L'alg�bre de Lie des transpositions
Ivan Marin
lietranspII.tex
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%%%%%%%%%%% pour faire des rubans %%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\stvrule{\vrule width-0.4pt}         % Difference de largeur entre
                                         % deux cases
\def\sthrule{\hrule \hrule height-0.4pt} % Difference de hauteur entre
                                         % deux cases

\def\ststrut{\vrule height1.6ex % Sur la ligne
                     depth0.6ex % Sous la ligne
                       width0ex % centrage horizontal
\relax}
\def\scarre#1{%
    \vcenter{\hbox{}\hrule
             \hbox{\vrule\makebox[2.3ex]{\ststrut$\scriptstyle#1$}\vrule}\sthrule}%
             \stvrule}
\def\sgenruban#1{\vcenter{\halign{&$\scarre{##}$\cr#1}}\egroup}

\def\smallruban{%
  \bgroup
  \let\ =\omit
  \let\\=\cr
  \offinterlineskip
  \sgenruban}

\def\smallbr#1{{\scriptstyle\langle#1\rangle}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Stvrule{\vrule width-0.4pt}         % Differnede de largeur entre
                                         % deux cases
\def\Sthrule{\hrule \hrule height-1.6pt} 
% Difference de hauteurs entre deux cases

\def\Ststrut{\vrule height0.9ex % Sur la ligne
                     depth0.3ex % Sous la ligne
                       width0ex % centrage horizontal
\relax}
\def\Scarre#1{%
    \vcenter{\hbox{}\hrule
             \hbox{\vrule\makebox[1.0ex]{\Ststrut$\scriptstyle#1$}\vrule}\Sthrule}%
             \Stvrule}

\def\Sgenruban#1{\vcenter{\halign{&$\Scarre{##}$\cr#1}}\egroup}

\def\Smallruban{%
  \bgroup
  \let\ =\omit
  \let\\=\cr
  \offinterlineskip
  \Sgenruban}

%%%%%%%%%%%

\def\rtvrule{\vrule width-0.8pt}         % Difference de largeur entre
                                         % deux cases
\def\rthrule{\hrule \hrule height-0.8pt} % Difference de hauteur entre
                                         % deux cases

\def\rtstrut{\vrule height3.2ex % Sur la ligne
                     depth1.2ex % Sous la ligne
                       width0ex % centrage horizontal
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\def\rcarre#1{%
    \vcenter{\hbox{}\hrule
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\def\rgenruban#1{\vcenter{\halign{&$\rcarre{##}$\cr#1}}\egroup}

\def\ruban{%
  \bgroup
  \let\ =\omit
  \let\\=\cr
  \offinterlineskip
  \rgenruban}

\def\smallbr#1{{\scriptstyle\langle#1\rangle}}




\def\Lie{\mathrm{Lie}}
\def\rg{\mathrm{rg}}
\def\IS{\mathrm{(IS_r)}}
\def\HRn{\mathrm{(HR_{n})}}
\def\HRm{\mathrm{(HR_{n-1})}}
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\def\binom#1#2{\left(\begin{array}{c} {#1} \\ {#2} \end{array} \right)}
\newcommand{\la}{\lambda}
\def\ne{\nearrow}
\def\ad{\mathrm{ad}}
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\def\Id{\mathrm{Id}}
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\def\g{\mathfrak{g}}
\def\PP{\mathfrak{P}}
\def\h{\mathfrak{h}}
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\def\so{\mathfrak{so}}
\def\sp{\mathfrak{sp}}
\def\osp{\mathfrak{osp}}
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\def\k{\mathbbm{k}}
\def\kt{\mathbbm{k}^{\times}}
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\newtheorem*{ccor}{Corollaire}
\newtheorem{conj}{Conjecture}
% provisoire
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\def\Lie{\mathrm{Lie}}
\def\m{\underline{m}}


\title{L'alg�bre de Lie des transpositions}

\author{Ivan Marin}

%\date{19 juin 2005 }


\begin{document}

\maketitle



\noindent {\bf R�sum�.} Pour tout $n \geq 3$ on obtient la d�composition en
facteurs simples de la sous-alg�bre de Lie de l'alg�bre de groupe
du groupe sym�trique sur $n$ lettres engendr�e par les transpositions. Cela
nous permet de d�terminer l'enveloppe alg�brique du groupe de tresses
$\B_n$ et de certains de ses sous-groupes dans les repr�sentations de
l'alg�bre de Iwahori-Hecke de type A.

\bigskip

\noindent {\bf Abstract.} For any $n \geq 3$ we obtain the decomposition
in simple factors of the Lie subalgebra of the group algebra of the
symmetric group on $n$ letters generated by the transpositions.
This enables us to determine the algebraic hull of the braid group
$\B_n$ and of several of its subgroups inside the representations of
the Iwahori-Hecke algebra of type A.

\section{Motivations}


On note $\B_n$ le groupe de tresses � $n$ brins. Des
actions de $\B_n$ se rencontrent dans les domaines
les plus vari�s de la g�om�trie et de l'alg�bre. En particulier,
quatre types de repr�sentations (d�pendant d'un ou deux
param�tres g�n�riques) sont particuli�rement fr�quents :
\begin{enumerate}
\item La repr�sentation de Burau
\item Les repr�sentations de l'alg�bre de Temperley-Lieb
\item Les repr�sentations de l'alg�bre d'Iwahori-Hecke de type A
\item Les repr�sentations de l'alg�bre de Birman-Wenzl-Murakami
\end{enumerate}
Chacun de ces types de repr�sentations est un cas particulier
des suivantes. Les repr�sentations des alg�bres semi-simples
correspondantes,
qui induisent des repr�sentations du groupe de tresses,
sont bien connues en tant que repr�sentations d'alg�bres.
En revanche, la structure d'alg�bre ne permet pas de comprendre
les d�compositions en irr�ductibles des produits tensoriels
de ces repr�sentations, en tant que repr�sentations du groupe de tresses.
De m�me, elle ne permet pas de d�terminer l'enveloppe
alg�brique du groupe de tresses dans chacune de ces repr�sentations.


Pour d�composer ces produits tensoriels, on a montr� dans \cite{QUOTDEF}
qu'il suffit de savoir d�composer en facteurs simples
des alg�bres de Lie \og infinit�simales \fg\ naturellement
associ�es � ces structures. Cette t�che a �t� accomplie
pour la repr�sentation de Burau et l'alg�bre de Temperley-Lieb
pour tout $n$, ainsi que pour
l'alg�bre
d'Iwahori-Hecke pour $n \leq 6$. On y a de plus montr� que
l'alg�bre de Lie correspondant
� l'alg�bre d'Iwahori-Hecke admet une description particuli�rement
simple, pr�cis�ment qu'il s'agit de la sous-alg�bre de Lie de l'alg�bre du groupe
du groupe sym�trique, consid�r�e comme alg�bre de Lie pour le
crochet $[a,b] = ab-ba$, qui est engendr�e par les transpositions.


C'est cette alg�bre de Lie que nous d�composons ici (th�or�me A) pour tout
entier $n$.
Nous en d�duisons (th�or�me B) l'enveloppe alg�brique de l'image du groupe
de tresses
et de plusieurs de ses sous-groupes dans chacune des
repr�sentations irr�ductibles de l'alg�bre d'Iwahori-Hecke de type A,
puis dans l'alg�bre d'Iwahori-Hecke elle-m�me (theor�me C).


La d�composition particuli�rement simple de cette
alg�bre de Lie permet d'envisager le m�me travail
pour l'alg�bre de Birman-Wenzl-Murakami, mais �galement
pour les alg�bres de Hecke infinit�simales associ�es aux autres
groupes de r�flexions, qui ont �t� introduites dans \cite{HECKINF}.

Le th�or�me A, �tablissant la d�composition de l'alg�bre de Lie
des transpositions, est �nonc� en section 2. La section 3 est compos�e de
r�sultats pr�liminaires sur les diagrammes de Young. Le but des sections 4, 5 et 6
est de d�montrer ce th�or�me. En section 4 nous
plongeons cette alg�bre de Lie dans une alg�bre de Lie
r�ductive explicitement d�compos�e. Les sections 5 et 6 sont
consacr�es � la d�monstration de la surjectivit� de
ce plongement, ce qui conclut la d�monstration du
th�or�me. Les sections suivantes sont consacr�es �
l'application de ce th�or�me aux calculs d'enveloppes alg�briques
(th�or�mes B et C).

\section{R�sultat principal}

\subsection{Notations}
On rappelle qu'une partition $\la$ de l'entier $n$ est une suite
$(\la_r)_{r \geq 1}$ d'entiers naturels presque tous
nuls, tels que $\la_r \geq \la_{r+1}$ pour tout $r \geq 1$, et dont
la somme vaut $n$. On appellera plus g�n�ralement partition
une suite
$\la = (\la_r)_{r \geq 1}$ d'entiers naturels presque tous
nuls, tels que $\la_r \geq \la_{r+1}$ pour tout $r \geq 1$. C'est
une partition d'un certain entier $n$, que l'on appelle la taille
de la partition et que l'on note $|\la|$. On utilisera la notation classique
$\la \vdash n$ pour indiquer que $\la$ est une partition de $n$,
et la notation $[\la_1,\dots,\la_r]$
pour d�signer la partition $\la_1,\dots,\la_r,0,\dots$. Une extension commode de cette notation
que nous utiliserons �galement consiste � noter $a^b$ une juxtaposition de $b$ fois le nombre $a$. Ainsi,
$[4,2^3]= [4,2,2,2]$.



Si $\la \vdash n$ est une
partition de l'entier naturel $n$, on note $\la'$ la
partition sym�trique de $\la$, d�finie par $\la'_r = \max \{ i \geq 1 | \la_i \geq r \}$, en convenant
que $\max \emptyset = 0$. Si $\la = \la'$, on dit que $\la$ est une partition \emph{sym�trique}.

Soit $\k$ un corps de caract�ristique 0.
La th�orie classique des repr�sentations du groupe
sym�trique $\SN$ (cf. par exemple \cite{FH}) associe � toute partition $\la$
de $n$ un $\k \SN$-module simple (de dimension finie sur $\k$), bien d�termin� � isomorphisme pr�s. Par
exemple, � la partition $[n]$ de $n$ correspond le $\k \SN$-module
trivial de dimension 1. Plus g�n�ralement, pour tout $0 \leq  r \leq n$, les partitions
de la forme $[n-r,1^r]$, appel�es des \emph{�querres}, correspondent � des repr�sentations particuli�res
de $\SN$. Nous appellerons les partitions qui ne sont pas des �querres des
partitions \emph{propres}.


Par souci de lisibilit�, on identifiera $\la$ � ce $\k \SN$-module simple.
On notera ainsi $\dim (\la)$
la dimension sur $\k$ de ce module, et $\sl(\la)$, $\gl(\la)$ les alg�bres de Lie
sp�ciale lin�aire et lin�aire sur l'espace vectoriel sous-jacent.
On utilisera la notation $\rho_{\la}$ pour d�signer la
repr�sentation associ�e � $\la$, c'est-�-dire le morphisme
$\SN \to GL(\la) \subset \End_{\k}(\la)$. 




Pour un entier $n$, on note $E_n$ l'ensemble des
partitions propres $\la$ de $n$ telles que $\la \neq \la'$, $F_n$
l'ensemble des partitions propres sym�triques. On note $\sim$ la relation
d'�quivalence sur $E_n$ qui identifie $\la$ � $\la'$. Munissant l'ensemble
des partitions de $n$ de l'ordre lexicographique, on peut alors
identifier $E_n/\sim$ � l'ensemble $\{ \la \vdash n \ | \ \dim(\la)>1 \mbox{ et } \la < \la' \}$.


\subsection{L'alg�bre de Lie des transpositions}


\begin{defi}
Pour tout $n \geq 3$, on note $\g_n$ la sous-alg�bre de Lie de $\k \SN$
engendr�e par les transpositions, $\g'_n = [\g_n,\g_n]$ son
alg�bre d�riv�e et
$\g_{\la}$ l'image de $\g'_n$ dans les endomorphismes de $\la$.
\end{defi}

L'alg�bre de Lie $\g_n$ admet des ensembles de g�n�rateurs
plus petits. Le lemme suivant, qui d�coule ais�ment de l'identit� $\ad(s) \circ \ad(s)
= 2 - 2\Ad(s)$ dans $\g_n$ pour $s$ une transposition,
o� $\ad(x)(y) = [x,y]$ et $\Ad(x)(y) = xyx^{-1}$, nous sera notamment
utile dans la preuve du lemme \ref{glaosp}.
\begin{lemme} \label{gentransp} $\g_n$ est engendr�e par la famille des transpositions
cons�cutives $(i\ i+1)$. Elle est �galement engendr�e par la
famille des transpositions $(i\ n)$ pour $1 \leq i \leq n-1$.
\end{lemme}


La proposition suivante, �tablie dans \cite{THESE, QUOTDEF}, montre que l'�tude de $\g_n$ et de ses
repr�sentations se ram�ne
� celle de $\g'_n$ :
 
\begin{prop}
L'alg�bre de Lie $\g_n$ est r�ductive, et son centre est
de dimension 1, engendr� par la somme $T_n$ de toutes les transpositions.
En cons�quence $\g_n \simeq \k \times \g'_n$, et l'image de $\g_n$ dans $\gl(\la)$ est
$\g_{\la} \subset \sl(\la)$ si $T_n$ agit par $0$, et $\k \times \g_{\la}$
sinon.
\end{prop}

Si l'on note $p : \k \SN \to Z(\k \SN)$
la projection de $\k \SN$ sur son centre, d�finie par
$$
p(x) = \frac{1}{n!} \sum_{s \in \SN} s x s^{-1},
$$
alors l'alg�bre de Lie $\g_n$ est $p$-stable parce qu'engendr�e par
une classe de conjugaison de $\SN$, et on a $\k T_n = Z(\g_n) = p(\g_n)$. Ainsi,
$\g'_n$ s'identifie au noyau de la restriction de $p$ � $\g_n$.

Nous verrons en section 4.4 comment calculer l'action de $T_n$ sur chacune
des re\-pr�\-sen\-ta\-tions de $\SN$. Ind�pendamment de ce calcul, on peut
montrer que les restrictions � $\g'_n$ de deux repr�sentations
non isomorphes de $\k \SN$ de sont pas isomorphes en g�n�ral : 
\begin{prop} \label{equivisom}
Soient $n \geq 2$ et $R_1,R_2$ deux repr�sentations absolument irr�ductibles de $\k \SN$ de dimension au moins 2. On a �quivalence
\begin{itemize}
\item[(i)] $R_1$ et $R_2$ sont isomorphes en tant que repr�sentations de $\SN$.
\item[(ii)] $R_1$ et $R_2$ sont isomorphes en tant que repr�sentations de $\g_n$.
\item[(iii)] $R_1$ et $R_2$ sont isomorphes en tant que repr�sentations de $\g'_n$.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof} Les implications $(i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii)$
sont imm�diates puisque $\g'_n \subset \g_n \subset \k \SN$. Notons
$R_i : \k \SN \to \End(V_i)$. On a par hypoth�se $\dim(V_1) > 1$. Supposons
$(iii)$, c'est-�-dire qu'il existe $P \in \Hom(V_1,V_2)$ bijectif
tel que, pour tout $x \in \g'_n$, on ait
$P R_1(x) = R_2(x) P$.

A toute transposition $s$ on associe $s' = s - 2 T_n/n(n-1)$. Comme
les $n(n-1)/2$ transpositions de $\SN$ forment une classe
de conjugaison, on a $p(s) = 2 T_n/n(n-1)$ et $p(T) = T$
donc $p(s')=0$ soit $s' \in \g'_n$. D'autre part,
$T_n$ est central dans $\k \SN$ donc $R_1(T)$ et $R_2(T)$ sont
scalaires par absolue irr�ductibilit� de ces deux repr�sentations. De
$R_2(x) = P R_1(x) P^{-1}$ pour tout $x \in \g'_n$ on d�duit
en particulier que, pour toute transposition $s$, on a
$$
R_2(s) - \frac{2}{n(n-1)} R_2(T) = PR_1(s)P^{-1} - \frac{2}{n(n-1)} R_1(T)
$$
c'est-�-dire $R_2(s) = PR_1(s)P^{-1}+ \om$ avec
$\om = 2(R_2(T_n) - R_1(T_n))/n(n-1) \in \k$ ind�pendant de $s$.
En �levant au carr� on en d�duit $1 = R_2(s^2) = 1 + 2 P R_1(s) P^{-1}
+ \om^2$. Si $\om \neq 0$, alors $R_1(s)$ serait scalaire pour toute
transposition $s$, donc pour toute permutation ; ainsi
$R_1(\SN) \subset \k^{\times}$, ce qui contredirait l'irr�ductibilit�
de l'action de $\SN$ sur $V_1$ puisque $\dim V_1 > 1$. Ainsi $\om = 0$,
c'est-�-dire $R_2(s) = P R_1(s) P^{-1}$ pour toute transposition $s$,
donc pour toute permutation et $R_1$ est bien isomorphe �
$R_2$ comme repr�sentation de $\SN$.
\end{proof}


On notera encore $\rho_{\la}$ la repr�sentation $\g_n \to \gl(\la)$
associ�e � $\la$. Par d�finition, sa restriction � $\g'_n$ se factorise par $\g_{\la}$.


