Sur la forme de la boule unit� de la norme stable unidimensionnelle
Pour un poly�dre riemannien, nous �tudions les formes apparaissant comme boule unit� de la norme stable unidimensionnelle (boule stable). Dans le cas d'un poly�dre riemannien unidimensionnel (graphe), nous montrons que la boule stable est un polytope dont les sommets sont compl�tement d�crits par la combinatoire du graphe. Nous �tudions ensuite les formes r�alisables comme boule stable de vari�t�s riemanniennes de dimension plus grande que trois. Nous montrons que, pour une vari�t� riemannienne $(M,g)$ fix�e, une large classe de polytopes peut appara�tre comme boule stable d'une m�trique dans la classe conforme de $g$. Nous utilisons pour cela une technique poly�drale.
Stable10.tex
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\def\epsilon{\varepsilon}
\def\R{{\mathbb R}} 
\def\C{{\mathbb C}} 
\def\Z{{\mathbb Z}} 
\def\Q{{\mathbb Q}} 
\def\N{{\mathbb N}}
\def\v{\text{vol}}
\def\l{\text{long}}
\def\ga{{\gamma}} 
\def\del{{\delta}}
\def\si{{\sigma}} 
\def\Si{{\Sigma}} 
\def\t{{\tau}} 
\def\E{{\mathbb E}} 
\def\G{{\cal G}} 
\def\A{{\cal A}} 
\def\F{{\cal F}} 
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\def\s{\text{ sys}}
\def\epsilon{{\varepsilon}} 
\def\g{{\tilde{g}}} 
\def\h{{\widehat{h}}} 
\def\v{{\bf v}} 
\def\B{{\cal B}_{st}} 
\def\T{{\mathbb T}} 
\def\J{{\cal J}} 





\title{Sur la forme de la boule unit� de la norme stable unidimensionnelle}
\author{Ivan BABENKO \footnote{{UMR 5149, Institut de Math\'ematiques et de Mod�lisation
de  Montpellier, Universit\'e Montpellier II Case Courrier 051 - Place Eug\`ene Bataillon 34095
  Montpellier CEDEX 5, France e-mail: babenko@math.univ-montp2.fr}},
 Florent BALACHEFF\footnote{UMR 5149, Institut de Math\'ematiques et de Mod�lisation
de  Montpellier, Universit\'e Montpellier II  Case Courrier 051 - Place Eug\`ene Bataillon 34095
  Montpellier CEDEX 5, France e-mail: balachef@math.univ-montp2.fr}} 

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}

Pour un poly�dre riemannien, nous �tudions les formes apparaissant comme boule unit� de la norme stable
unidimensionnelle (boule stable). Dans le cas d'un poly�dre riemannien unidimensionnel (graphe), nous montrons que la boule stable est un polytope dont les sommets
sont compl�tement d�crits par la combinatoire du graphe. Nous �tudions ensuite les formes r�alisables comme boule stable de vari�t�s riemanniennes de dimension plus grande que trois. Nous montrons
que, pour une vari�t� riemannienne $(M,g)$ fix�e, une large classe de polytopes
peut appara�tre comme boule stable d'une m�trique dans la classe conforme de
$g$. Nous utilisons pour cela une technique poly�drale. 


\end{abstract}

\bigskip
\noindent {\it Mathematics Subject Classification (2000) :} 05C38, 52B05, 53C20, 53C23.

\noindent {\it Mots clefs :} vari�t� riemannienne, poly\`edre riemannien,
norme stable, boule unit�. 
\bigskip

\section{Introduction}

\subsection{Enonc� des r�sultats}

Pour un poly\`edre fini riemannien $(M,g)$ de classe $C^0$, 
l'homologie r�elle poss�de une norme naturelle appel�e {\it masse} 
ou {\it norme stable} (voir \cite{fede}, \cite {GLP}). Cette norme 
est particuli�rement int�ressante pour l'homologie de dimension $1$ :
 elle contr�le le comportement � l'infini de la g�om�trie relev�e sur 
le rev�tement homologique correspondant. Nous rappelons ici la plus 
g�om�trique des d�finitions en renvoyant le lecteur � \cite{fede} 
pour les diff�rentes approches et 
la d�monstration des �quivalences entre celles-ci.

\begin{definition}
Soit $v \in H_1(M,\R)$ une classe enti�re. On pose
$$
\|v\|_{g}=\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{L_g(\gamma_n)}{n}, 
$$
o� $\gamma_n$ est la plus petite courbe ferm�e r�alisant 
la classe $n.v$ et $L_g$ d�signe la longueur respectivement � $g$.
Cela d�finit par continuit� une norme sur $H_1(M,\R)$ 
appel�e {\it norme stable}. On pose alors :
$$
\B(g)=\{u \in H_1(M,\R) \mid \|u\|_g\leq 1\}.
$$

\end{definition}

Un point $s$ de $H_1(M,\R)$ est dit {\it de direction rationnel} 
si il existe une classe enti�re $v$ telle que 
$s \in <v>$ la droite engendr�e par $v$. 
Dans le cas contraire, le point est dit {\it de direction irrationnelle}.

Les vari\'et\'es riemanniennes et les poly�dres unidimensionnels (ou graphes) constituent deux sous-classes naturelles de poly\`edres riemanniens pour lesquelles nous allons \'etudier les formes r�alisables comme boule unit\'e de la norme stable associ�e � une m�trique.  


Nous commen\c cons par �tudier la classe des graphes finis. La m\'etrique naturelle d'un graphe pond\'er\'e est celle induite par la m�trique
sur ses ar\^etes vues comme intervalles de longueur donn�e par le poids.
Comme nous le d�montrons dans la section 2.1, la boule unit\'e
de la norme stable d'un graphe pond�r� est toujours un polytope. On peut d\'ecrire compl�tement 
la forme de ce polytope en terme de la combinatoire du graphe.
Pour cela, �tant donn� un graphe $G$, un chemin ferm\'e orient� parcourant tous ses sommets
une seule fois est dit {\it circuit simple orient�}. Deux circuits simples qui co\"incident g�om�triquement et sont de m�me orientation, mais qui diff�rent par leur point initial sont identifi�s. On consid\`ere l'espace vectoriel 
${\cal{C}}(G,\R)$ engendr\'e par les ar�tes de $G$ apr�s le choix d'une orientation arbitraire. 
A chaque circuit simple orient� est associ� un vecteur de ${\cal{C}}(G,\R)$ - la somme (avec les signes n\'ecessaires) des ar\^etes formant ce circuit.
Les vecteurs ainsi construits sont de nouveau appel�s circuits simples orient�s. Notons qu'� un circuit g�om�trique simple correspond deux circuits simples orient�s.

