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베이지안 고차원 선형 회귀분석에서의 비교연구	<h1>4. 결론</h1> <p>본 연구에서는 희박정도와 신호의 크기에 따른 spike and slab 사전분포와 horseshoe 사전분포의 추론 성능을 비교하였다. 비교연구 결과에 따르면, 회귀계수 추정과 변수선택 즉면에서 spike and slab 사전분포가 준수한 결과를 보였기 때문에, 신호의 크기나 SNR에 대한 사전적인 정보가 없다면 $ \theta $ 에 $ \operatorname { Unif } (0,1) $ 사전분포를 설정 한 spike and slab 사전분포를 사용하는 것이 좋은 성능을 보여주었다. 반면에 신호의 크기가 일정한 기준점 이상일 때는 잡음과 신호 즉면에서 horseshoe 사전분포가 더 좋은 결과를 보였고, SNR값이 매우 작아지는 상황에서 spike and slab 사전분포는 불안정한 결과를 보였다. 그러므로, 신호의 크기가 매우 큰 상황이나 매우 작은 상황에서는 spike and slab 사전분포보다 horseshoe 사전분포를 사용하는 것이 더욱 안정적인 결과를 얻을 수 있다. Horseshoe 타입의 사전분포 중에서도, 비교연구 결과에 따르면 horseshoe plus와 horseshoe 사전 분포는 이러한 상황에서 붕괴하는 경향이 있으므로, 붕괴 위험이 적은 regularized horseshoe를 사용하는 것이 더 종은 결과를 줄 수 있을 것으로 보인다.</p> <h1>요 약</h1> <p>본 연구에서는, 고차원상황 $ (p \gg n) $ 에서의 회귀분석 모형을 고려하여 다양한 베이지안 회귀분석 방법들을 비교하였다. Spike and slab 사전분포는 고차원 베이지안 회귀분석에서 가장 많이 사용되는 사전분포 중 하나이지만, 탐험해야 하는 모형 공간이 녀무 크기 때문에 유한 표본에서 좋지 않은 성능을 보일 수 있다는 문제가 있다. 이에 대한 대안으로, horseshoe 사전분포를 비롯한 다양한 연속 수축사전분포들이 제안되어 사용되고 있다. 비록 위 사전분포들 각각에 대해서는 많은 연구들이 진행되고 있지만, 이들에 대한 포괄적인 비교연구는 매우 드물게 진행되고 있다. 따라서 본 연구에서는, spike and slab 사전분포와 다양한 연속수축사 전분포들을 다양한 상황에서 비교하는 연구를 진행 하였다. 각 방법의 성능은 회귀계수 추정 즉면과 변수선택 즉면을 나누어 비교하였다. 최종적으로, 본 연구에서 진행된 시뮬레이션 연구에 기반하여, 사용시 몇 가지 주의점과 제안들을 제시하였다.</p> <p>현재 고차원 베이지안 회귀분석을 위해 다양한 spike and slab 사전분포와 연속 수축 사전분포들이 개발 되어 있지만, 이들의 실질적인 성능에 대한 비교 결과는 찾아보기 힘들다. 비록 (Van 등, 2019)에서 spike and slab 사전분포와 다양한 수축 사전분포들의 성능을 비교하였지만, 다양한 희박 정도(sparsity level)와 신호의 강도에 따른 회귀계수 추정과 변수선택 측면에서의 비교 연구는 진행되지 않았다. 이는 실제 분석에 사용할 사전분포를 선택해야 하는 사용자 입장에서는 매우 중요한 결과라 할 수 있다. 따라서, 본 논문에서는 몇 가지 대표적인 사전분포들을 선택하여, 다양한 모의실험 셋팅에서 이들의 성능을 비교하는 연구를 진행하였다.</p> <p>본 논문은 다음과 같이 구성된다. 2장에서는 고차원 회귀분석을 위해 제안된 다양한 베이지안 방법론들 을 소개한다. 다음으로 3장에서는, 2장에서 소개된 베이지안 방법론들의 성능을 다양한 셋텅에서 비교한다. 이 때 2 장에서는 편의상 오차항의 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 상수로 생각하고 회귀계수 $ \beta $ 에 대한 사전분포에 집중하지만, 3 장에서는 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 사전분포까지 고려한 추론을 통해 비교연구를 진행하려 한다. 마지막으로, 4 장에서는 시뮬레이션 결과를 바탕으로 몇 가지 제안을 하며 논문을 마무리한다.</p> <h1>2. 고차원 회귀 모형</h1> <h2>2.1. Spike and slab 사전분포</h2> <p>Spike and slab 사전분포의 기본적인 형대는 다음과 같다. \[ \begin {array} { c } \beta_ { j } \mid \gamma_ { j } \stackrel {\text { ind } } {\sim } \left (1- \gamma_ { j } \right ) N \left (0, v_ { 0 } \right ) + \gamma_ { j } N \left (0, v_ { 1 } \right ), \quad \text { for } 0 \leq v_ { 0 } \ll v_ { 1 } , \\ \gamma_ { j } \stackrel {\text { iid } } {\sim } \operatorname { Ber } ( \theta), \quad \text { for } j=1, \ldots, p . \end {array} \]<caption>(2.1)</caption>이 때, $ v_ { 0 } $ 값은 매우 작은 값으로 설정하고, $ v_ { 1 } $ 값은 큰 값으로 설정한다. 본 논문에서는 $ v_ { 0 } =0.001 $ 로 두고 $ v_ { 1 } $ 에는 절반 코시(half-Cauchy) 분포를 사전분포로 설정하였고, 이에 해당하는 사전분포의 확률밀도함수를 Figure1에 나타내었다. Figure1 처럼 분산을 $ v_ { 0 } $ 로 가지는 정규분포는 0 에서의 밀도가 매우 높은 뽀족한 모양을 하고 있고, 분산을 $ v_ { 1 } $ 으로 가지는 정규분포는 비교적 평평한(slab) 모양을 가진다. Spike and slab 사전분포의 spike와 slab 부분은 각각 잡음과 신호를 가려내어 회귀계수를 추정하는 역할을 한다. 여기서 잡음은 0 이거나 0과 다름 없어서 유의미하지 않은 회귀계수를 의미하고, 신호는 유의미한 회귀계수를 의미한다. 이렇게 명확한 변수 선택이 가능하기 때문에, spike and slab 사전분포는 베이지안 고차원 회귀분석에서 사용되는 대표적인 사전분포로 자리하고 있다.</p> <p>Figure 2는 $ \beta $ 의 주변분포(marginal distribution)와 코시분포(Cauchy distribution), 라플라시안(Laplacian)분포를 비교한 그림이다. $ \beta $ 의 주변분포가 비교적 0 에서 매우 높은 밀도를 가지고, 두꺼운 꼬리를 가지고 있는 것을 확인할 수 있는데, 이는 spike and slab 사전분포에서 spike와 slab에 대응한다. Horseshoe 사전분포에서 $ \tau $는 전체의 희박한 정도(global sparsity level)를 조절하고 $ p $ 개의 $ \lambda_ { j } $ 가 지억별 희박한 정도(local sparsity level)를 조절한다. 그러나 spike and slab 사전분포처럼 정확한 변수 선탱을 해주지는 않으므로, $ \beta $ 의 신용 구간(credible interval)을 이용하거나, 수축 인자(shrinkage factor)를 이용하여 변수 선택을 해야 한다. 본 연구에서는 수축 인자를 이용하여 변수 선택을 하였다. 다음과 같은 모형 $ f(y \mid \beta)=N \left (y \mid \beta, \sigma ^ { 2 } I \right ) $ 에서, 수축 인자 $ \left (k_ { j } \right ) $ 는 아래와 같이 구해진다 (Piironen과 Vehtari, 2017). \[ E \left ( \beta_ { j } \mid Y, \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } \right )= \left ( \frac {\tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } {\tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } + 1 } \right ) y_ { j } + \left ( \frac { 1 } {\tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } + 1 } \right ) 0= \left (1-k_ { j } \right ) y_ { j } , \quad \text { where } k_ { j } = \frac { 1 } { 1 + \sigma ^ { -2 } \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } . \]<caption>(2.5)</caption>위 식 (2.5)에 따르면, $ k_ { j } $ 값이 1 에 가까우면 $ \beta_ { j } $ 의 사후분포 평균이 0 에 가깝게 수축되는 효과가 있고, 반대로 $ k_ { j } $값이 0 에 가까우면 $ \beta_ { j } $ 의 사후분포 평균이 $ y_ { j } $ 에 가깝게 정해진다. 따라서, 수축 인자인 $ k_ { j } $ 가 적절한 분계점보다 크면 유의한 변수로 선택하는 방식으로 변수 선택을 진행할 수 있다.</p> <p>Spike and slab 사전분포는 MCMC 방법 중 Gibbs sampling을 사용하지만, 만약 $ v_ { 0 } $ 값을 0 으로 설정하게 되면 MCMC 시행마다 $ \gamma $ 의 차원이 변하는 문제가 발생한다. 이 때는 Gibbs sampling이 불가능 해지므로, $ \gamma $ 샘플을 얻기위해 $ \beta_ { j } $ 를 적분한 $ f \left ( \gamma_ { j } \mid \sigma ^ { 2 } , y \right ) $ 를 구해 MCMC를 진행한다. 모형 (1.1)과 spike and slab 사전분포에 기반한 $ ( \gamma, \beta) $ 의 완전조건부 사후분포는 다음과 같다. 모든 $ j=1, \ldots, p $ 에 대해, \[ \begin {array} { l } \beta \mid \text { rest } \sim N_ { p } \left ( \Lambda_ {\gamma } X ^ { T } Y \sigma ^ { -2 } , \Lambda_ {\gamma } \right ), \\ \gamma_ { j } \mid \text { rest } \sim \operatorname { Ber } \left ( \frac { a } { a + b } \right ), \end {array} \]<caption>(2.2)</caption>여기서 $ a=f \left ( \beta_ { j } \mid \gamma_ { j } =1 \right ) \theta, b=f \left ( \beta_ { j } \mid \gamma_ { j } =0 \right )(1- \theta) $ 이다.</p> <p>위의 식에서, $ Y= \left (Y_ { 1 } , \ldots, Y_ { n } \right ) ^ { T } , X= \left (X_ { 1 } , \ldots, X_ { n } \right ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { n \times p } , A_ {\gamma } = \left ( \sigma ^ { -2 } X ^ { T } X + D_ {\gamma } ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } , D_ {\gamma } = \operatorname { diag } \left ( \left (1- \gamma_ { 1 } \right ) v_ { 0 } + \right . $ $ \left . \gamma_ { 1 } v_ { 1 } , \ldots, \left (1- \gamma_ { p } \right ) v_ { 0 } + \gamma_ { p } v_ { 1 } \right ) $ 이다. 위 사후분포 식 (2.2)을 이용하면 Gibbs sampling.을 이용한 사후분포 추론을 진행할 수 있다 (George와 McCulloch, 1993). 최종적으로 변수선택을 하는 방법은 $ m $ 번의 MCMC 시행 이후에 얻을 수 있는 $ \gamma $ 의 최빈값(mode)을 찾는 방법과 $ p $ 개의 $ \gamma_ { j } \in[0,1] ^ { p } $ 들을 독립으로 보고 적절한 분계점(threshold) 보다 높으면 유의미하다고 판단하는 방법 (Barbieri와 Berger, 2004)이 있다. 본 논문에서는 분계점을 이용한 변수선택을 사용하였고, 이를 표현하면 다음과 같다. 모든 $ j=1, \ldots, p $ 에 대해, \[ \gamma_ { j } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & p_ { j } \geq p_ { t } , \\ 0, & \text { o.w., } \end {array} \right . \]<caption>(2.3)</caption>여기서 $ p_ { j } =m_ { j } ^ { * } / m $ 이고, $ m_ { j } ^ { * } $ 는 $ m $ 개의 사후분포 표본 중 $ \gamma_ { j } =1 $ 이 등장한 횟수이며, $ p_ { t } $ 는 분계점을 의미한다.</p> <p>Figure 3은 horseshoe, horseshoe plus 그리고 regularized horseshoe 사전분포에서 수죽 인자의 확률밀도 함수를 나타낸 그림이다. 그림을 보면, $ \tau=0.01 $ 일 경우 0 근처에서 horseshoe 사전분포의 수축 인자가 다른 사전분포의 수축 인자보다 매우 낮은 밀도함수 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 이는 전체의 희박 정도를 조절하는 $ \tau $ 값이 작게 추정되는 상황에서 horseshoe 사전분포가 붕괴하는 문제를 일으킬 수 있다 (Lee 등, 2020). 그 이유는 horseshoe 사전분포의 수축 인자가 0 근처의 값을 가지지 못해 신호와 잡음을 구분하지 못하고, 모든 회귀계수의 수축 인자를 1 로 추정하여 잡음으로 판단하기 때문이다. 반면에 다른 사전분포들은 $ \tau=0.01 $ 일 때, 0 근처에서 horseshoe 사전분포보다 비교적 높은 밀도함수 값을 유지하고 있다. 고차원 상황에서는 $ \tau $ 값이 매우 작게 추정되기 때문에 horseshoe 사전분포가 언제든지 붕괴될 위험이 있다. 이러한 문제를 해결할 수 있는 간단한 방법은 $ \tau $ 에 대한 사전분포를 절반 코시분포가 아넌 절단된 코시분포 \[ \tau \sim T C ^ { + } (0,1)_ {\left ( \frac { 1 } { p } , \infty \right ) } , \]<caption>(2.7)</caption>로 설정하여 $ \tau $ 값이 매우 작아지는 것을 방지하는 것이나, 이 방법도 완벽하게 문제를 해결하지는 못한다.</p> <h1>3. 시뮬레이션 자료를 통한 비교연구</h1> <p>초모수의 선택 문제에서 벗어나기 위해 모든 모형에서 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 Jeffrey's 사전분포인, \[ \pi \left ( \sigma ^ { 2 } \right ) \propto \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } , \] 를 설정하였다. 또한, 기존의 horseshoe 사전분포에서 $ \tau $ 에 절단된 코시분포 (2.7)을 설정한 모형을 추가하였고, spike and slab 사전분포 (2.1)에서는 $ \theta $ 값을 0.5로 고정한 모형과 균일분포를 사전분포로 설정한 모형을 적합하였다. 표기의 편의성을 위해, horseshoe, truncated horseshoe, regularized horseshoe, horseshoe plus, spike and $ \operatorname { slab } ( \theta \sim \operatorname { Unif } (0,1)) $, spike and slab $ ( \theta=0.5) $ 을 각각 $ H, \mathrm { TH } , \mathrm { RH } , \mathrm { HP } , \mathrm { SS } , \mathrm { SS } $ ber 로 표기하였다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>다음과 같은 회귀분석 모형, \[ Y_ { i } = X_ { i } ^ { T } \beta + \epsilon_ { i } , \quad i=1, \ldots, n \],<caption>(1.1)</caption>$ Y_ { i } \in \mathbb { R } , X_ { i } = \left (X_ { i 1 } , \ldots, X_ { i p } \right ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { p } , \beta= \left ( \beta_ { 1 } , \ldots, \beta_ { p } \right ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { p } $ 그리고 $ \epsilon_ { i } \stackrel {\text { iid } } {\sim } N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서, 자료의 갯수 $ n $ 보다 변수의 갯수 $ p $ 가 큰 고차원 상황을 고려하자. 이 경우 $ p $ 차원 회귀계수 $ \beta $ 에 추가적인 가정이 없다면, 모수의 갯수가 자료의 갯수보다 크기 때문에 일치성을 가지는 추론이 불가능하다. 모수의 차원을 줄이기 위해 흔하게 사용되는 가정 중 하나는, 회귀계수 중 대부분이 0이라는 희박성(sparsity)을 가정하는 것이다 (Martin 등, 2017) 희박성 가정 하에서 고차원 회귀분석 모형을 다루기 위하여, 연구자들은 크게 두 가지 전략을 사용해오고 있다. 첫 번째 전략은 변수선택과 추정을 동시에 진행하는 것으로, 먼저 0 이 아닌 회귀계수들을 선택한 후에 그들의 값을 추정하는 방법이다. 빈도론의 lasso 추정량 (Tibshirani 1996)이 대표적인 예이다. 두 번째 전략은 $ p $차원 회귀계수 벡터를 그대로 추정하되, 0이라고 생각되는 회귀계수들을 0 에 매우 가까운 값으로 축소시키는 방법이다. 빈도론의 Ridge 추정량 (Hoerl과 Kennard, 1970)이 대표적인 예이다.</p> <p>고차원 상황에서 쓸 수 있는 대표적인 베이지안 추론 방법은 spike and slab 사전분포 (George와 McCulloch, 1993; Ishwaran과 Rao, 2005) 가 있다. Spike and slab 사전분포는 사후분포 수렴속도 등의 이론적 성질들이 알려져 있고 변수 선택을 명확하게 한다는 장점이 있지만, 차원이 매우 커지는 상황에서는 $ 2 ^ { p } $ 개의 모델 공간을 탐험해야 하는 계산적인 문제가 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 다양한 연속 수축 사전분포(continuous shrinkage prior)가 제안되어 왔고, 그 중 가장 대표적인 사전분포는 horseshoe 사전분포 (Carvalho 등, 2010)이다. 또한, horseshoe 사전분포를 보완한 regularized horseshoe 사전분포 (Piironen과 Vehtari, 2017)와 horseshoe plus 사전분포 (Bhadra 등, 2017)가 있다. 이러한 연속 수축 사전분포들은 정확하게 0 값을 가지는 사후분포 표본을 주지는 않지만, 모델 공간의 크기가 spike and slab 사전분포에 비해 매우 작아서 Markov chain Monte Carlo (MCMC) 표본의 mixing이 빠를 것이라는 기대가 있다.</p> <p>참 회귀계수를 $ \beta_ { 0 } $ 로 표기하고, 다음과 같은 상황을 고려한다. $ \beta_ { 0 } = \left ( \beta_ {\text { signal } } ^ { T } , \beta_ {\text { noisc } } ^ { T } \right ) ^ { T } \in \mathbb { R } ^ { p } , \beta_ {\text { signal } } = \left ( \beta_ {\text { signal } } , j \right ) \in $ $ \mathbb { R } ^ { D } $ 그리고 $ \beta_ {\text { noisc } } = \left ( \beta_ {\text { noisc, } j } \right ) \in \mathbb { R } ^ { q } $. 이 때, $ D $ 는 신호의 개수, $ q $ 는 잡음의 개수이다. 관측치의 개수는 $ n $ 으로 표기하였고, 공변량 $ \mathrm { X } $ 는 다변량 정규분포 $ N_ { p } (0, I) $ 에서 추줄하여 생성하였다.</p> <p>본 비교연구에서는 크게 두 가지 셋팅을 고려하였다. 첫 번째 셋팅인 scenario 1 에서는, signal-to-noise ratio (SNR)과 0 이 아넌 $ \beta $ 의 성분값이 고정된 상황에서 희박정도에 따른 사전분포들의 성능 비교를 목적으로 두었다. 이 때, SNR과 희박정도(sparsity level; sp)는 다음과 같의 정의된다. \[ \mathrm { SNR } = \frac {\operatorname { Var } \left (X_ { i } ^ { T } \beta_ { 0 } \right ) } {\sigma ^ { 2 } } , \quad \mathrm { sp } = \frac { D } { p } . \] 두 번째 셋텅인 scenario 2 에서는, 희박정도와 오차항의 분산이 고정된 상황에서 0이 아넌 $ \beta $ 의 성분값 변화에 따른 사전분포들의 성능 비교를 목적으로 두었다. Scenario 1과 2에 대한 구체적인 설명은 아래와 같다.<ul> <li>Scenario 1: $ (n, p)=(50,100),(200,500),(300,1000) $ 으로 변화시키고, 각 차원마다 sp 값을 $ 0,0.05,0.1,0.15 $, $ 0.2 $ 로 변화시킨다. 이 때, $ \beta_ {\text { noisc } } =0, \beta_ {\text { signal } , j } =2 $ for all $ j=1, \ldots, D, \mathrm { SNR } =10 $ 으로 고정한다.</li> <li>Scenario 2: $ (n, p)=(50,100),(200,500),(300,1000) $ 으로 변화시키고, $ \mathrm { sp } =0.05, \sigma ^ { 2 } =3 ^ { 2 } , \beta_ {\text { noisc } } =0 $ 으로 고정한다. 이 때, $ \beta_ {\mathrm { signal } } $ 의 성분을 생성하는 분포를 다음과 같이 변화시킨다. $ \beta_ {\mathrm { signal } , j } \sim \operatorname { Unif } \left (Z_ { j } \mu, 2 Z_ { j } \mu \right ) $ for all $ j=1, \ldots, D $, where $ p \left (Z_ { j } =1 \right )=P \left (Z_ { j } =-1 \right )=0.5 $ and $ \mu=0.1,0.5,1,2 $.</li></ul></p> <h2>2.4. Regularized horseshoe 사전분포</h2> <p>Regularized horseshoe 사전분포는 horseshoe 사전분포에서 $ \beta_ { j } $ 의 조건부 사전분포를 다음과 같이 수정한 사전 분포이다. 모든 $ j=1, \ldots, p $ 에 대해, \[ \beta_ { j } \mid \lambda_ { j } , \tau, c, \sigma ^ { 2 } \sim N \left (0, \tilde {\lambda } _ { j } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \right ), \quad \text { where } \tilde {\lambda } _ { j } ^ { 2 } = \frac { c ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } . \]<caption>(2.6)</caption>이 때, $ c>0 $ 는 주어진 상수이다. 위의 식 (2.6)에서 $ \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } \ll c ^ { 2 } $ 이면 $ \tilde {\lambda } _ { j } ^ { 2 } \rightarrow \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 이 되므로, $ \beta_ { j } $ 에 대한 사전분포가 일반적인 horseshoe 사전분포에 가까워진다. 반면에 $ \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } \gg c ^ { 2 } $ 이면 $ \bar {\lambda } _ { j } { } ^ { 2 } \rightarrow c ^ { 2 } / \tau ^ { 2 } $ 이 되므로, $ \beta_ { j } $ 에 대한 사전분포가 $ N \left (0, c ^ { 2 } \right ) $ 에 가까워진다. 따라서 사전분포 (2.6)은 잡음에 해당하는 $ \beta_ { j } $ 에는 작은 $ \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 값을 부여하여 horseshoe 사전분포와 유사하게 0 으로 축소시키고, 신호에 해당하는 $ \beta_ { j } $ 에도 큰 $ \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 값을 통해 $ c ^ { 2 } $ 의 분산을 가지는 정규분포처럼 모형화하여 어느 정도 0 으로 축소시키는 특징이 있다. 즉, 일반적인 horseshoe 사전분포와 비슷하게 작동하지만, 신호들을 더 잘 정칙화(regularization)하는 특징이 있다. Regularized horseshoe 사전분포에서는 $ \lambda_ { j } , c ^ { 2 } $ 등의 완전조건부 사후분포를 계산하기 힘들기 때문에, 사후분포 추론은 R package rstan을 통해 진행하였다.</p> <p>결과를 평가하기 위해 mean squared error (MSE)를 사용하며, 다음과 같이 신호와 잡음에 대한 MSE를 나누어 표현한다. \[ \operatorname { MSE } _ { S } = \frac { 1 } { D } \sum_ { j=1 } ^ { D } \left ( \hat {\beta } _ { j } - \beta_ {\mathrm { signal } , j } \right ) ^ { 2 } , \quad \operatorname { MSE } _ { N } = \frac { 1 } { q } \sum_ { j=D + 1 } ^ { p } \left ( \hat {\beta } _ { j } \right ) ^ { 2 } . \]<caption>(3.1)</caption>Scenario2에서는 신호의 크기가 달라지는 것을 보정해주기 위해, 신호에 대해서는 다음과 같이 변형된 MSE를 사용한다. \[ \operatorname { MSE } _ { S } = \frac { 1 } { D \mu ^ { 2 } } \sum_ { j=1 } ^ { D } \left ( \hat {\beta } _ { j } - \beta_ {\text { signal } , j } \right ) ^ { 2 } . \]<caption>(3.2)</caption>또한 각 사전분포의 변수 선택 걸과를 비교하기 위해 Table1의 값을 이용하여 민감도(sensitivity)와 특이도 (specificity)를 다음과 같이 정의하였다. \[ \text { Sensitivity } = \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FN } } , \quad \text { Specificity } = \frac {\mathrm { TN } } {\mathrm { TN } + \mathrm { FP } } . \] 이 때, TP, TN, FP 그리고 FN의 정의는 Table 1에 정리되어 있다. 이를 이용하여 receiver operating characteristic (ROC) 곡선을 그린 후 area under the curve (AUC)값을 구해 정리하였는데, 이 때 ROC 곡선을 그리기 위해서 spike and slab 사전분포에서는 식 (2.3)을, horseshoe 사전분포에서는 수축 인자를 사용하였다.</p> <p>Figure 4는 scenario 1의 결과이고, $ x $ 축과 $ y $ 축의 값은 각각 sp 값과 식 (3.2)의 MSE를 나타낸다. 신호를 추론하는 상황에서 가장 좋은 결과를 보인 사전분포는 RH, $ \mathrm { SS } ^ { 2 } , \mathrm { SS } _ {\text { ber } } $ 이고, 이 사전분포들은 $ \mathrm { MSE } _ { S } $ 와 $ \mathrm { MSE } _ { N } $ 두 개의 측면에서 거의 비슷한 결과를 보인다. 이는 RH가 일반적인 horseshoe 사전분포보다 spike and slab 사전분포의 특징을 더 잘 따라가기 때문이다. 또한 sp 값이 작을 때 $ \mathrm { SS } _ {\mathrm { ber } } $ 가 $ \mathrm { SS } _ {\text { 보다 } } \mathrm { MSE } _ { S } $ 값이 더 높은 경향이 있는 것을 확인할 수 있다. 이는 사전분포 $ \mathrm { SS } _ {\text { ber } } $ 에서는 0 이 아닌 회귀 계수들의 비율인 $ \theta $ 값이 $ 0.5 $ 로 고정되어, 실제로는 0 인 회귀 계수들이 매우 많을 때에도 불필요하게 많은 회귀 계수들을 유의하게 추론하기 때문으로 해석할 수 있다. $ \mathrm { TH } $ 와 $ H $ 는 두 개의 MSE 즉면에서 매우 비슷한 결과를 보이고 $ \mathrm { MSE } _ { N } $ 측면에서 차원에 상관없이 매우 종은 결과를 보인다. 이를 통해, TH와 $ H $ 는 horseshoe 사전분포의 특징인 잡음을 0 으로 수죽시키는 성질을 잘 수행하고 있는 것을 알 수 있다. 본 논문의 비교실험에서 HP는 대부분의 상황, 특히 sp값이 매우 작은 희박한 상황에서도 MSE 값이 매우 크게 나오는 경향이 있었다. 이것은 다소 의외의 결과였는데, 왜나하면 HP는 실제 회귀계수가 매우 희박한 상황에서 더 좋은 성능을 보일 거라고 기대되었기 때문이다. HP의 좋지 않은 성능은 (Lee 등, 2020) Supplementary Material 4장의 시뮬레이선 결과에서도 공통적으로 관찰되는데, 이러한 현상의 이유에 대해서는 포괄적인 실험을 통해 더욱 깊은 연구가 필요할 것으로 보인다.</p> <p>Regularized horseshoe 사전분포에서는 일반적인 horseshoe 사전분포와는 다른 수축 인자를 정의한다 (Pi-ironen과 Vehtari, 2017). 공변량 벡더 $ X_ { i } = \left (X_ { i 1 } , \ldots, X_ { i p } \right ) ^ { T } $ 의 성분들이 서로 독립이고 $ \operatorname { Var } \left (X_ { i j } \right )=s_ { j } ^ { 2 } , f(Y $ । $ X, \beta, \sigma)=N \left (X \beta, \sigma ^ { 2 } I \right ), \pi \left ( \beta_ { j } \mid \tau, \lambda_ { j } \right )=N \left (0, \tau ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } \right ) $ 일 경우, 수죽 인자는 다음과 같이 구할 수 있다. \[ E \left ( \beta_ { j } \mid \tau, \sigma ^ { 2 } , \Lambda, Y \right )= \left (1-k_ { j } \right ) \hat {\beta } _ { j } , \quad \text { where } k_ { j } = \frac { 1 } { 1 + a_ { j } ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } \text { and } a_ { j } ^ { 2 } =n \sigma ^ { -2 } \tau ^ { 2 } s_ { j } ^ { 2 } . \] 이 때, $ \hat {\beta } _ { j } $ 는 $ \beta $ 의 최대가능도추정량이 존재할 때, 그것의 $ j $ 번째 성분이다. 위 식을 식 (2.6)에 적용하면, 다음과 같은 수축 인자를 구할 수 있다. \[ \tilde { k } _ { j } = \frac { 1 } { 1 + a_ { j } ^ { 2 } \tilde {\lambda } _ { j } } \approx \frac {\left (1-b_ { j } \right ) \lambda_ { j } ^ { 2 } } { 1 + b_ { j } a_ { j } ^ { 2 } \lambda_ { j } ^ { 2 } } = \left (1-b_ { j } \right ) k_ { j } + b_ { j } . \] 따라서, regularized horseshoe의 수축 인자 $ \tilde { k } _ { j } $ 는 $ \left (b_ { j } , 1 \right ) $ 사이의 값을 가지고, 이 때 $ b_ { j } =1 / \left (1 + n \sigma ^ { -2 } s_ { j } ^ { 2 } c ^ { 2 } \right ) $ 이다.</p> <h2>2.2. Horseshoe 사전분포</h2> <p>Horseshoe 사전분포는 $ \beta_ { j } $ 에 다음과 같은 사전분포를 정의한다. \[ \begin {aligned} \beta_ { j } \mid \lambda_ { j } , \tau, \sigma ^ { 2 } & \sim N \left (0, \lambda_ { j } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \right ), \\ \lambda_ { j } & \sim C ^ { + } (0,1), \\ \tau & \sim C ^ { + } (0,1) . \end {aligned} \]<caption>(2.4)</caption>위 식 $ (2.4) $ 에서 $ C ^ { + } (0,1) $ 는 절반 코시분포를 의미한다. 일반적으로 $ \tau $ 에 절반 코시분포를 사전분포로 설정하지만, cross validation 방법을 이용하여 $ \tau $ 를 설정하거나, 임의로 설정하는 방법도 있다 (Piironen과 Vehtari, 2017). Horseshoe 사전분포에 기반하여 $ ( \beta, \tau, \Lambda) $ 의 사후분포 샘플을 얻기 위한 Gibbs sampling 알고리듬은 다음과 같다 (Makalic과 Schmidt, 2015). \[ \begin {array} { l } \beta \mid \text { rest } \sim N_ { p } \left ( \Lambda X ^ { T } Y, \sigma ^ { 2 } \Lambda \right ), \\ \tau ^ { 2 } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left ( \frac { p + 1 } { 2 } , \frac { 1 } {\xi } + \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \beta ^ { T } \Lambda ^ { -1 } \beta \right ), \\ \xi \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1,1 + \frac { 1 } {\tau ^ { 2 } } \right ), \\ \lambda_ { j } ^ { 2 } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1, \frac { 1 } {\eta_ { j } } + \frac {\beta_ { j } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right ), \quad j=1, \ldots, p, \\ \eta_ { j } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1,1 + \frac { 1 } {\lambda_ { j } ^ { 2 } } \right ), \quad j=1, \ldots, p, \\ \sigma ^ { 2 } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left ( \frac { n + p } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \\|y-X \beta \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \tau ^ { 2 } } \beta ^ { T } \Lambda ^ { -1 } \beta \right ) . \end {array} \] 위의 식에서 $ \Lambda= \left (X ^ { T } X + 1 / \tau ^ { 2 } \Lambda ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } , \Lambda= \operatorname { diag } \left ( \lambda_ { 1 } ^ { 2 } , \ldots, \lambda_ { p } ^ { 2 } \right ) $ 이며, $ \operatorname { IG } (a, b) $ 는 형상모수가 $ a $, 척도모수가 $ b $ 인 역감마 분포를 나타낸다. 위에서 $ \tau ^ { 2 } $ 과 $ \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 의 완전조건부 사후분포를 유도하기 위해, 잠재 변수(latent variable) $ \xi $ 와 $ \eta_ { j } $ 를 도입하였다. 이 때 절반 코시분포의 성질을 이용하였는데, 예를 들어 $ \lambda_ { j } \sim C ^ { + } (0,1) $ 와 $ \lambda_ { j } ^ { 2 } \mid \eta_ { j } \sim \mathrm { IG } \left (1 / 2,1 / \eta_ { j } \right ) $, $ \eta_ { j } \sim \mathrm { IG } (1 / 2,1) $ 가 동치임을 이용하였다. 이에 따르면 $ \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 의 완전조건부 사후분포를 유도할 수 있다.</p><p>$ \pi\left(\lambda_{j}^{2} \mid\right. $ rest $ ) \propto\left(\lambda_{j}^{2}\right)^{\frac{-1}{2}} \exp \left(-\frac{\beta_{j}^{2}}{2 \sigma^{2} \tau^{2} \lambda_{j}^{2}}\right)\left(\lambda_{j}^{2}\right)^{\frac{-1}{2}-1} \exp \left(-\frac{1}{\eta_{j} \lambda_{j}^{2}}\right) \propto\left(\lambda_{j}^{2}\right)^{-1-1} \exp \left\{-\left(\frac{1}{\eta_{j}}+\frac{\beta_{j}^{2}}{2 \sigma^{2} \tau^{2}}\right) \frac{1}{\lambda_{j}^{2}}\right\} $</p><p>따라서, $ \lambda_ { j } ^ { 2 } $ 의 완전조건부 사후분포가 $ \mathrm { IG } \left (1,1 / \eta_ { j } + \beta_ { j } ^ { 2 } / \left (2 \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \right ) \right ) $ 임을 확인할 수 있고, $ \eta_ { j } , \tau ^ { 2 } $ 그리고 $ \xi $ 의 완전조건부 사후분포를 유도하는 과정도 이와 유사한 계산을 통해 보일 수 있다.</p> <p>Table 2 는 각 사전분포에 따라 변수선택의 걸과를 보기 위해 ROC 곡선의 넓이인 $ \mathrm { AUC } $ 값을 정리한 표이다. 전반적으로 $ \mathrm { sp } $ 값이 증가함에 따라 $ \mathrm { AUC } $ 값이 줄어드는 경향이 있는데, 이는 신호가 많아질 수록 변수 선택이 어려워지는 것을 의미한다. 또한 $ \mathrm { sp } $ 값이 $ 0.1 $ 이상이면 $ \mathrm { SS } _ {\text { ber } } $ 와 $ \mathrm { SS } $ 이 다른 사전분포 $ H, \mathrm { TH } , \mathrm { HP } , \mathrm { RH } $ 보다 좋은 변수 선태 성능을 보이는 경향이 있었다. 특히 sp 값이 $ 0.1 $ 이상일 때 $ H $ 와 $ \mathrm { HP } $ 의 $ \mathrm { AUC } $ 값이 대략 $ 0.5 $ 가 나왔는데, 이는 $ 2.4 $ 장에서 언급한 horseshoe 사전분포의 붕괴 현상 때문으로 보인다. 반면에 RH와 $ \mathrm { TH } $ 에서는 붕괴하는 현상이 일어나지 않았다.</p> <p>Figure 5 에서는, Scenario1에서 $ \mathrm { sp } =0.1 $ 이고 $ p=500 $ 일 때 2.4장에서 언급한 horseshoe 사전분포가 붕괴하는 현상을 묘사하였다. 빨간 영역은 유의한 변수들의 영역으로 $ y $ 축의 $ k_ { i } $ 값이 0 에 가까울 수록 이상적이고, 빨간 영역이 아넌 부분은 $ k_ { i } $ 값이 1 에 가까울 수록 이상적이라 할 수 있다. 이 때 spike and slab 사전분포의 $ k_ { i } $ 는 1 에서 식 (2.3)의 $ p_ { j } $ 를 뺀 값을 의미한다. 하지만 추론 결과를 보면, $ H, \mathrm { HP } $ 에서 모든 $ k_ { i } $ 값이 정확하게 1 로 추정된 것을 알 수 있고, TH도 이들과 비슷한 형태를 보인다. 이는 전체적인 희박 정도를 조절하는 $ \tau $ 값이 매우 작게 추정되어 붕괴현상이 일어나는 것으로 해석된다 (Lee 등, 2020). 반면에, 다른 사전분포들은 붕괴하는 현상은 일어나지 않았다.</p> <p>Figure 6 은 scenario 2 의 결과이고, $ x $ 축과 $ y $ 축의 값은 각각 $ \sqrt {\mu } $ 값과 (3.2)의 MSE를 나타낸다. Table 3 는 각 사전분포에 따라 변수 선택의 결과를 보기 위해 ROC curve의 넓이인 AUC 값을 정리한 표이다. 모든 사전분포가 $ \mu $ 값이 증가할 때 $ \mathrm { MSE } _ { s } $ 값이 감소하는 것을 알 수 있고, $ \mu=0.1 $ 일 때는 대부분의 사전분포가 큰 MSE 값을 가진다. 특히 $ p=100 $ 이고 $ \mu $ 값이 작을 때, spike and slab 사전분포들이 매우 큰 MSE 값을 가지는 경향을 확인할 수 있었다. 이러한 현상의 이유를 살펴보기 위해, Figure 7에 $ \mu=0.1 $ 일 때 각 사전분포에 기반한 $\mathrm{MSE_s}$ 의 표준편차를 나타내었다. Scenario 2 에서는 차원 $ p $ 가 증가할 수록 SNR 값이 증가하도록 설정되었다는 것을 유의하자. 그림에서 $ p=100 $ 일 때 SS와 $ \mathrm { SS } _ {\text { ber } } $ 의 표준편차가 매우 높은 것을 알 수 있는데, 이는 SNR 값이 매우 작아지는 상황에서 spike and slab 사전분포의 변동이 심하다는 것을 의미한다. 결과적으로 SNR 값이 매우 작은 상황에서는 horseshoe 사전분포가 안정적이고, spike and slab 사전분포는 불안정하다는 것을 의미한다.</p> <p>Table 3를 보면 전반적으로 $ \mu $ 값이 증가함에 따라 AUC 값이 증가하므로, 신호가 커질수록 변수 선택이 쉬워지는 것을 알 수 있다. 특히 $ \mu=0.5 $ 일 때는 대부분의 사전분포의 AUC 값이 0.8 이상이 된다. 이 때 SS와 $ \mathrm { SS } _ {\mathrm { ber } } $ 모두 0.9 근처의 $ \mathrm { AUC } $ 값을 가지는데, 이는 잡음과 신호를 어느 정도 구분할 수 있는 상황에서는 spike and slab 사전분포가 좋은 변수 선택 성능을 가지는 것으로 해석될 수 있다. 비록 $ \mu $ 값이 1 이상이 될 때 horseshoe 사전분포가 미세하게 더 좋은 결과를 보이지만, 크게 의미가 있는 차이는 아닌 것으로 해석된다. 다만 spike and slab 사전분포는 크기가 큰 회귀 계수도 0 쪽으로 축소시키기 때문에, 이것이 영향을 주었을 가능성도 배제할 수는 없다. 또한, $ p=500,1000 $ 이고 $ \mu $ 값이 1 이상일 때, $ \mathrm { SS } _ {\text { ber } } $ 와 HP의 $\mathrm{MSE_s}$는 다른 사전분포보다 완만하게 감소하는 것으로 보아, 신호가 일정 이상 커지는 상황에서 두 사전분포의 성능 개선이 상대적으로 느리게 나타나는 것으로 생각된다. Table 4는 본 논문의 모의실험 결과를 정리한 표이다.</p> <h2>2.3. Horseshoe plus 사전분포</h2> <p>Horseshoe plus 사전분포는 다음과 같다. 모든 $ j=1, \ldots, p $ 에 대해, \[ \begin {aligned} \beta_ { j } \mid \lambda_ { j } , \tau, \sigma ^ { 2 } & \sim N \left (0, \lambda_ { j } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \right ), \\ \lambda_ { j } \mid \phi_ { j } & \sim C ^ { + } \left (0, \phi_ { j } \right ), \\ \phi_ { j } & \sim C ^ { + } (0,1), \\ \tau & \sim C ^ { + } (0,1) . \end {aligned} \] Horseshoe plus 사전분포는 꼬리가 일반적인 horseshoe 사전분포의 꼬리보다 두꺼운 특징을 가지고 있다. 이러한 특징 때문에 실제 회귀계수 벡터가 매우 희박한 상황, 즉 극소수를 제외하고는 회귀계수 성분이 모두 0인 상황에서는, 일반적인 horseshoe 사전분포보다 더 좋은 성능을 얻을 수 있다고 기대되는 즉면이 있다. 이 경우에도 수축 인자 $ \left (k_ { j } \right ) $ 에 기반한 변수 선택을 진행할 수 있고, 수축 인자는 (2.5)와 같은 모양으로 구해진다.</p> <p>Horseshoe plus 사전분포에 기반하여 모수들의 완전조건부 사후분포를 계산하기 위해서는, 다음의 성질을 이용한다. (a) $ \lambda_ { j } \mid \phi_ { j } \sim C ^ { + } \left (0, \phi_ { j } \right ), \phi_ { j } \sim C ^ { + } (0,1) $ 는 (b) $ \lambda_ { j } ^ { 2 } \left \| \eta_ { j } \sim \mathrm { IG } \left (1 / 2,1 / \eta_ { j } \right ), \eta_ { j } \right \| \phi_ { j } ^ { 2 } \sim \mathrm { IG } \left (1 / 2,1 / \phi_ { j } ^ { 2 } \right ) $, $ \phi_ { j } ^ { 2 } \mid \xi_ { j } \sim \mathrm { IG } \left (1 / 2,1 / \xi_ { j } \right ), \xi_ { j } \sim \mathrm { IG } (1 / 2,1) $ 과 동치이다. 이를 이용하면 모수들의 완전조건부 사후분포를 계산할 수 있고, horseshoe 사전분포와 비교했을 때 완전조건부 사후분포가 달라지는 부분만 적으면 아래와 같다. (Makalic 과 Schmidt, 2016). \[ \begin {array} { c } \eta_ { j } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1, \frac { 1 } {\phi_ { j } ^ { 2 } } + \frac { 1 } {\lambda_ { j } ^ { 2 } } \right ), \\ \phi_ { j } ^ { 2 } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1, \frac { 1 } {\eta_ { j } } + \frac { 1 } {\xi_ { j } } \right ), \\ \xi_ { j } \mid \text { rest } \sim \mathrm { IG } \left (1,1 + \frac { 1 } {\phi_ { j } ^ { 2 } } \right ) . \end {array} \] Horseshoe plus 사전분포에 기반한 사후분포 추론은 R package rstan을 통해 no-u-turn sampler (NUTS) 알고 리듬을 사용하였다.</p>	자연
집합론_집합의 개념	<p>첨자붙은 집합족의 합집합, 교집합 및 집합연산을 공부하자.</p> <p>정리 $10 $</p> <ol type = start=1><li>$ X \cap \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \right )= \bigcup_ {\alpha \in M } \left (X \cap Y_ {\alpha } \right ) $</li> <li>$ X \cup \left ( \bigcap_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \right )= \bigcap_ {\alpha \in M } \left (X \cup Y_ {\alpha } \right ) $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ 임의의 $ t \in X \cap \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \right ) \Leftrightarrow t \in X, t \in \bigcup_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } $ $ \Leftrightarrow t \in X, \quad \left ( \exists \alpha \in M \right . $, s.t. $ \left .t \in Y_ {\alpha } \right ) $ $ \Leftrightarrow \exists \alpha \in M $, s.t. $ t \in \left (X \cap Y_ {\alpha } \right ) $ $ \Leftrightarrow t \in \bigcup_ {\alpha \in M } \left (X \cap Y_ {\alpha } \right ) . $</p> <p>$(2) $ 증명 생략.</p> <p>정리 $11 $</p> <ol type= start=1><li>$ X \times \left ( \bigcup_ { a \in M } Y_ {\alpha } \right )= \bigcup_ { a \in M } \left (X \times Y_ { a } \right ) $</li> <li>$ X \times \left ( \bigcap_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \right )= \bigcap_ {\alpha \in M } \left (X \times Y_ {\alpha } \right ) $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ 임의의 $ (x, y) \in X \times \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \right ) \Leftrightarrow x \in X, y \in \bigcup_ {\alpha \in M } Y_ {\alpha } \Leftrightarrow x \in X, \left ( \exists \alpha \in M \right . $, s.t. $ \left .y \in Y_ {\alpha } \right ) $ $ \Leftrightarrow \exists \alpha \in M,(x, y) \in X \times Y_ {\alpha } $ $ \Leftrightarrow(x, y) \in \bigcup_ {\alpha \in M } X \times Y_ {\alpha } . $</p> <p>예제 $11 $</p> <p>임의의 집합 $ X $ 에 대하여 $ X= \bigcup \{\{ x \} \mid x \in X \} $ 이다. 즉, $ X= \bigcup_ { x \in X } \{ x \} $ 이다.</p> <p>예제 $ 12 $</p> <p>\[ X_ { n } = \left (0, \frac { 1 } { n } \right ) \text { 이라 할 때 } \bigcup_ { n \in \mathbb { N } } X_ { n } =(0,1) \text { 이고 } \bigcap_ { n \in \mathbb { N } } X_ { n } = \phi \text { 이다. } \] 귀류법을 사용하여 증명된다.</p> <p>예제 $ 13 $</p> <p>\[ Y_ { n } = \left [0, \frac { 1 } { n } \right ) \text { 이라 할 때 } \bigcap_ { n \in \mathbb { N } } Y_ { n } = \{ 0 \} \text { 이다. } \] 귀류법을 사용하여 증명된다.</p> <p>예제 $ 14 $</p> <p>첨자집합 $ M= \{ 1,2,3,4 \} , A_ { 1 } = \{ a, b, c, d \} , A_ { 2 } = \{ b, c, d \} , A_ { 3 } = \{ a, b, c \} , A_ { 4 } = \{ b \} $ 에 대하여</p> <ol type= start=1><li>$ \bigcup_ {\alpha } A_ {\alpha } = \{ a, b, c, d \} $ 이고</li> <li>$ \bigcap_ {\alpha \in M } A_ {\alpha } = \{ b \} $ 이다.</li></ol> <p>정리 $8 $</p> <p>집합족 $ \left \{ X_ {\alpha } \mid \alpha \in M \right \} $ 에 대하여 $ M= \phi $ 이면 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \bigcup_ {\alpha \in \phi } X_ {\alpha } = \phi $</li> <li>$ \bigcap_ {\alpha \in 0 } X_ {\alpha } =U $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ 임의의 $ x \in U $ 에 대하여 $ x \notin \bigcup_ { a \in \phi } X_ {\alpha } $ 임을 보이면 된다. 즉, $ x \notin \bigcup_ {\alpha \in \phi } X_ {\alpha } \equiv \sim \left (x \in \bigcup_ {\alpha \in \phi } X_ {\alpha } \right ) $ $ \equiv \sim \left ( \right . $ 적당한 $ \alpha \in \phi $ 에 대하여 $ x \in X_ {\alpha } $ ) $ \equiv $ 모든 $ \alpha \in \phi $ 에 대하여 $ x \notin X_ {\alpha } $ (항상 참명제(항진명제)이다)</p> <p>$(2) $ 드 모르간 법칙을 $(1) $에 적용하면 된다.</p> <p>정리 $9 $ 일반 드 모르간 법칙(generalized De Morgan law)</p> <p>임의의 집합족 $ \left \{ X_ {\alpha } \mid \alpha \in M \right \} $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) ^ { C } = \bigcap_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } ^ { C } $</li> <li>$ \left ( \bigcap_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) ^ { C } = \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } ^ { C } $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ 임의의 $ x \in \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) ^ { C } \equiv \sim \left (x \in \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) $ $ \equiv \sim \left ( \exists \alpha \in M \right . $, s.t. $ \left .x \in X_ {\alpha } \right ) $ $ \equiv $ 임의의 $ \alpha \in M, x \notin X_ {\alpha } $ $ \equiv $ 임의의 $ \alpha \in M, x \in X_ {\alpha } ^ { C } $ $ \equiv x \in \bigcap_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } ^ { C } . $</p> <p>$(2) $ $(1) $의 증명과 비슷한 방법으로 증명되므로 독자의 연습문제로 남긴다.</p> <p>$ \mathbb { R } $ (실수집합)에 대하여 $ \mathbb { R } \times \mathbb { R } = \mathbb { R } ^ { 2 } = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbb { R } \} $ 는 좌표평면을 나타낸다.</p> <p>순서쌍을 확대하여 세 개 이상의 대상으로 만드는 순서조(組)에 대하여 알아본다. 즉, $ n $ 개의 순서조 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 에 대해서도 상등개념을 자연스럽게 적용할 수 있다. 즉, \[ \begin {array} { c } \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , y_ { 3 } , \cdots, y_ { n } \right ) \\ \Leftrightarrow \text { 임의의 } i \in \{ 1,2, \cdots, n \} , x_ { i } =y_ { i } \end {array} \] 이다. $ n $ 개의 집합 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $ 에 대하여 \[ X_ { 1 } \times X_ { 2 } \times \cdots \times X_ { n } = \left \{\left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \mid \exists ^ {\forall } x_ { i } \in X_ { i } , i \in \{ 1,2, \cdots, n \} \right \} \] 이고, 실수집합 $ \mathbb { R } $ 에 대하여 $ \widehat {\mathbb { R } \times \mathbb { R } \times \cdots \times \mathbb { R } } = \mathbb { R } ^ { n } $ 으로서 $ n $ 차원 실수공간이 된다.</p> <p>임의의 집합 $ X, Y, Z $ 에 대하여 \[ X \times Y \times Z=(X \times Y) \times Z=X \times(Y \times Z) \] 로 정의할 수 있다.</p> <p>예제 $9 $</p> <p>임의의 집합 $ X $ 에 대하여 $ X \times \phi, \phi \times X $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ X \times \phi $ 는 $ x \in X, y \in \phi $ 인 모든 순서쌍 $ (x, y) $ 의 집합이나 공집합 $ \phi $ 에는 원소가 없으므로 $ X \times \phi= \phi $ 이다. 같은 방법으로 $ \phi \times X= \phi $ 이다.</p> <p>예제 $ 10 $</p> <p>$ X=S ^ { 1 } = \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \right \} \left ( \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) $ 이고 $ I=[0,1] $ 이라 할 때 $ X \times I=S ^ { 1 } \times I $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 높이가 1 인 원통의 표면상의 점들의 집합으로 생각한다.</p> <p>정리 $7 $</p> <p>임의의 집합 $ X, Y, Z $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ X \times(Y \cap Z)=(X \times Y) \cap(X \times Z) $</li> <li>$ X \times(Y \cup Z)=(X \times Y) \cup(X \times Z) $</li> <li>$ X \times(Y-Z)=(X \times Y)-(X \times Z) $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ 임의의 $ (x, t) \in X \times(Y \cap Z) \Leftrightarrow x \in X, \quad t \in Y \cap Z \\ \Leftrightarrow x \in X,(t \in Y, t \in Z) \\ \Leftrightarrow(x \in X, t \in Y),(x \in X, t \in Z) \\ \Leftrightarrow(x, t) \in X \times Y,(x, t) \in X \times Z \\ \Leftrightarrow(x, t) \in X \times Y \cap X \times Z $.</p> <p>$(2) $ $(1) $의 증명과 비슷하다.</p> <p>(3) 임의의 $ (x, t) \in X \times(Y-Z) \Leftrightarrow x \in X, t \in Y-Z \\ \Leftrightarrow x \in X,(t \in Y, t \notin Z) \\ \Leftrightarrow(x \in X, t \in Y),(x \in X, t \notin Z) \\ \Leftrightarrow(x, t) \in X \times Y,(x, t) \notin X \times Z \\ \Leftrightarrow(x, t) \in X \times Y-X \times Z . $</p> <p>연습문제 $ 2.4 $</p> <p>$1 $. 집합 $ X= \{ 1,2,3 \} , Y= \{ 4,5 \} $ 일 때 $ X \times Y $ 를 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 평면에 표시해 보아라.</p> <p>$2 $. 다음 집합들을 데카르트 공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } \right ) $ 위에 그림으로 표시해 보아라.</p> <ol type= start=1><li>$ \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid y>x ^ { 2 } \right \} $</li> <li>$ \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid x, y \in S ^ { 1 } \right \} $, 여기서 $ S ^ { 1 } = \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \right \} $.</li></ol> <p>$3 $. 두 집합 $ X, Y $ 에 대하여 $ X \times Y=Y \times X $ 이 성립하기 위한 필요충분조건은 무엇인가?</p> <p>$4 $. 임의의 집합 $ X, Y, Z $ 에 대하여 $ X \subseteq Y $ 이면 $ X \times Z \subseteq Y \times Z $ 임을 증명하여라.</p> <p>$5 $. 임의의 집합 $ X, Y, Z, W $ 에 대하여 \[ (X \times Z) \cap(Y \times W)=(X \cap Y) \times(Z \cap W) \] 임을 증명하여라.</p> <h1>2.4 데카르트 곱(Cartesian product)</h1> <p>앞에서 기술한 집합의 연산에 의하여 또 다른 집합을 생성하였다. 그러나 데카르트가 창시한 데카르트 곱은 수학의 많은 개념을 집합에 관련시켜 생각할 수 있게 만든 매우 중요한 개념이다. 임의의 두 개의 대상 $ a, b $ 에 대하여 $ a, b $의 순서쌍(ordered pair) $ (a, b) $ 를 도입한다. 즉, $ (a, b) $ 에는 $ a, b $ 의 순서가 중요하고 순서쌍 $ (a, b) $ 와 $ \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) $ 사이에는 \[ (a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a=c, b=d \] 로 상등관계를 정의한다. 즉, 순서쌍 $ (a, b) $ 와 $ (b, a) $ 는 일반적으로 다르다. 데 카르트가 해석기하학을 창시하면서 만든 데카르트 평면(Cartesian plane)은 실수의 모든 순서쌍의 집합으로 생각할 수 있다. 그 데카르트 평면을 현대집합론에서 확대한 것이 바로 데카르트 곱이다.</p> <p>정의 $6 $</p> <p>임의의 두 집합 $ X, Y $ 에 대하여 $ x \in X, y \in Y $ 의 모든 순서쌍 $ (x, y) $ 의 집합을 $ X $ 와 $ Y $ 의 데카르트 곱(Cartesian product)이라고 하고, $ X \times Y $ 로 표시한다. 즉, \[ X \times Y= \{ (x, y) \mid \text { 임의의 } x \in X, y \in Y \} \] 이고 $ X=Y $ 이면 $ X \times Y=X ^ { 2 } =Y ^ { 2 } $ 으로 표시하기로 한다.</p> <p>예제 $7 $</p> <p>$ X= \{ a, b, c, d \} , Y= \{ 1,2 \} $ 에 대하여 $ X \times Y, Y \times X $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>정의 $6 $에 의하여 $ X \times Y= \{ (a, 1),(b, 1),(c, 1),(d, 1),(a, 2),(b, 2),(c, 2),(d, 2) \} $ 이고, $ Y \times X= \{ (1, a),(1, b),(1, c),(1, d),(2, a),(2, b),(2, c), (2, d) \} $ 이다.</p> <p>예제 $8 $</p> <p>$(2) $ 생략.</p> <p>정리 $12 $</p> <p>정리 $10 $ 과 정리 $11 $ 을 확장하면 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) \cap \left ( \bigcup_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \right )= \bigcup_ { ( \alpha, \beta) \in M \times L } X_ {\alpha } \cap Y_ {\beta } . $</li> <li>$ \left ( \bigcap_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) \cup \left ( \bigcap_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \right )= \bigcap_ { ( \alpha, \beta) \in M \times L } X_ {\alpha } \cup Y_ {\beta } $</li> <li>$ \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) \times \left ( \bigcup_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \right )= \bigcup_ { ( \alpha, \beta) \in M \times L } \left (X_ {\alpha } \times Y_ {\beta } \right ) $</li> <li>$ \left ( \bigcap_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) \times \left ( \bigcap_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \right )= \bigcap_ { ( \alpha, \beta) \in M \times L } \left (X_ {\alpha } \times Y_ {\beta } \right ) . $</li></ol> <p>증명</p> <p>$(1) $ $ \begin {aligned} & \forall \in \left ( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } \right ) \cap \left ( \bigcup_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \right ) \\ & \Leftrightarrow t \in \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } , t \in \bigcup_ {\beta \in L } Y_ {\beta } \\ & \Leftrightarrow \exists \alpha \in M \text { s.t. } t \in X_ {\alpha } , \exists \beta \in L \text { s.t. } t \in Y_ {\beta } \\ & \Leftrightarrow \exists( \alpha, \beta) \in M \times L \text { s.t. } t \in X_ {\alpha } \cap Y_ {\beta } \\ & \Leftrightarrow t \in \bigcup_ { ( \alpha, \beta) \in M \times L } X_ {\alpha } \cap Y_ {\beta } \end {aligned} $</p>	자연