\subsection{Enonc� du th�or�me A}

Nous d�finirons en section 4.2, pour toute partition sym�trique $\la$,
une alg�bre de Lie $\osp(\la)$, et un morphisme injectif
$$
\phi_n : \g_n' \into \sl_{n-1}(\k) \times \left( \prod_{\la \in E_{n}/\sim} \sl(\la) \right) \times \left( \prod_{
\la \in F_{n}} \osp(\la) \right)
$$



Nous pouvons maintenant �noncer le theor�me

\begin{theoA}  
Pour tout $n \geq 3$, $\phi_n$ est surjectif. En particulier,
$$
\g'_n \simeq \sl_{n-1}(\k) \times \left( \prod_{\la \in E_{n}/\sim} \sl(\la) \right) \times \left( \prod_{
\la \in F_{n}} \osp(\la) \right)
$$
et les repr�sentations $\rho_{\la}$ de $\g'_n$ sont deux � deux
non isomorphes. 
\end{theoA}








\section{Pr�liminaires sur les diagrammes de Young}


On repr�sente habituellement les partitions par des diagrammes de Young.
On utilisera la convention telle
que $[3,2]$ est associ�e au diagramme � deux colonnes et trois lignes suivante :
$$
\smallruban{ & \ \\ & \\ & \\}
$$
Si $\la$ est une partition, on notera encore $\la$ le diagramme de Young associ�.

Si $\la, \mu$ sont deux partitions, on utilise les notations
suvantes :
\begin{itemize}
\item $\mu \subset \la$ si $\forall i \ \mu_i \leq \la_i$.
\item $\mu \nearrow \la$ si $\mu \subset \la$
et $|\la| = |\mu| +1$.
\item On note $\nu = \mu \cup \la$ la partition
d�finie par $\nu_i = \max(\la_i,\mu_i)$.
\item On note $\nu = \mu \cap \la$
la partition
d�finie par $\nu_i = \min(\la_i,\mu_i)$.
\end{itemize}

Comme exemple de ces deux derni�res notations :
$$
\la = \smallruban{ & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  \ & \ \\
 & &  &  \\}\ \ \ \ 
\mu = \smallruban{ \ & \  & \ & \ \\ & & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  & \ \\
 & &  & \ \\}\ \ \ \  
\la \cup \mu = \smallruban{ & \ & \ & \ \\ & & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  & \ \\
 & &  &  \\}\ \ \ \  
\la \cap \mu = \smallruban{ \  & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & & \ & \ \\
 & &  & \ \\} 
$$
L'ensemble des \emph{d�crochements} de $\la$ est $D(\la) = \{ i| \la_{i+1}
< \la_i \}$. On note $\delta(\la) = \# D(\la)$ le nombre de d�crochements
de $\la$. A tout d�crochement $r$ de $\la \vdash n$ on peut associer
$\la^{(r)} \ne \la$ d�finie par $\la^{(r)}_r = \la_r - 1$
et $\la^{(r)}_i = \la_i$ si $i\neq r$. Par exemple,
$$
\la = \smallruban{ & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  \ & \ \\
 & &  &  \\}\ \ \ 
D(\la) = \{1,2,4 \}\ \ \ 
\la^{(1)} = \smallruban{ \ & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  \ & \ \\
 & &  &  \\} \ 
\la^{(2)} = \smallruban{ & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & \ & \ & \ \\  & &  \ & \ \\
 & &  &  \\} \ 
\la^{(4)} = \smallruban{ & \ & \ & \ \\ & \ & \ & \ \\  & & \ & \ \\  & &  \ & \ \\
 & &  &  \ \\}
$$




On appelle longueur de la diagonale de $\la$ et on note $b(\la)$
le nombre $b(\la) = \max \{ i | \la_i \geq i\}$. Dans l'exemple pr�c�dent,
$b(\la) = 2$. Il est clair
que, si $\mu \subset \la$, on a $b(\mu) \leq b(\la)$, et que si $\mu \ne \la$, on
a $b(\mu) \in \{ b(\la),b(\la)-1 \}$ avec $b(\mu) = b(\la) -1$ ssi
$\mu = \la^{(b(\la))}$. On remarque que $b(\la) = 1$ signifie que
$\la = [n-r,1^r]$ pour
un certain $0 \leq r \leq n$, c'est-�-dire que $\la$ est une
\emph{�querre}.
On rappelle que dans le cas contraire on dit que $\la$ est propre,
que $E_n$ d�signe l'ensemble des partitions propres non sym�triques
($\la \neq \la'$) et $F_n$ celui des partitions propres sym�triques.


\bigskip


Le lemme suivant est visuellement �vident :


\begin{lemme} L'application $r \mapsto \la_r$ induit une bijection
$D(\la) \to D(\la')$. En particulier, $\delta(\la) = \delta(\la')$. Si
$r \in D(\la)$ et $c = \la_r$, on a $(\la')^{(c)} = (\la^{(r)})'$. Enfin
$b(\la) = b(\la')$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $r \in D(\la)$, $c = \la_r$. On a $\la'_c = \# \{ i | \la_i \geq c \}
= \# \{ i | \la_i \geq \la_r \} = r$
car $\la_r > \la_{r+1}$, et $\la'_{c+1} =
\# \{ i | \la_i \geq c+1 \}= \# \{ i | \la_i > \la_r \} \leq r-1$,
donc $\la'_{c+1} > \la'_c$ et $c \in D(\la')$. D'autre part $\la'_c = r$
s'�crit $r = \la'_{\la_r}$ donc la compos�e $D(\la) \to D(\la') \to
D(\la'') = D(\la)$ est l'identit� et $D(\la) \to D(\la')$ est bijective.


Soit $\mu = \la^{(r)}$. Si $s \neq c$, l'in�galit� $\mu_i \geq s$ signifie $\la_i \geq s$
pour tout $i \neq r$. Si $i = r$ on a $\mu_r = c-1$ et $\la_r = c$. Pour
$s > c$ on a $\mu_r < s$ et $\la_r < s$, et pour $s<c-1$
on a $\mu_r \geq c-1$ et $\la_r \geq c-1$ donc
$\mu'_i = \# \{ i | \mu_i \geq s \} = \# \{i | \la_i \geq s \} = \la'_i$.
Si $s=c$, on a $\mu'_c = \# \{ i | \mu_i \geq c \} = r-1 = \la'_c - 1$,
donc $(\la^{(r)})' = \mu' = (\la')^{(c)}$.

Enfin, $b(\la)$ est tel que $\la_{b(\la)} \geq b(\la)$. Alors
$\la'_{b(\la)} = \# \{ i | \la_i \geq b(\la) \} \geq b(\la)$.
On en d�duit $b(\la') \geq b(\la)$ d'o� $b(\la) = b(\la')$
puisque $\la'' = \la$.
\end{proof}

On note $P(\la) = \{ \la^{(r)} | r \in D(\la) \} = \{ \nu | \nu \ne \la \}$.
On a $\# P(\la) = \delta(\la)$. On d�duit du lemme pr�c�dent
\begin{lemme} \label{lemmesym}
Si $\la = \la'$, pour tout $\mu \in P(\la)$ on a
$\mu' \in P(\la)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Si $\mu \in P(\la)$, c'est-�-dire s'il existe $r \in D(\la)$
tel que
$\mu = \la^{(r)}$, alors $\mu' = (\la^{(r)})' = (\la')^{\la_r}
\in P(\la') = P(\la)$.
\end{proof}


Dans le lemme qui suit sont regroup�s un certain nombre
d'autres r�sultats combinatoires utiles.
Pour sa d�monstration on utilisera la notation suivante.
Si $\la \vdash n$, on notera
$\la = [\aa,\cc,b]$ avec $b = b(\la)$, $\aa$ et $\cc$ deux diagrammes
de Young avec $|\la| = |\aa | + |\cc| + b^2$,
$\aa$ et $\cc$ �tant d�termin�s par
$\la_i = b(\la) + \aa_i$ et $\la'_i = b(\la) + \cc_i$
pour $i \leq b(\la)$. On a $\la' = [\cc,\aa,b]$ (cf. figure \ref{figacb}).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{DiagLemme2c}
\end{center}
\caption{Les diagrammes $\la = [\aa,\cc,b]$ et $\la' = [\cc,\aa,b]$}
\label{figacb}
\end{figure}

\begin{lemme} \label{multilemme}
\begin{enumerate}
\item Si $b(\la) = 2$, alors $\# \{\mu \in P(\la) | b(\mu) < 2 \} \leq 1$
\item Si $\la \in F_n$, alors $P(\la) \cap F_n = \{ \la^{(b(\la))} \}$
si $b(\la) \in D(\la)$, et est vide sinon.
\item Si $\la \neq \la'$ et $\mu \neq \mu'$ avec $\mu \in P(\la)$, alors
$\mu' \not\in P(\la)$
\item $\# P(\la) \cap F_n \in \{0,1 \}$
\end{enumerate}
\end{lemme}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Si $b(\la) = 2$ et $\mu \ne \la$ tel que $b(\mu) = 1$, alors
$\mu = \la^{(b(\la))}$.
\item Si $\mu \ne \la$ et $b(\mu) < b(\la)$, on a $\mu = \la^{(b(\la))}$.
Supposons au contraire
$b(\mu) = b(\la) = b$, et �crivons $\la = [\aa,\aa,b]$ et $\mu = [\aal,\aal,
b]$. On a alors $|\aal| = |\aa|-1$ d'o� $|\mu| = |\la| - 2$
ce qui est exclu.
\item  Soient $\la \neq \la'$, $\mu \neq \mu'$, $\mu \in P(\la)$ et supposons
par l'absurde $\mu' \in P(\la)$. Si $b(\mu) < b(\la)$,
$\mu = \la^{(b(\la))}$ et $\la_{b(\la)} = b(\la) = \la'_{b(\la)}$.
Posons $\mu = [\aa,\cc,b(\mu)]$. On peut supposer
$\la = [\aa^+,\cc,b(\la)]$ avec $\aa \ne \aa^+$ si $b(\mu) = b(\la)$,
et $\aa = \aa^+$ sinon. Comme $\mu' \subset \la$ on a $\cc \subset \aa^+$,
et $\aa \subset \cc$. Si $\aa = \aa^+$ on en d�duit $\aa=\cc$ donc $\mu = \mu'$,
ce qui est exclu. Sinon, on a $|\aa^+| = |\aa| + 1$ donc $\aa =\cc$ ce qui
est exclu pour la m�me
raison, ou bien $\aa^+ = \cc$ qui est encore exclu car $\la \neq \la'$.
\item Soit $\la = [\aa,\cc,b(\la)]$. Soient $\mu,\nu \in P(\la) \cap F_n$
avec $\mu \neq \nu$. Si $b(\mu) < b(\la)$, on a $\mu = \mu' \Rightarrow \la
= \la'$. Comme $\mu \neq \nu$, on a $b(\nu) = b(\la) = b$, donc
$\la = [\aa,\aa,b]$, $\nu = [\aal,\aal,b]$, $\mu = [\aa,\aa,b-1]$
avec $\aal \ne \aa$. Mais alors $|\nu| = |\la| -2$ qui est exclu.
On peut donc supposer $b(\mu) = b(\la) = b(\nu)$. Alors
$\la = [\aa,\cc,b]$, $\mu = [\aal,\aal,b]$,
$\nu = [\ccl,\ccl,b]$. Comme $\mu \ne \la$, on peut supposer
$\aal \ne \aa$, $\aal = \cc$. Si $\ccl \ne \aa$ et $\ccl = \cc$ on aurait
$\aal = \ccl$ et $\mu = \nu$ ce qui est exclu. Comme $\nu \ne
\la$ on a donc $\ccl \ne \cc$ et $\ccl = \aa$. Mais alors
$|\cc| = |\ccl|+1 = |\aa|+1$ et $|\aa| = |\aal|+1 = |\cc|+1$, une
contradiction.
\end{enumerate}
\end{proof}


\section{Pr�liminaires sur les repr�sentations de $\SN$}

Soit $\k$ un corps de caract�ristique 0.
A toute partition $\la$ de l'entier $n \geq 1$ est associ�e
classiquement une repr�sentation irr�ductible sur $\k$
du groupe sym�trique $\SN$. Une description matricielle
de ces repr�sentations est donn�e par la combinatoire
des \emph{tableaux de Young standards}, que nous rappelons ici.
Pour les r�sultats classiques utilis�s sans r�f�rence dans cette section,
on pourra consulter \cite{FH}, ch. 4.

\subsection{Mod�les matriciels}


Un tableau de Young de forme $\la$ est un remplissage des cases du diagramme
de Young associ� � $\la$ par les $n$ nombres de $1$ � $n$ (qui apparaissent
donc chacun une seule fois). Il est dit
\emph{standard} si la r�partition de ces nombres est croissante suivant
les lignes et les colonnes. On remarque que si $T$ est un tableau
(standard) de forme $\la$, il d�finit de fa�on naturelle
un tableau de Young (standard), not� $T'$, de forme $\la'$.
Suivant notre convention, les tableaux standards associ�s � la
partition $[2,1]$ sont les suivants
$$
\smallruban{ 2 & \ \\ 1 & 3 \\} \ \ \ \ \ \  \smallruban{ 3 & \ \\ 1 & 2 \\}
$$
et le 2 du premier diagramme se trouve en premi�re colonne et deuxi�me
ligne.


 Soit $T$ un tableau de Young de forme $\la$. Pour tout
$1 \leq r \leq n$, on note $c_r(T)$ (resp. $l_r(T)$) la colonne
(resp. la ligne)
de $T$ o� se trouve $r$. Pour tous $1 \leq i<j \leq n$ on
d�finit la \emph{distance axiale}
$$
d_T(i,j) = c_i(T)-c_j(T) + l_j() - l_i(T)
$$
et on remarque que $d_T(j,i) = -d_T(i,j)$. De plus, lorsque $T$
est standard, si $i<j$ et $c_i(T) > c_j(T)$, on a n�cessairement
$l_i(T)<l_j(T)$ donc $d_T(i,j) > 0$.

La repr�sentation associ�e � $\la$
est d�finie sur l'espace vectoriel abstrait de base l'ensemble
des tableaux standards de forme $\la$ par l'action des transpositions
cons�cutives $s_r = (r\ r\! +\! 1)$. Pour ce faire, on
a besoin de la notation suivante.


Soit $T$ un tableau de Young standard de forme $\la$ et
$T_r$ le tableau d�duit de $T$
en intervertissant $r$ et $r+1$. Supposons que $r$ et $r+1$ ne sont ni
dans la m�me ligne ni dans la m�me colonne. Alors $T_r$ est �galement
un tableau standard, et $(T_r)' = (T')_r$.
Si $c_r(T)<c_{r+1}(T)$, c'est-�-dire que $d_T(r+1,r) > 0$,
on note $T < T_r$, et $T > T_r$ dans le cas contraire.



Alors, l'action de $\SN$ dans
cette base des tableaux standards est d�finie
par $s_r . T = T$ si $r$ et $r+1$ sont
sur la m�me colonne de $T$, par $s_r . T = -T$ si $r$ et $r+1$ sont
sur la m�me ligne de $T$. Dans les autres cas, quitte � intervertir
$T$ et $T_r$ on peut supposer $T<T_r$ ; alors le plan engendr�
par $T$ et $T_r$ est stable par l'action de $s_r$, qui est donn�e dans
la base $(T,T_r)$ par la matrice
$$
\frac{1}{d} \left( \begin{array}{cc} -1 & d+1 \\ d-1 & 1 \end{array} \right)
$$ 
o� $d = d_T(r+1,r)>0$.



A partir de maintenant, on fera l'abus de notation commode
qui consiste � identifier la partition ou le diagramme
de Young $\la$ avec la repr�sentation associ�e, quand il n'y a
pas de risque de confusion. L'essentiel de la
th�orie des repr�sentations en caract�ristique 0 du groupe
sym�trique est r�sum� dans la proposition suivante :
\begin{prop} Soit $n \geq 1$. Pour toute partition $\la$
de $n$, la repr�sentation de $\SN$ qui lui est associ�e est
absolument irr�ductible, et toute repr�sentation irr�ductible
de $\SN$ est isomorphe � une et � une seule
d'entre elles.
\end{prop}
En particulier, toutes les repr�sentations irr�ductibles
�tant r�alisables sur $\Q$ donc sur $\R$, elles sont toutes
autoduales.


Les propri�t�s importantes qui suivent nous seront utiles ici :

\paragraph{Mod�le orthogonal.}
A tout tableau de Young
standard $T$ on associe l'�l�ment suivant
$$
\zeta(T) = \prod_{\stackrel{i<j}{c_i(T)>c_j(T)}}
\frac{ d_T(i,j)-1 }{d_T(i,j)+1} 
$$
Supposons d�sormais $\k = \R$. Alors $\sqrt{\zeta(T)}$ est bien d�fini
parce que, sous ces hypoth�ses, $d_T(i,j)>0$. A
tout tableau de Young standard de forme $\la$ on associe
alors $\tilde{T} = \sqrt{\zeta(T)} T$. L'action de $s_r$ pour $1 \leq r \leq
n-1$ dans la base form�e des $\tilde{T}$ pour $T$ standard
est alors donn�e par 
par $s_r . \tilde{T} = \tilde{T}$ si $r$ et $r+1$ sont
sur la m�me colonne de $T$, par $s_r . \tilde{T} = -\tilde{T}$
si $r$ et $r+1$ sont
sur la m�me ligne de $T$; dans les autres cas, si $T<T_r$ on
a $d = d_T(r+1,r)>0$ et on v�rifie
facilement que $\zeta(T_r) = \zeta(T) \frac{d-1}{d+1}$.
L'action de $s_r$
est alors donn�e dans la base $(\tilde{T},\tilde{T}_r)$ du plan que ces �l�ments
engendrent
par la matrice
$$
\frac{1}{d} \left( \begin{array}{cc} -1 & \sqrt{d^2-1} \\
\sqrt{d^2-1} & 1 \end{array} \right)
$$



\paragraph{R�gle de Young.}

Pour tout $n \geq 2$, on identifiera $\mathfrak{S}_{n-1}$
au sous-groupe de $\SN$ compos� des permutations qui
fixent $n$. La restriction d'une repr�sentation irr�ductible
$\la$ de $\SN$ au sous-groupe $\mathfrak{S}_{n-1}$ donn�e
par la r�gle suivante, dite r�gle de Young :
$$
\mathrm{Res}_{\mathfrak{S}_{n-1}} \la = \bigoplus_{\mu \nearrow
\la} \mu = \bigoplus_{\mu \in
P(\la)} \mu.
$$
En particulier, cette restriction est sans multiplicit�s
et est compos�e de $\delta(\la)$ composantes
irr�ductibles.

