��������� � ����������� �����������
�.~������
�.~�����
math0506580.tex
\documentclass{article}
\usepackage{amssymb, amsfonts, amsmath, amsthm}

\usepackage[russian]{babel}
\newtheorem{theorem}{�������}
\newtheorem{prop}{�����������}
\newtheorem{lemma}{�����}
\newtheorem{cor}{���������}
%\newtheorem{cor}[theorem]{���������}
\newtheorem{claim}{�����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%��� �������� ���������
%\newtheorem{theorem}{�������}[section]
%\newtheorem{prop}[theorem]{�����������}
%\newtheorem{lemma}[theorem]{�����}
%\newtheorem{cor}[theorem]{���������}
%\newtheorem{claim}[theorem]{�����������}
%\newtheorem{remark}[theorem]{���������}
%\newtheorem{remarks}[theorem]{���������}
%\newtheorem{rem}[theorem]{���������}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\theoremstyle{plain}  % bold headers and italic bodies

%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{remark}{���������}
\newtheorem{remarks}{���������}
%\newtheorem*{rems}{���������}
\newtheorem{rem}{���������}
%\newtheorem*{remark}{���������}
%\newcommand{\vo}[1]{\ensuremath{\widetilde{#1}}}
%\newcommand{\Ave}{\operatorname{Ave}}
%\newcommand{\const}{\operatorname{const}}
%\renewcommand{\a}{\ensuremath{\alpha}}
%\newcommand{\intr}{\operatorname{int}}

\DeclareMathOperator{\diam}{diam}  % diameter
\DeclareMathOperator{\sys}{sys}  % systola
\DeclareMathOperator{\doubl}{doubl}  % doubling
\DeclareMathOperator{\length}{length}  % length
\DeclareMathOperator{\intr}{int}  % ������������
\DeclareMathOperator{\dil}{dil}    % dilatation

\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\ep}{\epsilon}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\te}{\theta}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\de}{\delta}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\Ga}{\Gamma}


\newcommand{\rarrow}{\rightarrow}
\newcommand{\larrow}{\leftarrow}
\newcommand{\lsc}{\langle}
\newcommand{\rsc}{\rangle}
\newcommand{\tr}{\triangle}
\newcommand{\an}{\angle}
\newcommand{\D}{\partial}

\newcommand{\ov}{\overline}
\newcommand{\R}{\mathbb R}   % might be the standard \mathbf style



\begin{document}
\title{��������� � ����������� �����������}

\author{ �.~������, �.~������, �.~�����}
\thanks{������������ ������ ���� ������� �������� ���������� ������� ���� 05-01-00939}

\date{}

\maketitle

��� ������������ �����, ���� �� ��������� ���������, ��  ����� � ����
��������� �������� ������������.
��� ��������, ������� ��������� �� ����������� $M$ ����������
�����������, ���� ������ �������� ����� ����������� ����� � ���� �����������
���

$$ds^2=du^2+2\cos \theta(u,v) dudv+dv^2.$$

����� �������, ��� ������������ ����� ��������������� ������ ����,
� $ \theta(u,v)$ --- ���� ����� ������������� �������.

������� ���������� (��., ��������, \cite[���. 413]{Bak_Ver_Kant}
%\cite{Hopf}, ����� 2.3 �� ���.178)
����������, ��� �� ������ ����������� �����������,
��� ������� $|\iint KdS|>2\pi$,
������  ����������� ���������� ����� �� ������������.
����� $K$ --- �������� ��������, �
$S$ --- �������.

��� ����� ������������ �������, ��� ������� �����
���������� �������� ����������. ������ � ���������� 2-�������������� �� �����
������������� ����� ����� ����� {\em ������������ ������������} (``���������� ����� ���������
������������ ������������ ��������'').
����  ����� ��������  � ���� ���
2-������������ � ���������� ���  �������������� ��\-���\-��\-��, ��� � �� �����������
������� ��� ������� ����������� �������������� �������� � ���������� ���������
������������, ��������� ��. \cite{AlexZalg}
��� \cite{Reshetnyak}.

