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+Titel: Vorlesung Finanzmärkte
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+author: Matthias Pelster / Prof. Dr. Matthias Pelster
+institute: Universität Duisburg-Essen] Mercator School of Management, Universität Duisburg-Essen  
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+\frametitle überblick
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+Das Thema der heutigen Veranstaltung ist derübergang von der Betrachtung eines individuellens Investors / einer Investorin zu einem Marktgleichgewicht. 
+-Dazu werden wir das Capital Asset Pricing Model (CAPM) vorstellen.
+-Ebenfalls beschäftigen wir uns mit effizienten Kapitalmärkten und der Effizienzmarkthypothese. 
+-Dann werden wir sog. Kapitalmarktanomalien diskutieren und die Grenzen der Arbitrage kennenlernen. 
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+
+\section [CAPM]Capital Asset Pricing Model
+
+\frametitle Erste Annahmen des CAPM
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+-Homogene Erwartungen: alle Investoren ermitteln die gleichen risiko-effizienten PFs, d.h. die gleichen Risikoeffizienzlinien. 
+-Unterschiedliche Nutzenfunktionen/Präferenzfunktionen: die Investoren  wählen trotz homogener Erwartungen unterschiedliche Portfolios. 
+- Bei Existenz der risikolosen Geldanlage/Verschuldung: Alle Investoren halten das gleich strukturierte riskante Portfolio. Sie kombinieren es jedoch in Abhängigkeit ihrer Risikoaversion in unterschiedlichem Ausmaß mit dem risikolosen Wertpapier. Risiko und Ertrag sämtlicher Kombinationen stehen dabei in linearem Zusammenhang.
+-Der Markt befindet sich im Gleichgewicht: Angebot=Nachfrage. 
+
+
+\frametitle Von der Portfoliotheorie zum CAPM
+
+-Ausgangspunkt ist unser Portfolio-Modell mit $n$ risikobehafteten Vermögenswerten und einen risikolosen Vermögenswert r_0. 
+-Bitte beachten Sie: Die Annahme eines risikolosen Vermögenswerts ist eine Modellvereinfachung (normalerweise gibt es auf dem Markt eine Zinsstruktur; siehe dazu später mehr, Vorlesung 6).
+-Der risikofreie Zinssatz stellt keine Grenze für die Investition oder Kreditaufnahme dar. Die Entscheidungen der Anleger beruhen lediglich auf der erwarteten Rendite und der Varianz.
+
+-0< a< ∞ sei der Anteil des verfügbaren Geldes, der in ein Portfolio P∈M investiert wird, und -∞<1-a<1 der Anteil der risikofreien Anlage. 
+-Die Gesamtrendite des Portfolios wird wie folgt berechnet:
+
+	R = a\ R_P + (1-a)*r_0.
+
+-Bestehend aus einem Portfolio von risikobehafteten Vermögenswerten P und einem risikolosen Vermögenswert r_0, gilt für das Gesamtportfolio:
+	
+	µ=aµ_P* + (1-a)*r_0 = r_0+a(\µ_P-r_0)
+    und σ^2=a^2*σ_P^2.
+	
+-$a=\frac\σ\σ_P$ fÜhrt zu
+	µ=r_0+\frac\µ_P-r_0\σ_P\ \σ
+    
+-Wir gehen davon aus, dass das Portfolio P konstant ist und variieren nur den Anteil a am Gesamtportfolio (inkl. risikoloser Anlage). 
+-Wir erhalten alle möglichen (µ;σ)-Kombinationen als eine bei r_0 beginnende Linie mit einer Steigung von $\frac\µ_P-r_0\σ_P$.
+	
+Sharpe-Ratio
+ 
+	Der Ausdruck
+
+	SR_P=\frac\µ_P-r_0\σ_P
+
+	wird als Sharpe-Ratio des Portfolios R_P bezeichnet.
+
+	-Die Sharpe-Ratio kann auch als risikoadjustiertes Performancemaß fÜr jeden Vermögenswert verwendet werden.
+	-In der obigen Gleichung wird die Sharpe-Ratio des Vermögenswertes i dem risikofreien Zinssatz gegenübergestellt. Anstelle von r_0 ist auch eine Benchmark R_B möglich. 
+	-In diesem Fall sprechen wir von einer so genannten verallgemeinerten Sharpe-Ratio, die auch als Informationsverhältnis bekannt ist:
+	\[
+	SR(R_i)=\frac\E(R_i-R_B)\σ(R_i-R_B)=IR(R_i-R_B)
+	\]
+	
+
+
+
+\frametitle Von der Portfoliotheorie zum CAPM
+Verzinsung und risikobehaftetes Portfolio
+    
+        BILD
+
+Möglichkeiten im Rahmen risikofreier und risikobehafteter Vermögenswerte
+	
+    BILD 
+    
+Effizienter Rand / Tangentialportfolio
+
+        BILD
+
+-Das Portfolio T wird als Tangentialportfolio bezeichnet.
+-Wir erinnern uns: Es ist für alle(!) Investoren (unabhängig von den Präferenzen) optimal, einen Punkt auf der Effizienzlinie zu wählen. 
+-Der Anteil des risikolosen Vermögenswerts am Gesamtportfolio ist der einzige Unterschied zwischen den einzelnen optimalen Portfolios. 
+-Die Zusammensetzung des risikobehafteten Anteils im Gesamtportfolio ist fÜr alle Investoren identisch.
+-Das Tangentialportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.
+
+\framebreak Tobin-Separation
+
+Die Aufteilung im optimalen Gesamtportfolio zwischen einem risikofreien Vermögenswert und einem fÜr alle Anleger identischen risikoreichen Portfolio wird als Zwei-Fonds-Theorem bezeichnet. Die Trennung zwischen der Zusammensetzung des risikobehafteten Portfolios und der Risikoeinstellung des Anlegers ist als Tobin-Separation bekannt.
+
+
+\frametitleDas Capital Asset Pricing Modell
+
+-Schließlich wollen wir das Capital Asset Pricing Modell vorstellen.
+-Das Gleichgewichtsmodell liefert risikobereinigte Vermögenspreise. Zunächst werfen wir einen Blick auf die Modellannahmen:
+
+-Ein gegebener Markt umfasst n risikobehaftete Vermögenswerte sowie einen risikofreien Zinssatz r_0.
+-Auf dem Markt sind m Investoren mit individuellen Kapitalbudgets von V_i aktiv. Das gesamte Marktvolumen ist folglich $V=\sum_i=1^mV_i$.
+-Alle Anleger haben homogene Erwartungen in Bezug auf $r_0,\E(R_i),\var(R_i),\cov(R_i;R_j)$.
+-Der Markt befindet sich im Gleichgewicht.
+-Jeder Anleger hält ein effizientes Portfolio $P_i$ als Kombination aus dem Tangentialportfolio T (mit einem Anteil von $\λ_i$) und dem risikolosen Vermögenswert. 
+-Die Marktportfolio-Nachfrage ist gegeben als:
+	\[
+	\left(\sum_i=1^m\λ_iV_i\right)x_T
+	\]
+	mit $x_T=(x_T1,\ldots,x_Tn)$.
+-Auf der anderen Seite umfasst das Marktportfolioangebot alle verfÜgbaren risikobehafteten Vermögenswerte des Marktes. Jeder einzelne Vermögenswert hat einen relativen Anteil $P_i/P$ am Gesamtwert $P=\sum_i=1^nP_i$ des Marktportfolios $M$. Der zugehörige Investitionsvektor $x_M=(x_M1,\ldots,x_Mn)$ ist gegeben durch:
+	\[
+	x_M=\left(\fracP_1P,\ldots,\fracP_nP\right).
+	\]
+
+-Da das Marktportfolioangebot eindeutig gegeben ist, ergibt sich das Gleichgewicht wie folgt:
+	\[
+	\left(\sum_i=1^m\λ_iV_i\right)x_T=Px_M.
+	\]
+-$x_T$ und $x_M$ sind Investitionsvektoren. 
+-Folglich mÜssen $x_T$ und $x_M$ gleich sein und $P=\sum_i=1^m V_i$. 
+-Im Marktgleichgewicht gilt T=M. Das Tangentialportfolio ist gleich dem Marktportfolio.
+
+
+-Wir wollen nun einige Schlussfolgerungen aus dieser Anmerkung ziehen:
+-Die Menge der optimalen Portfolios ist wie folgt gegeben:
+	\[
+	\E(R)=r_0+\frac\E(R_M)-r_0\σ(R_M)\σ(R)=r_0+SR_M\σ(R).
+	\]
+-Die resultierende Linie im µ-σ-Rahmen wird als Kapitalmarktlinie bezeichnet.
+-Das Marktportfolio hat die höchste Sharpe-Ratio.
+
+
+-FÜr einen Anleger optimale Portfolios duplizieren das Marktportfolio mit seinem risikoreichen Teil. 
+-In der Praxis sprechen wir von passiver Portfolioverwaltung/Indexierung.
+-DarÜber hinaus ist die erwartete Rendite fÜr jedes Portfolio gegeben als:
+	\[
+	\E(R)=r_0+\frac\cov(R,R_M)\var(R_M)\left[\E(R_M)-r_0\right]=r_0+\beta_R\left[\E(R_M)-r_0\right]
+	\]
+-Die sich daraus ergebende Linie wird als Wertpapiermarktlinie bezeichnet.
+
+-Wertpapiermarktlininie: Trade-off zwischen erwarteter Rendite und Risiko
+
+
+$\µ_j$&=&$r_0$&$+$&$\frac\µ_M-r_0\σ ^2_M$&$\cdot$&$\cov[\tilde r_j;\tilde r_M]$
+
+erwartete\newline Rendite&=&risikolose Verzinsung&+&Marktpreis des Risikos&$\cdot$&relevantes Wertpapierrisiko\\[1.5ex]
+&=&risikolose\newline Verzinsung&+&\multicolumn3lRisikozuschlag
+
+
+-Cov( r_j , r_M ) = Corr( r_j , r_M ) × σ_j × σ_M
+-Risikozuschlag: nicht diversifizierbares systematisches Risiko des betrachteten Titels bzw. PFs. 
+-Substitution: β_j = Cov( r_j , r_M ) / Var( r_M )
+-Daraus folgt: Wertpapiermarktlinie: µ_j = r_0 + β_j × ( µ_M - r_0 )
+
+-Kapitalmarktlinie: Die Kapitalmarktlinie gibt an, wie bei der Wahl effizienter PFs die erwartete Rendite mit dem durch die Standardabweichung gemessenen Risiko steigt. 
+
+Kapitalmarktlinie
+
+    BILD
+
+Wertpapierlinie
+ Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+    BILD
+
+-Beta misst die Empfindlichkeit der einzelnen Renditen gegenüber Veränderungen der Marktrendite.
+-Wir erhalten die folgende Formel: E(R) - r_0 = β_R × ( E(R_M) - r_0 )
+
+
+-Unter der Annahme eines Marktgleichgewichts entspricht die überschussrendite von Portfolios oder einzelnen Vermögenswerten der beta-gewichteten Rendite des Marktes.
+-Mit ( E(R_M) - r_0 ) / σ(R_M) als Marktpreis des Risikos kann die Gleichung wie folgt verstanden werden: erwartete Rendite = risikofreier Satz + Marktpreis des Risikos --> systematisches Risiko.	
+
+
+-Das CAPM kann die Portfoliopreise im Rahmen des Marktgleichgewichts bei t=0 bestimmen.
+	P = E(V) / ( 1 + r_0 + β_R × ( E(R_M) - r_0 ) )
+-Der Portfoliopreis entspricht dem erwarteten Cashflow V, abgezinst mit dem risikofreien Zinssatz r_0 und angepasst mit einer Risikoprämie.
+
+
+\frametitle Index-Modelle
+
+-Unter BerÜcksichtigung der in der letzten Vorlesung diskutierten Einschränkungen wird die Markowitz-Optimierung in der Praxis nur fÜr das Verfahren der Asset Allocation verwendet. Dies bedeutet die Aufteilung des Anlagevolumens in verschiedene Arten von Anlageklassen.
+-Die Auswahl von Einzeltiteln erfolgt häufig auf der Grundlage von Faktormodellen. 
+-Das bekannteste Modell fÜr die Wertpapierauswahl ist das Capital Asset Pricing Model. 
+-Das Fama-French-Modell ist ein weiteres berÜhmtes Faktor-Modell. 
+
+-Seien R_i und R_M die Renditen des i-ten Einzeltitels bzw. Marktindexes. 
+
+Indexmodell/Faktormodell
+R_i = α_i + β_i × R_M + ε_i, for i = 1, ..., n
+
+
+-Achtung: Im Rahmen des CAPM wird das Indexportfolio durch das Marktportfolio gegeben und nicht durch einen Index approximiert. 
+-Dieses einfache Ein-Faktor-Modell basiert auf den folgenden Annahmen:
+
+-E(ε_i) = 0 ; Var(ε_i) = σ_i²  
+-cov(ε_i, R_i) = 0
+
+-Die Annahmen fÜhren zu:
+-Cov(R_i, R_M) = b_i × Var(R_M)  
+oder  
+- b_i = Cov(R_i, R_M) / Var(R_M)
+
+
+Beta
+Der Parameter b_i ist definiert als Betafaktor des Vermögenswertes i in Bezug auf das gewählte Indexportfolio.
+
+	-Beachten Sie:
+	E(R_i) = a_i + b_i × E(R_M)  
+    oder
+    a_i = E(R_i) - b_i × E(R_M)
+
+Alpha
+Der Parameter a_i bezeichnet den Alpha-Faktor des Vermögenswertes i
+
+-Außerdem: σ(R_M) = Σ (from i = 1 to n) of c_i × ρ(R_i, R_M) × σ(R_i)
+	
+mit c_i als Indexgewichten in R_M = Σ (from i = 1 to n) of c_i × R_i
+
+-Die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts beeinflusst nur einen kleinen Teil der Volatilität des Marktindex. 
+-Wir unterteilen die Volatilität des einzelnen Vermögenswerts in zwei Teile: σ(Ri) = ρ(Ri; RM)σ(Ri) + [1-ρ(Ri;RM)]σ(Ri)
+
+Systematisches vs. unsystematisches Risiko
+Der erste (zweite) Term in der obigen Gleichung fÜr σ(R_i) wird als systematisches (unsystematisches) Risiko der einzelnen Vermögenswerte bezeichnet.
+
+
+-Die Volatilitätsgleichung zeigt, dass nur das systematische Risiko einzelner Vermögenswerte in der Volatilität des Marktindex enthalten ist. 
+-Das unsystematische Risiko verschwindet durch eine diversifizierte Indexbildung. 
+-Für beta:
+	
+    b_i = ( ρ(R_i, R_M) × σ(R_i) ) / σ(R_M) = ( Systematisches Risiko von Anlage i ) / ( Marktrisiko )
+
+-Alle Parameter des vorgestellten Indexmodells können mit empirischen Daten geschätzt werden.
+-Unter der Annahme der Homoskedastizität der Fehlerterme wird eine Kleinste-Quadrate-Schätzung durchgeführt. 
+-Sowohl Alpha- als auch Beta-Faktoren sind geschätzte Koeffizienten der Regressionsgleichung.
+-Die Renditen des Marktindexportfolios sind geeignete Eingangsdaten.
+-Empirische Tests zeigen, dass weder die Annahmen noch die lineare Struktur des Modells in der Renditegleichung R_i erfüllt sind.
+
+
+
+Empirische Schätzung des Beta-Faktors
+
+Quelle: Albrecht/Maurer (2008)
+
+BILD
+
+Zwischenfazit
+
+-Soweit haben wir uns mit einem bekannten Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model (CAPM), beschäftigt. 
+-Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen Tests für das CAPM und mit Kapitalmarktanomalien.   
+-Zunächst beschäftigen wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und der Effizienzmarkthypothese. 
+-Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage. 
+
+
+\sectionDie Effizienzmarkthypothese
+
+Was ist ein effizienter Markt?
+
+-Ein effizienter Kapitalmarkt ist ein Markt, auf dem die Aktienkurse die verfügbaren Informationen vollständig widerspiegeln.
+-Fama, 1970, Effizienzmarkthypothese (EMH): Der Marktpreis spiegelt zu jedem Zeitpunkt sofort alle am Markt verfügbaren Informationen wider.
+-Eine schwächere und ökonomisch sinnvollere Version der Effizienzhypothese stammt von Jensen (1978): Die Preise spiegeln Informationen bis zu dem Punkt wider, an dem der Grenznutzen des Handelns aufgrund von Informationen (die zu erzielenden Gewinne) die Grenzkosten nicht übersteigt.
+
+-Wir unterscheiden drei Formen der Markteffizienz:
+
+-Schwache Form: Preise und Renditen der Vergangenheit.
+-Mittelstarke Form: alle öffentlichen Informationen.
+-Starke Form: alle öffentlichen UND privaten Informationen. 
+
+-Zu den Folgen der Effizienzmarkthypothese gehören: 
+
+-Anleger sind nicht in der Lage, den Markt dauerhaft zu schlagen: Da sich die Informationen sofort in den Preisen niederschlagen, sollten die Anleger nur eine normale Rendite erwarten. Die Kenntnis von Informationen zum Zeitpunkt ihrer Veröffentlichung nützt einem Anleger nichts. Der Preis passt sich an, bevor der Anleger Zeit hat, darauf zu reagieren. 
+-Unternehmen sollten erwarten, dass sie für die von ihnen verkauften Wertpapiere einen fairen Wert erhalten. Fair bedeutet, dass der Preis, den sie für die Ausgabe von Wertpapieren erhalten, dem aktuellen Wert entspricht. Wertvolle Finanzierungsmöglichkeiten, die sich aus der Täuschung von Anlegern ergeben, sind daher auf effizienten Märkten nicht verfügbar.  
+
+
+-Die Abbildung zeigt mögliche Anpassungen von Aktienkursen. 
+
+BILD
+
+-Die durchgezogene Linie stellt den Weg dar, den das Wertpapier auf einem effizienten Markt nimmt.
+-In diesem Fall wird der Preis sofort an die neuen Informationen angepasst, ohne dass es zu weiteren Preisänderungen kommt.  
+-Die gepunktete Linie stellt eine langsame Reaktion dar. 
+-Hier braucht der Markt 30 Tage, um die Informationen vollständig aufzunehmen.
+-Die gestrichelte Linie schließlich veranschaulicht eineüberreaktion und eine anschließende Korrektur zurück auf den wahren Preis. 
+
+-Die gestrichelte Linie und die gepunktete Linie zeigen den Weg, den der Aktienkurs auf einem ineffizienten Markt nehmen könnte. 
+-Wenn der Aktienkurs mehrere Tage braucht, um sich anzupassen, können Anleger, die ihre Käufe und Verkäufe zum richtigen Zeitpunkt tätigen, Handelsgewinne erzielen.   
+
+
+\frametitle Grundlagen der Effizienz
+
+-Die obige Abbildung zeigt die Folgen der Markteffizienz. 
+-Aber was sind die Bedingungen, die Markteffizienz bewirken?
+-Andrei Shleifer argumentiert, dass es drei Bedingungen gibt, von denen jede einzelne zu Effizienz führt (sharpe, 1964) 
+
+[a)] Rationalität oder homogene Erwartungen über zukünftige Aktienkurse.
+[b)] Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität: Verzerrungen, die auf unzureichende Informationen oder irrationales Verhalten zurückzuführen sind, sind unkorreliert und werden sich im Durchschnitt ausgleichen. 
+[c)] Arbitrage: Auch wenn es einige nicht-rationale Akteure auf den Märkten gibt, werden rationale Akteure durch einen Arbitrageprozess (Kauf und Verkauf eines Vermögenswerts, um von einer Preisdifferenz zu profitieren) verhindern, dass diese die Preise (langfristig)  beeinflussen können.
+
+Rationalität
+
+-Nehmen wir an, dass alle Investoren rational sind. 
+-Wenn neue Informationen auf dem Markt veröffentlicht werden, werden alle Anleger ihre Schätzungen der Aktienkurse auf rationale Weise anpassen.  
+-Natürlich kann es Zeiten geben, in denen sich die Marktteilnehmer nicht vollkommen rational verhalten. 
+-Daher ist es vielleicht zu viel verlangt, dass sich alle Anleger rational verhalten. 
+-Der Markt ist aber immer noch effizient, wenn das folgende Szenario zutrifft.