\paragraph{Repr�sentations de dimension 1.}
Les repr�sentations de dimension 1 sont la re\-pr�\-sen\-ta\-tion
triviale et la repr�sentation donn�e par la signature,
qui correspondent respectivement aux partitions
$[n]$ et $[1^n]$. On notera �galement $\eps$ la
repr�sentation signature. Une propri�t� classique
importante pour nous est $\la' \simeq \la \otimes \eps$.

\paragraph{Repr�sentation de r�flexion.} La partition $\alpha = [n-1,1]$ correspond � une repr�sentation
remarquable de $\SN$, appel�e repr�sentation de r�flexion.
Il est classique que ses puissances altern�es sont �galement
irr�ductibles, et correspondent aux repr�sentations irr�ductibles
dont les diagrammes de Young sont \og en �querres \fg\ :
$$
\Lambda^p \alpha \simeq [n-p,1^p]
$$
pour $1 \leq p \leq n-1$.

\subsection{D�calages et formes bilin�aires}

Par des moyens combinatoires, on d�finit dans cette section
quand $\la = \la'$ une
forme bilin�aire sur l'espace vectoriel sous-jacent.


A tout tableau standard $T$ associ� � une partition $\la$ de $n$, on associe la quantit� suivante
$$
w(T) = \prod_{\stackrel{i<j}{c_i(T)> c_j(T)}} (-1)
= (-1)^{\# \{ i<j \ | \ c_i(T) > c_j(T) \}}
$$
Remarquons que si, pour $1 \leq r�\leq n-1$, les nombres
$r$ et $r+1$ ne se trouvent ni sur
la m�me ligne ni sur la m�me colonne de $T$, alors
$w(T_r) = -w(T)$. De plus,
$$
w(T') = \prod_{\stackrel{i<j}{c_i(T')> c_j(T')}} (-1)
= \prod_{\stackrel{i<j}{l_i(T)> l_j(T)}} (-1) = (-1)^{\# \{ i<j \ | \ l_i(T) > l_j(T) \}}
$$

Rep�rons les cases d'un diagramme de Young associ� � une partition $\la$
par les coordonn�es $(i,j)$, avec $1 \leq i \leq \la'_1$,
et $1 \leq j \leq \la_i$. Il y a donc $|\la| = n$ cases.
On appelle \emph{d�calage} un couple $(c_1,c_2)$
de cases $c_1 = (i_1,j_1)$ et $c_2 = (i_2,j_2)$ de $\la$,
avec $i_1 < i_2$ et $j_1 > j_2$. Le nombre de tels d�calages est donc
une fonction de $\la$, not�e $\nu(\la)$. A un tel d�calage
on associe �galement le nombre positif $(d+1)/(d-1)$, avec $d
= |i_1-i_2+l_2-l_1|$, et � $\la$ le produit $\xi(\la)$ de
tous ces nombres.

Cela nous permet de d�montrer le
\begin{lemme}
Si $\la$ est un diagramme de Young sym�trique, pour
tout tableau de Young standard $T$ on a $w(T)w(T') = \nu(\la)$ et
$\zeta(T) \zeta(T') = \xi(\la)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Le produit $w(T)w(T')$
est encore \'egal au produit de $(-1)$ sur tous les couples $i<j$ tels
que $c_i(T) > c_j(T)$
ou bien, exclusivement, $l_i(T) > l_j(T)$.
De tels couples sont en bijection avec les d�calages du diagramme
$\la$, de la fa�on suivante : au couple $(x,y)$ de cases
constituant le d�calage
on associe le couple $(i,j)$ o\`u $i$ (resp. $j$) est
le minimum (resp. le maximum) de leurs contenus dans $T$ ; inversement,
la condition sur $i$ et $j$ signifie que les deux cases qui les
contiennent forment un d�calage. Le deuxi�me �nonc� se d�montre
de fa�on similaire.
\end{proof}




On d�finit une forme bilin�aire non d�g�n�r�e $(\ | \ )$ sur $\la$ par
$$
(S|T) =   w(T) \delta_{S,T'}
$$
pour $S$ et
$T$ deux tableaux standards de forme $\la$, o� $\delta_{i,j}$ est le symb�le de
Kronecker.
Si $S$ et $T$ sont deux tableaux standards,
$$
(S|T) = w(T) \delta_{S,T'} = w(S') \delta_{S',T} = \nu(\la) w(S) \delta_{S',T}
= \nu(\la) (T|S)
$$ 
donc $(\ | \ )$ est sym�trique si $\nu(\la) =1$, et antisym�trique
si $\nu(\la) = -1$.

La forme bilin�aire $(\ | \ )$ est donc soit sym�trique, soit
antisym�trique, en fonction de $\la$. Plus pr�cis�ment,
quand elle est sym�trique, le changement de base $U = \frac{T}{2} + T'$,
$V = \frac{T}{2} - T'$ sur chacun des plans engendr�s par des couples $(T,T')$ de tableaux
standards sym�triques l'un de l'autre montre que
$(\ | \ )$ est �quivalente sur $\Q$ �
la forme bilin�aire sym�trique standard de signature $(\frac{N}{2},\frac{N}{2})$.


Le lemme suivant simplifie le calcul de $\nu(\la)$. On rappelle
que $b(\la)$ d�signe la longueur de la diagonale de $\la$.

\begin{lemme} Si $\la \vdash n$ est tel que $\la = \la'$,
le nombre de d�calages de $\la$ est congru � $\frac{n - b(\la)}{2}$
modulo 2. \end{lemme}
\begin{proof}
%On rep�re les cases d'un diagramme de Young associ� � une partition $\la$
%par les coordonn�es $(i,j)$, avec $1 \leq i \leq \la'_1$,
%et $1 \leq j \leq \la_i$. Il y a donc $|\la| = n$ cases. 
On appelle
diagonale de $\la$ l'ensemble des cases de la forme $(i,i)$.
Il y a $b(\la)$ telles cases.


Une case $(i,j)$ est dite au dessus (resp.
au dessous) de la diagonale si $i < j$ (resp. $i>j$). On note
$\la^+$ et $\la^-$ les ensembles de cases correspondants.
Ici, $\la = \la'$ donc les ensembles $\la^+$ et $\la^-$ sont
en bijection par $\tau : (i,j) \mapsto (j,i)$.


D'autre part,
� tout d�calage $c = (c_1,c_2)$ on peut associer le
d�calage sym�trique $\tau(c) = (\tau(c_2), \tau(c_1) )$. On en
d�duit que le nombre de d�calages est congru modulo 2 au
nombre de d�calages fix�s par $\tau$. Or, si $c = ( c_1,c_2 )$
et $\tau(c) = c$, on a $c_2 = \tau(c_1)$ et $c_1 = \tau(c_2)$. Il y a
autant de tels d�calages que d'�l�ments de $\la^+$, soit $(n -
b(\la))/2$.
\end{proof}




Cette forme bilin�aire est reli�e � l'isomorphisme
entre $\la$ et $\la \otimes \eps$. Plus pr�cis�ment, introduisons
sur $\la$ le produit scalaire $<S,T> = \frac{1}{\zeta(T)} \delta_{S,T}$,
et notons $M$ l'endomorphisme de $\k$-espace vectoriel $M$ sur $\la$
par $M(T) = w(T) \zeta(T')T'$,
pour tout tableau standard $T$ de forme $\la$. Il n'est pas
difficile de v�rifier que $(S|T) = <S,M(T)>$. Le produit scalaire
$<.,.>$ a la propri�t� que, si $\k = \R$, alors $<\tilde{S},\tilde{T}>
= \delta_{S,T}$.

\begin{lemme} \label{invfbilin}
Pour tout $s \in \SN$ et tous $x,y$ dans $\la$,
on a $M(s.x) = \eps(s) s.M(x)$,
et $(s.x|y) = \eps(s) (x|s^{-1}.y)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Comme ces propri�t�s sont lin�aires en $x$ et $y$, on peut supposer,
d'une part $\k = \R$, d'autre part que $x = \tilde{S}$ et $y = \tilde{T}$
o� $S$ et $T$ sont des tableaux standards. D'autre part, comme les
transpositions cons�cutives engendrent $\SN$, on peut supposer
$s = s_r$, pour $1 \leq r < n$. D'apr�s les matrices du mod�le
orthogonal, l'action de $s_r$ est autoadjointe pour $<\ ,\ >$,
donc orthogonale puisque $s_r^2 = 1$. Il s'ensuit que la
deuxi�me �galit� d�coule de la premi�re. D'autre
part, on a $M( \tilde{T}) = w(T) T'$. On en d�duit facilement que 
$M(s_r.\tilde{T}) = -s_r.M(\tilde{T})$ : par exemple, si $T_r$
est un tableau standard et $d = d_T(r+1,r)>0$, alors d'une part
$$
M(s_r.\tilde{T}) = \frac{-1}{d} w(T) \tilde{T}' + \frac{\sqrt{d^2-1}}{d} w(T_r) \tilde{T}'_r
= \frac{-1}{d} w(T) \tilde{T}' - \frac{\sqrt{d^2-1}}{d} w(T) \tilde{T}'_r
$$
parce que $w(T_r) = -w(T)$ et, d'autre part, puisqu'alors $T' > T'_r$,
on a
$$
s_r.M(\tilde{T}) = w(T) \sqrt{d^2-1}{d} \tilde{T}'_r + w(T) \frac{1}{d} 
\tilde{T}' = -M(s_r.\tilde{T})
$$
\end{proof}











\subsection{Dimensions}

Soit $\la$ une partition de $n$, et $r \in \N$ tel que
$\la_r > 0$ et $\la_{r+1} = 0$.
La dimension du $\k$-espace vectoriel associ� � $\la$,
c'est-�-dire le nombre de tableaux standards de forme
$\la$, est donn� par la formule suivante (cf. \cite{FH} p. 50)
$$
\dim(\la) = \frac{n!}{l_1!\dots l_r!} \prod_{i<j}(l_i-l_j)
$$
o� $l_i = \la_i +r-i$. Cette formule permet de
calculer facilement la dimension d'une repr�sentation donn�e.
Le cas des �querres se d�duit imm�diatement de l'isomorphisme
avec les puissances altern�es de la repr�sentation
de r�flexion :
$$
\dim [n-p,1^p] = \left( \begin{array}{c} n-1 \\ p \end{array}
\right)$$
pour $0 \leq p \leq n-1$.  
Pour une approche inductive, il est souvent plus
utile d'utiliser la r�gle de Young, qui a pour cons�quence
la formule it�rative suivante :
$$
\dim([1]) = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \  \dim(\la)= \sum_{\mu \nearrow \la} \dim(\mu) = \sum_{\mu \in P(\la)} \dim(\mu)
$$

On sait qu'il n'y a que deux repr�sentations de
dimension 1. On remarque ainsi
$$
\dim(\la) = 1 \Leftrightarrow \la \in \{ [n], [1^n] \} \Leftrightarrow
\delta(\la) = 1
$$
Apr�s celles-ci, les repr�sentations irr�ductibles
les plus petites sont de dimension $n-1$ :
\begin{lemme} \label{ppdim} Soit $n \geq 5$ et $\la$ une partition de $n$. Alors
\begin{enumerate}
\item $\dim(\la) > 1 \Rightarrow \dim(\la) \geq \dim(\alpha) = n-1$
\item $\dim(\la) = n-1 \Leftrightarrow \la \in \{\alpha, \alpha' \}$
\end{enumerate}
En particulier, si $\la$ est propre, 
$\dim(\la) > n-1$.
\end{lemme}
\begin{proof}
On sait que $\dim(\alpha) = \dim(\alpha') = n-1$. On proc�de par
r�currence sur $n$. Le cas $n=5$ se v�rifie facilement par
calcul des dimensions de chacune des repr�sentations. Si $n >5$,
soit $\la \vdash n$ avec $\dim(\la) > 1$. On a donc
$\delta(\la) > 1$, donc $P(\la)$ contient au moins
deux
�l�ments.

S'il existe $\mu_1 \nearrow \la$ tel que
$\dim(\mu)>1$, alors par hypoth�se de r�currence on
a $\dim(\mu) \geq n-2$. Notant alors $\mu_2 \neq \mu_1$
tel que $\mu_2 \nearrow \la$ on a alors
$\dim(\la) \geq \dim(\mu_1) + 1 = n-1$. De plus, le
cas d'�galit� signifie que $\mu_1 \in \{ [n-2,1],[2,1^{n-3}] \}$
et $P(\la) = \{ \mu_1,\mu_2 \}$
avec $\dim(\mu_2) = 1$, soit $\mu_2 \in \{ [n-1],[1^{n-1}] \}$.
On d�duit alors facilement du fait
que $\la = \mu_1 \cup \mu_2$ qu'alors $\la \in \{\alpha,\alpha' \}$.

Au contraire, si tous les $\mu \in P(\la)$
sont de dimension 1, comme il y en a au moins deux on a
$P(\la) = \{ [n-1], [1^{n-1}] \}$
et $\la = [n] \cup [1^n] = [n-1,1^{n-2}]$, qui est une partition de 
$2n-3 > n$ pour $n \geq  4$. Ce cas est donc exclu et la
proposition d�montr�e.
\end{proof}

Une in�galit� qui nous sera utile est la suivante :

\begin{lemme}
\label{dimdelta}
Si $|\la| \geq 6$ et $\dim \la \neq 1$, alors $\dim \la > 2 \delta(\la)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
D'apr�s la r�gle de Young, la dimension de $\la$ est la somme des
dimensions des $\mu \in P(\la)$,
qui sont au nombre de $\delta(\la)$. Pour un tel $\mu$, et
d'apr�s le lemme \ref{ppdim}, si
$\dim(\mu) \neq 1$ alors $\dim(\mu) \geq 4 > 2$ puisque $|\mu| \geq 5$. Ainsi, on a bien
$\dim(\la) > 2 \delta(\la)$ si $\dim(\mu) \neq 1$ pour
tout $\mu \in P(\la)$. Dans le cas contraire, quitte �
�changer $\la$ en $\la'$ on peut supposer $[n-1] \in P(\la)$. Or
les seules $\la \vdash n$ telles que $[n-1] \nearrow \la$
sont $[n]$, qui est de dimension 1, et $\alpha$. On en d�duit
d'une part que $\dim(\la) = \dim(\alpha) = n-1$ et d'autre part
que $\delta(\la) = 2$, et on a bien $n-1 > 2 \times 2 = 4$
puisque $n>5$.
\end{proof}
 




\subsection{Action de la somme des transpositions}

Une autre donn�e naturellement associ�e � une partition
$\la$ est la valeur $\gamma(\la)$ du caract�re irr�ductible associ� sur l'une des
transpositions. Pour la calculer, on a une formule d�e � Frobenius
$$
\gamma(\la) = \frac{\dim(\la)}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{b(\la)} \left(v_i(v_i+1) - u_i(u_i+1)
\right) = \frac{\dim(\la)}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{b(\la)} (v_i - u_i)(v_i + u_i + 1)
$$
avec $\la_i = i + u_i$ et $\la'_i = i + v_i$ pour $1 \leq i \leq b(\la)$
(cf. \cite{FH} p. 52, ex. 4.17). En particulier,
$\gamma(\la)=0$ si $\la = \la'$.

Il nous sera utile de connaitre l'action sur chacune
des repr�sentations de l'�l�ment
$$
T_n = \sum_{i<j} (i \ j) \in \k \SN
$$
qui est central dans l'alg�bre de groupe de $\SN$.
Comme chaque $\la$ est une repr�sentation absolument irr�ductible
de $\SN$, l'�l�ment $T_n$ agit sur elle par un scalaire. Il suffit
donc de conna�tre la trace de cette action, c'est-�-dire
$n(n-1)/2$ fois la valeur du caract�re associ� sur une transposition,
pour conna�tre la valeur de $T_n$. En particulier,

\begin{lemme} \label{lemactTN} L'�l�ment $T_n \in \k \SN$ agit
sur $\la \vdash n$ par le scalaire $n(n-1)\gamma(\la)/2\dim(\la)$.
\end{lemme}



\section{Factorisations}

Dans cette section, nous associons en 5.2 � chaque partition sym�trique $\la$
une alg�bre de Lie $\osp(\la)$, et 
construisons les morphismes injectifs
$$
\phi_n : \g_n' \into \sl_{n-1}(\k) \times \left( \prod_{\la \in E_{n}/\sim} \sl(\la) \right) \times \left( \prod_{
\la \in F_{n}} \osp(\la) \right)
$$
mentionn�s dans l'�nonc� du th�or�me A. Par construction $\g'_n$ est une sous-alg�bre de Lie semi-simple
de $\k \SN$. Or, en tant qu'alg�bre de Lie,
$$
\k \SN = \bigoplus_{\la \vdash n} \gl(\la)
$$
et chaque $\la$ correspond � une repr�sentation de $\g_n$ donc
de $\g'_n$, qui est encore irr�ductible parce que les
transpositions engendrent $\SN$ : il s'ensuit que tout sous-espace vectoriel
de l'espace vectoriel associ� � $\la$ qui est stable par $\g'_n$ sera
stable par $\SN$. Le morphisme $\phi_n$ correspondra � une
factorisation de cette inclusion. Du simple fait que
$\g'_n$ est semi-simple, on en d�duit tout d'abord qu'elle
est incluse dans la sous-alg�bre de Lie d�riv�e de $\k \SN$, soit
la factorisation
$$
\xymatrix{
 &  {\displaystyle \bigoplus_{\la \vdash n} \gl(\la)} \\
\g'_n \ar[ur] \ar[r] & {\displaystyle \bigoplus_{\stackrel{\la \vdash n}{\dim(\la) > 1}} \sl(\la)} \ar[u] 
}
$$

\subsection{Les alg�bres de Lie $\sl(\la)$ et $\sl(\la')$}

Soit $\la \vdash n$ une partition non sym�trique de $n$. On note ici, pour
clarifier l'expos�, $V_{\la}$
le $\k$-espace vectoriel de base les tableaux standards de forme $\la$,
c'est-�-dire le $\k$-espace vectoriel associ� � la repr�sentation
$\rho_{\la} : \k \SN \to \End(V_{\la})$. On sait
qu'existe un isomorphisme de $\k \SN$-modules
$P_{\la} : \la' \to \la \otimes \eps$, c'est-�-dire un isomorphisme
de $\k$-espaces vectoriels entre $V_{\la'}$ et $V_{\la}$ tel que
$P_{\la}(s.x) = \eps(s)s. P_{\la}(x)$ pour tout $s \in \SN$ et
$x\in V_{\la'}$.

