Sur le spectre du laplacien des fibr�s en tores qui s'effondrent
Pierre Jammes
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\title{Sur le spectre du laplacien des fibr�s en tores qui s'effondrent}
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\author{Pierre Jammes}
\begin{document}
\maketitle
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\chapter*{Introduction}

L'une des questions centrales de l'analyse sur les vari�t�s est
l'estimation du spectre du laplacien agissant sur les fonctions 
d'une vari�t� compacte en 
fonction d'invariants g�om�triques, et fait l'objet d'un vaste
litt�rature. Des r�sultats importants ont en particulier �t�
obtenus concernant la minoration de la premi�re valeur propre du
laplacien. J.~Cheeger en a donn� une estimation en fonction d'une
constante isop�rim�trique:
\begin{df}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne compacte connexe de dimension $n$. 
On d�finit la constante de Cheeger $h$ de la vari�t� $(M,g)$ par 
$$h(M,g)=\inf_S\frac{\Vol S}{\min(\Vol M_1,\Vol M_2)},$$ 
o� $S$ parcourt l'ensemble des sous-vari�t�s ferm�es de dimension
$n-1$ de $M$ qui partitionnent $M$ en deux sous-vari�t�s $M_1$ et
$M_2$ dont le bord est $S$.
\end{df}
\begin{theo}[\cite{cr}]\label{intro:th1}
Si $(M,g)$ une vari�t� compacte connexe, alors $\lambda_1(M,g)\geq
\frac{h(M,g)^2}4$, o� $\lambda_1(M,g)$ est la premi�re valeur propre 
du laplacien agissant sur les fonctions de $M$.
\end{theo}
Si on ajoute une hypoth�se sur la courbure de Ricci, on peut encadrer
la premi�re valeur propre en fonction de la constante de Cheeger :
\begin{theo}[\cite{buser}]
Soit $(M,g)$ une vari�t� compacte connexe de dimension $n$. 
Si $\Ric(M,g)>-(n-1)ag$ alors $\lambda_1(M,g)\leq \tau(n)(\sqrt ah(M,g)+
h(M,g)^2)$, o� $a$ est une constante positive et $\tau(n)$ une
constante ne d�pendant que de la dimension.
\end{theo}

Une autre approche est de minorer cette valeur propre en fonction de
bornes sur la courbure et le diam�tre de la vari�t�. Un premier
r�sultat a �t� obtenu par M.~Gromov:
\begin{theo}[\cite{gr}]\label{intro:th2}
Soit $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs et $n$ un entier.
Il existe une constante $c(n,a,d)>0$ telle que si $(M,g)$ est
une vari�t� riemannienne de dimension $n$ dont le diam�tre et la courbure
de Ricci v�rifient $\diam(M,g)\leq d$ et $\Ric(M,g)\geq -ag$, alors
$$\lambda_1(M,g)\geq c.$$
\end{theo}
 Il existe d'autres contributions � ce type de minoration (\cite{ly80}, 
\cite{bbg}), et l'estimation du th�or�me \ref{intro:th2} a �t� affin�e.
En particulier, Cheng et Zhou donnent dans \cite{cz} :
$$c=\frac{\pi^2}{d^2}e^{-\frac12c_n\sqrt{ad^2}}, \avec c_n=
\max\{\sqrt{n-1},\sqrt2\}.$$

 Le spectre du laplacien de Hodge-de~Rham agissant sur les formes
diff�rentielles a �t� moins �tudi�, et la question se pose 
naturellement de savoir si les th�or�mes \ref{intro:th1} et
\ref{intro:th2} se g�n�ralisent aux formes. Rappelons que si $(M,g)$ est
une vari�t� connexe compacte orientable, le laplacien est d�fini
sur l'ensemble $\Omega^p(M)$ des formes diff�rentielles de
degr� $p$ de $M$, $0\leq p\leq n$ par 
$$\Delta^p=\de\codiff+\codiff\de,$$ o� $\de$ est
la diff�rentielle ext�rieure et $\codiff$ son adjoint formel pour 
la norme $L^2$ sur $\Omega^p(M)$. La dimension du noyau de $\Delta^p$
est �gale au $p$-i�me nombre de Betti de $M$, et son spectre est discret.
On notera 
$$0=\lambda_{p,0}(M,g)<\lambda_{p,1}(M,g)\leq\lambda_{p,2}(M,g)
\leq\cdots\leq\lambda_{p,k}(M,g)\leq\cdots$$
 les valeurs propres de
$\Delta^p$, en r�p�tant les valeurs propres non nulles s'il y a 
multiplicit�. Si $p=0$, on retrouve le laplacien agissant sur les fonctions.

 L'�tude du laplacien de Hodge-de~Rham montre que le comportement
du spectre pour $1\leq p\leq n-1$ est diff�rent du spectre du laplacien
agissant sur les fonctions. En particulier, le th�or�me \ref{intro:th2}
ne se g�n�ralise pas aux formes diff�rentielles, m�me avec 
l'hypoth�se plus forte de courbure sectionnelle born�e.
En effet, C.~Colbois
et G.~Courtois ont donn� dans \cite{cc1} des exemples de vari�t�s
admettant des petites valeurs propres, c'est-�-dire qu'on peut faire
varier leur m�trique de sorte que la ou les premi�res valeurs propres
non nulles tendent vers z�ro, le diam�tre et la courbure sectionnelles
restant born�s.


Le th�or�me \ref{intro:th2} pr�c�dent soul�ve la question
de savoir � quelles conditions une vari�t� admet une petite valeur
propre � diam�tre et courbure born�s. Un d�but de r�ponse a �t� donn�
par B.~Colbois et G.~Courtois dans \cite{cc1} en montrant qu'on
peut obtenir pour les formes diff�rentielles un r�sultat semblable au
th�or�me \ref{intro:th2} si on se donne une hypoth�se suppl�mentaire
sur le rayon d'injectivit� de la vari�t�:
\begin{theo}\label{intro:th3}
Pour tous r�els $a$, $d$, et $r$ strictement positifs et tout entier
$n$, il existe une constante $c'(n,a,d,r)>0$ telle que si
$(M,g)$ est une vari�t� riemannienne compacte connexe de dimension $n$
v�rifiant $\diam(M,g)\leq d$, $|K(M,g)|\leq a$ et $\injrad(M,g)\geq r$,
o� $K(M,g)$ et $\injrad(M,g)$ d�signent respectivement  la courbure 
sectionnelle et le rayon d'injectivit� de $M$, alors 
$$\lambda_{p,1}(M,g)\geq c',$$
pour tout $p$.
\end{theo}
Ce r�sultat a �t� am�lior� par S.~Chanillo et F.~Tr�ves, qui donnent
une valeur explicite de la constante $c'$ du th�or�me \ref{intro:th3},
et en mettant en �vidence le r�le du rayon d'injectivit� dans cette
constante (\cite{ct}):
\begin{equation}\label{intro:eq2}
\lambda_{p,1}(M,g)\geq c''(n,a,d)\cdot r^{4n^2+4n-2}.
\end{equation}
Une cons�quence imm�diate est que si $(M_i^n,g_i)$ est une suite
de vari�t�s riemanniennes de dimension $n$ de diam�tres et courbures
uniform�ment born�s telle que $\lambda_{p,1}(M_i,g_i)$ tende vers z�ro
pour un certain $p$, $1\leq p\leq n$,
alors $\injrad(M_i,g_i)$ tend aussi vers z�ro (remarque: si le diam�tre
et la courbure sectionnelle sont born�s, minorer le rayon d'injectivit� est
�quivalent � minorer le volume). Plus simplement, si
on se donne une vari�t� compacte $M$ et qu'on fait varier sa m�trique
� diam�tre et courbure born�e de sorte que $\lambda_{p,1}$ tende vers z�ro,
alors son rayon d'injectivit� tend vers z�ro, c'est-�-dire qu'elle
s'effondre. Cette condition a des cons�quences topologiques importantes.
En particulier, si $(M,g_i)$ tend pour la distance de Gromov-Haussdorf
vers une vari�t� de dimension inf�rieure, K.~Fukaya a montr� (entre
autres choses) dans \cite{fu2} et \cite{fu3} que $M$ poss�de une structure 
de fibr� dont la base est la vari�t� limite:
\begin{theo}\label{intro:th4}
Soit $(M_i,g_i)$ une suite de vari�t�s compactes de dimension $n$ et
$(N,h)$ une vari�t� riemannienne compacte de dimension $m<n$. Si pour 
tout $i$ la courbure sectionnelle de $M_i$ v�rifie $|K(M,g_i)|\leq 1$,
et si $(M,g_i)$ converge 
vers $(N,h)$ pour la distance de Gromov-Hausdorff, alors pour tout
$i$ suffisamment grand il existe une fibration $\pi_i:M_i\rightarrow N$ 
dont la fibre est une infranilvari�t�.
\end{theo}

 Cependant, il n'est pas suffisant que le rayon d'injectivit� tende
vers z�ro pour pour que la premi�re valeur propre non nulle
du laplacien tende vers z�ro. On peut par exemple consid�rer le
produit riemannien d'une vari�t� $(N,h)$ quelconque munie d'une
m�trique fix�e avec un tore plat dont on fait tendre le diam�tre 
vers z�ro: le rayon d'injectivit� du produit tend vers z�ro, mais
son spectre est la r�union des spectres de $(N,h)$ et du tore, et
donc ne contient pas de petites valeurs propres. Ce la motive la 
\begin{question}\label{intro:qu1}
� quelles conditions une vari�t� qui s'effondre
admet-elle une ---~ou plusieurs~--- petites valeurs propres?
\end{question}

Par ailleurs, la minoration (\ref{intro:eq2}) n'est \emph{a priori}
pas optimale, en particulier en ce qui concerne l'exposant du rayon
d'injectivit�. Il se pose donc aussi la
\begin{question}\label{intro:qu2}
Peut-on am�liorer la minoration de la premi�re valeur propre non nulle
du laplacien de Hodge-de~Rham?
\end{question}

 Des r�ponses pr�cises aux questions \ref{intro:qu1} et \ref{intro:qu2}
ont �t� apport�es dans des situations topologiques ou g�om�triques
particuli�res. C'est le cas des limites adiabatiques :
si $(M,g)$ est une vari�t� 
riemannienne compacte, $A$ une distribution de sous-espaces de
$TM$ et $B$ la distribution orthogonale � $A$, on peut �crire
la m�trique $g$ sous la forme $g=g_A\oplus g_B$ o� $g_A$ et $g_B$ 
sont des m�triques sur $A$ et $B$ respectivement, et
d�finir sur $M$ la famille de m�triques $$g_t=t^2g_A\oplus g_B.$$ 
La limite de $(M,g_t)$ quand $t\rightarrow 0$ est appel�e
<<~limite adiabatique~>>. Dans le cas o� $M$ est un fibr� riemannien, la
distribution $A$ est la distribution verticale $T^VM$, $B$
la distribution horizontale $T^HM$, et on fait
tendre le diam�tre de la fibre vers z�ro par des
homoth�ties de rapport $t$. Pour un tel effondrement,
Mazzeo et Melrose ont montr� (\cite{mm}) que
le nombre de valeurs propres de l'ordre de $t^2$ quand $t$ tend
vers z�ro peut se calculer � l'aide 
de la suite spectrale de Leray du fibr� (notons que Forman, \'Alvarez
et Kordyukov ont g�n�ralis� ce r�sultat aux feuilletages riemanniens
dans \cite{fo} et \cite{alk}). Cependant, dans une
situation de limite adiabatique, la courbure n'est en g�n�ral
pas born�e, en particulier si la fibre n'est pas un tore. D'autre
part, on peut en g�n�ral effondrer le fibr� sur sa base autrement 
que par homoth�tie de la fibre.

 Par ailleurs, B.~Colbois et G.~Courtois ont �tudi� dans \cite{cc2} le cas
o� $M$ est une vari�t� de dimension $n+1$ qui tend pour la distance de
Gromov-Hausdorff vers une vari�t� $(N,h)$ de dimension $n$ et donnent
des estimations plus pr�cises de la ou les premi�res valeurs
propres non nulles en fonction de la topologie de $M$ et de la
g�om�trie de l'effondrement. Selon le th�or�me \ref{intro:th4}, 
on sait que $M$ est n�cessairement un fibr� en cercle
sur $N$, et l'hypoth�se d'orientabilit� sur $M$ assure que ce 
fibr� est principal. La topologie de ce fibr� est caract�ris�e par sa
classe d'Euler $[e]\in H^2(N,\Z)$ (cf. \cite{bt}, p.~72). En notant
$e(M)$ le repr�sentant harmonique de la classe de
cohomologie $[e]$ pour la m�trique $h$ sur $N$, on a alors:
\begin{theo}\label{vol:th1}
Soit $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs et $(N,h)$ une 
vari�t� riemannienne de dimension $n$. Il existe
des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$ et $C_i(n,a,d,(N,h))>0$
pour $i=1,2,3$ telles que si $(M,g)$ est une vari�t� riemanienne de
dimension $n+1$ v�rifiant $\diam(M,g)\leq d$, $|K(M,g)|\leq a$
et $\varepsilon=d_{GH}((M,g),(N,h))\leq\varepsilon_0$, alors on a, pour
$1\leq p\leq n$,
\renewcommand{\theenumi}{\theequation.\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\begin{enumerate}
\item\label{vol:th1:1}$\displaystyle\lambda_{p,m_p+1}(M,g)\geq C_1$;
\item Si $e\neq0$, alors $\displaystyle C_2\|e(M)\|_2^2\varepsilon^2\leq
\lambda_{1,1}(M,g) \leq C_3\|e(M)\|_2^2\varepsilon^2$;
\item\label{vol:th1:3}Si $\dim H^2(N,\R)=1$, alors
$$ C_2\|e(M)\|_2^2\varepsilon^2\leq
\lambda_{p,k}(M,g) \leq C_3\|e(M)\|_2^2\varepsilon^2 \pour 1\leq k\leq m_p\ ;$$
\end{enumerate}
avec $m_p=b_p(N)+b_{p-1}(N)-b_p(M)$.
\end{theo}
\begin{remarque}
Si $e=0$, par exemple si le fibr� est trivial, on a $m_p=0$ pour tout $p$. 
Le th�or�me se r�duit alors � \ref{vol:th1:1}. D'autre part, si $e\neq0$ 
alors $m_1=1$. $\lambda_{1,1}(M,g)$ est donc la seule petite valeur propre
pour les $1$-formes.
\end{remarque}

\begin{remarque}
B.~Colbois et G.~Courtois montrent aussi dans \cite{cc2} que si 
$\dim H^2(N,\R)\geq1$, on ne peut pas trouver de constante $C_2$ v�rifiant
\ref{vol:th1:3} qui soit ind�pendante de la topologie de $M$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le th�or�me isole les r�les de la topologie (par l'interm�diaire de
$e(M)$) et du rayon d'injectivit� (qui est de l'ordre de $\varepsilon$
quand $\varepsilon$ tend vers z�ro) dans la minoration de la premi�re
valeur propre non nulle du laplacien. On voit donc que dans la situation
d'un fibr� en cercle qui s'effondre, si le laplacien admet une petite
valeur propre, elle se comporte asymptotiquement comme le carr�
du rayon d'injectivit�.
\end{remarque}

 Dans des situations topologiques et g�om�triques plus g�n�rales, on
ne connait pas de r�sultat semblable. Cependant, en ce qui concerne 
la question \ref{intro:qu1}, J.~Lott a apport� une contribution 
importante dans \cite{lo} et \cite{lo2} en d�finissant un op�rateur
limite pour le laplacien, c'est-�-dire un op�rateur dont le spectre
est la limite du spectre de laplacien de Hodge-de~Rham quand la 
vari�t� s'effondre, le nombre de valeurs propres petites ou nulles �tant 
alors donn� par la multiplicit� de la valeur propre nulle dans le spectre
de l'op�rateur limite. Dans le chapitre 1, nous exposerons la construction
de cet op�rateur limite, ainsi que les conditions n�cessaires �
l'existence de petites valeurs propres  que Lott en d�duit.

Les chapitres 2 et 3 seront consacr�s � l'�tude, pour des
fibr�s munis d'une structure homog�ne ---~construits plus pr�cis�ment 
comme quotients d'un groupe de Lie r�soluble $G$ par un r�seau cocompact
$\Gamma$~---, du spectre du laplacien $\Delta^p_{inv}$ restreint � l'espace
de dimension finie $\Omega^p(M)^G$ des formes diff�rentielles invariantes
lors d'effondrements par des m�triques homog�nes, afin de mettre en
�vidence comment varie pr�cis�ment le nombre de petites valeurs propres
en fonction de la topologie du fibr� et de la g�om�trie de l'effondrement.
En effet, les petites valeurs propres de $\Delta^p_{inv}$ sont aussi
petites valeurs propres de $\Delta^p$, et dans le cas o� le groupe $G$ 
est nilpotent, J.~Lott a montr� r�ciproquement que la recherche de petites 
valeurs propres de $\Delta$ se ram�ne � l'�tude de $\Delta^p_{inv}$:
\begin{pr}[\cite{lo}]\label{pr:lott}
Il existe des constantes $a(n)$, $a'(n)$ et $c(n)$ strictement positives 
telles que si $M$ est une infranilvari�t� de dimension $n$ munie 
d'une m�trique homog�ne pour laquelle 
$\|R\|_\infty\diam(M)^2\leq a'$, o� $\|R\|_\infty$ est la norme
du tenseur de courbure, et si $\alpha$ est une forme
propre du laplacien sur $M$ dont la valeur propre $\lambda$ v�rifie
$\lambda<a\diam(M)^{-2}-c\|R\|_\infty$, alors $\alpha$ est
invariante. 
\end{pr}
Cependant, ce r�sultat ne se g�n�ralise pas � tous les groupes
r�solubles. On en verra un exemple au paragraphe \ref{cercle:ex2}.

Dans le chapitre 2, nous �tudierons des fibr�s de fibre $T^n$ sur
la base $S^1$. Le fait qu'une vari�t� qui s'effondre sur un cercle 
admette une structure de solvari�t� est d�j� connu (\cite{pe}, \cite{tu}).
Nous en ferons une construction explicite dans un cas simple:
les fibr�s consid�r�s seront d�finis comme suspension
d'un diff�omorphisme lin�aire de la fibre $T^n$ repr�sent�
par un �l�ment $A\in\SL_n(\Z)$. De plus, nous ferons 
l'hypoth�se simplificatrice que $A$ admet un logarithme r�el.
Les principales propri�t�s du spectre que
nous allons mettre en �vidence sont donn�es par le

\begin{theo}\label{cercle:th1}
Soit $n\geq2$, $A\in\SL_n(\Z)$ et $B\in\mathrm M_n(\R)$ tels que
$A=\exp(B)$, $d$ la dimension du sous-espace caract�ristique 
associ� � la valeur propre $0$ de $B$ et
$d'$ la dimension de son noyau.
Il existe un groupe $G=G(B)\subset\GL_{n+2}(\R)$ et un r�seau $\Gamma
\subset G$ tel que $\Gamma\backslash G$ soit hom�omorphe au
fibr� $M$ de fibre $T^n$ de fibration $p:M\rightarrow S^1$ construit
par suspension du diff�omorphisme $A$. Si de plus on suppose que les 
m�triques sur $M$ sont homog�nes et telles que $p$ soit une 
submersion riemannienne pour une m�trique de volume $1$ sur $S^1$, alors:
\renewcommand{\theenumi}{\theequation.\arabic{enumi}}
\begin{enumerate}
\item\label{cercle:th1:1} $\dimension \Ker \Delta^1_{inv}=d'+1$ et 
$\Delta^1_{inv}$ admet $n-d'$ valeurs propres non nulles distinctes
ou non.
\item\label{cercle:th1:2} Pour tout $a>0$, il existe une constante $c(B,a)>0$ 
telle que pour toute m�trique invariante $g$ sur $M$ dont la courbure 
sectionnelle v�rifie $|K(M,g)|<a$, on a $\lambda^{inv}_{1,i}(M,g)<c$,
pour tout $i$.
\item\label{cercle:th1:3}
Si $d\neq n$, alors pour tout $a>0$, il existe une constante $c'(B,a)>0$ 
telle que pour toute m�trique $g$ sur $M$ la courbure 
sectionnelle v�rifie $|K(M,g)|<a$, on a $\lambda^{inv}_{1,d-d'+1}(M,g)>c'$. 

Si $d=n$ et $d'\neq n$, alors $G$ est nilpotent, et il existe une suite 
de m�triques $g_\varepsilon$ sur $M$ telle que la courbure soit 
uniform�ment born�e et $\lambda^{inv}_{1,i}(M,g_\varepsilon)\rightarrow0$
quand $\varepsilon\rightarrow0$, pour tout $0<i\leq n-d'$.

Si $d=d'=n$, alors $G=\R^n$, $M$ est un tore et les formes harmoniques
sont exactement les formes invariantes.
\item\label{cercle:th1:4}
Pour tout $k\leq d-d'$, il existe une famille de  m�triques 
$g^k_\varepsilon$ sur $M$ de courbure et diam�tre uniform�ment 
born�s par rapport � $\varepsilon$ et une constante $c''(B,k)>0$
telle que $\lambda^{inv}_{1,i}(M,g^k_\varepsilon)\rightarrow 0$ pour 
$i\leq k$ quand $\varepsilon\rightarrow 0$, et
$\lambda^{inv}_{1,k+1}(M,g^k_\varepsilon)>c''$ si $k<n$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{remarque}
Le point \ref{cercle:th1:4} montre que le nombre de
petites valeurs propres peut, quand la topologie le permet, fortement
varier avec la g�om�trie de l'effondrement. Cette situation diff�re
donc du cas o� la fibre est de dimension $1$, �tudi� par B.~Colbois
et G.~Courtois dans \cite{cc2}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La d�monstration de \ref{cercle:th1:4} met en �vidence le fait 
que dans le cas d'un effondrement par homoth�ties de la fibre (situation
de limite adiabatique), il n'y a pas de petites valeurs propres.
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{cercle:rq1}
Une cons�quence imm�diate du r�sultat~\ref{cercle:th1:3} est que si 
tout le spectre
de $\Delta_{inv}^1$ tend vers z�ro, alors le groupe $G$ est nilpotent.
\end{remarque}

D'autre part, ce th�or�me permet de donner une condition
n�cessaire et suffisante sur $B$ pour l'existence de petites valeurs 
propres pour les $1$-formes:
\begin{cor}\label{cercle:cor1}
Sous les hypoth�ses du th�or�me \ref{cercle:th1}, il existe une suite 
de m�triques homog�nes $g_\varepsilon$ sur $M$ telle
que  $\lambda^{inv}_{1,1}(M,g_\varepsilon)\rightarrow 0$ quand 
$\varepsilon\rightarrow 0$ si et seulement si
$d\neq d'$ (\emph{i.e.} si la r�duite de Jordan de $B$ a un  bloc 
nilpotent non nul).
\end{cor}

\begin{remarque}
Les r�sultats \ref{cercle:th1} et \ref{cercle:cor1} montrent que le 
comportement asymptotique du spectre de $\Delta^1_{inv}$ est 
essentiellement li� � la nature, de la partie
nilpotente de la r�duite de Jordan de $B$. En effet, le bloc nilpotent
est caract�ris� par les invariants $d$ et $d'$ de $B$.
\end{remarque}

Dans le cas des $p$-formes, $p\geq2$, la situation est plus complexe,
et en particulier le corollaire \ref{cercle:cor1} n'est pas vrai pour $n$
et $p$ quelconque (on verra au paragraphe \ref{cercle:ex1}
qu'il peut exister une petite valeur propre pour les $2$-formes alors
que $B$ n'a pas de bloc nilpotent).
On peut cependant donner une condition n�cessaire � l'existence de 
petites valeurs propres, � savoir que $B$ n'est pas semi-simple. 
En effet, on a le:

\begin{theo}\label{cercle:th2}
Sous les hypoth�se du th�or�me \ref{cercle:th1},
si $B$ est semi-simple, alors il existe $c''(B,a)>0$ tel que pour toute 
m�trique homog�ne $g$ sur $M$ dont la courbure sectionnelle v�rifie
$|K(M,g)|<a$, on a $\lambda^{inv}_{p,1}(M,g)>c''$.
\end{theo}


Dans le chapitre 3, nous allons nous int�resser � des fibr�s en tore
$T^k$ sur le tore $T^2$ muni d'une structure de fibr� principal. 
Leur topologie est
assez simple. On sait en effet qu'un fibr� principal en tore sur le tore
peut �tre muni d'une structure de nilvari�t� (\cite{pe}). On va ici
montrer un r�sultat plus pr�cis en utilisant le fait que la base est de
dimension 2 : ce fibr� est diff�omorphe au produit
d'un tore et d'une nilvari�t� de dimension $3$. Puis on calculera le
spectre du laplacien restreint aux formes diff�rentielles invariantes
en supposant le fibr� muni d'une m�trique homog�ne.

On obtient le r\'esultat suivant:

\begin{theo}\label{tore:th}
Soit $M$ un fibr� principal non trivial en tore $T^n$ sur le tore $T^2$ . 
Alors
\renewcommand{\theenumi}{\theequation.\arabic{enumi}}
\begin{enumerate}
\item \label{tore:th:1} $M$ est une nilvari�t� et, si $n\geq2$, 
$M$ est hom�omorphe � $N\times T^{n-1}$, o� $N$ est une
nilvari�t� de dimension $3$.

\item \label{tore:th:2}  Il existe un vecteur $V$ vertical (tangent �
la fibre $T^n$) tel que si
$M$ est muni d'une m�trique homog�ne, alors pour tout
$p\in[1,n+1]$,  $\Delta^p_{inv}$
admet une unique valeur propre non nulle $\lambda$. Sa  multiplicit�
est $C^{p-1}_n$, et $\lambda=\Vol(B)^{-2}|V|^2$, o� $\Vol(B)$ 
est le volume de la base du fibr� pour la m�trique induite.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{remarque}
Le produit du \ref{tore:th:1} n'est pas
n�cessairement riemannien pour les m�triques consid�r�es. Le spectre
ne peut donc pas se d�duire directement de la formule de K�nneth.
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{tore:rem1}
On voit que contrairement � la situation du
th�or�me \ref{cercle:th1}, un effondrement par homoth�ties de la fibre
produit une petite valeur propre, et que $\lambda$ est alors
proportionnelle au carr� du diam�tre de la fibre, � topologie fix�e. 
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{tore:rem2}
Dans le cas o\`u $n=1$, la remarque pr\'ec\'edente rejoint les
r\'esultats de B.~Colbois et G.~Courtois
qui \'etudient dans \cite{cc2} le spectre des fibr\'es en cercles sur
des bases quelconques et sans restrictions sur la m\'etrique. Mais si
la dimension de la fibre est plus grande ($n\geq2$), un ph\'enom\`ene
nouveau appara\^\i t: il existe dans ce cas des effondrements du
fibr\'e tels que $\lambda$ ne tende pas vers z\'ero. Nous en
donnerons des exemples au paragraphe \ref{tore:eff}.
Si $n\geq2$, le nombre de petites valeurs propres ne d\'epend donc
pas uniquement de la topologie. Cependant, on a pas de libert\'e sur ce
nombre comme en \ref{cercle:th1:4}.
\end{remarque}


Dans une deuxi�me partie, du chapitre 4 au chapitre 7, nous allons nous
int�resser � la question \ref{intro:qu2}. 
Le th�or�me \ref{vol:th1} ne consid�re que des fibr�s dont la fibre est 
de dimension fix�e �gale � $1$ ; on peut se demander dans quelle mesure 
il se g�n�ralise aux fibres de dimension plus grande. Nous allons
ici nous int�resser plus pr�cis�ment aux situation de fibrations
principales s'effondrant sur leur base, la fibre �tant alors un tore 
(ce sont les
seules infranilvari�t�s poss�dant une structure de groupe).
Notre but dans cette seconde partie est d'arriver au r�sultat suivant:
\begin{theo}\label{vol:th}
Soit $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs, $n$ un entier et 
$(N,h)$ une vari�t� riemannienne de dimension strictement inf�rieure 
� $n$. Il existe des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$ et 
$C(n,a,d,(N,h))>0$ telles que si $(M,g)$ est une vari�t� riemannienne 
de dimension $n$ v�rifiant $\diam(M,g)\leq d$, $|K(M,g)|\leq a$ et 
si $\pi:(M,g)\rightarrow(N,h)$ est une fibration principale de fibre 
$T^k$ qui soit une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec 
$\varepsilon<\varepsilon_0$, alors
$$\lambda_{1,1}(M,g)\geq C\cdot\Vol^2(M,g).$$
\end{theo}
\begin{remarque}
On obtient une minoration en fonction du volume de la vari�t� et
pas en fonction du rayon d'injectivit�, mais avec un exposant �gal �
2, ind�pendamment de la dimension de la vari�t�.
\end{remarque}

Ce r�sultat soul�ve deux questions qui restent ouvertes:
\begin{question}
Peut-on obtenir une minoration en fonction du rayon d'injectivit�
avec un exposant ind�pendant de la dimension?
\end{question}
\begin{question} Peut-on g�n�raliser ce r�sultat aux $p$-formes
diff�rentielles, pour tout $p$ ?
\end{question}

 Nous commencerons dans le chapitre 4 par discuter de la topologie des 
fibr�s principaux en tore, dans le but de d�terminer un invariant 
topologique g�n�ralisant la classe d'Euler des fibr�s en cercle et qui 
pourra �tre utilis� pour contr�ler le spectre.