+
+Zufällige und unabhängige Abweichungen von der Rationalität
+
+-Die Anleger reagieren möglicherweise nicht rational auf die Veröffentlichung neuer Informationen. 
+-Sie könnten auf eine irrational pessimistische oder irrational optimistische Weise reagieren.   
+-Nehmen wir aber an, dass etwa gleich viele Personen irrational optimistisch wie irrational pessimistisch sind.  
+-Die Preise würden wahrscheinlich in einer Weise steigen, die mit der Markteffizienz vereinbar ist, auch wenn die meisten Anleger als nicht völlig rational eingestuft würden. 
+
+-Die Markteffizienz setzt also keine rationalen Individuen voraus, sondern nur gegenläufige Irrationalitäten.  
+-Diese Annahme, dass sich Irrationalitäten zu allen Zeiten ausgleichen, ist jedoch möglicherweise unrealistisch.
+-Aber auch hier gibt es eine Annahme, die zu Effizienz führen wird.
+
+Arbitrage
+
+-Stellen Sie sich eine Welt vor, in der es zwei Arten von Menschen gibt: Den irrationalen Amateur und den rationalen Profi. 
+-Die Amateure lassen sich von ihren Emotionen leiten, und wenn sich die Leidenschaften der verschiedenen Amateure nicht gegenseitig aufheben, tendieren sie dazu, die Aktien entweder über oder unter ihrem effizienten Preis zu verkaufen.  
+
+-Profis auf der anderen Seite gehen methodisch und rational an die Sache heran: Wenn eine Aktie unterbewertet ist, würden sie sie kaufen. Wenn sie überbewertet ist, würden sie sie verkaufen.
+-Während ein Laie vielleicht nur eine kleine Summe riskiert, können diese Profis große Summen riskieren, wohl wissend, dass das Wertpapier falsch bewertet ist.
+-Arbitrage erzielt Gewinne aus dem gleichzeitigen Kauf und Verkauf von unterschiedlichen, aber substituierbaren Wertpapieren. 
+-Wenn die Arbitrage der Profis die Spekulation der Amateure dominiert, wären die Märkte immer noch effizient.   
+
+
+\frametitle Die verschiedenen Arten der Effizienz
+
+-In der vorherigen Diskussion haben wir angenommen, dass der Markt sofort auf alle verfügbaren Informationen reagiert.  
+-In der Realität können sich bestimmte Informationen schneller auf die Aktienkurse auswirken als andere Informationen. 
+-Um mit unterschiedlichen Antwortquoten umzugehen, trennen die Forscher die Informationen in verschiedene Typen.  
+-Das gebräuchlichste Klassifizierungssystem sieht drei Arten vor:
+
+-Informationen über frühere Preise
+-öffentlich zugängliche Informationen
+-Alle Informationen
+
+Die schwache Form
+
+-Ein Kapitalmarkt gilt als schwach effizient oder erfüllt die schwache Effizienzform, wenn er die Informationen über die Aktienkurse der Vergangenheit vollständig berücksichtigt. 
+-Häufig wird die Effizienz der schwachen Form mathematisch wie folgt dargestellt:
+align*
+P_t=P_t-1+Erwartete Rendite+Zufälliger Fehler_t
+
+-Diese Gleichung besagt, dass der heutige Kurs gleich der Summe aus dem zuletzt beobachteten Kurs plus der erwarteten Rendite des Eigenkapitals plus einer Zufallskomponente ist, die während des Intervalls auftritt.  
+-Die erwartete Rendite ist eine Funktion des Risikos eines Wertpapiers und beruht auf den Risiko- und Renditemodellen der vorangegangenen Vorlesungen.
+-Die Zufallskomponente ist auf neue Informationen über das Unternehmen zurückzuführen. Sie kann positiv oder negativ sein und hat einen Erwartungswert von Null. 
+-Die Zufallskomponente in einer beliebigen Periode steht in keinem Zusammenhang mit der Zufallskomponente in einer vergangenen Periode. 
+-Wenn die Aktienkurse der obigen Gleichung folgen, spricht man von einem random walk. 
+-Die schwache Form der Effizienz ist so ziemlich die schwächste Form der Effizienz, die man von einem Finanzmarkt erwarten würde, da historische Preisinformationen die am einfachsten zu beschaffenden Informationen über das Eigenkapital eines Unternehmens sind. 
+-Wenn es möglich wäre, außergewöhnliche Gewinne zu erzielen, indem man einfach nur Muster in den Aktienkursen findet, würde das jeder tun, und alle Gewinne würden in dem Gedränge verschwinden. 
+-Die folgende Abbildung zeigt diese Auswirkungen des Wettbewerbs:
+
+
+    BILD
+
+
+Die mittelstarken und starken Formen
+
+-Ein Markt ist mittelstark effizient, wenn die Preise alle öffentlich zugänglichen Informationen widerspiegeln (einbeziehen), einschließlich Informationen wie z. B. veröffentlichte Rechnungsabschlüsse für das Unternehmen sowie historische Preisinformationen. 
+-Ein Markt ist stark effizient, wenn die Preise alle Informationen, ob öffentlich oder privat, widerspiegeln. 
+-Die Informationsmenge der vergangenen Preise ist eine Teilmenge der Informationsmenge der öffentlich verfügbaren Informationen, die wiederum eine Teilmenge aller Informationen ist.  
+-Daher impliziert eine starke Form der Effizienz eine mittelstarke Form der Effizienz, und eine mittelstarke Form der Effizienz impliziert eine schwache Form der Effizienz. 
+-Der Unterschied zwischen der mittelstarken Effizienzform und der schwachen Effizienzform besteht darin, dass die mittelstarke Effizienzform nicht nur voraussetzt, dass der Markt mit den historischen Preisinformationen effizient arbeitet, sondern dass sich alle der öffentlichkeit zur Verfügung stehenden Informationen in den Preisen widerspiegeln.
+
+    BILD
+
+-Am äußersten Ende des Spektrums steht die hohe Form der Markteffizienz. 
+-Diese Form besagt, dass jede Information, die für den Wert des Wertpapiers relevant ist und mindestens einem Anleger bekannt ist, auch tatsächlich vollständig in den Aktienkurs einfließt. 
+-Ein strenggläubiger Anhänger der strengen Effizienzform würde bestreiten, dass ein Insider, der weiß, ob ein Unternehmen im Bergbau auf Gold gestoßen ist, von dieser Information profitieren könnte. 
+-Sie würde argumentieren, dass die Information eingepreist wird, sobald das Gold entdeckt wird.
+
+Markteffizienz: die Evidenz
+
+-Ein Grund für die Annahme, dass die Märkte eine schwache Effizienzform aufweisen, liegt darin, dass es so billig und einfach ist, Muster in den Aktienkursen zu finden. 
+-Jeder, der einen Computer programmieren kann und ein wenig Ahnung von Statistik hat, kann nach solchen Mustern suchen.  
+-Es liegt auf der Hand, dass, wenn es solche Muster gäbe, die Menschen sie finden und ausnutzen würden, so dass sie verschwinden würden. 
+-Die mittelstarke Effizienzform impliziert jedoch erfahrenere Anleger als die schwache Effizienzform. 
+-Ein Investor muss sich in den Bereichen Buchhaltung, Finanzen und Statistik auskennen und die Eigenheiten der einzelnen Branchen und Unternehmen kennen. 
+-Was die Effizienz der starken Form betrifft, so ist sie nur weiter entfernt als die Effizienz der mittelstarken Form. 
+-Es ist schwer vorstellbar, dass der Markt so effizient ist, dass jemand mit wertvollen Insiderinformationen nicht davon profitieren kann. 
+
+Die schwache Form
+
+-Schwache Effizienzform bedeutet, dass die Preisbewegung eines Wertpapiers in der Vergangenheit nicht mit seiner Preisbewegung in der Zukunft zusammenhängt. 
+-Die schwache Form der Effizienzmarkthypothese ist auf vielfältige Weise getestet worden. 
+-In diesem Zusammenhang sprechen Finanzökonomen häufig von serieller Korrelation, die nur ein Wertpapier betrifft.   
+-Dies ist die Korrelation zwischen der aktuellen Rendite eines Wertpapiers und der Rendite desselben Wertpapiers in einem späteren Zeitraum. 
+-Ein positiver Koeffizient der seriellen Korrelation für eine bestimmte Aktie deutet auf eine Tendenz zur Fortschreibung hin. 
+-Ein negativer Koeffizient der seriellen Korrelation weist auf eine Tendenz zur Umkehrung hin.  
+-Sowohl signifikant positive als auch signifikant negative serielle Korrelationskoeffizienten sind Anzeichen für Marktineffizienzen; in beiden Fällen können die heutigen Renditen zur Vorhersage künftiger Renditen verwendet werden. 
+-Serielle Korrelationskoeffizienten für Aktienkursrenditen nahe Null würden auf eine schwache Effizienzform hindeuten.
+-Die folgende Tabelle zeigt die serielle Korrelation für tägliche Aktienkursänderungen bei acht großen britischen Unternehmen.
+
+
+    BILD
+
+-Diese Koeffizienten zeigen an, ob es Beziehungen zwischen der gestrigen und der heutigen Rendite gibt. 
+-Wie man sieht, sind die Korrelationskoeffizienten überwiegend negativ, was bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine unterdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht. 
+-Umgekehrt ist der Koeffizient von Imperial Tobacco leicht positiv, was bedeutet, dass eine überdurchschnittliche Rendite heute eine überdurchschnittliche Rendite morgen etwas wahrscheinlicher macht. 
+-Da die Korrelationskoeffizienten jedoch prinzipiell zwischen $-1$ und $+1$ variieren können, sind die angegebenen Koeffizienten recht klein.  
+-Tatsächlich sind die Koeffizienten sowohl im Verhältnis zu den Schätzfehlern als auch zu den Transaktionskosten so gering, dass die Ergebnisse im Allgemeinen als mit einer schwachen Effizienzform vereinbar angesehen werden. 
+
+\framebreak Die mittelstarke Form (Eventstudien)
+
+-Die mittelstarke Form der Effizienzmarkthypothese besagt, dass die Preise alle öffentlich verf��gbaren Informationen widerspiegeln sollten.  
+-Um diese Hypothese zu testen, haben Forscher gemessen, wie schnell die Wertpapierkurse auf verschiedene Nachrichten reagieren, z. B. auf die Bekanntgabe von Gewinnen oder Dividenden, auf Nachrichten über eine übernahme oder auf makroökonomische Informationen. 
+-Um die Auswirkung einer Ankündigung auf den Kurs einer Aktie zu isolieren, ist die Berechnung der abnormalen Rendite (AR) erforderlich. 
+-Die abnormale Rendite eines bestimmten Wertpapiers für einen bestimmten Tag kann berechnet werden, indem die Marktrendite desselben Tages (r_m) von der tatsächlichen Rendite (r) der Aktie für diesen Tag abgezogen wird:
+
+AR=r-r_m
+
+-Das folgende System wird uns helfen, Tests der mittelstarken Form zu verstehen: 
+
+Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t-1 --> AR_t-1
+Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t --> & AR_t 
+Freigegebene Informationen zum Zeitpunkt t+1 --> AR_t+1
+
+-Die Pfeile zeigen an, dass die abnormale Rendite in einem beliebigen Zeitraum nur mit den in diesem Zeitraum veröffentlichten Informationen zusammenhängt.
+-Nach der Effizienzmarkthypothese sollte die abnormale Rendite eines Unternehmens zum Zeitpunkt t, AR_t, die Veröffentlichung von Informationen zum gleichen Zeitpunkt, t, widerspiegeln. 
+-Alle Informationen, die vor diesem Zeitpunkt veröffentlicht werden, sollten keine Auswirkungen auf die abnormalen Renditen in diesem Zeitraum haben, da ihr gesamter Einfluss bereits vorher spürbar gewesen sein sollte.  
+-Um die mittelstarke Form der EMH anhand von abnormalen Renditen zu testen, werden Eventstudien durchgeführt.  
+-Grob gesagt sind Eventstudien statistische Studien, die untersuchen, ob die Pfeile wie abgebildet sind oder ob die Veröffentlichung von Informationen die Renditen an anderen Tagen beeinflusst. 
+-Ein Beispiel dafür ist die Studie von Szewczyk, Tsetsekos und Zantout über Dividendenausfälle.  
+-Da Dividendenausfälle im Allgemeinen als schlechte Ereignisse angesehen werden, würden wir erwarten, dass die abnormalen Renditen zum Zeitpunkt der Ankündigung negativ sind. 
+-Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der kumulativen ARs für eine Stichprobe von Unternehmen, die Dividendenausfälle ankündigen.   
+
+
+    BILD
+
+-Erwartungsgemäß sind die ARs um den Zeitpunkt der Ankündigung herum negativ, was durch einen Rückgang der kumulierten abnormalen Renditen sowohl am Tag vor der Ankündigung (Tag -1) als auch am Tag der Ankündigung (Tag 0) belegt wird. 
+-Es ist jedoch zu beachten, dass es in den Tagen nach der Ankündigung praktisch keine Bewegung bei den kumulierten ARs gibt.
+-Dies bedeutet, dass die schlechten Nachrichten bis zum Tag der Bekanntgabe vollständig in den Aktienkurs eingepreist sind, ein Ergebnis, das mit Effizienz vereinbar ist. 
+
+-Im Laufe der Jahre wurde diese Art von Methodik auf viele Ereignisse angewandt (Ankündigung von Dividenden/Gewinn, Fusionen usw.). 
+-Im Durchschnitt unterstützen die Tests der Ereignisstudien die Ansicht, dass der Markt halbwegs effizient ist.
+
+
+-Die starke Form
+
+-Eine Reihe von Studien zur starken Effizienzform untersucht den Insiderhandel. 
+-Unternehmensinsider haben Zugang zu Informationen, die nicht allgemein zugänglich sind.    
+-Aber wenn die starke Form der EMH gilt, sollten sie nicht in der Lage sein, durch den Handel mit ihren Informationen zu profitieren.  
+-Die meisten staatlichen Stellen verlangen von den Insidern eines Unternehmens, dass sie den Handel mit Wertpapieren des eigenen Unternehmens offenlegen. 
+-Anhand der Aufzeichnungen dieser Geschäfte können wir feststellen, ob sie abnormale Renditen erzielt haben.  
+-Die folgende Abbildung zeigt die kumulierten abnormalen Renditen, die britische Direktoren zwischen 1994 und 2005 mit ihren Geschäften erzielten. 
+
+    BILD
+    
+-Es ist klar, dass es in den Tagen nach dem Insiderhandel eine starke Marktreaktion gibt und dass ihre Geschäfte ungewöhnlich profitabel waren. 
+-Diese Ansicht wird durch Daten aus anderen Ländern gestützt.  
+-In Anbetracht der Tatsache, dass man mit privaten Informationen abnormale Gewinne erzielen kann, scheint die Effizienzform nicht durch empirische Evidenz untermauert zu sein.
+
+
+
+Zwischenfazit
+
+-Heute haben wir uns mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) beschäftigt. 
+-Ebenfalls haben wir uns aber mit effizienten Kapitalmärkten und der Effizienzmarkthypothese befasst. 
+-Damit haben wir theoretisch diskutiert, wie Kapitalmärkte funktionieren sollten. 
+-Im weiteren Verlauf der Vorlesung beschäftigen wir uns mit empirischen Beobachtungen und mit Kapitalmarktanomalien. 
+-Zuletzt schauen wir auf die Grenzen der Arbitrage. 
+
+
+
+\section Kapitalmarktanomalien
+
+\frametitle Empirische Herausforderungen für die Markteffizienz
+
+-Gewinnüberraschung (Earnings Surprises)
+
+-Der gesunde Menschenverstand legt nahe, dass die Kurse steigen sollten, wenn die Erträge höher als erwartet ausfallen, und fallen sollten, wenn das Gegenteil der Fall ist.
+-Die Markteffizienz impliziert, dass sich die Preise sofort auf die Ankündigung einstellen.
+-Kolasinski und Li (2005) ordnen US-Unternehmen nach dem Ausmaß ihrer Gewinnüberraschung ein, d. h. der Differenz zwischen dem aktuellen Quartalsgewinn und dem Quartalsgewinn vor vier Quartalen, geteilt durch den aktuellen Aktienkurs.
+
+-Sie bilden ein Portfolio von Unternehmen mit den extremsten positiven überraschungen und ein weiteres Portfolio von Unternehmen mit den extremsten negativen überraschungen. 
+-Die folgende Abbildung zeigt die Renditen aus dem Kauf der beiden Portfolios, abzüglich der Rendite des Gesamtmarktes.  
+
+
+    BILD
+
+-Die Kurse passen sich langsam an die Gewinnankündigungen an, wobei das Portfolio mit den positiven überraschungen sowohl im nächsten Monat als auch in den nächsten sechs Monaten besser abschneidet als das Portfolio mit den negativen überraschungen. 
+
+Größe
+-Im Jahr 1981 legten zwei wichtige Studien Hinweise dafür vor, dass in den Vereinigten Staaten die Renditen von Aktien mit kleiner Marktkapitalisierung während des Großteils des 20. Jahrhunderts höher waren als die Renditen von Aktien mit großer Marktkapitalisierung. 
+-Die Studien wurden seitdem über verschiedene Zeiträume und in verschiedenen Ländern wiedeρlt. 
+-Die folgende Abbildung zeigt beispielsweise die durchschnittlichen Renditen im Zeitraum von 1963 bis 1995 für fünf nach Größe geordnete Portfolios von US-Aktien.  
+
+
+    BILD
+
+-Wie man sieht, ist die durchschnittliche Rendite bei kleinen Aktien um einiges höher als die durchschnittliche Rendite bei großen Aktien.   
+-Obwohl ein großer Teil der unterschiedlichen Performance lediglich ein Ausgleich für das zusätzliche Risiko kleiner Firmen ist, haben Forscher allgemein argumentiert, dass nicht alles durch Risikounterschiede erklärt werden kann.  
+-Keim (1983) hat nachgewiesen, dass der größte Teil der Renditeunterschiede im Monat Januar auftritt.  
+
+
+-Sind die Finanzmärkte effizient?
+(Jensen, 1978) p.95, p. 95: Es gibt keine andere These in den Wirtschaftswissenschaften, die empirisch besser belegt ist als die EMH.
+
+
+-Dennoch traten einige Herausforderungen auf:  
+
+-übermäßige Marktvolatilität.
+-überreaktion der Aktienkurse: Langfristige Trends (1-3 Jahre) kehren sich um.
+-Momentum der Aktienkurse: Die kurzfristigen Trends (6-12 Monate) halten an.
+-Größe und B/M-Verhältnis (veraltete Informationen) können zur Vorhersage von Renditen beitragen (Fama-French 3/5-Faktormodell).
+
+-Außerdem lassen sich einige der größten Kursschwankungen nicht durch neue Informationen erklären.
+
+-Der Absturz von 1987 mit einem Rückgang von $22,6\%$ ohne erkennbare Neuigkeiten.
+-Mehrere der größten eintägigen Kursschwankungen traten auch an Tagen auf, an denen keine größeren Ankündigungen gemacht wurden (Ausnahme: COVID-19-Ausbruch im Jahr 2020).
+
+
+-Forscher liefern empirische Belege für Marktanomalien:
+
+- (Tinic, 1984): saisonale Muster bei Aktienrenditen (z.B. der Januar-Effekt).
+-(Bondt, 1985): Aktienmärkte überreagieren in Bezug auf unerwartete Nachrichtenereignisse.	
+-(Fama, 1998): Wertaktien schneiden weltweit besser ab als Wachstumsaktien.
+
+
+-Die beschriebenen Muster stehen zwar im Zusammenhang mit den Aktienmärkten, doch haben die letzten Jahre gezeigt, dass viele dieser Muster auch in anderen Anlageklassen zu finden sind. 
+-Mehrere der empirischen Muster im Querschnitt der Aktienrenditen gelten auch für andere Anlageklassen, z. B. Momentum, langfristige Umkehrungen (longterm reversal), Volatilität.
+-Sie gelten sogar für die Märkte von FIFA 19 (Montone und Zwinkels, 2021).
+-Dies deutet auf einen gemeinsamen Mechanismus hin, der für alle Anlageklassen gilt. 
+
+-Diese Anomalien widerlegen jedoch nicht die Markteffizienz, da jeder Test die gemeinsamen Hypothesen prüfen muss: Markteffizienz an sich ist nicht testbar. Sie muss zusammen mit einem Gleichgewichtsmodell, einem Modell zur Bewertung von Vermögenswerten, getestet werden (Fama, JF, 1991). 
