wade auraient suffit pour  �tablir le r�sultat d�s 1940.



%%%%%____________________________________________

\subsection{La fonction Gamma de Thakur}

Par analogie avec le produit infini (\ref{E:GammaProduit}) d�finissant la fonction Gamma d'Euler, D.~Thakur d�finit (cf. \cite{BrownawellTrichy-98})
$$
\Gamma(z)=  z^{-1} \prod_{n\in A_+}^\infty \left(
1+\frac{z}{n}\right)^{-1}
$$
o� $A=\BbbF_q[T]$ d�signe l'anneau des polyn�mes � coefficients dans  $\BbbF_q$   et $A_+$ l'ensemble des polyn�mes unitaires. Cette fonction Gamma est m�romorphe sur  $C$. Elle  satisfait des relations analogues aux relations standard satisfaites par la fonction Gamma d'Euler. De m�me, le pendant en caract�ristique finie des relations de Deligne-Koblitz-Ogus a �t� �tabli par Deligne, Anderson et Thakur (voir \cite{BrownawellPapanikolasCrelle-02}).  

En 1992 G. Anderson a introduit une notion de fonction soliton, qui, selon  \cite{BrownawellPapanikolasCrelle-02},  est un analogue en dimension sup�rieure de la fonction shtuka pour les modules de Drinfeld de rang $1$. Les fonctions m�romorphes que  R.~Coleman avait utilis�es pour �tudier les endomorphismes de Frobenius sur les courbes de Fermat et d'Artin-Schreier avaient �t� interpr�t�es par Thakur en termes de sa fonction Gamma. C'est en d�veloppant le parall�le avec certains �l�ments de la th�orie des �quations aux d�riv�es partielles que G. Anderson a �t� amen� � introduire ses solitons. Cette th�orie a �t� utilis�e  en 1997 par S.K.~Sinha, qui a construit des $t$-modules ayant des p�riodes dont les coordonn�es sont des multiples par un nombre alg�brique de valeurs de la fonction Gamma de Thakur en des points rationnels $a/f$, avec $a$ et $f$ dans $A_+$. Gr�ce aux r�sultats de transcendance de Jing Yu,  S.K.~Sinha a pu ainsi obtenir la transcendance de certaines valeurs de la fonction Gamma de Thakur en des points rationnels.

Ces travaux ont �t� poursuivis par W.D.~Brownawell et M.A.~Papanikolas qui montrent dans \cite{BrownawellPapanikolasCrelle-02} que les relations lin�aires � coefficients alg�briques entre les valeurs de la fonction Gamma de Thakur sont celles qui r�sultent de Deligne-Anderson-Thakur. On peut consid�rer qu'il s'agit de l'analogue pour les corps de fonctions sur un corps fini du th�or�me de Wolfart et W�stholz \cite{WolfartWustholzMA-85} sur l'ind�pendance lin�aire des valeurs de la fonction B�ta. Ce qui est sp�cialement remarquable est qu'il est possible d'aller plus loin: 
dans \cite{AndersonBrownawellPapanikolasAM-04}, G.W.~Anderson, W.D.~Brownawell et M.A.~Papanikolas montrent  que {\it toutes les relations de d�pendance alg�brique  entre les valeurs de la fonction Gamma de Thakur r�sultent des relations de Deligne-Anderson-Thakur.}


Pour les valeurs de la fonction Gamma la situation en caract�ristique finie est donc bien plus en avance que dans le cas classique o� la conjecture de Rohrlich-Lang semble hors d'atteinte. 


Tout r�cemment M.~Papanikolas a �tabli l'analogue pour les modules de Drinfeld de la conjecture sur l'ind�pendance alg�brique de logarithmes de nombres alg�briques (cf.~\S~8.1). 


 
\section*{Remerciements}

Ce texte r�sume des expos�s donn�s en 2003 et 2004 � Sharhood (Iran), Taipei (Taiwan), Bangalore (Inde), Oulu (Finlande), S�oul (Cor�e), Mahdia (Tunisie) et Besan�on (France). Merci en particulier � Khalifa Trim�che pour son invitation au congr�s annuel de la Soci�t� Math�matique de Tunisie en mars 2004 qui donne lieu � cette r�daction.



\def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }
\providecommand{\og}{``}
\providecommand{\fg}{''}
\providecommand{\smfandname}{\&}
\providecommand{\smfedsname}{\'eds.}
\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{AdamczewskiBugeaud-04}
{\scshape B.~Adamczewski {\normalfont \smfandname} Y.~Bugeaud} -- {\og On the
  complexity of algebraic numbers\fg}, Submitted to Annals of Maths.

\bibitem{AdamczewskiBugeaudLucas-04}
{\scshape B.~Adamczewski, Y.~Bugeaud {\normalfont \smfandname} F.~Lucas} --
  {\og Sur la complexit{\'e} des nombres alg{\'e}briques\fg}, C. R. Acad. Sci.
  Paris 339 (2004), 11--14.

\bibitem{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01}
{\scshape S.~D. Adhikari, N.~Saradha, T.~N. Shorey {\normalfont \smfandname}
  R.~Tijdeman} -- {\og Transcendental infinite sums\fg}, \emph{Indag. Math.
  (N.S.)} \textbf{12} (2001), no.~1, p.~1--14.