�.~�.~��������� ���� �������� ������������� ��������� ����������� ���������
� ������������ � �� ����� ������������� �������������.
������ ����������� ���������  ����������� �.~���������� \cite{Bakelman},
������� �������, ��� ��  ����������� ������������ ����� ���������
������ ����������� ���� �� ����  ������� ����� ����� �������������� ��������������,
���� ������ ������������� � ������������� ����� ������������ �������� ����� �������
��� ������ $\frac{\pi}{2}$. �������� ������, ��� ��� ������� ����
��������� ����������.

����� ����� �������
���������, �� ������ �  ������ $C^\infty$-������� ��������� ������������, ��� �������
�.~�������� � �.~��������  \cite{SmlsDyw}:
��� ��� �� �������� �� �������� ���
�������� ������������� ������ ����������� ����  �� ������ �����������
$C^\infty$-������� �����������. �� �������������� � �������� ����� ����� ---
�������������. ��� ��������, ������ � ��������� ������������� ����������� ���������
�������� � ������� ������������ ��������������� ������������� ������� ���������
������� �������; � \cite{SmlsDyw} ��� ������� ������ ������� ������ \cite{LadShub}.
\medskip

�� �������, ��� �� ����������  �.~���������� ������� ����� �������.

\begin{theorem}
\label{thm1}
����� $M$ --- ������ ����������� ����������� ������������,
��������������� �������� $\omega^+(M)<2\pi, \;\omega^-(M)<2\pi$.
����� �� $M$ ��\-��\-����\-�� ������
����������� ������� ���������.

���� ��  $\omega^+(M)<2\pi-\ep, \;\omega^-(M)<2\pi-\ep$, ��� $\ep>0$,
�� ���������� ����� ����������� ����, ��� ���� ����� ������������� �������
���������� �������� ��  0 � $\pi$ (��������, ������
$\ep/4$).
\end{theorem}

����� $\omega^+$     � $\omega^-$    --- ������������� � �������������
�������� $M$, ��������������� ���
����; � ������ ��������� �������

\centerline{$\omega^+(M)=\iint_M K^+dS,\quad \omega^-(M)=\iint_M K^-dS$,}

\noindent ���
 $a^+=\max\{a, 0\},\;a^-=\max\{-a, 0\}$.

 ��� ���� ��������, ������� ������� �������� �������������.


��� �������������� ���� �� ���������� ������� $M$ ����� ���������������
�������������� �� ������ ������� ���, �����
��� ������� �� ��� ����������� ������� ������� �.~����������.
������ ����� ��������� �� ������ �������� � ����������� ����������
��������� ���������.

�� ����� ���� �����������   �.~����������  ���������� ���������
����� ����� �����������, ��� ���� ��������� ����. ������,
���������� �� ������ ����������� ��\-����\-��\-���\-���
����������� ������������ ������ $Q$, ������������ �������
$\gamma_1, \;\gamma_2$ � ����� ������� $p=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)$
� ������� �������. ��������� ����� $\tau$ ������� � ����������
������� ������� ������� $Q$, �� ������� ��� �������. �������
��������������� ��� ������� ��������� (�����); �����
$\tau^+,\;\tau^-$ ��������� ������������� � ������������� �����
������ $\tau$. (� ������ ������� ������ $\gamma\colon (0,a)\to M$
�� ��������� 2-������������ $M$ \; $\tau^\pm (E)=\int_E k_g^\pm
ds$, ���  $k_g$ --- ������������� �������� �� ������� $Q$, �
�������������� (�� ����� ����) ������� �� ��������� $E\subset
(0,a)$.) �������, �������
$\tilde\omega^\pm(M)=\omega^\pm(M)+\tau^\pm(\gamma_1)+\tau^\pm(\gamma_2).$


\begin{theorem}
\label{Bak}
{\em (�.~���������)}
���� ��� ������� $Q$ ��������� �������:
$$
\tilde\omega^+(Q)<\alpha, \quad \tilde\omega^-(Q)<\pi-\alpha,
$$
��� $\alpha$ --- ���� ������� $Q$ � ��� ������� $p$,
�� �  $Q$ ���������� ����� ����������
����������� ������� ���������, ��� ������� ������ $\gamma_1, \;\gamma_2$
�������� ������������� �������.

