$\D$-modules arithm�tiques surholonomes\\ (Overholonomic arithmetical $\D$-modules)
Daniel Caro \footnote{L'auteur a b�n�fici� du soutien du r�seau europ�en TMR Arithmetic Algebraic Geometry (contrat num�ro UE MRTN-CT-2003-504917).}
\selectlanguage{english} Let $k$ be a perfect field of characteristic $p >0$, $U$ be a variety over $k$ and $F$ be a power of Frobenius. We construct the category of overholonomic arithmetical ($F$-)$\D$-modules over $U$ and the category of overholonomic ($F$-)complexes over $U$. We show that overholonomic complexes over $U$ are stables by direct images, inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors. Moreover, when $U$ is smooth, we check that unit-root overconvergent $F$-isocrystals on $U$ are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot's conjecture.
Surholonomie2.tex
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\numberwithin{equation}{prop}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%           Ca commence
%****************************

\begin{document}
\title{$\D$-modules arithm�tiques surholonomes\\
(Overholonomic arithmetical $\D$-modules)}
\author{Daniel Caro \footnote{L'auteur a b�n�fici� du soutien du r�seau europ�en TMR \textit{Arithmetic Algebraic Geometry}
(contrat num�ro UE MRTN-CT-2003-504917).}}
\date{}

\maketitle



%\classification{14F10, 14F30}
%\keywords{arithmetical $\D$-modules, Frobenius, dual functor, direct image}
%\thanks{L'auteur a b�n�fici� du soutien du r�seau europ�en TMR \textit{Arithmetic Algebraic Geometry}
%(contrat num�ro UE MRTN-CT-2003-504917).}


%\selectlanguage{english}

\begin{abstract}
\selectlanguage{english}
Let $k$ be a perfect field of characteristic $p >0$, $U$ be a variety over $k$ and $F$ be a power of Frobenius.
  We construct the category of overholonomic arithmetical ($F$-)$\D$-modules over $U$ and
  the category of overholonomic ($F$-)complexes over $U$.
  We show that overholonomic complexes over $U$ are stables by direct images,
inverse images, extraordinary inverse images, extraordinary direct images, dual functors.
Moreover, when $U$ is smooth,
we check that unit-root overconvergent $F$-isocrystals on $U$
are overholonomic. This implies that they are holonomic, which proves in part a Berthelot's conjecture.
\end{abstract}

\selectlanguage{frenchb}
\begin{abstract}
  Soient $k$ un corps parfait de caract�ristique $p>0$, $U$ une vari�t� sur $k$ et $F$ une puissance de Frobenius.
  Nous construisons la cat�gorie des ($F$-)$\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur $U$ et celle des
   ($F$-)$\D$-complexes surholonomes sur $U$. Nous montrons que les complexes surholonomes sur $U$ sont stables par images
   directes, images inverses, images inverses extraordinaires, images directes extraordinaires, foncteurs duaux.
   De plus, dans le cas lisse, nous v�rifions que les $F$-isocristaux surconvergents unit�s sont surholonomes.
   Cela implique que ceux-ci sont holonomes, ce qui prouve en partie une conjecture de Berthelot.
\end{abstract}





\maketitle


\tableofcontents




\begin{center}
{\bf Introduction}
\end{center}

Donnons-nous $\F _q$, un corps fini de caract�ristique $p$, et $X$ une vari�t� sur $\F _q$
(i.e. un $\F _q$-sch�ma s�par� et de type fini).
Afin de prouver la rationalit� de la fonction z�ta de Weil associ�e � $X$ et surtout de leur donner une
interpr�tation cohomologique qui f�t conjectur�e par Weil, l'id�e de Grothendieck
f�t de g�n�raliser ces fonctions � des coefficients sur $X$ plus g�n�raux, le {\it coefficient constant}
redonnant la fonction z�ta de $X$.
Ces coefficients,
les $\Q _l$-faisceaux constructibles (pour la topologie �tale),
avec $l$ un nombre premier diff�rent de $p$,
v�rifient les trois propri�t�s fondamentales suivantes :
\begin{enumerate}
\item Lorsque $X$ est r�duit � un point, les $\Q _l$-faisceaux constructibles sont
les $\Q _l$-espaces vectoriels de dimension {\it finie} ;
  \item Ils contiennent les coefficients constants ;
  \item Ils sont stables par les {\it six op�rations cohomologiques de Grothendieck},
  � savoir $\otimes$,  $\mathcal{H}om$, $f _*$, $f ^*$, $f _!$ et $f^!$.
\end{enumerate}
Les op�rations cohomologiques permettent de changer de vari�t�s.
Afin d'�tablir l'interpr�tation cohomologique des fonctions, dites $L$,
associ�es aux $\Q _l$-faisceaux constructibles,
il proc�de alors, gr�ce � la stabilit� de la constructibilit�,
� une r�currence sur la dimension de $X$ (en effectuant des fibrations).

Nous aimerions avoir une analogie $p$-adique de ceci, i.e.,
construire une cat�gorie de $\Q _p$-faisceaux ou de complexes de $\Q _p$-faisceaux sur $X$ qui v�rifie les trois propri�t�s ci-dessus.
� cette fin, l'id�e de Berthelot est,
en s'inspirant de la caract�ristique nulle,
d'�laborer une th�orie de \textit{$\D$-modules arithm�tiques}.

Plus pr�cis�ment, soient $\V$ un anneau de valuation discr�te complet d'in�gales caract�ristiques
($0$, $p$) de corps r�siduel parfait $k$, $\PP$ un $\V$-sch�ma formel lisse et $P$ sa fibre sp�ciale.
Berthelot construit alors
le faisceau des op�rateurs diff�rentiels d'ordre infini et de niveau fini sur $\PP$,
$\D ^\dag _{\PP, \, \Q}$ (voir \cite{Be1}), que l'on peut voir
comme le compl�t� faible tensoris� par $\Q$ du faisceau des op�rateurs diff�rentiels usuels sur $\PP$, $\D _{\PP}$.
D'o� la notion de $\D$-modules arithm�tiques sur $\PP$, i.e., de $\D ^\dag _{\PP, \, \Q}$-modules
(toujours � gauche par d�faut).
Ensuite, apr�s avoir d�fini l'holonomie en s'inspirant de la caract�ristique nulle (\cite[5]{Beintro2}),
apr�s avoir construit leurs op�rations cohomologiques (\cite[2,3,4]{Beintro2}),
il donne les conjectures de base (voir \cite[5.3.6]{Beintro2}) sur la stabilit� de l'holonomie.
Si celles-ci �taient exactes, nous pourrions d�finir les foncteurs
$g _+$, $g ^+$, $g _!$ et $g^!$ au niveau des {\it vari�t�s sur $k$}
de fa�on analogue
� ceux d�finis ici dans \ref{def-surhol-rele2} pour les complexes surholonomes.
De plus, les $F$-complexes holonomes (le symbole {\og$F$\fg} signifie que les complexes sont munis
d'une action de Frobenius) constitueraient ainsi une cat�gorie de coefficients stables par
les cinq op�rations cohomologiques de Grothendieck
$\otimes$, $g _+$, $g ^+$, $g _!$ et $g^!$ ainsi que par le foncteur dual, le produit tensoriel externe.
Pour l'instant, seule la stabilit� de l'holonomie par produits
tensoriels externes (\cite[5.3.5.(v)]{Beintro2}) et foncteurs duaux (\cite[III.4.4]{virrion}) est obtenue
dans le cas g�n�ral.
Rappelons que,
lorsque $\PP$ est une courbe,
sa stabilit� par foncteur cohomologique local a d�j� �t� valid�e (\cite[2.3.3]{caro_courbe-nouveau}).

Cependant, afin de disposer d'une bonne cohomologie $p$-adique,
nous proposons  ici, une approche l�g�rement diff�rente : nous rempla�ons l'�tude de l'holonomie
par celle de la {\it surholonomie}.
Les liens entre ces deux notions sont les suivants :
un $F$-$\D$-module arithm�tique surholonome est holonome. De plus, la r�ciproque est valid�e
si et seulement si la conjecture sur la stabilit� de l'holonomie par foncteur
cohomologique local est exacte (voir \ref{prop-conjB-eq}).

D�crivons maintenant le contenu de cet article.


Nous donnons dans la premi�re partie
quelques rappels sur les $\D$-modules arithm�tiques qui nous seront utiles.
Nous formulons dans une deuxi�me partie
un crit�re d'holonomie. Il nous permettra d'�tablir
qu'un $F$-$\D$-module arithm�tique surholonome est holonome.




Nous introduisons dans le troisi�me chapitre la notion de
$F\text{-}\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-modules surholonomes et de $F$-complexes de
$\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-modules surholonomes.
Cette appellation vient du fait qu'un $F\text{-}\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-module surholonome est holonome.
Soient $f$ : $\PP' \rightarrow \PP$ un morphisme de $\V$-sch�mas formels lisses.
Nous prouvons
la stabilit� de la surholonomie
par foncteurs duaux, par foncteurs cohomologiques locaux,
par images inverses extraordinaires et
images inverses par $f$.
De plus, lorsque $f$ est propre,
nous obtenons sa stabilit� par les foncteurs images directes et
images directes extraordinaires par $f$.
La stabilit� par produits tensoriels internes et externes reste conjecturale.


Nous construisons dans la quatri�me partie,
pour toute $k$-vari�t� $U$ plongeable dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse,
la cat�gorie des {\it ($F$-)complexes surholonomes sur $U$}
que l'on note $(F\text{-})D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
Nous d�finissons ensuite le foncteur dual sur $U$ not�
$\DD _U$ : $D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })\rightarrow
D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
Pour tout morphisme $g$ : $U' \rightarrow U$ de $k$-vari�t�s
(on suppose ici qu'il existe des $\V$-sch�mas formels propres et lisses
dans lesquels $U$ et $U'$ peuvent se plonger respectivement),
nous construisons, sur les cat�gories de $F$-complexes surholonomes correspondantes,
les images directes, images directes extraordinaires, images inverses extraordinaires,
images inverses par $g$ que l'on d�signe respectivement par
$g _+$, $g _!$, $g ^!$, $g ^+$ (voir \ref{def-surhol-rele2}).
De plus, nous prouvons la stabilit� de la surholonomie par celles-ci.


Dans la cinqui�me partie (et dans la quatri�me partie pour le cas simple), nous construisons
pour toute vari�t� $U$ sur $k$,
la cat�gorie des
{\it ($F$-)$\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur $U$}, que l'on note
($F$-)$\mathfrak{M} ^+ _{U}$.
On obtient la cat�gorie
$(F\text{-})D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M} ^+ _{U})$, ce qui donne un analogue de
$(F\text{-})D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
On d�finit de plus le {\og coefficient constant sur $U$\fg} not� $\O _U$.



Soit $U $ une vari�t� sur $k$ se plongeant dans un
$\V$-sch�ma formel propre et lisse.
Dans une sixi�me partie, nous d�finissons les fonctions $L$ associ�es aux
$F$-complexes surholonomes sur $U$ et nous en donnons une formule cohomologique.
Cela correspond � une extension de la formule cohomologique d'\'Etesse et Le Stum
des fonctions $L$ associ�es aux $F$-isocristaux surconvergents sur $U$ (voir \cite{E-LS}).
La preuve se fait par r�currence sur la dimension de $U$ en se ramenant � la situation g�om�trique
d�j� connue (voir \cite{caro_surcoherent}).
Remarquons que l'hypoth�se que $U$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse est s�rement �vitable
(il s'agit d'�tendre les op�rations cohomologiques via des diagrammes de topos \cite[V.3.4.1]{Becris}),
mais nous ne nous sommes pas int�ress� � ce point.

Soient $\PP$ un $\V$-sch�ma formel s�par� et lisse,
$X$ un sous-sch�ma ferm� lisse de $P$ et $T$ un diviseur de $P$ tel que
$T _X := T\cap X$ soit un diviseur de $X$.
Dans \cite[4]{caro_courbe-nouveau}, lorsque $\PP$ est une courbe propre et lisse et $P=X$, nous avions �tabli
l'holonomie des $F$-isocristaux surconvergents sur $X \setminus T _X$, ce qui avait g�n�ralis�
les premiers examples {\it non triviaux} de $F\text{-}\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-modules holonomes sur les courbes
de Berthelot de \cite[5]{Be0}
(le cas trivial est celui o� $T$ est vide, i.e., celui o� les $F$-isocristaux sont {\it convergents}).
Dans la septi�me partie de cet article,
nous obtenons les premiers exemples (non triviaux) en dimension sup�rieure
de $F$-$\D$-modules arithm�tiques holonomes.
Plus pr�cis�ment, nous d�montrons que les $F$-isocristaux surconvergents unit�s
sur $X \setminus T _X$ surconvergents le long de $T _X$
sont surholonomes. Cela implique que le coefficient constant $\O _U$ d'une vari�t� $U$ sur $k$ est surholonome.
De plus, nous v�rifions que, pour toute vari�t� $U$ lisse sur $k$, le $F$-$\D _U$-module arithm�tique associ�
� un $F$-isocristal unit� surconvergent sur $U$ (voir \ref{eqcat-gen}) est surholonome.
En particulier, on obtient leur holonomie, ce qui valide une conjecture fondamentale de Berthelot
(voir \cite[5.3.6.D]{Beintro2}).
Il faut noter que l'utilisation de la surholonomie (et surtout de sa stabilit�)
est l'�l�ment cl� de la preuve.
La stabilit� de la surholonomie permet ainsi de r�soudre des probl�mes sur l'holonomie.
Plus g�n�ralement, il est raisonnable de penser que l'on puisse �tablir de mani�re analogue
(mais il faut au pr�alable disposer d'un th�or�me de r�duction semi-stable en dimension sup�rieure :
voir les travaux de Kedlaya de \cite{kedlaya-semistableI} et \cite{kedlaya-semistableII})
la surholonomie des $F$-isocristaux surconvergents sur les vari�t�s lisses.
Il en r�sulterait leur holonomie, ce qui homologue la conjecture \cite[5.3.6.D]{Beintro2} de Berthelot.
Par d�vissage (voir \cite{caro_devissge_surcoh}), on en d�duirait aussit�t
la stabilit� par produits tensoriels de la surholonomie.
Les travaux de \cite{caro_log-iso-hol} sont une premi�re �tape dans cette direction.



Nous prouvons dans la derni�re partie que la conjecture \cite[5.3.6.B]{Beintro2} de Berthelot
sur la stabilit� de l'holonomie par image inverse extraordinaire implique que les notions
d'holonomie, de surholonomie, de surcoh�rence sont identiques.
On en d�duit que cette conjecture \cite[5.3.6.B]{Beintro2}
entra�ne en particulier
(pour une version plus g�n�rale voir \ref{B->A})
la stabilit� de l'holonomie par image directe par un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses
(ce qui �tait conjectur� dans \cite[5.3.6.A]{Beintro2}).








\begin{center}
{\bf Notations}
\end{center}

Tout au long de cet article, nous garderons les notations
suivantes :
les sch�mas formels seront not�s par des lettres calligraphiques ou
gothiques et leur fibre sp�ciale par les lettres romanes
correspondantes. Si $f\,:\, X' \rightarrow X$ est un morphisme de sch�mas ou de sch�mas formels, on note
$d _X$ la dimension de $X$ et $d _{X'/X}$ la dimension relative.
De plus, la lettre $\V$ d�signera un anneau de valuation discr�te complet,
de corps r�siduel parfait $k$ de caract�ristique $p>0$, de corps de
fractions $K$ de caract�ristique $0$.
On fixe $s\geq 1$ un entier naturel et $F$ sera la puissance
$s$-i�me de l'endomorphisme de Frobenius.
Si $\E$ est un faisceau ab�lien, $\E _\Q$ d�signera $\E \otimes _\Z \Q$.
Lorsque cela n'est pas pr�cis�,
les modules sont des modules � gauche,
les {\it vari�t�s} sont des vari�t�s sur $k$, i.e.,
des $k$-sch�mas s�par�s et de type fini.
Tous les $k$-sch�mas seront {\it r�duits}.
Lorsque nous consid�rerons des produits de
$\V$-sch�mas formels (resp. $k$-sch�mas), nous omettrons parfois d'indiquer $\Spf \V$ (resp. $\Spec k$).
Lorsque le symbole ensemble vide {\og$\emptyset$\fg} appara�t dans une notation, nous ne l'indiquerons pas non plus
(e.g., dans les op�rations cohomologiques de la section \ref{section1}
lorsqu'un diviseur est vide ;
e.g., {\og $\D ^\dag  _{\X,\Q}$\fg} � la place de {\og $\D ^\dag   _{\X} ( \emptyset ) _\Q$ \fg}).



Si $\AA$ est un faisceau d'anneaux,
$D ^\mathrm{b}( \AA )$, $D ^+( \AA )$ et $D ^-( \AA )$ d�signent respectivement les cat�gories d�riv�es
des complexes de $\AA$-modules � cohomologie born�e,
born�e inf�rieurement et born�e sup�rieurement.
Lorsque l'on souhaitera pr�ciser entre droite et gauche, on notera alors $D ^* (
\overset{ ^g}{}\AA )$ ou $D ^* ( \AA \overset{ ^d}{})$, o�
$*$ est l'un des symboles $\emptyset$, $+$, $-$, ou $\mathrm{b}$.
De plus, les indices {\og $\mathrm{qc}$\fg}, {\og $\mathrm{coh}$\fg}, {\og $\mathrm{surcoh}$\fg}, {\og $\mathrm{parf}$\fg} et {\og $\mathrm{hol}$\fg}
signifient respectivement {\og quasi-coh�rent\fg}, {\og  coh�rent\fg}, {\og  surcoh�rent\fg}
{\og  parfait\fg} et {\og holonome\fg} (voir la section \ref{section1}).




\begin{center}
{\bf Remerciements}
\end{center}
La surholonomie r�pond � des questions de K. Kedlaya, B. Le Stum et N. Tsuzuki concernant
une extension logique de la notion de surcoh�rence. Leur int�r�t � ce sujet et aussi notamment ceux de
A. Abbes et C. Huyghe-Noot ont �t� une grande source de motivation.
Je remercie B. Le Stum et A. Virrion pour leur attention tr�s stimulante
relative au crit�re d'holonomie.



\section{Rappels sur les $\D$-modules arithm�tiques}
\label{section1}

Nous avons regroup� dans cette section toutes les d�finitions et propri�t�s concernant
la th�orie des $\D$-modules arithm�tiques que nous utiliserons constamment dans ce manuscrit.
Nous nous sommes donc focalis� sur ce qui sera sans cesse n�cessaire.
Ainsi, ce survol ne se pr�tend pas exhaustif. Le lecteur n�ophyte pourra aussi se reporter �
\cite{Beintro2} ou pour une version plus r�cente � \cite{kedlaya-padiccohomology}.



Soient $\X$, $\X'$ deux $\V$-sch�mas formels lisses,
$f _0\, : \, X' \rightarrow X$ un morphisme de $k$-sch�mas sur les fibres sp�ciales,
$T$ un diviseur de $X$ tel que $T' :=f _0 ^{-1} (T)$ soit un diviseur de $X'$.
On note $\Y:=\X \setminus T$, $\Y':=\X' \setminus T'$ les ouverts respectifs de $\X$, $\X'$.
Sauf mention explicite du contraire (e.g., pour les d�finitions de l'image directe et de l'image inverse extraordinaire),
pour simplifier l'expos�, on supposera que $f _0$ se rel�ve en un morphisme
$f \, :\, \X ' \rightarrow \X$ de $\V$-sch�mas formels lisses.


\begin{vide}
[Op�rateurs diff�rentiels de niveau $m$]
  Berthelot a construit pour tout entier $m\geq 0$ donn� le {\og faisceau des op�rateurs diff�rentiels de niveau $m$ sur $\X$\fg},
qu'il note $\D ^{(m)} _{\X}$ (voir \cite[2]{Be1}).
Comme $p$ n'est pas inversible sur $\O _\X$, on remarque que le faisceau $\D _\X$ des op�rateurs diff�rentiels usuels sur $\X$
n'est pas coh�rent. Par contre,
les faisceaux $(\D ^{(m)} _{\X}) _{m\in \N}$ donne une filtration croissante exhaustive de $\D _\X$
par des $\O _\X$-alg�bres coh�rentes
(voir par exemple \cite[2.2.1.7, 2.2.3.1]{Be1} et remarquer que $\O _\X$ n'a pas d'�l�ments de $p$-torsion).

Il a aussi construit une $\O _\X$-alg�bre qu'il note $\B _{\X} ^{(m)} (T)$ (voir \cite[4.2]{Be1}).
Lorsque $f\in \O _\X$ rel�ve une �quation d�finissant $T$ dans $X$,
$\B _{\X} ^{(m)} (T) \riso \O _{\X} [t]/(f ^{p ^{m+1}} t - p)$, cette derni�re �tant ind�pendante � isomorphisme canonique pr�s du choix
du rel�vement $f$. Il en d�duit ainsi la construction de $\B _{\X} ^{(m)} (T)$ par recollement.

On pose enfin
$\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)}(T):=
\B _{\X} ^{(m)} (T) \widehat{\otimes} _{\O_\X}\D _{\X } ^{(m)}$ que l'on pourrait appel�, s'il fallait absolument lui donner un nom,
{\og compl�t� $p$-adique du faisceau des op�rateurs diff�rentiels de niveau $m$ sur $\X$ � coefficients surconvergents le long de $T$\fg}.

\end{vide}


\begin{vide}
  [Complexes quasi-coh�rents, d�finitions]
  \label{comp-qc}
La notion de {\og complexes quasi-coh�rents sur les sch�mas formels\fg} a �t� introduite par Berthelot (voir \cite{Beintro2}).
Soient $\B$ un faisceau de $\O _{\X}$-alg�bres (non n�cessairement commutatif), $\E \in D ^- ( \B \overset{ ^d}{} )$,
  $\FF \in D ^- (\overset{ ^g}{} \B  )$.
  On pose $\B _i :=\B / \pi ^{i+1} \B$,
  $\E _i := \E \otimes ^\L _{\B} \B _i$, $\FF _i := \B _i\otimes ^\L _{\B} \FF$,
  $\E \widehat{\otimes} ^\L _{\B} \FF:=
  \R \underset{\underset{i}{\longleftarrow}}{\lim} \E _i \otimes ^\L _{\B _i} \FF _i$.
On d�finit de m�me $\E  ^{(\bullet)} \widehat{\otimes} ^\L _{\B  ^{(\bullet)}} \FF ^{(\bullet)}$
lorsque $\B  ^{(\bullet)}$ est un syst�me inductif de $\O _\X$-alg�bres,
$\E  ^{(\bullet)}$ et $\FF  ^{(\bullet)}$ sont des complexes de $\B  ^{(\bullet)}$-alg�bres.

$\bullet$ Le complexe $\E$ (resp. $\FF$) est dit {\og $\B$-quasi-coherent\fg} si
le morphisme canonique
$\E \rightarrow \E \widehat{\otimes} ^\L _{\B} \B$
(resp. $\FF \rightarrow \B \widehat{\otimes} ^\L _{\B} \FF$)
est un isomorphisme.
Pour $* = g$ ou $*=d$, on d�signe par $D ^- _\mathrm{qc} (\overset{ ^*}{} \B  )$
(resp. $D ^\mathrm{b} _\mathrm{qc} (\overset{ ^*}{} \B  )$)
la sous cat�gorie pleine de
$D ^- (\overset{ ^*}{} \B  )$
(resp. $D ^\mathrm{b} (\overset{ ^*}{} \B  )$)
des complexes quasi-coh�rents.

$\bullet$ On remarque que
puisque $\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)}(T)$ est un
$\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T)$-module plat (pour les structures droite ou gauche),
un complexe de $\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)}(T)$-modules � gauche ou � droite
est $\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)}(T)$-quasi-coh�rent si et seulement
s'il est
$\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T)$-quasi-coh�rent.
De plus, on dispose de l'isomorphisme :
$\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T) \otimes ^\L _{\V} \V /\pi ^{i+1}
\riso
\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T) \otimes  _{\V} \V /\pi ^{i+1}$
(cela d�coule de \cite[4.3.3.(i)]{Be1}).
Ainsi, un complexe de $\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T)$-modules est
$\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)}(T)$-quasi-coh�rent si et seulement s'il est
$\O _{\X} $-quasi-coh�rent si et seulement s'il est
$\V$-quasi-coh�rent.


$\bullet$ On note $\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T) $ le syst�me inductive $(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)}(T))_{m \in \N}$.
En localisant deux fois $D ^{\mathrm{b}} ( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$ (ces localisations
remplacent respectivement les foncteurs $-\otimes _\Z \Q$ et {\og limite inductive sur le niveau $m$ \fg}),
on obtient
  $\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q }
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$
  (voir \cite[4.2.1 et 4.2.2]{Beintro2}).
Soit $\E ^{(\bullet)}=(\E ^{(m)}) _{m \in \N} \in \smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))$.
D'apr�s \cite[4.2.3]{Beintro2} (voir aussi \cite[1.1.3]{caro_courbe-nouveau}),
 $\E ^{(\bullet)}$ est dit quasi-coh�rent si et seulement si, pour tout $m $,
$\E ^{(m)} $ est $\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)}(T)$-quasi-coh�rent.
La sous-cat�gorie pleine des complexes quasi-coh�rents est not�e
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))$.
\end{vide}

\begin{vide}
  [Quasi-coh�rence et variation du diviseur]
  \label{qc-vardiv}
  Soient $T _1 \subset T_2$ deux diviseurs de $X$. Avec les remarques de \ref{comp-qc},
  on dispose du foncteur oubli :
$\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _2))
\rightarrow
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T _1) )$
que l'on note $oub _{T_1, T _2}$.

R�ciproquement, on d�finit un foncteur
$(\hdag T _2,\,T _1)\,:\,\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _1))
\rightarrow
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T _2) )$
en posant, pour tout
$\E  ^{(\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _1))$,
$$(\hdag T _2,\,T _1) (\E  ^{(\bullet)} ) :=
\widehat{\D} ^{(\bullet)} _{\X} ( T_2)  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L
_{\widehat{\D} ^{(\bullet)}  _{\X} ( T_1) } \E  ^{(\bullet)},
$$
o�
$\widehat{\D} ^{(\bullet)} _{\X} ( T_2)  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L
_{\widehat{\D} ^{(\bullet)}  _{\X} ( T_1) } \E  ^{(\bullet)} $ d�signe le syst�me inductif
$(\widehat{\D} ^{(m)} _{\X} ( T_2)  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L
_{\widehat{\D} ^{(m)}  _{\X} ( T_1) } \E  ^{(m)} ) _{m\in \N}$.

 Lorsque $T _1$ est vide, on note simplement $oub _{T_2}$ et $(\hdag T_2)$.
On dispose pour ces deux foncteurs des formules de transitivit� en les diviseurs �videntes.
D'apr�s \cite[1.1.8]{caro_courbe-nouveau}, on b�n�ficie aussi de l'isomorphisme
 $(\hdag T _2,\,T _1) \riso (\hdag T _2) \circ oub _{T_1}$.
 Cela implique que les foncteurs
 de la forme $oub _{T_1}$ sont pleinement fid�les (voir \cite[1.1.8]{caro_courbe-nouveau}).
 Il en est donc de m�me des ceux de la forme $oub _{T_1, T _2}$.
 On pourra ainsi sans aucune ambigu�t� omettre d'indiquer les inclusions
 canoniques $oub _{T_1, T _2} \,:\,\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _2))
\subset
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T _1) )$
et identifier les deux foncteurs
$(\hdag T _2,\,T _1) $ et $(\hdag T _2) $.
\end{vide}

\begin{vide}
  [Produits tensoriels internes]
Soient $\E ^{(\bullet)}  , \, \FF ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$.
On d�finit le {\og produit tensoriel interne\fg} de
$\E ^{(\bullet)}$ et $\FF ^{(\bullet)}$ en posant dans
$\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$ :
\begin{equation}
  \label{prod-tens-int}
\E ^{(\bullet)}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF ^{(\bullet)}
  :=
  \E ^{(\bullet)}  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L _{\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(\bullet)} (T )} \FF ^{(\bullet)} ,
\end{equation}
o�
$\E ^{(\bullet)}  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L _{\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(\bullet)} (T )} \FF ^{(\bullet)}$
d�signe le syst�me inductif
$(\E ^{(m)}  \smash{\widehat{\otimes}} ^\L _{\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(m)} (T )} \FF ^{(m)} ) _{m \in  \N }$.

Soient $T _1 \subset T _2$ deux diviseurs et
$\E ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _1))$. Pour simplifier les notations, on �crira abusivement
$\O _{\X } ( \hdag T _2) _{\Q}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T_1 ) _{\Q}}
  \E ^{(\bullet)}$
pour
$\smash{\widehat{\B}} _{\X} ^{(\bullet)} (T _2 )  ^{(\bullet)}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T _1) _{\Q}}
  \E ^{(\bullet)}$.
D'apr�s \cite[1.1.7.1]{caro_courbe-nouveau}, on dispose alors de l'isomorphisme canonique :
\begin{equation}
\label{courbe-1171}
  \O _{\X } ( \hdag T _2) _{\Q}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T_1 ) _{\Q}}
  \E ^{(\bullet)} \riso (\hdag T _2,\,T _1) (\E ^{(\bullet)}).
\end{equation}




\end{vide}


\begin{vide}
[Produits tensoriels externes]

Soient $\X _1$, $\X_2$ deux $\V$-sch�mas formels lisses,
$\E _1 ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X _1} ^{(\bullet)})$,
$\E _2 ^{(\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X _2} ^{(\bullet)})$,
$p _1 \,:\, \X _1\times _\S \X _2\rightarrow \X_1$
et
$p _2 \,:\, \X _1\times _\S \X _2\rightarrow \X_2$
les projections canoniques.
Le {\og produit tensoriel externe\fg} de $\E _1  ^{(\bullet)} $ et $\E  ^{(\bullet)} _2$ est d�fini en posant (voir \cite[4.3.5]{Beintro2}) :
\begin{equation}
  \label{def-boxtimes}
  \E  ^{(\bullet)} _1\smash{\overset{\L}{\boxtimes}} _{\O _\S}^{\dag} \E  ^{(\bullet)} _2 :=
p _1 ^! (\E  ^{(\bullet)} _1 ) \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X _1\times _\S \X_2,\, \Q}} p _2^!(\E  ^{(\bullet)} _2)
[- d _{\X _1} -d _{\X _2}].
\end{equation}


\end{vide}


\begin{vide}
  [Images directes et images inverses extraordinaires]

Le faisceau $\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X ' \rightarrow \X} (T',T):=
\B ^{(m)} _{\X'} (T') \widehat{\otimes} _{\O _{\X'}} f ^* \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)} (T )$
est muni par fonctorialit� d'une structure de
$(\smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(m)} (T '), f^{-1} (\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)} (T )))$-bimodule.

On d�finit
le foncteur
$f _{T} ^! \,:\,\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))
\rightarrow
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(\bullet)} (T '))$
{\og image inverse extraordinaire par $f$ � coefficients surconvergent le long de $T$\fg}
en posant,
pour tout $\E ^{(\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$, :
\begin{equation}
\label{iminvqc}
  f _{T} ^! ( \E ^{(\bullet)}) :=
\smash{\widehat{\D}} ^{(\bullet)} _{\X ' \rightarrow \X} (T',T)
\smash{\widehat{\otimes}} ^\L _{f ^{\text{-}1} \smash{\widehat{\D}} ^{(\bullet)} _\X (T)}
f ^{\text{-}1} \E ^{(\bullet)} [ d_{\X ' /\X}].
\end{equation}

Posons
$\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X \leftarrow \X'} (T,T'):=
\B ^{(m)} _{\X'} (T') \widehat{\otimes} _{\O _{\X'}}
(\omega _{\X'} \otimes _{\O _{\X'}} f _\mathrm{g} ^* (\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)} (T )\otimes _{\O _\X} \omega _{\X} ^{-1})$,
l'indice {\og $\mathrm{g}$\fg} signifiant que l'on a choisit pour calculer l'image inverse la structure gauche de
$\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)} (T )$-module � gauche.
Par fonctorialit�, $\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X \leftarrow \X'} (T,T')$ est muni d'une structure de
$(f^{-1} (\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(m)} (T )), \smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(m)} (T '))$-bimodule.
On d�finit
le foncteur
$f _{T,+}  \,:\,\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(\bullet)} (T '))
\rightarrow
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$
{\og image directe par $f$ � coefficients surconvergent le long de $T$\fg}
en posant,
pour tout
$\E ^{\prime (\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(\bullet)} (T '))$ :
\begin{equation}
\label{imdirqc}
f _{T,+}  ( \E ^{\prime (\bullet)} ):= \R f _* (
\smash{\widehat{\D}} ^{(\bullet)} _{\X \leftarrow \X'} (T,T')
\smash{\widehat{\otimes}} ^\L _{\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X '} (T')}
\E ^{\prime (\bullet)}).
\end{equation}


D'apr�s \cite[1.1.9, 1.1.10]{caro_courbe-nouveau},
on dispose des isomorphismes canoniques de foncteurs :
\begin{equation}
  \label{fT=f}
  oub _{T} \circ f _{T,+} \riso f _+  \circ oub _{T'}
  \hspace{1cm}
  \text{ et }
  \hspace{1cm}
  oub _{T'} \circ f ^! _{T} \riso f ^! \circ oub _T .
\end{equation}
En omettant d'indiquer les inclusions de la forme
$oub _{T} \,:\,\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))
\subset
\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} )$,
on pourra ainsi par abus de notations �crire
$f ^!$ pour $f _T ^!$ (resp. $f _+$ pour $f _{T+}$).

Lorsque $f _0$ ne se rel�ve pas, les bimodules
$\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X ' \rightarrow \X} (T',T)$ et
$\smash{\widehat{\D}} ^{(m)} _{\X \leftarrow \X'} (T,T')$
peuvent n�anmoins �tre d�fini par recollement (e.g., voir \cite[2.1.6]{Be2}).
On construit ainsi de mani�re identique les foncteurs image inverse extraordinaire et image directe par $f _0$,
que l'on note
respectivement par $f _0 ^!$ et $f _{0+}$.
On obtient en particulier la notion d'image inverse par $F _X$, o� $F _X$ d�signe la puissance $s$-i�me de l'endomorphisme de Frobenius absolu de $X$.
Ce foncteur se note simplement $F ^*$. Nous verrons que $F^*$ commute � l'image directe et l'image inverse extraordinaire
(voir \ref{trans-f!pref+} et \ref{commFrobf+}).


\end{vide}


\begin{vide}
  [Commutation � Frobenius et transitivit� de l'image inverse extraordinaire]
\label{trans-f!pref+}
  Soient $f$ : $\X '\rightarrow \X$,
  $g$ : $\X'' \rightarrow \X'$ et $h$ : $\X'''\rightarrow \X ''$ trois morphismes
de $\V$-sch�mas formels lisses.

On dispose, pour tout
$\E ^{(\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)})$,
 de l'isomorphisme canonique dit de {\og transitivit� de l'image inverse extraordinaire\fg},
$g  ^! \circ f  ^! \riso (f\circ g ) ^! $, v�rifiant la condition
d'associativit� : les deux isomorphismes
$h ^!  g  ^! f  ^! \riso h ^!  (f\circ g ) ^! \riso (f\circ g \circ h) ^! $
et
$h ^!  g  ^!f  ^! \riso (g\circ h ) ^! f ^! \riso (f\circ g \circ h) ^! $
sont identiques (voir \cite[1.2.2]{caro_courbe-nouveau}).