\bibitem{AndersonBrownawellPapanikolasAM-04}
{\scshape G.~W. Anderson, W.~D. Brownawell {\normalfont \smfandname} M.~A.
  Papanikolas} -- {\og Determination of the algebraic relations among special
  gamma-values in positive characteristic\fg}, math.NT/0207168 --- to appear in
  Annals of Maths. {\bf 159}, 2004.

\bibitem{AndersonThakurAM-01}
{\scshape G.~W. Anderson {\normalfont \smfandname} D.~S. Thakur} -- {\og Tensor
  powers of the {C}arlitz module and zeta values\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{132} (1990), no.~1, p.~159--191.

\bibitem{AndreLivre-89}
{\scshape Y.~Andr{\'e}} -- \emph{{$G$}-functions and geometry}, Aspects of
  Mathematics, E13, Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1989.

\bibitem{AndreQCTIGA-97}
\bysame , {\og Quelques conjectures de transcendance issues de la
  g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique\fg}, Pr{\'e}publication de l'institut de
  Math{\'e}matiques de Jussieu, {\bf 121}, 1997.

\bibitem{BDGP-IM-96}
{\scshape K.~Barr{\'e}-Sirieix, G.~Diaz, F.~Gramain {\normalfont \smfandname}
  G.~Philibert} -- {\og Une preuve de la conjecture de {M}ahler-{M}anin\fg},
  \emph{Invent. Math.} \textbf{124} (1996), no.~1-3, p.~1--9.

\bibitem{BertolinJNT-02}
{\scshape C.~Bertolin} -- {\og P\'eriodes de 1-motifs et transcendance\fg},
  \emph{J. Number Theory} \textbf{97} (2002), no.~2, p.~204--221.

\bibitem{BeukersWolfartD-86}
{\scshape F.~Beukers {\normalfont \smfandname} J.~Wolfart} -- {\og Algebraic
  values of hypergeometric functions\fg}, in \emph{New advances in
  transcendence theory (Durham, 1986)}, Cambridge Univ. Press, 1988, p.~68--81.

\bibitem{BlochEsnault-99}
{\scshape S.~Bloch {\normalfont \smfandname} H.~Esnault} -- {\og Gauss-{M}anin
  determinants for rank 1 irregular connections on curves\fg}, \emph{Math.
  Ann.} \textbf{321} (2001), no.~1, p.~15--87.

\bibitem{BoydZakopane-99}
{\scshape D.~W. Boyd} -- {\og Mahler's measure and special values of
  {$L$}-functions---some conjectures\fg}, in \emph{Number theory in progress,
  Vol. 1 (Zakopane-Ko\'scielisko, 1997)}, de Gruyter, Berlin, 1999, p.~27--34.

\bibitem{BrownawellTrichy-98}
{\scshape W.~D. Brownawell} -- {\og Transcendence in positive
  characteristic\fg}, in \emph{Number theory (Tiruchirapalli, 1996)}, Contemp.
  Math., vol. 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, p.~317--332.

\bibitem{BrownawellPapanikolasCrelle-02}
{\scshape W.~D. Brownawell {\normalfont \smfandname} M.~A. Papanikolas} -- {\og
  Linear independence of gamma values in positive characteristic\fg}, \emph{J.
  Reine Angew. Math.} \textbf{549} (2002), p.~91--148.

\bibitem{BruiltetAA-02}
{\scshape S.~Bruiltet} -- {\og D'une mesure d'approximation simultan\'ee \`a
  une mesure d'irrationalit\'e: le cas de {$\Gamma(1/4)$} et
  {$\Gamma(1/3)$}\fg}, \emph{Acta Arith.} \textbf{104} (2002), no.~3,
  p.~243--281.

\bibitem{BugeaudCTM-2004}
{\scshape Y.~Bugeaud} -- \emph{Approximation by algebraic numbers}, Cambridge
  Tracts in Math., Cambridge University Press, 2004, \`a para\^{\i}tre.

\bibitem{BundschuhMM-79}
{\scshape P.~Bundschuh} -- {\og Zwei {B}emerkungen \"uber transzendente
  {Z}ahlen\fg}, \emph{Monatsh. Math.} \textbf{88} (1979), no.~4, p.~293--304.

\bibitem{CartierB-00}
{\scshape P.~Cartier} -- {\og Fonctions polylogarithmes, nombres polyz\^etas et
  groupes pro-unipotents\fg}, \emph{Ast{\'e}risque} (2002), no.~282, p.~Exp.
  No. 885, viii, 137--173, S{\'e}minaire Bourbaki, Vol. 2000/2001.

\bibitem{CohenWolfart-90}
{\scshape P.~Cohen {\normalfont \smfandname} J.~Wolfart} -- {\og Modular
  embeddings for some nonarithmetic {F}uchsian groups\fg}, \emph{Acta Arith.}
  \textbf{56} (1990), no.~2, p.~93--110.

\bibitem{CohenWustholz-99}
{\scshape P.~B. Cohen {\normalfont \smfandname} G.~W{\"u}stholz} -- {\og
  Application of the {A}ndr{\'e}-{O}ort conjecture to some questions in
  transcendence\fg}, in \emph{A panorama of number theory or the view from
  Baker's garden (Z\"urich, 1999)}, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002,
  p.~89--106.