��� ���� ������� ���� �������� �� 0 � $\pi$    ��������� �������
$\alpha-\tilde\omega^+(Q)$ � $\pi-\alpha-\tilde\omega^-(Q)$.
\end{theorem}

����, ��� ��� �������������� ������� \ref{thm1}
���������� ������� $M$
�� ������ �������, ��������������� �������� ������� \ref{Bak}.
����� ��������� ���������� ����������� ������ � ������
���������  ���  ������������� �������, ��� ��� ����� ����� ����� ������
���������� ����������� ���������� ���������.
\medskip

�������� ������������� ����������� ��������� ����� ������� � �������� ��
��������, ��� ������� ����� ����� ������������� ���������� �����������
�����������  � ��������������� ����������� �������,
��. \cite{BelBur, Bur}. ����� ������, ���������� ������� ����������� ����� ������� ����,
�.~�. ����� $\min \{\inf\theta,\,\inf(\pi-\theta)\}$.

���� ��� $\omega^-(M)>2\pi$ ����������� $M$ ����� �� ��������� ����������� ���������,
�� ��� ��� �� ����� ������ ``����������� ����������'' � ���������� � ��������
����� �����, � ����� ���������� ����������
������������ ������������ ����������� �� ��������� � ��������������,
���������� �������.
��������, ��� ������������, ������������ ���������, �.~������ � �.~������
� \cite{BonkLang} ��������, ���
��� ������� $\omega^+(M)<2\pi-\ep<2\pi, \;\omega^-(M)<C<\infty$
����������� $M$ ����������� ������������ ��������� � ���������� �������
$ \ep^{-\frac12}(2\pi+C)^{\frac12}$. �� �������������
``����������� ���������� � �����������'' ���������� ������� �����������
(�.~�. � ������ ����������) ������� �����--�����.

�������������� ������������� ����������� ��������� � ����������� ������������� ����������
���������� �.~����������; �� �������� ��� ����������� � �������,
�������� ������, ��� ���� �������� ������� �� ����������� � ������������� ��������;
����� ������ ���������� ���������� ���������. � �������� ������� \ref{Bak},
������ � ������������� ��������
����� ������� �� ������� ���������������, ����������� ��
����� �������� � ���������� ������� �� ����� � ��������. ��� ���������� ���������
������ �������������� ���������� ������������� ���������������� ��  $\R^2$ �� ���������
��� �� �����, ��� ��� ����� ��������������� �������� ������ � ���������� ���������.
� ������ ������� ������� ������������� �������� ������� ������
�� ���������������, ���������� �������,
����� ��������� ����������. ������ ����� �������� �����������, ��������
���������� �����, ��� ������� ���������������� � ��������� �������� � ������� (�����
������ ����� �������� �����) � ��������� ����� ���������������� �� ��� �� �����������
������������� ��������������� ���������� ���������.
 \medskip

�����  $M$ --- ������ ����������� �������� 2-������������.
������� {\em �������} ������ �� $M$, ������������ �����
������ ��������
���������� ������������������ �������������� $\gamma_i$, ���

(i) $\gamma_1\colon (-\infty, \infty)\to M$,
 \; $\gamma_i\colon (0, \infty)\to M$ ��� $i=2,3$;

(ii) $\gamma_1$  ��������� $M$ �� ��� ������� (�������������);

(iii) $\gamma_2$ �
 $\gamma_3$ ���������� ��  $\gamma_1$
 � �������� � ������ �������������� ������������  $\gamma_1$, �������� ������
 ������������� �� ��� �������.