Dans le chapitre 5, nous �tudierons comment, dans le cas d'un fibr� 
principal en tore $T^k$ muni d'une m�trique invariante, on peut se
ramener � l'�tude des petites valeurs propres du laplacien � celle
du spectre du laplacien resteint aux formes diff�rentielles
invariantes par l'action de $T^k$.
Dans le cas des formes diff�rentielles d'un fibr�
en cercle, Colbois et Courtois donnent, avec certaines hypoth�ses
sur la m�trique, une minoration du spectre sur l'orthogonal des formes
invariantes~:
\begin{theo}[\cite{cc2}]
Soit $(N^n,h)$ une vari�t� compacte, $S^1\hookrightarrow M^{n+1}\rightarrow
N$ un $S^1$-fibr� principal, et $g_\varepsilon$ une m�trique $S^1$-invariante
sur $M$ telle que $|K(M,g_\varepsilon)|<a$, $\diam(M,g_\varepsilon)<d$ et
que la longueur des fibres soit inf�rieure � $\varepsilon$. Il existe 
des constantes $C=C(n,a,d,(N,h))$ et $\rho=\rho(n)$ telles
que toute forme propre de valeur propre $\lambda\leq\frac C
{\varepsilon^{\frac 1{2\rho}}}$ est $S^1$-invariante.
\end{theo}
Nous allons d�montrer un r�sultat semblable � celui de
Colbois et Courtois, mais sans utiliser d'hypoth�se sur le diam�tre et
la courbure du fibr�, et en donnant une minoration plus pr�cise du
spectre du laplacien restreint � l'orthogonal des formes invariantes:

\begin{theo}\label{inv:th1}
Soit $(M,g)$ un fibr� principal en cercle muni d'une m�trique
$S^1$-invariante. On note $l_0$ le maximum des longueurs des fibres.
 
Soit $\lambda$ une valeur propre de $\Delta^p$. Si $\lambda<
\displaystyle\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$, alors les formes
propres associ�es sont $S^1$-invariantes.
  
\end{theo}
\begin{remarque}
La constante $\displaystyle\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$ du th�or�me
est optimale, en ce sens qu'il existe des fibr�s pour lequelles
elle est �gale � une valeur propre associ�e � une forme propre non
invariante. En effet, $\left(\frac{2\pi}{l}\right)^2$ est la premi�re
valeur propre du cercle de longueur $l$. Dans le cas d'un fibr� trivial
$M=N\times S^1$ muni d'une m�trique produit, les formes diff�rentielles
de la formes $\alpha\wedge f$ o� $\alpha$ est une $p$-forme harmonique
de $N$ et $f$ une fonction propre de $S^1$ seront des formes propres
de $\Delta^p$, de m�me valeur propre que $f$. Comme la fonction $f$ n'est
pas constante, les formes propres associ�s � la valeur propre
$\left(\frac{2\pi}{l}\right)^2$ ne sont pas toutes invariantes.
\end{remarque}
Comme $\left(\frac{2\pi}l\right)^2$ est le $\lambda_{0,1}$ du cercle
de longueur $l$, la constante $\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$ 
du th�or�me \ref{inv:th1}
peut s'interpr�ter comme la borne inf�rieure sur l'ensemble des fibres 
de la premi�re valeur propre du laplacien agissant sur les fonctions
de la fibre. Dans le cas des fibr�s en tore, on peut montrer 
un r�sultat semblable, faisant intervenir la premi�re
valeur propre du laplacien $\Delta^0$ restreint au tore~:

\begin{theo}\label{inv:th2}
Soit $k\in\N^*$, $T^k\hookrightarrow M\stackrel{\pi}{\rightarrow}N$ un 
fibr� en tore $T^k$, $\bar g$ une m�trique invariante sur $T^k$ et $f$ 
une fonction sur $N$ strictement positive. 
Supposons que $M$ est muni d'une m�trique 
$T^k$-invariante $g$ telle que pour tout $x\in N$, la restriction 
$\bar g_x$ de $g$ � la fibre $\pi^{-1}(x)$ v�rifie 
$\bar g_x\leq f(x)\cdot\bar g$.

Soit $\lambda$ une valeur propre du laplacien agissant sur les formes
diff�rentielles de $M$. Si $\lambda<\displaystyle(\sup_{x\in N}f(x))^{-1}
\cdot\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)$, alors les formes propres 
associ�es sont $T^k$-invariantes.
\end{theo}

\begin{remarque}
Comme pour le th�or�me \ref{inv:th1}, la constante est optimale dans
le cas d'un fibr� trivial muni d'une m�trique produit.
\end{remarque}
 
 On peut d�duire du th�or�me \ref{inv:th2} une in�galit� en fonction
du maximum des diam�tres des fibres. Cependant, on doit ajouter 
une hypoth�se sur la m�trique $g$. On verra en effet que la donn�e d'une 
borne sur le diam�tre des fibres ne permet pas de majorer la fonction $f$ 
du th�or�me \ref{inv:th2}.
\begin{cor}\label{inv:cor}
Soit $k\in\N^*$, $T^k\hookrightarrow M\stackrel{\pi}{\rightarrow}N$ un 
fibr� en tore $T^k$, et $\bar g$ une m�trique invariante sur $T^k$.
Supposons que $M$ est muni d'une m�trique $T^k$-invariante 
telle que pour tout $x\in N$, la restriction de la m�trique
� la fibre $\pi^{-1}(x)$ soit proportionnelle � $\bar g$.

Soit $\lambda$ une valeur propre du laplacien.
Si $\lambda<\displaystyle\left(\frac\pi {d_0}\right)^2$, o� $d_0$ est
le maximum des diam�tres des fibres pour la m�trique induite par $g$,
alors les formes propres associ�es sont $T^k$-invariantes.
\end{cor}
\begin{remarque}\label{inv:rem}
La d�monstration des deux th�or�mes met en �vidence le fait que si la
multiplicit� d'une valeur propre est impaire, alors le sous-espace
propre associ� contient des formes invariantes.
\end{remarque}

Le chapitre 6 aura pour but de montrer que pour obtenir le th�or�me
\ref{vol:th}, on peut se ramener � une situation g�om�trique plus simple.
En particulier, on montrera qu'une m�trique de courbure et diam�tre
born�s sur le fibr� est proche d'une m�trique invariante pour laquelle
les fibres sont totalement g�od�siques :
\begin{theo}\label{geom:th:intro}
 Soient $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs, $n$ un entier et 
$(N,h)$ une vari�t� riemannienne de dimension strictement inf�rieure 
� $n$.  Il existe des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$, 
$\tau(n,a,d,(N,h))>0$ et $\tau'(n,a,d,(N,h))>0$ telles que si 
$(M,g)$ est une vari�t� riemannienne de dimension $n$ v�rifiant 
$|K(N,h)|\leq a$, $|K(M,g)|\leq a$, $\diam(M,g)\leq d$ et
si $\pi:(M,g)\rightarrow(N,h)$ une fibration principale de fibre $T^k$
qui soit une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec $\varepsilon
<\varepsilon_0$, alors il existe des m�triques $\tilde g$ et $\tilde h$  
sur $M$ et $N$ respectivement et une fibration principale 
$\pi': (M,\tilde g)\rightarrow(N,\tilde h)$ telles que 
\begin{enumerate}
\item L'action de $T^k$ sur $(M,\tilde g)$ est isom�trique;
\item Les fibres de la fibration $\pi'$ sont totalement g�od�siques;
\item $\displaystyle\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g$ et
$\displaystyle\frac 1\tau h\leq\tilde h\leq \tau h$;
\item La restriction de $\tilde g$ � la fibre est telle que 
$\diam(\pi'^{-1}(x))\leq\tau'\varepsilon$, pour tout $x\in N$.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{remarque}
On verra aussi que si l'on suppose que la m�trique $g$ sur $M$ est 
$T^k$-invariante, alors on peut remplacer dans le th�or�me 
\ref{geom:th:intro} l'hypoth�se sur la courbure de $(M,g)$ par
l'hypoth�se plus faible $K(M,g)\geq -a$.
\end{remarque}

 Enfin, dans le chapitre 7, nous d�montrerons le th�or�me \ref{vol:th} en
utilisant les r�sultats des chapitres 4 � 6, 
et nous discuterons de la possibilit� d'exprimer la constante $C$
du th�or�me \ref{vol:th} en fonction d'invariants g�om�triques de $(N,h)$.

Une grande partie des chapitres \ref{cercle} et \ref{pvp:tore} a
�t� publi�e sous une forme l�g�rement diff�rente dans \cite{ja03}, et 
l'article \cite{ja04} contient ---~entre autres choses~--- la
d�monstration du th�or�me \ref{vol:th}.

\chapter{Existence de petites valeurs propres du laplacien}
\pagenumbering{arabic}
\renewcommand\theequation{\thechapter.\arabic{equation}}
\setcounter{page}{1}

\section{Un exemple : la nilvari�t� d'Heisenberg de dimension 3}
\label{heisenberg}
Nous allons commencer par pr�senter un exemple de vari�t� compacte 
admettant une petite valeur propre. Cet exemple nous sera utile par 
la suite car il illustre un certain nombre de ph�nom�nes.

On consid�re le groupe d'Heisenberg de dimension 3
\begin{equation}\label{intro:df1}
G=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{array}\right)
,\ x,y,z\in \R\right\}.
\end{equation}
C'est un groupe nilpotent, diff�omorphe � $\R^3$, et son centre
v�rifie $Z(G)=[G,G]=\{\smat{10z\\010\\001},z\in\R\}$. On note
$\Gamma$ le sous-groupe de $G$ form� des matrices � coefficients
entiers. C'est un sous-groupe discret cocompact de $G$, et on
d�finit la nilvari�t� d'Heisenberg de dimension 3 par $N=\Gamma
\backslash G$.
 Sa topologie peut �tre d�crite de trois mani�res :
\begin{itemize}
\item par construction c'est une nilvari�t�, c'est-�-dire le
quotient d'un groupe nilpotent par un sous-groupe cocompact;
\item c'est aussi un fibr� en tore sur le cercle dont les fibres 
sont, dans la param�trisation donn�e par (\ref{intro:df1}), les
sous-vari�t�s d'�quation $x=c^{te}$. Ces sous-vari�t�s de $G$ sont 
diff�omorphes � $\R^2$, et leurs quotients dans $N$ sont des tores;
\item enfin, c'est un fibr� principal en cercle sur le tore, les fibres 
�tant d�finies comme les orbites de l'action du centre $Z(G)$ sur $N$.
\end{itemize}

 Soit $X$, $Y$ et $Z$ les champs de vecteurs invariants � gauche sur 
$N$ engendr�s en $(0,0,0)$ par $\dep{}x$, $\dep{}y$ et $\dep{}z$.
Ces champs passent au quotient sur $N$, et v�rifient
$[X,Y]=Z$ et $[X,Z]=[Y,Z]=0$. On va, � l'aide de ces champs, construire
une famille de m�trique pour laquelle le diam�tre et la courbure
seront uniform�ment born�s: soit $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ trois
r�els positifs fix�s. Pour tout $\varepsilon\in]0,1]$, on d�finit sur $N$
la m�trique $g_\varepsilon$ comme �tant la m�trique invariante �
gauche telle qu'en tout point, la base $(X_\varepsilon,Y_\varepsilon,
Z_\varepsilon)$ d�finie par $X_\varepsilon=\varepsilon^{-\alpha}X$,
$Y_\varepsilon=\varepsilon^{-\beta}Y$ et $Z_\varepsilon=\varepsilon^{-
\gamma}Z$ soit orthonorm�e. Les crochets de Lie entre les champs de 
vecteurs de cette base sont 
\begin{equation}\label{intro:eq1}
[X_\varepsilon,Y_\varepsilon]=Z_\varepsilon^{\gamma-\alpha-\beta}
\et [X_\varepsilon,Z_\varepsilon]=[Y_\varepsilon,Z_\varepsilon]=0.
\end{equation}

 Comme les param�tres $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont positifs,
les normes de $X$, $Y$ et $Z$ pour la m�trique $g_\varepsilon$ sont
inf�rieures � 1, donc le diam�tre de $N$ reste born� quand $\varepsilon$
varie. D'autre part, comme les champs $X_\varepsilon$, $Y_\varepsilon$
et $Z_\varepsilon$ sont invariants, le tenseur de courbure peut s'�crire 
en fonction des coefficients des crochets de Lie entre ces champs. On impose
donc � $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ de v�rifier $\tau=\gamma-\alpha-\beta
\geq0$, de sorte que la courbure reste elle aussi born�e.
 
 Comme la m�trique sur $N$ est invariante � gauche, l'espace des $1$-formes
diff�rentielles invariantes est stable par le laplacien. On va calculer 
son spectre en restriction � cet espace. On peut d�duire de 
(\ref{intro:eq1}) que 
\begin{equation}
\de X^\flat_\varepsilon=\de Y^\flat_\varepsilon=0\et \de Z^\flat_\varepsilon
=-\varepsilon^\tau X^\flat_\varepsilon\wedge Y^\flat_\varepsilon,
\end{equation}
o� $U^\flat$ d�signe la $1$-forme duale de $U$ pour la m�trique
$g_\varepsilon$, et donc que
\begin{equation}
\codiff(X^\flat_\varepsilon\wedge Y^\flat_\varepsilon)=-\varepsilon^\tau
Z^\flat_\varepsilon \et \codiff(X^\flat_\varepsilon\wedge Z^\flat_\varepsilon)
=\codiff(Y^\flat_\varepsilon\wedge Z^\flat_\varepsilon)=0.
\end{equation}
En restriction aux $1$-formes invariantes, l'op�rateur $\de\codiff$
est nul. On a donc finalement 
\begin{equation}
\Delta X^\flat_\varepsilon=\Delta Y^\flat_\varepsilon=0\et
\Delta Z^\flat_\varepsilon=\varepsilon^{2\tau}Z^\flat_\varepsilon.
\end{equation}
La forme diff�rentielle $Z^\flat_\varepsilon$ est donc une forme 
propre de valeur propre $\lambda=\varepsilon^{2\tau}$. On voit
que si $\tau>0$, par exemple si $\alpha=1$, $\beta=1$ et $\gamma=3$, 
cette valeur propre tend vers 0. La vari�t� $N$ admet donc
une petite valeur propre. On peut noter qu'en revanche, si
$\tau=0$, par exemple si $\alpha=\beta=1$ et $\gamma=2$, 
la valeur propre $\lambda$ ne tend pas vers z�ro. La question
\ref{intro:qu1} doit donc �tre formul�e de mani�re plus pr�cise:
\begin{question}\label{pvp:qu1}
 Comment varie le nombre de petites valeurs propres avec la g�om�trie
de l'effondrement~?
\end{question}

\section{Op�rateur limite}\label{lott}
\subsection{Le cas des fonctions}
 Avant d'aborder la construction faite par J.~Lott d'un op�rateur 
limite pour le laplacien de Hodge-de~Rham, rappelons le r�sultat
obtenu par K.~Fukaya dans le cas des fonctions. Dans \cite{fu},
Fukaya montre l'existence ---~sous certaines conditions~--- 
d'un op�rateur limite pour le laplacien agissant sur les fonctions.
 
 Soit $\mathcal M(n,d)$ l'ensemble des
vari�t�s riemanniennes $(M^n,g)$ de dimension $n$ telles que
leur courbure sectionnelle et leur diam�tre v�rifient respectivement 
$|K(M,g)|\leq1$ et $\diam(M,g)\leq d$, et $\lambda_k(M,g)$ la $k$-i�me
valeur propre du laplacien agissant sur les fonctions de $M$,
les valeurs propres �tant r�p�t�es s'il y a multiplicit�. Le
probl�me est d'�tendre continument pour tout $k$ la fonction
$(M,g)\rightarrow\lambda_k(M,g)$ � l'adh�rence de $\mathcal M(n,d)$
dans l'ensemble des espaces m�triques compacts. C'est impossible si
on munit cet ensemble de la topologie de Gromov-Hausdorff, mais
Fukaya consid�re l'ensemble des espaces m�triques mesur�s ---~\emph{i.e.}
muni d'une mesure de probabilit�~--- muni de la topologie de Hausdorff
mesur�e d�finie comme suit: soit $(X_i,\mu_i)$ une suite d'espaces
m�triques mesur�s. Elle converge vers $(X,\mu)$ s'il existe des
applications mesurables $\Psi_i:X_i\rightarrow X$ et une suite
strictement positive $\varepsilon_i$ v�rifiant
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{i\rightarrow\infty}\varepsilon_i=0$~;
\item L'$\varepsilon_i$-voisinage de $\Psi_i(X_i)$ est $X$~;
\item Pour tout $p,q$ dans $X_i$, on a
$$|d(\Psi_i(p),\Psi_i(q))-d(p,q)|<\varepsilon_i\ ;$$
\item Pour toute fonction $f$ sur $X$, on a
$$\lim_{i\rightarrow\infty}\int f\circ\Psi_i\de\mu_i=\int f\de\mu,$$
c'est-�-dire que la mesure $(\Psi_i)_*(\mu_i)$ converge vers $\mu$ pour la
topologie faible-$*$.
\end{enumerate}
Il obtient alors:
\begin{theo}\label{fu:1:1}
Soit $\overline{\mathcal M(n,d)}$ l'adh�rence de $\mathcal M(n,d)$
dans l'ensemble des espaces m�triques mesur�s, en munissant chaque
vari�t� $(M^n,g)$ de sa mesure riemannienne normalis�e.
\begin{enumerate}
\item La fonction $\lambda_k$ s'�tend continuement � l'ensemble
$\overline{\mathcal M(n,d)}\backslash\{(point,1)\}$.
\item Pour tout $(X,\mu)\in\overline{\mathcal M(n,d)}$, il existe un
op�rateur auto-adjoint $P_{(X,\mu)}$ agissant sur $L^2(X,\mu)$ tel que 
$\lambda_k(X,\mu)$ soit �gal � la $k$-i�me valeur propre de $P_{(X,\mu)}$.
\item Supposons que $\lim_{i\rightarrow\infty}(M_i,g_i)=(X,\mu)$. Soit
$\varphi_{k,i}$ une fonction propre normalis�e associ�e � la valeur
propre $\lambda_k(M_i,g_i)$ et $\Lambda_{k,i}=\{\varphi\circ\Psi_i,
\varphi\in L^2(X,\mu), P_{(X,\mu)}\varphi=\lambda_k(X,\mu)\varphi\}$.
Alors $\lim_{i\rightarrow\infty}d(\Lambda_{k,i},\varphi_{k,i})=0$.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{remarque} Dans le cas o� l'espace limite $(X,\mu)$ est
une vari�t� riemannienne, la mesure limite $\mu$ et l'op�rateur limite
$P_{(X,\mu)}$ ne sont pas n�cessairement la mesure riemanienne ni le laplacien
de la vari�t�, comme le montre l'exemple suivant :
\end{remarque}

\begin{exemple}
On consid�re le tore $T^2=\{(s,t),\ s,t\in S^1\}$, $c:S^1\rightarrow
\R$ une fonction positive $C^\infty$, et la famille de m�triques 
$g_\varepsilon(c)$ d�finie sur $T^2$ par
$$g_\varepsilon(c)=\de s^2\oplus\varepsilon^2c(s)^2\de t^2.$$
Si $f\in C^\infty(T^2)$, on a alors
$$\Delta_{(T^2,g_\varepsilon(c))}f(s,t)=-c(s)^{-1}\Dep{}s\left(
c(s)\Dep{}sf(s,t)\right)-
\varepsilon^2c(s)^{-2}c(s)^{-2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}f(s,t).$$
Si on note $\lambda_k(c)$ la $k$-i�me valeur propre de
l'op�rateur $P_c$ d�fini sur $S^1$ par 
$P_c(f)(s)=-c(s)^{-1}\frac\de{\de s}\left(c(s)\frac\de{\de s}f(s)\right)$,
alors
$$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\lambda_k(T^2,g_\varepsilon(c))=
\lambda_k(c),$$
et
$$\lim_{\varepsilon\rightarrow0}(T^2,g_\varepsilon(c))=(S^1,\mu)$$
avec $\mu=c\cdot\de s$.
\end{exemple}

\begin{remarque}\label{fu:1:2} Les fonctions contenues dans $\Lambda_{k,i}$
ont la propri�t� d'�tre constantes sur chacun des $\Psi_i^{-1}(x)$, $x\in X$.
Cela signifie, dans le cas o� les $\Psi_i$ d�finissent des fibrations,
que les fonctions propres $\varphi_{k,i}$ sont
approxim�es par des fonctions constantes sur les fibres.
\end{remarque}

\subsection{Construction de l'op�rateur}
R�cemment, J.~Lott a g�n�ralis� le r�sultat de Fukaya aux formes
diff�rentielles (\cite{lo}, \cite{lo2}). Nous allons ici pr�senter 
la construction de l'op�rateur limite en nous restreignant par
soucis de clart� au cas
d'un fibr� $F\hookrightarrow (M,g)\rightarrow (N,h)$ sur une vari�t� 
riemannienne dont la fibre est une nilvari�t� $F=\Gamma\backslash G$,
et qui tend pour la distance de Gromov-Hausdorff vers sa base. Nous
noterons $\nabla^{aff}$ la connexion sur $F$ telle que les champs
invariants � gauche soient parall�les.

 La premi�re difficult� est de d�terminer un espace sur lequel
va agir l'op�rateur limite. Dans la construction de Fukaya, l'op�rateur
$P_{(X,\mu)}$ du th�or�me \ref{fu:1:1} agit sur $L^2(N)$, c'est-�-dire
sur un espace de fonctions � valeurs r�elles sur la base. Dans le cas 
des formes diff�rentielles, on utilise un espace de formes
diff�rentielle sur la base, mais � valeur dans un espace plus
grand que $\R$. Plus pr�cisement, on consid�re un fibr� vectoriel
gradu� $E=\bigoplus_{j=0}^mE^j$ sur la base dont chaque fibre est
munie d'un produit scalaire gradu� ---~\emph{i.e.} tel que les $E^i$
soient orthogonaux entre eux~--- not� $h_E$, et on munit ce fibr� d'une
superconnexion $A'$ de degr� 1, c'est-�-dire d'un op�rateur de la
forme $$A'=A_{[0]}'+A_{[1]}'+A_{[2]}'$$ o�
\begin{itemize}
\item $A_{[0]}'\in C^\infty(N,\Hom(E^*,E^{*+1}))$~;
\item $A_{[1]}'$ est une connexion sur $E$ qui pr�serve la graduation~;
\item $A_{[2]}'\in\Omega^2(N,\Hom(E^*,E^{*-1}))$.
\end{itemize}
On peut �tendre cette superconnexion par la r�gle de Leibniz � un
op�rateur sur l'espace $\Omega(N,E)$ des formes diff�rentielles
sur $N$ � valeur dans $E$. La m�trique $h_N$ et le produit scalaire
$h_E$ permettent de construire un produit scalaire sur $\Omega(N,E)$,
et donc de d�finir un op�rateur adjoint � $A'$ not� $(A')^*$,
et un laplacien sur $\Omega(N,E)$ par $\Delta_E=A'(A')^*+(A')^*A'$.
On notera $\Delta^p_E$ la restriction de $\Delta_E$ �
$\bigoplus_{a+b=p}\Omega^a(N,E^b)$.

Pour construire le fibr� sur lequel agit l'op�rateur limite, J.~Lott
se ram�ne d'abord en utilisant \cite{cfg} au cas o� $(M,g)$ est un
fibr� affine riemannien:
\begin{df}\label{lott:df} Un fibr� riemannien $F\hookrightarrow
(M,g)\rightarrow(N,h)$ est une fibr� affine riemannien si:
\begin{itemize}
\item le groupe de structure du fibr� est contenu dans le groupe
$\Aff(F)$ des diff�omorphismes de $F$ qui pr�servent $\nabla^{aff}$~;
\item $M$ est muni d'une distribution horizontale $T^HM$ dont
l'holonomie est dans $\Aff(F)$~;
\item chaque fibre est munie d'une m�trique $g_{F_b}$ qui est parall�le
par rapport � la connexion affine $\nabla^{aff}$ sur la fibre~;
\item $N$ est muni d'une m�trique $h_N$~;
\item la m�trique $g$ sur $M$  s'�crit $g=h_N\oplus g_{F_b}$ relativement
� la distribution $T^HM$.
\end{itemize}
\end{df}
 En d�composant les formes diff�rentielles de $M$ en leurs parties
verticale et horizontale, on peut �crire $\Omega^*(M)\simeq\Omega^*(N,W)$,
o� $W$ est un fibr� sur $N$ dont la fibre est isomorphe � $\Omega^*(F)$.
Dans le cas d'un fibr� affine, le groupe de structure du fibr� $M$ 
pr�serve $\nabla^{aff}$, et par cons�quent l'action de ce groupe sur
$\Omega^*(F)$ pr�serve le sous-espace des formes invariantes. 
On peut donc d�finir le sous-fibr� $E$ de $W$ de fibre 
$\Lambda^*(\mathfrak n^*)$, ainsi que l'espace $\Omega^*(N,E)$ sur lequel
va agir l'op�rateur limite. On a de plus un plongement 
$\Omega^*(N,E)\hookrightarrow\Omega^*(M)$ qui permet d'identifier
chaque �l�ment de $\Omega^*(N,E)$ � une forme diff�rentielle sur $M$
parall�le pour la connexion $\nabla^{aff}$.

 Selon les r�sultats donn�s dans \cite{bl} sur les superconnexions, 
et en utilisant le fait que sur un tel fibr�, 
l'espace des formes parall�les le long de la fibre est stable par 
l'action de la diff�rentielle ext�rieure, cette diff�rentielle  induit 
par l'interm�diaire du plongement
$\Omega(N,E)\hookrightarrow\Omega(M)$ une superconnexion sur $E$ 
telle que $A_{[0]}'$ soit la diff�rentielle sur $\Lambda^*(\mathfrak n^*)$,
$A_{[1]}'$ soit la connexion sur le fibr� $E$ induite par $T^HM$ et 
$A_{[2]}'$ soit le produit int�rieur $i_T$ par la forme de courbure $T$
de la distribution $T^HM$. D'autre part,
la m�trique $g_{F_b}$ induit un produit scalaire $h_E$ sur les
fibres du fibr� vectoriel $E$. 