En particulier, en d�signant par $F$ les morphismes absolus de Frobenius de $X$ ou $Y$,
on dispose des isomorphismes canoniques de commutation � Frobenius :
$F ^* \circ f ^! (\E ^{(\bullet)}) \riso f ^! \circ F^* (\E ^{(\bullet)})$ (car $F ^* =F ^!$).
Les isomorphismes de transitivit� de l'image inverse extraordinaire sont compatibles � Frobenius.

\end{vide}

\begin{vide}
[Passage � la limite sur le niveau et coh�rence]
\label{lim-coh}
Berthelot d�fini par passage � la limite
$\O _{\X } (\hdag T) _{\Q}:=\underset{\underset{m}{\longrightarrow}}{\lim}\,
\widehat{\B} _{\X } ^{(m)} ( T)_{\Q}$ le {\og faisceau des fonctions sur $\X$
� singularit�s surconvergentes le long de $T$\fg} (\cite[4.2.4]{Be1}).
Il construit de m�me $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T) _{\Q}:=\underset{\underset{m}{\longrightarrow}}{\lim}\,
\smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(m)} ( T)_{\Q}$ et le nomme {\og faisceau des op�rateurs diff�rentiels de niveau fini,
� singularit�s surconvergentes le long de $T$\fg} (\cite[4.2.5]{Be1}).

En passant � la limite sur le niveau puis en tensorisant par $\Q$ sur $\Z$, on obtient
le foncteur not� abusivement (pour simplifier les notations)
$\underset{\longrightarrow}{\lim}$ :
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))
\rightarrow
D  ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$ (e.g., voir \cite[4.2.2]{Beintro2}).
Celui-ci induit une �quivalence de
cat�gories entre $D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$
et une sous-cat�gorie pleine de $\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$, not�e
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{coh}}
(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$ (voir \cite[4.2.4]{Beintro2}).
Par abus de notations, il nous arrivera d'omettre le foncteur $\underset{\longrightarrow}{\lim}$, i.e., d'identifier
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{coh}}
(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$
avec
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$.
De cette mani�re
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \smash{\D} ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$
est une sous-cat�gorie pleine de
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
(\smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)}(T))$.

\end{vide}

\begin{vide}
  [Coh�rence : comment se ramener au cas sans diviseur]
\label{4312Be1}
  Nous utiliserons �norm�ment le r�sultat fondamental suivant de Berthelot (voir \cite[4.3.12]{Be1}) :
  un $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T) _{\Q}$-module coh�rent
   est nul si et seulement si sa restriction sur $\Y$ est nulle.
   Cela implique par exemple qu'un morphisme de $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T) _{\Q}$-modules coh�rents
   est injectif (resp. surjectif) si et seulement si sa restriction sur $\Y$ est injectif (resp. surjectif).
   On en d�duit aussi qu'un morphisme de
   $D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \smash{\D} ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$ est
   un isomorphisme si et seulement si sa restriction sur $\Y$ est un isomorphisme.
   La philosophie est qu'un $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T) _{\Q}$-module coh�rent {\og vit essentiellement sur $\Y$\fg}.
\end{vide}

\begin{vide}
  [Op�rations cohomologiques de complexes coh�rents]
Consid�rons les bimodules suivants $\D ^{\dag} _{\X '\rightarrow \X } (\hdag T' ,T) _{\Q}:=\underset{\underset{m}{\longrightarrow}}{\lim}\,
\smash{\widehat{\D}} _{\X '\rightarrow \X } ^{(m)} ( T' ,T)_{\Q}$,
$\D ^{\dag} _{\X \leftarrow \X'} (\hdag T ,T ')_{\Q}:=
\underset{\underset{m}{\longrightarrow}}{\lim}
\smash{\widehat{\D}} _{\X \leftarrow \X '} ^{(m)} ( T ,T')_{\Q}$.
Soient $T \subset T _2$ un diviseur de $X$,
$\E ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{coh}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$,
$\FF ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{coh}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} (T ))$,
$\E ^{\prime (\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{coh}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X'} ^{(\bullet)} (T' ))$,
$\E  := \underset{\longrightarrow}{\lim} \E ^{(\bullet)} $,
$\FF  := \underset{\longrightarrow}{\lim} \FF ^{(\bullet)} $,
$\E '  := \underset{\longrightarrow}{\lim} \E ^{\prime (\bullet)} $.
On d�finit alors les foncteurs suivants en posant :
\begin{gather}
\label{def-hdagcoh}
  (\hdag T _2 , T ) ( \E ) := \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T _2 ) _{\Q}
\otimes _{\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T  ) _{\Q}} \E,
\\
f ^! _{T} (\E ):=\D ^{\dag} _{\X '\rightarrow \X }  ( \hdag T' , T ) _{\Q}
\otimes ^{\L} _{ f ^{-1} \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q}} f ^{-1} \E [d _{\X '/\X} ],
\\
f  _{T +}( \E '):=
 \R f_* (\D ^{\dag} _{\X \leftarrow \X '}  ( \hdag T , T ') _{\Q}
\otimes ^{\L} _{ \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T ') _{\Q}} \E '),
\end{gather}
o� nous avons omis d'inscrire le symbole {\og $\L$\fg} dans le premier produit tensoriel
car l'homomorphisme $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T  ) _{\Q} \rightarrow \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T _2 ) _{\Q}$ est plat
(voir \cite[4.3.10-11]{Be1}).
On dispose des isomorphismes
$(\hdag T _2 , T ) ( \E ) \riso \underset{\longrightarrow}{\lim} (\hdag T _2 , T ) ( \E ^{(\bullet)} )$,
$f^! _T ( \E ) \riso \underset{\longrightarrow}{\lim} f^! _T ( \E ^{(\bullet)} )$,
$f_{T+} ( \E ') \riso \underset{\longrightarrow}{\lim} f_{T+} ( \E ^{\prime (\bullet)} )$.
Les notations relatives � ces foncteurs sont donc compatibles.
De plus, on pose (voir \ref{prod-tens-int}, \ref{def-boxtimes}) :
\begin{gather}
  \label{otimes-coh}
\E
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF
  :=
  \underset{\longrightarrow}{\lim}  \E ^{(\bullet)}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF ^{(\bullet)} ,\\
    \E   \smash{\overset{\L}{\boxtimes}} _{\O _\S}^{\dag} \FF :=
\underset{\longrightarrow}{\lim}
\E  ^{(\bullet)} \smash{\overset{\L}{\boxtimes}} _{\O _\S}^{\dag} \FF  ^{(\bullet)}.
\end{gather}
\medskip

$\bullet$ Pour tout $\G \in D _{\mathrm{parf}} ( \D ^{\dag} _{\X ,\Q} (\hdag T ))$,
Virrion d�finit son {\og foncteur dual $\D ^{\dag} _{\X ,\Q} (\hdag T )$-lin�aire\fg} (voir \cite[I.3.2]{virrion})
en posant :
\begin{equation}
\label{def-dualdiv}
\DD _{T} ( \G) := \R \mathcal{H}om _{\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q}}
( \G , \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q} \otimes _{\O _{\X , \Q}} \omega _{\X ,\Q} ^{-1} [d _{\X}]).
\end{equation}
Elle a aussi v�rifi� (voir \cite[II.3.5]{virrion}) que
l'on dispose de l'{\og isomorphisme de bidualit�\fg} compatible � Frobenius :
\begin{equation}
  \label{bidual}
  \DD _T \circ \DD _T (\G) \riso \G.
\end{equation}
\medskip

$\bullet$ Rappelons que Noot-Huyghe (\cite{huyghe_finitude_coho}) a prouv� que le faisceau
$\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q}$
est de dimension cohomologique finie. Comme $\D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q}$ est aussi coh�rent (\cite[5.4]{Be1}),
on obtient
$D _{\mathrm{parf}} ( \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q})=
D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}}( \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T ) _{\Q})$.
Ainsi, le foncteur $\DD _{T} $ pr�serve la coh�rence.
Par contre, le foncteur $f _{T+}$ (resp. $f ^! _T$) ne pr�serve pas la coh�rence
lorsque $f $ est une immersion ouverte (resp. immersion ferm�e) diff�rente de l'identit�.
Berthelot (voir \cite{Beintro2}) a n�anmoins v�rifi� la stabilit� de la coh�rence par le foncteur
$f _{T+}$ (resp. $f ^! _T$) lorsque $f$ est un morphisme propre (resp. un morphisme lisse).
\medskip

$\bullet$ Lorsque cela aura un sens, on notera alors respectivement
$ f ^+ _{ T} : = \DD_{T'} \circ f ^! _{T} \circ \DD_{T}$ et
$f _{ T , !} : =\DD_{T} \circ f  _{T   +} \circ \DD_{T '}$
{\og l'image inverse\fg} et {\og l'image directe extraordinaire\fg}.
\end{vide}

\begin{vide}
[Isomorphisme de dualit� relative]
\label{dual-relasection}
Dans toute cette section concernant l'isomorphisme de dualit� relative, $f$ est propre.
Virrion construit dans \cite{Vir04}
un isomorphisme de commutation entre les foncteurs duaux respectifs et
le foncteur image directe par $f$. Un tel isomorphisme est appel� {\og isomorphisme de dualit� relative\fg}.
En reprenant ses constructions (notamment, celui tr�s technique du morphisme trace),
nous avons v�rifi� dans \cite[1.2.7]{caro_courbe-nouveau} que cet isomorphisme de dualit� relative
s'�tend de la mani�re suivante :
pour tout $\E '\in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T')_{\Q} )$,
il existe alors dans $D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} (\D ^{\dag} _{\X }(\hdag T)_{\Q}  )$
l'isomorphisme canonique :
\begin{equation}
\label{iso-dualrel}
f _{T,+} \circ \DD _{T '} (\E ')\riso \DD _{T}\circ f _{T , +} (\E ' ).
\end{equation}
Lorsque le diviseur est vide, on retrouve un cas particulier du contexte de \cite{Vir04}.
Lorsque le diviseur $T$ n'est pas vide, il n'est pas clair que les cat�gories utilis�es dans \cite{Vir04}
correspondent aux complexes � cohomologie born�e et coh�rente. C'est pr�cis�ment ce qui nous
avait conduit � v�rifier \ref{iso-dualrel}
pour $\E '\in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T')_{\Q} )$.

En outre, lorsque $f $ est une immersion ferm�e, nous avons v�rifi� dans \cite[2.4.3]{caro-frobdualrel}
que \ref{iso-dualrel} commute � Frobenius (plus pr�cis�ment, aux images inverses par Frobenius $F ^*$)


Le th�or�me de dualit� relative implique le fait suivant :
pour tous $\E' \in  D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T')_{\Q} )$,
$\E \in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T)_{\Q} )$,
on dispose alors de l'isomorphisme canonique d'adjonction
fonctoriel en $\E$ et $\E'$ :
\begin{gather}
\label{f+adjf!}
\mathrm{adj} _{f,T} : \mathrm{Hom} _{ \D ^{\dag} _{\X  ,\,\Q} ( \hdag T) }( f _{T, +} (\E'),\E )
\riso
\mathrm{Hom} _{ \D ^{\dag} _{\X ',\,\Q} ( \hdag T') }(\E'  ,f _{T } ^! (\E) ),
\end{gather}
o� $\mathrm{Hom} _{ \D ^{\dag} _{\X  ,\,\Q}} (-,-) :=
H ^0 \circ \R \mathrm{Hom} _{ D( \D ^{\dag} _{\X  ,\,\Q})} (-,-) =
\mathrm{Hom} _{D( \D ^{\dag} _{\X  ,\,\Q})} (-,-)$.

D'apr�s \cite[1.2.15]{caro_courbe-nouveau} (voir aussi \cite[1.2.8]{caro-construction} avec
la remarque \cite[1.2.9]{caro-construction}),
cet isomorphisme d'adjonction est transitif pour la composition des morphismes propres.

\end{vide}

\begin{vide}
  [Commutation � Frobenius de l'image directe par un morphisme propre d'un complexe coh�rent]
  \label{commFrobf+}
  Berthelot a construit (voir \cite[4.3.9.1]{Beintro2} ou \cite[3.4.4]{Be2}),
  pour tout
  $\E ^{(\bullet)} \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}} (
  \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} )$,
  l'isomorphisme canonique de commutation de l'image directe par $f $ � Frobenius :
  $f _+ F^* (\E ^{(\bullet)} )\riso F ^* f _+ (\E ^{(\bullet)} ) $.
\medskip

  Lorsque $f$ est propre, d'apr�s \cite[1.2.12.1]{caro_courbe-nouveau}, pour tout
  $\E \in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T)_{\Q} )$, on dispose d'une seconde construction
  de l'isomorphisme
  $f _{T+} F^* (\E )\riso F ^* f _{T+} (\E  ) $.
  Ce dernier isomorphisme est caract�ris� par le fait que,
  pour tous $\E' \in  D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T')_{\Q} )$,
$\E \in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X } (\hdag T)_{\Q} )$,
 le morphisme d'adjonction de \ref{f+adjf!}
  \begin{gather}
\notag
\mathrm{adj} _{f,T} : \mathrm{Hom} _{ \D ^{\dag} _{\X  ,\,\Q} ( \hdag T) }( f _{T, +} (\E'),\E )
\riso
\mathrm{Hom} _{ \D ^{\dag} _{\X ',\,\Q} ( \hdag T') }(\E'  ,f _{T } ^! (\E) ),
\end{gather}
est alors compatible aux isomorphismes de commutation � Frobenius (voir \cite[1.2.21]{caro_courbe-nouveau}).
De plus, les morphismes d'adjonction entre l'image directe et l'image inverse
extraordinaire par un morphisme propre (i.e., lorsqu'ils existent, ceux de la forme
$f _{T, +} f _{T } ^! (\E) \rightarrow \E$ ou $\E '\rightarrow f _{T } ^! f _{T, +}  (\E') $)
sont alors, pour cette seconde construction,
aussi compatibles � Frobenius (voir \cite[1.2.13, 1.2.14]{caro_courbe-nouveau}).
En outre, d'apr�s \cite[1.2.11]{caro-construction}, ces morphismes d'adjonction sont transitifs pour la
composition de morphismes propres (voir aussi \cite[1.2.8]{caro-construction} avec
la remarque \cite[1.2.9]{caro-construction}).

  Il n'est pas �vident que ces deux constructions co�ncident.
  Cependant, lorsque $f $ est une immersion ferm�e,
  cela a d�j� �t� v�rifi� (voir \cite[2.5.4]{caro-frobdualrel}).
En outre, toujours lorsque $f$ est une immersion ferm�e, nous avons �tabli (voir \cite[2.4.3]{caro-frobdualrel})
que,
pour tout $\E '\in D _{\mathrm{coh}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '} (\hdag T')_{\Q} )$,
l'isomorphisme de dualit� relative
\begin{equation}
\notag
f _{T,+} \circ \DD _{T '} (\E ')\riso \DD _{T}\circ f _{T , +} (\E ' )
\end{equation}
de \ref{iso-dualrel} est compatible � Frobenius.

 Nous n'utiliserons dans cet article que l'isomorphisme $f _{T+} F^* (\E )\riso F ^* f _{T+} (\E  ) $
  construit dans \cite[1.2.12.1]{caro_courbe-nouveau}.

  Concernant la transitivit� de l'image directe par un morphisme propre et sa compatibilit� � Frobenius,
  cela sera trait� de mani�re plus approfondi dans la section \ref{compatsurhol} dans le cas des complexes surholonomes.

\end{vide}

\begin{vide}
  [Structure de Frobenius, holonomie, crit�re d'holonomie de Virrion]
\label{cri-hol}
Rappelons la convention suivante de Berthelot (\cite[5.1]{Beintro2}) :
un $F$-$\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-\textit{module} est la donn�e
d'un $\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-module $\E$ et d'un isomorphisme $\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-lin�aire
$\Phi$ : $ \E \riso F^* \E$. Les morphismes de $F$-$\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-modules sont les morphismes
$\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-lin�aires commutant � l'action de Frobenius.
De m�me, nous appellerons
$F$-$\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q}$-\textit{complexe} la donn�e d'un complexe
$\E\in D ^{\mathrm{b}} _{\mathrm{coh}}(\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q})$
et d'un isomorphisme $\Phi$ : $ \E \riso F^* \E $ dans $D ^{\mathrm{b}} _{\mathrm{coh}}(\D^{\dag} _{\X} ( \hdag T) _{\Q})$.
On notera cette cat�gorie
$F$-$D ^{\mathrm{b}} _{\mathrm{coh}} (  \D _{\X , \Q } ^{\dag} (\hdag T))$.
Par abus de notations, on pourra omettre d'indiquer la structure de Frobenius $\Phi$
et ainsi �crire $\E$ � la place $(\E,\Phi)$.
\medskip

$\bullet$
Soit $\E$ un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module coh�rent. Berthelot d�finit dans \cite[5.2.7]{Beintro2}
la vari�t� caract�ristique de $\E$, que l'on notera $\mathrm{Car} (\E)$. En outre, d'apr�s \cite[5.3.4]{Beintro2},
l'in�galit� de Bernstein est v�rifi�e : si $\E$ est non nul
alors, pour tout point $x$ du support de $\E$, on a
\begin{equation}
\mathrm{dim}  _x \mathrm{Car} (\E) \geq \mathrm{dim} _x X.
\end{equation}



Conform�ment � Virrion (voir \cite[III.1.2]{virrion}),
on d�finit
la {\og dimension de $\E$\fg} en posant $\dim \E := \sup _x ( \dim _x \mathrm{Car}(\E))$.
De plus, la {\og codimension de $\E$\fg} est par d�finition $\mathrm{codim} (\E):= 2 d_X - \dim (\E)$
(c'est donc la codimension de la vari�t� caract�ristique $\mathrm{Car}(\E)$ associ�e � $\E$ dans le fibr� cotangent).
Ces deux d�finitions s'�tendent naturellement aux $F\text{-}\D ^\dag _{\PP, \,\Q}$-modules coh�rents � droite via
les foncteurs quasi-inverses $- \otimes _{\O _{\X} }\omega _{\X}$ et $- \otimes _{\O _{\X} }\omega _{\X} ^{-1}$.

L'in�galit� de Bernstein  assure que, si $\E \neq 0$, alors $\dim \E \geq d _X$.
Autrement dit, un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module coh�rent $\E$ est holonome si et seulement si
$\dim (\E)\leq d$ si et seulement si
$\mathrm{codim} (\E) \geq d$.



D'apr�s la terminologie de Berthelot,
un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module coh�rent $\E$ est \text{holonome} si
$\E=0$ ou si $\dim \E = d_X$.
De plus, un $F$-complexe $\E \in F$-$D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^{\dag} _{\X,\Q})$ est
\textit{holonome}
si ses faisceaux de cohomologie le sont. Nous noterons $F$-$D^{\mathrm{b}} _{\mathrm{hol}}(\D ^{\dag} _{\X,\Q})$
la sous-cat�gorie pleine de $F$-$D^{\mathrm{b}} _{\mathrm{coh}}(\D ^{\dag} _{\X,\Q})$
des $F$-$\D ^{\dag }_{\X,\Q}$-complexes holonomes.
\medskip

$\bullet$ On dispose enfin du {\og crit�re homologique\fg} de l'holonomie d� � Virrion (voir \cite[III.4.2]{virrion}) qui nous sera tr�s utile :
un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module coh�rent $\E$
est holonome si et
seulement si, pour tout $i \neq  d _{\X}$, on ait
$ \mathcal{E} xt ^i _{\D _{\X ,\Q} ^{\dag}} ( \E , \D _{\X ,\Q} ^{\dag} ) =0.$
Ainsi, si $\E$ est un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module holonome
on dispose alors de l'isomorphisme canonique
$\mathcal{H} ^0 \DD (\E) \riso  \DD (\E) $.
De plus, Virrion a v�rifi� que
$\mathcal{H} ^0 \DD (\E) $ est aussi un $F$-$\D ^{\dag} _{\X,\Q}$-module holonome qui sera not�
$\E ^*$ (voir \cite[III.4.3]{virrion}).
Cela implique que l'holonomie est stable par le foncteur dual $\DD$ (voir \cite[III.4.4]{virrion}).

\end{vide}



\begin{vide}
  [Analogue arithm�tique de Berthelot du th�or�me de Kashiwara]
\label{kashiwara}
On suppose ici que $f _0$ est une immersion ferm�e qui ne se rel�ve pas forc�ment en un morphisme
de $\V$-sch�mas formels lisses.
  \begin{enumerate}
    \item  Pour tout $\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q}$-module coh�rent
    (resp. $F$-$\D ^\dag _{\X,\Q}$-module holonome)
    $\E$ � support dans $X '$,
    pour tout $\D ^\dag _{\X ' } (\hdag T ') _{ \Q}$-module coh�rent $\E'$
    (resp. $F$-$\D ^\dag _{\X ',\Q}$-module holonome)
    $\mathcal{H} ^k {f _0} _+ (\E ) =0$ et $\mathcal{H} ^k  f _0 ^!(\E) =0$.
    \item Les foncteurs ${f _0} _+$ et $ f _0 ^!$ sont des �quivalences quasi-inverses entre la cat�gorie des
    $\D ^\dag _{\X } (\hdag T ) _{ \Q}$-modules coh�rents � support dans $X '$
    (resp. $F$-$\D ^\dag _{\X,\Q}$-modules holonomes � support dans $X'$) et celle des
    $\D ^\dag _{\X ' } (\hdag T') _{ \Q}$-modules coh�rents
    (resp. $F$-$\D ^\dag _{\X',\Q}$-modules holonomes).
  \end{enumerate}
Le cas non respectif a �t� v�rifi� par Berthelot (voir \ref{kashiwara} ou \cite[3.1.6]{caro_surcoherent}).
Le cas respectif s'en d�duit
gr�ce au crit�re d'holonomie de Virrion (voir \ref{cri-hol}) et � l'isomorphisme de dualit� relative.
\end{vide}


\begin{vide}
  [Foncteur cohomologique local]
  \label{fct-cohloc}
  Nous exposons ici les principaux r�sultats de \cite[2.2]{caro_surcoherent}.
  Soit $Z$ un sous-sch�ma ferm� de $X$.
  Le {\og foncteur cohomologique local � support strict dans $Z$\fg} construit dans \cite[2.2.6]{caro_surcoherent}
sera not� $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z \, :\,
\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))
  \rightarrow \smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))$ (on dispose d'une deuxi�me construction
  par Berthelot donn�e dans \cite[4.4.4, 4.4.5]{Beintro2}).
Rappelons en deux mots sa construction.
Lorsque $Z$ est un diviseur de $X$, $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z $ est par d�finition
le foncteur cohomologique local � support strict dans $Z$ construit par Berthelot (voir \cite[4.4.4, 4.4.5]{Beintro2}).
Si $Z$ est l'intersection des diviseurs $T _1, \dots, T _r$,
alors, pour tout $\E ^{(\bullet)} \in
\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))$,
  on pose $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E ^{(\bullet)} )
  = \R \underline{\Gamma} ^\dag _{T _1} \circ \cdots \circ
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{T _r} (\E ^{(\bullet)} ) $.
Cette d�finition de $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E ^{(\bullet)} )$
a bien un sens car celle-ci est (� isomorphisme canonique pr�s) ind�pendante
du choix des diviseurs $T _1 ,\dots, T _r$ tels que $Z = \cap _{l=1,\dots, r} T _r$
(voir \cite[2.2.4--6]{caro_surcoherent}).
Pour tous sous-sch�mas ferm�s $Z$, $Z'$ de $X$,
on obtient alors
l'isomorphisme canonique compatible � Frobenius
et fonctoriel en $Z$ et $Z'$ (voir \cite[2.2.8]{caro_surcoherent}) :
\begin{equation}
  \label{GammaZGammaZ'}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z\cap Z'}
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'}.
\end{equation}
De plus, pour tous sous-sch�mas ferm�s $Z$, $Z'$, $Z''$ de $X$,
les deux morphismes compos�s canoniques suivants sont �gaux :
\begin{gather}
  \notag
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z\cap Z'\cap Z''}
  \riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z\cap Z'} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z''}
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'}\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z''},
\\
\label{transZZ'Z''}
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z\cap Z'\cap Z''}
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'\cap Z''}
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'}\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z''}.
\end{gather}
\medskip

$\bullet$ Lorsque $Z$ est un diviseur, pour tout $\E ^{(\bullet)} \in
\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)}(T))$,
Berthelot a �tabli que l'on dispose du triangle
distingu� de localisation en $Z$ (voir \cite[5.3.6]{Beintro2} ou \cite[2.2]{caro_surcoherent}):
\begin{equation}
  \label{tri-local}
\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E ^{(\bullet)})
\rightarrow \E ^{(\bullet)}
\rightarrow (\hdag Z) (\E ^{(\bullet)}) \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E ^{(\bullet)}) [1],
\end{equation}
o� le foncteur $(\hdag Z)$ est celui d�fini dans \ref{qc-vardiv}.
\medskip

$\bullet$
On �tend alors naturellement la d�finition du foncteur
$(\hdag Z)$ au cas o� $Z$ est un sous-sch�ma ferm� quelconque
de $X$
en d�finissant $(\hdag Z) (\E ^{(\bullet)})$ comme �gale
au cone du morphisme canonique
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E ^{(\bullet)})
\rightarrow \E ^{(\bullet)}$. On l'appelle foncteur de localisation en dehors de $Z$
(ou, de fa�on abusive, foncteur restriction en dehors de $Z$).
Si $Z, Z'$ sont deux sous-sch�mas ferm�s de $X$, on b�n�ficie d'apr�s \cite[2.2.14]{caro_surcoherent}
de l'isomorphisme canonique compatible � Frobenius :
\begin{equation}
  \label{hdagcirchdag}
  (\hdag Z ) \circ (\hdag Z') (\E ^{(\bullet)}) \riso (\hdag Z \cup Z') (\E ^{(\bullet)}).
\end{equation}
\medskip

$\bullet$
D'apr�s \cite[2.2.6.1]{caro_surcoherent}, pour tout $\E ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} )$,
\begin{equation}\label{gamma=otimegammaO}
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } ( \O _{\X, \Q}) \smash{\overset{\L}{\otimes}}
^{\dag}_{\O _{\X , \Q}} \E ^{(\bullet) } \riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }(\E ^{(\bullet)})
,\
 (\hdag Z)( \O _{\X, \Q}) \smash{\overset{\L}{\otimes}}   ^{\dag}_{\O _{\X , \Q}} \E ^{(\bullet)}
 \riso (\hdag Z) (\E ^{(\bullet)}),
\end{equation}
o� nous avons identifi� le syst�me inductif de $\smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)} )$ constant �gal � $\O _{\X} $ avec $\O _{\X,\Q}$.
Cela implique que les foncteurs de la forme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }$
et $(\hdag Z)$ commutent deux � deux (voir \cite[2.2.6.1]{caro_surcoherent}).
\medskip

$\bullet$
Sans supposer que $f _0$ se rel�ve, soit $Z$ un sous-sch�ma ferm� de $X$ et
$Z': = f^{-1} (Z)$.
Pour tous
$\E ^{(\bullet)} \in
\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X } ^{(\bullet)})$,
$\E ^{\prime \bullet} \in
\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
  ( \smash{\widehat{\D}} _{\X '} ^{(\bullet)})$,
on dispose des isomorphismes fonctoriels en $Z$, compatibles � Frobenius (voir \cite[2.2.18]{caro_surcoherent}) :
\begin{gather}
\label{commutfonctcohlocal2}
  f _0^! \circ\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }(\E ) \riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  '}\circ f _0^! (\E ), \
f _0^! \circ (\hdag Z)(\E ) \riso (\hdag Z ') \circ f _0^! (\E ),
\\
\label{commutfonctcohlocal2+}
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z}\circ f _{0+} (\E')
\riso
f _{0+} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'}(\E' )
 , \
(\hdag Z )\circ f _{0+} (\E') \riso  f _{0+} \circ (\hdag Z')(\E' ).
\end{gather}
\medskip

$\bullet$
Soient $Z_1$, $Z_2$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X$ et
$\E \in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }} ^\mathrm{b}
_{\Q, \mathrm{qc}} (\overset{^g}{} \widehat{\D} _{\X}
^{(\bullet)} )$.
On dispose aussi des triangles distingu�s de localisation de
Mayer-Vietoris (voir \cite[2.2.16]{caro_surcoherent}) :
\begin{gather}\label{eq1mayer-vietoris}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1\cap Z_2}(\E ) \rightarrow
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}(\E ) \oplus
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2 }(\E )  \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1\cup Z _2}(\E ) \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1 \cap Z _2}(\E )[1],\\
 (\hdag Z _1 \cap Z _2)(\E ) \rightarrow
(\hdag Z _1)(\E ) \oplus  (\hdag Z _2) (\E )
\rightarrow   (\hdag Z _1 \cup Z _2)(\E ) \rightarrow (\hdag Z _1\cap Z _2)(\E )[1].
\end{gather}
\medskip

$\bullet$
Supposons maintenant que $f_0 \,:\, X' \hookrightarrow X$ soit une immersion ferm�e.
On b�n�ficie alors de l'isomorphisme canonique :
\begin{equation}
\label{445Beintro}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'} (\E ^{(\bullet)}) \riso f _{0+} f^!_0 (\E ^{(\bullet)})
\end{equation}
En effet,
$f _{0+} f^!_0 (\E ^{(\bullet)})= f _{0+} ( \O _{\X',\Q}
\smash{\overset{\L}{\otimes}} ^{\dag}_{\O _{\X ', \Q}}
f^!_0 (\E ^{(\bullet)})
\riso
f _{0+} ( \O _{\X',\Q} [d_{X'/X}])
\smash{\overset{\L}{\otimes}} ^{\dag}_{\O _{\X , \Q}}
\E ^{(\bullet)}
\riso
f _{0+} f _0 ^! ( \O _{\X,\Q})
\smash{\overset{\L}{\otimes}} ^{\dag}_{\O _{\X , \Q}}
\E ^{(\bullet)},
$
o� le premier isomorphisme est l'exemple de \cite[2.1.4]{caro_surcoherent}.
Avec \ref{gamma=otimegammaO}, il suffit donc de prouver
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'} ( \O _{\X,\Q})
\riso f _{0+} f _0 ^! ( \O _{\X,\Q}).$
Comme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'} ( \O _{\X,\Q})\in
D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ et est � support dans $X'$ (voir \cite{Becohdiff}),
cela d�coule du th�or�me de Kashiwara et de \ref{commutfonctcohlocal2} (en remarquant aussi
que $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'}$ est l'identit� sur
$\smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X '} ^{(\bullet)})$).
Comme Berthelot a obtenu un isomorphisme similaire (voir \cite[4.4.4, 4.4.5]{Beintro2}),
cela implique que les deux constructions du foncteur cohomologique local
� support strict dans un sous-sch�ma ferm� $Z$
se rejoignent lorsque $Z$ est lisse.




\end{vide}


\begin{vide}
[Surcoh�rence]
\label{defi-surcoh}
La notion de {\og surcoh�rence\fg} (voir \cite[3.1.1]{caro_surcoherent}) est d�finie de la mani�re suivante :
  soit $\E$ un ($F$-)$\D ^\dag _{\X } (\hdag T) _{ \Q}$-module coh�rent (resp. un
objet de ($F$-)$D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\X } (\hdag T) _{\Q})$). On dit que $\E$ est
{\og $\D ^\dag _{\X } (\hdag T) _{\Q}$-surcoh�rent\fg} si pour tout morphisme lisse de $\V$-sch�mas
formels lisses $g$ : $\PP \rightarrow \X$, pour tout
diviseur $H $ de $P$, $(\hdag H ) ( g ^* \E)$ est un
($F$-)$\D ^\dag _{\PP } (\hdag g ^{-1} (T)) _{ \Q}$-module coh�rent (resp. un
objet de ($F$-)$D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\PP} (\hdag g ^{-1} (T)) _{\Q})$).
On note ($F$-)$D ^\mathrm{b} _{\mathrm{surcoh}} (\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{ \Q})$,
la sous-cat�gorie pleine de
($F$-)$D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{ \Q})$ des complexes surcoh�rents.


Un complexe est surcoh�rent si et seulement si ses espaces de cohomologie le sont
(cela vient du fait que les foncteurs de la forme $g ^*$ et $(\hdag H ) $ sont exacts si $g$ est lisse
et $H$ est un diviseur).
La surcoh�rence est stable par image directe par un morphisme propre,
par image inverse extraordinaire et par foncteur cohomologique local (voir \cite[3.1.7, 3.1.9]{caro_surcoherent}).
\end{vide}

\begin{vide}
  [Isocristaux surconvergents associ�s aux $\D$-modules arithm�tiques :
Cas de la compactification lisse]
\label{Cas-comp-lisse}



Le point de d�part est le th�or�me suivant de Berthelot
(voir \cite{Be4} ou pour une version publi�e \cite[4.4.5]{Be1} et \cite[2.2.12]{caro_courbe-nouveau})
qui am�liore la caract�risation \cite[4.4.5]{Be1} (et \cite[4.6]{Be2} pour la commutation � Frobenius)
des isocristaux surconvergents :

\begin{theo**}[Berthelot]
\label{be4eqiso}
On note $\X _K$ la fibre g�n�rique de $\X$ comme
$K$-espace analytique rigide, et $\mathrm {sp}$ : $\X _K \rightarrow \X$ le morphisme de sp�cialisation.

Les foncteurs $\sp _*$ et $\sp ^*$ induisent des �quivalences quasi-inverses entre la cat�gorie des isocristaux sur $Y$,
surconvergents le long de $T$, et celle des $\D ^{\dag}  _{\X } ( \hdag T) _{\Q}  $-modules coh�rents
$\O  _{\X } ( \hdag T) _{\Q}  $-coh�rents. Ceux-ci commutent en outre � Frobenius.

De plus, un $\D ^{\dag}  _{\X } ( \hdag T) _{\Q}  $-module coh�rent $\E$ est
$\O  _{\X } ( \hdag T) _{\Q}  $-coh�rent si et seulement si la restriction
$\E {|\Y}$ est $\O _{\Y , \Q}$-coh�rente.
\end{theo**}

On suppose que $\X$ un $\V$-sch�ma formel s�par� et lisse.
Soient $Z$ un sous-sch�ma ferm� lisse de $X$ tel que $T \cap Z$ soit un diviseur de $Z$ (cette derni�re condition
n'est pas vraiment restrictive). On pose $U:=Z \setminus T$.

Nous �tendons (voir \cite[2.5.10]{caro-construction}) le th�or�me \ref{be4eqiso} de la mani�re suivante :
il existe un foncteur canonique pleinement fid�le not� $\sp _{Z \hookrightarrow \X, T,+}$
de la cat�gorie des isocristaux sur $U$ surconvergents le long de $T \cap Z$
dans celle des $\D ^{\dag}  _{\X } ( \hdag T) _{\Q}  $-modules surcoh�rents � support dans $Z$
(pour la surcoh�rence, il faut aussi consulter \cite[6.1.4]{caro_devissge_surcoh}).
En particulier, lorsque le diviseur $T$ est vide, on obtient un foncteur
pleinement fid�le not� $\sp _{Z \hookrightarrow \X,+}$
de la cat�gorie des isocristaux convergents sur $Z$
dans celle des $\D ^{\dag}  _{\X ,\Q}  $-modules surcoh�rents � support dans $Z$.