\bibitem{ChudnovskyDANU-76}
{\scshape G.~V. {\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i}} -- {\og Algebraic independence
  of constants connected with the exponential and the elliptic functions\fg},
  \emph{Dokl. Akad. Nauk Ukrain. SSR Ser. A} (1976), no.~8, p.~698--701, 767.

\bibitem{DavidDenis-02}
{\scshape S.~David {\normalfont \smfandname} L.~Denis} -- {\og P{\'e}riodes de
  modules de {D}rinfel'd --- ``ind{\'e}pendance quadratique en rang {II}''\fg},
  \emph{J. Ramanujan Math. Soc.} \textbf{17} (2002), no.~1, p.~65--83.

\bibitem{DeligneMSMF-80}
{\scshape P.~Deligne} -- {\og Cycles de {H}odge absolus et p{\'e}riodes des
  int{\'e}grales des vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes\fg}, \emph{M{\'e}m. Soc.
  Math. France (N.S.)} (1980/81), no.~2, p.~23--33.

\bibitem{EdixhovenYafaev-03}
{\scshape B.~Edixhoven {\normalfont \smfandname} A.~Yafaev} -- {\og
  Subvarieties of {S}himura varieties\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{157} (2003), no.~2, p.~621--645.

\bibitem{FeldmanNesterenko-98}
{\scshape N.~I. Fel{\cprime}dman {\normalfont \smfandname} Y.~V. Nesterenko} --
  {\og Transcendental numbers\fg}, in \emph{Number theory, IV}, Encyclopaedia
  Math. Sci., vol.~44, Springer, Berlin, 1998, p.~1--345.

\bibitem{FischlerB-02}
{\scshape S.~Fischler} -- {\og Irrationalit{\'e} de valeurs de z\^eta
  (d'apr\`es {A}p{\'e}ry, {R}ivoal, ...)\fg}, S{\'e}minaire Bourbaki 2002/03,
  exp. no. 910 ; \`a para\^{\i}tre dans Ast{\'e}risque ; preprint
  math.NT/0303066.

\bibitem{GaudronCRAS-01}
{\scshape {\'E}.~Gaudron} -- {\og Mesure d'ind\'ependance lin\'eaire de
  logarithmes dans un groupe alg\'ebrique commutatif\fg}, \emph{C. R. Acad.
  Sci. Paris S\'er. I Math.} \textbf{333} (2001), no.~12, p.~1059--1064.

\bibitem{GaudronFLLEVA-04}
{\scshape {\'E}.~Gaudron} -- {\og Formes lin{\'e}aires de logarithmes
  effectives sur les vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes\fg}, manuscrit non
  publi{\'e}, 2004.

\bibitem{GoncharovECM-01}
{\scshape A.~B. Goncharov} -- {\og Multiple {$\zeta$}-values, {G}alois groups,
  and geometry of modular varieties\fg}, in \emph{European Congress of
  Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000)}, Progr. Math., vol. 201, Birkh\"auser,
  Basel, 2001, p.~361--392.

\bibitem{Goss-92}
{\scshape D.~Goss, D.~R. Hayes {\normalfont \smfandname} M.~I. Rosen}
  (\smfedsname) -- \emph{The arithmetic of function fields}, Ohio State
  University Mathematical Research Institute Publications, 2, Berlin, Walter de
  Gruyter \& Co., 1992.

\bibitem{GramainWeberMC-85}
{\scshape F.~Gramain {\normalfont \smfandname} M.~Weber} -- {\og Computing an
  arithmetic constant related to the ring of gaussian integers\fg}, \emph{Math.
  Comp.} \textbf{44} (1985), no.~169, p.~241--250 and S13--S16, Corrigendum,
  id. 48 (1987) no. 178 p. 854.

\bibitem{GrinspanJNT-02}
{\scshape P.~Grinspan} -- {\og Measures of simultaneous approximation for
  quasi-periods of abelian varieties\fg}, \emph{J. Number Theory} \textbf{94}
  (2002), no.~1, p.~136--176.

\bibitem{GrossRohrlichIM-78}
{\scshape B.~H. Gross} -- {\og On the periods of abelian integrals and a
  formula of {C}howla and {S}elberg\fg}, \emph{Invent. Math.} \textbf{45}
  (1978), no.~2, p.~193--211.

\bibitem{GrothendieckIHES-66}
{\scshape A.~Grothendieck} -- {\og On the de {R}ham cohomology of algebraic
  varieties\fg}, \emph{Inst. Hautes {\'E}tudes Sci. Publ. Math.} (1966),
  no.~29, p.~95--103.

\bibitem{HoffmanJA-97}
{\scshape M.~E. Hoffman} -- {\og The algebra of multiple harmonic series\fg},
  \emph{J. Algebra} \textbf{194} (1997), no.~2, p.~477--495.

\bibitem{KoblitzRohrlichCJM-78}
{\scshape N.~Koblitz {\normalfont \smfandname} D.~Rohrlich} -- {\og Simple
  factors in the {J}acobian of a {F}ermat curve\fg}, \emph{Canad. J. Math.}
  \textbf{30} (1978), no.~6, p.~1183--1205.

\bibitem{KontsevichZagierMU-00}
{\scshape M.~Kontsevich {\normalfont \smfandname} D.~Zagier} -- {\og
  Periods\fg}, in \emph{Mathematics unlimited---2001 and beyond}, Springer,
  Berlin, 2001, p.~771--808.