La structure  de fibr� affine riemannien
induit donc � la fois une superconnexion et un produit scalaire sur $E$,
et permet par cons�quent de d�finir un laplacien $\Delta_E$ sur
$\Omega(N,E)$. En notant $\sigma(\Delta_E^p)$ le spectre du laplacien
$\Delta_E^p$, J.~Lott montre que dans cette situation, les petites 
valeurs propres du laplacien $\Delta_M$ 
sur $M$ sont celle de $\Delta_E^p$ (\cite{lo}, th�or�me 1): 
\begin{theo}\label{lott:th1}
Si $M$ est un fibr� affine riemannien sur $N$ et si on note
$R_M$ et $R_F$ les tenseurs de courbures respectivement
sur $M$ et sur $F_b$ pour la m�trique $g_{F_b}$, $\diam(F)$ la 
borne sup�rieure des diam�tres des fibres et $\Pi$ la seconde forme
fondamentale des fibres, alors il existe des constantes 
$a$, $a'$ et $c$ qui ne d�pendent que de 
$\dimension(M)$ telles que si $\|R_F\|_\infty\diam(F)^2\leq a'$ alors pour
tout $p\leq\dimension(M)$,
\begin{eqnarray*}
\sigma(\Delta_M^p)\cap[0,a\cdot\diam(F)^{-2}-c(\|R_M\|_\infty+\|\Pi\|^2_\infty
+\|T\|^2_\infty)[ & = &\\
\sigma(\Delta_E^p)\cap[0,a\cdot\diam(F)^{-2}-c(\|R_M\|_\infty+\|\Pi\|^2_\infty
+\|T\|^2_\infty)[. &  &
\end{eqnarray*}
\end{theo}

On est donc ramen� � la recherche d'un op�rateur limite sur
$\Omega(N,E)$. On ne peut consid�rer s�par�ment la limite de la 
superconnexion $A'$ et de la m�trique $h_E$. En effet, $A'$ ne d�pend pas
de la m�trique sur $M$ et donc elle est constante au cours de l'effondrement,
et $h_E$ d�g�n�re donc sa limite ne permet pas de d�finir un op�rateur
adjoint comme $(A')^*$. L'id�e de Lott est de consid�rer l'ensemble
$(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)$, o� $\mathcal S_E$ est l'espace
des superconnexions de degr� 1 sur $E$ et $\mathcal H_E$ l'espace des
produits scalaires euclidiens sur $E$, et de quotienter cet ensemble par
le groupe $\mathcal G_E$ des $\GL(E)$-transformations de jauge sur $E$ 
qui pr�servent la graduation. Il obtient alors le r�sultat 
de compacit� suivant (\cite{lo}, th�or�me 3):

\begin{theo} Soit $(N,h_N)$ une vari�t� riemannienne fix�, $n>
\dimension(N)$, $a>0$ et $\varepsilon>0$. Il existe une partie compacte 
$K(n,a,\varepsilon)\subset(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)/\mathcal G_E$ 
telle que si $(M^n,g)$ est une vari�t� riemannienne de dimension $n$ 
telle que $\|R_M\|_\infty\leq a$ 
et $d_{GH}(M,N)\leq\varepsilon$, alors la classe d'�quivalence du couple
$(A',h_E)$ induit par $g$  appartient � $K$.
\end{theo}

 �tant donn�e une suite de m�triques $(g_i)_{i\in\N}$ qui effondre $M$ sur sa
base, on peut extraire de la suite $[(A'_i,h_{E,i})]_{i\in\N}$ d'�l�ments de
$(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)/\mathcal G_E$ une sous-suite qui
converge vers une superconnexion limite qui permet de construire un
laplacien limite $\Delta_\infty$, dont le spectre est la limite
du spectre du laplacien sur $M$.

\begin{remarque}
La suite $[(A'_i,h_{E,i})]$ ne converge pas n�cessairement. On peut par
exemple au paragraphe \ref{heisenberg} prendre $\alpha=0$, $\beta=1$ et 
choisir pour
$\gamma$ une fonction qui oscille entre $1$ et $2$. La premi�re valeur
propre va osciller entre $1$ et $t$ sans converger. L'op�rateur
$\Delta_E$ ne converge donc pas, ni la classe de $(A'_t,h_{E,t})$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Pour l'�tude du spectre sur les fonctions, on peut se resteindre
au fibr� $E^0$, qui est un fibr� trivial en droite r�elle sur $N$. 
Cependant, le produit scalaire $h_{E^0}$ n'est pas trivial. 
Il correspond � la mesure sur l'espace limite dans le travail de
Fukaya.
\end{remarque}

\subsection{Petites valeurs propres}
Pour d�terminer la dimension du noyau de $\Delta_\infty$, on peut calculer
la cohomologie $H^*(A')$ pour l'action sur $\Omega(N,E)$ de la 
superconnexion limite $A'$. J.~Lott calcule une majoration de cette
dimension en utilisant la th�orie des suites spectrales, et en
remarquant le fait suivant: le terme $A_{[0]}'$ de la superconnexion 
v�rifie $(A_{[0]}')^2=0$, et d�finit donc un complexe 
diff�rentiel sur les fibre de $E$, dont la cohomologie $H^*(A'_{[0]})$ 
est un fibr� vectoriel gradu� sur $N$. De plus, la connexion $A_{[1]}'$
sur le fibr� $E$ passe au quotient sur $H^*(A'_{[0]})$ en une connexion
plate, c'est-�-dire telle que $(A_{[1]}')^2=0$, et d�finit donc aussi
un complexe diff�rentiel dont la cohomologie est $H^*(N,H^*(A'_{[0]}))$.
Les premiers termes de la suite de Leray $(\mathcal E^{*,*}_r,d_r)$ sont
\begin{eqnarray*}
\mathcal E^{*,*}_0 &=& \Omega^*(N,E^*),\\
\mathcal E^{*,*}_1 &=& \Omega^*(N,H^*(A'_{[0]}))\et\\
\mathcal E^{*,*}_2 &=& H^*(N,H^*(A'_{[0]})),
\end{eqnarray*}
avec $d_0=A'_{[0]}$ et $d_1=A_{[1]}'$.
Lott en d�duit:
\begin{pr}
$$\dimension\Ker\Delta_\infty^p\leq\sum_{a+b=p}\dimension
\left(H^a(N,H^b(A'_{[0]}))\right).$$
\end{pr}
 Cette formule peut se simplifier dans certains cas, en particulier
pour les $1$-formes:
\begin{cor}\label{lott:cor1}
$$\dimension\Ker\Delta_\infty^1\leq b_1(N)+\dimension(F).$$
\end{cor}
 On peut noter que cette majoration est tr�s g�n�rale, en ce sens qu'on
ne fait pas d'hypoth�se sur la structure du fibr�, ni sur la g�om�trie
de l'effondrement. Cependant, le th�or�me �nonc� en~\ref{cercle:th1} dans
l'introduction montre que la topologie impose des restrictions sur le 
nombre de petites valeurs propres possible. En particulier, dans la 
situation du th�or�me~\ref{cercle:th1}, le cas d'�galit� de la majoration 
donn�e par le corollaire~\ref{lott:cor1} n'est atteint que si $G$ est 
nilpotent (cf. remarque~\ref{cercle:rq1}).

Dans le cas d'un fibr� en cercle, on obtient aussi une expression simple:
\begin{cor}
Si $M$ est un fibr� en cercle sur $N$, alors 
$$\dimension\Delta_\infty^p\leq b_p(N)+b_{p-1}(N)$$.
\end{cor}
Cependant, on sait d�j� (\cite{cc2}) qu'il y a 
n�cessairement �galit� dans l'in�galit� ci-dessus.

 D'autre part, Lott montre qu'une petite valeur propre
ne peut �tre obtenue que selon trois m�canismes (\cite{lo}, Th. 5):
\begin{theo}\label{lott:th2}
Soit $g_i$ une suite de m�triques qui effondre $M$ sur $N$. Supposons
que $\lim_{i\rightarrow\infty}\lambda_{1,p}(M,g_i)=0$. Alors au moins
l'une des trois conditions suivantes est v�rifi�e:
\begin{enumerate}
\item Il existe $q\in[0,p]$ tel que $b_q(F)<\dimension\Lambda^q
(\mathfrak n^*))$~;
\item Il existe $q\in[0,p]$ tel que l'holonomie du fibr� de base $N$
et de fibre $H^q(F)$ n'est pas semi-simple~;
\item La suite spectrale de Leray qui calcule la cohomologie
$H^*(M,\R)$ du fibr� $M$ ne d�g�n�re pas au rang $2$.
\end{enumerate}
\end{theo}

 Les trois situations qui interviennent dans ce th�or�me sont illustr�es
par les trois descriptions topologiques de la nilvari�t� d'Heisenberg
qu'on a donn�es en \ref{heisenberg}


 Dans le premier cas, le terme $A_{[0],i}'$ de la superconnexion d�g�n�re 
quand $i$ tend vers l'infini ---~c'est-�-dire que si on note 
$(A_{[0],\infty}',h_E)$ la limite de $(A_{[0],i}',h_{E,i})$ dans
$(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)/\mathcal G_E$, la dimension
du noyau de $A_{[0],\infty}'$ est plus grande que celle du noyau de 
$A_{[0],i}'$~--- donc le laplacien
restreint � la fibre admet une petite valeur propre. G�om�triquement,
cela signifie que la nilvari�t� $F$ n'est pas un tore. Un exemple 
simple est donn� par $M=N\times F$ muni d'une m�trique produit, o� 
$F$ est la nilvari�t� d'Heisenberg de dimension $3$, et de consid�rer
sur $F$ la suite de m�triques d�finie en \ref{heisenberg} avec 
$(\alpha,\beta,\gamma)=(1,1,3)$.

 La deuxi�me condition signifie que le terme $A_{[1],i}'$ de la
superconnexion d�g�n�re quand $i$ tend vers l'infini. L'exemple
le plus simple est donn� par la vari�t� d'Heisenberg de dimension $3$
vue comme fibr� en tore sur le cercle : comme la fibre est plate,
$A_{[0],i}'=0$, et comme la base est de dimension $1$, les $2$-formes
sur la base, et donc $A_{[2],i}'$, sont nulles. Cependant, si on
prend $\alpha=0$, $\beta=1$ et $\gamma=2$ en \ref{heisenberg}, on
a bien une petite valeur propre.

 La troisi�me condition est illustr�e par les situations de fibr�
principal. Si on consid�re la vari�t� d'Heisenberg comme un fibr�
principal en cercle sur le tore $T^2$, on a $A_{[0],i}'=0$ (la
fibre est plate) et l'holonomie de fibr� $E$ est n�cessairement
semi-simple car les fibres des fibr�s $(E_i)_{i=0,1}$ sont de dimension $1$.
On verra d'autres exemples de fibr�s principaux dans le chapitre 
\ref{pvp:tore}.

 Le th�or�me \ref{lott:th2} donne une condition n�cessaire � l'existence
de petites valeurs propres, ce qui r�pond � la question \ref{intro:qu1},
mais pas � la question \ref{pvp:qu1}.

Dans le cas particulier d'une vari�t� $M$, s'effondrant sur un cercle,
Lott donne le corollaire suivant (\cite{lo}, Cor. 4):
\begin{cor}\label{lott:cor2}
Soit $g_i$ une suite de m�triques qui effondre $M$ sur $S^1$. Supposons
que $\lim_{i\rightarrow\infty}\lambda_{1,p}(M,g_i)=0$. Alors au moins
l'une des deux conditions suivantes est v�rifi�e:
\begin{enumerate}
\item Il existe $q\in[0,p]$ tel que $b_q(F)<\dimension\Lambda^q
(\mathfrak n^*))$~;
\item Il existe $q\in[0,p]$ tel que si on note $\Phi^*\in\Aut(H^*(Z))$ l'action
de l'holonomie sur le fibr� $H^*(Z)$, alors la r�duite de Jordan de 
$\Phi^q$ ou $\Phi^{q-1}$ contient un bloc unipotent non trivial.
\end{enumerate}
\end{cor}
Le chapitre suivant sera consacr� � une �tude des situations de fibr�s
en tore sur le cercle, qui illustrent le point 2 du th�or�me \ref{lott:th2}.


\chapter{Effondrements homog�nes de fibr�s en tores sur le cercle}
\label{cercle}
\section{Structure homog\`ene}\label{cercle:st}
Nous commen\c{c}ons par d\'emontrer le d\'ebut du th\'eor\`eme \ref{cercle:th1}
en construisant le groupe $G$ et le r\'eseau $\Gamma$ qui nous
int\'eressent.
Consid\'erons un fibr\'e $M$ en tore $T^n$ sur le cercle qui est
la suspension d'un diff\'eomorphisme lin\'eaire $\varphi$ repr\'esent\'e par 
la matrice $A\in\SL_n(\Z)$. Un tel fibr\'e sera hom\'eomorphe \`a 
\begin{equation}\label{cercle:st:df}
M:=T^n\times [0,1]_{/(x,0)\sim(\varphi(x),1)},
\end{equation}
Pour construire $G$, on va munir $\R^{n+1}$ d'une structure de groupe
telle que $\Z^{n+1}\backslash\R^{n+1}=M$. Si on note $(x_1,\cdots,x_n,y)$ 
les \'el\'ements de $\R^{n+1}$, une telle structure devra v\'erifier
\begin{equation}\label{cercle:st:eq1}
(k_1,\cdots,k_n,0)\cdot(x_1,\cdots,x_n,y)=(x_1+k_1,\cdots,x_n+k_n,y)
\end{equation}
de sorte que les sous-espaces de $\R^{n+1}$ d'\'equation $y=c^{te}$
passent au quotient comme des tores $T^n$, et
\begin{equation}\label{cercle:st:eq2}
(0,\cdots,0,l)\cdot(x_1,\cdots,x_n,y)=(A^l\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right),y+l)
\end{equation}
de sorte que la structure de fibr\'e soit bien celle d\'efinie par 
(\ref{cercle:st:df}). Cette structure est effectivement r\'ealis\'ee en 
d\'efinissant $G$ comme l'image du plongement
\begin{equation}\label{cercle:st:plongement}
(x_1,\cdots,x_n,y)\longmapsto\left(\begin{array}{c|cc}
A^y&\vecdots00&\vecdots{x_1}{x_n}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}\\1\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\y\\1\end{smallmatrix}
\end{array}\right) .
\end{equation}
Comme on se restreint aux matrices $A$ qui admettent un logarithme $B$,
l'expression $A^y$ est bien d\'efinie en posant $A^y=\exp(yB)$.
On peut facilement v\'erifier
que cette application est injective, que son image $G$ est bien un 
sous-groupe de $\GL_{n+2}(\R)$ et que sa structure est
bien celle d\'efinie par (\ref{cercle:st:eq1}) et  
(\ref{cercle:st:eq2}). Enfin,
l'image de $\Z^{n+1}$ par cette application est bien un sous-groupe
discret de $G$, qu'on notera $\Gamma$. La vari\'et\'e $M$ est 
donc hom\'eomorphe au quotient $\Gamma\backslash G$.

Remarque: on peut v\'erifier que si $A=\smat{1&1\\0&1}$, le groupe
$G$ obtenu est isomorphe au groupe d'Heisengerg de dimension $3$ tel
qu'il est pr\'esent\'e dans l'exemple du paragraphe \ref{heisenberg}.


\section{Laplacien}\label{cercle:laplacien}
Soit $X_i$ et $Y$ les champs invariants \`a gauche engendr\'es en
$I_{n+2}$ respectivement par 
\begin{equation}
\Dep{}{x_i}=\left(\begin{array}{c|c}
0&\begin{smallmatrix}
\vecdots0\ccdot&\vecdots00 \\
\ccdot&1\\
\vecdots{\vphantom{0}\ccdot}0&\vecdots00
\end{smallmatrix}\\\hline 0&0\end{array}\right) \et
\Dep{}{y}=\left(\begin{array}{c|c}
B&\begin{smallmatrix}\vecdots00&
\vecdots00\end{smallmatrix}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}0&\:\:1\\
0&\:\:0\end{smallmatrix}\end{array}\right).
\end{equation}
Ces champs v\'erifient $[X_i,X_j]=0$ et $[Y,X_i]=\sum_{j=1}^nb_{ji}X_j$. 
On peut remarquer que l'application $X\mapsto [Y,X]$ est un endomorphisme
de  l'espace $\Gamma(T_VM)^{{}^G}$ des champs de vecteurs invariants 
verticaux, c'est-\`a-dire l'espace engendr\'e par les $X_i$, et dont la 
matrice est $B$. On notera $f$ cet endomorphisme.

On fixe une m\'etrique homog\`ene $g$ 
sur $M$ en se donnant une base $(V_i)_{i\in[1,n]}$ de l'espace 
$\Gamma(T_VM)^{{}^G}$, 
cette m\'etrique \'etant telle que $(V_1,\cdots,V_n,Y)$ soit orthonorm\'ee en
tout point. On notera $(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$ sa base duale, 
et $C$ la matrice de $f$ dans la base $(V_1,\cdots,V_n)$.
On va d\'eterminer le spectre du laplacien $\Delta^1_{inv}$ restreint 
\`a  l'ensemble $\Omega^1(M)^G$ des $1$-formes invariantes \`a gauche 
en fonction des coefficients de $C$. Plus pr\'ecis\'ement, on a le
\begin{lem}
La matrice du laplacien $\Delta^1_{inv}$ dans la base 
$(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$ est
$$\Delta^1_{inv}:\left(\begin{array}{cc}C\trans C&
\vecdots{\displaystyle0}{\displaystyle0}\\
0\cdots0&0\end{array}\right).$$
\end{lem}
\textbf{D\'emonstration:}
Les crochets de Lie entre les vecteurs de la nouvelle base sont
\begin{equation}
[V_i,V_j]=0 \et [Y,V_i]=\sum_{j=1}^nc_{ji}V_j.
\end{equation}
Soit $\alpha$ une $1$-forme diff\'erentielle invariante. Sa diff\'erentielle
ext\'erieure est d�termin�e par la relation $\de\alpha(U_1,U_2)=U_1\cdot
\alpha(U_2)-U_2\cdot\alpha(U_1)-\alpha([U_1,U_2])$, o\`u $U_1$ et $U_2$
sont des champs de vecteur. Si ces champs sont invariants \`a gauche, cette
relation devient: $\de\alpha(U_1,U_2)=-\alpha([U_1,U_2])$.
On en d\'eduit:
\begin{equation}\label{cercle:laplacien:eq1}
\de Y^\flat=0\et \de V_i^\flat=-\sum^n_{j=1} c_{ij}Y^\flat\wedge V_j^\flat.
\end{equation}
La matrice de la diff\'erentielle ext\'erieure 
$\de :\Omega^1(M)^G\rightarrow\Omega^2(M)^G$ sera, dans les bases
$(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$ et $(Y^\flat\wedge V_i^\flat,V_i^\flat
\wedge 
V_j^\flat)$,
\begin{equation}
\de:\smat{\displaystyle-\trans C &\vecdots00\\\displaystyle 0&\vecdots00}.
\end{equation}
Les deux bases sont orthonorm\'ees, donc
la matrice dans ces bases de la divergence 
$\codiff:\Omega^2(M)^G\rightarrow\Omega^1(M)^G$ sera donc la transpos\'ee 
de la matrice ci-dessus.

Comme la diff\'erentielle restreinte \`a $\Omega^0(M)^G$ est nulle,
le laplacien $\Delta=\codiff\de+\de\codiff$ se r\'eduit sur $\Omega^1(M)^G$
\`a l'op\'erateur $\codiff\de$. On en d\'eduit la matrice du laplacien
$\Delta^{inv}$ restreint \`a $\Omega^1(M)^G$ est, dans la base 
$(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$,

\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc}
\displaystyle-C&\displaystyle 0\\0\cdots0&0\cdots0\end{array}\right)
\smat{\displaystyle-\trans C &\vecdots00\\\displaystyle 0&\vecdots00}
=\left(\begin{array}{cc}C\trans C&
\vecdots{\displaystyle0}{\displaystyle0}\\
0\cdots0&0\end{array}\right).
\end{equation}
\carrenoir

Remarque: On a fait ici le calcul pour un $Y$ fix\'e, c'est-\`a-dire
pour un certain choix de connexion du fibr\'e. Mais si on choisit $Y'$
tel que $Y'-Y\in\Gamma(T_VM)^{{}^G}$ et une m\'etrique telle que
$(V_1,\cdots,V_n,Y')$ soit orthonorm\'ee, le r\'esultat sera le m\^eme
car on aura toujours $[Y',V_i]=[Y,V_i]=\sum_{j=1}^nb_{ji}V_j$.

On peut noter que la m�trique intervient par la r��criture de la 
matrice $B$ dans une base orthonorm�e. Ce travail de renormalisation
correspond dans le travail de J.~Lott au passage au quotient de 
$(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)$ par le groupe de transformation
de jauge $\mathcal G_E$. Si deux m�triques donnent la m�me matrice
$C$, cela signifie que les deux �l�ments correspondants dans 
$(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)$ appartiennent � la m�me classe
dans $(\mathcal S_E\times\mathcal H_E)/\mathcal G_E$.

\section{Courbure}\label{cercle:courbure}
Nous allons d\'emontrer dans cette partie un lemme qui nous servira \`a
faire le lien entre le contr\^ole de la courbure et l'existence de petites
valeurs propres.
\begin{lem}\label{cercle:coubure:lem}
Soit $a$ la borne sup\'erieure de la valeur absolue de la courbure 
sectionnelle de $(M,g)$. Il existe des constantes $\tau(n)>0$ et 
$\kappa(B)$ telle que
$$\tau^{-1}a<\Tr(C\trans C)<\tau a+\kappa.$$
\end{lem}
\textbf{D\'emonstration:}
Rappelons tout d'abord l'expression suivante (dont
le lecteur pourra trouver la d\'emonstration dans \cite{ce})
de la courbure sectionnelle $K(U,V)$, o\`u $U$ et $V$ sont deux champs
invariants \`a gauche d'un groupe de Lie quelconque:
\begin{eqnarray}\label{cercle:courbure:eq}
K(U,V)&=&\frac14\|\ad_U^*V+\ad_V^*U\|^2-\langle\ad_U^*U,\ad_V^*V\rangle\\
&&-\frac34\left\|[U,V]\right\|^2-\frac12\langle[[U,V],V],U\rangle
-\frac12\langle[[V,U],U],V\rangle.
\nonumber\end{eqnarray}
Nous allons appliquer cette relation aux champs de la base $(V_i,Y)$. Pour
cela, remarquons d'abord que les matrices de $\ad_Y$ et $\ad_{V_i}$ 
sont, dans cette base
\begin{equation}
\ad_Y:\smat{\displaystyle C&\vecdots00\\0\cdots0&0}
\et \ad_{V_i}:\smat{\displaystyle 0&\vecdots{-c_{1i}}{-c_{ni}}\\0\cdots0&0}
\end{equation}
On en d\'eduit $\ad_{V_i}^*Y=0$, $\ad_Y^*Y=0$, 
$\ad_Y^*V_i=\sum_jc_{ij}V_j$ et $\ad_{V_i}^*V_j=-c_{ji}Y$,
et donc que
\begin{eqnarray}\label{cercle:courbure:eq1}
K(Y,V_i)&=&\frac14\|\ad_Y^*V_i\|^2-\frac34\left\|[Y,V_i]\right\|^2
-\frac12\langle[[V_i,Y],Y],V_i\rangle\nonumber\\
&=&\frac14\sum_j\left(c_{ij}^2-3c_{ji}^2-2c_{ij}c_{ji}\right)\nonumber\\
&=&-\sum_jc_{ji}^2+\frac14\sum_j(c_{ij}-c_{ji})^2
\end{eqnarray}
et
\begin{eqnarray}\label{cercle:courbure:eq2}
K(V_i,V_j)&=&\frac14\|\ad_{V_i}^*V_j+\ad_{V_j}^*V_i\|^2
-\langle\ad_{V_i}^*V_i,\ad_{V_J}^*V_j\rangle\nonumber\\
&=&\frac14(c_{ij}+c_{ji})^2-c_{ii}c_{jj}.
\end{eqnarray}
D'autre part, comme $C$ est la matrice de $f$, le terme de degr\'e $n-2$ du
polyn\^ome caract\'eristique est ind\'ependant de la m\'etrique choisie. Le
calcul montre que son coefficient est $\kappa=\sum_{ij}(c_{ii}c_{jj}-c_{ij}
c_{ji})$. On peut en d\'eduire que
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^nK(V_i,V_j)+\kappa=\sum_{i,j=1}^n\left(
\frac14(c_{ij}+c_{ji})^2-c_{ij}c_{ji}\right)=\frac14\sum_{i,j=1}^n
(c_{ij}-c_{ji})^2,
\end{equation}
et donc que
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^nc_{ji}^2=\sum_{i,j=1}^nK(V_i,V_j)-\sum_{i=1}^nK(Y,V_i)+\kappa
\leq(n^2+n)a+\kappa,
\end{equation}
ce qui montre l'une des deux in\'egalit\'es du lemme. La seconde d\'ecoule
du fait que la courbure sectionnelle s'\'ecrit comme un polyn\^ome homog\`ene
de degr\'e deux relativement aux $c_{ij}$.
\hfill\carrenoir\nolinebreak\vspace*{1mm}




\section{Petites valeurs propres}\label{cercle:pvp}

 Nous allons maintenant d\'emontrer les r\'esultats concernant le spectre de 
$\Delta^{inv}$.

\begin{demo}{de \ref{cercle:th1:1}}
 Si $U$ est un vecteur colonne tel que $C\trans CU=0$, alors
$\trans UC\trans CU=0$, et donc $\|\trans CU\|=0$. Par cons\'equent, 
$\dimension \Ker C\trans C=\dimension \Ker\trans C=\dimension \Ker C=d'$.
Comme $\dimension \Ker \Delta^1_{inv}=1+\dimension \Ker C\trans C$, 
on a bien $\dimension \Ker \Delta^1_{inv}=d'+1$.
\end{demo}


\begin{demo}{de \ref{cercle:th1:2}}
C'est une cons�quence directe du lemme \ref{cercle:coubure:lem}: comme
la trace de $\Delta^1_{inv}$ est celle de $C\trans C$, cette trace
est major�e en fonction de $a$ et $B$. Comme les valeurs propres de
$\Delta^1_{inv}$ sont positives, chacune est major�e.
\end{demo}

\begin{demo}{de \ref{cercle:th1:3}}

Supposons que $d\neq n$.
Soit $E_0$ le sous-espace caract\'eristique de $f$ associ\'e \`a la
valeur propre $0$. On notera $E^\perp_0$ son orthogonal pour la dualit\'e
dans l'espace des $1$-formes invariantes verticales. Comme $d\neq n$,
l'espace $E^\perp_0$ est de dimension non nulle.
 On va montrer que le quotient de
Rayleigh est uniform\'ement minor\'e sur $E^\perp_0$, pour ensuite appliquer
le principe du minimax. 

Remarques: comme les formes et les m\'etriques 
consid\'er\'ees sont invariantes, la norme ponctuelle d'une forme
ne d\'ependra pas du point o\`u on la calcule, ce qui permet d'\'ecrire
que $R(\alpha)=\frac{\|d\alpha\|^2}{\|\alpha\|^2}=
\frac{|d\alpha|^2}{|\alpha|^2}$. D'autre part, il faut noter que la
notion d'orthogonalit\'e pour la dualit\'e est ind\'ependante
de la m\'etrique. En particulier, comme $E_0$ est d\'efini
ind\'ependamment de la m\'etrique, $E^\perp_0$ le sera aussi.

Soit $V^\flat\in E^\perp_0$ et $(V_i)$ une base orthonorm�e 
de $\Gamma(T_VM)^{{}^G}$ telle que $(V_1,\cdots,V_d)$ soit une 
base orthonorm\'ee de $E_0$ (si $d=0$ et donc  $E_0={0}$,
on choisit alors $(V_i)$ orthonorm\'ee quelconque, la suite 
de la d\'emonstration restant valide). L'espace $E_0$ est 
stable par $f$, donc $E^\perp_0$ est stable par $\trans f$, et 
la matrice de $(\trans f)_{|E^\perp_0}$ dans la base $(V_{d+1}^\flat,\cdots,
V_n^\flat)$ est $\trans D$, o\`u $D$ est une sous-matrice de $C$. Comme
la relation (\ref{cercle:laplacien:eq1}) peut s'\'ecrire 
$\de V^\flat=-Y^\flat\wedge (\trans f)(V^\flat)$, on a 
\begin{equation}
|\de V^\flat|^2=|(\trans f)(V^\flat)|^2\geq\lambda|V^\flat|^2,
\end{equation}
o\`u 
$\lambda$ est la plus petite valeur propre de $D\trans D$. D'une part,
le d\'eterminant de cette matrice v\'erifie 
\begin{equation}
\Det D\trans D=(\Det\trans D)^2=(\Det(\trans f)_{|E^\perp_0})^2,
\end{equation}
et donc $\Det D\trans D$
est ind\'ependant du choix de la base $(V_i)$. D'autre part, 
$\Det\trans(f_{|E^\perp_0})$ est non nul. En effet, si $\trans f_{|E^\perp_0}
(\alpha) =0$, alors $\alpha\circ f=0$, donc $\alpha$ 
est orthogonal \`a l'image de $f$, qui contient les sous-espaces
caract\'eristiques de $f$ autres que $E_0$, et par cons\'equent $\alpha$
est nul. On en d\'eduit que $\lambda$ est uniform\'ement minor\'ee:
s'il existe une suite de m\'etriques telle que $\lambda
\rightarrow0$, alors la plus grande valeur propre de $D\trans D$ tend
vers l'infini (car $\Det D\trans D$ est constant), ce qui est
impossible puisque  la courbure est born\'ee et que $\Tr C\trans C\geq\Tr 
D\trans D$ (car $D$ est une sous-matrice de $C$), et donc que la somme 
des valeurs propres de $D\trans D$ est born\'ee.
 