+
+-Dennoch liefert die Geschichte eindeutige Beispiele für nicht effiziente Märkte (siehe Barberis/Thaler, 2003):
+
+-Zusammenschluss von Royal Dutch und Shell Transports im Jahr 1907.
+-Die Cash-Flows werden im Verhältnis 60:40 zwischen den Unternehmen aufgeteilt.
+-Beide Aktien werden jedoch an unterschiedlichen Börsen gehandelt.
+-Einfache Rechnenaufgabe: Der Cashflow an RD ist das 1,5-fache des Cashflows an die ST-Aktionäre.
+--> Der Marktwert von RD sollte das 1,5-fache des Marktwerts von ST betragen.
+-Dennoch ...
+
+
+    BILD
+    
+Der Arbitrage sind Grenzen gesetzt! Eine Erklärung dafür ist die Existenz von ``noise trader''. 
+
+-Eine Kombination von möglichen Erklärungen für Marktanomalien:
+
+-In der Realität können die Entscheidungen von Anlegern unter Risiko irrational sein.
+-In der Praxis haben Anleger nur begrenzte Arbitragemöglichkeiten (Transaktionskosten, Liquiditätsbeschränkungen).
+
+
+
+\frametitle Zwischenfazit
+
+-Empirische Beobachtungen zeigen uns also, dass wir Abweichungen zwischen Theorie und Realität beobachten: sog. Kapitalmarktanomalien. 
+-Zuletzt schauen wir daher auf die Grenzen der Arbitrage. Warum kann es zu solchen Abweichungen von der Effizienzmarkthypothese kommen? 
+
+
+\section Die Grenzen der Arbitrage
+
+
+Shleifer, A. and R. Vishny (1997): ``The Limits of Arbitrage,'' The Journal of Finance, 52, 35–55. 
+
+(see N. Barberis: Behavioral Finance. Asset Prices and Investor Behavior, Yale University.)
+
+
+-Behavioral Finance-Anwendungen auf die Preise von Vermögenswerten gehen häufig davon aus, dass irrationale Anleger die Preise beeinflussen. 
+-Es gibt eine klassische Kritik an dieser Idee, die arbitrage critique.
+-Dieser Kritik zufolge können irrationale Anleger die Preise nichtüber einen längeren Zeitraum hinweg beeinflussen. 
+
+-Sobald irrationale Investoren die Preise bewegen, entsteht eine attraktive Gelegenheit für rationale Investoren. 
+-Die rationalen Anleger handeln gegen die Fehlbewertung und korrigieren sie schnell arbitrage). 
+
+-Die Forschung liefert jedoch empirische Evidenz für die Grenzen der Arbitrage. 
+
+
+Definition: Keine Arbitragemöglichkeiten
+Ein Kapitalmarkt ist frei von Arbitragemöglichkeiten, wenn es kein Portfolio gibt, das heute zu einem negativen Preis gekauft werden kann, aber morgen in jedem möglichen Zustand der Welt einen nicht-negativen Marktwert haben wird.
+
+
+Beispiel: Arbitrage-Möglichkeiten
+
+    BILD
+
+center
+tabularl|c|cc
+Zeit & 0 &  \multicolumn2c1 \\ \hline
+ &  & Zustand 1 & Zustand 2 \\ \hline 
+ Kauf von Anlage 2 & -0,60 & \hspace1ex1 & \hspace1ex0 \\
+ Kauf von Anlage 3 & -0,28 & \hspace1ex0 & \hspace1ex1 \\
+ Verkauf von Anlage 1 & 0,9 & -1 & -1 \\ \hline
+ Kum. Cash Flow & 0,02 & \hspace1ex0 & \hspace1ex0 \\[1ex]
+ & Negativer Preis & \multicolumn2cnicht-negativer Marktwert
+\endtabular
+\endcenter
+
+\endexm
+
+Definition Fundamentalwert
+Der Fundamentalwert eines Vermögenswerts ist sein Preis in einer Wirtschaft mit rationalen Anlegern und ohne Beschränkungen. Der Fundamentalwert spiegelt alle verfügbarenöffentlichen Informationen korrekt wider und ist der Preis eines effizienten Marktes. 
+
+-In einer Wirtschaft mit Beschränkungen oder wenn einige Menschen nicht völlig rational sind, kann der Preis eines Vermögenswertes vom Fundamentalwert abweichen. Solche Abweichungen werden als Fehlbewertung oder Ineffizienz bezeichnet.
+
+-Rationale Anleger werden manchmal auch als Arbitrageure bezeichnet.
+-Weniger als völlig rationale Investoren werden manchmal als Noise Trader bezeichnet. 
+
+-Die Arbitrage-Kritik besagt, dass es für rationale Investoren einfach ist, eine Fehlbewertung zu korrigieren. 
+-In der Realität ist es jedoch nicht einfach:  
+
+-Es gibt Risiken und Kosten, die die Möglichkeiten der Arbitrageure, eine Fehlbewertung zu korrigieren, einschränken.
+-Auf diese Weise können irrationale Anleger die Preise erheblich und für lange Zeit beeinflussen. 
+
+-Besondere Grenzen der Arbitrage
+
+-Risiken: Fundamental-Risiko, Noise-Trader-Risiko
+-Kosten: Handelskosten, Implementierungskosten, Informationskosten
+
+
+
+Definition: Fundamental-Risiko
+Das Risiko, dass es negative Nachrichtenüber den fundamentalen Wert des falsch bewerteten Vermögenswerts gibt.
+
+Definition: Noise Trader Risiko
+Das Risiko, dass der Arbitrageur aufgrund der sich kurzfristig verschlechternden Fehlbewertung gezwungen ist, seinen Handel mit Verlust zu beenden (DeLong, 1990; shleifer 1997) 
+
+-Das Noise-Trader-Risiko entsteht, weil Arbitrageure in der realen Welt das Geld anderer Leute verwalten. Wenn sich also die Fehlbewertung kurzfristig verschlechtert, könnten nervöse Kunden ihr Geld aus dem Fonds des Arbitrageurs abziehen und eine Liquidation erzwingen. 
+-Dieses Problem wird durch den Einsatz von Leverage noch verstärkt. Wenn sich die Fehlbewertung kurzfristig verschlimmert, können die Banken ihre Kredite fällig stellen, was wiederum eine Liquidation erzwingt. 
+
+Definition: Kosten
+Zu den Kosten gehören allgemeine Handelskosten, aber auch Leerverkaufskosten und Informationskosten, d. h. die Kosten für die Erkennung, das Verständnis und die Ausnutzung einer Fehlbewertung. 
+
+
+\frametitle Grenzen der Arbitrage (SV 1997)
+
+-Im weiteren Verlauf dieser Vorlesung werden wir einen Blick auf das Modell von (shleifer 1997) werfen, das erklärt, warum Arbitrage Anomalien auf Finanzmärkten nicht beseitigen kann. 
+-Betrachten wir einen Markt, auf dem nur ein Vermögenswert mit dem Fundamentalwert V gehandelt wird. 
+-Es gibt drei Arten von Händlern: Noise Trader, Arbitrageure und Investoren in Arbitragefonds, die nicht selbst handeln. 
+-Arbitrageure engagieren sich nur auf diesem Markt; Investoren verteilen ihre Mittel auf mehrere Märkte. 
+-Es gibt drei Zeitpunkte: 1, 2 und 3. Der Preis des Vermögenswertes zum Zeitpunkt t ist p_t. 
+-Zum Zeitpunkt 3 wird V allen bekannt: p_3 = V. 
+-Noise Trader sind pessimistisch und können einen Pessimismus-Schock S_t erleben.  
+-Die Nachfrage nach dem Vermögenswert ist gegeben durch:
+QN(t) = (V-S_t)/p_t
+
+-Zum Zeitpunkt t=1 kennen die Arbitrageure S_1; S_2 ist jedoch unsicher. Es kann sein, dass S_2 > S_1 ist (was eintritt, wenn sich die Fehlwahrnehmungen der Noise Trader vertiefen). 
+-Arbitrageure und Investoren sind völlig rational. 
+
+-Arbitrageure nutzen die von Noise Tradern verursachten Fehlbewertungen aus, um Gewinne zu erzielen. 
+-Sie verfügenüber kumulierte Ressourcen F_t, die sie investieren können, um die Fehlbewertung auszunutzen. 
+-F_1 ist exogen gegeben; F_2 wird unter Berücksichtigung der Performance der Arbitrageure bestimmt.
+
+
+-Der interessante Teil des Modells findet zum Zeitpunkt t=2 statt: Entweder eρlt sich der Preis auf den Fundamentalwert V (mit der Wahrscheinlichkeit 1-q), oder die Noise Trader sind weiterhin verwirrt und der Preis weicht immer noch von V ab (mit der Wahrscheinlichkeit q). 
+-Wenn der Preis=V ist, investieren die Arbitrageure ihre gesamten Mittel in Bargeld / den risikofreien Vermögenswert. 
+-Wenn der Preis≠V ist, wollen die Arbitrageure alle ihre Ressourcen in den Vermögenswert investieren, da sich der Preis in t=3 mit Sicherheit eρlen wird. 
+-Ihre Nachfrage ist also QA(2) = F_2/p_2.
+
+
+-Da der Markt geräumt werden muss (Nachfrage=Angebot), ist der Preis gegeben durch: 
+p_2 = V - S_2 + F_2
+
+-Nehmen wir nun an, dass die Ressourcen der Arbitrageure begrenzt sind und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu korrigieren, d. h. F_2 < S_2.
+-Im anderen Fall wäre die Lösung trivial: Wir würden effiziente Märkte beobachten. 
+
+-In t=1 wollen Arbitrageure nicht unbedingt alle Ressourcen in den Vermögenswert investieren. Stattdessen möchten sie vielleicht etwas Bargeld bereithalten, falls die Unterbewertung des Vermögenswertes zunimmt. 
+-Offensichtlich haben --- in diesem Fall --- alle zu diesem Zeitpunkt investierten Mittel zumindest vorübergehend an Wert verloren. 
+-Bezeichnen wir die Nachfrage der Arbitrageure zum Zeitpunkt t=1 mit D_1. Dann ist QA(1) = D_1/p_1 und p_1 = V - S_1 + D_1.
+
+-Auch hier gehen wir davon aus, dass die Ressourcen der Arbitrageure begrenzt sind und nicht ausreichen, um alle Fehlbewertungen zu korrigieren, d.h. F_1 < S_1. 
+
+-Werfen wir nun einen Blick auf die Beziehung zwischen Investoren und Arbitrageuren. 
+-Die Investoren stellen den Arbitrageuren Mittel zur Verfügung, um mögliche Fehlbewertungen zu korrigieren, und erhalten die von den Arbitrageuren erwirtschaftete Rendite abzüglich der konstanten Grenzkosten, die für alle Arbitrageure gleich hoch sind.
+-Die Mittel der Investoren reichen nicht aus, um die Nachfrage aller Arbitrageure auf den verschiedenen Märkten zu befriedigen.
+-Investoren sind Bayesianer und haben Erwartungenüber die erwartete Rendite jedes Arbitrageurs und investieren in den Arbitrageur mit der höchsten erwarteten Rendite entsprechend ihrer Erwartungen. 
+-Die Erwartungen der Investoren sind unterschiedlich, d. h. nicht alle Ressourcen landen beim gleichen Arbitrageur. 
+-Zum Zeitpunkt t=2 aktualisieren die Investoren ihre Erwartungen bezüglich der erwarteten Rendite des Arbitrageurs unter Berücksichtigung der neu verfügbaren Informationen --- der Rendite des Arbitrageurs in der vorangegangenen Periode, p_2/p_1. 
+-Die Investoren haben nicht die geistigen Fähigkeiten, die Anlagestrategien der Arbitrageure zu verstehen. Daher müssen sie sich auf beobachtbare Größen verlassen. Daher können die Investoren nicht unterscheiden zwischen 
+enumerate
+    -einem zufälligen Fehlerterm, 
+    -Pech, weil Noise Trader zunehmend verwirrt sind, oder 
+    -fehlenden Fähigkeiten des Arbitrageurs. 
+
+-Insbesondere werden Arbitrageure, die in der ersten Periode schlechte Renditen erzielt haben, Ressourcen an Arbitrageure verlieren, die bessere Renditen erzielt haben.
+
+
+-Führen wir G(x) = a*x+1-a als die Funktion ein, die die Umverteilung der Mittel in t=2 organisiert, wobei a>1 ist.
+-Dann ist das Geldangebot der Arbitrageure in t=2 gegeben durch: F_2 = F_1 - a D_1+(1 - p_2/p_1). 
+
+-Bei einer Rendite von Null (p_2=p_1) gewinnen oder verlieren Arbitrageure keine Mittel; bei höheren Renditen gewinnen sie Mittel; bei niedrigeren Renditen verlieren sie Mittel. 
+-Dabei bezeichnet a die Sensitivität der Investoren gegenüber der vergangenen Wertentwicklung. Bei höheren Werten von a verliert der Arbitrageur als Reaktion auf eine schlechte Performance mehr Mittel. 
+
+-Dies ist eine rationale Reaktion auf den Versuch, aus den Renditen der Vergangenheit auf die Fähigkeiten des Managements und die zukünftigen Chancen zu schließen. 
+-Diese leistungsbezogene Mittelzuweisung im Modell führt zu einem interessanten Effekt: Das Kapital ist vor allem dann niedrig, wenn die erwarteten Erträge hoch sind. Wenn die Fehlbewertung zunimmt, sind die Gewinne der Arbitrageure in der ersten Periode niedrig, aber --- da die Preise in t=3 bekannt sind --- ist dies genau der Zeitpunkt, an dem die zukünftigen Renditen am höchsten sind. 
+
+
+-Betrachten wir abschließend noch das Optimierungsproblem der Arbitrageure.
+-Arbitrageure maximieren ihren erwarteten Gewinn in $t=3$ --- was gleichbedeutend damit ist, dass sie ihr verwaltetes Vermögen maximieren, da sie einen konstanten Grenzsatz verlangen. 
+-Arbitrageure maximieren
+E[W] = (1 - q) × [ a × ( ( D_1 × V ) / p_1 + F_1 - D_1 ) + (1 - a) × F_1 ]  
++ q × ( V / p_2 ) × [ a × ( ( D_1 × p_2 ) / p_1 + F_1 - D_1 ) + (1 - a) × F_1 ]
+
+
+-Im ersten Fall halten die Arbitrageure in der letzten Periode Bargeld; im zweiten Fall investieren sie ihre gesamten verfügbaren Mittel in den Vermögenswert. 
+-Ihre Bedingung erster Ordnung ist gegeben durch (erste Ableitung!):
+
+(1 - q) × ( V / p_1 - 1 ) + q × ( p_2 / p_1 - 1 ) × ( V / p_2 ) ≥ 0
+
+-Der erste Term erfasst den zusätzlichen Nutzen, wenn sich der Preis in t=2 eρlt. Der zweite Term ist der Verlust an Nutzen, wenn der Preis fällt, bevor er sich in t=3 eρlt.
+
+
+-Wir sehen also, dass die optimale Entscheidung, Arbitrage zu nutzen, und das Ausmaß, in dem sie genutzt werden sollte, von der Wahrscheinlichkeit abhängt, dass die Fehlbewertung sofort korrigiert wird, und vom Ausmaß der Fehlbewertung. 
+-Am wichtigsten ist, dass es viele Umstände gibt, unter denen Arbitrageure sich nicht dafür entscheiden, in $t=1$ voll investiert zu sein. 
+-Mit anderen Worten, wir beobachten Grenzen der Arbitrage, die nicht explizit durch eingeschränkte Ressourcen, sondern eher durch das allgemeine Modell bedingt sind.
+
+
+\section Zusammenfassung und Ausblick
+
+-Heute haben wir uns mit einem bekannten Kapitalmarktgleichgewichtsmodell, dem Capital Asset Pricing Model (CAPM), beschäftigt. 
+-Wir haben die Effizienzmarkthypothese kennengelernt. 
+-Wir haben über verschiedene Abweichungen von effizienten Märkten, sog. Marktanomalien, gesprochen, die in dem großen Bereich der Verhaltensökonomie diskutiert werden.  
+-Zuletzt haben wir die Grenzen der Arbitrage kennengelernt. 
+-In der nächsten Vorlesung diskutieren wir die Behavioral Finance noch detaillierter. 

Main5.txt

@@ -0,0 +1,929 @@
+\frametitle überblick 
+
+- Heute beschäftigen wir uns mit der Behavioral Finance  . 
+- Die interdisziplinäre Behavioral Finance nutzt Erkenntnisse aus der Psychologie und der Soziologie um Kapitalmarktbeobachtungen zu erklären, die mit der traditionellen Finanzwirtschaft schwer zu erklären sind.
+- Im Mittelpunkt stehen dabei (irrationale) Verhaltensmuster von Marktteilnehmern. 
+- Die Behavioral Finance nimmt dabei eine eherbeschreibende   als eine normative Rolle ein. 
+ 
+ 
+\section Behavioral Finance 
+
+- Wesentliche Aussagen: 
+
+- Der Mensch trifft seine Entscheidungen häufig auf der Grundlage von Heuristiken. 
+- Dieser Entscheidungsprozess führt zusystematischen Abweichungen vom rationalen Verhalten, sog. Biases oder Verzerrungen
+
+-Kognitive Verzerrungen: Anleger können nicht alle Informationen analysieren und verarbeiten. 
+-Emotionale Verzerrungen: Anleger nehmen Informationen in Abhangigkeit von ihrem Gemütszustand wahr.
+ 
+-kein vollständig rationales Handeln, Abkehr vom homo oeconomicus
+ 
+
+     BILD
+
+\frametitle Ein Mix aus rationalem Kalkül und irrationalem Verhalten 
+
+Der Preis der Sveriges Riksbank für Wirtschaftswissenschaften im Gedenken an Alfred Nobel 2013 wurde gemeinsam an Eugene F. Fama, Lars Peter Hansen und Robert J. Shiller für ihre empirische Analyse von Vermögenspreisen verliehen.
+	
+    BILD
+
+http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/ \
+
+	
+Das Preisvergabekomitee verlieh den Nobelpreis an zwei führende Wirtschaftswissenschaftler, die gegensätzliche Ansichten über die Rationalität der Finanzmärkte vertreten.
+
+
+- E. Fama 's Seminartheorie der rationalen, effizienten Märkte inspirierte den Aufstieg der Indexfonds und trug zum Rückgang der Finanzregulierung bei.
+- R. Shiller  sammelte Beweise für irrationales, ineffizientes Verhalten und erregte Aufmerksamkeit, indem er den Fall der Aktienkurse im Jahr 2000 und den Immobiliencrash im Jahr 2006 vorhersagte.
+- L. Hansen  entwickelte eine Methode der statistischen Analyse zur Bewertung von Theorien über Preisbewegungen.
+ 
+
+ \frametitle Mit anderen Worten...  
+
+... gegensätzliche Konzepte, die die Entscheidungsfindung des Einzelnen erklären:   
+
+    BILD
+    
+rational  vs. irrational 
+
+Wirtschaftsakteure sind Menschen. 
+Wirtschaftsmodelle müssen das respektieren. 
+
+Der Preis der Sveriges Riksbank für Wirtschaftswissenschaften in Erinnerung an Alfred Nobel 2017 wurde Richard H. Thaler für seine Beiträge zur Verhaltensökonomie verliehen.
+
+Quelle: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2017/ 
+ 
+\frametitle Preis der Sveriges Riksbank in Wirtschafts- wissenschaften 2002 
+\
+- Daniel Kahneman: für die Integration von Erkenntnissen aus der psychologischen Forschung in die Wirtschafts- wissenschaft, insbesondere in Bezug auf menschliches Urteilsvermögen und Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. 
+- Vernon Smith: für die Etablierung von Laborexperimenten als Instrument der empirischen Wirtschaftsanalyse, insb. für die Untersuchung alternativer Marktmechanismen. 
+ 
+
+\section Traditionelle Finanzmarkttheorie 
+\subsection Rationale Entscheidungsfindung 
+ Ökonomen  vertreten eine normative Theorie der Entscheidungsfindung, die davon ausgeht, dass die Entscheidungsfindung der Menschen rational ist
+ MARKOWITZ1952 .
