Newphysics.tex
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%===============================================================================

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\centerline{$\ $}
\begin{flushright}
{CERN-PH-TH/2005-088}
\end{flushright}
\vspace{3cm}
\centerline{\Huge Nouvelles physiques des particules}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\large {\bf Julien Welzel} et {\bf David Gherson}}\\
{Institut de Physique Nucl�aire de Lyon (IPNL),
Universit� Claude Bernard Lyon-I,\\
Villeurbanne, France}\\
\vspace{1cm}
{\large \bf John Ellis}\\
{Division de Physique Th�orique, D�partement de Physique, CERN,\\
Gen�ve, Suisse}\\
\vspace{1cm}
{Notes r�dig�es par J.W. et D.G. du cours donn� par
J.E. \`a la XXXVI�me �cole de Gif-sur-Yvette, septembre 2004, CERN.}\\
\vspace{1cm}
\underline{\large R�sum�}
\end{center}
Le premier chapitre concerne le Mod�le Standard de la physique des
particules et la brisure de la sym�trie �lectrofaible. Il sert
principalement d'introduction aux chapitres suivants qui traitent de
certaines "nouvelles physiques". La supersym�trie, par exemple, est
expos�e dans le second chapitre mais quelques aspects moins bien connus
comme sa brisure sont abord�s plus loin. Un accent est mis sur la
ph�nom�nologie de l'extension supersym�trique minimale du Mod�le
Standard et ses perspectives aux futurs acc�l�rateurs comme le LHC.  La
physique des neutrinos et la violation des nombres leptoniques
apparaissent au chapitre 3. Enfin, le dernier chapitre contient des
discussions sur les principales th�ories candidates � la description de la
physique � tr�s haute �nergie : de la Grande Unification aux th�ories des
cordes en passant par les dimensions suppl�mentaires et la supergravit�.

\newpage$\ $\newpage
\section*{Avant-propos}

Ce cours a �t� donn� par John Ellis en septembre 2004 � l'occasion de la 36�me
�cole d'�t� de Gif-sur-Yvette, intitul�e "Le futur de la physique des hautes
�nergies". Le public �tait principalement compos� d'exp�rimentateurs et le but
de ce cours �tait de pr�senter les physiques possibles au-del� du Mod�le 
Standard les plus connues et les plus �tudi�es. 

Il a �t� �crit par Julien Welzel (chapitres 1, 2, 3 et 4-section 1) et David 
Gherson (chapitre 4-sections 2, 3, 4, 5), tous deux �tudiants en th�se dans le 
groupe de physique th�orique
de l'Institut de Physique Nucl�aire de Lyon.

Nous remercions chaleureusement John Ellis et Patrick Janot pour nous avoir
laiss� l'opportunit� de r�diger le manuscrit du cours et pour avoir incit� et
encourag� cette pratique. Nous en tirons de grands b�n�fices sur notre
compr�hension de la physique au-del� du Mod�le Standard. 
Nous remercions aussi sinc�rement Aldo Deandrea et Maurice Kibler pour leurs 
commentaires et leurs critiques sur le cours. 

La bibliographie n'est pas exhaustive, nous avons pr�f�r� donner les
r�f�rences g�n�rales qui nous ont aid� � r�diger. Cependant, il y a quand m�me 
un certain nombre de r�f�rences plus sp�cifiques pour citer les sources 
des diff�rentes valeurs, graphes,... que nous avons utilis�. 

De plus, ce cours est � prendre dans le contexte de l'�cole et 
compl�mentairement � d'autres. Ainsi, il est recommand� de consulter les cours
de D. Treille, G. Unal, A. Blondel et A. De Roeck, par exemple, si on veut avoir
de plus amples d�tails sur les aspects plus exp�rimentaux.

\begin{flushright}
J.W, D.G
\end{flushright}

\newpage
\tableofcontents
\newpage 


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%									       %
%									       %
\chapter{Nouvelle physique et brisure �lectrofaible} 			       %
%									       %
%									       %
%==============================================================================%

La n�cessit� d'une nouvelle physique n'est pas une observation r�cente m�me si
jusqu'� il y a quelques ann�es, le Mod�le Standard (MS) de la physique des
particules n'avait pas �t� mis en d�faut exp�rimentalement aupr�s des
acc�l�rateurs. La physique des neutrinos avec le ph�nom�ne des oscillations de
neutrinos n'a fait que confirmer exp�rimentalement ce que nous
savions dej� : le MS souffre d'insuffisances et plusieurs
indices ph�nom�nologiques ne peuvent trouver une explication qu'au-del� du MS.
Nous vivons une p�riode charni�re pour la physique des particules car
nous ne sommes qu'� quelques ann�es des premiers r�sultats
du grand collisionneur de protons, le LHC, o� de la nouvelle physique fera son
apparition~\footnote{Soyons optimistes !}. C'est un moment tr�s
important pour faire un "bilan" et un r�capitulatif des
possibles nouvelles physiques et des id�es qui se sont d�velopp�es.
\par\hfill\par

Beaucoup de cours et livres pr�sentent et exposent les d�tails de la 
construction de ce qu'on appelle le Mod�le Standard. Nous pr�f�rerons 
ici ne 
rappeler que le contenu physique et quelques d�tails math�matiques. Nous
ferons aussi le choix de ne pas insister sur le succ�s de cette th�orie qui fait 
�galement l'objet de nombreux expos�s, pour mieux pr�senter les 
insuffisances. 
Ainsi
il sera plus ais� de comprendre les motivations de l'�laboration d'une th�orie 
plus compl�te qui expliquerait mieux le monde que nous observons. 
 
Dans ce chapitre introductif, nous allons donc tout d'abord exposer la 
description actuelle de la physique des particules r�sum�e dans le Mod�le 
Standard puis nous passerons en revue quelques insuffisances intrins�ques. Ainsi 
la
n�cessit� d'une nouvelle physique apparaitra plus clairement.

Dans un second temps nous discuterons bri�vement de la place des neutrinos dans 
le MS et de l'impact de la d�couverte r�cente de leurs oscillations. 

La troisi�me partie, la plus longue, sera consacr�e � la 
brisure �lectrofaible, dont l'origine est la seule inconnue du Mod�le Standard. 
Nous verrons comment devrait intervenir le m�canisme de Higgs dans la g�n�ration 
des 
masses et nous 
discuterons aussi des alternatives � un boson de Higgs �l�mentaire que proposent
les mod�les de technicouleur. Puisque nous sommes � l'aube des r�sultats
exp�rimentaux du LHC nous pr�senterons les possibilit�s de d�couverte du boson
de Higgs ainsi que les mod�les alternatifs dans le cas o� le Higgs ne paraitrait
pas dans la gamme de masses o� nous l'attendons. 

Nous terminerons ce chapitre en pr�sentant un exemple de "carte routi�re" des 
possibles 
nouvelles physiques et des �nigmes qu'il reste � �lucider dans les ann�es � venir. 

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Le Mod�le Standard et ses probl�mes}
%------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{Le cadre actuel : le Mod�le Standard de la physique des particules}%
\subsubsection{Particules, interactions et sym�tries}
Avant d'aller explorer la physique des hautes �nergies et les th�ories possibles, 
il est bon de se rem�morer la vision actuelle de la physique des particules du 
Mod�le Standard. 
\par\hfill\par
Aujourd'hui, en physique des particules, le monde est d�crit comme �tant un espace
 � 3 dimensions spatiales et 1 dimension temporelle contenant des particules 
�l�mentaires de la mati�re,
 {\it les fermions}, qui 
interagissent entre elles par l'interm�diaire de 4 forces. Ces 4 interactions 
 fondamentales -- �lectro-magn�tique, forte, faible et gravitationelle -- se
 comprennent par l'�change d'un autre type de particules �l�mentaires, {\it 
les bosons de jauge}. On sch�matise les interactions entre particules par les diagrammes de 
 Feynman. Toutes ces interactions entre particules ob�issent � des 
 sym�tries locales et internes et les propri�t�s des particules s'en 
 d�duisent. Les th�ories qui
d�crivent ces interactions fondamentales sont toutes des th�ories de 
jauge. 

\par\hfill\par
* L'�lectrodynamique quantique (QED) qui est la version relativiste et 
quantique
de l'�lectromagn�tisme est math�matiquement construite autour de la sym�trie de
jauge locale U(1) (sym�trie locale de la phase des champs). Son boson de jauge
associ� est le {\it photon}, de masse nulle\footnote{Ce qui est une cons�quence 
directe de l'invariance de jauge. Cette derni�re emp�che l'introduction de 
terme de masse $m G^{\mu}G_{\mu}$ dans le
lagrangien et donc d'une masse pour les champs de jauge $G^{\mu}$.}, de spin 1, 
et il se couple � la charge 
�lectrique des fermions. 

\par\hfill\par
* La QCD d�crit l'interaction forte et celle-ci se produit par l'�change de 
{\it gluons}, qui sont au nombre de huit\footnote{\label{nombre de bosons de jauge} 
Le 
nombre de bosons de jauge est donn� par le nombre de g�n�rateurs de la sym�trie de 
jauge. Pour les th�ories type SU(N), ce nombre est $N^2-1$.} et qui se 
couplent � la charge de "couleur" des 
fermions. Cette charge de couleur est l'analogue "fort" de la charge �lectrique
bien connue.  La masse des gluons est 
nulle\footnote{C'est aussi une cons�quence directe de l'invariance de jauge.} et ils
 ont un spin 1. L'interaction forte se distingue entre autres
 par 2 propri�t�s importantes,
le {\it confinement} et la {\it libert� asymptotique}~\footnote{ La charge de
couleur du quark diminue quand on se "rapproche" du nuage de gluons autour du
quark. A la limite asymptotique (distances infiniment courtes), l'interaction de
couleur entre les quarks est donc nulle. Ceux-ci sont donc quasi-libres � tr�s
courtes distances. C'est la \underline{libert� asymptotique}. Inversement, � des distances
grandes (environ $10^{-13}$ cm), l'interaction de couleur devient tr�s
forte et les quarks sont \underline{confin�s} en hadrons et n'existent pas � l'�tat libre. 
La d�monstration de la libert� asymptotique a d'ailleurs valu cette ann�e le prix 
Nobel de physique � D.~J.~Gross, F.~Wilczek et H.~D~.Politzer. En 
revanche, la d�monstration 
du confinement reste toujours un d�fi pour les th�oriciens.}.  

\par\hfill\par
* Le mod�le de Glashow-Weinberg-Salam (GWS) d�crit � la fois l'interaction 
faible et l'interaction
�lectromagn�tique, r�unies sous le terme d'interaction �lectrofaible. Mais ce
 mod�le n'unifie pas vraiment les 2 interactions en une seule, il les
englobe math�matiquement dans un m�me formalisme, un m�me groupe de sym�trie 
de jauge : $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$. Dans ce mod�le il y a en effet deux 
constantes de couplage diff�rentes, conventionnellement $g$ et $g'$,
respectivement. Si on veut 
retrouver la constante de couplage �lectromagn�tique $e$, on utilise la relation :
\beq e=\displaystyle\frac{g\,g'}{\sqrt{g'^2 + g^2}}. \eeq
Les bosons de jauge 
associ�s � cette sym�trie sont au nombre de quatre~\footnote{
Comme dans le cas de QCD, math�matiquement, le nombre de bosons de jauge est li�
au groupe de sym�trie - voir la note \ref{nombre de bosons de jauge}.}, 
trois "$W$" pour $SU(2)$ et un "$B$" pour $U(1)$. Mais les 
bosons physiques de la th�orie, ceux qui s'observent dans les interactions, sont
 le photon $A$ et les bosons $W^\pm$ et $Z^0$.
Les bosons $A$ et $Z$ s'obtiennent par une rotation, dans l'espace interne, des bosons
 $W^3$ et $B$ d'un angle $\theta_W$ appel� angle �lectrofaible :
\beq \left(\begin{array}{c} Z^{\mu} \\ A^{\mu} \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} \cos(\theta_W) & \sin(\theta_W) 
\\ -\sin(\theta_W) & \cos(\theta_W) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 
W_3^{\mu} \\ B^{\mu}\end{array}\right),
\eeq  
et nous avons la relation :
\beq \sin^2(\theta_W)=\displaystyle\frac{g'^2}{g'^2 + g^2}, \eeq
qui vaut exp�rimentalement $0.23120\pm0.00015$ d'apr�s le PDG 2004~\cite{PDG04}.
C'est de ce point de vue que l'on consid�re l'unification des deux interactions. 
La "vraie" unification (une constante de couplage unique pour l'ensemble) 
se produirait plut�t � des �nergies de l'ordre de
$10^{16}$ GeV, et incluerait aussi l'interaction forte. Nous �tudierons ceci dans 
le cadre des 
th�ories de Grande Unification beaucoup plus tard, au dernier chapitre.  
Les trois bosons $W^\pm$ et $Z^0$ ont des masses approximatives de 80 et 91 GeV 
respectivement. 
La masse non-nulle des 
bosons faibles rend l'interaction de tr�s courte 
port�e~\footnote{Puisque $\Delta E \Delta T
\simeq \hbar$, nous trouvons que la port�e $L \simeq \hbar/c M$.}, si bien 
qu'� des 
�nergies faibles devant ces masses on retrouve la th�orie de Fermi des 
interactions faibles.
Mais l'interaction faible a aussi une sp�cificit� tr�s importante 
ph�nom�nologiquement : {\it la violation de la parit�} (c'est-�-dire la non-invariance
par renversement des coordonn�es spatiales : $x\to-x$) dans les interactions � 
courants 
charg�s (par �change de bosons charg�s $W^+$ et $ W^-$). Cette 
sp�cificit� se traduit par le fait que seules les particules de
chiralit�~\footnote{Toute particule de spin 1/2 peut �tre d�compos�e en une
partie appel�e "gauche" et une partie appel�e "droite" qui ont des transformations 
diff�rentes
sous le groupe de Lorentz. La chiralit� se confond
d'ailleurs avec l'h�licit�, projection du spin sur l'impulsion, dans le cas de
particules de masses nulles.} gauche sont sensibles � l'interaction faible.  

\par\hfill\par
* Enfin la quatri�me et derni�re interaction connue mais qui n'est pas comprise 
dans le Mod�le Standard, la gravitation, est
suppos�e v�hicul�e par le {\it graviton}, de masse nulle et de spin 2. Elle ne 
joue pas 
de r�le en physique des particules aux �nergies qui nous sont accessibles (quelques TeV). 
L'interaction gravitationnelle est d�crite classiquement par la Relativit�
G�n�rale que l'on peut consid�rer comme une th�orie de jauge bas�e sur une invariance 
locale de l'espace-temps (le groupe de sym�trie est alors le groupe de Poincar�).  

\par\hfill\par
Les sym�tries sont tr�s utiles pour d�crire les interactions fondamentales 
mais ont aussi d'importantes implications pour la classification des fermions.
Ces constituants de la mati�re sont class�s en 2 cat�gories, de propri�t�s 
diff�rentes (ils ont des nombres quantiques et des transformations 
de sym�trie diff�rents). Le tableau~(\ref{particules}) r�sume le contenu en
particules du 
Mod�le Standard.
 
 %.....................................................................
\begin{table}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{||l|c|c||}
\hline
{Multiplet}& {Particules}& {$SU(3)_C\otimes SU(2)_L\otimes U(1)_Y$}	\\
\hline	    
	    &{G�n�rations}&						\\
\hline
\hline
& & \\
$L_L$ &$\left(\begin{array}{c} \nu_e \\ e^- \end{array}\right)_L$ , 
$\left(\begin{array}{c} \nu_{\mu} \\ \mu^- \end{array}\right)_L$ , 
$\left(\begin{array}{c} \nu_{\tau} \\ \tau^- \end{array}\right)_L$ &(\textbf{1},\textbf{2},-1)\\
 $E_R$	& $e^-_R$ , $\mu^-_R$ , $\tau^-_R$	&(\textbf{1},\textbf{1},-2)\\
& & \\
\hline
\hline
& & \\
 $Q_L$ &$\left(\begin{array}{c} u \\ d \end{array}\right)_L$ ,  	
 $\left(\begin{array}{c} c \\ s \end{array}\right)_L$ ,
 $\left(\begin{array}{c} t \\ b \end{array}\right)_L$
 &(\textbf{3},\textbf{2},+1/3)\\
 $U_R$ & $u_R$ , $c_R$ , $t_R$	&(\textbf{3},\textbf{1},+4/3)\\
 $D_R$ & $d_R$ , $s_R$ , $b_R$	&(\textbf{3},\textbf{1},-2/3)\\
& & \\
\hline
%-----------------------------------------------------------------------
\end{tabular}
\end{center}
\caption[contenu du MS]{ Contenu en particules du MS. }
\label{particules}
\end{table}
%.......................................................................
 
\noindent Nous avons pour les fermions :
 
-d'un cot� les {\it quarks}, sensibles aux interactions forte, faible et 
�lectromagn�tique (et gravitationnelle). 
Ce sont des triplets de $SU(3)_C$ qui existent donc en 3 couleurs 
(conventionnellement rouge, vert ou jaune, bleu). Ils se d�clinent en 3 saveurs 
($u$, $c$ et $t$) de charge �lectrique $+(2/3)e$ et  3 saveurs 
($d$, $s$ et $b$) de charge �lectrique $-(1/3)e$ ainsi qu'en 2 
chiralit�s (gauche et droite).  

-d'un autre cot� les {\it leptons}, qui ne sont pas sensibles � l'interaction 
forte mais sont sensibles aux trois autres. Ils ne portent pas de charge de 
couleur et ont des masses g�n�ralement
moins �lev�es que les quarks. Nous distinguons les leptons charg�s $-e$ (�lectron,  
muon, tau) qui existent avec les 2 chiralit�s gauche et droite et les neutrinos
de charge �lectrique nulle mais uniquement gauches\footnote{Les neutrinos droits 
n'ont pas �t� observ�s � l'heure actuelle, voir plus loin.}. 

Quarks et leptons sont aussi r�partis en 3 {\it g�n�rations} ou {\it familles},
de masses de plus en plus �l�v�es. Pour �viter les 
\textit{anomalies}~\footnote{A l'origine, les anomalies viennent de la brisure
des sym�tries classiques du lagrangien par les corrections quantiques �
boucles. On les observe par exemple dans la d�sint�gration
du $\pi^0$ en 2 photons. Pour les �liminer, il faut introduire des
conditions ext�rieures comme des conditions sur les hypercharges ou sur les
nombres de quarks et leptons.} il faut 
que le nombre de g�n�rations soit le m�me entre quarks et leptons. Ce nombre est
fix� � 3 gr�ce � la mesure de la largeur du Z.\footnote{En mesurant la largeur de
d�sint�gration du boson $Z^0$, c'est-�-dire l'inverse de son temps de vie, 
les exp�riences du
LEP ont pu d�duire le nombre de saveurs de neutrinos l�gers. Ils sont au nombre
de $2.984\pm0.011$. D'apr�s le MS, cela limite le nombre de doublets de leptons 
et pour �viter l'apparition d'anomalies cela limite aussi le nombre de quarks.
Il n'y a donc que 3 g�n�rations de quarks et leptons.}

Les antiparticules correspondantes poss�dent les m�me masses, mais les charges
�lectriques et les chiralit�s sont oppos�es.

\par\hfill\par
Math�matiquement, les particules se distinguent par leurs propri�t�s de 
transformation sous les diff�rents groupes de sym�tries de jauge du Mod�le 
Standard, $SU(3)_C$, $SU(2)_L$ et $U(1)_Y$. A chacun de ces groupes est associ� 
un nombre quantique: la couleur, l'isospin faible $T$ et sa troisi�me composante 
$T_3$ et l'hypercharge $Y$. La charge �lectrique s'obtient par la combinaison 
lin�aire $Q=T_3 + Y/2$. La derni�re colonne du tableau~(\ref{particules}) 
indique, pour chacun des 3 groupes du MS, la repr�sentation � laquelle 
appartient la particule. Les nombres quantiques associ�s 
s'en d�duisent. Par exemple, l'�lectron gauche se transforme dans le MS selon 
la repr�sentation not�e (\textbf{1},\textbf{2},-1). Ceci signifie :

-que c'est un singulet de couleur (charge de couleur nulle, il ne subit pas 
l'interaction forte), 

-qu'il forme avec le neutrino gauche un doublet d'isospin T=1/2 
(et son $T_3$, la projection de l'isospin faible sur un
axe, vaut -1/2 ), 

-qu'il poss�de une hypercharge �gale � -1. 

\noindent Nous pouvons v�rifier que nous obtenons bien une charge �lectrique
 -1 en unit� de la charge �lectrique de l'�lectron, $e$.

\subsubsection{Le lagrangien du Mod�le Standard }

Nous venons de d�crire le contenu du MS en champs de mati�re et en champs de 
jauge,
nous pouvons maintenant r�sumer tout ceci dans le lagrangien de la th�orie.
Mais il manque encore quelques �lements essentiels qui n'ont pas �t� abord�s.

Depuis Cabibbo et gr�ce � Glashow, Iliopoulos, Maiani puis Kobayashi 
et Maskawa, on sait maintenant que les quarks sont "m�lang�s". C'est un
des aspects les plus 
importants pour la ph�nom�nologie. On distingue les {\it �tats de saveurs} qui 
sont les �tats propres
d'interaction faible et les {\it �tats de masse} qui sont les �tats propres de
propagation. Ces deux bases ne sont pas identiques, et la matrice de Cabibbo, 
Kobayashi et Maskawa (CKM) est la matrice de changement de base :

\beq \left(\begin{array}{c} d'\\s'\\b'\end{array}\right)=
V_{CKM} \left(\begin{array}{c} d\\s\\b \end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} 
\\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} d\\s\\b \end{array}\right)
\eeq
La matrice $V_{CKM}$ s'�crit souvent sous la forme de trois rotations successives 
dans l'espace des saveurs et une phase. Cette red�finition de la base des quarks n'a d'effet que 
sur les courants charg�s (�change d'un $W$) car la matrice est unitaire 
($V\,V^{\dag}=1$). Les courants neutres ne changent que tr�s peu la saveur~\footnote{
On utilise en g�n�ral l'abr�viation FCNC issue de l'anglais Flavour Changing
Neutral Current pour parler de courant neutre qui change la saveur.}.
La matrice CKM est complexe ce qui se traduit par des phases $e^{i\delta}$ dans
la d�finition des �tats propres. Mais nous pouvons montrer qu'une seule phase
est physique (observable) et reste {\it a priori} non-nulle. 
Physiquement, c'est cette phase qui serait � l'origine de la violation de la 
sym�trie $CP$ dans certaines interactions faibles~\footnote{Par exemple dans
 $K\to \pi\pi$ ou dans $B^0 \to K_S J/\psi$. Si la sym�trie $CP$ 
 n'est pas respect�e, alors un processus r�alis� avec les 
antiparticules ne donnera pas le m�me r�sultat (c'est-�-dire la m�me section 
efficace, par exemple) que le m�me processus avec des particules.}.

Le lagrangien du MS se construit en suivant deux r�gles essentielles : 
{\it l'invariance de jauge sous le groupe de sym�trie du MS} et la {\it 
renormalisabilit�}. En effet, cette derni�re assure 
que les quantit�s mesurables calcul�es seront finies car les infinit�s 
rencontr�es ne sont pas physiques. Ceci rend ce mod�le tr�s pr�dictif
contrairement � l'ancienne th�orie des interactions faibles, la th�orie de 
Fermi. Le lagrangien~(\ref{LMS}) comporte 4 parties, une pour chaque ligne; la 
premi�re d�crit {\it le 
secteur de jauge} c'est-�-dire toute la dynamique des champs de jauge 
(des bosons de jauge). Le deuxi�me terme est {\it le secteur de Dirac } dans 
lequel nous
retrouvons tous les champs de mati�re $\psi$ (les fermions) et leurs interactions 
avec les 
champs de jauge. Le troisi�me terme est {\it le secteur de Yukawa} qui contient
les interactions des fermions avec le champ de Higgs $\phi$ et qui donne apr�s 
brisure
de la sym�trie �lectrofaible toutes les masses des fermions. Enfin, la
derni�re ligne correspond au {\it secteur de Higgs} qui r�alise le 
{\it m�canisme de Higgs} dont nous parlerons plus loin.
\begin{eqnarray}
{\cal L} & = & - \frac{1}{4} \, F^a_{\mu \nu} F^{a\ \mu \nu}\nonumber \\
& + &i \bar{\psi}\, \dbar\, \psi + h.c. \nonumber \\
& + &\psi_i y_{ij} \psi_j \phi + h.c. \nonumber \\
& + &|D_{\mu} \phi|^2 - V(\phi).
\label{LMS}  
\end{eqnarray}
\subsection{Le Mod�le Standard  et les tests de pr�cision �lectrofaibles}

M�me si ce cours est orient� vers les nouvelles physiques et l'apr�s-MS, 
ne pas pr�senter l'extraordinaire accord du MS avec les donn�es exp�rimentales ne 
serait pas lui rendre justice. C'est 
en effet un mod�le tr�s pr�dictif et qui a �t� test� et v�rifi� avec une pr�cision
sup�rieure au pourcent, dans une large vari�t� d'exp�riences, et dans un vaste 
domaine
d'�nergie : de la violation de la parit� dans les atomes avec une (impulsion)$^2$ 
transf�r�e, $Q^2$, d'environ $10^{-10}$ GeV$^2$ � des collisions 
proton-antiproton � 
$Q^2 \simeq 10^5$ GeV$^2$.
Il existe des r�f�rences r�centes~\cite{PrecisionTests,PrecisionTests2} dans lesquelles tous ces tests sont pr�sent�s,  
nous nous contenterons de r�sumer l'accord de ce mod�le avec les nombreux tests
de pr�cision �lectrofaibles dans le tableau~(\ref{tableau EW data}). On y retrouve
par exemple les r�sultats de la mesure de la largeur du $Z$, de la masse du $W$ et
de celle du top. 
L'ensemble des tests forme un ensemble de contraintes tr�s fortes. A
l'examen du tableau~(\ref{tableau EW data}) nous ne pouvons pas encore dire que 
nous avons vu de d�viation significative des pr�dictions du MS et donc de 
nouvelle physique. N�anmoins, cet accord contraint fortement les nouvelles 
physiques possibles. 
Jusqu'�
pr�sent le Mod�le Standard est donc une description tr�s performante de la r�alit� � 
des �chelles d'�nergies inf�rieures � quelques centaines de GeV. 

%..............................................................................
\begin{table}[htbp!]
\begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.30}
\begin{tabular}{|ll||r||r|}
\hline
&Observable& Mesure$\ \ \ \ \ \ $  & fit du MS  \\
\hline
\hline
&$m_Z$ [GeV] & $91.1875\pm0.0021\pz$ &91.1873$\pz$ \\
&$\Gamma_Z$ [GeV] & $2.4952 \pm0.0023\pz$ & 2.4965$\pz$ \\
&$\sigma_h^0$ [nb]   & $41.540 \pm0.037\pzz$ &41.481$\pzz$ \\
&$R_l^0$          & $20.767 \pm0.025\pzz$ &20.739$\pzz$ \\
&$A_{FB}^{0,l}$       & $0.0171 \pm0.0010\pz$ & 0.0164$\pz$ \\
\hline
&$A_l$~(SLD)   & $0.1513 \pm0.0021\pz$ & 0.1480$\pz$ \\
\hline
&$A_l~(P_\tau)$& $0.1465 \pm0.0033\pz$ & 0.1480$\pz$ \\
\hline
&$R_b^0$       & $0.21644\pm0.00065$   & 0.21566     \\
&$R_c^0$       & $0.1718\pm0.0031\pz$  & 0.1723$\pz$ \\
&$A_{FB}^{0,b}$     & $0.0995\pm0.0017\pz$  & 0.1037$\pz$ \\
&$A_{FB}^{0,c}$     & $0.0713\pm0.0036\pz$  & 0.0742$\pz$ \\
&${\mathcal A}_b$         & $0.922\pm 0.020\pzz$  & 0.935$\pzz$ \\
&${\mathcal A}_c$         & $0.670\pm 0.026\pzz$  & 0.668$\pzz$ \\
\hline
&$\sin^2\theta^{lept}_{eff}(Q^{had}_{FB})$
     & $0.2324\pm0.0012\pz$  & 0.23140     \\
\hline
\hline
&$m_W$ [GeV]
                & $80.425\pm0.034\pzz$  &80.398$\pzz$ \\
&$\Gamma_W$ [GeV]
                & $ 2.133\pm0.069\pzz$  & 2.094$\pzz$ \\
\hline
&$m_t$ [GeV] ($\pp$)
                & $178.0\pm4.3\pzz\pzz$ &178.1$\pzz\pzz$ \\
\hline
& $\Delta\alpha^{(5)}_{had}(m_Z^2)$
                & $0.02761\pm0.00036$   & 0.02768     \\
\hline
%-----------------------------------------------------------------------
\end{tabular}\end{center}
\caption[Overview of results]{ Ce tableau r�sume les mesures de pr�cision � 
grand $Q^2$ et donne les r�sultats fit�s dans le cadre du MS. De plus amples 
d�tails sur la signification de certaines observables se trouvent dans la 
r�f�rence~\cite{PrecisionTests} d'o� est extrait ce tableau.}
\label{tableau EW data}
\end{table}
%..............................................................................

\subsection{Les insuffisances du Mod�le Standard}

Le constat exp�rimental pr�c�dent, en faveur du MS, confront� au constat 
th�orique suivant est source d'�tonnements dans la communaut� des physiciens 
des particules. En effet, le MS n'explique pas, par exemple, les nombres quantiques des 
particules (charge �lectrique, isospin faible, couleur,...), ne pr�dit pas 
le spectre de masse ni n'inclut l'interaction gravitationnelle. 
Passons un peu de
temps sur chaque point pour mieux comprendre pourquoi le Mod�le Standard ne 
peut pas �tre la description ultime de la nature.

		\subsubsection{Les param�tres libres}
Outre les nombres quantiques des particules, le MS contient au moins 19 
param�tres libres, non d�termin�s par la th�orie et
ajust�s {\it a posteriori} par l'exp�rience. Il n'explique donc pas l'origine de
la valeur de ces param�tres. Si nous faisons le d�compte, nous avons :

- 3 constantes de couplage pour chacune des 3 interactions (le MS ne nous
 dit pas pourquoi l'interaction faible est si faible ni pourquoi 
 l'interaction forte est si forte � basse �nergie, les valeurs ont �t� d�duites
 des mesures). De fa�on �quivalente, on peut remplacer ces trois param�tres
 libres par $\alpha_s$, $e$ et $\sin^2\theta_W$.

- 1 param�tre de QCD, $\theta_{QCD}$ qui correspond � une possible violation de
$CP$ dans les interactions fortes~\footnote{Ce param�tre est la cause de ce que
l'on appelle le "strong
$CP$ problem" car on ne comprend pas pourquoi sa valeur est si faible voire 
peut-�tre m�me nulle. En effet, les mesures
exp�rimentales donnent une limite sup�rieure sur $\theta_{QCD}$ de
$10^{-9}$~\cite{Mohapatra}.}

- les 6 masses des 6 saveurs de quarks $u$, $c$, $t$, $d$, $s$, $b$

- 3 angles de m�langes des quarks + 1 phase de violation de $CP$ faible

- les 3 masses des 3 leptons charg�s e, $\mu$, $\tau$

- les 2 param�tres du potentiel de Higgs, $\lambda$ et $\mu$ (ou de fa�on
�quivalente $M_H$ et $M_W$ ou $M_Z$).

La d�couverte r�cente des oscillations de neutrinos ajoute
encore 9 param�tres suppl�mentaires. De plus, nous avons aussi 
besoin  de param�tres libres suppl�mentaires pour g�n�rer les masses 
des neutrinos par le m�canisme de
Seesaw~\footnote{Tout ce qui est li� � la masse des neutrinos sera pr�cis� au 
chapitre 3.}.
Ceci est un probl�me que la plupart des mod�les rencontrent mais 
parmi les param�tres
pr�c�dents certains trouvent une explication dans les Th�ories de Grande
Unification (les couplages de jauge, les angles de m�langes) ou la supersym�trie 
(les param�tres de la brisure �lectrofaible). 

		\subsubsection{La gravitation}
Le Mod�le Standard ne donne pas de description quantique de la th�orie de la 
gravit�. En fait, l'interaction gravitationnelle
est ajout�e, juxtapos�e au MS sous sa forme actuelle c'est-�-dire la Relativit� 
G�n�rale (RG). Cela ne
pose pas de probl�me � l'�chelle d'�nergie qui nous est accessible actuellement
puisque la force gravitationelle y est consid�rablement plus faible que l'interaction
faible. Mais pour des �nergies autour de $10^{19}$ GeV, elle est de m�me intensit�
et nous ne pouvons plus la traiter classiquement {\it via} la RG.

De plus, certains ph�nom�nes cosmologiques sont insuffisamment expliqu�s et
 il faut introduire d'autres param�tres libres, non pr�dits par la th�orie, 
 comme la constante cosmologique $\Lambda$, au moins un param�tre 
d'inflation, l'asym�trie baryonique~\footnote{C'est-�-dire l'asym�trie 
entre le 
nombre de particules et d'antiparticules.},...

La quantification de la gravitation, {\it i.e.} sa version quantique, est depuis
longtemps une des pr�occupations principales des physiciens th�oriciens. La
difficult� vient notamment de sa non-renormalisabilit�. Comme
nous le verrons � la fin de ce cours sur les nouvelles physiques, la th�orie
des supercordes semble pouvoir �tre la solution et l'espoir est permis.

		\subsubsection{La mati�re noire}
Au d�but des ann�es 90, les astronomes ont fait une d�couverte~\footnote{C'est
en comparant la vitesse de rotation de la galaxie avec la valeur qu'elle aurait
si elle n'�tait faite que de mati�re ordinaire.} tr�s importante 
pour les physiciens des particules : l'existence de {\it mati�re noire}.
Ils ont observ� que la densit� de mati�re connue (baryonique) ne repr�sentait que 
moins de 4$\%$ de la densit� totale de l'Univers. 
20$\%$ de la densit� totale viendrait d'une mati�re non baryonique qui n'existe pas 
dans le MS,
ce que l'on appelle la mati�re noire. Pire encore, le reste nous 
est totalement inconnu et on l'attribue � une sorte d'{\it �nergie
noire}~\footnote{Elle est appel�e ainsi car elle elle n'est pas due � la mati�re.}.
Tous les mod�les au-del� du MS contiennent des particules nouvelles et
celles-ci, � condition d'�tre stables, neutres et sans interactions 
fortes, peuvent jouer le 
r�le de mati�re noire. La supersym�trie
offre par exemple un candidat tr�s s�rieux, le {\it neutralino}. 
Par contre, l'�nergie noire est aujourd'hui un myst�re total et son explication ne peut se
 trouver que dans les mod�les qui incluent la gravitation.

		\subsubsection{La hi�rarchie des �chelles}
Si nous regardons le domaine des �nergies, trac� sur la figure~(\ref{domaine}), il s'�tend jusqu'� $10^{19}$ 
GeV o� la gravit� n'est plus n�gligeable dans les interactions entre particules.
 Une question se pose alors, pourquoi y a-t-il 17 ordres de grandeurs qui s�parent
l'�chelle �lectrofaible de l'�chelle de Planck ?! L� non plus le MS ne donne 
pas de r�ponse, et c'est m�me l'un des plus grands
d�fis de la physique moderne. Peu de mod�les apportent une explication
satisfaisante. 
A plus petite �chelle, la m�me observation peut �tre faite � propos des masses
de fermions connus. Pourquoi le top est il $4\times 10^5$ fois plus lourd que 
l'�lectron ? Il faut l� aussi comprendre les raisons de cette autre hi�rarchie
(appel�e parfois hi�rarchie des saveurs). L'introduction de dimensions spatiales
suppl�mentaires pourrait donner une r�ponse au probl�me mais ce n'est souvent
qu'une reformulation qu'elles proposent.
\par\hfill\par
Clairement, il reste des myst�res qui n�cessitent un autre mod�le qui prendra
le relais du Mod�le Standard pour la physique � plus haute �nergie.

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{picture}(400,200)(0,-100)
\Line(0,0)(380,0)\ArrowLine(380,0)(400,0) \Text(390,5)[lb]{GeV} 

\Photon(40,100)(40,-40){4}{9} \Text(30,-100)[lb]{Echelle �lectrofaible}
\Oval(40,-60)(20,30)(0) \Text(40,-60)[]{{\bf LHC}}

\Photon(380,100)(380,-80){4}{10} \Text(380,-100)[rb]{Echelle de Planck}

\ArrowLine(0,-20)(60,-20) \Text(15,-15)[lb]{MS} \DashLine(60,-20)(70,-20){4}

\DashLine(300,20)(340,20){4} \Text(320,28)[]{{\it GUTs ?}} 
\DashLine(140,50)(60,50){4} \Text(142,50)[lb]{{\it Supersym�trie ?}}
\DashLine(220,50)(375,50){4}
\DashLine(160,70)(60,70){4} \Text(162,70)[lb]{{\it Extra dimensions ?}}
\DashLine(260,70)(375,70){4} 
\DashLine(340,90)(377,90){4} \Text(338,90)[rb]{{\it Cordes ?}}
\Text(280,20)[]{$\nu_R$ \textit{?}}

\Line(0,5)(0,-5) \Text(0,8)[b]{0} 
\Line(40,5)(40,-5) 
\Line(60,5)(60,-5) \Text(60,8)[b]{$10^3$} 
\Line(380,5)(380,-5) \Text(385,-8)[lt]{$10^{19}$} 
\Line(320,5)(320,-5) \Text(320,-8)[t]{$10^{16}$} 
\Line(280,5)(280,-5) \Text(280,-8)[t]{$10^{14}$} 
\end{picture} 
\end{center}

\caption{Les diff�rentes �chelles d'�nergie en physique des particules et 
les nouvelles physiques possibles. }
\label{domaine}
\end{figure}  

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Introduction au secteur des neutrinos}
%------------------------------------------------------------------------------%

Cette section a pour but d'exposer ce que la plupart des physiciens consid�rent comme le premier
indice de l'existence d'une nouvelle physique au-del� du MS. Mais avant tout,
rappellons-nous les particularit�s des neutrinos et leur place dans le MS. 

\subsection{Les neutrinos dans le Mod�le Standard }
Le neutrino f�t la premi�re fois introduit par W.Pauli pour rendre compte du spectre
continu de l'�lectron dans les d�sint�grations $\beta$ telles que : $n\to
p+e^-+\nu_e$ et c'est 25 ann�es plus tard que F.Reines et C.Cowan Jr observ�rent 
pour la premi�re fois  
ces neutrinos~\footnote{En r�alit� c'�tait des antineutrinos �lectroniques.}, 
 produits par un r�acteur nucl�aire. Depuis les ann�es 60, des neutrinos 
 provenant du Soleil, de l'atmosph�re et m�me d'une supernova du Nuage de 
 Magellan ont �t� d�tect�s.

Dans la th\'eorie \'electrofaible il est rang\'e avec l'�lectron~\footnote{Plus 
rigoureusement, c'est le neutrino �lectronique qui est rang� avec l'�lectron. 
Comme tous les fermions du MS, le neutrino existe en 3 familles : le neutrino 
�lectronique, muonique, tauique.} dans un doublet leptonique de chiralit� 
gauche, d'isospin faible 1/2 et d'hypercharge $Y=-1$; voir
tableau~(\ref{particules}) :
\beq L=\left( \begin{array}{c} \nu_e \\ e^- \end{array}\right)_L.\eeq
Il ne subit que
l'interaction faible. Mais contrairement � l'�lectron ou � n'importe quel autre
lepton charg�, jusqu'� pr�sent seul des neutrinos de chiralit� gauche ont �t�
observ�s~\footnote{ Les neutrinos droits n'existent donc pas ? Si un neutrino
droit existe, �tant de
chiralit� droite et l'interaction faible ne concernant que les particules
gauches, il n'est pas sujet � cette interaction. Il ne lui reste que
des interactions indirectes (nous ne comptons pas la gravitation) pour se 
manifester (voir chapitre 3).} (ainsi que
des antineutrinos droits). 

La faiblesse de ses interactions avec la mati�re rend difficile sa d�tection et
les exp�riences qui visent �
connaitre les propri�t�s des neutrinos atteignent donc des tailles colossales.
Pour exemple, l'exp�rience SuperKamiokande au Japon est constitu�e d'un immense
r�servoir d'eau de 45 000 tonnes. Elle est capable notamment de d\'etecter en 
temps r\'eel les \'electrons de l'eau diffus\'es 
par interaction \'elastique avec les neutrinos solaires : 
$$\nu_{\alpha}+ e^{-}\to\nu_{\alpha}+ e^{-}.$$
 
L'explication de la faiblesse des interactions se trouve dans le fait que les 
neutrinos n'interagissent que par �change de boson $W$ ou $Z$, 
c'est-�-dire :

\noindent - par courant charg\'e (\'echange d'un boson vecteur $W^{\pm}$):
 
 \beq\mathcal{L}_{cc}=\frac{-g}{\sqrt{2}}\sum_{\alpha=e, \mu, \tau}
 \nu_{L_{\alpha}}\gamma_{\mu}l_{L_{\alpha}}W^{\mu}\ +\ h.c,\eeq

\noindent - par courant neutre (\'echange d'un boson vecteur Z$^{o}$ ):
 
 \beq\mathcal{L}_{nc}=\frac{-g}{2\cos{\theta_{W}}}\sum_{\alpha=e, \mu, \tau}
 \nu_{L_{\alpha}}\gamma_{\mu}l_{L_{\alpha}}Z^{\mu}\ +\ h.c,\eeq

\noindent Les sections efficaces contiennent alors un facteur tr�s petit:
 \beq \sigma \propto \left( \frac{g^2}{M_W^2} \right)^2 \propto G_F^2. \eeq


Nous allons maintenant discuter de la masse des neutrinos. 
Les fermions, comme l'�lectron, ont un terme de masse dans le lagrangien qui
s'�crit :
\beq  {\mathcal L} \supset -m^D_{\nu}\overline{f_L} f_R.  \eeq
C'est un terme qui lie un fermion gauche avec un fermion droit. La non-existence
de neutrinos droits interdit donc ce terme de masse et nous disons que le
neutrino n'a pas
de {\it masse de Dirac}.
Mais pouvons-nous �crire un terme de masse pour $\nu_L$ m�me sans $\nu_R$?
Oui, un terme de {\it masse de Majorana} :
\beq\label{Majorana mass} {\mathcal L} \supset -\frac{1}{2}m^M_{\nu}
\overline{(\nu_L)^c}\nu_L \eeq
avec $\nu=\nu^c=C\overline{(\nu)^T}$. $C$ est la matrice de conjugaison de
charge ($C=i\gamma^0\gamma^2$). Dans ce cas, le neutrino est sa propre 
antiparticule !

Or, il existe dans le MS une loi de conservation qui interdit ce terme.
En effet, pour expliquer la non-observation de $\mu \to e \, \gamma$, 
$\tau \to e \, \gamma$ et $\tau \to \mu \, \gamma$~\footnote{Les limites 
sup�rieures sur les taux de branchements c'est-�-dire sur les largeurs
partielles de d�sint�gration sont : $BR(\mu \to e \, \gamma)<1.2\times 10^{-11}$, 
$BR(\tau \to e \, \gamma)<2.7\times 10^{-6}$, $BR(\tau \to \mu \,
\gamma)<1.1\times 10^{-6}$.} on introduit un nombre leptonique $L$ pour chaque famille
et qui se conserve. Ainsi on a les nombres leptoniques suivant pour le muon
$L_{\mu}=1,\ L_{e}=0,\ L_{\tau}=0$, l'�lectron $L_{\mu}=0,
\ L_{e}=1,\ L_{\tau}=0$ et par exemple la d�sint�gration $\mu \to e \, \gamma$
ne serait pas permise � cause de la conservation de $L_{\mu}$ et $L_{e}$. Ce nombre 
leptonique est reli� � une sym�trie globale du lagrangien dont l'origine
profonde reste � �tre clarifi�e.
Un terme de masse de Majorana comme l'�quation~(\ref{Majorana mass}) a 
$\Delta L_{\alpha} =2$, le nombre leptonique individuel n'est pas conserv�.
Il n'y a pas d'autre terme de masse possible, par cons�quent \underline{le neutrino a une masse
nulle dans le Mod�le Standard} ! Ceci est assez surprenant pour une particule de 
mati�re. Mais est-ce coh�rent avec les r�sultats exp�rimentaux ?
Les observations directes sur la masse des neutrinos et les limites 
cosmologiques ne donnent malheureusement que des limites sup�rieures, mais il y
a un fait exp�rimental qui entre en d�saccord direct avec des masses nulles pour les 
neutrinos : \underline{l'observation des oscillations entre saveurs de
neutrinos}. 