s351-(공학과정을 위한) 미적분학 1.6	<p>연습 $1 $</p> <p>$ \cos x $ 의 $ c= \frac {\pi } { 2 } $ 에서의 테일러 급수를 구하여라.</p> <p>보기 $7 $ $ e ^ { x } \sin x $ 의 $ c=0 $ 에서의 테일러 급수를 구하여 보자.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f(x)=& e ^ { x } \sin x \\=& \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k } } { k ! } \sum_ { m=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { m } } { (2 m + 1) ! } x ^ { 2 m + 1 } \\=& \left (1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ) \left (x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } + \cdots \right ) \\ & \sum a_ { n } x ^ { n } \sum b_ { n } x ^ { n } =a_ { 0 } b_ { 0 } + \left (a_ { 0 } b_ { 1 } + a_ { 1 } b_ { 0 } \right ) x + \cdots + \left ( \sum_ { j=0 } ^ { k } a_ { j } b_ { k-j } \right ) x ^ { k } + \cdots \end {aligned} $임을 이용하면</p> <p>$ a_ { 0 } =1, a_ { 1 } =1, a_ { 2 } = \frac { 1 } { 2 ! } , a_ { 3 } = \frac { 1 } { 3 ! } , \cdots $ $ b_ { 0 } =0, b_ { 1 } =1, \quad b_ { 2 } =0, b_ { 3 } =- \frac { 1 } { 3 ! } , \cdots $이 되어 원하는 급수는 $ x + x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \cdots $ 이다.</p> <p>보기 $5 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } x ^ { n } } { n } $ 의 수렴구간을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>수렴반경은 1 이므로 수렴구간의 양 끝점에서 수렴하는지 확인하다. 즉 $ x=1 $ 일 때 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } $ 은 교대급수로서 수렴한다. $ x=-1 $ 일 때는 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $ 이 되어 발산한다. 따라서 수렴구간은 $ (-1,1] $ 이다.</p></p> <p>보기 $6 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ^ { 2 } } $ 의 수렴구간을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>수렴반경이 $1 $ 이며 양 끝점 $ x=1 $ 에서는 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 로서 수렴하고, $ x=-1 $ 에서는 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n ^ { 2 } } $ 로서 역시 수렴하므로 수렴구간은 $ [-1,1] $ 이다.</p></p> <p>보기 $7 $<p>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } =1 + x + x ^ { 2 } + \cdots $ 는 기하급수로서 $ \|x\|<1 $ 에서 수렴하고 $ \|x\|>1 $ 일 때 발산한다. 따라서 이 멱급수는 정의역이 $ \{ x:\|x\|<1 \} $ 인 함수로 볼 수 있다.</p></p> <p>수렴하는 $ x $ 에서 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 로 두면 하나의 함수가 된다. 따라서 이 함수의 미분과 적분을 생각할 수 있다.</p> <p>$ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 로 주어진 함수의 미분을 생각할 때 각 항을 미분하여 더하고 싶은 유혹을 느낄 수 있다. 다음 정리는 실제로 그렇게 할 수 있다는 것을 말해준다. 증명은 별로 어렵지는 않으나 여기서는 생략한다.</p> <p>위의 정리에 의하면 오차에 대해 다음을 알 수 있다.</p> <p> <ol type=1 start=1><li> <p>$ M_ { n } (x)= \left \{\left \|f ^ { (n) } \left (x ^ { * } \right ) \right \| \right . $ 의 최댓값, $ x ^ { * } $ 는 $ c $ 와 $ x $ 사이의 수 $ \} $ 이다.<p>$ \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq M_ { n } (x) \frac { \|x-c\| ^ { n } } { n ! } $</p></p></li> <li> <p>테일러 급수가 점 $ x $ 에서 주어진 함수와 같은 값을 갖는지 확인하려면 이 급수의 부분합이 테일러 다항식이므로 $ n $ 이 무한대로 갈 때 나머지항이 $0 $ 으로 가는지 확인하면 된다. 즉, $ \left \|f(x)-T_ { n-1 } f(x) \right \|= \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq M_ { n } (x) \frac { \|x-c\| ^ { n } } { n ! } $ 이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } M_ { n } (x) \frac { \|x-c\| ^ { n } } { n ! } =0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } T_ { n } f(x)=f(x) $ 즉, $ f(x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (k) } (c) } { k ! } (x-c) ^ { k } $ 이다.</p></li></ol></p> <p>보기 $9 $<p>함수 $ f(x)=e ^ { x } $ 의 매클로린 급수는 이 함수 자신으로 수렴하는지를 확인해 보자.</p></p> <p>풀이<p>나머지 항에 대해 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { e ^ { x } \|x\| ^ { n } } { n ! } =0 $ 를 확인하기 위해 충분히 큰 자연수 $ N $ 을 선택하여 $ N>2\|x\| $ 가 되게 하면<p>$ \frac { \|x\| } { 1 } \cdots \cdots \cdot \frac { \|x\| } { N-1 } \cdot \frac { \|x\| } { N } \cdot \frac { \|x\| } { N + 1 } \cdot \cdots \cdot \frac { \|x\| } { n }< \frac { \|x\| ^ { N-1 } } { (N-1) ! } \cdot \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n-N + 1 } $</p>이 되어 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { e ^ { x ^ { n } } \|x\| ^ { n } } { n ! } =0 $ 이 됨을 알 수 있다. 따라서 모든 실수 $ x $ 에서 $ e ^ { x } = \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k ! } x ^ { k } $ 이다.</p></p> <p>따라서 임의의 실수 $ x $ 에서 $ \sin x= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { k } x ^ { 2 k + 1 } } { (2 k + 1) ! } $ 이다.</p></p> <p>보기 12<p>위와 같은 방법으로 $ \cos x= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { k } x ^ { 2 k } } { (2 k) ! } $ 임을 보일 수 있다.</p></p> <p>보기 13<p>$ \arctan 1= \frac {\pi } { 4 } $ 를 이용하여 $ \pi $ 의 근삿값을 오차 $ 10 ^ { -2 } $ 이내가 되도록 구하여 보자.</p></p> <p>풀이<p>$ \arctan x $ 의 $ c=0 $ 에서의 테일러 전개식을 구하려 하면 직접 미분을 해서 구하기는 어려우므로 $ ( \arctan x) ^ {\prime } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $ 를 이용하여 구한다. $ \arctan x= \int_ { 0 } ^ { x } \frac { d t } { 1 + t ^ { 2 } } $ 이고 $ \frac { 1 } { 1-t } = \sum_ { k=0 } ^ { n } t ^ { k } + \frac { t ^ { n + 1 } } { 1-t } $ 이므로 $ \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } = \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { k } t ^ { 2 k } + \frac { (-1) ^ { n + 1 } t ^ { 2 n + 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } $ 로 나타낼 수 있고 따라서<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { x } \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } d t &= \int_ { 0 } ^ { x } \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { k } \cdot t ^ { 2 k } + \frac { (-1) ^ { n + 1 } t ^ { 2 n + 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } d t \\ &= \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { k } \frac { x ^ { 2 k + 1 } } { 2 k + 1 } + (-1) ^ { n + 1 } \int_ { 0 } ^ { x } \frac { t ^ { 2 n + 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } d t \end {aligned} $</p>$ R(x)=(-1) ^ { n + 1 } \int_ { 0 } ^ { x } \frac { t ^ { 2 n + 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } d t $ 로 두면<p>$ \|R(x)\| \leq \left \| \int_ { 0 } ^ { x } t ^ { 2 n + 2 } d t \right \|= \frac { \|x\| ^ { 2 n + 3 } } { 2 n + 3 } $ $ \left \| \arctan 1- \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { (-1) ^ { k } } { 2 k + 1 } \right \| \leq \frac { 1 } { 2 n + 3 } $</p><p>오차가 $ \frac { 4 } { 2 n + 3 }<10 ^ { -2 } $ 이 되려면 $ 2 n + 3>400 $, 즉, $ n>\frac { 397 } { 2 } $ 이므로 $ n $ 이 $ \frac { 398 } { 2 } =199 $ 이상이면 근삿값이 $ 10 ^ { -2 } $ 보다 작다.</p> <p>이번에는 $ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } f(x) d x= \infty $ 인 경우를 생각해보자. 역시 $ a_ { n } =f(n) $ 과 $ f(x) $ 가 단조감소함수로서 양수 값을 가지므로 이용하면 \[ \begin {aligned} \sum_ { n=1 } ^ { m } a_ { n } &=f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(m) \\ &=f(1)(2-1 + f(2)(3-2) + f(3)(4-3) + \cdots + f(m)((m + 1)-m) \\ & \geq \int_ { 1 } ^ { m + 1 } f(x) d x \end {aligned} \]을 얻는다. 따라서 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } = \lim _ { m \rightarrow \infty } \sum_ { n=1 } ^ { m } a_ { n } \geq \lim _ { m \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { m + 1 } f(x) d x= \infty \]를 얻게 된다. 따라서 이 경우에는 급수 $ \sum a_ { n } $ 이 발산하게 된다.</p> <p>보기 6<p>임의의 실수 $ p $ 에 대하여 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { p } } $ 는 $ p \leq 1 $ 이면 항상 발산하고, $ p>1 $ 인 경우에는 항상 수렴한다. 이 사실을 증명하여라.</p></p> <p>풀이</p> <p>우선 $ p \leq 0 $ 인 경우에는 일반항이 모두 $1 $ 보다 크므로 주어진 급수가 무조건 발산함을 알 수 있다. 따라서 $ p>0 $ 인 경우만 생각하면 충분하다. 함수 $ f(x)=x ^ { -p } $ 를 생각해보자. $ p \neq 1 $ 인 경우에 \[ \int_ { 1 } ^ { R } x ^ { -p } d x= \left [ \frac { 1 } { 1-p } x ^ { 1-p } \right ]_ { 1 } ^ { R } = \frac { 1 } { 1-p } \left (R ^ { 1-p } -1 \right ) \]를 얻는다. $ p>1 $ 인 경우에는 $ 1-p<0 $ 이므로 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } x ^ { -p } d x= \lim _ { R \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1-p } \left (R ^ { 1-p } -1 \right )= \frac { 1 } { p-1 } \]이 되므로 이 값이 유한하다. 따라서 주어진 급수 $ \sum \frac { 1 } { n ^ { p } } $ 가 수렴함을 알 수 있다. 한편, $ 0<p<1 $ 인 경우에는 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } x ^ { -p } d x= \infty \]이므로 주어진 급수가 발산한다는 것을 알 수 있다. $ p=1 $ 인 경우에는 함수 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $ 이고 생각해야 할 적분은 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } x ^ { -1 } d x= \lim _ { R \rightarrow \infty } \ln R= \infty \]가 된다. 따라서 이 경우에도 주어진 급수는 발산한다.</p> <p>$ \begin {aligned} T_ { n } f(x) &=1 + \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 \cdot 3 \cdots(2 k-1) } { 2 ^ { k } \cdot k ! } x ^ { 2 k } \\ &=1 + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 \cdot 3 } { 4 \cdot 2 } x ^ { 4 } + \cdots + \frac { 1 \cdot 3 \cdot \cdots(2 n-1) } { 2 ^ { n } \cdot n ! } x ^ { 2 n } \end {aligned} $</p></p> <p>보기 $6 $<p>$ \sin x $ 의 $ c= \frac {\pi } { 3 } $ 에서의 테일러 급수를 구하여 보자.</p></p> <p>풀이<p>$ \begin {aligned} \sin \left (x- \frac {\pi } { 3 } + \frac {\pi } { 3 } \right ) &= \cos \frac {\pi } { 3 } \sin \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) + \sin \frac {\pi } { 3 } \cos \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } \sin \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { (2 n + 1) ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 n + 1 } + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { (2 n) ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 n } \\ &= \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right )- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \frac { 1 } { 2 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { 3 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} $</p></p> <h2>2. 테일러 정리의 증명</h2> <p>다음의 코시(Cauchy) 평균값 정리를 적용하여 증명할 수 있다: $ f, g $ 가 $ [a, b] $ 를 포함하는 구간에서 미분가능할 때 $ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} $ 인 $ c \in(a, b) $ 가 존재한다.</p> <p>코시의 평균값 정리는 롤(Rolle)의 정리를<p>$ h(x)=(g(b)-g(a)) f(x)-(f(b)-f(a)) g(x), \quad a \leq x \leq b $</p>에 적용함으로 얻을 수 있다.</p> <p>코시의 평균값 정리를 $ f(x)-T_{n-1} f(x) $ 와 $ (x-c)^{n} $ 두 함수에 거듭 적용하여 테일러 정리의 결론을 얻을 수 있다. 이때 $ b=x, a=c $ 로 둔다. 예를 들어 한번 적용하면 $ \frac{f(x)-T_{n-1} f(x)}{(x-c)^{n}}= $ $ \frac{f^{\prime}\left(x_{1}\right)-T_{n-2} f^{\prime}\left(x_{1}\right)}{n\left(x_{1}-c\right)^{n-1}} $ 인 $ x_{1} $ 이 $ c $ 와 $ x $ 사이에 있고, 두 번째는 $ f^{\prime}(x)-T_{n-2} f^{\prime}(x) $ 와 $ n(x-c)^{n-1} $에 적용하되 $ b=x_{1}, a=c $ 로 둔다. 그러면<p>$ \frac{f^{\prime}\left(x_{1}\right)-T_{n-2} f^{\prime}\left(x_{1}\right)}{n\left(x_{1}-c\right)^{n-1}}=\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{2}\right)-T_{n-3} f^{\prime \prime}\left(x_{1}\right)}{n(n-1)\left(x_{2}-c\right)^{n-2}} $</p><p>인 $ x_{2} $ 가 $ c $ 와 $ x_{1} $ 사이에 있다. 이런 식으로 $ n $ 번 반복한다.</p> <p>보기 $14$<p>$ \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x $ 을 오차 $ 10^{-3} $ 범위에서 근삿값을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ e^{x}=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}+\frac{e^{x^{}}}{(n+1) !} x^{n+1} $ $ e^{-x^{2}}=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{k !}+\frac{e^{x^{}}}{(n+1) !}(-1)^{n+1} x^{2 n+2} $ 이고 이때 $ -x^{2}<x^{}<0 $ 이다.<p>$ \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{n}}{k !} \frac{1}{2 k+1}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1) !} \int_{0}^{1} e^{x^{}} x^{2 n+2} d x $</p> <p>$ \epsilon=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1) !} \int_{0}^{1} e^{x^{}} x^{2 n+2} d x $ 이라고 하면</p> <p>$ \|\epsilon\|=\frac{1}{(n+1) !}\left\|\int_{0}^{1} e^{x^{}} x^{2 n+2} d x\right\| \leq \frac{1}{(n+1) !} \int_{0}^{1} x^{2 n+2} d x=\frac{1}{(n+1) !(2 n+3)} $</p>이다. $ \frac{1}{(n+1) !} \cdot \frac{1}{2 n+3}<10^{-3} $ 이 되도록 하려면 $ n=4 $ 로 하면 충분하다. 따라서<p>$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x & \approx 1-\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 ! \cdot 5}-\frac{1}{3 ! \cdot 7}+\frac{1}{4 ! \cdot 9} \\ &=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\frac{1}{216} \\ & \approx 0.7475 \end{aligned} $</p>를 얻고, 이 근삿값은 오차가 $ 10^{-3} $ 보다 작음을 보였다.</p></p> <p>보기 $15$<p>전하량 $ q $ 와 $ -q $ 를 띤 전극(dipole) 사이의 거리가 $ d $ 일 때 점 $ p $ 에서의 전기장 $ E $ 는 다음과 같다고 하자.<p>$ E=\frac{q}{D^{2}}-\frac{q}{(D+d)^{2}} $</p>$ \frac{d}{D} $ 의 멱급수로 전기장을 나타내어라. 또한, $ p $ 가 전극에서 멀 때는 $ E \approx 1 / D^{3} $ 임을 보여라. 여기서 $ D $ 는 $ p $ 와 전하 $ q $ 를 띤 전극 사이의 거리이다.</p></p> <p>풀이<p>$ \frac{1}{(D+d)^{2}}=\frac{1}{D^{2}} \frac{1}{\left(1+\frac{d}{D}\right)^{2}} $</p> <p>$ \frac{1}{(1+x)^{2}}=-\frac{d}{d x} \frac{1}{1+x}=-\frac{d}{d x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} $</p> <p>$ =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{n-1} $ $ =1-2 x+3 x^{2}+\cdots $</p> <p>$ \frac{1}{\left(1+\frac{d}{D}\right)^{2}}=1-2 \frac{d}{D}+3\left(\frac{d}{D}\right)^{2}+\cdots\left(\frac{d}{D} \ll 1\right) $ $ E=\frac{q}{D^{2}}-\frac{q}{D^{2}}\left(1-2 \frac{d}{D}+\epsilon\right)=2 \frac{q d}{D^{3}}+\epsilon \approx 2 \frac{q d}{D^{3}} $</p></p> <p>보기 $15 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 + n + n ^ { 2 } } {\sqrt { 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 6 } } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>\[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\frac { 1 + n + n ^ { 2 } } {\sqrt { 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 6 } } } } { 1 / n } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n + n ^ { 2 } + n ^ { 3 } } { n ^ { 3 } \sqrt { 1 / n ^ { 6 } + 1 / n ^ { 4 } + 1 } } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } {\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 4 } } + \frac { 1 } { n ^ { 6 } } } } =1 \end {aligned} \]이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $ 이 발산하므로 극한 비교판정법에 의하여 주어진 급수도 발산한다.</p></p> <h1>모듈 10. 무한급수의 수렴판정법 2</h1> <p>목표<p>무한급수의 수렴판정법 중 비율판정법과 멱근판정법 및 적분판정법을 익힌다.</p></p> <p>정리 $1 $ 비율판정법(ratio test)</p> <p>모든 $ n $ 에 대해 $ a_ { n } >0 $ 이라고 하자. $ \sum_ { n = 1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 에 대하여, 극한값 \[r= \lim _ { m \rightarrow \infty } \frac { a_ { m + 1 } } { a_ { m } } \]이 존재할 때, $ r<1 $ 이면, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 가 수렴하고, $ r>1 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 가 발산한다.</p> <p>보기 $3 $<p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { k } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 16 } + \frac { 1 } { 32 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots $ 은 수렴하는 급수이다. 왜냐하면 공비 $ \frac { 1 } { 2 } $ 인 등비급수이기 때문이다. 부분합은 \[ S_ { n } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \]이며 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \right )=1 \]로서 이 급수의 합은 $1 $ 이다.</p></p> <p>보기 $4 $<p>매일 $ 2 \mathrm { mg } $ 의 약을 먹는 환자가 있다. 하루가 지난 후 약의 잔류량은 $ 50 \% $ 이라고 한다. 이 환자의 몸속에 잔류하는 약의 양은 얼마나 될까?</p></p> <p>풀이<p>약을 먹기 시작하고 이틀째 $ 2 + 2 \times \frac { 1 } { 2 } , 3 $ 일째 $ 2 + 2 \times \frac { 1 } { 2 } + 2 \times \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } $ 이다. \[2 + 2 \times \frac { 1 } { 2 } + 2 \times \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \cdots= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 2 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n-1 } = \frac { 2 } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =4 \]이므로 총 잔류량은 $ 4 \mathrm { mg } $ 을 넘지 않음을 알 수 있다.</p></p> <p>정리 4 극한 비교판정법(limit comparison test)</p> <p>모든 $ n $ 에 대해 $ a_ { n } >0, b_ { n } >0 $ 이라고 하자. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } =c $ 이고 $ c>0 $ 이면 $ \sum a_ { n } $ 과 $ \sum b_ { n } $ 은 동시에 둘 다 수렴하거나 혹은 둘 다 발산한다.</p> <p>증명<p>우선 극한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } $ 이 유한한 값 $ c $ 라 하자. 그러면 극한의 정의에 의하여 조건 $ n \geq N $ 을 만족하는 입의의 자연수 $ n $ 에 대하여 부등식 \[a_ { n } \leq(c + 1) b_ { n } \] 이 항상 성립하게 하는 자연수 $ N $ 이 존재하게 된다. 그러면 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } = \sum_ { n=1 } ^ { N-1 } a_ { n } + \sum_ { n=N } ^ {\infty } a_ { n } \leq \sum_ { n=1 } ^ { N-1 } a_ { n } + (c + 1) \sum_ { n=N } ^ {\infty } b_ { n } \]가 성립한다. 따라서 $ \sum b_ { n } $ 이 수렴하면 $ \sum a_ { n } $ 이 수렴한다.</p></p> <p>$ \sum b_ { n } $ 이 발산한다고 가정하자. 그러면 극한의 정의에 의하여 조건 $ n \geq N_ { 1 } $ 을 만족하는 임의의 자연수 $ n $ 에 대하여 부등식 \[ \frac { c } { 2 } b_ { n } \leq a_ { n } \] 이 항상 성립하게 하는 자연수 $ N_ { 1 } $ 이 존재하게 된다. 그러면, \[ \sum_ { n=N_ { 1 } } ^ {\infty } \frac { c } { 2 } b_ { n } \leq \sum_ { n=N_ { 1 } } ^ {\infty } a_ { n } \] 좌변이 발산하므로 $ \sum a_ { n } $ 은 발산한다.</p> <p>풀이<p>① $ n \geq 2 $ 이면 $ 0< \frac { n ^ { 2 } -1 } { 3 n ^ { 4 } + 1 }< \frac { n ^ { 2 } } { 3 n ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 3 n ^ { 2 } } $ 이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 3 n ^ { 2 } } $ 이 수렴하므로 비교판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>② 극한비교판정법을 쓰면 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left (n ^ { 2 } -1 \right ) / \left (3 n ^ { 4 } + 1 \right ) } { 1 / n ^ { 2 } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 4 } -n ^ { 2 } } { 3 n ^ { 4 } + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1- \left (1 / n ^ { 2 } \right ) } { 3 + \left (1 / n ^ { 4 } \right ) } = \frac { 1 } { 3 } \]이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 이 수렴하므로 주어진 급수는 수렴한다.</p></p> <p>보기 14<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n-1 } { n 4 ^ { n } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \left ( \frac { n-1 } { n } \right ) \frac { 1 } { 4 ^ { n } }< \frac { 1 } { 4 ^ { n } } $ 이므로 비교판정법을 쓰거나 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n-1 / n 4 ^ { n } } { 1 / 4 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n-1 } { n } =1 $ 이므로 극한비교판정법을 써서 주어진 급수가 수렴함을 알 수 있다.</p> <h1>모듈 8. 수열의 수렴</h1> <p>목표<p>수열이 수렴한다는 것의 논리적으로 엄밀한 정의를 살펴본다.</p></p> <p>들어가기<p>$ a_{1}=\sqrt{2} $ 이고 1 보다 큰 자연수 $ n $ 에 대하여 일반항 $ a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}} $ 인 수열이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>주어진 수열(sequence) $ \left\{a_{n}\right\} $ 이 $ L $ 로 수렴한다(converge)는 것은 $ n $ 이 무한히 커짐에 따라 일반항 $ a_{n} $ 의 값이 유한한 실수 $ L $ 로 한없이 가까워진다는 것을 의미하고 이를 기호로 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L $ 나타낸다. 어떤 수열이 수렴하지 않으면 발산한다(diverge)고 한다. 좀 더 정확한 수열의 수렴 개념에 관한 정의는 아래와 같다.</p> <p>정의 $1$<p>수열 $ a_{n}(n=1,2, \cdots) $ 이 수렴한다는 것은, 어떤 실수 $ L(<\infty) $ 이 존재하여, 임의의 양수 $ \epsilon $ 에 대하여, $ n>N_{e} $ 이기만 하면 $ \left\|a_{n}-L\right\|<\epsilon $ 이 성립하도록 하는 양수 $ N_{e} $ 이 존재한다는 것을 뜻한다.</p></p> <p>논리적으로 엄밀한 이 정의를 소화하기 어려울 수도 있을 것 같은데, 만일 그렇다면 앞의 직관적인 정의를 사용하여도 우선은 큰 문제가 없다.</p> <p>먼저 여기에 등장하는 모든 수열과 급수의 수렴정리의 가장 근본적인 원리가 되는 정리를 소개한다.</p> <p>정리 $1$<p>주어진 수열 $ a_{n}(n=1,2, \cdots) $ 이 증가수열, 즉 조건 $ a_{n} \leq a_{n+1} $ 을 모든 $ n=1,2, \cdots $ 에 대해 만족하는 수열이며, 동시에 어떤 실수 $ M $ 에 대하여 조건 $ a_{n} \leq M $ 을 모든 $ n=1,2, \cdots $ 에 대해 만족하면, 이 수열 $ a_{n} $ 은 반드시 수렴한다.</p> <p>이 정리는 매우 당연해 보이겠지만(그리고 그림으로 그려 보면 더욱 더 당연해 보이며 수열의 극한이 $ M $ 보다 크지 않은 수라는 점도 알 수 있다.) 사실 이 정리는 실수의 완비성이라고 부르는 실수 체계의 공리의 결과로서 증명은 생략하기로 한다.</p></p> <p>수렴하는 두 수열 $ \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} $ 이 있어서 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=l^{\prime} $ 일 때 다음 성질이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=l+l^{\prime} $</li> <li>$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)=l \cdot l^{\prime} $</li> <li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} c a_{n}=c l $, 여기서 $ c $ 는 상수이다.</li> <li>$ f $ 가 $ \mathbb{R} $ 위에서 정의된 연속함수이면 $ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f(l) $ 이다.</li> <li>수열 $ \left\{c_{n}\right\} $ 이 있어서 어떤 양수 $ N $ 보다 큰 모든 $ n $ 에 대해 $ a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} $ 이고 $ l=l^{\prime} $ 이면 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=l$ 이다.</li></ol> <p>보기 $1$<p>$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[m]{a_{n}}=\sqrt[m]{l}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+a_{n}^{2}}=\sqrt{1+l^{2}}$</p></p> <p>보기 $2$<p>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos n}{n} $ 을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \frac{-1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad(n \geq 1) $ 이고 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $ 이므로 $ \quad(5) $ 에 의해 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos n}{n}=0 $ 이다.</p></p> <p>위에서 테일러 다항식을 구한 과정을 살펴보면 $ n $ 차 다항식 $ \sum_ { k=0 } ^ { n } a_ { k } (x-1) ^ { k } $ 이 주어진 함수와 $ x=1 $ 에서의 값, $1 $ 계 미분, $2 $ 계 미분, $ n $ 계 미분 등이 같아야 하는 조건으로부터 계수 $ a_ { k } $ 들은 한 가지 값밖에 가질 수 없음을 알 수 있다. 따라서 구하고자 하는 $ n $ 차 근사식은 위 등비급수의 부분합<p>$ T_ { n } f(x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { k } (x-1) ^ { k } =1-(x-1) + (x-1) ^ { 2 } + \cdots + (-1) ^ { n } (x-1) ^ { n } $</p>이다.</p> <p>보기 $5 $<p>$ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $ 의 $ c=0 $ 에서의 $ n $ 차 근사식은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. $ g(t)= \frac { 1 } {\sqrt { 1-t } } =(1-t) ^ { -1 / 2 } $ 로 두고 이 함수의 $ n $ 차 근사식을 먼저 구한다.</p> <p>$ g ^ {\prime } (t)= \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) \cdot(1-t) ^ { -3 / 2 } \cdot(-1), g ^ {\prime \prime } (t)= \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 3 } { 2 } \cdot(1-t) ^ { -5 / 2 } $, $ \cdots, g ^ { (k) } (0)= \frac { 1 \cdot 3 \cdots(2 k-1) } { 2 ^ { k } } $</p> <p>따라서 $ t<1 $ 일 때 $ T_ { n } g(t)=1 + \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 \cdot 3 \cdots(2 k-1) } { 2 ^ { k } \cdot k ! } \cdot t ^ { k } $ 이다. $ -1<x<1 $ 에서 $ t=x ^ { 2 }<1 $ 이므로 다음 식을 얻는다.</p> <p>보기 $11 $<p>$ \sin x $ 의 $ c=0 $ 에서의 테일러 급수를 구하고 원래 함수로 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ f(x)= \sin x, f(0)=0, f ^ {\prime } (x)= \cos x, f ^ {\prime } (0)=1 $ $ f ^ {\prime \prime } (x)=- \sin x, f ^ {\prime \prime } (0)=0, f ^ {\prime \prime \prime } (x)=- \cos x, f ^ {\prime \prime \prime } (0)=-1 $ $ f ^ { (4) } (x)= \sin x, f ^ { (4) } (0)=0 $ $ f ^ { (2 n) } (0)=0, n=0,1,2, \ldots $ $ f ^ { (2 n + 1) } (0)=(-1) ^ { n } , n=0,1,2, \cdots $</p> <p>$ T_ { 2 n + 1 } f(x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { f ^ { (2 k + 1) } (0) } { (2 k + 1) ! } x ^ { 2 k + 1 } = \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { (-1) ^ { k } x ^ { 2 k + 1 } } { (2 k + 1) ! } $ $ =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots + \frac { (-1) ^ { n } x ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } $ $ R_ { 2 n + 2 } (x)= \frac { f ^ { (2 n + 2) } \left (x ^ { * } \right ) } { (2 n + 2) ! } x ^ { 2 n + 2 } = \pm \frac {\sin \left (x ^ { * } \right ) } { (2 n + 2) ! } x ^ { 2 n + 2 } $ $ n \rightarrow \infty $ 일 때, $ \left \|R_ { 2 n + 2 } (x) \right \| \leq \frac { \|x\| ^ { 2 n + 2 } } { (2 n + 2) ! } \rightarrow 0 $</p> <h1>모듈 12. 멱급수와 수렴반경</h1> <p>목표<p>멱급수의 수렴 및 성질에 관해 이해하고 활용할 수 있게 한다.</p></p> <p>들어가기<p>$ \sum_ { n = 0 } ^ {\infty } x ^ { n } =1 + x + x ^ { 2 } + \cdots $ 가 수렴하는 점 $ x $ 를 구하여라.</p></p> <p>이제 변수 $ x $ 를 포함하는 급수 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } =a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots \]을 다루려고 한다. 마치 차수가 무한대인 다항식처럼 보이는 이 대상을 전통적으로 멱급수(power series)라고 부른다. 처음 이런 이름이 통용될 때 충분한 이유가 있어서 이런 이름을 붙였겠지만, 일본에서 수입된 용어이기도 하고 뜻을 짐작하기도 어려운 한자어인 이 용어보다는 차라리 "다항식 급수" 또는 "급수함수" 같은 것이 더 낫지 않을까?</p> <p>멱급수는 거의 함수와 같은 꼴을 하고 있다. 당장, $ x $ 대신 어떤 상수 $ c $ 를 대입하면 그 함숫값이 $ \sum a_ { n } c ^ { n } $ 이 된다고 생각하고 싶겠지만, 이 급수가 수렴할지 어떨지가 문제가 될 것이다. 그러므로 멱급수가 주어지면 그 멱급수를 수렴하게 하는 $ x $ 의 값의 범위를 구하는 문제를 먼저 해결해야 할 것이다.</p> <p>이 문제 해결을 위해 비교적 쉬우면서도 효율적인 방법은 앞에서 배운 비율판정법을 이용하는 것이다. 먼저 \[r= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right \| } {\left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| } \]을 생각해 보자. $ r<1 $ 인 경우 멱급수 $ \sum a_ { n } x ^ { n } $ 이 절대수렴하게 된다. 따라서 부등식 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right \| } {\left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| }<1 \]을 풀어 이를 만족하는 $ x $ 의 범위를 구하는 것이 바람직하다는 것을 알 수 있다. 직접 계산해 보면 \[\|x\|< \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n } \right \| } {\left \|a_ { n + 1 } \right \| } \]을 얻는다. 따라서 우변의 극한이 존재할 경우 \[R= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n } \right \| } {\left \|a_ { n + 1 } \right \| } \]이라 두면, 조건 $ \|x\|<R $ 을 만족하는 범위에서는 멱급수 $ \sum a_ { n } x ^ { n } $ 이 수렴 (사실은 절대수렴) 한다 는 사실을 알 수 있다.</p> <p>위의 정리 $2 $로부터 어떤 함수 $ f $ 가 있어서 만약 이것을 멱급수로 나타낼 수 있다면, 즉 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 이면 $ a_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } $ 이어야 함을 알 수 있다. 왜냐하면<p>$ f ^ {\prime } (x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n a_ { n } x ^ { n-1 } , f ^ {\prime } (0)=a_ { 1 } $</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (x)= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) a_ { n } x ^ { n-2 } , f ^ {\prime \prime } (0)=2(2-1) a_ { 2 } $</p> <p>$ f ^ { (k) } (x)= \sum_ { n=k } ^ {\infty } n(n-1) \cdots(n-(k-1)) a_ { k } x ^ { n-k } , f ^ { (k) } (0)=k(k-1) \cdots 1 a_ { k } =k ! a_ { k } $</p>가 되어 $ a_ { k } = \frac { f ^ { (k) } (0) } { k ! } $ 이기 때문이다.</p> <h1>모듈 13. 테일러 정리</h1> <p>목표<p>일러(Taylor) 정리를 이해하고 테일러 다항식을 이용하여 근삿값을 구하고 오차를 설명할 수 있도록 한다.</p></p> <p>들어가기<p>$ e ^ { 0.1 } $ 을 계산해보아라. $ x = 0 $ 부근에서 $ e ^ { x } $ 와 비슷한 함숫값을 갖는 다항식을 찾을 수 있을까?</p></p> <p>$ x=0 $ 일 때 $ y=e ^ { x } $ 의 접선의 식은 $ y=1 + x $ 이다. 일차다항식 중 $ 1 + x $ 는 $ e ^ { x } $ 와 $ x=0 $ 에서의 값이 같고 이점에서의 미분계수도 1 로서 일치하므로 $ x=0 $ 부근에서 $ e ^ { x } $ 의 좋은 근사식으로 보인다. 이 근사식을 이용하면 \[e ^ { 0.1 } \approx 1 + 0.1=1.1 \]이라고 할 수 있다. 이때 오차 $ e ^ { 0.1 } -1.1 $ 은 얼마나 될까? 이번에는 이차식 가운데 좋은 근사식을 찾아보자. 즉, 다음 이차식의 이차항의 계수 $ a $ 를 무엇으로 하면 좋을까? \[p_ { 2 } (x)=1 + x + a x ^ { 2 } \]</p> <p>어떤 무한급수가 수렴하는지 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그 가운데 매우 당연해보이나 중요한 방법에서부터 출발하기로 하자.</p> <p>정리 1 일반항 판정법 ($n $-th term test)<p>일반항 $ a_ { n } $ 이 $ n $ 이 무한히 커질 때 0으로 수렴하지 않으면, 즉, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \neq 0 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 발산한다.</p></p> <p>정리 2<p>수렴하는 두 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 에 대해 아래 성질이 성립한다.</p></p> <ol type=1 start=1><li>상수 $ A $ 에 대해서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } A a_ { n } =A \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) $</li></ol> <p>위 정리들의 증명은 연습문제로 남겨둔다.</p> <p>보기 $ 2 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } } { 4 + 2 n ^ { 2 } } $ 는 수렴하는가?</p></p> <p>풀이<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 2 } } { 4 + 2 n ^ { 2 } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 4 / n ^ { 2 } + 2 } = \frac { 1 } { 2 } $ 로서 일반항이 $0 $ 으로 수렴하지 않으므로 발산한다.</p></p> <p>무한급수 가운데 가장 많이 사용되는 등비급수(geometric series)는 \[ S=a + a r + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n } + \cdots= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a r ^ { k } \] 꼴로서 $ a \neq 0 $ 이고 실수 $ r $ 은 공비(ratio)라고 부른다. $ r=1 $ 인 경우는 $ S_ { k } =k a $ 로서 발산한다. $ r \neq 1 $ 이면 부분합 $ S_ { k } =a + a r + \cdots + a r ^ { k-1 } = \frac { a \left (1-r ^ { k } \right ) } { 1-r } $ 이다. 이 계산은 $ r S_ { k } =a r + \cdots $ $ + a r ^ { k } $ 를 이용하여 $ S_ { k } -r S_ { k } =(1-r) S_ { k } =a-a r ^ { k } $ 로부터 얻는다. 한편, $ \|r\|<1 $ 일 때 $ \lim _ { k \rightarrow \infty } S_ { k } = $ $ \frac { a } { 1-r } $ 로 수렴하고 $ \|r\|>1 $ 일 때는 발산한다.</p> <p>그럼, $ \|x\|>R $ 인 범위에서는 어떤 현상이 일어나겠는가? 거기에서는 \[r= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right \| } {\left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| } >1 \]이므로 극한의 정의에 의해 조건 $ 1<t<r $ 을 만족하는 $ t $ 에 대하여 충분히 큰 $ N $ 이 존재하여 조건 $ n \geq N $ 을 만족하는 임의의 $ n $ 이 부등식 \[ \frac {\left \|a_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right \| } {\left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| } >t \]를 만족하게 된다. 그렇다면 $ \left \|a_ { N + k } x ^ { N + k } \right \|>t ^ { k } \left \|a_ { N } x ^ { N } \right \| $ 이 임의의 자연수 $ k $ 에 대해 성립하게 되고, $ t>1 $ 이기 때문에 결국 \[ \lim _ { m \rightarrow \infty } \left \|a_ { m } x ^ { m } \right \|= \lim _ { k \rightarrow \infty } \left \|a_ { N + k } x ^ { N + k } \right \|= \lim _ { k \rightarrow \infty } t ^ { k } \left \|a_ { N } x ^ { N } \right \|= \infty \]가 성립하게 되어 일반항의 극한이 0이 되지 않으며, 따라서 멱급수 $ \sum \left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| $ 이 발산한다. 그러나 이로부터 절댓값을 취하지 않은 $ \sum a_ { n } x ^ { n } $ 이 발산한다고 결론을 내릴 수는 없으나 다음 정리에 의해 $ \sum a_ { n } x ^ { n } $ 이 발산함을 알 수 있다.</p> <p>풀이<p>\[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac {\frac { x ^ { 2 n + 2 } } { 2 ^ { 2 n + 2 } (n + 1) ! ^ { 2 } } } {\frac { x ^ { 2 n } } { 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } } \right \| &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \|x\| ^ { 2 } 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 n + 2 } (n + 1) ! ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \|x\| ^ { 2 } } { 4(n + 1) ^ { 2 } } =0 \end {aligned} \]따라서 수렴반경 $ = \infty $, 즉 모든 실수에서 수렴한다.</p></p> <p>보기 $2 $<p>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } $ 이 수렴하는 구간을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { x ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } \right \| \left \| \frac { n ! } { x ^ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \|x\| } { n + 1 } =0 $ 이므로 모든 실수 $ x $ 에서 수렴한다.</p></p> <p>보기 $3 $<p>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } $ 의 수렴반경은 1 이고, 수렴구간은 $ (-1,1) $ 이다.</p></p> <p>보기 $4 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n } $ 의 수렴반경은 1 이고, $ x=-1 $ 에서 수렴하므로 수렴구간은 $ [-1,1) $ 이다.</p></p> <p>보기 $4 $<p>$ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { ( \ln n) ^ { n } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt[n] {\frac { 1 } { ( \ln n) ^ { n } } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\ln n } =0 $ 이므로 거듭제곱근 판정법에 의해 수렴한다.</p></p> <p>보기 $5 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n ^ { 2 } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>\[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt[n] {\left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n \times n } } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\left ( \frac { n } { n-1 } \right ) ^ { n } } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\left [ \left (1 + \frac { 1 } { n-1 } \right ) ^ { n-1 } \right ] ^ {\frac { n } { n-1 } } } = \frac { 1 } { e }<1 \end {aligned} \]이므로 거듭제곱근 판정법에 의해 수렴한다.</p></p> <p>위의 보기의 풀이에서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } =e $ 임을 이용하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } = \frac { 1 } { e } $ 임을 보였다.</p> <p>정리 $2 $</p> <p>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } (x-c) ^ { n } $ 의 수렴반경이 $ r>0 $ 이라고 하고, $ \|x-c\|<r $ 일 때 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } (x-c) ^ { n } $ 으로 두자.</p><ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n a_ { n } (x-c) ^ { n-1 } $ 과 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { a_ { n } } { n + 1 } (x-c) ^ { n + 1 } $ 의 수렴반경도 $ r $ 이다.</li> <li>$ f(x) $ 는 미분가능하며 $ f ^ {\prime } (x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n a_ { n } (x-c) ^ { n-1 } $ 이다.</li> <li>$ \|x-c\|<r $ 일 때 $ \int_ { c } ^ { x } f(t) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { a_ { n } } { n + 1 } (x-c) ^ { n + 1 } $ 이다.</li></ol> <p>보기 $8 $</p><p>$ (-1,1) $ 에서 정의된 함수 $ f(x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ^ { 2 } } $ 의 미분은 $ f ^ {\prime } (x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n x ^ { n-1 } } { n ^ { 2 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n-1 } } { n } $ 이고 이 급수의 수렴반경도 $1 $ 이다.</p><p>보기 $9 $</p><p>$ \frac { 1 } { (1-x) ^ { 2 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 일 때 $ a_ { n } $ 을 구하여 보자. 이때 수렴반경은 얼마인가?</p> <p>정리 $2 $ 거듭제곱근 판정법(root test)</p> <p>모든 $ n $ 에 대해 $ a_ { n } >0 $ 이고 극한값 \[r= \lim _ { m \rightarrow \infty } \left (a_ { m } \right ) ^ {\frac { 1 } { m } } \]이 존재하여, $ r<1 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 가 수렴한다. 한편, $ r>1 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 가 발산한다.</p> <p>증명<p>이 정리 역시 '숨어 있는' 등비급수를 찾아내는 데에 그 증명의 오체가 숨어 있다. $ r<1 $ 일때 $ s= \frac { 1 + r } { 2 } $ 라 두면 $ r<s<1 $ 이 성립한다. 따라서 극한의 정의에 의해 조건 $ n \geq N $ 을 만족하는 임의의 자연수 $ n $ 에 대하여 부등식 \[ \left (a_ { n } \right ) ^ { 1 / n }<s \]즉 \[a_ { n }<s ^ { n } \]을 만족하게 되는 자연수 $ N $ 이 존재한다. 앞에서와 마찬가지로 이로부터 \[ \sum_ { n=N } ^ {\infty } a_ { n }< \sum_ { n=N } ^ {\infty } s ^ { n } \leq \frac { 1 } { 1-s } \]가 성립하고, 이로부터 급수 $ \sum a_ { n } $ 이 수렴한다는 것을 금방 얻어낼 수 있다.</p></p> <p>$ r>1 $ 일 때 $ 1<S<r $ 인 $ S $ 를 하나 선택하면 극한의 정의에 의해 $ n \geq N $ 인 모든 자연수 $ n $ 에 대하여 $ \left (a_ { n } \right ) ^ { 1 / n } >s $ 즉, $ a_ { n } >S ^ { n } $ 을 만족하게 하는 자연수 $ N $ 이 존재한다. 이 경우 일반항이 0 으로 수렴하지 않으므로 주어진 급수는 발산한다.</p> <p>여기서 $ f ^ { (0) } (c)=f(c) $ 를 의미한다. 이 다항식을 $ n $ 차 테일러 다항식 혹은 $ f(x) $ 의 센터(center) $ c $ 에서의 $ n $ 차 근사식이라고 하고 $ T_ { n } f(x) $ 로 표시하기도 한다.</p> <p>$T_ { n } f(x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { f ^ { (k) } (c) } { k ! } (x-c) ^ { k } $</p> <p>이렇게 한없이 계속할 경우 무한급수인 다음의 테일러 급수, 즉 센터 $ c $ 에서의 $ f(x) $ 의 테일러 급수를 얻는다.</p> <p>$T_ { f } (x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (k) } (c) } { k ! } (x-c) ^ { k } $</p> <p>$ c=0 $ 인 테일러 급수를 매클로린(Maclaurin) 급수라고도 한다.</p> <p>특별히 $ c=0 $ 인 경우 $ f $ 의 $ n $ 차 테일러 다항식은</p> <p>$ T_ { n } f(x):=f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } $</p> <p>이다.</p> <p>보기 $1 $<p>$ e ^ { x } $ 의 $ c=0 $ 에서의 이차근사식은 $ 1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } $ 이다.</p></p> <p>보기 $2 $<p>$ f(x)= \sin x $ 의 $ c=0 $ 에서의 $3 $차 근사식은 다음과 같다.</p> <p>$ f(0)=0, f ^ {\prime } (x)= \cos x, f ^ {\prime } (0)=1 $ $ f ^ {\prime \prime } (x)=- \sin x, f ^ {\prime \prime } (0)=0 $ $ f ^ { (3) } (x)=- \cos x, f ^ { (3) } (0)=-1 $</p> <p>지금까지 소개한 비율판정법과 거듭제곱근 판정법에는 맹점이 하나씩 있었다. 즉 $ r $ 의 값이 $1 $이 될 경우에는 수렴과 발산에 대한 결론을 얻을 수 없는 것이다. 두 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $ 과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 의 경우 $ r=1 $ 이 되는 좋은 예로서 첫 번째 급수는 발산하고 두 번째 급수는 수렴한다. 이런 경우 적용해 볼 수 있는 방법 중 하나가 다음의 적분판정법이다.</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 다음 조건을 만족하면 단조감소함수라고 한다. 정의역의 임의의 두 원소 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ 에 대해 $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $ 이면 $ f \left (x_ { 1 } \right )>f \left (x_ { 2 } \right ) $ 이다.</p> <p>정리 $3 $ 적분판정법(integral test)</p> <p>$ x>0 $ 에서 정의된 단조감소함수 $ f(x) $ 가 조건 $ f(x) \geq 0 $ 을 만족한다고 가정하자. $ n $ 이 임의의 자연수 값을 취할 때 일반항 $ a_ { n } $ 이 \[a_ { n } =f(n) \]으로 주어졌을 경우, 극한 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } f(x) d x \]가 유한한 값으로 주어지면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴하고, 만일 극한값 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } f(x) d x \]이 무한대 $ \infty $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 발산한다.</p> <p>증명<p>먼저, $ a_ { n } =f(n) $ 이고 $ f(x) $ 가 $ x>0 $ 인 범위에서 단조감소하는 양수함수라는 조건을 이용하면 \[ \begin {aligned} \sum_ { n=1 } ^ { m } a_ { n } &=f(1) + f(2) + f(3) + \cdots + f(m) \\ &=f(1) + [f(2)(2-1) + f(3)(3-2) + \cdots + f(m)(m-(m-1))] \\ & \leq f(1) + \int_ { 1 } ^ { m } f(x) d x \\ & \leq f(1) + \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } f(x) d x \end {aligned} \]이 성립한다는 것을 알 수 있다. 따라서 $ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { R } f(x) d x $ 의 값이 유한하면 양수항 급수 $ \sum a_ { n } $ 가 수렴함을 알 수 있다.</p></p> <p>보기 11<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } -1 } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } $ 은 등비급수로서 수렴한다. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 / \left (2 ^ { n } -1 \right ) } { 1 / 2 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n } } { 2 ^ { n } -1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } } =1 \] 이므로 극한 비교판정법에 의하여 주어진 급수도 수렴한다.</p></p> <p>보기 12<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 n } { n ^ { 2 } -n + 1 } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \frac { 2 n } { n ^ { 2 } } = \frac { 2 } { n } $ 와 비교하면 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left .2 n /-n ^ { 2 } -n + 1 \right ) } { 2 / n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } -n + 1 } =1 \] 이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 } { n } $ 이 발산하므로 극한 비교판정법에 의하여 주어진 급수도 발산한다.</p></p> <p>보기 13<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } -1 } { 3 n ^ { 4 } + 1 } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>정리 $3 $ 비교판정법(comparison test)</p> <p>모든 $ n $ 에 대해 $ 0 \leq a_ { n } \leq b_ { n } $ 이면</p> <ol> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 이 수렴하면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 도 수렴한다.</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 발산하면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 도. 