+
+- Normativ  : Formale Theorie der Entscheidungsfindung in Risikosituationen.
+- Die Entscheidungsfindung...
+
+- ... basiert auf Regeln der Logik und Statistik, 
+- ... zielt darauf ab, den Nutzen des Einzelnen zu maximieren, 
+- ... setzt voraus, dass das Subjekt alle relevanten Informationen, Konsequenzen und Wahrscheinlichkeiten kennt. 
+ 
+ 
+\frametitle Homo Oeconomicus 
+
+- Die Grundlage für viele von John Stuart Mill (1848) eingeführte ökonomische Theorien.
+- Besagt, dass Menschen immerrationale   und vollständigeigeninteressierte   Akteure sind.
+- Individuen sind in der Lage, die schwierigstenOptimierungsprobleme   zu lösen und versuchen, ihren Nutzen unter den gegebenen Einschränkungen zu maximieren.	
+
+Mit anderen Worten, der homo oeconomicus
+- hat wohldefinierte Präferenzen ((subjektiver) erwarteter Nutzen), unvoreingenommene überzeugungen und Erwartungen,
+- hat eine perfekte Informationsverarbeitung nach dem Bayes'schen Gesetz, 
+- trifft auf der Grundlage dieser überzeugungen und Präferenzen optimale, dynamisch konsistente Entscheidungen (was unendliche kognitive Fähigkeiten und Willenskraft voraussetzt), und
+- ist ausschließlich durch Eigeninteresse motiviert.
+ 
+
+Wie sieht es mit dem Schwierigkeitsgrad der Nutzenmaximierung (oder des Gewinns) aus?
+
+
+- Problem:
+- Das Modell geht davon aus, dass die Menschen gleichermaßen gut darin sind, zu entscheiden, wie viele Eier sie zum Frühstück kaufen und wie viel sie für ihren Ruhestand sparen wollen.
+ 
+-  Lösung: Die richtige Analogie ist die eines erfahrenen Billardspielers, der die mathematischen Formeln nicht kennt, die bestimmen, wie eine Kugel von einer anderen abprallt, aber seine Stöße so ausführt, als würde er die Formeln kennen. (friedman 1953).
+ 
+Annahme: Auf freien Märkten wird sich rationales Verhalten durchsetzen.
+ 
+ 
+\frametitle Wiederholung: normative Konzepte 
+
+- Satz von Bayes
+
+- Ein Konzept, das die Informationsverarbeitung erklärt.
+- Wie werden neue Informationen integriert? Wie aktualisieren wir unsere überzeugungen bezüglich der Wahrscheinlichkeiten, wenn neue Informationen eintreffen?
+ 
+
+- Erwartungsnutzentheorie siehe (neumann 1944)
+
+- Ein Konzept, das die optimale Wahl zwischen Alternativen mit ungewissem Ausgang erklärt.
+- Wie werden Alternativen mit ungewissem Ausgang bewertet? 
+ 
+ 
+\frametitle Finanzielle Bildung 
+
+- Um eine optimale Auswahl treffen zu können, müssen die Marktteilnehmer natürlich über finanzielle Kenntnisse verfügen.  
+- Es gibt eine umfangreiche Literatur zum Thema finanzielle Bildung (financial literacy), die wir in diesem Kurs nicht im Detail besprechen werden. 
+- Wir werden jedoch kurz einen Blick auf das Thema finanzielle Bildung werfen. 
+- Werfen wir einen Blick auf die drei wichtigsten Fragen zur Messung der finanziellen Bildung. 
+  
+- Angenommen, Sie haben 100 USD auf einem Sparkonto und der Zinssatz beträgt 2% pro Jahr. Was glauben Sie, wie viel Sie nach 5 Jahren auf dem Konto haben würden, wenn Sie das Geld wachsen lassen würden: mehr als 102 USD, genau 102 USD, weniger als 102 USD?
+- Stellen Sie sich vor, der Zinssatz für Ihr Sparkonto läge bei 1% pro Jahr und die Inflation bei 2% pro Jahr. Würden Sie nach einem Jahr mit dem Geld auf diesem Konto mehr, genau dasselbe oder weniger kaufen können als heute?
+- Glauben Sie, dass die folgende Aussage richtig oder falsch ist? Der Kauf von Aktien eines einzelnen Unternehmens bietet in der Regel eine sicherere Rendite als ein Aktienfonds.
+
+BILD TABELLE
+
+-  Lusardi, Annamaria, and Olivia S. Mitchell (2006), ``Financial Literacy and Planning: Implications for Retirement Wellbeing'', MRRC Working Paper n. 2006-144. 
+ 
+ 	
+\frametitle Sind Sie ein Homo oeconomicus? 
+
+Dictator game
+
+Sie erhalten 20€. Sie müssen Ihrem Nachbarn einen Teil des Geldes anbieten. Anschließend entscheidet Ihr Nachbar, ob er das Angebot annimmt oder ablehnt. Wenn Ihr Nachbar das Angebot annimmt, erhalten Sie beide die Beträge, die Sie vorgeschlagen haben. Lehnt Ihr Nachbar das Angebot ab, erhalten Sie beide nichts. 
+Sie behalten:
+Ihr Nachbar erhält: 
+
+ Beispiel Fischbacher and Föllmi-Heusi (2013)
+
+- Lügen bei Würfelspielen.
+- Die Augen auf dem Würfel bedeuten einen Gewinn von bis zu 5 CHF; 6 = 0 CHF.  
+- Die Teilnehmer werden angewiesen, den Würfel so oft zu werfen, wie sie wollen, sollten sich aber das Ergebnis des ersten Wurfs merken und es später mitteilen. 
+- Wichtig:Keine Beobachtbarkeit von Personen!  
+- Was ist die rationale Wahl? 
+ 
+  
+    BILD
+
+
+ 
+\frametitle Satz von Bayes 
+Betrachten Sie einen Beutel, der fünf schwarze und/oder weiße Pokerchips enthält. Entweder sind 80% der Chips weiß und 20% sind schwarz (Tasche A) oder 40% sind weiß und 60% sind schwarz (Tasche B). Ihre A-priori-Schätzung der Wahrscheinlichkeit, Tasche A zu haben, ist 50%. 
+
+Nun wird ein Chip aus der Tüte gezogen. Er ist weiß (schwarz). Wie hoch ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Beutel A vor sich haben? 
+
+
+\frametitle Bayes' theorem 
+
+Gegeben sind a priori Wahrscheinlichkeiten p(y_i) und Wahrscheinlichkeiten p(s_j | y_i). Dann lauten die a posteriori-Wahrscheinlichkeiten p(y_i | s_j) wie folgt
+
+
+p(y_i | s_j) = [ p(y_i) × p(s_j | y_i) ] / p(s_j) = [ p(y_i) × p(s_j | y_i) ] / ( Σ_k p(y_k) × p(s_j | y_k) )
+
+
+ 
+\frametitle Zurück zu unserem Beispiel... 
+Satz von Bayes
+Unsere A-priori-Schätzung der Wahrscheinlichkeit, Beutel A zu haben, ist p(y_i) = 0,5 für i=A,B 
+
+Außerdem wissen wir durch unser Wissen über die Beutel, dass p(s_W | y_A) = 4 / 5  
+p(s_W | y_B) = 2 / 5
+
+
+Das Bayes-Theorem besagt also: 
+p(y_A | s_W) = [ (1/2) × (4/5) ] / [ (1/2 × 4/5) + (1/2 × 2/5) ] = 2/3
+
+ 	
+\subsection Erwartungsnutzentheorie 
+
+- Auf der Grundlage einer Reihe von Axiomen der Nutzentheorie kann eine Nutzenfunktion konstruiert werden.
+- Die Annahme ist, dass ein Individuum aus der Menge der möglichen Alternativen a_i (i=1, ..., m) diejenige Alternative wählt, die den Erwartungswert seiner Nutzenfunktion maximiert. 
+- Die Nutzenfunktion u der Person wird über eine Menge von Ergebnissen für das Entscheidungsproblem definiert. 
+- In der Nutzentheorie wird ein solches Entscheidungsproblem gelöst, indem die Menge der Ergebnisse x_is bewertet wird, die sich aus der Wahl einer Alternative a_i und dem Eintreten eines bestimmten Zustands s mit der Wahrscheinlichkeit p(s) ergeben. 
+- Das zentrale Ergebnis ist: Für die Ergebnisse kann eine Nutzenfunktion $u$ definiert werden, so dass eine Alternative mit einem höheren erwarteten Nutzen immer einer Alternative mit einem niedrigeren erwarteten Nutzen vorgezogen wird.
+ 
+Definition Nutzenfunktion: 
+Eine Nutzenfunktion wird verwendet, um jedem möglichen Ergebnis s (a(s)) jeder Alternative a einen Nutzen zuzuordnen. Dann kann der erwartete Nutzen jeder Alternative als gewichteter Durchschnitt unter Verwendung subjektiver Wahrscheinlichkeiten p(s) berechnet werden:  
+
+E[ u(a) ] = Σ (from i = 1 to n) of p(s_i) × u( a(s_i) )
+
+Eine Alternative A mit einem höheren erwarteten Nutzen wird gegenüber einer Alternative B mit einem niedrigeren erwarteten Nutzen bevorzugt.  
+
+- Das Konzept der Erwartungsnutzentheorie basiert auf den Axiomen dervollständigen Bestellung , Kontinuität , und Unabhängigkeit
+- Im Rahmen des erwarteten Nutzens können wir Anpassungen des Nutzens in Bezug auf das Risiko durch drei Maße ausdrücken: 
+
+- das Sicherheitsäquivalent,
+- die Risikoprämie,  
+- die Krümmung der Nutzenfunktion. 
+ 
+- Eine Entscheidungsträgerin ist risikoscheu  , wenn sie das erwartete Ergebnis einer beliebigen nicht entarteten Lotterie dieser vorzieht.
+- Eine nicht entartete Lotterie ist eine Lotterie, bei der kein einziges Ergebnis die Wahrscheinlichkeit eins hat. 
+ 
+Definition: Sicherheitsäquivalent
+Ein Sicherheitsäquivalent der Lotterie  ist ein Betrag x̂, bei dem der Entscheidungsträger indifferent zwischen x̃ und dem bestimmten Betrag x̂ ist. Somit ist x̂ definiert durch  
+
+u(x̂) = E[ u(x̃) ] ⇔ x̂ = u⁻¹( E[ u(x̃) ] )
+
+
+Definition: Risikoprämie
+Die Risikoprämie einer Lotterie x̃ ist ihr Erwartungswert abzüglich ihres Sicherheitsäquivalents. 
+
+RP(x̃) = x̄ - x̂ = E[x̃] - u⁻¹( E[ u(x̃) ] )
+
+
+\begin theorem Krümmung der Nutzenfunktion: konkav
+Die folgenden Eigenschaften sind gleichwertig: 
+
+- Ein Entscheidungsträger ist risikoscheu.
+- Das Sicherheitsäquivalent des Entscheidungsträgers für jede nicht entartete Lotterie ist kleiner als der Erwartungswert dieser Lotterie. 
+- Die Risikoprämie des Entscheidungsträgers ist für alle nicht entarteten Lotterien positiv.
+- Die Nutzenfunktion des Entscheidungsträgers ist streng konkav. 
+ 
+
+\begin theorem [Krümmung der Nutzenfunktion: konvex]
+Die folgenden Eigenschaften sind gleichwertig:  
+
+- Ein Entscheidungsträger ist risikofreudig.
+- Das Sicherheitsäquivalent des Entscheidungsträgers für jede nicht entartete Lotterie ist höher als der Erwartungswert dieser Lotterie. 
+- Die Risikoprämie des Entscheidungsträgers ist für alle nicht entarteten Lotterien negativ.
+- Die Nutzenfunktion des Entscheidungsträgers ist streng konvex. 
+ 
+    BILD
+
+ 
+\begin Definition [Arrow-Pratt-Maß]
+Die Risikoneigungsfunktion r ist definiert durch:
+
+r(x) = - ( u''(x) ) / ( u'(x) )
+
+- Mit dem Maß für die Risikobereitschaft können wir vergleichen, ob ein Entscheidungsträger risikoscheuer oder risikofreudiger ist als ein anderer. Für einen solchen Entscheidungsträger ist seine Risikoprämie größer als die des anderen Entscheidungsträgers für eine bestimmte Lotterie.
+
+- Für einen risikofreudigen (risikoscheuen) Entscheidungsträger, r(x) < 0  ∀ x(r(x) > 0 ∀ x) 
+- Sei r_1(x) > r_2 (x) ∀ x Risikoneigungsfunktionen für zwei Entscheidungsträger. Dann gilt RP _1 > RP _2. 
+ 
+
+- Herausforderung: Ist ein Entscheidungsträger risikofreudig oder risikoscheu?  
+
+- Experimente mit Lotterien durchführen (so wie Holt&Laury). 
+- Experimente, bei denen das Sicherheitsäquivalent direkt ermittelt wird. 
+ 
+ 
+    BILD
+
+- Bei der ersten Entscheidung beträgt die Wahrscheinlichkeit des geringen Gewinns für beide Optionen 1/10, so dass nur eine extrem risikofreudige Person Option B wählen würde. 
+- Bei der letzten Entscheidung beträgt die Wahrscheinlichkeit des hohen Gewinns für beide Optionen 1/10, so dass nur eine extrem risikoscheue Person Option B wählen würde. 
+- Jede Person wechselt irgendwann: Wenn die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses mit dem hohen Auszahlungsbetrag genügend ansteigt (und man die Tabelle nach unten wandert), sollte die Person zu Option B übergehen. 
+- Eine risikoneutrale Person würde zum Beispiel viermal A wählen, bevor sie zu B wechselt; selbst sehr risikoscheue Personen sollte bei der untersten Reihe umsteigen. 
+ 
+    BILD
+
+- Man könnte darüber diskutieren, ob die Risikoeinstellung in verschiedenen Situationen bzw. Lebensbereichen konstant ist (dohmen 2011). 
+- Es gibt Menschen, die ein großes Bündel von Versicherungspolicen besitzen und gleichzeitig Lotto spielen.  
+- Nach der normativen Theorie muss die Risikobereitschaft konstant sein, damit ein Individuum sich als völlig rational betrachten kann.
+ 
+ 	
+\frametitle Verstöße gegen die Rationalität und Erwartungsnutzentheorie 
+
+- Wie funktioniert der erwartete Nutzen in der Praxis?
+- Im Laufe der Zeit haben wir einige auffällige Paradoxien beobachtet:
+
+- Endowment-Effekt (THALER 1980)
+- Allais-Paradoxon (Allais 1953) 
+- Ellsberg-Paradoxon (Ellsberg 1961) 
+- Systematische Abweichung von der Wahrscheinlichkeitsrechnung (siehe z.B. kahneman 1983)
+ 
+
+Ihr anfängliches Vermögen beträgt 300$. Außerdem haben Sie die Wahl zwischen 
+- Einem sicheren Gewinn von 100$
+- Einer 50% Chance auf einen Gewinn von 200$ und einer 50% Chance auf einen Gewinn von 0$.
+
+Ihr anfängliches Vermögen beträgt nun 500$. Außerdem haben Sie die Wahl zwischen
+- Einem sicheren Verlust von 100$
+- Einer 50% Chance, 200$ zu verlieren und einer 50% Chance,  0$ zu verlieren.
+
+
+- Szenario 1: 72% wählen Option 1, 28% wählen Option 2.
+- Szenario 2: 36% wählen Option 1, 64% wählen Option 2.
+- Wenn die Entscheidung also als Gewinn ausgelegt wird, sind die Entscheidungsträger im Durchschnitt risikoscheu
+- Wenn die Entscheidung mit einem Verlust verbunden ist, sind die Entscheidungsträger im Durchschnittrisikofreudig
+
+- Der Endowment-Effekt
+
+- Ein gewisses Maß an Trägheit wird in den Prozess der Verbraucherwahl eingebracht, da Güter, die in der Ausstattung des Einzelnen enthalten sind, ceteris paribus einen höheren Wert haben als solche, die nicht in der Ausstattung enthalten sind. 
+- Die Entnahme eines Gutes aus der Ausstattung führt zu einem Verlust, während die Hinzufügung desselben Gutes (zu einer Ausstattung ohne dieses Gut) zu einem Gewinn führt.
+
+
+\frametitle Das Allais-Paradoxon, 1953 
+
+Beispiel Allais-Paradoxon, Fall A]
+Betrachten Sie eine Wahl zwischen 
+
+- 1 Mio. mit Sicherheit.
+- 5 Mio  mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% und 1 Mio. mit einer Wahrscheinlichkeit von 89% und 0  mit einer Wahrscheinlichkeit von 1%. 
+
+Beispiel: Allais-Paradoxon, Fall B
+Betrachten Sie nun eine Wahl zwischen  
+
+- 1  Millionen mit einer Wahrscheinlichkeit von 11% und 0  mit einer Wahrscheinlichkeit von 89%. 
+- 5  Millionen mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% und 0  mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. 
+
+Allais-Paradoxon, Erklärung
+
+Viele Individuen wählen in dieser Konstellation nicht konsequent. Betrachten wir ein Individuum, das im Fall A 1 wählt. Also, 
+u(1,000,000) > 0.10 × u(5,000,000) + 0.89 × u(1,000,000) + 0.01 × u(0)
+
+Jetzt fügen wir 0.89 × u(0) - 0.89 × u(1,000,000) zu beiden Seiten der Gleichung hinzu:
+0.11 × u(1,000,000) + 0.89 × u(0) > 0.10 × u(5,000,000) + 0.90 × u(0)
+
+Die Wahl von 2 im Fall B verstößt also gegen die Axiome, die dem Rahmen des erwarteten Nutzens zugrunde liegen.
+
+
+Maurice Allais wurde 1988 mit dem Preis der Sveriges Riksbank für Wirtschaftswissenschaften in Erinnerung an Alfred Nobel ausgezeichnet. 
+
+    
+\frametitle Das Ellsberg-Paradoxon, 1961 
+
+- Es seien zwei Urnen gegeben:
+- Urne C: 100 Kugeln, 50 rote, 50 schwarze.  
+- Urne U: 100 Kugeln, alle entweder rot oder schwarz, mit einer unbekannten Verteilung der Farben. 
+- Jetzt können die Menschen zwischen den folgenden Wetten wählen:
+
+- Urne C, rot oder schwarz?
+- Urne U, rot oder schwarz? 
+- Urne C rot oder Urne U rot?  
+- Urne C schwarz oder Urne U schwarz? 
+
+- In der Regel wählen die Menschen Folgendes:  
+	
+- Wette 1 und 2: indifferent
+- Wette 3 und 4: die Urne C wird der Urne U vorgezogen
+
+
+\frametitle Ambiguitätsaversion 
+	
+- Das beobachtete Verhalten kann mit Ambiguitätsaversion erklärt werden. 
+- Menschen mögen keine Situationen, in denen sie sich unsicher über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnisse fühlen, d. h. Situationen der Ambiguität (UnSicherheit über das spezifische Risiko).
+- Daher ziehen die Menschen Bekanntes dem Unbekannten vor, was zu einer Verzerrung der objektiven Wahrscheinlichkeiten führen kann: 
+- Das Risiko wird überbewertet, die Gewinne werden unterbewertet. 
+
+- Ambiguitätsaversion kann empirische Beobachtungen, wie zum Beispiel die 
+- Nichtbeteiligung am Aktienmarkt
+erklären. 
+- Allerdings scheinen unsicherere Aktien keine höheren durchschnittlichen Renditen zu haben (diether, 2002). 
+ 
+ 	
+
+\section Verhaltensbasierte Entscheidungsfindung 
+\frametitle Der Beginn der Behavioral Finance 
+
+- 1969 begannen Daniel Kahneman und Amos Tversky mit der Arbeit an Experimenten, die zeigten, dass Menschen Wahrscheinlichkeiten einschätzen und Entscheidungen auf eine Art und Weise treffen, die sichsystematisch   von dem unterscheidet, was die Entscheidungsanalysten raten. 
+ Behavioral Finance   stellt eine deskriptive Analyse der Entscheidungsfindung vor und argumentiert, dass die Entscheidungsfindung der Menschen aufmentalen Abkürzungen   beruht (TVERSKY  1975 . 
+- TVERSKY 1975 : Menschen verlassen sich auf eine Reihe von Heuristiken, die manchmal zu vernünftigen Urteilen führen, aber auch zu schweren und systematischen Fehlern führen können. 