 On a montr\'e que le quotient de Rayleigh de $\alpha\in E^\perp_0$
est minor\'e par une constante $c(f,a)$ ind\'ependante de la m\'etrique 
et du choix de $\alpha$. Comme $\dim E^\perp_0=n-d$, le principe du 
minimax nous dit donc que les $n+1-d$ plus grandes valeurs propres de
$\Delta^1_{inv}$ sont minor\'ees par $c$. Comme $\dimension \Ker
\Delta^1_{inv}=d'+1$ et que $\dimension\Omega^1(M)^G=n+1$, on en 
d\'eduit que $\lambda^{inv}_{d-d'+1,1}>c$.

Si $d=n$, alors il existe $P\in\GL_n(\R)$ tel que $P^{-1}BP$ soit
triangulaire sup\'erieure avec des $0$ sur la diagonale, et comme
$P^{-1}AP=P^{-1}\exp(B)P=\exp(P^{-1}BP)$, la matrice $P^{-1}AP$ sera
triangulaire sup\'erieure avec des $1$ sur la diagonale.
On en d\'eduit, en posant $P'=\smat{P&0\\0&I}\in\GL_{n+2}(\R)$, que
le groupe ${P'}^{-1}GP'$, o\`u $G$ est le groupe construit au paragraphe 
\ref{cercle:st}, est constitu\'e de matrices triangulaires
sup\'erieures avec des 1 sur la diagonale. C'est donc un groupe
nilpotent. 

 L'existence d'un effondrement tel que toutes les valeurs propres 
de $\Delta^1_{inv}$ tendent vers z\'ero d\'ecoulera du 
\ref{cercle:th1:4} 
\end{demo}

\begin{demo}{de \ref{cercle:th1:4}}
 On vient de d\'emontrer que si $d$ (et donc $d'$) est nul, il n'y a
pas de petites valeurs propres.

 Supposons que $d>0$. Pour simplifier, nous allons montrer le r\'esultat 
dans le cas o\`u la partie nilpotente de la r\'eduite de Jordan de $B$ 
ne comporte qu'un seul bloc de Jordan, la construction  de $g^k_\varepsilon$
\'etant semblable dans le cas g\'en\'eral.

On construit une base $(V_1,\cdots,V_n)$ de $\Gamma(T_VM)^{{}^G}$
en choisissant une base de Jordan $(V_1,\cdots,V_d)$ de $E_0$ (en
particulier, $(V_1,\cdots,V_{d'})$ sera une base de $\Ker f$) que l'on
on la compl\`ete de mani\`ere quelconque en une base  
$(V_1,\cdots,V_{d'})$ de $\Gamma(T_VM)^{{ }^G}$. On notera $C$ la matrice
de $f$ dans cette base. La matrice $C$ n'est pas de Jordan,
mais sa restriction \`a $E_0$, c'est-\`a-dire le bloc carr\'e
sup\'erieur droit de taille $d$, l'est. Elle est de la forme
\renewcommand{\arraystretch}{-.6}
\addtolength{\arraycolsep}{-0.7mm}

\begin{equation}
C=\left(\begin{array}{c|c|c}
\begin{array}{cccc}
0&\cdots&\cdots\vphantom{\vdots}&0\\
\vdots&\ddots&&\vdots\\
&&\ddots&\vdots\\
\vphantom{\vdots}&&&0\\
&&&\vdots\\
&&&\vphantom{\vdots}\\
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
&
\begin{array}{cccc}
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}\\
\vdots&&&\vdots\\
0&&&\vphantom{\vdots}\\
1&\ddots&&\vdots\\
0&\ddots&0&0\\
\vdots&\ddots&1&0\\
\vdots&&0&1\\
0&\cdots&0&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
& C_1\\
\hline
\begin{array}{cccc}
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
&
\begin{array}{cccc}
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
& C_2\\
\end{array}\right)
\end{equation}%\vspace{-7mm}
$$\hspace{5mm}\stackrel{\underbrace{\hspace{1.9cm}}}{d'\ \mathrm{colonnes}}
\hspace{4mm}\stackrel{\underbrace{\hspace{2.1cm}}}{d-d'\ \mathrm{colonnes}}$$

o\`u $C_2$ est un bloc carr\'e de taille $n-d$ et de d\'eterminant non nul.


Soit $k\leq d-d'$. On pose $V_i^\varepsilon=
\nu_i(\varepsilon)V_i$, avec $\nu_i(\varepsilon)=\varepsilon^{-1}$ pour 
$i\geq d'+k$, et $\nu_i(\varepsilon)=\varepsilon^{-(1+d'+k-i)}V_i$ 
pour $i<d'+k$.
 La matrice $C_\varepsilon$ de $f$ dans cette base v\'erifiera
\begin{equation}
c_{ij}^\varepsilon=\frac{\nu_j(\varepsilon)}{\nu_i(\varepsilon)}c_{ij},
\end{equation}
donc $c_{ij}^\varepsilon=c_{ij}$ pour $i\geq d'+k$ (en tenant compte
du fait que $c_{ij}=0$ pour $i\geq d$ et $j\leq d$), et $c_{ij}^\varepsilon
\rightarrow 0$ quand $\varepsilon\rightarrow 0$, pour $i<d'+k$.
 La matrice $C_\varepsilon$ tend donc vers une matrice $C_0$ de la forme

\begin{equation}
C_0=\left(\begin{array}{c|c|c}
\begin{array}{cccc}
0&\cdots&\cdots\vphantom{\vdots}&0\\
\vdots&\ddots&&\vdots\\
&&\ddots&\vdots\\
\end{array}
&
\begin{array}{cccc}
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}\\
\vdots&&&\vdots\\
0&&&\vphantom{\vdots}\\
\end{array}
&0\\ \cline{2-3}
\begin{array}{cccc}
\vphantom{\vdots}&&&0\\
&&&\vdots\\
&&&\vphantom{\vdots}\\
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
&
\begin{array}{cccc}
1&\ddots&&\vdots\\
0&\ddots&0&0\\
\vdots&\ddots&1&0\\
\vdots&&0&1\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
& C'_1\\
\hline
\begin{array}{cccc}
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
&
\begin{array}{cccc}
\vdots&&&\vdots\\
0&\cdots&\cdots&0\vphantom{\vdots}
\end{array}
& C'_2\\
\end{array}\right)
\end{equation}
$$\hspace{14mm}\stackrel{\underbrace{\hspace{16mm}}}{d'+k\ \mathrm{colonnes}}
\hspace{3mm}\stackrel{\underbrace{\hspace{21mm}}\hspace{12mm}}
{d-d'-k\ \mathrm{colonnes}}$$

\addtolength{\arraycolsep}{0.7mm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

 Comme  les $\lambda^{inv}_{i,1}$ sont ces fonctions continues de $C$,
il suffit de calculer la dimension du noyau de $C_0\trans{C_0}$, qui
est \'egale \`a celle de $\Ker C_0$.
D'une part, les  $d'+k$ premi\`eres colonnes de  $C_0$ sont nulles, 
donc $\dimension\Ker C_0\geq d'+k$, et d'autre part, comme $\det C_2\neq0$,
la famille form\'ee par les lignes $d'+k$ \`a $d-1$ et les $n-d$ derni\`eres
lignes de $C_0$ est libre, donc $\dimension\Ker C_0\leq n-(n-d)-((d-1)-
(d'+k-1))=d'+k$. De m\^eme, $\dimension\Ker C=d'$, donc on a bien exactement
$k$ petites valeurs propres.

 Si la partie nilpotente de la r\'eduite de Jordan de $B$ contient
plusieurs blocs de Jordan, on obtient le r\'esultat en proc\'edant
de la m\^eme mani\`ere pour annuler le nombre souhait\'e de lignes dans $C$.

Remarques: la famille de matrice $C_\varepsilon$
est uniformement born\'ee par rapport \`a $\varepsilon$, et le lemme 
\ref{cercle:coubure:lem} donne la majoration $|K(M,g^k_\varepsilon)|\leq 
\tau\Tr(C_\varepsilon\trans{C_\varepsilon})$, pour tout $\varepsilon$. 
La courbure sectionnelle du fibr\'e est donc bien uniform\'ement born\'ee
au cours de l'effondrement. D'autre part, on voit que si on effondre
le fibr\'e par homoth\'etie de la fibre, par exemple en posant 
$\nu_i(\varepsilon)=\varepsilon^{-1}$ pour tout $i$, la matrice 
$C_\varepsilon$ est ind\'ependante de $\varepsilon$, et donc il
n'y a pas de petite valeur propre.
\end{demo}

\begin{demo}{du corollaire \ref{cercle:cor1}}
 Si $d=d'$ et $d\neq n$, alors $\lambda^{inv}_{1,1}$ est uniform\'ement 
minor\'e d'apr\`es \ref{cercle:th1:3}. Si $d=d'$ et $d=n$, 
alors $B=0$ et toutes les valeurs propres de $\Delta^1_{inv}$ sont nulles.

 Si $d\neq d'$, alors 
\ref{cercle:th1:4} garantit l'existence d'une petite valeur propre.
\end{demo}

\begin{demo}{du th�or�me \ref{cercle:th2}}
 Comme $B$ est semi-simple, son orbite par conjugaison est ferm\'ee 
(\cite{cmg}, p. 28).  Comme la courbure est born\'ee, la norme de 
$C$ reste born\'ee quand la base $(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$
 ---~et donc la m\'etrique~--- varie. La matrice $C$ est par
construction dans l'orbite par conjugaison de $B$, donc elle prend 
finalement ses valeurs au cours de l'effondrement dans une partie 
compacte $K$ de cette orbite. 

 La base orthonorm\'ee $(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat)$ de 
$\Omega^1(M)^G$
engendre, par produit ext\'erieur, une base orthonorm\'ee de $\Omega^*(M)^G$.
Les coefficients de la matrice de la diff\'erentielle ext\'erieure $\de$ dans
cette base, et donc ceux de la matrice de $\Delta=\de\codiff+\codiff\de$, 
sont des fonctions continues de $C\subset K$. Par cons\'equent, quand 
la m\'etrique varie, la matrice de $\Delta$ prend ses valeurs dans un 
compact image de $K$. 
S'il existe une famille de m\'etriques telle que $\lambda^{inv}_{1,p}$
tende vers z\'ero pour un $p\in[1,n]$, alors la matrice de $\Delta$ tend vers
une matrice de rang strictement inf\'erieur, ce qui est impossible puisque,
par compacit\'e, la matrice limite sera dans l'image de $K$, donc de
m\^eme rang que $\Delta$.

 Par cons\'equent, l'op\'erateur $\Delta$ restreint \`a $\Omega^*(M)^G$ 
n'admet pas de petite valeur propre.
\end{demo}

\section{Vari�t�s de petites dimensions}

En petite dimension, on peut �tre plus pr�cis que les
th�or�mes \ref{cercle:th1} et \ref{cercle:th2}, et mettre en �vidence
un lien simple entre l'existence de petites valeurs propres et la 
structure du groupe $G$:

\begin{cor}\label{cercle:cor2}
Supposons que $n=2 \ou 3$. S'il existe $p\in[1,n]$ et une suite de 
m�triques homog�nes sur $M$ telle que la courbure sectionnelle 
associ�e soit uniform�ment born�e et que $\lambda^{inv}_{1,p}$ 
tende vers $0$, alors $G$ est nilpotent.
\end{cor}

\begin{remarque}
C'est par exemple la situation expos�e en \ref{heisenberg}, o� on a 
$p=1$ et $n=2$.
\end{remarque}

\begin{demo}{du corollaire \ref{cercle:cor2}}
 Montrons d'abord que s'il existe $p$ tel que $\lambda^{inv}_{p,1}
\rightarrow0$, alors $d\neq d'$.

 Si $p=1$, cela d\'ecoule du corollaire \ref{cercle:cor1}. Si $p=n$, on 
est ramen\'e \`a la situation $p=1$ par dualit\'e de Hodge.  

Reste les cas $p=2$ et $n=3$. On a d\'ej\`a calcul\'e les matrices
de $\codiff:\Omega^2(M)^G\rightarrow\Omega^1(M)^G$ et
$\de:\Omega^1(M)^G\rightarrow\Omega^2(M)^G$. On en d\'eduit que la
matrice de $\codiff\de$, en restriction \`a $\Omega^2(M)^G$ est de la forme,
dans les bases introduites au paragraphe \ref{cercle:laplacien},
\begin{equation}
\de\codiff:\left(\begin{array}{cc}
\trans CC & 0\\ 0&0 \end{array}\right).
\end{equation}

Comme la vari\'et\'e est de dimension $4$, l'op\'erateur de Hodge $*$ est
une isom\'etrie de $\Omega^2(M)^G$. En restriction \`a $\Omega^2(M)^G$,
on aura $\codiff\de=*\de\codiff*$, et donc $\codiff\de$ et $\de\codiff$
ont m\^eme spectre. D'autre part, d'apr\`es la th\'eorie de Hodge, 
le spectre du laplacien est la r\'eunion des spectres de $\codiff\de$ et
$\de\codiff$, on d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede qu'une petite valeur propre 
non nulle de $\Delta^2_{inv}$ sera une petite valeur propre non nulle de 
$\de\codiff{|\Omega^2(M)^G}$, et donc une petite valeur propre de $\trans CC$.
Le raisonnement appliqu\'e \`a $C\trans C$  dans la d\'emonstration 
de \ref{cercle:th1:4} reste valable pour $\trans CC$. On peut
donc conclure que si $\lambda^{inv}_{2,1}$ tend vers z\'ero, alors 
$d\neq d'$.

 Supposons que $d\neq d'$. Alors le noyau de $B$ est non trivial,
par cons\'equent $d>d'>0$ et la multiplicit\'e de la valeur
propre $0$ de $B$ est au moins \'egale \`a deux. Si $n=3$ la troisi\`eme
valeur propre est \'egale \`a la trace de $B$ qui est nulle puisqu'elle 
est r\'eelle et que $\exp(\Tr B)=\det(\exp B)=\det A=1$. Donc $d=n$,
et $G$ est nilpotent, d'apr\`es \ref{cercle:th1:3}.
\end{demo}

\section{Homologie du fibr�}\label{cercle:betti}
Nous allons ici montrer que l'on peut calculer le premier nombre 
de Betti du fibr� $M$
ind�pendamment de la cohomologie, en utilisant le fait que le 
r�seau $\Gamma$ est isomorphe au groupe fondamental de $M$.
\begin{theo}\label{cercle:th3}
Soit $M=\Gamma\backslash G$ un fibr� en tore $T^n$ sur le cercle
construit selon \ref{cercle:th1}, d�finit par une matrice 
$A\in\SL_n(\Z)$. Alors le premier nombre de Betti de $M$
est $b_1(M)=1+\dimension\Ker(A-I)$.
\end{theo}
On en d�duit:
\begin{cor}\label{cercle:cor3}
Si $1$ n'est pas valeur propre de $A$, alors les $1$-formes harmoniques
de $M$ sont $G$-invariantes.
\end{cor}
On verra au paragraphe \ref{cercle:ex2} un exemple qui montre ---~entre
autres choses~--- qu'on peut effectivement, dans certains cas, avoir
des formes harmoniques qui ne sont pas invariantes.


\begin{demo}{du th�or�me \ref{cercle:th3}}
Comme $G$ est simplement connexe, le r�seau $\Gamma$ est isomorphe au
groupe fondamental du quotient $M=\Gamma\backslash G$. Pour d�terminer
le premier nombre de Betti de $M$, on va calculer l'ab�lianis� de son
groupe fondamental.

Rappelons que le groupe $\Gamma$ est de la forme:
\begin{equation}
(x_1,\cdots,x_n,y)\longmapsto\left(\begin{array}{c|cc}
A^y&\vecdots00&\vecdots{x_1}{x_n}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}\\1\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\y\\1\end{smallmatrix}
\end{array}\right),
\end{equation}
avec $(x_1,\ldots,x_n,y)\in\Z^{n+1}$. Dans la suite de la d�monstration,
nous noterons les �l�ments de $\Gamma$ indiff�remment sous la forme
de vecteurs lignes ou de vecteurs colonnes.

Soit $g=(x_1,\ldots,x_n,y)$ et $g'=(x_1',\ldots,x_n',y')$ deux �l�ments
de $\Gamma$. Leur inverse respectives sont:
\begin{equation}
g^{-1}=\left(\begin{array}{c}A^{-y}\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right)\\
-y\end{array}\right)\et 
g'^{-1}=\left(\begin{array}{c}A^{-y'}\left(\vecdots{x_1'}{x_n'}\right)\\
-y'\end{array}\right).
\end{equation}
Le calcul de leur commutateur $[g,g']=gg'g^{-1}g'^{-1}$ donne:
\begin{equation}
[g,g']=\left(\begin{array}{c}\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right)
+A^y\left(\vecdots{x_1'}{x_n'}\right)-A^{y'}\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right)
-\left(\vecdots{x_1'}{x_n'}\right)\\0\end{array}\right),
\end{equation}
soit $[g,g']=((A^y-I)\left(\vecdots{x_1'}{x_n'}\right)-(A^{y'}-I)
\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right),0)$.

On voit que $[\Gamma,\Gamma]\subset((A-I)\Z^n,0)$. R�ciproquement, si on
fixe $g=(0,\ldots0,1)$ et qu'on fait varier $(x_1',\ldots,x_n')$,
on obtient que $[\Gamma,\Gamma]\supset((A-I)\Z^n,0)$, et donc
$[\Gamma,\Gamma]$ est exactement $((A-I)\Z^n,0)$. 

L'image de $\Z^n$ par $(A-I)$ est un sous-r�seau d'indice fini du
r�seau des entiers de $\Ima(A-I)$, donc le quotient de $(\Z^n,0)$
par $((A-I)\Z^n,0)$ est de la forme $Z^k\times H$, o� $k=\codimension\Ima(A-I)$
et $H$ est un groupe fini ---~�ventuellement trivial~---, et finalement
l'ab�lianis�
$\Gamma'=\Gamma/[\Gamma,\Gamma]$ du groupe $\Gamma$ est donc de la forme 
$Z^{k+1}\times H$.
Le premier nombre
de Betti de $M$ est donc 
\begin{equation}
b_1(M)=1+\dimension\Ker(A-I).
\end{equation}
\end{demo}

\begin{demo}{du corollaire \ref{cercle:cor3}}
Si $1$ n'est pas valeur propre de $A$, alors $0$ n'est pas valeur
propre de $B$, et par cons�quent, en vertu du point \ref{cercle:th1:1},
$b_1(M)=\dimension\Ker\Delta_{inv}^1=1$. Toutes les $1$-formes
harmoniques sont donc dans le noyau de $\Delta_{inv}^1$, et en particulier
sont $G$-invariantes.
\end{demo}
\section{Exemples}
\subsection{Petites valeurs propres pour les $2$-formes diff�rentielles}
\label{cercle:ex1}
Nous allons donner ici un exemple de fibr\'e en tore sur le cercle 
pour lequel $d=d'=0$ et $\Delta^2_{inv}$ admet une petite valeur propre.
Cet exemple montre que le corollaire \ref{cercle:cor1} ne se g\'en\'eralise
pas \`a $n$ et $p$ quelconque.

On d\'efinit le fibr\'e consid\'er\'e par la matrice
\begin{equation}
A=\left(\begin{array}{c|c} A' & A''\\ \hline 0 & A' \end{array}\right),
\end{equation}
avec
\begin{equation}
A'=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 1\end{array}\right) \et
A''=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right).
\end{equation}

\begin{fait} La matrice $A$ est semblable \`a une matrice de la forme
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc|cc}
e^\lambda&1&0&0 \\
0&e^\lambda&0&0\\ \hline
0&0&e^{-\lambda}&1\\
0&0&0&e^{-\lambda}\end{array}\right),
\end{equation}
o\`u $\lambda$ est un r\'eel non nul.
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
La matrice $A'$ admet deux valeurs propres
r\'eelles positives, qui sont inverses l'une de l'autre car $\Det A'=1$. 
On notera $\lambda$ le r\'eel positif tel que ces deux valeurs propres
soient $e^\lambda$ et $e^{-\lambda}$. Elles sont aussi valeurs propres
de $A$ avec la multiplicit\'e deux. On peut v\'erifier que le polyn\^ome
caract\'eristique de $A$ est son polyn\^ome minimal. 
Les sous-espaces propres de $A$ sont donc tous les deux de dimension 1,
et par cons\'equent, les deux blocs de sa r\'eduite de Jordan sont 
$\smat{e^\lambda&1\\0&e^\lambda}$ et $\smat{e^{-\lambda}&1\\0&e^{-\lambda}}$.
\hfill\carrenoir\nolinebreak\vspace{2mm}

\begin{fait} Il existe une suite de m\'etrique $g_\varepsilon$ sur
$M=\Gamma\backslash G(B)$ et une suite de matrices $C_\varepsilon$ 
associ\'ees telles que
\begin{equation}
C_\varepsilon=\left(\begin{array}{cc|cc}
\lambda&\epsilon&0&0 \\
0&\lambda&0&0\\ \hline
0&0&-\lambda&\epsilon\\
0&0&0&-\lambda\end{array}\right).\end{equation}
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
Comme  on a 
$$\exp\left(\begin{array}{cc}\lambda&e^{-\lambda}\\
0&\lambda\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}e^\lambda&1\\0&e^\lambda\end{array}\right) \et
\exp\left(\begin{array}{cc}-\lambda&e^\lambda\\
0&-\lambda\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}e^{-\lambda}&1\\0&e^{-\lambda}\end{array}\right),$$
La matrice $A$ admet un logarithme semblable \`a 
\begin{equation}
C=\left(\begin{array}{cc|cc}
\lambda&e^{-\lambda}&0&0 \\
0&\lambda&0&0\\ \hline
0&0&-\lambda&e^\lambda\\
0&0&0&-\lambda\end{array}\right).
\end{equation}
Soit $(V_1,V_2,V_3,V_4)$ la base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme
$f$ est \'egal \`a $C$. Si on pose $V^\varepsilon_i=\varepsilon^\alpha V_i$
pour $i=1,3$, $V^\varepsilon_2=\varepsilon^{\alpha+1}
e^\lambda V_2$ et
$V^\varepsilon_4=\varepsilon^{\alpha+1}e^{-\lambda}V_4$ o� $\alpha$ est
un r�el strictement positif, la matrice de $f$
dans cette base sera
\begin{equation}
C_\varepsilon=\left(\begin{array}{cc|cc}
\lambda&\epsilon&0&0 \\
0&\lambda&0&0\\ \hline
0&0&-\lambda&\epsilon\\
0&0&0&-\lambda\end{array}\right).
\end{equation}
Il suffit donc de d\'efinir $g_\varepsilon$ en posant que la
base $(V^\varepsilon_1,V^\varepsilon_2,V^\varepsilon_3,V^\varepsilon_4,Y)$ 
est orthonorm\'ee. Le fait que la courbure reste born\'ee quand 
$\varepsilon\rightarrow 0$ d\'ecoule du lemme \ref{cercle:coubure:lem}
\hfill\carrenoir\nolinebreak\vspace{2mm}

\begin{fait} 
La valeur propre $\lambda^{inv}_{2,1}(M,g_\varepsilon)$ tend vers z\'ero
quand $\varepsilon\rightarrow 0$.
\end{fait}
 
\textbf{D�monstration :}

On va calculer la matrice de $\de:\Omega^2(M)^G\rightarrow\Omega^3(M)^G$ dans
des bases de la forme $(V^\flat_i\wedge V^\flat_j,V^\flat_i\wedge Y^\flat)$ et 
$(V^\flat_i\wedge V^\flat_j\wedge Y^\flat,V^\flat_i\wedge V^\flat_j 
\wedge V^\flat_k)$.

En utilisant (\ref{cercle:laplacien:eq1}), on obtient que 
$\de V^\flat_i\wedge Y^\flat=0$ pour tout $i$, et que
\begin{eqnarray}
\de(V^\flat_1\wedge V^\flat_2)&=&(\lambda V^\flat_1+\varepsilon V^\flat_2)
\wedge Y^\flat\wedge V^\flat_2
-V^\flat_1\wedge\lambda V^\flat_2\wedge Y^\flat\nonumber\\
&=& -2\lambda V^\flat_1\wedge V^\flat_2\wedge Y^\flat,\\
\de(V^\flat_1\wedge V^\flat_3)&=&(\lambda V^\flat_1+\varepsilon V^\flat_2)
\wedge Y^\flat\wedge V^\flat_3
-V^\flat_1\wedge(-\lambda V^\flat_3+\varepsilon V^\flat_4)\wedge Y^\flat
\nonumber\\
&=& -\varepsilon V^\flat_2\wedge V^\flat_3\wedge Y^\flat
-\varepsilon V^\flat_1\wedge V^\flat_4 \wedge Y^\flat,\\
\de(V^\flat_1\wedge V^\flat_4)&=&(\lambda V^\flat_1+\varepsilon V^\flat_2)
\wedge Y^\flat\wedge V^\flat_4
-V^\flat_1\wedge(-\lambda V^\flat_4)\wedge Y^\flat\nonumber\\
&=&-\varepsilon V^\flat_2\wedge V^\flat_4 \wedge Y^\flat,\\
\de(V^\flat_2\wedge V^\flat_3)&=&\lambda V^\flat_2\wedge Y^\flat
\wedge V^\flat_3-V^\flat_2\wedge(-\lambda V^\flat_3+\varepsilon V^\flat_4)
\wedge Y^\flat\nonumber\\
&=&-\varepsilon V^\flat_2\wedge V^\flat_4\wedge Y^\flat,\\
\de(V^\flat_2\wedge V^\flat_4)&=&\lambda V^\flat_2\wedge Y^\flat
\wedge V^\flat_4-V^\flat_2\wedge(-\lambda V^\flat_4)\wedge Y^\flat=0,\\
\de(V^\flat_3\wedge V^\flat_4)&=&(-\lambda V^\flat_3+\varepsilon V^\flat_4)
\wedge Y^\flat\wedge V^\flat_4
-V^\flat_3\wedge(-\lambda V^\flat_4)\wedge Y^\flat\nonumber\\
&=&2\lambda V^\flat_3\wedge V^\flat_4\wedge Y^\flat.
\end{eqnarray}
La matrice de $\de$ dans les bases 
$$(V^\flat_1\wedge V^\flat_2,V^\flat_1\wedge V^\flat_3,V^\flat_1\wedge V^\flat_4, 
V^\flat_2\wedge V^\flat_3,V^\flat_2\wedge V^\flat_4,V^\flat_3\wedge V^\flat_4,
V^\flat_i\wedge Y^\flat)$$
et 
$$\begin{array}{l}
(V^\flat_1\wedge V^\flat_2\wedge Y^\flat,V^\flat_1\wedge V^\flat_3\wedge 
Y^\flat,
V^\flat_1\wedge V^\flat_4\wedge Y^\flat,V^\flat_2\wedge V^\flat_3\wedge 
Y^\flat,\\
V^\flat_2\wedge V^\flat_4\wedge Y^\flat,V^\flat_3\wedge V^\flat_4\wedge 
Y^\flat,
V^\flat_i\wedge V^\flat_j \wedge V^\flat_k)
\end{array}$$
est de la forme
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c|c}
\begin{array}{rrrrrr}-2\lambda&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\
0&-\varepsilon&0&0&0&0\\0&-\varepsilon&0&0&0&0\\
0&0&-\varepsilon&-\varepsilon&0&0\\0&0&0&0&0&2\lambda
\end{array}&0\\ \hline
0&0\end{array}\right).
\end{equation}
On voit que quand $\varepsilon$ tend vers z\'ero, cette matrice tend
vers une matrice de rang strictement inf\'erieur. On peut en d\'eduire 
comme au paragraphe \ref{cercle:pvp} que l'op\'erateur $\codiff\de$ admet 
une petite valeur propre, qui sera aussi petite valeur propre de $\Delta$.
\hfill\carrenoir\nolinebreak\vspace{2mm}

\subsection{Structure homog�ne non ab�lienne sur le tore}\label{cercle:ex2}
Nous allons ici �tudier plus en d�tail un exemple particulier de fibr�
en tore $T^2$ sur le cercle, pour mettre en �vidence plusieurs de
ses propri�t�s.