발산한다.</li></ol> <p>증명<p>(1)의 경우 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } =M $ 으로 두면 $ \sum_ { n=1 } ^ { k } a_ { n } \leq \sum_ { n=1 } ^ { k } b_ { n } \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } =M $ 이 되어 모듈 8 의 유계 증가수열의 원리에 의해 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴한다. (2)의 증명도 비슷한 방법으로 할 수 있다.</p></p> <p>보기 $5 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } =1 + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } + \cdots $ 은 수렴한다. 왜나하면 $ n \geq 2 $ 일 때 $ \frac { 1 } { n ^ { 2 } }< \frac { 1 } { n(n-1) } $ 이고 보기 $1 $ 에서 $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n-1) } =1 $ 로 수렴함을 보았다. 따라서 비교판정법에 의하여 이 급수는 수렴한다.</p></p> <p>보기 $6 $<p>조화급수(harmonic series) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } =1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n } + \cdots $ 는 발산한다. 왜냐하면 \[ \begin {aligned} 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n } + \cdots & 1 + \frac { 1 } { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } \right ) \\ & + \left ( \frac { 1 } { 16 } + \cdots + \frac { 1 } { 16 } \right ) + \cdots \\ =& 1 + \frac { 1 } { 2 } + 2 \times \frac { 1 } { 4 } + 4 \times \frac { 1 } { 8 } + 8 \times \frac { 1 } { 16 } + \cdots \\ =& 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \cdots= \infty \end {aligned} \]이므로 비교판정법에 의해 조화급수도 발산한다.</p></p> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>$ \|x\|<1 $ 에서 $ \frac { 1 } { 1-x } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } $ 임을 이용한다.</li> <li>양변을 각각 미분하면 $ \frac { d } { d x } \frac { 1 } { 1-x } = \frac { 1 } { (1-x) ^ { 2 } } $ 이고 $ \frac { d } { d x } \frac { 1 } { 1-x } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n x ^ { n-1 } =1 + 2 x + 3 x ^ { 2 } + \cdots $ 이므로 $ a_ { n } =n + 1 $ 이고 수렴반경이 $1 $ 이다.</li></ol></p> <p>보기 $10 $<p>$ \frac { x } { (1-x) ^ { 2 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 일 때 $ a_ { n } $ 과 수렴반경을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \frac { 1 } { (1-x) ^ { 2 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n x ^ { n-1 } $ 의 양변에 $ x $ 를 곱하면 $ \frac { x } { (1-x) ^ { 2 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n x ^ { n } $ 을 얻는다. 따라서 $ a_ { n } =n $ 이고 수렴반경이 $1 $ 이다.</p></p> <p>한편 $ x= \frac { 1 } { 2 } $ 을 위의 식의 양쪽에 대입하면 $ 2= \frac {\frac { 1 } { 2 } } {\frac { 1 } { 4 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n } { 2 ^ { n } } $ 가 되어 오른쪽의 급수의 합을 구할 수 있다.</p> <p>보기 $2 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { n } } { n ! } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>\[ \begin {array} { l } \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\frac { (n + 1) ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } } {\frac { n ^ { n } } { n ! } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (n + 1) ^ { n + 1 } } { n ^ { n } } \frac { 1 } { n + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (n + 1) ^ { n } } { n ^ { n } } \\ = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } >1 \end {array} \]이므로 주어진 급수는 비율판정법에 의해 발산함을 알 수 있다.</p></p> <p>보기 $3 $<p>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 2 ^ { n } } { n ! } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\frac { 2 ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } } {\frac { 2 ^ { n } } { n ! } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 } { n + 1 } =0<1 $ 이므로 비율판정법에 의해 수렴함을 알 수있다.</p></p> <p>이번에는 거듭제곱근 판정법을 소개하려고 한다. 소개하려는 판정법은 실제 응용이라는 면에서 보면 비율판정법에 뒤지는 점이 있다. 하지만, 좀 더 높은 수준의 수학을 공부하다 보면 이 판정법이 더 중요한 판정법으로 부각되는 경우가 있으므로, 관십 있는 독자를 위해 여기에 소개한다. 하지만 이 판정법은, 이 장에서 소개하는 멱급수와 급수함수 이론을 이해하는 데에 특별히 더 기여하는 바가 없으므로 시간을 절약하고 싶은 독자는 이 정리를 건너뛰어도 무방하다.</p> <h2>1. 테일러 다항식과 급수</h2> <p>일반적으로 한점 $ x=c $ 부근에서 함수 $ f(x) $ 를 그리기 위한 정보는 $ f(c), f ^ {\prime } (c), \cdots, f ^ { (n) } (c) $, $ \cdots $ 에 들어있다. 근사 다항식에 이 정보를 어떻게 옮길 것인가가 문제이다. $ n $ 차 다항식을</p> <p>\[p_ { n } (x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } (x-c) + a_ { 2 } (x-c) ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } (x-c) ^ { n } \]</p> <p>이라고 할 때 $ x=c $ 에서 이 다항식의 값, $1 $ 계 미분, $2 $ 계 미분, $ \cdots $ 등이 주어진 함수의 것과 일치하게 해보자. 즉,</p> <p>$ \begin {array} { l } p_ { n } (c)=a_ { 0 } =f(c), \\ p_ { n } { } ^ {\prime } (c)=a_ { 1 } =f ^ {\prime } (c), \\ p_ { n } ^ {\prime \prime } (c)=2 a_ { 2 } =f ^ {\prime \prime } (c), \cdots, \\ p_ { n } ^ { (n) } (c)=n \cdot(n-1) \cdots 2 \cdot 1 \cdot a_ { n } =f ^ { (n) } (c) \end {array} $</p> <p>그러므로 $ a_ { 0 } =f(c), a_ { 1 } =f ^ {\prime } (c), a_ { 2 } = \frac { f ^ {\prime \prime } (c) } { 2 } , \cdots, a_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (c) } { n ! } $, 혹은</p> <p>$ \begin {aligned} p_ { n } (x) &=f(c) + f ^ {\prime } (c)(x-c) + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (c) } { n ! } (x-c) ^ { n } \\ &= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { f ^ { (k) } (c) } { k ! } (x-c) ^ { k } \end {aligned} $</p> <p>정리 $1 $</p> <p>만약 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } $ 이 한 점 $ x=x_ { 0 } $ 에서 수렴하면, $ \|x\|< \left \|x_ { 0 } \right \| $ 인 모든 $ x $ 에서 이 멱급수는 절대 수렴한다.</p> <p>증명<p>$ x_ { 0 } \neq 0 $ 일 때만 보이면 된다. 급수 $ \sum a_ { n } x_ { 0 } ^ { n } $ 이 수렴하면, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } x_ { 0 } ^ { n } =0 $ 이므로 극한의 정의에 의하여 충분히 큰 $ N $ 이 존재하여 조건 $ n \geq N $ 을 만족하는 임의의 $ n $ 에 대해 $ \left \|a_ { n } x_ { 0 } ^ { n } \right \|<1 $ 을 만족하게 된다. 따라서 $ n \geq N $ 인 모든 $ n $ 에 대해 \[ \left \|a_ { n } x ^ { n } \right \|= \left \|a_ { n } x_ { 0 } ^ { n } \right \| \left \| \frac { x } { x_ { 0 } } \right \| ^ { n } \leq \left \| \frac { x } { x_ { 0 } } \right \| ^ { n } \]을 얻는다. 따라서 $ \sum_ { n=N } ^ {\infty } \left \|a_ { n } x ^ { n } \right \| \leq \sum_ { n=N } ^ {\infty } \left \| \frac { x } { x_ { 0 } } \right \| $ 이고 우변은 공비 $ \left \| \frac { x } { x_ { 0 } } \right \|<1 $ 인 등비급수이므로 수렴한다. 따라서 주어진 멱급수도 $ \|x\|< \left \|x_ { 0 } \right \| $ 인 모든 $ x $ 에서 절대수렴한다.</p></p> <p>보기 $10 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>\[ \begin {array} { l } a_ { n } = \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 6 } } } , b_ { n } = \frac { 2 n ^ { 2 } } { n ^ { 5 / 2 } } = \frac { 2 } { n ^ { 1 / 2 } } = \frac { 2 } {\sqrt { n } } \\ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } \frac { n ^ { 1 / 2 } } { 2 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 5 / 2 } + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 / 2 } } {\sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } \\ = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + \frac { 3 } { 2 } n ^ { 3 / 2-5 / 2 } } {\sqrt {\frac { 5 + n ^ { 5 } } { n ^ { 5 } } } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + \frac { 3 } { 2 } n ^ { -1 } } {\sqrt { 1 + 5 / n ^ { 5 } } } =1 \\ \end {array} \] $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 } {\sqrt { n } } $ 이 발산하므로 극한 비교판정법에 의하여 주어진 급수도. 발산한다.</p></p> <p>$ \|x\|=R $, 즉 $ x= \pm R $ 인 경우는 적절한 수렴판정법 등을 활용하여 수렴하는지를 확인해 볼 수 있다.</p> <p>지금까지 나온 애기를 종합하면 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <p>멱급수 $ \sum_ { m=0 } ^ {\infty } a_ { m } x ^ { m } $ 가 주어졌을 때 \[R= \lim _ { m \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { m } \right \| } {\left \|a_ { m + 1 } \right \| } \]의 값이 존재하면, 주어진 멱급수는 범위 $ \|x\|<R $ 에서 절대수렴하고, 범위 $ \|x\|>R $ 에서는 발산한다. 만일 $ R $ 이 표시하는 극한값이 $ \infty $ 이면, 주어진 멱급수는 실수 전체에서 절대 수렴한다. 이 멱급수가 $ x=0 $ 한 점에서는 무조건 수렴하고, 원점을 중심으로 반지름이 $ R $ 인 구간에서 멱급수가 수렴하기 때문에 전통적으로 $ R $ 을 수렴반경(radius of convergence)이라 부른다. 수렴하는 모든 점들의 집합을 수렴구간(interval of convergence)이라고 부른다.</p> <p>보다 일반적으로, 멱급수를 \[S= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } (x-c) ^ { n } \]형태로 생각할 수 있다. $ x=c $ 인 경우에는 물론 멱급수 $ S $ 의 값이 $ a_ { 0 } $ 로 당연히 수렴한다. 따라서 이 경우에는 $ c $ 가 원점 대신 기준점이 될 것이다. 이제 $ x-c=z $ 라 두고 멱급수 $ \sum a_ { n } z ^ { n } $ 에 대한 위의 이론을 여기에 접목해 보면 수렴반경을 구하는 공식 \[R= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left \|a_ { n } \right \| } {\left \|a_ { n + 1 } \right \| } \]은 전과 다름이 없으나, 멱급수 $ S $ 의 수렴구간은 기준점이 $ c $ 이므로 부등식 $ \|x-c\|<R $ 에 의해 표시되는 열린구간 $ (c-R, c + R) $ 을 포함하고 구간의 양 끝점이 포함될 수도 있다.</p> <p>보기 $1 $<p>베셀함수 $ J_ { 0 } (x):= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } x ^ { 2 n } } { 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } =1- \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { x ^ { 4 } } { 64 } - \frac { x ^ { 6 } } { 2304 } + \cdots $ 의 수렴구간을 구하여라.</p></p> <h1>모듈 11. 무한그수의 수렴퐌정법 3</h1> <p>목표<p>양수 및 음수 항을 모두 가지는 일반적인 급수의 수렴 발산 중 상당히 쓸모가 많으면서도 비교적 이해하기 쉬운 두 가지 기법, 절대수렴판정법과 교대급수 판정법을 익힌다.</p></p> <p>임의의 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ 이 주어졌을 때, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| $ 이 수렴하면, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ 이 절대수렴한다(converges absolutely)고 한다. 이 정의가 의미를 가지도록 아래 정리를 증명하려고 한다.</p> <p>정리 $1$ 절대수렴판정법(absolute convergence test)</p> <p>절대수렴하는 급수는 수렴한다.</p> <p>증명<p>급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ 이 주어졌다고 하고, 각 항의 절댓값을 취해 만든 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| $ 이 수렴한다고 가정하자. 그러면 \[a_{n}^{+}=\left\{\begin{array}{l} a_{n}\left(a_{n}>0 \text { 인 경 우 }\right) \\ 0\left(a_{n} \leq 0 \text { 인 경 우 }\right)\end{array}\right.\]로 두고 \[a_{n}^{-}=a_{n}^{+}-a_{n}\]로 두기로 하자. 그러면 $ a_{n}^{+} $와 $ a_{n}^{-} $는 모두 0 과 같거나 0 보다 크고, 관계식 \[a_{n}=a_{n}^{+}-a_{n}^{-}\]를 만족한다. 이제 구성한 방법으로부터 \[0 \leq a_{n}^{+} \leq\left\|a_{n}\right\| \text { 와 } 0 \leq a_{n}^{-} \leq\left\|a_{n}\right\|\]이 항상 성립하며, $ \sum\left\|a_{n}\right\| $ 이 수렴하므로, 비교판정법에 의하여 급수 $ \sum a_{n}^{+} $와 $ \sum a_{n}^{-} $가 각각 수렴하고 따라서 $ \sum a_{n}=\sum a_{n}^{+}-\sum a_{n}^{-} $도 수렴한다.</p></p> <p>무한급수의 각 항의 부호가 그 다음 항의 부호와 다르면 그 급수를 교대급수(alternating series) 라고 부른다. 즉, 모든 $ n $ 에 대하여 $ a_{n}>0 $ 일 때 $ \sum(-1)^{n+1} a_{n} $ 꼴의 급수이다.</p> <p>보기 $1$<p>$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots $ 은 교대급수이다.</p></p> <p>정리 $2$ 교대급수 판정법(alternating series test)</p> <p>모든 $ n $ 에 대하여 $ a_{n}>0 $ 이고, $ a_{n} \geq a_{n+1} $ 이며 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 $ 이면 교대급수 $ \sum(-1)^{n+1} a_{n} $ 는 수렴한다.</p> <p>증명</p> <p>$ s_{n}=a_{1}-a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} a_{n} $ 으로 두자. 그러면 \[a_{1} \geq a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right) \geq a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right) \geq \cdots\]이므로 $ s_{1} \geq s_{3} \geq s_{5} \geq \cdots $ 이 된다. 한편 \[a_{1}-a_{2} \leq a_{1}-a_{2}+\left(a_{3}-a_{4}\right) \leq a_{1}-a_{2}+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\left(a_{5}-a_{6}\right) \leq \cdots\]이므로 $ s_{2} \leq s_{4} \leq s_{6} \leq \cdots $ 을 얻는다. 임의의 자연수 $ n $ 에 대하여 \[s_{1} \geq s_{2 n+1} \geq s_{2 n} \geq s_{2}\]이므로 수열 $ \left\{s_{2 n-1}\right\} $ 과 $ \left\{s_{2 n}\right\} $ 이 모두 유계인 단조수열이어서 수렴한다. 또한, \[\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n-1}-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{2 n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_{2 n-1}-s_{2 n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n}=0\]으로부터 두 극한값 $ \lim s_{2 n-1} $ 과 $ \lim s_{2 n} $ 이 일치함을 알 수 있고 따라서 부분합 수열 $ \left\{s_{n}\right\} $ 이 수렴한다.</p> <p>보기<p>$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots $ 은 교대급수판정법에 의해 수렴함을 알 수 있다.</p></p> <h1>Part 2 무한급수</h1> <h2>모듈 8. 수열의 수렴</h2> <h2>모듈 9. 무한급수의 수렴판정법 1</h2> <h2>모듈 10. 무한급수의 수렴판정법 2</h2> <h2>모듈 11. 무한급수의 수렴판정법 3</h2> <h2>모듈 12. 멱급수와 수렴반경</h2> <h2>모듈 13. 테일러 정리</h2> <h1>모듈9. 무한급수의 수렴판정법 1</h1> <p>목표<p>무한급수가 수렴하는지 판정하는 방법 중 등비급수, 비교판정법, 극한 비교판정법 등을 살펴본다.</p></p> <p>들어가기<p>매일 $ 2 \mathrm { mg } $ 의 약을 먹는 환자가 있다. 하루가 지난 후 약의 잔류량은 $ 50 \% $ 라고 한다. 이 환자의 몸속에 잔류하는 약의 양은 얼마나 될까?</p></p> <p>무한급수(infinite series)는 무한수열의 합이다. 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 이 있으면 $ a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots $ 로서 $ \sum_ { n = 1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 으로 나타낸다. 이 수열의 부분합은 $ S_ { k } = \sum_ { n=1 } ^ { k } a_ { n } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { k } $ 로서 무한급수가 수렴한다는 것은 이 부분합으로 이루어진 수열 $ \left \{ S_ { k } \right \} $ 가 수렴한다는 뜻이다. 즉 $ \lim _ { k \rightarrow \infty } S_ { k } =L $ 이면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } =L $ 이다.</p> <p>보기 1<p>$ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n-1) } = \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { n-1 } - \frac { 1 } { n } \right ) $ 은 수렴한다. 왜냐하면 \[ \begin {array} { c } S_ { n } = \left (1- \frac { 1 } { 2 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right ) + \cdots + \left ( \frac { 1 } { n-1 } - \frac { 1 } { n } \right )=1- \frac { 1 } { n } \\ \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } =1 \Rightarrow \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n-1) } =1 \end {array} \]</p> <p>정리 1 테일러 정리</p> <p>$ f $ 가 $ c $ 를 포함하는 열린구간 $ I $ 에서 정의되고 $ n $ 번 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 임의의 $ x \in I $에 대해<p>$ f(x)=f(c) + f ^ {\prime } (c)(x-c) + \frac { f ^ {\prime \prime } (c) } { 2 ! } (x-c) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n-1) } (c) } { (n-1) ! } (x-c) ^ { n-1 } + \frac { f ^ { (n) } \left (x ^ { * } \right ) } { n ! } (x-c) ^ { n } $</p>이 되는 $ x ^ { * } $ 가 $ c $ 와 $ x $ 사이에 존재한다.</p> <p>정리에 나오는 식을 $ f(x) $ 의 $ c $ 에서의 테일러 전개식(Taylor expansion)이라고 한다.<p>$ R_ { n } (x)= \frac { f ^ { (n) } \left (x ^ { * } \right ) } { n ! } (x-c) ^ { n } $</p>를 나머지항(remainder term) 혹은 오차항(error term)이라고 하며 테일러 전개식은 테일러 다항식과 나머지항의 합이다. 테일러 다항식을 이용하여 근삿값을 구할 때 나머지항으로 그 오차를 짐작할 수 있다.</p> <p>보기 8<p>$ f(x)=e ^ { x } $ 의 $ c=0 $ 에서의 테일러 전개식을 구하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ f ^ { (n) } (x)=e ^ { x } , f ^ { (n) } (0)=e ^ { 0 } =1 $ 이므로 테일러 다항식은<p>$ T_ { n } f(x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { f ^ { (k) } (0) } { k ! } x ^ { k } = \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { 1 } { k ! } x ^ { k } =1 + x + \frac { 1 } { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 ! } x ^ { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n ! } x ^ { n } $</p><p>$ e ^ { x } = \sum_ { k=0 } ^ { n-1 } \frac { 1 } { k ! } x ^ { k } + R_ { n } (x) $ 로서 나머지 항은 $ R_ { n } (x)= \frac { e ^ { x ^ { * } } } { n ! } x ^ { n } $ 이다. 이때 $ x ^ { * } $ 는 0 과 $ x $ 사 이의 수이다.</p> <p>보기 10<p>$ \sqrt { 1 + x } $ 의 2 차 근사식을 이용하여 $ \sqrt { 1.1 } $ 의 근삿값을 구하고 오차에 대해 설명하여라.</p></p> <p>풀이</p><p>$ f(x)= \sqrt { 1 + x } , f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 2 } (1 + x) ^ { -1 / 2 } , f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { 1 } { 2 } \left (- \frac { 1 } { 2 } \right )(1 + x) ^ { -3 / 2 } $,</p><p> $ f ^ {\prime \prime \prime } (x)= \frac { 1 } { 2 } \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) \left (- \frac { 3 } { 2 } \right )(1 + x) ^ { -5 / 2 } , f(0)=1, f ^ {\prime } (0)= \frac { 1 } { 2 } , f ^ {\prime \prime } (0)=- \frac { 1 } { 4 } $,</p><p> $ f(x)=1 + \frac { 1 } { 2 } x- \frac { 1 } { 8 } x ^ { 2 } + R_ { 3 } (x) $</p> <p>따라서 $ \sqrt { 1.1 } \approx 1 + \frac { 0.1 } { 2 } - \frac { 0.01 } { 8 } $ 을 얻는다. 오차를 계산하기 위해 나머지항을 살펴보자. $ \left \|R_ { 3 } (x) \right \| \leq M_ { 3 } (x) \frac { \|x\| ^ { 3 } } { 3 ! } , x ^ { * } \in(0,0.1) $ 에 대해 $ M_ { 3 } (x)< \frac { 3 } { 8 } $ 이므로<p>\[ \left \| \sqrt { 1 + x } - \left (1 + \frac { 1 } { 2 } x- \frac { 1 } { 8 } x ^ { 2 } \right ) \right \| \leq \frac { 1 } { 16 } \|x\| ^ { 3 } \]</p> <p>로서 위의 근삿값의 오차의 절댓값이 $ \frac { 1 } { 16 } \cdot 10 ^ { -3 } $ 보다 작음을 알 수 있다.</p> <p>보기 $7 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n ^ { 3 } } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>먼저 $ n \geq 1 $ 일 때 $ \ln n<n $ 입을 보인다. $ f(x)= \ln x-x $ 로 두고 미분하면 $ x \geq 1 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { x } -1 \leq 0 $ 이므로 $ f(x) \leq f(1) $ $ = \ln 1-1=-1<0 $ 이 되어 $ \ln n<n $ 입을 알 수 있다. 따라서 $ \frac {\ln n } { n ^ { 3 } }< \frac { n } { n ^ { 3 } } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 이 수렴하므로 비교판정법에 의해 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n ^ { 3 } } $ 도 수렴한다.</p></p> <p>보기 $8 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { n } } $ 가 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ \frac { 1 } {\sqrt { n } } >\frac { 1 } { n } $ 이고 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $ 이 발산하므로 비교판정법에 의해 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { n } } $ 도 발산한다.</p></p> <p>보기 $9 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \sin \frac { 1 } { n } $ 이 수렴하는지 조사하여라.</p></p> <p>풀이<p>$ 0<x< \frac {\pi } { 2 } $ 이면 $ \sin x>\frac { 2 } {\pi } x $ 이고 따라서 $ \sin \frac { 1 } { n } >\frac { 2 } {\pi } \frac { 1 } { n } $ 이다. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $ 이 발산하므로 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \sin \frac { 1 } { n } $ 도 발산한다.</p></p>	자연
수학교재연구:이산수학_그래프	<h3>정리 $ 1.6 $</h3> <p>$ k=d_ { 1 } \geqq d_ { 2 } \geqq \cdots \geqq d_ { n } $ 인 음이 아닌 정수 $ d_ { 1 } , d_ { 2 } , \cdots, d_ { n } $ 에 대하여, \[ d= \left (d_ { 1 } , d_ { 2 } , \cdots, d_ { n } \right ) 가 그래픽일 필요충분조건은 \] \[d ^ {\prime } = \left (d_ { 2 } -1, d_ { 3 } -1, \cdots, d_ { k + 1 } -1, d_ { k + 2 } , \cdots, d_ { n } \right ) \] 이 그래픽인 것이다..</p> <p>(증명) $ ( \Leftarrow) d ^ {\prime } $ 이 그래픽이라 하면, $ V ^ {\prime } = \left \{\mathrm { x } _ { 2 } , \mathrm { x } _ { 3 } , \cdots, \mathrm { x } _ {\mathrm { n } } \right \} $ 으로 둘 때, $ \left \{\mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ { 2 } \right ), \mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ { 3 } \right ), \cdots, \mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ {\mathrm { n } } \right ) \right \} = \mathrm { d } ^ {\prime } $ 인 단순그래프 $ G ^ {\prime } = \left (V ^ {\prime } , E ^ {\prime } \right ) $ 이 존재한다. $ G ^ {\prime } $ 에 새로운 정점 $ x_ { 1 } $ 을 추가하고 $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { k + 1 } $ 을 각각 간선으로 이으면 차수 수열이 $ d $ 인 단순그래프를 얻는다. $ ( \Rightarrow) G=(V, E) $ 를 차수 수열이 $ d $ 인 단순그래프라 하고, $ V= \left \{\mathrm { x } _ { 1 } \right \} \cup \mathrm { X } \cup \mathrm { Y } $, $ X= \left \{\mathrm { x } _ { 2 } , \cdots, \mathrm { x } _ {\mathrm { k } + 1 } \right \} , Y= \left \{\mathrm { x } _ {\mathrm { k } + 2 } , \cdots, \mathrm { x } _ {\mathrm { n } } \right \} , d_ { i } =d \left (x_ { i } \right ),(i=1,2, \cdots, n) $ 라 하자. 그래프 $ G $ 는 차수 수열이 $ d $ 인 단순그래프 중 $ \left \|N_ { G } \left (x_ { 1 } \right ) \cap X \right \| $ 의 값이 최대인 것을 잡았다고 하자. 이 때, $ N_ { G } \left (x_ { 1 } \right )=X $ 임을 보이자. $ N_ { G } \left (x_ { 1 } \right ) \neq X $ 라고 하면, $ x_ { 1 } $ 과 인접한 $ Y $ 의 점 $ x_ { q } (q \geqq k + 2) $ 가 존재하고 $ x_ { 1 } $ 과 인접하지 않은 $ X $ 의 점 $ x_ { p } (p \leqq k + 1) $ 가 존재한다. $ x_ { 1 } \in N_ { G } \left (x_ { q } \right )-N_ { G } \left (x_ { p } \right ) $ 이므로 $ N_ { G } \left (x_ { p } \right ) \neq N_ { G } \left (x_ { q } \right ) $ 이다. 만일 $ N_ { G } \left (x_ { p } \right ) \subset N_ { G } \left (x_ { q } \right ) $ 라면 $ d_ { p }<d_ { q } $ 이고 이것은 $ d_ { 1 } \geqq d_ { 2 } \geqq \cdots \geqq d_ { n } $ 이라는 가정에 모순된다. 그러므로 $ x_ { p } $ 와 인접하면서 $ x_ { q } $ 와는 인접하지 않는 꼭지점 $ x_ { r } $ 이 존재한다. $ G $ 에서 변 $ \left [x_ { 1 } , x_ { q } \right ], \left [x_ { p } , x_ { r } \right ] $ 를 지우고 변 $ \left [x_ { 1 } , x_ { p } \right ], \left [x_ { r } , x_ { q } \right ] $ 를 추가하여 얻은 그래프를 $ H $ 라 하면 $ H $ 의 차수 수열은 $ d $ 이고, $ N_ { H } \left (x_ { 1 } \right )=N_ { G } \left (x_ { 1 } \right ) \cup \left \{\mathrm { x } _ {\mathrm { p } } \right \} - \left \{\mathrm { x } _ {\mathrm { q } } \right \} $ 이므로 $ \left \|N_ { H } \left (x_ { 1 } \right ) \cap X \right \|= \left \|N_ { G } \left (x_ { 1 } \right ) \cap X \right \| + 1 $ 이 되어 $ G $ 의 선택에 모순이다. 따라서 $ N_ { G } \left (x_ { 1 } \right )=X $ 가 성립한다. $ x_ { 1 } $ 이 $ k $ 개의 꼭지점 $ x_ { 2 } , \cdots, x_ { k + 1 } $ 과 인접하므로, $ G-x_ { 1 } $ 의 차수 수열이 $ d ^ {\prime } $ 이고, 따라서 $ d ^ {\prime } $ 은 그래픽이다.</p> <p>그림 $1 $의 (b)에서와 같이 평행간선이나 루프를 가지고 있는 그래프를 다중그래프(multigraph)라고 한다.</p> <p>$ G=(V, E) $ 가 그래프이고 $ v \in V $ 는 정점일 때 $ v $ 의 차수(degree) $ \delta(v) $ 는 $ v $ 에 근접된 간선의 개수를 의미한다. 만약 $ G $ 가 다중그래프이고 루프가 있으면 하나의 루프는 두 개의 간선을 의미한다.</p> <h3>정리 $ 1.1 $ (Handshaking Theorem)</h3> <p>$ G=(V, E) $ 가 그래프이고 $ \|E\| $ 는 간선의 개수일 때, 다음 식이 성립한다. \[ \sum_ { v \in V } \delta(v)=2\|E\| \] (증명) 각 정점에서 차수를 더할 때 모든 간선이 정학히 두 번 계산된다.</p> <h3>예제 $ 1 . $</h3> <p>그래프에 $10 $개의 정점이 있고 각 정점에서의 차수가 $6 $이다. 간선의 개수를 구하시오. (풀이) 정리 $ 1.1 $ 을 써서 간선의 개수는 $30 $이다.</p> <h3>정리 $ 1.2 $</h3> <p>그래프는 홀수 차수인 정점을 짝수개 갖는다. (증명) 홀수 차수인 정점의 집합을 $ V_ { 1 } $, 짝수 차수인 정점의 집합을 $ V_ { 2 } $ 라고 하면, 정리 $ 1.1 $ 에 의해 \[ 2\|E\|= \sum_ { v \in V_ { 1 } } \delta(v) + \sum_ { v \in T_ { 2 } } \delta(v) \]이므로 $ \left \|V_ { 1 } \right \| $ 이 짝수이다.</p> <p>$ G=(V, E) $ 를 그래프라 하자. $ V ^ {\prime } \subseteq V, E ^ {\prime } \subseteq E $ 인 그래프 $ G ^ {\prime } = \left (V ^ {\prime } , E ^ {\prime } \right ) $ 을 그래프 $ G $ 의 부분그래프(subgraph)라고 한다. 특히 $ V=V ^ {\prime } $ 인 부분그래프를 생성부분그래프(spanning subgraph)라고 한다.</p> <p>그래프에서 길이가 $ k $ 인 경로(path)는 $ i=1,2, \cdots, k $ 일 때 $ \left (v_ { i-1 } , v_ { i } \right ) \in E $ 를 만족하는 정점 $ v_ { 0 } , v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $ 의 나열이다. 그림 $2 $에서 정점 $ a, b, c, d $ 는 길이가 $3 $인 경로이며 $ a, b, c, d, a $ 는 길이가 $4 $인 경로다.</p> <p>색 $2,4 $인 정점들로 이루어진 부분그래프 $ H_ { 2,4 } $ 를 생각하자. $ y_ { 2 } $ 가 폐곡선의 외부에 있고 $ y_ { 4 } $ 가 폐곡선의 내부에 있으므로 $ y_ { 2 } , y_ { 4 } $ 는 $ H_ { 2,4 } $ 의 같은 연결 성분에 있을 수 없다. $ y_ { 2 } $ 를 포함하는 $ H_ { 2,4 } $ 의 연결 성분에 있는 정점들의 색 $2 $와 $4 $를 바꾸면, 보조정리 $ 4.10 $ 에 의하여, $ x $ 에 인접한 어떤 정점에도 색 $2 $가 지정되지 않은 $ H $ 의 5 -색칠을 얻는다. 이제 $ x $ 에 색 $2 $를 지정하면 $ G $ 의 5 -색칠을 얻는다.</p> <p>독립수(independence numbers) $ \alpha(G) $ 는 그래프 $ G $ 에서 서로 인접하지 않는 정점들의 최대 개수 이다. 참고로 색수(chromatic numbers) $ \chi(G) $ 는 임의의 인접한 두 정점에 다른 색을 지정할 때 필요한 색의 최소 개수이다. \[ \alpha \left (N_ { n } \right )=n, \alpha \left (K_ { n } ^ { * } \right )=1, \alpha \left (K_ { m, n } \right )= \max \{\mathrm { m } , \mathrm { n } \} \] 다음 정리에서 독립수와 색수의 관계를 알 수 있다.</p> <h3>정리 $ 4.12 $</h3> <p>그래프 $ G $ 에 $ p $ 개의 정점이 있을 때, \[ p \leqq \alpha(G) \chi(G) \]</p> <p>(증명) 그래프 $ G $ 를 $ \chi(G) $ 개의 부분으로 색분할을 하자. 비둘기집의 원리에 의해, 어느 한 부분은 적어도 \[ \frac { p } {\chi(G) } \] 개의 정점을 포함한다. 이 정점들은 서로 인접하지 않으므로 \[ \frac { p } {\chi(G) } \leqq \alpha(G) \]</p> <p>사실, 따름정리 $ 4.1 $ 에서 그래프 $ G $ 가 $ p $ 개의 정점을 가질 때 \[ \chi(G) \geqq \lceil n / \alpha(G) \rceil \] 정리 $4.12 $의 부등식에서 등호가 성립하는 예는 다음과 같은 정육면체(cube) 그래프이다. 위의 그래프 $ G $ 는, \[ p=8, \alpha(G)=4, \chi(G)=2 \] 이다. 연결 평면그래프(connected planar graph)는 다음과 같은 부등식을 만족한다. \[ e \leqq 3 v-6 \] 여기서 $ v $ 는 정점의 개수이고 $ e $ 는 간선의 개수이다. 이와 같은 문제를 극그래프(extremal graph)에 관한 문제라고 부른다. 다음 정리에서 또 다른 극그래프에 관한 문제를 살펴보겠다.</p> <h3>예제 $ 4 . $</h3> <p>모든 연결그래프는 생성트리를 포함함을 보이시오.</p> <p>(증명) $ G $ 를 임의의 연결그래프라고 하자. $ G $ 가 트리이면 $ G $ 자신이 생성트리이다. $ G $ 가 트리가 아니면 $ G $ 는 회로를 포함한다. $ e_ { 1 } $ 이 이 회로의 간선일 때 $ H_ { 1 } =G-e_ { 1 } $ 으로 놓자. $ H_ { 1 } $ 이 트리이면 증명 끌. $ H_ { 1 } $ 이 트리가 아니면 $ H_ { 1 } $ 은 회로를 포함한다. $ e_ { 2 } $ 가 이 회로의 간선일 때 $ H_ { 2 } =H_ { 1 } -e_ { 2 } $ 으로 놓자. 이렿게 계속하면 간선의 개수가 유한하므로 어떤 자연수 $ i $ 에서 $ H_ { i } $ 는 트리이다. 따라서 $ G $ 는 생성트리 $ H_ { i } $ 를 포함한다.</p> <p>예제 $4 $를 이용하면 위의 정리 $ 3.3 $ 을 증명할 수 있다. 즉 연결그래프 $ G $ 는 생성트리 $ T $ 를 포함하므로 정리 $ 3.1 $ 과 함께, \[ e(G) \geqq e(T)=v(T)-1=v(G)-1 \] 을 얻는다. 그런데 정리 $3.3 $에서 $ p=v(G), q=e(G) $ 이므로 원하는 결과 \[ p \leqq q + 1 \]을 얻는다.</p> <p>트리에서 특별히 정한 정점을 뿌리(root)라고 하고, 뿌리가 있는 트리를 유근트리(rooted tree)라고 한다. 트리에서 두 정점 사이에 존재하는 경로의 길이를 두 정점의 거리라고 한다. 유근트리의 뿌리에서 거리 $ i $ 인 점을 $ i $ 세손이라 하며, $1 $세손은 자녀라고 한다. 유근트리에서 단말점도 아니고 뿌리도 아닌 점을 중간점이라 하고, 뿌리에서 단말점까지의 거리의 최댓값을 그 유근트리의 높이라고 한다. 단말점이 아닌 각 정점이 $ m $ 개의 자녀를 가지는 유근트리를 $ m $ 진 트리라고 한다. 단말점의 수가 $ t $, 높이가 $ h $ 인 $ m $ 진 트리에 대하여 다음이 성립한다. \[ t \leqq m ^ { h } \] 여기서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 단말점과 뿌리 사이의 거리가 $ h $ 인 것이다. 즉 \[ h \geqq \left \lceil \log _ { m } t \right \rceil \] (단, $ \lceil x \rceil $ 는 $ x $ 보다 작지 않은 최소 정수이다.)</p> <p>$ 2 n $ 개의 정점을 가진 삼각형이 없는 그래프에 얼마나 많은 간선이 가능한가? 완전 이분할 그래프 $ K_ { n, n } $ 의 경우, $ 2 n $ 개의 정점을 가진 삼각형이 없는 그래프로서 $ n ^ { 2 } $ 개의 간선을 가지고 있다. 다음 정리는 가능한 간선의 최대 개수가 $ n ^ { 2 } $ 임을 말한다.</p> <h3>정리 $ 4.13 $ (Mantel, 1907)</h3> <p>$ 2 n $ 개의 정점을 가진 그래프 $ G $ 가 $ n ^ { 2 } + 1 $ 개의 간선을 가지면 $ G $ 는 삼각형을 포함한다.</p> <p>(증명) $ n $ 에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. $ n=1 $ 일 때 가정이 모순이므로 정리는 성립한다. $ n $ 일 때 정리가 성립한다고 가정하자. $ 2(n + 1) $ 개의 정점, $ (n + 1) ^ { 2 } + 1 $ 개의 간선을 가진 그래프 $ G $ 를 생각하자. $ G $ 의 인접한 두 정점을 $ x, y $ 라하고 $ x, y $ 를 제외한 $ 2 n $ 개의 정점으로 이루어진 $ G $ 의 부분그래프를 $ H $ 라 하자. 만약 $ H $ 가 $ n ^ { 2 } $ 개 보다 더 많은 간선을 가진다면 귀납법 가정에 의해 $ H $ 는 삼각형을 포함한다. 따라서 $ G $ 도 삼각형을 포함한다. 만약 $ H $ 가 $ n ^ { 2 } $ 개 이하의 간선을 가진다면, $ x, y $ 와 $ H $ 의 정점들 간에 간선의 개수는 적어도 $ 2 n + 1 $ 개이다. 비듈기집의 원리에 의해 $ H $ 의 어느 한 정점 $ z $ 는 $ x, y $ 와 각각 간선으로 연결되어 있다. 따라서 $ G $ 는 삼각형을 포함한다.</p> <p>다음은 비둘기집의 원리를 이용하지 않은 또 다른 증명이다.</p> <p>(증명 2) $ G $에 삼각형이 없다고 가정하자. $ G $ 의 각 정점 $ i=1,2, \cdots, 2 n $ 에 음이 아닌 값(weight) $ w_ { i } $ 를 준다. $ M= \sum w_ { i } w_ { j } $ 로 늫자. (여기서, 우변의 합은 모든 간선 $ i j $ 에 대해서이다.) 이제 $ M $ 의 최대값을 구하자. 모든 $ i=1,2, \cdots, 2 n $ 에 대하여 $ w_ { i } = \frac { 1 } { 2 n } $ 이면 $ M= \frac { e } { 4 n ^ { 2 } } $ ( $ e $ 는 간선의 개수.) 두 개의 인접하지 않은 정점을 $ i, j $ 라 하자. $ W_ { i } , W_ { j } $ 는 $ i, j $ 에 각각 연결된 모든 정점의 값의 합이다. $ W_ { i } \geqq W_ { j } $ 라고 가정하자. 정점 $ i, j $ 를 바꾸어도 $ w_ { i } W_ { i } + w_ { j } W_ { j } \leqq \left (w_ { i } + w_ { j } \right ) W_ { i } $ 이므로, $ \sum w_ { i } w_ { j } $ 의 값이 줄어들지 않는다. 따라서 두 개의 인접한 정점, 예를 들어 $ i, j $ 에 모든 값이 주어졌을 때 $ M $ 은 최대가 된다. 즉 $ w_ { i } + w_ { j } =1 $ 일 때, $ w_ { i } w_ { j } $ 의 최대값은 $ w_ { i } =w_ { j } = \frac { 1 } { 2 } $ 일 때 $ \frac { 1 } { 4 } $ 이다 따라서 \[ \frac { e } { 4 n ^ { 2 } } \leqq \frac { 1 } { 4 } \text { , 즉 } e \leqq n ^ { 2 } \]</p> <p>(풀이) 먼저 그래프 $ G $ 의 인접행렬을 구하면 \[ A= \left [ \begin {array} { llll } 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end {array} \right ] \] 따라서 차례로 $ A ^ { 2 } , A ^ { 3 } $ 를 구해보면</p> <p>\[ A ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end {array} \right ], A ^ { 3 } = \left [ \begin {array} { llll } 0 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 & 4 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end {array} \right ] \] 정리 $ 4.16 $ 에 의하여 $ a $ 로부터 $ b $ 에 도달하는 길이 $3 $인 경로의 개수는 $3 $이다. 실제로 $ a, b, c, b $ 와 $ a, b, d, b $ 와 $ a, b, a, b $ 이다. 그리고 $ a $ 로부터 $ c $ 에 도달하는 길이 $3 $인 경로의 개수는 $1 $이다.</p> <h2>연습문제 $9-4 $</h2> <p>1. (1) 완전그래프 $ K_ { 4 } $ 에서 다른 두 정점 사이에 길이가 $3 $인 경로의 개수를 구하시오. (2) 완전그래프 $ K_ { 4 } $ 에서 다른 두 정점 사이에 길이가 $4 $인 경로의 개수도 구하시오. (풀이) (1) $7 $ (2) $20 $</p> <p>2. $10 $명의 교수 $ A, B, \cdots, I, J $ 가 다음과 같이 $8 $개의 위원회에 소속되어 있다. 위원회 $1 $: $ A, B, C, D $, 위원회 $2 $ : $A, C, D, E $, 위원회 $3 $ : $ B, D, F, G $, 위원회 $4 $ : $ C, F, G, H $, 위원회 $5 $ : $ A, H, J $, 위원회 $6 $ : $ H, I, J $, 위원회 $7 $ : $ G, H, J $, 위원회 $8 $: $ E, I $. 각 위원회는 하루에 한 번 열리고, 한 교수가 같은 날 두 위원회에 참석할 수 없을 때, 모든 위원회 회의가 끝나는데 필요한 최소의 일 수를 구하시오. (풀이) $4 $</p> <p>Mantel의 정리를 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>" $ n $ 개의 정점을 가진 그래프가 삼각형을 포함하지 않으면 간선의 개수는 $ \frac { n ^ { 2 } } { 4 } $ 을 넘지 않는다."</p> <p>다음은 정리의 또 다른 증명이다.</p> <p>(증명 $3 $) $ x, y \in V(G),(x, y) \in E(G) $ 라 하자. 삼각형이 없으므로 임의의 $ z \in V(G) \backslash \{\mathrm { x } , \mathrm { y } \} $ 는 기껏해야 $ x, y $ 중 어느 하나와 인접한다. 따라서 $ (d(x)-1) + (d(y)-1) \leqq n-2 $ 즉, $ d(x) + d(y) \leqq n $ 모든 간선 $ (x, y) $ 에 대하여 이 부등식을 변변 더하면 부등식의 좌변은 $ \sum_ { x } (d(x)) ^ { 2 } $이고, 우변은 $ n \cdot\|E(G)\| $ 이다. 즉, \[ \sum_ { x } (d(x)) ^ { 2 } \leqq n \cdot\|E(G)\| \] 그런데 \[ \sum_ { x } (d(x)) ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { n } \left [ \sum_ { x } d(x) \right ] ^ { 2 } = \frac { 4 } { n } \|E(G)\| ^ { 2 } \] 그러므로 \[ \frac { 4 } { n } \|E(G)\| ^ { 2 } \leq n\|E(G)\| \text { 즉, } \|E(G)\| \leq \frac { n ^ { 2 } } { 4 } \]</p> <p>앞에서, $ v $ 개의 정점을 가진 평면그래프가 기껏해야 $ 3 v-6 $ 개의 간선을 가짐을 알고 있다. 만약 $ v $ 개의 정점을 가진 평면그래프가 삼각형을 포함하지 않을 때 가질 수 있는 간선의 최대 개수는 무엇일까?</p> <h3>정리 $ 4.14 $</h3> <p>$ v $ 개의 정점, $ e $ 개의 간선을 가진 평면그래프가 삼각형을 포함하지 않을 때 \[ e \leqq 2 v-4 \]</p> <p>(증명) 주어진 평면그래프를 플레인 그래프로 바꾸었을 때 이를 $ G $ 라 하자. $ G $ 의 영역의 개수를 $ f $ 라하고 각 영역에서의 간선의 수의 총합을 $ N $ 이라 하자. 삼각형을 포함 하지 않으므로 각 영역에 적어도 $4 $개의 간선이 있어 \[ N \geqq 4 f \] $ N $ 에서 간선이 한 번 혹은 두 번 계산되므로 \[ N \leqq 2 e \] 따라서 \[ 4 f \leqq 2 e \] 오일러 공식에 의해 \[ 2=v-e + f \leqq v-e + \frac { 1 } { 2 } e \leqq v- \frac { 1 } { 2 } e \] 이고, 그러므로 \[ e \leqq 2 v-4 \]</p> <p>32. 어느 바둑 시합에 일곱 명 $ \mathrm { A } , \mathrm { B } , \mathrm { C } , \mathrm { D } , \mathrm { E } , \mathrm { F } , \mathrm { G } $ 가 참가하였다. 다음 물음에 답하시오. (1) 모든 참가자가 다른 참가자와 정학히 두 판 바둑을 둘 수 있도록 대진표를 작성하시오. (2) 모든 참가자가 다른 참가자와 정학히 세 판 바둑을 둘 수 있도록 대진표를 작성할 수 있는지 판단하시오.</p> <p>33. 단순그래프 $ G $ 가 $ v $ 개의 정점과 $ e $ 개의 간선, $ c $ 개의 성분을 가질 때, 다음을 보이시오. \[ e + c \geq v \]</p> <h2>2. 오일러 그래프와 해밀턴 그래프</h2> <p>쾨니히스베르크 다리 문제는 그림 $1 $의 다증그래프로 표현된다. 양쪽의 강둑 $ a, b $ 와 두 개의 섬 $ c, d $ 는 정점으로, 이것들을 연결하는 다리는 간선으로 바뀐다.</p> <p>다중그래프에서 각 간선을 정확히 한 번만 통과할 수 있는 경로를 오일러 경로(Eulerian path)라고 한다. 특히 시작 정점과 끝 정점이 같은 오일러 경로를 오일러 회로(Eulerian circuit)라고 한다. 오일러 회로가 존재하는 그래프를 오일러 그래프라고 한다.</p> <h3>정리 $ 2.1 $</h3> <p>$ G=(V, E) $ 가 연결그래프이고 $ \|V\| \geqq 2 $ 이다. $ G $ 에서 오일러 경로가 존재하기 위한 필요충분조건은 홀수 차수인 정점의 수가 $0 $혹은 두 개이어야 한다.</p> <p>(증명) $ ( \Rightarrow) $ 오일러 경로에서 처음과 마지막 정점을 제외하면 도착되는 간선과 출발하는 간선이 함께 존재한다. 그러므로 경로 양 끝의 두 정점을 제외하고는 모든 정점의 차수는 짝수다. 이 때 경로 양끝의 정점이 다르면 이 두 개의 정점만이 홀수 차수를 갖고, 같으면 모든 정점이 짝수 차수를 갖는다. $ ( \Leftarrow) $ 먼저 모든 정점이 짝수 차수인 경우를 생각해 보자. 츨발점으로 임의의 정점 $ v $ 를 선택한다. $ v $ 에 근접하는 간선의 수는 짝수이므로 하나의 간선을 따라 출발하면 $ v $ 에 도착할 간선이 적어도 하나 존재한다. $ v $ 를 출발하여 경로를 따라 $ v $ 에서 끝나고 이에 모든 간선이 포함되면 오일러 회로가 존재한다. 만약 이 경로에 모든 간선이 포함되지 않았다면 이미 형성된 경로와 공통된 정점 $ u $ 가 존재한다. $ u $ 로부터 모든 간선이 포함될 때까지 위의 과정을 반복하면 오일러 회로가 만들어진다.</p> <p>25. $ K_ { n, n } $ 에 있는 1-인자 (1-정규 생성 부분그래프)의 개수를 구하시오. (풀이) $ n ! $.</p> <p>26. $ K_ { n } $ 에 있는 $ P_ { k } $ 와 동형인 부분그래프의 개수를 구하시오. (여기서 $ P_ { k } $ 는 길이가 $ k $인 경로.) (풀이) $ \frac { n(n-1) \cdots(n-k) } { 2 } = \frac { n ! } { 2(n-k-1) ! } $</p> <p>27. $ K_ { n } $ 에 있는 $ K_ { 1,3 } $ 와 동형인 부분그래프의 개수를 구하시오. (풀이) $ 4 \left ( \begin {array} { l } n \\ 4 \end {array} \right )=n \left ( \begin {array} { c } n-1 \\ 3 \end {array} \right ) $</p> <p>28. $ K_ { 2 n } $ 에 있는 1-인자의 개수를 구하시오. (풀이) $ \frac { (2 n-1) ! } { 2 ^ { n-1 } (n-1) ! } $</p> <p>29. $ K_ { n, n } $ 에서 1-인자를 뺀 그래프에 있는 1-인자의 개수를 구하시오. (풀이) $ D_ { n } =n ! \left [ \frac { 1 } { 2 ! } - \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { 1 } { 4 ! } - \cdots + \frac { (-1) ^ { n-1 } } { (n-1) ! } + \frac { (-1) ^ { n } } { n ! } \right ] $</p> <p>30. 정다면체를 모두 구하시오. (풀이) 정 $ 4,6,8,12,20 $ 면체</p> <p>31. 다음 그래프를 $ G_ { n } $ 이라 하자. (1) $ G_ { n } $ 은 이분할그래프인지 판단하시오. (2) $ G_ { n } $ 은 평면그래프인지 판단하시오. (3) $ G_ { n } $ 에 있는 1-인자의 개수를 구하시오. (풀이) (1) No. (2) Yes. (3) $ a_ { n } = \frac { 1 } { 3 } \left (2 ^ { n + 2 } -(-1) ^ { n } \right ) $</p> <p>정리 $ 4.1 $ 에서 색수 $1 $인 그래프는 무선그래프이다. 자연스럽게, 색수 $2 $인 그래프의 성격 규명이 긍금한데 그 답은 다음 정리에서 얻어진다. 그 증명은 이분할 그래프의 성질에 의해 자명하므로 생략한다.</p> <h3>정리 $ 4.4 $</h3> <p>그래프 $ G $ 가 적어도 하나의 간선을 가질 때 다음이 성립한다. \[ \chi(G)=2 \Leftrightarrow G는 이분할 그래프. \]</p> <p>그래프 이른에서 이분할 그래프에 대한 정리를 이용하면, 무선그래프가 아닌 그래프의 색수가 $2 $일 필요층분조건은 모든 회로(cycle)가 짝수 길이를 갖는 것이다.<p>색수가 $3 $인 그래프를 규명하는 것은 복잡하다. 또한 일반적으로 그래프의 색수를 결정 하는 것도 어려운 문제다.</p> <p>다음은 정점색칠에 관한 그리디 알고리즘(greedy algorithm)이다. $ G $ 를 정점 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $ 을 가진 그래프라고 할 때,<ol type=1 start=1><li>색 $1 $을 정점 $ x_ { 1 } $ 에 지정한다.</li> <li>정점 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { i-1 } $ 중에서 정점 $ x_ { i } $ 에 인접한 정점들에 칠해진 색 이외의 색 중에서 가장 작은 색을 $ x_ { i } $ 에 지정한다.</li></ol>$ \quad(i=2,3, \cdots, n) $</p> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 에서의 최대 차수를 $ \Delta(G) $ 혹은 $ \Delta $ 로 표시한다. 즉, \[ \Delta(G)= \max \{\mathrm { d } ( \mathrm { v } ) \mid \mathrm { v } \in \mathrm { V } \} \]</p> <h3>정리 $ 4.5 $</h3> <p>최대 차수가 $ \Delta $ 인 그래프 $ G $ 에 대하여, 그리디 알고리즘은 $ ( \Delta + 1) $-색칠을 제공하고, 따라서 \[ \chi(G) \leqq \Delta + 1 \]</p> <p>(증명) 간단히 말해서, 그리디 알고리즘은 각 정점에 차례대로 색을 지정하는데, 인접한 정점에 이미 지정되지 않은 최소의 색을 지정하는 것이다. 그러므로 두 인접한 정점은 같은 색이 지정되지 않고, 따라서 그리디 알고리즘은 정점색칠을 제공한다. 정점의 최대 차수가 $ \Delta $ 이므로 정점 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { i-1 } $ 중에서 $ x_ { i } $ 에 인접한 정점의 개수는 기껏해야 $ \Delta $ 이다. 그리디 알고리즘의 단계 (2)에서 $ 1,2,3, \cdots, \Delta, \Delta + 1 $ 중에서 적어도 어느 한 색은 $ x_ { i } $ 에 인접한 정점에 지정되지 않았고 그리디 알고리즘은 그 중에 가장 작은 색을 $ x_ { i } $ 에 지정한다. 따라서 그리디 알고리즘은 $ ( \Delta + 1)- $색칠을 제공한다.</p> <p>플레인그래프는 몇 개의 영역으로 나누어진다. 그림 7의 오른쪽 그래프에서 영역의 개수는 4이다. 트리는 영역의 개수가 1이다. 이제 유명한 점, 선, 면에 관한 오일러의 공식을 증명해 보겠다.</p> <p>정리 1.3 (오일러의 공식) 정점의 개수 $ v $, 간선의 개수 $ e $, 영역의 개수 $ f $인 연결 플레인그래프에 대하여 다음이 성립한다. \[ v-e + f=2 \]</p> <p>(증명) $ G $를 연결 플레인그래프라고 하고 하나의 정점으로 이루어졌다고 하자. 그러면 $ v=1, e=0, f=1 $이다. 따라서 $ v-e + f=2 $이다.</p><p>다음으로 $ G $는 두 개 이상의 정점으로 이루어졌다고 하자. 그러면 $ G $는 하나의 정점으로부터 다음의 두 가지 방법을 유한 번 사용하여 만들어질 수 있다.<ol type='1'><li>새로운 정점을 첨가하고 기존의 정점과 연결하는데 이미 있는 간선과 교차하지 않도록 한다.</li><li>기존의 두 정점을 연결하는데 이미 있는 간선과 교차하지 않도록 한다.</li></ol>첫 번째의 경우, $ v $와 $ e $의 값은 하나씩 증가하고 $ f $의 값은 변하지 않으므로 오일러의 공식 $ v-e + f $의 값은 변하지 않는다. 두 번째의 경우, $ v $의 값은 변하지 않고 $ e $와 $ f $의 값은 하나씩 증가한다. 따라서 오일러의 공식 $ v-e + f $의 값은 변하지 않는다. 즉 $ v-e + f=2 $이다.</p> <p>다음 정리는 완전그래프 $ K_ { 5 } $가 평면그래프가 아님을 증명하는데 유용하게 쓰인다.</p> <p>정리 1.4 그래프 $ G $가 $ v $개의 정점과 $ e $개의 간선을 가진 연결 평면그래프라고 하자. $ v \geqq 3 $이면 $ e \leqq 3 v-6 $이다.</p> <p>(증명) $ v=3 $일 때 $ e \leqq 3=3 v-6 $. 이제 $ v \geqq 4 $일 때, $ G $를 플레인그래프로 그리고 그 영역의 수를 $ f $라 하자. 각 영역에서의 간선의 수를 모두 더한 것을 $ N $이라 하자. 그러면 각 영역에 적어도 3개의 간선이 있으므로 \[ N \geq 3 f \]를 얻는다. 그리고 $ N $ 에서 간선이 한 번 혹은 두 번 계산되므로 \[ N \leqq 2 e \]를 얻는다. 그러므로 $ 3 f \leqq 2 e $를 얻고 \[ 2=v-e + f \leqq v-e + \frac { 2 } { 3 } e \leqq v- \frac { 1 } { 3 } e \] 즉, $ e \leqq 3 v-6 $이다.</p> <p>(풀이) 구하려는 정점의 개수를 $ x $라 놓자. 정리 $ 1.1 $ 에 의해, \[ 10 \times 3 + x \times 1=2 q \] 을 얻고, 정리 $ 3.1 $ 에 의해, \[ 10 + x=p=q + 1 \] 을 얻는다. 두 식을 연립하여 풀면 \[ q=21, x=12 \] 를 얻는다.</p> <h3>예제 $ 3 . $</h3> <p>트리의 평균 차수가 $ 1.99 $ 일 때 간선의 개수를 구하시오.</p> <p>(풀이) 정리 $ 1.1 $ 에 의해, \[ \frac { 2 q } { p } =1.99 \] 을 얻고, 정리 $ 3.1 $ 에 의해, \[ p=q + 1 \] 을 얻는다. 두 식을 연립하여 풀면 \[ q=199 \] 를 얻는다.</p> <p>그래프가 트리이기 위한 또 다른 필요충분조건을 구해 보자. 그래프가 트리이기 위한 필요층분조건은 임의의 두 정점을 연결하는 경로가 반드시 단 하나 존재한다.</p> <p>(증명) $ ( \Rightarrow) $ 트리 $ G $ 의 두 정점을 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } $ 라 하자. $ G $ 는 연결그래프이므로 $ v_ { 1 } $ 에서 $ v_ { 2 } $ 로 가는 경로가 존재한다. 두 개의 경로 $ P_ { 1 } =v_ { 1 } u_ { 1 } u_ { 2 } \cdots u_ { n } v_ { 2 } , P_ { 2 } =v_ { 1 } w_ { 1 } w_ { 2 } \cdots w_ { n } v_ { 2 } $가 존재한다고 가정하자. 만약 $ u_ { 1 } \neq w_ { 1 } $ 이면 경로 $ P_ { 1 } $ 을 따라 $ P_ { 1 } $ 과 $ P_ { 2 } $ 에 공통으로 있는 최초의 정점을 찾는다. 그 정점이 $ v_ { 2 } $ 가 퇼 수도 있다. 그 정점에서 경로 $ P_ { 2 } $ 를 따라 $ v_ { 1 } $ 으로 돌아오면 회로가 만들어진다. 이는 그래프가 트리라는데 모순이다. 따라서 단 하나의 경로만 존재한다. 만약 $ u_ { 1 } =w_ { 1 } $ 이면 두 개의 경로가 존재하므로 처음으로 다음을 만족하는 정점 $ u_ { i-1 } , u_ { i } $ 가 존재한다. \[ u_ { i-1 } =w_ { i-1 } , u_ { i } \neq w_ { i } \] 이제 $ u_ { i-1 } $ 에서 시작해 $ P_ { 1 } $ 을 따라 $ P_ { 1 } $ 과 $ P_ { 2 } $ 에 공통으로 있는 정점까지 가고 다시 $ P_ { 2 } $ 틀 따라 $ u_ { i-1 } $ 까지 되돌아 가면 회로가 형성된다. 이는 그래프가 트리라는데 모순이다. 따라서 단 하나의 경로만 존재한다. $ ( \Leftarrow) $ 먼저 경로가 존재하므로 $ G $ 는 연결그래프이다. 만약 $ G $ 에 회로 $ v_ { 1 } v_ { 2 } \cdots v_ { n } v_ { 1 } $가 존재하면 $ v_ { 1 } $ 에서 $ v_ { n } $ 으로 가는 경로가 적어도 두 개 존재한다. 가정에 모순이므로 $ G $ 는 비사이클 연결그래프 즉 트리이다.</p> <h3>따름정리 $ 4.2 $</h3> <p>그래프 $ G $ 의 부분그래프 $ H $ 에 대하여 $ \chi(G) \geqq \chi(H) $. 만약 $ G $ 가 완전그래프 $ K_ { p } $ 를 부분 그래프로 가지면, $ \chi(G) \geqq p $.<p>(증명) 색수의 정의에 의해 $ \chi(G) \geqq \chi(H) $ 이다. 정리 $ 4.1 $ 에 의하여 \[ \chi(G) \geqq \chi \left (K_ { p } ^ { * } \right )=p \]</p> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 가 색 $ 1,2, \cdots, k $ 로 $ k $-색칠되었다고 하자. $ V_ { i } $ 가 색 $ i $ 로 칠해진 정점들의 집합이다 $ (i=1,2, \cdots, k) $. 그러면 $ V_ { 1 } , V_ { 2 } , \cdots, V_ { k } $ 는 전체 정점들의 집합 $ V $ 의 분할을 이루고 이를 색분할(color-partition)이라 한다. 그리고 각각의 부분그래프 $ G_ { V_ { 1 } } , G_ { V_ { 2 } } , \cdots, G_ { V_ { k } } $ 는 무선그래프이다.