\vskip7pt
\noindent
{\bf Th\'eor\`eme {\bf A}}  {\it Soit $(G,w)$ un graphe pond�r�. On note
$\{C_j\}_{j \in J}$ l'ensemble de ses circuits simples orient\'es.


Alors la boule unit\'e de la norme stable pour la m�trique $w$ dans $H_1(G, \R)$
co\"{\i}ncide avec l'enveloppe convexe dans ${\cal{C}}(G,\R)$ 
des vecteurs $\{C_j/\|C_j\|_w \}_{j \in J}$.}
 
\vskip7pt

A premier nombre de Betti $b$ fix�, le nombre de circuits simples orient�s d'un graphe admet une majoration �vidente : 

\vskip7pt
\noindent
{\bf Corollaire {\bf A}}  {\it Soit $(G,w)$ un graphe pond�r� 
de premier nombre de Betti $b$.  
Alors la boule unit\'e de sa norme stable est un
polytope $b$-dimensionnel dont le nombre de sommets est major� par $2(2^b - 1)$.}

\vskip7pt


Etant fix�e une vari�t� ferm�e $M$, nous allons nous int�resser 
maintenant aux  normes  qui peuvent �tre r�alis�es comme norme stable 
d'une m�trique lisse ({\it i.e} de classe $C^\infty$).

\vskip7pt
\noindent
{\bf Th\'eor\`eme {\bf B}}  {\it Soit $(M, g)$ une vari�t� ferm�e riemannienne lisse  de 
dimension $m \geq 3$ et de premier nombre de Betti ${b \geq 1}$ .
On consid\`ere  un polytope fini convexe $K$ de 
$H_1(M, {\R})$, � sym�trie centrale, tel que son int\'erieur soit non vide
et les directions de ses sommets  soient rationnelles.
Alors il existe une m\'etrique $g'$ lisse sur $M$ conforme \`a $g$
telle que}
$$ \B(g') = K. $$
\vskip7pt

On en d�duit imm�diatement le corollaire suivant :

\vskip7pt
\noindent
{\bf Corollaire {\bf B}}  {\it Soient $(M, g)$ une vari\'et\'e riemannienne de 
dimension $m \geq 3$ et de premier nombre de Betti $b\geq 1$ et
$\| \cdot \|$ une norme sur l'espace vectoriel $H_1(M, \R)$. 
Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une m\'etrique 
$g(\varepsilon)$ conforme \`a $g$ telle que}
$$ 
\| \cdot \| \leq \| \cdot \|_{g(\varepsilon)}
\leq  (1 + \varepsilon)\| \cdot \| .
$$

\subsection{Historique}

Nous r�capitulons ici l'ensemble des r�sultats traitant de la question suivante : 
�tant fix�e une vari�t� $M$, quelles normes peuvent �tre r�alis�es 
comme norme stable associ�e � une m�trique $g$ ?

\bigskip
\noindent {\bf Cas du tore bidimensionnel}. 
M.Morse \cite{mors} a tout d'abord remarqu�  que la norme stable 
du tore bidimensionnel $\T^2$ associ�e � une m�trique lisse est 
strictement convexe. V. Bangert \cite{bang2} a ensuite montr� le r�sultat suivant :
\begin{theorem}
Soit $(\T^2,g)$ un tore riemannien lisse. La norme stable est \linebreak 
diff�rentiable dans les points de direction irrationnelle et 
est diff�rentiable dans les points de direction rationnelle 
si et seulement si le tore est feuillett� par les g�od�siques 
minimisantes repr�sentant l'�l�ment correspondant de $H_1(\T^2,\Z)$.
\end{theorem}


\bigskip
\noindent {\bf Cas des surfaces}.  On note $\Sigma_h$ la surface ferm�e
orientable de genre $h$. On se fixe une m�trique $g$ lisse. 
Un {\it sous-espace affine support} de $\B(g)$ est 
un sous-espace affine $H$ tel que $H \cap \B(g) = H \cap \partial \B(g)$. 
On dit d'un sous-ensemble $F$  de $\partial \B(g)$ qu'elle est une {\it face plate} 
si il existe un sous-espace affine support $H$ tel que $F=H \cap \partial \B(g)$. 
La dimension de $F$ est alors d�finie comme la dimension de l'espace affine $A$ qu'elle engendre et l'int�rieur de $F$ est son int�rieur dans $A$.
Enfin une face plate est {\it rationnelle} si elle co\"incide avec 
l'enveloppe convexe de points de $\partial \B(g)$ de direction rationnelle. 
Dans \cite{mass}, D.Massart montre que l'ensemble des faces contenant 
un point de $\partial \B(g)$ dans leur int�rieur peut �tre ordonn� 
par inclusion et admet un maximum unique. 
Il montre �galement le r�sultat suivant :

\begin{theorem}
Soit $g$ une m�trique lisse sur $\Sigma_h$ avec $h\geq 2$. 

\noindent 1. La dimension d'une face plate est major�e par $h-1$. 

\noindent 2. Tout point de direction rationnelle est contenu dans 
une face plate rationnelle de dimension $h-1$.


\noindent 3. En un point $v$ de $\partial \B(g)$ de direction rationnelle, 
la norme stable est diff�rentiable seulement dans les directions tangentes 
� $F$, o� $F$ est la face plate rationnelle maximale 
contenant $v$ dans son int�rieur.
\end{theorem} 

On en d�duit imm�diatement que la norme stable d'une surface 
$(\Sigma_h,g)$ de genre $h \geq 2$ n'est donc ni lisse, ni strictement 
convexe, ni d�finie par un polytope. Remarquons �galement qu'il existe 
une infinit� de points expos�s de direction rationnelle pour de telles 
surfaces (un point est dit {\it expos�} si la face rationnelle maximale 
le contenant dans son int�rieur est r�duite � ce point) (voir \cite{mass2}).