Ce fibr� est construit par le th�or�me \ref{cercle:th1}, avec la donn�e
de 
\begin{equation}
A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right) \et
B=\left(\begin{array}{cc}0&2\pi\\-2\pi&0\end{array}\right).
\end{equation}
La matrice $\exp(xB)$ est de la forme 
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cc}\cos2\pi x&\sin2\pi x\\
-\sin2\pi x&\cos2\pi x\end{array}\right).
\end{equation}
C'est donc la matrice d'une rotation d'angle
$2\pi x$ ; nous la noterons $R(2\pi x)$.

Le groupe $G$ s'�crit:
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{equation}\label{cercle:ex2:df}
\left(\begin{array}{c|c}
R(2\pi x)&\begin{smallmatrix}0&y\\0&z\end{smallmatrix}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}
\end{array}\right),\ x,y,z\in\R.
\end{equation}

Un premi�re remarque est de constater que la vari�t� $M=\Gamma\backslash G$
est un tore:
\begin{fait}
$\Gamma$ est isomorphe � $\Z^3$ et $\Gamma\backslash G$ est
diff�omorphe � $T^3$.
\end{fait}
En effet, le r�seau $\Gamma$ s'�crit:
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c|c}
\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}0&y\\0&z\end{smallmatrix}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}1&x\\0&1\end{smallmatrix}
\end{array}\right),\ x,y,z\in\Z.
\end{equation}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
On peut v�rifier que $\Gamma$ est bien ab�lien. Par ailleurs, comme
la topologie du fibr� est enti�rement d�termin�e par la matrice $A$, 
le fibr� est bien trivial. On peut remarquer le fait que $\Gamma$
soit ab�lien est coh�rent avec le fait que ce soit le groupe
fondamental d'un tore.


On a donc construit un groupe de Lie r�soluble simplement connexe
dont un sous-groupe cocompact est commutatif.  En comparaison, on a
pour les groupes nilpotents le r�sultat suivant (\cite{ra}):
\begin{theo}
Soit $N_1$ et $N_2$ deux groupes de Lie nilpotents simplement connexes, 
et $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ deux sous-groupes cocompacts de $N_1$ et
$N_2$ respectivement. Alors tout isomorphisme entre $\Gamma_1$ et
$\Gamma_2$ s'�tend en un isomorphisme entre $N_1$ et $N_2$.
\end{theo}
En particulier, si un groupe nilpotent simplement connexe contient
un sous-groupe cocompact isomorphe � $\Z^n$, alors il est ab�lien.
Le groupe $G$ illustre donc le fait que ce th�or�me ne se g�n�ralise
pas aux groupes r�solubles.

D'autre part, comme $M=\Gamma\backslash G$ et un tore, son premier
nombre de Betti est �gal � sa dimension, donc $b_1(M)=3$.
Or, selon le th�or�me \ref{cercle:th1}, si on munit $G$ d'une m�trique
invariante le noyau de $\Delta_{inv}^p$ est de dimension $1$. On en conclut :
\begin{fait}
Soit $g$ une m�trique $G$-invariante � gauche sur $M$. Alors il existe
sur $M$ des $1$-formes harmoniques qui ne sont pas $G$-invariantes.
\end{fait}
On voit donc que la proposition \ref{pr:lott} et le corollaire 
\ref{cercle:cor3} ne se g�n�ralisent pas � toutes les solvari�t�s. 
R�ciproquement, le groupe $G$ illustre la situation o� la
multiplicit� de la valeur propre $1$ dans $A$ est strictement sup�rieure
� la multiplicit� de $0$ dans $B$.

Enfin, on peut remarquer que d'apr�s les formules (\ref{cercle:courbure:eq1})
et (\ref{cercle:courbure:eq2}), pour la m�trique invariante sur $M$ 
telle que la base $(\dep{}x,\dep{}y,\dep{}z)$ soit orthonorm�e � l'origine,
la courbure sur $M$ est nulle (on peut v�rifier que c'est en g�n�ral faux
pour une m�trique invariante quelconque). On va reformuler ce r�sultat
et en donner une d�monstration tr�s simple qui ne fait pas appel aux 
formules du paragraphe \ref{cercle:courbure}:
\begin{fait}
Il existe sur $\R^3$ une m�trique invariante pour la structure canonique
de groupe ab�lien, et invariante pour l'action � gauche du groupe $G$.
\end{fait}
\textbf{D�monstration :}
On consid�re sur $\R^3$ la m�trique euclidienne canonique, et on note
$x$, $y$ et $z$ les cordonn�es canoniques. Si $a$, $b$ et $c$ sont des
r�els fix�s, la param�trisation de $G$ donn�e par (\ref{cercle:ex2:df}) 
d�finit l'action � gauche de $(a,b,c)$ comme �tant
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
a\\b\\c\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
a+x\\
\left(\begin{array}{c}b\\c\end{array}\right)
+R(2\pi a)\left(\begin{array}{c}y\\z\end{array}\right)\end{array}\right).
\end{equation}
On voit que l'action de $(a,b,c)$ est la compos�e d'une rotation et
d'une translation. C'est donc une isom�trie pour la norme euclidienne
canonique. Par cons�quent, cette norme est invariante � gauche pour
l'action de $G$.
\hfill\carrenoir

Remarquons pour finir qu'on peut facilement g�n�raliser cet exemple en
dimension sup�rieure en construisant une matrice $A$ contenant un bloc
de la forme $\smat{1&0\\0&1}$, par exemple :
\begin{equation}
A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1
\end{array}\right)\et B=\left(\begin{array}{cccc}0&2\pi&0&0\\-2\pi&0&0&0\\
0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right).
\end{equation}
Le fibr� obtenu dans ce cas sera une solvari�t� ayant une topologie
de nilvari�t�, mais dont les formes harmoniques ne sont pas toutes
invariantes.

\chapter{Effondrements homog�nes de fibr�s principaux en tores sur le tore}
\label{pvp:tore}

\section{Topologie et spectre du fibr�}
Nous allons ici d�montrer le th�or�me \ref{tore:th}.

\begin{demo}{de \ref{tore:th:1}}
 Soit $M$ un fibr� principal de base $T^2$ et de fibre $F$.
La base du fibr� peut s'�crire
$$[0,1]\times[0,1]_{/\sim},$$
o\`u $\sim$ est la relation d'�quivalence engendr�e par 
$(x,0)\sim(x,1)$ et $(0,y)\sim(1,y)$.  Le fibr� $M$ peut
alors se d�finir par la donn�e, pour tout point $p$ du bord $\partial K$
de $K=[0,1]\times[0,1]$ d'un diff�omorphisme $\varphi_p$ de la fibre, et en 
posant
\begin{equation}
M=K\times F_{/(p,x)\sim (q,\varphi_q^{-1}\circ \varphi_p(x)), 
\forall x\in F, \forall p,q\in \partial K, p\sim q}.
\end{equation}
L'hypoth�se de principalit� se traduit ici par le fait que pour tout
$p,q\in\partial K$ tels que $p\sim q$ et pour tout $g,x\in F$, on a
\begin{equation}
(p,g\cdot x)\sim(q,g\cdot \varphi_q^{-1}\circ \varphi_p(x)),
\end{equation}
ce qui impose aux $\varphi_q^{-1}\circ \varphi_p$ d'\^etre des translations 
\`a droite sur la fibre. On peut donc, sans perte de g\'en\'eralit\'e
se restreindre, pour le choix des $\varphi_p$, au groupe des translations
de la fibre, qui est isomorphe \`a $F$. Le fibr� est donc
d�termin� par la donn�e d'une application de $\partial K$ dans $F$.
Comme sa topologie ne d�pend pas de la classe d'homotopie de cette
application, l'ensemble des fibr�s principaux de fibre $F$ 
sur le tore $T^2$ est parametr� par le groupe fondamental de $F$.
Il s'agit en fait d'un exemple de classe d'obstruction (\cite{steen}, \S~35) 
qui est, dans le cas g�n�ral d'un $F$-fibr� principal sur une vari�t�
compacte $N$ un �l�ment de $H_2(N,\pi_1(F))$ et qui mesure
l'obstruction du fibr� � �tre trivial.

Consid�rons maintenant un fibr� principal $M$ de fibre $T^n$, et
$(a_1,\cdots,a_n)\in\pi_1(T^n)=\Z^n$ sa classe d'obstruction.
Nous allons munir $\R^{n+2}$ d'une structure de groupe telle que la topologie 
du quotient � gauche par $\Z^{n+2}$ soit celle du fibr�. Pour ce faire,
nous choisirons le repr\'esentant $\gamma:\partial K\rightarrow T^n$
de la classe d'obstruction de la mani�re suivante:
\begin{equation}\label{tore:topo1}
\begin{array}{c}
\gamma_{|\{0\}\times[0,1]}=\gamma_{|[0,1]\times\{0\}}
=\gamma_{|[0,1]\times\{1\}}=0,\\
\\
\gamma(1,t)=(ta_1,\cdots,ta_n), \forall t\in[0,1],\\
\end{array}
\end{equation}
de sorte qu'un �l�ment $(x_1,\cdots,x_n)\in T^n$ de la fibre au dessus de
$(0,t)\in K$ sera identifi� \`a l'�l�ment $(x_1+ta_1,\cdots,x_n+ta_n)$
au dessus de $(1,t)$. Si on note $(x_1,\cdots,x_n,y_1,y_2)$ les �l�ments 
de $\R^{n+2}$, on veut donc d\'efinir sur cet ensemble un produit tel que
\begin{equation}\label{tore:topo2}
(k_1,\cdots,k_n,0,0)\cdot(x_1,\cdots,x_n,y_1,y_2)=
(x_1+k_1,\cdots,x_n+k_n,y_1,y_2)
\end{equation}
de sorte que d'une part les sous-espaces de $\R^{n+2}$ d'�quation
$(y_1,y_2)=c^{te}$ passent au quotient comme des tores, et tel que 
\begin{multline}\label{tore:topo3}
(0,\cdots,0,l_1,l_2)\cdot(x_1,\cdots,x_n,y_1,y_2)=\\
(x_1+y_2a_1l_1,\cdots,x_n+y_2a_nl_1,y_1+l_1,y_2+l_2),
\end{multline}
de sorte que la structure de fibr� en tore sera bien celle d�finie
 par (\ref{tore:topo1}).

On peut effectivement construire une telle structure de groupe en plongeant
$\R^{n+2}$ dans $M_{n+3}(\R)$ par l'application suivante:
\addtolength{\arraycolsep}{-1mm}
\begin{equation}
(x_1,\cdots,x_n,y_1,y_2)\longmapsto\left(\begin{array}{c|ccc}
 I_n&\vecdots00&
\vecdots{a_1y_1}{a_ny_1}&
\vecdots{x_1}{x_n}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}\\1\\0\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\0\\1\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\y_1\\y_2\\1\end{smallmatrix}
\end{array}\right).
\end{equation}
\addtolength{\arraycolsep}{1mm}
Notons $G$ l'image de cette application. C'est un sous-groupe de 
$M_{n+3}(\R)$, et le quotient $\Gamma\backslash G$ o� $\Gamma$
est le r\'eseau des entiers de $G$ est diff�omorphe � la vari�t�
$M$, qui est donc une nilvari�t�.

Supposons maitenant que $n\geq2$. On pose
$d=\mathrm{pgcd}(a_1,\cdots,a_n)$ et $a'_i=a_i/d$. Soit $P=(p_{ij})
\in M(n,\Z)$ une matrice telle que $p_{i1}=a'_i$ et que ses
vecteurs colonnes forment une base du r�seau $\Z^n$. On a alors
\begin{equation}
P^{-1}\left(\vecdots{a_1}{a_n}\right)=\left(\begin{smallmatrix}d\\0\\
\vvdots\\0 \end{smallmatrix}\right) 
\end{equation}
et 
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c|c}P^{-1}&0\\\hline0&I\end{array}\right)
\addtolength{\arraycolsep}{-1mm}
\left(\begin{array}{c|ccc}
 I_n&\vecdots00&
\vecdots{a_1y_1}{a_ny_1}&
\vecdots{x_1}{x_n}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}\\1\\0\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\0\\1\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\y_1\\y_2\\1\end{smallmatrix}
\end{array}\right)
\addtolength{\arraycolsep}{1mm}
\left(\begin{array}{c|c}P&0\\\hline0&I\end{array}\right)
=\addtolength{\arraycolsep}{-1mm}
\left(\begin{array}{c|ccc}
 I_n&\vecdots00&
\begin{smallmatrix}dy_1\\0\\\vvdots\\0\end{smallmatrix}&
\vecdots{x'_1}{x'_n}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}\\1\\0\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\0\\1\\0\end{smallmatrix}
&\begin{smallmatrix}\\y_1\\y_2\\1\end{smallmatrix}
\end{array}\right)
\addtolength{\arraycolsep}{1mm}
\end{equation}
avec $\left(\vecdots{x'_1}{x'_n}\right)=P^{-1}
\left(\vecdots{x_1}{x_n}\right)$.
On peut voir que le groupe ${P'}^{-1}GP'$, avec $P'=\smat{P&0\\0&I}$, est
isomorphe \`a $\R^{n-1}\times G'$, o\`u $G'$ est le groupe
\begin{equation}
\left\{\left(\begin{array}{cccc}1&0&dy_1&x\\0&1&0&y_1\\0&0&1&y_2\\0&0&0&1
\end{array}\right), x,y_1,y_2\in\R\right\}.
\end{equation}
D'autre part, comme $\det P'=1$ et que $P'$ est � coefficients entiers,
le r\'eseau des matrices \`a coefficients entiers de ${P'}^{-1}GP'$ est 
exactement ${P'}^{-1}\Gamma P'$, o\`u $\Gamma$ est le r�seau des entiers
de $G$.
La vari\'et\'e $M=\Gamma\backslash G$, qui est diff�omorphe �
${P'}^{-1}\Gamma P'\backslash {P'}^{-1}GP'$ peut donc s'�crire
\begin{equation}
M\simeq (\Z^{n-1}\times\Gamma')\backslash(\R^{n-1}\times G')
\simeq T^{n-1}\times N,
\end{equation}
o\`u $N=\Gamma'\backslash G'$, en notant $\Gamma'=$ le r�seau des 
entiers de $G'$.
\end{demo}

 Ce calcul montre qu'on peut se ramener au cas o� les $a_i$, $i\geq2$
sont nuls. On supposera dans la suite que c'est le cas, et on posera
$a_1=a$.

\begin{demo}{de \ref{tore:th:2}}
  Soient $X_i$, $Y_1$ et $Y_2$ les champs de vecteurs invariants � gauche
engendr\'es en $I_{n+3}$ respectivement par
$$\Dep{}{x_i}=\left(\begin{array}{c|c}
0&\begin{smallmatrix}
\vecdots0\ccdot&\vecdots0\ccdot&\vecdots00 \\
\ccdot&\ccdot&1\\
\vecdots{\vphantom{0}\ccdot}0&\vecdots{\vphantom{0}\ccdot}0&\vecdots00
\end{smallmatrix}\\\hline 0&0\end{array}\right),\ 
\Dep{}{y_1}=\left(\begin{array}{c|c}
0&\begin{smallmatrix}\begin{smallmatrix}0\\ \\\vvdots\\0\end{smallmatrix}
\!&\begin{smallmatrix}a\\0\\\vvdots\\0\end{smallmatrix}
\!&\begin{smallmatrix}0\\ \\\vvdots\\0\end{smallmatrix}
\end{smallmatrix}\\\hline
0&\begin{smallmatrix}0\;\:&0&\;\:1\\
0\;\:&0&\;\:0\\ 0\;\:&0&\;\:0\end{smallmatrix}\end{array}\right) \et \Dep{}{y_2}
=\left(\begin{array}{c|c} 0&0\\\hline 
0&\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{smallmatrix}\end{array}\right). $$

Ces champs v�rifient $[X_i,X_j]=0,\ [X_i,Y_j]=0 \et 
[Y_1,Y_2]=aX_1$. On notera $V$ le vecteur $aX_1$, dont on 
peut remarquer qu'il est non nul (si $a$ est nul, le fibr� est trivial).

 Soit $g$ une m�trique homog�ne sur $M$, et $(V_i)$ une base
de $\Gamma(T_VM)^{{}^G}$ telle que $(V_1,\cdots,V_n,Y_1,Y_2)$ soit 
orthonorm�e en tout point et que $V_1$ soit colin�aire � $V$. Les
crochets de Lie entre les vecteurs de cette base sont:
\begin{equation}\label{tore:lie}
[V_i,V_j]=0,\ [V_i,Y_j]=0, \et [Y_1,Y_2]=\eta V_1,\ \eta\in \R^*.
\end{equation}

On en d�duit:
\begin{equation}\label{tore:d}
\de V^\flat_1=-\eta Y^\flat_1\wedge Y^\flat_2\et \de V^\flat_i=
\de Y^\flat_j=0,\ i>1,
\end{equation}
o\`u $(V^\flat_1,\cdots,V^\flat_n,Y^\flat_1,Y^\flat_2)$ est la base duale de
$(V_1,\cdots,V_n,Y_1,Y_2)$. Les formes de cette base de $\Omega^1(M)^G$
engendrent, par produit ext�rieur, une base de $\Omega^*(M)^G$
compos�e de formes propres de $\Delta_{inv}$. En effet, il d�coule
de (\ref{tore:d}) qu'elles sont toutes ferm�es sauf celles de
la forme $V_1\wedge V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k}$ ($i_j\neq 1$), dont
la diff�rentielle vaut:
\begin{equation}
\de(V_1\wedge V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k})=-\eta Y_1\wedge Y_2\wedge
V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k},
\end{equation}
et, puisque $\codiff=(-1)^{n(p+1)+1}*\de*$,  elles sont toutes coferm�es 
sauf celles de 
la forme $Y_1\wedge Y_2\wedge V_1\wedge V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k}$ 
dont la codiff�rentielle vaut:
\begin{equation}
\codiff(Y_1\wedge Y_2\wedge V_1\wedge V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k})=
-\eta V_1\wedge V_{i_1}\wedge\cdots\wedge V_{i_k}.
\end{equation}
 En restriction � $\Omega^p(M)^G$, les formes de la base sont donc
harmoniques, sauf $C^{p-1}_{n-1}$ formes coferm�es et $C^{p-2}_{n-1}$ 
formes ferm�es qui sont des formes propres de valeur propre 
�gale � $\eta^2$. L'op�rateur $\Delta^p_{inv}$ admet donc 
une unique valeur propre non nulle, de multiplicit� $C^{p-1}_{n-1}
+C^{p-2}_{n-1}=C^{p-1}_n$ et �gale � $\eta^2=|V|^2$.

Si on choisit une base orthonorm�e
de la forme $(V_1,\cdots,V_n,Y_1', Y_2')$, avec $Y_i'=Y_i+
\sum_{k=1}^n\xi_kV_k$, on aura toujours $[Y_1',Y_2']=[Y_1,Y_2]$.
Le r�sultat ne d�pend donc pas du choix de la connexion sur le fibr�.
Remarquons enfin que si l'on choisit une autre m�trique sur la base 
(en se donnant deux
champs horizontaux  quelconques $Y'_1$ et $Y'_2$ et en les
supposant orthogonaux) on obtiendra le m�me r�sultat en rempla\c{c}ant
$V$ par $V'=[Y'_1,Y'_2]$, avec comme valeur propre $\eta^2=|V'|^2=\Vol(B)
^{-2}|V|^2$.
\end{demo}
\section{Effondrements des fibr\'es principaux sur le tore $T^2$}
\label{tore:eff}
Dans cette partie, nous allons montrer que  les fibr\'es 
construits dans le th�or�me \ref{tore:th} peuvent admettre, si $n\geq2$,
un effondrement \`a diam\`etre et courbure born\'es pour lequel 
$\lambda$ ne tend pas vers z\'ero.

Soit $M$ un tel fibr\'e. Nous allons d'abord montrer le lemme 
suivant qui nous permettra de contr\^oler la courbure:
\begin{lem}
Pour toute m\'etrique homog\`ene $g$ sur $M$, la courbure sectionnelle
de $M$ v\'erifie $|K(M,g)|\leq \frac34|V|^2$.
\end{lem}
\textbf{D�monstation :}
On se place dans la m�me base $(V_1,\cdots,V_n,Y_1,Y_2)$ que celle
utilis�e dans la d�monstration de \ref{tore:th:2}.
De (\ref{tore:lie}), on peut rapidement d\'eduire que $\ad_{V_i}=0$, et
que $\ad^*_{Y_i}Y_j=0$ car pour tout vecteur $U$,
$\langle\ad^*_{Y_i}Y_j,U\rangle=\langle Y_j,\ad_{Y_i}U\rangle=
\langle Y_j,[Y_i,U]\rangle=0$.
De plus, comme $\langle\ad^*_{Y_i}V_j,U\rangle=\langle V_j,[Y_i,U]\rangle$, 
on aura 
$\ad_{Y_i}^*V_j=0$ pour $j\neq 1$, $\ad_{Y_1}^*V_1=\mu Y_2$ et
$\ad_{Y_2}^*V_1=-\mu Y_1$.

La formule (\ref{cercle:courbure:eq}) donne donc:
\begin{equation}
K(V_i,V_j)=0,\ K(Y_1,Y_2)=-\frac34\|[Y_1,Y_2]\|^2,
\end{equation}
\begin{equation}
K(V_1,Y_i)=\frac{\mu^2}4, \et K(V_i,Y_j)=0 \mbox{ pour } i\neq1.
\end{equation}
Comme d'une part $\mu^2=\|V\|^2$, et d'autre part $V=[Y_1,Y_2]$, 
la majoration du lemme en d\'ecoule imm\'ediatement.
\hfill\carrenoir\nolinebreak\vspace{2mm}

Un effondrement \`a base fixe du fibr\'e $M$ par des m\'etriques homog\`enes
est d\'etermin\'e par une famille de bases $(V_1^\varepsilon,\cdots,
V_n^\varepsilon)$ de $\Gamma(T_VM)^{{}^G}$ (remarque: on ne suppose plus
ici que $V_1^\varepsilon$ est colin�raire � $V$). 
Nous allons pr\'esenter ici des
exemples d'effondrements associ\'es \`a des familles de bases de la forme
$(V_1^\varepsilon,\cdots,V_n^\varepsilon)=(\varepsilon^{-\alpha_1} V_1,
\cdots,\varepsilon^{-\alpha_n}V_n)$, o\`u $(V_1,\cdots,V_n)$ est une base
fix\'ee. Si $b_i$ et $b_i^\varepsilon$ sont les coefficients de $V$ dans 
les bases respectives $(V_1,\cdots,V_n)$ et $(V_1^\varepsilon,\cdots,
V_n^\varepsilon)$, on aura
\begin{equation}
b_i^\varepsilon=\varepsilon^{\alpha_i}b_i.
\end{equation}

\begin{exemple}\label{tore:ex1}
Si $\alpha_i>0$, pour tout $i$, alors le diam\`etre de la fibre tend
vers $0$, ainsi que les $b_i^\varepsilon$. On a donc un effondrement
\`a courbure born\'ee du fibr\'e sur la base $T^2$, et la valeur
propre $\lambda=\|V\|^2=\sum_{i=1}^n{(b_i^\varepsilon)}^2$ tend vers z\'ero.
\end{exemple}

On peut cependant construire des effondrements pour lesquels le
comportement du spectre est diff\'erent, et en particulier tels qu'il
n'y ait pas de petites valeurs propres :

\begin{exemple}\label{tore:ex2}
 Supposons que
$\alpha_i=0$, pour tout $i>1$, $\alpha_1>0$, et que les composantes
de $V_1$ dans la base $(X_1,\cdots,X_n)$ soient irrationnelles entre elles.
Une droite de la fibre de direction $V_1$ sera donc dense dans la fibre,
et par cons\'equent, il suffit que seul $\alpha_1$ soit non
nul pour que la fibre s'effondre sur un point. On aura alors
$b_i^\varepsilon=b_i$ pour $i>1$, et $b_1^\varepsilon\rightarrow0$.
La courbure reste donc born\'ee et $\lambda\rightarrow\sum_{i>1}b_i^2\neq 0$.
\end{exemple}

Ce dernier exemple justifie remarque \ref{tore:rem2} faite dans
l'introduction.

\section{Exemples de fibr�s principaux sur des bases de dimension
strictement sup�rieures � 2}

Les exemples du th�or�me \ref{tore:th} sont relativement
simples, en ce sens que l'essentiel de la topologie est contenu
dans la structure de fibr� en cercle de la nilvari�t� $N$. On peut
cependant facilement contruire des fibr�s principaux en tore dont
le comportement du spectre est un peu plus riche:

\begin{exemple}
Consid�rons deux fibr�s principaux $M_1$ et $M_2$, de fibre respective
$T^{k_1}$ et $T^{k_2}$ et de base $T^2$, muni d'une structure homog�ne
et d'une m�trique invariante. Soient $\lambda_1$ et $\lambda_2$ leur
valeur propre associ�e d�finie par le th�or�me \ref{tore:th}.
La vari�t� $M$ d�finie par le produit riemannien
$M=M_1\times M_2$ est un fibr� principal de fibre
$T^{k_1}\times T^{k_2}=T^{k_1+k_2}$ et de base $T^2\times T^2=T^4$.
D'apr�s la formule de K�nneth, il admet $\lambda_1$ et $\lambda_2$
comme valeurs propres. En choissant sur $M_1$ et $M_2$ des suites
de m�triques qui effondrent ces vari�t�s sur $T^2$ la suite des
m�triques produits effondre $M$ sur $T^4$.
\end{exemple}
 On voit que sur cet exemple, on peut avoir deux valeurs propres non
nulles distinctes en restriction aux formes invariantes. De plus, on
peut choisir des effondrements sur $M_1$ et $M_2$ tels que ces deux
valeurs propres tendent vers z�ro � des vitesses diff�rentes, ou
m�me, en choisissant pour $M_1$ et $M_2$ les effondrements
d�crits dans les exemples \ref{tore:ex1} et \ref{tore:ex2} 
respectivement, tels que seule
l'une de ces valeurs propres tende vers z�ro. Enfin, on peut remarquer
que consid�rer un effondrement de $M$ par homoth�tie de la fibre
revient � consid�rer des homoth�tie des fibres de $M_1$ et $M_2$,
et qu'on retrouve le fait remarqu� en \ref{tore:rem1} que cet
effondrement produit des petites valeurs propres.

\chapter{Topologie des fibr�s principaux en tores}\label{topo}
Nous allons dans cette partie nous attacher � d�crire la topologie
des fibr�s principaux en tore, et en particulier � construire
un invariant diff�rentiel qui permettra, comme la classe d'Euler
dans la cas des fibr�s en cercles, d'�tudier le comportement du spectre
du laplacien lors d'un effondrement.

Soit $M$ un fibr� principal en tore $T^k$ sur une base $N$. Le tore
$T^k=\R^k/\Z^k$ peut s'�crire comme le produit de $k$ cercles~:
$T^k=\prod_{i=1}^kS_{(i)}^1$. L'action de $T^k$ sur $M$ induit une action 
de chacun des $S_{(i)}^1$. On peut donc d�finir les vari�t�s 
\begin{equation}\label{topo:eq1}
M_i=M/\prod_{j\neq i}S_{(j)}^1,
\end{equation}
chaque $M_i$ �tant un fibr� en cercle de
base $N$ sur lequel agit $S_{(i)}^1$. R�ciproquement, la donn�e des 
$k$ fibr�s en cercles $(M_i)_{i\leq k}$ sur $N$ permet de construire 
un fibr� en tore $T^k$ en prenant la somme de Whitney 
$\bigoplus_{i=1}^k M_i$ de ces fibr�s en cercles, ce fibr� en
tore �tant diff�omorphe au fibr� $M$. Comme la structure
d'un fibr� en cercle est d�termin� par sa classe d'Euler, la topologie
de $M$ est d�termin�e par la donn�e d'un $k$-uplet $(e_1,\cdots,
e_k)\in (H^2(N,\Z))^k$ de classes d'Euler. Cependant, la d�composition
de $T^k$ en produit de cercles n'est pas unique. En effet, pour chaque
base $(a_1,\cdots, a_k)$ du r�seau $\Z^k$, on peut �crire $T^k$
comme le produit de la famille de cercles $(\R a_i/\Z a_i)_i$, auquel
correspond en g�n�ral un $k$-uplet diff�rent de classes d'Euler.