</p> <p>역으로 그래프의 정점들을 $ k $ 부분으로 분할하고 각 부분에 무선그래프를 부여하면 그 그래프의 색수는 기껏해야 $ k $ 이다. 따라서 색수를 다음과 같이 정의할 수도 있다.</p> <p>그래프 $ G $ 의 정점들을 $ k $ 개의 무선그래프인 집합들로 분할할 수 있는 최소의 $ k $ 를 색수 $ \chi(G) $ 라 한다.</p> <h3>따름정리 $ 4.3 $</h3> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 가 $ n $ 개의 정점을 가지고 있고 $ G $ 에 포함되는 최대의 무선그래프가 $ N_ { q } $ 일 때, \[ \chi(G) \geqq \lceil n / q \rceil \] 여기서, $ \lceil x \rceil $ 는 $ x $ 보다 작지 않은 최소 정수이다.</p> <p>(증명) $ \chi(G)=k $ 이고 $ V_ { 1 } , V_ { 2 } , \cdots, V_ { k } $ 는 $ G $ 의 색분할이다. 그러면 \[ \left \|V_ { i } \right \| \leqq q \quad(i=1,2, \cdots, k) \] 이고 \[ n=\|V\|= \sum_ { i=1 } ^ { k } \left \|V_ { i } \right \| \leqq \sum_ { i=1 } ^ { k } q=k q \]이다. 따라서 \[ \chi(G)=k \geqq \frac { n } { q } \] 색수 $ \chi(G) $ 는 정수이므로 \[ \chi(G) \geqq \lceil n / q \rceil \]</p> <p>예를 들어, 완전 이분할 그래프 $ K_ { 1, n } $ 은 $ \Delta=n $ 이므로 정리 $ 4.5 $ 에 의해 \[ \chi \left (K_ { 1, n } \right ) \leqq n + 1 \] 그러나 실제로 $ \chi \left (K_ { 1, n } \right )=2 $ 이다.</p> <p>정리 $ 4.5 $ 에서 주어진 $ \chi(G) $ 의 상계(upper bound)는 다음 두 가지 종류의 그래프를 제의시킬 때 하나 작아진다.</p> <p>완전그래프 $ K_ { n } $ 의 경우, \[ \Delta=n-1, \quad \chi \left (K_ { n } \right )=n \] 사이클 그래프(cycle graph) $ C_ { n } $ 에서 $ n $ 이 홀수인 경우, \[ \Delta=2, \quad \chi \left (C_ { n } \right )=3 \] 다음 정리는 Brooks가 증명한 것으로 증명은 생략한다.</p> <h3>정리 $ 4.6 $</h3> <p>최대 차수가 $ \Delta $ 인 그래프 $ G $ 에 대하여, $ G $ 가 완전그래프 $ K_ { n } $ 도 아니고 사이클 그래프 $ C_ { n } (n $ 이 홀수)도 아닐 때, $ \chi(G) \leqq \Delta $.</p> <p>그래프 $ G $ 와 $ k $ 개의 색 $ \{ 1,2, \cdots, \mathrm { k } \} $ 이 주어졌을 때, $ G $ 의 $ k $-색칠의 수를 $ p_ { G } (k) $로 표시한다.</p> <p>만약 $ \chi(G)>k $ 이면, $ p_ { G } (k)=0 $. 예를 들어, 완전그래프의 경우, \[ p_ { K_ { n } } (k)=k(k-1)(k-2) \cdots(k-n + 1) \] 무선그래프의 경우, \[ p_ { N_ { n } } (k)=k ^ { n } \] 사이클이 없는 연결그래프인 트리(tree) $ T $ 의 경우 $ p_ { T } (k) $ 의 계산이 어렵지 않다.</p> <h3>정리 $ 4.7 $</h3> <p>모든 트리는 하나의 정점으로 시작하여, 반복해서 새로운 정점을 선택하고 그 새로운 정점을 기존의 어느 한 정점에 새 간선으로 연결하면서 만들어진다. 처음에 한 정점을 $ k $ 개의 색 중에 어느 하나로 색칠할 수 있다. 새로운 정점은 기존의 어느 한 정점에 새 간선으로 연결되어 있으므로 $ k-1 $ 개의 색 중에 어느 하나로 색칠할 수 있다. 따라서 처음에 선택한 한 점 외에 나머지 $ n-1 $ 개의 점은 $ k-1 $ 개의 색 중에 어느 하나로 색칠할 수 있다.</p> <p>그러므로 \[ \|V(G)\| \geqq \left \|S_ { 0 } \right \| + \left \|S_ { 1 } \right \| + \left \|S_ { 2 } \right \|=1 + d + (d-1) d=d ^ { 2 } + 1 \]</p> <p>그래프 $ G $ 의 모든 간선이 $ S \subseteq V(G) $ 에 있는 점과 근접할 때, $ S $ 를 $ G $ 의 피복(covering)이라 한다. $ G $ 의 최소 피복에 있는 정점의 개수를 피복수(covering number) $ \beta(G) $ 라 한다. 독립집합과 피복의 관계는 다음과 같다. $ S \subseteq V(G) $ 가 독립집합 $ \Leftrightarrow V(G) \backslash S $ 가 $ G $ 의 피복</p> <p>참고로, $ \alpha(G) + \beta(G)=\|V(G)\| $.</p> <p>$ S $ 를 $ G $ 의 최대 독립집합, $ K $ 를 $ G $ 의 최소 피복이라 하자. 그러면 $ V(G) \backslash I $ 가 독립집합이고, $ V(G) \backslash S $ 는 피복이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } \|V(G)\|- \beta(G)=\|V(G) \backslash K\| \leqq \alpha(G), \\ \|V(G)\|- \alpha(G)=\|V(G) \backslash S\| \geqq \beta(G) . \end {array} \] 그러므로 $ \alpha(G) + \beta(G)=\|V(G)\| $ 이다.</p> <h3>예제 $ 4 . $</h3> <p>삼각형이 없는 그래프 $ G $ 는 다음 부등식을 만족함을 증명하시오. \[ \|E(G)\| \leqq \alpha(G) \cdot \beta(G) \]</p> <p>(증명) 임의의 $ x \in V(G) $ 에 대하여, 삼각형이 없으므로 $ x $ 의 인접한 두 정점은 인접하지 않는다. 따라서 \[ d(x) \leqq \alpha(G) \] $ S $ 를 $ G $ 의 최소 피복이라 하자. $ G $ 의 각 간선은 $ S $ 의 정점으로 대표된다. 따라서 \[ \|E(G)\| \leqq \sum_ { x \in S } d(x) \leqq \alpha(G) \cdot\|S\|= \alpha(G) \cdot \beta(G) \]</p> <p>참고로, 예제 $4 $를 이용하면 정리 $ 4.13 $ 의 네 번째 증명을 할 수 있다. 즉, \[ \|E(G)\| \leqq \alpha(G) \cdot \beta(G) \leqq \left ( \frac {\alpha(G) + \beta(G) } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { n } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \frac { n ^ { 2 } } { 4 } \]</p> <h3>예제 $ 2 . $</h3> <p>$ K_ { 5 } $ 와 $ K_ { 3,3 } $ 은 평면그래프가 아님을 증명하시오.</p> <p>(증명) $ K_ { 5 } $ 는 $ v=5, e=10 $ 이다. $ K_ { 5 } $ 가 평면그래프라면, 정리 $ 1.4 $ 에 의해서 부등식 $ e \leq 3 v-6 $ 을 만족해야 한다. 그러나 $ v=5, e=10 $ 을 대입하면 성립하지 않는다. 따라서 $ K_ { 5 } $ 는 평면그래프가 아니다. $ K_ { 3.3 } $ 는 $ v=6, e=9 $ 이다. 정리 $ 1.4 $ 에 있는 부등식 $ e \leqq 3 v-6 $ 을 만족하지만 평면그래프가 아님을 증명하자. $ K_ { 3.3 } $ 가 평면그래프라고 가정하자. 오일러의 공식 $ v-e + f=2 $ 에 대입하면 $ f=5 $ 이다. $ K_ { 3.3 } $ 에서는 각 영역에 적어도 $4 $개의 간선이 있으므로 정리 1.4를 증명할 때와 같은 방법으로 다음 부등식을 얻는다. \[ 4 f \leq 2 e \] 그러나 $ e=9, f=5 $ 를 대입하면 성립하지 않는다. 따라서 $ K_ { 3,3 } $ 는 평면그래프가 아니다.</p> <p>그래프 $ G_ { 1 } $ 에 차수가 $2 $인 정점을 첨가하거나 제거함으로써 그래프 $ G_ { 2 } $ 를 얻었을 때 $ G_ { 1 } $ 과 $ G_ { 2 } $ 는 준동형(homeomorphic)그래프라 한다.</p> <p>폴란드의 수학자 Kuratowski는 $1930 $년 평면그래프와 비평면그래프를 구분할 수 있는 다음 정리를 증명하였다. 정리의 증명은 이 책의 수준을 벗어나므로 생략한다.</p> <h3>정리 $ 1.5 $</h3> <p>그래프 $ G $ 가 비평면그래프이기 위한 필요충분조건은 $ G $ 가 $ K_ { 6 } $ 또는 $ K_ { 3,3 } $ 에 준동형인 부분 그래프를 포함한다.</p> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 에서 $ V= \left \{\mathrm { x } _ { 1 } , \mathrm { x } _ { 2 } , \cdots, \mathrm { x } _ {\mathrm { n } } \right \} $ 일 때, $ \left \{\mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ { 1 } \right ), \mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ { 2 } \right ), \cdots, \mathrm { d } \left ( \mathrm { x } _ {\mathrm { n } } \right ) \right \} $ 을 $ G $ 의 차수 수열(dergee sequence)이라고 한다. 차수 수열이 $ d= \left (d_ { 1 } , d_ { 2 } , \cdots, d_ { n } \right ), d_ { 1 } \geqq d_ { 2 } \geqq \cdots \geqq d_ { n } $ 인 단순그래프가 존재할 때, 수열 $ d $ 를 그래픽(graphic)이라 한다.</p> <p>16. 라벨그래프 $ K_ { 2, n } $ 의 서로 다른 생성트리의 개수를 구하시오. (풀이) $n 2 ^ { n-1 } $</p> <p>17. 라벨그래프 $ K_ { 3, n } $ 의 서로 다른 생성트리의 개수를 구하시오. (풀이) $ n ^ { 2 } 3 ^ { n-1 } $</p> <h2>4. 그래프의 활용</h2> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 의 정점색칠(vertex-coloring)은 임의의 이웃한 두 정점이 다른 색을 갖도록 $ G $ 의 각 정점에 색깔을 지정하는 것이다. 만약 $ G $ 를 색칠하는데 $ k $ 개의 색이 필요하다면 이를 $ k $-정점색칠( $ k $-vertex-coloring) 혹은 줄여서 $ k $-색칠( $ k $-coloring)이라 부른다. 그리고 $ G $ 는 $ k $-색칠가능 $ (k- $ colorable)하다고 한다. $ G $ 가 $ k $-색칠가능한 최소의 $ k $ 를 $ G $ 의 색수(chromatic number)라 하고, 기호로 $ \chi(G) $ 로 표시한다.</p></p>간선이 전혀 없고 정점뿐인 그래프를 무선그래프(null graph)라고 한다. $ n $ 개의 정점을 가진 무선그래프를 $ N_ { n } $ 으로 표시한다.</p> <h3>정리 $ 4.1 $</h3> <p>그래프 $ G $ 가 $ n $ 개의 정점을 가지고 있을 때 $ (n \geqq 1) $ \[ 1 \leqq \chi(G) \leqq n \] 특별히, $ \chi(G)=n $ 일 필요층분조건은 $ G $ 가 완전그래프인 것이고, $ \chi(G)=1 $ 일 필요층분 조건은 $ G $ 가 무선그래프인 것이다.</p> <p>(증명) 위의 부등식은 자명하다. 완전그래프 $ K_ { n } $ 에서 어떤 두 정점도 같은 색을 지정할 수 없으므로 $ \chi \left (K_ { n } \right )=n $ 이다. 역으로 $ G $ 가 완전그래프가 아니라고 가정하자. 그러면 인접하지 않은 두 정점 $ x, y $ 가 존재하고 이 $ x, y $ 에 같은 색을 지정하고 나머지 $ n-2 $ 개의 정점에 다른 색들을 지정하면 $ G $ 의 $ (n-1)- $ 색칠이 얻어진다. 즉, $ \chi(G) \leqq n-1 $. 무선그래프 $ N_ { n } $ 의 모든 정점에 같은 색을 지정해도 정점색칠이 되므로 $ \chi \left (N_ { n } \right )=1 $. 역으로 $ G $ 가 무선그래프가 아니라고 가정하자. 그러면 인접한 두 정점 $ x, y $ 가 존재하고 이 $ x, y $ 에 같은 색을 지정할 수 없다. 따라서 $ \chi(G) \geqq 2 $</p> <h2>연습문제 9-2</h2> <p>1. 정다면체 중에서 (1) 해밀턴 그래프인 것을 구하시오. (2) 오일러 그래프인 것을 구하시오. (풀이) (1) 모두 해밀턴 그래프 (2) 정팔면체만 오일러 그래프</p> <p>2. 어떤 정수 $ n $ 에 대하여 완전그래프 $ K_ { n } $ 은 오일러 회로를 갖는지 판단하시오. (풀이) $ n $ 이 홀수</p> <p>3. 어떤 정수들의 쌍 $ m, n $ 에 대하여 완전 이분할 그래프 $ K_ { m, n } $ 은 오일러 회로를 갖는지 판단하시오. (풀이) $ m, n $ 이 짝수</p> <p>4. $ m>1 $ 일 때 $ K_ { m, n } $ 이 해밀턴 희로를 가질 필요층분조건을 구하시오. (풀이) $ m=n $</p> <p>5. 다음 그래프가 해밀턴인지 판단하시오. (풀이) (1) 해밀턴 (2) 비해밀턴 (3) 비해밀턴</p> <p>6. 정다면체 그래프(Platonic graphs)는 해밀턴임을 보이시오.</p> <p>7. 그래프 $ G $ 의 정점의 개수가 $5 $이하이다. (1) 해밀턴 그래프이지만 오일러가 아닌 그래프 $ G $ 를 구하시오. (2) 오일러 그래프이지만 해밀턴이 아닌 그래프 $ G $ 를 구하시오. (풀이) (1) (2)</p> <h2>3. 트리(tree)</h2> <p>트리는 $1 $장에서 정의했듯이 비사이클 연결그래프를 말한다. $6 $개의 정점을 가진 트리들을 그림 $1 $에서 볼 수 있다.</p> <p>위 그림에서 관찰할 수 있듯이 $6 $개의 정점을 가진 트리들은 $5 $개의 간선을 가진다. 다음 정리에서 이 사실을 일반적으로 증명해 보겠다.</p> <h3>정리 $ 3.1 $</h3> <p>$ G $ 가 트리이고 $ p $ 개의 정점과 $ q $ 개의 간선을 가지고 있으면, $ q=p-1 $.</p> <p>(증명) $ p $ 에 관하여 수학적 귀납법을 사용하겠다. $ p=1 $ 일 때, 즉 정점이 하나면 간선은 없다. 즉 $ q=0 $. 따라서 $ p=1 $ 일 때 성립한다. $ p \leqq k-1 $ 인 모든 $ p $ 에 대해서 성립한다고 가정하자. $ T $ 는 $ k $ 개의 정점을 가진 임의의 트리이다. $ e=(u, v) $ 가 $ T $ 의 간선이면 $ T-e $ 는 연결이 아니고 두 연결요소 $ T_ { 1 } , T_ { 2 } $ 를 갖는다. 여기서 $ T_ { 1 } $ 은 $ u $ 를 포함하는 트리이고 $ T_ { 2 } $ 는 $ v $ 를 포함하는 트리이다. $ T_ { 1 } , T_ { 2 } $ 의 정점의 개수가 각각 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } $ 일 때 $ 1 \leqq k_ { 1 } , k_ { 2 } \leqq k-1 $ 이고 $ k_ { 1 } + k_ { 2 } =k $ 이다. 가정에 의해 $ T_ { 1 } , T_ { 2 } $ 는 $ k_ { 1 } -1, k_ { 2 } -1 $ 개의 간선을 갖는다. 따라서 $ T $ 의 간선의 개수는 $ \left (k_ { 1 } -1 \right ) + \left (k_ { 2 } -1 \right ) + 1=k-1 $ 이고 증명 끝.</p> <h3>예제 $ 2 . $</h3> <p>둘레가 $4 $인 최소의 3 -정규그래프를 구하시오.</p> <p>(풀이) 둘레가 $4 $인 3 -정규그래프 $ G $ 의 한 정점 $ x_ { 1 } $ 에 인접한 세 정점 $ x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 가 있다. 둘레가 $4 $이므로 삼각형이 없고 $ x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 는 독립(independent)이다. $ x_ { 1 } $ 이외에 $ x_ { 2 } $와 인접한 정점을 $ x_ { 5 } , x_ { 6 } $ 라 하자. 따라서 $ \|V(G)\| \geqq 6 $ 등호는 $ x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 가 $ x_ { 5 } , x_ { 6 } $ 와 모두 인접할 경우이고, 이 때 \[ G=K_ { 3,3 } \]</p> <h3>예제 3.</h3> <p>그래프 $ G $ 의 둘레는 $5 $이고 모든 정점의 차수는 $ d $ 일 때, $ G $ 는 적어도 $ d ^ { 2 } + 1 $ 개의 정점을 가짐을 증명하시오.</p> <p>(증명) 정점 $ x_ { 0 } $ 에 대하여 $ S_ { i } $ 는 $ x_ { 0 } $ 로부터 거리 $ i $ 인 정점들의 집합이다 $ (i=0,1,2) . S_ { i } $의 정점 $ x $ 로부터 $ S_ { i-1 } $ 의 정점으로 가는 간선이 딱 하나만 존재한다. 왜냐하면, 만약 $ S_ { i } $ 의 정점 $ x $ 로부터 $ S_ { i-1 } $ 의 정점 $ y, z $ 로 가는 간선이 두 개 존재한다면 $ \left \{\mathrm { x } _ { 0 } , \mathrm { y } , \mathrm { x } , z, \mathrm { x } _ { 0 } \right \} $ 는 길이가 $4 $인 사이클이어서 모순이다. 따라서 \[ \left \|S_ { 0 } \right \|=1, \left \|S_ { 1 } \right \|=d, \left \|S_ { 2 } \right \|=(d-1) \left \|S_ { 1 } \right \| \]</p> <p>위에서 정의한 $ p_ { G } (k) $ 가 $ k $ 에 관한 다항식이므로 이를 그래프 $ G $ 에 대한 색다항식(chromatic polynomial)이라 부른다. $ p_ { G } (k) $ 는 그래프 $ G $ 의 $ k $-색칠의 개수이다. 색수(chromatic number)는 색다항식의 근이 아닌 최소의 음이 아닌 정수이다.</p> <p>그래프 $ G $ 의 인접한 두 정점 $ x, y $ 와 간선 $ e= \{\mathrm { x } , \mathrm { y } \} $ 에 대하여, $ G $ 에서 간선 $ e $ 를 제거한 그래프를 $ G/e $ 라 하자. $ G/e $ 의 $ k $-색칠을 다음 두 가지 경우로 나누어 보자.</p> <p>$ x, y $ 에 같은 색을 지정한 $ G/e $ 의 $ k $-색칠의 개수를 $ c(k) $ 라 하고, $ x, y $ 에 다른 색을 지정한 $ G/e $ 의 $ k $-색칠의 개수를 $ d(k) $ 라 하자. 그러면 \[ p_ { G e } (k)=c(k) + d(k) \]</p> <p>그런데 \[ p_ { G } (k)=d(k) \] 이다.</p> <p>$ G $ 에서 간선 $ e $ 를 제거하고 양 끝 정점 $ x, y $ 를 동일시해서 하나로 한 그래프를 $ G/e $ 라 하자. 그러면 \[ p_ { G / e } (k)=c(k) \] 따라서 다음 정리를 얻는다.</p> <h3>정리 $ 4.8 $</h3> <p>그래프 $ G $ 의 간선 $ e $ 에 대하여, \[ p_ { G } (k)=p_ { G e } (k)-p_ { G / e } (k) \]</p> <h3>예제 $ 1 . $</h3> <p>사이클 그래프 $ C_ { 5 } $ 에 대하여, $ p_ { C_ { 9 } } (k) $ 와 $ \chi \left (C_ { 6 } \right ) $ 를 구하시오.</p> <p>(풀이) $ e $ 가 $ C_ { 5 } $ 의 간선일 때, $ C_ { 5 } \backslash \epsilon $ 는 $4 $개의 점으로 이루어진 트리이고, $ C_ { 5 } / e $ 는 $ C_ { 4 } $ 이다. 정리 $ 4.7 $ 와 정리 $ 4.8 $ 에 의해 \[ p_ { C_ { 0 } } (k)=k(k-1) ^ { 4 } -p_ { C_ { 4 } } (k) \] 같은 방법으로 \[ p_ { C_ { 4 } } (k)=k(k-1) ^ { 3 } -p_ { C_ { 3 } } (k) \] 그리고 $ \mathrm { C } _ { 3 } $ 는 $ \mathrm { K } _ { 3 } $ 이므로</p>\[ p_ { C_ { 3 } } =k(k-1)(k-2) \] 따라서 \[ \begin {array} { l } p_ { C_ { 0 } } (k)=k(k-1) ^ { 4 } -k(k-1) ^ { 3 } -k(k-1)(k-2) \\ =k(k-1)(k-2) \left (k ^ { 2 } -2 k + 2 \right ) \end {array} \] 그런데 \[ p_ { C_ { 0 } } (0)=0, p_ { C_ { 0 } } (1)=0, p_ { C_ { 0 } } (2)=0, p_ { C_ { 0 } } (3)>0 \] 이므로 \[ \chi \left (C_ { 6 } \right )=3 \]</p> <p>그래프의 각 정점에 이름이 붙은 그래프를 라벨그래프라고 한다. 이 때, 정점의 이름으로 보통 $ 1,2,3, \cdots $ 등을 붙인다. 이제 정점의 개수가 $ n $ 인 라벨그래프의 개수를 구하자.</p> <p>$ \nu=n, e=k $인 라벨그래프를 찾는 방법은 다음과 같다. (i) 먼저 정점에 각각 $ 1,2, \cdots, n $ 의 라벨을 붙인다. (ii) 모든 쌍의 정점을 간선으로 연결한다. (iii) $ \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) $ 개의 간선 중 임의의 $ \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right )-k $ 개의 간선을 없앤다.</p> <p>그러므로 $ \nu=n, e=k $ 인 라벨그래프의 개수는 $ \left ( \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \\ k \end {array} \right ) \right ) $ 이고, 따라서 정점의 개수가 $ n $ 인 라벨그래프의 개수는 undefined 그러나 라벨트리의 개수를 구하는 문제는 라벨그래프의 개수를 구하는 문제보다 간단하 지 않다. (연습문제 9-3 2번 참조.)</p> <p>$ \sum_ { k=0 } ^ {\left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) } \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right )=2 ^ {\left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) } $</p> <p>$ \sum_ { k=0 } ^ {\left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) } \left ( \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) \right )=2 ^ {\left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) } $</p> <h2>연습문제 9-1</h2> <p>1. 모서리의 수가 $7 $인 다면체가 존재하는지 판단하시오.</p> <p>2. 다음 피터슨 그래프는 평면그래프가 아님을 보이시오.</p>undefined 3. 정점의 개수가 $ n $ 인 서로 비동헝인 트리의 개수를 구하시오. $ (n=1,2,3,4,5,6,7) $ (풀이) $ 1,1,1,2,3,6,11 $</p> <p>4. $8 $개의 정점을 가진 3 -졍규그래프를 두 개 그리시오. (풀이)</p> <h3>예제 $ 5 . $</h3> <p>$ t( \geq 2) $ 개의 똑같은 모양의 동전 중 $1 $개는 다른 동전보다 가벼운 위조 동전이라고 한다. 양팔저울을 이용하여 위조 동전을 찾으려면 최소한 몇 번 달아야 하는지 판단하시오.</p> <p>(풀이)<ol type=i start=1><li>$ t=3 ^ { k } $ 인 경우 : 구하는 회수는 $ k $ 임을 보인다. $ k=1 $ 일 때 : 2 개를 달아서 가벼운 것이 있으면 그것이 위조 동전이고 똑같으면 나머지 것이 위조 동전이다. $ k>1 $ 일 때 : $ 3 ^ { k-1 } $ 개씩 세 그룹으로 나눈 다음 두 그룹을 달아서 $ k=1 $ 의 경우와 마찬가지로 위조 동전이 있는 그룹을 찾아낸다. 귀납법에 의해 이 $ 3 ^ { k-1 } $ 개의 동전을 가지고 $ k-1 $ 회 달아서 위조 동전을 찾아낼 수 있다. 그러므로 처음부터 다는 회수는 $ k $ 이다.</li> <li>일반적인 경우 : $ 3 ^ { h-1 }<t \leqq 3 ^ { h } $ 를 만족하는 $ h $ 를 찾으면 저울로 다는 전과정은 높이 $ h $ 인 유근트리로 나타낼 수 있다. 이 트리는 뿌리의 $ h-1 $ 세손까지는 단말점의 수가 $ 3 ^ { h-1 } $ 인 삼진 트리이다. 그리고 \[ h-1< \log _ { 3 } t \leqq h \quad 즉 h= \left \lceil \log _ { 3 } t \right \rceil \] 저을로 다는 회추는 높이와 같으므로 구하는 답은 $ h= \left \lceil \log _ { g } t \right \rceil $</li></ol></p> <h2>연습문제 9-3</h2> <p>1. 라벨그래프 $ K_ { 2,5 } $ 의 서로 다른 생성트리의 개수를 구하시오. (풀이) $80 $</p> <p>2. 라벨그래프 $ K_ { n } $ 의 서로 다른 생성트리의 개수가 $ n ^ { n-2 } $ 임을 증명하라. 즉, $ n $ 개의 정점을 가진 서로 다른 라벨트리(labelled tree)의 개수가 $ n ^ { n-2 } $ 임을 보이시오.</p> <p>3. 다음 주어진 그래프의 가능한 생성트리의 개수를 구하시오. (풀이) $8 $</p> <h3>따름정리 $ 3.2 $</h3> <p>두 개 이상의 정점을 가진 트리는 차수가 $1 $인 정점을 적어도 두 개 갖는다.</p> <p>(증명) 모든 정점 $ v $ 에 대해서 \[ \delta(v) \geq 1 \] 그리고 정리 $ 1.1 $ 과 정리 $3.1 $에 의해 \[ \sum_ { v \in V } \delta(v)=2 q=2 p-2 \] 따라서 트리는 차수가 $1 $인 정점을 적어도 두 개 갖는다.</p> <p>앞의 정리 $3.1 $에서 트리일 때보다 더 일반적인 경우에 다음 결과를 얻는다.</p> <h3>정리 $ 3.3 $</h3> <p>$ G $ 가 연결그래프이고 $ p $ 개의 정점과 $ q $ 개의 간선을 가지고 있으면, $ p \leqq q + 1 $.</p> <p>(증명) $ q $ 에 관하여 수학적 귀납법을 사용하겠다. $ q=1 $ 일 때 $ p=2, q=2 $ 일 때 $ p=3 $이므로 성립한다. $ q \leqq n-1 $ 인 모든 $ q $ 에 대해서 정리가 성립한다고 가정하자. $ G $는 $ p $ 개의 정점과 $ n $ 개의 간선을 가진 임의의 연결그래프이다. 다음 두 가지 경우로 나누어 증명하겠다. (1) $ G $ 가 회로를 가질 때 : 그 회로의 한 간선을 제거한 그래프가 $ H $ 이면 $ H $ 는 $ p $ 개의 정점과 $ n-1 $ 개의 간선을 가진 그래프다. 귀납법 가정에 의해서 \[ p \leqq(n-1) + 1=n \leqq n + 1 \] (2) $ G $ 가 회로를 가지지 않을 때 : 그래프 $ G $ 에 가장 긴 경로가 존재하고 그 경로의 양 끝점을 $ a, b $ 라고 하자. 그러면 $ a, b $ 의 차수는 $1 $이다. 왜냐하면, 만약 그렇지 않으면 더 긴 경로가 존재하거나 회로가 존재한다. 정점 $ a $ 와 이에 근접한 간선을 제거한 그래프를 $ H $ 라 할 때, $ H $ 는 $ p-1 $ 개의 정점과 $ n-1 $ 개의 간선을 가진다. 귀납법 가정에 의해 \[ p-1 \leqq(n-1) + 1=n \] 따라서 $ p \leqq n + 1 $. 이제 정리 $3.1 $의 역을 증명할 수 있다.</p> <p>15. 다음 그래프가 평면그래프일 필요층분조건을 구하시오. (1) $ K_ { n } $ (2) $ K_ { m, n } $ (풀이) (1) $ n \leqq 4 $ (2) $ m \leqq 2 $ 또는 $ n \leqq 2 $</p> <p>16. 다면체가 오각형과 육각형만으로 이루어져 있고 각 점에서 세 면이 만날 때, 오각형인 면의 개수를 구하시오. (풀이) $12 $</p> <p>17. 원주 위에 $ n $ 개의 점이 있고, 모든 두 점을 현(chord)으로 연결할 때(어느 세 현도 한 점에서 만나지 않는다.), 원의 내부는 몇 개의 영역으로 나누어지는지 판단하시오. (풀이) $ 1 + \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { l } n \\ 4 \end {array} \right ) $ 참고로, 볼록 $ n $ 각형에 모든 가능한 대각선을 그리되 어느 $3 $개의 대각선도 한 점에서 만나지 않는다. 이 때 볼록 $ n $ 각형 내에 만들어진 영역의 개수를 구하시오. (풀이) $ \left ( \begin {array} { c } n-1 \\ 2 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { l } n \\ 4 \end {array} \right ) $</p> <p>18. 3차원 볼록다면체는 모서리 개수가 똑같은 면이 적어도 두 개 존재함을 보이시오.</p> <p>19. 볼록다면체가 $6 $개의 정점, $12 $개의 모서리를 가지면 모든 면이 삼각형임을 보이시오.</p> <p>20. 볼록 $ n $ 각형에서 만들어지는 삼각형 증에 볼록다각형의 모서리를 포함하지 않는 것의 개수를 구하시오. (풀이) $ \frac { n(n-4)(n-5) } { 6 } $</p> <p>21. 다음 증 어떤 그래프가 평면그래프인지 판단하시오. (1) (2) (3) (풀이) (1), (2), (3) 모두 평면그래프가 아니다.</p> <p>22. 다음 그래프가 평면그래프인지 판단하시오. (1) (2) (3) (4) (5) (풀이) (1)과 (4)만 평면그래프</p> <p>23. 피자를 $ n $ 번 자르려고 한다. 조각의 최대개수를 구하시오. (풀이) $ \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) + n + 1 $</p> <p>24. 오각형의 면 $10 $개로 이루어진 볼록다면체가 존재하는지 판단하시오. (풀이) 조건에 맞는 볼록다면체는 존재하지 않는다.</p> <p>이제 평면그래프에 대한 색수를 살펴보자. 이를 위해 앞에서 증명한 다음 오일러 공식 [정리 $1.3 $]을 이용해 보자.</p> <h3>오일러 공식(Euler's formula)</h3> <p>정점의 개수가 $ v $, 간선의 개수가 $ e $, 영역의 개수가 $ f $ 인 연결 플레인 그래프는 다음 공식을 만족한다. \[ v-e + f=2 \]</p> <p>오일러 공식은 (루프도 없고, 평행간선도 없는) 평면그래프에 대한 중요한 다음 결과를 제공한다.</p> <h3>정리 $ 4.9 $</h3> <p>연결 평면그래프에는 차수가 $5 $이하인 정점이 존재한다.</p> <p>(증명) 연결 평면그래프 $ G $ 의 플레인 그래프를 $ G ^ { ' } $ 이라 하자. 그리고 $ G ^ { ' } $의 정점의 개수가 $ v $, 간선의 개수가 $ e $, 영역의 개수가 $ f $ 이다. 각 영역에서의 간선의 개수를 $ n_ { i } $라고 하면 $ (i=1,2, \cdots, f) $, \[ n_ { 1 } + n_ { 2 } + \cdots + n_ { f } =2 e \]</p> <p>루프도 없고, 평행간선도 없으므로, \[ n_ { i } \geqq 3(i=1,2, \cdots, f) \] 따라서 \[ 3 f \leqq 2 e \quad \text { 즉, } \frac { 2 e } { 3 } \geqq f \]</p> <p>이제 오일러 공식을 이용하면 \[ \frac { 2 e } { 3 } \geqq f=e-v + 2 \quad \text { 즉, } e \leqq 3 v-6 \] $ d_ { 1 } , d_ { 2 } , \cdots, d_ { v } $ 가 $ G $ 의 각 정점의 차수라면 \[ d_ { 1 } + d_ { 2 } + \cdots + d_ { v } =2 e \] 이므로 $ G $ 의 각 정점의 평균 차수는 \[ \frac { d_ { 1 } + d_ { 2 } + \cdots + d_ { v } } { v } \leqq \frac { 6 v-12 } { v }<6 \] 따라서 차수가 $5 $ 이하인 정점이 적어도 하나 존재한다.</p> <p>회로(circuit 혹은 cycle)는 처음과 마지막 정점이 같고 간선이 반복되지 않는 경로를 의미한다. 회로를 포함하지 않는 그래프를 비사이클그래프(acyclic graph)라고 한다. 그림 $2 $에서 $ a, b, c, a $ 는 길이가 $3 $인 회로다. 사이클은 반복되는 간선을 가질 수 없지만 정점이 반복되는 것을 허용하므로 그림 $2 $에서 $ a, b, c, d, e, c, a $ 는 길이가 $6 $인 회로다. 그림 $3 $에서 특별한 회로로 다음의 $ C_ { n } (n \geqq 3) $ 을 예로 든다.</p> <p>정점 $ a $ 와 $ b $ 사이에 경로가 존재할 때 정점 $ a, b $ 는 연결되었다고 하며 그래프에서 임의의 정점이 연결되었을 때 그 그래프를 연결그래프(connected graph)라고 한다.</p> <p>이제 대표적인 그래프의 예로서 완전그래프, 정규그래프, 이분할그래프, 트리를 살펴본다.</p> <p>$ G=(V, E) $ 가 그래프일 때 모든 정점 $ u, v \in V $ 에 대해 $ (u, v) \in E $ 가 성립하면 그래프 $ G $를 완전그래프(complete graph)라고 한다. 특별히 $ \|V\|=n $ 일 때 $ G $ 를 $ K_ { n } $ 으로 표기한다.</p> <p>그래프에서 모든 정점의 차수가 같을 때 정규그래프(regular graph)라고 한다. 정점의 차수가 $ k $ 인 정규그래프를 $ k $-정규그래프라고 한다. 예를 들어, 완전그래프 $ K_ { n } $ 은 $ (n-1)- $ 정규그래프이다. 그리고 회로 $ C_ { n } $ 은 2-정규그래프이다. 3-정규그래프는 특별히 큐빅그래프(cubic graph)라고 부른다. 정리 $ 1.1 $ 에 의해, $ G=(V, E) $ 가 큐빅그래프이면, 정점의 개수 $ \|V\| $ 는 짝수다.</p> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 에서 $ V=M \cup N, M \curvearrowleft N= \varnothing $ 이고, 모든 간선이 $ M $ 과 $ N $ 사이에만 존재할 때 $ G $ 를 이분할그래프(bipartite graph)라고 한다. 만약 $ M $ 의 모든 정점이 $ N $ 의 모든 정점과 연결되는 이분할그래프를 완전이분할그래프(complete bipartite graph)라고 하고 $ K_ { m, n } ^ { * } $ 으로 표시한다. 여기서 $ m $ 은 $ M $ 의 정점의 개수이고, $ n $ 은 $ N $ 의 정점의 개수이다. 그림 $5 $에서 $ K_ { 3,3 } $ 는 $ M= \{\mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c } \} , \mathrm { N } = \{\mathrm { d } , \mathrm { e } , \mathrm { f } \} $ 이다.</p> <h3>정리 $ 3.4 $</h3> <p>$ G $ 가 $ p $ 개의 정점과 $ q $ 개의 간선을 가진 연결그래프이고 $ p=q + 1 $ 이면 $ G $ 는 트리이다.</p> <p>(증명) 결론을 부정하면 $ G $ 는 회로를 포함한다. 그 회로에 있는 간선 하나를 뺀 그래프를 $ H $ 라고 하자. $ H $ 는 연결그래프로 $ p $ 개의 정점과 $ q-1 $ 개의 간선을 가진다. 정리 $ 3.3 $ 에 의해 \[ p \leqq(q-1) + 1=q \] 그러나 $ p=q + 1 $ 이므로 가정에 모순!</p> <h3>예제 $ 1 . $</h3> <p>연결그래프 $ G $ 의 평균 차수가 $2 $보다 크면 $ G $ 는 적어도 두 개의 회로를 갖는데 이를 보이시오.</p> <p>(증명) $ G $ 가 $ p $ 개의 정점과 $ Q $ 개의 간선을 가지고 있다. 가정에 의해 \[ \frac { 1 } { p } \sum_ { v \in V } \delta(v)>2 \] 그련데 정리 $ 1.1 $ 에 의해 \[ \sum_ { v \in v } \delta(v)=2 q \] 따라서 $ p<q $. 정리 $ 3.1 $ 에 의해 $ G $ 는 트리가 아니고 $ G $ 에 하나의 회로 $ C $ 가 존재한다. $ G $ 에서 $ C $ 의 간선을 하나 뺀 그래프를 $ H $ 라 하자. $ H $ 는 연결그래프이고 $ p ^ {\prime } =p $ 개의 정점과 $ q ^ {\prime } =q-1 $ 개의 간선을 가지고 있다. 따라서 $ p ^ {\prime } \leq q ^ {\prime } $. 다시 정리 $ 3.1 $ 에 의해서 $ H $ 는 트리가 아니고 $ C $ 와 다른 회로가 하나 $ H $ 에 존재한다. 결과적으로 $ G $ 는 적어도 두 개의 회로를 갖는다.</p> <h3>예제 $ 2 . $</h3> <p>$ T $는 트리이고 각 정점의 차수는 $3 $이나 $1 $이다. 차수가 $3 $인 정점의 개수가 $10 $일 때 차수가 $1 $인 정점의 개수를 구하시오.</p> <p>4. 모든 트리는 이분할 그래프임을 보이시오.</p> <p>5. 어떤 자연수 $ n $ 에 대하여 $ K_ { n } $ 이 트리인지 판단하시오. (풀이) $ n=1,2 $</p> <p>6. 어떤 자연수 $ m, n $ 에 대하여 $ K_ { m, n } $ 이 트리인지 판단하시오. (풀이) $ (m, n)=(1,1),(1,2),(2,1) $</p> <p>7. $ G $ 를 $ n $ 개의 정점을 갖는 트리라고 하자. $ G $ 는 몇 개의 경로를 포함하는지 판단하시오. (풀이) $ \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) $</p> <p>8. 모든 트리는 평면그래프임을 보이시오.</p> <p>9. 어떤 트리에 대하여 오일러 경로가 존재하는지 판단하시오. (풀이) 선형 트리</p> <p>10. 정점의 개수가 $7 $인 서로 비동형인 트리를 모두 구하시오.</p> <p>11. 다음 그래프에 있는 생성트리의 개수를 구하시오. (1) (2) (풀이) (1) $4 $ (2) $40 $</p> <p>12. 연결그래프 $ G $ 가 $ v $ 개의 정점, $ e $ 개의 간선을 가질 때, 생성트리를 얻기 위해 몇 개의 간선을 제거해야 하는지 판단하시오. (풀이) $ e-(v-1) $</p> <p>13. 다음 그래프에 있는 생성트리의 개수를 구하시오. (풀이) $ \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \left [ \left ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { 2 n } - \left ( \frac { 1- \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { 2 n } \right ]=F_ { 2 n-1 } $</p> <p>14. 트리(tree)는 사이클이 없는 연결그래프이다. 트리 $ G $ 의 정점의 개수가 $ p $, 간선의 개수가 $ q $ 일 때, $ p<q + 1 $ 이면 $ G $ 가 사이클을 포함하고 $ p>q + 1 $ 이면 $ G $ 가 연결이 아님을 보이시오.</p> <p>15. $ n $ 개의 꼭짓점으로 이루어진 트리가 갖는 서로 다른 경로의 총 개수를 구하시오. (풀이) $ \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) $</p> <p>차수가 홀수인 두 개의 정점이 존재할 경우는 두 정점을 오일러 경로의 시작과 끝이 되도록 구성하여 오일러 경로를 만들 수 있다.</p> <h3>따름정리 $ 2.2 $</h3> <p>오일러 회로가 존재하기 위한(즉, 오일러 그래프이기위한) 필요충분조건은 각 정점의 차수가 짝수이어야 한다.</p> <p>그림 $1 $의 쾨니히스베르크 다리 문제에서 홀수 차수를 갖는 정점의 개수가 $4 $개 이므로 정리 $ 2.1 $ 에 의해서 오일러 경로가 존재하지 않음을 알 수 있다.</p> <p>해밀턴 회로의 문제는 오일러 회로의 문제와 유사하지만 다르다. 해밀턴 회로(Hamiltonian circuit)는 그래프의 모든 정점을 정확히 한 번만 통과하는 회로를 말하며, 해밀턴 회로를 갖는 그래프를 해밀턴 그래프라고 한다. 이는 역사적으로 $1857 $년 해밀턴 경이 $12 $면체(dodecahedron) 위의 정점 $20 $개를 지나는 해밀턴 회로 찾는 문제를 제기했었다. 그림 $2 $는 해밀턴 회로를 갖는 그래프로서 해밀턴이 제기한 문제의 답이다.</p> <p>오일러 경로 문제에서는 오일러 그래프이기 위한 완벽한 필요충분조건이 있지만 해밀턴 그래프의 경우는 아직까지 완벽한 필요층분조건이 없다. 그리고 오일러 그래프와 해밀턴 그래프간에 서로 관계가 없음을 다음 그림 $3 $에서 알 수 있다. 즉, 그림 $3 (a) $는 해밀턴이지만 오일러가 아닌 경우이고 그림 $3 (b) $는 오일러이지만 해밀턴이 아닌 경우의 그래프이다.</p> <p>해밀턴 회로를 갖는 그래프는 연결그래프이지만 모든 연결그래프가 해밀턴 회로를 갖는 것은 아니다. 해밀턴 회로와 연관된 문제는 여러 형태로 컴퓨터 분야에서 나타난다. 이제 해밀턴 그래프이기 위한 충분조건을 하나 알아보자. 다음 정리는 $1952 $년 Dirac이 증명한 것으로 해밀턴 그래프이기 위한 필요조건은 되지 못한다. 그 역이 성립하지 않는 예는 회로 $ C_ { n } (n \geqq 5) $ 이다. 물론, 정리 $ 2.3 $ 에 의해 완전그래프 $ K_ { n } (n \geqq 3) $ 은 해밀턴 그래프이다.</p> <h3>정리 $ 2.3 $</h3> <p>그래프 $ G=(V, E) $ 가 $ \|V\|=n \geqq 3 $ 이고 모든 정점의 차수가 $ \frac { n } { 2 } $ 이상일 때, $ G $ 는 해밀턴 그래프이다.</p> <p>(증명) $ n=3 $ 이면 모든 정점의 차수가 $2 $이다. 따라서 $ G=K_ { 3 } $ 는 해밀턴 그래프이다. $ n \geqq 4 $ 라고 가정하자. $ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { k } $ 가 가장 많은 정점을 가진 경로 $ P $ 라면 $ u_ { 1 } $에 인접한 모든 정점이 $ P $ 에 속한다. 가정에 의해 $ u_ { 1 } $ 의 차수가 $ \frac { n } { 2 } $ 이상이므로 $ P $ 의 정점의 개수는 $ \frac { n } { 2 } + 1 $ 이상이다. 만약 $ P $ 의 모든 정점 $ u_ { i } $ 에 대하여 $ u_ { 1 } u_ { i } \in E $ 이고 $ u_ { i-1 } u_ { k } \notin E $ 라면 $ u_ { 1 } $ 에 인접한 $ u_ { i } $ 의 개수가 적어도 $ \frac { n } { 2 } $ 이므로 $ u_ { k } $ 에 인접하지 않은 $ u_ { i-1 } $ 의 개수도 $ \frac { n } { 2 } $ 이상이다. 따라서, \[ \delta \left (u_ { k } \right ) \leqq(n-1)- \frac { n } { 2 }< \frac { n } { 2 } \] 이고, 이는 가정에 모순이다. 그러므로 $ P $ 의 정점 $ u_ { i } $ 가 존재해서 $ u_ { 1 } u_ { i } \in E $ 이고 $ u_ { i-1 } u_ { k } \in E $ 이다. 이때 $ u_ { 1 } u_ { i } u_ { i + 1 } \cdots u_ { k } u_ { i-1 } u_ { i-2 } \cdots u_ { 1 } $ 은 회로 $ C= \left (V_ { 1 } , E_ { 1 } \right ) $ 이다. 만약 $ C $ 가 모든 정점 $ V $ 를 포함하면 $ C $ 는 해밀턴 회로이다. 만약 $ w \in V-V_ { 1 } $ 이라 하자. $ \left \|V_ { 1 } \right \| \geqq \frac { n } { 2 } + 1 $ 이므로 $ \left \|V-V_ { 1 } \right \|< \frac { n } { 2 } $ 이다. 가정에 의해 $ w $ 의 차수가 $ \frac { n } { 2 } $ 이상이므로 $ V_ { 1 } $ 의 정점 $ u_ { j } $ 가 존재해서 $ \left (w, u_ { j } \right ) \in E $ 을 만족한다.그러나 $ V_ { 1 } \cup \{ w \} $ 가 만드는 경로는 $ P $ 가 최대라는 사실에 모순이다. 따라서 $ V=V_ { 1 } $ 이고 증명 끝.</p> <h3>정리 $ 4.16 $</h3> <p>$ A $ 를 $ m $ 개의 정점을 갖는 그래프 $ G $ 의 인접행렬이라 하자. 행렬 $ A ^ { n } $ 의 $ (i, j) $ 원소는 정점 $ v_ { i } $ 로부터 정점 $ v_ { j } $ 에 도달하는 길이가 $ n $ 인 경로의 개수를 나타낸다.</p> <p>(증명) $ n $ 에 관한 수학적 귀납법을 사용한다. 먼저 $ n=1 $ 일 때 성립한다. $ n=k-1 $ 일 때 성립한다고 가정하자. 다시 말하면 $ A ^ { k-1 } = \left (a_ { i, j } ^ { (k-1) } \right ), k \geqq 2 $ 즉 $ a_ { i, j } ^ { (k-1) } $ 은 정점 $ v_ { i } $ 로부터 정점 $ v_ { j } $ 에 도달하는 길이가 $ k-1 $ 인 경로의 개수를 나타낸다. $ A ^ { k } = \left (a_ { i, j } ^ { (k) } \right ) $ 라 놓자. 그러면 $ A ^ { k } =A ^ { k-1 } \cdot A $ 이므로 \[ a_ { i, j } ^ { (k) } = \sum_ { p=1 } ^ { m } a_ { i, p } ^ { (k-1) } a_ { p, j } \] $ \left (v_ { p } , v_ { j } \right ) \in E $ 일 때, $ a_ { p, j } =1 $ 이므로 $ a_ { i, j } ^ { (k) } $ 는 $ v_ { i } $ 로부터 $ v_ { j } $ 에 도달하는 길이 $ k $ 인 경로의 개수이다.</p> <h3>예제 $ 5 . $</h3> <p>다음 그림에서 $ a $ 로부터 $ b $ 에 도달하는 길이 $3 $인 경로의 개수를 구하시오. 그리고 $ a $ 로부터 $ c $ 에 도달하는 길이 $3 $인 경로의 개수를 구하시오.</p> <h1>제9장 그래프(Graph)</h1> <p>이산수학에서 그래프 이론은 중요한 비중을 차지하는 분야라 할 수 있다. 그래프는 이산 집합에서 어느 두 원소 간에 관계를 표현하는 좋은 수학적 모델이다. 실제로 공학에서의 전기회로, 유기화학에서의 분자식 모형, 전 세계 공항들로 이루어진 네트워크 등 많은 예에서 그래프를 찾을 수 있다.</p> <p>그래프에 관한 첫 논문은 스위스 수학자 오일러(Euler)가 $1736 $년 쓴 유명한 쾨너히스베르크 다리 문제였다. 이는 이미 한 봇 그리기로 잘 알려져 있다. 처음에 그래프 이론은 수수께끼나 게임으로 시작되었지만 이제는 이산구조를 연구할 때 가장 유용한 도구라 할 수 있다. 현재 그래프이론은 경제학, 심리학, 사회학, 유전학, 전기공학, 컴퓨터공학 등 여러 분야에 응용된다.</p> <p>이 장에서는 그래프의 기븐성질을 다루고 오일러 그래프, 해밀턴 그래프, 트리(tree), 색수, 행렬과 그래프에 대해 알아본다.</p> <h2>1. 그래프의 기본성질</h2> <p>그래프(graph) $ G = (V, E) $ 는 유한개의 정점(vertex)의 집합 $ V $ 와 어느 두 정점들 사이를 잇는 간선(edge)의 집합 $ E $ 로 구성된다. 그림 $1 $의 (a)에 있는 그래프는 $ V= \{\mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c } , \mathrm { d } \} $ 이고 $ E= \{ ( \mathrm { a } , \mathrm { b } ),( \mathrm { a } , \mathrm { c } ),( \mathrm { a } , \mathrm { d } ),( \mathrm { b } , \mathrm { d } ),( \mathrm { c } , \mathrm { d } ) \} $ 이다.</p> <p>그림 $1 $의 (b)에 있는 평행간선(parallel) $ (a, b) $ 나 루프(loop) $ (d, d) $ 는 그래프에서 허용하지 않는다. 물론 간선 $ (a, b) $ 와 $ (b, a) $ 는 같은 것을 의미한다.</p> <p>만일 간선 $ e=(a, b) \in E $ 라면 $ e $ 가 $ a $ 와 $ b $ 를 연결하고 있음을 의미하며, $ a $ 는 $ b $ 에 또는 $ b $ 는 $ a $ 에 인접(adjacent)한다고 한다. 또한 $ e $ 는 $ a $ 와 $ b $ 에 근접(incident)되었다고 한다.</p> <p>끝으로, 그래프 $ G $ 의 완전 부분그래프에 있는 정점들의 집합을 $ G $ 의 클릭(clique)이라 한다. $ G $ 의 최대 클릭에 있는 정점의 개수를 클릭수(clique number) $ \omega(G) $ 라 한다. 다음은 클릭수의 정의로부터 자명하다. \[ \begin {array} { l } \omega \left (N_ { n } \right )=1, \omega \left (K_ { n } \right )=n, \omega \left (K_ { m, n } \right )=2 . \\ \chi(G) \geqq \omega(G) . \end {array} \]</p> <p>그래프를 이용한 문제해결에서 계산이 편리하기 때문에 행렬을 이용하여 그래프를 표현한다.</p> <p>그래프를 행렬로 표현하는 방법이 두 가지 있다. 그래프 $ G=(V, E) $ 는 $ m $ 개의 정점 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $ 과 $ n $ 개의 간선 $ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } $ 으로 구성되어 있다고 하자.</p> <p>인접행렬(adjacency matrix) $ A=A(G)= \left (a_ { i, j } \right ) $ 은 $ m \times m $ 행렬로서 다음을 만족한다. 만약 $ \left (v_ { i } , v_ { j } \right ) \in E $ 이면 $ a_ { i, j } =1 $. 그리고 만약 $ \left (v_ { i } , v_ { j } \right ) \notin E $ 이면 $ a_ { i, j } =0 $. 근접행렬(incidence matrix) $ B=B(G)= \left (b_ { i, j } \right ) $ 은 $ m \times n $ 행렬로서 다음을 만족한다. 만약 $ v_ { i } $ 가 $ e_ { j } $ 에 근접할 때, $ b_ { i, j } =1 $. 그리고 만약 $ v_ { i } $ 가 $ e_ { j } $ 에 근접하지 않을 때 $ b_ { i, j } =0 $. 인접행렬은 가장 일반적인 그래프 표현 방법으로서 $ a_ { i, j } =a_ { j, i } $ 를 만족한다.</p> <p>정리 $4.9 $를 이용하여 $6 $색 정리(6-color Theorem)는 쉽게 증명할 수 있다. 그러나 $5 $색 정리(5-color Theorem)는 약간 노력을 기울여야 증명할 수 있고 역사적 $4 $색 정리(4-color Theorem)는 증명하는데 $100 $년이 넘게 걸렸으며 마침내 $1976 $년 Appel과 Haken이 컴퓨터를 이용하여 증명하였다.</p> <p>이제, 6색 정리(6-color Theorem)를 증명해 보자.</p> <p>만약 평면그래프의 색수가 $7 $이상이라고 가정하자. 그리고 $ G $ 가 그런 평면그래프 중에서 정점의 개수가 최소이다. 정리 $ 4.9 $ 에 의하여 $ G $ 는 차수가 $5 $이하인 정점 $ x $ 를 갖는다. $ x $ 와 근접한 모든 간선을 모두 제거하면 $ G $ 보다 정점 하나가 적은 평면그래프 $ G ^ {\prime } $ 이 남는다. $ G $ 에 대한 최소 조건 때문에 $ G ^ {\prime } $ 은 6 -색칠을 갖는다. 정점 $ x $ 에 인접한 정점이 기껏해야 $5 $개이므로 $ G $ 는 6 -색칠을 갖는다. 이는 가정에 모순이다. 따라서 평면그래프의 색수는 $6 $이하이다.</p> <p>다음 보조정리는 $5 $색 정리를 증명하는데 중요한 결과이다.</p> <h3>보조정리 $ 4.10 $</h3> <p>그래프 $ H=(U, F) $ 가 $ k $-색칠을 갖는다. $ W $ 는 $ U $ 의 부분집합으로 빨강이나 파랑, 두 가지 색으로만 칠해진 정점들의 집합이다. $ H_ { r, b } $ 는 W에 있는 정점들로 이루어진 부분그래프이고 $ C_ { r, b } $ 는 $ H_ { r, b } $ 의 연결 성분(component)이다. $ C_ { r, b } $ 의 정점들의 색, 빨강과 파랑을 바꾸면 또 다른 $ H $ 의 $ k $-색칠을 얻는다.</p> <p>(증명) $ C_ { r, b } $ 의 정점들의 색, 빨강과 파랑을 바꿀 때, 만약 같은 색 (예를 들어, 빨강)으로 칠해진 두 인접한 정점 $ x, y $ 가 있다고 하자. 만약 $ x, y $ 가 $ C_ { r, b } $ 에 있다면 $ x, y $ 가 둘 다 파랑으로 칠해졌었으므로, 모순이다. 만약 $ x, y $ 중 어느 하나만 $ C_ { r, b } $ 에 있다면, 예를 들어 $ x \in C_ { r, b } , y \notin C_ { r, b } $ 라고 하자. 그러면 바꾸기 전에 $ x $ 는 파랑으로 칠해졌었고, $ y $ 는 빨강으로 칠해졌었다. $ x $와 $ y $ 가 인접하고 파랑, 빨강으로 칠해졌었으므로, $ H_ { r, b } $ 의 같은 연결 성분에 있었을 것이고, 이는 모순이다.</p> <p>비사이클 연결그래프(acyclic connected graph)를 트리(tree)라고 한다. 그리고 종종 연결조건이 빠진 비사이클 그래프를 숲(forest)이라 한다. 트리는 컴퓨터과학 등 여러 분야에서 나타나는 구조로서 $ 1.3 $ 절에서 자세하게 다루어진다.</p> <p>이제 두 그래프가 어떤 조건일 때 같은 것으로 간주되는지 알아보자. $ G_ { 1 } = \left (V_ { 1 } , E_ { 1 } \right ) $, $ G_ { 2 } = \left (V_ { 2 } , E_ { 2 } \right ) $ 를 그래프라 하자. 모든 $ u, v \in V_ { 1 } $ 에 대하여 \[ (u, v) \in E_ { 1 } \Leftrightarrow(f(u), f(v)) \in E_ { 2 } \] 를 만족하는 전단사함수 $ f: V_ { 1 } \rightarrow V_ { 2 } $ 가 존재할 때, 그래프 $ G_ { 1 } $ 과 $ G_ { 2 } $ 는 동형(isomorphic)이라 한다.</p> <p>일반적으로 $ \quad G_ { 1 } = \left (V_ { 1 } , E_ { 1 } \right ) $ 과 $ G_ { 2 } = \left (V_ { 2 } , E_ { 2 } \right ) $ 가 동형이면 $ \left \|V_ { 1 } \right \|= \left \|V_ { 2 } \right \|, \left \|E_ { 1 } \right \|= \left \|E_ { 2 } \right \| $ 를 만족해야 하며 그 역은 성립하지 않는다. 역이 성립하지 않는 경우는 그림 $6 $의 두 그래프에서 찾아볼 수 있다. $ \left \|V_ { 1 } \right \|= \left \|V_ { 2 } \right \|, \left \|E_ { 1 } \right \|= \left \|E_ { 2 } \right \| $ 의 조건을 만족하지만 $ ( \mathrm { a } ) $ 는 모든 회로가 길이가 $4 $이지만, (b)는 길이가 $3 $인 회로와 길이가 $4 $인 회로가 둘 다 있으므로 동형이 아니다.</p> <p>이 절에서 마지막으로 평면그래프에 대해 알아보겠다. 정점에서 말고 간선이 교차하지 않게 그릴 수 있는 그래프를 평면그래프(planar graph)라고 한다. 그리고 이미 간선이 교차하지 않게 그린 그래프를 플레인그래프(plane graph)라고 한다. 예를 들어, 완전그래프 $ K_ { 4 } $ 는 평면그래프다.</p> <h3>정리 $ 4.11 $ [ $5 $색 정리( $5 $-color Theorem)]</h3> <p>평면그래프 $ G $ 에 대하여, $ \chi(G) \leqq 5 $</p> <p>(증명) $ G $ 를 정점의 개수가 $ n $ 인 평면그래프라 하자. $ n \leqq 5 $ 이면 $ \chi(G) \leqq 5 $ 이므로 정리가 성립한다. 이제 $ n \geqq 6 $ 라 놓고 $ n $ 에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. $ G $ 가 플레인 그래프라고 가정해도 좋다. 정리 $ 4.9 $ 에 의하여 차수가 $5 $이하인 정점 $ x $ 가 존재한다. $ x $ 와 근접한 모든 간선을 모두 제거한 $ G $ 의 부분그래프를 $ H $ 라 하자. 가정에 의해서 $ H $는 5 -색칠을 갖는다. 만약 $ x $ 의 차수가 $4 $이하이면 $ x $ 에 $5 $개의 색 중에 어느 하나를 지정할 수 있고, $ G $ 는 5 -색칠을 갖는다. 이제부터 $ x $ 의 차수가 $5 $라고 가정하자. 즉, $ x $ 에 인접한 정점이 $5 $개 있다. 만약 이 $5 $개의 정점 중에 어느 두 개에 같은 색이 지정되면 $ G $ 는 5 -색칠을 갖는다. 따라서 $5 $개의 정점 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , y_ { 3 } , y_ { 4 } , y_ { 5 } $ 에 서로 다른 색 $ 1,2,3,4,5 $ 를 각각 지정했다고 하자. (아래 그림을 참조.)</p> <p>색 $1,3 $인 정점들로 이루어진 부분그래프 $ H_ { 1,3 } $ 를 생각하자. 만약 $ y_ { 1 } , y_ { 3 } $ 가 $ H_ { 1,3 } $ 의 다른 연결 성분에 있다면 $ H $ 에 보조정리 $ 4.10 $ 를 적용할 때 $ y_ { 1 } , y_ { 3 } $ 가 같은 색인 $ H $ 의 5 -색칠을 얻는다. 이는 $ G $ 에도 5 -색칠을 제공한다. 만약 $ y_ { 1 } , y_ { 3 } $ 가 $ H_ { 1,3 } $ 의 같은 연결 성분에 있다면 $ y_ { 1 } , y_ { 3 } $ 는 색 1,3 이 교대로 바뀌는 서로 다른 정점들로 연결된다. 간선 $ \left \{\mathrm { x } , \mathrm { y } _ { 1 } \right \} $ 과 간선 $ \left \{\mathrm { x } , \mathrm { y } _ { 3 } \right \} $ 와 함께 이 정점들은 폐곡선 $ \gamma $ 를 결정한다. 정점 $ y_ { 2 } , y_ { 4 } , y_ { 5 } $ 중에서 $ y_ { 2 } $ 가 폐곡선의 내부에 있고 $ y_ { 4 } , y_ { 5 } $가 폐곡선의 외부에 있다고 하자. (사실 $ y_ { 2 } $ 가 폐곡선의 외부에 있고 $ y_ { 4 } , y_ { 5 } $ 가 폐곡선의 내부에 있을 수 있는데, 증명 결과는 마찬가지다.)</p> <p>그래프 $ G $가 포함하는 사이클 $ C_ { n } $ 중 최소의 $ n $ 을 $ G $ 의 둘레(girth)라고 한다. 사이클이 없는 그래프, 예를 들어, 트리는 무한 둘레를 갖는다.</p> <p>물론 이제까지 대부분의 그래프는 루프(loop)나 평행간선(parallel edge)이 없는 단순그래프(simple graph)였다. 정의에 의해 단순그래프는 둘레가 3 이상이다. 그리고 정리 4.13은 $ n $ 개의 정점, $ \left [ \frac { n ^ { 2 } } { 4 } \right ] $ 개 보다 많은 간선을 가진 그래프는 둘레가 3 이하임을 말한다.</p> <p>정리 4.15 $ n $개의 정점을 가진 그래프 $ G $ 가 $ \frac { 1 } { 2 } n \sqrt { n-1 } $ 개 보다 많은 간선을 가지면 $ G $ 의 둘레는 4 이하이다. [즉, 삼각형(triangle)이나 사각형(quadrilateral)을 포함한다.]</p> <p>(증명) $ G=(V, E) $ 의 둘레가 5 이상이라 하자. $ x \in V $ 에 인접한 정점들을 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { d } $라 할 때 (여기서, $ d= \delta(x) $ 는 $ x $ 의 차수.), 삼각형이 없으므로 이들 중 어느 두 정점도 인접하지 않는다. 또 사각형이 없으므로 정점 $ x $ 이외에 어떤 정점도 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { d } $ 중에서 어느 두 정점과도 인접하지 않는다. 따라서 \[ 1 + d + \left ( \delta \left (y_ { 1 } \right )-1 \right ) + \cdots + \left ( \delta \left (y_ { d } \right )-1 \right ) \] 은 $ n $ 을 넘지 못한다. 즉, \[ \sum_ { i=1 } ^ { d } \delta \left (y_ { i } \right ) \leqq n-1 \] 따라서 \[ \begin {aligned} n(n-1) & \geqq \sum_ { x \in V(x, y) \in E } \sum_ { E } \delta(y)= \sum_ { y \in V } \delta(y) ^ { 2 } \\ & \geqq \frac { 1 } { n } \left [ \sum_ { y \in V } \delta(y) \right ] ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } (2\|E\|) ^ { 2 } \end {aligned} \]</p>	자연