+- Hirshleifer, 2001: Da Zeit und kognitive Ressourcen begrenzt sind, können wir die Daten, die uns die Umwelt zur Verfügung stellt, nicht optimal auswerten. Stattdessen hat die natürliche Selektion einen Verstand geschaffen, der Daumenregeln (Algorithmen, Heuristiken  , oder mentale Module) selektiv auf eine Teilmenge von Informationen anwendet (Simon, 1956).
+
+- Die Entscheidungsfindung ...
+
+- ... basiert auf mentalen Abkürzungen namens Heuristiken    (z.B. Repräsentativität, Verfügbarkeit, ...; siehe oben). 
+- ... ist schnell, ohne alle relevanten Informationen zu analysieren.
+- ... ist nicht immer auf die Maximierung wirtschaftlicher Ziele ausgerichtet.
+ 
+- Wir beobachten also ein weniger rationales Verhalten der Akteure. 
+- Wir beobachten vorhersehbare Abweichungen von der Rationalität. 
+ 	
+ 
+\frametitle Verhaltensbasierte Entscheidungsfindung 
+
+- Behavioral Finance zielt auf eine realistischere Darstellung der finanziellen Entscheidungsfindung in mehreren Dimensionen ab: 
+
+- Behavioral Finance ermöglicht realistischere Annahmen. 
+- Behavioral Finance lässt nicht vollkommen rationale Präferenzen zu.  
+- Behavioral Finance lässt kognitive Grenzen zu.
+ 
+
+- Daher berücksichtigt die Behavioral Finance auch die Auswirkungen von vermeintlich irrelevanten Faktoren   auf die finanzielle Entscheidungsfindung. 
+- Vermeintlich irrelevante Faktoren  : eine Reihe von Faktoren, die keinen Einfluss auf das wirtschaftliche Verhalten haben (thaler 2016 .
+Beispiel: Standardoption in Rentenplänen.
+ 
+
+\frametitle Heuristiken und Verzerrungen 
+
+- Eine Heuristik   ist ein Ansatz, um Aussagen mit begrenzter Information und Zeit zu treffen. 
+- Heuristiken werden verwendet, weil möglicherweise nicht alle Informationen verfügbar sind oder eine gründliche Analyse zu viel Zeit in Anspruch nimmt.
+- Extreme Vereinfachungen können zu (systematischen) Verzerrungen führen. 
+ 
+ 
+\frametitle Was ist eine Verzerrung? Rauschen vs. Verzerrung 
+
+    BILD
+    
+    BILD
+
+    BILD
+    
+    
+\subsection Die Affektheuristik 
+ 	
+\frametitle Affekt  
+ Definition [Affekt]
+Die spezifische Qualität von 'Gutheit' oder 'Schlechtheit' 
+(1) als Gefühlszustand (mit oder ohne Bewusstsein) erlebt und 
+(2) die Abgrenzung einer positiven oder negativen Eigenschaft eines Reizes. [...] ``[a]ffektive Reaktionen erfolgen schnell und automatisch''  (slovic 2002). 
+
+- nygren 1996 : Positiver Affekt führt dazu, dass die Probanden positive Wahrscheinlichkeiten überschätzen.
+ 
+    BILD
+
+- \citet johnson 1983  argumentieren, dass ein höherer Affekt zu einem geringeren wahrgenommenen Risiko führen würde. 
+- Das wahrgenommene Risiko einer Investitionsmöglichkeit wird durch den Einfluss auf diese Investitionsentscheidung beeinflusst  (yazdipour 2013 . 
+- Investitionsmöglichkeiten mit geringem Affekt werden als risikoreicher wahrgenommen, während Investitionsmöglichkeiten mit hohem Affekt als weniger risikoreich wahrgenommen werden. 
+ 
+ 
+
+
+ 
+\frametitle Eng damit verbunden: Stimmung  
+
+-Die Anlegerstimmung   hat Auswirkungen auf den Querschnitt der Aktienrenditen (Baker and Wurgler, 2006, 2007). 
+- Menschen mithoher Stimmung   neigen dazu,übermäßig optimistische Entscheidungen zu treffen  .
+- \citet johnson1983 : Eine Verbesserung der Stimmung durch einen exogenen Stimulus führt zu positiveren Urteilen über nicht damit zusammenhängende Ereignisse. 
+- \citet hirshleifer2003 : der Aktienmarkt hat höhere Renditen ansonnigeren Tagen  . 
+- \citet edmans2006 : Wenn dieFußballnationalmannschaft ein Weltmeisterschaftsspiel verliert  , fällt der nationale Aktienmarkt am nächsten Tag. 
+ 
+ 
+
+\subsection Die Repräsentativitätsheuristik 
+ 
+\frametitle Repräsentativität 
+	
+- Repräsentativität bedeutet, ein Ereignis zu betrachten und zu beurteilen, inwieweit es mit anderen Ereignissen in der Allgemeinbevölkerung übereinstimmt [ Shefrin, 2000] kahneman1974 . 
+- Diese Verzerrung tritt auf, wenn eine Person eine Situation/Wahrscheinlichkeit auf der Grundlage eines Musters früherer Erfahrungen oder überzeugungen über das Szenario kategorisiert.
+- Es wird davon ausgegangen, dass eine einzelne Information für die gesamte Population repräsentativ ist. 
+	
+- Wörter wie   oder Internet, die Teil eines Firmennamens sind, deuteten während der Dot-Com-Blase von 2001 auf erhebliche Wertsteigerungen hin. 
+
+Dies kann zu einer Verzerrung führen 	
+- wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aufgrund der Repräsentativität überschätzt wird, oder
+- wenn der Entscheidungsträger Aspekte vernachlässigt, die nicht repräsentativ erscheinen. 
+ 
+ 
+Beispiel: Linda ist 31 Jahre alt, ledig, aufgeschlossen und sehr intelligent. Sie hat Umweltstudien studiert.  Sie ist eine begeisterte Wanderin und hat auch an Anti-Atomkraft-Kundgebungen teilgenommen. 
+
+ 
+- Linda ist eine Bankangestellte. (32%)
+- Linda ist Bankangestellte und Mitglied von Green Peace. (68%)
+
+Welche der beiden Sequenzen tritt bei einem fairen Münzwurfexperiment mit größerer Wahrscheinlichkeit auf?
+ 
+KKKKKKZZZZZZKKKKKK
+KKZKZKKZKZZKZKKZZK
+
+- Aus der Repräsentativitätsheuristik ergeben sich eine Reihe verwandter Phänomene. 
+-Gesetz der kleinen Zahlen: Menschen überschätzen den Informationsgehalt von kleinen Stichproben. Anleger können das Gesetz der großen Zahlen auf kleine Sequenzen anwenden.  
+- Infolgedessen können Entscheidungen auf der Grundlage kurzer Datensätze getroffen werden. 
+
+
+- Hot hands beim Sport / im Kasino
+- Offene Investmentfonds
+ 
+-Autokorrelation  : Systematische Muster, die in kurzen Datensätzen zu sehen sind und in Wirklichkeit einem Random Walk folgen. 
+ 
+
+-Gambler's Fallacy  
+Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine faire Münze mehrmals und beobachten das folgende Ergebnis: 
+
+ZKZKZKKKKKK
+
+Wie hoch ist Ihrer Meinung nach die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Wurf Kopf (Zahl) ergibt?
+
+
+\section Heterogene Erwartungen 
+ 
+- Jetzt wollen wir einen Blick auf die Annahme werfen, dass die Anleger homogene überzeugungen haben. 
+- Insbesondere werden wir einen Blick auf die Ergebnisse einer aktuellen Arbeit von Meeuwis 2018  werfen, die untersucht, wie Haushalte ihre überzeugungen als Reaktion auf die US-Präsidentschaftswahlen 2016 aktualisieren. 
+- Die Haushalte erhalten ein öffentliches Signal, das unerwartete Ergebnis der US-Wahl vom November 2016. 
+
+- Unerwartet bedeutet, dass die Menschen (Anleger) keine Gelegenheit hatten, ihre Erwartungen und Portfolios vor der Wahl anzupassen.
+ 
+- Wie können die Anleger dieses Signal verarbeiten und ihre Portfolios aktualisieren? 
+
+- Welche Bedeutung hat das für unsere Wirtschaftsmodelle? 
+
+- Standardmodelle gehen davon aus, dass Individuen ihre überzeugungen als Reaktion auf öffentliche Signale in gleicher Weise aktualisieren.
+- Dieses Papier: Agenten haben unterschiedliche Modelle der Welt und aktualisieren ihre überzeugungen auf heterogene Weise.
+ 
+ 
+\frametitle Umfrage-Evidenz 
+
+- Betrachten wir zunächst die Erwartungen der Anleger im Vorfeld der Wahl, die durch Umfragen ermittelt wurden. 
+
+    BILD
+
+- Da Republikaner und Demokraten an unterschiedliche Wirtschaftsmodelle glauben, geben Republikaner an, die Zukunft der US-Wirtschaft zum Zeitpunkt der Wahl viel optimistischer zu sehen, während Demokraten angeben, pessimistischer zu werden
+ 
+
+\frametitle Portfolio-Evidenz 
+
+- Werfen wir nun einen Blick auf die Folgen für die Portfolioentscheidungen der Anleger. 
+- Mit anderen Worten: Lässt der Einzelne seinen Worten (seinen Erwartungen) Taten folgen?
+- Werfen wir einen Blick auf die Portfolioentscheidungen der Anleger rund um die Wahl.
+
+3 BILDER
+
+- Im Vergleich zu den Demokraten erhöhen republikanische Anleger nach der Wahl aktiv den Aktienanteil und das Markt-Beta in ihren Portfolios. 
+- In übereinstimmung mit dem öffentlichen Signal der Wahl, das die Republikaner dazu veranlasst hat, die künftige Entwicklung der US-Wirtschaft relativ optimistischer einzuschätzen und von den Demokraten Vermögenswerte zu kaufen, die stärker auf das US-Wirtschaftswachstum ausgerichtet sind, stellen die Autoren in ihrem Datensatz einen signifikanten Anstieg des Handelsvolumens nach der Wahl fest, unabhängig von der politischen Zugehörigkeit.
+
+- Mainstream-Amerikaner, die dasselbe öffentliche Signal über die künftige US-Wirtschaftspolitik wahrnehmen, interpretieren dieses Signal so, dass es je nach dem Weltmodell, an das sie glauben, unterschiedliche Auswirkungen auf die Wirtschaft hat. 
+- Die Heterogenität der überzeugungen ist auf unterschiedliche Modelle der Welt zurückzuführen.--> es gibt eine Heterogenität der Anlegerüberzeugungen und -aktualisierungen, die durch (dogmatisch) unterschiedliche Modelle bedingt sind. 
+ 
+ 	
+\section Begrenzte Rationalität 
+\frametitle Begrenzte Rationalität, begrenzte Aufmerksamkeit 
+	
+- Investoren haben eine begrenzte Fähigkeit, Informationen zu sammeln und zu verarbeiten.
+- Dies kann dazu führen, dass die Anleger nicht ausreichend auf Nachrichten reagieren --- vor allem, wenn viele Nachrichten zur gleichen Zeit verfügbar sind.  
+- So kann zum Beispiel eine eingeschränkte Aufmerksamkeit den Post-Earnings-Announcement-Drift   (PEAD) erklären, den wir im Anschluss an Gewinnbekanntgaben beobachten. 
+- PEAD ist stärker bei Unternehmen, die ihre Gewinne zur gleichen Zeit wie viele andere Unternehmen bekannt geben (hirshleifer2009 . 
+- PEAD ist stärker für Unternehmen, die am Freitag Gewinne bekannt geben (dellavigna2009 . 
+ 
+ 	
+\frametitle Aufsehenerregende Aktien 
+	
+- Interessanterweise kann die begrenzte Kapazität zur Aufnahme und Verarbeitung von Informationen auch dazu führen, dass bestimmten Merkmalen, z. B. von Aktien, zusätzliche Aufmerksamkeit geschenkt wird. 
+- Diese besonderen Merkmale ermöglichen es den Aktien, die Aufmerksamkeit der Anleger zu gewinnen.  
+- Natürlich können Anleger nicht das gesamte Universum der Anlagemöglichkeiten oder Aktien analysieren. 
+- Stattdessen müssen sie das Universum auf einen überschaubaren Datensatz eingrenzen. 
+ 
+	
+- Da dies in erster Linie für den Kauf von Aktien und nicht für den Verkauf gilt, scheint die Aufmerksamkeit für Kaufentscheidungen wichtiger zu sein als für Verkaufsentscheidungen von Einzelanlegern.
+- So zeigen beispielsweise barber 2008 , dass das Kaufinteresse für aufmerksamkeitsstarke Aktien bei Privatanlegern größer ist als das Verkaufsinteresse. 
+- Aufsehenerregende Aktien   sind in diesem Zusammenhang vor allem Aktien mit extremen Renditen, hohem Volumen oder Nachrichtenmeldungen. 
+	
+- Kaufdruck. 
+ 
+ 
+    BILD
+
+    
+- Wichtig: Dies gilt nicht (in gleichem Maße) für professionelle Fondsmanager. 
+- Professionelle Fondsmanager nutzen mehr und bessere Informationen. 
+- Ihre Kaufentscheidung basiert auf einem größeren Universum an in Frage kommenden Aktien. 
+- Außerdem erwerben sie größere Portfolios: Aktien von viel mehr Unternehmen (insbesondere im Vergleich zu Einzelanlegern).
+ 
+ 
+\subsection Medienberichterstattung und der Aktienmarkt 
+ 
+    2 Folien BILD
+
+- Natürlich kann die Aufmerksamkeit für eine bestimmte Aktie auch durch die Medien ausgelöst werden. 
+- Aktien mit geringerer Medienberichterstattung haben höhere Renditen (tetlock 2007,tetlock 2008,tetlock 2010,tetlock 2011 . 
+	
+- Was ist der Grund dafür? 
+ 
+- Die Intuition dahinter ist, dass Aktien mit einer höheren Medienberichterstattung höhere Aktienkurse und somit niedrigere Folgerenditen aufweisen. 
+- Auf die Medienberichterstattung folgen Aktienrenditen in der Richtung, die der Tenor des Artikels nahelegt (d. h. negative Nachrichten werden mit negativen Renditen in Verbindung gebracht). 
+- Eine höhere Medienberichterstattung geht mit mehr Handel und größeren absoluten Renditen (größere Volatilität) einher.
+- Vorsichtig: Dies bedeutet nicht unbedingt, dass die Medienberichterstattung den Markt bewegt; einige Nachrichten könnten die Medienberichterstattung auslösen und den Markt ebenfalls bewegen (Endogenität). 
+	
+- Im Gegensatz dazu zeigt der Artikel von huberman 2001 , dass die Medienberichterstattung in diesem speziellen Fall tatsächlich den Markt bewegt. 
+- Nach der Berichterstattung kehrt der Aktienkurs langsam zu seinem vorherigen Wert zurück. 
+ 
+- Die neueste Forschung nutzt randomisierte Feldexperimente, um die Auswirkungen der Medienberichterstattung auf Aktienrenditen zu untersuchen. 
+-lawrence 2018  präsentieren ein Feldexperiment, bei dem Medienartikel für eine zufällige Stichprobe von Unternehmen mit Gewinnankündigungen einem Prozent der Nutzer von Yahoo Finance vorgestellt werden.  
+- Die Studie zeigt, dass geförderte Unternehmen am Tag der Gewinnbekanntgabe höhere abnormale Renditen und einige Hinweise auf geringere Bid-Ask-Spreads aufweisen.
+
+	
+- fedyk 2018 wirft einen Blick auf Bloomberg und schätzt den Effekt der Präsentation von Informationen auf den Finanzmärkten. Sie nutzt ein natürliches Experiment zur prominenten Positionierung von Nachrichten auf der "ersten Seite" des Bloomberg-Terminals.
+- Die Positionierung auf der Titelseite führt innerhalb der ersten zehn Minuten nach Veröffentlichung der Nachricht zu 280% höheren Handelsvolumina und 180% größeren Kursveränderungen, gefolgt von einem starken Drift für 30-45 Minuten. 
+- Später beginnen die nicht auf der ersten Seite stehenden Nachrichten aufzuholen, aber die Aufnahme dieser Informationen erfolgt wesentlich langsamer, und die ersten Auswirkungen der Positionierung halten noch Tage nach der Veröffentlichung an.
+- Wichtig ist, dass die Artikel auf der ersten Seite und die Artikel, die nicht auf der ersten Seite erscheinen, weder durch eine algorithmische Analyse noch durch die Zielgruppe der aktiven Finanzfachleute unterschieden werden können. 
+
+- Insgesamt liefert dieser Teil der Literatur starke Belege dafür, dass Medienberichterstattung  , nicht das zugrunde liegende Nachrichtenereignis (d.h. Gewinnankündigungen usw.), die Aktienkurse beeinflusst.  
+- Dies zeigt, dass die Anleger tatsächlich nicht genügend auf relevante Nachrichtenereignisse achten, sondern dass ihre Aufmerksamkeit z. B. durch die Medien ausgelöst werden muss. 
+ 
+ 
+\section Die Wahrnehmung von Risiko 
+ 
+\frametitle Risiko in der traditionellen Wirtschaftstheorie 
+
+- Normativ: Wie definieren wir Risiko aus einer normativ-theoretischen Perspektive? 
+
+- In der Finanzwelt wird das Risiko spätestens seit der einflussreichen Arbeit des Nobelpreisträgers Harry Markowitz (Markowitz 1952) weitgehend als die Varianz oder Standardabweichung der Renditen definiert und operationalisiert (gemeinhin auch als Renditevolatilität bezeichnet).  
+- Führende Lehrbücher verwenden Volatilität (Brealey et al. 2017). 
+- Weit verbreitete Modelle zur Bewertung von Vermögenswerten (Sharpe 1964, Lintner 1965, Mossin 1966) beruhen auf der Volatilität
+- In ähnlicher Weise wird in einem Großteil der heutigen Finanzregulierung und -praxis die 
+ Volatilität  oder Varianz   verwendet. So verwenden z. B. die Eckpfeiler der Finanzmarktregulierung (z. B. die Richtlinie über Märkte für Finanzinstrumente (MiFID) sowie Solvabilität II in der Europäischen Union) die Renditevolatilität   (Varianz) als Risikomaß für Aktien, Währungen, Zinssätze und Immobilienpreise.
+- Wichtig ist, dass Investmentfonds ein standardisiertes Dokument mit wesentlichen Informationen für den Anleger (Key Investor Information Document - KIID) vorlegen müssen, in dem die historische Volatilität eines Fonds als Berechnungsgrundlage dient, um den Anlegern die Risiken zu vermitteln.
+
+ 
+
+- The equity premium puzzle  : Das Puzzle bezieht sich auf die Tatsache, dass das Verhältnis zwischen Risiko und Rendite im letzten Jahrhundert für Aktien so viel günstiger war als für Anleihen, dass ein unangemessen hohes Maß an Risikoaver- sion erforderlich wäre, um zu erklären, warum Anleger überhaupt bereit sind, Anleihen zu halten (MEHRA 1985 145) 
+- Betrachtet man die durchschnittlichen Aktienrenditen und Standardabweichungen der letzten Jahre sowie die durchschnittlichen risikofreien Anlagerenditen (und Standardabweichungen), so würde die Risikoaversion der Anleger dazu führen, dass sie eine bestimmte Auszahlung von \$51.300 einer 50/50-Wette vorziehen würden, bei der entweder $50.000 oder $100.000 ausgezahlt werden.  
+
+-vielleicht ist ein anderes Maß für das Risiko relevant?  
+ 
+
+- Risikowahrnehmung? Dies ist letztlich eine empirische Frage (Holzmeister 2020)
+- Wie nehmen die Menschen das Risiko wahr?  
+- Eine Diskrepanz zwischen der gängigen Definition des Risikos im Finanzbereich und der tatsächlichen Risikowahrnehmung kann potenziell schädlich sein.
+ 
+    BILD
+    
+- Angenommen, ein Entscheidungsträger muss sich für eine der beiden Finanzanlagen entscheiden, die durch die Renditeverteilungen in der vorherigen Abbildung gekennzeichnet sind. 