En homologie simpliciale, on peut d�finir la classe
d'obstruction $[c]$ d'un fibr� $F\hookrightarrow M\rightarrow N$,
o� $[c]$ est un �l�ment de $H_2(N,\pi_1(F))$ qui est une mesure de
l'obstruction du fibr� � admettre une section (voir \cite{steen},
\S 35). Si la fibre $F$ est un tore, les groupes
d'homotopies $\pi_n(F)$ sont triviaux pour $n\geq2$, et par cons�quent
cette classe d'obstruction est nulle si et seulement si le fibr�
admet une section (\cite{steen}, \S 29 et \S 35) ce qui, dans le cas
d'un fibr� principal est �quivalent � �tre trivial. Dans le cas d'une
fibre $T^k$, cette classe d'obstruction est un �l�ment de $H_2(N,\Z^k)$.
On veut d�finir un objet semblable pour la cohomologie de Rham.

Dans le cas d'un fibr� en cercle de classe d'Euler $[e]$, on a la 
propri�t� suivante (\cite{bt}, p.72)~: si $\omega$ est une $1$-forme 
verticale invariante
dont l'int�grale sur chaque fibre vaut $1$, alors $\de\omega$ est
une $2$-forme horizontale qui d�pend du choix de la connexion sur le fibr�, 
mais qui est, au signe pr�s, le relev� d'une �l�ment de $[e]$. Dans le
cas d'un fibr� en tore, on va construire une invariant qui g�n�ralise
cette propri�t�. 

 Rappelons tout d'abord que si on note $\mathcal G$ l'alg�bre de
Lie de $T^k$, l'action de $T^k$ sur le fibr� $M$ induit un plongement de 
$\mathcal G$ dans l'espace des champs de vecteurs verticaux invariants
de $M$. Ce plongement s'�tend naturellement aux tenseurs sur 
$\mathcal G$ en une application 
$$(\bigotimes^p\mathcal G)\otimes(\bigotimes^q\mathcal G^*)\rightarrow
\Gamma\left((\bigotimes^pT^VM)\otimes(\bigotimes^q{T^V}^*M)\right)=
\Gamma({T^V}^p_qM).$$
Le tenseur obtenu ne d�finit pas de mani�re canonique un �l�ment de 
$\Gamma(T^p_qM)$ si $q\neq0$, mais si on se donne une connexion sur le
fibr� $M$, la partie covariante du tenseur est bien d�finie sur $TM$ en
imposant � sa partie horizontale d'�tre nulle. Par abus de langage, 
si on se donne par exemple un �l�ment de $\mathcal G^*$, on dira 
qu'il <<~induit~>> une $1$-forme verticale sur $M$, en pr�cisant
la connexion utilis�e s'il y a ambigu�t�.

 On va montrer le r�sultat suivant, qui permet de d�finir une
g�n�ralisation de la classe d'Euler aux fibr� principaux en tore:
\begin{pr}\label{topo:pr}
Soit $\bar\omega\in\mathcal G^*$, $\omega$ la $1$-forme diff�rentielle
sur $M$ induite par $\bar\omega$ et $\alpha_\omega$ la $2$-forme
diff�rentielle sur $N$ telle que $\de\omega=\pi^*(\alpha_\omega)$. Alors
l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow H^2(N,\R)$
donn�e par $\bar\omega\mapsto[\alpha_\omega]$ est bien d�finie (c.-�-d. que
la classe de cohomologie de $\alpha_\omega$ ne d�pend pas du choix
de la connexion) et lin�aire.
\end{pr}
\textbf{D�monstration:}
On pose $T^k=\R^k/\Z^k$ et on note $(\bar\omega_i)_{i\in[1,k]}$ les formes
coordonn�es de $\R^k$ pass�es au quotient sur $T^k$. En utilisant la
d�composition $T^k=\prod_{i=1}^kS_{(i)}^1$, on d�finit la famille
de fibr�s en cercle $(M_i)$ comme en (\ref{topo:eq1}). On a alors des
projections $M\stackrel{\pi_i}{\rightarrow}M_i\stackrel{\pi_i'}{\rightarrow}N$
qui v�rifient $\pi_i'\circ\pi_i=\pi_j'\circ\pi_j=\pi$.
Chaque forme $\omega_i$ induite sur $M$ par $\bar\omega_i$ est
le relev� $\pi_i^*(\omega_i')$ de la forme de connexion du fibr�
en cercle $M_i$. On peut �crire $\de\omega_i=\pi_i^*(\de\omega_i')
=\pi^*(e_i)$ o� $e_i$ est une $2$-forme sur $N$. Or, on sait que
$e_i$ appartient � la classe d'Euler du fibr� $M_i$, ind�pendamment
du choix de la connexion sur $M_i$ donc du choix de la connexion sur
$M$. Si on d�finit $e:\mathcal G^*\rightarrow H^2(N,\R)$ par
$e(\bar\omega_i)=e_i$ en l'�tendant par lin�arit�, on aura bien,
par lin�arit� de la diff�rentielle ext�rieure, $\de\omega=\pi^*(e(\bar
\omega))$ pour tout $\bar\omega\in\mathcal G^*$, en notant $\omega$
la forme induite sur $M$.
\hfill\carrenoir

\begin{remarque} 
Si $k=1$ et si $\bar\omega$ est la forme volume du cercle de longueur $1$,
alors $e(\bar\omega)$ est la classe d'Euler du fibr�.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La d�monstration \ref{topo:pr} met en �vidence le lien entre l'invariant
$e$ et la famille de classe d'Euler associ�e � une d�composition
particuli�re en somme de Whitney de $M$: � chaque d�composition possible
est associ�e une base de $\mathcal G^*$, et la famille de classe d'Euler
est l'image de cette base par $e$.
\end{remarque}

\begin{exemple}
Au chapitre \ref{pvp:tore}, on a consid�r� des fibr�s principaux en tore
$T^k$ non triviaux dont la base est un tore $T^2$. Comme $H^2(T^2)$ est 
de dimension $1$, le noyau de $e$ est de dimension $k-1$, ce qui signifie
qu'on peut d�composer le fibr� en une somme de Whitney de $k$ fibr�s
en cercles dont $k-1$ sont triviaux. On retrouve donc le fait que
le fibr� peut s'�crire comme le produit d'un fibr� en cercle et d'un
tore de dimension $k-1$.
\end{exemple}

 Dans la suite, si $\omega$ est une forme induite par un �l�ment
$\bar\omega$ de $\mathcal G^*$, on �crira parfois par abus de langage
<<~$e(\omega)$~>> au lieu de <<~$e(\bar\omega)$~>>. De plus, verra 
parfois $e$ comme une application de $\mathcal G^*$ dans l'espace
$\mathcal H^2(N,h)$ des $2$-formes harmoniques de $N$, en utilisant
le fait que $\mathcal H^2(N,h)$ est canoniquement isomorphe � 
$H^2(N,\R)$.

\chapter{Formes invariantes et petites valeurs propres}\label{2001}

Nous allons ici d�montrer les r�sultats \ref{inv:th1}, \ref{inv:th2} et 
\ref{inv:cor} �nonc�s dans l'introduction. Ceux-ci s'appuient 
essentiellement sur le
  
\begin{lem}\label{inv:lem}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne, $\varphi_t$ un flot agissant par
isom�trie sur $M$ et $X$ le champ de vecteur associ�. On suppose de plus
que $X$ n'est pas uniform�ment nul.

 Soit $E$ un sous-espace de $\Omega^*(M)$ stable par le laplacien
et par $(\varphi^*_t)_{t\in\R}$, 
$\lambda$ une valeur propre du laplacien restreint � $E$, et $E_\lambda$ 
l'espace propre associ�. 

 S'il existe $T$ tel que $\varphi^*_{t+T}=\varphi^*_t$ pour tout $t\in\R$ 
et que $\lambda<\displaystyle\left(\frac{2\pi}{T\|X\|_\infty}\right)^2$,
alors $(\varphi^*_t)_{t\in\R}$ agit trivialement sur $E_\lambda$.

\end{lem}



\begin{demo}{du lemme \ref{inv:lem}} Remarquons tout d'abord qu'on peut 
supposer que $T=2\pi$, le r�sultat g�n�ral se d�duisant par simple 
changement de variable. D'autre part, par th�orie de Hodge, on peut se 
restreindre � l'�tude des formes coferm�es. On supposera donc que
$\lambda$ est une valeur propre de $\codiff d_{|\Ker\codiff}$ et $E_\lambda$
d�signera le sous-espace propre associ� dans $\Ker\codiff$.

Soit $\omega\in E_\lambda$. On sait que $\mathcal L_X\omega=i_X
\circ\de\omega+\de\circ i_X\omega$.

D'une part, on a $\mathcal L_X\omega=\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}
\frac{\varphi_t^*\omega-\omega}{t}$. Puisque $\varphi_t$ est une isom�trie,
les formes $\varphi_t^*\omega$ et $\frac{\varphi_t^*\omega-\omega}{t}$
sont dans $\Ker\codiff$, et donc $\mathcal L_X\omega$ aussi car
$\Ker\codiff$ est ferm�. D'autre part, $\de\circ i_X\omega$ est dans $\Ima\de$. 

Comme $\Ker\codiff$ et $\Ima\de$ sont orthogonaux, les formes
$\mathcal L_X\omega$ et $\de\circ i_X\omega$ sont orthogonales. Le
th�or�me de Pythagore donne donc :
\begin{equation}
\|\mathcal L_X\omega\|^2_2+\|\de\circ i_X\omega\|^2_2=\|i_X\circ\de
\omega\|^2_2.
\end{equation}
On en d�duit
\begin{equation}\label{inv:eq1}
\|\mathcal L_X\omega\|^2_2\leq\|i_X\circ\de\omega\|^2_2
\leq\|i_X\|^2\|\de\omega\|^2_2\leq\|i_X\|^2\lambda\|\omega\|^2_2.
\end{equation}
On va maintenant majorer la norme de $i_X$ d'une part, et �valuer
celle de $\mathcal L_X\omega$ d'autre part.

\subsubsection*{majoration de $\|i_X\|$}

Soit $\alpha\in\Omega^p(M)$.

Soit $m\in M$, et $(X_1,\cdots,X_n)$ une base orthonorm�e de $T_mM$
telle que $X=\mu X_1$. On pose $\alpha_m=\displaystyle
\sum_{i_1<\cdots<i_p}\alpha_{i_1,\cdots,i_p}X_{i_1}^\flat
\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat$. On a alors 
\begin{equation}
i_X(\alpha_m)=
\displaystyle\sum_{i_1<\cdots<i_p}\alpha_{i_1,\cdots,i_p}i_X
(X_{i_1}^\flat\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat).
\end{equation}

Si $i_1=1$, alors $i_X(X_{i_1}^\flat\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat)
=\mu X_{i_2}^\flat\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat$.

Si $i_1\neq1$, alors $i_X(X_{i_1}^\flat\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat)=0$.

Donc $i_X(\alpha_m)=\mu \sum_{i_2<\cdots<i_p}\alpha_{1,i_2,\cdots,i_p}
X_{i_2}^\flat\wedge\cdots\wedge X_{i_p}^\flat$, et
$$
|i_X(\alpha_m)|^2=\mu^2\sum_{i_2<\cdots<i_p}\alpha_{1,i_2,\cdots,i_p}^2
\leq\mu^2\sum_{i_1<\cdots<i_p}\alpha_{i_1,\cdots,i_p}^2=|X|^2|\alpha_m|^2.
$$
On en d�duit
\begin{eqnarray*}
\|i_X(\alpha)\|_2^2&=&\int_M|i_X(\alpha_m)|^2\de v\leq
\int_M|X|^2|\alpha_m|^2\de v\leq\|X\|_\infty\int_M|\alpha_m|^2\de v\\
&\leq& \|X\|_\infty\|\alpha\|^2_2.
\end{eqnarray*}
et donc 
\begin{equation}\label{inv:eq2}
\|i_X\|\leq\|X\|_\infty
\end{equation}

\subsubsection*{calcul de $\|\mathcal L_x\omega\|$}
 Comme $\varphi_t$ est une isom�trie, $\varphi^*_t$ agit par isom�trie sur
$E_\lambda$. Si on suppose que $t\mapsto\varphi_t$ est $2\pi$-p�riodique,
$\varphi_t$ induit donc un morphisme $S^1\rightarrow\SO(E_\lambda)$ qu'on
peut d�composer en somme de repr�sentation irr�ductibles.

 Les repr�sentations irr�ductibles de $S^1$ sont :
\begin{itemize}
\item la repr�sentation triviale $S^1\rightarrow\SO(1),\ t\mapsto \Id$;
\item les rotations du plan $S^1\rightarrow\SO(2),\ t\mapsto
R(kt)=\smat{\cos kt & -\sin kt\\\sin kt & \cos kt}, k\in Z^*$.
\end{itemize}
 Supposons maintenant que la d�composition fasse appara�tre au
moins une rotation. On peut choisir une forme $\omega\neq0$ situ�e 
dans le sous-espace stable associ�. On a alors
\begin{equation}
\|\mathcal L_X\omega\|=\left\|\lim_{t\rightarrow0}\frac{\varphi^*_t
\omega-\omega}t\right\|=|k|\cdot\|\omega\|\geq\|\omega\|.
\end{equation}
Avec (\ref{inv:eq1}) et (\ref{inv:eq2}), on en d�duit :
\begin{equation}
\|\omega\|^2\leq\lambda\|X\|^2_\infty\|\omega\|^2,
\end{equation}
et finalement
\begin{equation}
\lambda\geq\displaystyle\frac1{\|X\|^2_\infty}.
\end{equation}
La conclusion du lemme en d�coule imm�diatement.
\end{demo}

\begin{demo}{du th�or�me \ref{inv:th1}}
C'est une application directe du lemme \ref{inv:lem} avec $E=
\Omega^p(M)$, le flot $\varphi_t$ �tant induit par l'action de $S^1$. 
Le champ $X$ est alors un champ vertical $S^1$-invariant.

Si on param�tre $\varphi_t$ de mani�re � �tre $2\pi$-p�riodique, 
la longueur $l$ d'une fibre sera �gale � $2\pi|X|$, la norme de $X$
ne d�pendant pas du point choisi sur la fibre. On a donc
\begin{equation}
|X|=\frac{l}{2\pi}
\end{equation}
et par cons�quent
\begin{equation}
\|X\|_\infty=\frac{l_0}{2\pi}.
\end{equation}
Si $\lambda<\left(\frac{2\pi}{l_0}\right)^2$, alors $\lambda<\frac1
{\|X\|^2_\infty}$ et donc les formes propres de $E_\lambda$ sont 
$S^1$-invariantes.
\end{demo}


\begin{demo}{du th�or�me \ref{inv:th2}}
Remarquons tout d'abord que dans la d�monstration du th�or�me 
\ref{inv:th1}, la d�composition
de $\Omega^p(M)$ en �l�ments irr�ductibles est une d�composition
en s�rie de Fourier par rapport � la fibre $S^1$, la repr�sentation
triviale et les repr�sentations $\theta\mapsto R(k\theta)$ 
correspondant respectivement aux fonctions constantes et aux
fonctions $\frac{2\pi}k$-p�riodiques du cercle. On va reprendre cette 
id�e et l'appliquer au tore $T^k$ pour d�composer $\Omega^p(M)$ en somme
en sous-espaces de formes invariantes dans une direction et
p�riodiques dans une autre pour ensuite appliquer le lemme \ref{inv:lem}
� ces sous-espaces.

Plus pr�cis�ment, si on pose $T^k=\R^k/\Z^k$, $\R^k$ �tant muni d'une m�trique
euclidienne (pas n�cessairement la m�trique euclidienne canonique), 
et si $\Gamma$ est le r�seau dual de $\Z^k$, $\Gamma=
\{\gamma\in\R^k,\langle\gamma,\gamma'\rangle\in\Z,\forall\gamma'\in\Z^k\}$,
une base des fonctions propres de $T^k$ est donn�e par $f_\gamma=\cos(2\pi
\langle\gamma,x\rangle)$ et $g_\gamma=\sin(2\pi\langle\gamma,x\rangle)$,
$\gamma\in\Gamma$ (voir par exemple \cite{ghl}, p.~200).
Si on note $\gamma^\perp$ l'orthogonal de $\gamma$ dans
$\R^n$, les fonctions $f_\gamma$ et $g_\gamma$ sont invariantes
sous l'action de $\gamma^\perp$. On peut remarquer
que, si $\Gamma$ d�pend de
la m�trique choisie sur $\R^k$, ce n'est pas le cas de l'ensemble
des $\gamma^\perp_{\gamma\neq0}$. En effet, c'est l'ensemble des
hyperplans vectoriels de $\R^k$ engendr�s par des �l�ments de $\Z^k$.
Notons $A$ cet ensemble. En regroupant les
fonctions propres en fonction de leur direction invariante, on
obtient la d�composition  
\begin{equation}C^\infty(T^k)=\overline{\displaystyle
\bigoplus_{V\in A} C^\infty(T^k)^V\oplus\R}
\end{equation}
 o� 
$\R$ repr�sente les fonctions constantes, et o� $C^\infty(T^k)^V$ 
est l'espace des fonctions $C^\infty$ d'int�grale nulle 
(c'est-�-dire orthogonales aux fonctions constantes) et invariantes 
dans la direction $V$. Par construction,
chaque $C^\infty(T^k)^V$ est invariant par $\Delta$ et
par l'action de $T^k$. 

De la m�me fa�on, $\Omega^p(M)$ peut s'�crire
\begin{equation}
\Omega^p(M)=\overline{\displaystyle\bigoplus_{V\in A}\Omega^p(M)^V\oplus
\Omega^p(M)^{T^k}},
\end{equation}
o� $\Omega^p(M)^{T^k}$ est l'espace des $p$-formes $T^k$-invariantes
et $\Omega^p(M)^V$ l'espace des $p$-formes
diff�rentielles invariantes par l'action de $V$ et 
orthogonales � $\Omega^p(M)^{T^k}$.
Comme $V$ ne d�pend pas de la m�trique sur chaque fibre, chacun des 
$\Omega^p(M)^V$ est bien d�fini, et sera de plus 
invariant par $\Delta$ et par l'action de $T^k$. On a ainsi partiellement
d�compos� les formes diff�rentielles de $M$ en s�rie de Fourier 
par rapport � la fibre.

Soit $V\in A$, $\lambda_M^V$ une valeur propre du laplacien
restreint � $\Omega^p(M)^V$ et $\lambda_{T^k}^V$ la premi�re valeur
propre de $\Omega^p(T^k)^V$ (~remarque : elle est non
nulle car les formes harmoniques du tore plat sont les formes 
invariantes~). On choisit sur $T^k$ un champ
invariant $X_{T^k}$ orthogonal � $V$ et on note $X_M$ le champ
vertical sur $M$ induit par $X_{T^k}$. L'action
sur $\Omega^p(M)^V$ du flot $\varphi_t$ associ� � $X_M$ est p�riodique,
et si on note $T$ sa p�riode, $\lambda_{T^k}^V$ est par construction
exactement $\displaystyle\left(\frac{2\pi}{T\|X_{T^k}\|_\infty}\right)^2$.
D'autre part, comme $\bar g_x\leq f(x)\cdot\bar g$, 
les normes de $\|X_{T^k}\|_\infty$ et $\|X_{M}\|_\infty$ 
sont li�s~: 
\begin{equation}
\|X_{M}\|_\infty\leq(\sup_B f)^{1/2}\cdot\|X_{T^k}\|_\infty,
\end{equation}
donc si $\lambda_M^V<(\sup_B f)^{-1}\lambda_{T^k}^V$, alors
\begin{equation}
\displaystyle\lambda_M^V<
(\sup_B f)^{-1}\left(\frac{2\pi}{T\|X_{T^k}\|_\infty}\right)^2\leq
\left(\frac{2\pi}{T\|X_{M}\|_\infty}\right)^2,
\end{equation}
et le lemme \ref{inv:lem} s'applique 
avec $E=\Omega^p(M)^V$
et les formes propres associ�es � $\lambda_M^V$ sont 
$\varphi_t^*$-invariantes, donc $T^k$-invariantes.

 Si $\lambda_M$ est une valeur propre du laplacien agissant sur
$\Omega^p(M)$ et que $\lambda$ est strictement inf�rieure 
� la premi�re valeur propre de $T^k$, alors elle sera
\emph{a fortiori} inf�rieure � tous les $\lambda_{T^k}^V$ et
donc les formes propres de $\lambda_M^V$ dans $\Omega^p(M)^V$
sont $T^k$-invariantes. Comme
les $\Omega^p(M)^V$ sont stables par le laplacien, l'espace
propre de $\lambda_M$ est la somme des espaces propres restreints
aux $\Omega^p(M)^V$. Par cons�quent, toutes les formes propres
associ�es � $\lambda_M$ sont $T^k$-invariantes.
\end{demo}

\begin{demo}{du corollaire \ref{inv:cor}}
 L'hypoth�se sur la m�trique peut s'�crire $\bar g_x= f(x)\cdot\bar g$,
o� $f$ est une fonction positive sur $N$. On peut alors appliquer
le th�or�me \ref{inv:th2}. Il reste � montrer que si $\displaystyle
\lambda<\left(\frac\pi{d_0}\right)^2$ alors $\displaystyle
\lambda<(\sup_{x\in B}f(x))^{-1}\cdot\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)$.

Comme la m�trique resteinte � la fibre $\pi^{-1}(x)$ est
$f(x)\cdot\bar g$, la premi�re valeur propre de laplacien restreint
� cette fibre est $\frac{\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)}{f(x)}$.
De plus, la premi�re valeur propre d'un tore plat de diam�tre $d$
est minor�e par $(\frac\pi d)^2$, par cons�quent 
\begin{equation}
\frac{\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)}{f(x)}=\lambda_{0,1}(T^k,f(x)\bar g)
\geq\left(\frac\pi {d_x}\right)^2,
\end{equation}
 o� $d_x$ est le diam�tre
de la fibre $\pi^{-1}(x)$ pour la distance intrins�que, et donc
\begin{equation}
\displaystyle\frac{\lambda_{0,1}(T^k,\bar g)}{\sup_B f}
\geq\left(\frac\pi {d_0}\right)^2,
\end{equation}
ce qui ach�ve la d�monstration.
\end{demo}

L'exemple suivant montre que si on ne suppose pas que les fibres
sont homoth�tiques entre elles, une majoration du diam�tre des
fibres ne permet pas de majorer la fonction $f$ du th�or�me \ref{inv:th2}.

\begin{exemple}
On consid�re sur $\R^2$ muni de son syst�me de coordonn�s canonique 
la famille de m�trique $g_t=(\de x+t\de y)^2+\de y^2$. Ces m�triques
passent au quotient sur le tore $T^2=\R^2/\Z^2$. Quel que soit $t_0\in\R$,
il n'existe pas de constante $c>0$ telle que $g_t\leq c\cdot g_{t_0}$ pour
tout $t$. Cependant, le diam�tre de $(T^2,g_t)$ reste born� quand $t$
varie. En effet, le diff�omorphisme lin�aire $\smat{1&-1\\0&1}$ est
une isom�trie de $(T^2,g_t)$ dans $(T^2,g_{t+1})$, et par cons�quent 
le diam�tre de $(T^2,g_t)$ est une fonction p�riodique de $t$.
\end{exemple}

\begin{demo}{de la remarque \ref{inv:rem}}
 Il suffit de remarquer que dans le lemme \ref{inv:lem}, 
si la dimension du sous-espace propre $E_\lambda$ est impaire, 
la d�composition de cet espace en espace de repr�sentations
irr�ductibles contient n�cessairement une repr�sentation triviale, et
donc $E_\lambda$ contient des formes invariantes par $\varphi_t$. 
Dans le cas du th�or�me \ref{inv:th1}, les espaces propres de dimension
impaire du laplacien agissant sur $\Omega^*(M)$ contiennent donc des
formes $S^1$-invariantes.