m997-위상수학	<p>이제 정칙공간의 유전적 성질을 조사하자.</p> <p>정의 $9.2.7 $ 정칙공간은 유전적 성질을 갖는다.</p> <p>증명 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 를 정칙공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 임의의 부분공간이라 하자. $ T_ { 1 } $ 공간은 유 전적 성질을 가지므로 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이다. 이제 부분공간 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 가 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족함을 보이자. $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 에서의 임의의 닫힌집합 $ F $ 는 $ (X, \mathscr { T } ) $ 에서의 닫힌집합 $ B $ 가 존 재해서 $ F=A \cap B $ 이다. 임의의 한 점 $ x \notin F(x \in A) $ 를 택하면 $ x \notin B $ 이 다.</p> <p>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 정칙공간이므로 $ X $ 에서의 열린집합 $ U $ 와 $ V $ 가 존재하여 \[ B \subset U, x \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 이 성립한다. 따라서 $ A \cap U $ 와 $ A \cap V $ 이 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 의 열린집합이 되어서 \[ F \subset A \cap U, x \in A \cap V \text { 이고 } (A \cap U) \cap(A \cap V)= \varnothing \] 이 성립하여 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 가 공간 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다. 따라서 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 는 정칙공 간이다.</p> <p>정의 $9.1.9 $ '위상공간 $ X $ 상의 서로 다른 임의의 두 점 $ a, b( \in X) $ 에 대하여 열 린집합 $ U, V $ 가 존재하여 $ a \in U, b \in V $ 이고 $ U \cap V= \varnothing $ 이다'라는 명제를 $ T_ { 2 } $ 분 리공리라 한다. $ T_ { 2 } $ 공리를 만족하는 위상공간 $ X $ 를 하우스도르프 공간 $ \left (T_ { 2 } \right . $ 공간, Hausdorff space)이라 한다.</p> <p>참고로 $ T_ { 2 } $ 공리를 하우스도르프 공리라고 부르기도 한다.</p> <p>[예제 $9.1.10 $]</p> <ol type= start=1><li>모든 이산공간 $ (X, \mathscr { D } ) $ 가 하우스도르프 공간임은 명백하다.</li> <li>$ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \boldsymbol { U } \right ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다. 왜냐하면 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 상의 서로 다른 임의의 두 점 $ a $, $ b \in \mathbb { R } ^ { n } $ 를 택하고, 두 점 사이의 유클리드 거리 $ \\|a-b \\| $ 를 $ \varepsilon $ 이라 놓자. 두개의 열린구 $ B \left (a, \frac {\varepsilon } { 3 } \right ) $ 과 $ B \left (b, \frac {\varepsilon } { 3 } \right ) $ 을 택하면 이들 모두 열린집합이고 $ a \in B \left (a, \frac {\varepsilon } { 3 } \right ), b \in B \left (b, \frac {\varepsilon } { 3 } \right ) $ 이며 $ B \left (a, \frac {\varepsilon } { 3 } \right ) \cap B \left (b, \frac {\varepsilon } { 3 } \right )= \varnothing $ 가 되어서 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } \right . $, थ) 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</li> <li>전순서 집합 $ (X, \leq) $ 에 의하여 생성된 순서공간 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 0 } \right ) $ 은 하우스도르프 공 간이다. 왜냐하면 임의의 서로 다른 두 점 $ p, q \in X $ 에 대하여 $ X $ 가 전순서집합 이므로 일반성을 잃지 않고 $ x<y $ 이라 할 수 있다.</li></ol> <ol type= i start=1><li>$ p<z<q $ 를 만족하는 $ z( \in X) $ 가 존재하지 않는 경우에는 \[ \begin {aligned} U_ { p } &= \{ x \in X \mid x<q \} , & V_ { q } &= \{ x \in X \mid p<x \} \\ &= \{ x \in X \mid x \leq p \} & &= \{ x \in X \mid q \leq x \} \end {aligned} \] 이라 놓자. 그러면 $ U_ { p } ( \ni p), V_ { q } ( \ni q) \in \mathscr { T } _ { 0 } $ 이고 $ U_ { p } \cap V_ { q } = \varnothing $ 이다.</li> <li>(ii) $ p<z<q $ 를 만족하는 $ z( \in X) $ 가 존재하는 경우에는 \[ U_ { p } = \{ x \in X \mid x<z \} , \quad V_ { q } = \{ x \in X \mid z<x \} \] 으로 놓으면 $ U_ { p } ( \ni p), V_ { q } ( \ni q) \in \mathscr { T } _ { 0 } $ 이고 $ U_ { p } \cap V_ { q } = \varnothing $ 이 성립하여, $ \left (X, \mathscr { T } _ { o } \right ) $ 는 하우스도르프 공간이다.</li></ol> <p>이제 $ T_ { 0 } $ 공간, $ T_ { 1 } $ 공간과 $ T_ { 2 } $ 공간을 서로 비교해보자. $ T_ { 0 } $ 공리, $ T_ { 1 } $ 공리, $ T_ { 2 } $ 공리에서 알 수 있듯이 $ T_ { i } $ 공간 $ (i \in \{ 0,1,2 \} ) $ 들은 다음과 같은 관계가 있다.</p> <p>정리 $9.1.22 $ $ T_ { 2 } $ 공간에서 수렴하는 점렬은 유일한 극한점을 갖는다.</p> <p>증명 $ T_ { 2 } $ 공간인 $ (X, \mathscr { T } ) $ 에서 한 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 이 $ X $ 상의 두 점 $ p $ 와 $ q $ 에 수렴한다고 가정하자 (귀류법 사용). 즉 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =p, \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =q $ 이고 $ p \neq q $ 이다. 그런데 위상공간 $ X $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이므로</p><p> $ p \in U, q \in V $ 이고 $ U \cap V= \varnothing $</p><p> undefined 인 열린집합 $ U $ 와 $ V $ 가 존재한다. 즉, $ U, V \in \mathscr { T } $ 이다. 가정에 의하여</p><p> $\langle{x_n}\rangle \rarr p$이고 $\langle{x_n}\rangle \rarr q$이므로</p><p>$n \geq n_1$이면 $x_n \in U $이고</p><p>$ n \geq n_{2} $이면 $ x_{n} \in V $</p><p>를 만족하는 자연수 $ n_ { 1 } $ 과 $ n_ { 2 } $ 가 존재한다. 이제 $ n_ { 0 } = \max \left \{ n_ { 1 } , n_ { 2 } \right \} $ 라 놓 으면 \[ n \geq n_ { 0 } \text { 인 } x_ { n } \in U \cap V \] 이 성립하여 식 (9.2)의 $ U \cap V= \varnothing $ 에 모순이다.</p> <p>정리 $9.2.3 $에 의하여 $ T_ { 3 } $ 공간 $ \Rightarrow T_ { 2 } $ 공간임을 알았다. 그러나 이 역 (converse) 은 성립하지 않는다. 즉 $ T_ { 2 } $ 공간이 항상 $ T_ { 3 } $ 공간이 되는 것은 아니다. 더 나아가 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니면서 정의 9.2.1의 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하는 위상공간이 항상 $ T_ { 2 } $ 공간 이 되는 것도 아넘을 다음 예제를 통해서 알아보자.</p> <p>[예제 $9.2.4 $] 집합 $ X= \{ a, b, c \} $ 라 하고 위상 $ \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a, b \} , \{ c \} \} $ 라 하자. 이 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 다음과 같은 성질이 있다.</p> <ol type=i start=1><li>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니다. 왜냐하면 임의의 한원소집합이 닫힌집합이 아니 기 때문이다.</li> <li>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 정의 9.2.1의 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다. 왜나하면 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 단 힌집합들의 모임은 $ \mathscr { T } $ 와 같기 때문이다.</li> <li>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 공간)은 아니다 ((i)과 (ii)에 의하여 명백하다).</li> <li>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이 아니다. 왜냐하면 서로 다른 두 점 $ a $ 와 $ b $ 를 택하면 이들 은 하우스도르프 공리를 만족하지 못한다.</li></ol> <p>이제 $ T_ { 2 } $ 공간 $ \Rightarrow T_ { 3 } $ 공간이 되는 것이 아님을 예제를 통해서 알아보자.</p> <p>[예제 9.2.5] ( $ K $-위상공간) 실수집합 $ \mathbb { R } $ 의 부분집합 $ K= \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in \mathbb { N } \right \} $ 에 대하여 집합 $ \mathbb { R } $ 상의 기저 \[ \mathscr { B } _ { K } = \{ (a, b) \subset \mathbb { R } \mid a, b \in \mathbb { R } \} \cup \{ (a, b)-K \mid a, b \in \mathbb { R } \} \quad \cdots \text { (9.3) } \] 가 생성하는 $ \mathbb { R } $ 상에서의 위상 $ \mathscr { T } _ { K } $ 를 $ K $-위상( $ K $-topology)이라 하고, 이러한 위상공 간 $ \left ( \mathbb { R } , \mathscr { T } _ { K } \right ) $ 을 $ \mathbb { R } _ { K } $ 로 나타낸다. 즉, \[ \mathscr { B } _ { K } \rightarrow \mathscr { T } _ { K } := \mathbb { R } _ { K } \] 에 의하여 생성된다. 이제 위상공간 $ \mathbb { R } _ { K } $ 의 성질을 알아보자.</p> <ol type=i start=1><li>집합 $ \mathbb { R } $ 상의 보통위상 $ \mathscr { U } $ 는 기저 \[ \mathscr { B } = \{ (a, b) \subset \mathbb { R } \mid a, b \in \mathbb { R } \} \] 에 의해 생성되고, $ \mathscr { B } \subset \mathscr { B } _ { K } $ 이므로 $ \mathscr { U } \subset \mathscr { T } _ { K } $ 이다. 한편 기저 $ \mathscr { B } _ { K } $ 의 정의로부터 $ \mathbb { R } -K \in \mathscr { T } _ { K } $ 는 자명하다. 그런데 보통위상 $ ( \mathbb { R } , \mathscr { U } ) $ 에서 집합 $ K $ 는 극한점 0 을 원소로 갖지 않으므로 닫힌집합이 아니다. 따라서 $ \mathbb { R } -K $ 는 보통위상에서 열린 집합이 아니다. 즉, $ \mathbb { R } -K \notin \mathscr { U } $ 이다. 그래서 $ \mathscr { U } \subsetneq \mathscr { T } _ { K } $ 이므로 $ \mathscr { T } _ { K } $ 는 $ \mathscr { U } $ 보다 세밀하다(강하다).</li> <li>$ K $-위상공간 $ \mathbb { R } _ { K } $ 는 하우스도르프이다. 왜냐하면 $ K $-위상이 보통위상보다 세밀 하고 보통위상공간 $ \mathbb { R } $ 이 하우스도르프이기 때문이다. 구체적으로 살펴보면 임 의의 서로 다른 두 점 $ x, y \in \mathbb { R } $ 에 대하여 우리는 $ x<y $ 이라고 할 수 있다. 그러 면 열린집합 $ U= \left (x- \varepsilon, \frac { x + y } { 2 } \right ), V= \left ( \frac { x + y } { 2 } , y + \varepsilon \right ) \in \mathscr { T } _ { K } $ 가 존재하여 (여 기서 $ \varepsilon(>0) \in \mathbb { R } $ 이다) \[ x \in U, y \in V, U \cap V= \varnothing \] 을 만족한다. 따라서 $ \mathbb { R } _ { K } $ 는 하우스도르프 공간이다.</li> <li>$ \mathbb { R } _ { K } $ 는 조건 [R]을 만족하지 않는다. $ \mathbb { R } -K \in \mathscr { T } _ { K } $ 이므로 $ K $ 는 $ \mathbb { R } _ { K } $ 에서 닫힌집 합이다. 그리고 $ 0 \notin K $ 이다. 귀류법을 사용하여, 만약 $ \mathbb { R } _ { K } $ 가 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족 한다고 가정하면 \[ K \subset U, \quad 0 \in V, \quad U \cap V= \varnothing \] 만족하는 열린집합 $ U, V \in \mathscr { T } _ { K } $ 가 존재해야 한다. 그러면 $ 0 \in B \subset V $ 를 만족 하는 기저의 원소 $ B \in \mathscr { B } _ { K } $ 가 존재한다. 그리고 $ U \cap V= \varnothing $ 이므로 $ B=(a, b) $ $ -K $ 형태가 되어야 한다. 그런데 $ 0 \in B=(a, b)-K $ 이므로 $ a<0<b $ 이어야 한다. 이제 아르키메데스 정리에 의하여 $ \frac { 1 } { n } \in(a, b) $ 이 되는 충분히 큰 자연수 $ n \in \mathbb { N } $ 을 택하자. 한편 $ \frac { 1 } { n } \in K \subset U $ 이므로 $ \frac { 1 } { n } \in B_ { * } \subset U $ 를 만족하는 기저의 원 소 $ B_ { * } \in \mathscr { B } _ { K } $ 가 존재한다. 그리고 $ \frac { 1 } { n } \in B_ { * } $ 이므로 $ B_ { * } =(c, d) $ 형태가 되어서 $ c< \frac { 1 } { n }<d $ 이다. 이제 $ \max \left \{ c, \frac { 1 } { n + 1 } \right \}<z< \frac { 1 } { n } $ 을 만족하는 실수 $ z \in \mathbb { R } $ 을 택하자. 그러면 $ z \in U $ 이고 $ z \in V $ 이므로 $ U \cap V \neq \varnothing $ 이 되어 모순이다.</li></ol> <p>이제 정칙공간의 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 과 관련하여 중요한 성질을 알아보자.</p> <p>이제 정규공간의 유전적 성질과 곱성질에 관하여 알아보자. 실제로 정규공간은 유전적 성질을 갖지 않고, 곱성질도 갖지 않는다. 더 나아가 정칙공간 ( $ T_ { 3 } $ 공간)이 정규공간 $ \left (T_ { 4 } \right . $ 공간)일 필요는 없다.</p> <p>정칙공간 ( $ T_ { 3 } $ 공간)이 일반적으로 정규공간 ( $ T_ { 4 } $ 공간)이 되는 것은 아님을 예를 통해서 알아보자.</p> <p>[예제 $9.2.16 $] 하극한공간 $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 곱공간 $ \mathbb { R } _ { l } \times \mathbb { R } _ { l } = \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 은 정칙공간이지만 정규공 간이 아니다.</p> <p>풀이 먼저 $ \mathbb { R } _ { l } $ 이 $ T_ { 1 } $ 공간임과 동시에 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 과 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 모두 만족함을 보여서 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 정칙공간과 정규공간임을 보이자. 구체적으로 살펴보면 다음과 같다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \mathbb { R } _ { l } $ 은 $ T_ { 1 } $ 공간임을 보이자. 정리 $9.1.6 $을 활용하여 임의의 한 점 $ x \in \mathbb { R } _ { l } $ 로 구성된 한원소집합 $ \{ x \} $ 는 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 닫힌집합임을 보이자. 즉 $ \{ x \} ^ { c } $ 이 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 열린집합임을 보여야 한다. $ \mathbb { R } - \{ x \} =(- \infty, x) \cup(x, \infty) $ 인데, \[ (- \infty, x)= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } [x-n, x), \quad(x, \infty)= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \left [x + \frac { 1 } { n } , x + n \right ) \] 으로 표시되기에 $ (- \infty, x) $ 와 $ (x, \infty) $ 는 각각 $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 열린집합의 가산 개 합집합이므로 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 열린집합이다. 따라서 $ \{ x \} $ 이 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 닫힌집 합이 되어서 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</li> <li>$ \mathbb { R } _ { l } $ 은 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족함을 보이자. 정리 $9.2.6 $을 활용하자. 임의의 $ x \in \mathbb { R } _ { l } $ 과 $ x $ 의 임의의 열린근방 $ U \left ( \in \mathbb { R } _ { l } \right ) $ 에 대하여 $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 기저 $ \mathscr { B } _ { l } $ $ = \{ [a, b) \mid a<b \in \mathbb { R } \} $ 에서 항상 $ [x, x + \varepsilon) \in \mathscr { B } _ { l } $ 이 존재하여 (기저의 정의를 활용함) \[ x \in[x, x + \varepsilon) \subset U \quad(0< \varepsilon \in \mathbb { R } ) \] 이 성립한다. 그런데 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 $ [x, x + \varepsilon) $ 이 열린집합임은 명백하고, 닫힌 집합이기도 하다. 왜냐하면 $ [x, x + \varepsilon) ^ { c } =(- \infty, x) \cup[x + \varepsilon, \infty) $ 이 되어서 $ [x, x + \varepsilon) ^ { c } $ 이 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 열린집합이다. 따라서 $ [x, x + \varepsilon)(:=V) $ 은 $ \mathbb { R } _ { l } $ 에서 닫힌집합이다. 그러므로 \[ \begin {array} { c } x \in[x, x + \varepsilon) \subset[x, x + \varepsilon) \subset U \\ \\| \\ \frac {\\| } { V } \end {array} \] 을 만족하는 열린집합 $ V=[x, x + \varepsilon)= \bar { V } $ 가 존재하므로 정리 $9.2.6 $ 에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</li> <li> <p>$ \mathbb { R } _ { l } $ 은 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족함을 보이자. $ F_ { 1 } $ 과 $ F_ { 2 } $ 를 임의로 주어진 서로소인 $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 닫힌집합이라 하자. 임의의 점 $ a \in F_ { 1 } $ 에 대하여 $ a \in F_ { 2 } ^ { c } $ 이고 $ F_ { 2 } ^ { c } $ 이 열린집합이므로 (그림 $ 9.8 $ 참조) $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 기저 $ \mathscr { B } _ { l } $ 의 원소 $ \left [a, x_ { a } \right ) $ 가 존 재하여 $ a \in \left [a, x_ { a } \right ) \subset F_ { 2 } ^ { c } $ 을 만족한다. 따라서 $ \left [a, x_ { a } \right ) \cap F_ { 2 } = \varnothing $ 인 실수 $ x_ { a } $ 가 존재한다.</p> <p>\[ f: X \rightarrow \mathbb { R } ^ {\infty } \] 를 각 $ x \in X $ 에 대하여 \[ f(x)= \left ( \frac { f_ { 1 } (x) } { 2 } , \frac { f_ { 2 } (x) } { 2 ^ { 2 } } , \cdots, \frac { f_ { n } (x) } { 2 ^ { n } } , \cdots \right ) \] 으로 정의하자. 각 $ n $ 에 대하여 $ 0 \leq f_ { n } (x) \leq 1 $ 이므로 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { f_ { n } (x) } { 2 ^ { n } } \right ) ^ { 2 } \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } = \frac { 1 } { 3 } \] 이 되어 $ f(x) \in \mathbb { R } ^ {\infty } $ 가 되어서 $ f $ 는 잘 정의된 (well-defined) 사상이다.</p></li></ol> <ol type=i start=1><li>이제 $ f $ 가 단사함수임을 보이자. $ X $ 상에서 서로 다른 두 점 $ x, y $ 를 택하자. $ X $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 적당한 $ B_ { i } \in \mathscr { B } $ 가 존재하여 $ x \in B_ { i } $, $ y \notin B_ { i } $ 가 되게 할 수 있다. $ X $ 는 $ T_ { 3 } $ 공간이기도 하므로 적당한 $ B_ { j } \in $ $ \mathscr { B } $ 가 존재하여 \[ x \in \overline { B_ { j } } \subset B_ { i } , y \in B_ { i } ^ { c } \] 이다. $ \left (B_ { j } , B_ { i } \right ) \in \mathscr { B } ^ { * } $ 이므로 적당한 $ n $ 이 존재하여 $ \left (B_ { j } , B_ { i } \right )= \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ) $ 이다. 즉, $ B_ { j } =B_ { j_ { n } } , B_ { i } =B_ { i_ { n } } $ 이다. 따라서 $ x \in \overline { B_ { j_ { n } } } , y \in B_ { i_ { n } } ^ { c } $ 이므로 \[ f_ { n } (x)=0, f_ { n } (y)=1 \] 이다. 그러므로 $ f(x) $ 와 $ f(y) $ 의 $ n $ 번째 좌표가 같지 않으므로 $ f(x) \neq f(y) $ 이어서 $ f $ 는 단사이다.</li> <li>$ f $ 가 연속사상임을 보이자. 각 점 $ p \in X $ 에서 $ f $ 가 연속임을 보이면 된다. 임의의 양의 실수 $ \varepsilon>0 $ 을 택하자. $ x \in X $ 에 대하여 \[ \\|f(x)-f(p) \\| ^ { 2 } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { f_ { n } (x)-f_ { n } (p) } { 2 } \right ) ^ { 2 } \] 이고 $ 0 \leq \left \|f_ { n } (x)-f_ { n } (p) \right \| \leq 1 $ 이므로 \[ \left ( \frac { f_ { n } (x)-f_ { n } (p) } { 2 } \right ) ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \] 이 되어 식 ()의 우변은 수렴한다. 따라서 적당한 자연수 $ n_ { 0 } $ 가 존재 해서 \[ \\|f(x)-f(p) \\| ^ { 2 } = \sum_ { n=1 } ^ { n_ { 0 } } \frac {\left \|f_ { n } (x)-f_ { n } (p) \right \| ^ { 2 } } { 2 ^ { n } } + \frac {\varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \] 이다. $ f_ { n } : X \rightarrow[0,1] \quad \left (n \in \left \{ 1,2, \cdots, n_ { 0 } \right \} \right ) $ 가 연속이므로, 점 $ p $ 에서 연속이 되고, 결국에는 점 $ p $ 의 적당한 열린근방 $ U_ { n } $ 이 존재하여 임의의 $ x \in U_ { n } $ 에 대하여 \[ \left \|f_ { n } (x)-f_ { n } (p) \right \| ^ { 2 }< \frac {\varepsilon ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 2 n } } { 2 n_ { 0 } } \] 이 되게 할 수 있다. 여기서 $ U=U_ { 1 } \cap U_ { 2 } \cap \cdots \cap U_ { n_ { 0 } } $ 라 놓자. $ U $ 는 점 $ p $ 의 열린근방이 되고, 임의의 점 $ x \in U $ 에 대하여 \[ \\|f(x)-f(p) \\| ^ { 2 } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { f_ { n } (x)-f_ { n } (p) } { 2 ^ { n } } \right ) ^ { 2 }<n_ { 0 } \left ( \frac {\varepsilon ^ { 2 } } { 2 n_ { 0 } } \right ) + \frac {\varepsilon ^ { 2 } } { 2 } = \varepsilon ^ { 2 } \] 이므로 $ f $ 는 점 $ p $ 에서 연속이다. 따라서 $ f $ 는 $ X $ 에서 연속이다.</li> <li> <p>이제 $ Y=f(X) \subset \mathbb { R } ^ {\infty } $ 라 놓고 $ f ^ { -1 } : Y \rightarrow X $ 가 연속임을 보이자. $ Y $ 가 $ \left ( \mathbb { R } ^ {\infty } , d \right ) $ 의 부분공간이므로 $ Y $ 도 거리공간이 된다. 따라서 함수 $ f ^ { -1 } $ 가 $ Y $ 의 각 점 $ f(p) $ (단 $ p \in X $ )에서 점렬연속임을 보이면 된다(정 리 8.1.18 참조). 만일 한 점 $ f(p) \in Y $ 에서 점렬연속이 아니라면 한 점 렬 $ \left \langle f \left (y_ { n } \right ) \right \rangle $ 이 $ Y $ 에 존재하여 $ \left \langle f \left (y_ { n } \right ) \right \rangle \rightarrow f(p) $ 이고 $ \left \langle y_ { n } \right \rangle \nrightarrow p $ 이다. 따라서 $ \left \langle y_ { n } \right \rangle $ 의 적당한 부분점렬 $ \left \langle x_ { m } \right \rangle $ 과 점 $ p $ 의 적당한 근방 $ V $ 가 존재하여 $ x_ { m } \notin V(m \in \mathbb { N } ) $ 이다. $ p \in V $ 이므로 $ B_ { i } \in \mathscr { B } $ 가 존재하여 $ p \in B_ { i } \subset V $ 이고 주어진 공간이 $ T_ { 4 } $ 공간이므로 $ B_ { j } \in \mathscr { B } $ 가 존재하여 $ p \in \overline { B_ { j } } \subset B_ { i } \subset V $ 가 성립한다. $ \left (B_ { j } , B_ { i } \right )= \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ) $ 라 하면 $ x_ { m } \in B_ { i } ^ { c } $ $ =B_ { i_ { n } } ^ { c } (m \in \{ 1,2, \cdots \} ) $ 이므로 $ f_ { n } (p)=0, f_ { n } \left (x_ { m } \right )=1(m \in \{ 1,2 $, $ \cdots \} ) $ 이다. 따라서 $ m \in \{ 1,2, \cdots \} $ 에 대해서 \[ \begin {aligned} \\|f(x)-f(p) \\| ^ { 2 } &= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { f_ { k } \left (x_ { m } \right )-f_ { k } (p) } { 2 ^ { k } } \right ) ^ { 2 } \geq \left ( \frac { f_ { n } \left (x_ { m } \right )-f_ { n } (p) } { 2 ^ { n } } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } } \end {aligned} \] 이다. 그러므로 $ \left \langle f \left (x_ { m } \right ) \right \rangle \nrightarrow f(p) $ 가 성립한다. 이 결과는 점렬 $ \left \langle f \left (y_ { n } \right ) \right \rangle $ $ \rightarrow f(p) $ 라는 데 모순이다. 따라서 $ Y $ 상의 각 점 $ f(p) $ 에서 $ f ^ { -1 } $ 는 점렬 연속이어야 한다. 그러므로 $ f ^ { -1 } : Y \rightarrow X $ 는 연속사상이다.</p> <p>역으로 주어진 가정을 바탕으로 위상공간 $ X $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하는 공간임을 보이자. $ X $ 에서 서로소인 임의의 두 닫힌집합 $ A $ 와 $ B $ 를 택했을 때, $ A B $ 중 어느 하나가 공집합이면 $ A $ 와 $ B $ 를 각각 포함하는 서로소인 열린근방 $ U $ 와 $ V $ 를 갖는 것은 명백하다. 그러므로 이제 $ A \neq \varnothing \neq B $ 이라 하자.</p> <p>가정으로부터 한 연속함수 \[ f: X \rightarrow[0,1] \] 가 존재해서 $ f(A)= \{ 0 \} , f(B)= \{ 1 \} $ 이다.</p> <p>\[ U= \left \{ x \in X \mid f(x)< \frac { 1 } { 3 } \right \} , \quad V= \left \{ x \in X \mid f(x)>\frac { 2 } { 3 } \right \} \] 라 놓으면 $ U=f ^ { -1 } \left ( \left [0, \frac { 1 } { 3 } \right ) \right ), \quad V=f ^ { -1 } \left ( \left ( \frac { 2 } { 3 } , 1 \right ] \right ) $ 이고 $ f $ 가 연속이므로 $ U $ 와 $ V $ 는 $ X $ 에서 열린집합이다. 더 나아가 $ A \subset U, B \subset V $ 이고 $ U \cap V $ $ = \varnothing $ 이므로 $ X $ 는 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다.</p></li></ol></li></ol> <p>Urysohn 보조정리를 활용하여 다음을 얻는다.</p> <p>따름정리 $9.3.2 $ $ X $ 를 정규공간이라 하자. 만약 $ A $ 와 $ B $ 가 $ X $ 에서 서로소인 닫힌집합이면 연속사상 \[ f: X \rightarrow[0,1] \text { s.t. } f(A) \subset \{ 0 \} , f(B) \subset \{ 1 \} \]가 존재한다.</p> <p>정리 $9.3.1 $과 따름정리 $9.3.2 $에서 $ [0,1] $ 을 $ [a, b] $ 로 대체해도 같은 결과를 갖는 다. ([0, 1]과 $ [a, b] $ 는 위상동형임을 유의하자.) 이제 Urysohn 보조정리를 활용하여 다음과 같은 Tietze 확장정리를 소개한다.</p> <p>$ \Delta $가 $ \left (X \times X, \mathscr { T } _ { p } \right ) $에서 닫힌집합이라 하자. 그러면 $ X \times X- \Delta $는 곱 위상 $ \mathscr { T } _ { p } $의 열린집합이다. 서로 다른 임의의 두 점 $ x, y \in X $를 택하면 $ (x, y) \in X \times X- \Delta $이다. 그런데 $ (X \times X- \Delta) \in \mathscr { T } _ { p } $이므로 \[ (x, y) \in U \times V \in X \times X- \Delta \] 를 만족하는 $ (X, \mathscr { T } ) $의 열린집합 $ U, V( \in \mathscr { T } ) $가 존재한다. 그러면 $ U, V $는 \[ x \in U, y \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 를 만족하므로 $ (X, \mathscr { T } ) $는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p> <p>성질 9.1.21 $ X $는 위상공간이고 $ Y $는 $ T_{ 2 } $ 공간이라 하자. 그러면 두 연속사상 $ f $, $ g: X \rightarrow Y $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \{ x \in X \mid f(x)=g(x) \} $는 $ X $에서 닫힌집합이다.</li> <li>$ D $가 $ X $에서 조밀부분집합일 때 축소사상 $ \left .f \right \|_ { D } = \left .g \right \|_ { D } $이면 $ f=g $이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type= start=1><li>$ h=(f, g): X \rightarrow Y \times Y $를 $ h(x)=(f(x), g(x)) $라 하면 정리 6.1.9에 의하여 $ h $는 연속사상이다. $ Y $가 $ T_ { 2 } $ 공간이므로 정리 9.1.20에 의하여 $ \Delta= \{ (y, y) \mid y \in Y \} $는 곱공간 $ \left (Y \times Y, \mathscr { T } _ { p } \right ) $에서 닫힌집합이다. 따라서 \[ h ^ { -1 } ( \Delta)= \{ x \mid f(x)=g(x) \} \]는 $ X $에서 닫힌집합이다.</li> <li>함수 $ f $와 $ g $가 조밀한 부분집합 $ D $에서 일치한다고 하자. 즉 $ \left .f \right \|_ { D } = \left .g \right \|_ { D } $이다. 이제 \[ B= \{ x \mid f(x)=g(x) \} \] 이라 놓으면 $ D \subset B $이다. (1)에 의하여 $ B $는 위상공간 $ X $에서 닫힌집합 이므로 $ B= \bar { B } $이다. 그러므로 $ \bar { D } \subset \bar { B } =B $인데 가정에 의하여 $ \bar { D } =X $이므로 \[ X= \bar { D } =B= \{ x \mid f(x)=g(x) \} \] 가 되어서 $ f=g $이다.</li></ol> <p>일반적으로 위상공간상에서 수렴하는 점렬이 유일한 수렴점을 갖는 것은 아니다. 그러나 $ T_ { 2 } $ 공간상에서 수렴하는 점렬은 유일한 수렴점을 가짐을 다음 정리에서 알 수 있다.</p> <p>이제 정리 $9.3.4 $와 보조정리 $9.3.6 $을 이용하여 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 $9.3.7 $ (Urysohn의 거리화 정리 : Urysohn's metrization theorem) 제 $2 $ 가산인 정칙공간은 거리화 가능이다.</p> <p>증명 정리 $9.3.4 $와 보조정리 $9.3.6 $에 의하여 성립한다.</p> <h1>$ 9.4 $ 완전정칙공간</h1> <p>절 $9.1 $과 $9.2 $에서 $ T_ { i } $ 공간 $ (i \in \{ 0,1,2,3,4 \} ) $ 의 다양한 성질(특히 유전적 성 질, 곱성질, 위상적 성질 등)을 조사하였다. 그런데 $ T_ { 3 } $ 공간은 유전적 성질을 갖지 만 $ T_ { 4 } $ 공간은 유전적 성질을 갖질 못했다. 그래서 $ T_ { 3 } $ 공리와 $ T_ { 4 } $ 공리의 사이에 속하는 위상적 성질로서 유전적 성질을 갖는 새로운 분리공리를 설정하게 되는데 그 공리가 $ T_ { 3 \frac { 1 } { 2 } } $ 공리이다.</p> <p>정의 $9.4.1 $ $ T_ { 1 } $ 공간 $ X $ 가 다음 공리를 만족할 때 $ X $ 를 완전정칙공간 (comple- tely regular space) 또는 $ T_ { 3 \frac { 1 } { 2 } } $ 공간 (티코노프 공간: Tychonoff space)이라 한다. [CR] 임의의 닫힌집합 $ F $ 와 점 $ x( \notin F) $ 에 대하여 다음 성질을 만족하는 연속함수 \[ f: X \rightarrow[0,1] \text { s.t. } f(F) \subset \{ 0 \} , f(x)=1 \] 가 존재한다.</p> <p>(주의 : 정의 $9.4.1 $에서 $ F \neq \varnothing $ 이면 $ f(F)= \{ 0 \} $ 이다. 정의 $9.4.1 $에서 ' $ f(F) \subset \{ 0 \} $, $ f(x)=1 $ '을 ' $ f(x)=0, f(F) \subset \{ 1 \} $ '로 사용해도 무방하다.)</p> <p>이제 완전정칙공간을 정칙공간, 정규공간과 비교하면 다음과 같다.</p> <p>정리 $9.4.2 $ 정규공간 $ \left (T_ { 4 } \right . $ 공간 $ ) \Rightarrow $ 완전정칙공간 $ \left (T_ { 3 \frac { 1 } { 2 } } \right . $ 공간 $ ) \Rightarrow $ 정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 공간).</p> <p>정리 $9.2.15 $ 위상공간 $ X $ 에 대하여 다음은 동치이다.</p> <ol type=a start=1><li>$ X $ 는 조건 [N]]을 만족한다.</li> <li>임의의 닫힌집합 $ F $ 와 $ F \subset U $ 인 임의의 열린집합 $ U $ 에 대하여 \[ F \subset V \subset \bar { V } \subset U \] 을 만족하는 열린집합 $ V $ 가 존재한다.</li></ol> <p>(a) $ \Rightarrow $ (b) 임의의 닫힌집합 $ F $ 와 $ F \subset U $ 인 열린집합 $ U $ 에 대하여 $ U ^ { c } $ 은 닫 힌집합이고 $ F \cap U ^ { c } = \varnothing $ 이므로 (a)에 의하여 \[ F \subset V, U ^ { c } \subset W \text { 이고 } V \cap W= \varnothing \] 인 열린집합 $ V $ 와 $ W $ 가 존재한다. 그러면 $ V \subset W ^ { c } $ 이고 $ W ^ { c } $ 이 닫힌집합이므 로 $ \bar { V } \subset W ^ { c } $ 이다. 그리고 $ W ^ { c } \subset U $ 이므로 $ F \subset V \subset \bar { V } \subset U $ 를 만족한다. (b) $ \Rightarrow $ (a) 서로 다른 임의의 두 닫힌집합 $ F_ { 1 } $ 과 $ F_ { 2 } $ 에 대하여 $ F_ { 1 } ^ { c } $ 은 열린집합이고 $ F_ { 2 } \subset F_ { 1 } ^ { c } $ 이다. 그러면 (b)에 의하여 \[ F_ { 2 } \subset V \subset \bar { V } \subset F_ { 1 } ^ {\mathrm { c } } \] 을 만족하는 열린집합 $ V $ 가 존재한다. 그러면 두 열린집합 $ V $ 와 $ ( \bar { V } ) ^ { c } $ 에 대해 \[ F_ { 2 } \subset V, F_ { 1 } \subset( \bar { V } ) ^ { c } , \quad V \cap( \bar { V } ) ^ { c } = \varnothing \] 이 성립하므로 $ X $ 는 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다.</p> <p>정리 $9.2.19 $ 거리공간은 정규공간이다.</p> <p>증명 기초정리 $9.1.14 $에 의하여 거리공간은 $ T_ { 2 } $ 공간이므로 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</p> <p>이제 $ A $ 와 $ B $ 를 거리공간 $ (X, d) $ 의 서로소인 닫힌집합이라고 하자. 임의 의 점 $ a \in A $ 에 대하여 $ a \in B ^ { c } $ 이고 $ B ^ { c } $ 이 열린집합이므로 $ a \in B_ { d } \left (a, r_ { a } \right ) $ $ \subset B ^ {\mathrm { c } } $ 를 만족하는 양의 실수 $ r_ { a } $ 가 존재한다. 즉 $ B_ { d } \left (a, r_ { a } \right ) \cap B= \varnothing $ 이다. 같은 방법으로 임의의 점 $ b \in B $ 에 대하여 $ B_ { d } \left (b, r_ { b } \right ) \cap A= \varnothing $ 을 만족하는 양의 실수 $ r_ { b } $ 를 택하자. 이제 \[ U= \bigcup_ { a \leqq A } B_ { d } \left (a, \frac { r_ { a } } { 2 } \right ), \quad V= \bigcup_ { b \leqq B } B_ { d } \left (b, \frac { r_ { b } } { 2 } \right ) \] 라 놓으면 $ U $ 와 $ V $ 는 $ (X, d) $ 에서 열린집합이다. 즉 $ A \subset U $ 이고 $ B \subset V $ 이다.</p> <p>이제 $ U \cap V= \varnothing $ 임을 보이자. 귀류법을 사용하여, $ U \cap V \neq \varnothing $ 이라고 가정하면 $ x \in U \cap V $ 가 존재하며 \[ x \in B_ { d } \left (a, \frac { r_ { a } } { 2 } \right ), \quad x \in B_ { d } \left (b, \frac { r_ { b } } { 2 } \right ) \] 를 만족하는 $ a \in A $ 와 $ b \in B $ 가 존재한다. 편의상 $ r_ { a } \leq r_ { b } $ 라고 하자. 그러면 \[ d(a, b) \leq d(a, x) + d(x, b)< \frac { r_ { a } } { 2 } + \frac { r_ { b } } { 2 } \leq r_ { b } \] 가 되므로 $ a \in B_ { d } \left (b, r_ { b } \right ) $ 이다. 그래서 $ a \in B_ { d } \left (b, r_ { b } \right ) \cap A $ 이므로 $ B_ { d } \left (b, r_ { b } \right ) $ $ \cap A \neq \varnothing $ 이 되어서 모순이다. 그리고 $ r_ { b } \leq r_ { a } $ 라고 가정해도 $ B_ { d } \left (a, r_ { a } \right ) $ $ \cap B \neq \varnothing $ 이 되어 모순이다. 따라서 $ U \cap V= \varnothing $ 이 성립하여 $ (X, d) $ 는 정규공간이다.</p> <p>위 결과에 따라서 제 2 가산인 정규공간 $ X $ 는 사상 $ f $ 에 의하여 $ \left ( \mathbb { R } ^ {\infty } , d \right ) $ 의 한 부분공간 $ f(X) $ 와 위상동형이므로 $ X $ 는 거리화 가능공간이다.</p></li></ol> <p>[예제 $9.3.5 $] 집합 $ X $ 를 가산집합이라 하자. 이산위상공간 $ (X, \mathscr { D } ) $ 는 제 2 가산공 간이고 정규공간이므로 거리화 가능공간이다.</p> <p>이제 정리 9.3.4보다 약한 조건을 갖고 거리화 가능공간 여부를 알아보자.</p> <p>보조정리 $9.3.6 $ 제 $2 $ 가산인 정칙공간은 정규공간이다.</p> <p>증명 $ A $ 와 $ B $ 를 $ (X, \mathscr { T } ) $ 상의 서로소인 닫힌집합이라 하자. 가정과 정리 9.2.6에 의하여 폐포가 $ B $ 와 만나지 않는 열린집합 $ U_ { i } $ 가 $ \left ( \right . $ 즉 $ \left . \bar { U } _ { i } \cap B= \varnothing \right ) $ 존재하 는데 이를 이용하여 $ A $ 의 가산 열린덮개 $ \left \{ U_ { i } \right \} $ 를 얻는다. 같은 방법으로 $ A $ 와 서로소인 $ B $ 의 가산열린덮개 $ \left \{ V_ { i } \right \} $ 를 만든다. 이제 \[ U_ { n } ^ {\prime } :=U_ { n } - \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \bar { V } _ { i } , \quad V_ { n } ^ {\prime } :=V_ { n } - \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \bar { U } _ { i } \] 라고 놓으면 $ U_ { n } ^ {\prime } $ 과 $ V_ { n } ^ {\prime } $ 는 열린집합이고 $ \left \{ U_ { n } ^ {\prime } \right \} $ 은 $ A $ 의 열린덮개이고 $ \left \{ V_ { n } ^ {\prime } \right \} $ 은 $ B $ 의 열린덮개이다. 그리고 \[ U ^ {\prime } := \cup U_ { n } ^ {\prime } , \quad V ^ {\prime } := \cup V_ { n } { } ^ {\prime } \] 라고 놓으면 $ U ^ {\prime } , V ^ {\prime } $ 은 열린집합이고 $ A \subset U ^ {\prime } , B \subset V ^ {\prime } $ 이면서 $ U ^ {\prime } \cap V ^ {\prime } $ $ = \varnothing $ 이 성립한다.</p> <p>수학은 순서와 관계를 다루는 학문이라고 정의할 수 있다. 위상수학은 주어진 두 공간이 서로 위상동형관계인지 아닌지를 판별하는 데 중요한 목표를 두고 있다. 즉 위상동형임을 보이기 위해 서는 위상동형사상이 존재함을 보여야 한다. 그래서 위상동형관계를 알아보기 위해서 위상적 성질 (topological property) 를 할용하였다. 즉, 두 개의 위상공간 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 위상 동형이라 하자. 이때 만약에 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 어떤 성질을 가질 때 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 도 그 성질을 가지면, 그 성질을 위상적 성질이라 한다. 두 개의 위상공간의 위상동형관계를 조사할 때 위상적 성질과 대우법칙의 할용성은 매우 높다. 이 장에서 다룰 다양한 형태의 분리공리도 대표적인 위상적 성질 이기에 위상공간의 분류에 절대적으로 할용된다. 한편 위상공간의 성질은 그 공간의 열린집합의 구성형태에 따라 많은 영향을 받는다. 예를 들면, 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 열린집합들의 개수가 작을 수록 그 공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 가분 (separable), 제1가산공간 또는 제2가산공간 등이 되기 쉽고, 공 간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 열린집합의 개수가 클수록 $ (X, \mathscr { T } ) $ 에서 어떤 위상공간 $ \left (Y, \mathscr { T } ^ {\prime } \right ) $ 로의 사상 $ f: $ $ (X, \mathscr { T } ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { T } ^ {\prime } \right ) $ 가 연속이 될 가능성이 높아지게 된다. 이 장에서는 다양한 형태의 분리공 리들 (separation axioms) 을 소개하고 그들이 위상적 불변성이 있음을 보여서 위상공간들의 분류에 활용할 것이다. 더 나아가 분리공리들의 유전적 성질, 곱성질 등도 심도 있게 다루고 이들 사이의 관계를 설명한다.</p> <h1>$ 9.1 $ 분리공리 $ T_ { 0 } , T_ { 1 } , T_ { 2 } $</h1> <P>정의 9.1.1 '위상공간 $ (X, \mathscr { I } ) $ 상의 서로 다른 임의의 두 검에 대하여 적어도 한 점은 다튼 졈올 원소로 갖지 않는 열린집합을 갖는다'라는 명제를 $ T_ { 0 } $ 분리공리라 한 다. 이 공러를 만족하는 위상공간 $ X $ 를 $ T_ { 0 } $ 공간 ( $ T_ { 0 } $ space 후은 Kolmogorove space)이라 한다 (그림 $ 9.1 $ 참조). 즉, $ T_ { 0 } $ 공리는 다음과 같다. $ \exists a, b(a \neq b) \in X, \quad \exists U \equiv \mathscr { T } $ s.t. $ U( \equiv a) $, $ U( \nexists b) $ 혹은 $ U( \nexists b), U( \nexists a) $ 이다.</P><p>[예제 $9.1.2 $ ] $ X = \{ a, b \} , \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} \} $ 라 하면 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 0 } $ 공간이 된다. 이 공간을 시에르핀스키 공간(Sierpinski space)이라 부른다.</p> <h1>9.3 Urysohn 보조정리와 Tietze 확장정리</h1> <p>이 절에서는 Urysohn 보조정리와 이를 활용하여 Tietze 확장정리를 다룬다. 분리공리 중에서 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하는 위상공간 $ X $ 는 상수함수가 아닌 실숫값을 갖는 연속함수 $ f: X \rightarrow[a, b] \subset \mathbb { R } $ 가 항상 존재함을 보일 수 있다. 이 정리를 Urysohn 보조정리라고 한다. 이 정리의 결과를 활용하여 공리 [N]을 만족하는 공간 의 확대함수문제를 다룰 수 있는데 이 정리를 Tietze 확대 정리라 한다.</p> <p>정리 $9.3.1 $ (Urysohn's lemma) 위상공간 $ X $ 가 공리 [N]을 만족하는 공간이기 위한 필요충분조건은 서로소인 임의의 두 닫힌집합 $ A, B( \subset X) $ 에 대하여 한 연 속함수 $ f: X \rightarrow[0,1] $ 이 존재하여 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 $ f(x)=1 $, 임의의 $ x \in B $ 에 대하여 $ f(x)=0 $ 이 성립하는 것이다. 여기서 $ [0,1] $ 은 보통위상공간의 부분공간 $ \left ([0,1], \mathscr { U } _ { [0,1] } \right ) $ 을 의미한다.</p> <p>(주의 : 정리 $9.3.1 $에서 $ A \neq \varnothing \neq B $ 이면 $ f(A)= \{ 0 \} $ 이고 $ f(B)= \{ 1 \} $ 이다. 그리 고 정리 $9.3.1 $에서 “ $ \forall ^ {\forall } x \in A, f(x)=0 $ 과 $ \exists { } ^ {\forall } x \in B, f(x)=1 $ "와 같이 표현 할 수 있다.)</p> <p>$ \left \{\begin {array} { l } f(A) \subset \{ 0 \} \Leftrightarrow \exists { } ^ {\forall } x \in A, f(x)=0 . \\ f(B) \subset \{ 1 \} \Leftrightarrow \exists { } ^ {\forall } x \in B, f(x)=1 . \end {array} \right . $</p> <p>증명 위상공간 $ X $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하는 공간이라 하자. 서로소인 임의의 두 닫 힌집합 $ A, B $ 를 택했을 때 $ A \cap B= \varnothing $ 이므로 $ A \subset B ^ { c } $ 이다. $ B ^ { c } $ 가 열린집 합이므로 정리 $ 9.2 .15 $ 에 의하여 열린집합 $ U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) $ 이 존재하여 \[ A \subset U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) \subset \overline { U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) } \subset B ^ { c } \] 이 되도록 할 수 있다. $ U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) $ 이 열린집합이므로 정리 $9.2.15 $를 반복 적용하 여 적당한 열린집합 $ U \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ), U \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) $ 이 존재하여 \[ A \subset U \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) \subset \overline { U \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) } \subset U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) \subset \overline { U \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) } \subset U \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) \subset \overline { U \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) } \subset B ^ { c } \] 이 되도록 할 수 있다. $ X=U(1) $ 이라 하자.</p> <p>정리 9.3.3 (Tietze 확장정리)</p> <ol type=1 start=1><li>한 위상공간 $ X $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하기 위한 필요충분조건은 $ A $ 가 $ X $ 에서 닫힌집합이고 $ f: A \rightarrow \mathbb { R } $ 가 연속함수일 때 $ f $ 의 확장사상 $ F: X \rightarrow \mathbb { R } $ 가 존재하는 것이다. (즉 $ \left .F \right \|_ { A } =f $ 인 연속함수 $ F $ : $ X \rightarrow \mathbb { R } $ 가 존재하는 것이다.)</li> <li>한 위상공간 $ X $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하기 위한 필요충분조건은 $ A $ 가 $ X $ 에서 닫힌 집합이고 $ f: A \rightarrow[a, b] $ 가 연속함수일 때 $ f $ 의 확장사상 $ F: X \rightarrow[a, b] $ 가 존재하는 것이다. (주의 : (2)는 (1)에서 $ \mathbb { R } $ 을 $ [a, b] $ 로 교체하여 기술되었다.)</li></ol> <p>이 책에서는 (1)을 증명하기로 한다.</p> <p>증명 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다고 가정하고, $ A $ 를 $ X $ 의 한 닫힌집 합이라 하자. $ \mathbb { R } $ 과 $ (-1,1) $ 은 위상동형이므로 $ f: A \rightarrow \mathbb { R } $ 대신에 $ f: A $ $ \rightarrow(-1,1) $ 인 경우를 먼저 증명하기로 하자.</p> <p>\[ A_ { 1 } = \left \{ x \in A \mid f(x) \geq \frac { 1 } { 3 } \right \} , \quad B_ { 1 } = \left \{ x \in A \mid f(x) \leq \frac { -1 } { 3 } \right \} \] 이라 하자. $ A_ { 1 } , B_ { 1 } $ 은 $ A $ 에서 닫힌집합이기에 $ X $ 에서도 닫힌집합이다. Urysohn 보조정리에 의하여 연속함수 \[ f_ { 1 } : X \rightarrow \left [- \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right ] \quad \left (f_ { 1 } \left (A_ { 1 } \right )= \left \{\frac { 1 } { 3 } \right \} , \quad f_ { 1 } \left (B_ { 1 } \right )= \left \{\frac { -1 } { 3 } \right \} \right . \] 이 존재한다. 이 경우 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 \[ \left \|f(x)-f_ { 1 } (x) \right \| \leq \frac { 2 } { 3 } \] 이므로 $ \left (f-f_ { 1 } \right )(A) \subset \left [ \frac { -2 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right ] $ 이 성립한다.</p> <p>기초정리 $9.1.11 $ $ \quad T_ { 2 } $ 공간 $ \Rightarrow T_ { 1 } $ 공간 $ \Rightarrow T_ { 0 } $ 공간</p> <p>이제 기초정리 $9.1.11 $의 역은 성립하지 않음을 예를 들어 설명하기로 하자.</p> <p>[예제 9.1.12]</p> <ol type=1 start=1><li>Sierpinski 공간은 $ T_ { 0 } $ 공간이지만 $ T_ { 1 } $ 공간은 아니다</li> <li>예제 $9.1.7 $에서 다룬 무한집합 $ X $ 상의 여유한위상 $ \left (X, \mathscr { T } _ { f } \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이지만 $ T_ { 2 } $ 공간은 아니다. 구체적으로, $ \left (X, \mathscr { T } _ { f } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간임은 예제 9.1.7에서 보였 으므로 $ \left (X, \mathscr { T } _ { f } \right ) $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이 아님을 보이자. 귀류법을 사용하여, 서로 다른 임의의 두 점 $ a, b \in X $ 에 대하여 $ U, V \in \mathscr { T } _ { f } $ 가 존재하여 \[ a \in U \in \mathscr { T } _ { f } , b \in V \in \mathscr { T } _ { f } \text { 이면서 } U \cap V= \varnothing \] 이라 가정하자. 그러면 $ U ^ { c } $ 와 $ V ^ { c } $ 는 $ X $ 의 부분집합으로서 다음과 같은 형태 이다. \[ U ^ { c } = \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { m } \right \} \subset X, \quad V ^ { c } = \left \{ b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right \} \subset X \] 그러면 식 ( $9.1 $)에서 $ U \cap V= \varnothing $ 이므로 다음이 성립한다. \[ X=(U \cap V) ^ { c } =U ^ { c } \cup V ^ { c } = \left \{ a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } , b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right \} \] 즉 $ X $ 가 유한집합이 되어서, $ X $ 가 무한집합이라는 가정에 모순이다.</li></ol> <p>[예제 9.1.13] 정수 $ m \in \mathbb { Z } $ 에 대하여 $ U_ { m } = \{ t \in \mathbb { Z } \mid t \leq m \} $ 이라 하자. 정수집합 $ \mathbb { Z } $ 에 다음과 같은 위상 $ \mathscr { T } $ 를 생각하자.</p> <p>이제 정칙공간의 위상적 성질을 조사하자.</p> <p>정리 $9.2.8 $ 정칙공간은 위상적 성질을 갖는다.</p> <p>증명 위상공간 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 위상동형이라고 가정하자. 그러면 $ X $ 가 정칙공간이기 위한 필요충분조건은 $ Y $ 가 정칙공간임을 보이면 된다.</p> <ol type=i start=1><li>$ X $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 정리 9.1.8에 의하여 $ Y $ 도 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</li> <li>이제 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 의 위상적 성질을 보이면 된다. $ h: \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 를 위상동형사상이라 하자. $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하면 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 도 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족함을 보이자. 이제 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 상에서 임의로 주어진 닫힌집합 $ F $ 와 임의의 한 점 $ y \in Y-F $ 에 대하여, $ h $ 가 위상동형이므로 $ h ^ { -1 } (F) $ 는 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 에서 닫힌집합이고 $ h ^ { -1 } (y) \in X-h ^ { -1 } (F) $ 이다. 여 기서 $ h ^ { -1 } (y)=x $ 라 놓자. 가정으로부터 공간 $ X $ 가 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하 므로 \[ h ^ { -1 } (F) \subset U, x \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 $ U, V \in \mathscr { T } _ { 1 } $ 이다. $ h $ 가 위상동형사상이므로 \[ \begin {array} { l } h(U), h(V) \in \mathscr { T } _ { 2 } \text { 이고 } \\ F=h \left (h ^ { -1 } (F) \right ) \subset h(U), y=h(x) \in h(V) \text { 이고 } \\ h(U) \cap h(V)=h(U \cap V)= \varnothing \end {array} \] 이다. 따라서 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</li></ol> <p>결론적으로 (i)과 (ii)에 의하여 정칙공간은 위상적 성질임이 밝혀졌다.</p> <p>$ \mathscr { T } = \left \{\varnothing, \mathbb { Z } , U_ { m } \mid m \in \mathbb { Z } \right \} $</p> <p>위상공간 $ ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 0 } $ 공간이지만 $ T_ { 1 } $ 공간은 아니다.</p> <ol type=i start=1><li>$ ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } ) $ 가 $ T_ { 0 } $ 공간임을 보이자. 서로 다른 임의의 두 정수 $ m, n \in \mathbb { Z } $ 을 택하 여 편의상 $ m<n $ 이라 하자. 그러면 $ U_ { m } = \{ t \in \mathbb { Z } \mid t \leq m \} \in \mathscr { T } $ 가 존재하여 $ m \in U_ { m } $ 이고 $ n \notin U_ { m } $ 이 성립하므로 $ ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 0 } $ 공간이다.</li> <li>$ ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } ) $ 에서 닫힌집합의 모임은 \[ \{\varnothing, \mathbb { Z } \} \cup \{ t \in \mathbb { Z } \mid t>m, m \in \mathbb { Z } \} \] 이다. 그러므로 $ \mathbb { Z } $ 상의 한원소집합은 닫힌집합이 될 수 없기에 정리 9.1.6에 의 하여 $ ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간은 아니다.</li></ol> <p>기초정리 $9.1.14 $ 모든 거리공간은 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p> <p>증명 $ (X, d) $ 를 거리공간이라 하자. 서로 다른 임의의 두 점 $ a, b \in X $ 에 대하여 $ r=d(a, b)>0 $ 이라 하자. 이제 $ U=B_ { d } \left (a, \frac { r } { 3 } \right ), V=B_ { d } \left (b, \frac { r } { 3 } \right ) $ 이라 하면 $ U, V $ 는 $ (X, d) $ 에서 열린집합이고 $ a \in U, b \in V $ 이며 $ U \cap V= \varnothing $ 이 되 어서 $ (X, d) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p> <p>정리 $9.2.15 $를 이용하면 각각의 $ B_ { i } \in \mathscr { B } $ 에 대하여 $ B_ { j } \in \mathscr { B } $ 가 존재하 여 $ \overline { B_ { j } } \subset B_ { i } $ 가 되게 할 수 있다. 이 쌍을 $ \left (B_ { j } , B_ { i } \right ) $ 라 놓자. 이러한 쌍들 은 모두 가산개 존재하므로 \[ \mathscr { B } ^ { } = \left \{\left (B_ { j_ { 1 } } , B_ { i_ { 1 } } \right ), \cdots, \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ), \cdots \right \} \] 이라 놓자. 각 $ \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ) $ 에 대하여 $ \overline { B_ { j_ { n } } } \subset B_ { i_ { n } } $ 이므로 $ \overline { B_ { j_ { n } } } $ 와 $ B_ { i_ { n } } ^ { c } $ 는 서로 소인 닫힌집합이다. $ X $ 가 $ T_ { 4 } $ 공간이므로 연속함수 \[ f_ { n } : X \rightarrow[0,1] \] 가 존재하여 $ f_ { n } \left ( \overline { B_ { j_ { n } } } \right )= \{ 0 \} $ 이고 $ f_ { n } \left (B_ { i_ { n } } ^ { c } \right )= \{ 1 \} $ 이다 (Urysohn 보조정 리 사용).</p> <p>정리 9.2.15를 이용하면 각각의 $ B_ { i } \in \mathscr { B } $ 에 대하여 $ B_ { j } \in \mathscr { B } $ 가 존재하 여 $ \overline { B_ { j } } \subset B_ { i } $ 가 되게 할 수 있다. 이 쌍을 $ \left (B_ { j } , B_ { i } \right ) $ 라 놓자. 이러한 쌍들 은 모두 가산개 존재하므로 \[ \mathscr { B } ^ { * } = \left \{\left (B_ { j_ { 1 } } , B_ { i_ { 1 } } \right ), \cdots, \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ), \cdots \right \} \] 이라 놓자. 각 $ \left (B_ { j_ { n } } , B_ { i_ { n } } \right ) $ 에 대하여 $ \overline { B_ { j_ { n } } } \subset B_ { i_ { n } } $ 이므로 $ \overline { B_ { j_ { n } } } $ 와 $ B_ { i_ { n } } ^ { c } $ 는 서로 소인 닫힌집합이다. $ X $ 가 $ T_ { 4 } $ 공간이므로 연속함수 \[ f_ { n } : X \rightarrow[0,1] \] 가 존재하여 $ f_ { n } \left ( \overline { B_ { j_ { n } } } \right )= \{ 0 \} $ 이고 $ f_ { n } \left (B_ { i_ { n } } ^ { c } \right )= \{ 1 \} $ 이다 (Urysohn 보조정 리 사용).</p> <p>정리 $9.2.6 $ 위상공간 $ X $ 에 대하여 다음은 동치이다.</p> <ol type=a start=1><li>$ X $ 는 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</li> <li>임의의 점 $ x \in X $ 와 $ x $ 의 임의의 열린근방 $ U $ 에 대하여 \[ x \in V \subset \bar { V } \subset U \] 를 만족하는 열린집합 $ V $ 가 존재한다.</li></ol> <p>증명 (a) $ \Rightarrow $ (b) 임의의 $ x \in X $ 와 $ x $ 의 열린근방 (열린집합) $ U $ 를 택하면 $ U ^ { c } $ 는 닫 힌집합이고 $ x \notin U ^ { c } $ 이다. $ U ^ { c } =F $ 라 놓으면 $ x \notin F $ 이므로 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 에 의하 여 적당한 열린집합 $ W $ 와 $ V $ 가 존재하여 \[ U ^ { c } =F \subset W, x \in V \text { 이고 } W \cap V= \varnothing \] 이 성립한다. 그러면 $ V \subset W ^ { c } $ 이고 $ W ^ { c } $ 이 닫힌집합이므로 $ \bar { V } \subset W ^ { c } $ 이다. 그래서 $ \bar { V } \cap W= \varnothing $ 이므로 $ \bar { V } \cap U ^ { c } = \varnothing $ 이다. 따라서 $ x \in V \subset \bar { V } \subset U $ 이 성립한다.</p> <p>(b) $ \Rightarrow $ (a) $ X $ 상의 임의의 닫힌집합을 $ F $ 라 하고 $ F $ 에 속하지 않는 임의의 점 $ x( \in X) $ 를 택하자. $ x \notin F $ 이므로 $ x \in F ^ { c } $ 인데 $ F ^ { c } $ 이 열린집합이다. 그러면 (b)에 의하여 $ x \in V \subset \bar { V } \subset F ^ { c } $ 을 만족하는 열린집합 $ V $ 가 존재한다. 따라 서 두 열린집합 $ V $ 와 $ \bar { V } ^ { c } $ 이 존재하여 \[ x \in V, F \subset( \bar { V } ) ^ { c } \text { 이고 } V \cap( \bar { V } ) ^ { c } = \varnothing \] 이 성립하므로 $ X $ 는 공리 [R]을 만족한다.</p> <p>정리 $9.2.13 $과 관련하여 주의 깊게 살펴볼 점이 있다. 정리 $9.2.13 $에서와 같이 $ T_ { 4 } $ 공간은 $ T_ { 3 } $ 공간이지만, 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 과 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 은 다음과 같은 특성이 있다.</p> <p>공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하는 공간이 항상 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하는 것은 아니다. 다음 예제를 통해서 이를 확인하자.</p> <p>[예제 $9.2.14 $] 집합 $ X= \{ a, b, c \} $ 상에서 위상 $ \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ b \} , \{ c \} , \{ b, c \} \} $ 인 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 를 생각하자. 