En tant que repr�sentations de $\g_n$, on en d�duit
que, pour toute transposition $s$ de $\SN$, donc pour
tout $s \in \g_n$, le diagramme suivant commute
$$
\xymatrix{
V_{\la'} \ar[r]^{P_{\la}} \ar[d]_{\rho_{\la'}(s)} & V_{\la} \ar[d]^{-\rho_{\la}(s)^{\#}} \\
V_{\la'} \ar[r]^{P_{\la}} & V_{\la} 
}
$$
o� l'on a not� $u^{\#}$ l'adjoint de $u \in \gl(\la)$ pour un
produit scalaire $\SN$-invariant sur $\la$.
Cela signifie que $\rho_{\la}$ et $\rho_{\la'}$ sont duales l'une de
l'autre en tant que repr�sentations de $\g_n$ donc de $\g'_n$. En particulier
$\g_{\la} \simeq \g_{\la'}$ et de plus le morphisme d'alg�bres de Lie $\g'_n \to \sl(\la) \oplus \sl(\la')$ se factorise
ainsi

$$
\xymatrix{
 &  \sl(\la) \oplus \sl(\la') \\
\g'_n \ar[ur] \ar[r] & \sl(\la) \ar[u]_{\mathrm{Id} \oplus \widetilde{P_{\la}}} 
}
$$
o� l'on a not� $\widetilde{P_{\la}}$ l'automorphisme de $\gl(\la)$ d�fini
par $\widetilde{P_{\la}}(x) = - P_{\la}^{-1} x^{\#} P_{\la}$. Il envoie naturellement
$\sl(\la)$ sur $\sl(\la')$.
On en d�duit la factorisation suivante
$$
\xymatrix{
 &  {\displaystyle \bigoplus_{\stackrel{\la \vdash n}{\dim(\la) > 1}} \sl(\la)} \\
\g'_n \ar[ur] \ar[r] & {\displaystyle \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la < \la'}} \sl(\la) \right)
\oplus \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la = \la'}} \sl(\la) \right)
} \ar[u] 
}
$$


\subsection{L'alg�bre de Lie $\osp(\la)$}

Soit $\la$ une partition sym�trique de $n$. On a construit
en 4.2 une forme bilin�aire $(\ | \ )$ non d�g�n�r�e, orthogonale
ou symplectique suivant $\la$, sur l'espace vectoriel
sous-jacent. Elle nous permet de d�finir l'alg�bre
de Lie suivante.

\begin{defi} On note $\osp(\la)$ la sous-alg�bre de
Lie de $\gl(\la)$ compos�e des $m \in \gl(\la)$
tels que $(m.x|y) + (x|m.y) = 0$
pour tous $x,y$.
\end{defi}

D'apr�s la section 4.2 cette alg�bre de Lie simple, orthogonale
ou symplectique, est dans tous les cas de rang semi-simple
$\dim(\la)/2$.
L'int�r�t pour nous de cette alg�bre de Lie vient du fait suivant.

\begin{lemme} \label{glaosp} Pour tout $\la \vdash n$ sym�trique,
$\g_{\la} \subset \osp(\la)$.
\end{lemme}
\begin{proof} 
Comme $\g_n$ est engendr�e par les transpositions,
il suffit de montrer que l'image de chacune d'entre elles
appartient � $\osp(\la)$, c'est-�-dire
que $(s.x|y) = -(x|s.y)$ pour tous $x,y$ dans $\la$.
C'est une cons�quence imm�diate du lemme \ref{invfbilin} puisque,
lorsque $s$ est une r�flexion, $s^{-1} = s$ et $\eps(s) = -1$.
\end{proof}


On en d�duit la factorisation

$$
\xymatrix{
 &  {\displaystyle \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la < \la'}} \sl(\la) \right)
\oplus \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la = \la'}} \sl(\la) \right)
} 
 \\
\g'_n \ar[ur] \ar[r] & {\displaystyle \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la < \la'}} \sl(\la) \right)
\oplus \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la = \la'}} \osp(\la) \right)
} \ar[u] 
}
$$

\subsection{Equerres}

On note $\alpha_r = [n-r,1^r]$ pour tout $1 \leq r \leq n-1$, 
ainsi $\alpha = \alpha_1 = [n-1,1]$. On a rappel� en section 4.1 que,
en tant que repr�sentations de $\mathfrak{S}_n$,
$\Lambda^r \alpha = \alpha_r$, o� $\Lambda^r V$ d�signe la
puissance ext�rieure $r$-i�me\ de $V$. Un ph�nom�ne remarquable
est que les repr�sentations de $\g'_n$ correspondantes sont �galement
isomorphes.
Ce r�sultat d�coule imm�diatement de la classification
des syst�mes KZ irr�ductibles sous l'action du groupe sym�trique
(cf. \cite{THESE,KZ}). Nous en donnons ici une d�monstration
�l�mentaire :

\begin{lemme} \label{isoequerres} En tant que repr�sentation de $\g'_n$, $\alpha_r
= \Lambda^r \alpha$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $\beta$ la repr�sentation naturelle de $\SN$, d�finie sur
une base $v_1,\dots,v_n$ par $s. v_i = v_{s(i)}$ pour tout
$s \in \SN$. On a $\beta = [n] \oplus \alpha$ en tant que repr�sentation
de $\SN$ et de $\g_n$. Alors $\Lambda^r \beta = \Lambda^r \alpha
\oplus \Lambda^{r-1} \alpha$. Comme $\Lambda^{n-1} \beta = \Lambda^{
n-1} \alpha \oplus \Lambda^{n-2} \alpha$, il suffit de montrer
que l'action de $\g'_n$ sur $\Lambda^r \beta$ est d�duite de celle
de $\SN$ par la compos�e $\g'_n \to \g_n \to \k \SN$ pour en d�duire
$\alpha_r = \Lambda^r \alpha$ en tant que repr�sentation de $\g'_n$.
Fixons $r \in [1,n]$, et notons $\underline{v} = v_{i_1}\wedge \dots
\wedge v_{i_r}$ pour $i_1 < i_2< \dots < i_r$, ainsi que $\tau_{ij} = (i \ j)
\in \g_n$ et $\sigma_{ij} = (i \ j) \in \SN$.
\begin{itemize}
\item Si $i_1 \geq 3$, on a $\tau_{12} . \underline{v}
= r \underline{v}$ et $\sigma_{12} . \underline{v} = \underline{v}$.
\item Si $i_1 = 1$ et $i_2 \geq 3$, ou $i_1 = 2$ et
$i_2 \geq 3$, on a $\tau_{12} . \underline{v} = \sigma_{12}. \underline{v}
+ (r-1) \underline{v}$.
\item Si $i_1 = 1$ et $i_2 = 2$, on a $\tau_{12}. \underline{v}
= (r-2) \underline{v}$ et $\sigma_{12}.\underline{v} = - \underline{v}$
\end{itemize}
et dans tous les cas
on a donc $\tau_{12} . \underline{v} = \sigma_{12}. \underline{v}
+ (r-1) \underline{v}$. On en d�duit que l'action de $\tau_{12}$
est celle de $\sigma_{12} + (r-1) \Id$. Comme l'action de
$\g_n$ est $\SN$-�quivariante pour l'action par conjugaison de
$\SN$ sur $\g_n \subset \k \SN$, l'action de $\tau_{ij}$
est celle de $\sigma_{ij} + (r-1) \Id$, et l'action de $\g'_n$
sur $\Lambda^r \beta$ est bien d�duite de l'action de $\SN$
par $\g'_n \subset \k \SN$, d'o� $\alpha_r = \Lambda^r \alpha$
en tant que repr�sentation de $\g'_n$.
\end{proof}

On en d�duit que les morphismes $\g'_n \to \sl(\alpha_r)$
se factorisent en
$$
\xymatrix{
 & \sl(\alpha_r) \\
\g'_n \ar[ur]^{\rho_{\alpha_r}} \ar[r]_{\rho_{\alpha}} &
\sl(\alpha) \ar[u]^{\Delta_r} }
$$
o� $\Delta_r$ est donn� par
$$
\Delta_r(x) = \sum_{i=1}^r 1 \wedge \dots \wedge \stackrel{(i)}{x} \wedge \dots \wedge 1
$$
On en d�duit la factorisation finale
$$
\xymatrix{
 &  {\displaystyle \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la < \la'}} \sl(\la) \right)
\oplus \left( \bigoplus_{\stackrel{\dim(\la)>1}{\la = \la'}} \osp(\la) \right)
} 
 \\
\g'_n \ar[ur] \ar[r] & \sl_{n-1}(\k) \times \left( \prod_{\la \in E_{n}/\sim} \sl(\la) \right) \times \left( \prod_{
\la \in F_{n}} \osp(\la) \right) \ar[u] 
}
$$


\section{D�monstration du th�or�me A}

\subsection{R�duction � $\k = \C$}

Si $\k$ est un corps de caract�ristique 0, notons $\g_n(\k) \subset \k
\SN$ l'alg�bre de Lie des transpositions d�finie sur $\k$, et
$$
\mathcal{L}_n(\k) = 
\sl_{n-1}(\k) \times \left( \prod_{\la \in E_{n}/\sim} \sl(\la) \right) \times \left( \prod_{
\la \in F_{n}} \osp(\la) \right) \subset \k \SN
$$
l'alg�bre de Lie de dimension finie construite en section 5.3. On a construit,
pour tout corps $\k$ de caract�ristique 0, un morphisme
injectif $\phi_n^{\k} : \g_n(\k) \to \mathcal{L}_n(\k)$.
Par construction, la dimension de $\mathcal{L}_n(\k)$ sur $\k$
est ind�pendante de $\k$, et celle de $\g_n(\k)$ �galement
parce que $\g_n(\k)  = \g_n(\Q) \otimes_{\Q} \k$. Il suffit
donc de montrer l'�galit� des dimensions pour $\k = \C$, c'est-�-dire
de montrer que $\phi_n^{\C}$ est surjectif, pour conclure la
preuve du th�or�me.


A partir de maintenant, on supposera donc $\k = \C$. Toutes les
alg�bres de Lie consid�r�es sont donc semi-simples complexes,
donc d�termin�es � isomorphisme pr�s par leur type dans
la classification de Cartan. On note � nouveau
$\g_n = \g_n(\C)$, et on notera $\mathcal{L}_n = \mathcal{L}_n(\C)$.


\subsection{G�n�ralit�s sur les alg�bres de Lie semi-simples}

Nous utiliserons la rigidit� dimensionnelle de la classification des
alg�bres de Lie simples complexes, notamment
les deux lemmes suivants, qui se d�duisent facilement
de cette classification et de la formule des
caract�res de Weyl par examen des cas (cf. par exemple les calculs
de \cite{FH}, ex. 24.52). On utilise,
pour chaque alg�bre de Lie simple
de rang $n$,
la num�rotation des poids fondamentaux $\varpi_1,\dots, \varpi_n$
de \cite{FH}, et on accepte les redondances dans la classification
des alg�bres de Lie simples ($A_3 = D_3$, $B_2 = C_2$, etc.).
Pour toute alg�bre semi-simple complexe $\g$, on notera
$\rg(\g)$ son rang.

\begin{lemme} \label{caractA} Si $\g$ est une alg�bre de Lie simple
complexe qui admet une repr�sentation $V$ telle
que $\dim(V) < 2 \rg(\g)$, alors $\g \simeq \sl(V)$.
\end{lemme}



\begin{lemme} \label{caractBCD} Les paires $(\g,V)$ avec $\g$ une alg�bre de Lie
simple complexe de rang $n$ et $V$ une repr�sentation irr�ductible
de $\g$ de dimension $N$ telles que $2n \leq N < 4n$ sont,
pour tout $n \geq 2$, $(B_n,\varpi_1)$ pour $N = 2n+1$, $(C_n,\varpi_1)$
pour $N = 2n$,
et $(D_n,\varpi_1)$ pour tout $n \geq 3$ ($N = 2n$) plus, pour $n \leq 6$,
les couples exceptionnels suivants :
\begin{itemize}
\item[Rang 1 :] $(A_1,\varpi_1)$ pour $N = 2$, $(A_1,2\varpi_1)$ pour
$N = 3$.
\item[Rang 2 :] $(G_2,\varpi_1)$ pour $N = 7$, $(B_2,\varpi_2)$ pour
$N = 4$, $(C_2,\varpi_1)$ pour $N = 5$.
\item[Rang 3 :] $(B_3,\varpi_3)$ pour $N = 8$, $(A_3,\varpi_2)$ pour
$N = 6$.
\item[Rang 4 :] $(D_4,\varpi_3)$ et $(D_4,\varpi_4)$ pour $N = 8$, $(A_4,
\varpi_2)$ et $(A_4,\varpi_3)$ pour
$N = 10$.
\item[Rang 5 :] $(A_5,\varpi_2)$ et $(A_5,\varpi_4)$ pour $N = 15$, $(D_5,\varpi_4)$
et $(D_5,\varpi_5)$pour
$N = 16$.
\item[Rang 6 :] $(A_6,\varpi_2)$ et $(A_6,\varpi_5)$ pour
$N = 21$.
\end{itemize}
\end{lemme}

Pour se ramener au cas des alg�bres de Lie simples
et utiliser les deux lemmes pr�c�dents, nous invoquerons le
lemme suivant.

\begin{lemme} \label{lemredsimp} Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie,
$\h \subset \g$ deux sous-alg�bres de Lie semi-simples de $\sl(V)$.
On note $\h = \bigoplus_{j \in J} \h_j$ la d�composition de $\h$
en id�aux simples. On suppose que les propri�t�s suivantes
sont v�rifi�es
\begin{enumerate}
\item $V$ est irr�ductible sous l'action de $\g$.
\item Pour tout $j \in J$, la restriction de $V$ � $\h_j$ admet
une composante irr�ductible de multiplicit� 1.
\item On a $\rg(\g) < 2 \rg(\h)$.
\end{enumerate}
Alors $\g$ est une alg�bre de Lie simple.
\end{lemme}
\begin{proof}
On note $\g = \g^1 \oplus \dots \g^g$ la d�composition de $\g$ en id�aux
simples, et on fixe un $i \in [1,g]$. On note $p:\g \onto \g^i$
la projection sur $\g^i$ parall�lement �
$\g^{(i)} = \bigoplus_{r \neq i} \g^r$. Soit $q : \h \to \g^i$ la
restriction de $p$ � $\h$. On montre par l'absurde que
$q$ est injective.

En effet, $\Ker q$ serait sinon un id�al non nul de $\h$, donc une
somme non vide $\bigoplus_{j \in K} \h_j$ de certains de ses
id�aux simples, avec $K \subset J$ et $K \neq \emptyset$. On choisit
un tel $j \in K$. Comme $V$ est irr�ductible et fid�le pour
l'action de $\g$, cette repr�sentation est isomorphe
� une repr�sentation de la forme $U_i \otimes U_{(i)}$ avec
$U_i$ une repr�sentation fid�le de $\g^i$ et
$U_{(i)}$ une repr�sentation de $\g^{(i)}$. Comme
$\h_j \subset \Ker q$, cet id�al agit trivialement sur
$U_i$, donc chacune des composantes irr�ductibles de la restriction
� $\h_j$ de $V$ intervient avec multiplicit� au moins $\dim U_i$.
Cela contredit l'hypoth�se 2) parce que $\g^i$ est non commutative donc
sa repr�sentation fid�le $U_i$ est de dimension au moins 2.

Ainsi, $\h$ s'injecte dans $\g^i$ pour tout $i \in [1,g]$,
donc $\rg (\g) \geq g \rg (\h)$. Alors $g \leq \rg (\g) / \rg (\h) < 2$
donc $g = 1$ et $\g$ est une alg�bre de Lie simple.
\end{proof}

\paragraph{Remarque.} L'hypoth�se 3) du lemme pr�c�dent
est notamment v�rifi�e lorsque $\rg (\h) \geq (\dim V)/2$. Elle est
�galement v�rifi�e lorsque
$\g \subset \so(V)$ ou $\g \subset \sp(V)$ et $\rg (\h) > (\dim V)/4$.