\subsection{Les oscillations de neutrinos : nouvelle physique}

Les oscillations de neutrinos reposent sur le m�me principe que le m�lange CKM 
des quarks "down" : les �tats propres de masses, {\it i.e.} de propagation, ne 
co�ncident pas avec les �tats propres de saveurs. 
En d'autres mots, les neutrinos produits dans les interactions faibles (�tats 
de saveurs) sont des combinaisons lin�aires des �tats de propagation. Un neutrino 
de saveur purement �lectronique, initialement produit dans le Soleil, a donc une 
probabilit� non-nulle de devenir purement de saveur muonique � l'endroit o� on 
le d�tecte~\footnote{Dans le cas � deux saveurs, nous pouvons faire l'analogie
avec un syst�me � deux
niveaux en m�canique quantique dans lequel la probabilit� de pr�sence oscille
entre les 2 niveaux � la pulsation de Rabi.}. 
Ainsi, les exp�riences comme SuperKamiokande qui peuvent faire la 
comptabilit� des neutrinos �lectroniques provenants du Soleil observent un d�ficit 
important 
(plus de 50$\%$ !) par rapport au nombre de neutrinos solaires pr�dits par le 
mod�le solaire standard~\footnote{Ce mod�le est tr�s performant et ne peut �tre
raisonnablement mis en doute.}. Toutes les interpr�tations autres que les 
oscillations,
comme une d�sint�gration du neutrino, sont tr�s
d�favoris�s~\cite{OscInterpretation, NewPhysics}.

Le ph�nom�ne d'oscillation entre saveurs n�cessite une masse non-nulle pour les
neutrinos. De plus le nombre leptonique individuel n'est pas 
conserv� au cours du temps. Voici pourquoi nous disons que les oscillations, et
donc les masses des neutrinos, demandent une physique au-del� du Mod�le
Standard. Nous reviendrons sur ce point au chapitre 3 o� les choses apparaitront 
plus clairement.
 
Il est vrai que nous pouvons toujours modifier et �tendre le MS pour inclure
ce ph�nom�ne mais l'explication n'est pas naturelle. Le neutrino est visiblement
un fermion � part et l'origine de sa particuliarit� doit se comprendre � partir 
d'une physique � plus haute �nergie (par exemple dans les th�ories de Grande 
Unification que nous verrons en d�tail au dernier chapitre).

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Le secteur de Higgs : la brisure �lectrofaible}
%------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{La g�n�ration des masses}
Le secteur �lectrofaible du MS est d�crit par la sym�trie de jauge
$SU(2)_L\otimes U(1)_Y$. Or
l'invariance du lagrangien sous cette sym�trie ne permet pas l'introduction de
termes de masse pour les bosons ou les fermions ! A ce stade de la description,
aucune particule n'est donc massive ce qui n'est pas conforme � nos observations.  
La sym�trie doit donc �tre bris�e d'une fa�on ou d'une autre. Cependant, il faut
 garder cette sym�trie dans 
les 
interactions c'est-�-dire dans le lagrangien. La brisure ne peut alors pas �tre 
{\it explicite}, elle est {\it spontan�e}. 
Il existe un th�or�me, {\it le th�or�me de Goldstone} qui 
donne les deux cons�quences importantes de la brisure spontan�e d'une sym�trie
\underline{globale} :

* Le lagrangien reste invariant mais l'�tat d'�nergie minimale, {\it i.e.} le vide,
 n'est pas invariant. La sym�trie n'est alors plus manifeste dans le spectre 
des �tats~\footnote{Car les �tats excit�s s'obtiennent par l'action des 
diff�rents
g�n�rateurs sur le vide (l'�tat fondamental) et ne poss�dent plus la sym�trie.}.

* Il existe un certain nombre d'�tats physiques de masse nulle dont les 
propri�t�s sont reli�es � celles des g�n�rateurs de la sym�trie bris�e. Ce sont 
les modes ou {\it bosons de Goldstone}. Il y en a autant que le nombre de g�n�rateurs bris�s de 
la sym�trie.

Quand la sym�trie est approch�e, par exemple la sym�trie
chirale des quarks de l'interaction forte, les bosons de Goldstone ont une
masse non-nulle, mais faible, dont l'ordre de grandeur est reli�e � la validit� de
l'approximation. Les pions, qui ont une masse d'environ 135 MeV (donc 
beaucoup plus 
faible que les masses des autres hadrons, objets typiques de l'interaction forte), jouent
ce r�le. On les appelle les bosons de pseudo-Goldstone de la sym�trie chirale de
l'interaction forte. 

Mais dans le Mod�le Standard, $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ est une sym�trie de jauge donc
\underline{locale}. Les cons�quences de la brisure spontan�e sont alors diff�rentes :
certains bosons de Goldstone \underline{disparaissent} au profit de nouveaux �tats de
polarisation longitudinale des bosons de jauge, devenus massifs~\footnote{Nous
passons de deux �tats de polarisation d'un champ de jauge de spin 1 sans masse �
trois.}. Les bosons de Goldstone restants sont aussi devenus massifs. 
C'est le fameux {\it m�canisme de Higgs} de Brout, Englert, Higgs et Kibble et
c'est le seul m�canisme connu de g�n�ration des masses qui conserve la 
renormalisabilit� du MS.

\par\hfill\par
Nous allons maintenant expliciter un peu plus ce m�canisme. 
Prenons le cas simple d'un champ scalaire complexe $\phi$ dans une th�orie de
jauge $U(1)$. Le lagrangien est :
 \beq {\mathcal L}=D_{\mu}\phi^{\dag}D^{\mu}\phi -\frac{1}{4}
F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - V[\phi].\eeq
Le terme $V[\phi]$ est le potentiel effectif et
renormalisable cr�� par le
champ $\phi$, il peut s'�crire :
 \beq V[\phi]=-\mu^2\phi^{\dag}\phi + \lambda(\phi^{\dag}\phi)^2 \eeq
avec $\mu^2 >0$, $\lambda>0$.

Le champ $\phi$ est appel� le {\it champ de Higgs} et si nous le param�trisons 
en fonction de 
deux champs r�els, alors $\displaystyle 
\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x) +i\phi_2(x))$ et le potentiel s'�crira : 
\beq V[\phi_1,\phi_2]=\frac{\mu^2}{2}(\phi_1(x)^2+\ \phi_2(x)^2) +\frac{\lambda}{4}(\phi_1(x)^2+\
\phi_2(x)^2)^2 \eeq
\noindent Il est manifestement invariant sous une "rotation" des champs 
$\phi_1$ et $\phi_2$ et poss�de la sym�trie $SO(2) \sim\ U(1)$~\footnote{Le 
potentiel reste invariant quand on red�finit les champs
ainsi: $$ \left(\begin{array}{c} \phi_1^{'}\\ \phi_2^{'} \end{array}\right) 
 = \left(\begin{array}{cc} \cos\theta e^{i\delta} & \sin\theta \\ -\sin\theta
& \cos\theta e^{i\delta}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2 
\end{array}\right) $$}.
Le potentiel admet une infinit� de minima qui se distinguent
les uns des autres par rotation : l'�tat de 
vide
est d�g�n�r�. Quand nous choisissons un minimum particulier pour le vide, en
$\phi_1=0,\ \phi_2=v/\sqrt{2}$ : 
\beq\phi_0=<0|\phi|0>= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 0\\
+v \end{array}\right)\eeq 
avec 
\beq v=\sqrt{\frac{-\mu^2}{\lambda}}, \eeq
nous brisons la sym\'etrie. $\phi_0$ n'est plus 
invariant sous une transformation de jauge mais les lois
dynamiques sont pr�serv�es : $\mathcal{L}$ reste toujours 
invariant de jauge. C'est tout le principe d'une brisure
\underline{spontan�e} de sym�trie, par opposition � la brisure
\underline{explicite} o� $\mathcal{L}$  
perd son invariance. Si nous red�finissons le champ $\phi(x)$ comme une 
fluctuation autour de ce 
minimum particulier, en passant en coordonn\'ees polaires nous avons :
\beq \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\ \sigma(x))e^{i\pi(x)} \eeq
\noindent o� $\pi(x)$ est le degr� de libert� associ� � la sym�trie de rotation du potentiel.
 Il correspond � des modes d'excitation de masse nulle, c'est le 
 {\it boson de Goldstone} tandis que $\sigma(x)$ est le boson associ� aux excitations
 radiales.
En d�veloppant la partie cin�tique du lagrangien, $|D_{\mu} \phi|^2$, et en 
passant dans la jauge
unitaire~\footnote{Notre lagrangien est par construction invariant de jauge
donc nous pouvons faire ce choix particulier. Il a la particularit� de faire
disparaitre les bosons de Goldstone non physiques (de masse nulle) au profit de
masse pour les bosons de jauge. Mais ce choix de jauge unitaire n'est pas toujours le plus
pratique � cause de l'existence de bosons massifs. En effet, le propagateur 
d'un boson massif s'�crit : 
\beq 
\Delta^{\mu\nu}=i\left( \frac{g^{\mu\nu}-\frac{q^{\mu}q^{\nu}}{M^2}}{q^2-M^2}\right) 
\nonumber \eeq

\noindent Il ne converge pas vers 0 quand $q^{\mu}\to\ +\infty$ (� cause du 
terme $\frac{q^{\mu}q^{\nu}}{M^2}$ ) ce qui pose probl�me pour la
renormalisation. Pour y rem\'edier, le {\it th�or�me d'�quivalence} nous dit que la 
voie � suivre et de ne pas calculer les amplitudes dans la jauge unitaire et
donc de garder explicitement les bosons de Goldstone.}, nous observons 
l'apparition de termes de masse, de termes 
d'interactions, ainsi que la disparition du champ $\pi(x)$. Le champ de jauge 
a maintenant une masse $\left(\displaystyle \frac{e\, 
v}{2}\right)$~\footnote{O\`u $e$ est la constante de couplage de
la th�orie que nous consid�rons dans cet exemple.} et le champ scalaire r�el
$\sigma(x)$ une masse $\sqrt{2 \mu^2}$. 
\par\hfill\par
Comment r�aliser ce m�canisme dans le MS ? Nous souhaitons briser 
$SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ en
$U(1)_{em}$ sans toucher � $SU(3)_C$. Il nous faut donc un champ scalaire
neutre de couleur, d'isospin et hypercharge faibles non nuls et au moins une
composante de ce champ doit �tre nulle �lectriquement~\footnote{C'est pour qu'il ne se
couple pas au photon et donc qu'il laisse celui-ci sans masse.}. De plus, dans un mod�le
minimal, le \underline{m�me} champ de Higgs brise la sym�trie �lectrofaible et donne aussi 
une masse aux quarks et aux leptons. Dans le MS, les fermions gauches sont des 
doublets de $SU(2)_L$ et les fermions droits des singulets, donc le produit 
est un doublet de $SU(2)_L$. Le terme de masse des fermions, qui doit
�tre un scalaire sous $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$~\footnote{Il doit �tre
invariant car le lagrangien l'est.}, ne peut s'obtenir que par couplage direct
� un champ de Higgs \underline{doublet} de $SU(2)_L$~\footnote{D'apr�s la 
th�orie des groupes, $(2 \otimes 1)\otimes 2 =3 \oplus 1$ donc on peut former 
un scalaire de $SU(2)$ avec 2 doublets et un singulet.}. Par exemple dans le 
cas des leptons,
\beq 
{\mathcal L } \supset \sum_{i,j=e,\mu,\tau}
Y^{lep}_{ij}\overline{(L_i)_L}\phi(E_j)_R
\eeq 
o� $Y^{lep}$ est une constante (matrice $3\times$3 dans l'espace des saveurs)
qui caract�rise le couplage au champ de Higgs. Elle est appel�e {\it couplage de 
Yukawa} 
et est diff�rente pour chaque fermion (car chaque fermion a bien une
masse distincte des autres).
Pour �tre en plus invariant sous $U(1)_Y$, il faut que les hypercharges v�rifient
la condition~\footnote{La trace de $Y$
doit �tre nulle car c'est un des g�n�rateurs diagonaux du groupe de sym�trie.} : 
$-Y_L+Y_{\phi}+Y_E=-(-1)+Y_{\phi}-2=0$, 
donc l'hypercharge de $\phi$ est 1. Le champ $\phi$ s'�crit alors~\footnote{En utilisant la relation $Q=
T_3 +\frac{Y}{2}$.} :

\beq \phi=\left(\begin{array}{c} \phi^+\\ \phi^0 \end{array}\right) \eeq
et il appartient � la repr�sentation (\textbf{1},\textbf{2},+1) du MS.
Le potentiel effectif cr�� par $\phi$ est semblable � celui de l'exemple pr�c�dent.
Sa forme est la plus g�n�rale possible et respecte les conditions d'invariance 
sous 
$SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ et de renormalisabilit�.
\par\hfill\par
Apr�s brisure spontan�e, dans la jauge unitaire, nous rempla�ons $\phi$ par sa 
valeur dans le vide : $<\phi>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 0\\
v\end{array}\right)$.

\noindent * Les fermions ont alors une masse 
$ \displaystyle M_{f}=Y_{f}\,\frac{v}{\sqrt{2}}$.

\noindent * Les bosons de jauge ont obtenu une masse : $\displaystyle
m_W=\frac{g\,v}{2}$ et 
$\displaystyle m_Z=\frac{m_W}{\cos \theta_W}$.

\noindent De $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ � $U(1)_{em}$, nous sommes pass�s de 4 
g�n�rateurs de sym�trie � 1. D'apr�s ce qui a �t� dit pr�c�demment, 3 
g�n�rateurs sont bris�s et deviennent les 3 degr�s de polarisation longitudinale 
des $W^{\pm}$ et $Z^0$ qui sont maintenant massiques. Or sur les
4 champs scalaires r�els~\footnote{Un doublet de champs scalaires complexes 
peut s'�crire en fonction de quatre champs scalaires r�els : 
$$\phi=\left(\begin{array}{c} \phi_1+i\phi_2 \\ \phi_3 +i\phi_4 \end{array}\right)$$}
qui composent $\phi$, 3 sont les bosons de Golstones absorb�s, il reste donc 
un boson de Goldstone physique, \textit{le boson de Higgs}, avec une masse :
\beq m_H^2= 2\mu^2=2\lambda v. \eeq

Si nous r�sumons ce qui vient d'�tre dit, le m�canisme de Higgs permet de briser
spontan�ment la sym�trie �lectrofaible, donnant alors une masse aux bosons de jauge 
$W^{\pm}$ et $Z^0$. Les fermions obtiennent eux une masse en se couplant avec le
champ de Higgs et ce couplage est proportionnel � $\displaystyle \frac{M_f}{v}$.
De cette brisure, il reste le boson de Higgs, de spin nul et de masse 
$\sqrt{2\mu^2}$. 

A partir de $m_W$ ou de $G_F$, reli�s par la relation 
\beq 
m_W=\left(\frac{\pi\alpha/\sqrt{2}\mathrm{G}_F}{\sin\theta_W}\right)^{1/2},
\eeq
on peut d�duire la valeur de $v$ :
\beq v=(\sqrt{2} G_F)^{-1/2}=246\ \mathrm{GeV}. \eeq 
Connaissant $m_W$, la masse du boson de Higgs 
est donc le seul param�tre libre de ce
secteur ce qui rend possible la pr�diction de la production et des
d�sint�grations du Higgs en fonction de sa masse. Dans la figure~(\ref{Higgs BR}) nous montrons les
d�sint�grations du Higgs les plus importantes en fonction de sa masse.
Notamment, pour $m_H$ entre 100 et 150 GeV, les d�sint�grations en une paire 
$\bar{b} b$, $\gamma\gamma$ ou $WW$ semblent tr�s prometteuses et les
collaborations CDF et D$\emptyset$ en font la recherche tr�s 
active. Le LHC
pourra davantage explorer la ph�nom�nologie du Higgs.

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=14cm\epsfbox{Higgs_BR.eps}}
\caption{Quelques taux de branchements du boson de Higgs en fonction de
 sa masse.~\cite{NewPhysics}}
\label{Higgs BR}
\end{figure}  


\subsection{Les propri�t�s du Higgs et les mod�les Technicouleur}

Si nous calculons les {\it corrections radiatives}~\footnote{Ces corrections sont
dues aux boucles de particules virtuelles.} � la masse du Higgs dans le MS,
nous observons qu'elles divergent quadratiquement :
\beq \delta m_H^2 \propto {\mathcal O}(\frac{\alpha}{\pi})\Lambda^2 \eeq
Quand le cut-off $\Lambda$ est sup�rieur au TeV, les corrections n'ont plus 
de sens et n�cessitent l'introduction d'une nouvelle physique. L'existence d'un scalaire fondamental dans la th�orie n'est pas non plus 
conceptuellement tr�s
satisfaisante. Pour l'instant, aucun scalaire �l�mentaire n'a �t� d�tect� dans 
la nature. Toutes les particules de mati�re sont des fermions de spin 1/2. 
L'origine du m�canisme de Higgs est inconnue et l'�chelle �lectrofaible para�t
arbitraire. Elle implique des ajustements fins des param�tres et c'est ce qui la
rend non-naturelle. Pour rem�dier � tout ceci, la {\it  Technicouleur} (TC) fut introduite. 
Cette th�orie repose sur
l'existence d'une brisure \underline{dynamique} (comme pour QCD) de l'interaction 
�lectrofaible. Le boson de Higgs est alors un condensat fortement li� de deux
fermions tr�s lourds, les techniquarks. C'est la valeur non-nulle dans le
vide de ce condensat qui brise spontan�ment la sym�trie �lectrofaible et r�alise
le m�canisme de Higgs :

\beq <\phi>=<0\mid \overline{F_L}F_R\mid 0>=v. \eeq

Ce m�canisme de "condensation" s'observe en physique du solide quand un materiau
devient supraconducteur et c'est la condensation en paires de Cooper (paires
d'�lectrons) qui brise la
sym�trie $U(1)_{em}$.
La TC donne donc une origine purement dynamique � la brisure et
l'�chelle �lectrofaible est reli�e au couplage technicouleur mobile. 
C'est une nouvelle interaction, tr�s forte, qui se manifeste � des �nergies de
l'ordre du TeV. Sa pr�sence r�soud le probl�me de la divergence quadratique de
$m^2_H$. Dans le mod�le minimal, la sym�trie de jauge sur laquelle se base la TC
 est $SU(N_{TC})$ et 
les nouveaux fermions, U et D, appartiennent � la repr�sentation fondamentale. 
Ce sont les analogues des quarks l�gers de la sym�trie chirale approch�e de QCD.

Mais la version la plus simple, bas�e sur une transposition � plus haute �nergie
de QCD, n'est pas compatible avec les donn�es de pr�cision �lectrofaible.
D'autres mod�les non-minimaux ont �t� construits, comme la technicouleur �tendue
(ETC), la "walking" TC, la "topcolor assisted" TC, mais nous ne les �tudierons pas
dans ce cours. Le LHC devrait pouvoir d�couvrir ou infirmer le principe de la TC
et du Higgs composite.


\subsection{Les contraintes sur la masse du Higgs}


Les donn�es de pr�cision �lectrofaibles sont capables de nous renseigner
sur la nature du Higgs et d'une fa�on g�n�rale sur la nouvelle physique.
En effet, Veltman a montr� la sensibilit� des corrections � boucles aux
particules "invisibles", c'est-�-dire trop massives pour �tre produites.
Par exemple, au niveau d'une boucle, les masses du $W$ et du $Z$ sont
donn�es par:

\beq m_W^2 \sin^2\theta_W= m_Z^2 \cos^2\theta_W\sin^2\theta_W=\frac{\pi
\alpha}{\sqrt{2}{\mathrm G_F}}(1 + \Delta r) \eeq
o� $\Delta r$ est la correction radiative � calculer. Celle-ci re�oit
d'importantes contributions du quark lourd $t$:
\beq \Delta r \supset \frac{3{\mathrm G_F}}{8 \pi^2 \sqrt{2}} m_t^2 \eeq
et du boson de Higgs :
\beq \Delta r \supset \frac{\sqrt{2}{\mathrm G_F}}{16 \pi^2} m_W^2 (\frac{11}{3} \ln
\frac{m_H^2}{m_Z^2} +...),\; m_H>> m_W. \label{veltmanHiggs}\eeq

L'influence de toute particule n�c�ssaire pour renormaliser le MS, par
exemple le quark $t$ et le boson de Higgs, diverge quand sa masse devient
infinie. Les tests de pr�cision peuvent donc �tre sensibles � la nouvelle
physique m�me si les nouvelles particules sont trop lourdes pour �tre
produites directement. L'influence quadratique du quark $t$ a permis, il y
a plusieurs ann�es, la pr�diction de la masse du top, ce qui a �t� ensuite
confirm�e par sa mesure a Fermilab. L'influence du Higgs au niveau d'une
boucle n'est que logarithmique, comme nous voyons dans
l'�quation~(\ref{veltmanHiggs}), \`a cause de ce que l'on appelle
l'\textit{�crantage de Veltman}~\footnote{Au niveau de deux boucles,
l'influence de $M_H$ devient quadratique aussi.}. N�anmoins, en utilisant
plusieurs donn�es diff�rentes, on peut tout de m�me donner une estimation
de la masse du Higgs. En combinant toutes les donn�es acquises par le LEP, le
Tevatron et SLD nous obtenons la figure~(\ref{contrainte sur mH}).

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{mHconstraint.eps}}
\caption{Contrainte sur la masse du Higgs � partir 
des donn�es exp�rimentales, dans le cadre du MS. On rappelle que le 
$\chi^2$ sert � estimer la qualit� du fit et que le $\chi^2$ le plus bas
correspond au meilleur fit. $\Delta\chi^2=\chi^2(m_H)-\chi^2_{min}$.~\cite{NewPhysics}}
\label{contrainte sur mH}
\end{figure}  

Les mesures exp�rimentales accordent au boson de Higgs une masse :
\beq m_H=114^{+69}_{-45}\ {\mathrm GeV} \eeq 
Les recherches d'observations directes du LEP donnent une limite inf�rieure � 
la masse du Higgs puisque celui-ci n'a pas encore �t� vu (r�gion grise sur la courbe 
de~(\ref{contrainte sur mH})) : 
\beq m_H>114\ {\mathrm GeV}\ @ 95\%\ c.l. \eeq

De plus, nous pouvons aussi utiliser la masse du boson $W$ pour contraindre la
masse du boson de Higgs. Nous voyons l� aussi, sur la 
figure~(\ref{MWMH}), que
pour �tre consistant avec les mesures de la masse du $W$, la masse pr�f�r�e du boson de
Higgs est entre 10 et 200 GeV environ.
Les tests de pr�cision �lectrofaibles donnent des indications claires en faveur
d'un boson de Higgs l�ger, \underline{proche de la limite directe 
actuelle de 114 GeV}. 
  
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=10cm\epsfbox{lep2_s04_mw.eps}}
\caption{La masse du boson de Higgs dans le MS est trac�e en fonction de la
masse $m_W$.
On y trouve la valeur exp�rimentale actuelle et donc la valeur favoris�e de 
$m_H$ par les mesures de $m_W$.~\cite{LEPEWWG}}
\label{MWMH}
\end{figure} 

La figure~(\ref{MH}) donne la gamme de masse du boson du Higgs 
favoris�e par les
mesures de diff�rentes observables. Nous voyons l� aussi que la masse du Higgs
est attendue aux environ de la centaine de GeV.  
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=10cm\epsfbox{s04_show_higgs.eps}}
\caption{Masse du boson de Higgs favoris�e par les diff�rentes observables du
MS.~\cite{LEPEWWG}}
\label{MH}
\end{figure} 

\par\hfill\par
Mais il est aussi possible d'�tudier la consistence th�orique du MS en 
fonction de la masse du boson de Higgs car 2 effets s'opposent : les corrections
radiatives � l'autocouplage $\lambda$ du 
potentiel de Higgs et la stabilit� du potentiel. 
En effet, quand nous prenons en compte les ordres sup�rieurs de la th�orie des
perturbations (les diagrammes � boucles), la valeur de $\lambda$ diverge
en fonction de l'�nergie. Il existe donc une �nergie seuil � partir de 
laquelle le secteur de Higgs du MS cesse 
d'avoir un sens, o� les corrections deviennent beaucoup plus grandes que la
valeur au niveau de l'arbre. 
De plus, si $m_H$ est trop faible, l'�volution par le groupe
de renormalisation peut rendre $\lambda$ n�gatif et le potentiel de Higgs est
alors instable~\footnote{Le potentiel change de forme et n'est plus limit� par
le bas.}. 
Les consid�rations de stabilit� du potentiel et 
les corrections radiatives contraignent la masse du boson de Higgs dans les
deux sens, par le bas et par le haut respectivement. La 
figure~(\ref{mH limits})
montre le "couloir" permis pour la masse du Higgs en fonction de l'�chelle
d'�nergie $\Lambda$. La largeur des bandes correspond � l'incertitude
th�orique sur les r�sultats. 

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\rotate[l]{\epsfxsize=8cm\epsfbox{mH_limits.ps}}}
\caption{Limites th�oriques sur la masse du Higgs en fonction d'une �chelle
d'�nergie $\Lambda$. La r�gion permise est comprise entre les deux courbes.~\cite{HiggsMassBounds}}
\label{mH limits}
\end{figure}   


\subsection{Sa d�tection potentielle au LHC et LC}


Nous allons maintenant nous tourner vers la d�tection du boson de Higgs dans
les acc�l�rateurs de particules. Tout d'abord quelles sont les chances de 
l'observer au Tevatron, le collisionneur de proton-antiproton du Fermilab a
Chicago ? La 
figure~(\ref{Tevatron Higgs}) montre la sensibilit� du Tevatron en 
fonction de la
masse. Un signal sera visible (une �vidence � $3\sigma$) si $m_H$ est inf�rieure 
ou �gale � 115 GeV 
mais peut �tre pas avant 2007, date � laquelle le LHC devrait �tre lui aussi 
op�rationnel. L'�valuation de la sensibilit� la plus r�cente correspond aux
lignes les plus fines.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=9cm\epsfbox{Tevatron_Higgs.eps}}
\caption{Sensibilit� projet�e du Tevatron pour la d�couverte du boson de Higgs
en fonction de la masse et de la luminosit� int�gr�e. Les lignes les plus fines
sont dues au "2003 Higgs Sensitivity Study" et les plus �paisses du "1998-1999
SUSY/Higgs Workshop". Les deux �tudes estiment que chaque exp�rience
aura une luminosit� int�gr�e entre 4 et 8 $fb^{-1}$ d'ici 2009.~\cite{NewPhysics}}
\label{Tevatron Higgs}
\end{figure}  

Le LHC, avec une �nergie disponible dans le centre de masse beaucoup plus
importante trouvera de fa�on certaine~\footnote{Dans la mesure o\`u, bien 
s\^ur, le
boson de Higgs existe.} le boson de Higgs � toutes les masses jusqu'� plusieurs 
TeV. Apr�s plusieurs ann�es de mesures, la pr�cision
attendue sur sa masse est de l'ordre de 1 $\%$ et le LHC pourra mesurer beaucoup de 
ses propri�t�s ainsi que les param�tres li�s � la brisure de la sym�trie 
�lectrofaible.
Nous voyons sur la figure~(\ref{Higgs Atlas}) la sensibilit� de
l'exp�rience ATLAS au LHC pour diff�rentes d�sint�grations du Higgs.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=8cm\epsfbox{Higgs_Atlas.eps}}
\caption{Sensibilit� de l'experience ATLAS � la d�couverte d'un boson de Higgs
standard en fonction de $m_H$ et pour les d�sint�grations les plus importantes.~\cite{NewPhysics}}
\label{Higgs Atlas}
\end{figure}  

Dans le cas d'un collisionneur lin�aire $e^+$ $e^-$, les r�sultats seront d'une
mani�re g�n�rale compl�mentaires. L'�nergie disponible dans le centre de masse
est moins �lev�e mais les bruits de fond sont beaucoup moins
importants et donc les incertitudes exp�rimentales plus faibles (ce sont des
particules fondamentales qui sont acc�l�r�es, pas des protons). 

\par\hfill\par
Globalement, deux sc�narios sont possibles. Soit le Higgs est l�ger comme pr�vu,
 soit il est beaucoup plus
lourd voire inexistant. Avant de connaitre la r�ponse, nous pouvons d�j�
r�fl�chir aux cons�quences de ces deux types de sc�nario.

\subsubsection{Un Higgs l�ger?}
Dans ce cas, un Higgs de l'ordre de 115 GeV demande n�cessairement
l'introduction d'une nouvelle physique aux alentours de $10^6$ GeV. En effet,
le potentiel effectif $V[H]$ sera "d�stabilis�" par les corrections
radiatives (l'autocouplage du Higgs, $\lambda_H$, finit par 
changer de signe � cause de la renormalisation.
Le potentiel n'a alors plus sa forme de "chapeau mexicain" et le vide n'est
plus stable). Le MS n'est plus
valide � partir d'une certaine �chelle et il faut introduire d'autres
particules pour modifier la renormalisation de $\lambda_H$. 

L'�volution avec l'�chelle d'�nergie $\mu$ des param�tres physiques d�pend de 
leur
fonction b�ta~\footnote{La fonction b�ta est le coefficient d'�volution avec
l'�nergie que l'on trouve dans les �quations du groupe de renormalisation.}. 
Pour $\lambda_H$, en ne regardant que l'effet du quark top,
nous avons~\cite{LightHiggs} : 
\beq  \beta_{\lambda_H} \ \equiv
 \ \frac{\partial}{\partial \mu} \lambda_H
\ = \ \frac{1}{16 \pi^2} \left( 4 \lambda_H^2 \, - \, 36 \, g_t^4
 \, +\frac{27}{4} g^4 \, + \, \frac{9}{4} g^{\prime \, 4}
+ \, \frac{9}{2} g^2 g^{\prime \, 2} \right) + 2 \lambda_H \gamma_H,
 \label{beta H}
 \eeq
avec $\gamma_H$, la constante de renormalisation � une boucle du champ $H$ :
\beq
\gamma_H \ = \ \frac{1}{16\pi^2} \left( 6 g_t^2-\frac{9}{2} g^2 \ -
\frac{3}{2} g^{\prime \, 2} \right),
\label{wfr}
\eeq
 Quand nous regardons le signe devant le couplage de Yukawa du quark top, $g_t$, il
 parait clair qu'ajouter de nouveaux fermions ne r�soudra pas la stabilit� du
 potentiel, bien au contraire (puisque la fonction b�ta sera encore plus
 "n�gative" et $\lambda_H$ diminuera plus rapidement). La nouvelle physique 
 requise doit introduire de
 nouveaux bosons.  Dans le lagrangien nous avons alors l'ajout d'un terme
 ($\phi$ est le nouveau boson et $H$ le Higgs):
 \beq
 {\cal L} \supset\ M^2|\phi|^2 + \frac{M_0}{v^2}|H|^2\,|\phi|^2
\eeq

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=10cm\epsfbox{Light_H02.ps}}
\caption{Echelle critique � partir de laquelle le potentiel devient instable en
fonction du couplage $M_0$ entre le boson de Higgs et le nouveau champ
scalaire, pour diff�rents choix d'�chelle M de nouvelle physique.~\cite{LightHiggs}}
\label{Light H02}
\end{figure}  

La figure~(\ref{Light H02}) donne des exemples d'�chelle critique $\mu_c$,
�chelle � partir de laquelle $\lambda_H$ change de signe et le potentiel
devient instable, en fonction de $M_0$. Pour une �chelle de nouvelle physique M
de $10^3$ GeV, l'instabilit� du potentiel est repouss�e tr�s loin.

De plus, si nous augmentons la valeur de $M_0$ de fa�on � ce que 
l'instabilit� du
potentiel n'intervienne pas avant l'�chelle de Planck, $10^{19}$ GeV, un
ajustement extr�mement fin de $M_0$ est n�cessaire. Si nous passons de
$M_0=70.9$ GeV � 71 GeV, $\lambda_H(\mu)$ passe de n�gative � 
$\mu \, \sim \, 5 \times 10^7$ GeV � un changement radical de comportement
juste apr�s cette limite et devient m�me si grande � l'�chelle de Planck que
les calculs perturbatifs deviennent incertains, figure~(\ref{Light H01}). 
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=10cm\epsfbox{Light_H01.ps}}
\caption{Exemple d'ajustement fin ("fine-tuning") n�cessaire sur $M_0$ pour que 
le potentiel de
Higgs reste stable jusqu'� l'�chelle de Planck. L'�chelle de nouvelle physique
M est prise � 1 TeV.~\cite{LightHiggs}}
\label{Light H01}
\end{figure}  

La supersym�trie est la seule th�orie connue qui r�soud de fa�on naturelle, et � 
tous les ordres (toutes les boucles), le probl�me li� � cet 
ajustement fin. 
Dans les th�ories supersym�triques, $\lambda_H$ est uniquement reli�e aux 
couplages de jauge $SU(2)$ et $U(1)$ : 
\beq \lambda_H \ = \ \frac{3}{4}(g^2+g^{\prime \, 2}). \eeq
L'�volution, montr�e sur la figure~(\ref{Light H03}), est modifi�e par les liens
entre les fermions du MS (le top surtout) et les superpartenaires fermioniques et implique
 une remarquable
stabilit� de $\lambda_H$, donc du vide �lectrofaible.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=9cm\epsfbox{Light_H03.ps}}
\caption{Apport de la supersym�trie dans l'�volution de $\lambda_H$ en fonction
de l'�chelle d'�nergie $\mu$. La ligne pleine correspond � la supersym�trie et
les pointill�s � une th�orie o� les contributions des fermions Higgsinos et
Jauginos de la supersym�trie ont �t� enlev�s.~\cite{LightHiggs}}
\label{Light H03}
\end{figure}  

Ainsi, un boson de Higgs l�ger, d'une masse d'environ 115 GeV pointerait de
mani�re tr�s forte l'existence de la supersym�trie comme nouvelle physique 
au-del� du MS.

\subsubsection{Un Higgs lourd ou pas de Higgs?}
Si nous n'observons pas de boson de Higgs avec une masse inf�rieure � 130 GeV, o�
nous sommes-nous tromp�s? Voici quatres pistes que nous ne
d�taillerons cependant pas pour �viter d'alourdir le cours.
\par\hfill\par

Si le boson de Higgs n'a pas la masse attendue, peut-�tre n'avons nous pas
correctement interpr�t� les donn�es de pr�cision
�lectrofaibles~\cite{Interpretation}. 
En effet, les r�sultats 
de l'exp�rience NuTeV (collisions in�lastiques $\nu-N$) montrent un l�ger 
d�saccord de quelques �carts standards par
rapport au fit dans le MS. De plus, il y a aussi un d�saccord sur les valeurs
favoris�es de la masse du Higgs entre les asym�tries leptoniques et hadroniques
de la masse du Z. Si ces d�saccords s'av�rent confirm�s c'est que nous ne 
comprenons pas tout � fait les effets hadroniques ou alors qu'il y a de la 
nouvelle physique derri�re ces anomalies. Et dans ce cas, il n'y a pas de
pr�diction vraiment solide en faveur d'un boson de Higgs l�ger puisque les
analyses se basent sur le fit dans le cadre strict du MS.
\par\hfill\par

Deuxi�me point, le MS est une th�orie \underline{effective}. Nous pouvons donc 
nous attendre � ce que les
effets de nouvelle physique se fassent sentir {\it via} l'introduction dans le
lagrangien de termes \underline{non-renormalisables}. Nous avons alors un lagrangien 
de cette
forme :
\beq
{\mathcal L}_{eff} = \underbrace{{\mathcal L}_{MS}}_{{\mathrm renormalisable}} 
+ \sum_i \underbrace{\frac{c_i}{\Lambda_i^P}{\mathcal
O}_i^{4+P}}_{{\mathrm non-renormalisable}}, 
\eeq
o� ${\mathcal O}_i^{4+P}$ sont des op�rateurs de dimension de masse � la
puissance ($4+P$) traduisant les interactions suppl�mentaires. Le lagrangien 
�tant de dimension de (masse)$^4$,
ces op�rateurs sont supprim�s par une �chelle de masse $\Lambda_i$ �lev�e � la
puissance $P$.

Le fit global du MS sugg�re, pour un Higgs l�ger, que les coefficients des
nouvelles interactions sont faibles : $\Lambda_i\approx 10$ TeV pour des $c_i$
de l'ordre de $\pm 1$. Mais il reste possible malgr� tout qu'une nouvelle
physique � cette �nergie rende $m_H$ grande. La figure~(\ref{operateurs}) nous le 
montre : il
existe un �troit couloir pour une valeur �lev�e de $m_H$ encore compatible avec
les donn�es actuelles.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=12cm\epsfbox{operateurs.eps}}
\caption{Couloirs vers un boson de Higgs lourd quand sont inclus des operateurs
non renormalisables dans le fit global du MS. La masse du Higgs est donn�e en
TeV et en fonction de l'�chelle d'apparition d'une nouvelle physique en TeV.~\cite{Operators} }
\label{operateurs}
\end{figure}  

\par\hfill\par
 Les mod�les "Little Higgs" reposent sur l'annulation des divergences
 quadratiques de la masse du Higgs et des divergences dues aux boucles de bosons
 de jauge par l'introduction de nouvelles particules : un
 pseudo-quark~\footnote{On l'appelle ainsi car son introduction a pour but de
 contrer l'effet du quark top. Cependant, il a un spin 1.} top T
 lourd ainsi que d'autres bosons de jauge $W^{'}$ et des bosons de Higgs. Le 
 spectre de masse des  particules est~\cite{LittleHiggs}, en plus d'un
 boson de Higgs relativement l�ger : $M_H \approx 200$ GeV,
\begin{equation}
M_T< 2\ {\mathrm TeV}\left( \frac{m_H}{200 GeV}\right)^2, \;
M_{W^{'}}< 6\ {\mathrm TeV}\left( \frac{m_H}{200 GeV}\right)^2, \;
M_{H^{++}}< 10\ {\mathrm TeV}.
\end{equation}
 Pour obtenir de nouveaux bosons, le MS est inclu dans un groupe de jauge plus
 large, bris� spontan�ment.
 Ces mod�les, bien qu'incomplets, resolvent partiellement le probl�me de la 
 hi�rarchie des masses et constituent des alternatives int�ressantes � la 
 supersym�trie pour des �nergies inf�rieures � 10 TeV environ~\footnote{Au del\`a de cette �chelle d'�nergie, il faudrait 
enrichir le mod�le "Little Higgs" pour avoir une th�orie plus 
compl�te.}. De plus, leurs
 cons�quences ph�nom�nologiques seront observables au LHC ce qui rend l'�tude
 de ces mod�les attractive. 
 \par\hfill\par
 
 La derni�re option, plus radicale, est qu'il n'existe pas de boson de Higgs du
 tout. Des mod�les sans Higgs ("Higgsless")~\cite{Higgsless} ont d�j� �t� construits mais 
 pr�disent tous une
 diffusion WW forte � l'�chelle du TeV. En effet, le r�sultat du calcul des sections
 efficaces des processus de type $f\bar{f}\to W^+
 W^-$ et $W^+W^-\to W^+W^-$ (diffusion WW) diverge si il n'y a pas de particule
 de spin 0 pour annuler les divergences dues aux �changes de $\nu$, $\gamma$ et
 $Z^0$. 
 Dans le cadre quadridimensionel standard, c'est {\it a priori} incompatible avec
 les donn�es de haute pr�cision. Mais en ajoutant une dimension spatiale 
 suppl�mentaire et en postulant
 des conditions aux bords qui brisent la sym�trie �lectrofaible~\footnote{Sans
 rentrer dans le d�tail, puisque le boson de Higgs n'existe pas, il nous faut
 trouver un autre moyen de briser la sym�trie �lectrofaible. Ceci est fait en
 "jouant" sur la g�om�trie de la dimension suppl�mentaire {\it via} des
 conditions aux bords.}, on d�cale la
 pr�diction d'une diffusion forte WW vers 10 TeV. L'observation de cette
 diffusion est donc un test crucial des mod�les Higgsless, 
qui �prouvent toujours quelques difficult�s avec les mesures de haute 
pr�cision.
 
 
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\section{Conclusions et carte de route}
%------------------------------------------------------------------------------%

Le MS est une construction math�matique dot�e d'un fort pouvoir pr�dictif malgr�
le grand nombre de param�tres libres. Dans ce mod�le, il reste n�anmoins � 
connaitre de fa�on certaine la brisure de sym�trie �lectrofaible. Le responsable
pr�sum� de cette brisure, le boson de Higgs, n'a en effet pas encore �t� observ�
exp�rimentalement. Mais mis � part ceci, le MS est en extraordinaire accord avec les donn�es 
exp�rimentales accessibles actuellement (�nergies aux environs de 100 GeV). Nous 
savons cependant que de la nouvelle physique doit appara�tre � l'�chelle du TeV
et au-del�. Le MS ne peut pas donner de r�ponses � 
toutes les questions et les myst�res de la physique des particules, un nouveau
mod�le doit prendre le relais. 
Dans ce contexte le MS est l'approximation � basse �nergie d'une 
description plus fondamentale mais incontournable aux �nergies sup�rieures. Il
est alors vu comme une th�orie {\it effective}. 

Parmis la liste des questions en suspens que nous avons vu � la section 1.1.3,
certaines peuvent se regrouper. Globalement, il reste 3 grands probl�mes
qu'une "th�orie du tout" doit r�soudre : 

-{\bf Le probl�me de l'unification}:
Pourquoi observons nous 4 interactions et comment pouvons nous les unifier ? 
Existe t'il un groupe de sym�trie qui peut toutes les englober? Les Th�ories de 
Grande Unification (G.U.T en anglais) existent-elles ? 

-{\bf Le probl�me de la masse}:
Qu'elle est l'origine de la masse des particules ? Sont elles dues au boson de
Higgs? Pourquoi sont elles si petites devant la masse de Planck ?

-{\bf Le probl�me des saveurs}: 
Pourquoi y-a-t'il autant de quarks et de leptons? Pourquoi y-a-t'il ce m�lange
observ� entre les saveurs? Existe-t'il des sym�tries suppl�mentaires entre les
diff�rentes saveurs?  

\par\hfill\par
De toutes les possibilit�s de nouvelle physique �tudi�es, une en particulier 
parait incontournable � bon nombre de physiciens...







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%									       %
%									       %
\chapter{Supersym�trie}							       %
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Comme nous venons d'en discuter, le Mod�le Standard (MS) est une description 
valable des ph�nom�nes physiques � des �nergies inf�rieures � quelques centaines 
de GeV. Au-del�, la supersym�trie pourrait jouer un r�le important et 
nous nous rapprochons de plus en plus de sa possible d�couverte. En effet, le 
LHC va sonder les �nergies de l'ordre du TeV et nous verrons dans ce chapitre 
que c'est � cette �nergie que la supersym�trie est sens�e faire son apparition. 
\par\hfill\par
Ce cours est principalement orient� vers la pr�sentation et la discussion des
mod�les supersym�triques. Nous tenterons de discuter clairement de ce que peut apporter la 
supersym�trie en physique des particules. 
Nous commencerons par introduire la supersym�trie de fa�on historique et nous 
donnerons, sans trop de d�tails, les principales motivations de son utilisation.
Une section plus formelle suivra, o� nous pr�senterons la structure g�n�rale 
d'une th�orie physique avec supersym�trie.
Nous poursuivrons le cours par une partie �galement th�orique mais appliqu�e � 
la physique des particules � basse �nergie (autour du TeV). Nous y trouverons 
les diff�rents mod�les, comme le Mod�le Standard Supersym�trique Minimal (MSSM),
qui servent de base � l'analyse de la ph�nom�nologie. 
C'est tout naturellement que nous aborderons ensuite l'aspect exp�rimental, avec
d'abord les premi�res contraintes exp�rimentales puis les sc�nario possibles de
la d�tection de la supersym�trie. 