��� �����
��� ������������� ��������� $M$ �� ������ ������� $Q_i$. ��������� �����
$\alpha_i$ ���� ������� $Q_i$ � ��� ������� $O_i$.

����������� ������, �� ������������ ������������������� �� ����������� ������������,
����� �������� {\em ���������� �������}.

\begin{theorem}
\label{cross}
����� M - ������ ��������� �������� ������������, ������������ ��������� �
��������������� ��������
\begin{equation}
\label{two_pi}
\omega^+ < 2\pi - 4\ep, \quad \omega^-<2\pi-4\ep
\end{equation}
 ���
���������� $\ep>0$. ����� �� $M$ ���������� ����� �����,
��� ��� ���� $i=1,2,3,4$ \;
$\omega^+(Q_i)\leq\alpha_i-\ep$,\;
$\omega^-(Q_i)\leq\pi-\alpha_i-\ep$ � ��� ���� ��� �����
���� ����� $\gamma_i(t),\;\gamma_i(t')$, $i=1,2,3$, �����������
\begin{equation}
\label{chord}
|t-t'|\sin\ep\leq d_M(\gamma_i(t),\gamma_i(t')).
\end{equation}
\end{theorem}

������������� ����������� ������������ ���������� ��������������, �� ����������
�������� ����� ���������.

\begin{cor} ����� ������ ������������ ���������
����������� ������������ $M$
������������� ������� \eqref{two_pi}. ����� �� $M$  ���������� ���������� �����,
���������� ���� �� ����������, ��� ����� � ������� \ref{cross}, �� � �������
$\omega^\pm$   �� $\tilde\omega^\pm$, ��������������.
\end{cor}

� ���� �������, �� ����� ��������� � ������� \ref{Bak} ����������
�������� ������� \ref{thm1}.

{\em ���������.} ������� \ref{thm1} �� ����������, ��� � ������ ����������
������� ��������� ������� ����������� ����������� ���������� ����� ����� ��������.
�������������
�������������� ������  �������� � ��������  \cite{SmlsDyw} ������ �����������
���������� ���������
������������� ��������� ������������ ���� � ������ �������, �� �� ������� ��������
������������ ����� ����� ����� ������. ������ � �������������
 ����� �������  ����������� ���� �������� ���� ��������.


\medskip
 ��������������  ������� \ref{cross} ������� ���� �� �����,
 ��� �������������� ����������� 6.1
 ������ \cite{BonkLang}.
\medskip

{\em �������������� ������� \ref{cross}.}

{\em ��� 1.} �������� ������ ���  ����������� ����������� ��
������  �����--�����, ���������� ������������� $\gamma_1$,
��������������� ����������� \eqref{chord}  � ����������� $M$ ��
��� ������������� $M_k$, $k=1,2$, ������� ������ ������
������������� � ������������� �������.
����� �������,  ��� ������ ������������� �����
 \begin{equation}
 \label{curv}
 \omega^+(M_k)<\pi - 2\ep, \quad
 \omega^-(M_k)<\pi - 2\ep.
 \end{equation}
���������� ��� �������������� $M_1$.  ��� ���� ����� �  $M_1$
������������� � ������� �� $\gamma_1$, ����������� $M_1$ �� ���
������� � ������������ � ������������ �������. ����� �������, ���
����������� \eqref{chord}  ������� ��������������� �� �������
����������� \eqref{curv} � ���������� ����������� ����� ����� �
������, ��. \cite{AlexZalg}, �������� 2 ����� IX.

��� � �  \cite{BonkLang}, ����� �������, ��� ���� ������� �������
��� ���������� �������� $\tilde D\subset\text{int}\,M_1$,
������ ���� ������� ����������� ���������� �����, ��������� ������� ������,
�������� �������� � �� ������������ �
$\gamma_1$. ����� ����, ����� ������������, ��� ������������� $M_1$ ����� ��������
�������; ��� ����� ����������, ��������,  ��������  $M_2$ ��  $M_1$ �
��������� � $M_1$ ��������� ������������� ������ $M_2$.