\subsection{Diagrammes remarquables}

Pour tous $a,b \geq 0$, on note $\D(a,b)= [a+2,2,1^b]$. Il s'agit d'une partition de
$n = a+b+4$, dont le diagramme est de la forme d�crite dans la figure \ref{figdab}.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics{DiagDAB}
\end{center}
\caption{Les diagrammes $\D(a,b)=[a+2,2,1^b]$}
\label{figdab}
\end{figure}

D'apr�s la r�gle de Young, pour $\la \vdash n$, l'ensemble $P(\la)$ contient une �querre,
c'est-�-dire un $\mu \vdash n-1$ tel que $b(\mu)=1$, si et seulement si $\la$
est elle-m�me une �querre ou bien si $\la$ est justement de cette forme. Plus pr�cis�ment,
si $\la = \D(a,b)$ avec $a,b \geq 1$, on a
$$
P(\D(a,b)) = \{ \D(a-1,b) , \D(a,b-1) , [a+2,1^{b+1}] \}
$$
Remarquons �galement $\D(a,b)' =\D(b,a)$ et en particulier
$\dim \D(a,b) = \dim \D(b,a)$. La formule des dimensions permet d'obtenir facilement
$$
\dim \D(a,b) = \frac{b+1}{a+2} \cnp{n-2}{a} n
$$
o� $\D(a,b) \vdash n$, c'est-�-dire $n = a+b+4$. En particulier, pour tout
$a \geq 1$,
$$
\dim \D(a,a) = 2(a+1) \cnp{2a+2}{a}\ \ \mbox{ et } \ \ \dim \D(a-1,a) = \cnp{2a+1}{a-1} (2a+3).
$$
et enfin, pour tout $m \geq 2$,
$$
\dim \D(m,m-2) = \frac{2(m-1)(m+1)}{m+2} \cnp{2m}{m}
$$

Les r�sultats techniques suivants nous seront utiles. Nous les regroupons
sous la forme d'un lemme, dont la d�monstration est �l�mentaire et laiss�e au lecteur.

\begin{lemme} \label{leminegdab}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $m \geq 3$, on a $\dim \D(m,m-2) > \cnp{2m+1}{m}$.
\item Pour tout $a \geq 2$, on a $\dim \D(a-1,a) > \frac{1}{4} \dim \D(a,a)$.
\item Pour tous $a > b+1 \geq 3$, on a $\dim \D(a,b) > 3 \cnp{a+b+2}{b+1}$
\end{enumerate}
\end{lemme}



\subsection{R�sultats pr�c�dents et hypoth�se de r�currence}

Les r�sultats suivants sur l'alg�bre de Lie $\g'_n$ ont �t� d�montr� dans des travaux ant�rieurs

\begin{prop} \label{casTL} (\cite{QUOTDEF}, th�or�me 3.) Pour tout $1 \leq r \leq n$, si $\la = [n-r,r]$,
alors $\g_{\la} = \sl(\la)$.
\end{prop}

\begin{prop} (\cite{QUOTDEF}, section 8.1) \label{petitscas}
Pour tout $n \leq 6$, le morphisme $\phi_n$ est surjectif.
\end{prop}


Nous allons d�montrer le th�or�me $A$ par r�currence sur $n$
� partir de cette derni�re proposition, prenant pour
hypoth�se de r�currence
$$
\mathrm{(HR_{n})}\ \ \ \ \   \phi_n \ \mathrm{est\ surjectif.}
$$

On peut donc supposer $\HRm$ vrai pour un certain $n \geq 7$.
La d�monstration que dans ce cas $\HRm \Rightarrow \HRn$
fait l'objet des sections suivantes. 

\subsection{D�termination des $\g_{\la}$}

On suppose d�sormais $\HRm$, avec $n \geq 7$. On va dans
un premier temps en d�duire $\g_{\la}$ pour
$\la \vdash n$.


On note $\h_{\la}$ l'image de $\g'_{n-1} \subset \g'_n$ dans $\g_{\la}$.
Cette image se d�termine � partir du diagramme commutatif
suivant
$$
\xymatrix{
\g'_n \ar[rr] & & \sl(\la) \\
\g'_{n-1} \ar[u] \ar[rr] \ar[dr]_{\phi_{n-1}} & & \bigoplus_{\mu \nearrow \la} \sl(\mu) \ar[u] \\
 & \mathcal{L}_{n-1} \ar[ur]
}
$$
Par hypoth�se de r�currence, $\phi_{n-1}$ est un isomorphisme,
donc $\h_{\la}$ est l'image de $\mathcal{L}_{n-1}$
dans les endomorphismes de sa repr�sentation
$\bigoplus_{\mu \nearrow \la} \mu$ et se d�termine ais�ment en fonction
de $\la$. D'autre part, tout facteur simple de $\mathcal{L}_{n-1}$
associ� � un $\mu \vdash n-1$ est soit de rang $\dim(\mu)-1$,
soit de rang $\dim(\mu)/2$. A partir de la r�gle de Young
et de la combinatoire des diagrammes, on en d�duit
les r�sultats suivants.

\subsubsection{Les cas particuliers $\la = \D(a,b)$}

Pour $a,b \geq 0$ et $\la = \D(a,b)$, on note $\dd_{a,b} = \h_{\la}$ et $N_{a,b} = \dim(\la)$. Si l'on convient
$N_{a,b} = 0$ pour $a<0$ ou $b <0$, la r�gle de Young implique
$$
N_{a,b} = N_{a-1,b} + N_{a,b-1} + \cnp{a+b+2}{b+1}
$$
En particulier, les nombres $N_{a,b}$ varient de fa�on croissante en $a$ et en $b$.

\begin{lemme} \label{casdab} Soient $a,b >0$ tels que $n=a+b+4 \geq 7$. Alors, sous $\HRm$, on a
\begin{enumerate}
\item Si $a=b$ alors $\rg(\dd_{a,a}) > \frac{1}{4} N_{a,a}$.
\item Si $a \neq b$, alors $\rg(\dd_{a,b}) > \frac{1}{2} N_{a,b}$.
\end{enumerate}
\end{lemme}
\begin{proof}
Si $b=0$, on a $a \geq 3$ puisque $n \geq 7$. D'apr�s la proposition \ref{casTL},
comme $P(\D(a,0)) = \{ D(a-1,0) , [a+2,1] \}$ on a, d'une part $N_{a,a} = N_{a-1,0} + a+2$, et d'autre
part $\dd_{a,0} \simeq \sl(\D(a-1,0))\times
\sl_{a+2}(\C)$. On en d�duit $\rg \dd_{a,0} = N_{a-1,0} +a = N_{a,0} - 2$. Alors $N_{a,0} - 2 > > \frac{1}{2}N_{a,0}$
si et seulement si $N_{a,0} > 4$, ce qui est vrai car $N_{a,0} \geq N_{3,0} = 14$.
Puisque $\D(a,b)' = \D(b,a)$ on
peut donc supposer $a \geq b > 0$.


Supposons d'abord $a=b > 0$. Alors $P(\D(a,b)) = \{ \D(a-1,a) + \D(a,a-1) + [a+2,1^{a+1}] \}$.
D'apr�s $\HRm$, on alors
$$
\rg \dd_{a,a} = N_{a-1,a} - 1 + n-4 = N_{a-1,a} + 2a -1 > N_{a-1,a} > \frac{1}{4} N_{a,a}$$
d'apr�s la partie 2 du lemme \ref{leminegdab}, puisque $n = 2a+4 \geq 7$ implique $a \geq 2$. Cela montre 1).

Si $a > b > 0$, pour montrer 2) il y a deux cas � consid�rer.
\begin{enumerate}
\item Si $a=b+1$, alors $\la = \D(a,b) = \D(b+1,b)$ avec
$b \geq 1$, et $P(\la) = \{ \D(b,b) + \D(b+1,b-1) + [b+3,1^{b+1}] \}$. D'apr�s $\HRm$,
$$
\rg(\dd_{b+1,b})  =  \frac{N_{b,b}}{2} + N_{b+1,b-1} + n-4 
= \frac{ N_{b+1,b}}{2} + \frac{N_{b+1,b-1}}{2} - \frac{\dim [b+3,1^{b+1}]}{2} + n-4 
$$
Posant $m = b+1$ on d�duit de la partie 1) du lemme \ref{leminegdab} que, si $b \geq 2$, alors
$$
\rg(\dd_{b+1,b}) > \frac{N_{b+1,b}}{2} + n-4 > \frac{N_{b+1,b}}{2}
$$
puisque $\dim [b+3,1^{b+1}] = \cnp{2b+3}{b+1}$. On traite s�par�ment le cas $b=1$, soit
$a =2$. Alors $N_{1,1} = 16$ et $N_{2,0} = 9$. On en d�duit
$\rg (\dd_{2,1}) = \frac{N_{1,1}}{2} + (N_{2,0}-1) + 4 = 20 > N_{2,1}/2$
car $N_{2,1} = 35$.


\item Si $a > b+1 \geq 2$, alors d'apr�s $\HRm$ on a $\rg(\g_{\D(a-1,b)}) = N_{a-1,b} - 1$
et $\rg(\g_{\D(a,b-1)}) = N_{a,b-1} - 1$. On en d�duit
$$
\rg \dd_{a,b} = N_{a,b} - \dim [a+2,1^{b+1}] - 2 + n-3.
$$
Si $b+1 \geq 3$, utilisant la partie 3) du lemme \ref{leminegdab} on obtient
$$
N_{a,b} - \cnp{a+b+2}{b+1} + n-5 > N_{a,b} - \cnp{a+b+2}{b+1} > \frac{2}{3} N_{a,b} > \frac{1}{2} N_{a,b}
$$
On traite s�par�ment le cas $b=2$. Dans ce cas, on a
$\rg (\dd_{a,2}) = \rg (\g_{\D(a-1,2)}) + \rg (\g_{\D(a,1)}) + a+1$, soit
$$
\rg \dd_{a,2} = N_{a-1,2} + N_{a,1} + (a+2) - 3 \geqslant N_{a,2} -3
$$
car $\dim [a+2,1] = a+2$. Or $N_{a,2} -3 > N_{a,2}/2$ �quivaut � $N_{a,2} > 6$,
ce qui est vrai car $a \geq 4$ donc $N_{a,2} \geq N_{1,1} = 16>6$.
\end{enumerate}
 
 
  
\end{proof}

\subsubsection{Cas g�n�ral}

On rappelle qu'une partition est dite propre si ce n'est pas une �querre, et que l'ensemble
des partitions propres de $n$ est subdivis�e entre l'ensemble $F_n$ des partitions propres
sym�triques et l'ensemble $E_n$ de celles qui ne le sont pas.

Pour une partition $\la$ donn�e, on notera
$$
P_E(\la) = E_n \cap P(\la) \mbox{    et    } P_F(\la) = F_n \cap P(\la).
$$
Remarquons enfin que, si $\la \in E_n \cup F_n$, alors $P(\la)$ ne contient aucune repr�sentation
de dimension 1. De plus, dire dans ce cas que $P(\la)$ contient une
�querre �quivaut � dire que $\la$ est de la forme $\D(a,b)$ pour
certains $a,b \geq 0$.

\begin{prop} \label{estimrk} Soit $n \geq 7$. Si $\HRm$ est vraie, on a
$\la \in E_n \Rightarrow \rg (\g_{\la}) > \frac{\dim (\la)}{2}$ et
$\la \in F_n \Rightarrow \rg (\g_{\la}) > \frac{\dim (\la)}{4}$.

\end{prop}
\begin{proof}
Si $P(\la)$ contient une �querre, alors $\la$ est de la forme $\D(a,b)$ pour certains
$a,b \geq 0$. On en d�duit la conclusion d'apr�s la proposition \ref{casTL} si $a$ ou $b$ est nul, et
d'apr�s le lemme \ref{casdab} sinon. On peut donc supposer que $P(\la) \subset E_n \cup F_n$.

On a $\rg (\g_{\la}) \geq \rg (\h_{\la})$ et, d'apr�s $\HRm$, on a 
$$
\h_{\la} \simeq \left( \bigoplus_{\mu \in P_E(\la)/\sim} \sl(\mu) \right) \oplus \left( \bigoplus_{\mu \in P_F(\la)} \osp(\mu) \right)
$$



Supposons d'abord $\la \in E_n$. D'apr�s le lemme \ref{multilemme}-3), pour $\mu \in P_E(\la)$
on a $\mu' \not\in P_E(\la)$ donc $P_E(\la)/\sim$ s'identifie � $P_E(\la)$. On d�duit alors de la
d�composition pr�c�dente le rang de $\h_{\la}$ en fonction de $\delta(\la) = \# P(\la)$ et de $\dim(\la)$,
qui vaut $\sum_{\mu \in P(\la)} \dim (\mu)$
d'apr�s la r�gle de Young. En effet, d'apr�s le lemme \ref{multilemme}-4), on a $\# P_F(\la) \leq 1$. Comme
$\rg(\sl(\mu)) = \dim(\mu)-1$ et $\rg (\osp(\mu)) = \frac{\dim(\mu)}{2}$, on obtient imm�diatement
\begin{enumerate}
\item Si $P_F(\la) = \emptyset$, alors $P_E(\la) = P(\la)$ et $\rg (\h_{\la}) = \dim(\la) - \delta(\la)$.
\item Si $P_F(\la) = \{ \mu_0 \}$, alors $\rg (\h_{\la}) = \dim(\la) - \frac{\dim (\mu_0)}{2} - \delta(\la) + 1$.
\end{enumerate}
Dans chacun de ces deux cas, v�rifions $\rg (\h_{\la}) > \frac{\dim(\la)}{2}$. Dans le premier cas cela signifie
$\dim(\la) - \delta(\la) > \frac{\dim(\la)}{2} \Leftrightarrow \dim(\la) > 2 \delta(\la)$, ce qui est vrai d'apr�s le lemme
\ref{dimdelta}, puisque $\la \in E_n$ implique $\dim(\la) \neq 1$. Dans le deuxi�me, $\rg (\h_{\la}) > \frac{\dim(\la)}{2}$
signifie $\dim(\la) - \dim(\mu_0) > 2(\delta(\la) - 1)$. Or, comme $\la$ n'est pas une �querre, tout $\mu \in P(\la)$
v�rifie $\dim(\mu)>1$, et donc $\dim(\mu) \geq n-2 > 4$ d'apr�s le lemme \ref{ppdim}. Or
$$
\dim(\la) - \dim(\mu_0) = \sum_{\mu \in P_E(\la)} \dim(\mu) > 4 \# P_E(\la) = 4(\delta(\la) - 1)$$
d'o� $\dim(\la) - \dim(\mu_0) >4(\delta(\la) - 1) \geq 2(\delta(\la)-1)$, ce qui conclut.

\medskip

Supposons ensuite $\la \in F_n$. D'apr�s le lemme \ref{lemmesym} on a $\mu' \in P(\la)$
d�s que $\mu \in P(\la)$, donc $\# (P_E(\la)/\sim) = \#P_E(\la)/2$ et
$$
\sum_{\mu \in P_E(\la)/\sim} \dim(\mu) = \frac{1}{2} \sum_{\mu \in P_E(\la)} \dim(\mu)
= \frac{1}{2} \dim(\la) - \frac{1}{2} \sum_{\mu \in P_F(\la)} \dim(\mu)
$$
Puisque $\# P_F(\la) \leq 1$, on a comme pr�c�demment deux cas. On obtient imm�diatement
\begin{enumerate}
\item Si $P_F(\la) = \emptyset$, alors $\# (P_E(\la)/\sim) = \delta(\la)/2$ et
$\rg (\h_{\la}) = (\dim(\la) - \delta(\la))/2$.
\item Si $P_F(\la) = \{ \mu_0 \}$, alors $\# (P_E(\la)/\sim )= (\delta(\la)-1)/2$ et
$\rg (\h_{\la}) = (\dim(\la)-\delta(\la)+1)/2$.
\end{enumerate}
Dans chacun de ces deux cas, v�rifions $\rg (\h_{\la}) > \frac{\dim(\la)}{4}$. Dans le premier
cas cela signifie $\dim(\la) > 2 \delta(\la)$, ce qui est vrai d'apr�s le lemme \ref{dimdelta}.
Dans le deuxi�me cas cela signifie $\dim(\la) > 2 \delta(\la)-2$, ce qui est {\it a fortiori} vrai
pour la m�me raison et conclut la preuve.
 

\end{proof}

Pour en d�duire les $\g_{\la}$ nous aurons encore besoin du lemme
suivant. Remarquons d'abord que, d'apr�s la r�gle de Young, si $\mu
\subset \la$ alors $\g_{\mu}$ s'injecte dans $\g_{\la}$ comme
sous-alg�bre de Lie.

\begin{lemme} \label{minork} Pour $n \geq 7$ et $\la \vdash n$, on a $\rg (\g_{\la}) \geq 4$.
Si $\la \in F_n$, on a de plus $\rg (\g_{\la}) \geq 8$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Si $\la$ est une �querre, alors $\rg (\g_{\la}) = n-2 \geq 5$ d'apr�s la
proposition \ref{casTL}. Si $\la \in E_n$ et $n \geq 7$, on ne
peut avoir $\la_1 < 3$ et $\la'_1 <3$, car sinon $n = \la_1 + \la_2 \leq 4$.
Comme $\g_{\la} \simeq \g_{\la}'$ on peut donc supposer $\la_1 \geq 3$.
Alors $\la_2 \geq 2$ car sinon $\la$ serait une �querre. Ainsi
$[3,2] \subset \la$ et $\g_{\la}$ contient $\g_{[3,2]}$ qui est de
rang 4 par surjectivit� de $\phi_5$ (proposition \ref{petitscas}) donc
$\rg (\g_{\la}) \geq 4$. Si enfin 
$\la \in F_n$, on a donc �galement $\la'_1 = \la_1 \geq 3$, et
$\la_2 \geq 2$ puisque $\la$ n'est pas une �querre, ainsi
$\g_{\la}$ contient $\g_{[3,2,1]}$ qui est de rang 8 par surjectivit�
de $\phi_6$ d'o�
$\rg (\g_{\la}) \geq 8$.
\end{proof}

\begin{prop} \label{detgl} Soit $n \geq 7$. Si $\HRm$ est
vraie, alors $\la \in E_n \Rightarrow \g_{\la} = \sl(\la)$
et $\la \in F_n \Rightarrow \g_{\la} = \osp(\la)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Les id�aux simples de l'alg�bre de Lie semi-simple
$\h_{\la}$ sont de la forme $\sl(\mu)$, $\osp(\mu)$ pour
$\mu \nearrow \la$ et $\mu \in E_{n-1} \cup F_{n-1}$, ou bien
isomorphe � $\sl(\alpha) \simeq \sl_{n-2}(\C)$.