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\section{Histoire et motivations}
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\subsection{Qu'est-ce que la supersym�trie}


Comme son nom l'indique, la supersym�trie est tout simplement une nouvelle 
sym�trie et l'effet d'une transformation de supersym�trie est de 
transformer un �tat \underline{bosonique} en un �tat \underline{fermionique} et 
vice-versa, avec $\Delta S=\pm 1/2$ o� S est le spin. Si nous appelons Q le 
g�n�rateur de la supersym�trie qui r�alise la transformation, alors tr�s sch�matiquement 
\beqn
&Q|Boson> &= |Fermion> \\
&Q|Fermion> &= |Boson>.
\eeqn

\subsection{L'introduction de la supersym�trie}


Mais ceci n'est que l'aspect "physique des particules" de la supersym�trie qui
est une sym�trie tout � fait g�n�rale. Plus formellement, la supersym�trie est 
en fait la seule et derni�re extension possible du groupe de Poincar� des 
sym�tries d'espace-temps et c'est tout d'abord ainsi qu'elle fut d�couverte. 

En effet, � l'origine, on cherchait � combiner les sym�tries 
\underline{externes} (d'espace-temps, comme les translations)
et \underline{internes} (surtout globales) c'est-�-dire � 
�tendre le groupe de Poincar� par des transformations internes. Il y a eu 
plusieurs essais dans les ann�es 1960 mais en 1967, Coleman et Mandula 
montr�rent de fa�on formelle qu'il est impossible de combiner les deux types de 
sym�tries. C'est leur fameux {\it 
th�or�me no-go}. En fait, il �tait sous entendu que c'�tait impossible en 
utilisant des g�n�rateurs \underline{bosoniques} (donc de spin entier) habituels.
Mais en 1971, Golfand et Likhtman r�ussirent l'extension du groupe de Poincar� en
utilisant des charges \underline{fermioniques}, donc de spin demi-entier. C'est la
supersym�trie. La m�me ann�e, Neveu, Schwarz puis Ramond propos�rent des mod�les
supersym�triques � 2 dimensions pour obtenir des cordes supersym�triques qui
expliqueraient l'origine des baryons. 
Quelques ann�es plus tard, en 1973, Volkov et Akulov appliqu�rent la 
supersym�trie aux neutrinos (ils voulaient en faire le fermion de Goldstone) mais 
il fut montr� un peu plus tard que leur th�orie, � 4 dimensions,
du neutrino ne d�crivait pas correctement les interactions de basse �nergie 
observ�es exp�rimentalement. 
La m�me ann�e, Wess et Zumino propos�rent la premi�re th�orie des champs 
supersym�trique � 4 dimensions de vrai int�r�t du point de vue 
ph�nom�nologique. 
Puis, ensemble avec Iliopoulos et Ferrara, ils montr�rent que la supersym�trie 
permettait de supprimer beaucoup de divergences des th�ories des champs usuelles. 
Ceci a rendu la supersym�trie tr�s attractive et pendant un temps donn�, elle 
fut beaucoup utilis�e pour tenter d'unifier les bosons et les fermions. Par 
exemple pour unifier les particules de mati�re de spin 1/2 avec les particules 
de jauge de spin 1, ou les particules de mati�re et les champs de Higgs, dans 
les m�me supermultiplets.
Puis en 1976, deux groupes d�couvrirent que la supersym�trie locale (la
transformation de supersym�trie d�pend alors des coordonn�es dans 
l'espace-temps) incluait une description de la gravitation. C'est ce que l'on a 
appell� la {\it supergravit�}.

Depuis, la ph�nom�nologie de la supersym�trie a �t� �norm�ment �tudi�e et les 
th�ories bas�es sur la supersym�trie se sont impos�es comme les candidates les 
plus s�rieuses pour la physique au-del� du MS.


\subsection{Pourquoi la supersym�trie}


Pourquoi introduire la supersym�trie en physique des particules ?
Qu'est-ce qui la rend si attractive pour les physiciens des particules ? 
Les motivations de son introduction en physique des particules sont 
principalement d'ordre \underline{physique} avant d'�tre esth�tiques. 
\par\hfill\par
$\bullet$ En effet, la supersym�trie apporte quelque chose de tr�s
important dans les th�ories des champs. Dans le cours pr�c�dent, nous avons
discut� des corrections radiatives � la masse du Higgs. Quand nous calculons
la contribution d'une boucle fermionique comme celle de la
figure~(\ref{fig:higgscorr1} a), nous obtenons~\footnote{Pour le calcul, nous 
avons pris la forme usuelle du couplage de Yukawa du 
boson de Higgs scalaire au fermion : $y_f H\overline{\psi}\psi$.}:
\beq
\Delta m_H^2=-\frac{y_f}{16\pi^2}[2\Lambda^2 + 6m_f^2 \ln(\Lambda/m_f)+...],
\eeq   
o� $\Lambda$ est un cut-off ultraviolet utilis� pour restreindre les impulsions 
dans la boucle et qui est de l'ordre de l'�chelle de la nouvelle physique au
del� du MS. Nous voyons que la masse du Higgs diverge et que si nous supposons
le MS valable jusqu'� l'�chelle de Planck, $M_p\simeq 10^{19}$ GeV, alors
$\Lambda=M_p$ et cette
correction est $10^{30}$ fois plus forte que la valeur raisonnable de la masse
du Higgs au carr�, ($10^2$ GeV)$^2$ !

Cette constation est la m�me si nous consid�rons plut�t une boucle d'un champ
scalaire S, figure~(\ref{fig:higgscorr1} b). 
\beq
\Delta m_H^2=\frac{\lambda_S}{16\pi^2}[\Lambda^2 - 2m_S^2 \ln(\Lambda/m_S)+...],
\eeq 
o� $\lambda_S$ est son couplage avec le boson de Higgs.
Le probl�me qui vient d'�tre �nonc� est le probl�me de la hi�rarchie vu au
chapitre 1. 
\begin{figure}
\centerline{\psfig{figure=susyhiggscorr1.ps,height=1in}}
\caption{Corrections quantiques � une boucle � la masse-carr�e du Higgs. (a) boucle
de fermion, (b) boucle de boson scalaire.
\label{fig:higgscorr1}}
\end{figure}
Que nous apporte la supersym�trie dans ce cas ? Si nous regardons de plus pr�s les 2 
�quations pr�c�dentes, les deux contributions divergentes (leur terme 
$\propto \Lambda^2$) s'annulent si pour chaque fermion de notre th�orie entrant
dans la boucle nous avons aussi 2 scalaires avec $\lambda_S=y_f^2$ . Nous 
verrons juste apr�s que c'est exactement ce que la supersym�trie se propose 
d'apporter ! Et de plus, � tous les ordres (c'est-�-dire quand nous consid�rons des
corrections � plusieurs boucles) ceci est r�alis�. Il nous reste alors une
divergence logarithmique mais qui n'induit pas de probl�mes d'ajustements fins. 
A ce jour, la supersym�trie fournit la r�solution du probl�me de la hi�rarchie la plus 
naturelle et la plus efficace. 
\par\hfill\par
$\bullet$  De plus, nous avons vu � la fin
du chapitre pr�c�dent que les donn�es exp�rimentales penchent en faveur d'un
Higgs relativement l�ger et qu'un Higgs l�ger demande, pour stabiliser le vide �lectrofaible, 
que la physique � plus
haute �nergie partage beaucoup de choses en commun avec la supersym�trie.
Inversement, les calculs faits � partir du Mod�le Standard Supersym�trique
Minimal donnent la pr�diction $m_H\leq 130$ GeV qui est donc compatible avec les
ajustements exp�rimentaux vus au chapitre pr�c�dent. 
\begin{figure}
\centerline{\psfig{figure=susygaugeunification.eps,height=2.7in}}
\caption{Evolution, en fonction du logarithme de l'�nergie, des couplages de jauge invers�s, $\alpha_a^{-1}(Q)=4\pi/g_a^2$, 
dans le MS (tirets) et dans le MSSM (lignes pleines).
\label{fig:gaugeunification}}
\end{figure}

\par\hfill\par
$\bullet$ Les deux premiers arguments ne concernent que le Higgs. Consid�rons
maintenant les constantes de couplages qui caract�risent chaque force
fondamentale. Si nous faisons �voluer les 3 couplages du Mod�le Standard en 
fonction de l'�nergie, nous observons qu'ils tendent tous � 
se croiser � la m�me �chelle. Enfin presque, c'est quand nous ajoutons la
supersym�trie dans les calculs d'�volution que les couplages se croisent quasi 
exactement au m�me point (autour de $2\times 10^{16}$ GeV). Personne n'est oblig� de 
croire en une "Grande Unification" qui repose sur cette unification des couplages, 
mais il est tr�s �tonant d'observer que la supersym�trie r�alise l'unification 
aussi pr�cis�ment. C'est tout de m�me un argument fort en faveur 
de la supersym�trie car les th�ories de Grande Unification ont beaucoup de caract�ristiques 
et de pr�dictions int�ressantes pour 
la physique de basse �nergie (elles expliquent par exemple les nombres
quantiques des particules vus dans le tableau (1.1) du chapitre pr�c�dent).
\par\hfill\par
$\bullet$  Il y a aussi un argument de ce type en faveur de l'existence de
la supersym�trie dans la nature. Les th�ories de cordes, qui fournissent �
l'heure actuelle une des seules solutions au probl�me de la gravitation
quantique (avec la gravit� quantique � boucles), ne peuvent se passer de la
supersym�trie sans souffrir d'inconsistences physiques et math�matiques. 
L� aussi la supersym�trie semble un ingr�dient essentiel pour construire des 
th�ories coh�rentes � haute �nergie.
\par\hfill\par
$\bullet$ Enfin, la supersym�trie peut aussi jouer un r�le dans l'explication de
la mati�re noire. C'est une des seules th�ories qui poss�dent dans son spectre 
de particules des candidats s�rieux. Ils ont pour nom, neutralino ou gravitino, 
et la supersym�trie pr�dit, dans un cadre plausible, leur stabilit�. Ainsi, 
une fois cr��s, il ne se
d�sint�grent pas et ne peuvent pas �tre observ�s directement. Leur nombre peut donc
contribuer � la masse manquante sous la forme de mati�re noire.  

\par\hfill\par 
Cette discussion d�montre que la supersym�trie est une sym�trie tr�s s�duisante 
th�oriquement, mais 
surtout tr�s \underline{utile}. Nous n'avons encore aucune preuve de son 
existence mais au vu de ce qu'elle apporte en physique des particules, il est 
difficile d'y rester insensible. 
Nous n'avons donn� que des arguments qualitatifs dans cette partie, nous allons 
maintenant entrer beaucoup plus en d�tail.
 

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{La structure d'une th�orie supersym�trique}
%------------------------------------------------------------------------------%


\subsection{Interlude: "spinorologie"}


Avant de d�marrer une pr�sentation plus th�orique de la supersym�trie nous
allons dans ce br�ve interlude donner nos notations et conventions sur ce 
qui concerne les spineurs. 

\noindent $\bullet$ {\it Un spineur de Weyl} d�crit une particule de spin 1/2 et 
de chiralit� donn�e.
C'est un spineur � 2 composantes. Nous nous efforcerons le plus souvent de les 
noter par des lettres minuscules grecques avec un indice. Par exemple 
$\psi_{\alpha}$, $\xi_{\beta}$,... o� $\alpha,\ \beta,...= 1,2$. Un spineur 
$\psi_{\alpha}$ ou $\psi_L$ est par convention de chiralit� gauche, le spineur 
droit est not� $\overline{\psi}^{\dot{\alpha}}$ ou $\psi_R$. A noter que :
\beqn
&(\psi_{\alpha})^*=\overline{\psi}_{\dot{\alpha}}&
\\
&(\overline{\psi}^{\dot{\alpha}})^*=\psi^{\alpha}&
\eeqn
et que les matrices
$\varepsilon_{\alpha\beta}=\varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=i\sigma_2$ et 
$\varepsilon^{\alpha\beta}=\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=-i\sigma_2$
permettent de monter et descendre � volont� les indices spinoriels $\alpha$ et 
$\beta$. 

\noindent $\bullet$ {\it Un spineur de Dirac} se construit avec 2 spineurs de 
Weyl et r�unit les deux chiralit�s d'une particule donn�e. C'est donc un 
spineur � 4 composantes.
Nous les noterons par des lettres majuscules grecques : $\Psi$, $\chi$,
$\Phi$,...
En termes de ses spineurs de Weyl, nous avons :
\beq \Psi=\left(\begin{array}{c} \psi_L \\ \psi_R \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c} \psi_{\alpha} \\ \overline{\eta}^{\dot{\alpha}} 
\end{array}\right)
\eeq
Les op�rateurs de projection $P_{R,L}=\frac{1}{2}(1\pm\gamma_5)$ permettent de 
s�lectionner l'une ou l'autre chiralit� : $\Psi_{R,L}=P_{R,L}\Psi$.

\noindent $\bullet$ {\it Un spineur conjugu� de charge} est un spineur auquel 
l'op�rateur de
conjugaison de charge a �t� appliqu�. Il d�crit la m�me particule mais sa charge
�lectrique est oppos�e.
\beq \Psi^c=C \overline{\Psi}^T = 
\left(\begin{array}{c} \eta_{\alpha} \\ \overline{\psi}^{\dot{\alpha}} 
\end{array}\right)
\eeq
o� la matrice de conjugaison de charge $C$ peut s'�crire :
\beq C=i\gamma^0\gamma^2 \eeq

\noindent $\bullet$ {\it Un spineur de Majorana} se construit avec un seul 
spineur de Weyl mais l'englobe dans une notation � 4 composantes. Il est �gal �
son conjugu� de charge, $\Psi_M=\Psi^c_M$.
\beq \Psi_M=\left(\begin{array}{c} \psi_L \\ -i\sigma_2(\psi_L)^* \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c} \psi_{\alpha} \\ \overline{\psi}^{\dot{\alpha}} 
\end{array}\right)
\eeq

\noindent $\bullet$ {\bf {\it La repr�sentation des matrices $\gamma$}} choisie 
est la repr�sentaion de Weyl dans
laquelle :
\beq \gamma^{\mu}=\left( \begin{array}{cc} 0 & \sigma^{\mu} \\
\overline{\sigma}^{\mu} & 0 \end{array}\right) \eeq
avec $\sigma^{\mu}=(\mathbf{1}_2,\sigma^{i}),\ \overline{\sigma}^{\mu}
=(\mathbf{1}_2,-\sigma^{i})$ o�
les $\sigma_{i}$ sont les matrices de Pauli, et
$\gamma_5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\mathrm{diag}(-\mathbf{1}_2,\mathbf{1}_2)$.

Nous avons aussi $\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}=2\eta_{\mu\nu}$ o�
$\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ est la m�trique de Minkowski utilis�e pour monter 
et descendre les indices de Lorentz. 


\subsection{L'alg�bre et les supermultiplets}


Comme il a �t� dit pr�c�demment, la supersym�trie combine des transformations 
spatio-temporelles du
groupe de Poincar� et des transformations de sym�trie interne 
(d'un groupe de jauge donn�). La supersym�trie introduit des nouveaux g�n�rateurs 
$Q_{\alpha}$, fermioniques, donc \underline{anticommutant} entre eux (ce sont des spineurs): deux 
op�rations de supersym�trie ne commutent donc pas entre elles. {\it A priori}, rien 
n'interdit l'introduction de plusieurs g�n�rateurs, mais dans la version simple
de la supersym�trie il n'y a qu'un seul nouveau couple de g�n�rateurs, $Q_{\alpha}$ 
\underline{et}~\footnote{Car les Q et $\overline{Q}$ 
sont des spineurs donc des objets complexes qui se transforment de fa�ons
diff�rentes sous le groupe de Lorentz.} $\bar{Q}^{\dot{\alpha}}$. C'est 
la 
"supersym�trie $\mathcal{N}=1$" et c'est la seule dont nous parlerons. Si la
raison est ici p�dagogique, dans la section suivante nous donnerons les raisons
physiques de ce choix.

La connaissance de l'alg\`ebre de la supersym�trie (et d'une quelconque
sym�trie) se r\'esume \`a la
connaissance des relations de commutation de tous ses 
g�n�rateurs (son alg�bre de Lie). Nous avons, en plus des relations de 
commutation isues de l'alg\`ebre de Poincar�, celles qui font 
intervenir les g�n�rateurs $Q_{\alpha}$ et $\bar{Q}^{\dot{\alpha}}$:
\begin{eqnarray}
&[P^{\mu},Q_{\alpha}]&=0=[P^{\mu},\bar{Q}^{\dot{\alpha}}] \label{com1}
\\
&\lbrace Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\beta}}\rbrace &
=2(\sigma_{\mu})_{\alpha\dot{\beta}}P^{\mu}  \label{com2}
\\
&\lbrace Q_{\alpha},Q_{\beta}\rbrace & =
\lbrace \bar{Q}^{\dot{\alpha}},\bar{Q}^{\dot{\beta}}\rbrace=0 \label{com3}
\\
&\lbrace M_{\mu\nu}, Q_{\alpha}\rbrace & =
\frac{1}{2}(\sigma_{\mu\nu})_{\alpha}^{\beta}Q_{\beta} \label{com4}
\\
&\lbrace M_{\mu\nu}, \bar{Q}_{\dot{\alpha}}\rbrace & =
\frac{1}{2}(\overline{\sigma}_{\mu\nu})^{\dot{\beta}}_{\dot{\alpha}}\bar{Q}_{\dot{\beta}}
\label{com5}
\end{eqnarray}

Quelle est la signification des $Q_{\alpha}$ ? Tout d'abord, $Q$ est une charge
au sens du th�or�me de Noether c'est-�-dire la charge conserv�e dans la
sym�trie. Elle commute donc avec l'Hamiltonien du syst�me, {\it cf}~(\ref{com1}). 
Elle poss�de un spin 1/2 et peut alors s'�crire sous la 
forme d'un spineur de Weyl~\footnote{Elle poss�de donc 2 composantes 
complexes.}. On pourrait aussi �crire $Q$ sous la forme d'un spineur de Majorana 
� 4 composantes. De plus, si nous regardons le commutateur~(\ref{com2}), nous avons 
sch�matiquement $\lbrace Q,\bar{Q} \rbrace \sim P$ c'est-�-dire que $Q^2$ est 
une translation d'espace-temps. \underline{$Q$ peut donc se voir comme la "racine carr�"
d'une translation dans l'espace-temps}.

\par\hfill\par
Nous allons maintenant �tudier les repr�sentations 
irr�ductibles de cet alg�bre (\textit{les supermultiplets})
et en d�tailler le contenu. En effet, nous voulons appliquer la supersym�trie �
la physique des particules, il nous faut donc savoir comment ranger nos
particules et quelles seront leurs propri�t�s de transformation.
Dans le groupe de Poincar�, il y a 2 �l�ments \underline{invariants} de Casimir : 
l'op�rateur de spin $W^2=W^{\mu}W_{\mu}$, avec
$W^{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}P_{\nu}M_{\rho\sigma}$
le vecteur de Pauli-Lubanski, et l'op�rateur de masse $P^2=P^{\mu}P_{\mu}$, o� 
$P^{\mu}$ est la quadri-impulsion. Dans un multiplet du groupe de Poincar�, les
particules ont la m�me masse et le m�me spin. Mais dans l'alg�bre supersym�trique,
$W^2$ n'est plus un invariant de l'alg�bre. Nous avons 
\begin{eqnarray}
&[P^2,Q_{\alpha}]&=0
\\
&[W^2,Q_{\alpha}]&\not=0
\end{eqnarray}
et donc, \underline{dans un supermultiplet les particules ont la m�me masse mais des 
spins diff�rents}. Nous pouvons tout de m�me corriger $W$ pour obtenir un nouvel
invariant dont les valeurs propres sont sous la forme $2j(j+1)m^4$ avec 
$j=0,\frac{1}{2},1,...$ le nombre quantique de \textit{superspin}. Ce nouveau
$W$
est invariant donc chaque repr�sentation irr�ductible peut �tre caract�ris�e par
un couple $[m,\ j]$ et le lien entre le spin $S$ et $j$ est d�duit de la 
relation : $M_S=M_j,\ M_j+ \frac{1}{2},\ M_j- \frac{1}{2},\ M_j$.
Dans un m�me supermultiplet, on aura donc des particules de \underline{m�me masse}
et de m�me \underline{superspin}.
De plus, une propri�t� importante est qu'\underline{il y 
a �galit� dans un supermultiplet entre le nombre de degr�s de libert� 
bosoniques et} \underline{fermioniques : $n_B=n_F$}.

\par\hfill\par
Nous pouvons maintenant construire les diff�rentes repr�sentations :

\noindent $\triangleright$ La repr\'esentation fondamentale $[m,\ 0]$ est appel\'ee 
\textit{supermultiplet chiral (ou scalaire)}. La valeur $j=0$  implique 
$M_S=0,+\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0$ donc ce supermultiplet contient 2 champs
scalaires r�els r�unis sous la forme d'un champ scalaire complexe (le sfermion),
 $\phi$ et un champ fermionique de Weyl (de spin 1/2), $\psi$. Ces champs ont la m�me masse. 
Pour que la supersym�trie soit pr�serv�e dans les boucles o� les particules ne
sont pas sur leur couche de masse (c'est-�-dire $P^2\not=M^2$) il faut que les 
degr\'es de libert\'e fermioniques et bosoniques soient aussi �quilibr�s dans 
ce cas (\textit{off-shell}). En effet, {\it off-shell} un fermion de Weyl poss�de 4 
degr�s de libert� de spin  au lieu de 2 {\it on-shell}. Il faut donc ajouter au 
contenu de cette repr�sentation un autre champ scalaire complexe mais qui ne 
se propage pas (on dit qu'il est \textit{auxiliaire} et il n'a pas de 
terme cin�tique). {\it On-shell}, nous utiliserons l'�quation du mouvement $F=F^*=0$ 
pour l'�liminer. Le contenu total du supermultiplet chiral est donc 
\begin{equation} \Psi=(\phi,\ \psi_{\alpha},\ F). \end{equation}

$\triangleright$ La seconde repr�sentation que nous allons utiliser 
dans la suite est le \textit{supermultiplet vecteur (ou de
jauge)} $[m,\ 1/2]$. Son contenu en champ est obtenu de la m�me fa�on : 
un fermion de Weyl~\footnote{O� de fa�on �quivalente un fermion de 
Majorana.} 
(le jaugino), $\lambda^a_{\alpha}$, 
un boson de jauge (de masse nulle), $A_a^{\mu}$, et comme 
pour le supermultiplet chiral, un champ scalaire r�el auxiliaire, $D^a$. 
\begin{equation} \Phi=(\lambda^a_{\alpha} ,\ A^a_{\mu},\ D^a), 
\end{equation}
o� $a$ est un indice adjoint du groupe de jauge :

C'est dans ces deux repr�sentations que les particules du MS et leurs
superpartenaires seront rang�s. Nous allons maintenant construire avec ces 
deux repr�sentations une th�orie des champs supersym�trique.


\subsection{Th�orie des champs supersym�trique}


Avant de discuter de mod�les en particulier et surtout de l'extension
supersym�trique minimale du MS (le MSSM) nous allons d'abord pr�senter, sans 
d�monstrations trop lourdes, la structure g�n�rale d'une th�orie des champs avec
supersym�trie. Pour commencer progressivement, nous allons introduire le mod�le
de Wess et Zumino sans interaction, juste pour voir comment concr�tement se
transforment les champs. Puis nous introduirons les interactions et ceci nous
conduira � la notion nouvelle de {\it superpotentiel}. Enfin, nous discuterons 
des champs de jauge dans une th�orie supersym�trique. A l'issue de cette
section, nous devrions poss�der suffisamment de bagage th�orique pour
comprendre comment le MSSM se pr�sente et en �tudier les aspects concrets comme
les pr�dictions exp�rimentales.


\subsubsection{Le lagrangien libre globalement supersym�trique}


L'action la plus simple que l'on peut construire avec le supermultiplet chiral 
est celle du mod\`ele de Wess-Zumino, sans masse et sans
interaction. Dans le cas {\it on-shell} (sans $F$), qui est suffisant quand il
n'y a pas d'interaction, nous avons simplement un fermion $\psi$ et un boson 
scalaire $\phi$ :
\beqn 
&S=\int d^4x\ (\mathcal{L}_{scalaire}+\mathcal{L}_{fermion})& 
\\
&\mathcal{L}_{scalaire}=-\partial^{\mu}\phi\,\partial_{\mu}\phi^{*} & 
\\
&\mathcal{L}_{fermion}= -i\psi^{\dag}\bar{\sigma}^{\mu}\,\partial_{\mu}\psi&
\eeqn
Si on applique une transformation supersym�trique globale de param�tre 
$\epsilon_{\alpha}$, fermion de Weyl infinit�simal ind�pendant 
des coordonn�es d'espace-temps ($\partial^{\mu}\epsilon_{\alpha}=0$ ), sur le champ 
scalaire $\phi$, le r�sultat doit �tre proportionnel au champ fermionique $\psi$ :   
\beq 
\delta\phi= \epsilon^{\alpha}\psi_{\alpha} \ \ \mathrm{et}\ \ 
\delta\phi^*= \bar{\epsilon}_{\dot{\alpha}}\,\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}
\eeq
\beq 
\Rightarrow \delta \mathcal{L}_{scalaire} = -\epsilon^{\alpha}\,
(\partial^{\mu}\psi_{\alpha})\,\partial_{\mu}\phi^*
-\partial^{\mu}\phi\,\bar{\epsilon}_{\dot{\alpha}}\,
(\partial_{\mu}\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}) 
\eeq
A noter que le fermion infinit�simal $\epsilon_{\alpha}$ a la dimension d'une
masse � la puissance -$\frac{1}{2}$ contrairement � un fermion de Weyl usuel
qui a la dimension (masse)$^{3/2}$ :
\beq 
[\phi]=1,\ \ [\psi]=\frac{3}{2}, \ \ [\epsilon]=-\frac{1}{2}. 
\eeq 
La th�orie physique est invariante si l'action est invariante (principe de
moindre action). Mais pour que l'action reste invariante sous une 
transformation de supersym�trie, il faut que la somme 
$\delta L_{scalaire}+\delta L_{fermion}$ soit nulle � une 
divergence totale pr�s, qui ne contribuera pas � l'action. En consid�rant aussi
la dimension des 3 champs dont nous disposons, nous voyons que les champs 
fermioniques se transforment comme:
\beq 
\delta\psi_{\alpha}=i(\sigma^{\mu}\epsilon^{\dag})_{\alpha}\,
\partial_{\mu}\phi \ \ \mathrm{et}\ \ \delta\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}=
- i(\epsilon\,\sigma^{\mu})^{\dot{\alpha}}\,\partial_{\mu}\phi^{*} 
\eeq
Mais est-ce que cette transformation correspond bien � une transformation de
supersym�trie? Pour s'en convaincre il suffit de partir, soit d'un fermion 
$\psi$ soit d'un boson $\phi$, et de leur appliquer 2 fois ces transformations.
Nous avons la cha�ne suivante :
\beq \phi\to\psi\to\partial\phi,\ \ \psi\to\partial\phi\to\partial\psi, \eeq
c'est-�-dire que dans les deux cas l'action de 2 transformations
supersym�triques successives 
est �quivalent � la d�rivation donc � l'op�rateur impulsion $P$ (car
$P^{\mu}\sim i\,\partial^{\mu}$). Nous retrouvons le
r�sultat de la section pr�c�dente, $Q^2\sim P$, et donc nos
transformations r�alisent bien l'alg�bre supersym�trique.

Dans le cas {\it off-shell}, l'action $S$ est modifi�e par l'ajout d'un terme
comportant le champ $F$:
\beqn 
&S=\int d^4x\ (\mathcal{L}_{scalaire}+\mathcal{L}_{fermion}+\mathcal{L}_{aux}),&
\\
&\mathcal{L}_{aux}=F^*\,F,&
\eeqn
et les transformations de supersym�trie des champs $\psi$ et $\phi$ s'en
trouvent modifi�es. Pour le champ scalaire $F$, sa transformation doit faire 
intervenir le champ $\psi$. Remarquons que la dimension du champ $F$ est une masse
au carr�. Avec les lois de transformation suivantes,
\beq 
\delta F= i\,\bar{\epsilon}^{\dot{\alpha}}
\,(\overline{\sigma}^{\mu})_{\dot{\alpha}}^{\beta}
\,\partial_{\mu}\psi_{\beta} \ \ \mathrm{et}\ \ 
\delta F^*=-i\,\partial_{\mu}\bar{\psi}^{\dot{\beta}}
\,(\bar{\sigma}^{\mu})_{\dot{\beta}}^{\alpha}
\,\epsilon_{\alpha},
\eeq
la variation du terme $\mathcal{L}_{aux}$ donne :
\beq 
\delta\mathcal{L}_{aux}=i\,\bar{\epsilon}
\,(\overline{\sigma}^{\mu})
\,\partial_{\mu}\psi\,F^* - i\,\partial_{\mu}\bar{\psi}
\,(\bar{\sigma}^{\mu})\,\epsilon\,F.
\eeq
Cette variation s'annulent bien {\it on-shell} avec l'�quation du mouvement
$F=F^*=0$. Pour compenser cette variation dans le cas {\it off-shell}, la loi 
de transformation de $\psi$ devient :
\beq 
\delta\psi_{\alpha}=i(\sigma^{\mu}\bar{\epsilon})_{\alpha}\,
\partial_{\mu}\phi+\epsilon_{\alpha}F \ \ \mathrm{et}\ \ 
\delta\bar{\psi}^{\dot{\alpha}}=-
i(\epsilon\,\sigma^{\mu})^{\dot{\alpha}}\,\partial_{\mu}\phi^{*}+
\bar{\epsilon}^{\dot{\alpha}} F^*.
\eeq
Les transformations de $\phi$ sont inchang�es.
Nous pouvons v�rifier que $\delta S=0$ sans faire r�f�rence aux �quations du
mouvement et donc la supersym�trie est aussi r�alis�e {\it off-shell} avec ces
lois de transformation.
\par\hfill\par
Nous avons vu que le champ $F$ �tait auxiliaire et ne servait qu'� l'utilisation 
{\it off-shell} de la supersym�trie. En fait, il a aussi un autre r�le. En effet, 
nous sommes partis dans l'explication de la
supersym�trie mais il ne faut pas oublier qu'aux �chelles d'�nergies accessibles
actuellement nous n'avons pas observ� de supersym�trie. Si la supersym�trie
existe dans la nature, elle a d� forc�ment �tre bris�e � un moment ou un autre.
Le champ auxiliaire $F$, mais aussi le champ auxiliaire $D$, servent � briser 
la supersym�trie. Nous verrons cet aspect au dernier chapitre. Apr�s cette
section formelle, nous oublierons ces champs auxiliaires en utilisant � chaque
fois les �quations du mouvement pour les �liminer des �quations.


\subsubsection{Les interactions du multiplet chiral}


Nous allons maintenant ajouter � notre th�orie la possibilit� de termes 
d'interaction entre ces deux types de champs qui composent les supermultiplets
chiraux.
Nous n'allons pas le d�montrer mais le terme d'interaction le plus g�n�ral, 
invariant sous les transformations de supersym�trie et renormalisable, que nous allons 
ajouter dans le lagrangien libre vu pr�c�demment, s'�crit sous la forme :
\beq 
\mathcal{L}_{int}=-\frac{1}{2}W^{ij}(\phi)\psi_i\psi_j + V(\phi,\ \phi^*) + c.c. \label{LW} 
\eeq
La quantit� $W^{ij}$ ne doit d�pendre que des champs $\phi$, pour assurer 
que la variation lors de la transformation
de supersym�trie du premier terme de $\mathcal{L}_{int}$ puisse �tre
compens�e par la variation d'un autre terme. Pour la m\^eme raison, 
$W^{ij}$ doit �tre
compl�tement sym�trique. La seule forme possible pour $W^{ij}$ est alors :
\beq 
W^{ij}=\frac{\partial^2 W(\phi)}{\partial\phi_i\,\partial\phi_j},
\eeq
o� on d�finit le {\it superpotentiel} $W$ que l'on �crit sous la forme :
\beq W=\frac{1}{2}m^{ij}\phi_i\phi_j+\frac{1}{6}y^{ijk}\phi_i\phi_j\phi_k
\label{superpotentiel}\eeq
dans le cadre d'une th�orie renormalisable.

Qu'est-ce que ce superpotentiel ? Tout d'abord, sa dimension est celle d'une 
masse au cube. Il fait intervenir la matrice sym�trique de masse $m^{ij}$ des 
fermions~\footnote{La supersym�trie assure que c'est aussi la matrice de masse 
des bosons scalaires associ�s.} et la matrice totalement sym�trique 
des couplages de Yukawa $y^{ijk}$ entre un scalaire et 2 fermions. \underline{Il 
r�sume donc toutes les interactions qui ne sont pas de jauge} (c'est-�-dire avec les 
bosons de jauge). C'est, de plus, une fonction analytique des champs complexes 
$\phi_i$ c'est-�-dire qu'il est fonction de $\phi_i$ mais pas du complexe 
conjugu� $\phi_i^*$. Ceci est tr�s important pour la suite.

De m�me, en imposant que $\mathcal{L}_{int}$ soit invariant sous transformation
de supersym�trie, on d�termine la forme du potentiel $V$.
En pr�sence d'interactions, donc d'un superpotentiel non-nul, les �quations du
mouvement des champs auxiliaires $F^i$ sont :
\beq F_i=-\frac{\partial W(\phi)}{\partial\phi^i}=-W^*_i,\ \ \ \ \ 
F^{*i}=-\frac{\partial W(\phi)}{\partial\phi_i}=-W^i. \eeq
Nous pouvons les utiliser pour �crire le lagrangien sans les champs $F$,
comme dit plus haut.
Le {\it potentiel scalaire} $V$ de la th�orie est :
\beq V=W^*_i W^i=F_iF^{*i}, \eeq
qui est automatiquement non-n�gatif puisque c'est la somme de carr�s. 
Si nous employons la forme g�n�rale~(\ref{superpotentiel}) du superpotentiel, nous
avons alors le lagrangien g�n�ral pour un supermultiplet chiral en interaction :
\beq 
\mathcal{L}=
-\partial^{\mu}\phi\,\partial_{\mu}\phi^{*}
-i\psi^{\dag}\bar{\sigma}^{\mu}\,\partial_{\mu}\psi
-\frac{1}{2}m^{ij}\psi_i\psi_j-\frac{1}{2}m^{*}_{ij}\psi^{\dag i}\psi^{\dag j}
-V-\frac{1}{2}y^{ijk}\phi_i\psi_j\psi_k
-\frac{1}{2}y^{*}_{ijk}\phi^{*i}\psi^{\dag j}\psi^{\dag k}.
\eeq

 
\subsubsection{Th�orie de jauge supersym�trique}


Le MS, qui est la th�orie qui nous int�resse et que nous voulons
"supersym�triser", a, outre des champs fermioniques chiraux (les quarks, les
leptons), des champs de jauge de spin 1 (bosons $W$, $Z$, gluons,...). Dans la
section d�di�e � l'alg�bre supersym�trique nous avons vu que le supermultiplet
vecteur pouvait accueillir de tels champs de jauge. Voyons donc comment se
comporte un tel supermultiplet, sans et avec interaction.

Le supermultiplet vecteur contient un boson de jauge $A^{\mu}_a$, de masse nulle,
 un fermion de Weyl, le jaugino $\lambda_a$, �galement de masse nulle, ainsi 
qu'un champ scalaire r�el auxiliaire $D_a$ qui est l'analogue du champ $F$ 
pr�c�dent. Ce supermultiplet est dans la repr�sentation adjointe du groupe de
jauge (de constantes de structure $f^{abc}$). La forme du lagrangien est 
compl�tement d�termin�e par la condition d'invariance de jauge et la renormalisabilit� :
\beq 
\mathcal{L}_{jauge}=
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{a \mu\nu}
-i\lambda^{a\dag}\bar{\sigma}^{\mu}D_{\mu}\lambda^{a}
+\frac{1}{2}D^aD^a, \label{Ljauge}
\eeq
o� les d�riv�es covariantes de jauge $D_{\mu}$ et $F_{\mu\nu}^a$ sont donn�s par
:
\beqn
&F_{\mu\nu}^a&=\partial_{\mu}A^a_{\nu}-\partial_{\nu}A^a_{\mu}
-gf^{abc}A^b_{\mu}A^c_{\nu}, \\
&D_{\mu}\lambda^{a}&=\partial_{\mu}\lambda^{a}-gf^{abc}A^b_{\mu},
\eeqn
comme habituellement pour une th�orie de jauge.
Ce lagrangien est d�j� supersym�trique et les transformations de supersym�trie
de param�tre $\epsilon$ pour les champs du supermultiplet vecteur sont :
\beqn
&\delta A^a_{\mu}&=
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\epsilon^{\dag}\bar{\sigma}^{\mu}\lambda^{a}
+\lambda^{a\dag}\bar{\sigma}^{\mu}\epsilon\right), \\
&\delta \lambda^{a}_{\alpha}&=
-\frac{i}{2\sqrt{2}}(\sigma^{\mu}\bar{\sigma}^{\nu}\epsilon)_{\alpha}F_{\mu\nu}^a
+\frac{1}{\sqrt{2}}\epsilon_{\alpha}D^a, \\
&\delta D^a&=
\frac{i}{\sqrt{2}}\left(\epsilon^{\dag}\bar{\sigma}^{\mu}D_{\mu}\lambda^{a}
-D_{\mu}\lambda^{a\dag}\bar{\sigma}^{\mu}\epsilon\right).
\eeqn
Sans interaction avec aucun supermultiplet chiral, l'�quation du mouvement 
pour le champ 
$D^a$ est simplement
$D^a=0$ que nous obtenons directement du Lagrangien~(\ref{Ljauge}). Il n'a pas
de terme cin�tique et ne se propage donc pas.
 
Dans le MS, les champs de jauge interagissent avec les fermions chiraux. Dans
notre version supersym�trique il nous faut donc consid�rer les interactions
entre le supermultiplet chiral et le supermultiplet vecteur. Comme dans le cas
non-supersym�trique, les d�riv�es usuelles $\partial^{\mu}$ des fermions sont 
maintenant � remplacer par des d�riv�es covariantes de jauge $D^{\mu}$. 
De plus, le lagrangien doit comporter des termes suppl�mentaires qui traduisent les 
interactions entre supermultiplets chiraux et vecteurs. Les lois de transformation
supersym�triques du supermultiplet chiral changent pour prendre en 
compte la variation des nouveaux termes. 
L'�quation du mouvement pour $D^a$ est alors (les
$T^a$ sont les g�n�rateurs du groupe de jauge selon lesquels les
supermultiplets chiraux se transforment et $g$ est la constante de couplage) :
\beq D^a=-g(\phi^{*}T^a\phi), \eeq
et le potentiel scalaire complet est :
\beq 
V=F_iF^{*i}+\frac{1}{2}\sum_aD^aD^a=
W^*_iW^i+\frac{1}{2}\sum_ag^2(\phi^{*}T^a\phi)^2. \label{pot}
\eeq 
Ce potentiel scalaire est automatiquement non-n�gatif et s'av�re tr�s 
important 
pour la brisure de sym�trie. Nous parlons de termes $F$ et de termes $D$ pour faire r�f�rence respectivement au 
premier et deuxi�me terme du potentiel. Ce potentiel est compl�tement d�termin�
par les couplages de Yukawa ({\it via} le terme $F$) et par les interactions de
jauge ({\it via} le terme $D$).


%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Les mod�les supersym�triques � basse �nergie}
%------------------------------------------------------------------------------%


La section pr�c�dente �tait assez abstraite, nous allons tout de suite appliquer
les diff�rents r�sultats obtenus. Le Mod�le Standard fonctionne tr�s bien, nous
l'avons vu. Nous allons donc juste lui offrir une promotion en le
"supersym�trisant" et en conservant toutes ses caract�ristiques. Le mod�le
minimal que nous pouvons obtenir est le MSSM (Minimal Supersymmetric Standard
Model). Nous pr�senterons son contenu en particules (la nomenclature des
nouvelles particules), nous expliquerons comment la sym�trie �lectrofaible peut 
se briser, et nous d�crirons la brisure effective de supersym�trie (brisure dite
"douce"). Nous 
aborderons juste apr�s les pr�dictions typiques du MSSM. Enfin, nous parlerons 
aussi des variantes possibles du MSSM car la nature a pu tr�s bien choisir une 
voie un peu plus complexe que ce mod�le minimal.


\subsection{Les mod�les $\mathcal{N}\geq 2$}


Comme nous l'avons d�j� dit dans la section 1.2.2, {\it a priori} le nombre de g�n�rateurs 
supersym�triques $Q_{\alpha}$ que nous pouvons introduire peut �tre sup�rieur ou
�gal � 1 (nous parlerons de supersym�trie $\mathcal{N}\geq 1$). Apr�s tout, les th�ories
supersym�tries $\mathcal{N}\geq 2$ poss�dent d'avantages de sym�tries et de ce fait il se
trouve qu'elles ont moins de divergences ce qui les rend tr�s int�ressantes.
En effet, dans le cas $\mathcal{N}= 2$ il n'y a qu'un nombre fini de
diagrammes qui divergent et dans le cas $\mathcal{N}=4$ il n'y en a plus du
tout ! Une th�orie supersym�trique $\mathcal{N}=4$ est intrins�quement
\underline{finie}. Tout
naturellement, nous aimerions donc construire un mod�le $\mathcal{N}=4$
englobant le MS. 
Malheureusement, \underline{� basse �nergie} (autour du TeV), \underline{les mod�les $\mathcal{N}\geq 2$ 
ne sont pas r�alistes}. Ils ne permettent pas la violation de la parit� que nous
observons dans les interactions faibles. En effet, un supermultiplet d'une
th�orie supersym�trique $\mathcal{N}\geq 2$ poss�de toujours les 2 h�licit�s oppos�es � la 
fois donc particules "gauches" et "droites" si�gent dans le m�me supermultiplet.
Ce qui implique qu'elles ont les m�mes interactions (car elles sont dans la m�me
repr�sentation du groupe de jauge). C'est malheureusement une conclusion 
contraire aux
observations exp�rimentales qui nous disent par exemple que l'�lectron "gauche" 
(qui fait
partie d'un doublet dans le MS) n'a pas la m�me interaction avec les bosons $W$
que l'�lectron "droit" (qui est un singulet d'isospin faible nul et qui ne 
"ressent" pas l'interaction faible). Les mod�les $\mathcal{N}\geq 2$ ne peuvent
donc pas d�crire la physique des particules � basse �nergie. 


\subsection{La zoologie du Mod�le Standard Supersym�trique Minimal}

La sous-section pr�c�dente nous a enseign� que le cas minimal $\mathcal{N}=1$
�tait aussi le seul cas r�aliste � basse �nergie pour englober le MS. Les
supermultipets dont nous disposons sont : 

$\bullet$ le supermultiplet chiral qui comprend un fermion de spin 1/2 et un
boson de spin 0,

$\bullet$ le supermultiplet vecteur qui comprend un boson de spin 1 et un
fermion de spin 1/2.

\par\hfill\par
Pouvons nous ranger toutes nos particules du MS dans ces multiplets ? Autrement
dit, pouvons nous associer les quarks et leptons aux bosons W, Z, au photon, 
etc ? 