Lorsque $Z \hookrightarrow \X$ se rel�ve en une immersion ferm�e
$u\,:\, \ZZ \hookrightarrow \X$ de $\V$-sch�mas formels lisses,
il suffit pour tout isocristal $E$ sur $U$ surconvergent le long de $T \cap Z$
de poser $\sp _{Z \hookrightarrow \X, T,+} (E):= u _{T+} \circ \sp _*(E)$. La pleine fid�lit�
se d�duit du th�or�me de Kashiwara.
Les isocristaux surconvergents et les $\D$-modules arithm�tiques
ont l'aspect {\it cristallin} suivant :
les images inverses par deux rel�vements (induisant la m�me r�duction modulo $\pi$) sont canoniquement isomorphes
(voir respectivement \cite[2.2.17]{Berig} et \cite[2.1.5]{Be2}).
Cela implique que le module $\sp _{Z \hookrightarrow \X, T,+} (E)$ ne d�pend pas � isomorphisme canonique pr�s du choix du
rel�vement $u$.
On construit alors par recollement $\sp _{Z \hookrightarrow \X, T,+} (E)$
(pour les d�tails techniques, voir \cite[2]{caro-construction}).

De plus, le foncteur $\sp _{Z \hookrightarrow \X, T,+} $
commute � Frobenius (voir \cite[4.1.9]{caro-construction}), aux foncteurs duaux et images inverses (voir \cite[4]{caro-construction}).
\end{vide}

\begin{vide}
  [$F$-isocristaux surcoh�rents]
\label{Fisocsurcoh}
Soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel propre et lisse, $T$ un diviseur de $X$, $\Y := \X \setminus T$,
$Z$ un sous-sch�ma ferm�. On suppose que $U:=Z \setminus T$ est lisse (mais $Z$ n'est plus forc�ment lisse).

$\bullet$ On dispose (voir \cite[3.2.1]{caro_devissge_surcoh} et aussi
\cite[2.3.2]{caro-2006-surcoh-surcv} pour la simplification de la d�finition dans le cas propre avec structure de Frobenius)
la cat�gorie $F$-$\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( \X, T, Z/K)$ de la mani�re suivante :
  \begin{itemize}
    \item les objets sont les
  $F$-$\smash{\D} ^\dag _{\X} (\hdag T) _\Q$-modules surcoh�rents $\E$ � support dans $Z$ tels qu'il existe un isocristal convergent $G$ sur $U$
v�rifiant
    $\E |{\Y} \riso \sp _{U\hookrightarrow \Y, +} (G)$ ;
   \item les fl�ches sont les morphismes $F$-$\smash{\D} ^\dag _{\PP} (\hdag T) _\Q$-lin�aires.
  \end{itemize}
Cette cat�gorie $F$-$\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( \X, T, Z/K)$ ne d�pend canoniquement pas du choix
de $(\X, T,Z)$ tels que $Z \setminus T=U$. Elle sera not�e
$F$-$\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( U/K)$ et ses objets sont les {\og $F$-isocristaux surcoh�rents sur $U$\fg}.
\medskip

$\bullet$ Lorsque $U$ est un $k$-sch�ma s�par� lisse quelconque, on construit plus g�n�ralement la cat�gorie
$F$-$\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( U/K)$ par recollement (voir \cite[2.2.4]{caro-2006-surcoh-surcv})
\end{vide}

\begin{vide}
  [Isocristaux surconvergents associ�s aux $\D$-modules arithm�tiques :
Cas g�n�ral]
On dispose du th�or�me suivant qui �tend d'une certaine mani�re \ref{be4eqiso} (voir \cite[2.3.2]{caro-2006-surcoh-surcv}) :

\begin{theo}
\label{eqcat-gen}
Soit $U $ un $k$-sch�ma s�par� et lisse. On dispose d'une �quivalence canonique de cat�gories
$$\sp _{U,+}\ :\ F\text{-}\mathrm{Isoc} ^{\dag}( U/K )\cong F\text{-}\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( U/K ).$$
\end{theo}

Donnons une esquisse de la preuve. Tout d'abord, les deux cat�gories �tant construites par recollement,
on se ram�ne � supposer $U$ affine et lisse.
On construit dans ce cas explicitement le foncteur $\sp _{U,+}$ via le choix d'un plongement $U \hookrightarrow \X$,
avec $\X$ �gale au compl�t� $p$-adique de l'espace projectif $\P ^n _\V$ pour un certain entier $n$.
Lorsque que l'adh�rence de $U$ dans $X$ est lisse, cette construction est canoniquement isomorphe
au foncteur construit dans \ref{Cas-comp-lisse}.
En proc�dant ensuite par r�currence sur la dimension de $U$,
quitte � se restreindre � un ouvert dense de $U$,
on peut alors se ramener au cas o� $U$ v�rifie certaines hypoth�ses techniques g�om�triques (voir la notion {\og la d�singularisation id�ale\fg}
de \cite[7.1.1]{caro_devissge_surcoh}).
Ces conditions g�om�triques nous permettent par {\it descente finie et �tale} de se supposer que la compactification de $U$ est lisse.
Ce dernier cas a d�j� �t� trait� dans \ref{Cas-comp-lisse}.

\end{vide}






















\section{Un crit�re d'holonomie}

Soit $\PP$ un $\V$-sch�ma formel lisse.
\begin{defi}
\label{defi-fef}
  Un $\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-module coh�rent $\E$ (resp. un complexe $\E$ de
  $D _\mathrm{coh} ^\mathrm{b} (\D ^\dag _{\PP,\,\Q})$) est dit � {\og fibres extraordinaires finies\fg} si,
  pour tout point ferm� $x$ de $P$, pour tout rel�vement $i _x$ de l'immersion ferm�e $\Spec k(x) \hookrightarrow P$ induite par $x$,
  les espaces de cohomologie de $i ^! _x (\E )$ sont des $K$-espaces vectoriels de dimension finie.

Puisque la {\it surcoh�rence} (\cite[3.1.1]{caro_surcoherent})
est pr�serv�e par image inverse extraordinaire (\cite[3.1.7]{caro_surcoherent}),
on remarque qu'un $\D ^\dag _{\PP,\,\Q}$-module surcoh�rent (resp. un complexe de
  $D _\mathrm{coh} ^\mathrm{b} (\D ^\dag _{\PP,\,\Q})$) est � fibres extraordinaires finies.
\end{defi}

\begin{lemm}\label{lemmsurcoh=>hol}
  Soit $\E$ un $F\text{-}\D ^\dag _{\PP, \,\Q}$-module coh�rent � fibres extraordinaires finies.
  En notant $Z$, le sous-sch�ma ferm� r�duit de $P$
  d�finissant son support, il existe un ouvert $\U$ de $\PP$,
  tel que $Y:=Z \cap U$ soit affine, lisse et dense dans $Z$ et
  tel que la restriction de $\E$ sur $\U$
  soit isomorphe � l'image par
  $\sp _{Y\hookrightarrow \U,+}$ (voir \ref{Cas-comp-lisse})
  d'un $F$-isocristal convergent sur $Y$. En particulier,
  $\E |{\U}$ est holonome et non nul.
\end{lemm}
\begin{proof}
Soit $\U'$ un ouvert de $\PP$ tel que $Y':= Z \cap U'$ soit affine,
lisse et dense dans $Z$. D'apr�s Elkik (voir \cite{elkik}), on peut
alors relever $Y'$ en un $\V$-sch�ma formel affine et lisse $\Y'$.
Comme $\U'$ est lisse et $\Y'$ est affine, il existe un morphisme de
$\V$-sch�mas formels lisses de la forme $v\,:\, \Y '\hookrightarrow
\U'$ relevant $Y '\hookrightarrow \U'$. Comme $\E |\U'$ est un
$F\text{-}\D ^\dag _{\U',\Q}$-module coh�rent � support dans $Y'$ et
� fibres extraordinaires finies, il r�sulte du th�or�me de Kashiwara
(voir \ref{kashiwara}) que $v ^! (\E|\U')$ est un $F\text{-}\D ^\dag
_{\Y',\Q}$-module coh�rent et � fibres extraordinaires finies.
D'apr�s \cite[2.2.17]{caro_courbe-nouveau}, il existe alors un
ouvert $\U $ de $\U'$ tel que $\Y:= \Y' \cap U$ soit affine et dense
dans $\Y'$ et tel que $v ^! (\E|\U') | \Y$ soit m�me $\O
_{\Y,\Q}$-coh�rent. Notons $u\,:\, \Y \hookrightarrow \U$
l'immersion ferm�e induite par $v$. Ainsi $u ^! (\E |\U)$ est un
$F\text{-}\D ^\dag _{\Y,\Q}$-module coh�rent , $\O _{\Y,
\Q}$-coh�rent. D'apr�s \cite[5.3.5.(i)]{Beintro2}, cela implique que
$u ^! (\E |\U)$ est holonome. D'apr�s la version coh�rente du
th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}), comme $\E |\U$ est �
support dans $Y$, $u _+  u ^! (\E |\U)\riso \E |\U$ et donc, d'apr�s
la version holonome de \ref{kashiwara}, $\E |\U$ est holonome.

Enfin, d'apr�s \ref{Cas-comp-lisse}, en notant $G:= \sp ^* (u ^! (\E|\U))$ le $F$-isocristal convergent sur $Y$ associ�
� $u ^! (\E|\U)$, on obtient :
$\sp _{Y\hookrightarrow \U,+} (G) = u _+ ( \sp _* (G)) \riso u _+  u
^! (\E |\U)\riso \E |\U$. On a ainsi prouv� $\sp _{Y\hookrightarrow \U,+}
(G)  \riso \E |\U$. D'o� le r�sultat.
\end{proof}

Nous aurons aussi besoin du r�sultat suivant qui �tend et se d�duit de \ref{lemmsurcoh=>hol} :
\begin{lemm}
  \label{lemmsurcoh=>hol2}
  Soient $\E _1,\dots, \E _n$ des $F\text{-}\D ^\dag _{\PP, \,\Q}$-modules coh�rents � fibres extraordinaires finies non tous nuls.
  Il existe alors un ouvert $\U$ de $\PP$ tel que
  $\E _1 |\U,\dots, \E _n |\U$  soient holonomes et non tous nuls.
\end{lemm}

\begin{proof}
  On proc�de par r�currence sur le nombre $N$ de faisceaux $\E _i$ non nul (avec $i$ parcourant $1,\dots, n$).
  Lorsque $N =1$, ce r�sulte de \ref{lemmsurcoh=>hol} (en effet, le module nul est holonome).
  Supposons � pr�sent $N \geq 2$. Quitte � r�indexer, supposons
  $\E _1\neq 0$.
  D'apr�s \ref{lemmsurcoh=>hol},
  il existe un ouvert $\U'$ de $\PP$ tel que $\E _1 |\U'$ soit holonome et non nul.
  Le cas o�, pour tout $i\geq2$, $\E _i |\U'=0$ est imm�diat.
  Autrement, supposons que les $\E _2 |\U', \dots, \E _n |\U'$ soient non tous nuls.
  Par hypoth�se de r�currence, il existe un ouvert $\U$ de $\U'$ tel que
  $\E _2 |\U, \dots, \E _n |\U$ soient holonomes et non tous nuls. Le fait que
  $\E _1 |\U$ soit aussi holonome nous permet de conclure.
\end{proof}

\begin{lemm}
  \label{lemmsurcoh=>holrem}
  Pour tout $F\text{-}\D ^\dag _{\PP, \,\Q}$-module coh�rent $\E$, $\mathcal{H} ^0 \DD (\E)$ est holonome.
  De plus, $\mathcal{H} ^0 \DD \circ \mathcal{H} ^0 \DD(\E)$ est le plus grand sous-$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module
 coh�rent de $\E$ qui soit holonome.
\end{lemm}
\begin{proof}
Notons $d$ la dimension de $P$.
D'apr�s \cite[III.2.4.(i)]{virrion}, $\mathrm{codim} (\mathcal{E}xt _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} ^{d}(\E, \D ^\dag _{\PP,\Q}) )\geq d$.
Comme $\mathcal{H} ^0 \DD (\E) \riso \mathcal{E}xt _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} ^{d}(\E, \D ^\dag _{\PP,\Q})\otimes _{\O _{\X} }\omega _{\X} ^{-1}$,
on obtient ainsi $\mathrm{codim} (\mathcal{H} ^0 \DD (\E) ) \geq d$.
Or, d'apr�s \ref{cri-hol} (voir la d�finition de l'holonomie et l'in�galit� de Bernstein),
$\mathcal{H} ^0 \DD (\E) $ est holonome
si et seulement si
$\mathrm{codim} (\mathcal{H} ^0 \DD (\E) ) \geq d$. D'o� l'holonomie de
$\mathcal{H} ^0 \DD (\E) $.

La deuxi�me assertion �tant locale en $\PP$, on peut supposer $\PP$ affine.
R�sumons d'abord la construction de la suite spectrale
�tudi�e par Virrion dans \cite[III.3.4]{virrion}.
Puisque $\E$ est coh�rent, il existe
une r�solution gauche
$\mathcal{L} ^\bullet \rightarrow \E$ o� $\mathcal{L} ^\bullet $ est un complexe de $\D ^\dag _{\PP,\Q}$-modules localement projectifs de type fini
de longueur $d$ (concernant la longueur, voir \cite[III.3.3]{virrion}).
La deuxi�me suite spectrale d'hypercohomologie du foncteur
$\mathcal{H} om _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} (-,\D ^\dag _{\PP, \Q})$ par rapport au complexe
$\mathcal{H} om _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} ( \mathcal{L} ^\bullet,\D ^\dag _{\PP, \Q})$  donne la suite spectrale
(voir \cite[III.3.4, p.60]{virrion}) :
\begin{equation}
  \label{suitespectVirrion}
  E _2 ^{i,j} = \mathcal{E}xt _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} ^{i}(\mathcal{E}xt _{\D ^\dag _{\PP, \Q}} ^{-j}(\E, \D ^\dag _{\PP,\Q}), \D ^\dag _{\PP,\Q} )
\Rightarrow
E ^n =\mathcal{H} ^n (\E).
\end{equation}
Virrion a �tabli dans la preuve de \cite[III.3.6]{virrion}
que la filtration d�croissante $(F^l (\E) ) _{l=1,\dots, d}$
d�finie par la suite spectrale
\ref{suitespectVirrion} pour $n=0$ poss�de la propri�t� suivante :
$F^l (\E)$ est le plus grand sous-$F$-$\D ^\dag _{\PP,\Q}$-module coh�rent de $\E$
de codimension sup�rieure ou �gale � $l$.
Comme �tre de codimension sup�rieure ou �gale � $d$ �quivaut � �tre holonome,
cela implique que
$F^d (\E)$ est le plus grand sous-$F$-$\D ^\dag _{\PP,\Q}$-module coh�rent de $\E$ qui soit holonome.
Or, les termes non nuls de $E ^{i,j} _2 $ sont � l'int�rieur du triangle
d�fini par $i=-j$, $j=0$ et $i=d$ (voir \cite[III.3.4, p.61]{virrion}).
Cela implique que $ E _{2} ^{d,-d} = E _{\infty} ^{d,-d} = F^d (\E)$.
L'isomorphisme
$ E _{2} ^{d,-d} \riso \mathcal{H} ^0 \DD \circ \mathcal{H} ^0 \DD(\E)$
nous permet de conclure.
\end{proof}



\begin{prop}\label{surcoh=>hol}
  Soit $\E$ un $F\text{-}\D ^\dag _{\PP, \, \Q}$-module coh�rent. Si les espaces de cohomologie de $\DD (\E)$ sont
  � fibres extraordinaires finies (e.g., si $\DD (\E)$ est $\D ^\dag _{\PP, \, \Q}$-surcoh�rent),
  alors $\E$ est holonome.
\end{prop}
\begin{proof}
Notons $d $ la dimension de $P$.
Pour tout entier $d \geq i \geq 0$,
  notons $\FF _i:= \mathcal{H} ^{-i} \DD (\E)$. Pour $d \geq i \geq 1$, d�signons par
  $Z _i$ le support de $\FF _i$ et $Z:=\cup _{i=1,\dots, d} Z _i$ leur r�union.
D'apr�s le crit�re d'holonomie de Virrion (voir \ref{cri-hol} ou \cite[III.4.2]{virrion}), $\E$ est holonome si et seulement si
$\FF _1,\dots , \FF _d$ sont tous nuls.

Par l'absurde, supposons que $\FF _1,\dots , \FF _d$ sont non tous nuls.
Il d�coule de \ref{lemmsurcoh=>hol2}
  qu'il existe un ouvert $\U$ de $\PP$ tel que
  $\FF _1 |\U,\dots, \FF _d |\U$ soient holonomes et non tous nuls.
 Par \ref{lemmsurcoh=>holrem}, $\FF _{0}$ est lui aussi holonome.
 Ainsi, les espaces de cohomologie de $\DD (\E|{ \U})$ sont tous holonomes, i.e.,
le complexe $\DD (\E|{ \U})$ est holonome.
Donc, gr�ce au th�or�me de bidualit� (voir \ref{bidual} ou \cite[II.3.5]{virrion}) et
  � la pr�servation de l'holonomie par le foncteur $\DD$ (voir \cite[III.4.4]{virrion}),
  $\E |{ \U}$ est holonome.
 Or, d'apr�s le crit�re d'holonomie de Virrion (voir \ref{cri-hol} ou \cite[III.4.2]{virrion}),
 cela implique que $\FF _1 |\U,\dots, \FF _d |\U$ sont tous nuls.
 On a ainsi abouti � une contradiction.
\end{proof}






\section{Surholonomie et stabilit�}
On d�signera par $\X$ un $\V$-sch�ma formel lisse.


\begin{defi}\label{defi-surhol}
  Soit $\E$ un objet de ($F$-)$D (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$. On d�finit par r�currence sur
  l'entier $r\geq 0$, la notion
  de {\it $r$-surholonomie}, de la fa�on suivante :
  \begin{enumerate}
    \item $\E$ est {\it $0$-surholonome} si et seulement si
    $\E \in (F$-$)D _\mathrm{surcoh} ^\mathrm{b} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ ;
    \item Pour tout entier $r \geq 1$, $\E$ est {$r$-surholonome} si et seulement si $\E $ est $r-1$-surholonome
    et, pour tout morphisme lisse $f$ : $\X' \rightarrow \X$ de $\V$-sch�mas formels, pour tout diviseur $T '$ de $X'$, le complexe
    $\DD (\hdag T ') f ^! (\E)$ est $r-1$-surholonome.
  \end{enumerate}
  On dit que $\E$ est {\it $\infty$-surholonome} ou tout simplement {\it surholonome}
  si $\E$ est $r$-surholonome pour tout entier $r$.
  On note ($F$-)$D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ la sous-cat�gorie pleine
  de ($F$-)$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ des complexes surholonomes.
  Enfin un ($F$-)$\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module est $r$-surholonome (resp. surholonome) s'il l'est en tant
  qu'objet de ($F$-)$D ^\mathrm{b} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
\end{defi}




\begin{rema}\label{rema-hol}
\begin{enumerate}
  \item \label{rema-hol(i)} Pour tout entier naturel $r ' \geq r$, si un complexe $\E$ de ($F$-)$D (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ est $r'$-surholonome alors
$\E$ est $r$-surholonome. En particulier $\E \in (F$-$)D _\mathrm{surcoh} ^\mathrm{b} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.

\item R�ciproquement, il est raisonnable de conjecturer que la surcoh�rence est stable par foncteur dual.
  Si cette conjecture �tait vraie alors, pour tout entier $r$,
  la notion de $r$-surholonomie serait �quivalente � celle de surcoh�rence (i.e. $0$-surholonomie) et
  donc � celle de surholonomie. Par \ref{surcoh=>hol}, cela impliquerait donc aussi que
  les $F$-complexes surcoh�rents sont holonomes.



\end{enumerate}
\end{rema}


\begin{prop} \label{stab-surhol-Dual-hdag}
\begin{enumerate}
\item \label{stab-surhol-Dual-hdag3}
  Soient $r \in \N \cup \{\infty \}$ et
  $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ un complexe $r+1$-surholonome.
  Alors $\DD (\E)$ est $r$-surholonome

  \item \label{stab-surhol-Dual-hdag2}Un facteur direct d'un complexe $r$-surholonome est
  $r$-surholonome.

  \item \label{stab-surhol-Dual-hdag0} Soient $r \in \N \cup \{\infty \}$ et
  $\E ' \rightarrow \E \rightarrow \E'' \rightarrow \E' [1]$ un triangle distingu�
  de $D  (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$. Si deux des complexes sont $r$-surholonomes alors
  le troisi�me l'est. En particulier,
  $D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ est une sous-cat�gorie
  triangul�e de $D ^\mathrm{b} _\mathrm{surcoh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.

  \item \label{stab-surhol-Dual-hdag-1}
  Soient $r \geq 1$ un entier ou $r =\infty$ et
  $\E$ un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module $r$-surholonome.
  Alors $\E$ est holonome.

  \item \label{stab-surhol-Dual-hdag1}
  Soient $r \in \N \cup \{\infty \}$ et
  $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ un complexe $r$-surholonome.
Alors, pour tout sous-sch�ma ferm� $Z$ de $X$,
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E)$ et $(\hdag Z)(\E)$ sont $r$-surholonomes.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}La propri�t� \ref{stab-surhol-Dual-hdag3}) est tautologique
(avec les notations de \ref{defi-surhol}, il suffit de prendre $T'$ vide et $f$ �gal � l'identit�).
Les propri�t�s \ref{stab-surhol-Dual-hdag2}) et
\ref{stab-surhol-Dual-hdag0})
sont v�rifi�es pour les complexes coh�rents.
On v�rifie alors \ref{stab-surhol-Dual-hdag2}) et
\ref{stab-surhol-Dual-hdag0}) lorsque $r=0$.
Le cas g�n�ral s'en d�duit par r�currence sur $r \in \N$.
Traitons � pr�sent \ref{stab-surhol-Dual-hdag-1}).
D'apr�s la remarque \ref{rema-hol}.\ref{rema-hol(i)}, il suffit de l'�tablir lorsque $r=1$.
Gr�ce � \ref{stab-surhol-Dual-hdag3}),
si $\E$ est un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module $1$-surholonome alors
$\DD (\E)$ est surcoh�rent. Par \ref{surcoh=>hol}, cela implique que $\E$ est holonome.
D'o� \ref{stab-surhol-Dual-hdag-1}).
Maintenant, �tablissons \ref{stab-surhol-Dual-hdag1}).
Le cas $r =0$ a d�j� �t� trait� (voir \cite[3.1.5]{caro_surcoherent}).
Soient $r \geq 1$ un entier et $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ un complexe $r$-surholonome.


Traitons � pr�sent le cas o� $Z$ est un diviseur.
On obtient par r�currence sur $r$ que $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E)$ et $(\hdag Z)(\E)$ sont $r-1$-surholonomes.
Puis, en utilisant \ref{commutfonctcohlocal2} puis \ref{hdagcirchdag},
pour tout morphisme lisse $f$ : $\X' \rightarrow \X$ de $\V$-sch�mas formels,
pour tout diviseur $T '$ de $X'$,
on dispose des isomorphismes :
$$\DD (\hdag T ') f ^! (\hdag Z) (\E) \riso
\DD (\hdag T ') (\hdag f ^{-1} (Z)) f ^!  (\E) \riso
\DD (\hdag T ' \cup f ^{-1} (Z)) f ^!  (\E) .$$
Le complexe $\DD (\hdag T ') f ^! (\hdag Z) (\E) $  est donc $r-1$-surholonome.
On a ainsi prouv� que $(\hdag Z) (\E)$ est $r$-surholonome (voir \ref{defi-surhol}).
En utilisant le triangle de localisation en $Z$ (voir \ref{tri-local}) et via \ref{stab-surhol-Dual-hdag0}), il en d�rive que
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } (\E)$ est $r$-surholonome.

Passons maintenant au cas o� $Z$ est un sous-sch�ma ferm� quelconque de $X$.
D'apr�s \cite[2.2.5]{caro_surcoherent},
il existe des diviseurs $T _1, \dots, \,T _n$ de $X$ tels que
$Z =\cap _{i=1,\dots ,n} T _i$.
En notant $Z':= \cap _{i=2,\dots ,n} T _i$, on dispose du triangle distingu� de Mayer-Vietoris
(voir \ref{eq1mayer-vietoris}) :
$$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } (\E) \rightarrow \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) \oplus \R \underline{\Gamma} ^\dag _{T_1 } (\E)
\rightarrow \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'\cup T_1 } (\E)
\rightarrow \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } (\E)  [1].$$
Comme $Z'$ et $Z '\cup T_1$ sont des intersections de $n-1$ diviseurs,
on termine la preuve gr�ce � \ref{stab-surhol-Dual-hdag0}) et en proc�dant par r�currence sur $n$.
\end{proof}

\begin{coro}\label{stab-surhol-dualT}
  Soient $T$ un diviseur de $X$ et $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q})$.
  Alors $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$ si et seulement si
  $\DD _T (\E) \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
\end{coro}
\begin{proof}
Supposons $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
  On remarque que morphisme canonique $\E \rightarrow (\hdag T) (\E)$ est
  un morphisme de $\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q}$-modules coh�rents
  qui est un isomorphisme en dehors de $T$.
Par \cite[4.3.12]{Be1} (voir \ref{4312Be1}), on en d�duit que
  $\E \rightarrow (\hdag T) (\E)$ est un isomorphisme.
  Or, d'apr�s \cite[I.4.4]{virrion}, les foncteurs duaux commutent � l'extension des scalaires, i.e.,
$\DD _T \circ (\hdag T) (\E) \riso (\hdag T)\circ \DD (\E)$.
On obtient donc $\DD _T (\E) \riso (\hdag T)\circ \DD (\E)$.
  Il r�sulte alors de \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.i) et \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.v) que
  $\DD _T (\E) \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
  La r�ciproque d�coule de l'isomorphisme de bidualit� $\DD _T \circ \DD _T (\E) \riso \E$.
\end{proof}








A l'instar de la coh�rence, on v�rifie que la notion de
surholonomie est locale en $\X$. De plus,
on �tend les propri�t�s standards
des modules coh�rents aux modules surholonomes. Par exemple, on a les deux propositions suivantes :


\begin{prop}
\label{propkerimsurcoh}
  Soient $\Phi$ : $\E \rightarrow \FF$ un morphisme de $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules coh�rents
  et $r \in \N \cup \{ \infty \}$.
  Si $\E$ et $\FF$ sont $r$-surholonomes, alors
  $\ker \Phi $, $\mathrm{coker} \Phi$ et $\mathrm{Im} \Phi$ sont $r$-surholonomes.
\end{prop}
\begin{proof}
Soient $f$: $\X' \rightarrow \X $ un morphisme lisse de $\V$-sch�mas formels,
 $T'$ un diviseur de $X'$. Notons $f ^* := \mathcal{H} ^0 f ^! [-d_{X'/X}]$.
Proc�dons alors � une r�currence sur $r \geq 0$.
Comme $f$ est lisse, le foncteur $f ^*$ est exact et
l'image par $f ^*$ d'un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-module coh�rent
est un $F\text{-}\D ^\dag _{\X',\,  \Q}$-module coh�rent.
Comme l'extension $\D ^\dag _{\X',\,  \Q} \rightarrow \D ^\dag _{\X'} (\hdag T') _{\Q}$ est plate,
le foncteur $(\hdag T')$ de la cat�gorie des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X',\,  \Q}$-modules coh�rents
dans celle des $F\text{-}\D ^\dag _{\X'} (\hdag T') _{\Q}$-modules coh�rents
est exact.
Il en r�sulte que
le foncteur $(\hdag T') \circ  f ^*$
qui va de
la cat�gorie des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules coh�rents
dans celle des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X'} (\hdag T') _{\Q}$-modules coh�rents
est exact et commute aux noyaux, conoyaux et images.
Comme les noyaux, conoyaux, images d'un morphisme de $F\text{-}\D ^\dag _{\X',\,  \Q}$-modules coh�rents
sont $F\text{-}\D ^\dag _{\X',\,  \Q}$-coh�rents, on v�rifie alors le cas $r=0$.

Supposons maintenant le th�or�me valid� pour $r-1 \geq 0$ et prouvons-le pour $r$.
Comme le foncteur $(\hdag T') \circ  f ^*$ est exact,
on se ram�ne par hypoth�se de r�currence � prouver que $\DD (\ker \Phi )$, $\DD(\mathrm{coker} \Phi)$ et $\DD (\mathrm{Im} \Phi)$ sont
$r -1$-surholonomes.
Par \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag-1}, comme $r \geq 1$,
$\Phi$ est un morphisme de $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules holonomes.
Or, d'apr�s \cite[5.3.5.(ii)]{Beintro2},
une suite exacte de $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules coh�rents dont le terme du milieu est holonome
est une suite exacte de $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules holonomes.
Il en r�sulte que $\ker \Phi $, $\mathrm{coker} \Phi$  et $\mathrm{Im} \Phi$ sont holonomes.
Rappelons que d'apr�s le crit�re homologique de Virrion de l'holonomie (voir \ref{cri-hol}),
si $\G$ est un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-module holonome,
alors en posant $\G ^* := \mathcal{H} ^0 \DD (\G)$ on obtient
$\G ^* \riso \DD (\G)$.
Notons $\Phi ^* := \mathcal{H} ^0 \DD (\Phi)\,:\,\FF ^* \rightarrow \E ^* $ le morphisme dual de $\Phi$.
Comme le foncteur $\mathcal{H} ^0 \DD$ est exact sur la cat�gorie des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules holonomes,
alors $(\mathrm{Im} (\phi )) ^*\riso \mathrm{Im} (\phi ^*) $,  $(\ker \Phi ) ^* \riso \mathrm{coker}(\Phi ^*) $,
$(\mathrm{coker} \Phi ) ^* \riso \ker (\Phi ^*) $.
Or, $\Phi ^*$ est un morphisme de
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules $r-1$-surholonomes.
Par hypoth�se de r�currence, il en d�coule que
$(\mathrm{Im} (\phi )) ^*$,  $(\ker \Phi ) ^* $,
$(\mathrm{coker} \Phi ) ^*  $
sont $r-1$-surholonomes, ce qu'il fallait d�montrer.
\end{proof}




\begin{prop}\label{5surhol}
Soit $\E _1 \rightarrow \E _2 \rightarrow \E _3 \rightarrow \E _4 \rightarrow \E _5$
une suite exacte de $F\text{-}\D ^\dag _{\X ,\, \Q}$-modules coh�rents.
Pour tout $r\in \N \cup \{ \infty \}$,
si $\E _1$, $\E _2$, $\E _4$, $\E _5$ sont $r$-surholonomes,
alors $\E _3$ est $r$-surholonome.
\end{prop}
\begin{proof}
La preuve est analogue � celle de \ref{propkerimsurcoh} :
soient $f$: $\X' \rightarrow \X $ un morphisme lisse de $\V$-sch�mas formels,
 $T'$ un diviseur de $X'$. Traitons le cas $r=0$. Comme le foncteur
$(\hdag T') \circ  f ^*$ est exact,
on obtient la suite exacte
$(\hdag T') \circ  f ^* (\E _1) \rightarrow (\hdag T') \circ  f ^* (\E _2) \rightarrow
(\hdag T') \circ  f ^* (\E _3 ) \rightarrow
(\hdag T') \circ  f ^*( \E _4 )\rightarrow (\hdag T') \circ  f ^* (\E _5)$.
Comme par hypoth�se tous les termes sauf celui du milieu sont
des $F\text{-}\D ^\dag _{\X',\,  \Q}$-modules coh�rents, celui du milieu l'est aussi. Ainsi, $\E _3$ est
un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-module surcoh�rent.

Supposons maintenant le th�or�me valid� pour $r-1 \geq 0$ et prouvons-le pour $r$.
Comme le foncteur $(\hdag T') \circ  f ^*$ est exact,
on se ram�ne par hypoth�se de r�currence � prouver que
$\DD ( \E _3)$ est $r-1$-surholonome.

Par \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag-1}, comme $r \geq 1$,
$\E _1$, $\E _2$, $\E _4$, $\E _5$ sont holonomes.
Notons $\FF _2$ (resp. $\FF _3$) l'image de $\E _2 \rightarrow \E _3$
(resp. $\E _3 \rightarrow \E _4$).
D'apr�s \cite[5.3.5.(ii)]{Beintro2}, comme $\E _2$ (resp. $\E _4$)
est holonome, $\FF _2$ (resp. $\FF _3$) est aussi holonome.
Encore d'apr�s \cite[5.3.5.(ii)]{Beintro2}, comme
on dispose de la suite exacte $0\rightarrow \FF _2 \rightarrow \E _3 \rightarrow  \FF _3 \rightarrow 0$
avec $\FF _2$ et $\FF _3$ holonomes alors $\E _3$ est holonome.

Ainsi, $\DD ( \E _3)\riso \E _3 ^*$. Comme le foncteur $\mathcal{H} ^0 \DD$ est exact sur la cat�gorie des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules holonomes,
on obtient la suite exacte
$\E _5 ^* \rightarrow \E _4 ^* \rightarrow \E _3 ^* \rightarrow \E _2 ^* \rightarrow \E _1^*$.
Par hypoth�se de r�currence, $\E _3 ^* $ est donc $r-1$-surholonome.
\end{proof}

\begin{coro}\label{sspectsurhol}
  Pour $N\geq p, q \geq 0$, $r _0\geq 1$,
  soit $\E _{r _0} ^{p,q} \Rightarrow \E ^n$ une suite spectrale de
  $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules coh�rents.
Si, pour tous $p,q$, les
 $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules $\E _{r _0} ^{p,q}$ sont $r$-surholonomes, alors
 les $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,  \Q}$-modules $\E ^n$ sont, pour tout $n$, $r$-surholonomes.
\end{coro}

\begin{proof}
Il d�coule de \ref{propkerimsurcoh} que les $\E _{\infty} ^{p,q} $ sont $r$-surholonomes.
Par \ref{5surhol}, on en d�duit que les $\E ^n$ sont $r$-surholonomes.
\end{proof}


\begin{theo}\label{stabinminv}
Soient $\Y$ et $\X$ deux $\V$-sch�mas formels lisses et
$f _0$ : $Y \rightarrow X$ un morphisme entre leur fibre sp�ciale.
  Pour tout $\E \in D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\X ,\, \Q})$,
  pour tout entier $r$,
  si $\E$ est $r$-surholonome alors
  $f _0 ^! (\E) $ est $r$-surholonome.
\end{theo}
    \begin{proof}
    Comme le th�or�me est local en $\Y$,
    on peut supposer que $f_0$ se rel�ve en un morphisme $f$ : $\Y \rightarrow \X$.
    Proc�dons alors par r�currence sur l'entier $r \geq 0$.
    Pour $r=0$, c'est \cite[3.1.7]{caro_surcoherent}. Supposons donc le th�or�me valid�
    pour $r-1 \geq 0$ et prouvons-le pour $r$.