Dans les deux premiers cas, d'apr�s la r�gle de Young,
la restriction de $\la$ � cet id�al simple comporte
toujours la repr�sentation standard de $\sl(\mu) $ ou $\osp(\mu)$
avec multiplicit� 1.

Dans le deuxi�me cas, c'est-�-dire si $\la$ est de la forme $\D(a,b)$,
la restriction � l'id�al simple $\sl(\alpha)$ est somme de la
puissance altern�e $r$-i�me de sa repr�sentation standard,
pour $[n-1-r,1^r] = [a+2,1^{b+1}] \nearrow \D(a,b)$, et de
copies de la repr�sentation triviale. Cette puissance
altern�e �tant non triviale, puisque $r = b+1 \geq 1$, elle intervient
bien avec multiplicit� 1.

Le lemme \ref{lemredsimp} et la remarque qui le suit permettent
de d�duire de la proposition \ref{estimrk} que $\g_{\la}$
est une alg�bre de Lie simple. Si $\la \in E_n$, le fait
que $\rg( \g_{\la}) > \dim (\la)/2$ permet de d�duire du lemme \ref{caractA}
que $\g_{\la} = \sl(\la)$. Si $\la \in F_n$, on a
$\rg (\g_{\la}) \geq 8$ d'apr�s le lemme \ref{minork}. Comme
$\rg (\g_{\la}) > \dim (\la)/4$ d'apr�s la proposition \ref{estimrk},
on d�duit du lemme \ref{caractBCD} que $\g_{\la}$
est l'ensemble des �l�ments de $\sl(\la)$ qui laissent invariant
un certain sous-espace, de dimension 1, de $\la^* \otimes \la^*$.
Or cet espace contient les $\osp(\la)$-invariants de $\la^* \otimes
\la^*$ puisque $\g_{\la} \subset \osp(\la)$, qui forment �galement
un sous-espace de dimension 1. On en d�duit $\g_{\la} = \osp(\la)$.
\end{proof}





\subsection{Id�aux simples de $\g'_n$}

Soit $r \in \N$, et $\la \vdash r$. On note
$\g^{\la}$ l'id�al de $\g'_r$ associ�
� la repr�sentation $\rho_{\la} : \g'_n \to \g_{\la}$,
c'est-�-dire l'orthogonal du noyau de $\rho_{\la}$ vis-�-vis
de la forme de Killing de l'alg�bre de Lie semi-simple
$\g'_r$. Par d�finition, $\rho_{\la}$ induit un isomorphisme
d'alg�bres de Lie entre $\g^{\la}$ et $\g_{\la}$.

Les factorisations de la section 5 impliquent que $\g^{\la} = \g^{\la'}$,
et que $\g^{\la} = \g^{\alpha} \simeq \sl_{n-1}(\C)$ si $\la$ est une �querre. En
tant qu'alg�bre de Lie semi-simple, $\g'_r$ est produit de
ses ideaux simples.

Consid�rons la propri�t� 
$$
\mathrm{(IS_r)}\ \ \ \ \ \ \ \mbox{ Si } \la , \mu \vdash r \mbox{ sont tels que }
\{ \la, \mu \} \cap (E_r \cup F_r) \neq \emptyset,
\mbox{ alors } \g^{\la} = \g^{\mu} \Leftrightarrow \mu \in \{ \la, \la' \}$$

Le lemme suivant est imm�diat.
\begin{lemme} \label{surjcomb} Si $\phi_r$ est surjectif, les id�aux simples de
$\g'_r$ sont $\g^{\alpha}$ et les $\g^{\la}$ pour $\la \in E_r \cup F_r$,
et $\mathrm{(IS_r)}$ est v�rifi�e.
\end{lemme}

Il admet une r�ciproque partielle

\begin{lemme} \label{lemconclu} Sous $\HRm$, si $\mathrm{(IS_n)}$ est v�rifi�e, alors
$\phi_n$ est surjectif.
\end{lemme}
\begin{proof} Comme $\g'_n$ est semi-simple, elle est produit de
ses id�aux simples. D'apr�s la proposition \ref{detgl}, pour tout $\la \in
E_n \cup F_n$, $\g^{\la} \simeq \g_{\la}$ est simple. L'hypoth�se
$\mathrm{(IS_n)}$ dit alors que l'on ne peut avoir $\g^{\la} = \g^{\mu}$
que si $\la$ et $\mu$ sont des �querres, ou bien si $\mu \in \{ \la, \la' \}$.
Ainsi,
$$
\g'_n \supset \g^{\alpha} \times \prod_{ \la \in E_n/\sim} \g^{\la} \times
\prod_{\la \in F_n} \g^{\la},
$$
c'est-�-dire que $\g'_n$ contient une alg�bre de Lie qui,
d'apr�s la proposition \ref{detgl}, a m�me dimension
que l'ensemble d'arriv�e de $\phi_n$, donc $\phi_n$ est surjectif.
\end{proof}


\subsection{Conclusion de la d�monstration}

Remarquons d'abord que, d'apr�s le lemme \ref{minork} et si $n \geq 7$,
un id�al simple $\g^{\la}$ ne peut �tre simultan�ment de type
$A_r,B_r,C_r$ ou $D_r$, puisque ces types sont deux-�-deux
non isomorphes pour $r \geq 4$.

Supposant $\HRm$ il s'agit maintenant, d'apr�s le lemme \ref{lemconclu}, de montrer
que la propri�t� $\mathrm{(IS)_n}$ est v�rifi�e, c'est-�-dire
que, si $\la, \mu \vdash n$ ne sont pas toutes deux des �querres
et $\g^{\la} = \g^{\mu}$, alors $\mu \in \{ \la, \la' \}$. Soient
donc deux tels $\la, \mu$.


Si $\la$ ou $\mu$ est une �querre, on peut donc supposer que seul
$\la \not\in E_n \cup F_n$. Ainsi $\g^{\la} = \g^{\alpha}$
est de type $A_{n-2}$, donc ne peut
�tre isomorphe � une alg�bre de Lie orthogonale ou
symplectique. On en d�duit $\mu \in E_n$, et ainsi
$\g^{\mu}$ est de type $A_{\dim(\mu) -1 }$. Alors
$\g^{\la} = \g^{\mu}$ implique $n-2 = \dim \mu -1$ soit $\dim \mu =
n-1$, ce qui est impossible d'apr�s le lemme \ref{ppdim}
puisque $\mu \in E_n$.

On suppose d�sormais $\la, \mu \in E_n \cup F_n$. D'apr�s la remarque
pr�c�dente on a alors, soit $\la, \mu \in E_n$, soit $\la,\mu \in F_n$.
Les repr�sentations $\la, \la', \mu, \mu'$ de $\g'_n$ se factorisent
dans tous les cas par un m�me id�al simple $\a = \g^{\la} = \g^{\mu}$
de $\g'_n$.

Si $\la, \mu \in E_n$, alors l'id�al simple $\a$ est de type
$A_{N-1}$, avec $N = \dim(\la) = \dim(\mu)$. On a
$N \geq 5$ d'apr�s le lemme \ref{minork}. Si
$\mu \not\in \{ \la , \la' \}$, ce qui est �quivalent
� $\mu' \not\in \{ \la , \la' \}$, alors $\la,\la', \mu$ seraient
trois repr�sentations irr�ductibles de $\a$ de dimension $N$, deux-�-deux
non isomorphes d'apr�s la proposition \ref{equivisom}. C'est exclu car une
alg�bre de Lie simple de type $A_{N-1}$ n'admet � isomorphisme
pr�s que deux repr�sentations irr�ductibles de dimension $N$, pour tout $N \geq 3$.

Si $\la,\mu \in F_n$, alors $\a$ est de type $B_r,C_r$ ou $D_r$ pour
$r = N/2$, avec $N = \dim(\la) = \dim(\mu)$, d'apr�s la proposition
\ref{detgl}. De plus $r \geq 8$ d'apr�s le lemme \ref{minork}. Or,
pour $r \geq 5$ les alg�bres de Lie simples de type $B_r,C_r$
ou $D_r$ n'admettent � isomorphisme pr�s qu'une repr�sentation irr�ductible
de dimension $2r$. Ainsi $\la$ et $\mu$ sont isomorphes en tant
que repr�sentations de $\g'_n$, donc de $\SN$ d'apr�s
la proposition \ref{equivisom}, soit $\la = \mu$. Ceci conclut
la d�monstration du th�or�me A.



\section{Enveloppes alg�briques}

\subsection{Rappels et compl�ments sur les groupes alg�briques}

Soient $K$ un corps de caract�ristique 0 et $G$ un
sous-groupe de $GL_N(K)$. On note $\bar{G}$ et
on appelle enveloppe alg�brique de $G$ le plus petit sous-groupe
alg�brique de $GL_N(K)$ qui contient $G$. Si $H$ est un sous-groupe
(distingu�) de $G$, alors $\bar{H}$ est un sous-groupe (distingu�) de
$\bar{G}$.

Le groupe $\bar{G}$ est l'adh�rence de $G$ dans $GL_N(K)$ pour
la topologie de Zariski. En particulier, il existe des
fonctions polynomiales $a_1,\dots,a_r$ sur $K^{N^2}$ qui d�finissent
$\bar{G}$, c'est-�-dire telles que
$$ \bar{G} = \{ m \in GL_N(K) \ \mid \ a_1(m) = \dots = a_r(m) = 0 \}
$$
Si $K$ est le corps des fractions d'un anneau $A$, on peut de plus
supposer que $a_1,\dots,a_r$ sont � coefficients dans $A$.

Le groupe alg�brique $G$ d�finit un foncteur $\mathcal{A} \to
\bar{G}(\mathcal{A})$ des $K$-alg�bres commutatives � unit� vers les
groupes. On appelle $\mathcal{A}$-point de $\bar{G}$ un �l�ment
de $\bar{G}(\mathcal{A})$. On note $\Lie \bar{G}$ l'alg�bre de Lie
de $\bar{G}$. Il s'agit d'une $K$-sous-alg�bre de Lie de $\gl_N(K)$,
qui peut �tre d�finie en caract�ristique 0 par la th�orie de
l'exponentiation formelle de Chevalley telle qu'�tablie dans \cite{CHEV} \S 12
$$
\Lie \bar{G} = \{ x \in \gl_N(K) \ \mid \ \exp(ux) \in \bar{G}(K[[u]]) \}
$$

Soit $\k$ un corps, prenons $A = \k[[h]]$ l'anneau des s�ries
formelles correspondant et $K = \k((h))$ son
corps de fractions. En plus des raisonnement pr�c�dents,
on a dans ce cadre le r�sultat suivant :
\begin{lemme} \label{lemadh} Soit $G$ un sous-groupe de $GL_N(K)$, et
$X = \exp(hx) \in G$ avec $x \in \gl_N(A)$. Alors
$x \in \Lie \bar{G}$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Il s'agit de montrer que $\exp(uhx) \in \bar{G}(K[[u]])$, puisque
$hx \in \Lie \bar{G}$ si et seulement si $x \in \Lie \bar{G}$.
Notons $a_1,\dots,a_r$ une famille de fonctions polynomiales d�finissant
$\bar{G}$, que l'on choisit � coefficients dans $A$. Alors on montre
facilement que $Q_i(u) = a_i(\exp(uhx)) \in M_N(L)$
avec $L = (\k[u])[[h]]$, c'est-�-dire $Q_i(u) = \sum_{j=0}^{\infty}
b_{i,j}(u)h$ avec $b_{i,j} \in \k[u]$. En particulier, $\exp(uhx) \in
\bar{G}(K[[u]])$ si et seulement si $b_{i,j} = 0$ pour tout
$1 \leq i \leq r$ et $j \in \N$. Or, si $X \in G$, on a $X^n
\in G \subset \bar{G}$ pour tout $n \in \Z$, c'est-�-dire
$b_{i,j}(n) = 0$ pour tout $n \in \Z$, ce qui implique $b_{i,j} = 0$
par Zariski-densit� de $\Z$ dans tout corps $\k$ de caract�ristique 0.
\end{proof}

Autrement dit, on a
$$
\Lie \bar{G} \supset \{ x \in \gl_N(A) \ \mid \ \exp(hx) \in G \}
$$


Nous rappelons �galement sous forme de lemme le r�sultat
suivant de la th�orie �l�mentaire des groupes alg�briques

\begin{lemme} \label{leminclu} Soient $H$ et $G$ deux sous-groupes alg�briques de $GL_N(K)$.
Si $G$ est irr�ductible, $H \subset G$ et $\Lie H = \Lie G$, alors
$H = G$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $H_0$ la composante connexe de $H$. C'est un sous-groupe alg�brique
ir\-r�\-duc\-ti\-ble d'indice fini de $H$. On a donc
$\Lie H_0 = \Lie H$ et $\Lie H_0 = \Lie G$ par hypoth�se. Comme
$H_0 \subset G$ et que $H_0$ et $G$ sont irr�ductibles, on en d�duit
$H_0 = G$ (cf. \cite{CHEV}, thm. 8 cor. 1), donc $H = G$.
\end{proof}


\subsection{Pr�liminaires sur les groupes orthogonaux et symplectiques}

\subsubsection{Notations}
Soit $\k$ un corps de caract�ristique nulle, et $n = 2p \geq 2$ un
entier positif pair. On munit $\k^n$ de son produit scalaire
standard $<\ , \ >$. On introduit les matrices de 
$GL_n(\k)$ suivantes, d�finies par blocs de taille $p \times p$ :
$$
D_o = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \ \ \ 
D_s = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \ \ \ 
J = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
$$
et l'on note �galement $H \in GL_n(\k)$ la matrice
diagonale dont le premier coeffcient vaut $-1$ et les suivants $1$.
Outre $SL_n(\k)$, un autre sous-groupe de $GL_n(\k)$ important
pour nous est
$$
\widetilde{SL}_n(\k)
= \{ A \in GL_n(\k) \ | \ \det A = \pm 1 \}
$$
dont $SL_n(\k)$ est un sous-groupe d'indice 2.


\subsubsection{Cas orthogonal}
Soit $(\ | \ )$ la forme bilin�aire sym�trique d�finie sur $\k^n$ par
$(x|y) = < D_0 x | y>$. Pour tout $A \in GL_n(\k)$, on note $A^*$
son adjoint par rapport � cette forme. Cela nous permet
d'introduire les groupes
$$
O_{p,p}(\k) = \{ A \in GL_n(\k) | A^{-1} = A^* \}\ \ \ 
\widetilde{O}_{p,p}(\k) = \{ A \in GL_n(\k) | A^{-1} = \pm A^* \}
$$
On a un morphisme $\varphi : \widetilde{O}_{p,p}(\k) \to \{ \pm 1 \}$
d�fini par $\varphi(A) = u$ si $A^{-1} = u A^*$, qui
est surjectif car $J \in \widetilde{O}_{p,p}(\k)$
et $\varphi(J) = -1$. On en d�duit une suite exacte scind�e
$$
1 \to O_{p,p}(\k) \to \widetilde{O}_{p,p}(\k) \to \{ \pm 1\} \to 1
$$


Le groupe sp�cial orthogonal est d�fini par $SO_{p,p}(\k)
= \{ A \in O_{p,p}(\k) \ | \ \det (A) = 1 \}$. L'application
$\varphi \times \det$ induit alors une suite
$$
1 \to SO_{p,p}(\k) \to \widetilde{O}_{p,p}(\k) \to \{ \pm 1 \} ^2 \to 1
$$
qui est exacte et scind�e pour tout $p\geq 1$. En effet, on v�rifie
facilement
$$
\left\lbrace \begin{array}{lcl} \det(J) & = & (-1)^p  \\
\varphi(J) & = & -1 \end{array} \right.
\left\lbrace \begin{array}{lcl} \det(H) & =& -1  \\
\varphi(H) & = & 1 \end{array} \right.
\left\lbrace \begin{array}{lcl} \det(JH) & = &(-1)^{p+1}  \\
\varphi(JH) & = & -1 \end{array} \right.
$$

A chacun des trois sous-groupes propres de $\{ \pm 1 \}^2$ sont ainsi
associ�s trois sous-groupes (distingu�s)
d'indice deux de $\widetilde{O}_{p,p}(\k)$
qui contiennent $SO_{p,p}(\k)$. Ce sont
$$
\begin{array}{lcl}
\widetilde{SO}^1_{p,p}(\k) & = & SL_n(\k) \cap \widetilde{O}_{p,p}(\k) \\
\widetilde{SO}^2_{p,p}(\k) & = & O_{p,p}(\k) \\
\widetilde{SO}^3_{p,p}(\k) & = & \{ A \in
\widetilde{SL}_n(\k) | A^{-1} = \det(A) A^* \} \\
\end{array}
$$

Par convention, on notera ici 
$$
\begin{array}{lcll}
\widetilde{SO}_{p,p}(\k)
& = & \widetilde{SO}^1_{p,p}(\k) & \mbox{ si $p$ est pair,} \\
\widetilde{SO}_{p,p}(\k) & = & \widetilde{SO}^3_{p,p}(\k) & \mbox{ si
$p$ est impair.}
\end{array}
$$

\subsubsection{Cas symplectique}

On consid�re la forme bilin�aire antisym�trique non d�g�n�r�e d�finie
sur $\k^n$ par $(x|y) = <D_s x ,y>$. On note encore $A^*$
l'adoint de $A$ par rapport � $(\ | \ )$ et on d�finit
les groupes
$$
\begin{array}{lcl}
Sp_n(\k) & = & \{ A \in GL_n(\k) \ | \ A^{-1} = A^* \} \\
\widetilde{Sp}_n(\k) & = & \{ A \in GL_n(\k) \ | \ A^{-1} = \pm A^* \} 
\end{array}
$$
On a $Sp_n(\k) \subset SL_n(\k)$, 
$\widetilde{Sp}_n(\k) \subset \widetilde{SL}_n(\k)$
et $Sp_n(\k) \neq \widetilde{Sp}_{n}(\k)$ parce que $J \in \widetilde{Sp}_n(\k)
\setminus Sp_n(\k)$. On a ainsi une suite exacte scind�e
$$
1 \to Sp_n(\k) \to \widetilde{Sp}_n(\k) \to <J>
$$