\bibitem{LangITN-66}
{\scshape S.~Lang} -- \emph{Introduction to transcendental numbers},
  Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1966.

\bibitem{LangDPP-77}
\bysame , {\og Relations de distributions et exemples classiques\fg}, in
  \emph{S\'eminaire Delange-Pisot-Poitou, 19e ann\'ee: 1977/78, Th\'eorie des
  nombres, Fasc. 2}, Secr\'etariat Math., Paris, 1978, p.~Exp. No. 40, 6.

\bibitem{Masser}
{\scshape D.~Masser} -- {\og Interpolation on group varieties\fg}, in
  \emph{Approximations diophantiennes et nombres transcendants ({L}uminy,
  1982)} (D.~Bertrand {\normalfont \smfandname} M.~Waldschmidt, \smfedsname),
  Progress in Math., no.~31, Birkh\"auser, 1983, p.~151--171.

\bibitem{NesterenkoMS-96}
{\scshape Y.~V. Nesterenko} -- {\og Modular functions and transcendence
  questions\fg}, \emph{Mat. Sb. [Sb. Math]} \textbf{187} (1996), no.~9,
  p.~65--96 [1319--1348].

\bibitem{lnm1752}
{\scshape Y.~V. Nesterenko {\normalfont \smfandname} P.~Philippon}
  (\smfedsname) -- \emph{Introduction to algebraic independence theory},
  Lecture Notes in Math., no. 1752, Springer, 2001.

\bibitem{NishiokaLN}
{\scshape K.~Nishioka} -- \emph{Mahler functions and transcendence}, Lecture
  Notes in Mathematics, vol. 1631, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

\bibitem{Oort-94}
{\scshape F.~Oort} -- {\og Canonical liftings and dense sets of
  {CM}-points\fg}, in \emph{Arithmetic geometry (Cortona, 1994)}, Sympos.
  Math., XXXVII, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, p.~228--234.

\bibitem{PellarinIdeauxStables-04}
{\scshape F.~Pellarin} -- {\og Id{\'e}aux stables dans certains anneaux
  diff{\'e}rentiels de formes quasi-modulaires de hilbert\fg}, math.NT/0407381,
  2004.

\bibitem{vanderPoortenPAMS-71}
{\scshape A.~J. Van~der Poorten} -- {\og On the arithmetic nature of definite
  integrals of rational functions.\fg}, \emph{Proc. Amer. Math. Soc.}
  \textbf{29} (1971), p.~451--456.

\bibitem{RhinViolaAA-01}
{\scshape G.~Rhin {\normalfont \smfandname} C.~Viola} -- {\og The group
  structure for {$\zeta(3)$}\fg}, \emph{Acta Arith.} \textbf{97} (2001), no.~3,
  p.~269--293.

\bibitem{SchneiderCrelle-34}
{\scshape T.~Schneider} -- {\og Transzendenzuntersuchungen periodischer
  {F}unktionen\fg}, \emph{J. reine angew. Math.} \textbf{14} (1934), p.~65--74.

\bibitem{SchneiderMA-37}
\bysame , {\og Arithmetische {U}ntersuchungen elliptischer {I}ntegrale\fg},
  \emph{Math. Ann.} \textbf{113} (1937), p.~1--13.

\bibitem{SchneiderCrelle-41}
\bysame , {\og Zur {T}heorie des {A}belschen {F}unktionen und {I}ntegrale\fg},
  \emph{J. reine angew. Math.} \textbf{183} (1941), p.~110--128.

\bibitem{Schneider-57}
{\scshape T.~Schneider} -- \emph{Introduction aux nombres transcendants},
  Traduit de l'allemand par P. Eymard, Gauthier-Villars, Paris, 1959.

\bibitem{ShanksFQ-74}
{\scshape D.~Shanks} -- {\og Incredible identities\fg}, \emph{Fibonacci Quart.}
  \textbf{12} (1974), p.~271, 280.

\bibitem{SiegelAMS-49}
{\scshape C.~L. Siegel} -- \emph{Transcendental {N}umbers}, Annals of
  Mathematics Studies, no. 16, Princeton University Press, Princeton, N. J.,
  1949.

\bibitem{SondowPAMS-03}
{\scshape J.~Sondow} -- {\og Criteria for irrationality of {E}uler's
  constant\fg}, \emph{Proc. Amer. Math. Soc.} \textbf{131} (2003), no.~11,
  p.~3335--3344 (electronic).

\bibitem{TerasomaIM-02}
{\scshape T.~Terasoma} -- {\og Mixed {T}ate motives and multiple zeta
  values\fg}, \emph{Invent. Math.} \textbf{149} (2002), no.~2, p.~339--369.

\bibitem{VasilevMZ-96}
{\scshape K.~G. Vasil{\cprime}ev} -- {\og On the algebraic independence of the
  periods of {A}belian integrals\fg}, \emph{Mat. Zametki} \textbf{60} (1996),
  no.~5, p.~681--691, 799.

\bibitem{miwGL326-00}
{\scshape M.~Waldschmidt} -- \emph{Diophantine approximation on linear
  algebraic groups}, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental
  Principles of Mathematical Sciences], vol. 326, Springer-Verlag, Berlin,
  2000.