Malheureusement, cela poserait des probl�mes pour la conservation des nombres
quantiques. En effet, les bosons de jauge et les fermions n'ont pas les m�mes 
propri�t�s de transformation sous les groupes de jauge donc poss�dent des nombres 
quantiques diff�rents. La supersym�trie ne modifie pas ces nombres quantiques, 
on ne peut donc pas associer un boson de jauge � un fermion
connu ou inversement. Cela poserait aussi des probl�mes pour la conservation 
d'autres nombres comme le nombre leptonique car les bosons de jauge que nous 
connaissons ont un nombre leptonique nul contrairement aux leptons. 
Il nous faut donc inventer des (super)partenaires � toutes les
particules connues ! Le tableau suivant, (\ref{sparticules}), donne � chaque 
particule connue le nom, le spin et l'abr�viation de son spartenaire.
 

 %.....................................................................
\begin{table}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{||l||c|c||}
\hline
{Particule}& {Spartenaire}& {Spin}	\\
\hline
\hline
& & \\
quarks q & squarks $\tilde{q}$ & 0 \\
$\to$ top t & stop $\tilde{t}$ & \\
$\to$ bottom b & sbottom $\tilde{b}$ & \\
...& & \\
leptons l & sleptons $\tilde{l}$ & 0 \\
$\to$ neutrino $\nu_e$ & sneutrino $\tilde{\nu_e}$ & \\
$\to$ muon $\mu$ & smuon $\tilde{\mu}$ & \\
...& & \\
\hline
\hline
& & \\
bosons de jauge & jauginos & 1/2\\
$\to$ photon $\gamma$ & photino $\tilde{\gamma}$ & \\
$\to$ boson $Z$ & zino $\tilde{Z}$ & \\
$\to$ boson $B$ & bino $\tilde{B}$ & \\
$\to$ boson $W$ & wino $\tilde{W}$ & \\
$\to$ gluon $g$ & gluino $\tilde{g}$ & \\
\hline
\hline
& & \\
bosons de Higgs $H_i^{\pm,0}$ & higgsinos $\tilde{H}_i^{\pm,0}$& 1/2 \\
& & \\
\hline
%-----------------------------------------------------------------------
\end{tabular}
\end{center}
\caption[contenu du MSSM]{ Les particules du MSSM. }
\label{sparticules}
\end{table}
%.......................................................................
 
Avant de passer aux sections suivantes, nous allons formuler plusieurs
remarques. 
Tout d'abord nous avons aussi, outre les nouveaux spartenaires, au moins deux
doublets de bosons de Higgs. Pourquoi a-t-il fallu aussi ajouter des 
bosons de Higgs ? Dans l'�tude des th�ories de champs supersym�triques nous 
avons introduit la notion de superpotentiel. Celui-ci r�sume toutes les 
interactions possibles des particules
(mais qui ne font pas intervenir les bosons de jauge) donc en particulier les
interactions de Yukawa avec les champs de Higgs. Ce superpotentiel ne peut pas
�tre fonction de champs complexes conjugu�s. Or dans le MS, pour donner une
masse aux quarks type "up" nous utilisons un terme $QU^cH^{*}$. Comme
en supersym�trie ce genre de terme est interdit nous devons utiliser un
\underline{nouveau} 
champ de Higgs, d'hypercharge $Y=-1$, et le coupler simplement (sans 
conjugaison complexe) : $QU^cH_u$. 
Ce nouveau champ, apr�s brisure �lectrofaible nous laissera donc d'autres 
bosons de Higgs dont certains seront charg�s (voir plus loin). Ce nouveau
doublet de Higgs est aussi n�cesaire pour annuler les possibles anomalies.

Deuxi�mement, nous savons bien que dans le MS un fermion droit subit un 
traitement
diff�rent d'un fermion gauche. Ils auront en supersym�trie chacun un supermultiplet avec
chacun un spartenaire. Par exemple $q_L\to \tilde{q}_L$ et $q_R\to \tilde{q}_R$.
Ces deux squarks sont bien diff�rents et pour les identifier nous laisserons
l'indice de chiralit� $L$ ou $R$ tout en sachant qu'il n'a pas de sens physique
pour une particule scalaire (spin 0 donc une seule h�licit� $\lambda=0$).

Troisi�mement, pourquoi avons nous fait le choix d'avoir des spartenaires 
de spin
inf�rieur ? {\it A priori} nous aurions pu associer � tous les fermions du MS des
spartenaires de spin 1 et aux bosons de jauge de spin 1 des spartenaires de spin
3/2. Cependant, introduire une particule de spin 1 signifie introduire une
nouvelle interaction et implique un mod�le non-minimal. De plus, introduire des
particules de spin >1 rend la th�orie non-renormalisable~\footnote{En analysant
en th�orie des champs ce qui rend les diagrammes divergents, on aboutit � une
condition pour qu'un terme du lagrangien soit renormalisable: 
$\Delta=4-d-\sum_i n_i(s_i+1)\geq 0$ o� $d$ est le nombre de d�riv�es, $n_i$ est
le nombre de champs du type $i$ dans le terme d'interaction et $s_i$ leur spin.
Si le spin est trop �lev� on tombe in�vitablement sur des termes
non-renormalisables.}.

Enfin, les $\tilde{\gamma},\ \tilde{Z},\ \tilde{W},\ \tilde{H}$ ne
s'observent pas directement. En effet, ils se m�langent et donc n'apparaissent
exp�rimentalement que des combinaisons de ces jauginos et higgsinos : celles-ci
ont pour nom les {\it neutralinos} et les {\it charginos} :
 
$\bullet$ Les neutralinos $\tilde{N}_{1,2,3,4}^0$~\footnote{Not�s aussi 
dans la litt�rature $\tilde{\chi}_{1,2,3,4}^0$.} sont de charge �lectrique 
nulle et 
m�langent en particulier les fermions $\tilde{B}$, $\tilde{W}^0$, $\tilde{H}_u^0$ et
$\tilde{H}_d^0$. 

$\bullet$ Les charginos $\tilde{C}_{1,2}^{\pm}$~\footnote{Not�s aussi 
souvent 
$\tilde{\chi}_{1,2}^{\pm}$.} sont charg�s �lectriquement et m�langent les 
$\tilde{W}^{\pm}$ et les $\tilde{H}^{\pm}$.

\noindent Ces m�langes sont d�s au fait que les jauginos et higgsinos
poss�dent les m�me nombres quantiques et ne sont pas distinguables s�par�ment.

\subsection{Le mod�le}

Le MSSM est l'extension supersym�trique minimale du MS. Les quarks
et les leptons sont alors mis dans des superchamps chiraux avec leurs 
superpartenaires et ces
superchamps forment des supermultiplets charg�s sous $SU(3)_C$, $SU(2)_L$ et 
$U(1)_Y$ de la m�me fa�on que les multiplets du MS. Les bosons de jauge sont
quant � eux plac�s avec leurs superpartenaires fermioniques dans des superchamps vecteurs. 

Le superpotentiel le plus g�n�ral, mais minimal, du MSSM est alors :
\beq \mathcal{W}=\mathcal{Y}_u\bar{U}QH_u + \mathcal{Y}_d\bar{D} Q H_d +\mathcal{Y}_e\bar{E}
L H_d +\mu H_u H_d. \eeq
La notation $\bar{\psi}$ signifie que les champs du supermultiplet sont des
champs conjugu�s de charge $\psi^c$. Les
champs conjugu�s apparaissent car nous avons choisi de ne travailler qu'avec
des champs gauches. Les champs droits s'obtiennent justement par cette op�ration
de conjugaison. De plus, les indices de $SU(2)$ ont �t� supprim�s pour ne pas
alourdir l'expression. Nous avons en fait
$\mu(H_u)_{\alpha}(H_d)_{\beta}\epsilon^{\alpha\beta}$, 
$(\mathcal{Y}_u)^{ij}\bar{U}_{ai}Q^a_{j\alpha}(H_u)_{\beta}\epsilon^{\alpha\beta}$,
...

Les $\mathcal{Y}$ sont les matrices de Yukawa, $3\times3$ dans l'espace des
saveurs et sont sans dimensions. Elles donnent les masses des quarks et leptons
ainsi que les angles et phases de CKM apr�s la brisure �lectrofaible.

Les deux champs de Higgs, $H_u$ et $H_d$, ont �t� introduit pour respecter la condition
d'analycit� du superpotentiel~\footnote{C'est-�-dire l'absence de champs
complexes conjugu�s $\phi^*$.} et donner une masse aux particules "up" et "down"
ainsi que pour la condition d'annulation des anomalies. Mais une fois que nous avons 
deux superchamps de Higgs, un terme qui couple les deux peut {\it a priori} 
exister. Ce terme
cependant (le couplage $\mu$) donne naissance au probl�me "$\mu$" :
ph�nom�nologiquement, il est de l'ordre du TeV alors que dans le MSSM rien ne le
force � �tre aussi bas. Dans un mod�le plus fondamental, $\mu$ pourrait �tre li� �
l'�chelle de brisure de la supersym�trie.

Une fois que ce superpotentiel a �t� �crit, nous pouvons trouver toutes les
interactions possibles (mais non de jauge) entre les particules et �crire le
lagrangien d'interaction, gr�ce � la
formule~(\ref{LW}), ainsi que le potentiel effectif de la th�orie,
formule~(\ref{pot}).

\subsection{La brisure douce de la supersym�trie}

Il reste cependant � introduire dans le mod�le la brisure de la supersym�trie.
Mais le m�canisme et l'�chelle r�elle de la brisure sont encore inconnues. 
Ce que nous pouvons faire c'est \underline{param�triser} � basse �nergie cette 
brisure. Ceci se fait en ajoutant des termes au lagrangien qui brise
explicitement la supersym�trie. La forme g�n�rale de ce lagrangien de brisure 
$\mathcal{L}_{soft}$ est :
\beq \mathcal{L} \supset
\mathcal{L}_{soft}=-\frac{1}{2}(M_{\lambda}\lambda^a\lambda^a +\ c.c) - m_{ij}^2
\phi_j^{*}\phi_i +
(\frac{1}{2}b_{ij}\phi_i\phi_j+\frac{1}{6}a_{ijk}\phi_i\phi_j\phi_k+\ c.c)
\eeq
Il brise bien la supersym�trie car seuls les scalaires ($\phi_i$) et les
jauginos ($\lambda^a$) ont un terme de masse. La brisure, bien
qu'\underline{explicite}~\footnote{Par opposition � spontan�e.}, est
dite "douce" ("soft" en anglais) car on peut montrer qu'elle n'introduit pas de
divergences quadratiques. Tous les mod�les de brisure, qu'ils aient leur origine dans
les th�ories des cordes ou de supergravit� (voir chapitre 4), conduisent � basse
�nergie � cette forme de $\mathcal{L}_{soft}$.
Avec les superchamps du MSSM, $\mathcal{L}_{soft}$ s'�crit : 
\beqn -\mathcal{L}_{soft} &=&\frac{1}{2}(M_3 \tilde{g}\tilde{g} + M_2\tilde{W}\tilde{W}+M_1\tilde{B}\tilde{B}+\ c.c) \nonumber \\ 
&+&  \tilde{Q}^{\dag}m_Q^2\tilde{Q} + \bar{\tilde{U}}^{\dag}m_{\bar{U}}^2\bar{\tilde{U}} +\bar{\tilde{D}}^{\dag}m_{D}^2\bar{\tilde{D}} +\bar{\tilde{L}}^{\dag}m_{L}^2\bar{\tilde{L}} +\bar{\tilde{E}}^{\dag}m_{\bar{E}}^2\bar{\tilde{E}} \nonumber \\ 
&+& (\bar{\tilde{U}}^{\dag}a_U \tilde{Q}H_u - \bar{\tilde{D}}^{\dag}a_D\tilde{Q}H_d -\bar{\tilde{E}}^{\dag}a_E\tilde{L}H_d +\ c.c) \nonumber \\ 
&+& m_{H_u}^2 H_u^{*}H_u +m_{H_d}^2 H_d^{*}H_d + (b H_uH_d +\ c.c) 
\label{superpotentielMSSM}\eeqn 

Les masses $M_3$, $M_2$, $M_1$ des jauginos sont en g�n�ral complexes, 
ce qui introduit 6 param�tres. 
Les $m_Q$, $m_L$, $m_{\bar{u}}$,..., sont les matrices de masse des squarks et 
sleptons, hermitiennes et de taille $3\times3$
dans l'espace des saveurs, ce qui fait 45 param�tres inconnus.
Les couplages $a_U$, $a_D$,..., sont des couplages trilin�aires, $3\times3$ et
complexes donc caract�ris�s par 54 param�tres.
Enfin, les couplages bilin�aires des Higgs introduisent 4 param�tres. 
En tout, $\mathcal{L}_{soft}$ contient 109 param�tres inconnus ! La
supersym�trie introduit donc beaucoup de param�tres mais en contrepartie fait intervenir tr�s
peu de principes. Ce nombre de param�tres "soft" peut cependant 
�tre diminu� en red�finissant les champs gr�ce � des sym�tries ou des 
hypoth�ses suppl�mentaires. La mesure des param�tres de brisure douce 
permettra de tester les mod�les de plus haute �nergie.  

\subsection{La brisure �lectrofaible et les bosons de Higgs supersym�triques}

\subsubsection{Le potentiel scalaire}
Le secteur de Higgs du MSSM contient 2 doublets complexes : 
\beq
H_u=\left(\begin{array}{c} H_u^0 \\ H_u^- \end{array}\right),
\ H_d=\left(\begin{array}{c} H_d^+ \\ H_d^0 \end{array}\right).
\eeq
La brisure �lectrofaible est donc un peu plus complexe que dans le cas du Mod�le
Standard (� 1 seul doublet). 
Au niveau classique ("arbre"), le potentiel scalaire effectif s'�crit, 
apr�s 
plusieurs
simplifications que nous ne d�taillerons pas :
\beqn 
V&=&(|\mu|^2+m_{H_u}^2)|H_u^0|^2 + (|\mu|^2+m_{H_d}^2)|H_d^0|^2 - b(H_u^0 H_d^0
+c.c) \nonumber \\
&&+\frac{1}{8}(g_2^2+g_1^2)(|H_u^0|^2-|H_d^0|^2)^2. 
\eeqn
Les termes proportionnels � $|\mu|^2$ tirent leur origine des termes $F$ et le
terme proportionnel aux couplages de jauge $(g_1,\ g_2)$ des termes $D$. Les
autres termes viennent de $\mathcal{L}_{soft}$ (en omettant les autres scalaires
qui ne joueront aucun r�le ici).  
Une brisure spontan�e de la sym�trie �lectrofaible ne peut exister avec cette
forme de potentiel que si le param�tre $b$ v�rifie :
\beq
b^2>(|\mu|^2+m_{H_u}^2)(|\mu|^2+m_{H_d}^2), \label{EWSBb1}
\eeq
et de plus, pour que le potentiel soit limit� inf�rieurement, il faut :
\beq
2b<2|\mu|^2+m_{H_u}^2+m_{H_d}^2. \label{EWSBb2}
\eeq
Ces conditions ne sont valables qu'au niveau "arbre".
Quand la brisure de la sym�trie a lieu, les deux champs $H_u^0$ et $H_d^0$
d�veloppent une {\it v.e.v} :
\beq
<H_u^0>=v_u,\ <H_d^0>=v_d,
\eeq
qui sont reli�es � celle du MS par :
\beq
v^2=v_u^2+v_d^2 =\frac{2m_Z^2}{(g_2^2+g_1^2)}.
\eeq
On d�finit aussi le param�tre $\tan\beta$ par :
\beq
\tan\beta=\frac{v_u}{v_d},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}.
\eeq 
Au minimum du potentiel, 
\beq
\frac{\partial V}{\partial H_u^0}=\frac{\partial V}{\partial H_d^0}=0,
\eeq 
nous avons alors  les deux relations :
\beqn
|\mu|^2+m_{H_u}^2 & = & b\tan\beta -\frac{m_Z}{2}\cos2\beta, \\
|\mu|^2+m_{H_d}^2 & = & b\cot\beta +\frac{m_Z}{2}\cos2\beta.
\eeqn
Elles sont tr�s importantes car lient une quantit� mesurable, $m_Z$, � des
param�tres de brisure douce. Nous pouvons aussi noter que la phase de $\mu$
n'est pas d�termin�e. 

\subsubsection{Les bosons de Higgs supersym�triques}

Les deux doublets complexes comptent 8 degr�s de libert� donc 8 scalaires r�els.
Le m�canisme de Higgs, quand la brisure �lectrofaible se r�alise, en utilise 3
pour donner une masse aux 2 bosons $W$ et au $Z$. Il reste alors 5 bosons de
Higgs qui restent dans le spectre : 

$\hookrightarrow$ 2 sont neutres et pairs sous une transformation de $CP$, $h^0$ et
$H^0$,

$\hookrightarrow$ un est neutre et impair sous $CP$, $A^0$,

$\hookrightarrow$ les 2 derniers sont charg�s, $H^{\pm}$.

\par\hfill\par
Les masses de ces bosons de Higgs supersym�triques sont au niveau de l'arbre : 
\beqn
m^2_{h^0, H^0} &=& \frac{1}{2}\left(m_{A^0}^2+m_Z^2 \mp 
\sqrt{(m_{A^0}^2+m_Z^2)^2 -4m_{A^0}^2m_Z^2\cos^22\beta}\,\right), \\
m_{A^0}^2 &=& \frac{2b}{\sin2\beta}, \\
m_{H^{\pm}}^2 &=& m_{A^0}^2 + m_W^2, 
\eeqn
et de plus la masse du $h^0$ est born�e sup�rieurement par :
\beq
m_{h^0}<|\cos2\beta|m_Z.
\eeq
En particulier, cette derni�re relation nous donne $m_{h^0}<m_Z$. 

Or ces relations ne sont valables \underline{qu'� l'arbre}. Nous avons d�j� vu que la masse 
des scalaires de Higgs subissent des corrections radiatives non-n�gligeables au 
niveau d'une boucle. On a pour la masse de $h$ au carr� :
\beq
\Delta m_h^2=\frac{3m_t^4}{4\pi^2 v^2}\ln\left(\frac{m_{\tilde{t}_1}m_{\tilde{t}_2}}{m_t^2}\right) 
+ \frac{3m_t^4}{8\pi^2
v^2}\mathrm{f}(m_{\tilde{t}_1}^2,m_{\tilde{t}_2}^2,\mu,\tan\beta),  
\eeq 
o� $m_{\tilde{t}_{1,2}}$ sont les masses physiques des stops (qui sont des
m�langes des �tats $\tilde{t}_R$ et $\tilde{t}_L$) et $\mathrm{f}(m_{\tilde{t}_1}^2,m_{\tilde{t}_2}^2,\mu,\tan\beta)$ 
est une fonction que l'on peut retrouver explicitement dans~\cite{JE-SUSY}.
La correction $\Delta m_h^2$ d�pend \underline{quartiquement} de la masse du 
top, ce qui la rend importante.  
En prenant en compte cette correction, la masse du boson de Higgs 
supersym�trique le plus l�ger, $h$, pour des masses de sparticules autour d'un 
TeV, est :
\beq
m_h \lesssim 130\ \mathrm{GeV}.
\eeq
Dans la figure~(\ref{mHSUSY}), nous pouvons voir $m_h$ en fonction de $m_{A^0}$ 
pour diff�rentes valeurs de $\tan\beta$. 
Ce boson de Higgs supersym�trique le plus l�ger a donc toutes les caract�ristiques
n�cessaires pour �tre le boson de Higgs favoris� par les ajustements des donn�es
�lectrofaibles ! Ceci constitue une pr�diction importante de la supersym�trie.
Il y en a d'autres et nous allons en voir tout de suite un aper�u. 
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=10cm\epsfbox{SUSYHIGGS.eps}}
\caption{Masse du boson de Higgs supersym�trique le plus l�ger en fonction de
$m_A$ et pour diff�rentes valeurs de $\tan\beta$.~\cite{JE-SUSY}}
\label{mHSUSY}
\end{figure}

\subsection{La $R$-parit� et la mati�re noire}

\subsubsection{La $R$-parit�}

Purement sur des consid�rations d'invariance de jauge, d'invariance de Lorentz et de
renormalisabilit�, nous pouvons introduire dans le
superpotentiel~(\ref{superpotentielMSSM}) d'autres termes qui n'ont pas de
correspondance avec le MS et qui ne
conservent ni le nombre baryonique, ni le nombre leptonique~\footnote{La 
conservation de
$B$ et $L$ dans le MS est accidentelle mais n'est {\it a priori} pas 
obligatoire dans ses extensions (supersym�triques ou pas). En effet, dans le MS, il 
n'existe pas de
termes renormalisables qui violent $L$ ou $B$, ce qui n'est forc�ment le 
cas dans d'autres th�ories. 
Cependant, dans le MS, il y a des possibles interactions 
non renormalisables qui violent $L$ ou $B$.}. Ces termes sont :
\beq \mathcal{W}_{RPV}=\lambda_{ijk}L_iL_jE_k + \lambda'_{ijk} L_iQ_j\bar{D}_k +
\lambda''_{ijk} \bar{U}_i\bar{D}_j\bar{D}_k, \label{WRPV}\eeq
o� $\lambda,\lambda',\lambda''$ sont des couplages inconnus sans dimensions. 

Cependant, une combinaison des deuxi�me et troisi�me termes pourrait 
conduire � une d�sint�gration rapide du
proton, alors que le proton est tr�s stable~\footnote{Sa dur�e de vie 
exc�de $10^{33}$
ans !}. Ph�nom�nologiquement, il faut pouvoir
s'assurer que ces termes soient supprim�s~\cite{RPVSUSY}:
\begin{equation}
|\lambda' \lambda''| \; < \; {\cal O}(10^{-9}). 
\end{equation}
C'est ce qui se passe quand on
postule une nouvelle sym�trie, la $R$-parit�. Elle est d�finie comme suit : 
\beq R_p=(-1)^{3(B-L)+2S} \eeq
o� $S$ est le spin. C'est un nombre quantique multiplicatif, les particules du MS
sont alors paires et les sparticules impaires. Si cette $R$-parit� est conserv�e, 
elle implique plusieurs choses importantes :

$\bullet$ les sparticules sont produites par paires, par exemple :
$\bar{p}\,p\to\tilde{q}\,\tilde{g}\,X$, $e^+\,e^-\to \tilde{\mu}^+\,
\tilde{\mu}^-$,

$\bullet$ une sparticule se d�sint�gre en une autre sparticule (ou en un nombre
impair), par exemple : $\tilde{q}\to q\, \tilde{g}$, $\tilde{\mu}\to\mu\,
\tilde{\gamma}$,

$\bullet$ la sparticule la plus l�g�re, la LSP, est stable. 
\subsubsection{La LSP et la mati�re noire}

Dans le MSSM, la $R$-parit� est conserv�e et la sparticule la plus l�g�re est 
stable donc ne peut pas se d�sint�grer. La LSP a un fort inter�t car pourrait 
constituer la majorit� de la mati�re
noire froide favoris�e par les mod�les cosmologiques de formation des structures
(galaxies,...). En effet, au fur et � mesure du refroidissement de l'Univers (son
expansion) les particules se sont d�sint�gr�es, ont form� des baryons, atomes
etc, sauf les neutrinos et la LSP. Cette derni�re nous parait "invisible" car
elle n'interagit que tr�s peu avec la mati�re et elle  
contribue alors � la densit� relique de mati�re noire dont les bornes sont,
d'apr�s les mesures r�centes de WMAP~\cite{BDEGOP}, $0.094<\Omega_{MN} h^2<0.129$ 
(� 2$\sigma$).
L'existence d'une LSP est une pr�diction tr�s importante mais sa contribution totale � la
densit� de mati�re noire d�pend des param�tres du MSSM.   

Les particules candidates sont le neutralino le plus l�ger qui est de spin 1/2 
et le gravitino qui est de spin 3/2. Le sneutrino le plus l�ger a d�j� �t� 
exclu par les recherches directes au
LEP. Toutes sont des particules neutres car si elles �taient charg�es, elles 
auraient d� �tre d�tect�es par les mesures d'isotopes lourds anormaux 
car une LSP aurait pu se lier au noyau. En
effet, si la LSP est charg�e �lectriquement ou color�e, le nombre de ces 
isotopes lourds anormaux par rapport au nombre d'isotopes normaux devrait 
�tre sup�rieur � $10^{-6}$. Exp�rimentalement, ce rapport est inf�rieur �
$10^{-15}$ voir m�me $10^{-30}$ !
Pour l'instant, m�me si le neutralino est plus "� la mode", la nature de la LSP
diff�re grandement selon les sc�nario et les param�tres de la supersym�trie.
 
\subsection{Les variantes du mod�le minimal}

Le MSSM n'est pas le seul mod�le qui a �t� construit et ce n'est bien s�r pas le
seul � pouvoir �tre r�alis� dans la nature. Dans les analyses et �tudes de la
ph�nom�nologie au-del� du Mod�le Standard, on parle souvent de violation de la
$R$-parit� et du NMSSM. Nous allons les pr�senter 
bri�vement dans cette section.

\subsubsection{La violation de la $R$-parit�}

Dans le cas ou la $R$-parit� est viol�e, les termes de 
$\mathcal{W}_{RPV}$, eq (\ref{WRPV}), donneront des contributions � tous les 
processus. Par exemple, $b\to s\, \gamma$, les oscillations $B-\bar{B}$  ou la 
d�sint�gration rare $K^+\to\pi^+\nu\bar{\nu}$ (voir
figure~\ref{kpinunu}). 
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=kpinunu1.eps,width=7cm}} &
\mbox{\epsfig{file=kpinunu2.eps,width=7cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}

\caption{Les deux contributions possibles, au niveau de l'arbre, et qui violent
la $R$-parit�, au processus rare $K^+\to\pi^+\nu\bar{\nu}$~\cite{Kpinunubar}.
 Dans les deux cas on a �change d'un squark de type "down".}

\label{kpinunu}
\end{figure}

Les param�tres $\lambda$ sont en tout au nombre de 45 (9+27+9) et les bornes
sup�rieures sont typiquement de l'ordre de 
$(10^{-2}-10^{-1})\times m_{\tilde{q}}/(100$ GeV). Ils sont cependant 
difficiles � contraindre car
ils apparaissent sous forme de produits, $|\lambda_{ijk}\lambda'^*_{ijk}|$ par
exemple, et nous ne
pouvons les isoler que sous certaines hypoth�ses~\footnote{Par exemple, supposer 
qu'il existe
une hi�rarchie entre les couplages qui violent $B$ ou $L$ et une hi�rarchie 
selon les diff�rentes g�n�rations de quarks et leptons. Ceci semble raisonnable 
car les limites
obtenues � partir des donn�es exp�rimentales sugg�rent qu'il ne peut y avoir
violation de $B$ et $L$ simultan�ment.}. La 
ph�nom�nologie de la 
violation et de la conservation de la $R$-parit� sont tr�s diff�rentes et tr�s 
riches, leur recherche est donc d�j� en cours au Tevatron et aussi pr�vue aux 
futurs collisionneurs. 

\subsubsection{Le NMSSM}

Le NMSSM ("next-to-minimal-supersymmetric-standard-model") est la plus 
simple 
extension du MSSM. Dans ce mod�le, seul le contenu
en particules est modifi� car on ajoute un nouveau supermultiplet chiral $S$,
singulet de jauge. Le superpotentiel est alors :
\beq \mathcal{W}_{NMSSM}=\frac{1}{6}k S^3 +\frac{1}{2}\mu_S S^2 + \lambda S H_u
H_d +\mathcal{W}_{MSSM} \label{NMSSM}.\eeq 
Le supermultiplet $S$ contient � la fois un fermion chiral et son partenaire scalaire. Le principal inter�t du NMSSM est de proposer une solution au probl�me
"$\mu$". En effet, en supposant que la partie scalaire de $S$ d�veloppe une 
valeur dans le vide non-nulle $\langle S \rangle$, le terme 
dans~(\ref{NMSSM}) donne un $\mu$
effectif :
$\mu_{eff}=\lambda \langle S \rangle$. Or $S$ apparait aussi dans 
$\mathcal{L}_{soft}$ et sa
\textit{v.e.v}
est naturellement de l'ordre de $m_{soft}$, $\mathcal{O}(1)$ TeV, la masse typique des scalaires et
jauginos. Ainsi, la valeur effective de $\mu$
est de l'ordre de $m_{soft}$ plut�t que d'�tre un param�tre libre et 
ind�pendant de la brisure de supersym�trie. 

Ph�nom�nologiquement le NMSSM diff�re du MSSM parce qu'il permet un boson de
Higgs l�ger plus lourd. De plus, le scalaire $S$ peut {\it a priori} se m�langer
avec les autres scalaires du MSSM et former 5 �tats de neutralinos. Ainsi, les
signatures exp�rimentales des sparticules peuvent changer radicalement.

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Les premi�res contraintes exp�rimentales}
%------------------------------------------------------------------------------%

Comme nous avons vu, le secteur de la brisure douce du MSSM compte une centaine de param�tres.
L'analyse des donn�es et l'extraction de valeurs exp�rimentales pour ces
param�tres est alors difficile. Une hypoth�se simplificatrice, � la base du
mod�le CMSSM (constrained-minimal-supersymmetric-standard-model), est de
supposer l'universalit� � une certaine �chelle : 

$\bullet$ des masses de tous les jauginos : $M_3=M_2=M_1=m_{1/2}$,

$\bullet$ des masses des scalaires : $m_Q^2=m_{\bar{u}}^2=...=m_0^2 \mathbf{1}$
et $m_{H_u}^2=m_{H_d}^2=m_0^2$,

$\bullet$ et que les couplages trilin�aires soient reli�s par un param�tre
universel $A_0$
: $a_u=A_0y_u$, $a_d=A_0y_d$, $a_e=A_0y_e$.

\noindent Ainsi, le passage du MSSM au CMSSM fait passer de plus d'une centaine
de param�tres � seulement 5 param�tres ! 
Cette hypoth�se est tr�s pratique d'un point de vue ph�nom�nologique, bien que
discutable d'un point de vue purement th�orique. Le CMSSM et la simplification
de $\mathcal{L}_{soft}$ sont en fait inspir�s des mod�les de supergravit� o� la
brisure de supersym�trie se fait par la m�diation de la gravit� (chapitre 4).

Pour ces raisons nous nous placerons dans ce mod�le jusqu'� la fin du chapitre
pour discuter des contraintes exp�rimentales.


\subsection{Les acc�l�rateurs}

Les premi�res contraintes exp�rimentales sur les mod�les supersym�triques viennent du fait 
qu'aucune sparticule 
n'a �t� d�couverte directement, ni au LEP ni au Tevatron. Ceci implique que les 
masses des superpartenaires soient sup�rieures � une centaine de GeV environ, selon
les cas. 

Les contraintes sur les sparticules sont aussi obtenues {\it via} la limite 
exp�rimentale sur la masse du Higgs.
\beq m_H\geq114\ {\mathrm GeV}. \eeq 
En effet, la masse du Higgs est tr�s 
sensible � la masse des particules (celle du stop et du top surtout) 
circulant dans les boucles, comme nous avons vu pr�c�demment.

Ces deux types de contraintes sont r�sum�es sur la
figure~(\ref{paraspacewmap}).  La limite sur $m_H$ donne une limite
sur la masse des jauginos $m_{1/2}$ qui entre dans le calcul de la masse
du stop.

De plus, les d�sint�grations $b\to s\,\gamma$ ont un taux de branchement
en accord avec le MS. Les boucles de sparticules (de charginos et de Higgs
charg�s principalement) ne doivent donc contribuer que tr�s peu, ce qui contraint 
aussi leurs masses. Cette contrainte venant de $b\to s,\,\gamma$ est aussi trac�e
sur la figure~(\ref{paraspacewmap}). 

Enfin, le moment magn�tique anormal du muon ($g_{\mu}-2$) peut �tre utilis� comme 
autre r�sultat exp�rimental contraignant l'espace des param�tres, et cette
contrainte a �t� report�e dans la figure~(\ref{paraspacewmap}).
Mais l'observation d'une r�elle d�viation de ($g_{\mu}-2$) par rapport � la 
pr�diction du MS est sujette � d�bats actuellement dans la communaut� des physiciens, la
contrainte pr�c�dente est donc � prendre avec prudence.

\subsection{La cosmologie}

La cosmologie joue un r�le de plus en plus important en physique des particules.
Quand la $R$-parit� est conserv�e, la supersym�trie apporte un candidat, la LSP,
pour la mati�re noire froide. Pour respecter les mesures cosmologiques de WMAP
sur la densit� totale de mati�re noire $\Omega_{MN}h^2$, la contribution de la LSP 
$\Omega_{LSP}h^2 $ ne peut pas exc�der 0.129~\cite{BDEGOP}.
Les figures~(\ref{paraspacewmap}) incluent aussi les r�gions permises de la densit� 
de mati�re noire d'origine supersym�trique par WMAP. De plus, 
la LSP ne doit pas �tre charg�e, et cette condition est aussi prise en compte,
la r�gion triangulaire fonc�e est la r�gion exclue.

\begin{figure}[htbp!]

\begin{center}\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=paraspacewmap10p2.eps,height=7.5cm,width=7.5cm}} &
\mbox{\epsfig{file=paraspacewmap10n2.eps,height=7.5cm,width=7.5cm}} \\
\mbox{\epsfig{file=paraspacewmap35n2.eps,height=7.5cm,width=7.5cm}} &
\mbox{\epsfig{file=paraspacewmap50p2.eps,height=7.5cm,width=7.5cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}

\caption{Contraintes exp�rimentales appliqu�es au plan ($m_{1/2},m_0$) pour
diff�rentes valeurs de $\tan\beta$, et les 2 signes de $\mu$.
La r�gion � gauche des tirets noirs est
exclue par la contrainte du LEP sur $m_{\chi^{\pm}}$ et la r�gion � gauche des
tirets rouges est exclue par la recherche directe du boson de Higgs au LEP.
La r�gion exclue par les mesures de $b\to s,\,\gamma$ est en vert
c'est-�-dire la large r�gion � gauche.
La r�gion rose en bas � gauche correspond � la r�gion permise par $g_{\mu}-2$
et les fines bandes fonc�es � celle par WMAP.
La r�gion fonc�e en bas � droite est interdite parce que l\`a la LSP a une charge
�lectrique.~\cite{BDEGOP}}

\label{paraspacewmap}

\end{figure}

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{La d�tection de la supersym�trie aux collisionneurs}
%------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{Les benchmarks}

Pour �tudier les possibilit�s de d�couverte de la supersym�trie aux futurs
collisionneurs, il est tr�s utile de faire appel � des "benchmarks", c'est-�-dire
� des mod�les tests dont les param�tres sont fix�s. Ceux ci
servent de rep�res et permettent de focaliser la discussion. Ces points de
l'espace des param�tres doivent �tre bien choisis de mani�re � illustrer les
diff�rentes possibilit�s. Les r�gions permises par WMAP et les autres mesures
tracent des sortes de bandes fines dans l'espace des param�tres du CMSSM. La
supersym�trie devrait donc se trouver sur un point de l'une de ces bandes. Une
dizaine de points significatifs ont �t� choisi, nomm�s par une lettre de
l'alphabet (figure~(\ref{benchWMAPstrips})). Certains points correspondent � de petites
masses de sparticules, ce qui est donc favorable � une d�tection directe,
d'autres sont �parpill�s sur les lignes de co-annihilation et 2 points ont �t�
choisis dans des r�gions o� les LSP peuvent s'annihiler rapidement (points K et
M). 2 points, les "points focus" (E et F) sont des points tr�s sensibles � la masse du top.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=benchWMAPstrips2.eps,height=7.5cm}} &
\mbox{\epsfig{file=benchWMAPstrips1.eps,height=7.5cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}

\caption{Lignes compatibles avec les r�sultats de WMAP, dans le plan
($m_{1/2},m_0$). Dans la premi�re figure  $\mu>0$ et $\tan\beta=$5, 10, 20, 35, 50,
et dans la seconde, $\mu<0$ et $\tan\beta=$10, 35. Les courbes � $\tan\beta$
�lev� sont les plus hautes.~\cite{BDEGOP}}

\label{benchWMAPstrips}
\end{figure}

\subsection{Les perspectives au LHC et au LC}

Bien entendu, la possibilit� de d�couverte d�pend des caract�ristiques du
collisionneur. Sachant que les masses des sparticules peuvent aller de plusieurs
centaines de GeV � quelques TeV, le Tevatron n'a qu'une mince chance de d�couvrir la
supersym�trie. En revanche, le LHC et le LC ont toutes les chances de la
d�couvrir car leurs caract�ristiques permettent de couvrir une large r�gion de
l'espace des param�tres. Les r�sultats simul�s des benchmarks sont donn�s sur la
figure~(\ref{benchWMAPresults}) qui indique le type de particules que nous pouvons
esp�rer
observer avec le LHC, le LC et la combinaison LHC+LC ou un collisionneur lin�aire plus
puissant, le CLIC. Au LHC, la supersym�trie semble donc "facile" � voir dans la
plupart des benchmarks. Dans ce cas, le nombre important de d�sint�grations en
cascade permettra d'observer plusieurs sparticules � la fois. Les mesures d'�tats
finaux supersym�triques permettront d'obtenir les masses des sparticules visibles
avec une pr�cision d'environ $10\%$. De plus, l'observation d'un
grand nombre d'�v�nements avec beaucoup d'�nergie transverse manquante pourra
indiquer la pr�sence de supersym�trie avec conservation de la $R$-parit�. Toutes
ces mesures du spectre donneront acc�s aux param�tres fondamentaux des mod�les
comme le CMSSM qui pourront �tre utilis�s pour calculer certaines des
observables de basse �nergie.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=benchWMAPresults.eps,width=14.0cm}}
\end{center}

\caption{Nombre de types de particules du MSSM qui peuvent �tre d�tectables par les divers
acc�lerateurs, en fonction des diff�rents benchmarks.~\cite{BDEGOP}}

\label{benchWMAPresults}
\end{figure}


\subsubsection{Exemple d'utilisation des r�sultats}

Dans les cas les plus favorables, on pourra estimer les param�tres du MSSM au LHC
(et peut-�tre aussi avec un collisionneur lin�aire ?) et
calculer par exemple la densit� de mati�re noire. Juste pour donner un exemple,
le spectre de masse suivant, correspondant au benchmark "B", pourra �tre
mesurable au LHC avec les pr�cisions indiqu�es~\cite{BDEGOP} (les masses sont en
GeV) :
\beqn
&m_{\tilde{g}}= 595.1 \pm 8.0 \nonumber\\
&m_{\tilde{q}_L}=540.3 \pm 8.8,\  m_{\tilde{q}_R}=520.4 \pm 11.8 \nonumber\\
&m_{\tilde{b}_1}=491.9 \pm 7.5,\  m_{\tilde{b}_2}=524.5 \pm 7.9 \nonumber\\
&m_{\tilde{l}_L}=202.3 \pm 5.0,\  m_{\tilde{l}_R}=143.1 \pm 4.8,\
m_{\tilde{\tau}_1}=132.5 \pm 6.3 \nonumber\\
&m_{\tilde{\chi}}=96.2 \pm 4.8,\ m_{\tilde{\chi}_2}=176.9 \pm 4.7,\
m_{\tilde{\chi}_4}=377.9 \pm 5.1.
\eeqn
En supposant le signe de $\mu$ connu, en posant~\footnote{$A_0$ n'a de toute
fa�on que peu d'impact sur
$\Omega_{LSP}h^2$.} $A_0=0$ on trouve :
\beq m_0=(103\pm 8)\ \mathrm{GeV},\ \ m_{1/2}=(240\pm  3)\ \mathrm{GeV},\ \
\tan\beta=10.8\pm 2. \eeq
Ce qui donne (voir figure~\ref{CDM}) :
\beq \Omega_{LSP}h^2=0.11^{+0.02}_{-0.03}. \eeq
Dans le calcul de la densit� de LSP, la limite exp�rimentale de WMAP ne
sera pas forc�ment satur�e. Il pourra toujours y avoir d'autres contributions
non n�gligeables � $\Omega_{MN}h^2$ qu'il nous faudra trouver. De plus, le CMSSM
n'est pas forc�ment le mod�le le plus r�aliste. Cependant, c'est un des mod�les
les plus simples pour �tudier la physique au-del� du MS mesurable dans les
collisionneurs � venir.

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\mbox{\epsfig{file=omega.eps,width=8.0cm}}
\end{center}

\caption{Pr�cision estim�e � laquelle la densit� $\Omega_{LSP}h^2$ (ici not�e
$\Omega_{\chi}h^2$) peut �tre
pr�dite gr�ce aux r�sultats du LHC dans le cas du benchmark "B".~\cite{BDEGOP}}

\label{CDM}
\end{figure}


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\section{Conclusions}
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La supersym�trie est pour l'instant hypoth�tique. Seulement, beaucoup
d'arguments sont en faveur de son existence. Ces arguments sont essentiellement
th�oriques mais la supersym�trie est aussi \underline{sugg�r�e
exp�rimentalement}. D'un c�t� elle r�sout le probl�me de la hi�rarchie des
�chelles, et est essentielle pour les th�ories des cordes. De l'autre, la
supersym�trie ajout�e au MS r�alise � partir des donn�es du LEP l'unification des couplages de jauge � haute
�nergie. Elle favorise aussi un boson de Higgs l�ger qui est pr�f�r�
exp�rimentalement. De plus, sa ph�nom�nologie est tr�s riche : elle introduit
une foule de nouvelles particules avec lesquelles de nouvelles interactions
sont possibles. Elle
contribue aux processus rares violant la saveur leptonique et la sym�trie
$CP$. Le concept de $R$-parit� induit aussi une riche ph�nom�nologie comme par
exemple une candidate pour la mati�re noire (la LSP).
Tout ceci l'a rendue extr�mement populaire. Les consid�rations de stabilit� de
la masse du Higgs envers les corrections radiatives sugg�rent des masses de
l'ordre du TeV pour les spartenaires. Ainsi, elle est tr�s attendue au LHC !

La supersym�trie s�duit car elle permet d'unifier les bosons et les fermions.
C'est aussi la derni�re sym�trie de l'espace-temps � 4D � ne pas �tre (encore)
observ�e dans la nature, et elle peut inclure naturellement la gravitation (th�ories de
supergravit�, voir chapite 4).
Cependant, il est vrai qu'elle introduit beaucoup de nouvelles particules, dont
des scalaires et ceux-ci n'ont encore pas �t� observ�s dans la nature. De plus,
la supersym�trie seule n'explique pas tout : les masses, et la physique des saveurs
d'une mani�re g�n�rale, ne sont pas expliqu�es. Peut �tre faudrait-il ajouter
une Grande Unification, des dimensions suppl�mentaires ?
Il reste encore beaucoup de choses � �tudier dans la supersym�trie, et
notament sa \underline{brisure}. Exp�rimentalement aussi, la d�couverte de la
supersym�trie, du mod�le (MSSM, NMSSM,...) et de tous ses param�tres est un
d�fi pour les ann�es � venir. Dans quelques ann�es nous serons enfin
capable de tester l'id�e de la $R$-parit�, de la LSP, nous pourrons voir les
connexions entre la supersym�trie et la cosmologie mais surtout nous devrions
enfin conna�tre le m�canisme et l'origine de la brisure �lectrofaible.




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\chapter{Physique des neutrinos {\it et al.}}                                  %
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Nous avons d�j� discut� des neutrinos et de leur impact sur le Mod�le Standard.
La physique des neutrinos est riche et les cons�quences du m�lange des
neutrinos sont nombreuses. Ce chapitre aborde donc des sujets tr�s divers mais
tous li�s : les oscillations de neutrinos, la violation de $CP$ leptonique,
la violation des nombres leptoniques, la leptogen�se et l'inflation
cosmologique. Nous verrons ainsi l'importance des sp�cificit�s du secteur des
neutrinos sur la physique des particules et la cosmologie.