\medskip

Dans \cite{mass3}, D.Massart relie la d�rivabilit� de la norme stable 
en une classe d�homologie au degr� d'irrationalit� de cette classe. 
Plus pr�cis�ment, une classe d�homologie $v$ est dite {\it $k$-irrationnelle} 
si $k$ est la dimension du plus petit sous-espace de $H_1(\Sigma_h,\R)$ 
engendr� par des classes enti�res et contenant $v$. 

\begin{theorem}
Soit $g$ une m�trique lisse sur $\Sigma_h$ avec $h\geq 1$. 
En une classe $v$ d'homologie $k$-irrationnelle, 
la norme stable est diff�rentiable dans au moins 
$k-1$ directions non radiales.
\end{theorem} 



\bigskip
\noindent {\bf Cas des dimensions sup�rieures}. 
G.A.Hedlund a construit pour le tore de dimension 3 une m�trique Riemannienne \cite{hedl} pour laquelle la norme stable est donn�e par un octa�dre r�gulier. Cet exemple est fondamental, puisqu'il montre que la situation en dimension plus grande que 3 est radicalement diff�rente de celle en dimension 2 : les polytopes peuvent appara�tre comme boule unit� d'une norme stable associ�e � une m�trique.

\medskip


D'autre part, D.Burago, S.Ivanov et B.Kleiner \cite{buivkl} ont d�montr� le r�sultat suivant, qui g�n�ralise le r�sultat de V.Bangert :

\begin{theorem}
Soit $(\T^n,g)$ un tore riemannien de classe $C^3$ de dimension 
$n\geq 2$. Soit $v$ un point de direction irrationnelle. 
Alors la norme stable est diff�rentiable en $v$ dans 
au moins une direction non radiale.
\end{theorem} 

Dans ce m�me papier, les auteurs montrent que, 
pour tout entier $k$, il existe un entier $n$ 
et une m�trique de classe $C^k$ sur $\T^n$ 
telle que pour presque tous les points de 
direction irrationnelle $v$, la norme stable 
soit non diff�rentiable en $v$. Cela montre 
qu'une g�n�ralisation compl�te du th�or�me de 
V.Bangert concernant les directions irrationnelles est impossible.

\bigskip

Les auteurs expriment leurs remerciements � D.Massart pour d'instructives et de stimulantes conversations.


\bigskip

Le papier est organis� de la mani�re suivante : les sections 2 et 3 correspondent respectivement aux d�monstrations des th�or�mes {\bf A} et {\bf B}. 

  


\section{Norme stable des graphes}

\subsection{Rappels sur les graphes}



Commen\c cons par quelques d�finitions. 
Un {\it graphe pond\'er\'e} est une paire $(G,w)$ o\`u $G=(V,E)$ 
est un multigraphe fini connexe non orient� et $w$ 
est une {\it fonction poids} sur les ar\^etes 
$w:E \rightarrow \mathbb R_+$. 
Un multigraphe d�signe un graphe dans lequel 
on autorise les ar�tes multiples et les boucles. 
On appelle $w(e)$ le {\it poids} d'une ar\^ete. 
Tout graphe est naturellement identifi\'e \`a 
un graphe pond\'er\'e dans lequel le poids 
de chaque ar\^ete vaut 1. 

\medskip

On se fixe pour la suite un graphe pond�r� $(G,w)$ 
de premier nombre de Betti $b$. On choisit pour chaque ar�te une orientation arbitraire, notons ces ar�tes $\{e_i\}_{i=1}^k$. L'espace vectoriel ${\cal{C}}(G,\R)$ engendr� par les ar�tes orient�es $\{e_i\}_{i=1}^k$ co\"incide avec l'espace des cha�nes simpliciales du complexe simplicial $G$ :
$$
{\cal{C}}(G,\R) =\{ \sum_{i=1}^k a_i.e_i \mid  a_i \in \R \text{ pour } i=1, \ldots, k\}.
$$
Comme les graphes n'ont pas de cellule pour 
les dimensions plus grandes que $2$, 
l'homologie de $G$ de dimension $1$ � coefficients r�els 
$H_1(G,\R)$ est plong�e naturellement dans 
${\cal{C}}(G)$ 
comme un sous-espace vectoriel de dimension $b$. 
L'homologie de $G$ de dimension $1$ � coefficients 
entiers $H_1(G,\Z)$, en l'absence de torsion dans ce 
cadre unidimensionnel, constitue un r�seau du sous-espace 
$H_1(G,\R)$ (comparer avec \cite{bacharnag}).



\medskip

 Pour $u=\sum_{i=1}^k u_i.e_i \in {\cal{C}}(G,\R)$, on note 
$$| u |_{w,1}=\sum_{i=1}^k w_i |u_i|, \eqno (2.1)
$$
o� $w_i=w(e_i)$ pour $i=1,\ldots,k$. On voit facilement que cette norme co\"incide avec 
la norme stable $\| \cdot \|_w$ sur $H_1(G,\R)$. En effet, la norme stable de $v \in H_1(G,\R)$ est donn�e par la formule
$$
\|v\|_{w} = \inf \{\sum_{i=1}^s |\alpha_i| w(\sigma_i) \mid v = \sum _{i=1}^s \alpha_i [\sigma_i] , \alpha_i \in \R \text{ et } \sigma_i \in E \}.
$$
Cette d�finition est �quivalente � la d�finition 1 (voir \cite{fede}).



La boule stable $\B(G, w)$ 
est donc l'intersection 
de la boule unit� de la norme $| \cdot |_{w,1}$ 
dans l'espace des ar�tes ${\cal{C}} (G,\R)$ avec le sous-espace vectoriel 
de dimension $b$ image par le plongement naturel 
de l'homologie r�elle de $G$ de dimension $1$. 


\subsection{D�monstration du th�or�me A}

La d\'emonstration du th\'eor\`eme {\bf A} est une cons\'equence
imm\'ediate des lemmes suivants.

\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme A1} {\it Tout circuit simple orient� de $G$, identifi� au
vecteur correspondant de ${\cal{C}}(G,\R)$, est proportionnel � un sommet de $\B(G, w)$. Le facteur de proportionnalit� est exactement la longueur de ce circuit.}
\vskip7pt

\noindent 
{\bf D\'emonstration.} Notons $B_{w,1}$ la boule unit\'e pour la
norme (2.1) dans ${\cal{C}}(G,\R)$. Comme
$$
 \B(G, w) = B_{w,1} \bigcap H_1(G,\R),
 $$
 les sommets de $\B(G, w)$   
sont donn�s par les points d'intersection de $H_1(G,\R)$ avec l'int�rieur des
faces de $B_{w,1}$ de codimension plus grande ou \'egale \`a $b$ dans le cas o� cette intersection est r�duite � un point.
Pour $C$ un circuit simple orient�, on note 
$$
C = \mathop{\sum} \limits_{i \in I(C)}
\varepsilon_i e_i  \eqno (2.2) 
$$
son d\'eveloppement dans la base des ar\^etes $\{e_i\}_{i=1}^k$ (ici, $\varepsilon_i = \pm 1$). Il est \'evident que le nombre 
$|I(C)|$ des ar\^etes dans (2.2) n'exc\`ede pas $k - b + 1$.
On consid\`ere la face $|I(C)|-1$ dimensionnelle $F(C)$ de $B_{w,1}$ contenant les vecteurs
$$ 
{\varepsilon_i \over w(e_i)}e_i , \hskip5pt i \in I(C) .
$$
On voit facilement que 
$$ 
X= {1\over \|C\|_w} C = {1 \over \mathop{\sum}\limits_{i \in I(C)} w(e_i)}
\mathop{\sum}\limits_{i \in I(C)} \varepsilon_i e_i   
$$
est un point de $\mbox{int} (conv(\{{\varepsilon_i \over w(e_i)}e_i, i \in I(C)\}))
$ o� $conv (A)$ d�signe l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points $A$ et $\mbox{int} (B)$ d�signe l'int�rieur d'un ensemble $B$.