Puisque $f$ se d�compose en une immersion (le graphe de $f$ : $\Y \hookrightarrow \Y \times _\S \X $)
    suivie de la projection lisse $\Y \times _\S \X \rightarrow \X$,
il suffit de traiter le cas o� $f$ est lisse et celui o� $f$ est une immersion ferm�e.
Soient $g$ : ${\Y '}  \rightarrow \Y$ un morphisme lisse et
    $Z$ un diviseur de $Y' $.
Par hypoth�se de r�currence sur $r$, il s'agit d'�tablir que $\DD\circ (\hdag Z) \circ g ^! (f ^! (\E) )$
est $r-1$-surholonome.
Lorsque $f$ est lisse, cela d�coule de l'isomorphisme
$\DD\circ (\hdag Z) \circ g ^! (f ^! (\E) )\riso \DD\circ (\hdag Z) \circ (f\circ g) ^! (\E) )$
et du fait que $\E$ est $r$-surholonome.
On se ram�ne donc � traiter le cas o� $f$ est une immersion ferm�e.


     Il suffit de prouver que pour tout morphisme lisse $g$ : ${\Y '}  \rightarrow \Y$ et
    pour tout diviseur $Z$ de $Y' $ le complexe
    $\DD\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } \circ  g ^! (f ^! (\E) )$ est $r-1$-surholonome.
En effet, en prenant $Z$ �gal � l'ensemble vide, cela implique que
$\DD\circ g ^! (f ^! (\E) )$ est $r-1$-surholonome.
En appliquant le foncteur dual $\DD$ au triangle de localisation de
$g ^! (f ^! (\E) )$ en $Z$ (voir \ref{tri-local}),
il d�coule alors de \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag0}
que $\DD\circ (\hdag Z)\circ  g ^! (f ^! (\E) )$ est $r-1$-surholonome.



En fixant $g$ et $Z$, prouvons � pr�sent que $\DD\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } \circ  g ^! (f ^! (\E) )$ est $r-1$-surholonome.
Comme cela est local en ${\Y '} $,
    on peut donc supposer que $g$ se d�compose en une immersion ferm�e ${\Y '} \hookrightarrow \widehat{\A} _{\Y} ^n$
    suivie de la projection $\widehat{\A} _{\Y} ^n \rightarrow \Y$. En notant $p$ la projection
    $\widehat{\A} _{\X } ^n \rightarrow \X$ et $i $ l'immersion ferm�e
    ${\Y '}  \hookrightarrow \widehat{\A} _{\X } ^n$, on obtient $f\circ g = p\circ i$.
Ainsi, $\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } \circ g ^! (f ^! (\E) )\riso
\DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } \circ i ^! \circ  p ^! (\E)$.
    Comme l'image inverse extraordinaire commute au foncteur cohomologique local (voir \ref{commutfonctcohlocal2}),
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } i ^!  \riso i ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }$.
    D'o� :
    $\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }\circ  g ^! (f ^! (\E) )\riso
     \DD \circ i ^! \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }\circ  p ^! (\E)$.


En utilisant le th�or�me de Kashiwara (\ref{kashiwara})
      puis le th�or�me de dualit� relative (\cite{Vir04} ou \ref{iso-dualrel}),
on obtient sur $D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\Y ' ,\, \Q}) $ :
$\DD \riso i^! i_+ \DD \riso i^! \DD i_+ $.
Or, comme $\E$ est surcoh�rent,
$i ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E)
\in D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\Y ' ,\, \Q}) $.
D'o� :
$\DD (i ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E))
\riso
i^! \DD i_+ (i ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E))$.
Comme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E) \in D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\widehat{\A} _{\X } ^n ,\, \Q}) $
et est � support dans $Y'$ (car $Z \subset Y'$),
le th�or�me de Kashiwara implique
$i^! \DD i_+ (i ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E))
\riso
i ^! \DD\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E)$. On a ainsi �tabli
l'isomorphisme
$\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } g ^! (f ^! (\E) )
\riso
     i ^! \DD\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E)$.


     Or, d'apr�s \ref{stab-surhol-Dual-hdag}, comme $\E$ est $r$-surholonome le complexe
     $\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E)$ est $r-1$-surholonome.
     Par hypoth�se de r�currence, $  i ^! \DD\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z } p ^! (\E)$
     est aussi $r-1$-surholonome.
     \end{proof}



\begin{theo}\label{stabinmdir}
Soient $\Y$ et $\X$ deux $\V$-sch�mas formels lisses et
$f _0$ : $Y \rightarrow X$ un morphisme propre entre leur fibre sp�ciale.
On suppose que l'une des conditions suivantes est valid�e :
\begin{enumerate}
  \item \label{stabinmdir1} Le morphisme $f _0$ se rel�ve en un morphisme $f$ : $\Y \rightarrow \X$ de
  $\V$-sch�mas formels lisses ;
  \item \label{stabinmdir2} Le morphisme $f _0$ est une immersion ferm�e ;
  \item \label{stabinmdir3} Le $\V$-sch�ma formel $\Y$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse.
\end{enumerate}

  Pour tout $\FF \in D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\Y ,\, \Q})$,
  pour tout entier $r$, si $\FF$ est $r$-surholonome alors
  $f _{0+} (\FF) $ est $r$-surholonome.
\end{theo}
\begin{proof}
Dans le cas \ref{stabinmdir3}), on suppose que $\Y$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel $\PP$ propre
et lisse. Il en r�sulte une d�composition de $f _0$ en une immersion ($Y \hookrightarrow P \times X$) suivie
d'un morphisme propre et lisse (la projection $P \times X \rightarrow X$) qui se rel�ve en
$\PP \times \X \rightarrow \X$.
Comme $f _0$ est propre, l'immersion $Y \hookrightarrow P \times X$ est une immersion ferm�e
(voir \cite[II.4.8.(e)]{HaAG}).
Il suffit donc de traiter les deux cas \ref{stabinmdir2}) et \ref{stabinmdir1}).
Or, le cas \ref{stabinmdir2}) se ram�ne au cas relevable \ref{stabinmdir1}).
En effet, dans le cas o�
$f _0$ est une immersion ferm�e,
comme le th�or�me est local en $\X$
on peut supposer $\X$ et donc $\Y$ affines. Il existe alors un rel�vement
$f $ : $\Y \rightarrow \X$ de $f _0$.
Il suffit donc de traiter le cas o� le morphisme $f _0$ se rel�ve en un morphisme propre $f$ : $\Y \rightarrow \X$.

  Maintenant, traitons le cas \ref{stabinmdir1}) et proc�dons � une r�currence sur l'entier $r \geq 0$.
  Le cas $r =0$ a �t� d�montr� dans \cite[3.1.9]{caro_surcoherent}.
Supposons donc le th�or�me valid� pour $r-1\geq 0$ et prouvons-le pour $r$.
Soient $\FF$ un complexe $r$-surholonome de $\D ^\dag _{\Y ,\, \Q}$-modules,
$g$ : $\X '\rightarrow \X$ un morphisme lisse de $\V$-sch�mas formels
et $T'$ un diviseur de $X'$. Notons $f '$ : $ \Y \times _{\X} \X ' \rightarrow \X '$
et $g '$ : $ \Y \times _{\X} \X ' \rightarrow \Y $ les projections respectives.
Il s'agit de prouver que
$\DD (\hdag T') g ^! f _+(\FF)$ est $r-1$ surholonome.
Or, en utilisant l'isomorphisme de changement de base de l'image directe d'un morphisme propre
par un morphisme lisse $g ^! f _+ (\FF) \riso f ' _+  g ^{\prime !} (\FF)$
(voir \cite[3.1.8]{caro_surcoherent}), la commutation de l'image directe au foncteur cohomologique
local (voir \ref{commutfonctcohlocal2}) et
au th�or�me de dualit� relative de Virrion
(voir \cite{Vir04} ou \ref{iso-dualrel} pour la version avec diviseur),
on obtient les isomorphismes :
$$\DD (\hdag T') g ^! f _+(\FF) \riso
\DD (\hdag T') f ' _+  g ^{\prime !} (\FF) \riso
\DD f ' _+ (\hdag f ^{\prime -1} T')  g ^{\prime !} (\FF) \riso
f ' _+ \DD (\hdag f ^{\prime -1} T')  g ^{\prime !} (\FF).$$
D'apr�s la proposition \ref{stab-surhol-Dual-hdag} et le th�or�me \ref{stabinminv}, le complexe
$\DD (\hdag f ^{\prime -1} T')  g ^{\prime !} (\FF)$ est $r-1$-surholonome.
Par hypoth�se de r�currence, il en d�coule que le complexe
$f ' _+ \DD (\hdag f ^{\prime -1} T')  g ^{\prime !} (\FF)$ est $r-1$-surholonome.
\end{proof}


\begin{theo}[Kashiwara]\label{kashiwarasurhol}
Soient $\Y$ et $\X$ deux $\V$-sch�mas formels lisses,
$f _0$ : $Y \hookrightarrow X$ une immersion ferm�e entre leur fibre sp�ciale.
  \begin{enumerate}
    \item \label{kashiwarasurhol1} Pour tout $r \in \N \cup \{\infty\}$,
    pour tout $\D ^\dag _{\X,\Q}$-module $r$-surholonome
    $\E$ � support dans $Y$,
    tout $\D ^\dag _{\Y , \Q}$-module $r$-surholonome $\FF$ et
    tout entier $k \neq 0$, $\mathcal{H} ^k {f _0} _+ (\FF ) =0$ et $\mathcal{H} ^k  f _0 ^!(\E) =0$.
    \item \label{kashiwarasurhol2} Les foncteurs ${f _0} _+$ et $ f _0 ^!$ induisent des �quivalences quasi-inverses entre la cat�gorie des
    $\D ^\dag _{\X , \Q}$-modules $r$-surholonomes � support dans $Y$ et celle des
    $\D ^\dag _{\Y , \Q}$-modules $r$-surholonomes.
  \end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
La partie \ref{kashiwarasurhol1}) r�sulte de la version coh�rente du th�or�me de Kashiwara
d� � Berthelot (voir \ref{kashiwara}) et du fait qu'un $\D ^\dag _{\Y , \Q}$-module $r$-surholonome
(resp. un $\D ^\dag _{\X,\Q}$-module $r$-surholonome � support dans $Y$) est
un $\D ^\dag _{\Y , \Q}$-module coh�rent (resp. un $\D ^\dag _{\X,\Q}$-module coh�rent � support dans $Y$).
L'assertion \ref{kashiwarasurhol2}) d�coule � nouveau de \ref{kashiwara} mais aussi de la stabilit�
de la $r$-surholonomie par image directe par une immersion ferm�e et image inverse
extraordinaire (voir \ref{stabinminv} et de \ref{stabinmdir}).
\end{proof}









\begin{prop}
  Pour tout $r \in \N \cup \{ \infty\}$, on a l'�quivalence entre les deux assertions :
  \begin{enumerate}
    \item \label{stabotimes} La $r$-surholonomie est stable par produit tensoriel interne ;
    \item \label{stabboxtimes} La $r$-surholonomie est stable par produit tensoriel externe.
  \end{enumerate}

\end{prop}

\begin{proof}
  Comme la $r$-surholonomie est pr�serv�e
  par image inverse extraordinaire (voir \ref{stabinminv}), on obtient d'abord
  par d�finition du produit tensoriel externe (voir \ref{def-boxtimes})
  l'implication $\ref{stabotimes}) \Rightarrow \ref{stabboxtimes})$.

  R�ciproquement,
notons $p _1$, $p _2$ : $\X \times _\S \X \rightarrow \X$ les projections respectives � gauche et � droite,
  $\delta $ : $ \X \hookrightarrow \X \times _\S \X$ l'immersion diagonale.
  Pour tous complexes
  $ \E _1$ et $\E _2 \in \smash{\underset{^{\longrightarrow}}{LD}} ^{\mathrm{b}} _{\Q ,\mathrm{qc}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)})$,
\begin{equation}
\label{boxtimes-otimes}
  \delta ^! ( \E _1 \smash{\overset{\L}{\boxtimes}} _{\O _\S}^{\dag} \E _2)
  =
  \delta ^! ( p _1 ^! (\E _1 ) \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X \times _\S \X,\, \Q}} p _2^!(\E _2)
  [-2 d _{\X}])
  \riso
  \E _1 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X ,\, \Q}} \E _2 [- d _{\X}],
\end{equation}
l'isomorphisme r�sultant de la commutation de l'image inverse extraordinaire (d�cal�e de la dimension
relative) aux produits tensoriels internes
(voir par exemple \cite[1.2.22]{caro_surcoherent}).
Si la $r$-surholonomie est pr�serv�e par produits tensoriels externes,
comme elle l'est aussi par image inverse extraordinaire (voir \ref{stabinminv}),
par \ref{boxtimes-otimes}, on obtient alors la stabilit� par produits tensoriels internes.
On a ainsi v�rifi� $\ref{stabboxtimes}) \Rightarrow \ref{stabotimes})$.
\end{proof}


\begin{vide}
[Transitivit� de l'image directe par un morphisme propre pour les complexes surholonomes]
\label{compatsurhol}
  Soient $f$ : $\X '\rightarrow \X$,
  $g$ : $\X'' \rightarrow \X'$ et $h$ : $\X'''\rightarrow \X ''$, trois morphismes propres
de $\V$-sch�mas formels lisses.

$\bullet$
Il d�coule de la remarque \cite[1.2.16]{caro_courbe-nouveau}
que l'on dispose, pour tout $\G \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X '',\,\Q} )$,
de l'isomorphisme canonique
$(f\circ g ) _{+} (\G) \riso f _{+} \circ g _{+}(\G)$,
fonctoriel en $\G$.
On obtient ainsi des {\og isomorphismes de transitivit� de l'image directe par un morphisme propre
pour les complexes surholonomes\fg}.
En outre, d'apr�s \cite[1.2.16]{caro_courbe-nouveau}, celui-ci est par construction compatible � Frobenius
(voir \ref{commFrobf+} pour la commutation de l'image directe � Frobenius)
et associatif i.e.,
pour tout $\mathcal{H} \in   D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X ''',\Q} )$,
les deux morphismes compos�s
$(f\circ g \circ h) _{+} (\mathcal{H})  \riso (f\circ g) _{+} \circ h _{+} (\mathcal{H})
\riso $ $f _{+}\circ  g _{+}\circ  h _{+}  (\mathcal{H})  $ et
$(f\circ g \circ h) _{+} (\mathcal{H})  \riso f _{+}\circ  (g\circ h) _{+} (\mathcal{H})
\riso f _{+}\circ  g _{+}\circ   h _{+}  (\mathcal{H})  $ sont �gaux.
\medskip

$\bullet$
On dispose d'apr�s Berthelot d'une seconde construction plus naturelle de
l'isomorphisme de transitivit� :
$(f\circ g ) _{+} (\G ) \riso f _{+} \circ g _{+}(\G )$
(pour une description de la construction, voir par exemple \cite[1.1.2]{caro-construction})
dont la compatibilit� � Frobenius est loin d'�tre �vidente.

\medskip

$\bullet$
En fait, d'apr�s la remarque \cite[1.2.9]{caro-construction},
ces deux isomorphismes de transitivit� du foncteur image directe sont identiques.
Pour le v�rifier, nous avons �tabli que les morphismes d'adjonction entre image directe et image inverse extraordinaire
par un morphisme propre
sont transitifs, en prenant pour isomorphisme de transitivit� de l'image directe ceux construits par Berthelot.


\end{vide}

\begin{vide}
\label{adjonction-surhol}
Soient $f$ : $\X '\rightarrow \X$ un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses,
$\E \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}}( \D ^{\dag} _{\X ,\,\Q} )$,
$\E'  \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X ',\,\Q} )$.
Comme un complexe surholonome est en particulier coh�rent et que la surholonomie est
stable par image inverse extraordinaire
et par image directe par un morphisme propre,
par \ref{f+adjf!},
on dispose des morphismes canoniques d'adjonction
$\E'  \rightarrow f ^! f _+ (\E' )$,
$f _+ f ^! (\E) \rightarrow \E$.

En outre, si $f$ est une immersion ferm�e,
ces morphismes d'adjonction sont des isomorphismes pour
tout $\E \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}}( \D ^{\dag} _{\X ,\,\Q} )$
� support dans $X '$
et tout
$\E'  \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}} ( \D ^{\dag} _{\X ',\,\Q} )$.
Enfin, pour tout $\E \in  D _{\mathrm{surhol}} ^{\mathrm{b}}( \D ^{\dag} _{\X ,\,\Q} )$,
on b�n�ficie comme dans le cas surcoh�rent (\cite[3.1.12]{caro_surcoherent})
d'un isomorphisme compatible � Frobenius
$f _+ f ^! (\E ) \riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'} (\E)$ s'inscrivant dans le diagramme canonique :
\begin{equation}
  \label{+!=gamma}
  \xymatrix @R=0,3cm {
     {f _{+} \circ f  ^! (\E)} \ar[rr]^-{\mathrm{adj}} \ar[d] _-\sim && {\E} \ar@{=}[d] \\
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'  } (\E)}
  \ar[rr]  && {\E}.}
\end{equation}


\end{vide}

\section{$\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur une vari�t�. Cas simple}
Pour construire les complexes de $\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur une vari�t� $U$,
nous �tudions dans cette section le cas o� la vari�t� $U$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse
(voir \ref{def-surhol-relebis}).

\begin{nota}\label{notations-catzt}
  Soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel lisse, $T$ et $Z$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X$ et $U := Z \setminus T$.
On note alors ($F$-)$\mathfrak{M} ^+ _{\X, T, Z}$ la cat�gorie des
($F$-)$\D ^\dag _{\X, \Q}$-modules surholonomes $\E$ � support
dans $Z$ et v�rifiant $\R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\E) =0$.

En utilisant le triangle de localisation \ref{tri-local} en $T$,
on remarque que la condition $\R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\E) =0$ �quivaut � dire
que le morphisme canonique $\E \rightarrow (\hdag T) (\E) $ est un isomorphisme.
Lorsque $T$ est un diviseur de $X$,
cette condition est �quivalente � demander que la structure de $\D ^\dag _{\X, \Q}$-module de $\E$
se prolonge en une structure de $\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{ \Q}$-module.

De m�me, on note ($F$-)$\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, Z}$ la sous-cat�gorie
pleine de ($F$-)$D ^{\mathrm{b}} _{\mathrm{surhol}} (\D ^\dag
_{\X, \Q})$ des complexes $\E$ v�rifiant $(\hdag Z)(\E ) =0$ et
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\E) =0$.

\end{nota}






\begin{vide}\label{notation-surcohhol}
On garde les notations \ref{notations-catzt}.
Dans \cite[3.2.1]{caro_surcoherent}, on a d�fini les cat�gories analogues � celles de \ref{notations-catzt}
en rempla�ant
{\og surholonome\fg} par {\og surcoh�rent\fg}. On les avait d�sign�es par
($F$-)$\mathfrak{M}  _{\X, T, Z}$ et ($F$-)$\mathfrak{C}  _{\X, T, Z}$.
Comme la surholonomie est une notion plus forte que la surcoh�rence, on obtient les inclusions :
($F$-)$\mathfrak{M} ^+  _{\X, T, Z}\subset $($F$-)$\mathfrak{M}  _{\X, T, Z}$
et ($F$-)$\mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z}\subset$($F$-)$\mathfrak{C}  _{\X, T, Z}$.



 De plus, si $T$ est un {\it diviseur} et si $\X$ est {\it propre},
 la sous-cat�gorie pleine
  de $(F\text{-})D ^\mathrm{b} _{\mathrm{coh}} (\D ^\dag _{\X  } (\hdag T ) _{ \Q}) $
  des ($F$-)complexes $\E  $ tels que
  $\DD _{T }  (\E ) \in (F\text{-})\mathfrak{C} _{\X , T , Z }$ avait �t� not�e
  $(F\text{-})\mathfrak{C} ^\vee _{\X , T , Z }$ (voir \cite[3.3.1]{caro_surcoherent}).
  Comme le foncteur $\DD _T$ stabilise la cat�gorie $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, Z} $,
 on obtient l'inclusion
  $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, Z}\subset (F\text{-})\mathfrak{C} ^\vee _{\X, T, Z}$.
  \end{vide}

\begin{rema}
[Frobenius]
\label{remafrob}
  Dans toutes les assertions de cette section, les structures de Frobenius sont inutiles.
  Plus pr�cis�ment, on peut remplacer {\og $F$-\fg} par {\og ($F$-)\fg}.
  Afin de ne pas alourdir les notations, nous avons parfois omis d'indiquer les parenth�ses.
\end{rema}

\begin{defi}
  Avec les notations \ref{notations-catzt}, on d�finit
  {\og le foncteur dual sur $F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z} $\fg}
  en posant $\DD _T:= (\hdag T) \circ \DD$ :
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z} \rightarrow F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z}$,
  o� $\DD$ est le foncteur dual $\D ^\dag _{\X ,\Q}$-lin�aire de \ref{def-dualdiv} (i.e., le diviseur est vide).

  Lorsque $T$ est un diviseur, on v�rifie de mani�re analogue � la preuve de \ref{stab-surhol-dualT} l'isomorphisme
$\DD _T (\E) \riso (\hdag T)\circ \DD (\E)$, o�
$\DD$ (resp. $\DD _T$) est le foncteur dual $\D ^\dag _{\X ,\Q}$-lin�aire
(resp. $\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q}$-lin�aire)
de \ref{def-dualdiv}.
Cela unifie donc nos notations.
\end{defi}




\begin{prop}
\label{bidua+rel}
Avec les notations de \ref{notations-catzt},
soit $\E \in \mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z} $.
  On b�n�ficie de l'isomorphisme canonique
$\iota \ :\ \E \riso \DD _T \circ \DD _T (\E)$, dit de {\og bidualit�\fg},
compatible � Frobenius.

De plus, soit $f$ : $\Y \rightarrow \X$ un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses.
On dispose alors de l'isomorphisme
$f _+ \circ \DD _{f _0 ^{-1} (T )} (\E) \riso \DD _{T} \circ f _+  (\E)$
dit de {\og dualit� relative\fg}.
\end{prop}
\begin{proof}
On dispose du morphisme canonique $\DD (\E) \rightarrow (\hdag T) \DD (\E)$ d�sign� par $u$.
En notant $\E _1 =(\hdag T) \DD (\hdag T) \DD (\E)$, $\E _2=(\hdag T) \DD \DD (\E)$,
on obtient le morphisme
$v:=(\hdag T)\DD (u)\,:\, \E _2 \rightarrow \E _2$.
Dans un premier temps, v�rifions que $v$ est un isomorphisme.

Soit $T' \supset T$ un diviseur de $X$ contenant $T$.
Par \ref{hdagcirchdag},
$(\hdag T') (\hdag T) \DD \riso (\hdag T') \DD $.
Or, d'apr�s \cite[I.4.4]{virrion}, le foncteur dual commute � l'extension des scalaires
et donc $(\hdag T') \DD \riso \DD _{T'} (\hdag T')$.
On obtient donc par composition :
$(\hdag T') (\hdag T) \DD \riso \DD _{T'} (\hdag T')$.
Ainsi,
$(\hdag T') (v)\riso \DD _{T'} (\hdag T') (u) $.
Par \ref{hdagcirchdag}, $(\hdag T')(u)$ est un isomorphisme.
Il en r�sulte alors que
$(\hdag T') (v)$ est un isomorphisme.


Soient $T _1, \dots , T_r$ des diviseurs de $X$ tels que $T \subset \cap _{i=1} ^r T_i$.
Par r�currence sur $r$, v�rifions maintenant que $(\hdag \cap _{i=1} ^r T_i) (v)$ est un isomorphisme.
Le cas o� $r =1$ vient d'�tre trait�. Supposons $r \geq 2$.
Les triangles distingu�s de Mayer-Vietoris (voir \ref{eq1mayer-vietoris}) utilis�s
pour $T _1$ et $T'_1:=\cap _{i=2} ^r T_i$ donne par fonctorialit� :
\begin{equation}
\label{MVxymat}
\xymatrix {
  {(\hdag T _1 \cap T '_1)(\E _1 ) }
  \ar[r] \ar[d] ^{(\hdag T _1 \cap T '_1)(v)}
&
{(\hdag T _1)(\E _1 ) \oplus  (\hdag T '_1) (\E _1 )}
\ar[r] \ar[d] ^{(\hdag T _1)(v ) \oplus  (\hdag T '_1) (v)}
&
{ (\hdag T _1 \cup T '_1)(\E _1 ) }
\ar[r] \ar[d] ^{(\hdag T _1 \cup T '_1)(v)}
&
{(\hdag T _1\cap T '_1)(\E _1 )[1]}
\ar[d] ^{(\hdag T _1 \cap T '_1)(v)}
\\
  {(\hdag T _1 \cap T '_1)(\E _2 ) }
  \ar[r]
&
{(\hdag T _1)(\E _2 ) \oplus  (\hdag T '_1) (\E _2 )}
\ar[r]
&
{ (\hdag T _1 \cup T '_1)(\E _2 ) }
\ar[r]
&
{(\hdag T _1\cap T '_1)(\E _2 )[1].}
}
\end{equation}
Par hypoth�se de r�currence,
$(\hdag T _1)(v ) \oplus  (\hdag T '_1) (v)$ et
$(\hdag T _1 \cup T '_1)(v)$ sont des isomorphismes.
Via \ref{MVxymat}, il en r�sulte que $(\hdag \cap _{i=1} ^r T_i) (v)$ est un isomorphisme.


Comme $T$ est une intersection de diviseurs, il en r�sulte que
$(\hdag T) (v)$ est un isomorphisme.
Or, d'apr�s \ref{hdagcirchdag}, $\E _1 \riso (\hdag T) (\E _1)$, $\E _2 \riso (\hdag T) (\E _2)$.
D'o� : $v \riso (\hdag T) (v)$.
Ainsi $v$ est un isomorphisme.
On construit alors l'isomorphisme de bidualit� $\iota$ en posant :
$$\iota \ :\ (\hdag T) \DD (\hdag T) \DD (\E) \underset{v}{\riso} (\hdag T) \DD \DD (\E) \liso (\hdag T) \E \liso \E,$$
o� le deuxi�me isomorphisme se d�duit de l'isomorphisme de bidualit� de Virrion (voir
\ref{bidual}) et le dernier de \ref{hdagcirchdag}.

Avec l'isomorphisme de dualit� relative (voir \ref{iso-dualrel})
et la commutation de l'image directe aux foncteurs localisations (voir \ref{commutfonctcohlocal2+}),
on construit l'isomorphisme de dualit� relative via le compos� :
\begin{equation}
  \notag
  f _+ \circ \DD _{f _0 ^{-1} (T )} (\E) =
f _+
\circ (\hdag f _0 ^{-1} (T ))
\circ
\DD (\E)
\underset{\ref{commutfonctcohlocal2+}}{\riso}
(\hdag T )
\circ
f _+
\circ
\DD (\E)
\underset{\ref{iso-dualrel}}{\riso}
(\hdag T )
\circ
\DD
\circ
f _+ (\E)
=
\DD _{T} \circ f _+  (\E).
\end{equation}

\end{proof}


\begin{prop}\label{propindX}
  Soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel lisse, $Z$, $Z'$, $T $ et $T'$ des sous-sch�mas ferm�s de $X$
  tels que $Z \setminus T =Z'\setminus T'$.
  On b�n�ficie alors des �galit�s $F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{\X, T, Z}= F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{\X, T', Z'}$
  et $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, Z}= F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X, T', Z'}$.
  En particulier, en notant $\overline{U}$ l'adh�rence sch�matique de $U :=Z \setminus T$ dans $X$,
  $F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{\X, T, Z}=F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{\X, T, \overline{U}}$
  et
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, Z}=F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X, T, \overline{U}}$.
\end{prop}

\begin{proof}
  D'apr�s \cite[3.2.4]{caro_surcoherent},
  on dispose des �galit�s $F\text{-}\mathfrak{M}  _{\X, T, Z}= F\text{-}\mathfrak{M}  _{\X, T', Z'}$
  et $F\text{-}\mathfrak{C} _{\X, T, Z}= F\text{-}\mathfrak{C}  _{\X, T', Z'}$.
Les inclusions
  $F\text{-}\mathfrak{M} ^+  _{\X, T, Z}\subset F\text{-}\mathfrak{M}  _{\X, T, Z}$,
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X, T, Z}\subset F\text{-}\mathfrak{C}  _{\X, T, Z}$
  (voir \ref{notation-surcohhol})
  nous permettent alors de conclure.
\end{proof}


\begin{lemm}
  \label{transf12!Gamma}
Soient $f _1\,:\,\X _2 \rightarrow \X _1$, $f _2\,:\,\X _3 \rightarrow \X _2$
deux morphismes de $\V$-sch�mas formels lisses, $Z _1$ un sous-sch�ma ferm� de $X _1$.
On pose $Z _2:= f _1 ^{-1} (Z_1)$, $Z _3:= f _2 ^{-1} (Z_2)$.


Les diagrammes canoniques de foncteurs
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X_1, T_1, Z_1} \rightarrow
F\text{-}\mathfrak{C} ^+  _{\X_3, T_3, Z_3} $ :
\begin{equation}
  \label{transf12!Gamma-diag}
  \xymatrix {
  %1�re ligne
  {(f _1 \circ f _2) ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[d] _-\sim
  \ar[rr] _-\sim
  &&
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}(f _1 \circ f _2) ^! }
  \ar[d] _-\sim
  \\
  %2�me ligne
  {f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[r] _-\sim
  &
  { f _2 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}f _1 ^! }
  \ar[r] _-\sim
  &
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3} f _2 ^! f _1 ^! ,}
}
\xymatrix {
  %1�re ligne
  {(f _1 \circ f _2) ^! (\hdag Z _1)}
  \ar[d] _-\sim
  \ar[rr] _-\sim
  &&
  {(\hdag Z _3) (f _1 \circ f _2) ^! }
  \ar[d] _-\sim
  \\
  %2�me ligne
  {f _2 ^! f _1 ^! (\hdag Z _3) }
  \ar[r] _-\sim
  &
  { f _2 ^! (\hdag Z _2) f _1 ^! }
  \ar[r] _-\sim
  &
  {(\hdag Z _3) f _2 ^! f _1 ^! ,}
}
\end{equation}
o� les isomorphismes horizontaux sont les isomorphismes de commutation � l'image inverse extraordinaire
du foncteur cohomologique local ou du foncteur de localisation
 (voir \ref{commutfonctcohlocal2}),
est commutatif.
\end{lemm}

\begin{proof}
Le cas du foncteur de localisation se traitant de mani�re identique, contentons-nous de prouver
le cas du foncteur cohomologique local.
Rappelons d'abord que le morphisme du haut � gauche de \ref{transf12!Gamma-diag} correspond par construction
(plus pr�cis�ment, voir la construction dans la premi�re partie de la preuve de \cite[2.2.18.1]{caro_surcoherent})
au compos� des morphismes canoniques :
$$(f _1 \circ f _2) ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}
\liso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}(f _1 \circ f _2) ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}(f _1 \circ f _2) ^! .$$
Il s'agit d'�tablir que le rectangle du fond (et vertical) du diagramme ci-dessous
\begin{equation}
\label{diag1defg+g!hautbas}
  \xymatrix@C=0,1cm @R=0,3cm{
  %1�re ligne
  { f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[rr] _-\sim
  \ar[d] _-\sim
  &
  &
  {(f _1 \circ f _2) ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[d] _-\sim
  \\
  %2�me ligne
  { \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3} f _2 ^! f _1 ^! }
  \ar[rr] _-\sim
  &
  &
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}(f _1 \circ f _2) ^! }
  \\
  %3�me ligne
  &
  { \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3} f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[lu] _-\sim
  \ar[rr] _-\sim
  \ar[luu] _-\sim
  &
  &
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}(f _1 \circ f _2) ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
  \ar[lu] _-\sim
  \ar[luu] _-\sim
 }
\end{equation}
est commutatif. Le rectangle horizontal et celui oblique sont commutatifs par fonctorialit�,
tandis que le triangle de droite l'est par d�finition. Toutes les fl�ches �tant des isomorphismes,
il est alors �quivalent de prouver que le triangle de gauche est commutatif.
Consid�rons pour cela le diagramme canonique suivant :
\begin{equation}
\label{diag2defg+g!hautbas}
\xymatrix@C=0,5cm {
%1-i�me
{ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
\ar[d] _-\sim
%\ar@/^0,6cm/ @{=}[rrrr]
&
&
{ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^!
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
\ar[ll] _-\sim
\ar[rr] _-\sim
\ar[rd] _-\sim
\ar[ld] _-\sim
&
&
{ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
\ar[d] _-\sim
\\
%2-i�me
{ f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
&
{f _2 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}}
\ar[r] _-\sim
\ar[l] _-\sim
&
{f _2 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^!}
&
{\R\underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^!\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^!}
\ar[r] _-\sim
\ar[l] _-\sim
&
{\R\underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^! f _1 ^!.}
}
\end{equation}
Les trois petits {\og carr�s\fg} de ce diagramme sont commutatifs par fonctorialit�. Par exemple,
celui du milieu l'est par fonctorialit� du morphisme canonique
$\R\underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^!\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^!
\riso f _2 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _2}f _1 ^!$
via $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1} \rightarrow Id$.
Le compos� du haut de \ref{diag2defg+g!hautbas} est l'identit� de
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}$.
Le compos� du bas de \ref{diag2defg+g!hautbas} est
l'isomorphisme canonique $ f _2 ^! f _1 ^! \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}
\riso
\R\underline{\Gamma} ^\dag _{Z  _3} f _2 ^! f _1 ^!$
du triangle de gauche de \ref{diag1defg+g!hautbas}.
La commutativit� de \ref{diag2defg+g!hautbas}
se traduit donc par celle du triangle de gauche de
\ref{diag1defg+g!hautbas}.
\end{proof}



\begin{theo}
[Op�rations cohomologiques sur les sch�mas]
\label{defg+g!hautbas}
  Soient $f _1$ : $\X _2 \rightarrow \X _1$ un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses,
  pour $i=1,\,2$,
  $T _i$
 et $Z _i$ des sous-sch�mas ferm�s de $X _i$ et $U _i := Z _i \setminus T _i$.
  On suppose que le morphisme $f _1$ induit un morphisme
  $g _1$ : $U _2 \rightarrow U _1$.

  Les foncteurs $f _{1+} \text{ et }\DD _{T _1}\circ  f _{1+} \circ \DD _{T _2}$
  induisent alors des foncteurs
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2 } \rightarrow
  F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 }.$
  De plus, les foncteurs
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}  \circ  (\hdag T _2)\circ   f _1^!
  \text{ et }
  \DD _{T _2}\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  (\hdag T _2)\circ f _1^! \circ \DD _{T _1}$
  induisent des foncteurs
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 } \rightarrow
  F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2 }.$
  Ces foncteurs seront not�s abusivement
  $g _{1+}$, $g _{1!}$, $g _1 ^!$ et $g _1 ^+$
  (en fait, ces notations ne sont pas toujours abusives : voir la remarque \ref{nota-abus}).
  On les appellera respectivement {\og image directe\fg},
  {\og image directe extraordinaire\fg}, {\og image inverse extraordinaire\fg} et {\og image inverse\fg} par $g _1$.