 Dans le cas du th�or�me \ref{inv:th2}, si un espace propre du laplacien
est de dimension impaire, l'un des �l�ments de la d�composition
de Fourier de cet espace sera aussi de dimension impaire, et la remarque
pr�c�dente s'applique.
\end{demo}

\chapter{G�om�trie des fibr�s principaux en tores}\label{geom}
\section{M�triques adapt�es}
Nous allons ici montrer qu'on peut, dans le but d'obtenir le
th�or�me \ref{vol:th}, se ramener � une situation g�om�trique pour
laquelle l'�tude du spectre d'un fibr� en tore est plus simple. 
Cette situation est une g�n�ralisation de la notion de m�trique 
adapt�e d�finie dans le cas des fibr�s en cercle par B.~Colbois
et G.~Courtois (\cite{cc2}) :
\begin{df}
On dit que le couple de m�triques $(g,h)$ d�finies sur $M$ et $N$ 
respectivement est adapt� � la fibration principale
$T^k\hookrightarrow M^n\stackrel{\pi}{\rightarrow} N$ si:
\renewcommand{\theenumi}{\textsc{\roman{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi.}
\begin{enumerate}\label{geom:df}
\item $\pi:(M,g)\rightarrow (N,h)$ est une submersion riemannienne ;
\item L'action de $T^k$ sur $M$ est isom�trique ;
\item Les fibres sont totalement g�od�siques ;
\item Toute $1$-forme verticale $\omega$ induite par un �l�ment de 
$\mathcal G^*$ v�rifie $\de\omega=\pi^*(e(\omega))$.
\end{enumerate}
\end{df}

On veut montrer qu'une m�trique de courbure born�e
sur un fibr� principal en tore est proche d'une m�trique 
adapt�e:
\begin{theo}\label{geom:th}
 Soient $a$ et $d$ deux r�els strictement positifs, et
$T^k\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en tore. Il existe 
des constantes $\varepsilon_0(n,a,d,(N,h))>0$, $\tau(n,a,d,(N,h))>0$,
$\tau'(n,a,d,(N,h))>0$ et $c(n,a,d,(N,h))>0$
telles que si $|K(N,h)|\leq a$, $|K(M,g)|\leq a$, $\diam(M,g)\leq d$ et
si $\pi$ est une $\varepsilon$-approximation de Hausdorff avec $\varepsilon
<\varepsilon_0$, alors il 
existe des m�triques $\tilde g$ et $\tilde h$  sur $M$ et $N$ respectivement 
et une fibration $\pi': (M,\tilde g)\rightarrow(N,\tilde h)$  telles que 
\begin{enumerate}
\item Le couple $(\tilde g,\tilde h)$ est adapt� � la fibration $\pi'$;
\item $\displaystyle\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g$ et
$\displaystyle\frac 1\tau h\leq\tilde h\leq \tau h$;
\item La restriction de $\tilde g$ � la fibre est telle que 
$\diam(\pi'^{-1}(x))\leq\tau'\varepsilon$, pour tout $x\in N$;
\item La courbure sectionnelle de $(M,\tilde g)$ v�rifie
$|K(X,Y)|\leq c$, pour toute paire de vecteurs horizontaux orthonorm�s
$(X,Y)$.
\end{enumerate}
\end{theo}
On pourra alors appliquer le r�sultat de J.~Dodziuk selon
lequel si deux m�triques sont proches, alors les spectres du laplacien
pour ces deux m�triques sont proches aussi:
\begin{theo}[\cite{dz}]
Soit $g$ et $\tilde g$ deux m�triques riemanniennes sur une vari�t�
$M$ de dimension $n$, et $\tau$ une constante positive. Si les deux
m�triques v�rifient $\frac1\tau g\leq\tilde g\leq\tau g$, alors
$$\frac1{\tau^{3n-1}}\lambda_{p,k}(M,g)\leq\lambda_{p,k}(M,\tilde g)
\leq\tau^{3n-1}\lambda_{p,k}(M,g),$$
pour tout entiers $k\geq0$ et $p\in[0,n]$.
\end{theo}
\begin{remarque} Le th�or�me \ref{geom:th} implique en particulier
le th�or�me \ref{geom:th:intro}. La restriction sur la g�om�trie 
impos�e par le point 4 de la conclusion du th�or�me \ref{geom:th} permet 
de mieux contr�ler le spectre du laplacien. 
\end{remarque}

\begin{remarque} En vertu d'un th�or�me de Hermann (\cite{her},
\cite{bes} p.~249),
le fait que les fibres soient totalement g�od�siques implique 
qu'elles sont isom�triques entre elles. On va voir dans la d�monstration du
th�or�me \ref{geom:th} que r�ciproquement, sur les fibr�s consid�r�s, si
la m�trique est invariante et que les fibres sont isom�triques alors 
elles sont totalement g�od�siques.
\end{remarque}
\section{Situation de m�trique invariante}
 Nous allons dans un premier temps montrer que si on suppose qu'on 
a sur $M$ une m�trique invariante, elle est proche d'une m�trique
qui v�rifie les points (\textsc{i}) � (\textsc{iii}) de la d�finition 
\ref{geom:df}. Plus pr�cis�ment :
\begin{pr}\label{geom:pr}
Soit $T^k\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en tore muni d'une m�trique invariante $g$ tel que 
$\pi$ soit une submersion riemannienne. Pour tout $a>0$ et $d>0$,
il existe des constantes $\tau(n,a,d)>0$ et $c(n,a)>0$ telles
que si $|K(N,h)|\leq a$, $K(M,g)\geq -a$ et $\diam(M,g)\leq d$, 
alors il existe une m�trique invariante $\tilde g$ sur $M$ telle 
que la fibration $\pi:(M,\tilde g)\rightarrow(N,h)$ soit une 
submersion riemannienne � fibres totalement g�od�siques et
$$\frac 1\tau g\leq\tilde g\leq \tau g.$$
\end{pr}
\begin{remarque} On peut noter qu'on utilise non pas une hypoth�se
de courbure born�e sur $M$ mais seulement que la courbure sectionnelle
est minor�e.
\end{remarque}

Pour montrer la proposition \ref{geom:pr}, on utilisera les deux lemmes 
suivants. Le premier est une application directe de la formule de O'Neill:
\begin{lem}\label{geom:oneill}
Soit $a>0$ et $T^k\hookrightarrow (M^n,g) 
\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$ un fibr�
principal en tore muni d'une m�trique invariante $g$ tel que $p$
soit une submersion riemannienne, $|K(N,h)|\leq a$,
et $K_{(M,g)}(X,Y)\geq -a$ pour tout couple $(X,Y)$ de vecteurs 
horizontaux orthonorm�s.
Alors, pour toute $1$-forme diff�rentielle 
verticale $\omega$ induite par l'action de $T^k$, on a :
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle|\de\omega(X,Y)|_x^2\leq\frac{8a}3|\omega|_x^2$, pour tout 
$x\in M$ et tout couple de vecteurs horizontaux orthonorm�s $X$ et $Y$ ;
\item $\displaystyle\|\de\omega\|_\infty\leq\frac{4an(n-1)}3\|\omega\|_\infty$. 
\end{enumerate}
\end{lem}
\textbf{D�monstration:} Soit $x\in M$, $y=\pi(x)$, $\tilde X$ et $\tilde Y$ 
deux champs de $N$ orthonorm�s en $y$, et $X$ et $Y$ les relev�s de
$\tilde X$ et $\tilde Y$ � $M$. La formule de O'Neill (\cite{ghl}
p.~127, \cite{bes} p.~241) donne
\begin{equation}
K_N(\tilde X,\tilde Y)=K_M(X,Y)+\frac34\left|[X,Y]^V\right|^2,
\end{equation}
o� $[X,Y]^V$ d�signe la composante verticale de $[X,Y]$.
D'autre part on a, en utilisant le fait que $\omega$ est verticale, 
\begin{eqnarray}
\de \omega(X,Y)&=&X\cdot\omega(Y)-Y\cdot\omega(X)-\omega([X,Y])\nonumber\\
&=&-\omega([X,Y]).
\end{eqnarray}
On en d�duit :
\begin{eqnarray}
|\de \omega(X,Y)|_x^2&=&|\omega([X,Y])|_x^2\leq|\omega|_x^2|[X,Y]^V|_x^2
\nonumber\\
&\leq&\frac43|\omega|_x^2(K_y(\tilde X,\tilde Y)-K_x(X,Y)).
\end{eqnarray}
Comme chacun des couples $(\tilde X,\tilde Y)$ et $(X,Y)$ est orthonorm�
en $x$ et $y$, on a les majorations $|K_y(\tilde X,\tilde Y)|\leq a$ 
et $K_x(X,Y)\geq -a$, et donc
\begin{equation}
|\de \omega(X,Y)|_x^2\leq\frac{8a}3|\omega|_x^2.
\end{equation}
 Et comme l'in�galit� pr�c�dente est vraie quel que soit le choix
de $(\tilde X,\tilde Y)$, il en d�coule finalement
\begin{equation}
|\de\omega|_x^2\leq\frac{4an(n-1)}3|\omega|_x^2
\leq\frac{4an(n-1)}3\|\omega\|^2,
\end{equation}
ce qui ach�ve la d�monstration.
\hfill\carrenoir

Le second lemme montre, dans le cas d'un fibr� en cercle, qu'� courbure born�e, 
la longueur des fibres varie peu d'une fibre � l'autre. 
\begin{lem}\label{geom:lem2}
Soit $S^1\hookrightarrow (M^n,g)\stackrel{\pi}{\rightarrow} (N,h)$
un fibr� principal en cercle sur $N$, tel que $g$ soit invariante
et $\pi$ soit une submersion riemannienne. Pour tout $a>0$ et $d>0$, 
il existe $\tau(n,a,d)>0$ tel que si $|K(N,h)|\leq a$, $K(M,g)\geq -a$ 
et $\diam(M,g)\leq d$, alors pour tout $x,y\in N$, on a
$$\frac 1\tau l_y\leq l_x\leq \tau l_y,$$
o� $l_x$ et $l_y$ d�signent les longueurs des fibres au dessus de 
$\pi^{-1}(x)$ et $\pi^{-1}(y)$ respectivement.
\end{lem}
\textbf{D�monstration:} On choisit sur le fibr� $M$ une $1$-forme 
verticale $\omega$ dont l'int�grale sur chaque fibre est �gale � $1$.
Soit $U$ le champ vertical induit par l'action de $S^1$ qui v�rifie
$\omega(U)=1$. La norme $|U|$ de ce champ est
constante sur chaque fibre, et s'�crit $|U|=\pi^*f$, o� $f$ est une
fonction sur $N$. De plus, en tout point $x$ de $N$, la norme
$f(x)$ de $U$ est �gale � la longueur de la fibre au dessus de $x$.
On va montrer que $f$ est born�e en fonction de $a$ 
et $d$. Remarque : $\omega$ n'est pas la forme duale de $U$ pour
la m�trique. Sa norme ponctuelle sur la fibre $\pi^{-1}(x)$
est $|\omega|=\frac1f$, et on a $U^\flat=f^2\omega$.

Soit $x\in N$, et $\tilde X$ un vecteur unitaire tangent � $N$ en $x$.
Soit $\tilde X_i$ une base orthonorm�e de champs de vecteurs au voisinage 
de $x$, telle que $\LC_{\tilde X_1}\tilde X_1=0$ sur ce voisinage, et 
$\tilde X_{1|x}=\tilde X$.
On rel�ve cette base � $T^HM$ en notant $X_i=\pi^*(\tilde X_i)$ et
$X=X_1$.  Ces champs v�rifient 
\begin{equation}[X_i,U]=0.\end{equation}
En effet, ces crochets de Lie sont d�termin�s par $[X_i,U]=
\frac\de{\de t}(\Phi_t)_{*}X_i$, o� $\Phi_t$ est le flot induit par
le champ $U$. Par d�finition de $U$, ce flot correspond � l'action de
$S^1$ sur $M$. Les crochets de Lie sont donc nuls, car les champs $X_i$ 
sont $S^1$-invariants. On notera par ailleurs $U'$ le champ de norme $1$
d�fini par $U'=U/|U|$.

On va calculer la courbure sectionnelle $K(X,U)$ en fonction de 
$f$ et de ses variations (Remarque: le champ $U$ n'est pas norm�, 
mais ce calcul est plus simple que si on utilise le champ $U'$). 
Cette courbure s'�crit
\begin{eqnarray}
K(X,U)&=&\langle R(X,U)X,U\rangle\nonumber\\
&=&\langle\LC_U\LC_XX-\LC_X\LC_UX-\LC_{[X,U]}X,U\rangle,
\end{eqnarray}
o� $\langle\cdot,\cdot\rangle$ d�signe la m�trique. Le vecteur $\LC_XX$ 
est horizontal et vaut $\pi^*(\LC_{\tilde X_1}\tilde X_1)$ 
(voir \cite{bes} p.~239), et par cons�quent $\LC_XX=0$ au voisinage de $x$. 
Comme d'autre part $[X,U]=0$, on est ramen� � calculer
\begin{equation}
K(X,U)=-\langle\LC_X\LC_UX,U\rangle.
\end{equation}
Pour ce faire, on utilisera la formule suivante, qui caract�rise la
connexion de Levi-Civita:
\begin{eqnarray}\label{geom:lc}
2\langle\LC_{Z_1}Z_2,Z_3\rangle\!\!\!&=&\!\!\!Z_1\cdot\langle Z_2,Z_3\rangle
+Z_2\cdot\langle Z_3,Z_1\rangle-Z_3\cdot\langle Z_1,Z_2\rangle\nonumber\\
&&\!\!\!\!+\langle[Z_1,Z_2],Z_3\rangle-\langle[Z_1,Z_3],Z_2\rangle
-\langle[Z_2,Z_3],Z_1\rangle.\hspace{3mm}
\end{eqnarray}
En utilisant l'orthogonalit� de $(X_1,\cdots,X_n,U)$ et le fait
que $[X_i,U]$=0, on obtient
$$2\langle\LC_UX,U\rangle=X\cdot\langle U,U\rangle=X\cdot f^2=2f\de f(X)$$
et $$2\langle\LC_UX,X_i\rangle=-\langle[X,X_i],U\rangle,$$
et donc
\begin{equation}\label{geom:DUX}
\LC_UX=\de f(X) U'-\frac12\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U\rangle X_i.
\end{equation}
Le premier terme peut s'�crire $\de f(X) U'=\frac{\de f(X)}f U$, par
cons�quent
\begin{eqnarray}
\LC_X(\de f(X) U')&=&\left(X\cdot\frac{\de f(X)}f\right)U
+\frac{\de f(X)}f\LC_XU\nonumber\\
&=&\left(\frac{(\LC_X\de f)(X)}f+\frac{\de f(\LC_XX)}f
-\frac{(\de f(X))^2}{f^2}\right)U\nonumber\\
&&+\frac{\de f(X)}f\LC_XU\\
&=&\frac{\Hess f(X,X)}fU-\frac{(\de f(X))^2}{f^2}U+\frac{\de f(X)}f\LC_XU,
\nonumber
\end{eqnarray}
en utilisant le fait que $\LC_XX=0$. De plus, la relation (\ref{geom:lc})
donne $$2\langle\LC_XU,U\rangle=X\cdot|U|^2=2f\de f(X),$$ et donc
\begin{equation}\label{geom:K1}
\langle\LC_X(\de f(X) U'),U\rangle=f\Hess f(X,X).
\end{equation}

La d�rivation des termes suivants de (\ref{geom:DUX}) donne 
$$\LC_X(\langle[X,X_i],U\rangle X_i)=(X\cdot\langle[X,X_i],U\rangle)X_i
+\langle[X,X_i],U\rangle\LC_XX_i.$$
Quand on calcule le produit scalaire de cette expression avec $U$, le
premier terme s'annule, et comme la relation (\ref{geom:lc}) donne
$\langle\LC_XX_i,U\rangle=\langle[X,X_i],U\rangle$, il reste
\begin{equation}\label{geom:K2}
\langle\LC_X(\langle[X,X_i],U\rangle X_i),U\rangle=\langle[X,X_i],U\rangle^2.
\end{equation}
La somme des �quations (\ref{geom:K1}) et (\ref{geom:K2}) donne
\begin{equation}
K(X,U)=-f\Hess f(X,X)+\frac12\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U\rangle^2.
\end{equation}
En normalisant le vecteur $U$, on obtient
\begin{equation}
K(X,U')=-\frac{\Hess f(X,X)}f+\frac1{2f^2}\sum_{i=1}^n\langle[X,X_i],U
\rangle^2.
\end{equation}
Les derniers termes peuvent �tre major�s en fonction de la courbure. En
effet, on a
\begin{equation}
\langle[X,X_i],U\rangle=U^\flat([X,X_i])=f^2\omega([X,X_i])
=-f^2\de\omega(X,X_i),
\end{equation}
et donc, en vertu du lemme \ref{geom:oneill},
\begin{equation}
\langle[X,X_i],U\rangle^2\leq f^4\frac{8a}3|\omega|^2=\frac{8a}3 f^2.
\end{equation}
Par hypoth�se, la courbure sectionnelle de $M$ est minor�e par $-a$.
On a donc finalement :
\begin{equation}\label{geom:hess}
\frac{\Hess f(X,X)}f\leq \left(\frac{4n}3+1\right)a.
\end{equation}

Soient $x$ et $y$ deux points de $N$, et $\gamma$ une g�od�sique
minimisante joignant ces deux points. Notons $\mu$ la fonction
d�finie par 
\begin{equation}\mu(t)=\ln f\circ\gamma(t).\end{equation}
En d�rivant $\mu$ par rapport � $t$, on obtient :
\begin{equation}
\mu'(t)=\frac{\de f(\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}
\end{equation}
et
\begin{eqnarray}
\mu''(t)&=&-\left(\frac{\de f(\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}\right)^2
+\frac{\de f(\LC_{\gamma'(t)}\gamma'(t))+\LC\de f(\gamma'(t),\gamma'(t))}
{f\circ\gamma(t)}\nonumber\\
&=&-\mu'(t)^2+\frac{\Hess f(\gamma'(t),\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}.
\end{eqnarray}
On a donc, en vertu de la majoration (\ref{geom:hess}) :
\begin{equation}
\mu''(t)\leq\frac{\Hess f(\gamma'(t),\gamma'(t))}{f\circ\gamma(t)}
\leq\left(\frac{4n}3+1\right)a.
\end{equation}
Supposons que $x$ est un point o� $f$, et donc $\mu$, atteint son 
minimum. On a alors $\mu'(0)=0$ et donc, en remarquant que $d$ majore
le diam�tre de $N$,
\begin{equation}
\mu'(t)\leq\left(\frac{4n}3+1\right)at,
\end{equation}
et
\begin{equation}
\mu(t)\leq\frac{4n+3}6at^2\leq\frac{4n+3}6ad^2.
\end{equation}
Le rapport $\frac{f(y)}{f(x)}$ est donc major� par une constante
$\tau=\exp(\frac{4n+3}6ad^2)$. Comme on a montr� cette majoration 
en prenant pour $x$ un point o� $f$ atteint son  minimum, elle
sera vraie \emph{a fortiori} pour un $x$ quelconque.

 Remarque : si les fibre sont isom�triques, alors le champ $U$ est de
norme constante. Il est ais� de v�rifier � l'aide de (\ref{geom:lc})
que $\LC_U U$ est alors nul, c'est-�-dire que les fibres sont totalement
g�od�siques.
\hfill\carrenoir

\textbf{D�monstration de la proposition \ref{geom:pr}:}
 Le but est en fait de g�n�raliser le lemme \ref{geom:lem2}
aux fibr�s en tore pour montrer que $g$ est proche d'une m�trique
pour laquelle toutes les fibres sont isom�triques.

Soit $\bar U\in\mathcal G$ non nul et $U$ le champ vertical induit par 
$\bar U$ sur $M$. Soit $x_0\in N$. On choisit $\bar U$ de sorte que 
$|U|=1$ au dessus de $x_0$. De plus, on impose � $\bar U$ d'avoir un
coefficient directeur rationnel, c'est-�-dire que $\bar U$ est colin�aire
� un vecteur de $\Z^k\subset\mathcal G$. L'action du flot associ� �
$U$ induit alors une fibration $S^1\hookrightarrow M
\stackrel{\pi}{\rightarrow}(M',g')$. On peut contr�ler la courbure
de ce fibr�. En effet, utilisant la formule de O'Neill, on peut
�crire
\begin{eqnarray}
K_{M'}(\tilde X,\tilde Y)&=&K_M(X,Y)-\frac34|[X,Y]^V|^2\nonumber\\
&=&K_M(X,Y)-\frac34\frac{|\de\omega(X,Y)|^2}{|\omega|^2},
\end{eqnarray}
o� $\tilde X$ et $\tilde Y$ sont deux vecteurs orthonorm�s de $M'$,
$X$ et $Y$ leurs relev�s respectifs sur $M$, et $\omega$ la $1$-forme
induite par l'action de $T^k$ telle que 
$\omega(U)=1$. Le lemme \ref{geom:oneill} permet
de contr�ler le dernier terme en fonction de la courbure de $M$, et donc
\begin{equation}
K_{M'}(\tilde X,\tilde Y)\geq -a-2a=-3a.
\end{equation}
Le lemme \ref{geom:lem2} assure alors qu'il existe une constante 
$\tau(n,a,d)$ telle que 
\begin{equation}\label{geom:eq1}
\frac1\tau\leq|U|\leq\tau.
\end{equation}
Notons $\tilde g$ la m�trique invariante sur $M$ obtenue en modifiant 
$g$ dans la direction verticale de sorte que les fibres soient isom�triques
� $\pi^{-1}(x_0)$, et en conservant la distribution horizontale et la
m�trique horizontale associ�es � $g$. Pour cette nouvelle m�trique, la
norme de $U$ est uniform�ment �gale � 1.
La relation (\ref{geom:eq1}) peut s'�crire
\begin{equation}\label{geom:eq2}
\frac1{\tau^2}\tilde g(U,U)\leq g(U,U)\leq\tau^2\tilde g(U,U),
\end{equation}
Par continuit�, (\ref{geom:eq2}) s'�tend � n'importe quel vecteur vertical.
Comme $g$ et $\tilde g$ sont identiques sur la direction horizontale, 
on aura finalement
\begin{equation}
\frac1{\tau^2}\tilde g\leq g\leq\tau^2\tilde g.
\end{equation}

Pour conclure, remarquons que si la m�trique sur $M$ est telle que les 
fibres soient isom�triques, la fibration $S^1\hookrightarrow M
\stackrel{\pi}{\rightarrow}(M',g')$ induite par le champ $U$ est � fibre 
totalement g�od�sique. Par continuit�, les fibres du fibr� $T^k
\hookrightarrow M \rightarrow N$ sont elles aussi totalement g�od�siques.
\hfill\carrenoir

\section{Cas g�n�ral}

 On va maintenant d�montrer le th�or�me \ref{geom:th}. Pour ce faire, 
on va s'inspirer d'une d�monstration d'un th�or�me de Lott 
(\cite{lo}, th�or�me 2), qui utilise les r�sultats de \cite{cfg}.

 Soit $g$ une m�trique sur $M$ v�rifiant les hypoth�se du th�or�me 
\ref{geom:th}. Tout d'abord, en utilisant un r�sultat de r�gularisation
d'Abresch (\cite{cfg}, th�or�me 1.12), on construit une m�trique
$g_1$ sur $M$ telle que $\frac1{\tau_1}g\leq g_1\leq\tau_1g$,
$|K(M,g_1)|\leq a$ et 
$\|\LC^iR\|\leq A_i(n,a,\tau_1)$, o� $\tau_1>1$ est un r�el fix�, et
$\LC$ et $R$ d�signent respectivement la d�riv�e covariante et
le tenseur de courbure pour la m�trique $g_1$.

 On applique ensuite le th�or�me 2.6 de \cite{cfg}, qui assure l'existence
de constantes $\epsilon_0(n,(N,h))$, $\kappa(n,A)$, $\kappa'(n,A,(N,h))$
et $\kappa_i(n,A,(N,h))$ et d'une fibration $\pi':(M,g_1)\rightarrow
(N,h)$ tels que si $\pi$ est une $\varepsilon$-approximation de 
Hausdorff avec $\varepsilon<\epsilon_0(n,(N,h))$, alors :

\begin{itemize}
\item pour tout $x\in N$, le diam�tre de $\pi'^{-1}(x)$ pour 
la m�trique $g'$ est inf�rieur � $\kappa\varepsilon$;
\item la seconde forme fondamentale de la fibre v�rifie 
$\|I\!I_{\pi^{-1}(x)}\|_\infty\leq\kappa'$ pour tout $x\in N$;
\item la submersion $\pi'$ est $\kappa_i$-r�guli�re, c'est-�-dire que
$\|\LC^i\pi'\|_\infty\leq \kappa_i$, pour tout $i\in\N$.
\end{itemize}
Enfin, pour une telle fibration $\pi'$, les parties 3 et 4 de 
\cite{cfg} donnent la construction d'un m�trique $g_2$ sur $M$ qui
est $T^k$-invariante et telle que $|\LC^i(g_2-g_1)|\leq c(n,A,(N,h),i)$,
pour tout $i\in\N$. Cette derni�re �galit� assure l'existence d'une
constante $\tau_2(n,A,d,(N,h))$ telle que 
$\frac1{\tau_2}g_1\leq g_2\leq\tau_2g_1$, et permet aussi de contr�ler la
courbure pour la m�trique $g_2$.

On peut alors appliquer la proposition \ref{geom:pr}, qui nous
donne une m�trique $g_3$ qui v�rifie les points (\textsc{i}) � (\textsc{iii})
de la d�finition \ref{geom:df}.

Pour obtenir la m�trique $\tilde g$ du th�or�me \ref{geom:th}, il reste
� modifier la distribution horizontale de mani�re � ce que 
$\tilde g$ v�rifie le point (\textsc{iv}) de la d�finition \ref{geom:df}.
Remarquons tout d'abord que comme l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow
\mathcal H^2(N)$ est lin�aire, il suffit de montrer l'�galit�
$\de\omega=\pi'^*(e(\omega))$ pour une base de $\mathcal G^*$.
Soit $(\omega_i)$ une base de $\mathcal G^*$ orthonorm�e pour la
m�trique $g_3$. Pour chaque $i$, $\de\omega_i$ s'�crit
\begin{equation}
\de\omega_i=\pi'^*(\alpha_i+\de\beta_i),
\end{equation}
o� $\alpha_i$ est une forme harmonique et $\beta_i$ une forme coferm�e.
On d�finit une nouvelle forme verticale $\omega_i'=\omega_i-\pi'^*(\beta_i)$.
Cette forme v�rifie 
\begin{equation}\label{geom:eq3}
\de\omega_i'=\de\omega_i-\pi'^*(\de\beta_i)=\pi'^*(\alpha_i)\in\mathcal H^2(N).
\end{equation}
L'intersection des noyaux des formes $\omega_i'$ d�finit une nouvelle
distribution horizontale. On d�finit $\tilde g$ comme �tant la m�trique
sur $M$ telle que $\pi':(M,\tilde g)\rightarrow(N,h)$ soit une
submersion riemannienne et $\tilde g=g_3$ sur l'espace vertical.
Cette m�trique v�rifie le point (iv) de la d�finition \ref{geom:df}
du fait de (\ref{geom:eq3}).

On doit encore v�rifier $\tilde g$ est proche de $g_3$. Remarquons
que 
\begin{equation}
\tilde g-g_3=\sum_i(\omega'^2-\omega^2)=\sum_i(2\pi'^*(\beta_i)
\otimes\omega_i+\pi'^*(\beta_i)^2).
\end{equation}
Or, B.~Colbois et G.~Courtois ont montr� dans \cite{cc2} (lemme
A.32) qu'il existe
une constante $\kappa(n,a,d,(N,h))>0$ telle que les formes $\beta_i$ telles
qu'on les a d�finies v�rifient $\|\beta_i\|_\infty\leq\kappa$, ce qui permet de
conclure. Remarque: le lemme A.32 de \cite{cc2} utilise le fait
que pour la m�trique $g_3$, la norme de la seconde forme fondamentale 
est contr�l� et que la submersion $\pi'$ est $\kappa_i$-r�guli�re. Il n'est
donc pas �vident qu'on puisse obtenir le th�or�me \ref{geom:th} en supposant
que la m�trique initiale $g$ est invariante et en se passant des 
r�sultats de \cite{cfg}.

Enfin, il reste � montrer que la courbure de $(M,\tilde g)$ reste
born�e dans la direction horizontale. 
Soit $x\in N$, $\tilde X$ et $\tilde Y$ deux vecteurs orthonorm�s
tangents � $N$ en $x$, $\bar\omega$ une 
$1$-forme invariante de $T^k$, $\omega$ la $1$-forme induite sur $M$
pour la distribution horizontale associ�e � $g$ et $\omega'$
la $1$-forme induite pour la distribution associ�e � $\tilde g$.
Ces deux formes v�rifient $\de\omega'=\pi'^*(\alpha)$ et
$\de\omega=\pi'^*(\alpha+\de\beta)$, o� $\alpha$ est une $2$-forme
harmonique de $N$ et $\beta$ une $1$-forme de $N$.

D'apr�s la formule de O'Neill, il suffit pour contr�ler la courbure
sectionnelle $K_{(M,\tilde g)}(\pi'^*(X),\pi'^*(Y))$ de majorer
la norme de $[\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V$. Or, on peut �crire d'une part,
\begin{equation}
\omega'([\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V)=\de\omega'(\pi'^*(X),\pi'^*(Y))=\alpha(X,Y).
\end{equation}
D'autre part, on a
\begin{equation}\label{geom:li}
\|\alpha\|_\infty\leq \tau'(n,a,d)\|\alpha\|_2,
\end{equation}
d'apr�s \cite{li}, car $\alpha$ est harmonique, et
\begin{equation}
\|\alpha\|_2\leq\|\alpha+\de\beta\|_2=\|\de\omega\|_2\leq
\|\de\omega\|_\infty,
\end{equation}
en utilisant le fait qu'une forme harmonique est le plus petit
�l�ment de sa classe de cohomologie pour la norme $L^2$.
Enfin, le lemme \ref{geom:oneill} permet de contr�ler
la norme de $\de\omega$ en fonction de $a$ et $\|\omega\|_\infty$,
et la norme de $\omega$ est contr�l� en fonction de $\|\omega'\|_\infty$.
Comme la majoration
de $\omega'([\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V)$ obtenue est ind�pendante du choix
de $\bar\omega$, on a bien une majoration de $|[\pi'^*(X),\pi'^*(Y)]^V|$
en fonction de $n$, $a$ et $d$.
\hfill\carrenoir

\chapter{Petites valeurs propres des fibr�s principaux en tores}
\label{adap}
\section{Minoration du spectre des $1$-formes par le volume du fibr�}
 Les r�sultats des chapitres pr�c�dents nous permettent maintenant
de d�montrer le th�or�me \ref{vol:th}. On a vu qu'on pouvait
se ramener au cas d'un fibr� muni d'une m�trique adapt�e. On va donc
montrer le r�sultat du th�or�me \ref{vol:th} pour un fibr� v�rifiant
les conclusions du th�or�me \ref{geom:th}:
\begin{theo}\label{adap:th}
Soient $a>0$, $d>0$ deux r�els, $n$, $k$ et $m$ trois entiers
tels que $n=k+m$, et $(N^m,h)$ une vari�t� riemannienne. 
Il existe des constantes 
$c(n,a,d,(N,h))$ 
et $\varepsilon(n,a,d,(N,h))$ strictement
positives telles que si $\bar g$ est une m�trique sur le tore 
$T^k$  telle que $\diam(T^k)<\varepsilon$ et si 
$T^k\hookrightarrow M^n\rightarrow N$ est un fibr� principal
muni d'un couple de m�triques $(g,h)$ adapt� au fibr� et tel que 
$g=\bar g$ en restriction � la fibre, 
$\diam(M,g)<d$ et $|K_M(X,Y)|\leq a$ pour toute
paire $(X,Y)$ de vecteurs horizontaux orthonorm�s, alors on a
$$\lambda_{1,1}(M,g)\geq c\cdot \Vol^2(T^k).$$
\end{theo}
On s'est ici donn� comme hypoth�se que la m�trique sur $N$ est fix�e.
En effet, une hypoth�se sur la courbure ne nous sera pas suffisante.
On verra au paragraphe suivant dans quelle mesure on peut esp�rer
obtenir le m�me r�sultat avec des hypoth�ses plus faibles.