On montre alors que l'intersection 
$H_1(G,\R) \bigcap \mbox{int}(F(C))$ est r�duite � ce point. En effet, si $v$ est un autre point de $H_1(G,\R) \bigcap \mbox{int}(F(C))$,  les points $v$ et $X$ d�finissent un segment contenu dans l'intersection. Ceci implique qu'il existe des points d'intersection entre $H_1(G,\R)$ et $F(C)$ dans un voisinage arbitraire de $X$. Autrement dit, il existe des points d'intersection (diff�rents de $X$) appartenant � l'enveloppe convexe des $\{{\varepsilon_i \over w(e_i)}e_i, i \in I(C)\}$. Si $u$ est un tel point, on  peut �crire $u$ comme une combinaison lin�aire des $\{{\varepsilon_i \over w(e_i)}e_i, i \in I(C)\}$ dont les coefficents sont tous non nuls :
$$
u=\sum_{i \in I(C)} \alpha_i {\varepsilon_i \over w(e_i)}e_i.
$$
 On compl�te alors le vecteur $C$ en une base de $H_1(G,\R)$ form�e de circuits simples $\{C_1=C,C_2,\ldots,C_b\}$ de sorte que, pour chaque $i$ dans $\{1,\ldots,b\}$, il existe une ar�te $f_i$ contenue dans $C_i$ et n'appartenant pas aux $C_j$ pour $j\neq i$. L'analyse de la d�composition du vecteur $u$ dans cette base nous montre que le vecteur $u$ est n�cessairement proportionnel � $C$. D'o� une contradiction.

Maintenant, comme $\mbox{dim} (F(C)) \leq k - b $, le vecteur $C/ \|C\|_w$ est bien un sommet de $\B(G, w)$. Ceci ach\`eve la d\'emonstration.   \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\

\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme A2} {\it Soient $C_1$ et $C_2$ deux circuits simples orient�s. 
Alors il existe des circuits simples orient�s
$\{D_j\}_{j \in J}$ (non uniquement d\'efinis) pour lesquels chaque
ar\^ete n'est parcourue que dans un seul sens et tels que dans  $H_1(G,\R)$ :}
$$[ C_1 + C_2] = \mathop{\sum}\limits_{j \in J} [D_j].$$
\vskip7pt


\noindent 
{\bf D\'emonstration.} On note $\{e_i\}_{i \in I}$  les ar\^etes de $G$ figurant
dans $C_1$ et $C_2$ avec des directions oppos\'ees. On \^ote les ar\^etes 
$\{e_i\}_{i \in I}$ de la reunion $C_1 \bigcup C_2$.
Notons $C$ la courbe obtenue. Elle poss\`ede une orientation
induite par celles de  $C_1$ et de $C_2$. En suivant cette orientation,
$C$ se s�pare naturellement en quelques courbes ferm\'ees et
orient\'ees $\{P_l\}_{l \in L}$. Cette repr\'esentation
pr�serve la classe d'homologie :  
  $$
[C_1 + C_2] =  \mathop{\sum}\limits_{l \in L} [P_l] .   
$$
Chaque courbe $P_l$ n'est pas, en g\'en\'eral, un circuit
simple car elle peut avoir des auto-intersections : des sommets,
ou bien des ar\^etes parcourues plusieurs fois dans la m\^eme 
direction. On part d'un point d'auto-intersection et on parcourt $P_l$ en suivant l'orientation. En revenant au point de
d�part pour la premi\`ere fois, nous coupons $P_l$ en deux
courbes ferm\'ees et orient\'ees. Chacune de ces deux nouvelles 
courbes a moins d'auto-intersections que la courbe initiale
$P_l$. En r\'ep\'etant suffisamment ce proc\'ed\'e, nous
obtenons un certain nombre de circuits simples qui engendrent
la classe $[P_l]$. On applique ce proc\'ed� pour chaque $P_l , \hskip5pt l \in L$. L'ensemble des circuits simples
obtenus est not� $\{D_j\}_{j \in J}$. Pour achever la d\'emonstration, il reste \`a remarquer que, par construction, les circuits simples orient�s construits n'ont pas d'ar\^ete commune parcourue dans des directions oppos\'ees.  \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\





\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme A3} {\it Pour chaque classe enti\`ere $a \in H_1(G,\Z)$,
il existe des circuits simples $\{C_s\}_{s \in S}$ (non uniquement
d\'efinis) tels que }
$$ a = \mathop{\sum}\limits_{s \in S}[C_s] \hskip5pt \mbox{ et }
\hskip5pt \|a\|_w = \mathop{\sum}\limits_{s \in S} \|C_s\|_w .$$
\vskip7pt

\noindent 
{\bf D\'emonstration.} Comme les circuits simples orient�s engendrent
 $ H_1(G,\Z)$, nous pouvons pr�senter une classe fix�e  $a \in H_1(G,\Z)$ comme une somme de circuits simples orient�s :
$$ 
a = \mathop{\sum}\limits_{r \in R}[D_r] . \eqno(2.3) 
$$
Remarquons que la repr\'esentation (2.3) n'est pas uniquement d\'efinie
et que certains circuits figurent, en g\'en\'eral, plusieurs fois 
dans cette somme. En appliquant syst\'ematiquement le lemme {\bf A2} sur
chaque paire de circuits $(D_{r_1},D_{r_2})$ ayant des ar\^etes
en commun parcourues dans des directions oppos\'ees, nous arrivons
au bout de ce proc\'ed\'e it�ratif sur une  nouvelle repr�sentation par des circuits
$\{C_s\}_{s \in S}$ v\'erifiant le lemme. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\