De plus, soient
$f _2$ : $\X _3 \rightarrow \X _2$ (resp. $f _3$ : $\X _4 \rightarrow \X _3$)
un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses et,
  pour $i=3,\,4$,
  $T _i$ et $Z _i$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X _i$ et $U _i := Z _i \setminus T _i$.
  On suppose que le morphisme $f _2$ (resp. $f _3$) induit un morphisme
  $g _2$ : $U _3 \rightarrow U _2$ (resp. $g _3$ : $U _4 \rightarrow U _3$).

  On dispose alors de l'isomorphisme de transitivit� canonique $g _2 ^! \circ g _1 ^! \riso (g _1 \circ g _2 ) ^!$.
  Celui-ci v�rifie la condition d'associativit� : les deux isomorphismes compos�s
  $g _3 ^! \circ g _2 ^! \circ g _1 ^! \riso g _3 ^! \circ (g _1 \circ g _2 ) ^! \riso (g _1 \circ g _2 \circ g _3) ^!$
  et
  $g _3 ^! \circ g _2 ^! \circ g _1 ^! \riso  (g _2 \circ g _3 ) \circ  g _1 ^! \riso (g _1 \circ g _2 \circ g _3) ^!$
  sont identiques.

  De m�me, pour les foncteurs images inverses, images directes ou images directes extraordinaires,
  on b�n�ficie d'isomorphismes de transitivit� canoniques analogues,
  ces isomorphismes v�rifiant la condition d'associativit� correspondante.
\end{theo}

\begin{proof}Commen�ons par prouver que les factorisations sont valables.
Soient $\E _1 \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 }$,
$\E _2 \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2 }$.
Par \ref{stabinmdir}, $f _{1+} (\E _2) $ est un complexe surholonome.
  D'apr�s \ref{propindX}, on peut supposer que $Z _2$ est l'adh�rence sch�matique
  de $U _2$ dans $X _2$. Il en r�sulte l'inclusion $Z _2 \subset f _1 ^{-1} (Z _1)$.
  Le complexe $f _{1+} (\E _2)$ est donc � support dans $Z _1$.
  En outre, puisque $U _2 \cap f_1 ^{-1} (T _1)= \emptyset$,
  gr�ce � \ref{propindX}, quitte � remplacer $T _2 $ par
  $T _2 \cup f_1 ^{-1} (T _1)$, on se ram�ne au cas o� $T _2 $ contient $f_1 ^{-1} (T _1)$.
Ainsi
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{T _1} \circ f _{1+} (\E_2)
\riso
f _{1+} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{f ^{-1}(T _1)}  (\E_2)
\riso 0$
(voir \ref{commutfonctcohlocal2+} pour le premier isomorphisme
et \ref{GammaZGammaZ'} pour le second).
Nous avons ainsi v�rifi� que
$f _{1+} (\E _2) \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 }$.
  Puisque le foncteur $\DD _{T _1}$ (resp. $\DD _{T _2}$)
  pr�serve $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 } $
  (resp. $F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2 } $),
  on en d�duit que $\DD _{T _1} \circ f _{1+} \circ \DD _{T _2}(\E _2)
  \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1 }$.
  De mani�re analogue, via la stabilit� de la surholonomie par image inverse extraordinaire et
  foncteur cohomologique local (voir \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag1}, \ref{stabinminv}),
  on �tablit que
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}  \circ  (\hdag T _2)\circ   f _1^! (\E _1),
  \DD _{T _2}\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  (\hdag T _2)\circ f _1^! \circ \DD _{T _1} (\E _1)
  \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2 } $.
\\

Concernant la transitivit� du foncteur image directe par $g_1$
et la condition d'associativit� correspondante, cela d�coule
par d�finition de \ref{compatsurhol}.
Avec l'isomorphisme de bidualit� (voir \ref{bidua+rel}),
on en d�duit que les propri�t�s analogues sont aussi satisfaites pour le foncteur image directe
extraordinaire par $g _1$.


Construisons maintenant l'isomorphisme de transitivit� du foncteur images inverses extraordinaires.
Par commutation aux images inverses extraordinaires
des foncteurs cohomologiques locaux � support strict et des foncteurs de localisation
(voir \ref{commutfonctcohlocal2}) et des propri�t�s usuelles de composition
(voir \ref{GammaZGammaZ'}, \ref{hdagcirchdag}), on obtient :
$$(\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}  \circ  (\hdag T _3)\circ   f _2^!)
\circ
(\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}  \circ  (\hdag T _2)\circ   f _1^!)
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3\cap f _2 ^{-1} (Z _2)}
  \circ  (\hdag T _3 \cup f _2 ^{-1} (T _2)) \circ
  f _2 ^! \circ f _1 ^!.$$
D'apr�s \ref{trans-f!pref+}, on b�n�ficie de l'isomorphisme de transitivit�
$f _2 ^! \circ f _1 ^! \riso(f _1 \circ f _2) ^!$.
De plus, comme $Z _3 \setminus T _3 =Z _3\cap f _2 ^{-1} (Z _2) \setminus (T _3 \cup f _2 ^{-1} (T _2))$,
par \ref{propindX}, \ref{GammaZGammaZ'} et \ref{hdagcirchdag}, on en d�duit :
$$(\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}  \circ  (\hdag T _3)\circ   f _2^! )
\circ ( \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}  \circ  (\hdag T _2)\circ   f _1^! )
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _3}
  \circ  (\hdag T _3 ) \circ
  (f _1 \circ f _2) ^!,$$
ce qui donne par d�finition l'isomorphisme canonique :
$g _2 ^! \circ g _1 ^! \riso (g _1 \circ g _2 ) ^!$.
La condition d'associativit� de cet isomorphisme r�sulte des diff�rents cas particuliers
\ref{trans-f!pref+}, \ref{transZZ'Z''}, \ref{transf12!Gamma} (il s'agit de v�rifier
la commutativit� d'un diagramme que l'on d�compose en carr�s �l�mentaires commutatifs gr�ce aux diff�rents cas
particuliers).

Enfin, on d�duit du cas de l'image inverse extraordinaire, via l'isomorphisme de bidualit� (voir \ref{bidua+rel}),
que les propri�t�s analogues sont aussi satisfaites pour le foncteur image inverse par $g _1$.





\end{proof}

\begin{rema}
  \label{nota-abus}
  Avec les notations \ref{defg+g!hautbas},
  d'apr�s la proposition \ref{def-surhol-rele2}, lorsque $\X _1$ et $\X _2$ sont propres,
  les foncteurs $g _{1+}$, $g _{1!}$, $g _1 ^!$ et $g _1 ^+$ ne d�pendent que de $g _1$.
  Avec cette hypoth�se de propret�, les notations $g _{1+}$, $g _{1!}$, $g _1 ^!$ et $g _1 ^+$
  de \ref{defg+g!hautbas} ne sont donc plus abusives.
\end{rema}

\begin{theo}
\label{theoindpdt1}
  Soient $f$ : $\X _2 \rightarrow \X _1$ un morphisme propre et lisse de $\V$-sch�mas formels lisses et,
  pour $i=1,\,2$,
  $T _i$ un diviseur de $X _i$ et $Z _i$ un sous-sch�ma ferm� de $X _i$.
  On suppose de plus que $f$ induise l'isomorphisme
  $Z _2\setminus T _2 \riso Z _1 \setminus T _1$.
  On se donne $\E _1 \in (F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1}$ et
$\E _2 \in (F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _2, T _2, Z _2}$.
  Alors,
  \begin{enumerate}
    \item \label{1theoindpdt1}Pour tout $l \neq 0$, $\mathcal{H} ^l (f _+) (\E _2) =0$ et
   $\mathcal{H} ^l  ((\hdag T _2) \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  f ^!(\E _1))=0$ ;
    \item On dispose d'isomorphismes canoniques
    $f _+\circ (\hdag T _2) \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  f ^!(\E _1) \riso \E _1$
    et
    $\E_2 \riso (\hdag T _2) \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  f ^!\circ f _+ (\E _2)$.
  \end{enumerate}
  Les foncteurs $f_+$ (i.e., avec les notations de \ref{defg+g!hautbas}, $Id _+$)
  et
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ f ^!$ (i.e. $Id ^!$)
  induisent donc
  des �quivalences quasi-inverses entre les cat�gories
  $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _2, T _2, Z _2}$ et $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _1, T _1, Z _1}$.
  Lorsque $Z _2$ est l'adh�rence sch�matique de $Z _2 \setminus T_2$ dans $X _2$,
  le foncteur $(\hdag T _2)$ est inutile.

On dispose des m�mes r�sultats en rempla�ant {\og $\mathfrak{M} ^+$\fg} par {\og $\mathfrak{M} $\fg}.
\end{theo}

\begin{proof}
En notant $Z ' _2$ l'adh�rence sch�matique de
$Z _2\setminus T _2$ dans $X_2$,
comme $Z ' _2 \setminus f ^{-1} _0 (T _1) = Z _2 \setminus T _2$,
gr�ce � \ref{propindX} (et \ref{GammaZGammaZ'}, \ref{hdagcirchdag}), on v�rifie que pour
tout $\E _1 \in (F\text{-})\mathfrak{M} _{\X _1 , T _1 , Z _1}$
(et donc pour tout $\E _1 \in (F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1}$)
le morphisme canonique
\begin{equation}
  \label{nonhdag.3.2.6}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '_2} \circ  f ^!(\E _1)
\rightarrow
(\hdag T _2) \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  f ^!(\E _1)
\end{equation}
est un isomorphisme.
On se ram�ne ainsi au cas o� $Z _2$ est l'adh�rence sch�matique de $Z _2 \setminus T_2$ dans $X _2$.
Dans ce cas, le foncteur $(\hdag T _2)$  est bien inutile.
Le cas o� {\og $\mathfrak{M} ^+$\fg} est remplac� par {\og $\mathfrak{M} $\fg} a �t� trait�
dans \cite[3.2.6]{caro_surcoherent} (l'�nonc� de \cite[3.2.6]{caro_surcoherent} est correcte
lorsque $Z _2$ est l'adh�rence sch�matique de $Z _2 \setminus T_2$ dans $X _2$, autrement il faut rajouter
le foncteur $(\hdag T _2) $). Rappelons que d'apr�s \cite[3.2.2.1]{caro_surcoherent},
le th�or�me \cite[3.2.6]{caro_surcoherent} reste valable sans structure de Frobenius.
Le cas non respectif, i.e. celui concernant {\og $\mathfrak{M} ^+$\fg}, s'en d�duit aussit�t gr�ce � la stabilit�
de la surholonomie par image inverse extraordinaire et image directe par un morphisme propre, par foncteur cohomologique
local � support strict et foncteur de localisation
(voir \ref{stab-surhol-Dual-hdag}, \ref{stabinminv}, \ref{stabinmdir}).
\end{proof}

La proposition \ref{j!} ci-dessous nous sera n�cessaire dans la proc�dure de recollement de \ref{defi-rem-sch-sep}
(qui permet d'apr�s \ref{defi2-rem-sch-sep} de construire, pour toute vari�t� $U$,
la cat�gorie $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$).
Cette proposition \ref{j!} est une cons�quence du th�or�me \ref{theoindpdt1} ainsi que
du lemme ci-apr�s.
\begin{lemm}\label{UiU}
  Soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel lisse, $T$ un diviseur de $X$, $Z$ un sous-sch�ma ferm�
  de $X$ et $U := Z \setminus T$. Soient $n$ diviseurs $T _1,\dots, T_n $ de $X$
  tels que $\cup _{i=1,\dots,n} U _i = U$, avec $U _i := Z \setminus T _i$.
  Soit  $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X,\Q} )$ � support dans $Z$.
  Si, pour tout $i=1,\dots, n$, $(\hdag T _i) (\E) = 0$ alors $(\hdag T) (\E) =0$.
\end{lemm}

\begin{proof}
  Comme
  $(\hdag T) (\E)  \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )$,
  il r�sulte de \ref{4312Be1} que
$(\hdag T) (\E) =0$ si et seulement si $\E$ est nul en dehors de $T$.
On se ram�ne ainsi au cas o� $T $ est vide.
D'apr�s \cite[2.2.9]{caro_surcoherent},
comme $\E$ est � support dans $Z$,
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }(\E) \riso \E $.
De plus, pour tout $i=1, \dots, n$, le triangle de localisation en $T_i$ (voir \ref{tri-local}) donne
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{T _i }(\E) \riso  \E $.
  Par \ref{GammaZGammaZ'}, on en d�duit :
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z \cap \cap _{i=1,\dots,n} T _i} (\E)\riso \E$.
  Comme $Z \cap \cap _{i=1,\dots,n} T _i= \emptyset$,
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z \cap \cap _{i=1,\dots,n} T _i} (\E) =0$.
  D'o� $\E =0$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{j!}
  Soient $f$ : $\X' \rightarrow \X$ un morphisme propre et lisse de $\V$-sch�mas formels lisses,
  $T$ (resp. $T '$) un diviseur de $X$ (resp. $X'$), $Z$ (resp. $Z'$) un sous-sch�ma ferm� de $X$ (resp. $X'$)
  et $U := Z \setminus T$ (resp. $U' := Z' \setminus T'$).
  On suppose que $f$ induise une immersion ouverte $j$ : $U' \hookrightarrow U$.

Pour tout $\E  \in (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X  , T  , Z }$, pour tout $l \neq 0$,
$\mathcal{H} ^l ( (\hdag T') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E ))=0$.
Le foncteur $j ^! := (\hdag T') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!$ induit donc le foncteur
$j ^!\,:\,(F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X  , T  , Z }\rightarrow (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X ' , T ' , Z '}$.
De m�me en rempla�ant la surcoh�rence par la surholonomie, i.e., {\og $\mathfrak{M}$\fg}
par {\og $\mathfrak{M}^+$\fg}.
\end{prop}

\begin{proof}
Comme un module surholonome est surcoh�rent,
le cas surholonome d�coule imm�diatement du cas surcoh�rent. Traitons donc ce dernier.
Soit $\E  \in (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X  , T  , Z }$.
Comme le morphisme canonique $\E \rightarrow \E (\hdag T)$ est un isomorphisme,
avec \ref{hdagcirchdag} et \ref{commutfonctcohlocal2}, on obtient
l'isomorphisme
$(\hdag T') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^! (\E)
\riso
(\hdag T' \cup f _0 ^{-1} (T)) \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^! (\E)$.
Comme $Z ' \setminus T'  =Z ' \setminus (T' \cup f _0 ^{-1} (T))$,
par \ref{theoindpdt1},
$(F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X ' , T ' , Z '}= (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X ' , T '\cup f _0 ^{-1} (T), Z '}$.
Quitte � remplacer $T'$ par $T' \cup f _0 ^{-1} (T)$,
on peut donc supposer $f _0 ^{-1} (T) \subset T'$.
Par stabilit� de la surcoh�rence par image inverse extraordinaire et foncteur cohomologique local,
$(\hdag T') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E ))
\in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\X'} (\hdag T') _{\Q} )$.
On en d�duit, d'apr�s \ref{4312Be1}, que
$\mathcal{H} ^l ( (\hdag T') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E ))=0$
si et seulement si sa restriction en dehors de $T'$ est nulle
et donc si et seulement si sa restriction en dehors de $f _0 ^{-1} (T)$ est nulle.
  Quitte � remplacer $f$ par le morphisme propre et lisse induit
$\X ' \setminus f _0 ^{-1} (T) \rightarrow \X \setminus T$,
  on se ram�ne ainsi au cas o� $T$ est vide, i.e., $U =Z$.

Comme $j\,:\,U' \hookrightarrow Z$ est une immersion ouverte, $Z \setminus j(U')$ est un sous-sch�ma ferm� de $X$.
  Il existe donc des diviseurs $T _1 ,\dots, T _n$ de $X$
  tels que $\cap _{i=1,\dots ,n} T _i = Z \setminus j(U')$.
  Pour tout $i =1,\dots ,n$, notons $T ' _i := T' \cup f _0 ^{-1} (T _i)$ les diviseurs
  de $X'$ correspondants et $U ' _i := Z '\setminus T '_i$.
L'immersion ouverte $j$ induit donc, pour tout $i =1,\dots ,n$,
l'isomorphisme
$U '_i \riso j( U ') \setminus T _i$.
Or, comme $Z \setminus T _i \subset Z \setminus \cap _{i=1,\dots ,n} T _i = j(U')$,
on obtient $Z \setminus T _i \subset j(U') \setminus T _i $. D'o�
$Z \setminus T _i = j(U') \setminus T _i $.
Le morphisme $f$ induit donc l'isomorphisme
$U '_i \riso Z \setminus T _i$.
Ainsi, d'apr�s \ref{theoindpdt1},
$(F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X ' , T ' _i, Z '}\cong (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X , T _i, Z }$
et,
pour tout $l \neq 0$,
comme $\E (\hdag T _i) \in (F\text{-})\mathfrak{M}  _{\X , T _i, Z }$ alors
$\mathcal{H} ^l ( (\hdag T '_i) \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!( \E (\hdag T _i) ))=0$.
  Comme $T '_i$ est un diviseur, le foncteur $(\hdag T ' _i)$ est exact sur la cat�gorie des modules coh�rents
(voir \ref{def-hdagcoh}).
On obtient donc, via aussi
\ref{hdagcirchdag} et \ref{commutfonctcohlocal2}, l'isomorphisme canonique
  $$(\hdag T '_i) (\mathcal{H} ^l (\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E )))
   \riso
   \mathcal{H} ^l ( (\hdag T '_i) \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!( \E (\hdag T _i) ))=0.$$
D'apr�s \ref{UiU}, comme $\cup _{i =1,\dots ,n} U '_i =U'$, on obtient alors
$(\hdag T ') (\mathcal{H} ^l (\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E )))=0$.
Comme $T'$ est un diviseur, il en r�sulte
$ \mathcal{H} ^l ((\hdag T ') \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E ))
\riso
(\hdag T ') (\mathcal{H} ^l (\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} \circ  f ^!(\E )))=0$.
\end{proof}

\begin{rema}
  \label{rema-j!}
  Dans la proposition \ref{j!}, le fait que $T$ et $T'$ soient des diviseurs est indispensable.
  En effet, voici un contre-exemple : soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel lisse tel que $\dim X \geq 2$,
  $T$ un sous-sch�ma ferm� lisse de $X$ de codimension pure �gale � $2$.
  On obtient ainsi une immersion ouverte $j\,:\, X \setminus T \subset X$.
  D'apr�s \ref{proptheo}, $\O _{\X ,\Q} \in F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{\X  , \emptyset  , X }$.
  Avec les notations analogues � \ref{j!}, on pose $j^! (\O _{\X ,\Q} ):=\O _{\X ,\Q} (\hdag T)  $.
  On v�rifie gr�ce au triangle distingu� de localisation (voir \ref{tri-local})
  $$\R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\O _{\X ,\Q} )
\rightarrow \O _{\X ,\Q}
\rightarrow \O _{\X ,\Q} (\hdag T)  \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\O _{\X ,\Q} ) [1],$$
que $\mathcal{H} ^1 (\O _{\X ,\Q} (\hdag T) ) \riso
\mathcal{H} ^2 _T (\O _{\X ,\Q}) \not =0$.
En effet, si $u\,:\,\T \hookrightarrow \X$ est un rel�vement de $T \hookrightarrow X$
(ce qui est localement sur $\X$ possible, par exemple lorsque $\X$ est affine),
$\mathcal{H} ^2 _T (\O _{\X ,\Q}) \riso u_+ (\O _{\T,\Q})\not =0$.
En d'autres termes, $\mathcal{H} ^1 (j^! (\O _{\X ,\Q} ))\not =0$.
\end{rema}


\begin{vide}
  \label{pre-def-surhol-rele}
  Pour $i =1,2$, soient $\X _i$ un $\V$-sch�ma formel propre et lisse, $T_i$ un diviseur de $X_i$,
  $Z_i$ un sous-sch�ma ferm� de $X_i$.
  On suppose en outre que $Z _2\setminus T _2=Z _1\setminus T _1$.
Les cat�gories $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1}$
et $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2}$ sont alors canoniquement isomorphes.

En effet, de mani�re analogue � \cite[3.2.9]{caro_surcoherent},
quitte � remplacer $\X _2$ par $\X_1 \times \X _2$ (et utiliser les projections de $\X_1 \times \X _2$ sur $\X _1$ et $\X _2$),
 on se ram�ne gr�ce � \ref{theoindpdt1} au cas o� il existe un morphisme propre et lisse
$f\,:\, \X _2 \rightarrow \X_1$ induisant l'identit� sur $Z _2\setminus T _2$.
Le th�or�me \ref{theoindpdt1} nous permet dans ces conditions de conclure.

\end{vide}


\begin{defi}
\label{def-surhol-rele}
D'apr�s \ref{pre-def-surhol-rele},
si $U$ est une vari�t� telle qu'il existe
un $\V$-sch�ma formel $\X$ propre et lisse, un diviseur $T$ de $X$, un sous-sch�ma ferm� $Z$ de $X$
tels que $U= Z \setminus T$,
la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X  , T , Z }$
ne d�pend canoniquement que de $U$.
On la notera donc simplement
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$.

Ses objets seront nomm�s {\og (F\text{-})$\D _{U}$-modules arithm�tiques surholonomes\fg}.
Ils constituent un analogue $p$-adique de la cat�gorie des
$\D _{U _\C }$-modules holonomes, o� $U _\C$ est une vari�t� sur le corps des complexes $\C$.
Nous �tendrons dans \ref{rem-sch-sep} la construction de $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$
pour une vari�t� $U$ quelconque.
\end{defi}






\begin{theo}
\label{theoindpdt2}
  Soient $f$ : $\X _2 \rightarrow \X _1$ un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses,
  $T _1$ et $Z _1$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X _1$, $T _2$ et $Z_2$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X _2$.
De plus, on suppose que $f$ induise l'isomorphisme $Z _2\setminus T _2 \riso Z _1 \setminus T _1$.

Alors,
 les foncteurs $f_+$ et
 $(\hdag T _2)\circ   \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ f ^!$ induisent
   des �quivalences quasi-inverses entre les cat�gories
 $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X _2, T _2, Z _2}$ et $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X _1, T _1, Z _1}$.
 Lorsque $Z _2$ est l'adh�rence sch�matique de $Z _2 \setminus T_2$ dans $X _2$,
  le foncteur $(\hdag T _2)$  est inutile.
On dispose des m�mes r�sultats en rempla�ant {\og $\mathfrak{C} ^+$\fg} par {\og $\mathfrak{C} $\fg}.
\end{theo}



\begin{proof}
L'isomorphisme \ref{nonhdag.3.2.6} (de la preuve de \ref{theoindpdt1})
reste valable pour $\E _1 \in (F\text{-})\mathfrak{C} _{\X _1 , T _1 , Z _1}$.
On se ram�ne alors (de mani�re analogue � \ref{theoindpdt1}) au cas o�
$Z _2$ est l'adh�rence sch�matique de $Z _2 \setminus T_2$ dans $X _2$.
Dans ce cas, le foncteur $(\hdag T _2)$ est inutile et
le th�or�me a alors d�j� �t� trait� pour les complexes surcoh�rents
dans \cite[3.2.8]{caro_surcoherent}.
Le cas concernant {\og $\mathfrak{C} ^+$\fg} (� la place de {\og $\mathfrak{C}$\fg})
en r�sulte gr�ce � la stabilit�
de la surholonomie.
\end{proof}


\begin{rema}
  \label{rema-theoind}
La diff�rence entre les deux th�or�mes \ref{theoindpdt1} et \ref{theoindpdt2} est que le premier
concerne les {\og modules\fg} tandis que le second traite des {\og complexes\fg}.
Pour que les foncteurs que nous utilisons dans ces deux th�or�mes
(i.e., ceux de la forme $f _+$ et $(\hdag T _2) \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  f ^!$)
pr�servent bien le fait d'�tre un module (i.e., la condition \ref{theoindpdt1}.\ref{1theoindpdt1}
doit �tre v�rifi�e),
les hypoth�ses de \ref{theoindpdt1} sont alors plus fortes que celles de \ref{theoindpdt2} :
le morphisme $f $ est lisse en plus d'�tre propre
et les sous-sch�mas ferm�s $T _1$ et $T _2$ sont en outre des diviseurs.
Le fait que $T _1$ et $T _2$ soient des diviseurs permet d'utiliser \ref{4312Be1}, ce qui
est techniquement tr�s appr�ciable
(dans la preuve de \cite[3.2.6]{caro_surcoherent}, cela permet de traiter assez facilement
le cas o� $Z _2 \setminus T _2$ est lisse).
De plus, l'hypoth�se de lissit� de $f $ permet de conserver des diviseurs, i.e., le sous-sch�ma ferm�
$f  ^{-1} (T _1)$ est alors un diviseur de $X _2$.
Enfin, le contre-exemple de \ref{rema-j!} indique que l'hypoth�se que $T _1$ et $T _2$ soient des diviseurs
permet (dans le cas des modules) de travailler dans un cadre plus ad�quat.
\end{rema}

\begin{defi}
  \label{def-surhol-relebis}
Soit $U$ une vari�t� telle qu'il existe un $\V$-sch�ma formel $\X$ propre et lisse,
deux sous-sch�mas ferm�s $Z,\,T$ de $X$ tels que $U= Z \setminus T$.
De fa�on similaire � \ref{def-surhol-rele} ou � \cite[3.2.9]{caro_surcoherent},
il d�coule de \ref{theoindpdt2} que la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X  ,\, T  ,\, Z }$ est ind�pendante de $\X $, $T $ et $Z $,
ne d�pend que de $U $ et sera d�sign�e par $(F\text{-})D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
Ses objets sont appel�s {\og ($F$-)complexes de $\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur $U$\fg}
ou simplement {\og ($F$-)complexes surholonomes sur $U$\fg}.
Elles correspondent � un analogue $p$-adique de
la cat�gorie des complexes � cohomologie born�e et holonome
sur une vari�t� complexe $ U_\C$ not�e
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} (\D _{U _\C})$.
\end{defi}

\begin{prop}
  \label{def-surhol-rele2}
  Soient $g$ : $U _2 \rightarrow U _1$ un morphisme de vari�t�s.
  On suppose que, pour $i=1,2$, $U _i$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X _i$.
  On note alors $Z _i$ l'adh�rence sch�matique de $U _i$ dans $X_i$ et
  $T _i := Z _i \setminus U_i$.


On dispose alors des foncteurs canoniques
$g _{+},\,g _{!}$ :
$F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U _2})\rightarrow F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})$
et
$g  ^!,\,g  ^+$ :
$F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })\rightarrow F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U _2})$.
Ces foncteurs ne d�pendent canoniquement que de $g$ et
sont respectivement {\og l'image directe\fg},
{\og l'image directe extraordinaire\fg}, {\og l'image inverse extraordinaire\fg} et {\og l'image inverse\fg} par $g $.


Lorsqu'il existe un morphisme $f\,:\,\X _2 \rightarrow \X _1$ propre et lisse
prolongeant $g$ alors
ceux-ci correspondent � ceux d�finis dans \ref{defg+g!hautbas}, i.e.,
$g_+ = f _{+}$, $g _!= \DD _{T _1}\circ  f _{+} \circ \DD _{T _2}$,
$g^!= \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2}  \circ  (\hdag T _2)\circ   f ^!$,
$g^+=  \DD _{T _2}\circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ  (\hdag T _2)\circ f ^! \circ \DD _{T _1}$.

\end{prop}

\begin{proof}
Quitte � remplacer $\X _2$ par $\X _2 \times \X _1$, $T _2$ par
la r�union des images inverses de $T _1$ et $T _2$ sur $X _2 \times X _1$,
$Z _2$ par l'adh�rence sch�matique de $U _2$ dans $X _2 \times X _1$,
gr�ce � \ref{theoindpdt2},
on peut supposer qu'il existe un morphisme propre et lisse
$f$ : $\X _2\rightarrow \X _1$ prolongeant $g$.

On v�rifie � pr�sent que les foncteurs
d�finis dans \ref{defg+g!hautbas} ne d�pendent canoniquement pas du prolongement $f$.
En effet, soit $f'\,:\, \X'_2 \rightarrow \X '_1$ un second morphisme de $\V$-sch�mas formels propres
et lisses prolongent $g$. Pour $i=1,2$, on note de m�me
$Z '_i$ l'adh�rence sch�matique de $U _i$ dans $X'_i$ et $T' _i := Z '_i \setminus U_i$.


Alors, quitte � remplacer
$\X ' _i $ par $\X ' _i \times \X  _i$,
$T '_i$ par la r�union des images inverses de $T _i$ et $T '_i$ sur $X _i ' \times X _i$,
$Z ' _i$ par l'adh�rence sch�matique de $U _i$ dans $X ' _i \times X _i$,
on peut supposer qu'il existe
un morphisme $u_1\,:\, \X' _1 \rightarrow \X _1$ (resp. $u_2\,:\, \X' _2 \rightarrow \X _2$) propre et lisse
induisant l'identit� sur $U _1$ (resp. $U_2$) tels que
$f \circ u_2 = u_1 \circ f'$ et
tels que les
foncteurs
$u_{i+}$ et
$(\hdag T '_i)\circ   \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '_i} \circ u_i ^!$ induisent
   des �quivalences quasi-inverses
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _i , T _i , Z _i}\cong F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X '_i , T' _i , Z' _i}$
(voir \ref{theoindpdt2}).

Soit $ \E ' _2 \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X '_2 , T '_2 , Z' _2}$.
Il lui correspond canoniquement $\E _2 = u _{2+} (\E '_2) \in F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2}$.
On obtient alors l'isomorphisme canonique
$f '_+ (\E ' _2 ) \riso u_{1+} f _+ (\E _2)$.
En d'autres termes, le foncteur $g_+$ est canoniquement ind�pendant du choix du prolongement $f$.
On proc�de de m�me pour les trois autres foncteurs.

\end{proof}

\begin{rema}
 Avec les notations de \ref{def-surhol-rele2} et de sa preuve,
 lorsque $g$ est propre,
on peut m�me supposer que le prolongement $f$ v�rifie $T _2 = f _0 ^{-1} (T _1)$.

En effet,
d'apr�s \cite[II.4.8.(e)]{HaAG}, le fait que $g$ soit propre implique que l'immersion ouverte
$U _2 \hookrightarrow Z _2 \setminus f _0 ^{-1} (T _1)$ est un morphisme propre.
Comme $U _2$ est dense dans $Z _2$, on obtient alors
$U _2 =Z _2 \setminus f _0 ^{-1} (T _1)$.
D'o� :
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , T _2 , Z _2}
=F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _2 , f _0 ^{-1} (T _1) , Z _2}$ (voir \ref{propindX}).


\end{rema}






\begin{prop}
Soit $U$ une vari�t�
qui se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X$.
Soient $u$ : $Y  \hookrightarrow U $ une immersion ferm�e
et $j$ : $U  \setminus Y  \subset U $ l'immersion ouverte induite.
On dispose alors, pour tout $\E \in F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U  })$,
du triangle distingu� de localisation :
\begin{equation}
  \label{defitrgllocsch}
  u _+ u ^! (\E) \rightarrow \E \rightarrow j_+ j ^! (\E)
\rightarrow
u _+ u ^! (\E) [1].
\end{equation}
\end{prop}


\begin{proof}
Notons $Z$ (resp. $Z ' $) l'adh�rence sch�matique
de $U $ (resp. $Y$) dans $X $ et $T:= Z \setminus U$.
Consid�rons $\E $ comme un �l�ment de
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X  , T  , Z }$.
On dispose du triangle de localisation (voir \ref{tri-local}) :
$$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) \rightarrow \E \rightarrow
(\hdag Z ' ) (\E)
\rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) [1].$$

Comme $Y=Z ' \setminus T$, on remarque que
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{Y}=F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X  , T  , Z '}$.
Par d�finition (voir \ref{def-surhol-rele2}),
$u ^! (\E) = \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) $
et $u_+ (\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) ) = \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z '} (\E) $.
De m�me, comme $U  \setminus Y = Z \setminus (T \cup Z')$ alors
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{U\setminus Y}=F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X  , T \cup Z'  , Z }$,
$j ^! (\E)=(\hdag Z ' ) (\E)$ et
$j_+ ((\hdag Z ' ) (\E)) =(\hdag Z ' ) (\E)$.

\end{proof}


\begin{vide}
[Isomorphisme de dualit� relative]
\label{def-surhol-rele3}
On garde les notations de \ref{def-surhol-rele2}.
Comme il est encore conjectural que l'isomorphisme de dualit� relative d'un morphisme propre (voir \ref{iso-dualrel} puis \ref{bidua+rel})
soit compatible � Frobenius, il n'est pas clair que
le foncteur $\DD _{\X_1,T _1}$ :
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1} \rightarrow
F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1}$ soit ind�pendant, � isomorphisme canonique pr�s,
du choix de $\X _1$, $T _1$ et $Z _1$ tels que $U _1=Z _1 \setminus T_1$.
La construction d'un foncteur dual
sur $F\text{-}D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })$ devient donc probl�matique.

Pour y rem�dier, on construit alors
la cat�gorie $F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})$
ainsi que le foncteur dual $\DD _{U _1}$ induisant l'�quivalence de cat�gories
$\DD _{U _1}$ : $F\text{-}D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })
\cong F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})$
de la mani�re suivante.
\medskip



De fa�on analogue au th�or�me \ref{theoindpdt2}, lorsque $g$ est un isomorphisme, on v�rifie que
les foncteurs $f_!$ et
 $\DD \circ (\hdag T _2)\circ   \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ f ^! \circ \DD$ induisent
   des �quivalences quasi-inverses entre les cat�gories
 $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X _2, T _2, Z _2}$ et $(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X _1, T _1, Z _1}$.
Il r�sulte de cette {\og version dualis�e\fg} du th�or�me \ref{theoindpdt2} que
la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{C} ^+ _{\X _1, T _1, Z _1}$ est alors ind�pendante du choix de $\X _1$, $T _1$ et $Z _1 $
tels que $U _1=Z _1 \setminus T_1$ � isomorphisme canonique pr�s
(ces isomorphismes canoniques sont dans cette deuxi�me construction de la forme $f_!$ ou
 $\DD \circ (\hdag T _2)\circ   \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _2} \circ f ^! \circ \DD$).
On la note alors $(F\text{-})D ^{\mathrm{b}\vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.


Le foncteur $\DD _{\X_1,T _1}$ :
$F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1} \rightarrow
F\text{-}\mathfrak{C} ^+ _{\X _1 , T _1 , Z _1}$ induit alors
les �quivalences de cat�gories
$$\DD _{U _1}\, :\, F\text{-}D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })
\cong F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})
\text{ et }
\DD _{U _1}\, :\, F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})
\cong F\text{-} D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1}).$$
En effet, via le th�or�me de bidualit�
qui commute � Frobenius (voir \ref{bidual}), on v�rifie que le foncteur
$\DD _{U _1}$ ne d�pend pas � isomorphisme canonique pr�s du choix du triplet
$(\X _1 , T _1 , Z _1)$ tel que $U _1 =Z _1\setminus T_1$.
\medskip

$\bullet$
En oubliant Frobenius (voir \ref{remafrob}), on a
$D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1}) =D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})$
et
$\DD _{U _1}$ : $D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })
\cong D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U _1})$.
Lorsque $g$ est propre, il d�coule de \ref{bidua+rel} que
l'on dispose de l'isomorphisme de foncteurs
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U _2 }) \rightarrow D ^{\mathrm{b}\vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1 })$ :
\begin{equation}
  \label{iso-dualrel-gen}
  \DD _{U _1} \circ g _+ \riso g_+ \circ \DD _{U _2}.
\end{equation}
Cet isomorphisme correspond au {\og th�or�me de dualit� relative\fg}.
\medskip

$\bullet$
Enfin, si le th�or�me de dualit� relative de \ref{iso-dualrel} est compatible � Frobenius, alors
celui de \ref{iso-dualrel-gen} l'est aussi,
(l'isomorphisme $f_! \riso f_+$ commute � Frobenius et donc)
$F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U _1}) =F\text{-}D ^{\mathrm{b} } _\mathrm{surhol} (\D _{U_1 })$.