\section{Groupes de tresses et alg�bres de Hecke}

Dans ce qui suit, on fixe un corps $\k$ de caract�ristique
nulle. L'objet de cette section est de rappeler
des propri�t�s des groupes de tresses et leur relation
avec l'alg�bre de Hecke de type $A$. Notamment, on

\subsection{Groupes de tresses}

Pour tout $n \geq 2$, on note $\B_n$ le groupe de tresses � $n$
brins, d�fini
par g�n�rateurs $\sigma_1, \dots, \sigma_{n-1}$ et
relations
$$
\sigma_i \sigma_j = \sigma_j \sigma_i \mbox{ pour }
|i-j| \geq 2 , \mbox{ et } \sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1}
\sigma_i \sigma_{i+1} \mbox{ pour }1 \leq i \leq n-2.
$$
Une cons�quence imm�diate de ces relations est que les �l�ments
$\sigma_i$ pour $1 \leq i \leq n-1$, appel�s g�n�rateurs d'Artin, sont
conjugu�s entre eux.
Pour les autres r�sultats classiques concernant ce groupe, que nous ne
faisons que rappeler, on pourra
se reporter � \cite{refbn}.
Le morphisme
surjectif $\B_n \to \SN$ d�fini par $\sigma_i \mapsto s_i = (i \ i+1)$
admet pour noyau le groupe de tresses pures, not� $\P_n$,
qui est engendr� par les �l�ments $\xi_{ij}$, pour $1 \leq i < j \leq n$,
d�finis par
$$
\xi_{ij} = \sigma_{j-1} \dots \sigma_{i+1} \sigma_i^2 \sigma_{i+1}^{-1}
\dots \sigma_{j-1}^{-1}.
$$

A ce groupe est associ�e une $\k$-alg�bre de Lie, dite des tresses
infinit�simales pures, d�finie par g�n�rateurs
$t_{ij}$, $1 \leq i,j \leq n$,
et relations
$$
\begin{array}{l}
t_{ij}  = t_{ji}, t_{ii} = 0,\\
 {[}t_{ij} ,t_{kl}] = 0
\mbox{ si }\#\{i,j,k,l\} = 4, \\
{[}t_{ij},t_{ik} + t_{kj}] = 0 \mbox{  pour tous }i,j,k
\end{array}
$$
Elle est gradu�e, ainsi que son alg�bre enveloppante universelle
$\U \mathcal{T}_n$ par $\deg(t_{ij})=1$.
On note $\widehat{\mathcal{T}_n}$ et $\widehat{\U \mathcal{T}_n}$
les compl�tions de ces alg�bres par
rapport � leurs graduations respectives, $\exp \mathcal{T}_n
\subset \widehat{\U \mathcal{T}_n}$ le groupe pro-alg�brique
associ� � $\mathcal{T}_n$.

Cette alg�bre de Lie, son alg�bre enveloppante et
leurs compl�tions respectives sont de plus
naturellement munies d'une action par automorphismes naturelle de $\SN$, par
$s.t_{i,j} = t_{s(i),s(j)}$ pour tout $s \in \SN$.
Cela permet d'introduire une $\k$-alg�bre de Hopf
compl�t�e $\k \SN \ltimes \U \widehat{\mathcal{T}_n}$, dans
laquelle on peut construire le groupe $\SN \ltimes
\exp \widehat{\mathcal{T}_n}$. Dans \cite{DRIN},
V. Drinfel'd a d�fini des morphismes
injectifs
$\widetilde{\Phi} : \B_n \to \SN \ltimes \exp \widehat{\mathcal{T}_n}$
tels que
$
\PPhi(\sigma_i) = \Phi_i s_i \exp(t_{i,i+1}) \Phi_i^{-1}$ pour tout
$1 \leq i \leq n-1$, avec $\Phi_i \in \exp \TTN$ et $\Phi_1 = 1$. On fixe un tel
morphisme.

On v�rifie facilement $\PPhi(\P_n) \subset \exp \TTN$, et
$\PPhi(\xi_{ij}) = \exp \psi_{ij}$ avec $\psi_{ij} \in 2 t_{ij} + 
\widehat{[\mathcal{T}_n,\mathcal{T}_n]}$.
Un sous-groupe distingu� remarquable de $\P_n$ est le sous-groupe
$\FN$ engendr� par les �l�ments $\xi_{1,n}, \dots, \xi_{n-1,n}$. C'est un groupe
libre en ces $n-1$ g�n�rateurs. Parall�lement, il est facile de
v�rifier que la sous-alg�bre de Lie $\mathcal{F}_n$ de $\mathcal{T}_n$
engendr�e par les �l�ments $t_{1,n},\dots,t_{n-1,n}$ est
libre en ces g�n�rateurs et est un id�al de $\mathcal{T}_n$.
Il s'ensuit que $\PPhi(\FN) \subset \exp \widehat{\mathcal{F}}_n$.


Un dernier sous-groupe qui intervient ici est le sous-groupe $\B_n^2$
des tresses paires. C'est le noyau de la composition du
morphisme naturel $\pi : \B_n \to \SN$ et de la signature
$\SN \to \{ \pm 1 \}$, c'est-�-dire $\pi^{-1}(\ALTN)$
o� $\ALTN$ d�signe le groupe altern� sur $n$ lettres. On a
�videmment les inclusions
$$
\FN \subset \P_n \subset \B_n^2 \subset \B_n
$$



\subsection{Alg�bres de Hecke}

Pour tout $n \geq 3$, on d�finit habituellement l'alg�bre
de Hecke de type $A_{n-1}$, que l'on note $H_n(q)$, sur
un corps $K$ de caract�ristique nulle, dans lequel
on a choisit un �l�ment $q$ transcendant sur le corps premier.
C'est une $K$-alg�bre d�finie
par g�n�rateurs $\s_1,\dots, \s_{n-1}$ et relations
$$
\begin{array}{ll}
\s_i \s_j = \s_j \s_i & \mbox{ pour }
|i-j| \geq 2 \\
\s_i \s_{i+1} \s_i = \s_{i+1}
\s_i \s_{i+1} & \mbox{ pour }1 \leq i \leq n-2 \\
(\s_i-q)(\s_i+q^{-1}) = 0 & \mbox{ pour }1 \leq i \leq n-1
\end{array}
$$
Il est clair que $H_n(q)$ est un quotient de l'alg�bre de groupe
$K \B_n$ de $\B_n$ sur $K$ : plus pr�cis�ment, c'est le quotient
de $K \B_n$ par l'id�al bilat�re engendr� par les �l�ments
$(\sigma_i -q)(\sigma_i + q^{-1})$. Comme les g�n�rateurs
d'Artin sont conjugu�s entre eux, cet id�al est engendr�
par un seul �l�ment, par exemple $(\sigma_1 -q)(\sigma_1 + q^{-1})$.

Ainsi, toute repr�sentation
de $H_n(q)$ sur $K$ s'�tend en une repr�sentation de $K \B_n$ et r�ciproquement
toute repr�sentation de $K \B_n$ dans laquelle l'�l�ment
$(\sigma_1 -q)(\sigma_1 + q^{-1})$ agit trivialement se factorise par
$H_n(q)$.


A isomorphisme pr�s, $H_n(q)$ ne d�pend pas de l'�l�ment transcendant
$q$ que l'on a choisi, et peut �tre d�finie sur $\k(q)$ ; le
choix du corps $K$ est donc de peu d'importance. Pour nos
besoins, il sera commode de prendre pour $K$ le corps
$\k((h))$ des s�ries de Laurent en une ind�termin�e sur $\k$,
et $q = e^h$.

Un r�sultat de Tits (\cite{BOURB} ch. 4 ex. 26 et ex. 27) montre de plus que $H_n(q)$ est de dimension
finie et isomorphe � l'alg�bre
de groupe $K \SN$. On peut obtenir un tel isomorphisme � l'aide
du morphisme $\PPhi$ choisi pr�c�demment.

En effet, notant $A = \k[[h]]$ l'anneau des s�ries formelles en une
ind�termin�e sur $\k$, on v�rifie facilement que l'application $t_{ij} \to h (i \ j)$
s'�tend naturellement en un morphisme d'alg�bres de Lie surjectif
de $\mathcal{T}_n$ vers $\g_n^h = \g_n \otimes A$, donc de l'alg�bre
enveloppante
$\U \mathcal{T}_n$ vers l'alg�bre de groupe $A \SN$ de $\SN$
sur l'anneau $A = \k[[h]]$ des s�ries formelles. Ce morphisme �tant continu
pour la topologie $h$-adique respectivement � la graduation
de $\U \mathcal{T}_n$, il s'�tend � $\widehat{\U \mathcal{T}}_n$.
Comme ce morphisme est $\SN$-�quivariant, $\PPhi$ permet d'en d�duire un
morphisme $A \B_n \to A \SN$, dont la
r�duction � $h=0$ est surjective.
On en d�duit un morphisme surjectif $K \B_n \to K \SN$.
L'image de $\sigma_1$
est alors $X = s_1 \exp(h s_1)$. De $s_1^2 = 1$ on d�duit
$$
\exp(h s_1 ) = \frac{q+q^{-1}}{2} + \frac{q-q^{-1}}{2} s_1
$$
et finalement $(X-q)(X+q^{-1}) = 0$. On en d�duit un morphisme
surjectif explicite $H_n(q) \to K \SN$, qui est un isomorphisme
par �galit� des dimensions, et pour lequel
l'image de $\s_1$ est $s_1 \exp (h s_1)$.

Pour �tudier l'image du groupe de tresses dans $H_n(q)$
il suffit donc d'�tudier l'image de $\B_n$ par
$\PP : K \B_n \to K \SN$ obtenu par composition du morphisme
pr�c�dent avec la projection naturelle $K \B_n \to H_n(q)$.
Puisque $\PPhi(\P_n) \subset \exp \widehat{\mathcal{T}_n}$,
on sait d'ores et d�j� que $\PP(\P_n) \subset \exp \g_n^h$.










\subsection{Repr�sentations de l'alg�bre de Hecke}

A toute repr�sentation $\rho : \SN \to GL(V)$, o� $V$
est un espace vectoriel de dimension finie sur $\k$, on peut associer
par extension des scalaires une repr�sentation encore
not�e $\rho$ de $K \SN$ sur $V^h = V \otimes K$.

On en d�duit une repr�sentation $R = \rho \circ \PP$ de $\B_n$ sur $V^h$
telle que, si l'on note $x = \rho(s_1)$, alors
$R(\sigma_1) = x e^{hx}$. En particulier,
$
\det(R(\sigma_i)) = \det(x) \exp(h \tr(x))
$ pour tout $1 \leq i \leq n-1$ puisque les
g�n�rateurs d'Artin sont conjugu�s entre eux.

Consid�rons le cas o� $\rho$ est une repr�sentation irr�ductible,
associ�e � une partition $\la$ de $n$. Alors $\tr(x) = \gamma(\la)$,
valeur du caract�re associ� � $\la$ 
sur la classe de conjugaison de $\SN$ form�e des
transpositions. Comme $x^2 = 1$, la valeur $\eta(\la) = \det(x)$
appartient � $\{ \pm 1 \}$.

Les valeurs $\dim(\la)$, $\gamma(\la)$ et $\eta(\la)$ sont
reli�es entre elles. En effet, si l'on note $a_{\pm}$ la
multiplicit� avec laquelle $\pm 1$ intervient dans le spectre
de $x$, on a $\dim(\la) = a_+ + a_-$ et
$\gamma(\la) = a_+ - a_-$, donc
$$
\eta(\la) = (-1)^{a_-} = (-1)^{\frac{\dim(\la) - \gamma(\la)}{2}}
$$

Si $\la = \la'$, les tableaux standards de forme $\la$ et les formes
bilin�aires d�finies en section 4.2 permettent d'identifier $\la^h$
� $K^N$ pour $N = \dim(\la)$, muni de l'une des formes bilin�aires
�tudi�e en 7.2. Si cette forme est sym�rique, on note
$$
OSP(\la^h) = SO_{\frac{N}{2},\frac{N}{2}}(K)   \ \ \ \ \ \ \ \ 
\widetilde{OSP}(\la^h) = \widetilde{SO}_{\frac{N}{2},\frac{N}{2}}(K)
$$
et si elle est antisym�trique,
$$
OSP(\la^h) = Sp_{N}(K)   \ \ \ \ \ \ \ \  
\widetilde{OSP}(\la^h) = \widetilde{Sp}_{N}(K).
$$
On rappelle que dans ces deux cas on a une suite exacte scind�e
$$
1 \to OSP(\la^h) \to \widetilde{OSP}(\la^h) \to \{ \pm 1 \} \to 1
$$
Le tableau \ref{tableinc} r�sume les propri�t�s que v�rifient, dans ces
cas particuliers, l'image de $\B_n$. Leur
d�monstration est l'objet des alin�as qui suivent.
\begin{table}
$$
\begin{array}{|c|c|l|c|}
\hline
\gamma(\la) = 0 & \eta(\la) = 1 & R(\B_n) \subset SL(\la^h) & R(\B_n^2) \subset SL(\la^h) \\
\cline{2-3}
 & \eta(\la) = -1 & R(\B_n) \subset \widetilde{SL}(\la^h) \mbox{ et } R(\B_n) \not\subset SL(\la^h) &  \\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\la = \la'} & R(\B_n) \subset \widetilde{OSP}(\la^h) \mbox{ et } R(\B_n) \not\subset OSP(\la^h) & R(\B_n^2) \subset OSP(\la^h) \\
\hline
\end{array}
$$
\caption{Inclusions remarquables.}
\label{tableinc}
\end{table}

\subsubsection{Cas $\gamma(\la) = 0$.} Si $\gamma(\la) = 0$, alors $\det R(\sigma_i) = \eta(\la)$
pour tout $1 \leq i \leq n-1$, donc $R(\sigma_i) \in \widetilde{SL}(\la^h)$ et donc
$R(\B_n) \subset \widetilde{SL}(\la^h)$. En revanche, si $\eta(\la) = -1$, alors
$R(\sigma_i) \in \widetilde{SL}(\la^h) \setminus SL(\la^h)$.

Dans tous les cas, $\det \rho(a) = 1$ pour tout $a \in \ALTN$, donc $R(\B_n^2) \subset SL(\la^h)$.

\subsubsection{Cas $\la = \la'$.} Si $\la = \la'$, alors $\gamma(\la) = 0$. Cette situation est donc
un cas particulier du paragraphe pr�c�dent. De plus $\dim(\la)$ est pair
et, posant
$\dim(\la) = 2p$, on a donc $\eta(\la) = (-1)^p$. Puisque
l'on a $-\rho(s_1)^*
= \rho(s_1) = \rho(s_1)^{-1}$, cela implique par la d�finition choisie de $\widetilde{OSP}(\la^h)$
que $\rho(s_1) \in \widetilde{OSP}(\la^h) \setminus OSP(\la^h)$. Comme
d'autre part $\rho(\g_n) \subset \osp(\la)$, on en d�duit
que $R(\sigma_1) \in
\widetilde{OSP}(\la^h) \setminus OSP(\la^h)$.


Enfin, pour tout $a \in \ALTN$, on a $\det \rho(a) = 1$ et,
chaque permutation paire �tant produit d'un nombre pair
de transpositions cons�cutives, de $- \rho(s_i)^* = \rho(s_i)^{-1}$
on d�duit $\rho(a)^* = \rho(a)^{-1}$. Il s'ensuit que
$R(\B_n^2) \subset OSP(\la^h)$.


\subsection{Enveloppe alg�brique dans les repr�sentations irr�ductibles}

L'objet de cette section est, notant $R_{\la}$ la repr�sentation
de $\B_n$ d�duite comme pr�\-c�\-dem\-ment d'une partition propre $\la$ de
$n$, de
d�terminer l'enveloppe alg�brique des images de $\B_n$ et de ses
sous-groupes remarquables par $R_{\la}$. Rappelons que
$R_{\la}$ s'identifie � la repr�sentation de $H_n(q)$ associ�e � $\la$.


\begin{theoB}
Soit $n \geq 3$. Pour toute partition propre $\la \vdash n$, les enveloppes
alg�briques de $R_{\la}(\FN)$,
$R_{\la}(\P_n)$ et $R_{\la}(\B_n^2)$
sont �gales � un m�me groupe alg�brique connexe $G_{\la}$,
dont l'alg�bre
de Lie est l'image de $\g_n$ dans $\gl(\la)$, tensoris�e par $K$.
Suivant les valeurs de $\la$,
$G_{\la}$ et l'enveloppe alg�brique $\widetilde{G_{\la}}$
de $R_{\la}(\B_n)$ valent
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 & \gamma(\la) & \eta(\la) & G_{\la} & \widetilde{G_{\la}} & \mbox{ Exemple de tels $\la$} \\
\hline
 \la \neq \la'& \neq 0 &  & \multicolumn{2}{|c|}{GL(\la^h)} & [3,2] \\
\cline{2-6}
   & 0 & 1 &  \multicolumn{2}{|c|}{SL(\la^h)} & [6,3,2,2,2] \\
\cline{3-6}
  & &
-1 & SL(\la^h) & \widetilde{SL}(\la^h) & [9,3,3,3,3,1,1,1] \\
\cline{1-6}
  \la=\la' & & & OSP(\la^h) & \widetilde{OSP}(\la^h) & [2,2] \\
\hline   
\end{array}
$$
\end{theoB}
\begin{proof} On suppose d'abord $\gamma(\la) \neq 0$. Cela
implique $\la \in E_n$, donc $\g_{\la} = \sl(\la)$ d'apr�s
le th�or�me A. D'autre part l'action de $T_n$ est un scalaire non
nul d'apr�s le lemme \ref{lemactTN}. Comme $\g_{\la} = \sl(\la)$
on en d�duit que l'image de $\g_n$ dans $\gl(\la)$ est
�gale � $\gl(\la)$. D'apr�s le lemme \ref{lemadh} on en d�duit
$\Lie \overline{R(\P_n)} \supset \gl(\la^h)$ donc
$\overline{R(\P_n)} = GL(\la^h)$ d'apr�s le lemme \ref{leminclu}.