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\section{Les Masses et oscillations des neutrinos}
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\subsection{L'�chelle de masse des neutrinos}

Dans le Mod�le Standard, nous connaissons maintenant plus ou moins
pr�cisemment les masses de tous les quarks, de tous les leptons charg�s mais pas
du tout celles des neutrinos. A vrai dire, on a m�me longtemps cru qu'ils n'avaient
pas de masse. De plus, jusqu'� pr�sent nous n'avons que des limites
sup�rieures sur les masses des 3 neutrinos.
De la d�sint�gration $\beta$ du Tritium nous savons que~\cite{JE-NU} :
\beq m_{\nu_e} \leq 2.5\ \mathrm{eV}. \eeq
L'exp�rience KATRIN devrait pouvoir sonder des masses de l'ordre de 0.5 eV.
Ensuite, des mesures de la d�sint�gration $\pi\to\nu\mu$, nous avons :
\beq m_{\nu_{\mu}} \leq 190\ \mathrm{KeV} \eeq
et il y a des projets pour baisser cette limite d'un facteur $\sim 20$.
Finalement, des mesures de $\tau\to n\pi\nu$, nous avons :
\beq m_{\nu_{\mu}} \leq 18.2\ \mathrm{MeV} \eeq
qui devrait dans le futur �tre am�lior�e jusqu'� $\sim$5 MeV.
Les masses des neutrinos sont donc plus faibles que celles de la plupart des 
fermions du MS. 
Mais les limites astrophysiques sont beaucoup plus contraignantes que ces limites
obtenues en laboratoire. Les donn�es extraites de l'observation des
structures � grande �chelle dans l'univers (galaxies, amas de galaxies,...) 
peuvent �tre utilis�es pour obtenir une limite sup�rieure de 1.8 eV sur la
\underline{somme} des masses des neutrinos. Cette limite a �t� r�cemment 
am�lior�e par WMAP en : 
\beq \sum_{i}m_{\nu_i} < 0.7\ \mathrm{eV}. \eeq
Dans le cas o� la limite est satur�e et o� les neutrinos sont d�g�n�r�s en
masse, cel� donne une masse individuelle d'environ 0.23 eV, 2000 fois plus
petite que celle de l'�lectron ! M�me si l'extraction de la masse des neutrinos
� partir d'observations astronomiques d�pend du mod�le et de notre connaissance
actuelle de la cosmologie, cette limite est robuste.

Une autre mani�re int�ressante d'obtenir des limites sur les masses des
neutrinos  
vient de la recherche de la d�sint�gration double-$\beta$ sans neutrinos ($\beta \beta
_{0\nu}$). Sa mesure contraint la somme des masses de Majorana des
neutrinos gauches, pond�r�es par leurs couplages � l'�lectron :
 \beq <m_{\nu}>_{ee} = |\sum_{i}m_{\nu_i} U_{ei}^2 |\leq 0.35\ \mathrm{eV} \eeq
Les futures exp�riences ont l'intention d'am�liorer cette limite jusqu'� $\sim
0.01$ eV.
\par\hfill\par
Sur la figure~(\ref{WMAP02}) nous pouvons voir la corr�lation entre $\Omega_{\nu} h^2$ 
et $<m_{\nu}>_{ee}$, les donn�es des oscillations et de WMAP permettent aussi de
contraindre la somme des masses de Majorana des
neutrinos gauches. On a
$0.001\lesssim\Omega_{\nu} h^2\lesssim0.07$ donc on s'attend d'apr�s la figure 
� avoir � peu pr�s 0.01 eV $\lesssim <m_{\nu}>_{ee} \lesssim$ 1 eV.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=6cm\epsfbox{WMAP02.eps}}
\caption{Corr�lation entre $\Omega_{\nu} h^2$ et $<m_{\nu}>_{ee}$ en prenant en
compte l'intervalle permis par les oscillations de neutrinos.~\cite{Correlation}}
\label{WMAP02}
\end{figure} 

\subsection{Les oscillations des neutrinos}

\subsubsection{La Matrice MNS}

Nous avons �voqu� au chapitre 1 le ph�nom�ne des oscillations entre les saveurs
de neutrinos. Celui-ci vient de la diff�rence entre les �tats propres de masses de
ceux de saveurs. Il existe une matrice unitaire qui relie ces deux types d'�tats, 
la matrice MNS, telle que :
\beq 
|\nu_{\alpha}> = \sum_{i=1,2,3} \mathcal{U}_{(MNS)\, \alpha\, i}\, |\nu_{i}>. 
\eeq
$\mathcal{U}_{(MNS)}$ est la matrice de rotation dans l'espace des saveurs
$\alpha$ (voir figure~(\ref{angles})) et peut se param�triser en fonction de 3 
angles et 3 phases :
\beq 
\mathcal{U}=
\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&c_{23}& s_{23}\\ 0&-s_{23}&c_{23}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc} c_{13} &0&s_{13}e^{-i\delta} \\ 0&1&0 \\ -s_{13}e^{-i\delta}&0& c_{13}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc} c_{12}&s_{12}&0 \\ -s_{12}& c_{12}&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc} e^{-i\phi_1}&0&0 \\ 0&e^{-i\phi_2}&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)
\eeq
o� $c_{ij}=\cos{\theta_{ij}}$ et $s_{ij}=\sin{\theta_{ij}}$.
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=12cm\epsfbox{angles.eps}}
\caption{Relation entre les �tats de saveurs $\nu_e$, $\nu_{\mu}$, $\nu_{\tau}$ 
et les �tats propres de masse $\nu_1$, $\nu_2$, $\nu_3$ en fonction des 3 
angles d'Euler $\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13}$.}
\label{angles}
\end{figure}

La premi�re matrice est mesurable par les exp�riences sur les neutrinos
atmosph�riques~\footnote{C'est-�-dire des neutrinos $\nu_{\mu}$ produits dans l'atmosp�re terrestre par
les rayons cosmiques puis d�tect�s sur terre.} comme par exemple
SuperKamiokande (SK). L'angle de m�lange de ce secteur est \`a peu 
pr\`es maximal, 
$\theta_{23} \sim 45^0$ et $\Delta m_{23}^2 \simeq 2 \times 10^{-3}$
eV$^2$~\cite{PDG04}.

La seconde matrice est encore inconnue exp�rimentalement. Elle est accessible
depuis les exp�riences bas�es sur la production de neutrinos par des r�acteurs
nucl�aires et par des acc�l�rateurs. Jusqu'� pr�sent, les exp�riences comme Chooz n'ont �tabli que des limites
sup�rieures sur $\theta_{13}$ et il n'y aucune information sur la phase 
$\delta$ de violation de $CP$ (CPV). $\theta_{13}\lesssim 15^0 $~\cite{PDG04}.

La troisi�me matrice est celle du secteur des neutrinos
solaires~\footnote{Ils sont appel�s ainsi car ces
neutrinos sont produits dans les r�actions nucl�aires du coeur du Soleil et
nous parviennent sur Terre.}. Les valeurs
favoris�es par SK et SNO sont $\theta_{12}\sim 32^0$ et $\Delta m_{12}^2\simeq
7 \times 10^{-5}$ eV$^2$~\cite{PDG04}.

Enfin, la derni�re matrice contient les 2 phases de Majorana possibles si les
neutrinos gauches sont de type Majorana (c'est-�-dire �gaux aux antineutrinos). Elles
sont, en principe, observables dans les exp�riences sur la d�sint�gration 
$\beta \beta _{0\nu}$ mais pas dans les oscillations de neutrinos. D'autres
quantit�s observables peuvent �tre sensibles indirectement � ces phases, nous
en discuterons un peu plus tard.

Si, pour avoir une id�e de se qui se passe physiquement, nous prenons le cas
simple � 2 saveurs, le calcul de la propagation de ces neutrinos dans le vide et 
de la probabilit� de transition donnent :
\beq 
P(\nu_{\alpha} \to \nu_{\beta})= \sin^22\theta\sin^2(1.27\Delta m^2L/E).
\eeq
A des longueurs L diff�rentes (ou des temps diff�rents), les
probabilit�s d'observer un neutrino de saveur $\beta$ sont diff�rentes. La
probabilit� oscille en fonction de $\Delta m^2_{ij}=m_i^2-m_j^2$ et de l'angle 
de m�lange $\theta$ entre les 2 saveurs (� $L/E$ fix�). 
\underline{Les exp�riences bas�es sur les} \underline{oscillations entre saveurs des neutrinos n'ont
donc acc�s qu'aux diff�rences de masses-carr�es}  \underline{ainsi qu'aux angles 
de m�langes de la matrice MNS} (et � la phase $\delta$).

\subsubsection{Les r�sultats exp�rimentaux et le bilan}

Avant SK et KamLAND, seuls des d�ficits dans les flux de neutrinos 
venant des sources astrophysiques avaient
�t� observ�s. Mais depuis, des oscillations ont �t� vues dans les graphes.
De plus, deux types d'exp�riences, SK/SNO et KamLAND, ont d�montr� que les
neutrinos solaires se comportent de la m�me fa�on que les neutrinos issus
des r�acteurs, et SK et K2K ont d�montr� que les neutrinos atmosph�riques
se comportent de la m�me fa�on que les neutrinos issus d'un acc�l�rateur.
M�me si le signal n'est pas suffisamment clair pour parler de d�couverte
ou de confirmation des oscillations de neutrinos, les autres explications
qui pr�disent des d�ficits mais pas d'oscillations sont � plus de
$\sim3\sigma$ du meilleur ajustement. L'hypoth�se des
oscillations semble donc tr�s solide et vraisemblable. Les exp�riences
MINOS et OPERA devraient faire beaucoup mieux et dans peu de temps nous
pourrons avoir une confirmation nette des oscillations.
 
A l'heure actuelle, nous pouvons dire �tre arriv� au "consensus" suivant sur
notre connaissance des neutrinos :

$\bullet$ il y a 3 neutrinos l�gers,

$\bullet$ leurs masses propres sont rang�es dans l'ordre hi�rarchique (cf
figure~(\ref{hierarchie})),

$\bullet$ le m�lange est presque bimaximal :
\beq 
\mathcal{U}_{(MNS)}\simeq
\left(\begin{array}{ccc} 
\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0 \\ 
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 
\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right)
\eeq

$\bullet$ les phases $\delta$, $\phi_{1,2}$ sont compl�tement inconnues,

$\bullet$ la nature de Dirac ou de Majorana des neutrinos est aussi inconnue,

$\bullet$ les moments dipolaires des neutrinos sont sans doute faibles,

$\bullet$ les temps de vie des neutrinos sont sans doute longs.

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=12cm\epsfbox{hierarchie.eps}}
\caption{Hi�rarchies possibles entre les 3 masses propres $m_1$, $m_2$, $m_3$
compatibles avec les 2 $\Delta m^2_{ij}$ mesur�s.}
\label{hierarchie}
\end{figure}
 
Cependant, nous pouvons nous poser la question de l'existence d'autres
neutrinos l�gers mais st�riles~\footnote{L'exp�rience LSND aurait vu un 
troisi�me
$\Delta m^2$ compl�tement diff�rent des deux autres, ce qui s'expliquerait par l'existence
d'au moins un autre neutrino qui n'aurait pas �t� d�tect� avant.}
 (sans interactions faibles), ce qui est �
confirmer par l'exp�rience MiniBoone. Les neutrinos peuvent aussi
avoir une hi�rarchie invers�e, rien n'est encore s�r de ce c�t�. De plus, du
c�t� des angles de la matrice MNS, il reste � conna�tre $\theta_ {13}$. J-PARC,
Double-Chooz et d'autres projets utilisant des r�acteurs nucl�aires devraient
dans un futur proche pouvoir diminuer la limite actuelle. Ensuite, l'angle
"solaire" $\theta_ {12}$ n'est pas vraiment maximal, il reste � savoir
pourquoi. Finalement, la violation de $CP$ dans le secteur leptonique reste �
d�terminer.

\subsubsection{La violation de $CP$ leptonique}

Avant de passer aux masses des neutrinos, nous allons encore dire quelques mots
sur la violation de $CP$ leptonique. Pour pouvoir d�terminer exp�rimentalement
l'angle $\delta$, il est possible d'utiliser l'observable suivante :
\beqn
\mathcal{P}(\nu_e\to\nu_{\mu})-\mathcal{P}(\bar{\nu}_e\to\bar{\nu}_{\mu}) &=&
16 s_{12} c_{12} s_{13} c_{12}^2 s_{23} c_{23} \sin\delta \times \nonumber \\
&&\sin\left(\frac{\Delta m_{12}^2}{4E}L\right) \sin\left(\frac{\Delta
m_{13}^2}{4E}L\right) \sin\left(\frac{\Delta m_{23}^2}{4E}L\right)
\label{CPobs}\eeqn
c'est-�-dire la diff�rence entre les probabilit�s d'oscillations de
$\nu_e\to\nu_{\mu}$ et $\bar{\nu}_e\to\bar{\nu}_{\mu}$. Mais l'extraction de
$\sin\delta$ ne sera possible que si $\theta_
{13}$ est suffisamment grand.
Si $\theta_{13}$ est vraiment faible, l'extraction de $\sin\delta$ risque d'�tre tr�s
difficile � obtenir et la violation de $CP$ � �tablir. En revanche, la
connaissance de $\delta$ pourra entre autres nous
donner des indications indirectes pour la
leptogen�se, un des possibles m�canismes responsables de l'asym�trie
baryonique~\footnote{C'est-�-dire le fait que le nombre de baryons soit si grand devant celui
des antibaryons, {\it cf} la fin du chapitre.}.
En g�n�ral, le maximum de l'asym�trie~(\ref{CPobs}) est � quelques centaines ou
 milliers de kilom�tres de la source, ce qui n�cessite de tr�s longue installations
 ("Long baseline"). De plus, pour obtenir une mesure claire et sans ambig�it�s
possibles dans
l'interpr�tation des r�sultats, il faudra combiner les informations pour
diff�rentes distances comme nous le montre la figure~(\ref{CPVnu02}).
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\epsfxsize=12cm\epsfbox{CPVnu02.eps}}
\caption{Ajustements combin�s de $\theta_{13}$ et $\delta$ en utilisant les
informations de diff�rentes installations situ�es � diff�rentes distances de la
source.~\cite{CPfit}}
\label{CPVnu02}
\end{figure}

Avec quels types d'exp�riences pouvons nous obtenir les mesures de
$\theta_{13}$ et $\delta$ ?
Entre autre, et sans rentrer dans les d�tails, avec des
{\it usines � neutrinos} mais aussi avec des
{\it beta-beams} (faisceaux b�ta). Le premier projet est bas� sur le
stockage de muons qui se d�sint�grent en $\nu_\mu$ et ${\bar \nu}_e$. Dans
le second,
les faisceaux de neutrinos ou d'anti-neutrinos sont cr��s
par un stockage de noyaux instables qui se d�sint�grent en cr�ant un neutrino
ou anti-neutrino dans l'�tat final. Par exemple, $^6He: n\to p\,e^-\,\bar{\nu}_e$
et $^{18}Ne: p\to n\,e^+\,\nu_e$. Dans ce cas, le faisceau cr�� est tr�s pur.
Une simulation des limites possibles sur $\Delta m^2_{12}$ et $\delta$ en fonction de
$\theta_{13}$ est donn�e dans la figure~(\ref{CPVnu0304}). En particulier, l'angle
$\theta_{13}$ pourra �tre mesur� si $\sin^2\theta_{13}\gtrsim 10^{-4}$.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=CPVnu03.eps,width=8.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=CPVnu04.eps,width=8.0cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Simulation des limites exp�rimentales possibles sur $\theta_{13}$ et
$\delta$, selon diff�rents projets.~\cite{CPex}}
\label{CPVnu0304}
\end{figure}

\subsection{Les masses des neutrinos}

\subsubsection{Au-del� du Mod�le Standard}

Les neutrinos ont une masse, mais dans le cadre strict du MS ceci n'est pas
possible. Cependant, puisque le MS n'est qu'une
description effective � basse �nergie de la physique, nous pouvons tout � fait
ajouter les termes non-renormalisables qui g�n�rent des masses aux
neutrinos, sans m�me ajouter d'autres champs. Par exemple, un terme
non-renormalisable de la forme~\footnote{C'est le terme non-renormalisable le
plus simple. Il en existe bien s�r d'autres mais ils font intervenir des
puissances de $1/M$ plus grandes et des op�rateurs plus complexes.} :
\beq \mathcal{L} \supset \frac{1}{M}\nu H. \bar{\nu} \bar{H} \label{eqNR}\eeq
o� M est une �chelle d'�nergie caract�ristique de la nouvelle physique
responsable de ce terme. Ce terme, � la brisure �lectrofaible, va g�n�rer un
terme de masse aux neutrinos :
\beq
\sim\underbrace{\frac{\langle 0|H|0 \rangle^2}{M}}_{m_{\nu}}\nu.\bar{\nu} \\
\eeq
Or, une nouvelle interaction comme~(\ref{eqNR}) semble non naturelle et peu
fondamentale, il faut comprendre \underline{l'origine} du terme et celle de
l'�chelle de masse $M$.

Num�riquement, en prenant $m_{\nu}\sim\sqrt{\Delta
m_{23}^2}\sim 5.10^{-2}$ eV et $\langle 0|H|0 \rangle\sim
200$ GeV, nous trouvons que $M\sim 10^{15}$ GeV. L'�chelle de masse de la
physique qui fourni le terme effectif~(\ref{eqNR}) est donc tr�s haute,
comparable � l'�chelle de Grande Unification.

\subsubsection{Le m�canisme de Seesaw}

Pour expliquer la masse faible des neutrinos � partir d'une haute �chelle de
masse, nous pouvons utiliser le {\it m�canisme de Seesaw} (m�canisme de la balan�oire).
C'est un m�canisme minimal, c'est-�-dire sans nouvelles interactions de jauge,
renormalisable,
et qui requiert seulement l'introduction de neutrinos lourds singulets de l'interaction
faible, donc droits. Ils sont not�s $N_i$. Ces nouveaux neutrinos droits vont pouvoir se
coupler avec les neutrinos gauches {\it via } un couplage de Yukawa et conduire
� un terme de masse de Dirac � la brisure �lectrofaible. Cette masse de Dirac
$M_D$,
puisque intimement li�e � la brisure �lectrofaible, est donc naturellement de
l'ordre de $m_W$. De plus, les neutrinos droits peuvent eux-m�me former un
terme de masse de Majorana, de masse $M$ qui peut �tre beaucoup plus �lev�e que
$m_W$. Par exemple, elle peut �tre de l'ordre de l'�chelle de la Grande
Unification, $M\sim\mathcal{O}(M_{GUT})$. En effet, ce terme de masse
n'a rien � voir avec la brisure �lectrofaible donc ne n�cessite pas d'y �tre
reli�. Si nous combinons ces deux types de masse, nous obtenons la matrice de
masse dite de Seesaw :
\beq
\left(\nu_L,\ N\right)\, \underbrace{\left(\begin{array}{cc} 0 & M_D \\
M_D^{\mathrm{T}} & M \end{array}\right)}_{M_{seesaw}}
\left(\begin{array}{c} \nu_L \\ N \end{array}\right),
\eeq
ce qui nous donne, en diagonalisant, la matrice de masse \underline{effective}
des neutrinos gauches :
\beq \mathcal{M}_{\nu}=M_D \frac{1}{M} M_D^{\mathrm{T}} << M_{q,l},
\label{seesaw} \eeq
o� $M_D$ et $M$ sont des matrices $3\times3$ dans l'espace des saveurs.

Afin de retrouver avec 3 masses de neutrinos non-nulles les 2 diff�rences de
masses-carr�es observ�es, nous avons besoin d'introduire au moins 3 neutrinos
droits $N_i$.
M�me si dans ce mod�le nous n'avons pas besoin d'une Grande Unification, 3
neutrinos droits apparaissent naturellement dans certains mod�les ($SO(10)$ en
particulier). En r�sum�, nous avons donc des masses effectives de neutrinos
gauches \underline{faibles et inversement proportionnelles} \underline{aux masses de
neutrinos singulets lourds}. Le terme~(\ref{eqNR}) s'obtient par �change de ces neutrinos
lourds.

\par\hfill\par
Il existe d'autres m�canismes de Seesaw, non-minimaux, dans lesquels sont ajout�s des
champs suppl�mentaires. Le m�canisme pr�c�dent est souvent appel� le {\it m�canisme
de Seesaw de type I} et n'est pas la seule possibilit� d'obtenir un terme effectif �
basse �nergie comme~(\ref{eqNR}). Dans le {\it m�canisme de Seesaw de type II}, on
ajoute des Higgs
lourds triplets de $SU(2)_L$ qui sont �chang�s. Dans le {\it double Seesaw}, ce sont 
d'autres singulets de neutrinos (en plus des 3 du m�canisme type I) qu'on ajoute,
mais qui ne se couplent pas aux neutrinos gauches. Le m�canisme se produit 
gr�ce au couplage avec les neutrinos droits. Ces m�canismes sont un peu 
complexes mais reposent cependant sur le m�me principe. Nous continuerons donc
l'expos� dans le cadre du mod�le seesaw de type I.

\subsubsection{Les alternatives}

Le m�canisme de Seesaw n'est pas le seul � pouvoir fournir des masses tr�s
faibles aux neutrinos, il existe d'autres alternatives, par exemple dans le
cas d'une th�orie supersym�trique avec violation de la $R$-parit�.
En effet, comme le nombre leptonique n'est pas conserv�, il n'est pas �tonnant
que la supersym�trie sans $R$-parit� puisse apporter une explication aux masses
et m�langes des neutrinos. Il y a plusieurs sources possibles aux masses des
neutrinos. Au niveau de l'arbre nous pouvons avoir un terme de masse de la 
forme :
\beq
(M_{\nu})_{ij}=\frac{\mu_i\mu_j}{m_{SUSY}} \label{treenu}
\eeq
o� $\mu_i$ est le couplage bilin�aire entre les champs leptoniques et le champ
de Higgs de type "up".

Au niveau d'une boucle il y a beaucoup de possibilit�s, par exemple une boucle de
slepton-lepton qui donnerait :
\beq
(M_{\nu})_{ij}=\frac{1}{8\pi^2}\lambda_{ink}\lambda_{jkn}\frac{m_{l_n}m_{l_k}}{m_{SUSY}}
\label{loopnu},\eeq
ou bien une boucle de quark-squark, ou encore une boucle de sneutrino-neutralino.
L'importance relative de ces contributions d�pend du mod�le. Nous pouvons
facilement �tablir une hi�rarchie entre les masses, par exemple en g�n�rant une
masse � l'arbre gr�ce au terme~(\ref{treenu}) et les deux autres par des termes du
genre~(\ref{loopnu}). Nous n'irons cependant pas plus loin car c'est le
m�canisme de Seesaw qui sera utilis� par la suite. 

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Au-del� : la violation des nombres leptoniques}
%------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{Les nombres leptoniques}

Les oscillations entre saveurs de neutrinos remettent en cause la conservation
de la saveur leptonique qui est accidentelle dans le MS. Cela n'est pas si
choquant car apr�s tout, pourquoi n'y aurait-il pas de violations du/des 
nombre(s) leptonique(s) ?

\underline{Exp�rimentalement}, c'est vrai, aucune violation de la saveur leptonique
(LFV) n'a �t� observ�e chez les leptons charg�s. Par exemple les taux de 
branchements de
$\mu\longrightarrow e,\,\gamma$ et $\tau\longrightarrow\mu,\,\gamma$ sont
respectivement inf�rieurs � $1.2\times 10^{-12}$ et 
$1.1\times 10^{-6}$~\cite{PDG04}. 

Mais \underline{th�oriquement}, il n'y a pas de raison vraiment forte pour
justifier la conservation de $L$, le nombre leptonique total, ou $L_e$,
$L_{\mu}$ et $L_{\tau}$, les nombres leptoniques individuels. En physique
des particules, les seuls nombres quantiques conserv�s sont associ�s � des
sym�tries de jauge exactes. De plus, les particules de masses nulles sont
aussi associ�es � de telles sym�tries~\footnote{La masse nulle du photon
est associ�e � la sym�trie de jauge $U(1)$ de l'�lectromagn�tisme, et
celles des gluons � la sym�trie de jauge de couleur $SU(3)_C$ de QCD.}.
Pourtant, il n'y a pas de sym�trie de jauge exacte associ�e au(x) 
nombre(s) leptonique(s).
Chez les neutrinos, les oscillations entre les diff�rentes saveurs
montrent bien que les nombres leptoniques individuels ne se conservent pas
et que les neutrinos ont des masses non-nulles. Au-del� du Mod�le Standard
en g�n�ral et dans les mod�les supersym�triques en particulier, nous nous
attendons � trouver des LFV dans certains processus~\footnote{La question
de la conservation/violation du nombre leptonique \underline{total},
$L_e+L_{\mu}+L_{\tau}$, reste cependant ouverte...}. Dans cette section,
nous discuterons du lien �troit entre le secteur des neutrinos et la LFV.

\subsection{Au-del� du m�canisme de Seesaw}

\subsubsection{Le comptage des param�tres}

Dans le m�canisme de Seesaw minimal, le lagrangien du secteur des neutrinos 
contient :
\beq 
- {\cal L}_\nu \supset \underbrace{\left(Y_{\nu}\right)_{ij} H 
\bar{N}_i 
\left(\begin{array}{c}
\nu \\ L \end{array}\right)_j}_{\mathrm{``masse\ de\ Dirac"\,/\,couplage\ de\ Yukawa}} + 
\underbrace{\frac{1}{2} \bar{N}_i \mathcal{M}_{ij}\bar{N}_j}_{\mathrm{``masse\ de\
Majorana"}}
\eeq
Le m�canisme de Seesaw minimal implique 18 param�tres physiques. D'un cot� les 
9 param�tres observables � basse �nergie : les 3 masses l�g�res, les 3 angles de 
m�lange et les 3 phases violant $CP$ de la matrice de masse effective � basse
�nergie (4 de ces param�tres sont d�j� connus exp�rimentalement, $\Delta m_{12}^2$, $\Delta
m_{23}^2$, $\theta_{12}$, $\theta_{23}$). D'un autre c�t�, la matrice de masse des 
neutrinos singulets lourds a aussi 9 degr�s de libert�, incluant {\it a
priori} 3 masses lourdes, 3 angles r�els et 3 phases CPV. 
Ceci nous fait un total de 6 phases : la phase de Dirac 
$\delta$, les 2 phases $\phi_{1,2}$ qui affectent la double d�sint�gration beta
sans neutrinos, et 3 phases "lourdes" qui contr�lent la leptogen�se.
Comment pouvons-nous avoir
acc�s � ces 18 param�tres ? Les oscillations de neutrinos n'�tant pas
suffisantes, quelles sont alors les autres observables que nous pouvons
�tudier pour d�terminer tous les param�tres ? 



\subsubsection{La param�trisation}

A haute �nergie, le m�canisme de Seesaw se param�trise par $(Y_{\nu})$ la matrice 
de couplage de Yukawa des neutrinos droits aux neutrinos gauches (ou par la
matrice de masse de Dirac $M_D$) et par $(M_N)$ la matrice de masse de Majorana
des neutrinos singulets lourds. A basse �nergie, nous avons acc�s � la matrice de
masse effective $\mathcal{M}_{\nu}$ qui est reli�e � $(Y_{\nu})$ et $(M_N)$
par l'�quation~(\ref{seesaw}). Les 9 param�tres additionnels n�cessaires pour param�triser 
compl�tement le m�canisme de Seesaw peuvent former une matrice $3\times 3$ hermitienne 
$\mathcal{H}$. Nous avons alors sch�matiquement :
\beq  \underbrace{(Y_{\nu},\,M_N)}_{hautes\ energies} \longrightarrow 
\underbrace{(\mathcal{M}_{\nu},\,\mathcal{H})}_{basses\ energies}. \eeq

Reste � savoir comment obtenir des informations sur $\mathcal{H}$ � partir de
mesures d'observables � basses �nergies et comment relier $\mathcal{H}$ � $(Y_{\nu})$ et
$(M_N)$. 

Il se trouve que dans le mod�le supersym�trique seesaw minimal, les processus 
violant le nombre leptonique permettent justement l'�tude indirecte des 
param�tres du secteur des neutrinos car ils donnent acc�s � cette matrice 
$\mathcal{H}$.

\subsection{Les processus violant la saveur leptonique}

Dans un sc�nario seesaw minimal et supersym�trique, certains processus qui
violent la saveur leptonique peuvent �tre induits par l'interaction de Yukawa 
$\left(Y_{\nu}\right)_{ij} H_u \bar{N}_i L_j $. En effet, si la supersym�trie 
se brise � des �nergies plus grandes que l'�chelle de masse des neutrinos lourds, 
des termes non-diagonaux des matrices de masse des sleptons permettant la violation 
de $L$ et de $CP$ seront 
induites radiativement gr�ce aux couplages de Yukawa des neutrinos l�gers, et
ceci m�me si les param�tres d'origine de la brisure sont 
ind�pendants de la saveur~\footnote{Si on suppose que les termes softs sont
r�els et universels � l'�chelle de l'unification, comme sugg�r� par l'absence de
grandes contributions supersym�triques aux processus LFV et CPV, les violations de
$CP$ et des nombres leptoniques dans le secteur des sleptons sont enti�remement
induites par les effets de renormalisation des param�tres de couplage des
neutrinos.}.  C'est la renormalisation de la masse "douce" des sleptons qui va 
cr�er le m�lange des saveurs. A l'ordre d'une boucle et quand $M_{GUT}>>M_{N_k}$, 
la renormalisation des param�tres de brisure de supersym�trie � basse �nergie se trouve
�tre proportionnelle � :
\beq
\sum_k(Y_{\nu}^*)_{ki}(Y_{\nu})_{kj}\ln\left(\frac{M_{GUT}}{M_{N_k}}\right),
\label{Hij}\eeq
o� $M_{GUT}$ est l'�chelle o� on impose les conditions initiales sur les
param�tres de brisure de supersym�trie (universalit� des masses scalaires � $M_{GUT}$
...). Les $M_{N_k}$ sont les masses de neutrinos lourds. Or~(\ref{Hij}) peut
exactement jouer le r�le de la matrice $\mathcal{H}$~\cite{Param}.
En particulier, nous avons les renormalisations suivantes :
\beqn
(\delta m_{\tilde{L}}^2)_{ij} &\simeq& -\frac{1}{8\pi^2}(3m_0^2 + A_0^2)
\mathcal{H}_{ij}, \nonumber\\
(\delta A_l)_{ij} &\simeq&
-\frac{1}{8\pi^2}A_0Y_{l_i}\mathcal{H}_{ij},
\label{RN-SUSYX}
\eeqn
Dans ce cas, la seule combinaison des angles et des phases qui viole $CP$,
analogue � l'invariant de Jarlskog dans le MS~\footnote{Il traduit
l'amplitude de la violation de $CP$ dans le secteur des quarks.} est:
\beq
J_{\tilde{L}}=\mathrm{Im}[(m_{\tilde{L}}^2)_{12}(m_{\tilde{L}}^2)_{23}(m_{\tilde{L}}^2)_{31}]
\eeq
et elle ne d�pend que d'une seule phase.

\noindent \underline{Remarque :} si, � $M_{GUT}$, les valeurs initiales des param�tres de brisure
douce ne sont pas ind�pendantes de la saveur, il y aura des sources
additionnelles aux processus changeant la saveur en dehors de celles discut�es
ici. Seconde remarque, si les neutrinos lourds ne sont pas d�g�n�r�s, il y a
d'autres contributions � $J_{\tilde{L}}$ qui d�pendront alors de 3
phases~\cite{CPV}.
\par\hfill\par
Tout ceci peut conduire � des taux de branchements observables pour les
processus LFV comme $\mu\to e\gamma$, $\tau\to e\gamma$, $\tau\to \mu\gamma$,
la conversion $\mu-e$ dans les noyaux,
$\mu\to 3e$ et $\tau\to 3 l$. En g�n�ral, comme $(Y_{\nu})$ est complexe, elle
conduit � une violation de $CP$ dans les oscillations de neutrinos, dans les processus
rares LFV ainsi que dans les moments dipolaires �lectriques. Cette violation de
$CP$ leptonique est primordiale pour que l'asym�trie baryonique observ�e dans
l'Univers ait une origine dans la leptogen�se. Nous allons voir des exemples
num�riques de tous ces cas.

\subsubsection{La LFV chez les leptons charg�s}

Nous supposons dans les exemples num�riques suivants que les seules sources de
LFV et CPV sont d�es aux interactions avec les neutrinos singulets lourds.
Si nous calculons cette
d�sint�gration dans le mod�le seesaw \underline{supersym�trique} et minimal,
(avec un choix
particulier des param�tres des neutrinos) et pour une grande partie de
l'espace des param�tres supersym�triques, la pr�diction est au-dessus de la limite exp�rimentale.
Mais quand la pr�diction du taux de branchement est minimale ({\it i.e.} $m_0
\simeq 300$ GeV, figure~(\ref{mu-1}); $\phi_2 \simeq 2.1$,
figure~(\ref{mu-1bis})) l'asym�trie $\mathcal{A}_{T}$ de $\mu\to 3e$
qui viole $T$ (donc de fa�on �quivalente $CP$) est maximale (elle peut �tre de
10$\%$ environ) : il y a anti-corr�lation entre $\mathcal{A}_{T}$ et $Br(\mu\to
e\,\gamma)$. Le taux de branchement $\mu\to 3e$ est donc dans ce cas comparable � celui de $\mu\to
e\,\gamma$. Ceci est en fait d� � des annulations
possibles dans les diff�rents diagrammes pingouins photoniques.
Ce r�sultat est commun � d'autres choix sur les param�tres des neutrinos,
nous n'entrerons donc pas dans les d�tails.
Ainsi, il est en principe possible de mesurer exp�rimentalement la
violation de $CP$ dans
le secteur des leptons charg�s avec la d�sint�gration $\mu\to 3e$.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=br-1.ps,width=7.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=asymT-1.ps,width=7.0cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{(a) Taux de branchement de $\mu^+\to e^+\,\gamma$ et $\mu\to e^+\,e^+\,e^-$ et (b) asym�trie
de $\mu\to e^+\,e^+\,e^-$ qui viole
T, en fonction de $m_0$ la masse "douce" commune des scalaires et pour un certain
choix des param�tres de neutrinos.~\cite{CPV}}
\label{mu-1}

\end{figure}
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=br-1bis.ps,width=7.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=asymT-1bis.ps,width=7.0cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{(a) Taux de branchement de $\mu^+\to e^+\,\gamma$ et $\mu\to e^+\,e^+\,e^-$ et (b) asym�trie
de $\mu\to e^+\,e^+\,e^-$ qui viole
T, en fonction de la phase de la phase de Majorana $\phi_2$ et pour un certain
choix des param�tres de neutrinos.~\cite{CPV}}
\label{mu-1bis}
\end{figure}

La violation de la saveur leptonique peut aussi se voir dans les
d�sint�grations de taus, par exemple $\tau\to
l\, \gamma$ ou $\tau\to 3l$. Mais pour $\tau \to \mu\,\gamma$ et
$\tau \to e\,\gamma$, il n'y a pas de telles annulations
dans la r�gion de param�tres consid�r�e dans les figures~(\ref{brtau}).
Dans ce sc�nario, la plupart des points se situent un peu en dessous des
limites exp�rimentales actuelles et donc les taux de branchements pourraient, en
principe, avoir des chances d'�tre observables au LHC ou � Babar et Belle.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=brtau-10n.eps,width=7.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=brtau-30n.eps,width=7.0cm}} \\
\mbox{\epsfig{file=brtau-10i.eps,width=7.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=brtau-30i.eps,width=7.0cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Taux de branchement de $\tau \to \mu\,\gamma$ en fonction de la masse
du stau le plus l�ger, pour un certain
choix des param�tres de neutrinos (angles de m�lange). Les quatres graphes correspondent �
diff�rents choix de $\tan\beta$ et de hi�rarchie entre les masses des neutrinos
l�gers.~\cite{Param}}
\label{brtau}
\end{figure}

\subsubsection{Les moments dipolaires �lectriques leptoniques}

Les violations de $CP$ et des saveurs leptoniques ont aussi un impact sur les
moments dipolaires �lectriques (EDM) des leptons. Ceux-ci d�pendent en principe
de phases qui apparaissent aussi dans la leptogen�se.  Les valeurs num�riques de
ces EDM sont augment�s de plusieurs ordres de grandeur quand les neutrinos
lourds sont non-d�g�n�r�s. Or dans la plupart des mod�les de masse des neutrinos ph�nologiquement
viables, les neutrinos lourds ne sont pas d�g�n�r�s.

L'EDM d'un lepton $l$ est d�fini comme �tant le coefficient $d_l$ de
l'interaction suivante :
\beq
\mathcal{L}=-\frac{i}{2}d_l \bar{l}\sigma_{\mu\nu}\gamma_5 l F^{\mu\nu}.
\eeq
Dans le MSSM, $d_l$ re�oit des contributions des boucles de neutralinos et de
charginos et d�pend fortement de $A_0$. Les contributions dominantes � $d_e$ et
$d_{\mu}$ sont dues aux termes suivants~\footnote{Ce sont en fait les m�me
termes que l'�quation~(\ref{RN-SUSYX}) mais dans le cas de neutrinos lourds non d�g�n�r�s.}
de la renormalisation des termes de brisure douce:
\beqn
(\delta m_{\tilde{L}}^2)_{ij} &\simeq& \frac{18}{(4\pi)^4}(m_0^2 + A_0^2)
\{Y_{\nu}^{\dag}LY_{\nu},\,Y_{\nu}^{\dag}Y_{\nu}\}_{ij}
\ln\left(\frac{M_{GUT}}{M_{N}}\right), \nonumber\\
(\delta A_l)_{ij} &\simeq&
-\frac{1}{(4\pi)^4}A_0Y_e\left(11\{Y_{\nu}^{\dag}LY_{\nu},\,Y_{\nu}^{\dag}Y_{\nu}\}
+
7[Y_{\nu}^{\dag}LY_{\nu},\,Y_{\nu}^{\dag}Y_{\nu}]\right)_{ij}
\ln\left(\frac{M_{GUT}}{M_{N}}\right)
\eeqn
$L_{ij}=ln\left(\frac{\bar{M}_{N}}{M_{N_i}}\right)_{ij}$ et $\bar{M}_{N}=\
^3\sqrt{M_{N_1}M_{N_2}M_{N_3}}$. $\bar{M}_{N}$ est la
masse moyenne des neutrinos singulets lourds (qui ne sont pas d�g�n�r�s dans ce
cas).

Les pr�dictions des EDM leptoniques sont illustr�es num�riquement dans la
figure~(\ref{de}). Les EDM du muon et de l'�lectron peuvent atteindre $10^{-(27-28)}\
e$.cm et $10^{-(29-30)}\ e$.cm respectivement.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\mbox{\epsfig{file=de-n.eps,width=6.0cm}} &
\mbox{\epsfig{file=dmu-n.eps,width=6.0cm}} \\
\end{tabular}
\end{center}
\caption{EDM de l'�lectron (a) et du muon (b) en fonction de la masse
du selectron gauche (a) et du smuon gauche (b). Chaque point correspond � un
certain choix des param�tres inconnus. Dans l'exemple donn�, la hi�rarchie des
neutrinos l�gers est "normale".~\cite{Param}}
\label{de}
\end{figure}

Les limites sup�rieures
actuelles sont~\cite{EDM} :
\beqn
d_e & < & 4.3\times 10^{-27}\ \mathrm{e}.\mathrm{cm}, \nonumber \\
d_{\mu} & = & (3.7\pm 3.4)\times 10^{-19}\ \mathrm{e}.\mathrm{cm},\nonumber \\
|d_{\tau}| & < & 3.1 \times 10^{-16}\ \mathrm{e}.\mathrm{cm}.
\eeqn
Les exp�riences futures � BNL et aupr�s d'usines � neutrinos projettent
respectivement de sonder l'EDM du muon jusqu'� $10^{-24}\ e$.cm et 
$10^{-26}\ e$.cm. La mesure de l'EDM de
l'�lectron devrait atteindre les environs de $10^{-33}\ e$.cm. Ces exp�riences 
ont donc la possibilit� de tester le mod�le seesaw supersym�trique 
minimal {\it via} ses pr�dictions sur $d_e$ ($d_{\mu}$ risque malheureusement 
d'�tre difficile � mesurer).


\subsection{La d�sint�gration de sparticules}

Une autre fa�on de mesurer la violation du/des nombres leptoniques est
d'observer la d�sint�gration de sparticules. Par exemple, $\chi_2\to\chi_1
+(e\mu)$ o� $\chi_1$ est la LSP et  $\chi_2$ la particule la plus l�g�re apr�s 
$\chi_1$ (NLSP). En particulier, les d�sint�grations de sparticules qui violent $L_{\tau}$ sont
les plus int�ressantes car les effets de la renormalisation des param�tres de
brisure douce sont plus importants dans le cas du $\tau$ (le couplage de Yukawa
du $\tau$ est plus grand). Cela rend les effets de violation du nombre
leptonique $L_{\tau}$ potentiellement grands pour les d�sint�grations comme
$\chi_2\to\chi_1 +\tau\mu$ ou $\chi_2\to\chi_1 +\tau e$. Les recherches au
LHC de ces d�sint�grations pourraient donc �tre compl�mentaires � celles de 
$\tau\to l\,\gamma$.

Dans la figure suivante,~(\ref{widthLFV1}), les lignes en traits pleins d�notent les
largeurs de d�sint�gration de $\chi_2$ en diff�rents modes, dans le cas
particulier du CMSSM~\footnote{En fait, une non-universalit� des masses
scalaires a �t� introduite, $(m_0^2)_{LL}=diag(m_0^2,m_0^2,x\times m_0^2)$ avec
$x\sim 0.9$. De plus, l'angle de m�lange dans la matrice de Yukawa entre la 
2�me et 3�me g�n�ration de lepton charg�s, $\phi$, a �t� pris �gal � $\pi/6$ 
dans les 2 exemples.} avec les param�tres $\tan\beta=10$, $\mu>0$, $m_{1/2}=600$
GeV. Le rapport des taux de branchements $R(\tau\mu/\mu\mu)\equiv
\Gamma(\chi_2\to\chi_1+\tau\mu)/\Gamma(\chi_2\to\chi_1+\mu\mu)$ est repr�sent� 
par les tirets. Nous voyons que pour $m_0<270$ GeV, $R(\tau\mu/\mu\mu)$ 
est de l'ordre de 1 donc $\chi_2\to\chi_1+(\tau\mu)$ peut �tre comparable � 
$\chi_2\to\chi_1+(\mu\mu)$. La violation du nombre leptonique peut donc �tre
importante. 

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\includegraphics*[width=9cm]{widthLFV10p.eps}}
\caption{Comparaison des largeurs de d�sint�grations entre quelques modes de 
d�sint�gration de $\chi_2$ en fonction de $m_0$.~\cite{TauLFV}}
\label{widthLFV1}
\end{figure}

De plus, sur la figure~(\ref{widthLFV2}) les contours des 
taux de branchements sont trac�s pour le m�me choix de $\tan\beta$ et $\mu$ 
mais dans le plan $(m_0, m_{1/2})$.