\end{vide}

\begin{vide}[Coefficient constant]
\label{coeff-const}
    Soient $\X$ un $\V$-sch�ma formel propre et lisse, $T$ et $Z$ deux sous-sch�mas ferm�s de $X$,
    $d _{Y/X}$ la dimension relative de $Z$ sur $X$,
et $U := Z \setminus T$.
Le {\og coefficient constant associ� � $U$\fg} est d�fini en posant
$\O _U := \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z} (\hdag T) (\O _{\X,\,\Q})[-d _{U/X}]$.
Celui-ci ne d�pend pas du choix du
triplet $(\X  ,\, T  ,\, Z )$ tel que $Z \setminus T = U$.
En effet, d'apr�s \ref{proptheo}, ce complexe est un objet de
$F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
Cela r�sulte alors de \ref{def-surhol-rele2} en remarquant que
$\O _U = j^! (\O _{\X,\Q}) [-d _{U/X}]$.
Notons que le foncteur $j^! [-d _{U/X}]$ est un analogue de $\L j^*$.

Lorsque $U$ est lisse et $T$ est un diviseur,
le complexe $\O _U= \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z} (\hdag T) (\O _{\X,\,\Q})[-d _{U/X}]$ est
r�duit � un terme.
En effet, en notant $\Y:= \X \setminus T$, il suffit d'apr�s \ref{4312Be1} de le voir en dehors de $T$.
Or,
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z} (\hdag T) (\O _{\X,\,\Q})[-d _{U/X}] |\Y
\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{U} (\O _{\Y,\,\Q})[-d _{U/X}]$.
Ce dernier est r�duit � un terme car $U$ est lisse.
Dans ces conditions, $\O _U$ est un $F\text{-}\D _U$-module arithm�tique surholonome.
Par exemple, si $Z =X$, $\O _U = \O _{\X} (\hdag T) _\Q$.
\end{vide}




\section{$\D$-modules arithm�tiques surholonomes sur une vari�t�}
\label{rem-sch-sep}
  Soit $U$ une vari�t�. Lorsqu'il n'existe pas de $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X$,
  de sous-sch�ma ferm� $Z$ de $X$ et de diviseur $T$ de $X$ tels que $U = Z \setminus T$, on peut
  n�anmoins �tendre la construction de
$(F\text{-})\mathfrak{M}  _{U }$, $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$
par recollement.
Nous d�taillons la proc�dure dans cette section.


\begin{nota}
\label{nota-rem-sch-sep}
On choisit un recouvrement fini ouvert $(U _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ de $U$ tel que,
pour tout $\alpha\in \Lambda$, il existe
un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X _\alpha$,
  un sous-sch�ma ferm� $Z _\alpha$ de
  $X _\alpha$ et un diviseur $T_\alpha$ de $X_\alpha$ tel que $U _\alpha = Z _\alpha\setminus T_\alpha$.
  De tels recouvrements existent bien. En effet,
 si $U _\alpha$ est un ouvert affine de $U$, il existe une immersion ferm�e de la forme
 $U _\alpha \hookrightarrow \A ^n _k$. Il suffit alors de prendre $\X _\alpha$ �gal au
  compl�t� $p$-adique de l'espace projectif $\P ^n _\V$, $T _\alpha$ le diviseur de $\P ^n _k$
  compl�mentaire de $\A ^n _k$ et $Z _\alpha$ l'adh�rence sch�matique de $U _\alpha $ dans $\P ^n _k$.

  Pour tous $\alpha, \beta$ et $\gamma \in \Lambda$,
  on note $p _1 ^{{\alpha \beta}}$ : $\X _\alpha \times _\S \X _\beta \rightarrow \X _\alpha$ et
  $p _2 ^{{\alpha \beta}}$ : $\X _\alpha \times _\S \X _\beta \rightarrow \X _\beta$
  les projections canoniques, $Z _{{\alpha \beta}}$
  l'adh�rence sch�matique de
  $U _\alpha \cap U _\beta$ dans $X _\alpha \times X _\beta$ (via l'immersion
  $U _\alpha \cap U _\beta \hookrightarrow U _\alpha \times U _\beta
  \hookrightarrow X _\alpha \times X _\beta$),
  $T _{{\alpha \beta}}=
  \smash{p _1 ^{\alpha \beta }} ^{-1} (T _\alpha) \cup \smash{p _2 ^{\alpha \beta }} ^{-1} (T _\beta)$.
  On remarque que $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U _\alpha \cap U _\beta }=
  (F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _\alpha \times \X _\beta , T _{\alpha \beta}, Z _{\alpha \beta}}$.
  De m�me, en notant $Z _{\alpha \beta \gamma}$ l'adh�rence sch�matique de
  $U _\alpha \cap U _\beta \cap U _\gamma$ dans $X _\alpha \times X _\beta \times X _\gamma$, et
  $T _{\alpha \beta \gamma}$ la r�union des images inverses
  de $T _\alpha$, $T _\beta$ et $T_\gamma$ par les projections de
  $\X _\alpha \times \X _\beta \times \X _\gamma$ sur $\X _\alpha$, $\X _\beta$
  et $\X _\gamma$, on remarque que
  $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U _\alpha \cap U _\beta \cap U _\gamma}=
  (F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _\alpha \times \X _\beta \times \X _\gamma ,
  T _{\alpha \beta \gamma}, Z _{\alpha \beta \gamma}}$.

  Soient
  $j _1 ^{\alpha \beta} $ : $U _{\alpha}  \cap U _{\beta} \subset U _\alpha$,
  $j _2 ^{\alpha \beta} $ : $U _{\alpha}  \cap U _{\beta} \subset U _\beta$,
  $j _{12} ^{\alpha \beta \gamma} $ : $U _{\alpha}  \cap U _{\beta}\cap U _{\gamma} \subset
  U _{\alpha}  \cap U _{\beta}$,
  $j _{23} ^{\alpha \beta \gamma} $ :
  $U _{\alpha}  \cap U _{\beta}\cap U _{\gamma}\subset U _\beta \cap U _\gamma$
  et
  $j _{13} ^{\alpha \beta \gamma} $ : $U _{\alpha } \cap U _{\beta}  \cap U _{\gamma}
  \subset
  U _\alpha \cap U _\gamma$
  les immersions ouvertes.
\end{nota}

\begin{defi}
\label{defi-rem-sch-sep}
Avec les notations \ref{nota-rem-sch-sep},
  on d�finit la cat�gorie $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda})$
  de la fa�on suivante :
\begin{itemize}
  \item Un objet est constitu� par la donn�e, pour tout $\alpha \in \Lambda$,
  d'un objet $\E _\alpha$ de
  $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _\alpha, T _\alpha, Z _\alpha }$ et,
  pour tous $\alpha,\beta \in \Lambda$,
  d'un isomorphisme
  $\theta _{\alpha \beta}$ :
  $j _2 ^{\alpha \beta !} (\E _\beta)
  \riso j _1 ^{\alpha \beta !} (\E _\alpha)$
  de $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U _\alpha \cap U _\beta }$
  (i.e., d'un isomorphisme
$\D ^\dag _{\X _\alpha \times _\S \X _\beta, \, \Q}$-lin�aire
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _{{\alpha \beta}}}
\circ (\hdag T _{{\alpha \beta}})\circ p _2 ^{\alpha \beta !}  (\E _\beta)\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _{{\alpha \beta}}}
\circ (\hdag T _{{\alpha \beta}})\circ p _1 ^{\alpha \beta !}  (\E _\alpha)$),
ces isomorphismes v�rifiant dans $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U _\alpha \cap U _\beta \cap U _\gamma}$
la condition de cocycle
$j _{13}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \gamma} )=
j _{12} ^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \beta} )
\circ j _{23} ^{\alpha \beta \gamma !} ( \theta _{ \beta \gamma })$.
La famille d'isomorphismes $(\theta _{\alpha \beta}) _{\alpha ,\beta \in \Lambda}$
est appel�e {\og donn�e de recollement\fg} de $ (\E _\alpha) _{\alpha \in \Lambda} $.


\item Une fl�che
$ ((\E _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}, (\theta _{  \alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}) \rightarrow
  ((\E '_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}, (\theta '_{  \alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda})$
de la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+
  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda})$
  est une famille de morphismes
  $ \E _\alpha \rightarrow   \E '_\alpha$
  commutant aux donn�es de recollement respectives.

\end{itemize}

On remarque gr�ce � \ref{j!} que les foncteurs $j _1 ^{\alpha \beta !}$, $j _{12} ^{\alpha \beta \gamma !}$ etc.
sont exacts, ce qui donne un sens � notre d�finition.
\end{defi}

\begin{prop}
\label{prop-rem-sch-sep}
La cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+
  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda})$
  ne d�pend pas du choix de
$(U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$
v�rifiant les conditions de \ref{nota-rem-sch-sep}.
\end{prop}

\begin{proof}
La preuve se fait en trois �tapes suivantes :

i) S'il existe un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X$,
un diviseur $T$ de $X$ tel que $U = Z \setminus T$ o� $Z$ est l'adh�rence de $U$ dans $X$
alors,
pour tout recouvrement fini ouvert $(\X _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ de $\X$ tel que,
quitte � prendre un recouvrement plus fin,
$T _\alpha := X \setminus [(X\setminus T) \cap X _\alpha]$ soit un diviseur de
$X$ (par exemple, puisque $X$ est propre et lisse,
si $(X\setminus T) \cap X _\alpha$ est affine : \cite[1.3.1]{caro-2006-surcoh-surcv}),
on dispose, en notant
$U _{\alpha }:=X _\alpha \cap U$,
 d'une �quivalence entre
les cat�gories $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+   _{\X, \, T , \, Z}$
et $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+   (U,\, (U _\alpha, \X , T_\alpha,  Z) _{\alpha \in \Lambda})$.

  En effet, soient
  $p_1$ et $p_2$ : $\X \times _\S\X \rightarrow \X $
  les projections respectives � gauche et droite canoniques,
$T _{{\alpha \beta}}=
  p _1  ^{-1} (T _\alpha) \cup p _2  ^{-1} (T _\beta)$,
  $Z'$ l'adh�rence de $U$ dans $X \times _k X $,
  $(\E _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ une famille
  d'objets de $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X , T _\alpha, Z  }$,
  munie d'isomorphismes
  $\D ^\dag _{\X \times _\S \X , \, \Q}$-lin�aires,
$ \theta _{\alpha \beta}$ :
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' }
\circ (\hdag T _{{\alpha \beta}})\circ p _2 ^{ !}  (\E _\beta)\riso
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'}
\circ (\hdag T _{{\alpha \beta}})\circ p _1 ^{ !}  (\E _\alpha)$,
ceux-ci v�rifiant
la condition de cocycle. En notant $\delta $ : $\X \hookrightarrow \X \times _\S \X$ l'immersion
ferm�e diagonale,
comme $p _1 \circ \delta = p _2 \circ \delta$, il r�sulte de
\ref{fct-cohloc}, \ref{commutfonctcohlocal2}, \ref{commutfonctcohlocal2+}
que $\delta ^! (\theta _{\alpha \beta})$
est canoniquement isomorphe � un isomorphisme de la forme
$\eta _{\alpha \beta}\,:\, (\hdag T _\alpha) (\E _\beta) \riso (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)$.
La famille $\eta _{\alpha \beta}$ v�rifie en outre la condition de cocycle
$(\hdag T _\beta ) (\eta _{\alpha \gamma}) =
(\hdag T _\gamma) (\eta _{\alpha \beta}) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta _{\beta \gamma})$.
On conclut alors l'�tape i) via le lemme suivant.
\begin{lemm}
Avec les notations ci-dessus,
  soit $(\E _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ une famille de $\D ^\dag _{\X} (\hdag T _\alpha) _{\Q}$-modules
  surholonomes
  munie d'isomorphismes
$\eta _{\alpha \beta}$ : $(\hdag T _\alpha) (\E _\beta) \riso (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)$
avec $\alpha ,\beta \in \Lambda$ et
v�rifiant, pour tous $\alpha ,\beta ,\gamma \in \Lambda$, l'�galit�
$(\hdag T _\beta ) (\eta _{\alpha \gamma}) =
(\hdag T _\gamma) (\eta _{\alpha \beta}) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta _{\beta \gamma})$.
Il existe alors un unique $\D ^\dag _{\X} (\hdag T )_{\Q}$-module $\E$ (� isomorphisme canonique pr�s)
qui soit surholonome et
muni d'une famille d'isomorphismes $\eta _\alpha$ : $ (\hdag T _\alpha) (\E) \riso \E _\alpha$ telle que
$(\hdag T _\beta) (\eta  _\alpha) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta ^{-1}  _\beta)=\eta _{\alpha \beta}$.
\end{lemm}
\begin{proof}
  On pose $\E =\ker ( \xymatrix { { \oplus _{\alpha \in \Lambda} \E _\alpha} \ar@<1ex>[r]\ar@<-1ex>[r]
  &
  {\oplus _{\alpha, \beta \in \Lambda} (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)}})$, o� la premi�re fl�che est
  induite par les morphismes canoniques $\E _\alpha \rightarrow (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)$
  tandis que la deuxi�me se construit terme � terme via les fl�ches de la forme
  $\E _\beta \rightarrow (\hdag T _\alpha) (\E _\beta) \overset{\eta _{\alpha \beta}}{\longrightarrow}
  (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)$. Comme, pour tout $\alpha$,
  $T \subset T _\alpha$, $\E$ est muni d'une structure canonique de
$\D ^\dag _{\X} (\hdag T )_{\Q}$-module. Par \ref{propkerimsurcoh}, $\E$ est en outre
surholonome (en tant que $\D ^\dag _{\X,\Q}$-module).
Comme le morphisme canonique $\E _\alpha \rightarrow (\hdag T _\alpha) (\E _\alpha)$
est un isomorphisme (car, par \ref{4312Be1}, c'est le cas en dehors de $T _\alpha$),
la projection $\E\rightarrow \E _\alpha $ induit le morphisme canonique
$ (\hdag T _\alpha) (\E) \rightarrow \E _\alpha$ que l'on note $\eta _\alpha$.
V�rifions � pr�sent que $\eta _\alpha$ est un isomorphisme
et que
la formule $(\hdag T _\beta) (\eta  _\alpha) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta ^{-1}  _\beta)=\eta _{\alpha \beta}$
est correcte.
Comme cela est local
  en $\X$, supposons donc $\X$ affine. Pour tous $\alpha, \beta$,
  pour toute section $e _\alpha$ de $\E _\alpha$,
  notons $(\hdag T _\beta) (e _\alpha)$ l'image de $e _\alpha$ dans $(\hdag T _\beta) (\E _\alpha)$
  via le morphisme canonique $\E _\alpha \rightarrow (\hdag T _\beta) (e _\alpha)$.
  L'ensemble des sections globales de $\E$
  est $\{ (e _\alpha) _{\alpha}, \, \text{avec } e _\alpha\in \E _\alpha\,
  \text{tels que }\forall \beta,\alpha \in \Lambda,\,
  \eta _{\alpha \beta} ( (\hdag T _\alpha) (e_\beta)) = (\hdag T _\beta) (e _\alpha)\}$.
  On calcule alors que la projection $(\hdag T_\alpha) (\E  )\rightarrow (\hdag T_\alpha) (\E_\alpha)$
  est un isomorphisme (en effet, $e _\alpha$ d�termine alors $(\hdag T _\alpha) (e _\beta )$).
Ainsi, $\eta _\alpha$ est un isomorphisme. On calcule de m�me que
la formule $(\hdag T _\beta) (\eta  _\alpha) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta ^{-1}  _\beta)=\eta _{\alpha \beta}$
est correcte.

Traitons � pr�sent l'unicit�. Soit
$\E '$ un
$\D ^\dag _{\X,\,\Q} (\hdag T )$-module surholonome
muni d'une famille d'isomorphismes $\eta ' _\alpha$ : $ (\hdag T _\alpha) (\E') \riso \E _\alpha$ telle que
$(\hdag T _\beta) (\eta ' _\alpha) \circ (\hdag T _\alpha) (\eta ^{\prime -1}  _\beta)=\eta _{\alpha \beta}$.
Il en d�rive les morphismes
$\E ' \rightarrow (\hdag T _\alpha) (\E') \underset{\eta ' _\alpha}{\riso} \E _\alpha$ qui induisent le morphisme
$\E' \rightarrow
\ker ( \xymatrix { { \oplus _{\alpha \in \Lambda} \E _\alpha} \ar@<1ex>[r]\ar@<-1ex>[r]
  &
  {\oplus _{\alpha, \beta \in \Lambda} (\hdag T _\beta) (\E _\alpha)}})=\E$.
Comme, pour tout $\alpha \in \Lambda$, $(\hdag T _\alpha)( \E') \riso (\hdag T _\alpha)( \E)$,
on obtient $\E' \riso \E$.

\end{proof}
ii) Soit
un recouvrement fini ouvert $(U _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ (resp. $(U '_{\alpha '}) _{\alpha '\in \Lambda '}$)
de $U$ tel qu'il existe
un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X _\alpha$ (resp. $\X '_{\alpha'}$),
  un sous-sch�ma ferm� $Z _\alpha$ de $X _\alpha$ (resp $Z '_{\alpha'}$ de $X '_{\alpha'}$)
  et un diviseur $T_\alpha$ de $X_\alpha$ (resp. $T '_{\alpha'}$ de $X '_{\alpha'}$)
  tel que
  $U _\alpha = Z _\alpha\setminus T_\alpha$
  (resp. $U '_{\alpha'}= Z '_{\alpha'} \setminus T '_{\alpha'}$).
  Gr�ce � i), quitte � prendre un recouvrement plus fin que
  $(U _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ et $(U '_{\alpha '}) _{\alpha '\in \Lambda '}$,
  on se ram�ne � traiter le cas o� $\Lambda =\Lambda '$ et $U _\alpha = U '_{\alpha}$.

iii) Quitte � remplacer $\X ' _\alpha$ par $\X' _\alpha \times _\S \X _\alpha$,
on peut supposer qu'il existe un morphisme propre et lisse
$\X ' _\alpha \rightarrow \X _\alpha$ dont la restriction � $U _\alpha$ induise l'identit� de $U _\alpha$.
On obtient ainsi des foncteurs canoniques (\ref{defg+g!hautbas})
$Id _\alpha ^!$ : $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+   _{\X _\alpha, \,  Z _\alpha, \, T_\alpha}
\rightarrow (F\text{-})\mathfrak{M} ^+   _{\X '_\alpha ,\,  Z' _\alpha ,\, T '_\alpha}$
et
$Id _{\alpha +}$ :
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+   _{\X '_\alpha ,\,  Z '_\alpha, \, T'_\alpha}
\rightarrow (F\text{-})\mathfrak{M} ^+   _{\X _\alpha ,\,  Z _\alpha ,\, T _\alpha}$.
Dans ce cas, si
$ (\E _\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ est une famille
d'objets $\E _\alpha$ de $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{\X _\alpha, T _\alpha, Z _\alpha }$,
munie d'une donn�e de recollement,
on lui associe la famille $ (Id ^! _\alpha (\E _\alpha) ) _{\alpha \in \Lambda}$, qui est munie d'une structure
canonique induite de donn�e de recollement (gr�ce aux isomorphismes de transitivit� de l'image inverse
extraordinaire de \ref{defg+g!hautbas} et � son associativit�).
De fa�on analogue, on construit un foncteur quasi-inverse en rempla�ant $Id _\alpha ^!$ par $Id _{\alpha +}$.



\end{proof}


\begin{defi}
  \label{defi2-rem-sch-sep}
Avec les notations \ref{nota-rem-sch-sep},
on d�signe par $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$, la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{M} ^+  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda})$
qui ne d�pend canoniquement que de $U$ (voir \ref{prop-rem-sch-sep}).
Un objet de $(F\text{-})\mathfrak{M} ^+ _{U }$ sera nomm�
{\og $(F\text{-})\D_U$-module arithm�tique surholonome\fg}.
En rempla�ant {\og $\mathfrak{M}^+$\fg} par {\og $\mathfrak{M}$\fg},
on construit de m�me la cat�gorie
$(F\text{-})\mathfrak{M}  _{U }$
des {\og $(F\text{-})\D_U$-modules arithm�tiques surcoh�rents\fg}.
\end{defi}

\begin{defi}
\label{defi-const-rem-sch-sep}
Avec les notations \ref{nota-rem-sch-sep},
  lorsque $U$ est lisse, la famille $(\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _\alpha}
(\hdag T _\alpha) (\O _{\X _\alpha ,\,\Q})[-d _{Z _\alpha /X _\alpha }]) _{\alpha \in \Lambda}$
est canoniquement munie d'une donn�e de recollement.
Cet objet de
$F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{U }$ sera not� de $\O _U$ (on v�rifie que cela ne d�pend pas du choix
de la famille de quadruplet $(U_\alpha ,\, \X _\alpha, \,  Z _\alpha, \, T_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}$)
et sera appel� {\it coefficient constant associ� � $U$}.

\end{defi}


On termine cette section par la description
des cat�gories $(F\text{-})D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U })$ et
$(F\text{-})D ^\mathrm{b}  (\mathfrak{M} ^+  _{U })$.


\begin{vide}
\label{Dsurcoh}
On conserve les notations de \ref{nota-rem-sch-sep}.
On d�signe par $C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }})$
la sous-cat�gorie pleine de $C ^\mathrm{b} (\D ^\dag  _{\X_\alpha  }(\hdag T _\alpha) _\Q)$
des complexes
$\E  ^\bullet $ tel que $\E ^n  \in
\mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }}$.
D'apr�s \ref{j!}, on dispose du foncteur exact $j _1 ^{\alpha \beta !}
\,:\,\mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} \rightarrow
\mathfrak{M}  _{\X _\alpha \times \X _\beta , T _{\alpha \beta}, Z _{\alpha \beta}}$.
Il induit donc un foncteur
$j _1 ^{\alpha \beta !}
\,:\,
C ^\mathrm{b} ( \mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} )
\rightarrow
C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{\X _\alpha \times \X _\beta , T _{\alpha \beta}, Z _{\alpha \beta}})$.
On obtient aussi un foncteur
$j _2 ^{\alpha \beta !}
\,:\,
C ^\mathrm{b} ( \mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} )
\rightarrow
C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{\X _\alpha \times \X _\beta , T _{\alpha \beta}, Z _{\alpha \beta}})$
et
de m�me pour $j _{12}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \gamma} )$,
$j _{13}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \gamma} )$,
$j _{23}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \gamma} )$.
On dispose de foncteurs analogues en rempla�ant {\og $\mathfrak{M}$\fg} par {\og $\mathfrak{M} ^+$\fg}.
\end{vide}

\begin{defi}
\label{defi-D(M)}
$\bullet$ Avec les notations de \ref{Dsurcoh},
on d�finit la cat�gorie $C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
de la mani�re suivante :

\begin{itemize}
  \item Un objet est une famille
$\E = ( \E _\alpha ^\bullet , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda }$
o� $\E _\alpha ^\bullet \in
C ^\mathrm{b} ( \mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} )$
$\theta _{\alpha \beta}  $ :
  $j _2 ^{\alpha \beta !} (\E ^\bullet   _\beta)
  \riso j _1 ^{\alpha \beta !} (\E ^\bullet  _\alpha)$
  est un isomorphisme de
  $C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{\X _\alpha \times \X _\beta , T _{\alpha \beta}, Z _{\alpha \beta}})$
satisfaisant la condition de cocycle
$j _{13}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \gamma} )=j _{12}
^{\alpha \beta \gamma !} (\theta _{  \alpha \beta} ) \circ j _{23}
^{\alpha \beta \gamma !} ( \theta _{ \beta \gamma })$.
La famille d'isomorphismes $\theta _{\alpha \beta}  $ est dite {\it donn�es de recollement}.

\item Un morphisme $f$ : $( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}
\rightarrow ( \FF ^\bullet _\alpha , \theta ' _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda }$
est une famille de morphismes $f  _\alpha$ : $\E ^\bullet _\alpha  \rightarrow \FF ^\bullet _\alpha $
de $C ^\mathrm{b} ( \mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} )$
commutant aux donn�es de recollement respectives.

De mani�re analogue � \ref{prop-rem-sch-sep}, on v�rifie que
$C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
ne d�pend pas, � �quivalence canonique de cat�gories pr�s, du choix de
$(U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$
v�rifiant les conditions de \ref{nota-rem-sch-sep}
et est d'ailleurs canoniquement �quivalente �
$C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U} )$, o� $\mathfrak{M}  _{U} $ est la cat�gorie ab�lienne de \ref{defi2-rem-sch-sep}..
On pourra donc les identifier.
\end{itemize}


$\bullet$  Un morphisme $f$ : $( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}
\rightarrow ( \FF ^\bullet _\alpha , \theta '_{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda }$
est un {\it quasi-isomorphisme} si, pour tout $\alpha \in \Lambda$,
le morphisme $f  _\alpha $ : $ \E ^\bullet _\alpha \rightarrow \FF ^\bullet _\alpha $
est un quasi-isomorphisme.


$\bullet$ Si $f $ et $g$ sont deux morphismes :
$( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}
\rightarrow ( \FF ^\bullet _\alpha , \theta '_{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda }$,
on dit que $f$ et $g$ sont {\it homotopes} s'il existe une famille de morphismes
$k  _\alpha $ : $\E ^\bullet _\alpha  \rightarrow \FF ^\bullet _\alpha [-1]$
de $C ^\mathrm{b} ( \mathfrak{M}  _{\X _\alpha , T _{\alpha }, Z _{\alpha }} )$
commutant aux donn�es de recollement respectives et
telle que $f  _\alpha -g  _\alpha =d  k  _\alpha +k  _\alpha d $,
o� $d$ sont les diff�rentielles des complexes respectifs.
L'homotopie est une relation d'�quivalence et se pr�serve par composition.
Lorsque deux morphismes sont homotopes et si l'un est un quasi-isomorphisme alors l'autre l'est �galement.

On d�finit la cat�gorie $K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
dont les objets sont ceux de $C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
et dont les morphismes sont les classes d'homotopie de ceux de
$C ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$.
On v�rifie aussi que
$K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
est canoniquement �quivalente �
$K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U})$.


$\bullet$  Si $f=(f_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}$ : $( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}
\rightarrow ( \FF ^\bullet _\alpha , \theta '_{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda }$
est
une fl�che
de $K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$,
on d�finit son c�ne $\mathcal{C} _f$ de la mani�re suivante :
en notant
$\mathcal{C} _{f_\alpha}$ le c�ne de $f _\alpha$
la famille
$\mathcal{C} _f:=(\mathcal{C} _{f_\alpha}) _{\alpha \in \Lambda}$
est canoniquement un objet de $K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$.
Un triangle distingu� de $K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
est par d�finition un triangle
isomorphe � un triangle de la forme $\E \overset{f}{\longrightarrow} \FF \rightarrow \mathcal{C} _f \rightarrow \E [1]$.
La cat�gorie $K ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$ devient triangul�e.
En localisant cette cat�gorie par rapport aux quasi-isomorphismes, on obtient une cat�gorie triangul�e
que l'on notera $D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$.
De m�me,
$D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
est canoniquement �quivalente �
$D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U})$.




$\bullet$ On d�finit un foncteur
$F ^*$ : $D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))
\rightarrow
D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
en posant, pour tout
$( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}\in
D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$,
$F ^* (( \E ^\bullet _\alpha , \theta _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda})
:=
(F ^*  \E ^\bullet _\alpha , \theta ' _{\alpha \beta}) _{\alpha,\beta  \in \Lambda}$, o�
$\theta ' _{\alpha \beta}$ est construit par commutativit� du diagramme :
$$\xymatrix {
{F ^* j _2 ^{\alpha \beta !} (\E ^\bullet   _\beta)}
\ar[r] _-\sim ^-{F ^* \theta _{\alpha \beta}}
\ar[d] _-\sim
&
{F ^*  j _1 ^{\alpha \beta !} (\E ^\bullet  _\alpha)}
\ar[d] _-\sim
\\
{j _2 ^{\alpha \beta !} (F ^*  \E ^\bullet   _\beta)}
\ar@{.>}[r]^-{\theta '_{\alpha \beta}}
&
{j _1 ^{\alpha \beta !} (F ^*  \E ^\bullet  _\alpha).}
}$$
On d�finit ensuite la cat�gorie $F\text{-}D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
dont les objets sont les couples $( \E ,\phi)$ avec
$\E \in D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
et $\phi$ est un isomorphisme $F ^* (\E) \riso \E$ dans
$D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda})) $.

La cat�gorie $F\text{-}D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$
est canoniquement �quivalente �
$F\text{-} D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U})$.


$\bullet$ En rempla�ant {\og $\mathfrak{M}$\fg} par {\og $\mathfrak{M} ^+$\fg},
on d�finit de m�me la cat�gorie
$(F\text{-})D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M} ^+  (U,\, (U _\alpha, \X _\alpha, T_\alpha,  Z_\alpha) _{\alpha \in \Lambda}))$.
Cette cat�gorie est canoniquement �quivalente �
$(F\text{-}) D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M} ^+ _{U})$.
\end{defi}


\begin{rema}\label{M-Csurcoh}
Lorsqu'il existe un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X$,
  un sous-sch�ma ferm� $Z$ de $X$ et un diviseur $T$ de $X$ tels que $U = Z \setminus T$,
  de mani�re analogue au cas des $\D$-modules sur les vari�t�s complexes (voir par exemple \cite[VI.1.13, 2.10, 2.11]{borel}),
  il est raisonnable de conjecturer que
les foncteurs canoniques
$D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M}  _{U}) \rightarrow D ^\mathrm{b} _\mathrm{surcoh} (\D  _{U})$,
$D ^\mathrm{b} (\mathfrak{M} ^+ _{U}) \rightarrow D ^\mathrm{b} _\mathrm{surhol} (\D  _{U})$
sont des �quivalences de cat�gories.
On s'int�ressera � cette question dans un prochain travail.
\end{rema}





\section{Application aux fonctions $L$}


On suppose dans cette section que $k$ est un corps fini � $p ^s$ �l�ments et $F$ d�signe toujours
la puissance $s$-i�me de l'endomorphisme de Frobenius.
Soit $U$ une vari�t� qui se plonge dans un $\V$-sch�ma formel $\X$ propre et lisse.
Pour tout point ferm� $y$ de $U$, on note $i _y$ : $\Spec k(y) \hookrightarrow U$ l'immersion ferm�e induite,
$p$ : $U \rightarrow \Spec k$ et $p _y$ : $\Spec k(y) \rightarrow \Spec k$ les morphismes structuraux.


\begin{defi}\label{defifonctLP}
Soient $\E \in F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$ (voir \ref{def-surhol-rele3})
et $S$ est un sous-ensemble de points de $U$.
On note $S ^\mathrm{0}$ le sous-ensemble des points ferm�s de $S$.
On d�finit respectivement la
fonction $L$ associ�e � $\E$ au dessus de $S$ et
la fonction cohomologique $P$ associ�e � $\E$ en posant :
\begin{align}
\notag
  L( S, \E, t )&:=\prod _{ y \in S^{\mathrm{0}} } \prod_{j \in \Z }
 \det _K \left( 1 - t F  {| \mathcal{H}^j ( p _{y+} i_{y}^+ (\E))} \right)^{(-1)^{j+1}},\\
 \notag
P(U , \E, t ) &:= \prod _{j\in\Z} \det_K \left( 1- t F {|{\mathcal{H}^j   (  p _{!} \E ) }}\right)^{(-1)^{j+1}},
\end{align}
o� $F  {| \mathcal{H}^j ( p _{y+} i_{y}^+ (\E))}$ d�signe l'action de Frobenius sur
$\mathcal{H}^j ( p _{y+} i_{y}^+ (\E))$
et $F{|{\mathcal{H}^j   (  p _{!} \E ) }}$ celle sur
$\mathcal{H}^j   (  p _{!} \E ) $
(celles-ci r�sultant des th�or�mes de commutations de Frobenius
aux op�rations cohomologiques).
\end{defi}

\begin{rema}
\label{remaL=L}
  S'il existe
  un diviseur $T$ de $X$ et $Z$ un sous-sch�ma ferm� de $X$ tels que
  $U = Z \setminus T$, nous avions d�fini la cat�gorie
  $F\text{-}\mathfrak{C} ^\vee  _{U}$ (voir \cite[3.3.1]{caro_surcoherent}).
On retrouve alors, modulo l'inclusion
  $F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U })\subset F\text{-}\mathfrak{C} ^\vee  _{U}$,
  les fonctions $L$ et $P$ de \cite[3.3.3 et 3.3.4]{caro_surcoherent}.
Nous avions �tabli l'�galit� $L=P$ sur $F\text{-}\mathfrak{C} ^\vee  _{U}$ (voir \cite[3.3.8]{caro_surcoherent}).