\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme A4} {\it Soit  $(G,w)$ un graphe pond\'er\'e dont la
fonction poids $w$ est � valeurs rationnelles.
Alors chaque sommet de  $\B(G, w)$ est proportionnel \`a
un circuit simple orient� de $G$. }
\vskip7pt
\noindent 
{\bf D\'emonstration.} On consid\`ere un sommet $X$ de $\B(G, w)$.
On sait que c'est l'unique point d'intersection de $H_1(G,\R)$ et
d'une face de  $B_{w,1}$ de codimension plus grande ou \'egale \`a
$b$. Comme les poids $\{w(e_i) ,\hskip5pt 1 \leq i \leq k\}$ sont rationnels,
les coordonn\'ees des sommets de $B_{w,1}$ sont rationnelles.
Le sous-espace $H_1(G,\R)$ est engendr\'e par des vecteurs dont les coordonn\'ees
sont enti\`eres. Ceci implique que les coordonn\'ees de $X$ sont rationnelles.
On constate donc que $X = \lambda a$, o\`u $a \in H_1(G,\Z)$ est un vecteur
indivisible et $\lambda$ est un facteur rationnel positif. On a \'egalement
$$ 1 = \|X\|_w = \lambda \|a\|_w  . \eqno (2.4) $$   
D\'ecomposons $a$ en circuits simples orient�s selon le lemme {\bf A3} :
$$ a = \mathop{\sum}\limits_{s \in S}[C_s]. $$
On tire alors du lemme {\bf A3} et de (2.4) l'\'egalit\'e suivante :
$$ X = {1 \over \mathop{\sum}\limits_{s \in S} \|C_s\|_w }
\mathop{\sum}\limits_{s \in S} \Biggl{(} \|C_s\|_w \Biggl{(} {1 \over \|C_s\|_w } 
[C_s].   \Biggr{)} \Biggr{)}  \eqno (2.5)$$
D'apr\`es le lemme {\bf A1}, les vecteurs $[C_s]/\|C_s\|_w$ pour $s \in S$ sont des sommets de $\B(G, w)$ et (2.5) implique \`a son tour que
$X$ est un point de l'int�rieur de l'enveloppe convexe de ces points. Comme $X$
est un sommet, on obtient donc que $S$ contient un seul circuit (la r\'ep\'etition
d'un unique circuit n'�tant pas possible, puisque $a$ a \'et\'e choisi indivisible).
La d\'emonstration est ach\'ev\'ee. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\


Les lemmes {\bf A1} et {\bf A4} impliquent le th\'eor\`eme {\bf A} pour 
tout graphe pond\'er\'e dont la fonction poids est \`a valeurs rationnelles.
D'autre part, ces lemmes montrent \'egalement que les directions des sommets
de $\B(G, w)$ ($w$ �tant \`a valeurs rationnelles)
sont uniquement d\'efinies et ne d\'ependent que des circuit simples. 
Ceci, par continuit\'e, implique le r\'esultat pour des poids quelconques. 



\section{Polytope et classe conforme}


La d\'emonstration du th\'eor\`eme va d�couler de plusieurs
propositions techniques. On travaille dans la classe des m�triques simpliciales. Ce sont des m�triques lisses sur chaque simplexe d'une triangulation lisse avec une condition naturelle de co\"incidence sur les faces communes. Pour plus de d�tails, le lecteur pourra consulter \cite{babe}. 


\subsection{Pr�paratifs}

\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme B1} {\it  Soient $(X_i, h_i) , \hskip5pt i= 1,2$
deux vari�t�s munies de m�triques simpliciales et $f: X_1 \longrightarrow X_2$
une application simpliciale contractant les distances. On note $f_*$ l'application induite sur les homologies r\'eelles unidimensionnelles.
Alors
$$ f_*(\B(h_1)) \subset \B(h_2) . $$}
\vskip7pt


\noindent {\bf D\'emonstration.} Soit ${\bf a}$ un �l�ment de $H_1(X_1, \Z)$ et supposons que $\gamma_n$ soit une courbe ferm�e lisse par morceaux r�alisant la classe 
$n{\bf  a}$. Comme f contracte les distances, on a
$ l_{h_1}(\gamma_n) \geq l_{h_2}(f(\gamma_{n})) $, ce qui implique que 
$$\|{\bf a}\|_{h_1} \geq  
 \|f_*({\bf a})\|_{h_2} . \eqno(3.1)  $$
Par continuit� de la norme, l'in�galit� (3.1) est valable pour toute classe r�elle. On en d�duit le r�sultat. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\

\bigskip

On note $\{s_1,\ldots,s_k\}$ un sous-ensemble de sommets de $K$ tels que $$
K=conv_s\{s_1,\ldots,s_k\}
$$
 o� $conv_s$ d�signe l'enveloppe convexe du sym�tris� d'un ensemble. Les sommets de $K$ �tant rationnels, on peut trouver  pour tout $i=1\ldots k$ un nombre $l_i>0$ tel que
$$
s_i=l_i.\v_i,
$$
o\`u $\v_i$ est un vecteur entier indivisible.
On se fixe $k$ courbes de $M$ lisses, disjointes, ferm�es et simples not�es $\gamma_1,\ldots,\gamma_k$ telles que $[\gamma_i]=\v_i$ pour $i=1,\ldots,k$. On les suppose param�tris�es par longueur d'arc respectivement � la m�trique donn�e $g$.




\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme B2} {\it Dans $(M,g)$, il existe $k$ voisinages tubulaires disjoints $\{U_i\}_{i=1}^k$
des courbes  $\{\gamma_i\}_{i=1}^k$ et une m\'etrique $g_1$ lisse conforme 
\`a $g$ tels que 

\noindent
1. $l_{g_1}(\gamma_i) = l_i^{-1} , \hskip5pt 1 \leq i \leq k$ ;

\noindent
2. les $U_i$ sont fibr\'es par des disques $g_1$-orthogonaux \`a $\gamma_i$
et les projections \linebreak $p_i: U_i \longrightarrow \gamma_i$
le long de ces disques contractent les $g_1$-distances.}
\vskip7pt

\noindent
{\bf D\'emonstration.} On se fixe $\varepsilon > 0$ suffisamment petit pour que les $\varepsilon$-voisinages tubulaires des
courbes $\gamma_i$ respectivement � la m�trique $g$ soient disjoints et qu'ils soient fibr\'es par des disques
$g$-g\'eodesiques orthogonaux aux $\gamma_i$. Notons $U_i$ ces voisinages tubulaires. On choisit une fonction $\lambda$ 
strictement positive sur $M$ qui soit constante �gale � $l_i . l_g(\gamma_i)^{-1} $
sur $U_i$. La metrique $\widehat{g} = {\lambda}^2g$
v\'erifie la propri�t� 1. et les disques fibrant $U_i$ sont toujours 
g\'eodesiques et ortogonaux aux $\gamma_i$ pour la m�trique $\widehat{g}$.
Puisque  $\widehat{g}$ est conforme \`a $g$, et pour simplifier nos
futures notations, nous pouvons supposer que la m\'etrique de d�part
v\'erifie la propri\'et\'e 1.