\textbf{D�monstration :}

Dans un premier temps, nous allons d�montrer le th�or�me dans
le cas o� le fibr� $M$ ne contient pas de sous-fibr� trivial,
c'est-�-dire quand  l'application $e:\mathcal G^*\rightarrow\mathcal H^2
(N,h)$ est injective. Nous g�n�raliserons ensuite le r�sultat 
� un fibr� principal quelconque. D'autre part, on se restreindra 
aux formes $T^k$-invariantes, en vertu des r�sultats du chapitre 
\ref{2001} (corollaire \ref{inv:cor}). En effet, le spectre des formes 
orthogonales aux formes invariantes sera minor� en fonction de 
la constante $\varepsilon$ du th�or�me, et on pourra toujours
choisir cette constante suffisamment petite de sorte que le
spectre des formes orthogonales aux formes invariantes soit
plus grand que le terme $c\cdot \Vol^2(T^k)$.

 Supposons donc $e$ injective. La d�monstration se d�roule en
deux �tapes. D'abord, on se ram�ne � l'�tude des valeurs
propres de l'op�rateur $e^*e$, l'adjoint �tant d�fini en munissant
$\mathcal H^2(N)$ de sa norme $L^2$ :

\begin{fait}\label{adap:ft1}
Il existe $\varepsilon(n,a,\lambda_{0,1}(N,h),\lambda_{1,1}(N,h))>0$ et 
$c(n,a,\lambda_{0,1}(N,h))>0$ tel que
pour toute $1$-forme $\varphi$ sur $M$ $T^k$-invariante et
orthogonale � $\Ker\Delta^1(M,g)$,
si le quotient de  Rayleigh de $\varphi$ v�rifie 
$R(\varphi)<\varepsilon$, alors il existe une forme $\omega$
induite par un �l�ment de $\mathcal G^*$ telle que 
$\|e(\omega)\|^2\leq c\cdot\varepsilon\|\omega\|^2$.
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
Soit $\varphi$ une $1$-forme diff�rentielle $T^k$-invariante 
de $M$. On peut �crire 
\begin{equation}\label{adap:phi}
\varphi=\pi^*(\alpha)+\sum_{i=1}^k \pi^*(a_i)\cdot\omega_i,
\end{equation}
o� $\alpha$ est une $1$-forme de $N$, $a_i$ des fonctions de $N$ et
$\omega_i$ les $1$-formes verticales induites par une base
orthonorm�e de $\mathcal G^*$. On a alors~:
\begin{equation}\label{adap:dphi}
\de\varphi=\pi^*(\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i)+
\sum_{i=1}^k\de \pi^*(a_i)\wedge\omega_i,
\end{equation}
o� $e_i$ d�signe l'image de $\omega_i$ par l'application
$e:\mathcal G^*\rightarrow\mathcal H^2(N)$.
De plus, pour tout $i$ on a 
$$\|\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)\|^2=
(\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i),\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i))=
(\pi^*(a_i)\omega_i,\de\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)),$$
o� $(\cdot,\cdot)$ d�signe le produit scalaire $L^2$.
Comme $\pi^*(a_i)\omega_i$ est une forme $T^k$-invariante, 
$\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)$ est une fonction invariante, c'est-�-dire 
que c'est le relev� d'une fonction sur $N$. Par cons�quent, 
$\de\codiff(\pi^*(a_i)\omega_i)$ est le relev� d'une $1$-forme
sur $N$, et est donc orthogonale � $\pi^*(a_i)\omega_i$. Finalement, on a:
\begin{equation}\label{adap:deltaphi}
\codiff\varphi=\pi^*(\codiff\alpha).
\end{equation}
On peut calculer pr�cis�ment quelles sont les $1$-formes harmoniques
de $M$. On sait d�j� que les formes harmoniques sont invariantes, donc de 
la forme donn�e en (\ref{adap:phi}). Si $\varphi$ est harmonique, on a
de plus $\de\varphi=0$ et $\codiff\varphi=0$, donc 
\begin{equation}
\codiff\alpha=0,\ \de a_i=0\text{ pour tout $i$, et } 
\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0.
\end{equation}
Comme les fonctions $a_i$ sont constantes, $\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i$ est
une $2$-forme harmonique de $N$, donc orthogonale � la forme exacte 
$\de\alpha$. On a donc $\Delta\alpha=0$ et $\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0$.
Comme $e$ est injective, les $e_i$ forment une famille libre, et donc
$a_i=0$ pour tout $i$. On obtient finalement que les formes harmoniques
de $M$ sont les relev�s des formes harmoniques de $N$.

Supposons que $\varphi$ est de norme $1$, c'est-�-dire que 
$\|\alpha\|^2+\sum_{i=1}^k\|a_i\|^2=1$. Le quotient de 
Rayleigh de $\varphi$ s'�crit alors
\begin{equation}\label{adap:eq1}
R(\varphi)=\|\codiff\alpha\|^2+\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i\|^2
+\sum_{i=1}^k\|\de \pi^*(a_i)\|^2.
\end{equation}
 Supposons que $R(\varphi)<\varepsilon$ pour un $\varepsilon>0$ donn�.
Comme $\|\alpha\|^2+\sum_{i=1}^k\|a_i\|^2$ est �gal � $1$, l'un
des termes de la somme est plus grande que $\frac1{1+k}$. Nous
allons distinguer les cas $\|\alpha\|^2>\frac1{1+k}$, et 
$\|a_p\|^2>\frac1{1+k}$ pour un $p\in[1,k]$.

Supposons $\|\alpha\|^2\geq\frac1{1+k}$ :

La forme $\varphi$ est orthogonale � $\Ker\Delta^1$, c'est-�-dire �
l'ensemble des relev�s de formes harmoniques de $N$. Par cons�quent,
la forme $\alpha$ est elle-m�me orthogonales aux formes harmoniques
de $N$, et donc $\|\de\alpha\|^2+\|\codiff\alpha\|^2\geq\lambda_{1,1}(N,h)$.

Si $\|\codiff\alpha\|^2\geq\|\de \alpha\|^2$, alors $\frac{\|\codiff\alpha\|^2}
{\|\alpha\|^2}\geq\frac{\lambda_{1,1}(N,h)}2$. Or, on a les
deux in�galit�s
\begin{equation}
\|\alpha\|^2\geq\frac1{k+1}
\end{equation}
et 
\begin{equation}
\|\codiff\alpha\|^2\leq R(\varphi)<\varepsilon,
\end{equation}
dont on peut d�duire la majoration
\begin{equation}
\frac{\lambda_{1,1}(N,h)}{2(k+1)}<\varepsilon.
\end{equation}
On peut choisir $\varepsilon$ suffisamment petit pour �liminer ce cas.

Si $\|\de \alpha\|^2\geq\|\codiff\alpha\|^2$, alors $\frac{\|\de
\alpha\|^2}{\|\alpha\|^2}\geq\frac{\lambda_{1,1}(N,h)}2$. On
peut d�duire de (\ref{adap:eq1}) que
\begin{equation}\label{adap:eq2}
\|\de\alpha+\sum_{i=1}^k a_i e_i\|^2<\varepsilon.
\end{equation}
On veut montrer � partir de (\ref{adap:eq2}) que puisque 
$\de\alpha$ est minor�, les $a_i$, et donc les $\de a_i$ le sont
aussi, ce qui contredira le fait que $R(\varphi)<\varepsilon$. 
Il d�coule de (\ref{adap:eq2}):
\begin{equation}
\|\de\alpha\|^2+\|\sum_{i=1}^k a_i e_i\|^2+2(\de\alpha,
\sum_{i=1}^k a_i e_i)<\varepsilon
\end{equation}
et donc
\begin{equation}
\frac{\lambda_{1,1}(N,h)}{2(k+1)}-\varepsilon<-2
(\de\alpha,\sum_{i=1}^k a_i e_i),
\end{equation}
De plus, en utilisant le fait que $e_i$ est harmonique,
donc coferm�e et qu'en restriction aux $1$-formes on a 
$\codiff=*\de*$, on obtient $(\de\alpha,a_i e_i)=
(\alpha,\codiff(a_i e_i))=(\alpha,*(\de a_i\wedge(*e_i)))$.
En appliquant ponctuellement l'in�galit� de Schwarz, on en d�duit
\begin{eqnarray}
(\de\alpha,a_i e_i)&\leq&
\int_N|\alpha||\de a_i\wedge(*e_i)|\de v\leq
\int_N|\alpha||\de a_i||e_i|\de v\nonumber\\
&\leq&\|e_i\|_\infty\int_N|\alpha||\de a_i|\de v = \|e_i\|_\infty
(|\alpha||\de a_i|)\nonumber\\
&\leq&\|e_i\|_\infty\|\alpha\|\|\de a_i\|\leq
\|e_i\|_\infty\|\de a_i\|
\end{eqnarray}
et finalement
\begin{equation}
\frac{\lambda_{1,1}(N,h)}4-\varepsilon<2\sum_{i=1}^k\|e_i\|_\infty
\|\de a_i\|.
\end{equation}
Comme selon le lemme \ref{geom:oneill}, $\|e_i\|_\infty$ est major� en
fonction de $a$ et $n$, on obtient si $\varepsilon$ est
suffisamment petit une minoration de 
$\sum_{i=1}^k\|\de a_i\|$, ce qui contredit le fait que
$\sum_{i=1}^k\|\de a_i\|^2<\varepsilon$.

En choisissant $\varepsilon$ suffisamment petit en fonction
de $\lambda_{1,1}(N,h)$, $a$ et $n$, on peut donc �carter le
cas $\|\alpha\|^2\geq\frac1{1+k}$.

Supposons $\|a_p\|^2\geq\frac1{1+k}$ :

Si on note $\bar a_i$ la valeur moyenne de la fonction $a_i$, on 
peut choisir la base $(\omega_i)$ de sorte que $\bar a_i=0$ pour
$i\geq2$ (il suffit de choisir comme nouveau $\omega_1$ la forme
diff�rentielle $\sum_{i=1}^k\bar a_i\omega_i$). 
On a alors 
\begin{equation}
\|\de a_i\|^2\geq\lambda_{0,1}(N,h)\|a_i\|^2 
\end{equation}
pour $i\geq2$ et 
\begin{equation}
\|\de a_1\|^2\geq\lambda_{0,1}(N,h)\|a_1-\bar a_1\|^2.
\end{equation}
Comme $\|\de a_i\|^2< \varepsilon$ pour tout $i$, on a donc
\begin{equation}
\|a_i\|_2^2<\frac\varepsilon{\lambda_{0,1}(N,h)}
\end{equation}
pour $i\geq2$ et 
\begin{equation}
\|a_1-\bar a_1\|_2^2<\frac\varepsilon{\lambda_{0,1}(N,h)}.
\end{equation}
En particulier, si $\varepsilon$ est suffisamment petit, on a $p=1$.

On peut alors �crire 
\begin{eqnarray}
\|\de\alpha+\sum_{i=1}^ka_ie_i\|^2&=&\|\bar a_1e_1\|^2
+\|\de\alpha+(a_1-\bar a_1)e_1+\sum_{i=2}^ka_ie_i\|^2\nonumber\\
&&+2(\bar a_1e_1,\de\alpha+(a_1-\bar a_1)e_1+\sum_{i=2}^ka_ie_i).
\end{eqnarray}
On a d'une part
$$(\bar a_1e_1,\de\alpha)=\bar a_1(\codiff e_1,\alpha)=0,$$
et d'autre part
\begin{eqnarray}
(\bar a_1e_1,a_ie_i)&\leq&
\|\bar a_1 e_1\|_2\cdot\|a_ie_i\|_2\leq
\|\bar a_1 e_1\|_2\|e_i\|_\infty\|a_i\|_2\nonumber\\
&<&\|\bar a_1 e_1\|_2
\frac{\sqrt\varepsilon\|e_i\|_\infty}{\lambda_{0,1}(N,h)},
\end{eqnarray}
cette derni�re in�galit� restant vraie pour $i=1$ en rempla�ant
$a_i$ par $(\bar a_1-a_1)$.

Comme $\|\de\alpha+\sum_{i=1}^ka_ie_i\|^2<\varepsilon$, on a finalement
$$\|\bar a_1e_1\|^2<2|
(\bar a_1e_1,\de\alpha+(a_1-\bar a_1)e_1+\sum_{i=2}^ka_ie_i)|
+\varepsilon$$
et donc 
\begin{equation}
\|\bar a_1e_1\|^2-\frac{2n\sqrt\varepsilon\|e\|}{\lambda_{0,1}(N,h)}
\|\bar a_1e_1\|-\varepsilon<0.
\end{equation}
On en d�duit que $\|\bar a_1e_1\|$ est encadr� par les racines du
polyn�me $X^2-\frac{2n\sqrt\varepsilon\|e\|}{\lambda_{0,1}(N,h)}X-
\varepsilon$, et en particulier major� par sa plus grande racine.
Comme $\|e\|$ est major� en fonction de $n$ et de la borne
sur la courbure (lemme \ref{geom:oneill}), 
la plus grande racine du polyn�me s'�crit comme
une constante d�pendant de $n$, $a$ et $\lambda_{0,1}(N,h)$, multipli�e par
$\sqrt\varepsilon$. On obtient donc le r�sultat souhait� en
prenant comme $\omega$ la forme $\bar a_1\omega_1$.
\hfill\carrenoir


 On va maintenant minorer le spectre de $e^*e$ en fonction du
volume de la fibre $T^k$.


\begin{fait}\label{adap:ft2}
Il existe une constante $c(n,a,(N,h))>0$ telle que
la premi�re valeur propre de $e^*e$ soit minor�e par 
$c\cdot\Vol(T^k)^2$.
\end{fait}

\textbf{D�monstration :}
 Soient $\lambda_1,\cdots,\lambda_k$ les valeurs propres de $e^*e$
class�es dans l'ordre croissant. Comme $e$ est injective, ces
valeurs propres sont non nulles et la premi\`ere v�rifie
\begin{equation}
\lambda_1=\frac{\prod_i\lambda_i}{\prod_{i\neq1}\lambda_i}
=\frac{\Det(e^*e)}{\prod_{i\neq1}\lambda_i}.
\end{equation}
Par ailleurs, les valeurs propres de $e^*e$ v\'erifient
$\lambda_i\leq\|e^*e\|$, donc
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{\Det(e^*e)}{\|e^*e\|^{k-1}}\geq\frac{\Det(e^*e)}
{\|e\|^{2k-2}}.
\end{equation}

L'image de $e$ est un sous-espace de $\Ker \Delta^2(N)$ de
dimension $k$, engendr� par un sous-r�seau du r�seau des
formes harmoniques enti�res de $N$. Si on restreint $e$ et
$e^*$ � ce sous-espace, on peut �crire 
$\Det(e^*e)=(\Det e)^2$, o� $\Det e$ est le d�terminant d'une
matrice de $e$ �crite dans des bases orthonorm�es de 
$\mathcal G^*$ et $\Ima e$, ce qui donne 
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{(\Det e)^2}{\|e\|^{2k-2}}.
\end{equation}

 Le lemme \ref{geom:oneill} donne une majoration de $\|e\|$ en fonction
de $n$ et de la borne $a$ sur la courbure de $M$, il ne reste 
donc qu'\`a minorer $\Det e$. Notons $\Det' e$ le d�terminant de la
matrice de $e$ dans la base canonique de $\mathcal G^*={\R^k}^*$ 
et une base orthonorm�e de $\Ima e$. On a alors
$\Det e=(\Det' e)(\Vol T^k)$. Comme les images dans $\Ker\Delta^2(N)$
des �l�ments de la base canonique de $\mathcal G^*$ sont des formes 
enti�res, le d�terminant $\Det' e$, qui est aussi le volume de 
$e([0,1]^k)$, est un multiple du volume d'un domaine fondamental 
du r�seau des formes enti�res dans $\Ima e$. Comme par ailleurs
$\Det' e$ est non nul, il sera donc minor� par le volume
de ce domaine fondamental. Si on note $\rho$ le minimum des normes
des $2$-formes harmoniques enti�res non nulles, ce volume 
est minor� par le volume d'une boule de rayon $\frac\rho2$ dans 
$\Ima e$, et donc minor� par une constante ne d�pendant que de 
$n$ et de la m�trique $h$ de $N$. On peut donc bien �crire
$$\lambda_1\geq c(n,a,(N,h))\cdot\Vol(T^k)^2.$$

\hfill\carrenoir

 Nous allons maintenant supposer que $e$ n'est pas injective. Notons
$l$ la dimension de son noyau. Le premier nombre de Betti de $M$ est
alors $b_1(N)+l$. En effet, on a vu que si une $1$-forme $\varphi=
\pi^*(\alpha)+\sum_{i=1}^k \pi^*(a_i)\cdot\omega_i$ est harmonique, cela
signifie, d'apr�s (\ref{adap:dphi}) et (\ref{adap:deltaphi}) :
\begin{equation}
\Delta\alpha=0,\de a_i=0\text{ pour tout $i$, et }\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0.
\end{equation}
 Comme les fonctions $a_i$ sont constantes. L'ensemble des $a_i$ tels
que
$\sum_{i=1}^k a_i\cdot e_i=0$ est exactement le noyau de $e$.
L'espace des formes harmoniques de $M$ est donc l'espace
engendr� par les relev�s des formes harmoniques de $N$ et les
formes verticales induites par les �l�ments de noyau de $e$.

 On peut reprendre la d�monstration pr�c�dente en prenant pour
$(\omega_i)_i$ une base de $\mathcal G^*$ telle que $\omega_{k-l+1},
\cdots,\omega_k$ soit une base de $\Ker e$ (le fait que la
forme $\varphi$ est orthogonale aux formes harmoniques se traduit
par le fait que $a_{k-l+1},\cdots,a_k=0$) et en �tudiant $e^*e$
restreint � l'orthogonal de $\Ker e$. On obtient de la m�me fa�on
le r�sultat du fait \ref{adap:ft1}, � savoir que la premi�re valeur 
propre du laplacien sur $M$ est minor�e � une constante multiplicative 
pr�s par la premi�re valeur propre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$.

Pour minorer le spectre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$, on doit
�tre un peu plus attentif dans la manipulation des bases de 
$\mathcal G^*$.

 Soit $\mathcal B=(\omega_1,\cdots,\omega_k)$ une base orthonorm�e de 
$\mathcal G^*$ et $\mathcal B'=(\omega_1',\cdots,\omega_k')$ une
base du r�seau des entiers de $\mathcal G^*$, telles que 
$(\omega_1,\cdots,\omega_l)$ et $(\omega_1',\cdots,\omega_l')$ soient
des bases de $\Ker e$ (comme l'image du r�seau des entiers de $\mathcal G^*$
est contenue dans un r�seau, le noyau de $e$ est effectivement engendr�
par des �l�ments entiers). La matrice de passage de $\mathcal B$ � 
$\mathcal B'$ est de la forme $$P=\left(\begin{array}{cc}P_1 & P_2\\
0 & P_3\end{array}\right),$$ o� $P_1$ est un bloc carr� de taille $l$.
Si se donne une base orthonorm�e de $\Ima e$, la matrice de $e$ 
s'�crit sous la forme $(0,A)$ dans la base $\mathcal B$ et 
$(0,A')$ dans la base $\mathcal B'$, o� $A$ et $A'$ sont des
blocs carr�s de taille $k-l$ et v�rifient $A'=AP_3$.

Le spectre de $(e^*e)_{|(\Ker e)^\perp}$ est celui de $A^*A$. On peut 
�crire, comme dans la d�monstration du fait \ref{adap:ft2}~:
\begin{equation}
\lambda_1\geq\frac{\Det A^*A}{\|A^*A\|^{k-l-1}}
\geq \frac{(\Det A)^2}{\|A\|^{2(k-l-1)}},
\end{equation}
o� $\lambda_1$ est la premi�re valeur propre non nulle de $e^*e$.
De plus, on a $\Det A'=\Det A\cdot\Det P_2$ et donc
\begin{equation}
\Det A=\frac{\Det A'}{\Det P_3}=\Det A'\frac{\Det P_1}{\Det P}.
\end{equation} 
Le d�terminant de $A'$ est, comme pr�c�demment, minor� par le covolume
du r�seau des formes enti�res dans $\Ima e$, et $\Det P$ 
s'interpr�te g�om�triquement comme l'inverse du volume de $T^k$. 

Il reste � minorer $\Det P_1$. Comme $\Ker e$ est engendr� par des
�l�ments entiers de $\mathcal G^*$, l'orthogonal de $\Ker e$ pour la
dualit� d�finit un sous-tore $T^{k-l}$ de $T^k$. De plus, le dual de 
de l'alg�bre de Lie $\mathcal G(T^k/T^{k-l})$ du quotient $T^k/T^{k-l}$
est isomorphe � $\Ker e$. La matrice $P_1$ est donc la matrice de passage
d'une base orthonorm�e de $\mathcal G^*(T^k/T^{k-l})$ dans une base du
base orthonorm�e de $\mathcal G^*(T^k/T^{k-l})$ dans une base du
r�seau des entiers de $\mathcal G^*(T^k/T^{k-l})$, et par cons�quent
$\Det P_1$ est l'inverse du volume de $T^k/T^{k-l}$ pour la m�trique
quotient. Le diam�tre de $T^k/T^{k-l}$ est major� par $\varepsilon$,
comme celui de $T^k$, et par cons�quent son volume aussi.\hfill\carrenoir
\section{Petites valeurs propres et norme des $2$-formes harmoniques 
enti�res}
 Nous allons ici discuter de la valeur de la constante $c(n,a,d,(N,h))$
du th�or�me \ref{adap:th}, et en particulier de la mani�re dont elle
d�pend de la m�trique $h$ sur $N$.

 Dans la d�monstration du th�or�me, la g�om�trie de $N$ intervient quatre
fois: on a besoin de contr�ler sa courbure pour appliquer la formule
de O'Neill et majorer les $\|e_i\|$; en \ref{adap:ft1} apparaissent
les valeurs propre $\lambda_{1,1}(N,h)$ et $\lambda_{0,1}(N,h)$; enfin
on fait intervenir en \ref{adap:ft2} le minimum des normes des
2-formes harmoniques non nulles dont la classe de cohomologie est enti�re.

 On peut noter que dans la d�monstration du fait \ref{adap:ft1}, on
a seulement besoin d'une minoration des deux valeurs propres
$\lambda_{1,1}(N,h)$ et $\lambda_{0,1}(N,h)$. L'id�e est en fait
de s'assurer que le spectre de $(N,h)$ n'interf�re pas dans la
recherche des petites valeurs propres de $M$. On sait par ailleurs
que $\lambda_{0,1}(N,h)$ peut �tre minor� en fonction du diam�tre
et de la courbure de $N$ (cf. th�or�me \ref{intro:th2}), 
et $\lambda_{1,1}(N,h)$ en fonction du diam�tre, de la courbure et
du rayon d'injectivit� de $N$ (th�or�me \ref{intro:th3}). En outre,
une borne sur la courbure est aussi suffisante pour appliquer la formule
de O'Neill.

La d�monstration du fait \ref{adap:ft2} introduit quand � elle
la constante
\begin{equation}
\rho(N,h)=\inf_{\stackrel{\alpha\in\mathcal H^2(N,h)\backslash\{0\}}
{[\alpha]\in H^2(N,\Z)}}\|\alpha\|_2
\end{equation} 
dans la minoration de la premi�re valeur propre du laplacien.
Il est naturel de se demander si l'on peut contr�ler $\rho(N,h)$
� l'aide des m�mes invariants g�om�triques que $\lambda_{0,1}(N,h)$
et $\lambda_{1,1}(N,h)$:
\begin{question}\label{adap:q1}
Existe-t-il une constante $c(n,a,d,r)>0$ telle que si $(N^n,h)$ est une
vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$
et $\injrad(N,h)\geq r$, alors $\rho(N,h)\geq c$ ?
\end{question}

Un argument de compacit� permet de montrer qu'avec
l'hypoth�se de rayon d'injectivit� minor�e, on peut r�pondre
affirmativement � la question \ref{adap:q1}.
\begin{pr}
Pour tout r�els $a,d,r>0$ et tout entier $n\in\N^*$, il
existe une constante $c(n,a,d,r)>0$ (non explicite) telle que si 
$(N^n,h)$ est une vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ 
et $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$, alors $\rho(N,h)\geq c$.
\end{pr}
\textbf{D�monstration :}
 On consid�re le tore $T=T^{b_2(N)}$, vu comme quotient de 
$\mathcal H^2(N,h)$ par le r�seau des formes harmoniques enti�res.
La m�trique $h$ sur $N$ induit une norme euclidienne sur $\mathcal H^2(N,h)$
qui passe au quotient sur $T$ en une m�trique plate $\bar h$. Minorer
$\rho(N,h)$ revient � minorer le rayon d'injectivit� de $(T,\bar h)$.

On sait (\cite{ach}) que l'espace des m�triques $h$ sur $N$ telles
que $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$
est relativement compact pour la topologie $C^\alpha$. 
De plus, la m�trique $\bar h$ d�pend continument de $h$. En effet,
si on se donne un r�el $\varepsilon>0$ et une m�trique $h$ sur $N$,
on aura, pour toute m�trique $h'$ suffisamment proche de $h$ et toute
$2$-forme $\alpha$ harmonique pour la m�trique $h$, 
$\left|\|\alpha\|_2-\|\alpha\|'_2\right|\leq \varepsilon\|\alpha\|_\infty$, 
o� $\|\cdot\|_p$ et $\|\cdot\|'_p$ d�signent les normes pour les m�triques 
$h$ et $h'$ respectivement. Comme � courbure et diam�tre born�s, la norme
$L^\infty$ des formes harmoniques est contr�l�e par leur norme
$L^2$ (cf. \cite{li} et in�galit� (\ref{geom:li})), on peut �crire
$\left|\|\alpha\|_2-\|\alpha\|'_2\right|\leq\tau(n,a,d)
\varepsilon\|\alpha\|_2$. Si $\alpha'$ est le repr�sentant harmonique
pour $h'$ de la classe de cohomologie de $\alpha$, on peut donc finalement
trouver un voisinage $\mathcal V$ de $h$ tel que pour toute m�trique
$h'$ dans $\mathcal V$,
\begin{equation}
\|\alpha'\|'_2\leq\|\alpha\|'_2\leq(1+\varepsilon)\|\alpha\|_2.
\end{equation}
Quitte � restreindre le voisinage $\mathcal V$, on a r�ciproquement 
\begin{equation}
\|\alpha\|_2\leq(1+\varepsilon)\|\alpha'\|'_2,
\end{equation}
ce qui implique bien la continuit� de $h\rightarrow \bar h$.
L'ensemble d�crit par $\bar h$ quand $h$ varie est donc relativement 
compact dans l'espace des m�triques plates du tore. Il existe par
cons�quent une m�trique
sur $T$ qui r�alise la borne inf�rieure du rayon d'injectivit� de $T$
quand $h$ varie. En particulier, cette borne inf�rieure est non nulle
\hfill\carrenoir

 On peut se demander si le r�sultat reste vrai avec des hypoth�ses
plus faibles :
\begin{question}\label{adap:q3}
Existe-t-il une constante $c(n,a,d)>0$ telle que si $(N^n,h)$ est une
vari�t� riemannienne v�rifiant $\diam(N,h)\leq d$ et $|K(N,h)|\leq a$
et alors $\rho(N,h)\geq c$ ?
\end{question}

Il faut noter par ailleurs qu'une minoration non explicite ne permet 
pas d'am�liorer les minorations d�j� connues de la premi�re valeur propre 
du spectre. On a besoin d'estimations pr�cises :
\begin{question}\label{adap:q2}
Si $\diam(N,h)\leq d$, $|K(N,h)|\leq a$ et $\injrad(N,h)\geq r$, 
peut-on minorer $\rho(N,h)$ par une constante explicite $c(n,a,d,r)>0$ ?
Plus pr�cis�ment, peut-on trouver une constante $c$ de la forme
$c'(n,a,d)\cdot\Vol(N,h)^{\alpha(n)}$ ou 
$c'(n,a,d)\cdot\injrad(N,h)^{\alpha(n)}$ ?
\end{question}
 On peut noter qu'expliciter le r�le du volume de $N$ dans cette
minoration permet d'obtenir dans le th�or�me \ref{adap:th} une minoration
de $\lambda_{1,1}(M,g)$ en fonction du volume de $(M,g)$.

\renewcommand{\bibname}{R�f�rences}
\begin{thebibliography}{BBG85}
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\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
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