+- Beide Verteilungen haben den gleichen Mittelwert (erstes Moment), die gleiche Varianz (zweites Moment; m2) und die gleiche Kurtosis (viertes Moment; m4), unterscheiden sich aber in der Schiefe (drittes Moment; m3). 
+- Die Renditen in (a) sind negativ schief mit m3 = -1,0, während die Verteilung in (b) positiv schief ist mit m3 = +1,0.
+- Wenn das Risiko als die Varianz der Renditen definiert ist, sollte ein Entscheidungsträger zwischen den beiden Alternativen indifferent sein.  
+
+- Intuitiv werden jedoch viele Menschen einen der Vermögenswerte als risikoreicher empfinden. 
+- Insbesondere scheinen Abwärtsrisiko-Maße und Schiefe der Vorstellung, die die Menschen bei der Bewertung von Risiko im Kopf haben, näher zu kommen als Maße der symmetrischen Variation um den Mittelwert. 
+
+--->Beeinflussung der Preisbildung auf den Märkten für reale Vermögenswerte.  
+--->Beeinflussung der Preisbildung auf experimentellen Vermögensmärkten. 
+ 
+
+- Die Risikowahrnehmung des Einzelnen kann von den Mittelwert-Varianz-Modellen im Finanzwesen abweichen, die Risiko mit Renditevolatilität gleichsetzen. 
+
+- Laien 
+- Fachleute
+
+- Sie sollten das Risiko eher analytisch im Sinne der normativen Definitionen betrachten, die in den Wirtschafts- und Finanzmodellen üblich sind. 
+ 
+
+- Experimentelles Design: 
+
+- Befragen Sie nacheinander Individuen zu ihrer Risikowahrnehmung und Investitionsneigung für verschiedene Verteilungen jährlicher Vermögensrenditen, die so kalibriert sind, dass sie sich systematisch in ihren höheren Momenten unterscheiden.
+
+- Die Erfassung der Investitionsbereitschaft der Teilnehmer ermöglicht ein umfassenderes Bild darüber, wie die Risikowahrnehmung Investitionsentscheidungen beeinflusst.  
+ 
+- Sample  : 
+
+- 2,213 Finanzfachleute
+- 4,559 Laien 
+- aus neun Ländern, die ~50% der Weltbevölkerung und mehr als 60% des weltweiten Bruttoinlandsprodukts repräsentieren. 
+ 
+     BILD
+
+- 200 Beobachtungen pro Verteilung.
+- Erwartete Rendite: 6%. 
+ 
+    BILD
+
+- Die Ausschüttungen haben die gleiche erwartete Rendite (m1) von 6,0\%, unterscheiden sich aber --- in festen Größen --- in ihren höheren Momenten.
+- Systematische Variation der Standardabweichung (m2 = 16\% oder m2 = 32\%), der Schiefe (m3 = -1, m3 = 0 oder m3 = +1) und der Kurtosis (m4 = 3,0 (Normalverteilung) oder m4 = 10,8 (fat tails)) der Verteilungen bei Konstanthaltung aller anderen Momente. 
+- Zufällige Reihenfolge. 
+ 
+
+- Die Autoren verwenden einen Standardschwellenwert für die statistische Signifikanz   auf dem 0,5 %-Niveau. (benjamin,2018 
+- Alle Analysen basieren auf Subjekt-Level angepassten Daten (d.h. Kontroll für Subjekt-Level fixe Effekte).
+ 
+
+    BILD 
+
+    
+- (a) Risikowahrnehmung und (b) Investitionsneigung.
+
+
+- Variation in der Standardabweichung lösen nicht systematische Unterschiede in der Risikowahrnehmung aus. 
+- Unterschiede in der Standardabweichung der Verteilungen führen zu signifikanten Unterschieden in der Investitionsbereitschaft der Teilnehmer, wobei eine höhere Standardabweichung zu einer geringeren Investitionsbereitschaft führt. 
+- Ausgehend von der Prämisse, dass die Investitionsbereitschaft eine Funktion sowohl der Risikowahrnehmung als auch der Risikopräferenzen ist, könnte die Diskrepanz bei den Volatilitätseffekten darauf hindeuten, dass die Risikoeinstellung der Menschen - nicht aber die Risikowahrnehmung - auf Volatilitätsmaße reagiert.  
+
+
+- Die Schiefe der Renditen von Vermögenswerten führt zu ausgeprägten Unterschieden in der Wahrnehmung von Finanzrisiken: Positiv schiefe Renditen werden als deutlich riskanter angesehen als symmetrische Verteilungen und negativ schiefe Renditen.
+
+    --->Dies kann durch die hohe Wahrscheinlichkeit einer Niederlage und die Abneigung dagegen erklärt werden. 
+    
+    BILD
+
+- (a) und (c) Finanzfachleute und (b) und (d) Laien.
+
+
+- Die Verlustwahrscheinlichkeit   ist der Haupttreiber   sowohl für die Wahrnehmung des finanziellen Risikos   als auch für die Investitionsneigung   bei Finanzfachleuten und Laien  .
+- Die Investitionsneigung steht in umgekehrtem Verhältnis zur Risikowahrnehmung. 
+
+
+- Auf aggregierter Ebene erklärt die Verlustwahrscheinlichkeit   ca. 80\% der Variation in der durchschnittlichen Risikowahrnehmung   und mehr als 96\% der Variation in der durchschnittlichen Investitionsneigung  .
+--->Verlustaversion ist die wichtigste Komponente der Entscheidungsfindung unter Risiko   (siehe auch Prospect Theory). 
+- Es kann sein, dass es keine über die Verlustaversion hinausgehende Risikoaversion gibt. 
+
+
+
+\section Prospect Theory 
+ 
+\frametitle Referenzpunktabhängige Bewertung 
+
+- Erinnern Sie sich an unser Beispiel, in dem es um Verletzungen des erwarteten Nutzens ging.
+ 
+Ihr anfängliches Vermögen beträgt 300$. Außerdem haben Sie die Wahl zwischen 
+- Einem sicheren Gewinn von 100$
+- Einer 50% Chance auf einen Gewinn von 200$ und einer 50% Chance auf einen Gewinn von 0$.
+
+
+Ihr anfängliches Vermögen beträgt nun 500$. Außerdem haben Sie die Wahl zwischen
+- Einem sicheren Verlust von 100$ 
+- Einer 50% Chance auf einen Verlust von 200$ und einer 50% Chance auf einen Verlust von 0$ .
+
+
+- Szenario 1: 72% wählen Option 1, 28% wählen Option 2.
+- Szenario 2: 36% wählen Option 1, 64% wählen Option 2.
+- Wenn die Entscheidung also als Gewinn ausgelegt wird, sind die Entscheidungsträger im Durchschnitt risikoscheu 
+- Wenn die Entscheidung mit einem Verlust verbunden ist, sind die Entscheidungsträger im Durchschnitt risikofreudig 
+- Einzelne Entscheidungen beruhen also nicht auf der Gesamtheit der Vermögenspositionen, sondern auf Veränderungen im Vergleich zu einem Referenzpunkt (in der Regel dem Status quo). 
+
+ 
+\frametitle Verlustaversion 
+	
+-Verlustaversion  : Im Allgemeinen gewichten Anleger Verluste stärker (sind keine Mean-Variance-Optimierer)
+ 	
+Samuelson's Kollege beim Mittagessen  
+	
+- Paul Samuelson bot seinem Kollegen eine Zwei-zu-Eins-Wette an: Bei Kopf gewinnt er $200, bei Zahl verliert er $100. Der Kollege lehnte die Wette ab.
+- Samuelson fragte ihn, ob er 100 solcher Wetten annehmen würde. Der Kollege sagte ja.
+- Samuelson bewies mathematisch (basierend auf den Axiomen der Rationalität), dass sein Kollege nicht rational war (aus der Erwartungsnutzentheorie) (Samuelson, 1963). 
+ 
+ 	
+\frametitle Prospect Theory 
+
+- DieProspect Theory (PT)---auch neue Erwartungsnutzentheorie---beschreibt, wie Individuen ihreVerlust- und Gewinnaussichten bewerten   (kahneman 1979 prospect .
+- Eine wesentliche Annahme/Aussage der PT ist, dass Anleger verlustaversiv sind und die Vermeidung von Verlusten besonders relevant ist
+- Die PT wurde 1979 von Daniel Kahneman und Amos Tversky als eine beschreibende Alternative zur Erwartungsnutzentheorie eingeführt.
+
+- Anhand der Theorie lassen sich viele Verhaltensweisen erklären, die nicht mit dem herkömmlichen Modell vereinbar sind. 
+ 
+\textbf Zentrale Unterschiede der Prospect Theory gegenüber der Erwartungsnutzentheorie sind:
+
+- In der Prospect Theory wird nicht der absolute (meist monetäre) Nutzen betrachtet, sondern die Veränderungen, die sich aus den Entscheidungsalternativen relativzu einem vorher definierten Referenzpunkt ergeben.
+-Verluste   werden aufgrund der Verlustaversionstärker gewichtet als Gewinne
+- Investoren sindrisikoscheu bei der Bewertung vonGewinnen und risikofreudig bei der Bewertung von Verlusten 
+- Zur Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeiten wird eine Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion verwendet. Diese neigt dazu, extremunwahrscheinliche Ereignisse zu hoch und fastsichere Ereignisse zu niedrig zu gewichten.
+ 
+
+- Die Theorie hat zwei Hauptelemente, Wertefunktion und Gewichtungsfunktion
+- Elemente ersetzen Nutzenfunktion und Wahrscheinlichkeiten in der Erwartungsnutzentheorie. 
+
+- Ziehen Sie ein Glücksspiel (x, p; y, q) in Betracht. 
+- Dann wird ihm unter dem erwarteten Nutzen folgender Wert zugewiesen
+pU(W+x) + qU(W+y). 
+- Nach der Prospect Theory wird ihm folgender Wert zugewiesen
+
+π(p) v(x) + π(q) v(y). 
+
+    BILD
+
+
+- Die Wertefunktion ist für die Veränderungen des Vermögens definiert, und die Funktion ist bei Verlusten steiler als bei Gewinnen. Manchmal verwenden wir die Begriffe Verlustfunktion und Gewinnfunktion. 
+- Die Wertefunktion ist im positiven Bereich konkav (Risikoaversion und abnehmende Wertempfindlichkeit) und im negativen Bereich konvex (Risikofreude und abnehmende Wertempfindlichkeit). 
+-Abnehmende marginale Sensibilität  : Die Auswirkung eines Verlusts oder eines Gewinns auf die subjektive Bewertung nimmt mit zunehmender Höhe des Verlusts oder Gewinns ab.--> bedeutet, dass es  weniger schmerzhaft  ist, Verluste gleichzeitig und nicht als einzelne Episoden zu realisieren.
+- Die Wertefunktion ist auch unter Sicherheit gültig. 
+ 
+
+BILD
+
+\textbf Die Gewichtungsfunktion  :
+
+- Zahlreiche Experimente zeigen, dass die Entscheidungsträger die Aussichten nicht nach ihren objektiven Wahrscheinlichkeiten bewerten. 
+- Besonders:  
+
+- Sehr kleine Wahrscheinlichkeiten erhalten zu viel Gewicht. 
+- Mittlere und große Wahrscheinlichkeiten erhalten zu wenig Gewicht.  
+ 
+- Dieser Zusammenhang kann mit der Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion dargestellt werden. 
+ 
+    BILD
+
+
+- Die Form der Gewichtungsfunktion zeigt, dass kleine Zielwahrscheinlichkeiten überschätzt und große Zielwahrscheinlichkeiten unterschätzt werden. 
+- Wichtige Merkmale der Gewichtungsfunktion: 
+
+- (Monoton) steigende Funktion von p
+- Unstetigkeiten an den Endpunkten 0 und 1, wobei π(1) = 1 und π(0) = 0. 
+- π(p) > p, für kleine p; π(p) < p, für große p. 
+- Subadditiv für kleine p: π(r*p) > r*π(p), 0<r<1. 
+- Sub-certain: π(p) + π(1-p) < 1. 
+- UnterproportionaL: π(p × q)/π(p) < π(r × p × q)/π(r × p), where 0 ≤ r, q ≤ 1
+
+
+- Wir können die Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion wie folgt beschreiben (Lattimore, Baker und Witte, 1992): 
+ 
+If Δx > 0:  
+π⁺_{δ, γ}(p) = ( δ⁺ × p^γ⁺ ) / ( δ⁺ × p^γ⁺ + (1 - p)^γ⁺ )
+
+If Δx < 0:  
+π⁻_{δ, γ}(p) = ( δ⁻ × p^γ⁻ ) / ( δ⁻ × p^γ⁻ + (1 - p)^γ⁻ )
+
+
+- Dabei bezeichnet π(p) die Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion,  
+- δ bezeichnet den Parameter attractivity ,  
+- γ bezeichnet den Parameter Differenzierbarkeit , und
+- p bezeichnet die objektiven Wahrscheinlichkeiten.
+ 
+
+- Welche Auswirkungen hat die Wahrscheinlichkeitsgewichtung auf die Bewertung mit der Wertefunktion?
+
+- Wenn die Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses als unvoreingenommen wahrgenommen werden (d. h. den objektiven Wahrscheinlichkeiten entsprechen), bleiben die Bemerkungen zur Wertefunktion unverändert (risikoscheu im positiven Bereich, risikofreudig im negativen Bereich).  
+- Wenn sehr kleine Wahrscheinlichkeiten übergewichtet werden, ist der Entscheidungsträger im positiven Bereich weniger risikoscheu  (die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen wird überschätzt) und weniger risikofreudig  im negativen Bereich (die Wahrscheinlichkeit von Verlusten wird überschätzt). 
+- Wenn mittlere und große Wahrscheinlichkeiten untergewichtet werden, ist der Entscheidungsträger im positiven Bereich mehr risikoscheu  (die Wahrscheinlichkeit von Gewinnen wird unterschätzt) und mehr risikofreudig  im negativen Bereich (die Wahrscheinlichkeit von Verlusten wird unterschätzt). 
+
+
+- Diese Art der Entscheidungsgewichtung kann jedoch zu Dominanzverletzungen führen!
+
+Betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem:  
+\begin table [htbp]
+  \centering
+    \begin tabular  rccc 
+    \toprule
+    \multicolumn 1  c  Ergebnis   & $s_1$  & $s_2$  & $s_3$  \\
+    \midrule
+    \multicolumn 1  l  $p_i$  & 0.6   & 0.2   & 0.2 \\
+    \multicolumn 1  l  $\Delta x_1$  & 0 & 1,000 & 1,000 \\
+    \multicolumn 1  l  $\Delta x_2$  & 0 &    900 & 1,000 \\
+    \bottomrule
+    \end tabular %
+\end table %
+\end exm 
+
+
+- Nach der Erwartungsnutzentheorie würden wir uns natürlich für Alternative 1 entscheiden, da diese Alternative die Wahl 2 dominiert.
+- Wie entscheiden wir nach der Prospect Theory?  
+- Nehmen wir an, die Wertefunktion sei
+ 
+
+v(Δx) =  
+  (Δx)^α       if Δx ≥ 0  
+  -λ × (−Δx)^β  if Δx < 0
+
+
+Dann :
+V(Δx) = Σ π(p_i) × v(Δx_i)  
+     = π(p₁) × v(Δx₁,₁) + π(p₂) × v(Δx₁,₂) + π(p₃) × v(Δx₁,₃)
+
+
+
+- Nehmen wir an δ^+ = 0.65$, δ^- = 0.8, γ^+ = 0.6, γ^- = 0.65, α = β = 0.88, λ = 2.25. 
+- Dann erhalten wir... (zu Hause überprüfen!)
+ 
+
+Für die erste Wahl erhalten wir (den zweiten und dritten Zustand kombinieren)
+
+For Δx ≥ 0:  
+π⁺_{δ, γ}(0.4) = ( δ⁺ × 0.4^γ⁺ ) / ( δ⁺ × 0.4^γ⁺ + (1 - 0.4)^γ⁺ ) = 0.3376
+
+Für die zweite Wahl erhalten wir
+For Δx > 0:  
+π⁺_{δ, γ}(0.2) = ( δ⁺ × 0.2^γ⁺ ) / ( δ⁺ × 0.2^γ⁺ + (1 - 0.2)^γ⁺ ) = 0.22
+
+
+Die Werte der Auszahlungsbeträge sind
+v(1000) = 1000^0.88 = 436.5158  
+v(900)  =  900^0.88 = 397.8629
+
+Daher, 
+V(Δx₁) = π(p₁) × 0 + π(0.2 + 0.2) × v(1000) = 147.3625  
+V(Δx₂) = π(p₁) × 0 + π(0.2) × v(900) + π(0.2) × v(1000) = 184.0085
+
+
+- Wir würden also die Alternative bevorzugen, die in jeder Hinsicht unterlegen ist (stochastische Dominanz).
+ 
+
+
+- Damit haben wir unser anfängliches Problem gelöst, dass die Linearität der Auswertung in den Wahrscheinlichkeiten ($\sum p_i \cdot u(a_i)$) zu Widersprüchen mit unseren Beobachtungen führt (Allais'sches Paradoxon).  
+- Wir haben das Problem gelöst, indem wir die Wahrscheinlichkeiten und nicht nur die Ergebnisse transformiert haben: $\sum π(p_i) \cdot v(a_i)$. 
+- Diese neue Theorie verstößt jedoch gegen stochastische Dominanzüberlegungen.
+- Um dieses Problem zu lösen, wenden wir uns derKumulativen Prospect Theory   zu und transformieren kumulierte Wahrscheinlichkeiten (Tversky und Kahneman, 1992). 
+ 
+ 
+
+\frametitle Kumulative Prospect Theory 
+
+- Die kumulative Prospect Theory (CPT) ist ein Beispiel für eine rangabhängige Gewichtungsfunktion.
+- Grundidee der rangabhängigen Gewichtungsfunktionen: 
+
+- Das Entscheidungsgewicht ist nicht das Ergebnis einer einfachen Transformation der jeweiligen Wahrscheinlichkeit. 
+- Die Größe des Entscheidungsgewichts hängt auch von der Höhe und dem Vorzeichen des Ergebnisses ab, das mit dieser gegebenen Wahrscheinlichkeit eintritt. 
+- Zunächst werden alle möglichen Ergebnisse in eine Rangfolge gebracht. 
+- Zweitens hängen die Wahrscheinlichkeitsgewichte dann von der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses und den kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse mit niedrigerem Rang ab. 
+ 
+ 
+\textbf Kumulative Prospect Theory  
+CPT(Δx) = Σ (from i = 1 to m) of π_i⁻ × v(Δx_i)  
+         + Σ (from i = m+1 to n) of π_i⁺ × v(Δx_i)
+
+mit
+π_i⁺ = ω(p_i + ... + p_n) − ω(p_{i+1} + ... + p_n)  
+π_i⁻ = ω(p₁ + ... + p_i) − ω(p₁ + ... + p_{i−1})
+
+    BILD
+    
+Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsgewichtsfunktion aus der kumulativen Prospect Theory (Tversky1992 . 
+
+
+- Die Form der Gewichtungsfunktion lässt sich durch die Referenzpunkte und die abnehmende Empfindlichkeit erklären.
+- Zwei natürliche Bezugspunkte für Wahrscheinlichkeiten sind: absolute Sicherheit und Unmöglichkeit.  
+- Sobald wir von unmöglich zu kaum möglich und von sicher zu sehr wahrscheinlich übergehen, beobachten wir starke Veränderungen in den Wahrscheinlichkeitsgewichten. 
+- Wenn es also um mittlere  Ergebnisse geht, ist der Einfluss auf die Entscheidungen gering. Bei \textit extremen  Ergebnissen ist der Einfluss jedoch sehr groß (begrenzte Subadditivität). 
+ 
+- Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. 
+- Wir müssen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten π^+_i und π_i^- berechnen.
+- Da die Auszahlung im ersten Zustand der Welt gleich Null ist, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten nicht berechnen. Die Wahrscheinlichkeit wäre jedoch π^+_1 := ω(p_1 + p_2 + p_3) - ω(p_2 + p_3) = ω(1) - ω(0,2 + 0,2) = .6624. 
+ 
+- Für den zweiten Zustand der Welt erhalten wir π^+_2 := ω(p_2 + p_3) - ω(p_3) = ω(0,2 + 0,2) - ω(0,2) = .1171. 
+- Für den dritten Zustand der Welt erhalten wir π^+_3 := ω(p_3) = ω(0,2) = .2205. 