먼저 이 공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이 아님을 알 수 있다. 왜냐하면 한원소집합 $ \{ b \} $ 와 $ \{ c \} $ 는 각각 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 닫힌집합이 아니기 때 문이다. 이제 공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하지만 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하지 않음을 보이자.</p> <ol type=i start=1><li> <p>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다 : 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 닫힌집합들의 모임은 다음과 같다.</p> <p>$ \{ X, \varnothing, \{ a, c \} , \{ a, b \} , \{ a \} \} $ undefined</p> <p>그러므로 만약 서로소인 닫힌집합 $ F_ { 1 } $ 과 $ F_ { 2 } $ 를 택하려면 둘 중의 하나는 공집합 이어야 한다. 일반성을 읺지 않고 $ F_ { 1 } = \varnothing $ 이라 하고, $ F_ { 1 } \cap F_ { 2 } = \varnothing $ 인 $ F_ { 2 } $ 를 집합 ( $9.8 $)에서 택하면 항상 \[ F_ { 1 } \subset \varnothing, F_ { 2 } \subset X \text { 이고 } \varnothing \cap X= \varnothing \] 인 $ U= \varnothing, V=X $ 인 열린집합이 존재하므로 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다.</p></li> <li>$ (X, \mathscr { T } ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하지 않는다: 닫힌집합 $ \{ a, c \} $ 와 점 $ b \notin \{ a, c \} $ 에 대하여 $ \{ a, c \} $ 를 포함하는 열린집합은 $ X $ 밖에 없으므로 \[ \{ a, c \} \subset U, b \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 열린집합 $ U, V $ 는 존재하지 않는다.</li></ol> <p>이제 정규공간의 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 의 중요한 성질을 다음과 같이 알아보자.</p> <p>정리 9.1.8(3)과 성질 9.1.19의 역 (converse)으로서 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 가 $ T_ { i } $ 공간 이면 임의의 $ \alpha \in \Lambda $ 에 대하여 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right ) $ 도 $ T_ { i } $ 공간이 된다 $ (i \in \{ 0,1,2 \} ) $.</p> <p>이제 $ T_ { 2 } $ 공간의 다양한 성질을 알아보자.</p> <p>정리 9.1.20 위상공간 $ X $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이기 위한 필요충분조건은 집합(대각선) $ \Delta= \{ (x, x) \mid x \in X \} $ 는 곱공간 $ \left (X \times X, \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 에서 닫힌집합인 것이다.</p> <p>증명 $ ( \Rightarrow)(X, \mathscr { T } ) $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간임을 가정하고 $ \Delta ^ { c } =X \times X- \Delta $ 이 곱공간 $ \left (X \times X, \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 에서 열린집합임을 보이면 된다. 정리 3.3.5를 활용하기 위해서 임의의 점 $ (x, y) \in X \times X- \Delta $ 를 택하자. 그러면 $ x \neq y( \in X) $ 이고 $ X $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이기 때문에 다음을 만족하는 열린집합 $ U, V \in \mathscr { T } $ 가 존재한다.</p> <p>$ x \in U, y \in V $ 이고 $ U \cap V= \varnothing $</p> <p>그러면 $ U \times V \in \mathscr { T } _ { p } $ 이고 $ (x, y) \in U \times V \subset X \times X- \Delta $ 이므로, 정리 3.3.5에 의하여 $ \Delta ^ { c } \in \mathscr { T } _ { p } $ 이다. 따라서 $ \Delta $ 는 $ \left (X \times X, \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 에서 닫힌집합 이다.</p> <p>예제 9.2.16에서 하극한공간 $ \mathbb { R } _ { l } $ 이 정규공간임을 보였다. 정리 9.4.1에 의하여 정 규공간은 완전정칙공간이므로 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 완전정칙공간이다. 정리 9.4.2(2)에 의하여 곱공간 $ \mathbb { R } _ { l } \times \mathbb { R } _ { l } $ 도 완전정칙공간이다. 그러나 $ \mathbb { R } _ { l } \times \mathbb { R } _ { l } $ 이 정규공간이 아님은 예제 9.2.16 에 의하여 밝혀졌다.</p> <p>참고로 정칙공간은 일반적으로 완전정칙공간이 아님을 보여주는 위상공간이 존재한다. 그러나 매우 복잡한 구조를 갖고 있기에 이 책의 수준을 넘으므로 자세한 설명은 생략한다.</p> <p>이제 완전정칙공간의 위상적 성질 (topological property)을 알아보자.</p> <p>정리 9.4.5 $ X $ 와 $ Y $ 가 위상동형이고 $ X $ 가 완전정칙공간일 때 $ Y $ 도 완전정칙공간이다.</p> <p>증명 $ h: X \rightarrow Y $ 를 위상동형사상이라 하고, $ Y $ 상의 임의의 한 닫힌집합 $ F $ 를 택하고, 임의의 한 점 $ y( \in Y) $ 를 $ y \notin F $ 에서 택하자. $ h $ 가 위상동형사상이므 로 $ h ^ { -1 } (F) $ 는 $ X $ 상에서 닫힌집합이다. $ h ^ { -1 } (y)=x $ 라 놓으면 $ x \notin h ^ { -1 } (F) $ 이다. $ X $ 가 완전정칙공간이므로 연속함수 $ f: X \rightarrow[0,1] $ 이 존재해서 $ f \left (h ^ { -1 } (F) \right ) \subset \{ 0 \} , f ^ { -1 } (x)=1 $ 을 만족한다. 이제 합성함수 $ f \circ h ^ { -1 } : Y \rightarrow $ $ [0,1] $ 을 택하면 $ f \circ h ^ { -1 } $ 는 연속함수이고 $ f \circ h ^ { -1 } (F) \subset \{ 0 \} $ 이고 $ f \circ h ^ { -1 } (y) $ $ =1 $ 이 되어서 $ Y $ 는 공리 $ [ \mathrm { CR } ] $ 을 만족한다. 위상동형공간 $ Y $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이 므로 ( $ T_ { 1 } $ 공간의 위상적 성질을 활용함) $ Y $ 는 완전정칙공간이다.</p> <p>이제 정규공간의 위상적 성질을 알아보자.</p> <p>정리 9.2.18 정규공간은 위상적 성질을 갖는다.</p> <p>증명 위상공간 $ X, Y $ 에 대하여 $ f: X \rightarrow Y $ 를 위상동형사상이라 하자. $ X $ 가 정규 공간이면 $ Y $ 도 정규공간임을 보이자.</p> <ol type=i start=1><li>먼저 $ Y $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간임을 보이자. 임의의 점 $ y \in Y $ 에 대하여 $ f $ 가 전사이므로 $ f(x)=y $ 인 점 $ x \in X $ 가 존재한다. $ X $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 정리 9.1.6에 의하여 한원소집합 $ \{ x \} $ 는 $ X $ 에서 닫힌집합이다. 그리고 $ f $ 가 닫힌사상이므로 $ \{ y \} (= \{ f(x) \} ) $ 도 $ Y $ 에서 닫힌집합이다.</li> <li>$ Y $ 가 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족함을 보이자. $ A $ 와 $ B $ 를 서로소인 $ Y $ 의 닫힌집합이라 하자. 그러면 $ f $ 가 연속이므로 $ f ^ { -1 } (A) $ 와 $ f ^ { -1 } (B) $ 는 서로소인 $ X $ 의 닫힌집합이다. 그런데 $ X $ 가 정규공간이므로 \[ f ^ { -1 } (A) \subset U, f ^ { -1 } (B) \subset V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 $ X $ 의 열린집합 $ U $ 와 $ V $ 가 존재한다. $ f $ 가 위상동형사상이므로 식 (9.11)에서 \[ f \left (f ^ { -1 } (A) \right )=A \subset f(U), f \left (f ^ { -1 } (B) \right )=B \subset f(V) \] 이고 $ f(U) $ 와 $ f(V) $ 는 $ Y $ 에서 열린집합이고 $ f(U) \cap f(V)= \varnothing $ 이 되어서 $ Y $ 는 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다. (i)과 (ii)에 의하여 $ Y $ 는 정규공간이다.</li></ol> <p>이제 정규공간보다 더 강한 위상공간은 어떤 공간일까?에 대하여 다음 예제를 살펴보자.</p> <p>정리 $9.1.23 $ 위상공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 가 제 $1 $ 가산공간일 때 다음은 동치이다.</p> <ol type=a start=1><li>$ X $ 가 하우스도르프 공간이다.</li> <li>$ X $ 상에서 수렴하는 모든 점렬은 유일한 극한점을 갖는다.</li></ol> <p>증명 (a) $ \Rightarrow $ (b) 정리 9.1.22에 의하여 성립한다. (b) $ \Rightarrow $ (a) 귀류법을 사용하여 $ X $ 가 하우스도르프 공간이 아니라고 가정하 자. 그러면 서로 다른 두 점 $ p, q( \in X) $ 가 존재하여 다음 성질 ' $ U $ 와 $ V $ 가 각각 $ p $ 와 $ q $ 의 열린근방이면서 $ U \cap V \neq \varnothing $ 이다'를 만족한다. 그런데 $ X $ 가 제 1 가산이므로 점 $ p $ 에서의 축소가산국소기저 \[ \mathscr { B } _ { p } = \left \{ B_ { n } \mid B_ { n } \supset B_ { n + 1 } , n \in \mathbb { N } \right \} \] 과 점 $ q $ 에서의 축소가산국소기저 \[ \mathscr { B } _ { q } = \left \{ C_ { n } \mid C_ { n } \supset C_ { n + 1 } , n \in \mathbb { N } \right \} \] 이 존재한다. 그러면 모든 $ n \in \mathbb { N } $ 에 대하여 $ B_ { n } $ 과 $ C_ { n } $ 은 각각 $ p $ 와 $ q $ 의 열린 근방이므로 위 가정에 의해서 $ B_ { n } \cap C_ { n } \neq \varnothing $ 이다. 따라서 $ x_ { n } \in B_ { n } \cap C_ { n } $ 인 점에 의한 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 이 $ X $ 에 존재하는데 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =p, \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =q, p \neq q \] 이므로 조건 (b)에 모순이다.</p> <p>[예제 $9.1.18 $] 예제 $9.1.10(2) $에 의하여 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { U } \right ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이고, 예제 $9.1.12(2) $ 에 의하여 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { T } _ { f } \right ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이 아니다. 그러므로 성질 $9.1.17 $에 의하여 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { U } \right ) $와 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { T } _ { f } \right ) $ 는 위상동형이 아니다.</p> <p>이제 $ T_ { 2 } $ 공간의 곱성질을 알아보자.</p> <p>성질 $9.1.19 $ $ \quad T_ { 2 } $ 공간은 곱성질을 갖는다.</p> <p>증명 모든 $ \alpha \in \Lambda $ 에 대하여 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right ) $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 도 $ T_ { 2 } $ 공간임을 보이면 된다. $ \left (x_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } $ 와 $ \left (y_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } $ 를 곱공간 $ \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } $ 의 서로 다른 임의의 두 점이라 하자. 그러면 $ x_ {\alpha_ { 0 } } \neq y_ {\alpha_ { 0 } } $ 인 $ \alpha_ { 0 } \in \Lambda $ 가 존재한다. 그런 데 $ \left (X_ {\alpha_ { 0 } } , \mathscr { T } _ {\alpha_ { 0 } } \right ) $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간이므로 \[ x_ {\alpha_ { 0 } } \in U_ {\alpha_ { 0 } } , y_ {\alpha_ { 0 } } \in V_ {\alpha_ { 0 } } \text { 이고 } U_ {\alpha_ { 0 } } \cap V_ {\alpha_ { 0 } } = \varnothing \] 를 만족하는 열린집합 $ U_ {\alpha_ { 0 } } $, $ V_ {\alpha_ { 0 } } \in \mathscr { T } _ {\alpha_ { 0 } } $ 가 존재한다. 그러면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } \right . $ $ \left .X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 의 열린집합 $ P_ {\alpha_ { 0 } } ^ { -1 } \left (U_ {\alpha_ { 0 } } \right )=U, P_ {\alpha_ { 0 } } ^ { -1 } \left (V_ {\alpha_ { 0 } } \right )=V $ 라 놓으면 \[ \left (x_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } \in U, \left (y_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } =V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 이 성립한다. 여기서 함수 $ P_ {\alpha_ { 0 } \text { 는 } } $ \[ P_ {\alpha_ { 0 } } : \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } \rightarrow X_ {\alpha_ { 0 } } , P_ {\alpha_ { 0 } } \left ( \left (x_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } \right )=x_ {\alpha_ { 0 } } \] 인 $ \alpha_ { 0 } $-사영사상이다. 따라서 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p> <p>$ F_ { 0 } $ 가 $ X $ 상의 각 점에서 연속임을 보이기 위하여 임의의 한 점 $ x \in X $ 와 임의의 $ \varepsilon>0 $ 을 택하자.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n } $ 가 수렴함으로 적당한 $ n_ { 0 } ( \in \mathbb { N } ) $ 가 존재해서 \[ \sum_ { n=n_ { 0 } + 1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n }< \frac {\varepsilon } { 2 } \] 을 만족하도록 할 수 있다.</p> <p>$ f_ { n } \left (n \in \left \{ 1,2, \cdots, n_ { 0 } \right \} \right ) $ 가 연속이므로 $ x $ 의 열린근방 $ U_ { n } $ 이 존재하여 \[ y \in U_ { n } \Rightarrow \left \|f_ { n } (x)-f_ { n } (y) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 n_ { 0 } } \] 이 되게 할 수 있다. $ U=U_ { 1 } \cap \cdots \cap U_ { n_ { 0 } } $ 라 하면 $ U $ 도 $ x $ 의 열린근방이다.</p> <p>\[ \begin {aligned} y \in U \Rightarrow \left \|F_ { 0 } (x)-F_ { 0 } (y) \right \| &< \sum_ { n=1 } ^ { n_ { 0 } } \left \|f_ { n } (x)-f_ { n } (y) \right \| + \sum_ { n=n_ { 0 } + 1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n } \\ &<n_ { 0 } \cdot \frac {\varepsilon } { 2 n_ { 0 } } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \end {aligned} \] 이므로 $ F_ { 0 } $ 는 $ X $ 에서 연속함수이다.</p> <p>참고로 거리공간은 유전적 성질, 곱성질을 만족한다</p> <p>이제 정규공간이 거리공간이 되는 것은 아님을 다음 예에서 알 수 있다.</p> <p>[예제 $9.2.21 $] 하극한공간 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 정규공간임은 밝혀겼다. 그 러나 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 거리공간이 아니다. 왜냐하면 $ \mathbb { R } _ { l } $ 이 거리공간이면 $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 도 거리공간이 되 어야 한다. 그러면 정리 9.2.19에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 은 정규공간이 되어야 한다. 그러나 예 제 $9.2.16 $에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 은 정규공간이 아니기 때문이다.</p> <p>지금까지 분리공리 $ T_ { i } (i \in \{ 0,1,2,3,4 \} ) $ 에 기반하여 $ T_ { i } $ 공간을 정의하고 이 들의 다양한 성질을 알아보았다. 이들 공간들 사이의 관계를 정리해보면 그림 $ 9.9 $ 와 같다. 즉, 거리공간 (다음) 정규공간(다음) 정칙공간(다음) 하우스도르프 공간 (다음) $ T_ { 1 } $ 공간 (다음) $ T_ { 0 } $ 공간 이다.</p> <p>참고 $9.2.22 $ 지금까지 다룬 정칙공간을 위한 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 과 정규공간을 위한 조건 $ [ \mathrm { N } ] $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ X $ 가 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하면 $ X $ 의 부분공간도 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</li> <li>임의의 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right )( \alpha \in \Lambda) $ 가 조건 [R]을 만족하면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 도 조 건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</li> <li>$ X $ 와 $ Y $ 가 위상동형일 때, $ X $ 가 조건 [R]을 만족할 필요충분조건은 $ Y $ 가 조건 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족하는 것이다.</li> <li>조건 $ [ \mathrm { N } ] $ 은 위 성질 $(1) (2) $를 만족하지 못한다.</li> <li>$ X $ 와 $ Y $ 가 위상동형일 때, $ X $ 가 조건 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족할 필요충분조건은 $ Y $ 가 조건 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족하는 것이다.</li></ol> <p>$ x \in V \subset \bar { V } \subset U $</p> <p>따라서 정리 9.2.6에 의하여 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</p></li></ol> <p>지금까지 정칙공간을 정의하고 다양한 성질을 알아보았다. 이제 정규공간을 정의 하고 다양한 성질을 알아보자.</p> <p>정의 $9.2.10 $ $ \quad T_ { 1 } $ 공간 $ X $ 가 다음 공리를 만족할 때 $ X $ 를 정규공간(normal space) 또는 $ T_ { 4 } $ 공간이라고 한다.</p> <p>[N] 서로소인 임의의 두 닫힌집합 $ F_ { 1 } , F_ { 2 } $ 에 대하여 열린집합 $ U, V $ 가 존재 해서 \[ F_ { 1 } \subset U, F_ { 2 } \subset V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 이다.</p> <p>[예제 $9.2.11 $]</p> <ol type= start=1><li> <p>보통거리공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { U } \right ) $ 은 정규공간이다.</p> <p>더 나아가 거리공간 $ (X, d) $ 는 정규공간이다.</p></li> <li>이산공간 $ (X, \mathscr { D } ) $ 는 정규공간이다.</li></ol> <p>정의 $9.2.12 $ 위상공간 $ X $ 가 정규공간이기 위한 조건을 $ T_ { 4 } $ 분리공리 ( $ T_ { 4 } $ separa- tion axiom)이라 한다.</p> <p>(주의 : 정규공간 $ \left (T_ { 4 } \right . $ 공간)을 정의하는 방법은 책에 따라 약간의 차이가 있기에 유 의하기 바람)</p> <p>이제 정칙공간과 정규공간을 서로 비교해보자.</p> <p>정리 $9.2.13 $ 정규공간 ( $ T_ { 4 } $ 공간)은 정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 공간)이다.</p> <p>증명 정규공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이므로, 정규공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 가 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족함을 보이면 된다. 임의의 닫힌집합 $ F( \subset X) $ 와 임의의 점 $ x \in X-F $ 에 대 하여, $ X $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 한원소집합 $ \{ x \} $ 는 닫힌집합이다. 그리고 $ X $ 가 정규공간이므로 \[ F \subset U, \{ x \} \subset V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \]인 열린집합 $ U, V( \in \mathscr { T } ) $ 가 존재한다. 이러한 $ U $ 와 $ V $ 는 $ F \subset U, x \in V $ 이 고 $ U \cap V= \varnothing $ 이므로 정규공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족한다.</p> <p>증 명</p> <ol type=i start=1><li>정규공간 $ \left (T_ { 4 } \right . $ 공간 $ ) \Rightarrow $ 완전정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 긍 공간)임을 증명하자. $ X $ 를 정 규공간이라 하자. 임의의 닫힌집합 $ F( \subset X) $ 와 임의의 한 점 $ x( \notin F) $ 에 대하여, $ X $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 한원소집합 $ \{ x \} $ 는 $ X $ 의 닫힌집합이고 $ F \cap \{ x \} = \varnothing $ 이다. Urysohn 보조정리 (정리 9.3.1)에 의하여 연속사상 \[ f: X \rightarrow[0,1] \text { s.t. } f(F) \subset \{ 0 \} , f( \{ x \} )=1 \] 가 존재한다. 따라서 $ X $ 는 완전정칙공간이다.</li> <li>완전정칙공간 $ \left (T_ { 3 \frac { 1 } { 2 } } \right . $ 공간) $ \Rightarrow $ 정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 공간)임을 증명하자. $ X $ 를 완전정칙공간이라 하자. 이제 임의의 닫힌집합 $ F $ 와 임의의 한 점 $ x( \notin F) $ 에 대하여, $ X $ 가 완전정칙공간이므로 연속사상 \[ f: X \rightarrow[0,1] \text { s.t. } f(F) \subset \{ 0 \} , f(x)=1 \] 가 존재한다. 그러면 $ f $ 가 연속이므로 \[ f ^ { -1 } \left ( \left [0, \frac { 1 } { 2 } \right ) \right )=U, \quad f ^ { -1 } \left ( \left ( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right ] \right )=V \] 라 놓으면 $ U $ 와 $ V $ 는 $ X $ 상에서 열린집합이고 \[ F \subset U, x \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 이다. 따라서 $ X $ 는 정칙공간이다.</li></ol> <p>이제 완전정칙공간의 유전적 성질과 곱성질을 알아보자.</p> <p>[예제 $9.4.4 $] 완전정칙공간이 일반적으로 정규공간이 되는 것은 아니다. 예를 들 어 조사해 보자.</p> <p>이제 정칙공간의 곱성질을 조사하자.</p> <p>정리 $9.2.9 $ 정칙공간은 곱성질을 갖는다.</p> <p>증명 임의의 $ \alpha \in \Lambda $ 에 대하여 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right ) $ 가 정칙공간이면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 도 정칙공간임을 보이면 된다.</p> <ol type=i start=1><li>정리 $9.1.8 $에 의하여 $ T_ { 1 } $ 공간은 곱성질을 갖는다.</li> <li> <p>이제 공리 [R]이 곱성질이 있음을 보이자. 즉, 임의의 $ \alpha \in \Lambda $ 에 대하여 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right ) $ 가 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족할 때 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 도 공리 $ [ \mathrm { R } ] $ 을 만족함을 보이면 된다. 정리 9.2.6을 이용하여 $ [ \mathrm { R } ] $ 의 곱성질을 보이 자. 임의의 점 $ x= \left (x_ {\alpha } \right ) \in \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } $ 와 $ x $ 의 임의의 열린근방 $ U $ 에 대하 여 다음을 만족하는 기저원소(기저 열린집합) $ \prod_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } $ 가 존재한다.</p> <p>$ x= \left (x_ {\alpha } \right ) \in \prod_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } \subset U \subset \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } $ undefined</p> <p>여기서 식 ( $9.5 $)의 $ \prod_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } $ 는 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 의 정의에 의하여 유한 개수의 좌표공간 $ \left (X_ {\alpha_ { i } } , \mathscr { T } _ {\alpha_ { i } } \right )(i \in \{ 1,2, \cdots, n \} ) $ 에서 적당한 열린집 합 $ U_ { i } \left ( \in \mathscr { T } _ {\alpha_ { i } } \right ) $ 가 존재해서 $ x $ 의 $ \alpha_ { i } $ 번째 좌표 $ x_ {\alpha_ { i } } \left ( \in U_ { i } \right ) $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} x &= \left (x_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } \\ & \in \prod_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } =P_ {\alpha_ { 1 } } ^ { -1 } \left (U_ { 1 } \right ) \cap \cdots \cap P_ {\alpha_ { n } } ^ { -1 } \left (U_ { n } \right ) \subset U \subset \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } \quad \cdots \quad \text { (9.6) } \end {aligned} \] 가 되게 할 수 있다.</p> <p>이제 집합 $ D= \{ (x, y) \mid x, y $ 는 유리수이다 $ \} \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 을 택하자. 그때 $ D $ 는 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 에서 조밀한 부분집합이다. 즉, $ \bar { D } = \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>이제 $ \mathscr { P } (L) $ 과 $ \mathscr { P } (D) $ 를 각각 $ L $ 과 $ D $ 의 모든 부분집합들의 모임이라 하 고 함수 $ \varphi $ 를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>$ \varphi: \mathscr { P } (L) \rightarrow \mathscr { P } (D) $ s.t. $ \left \{\begin {array} { l } \varphi(A)=D \cap U(A), \text { 만약 } \varnothing \subsetneq A \subsetneq L \text { 이 면 } \\ \varphi( \varnothing)= \varnothing \\ \varphi(L)=D \end {array} \right . $</p> <p>그러면 이 함수 $ \varphi $ 는 다음과 같은 성질이 있다.</p></li></ol> <ol type=i start=1><li> <p>$ \varphi $ 는 단사함수이다. 먼저 $ \varnothing \subsetneq A \subsetneq L $ 인 집합 $ A \in \mathscr { P } (L) $ 에 대하여 $ U(A)( \in \mathscr { T } ) $ 가 $ \varnothing \neq A \subset U(A) $ 인 열린집합이고 $ \bar { D } = \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이므로 $ \varphi(A) $ $ =D \cap U(A) \neq \varnothing $ 이다.</p> <p>한편 $ \quad V(L-A) \in \mathscr { T } $ 이고 $ \bar { D } = \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이므로 $ \quad D \cap V(L-A) \neq \varnothing $ 이다. 그리고 (9.10)에 의하여 $ U(A) \cap V(L-A)= \varnothing $ 이므로 $ \varphi(A)=D \cap $ $ U(A) \neq D $ 이다.</p> <p>따라서 $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } = \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 는 정규공간이 아니다.</p></li></ol> <p>이제 정규공간의 유전적 성질을 조사하자. 실제로 정규공간은 유전적 성질을 갖지 않는다.</p> <p>정리 $9.2.17 $ 정규공간의 닫힌부분공간은 정규공간이다.</p> <p>증명 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 를 정규공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 임의의 닫힌부분공간이라 할 때 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 가 정규공간임을 보이자. $ T_ { 1 } $ 공간은 유전적 성질을 가지므로 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</p> <p>한편 임의의 서로소인 $ A $ 의 닫힌집합 $ C $ 와 $ D $ 에 대하여, $ A $ 가 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 닫힌집합이므로 $ C $ 와 $ D $ 도 $ X $ 의 닫힌집합이다. 한편 $ X $ 가 정규공간이므로 \[ C \subset U, D \subset V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 $ X $ 의 열린집합 $ U, V( \in \mathscr { T } ) $ 가 존재한다. 이제 $ U_ { A } =A \cap U $, $ V_ { A } =A \cap V $ 라 하면 $ U_ { A } $ 와 $ V_ { A } $ 는 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 에서 열린집합으로서 \[ C \subset U_ { A } , D \subset V_ { A } \text { 이고 } U_ { A } \cap V_ { A } = \varnothing \] 이 성립한다. 따라서 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 는 정규공간이다.</p> <p>같은 방법으로 임의의 점 $ b \in F_ { 2 } $ 에 대해서도 $ \left [b, x_ { b } \right ) \in \mathscr { B } _ { l } $ 가 존재하여 $ b \in \left [b, x_ { b } \right ) \subset F_ { 1 } ^ { c } $ 을 만족한다. 따라서 $ \left [b, x_ { b } \right ) \cap F_ { 1 } = \varnothing $ 인 실수 $ x_ { b } $ 가 존재한다. 그러면 두 열린집합 \[ U= \bigcup_ { a \in F_ { 1 } } \left [a, x_ { a } \right ), \quad V= \bigcup_ { b \in F_ { 2 } } \left [b, x_ { b } \right ) \] undefined 가 존재하여 $ F_ { 1 } \subset U, F_ { 2 } \subset V $ 이고 $ U \cap V= \varnothing $ 이다. 여기서 $ U \cap V $ $ = \varnothing $ 임을 자세히 살펴보자. 만약 $ U \cap V \neq \varnothing $ 라고 가정하자. 그러면 점 $ z \in U \cap V $ 가 존재하므로, 식 ( $9.9 $)에 의하여 $ z \in \left [a, x_ { a } \right ) $ 와 $ z \in \left [b, x_ { b } \right ) $ 를 만족하는 $ a \in F_ { 1 } $ 와 $ b \in F_ { 2 } $ 가 존재해야 한다. 편의상 $ a<b $ 라 하자. 그러면 $ a<b \leq z<x_ { a } $ 가 되어서 $ b \in \left [a, x_ { a } \right ) $ 이다. 이것은 $ \left [a, x_ { a } \right ) \cap $ $ F_ { 2 } = \varnothing $ 에 모순이다. 따라서 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 공리 $ [ \mathrm { N } ] $ 을 만족한다.</p></li> <li>(i)과 (ii)에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 정칙공간이고, (i)과 (iii)에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } $ 은 정규 공간임을 알았다. 그리고 정리 $9.2.9 $에 의하여 $ \mathbb { R } _ { l } $ 의 곱공간 $ \mathbb { R } _ { l } \times \mathbb { R } _ { l } $ 은 정칙공간이다.</li> <li> <p>$ \mathbb { R } _ { l } $ 은 정규공간이지만 $ \mathbb { R } _ { l } \times \mathbb { R } _ { l } = \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 은 정규공간이 아님을 보이자. 즉, 정규공간은 곱성질을 만족하지 않음을 보이자는 것이다. 편의상 $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } $ 를 $ \mathscr { T } $ 라고 간략하게 표시하겠다. 즉, $ \mathbb { R } _ { l } ^ { 2 } = \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 라고 하자. 예제 $6.1.5(4) $ 에서 보였듯이 \[ L= \left \{ (x,-x) \mid x \in \mathbb { R } _ { l } \right \} \] 이라 할 때 부분공간 $ \left (L, \mathscr { T } _ { L } \right ) $ 은 이산공간이다. 이를 바탕으로 $ \mathscr { T } $ 가 정 규공간이 아님을 보이자. 귀류법을 사용하여 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 를 정규공간이라 하자. 먼저 $ \mathscr { T } $ 에서 $ L $ 이 닫힌부분집합(예제 $6.1.5(3) $)을 상기하자. 이제 임의의 진부분집합 $ A \subsetneq L $ 와 $ L-A $ 는 이산공간 $ L $ 의 닫힌집합이다. 그런데 $ L $ 이 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 에서 닫힌집합이므로 $ A $ 와 $ L-A $ 는 $ \mathscr { T } $ 에서 서로소 인 닫힌집합이 된다. 그리고 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathscr { T } \right ) $ 가 정규공간이라 가정했으므로 \[ A \subset U, L-A \subset V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 열린집합 $ U, V( \in \mathscr { T } ) $ 가 존재한다. 여기서 편의상 $ U $ 를 $ U(A), V $ 를 $ V(L-A) $ 로 표기하겠다.</p> <p>$ T_ { 0 } $ 공간은 디지털 위상공간을 다룰 때 절대적으로 많이 활용되는 공간으로 이산 기하학 분야에서 활용도가 매우 높다.</p> <p>$ T_ { 0 } $ 공간은 유적적 성질, 곱성질, 위상적 성질을 만족한다 (연습문제 $ 9.1 $ 문제 $1 $ 참조).</p> <p>정리 $9.1.3 $ 위상공간 $ X $ 에서 다음 두 명제는 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$X $ 는 $ T_ { 0 } $ 공간이다.</li> <li>$ X $ 상의 서로 다른 두 점 $ a, b $ 에 대하여 $ a \notin \overline {\{ b \} } $ 이거나 $ b \notin \bar { a } \} $ 이다.</li></ol> <p>증명 ( $1 $) $ \Rightarrow $ ( $2 $) $ X $ 상의 서로 다른 두 점 $ a, b( \in X) $ 에 대하여, $ T_ { 0 } $ 공간의 정의에 의 하여 적당한 열린집합 $ U $ 가 존재하여 $ a \in U, b \notin U $ 이거나 $ a \notin U, b \in U $ 이다.</p> <ol type=i start=1><li>$ a \in U, b \notin U $ 인 경우 : $ b \in U ^ { c } $ 이고 $ U ^ { c } $ 는 닫힌집합이므로 $ \overline {\{ b \} } \subset U ^ { c } $ 이 되어서 $ a \notin \overline {\{ b \} } $ 이 성립한다.</li> <li>$ a \notin U, b \in U $ 인 경우 : 같은 방법으로, $ b \notin \overline {\{ a \} } $ 이 성립한다. ( $2 $) $ \Rightarrow $ ( $1 $) $ X $ 상의 서로 다른 두 점 $ a, b $ 에 대하여 $ a \notin \{ b \} $ 이라 하자. $ ( \overline {\{ b \} } ) ^ { c } =U $ 라 하면 $ U $ 는 열린집합이고 $ a \in U $ 이고 $ b \notin U $ 이다. $ b \notin \{ a \} $ 인 경우도 $ ( \overline {\{ a \} } ) ^ { c } =U $ 라 하면, 위와 같은 방-법으로 $ b \in U $ 는 열린집합으로서 $ a \notin U $ 이 성립한다.</li></ol> <p>[예제 9.1.4] 정수집합 $ \mathbb { Z } $ 의 부분집합들의 모임으로서 $ \mathcal { S } = \{\{ 2 m-1,2 m, 2 m + $ $ 1 \} \mid m \in \mathbb { Z } \} $ 를 부분기저로 하여 생성된 $ \mathbb { Z } $ 상의 위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } _ { S } \right ) $ (카림스키 위상 공간)은 $ T_ { 0 } $ 공간이다. 왜냐하면 $ \mathcal { S } \rightarrow \mathscr { B } _ {\mathcal { S } } \rightarrow \mathscr { T } _ {\mathscr { B } _ {\mathcal { S } } } = \mathscr { T } _ {\mathcal { S } } $ 에 의하여, 부분기 $ \boldsymbol { S } $ 에 의하 여 생성된 기저 $ \mathscr { B } s $ 는 $ \mathscr { B } _ {\mathcal { S } } = \{\{ 2 m-1 \} , \{ 2 m-1,2 m, 2 m + 1 \} \mid m \in \mathbb { Z } \} $ 이다. $ \mathscr { B } _ {\mathcal { S } } \subset \mathscr { T } _ {\mathcal { S } } $ 이므로, 임의의 서로 다른 두 점 $ a, b \in \mathbb { Z } $ 를 택하면 정리 $9.1.3(2) $를 만족하게 되어 $ \left ( \mathbb { Z } , \mathscr { T } _ {\mathcal { S } } \right ) $ 는 $ T_ { 0 } $ 공간이다. 구체적으로 살펴보면,</p> <ol type=i start=1><li>$ \\|a-b \\|=1 $ 인 임의의 두 점 $ a, b \in \mathbb { Z } $ 를 택하면 위상 $ \mathscr { T } _ {\mathcal { S } } $ 에 의하여 정리 9.1.3(b)에 의하여 증명된다. 예를 들면 $ a=0 \in \mathbb { Z } _ { 0 } , b=1 \in \mathbb { Z } _ { 1 } $ 이라 하면 $ \overline {\{ a \} } = $ $ \{ a \} = \{ 0 \} $ 이고 $ \overline {\{ b \} } = \{ 0,1,2 \} $ 가 되어 $ b \notin \overline {\{ a \} } $ 이다.</li> <li>$ \\|a-b \\| \geq 2 $ 인 임의의 두 점 $ a, b \in \mathbb { Z } $ 를 택하면 이 두 점 $ a $ 와 $ b $ 는 정리 9.13(b)를 명백하게 만족한다.</li></ol> <p>정리 9.1.3(2)는 '임의의 서로 다른 두 점 $ a, b $ 에 대하여 $ \overline {\{ a \} } \neq \overline {\{ b \} } $ 이다'라는 명제와 동치임을 알 수 있다. 이제 $ T_ { 1 } $ 공간에 관하여 알아보자.</p> <p>이제 $ T_ { 1 } $ 공간의 유전적 성질, 위상적 성질과 곱성질을 알아보자.</p> <p>정리 $9.1.8 $ ( $1 $) $ T_ { 1 } $ 공간은 유전적 성질을 갖는다.</p> <ol type= start=1><li>$ T_ { 1 } $ 공간은 유전적 성질을 갖는다.</li> <li>$ T_ { 1 } $ 공간은 위상적 성질을 갖는다.</li> <li>$ T_ { 1 } $ 공간은 곱성질을 갖는다.</li></ol> <ol type= start=1><li>$ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 를 $ T_ { 1 } $ 공간 $ (X, \mathscr { T } ) $ 의 임의의 부분공간이라 하자. 서로 다른 임의의 두 점 $ a, b \in A $ 에 대하여 $ a, b \in X $ 이고 $ X $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 $ a \in U, b \in V $ 인 열린집합 $ U, V( \in \mathscr { T } ) $ 가 존재하여 $ b \notin U, a \notin V $ 이 성 립한다. 그러면 $ A \cap U=U_ { A } , A \cap V=V_ { A } $ 라 놓으면 $ U_ { A } , V_ { A } \in \mathscr { T } _ { A } $ 이고 \[ a \in U_ { A } , b \in V_ { A } \text { 이고 } a \notin V_ { A } , b \notin U_ { A } \text { - } \] 이 성립하므로 $ \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</li> <li>위상공간 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 위상동형이고 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 $ T_ { 1 } $ 공간이 라 하자. 그러면 위상동형사상 $ h: \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 존재한다. 이 제 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간임을 보이자. 서로 다른 임의의 두 점 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } \in Y $ 에 대하여 $ h $ 가 전단사이므로 $ h ^ { -1 } \left (y_ { 1 } \right )=x_ { 1 } , h ^ { -1 } \left (y_ { 2 } \right )=x_ { 2 } ( \in X) $ 는 $ X $ 상에서 서로 다른 점들이다. 그런데 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 $ T_ { 1 } $ 공간이므로 \[ x_ { 1 } \in U_ { 1 } \in \mathscr { T } _ { 1 } , \quad x_ { 2 } \in U_ { 2 } \in \mathscr { T } _ { 1 } \text { 이고 } x_ { 1 } \notin U_ { 2 } , x_ { 2 } \notin U_ { 1 } \] 이 성립한다. 한편 $ h $ 가 위상동형사상이므로 $ h \left (U_ { 1 } \right )=V_ { 1 } , h \left (U_ { 2 } \right )=V_ { 2 } $ 이라 놓으면 $ V_ { 1 } , V_ { 2 } \in \mathscr { T } _ { 2 } $ 이고 $ y_ { 1 } \in V_ { 1 } , \quad y_ { 2 } \in V_ { 2 } $ 이며 $ y_ { 1 } \notin V_ { 2 } $, $ y_ { 2 } \notin V_ { 1 } $ 이 성립하여 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</li> <li>임의의 $ \alpha \in \Lambda $ 에 대하여 $ \left (X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ {\alpha } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간이면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } \right . $, $ \left . \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간임을 보이면 된다. 서로 다른 임의의 두 점 $ \left (x_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } , \left (y_ {\alpha } \right )_ {\alpha \in \Lambda } \in \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } $ 을 택하면 적 어도 $ x_ {\alpha_ { 0 } } \neq y_ {\alpha_ { 0 } } $ 인 $ \alpha_ { 0 } \in \Lambda $ 가 존재한다. 그런데 $ \left (X_ {\alpha_ { 0 } } , \mathscr { T } _ {\alpha_ { 0 } } \right ) $ 가 $ T_ { 1 } $ 공간 이므로 \[ x_ {\alpha_ { 0 } } \in U_ {\alpha_ { 0 } } , y_ {\alpha_ { 0 } } \in V_ {\alpha_ { 0 } } \text { 이고 } x_ {\alpha_ { 0 } } \notin V_ {\alpha_ { 0 } } , y_ {\alpha_ { 0 } } \notin U_ {\alpha_ { 0 } } \] 를 만족하는 $ \left (X_ {\alpha_ { 0 } } , \mathscr { T } _ {\alpha_ { 0 } } \right ) $ 에서 열린집합 $ U_ {\alpha_ { 0 } } , V_ {\alpha_ { 0 } } \left ( \in \mathscr { T } _ {\alpha_ { 0 } } \right ) $ 가 존재한다. 그러면 곱공간 $ \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } $ 에서 $ P_ {\alpha_ { 0 } } ^ { -1 } \left (U_ {\alpha_ { 0 } } \right )=U, P_ {\alpha_ { 0 } } ^ { -1 } \left (V_ {\alpha_ { 0 } } \right )=V $ 라 놓으면 곱공간 $ \left ( \prod_ {\alpha \in A } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 의 정의에 의하여 $ U, V \in \mathscr { T } _ { p } $ 가 되고 이 $ U, V $ 는 \[ \left (x_ {\alpha } \right ) \in U, \left (y_ {\alpha } \right ) \in V \text { 이고 } \left (x_ {\alpha } \right ) \notin V, \left (y_ {\alpha } \right ) \notin U \] 를 만족한다. 따라서 $ \left ( \prod_ {\alpha \in \Lambda } X_ {\alpha } , \mathscr { T } _ { p } \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이다.</li></ol> <p>이제 $ T_ { 2 } $ 공간에 관하여 알아보자.</p> <p>\[ A_ { 0 } = \left \{ x \in X\|\| F_ { 0 } (x) \mid=1 \right \} \] 이라 하자. $ f(A)=F_ { 0 } (A) \subset(-1,1) $ 이므로 $ A \cap A_ { 0 } = \varnothing $ 이다. $ A, A_ { 0 } $ 가 $ X $ 에서 서로소인 닫힌집합이므로 Urysohn 보조정리에 의하여 연속함수 \[ g: X \rightarrow[0,1] \quad \left (g \left (A_ { 0 } \right )= \{ 0 \} , g(A)= \{ 1 \} \right ) \] 가 존재한다. 함수 $ F(x) $ 를 \[ F(x)=g(x) \cdot F_ { 0 } (x) \quad(x \in X) \] 라고 정의하면 $ F(x) $ 는 연속이고 임의의 $ a \in A_ { 0 } $ 에 대해서 \[ F(a)=g(a) \cdot F_ { 0 } (a)=0 \quad( \because g(a)=0) \] 이므로 \[ F(X) \subset(-1,1) \] 이고 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 \[ F(x)=g(x) \cdot F_ { 0 } (x)=F_ { 0 } (x)=f(x) \] 이다. 그러므로 \[ F: X \rightarrow(-1,1) \] 은 $ f: A \rightarrow(-1,1) $ 의 확장함수이다.</p> <p>연속함수 $ f $ 가 $ f: A \rightarrow \mathbb { R } $ 인 경우 위상동형사상 \[ h: \mathbb { R } \rightarrow(-1,1) \text { s.t. } h(x)= \frac { x } { 1 + \|x\| } \] 를 이용하여 연속함수 \[ h \circ f: A \rightarrow(-1,1) \] 을 얻을 수 있다. $ h \circ f $ 의 확장함수를 \[ F: X \rightarrow(-1,1) \] 이라 하면 $ h ^ { -1 } \circ F: X \rightarrow \mathbb { R } $ 는 $ f $ 의 확장함수가 된다. 왜냐하면 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 \[ \left (h ^ { -1 } \circ F \right )(x)=h ^ { -1 } (F(x))=h ^ { -1 } (h \circ f)(x)=f(x) \] 가 되기 때문이다.</p> <p>이제 $ \varnothing \subsetneq A, B \subsetneq L $ 이고 $ A \neq B $ 인 집합 $ A, B $ 를 택하면 $ A-B \neq \varnothing $ 이거나 $ B-A \neq \varnothing $ 이다. 여기서 $ A-B \neq \varnothing $ 인 경우를 살펴보자 $ (B-A \neq \varnothing $ 인 경우도 같은 방법으로 진행된다).</p> <p>즉, 적어도 한 점 $ z \in A-B $ 가 존재하여 $ z \in L-B $ 이므로 $ z \in U(A) \cap $ $ V(L-B) $ 이다. 따라서 $ U(A) \cap V(L-B)( \neq \varnothing) \in \mathscr { T } $ 이고 $ \bar { D } = \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이 므로 $ (U(A) \cap V((L-B)) \cap D \neq \varnothing $ 이 되어 $ w \in(U(A) \cap V(L-B)) $ $ \cap D $ 가 존재한다. 그러면 $ w \in D \cap U(A) $ 이고 $ w \notin D \cap U(B) $ 이다. 따 라서 $ \varphi(A) \neq \varphi(B) $ 이다.</p></li> <li>한편 $ \mathscr { P } (D) $ 와 $ L $ 은 대등이다. 즉, 전단사함수 $ h: \mathscr { P } (D) \rightarrow L $ 이 존재한 다. 구체적으로 \[ D \sim \mathbb { Q } \times \mathbb { Q } \sim \mathbb { N } \text { 이고 } L \sim \mathbb { R } \] 이다. 그러므로 $ \mathscr { P } (D) \sim \mathscr { P } ( \mathbb { N } ) \sim \mathbb { R } \sim L $ 이 성립한다.</li> <li> <p>(i)과 (ii)에 의하여 합성함수 $ h \circ \varphi: \mathscr { P } (L) \rightarrow L $ 는 단사함수가 된다. 그 런데 집합의 기수 (농도) 성질에 의하여 $ \|L\|= $ 치고 $ \| \mathscr { P } (L)\|=2 ^ {\text { 이 } } $ 므로 단사함수 $ h \circ \varphi $ 는 존재할 수 없기에 모순이다.</p> <h1>$ 9.2 $ 정칙공간과 정규공간</h1> <p>이 절에서는 정칙공간과 정규공간을 정의하고 이들 공간의 다양한 성질을 조사 한다. 정칙공간은 분리공리 $ T_ { 2 } $ 에서 두 점 중의 하나를 닫힌집합으로 대체함으로써 분리공리 $ T_ { 2 } $ 보다 더 강한 분리공리로서 다음과 같이 정의된다.</p> <p>정의 $9.2.1 $ $ T_ { 1 } $ 공간 $ X $ 가 다음 공리를 만족할 때 $ X $ 를 정칙공간(regular space) 또는 $ T_ { 3 } $ 공간이라고 한다. [R] 임의의 닫힌집합 $ F $ 와 임의의 점 $ x \in X-F $ 에 대하여 \[ F \subset U, x \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 을 만족하는 열린집합 $ U $ 와 $ V $ 가 존재한다.</p> <p>정의 $9.2.2 $ 위상공간 $ X $ 가 정칙공간이기 위한 조건을 $ T_ { 3 } $ 분리공리 ( $ T_ { 3 } $ separa- tion axiom)라 한다. (주의 : 정칙공간 ( $ T_ { 3 } $ 공간)을 정의하는 방법은 책에 따라 약간의 차이가 있기에 유 의하기 바람.)</p> <p>다음은 정칙공간의 예이다.</p> <p>보통위상공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , \mathscr { U } \right ) $ 는 정칙공간이다.</p> <p>모든 거리공간은 정칙공간이다.</p> <p>정리 $9.2.3 $ 정칙공간 $ \left (T_ { 3 } \right . $ 공간)은 하우스도르프 공간 $ \left (T_ { 2 } \right . $ 공간)이다.</p> <p>증명 위상공간 $ X $ 가 정칙공간이라고 가정하고, 서로 다른 임의의 두 점 $ p $, $ q( \in X) $ 를 택하자. $ X $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이므로, 정리 9.1.6에 의하여 $ \{ p \} $ 는 닫힌 집합이고 $ q \notin \{ p \} $ 이다. $ X $ 가 $ T_ { 3 } $ 공간이므로 공리 [R]에 의하여 열린집합 $ U $ 와 $ V $ 가 존재하여 \[ \{ p \} \subset U, q \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 이다. 따라서 두 점 $ p, q $ 는 \[ p \in U, q \in V \text { 이고 } U \cap V= \varnothing \] 를 만족하게 되어서 $ X $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p> <p>참고 $9.2.20 $</p> <ol type= start=1><li>거리공간 $ \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ), \cdots, \left (X_ { n } , d_ { n } \right ) $ 에 대하여 \[ \begin {array} { l } \rho: \prod_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \times \prod_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \rightarrow \mathbb { R } \\ \rho \left ( \left (x_ { i } \right ), \left (y_ { i } \right ) \right )= \max \left \{ d_ { i } \left (x_ { i } , y_ { i } \right ) \mid i=1,2, \cdots, n \right \} \end {array} \] 는 곱집합 $ \prod_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } $ 상의 거리이고, 곱위상을 유도한다. 즉, $ \mathscr { T } _ {\rho } = \mathscr { T } _ { p } $ 이다. 따라서 유한개의 거리공간들의 곱공간은 거리화 가능이다.</li> <li> <p>자연수 $ n \in \mathbb { N } $ 에 대하여 $ \left (X_ { n } , d_ { n } \right ) $ 을 거리공간이라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { l } D: \prod_ { n=1 } ^ {\infty } X_ { n } \times \prod_ { n=1 } ^ {\infty } X_ { n } \rightarrow \mathbb { R } \\ D \left ( \left (x_ { n } \right ), \left (y_ { n } \right ) \right )= \sup \left \{\frac {\bar { d } _ { n } \left (x_ { n } , y_ { n } \right ) } { n } \mid n \in \mathbb { N } \right \} \end {array} \] 는 곱집합 $ \prod_ { n=1 } ^ {\infty } X_ { n } $ 상의 거리이고, 곱위상을 유도한다. 즉, $ \mathscr { T } _ { D } = \mathscr { T } _ { p } $ 이다. 따라서 가산개의 거리공간들의 곱공간은 거리화 가능이다.</p></li></ol> <p>$ f-f_ { 1 } =g_ { 1 } $ 이라 하자. $ g_ { 1 } $ 은 연속함수 $ g_ { 1 } : A \rightarrow \left [ \frac { -2 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right ] $ 이다.</p> <p>\[ A_ { 2 } = \left \{ x \in A \mid g_ { 1 } (x) \geq \frac { 2 } { 9 } \right \} , \quad B_ { 2 } = \left \{ x \in A \mid g_ { 1 } (x) \leq \frac { -2 } { 9 } \right \} \] 이라 하면 $ A_ { 2 } , B_ { 2 } $ 는 $ X $ 에서 닫힌집합이다. 따라서 정리 9.3.1에 의하여 연 속함수 \[ f_ { 2 } : X \rightarrow \left [ \frac { -2 } { 9 } , \frac { 2 } { 9 } \right ] \quad \left (f_ { 2 } \left (A_ { 2 } \right )= \left \{\frac { 2 } { 9 } \right \} , f_ { 2 } \left (B_ { 2 } \right )= \left \{\frac { -2 } { 9 } \right \} \right ) \] 가 존재한다. 이 경우 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 $ x \in A_ { 2 } \cup B_ { 2 } $ 인 경우 \[ \frac { 2 } { 9 } \leq \left \|g_ { 1 } (x) \right \| \leq \frac { 2 } { 3 } , \left \|f_ { 2 } (x) \right \|= \frac { 2 } { 9 } , \left \|g_ { 1 } (x)-f_ { 2 } (x) \right \| \leq \frac { 4 } { 9 } \] 이고 $ x \in A- \left (A_ { 2 } \cup B_ { 2 } \right ) $ 인 경우 \[ \frac { -2 } { 9 } \leq g_ { 1 } (x), f_ { 2 } (x)= \frac { 2 } { 9 } , \left \|g_ { 1 } (x)-f_ { 2 } (x) \right \| \leq \frac { 4 } { 9 } \] 이다. 즉, 임의의 $ x \in A $ 에 대하여 \[ \left \|g_ { 1 } (x)-f_ { 2 } (x) \right \|= \mid \left (f(x)-f_ { 1 } (x)-f_ { 2 } (x) \mid \leq \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { 2 } \right . \] 이 성립한다.</p> <p>성질 $9.1.17 $ $ \quad T_ { 2 } $ 공간은 위상적 성질을 갖는다.</p> <p>증명 위상공간 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 위상동형이고 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 $ T_ { 2 } $ 공간이라 하 자. 그러면 위상동형사상 $ h: \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 존재한다. 이제 $ (Y $, $ \left . \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 가 $ T_ { 2 } $ 공간임을 보이자. 서로 다른 임의의 두 점 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } \in Y $ 에 대하여 $ h $ 가 전단사이므로 $ h ^ { -1 } \left (y_ { 1 } \right )=x_ { 1 } , h ^ { -1 } \left (y_ { 2 } \right )=x_ { 2 } ( \in X) $ 는 $ X $ 상에서 서로 다른 점들이다. 그런데 $ \left (X, \mathscr { T } _ { 1 } \right ) $ 이 $ T_ { 2 } $ 공간이므로 \[ x_ { 1 } \in U_ { 1 } \in \mathscr { T } _ { 1 } , x_ { 2 } \in U_ { 2 } \in \mathscr { T } _ { 1 } \text { 이고 } U_ { 1 } \cap U_ { 2 } = \varnothing \] 인 열린집합 $ U_ { 1 } , U_ { 2 } \in \mathscr { T } _ { 1 } $ 이 존재한다. 한편 $ h $ 가 위상동형사상이므로 $ h \left (U_ { 1 } \right ) $ $ =V_ { 1 } , h \left (U_ { 2 } \right )=V_ { 2 } $ 이라 놓으면 $ V_ { 1 } , V_ { 2 } \in \mathscr { T } _ { 2 } $ 이고 $ y_ { 1 } \in V_ { 1 } , y_ { 2 } \in V_ { 2 } $ 이며 $ V_ { 1 } \cap V_ { 2 } = \varnothing $ 이다. 따라서 $ \left (Y, \mathscr { T } _ { 2 } \right ) $ 는 $ T_ { 2 } $ 공간이다.</p>	자연