\bibitem{miwHyderabad-03}
\bysame , {\og Transcendence results related to the six exponentials
  theorem\fg}, Appendix by H. Shiga: Periods of a Kummer surface, Hyderabad,
  2003.

\bibitem{miwODPJMS-04}
\bysame , {\og Open diophantine problems\fg}, \emph{Moscow Mathematical
  Journal} \textbf{4} (2004), p.~245--305.

\bibitem{WolfartIM-88}
{\scshape J.~Wolfart} -- {\og Werte hypergeometrischer {F}unktionen\fg},
  \emph{Invent. Math.} \textbf{92} (1988), no.~1, p.~187--216.

\bibitem{WolfartBudapest-90}
\bysame , {\og Values of {G}auss' continued fractions\fg}, in \emph{Number
  theory, Vol.\ II (Budapest, 1987)}, Colloq. Math. Soc. J\'anos Bolyai,
  vol.~51, North-Holland, Amsterdam, 1990, p.~1051--1063.

\bibitem{WolfartWustholzMA-85}
{\scshape J.~Wolfart {\normalfont \smfandname} G.~W{\"u}stholz} -- {\og Der
  \"{U}berlagerungsradius gewisser algebraischer {K}urven und die {W}erte der
  {B}etafunktion an rationalen {S}tellen\fg}, \emph{Math. Ann.} \textbf{273}
  (1985), no.~1, p.~1--15.

\bibitem{WustholzAnnM-89}
{\scshape G.~W{\"u}stholz} -- {\og Algebraische {P}unkte auf analytischen
  {U}ntergruppen algebraischer {G}ruppen\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{129} (1989), no.~3, p.~501--517.

\bibitem{JingYu-92}
{\scshape J.~Yu} -- {\og Transcendence in finite characteristic\fg}, in
  \emph{The arithmetic of function fields (Columbus, OH, 1991)}, Ohio State
  Univ. Math. Res. Inst. Publ., vol.~2, de Gruyter, Berlin, 1992, p.~253--264.

\end{thebibliography}
 

\end{document}
 
  

math0502582.extracted_bib
\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{AdamczewskiBugeaud-04}
{\scshape B.~Adamczewski {\normalfont \smfandname} Y.~Bugeaud} -- {\og On the
  complexity of algebraic numbers\fg}, Submitted to Annals of Maths.

\bibitem{AdamczewskiBugeaudLucas-04}
{\scshape B.~Adamczewski, Y.~Bugeaud {\normalfont \smfandname} F.~Lucas} --
  {\og Sur la complexit{\'e} des nombres alg{\'e}briques\fg}, C. R. Acad. Sci.
  Paris 339 (2004), 11--14.

\bibitem{AdhikariSaradhaShoreyTijdemanIM-01}
{\scshape S.~D. Adhikari, N.~Saradha, T.~N. Shorey {\normalfont \smfandname}
  R.~Tijdeman} -- {\og Transcendental infinite sums\fg}, \emph{Indag. Math.
  (N.S.)} \textbf{12} (2001), no.~1, p.~1--14.

\bibitem{AndersonBrownawellPapanikolasAM-04}
{\scshape G.~W. Anderson, W.~D. Brownawell {\normalfont \smfandname} M.~A.
  Papanikolas} -- {\og Determination of the algebraic relations among special
  gamma-values in positive characteristic\fg}, math.NT/0207168 --- to appear in
  Annals of Maths. {\bf 159}, 2004.

\bibitem{AndersonThakurAM-01}
{\scshape G.~W. Anderson {\normalfont \smfandname} D.~S. Thakur} -- {\og Tensor
  powers of the {C}arlitz module and zeta values\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{132} (1990), no.~1, p.~159--191.

\bibitem{AndreLivre-89}
{\scshape Y.~Andr{\'e}} -- \emph{{$G$}-functions and geometry}, Aspects of
  Mathematics, E13, Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1989.

\bibitem{AndreQCTIGA-97}
\bysame , {\og Quelques conjectures de transcendance issues de la
  g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique\fg}, Pr{\'e}publication de l'institut de
  Math{\'e}matiques de Jussieu, {\bf 121}, 1997.

\bibitem{BDGP-IM-96}
{\scshape K.~Barr{\'e}-Sirieix, G.~Diaz, F.~Gramain {\normalfont \smfandname}
  G.~Philibert} -- {\og Une preuve de la conjecture de {M}ahler-{M}anin\fg},
  \emph{Invent. Math.} \textbf{124} (1996), no.~1-3, p.~1--9.

\bibitem{BertolinJNT-02}
{\scshape C.~Bertolin} -- {\og P\'eriodes de 1-motifs et transcendance\fg},
  \emph{J. Number Theory} \textbf{97} (2002), no.~2, p.~204--221.

\bibitem{BeukersWolfartD-86}
{\scshape F.~Beukers {\normalfont \smfandname} J.~Wolfart} -- {\og Algebraic
  values of hypergeometric functions\fg}, in \emph{New advances in
  transcendence theory (Durham, 1986)}, Cambridge Univ. Press, 1988, p.~68--81.

\bibitem{BlochEsnault-99}
{\scshape S.~Bloch {\normalfont \smfandname} H.~Esnault} -- {\og Gauss-{M}anin
  determinants for rank 1 irregular connections on curves\fg}, \emph{Math.
  Ann.} \textbf{321} (2001), no.~1, p.~15--87.