Soit $p_i: U_i \longrightarrow \gamma_i$ le fibr\'e normale de $\gamma_i$.
On consid\`ere un syst\`eme de coordonn\'ees semi-g\'eodesique
sur $U_i$ :
$$(s,x_2,x_3, ... ,x_m), \eqno(3.2) $$
ou $s=x_1$ est le param\'etre 
naturel le long de $\gamma_i$ et les $(x_2,x_3, ... ,x_m)=\overline{x}$ sont les coordonn\'ees
g�od�siques sur les disques ortogonaux. Ce syst\`eme est bien d\'efini
sur chaque ouvert du type $p_i^{-1}([s-\delta, s+\delta] $ pour $\delta > 0$ suffisamment petit. Pour $q=(s,\overline{x}) \in U_i$, notons �galement ${\bf r}(q) = \mbox{dist}(q, \gamma_i)$. Alors ${\bf r}^2$ 
est une fonction lisse d�finie sur $U_i$.
Soient $\{g_{kl}(s,\overline{x})\}^m_{k,l = 1}$ les 
coefficients de $g$ dans (3.2). Nous avons par construction 
$$  g_{11}(s,\overline{0}) = 1 ;
\hskip5pt g_{1l}(s,\overline{0}) = 0 , \hskip5pt 2 \leq l \leq m . \eqno(3.3) $$
Tout vecteur tangent ${\bf v} \in T_q U_i$ s'�crit dans la base $\{{\partial \over \partial x_k}\}_{k=1}^m $ 
$$
{\bf v} = (\alpha, \overline{v}) ; \hskip5pt \mbox{o\`u} \hskip5pt
  \overline{v} = (v_2,v_3,...,v_m). 
$$ 
Nous pouvons calculer sa norme :
$$\|{\bf v} \|_g^2 = g_{11}(s,\overline{x}) \alpha^2 + 2\alpha \mathop{\sum} \limits_{k=2}^m
g_{1k}(s,\overline{x})v_k +  \| \overline{v} \|_{g'}^2 , \eqno(3.4) $$
o\`u $g'$ est la restriction de $g$ � l'espace tangent au disque
normal correpondant, sa matrice co\"incidant au bloc de $g$ dual \`a 
$g_{11}$.

Cherchons maintenant le facteur conforme d\'efini sur $U_i$ sous la
forme suivante :
$$ \lambda_i^2(q) = {\frac {1+a{\bf r}(q)^2} {g_{11}(q)} } ,\eqno(3.5) $$
o\`u $a$ est une constante que nous allons choisir afin de v\'erifier
la propri�t� 2. du lemme.  Sur chaque $U_i$, pour la m\'etrique $g_1 =  \lambda_i^2g$, on tire de (3.4) que :
$$\|{\bf v} \|_{g_1}^2 - \alpha^2 = \lambda_i^2 \Biggl( {\frac{ a
    g_{11}(s,\overline{x}) {\bf r}^2(s,\overline{x}) }
{1+a{\bf r}^2(s,\overline{x})  }}\alpha^2  + 
2\alpha \mathop{\sum} \limits_{k=2}^m
g_{1k}(s,\overline{x})v_k +  \| \overline{v}
\|_{g'}^2\Biggr). \eqno(3.6) $$
Compte-tenu de (3.3), on a 
$$| \mathop{\sum} \limits_{k=2}^m
g_{1k}v_k | \leq A{\bf r}(s,\overline{x}) \| \overline{v}
\|_{g'} $$
pour une constante $A > 0$ appropri\'ee.
Nous obtenons alors de (6) l'in�galit\'e suivante :
$$ \|{\bf v} \|_{g_1}^2 - \alpha^2 \geq 
 \lambda_i^2 \Biggl( {\frac{ a
    g_{11}{\bf r}^2 }
{1+a{\bf r}^2  }}\alpha^2 - 2A|\alpha|{\bf r} \| \overline{v}\|_{g'} +
 \| \overline{v} \|_{g'}^2\Biggr). \eqno(3.7)
$$

Nous avons dans les parenth\`eses une  forme quadratique
en les arguments $|\alpha|{\bf r} $ et $ \| \overline{v}\|_{g'}$,
qui est positive si
$${\frac{ ag_{11}}  {1+a{\bf r}^2}} >
A^2 .$$
Prenons $a = 2A^2$, alors 
 cette in\'egalit\'e est v\'erifi\'ee pour
${\bf r} = 0$  en accord avec (3.3). 
On en d\'eduit par continuit\'e qu'elle est v\'erifi\'ee sur
l'ouvert $U_i$ tout entier si l'on a choisi $\varepsilon$ suffisamment petit au d�part. Finalement, pour le facteur conforme (3.5) 
avec $a = 2A^2$, on obtient de (3.7) 
$$\|{\bf v} \|_{g_1} \geq |\alpha| $$
et la propri�t� 2. est donc v�rifi�e.

Pour achever la d\'emonstration, il reste \`a prolonger
les facteurs locaux conformes $\{\lambda_i \}^n_{i=1} $
en une fonction lisse $\lambda$ strictement positive.  \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\


\subsection{Construction d'une m�trique de r�f�rence}

Nous allons commencer par construire une m�trique de r�f�rence sur $M$ pour laquelle la boule unit� de la norme stable est bien le polytope demand�. Cette m�trique n'appartient en g�n�ral pas � la classe conforme de la m�trique de d�part.


\vskip7pt
\noindent
{\bf Proposition B3} {\it 
Il existe une m\'etrique lisse $h$ sur $M$ tel que 

\noindent 
1. $\|{d\gamma_i(s) \over ds}\|_h = \|{d\gamma_i(s) \over ds}\|_{g_1}$ , 
o\`u $s$ est le param\`etre $g_1$-naturel le long des $\gamma_i$ ;

\noindent 
2. ${\cal B}_{st}(M,h)=K$.}
\vskip7pt



\noindent {\bf D\'emonstration.}
La d�monstration se d�roule en deux �tapes. Dans la premi�re, on montre que l'on peut se ramener � construire une m�trique simpliciale sur $M$ r�alisant le polytope $K$ comme boule stable, et dans une seconde �tape, on explicite la construction de cette m�trique simpliciale.