m925-일반수학	<p>그러므로 $ f(x)=e ^ { -x } , x \geq 0 $ 이 확률밀도함수입을 알 수 있다. 그리고 다음과 같은 확률밀도함수로 가지는 확률분포를 지수분포라고 한다.</p> <p>$ f(x)=e ^ { -x } , x \geq 0 $</p> <p>예제 $ 2 \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x $ 를 구하시오. 풀이 정의에 의해 다음이 성립한다.<p>$ \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x $</p>그리고 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 1 } ^ { b } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x &=- \frac { 1 } { 2 } \left [e ^ { -x ^ { 2 } } \right ]_ { 2 } ^ { b } \\ &= \frac { e ^ { -4 } -e ^ { -b ^ { 2 } } } { 2 } \end {aligned} $</p>위의 식에서 $ b \rightarrow \infty $ 이면 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x &= \lim _ { b \rightarrow \infty } - \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { -b ^ { 2 } } -e ^ { -4 } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 e ^ { 4 } } \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 3 \int_ { e } ^ {\infty } \frac { 7 } { x \ln x } d x $ 를 구하시오. 풀이 정의에 의해 다음이 성립한다.<p>$ \int_ { e } ^ {\infty } \frac { 7 } { x \ln x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { e } ^ { b } \frac { 7 } { x \ln x } d x $</p>그리고 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { e } ^ { b } \frac { 7 } { x \ln x } d x &=7[ \ln ( \ln x)]_ { e } ^ { b } \\ &=7( \ln ( \ln b)- \ln ( \ln e)) \end {aligned} $</p>위의 식에서 $ b \rightarrow \infty $ 이면 다음과 같다.<p>$ \int_ {\varepsilon } ^ {\infty } \frac { 7 } { x \ln x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } 7 \{\ln ( \ln b)- \ln ( \ln e) \} = \infty $</p>즉, 발산한다.</p> <p>리만 적분의 정의에 필수적 요인이 두 가지 있었다. 하나는 합수가 유계인 사실이고 다른 하나는 적분 구간이 유계인 사실이다. 그러나 실생활에서 필요한 적분이 위의 두 가지 형태만은 아님을 알 수 있다. 즉, 함수가 유계가 아닌 경우 또는 적분 구간이 유계가 아닌 경우의 적분에 대해서 알아보자.</p> <h1>8.1 여러 가지 부정형</h1> <p>부정형은 값이 정해져 있지 않은 형태를 말하고 다음과 같이 일곱 가지 형태가 있다.</p> <p>$ \frac { 0 } { 0 } , \frac {\infty } {\infty } , 0 \cdot \infty, \infty- \infty, 0 ^ { 0 } , \infty ^ { 0 } , 1 ^ {\infty } $</p> <p>극한을 구하는 방법은 다음과 같다.</p> <ul> <li>(a) $ \frac { 0 } { 0 } $ 과 $ \frac {\infty } {\infty } $ 의 형태는 로피탈의 법칙을 이용하여 극한을 구한다.</li> <li>(b) $ 0 \cdot \infty $ 와 $ \infty- \infty $ 는 변형하여 $ \frac { 0 } { 0 } $ 과 $ \frac {\infty } {\infty } $ 를 적용하여 극한을 구한다.</li> <li>(c) $ 0 ^ { 0 } , \infty ^ { 0 } , 1 ^ {\infty } $ 는 로그함수를 이용하고 다시 $ \frac { 0 } { 0 } $ 과 $ \frac {\infty } {\infty } $ 를 적용하여 극한을 구한다.</li></ul> <h2>1. $ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 부정형</h2> <p>정리 1 $ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 로피탈(L'Hôpital)의 법칙 기호 $ \lim _ { x \rightarrow a } , \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } , \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } $를 모두 $ \lim $ 으로 나타내자. 만약 $ \lim f(x) = \lim g(x)=0 $ 이 고 $ \lim \frac { f ^ {\prime } } { g ^ {\prime } } $ 이 존재하면 다음 식이 성립한다.<p>$ \lim \frac { f(x) } { g(x) } = \lim \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $</p></p> <p>예제 $ 1 \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } $ 를 구하시오. 풀이 $ f(x)=x, g(x)=e ^ { x } $ 에서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \|f(x)\|= \infty, \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x)= \infty \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ^ { x } } =0 \] 이 식을 일반화시키면 다음을 얻을 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { n } } { e ^ { x } } =0 \]</p> <p>예제 2 다음을 증명하시오.</p><p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { 2 } } =0 $</p><p>풀이 $ f(x)= \ln x, g(x)=x ^ { 2 } $ 에서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty, \quad \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x)= \infty \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { 2 } } &= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\frac { 1 } { x } } { 2 x } \\&= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } =0 \end {aligned} \] 이 식을 일반화시키면 다음을 얻을 수 있다. \[n>0 \text { 일 때 } \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { n } } =0 \]</p> <h2>3. $ 0 \cdot \infty $ 와 $ \infty- \infty $ 형태의 부정형</h2> <p>$ 0 \cdot \infty $ 는 다음의 형태로 변환하여 얻을 수 있다.</p><p>$ 0 \cdot \infty= \frac { 0 } {\frac { 1 } {\infty } } = \frac { 0 } { 0 } $, $ 0 \cdot(- \infty)= \frac { 0 } { - \frac { 1 } {\infty } } = \frac { 0 } { 0 } $</p><p>또는</p><p>$ 0 \cdot \infty= \frac {\infty } {\frac { 1 } { 0 } } = \frac {\infty } {\infty } $, $ 0 \cdot(- \infty)= \frac { - \infty } {\frac { 1 } { 0 } } = \frac {\infty } {\infty } $</p> <p>예제1 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } x \ln \left (x ^ { 2 } \right ) $ 를 구하시오. 풀이 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } x=0, \lim _ { x \rightarrow 0 } \ln \left (x ^ { 2 } \right )=- \infty $ 에서 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } x \ln \left (x ^ { 2 } \right )= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln \left (x ^ { 2 } \right ) } {\frac { 1 } { x } } = \frac {\infty } {\infty } \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } x \left ( \ln x ^ { 2 } \right ) &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\frac { 2 x } { x ^ { 2 } } } { - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \\&= \lim _ { x \rightarrow 0 } (-2 x)=0 \end {aligned} \]</p> <p>예제 $ 2 \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { x } { x-1 } - \frac { 1 } {\ln x } \right ) $ 를 구하시오. $ \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { x } { x-1 } = \infty, \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { 1 } {\ln x } = \infty $ 에서 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { x } { x-1 } - \frac { 1 } {\ln x } \right )= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { x \ln x-1(x-1) } { (x-1) \ln x } = \frac { 0 } { 0 } \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { x } { x-1 } - \frac { 1 } {\ln x } \right ) &= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac {\ln x + 1-1 } {\ln x + (x-1) \frac { 1 } { x } } \\&= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { x \ln x } { x \ln x + (x-1) } \\&= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac {\ln x + 1 } {\ln x + 1 + 1 } \\&= \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \]</p> <h1>8.3 피적분함수가 무한대인 이상적분</h1> <p>지금까지 공부한 적분 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 의 조건은 다음과 같다.</p> <p>$ a, b \in \mathbb { R } $ 그리고 모든 $ x \in[a, b] $ 에 대해서 $ \|f(x)\|< \infty $ 이었다.</p> <p>앞 절에서는 $ a, b \in \mathbb { R } \cup \{ - \infty, \infty \} $ 인 경우를 공부했다. 이번에는 $ \|f(x)\| \leq \infty $ 인 경우에 대해서 공부하자. 즉, 함수가 유계가 아닌 경우의 적분에 대해서 알아보자.</p> <h2>1. 끝점에서 피적분함수가 무한대인 경우</h2> <p>정의 $ f(x) $ 가 $ [a, b) $ 에서 연속이고 $ \lim _ { x \rightarrow b ^ { - } } \|f(x)\|= \infty $ 일 때 다음과 같이 정의한다.<p>$ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { t \rightarrow b ^ { - } } \int_ { a } ^ { t } f(x) d x $</p></p> <p>정의 $ f(x) $ 가 $ (c, d] $ 에서 연속이고 $ \left . \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \mid f x \right ) \mid= \infty $ 일 때 다음과 같이 정의한다.<p>$ \int_ { c } ^ { d } f(x) d x= \lim _ {\delta \rightarrow c ^ { + } } \int_ { s } ^ { d } f(x) d x $</p></p> <p>예제1 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x $ 를 구하시오. 풀이 $ x \rightarrow 1 ^ { - } $일 때 다음을 알 수 있다.<p>$ \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \rightarrow \infty $</p>정의에 의해서 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \int_ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x \\ &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \left [ \sin ^ { -1 } (x) \right ]_ { 0 } ^ { t } \\ &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \left ( \sin ^ { -1 } (t)- \sin ^ { -1 } (0) \right )= \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 2 \int_ { 0 } ^ { e ^ { 0 } } \frac { 1 } { x } d x $ 를 구하시오. 풀이 $ x \rightarrow 0 ^ { + } $일 때 다음을 알 수 있다.<p>$ \frac { 1 } { x } \rightarrow \infty $</p>정의에 의해서 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { e ^ {\theta } } \frac { 1 } { x } d x &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } \int_ { s } ^ { e ^ {\theta } } \frac { 1 } { x } d x \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } [ \ln x]_ { s } ^ { e ^ {\theta } } \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } \left ( \ln e ^ {\delta } - \ln s \right )= \infty \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 3 \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x $ 는 $ r<1 $ 이면 수렴하고 $ r \geq 1 $ 이면 발산임을 증명하시오. 풀이 (1) $ r=1 $ 인 경우 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x } d x &= \lim _ { a \rightarrow 0 ^ { + } } \int_ { a } ^ { 1 } \frac { 1 } { x } d x \\ &= \lim _ { a \rightarrow 0 ^ { + } } [ \ln x]_ { a } ^ { 1 } \\ &= \lim _ { a \rightarrow 0 ^ { + } } ( \ln 1- \ln a)= \infty \end {aligned} $</p>(2) $ r \neq 1 $ 인 경우 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } \int_ { s } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } \left [ \frac { x ^ { -r + 1 } } { -r + 1 } \right ]_ { s } ^ { 1 } \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { 1 } { 1-r } \left (1- \frac { 1 } { s ^ { r-1 } } \right ) \\ &= \left \{\begin {array} { cc } \frac { 1 } { 1-r } , & r<1 \\ \infty, & r>1 \end {array} \right . \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 5 \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x $ 는 $ r \leq 1 $ 일 때 발산하고 $ r>1 $ 일 때 수렴한다. 풀이<ul> <li>(1) $ r=1 $ 일 때 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x } d x $ 가 발산함은 이미 앞에서 보였다.</li> <li>(2) $ r \neq 1 $ 일 때 다음과 같다.</li></ul> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [ \frac { x ^ { -r + 1 } } { -r + 1 } \right ]_ { 1 } ^ { b } \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left ( \frac { 1 } { 1-r } \right ) \left ( \frac { 1 } { b ^ { r-1 } } -1 \right ) \\ &= \left \{\begin {array} { cc } \infty, & r<1 \\ \frac { 1 } { r-1 } , & r>1 \end {array} \right . \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 6 \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } $ 를 구하시오. 풀이<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } (F(b)-F(0)), \text { 단, } F(x)= \tan ^ { -1 } (x) \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \tan ^ { -1 } (b) \\ &= \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} $</p></p> <p>예제 $ 7 \quad \Gamma \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) $ 을 구하시오. 풀이<p>$ \begin {aligned} \Gamma \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) &= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d x \end {aligned} $</p>그리고 다음과 같이 놓자.</p> <p>$ x=t ^ { 2 } , t \geq 0 $</p>그러므로 다음과 같다.<p>$ d x=2 d t $</p>또한 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} \Gamma \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) &= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -t ^ { 2 } } t ^ { -1 } 2 t d t \\ &=2 \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -t ^ { 2 } } d t \\ &=2 \frac {\sqrt {\pi } } { 2 } = \pi \end {aligned} $</p></p> <p>또한 베타함수는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ B(m, n)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x $</p> <h1>8.2 적분구간이 무한대인 이상적분</h1> <p>앞에서 배운 적분 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 는 다음 조건을 만족한다.</p> <p>$ a, b \in \mathbb { R } $ 그리고 $ \|f(x)\|< \infty $</p> <p>일반적으로 응용분야에서는 다음과 같은 형태의 적분은 더 많이 다루게 된다.</p> <p>$ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x, \int_ { - \infty } ^ { b } g(x) d x, \int_ { - \infty } ^ {\infty } h(x) d x $</p> <p>먼저 적분 구간이 유계가 아닌 적분에 대해서 알아보자.</p> <h2>1. $ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x, \int_ { - \infty } ^ { b } g(x) d x $ 형태의 적분</h2> <p>정의<ul> <li>(a) $ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $</li> <li>(b) $ \int_ { - \infty } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { a \rightarrow- \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $</li></ul>오른쪽 극한이 유한값으로 존재할 때 적분은 수렴(converge)한다고 말하고 극한값을 적분값으로 정의한다. 그렇지 않으면 적분은 발산(diverge)한다고 한다.</p> <p>예제1 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x $ 를 구하시오. $ f(x)=e ^ { -x } $ 의 그래프는 다음과 같다. 정의에 의해 다음이 성립한다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } d x &=- \left [e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } \\ &=-e ^ { -b } + 1 \end {aligned} $</p>위의 식에서 $ b \rightarrow \infty $ 이면 다음과 같다.<p>$ \lim _ { b \rightarrow \infty } \left (1-e ^ { -b } \right )=1 $</p>그 결과 다음과 같이 정의할 수 있다.<p>$ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x=1 $</p></p> <p>예제 2 다음은 정규분포에서 사용하는 표준정규밀도함수이다.<p>$ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p>표준정규밀도함수가 확률밀도함수임을 설명하시오. 풀이 다음이 성립한다.<p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x=1 $</p>그 결과 다음은 확률밀도함수이다.<p>$ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p></p> <p>예제 3 다음을 구하시오.<p>(a) $ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ {\infty } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $ (b) $ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ {\infty } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $</p>풀이 (a) $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $ 에서 다음과 같이 놓자.<p>$ f(x)=x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p>그러므로 다음을 알 수 있다.<p>$ f(-x)=-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p>그 결과 다음을 만족한다.<p>$ f(x)=-f(-x) $</p>즉, $ f(x) $ 는 기함수이므로 정리에 의해서 다음과 같다.<p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x=0 $</p>(b) $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $ 에서 다음과 같다.<p>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $ : 우함수</p>그러므로 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} A &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \\ &=2 \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \\ &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \end {aligned} $</p>부분적분을 이용하기 위해서 다음과 같이 놓는다.<p>$ u=-x, \frac { d v } { d x } =v ^ {\prime } =-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p>그러므로 다음과 같다.<p>$ \frac { d u } { d x } =-1, v=e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p>그 결과 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} A &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \lim _ { b \rightarrow \infty } \left \{\left [-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ]_ { 0 } ^ { b } + \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \right \} \\ &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \left (0 + \frac {\sqrt {\pi } } {\sqrt { 2 } } \right )= \frac { 2 \sqrt {\pi } } { 2 \sqrt {\pi } } =1 \end {aligned} $</p></p> <p>예제 4 곡선 $ x ^ {\frac { 2 } { 3 } } + y ^ {\frac { 2 } { 3 } } =1 $ 의 둘레의 길이를 구하시오. 풀이 제 1 상한의 길이를 구하여 4 배하여 전체의 길이를 구하자. 다음과 같다.<p>$ L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x, x ^ {\frac { 2 } { 3 } } + y ^ {\frac { 2 } { 3 } } =1 $</p>음함수의 미분에 의해서 다음을 알 수 있다.<p>$ \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } + \frac { 2 } { 3 } y ^ { - \frac { 1 } { 3 } } y ^ {\prime } =0 $</p>또는 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.<p>$ y ^ {\prime } =- \frac { y ^ {\frac { 1 } { 3 } } } { x ^ {\frac { 1 } { 3 } } } $</p>대입하면 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } &=1 + \frac { y ^ {\frac { 2 } { 3 } } } { x ^ {\frac { 2 } { 3 } } } \\ &=1 + \frac {\left (1-x ^ {\frac { 2 } { 3 } } \right ) } { y ^ {\frac { 2 } { 3 } } } \\ &= \frac { 1 } { x ^ {\frac { 2 } { 3 } } } \end {aligned} $</p>그러므로 다음이 성립한다.<p>$ L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ {\frac { 1 } { 3 } } } d x $</p>그 결과 다음을 알 수 있다.<p>$ L= \frac { 1 } { 1- \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) } = \frac { 3 } { 2 } $ $ 4 L=6 $</p></p> <p>예제 $ 3 \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (x) ^ { x ^ { 2 } } $ 를 구하시오. 풀이 $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } x=0, \lim _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } =0 $ 에서 $ 0 ^ { 0 } $ 의 형태이다. 다음과 같이 놓자.<p>$ (x) ^ { x ^ { 2 } } =y $</p>그러므로 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \ln y &=x ^ { 2 } \ln x \\ &= \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } \end {aligned} $</p>양변에 극한을 취하면 다음이 성립한다.<p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln y= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } = \frac {\infty } {\infty } $</p>정리에 의해서 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } &= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\frac { 1 } { x } } { -2 x ^ { -3 } } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } } { -2 } =0 \end {aligned} $</p>그 결과 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (x) ^ { x ^ { 2 } } &= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \exp \ln (x) ^ { x ^ { 2 } } \\ &= \exp \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln (x) ^ { x ^ { 2 } } \\ &= \exp (0)=1 \end {aligned} $</p></p> <p>예제 3 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos x-1 } { x ^ { 2 } } $ 를 구하시오. [풀이] $ g(x)=x ^ { 2 } , f(x)= \cos x-1 $ 에서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } g(x)=0, \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x)=0 \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos x-1 } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (- \frac {\sin x } { 2 x } \right ) \] $ g ^ {\prime } (x)=2 x, f ^ {\prime } (x)=- \sin x $ 에서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } g ^ {\prime } (x)=0, \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ {\prime } (x)=0 \] 정리에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos x-1 } { x ^ { 2 } } &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \sin x } { 2 x } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \cos x } { 2 } =- \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \]</p> <h2>2. $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형</h2> <p>정리 2 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 로피탈의 법칙 $ \lim _ { x \rightarrow a } , \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } , \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } $를 모두 $ \lim $ 으로 나타낸다. 만약 $ \lim \|f(x)\|= \infty, \lim g(x)= \infty $ 이 고 $ \lim \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $ 가 존재하면 다음 식이 성립한다.<p>$ \lim \frac { f(x) } { g(x) } = \lim \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $</p></p> <p>그 결과 베타함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>$ B(m, n)= \frac {\Gamma(m) \Gamma(n) } {\Gamma(m + n) } $</p> <h2>2. $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $ 형태의 적분</h2> <p>정의 $ \int_ { - \infty } ^ { 0 } f(x) d x, \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 수렴하면 다음은 수렴한다고 말한다.<p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $</p>그리고 그 값은 다음과 같이 정의한다.<p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x= \int_ { - \infty } ^ { 0 } f(x) d x + \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x $</p>그렇지 않으면 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $ 는 발산한다고 말한다.</p> <p>예제 $ 1 \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } d x=1 $ 이 되도록 양수 $ r $ 를 구하시오. 풀이 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } d x $ 에서 $ \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } $ 는 우함수이므로 다음이 성립한다.<p>$ \begin {aligned} \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } d x &=2 \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } d x \\ &=2 \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } \frac { r } { 1 + x ^ { 2 } } d x \\ &=2 r \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [ \tan ^ { -1 } x \right ]_ { 0 } ^ { b } \\ &=2 r \lim _ { b \rightarrow \infty } \left ( \tan ^ { -1 } (b)- \tan ^ { -1 } (0) \right ) \\ &=2 r \left ( \frac {\pi } { 2 } -0 \right )=r \pi \end {aligned} $</p>$ r \pi=1 $ 에서 다음을 알 수 있다.<p>$ r= \frac { 1 } {\pi } $</p>그러므로 다음과 같다.<p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\pi } \cdot \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x=1 $</p>그 결과 다음이 확률밀도함수임을 알 수 있다.<p>$ f(x)= \frac { 1 } {\pi } \cdot \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } , x \in R $</p>그리고 다음의 확률밀도함수로 가지는 확률분포를 Cauchy분포라고 한다.<p>$ f(x)= \frac { 1 } {\pi } \cdot \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } , x \in R $</p></p> <p>예제 $ 2 \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } ( \tan x) ^ {\cos x } $ 를 구하시오. 풀이 $ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \tan x= \infty, \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \cos x=0 $ 에서 $ \infty ^ { 0 } $ 의 형태이다. 다음과 같이 놓자.<p>$ ( \tan x) ^ {\cos x } =y $</p>그러므로 다음과 같다.<p>$ \begin {aligned} \ln y &= \ln ( \tan x) ^ {\cos x } \\ &= \cos x \ln \tan x \\ &= \frac {\ln \tan x } {\sec x } \end {aligned} $</p>양변에 극한을 취하면 다음이 성립한다.<p>$ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \ln y= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\ln \tan x } {\sec x } = \frac {\infty } {\infty } $</p>정리에 의해서 다음과 같다.<p>$ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\ln \tan x } {\sec x } $ $ = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\frac {\sec ^ { 2 } x } {\tan x } } {\sec x \cdot \tan x } $ $ = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\cos x } {\sin ^ { 2 } x } =0 $</p>그 결과 다음을 알 수 있다.<p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } ( \tan x) ^ {\cos x } &= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \exp \ln ( \tan x) ^ {\cos x } \\ &= \exp \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \ln \tan x ^ {\cos x } \\ &= \exp (0)=1 \end {aligned} $</p></p> <p>예제 4 곡선 $ y= \frac { 1 } { x } $ 을 $ [1, \infty) $ 에서 $ x $ 축을 회전축으로 하여 회전할 때 생기는 회전체를 생각해 보자. 이때 다음을 증명하시오.<ul> <li>(a) 회전체의 부피 $ V $ 는 유한하다.</li> <li>(b) 회전체의 겉넓이 $ A $ 는 무한하다.</li></ul>증명<p>(a) \[ \begin {aligned} V &= \int_ { 1 } ^ {\infty } \pi \left ( \frac { 1 } { x } \right ) ^ { 2 } d x \\&= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } \pi \left ( \frac { 1 } { x } \right ) ^ { 2 } d x \\&= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [- \frac {\pi } { x } \right ]_ { 1 } ^ { b } \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } - \pi \left ( \frac { 1 } { b } -1 \right )= \pi \end {aligned} \]</p> <p>(b) \[ \begin {aligned} A &= \int_ { 1 } ^ {\infty } 2 \pi y d s \\&= \int_ { 1 } ^ {\infty } 2 \pi \frac { 1 } { x } \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x \\&= \int_ { 1 } ^ {\infty } 2 \pi \frac { 1 } { x } \sqrt { 1 + \left (- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } } d x \\&= \int_ { 1 } ^ {\infty } 2 \pi \frac { 1 } { x } \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 2 } } d x \\&= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } 2 \pi \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } d x \end {aligned} \]</p>그런데 $ \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } >\frac {\sqrt { x ^ { 4 } } } { x ^ { 3 } } = \frac { 1 } { x } $ 에서 다음이 성립한다.<p>$ \int_ { 1 } ^ { b } \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } d x>\int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x $</p>그리고 $ \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x= \ln b $ 에서 다음과 같다.<p>$ \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \ln b= \infty $</p>그 결과 다음을 알 수 있다.<p>$ \int_ { 1 } ^ { b } \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } d x \rightarrow \infty $</p></p> <p>정의 다음과 같은 함수를 감마함수라고 한다.<p>$ \Gamma(n)= \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x, \quad n>0 $</p></p> <p>정리 1 감마함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.<ul> <li>(a) $ \Gamma(1)=1 $</li> <li>(b) $ \Gamma(n + 1)=n \Gamma(n) $</li> <li>(c) $ \Gamma(n + 1)=n ! $ (단, $ n $ 은 자연수)</li></ul></p> <p>증명<ul> <li>(a) $ \begin {aligned} \Gamma(1) &= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } d x \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [-e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left (-e ^ { -b } + 1 \right )=1 \end {aligned} $</li> <li>(b) \[ \begin {aligned} \Gamma(n + 1) &= \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n } e ^ { -x } d x \\&= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n } e ^ { -x } d x \end {aligned} \] 부분적분의 공식에 의해서 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \Gamma(n + 1) &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left \{\left [-x ^ { n } e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } + n \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x \right \} \\&=0 + \lim _ { b \rightarrow \infty } n \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x \\&=n \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x=n \Gamma(n) \end {aligned} \]</li> <li>(c) $ \begin {aligned} \Gamma(n + 1) &=n \Gamma(n) \\ &=n(n-1) \Gamma(n-1) \\ &=n(n-1) \cdots 1 \Gamma(1) \\ &=n(n-1) \cdots 1 \\ &=n ! \end {aligned} $</li></ul></p>	자연
	<p>본 논문에서는 기존의 MSSG 방법을 수정하여 정확도를 높이는 방법들을 제안하려고 한다. 먼저, K-means 대신 Dan과 Moore이 제안한 X-means 군집 방법을 적용하여 문맥 벡터들에 대한 군집화를 수행함과 동시에 군집의 개수, 즉, 다의어의 의미 갯수를 데이터로부터 자동적으로 추정해주는 다중 임베딩 방법을 제안한다. 추가적으로, 주변 단어들에서 해당 단어에 가까울 수록 더 정확한 정보를 가지고 있는 경향이 있다는 경험적 사실을 활용하여 위치에 대한 중요도를 달리하여 가중 문맥 벡터(weighted context vector)를 구성하는 방법을 제안한다. 실증 예제를 이용한 모의실험들을 수행하여 본 논문에서 제안한 방법이 기존방법들에 비해 더 정확하고 우수한 성능을 보임을 입증한다.</p> <h1>2. 기존 방법 설명</h1> <p>이 절에서는 본 논문에서 핵심적으로 사용되는 기존 방법들인 skip-gram과 multi-sense skip-gram (MSSG) 방법들을 소개하고자 한다.</p> <h2>2.1. Skip-gram 방법</h2> <p>Mikolov 등이 제안한 단어의 분산 표현을 사용하여 단어 임베딩을 수행하는 skip-gram 방법을 소개하겠다. 이 방법은 텍스트 자료에서 얻은 말뭉치에 대해 수행하여, 말뭉치에서 발생한 모든 단어들에 대해 딥러닝 모형을 활용하여 문장의 주변 단어를 예측하여 단어 임베딩 벡터를 학습한다. Skip-gram모델의 구조는 Figure 1의 왼쪽 패널과 같이 주어진다. Skip-gram을 이용하여 얻은 단어 $ w $ 에 대한 단어 임베딩 벡터는 $ v(w) \in \mathbb { R } ^ { d } $ 라 표시하며, 여기서 $ d $ 는 임베딩의 크기가 된다. 더 자세히 말하자면, 두 단어의 쌍 $ \left (w_ { t } , c_ { j } \right ) $ 이 주어졌을 때 단어 $ w_ { t } $ 의 주변, 즉, 문맥 (context) 에서 단어 $ c_ { j } $ 가 관측될 확률은 다음과 같다.</p> <p>$ P \left (D = 1 \mid v \left (w_ { t } \right ), v \left (c_ { j } \right ) \right )= \frac { e ^ { v \left (c_ { j } \right ) ^ {\top } v \left (w_ { t } \right ) } } {\sum_ { j ^ {\prime } =1 } ^ { V } e ^ { v \left (c_ { j ^ {\prime } } \right ) ^ {\top } v \left (w_ { t } \right ) } } $.<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 $ R $ 은 skip-gram에서의 윈도우 크기인 튜닝 파라미터(tuning parameter)이며 단어의 문맥 범위를 지정하게 된다.</p> <h2>2.2. Multi-sense skip-gram (MSSG) 방법</h2> <p>Neelakantan 등이 제안한 MSSG 방법은 단어 $ w $ 에 대한 모든 문맥벡터를 K-means 방법으로 군집화하여 한 단어의 여러 의미들을 구분하는 것과 동시에 skip-gram처럼 딥러닝 모형을 이용하여 단어 임베딩을 함께 수행하는 다중 임베딩 방법이라 할 수 있다. MSSG 의 구조는 Figure 1 의 오른쪽 패널과 같이 주어지며, 각 단어 $ w $ 의 $ k(k=1, \ldots, K) $ 번째 의미에 대한 임베딩 벡터 $ v_ { s } (w, k) $ 와 해당 문맥 벡터들의 군집을 의미하는 문맥 군집의 중심 $ \mu(w, k) $ 을 구하는 것을 목표로 한다.</p> <p>먼저, 각 단어 $ w $ 의 글로벌 벡터는 $ v_ { g } (w) $ 라고 표현하자. MSSG 방법에서 글로벌 벡터 $ v_ { g } (w) $ 는 주로 skip-gram 방법 결과 얻어진 단어 임베딩 벡터를 사용한다. 단어 $ w_ { t } $ 가 주어졌을 때, skip-gram 방법처럼 윈도우 크기 $ R $ 을 설정하여 해당 단어의 주변단어 집합 $ C_ { t } = \left \{ w_ { t-R } , \ldots, w_ { t-1 } , w_ { t + 1 } , \ldots, w_ { t + R } \right \} $ 을 계산한다. 이 주변단어 집합 $ C_ { t } $ 을 이용하여 문맥을 표현하는 문맥 벡터 $ v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) $ 를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right )= \frac { 1 } { 2 * R } \sum_ { c \in C_ { t } } v_ { g } (c) $.<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기에서 주변단어의 의미 벡터 대신 글로벌 벡터를 사용하여 문맥 벡터 $ v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) $ 를 정의하게 되는데, 이는 계산 부담을 크게 감소시키는 역할을 한다. 또한, $ R $ 은 문맥벡터가 가지는 의미 정보의 범위를 조절하는 튜닝 파라미터가 된다. 작은 값의 $ R $ 에서는 해당 단어의 적은 주변을 사용하여 국소적인 의미를 포함하는 문맥벡터가 발생될 것이고, 반대로 큰 값의 $ R $ 에서는 넓은 주변을 사용하여 글로벌한 의미를 담는 문맥벡터가 생성될것이다.</p> <p>또한 $ w_ { t } $ 가 발생한 문맥에서 $ c_ { j } $ 를 발견하지 않을 확률은 $ P \left (D=0 \mid v \left (w_ { t } \right ), v \left (c_ { j } ^ {\prime } \right ) \right )=1-P \left (D=1 \mid v \left (w_ { t } \right ), v \left (c_ { j } \right ) \right ) $ 이 된다. noindent 따라서, 단어 열 $ w_ { 1 } , \ldots w_ { T } $ 을 포함하는 훈련 집합이 주어지면, 단어 임베딩은 다음의 목적함수</p> <p>$ J= \sum_ { t=1 } ^ { T } \sum_ { c_ { j } \in C_ { t } ^ { + } } \log P \left (D=1 \mid v \left (w_ { t } \right ), v \left (c_ { j } \right ) \right ) + \sum_ { t=1 } ^ { T } \sum_ { c_ { j } ^ {\prime } \in C_ { t } ^ { - } } \log P \left (D=0 \mid v \left (w_ { t } \right ), v \left (c_ { j } ^ {\prime } \right ) \right ) $,<caption>(2.2)</caption></p> <p>를 최대화함으로써 학습된다. 여기서 $ w_ { t } $ 는 훈련 집합에서 단어 $ w $ 가 $ t $ 번째로 발생한 문맥에서의 $ w $ 를 의미하며, $ C_ { t } ^ { + } $는 $ w_ { t } $ 의 주변단어 집합, $ C_ { t } ^ { - } $는 $ w_ { t } $ 에 대한 주변단어를 아닌 단어를 무작위로 선택한 집합이다. 더 자세히 말하자면, 주어진 단어 $ w_ { t } $ 에 대한 주변단어 집합은 다음과 같다.</p> <p>$ C_ { t } ^ { + } = \left \{ w_ { t-R } , \ldots, w_ { t-1 } , w_ { t + 1 } , \ldots w_ { t + R } \right \} $<caption>(2.3)</caption></p> <h1>1. 서론</h1> <p>분산 단어 표현(distributed representation of words)은 대량의 텍스트 자료인 말뭉치(corpus)에서 특정 단어 주위에 발생한 주변단어(context)들을 참고하여 단어를 표현하는 방법으로 여러 자연어 처리 작업에서 눈에 띨만한 성능을 달성했다. 문장에서 유사한 의미나, 구문의 역할을 가진 단어를 서로 가까이 배치하기 때문에 분산 단어 표현 방법은 텍스트 자료의 훈련과정(training)을 통해 좀 더 정확한 단어표현을 효과적으로 찾는 데 도움을 준다고 알려져 있다. 문장에서 단어의 구문적 의미를 정밀하게 분석하기 위해서 단어 임베딩 벡터를 정확하게 표현하는 것은 자연어 처리의 핵심이다. 이때 단어를 벡터로 표현하는것을 임베딩이라고 하고, 이러한 방법으로 얻어진 벡터를 임베딩 벡터라고 한다. 하지만 분산 단어 표현을 활용에 관한 최근의 기술적 발전에도 불구하고, 이 방법들은 각 단어가 단일 의미(single-sense) 를 가지고 있다고 가정하므로 모든 단어가 하나의 벡터 표현만을 갖게 되는 제약을 가지고 있다. 따라서, 텍스트 자료에서 흔히 볼 수 있는 다의어 혹은 동음이의어의 경우 단어 의미들을 구별하지 못한다는 문제가 발생할 수 있다.</p> <p>예를 들어, 'plant'라는 단어의 경우 식물이라는 의미와 'power plant'와 같은 단어 사용에서 볼 수 있듯이 공장 및 시설 이라는 문맥적으로 다른 두 가지의 의미를 가지고 있다. 이러한 단어의 단일 의미 분산 표현방법은 대략적으로 해당 의미들에 대한 평균 임베딩 벡터 값을 가질 것이며 이 두 의미들을 정확히 구별하기 어려운 문제가 있다. 따라서, 다의성을 고려할 수 있는 분산 단어표현 방법이 필요하며 다의어의 각 의미에대해 임베딩 벡터들을 할당할 수 있는 다중 임베딩 방법이 제안되었다. 다시 말해, 한 단어에 대해 여러 개의 벡터를 할당하여 의미 구별을 가능하게 한다. 다중 임베딩 방법은 같은 단어지만 단어의 주변단어들 분포가 달라진다는 점을 활용하여 문맥벡터, 즉, 해당 단어의 주변 단어들의 임베딩 값들의 평균을 구성한다. 또한, 해당 다의어 의미들을 구별하기 위해, 단어가 발생한 모든 문장의 문맥벡터에 대한 군집화를 수행하는 방법을 주로 사용한다.</p> <p>이러한 방법들에서 단어들의 의미 임베딩 값들이 해당 의미를 정확히 담고 있는지는 방법의 성능을 결정하는 중요한 문제이다. 이 때 임베딩 벡터의 차원을 증가시켜 더 높은 차원에서 단어 의미를 예측하거나, 딥러닝(deep-learning) 모형 등을 활용하여 임베딩의 정확성을 높일 수 있다. 딥러닝 모형을 활용하여 텍스트 단어의 분산 표현으로부터 정확한 단어 임베딩 시스템을 훈련하는 skip-gram 모형을 Mikolov 등이 제안하여 아주 큰 주목을 받았으며, 다의어를 고려하여 다중 임베딩을 가능하게 하는 multi-sense skip-gram (MSSG) 또한 Neelakantan 등 제안되었다. MSSG는 단어가 발생한 문장에서 문맥 벡터들을 모두 추출하여 K-means 군집 방법을 통해 군집화 하여 해당단어의 의미를 구분짓게 된다. MSSG는 K-means 군집방법을 활용하기 때문에 군집의 수인 K를 사용자가 직접 정해야하는 어려움이 있다. 무엇보다 모든 다의어들의 의미 갯수를 K개로 고정하기 때문에, 단어들의 의미 수에 대한 변동성을 가질 수 없는 단점 또한 존재한다. 따라서, 단어에 따라 단어의 의미 갯수를 자동적으로 결정하는 다중 임베딩 방법을 개발하는 것은 중요한 과제이다.</p> <p>다음으로, 임의의 단어 $ w $ 가 발생하는 위치들 $ t \left (w_ { t } =w \right ) $ 에서 계산한 문맥벡터 $ v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) $ 들을 K-means 방법을 적용하여 군집화하며 문맥 군집들의 중심인 $ \mu(w, k)(k=1, \ldots, K) $ 를 계산한다. 해당 벡터들은 고차원이기때문에 좋은 성능을 준다고 알려져 있는 코사인 유사성을 이용하여 K-means 방법을 계산한다. 추가적으로, 군집화 결과로부터 해당 $ w_ { t } $ 단어의 의미 $ s_ { t } $ 를 다음과 같이 예측하며,</p> <p>$ s_ { t } = \underset { k=1, \ldots, K } {\operatorname { argmax } } \operatorname { sim } \left ( \mu(w, k), v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) \right ) $,<caption>(2.5)</caption></p> <p>$ \operatorname { sim } \left ( \mu(w, k), v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) \right ) $ 은 두 벡터 $ \mu(w, k) $ 와 $ v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) $ 사이에 코사인 값을 의미한다. 다시 말해, 해당 단어 $ w_ { t } $ 의 문맥벡터 $ \left .v_ {\text { context } } \left (C_ { t } \right ) \right ) $ 와 군집중심들 $ \mu(w, k), k=1, \ldots, K $ 사이의 코사인 값들을 계산하여 가장 코사인 유사성이 높은 군집으로 단어 $ w_ { t } $ 의 의미를 예측하게 된다. 이후, 해당 단어의 주변집합 $ C_ { t } $ 가 $ s_ { t } $ 문맥 군집에 추가되므로 문맥 군집의 중심 $ \mu \left (w_ { t } ; s_ { t } \right ) $ 는 새롭게 계산된다. 이때 skip-gram 모형과 유사하게 $ w_ { t } $ 의 문맥에서 주변단어 $ c_ { j } $ 를 관찰할 확률을 다음과 같이 모델링하면</p> <p>$ v_ {\mathrm { w } , \text { cont } } \left (C_ { t } \right )= \sum_ { \| \mathrm { k } \|=1,2, \ldots, R } \mathrm { ~d } _ { k } \times v_ { g } \left (w_ { t + k } \right ) $<caption>(3.1)</caption></p> <p>로 주어진다. 여기에서, 가중치들 $ d_ { k } , k= \pm 1,2, \ldots, R $ 은 음이 아닌 값을 가지고 $ \sum_ { \|k\|=1,2, \ldots, R } \mathrm { ~d } _ { k } =1 $ 을 만족하며, $ \|k\| $ 의 값에 따라 가중치 $ d_ { k } $ 가 단조감소(monotone decreasing)한다. 모든 가중치들을 똑같이 $ d_ { k } =1 /(2 R) $ 로 설정하면 기존의 MSSG 방법에서 구하는 식 (2.4)의 문맥벡터 와 같아지며, 4절의 모의실험에서는 \|k\| 값에 따라 선형적으로 감소하는 가중치 $ d_ { k } $ 를 사용했다. 즉, $ R $ 이 5 일 때, 단어 $ w_ { t } $ 의 주변단어 집합에 다음과 같은 가중치 값들을 설정한다.</p> <p>$ C_ { t } = \left \{ w_ { t-5 } , \ldots, w_ { t-1 } , w_ { t + 1 } , \ldots w_ { t + 5 } \right \} $<caption>(3.2)</caption></p> <p>$ d_ { -5 } = \frac { 1 } { 30 } , d_ { -4 } = \frac { 2 } { 30 } , \ldots d_ { -1 } = \frac { 5 } { 30 } , d_ { 1 } = \frac { 5 } { 30 } , \ldots d_ { 4 } = \frac { 2 } { 30 } , d_ { 5 } = \frac { 1 } { 30 } $<caption>(3.3)</caption></p> <p>Figure 2는 식 (2.4)의 기존 문맥벡터와 비교하여 제안된 가중 문맥벡터에서 사용되는 기준치 체계(weight scheme)을 보여준다.</p> <h2>3.2. X-means 군집화</h2> <p>Dan과 Moore(2000)가 X-means 군집화 방법은 K-means 군집화 방법을 기초로 하여 군집화를 수행함과 동시에 Bayesian information criterion (BIC) 측도를 계산하여 군집의 개수 또한 최적화하는 군집 분석 방법이다. 구체적으로, 초기값으로 설정된 $ K $ 값(흔히 $ K=2 $ 를 선택)에 대해 K-means 군집화하는 improve-parameters단계와 BIC 기준을 이용하여 어떤 군집이 더 분할되어야 하는지 결정을 내리는 improve-structure라는 단계를 반복하여 수행한다. Improve-parameters 단계는 K-means 방법을 적용하여 $ K $ 개의 군집과 그 중심을 얻으며, improve-structure 단계는 K-means 방법을 수행한 군집들에 대하여, 2-means 군집화를 반복적으로 수행하여 BIC를 기준으로 더 나은 군집을 찾는 과정이다. 이때 이미 실제 분포의 군집을 구성하고 있는 경우라면 이과정에서 군집이 변화되지 않을 것이고, 반면에 실제 분포와 다른 군집을 구성하고 있다면 이 과정에서 군집수를 증가시킴으로써 수정될 것이다. 이는 K-means 방법이 국소 최소값에 수렴하는 문제를 해결해 줄 뿐만 아니라 군집 수 K를 지정하지 않아도 되는 장점이 있다고 알려져 있다.</p> <p>앞의 2.2절에서 설명한 기존 MSSG 모형 에서 문맥벡터들의 군집을 형성할 때 K-means 단계 대신 아래와 같은 X-means 알고리즘을 수행하여 학습시킨다.</p> <p>(S1) 말뭉치에서 임의의 단어 $ w $ 가 $ T $ 번 사용되었을 때, T개의 식 (3.1)에서 제안한 가중문맥벡터들 $ v_ {\mathrm { w } , \mathrm { cont } } ^ { 1 } \left (C_ { 1 } \right ) $, $ \ldots, v_ {\mathrm { w } , \mathrm { cont } } ^ { T } \left (C_ { T } \right ) $ 에 대해 초기값 $ K $ 에 대하여 K-means 군집화를 수행하고 해당 군집들을 $ S_ { 1 } , \ldots S_ { K } $ 로 표현한다.</p> <p>(S2) 각 $ i=1, \ldots, K $ 에 대하여, 아래의 과정들 $ 1 \sim 3 $ 을 반복하여 최종 군집을 결정하여 최종 군집의 군집중심, 각 군집 내의 원소 결과를 저장한다.</p> <ol type=1 start=1><li>군집 $ S_ { i } $ 에 2-means 방법을 적용하여 군집 $ S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } $ 를 얻는다.</li> <li>모든 군집들에 정규분포를 가정하고, 군집 $ S_ { i } \sim N \left ( \mu_ { i } , \sigma_ { i } ^ { 2 } I \right ) $ 와 이를 나눈 군집 $ S_ { i } ^ { (1) } \sim N \left ( \mu_ { i } ^ { (1) } , \left ( \sigma_ { i } ^ { (1) } \right ) ^ { 2 } \cdot I \right . $, $ S_ { i } ^ { (2) } \sim N \left ( \mu_ { i } ^ { (2) } , \left ( \sigma_ { i } ^ { (2) } \right ) ^ { 2 } \cdot I \right ) $ 의 BIC 값들을 각각 계산하여 비교한다.</li> <ol type=a start=1><li>$ \mathrm { BIC } \left (S_ { i } \right )>\mathrm { BIC } \left (S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } \right ) $ 인 경우에, 2-means를 적용하는 것을 선택하며 군집 $ S_ { i } $ 를 $ \left (S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } \right ) $ 로 나 누는 것을 택한다. $ S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } $ 에서 군집을 더 나누는 것을 고려하기 위해 $ S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } $ 차례대로 과정 $ 1.3 $. 를 반복한다. 만약 군집분석에서 영집합이 발생하면, 과정 3으로 이동한다.</li> <li>$ \mathrm { BIC } \left (S_ { i } \right ) \leq \mathrm { BIC } \left (S_ { i } ^ { (1) } , S_ { i } ^ { (2) } \right ) $ 인 경우에, 더 이상 $ S_ { i } $ 를 나누지 않고 집합 $ S_ { i } $ 를 최종 군집으로 선정한다.</li></ol> <li>$ S_ { i } $ 에 대한 2-분할을 완료하고, $ S_ { i } $ 에 대한 최종 군집의 번호를 다시 매긴다.</li></ol> <p>$ P \left (D=1 \mid v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ), v_ { g } \left (c_ { j } \right ) \right )= \frac { e ^ { v_ { g } \left (c_ { j } \right ) ^ {\top } v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ) } } {\sum_ { j ^ {\prime } =1 } ^ { V } e ^ { v_ { g } \left (c_ { f ^ {\prime } } \right ) ^ {\top } v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ) } } $,<caption>(2.6)</caption></p> <p>이에 해당하는 목적함수는</p> <p>$ J= \sum_ { t=1 } ^ { T } \sum_ { c_ { j } \in C_ { t } ^ { + } } \log P \left (D=1 \mid v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ), v_ { g } \left (c_ { j } \right ) \right ) + \sum_ { t=1 } ^ { T } \sum_ { c_ { j } ^ {\prime } \in C_ { t } ^ { - } } \log P \left (D=0 \mid v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ), v_ { g } \left (c_ { j } ^ {\prime } \right ) \right ) $,<caption>(2.7)</caption></p> <p>로 주어진다. 