\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\includegraphics*[width=9cm]{widthLFV10.eps}}
\caption{Contours du rapport $R(\tau\mu/\mu\mu)$ (traits noirs) et de
$BR(\tau\to\mu\,\gamma)$ (lignes pointill�es bleues) dans le plan $(m_0,
m_{1/2})$ pour $\tan\beta=10$ et $\mu>0$.~\cite{TauLFV}}
\label{widthLFV2}
\end{figure}

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{Les neutrinos et la cosmologie}
%------------------------------------------------------------------------------%

\subsection{L'asym�trie baryonique}

La physique des neutrinos peut aussi jouer un r�le en cosmologie,
particuli�rement pour r�pondre � la question de l'origine de la mati�re. En
effet, la quasi-totalit� de ce que nous observons dans l'Univers est fait de
mati�re, nous sommes fait de mati�re, mais pas d'antimati�re. Pourquoi cette
asym�trie ? 
\par\hfill\par
La densit� baryonique de l'Univers est : 
\beq
\eta=\frac{n_B}{n_{\gamma}}=(1.5-6.3)\times 10^{-10},
\eeq
o� $n_B$ et $n_{\gamma}$ sont respectivement le nombre de baryons et le nombre
de photons. L'asym�trie baryonique cosmologique est alors
$Y_B=(n_B-n_{\bar{B}})/s$, o� $s$ est la densit� d'entropie, et vaut environ 
$\eta/7$. Cette asym�trie peut s'expliquer~\footnote{La
possibilit� que nous ne vivions que dans une r�gion dans l'Univers constitu�e
de mati�re et que l'antimati�re serait localis� hors de notre horizon est tr�s
d�favoris�e.} par un tr�s
faible d�s�quilibre dans l'Univers primordial en faveur de la mati�re, caus� par
les interactions. Par la suite, l'antimati�re s'est alors annihil�e avec la 
mati�re et le reste a form� un peu plus tard les baryons dont nous sommes faits. Mais 
une asym�trie mati�re-antimati�re ne peut �tre dynamiquement g�n�r�e dans un 
univers en expansion que si les interactions entre
particules et l'�volution cosmologique satisfont \underline{les 3 conditions de
Sakharov :} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] violation du nombre baryonique ($\Rightarrow$ les interactions
changent alors le nombre de quarks) 
\item[$\bullet$] violation de $C$ et $CP$ ($\Rightarrow$ les interactions sont donc
diff�rentes pour la mati�re et l'antimati�re)
\item[$\bullet$] d�viation de l'�quilibre thermique, par exemple lors d'une
transition de phase ($\Rightarrow$ �vite que les produits de d�sint�gration ne puisse
recr�er la particule initiale et donc permet de cumuler le d�s�quilibre)
\end{itemize}
La question de l'asym�trie baryonique permet donc d'�tablir un lien entre le
mod�le standard cosmologique et le mod�le standard de la physique des
particules.
A noter qu'une asym�trie g�n�r�e � une �poque de l'Univers peut �tre 
effac�e par
la suite si elle n'est pas prot�g�e, ce qu'il faut �viter. Cependant, nous ne
discuterons pas de ce genre de d�tails (bien que ce soit important).

\subsection{La leptogen�se}

Le m�canisme de g�n�ration de cette asym�trie baryonique est appel�e la {\it
baryogen�se}. Il existe dej� plusieurs sc�nario viables. Mais ce dont nous
allons discuter ici est la {\it leptogen�se}, dans laquelle l'asym�trie 
baryonique est obtenue {\it via} une asym�trie \underline{leptonique} dans la 
d�sint�gration de neutrinos singulets lourds (les neutrinos droits de Majorana),
ce qui est possible si le nombre leptonique n'est pas conserv�. La
d�sint�gration $N\to Higgs+l$ se fait avec un taux de branchement diff�rent de
$N\to \overline{Higgs}+\bar{l}$. L'asym�trie entre le nombre de leptons et le
nombre d'antileptons est convertie en une asym�trie entre le nombre de quarks et 
d'antiquarks par des interactions �lectrofaibles \underline{non-perturbatives}
(les sphal�rons) qui donneraient~\cite{Lepto}:
\beq Y_B=\frac{C}{C-1}Y_L, \eeq
avec $C=8/23$ dans le MSSM.

Le taux de d�sint�gration total d'un neutrino singulet lourd $N_i$ peut s'�crire
ainsi (sans sommation sur i) :
\beq
\Gamma_i = \frac{1}{8 \pi} \left( Y_{\nu} Y_{\nu}^{\dag}\right)_{ii}M_i.
\eeq
Les diagrammes � une boucle qui impliquent l'�change d'un neutrino lourd,
figure~(\ref{Nudecay}), peuvent g�n�rer une asym�trie $CP$ dans la d�sint�gration
des neutrinos lourds $N_i$.
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}(350,100)(-30,-30)
\ArrowLine(0,0)(-50,0)
\ArrowLine(0,0)(40,-40)
\DashArrowLine(0,0)(40,40){2}
\Text(45,30)[]{$H$}
\Text(45,-30)[]{$l$}
\Text(-56,-3)[]{$N_i$}

\DashArrowLine(150,0)(120,0){2}
\ArrowLine(120,0)(95,0)
\ArrowLine(150,0)(190,-40)
\ArrowLine(150,0)(172,22)
\DashArrowLine(172,22)(190,40){2}
\ArrowArc(150,0)(30,45,180)
\Text(195,30)[]{$H$}
\Text(195,-30)[]{$l$}
\Text(84,-3)[]{$N_i$}
\Text(140,-10)[]{$H$}
\Text(130,+30)[]{$l$}
\Text(172,+7)[]{$N_i$}

\ArrowLine(300,0)(340,-40)
\DashArrowLine(300,0)(340,40){2}
\ArrowLine(300,0)(280,0)
\ArrowArc(270,0)(10,0,-180)
\DashArrowArc(270,0)(10,180,0){2}
\ArrowLine(260,0)(240,0)
\Text(345,30)[]{$H$}
\Text(345,-30)[]{$l$}
\Text(234,-3)[]{$N_i$}
\Text(270,+20)[]{$l$}
\Text(270,-20)[]{$H$}
\Text(290,-10)[]{$N_i$}
\end{picture}
\end{center}
\caption{ Diagrammes de Feynman � l'arbre et � une boucle qui contribuent � la d�sint�gration
des neutrinos lourds $N_j$.}
\label{Nudecay}
\end{figure}
Cette asym�trie s'�crit sous la forme suivante :
\beq
\epsilon_{ij}=\frac{1}{8 \pi} \frac{1}{\left( Y_{\nu} Y_{\nu}^{\dag}\right)_{ii}}
\mathrm{Im}[\left( Y_{\nu} Y_{\nu}^{\dag}\right)_{ij}]^2\times
f\left(\frac{M_j}{M_i}\right), \label{epsilon}
\eeq
o� $f\left(\frac{M_j}{M_i}\right)$ est une fonction cin�matique connue et
calculable et
\beq \epsilon=\frac{\Gamma(N\to H+l)-\Gamma(N\to
\bar{H}+\bar{l})}{\Gamma(N\to H+l)+\Gamma(N\to \bar{H}+\bar{l})}<<1. \eeq

Nous voyons dans~(\ref{epsilon}) que la leptogen�se est proportionnelle au produit
$\left( Y_{\nu} Y_{\nu}^{\dag}\right)$ qui d�pend de 9 param�tres r�els et
de 3 phases CPV mais pas celles de basse �nergie ($\delta,\ \phi_{1,2}$).
L'existence d'une asym�trie leptonique ne requiert donc pas que $\delta$ soit
non-nulle. Sur la figure~(\ref{lepto}), nous voyons que les cas $\delta=0$ et
$\delta=\pi/2$ sont indistinguables.
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics*[width=7.5cm]{lepto1.ps}
\includegraphics*[width=7.5cm]{lepto2.ps}
\end{center}
\caption{"scatter plots" de l'asym�trie $\epsilon_1$ en fonction de la masse
lourde $M_{N_{1}}$ la plus l�g�re, pour les 2 choix $\delta=0$ et
$\delta=\pi/2$.~\cite{Lepto}}
\label{lepto}
\end{figure}
\par\hfill\par
Comment avoir acc�s � la leptogen�se ? Il est possible de formuler une
"strat�gie" pour calculer la leptogen�se en terme d'observables mesurables en
laboratoire :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] mesurer la phase $\delta$ des oscillations de neutrinos et les
phases de Majorana $\phi_{1,2}$,
\item[$\bullet$] mesurer les observables reli�es � la renormalisation des
param�tres de brisure douce de la supersym�trie qui sont fonctions de $\delta$,
$\phi_{1,2}$ et des phases de la leptogen�se,
\item[$\bullet$] extraire les effets connus de $\delta$ et $\phi_{1,2}$ pour
isoler les param�tres de la leptogen�se.
\end{itemize}

A l'heure actuelle il nous manque les informations sur les 2 premi�res �tapes.
Nous pouvons juste explorer l'espace des param�tres. Pour chaque ($Y_{\nu}$) et
($M_N$), il est possible de calculer l'observable $m_{ee}$ de la double
d�sint�gration
beta sans neutrinos, les EDM, les processus LFV et l'asym�trie $\epsilon_i$. Il
est aussi possible d'observer les corr�lations entre tous ces param�tres et les
d�pendances aux masses l�g�res et lourdes des neutrinos. Les figures suivantes,
(\ref{lepto2}) et~(\ref{lepto3}), montrent qu'il est possible
d'obtenir le bon nombre de baryons � partir de la physique des neutrinos et de la
physique de basse �nergie, en
observant les moments dipolaires �lectriques des leptons charg�s, les d�sint�grations
rares $\tau\to e(\mu) \gamma$, etc. De
plus, il est possible d'obtenir des renseignements sur l'espace des param�tres
de haute �nergie comme les masses $M_N$. La limite $Y_B\gtrsim 3\times 10^{-11}$
implique une limite sur la masse du neutrino lourd le plus l�ger :
\beqn
M_{N_1} &\gtrsim& 10^{10}\ \mathrm{GeV}\ (hierarchie\ normale) \nonumber\\
M_{N_1} &\gtrsim& 10^{11}\ \mathrm{GeV}\ (hierarchie\ inversee)
\eeqn
Mais ceci peut potentiellement entrer en conflit avec la
limite inf�rieure non-triviale d�e � une possible surproduction de gravitinos.
Cette surproduction modifierait alors les abondances des �l�ments produits
au
cours de la nucl�osynth�se primordiale (He, Li,...).

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics*[width=7.5cm]{eps-mn1.ps}
\includegraphics*[width=7.5cm]{m1-mn1.ps}
\end{center}
\caption{"scatter plots" de l'asym�trie $\epsilon_1$ et de la masse effective
$m_1=(Y_{\nu}Y_{\nu}^{\dag})_{11}\frac{v^2\sin^2\beta}{M_{N_1}}$ en
fonction de la masse l�g�re $m_{\nu_{1}}$ la plus l�g�re. La
contrainte sur l'asym�trie baryonique a �t� prise en compte.~\cite{Lepto}}
\label{lepto2}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics*[width=7.5cm]{MN1-mee.ps}
\includegraphics*[width=7.5cm]{edm-brtau.ps}
\end{center}
\caption{"scatter plots" de $M_{N_1}$ en fonction du param�tre de $\beta\beta_{0\nu}$
$m_{ee}$, et du moment dipolaire �lectrique du muon en fonction du taux de
branchement de $\tau\to\mu\gamma$. La
contrainte sur l'asym�trie baryonique a aussi �t� prise en compte
ici.~\cite{Lepto}}
\label{lepto3}
\end{figure}

La leptogen�se est un sc�nario important � prendre en compte et montre tout
l'int�r�t de consid�rer les liens entre la physique des neutrinos et la
cosmologie.

\newpage
\subsection{L'inflation sneutrinique}

Un peu plus en marge du cours, mais n�anmoins int�ressante, est la possibilit�
que {\it l'inflaton}, champ scalaire responsable de l'inflation de l'Univers, soit
incarn� par l'un des partenaires supersym�triques des neutrinos singulets lourds
(voir par exemple la r�f�rence~\cite{JE-Sneutrino}).

\subsubsection{Un br�ve interlude sur l'inflation}
Nous allons tout d'abord commencer par quelques mots sur la cosmologie et
l'inflation.
\par\hfill\par
A l'origine de l'hypoth�se de l'inflation il y a les probl�mes auxquels sont
confront�s les cosmologistes : pourquoi l'Univers semble si homog�ne ? Pourquoi
est-il si vieux ou si vaste ? Pourquoi est-il si plat ? Pourquoi l'entropie de
l'Univers est-elle si �lev�e ? Pour rem�dier � cel�, nous pouvons introduire l'id�e d'une p�riode
inflationnaire c'est-�-dire l'id�e qu'� une �poque de son histoire, \underline{l'expansion de
l'Univers fut quasi-exponentielle}. Cette expansion exponentielle agrandit alors
consid�rablement les dimensions de l'Univers et r�duit la densit� d'�nergie (et
par cons�quent la temp�rature globale).
Ceci est rendu possible par l'introduction d'un champ scalaire,
l'inflaton, qui, au tout d�but de l'Univers, contenait la quasi-totalit� de
l'�nergie.

La figure~(\ref{potentiel-infl}) montre une forme possible
du potentiel scalaire de l'inflaton et les diff�rentes �tapes de l'inflation. A
la premi�re �tape, le potentiel de l'inflation part d'une valeur initiale et
"roule" jusqu'au puit : l'Univers subit une expansion inflationnaire
exponentielle. Ensuite, quand l'inflaton arrive dans le puit du potentiel,
il y
passe un certain temps en oscillant jusqu'� se stabiliser. Ceci correspond au
moment o� l'inflaton se d�sint�gre en mati�re par la conversion de
l'�nergie
initialement sous forme d'inflaton en photons et autres particules
l�g�res. Ainsi l'univers est r�chauff� jusqu'\`a une temp�rature de
r�chauffement $T_{RH}$.
\begin{figure}
\centerline{\includegraphics*[width=14cm]{potentiel-inflat.eps}}
\caption{Forme typique du potentiel scalaire en fonction de la valeur de
l'inflaton.}
\label{potentiel-infl}
\end{figure}

L'inflation donne aussi une origine aux petites fluctuations de densit� observ�es
par WMAP (mais d�j� vues par COBE), qui sont ind�pendantes de l'�chelle de la
structure : elles viendraient de fluctuations quantiques de la valeur du
potentiel pendant l'inflation.

Il existe plusieurs
mod�les d'inflation, mais l'id�e pr�sent�e reste la m�me. Cependant, personne 
ne sait ce qu'est l'inflaton et � quelle particule il peut �tre identifi�.  

\subsubsection{Le sneutrino, un candidat potentiel}

Dans le cas particulier d'un mod�le d'inflation chaotique~\footnote{C'est un
sc�nario inflationnaire dans lequel il n'y a pas de structure privil�gi�e dans
le potentiel $V(\phi)$. Il peut �tre une simple puissance, $V\sim \phi^n$ ou
exponentiel, $V\sim e^{\alpha\phi}$. Une r�gion donn�e de l'Univers est suppos�e
commencer avec une valeur particuli�re de $\phi$, donc de $V$, qui d�croit
ensuite de fa�on monotone et lente vers z�ro (c'est le "slow-roll").} avec un
potentiel de la forme $V=\frac{1}{2}m_I^2\phi^2$, les donn�es de WMAP donnent pour 
la masse de l'inflaton~\cite{Sneutrino} : 
\beq
m_I\simeq 2\times 10^{13} \ \mathrm{GeV}.
\eeq
Or cette masse correspond plus ou moins � l'intervalle de masse consid�r� pour les
neutrinos singulets lourds (et {\it a priori} aussi pour les sneutrinos associ�s)
: $M_{N_i}\sim 10^{10-15} \ \mathrm{GeV}$. De plus, l'inflaton est sens�
ne pas avoir d'interaction de jauge, ce qui peut tr�s bien �tre le cas des
sneutrinos lourds. Si un de ces sneutrinos est l'inflaton, alors le probl�me
cosmologique de l'inflation sera connect� au reste de la physique des
particules. De plus, cette hypoth�se peut �tre utilis�e pour donner des pr�dictions sur les
d�sint�grations violant le nombre leptonique car elle contraint
significativement les param�tres du mod�le seesaw supersym�trique minimal. 
Dans 
la figure~(\ref{Infl-LFV}),
nous voyons entre autres que le processus $\mu\to e\gamma$ est tr�s proche de la
limite actuelle et dans les possibilit�s observationnelles des futures
exp�riences.  Nous observons aussi que les taux de branchement de $\mu\to e\gamma$ 
et $\tau\to\mu\gamma$ semblent ind�pendants de la temp�rature de r�chauffement (pour
$T_{RH}<10^{12}$ GeV) et que $BR(\mu\to e\gamma)$ est tr�s sensible �
$\sin\theta_{13}$ et $M_{N_3}$. 

\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\includegraphics*[width=7.5cm]{Brmu-Trh.ps}
\includegraphics*[width=7.5cm]{Brtau-trh.ps}
\end{center}
\caption{$BR(\mu\to e\gamma)$ et $BR(\tau\to\mu\gamma$) en fonction de la
temp�rature de r�chauffement. Les points noirs correspondent aux valeurs :
$\sin\theta_{13}=0.0$, $M_{N_2}=10^{14}$ GeV et $5\times 10^{14}$ GeV $<M_{N_3}<
5\times 10^{15}$ GeV. Les points rouges � : $\sin\theta_{13}=0.0$,
$M_{N_2}=5\times 10^{14}$ GeV et $M_{N_3}=5\times 10^{15}$ GeV. Enfin les points
verts (les points les plus clairs, en haut de la premi�re figure et en bas de la
seconde) correspondent � : $\sin\theta_{13}=0.1$,
$M_{N_2}=10^{14}$ GeV et $M_{N_3}=5\times 10^{14}$ GeV.~\cite{JE-Sneutrino}}
\label{Infl-LFV}
\end{figure}


\newpage
\section{Conclusions}

Le m�lange des neutrinos observ� {\it via} les oscillations peut avoir de
nombreuses cons�quences, notamment dans un cadre supersym�trique o� la masse si
faible des neutrinos tire son origine du m�canisme de Seesaw. Par exemple, les taux
de branchement des 
processus violant la saveur leptonique et les moments dipolaires �lectriques 
leptoniques calcul�s dans ce
mod�le seesaw supersym�trique minimal montrent que la violation des nombres 
leptoniques et la violation de $CP$ leptonique peuvent avoir lieu de mani�re 
significative. Les futures exp�riences devraient avoir
la possibilit� de mesurer pour la premi�re fois ces violations. Ceci donne alors
de grandes chances de pouvoir reconstruire les param�tres de haute �nergie de la
physique des neutrinos dans ce mod�le, inaccessibles depuis les exp�riences qui
observent les oscillations des neutrinos (figure~(\ref{Seesaw})).  
De plus, la physique des neutrinos permet aussi de r�soudre certains probl�mes 
de nature cosmologique gr�ce aux hypoth�ses telles que la leptogen�se et
l'inflation sleptonique. 

\begin{figure}[htbp!]
\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{picture}(400,300)(-200,-150)
\Oval(0,0)(35,70)(0)
\Text(-25,13)[lb]{ ${\bf Y_\nu}$  ,  ${\bf M_{N_i}}$}
\Text(-50,-2)[lb]{{\bf $\Rightarrow$ 18 param�tres}}
\Text(-30,-15)[lb]{{\bf physiques}}
\EBox(-80,90)(90,150)
\Text(-60,135)[lb]{{\bf M�canisme de Seesaw :}}
\Text(-8,117)[lb]{${\bf {\cal M}_\nu}$}
\Text(-65,100)[lb]{{\bf $\Rightarrow$ 9 param�tres effectifs}}
\EBox(-200,-140)(-60,-80)
\Text(-167,-95)[lb]{{\bf Leptogen�se :}}
\Text(-165,-113)[lb]{ ${\bf Y_\nu Y_\nu^\dagger}$ , ${\bf M_{N_i}}$}
\Text(-175,-130)[lb]{{\bf $\Rightarrow$ 12 param�tres}}
\EBox(60,-140)(200,-80)
\Text(80,-95)[lb]{{\bf Renormalisation :}}
\Text(95,-113)[lb]{${\bf Y_\nu^\dagger L Y_\nu}$ , ${\bf M_{N_i}}$}
\Text(80,-130)[lb]{{\bf $\Rightarrow$ 16 param�tres}}
\LongArrow(0,35)(0,87)
\LongArrow(-45,-25)(-130,-77)
\LongArrow(45,-25)(130,-77)
\end{picture} 
\end{center}

\caption{La reconstruction des param�tres du m�canisme de Seesaw par les
diff�rentes observables.}
\label{Seesaw}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%==============================================================================%
%									       %
%									       %
\chapter{Le grand "Au-del�"}
%									       %
%									       %
%==============================================================================%

%------------------------------------------------------------------------------%
\section{La Grande Unification}
%------------------------------------------------------------------------------%

Les th�ories de jauge (surtout non-ab�liennes, appel�es th�ories de
Yang-Mills) semblent offrir un cadre unique pour d�crire
la physique des particules. Dans le MS, il y a 3 couplages diff�rents (si la
gravitation
n'est pas compt�e) associ�s aux trois groupes de jauge $SU(3)_C$, $SU(2)_L$ et 
$U(1)_Y$
et certains param�tres sont ajust�s arbitrairement pour rendre compte des
diverses observations exp�rimentales. Un prolongement logique du MS est de
consid�rer l'existence � plus haute �nergie d'une sym�trie plus grande. Celle-ci
pourrait permettre de relier les diff�rents param�tres et d'unifier les 3 
couplages~\footnote{On note les couplages ainsi : $g_1$ pour le couplage de
$U(1)$, $g_2$ pour $SU(2)$ et $g_3$ pour $SU(3)$. Dans les chapitres pr�c�dents
on avait $g$ pour $g_2$ et $g'$ pour $g_Y$.} $g_3$, $g_2$, $g_Y$. La philosophie de la Grande Unification (GU) est 
justement de chercher un groupe de jauge G simple qui comprend  
$SU(3)_C \otimes SU(2)_L\otimes U(1)_Y$. Ainsi, les 3 forces fondamentales ( 
�lectromagn�tique, faible, forte) se trouveraient unifi�es en une force 
"�lectronucl�aire" de couplage unique $g_{GU}$. Ceci semble du
point de vue le plus courant en physique des particules plus 
"satisfaisant" car 
cela va dans le sens d'une physique plus "simple" aux �chelles de longueurs plus 
petites. Cependant, les effets de l'interaction gravitationnelle sont suppos�s 
�tre toujours 
n�gligeables, au moins en premi�re approximation. Si l'�chelle d'unification 
$M_{GU}$ se trouve 
�tre significativement plus petite que la masse de Planck alors cette 
supposition est justifi�e. Il se trouve que les estimations typiques, bas�es sur 
une extrapolation � tr�s haute �nergie de la physique connue (c'est-�-dire le MS),
donnent une �chelle de l'ordre de $10^{16}$ GeV, environ mille fois plus petite 
que 
l'�chelle de Planck $M_{Pl}=\mathcal{O}(10^{19})$ GeV. 

Le fait d'avoir un unique 
groupe de jauge pour d�crire la physique � cette �chelle implique aussi des 
relations tout � fait in�dites entre les particules, ainsi que de nouveaux 
bosons de jauge. En 
effet, la sym�trie change donc l'organisation des particules (les multiplets) 
change. Certains indices comme la quantification de la charge ({\it i.e.}
l'existence de charges �lectriques fractionnaires) ou la compensation 
des anomalies~\footnote{C'est-�-dire le fait que les anomalies dues aux leptons s'annulent
exactement avec celles dues aux quarks.} font aussi penser � une organisation 
plus simple que celle du MS.
Bien s�r, � basse �nergie, nous devons retrouver le Mod�le Standard, et dans ces
Th�ories de Grande Unification (GUT) nous devrons donc �tudier la brisure du 
groupe de jauge G en $SU(3)_C \otimes SU(2)_L\otimes U(1)_Y$. 

Cette section commence donc par une pr�sentation des �quations d'�volution des 
3 couplages et de leur unification. Nous exposerons ensuite quelques exemples de
mod�les dont le "prototype" bas� sur le groupe $SU(5)$ permet d'aborder 
beaucoup de propri�t�s des GUT sans alourdir la discussion. Puis nous
�tudierons les pr�dictions typiques de ces mod�les comme la d�sint�gration du
proton et les relations entre les masses des quarks et leptons. Nous terminerons
en discutant des avantages, des
probl�mes et des perspectives des mod�les bas�s sur l'id�e d'une Grande Unification
� haute �nergie.

\subsection{Les �quations d'�volution des couplages $g_i$}

\subsubsection{L'unification des couplages}

L'un des r�sultats les plus importants de la renormalisation est l'�volution 
des constantes de couplage des forces en fonction de l'�chelle d'�nergie :
$g_i\equiv g_i(\mu)$.
En 
supposant que le MS reste valable jusqu'� des �nergies de l'ordre de la masse de 
Planck nous pouvons r�soudre analytiquement ces �quations du groupe de 
renormalisation (RGE) et 
observer l'�volution des 3 couplages des 3 interactions fondamentales du MS. Le 
r�sultat, surprenant, initialement obtenu dans les ann�es 70 est que les 
couplages �voluent 
logarithmiquement (nous justifierons un peu plus tard cette remarque) jusqu'� se 
croiser au m�me point (\`a peu pr\`es) et donc atteindre une valeur 
commune. Cette observation 
l�gitimise la philosophie de la Grande Unification. 
En r�alit�, depuis la premi�re fois o� le calcul a �t� fait, la pr�cison 
exp�rimentale a grandement augment� et les couplages ne se croisent plus tout-�-fait 
au m�me point. La figure~(\ref{fig:gaugeunificationMS}) montre clairement ce 
"rendez-vous" manqu�. 
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\psfig{figure=gaugecouplingsMS.eps,height=2.7in}}
\caption{Evolution des couplages de jauge en fonction de
l'�nergie, dans le MS. La largeur des courbes correspond � l'erreur
exp�rimentale.~\cite{Masina}}
\label{fig:gaugeunificationMS}
\end{figure}

Cela veut-il dire que nous devons oublier la GU ? Non, simplement parce que 
nous ne connaissons 
pas toute la physique au-del� du MS et que pour obtenir la 
figure~(\ref{fig:gaugeunificationMS}) nous avons 
fait une supposition qui n'�tait sans doute pas justifi�e : le MS est valable jusqu'� $M_{Pl}$. 
Au chapitre 1 nous nous sommes justement efforc�s de montrer que le MS ne
pouvait 
pas �tre valable au-del� d'une �chelle d'�nergie, de l'ordre du TeV. Il y a de la 
nouvelle physique aux alentours de cette �chelle et celle-ci peut changer 
drastiquement les �quations d'�volution des constantes de couplage. De plus, au 
chapitre 2 nous avons vu que la supersym�trie �tait une candidate tr�s s�rieuse
pour cette nouvelle physique 
et celle-ci introduit un grand nombre de nouvelles particules qui 
interviennent dans la renormalisation des couplages. Le calcul des RGE dans le 
cadre du MSSM donne alors la figure~(\ref{fig:gaugeunificationMSSM}). Le r�sultat 
est tr�s surprenant lui aussi
puisque nous retrouvons l'unification des couplages ! La supersym�trie semble 
donc un cadre appropri� pour la GU. 
\begin{figure}[htbp!]
\centerline{\psfig{figure=gaugecouplingsMSSM.eps,height=2.7in}}
\caption{Evolution des couplages de jauge en fonction de
l'�nergie, dans le MSSM.~\cite{Masina}}
\label{fig:gaugeunificationMSSM}
\end{figure}

Pour "mesurer la qualit�" de cette unification, on 
adopte souvent un point de vue inverse en partant de l'unification de $\alpha_1$ 
et  $\alpha_2$, en supposant l'unification avec $\alpha_3$ exacte et au m�me point, 
puis en calculant alors l'�volution de $\alpha_S$ vers les basses
�nergies~\footnote{En effet, les 3 couplages de basse �nergie sont maintenant
fonction de 2 param�tres ind�pendants, $\alpha_{GU}$ et $M_{GU}$, il y a donc
\underline{une pr�diction} possible.}. Nous
pouvons alors comparer la valeur de $\alpha_3$ (� $M_Z$ par
exemple) avec la valeur exp�rimentale et v�rifier la compatibilit�. Dans le MSSM, 
pour une unification � $2\times 10^{16}$ GeV, nous trouvons alors la
valeur~\cite{HN} : 
\beq 
\alpha_3(M_Z)^{MSSM}=0.130\pm0.004+\Delta_{SUSY}+\Delta_{GUT}, 
\label{alpha_S}
\eeq
o� $\Delta_{SUSY}$ et $\Delta_{GUT}$ sont des corrections qui d�pendent du mod�le. 
Les donn�es exp�rimentales donnent la valeur suivante : 
\beq 
\alpha_3(M_Z)^{exp}=0.117\pm0.002,
\eeq
qui est en assez bon accord avec la pr�diction. Sans les corrections
$\Delta_{SUSY}$ et $\Delta_{GUT}$, l'accord ne serait pas parfait, ce qui 
voudrait dire que l'unification � haute �nergie des 3 couplages ne serait pas 
tout � fait exacte. Mais il ne faut pas oublier que dans le calcul des RGE 
nous nous sommes arr�t�s � une certaine pr�cision (� un ordre donn�e de la 
th�orie des perturbations). 
La correction $\Delta_{SUSY}$ est un effet de seuil � basse �nergie,
venant de l'�chelle de brisure effective (douce) de la supersym�trie.
En plus, si effectivement il y a une Grande Unification et donc des nouvelles 
particules aux hautes \'energies, celles-ci devaient se faire "sentir" quand 
nous nous rapprochons de l'�chelle $M_{GU}$. Plus pr�cisemment, aux �chelles 
d'�nergie proches de $M_{GU}$, les boucles virtuelles de ces bosons ont un 
effet non n�gligeable, car les masses de ces bosons ne sont plus n�gligeables 
devant l'�chelle d'�nergie o� l'on se trouve. On parle d'effet de seuil GUT, 
repr�sent� par la quantit� $\Delta_{GUT}$ de l'�quation~\ref{alpha_S}. 
Malheureusement, il d�pend de la physique � l'�chelle $M_{GU}$, et pour 
calculer quantitativement sa valeur il faut se placer dans un mod�le donn�. 
On parle de "sensibilit� � la th�orie UV"~\footnote{UV pour ultra-violette, 
c'est-�-dire de plus haute �nergie.} de l'unification des couplages. 

Une remarque importante : par rapport au MS, dans un mod�le GUT le couplage de 
l'hypercharge a subit une modification d'un facteur $\sqrt{5/3}$ ; c'est en r�alit� la 
relation $g_1=\sqrt{\frac{5}{3}}g_{Y}=g_2=g_3=g_{GU}$ que nous avons � 
l'�chelle $M_{GU}$. Nous verrons un peu plus tard pourquoi ce facteur a 
�t� introduit. Maintenant, nous allons �tre un peu plus technique et donner ces 
RGE dans les cas discut�s � savoir le MS et le MSSM.

\subsubsection{Les RGE}

Les �quations du groupe de renormalisation pour les trois couplages des trois
interactions non-gravitationnelles se pr�sentent � une boucle sous la forme :
\beq \frac{{\mathrm d}g_i}{{\mathrm dt}}=\beta_i(g_i)\equiv b_i
\frac{g_i^3}{16\pi^2},\ \ \ i=1,2,3, \eeq
o� $t=\ln(\mu)$ avec $\mu$ une �chelle d'�nergie. Nous utiliserons plus souvent 
$\alpha_i$ � la place des $g_i$ o� $\displaystyle\alpha_i=\frac{g_i^2}{4\pi^2}$. 
Les RGE s'�crivent alors :
\beq \frac{{\mathrm d}\alpha_i}{{\mathrm dt}}= b_i
\frac{\alpha_i^2}{2\pi},\ \ \ i=1,2,3. \eeq
Le tableau~\ref{bi} donne les diff�rentes valeurs de $b_i$ dans le cas du MS (un seul
doublet de Higgs et 3 g�n�rations) et du MSSM. Les expressions o� le nombre de doublets de Higgs
et de familles de quarks sont gard�s explicites peuvent se trouver
dans~\cite{JE-Beyond}.

 %.....................................................................
\begin{table}[htbp!]
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|c||c|c|c|}
\hline
& {$\ b_1\ $}& {$\ b_2\ $}& {$\ b_3\ $}	\\
\hline
\hline
& & &\\
MS & $\displaystyle\frac{41}{10}$ & $-\displaystyle\frac{19}{6}$ & -7 \\
& & &\\
\hline
\hline
& & &\\
MSSM & $\displaystyle\frac{33}{5}$ & 1 & -3\\
& & &\\
\hline
%-----------------------------------------------------------------------
\end{tabular}
\end{center}
\caption[fonctions b]{ Les valeurs de $b_1,\ b_2,\ b_3$ dans le MS et le MSSM.}
\label{bi}
\end{table}
%....................................................................... 

Ces �quations diff�rentielles peuvent se r�soudre analytiquement et les 
solutions s'�crivent ainsi : 
\beq \alpha^{-1}_i(\mu)=\alpha^{-1}_i(M_{GU})+
\frac{b_i}{2\pi}\ln\left(\frac{M_{GU}}{\mu}\right) \eeq
Avec ces solutions, nous pouvons donc maintenant v�rifier � quelle pr�cision 
et � quelle �chelle les couplages s'unifient, dans le MS et le MSSM. En g�n�ral, on
utilise la pr�diction de $\sin^2\theta_W$ ou celle de $\alpha_S$ � $m_Z$. Nous 
n'introduisons aucunes corrections d\^ues aux effets de seuil d'un 
mod�le GUT particulier ou aux effets de seuil � basse �nergie et nous supposons 
la relation 
$\alpha_3=\alpha_2=\alpha_1=\alpha_{GU}$ � $M_{GU}$. En prenant comme �chelle
$\mu$ l'�chelle $m_Z$,
\beq \sin^2\theta_W(m_Z)=\frac{g_{Y}^2(m_Z)}{g^2(m_Z)+g_{Y}^2(m_Z)}, \eeq
et en utilisant les relations~\footnote{Le facteur 5/3 vient de la normalisation
du g�n�rateur de la charge �lectrique dans les mod�les GU. Dans le mod�le
standard, $Q=T_3+Y/2$. Dans les GUTs,
$Q=\frac{1}{2}(T^{11}+\sqrt{\frac{5}{3}}T^{12})$ o� $T^{11}$ et $T^{12}$ sont
les deux g�n�rateurs de $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ du groupe d'unification.
L'isopin et l'hypercharge font partie d'un seul groupe simple $G$ et ne sont pas
ind�pendants. L'hypercharge est alors red�finie par un facteur $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 
que l'on r�percute sur le couplage $g_Y$.}
\beq \alpha_1(\mu)=\frac{5}{3}\frac{g_{Y}^2(\mu)}{4\pi}, \ \ \
\alpha_2(\mu)=\frac{g^2(\mu)}{4\pi}, \eeq
et la combinaison particuli�re :
\beq \alpha^{-1}_2(\mu)-\alpha^{-1}_1(\mu)=
\frac{b_2-b_1}{2\pi}\ln\left(\frac{M_{GU}}{\mu}\right), \eeq
on trouve dans le MS:
\beq 
\sin^2\theta_W(m_Z)\simeq
\frac{3}{8}\left(1-\frac{55\alpha_1(m_Z)}{24\pi}\ln\left(\frac{M_{GU}}{m_Z}\right)\right),
\eeq
et dans le MSSM :
\beq 
\sin^2\theta_W(m_Z)\simeq
\frac{3}{8}\left(1-\frac{7\alpha_1(m_Z)}{4\pi}\ln\left(\frac{M_{GU}}{m_Z}\right)\right).
\eeq
A noter que dans le cas du MSSM, nous ne connaissons pas les masses des
sparticules. En les mettant toutes � 1 TeV on retrouve approximativement la
valeur de $\sin^2\theta_W$ observ�e exp�rimentalement. 

Pour examiner ces pr�dictions avec plus de d�tails nous pouvons �tudier
les �quations du groupe de renormalisation jusqu'� l'ordre de 2 boucles. Dans le
MSSM, l'unification est cependant stable car les corrections � 2 boucles sont
faibles devant celles � 1 boucle, m�me si cela reste moins vrai pour $\alpha_3$. 
Le r�sultat est une unification encore plus pr�cise c'est-�-dire une pr�diction
de $ \sin^2\theta_W(m_Z)$ plus proche de la valeur exp�rimentale. On peut
retrouver les expressions � 2 boucles et plus de d�tails sur les effets de seuil
des masses des sparticules dans~\cite{JE-Beyond}.

\subsection{Les mod�les Grand Unifi�s}

\subsubsection{Le choix du groupe d'unification}
Quels sont les groupes susceptibles de nous int�resser pour construire une
th�orie Grande Unifi�e?

Tout d'abord, ces groupes sont des groupes dits "de Lie" suffisamment "grands" 
pour englober enti�rement celui du Mod�le Standard. Ce dernier 
est de rang 4, c'est-�-dire que le nombre de g�n�rateurs de la sym�trie 
simultan�ment diagonalisables~\footnote{Chacun est associ� � un
nombre quantique, une "charge", et les �tats de particules observ�s sont index�s par ceux-ci. A
noter que ces g�n�rateurs diagonaux sont de trace nulle.} est �gal � 4 : 
$SU(3)_C$ en contient 2, $SU(2)_L$ 
un seul et $U(1)_Y$ aussi. Il nous faut donc trouver dans la classification des 
groupes de Lie, faite par Cartan, un groupe de rang sup�rieur ou �gal � 4. 
Enfin, ils doivent comporter des repr�sentations 
complexes pour que les fermions de chiralit� diff�rentes puissent �tre dans des 
repr�sentations diff�rentes. 

Les deux possibilit�s de rang 4 sont: $SU(5)$ et $SU(3)\otimes SU(3)$. Mais  
$SU(3)\otimes SU(3)$ ne permet pas simultan�ment aux leptons d'avoir une charge �lectrique 
enti�re et aux quarks d'avoir une charge �lectrique fractionnaire. Le groupe 
$SU(5)$ est donc le groupe le plus simple possible capable d'englober le Mod�le 
Standard. Les autres groupes possibles et couramment utilis�s mais de rangs 
sup�rieurs � 4 sont $SO(10)$, de rang 5, et le groupe exceptionnel $E_6$, de
rang 6.
Nous le voyons, les consid�rations physiques pr�c�dentes contraignent fortement 
la liste des groupes de Lie compatibles. A titre d'exemple et pour 
bien comprendre comment peut changer la physique quand on change la sym�trie du 
MS nous allons �tudier certains aspects du groupe $SU(5)$ puis plus bri�vement
ceux du groupe $SO(10)$.

\subsubsection{Le groupe $SU(5)$}
Tout comme dans le Mod�le Standard, il nous faut "ranger" nos particules dans 
les "casiers" disponibles de $SU(5)$. Dans $SU(5)$ nous disposons~\footnote{Une 
fa�on simple de les trouver et de "jouer" avec les tableaux d'Young.} 
d'une repr�sentation spinorielle fondamentale de dimension 5 et une 
repr�sentation spinorielle antisym�trique de dimension 10 pour les fermions 
d'une 
g�n�ration. Mais pour r�partir ces quinze fermions ($3\times2\times2=12$ quarks + 2 leptons charg�s + 
1 neutrino), il y a quelques r�gles �
respecter. Tout d'abord, nous pouvons exprimer les repr�sentations de $SU(5)$ 
en terme des repr�sentations de $SU(3)\otimes SU(2)$ : 
\beqn
\bf{5} &=& (\bf{3},\bf{1}) + (\bf{1},\bf{\bar{2}}) \label{rep 5 de SU(5)}\\
\bf{\bar{5}} &=& (\bf{\bar{3}},\bf{1}) + (\bf{1},\bf{2}) \\
\bf{10} &=& (\bf{\bar{3}},\bf{1}) +(\bf{3},\bf{2})+ (\bf{1},\bf{1}).
\eeqn
Par exemple (\ref{rep 5 de SU(5)}) veut dire que dans la repr�sentation {\bf 5} de 
$SU(5)$, nous
devons mettre un triplet de couleur, singulet de $SU(2)$, et un singulet de couleur,
anti-doublet de $SU(2)$. De plus, il faut que la somme des charges dans chacun 
de ces 2 multiplets soit nulle\footnote{La charge �lectrique est une combinaison
lin�aire des g�n�rateurs diagonaux (dans le MS, on a $Q=T_3 +Y$), qui sont de
trace nulle, donc est de trace nulle aussi.}. La seule combinaison possible qui 
soit en accord avec le MS~\footnote{Le choix des signes est fait en accord avec la 
d�finition
de la conjugaison de charge et de fa�on � obtenir les bonnes interactions du MS.} 
est :
\beq {\bf \bar{5}} : (\psi_i)_L=\left(\begin{array}{c} \bar{d}_1 \\ \bar{d}_2 \\
\bar{d}_3 \\ e^- \\ -\nu_e \end{array}\right)_L, \eeq
et donc pour le reste des fermions de la premi\`ere g\'en\'eration:
\beq {\bf 10} : (\chi^{ij})_L=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(
\begin{array}{ccccc} 
0 & \bar{u}_3 & -\bar{u}_2 & u_1 & d_1 \\ 
-\bar{u}_3 & 0 & \bar{u}_1 & u_2 & d_2 \\ 
u_2 & -\bar{u}_1 & 0 & u_3 & d_3 \\ 
-u_1 & -u_2 & -u_3 & 0 & e^+ \\ 
-d_1 & -d_2 & -d_3 & -e^+ & 0 
\end{array}\right)_L , \eeq
o\`u nous n�gligeons les �ventuels m�langes entre les familles.
Comme une famille enti�re gauche entre dans ($\bf{10}+\bf{\bar{5}}$), nous devons donc 
r�pliquer la classification pr�c�dente pour les 3 familles
et en cons�quence nous ne pouvons pas donner d'explication de la 
pr�sence de 3 familles et de leurs diff�rences dans $SU(5)$.

\par\hfill\par
Nous venons de parler des fermions, nous allons maintenant aborder les bosons de
jauge. Les groupes de type $SU(N)$ ont $N^2-1$ g�n�rateurs de sym�tries donc 
$SU(5)$ a 24 bosons de jauge ($SU(3)_C$ a 8 gluons, $SU(2)$ a 2 $W$ et un $Z$ etc).
Parmis ces 24 bosons de jauge, 12 correspondent au MS et 12 sont nouveaux. Ils
appartiennent toujours � la repr�sentation adjointe du groupe de jauge, et celle-ci
est de dimension 24 pour $SU(5)$. Si comme pour les fermions nous d�composons la
repr�sentation adjointe en repr�sentations de $SU(3)\otimes SU(2)$, et que nous
identifions les bosons d�j� connus nous obtenons :
\beq
{\bf 24} =\underbrace{({\bf 3},{\bf 2},\frac{5}{3}) \oplus ({\bf \bar{3}},{\bf 2},-\frac{5}{3})
}_{nouveaux\ bosons}  \oplus \underbrace{({\bf 8},{\bf 1},0)}_{gluons\ G_i} \oplus 
\underbrace{({\bf 1},{\bf 3},0)}_{W_i} \oplus \underbrace{({\bf 1},{\bf
1},0)}_{B}.
\eeq
Le 3�me chiffre dans les parenth�ses est l'hypercharge du sous-multiplet.
Les nouveaux bosons sont appel�s les \textit{leptoquarks} $X$ et $Y$, sont charg�s
�lectriquement~\footnote{Respectivement 4/3 et 2/3.}, sont color�s et ont 
un isospin 1/2. Il peut donc y avoir des
interactions directes entre quarks et leptons, nous en verrons les cons�quences
juste apr�s.

En notation matricielle, 
\beq A=\sum_{a=1}^{24} T_a A^a=\left(
\begin{array}{ccccc}
G_i&G_i&G_i& \bar{X} & \bar{Y} \\
G_i& G_i &G_i& \bar{X} & \bar{Y} \\
G_i&G_i&G_i& \bar{X} & \bar{Y} \\
X & X & X &W_i&W_i\\
Y & Y & Y &W_i& W_i\\
\end{array}\right),
\eeq
o� les $T_a$ sont les g�n�rateurs de SU(5) repr�sent�s par des matrices
$5\times5$ (l'�quivalent pour SU(5) des matrices de Pauli de SU(2)). Le choix de
la base �tant libre, nous avons choisi de les �crire telles que $SU(3)_C$
agisse sur les 3 premi�res lignes et colonnes et $SU(2)_L$ sur les 2 derni�res.
D'o� les deux blocs avec les gluons et les W. Le boson $B$ se situe sur la
diagonale.