+- Daraus ergibt sich (zu Hause überprüfen!)
+-CPT(Δx₁) = 147.3625  
+-CPT(Δx₂) = 142.838
+
+In der Tat schlagen Tversky und Kahneman (1992) auch Funktionsformen für v() und ω() vor und kalibrieren sie an experimentellen Befunden:  
+
+v(Δx) =  
+  (Δx)^α      if Δx ≥ 0  
+  −λ × (−Δx)^α  if Δx < 0  
+
+ω_γ(p) = p^γ / [ (p^γ + (1 − p)^γ)^(1/γ) ]
+
+mit α = 0.88, λ = 2.25, γ = 0.65.
+Beachten Sie, dass sich diese Werte von den in unserem Beispiel verwendeten unterscheiden.
+ 
+\frametitle Zusammenfassung und Ausblick 
+
+- Heute haben wir uns mit derBehavioral Finance   beschäftigt. 
+- Wir haben einige Annahmen der traditionellen Kapitalmarkttheorie kritisch hinterfragt und damit ein besseres Verständnis für Aktienmärkte erhalten. 
+- Wir haben einige bekannteEntscheidungsheuristiken   kennengelernt, uns mitbegrenzter Aufmerksamkeit   und mit derProspect Theory   auseinandergesetzt. 
+- In der nächsten und letzten Vorlesung kehren wir zur traditionellen Kapitalmarkttheorie zurück und beschäftigen uns mit veränderlichen Zinssätzen und derTheorie der Zinsstruktur  . 

Main6.txt

@@ -0,0 +1,600 @@
+\section Theorie der Zinsstruktur
+
+- Bisher sind wir stets von einem einheitlichen Zins r ausgegangen, der insb. unabhngig von dem Anlagehorizont bzw. bei Festzinstiteln unabhngig von der Laufzeit des Zinstitels ist. 
+- Empirische Analysen zeigen jedoch, dass die Rendite eine Funktion der Restlaufzeit ist und sich diese Funktion im Zeitablauf ndert.
+- Zur Quantifizierung dieses Sachverhalts führen wir im Folgenden die Konzepte der Renditestrukturkurve sowie der Zinsstrukturkurve ein.
+
+- Die folgende Abbildung zeigt die Zinsstruktur in zwei unterschiedlichen Zeitpunkten.
+ 
+    BILD
+
+
+Wir unterscheiden die folgenden Zinsstze: 
+-Spot Rate - der aktuelle Zinssatz heute (t=0). 
+-Forward Rate - der Zinssatz, der heute festgelegt wird, zu einem festgelegten Zeitpunkt in der Zukunft. 
+-Future Rate - die erwartete zukünftige Spot Rate. 
+-Yield to Maturity - der interne Zinsfußeiner verzinslichen Anlage. 
+
+
+Definition:
+Die internen Renditen der Einheitszerobonds werden als Spot Rates (Kassazinsstze) bezeichnet. Ist b(0,t) der Preis des Einheitszerobonds mit Laufzeit t, so gilt die interne Zinsfuß-Gleichung:
+
+b(0, t) = 1 × (1 + r)^(-t)
+
+D. h. die Preise b(0,t),t>0, der Einheitszerobonds sind quivalent zu den Diskontierungsfaktoren.
+
+    BILD
+
+Definition:
+Die Forward Rate (Terminzinssatz) ist der Zinssatz, der heute (Zeitpunkt 0) vereinbart wird für eine Mittelanlage zum Zeitpunkt s über t-s Perioden
+Formel der impliziten Forward Rate:
+
+r_ s,t} = √[t−s]  (1 + r_ 0,t})^t / (1 + r_ 0,s})^s } − 1
+    
+    BILD
+
+Renditestrukturkurve
+Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) beschreibt die funktionale Abhngigkeit der Rendite (interner Zinsfuß) von Kuponanleihen (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit.
+
+
+Die Renditestrukturkurve (Yield Curve) erfasst die funktionale Abhngigkeit der Rendite (auf Basis des internen Zinsfußes) von Festzinstiteln (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit. Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1,..., n ist die Renditestrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Renditegrößen
+
+  	 y_1(s), ..., y_n(s)}
+
+
+und im allg. Fall durch die Menge der Renditegröße
+
+	 y_T(s); T > 0}
+wobei y_T(s) die Rendite eines Bonds zum Zeitpunkt s bei einer Restlaufzeit von T Perioden bezeichne. Alternativ wird auch die Notation y(s,s+T) verwendet.
+
+- In der Praxis betrachtet man die durchschnittliche empirische Rendite von Anleihen (gleicher Gattung und Bonitt) gleicher Restlaufzeit.
+- Anschließend verwendet man ein Glttungsverfahren zur Anpassung einer bestimmten funktionalen Struktur an die empirischen Renditen.
+- Sind die internen Renditen für alle Restlaufzeiten identisch, so spricht man von einer flachen Renditestruktur.
+- Nehmen die Renditen mit zunehmender Restlaufzeit zu, liegt eine steigende (normale) Renditestruktur vor.
+- Nehmen die Renditen mit zunehmender Laufzeit ab, spricht man von einer fallenden (inversen) Renditestruktur. 
+
+    BILD
+
+Zinsstrukturkurven
+
+Definition: Zinsstrukturkurve
+
+Die Zinsstrukturkurve beschreibt die funktionale Abhngigkeit der Renditen (interne Renditen) von Nullkuponanleihen (gleicher Gattung und Bonitt) von ihrer Restlaufzeit.
+
+
+- Die Zinsstrukturkurve (Term Structure of Interest Rates) erfasst ebenfalls die funktionale Abhngigkeit der Rendite von ihrer Restlaufzeit. Hierbei werden jedoch nur Nullkuponanleihen zugrunde gelegt. 
+- Bei ganzzahligen Restlaufzeiten T = 1,..., n ist die Zinsstrukturkurve zu einem festen Zeitpunkt s spezifiziert durch die Menge der Größen
+  r_1(s), ..., r_n(s)}
+
+
+und im allg. Fall durch die Menge der Größen
+	  r_T(s); T > 0}
+
+wobei r_T(s) den internen Zinsfuß(auch: Kassazinssatz, Spot Rate) zum Zeitpunkt s einer Nullkuponanleihe mit Restlaufzeit T bezeichnet. Alternativ wird auch die Notation r(s,s+T) verwendet.
+
+Diskontstrukturkurve
+
+Die Diskontstrukturkurve ist allg. spezifiziert durch die Größen
+  b_T(s); T > 0]
+
+Sie ist quivalent zur Zinsstrukturkurve und gibt die Kurse von Einheitszerobonds mit Restlaufzeit T zum Zeitpunkt s an. Alternativ zur Notation b_T(s) wird auch die Notation b(s,s+T) verwendet.
+Der Zusammenhang zwischen Zins- und Diskontstrukturkurve ist bei diskreter Verzinsung gegeben durch
+r_T(s) = √[T]  1 / b_T(s) } − 1 ⇔ b_T(s) = [ 1 + r_T(s) ]^(−T)
+
+
+- Vor dem Hintergrund der Problematik des internen Zinsfußes im Kontext der Wiederanlage von zwischenzeitlichen Zahlungen, ist nur die Zins- bzw. quivalent die Diskontstruktur eine unverzerrte Konzeption zur Quantifizierung der Fristigkeitsabhngigkeit der Zinsstze, da hier die Wiederanlageproblematik entfllt.
+- Hieraus lassen sich weitergehende Überlegungen bspw. zur Bewertung von festverzinslichen Titeln oder zur Quantifizierung des Zinsnderungsrisikos anstellen.
+
+- Eine zu einem bestimmten Zeitpunkt gegebene Zinsstruktur  r_T(s)} beinhaltet neben den Kassazinsstzen auch Informationen über die impliziten Terminstze (Implied Forward Rates).
+- Die Forward Rates f_1(s),..,f_T(s) geben dabei die Verzinsung für die zukünftigen sukzessiven Perioden [s,s+1],[s+1,s+2],...,[s+T-1,s+T] an. 
+
+
+- Aufgrund von Arbitrageüberlegungen gilt:
+
+(1 + r_ 0,s})^s × (1 + f_ s,t})^(t−s) = (1 + r_ 0,t})^t
+
+- Ein Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wgt ab zwischen einer einmaligen Anlage zum Zinssatz r_ 0,t über t Perioden, und einer Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinsstzen r_ 0,1}, f_ 1,2}, f_ 2,3,..., f_ t-1,t}. 
+
+
+Renditestrukturtypen
+    
+    BILD
+
+- Allgemein gilt
+[1 + r_T(s)]^T = [1 + f_1(s)] × [1 + f_2(s)] × ... × [1 + f_T(s)]
+
+⇒ r_T(s) = ( ∏ [1 + f_t(s)] )^(1/T) − 1
+
+Also holds:
+1 + f_1(s) = 1 + r_1(s), i.e., f_1(s) = r_1(s)
+
+For T ≥ 2:
+1 + f_T(s) = [1 + r_T(s)]^T / [1 + r_ T−1}(s)]^(T−1)  
+      = [1 + r_T(s)]^T / ( [1 + f_1(s)] × ... × [1 + f_ T−1}(s)] )
+
+
+
+- Bei flacher Zinsstruktur fallen Spot und Forward Rate zusammen, denn aus r_t(s)=r für alle t folgt unmittelbar f_t(s) = r für alle t.
+- Die Forward Rates lassen sich ebenso aus der Diskontstruktur ableiten. Zwischen Diskontstzen und Forward Rates gilt zunchst der Zusammenhang	
+b_T(s) = [1 + r_T(s)]^(−T) = ∏ (from t = 1 to T) of [1 + f_t(s)]^(−1)
+
+- In Gleichung ist daher nur [1+r_T(s)]^T durch 1/b_T(s) zu ersetzen.
+
+
+
+\frametitle Zeitstruktur der Zinsstze
+
+3 BILD FOLIEN
+
+
+
+\frametitle Anwendung auf die Kursrechnung
+
+- Wir wollen nun den fairen Wert P_0 eines Zahlungsstroms Z=\ Z_1,...,Z_T} im verallgemeinerten Zinsmodell bestimmen und stellen dafür eine Arbitragefreiheitsüberlegung an.
+- Den Ausgangspunkt bilden die Zinsstruktur  r_1,...,r_T} in t=0 bzw. die daraus abgeleiteten impliziten Terminzinsstze  f_1,...,f_T], wobei r_t:=r_t(0) und f_t:=f_t(0).
+- Eine Investition von P_0 in Zerobonds gemßder aktuellen Zinsstruktur muss denselben Endwert haben wie der Kauf des Titels und die Reinvestition der Rückflüsse zu Marktbedingungen. 
+- Diese Überlegung beruht darauf, dass die Zinsstruktur  r_1,..,r_T} für t>0 unverndert bleibt bzw. die impliziten Terminstze auch eintreten, d.h. mit den zukünftigen Wiederanlagezinsstzen zusammenfallen (Vernachlssigung des Zinsnderungsrisikos).
+
+
+	- Unter Benutzung der Terminstze folgt daraus die Bedingung
+
+P₀ × ∏ (from t = 1 to T) of (1 + f_t) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × ∏ (from i = t+1 to T) of (1 + f_i)
+
+⇒ P₀(f₁, ..., f_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × [ ∏ (from i = 1 to t) of (1 + f_i) ]^(−1)
+
+In Abhngigkeit von den Spot rates:
+P₀(r₁, ..., r_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r_t)^(−t)
+
+In Abhngigkeit von den Diskontfaktoren:
+P₀(b₁, ..., b_T) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × b_t
+
+
+- Hieraus wird insb. deutlich, dass der Preis eines Kuponbonds der Summe der Barwerte der Zerobonds, in die er zerlegt werden kann (Bond-Stripping), entspricht.
+- Wir schauen uns nun die Methode des Bootstrapping an. 
+- Für jede der Restlaufzeiten t=1,...,m liege hierbei ein Kuponbond mit Laufzeit t, Preis P_t und Zahlungsstrom Z= Z_ t1},..,Z_ tt}} vor. 
+- Damit besteht das Gleichungssystem
+P₁ = Z₁₁ × b₁  
+P₂ = Z₂₁ × b₁ + Z₂₂ × b₂  
+⋮  
+P_t = Z_ t1} × b₁ + Z_ t2} × b₂ + ... + Z_ tt} × b_t  
+⋮  
+P_m = Z_ m1} × b₁ + Z_ m2} × b₂ + ... + Z_ mt} × b_t + ... + Z_ mm} × b_m
+
+für die Diskontstrukturkurve  b_1,...,b_m}
+
+
+- Nach rekursivem Auflösen des Gleichungssystems gilt
+b₁ = P₁ / Z₁₁  
+b₂ = (P₂ − Z₂₁ × b₁) / Z₂₂  
+etc.
+
+- So kann die Diskontstruktur direkt aus den Kuponbondpreisen abgeleitet werden (und daraus dann die Zinsstruktur).
+
+
+Beispiel: Bootstrapping
+Gegeben sind drei Kuponbonds mit identischem Nennwert N = 1000, den Restlaufzeiten t = 1, 2 sowie 3, einem 
+einheitlichen Kupon von Z = 50 und Marktpreisen P_1 = 999, P_2 = 998 sowie P_3 = 997. Bestimmen Sie die 
+Diskontstruktur   b_1, b_2, b_3} sowie die Zinsstruktur   r_1, r_2, r_3}
+
+- Zahlungsströme:
+
+- Bond 1:   -999,1050}
+- Bond 2:   -998,50,1050}
+- Bond 3:   -997,50,50,1050}
+
+- Bootstrapping-Gleichungssystem:
+
+[(1)] 999 = 1050b_1
+[(2)] 998 = 50b_1 + 1050b_2
+[(3)] 997 = 50b_1 + 50b_2 + 1050b_3
+
+
+- Aus (1) folgt b₁ = 999 / 1050 = 0.9514  
+  → damit r₁ = (1 / b₁) − 1 = 5.1051%
+
+- Aus (2) folgt b₂ = (998 − 50 × b₁) / 1050 = (998 − 47.57) / 1050 = 950.43 / 1050 = 0.9052  
+  → damit r₂ = √(1 / b₂) − 1 = 5.1078%
+
+- Aus (3) folgt schließlich:  
+  b₃ = (997 − 50 × b₁ − 50 × b₂) / 1050 = (997 − 47.57 − 45.26) / 1050 = 904.17 / 1050 = 0.8611  
+  → damit r₃ = ³√(1 / b₃) − 1 = 5.1106%
+
+
+
+\frametitle Erklrung der Zinsstruktur
+
+- Frage: Was bestimmt die Gestalt der Zinsstruktur?
+- Mögliche Erklrungen liefern die Erwartungstheorie und die Liquidittstheorie. 
+
+
+
+\frametitle Erwartungstheorie
+
+- Idee: Ausnutzung des Zusammenhangs zwischen den heutigen Forward-Zinsstzen/Terminzinsstzen und den Zinsstzen der kommenden Periode. 
+- Die Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralitt und besagt, dass eine Investition in eine Reihe von Anleihen mit kurzer Laufzeit im Gleichgewicht die gleiche erwartete Rendite bieten muss wie eine Investition in eine einzelne Anleihe mit langer Laufzeit. 
+- Sie besagt, dass der einzige Grund für eine nach oben geneigte Laufzeitstruktur darin besteht, dass die Anleger einen Anstieg der kurzfristigen Zinsstze erwarten.
+- Der einzige Grund für eine sinkende Terminstruktur ist, dass die Anleger erwarten, dass die kurzfristigen Zinsstze fallen.  
+- Die Erwartungstheorie kann keine vollstndige Erklrung für die Zinsstruktur sein, wenn sich die Anleger Sorgen um das Risiko machen. 
+
+
+- Begründung durch Arbitrageüberlegungen. Es gilt:
+(1 + r_ 0,s})^s × (1 + r̃_ s,t})^(t−s) = (1 + r_ 0,t})^t
+
+
+- Die Forward-Zinsstze sind bekannt, daraus sollen sich die kommenden Zinsstze erklren lassen. 
+- Die Zinsstruktur wird über die Erwartungen über die Entwicklung der kurzfristigen Zinsstze erklrt:
+
+- Investor, der über t Perioden Geld anlegen möchte, wgt ab zwischen einmaliger Anlage zum Zinssatz r_ 0,t} über t Perioden, und Anlage jeweils auf eine Periode revolvierend zu den Zinsstzen r_ 0,1}, r̃_ 1,2}, r̃_ 2,3}, ..., r̃_ t−1,t}
+
+– Zinsstze r̃_ 1,2}, r̃_ 2,3}, ..., r̃_ t−1,t} sind im Zeitpunkt 0 unbekannt.
+ 
+- Erwartungstheorie unterstellt Risikoneutralitt --> Kapitalanleger verhlt sich gegenüber einem mit unsicheren Zinserwartungen verbundenen Risiko neutral.  
+
+- Erwartetes EV beider Anlageformen ist (wg. der Risikoneutralitt) gleich groß:
+\(1 + r_ 0,t})^t = (1 + r_ 0,1}) × (1 + E[ r̃_ 1,2} ]) × (1 + E[ r̃_ 2,3} ]) × ... × (1 + E[ r̃_ t−1,t} ])
+
+⇒ E[ r̃_ 1,2}^ (1)} ] = r_ 1,2}^ (0)}
+
+– D.h. der erwartete Einjahres-Zinssatz in einem Jahr (E[ r̃_ 1,2}^ (1)}]) entspricht dem heutigen Forward-Zinssatz (r_ 1,2}^ (0)}).
+
+-->ine Prognose, die mit großen Unsicherheiten verbunden ist. 
+
+- Auf einem arbitragefreien Kapitalmarkt definiert die gegenwrtige Zinsstruktur eindeutig die Terminzinsstze. Diese legen die Erwartungswerte der zukünftigen Zinsstze fest.
+
+
+\frametitle Liquidittsprferenztheorie
+
+- Postuliert, dass Forward-Zinsstze immer über den zukünftigen Zinsstzen liegen. 
+- Begründung:
+
+- Anleger/Finanzinvestoren wollen liquide bleiben und bevorzugen daher eher kurze Laufzeiten bei der Anlage. 
+--> trotz steigender  Zinsstze finden Kapitalgeber eine lngerfristige Bindung uninteressant. 
+- Folge: Anlegern muss für lngere Laufzeiten eine Prmie geboten werden = Zinsstrukturkurve ist ansteigend auch wenn Zinsen in der Zukunft nicht steigen (Zinsstze müssen wg. der Prmie nicht zwingend steigen!).  
+- Schuldner bevorzugen dagegen langfristiges Kapital (u.\,a. wegen Planungssicherheit). 
+
+- Insgesamt:
+
+- Überschussangebot an Kapital im kurzfristigen Bereich, weil sich viele Investoren nur kurzfristig binden möchten. 
+- Überschussnachfrage an Kapital im langfristigen Bereich; Kapitalnehmer bevorzugen langfristige Finanzierungen. 
+- -->um diese Überschüsse zum Ausgleich zu bringen, muss die Zinsstruktur ansteigen. 
+
+- Bei einer flachen Zinsstrukturkurve gbe es ein Überangebot an kurzfristigem und eine Übernachfrage nach langfristigem Kapital. Um das Ungleichgewicht zu beseitigen, müssen die Zinsen am langen Ende steigen. Eine steigende Zinsstrukturkurve stellt sich ein und kann über die Zeit hinweg stabil bleiben.
+
+
+
+Kritik
+
+- Investoren, die durch eine Geldanlage Auszahlungen zu spteren Terminen finanzieren wollen. 
+- Die aus einer Geldanlage resultierenden zukünftigen Einzahlungen sollten möglichst die geplanten Auszahlungen übersteigen. \\ -->Wichtig, das Risiko (Unsicherheit des Zinssatzes) dieser Einzahlungen zu minimieren. \\
+-->Investor, der das Risiko aus den spteren Einzahlungen minimieren will, wird daher bei gleichem erwarteten EV beider Anlagealternativen die langfristige Anlage vorziehen oder eine Risikoprmie für die kurzfristige revolvierende Anlage verlangen. 
+- Bei Dominanz dieser Investoren -->inverse ZSK!
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+
+\subsection Reale und nominale Zinsstze
+
+- Es gibt verschiedene Indizes, die die realen Preise darstellen. 