\bibitem{BoydZakopane-99}
{\scshape D.~W. Boyd} -- {\og Mahler's measure and special values of
  {$L$}-functions---some conjectures\fg}, in \emph{Number theory in progress,
  Vol. 1 (Zakopane-Ko\'scielisko, 1997)}, de Gruyter, Berlin, 1999, p.~27--34.

\bibitem{BrownawellTrichy-98}
{\scshape W.~D. Brownawell} -- {\og Transcendence in positive
  characteristic\fg}, in \emph{Number theory (Tiruchirapalli, 1996)}, Contemp.
  Math., vol. 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, p.~317--332.

\bibitem{BrownawellPapanikolasCrelle-02}
{\scshape W.~D. Brownawell {\normalfont \smfandname} M.~A. Papanikolas} -- {\og
  Linear independence of gamma values in positive characteristic\fg}, \emph{J.
  Reine Angew. Math.} \textbf{549} (2002), p.~91--148.

\bibitem{BruiltetAA-02}
{\scshape S.~Bruiltet} -- {\og D'une mesure d'approximation simultan\'ee \`a
  une mesure d'irrationalit\'e: le cas de {$\Gamma(1/4)$} et
  {$\Gamma(1/3)$}\fg}, \emph{Acta Arith.} \textbf{104} (2002), no.~3,
  p.~243--281.

\bibitem{BugeaudCTM-2004}
{\scshape Y.~Bugeaud} -- \emph{Approximation by algebraic numbers}, Cambridge
  Tracts in Math., Cambridge University Press, 2004, \`a para\^{\i}tre.

\bibitem{BundschuhMM-79}
{\scshape P.~Bundschuh} -- {\og Zwei {B}emerkungen \"uber transzendente
  {Z}ahlen\fg}, \emph{Monatsh. Math.} \textbf{88} (1979), no.~4, p.~293--304.

\bibitem{CartierB-00}
{\scshape P.~Cartier} -- {\og Fonctions polylogarithmes, nombres polyz\^etas et
  groupes pro-unipotents\fg}, \emph{Ast{\'e}risque} (2002), no.~282, p.~Exp.
  No. 885, viii, 137--173, S{\'e}minaire Bourbaki, Vol. 2000/2001.

\bibitem{CohenWolfart-90}
{\scshape P.~Cohen {\normalfont \smfandname} J.~Wolfart} -- {\og Modular
  embeddings for some nonarithmetic {F}uchsian groups\fg}, \emph{Acta Arith.}
  \textbf{56} (1990), no.~2, p.~93--110.

\bibitem{CohenWustholz-99}
{\scshape P.~B. Cohen {\normalfont \smfandname} G.~W{\"u}stholz} -- {\og
  Application of the {A}ndr{\'e}-{O}ort conjecture to some questions in
  transcendence\fg}, in \emph{A panorama of number theory or the view from
  Baker's garden (Z\"urich, 1999)}, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002,
  p.~89--106.

\bibitem{ChudnovskyDANU-76}
{\scshape G.~V. {\v{C}}udnovs{\cprime}ki\u{\i}} -- {\og Algebraic independence
  of constants connected with the exponential and the elliptic functions\fg},
  \emph{Dokl. Akad. Nauk Ukrain. SSR Ser. A} (1976), no.~8, p.~698--701, 767.

\bibitem{DavidDenis-02}
{\scshape S.~David {\normalfont \smfandname} L.~Denis} -- {\og P{\'e}riodes de
  modules de {D}rinfel'd --- ``ind{\'e}pendance quadratique en rang {II}''\fg},
  \emph{J. Ramanujan Math. Soc.} \textbf{17} (2002), no.~1, p.~65--83.

\bibitem{DeligneMSMF-80}
{\scshape P.~Deligne} -- {\og Cycles de {H}odge absolus et p{\'e}riodes des
  int{\'e}grales des vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes\fg}, \emph{M{\'e}m. Soc.
  Math. France (N.S.)} (1980/81), no.~2, p.~23--33.

\bibitem{EdixhovenYafaev-03}
{\scshape B.~Edixhoven {\normalfont \smfandname} A.~Yafaev} -- {\og
  Subvarieties of {S}himura varieties\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{157} (2003), no.~2, p.~621--645.

\bibitem{FeldmanNesterenko-98}
{\scshape N.~I. Fel{\cprime}dman {\normalfont \smfandname} Y.~V. Nesterenko} --
  {\og Transcendental numbers\fg}, in \emph{Number theory, IV}, Encyclopaedia
  Math. Sci., vol.~44, Springer, Berlin, 1998, p.~1--345.

\bibitem{FischlerB-02}
{\scshape S.~Fischler} -- {\og Irrationalit{\'e} de valeurs de z\^eta
  (d'apr\`es {A}p{\'e}ry, {R}ivoal, ...)\fg}, S{\'e}minaire Bourbaki 2002/03,
  exp. no. 910 ; \`a para\^{\i}tre dans Ast{\'e}risque ; preprint
  math.NT/0303066.