\par\hfill\par
Puisque $SU(5)$ n'est qu'une sym�trie valable � tr�s haute �nergie, elle se brise
� plus basse �nergie pour donner le MS. De plus, les multiplets fermioniques
�tant ceux de $SU(5)$ nous devons adapter le secteur de Higgs et trouver les
bons multiplets qui brisent la sym�trie �lectrofaible.
Pour briser $SU(5)$ nous pouvons choisir (c'est le choix le plus simple) un
multiplet adjoint $\Phi$, de dimension {\bf 24}, de bosons de Higgs. La
\textit{v.e.v} de
$\Phi$ qui pr�serve la couleur (3 premi�res lignes et colonnes), l'isospin (2
derni�res) et l'hypercharge (la diagonale) s'�crit :
\beq
<0|\Phi|0>=\frac{v_{\Phi}}{2}\left( 
\begin{array}{ccccc}
2&0&0&0&0 \\
0&2&0&0&0 \\
0&0&2&0&0 \\
0&0&0&-3&0 \\
0&0&0&0&-3 \\
\end{array}\right).
\eeq
Cette premi�re �tape rend les bosons $X$ et $Y$ massifs en laissant les bosons du MS
de masses nulles.
\beq m_X^2=m_Y^2=\frac{25}{8}g_5^2 v_{\Phi} \eeq
La \textit{v.e.v} $v_{\Phi}$ doit donc �tre de l'ordre de $10^{15-16}$ GeV ($\sim M_{GU}$).
La brisure �lectrofaible se
fait dans $SU(5)$ de fa�on minimale par un multiplet {\bf 5} qui contient un
triplet de Higgs color�s et le doublet de Higgs du MS : 
\beq H_j[\bf{5}]= (H_C,\ H). \eeq
La \textit{v.e.v} la plus simple qui brise seulement $SU(2)_L\otimes U(1)_Y$ est de la 
forme :
\beq <0|H|0>=v_{H}\left( 
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}\right).
\eeq
Les bosons �lectrofaibles sont alors rendus massifs et de l'ordre de $v_H$, 
\beq m_W^2 = g_2^2 v_H^2, \eeq
et les fermions acqui�rent une masse de l'ordre de $v_H$ gr�ce aux couplages 
de Yukawa.

Le potentiel effectif est donc fonction
des champs $H$ et $\Phi$. En toute rigueur, outre une partie responsable de la
premi�re �tape et une autre partie responsable de la brisure �lectrofaible (de
la m�me forme que le potentiel du MS), nous devons introduire un terme qui
m�lange les deux champs. Le traitement des brisures est donc un peu plus 
complexe.
Mais puisque les 2 �chelles de brisure sont s�par�es par $10^{13}$ GeV, elle
peuvent �tre consid�r�es raisonnablement ind�pendantes. Cependant, cette
hi�rachie entre les masses des Higgs requiert un ajustement extr�mement fin des
param�tres du potentiel, de 13 ordres de grandeurs, ce qui para�t peu naturel.
En effet, comme nous l'avons discut� au premier chapitre, la masse du Higgs $H$,
va recevoir des corrections venant des boucles de particules de masse $\sim
M_{GU}$. Pour que $m_H$ reste de l'ordre de 100 GeV, il faut des annulations
accidentelles extr�mement pr�cises entre des contributions de l'ordre 
de $M_{GU}$. Ce probl�me peut �tre r�solu par l'apport de la
supersym�trie qui justifie ces annulations.

Autre nouveaut� de ce secteur de Higgs : l'existence de Higgs color�s. Leurs
�changes  
conduisent � de nouvelles interactions qui n'existaient pas dans le MS qui
peuvent se r�v�ler tr�s importantes (voir plus loin). 
De plus, d'autres multiplets de Higgs peuvent exister si nous voulons briser 
$SU(5)$ en 
$SU(3)_C \otimes SU(2)_L\otimes U(1)_Y$. Le secteur de Higgs peut �tre beaucoup 
plus compliqu� dans les GUTs que dans le MS et peut faire intervenir des
repr�sentations plus grandes.

\subsubsection{Une autre possibilit� : $SO(10)$}

Une autre possibilit� tr�s souvent �tudi�e est le groupe d'unification $SO(10)$.
C'est un groupe de rang 5,   
\beq SU(5)\subset SO(10). \eeq
L'avantage principal de $SO(10)$ sur $SU(5)$ est qu'il poss�de une repr�sentation
spinorielle fondamentale de dimension 16 ce qui permet de ranger
\underline{tous} les 
fermions d'une g�n�ration \underline{et} un neutrino droit, en une seule fois . Ceci en fait un groupe "naturel" du point de vue de la physique
des neutrinos et du m�canisme de Seesaw. Dans $SU(5)$, les neutrinos droits sont � 
rajouter "� la main" comme singulets. Mais la structure des interactions de jauge
$SO(10)$ n'a aucune incidence sur les neutrinos, $SO(10)$ est juste plus
adapt� si on croit au Seesaw. En termes des repr�sentations de $SU(5)$, 
\beq {\bf 16} = {\bf 10} \oplus {\bf \bar{5}} \oplus {\bf 1}. \eeq
Dans $SO(10)$, le nombre de bosons de jauge s'el�vent � 45, ce qui nous fait 33
bosons suppl�mentaires par rapport au MS et donc beaucoup d'interactions
possibles.
De plus, la brisure de $SO(10)$ est plus complexe car se fait en deux �tapes :
en passant par $SU(5)\otimes U(1)$ ou par $SU(4)\otimes SU(2)_L \otimes SU(2)_R$
puis intervient la brisure de $SU(2)\otimes U(1)$. 
Le secteur de Higgs est tr�s �tendu et fait intervenir de
larges multiplets, de dimension 10, 16, 45, 120, 126 selon le mod�le. C'est un
secteur extr�mement important pour la ph�nom�nologie.


\subsubsection{Le mod�le minimal $SU(5)$ supersym�trique}

Une fois la supersym�trie introduite pour r�soudre les probl�mes de hi�rarchie
des �chelles (chapitres 1 et 2), nous avons vu au d�but de ce chapitre
qu'elle permettait en plus une unification beaucoup plus pr�cise des couplages
de jauge, la rendant presque indispensable pour les mod�les Grand-Unifi�s. 
Dans un mod�le minimal $SU(5)$ supersym�trique, les multiplets vont �tre remplac�s
par des supermultiplets. Les repr�sentations utilis�es sont
($\bf{10}+\bf{\bar{5}}$) pour les champs de mati�re et leurs sfermions, $\bf{24}$
pour les bosons et leurs partenaires fermioniques les "bosinos". Pour les m�me 
raisons qu'au chapitre 2, nous devons introduire 2 supermultiplets,
$\bf{5}$ et $\bf{\bar{5}}$, pour les Higgs et les Higgsinos, et enfin un
supermultiplet~\footnote{Il n'y en a qu'un seul, car il est auto-conjugu�.} 
$\bf{24}$ de Higgs (et Higgsinos) pour briser $SU(5)$. 
L'existence de scalaires suppl�mentaires permet d'autres
interactions et notamment d'autres modes de d�sint�gration pour le proton ({\it
via} �change de Higgsinos par exemple, ou de squarks si la $R$-parit� n'est pas
conserv�e)
 
\subsection{Les cons�quences typiques des GUTs}
\subsubsection{La d�sint�gration du proton}

Une cons�quence directe de l'existence d'une Grande Unification est la 
d�sint�gration du proton.
En effet, les bosons $X$, $Y$ et les triplets de Higgs couplent les indices de couleurs de
$SU(3)$ avec les indices d'isospin faible de $SU(2)$. Nous avons donc des 
interactions possibles du genre
$q\to l+X$, $q+q\to Y \to q+l$,..., comme montr� par les diagrammes de
Feynman de la figure~(\ref{feynman}). 
\begin{figure}[htbp!]
\begin{center}
\begin{picture}(350,100)(-20,-20)
\Photon(0,0)(-30,0){4}{4}
\ArrowLine(20,-20)(0,0)
\ArrowLine(0,0)(20,20)
\Text(27,25)[]{$e^+$}
\Text(25,-25)[]{$d$}
\Text(-36,-3)[]{$X$}

\Photon(100,0)(70,0){4}{4}
\ArrowLine(120,-20)(100,0)
\ArrowLine(100,0)(120,20)
\Text(127,25)[]{$u$}
\Text(125,-25)[]{$\bar{u}$}
\Text(64,-3)[]{$X$}

\Photon(200,0)(170,0){4}{4}
\ArrowLine(220,-20)(200,0)
\ArrowLine(200,0)(220,20)
\Text(227,25)[]{$\bar{\nu}$}
\Text(225,-25)[]{$d$}
\Text(164,-3)[]{$Y$}

\Photon(300,0)(270,0){4}{4}
\ArrowLine(320,-20)(300,0)
\ArrowLine(300,0)(320,20)
\Text(327,25)[]{$u$}
\Text(325,-25)[]{$\bar{d}$}
\Text(264,-3)[]{$Y$}

\end{picture} 
\end{center}
\caption{Diagrammes de Feynman montrant quelques nouveaux vertex permis dans les
GUT.}
\label{feynman}
\end{figure}

Autrement dit, dans les mod�les GU il y a des interactions telles que $\Delta
B=\Delta L=1$, \underline{le nombre baryonique n'est pas conserv�}. Rien n'emp�che alors le 
proton de se d�sint�grer. Les modes de d�sint�gration possibles incluent: 
\beq 
p\to e^+\, \pi^0,\ \ \mu^+\, K^0,\ \ \bar{\nu}\,K^+, \ \ \bar{\nu}\,\pi^+,...
\eeq
Pour �valuer le temps de vie du proton nous pouvons consid�rer une
interaction effective � basse �nergie entre 4 fermions (qui repr�sente par
exemple un processus baryon$\to$ lepton + m�son). L'interaction est m�di�e
par l'�change d'un boson $X$ ou $Y$ tr�s lourd (la GU est suppos�e se
r�aliser � $\simeq 10^{16}$ GeV et $m_X\simeq m_Y\simeq
\mathcal{O}(M_{GU})$) donc l'interaction peut �tre consid�r�e comme
ponctuelle. L'amplitude est proportionnelle �~\footnote{Par analogie avec
la constante de Fermi des interactions faibles, $G_F=\frac{g^2}{8 
m^2_W}$.}
$G_X=\displaystyle\frac{g_X^2}{8 m^2_X}$,
et prend la forme suivante dans le mod�le $SU(5)$ minimal:
\begin{eqnarray}
&&\left(\epsilon_{ijk} u_{R_k} \gamma_\mu u_{L_j}\right)~G_X
~ \left(2 e_R
~\gamma^\mu ~d_{L_i} + e_L~\gamma^\mu~d_{R_i} \right)~, \nonumber \\   
&&\left(\epsilon_{ijk} u_{R_k} \gamma_\mu d_{L_j}\right)~G_X~ 
\left(\nu_L ~\gamma^\mu ~d_{R_i}\right)~,
\label{fourtwentyfive}
\end{eqnarray}
o\`u nous avons explicit� les chiralit�s des fermions et nous n�gligeons 
les �ventuels m�langes entre les diff�rentes 
g�n�rations de quarks et leptons. Une interaction de la forme 
(\ref{fourtwentyfive}) donnerait la forme suivante du taux de 
d�sint�gration:
\beq \Gamma_B=C\, G_X^2 m_p^5. \eeq 
Le facteur $m_p^5$ ($m_p$ est la masse du proton) vient de consid�rations 
dimensionnelles~\footnote{Nous rappelons qu'une largeur de d�sint�gration 
$\Gamma$ a la dimension d'une masse.} et $C$ est un facteur qui d�pend du 
mod�le de la Grande Unification et de la dynamique hadronique
du proton (qui est un ensemble complexe de 3 quarks confin�s, ce qui am�ne des
complications au calcul). Les calculs
d�taill�s donnent dans le cas $SU(5)$ non-supersym�trique un temps de vie du
proton entre $2.5\times 10^{28}$ et $1.6\times 10^{30}$ ans~\cite{Mohapatra}. 
Ceci est en d�saccord avec les mesures de SuperKamiokande:
\beq \tau_p(p\to e^+ \pi^0)>1.6\times 10^{33}\ \mathrm{ans}. \eeq   

De ce point de vue l� aussi les pr�dictions du mod�le non-supersym�trique ne
sont donc pas en accord avec les donn�es exp�rimentales. En revanche, les mod�les
supersym�triques ne sont g�n�ralement pas exclus par cette limite sur la 
d�sint�gration du proton, et ceci est notamment d� � une
�chelle d'unification plus haute (donc � des masses des $X$ ou $Y$ plus �lev�es).
Typiquement, $\tau_p\sim 10^{35}$ ans dans les mod�les supersym�triques. Les futurs projets
exp�rimentaux (Fr�jus, Hyperkamiokande,...) devraient atteindre cette limite.  
L'observation de la d�sint�gration du proton �tant un des tests les plus
importants pour les GUTs, elle est de ce fait tr�s attendue.     

\subsubsection{Les masses des quarks et leptons}
Les masses des quarks et leptons sont donn�es, comme dans le MS, � la brisure de
la sym�trie �lectrofaible $SU(2)\otimes U(1)$. Quarks et leptons se situent dans 
les m�mes repr�sentations ce qui implique des relations particuli�res entre leurs masses.  
Dans $SU(5)$ par exemple, on a les
multiplets de fermions $\bf \bar{5}$ et $\bf 10$ qui contiennent respectivement
$d_L^c$, $e_L$ et $d_L$, $e^c_L$, $u_L$, $u_L^c$ (pour la premi�re famille).
Un terme de masse est donc proportionnel 
�~\footnote{Nous rappelons que $\bar{\psi}\psi=\bar{\psi}_R\psi_L +
\bar{\psi}_L\psi_R=-\psi^{\mathrm{T}}_L C \psi^c_L + h.c.$.} 
$({\bf \bar{5}})\otimes({\bf
10})$ et pour former un scalaire on peut coupler ce terme � un Higgs dans une
repr�sentation $\bf 5$ ce qui nous donne :
\beq 
\mathcal{Y}\, (\psi^i[{\bf \bar{5}}])^{\mathrm{T}}_L C(\chi^{ij}[{\bf 10}])_L (H_j[{\bf
5}])^{\dag}. 
\eeq
Apr�s la brisure, $H[{\bf 5}]\to <0|H[{\bf 5}]|0>=v_H$, on a le terme de masse
\beq 
\mathcal{Y} v_H \left( \sum^3_{a=1} \bar{d_a}d_a +\bar{e}e
\right). 
\eeq
La masse de l'�lectron est donc la m�me que celle du quark down, ainsi que pour
les deux autres familles, � l'�chelle $M_{GU}$ :
\beqn 
m_d=m_e, \\ m_s=m_{\mu}, \\ m_{\tau}=m_b. 
\eeqn
Mais il nous faut encore \underline{renormaliser} jusqu'� basse �nergie ou nous connaissons 
la valeur des masses. Pour la troisi�me famille, nous avons
approximativement~\cite{JE-Beyond} : 
\beq
\frac{m_b}{m_{\tau}}\simeq
\left[\frac{\alpha_3(m_b)}{\alpha_3(M_{GU})}\right]^{4/7}\simeq 3, 
\eeq
ce qui est (� peu pr�s) observ� 
exp�rimentalement~\footnote{Pour $m_b\simeq4.1-4.9$ GeV et 
$m_\tau\simeq 1.78$ GeV nous trouvons que 
le rapport exp�rimental est autour de 2.5.~\cite{PDG04}.}. En incluant les 
corrections radiatives
d'ordres sup�rieurs, la supersym�trie, etc, il y a toujours accord entre la
relation pr�dite et l'exp�rience. Malheureusement, la renormalisation 
appliqu�e aux 2 premi�res familles donnent des r�sultats en contraction avec les
mesures. Ceci veut dire qu'il faut construire un mod�le non-minimal et y inclure 
d'autres multiplets de Higgs (des {\bf 45} par exemple). Mais d'une fa�on 
g�n�rale, l'organisation nouvelle des
particules propos�e par les mod�les Grand-Unifi�s implique des relations particuli�res
entre les masses des quarks et leptons. Beaucoup de travaux ont donc pour but
d'expliquer dans ce type de mod�le le spectre de masses observ�.

\subsection{Discussion}
R�sumons cette section sur les mod�les Grand-Unifi�s en passant en revue les
divers avantages et faiblesses de ce type de mod�les.

$\circ$ L'organisation des fermions d'une famille dans les repr�sentations
plus grandes 
($\bf{10}+\bf{\bar{5}}$ dans le cas de $SU(5)$) rend la structure des quarks et leptons beaucoup plus
simple que dans le MS. 

$\circ$ Les quarks et leptons sont dans les m�mes multiplets ce qui explique la 
charge �lectrique fractionnaire (multiple de 1/3) des quarks et donc la
quantification de la charge. 

$\circ$ Les masses des quarks et leptons sont reli�es et certains rapports 
pr�dits (par exemple $m_b/m_{\tau}$
Cependant, une relation viable pour les deux premi�res 
g�n�rations demanderait, par exemple, un secteur de Higgs 
non-minimal ou des op�rateurs de dimensions 5.

$\circ$ Ces mod�les r�alisent pleinement l'unification des interactions (une
seule constante de couplage pour la partie non-gravitationnelle) et � haute
�nergie ce qui est en accord avec la stabilit� observ� du proton.

$\circ$ Ces mod�les sont aussi justifi�s par l'unification
pr�cise des couplages sugg�r�e exp�rimentalement (c'est-�-dire � la pr�diction pr�cise de 
$\sin^2\theta_W$ ou de $\alpha_S$ � partir d'une unification postul�e)

$\diamond$ Malheureusement, en g�n�ral les GUTs ne donnent pas
d'explication sur l'origine du nombre de familles ni sur l'origine de la 
saveur (matrices CKM et MNS,...)
 
$\diamond$  Une unification � si haute �nergie implique un grand "d�sert" de
$10^{12-13}$ GeV. Qu'y a t'il vraiment dans cette gamme d'�nergie, est-ce 
vraiment "d�sert" ?

$\diamond$  La plupart des GUT ph�nologiquement viables ont un secteur de 
Higgs compliqu� incluant beaucoup de multiplets et de repr�sentations de 
dimensions �lev�es.

\par\hfill\par
Les mod�les Grand Unifi�s tels que pr�sent�s ici n'ont de toute fa�on pas la
pr�tention de tout expliquer mais il semble tr�s int�ressant et attirant d'inclure cette
id�e et la plupart des ingr�dients dans des mod�les r�alistes d�crivant la
physique jusqu'� de tr�s hautes �chelles d'�nergie. Pour tester ces id�es, il
faudrait en particulier pouvoir observer la d�sint�gration du proton (qui contraint en
particulier le secteur de Higgs) et la supersym�trie qui est quasi-indispensable aux GUTs, et d'enrichir
notre connaissance de la physique du neutrino (qui en quelque sorte "sonde" des
�nergies proches des GUTs).



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\newpage
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\section{La brisure de la supersym�trie}

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La brisure de la supersym�trie est n�cessaire. En effet, nous n'observons
pas de particules supersym�triques de m�me masses que leurs partenaires
usuels: $m_e \ne m_{\tilde e}\,,\, m_\gamma \ne m_{\tilde\gamma}$. Or,
l'alg�bre de supersym�trie implique que deux �tats li�s par une
transformation de supersym�trie ont les m�mes valeurs propres pour
l'op�rateur $P^2$ donc la m�me masse. Il faut donc briser la
supersym�trie. La question est de savoir si la brisure est explicite
c'est-�-dire pr�sente dans le Lagrangien sous-jacent � la th�orie ou bien,
si la brisure est spontan�e, c'est-�-dire induite par un �tat de vide non
supersym�trique. Plusieurs raisons jouent en d�faveur d'une brisure
explicite. C'est d'une part non esth�tique, ensuite ce n'est pas une
mani�re analogue � celle avec laquelle sont bris�es les sym�tries de
jauge, enfin, cela conduirait � des inconsistances dans les th�ories de
supergravit�. Ainsi, les th�oriciens se sont concentr�s sur la brisure
spontan�e de la supersym�trie.

 

Si le vide est non supersym�trique, il existe un �tat fermionique $\chi$
qui est coupl� au vide par l'interm�diaire de l'op�rateur fermionique
$Q$ (qui correspond � la charge supersym�trique) :

\begin{equation}
< 0 | Q | \chi > \; = \; f_\chi^2 \; \not= \; 0.
\end{equation}
Le fermion $\chi$ est l'�quivalent du boson de Goldstone dans les
symmetries bosoniques spontan�ment bris�es. Le champ $\chi$ �tant un
champ fermionique, on l'appelle donc fermion de Goldstone ou Goldstino.

 

Jusqu'� pr�sent, nous n'avons parl� de supersym�trie que dans le sens
d'une sym�trie globale, c'est-�-dire dont les transformations ne d�pendent
pas de l'espace-temps, donc n'incluant pas la gravit�. C'est dans ce cadre
que l'on se place pour le moment : ainsi ce que l'on brise � ce stade est
une sym�trie globale. Or, un probl�me appara�t lorsqu'on brise la
supersym�trie globale: l'�nergie du vide est positive. Pour le constater,
il suffit de voir la valeur dans le vide de l'anticommutateur des charges
$Q$:
\begin{equation}
\{ Q, Q \} \propto \gamma_\mu P^\mu.
\end{equation}
et donc en introduisant la relation de fermeture $|\chi > < \chi | = 1$ :

\begin{equation}
< 0 | \{ Q, Q \} | 0 > \; = \; | < 0 | Q | \chi > |^2 = f_\chi^4 \; 
\propto \; < 0 | P_0 | 0 > = E_0,
\end{equation}
nous constatons ainsi que la brisure de la supersym�trie globale entra�ne:

\begin{equation}
E_0 \; = \; f_\chi^4 \; > \; 0.
\end{equation}
On obtient une valeur de l'�nergie du vide strictement positive.

 

\subsection{Terme F et terme D}

Afin de voir comment on peut obtenir une valeur de l'�nergie du vide non
nulle, reprenons le potentiel effectif d'une th�orie supersym�trique
globale:
\begin{equation}
V \; = \; \Sigma_i | \frac{\partial W}{\partial \phi^i} |^2 \; 
+ \; \frac{1}{2} \Sigma_\alpha g^2_\alpha | \phi^* T^\alpha \phi |^2.
\end{equation}
Rappelons que le premier terme est appel� terme F, et le second est le
terme D. Ainsi pour obtenir une valeur de l'�nergie du vide non nulle, il
faut soit que le terme F soit d�fini positif (valeur moyenne dans le vide
non nulle) soit que le terme D soit d�fini positif.



\subsubsection{Terme D}

L'option $D > 0$ implique de construire un mod�le avec un groupe de
sym�trie de jauge $U(1)$. L'exemple le plus simple consiste � prendre un
supermultiplet chiral avec une charge unit� pour lequel le potentiel
effectif est:
\begin{equation}
V_D \; = \; \frac{1}{2} ( \xi + g \phi^* \phi )^2.
\end{equation} 
Le terme suppl�mentaire $\xi$ n'est pas permis dans une th�orie
non-ab�lienne c'est la raison pour laquelle il nous faut utiliser une
th�orie qui poss�de un groupe de jauge $U(1)$. Le minimum du potentiel
effectif est atteint pour $< 0 | \phi | 0 > = 0$ et alors $V_D = 1/2 \xi^2
> 0$ et la supersym�trie est spontan�ment bris�e. Dans cet �tat de vide,
on trouve que:
\begin{equation}
m_\phi \; = \; g \xi, \; m_\psi \; = \; 0, \; m_V \; = \; m_{\tilde V} \;
= \; 0.
\end{equation}
On distingue nettement dans cet exemple la diff�rence de masse entre boson
et fermion qui correspondent au supermultiplet $(\phi, \psi)$.
Malheureusement, on ne peut pas utiliser le groupe de jauge $U(1)$ de
l'�lectromagn�tisme dans le mod�le standard. En effet, dans le Mod�le
Standard, il y a des champs qui ont des signes diff�rents pour
l'hypercharge permettant au potentiel effectif de s'annuler. On doit
rajouter un nouveau groupe de jauge $U(1)$ mais aussi de nombreux nouveaux
champs pour annuler les anomalies triangulaires suppl�mentaires qui
apparaissent � cause de ce nouveau groupe de jauge. Ainsi, le mod�le de
brisure de supersym�trie avec un terme D n'a pas suscit� �norm�ment
d'int�r�t bien qu'aujourd'hui il connaisse un renouveau dans le cadre des
mod�les d�riv�s des th�ories de cordes.

 

\subsubsection {Terme F}



L'option $F > 0$ implique des champs chiraux suppl�mentaires avec des
couplages artificiels: ceux du Mod�le Standard ne suffisent pas; l'exemple
le plus simple consiste � prendre trois supermultiplets chiraux $A,B,C$
avec le superpotentiel suivant:

\begin{equation}
W \; = \; \alpha A B^2 \; + \; \beta C (B^2 - m^2).
\end{equation} 
On trouve les termes F correspondants :

\begin{equation}
F_A \; = \; \alpha B^2, \; F_B \; = \; 2 B (\alpha A + \beta C), \; F_C \; 
= \; \beta (B^2 - m^2),
\end{equation}
et le potentiel effectif se r��crit:

\begin{equation}
V_F \; = \; \Sigma_i | F_i |^2 \; =
\; 4 |B(\alpha A + \beta C)|^2 \; + \; | \alpha B^2|^2 \; + 
\; | \beta (B^2 - m^2) |^2.
\end{equation}
On v�rifie que les trois termes de l'�quation pr�c�dente ne peuvent pas
s'annuler simultan�ment. Ainsi, on obtient n�cessairement $V_F > 0$ et la
supersym�trie est bris�e.

Pour conclure cette section, nous pouvons dire qu'il n'existe pas de moyen
satisfaisant de briser la supersym�trie globale car d'une fa�on ou d'une
autre, on est amen� soit � rajouter de nouveaux champs de mati�re et des
couplages artificielles, soit � introduire un nouveau groupe de jauge et
d'autres champs. Dans les ann�es $1980$, des tentatives ont �t� faites
pour "dissimuler" les champs suppl�mentaires dans un secteur cach� mais il
s'est r�v�l� qu'il �tait tr�s compliqu� d'obtenir un mod�le
ph�nom�nologiquement viable. De plus, la brisure de la supersym�trie
globale implique n�cessairement une �nergie du vide non nulle: � premi�re
vue, cela n'est pas une mauvaise chose; en effet, les observations
actuelles tendent � prouver que l'�nergie du vide n'est pas nulle. Le
probl�me fondamental vient du fait que la mesure de cette �nergie du vide
est compl�tement en d�saccord avec la pr�diction de l'�nergie du vide de
la supersym�trie globale: la valeur mesur�e de l'�nergie du vide est:
\begin{equation}
\Lambda \sim 10^{-123} m^4_P,
\end{equation}
alors que l'�nergie du vide de la supersym�trie bris\'ee pr�dit une
constante cosmologique:

\begin{equation}
\Lambda \sim (1 \; TeV)^4 \sim 10^{-64} \, m^4_P.
\end{equation}
Nous obtenons une diff�rence de 60 ordres de grandeur! Pour discuter de la
brisure de la supersym�trie de mani�re plus satisfaisante, il faut une
th�orie supersym�trique incluant la gravit�: c'est l'objectif du prochain
chapitre.

\subsection{Supersym�trie locale ou Supergravit�}

Jusqu'� pr�sent, nous avons consid�r� les transformations globales de
supersym�trie dans lesquelles le spineur des transformations
infinit�simales $E$ est ind�pendant de l'espace-temps. Nous allons
maintenant consid�rer un spineur de transformations d�pendant de
l'espace-temps $E(x)$ par analogie avec les symm�tries bosoniques qui, une
fois rendu locales, donnent naissance aux th�ories de jauge.

De plus, le fait de rendre la supersym�trie locale conduit � un m�canisme
analogue au m�canisme de Higgs pour briser les sym�tries bosoniques: le
m�canisme de super-Higgs qui permettra de briser de mani�re �l�gante la
supersym�trie. En prime, une th�orie locale de la supersym�trie contient
n�cessairement, comme nous le verrons, la gravit� (c'est la raison pour
laquelle cette th�orie se nomme la Supergravit�)  et ouvre la perspective
d'unifier toutes les interactions des particules et les champs de mati�re
avec des transformations de supersym�trie �tendue:

\begin{equation}
G (J = 2 ) \; \to \; {\tilde G} ( J = 3/2 ) \; \to \; V ( J = 1 ) \; \to 
\; q, \ell ( J = 
1/2 ) \; \to \; H ( J = 0 ),
\end{equation}
o� $G$ est le graviton de spin 2 et ${\tilde G}$ est le gravitino, son
partenaire supersym�trique de spin-3/2, qui s'inscrivent tous deux dans le
supermultiplet de la gravitation:

\beq
\left( \begin{array}{c} G \\ \tilde{G} \end{array}\right) = 
 \left( \begin{array}{c} 2 \\  \frac{3}{2}\end{array}\right).
\eeq
La Supergravit� est un ingr�dient essentiel pour la compr�hension des
interactions gravitationnelles des particules supersym�triques, et donc
n�cessaire � une discussion coh�rente de l'\'energie du vide.

 

\subsection{Supergravit�}

Pour comprendre pourquoi le fait de rendre la supersym�trie locale
implique une pr�sence de la gravit� dans la th�orie, consid�rons ce qui
arrive si l'on applique � un supermultiplet chiral les deux
transformations de supersym�trie suivantes:
\begin{eqnarray}
\delta_i \phi \; & = & \; \sqrt{2} {\bar E_i} \psi + \dots, \\
\delta_j \psi \; & = & \; - i \sqrt{2} \gamma_\mu \partial^\mu \phi E_j + 
\dots
\end{eqnarray}
Si l'on construit le commutateur sur les champs $\phi$ ou $\psi$, on obtient:

\begin{equation}
[\delta_i, \delta_j] (\phi, \psi) = - 2 ({\bar E_j} \gamma_\mu E_j) i 
\partial_\mu (\phi, \psi).
\end{equation}
On observe que l'effet sur les champs est �quivalent � une translation
d'espace-temps, puisque $i \partial_\mu \leftrightarrow P_\mu$.

Si les transformations spinorielles infinit�simales $E_{i,j}$ sont
ind�pendantes de $x$, la translation est globale et la th�orie est
invariante par translation globale. Mais si les $E_{i,j}$ d�pendent de la
position dans l'espace-temps, on obtient que le commutateur appliqu� au
champ est �quivalent � un changement de coordonn�es locales sur les champs
et donc la th�orie est invariante par changement de coordonn�es locales.
Or, nous savons qu'une th�orie invariante par changement de coordonn�es
locales contient n�cessairement la gravit� : l'invariance par changement
de coordonn�es locales est un des points de d�part de la construction de
la Relativit� G�n�rale qui est la th�orie de la gravit�.

\subsubsection{Analogie avec les th�ories de jauge}

Dans cette section nous verrons que le gravitino �merge naturellement
comme champ de jauge de la supersym�trie. Consid�rons, dans un premier
temps, la variation du terme cin�tique d'un fermion sous une
transformation de jauge : $\delta ( i {\bar \psi}\gamma^\mu \partial_\mu
\psi )$. Dans une transformation de jauge, le champ fermionique devient :
\begin{equation}
\psi (x) \; \to \; e^{i \epsilon (x)} \psi (x), 
\end{equation}
o\`u $\epsilon(x)$ est une variation de phase d�pendante de la position
dans l'espace-temps. Ainsi, un terme suppl�mentaire, par rapport � une
th�orie o� la phase est ind�pendante de l'espace-temps, appara�t dans la
variation du terme cin�tique:
\begin{equation}
- {\bar \psi} \gamma_\mu \psi \partial^\mu \epsilon (x).
\end{equation}
Pour annuler cette variation et maintenir l'invariance du lagrangien sous
les transformations de jauge, on introduit un champ dit champ de jauge:
$A^\mu (x)$. Dans une sym�trie de jauge ab�lienne, il intervient dans le
Lagrangien sous cette forme:
\begin{equation}
{\bar \psi} (x) \gamma_\mu \psi (x) A^\mu (x)
\end{equation}
et se transforme ainsi :
\begin{equation}
\delta A^\mu (x) \; = \; 
\partial^\mu \epsilon (x).
\end{equation}
Dans le cas de transformations locales de supersym�trie, la variation du
champ fermionique est:
\begin{equation}
\delta \psi (x) = - i \gamma_\mu \partial^\mu ( \phi (x) E 
(x)) + \dots, 
\end{equation}
et ainsi, la variation du terme cin�tique fermionique contient un terme:
\begin{equation}
\propto \; {\bar \psi} \gamma_\mu \gamma_\nu \partial^\nu \phi \partial^\mu E(x)
\end{equation}
qui est compens� par l'introduction d'un terme contenant un nouveau champ
$\psi_\mu$ :
\begin{equation}
\kappa {\bar \psi} \gamma_\mu \gamma_\nu \partial^\nu \phi \psi_\mu (x),
\end{equation}
qui se transforme comme ceci sous la supersym�trie:
\begin{equation}
\delta \psi_\mu (x) \; = \; - \frac{2}{\kappa} \partial_\mu E (x).
\end{equation}
Le nouveau champ $\psi_\mu$ est un spineur avec un indice de Lorentz :
donc il poss\`ede spin 3/2. Il est le champ de jauge de la supersym�trie :
c'est un fermion de jauge. Comme il a un spin 3/2, il ne peut �tre que le
partenaire supersym�trique du graviton de spin 2: c'est donc le gravitino.

 

\subsubsection{Le Lagrangien de pure Supergravit�}

 

Consid�rons le plus simple Lagrangien pour un gravitino et un graviton. Il
consiste en la somme du Lagrangien de Einstein-Hilbert pour la Relativit�
G�n�rale (description du graviton) et celui de Rarita-Schwinger pour un
champ de spin 3/2 (descrption du gravitino). Bien entendu, il faut rendre
invariant le Lagrangien de Rarita-Schwinger sous transformations g�n�rales
de coordonn�es en covariantisant la d�riv�e:

\begin{equation}
L \; = \; - \frac{1}{2 \kappa^2} \sqrt{-g} R \; - \; \frac{1}{2} 
\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} {\bar \psi_\mu} \gamma_5 \gamma_\nu {\cal 
D}_\rho \psi_\sigma,
\end{equation}
o� $g = det(g_{\mu \nu})$ et $g_{\mu \nu}$ est le tenseur m�trique:

 

 

\begin{equation}
g_{\mu \nu} \; \equiv \; \epsilon^m_\mu \epsilon^n_\nu \eta_{mn}
\end{equation}
o� $\epsilon^m_\mu$ est le vierbein (qui d�crit, entre autres, le champ du
graviton) et
\begin{equation}
{\cal D}_\rho \; \equiv \; \partial_\rho + \frac{1}{4} \omega^{mn}_\rho 
[\gamma_m, \gamma_n],
\end{equation}
est la d�riv�e covariante avec $\omega^{mn}_\rho$ la connexion de spin. Ce
Lagrangien est naturellement invariant sous transformations locales de
supersym�trie. Les champs se transforment de la mani�re suivante:
\begin{eqnarray}
\delta \epsilon^m_\mu \; & = & \; {\bar E} (x) \gamma^m \psi_\mu (x), \\
\delta \omega^{mn}_\mu \; & = & \; 0, \\
\delta \psi_\mu \; & = & \; \frac{1}{\kappa} {\cal D}_\mu E (x).
\end{eqnarray}

 

\subsection{Le m�canisme de Super-Higgs}

Dans le Lagrangien pr�c�dent, nous n'avons pas inclus le couplage � la
mati�re, dont nous parlerons plus tard. Cependant, nous pouvons d�j�
parler du m�canisme de brisure spontan�e de la supersym�trie locale: le
m�canisme de super-Higgs. En effet, nous venons d'introduire le gravitino
qui se trouve au centre de ce m�canisme. Rappelons que dans le m�canisme
de Higgs conventionnel, un boson de Goldstone sans masse (de spin 0 donc
avec une seule polarisation) est absorb� par un boson de jauge sans masse
(d'h�licit� + ou -1 donc avec deux \'etats de polarisation) qui va
acqu�rir par ce processus les degr�s de libert� du boson de Goldstone et
donc poss�der trois �tats de polarisations qui lui permettent d'acqu�rir
une masse:
\begin{equation}
2 \times (V_{m = 0}) \; + \; 1 \times (GB) \; = \; 3 \times (V_{m \ne 0}).
\end{equation}
Dans une th�orie localement supersym�trique, les deux �tats de
polarisation (h�licit� + ou - 1/2) du fermion de Goldstone sans masse sont
absorb�s par un gravitino sans masse d'h�licit� + ou - 3/2, donc avec deux
�tats de polarisation, pour lui donner les quatres �tats de polarisations
n�cessaire � l'obtention d'une masse:
\begin{equation}
2 \times (\psi^\mu_{m = 0}) \; + \; 2 \times (GF) \; = \; 4 \times 
(\psi^\mu_{m \ne 0}).
\end{equation}
Ce processus brise la supersym�trie locale, puisqu'il donne une masse au
gravitino alors que le graviton n'en a pas: $m_G = 0 \ne m_{\tilde G} \ne
0$. C'est le seul moyen consistent pour briser la supersym�trie. De plus,
il peut se faire en donnant une �nergie nulle au vide:
\begin{equation}
< 0 | V | 0 > \; = \; 0 \; \leftrightarrow \; \Lambda \; = \; 0.
\end{equation}
Ainsi, on peut obtenir � la fois une brisure de la supersym�trie locale et
une constante cosmologique nulle, ce qui n'�tait pas le cas de la brisure
globale de supersym�trie.

 

 

\subsection{Couplage de la Supergravit� � la mati�re}

Le Lagrangien complet de la Supergravit� incluant les multiplets vecteurs
et chiraux peut �tre obtenu par la m�thode de calcul tensoriel locale.
C'est un travail laborieux. Nous ne donnerons que quelques �l�ments cl�s
sans �crire de preuves. Parmi ces expressions nouvelles par rapport � la
supersym�trie globale, on trouve principalement le potentiel de K�hler. Le
potentiel de K�hler est une fonction des champs scalaires (contenus dans
les supermultiplets chiraux) : $G(\phi, \phi^*)$. Le superpotentiel est
reli� au potentiel de K�hler. Ce dernier est aussi appel� vari�t� de
K�hler, car il d�crit une g�om�trie interne qui influe directement sur les
termes cin�tiques des champs fermioniques et scalaires et qui d�termine la
masse des particules apr�s la brisure de supersym�trie. C'est aussi un
param�tre d'ordre pour la brisure de supersym�trie:
\begin{equation}
m_{\tilde G} \; \equiv \; m_{3/2} = e^{G_0\over 2}\,|<W>|,
\end{equation}
o� $G_0$ est la valeur dans le vide de $G$ et $\ <W>$ est la valeur dans le vide
du superpotentiel $W$\footnote{O� $W\,=W_{cach}+W_{obs}$ et $<W_{obs}>=0$,
mais $<W_{cach}>\not=0$.}.

Comme nous l'avons dit, $G$ d�termine les termes cin�tiques des champs
fermioniques et des champs scalaires. Dans le cas des champs scalaires:
\begin{equation}
L_K \; = \; G^j_i \partial^\mu \phi^*_j \partial_\mu \phi^i ,
\end{equation}
o� $G^j_i$ est la m�trique de K�hler:
\begin{equation}
G^j_i \; \equiv \; \frac{\partial^2 G}{\partial \phi^i \partial \phi^*_j},
\end{equation}
Le potentiel effectif sans la pr�sence des termes $D$ est aussi d�termin�
par le potentiel de K�hler:
\begin{equation}
V \; = \; e^G [ G_i (G^{i}_j)^{-1} G^j - 3] \,avec \; G_i \; \equiv \; 
\frac{\partial G}{\partial \phi^i}.
\end{equation}
On remarque que ce potentiel peut s'annuler sans emp�cher la brisure de
supersym�trie, ce qui n'�tait pas le cas dans la supersym�trie globale. En
effet, on peut avoir simultan�ment $m_{\tilde G}^2 = e^G \not= 0$ et
$V=0$.

L'�tat de vide de la th�orie doit correspondre � un minimum de $V$. Or, il
se trouve que pour des formes g�n�rales de $G$, et pour certaines valeurs
des champs, le potentiel $V$ devient n�gatif: ceci constitue une
catastrophe pour la cosmologie, puisque cela signifierait que la constante
cosmologique est n�gative et donc que l'Univers s'effondre sur lui-m�me.
Heureusement, il existe une classe particuli�re de potentiels de K�hler,
non n\'gatifs. Il se trouve que c'est la classe de potentiels qui �merge
des th�ories de cordes.

De m�me qu'il existe un potentiel de K�hler qui d�termine la g�om�trie et
la cin�tique des champs chiraux, il existe une fonction appel�e fonction
cin�tique not�e $f(\phi)$ qui d�termine les termes cin�tiques des
supermultiplets vecteurs.

\subsection{Th�orie effective aux basses �nergies} 

La th�orie basse-�nergie trouve son origine dans une th�orie haute-�nergie
: la th�orie la plus g�n�rale de supergravit� n'est pas renormalisable,
mais les termes non renormalisables ne sont pas importants \`a basses
\'energies. Donc, en premi\`ere approximation on peut ne garder que des
termes renormalisables dans le potentiel effectif de la supergravit� �
basses �nergies. Pour des choix g�n�riques du potentiel de K�hler, on
obtient des masses issues de la brisure de la supersym�trie non nulles
pour les gauginos:
\begin{equation}
m_{1/2} \; \propto \; m_{\tilde G} \; \equiv \; m_{3/2}.
\end{equation}
L'universalit� des masses des jauginos correspondant aux diff�rents
groupes de jauge $SU(3), SU(2)$ et $U(1)$ n'est pas syst�matique, mais
cela �merge naturellement si la g�om�trie n'est pas trop compliqu�e, par
exemple si la fonction cin�tique $f(\phi)$ est un singulet. En d�veloppant
le potentiel effectif, on trouve des termes proportionnels � $|\phi|^2$,
qui sont interpr�t�s comme les masses des scalaires issues de la brisure
de la supersym�trie:
\begin{equation}
m_{0} \; \propto \; m_{\tilde G} \; \equiv \; m_{3/2}.
\end{equation}
Dans ce cas, il n'y a aucune raison th�orique d'avoir universalit� des
masses: les mod�les issus des th�ories de cordes brisent souvent cette
universalit�. Par contre, il y a de bonnes raisons ph�nom�nologiques pour
penser que les masses des scalaires avec la m�me charge sont identiques.
En effet, dans le cas contraire, on aurait des interactions v�hicul�es par
des Sparticules virtuelles qui provoqueraient des changements de saveurs.

Des formes g�n�riques du potentiel effectif conduisent aussi \`a la
pr�sence de termes d'interaction trilin�aires issues de la brisure de
supersym�trie entre particules scalaires :
\begin{equation}
A_\lambda \lambda \phi^3: \; \; A_\lambda \; \propto \; m_{\tilde G} \; 
\equiv \; m_{3/2},
\end{equation}
Encore une fois, l'universalit� n'a pas de raison fondamentale. Si la
th�orie supersym�trique inclut aussi des termes d'interaction bilin�aires
comme c'est le cas dans l'extension minimale du Mod�le Standard � la
supersym�trie (MSSM) avec des termes $\mu \phi^2$ o� le scalaire en
question est le Higgs, on s'attend � trouver aussi des termes $B_\mu \mu
\phi^2$ dans le potentiel effectif.

La forme finale du Lagrangien de brisure 'explicite' de la th�orie basse
�nergie de la supergravit� sugg�r�e par la brisure spontan�e de la
supersym�trie locale est:
\begin{equation}
- \frac{1}{2} \Sigma_a m_{1/2_a} {\tilde V}_a {\tilde 
V}_a - \Sigma_i m^2_{0_i} |\phi^i|^2 - (\Sigma_\lambda A_\lambda 
\lambda \phi^3 + \Sigma_\mu B_\mu \mu \phi^2 + {\rm Herm. Conj.}), 
\end{equation} 
qui contient de nombreux param�tres libres. La brisure de la supersym�trie
est explicite dans la th�orie basse �nergie mais, comme nous l'avons d�j�
vu, elle est n�anmoins douce car la renormalisation des param�tres
$m_{1/2_a}, m_{0_i}, A_\lambda$ et $B_\mu$ est logarithmique, sans
corrections quadratiques. Il faut souligner que ces param�tres ne sont pas
fondamentaux, et que le m�canisme de brisure de la supersym�trie
sous-jacent est spontan�e.