En g�n�ral, il existe toujours deux sous-sch�mas ferm�s $Z$ et $T$ de $X$ tels que
$U = Z \setminus T$ (on prend $Z =\overline{Y}$ et $T = Z \setminus U$).
Mais on ne peut pas toujours choisir $T$ �gal � un diviseur.
Par exemple, si $U$ est le compl�mentaire d'un sous-sch�ma ferm� de $X$ de codimension �gale � $2$.
\end{rema}

\begin{lemm}
  \label{LPtridis}
  Soit
  $\E ' \rightarrow \E \rightarrow \E ''\rightarrow \E' [1]$ un triangle distingu� de
$F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$.
On a alors les
deux �galit�s
\begin{align}
L (U ,\E , t) & =L (U ,\E ', t)\times L (U,\E '', t), \\
P (U ,\E , t) & =P (U ,\E ', t)\times P (U ,\E '', t).
\end{align}
\end{lemm}
\begin{proof}
De mani�re analogue � \cite[3.2.1]{caro_courbe-nouveau}, cela r�sulte du caract�re multiplicatif en les suites exactes du d�terminant.
\end{proof}



\begin{lemm}
\label{LPYY'}
Soient $j $ : $U ' \hookrightarrow U$ une immersion
de vari�t�s,
$\E'\in F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U' })$.
On dispose alors des �galit�s :
\begin{align}
L(U ',\E' ,t)= & L(U , j _! (\E'),t),\\
P(U ',\E' ,t)= & P(U , j _! (\E'),t)\label{LPYY'2}.
\end{align}
\end{lemm}

\begin{proof}
L'�galit� $P(U ',\E' ,t)= P(U , j _! (\E'),t)$ r�sulte de la transitivit�
du foncteur image directe extraordinaire.
Traitons � pr�sent l'�galit� $L(U ',\E' ,t)= L(U , j _! (\E'),t)$.
Soient $Z$ (resp. $Z'$) l'adh�rence de $U$ (resp. $U'$) dans $X$,
$T$ le compl�mentaire de $U$ dans $Z$. (resp. $T'$ le compl�mentaire de $U'$ dans $Z'$).
Alors, $j _! (\E') = \DD _T \DD _{T'} (\E ')$ et
$j^+ j_! (\E')= \DD _{T'} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} (\hdag T') \DD _{T} (j _! (\E'))$.
On obtient ainsi l'isomorphisme $j^+ j_! (\E') \riso
\DD _{T'} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} (\hdag T')\DD _{T'}  (\E')
\riso
\DD _{T'} \DD _{T'} (\E ') \riso \E'$ (on utilise l'isomorphisme de bidualit� de \ref{bidua+rel}).
Pour tout point $y'$ de $U'$, notons $i' _{y'}$ l'immersion ferm�
$\Spec k (y') \hookrightarrow U'$. Pour tout $y' \in U'$,
on en d�duit $i^+ _{y'} (j _! (\E')) \riso
i^{\prime +} _{y'} (j^+ j_! (\E')) \riso i^{\prime +} _{y'} (\E')$.
Pour finir la preuve, il reste � �tablir que si $y \in U \setminus U'$ alors
$i^+ _{y} (j _! (\E')) =0$.
Or, dans ce cas, soit $y \not \in Z'$, soit $y \in T'$.
En notant $\iota_y\,:\, \Spf \V (y) \hookrightarrow \X$ un rel�vement de l'immersion ferm�e canonique
$\Spec k(y) \hookrightarrow X$, on obtient,
via l'isomorphisme de bidualit�, l'isomorphisme $i^+ _{y} (j _! (\E')) \riso \DD \iota_y ^! \DD _{T'} (\E ')$.
Le cas $y \not \in Z'$ r�sulte du fait que $\DD _{T'} (\E ')$ soit � support dans $Z'$.
Lorsque $y \in T'$, on obtient
$\DD \iota_y ^! \DD _{T'} (\E ')=\DD \iota_y ^! (\hdag T') \DD (\E ')=0$
car
$\iota_y ^! \circ  (\hdag T') \riso (\hdag \Spec k(y) ) \circ \iota_y ^! =0$ (voir \ref{commutfonctcohlocal2}).
\end{proof}


\begin{theo}\label{theoL=P}
Pour tout $ \E\in F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U })$,
l'�galit� $L( U, \E, t )=P(U , \E, t ) $ est valid�e.
\end{theo}
\begin{proof}
Afin de se ramener au cas d�j� �tudi� (voir \ref {remaL=L} ou \cite[3.3.8]{caro_surcoherent}),
on proc�de par r�currence sur la dimension de $U$. Lorsque $\dim U = 0$, cela d�coule de
\cite[3.3.8]{caro_surcoherent} et de l'�galit�
$F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U})=F\text{-}\mathfrak{C} ^\vee  _{U}$.

Soit $U'$ un ouvert affine, lisse et dense dans $U$ et $Y := U \setminus U'$ le sous-sch�ma ferm� r�duit induit. Notons
$i$ : $Y \hookrightarrow U$ et $j$ : $U ' \subset U$ les morphismes canoniques.
En dualisant \ref{defitrgllocsch} (i.e., en appliquant le foncteur dual
au triangle de localisation de \ref{defitrgllocsch} appliqu� au dual de $\E$), on obtient le triangle de localisation
\begin{equation}
\label{dual-trilocUUiY}
j_! j ^+ (\E)  \rightarrow \E \rightarrow u _! u ^+ (\E)
\rightarrow j_! j ^+ (\E) [1].
\end{equation}
Comme $U'$ est affine et lisse, il existe un $\V$-sch�ma formel propre et lisse $\X'$,
un diviseur $T'$ de $X'$ et $Z'$ un sous-sch�ma ferm� de $X'$ tel que
$U' = Z '\setminus T'$ (voir le d�but de \ref{nota-rem-sch-sep}).
Gr�ce � \cite[3.3.8]{caro_surcoherent} et comme
$F\text{-}D ^{\mathrm{b} \vee} _\mathrm{surhol} (\D _{U '})\subset F\text{-}\mathfrak{C} ^\vee  _{U'}$,
on en d�duit que $L( U', j ^+ (\E), t )=P(U ', j ^+ (\E), t ) $.
De plus, comme $\dim Y < \dim U$, par hypoth�se de r�currence,
$L( Y, u ^+ (\E), t ) =P(Y, u ^+ (\E), t ) $.
On conclut gr�ce � \ref{LPtridis}, \ref{dual-trilocUUiY}.

\end{proof}



\section{Surholonomie des $F$-isocristaux surconvergents unit�s}


Soient $\PP$ un $\V$-sch�ma formel s�par� et lisse,
$X$ un sous-sch�ma ferm� lisse de $P$, $T$ un diviseur de $P$ tel que $T _X :=T
\cap X$ soit un diviseur de $X$. On note $Y := X \setminus T _X$,
$u_0\,:\, X \hookrightarrow P$ l'immersion ferm�e canonique.



\begin{lemm}\label{prop-desc}
  Soient $f_0$ : $X' \rightarrow X$ un morphisme projectif, surjectif g�n�riquement fini et �tale de $k$-sch�mas lisses
  tel que $f_0 ^{-1} (T _X)$ soit un diviseur de $X'$.
  Soient $E$ un isocristal sur $Y$ surconvergent le long de $T _X$
  et $E ' := f_0 ^* (E)$ l'isocristal sur $X' \setminus f_0 ^{-1} (T _X)$ surconvergent le long de $f_0 ^{-1} (T _X)$
  d�duit.


\begin{enumerate}
  \item \label{prop-desc(1)} Il existe alors un morphisme propre et lisse $g$ : $\PP' \rightarrow \PP$ et
  une immersion ferm�e $u' _0$ : $X ' \hookrightarrow P'$ telle que $g _0 \circ u' _0 = u _0 \circ f_0$.


  \item \label{prop-desc(2)} Pour tout $n \in \N \cup \{ \infty\}$,
  en notant $T' := g _0 ^{-1} (T)$,
  si
  $\sp _{X '\hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')$ (d�fini dans \ref{Cas-comp-lisse})
  est $n$-surholonome
  (resp. $\sp _{X '\hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')$ et $\DD \sp _{X '\hookrightarrow \PP', T ',+ } (E')$ sont $n$-surholonomes)
  alors
  $\sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ }(E)$
  (resp. $\sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ }(E)$ et $\DD \sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ } (E)$)
  est
  $n$-surholonome (resp. sont $n$-surholonomes).
\end{enumerate}
\end{lemm}

\begin{proof}
L'assertion \ref{prop-desc(1)} est imm�diate :
on choisit une immersion ferm�e $X ' \hookrightarrow \P ^r _X$,
dont le compos�e avec la projection $\P ^r _X \rightarrow X$ donne $f_0$ puis on prend
$u' _0$ �gal au compos� $X ' \hookrightarrow \P ^r _X \hookrightarrow \P ^r _P$,
$\PP '$ �gal � l'espace projectif formel de dimension $r$ au-dessus de $\PP$ et $g$ : $\PP '
\rightarrow \PP$ �gal � la projection.
Notons $\E :=\sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ }(E)$
et $\E ':=\sp _{X' \hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')$.

Traitons maintenant \ref{prop-desc(2)}.
Comme la $n$-surholonomie en tant que $\D ^\dag _{\PP,\Q}$-module est
locale en $\PP$, on peut supposer $\PP$ affine.
Dans ce cas, $u_0$ se rel�ve en une immersion ferm�e
$u\,:\, \X \hookrightarrow \PP$ de $\V$-sch�mas formels lisses.
Comme $u^! _T(\E)\riso \sp _{X \hookrightarrow \X,T,+ } (E)$
(voir \cite[2.8]{caro_unite} ou \cite[4.1.8]{caro-construction}),
via le th�or�me de Kashiwara
(voir \ref{kashiwara}),
$\E \riso u_{T,+} (\sp _{X \hookrightarrow \X,T,+ } (E))$.
En utilisant l'isomorphisme canonique $u_{T,+} \riso u_+$ (voir \ref{fT=f}),
le th�or�me de dualit� relative (voir \ref{iso-dualrel}),
la pr�servation de la $n$-surholonomie par image directe par un morphisme propre,
on se ram�ne ainsi au cas o� $X =P$.

Prouvons � pr�sent que $\E$ est un facteur direct de $g _{ T,+} (\E')$.
Par \ref{f+adjf!}, on dispose du morphisme d'adjonction
$g _{ T +} \circ  g _T ^!  ( \E )\rightarrow \E$.
En composant avec
$g _{ T +} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g _T ^!  ( \E ) \rightarrow
g _{ T +} \circ  g _T ^!  ( \E )$, on obtient ainsi le morphisme canonique
\begin{equation}
\label{prop-desc-iso1}
  g _{ T +} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g _T ^!  ( \E )\rightarrow \E.
\end{equation}
En rempla�ant, dans \ref{prop-desc-iso1}, $\E$ par $\DD _T (\E)$, il s'en suit le morphisme canonique
$g _{ T +} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g _T ^! \circ \DD _T (\E) \rightarrow \DD _T (\E)$.
En appliquant le foncteur dual $\DD _T $ � ce morphisme, via l'isomorphisme de bidualit�
et l'isomorphisme de dualit� relative (voir \ref{bidual} et \ref{iso-dualrel}), cela donne
\begin{equation}
  \label{prop-desc-iso2}
\E \rightarrow  g _{ T,+} \circ \DD _{T'} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '}\circ  g  ^! _T \circ  \DD _T (\E ).
\end{equation}


Or, avec \cite[4.1.8]{caro-construction} et \cite[4.3.5]{caro-construction}, on dispose des isomorphismes :
$$\DD _{T'} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '}\circ   g_T   ^! \circ \DD _T (\E )
\riso \sp _{X '\hookrightarrow \PP', T ',+ }((f_0 ^* (E ^\vee) )^\vee)
\riso
\sp _{X '\hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')
\riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '}\circ   g _T  ^!  ( \E ).$$
Il en d�coule que le morphisme
\ref{prop-desc-iso2} est de la forme
$\E \rightarrow g _{ T +}  \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ  g _T ^!  ( \E )$.
En le composant avec \ref{prop-desc-iso1},
on obtient un morphisme canonique :
$\E \rightarrow \E,$ que l'on note $\theta$.
Pour v�rifier que $\E$ est un facteur direct de $g _{ T,+} (\E')$, il suffit d'�tablir que
$\theta$ est un isomorphisme.

Par \ref{4312Be1},
il suffit de v�rifier que $\theta$ est un isomorphisme en dehors de $T$. On se ram�ne ainsi � supposer
$T$ vide.
De plus, comme $\E = \sp _* (E)$ (o� $\sp $ : $ \PP _K \rightarrow \PP$ est le morphisme de sp�cialisation),
d'apr�s \ref{be4eqiso},
ce morphisme $\theta$ est l'image par $\sp _* $
d'un morphisme d'isocristaux surconvergents de la forme $E \rightarrow E$.
Comme le foncteur restriction � un ouvert dense est fid�le sur la cat�gorie des
isocristaux convergents (cela r�sulte par exemple \cite[4.1.3]{tsumono}),
pour v�rifier que $\theta$ est un isomorphisme,
on peut alors en outre supposer que le morphisme $f _0$ est fini et �tale.
Comme $X'$ est alors affine, l'immersion ferm�e $u' _0$ : $X ' \hookrightarrow P'$ se rel�ve en une immersion
ferm�e de $\V$-sch�mas formels lisses $u' $ : $\X ' \hookrightarrow \PP'$.

Comme $u ^{\prime !} \circ g  ^!  ( \E ) \riso \sp _* (f _0^* (E))$
est un isocristal convergent sur $X'$ (i.e., via \ref{be4eqiso}, est un $\D ^\dag _{\X',\Q}$-module coh�rent
$\O _{\X',\Q}$-coh�rent), c'est en particulier un $\D ^\dag _{\X',\Q}$-module coh�rent.
On v�rifie alors (de mani�re analogue � \cite[3.1.12]{caro_surcoherent})
que l'on dispose d'un isomorphisme canonique (d'ailleurs compatible � Frobenius)
$u ' _+ u ^{\prime !} ( g  ^!  ( \E ))
\riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'} (g  ^!  ( \E ))$ s'inscrivant dans le diagramme canonique :
\begin{equation}
  \label{+!=gamma2}
  \xymatrix @R=0,3cm {
     {u ' _+ u ^{\prime !} ( g  ^!  ( \E ))}
     \ar[rr]^-{\mathrm{adj}} \ar[d] _-\sim && {\E} \ar@{=}[d] \\
  {\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'  } (g  ^!  ( \E ))}
  \ar[rr]  && {\E},}
\end{equation}
o� le morphisme du haut est le morphisme d'adjonction de $u'$ (via \ref{f+adjf!}),
celui du bas est le morphisme canonique (par fonctorialit� en $X'$ de $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X'  } $).



Le morphisme
$g _{ +} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g  ^!  ( \E )\rightarrow \E$
est ainsi canoniquement isomorphe au morphisme induit par adjonction entre les foncteurs images directes et images
inverses extraordinaires par un morphisme propre (� savoir $u'$ et $g$) :
$g _{ +} \circ  u '_+ \circ u^{\prime !} \circ g  ^!  ( \E )\rightarrow \E$.
Par transitivit� de ces morphismes d'adjonction (voir \ref{dual-relasection} ou plus pr�cis�ment
\cite[1.2.11]{caro-construction}),
celui-ci est canoniquement isomorphe au morphisme d'adjonction $f _+ f ^! ( \E ) \rightarrow \E$, o� $f = g \circ u '$.
Il en r�sulte, par construction de \ref{prop-desc-iso2} � partir de
\ref{prop-desc-iso1},
que $\E \rightarrow g _{  +}  \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ  g  ^!  ( \E )$
est canoniquement isomorphisme au morphisme canonique d'adjonction
$\E \rightarrow f _! f ^+ (\E) \riso f _+ \circ f ^! (\E)$.


Comme $f_0$ est fini et �tale, on dispose d'un foncteur image directe $f _{0*}$ de la cat�gorie des
isocristaux convergents sur $X'$ vers les isocristaux convergents sur $X$.
Via l'�quivalence de cat�gories \ref{be4eqiso} (ici, les diviseurs sont vides),
$f _{0*}$ (resp. $f ^* _0$) correspond � $f _+$ ou $f _!$
(resp. $f ^!$ ou $f ^+$).
De plus, le morphisme d'adjonction $f _{0*} f _{0} ^* (E) \rightarrow E$
(resp. $E\rightarrow f _{0*} f _{0} ^* (E) $) donne via cette correspondance le morphisme d'adjonction
$f _+ f ^! ( \E ) \rightarrow \E$ (resp. $\E \rightarrow f _+ f ^! ( \E ) $).
Comme le morphisme compos� $E \rightarrow f _{0*} f _{0} ^* (E) \rightarrow E$ est
�gal � la multiplication par le degr� de $X'$ sur $X$, il en r�sulte que $\theta$ est
un isomorphisme.

Ainsi, $\E$ est un facteur direct de $g _{ T,+} (\E')$.
Si $\E'$ est $n$-surholonome, comme la $n$-surholonomie est pr�serv�e par l'image directe d'un morphisme propre,
cela implique que
$g _{ T,+}(\E') \riso g _{ +}   (\E')$ (voir \ref{fT=f})
est $n$-surholonome.
Par \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag2},
$\E$ est donc $n$-surholonome.

Si $\E'$ et $\DD (\E')$ sont $n$-surholonomes, $\E$ est donc $n$-surholonome.
De plus, $\DD (\E)$ est un facteur direct de $\DD \circ g _{ T,+} (\E')$.
Comme $\E'$ est $n$-surholonome, en particulier $\E'$ est $\D ^\dag _{\PP,\Q}$-coh�rent
et on b�n�ficie donc de l'isomorphisme de dualit� relative (voir \ref{iso-dualrel}) :
$\DD \circ g _{ +}  (\E') \riso g _{ +} \circ \DD (\E')$.
Or, d'apr�s \ref{fT=f},
$g _{ T,+}(\E') \riso g _{ +}   (\E')$.
Ainsi, $\DD (\E)$ est un facteur direct de $g _{ +} \circ \DD (\E')$.
La proposition \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag2} nous permet alors de conclure.
\end{proof}

\begin{rema}
  \label{rema-prop-desc}
$\bullet$ Avec les notations de \ref{prop-desc},
comme
$\sp _{X' \hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')\riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} g _T  ^!  ( \sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ }(E) )$
(voir \cite[2.8]{caro_unite} ou \cite[4.1.8]{caro-construction}),
par \ref{stab-surhol-Dual-hdag} et \ref{stabinminv},
si $\sp _{X \hookrightarrow \PP, T ,+ }(E)$ est $n$-surholonome
alors $\sp _{X' \hookrightarrow \PP', T ',+ }(E')$ est $n$-surholonome.

$\bullet$ Lorsque $E$ est en outre muni d'une structure de Frobenius, on dispose alors d'un r�sultat analogue �
  \ref{prop-desc} dans un cadre plus g�n�ral (voir \cite[6.3.1]{caro_devissge_surcoh}).
  En effet, la structure de Frobenius permet d'utiliser le th�or�me de pleine fid�lit� de Kedlaya
  (voir \cite{kedlaya_full_faithfull}).
\end{rema}



\begin{prop}
\label{proptheo}
Pour tout isocristal convergent $G$ sur $X$,
le $\D ^\dag _{\PP ,\Q}$-module $\sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)$
est surholonome.
\end{prop}
\begin{proof}
Comme $X$ est somme de ses composantes irr�ductibles, il ne co�te rien de
supposer $X$ irr�ductible.
Par r�currence sur $n \geq 0$,
prouvons la propri�t� $(P_n)$ suivante :

$(P _n )\, :\,$ {\og Pour tout isocristal convergent $G$ sur $X$
($X \hookrightarrow \PP$ pouvant naturellement varier),
le $\D ^\dag _{\PP ,\Q}$-module coh�rent $\sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)$ associ�
est $n$-surholonome\fg}.

L'assertion $P _0$ est un cas particulier de \cite[3.1.2.2]{caro_surcoherent} (ou alors,
on remarque qu'il suffit d'adapter la preuve de $P _n\Rightarrow P_{n+1}$, i.e. on enl�ve les foncteurs $\DD$,
pour �tablir $P_0$).
Pour $n \geq 0$, en supposant $P _n$ vraie, d�montrons $P_{n+1}$.

Par \cite[4.1.8]{caro-construction},
si $g$ : $\PP ' \rightarrow \PP$ est un morphisme lisse de $\V$-sch�mas
formels lisses, $X ':= g _0 ^{-1}(X)$,
$f$ : $ X' \rightarrow X$ est le morphisme de $k$-sch�mas lisses
induit par $g$ et $d _{X'/X}$ est la dimension relative de $X'$ sur $X$,
alors, pour tout isocristal convergent $G$ sur $X$,
$\sp _{X '\hookrightarrow \PP',+} (f ^*  (G))[d _{X'/X}]
\riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g  ^! ( \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G))$.
Or, comme $g  ^! ( \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G))$ est � support dans $X'$, le morphisme
canonique
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{X '} \circ g  ^! ( \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G))
\rightarrow
g  ^! ( \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G))$ est un isomorphisme. D'o�,
$\sp _{X' \hookrightarrow \PP',+} (f ^*  (G))[d _{X'/X}] \riso g  ^! ( \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G))$.
Il en r�sulte qu'il suffit de prouver que pour tout isocristal convergent $G$ sur $X$,
pour tout diviseur $T$ de $P$,
$\DD \circ (\hdag T) \circ \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)$ est $n$-surholonome.
De plus, puisque $X$ est irr�ductible, soit $T \cap X =X$ soit $T \cap X$ est un diviseur de $X$.
Le cas o� $T \cap X =X$ implique alors $\DD \circ (\hdag T) \circ \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)=0$,
qui $n$-surholonome. On se ram�ne donc au cas o� $T \cap X$ est un diviseur de $X$.


Comme le fait que, pour tout isocristal convergent $G$ sur $X$,
pour tout diviseur $T$ de $P$,
$\DD \circ (\hdag T) \circ \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)$ soit $n$-surholonome est locale en $\PP$,
on se ram�ne au cas o� $\PP$ est affine.
L'immersion ferm�e $X \hookrightarrow P$ se rel�ve alors en
un morphisme $u$ : $\X \hookrightarrow \PP$ de $\V$-sch�mas formels lisses.
Dans ce cas, $\sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G) \riso u _+ \circ \sp _* (G)$,
o� $\sp $ : $ \X _K \rightarrow \X$ est le morphisme de sp�cialisation.
Comme le foncteur $u_+$ commute aux foncteurs de localisation (voir \ref{commutfonctcohlocal2+})
et au foncteur dual (voir \ref{iso-dualrel}), on obtient donc
$\DD \circ (\hdag T) \circ \sp _{X \hookrightarrow \PP,+} (G)
\riso
u _+ \circ \DD \circ (\hdag T \cap X) \circ \sp _* (G)$.

La $n$-surholonomie �tant stable
par image directe par un morphisme propre de $\V$-sch�mas formels lisses,
on se ram�ne ainsi au cas o� $X =P$.
On pose alors $\X :=\PP$ et $\G= \sp _* (G)$.
Il s'agit de prouver que $\DD \circ (\hdag T) (\G)$ est $n$-surholonome.

i) Supposons dans un premier temps que $T =\emptyset$.
D'apr�s \cite{caro_comparaison}, le foncteur $\sp _*$ commute aux foncteurs duaux, i.e.,
$\DD \circ \sp _* (G) \riso
 \sp _* (G ^\vee )$, o� $G ^\vee $ d�signe l'isocristal convergent sur $X$ dual de $G$.
 On conclut alors par hypoth�se de r�currence.
 \medskip


ii) Traitons maintenant le cas o� $T$ est un diviseur lisse. Comme $T$
est affine et lisse, il existe un rel�vement de $\V$-sch�mas
formels affines et lisses $i$ : $\mathfrak{T} \hookrightarrow \X$
de l'immersion ferm�e $T \hookrightarrow X$. Or, en appliquant le foncteur dual $\DD$
au triangle de localisation de $\G$ en $T$, on obtient le triangle distingu�
\begin{equation}\label{tria-loc-proptheo}
\DD (\hdag T) (\G) \rightarrow \DD (\G )\rightarrow   \DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _T  (\G)
\rightarrow \DD (\hdag T) (\G)  [1].
\end{equation}
On sait que $i _ + \circ i ^! (\G) \riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _T  (\G) $ (voir \ref{445Beintro}
ou \cite[4.4.5.2]{Beintro2}).
Comme $i ^! (\G)$ est coh�rent (car isomorphe � $\sp _* ( i ^* G) [-1] $),
en utilisant le th�or�me de dualit� relative (voir \ref{iso-dualrel}), il en d�coule
$\DD \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _T  (\G) \riso i _ + \circ \DD \circ i ^! (\G) $.
Or, d'apr�s respectivement \cite[4.3.5]{caro-construction} et \cite[4.1.8]{caro-construction},
le foncteur $\sp _*$ commute aux images inverses (extraordinaire)
et aux foncteurs duaux. Ainsi,
$\DD \circ i ^! (\G) \riso  \sp _* (i ^*  (G ^\vee ) )[1]$.
D'o� :
$\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _T  (\G) \riso
i _ + ( \sp _*  i ^* (G ^\vee ) [1])$.
Comme l'hypoth�se de r�currence implique que $\sp _* (i ^*  (G ^\vee ) )$ est $n$-surholonome,
il d�coule alors du th�or�me \ref{stabinmdir} que
$i _ + ( \sp _*  i ^* (G ^\vee ) [1])$ est $n$-surholonome et donc
que $\DD\circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _T  (\G)$ est $n$-surholonome.


Il r�sulte alors du triangle distingu�
\ref{tria-loc-proptheo} et du cas i), que le faisceau
$\DD (\hdag T) (\G)$ est $n$-surholonome.
\medskip

iii) Supposons � pr�sent que $T$ soit un diviseur � croisements
normaux stricts, i.e. (voir \cite[2.4]{dejong}), un diviseur tel que
$T$ soit non vide, pour tout $x \in T$, l'anneau local $\O _{T,\,x}$ soit r�gulier,
$T$ soit un sch�ma r�duit, autrement dit $T = \cup _{i=1} ^r T _i$
avec $T _i$ composantes irr�ductibles et distinctes de $T$, et
pour tout sous-ensemble non-vide $J \subset I$, le sous-sch�ma ferm�
$T _J := \cap _{j\in J} T _j$
soit r�gulier et de codimension dans $X$ �gale au cardinal de $J$.

Effectuons alors une (deuxi�me) r�currence sur $r\geq 1$, o� $r$ est l'entier qui
appara�t dans l'expression $T = \cup _{i=1} ^r T _i$.
Le cas o� $r =1$ a �t� trait� dans ii). Consid�rons le triangle distingu�
de Mayer-Vietoris (\ref{eq1mayer-vietoris}) :
\begin{equation}\label{mayer-vietorisproptheo1}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (\G)
  \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ T _1  } (\G)
\oplus
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _i} \ (\G)
  \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=1} ^r T _i} \ (\G)
\rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i}  (\G) [1].
\end{equation}
Notons $i _1$ : $\mathfrak{T} _1 \hookrightarrow \X$,
un rel�vement de l'immersion ferm�e $T _1 \hookrightarrow X$.
Comme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ T _1 } \riso i_{1+} i_1 ^!$ (voir \ref{445Beintro}),
par \ref{GammaZGammaZ'},
on obtient l'isomorphisme
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (\G)
\riso i _{1+}  i _1 ^!  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (\G) $.
Comme l'image inverse extraordinaire commute au foncteur cohomologique local (voir \ref{commutfonctcohlocal2}),
cela implique l'isomorphisme :
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (\G)
\riso i _{1+} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ ( i _1 ^! \G)$.
Comme $\cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i$ est un diviseur � croisements normaux stricts de
$T _1$ et puisque que $i _1 ^! (\G) \riso \sp _* (i _1 ^* (G))[-1]$,
l'hypoth�se de r�currence sur $r$
implique que
$\DD \circ ( \hdag \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i)  \ (i _1 ^! (\G))$
est $n$-surholonome.
Il r�sulte alors du cas $i)$ (via un triangle de localisation de
$i _1 ^! (\G)$ en $\cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i$) que
$\DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (i _1 ^! (\G))$
est $n$-surholonome.
Gr�ce au th�or�me de dualit� relative (voir \ref{iso-dualrel}) et � la pr�servation de la $n$-surholonomie
par image directe par un morphisme propre (voir \ref{stabinmdir}),
il s'en suit que
$\DD \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ (\G)
\riso i _{1+} \circ \DD  \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _1 \cap T _i} \ ( i _1 ^! \G)$
est $n$-surholonome.
On obtient en outre (via aussi un triangle de localisation) par hypoth�se de r�currence sur $r$ que
$\DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ T _1  } (\G)
\oplus
\DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{ \cup _{i=2} ^r T _i} \ (\G)$ est $n$-surholonome.
En appliquant le foncteur $\DD$ au triangle distingu� \ref{mayer-vietorisproptheo1},
il en d�rive que le complexe $\DD \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _T (\G)$ est $n$-surholonome.
Puis, en appliquant $\DD$ au triangle distingu� de localisation en $T$ de $\G$, via le cas i),
il en r�sulte que
$\DD \circ (\hdag T) (\G)$ est $n$-surholonome.
\medskip

iv) Enfin, passons au cas o� $T $ est un diviseur quelconque mais diff�rent de l'ensemble vide.
Gr�ce au th�or�me de de Jong
sur les alt�rations de vari�t�s alg�briques \cite{dejong}, il
existe un $k$-sch�ma lisse $X '$ et un morphisme $f _0$ : $X '
\rightarrow X$ projectif, surjectif et g�n�riquement fini et �tale,
tels que $f _0 ^{-1} (T)$ soit un diviseur � croisements normaux stricts
de $X '$. D�signons par $j^\dag G$ l'isocristal sur $Y$ surconvergent le long de $T _X$
canoniquement d�duit de $G$. Comme
$\DD  \sp _{X \hookrightarrow \PP,T, +} (j ^\dag G)\riso \DD (\hdag T) (\G)$,
il suffit de prouver que
$\DD  \sp _{X \hookrightarrow \PP,T, +} (j ^\dag G)$
est $n$-surholonome.


D'apr�s \ref{prop-desc}.\ref{prop-desc(1)}, il existe un morphisme propre et lisse $g$ : $\PP' \rightarrow \PP$ et
  une immersion ferm�e $u' _0$ : $X ' \hookrightarrow P'$ telle que $g _0 \circ u' _0 = u _0 \circ f_0$.
Or, en notant $T' := g _0 ^{-1} (T)$,
 $f _0 ^* j ^\dag G$ est un isocristal sur $X ' \setminus T'$ surconvergent le long du
diviseur � croisements normaux stricts
$T' \cap X'$ de $X '$
et
$\sp _{X '\hookrightarrow \PP',T', +} (f _0 ^* j ^\dag G)
\riso
(\hdag T')\sp _{X '\hookrightarrow \PP',T', +} (f _0 ^* G)$
Le cas iii) implique alors que
$\sp _{X '\hookrightarrow \PP',T', +} (f _0 ^* j ^\dag G)$
et
$\DD \sp _{X '\hookrightarrow \PP',T', +} (f _0 ^* j ^\dag G)$
sont $n$-surholonomes.
Il d�coule alors de \ref{prop-desc}.\ref{prop-desc(2)} que
$\DD \sp _{X \hookrightarrow \PP,T, +} (j ^\dag G)$
est $n$-surholonome.


\end{proof}


\begin{theo}
\label{unitesurho}
Soit $E$ un $F$-isocristal unit� sur $Y$ surconvergent le long de $T _X$.
Le faisceau $\sp _{X \hookrightarrow \PP, T,+} (E)$ est surholonome.
\end{theo}
\begin{proof}
On peut supposer $X$ int�gre.
  D'apr�s le th�or�me de monodromie g�n�riquement finie de
Tsuzuki \cite[1.3.1]{tsumono},
il existe un $k$-sch�ma lisse $X '$ et un morphisme $f$ :
$X' \rightarrow X$ propre, surjectif et g�n�riquement fini et �tale, tels que,
si on pose
$Y '= f ^{-1} ( Y)$, $T ' = X ' \setminus Y '$ et $j'$
l'immersion ouverte $Y '\hookrightarrow X'$, alors il existe $G'$,
un (unique) $F$-isocristal convergent sur $X'$ v�rifiant
l'isomorphisme
$f ^*  (E) \riso (j ') ^\dag G '$
de $F$-isocristaux sur $Y'$ surconvergents le long de $T'$.
En utilisant le th�or�me de d�singularisation de de Jong \cite{dejong},
on peut en outre supposer que le morphisme $f$ est projectif et que $T '$ est un
diviseur de $X '$.

D'apr�s \ref{prop-desc}, il existe alors un morphisme propre et lisse $g$ : $\PP' \rightarrow \PP$ et
  une immersion ferm�e $u' _0$ : $X ' \hookrightarrow P'$ telle que $g _0 \circ u' _0 = u _0 \circ f$.
En notant $T '' := g _0 ^{-1} (T)$,
comme $\sp _{X' \hookrightarrow \PP', T'',+} (j ') ^\dag (G ')
\riso
(\hdag T'') \sp _{X' \hookrightarrow \PP', T'',+} (G ')$,
il r�sulte de \ref{proptheo} et de \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag1} que
$\sp _{X' \hookrightarrow \PP', T'',+} (j ') ^\dag (G ')$
est surholonome.
Puisque $f ^*  (E) \riso (j ') ^\dag G '$, il d�rive de \ref{prop-desc} que
$\sp _{X \hookrightarrow \PP, T,+} (E)$ est surholonome.


\end{proof}


\begin{theo}
  \label{unitesurho2}
Soient $U $ un $k$-sch�ma s�par� et lisse, $E$ un $F$-isocristal unit� sur $U$ et $\E:= \sp _{U,+} (E)$
l'objet de $F\text{-}\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( U/K )$ associ� (voir \ref{eqcat-gen}).
Alors $\E \in F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{U }$, i.e., $\E$ est un
$F\text{-}\D_U$-module arithm�tique surholonome.
\end{theo}

\begin{proof}
  Par construction de $\sp _{U,+}$, de $F\text{-}\mathrm{Isoc} ^{\dag \dag}( U/K )$ et de $F\text{-}\mathfrak{M} ^+ _{U }$
(constructions qui s'�tablissent par recollement via un recouvrement de $U$ par des ouverts affines), on peut supposer $U$ affine et int�gre.
Il existe donc un plongement de
$U$ dans un $\V$-sch�ma formel $\X$ propre et lisse,
un diviseur $T$ de $X$ tels que $U = Z \setminus T$, o� $Z$ est l'adh�rence de $U$ dans $P$
(voir par exemple le d�but de \ref{nota-rem-sch-sep}).
D'apr�s le th�or�me de d�singularisation de de Jong de \cite{dejong}, il
existe un $k$-sch�ma lisse $Z '$ et un morphisme $f _0$ : $Z '
\rightarrow Z$ projectif, surjectif et g�n�riquement fini et �tale,
tels que $f _0 ^{-1} (T \cap Z)$ soit un diviseur � croisements normaux stricts
dans $Z '$. De mani�re analogue � \ref{prop-desc}.\ref{prop-desc(1)} , il existe un
 morphisme propre et lisse $g$ : $\X' \rightarrow \X$ et
  une immersion ferm�e $u' _0$ : $Z ' \hookrightarrow P'$ telle que $g _0 \circ u' _0 = u _0 \circ f_0$.
  Notons $U' := Z ' \setminus f _0 ^{-1} (T \cap Z) $, $\Y:= \X \setminus T$, $\Y':= \X ' \setminus g _0^{-1} (T)$,
 $h\,:\, \Y' \rightarrow \Y$ le morphisme induit par $g$,
  $E'$ le $F$-isocristal surconvergent unit� sur $U'$ d�duit de $E$,
  $\widehat{E}$ (resp. $\widehat{E'}$) le $F$-isocristal convergent sur $U$ (resp. $U'$)
  d�duit de $E$ (resp. $E'$).

D'apr�s \cite[6.3.1]{caro_devissge_surcoh},
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' } g ^! (\E)$ est dans l'image essentielle de
$\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+}$ (pour plus de pr�cisions, voir la remarque \ref{rema-unitesurho2}).
De plus, on dispose des isomorphismes :
\begin{equation}
\label{unitesurho2-iso}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' } g ^! (\E) |\Y' \riso \R \underline{\Gamma} ^\dag _{U'}  h ^! (\E|\Y) \riso
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{U'}  h ^!
(  \sp _{U \hookrightarrow \Y , +} ( \widehat{E}))
\riso \sp _{U '\hookrightarrow \Y ', +} ( \widehat{E'}),
\end{equation}
le dernier isomorphisme provenant
de \cite{caro_unite} ou de \cite[4.1.8]{caro-construction}.