{\em ��� 2.} ��������� ����� $S\tilde D$ ���������� ��������� ����������� ���
$\tilde D$. (� ����� �������� ��� --- ������ ������ ������������ $\tilde D$ ��
���������� $S^1$.)
������� ��������� ����������� $\sigma$ �� $S\tilde D$ �
��������� (����������� ������������) ������������� ����������� $M_1$.
 ���� $v=(p,\theta)\in S\tilde D$, �� $\sigma(v)$ -  �������������,
 ���������� ����� ����� $p$ ������������ � $v$, ������ ���������������
 ���, ��� ������ ��������
 ������������� $\sigma(v)$
 � ����� $p$  � ������ $v$  ���������� ������������� ����������   $M_1$.

� ���� ������� ������--����� � ����� �������, ������������� $\sigma(v)$
�� ����� ��������������� �
��������� $M_1$ �� ��� �������, �� ������� ���� ����� ���� ������������.
��������� �����  $U(v)$ �� �� ��������, � ������� ��������� ������ $v$.
  ������ ������ �� $S\tilde D$ ������� �������
$\alpha(v)$ ��������� �������: ����  $U(v)$ --- ������,
�� $\alpha(v)=0$;  ���� $U(v)$ ---
�������������, ������������ ������ ������������� $\sigma(v)$,  ��
$\alpha(v)=\pi$;  ���� $U(v)$ --- ������,
�� $\alpha(v)$ --- ���� ����� �������; ����  $U(v)$ ---
����������� ������� � ��� ���� ���� ������� $\alpha_1$ � $\alpha_2$ ---
������, �� $\displaystyle{\alpha(v)=\frac{\alpha_1^2+\alpha_2^2}{\alpha_1+\alpha_2}}$;
���� �� ���� �� ����� (��������, $\alpha_1$) ������������ �� ������, ��
��������
$\displaystyle{\alpha(v)=\frac{\pi^2/4+\alpha_2^2}{\pi/2+\alpha_2}+\alpha_1-\frac{\pi}{2}}$;
 �������, ���� $U(v)$ --- ����������  $M_1$ �� ������������, �� $\alpha(v)=\pi-\alpha(-v)$.
����� �������, �� ���������� ������� ������� $\alpha$ �� ����   $S\tilde D$.
����� �������, ��� � ���� ������� ������--����� �� ������ ����� ���� �� �����, ���
���� ���� ������������.


�������� ���������, ��� ������� $\alpha$ ���������� � �������� ���������
 $$\alpha(v)+\alpha(-v)=\pi .$$

��������� ���� $\omega^+$ � $\omega^-$, ����� ��� ����� ����:

$$W^{\pm}(A)=(\pi-2\ep) \frac{\omega^{\pm}(A)}{\omega^{\pm}({\tilde D})}.$$


���������� ����������� $\phi: S\tilde D \rightarrow R^2$, �������
������� ������� $v\in S\tilde D$ ������ �
������������ �����
$$(W^+(U(v))-\alpha+\ep,\quad W^-(U(v))-(\pi-\alpha)+\ep).$$
�������, ��� $\phi(-v)=-\phi(v)$, � ���������, ����
$\phi(v)=(0,0)$, �� �����  $\phi(-v)=(0,0)$.

��� �������������� ������� ����������
����� ����� ������ $v_0$, ��� $\phi(v_0)=(0,0)$.

\medskip
����������� ����� ����� $O$  ������� ����� $\tilde D$. �������
 � ������������ $S\tilde D$ ��� �����, $\gamma_1$ � $\gamma_2$, � �������� $O$.

�����  $\gamma_1$ ������������ ����� �������� ������� $v$ ������
����� $O$, ������� � �������, �����������������
� ������� $\tilde S$ ����� $\tilde D$ � ������������� ������ ����� �����.