On suppose d�sormais $\gamma(\la) = 0$. Alors l'image de $\g_n$ dans
$\gl(\la)$ est $\g_{\la}$. Deux cas se pr�sentent.

Si $\la \in E_n$, alors $\g_{\la} = \sl(\la)$, donc $\Lie \overline{R(\P_n)}
\supset \sl(\la^h)$. Or $R(\P_n) \subset R(\B_n^2) \subset SL(\la^h)$
donc $\overline{R(\P_n)} = \overline{R(\B_n^2)} = SL(\la^h)$. Si
$\eta(\la) = -1$, alors $R(\B_n) \subset \widetilde{SL}(\la^h)$
et $R(\B_n) \not\subset SL(\la^h)$, donc $SL(\la^h) \subsetneq
\overline{R(\B_n)} \subset \widetilde{SL}(\la^h)$ et
$\overline{R(\B_n)} = \widetilde{SL}(\la^h)$ parce que $SL(\la^h)$
est d'indice 2 dans $\widetilde{SL}(\la^h)$. Si $\eta(\la) = -1$,
on a $R(\B_n) \subset SL(\la^h)$ donc $\overline{R(\B_n)} = SL(\la^h)$.

Si $\la \in F_n$, alors $\g_{\la} = \osp(\la)$, donc
$\Lie R(\P_n) \supset \osp(\la^h)$. Or $R(\B_n^2) \subset OSP(\la^h)$
donc $\overline{R(\P_n)} = OSP(\la^h)$. Puisque $R(\B_n) \subset
\widetilde{OSP}(\la^h)$ mais
$R(\B_n) \not\subset OSP(\la^h)$, on en d�duit $OSP(\la^h) \subsetneq
\overline{R(\B_n)} \subset \widetilde{OSP}(\la^h)$ et
$\overline{R(\B_n)} = \widetilde{OSP}(\la^h)$.

Dans tous les cas, les enveloppes alg�briques de $R(\P_n)$ et
$R(\B_n^2)$ sont donc �gales, et sont des groupes connexes
dont l'alg�bre de Lie est l'image de $\g_n$ dans $\gl(\la)$,
tensoris�e par $K$. Comme $\g_n$ est engendr�e par les
transpositions cons�cutives et $\overline{R(\FN)}
\subset \overline{R(\P_n)}$
on en d�duit $\overline{R(\FN)} = \overline{R(\P_n)} = \overline{R(\B_n^2)}$.
\end{proof}





\section{Enveloppe alg�brique dans $H_n(q)$}

Dans cette section, nous d�crivons l'enveloppe alg�brique
de l'image du groupe de tresses et de ses sous-groupes remarquables
dans l'alg�bre de Hecke. Plus pr�cis�ment nous
d�crivons, ce qui est �quivalent, l'enveloppe alg�brique de l'image
de ces groupes par le morphisme $\PP : K \B_n \to (K \SN)$.

Comme on a un isomorphisme naturel
$$
(K \SN)^{\times} \simeq \prod_{\la \vdash n} GL(\la^h)
$$
on identifiera un �l�ment $x \in (K \SN)^{\times}$
� la collection correspondante $(x_{\la})$ pour $\la \vdash n$,
avec $x_{\la} \in GL(\la^h)$. Nous commen�ons par
d�crire un sous-groupe alg�brique de $(K \SN)^{\times}$.

Pour ce faire, on munit comme en 5.1 chaque $\la$ d'un produit scalaire
$\SN$-invariant, que l'on �tend en une produit scalaire de $\la^h$. Un tel produit scalaire n'est bien d�fini
qu'� multiplication par un scalaire pr�s, en revanche l'adjoint
$x_{\la}^{\#}$ d'un �l�ment $x_{\la} \in GL(\la^h)$ est ne d�pend
pas du produit scalaire choisi.

On d�finit $E_n^+ = \{ \la \in E_n | \la < \la'\}$ et $E_n^- = E_n
\setminus E_n^+$. On introduit alors pour tout $\la \in E_n^+$
les morphismes de $\k$-espaces vectoriels $\la' \to \la$
d�finis en 5.1, que l'on �tend en des isomorphismes de $K$-espaces
vectoriels de $(\la')^h$ vers $\la^h$. 

On rappelle d'autre part que, en tant qu'espace vectoriel et $\SN$-module,
$\alpha_r$ s'identifie � la puissance ext�rieure $\Lambda^r \alpha$.
On en d�duit un morphisme $\Lambda^r : GL(\alpha^h) \to GL(\Lambda^r \alpha^h)
= \alpha_r^h$, d�fini par $\Lambda^r y = y \wedge \dots \wedge y$.
 
\begin{defi} Pour tout $n \geq 3$, on note $G_n(q)$
l'ensemble des $(x_{\la}) \in (K \SN)^{\times}$
qui v�rifient
\begin{enumerate}
\item $P_{\la} x_{\la'}^{-1} =  x_{\la}^{\#} P_{\la}$ pour tout $\la \in E_n^+$.
\item $x_{\la} \in OSP(\la^h)$ pour tout $\la \in F_n$.
\item $\det(x_{\la}) = x_{[n]}^{\gamma(\la)}$ pour tout $\la \vdash n$.
\item $x_{[n]}^{r-1} x_{\alpha_r} = \Lambda^r x_{\alpha}$ pour tout $r \in [1,n]$.
\end{enumerate}
\end{defi}

Pour �tudier en particulier les repr�sentations correspondant aux �querres,
nous aurons besoin d'un �nonc� plus pr�cis que le lemme \ref{isoequerres}.
On introduit, pour tout $a \in \k$, la repr�sentation $\psi_a$ de dimension 1
de l'alg�bre de Hopf $\k \SN \ltimes \U \mathcal{T}_n$
d�finie par
$$
\left\lbrace \begin{array}{lcl}
\psi_a(t_{ij}) = a & \mbox{ pour } & 1 \leq i < j \leq n \\
\psi_a(s) = 1 & \mbox{ pour } & s \in�\SN
\end{array} \right.
$$
On remarque que $\psi_a = \psi_1^{\otimes a}$ si $a \in \N$, et
$\psi_1 = \rho_{[n]}$. La d�monstration du lemme \ref{isoequerres}
montre en fait le r�sultat suivant
\begin{lemme} \label{isoequerres2} En tant que repr�sentation de
$\k \SN \ltimes \U \widehat{\mathcal{T}_n}$, on a
$\Lambda^r \alpha = \alpha_r \otimes \psi_{r-1}$.
\end{lemme}
Notant $\Psi_a = \psi_a \circ \PP$, on en d�duit imm�diatement
que, pour tout $g \in \B_n$,
$$
R_{\Lambda^r \alpha}(g) = R_{\alpha_r}(g) \Psi_{r-1}(g) = R_{\alpha_r}(g)
\Psi_1(g)^{r-1} = R_{\alpha_r}(g) R_{[n]}(g)^{r-1}
$$

\begin{lemme} \label{inclusion} $\PP(\FN) \subset \PP(\P_n) \subset \PP(\B_n^2) \subset G_n(q)$.
\end{lemme}
\begin{proof} Il suffit de montrer $\PP(\B_n^2) \subset G_n(q)$.
Pour tout $\la \vdash n$, notons $\rho_{\la}$ et $R_{\la}$
les repr�sentations de $\g_n$ et $\B_n$ associ�es.
On a �videmment $\PP(x) = (R_{\la}(x))$ pour tout $x \in \B_n$.


La premi�re �quation d�coule de ce que, notant
$\PP(\Phi_i) = \exp(\varphi_i)$ pour un certain $\varphi_i \in \g_n^h$,
et $\Phi_{i,\mu} = \exp(\rho_{\mu}(\varphi_i))$ on a,
pour tous $i \in [1,n-1]$ et $\mu \vdash n$,
$$
R_{\mu}(\sigma_i) = \Phi_{i,\mu} \rho_{\mu}(s_i) \exp( h \rho_{\mu}(s_i))
\Phi_{i,\mu}^{-1}$$
Or, d'apr�s la section 5.1, pour tout $u \in \g_n$, donc pour tout $u \in \g_n^h$,
on a $P_{\la} \rho_{\la'}(u) P_{\la}^{-1} = -\rho_{\la}(u)^{\#}$.
D'autre part, pour toute transposition $s$ de $\SN$ on a
$P_{\la} \rho_{\la'}(s) P_{\la}^{-1} = -\rho_{\la}(s)$ donc,
pour tout $g \in \ALTN$, on a $P_{\la} \rho_{\la'}(g) P_{\la}^{-1} = 
\rho_{\la}(g)$.

En particulier, pour $\la \in E_n^+$,
$$
((\Phi_{i,\la})^{-1})^{\#} = \exp(-\rho_{\la}(\varphi_i))
= \exp(P_{\la} \rho_{\la'}(\varphi_i) P_{\la}^{-1} ) = P_{\la}
\Phi_{i,\la'} P_{\la}^{-1}
$$
donc $(R_{\la}(\sigma_i)^{-1})^{\#} = -P_{\la} R_{\la'}(\sigma_i)
P_{\la}^{-1}$. On en d�duit que, pour tout $g \in \B_n^2$,
$$
R_{\la'}(g)^{-1} = P_{\la}^{-1} R_{\la}(g)^{\#} P_{\la}
$$
c'est-�-dire que $\PP(\B_n^2)$ v�rifie la premi�re �quation de d�finition
de $G_n(q)$.

Le
fait que $R_{\la}(\B_n^2) \subset OSP(\la^h)$ pour tout $\la$
tel que $\la = \la'$, donc en particulier pour tout $\la \in F_n$,
a d�j� �t� d�montr�.

Soit maintenant $g \in B_n^2$. On a $\PP(g) = \pi(g) \exp(t)$
avec $\pi(g) \in \AN$ et $t \in \g_n^h$. Le centre de $\g_n^h$
est de dimension 1, engendr� par
$$
\tilde{T} = \frac{2}{n-1} T_n = \frac{2}{n-1} \sum_{1 \leq i < j \leq n}
(i \ j)
$$
D'apr�s le lemme \ref{lemactTN}, on a $\tr \rho_{\la} ( \tilde{T} )
= \gamma(\la)$ et en particulier $\tr \rho_{[n]}(\tilde{T}) = 1$. Comme
$\g_n^h$ est r�ductive, il existe $m \in K$ et $t' \in [\g_n^h,\g_n^h]$
tels que $t = m \tilde{T} + t'$. En
particulier, $R_{[n]}(g) = \exp(m)$. De plus
$\det \rho_{\la}(\ALTN) = \{ 1 \}$, donc
$$
\det R_{\la}(g) = \exp( m \tr \rho_{\la}(\tilde{T})  ) = \exp(m \gamma(\la))
= R_{[n]}(g)^{\gamma(\la)}
$$
pour tout $g \in \B_n^2$. Enfin, la derni�re �quation est une
traduction imm�diate du fait que $R_{\Lambda^r \alpha} (g) =
R_{\alpha_r}(g) R_{[n]}(g)^{r-1}$ pour tout $g \in \B_n^2$.
\end{proof}

\begin{lemme} \label{connexite} $G_n(q)$ est un sous-groupe alg�brique connexe
de $(K \SN)^{\times}$, d'alg�bre de Lie $\mathcal{L}_n \otimes K \simeq \g_n^h$.
\end{lemme}
\begin{proof} Comme les �quations qui le d�finissent sont
polynomiales, $G_n(q)$ est ferm� dans $(K \SN)^{\times}$, qui
est d'�vidence un groupe alg�brique connexe. Il est
imm�diat qu'il s'agit d'un sous-groupe de $(K \SN)^{\times}$,
donc d'un sous-groupe alg�brique de $(K \SN)^{\times}$.
On introduit le groupe alg�brique
$$
\tilde{G}_n(q) = \left( \prod_{\la \in E_n^+} SL(\la^h) \right)
\times \left( \prod_{\la \in F_n} OSP(\la^h) \right) \times SL(\alpha^h)
\times K^{\times}
$$
Ce groupe est connexe, d'alg�bre de Lie $\mathcal{L}_n \otimes
K$. On a un morphisme naturel $\tilde{G}_n(q) \to G_n(q)$ de groupes
alg�briques, donn� par
$$
\left( (y_{\la})_{\la \in E_n^+} ,(z_{\la})_{\la \in F_n}, w,u \right) \mapsto
(x_{\la})
$$
avec
$$
x_{\la} = \left\lbrace 
\begin{array}{lcl}
y_{\la} & \mbox{ si } & \la \in E_n^+ \\
   P_{\la}^{-1}((y_{\la'})^{\#})^{-1}P_{\la} & \mbox{ si } & \la \in E_n^- \\
  z_{\la} & \mbox{ si } & \la \in F_n 
\end{array} \right.
$$
et $x_{\alpha_r} = (\Lambda^r w) u^{1-r}$. Il est clair que
cette application est un isomorphisme de groupes alg�briques,
dont la r�ciproque est simplement donn�e par 
$$
(x_{\la}) \mapsto \left( (x_{\la})_{\la \in E_n^+},
(x_{\la})_{\la \in F_n}, x_{\alpha}, x_{[n]} \right)
$$
d'o� l'on d�duit que $G_n(q)$ est connexe d'alg�bre de Lie $\mathcal{L}_n
\otimes K$.
\end{proof}

\begin{theoC}
Pour tout $n \geq 3$, les images des sous-groupes $\FN$, $\P_n$ et $\B_n^2$
du groupe de tresses $\B_n$ dans $H_n(q)$ ont m�me enveloppe
alg�brique $G_n(q)$. Ce groupe alg�brique est connexe, d'alg�bre
de Lie $\g_n^h$, et est d'indice 2 dans l'enveloppe alg�brique de
l'image de $\B_n$.
\end{theoC}
\begin{proof}
D'apr�s les deux lemmes pr�c�dents,
l'adh�rence Zariski $\overline{\PP(\FN)}$ de $\PP(\FN)$ est un
sous-groupe alg�brique du groupe alg�brique connexe $G_n(q)$.
On a d'autre part
$$
\g_n^h \subset \Lie \overline{\PP(\FN)} \subset \Lie G_n(q) = \mathcal{L}_n
\otimes K.
$$
En effet, $\overline{\PP(\FN)} \subset G_n(q)$ d'apr�s le lemme
\ref{inclusion}, et $\Lie \overline{\PP(\FN)}$ contient l'image
de $\mathcal{F}_n$ par le morphisme naturel $\mathcal{T}_n \to
\g_n$, tensoris�e par $K$. Comme, d'apr�s le lemme \ref{gentransp},
cette image est $\g_n$, on a bien $\g_n^h \subset \Lie \overline{\PP(\FN)}$.
Enfin, $\Lie G_n(q) = \mathcal{L}_n
\otimes K$ d�coule du lemme \ref{connexite}.
 


On a donc $\Lie \overline{\PP(\FN)} =
\Lie G_n(q)$ puisque $\g_n^h \simeq \mathcal{L}_n \otimes K$ d'apr�s
le th�or�me A. On d�duit alors du lemme \ref{leminclu} et de la connexit� de
$G_n(q)$ que $\overline{\PP(\FN)} = G_n(q)$, donc
$\overline{\PP(\FN)} = \overline{\PP(\P_n)} = \overline{\PP(\B_n^2)}
= G_n(q)$ d'apr�s le lemme \ref{inclusion}.

On a $\B_n = \B_n^2 \sqcup \sigma_1 \B_n^2$, et
$\PP(\sigma_1) \not\in \overline{\PP(\B_n^2)}$ car pour tout $n \geq 3$
il existe $\la_0 \vdash n$ tel que $\la_0 = \la_0'$. En effet,
si $n = 2p+1$ est impair on peut choisir $\la_0 = [p+1,p]$ et
si $n=2p$ est pair avec $p \geq 2$ on peut choisir $\la_0 = [p,2,p-2]$.
On en d�duit $R_{\la_0}(\sigma_1) \not\in OSP(\la^h)$ d'apr�s le tableau
\ref{tableinc},
alors que $\overline{R_{\la_0}(\B_n^2)}$, projection de
$\overline{\PP(\B_n^2)}$ sur $GL(\la_0^h)$, est incluse dans $OSP(\la^h)$.

Introduisant le groupe alg�brique $\tilde{G}_n(q) = G_n(q) \sqcup
\PP(\sigma_1) G_n(q)$ on en d�duit que $\overline{\PP(\B_n)}=
\tilde{G}_n(q) \neq G_n(q)$, et que $\overline{\PP(\B_n)}$
contient bien $G_n(q)$ comme sous-groupe connexe d'indice 2.
\end{proof}




\begin{thebibliography}{99}
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       quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with        
       ${\rm Gal}(\Q/\Q)$} Algebra i Analiz 2 (1990), no. 4,   
       149--181; traduction anglaise dans Leningrad Math. J. 2 (1991), no. 4, 829--860.
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under the action of the symmetric group},
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de tresses}, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 53 (2003), no. 5, 1323--1364.
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C. R. Math. Acad. Sci. Paris 337 (2003), no. 5, 297--302.
\bibitem[Ma05]{ASSOC} I. Marin, {\it On the representation theory
of braid groups}, pr�publication \verb+arXiv:math.RT/0502118+.
\end{thebibliography}
\end{document}
math0502119.extracted_bib
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