  Gr�ce au th�or�me de pleine fid�lit� de Kedlaya du foncteur restriction en dehors du lieu de surconvergence
  (voir \cite{kedlaya_full_faithfull})
  et � la pleine fid�lit� du foncteur $\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+}$,
  pour v�rifier que l'on dispose d'un isomorphisme de la forme
  $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' } g ^! (\E) \riso \sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+} (E')$,
  il suffit alors de le voir en dehors de $g _0 ^{-1} (T )$, ce qui d�coule de \ref{unitesurho2-iso}.
Cela implique, d'apr�s \cite[6.3.1]{caro_devissge_surcoh}, que $\E$ est un facteur direct de
$g _+ \sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+} (E')$.
Via le th�or�me \ref{unitesurho}, $\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+} (E')$ est
 surholonome.
 Les propri�t�s de stabilit� de la surholonomie (voir \ref{stab-surhol-Dual-hdag}.\ref{stab-surhol-Dual-hdag2} et \ref{stabinmdir})
 nous permettent de conclure.
\end{proof}

\begin{rema}
\label{rema-unitesurho2}
Avec les notations de la preuve de \ref{unitesurho2},
il r�sulte de la description de l'image essentielle du foncteur
  $\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+}$ de \cite[4.1.9]{caro-construction}
  et de celle de la derni�re phrase du th�or�me de Berthelot de \ref{be4eqiso},
  qu'un $\D ^\dag _{\X'} ( g _0 ^{-1} (T )) _{\Q}$-coh�rent et � support dans $Z'$
  est dans l'image essentielle de
  $\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+}$ si et seulement si sa restriction en dehors
  de $g _0 ^{-1} (T )$ est dans l'image essentielle de $\sp _{U '\hookrightarrow \Y ', +}$.

Ainsi, (si ce fait peut sembler quelque peu abrupte dans la preuve de \cite[6.3.1]{caro_devissge_surcoh}),
pour voir que $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' } g ^! (\E)$ est dans l'image
essentielle de $\sp _{Z '\hookrightarrow \X', g _0 ^{-1} (T ),+}$, il suffit alors d'invoquer l'isomorphisme :
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z' } g ^! (\E) |\Y'
\riso \sp _{U '\hookrightarrow \Y ', +} ( \widehat{E'}).$

\end{rema}


\section{Sur les conjectures de la stabilit� de l'holonomie}
Soit $f$ : $\X \rightarrow \Y$ un morphisme de $\V$-sch�mas formels lisses.
Consid�rons les conjectures suivantes :
\begin{enumerate}
\item[A)] On suppose que $\X$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse.
Si $\E$ est un objet de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$
� support propre sur $\Y$,
alors l'image directe $f _+ (\E)$ appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$.
\item[A')] Si $f$ est propre et
$\E$ est un objet de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$,
alors $f _+ (\E)$ appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$.
\item[B)] Si $\FF$ est un objet de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$,
alors l'image inverse extraordinaire $f ^! (\FF)$
appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
\item[C)] Si $Z$ est un ferm� de $X$ et si $\E$ appartient $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$,
alors $\R \underline{\Gamma} ^\dag _Z (\E)$ appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$.
\item[C')] Si $Z$ est un ferm� de $X$ et si $\E$ appartient $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$,
alors $(\hdag Z ) (\E)$ appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$.
\end{enumerate}
Rappelons que dans \cite[5.3.6]{Beintro2}, Berthelot a �nonc� les conjectures
$A$ (sans l'hypoth�se {\og $\X$ se plonge dans un $\V$-sch�ma formel propre et lisse\fg}),
$B$ et $C$ ci-dessus. D'apr�s \cite[5.3.6]{Beintro2}, les conjectures $B$ et $C$ sont �quivalentes.
De plus, via le triangle de localisation en $Z$, on remarque que les conjecture $C$ et $C'$ sont �quivalentes.



\begin{lemm}
  \label{lemm-conjB-eq}
  On suppose la conjecture $B$ v�rifi�e.
  Alors, pour tout $\V$-sch�ma formel lisse $\X$,
  un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module coh�rent est holonome si et seulement s'il est � fibres extraordinaires finies (voir \ref{defi-fef}).
\end{lemm}

\begin{proof}
  Comme la conjecture $B$ est suppos�e v�rifi�e, il est clair qu'un
  $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module holonome est � fibres extraordinaires finies.
R�ciproquement, soit $\E$ un $F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module coh�rent � fibres extraordinaires finies.
Prouvons par r�currence sur la dimension de son support, not� $Z$, que celui-ci est holonome.
  D'apr�s \ref{lemmsurcoh=>holrem},
  $\E' :=\mathcal{H} ^0 \DD \circ \mathcal{H} ^0 \DD(\E)$ est le plus grand sous-$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-module
  holonome de $\E$.
  D'apr�s \cite[5.3.5(ii)]{Beintro2}, le terme du milieu d'une suite exacte courte de
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-modules coh�rents est holonome si et seulement
si les deux autres termes le sont.
Pour obtenir l'holonomie de $\E$, il suffit alors de prouver celle de $\E / \E '$.
 Or, la conjecture $B$ �tant suppos�e vraie, $\E'$ est � fibres extraordinaires finies.
Comme $\E'$ et $\E$ sont alors � fibres extraordinaires finies,
il en est donc de m�me de $\E / \E '$.
 Par hypoth�se de r�currence, il suffit alors v�rifier que la dimension du support de
 $\E /\E '$ est strictement inf�rieure � celle de $Z$. Or, on d�duit de \ref{lemmsurcoh=>hol} que l'inclusion
 $\E '\subset \E$ est un isomorphisme au dessus d'un ouvert $\U$ de $\X$ induisant un ouvert dense de $Z$.
 Par cons�quent, $\E / \E'$ est nulle au dessus de $\U$ et son support est de dimension strictement inf�rieure � celle de $Z$.
D'o� le r�sultat.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop-conjB-eq}
  Les assertions suivantes sont �quivalentes :
  \begin{enumerate}
    \item \label{prop-conjB-eqi}La conjecture $B$ est exacte ;
    \item \label{prop-conjB-eqii} Pour tout $\V$-sch�ma formel lisse $\X$,
    un $F$-complexe $\E$ de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$ est holonome si et seulement s'il est surcoh�rent ;
    \item \label{prop-conjB-eqiii} Pour tout $\V$-sch�ma formel lisse $\X$,
    un $F$-complexe $\E$ de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$
    est holonome si et seulement s'il est surholonome.
  \end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Prouvons d'abord $\ref{prop-conjB-eqi}) \Rightarrow \ref{prop-conjB-eqii}) $.
Comme la conjecture $B$ est suppos�e vraie, il est clair qu'un
$F$-complexe de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$
soit surcoh�rent.
R�ciproquement, soit $\E \in F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{surcoh} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$.
Pour tout entier $l$, $\mathcal{H} ^l (\E)$ sont alors des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-modules surcoh�rents (voir \ref{defi-surcoh}).
En particulier, ils sont alors � fibres extraordinaires finies.
Il r�sulte alors du lemme \ref{lemm-conjB-eq} que
pour tout entier $l$, $\mathcal{H} ^l (\E)$ sont des
$F\text{-}\D ^\dag _{\X,\,\Q}$-modules holonomes. Ainsi, $\E$ est holonome.

V�rifions $\ref{prop-conjB-eqii}) \Rightarrow \ref{prop-conjB-eqiii}) $.
Comme l'holonomie est stable par foncteur dual (voir \cite[III.4.4]{virrion}), l'assertion \ref{prop-conjB-eqii})
implique que la surcoh�rence est stable par foncteur dual.
Il en r�sulte que les notions de surcoh�rence et de surholonomie sont �quivalentes (voir la deuxi�me remarque \ref{rema-hol}).
D'o� : $\ref{prop-conjB-eqii}) \Rightarrow \ref{prop-conjB-eqiii}) $.

Enfin, l'implication $\ref{prop-conjB-eqiii}) \Rightarrow \ref{prop-conjB-eqi}) $
  d�coule de la stabilit� par image inverse extraordinaire de la surholonomie (\ref{stabinminv}).

\end{proof}


\begin{rema}
\label{rema-prop-conjB-eq}
  Il r�sulte de \ref{prop-conjB-eq} que si la conjecture $B$ est exacte alors les notions
  d'holonomie, de surcoh�rence et de surholonomie sont �quivalentes.
\end{rema}


\begin{prop}\label{stabholprodint}
  Soient $T$ diviseur de $X$,
$\E $ et $\FF \in F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )
\cap
F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\Q} )$.
Si la conjecture $B$ est valid�e, alors
\begin{enumerate}
\item \label{stabholprodint.i)} le $F$-complexe $\DD _T (\E)$ appartient �
$F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )
\cap
F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\Q} )$,
\item
\label{stabholprodint.ii)}
 le $F$-complexe  $\E
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF$ (voir \ref{otimes-coh})
  appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q} )
\cap
F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\Q} )$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}

D'apr�s \ref{4312Be1}, comme $\E$ et $(\hdag T) (\E)$ sont des complexes � cohomologie
$\D ^\dag _{\X} (\hdag T) _{\Q}$-coh�rente,
le morphisme canonique $\E \rightarrow (\hdag T) (\E)$ est un isomorphisme
car il l'est en dehors de $T$.
Cela implique l'isomorphisme :
$\DD _T   (\E) \liso \DD _T (\hdag T)  (\E)$.
Le foncteur dual commutant � l'extension des scalaires,
il en r�sulte  $\DD _T   (\E) \riso  (\hdag T) \DD  (\E) $.
Le foncteur $\DD$ stabilisant l'holonomie, $\DD  (\E)$ est holonome.
Comme la conjecture $B$ �quivaut � la conjecture $C$,
elle implique la stabilit� de l'holonomie par le foncteur $(\hdag T)$.
Ainsi, $(\hdag T) \DD  (\E) $ est holonome.
D'o� \ref{stabholprodint.i)}).

Passons � la deuxi�me propri�t�.
Soient $p _1$, $p _2$ : $\X \times _\S \X \rightarrow \X$ les projections respectives � gauche et � droite,
  $\delta $ : $ \X \hookrightarrow \X \times _\S \X$ l'immersion diagonale.
Comme en particulier $\E,\,\FF \in F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} ( \D ^\dag _{\X,\Q} )$,
il existe
  $\E ^{(\bullet)},\,\FF ^{(\bullet)}
\in \smash[b]{\underset{^{\longrightarrow }}{LD }}  ^\mathrm{b} _{\Q, \mathrm{coh}}
( \smash{\widehat{\D}} _{\X} ^{(\bullet)})$ tels que
$\E  \riso \underset{\longrightarrow}{\lim} \E ^{(\bullet)} $,
$\FF  \riso \underset{\longrightarrow}{\lim} \FF ^{(\bullet)} $ (voir \ref{lim-coh}).
Par commutation (� un d�calage pr�s) du foncteur image inverse extraordinaire au
  produit tensoriel interne (cela r�sulte de \cite[3.3.1]{Be2} ou de \cite[1.2.22]{caro_surcoherent}),
  on obtient :
\begin{equation}
  \label{stabholprodint-iso}
  \delta ^! ( \E ^{(\bullet)} \smash{\overset{\L}{\boxtimes}} _{\O _\S}^{\dag} \FF ^{(\bullet)})
=
  \delta ^! ( p _1 ^! (\E ^{(\bullet)} ) \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X \times _\S \X,\, \Q}} p _2^!(\FF ^{(\bullet)})
  [-2 d _{\X}])
  \riso
  \E ^{(\bullet)} \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X ,\, \Q}} \FF ^{(\bullet)} [- d _{\X}] .
\end{equation}
Or, d'apr�s \ref{courbe-1171}, le foncteur
$(\hdag T)$ est canoniquement isomorphe au foncteur
$\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X ,\Q}}
-$.
On en d�duit l'isomorphisme :
\begin{equation}
  \label{stabholprodint-iso2} (\hdag T) (\E ^{(\bullet)} \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X ,\, \Q}} \FF ^{(\bullet)} )
\riso
(\hdag T) (\E ^{(\bullet)}) \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X } (\hdag T) _{\Q}} (\hdag T) (\FF ^{(\bullet)} ).
\end{equation}

Comme l'holonomie est stable par produit tensoriel externe (voir \cite[5.3.5.(v)]{Beintro2}),
par image inverse extraordinaire et par foncteur de localisation,
  il r�sulte de \ref{stabholprodint-iso} et de \ref{stabholprodint-iso2},
  que
  $\underset{\longrightarrow}{\lim}\,( (\hdag T) (\E ^{(\bullet)})
  \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X } (\hdag T) _{\Q}} (\hdag T) (\FF ^{(\bullet)} ))$
  est holonome.
Comme $\E \riso (\hdag T) (\E) \riso \underset{\longrightarrow}{\lim}\, (\hdag T) (\E ^{(\bullet)})$
et aussi
$\FF \riso \underset{\longrightarrow}{\lim}\, (\hdag T) (\FF ^{(\bullet)})$, on obtient :
  $$\underset{\longrightarrow}{\lim}\, (
  (\hdag T) (\E ^{(\bullet)})
  \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X } (\hdag T) _{\Q}} (\hdag T) (\FF ^{(\bullet)} )
  )
  \riso
\underset{\longrightarrow}{\lim}\, (\hdag T) (\E ^{(\bullet)})
  \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag}_{\O _{\X } (\hdag T) _{\Q}}
  \underset{\longrightarrow}{\lim}\, (\hdag T) (\FF ^{(\bullet)})
  \riso
  \E
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF.$$
Ainsi, $\E
 \smash{\overset{\L}{\otimes}}^{\dag} _{\O _{\X } ( \hdag T ) _{\Q}}
  \FF$ est holonome.
\end{proof}



\begin{lemm}\label{lemmxzz'}
Soient $Z$ un sous-sch�ma ferm� int�gre d'un $k$-sch�ma lisse $X$ et $Z'$ un sous-sch�ma ferm� de $Z$.
On suppose que $\dim Z' < \dim Z < \dim X$.
Il existe alors un diviseur $T$ de $X$ tel que $T \supset Z' $ et $T \not \supset Z$.
\end{lemm}
\begin{proof}
  Soit $(X _i ) $ un recouvrement fini d'ouverts affines de $X$.
  En choisissant un �l�ment non nul de l'id�al de d�finition de $Z'\cap X _i$ dans $X _i$ qui n'appartient pas
  � celui de $Z\cap X _i$ dans $X _i$, on lui associe un diviseur $T _i$ de $X _i$ tel que
  $T _i \supset Z'\cap X _i$ et $T _i \not \supset Z\cap X _i$. En notant $\overline{T} _i$ l'adh�rence sch�matique
  de $T _i$ dans $X$, on pose $T := \cup _i \overline{T} _i$. On a $T \supset Z'$. Supposons par l'absurde
  que $T \supset Z$. Comme $Z$ est int�gre, il existe un $i$ tel que $\overline{T} _i \supset Z$.
  D'o� $T _i = \overline{T} _i \cap X _i \supset Z \cap X _i$. Contradiction.
\end{proof}

\begin{lemm}\label{bidualetale}
  Soient $b $ : $ \mathfrak{V} '\rightarrow \mathfrak{V}$ un morphisme �tale de
  $\V$-sch�mas formels lisses de dimension relative nulle et
  $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} )$.
  On dispose de l'isomorphisme canonique
  $ b ^! \DD _{\mathfrak{V}}(\E) \riso   \DD _{\mathfrak{V}'}b ^! (\E) $ compatible � Frobenius.
\end{lemm}
\begin{proof}
  Comme $b$ est �tale, $b ^! (\E) =
  \D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{b ^{-1} \D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}} b ^{-1} \E $.
  Notons $(\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}} $
  le $\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}$-bimodule � gauche �gal �
$\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q}$ mais dont on a
invers� les structures droite et gauche. De m�me avec des primes.
Avec ces notations, on obtient alors l'isomorphisme canonique :
$b ^! _\mathrm{d}
  ((\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}})
  \riso
  (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V}',\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V}',\Q})  _{\mathrm{t}}$
o� l'indice {\og d\fg} signifie que nous choisissons la structure {\it droite} de $\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}$-module � gauche
sur $(\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}}$
pour calculer le foncteur $b ^!$.
On b�n�ficie des isomorphismes :
\begin{gather}
\notag
  b ^! \R \mathcal{H} om _{\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}} (\E,
  (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}}) [d _V]
  \riso
\R \mathcal{H} om _{b ^{-1}\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}} ( b ^{-1} (\E),
  b ^! _\mathrm{d}
  ((\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}}))
  [d _V]
  \riso
  \\
  \notag
  \riso
  \R \mathcal{H} om _{b ^{-1}\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q}} ( b ^{-1} (\E),
  (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V}',\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V}',\Q})  _{\mathrm{t}})[d _V]
  \riso
\R \mathcal{H} om _{\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q}} ( b ^! (\E),
  (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V}',\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V}',\Q})  _{\mathrm{t}})[d _V],
\end{gather}
o�, pour calculer les foncteurs
$\R \mathcal{H} om $, nous prenons les structures gauches respectives (des bimodules � gauche)
et o� le premier isomorphisme se d�duit par exemple de \cite[2.1.12.(i)]{caro_comparaison}.
On conclut ensuite via les deux isomorphismes de transposition compatibles � Frobenius
$(\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q})  _{\mathrm{t}}
\riso \D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V},\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V},\Q}$ et
$(\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V}',\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V}',\Q})  _{\mathrm{t}}
\riso \D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} \otimes _{\O _{\mathfrak{V}',\Q}} \omega ^{-1} _{\mathfrak{V}',\Q}$
(voir \cite[2.1.7]{caro_comparaison}).
\end{proof}


\begin{vide}
  \label{bidualetale2}
Soient $b $ : $ \mathfrak{V} '\rightarrow \mathfrak{V}$ un morphisme fini, �tale et surjectif de
  $\V$-sch�mas formels lisses et
  $\E \in D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} ) \cap
  D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\O _{\mathfrak{V},\Q} )$.
Le foncteur $b _+$ :
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} ) \rightarrow
D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} )$
est adjoint � gauche (resp. � droite) de $b ^!$ (resp. $b ^+$) :
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} ) \rightarrow
D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} )$.
Or, d'apr�s \ref{bidualetale}, $b ^+ \riso b ^!$.
On obtient donc les morphismes d'adjonction
$\E \rightarrow b _+ b ^! (\E) \rightarrow \E$.
Le compos� $\E \rightarrow \E$ est la multiplication par le degr� de $b$
et est en particulier un isomorphisme.

En effet, avec le th�or�me de dualit� de Grothendieck, le foncteur $b _*$ :
$D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} ) \cap
  D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\O _{\mathfrak{V}',\Q} ) \rightarrow
D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} ) \cap
  D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\O _{\mathfrak{V},\Q} )$
est adjoint � droite et � gauche de
$b ^*$ : $D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V},\Q} ) \cap
  D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\O _{\mathfrak{V},\Q} )
  \rightarrow
D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\D ^\dag _{\mathfrak{V}',\Q} ) \cap
  D ^\mathrm{b} _\mathrm{coh} (\O _{\mathfrak{V}',\Q} )$.
De plus, le compos�
$\E \rightarrow b_* b ^* (\E) \rightarrow \E$
induit par adjonction, est la multiplication par le degr� de $b$.
Comme $b_* = b_+$, par unicit� des foncteurs adjoints, il en d�coule que
$\E \rightarrow b _+ b ^! (\E) \rightarrow \E$ est la multiplication par le degr� de $b$.

\end{vide}

\begin{prop}
\label{conja'b->a}
  Les conjectures $A'$ et $B$ impliquent la conjecture $A$.
\end{prop}
\begin{proof}
 Soit $\E$ un objet de $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\X,\,\Q})$ tel que son support not� $Z$ soit propre sur $\Y$.
 Notons $u_0$ : $Z \hookrightarrow X$ l'immersion ferm�e canonique.

{\it \'Etape $1.$} Dans un premier temps, supposons que le support $Z$ de $\E$ soit lisse.
Par hypoth�se,
il existe une immersion $\rho$ : $\X \hookrightarrow \PP$ avec $\PP$ un $\V$-sch�ma formel propre et lisse.
On pose $\delta=(\rho, f)$ : $\X \hookrightarrow \PP \times \Y$.
Comme la projection $\PP \times \Y \rightarrow \Y$ est propre, via la conjecture $A'$ que nous supposons exacte,
pour prouver que $f _+ (\E)$
est holonome, il suffit de v�rifier que $\delta _+ (\E)$ est holonome.
Comme cela est local en $\PP \times \Y$, on peut supposer $\PP \times \Y$ affine.
Puisque $Z$ et $P \times Y$ sont propres sur $Y$, la $Y$-immersion
$\delta _0\circ u _0= (\rho _0 \circ u _0,f_0\circ u _0)\,:\,Z \hookrightarrow P \times Y$
est propre, donc ferm�e.
Il en r�sulte que $Z$ est aussi affine et donc que
$Z\hookrightarrow X$ se rel�ve en un morphisme $u$ : $\ZZ \hookrightarrow \X$
de $\V$-sch�mas formels lisses. D'apr�s l'analogue $p$-adique de Berthelot
du th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}),
$\E$ est de la forme $u _+ (\FF)$, avec $\FF \in F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\ZZ,\,\Q})$.
D'o�: $\delta _+ (\E) \riso \delta _+ u _+ (\FF) \riso (\delta \circ u) _+ (\FF)$.
Comme $\delta \circ u$ est une immersion ferm�e,
on conclut via le th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}) que $\delta _+ (\E) $ est holonome.
\\

{\it \'Etape $2$.} Prouvons maintenant, par r�currence sur la dimension de $Z$, que
 $f _+ (\E)$ appartient � $F\text{-}D ^\mathrm{b} _\mathrm{hol} ( \D ^\dag _{\Y,\,\Q})$.
 Lorsque $\dim Z =0$, $Z$ est lisse et cela r�sulte alors du premier cas.
 Supposons donc $\dim Z > 0$ et le th�or�me vrai lorsque $\dim Z$ est strictement inf�rieure.
\\

{\it \'Etape $3$ (R�duction au cas o� $\E$ est {\og associ�\fg} � un $F$-isocristal surconvergent).}
 En consid�rant la deuxi�me suite spectrale d'hypercohomologie du foncteur
 $f _+$, on se ram�ne au cas o� $\E$ est r�duit � un terme.
Soient $Z _1, \dots, Z _n$ les composantes irr�ductible de $Z$.
Quitte � les r�ordonner, supposons $\dim Z _1 = \dim Z$.
Posons $Z ' = \cup _{i=2,\dots , n} Z _i$.
Comme on suppose la conjecture $B$ vraie,
les complexes du triangle distingu� de Mayer-Vietoris (voir \ref{eq1mayer-vietoris}) :
\begin{equation}
\label{conja'b->a-MY}
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1\cap Z'}(\E ) \rightarrow
  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1}(\E ) \oplus
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z ' }(\E )  \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }(\E ) \rightarrow
\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z _1\cap Z' }(\E )[1]
\end{equation}
sont holonomes et � support propre sur $Y$.
De plus, comme $\E$ est � support dans $Z$,
le morphisme canonique
$\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z }(\E ) \rightarrow \E$ est un isomorphisme (voir \cite[2.2.9]{caro_surcoherent}).
En appliquant $f _+$ � \ref{conja'b->a-MY},
quitte � proc�der � une seconde r�currence sur le nombre de composantes irr�ductibles de dimension
$\dim Z$,
on se ram�ne alors au cas o� $Z$ est int�gre.



D'apr�s le th�or�me de d�singularisation de de Jong (\cite{dejong}),
 il existe un morphisme
  $h_0$ : $Z'\rightarrow Z$ surjectif, projectif, g�n�riquement fini et �tale
  tel que $Z'$ soit int�gre et lisse.
  Le morphisme $h_0$ se d�compose en une immersion ferm�e $Z ' \hookrightarrow \P ^r _Z $ suivi de la projection
  $\P ^r _Z \rightarrow Z$. En notant $\X' $ le compl�t� $p$-adique de $\P ^r _{\X}$,
$g$ : $\X '\rightarrow \X$ la projection canonique,
$u' _0$ : $Z '\hookrightarrow X'$ l'immersion ferm�e induite,
on obtient l'�galit�
 $g _0 \circ u ' _0= u _0\circ h_0$.


Il existe un ouvert $\U$ de $\X$
tel que $V:=Z \cap U$ soit un ouvert lisse non vide de $Z$ et
tel que $V$ soit inclus dans un ouvert affine et lisse $W$ de $Z$
tel que $h _0^{-1} (W) \rightarrow W $ soit
fini et �tale. Notons $\U' := g ^{-1} (\U)$, $a$ : $\U' \rightarrow \U$ le morphisme induit par $g$.
Il existe alors des morphismes
$b $ : $\mathfrak{V} ' \rightarrow \mathfrak{V}$,
$v$ : $\mathfrak{V} \hookrightarrow \U$ et $v '$ :
$\mathfrak{V} '\hookrightarrow \U'$ de $\V$-sch�mas formels lisses relevant de respectivement
$h _0^{-1} (V) \rightarrow V$, $V \hookrightarrow U$ et $h_0 ^{-1} (V) \hookrightarrow U' _0$
tels que $a \circ v' = v \circ b$ (en effet, $W$ se rel�ve, donc $V$ et $V'$ aussi, puis on choisit un rel�vement $v$, puis
un autre de la forme $\mathfrak{V}' \rightarrow \U' \times _{\U} \mathfrak{V}$).


Gr�ce � \cite[5.3.5.(i)]{Beintro2} (ou � \ref{lemmsurcoh=>hol} et \ref{prop-conjB-eq}),
quitte � r�tr�cir $\U$, on peut en outre supposer
qu'il existe un isocristal convergent $G$ sur $V$ v�rifiant
$\E |\U \riso v _+ \sp _{*} (G)$.
Gr�ce au lemme \ref{lemmxzz'} (appliqu� � $X \supset Z \supset Z \setminus V$),
quitte � r�tr�cir $\U$,
on se ram�ne au cas o� $T:= X \setminus U$ est le support d'un diviseur de $X$.
On pose $T' := g _0 ^{-1} (T)$.

Comme $Z'$ est int�gre et lisse, que $Z' \cap T'$ ne contient pas $Z'$ (car $b_0$ est fini et �tale
 et $\dim Z \cap T < \dim Z$), $Z' \cap T'$ est un diviseur de $Z'$.
 On dispose donc du foncteur pleinement fid�le  $\sp _{Z'\hookrightarrow \X',T'+}$.


 Comme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{T} \E$ est � support
 dans $T \cap Z$, son support est donc propre sur $Y$ et de dimension plus petite que celle de $Z$.
  Par hypoth�se de r�currence, $f _+ (\R \underline{\Gamma} ^\dag _{T} \E)$ est donc holonome.
 En appliquant $f _+ $ au le triangle de localisation de $\E$ en $T$,
 on se ram�ne ainsi � �tablir l'holonomie de $f _+ ((\hdag T) \E)$.
\\

{\it \'Etape $4$} :
avec les notations de l'�tape $3$, on v�rifie que
$ ((\hdag T) \E)$ est un facteur direct de
 $ g _{T,+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E)$.


Via le th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}),
on obtient le dernier isomorphisme de la
suite d'isomorphismes compatibles � Frobenius :
\begin{equation}
  \label{conja'b->a-iso1}
(\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E) )|\U
\riso
v' _+ v ^{\prime!} a ^! ( \E |\U)
\riso
v' _+ v ^{\prime!} a ^! v _+ \sp _{*} (G)
\riso
v' _+ b ^! \sp _{*} (G)
\riso
v' _+  \sp _{*} (b ^* (G)).
\end{equation}
De m�me,
gr�ce au th�or�me de dualit� relative compatible � Frobenius appliqu� aux immersions ferm�es
$v$ et $v'$ (voir \cite[2.4.3]{caro-frobdualrel} ou son r�sum�),
au th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}), � \ref{bidualetale}
 et au th�or�me de bidualit� (\cite[II.3.5]{virrion}),
on obtient respectivement le deuxi�me, troisi�me, quatri�me et cinqui�me isomorphisme compatible � Frobenius
de la suite :
\begin{gather}
\notag
  (\DD  _{\X',T'} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! \DD  _{\X,T} ( (\hdag T) \E)) |\U
\riso
\DD  _{\U'} \circ v' _+ v ^{\prime!} a ^! \DD  _{\U} v _+ \sp _{*} (G)
\\
\notag
\riso
v' _+ \DD  _{\mathfrak{V}'} v ^{\prime!} a ^! v _+ \DD  _{\mathfrak{V}}  \sp _{*} (G)
\underset{\ref{kashiwara}}{\riso}
v' _+ \DD  _{\mathfrak{V}'} b ^! \DD  _{\mathfrak{V}}  \sp _{*} (G)
\\
\label{conja'b->a-iso2}
\underset{\ref{bidualetale}}{\riso}
v' _+ \DD  _{\mathfrak{V}'}  \DD  _{\mathfrak{V}'}  b ^! \sp _{*} ( G )
\riso
v' _+ b ^! \sp _{*} (G)
\riso
v' _+  \sp _{*} (b ^* (G)).
\end{gather}

On d�duit de \ref{conja'b->a-iso1} et \ref{conja'b->a-iso2} que
 $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E)$ et
 $\DD  _{\X',T'} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! \DD _{\X,T} ( (\hdag T) \E)$
 sont dans l'image essentielle de
 $\sp _{Z'\hookrightarrow \X',T'+}$ (voir la remarque \ref{rema-unitesurho2}).
D'apr�s \cite[5.3.1]{caro_devissge_surcoh},
comme d'apr�s Kedlaya le foncteur restriction qui � un $F$-isocristal sur $Z '\setminus T'$
 surconvergent le long de $T' \cap Z'$
 associe le $F$-isocristal convergent sur $Z '\setminus T'$
 correspondant est pleinement fid�le (voir par exemple \cite[4.2.1]{kedlaya-semistableII}),
on en d�duit que pour v�rifier que
 $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g  _T ^! ( (\hdag T) \E)$ et
 $\DD _{\X',T'} \circ  \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! \DD _{\X,T} ( (\hdag T) \E)$ sont isomorphes,
 il suffit de le voir en dehors de $T'$, ce qui est bien le cas d'apr�s
 \ref{conja'b->a-iso1} et \ref{conja'b->a-iso2}.




 Or, d'apr�s \ref{f+adjf!},
 on dispose des morphismes d'adjonction
 $g _{T+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T^! ( (\hdag T) \E) \rightarrow  (\hdag T) \E$ et
 $(\hdag T) \E \rightarrow
 g _{T,+} \DD  _{\X',T'} \circ \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! \DD  _{\X,T} ( (\hdag T) \E)$
 (pour le deuxi�me, on applique le foncteur dual et on utilise l'isomorphisme
 de dualit� relative).
On obtient ainsi la suite de morphismes :
\begin{equation}
\label{conja'b->aadjadj}
  (\hdag T) \E \rightarrow  g _{T,+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E)
  \rightarrow  (\hdag T) \E.
\end{equation}
 Par \ref{4312Be1}, pour prouver que ce compos� est un isomorphisme, il suffit de le v�rifier
 au dessus de $\U$.
 La fl�che de droite de \ref{conja'b->aadjadj} restreinte � $\U$, est canoniquement isomorphe au morphisme induit par adjonction
 $a _+ v ' _+ v ^{\prime !} a ^! (\E |\U)  \rightarrow \E |\U$ (voir \ref{+!=gamma} et \ref{rema-prop-conjB-eq}).
 Par transitivit� des morphismes d'adjonction (voir \cite[1.2.11]{caro-construction} ou \ref{commFrobf+}),
 il est alors canoniquement isomorphe au morphisme construit par adjonction :
$v _+ b _+ b ^{!} v ^! (\E |\U)  \rightarrow \E |\U$.
Avec le th�or�me de Kashiwara (voir \ref{kashiwara}), en lui appliquant
$v ^!$, on obtient le morphisme : $b _+ b ^{!} v ^! (\E |\U)  \rightarrow v ^!  (\E |\U)$.
D'un autre c�t�, la fl�che de gauche de \ref{conja'b->aadjadj} restreinte � $\U$
est canoniquement isomorphe
au morphisme induit par adjonction
$\E |\U \rightarrow a _+ v ' _+ v ^{\prime +} a ^+ (\E |\U)$.
Par transitivit�, il correspond au morphisme d'adjonction
$\E |\U \rightarrow v _+ b _+ b ^{+} v ^+ (\E |\U)$.
En lui appliquant $v ^! $, on obtient donc (modulo $v ^! v_= \riso Id $) le morphisme
$v ^!  (\E |\U) \rightarrow b _+ b ^{+} v ^+ (\E |\U)$.

Or, comme $\E \riso v _+ \sp _{*} (G)$, le th�or�me de Kashiwara et l'isomorphisme de dualit� relative
donnent $v ^+  (\E |\U) \riso v ^!  (\E |\U) \riso \sp _{*} (G)$.
De plus, d'apr�s \ref{bidualetale}, $b ^+ \riso b^!$.
En appliquant $v ^!$ � la restriction sur $\U$ de \ref{conja'b->aadjadj},
on obtient donc la suite de morphismes construits par adjonction :
$\sp _{*} (G)\rightarrow b _+ b ^{!} (\sp _{*} (G))\rightarrow \sp _{*} (G)$.
D'apr�s \ref{bidualetale2}, ce compos� est un isomorphisme.
On a ainsi �tabli que
le compos� de \ref{conja'b->aadjadj} est un isomorphisme, ce qui implique que
$ ((\hdag T) \E)$ est un facteur direct de
 $ g _{T,+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E)$.
\\

{\it \'Etape 5 (Conclusion)}. On d�duit de l'�tape $4$ que $f _{+} ((\hdag T) \E)$ est un facteur direct de
 $f _+ ( g _{T,+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E))$.
Comme $f _+ g _{T,+}\riso f _+  g _{+} \riso f \circ g _+$ et
comme $\R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E))$
est � support dans $Z'$ qui est propre sur $Y$ et lisse,
d'apr�s le cas lisse (i.e., l'�tape $1$), le $F$-complexe $f _+ ( g _{T,+} \R \underline{\Gamma} ^\dag _{Z'} g _T ^! ( (\hdag T) \E))$
est holonome. D'o� le r�sultat.


\end{proof}





\begin{theo}\label{B->A}
  La conjecture $B$ implique les conjectures $A$ et $A'$.
\end{theo}
\begin{proof}
  D'apr�s \ref{prop-conjB-eq}, si la conjecture $B$ est exacte alors les notions de surcoh�rence et d'holonomie
  sont �quivalentes.
  Comme la surcoh�rence
se pr�serve par l'image directe d'un morphisme propre (\cite[3.1.9]{caro_surcoherent}),
il en serait de m�me pour l'holonomie, i.e., la conjecture $A'$ est une cons�quence de la conjecture $B$.
Par \ref{conja'b->a}, il en r�sulte que la conjecture $B$ implique la conjecture $A$.
\end{proof}








\bibliographystyle{smfalpha}
\bibliography{bib1}

\bigskip
\noindent Daniel Caro\\
Arithm�tique et G�om�trie alg�brique, B�t. 425\\
Universit� Paris-Sud\\
91405 Orsay Cedex\\
France.\\
email: daniel.caro@math.u-psud.fr

\end{document}

Surholonomie2.bbl
\newcommand{\etalchar}[1]{$^{#1}$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode ---\ }
\providecommand{\og}{``}
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\providecommand{\smfandname}{et}
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\providecommand{\smfedname}{\'ed.}
\providecommand{\smfmastersthesisname}{M\'emoire}
\providecommand{\smfphdthesisname}{Th\`ese}
\begin{thebibliography}{BGK{\etalchar{+}}87}

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