\medskip

\noindent
{\bf Lemme B4} {\it 
Supposons qu'il existe une m�trique $\h$ sur $M$ simpliciale, telle que :


\noindent 
1. $\B(\h)=K.$

\noindent 
2. $\exists \epsilon >0$ tels que la m�trique $\h$ soit lisse sur les $\epsilon$-voisinages tubulaires $U_\epsilon(\gamma_i)$ de $\gamma_i$ (qui sont disjoints).

\noindent 
3. les $\gamma_i$ sont des g�od�siques minimisantes de longueur $l_\h(\gamma_i)=|v_i|_{st}=l_i^{-1}$.


Alors la proposition est v�rifi�e.
}
\vskip7pt

\noindent {\bf D�monstration du lemme.} On se fixe une m�trique lisse $h'$ sur $M$, qui co\"incide avec $\h$ sur les $U_\epsilon(\gamma_i)$. On peut choisir une fonction $\zeta$ lisse, telle que  $\zeta=1$ sur $U_{\epsilon/3}(\gamma_i)$, $\zeta=L$ sur $M \setminus \cup_{i=1}^k U_{2\epsilon/3}(\gamma_i)$ et qui soit croissante sur chaque $U_\epsilon(\gamma_i)$ respectivement � la coordonn�e radiale. On choisit $L$ suffisamment grand pour que la m�trique $h=\zeta.h'\geq \h$. Pour $i=1,\ldots,k$, $v_i \in \B(h)$. On conclut alors en utilisant le lemme {\bf B1} et la convexit� de la boule stable. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\

\medskip
Nous allons maintenant construire une m�trique simpliciale satisfaisant les hypoth�ses du lemme {\bf B4}. Soit $\T^b=H_1(M,\R) / i(H_1(M,\Z))$ le jacobien de $M$ ($i$ d�signe l'inclusion canonique). On consid�re une m�trique euclidienne $h_0$ sur $\T^b$ telle que pour toute courbe $\gamma$ telle que $[\gamma]=\sum_{i=1}^k \alpha_i.v_i$ o� $\alpha_i \in \N$ pour tout $i=1,\ldots,k$, \linebreak $l_{h_0}(\gamma) \geq \sum_{i=1}^k |\alpha_i|.l_i^{-1}+3$. Fixons un point $x_0$ de $\T^b$. Soient $\vee_{i=1}^{k}C_i$ un bouquet de k cercles point� en un point $x_1$. On forme un graphe $\Gamma$ en ajoutant � $x_1$ une ar�te  not�e $a$ dont une des extr�mit�s est libre. Soit $h'_0$ une m�trique simpliciale sur $\Gamma$ telle que $l_{h'_0}(C_i)=l_i^{-1}$ et $l_{h'_0}(a)=1$. On fixe sur $\T^b$ une triangulation lin�aire telle que $x_0$ soit un $0$-simplexe. On consid�re le complexe simplicial $(P_1,h_1)$ form� en recollant l'extr�mit� libre de $(\Gamma,h'_0)$ � $(\T^b,h_0)$ en $x_0$ (voir figure 1).


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{stable.eps}
\caption{Le complexe $P_1$}
\end{center}
\end{figure}


On a une application �vidente $f_1 : P_1 \rightarrow \T^b$ qui est l'identit� sur $\T^b$ et qui envoie $C_i$ sur $c_i$ la g�od�sique minimisante r�alisant $v_i$ bas�e en $x_0$ en dilatant les distances.

Comme $f_1$ est l'identit� sur $\T_b$, l'application induite en homologie \linebreak
$(f_1)_\ast : H_1(P_1,\R) \rightarrow H_1(\T^b,\R)$ est surjective.  Pour $i=1,\ldots,k$, on r�alise le cylindre de l'application $(f_1)_{|C_i} : C_i \rightarrow c_i$ de sorte que l'ar�te $a$ co\"incide avec une g�n�ratrice du cylindre $Z_i$. On obtient ainsi un nouveau complexe simplicial $P_2$ dont $P_1 \subset P_2$ est un sous-complexe. Remarquons �galement que $T^b \subset P_2$  est un r�tract par d�formation. On prolonge la m�trique $h_1$ de $P_1$ � $P_2$ de la mani�re suivante. On note $q_i$ la longueur de la concat�nation de $\C_i=a \star C_i \star a^{-1}$ et $c_i$.  Soit $p_i : S^1_i \rightarrow \C_i \star c_i $ une application lin�aire contractant deux fois les distances. Pour $i=1,\ldots,k$, on consid�re le cylindre de cette application, et on recolle une demi-sph�re deux-dimensionnelle de rayon $q_i / \pi$ isom�triquement le long de $S^1_i$ (qui est de longueur $2q_i$). On note $h_2$ la m�trique induite par notre construction.


Clairement,
$$
H_1(P_2,\R) \simeq H_1 (\T^b,\R).
$$

Remarquons que pour toute courbe lisse par morceaux $\gamma \subset P_2$, il existe une courbe $\gamma'\subset P_1$ telle que $[\gamma]=[\gamma']$ et $l_{h_2}(\gamma')\leq l_{h_2}(\gamma)$.

\vskip7pt
\noindent
{\bf Lemme B5} {\it $$
\B(h_2)=K.
$$
}
\vskip7pt

\noindent  {\bf D�monstration du lemme.} Il est clair qu'une courbe minimisante de $(P_2,h_2)$ est contenue dans $P_1$. On se fixe une classe enti�re $v$ appartenant au sous-r�seau $\Delta_k$ engendr� par $\{v_i\}_{i=1}^k$. Etant donn� $n\geq 1$, on choisit $\beta_n$ une courbe r�alisant $n.v$. Quitte � modifier notre courbe $\beta_n$, on peut supposer que la courbe est obtenue comme la concat�nation de deux courbes : la premi�re $\beta_{n,1}$ est contenue dans $\T^b$ et la seconde $\beta_{n,2}$ dans $\Gamma$. La classe $v$ appartenant au sous-r�seau $\Delta_k$, et de la structure de l'homologie r�elle unidimensionnelle de $\Gamma$, on d�duit que $v$ et $[\beta_{n,2}] \in \Delta_k$ et donc que $[\beta_{n,1}] \in \Delta_k$. On �crit $[\beta_{n,1}]=\sum_{i=1}^k \alpha_i.[C_i]$ et comme $l_{h_0}(\beta_{n,1}) \geq \sum_{i=1}^k |\alpha_i|.l_i^{-1}+3$, on peut diminuer la longueur de $\beta_n$ en rempla\c cant la partie $\beta_{n,1}$ par la courbe $a \star \prod_{i=1}^k C_i^{\alpha_i} \star a^{-1}$. Ceci entra�ne que toute courbe minimisante est contenue dans $\Gamma$. Donc $|v|_{st}=\min \{\sum_{i=1}^k |\alpha_i|.l_i^{-1} \mid v=\sum_{i=1}^k \alpha_i.v_i \}$ pour tout $v$ dans le sous-r�seau engendr� par les $\{v_i\}_{i=1}^k$. Par continuit� de la norme et du fait que $rang(\Delta_k)=b$ (comme $int(K) \neq \emptyset$), on en d�duit le r�sultat. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\