�����  $\gamma_2$ �������� �������  $\tilde S$ (������� � ����� $O$) ��� �������,
��� � ������ ����� ������� ������ $v$, ���������������� � $\tilde S$
� ������������ ������ $\tilde D$.

��� ����� ��������  ���������. �������������, ����������
����������� �����  ������������� $g$  �����
 $\tilde D$   ��  �������� ��������� ���� $D$, ��� $dg$ ���������
�� �������  $\tilde D$, �, ������    $O'=g(O)$ ����-��������, ����� $dg$-���������
��������� ����������� $t\,\partial D$, $0\leq t\leq 1$,
 ������ � ������ ��  ��������, ������������ ������.

����������� $\phi$ ��������� �����  $\gamma_1$, $\gamma_2$ �
����� ������������ $\text{Im}\,\phi$; ������, ��������� ��������� ����� ����� �
 $\text{Im}\,\phi$.

��� ��� ����� �����  $\gamma_2$ ����� �� ������ $x+y=\pi-2\ep$, �� �� ��������� �
 $\text{Im}\,\phi$.

� �� �� �����, �� ������ ������� ������� $\alpha$, �����  $\gamma_1$ �������� ���������
$\phi(v)+\phi(-v) = (0,0)$. ������ �������, ��� ������ ����� $(0,0)$
������������ �����  $\gamma_1$ �� ����� ���� � ��� �����
��� �� ���������� � $\R^2\setminus (0,0)$, � ��� ����� �  $\text{Im}\,\phi$.
�������������, ����, �� �������
�������������� ������ � ������� $(0,0)$ ��� ����������� �����  $\gamma_1$, ���� ����� ����
������ ���� ����� ����� ���� $(2k+1)\pi$.

����� �������, ���� ����-������ ���������  �� ����� � $\text{Im}\,\phi$
(��� �� ������������), �� �����  $\gamma_1$
�� ����������, � ������ ����������. ��� ������������ ����, ���  �����
���������.

����, �������� ������ $v$ ���������� ����������, ��� �������� $\phi(v)= (0,0)$.
����� �������, �� �����
$W^+(U(v))=\alpha-\ep, \quad W^-(U(v)=\pi-\alpha-\ep$.
�������, ��� � ���� ������ $U(v)$ ---
���������� ������. ��-������, ��������, ���
$\ep \leq \alpha \leq \pi-\ep$,
�, ������, $U(v)$ --- �� ������ � �� �������������.
������ �����������, ��� $U(v)$ --- ����������� � ������ $\alpha_1$ � $\alpha_2$.
����� �������, ��� $\alpha_1\geq\alpha_2$.
������� $\alpha(v)=\alpha_0$. �� �����������
������� ������� $\alpha$  ����, ��� $\alpha_0 \leq \alpha_1$.
 �� ������� ������--�����
$\alpha_1+\alpha_2=\omega^+(U(v))-\omega^-(U(v))$. ����� �������
$\alpha_1+\alpha_2 \leq \omega^+(U(v)) \leq \alpha_0 - \ep \leq
\alpha_1 - \ep < \alpha_1+\alpha_2$, ��� ����������. ���� �� �� �����������, ���
$U(v)$ --- ���������� � ������������, �� �����,
��� ���� �������� ����, $\phi (-v)=-\phi(v)=(0,0)$, ���,  ��� ������ ��� ��������,
����������
��� ������������  $U(-v)$, ���,,  ����������.

������, �� �������� ��������� ������������� �� ��� ������� �
������, ���������������� ����� ��������. ������� ��������.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem [AZ]{AlexZalg} �.~�.~�����������, �.~�.~���������,
\textit{��������� ������������
������������ ��������},
����� ����, \textbf{63}, 1962.

\bibitem [Bak]{Bakelman}
�.~�.~���������,
\textit{����������� ���� �� ������������� ������������
��������}, ����� ����, \textbf{76} (1965), ���. 124--129.

\bibitem[BB]{BelBur}
�.~���������, �.~������, \textit{����������� ������������� �����������
������������}, ������� \& ������ \textbf{16}, ���. 4, 2004, 24--40.