La renormalisation logarithmique des param�tres signifie que l'on peut
calculer leurs valeurs de basse-�nergie � partir de ses valeurs � hautes
�nergies provenant d'une th�orie des supercordes ou de supergravit�. Pour
le cas de la masse basse-�nergie des gauginos $M_a$, on a :
\begin{equation}
\frac{M_a}{m_{1/2_a}} \; = \; \frac{\alpha_a}{\alpha_{GUT}}
\end{equation}
� une boucle, o� $\alpha_a$ est le couplage de jauge et o� l'on a suppos�
l'unification des couplages � l'�chelle de la supergravit�.

Pour le cas des scalaires, on a :
\begin{equation}
\frac{ \partial m^2_{0_i}}{\partial t} \; = \; \frac{1}{16 \pi^2} [ 
\lambda^2 (m_0^2 + A_\lambda^2) - g_a^2 M_a^2]
\label{m0}
\end{equation}
avec $t = {\rm ln} ( Q^2 / m_{GUT}^2)$ et o� les coefficients li�s au
groupe de jauge ont �t� supprim\'es. Dans le cas des deux premi�res
g�n�rations, le premier terme dans la partie droite de l'�quation peut
�tre omis, car les couplages de Yukawa sont faibles. On obtient ainsi :
\begin{equation}
m^2_{0_i} \; = \; m_0^2 + C_i m_{1/2}^2,
\end{equation}
dans le cas o\`u les masses initiales sont identiques pour les scalaires,
et les coefficients $C_i$ sont calculables dans tous les mod�les. Le
premier terme dans la partie droite de l'�quation (\ref{m0}) est important
pour la troisi�me g�n�ration et pour les bosons de Higgs du MSSM.

En effet, le signe du premier terme est positif et celui du second est
n�gatif. Cela signifie que le dernier terme augmente $m^2_{0_i}$ lorsque
l'�chelle de renormalisation $Q$ diminue, alors que le terme positif fait
diminuer $m^2_{0_i}$ lorsque $Q$ diminue. Dans le cas du boson de Higgs
$H_u$, le terme positif n'est pas n�gligeable car $H_u$ a un couplage de
Yukawa �lev� avec le quark top: $\lambda_t \sim g_{2,3}$. Une observation
tr�s int�ressante est que la brisure de sym�trie spontan�e �lectrofaible
est expliquable. En effet, on retrouve la forme du potentiel de brisure
�lectrofaible de mani�re naturelle puisque $m_{H_u}^2$ devient n�gatif \`a
basse \'energie.  Ainsi, la brisure spontan�e de supersym�trie entraine la
brisure spontan�e de la sym�trie �lectrofaible. Cela se produit � une
�chelle d'�nergie exponentiellement plus petite que l'�chelle de la
supergravit�:
\begin{equation}
\frac{m_W}{m_P} \; = \; exp( \frac{ - {\cal O}(1)}{\alpha_t}): \; \; 
\alpha_t \equiv \frac{\lambda_t^2}{4 \pi}.
\end{equation}
Les calculs d'�volution permettent de d\'emontrer que $m_W \sim 100$~GeV
�merge naturellement si $m_t \sim 60$ to $200$~GeV, ce qui a \'et\'e
confirm� ensuite par des exp\'eriences.

\subsection{Conclusion sur la brisure de la supersym�trie locale}

Comme nous l'avons vu, la brisure de supersym�trie locale serait induite
par le m�canisme de super-Higgs. Cependant, le d�tail du m�canisme de
brisure reste un grand myst�re. Pour que les sparticules soient plus
lourdes que les particules, tout en restant � une masse inf�rieure � 10
Tev (pour permettre la stabilisation des bosons de Higgs), une m�thode
consiste � ajouter des champs non pr�sents dans la th�orie. On appelle ce
secteur, le secteur cach�. Dans certains mod�les, le secteur cach�
communique gravitationnellement avec le secteur observable. Dans d'autres
mod�les, les messagers sont des bosons de jauge. Dans le secteur cach�, on
suppose l'existence d'une interaction forte qui permet la brisure
dynamique de la supersym�trie \`a une \'echelle \'elev\'ee. Dans le cas de
l'interaction forte usuelle, le passage de la zone perturbative � la zone
non pertubative de la th�orie � basse �nergie provoque la condensation
et le confinement des quarks. Par analogie, on attend un condensat de
jauginos\cite{Nilles:1998sx} dans le secteur cach�, ce qui briserait la supersym�trie. Par
exemple, dans la th�orie des cordes h�t�rotiques dont le groupe de jauge
est $E_8 \times E_8$, le premier groupe exceptionnel contient le mod�le
standard alors que le second facteur d�crit le secteur cach�, dans lequel
apparait le condensat de jauginos.

Les th�ories de cordes donnent naissance � des th�ories sp\'ecifiques de
supergravit� dites no-scale. Dans ces mod�les, la masse du gravitino est
ind�termin�e au niveau de l'arbre car le potentiel effectif est constant.
Dans un tel mod�le, il n'y a qu'une seule \'echelle de masse au d�part:
celle de Planck. La masse du gravitino provient alors des corrections
radiatives au potentiel effectif. La forme de ce potentiel au niveau de
l'arbre ne fournit pas de termes de masse provenant de la brisure de
supersym�trie pour les scalaires. Pourtant, il existe des moyens de
communiquer la brisure de la supersym�trie\cite{Randall:1998uk} au secteur observable. Par
exemple, dans ces th�ories de "no-scale" supergravit� provenant des
th�ories de cordes, il existe souvent un second champ scalaire du secteur
cach� qui param�trise la fonction cin�tique des bosons de jauge et permet
aux gauginos d'obtenir une masse. Les masses des particules scalaires sont
alors donn�es par les corrections radiatives lorsque l'on am�ne les
param�tres de la th�orie vers l'�chelle �lectrofaible.

Pour conclure ce paragraphe, il est int�ressant de regarder ce que devient
l'�nergie du vide ou la constante cosmologique apr�s renormalisation. On
parle bien �videmment du vide de la th�orie supersym�trique sous-jacente.
Les corrections � boucle sur l'�nergie du vide sont quadratiquement
divergentes dans une th�orie g\'en\'erique de supergravit�, ce qui sugg�re
une contribution \`a l'\'energie du vide de l'ordre de $m^2_{3/2} m^2_P$
et donc $O(10^{-32})m^4_P$. Cette contribution est supprim\'ee dans
certains mod�les, qui ont une correction � une boucle de l'ordre de $
O(10^{-64})m^2_P$. Pourtant, il faudrait sans doute une sym�trie
suppl�mentaire pour amener la constante cosmologique au niveau requis,
soit $10^{-123} m^4_P$. Ceci nous conduit maintenant \`a discuter de la
th�orie des cordes, qui est notre meilleur candidat pour une Th�orie de
Tout incluant la gravit�.

 

\newpage

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\section{Vers une "Th�orie de Tout"}

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\subsection{Les probl�mes de la gravit� quantique}

Un des �l�ments fondamentaux qui manquent � notre compr�hension de
l'Univers et des interactions fondamentales est l'unification des deux
grandes th�ories du XX�me si�cle : la relativit� g�n�rale et la m�canique
quantique. Ecrire une th�orie unifi�e est un des enjeux majeurs de notre
si�cle. La solution du probl�me de la constante cosmologique devra se
situer dans le cadre d'une telle "Th�orie de Tout". 

La gravitation �chappe � la th�orie quantique surtout car des infinis
incontr�lables et non renormalisables apparaissent lorsque l'on veut
calculer des diagrammes contenant des boucles avec des gravitons. Ces
corrections sont des puissances qui divergent de plus en plus rapidement
lorsqu'on augmente l'ordre du calcul perturbatif, parce que la constante
de couplage de la gravitation poss�de une dimension.

Il existe aussi des probl�mes non perturbatifs qui �mergent lorsque l'on
cherche � quantifier la gravitation. Ces probl�mes sont pour la premi�re
fois apparus lorsque les physiciens se sont int�ress�s aux trous noirs. Le
trou noir est une solution non perturbative des �quations de la Relativit�
G�n�rale dans laquelle la courbure de l'espace-temps li\'ee aux forces
gravitationnelles devient tr\`es importante : aucune particule ne peut
sortir de l'horizon qui l'entoure. L'existence de cet horizon est li\'ee
aux questions d'entropie et de temp\'erature des trous noirs. En
effet, la masse d'un trou noir est proportionnelle � la surface de son
horizon, qui se situe au rayon de Schwarzschild: $r_s= \frac{G\,m}{c^2}$ :
\begin{equation}
S\;=\frac{1}{4}\;A. 
\end{equation}
o� $A$ est la surface et $S$ l'entropie.

Lorsque la masse d'un trou noir augmente, sa surface augmente, et aussi
son entropie. Proche de l'horizon du trou noir, les effets quantiques
cr\'eent des paires de particules, dont une est virtuelle et se trouve \`a
l'int\'erieur du trou noir tandis que l'autre est r\'eelle et se trouve
\`a l'ext\'erieur de l'horizon. Cette derni\`ere est rayonn\'ee par le
trou noir : c'est que l'on appelle le rayonnement d'Hawking. Cette
radiation est stochastique, avec tous les charact\'eristiques d'une
radiation thermique \'emise par un corps noir. Cet effet est \`a rapprocher
de l'effet Unruh, selon lequel un observateur dans un r\'ef\'erentiel
acc\'el\'er\'e detecte une radiation thermique. Dans le cas d'un trou
noir, sa temp�rature est li\'ee \`a sa masse :
\begin{equation}
T\;=\frac{M}{2\pi}. 
\end{equation}

L'entropie du trou noir refl\`ete la perte d'information \`a travers son
horizon, et l'\'etat thermique de la radiation de Hawking, d'une nature
stochastique, en est l'expression. Pour la d\'ecrire, il faut utiliser un
\'etat quantique mixte. Or, on peut imaginer la pr\'eparation d'un trou
noir \`a partir d'un \'etat pur. Donc il faut envisager une transition
entre un \'etat mixte et un \'etat pur, ce qui n'est pas admis par la
m\'ecanique quantique habituelle. On peut voir ce probl\`eme d\'ej\`a au
niveau de la radiation de Hawking : consid�rons un �tat quantique pur
compos\'e de deux particules $A, B$ dans une superposition d'\'etats
individuels : $|A,B> \equiv \sum_i c_i |A_i > |B_i>$. Si la particule $A$
tombe dans le trou noir et $B$ s'�chappe, l'information tenue par la
particule $|A>$ est perdue :
\begin{equation}
\sum_i \, c_i |A_i B_i ><A_i B_i| \to \sum_i |c_i|^2 |B_i > <B_i|
\end{equation}
et $B$ �merge dans un �tat mixte! Or, la m�canique quantique ne permet pas
l'�volution d'un �tat pur en �tat mixte.

Cette discussion met en �vidence un conflit entre la th�orie quantique et
la Relativit� G�n�rale. Au moins un de ces deux piliers de la physique du
XX\`eme si\`ecle doit �tre modifi�. Les physiciens des particules
pr�f�rent modifier la Relativit� G�n�rale en l'�levant � la th�orie des
cordes. Nous continuons avec cette th�orie.

\subsection{Introduction � la th�orie des cordes}

Comme nous avons d\'ej\`a vu, un des probl�mes majeurs de la gravit�
quantique est la pr�sence d'un nombre illimit\'e de divergences. Ces
divergences peuvent �tre reli�es � l'absence de cut-off (coupure) �
courtes distances dans les th�ories de champs usuelles o� les particules
sont ponctuelles. En effet, on peut rapprocher de mani�re infinie proche
des objets ponctuels, donnant ainsi naissance � des interactions infinies:
\begin{equation}
\int^{\Lambda \to \infty} \, d^4k \left (\frac{1}{k^2} \right )
\leftrightarrow \int_{1/ \Lambda \to 0} \, d^4x
\left ( \frac{1}{x^6} \right ) \sim \Lambda^2 \to \infty.
\end{equation}
On peut adoucir voire effacer ces divergences si l'on impose un cut-off
naturel.

Pour faire ceci, il suffit de consid�rer des objets �tendus plut�t que
ponctuels pour r�duire voire supprimer ces divergences. L'option la plus
simple est de remplacer les particules ponctuelles par des objets
unidimensionnels : les cordes. Les lignes d'univers associ�es � ces objets
�tendus deviennent des surfaces d'Univers (world-sheets). Si les cordes
sont ferm�es, on obtient des tubes dans l'espace-temps, qui forment des
circuits de plomberie lorsqu'ils interagissent entre eux, comme indique la
figure~\ref{fig:ws}. On peut imaginer �tendre ce principe a des objets
avec davantage de dimensions comme des membranes, dont les lignes
d'Univers se transforment en "volumes d'Univers". Nous reviendrons � ces
objets lorsque nous parlerons des aspects non perturbatifs de la th�orie.

\begin{figure}%[t]
\centerline{\includegraphics[height=3in]{ws.ps}}
\caption[]{Une repr�sentation d'une interaction en th�orie des cordes.}
\label{fig:ws}
\end{figure}

 

Historiquement les th�ories de cordes furent introduites pour d�crire les
interactions fortes avant que ne soit d�velopp�e la QCD. Les �tats li�s
l'�taient par l'interm�diaire de cordes poss\`edant une certaine tension.
Les amplitudes des processus lors desquels deux particules donnent $n$
particules pouvaient �tre directement d�riv�es d'une th�orie quantique des
cordes. Avec l'av�nement de la QCD, la th�orie des cordes fut presque
oubli�e comme th�orie des interactions fortes~\footnote{Quelques
th�oriciens continuent \`a travailler sur ce sujet.}. En plus, il a
\'et\'e reconnu que l'unitarit� n\'ecessitait que les cordes ferm�es
soient pr�sentes dans la th�orie.

Il apparaissait que le spectre des �tats quantiques de la corde ferm�e
incluerait une particule de spin-2 et sans masse, ce qui �tait un
inconv�nient pour une th\'eorie de l'interaction forte. Pourtant, cela
fournit l'id�e que les cordes pouvait �tre une Th�orie de Tout: en effet,
une particule de spin 2 sans masse peut �tre interpr�t�e comme un graviton,
et dans ce cas la tension de la corde deviendrait beaucoup plus \'elev\'ee
: $\mu = O(m^2_P)$.

Le spectre d'excitation des cordes fournit un nombre infini de diff�rentes
particules. Puisque les cordes se propagent sur une surface d'Univers, le
formalisme est bidimensionnel. Les vibrations des cordes peuvent �tre
d�crites en terme d'ondes qui propagent dans les deux sens autour de la
corde ferm\'ee, vers la gauche ou vers la droite :
\begin{equation}
\phi (r,t) \to \phi_L (r-t), \, \phi_R (r+t).
\end{equation}
Si la corde est ferm�e, les ondes gauches et droites sont ind�pendantes.
Apr�s quantification, on peut r��crire la th�orie comme une th�orie de
champs � deux dimensions, car on travaille sur des surfaces d'Univers.
Compar�e � une th�orie � quatre dimensions, il est relativement simple
d'obtenir une th�orie finie. Dans ce cas, la th�orie poss�de une sym�trie
conforme qui est d�crite par un groupe de sym�trie de dimension infinie �
deux dimensions. Cette sym�trie classique ne doit pas �tre bris�e par des
anomalies lorsqu'on rend la th�orie quantique. Annuler l'anomalie conforme
implique que dans un espace-temps plat les ondes gauches et droites sont
toutes les deux �quivalentes � $26$ bosons si la th�orie n'a pas de
supersym�trie et � $10$ supermultiplets de bosons et fermions si la
th�orie poss\`ede une supersym�trie N=1 sur la surface d'Univers.

  

\subsection{Les grandes classes de th�ories de cordes}

Parmi les mod�les de th�ories de cordes consistantes, on trouve la {\it
corde bosonique}, une th�orie en $26$ dimensions qui ne contient pas de
fermions. La corde bosonique a un vide instable, c'est-�-dire qu'un
espace-temps plat est instable.

On a aussi des mod�les de {\it supercordes} consistants en $10$
dimensions, qui contiennent des fermions et poss�dent des vides stables,
donc des espaces-temps plats stables, mais n'ayant pas de fermions
chiraux.

Le mod�le de {\it corde h�t�rotique en $10$ dimensions} est aussi un
mod�le supersym�trique, mais il poss�de en plus du mod�le pr�c�dent des
fermions chiraux, car la violation de la parit� a �t� int�gr�e puisque les
ondes gauches et droites sont trait�es diff�remment. Cette th�orie est
appel�e h�t�rotique car elle est contruite � partir d'une th�orie de
supercordes pour la partie fermionique et d'une th�orie de cordes
bosoniques � $26$ dimensions pour la partie bosonique. Les $16$ dimensions
suppl�mentaires qui sont autant de degr�s de libert� suppl�mentaires sont
per�ues comme des champs suppl�mentaires dans la th�orie � $10$
dimensions.

Enfin, on peut citer les mod�les de {\it cordes h�t�rotiques en $4$
dimensions} qui sont obtenus en compactifiant les six dimensions
suppl\'ementaires � des rayons de l'ordre de la longueur de Planck, ou
alors en travaillant directement � $4$ dimensions en rempla�ant les
dimensions manquantes par d'autres degr�s de libert� internes comme des
fermions ou des groupes de sym�trie. De cette mani�re, il a �t� possible
d'incorporer un groupe de jauge unifi\'e et m�me des mod�les ressemblant
au Mod�le Standard.

\subsubsection{Les th�ories de supercordes}

Comme nous l'avons dit, le mod�le de corde bosonique poss�de beaucoup plus
de d�savantages que les autres mod�les: il a $26$ dimensions, pas de
fermions et un vide instable! Les physiciens se sont donc concentr�s sur
des mod�les supersym�triques donc de supercordes. Or, il existe cinq
th�ories de supercordes :

- le type IIA qui se r�duit � basse �nergie � une supergravit� non chirale
$N=2$ � $d=10$ dimensions ;

- le type IIB qui se r�duit � basse �nergie � une supergravit� chirale
$N=2$ � $d=10$ dimensions ;

- la th�orie h�t�rotique $E(8)\times E(8)$ qui se r�duit � basse �nergie �
une supergravit� $N=1$ � $d=10$ coupl�e � une th�orie de Yang-Mills avec
le groupe de jauge $E(8)\times E(8)$ ;

- la th�orie h�t�rotique $SO(32)$ qui se r�duit � basse �nergie � une
supergravit� $N=1$ � $d=10$ coupl�e � une th�orie de Yang-Mills de groupe
de jauge $SO(32)$ ;

- le type I qui contient � la fois des cordes ouvertes et ferm�es et qui
se r�duit � une supergravit� $N=1$ � $d=10$ coupl�e � une th�orie de
Yang-Mills de groupe de jauge $SO(32)$.

Chacune de ces th�ories est diff�rente de l'autre. La th�orie type I est
la seule qui contienne � la fois des cordes ouvertes et ferm�es alors que
les autres ne contiennent que des cordes ferm�es. De plus, la structure de
jauge des cinq th�ories est sensiblement diff�rente dans leur structure �
basse �nergie.  Nous sommes donc en pr�sence de cinq th�ories qui
permettent apparemment de d�crire la gravit� comme une force quantique et
qui sont diff�rentes. Comment comprendre cela ? Existe-t-il un lien entre
les diff�rentes th�ories?

\subsection{La structure non-perturbative de la th�orie}

Dans la construction des th�ories de cordes, les physiciens ont commenc�
par travailler sur une th�orie de premi�re quantification, c'est-�-dire
une th�orie o� l'on quantifie la position et l'impulsion. Dans cette
th�orie, les interactions sont introduites � la main et ne peuvent pas
d�river d'une seule action. L'unitarit� doit �tre v�rifi�e pas � pas. La
formulation est sur couche de masse. La formulation de la th�orie est
perturbative.

La th�orie de seconde quantification (ou th�orie des champs) des cordes
quantifie les champs. Les interactions y sont explicites dans l'action,
l'unitarit� est en principe garantie si le Hamiltonien est hermitien, la
th�orie peut �tre formellement �crite perturbativement ou non
perturbativement, et la th�orie poss�de une formulation hors couche de
masse. Le grand probl�me de la th�orie des champs de cordes est que, bien
que sa formulation soit ind�pendante d'une th�orie de perturbation, elle
est actuellement trop difficile pour �tre r�solue dans une r�gion non
perturbative (forts couplages).

L'id�e cl� pour sonder et comprendre la structure non perturbative de la
th�orie est d'utiliser la dualit�. La notion de dualit� peut �tre comprise
facilement en consid�rant la th�orie du champ magn�tique et du champ
�lectrique. Les �quations de Maxwell sont invariantes par les
transformations de dualit� suivantes : l'on change $E$ en $-B$ et $B$ en
$-E$ et l'on change $e$ en $g$, o� $g$ est la charge d'un monopole
magn�tique. Or, dans le th\'eorie quantique $e\,g=2\pi\,n$ o� $n$ est un
entier. On conclut donc que la th�orie du champ �lectrique d�fini dans une
r�gion � fort couplage ($e$ grand) est �quivalente � une th�orie du champ
magn�tique o� le couplage est faible ($g$ petit) et vice-versa. On voit
sur cet exemple que l'on peut sonder la th�orie �lectrodynamique � fort
couplage (donc difficile � r�soudre) en �tudiant une th�orie de monopoles
magn�tiques � faible couplage.

C'est exactement le m�me principe que l'on applique aux th�ories de
cordes. Les diff�rentes th�ories de cordes sont reli�es par un r�seau de
relations de dualit� qui permet de comprendre la r�gion non perturbative
d'une th�orie en utilisant la zone perturbative d'une autre th�orie.
D'autre part, ces relations de dualit� laisse supposer qu'une th�orie m�re
gouverne toutes les th�ories de cordes comme dans le cas de
l'�lectromagn�tisme: on a la th�orie du champ magn�tique reli�e � la
th�orie du champ �lectrique par dualit�, cela implique l'existence d'une
th�orie regroupant les deux th�ories : l'�lectromagn�tisme. La th�orie
m�re de ces th�ories des supercordes est appel�e la {\it M-th�orie}. La
lettre $M$ pourrait avoir le sens de {\it m\`ere}, ou peut signifier le mot
{\it membrane}, ou bien {\it magique} ou {\it myst\'erieuse}, et certains y entendent le
mot $matrice$, d'apr\`es une autre formulation de la th�orie.

Mais tout d'abord, citons quelques cons�quences de l'existence de la
dualit�. Des objets �tendues de dimensions sup�rieure � un, appel�es
membranes, apparaissent lorsqu'on �tudie des solutions non perturbatives
des th�ories de supercordes, et aussi de supergravit� en dimension $10$ ou
$11$. Ce sont des solutions classiques des �quations du mouvement :
$solitons$ qui ont des masses:
\begin{equation}
m \propto {1\over g_s}.
\end{equation}   
Il est clair que ces membranes deviennent des �tats l�gers lorsqu'on
augmente le couplage $g_s$. On peut, par dualit�, �tudier le r�gime de
couplage fort de ces objets dans une certaine th�orie en �tudiant un objet
dual dans une autre th�orie o� le couplage est faible et o� les calculs
sont (en principe!) faisables puisque perturbatifs.

Parmi ces solitons , solutions non perturbatives des th�ories de
supercordes, on trouve une classe particuli�re appel�e membranes de
Dirichlet ou D-membranes: les extr�mit�s de cordes ouvertes y sont
rattach�es. Un exemple de l'utilisation de ces membranes est le calcul de
l'entropie d'un trou noir dont nous avons discut� pr�alablement. Le trou
noir est d�crit par une D-membrane sur laquelle sont agglutin�es des
cordes. On parle d'ailleurs de boules de cordes. Pour calculer l'entropie
d'un trou noir, il suffit donc de calculer le nombre d'�tats de la
D-membrane.

La dualit� simplifie le calcul. L'existence d'un trou noir implique un
couplage fort, mais on peut se ramener au calcul des diff�rents �tats
d'une corde � couplage faible (ce qui est bien connu) et par dualit�
revenir aux diff�rents �tats de la membrane � couplage fort. Pour certains
types de trous noirs et pour certaines th�ories de cordes, on retrouve la
formule d'entropie macroscopique de Hawking et Bekenstein. Enfin, le
paradoxe dont nous parlions � propos de l'�tat pur qui devient mixte est
maintenant r�gl�. En effet, le syst\`eme de deux particules $A, B$ qui
�tait dans un �tat pur et qui semblait �voluer vers un �tat mixte peut
�tre maintenant per�u comme un �tat intriqu� avec l' �tat du trou noir.
Or, l'�tat quantique de ce dernier n'est pas facilement accessible
physiquement puisque l'on ne peut pas sortir d'informations d'un trou
noir.

\subsubsection{La M-th�orie}

Les relations de dualit� entre les cinq th�ories de supercordes impliquent
que ces cinq th�ories ne sont pas autre chose que des solutions
diff�rentes d'une seule th�orie, la M-th�orie. Dans cette approche, les
th�ories de supercordes ne sont rien d'autre que des d�veloppements autour
des diff�rents vides (un pour chaque th�orie) d'une m�me th�orie. La
M-th�orie vit, quant � elle, dans un espace-temps � $11$ dimensions: ce
serait la limite � couplage fort de la th�orie IIA et de l'h�t�rotique
$E(8)\times E(8)$. En compactifiant la M-th�orie sur un cercle on retrouve
la th�orie type IIA , en la compactifiant sur un cercle divis�e par $Z_2$,
on retrouve la th�orie h�t�rotique $E(8)\times E(8)$. On ne connait pas
l'action de cette M-th�orie, mais on sait que la th�orie effective aux
basses �nergies de la M-th�orie est la supergravit� $d=11$ avec $N=1$.

\begin{figure}%[t]
\centerline{\includegraphics[height=3in]{M.eps}}
\caption[]{Les diff�rents vides de la M-th�orie reli�s par les diff�rentes
relations de dualit�. Les nombres $16$ et $32$ sont le nombre de
composantes d'un spineur dans la th�orie.}
\end{figure}

La th�orie IIA et la M-th�orie sont reli�es par la S-dualit� qui associe
une observable $f(g_s)$ de la th�orie IIA � une observable $f\prime(g_s)$
de la M-th�orie de sorte que $f(g_s)=f\prime(\frac{1}{g_s})$. Le r�sultat
important qui ressort de la S-dualit� appliqu�e � la th�orie type IIA est
l'existence de la M-th�orie en 11 dimensions avec un couplage directement
reli� � la dimension de la onzi�me dimension. Ainsi, on obtient :
\begin{equation}   
R_{11}\,=\,(g_s)^{\frac{2}{3}}.
\end{equation}
La onzi�me dimension n'appara�t visible que dans la limite de couplage
fort. C'est la raison pour laquelle cette dimension suppl�mentaire n'avait
pas �t� per�ue avant l'av�nement de la dualit�: en n'ayant acc�s qu'au
domaine perturbatif, il �tait impossible de la d�celer. Comme la taille de
la onzi�me dimension est li�e inversement au couplage, l'unification des
couplages est fonction de la taille de cette onzi�me dimension. Or, il se
trouve que pour que les couplages s'unifient, la taille de cette onzi�me
dimension doit �tre sup�rieure � celles des six autres dimensions
suppl�mentaires. En compactifiant les six dimensions � une �chelle de
l'ordre de $M_{GUT}$ donc $10^{16}$ GeV , on obtient une taille de l'ordre
de $(10^{12}\,GeV)^{-1}$ � $(10^{13}\,GeV)^{-1}$ pour la onzi�me dimension
(appel�e $R_{11}$) pour que l'unification des quatre couplages ait lieu �
$M_{GUT}$. Ainsi, � des �nergies comprises entre $10^{12}$ Gev et $10^{16}
$ GeV, le monde appara�t de dimension cinq. On peut repr�senter l'�tape
interm�diaire � cinq dimensions par deux plateaux de dimensions $4$ mais
qui, � haute �nergie, ont chacun $10$ dimensions: les six autres ont �t�
compactifi�es. Les deux plateaux ou membranes sont s�par�es par la onzi�me
dimension.

Dans une autre approche, on unifie d'abord les trois couplages des
groupes de jauge � $M_{GUT}$, et puis le couplage gravitationnel rejoint
les trois autres couplages � une �chelle d'�nergie plus haute $M_{11}$.
Dans ce cas, on trouve que $M_{11}$ est environ deux fois plus grand que
$M_{GUT}$ et que $R_{11}$ est de l'ordre de $(10^{14}\,GeV)^{-1}$ �
$(10^{15}\,GeV)^{-1}$.

Un lien peut maintenant �tre fait avec la brisure de supersym�trie dans un
secteur cach� : notre monde et tous ses champs sont contraints de rester
sur une des deux membranes, et le secteur cach� est sur l'autre membrane.
Seuls les champs gravitationnels (nous parlons au pluriel car on trouve le
graviton, le gravitino et le dilaton) peuvent se propager dans le bulk,
c'est-�-dire dans la dimension suppl\'ementaire, et la supersym�trie est
bris�e dans le secteur cach�, c'est-�-dire sur la membrane cach�e. La
brisure est ensuite transmise au secteur visible par les champs
gravitationnels. Ainsi, des m�canismes fond�s sur des mod�les de
supergravit� $d=11$ coupl�e � une th�orie de Yang-Mills avec groupe de
jauge $E(8)\times E(8)$ sont propos�s pour d�crire la brisure de
supersym�trie. Le secteur cach� correspond � un groupe de jauge $E(8)$ et
le secteur visible � l'autre. On peut citer le m�canisme de condensation
de gauginos qui brise la supersym�trie dans le secteur cach�: lorsqu'on
diminue l'�nergie et qu'on passe une certaine valeur, une interaction
forte du secteur cach� fait condenser deux gauginos et brise la
supersym�trie.

Nous conclurons ce paragraphe par citer ce qu'il reste � accomplir. Le
plus grand travail sera d'�crire l'action de la M-th�orie et quantifier la
th�orie. On suppose, � cause de sa th�orie basse �nergie - la supergravit�
� $11$ dimensions - que la th�orie contient des 2-membranes et des
5-membranes qui apparaissent comme des cordes ferm�es � plus basses
dimensions, mais actuellement on ne sait pas quantifier l'action d'une
membrane avec les techniques connues. D'autre part, on ne sait pas
clairement comment ces membranes interagissent bien que, gr�ce � la
dualit�, on puisse donner les excitations des membranes en termes de
cordes. La M-th�orie ne peut pas dans l'�tat actuel de son d�veloppement
pr�dire la valeur de la constante cosmologique ou expliquer pourquoi la
supersym�trie est bris�e. Enfin, la M-th�orie devra une fois �crite
permettre de d�terminer l'�nergie d'unification sans avoir � ajuster la
taille de la onzi�me dimension: elle devra donc permettre de pr�dire � la
fois la taille de cette dimension mais aussi la valeur de l'�nergie
d'unification des couplages.

\subsection{Compactifications, pr�dictions et limites des th�ories de
supercordes}

Une pr�diction importante de la th�orie perturbative des cordes est la
valeur de l'�nergie d'unification:
\begin{equation}
M_{GUT} = O(g) \times \frac{m_P}{\sqrt{8 \pi}} \simeq\mbox{few} \times 10^{17} 
\mbox{GeV}.
\label{topdown}
\end{equation}
Cette valeur est environ $20$ fois plus grande que la valeur calcul\'ee
par une approche qui monte depuis les basses �nergies vers les hautes
�nergies ... Pourtant, il est impressionnant que l'estimation
(\ref{topdown}) soit si proche d'un calcul qui traverse $14$ ordres de
grandeur des basses �nergies vers les hautes! Comme nous l'avons d�j� fait
remarquer, dans la M-theorie, la onzi�me dimension peut �tre r�gl�e de
mani�re � ce que tous les couplages s'unifient � $10^{16}$ GeV. Il est
cependant important de constater que deux approches diff�rentes, la
th�orie quantique des champs et sa renormalisation d'une part et la
th�orie des cordes d'autre part conduisent, � des valeurs de l'�nergie
d'unification qui sont si proche.

Parmi les limitations de la th�orie des cordes, on trouve le probl�me de
la compactification donc, finalement, le lien avec notre monde � $4$
dimensions.

Les moyens de compactifier la th�orie, c'est-\`a-dire, rendre invisibles
les dimensions suppl\'ementaires, sont innombrables. On a beaucoup
d'options pour retrouver le mod�le standard plus d'autres interactions non
observ�es. Comment choisir parmi toutes les possibilit�s pour
compactifier? Est-ce qu'il faut choisir une vari\'et\'e, ou bien un espace
avec une g\'eom\'etrie g\'en\'eralis\'ee, un orbifold, par exemple? La
premi\`ere option \'etudi\'ee en d\'etail afin de maintenir la
supersym\'etrie \'etait de compactifier sur une vari\'et\'e de Calabi-Yau.
Or, toute compactification sur un espace Calabi-Yau est param�tris�e par
les champs de moduli qui d\'ecrivent les possibles d�formations de ces
espaces : {\it a priori}, les champs de moduli n'ont pas de valeur
d�termin�e.

Cela revient � se poser la question de savoir quel est l'�tat de vide de
la th�orie � $4$ dimensions. L'�nergie du vide � $4$ dimensions devrait
correspondre correspondre � la constante cosmologique. Or, il y a un
nombre �norme d'�tats de vide possibles apr�s compactification � $4$
dimensions qui pourraient correspondre � cette �nergie: le probl�me de
la d�g�n�rescence du vide reste \`a resoudre.

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\section{Les dimensions suppl�mentaires}

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\subsection{Pourquoi (pas) des dimensions suppl�mentaires?}

Les dimensions suppl�mentaires sont pr�sentes dans les th�ories de cordes
comme nous l'avons vu. Pourtant, l'id�e d'un espace-temps � plus de quatre
dimensions date des ann�es $1920$: Kaluza et Klein furent les premiers �
introduire une dimension suppl�mentaire dans le but d'unifier
�lectromagn�tisme et gravitation. L'�lectromagn�tisme pouvait s'expliquait
g�om�triquement comme la gravitation si l'on ajoutait une dimension
suppl�mentaire (une ligne et une colonne de plus � la matrice repr�sentant
le tenseur m�trique). En compactifiant cette dimension, ils montr�rent que
l'on retrouvait les lois de l'�lecromagn�tisme telles qu'elles sont dans
notre monde � quatre dimensions.

 
Les th�ories modernes proviennent plus ou moins de la M-th�orie o� deux
membranes sont s�par�es par une dimension suppl�mentaire. Pourtant, ces
th�ories s'en �loignent plus ou moins fortement. En effet, la M-th�orie et
sa version basse �nergie - la supergravit� en dimension $11$ coupl�e � une
th�orie de Yang-Mills de groupe de jauge $E(8)\times E(8)$ - semble
n'autoriser que les champs gravitationnels � se propager dans toutes les
dimensions et contraint les champs qui font notre monde sur une membrane
et les champs du secteur cach� sur l'autre membrane; de plus, la dimension
de la onzi�me dimension est d�termin�e par l'unification des couplages.
Alors que dans les th�ories de Kaluza et Klein, on peut trouver
diff�rentes tailles pour la (ou les) dimension(s) suppl�mentaire(s), et
toutes les variantes possibles pour la localisation des champs, y comprise
la propagation des champs de jauge dans des dimensions suppl�mentaires.

\subsection{Les diff�rents types de mod�les}

Il existe de nombreux mod�les diff�rents. Les deux classes principales
sont celle o� la dimension suppl�mentaire est {\it plate} et celle o� elle
est {\it courbe}.

Dans le premier cas, on trouve des mod�les avec dimension suppl�mentaire
plate grande, c'est-�-dire pouvant aller jusqu'� $0.1$ mm qui est la
limite haute de taille de dimension suppl�mentaire d'apr�s des exp�riences
de type Cavendish. La taille de la ou des dimensions suppl�mentaires
affecte directement la masse de Planck $M_\star$ dans l'espace � $4+n$
dimensions: 
\begin{equation}
M_p\,=\,M_\star^{2+n}\,R^n ,
\end{equation}
o� R est la taille de la dimension suppl�mentaire. Par exemple, dans le
cas o� $n=2$ et si l'on se fonde sur une th�orie de cordes pour �crire que
\begin{equation}
M_\star^{2+n}\,=\,\frac{1}{g_s\,g_{ym}^2}M_s^{2+n} ,
\end{equation}
avec $ M_s$ de l'ordre du TeV, on obtient des limites sur la taille des
dimensions suppl�mentaires par la cosmologie qui donnerait $R\leq
10^{-8}$cm si seule la gravit� se propage dans les dimensions
suppl�mentaires. Dans chacun des mod�les, on peut choisir d'autoriser
certains champs � se propager dans toutes les dimensions et d'autres �
rester localis\'es sur les membranes.

Parmi les mod�les avec une dimension suppl�mentaire courbe, citons le
mod�le de Randall-Sundrum, o\`u il y a deux membranes. Les champs du
Mod�le Standard sont localis�s sur une membrane et la gravitation se
propage partout. Randall et Sundrum ont montr�\cite{Randall:1999ee} que l'on pouvait red�finir
le probl�me de hi�rarchie entre la masse de Planck et l'�chelle
�lectrofaible sans avoir � faire appel � la supersym�trie. Il existe
cependant des mod�les supersym�triques de ce type o� la supersym�trie
est bris�e par des anomalies.

\subsection{Signatures exp�rimentales}

Il est possible de d�celer la pr�sence de dimensions suppl�mentaires �
l'�chelle du TeV au LHC. Pour cela, il faut bien �videmment que les
particules en jeux puissent sentir la pr�sence de la (ou des)dimension(s)
suppl�mentaire(s). Les signatures typiques sont des excitations dites de
Kaluza-Klein ; des r�sonnances dans l'�volution des sections efficaces des
r�actions en fonction de l'�nergie peuvent apparaitre. Elles sont dues au
"tours" d'excitations de Kaluza-Klein. On peut comprendre ces "tours" en
faisant une analogie avec une particule qui rencontre un puit de potentiel
en m�canique quantique: son �nergie va �tre quantifi�e dans le puit
fournissant une tour d'excitations. Dans notre cas, la dimension
suppl�mentaire joue le r�le du puit.

D'autres signatures pourraient �tre fournies par la cr�ation d'un micro
trou noir. En effet, tout objet peut se transformer en trou noir s'il est
contract� en de�a de son rayon de Schwarschild qui est d�fini par
$\frac{G\,m}{c^2}$. Bien �videmment, plus la masse est grande, plus l'on
peut obtenir facilement le rayon de Schwarschild. Or, comme on l'a vu, les
dimensions suppl�mentaires peuvent augmenter la valeur de $G$. Donc s'il y
a des dimensions suppl�mentaires de taille suffisante, on peut esp�rer
avec les �nergies en jeu au LHC passer en de�a du rayon de Schwarschild et
cr�er des micro trous noirs. Ceux-ci devraient s'�vaporer rapidemment,
puisque le rayonnement de Hawking implique que le trou noir rayonne de
mani�re inversement proportionnelle � sa masse. Des \'etudes par les
collaborations ATLAS et CMS ont d\'emontr\'e que ce rayonnement de Hawking
serait sans doute visible au LHC.

 

\subsection{Des dimensions en moins � haute �nergie?}

Tandis que ce n'est pas pr\'evu dans le th\'eorie des cordes, il est
possible qu'au moins quelques-unes des dimensions de l'espace-temps
paraissent discr\`etes � hautes �nergies. Le principe est d'imposer un
cut-off non par la dimension donn�e aux particules comme c'est le cas en
th�orie des cordes, mais par la structure interne de l'espace-temps. Comme
dans les th\'eories de champs sur le r�seau, le mouvement est d�compos� en
une succession de bonds d'un point discret de l'espace � un autre. Aux
basses \'energies, la r\'esolution exp\'erimentale n'est pas suffisante pour
d\'etecter ces bonds, et une dimension discr\`ete ressemble \`a une
dimension continue. Pourtant, aux hautes \'energies, cette dimension
dispara\^it, et la dimensionalit\'e de l'espace-temps diminue!

 

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\section{L'�nergie noire}

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Nous terminons ce cours avec un des plus grands myst�res de la Physique
contemporaine: la myst�rieuse �nergie noire. Commen�ons par nous rappeler
des �quations de la Relativit� G�n�rale:
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}\,=\,k T_{\mu \nu} ,
\end{equation}
o\`u $R_{\mu\nu}$ est le tenseur de Ricci (ou de courbure) , $R$ sa trace
et $T_{\mu\nu}$ est le tenseur d'�nergie-impulsion. Ces �quations relient
la g�om�trie de l'espace-temps � la pr�sence de mati�re (ou d'�nergie).
Pourtant, cette forme n'est pas la forme la plus g�n�rale. En effet, cette
�quation vient de l'int�gration d'une �quation. On a la conservation du
tenseur �nergie-impulsion: $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}=0$ o� $\nabla_{\mu}$
est la d�riv�e covariante et on a aussi $\nabla_{\mu}
(R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g^{\mu\nu})=0$. En int�grant cette derni�re
�quation, on constate qu'il est possible de rajouter un terme
proportionnel au tenseur m�trique $g^{\mu\nu}$. En effet, on a toujours
$\nabla_{\nu}g^{\mu\nu}=0$. La forme la plus g�n�rale des �quations de la
Relativit� G�n�rale est donc:
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}\,+\Lambda g_{\mu\nu}\,=\,k T_{\mu \nu} ,
\end{equation}
o� $\Lambda$ est la constante cosmologique. Les mesures actuelles des
Supernovae lointaines tendent � prouver que l'\'energie dans le vide n'est
pas nulle, et pourrait correspondre \`a une constante cosmologique. En
effet, ces mesures et d'autres montrent que l'Univers est dans une phase
d'expansion qui est acc�l�r�e.

Or, si l'on reprend les �quations de la Relativit� G�n�rale, et qu'on
place la partie contenant $\Lambda$ du c�t� du tenseur �nergie-impulsion
et qu'on interpr�te le terme $-\Lambda g_{\mu\nu}$ comme un terme
d'�nergie-impulsion homog�ne et isotrope, on trouve qu'il correspond � un
fluide tr�s particulier qui a une densit� d'�nergie positive et une
pression n�gative. Ce fluide qui remplit tout l'Univers de mani�re
homog�ne permet d'expliquer la phase d'acc�l�ration de l'Univers. La
pression n�gative permet l'expansion acc�l�ree de l'Univers. Ce fluide a
re�u, � cause de sa propri�t� inconnue jusqu'alors de pression n�gative,
le nom de quintessence ou cinqui�me �l�ment. C'est aussi ce que l'on nomme
l'�nergie noire.

Si $\Lambda$ est une vraie constante, le rapport pression sur densit� du
fluide de quintessence devrait �tre �gale � $-1$. Il se trouve que les
mesures actuelles donnent un rapport pression sur densit� de $ < -0.8$.

Les mesures r�alis�es d'apr�s le CMB montre que l'Univers est plat
c'est-�-dire que $$\Omega\,=\frac{\rho}{\rho_c}=1$$ o� $\rho$ est la
densit� totale d'�nergie-mati�re de l'Univers et $\rho_c$ est la densit�
critique qui correspond � un Univers plat. Les mesures sur les Supernovae
combin�es au fait que l'on sait que l'Univers est plat indique que $70\%$
de la densit� d'�nergie-mati�re de l'Univers est de l'�nergie noire. Les
$30\%$ restant sont les $25\%$ de mati�re noire non baryonique et les
$5\%$ de mati�re baryonique (il est � noter que sur ces $5\%$, la mati�re
visible sous forme d'�toiles ne repr�sente qu'un dixi�me!).

Qu'est-ce que l'�nergie noire? Si on la d�crit par un champs scalaire, �
quel particule correspond-il? Cela reste myst�rieux. De plus, comme nous
l'avons d�j� dit dans le chapitre sur la brisure de supersym�trie, si
cette �nergie correspond � l'�nergie du vide, comment obtenir le bon vide?
A l'heure actuelle, aucune th�orie ne peut pr�dire la valeur de la
constante\footnote{On utilise le mot constante par habitude mais comme on
l'a vu il se pourrait que cette constante n'en soit pas une.}
cosmologique, donc aucune th�orie ne poss�de le v�ritable �tat de vide.
C'est le grand d�fi contemporain. La "Th�orie du Tout" ne pourra �tre que
la th�orie qui pr�dit la valeur de l'�nergie noire.

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