+- Der bekannteste ist der Consumer Price Index (CPI), der angibt, wie teuer ein typischer Warenkorb einer Familie ist. 
+- Über die Differenz des CPI von einem zum nchsten Jahr kann folglich die Inflationsrate bestimmt werden. 
+
+- Inflation im Euro-Raum gemessen am harmonisierten Verbraucherpreisindex (1997 - 2023)
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+    BILD
+
+
+\frametitle Reale und nominale Zinsstze
+
+- Die Formel für die Umwandlung der nominalen Cash Flows einer zukünftigen Periode t in reale Cash Flows heute lautet 
+
+Realer Cash Flow (in t) = Nominaler Cash Flow (in t) / (1 + Inflationsrate)^t
+
+Formel zur Berechnung der realen Spot Rate r_real:
+
+1 + r_real = (1 + r_nominal) / (1 + Inflationsrate)
+
+- Wie beeinflusst die zukünftige erwartete Inflation den nominalen Zinssatz?
+- Fisher's Theorie: Eine Änderung der erwarteten Inflationsrate bewirkt die gleiche proportionale Änderung des nominalen Zinssatzes und hat keinen Effekt auf den realen Zinssatz. 
+
+
+- Die Abbildung zeigt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und Treasury Bill Rate. 
+- Offensichtlich forderten die Investoren meistens dann einen hohen Zinssatz, wenn auch die Inflationsrate hoch war. 
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+
+    BILD
+
+
+\subsection Analyse des Zinsnderungsrisikos
+
+
+- Wie aus der Darstellung der Entwicklung der Zinsstruktur deutlich wird, unterliegt die Zinsstrukturkurve einer zeitlichen Änderung. Dabei bewirken Zinsnderungen
+
+- eine Änderung des Kurses (Barwert)
+- eine Änderung der Reinvestitionsertrge aus den Rückflüssen (Endwert)
+
+- Barwerte (Kurse) und Endwerte (resultierendes Endvermögen) unterliegen somit einem Zinsnderungsrisiko.
+- Die Quantifizierung der Zinsstrukturkurve und ihrer zeitlichen Änderungen ist die Voraussetzung für eine Quantifizierung der Auswirkungen des Zinsnderungsrisikos.
+
+
+- Wir konzentrieren uns dabei auf einen einfachen deterministischen Ansatz und treffen dazu folgende Annahmen:
+- Die Zinsstruktur in s=0 sei flach: r_t(0)=r.
+- Kauf eines festverzinslichen Titels  Z_1,...,Z_T} zum Kurs (Barwert) P(r)
+- Die Zinsnderung besteht in einem einmaligen Übergang in eine flache Zinsstruktur der Höhe r+Δr.
+- Der übergang geschieht unmittelbar nach Kauf bzw. in t=0. Man vergleicht also die Änderung des Barwerts bei einer Änderung des Diskontierungsfaktors.
+
+- Um die Auswirkungen einer Zinsnderung r+Δr zu quantifizieren bestimmen wir (approximativ) die hieraus resultierende Barwertnderung ΔP=P(r+Δr)-P(r) sowie die entsprechende Endwertnderung ΔK_T=K_T(r+Δr)-K_T(r). 
+- Hierzu analysieren wir zunchst die Eigenschaften der Barwertfunktion bei Annahme einer flachen Zinsstruktur. 
+- Es gilt
+
+P(r) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^(−t)
+
+P′(r) = − [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r)^(−t) < 0
+
+P″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0
+
+
+- Die Barwertfunktion ist somit eine streng monoton fallende und konvexe Funktion. 
+- Dies impliziert:
+
+- Bei steigendem Marktzins fllt der Barwert (Kurs).
+- Bei fallendem Marktzins steigt der Barwert (Kurs).
+- Eine Zinssenkung führt zu einer strkeren Kursvernderung als eine gleich hohe Zinserhöhung.
+
+
+
+
+    BILD
+
+
+- Analog analysieren wir die Endwertfunktion. Es gilt:
+
+K_T(r) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^(T − t)
+
+K_T′(r) = [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of (T − t) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0
+
+K_T″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of (T − t)(T − t − 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) > 0
+
+
+- Die Endwertfunktion ist somit ebenfalls konvex, jedoch streng monoton steigend. 
+- Dies impliziert:
+
+- Bei steigendem Marktzins steigen die Reinvestitionsertrge und damit der Endwert (relative Vermögenssteigerung)
+- Bei fallendem Marktzins fallen die Reinvestitionsertrge und damit der Endwert (relative Vermögensminderung)
+
+
+
+- Insgesamt wirken Zinsnderungseffekte somit entgegengesetzt auf Bar- und Endwert. 
+
+- Effekt 1: Wenn Zinsstze steigen, sinken Anleihenpreise: Wenn die vorherrschenden Zinsstze steigen, werden Anleihen mit fixen Kuponzahlungen ceteris paribus weniger wertvoll, weil die Kuponzahlungen im Vergleich zum Markt nicht ansteigen (Barwert/Preis sinkt). 
+- Effekt 2: Höhere Zinszahlungen ermöglichen bessere Wiederanlagemöglichkeiten für zwischenzeitliche Rückflüsse aus Kuponzahlungen (Endwert steigt). 
+
+
+
+
+Barwert- und Endwertnderung bei einer Zinsnderung
+    
+    BILD
+
+
+Beispiel:
+Anleihe mit EZü e_t
+
+Annahme: flache Zinsstruktur mit k=9%
+
+
+\begin array r|c|c|c|c
+t   & 0 & 1 & 2 &   3 \\ \hline
+e_t &   & 9 & 9 & 109 
+\end array
+
+
+PV = 100 
+FV = 100 * 1,09^3 = 129,50  
+
+
+    BILD
+
+Annahme: unmittelbare (d. h. in t=0^+) Zinsnderung auf k=10%
+⇒ PV = 9 / 1.1 + 9 / 1.1² + 109 / 1.1³ = 97.51  
+  (nur Effekt 1 wirksam)
+
+  FV = 97.51 × 1.1³ = 129.79  
+  (nur Effekt 2 wirksam)
+
+
+Für alle Kapitalwerte K_t mit t∈]0,3[ sind beide Effekte wirksam!
+
+    BILD
+
+
+- Ob das Vermögen mit Zinsnderung  dem Vermögen ohne Zinsnderung ist, hngt davon ab, welcher ZP untersucht wird! 
+- Es gibt einen ZP D, bei dem das Vermögen mit Zinsnderung gleich dem Vermögen ohne Zinsnderung ist, d.\,h. im ZP D besteht kein Zinsnderungsrisiko! 
+- Man sagt: Im ZP D ist das (End-)Vermögen gegenüber Zinsnderungen immunisiert. 
+- Man kann sogar zeigen, dass das Vermögen ohne Zinsnderungen im ZP D ein Minimum hat, d.\,h., dass jede Zinsnderung (pos. oder neg.) zu einem Vermögenszuwachs führt.
+- Dazu schauen wir uns im folgenden das Konzept der Duration an. 
+
+
+
+Die Duration
+
+- Im Rahmen einer Analyse des Zinsnderungsrisikos wenden wir uns nun einer Reihe von (eng verwandten) Kennziffern zur Zinssensitivitt des Barwerts zu. 
+- Wir beginnen mit der absoluten Duration, definiert durch
+D_A(r) = −P′(r) = [1 / (1 + r)] × Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r)^(−t)
+
+- Diese entspricht somit der ersten Ableitung der Barwertfunktion, jedoch mit negativem Vorzeichen. Da P'(r)<0, folgt D_A(r)>0.
+- Aus geometrischer Sicht wird unter Verwendung der ersten Ableitung der Barwertfunktion die Änderung der Barwertfunktion linear approximiert durch die entsprechende Änderung des Funktionswerts der Tangente an die Barwertkurve. 
+
+Absolute Duration als lin. Approximation der Barwertkurve
+
+    BILD
+
+- Aus analytischer Sicht ist die absolute Duration ein approximatives Maßfür die absolute Kursnderung bei absoluter Zinsnderung, denn es gilt entsprechend zur geometrischen Darstellung
+
+ΔP(r) ≈ −D_A(r) × Δr
+
+- Je höher die Duration, desto größer das Zinsnderungsrisiko im Sinne einer Barwertnderung. 
+- Die Höhe der Duration hngt dabei wiederum von dem Ausgangsrenditenniveau r ab.
+- Die lineare Approximation der Barwertkurve unterliegt einem Approximationsfehler, der umso größer ist,
+
+- je größer Δr
+- je gekrümmter die Barwertkurve r ist.
+
+
+- Der Effekt steigender Zinsen (Kursverlust) wird somit überschtzt, der Effekt fallender Zinsen (Kursanstieg) hingegen unterschtzt.
+- Aus der absoluten Duration lassen sich weitere Durationsmaße ableiten. 
+- Die modifizierte Duration (Modified Duration), definiert durch
+D_M(r) ≔ D_A(r) / P(r) = [1 / (1 + r)] × ( Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ) / P(r)
+
+ist ein approximatives Maßfür die relative Kursnderung bei absoluter Zinsnderung.
+- Es gilt
+\ΔP(r) / P(r) ≈ −D_M(r) × Δr
+
+- Die Macaulay-Duration (oft nur als Duration bezeichnet) ist definiert durch
+D(r) = (1 + r) × D_M(r) = [ Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r)
+
+
+- Sie ergibt sich aus der zeitgewichteten Summe der diskontierten Zahlungen dividiert durch den Barwert der Anleihe und kann auch als das gewichtete Mittel der Flligkeitszeitpunkte der einzelnen Zahlungen interpretiert werden. 
+- Die Duration gibt somit die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer an. 
+- Ihre Einheit entspricht dabei der gewhlten Zeiteinheit (i.d.R. Jahre).
+- Als ΔP(r) bzw. D(r) entsprechende Approximation erhlt man
+ΔP(r) / P(r) ≈ − [ (1 + r + Δr) − (1 + r) ] / (1 + r) × D(r) = − (Δr / (1 + r)) × D(r)
+
+- Die Macaulay-Duration ist somit ein Maßfür die relative Kursnderung bei relativer Änderung des Aufzinsungsfaktors.
+
+
+
+Beispiel: Duration eines Standardbonds
+
+Wir betrachten einen Standardbond mit einer Laufzeit von 4 Jahren, einem Nennwert von 1000 Euro sowie einem Nominalzins von 6%. Zu bestimmen ist die Duration des Bonds, wenn der anfngliche Zinssatz 4% betrgt. Der Zahlungsstrom des Bonds ist zunächst gegeben durch {60, 60, 60, 1060}
+
+
+Es gilt im Einzelnen
+
+60 / 1.04        =   57.692  
+60 / 1.04²       =   55.473     → 2 × (60 / 1.04²) = 110.946  
+60 / 1.04³       =   53.340     → 3 × (60 / 1.04³) = 160.020  
+1060 / 1.04⁴     =  906.092     → 4 × (1060 / 1.04⁴) = 3624.37
+
+
+Als Macaulay-Duration ergibt sich nach diesen Vorüberlegungen 
+
+D = (57.692+110.946+160.020+3624.37)/(57.692+55.473+53.340+906.092)= 3953.028/1072.597 = 3.6855
+
+Die Duration des Bonds beträgt somit 3.6855 Jahre.
+
+
+Beispiel: Duration eines Zerobonds
+
+Betrachtet man einen Zerobond mit Laufzeit T, so erhlt man durch Auswertung der von Gleichung Macaulay das Resultat D(r) = T. Bei einem Zerobond stimmt somit die Duration stets mit seiner Laufzeit überein.
+
+
+	- Die Duration eines Zerobonds mit Laufzeit T beinhaltet gleichzeitig die maximale Duration aller Bonds mit gleicher Laufzeit, denn es gilt
+[ Σ t × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r) ≤ [ T × Σ Z_t × (1 + r)^(−t) ] / P(r) = T
+
+
+- Die Duration hngt nicht nur vom anfnglichen Zinsniveau, sondern auch von der Restlaufzeit und Kuponhöhe ab.
+- Abschließend zum Thema Duration betrachten wir noch die Portfolioduration. 
+- Diese berechnet sich als die gewichtete Summe der Durationen der einzelnen Titel. 
+- Es seien X=\ X_1,...,X_T\ und Z=\ Z_1,...,Z_T\ zwei Zahlungsreihen. 
+- Dann gilt insbesondere
+\D_{X+Z} = [ P_X / (P_X + P_Z) ] × D_X + [ P_Z / (P_X + P_Z) ] × D_Z
+
+– Für die Portfolioduration gilt allgemein analog:
+
+D_P = Σ (from i = 1 to n) of x_i × D_i
+
+wobei x_i=P_i/P dem Barwert von Titel i bezogen auf den Gesamtwert des Portfolios entspricht.
+
+
+- Der in der vorherigen Abbildung veranschaulichte Approximationsfehler bei der Quantifizierung der durch eine Zinsnderung induzierte Barwertnderung lsst sich durch Einbeziehung der Konvexitt verringern.
+- Theoretischer Ausgangspunkt ist dabei die Taylor-Entwicklung einer Funktion f im Punkt x_0. Durch den Abbruch der Taylorreihe erst nach dem zweiten Glied wird die lineare Approximation verbessert, konkret
+ΔP = P′(r) × Δr + (1 / 2) × P″(r) × (Δr)²  
+   = −D_A(r) × Δr + (1 / 2) × C_A(r) × (Δr)²
+
+
+- Dabei ist die absolute Konvexitt gegeben durch die zweite Ableitung der Barwertfunktion
+
+C_A(r) = P″(r) = [1 / (1 + r)²] × Σ (from t = 1 to T) of t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t)
+
+
+\frametitle Konvexität
+
+- Der Betrag 1/2*C_A(r)(Δr)^2 erfasst dabei die absolute Kursnderung aufgrund des quadratischen Anteils der Krümmung der Barwertkurve.
+- Eine Division von ΔP durch P ergibt die Approximation
+ΔP / P ≈ −D_M × Δr + (1 / 2) × C(r) × (Δr)²
+
+wobei die Konvexität C(r) definiert ist durch:
+
+C(r) = P″(r) / P = [ Σ t(t + 1) × Z_t × (1 + r)^(−t) ] / [ (1 + r)² × Σ Z_t × (1 + r)^(−t) ]
+
+
+\frametitle Zinsnderungsimmunisierung
+
+- Zuvor wurden die gegenlufigen Wirkungen einer Zinsnderung bzgl. Barwert und Endwert eines Bonds veranschaulicht. Ist es in bestimmten Konstellationen möglich, die anfngliche (vor Eintritt der Zinsnderung) Wertentwicklung trotz einer eingetretenen Zinsnderung sicherzustellen?
+- Dazu betrachten wir zunchst den Wert eines durch die Rückflüsse {Z_1,...,Z_T} charakterisierten,  festverzinslichen Titels zu einem beliebigen Zeitpunkt 0 < s < T unter dem anfnglichen Zins r_0. 
+- Hierbei gilt
+\K_s(r₀) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r₀)^(s − t)
+
+Bei sofortiger einmaliger Zinsänderung r + Δr in t = 0 ergibt sich für den Barwert zum Zeitpunkt s:
+
+K_s(r₀ + Δr) = Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r₀ + Δr)^(s − t)
+
+Ist es zu einem Zeitpunkt s möglich, dass für Zinsänderungen eines bestimmten Ausmaßes Δr stets gilt:
+
+K_s(r₀ + Δr) ≥ K_s(r₀) ?
+
+gilt?
+- In einem solchen Fall wre gewhrleistet, dass - zumindest in diesem Zeitpunkt und für Änderungen des anfnglichen Zinssatzes in einem bestimmten Umfang---der Wert des Bonds zum Zeitpunkt s trotz Zinsnderung nicht geringer ist als unter dem anfnglich geltenden Zins. 
+- Die Erfüllung der obigen Ungleichung luft auf die Frage der Existenz eines lokalen oder sogar globalen Minimums hinaus.
+- Die Antwort ist dabei positiv und sie lautet
+
+	s = D(r_0)
+
+- Wenn wir einen Zeitpunkt whlen, welcher der Duration zum anfnglichen Zins entspricht, so besitzt die Wertfunktion K_s=K_D ein Minimum im Punkt r_0 und die obige Ungleichung ist erfüllt.
+- Im Folgenden wollen wir den Nachweis der Eigenschaft eines lokalen Minimums erbringen. Allgemein gilt
+K_s(r) =Σ (from t = 1 to T) of Z_t × (1 + r)^ (s − t)  
+
+sowie  
+
+K′_s(r) = (1 + r)^(s − 1) × Σ (from t = 1 to T) of (s − t) × Z_t × (1 + r)^(−t)
+
+Damit folgt:
+
+ 0 = K′_s(r₀)  
+  = s × (1 + r₀)^(s − 1) × Σ Z_t × (1 + r₀)^(−t)  
+  − (1 + r₀)^(s − 1) × Σ t × Z_t × (1 + r₀)^(−t)
+
+  = s × (1 + r₀)^(s − 1) × P(r₀) − (1 + r₀)^(s − 1) × Σ t × Z_t × (1 + r₀)^(−t)
+
+
+- Insgesamt folgt
+s = [ Σ (from t = 1 to T) of t × Z_t × (1 + r₀)^(−t) ] / P(r₀) = D(r₀)
+
+d.h. die Eigenschaft eines lokalen Minimums ist nachgewiesen.
+- Allgemeiner lsst sich zeigen, dass sogar ein globales Minimum vorliegt, d.h. die obige Ungleichung gilt sogar für zugelassene Zinsänderungen in beliebiger Höhe.
+
+- Weiterhin bedeutet die Ungleichung, dass sptestens bis zum Zeitpunkt s=D(r_0) ein anfnglicher Kursverlust infolge steigender Zinsen durch die verbesserten Reinvestitionsmöglichkeiten zumindest kompensiert, ggf. sogar überkompensiert worden ist.
+- Zu beachten ist, dass die Aussage nicht K_s(r_0+ Δr)=K_s(r_0) lautet, d.h. die Zinsnderungen werden nicht notwendigerweise alle im gleichen Zeitpunkt kompensiert, sondern jede Zinsnderung besitzt in der Regel einen eigenen Kompensationszeitpunkt.
+- Sicher ist aber, dass im Zeitpunkt s die Wertentwicklung gleich der unteren Grenze K_s(r_0) ist oder darüber liegt. 
+- Fasst man den Wert K_s(r_0) als Untergrenze eines (nach oben unbegrenzten) Fensters auf, das sich den Zeitpunkt der Duration befindet, so erhlt man das sogenannte Durationsfenster (Duration Window).
+
+
+
+ Durationsfenster
+
+    BILD
+
+- Die zentrale Annahme bei den vorherigen Analysen ist die einer flachen Zinsstruktur, die nur einer einzigen anfnglichen deterministischen Änderung einer bestimmten Form unterliegen darf.
+- Mehrfache Änderungen sind kein Problem, da man nach jeder erfolgten Zinsnderungen entsprechende Anpassungen vornehmen kann. 
+- Bezüglich der Annahme einer flachen Zinsstruktur gibt es inzwischen eine Reihe von Erweiterungen wie die Single-Faktor-Durationsmodelle, Faktormodelle der Zinsstruktur sowie die Key-Rate-Duration.
+- Ein weiteres Problem des Durationsansatzes ist, dass traditionelle Durationskonzepte Zinsnderungsrisiken nicht mehr erfassen können, wenn die Höhe der Zinszahlungen selbst von Zinsnderungen beeinflusst wird wie bei zinssensitiven Produkten oder Bonds mit eingebetteten Optionen. Hier können optionsadjustierte Durationsmaße angewandt werden.
+- Insgesamt können wir festhalten, dass das einfache Durationsmaßein sehr nützliches Konzept im Sinne einer ersten Approximation für die Analyse des Außmaßes des Zinsnderungsrisikos und einer darauf aufbauenden Portfoliosteuerung darstellt.
+- Es unterliegt jedoch einer Reihe von Beschrnkungen und liefert nur approximative Ergebnisse. 
+- Daher kommt es vor allem auf den spezifischen Anwendungszweck an, ob mit diesem Ansatz oder verfeinerten Analysen gearbeitet wird. 
+
+
+\frametitle Zusammenfassung und Ausblick
+
+- Heute haben wir uns mit der Theorie der Zinsstruktur beschftigt. 
+- Wir haben über Zinsnderungen gesprochen und über die Möglichkeit, sich dagegen abzusichern (Duration).  
+