\bibitem[BL]{BonkLang}
M.~Bonk and U.~Lang, \textit{Bi-Lipschitz parametrization of
surfaces},  Math. Ann. \textbf{327}, 2003, 135--169.

\bibitem[B]{Bur}
�.~������, \textit{����������� ������������� �����������
������������, II}, ������� \& ������ \textbf{16}, ���. 6, 2004,28--52.

\bibitem [BVK]{Bak_Ver_Kant}
�.~�.~��������, �.~�.~������, �.~�.~������,
\textit{��������� � ���������������� ��������� � �����},
``�����'', 1973.

%\bibitem [H]{Hopf}
%H.~Hopf,
%\textit{Differential Geometry in the Large},
%Lecture Notes in Mathematics, v. 1000, Springer, 1983.

\bibitem [LSh]{LadShub}
�.~�.~�����������, �.~�.~�����,
\textit{�� ����������� ������������ ������ ���� ���
��������� ��������� �������������� ��������� �����, ����������� ��������
�� ������ ���������
�������������}, ������� �����. �����. ����, �. 110,
1981, 81--94.

\bibitem [Resh]{Reshetnyak}
�.~�.~��������, \textit{��������� ������������ ������������ ��������}, �
����� ``������������ �������� ���������'', ���. ``������. ��������
����������. ������. �����������'', ��� 70 (��������� IV), ������,
1989, 7--189.

\bibitem [SD]{SmlsDyw}
S.~L.~Samelson � W.~P.~Dayawansa,
\textit{On the exist�nce of global Tchebyshev nets}, Transections AMS,
v. 347, no. 2, 1995,  651--660.
\end{thebibliography}
\end{document}

math0506580.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem [AZ]{AlexZalg} �.~�.~�����������, �.~�.~���������,
\textit{��������� ������������
������������ ��������},
����� ����, \textbf{63}, 1962.

\bibitem [Bak]{Bakelman}
�.~�.~���������,
\textit{����������� ���� �� ������������� ������������
��������}, ����� ����, \textbf{76} (1965), ���. 124--129.

\bibitem[BB]{BelBur}
�.~���������, �.~������, \textit{����������� ������������� �����������
������������}, ������� \& ������ \textbf{16}, ���. 4, 2004, 24--40.

\bibitem[BL]{BonkLang}
M.~Bonk and U.~Lang, \textit{Bi-Lipschitz parametrization of
surfaces},  Math. Ann. \textbf{327}, 2003, 135--169.

\bibitem[B]{Bur}
�.~������, \textit{����������� ������������� �����������
������������, II}, ������� \& ������ \textbf{16}, ���. 6, 2004,28--52.

\bibitem [BVK]{Bak_Ver_Kant}
�.~�.~��������, �.~�.~������, �.~�.~������,
\textit{��������� � ���������������� ��������� � �����},
``�����'', 1973.

%\bibitem [H]{Hopf}
%H.~Hopf,
%\textit{Differential Geometry in the Large},
%Lecture Notes in Mathematics, v. 1000, Springer, 1983.

\bibitem [LSh]{LadShub}
�.~�.~�����������, �.~�.~�����,
\textit{�� ����������� ������������ ������ ���� ���
��������� ��������� �������������� ��������� �����, ����������� ��������
�� ������ ���������
�������������}, ������� �����. �����. ����, �. 110,
1981, 81--94.

\bibitem [Resh]{Reshetnyak}
�.~�.~��������, \textit{��������� ������������ ������������ ��������}, �
����� ``������������ �������� ���������'', ���. ``������. ��������
����������. ������. �����������'', ��� 70 (��������� IV), ������,
1989, 7--189.

\bibitem [SD]{SmlsDyw}
S.~L.~Samelson � W.~P.~Dayawansa,
\textit{On the exist�nce of global Tchebyshev nets}, Transections AMS,
v. 347, no. 2, 1995,  651--660.
\end{thebibliography}