\bigskip

On peut remplacer dans notre complexe simplicial $P_2$ les cercles $C_i$ pour $i=1,\ldots,k$ par des tubes $m$-dimensionnels $C_i \times D^{m-1}$ ou $C_i \widehat{\times} D^{m-1}$ (selon l'orientabilit� des $U_i$), munis d'une m�trique produit (euclidienne sur $D^{m-1}$) dont la projection radiale contracte les distances et telle que les disques $2$-dimensionnels rattach�s le soient le long d'un cercle du bord de ce tube. On note � nouveau $(P_2,h_2)$ le complexe simplicial obtenu. Cette op�ration ne modifie pas la forme de la boule stable.

Soit $\J : M \rightarrow \T^b \subset P_2$. Etant donn�s les $k$ voisinages tubulaires topologiques disjoints $U_i$ de $\gamma_i$ pour $i=1,\ldots,k$, on modifie $\J$ dans sa classe d'homotopie de sorte que $\J(\gamma_i)=C_i$ et que $\J(U_i)=C_i \times D^{m-1}$ ou $C_i \widehat{\times} D^{m-1}$.

On peut alors approximer $\J$ par une application $\J_1$ qui soit simpliciale sur $M$ et qui co\"incide avec $\J$ dans chaque $U_i$ pour $i=1,\ldots,k$ (voir \cite{span}). La m�trique $\J_1^\ast(h_2)$ tir�e en arri�re peut �tre d�g�n�r�e en-dehors des voisinages tubulaires. On se fixe une m�trique lisse quelconque $h_3$ sur $M$ et $\xi$ une fonction lisse et croissante d'argument $q$ v�rifiant
$$\xi(q) = \left\{
\begin{array}{rl}
0 & \mbox{si} \hskip5pt {q \in \cup_{i=1}^k U_i({2\varepsilon \over 3})} ;\\
1 &  \mbox{si} \hskip5pt {q \in M  \setminus \cup_{i=1}^k U_i({\varepsilon})}.
\end{array} \right. $$
 Alors $\J_1 : (M, \J_1^\ast(h_2)+\xi h_3) \rightarrow (P_2,h_2)$ contracte les distances et la m�trique ainsi construite v�rifie les propri�t�s annonc�es. \hspace{\stretch{1}} $\Box$\\

\bigskip


\subsection{D�monstration du th�or�me B}


Sur la vari\'et\'e initiale $(M, g)$, on consid\`ere maintenant
les objets construits dans le lemme {\bf B2} et la proposition ci-dessus. 
On choisit deux fonction lisses et croissantes d'argument $t$ v�rifiant
$$\phi(t) = \left\{
\begin{array}{rl}
0 & \mbox{si} \hskip5pt t\leq {\varepsilon \over 3}; \\
t &  \mbox{si} \hskip5pt {2\varepsilon \over 3} \leq t;
\end{array} \right. $$
et
$$\psi(t) = \left\{
\begin{array}{rl}
0 & \mbox{si} \hskip5pt t\leq {\varepsilon \over 9} ;\\
1 &  \mbox{si} \hskip5pt {2\varepsilon \over 9} \leq t;
\end{array} \right. $$
o\`u $\varepsilon$ est le rayon des voisinages tubulaires
$\{U_i\}_{i=1}^k$ du lemme {\bf B2}. On consid\`ere un point $q \in U_i$
et ${\bf r}(q)$ la fonction radiale d\'efinie ci-dessus.
Soit $\eta_q(s)$ l'unique g\'eodesique locale passant par $q$, orthogonale
\`a $\gamma_i$ et telle que $\eta_q(0) \in \gamma_i$. 
On d\'efinit les applications
$$ G_i: U_i \longrightarrow U_i ; \hskip5pt 1 \leq i \leq k $$
en posant $G_i(q) =  \eta_q(\phi({\bf r}(q)))$.
Remarquons que $G_i(q) = q$ si ${\bf r}(q) \geq {2\varepsilon \over 3}$ et que $G_i(q)=\eta_q(0)$ ${\bf r}(q) \leq {\varepsilon \over 3}$.  Les applications locales  $\{G_i\}_{i=1}^k$ se prolongent en une
application 
$$ G : M \longrightarrow M .$$
Remarquons que $G$ induit en homologie l'application identit\'e.

On d\'efinit maintenant les fonctions locales suivantes 
$$
\Psi_i : U_i \longrightarrow {\R} ; \hskip5pt 1 \leq i \leq k
$$
en posant $\Psi_i(q) =  \psi({\bf r}(q)))$.
Remarquons que $\Psi_i(q) = 1$ si ${\bf r}(q) \geq {2\varepsilon \over 9}$ et que \linebreak $\Psi_i(q) = 0$ si ${\bf r}(q) \leq {\varepsilon \over 9}$.
Ces fonctions locales  $\{\Psi_i\}_{i=1}^k$ se prolongent en une
fonction $$ \Psi : M \longrightarrow {\R} .$$
Choisissons finalement $B>0$ tel que
$$
 g' = (1 + B \Psi)g_1  \geq g_1 + \Psi G_*(h).
$$
On voit facilement par construction et de la propri�t� 2. de la proposition {\bf B3} que $G:(M,g') \rightarrow (M,h)$ contracte les distances. 
Du lemme {\bf B1}, on tire
$${\B}(g') \subset {\B}(h) = {K}.$$
Par construction, les m\'etrique $g'$ et $g_1$ co\"{\i}ncident
dans les $\varepsilon \over 9$-voisinages tubulaires des $\{\gamma_i\}_{i=1}^n$.
Ceci avec la propri�t� 1. du lemme {\bf B2} implique que les sommets de ${K}$
appartiennent \`a ${\B}(g')$. La convexit\'e nous donne alors le r\'esultat. 












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