\bibitem{GaudronCRAS-01}
{\scshape {\'E}.~Gaudron} -- {\og Mesure d'ind\'ependance lin\'eaire de
  logarithmes dans un groupe alg\'ebrique commutatif\fg}, \emph{C. R. Acad.
  Sci. Paris S\'er. I Math.} \textbf{333} (2001), no.~12, p.~1059--1064.

\bibitem{GaudronFLLEVA-04}
{\scshape {\'E}.~Gaudron} -- {\og Formes lin{\'e}aires de logarithmes
  effectives sur les vari{\'e}t{\'e}s ab{\'e}liennes\fg}, manuscrit non
  publi{\'e}, 2004.

\bibitem{GoncharovECM-01}
{\scshape A.~B. Goncharov} -- {\og Multiple {$\zeta$}-values, {G}alois groups,
  and geometry of modular varieties\fg}, in \emph{European Congress of
  Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000)}, Progr. Math., vol. 201, Birkh\"auser,
  Basel, 2001, p.~361--392.

\bibitem{Goss-92}
{\scshape D.~Goss, D.~R. Hayes {\normalfont \smfandname} M.~I. Rosen}
  (\smfedsname) -- \emph{The arithmetic of function fields}, Ohio State
  University Mathematical Research Institute Publications, 2, Berlin, Walter de
  Gruyter \& Co., 1992.

\bibitem{GramainWeberMC-85}
{\scshape F.~Gramain {\normalfont \smfandname} M.~Weber} -- {\og Computing an
  arithmetic constant related to the ring of gaussian integers\fg}, \emph{Math.
  Comp.} \textbf{44} (1985), no.~169, p.~241--250 and S13--S16, Corrigendum,
  id. 48 (1987) no. 178 p. 854.

\bibitem{GrinspanJNT-02}
{\scshape P.~Grinspan} -- {\og Measures of simultaneous approximation for
  quasi-periods of abelian varieties\fg}, \emph{J. Number Theory} \textbf{94}
  (2002), no.~1, p.~136--176.

\bibitem{GrossRohrlichIM-78}
{\scshape B.~H. Gross} -- {\og On the periods of abelian integrals and a
  formula of {C}howla and {S}elberg\fg}, \emph{Invent. Math.} \textbf{45}
  (1978), no.~2, p.~193--211.

\bibitem{GrothendieckIHES-66}
{\scshape A.~Grothendieck} -- {\og On the de {R}ham cohomology of algebraic
  varieties\fg}, \emph{Inst. Hautes {\'E}tudes Sci. Publ. Math.} (1966),
  no.~29, p.~95--103.

\bibitem{HoffmanJA-97}
{\scshape M.~E. Hoffman} -- {\og The algebra of multiple harmonic series\fg},
  \emph{J. Algebra} \textbf{194} (1997), no.~2, p.~477--495.

\bibitem{KoblitzRohrlichCJM-78}
{\scshape N.~Koblitz {\normalfont \smfandname} D.~Rohrlich} -- {\og Simple
  factors in the {J}acobian of a {F}ermat curve\fg}, \emph{Canad. J. Math.}
  \textbf{30} (1978), no.~6, p.~1183--1205.

\bibitem{KontsevichZagierMU-00}
{\scshape M.~Kontsevich {\normalfont \smfandname} D.~Zagier} -- {\og
  Periods\fg}, in \emph{Mathematics unlimited---2001 and beyond}, Springer,
  Berlin, 2001, p.~771--808.

\bibitem{LangITN-66}
{\scshape S.~Lang} -- \emph{Introduction to transcendental numbers},
  Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1966.

\bibitem{LangDPP-77}
\bysame , {\og Relations de distributions et exemples classiques\fg}, in
  \emph{S\'eminaire Delange-Pisot-Poitou, 19e ann\'ee: 1977/78, Th\'eorie des
  nombres, Fasc. 2}, Secr\'etariat Math., Paris, 1978, p.~Exp. No. 40, 6.

\bibitem{Masser}
{\scshape D.~Masser} -- {\og Interpolation on group varieties\fg}, in
  \emph{Approximations diophantiennes et nombres transcendants ({L}uminy,
  1982)} (D.~Bertrand {\normalfont \smfandname} M.~Waldschmidt, \smfedsname),
  Progress in Math., no.~31, Birkh\"auser, 1983, p.~151--171.

\bibitem{NesterenkoMS-96}
{\scshape Y.~V. Nesterenko} -- {\og Modular functions and transcendence
  questions\fg}, \emph{Mat. Sb. [Sb. Math]} \textbf{187} (1996), no.~9,
  p.~65--96 [1319--1348].

\bibitem{lnm1752}
{\scshape Y.~V. Nesterenko {\normalfont \smfandname} P.~Philippon}
  (\smfedsname) -- \emph{Introduction to algebraic independence theory},
  Lecture Notes in Math., no. 1752, Springer, 2001.

\bibitem{NishiokaLN}
{\scshape K.~Nishioka} -- \emph{Mahler functions and transcendence}, Lecture
  Notes in Mathematics, vol. 1631, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

\bibitem{Oort-94}
{\scshape F.~Oort} -- {\og Canonical liftings and dense sets of
  {CM}-points\fg}, in \emph{Arithmetic geometry (Cortona, 1994)}, Sympos.
  Math., XXXVII, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, p.~228--234.

\bibitem{PellarinIdeauxStables-04}
{\scshape F.~Pellarin} -- {\og Id{\'e}aux stables dans certains anneaux
  diff{\'e}rentiels de formes quasi-modulaires de hilbert\fg}, math.NT/0407381,
  2004.

\bibitem{vanderPoortenPAMS-71}
{\scshape A.~J. Van~der Poorten} -- {\og On the arithmetic nature of definite
  integrals of rational functions.\fg}, \emph{Proc. Amer. Math. Soc.}
  \textbf{29} (1971), p.~451--456.

\bibitem{RhinViolaAA-01}
{\scshape G.~Rhin {\normalfont \smfandname} C.~Viola} -- {\og The group
  structure for {$\zeta(3)$}\fg}, \emph{Acta Arith.} \textbf{97} (2001), no.~3,
  p.~269--293.

\bibitem{SchneiderCrelle-34}
{\scshape T.~Schneider} -- {\og Transzendenzuntersuchungen periodischer
  {F}unktionen\fg}, \emph{J. reine angew. Math.} \textbf{14} (1934), p.~65--74.

\bibitem{SchneiderMA-37}
\bysame , {\og Arithmetische {U}ntersuchungen elliptischer {I}ntegrale\fg},
  \emph{Math. Ann.} \textbf{113} (1937), p.~1--13.

\bibitem{SchneiderCrelle-41}
\bysame , {\og Zur {T}heorie des {A}belschen {F}unktionen und {I}ntegrale\fg},
  \emph{J. reine angew. Math.} \textbf{183} (1941), p.~110--128.

\bibitem{Schneider-57}
{\scshape T.~Schneider} -- \emph{Introduction aux nombres transcendants},
  Traduit de l'allemand par P. Eymard, Gauthier-Villars, Paris, 1959.

\bibitem{ShanksFQ-74}
{\scshape D.~Shanks} -- {\og Incredible identities\fg}, \emph{Fibonacci Quart.}
  \textbf{12} (1974), p.~271, 280.

\bibitem{SiegelAMS-49}
{\scshape C.~L. Siegel} -- \emph{Transcendental {N}umbers}, Annals of
  Mathematics Studies, no. 16, Princeton University Press, Princeton, N. J.,
  1949.

\bibitem{SondowPAMS-03}
{\scshape J.~Sondow} -- {\og Criteria for irrationality of {E}uler's
  constant\fg}, \emph{Proc. Amer. Math. Soc.} \textbf{131} (2003), no.~11,
  p.~3335--3344 (electronic).

\bibitem{TerasomaIM-02}
{\scshape T.~Terasoma} -- {\og Mixed {T}ate motives and multiple zeta
  values\fg}, \emph{Invent. Math.} \textbf{149} (2002), no.~2, p.~339--369.

\bibitem{VasilevMZ-96}
{\scshape K.~G. Vasil{\cprime}ev} -- {\og On the algebraic independence of the
  periods of {A}belian integrals\fg}, \emph{Mat. Zametki} \textbf{60} (1996),
  no.~5, p.~681--691, 799.

\bibitem{miwGL326-00}
{\scshape M.~Waldschmidt} -- \emph{Diophantine approximation on linear
  algebraic groups}, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental
  Principles of Mathematical Sciences], vol. 326, Springer-Verlag, Berlin,
  2000.

\bibitem{miwHyderabad-03}
\bysame , {\og Transcendence results related to the six exponentials
  theorem\fg}, Appendix by H. Shiga: Periods of a Kummer surface, Hyderabad,
  2003.

\bibitem{miwODPJMS-04}
\bysame , {\og Open diophantine problems\fg}, \emph{Moscow Mathematical
  Journal} \textbf{4} (2004), p.~245--305.

\bibitem{WolfartIM-88}
{\scshape J.~Wolfart} -- {\og Werte hypergeometrischer {F}unktionen\fg},
  \emph{Invent. Math.} \textbf{92} (1988), no.~1, p.~187--216.

\bibitem{WolfartBudapest-90}
\bysame , {\og Values of {G}auss' continued fractions\fg}, in \emph{Number
  theory, Vol.\ II (Budapest, 1987)}, Colloq. Math. Soc. J\'anos Bolyai,
  vol.~51, North-Holland, Amsterdam, 1990, p.~1051--1063.

\bibitem{WolfartWustholzMA-85}
{\scshape J.~Wolfart {\normalfont \smfandname} G.~W{\"u}stholz} -- {\og Der
  \"{U}berlagerungsradius gewisser algebraischer {K}urven und die {W}erte der
  {B}etafunktion an rationalen {S}tellen\fg}, \emph{Math. Ann.} \textbf{273}
  (1985), no.~1, p.~1--15.

\bibitem{WustholzAnnM-89}
{\scshape G.~W{\"u}stholz} -- {\og Algebraische {P}unkte auf analytischen
  {U}ntergruppen algebraischer {G}ruppen\fg}, \emph{Ann. of Math. (2)}
  \textbf{129} (1989), no.~3, p.~501--517.

\bibitem{JingYu-92}
{\scshape J.~Yu} -- {\og Transcendence in finite characteristic\fg}, in
  \emph{The arithmetic of function fields (Columbus, OH, 1991)}, Ohio State
  Univ. Math. Res. Inst. Publ., vol.~2, de Gruyter, Berlin, 1992, p.~253--264.

\end{thebibliography}