여기에서, $ w_ { t } $ 의 문맥에서 주변단어 주변단어 $ c_ { j } $ 를 관찰하지 않을 확률은</p> <p>$ P \left (D=0 \mid v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ), v_ { g } \left (c_ { j } ^ {\prime } \right ) \right )=1- \frac { e ^ { v_ { g } \left (c_ { j } \right ) ^ {\top } v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ) } } {\sum_ { j ^ {\prime } =1 } ^ { V } e ^ { v_ { g } \left (c_ { j ^ {\prime } } \right ) ^ {\top } v_ { s } \left (w_ { t } , s_ { t } \right ) } } $,</p> <p>로 계산된다. 식 (2.7)의 목적함수를 최대화함으로써 단어들에 대한 다중 임베딩 값들 $ v \left (w_ { t } , s_ { t } \right ), t=1, \ldots, T $ 을 학습한다.</p> <p>기존의 MSSG 방법은 K-means 방법에서의 $ K $ 값을 사용자가 직접 지정해야 하며, 무엇보다, 모든 단어에서 군집의 수, 다시 말해, 각 단어에 대한 의미의 수가 $ K $ 개로 모두 같다는 제약을 가지고 있다. 다시 말해, MSSG 방법은 모든 단어들을 $ K $ 개의 의미에 해당하는 의미 임베딩 벡터 $ v_ { s } $ 를 생성하며, 이는 모든 단어들을 $ K $개의 의미들을 지니는 다의어로 간주한다는 것이다.</p> <h1>3. 제안 방법 설명</h1> <p>이 절에서는 기존의 MSSG 기법의 성능을 개선하고 제약점을 완화시키는 방법들을 제안하고자 한다. 먼저, 일반적으로 텍스트에서 해당 단어에 가까울 수록 단어 의미와 연관이 높은 경향이 있다는 것을 반영하여, 주변단어들의 위치에 따라 다른 가중치(weights)를 두어 계산한 가중 문맥 벡터를 사용하는 것을 제안한다. 또한, MSSG에서 단어의 의미를 구별하기 위해 군집 분석을 진행할 때, 기존의 K-means 방법 대신 군집화를 수행하는 동시에 군집의 개수 또한 추정할 수 있는 X-means 방법을 적용하는 것을 제안한다. 제안된 방법은 군집의 개수 $ K $ 를 사용자가 설정할 필요가 없으며, 단어에 따라 의미의 개수, 즉, 군집의 수를 달라지기 때문에 모든 단어의 의미의 개수가 일정하다는 기존 MSSG 가정을 완화시킨다. 나아가, 각 단어에 대하여 의미들을 구분지음과 동시에 의미 수가 되어지기 때문에 기존 MSSG 방법에서 $ K $ 를 선택하는 것에 비해 계산 부담을 크게 감소시킨다.</p> <h2>3.1. 가중 문맥벡터</h2> <p>앞절 2.2에서 보듯이 기존 MSSG모델에서 주변단어들은 단어의 문맥 벡터를 구성할 때 모두 동일한 가중치를 사용한다. 하지만, 주변단어들의 위치에 따라 해당 단어의 연관성이 다를 수 있다, 예를 들어, "The power plant is working near the forest."와 "The plant habitat near nuclear facility is big." 두 문장들을 생각해보자. 관심 단어인 'plant'는 각각의 문장에서 ‘공장, 시설' 과 '나무'를 두가지 뜻을 의미하는 다의어지만, 기존 MSSG방법을 사용한다면 두 문장에서의 의미들을 구분하지 못할지도 모른다. 왜냐하면, 첫문장에서 '공장, 시설'와 연관된 주변 단어가 2개(power, work), '식물'와 관련된 주변단어가 1개(forest) 발생하며, 두 번째 문장에서 '공장, 시설'와 연관된 주변 단어가 2개(nuclear, facility), '식물'와 관련된 주변단어가 1개(habitat) 발생하여 단어 'plant'는 두 문장에서 모두 ‘공장, 시설'를 의미하게 될 것이다. 이런경우에, 주변단어들의 위치에 따라 가중치를 다루게 주어 문맥을 계산하는 것은 도움을 줄 수 있다. 특히, "power plant"나 "plant habitat"와 같은 구절에서 볼 수 있듯이, 목표 단어와 더 가까이 있는 주변단어들이 목표 단어의 의미에 대한 더 정확한 정보를 가질 수 있으므로 더 가까이 있는 주변단어들에 더 많은 가중치를 부여한 가중문맥 벡터를 사용하는 것을 제안한다. 구체적으로, 주변단어 집합 $ C_ { t } $ 의 윈도우 사이즈가 $ R $ 일 때 가중 문맥 벡터는</p> <h1>4. 실증예제에 기반한 모의실험</h1> <p>이 절에서는 제안된 방법들을 기존 방법과 비교하고 성능을 살펴보기 위한 실증예제에 기반한 모의실험을 실시한다. 모의실험에서, 'plant'라는 단어를 분석의 목표(target)로 선택했고, 케임브리지 사전에 의하면, “땅 또는 물에서 자라며 줄기, 잎, 꽃을 가지고 씨를 생산하는 것”을 의미하는 식물과 “특정 제품이 만들어지거나 전력 등이 생산되는 공장”이라는 공장 두가지를 의미한다.</p> <p>말뭉치는 "Journal of Statistical Software (JSS)"에 기재된 논문들의 초록들로 구성되었고, 이것을 R pack-age 'topicmodels'에서 사용 가능하며, 이에 대한 설명은 Grun과 Hornik에서 확인할 수 있다. 저널 JSS에 2020/06/30까지 게재된 논문들의 초록들로 중복된 자료들을 제외하여 총 568 개의 문서를 얻었다. 해당 말뭉치에서 'plant' 단어가 발생하는 6 개의 문서에서 '식물'와 '공장'의 의미를 갖는 문장을 각각 5 개와 1 개를 추출하였다. 또한, "scientific research publishing (SCIRP: https://www.scirp.org)"라는 과학 저널에 기재된 논문들 중 초록에 'plant' 단어를 포함하는 논문들을 검색하여 'plant'가 '식물' 과 '공장'이라는 의미로 사용된 각 10 개의 초록들을 추가하여 분석하려는 말뭉치에 포함했다. 다시 말해, 말뭉치를 구성하는 총 588 개의 문서들, 즉, 초록들, 중 'plant'라는 단어는 26개의 문서 내 72개의 문장에서 발생했고, 총 72 번 중에서 32번은 '식물' 을, 나머지 40번은 '공장'을 의미하고 있다. Table 1 의 위쪽 표는 'plant'가 등장하는 초록 제목의 예제를 알려주며, 단어 'plant'가 식물을 뜻하는 경우는 'tree', 공장을 뜻하는 경우는 'power'로 표시했다.</p> <p>단어 임베딩 기법을 적용시키기 전에, 프로그램 python의 spacy 패키지에서 pipe 함수를 통해 말뭉치에 대해 단어 토큰화(token)를 수행했고, token 함수를 사용하여 표제어 추출(lemmatize) 단계와 불용어 처리 등 전처리 과정을 완료하였다. 이때, 말뭉치에서 'a'와 'R' 처럼 의미가 없는 한 글자의 단어들을 제외했다. 이후, 프로그램 python의 collections 패키지의 defalutdict, counter 함수를 이용하여 단어가 말뭉치에서 발생 하는 빈도의 최소값, 즉, minword과 해당 minword 값 이상 발생한 단어들의 수를 계산하고, 그 결과는 Table 1의 아래쪽 표에서 확인할 수 있다. 일반적으로, 아주 큰 용향의 말뭉치에서는 높은 minword 값을 사용하지만, 본 논문에서 분석하는 말뭉치는 그 양이 상대적으로 적어 데이터 손실이 크며 초록이라는 특성상 간결하게 표현되므로 비교적 작은 minword 값들을 고려했다. 예를 들어, minword $ =1 $ 기준으로 해당 말뭉치에서 총 5,353 개의 단어가 생성된다. 프로그램 python의 gensim패키지의 word2Vec 함수로 skip-gram 방법을 적용하여 글로벌 단어 임베딩 벡터를 얻었고, 이때 Neelakantan 등 (2014)와 같은 윈도우 크기값 $ R=5 $ 를 정했고, 임베딩 차원 $ d $ 를 여러개의 값들 300,400,500을 고려했다. 이후, 얻어진 글로벌 단어 임베딩 벡터들을 기반으로 기존 MSSG 방법과 3절에서 제안한 방법들을 적용한 변형 MSSG 방법을 각각 적용하여 다중 임베딩, 즉, 목표 단어의 의미 임베딩 벡터를 얻었다. 두 방법에서 모두 의미 임베딩 벡터의 차원은 글로벌 단어 임베딩 벡터의 차원과 같고 다음의 윈도우 크기 값들 $ R_ { m } =1,3,5,7,9 $ 을 고려했다.</p> <p>먼저, 제안한 변형 MSSG 방법, 즉, 가중 문맥벡터와 X-means를 활용한 방법이 단어 'plant'의 의미를 잘 구분했는지 살펴보았고, 1,000 번 X-means 군집방법을 적용했을 때 군집수, 즉, 단어 'plant'의 의미 갯수 선택 결과는 Table 3 의 왼쪽 표에서 확인 할 수 있다. 이 때, $ d=400 $, minword $ =3, R_ { m } =1,3,5,7,9 $ 로 설정했다. 이 표로부터 $ R_ { m } $ 이 5 이상일 때 가중 문맥벡터들에 대한 X-means 방법의 의미 수 추정 측면에서 상당히 좋은 성능을 보였음을 알 수 있다. 또한, 제안된 가중 문맥벡터와 X-means 방법 각각에서 성능의 개선된 양을 살펴보기 위해, X-means 방법과 군집 수 $ K $ 를 $ 2,3,4,5 $ 로 지정한 K-means 방법을 가중 문맥벡터와 비가중 문맥벡터에 대하여 1,000 번 수행한 후 단어 'plant'의 의미 분류 정확도의 평균과 중앙값으로 비교를 수행했고, 그 결과는 Table 3의 오른쪽 표에서 확인할 수 있다. 제안한 가중 문맥벡터 방법은 군집 방법에 상관없이 더 정확한 의미 분류 결과를 주었고, 참인 군집 수 $ K=2 $ 를 이용한 2-means 방법과 비슷하거나 더 높은 성능을 보인 것을 알 수 있다. 추가적으로, Table 4는 다른 튜닝 파라미터들-윈도우 사이즈 $ R_ { m } $, 임베딩벡터의 차원 $ d $, minword의 여러 선택에 대해 기존 MSSG 방법 $ (K=2) $ 과 본 논문에서 제안한 변형 MSSG 방법의 정확성 결과를 보여준다. 특히, 윈도우 크기가 크고 minword을 3 이상으로 설정했을 때, 제안한 modified MSSG 방법이 단어 의미의 수를 참값 $ K=2 $ 으로 설정한 기존 방법과 비슷한 결과를 준다는 것을 관찰할 수 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 논문에서는 기존 MSSG 방법의 우수한 성능에도 불구하고 다의어의 의미 임베딩의 정확성을 더 높이는 문제와 문맥벡터를 군집화하는 과정에서 최적 군집 수 $ K $ 를 추정하는 문제 즉, 단어들의 의미 수를 정확하게 추정하는 문제가 여전히 있다는 점에 착안하여 위치에 따른 가중치를 다르게 준 가중 문맥벡터와 군집 분석과정에서 최적 군집 수 $ K $ 를 함께 추정해주는 X-means를 활용한 변형 MSSG 방법을 제안했다. 나아가, 제안한 변형 MSSG 방법은 모든 단어의 의미 수를 $ K $ 개로 지정하게 되는 가정을 완화시키고 단어에 따라 의미 갯수를 다르게 하는 것이 가능한 유연성을 가지고 있다. 실증예제에 기반한 모의실험을 수행하여 제안한 방법이 자료로부터 단어의 의미수, 즉, 군집의 수 $ K $ 값을 정확하게 추정하며 참값인 단어 의미의 수 $ K $ 를 이용한 기존 방법에 푈적할만한 성능을 보일 수 있는 잠재력을 확인했다. 일반적으로, 방법의 성능은 다른 튜닝파라미터-텍스트 전처리 과정에서의 minword, 임베딩벡터의 차원, 윈도우 사이즈-의 값들에 의존하며, 이것들을 경험적으로라도 적절하게 선택하는 것은 텍스트마이닝에서 매우 중요한 문제로 더 연구할 만한 가치가 있는 주제이다. 추후, 아주 큰 용량의 텍스트 말뭉치에 제안한 변형 MSSG 방법을 적용하여 학습하고 전체 자료의 군집 분석 결과를 유사성 측도로 비교하는 후속 분석을 고려하고 있다.</p>	자연
M657-(사범대생을 위한) 형대대수학	<p>이제, $ 1= \left (x ^ { 4 } -x ^ { 2 } -x + 1 \right ) \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right ) + \left (-x ^ { 2 } \right ) \left (x ^ { 5 } -2 \right ) $ 을 체(field) \[ \frac {\mathbb { Q } [x] } {<x ^ { 5 } -2>} \simeq \left \{ a_ { 0 } + a_ { 1 } t + a_ { 2 } t ^ { 2 } + a_ { 3 } t ^ { 3 } + a_ { 4 } t ^ { 4 } \mid a_ { 1 } \in \mathbb { Q } , t ^ { 5 } =2 \right \} \] 로 옮겨가 보면 \[ 1= \left (t ^ { 4 } -t ^ { 2 } -t + 1 \right ) \left (t ^ { 3 } + t + 1 \right ), t=x +<x ^ { 5 } -2>\] 이므로 \[ \left (t ^ { 3 } + t + 1 \right ) ^ { -1 } =t ^ { 4 } -t ^ { 2 } -t + 1 \] 이다. 그러므로 다음 유리화를 얻는다.</p> <p>\[ \frac { 1 } { 1 + { } ^ { 5 } \sqrt { 2 } + { } ^ { 5 } \sqrt { 8 } } = { } ^ { 5 } \sqrt { 16 } - { } ^ { 5 } \sqrt { 4 } - { } ^ { 5 } \sqrt { 2 } + 1 \] 즉, $ 1 + { } ^ { 5 } \sqrt { 2 } + { } ^ { 5 } \sqrt { 8 } $ 의 역원을 $ \mathbb { Q } \left [ { } ^ { 5 } \sqrt { 2 } \right ] $ 에서 구한 것이다.</p> <h3>4.13 IN YOUR OWN WORDS</h3> <ol type = 1 start=1><li>$ \frac { 1 } { 1- \sqrt[3] { 2 } + \sqrt[3] { 4 } } $ 을 유리화하여라. 즉, $ 1- \sqrt[3] { 2 } + \sqrt { 4 } $ 의 역원을 $ \mathbb { Q } \left [ { } ^ { 3 } \sqrt { 2 } \right ] $ 에서 구하여라.</li> <li>$ \sqrt { 2 } $ 와 $ \pi $ 는 모두 무리수이다. $ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } $ 의 유리화처럼 $ \frac { 1 } {\pi + 1 } $ 을 유리화할 수 있을 까? 학생들이 질문한다면 독자는 어떻게 지도할까?</li> <li>두 다항식의 유클리디안 알고리즘을 거꾸로 올라가 만든 식은 유리화와 관계가 있 음을 알아보았다. 몫과 나머지는 차수(degree)가 낮은 다항식이 높은 다항식을 나누는 것이다. 거꾸로, 높은 차수의 다항식이 낮은 다항식을 나눈다는 것은 무엇을 의미할까? 이를 학생들에게 지도하여 보자. 예를 들어 $ x $ 를 $ 1-x-x ^ { 2 } $ 으로 나눌 때, 몫과 나머지를 연 속하여 구해보자. 이때 함수 $ f(x)= \frac { x } { 1-x-x ^ { 2 } } $ 를 피보나치 수열의 생성함수(generating function)라 부른다.</li></ol> <p>독자들은 (4.9)의 표에서 (4)와 (5)에는 “유한' 대신 “무한”이 들어간다는 것을 알았다. 그리고 (2)는 “유리화”이다. 독자들은 “두 정수”가 “두 다항식”으로 변한다는 것을 알고 있다. 이제 문제는 (3)이다. 유한의 경우 분할이 가능하지만 무한을 어떻게 분할할 수 있겠는가? 이를 해결하기 위한 새로운 정의가 필요하다.</p> <p>(2) $ e $ 와 $ \pi $ 가 유리수가 아님을 문헌을 통하여 알아보자. 초월수와 관련된 역사에 대하여 알아보자. $ e $ 가 무리수라는 증명은 연분수를 통한 실질적인 최초는 오일러로 받아들이고 있다.</p> <h1>4.25 REMARKE</h1> <p>2009 개정 수학과 교육과정《수학 II》에서 “그 내용이 참인지 거짓인지를 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식”을 명제라 한다. 대학 집합론에서는 흔히 명제를 “명제는 참, 거짓 중 어느 한 경우이되 동시에 양쪽은 아닌 서술문”으로 정의한다. 흔히 명제의 참 거짓은 곧바로 정할 수 있으나 경우에 따라서는 다소 힘든 경우가 있고 지금 결론을 내릴 수 없을 때도 있다. 다음 질문을 학생이 했을 때, 교과서의 정의에 따라 어떻게 설명할 것인가?</p> <p>질문1: 문장 “ $ \pi + e $ 는 무리수이다”는 명제인가?</p> <p>질문2: 문장 “화성에는 생명체가 존재한다"는 명제인가?</p> <p>물론 대학 집합론에서는 명제이다.</p> <h1>4.26 IN YOUR OWN WORDS(집합론)</h1> <p>다음을 중심으로 집합론을 접하는 계기를 마련하자. 《수학 II》에서 집합을 강의하는 데 많은 도움이 된다고 판단한다.</p> <ol type = 1 start=1><li>(The Russell Paradox) 집합을 정의할 수 있는가?</li> <li>무한집합의 정의는 무엇인가?</li> <li>(Cantor-Bernstein Theorem) 집합 $ A $ 에서 집합 $ B $ 의 부분집합으로 bijective map이 존재하고, 집합 $ B $ 에서 집합 $ A $ 의 부분집합으로 bijective map이 존재할 때, $ A $ 에서 $ B $ 로 bijective map이 존재하는가? 즉,<p>$ \operatorname { card } A \leq \operatorname { card } B, \operatorname { card } B \leq \operatorname { card } A $ 이면 $ \operatorname { card } A= \operatorname { card } B $ 인가?</p></li> <li>(연속체 가설, D. Hilbert, 1900) $ \aleph_ { 0 }<x<2 ^ {\aleph_ { 0 } } $ 를 만족하는 cardinal number $ x $ 는 존재하는가?</li> <li>(5) (Axiom of Choice) 공집합이 아닌 집합으로 이루어진 집합족(family)에서 원소를 한 개씩 꺼낼 수 있는가? 예를 들어 (a) 과일가게에서 각 과일 바구니에서 과일을 한 개씩 꺼낼 수 있는가? (b) onto인 함수에서 치역(codomain)을 그대로 두고 함수를 일대일로 만들 수 있는가?</li> <li>다음은 동치관계이다. ⓐ Axiom of Choice, ⓑ Hausdorff Maximal Principal, ⓒ Zorn's Lemma, ⓓ Well-Ordering Principal.</li></ol> <h1>4.27 REMARK</h1> <p>2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에서 집합을 삭제하였다.</p> <p>(2009 개정 교육과정) 현행 중학교 교육과정에서 다루는 집합내용은 집합의 뜻과 표현, 집합의 분류, 부분집합, 집합의 연산(교집합, 합집합, 여집합, 차집합), 유한집합의 원소의 개수 등이다. 특히, 중학교 1 학년 집합 내용이 이후의 중학교 수학의 전 교육과정에 걸쳐 연게성을 갖지 못하고 있다는 점은 많은 연구에서 지적되어 왔다. 이러한 점을 고려하여 개정안에서는 학습량 경감과 국제 동향을 반영하여 중학교에서 집합개념을 삭제하고 고등학교로 이동하여 다루도록 한다.</p> <p>우리는 집합을 어떻게 지도했는지 생각해 보고 다음 질문을 해보자.</p> <p>질문 : (1) 다음을 집합에서 다루어도 되는가?</p> <p>(2) "무리수 더하기 무리수는 무리수이다"는 명제인가?</p> <p>다음 두 질문을 토대로 몫과 나머지에 대하여 알아보자.</p> <p>질문 8 두 수 37, 16 의 몫과 나머지는 무엇을 뜻하나?</p> <p>질문 9 두 다항식 $ x ^ { 2 } -2$, $x + 1 $ 의 몫과 나머지는 무엇을 뜻하나?</p> <p>두 수 $ m = 37$, $n=16 $ 에 몫과 나머지를 적용하면 다음과 같다.</p> <p>\[ 37=2 \times 16 + 5 \]</p> <p>즉, 몫은 2 이고 나머지는 5 이다. 이를 일반화하면 $ m=q n + r $ 일 때, 당연히 분모인 $ n $ 은 0이 아니고 $ r=0 $ 이거나 $ r<b $ 이다. 일반적인 정의를 다음에서 알아보자.</p> <h1>4.1 DEFINITION(Euclidean Domain)</h1> <p>$ D $ 를 정역(integral domain)이라 하자. 0 을 제외한 모든 원소에서 음이 아닌 정수집합으로 가는 함수 $ \delta $ 가 존재하여 다음 두 조건</p> <ol type = 1 start=1><li>임의의 $ D $ 의 원소 $ a, b \neq 0 $ 에 대하여 $ q, r \in D $ 가 존재하여 $ a=q b + r $ 이고 $ r=0 $ 또는 $ \delta(r)< \delta(b) $,</li> <li>0 이 아닌 두 원소 $ x, y \cong D $ 에 대하여 $ \delta(x y) \geqq \delta(x) $ 를 만족할 때, 정역 $ D $ 를 유클리디안 정역이라 한다.</li></ol> <p>다음 정리를 증명 없이 소개하자. 학부에서 사용한 대수교재에서 확인하기 바란다.</p> <h1>4.2 THEOREM</h1> <ol type = 1 start=1><li>Euclidean domain $ \Rightarrow $ Principal ideal domain $ \Rightarrow $ Unique factorization domain</li> <li>$ F $ 가 체이면 다항식환 $ F[x] $ 는 유클리디안 정역이다.</li> <li>Euclidean domain $ \Rightarrow $ Principal ideal domain(PID).</li></ol> <p>두 정수계수 다항식에 몫과 나머지를 구하다 보면 계산 과정에서 종종 분수가 나온다. 그 이유를 다음 정리에서 알아보자. 먼저, 정역 $ R $ 에서 집합 $ A( \subset R) $ 로 생성된 이데알을 $<A>$ 로 표시하자 따라서 \[<A>= \left \{\sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } r_ { i } \mid r_ { i } \in R, a_ { i } \in A ; n=1,2, \cdots \right \} \]<caption>(4-1)</caption>이다. 본 교재에서 기호<>는 생성된 이데알, 연분수(최소정사각형분할)에서 사용된다. 혼돈을 피하기 바란다.</p> <h1>4.7 TEAM PROJECT</h1> <ol type=1 start=1><li>예제(4.6)에서 가장 작은 정사각형이 $ 4 \times 4 $ 인 이유는?</li> <li>최소정사각형분할에 동원된 서로 다른 정사각형은 3 가지가 존재하는데 매우 큰 수에서는 어떻게 이를 예측할 수 있을까?</li></ol> <p>지금까지 우리는 몫과 나머지를 최소정사각형분할과 연분수로 알아보았다. 이제 몫과 나머지를 도미노와 타일로 접근해보자.</p> <p>정사각형타일을 타일이라 부르고 두 개의 타일을 붙여 놓은 것을 도미노라 부른다. 타일 쌓기의 규칙을 정해보자. 타일을 쌓기 위한 타일 크기의 받침대가 있고 받침대에는 왼쪽부터 번호를 $ 0,1,2,3, \cdots $ 로 붙이며 각 번호에 해당하는 받침대를 $ B_{i}(i=0,1,2, \cdots) $로 표시하자.</p> <p>I 규칙1 각 받침대에는 최대 층수가 정해진다. 예를 들어, $ B_{2} $ 의 최대 층수는 $ a_{2} $ 로 표시한다.</p> <p>I 규칙2 각 받침대는 타일이나 도미노로 채워야 하며 도미노는 1층에서만 사용하고, 도미노 위에는 타일을 놓을 수 없다.</p> <p>먼저 받침대가 3개이고 각 받침대의 최대 층수는 $ a_{0}=2, a_{1}=3, a_{2}=5 $ 인 경우를 생각해보자.</p> <ol type=1 start=1><li>타일만 사용할 때<p>각 받침대 1 층에 적어도 하나의 타일이 있으면서 주어진 층수 아래서 놓는 모든 방법은 $ 2 \times 3 \times 5=30 $ 가지</p></li> <li>도미노를 사용할 경우<ol type=1 start=1><li>$ B_{0}, B_{1} $ 에 도미노를 놓으면 $ B_{2} $ 에 타일을 놓는 경우의 수가 5 이므로 5가지</li> <li>$ B_{1}, B_{2} $ 에 도미노를 놓으면 $ B_{0} $ 에 타일을 놓는 경우의 수가 2 이므로 2가지</li> <p>따라서 총 37가지이다. 다음 그림은 37 가지 중에서 두 개의 예이다.</p></ol></li></ol> <p>위 예에서 기호 \[ P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}\right)=P(2,3,5)=37 \] 을 사용하고 \[ Q\left(a_{0}, a_{1} \cdot a_{2}\right)=P\left(a_{1}, a_{2}\right) \] 라 하자. 이때 $ P\left(a_{1}, a_{2}\right)=P(3,5)=15+1=16 $ 임을 알 수 있다. 일반적으로 다음을 정의하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) $ 이란 각 받침대에 최대 층수가 $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} $ 인 $ (n+1) $ 개 의 방에 (규칙1)과 (규칙2)에 따라 타일과 도미노를 사용하여 쌓는 가짓수이다.</li> <li>$ Q\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=P\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) $ 로 정의한다.</li></ol> <p>앞에서 알아본 비율 $ \frac{P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}\right)}{P\left(a_{1}, a_{2}\right)}=\frac{37}{16} $ 에서 37,16 에 몫과 나머지를 거듭 시행하면 $ \left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}\right] $ 를 얻는다. 이를 일반적으로 살펴보자.</p> <p>연속된 분수계산에 의하여 \[( \left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right]=\frac{p\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)}{q\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)} \] 라 하면 다음을 얻는다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \begin{aligned} {\left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right] } &=a_{0}+\frac{1}{\left[a_{1} ; a_{2}, \cdots, a_{n}\right]} \\ &=a_{0}+\frac{1}{\frac{p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)}{q\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)}} \end{aligned} $ $\\ =a_{0}+\frac{q\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)}{p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)} $ $ \\=\frac{a_{0} p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+q\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)}{p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)} $.</li> <li>(1)에 의하여 \[ p\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=a_{0} p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+q\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \], \[ \\q\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=p\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \].</li></ol> <p>앞에서 $ P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) $ 이란 각 받침대에 최대 층수가 $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} $ 인 $ (n+1) $개의 받침대에 【규칙1】과 【규칙2】에 따라 타일과 도미노를 사용하여 쌓는 가짓수이고 \[ Q\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=P\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \] 로 정의하였다. 첫 번째 받침대의 최대 층수는 $ a_{0} $ 이다. $ P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) $ 은 다음 두 가지를 포함한다.</p> <ol type=1 start=1><li>받침대 $ B_{0} $ 에 도미노가 없다.</li> <li>받침대 $ B_{0} $ 에 도미노가 있다.</li></ol> <p>따라서 ①은 $ a_{0} P\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) $ 개의 쌓기를 결정하고, ②는 첫째 받침대와 둘째 받침대에 걸쳐 도미노가 있으므로 $ P\left(a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}\right) $ 개의 쌓기를 결정한다. 그러므로 \[ \begin{aligned} P\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) &=a_{0} P\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+P\left(a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}\right) \\ &=a_{0} P\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+Q\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \end{aligned} \] 이다. 이를 종합하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>따라서 $ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } = \sqrt { 2 } -1 $ 이다.</p> <p>(2) 유리화를 바탕으로 \[ \sqrt { 2 } =1 + ( \sqrt { 2 } -1)=1 + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } \] 이고 \[ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } = \frac { 1 } { 2 + ( \sqrt { 2 } + 1-2) } = \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } } \] 이므로 $ \sqrt { 2 } $ 는 중복해서 표현되는 무한연분수 $ \sqrt { 2 } =[1 ; 2,2,2, \cdots] $ 로 표현된다. 한편, 무한연분수는 $ \sqrt { 2 } $ 와 같은 일부 무리수(quadratic irrational number)를 완전히 결판낸다.</p> <p>(3) (CAUTION !) $ \frac { 1 } { 1- \sqrt { 2 } } =- \sqrt { 2 } -1 $ 이므로 이 유리화를 거듭 사용하면 \[ - \sqrt { 2 } -1= \frac { 1 } { 1- \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 + (- \sqrt { 2 } -1) } = \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 2 + \cdots } } } \] 으로 (좌변) 끝은 음수이고 (우변) 끝은 양수인 모순을 얻기도 한다. 따라서, 연분수로 표현 한 후 결과를 꼭 검토해야 한다.</p> <h1>4.11 SUMMING UP</h1> <p>'두 다항식 $ x ^ { 2 } -2, x + 1 $ 의 몫과 나머지를 구한다'는 것은 무엇을 의미할까? 다음 연속된 9개의 문장은 모두 동일한 개념하에 있다.</p> <ol type = start=1><li>$ x ^ { 2 } -2 $ 를 $ x + 1 $ 로 나눌 때, 몫과 나머지를 구하여라.</li> <li>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } $ 을 유리화하여라.</li> <li>$ 1 + \sqrt { 2 } $ 의 역원을 수집합 $ \mathbb { Q } [ \sqrt { 2 } ]= \{ a + b \sqrt { 2 } : a, b \in \mathbb { Q } \} $ 에서 구하여라.</li> <li>$ \sqrt { 2 } $ 를 무한 단순연분수 $ 1 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 2 + \cdots } } $ (기호 $ \left .[1 ; 2,2,2,2 \cdots] \right ) $ 로 표시한다</li> <li>연분수로 무리수 $ \sqrt { 2 } $ 의 근삿값을 구한다.</li> <li>근호를 포함한 수집합 $ \mathbb { Q } [ \sqrt { 2 } ]= \{ a + b \sqrt { 2 } \mid a, b \in \mathbb { Q } \} $ 는 체(field)이다.</li> <li>$ \sqrt { 2 } $ 는 방정식 $ x ^ { 2 } -2=0 $ 의 근이다.</li> <li>$ \sqrt { 2 } $ 는 대수적 무리수(algebraic number)이다.</li> <li>잉여환 $ \mathbb { Q } [x] /<x ^ { 2 } -2>$ 는 체이다.</li></ol> <p>유리화 $ - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } $ 의 문제에서 분모, 분자에 $ \sqrt { 2 } -1 $ 을 곱하기로 결정하는 것은 이론에 관계없이 쉬운 일이다. 그러나, 다음 예와 같이 형태가 복잡해지면 분자, 분모에 무엇을 곱할지 결정하기가 불가능해진다.</p> <h1>4.3 THEOREM</h1> <p>$ \mathbb { Z } [x] $ 는 PID가 아니고 따라서 유클리디안 정역이 아니다.</p> <p>증명 정역 $ \mathrm { Z } [x] $ 에서 2 와 $ x $ 로 생성된 이데알 $ \langle 2, x \rangle $ 가 단항 이데알(principai ideal)이 아님을 보이자. 먼저, 집합적그로 식(4-1)에서 \[<2, x>= \{ 2 f(x) + x g(x) \mid f, y \subseteq \mathbb { Z } [x] \} \] 로 $ \langle 2, x \rangle $ 의 원소는 상수항이 항상 2 의 배수이다. $ \langle 2, x \rangle= \langle \alpha(x) \rangle $ 로 가정하자. 이때 $ 2 \in< \alpha(x)>$ 이므로 적당한 $ p(x) \in \mathbb { Z } [x] $ 가 존재하여 $ 2= \alpha(x) n(x) $ 이다. 한편, \[( \operatorname { deg } \alpha(x) p(x)= \operatorname { deg } \alpha(x) + \operatorname { deg } p(x) \] 이므로 $ \alpha(x), p(x) $ 는 모두 상수다항식이다. 그런데 2 가 소수이므로 \[ \alpha(x), p(x) \in \{\pm 1, \pm 2 \} \] 이다. $ \alpha(x)= \pm 1 $ 이면 $ \langle 2, x \rangle= \mathbb { Z } [x] $ 로 모순이고 $ \alpha(x)= \pm 2 $ 이면 \[ x \in< \alpha(x)>=<2>=<-2>\] 이다. 이때 적당한 $ q(x) \in \mathbb { Z } [x] $ 가 존재하여 $ x=2 q(x) $ 가 되어 모순이다. 따라서 2화 $ x $로 생성된 이데알 $ \langle 2, x \rangle $ 는 단항 이데알이 될 수 없다. 즉 $ \mathrm { Z } [x] $ 는 PID가 아니며, 몫과 나머지를 할 수 있는 유클리디안 정역이 아니다.</p> <p>분할을 이용하여 연속되는 몫과 나머지(Euclidean algorithm)를 설명해 보고, 도미노와 타일을 사용하여 이해해보자. 먼저, 분할에 대하여 알아보자. 두 변의 길이가 각각 37, 16인 직사각형을 정사각형으로 분할해보자.</p> <h1>4.4 DEFINITION(최소정사각형분할)</h1> <p>변의 길이가 자연수인 직사각형 $ R $ 을 변의 길이가 자연수인 정사각형 $ S_ { i } $ 로 분할하자. 즉,</p> <ol type = 1 start=1><li>$ R= \cup_ { i=1 } ^ { n } S_ { i } $</li> <li>$ S_ { i } \cap S_ { j } = \varnothing \quad(i \neq j)( $ disjoint $ ) $</li></ol> <p>특히, 분할에 사용된 정사각형의 개수를 최소로 하는 분할을 '최소정사각형분할’이라 한다. 최소정사각형분할에 사용된 정사각형의 개수를 큰 정사각형부터 순서대로 \[<a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } >\] 으로 쓰기로 하자.</p> <h1>4.20 THEOREM</h1> <p>(1) 피보나치수(Fibonacci number) $ F_{n-1}(n \geq 3) $ 와 황금비 $ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $ 에 대하여 \[\phi^{n-2}<F_{n-1}<\phi^{n-1}(n \geq 3)\] 이 성립한다. 이를 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여보자.</p> <p>증명 $ n=3,4 $ 일 때, 다음이 성립함을 알 수 있다. \[\begin{array}{c} n=3: \phi^{n-2}=\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}<\frac{1+3}{2}=2=F_{2}, \\ n=4: \phi^{n-2}=\phi^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}<\frac{3+\sqrt{5}}{2}<\frac{3+3}{2}=3=F_{\text {3}} \end{array}\]</p> <p>따라서 수학적 귀납법에 의하여 \[\phi^{n-2}<F_{n-1}(n \geq 3)\] 같은 방법으로 \[F_{n-1}<\phi^{n-1}(n \geq 3)\] 을 보일 수 있다.</p> <p>(2) 두 정수 $ a \geq b \geq 2 $ 에 대하여 $ a=r_{0}, b=r_{1} $ 이라 하면 \[\begin{array}{l}r_{0}=r_{1} q_{1}+r_{2}, \quad 0 \leq r_{2}<r_{1} \\ r_{1}=r_{2} q_{2}+r_{3}, \quad 0 \leq r_{3}<r_{2} \\ \ldots \\ r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_{n}, \quad 0 \leq r_{n}<r_{n-1} \\ r_{n-1}=r_{n} q_{n} \end{array}\]</p> <p>따라서 나눗셈의 횟수는 $ n $ 으로 $ \operatorname{gcd}(a, b)=r_{n} $ 을 구할 수 있다. 그러면 나눗셈의 횟수 $ n $ 과 $ a, b $ 사이에 어떤 관계가 있을까?</p> <p>두 정수 $ a \geq b \geq 2 $ 에 대하여 나머지 횟수 $ n $ 는 $ b $ 자리수의 5배 이하이다.</p> <p>증명 $ r_{i-1}>r_{i}, q_{i} \geq 1(1 \leq i \leq n) $ 그리고 $ r_{n-1}>r_{n}, q_{n} \geq 2 $ 이고 $ r_{n} \geq 1 $ 이므로 다음을 얻는다.</p> <p>$ r_{n-1} \geq 2=F_{2} $, $ \\r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_{n} \geq r_{n-1}+r_{n} \geq F_{2}+1=F_{2}+F_{1}=F_{3} $, $\\ r_{n-3}=r_{n-2} q_{n-2}+r_{n-1} \geq r_{n-2}+r_{n-1} \geq F_{3}+F_{2}=F_{4} $, $\\ \quad \ldots $ $\\ r_{1}=r_{2} q_{2}+r_{3} \geq r_{2}+r_{3} \geq F_{n-1}+F_{n-2}=F_{n} $</p> <p>따라서 \[b>\phi^{n-1} \text { 또는 } \log b>(n-1) \log \frac{1+\sqrt{5}}{2} \text { (여기서 } \log \text { 는 상용로그) }\]이다. 계산기를 이용하면 \[\log \frac{1+\sqrt{5}}{2} \fallingdotseq 0.20898>\frac{1}{5}\] 그러므로 $ b $ 가 $ k $ 자리수이면 \[b<10^{k} \text { 또는 } \log b<k\] 따라서 \[k>(n-1) \log \frac{1+\sqrt{5}}{2}>\frac{n-1}{5} \text { 또는 } n \leq 5 k\] 그러므로 나머지 횟수는 $ b $ 의 자리수의 5배 이하이다. 한편, \[ \log b>(n-1) \log \frac{1+\sqrt{5}}{2}>\frac{n-1}{5} \] 에서 $ 1+5 \log b>n $ 이고 $ b \geq 2 $ 이므로 $ 5 \log b \geq 5 \log 2>1 $ 이다. 따라서 \[ n<1+5 \log b<5 \log b+5 \log \dot{b}=10 \log b \] 이므로 \[ n<10 \log b \] 이다.</p> <p>피타고라스 정리에서 가장 오래되고 중요한 결과는 $ \sqrt{2} $ 가 유리수가 아니라는 것이다. 이는 히파수스(Hippasos)의 발견으로 여겨지며 이를 파타고라스 학파는 비밀로 하기로 했으나 히파수스는 이를 어기고 발설을 하였다. 히파수스에 변절 이후 Plato은 유리수가 아닌 수의 발견에 대한 중요성을 인지하고 곧 이를 "정사각형의 대각선과 변의 비가 유 리수가 아니라는 것을 모르면 인간으로 불릴 자격이 없다"로 표현하였다. $ \sqrt{2} $ 가 유리수가 아닌 것이 증명되고 나서 \[ \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{8}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}, \sqrt{17} \] 이 무리수라는 증명을 플라톤의 스승인 Theodorus가 증명했다고 플라톤은 그의 저서 《Theaetetus》에서 언급하면서 왜 테오도로스가 $ \sqrt{17} $ 까지만 보였는지 그 의문을 제기하였다. 증명방법에 대하여는 알려지지 않고 있다.</p> <p>따라서 이 과정을 거꾸로 올라가면 \[ \begin {aligned} 1 &= \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right )-x(x-1) \\ &= \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right )- \left [ \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right )- \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right )(x + 1) \right ](x-1) \\ &=-(x-1) \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right ) + \left (x ^ { 2 } \right ) \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right ) \\ &=-(x-1) \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right ) + x ^ { 2 } \left [ \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right ) \left (x ^ { 2 } -1 \right )- \left (x ^ { 5 } -2 \right ) \right ] \\ &= \left (x ^ { 4 } -x ^ { 2 } -x + 1 \right ) \left (x ^ { 3 } + x + 1 \right ) + \left (-x ^ { 2 } \right ) \left (x ^ { 5 } -2 \right ) \end {aligned} \] 이다. 마지막 식의 의미를 살펴보면, 두 다항식 $ f(x)=x ^ { 5 } -2 $ 와 $ g(x)=x ^ { 3 } + x + 1 $ 에 대하여<ol type= start=1><li>다항식 $ f(x), g(x) $ 로 생성된 단항 이데알(principal ideal)의 합은 $ \mathbb { Q } [x] $ 이다: \[(x) \mathbb { Q } [x] + g(x) \mathbb { Q } [x]= \mathbb { Q } [x] \]</li> <li>두 다항식 $ f(x)=x ^ { 5 } -2 $ 와 $ g(x)=x ^ { 3 } + x + 1 $ 의 최대공약수로 단원(unit) 1 을 택할 수 있다.</li> <li>단원 1 은 $ f(x), g(x) $ 로 생성된 이데알에 속한다.</li></ol></p> <h1>4.17 EXERCISE</h1> <ol type = 1 start=1><li>$ \frac { 577 } { 408 } $ 을 Newton's Method: $ f(x)=x ^ { 2 } -2, x_ { 0 } = \frac { 3 } { 2 } $ )고 접근해보자.</li> <li>두 수 577, 408에 몫과 나머지를 적용하여 $ 577 / 408 $ 을 연분수로 나타내보자.</li> <li>분모가 408인 유리수 중에서 $ \sqrt { 2 } $ 와 제일 가까운 것은?</li></ol> <h1>4.18 PROJECT</h1> <p>아르키메데스는 $ \sqrt { 3 } $ 을 왜 만났고, 어떻게 근삿값 $ \frac { 265 } { 153 }< \sqrt { 3 }< \frac { 1351 } { 780 } $ 을 구했는지 여러가지 추측에 대하여 알아보자.</p> <h1>4.19 REMARK</h1> <p>근삿값이란 무리수를 유리수로 (충분히) 접근한 것을 말하는가? 수학자 아리스타르코스(Aristarchus, B.C 310-230, Samoa)는 저서《On the sizes and distances of the sun and moon》에서 6 개의 가설로 출발하여 18 개의 명제를 제공하고 있다. 특히, 그의 연분수 \[ \begin {array} { l } \frac { 7291 } { 4050 } \risingdotseq 1 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 21 + \frac { 1 } { 2 } } } = \frac { 88 } { 45 } \\ \frac { 71755875 } { 61735500 } = \frac { 21261 } { 18292 } \risingdotseq 1 + \frac { 1 } { 6 + \frac { 1 } { 6 } } = \frac { 43 } { 37 } \end {array} \] 의 사용을 볼 때, 당시 연분수의 어떻게 발전시켜야할지 알고 있었다고 추측된다.</p> <p>"Proposition 15. 태양과 지구의 지름의 비율은 19/3보다 크고 43/6 보다 작다"를 증명하는 과정에서 $ y $ 를 태양반경과 지구반경의 비라고 하면 \[ \frac { y } { y-1 } >\frac { 71755875 } { 61735500 } \] 을 얻는다. Aristarchus는 여기서도 $ y $ 의 범위를 구할 수 있지만 \[ \frac { 71755875 } { 61735500 } \risingdotseq \frac { 43 } { 37 } \] 로 근사하여 구한다. 따라서 부등식 \[ \frac { y } { y-1 } >\frac { 43 } { 37 } \text { 또는 } 37 y>43 y-43 \] 으로부터 $ y< \frac { 43 } { 6 } $ 을 얻는다. 먼저 $ \frac { 71755875 } { 61735500 } = \frac { 21261 } { 18292 } $ 이다. 이제 두 정수 21261, 18292에 몫과 나머지를 거듭시행(Euclidean algorithm)하면 \[ \begin {aligned} 21261 &=1 \times 18292 + 2969 \\ 18292 &=6 \times 2969 + 478 \\ 2969 &=6 \times 478 + 101 \\ 478 &=4 \times 161 + 74 \\ 101 &=1 \times 74 + 27 \\ 74 &=2 \times 27 + 20 \\ 27 &=1 \times 20 + 7 \\ 20 &=2 \times 7 + 6 \\ 7 &=1 \times 6 + 1 \\ 6 &=6 \times 1 + 0 \end {aligned} \] 이다. 이를 연분수로 바꾸면 \[ \frac { 21261 } { 18292 } =1 + \frac { 1 } { 6 + \frac { 1 } { 6 + \frac { 1 } { 4 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 6 } } } } } } } } } \] 이다. Aristarchus는 이 연분수를 \[1 + \frac { 1 } { 6 + \frac { 1 } { 6 } } = \frac { 43 } { 37 } \]로 근사하여 사용하였다.</p> <p>우리는 앞에서 매우 큰 두 수의 몫과 나머지를 시행하였다. 이는 주어진 두 수에 대하여 몫과 나머지의 횟수를 예측할 필요가 있다.피보나치수열 $ \left (F_ { 0 } =1, F_ { 1 } =1, F_ { n + 1 } =F_ { n } + F_ { n-1 } \right ) $ 은 몫과 나머지의 횟수와 연관이 있다. 이를 자세히 알아보자.</p> <h1>4.10 REMARK</h1> <p>수학(3)(근호를 포함한 식의 사칙계산)에서 \[ \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } \] 을 유리화하여라 는 실제 다항식의 몫과 나머지와 맥을 같이한다. 학생들은 무리수 $ \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } $ 을 유리화하라는 문제를 만나면 다음과 같이 기계적으로 계산한다.</p> <p>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } + 1 } \times \frac {\sqrt { 2 } -1 } {\sqrt { 2 } -1 } = \frac {\sqrt { 2 } -1 } { 2-1 } = \sqrt { 2 } -1 $</p> <p>이제 유리화에 관한 다음 질문에 대하여 생각해 보자.</p> <p>질문 10 유리화 $ \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } $ 의 계산에서 분자/분모에 곱한 $ \sqrt { 2 } -1 $ 은 어떻게 나온 것일까?</p> <p>질문 11 $ \frac { 1 } { 1 + { } ^ { 5 } \sqrt { 2 } + { } ^ { 5 } \sqrt { 8 } } $ 을 유리화 할 때, 분자/분모에 무엇을 곱해야하나?</p> <p>질문 12 유리화 $ \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } $ 의 용도는 무엇인가?</p> <p>질문 $ 13 \sqrt { 2 } $ 와 같이 $ \pi $ 도 무리수이다. $ \frac { 1 } { 1 + \pi } $ 을 유리화 할 수 있는가?</p> <p>(1) 다항식 $ p(x)=x ^ { 2 } -2 $ 는 $ \mathbb { Q } $ 위에서 기약다항식86)이므로 $ x ^ { 2 } -2 $ 로 생성된 단항 이데알(principal ideal) $<x ^ { 2 } -2>$ 는 극대 이데알(maximal ideal)이다. 따라서 잉여환(factor ring) \[ \frac {\mathbb { Q } [x] } {<x ^ { 2 } -2>} \simeq \left \{ a_ { 0 } + a_ { 1 } t \mid a_ { i } \in \mathbb { Q } , t ^ { 2 } =2 \right \} \] \[ \\ a_ { 0 } + a_ { 1 } x +<x ^ { 2 } -2>\leftrightarrow a_ { 0 } + a_ { 1 } t \] 는 체(field)이다. 한편, 두 다항식 $ x ^ { 2 } -2, x + 1 $ 에 몫과 나머지를 적용하면 \[ x ^ { 2 } -2=(x + 1)(x-1)-1 \] 인데, 식(4-2)를 체 $ \frac {\mathbb { Q } [x] } {\left \langle x ^ { 2 } -2 \right \rangle } $ 에서 다시 쓰면, \[ 0=(t + 1)(t-1)-1 \] (여기서 $ t=x +<x ^ { 2 } -2>( $ 잉여류, coset $ \left .) \right ) $ 이므로 \[ (t + 1)(t-1)=1 \] 또는 \[ (t + 1) ^ { -1 } =t-1 \].</p> <h1>4.22 REMARK(유리수인지 무리수인지 판정하지 못한 수)</h1> <p>(1) 실수 $ \sqrt { 2 } ^ {\sqrt { 2 } \sqrt { 2 } } $ 는 불행하게도 아직도 유리수인지 유리수가 아닌지를 모르고 있다.</p> <p>(2) $ \pi + e $ 는 유리수인지 무리수인지 판정하지 못한 수이다. 학교수학에서 두 무리수의 덧셈 $ \sqrt { 2 } + (- \sqrt { 2 } ) $ 와 $ \pi + e $ 는 각각 어떤 의미를 가지고 있는가?</p> <p>(3) 유리수인지 무리수인지 판정하지 못한 매우 유명한 수와 그 근삿값을 소개해 보자.</p> <p>① $ \pi + e $ $ \\ \begin {array} { l } >\text { evalf(exp(1) + Pi, 101); } \\ 5.85987448204883847382293085463216538195441649307506539594191222003189303663 \\ 97565931994170038672834954 \end {array} $</p> <p>② 오일러 상수 $ \\ \gamma = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { k } - \log n \right ) $ $ \\ >$ evalf(sum(1/k, $ \left . \left .k=1 \ldots 10 ^ {\wedge } 100000 \right )- \ln \left (10 ^ {\wedge } 100000 \right ), 101 \right ) $; $ 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677 $ 766467093694706329175</p> <p>③ $ \frac { 1 } { 1 ^ { 5 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 5 } } + \cdots= \zeta(5) $ $ \\>$ evalf(Zeta(5), 101); $ \\ 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978 $ 62814845600431065571333364</p> <h1>4.23 REMARK(최근 결과)</h1> <p>참고로 $ \frac { 1 } { 1 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } + \cdots = \zeta(3) $ 은 유리수가 아님을 1978년에 Apery가 증명하였다. 또한, $ \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) $ 중에서 적어도 하나는 유리수가 아니다(Rival and Zudilin, 2001).</p> <h1>4.24 TEAM PROJECT</h1> <p>(1) $ \sqrt { 2 } $ 가 유리수가 아니라는 증명은 20가지 정도로 알려져 있다. 중·고교에서 사용할 수 있는 증명 방법을 찾아보고, 이를 학교수학에서 활용해 보자.</p> <h1>4.21 PROJECT</h1> <p>(1) Theodorus의 디자인을 구현하자. 처음 직각삼각형의 빗변은 $ \sqrt{2} $ 이고 다시 높이를 1로 하면 빗변이 $ \sqrt{3} $ 인 직각삼각형이 작도된다. $ \sqrt{18} $ 에서 겹치는 상황을 작도를 통하 여 확인하고 이로부터 왜 Theodorus가 $ \sqrt{3} $ 부터 $ \sqrt{17} $ 까지(거급제곱 제외) 만을 유리수가 아니라는 것을 증명했는지 상상해보자.</p> <p>$ \sqrt{18} $ 에서 겹치는 상황을 작도를 통하여 확인하자. 또한 겹친다고 하는 것을 수학적으로 좀 더 엄밀하게 표현하면 $ \sum_{n=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\infty $ 이다. 삼각치환 적분 \[\int \frac{1}{x^{2}+1} \cdot x=\tan ^{-1}(x)+C\] 으로부터 \[\sum_{n=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1 / \sqrt{n}} \frac{1}{x^{2}+1} d x>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}=\infty \]</p> <p>(2) Theodorus는 어떻게 증명했을까? 그 기록은 없지만 다음을 통하여 상상해 보자.</p> <p>① $ \sqrt{2} $ 가 유리수가 아님을 보이자. 먼저 서로소인 두 양의 정수 $ m, n $ 에 대하여 $ \sqrt{2}=m / n $ 이면 $ m^{2}=2 n^{2} $ 이다. 따라서 $ m $ 은 짝수이므로 $ m=2 v $ 이고 이로부터 $ 2 v^{2}=n^{2} $이다. 그러므로 $ n $ 도 짝수이다. 이는 서로소의 모순이므로 $ \sqrt{2} $ 는 유리수가 아니다.</p> <p>② 이제 $ \sqrt{3} $ 으로 옮겨가 보자. 먼저 서로소인 두 양의 정수 $ m, n $ 에 대하이 $ \sqrt{3}= $ $ m / n $ 이면 $ m^{2}=3 n^{2} $ 이다. $ n $ 이 짝수라 가정하면 $ m^{2} $ 이 짝수이므로 $ m $ 도 짝수이다. 따라서 모순이 발생한다. $ m, n $ 이 모두 홀수라 가정하자. 즉, $ m=2 v+1, n=2 w+1 $. 이때, $ (2 v+1)^{2}=3(2 w+1)^{2} $ 또는 \[2 v^{2}+2 v=3 w^{2}+6 w+1\] 이다. 왼쪽은 짝수이고 오른쪽은 홀수이므로 모순이 발생한다.</p> <p>③ 이제 $ \sqrt{5} $ 로 'ㅓㅓㅁ어가 보자. 서로소인 두 양의 정수 $ m, n $ 에 대하여 $ \sqrt{5}=m / n $ 이면 $ m^{2}=5 n^{2} $ 이다. $ n $ 이 짝수이면 $ m^{2} $ 도 짝수이고 따라서 $ m $ 은 짝수로 모순이 발생한다. 한 편, $ m $ 이 짝수이면 $ 5 n^{2} $ 이 짝수이고 따라서 $ n $ 이 짝수이므로 이 경우도 모순이 발생한다. 이제 $ m, n $ 모두 홀수라 가정하자. 즉, $ m=2 v+1, n=2 w+1 $. 이때, $ (2 v+1)^{2}= $ $ 5(2 w+1)^{2} $ 에서 \[v(v+1)=5 w^{2}+5 w+1\] 이다. 왼쪽은 짝수이고 오른쪽은 홀수임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $ \sqrt{5} $ 는 유리수가 아니다.</p> <p>④ 이제 여러분은 어떻게 하시겠습니까? 그 다음 수로 넘어갈까요? 아니면 이를 홀/짝으로 일반화하여 접근할까요? 플라톤의 스승 heodorus는 어떻게 증명했을까? 즐거운 상상을 해 보자.</p>	자연
s351-(공학과정을 위한) 미적분학 1.6	<p>이다. 또한, 이 방정식을 만족하는 점 $ X=(x, y, z) $ 가 우리가 생각하는 평면 위에 놓여 있음을 짐작할 수 있다. 삼차원 공간에 있는 평면의 방정식은 이와 같이 미지수 $ x, y, z $ 에 대한 일차방정식으로 주어진다.</p> <p>보기 1</p> <p>위의 식을 살펴보면 평면 $ x + 2 y + 3 z=1 $ 에 수직인 벡터는 $ x, y, z $ 의 계수인 $ (1,2,3) $ 임을 알 수 있다.</p> <p>보기 2</p> <p>삼차원 공간의 세 점 $ a=(1,-1,2) b=(-1,1,4) c=(1,3,-2) $ 를 지나는 평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>평면에 수직인 벡터를 $ n $ 이라고 두고 이 평면 위의 임의의 점을 $ X=(x, y, z) $ 라고둔다. $ n \cdot(X-a)=0 $, 즉, $ n \cdot X=n \cdot a $ 가 평면의 식이다. 수직인 벡터 중 $ n= \overrightarrow { a b } \times \overrightarrow { a c } $ 를 사용하자.</p> <p>$ \overrightarrow { a b } =b-a=(-1-1,1 + 1,4-2)=(-2,2,2) $ $ \overrightarrow { a c } =c-a=(1-1,3 + 1,-2-2)=(0,4,-4) $ 이므로</p> <p>$ \begin {aligned} n &= \overrightarrow { a b } \times \overrightarrow { a c } = \left \| \begin {array} { rrr } i & j & k \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & -4 \end {array} \right \|=(2(-4)-8) i-(8-0) j + (-8) k \\ &=-16 i-8 j-8 k \end {aligned} $</p> <p>따라서 평면의 방정식은 $ -16 x-8 y-8 z=-16 + 8-16=-24 $, 혹은 $2 x + y + z=3 \text { 이다. } $</p> <p>$ n $-차원 공간의 부분집합으로서 일차 방정식 $ a_ { 1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =c $ 를 만족하는 점 $ X= \left (x_ { 1 } \right . $, $ \cdots, x_ { n } $ ) 들의 집합은 초평면(hyperplane)이라고 불리는 $ n $-1차원 공간을 이룬다. 이러한 초평면의 방정식은 삼차원 공간 속의 평면과 마찬가지로 지나가는 한 점 $ P $ 와 수직인 벡터 $ A \neq 0 $ 를 알면 구할 수 있다. 즉,</p> <p>보기3</p> <p>$ \operatorname { det } I_ { n } =1 $</p> <p>보기4</p> <p>$ \operatorname { det } \left ( \begin {array} { lll } a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end {array} \right )= \left \| \begin {array} { lll } a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end {array} \right \|=a b c $</p> <p>위의 정의는 첫 번째 행을 기준으로 행렬식의 값을 전개한 것이라고 할 수 있다. 이 행렬식의 값은 다른 행을 기준으로 전개하여도 같은 값을 얻게 됨을 볼 수 있다. 즉,</p> <p>$ \operatorname { det } A= \sum_ { j=1 } ^ { k + 1 } (-1) ^ { 1 + j } a_ { 1 j } \operatorname { det } A_ { 1 j } = \sum_ { j=1 } ^ { k + 1 } (-1) ^ { i + j } a_ { i j } \operatorname { det } A_ { i j } , \quad i \in \{ 1,2, \cdots, k + 1 \} $</p> <p>또한, 어느 한 열을 기준으로 전개하여도 같은 값을 얻게 된다.</p> <p>$ \operatorname { det } A= \sum_ { i=1 } ^ { k + 1 } (-1) ^ { i + j } a_ { i j } \operatorname { det } A_ { i j } , j \in \{ 1,2, \cdots, k + 1 \} $</p> <p>보기5</p> <p>$ A= \left ( \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \end {array} \right ) $ 일 때 $ \operatorname { det } A $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 1</p> <p>첫 번째 행을 기준으로 전개하면 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } A &= \sum_ { j=1 } ^ { 3 } (-1) ^ { 1 + j } a_ { 1 j } \operatorname { det } A_ { 1 j } \\ &=1 \left \| \begin {array} { ll } 1 & 0 \\1 & 3 \end {array} \right \|-2 \left \| \begin {array} { rr } 0 & 0 \\-2 & 3 \end {array} \right \| + 1 \left \| \begin {array} { rr } 0 & 1 \\ -2 & 1 \end {array} \right \|=5 \end {aligned} \]</p> <p>세 벡터 $ (1,-1,1),(-2,3,1),(-1,-2,-3) $ 에 의해 이루어지는 평행육면체의 부피는 \|\| $ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ -1 & -2 & -3 \end {array} \|\|=7 $ 이다.</p> <p>외적을 정의하는 다른 방법으로는, 외적 $ a \times b $ 를 $ a, b $ 와 동시에 수직이면서 오른손의 법칙을 만족하는 방향 $ (a $ 를 오른손의 둘째 손가락 $ b $ 를 셋째 손가락, $ a \times b $ 를 엄지손가락이 서로 수직이 되도록 가리키는 방향)을 가지며, 크기는 $ a $ 와 $ b $ 가 이루는 평행사변형의 넓이와 같은 3 차원 공간의 벡터로 정의하기도 한다. 위에서 성분으로 정의한 것으로부터 외적이 이러한 방향과 크기를 갖는 벡터임을 보일 수 있다.</p> <p>또는 $ i \times j=k, j \times k=i, k \times i=j, j \times i=-k, k \times j=-i, i \times k=-j $ 와 더하기와의 분배 법칙, 더하기의 결합법칙을 만족하는 연산으로 정의하기도 한다.</p> <p>$ a= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right )=a_ { 1 } i + a_ { 2 } j + a_ { 3 } k, b= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right )=b_ { 1 } i + b_ { 2 } j + b_ { 3 } k $ 에 대해</p> <p>$ \begin {aligned} a \times b &= \left (a_ { 1 } i + a_ { 2 } j + a_ { 3 } k \right ) \times \left (b_ { 1 } i + b_ { 2 } j + b_ { 3 } k \right ) \\ &=a_ { 1 } b_ { 2 } (i \times j) + a_ { 1 } b_ { 3 } (i \times k) + a_ { 2 } b_ { 1 } (j \times i) + a_ { 2 } b_ { 3 } (j \times k) + a_ { 3 } b_ { 1 } (k \times i) + a_ { 3 } b_ { 2 } (k \times j) \\ &= \left (a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right ) i + \left (a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } \right ) j + \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) k \end {aligned} $</p> <p>$ 2 \times 2 $ 행렬 $ A= \left (a ^ { 1 } , a ^ { 2 } \right ) $ 의 행렬식의 값은 두 열벡터 $ a ^ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } a_ { 11 } \\ a_ { 21 } \end {array} \right ) $ 과 $ a ^ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } a_ { 12 } \\ a_ { 22 } \end {array} \right ) $ 로 만들 수 있는 평형사변형의 면적과 같음을 다음과 같이 보일 수 있다.</p> <p>두 벡터 사이의 각을 $ \theta $ 라 하면</p> <p>$ \begin {aligned} \left \|a ^ { 1 } \\| a ^ { 2 } \right \| \sin \theta &= \left \|a ^ { 1 } \right \| \left \|a ^ { 2 } \right \| \sqrt { 1- \cos ^ { 2 } \theta } \\ &= \sqrt {\left \|a ^ { 1 } \right \| ^ { 2 } \left \|a ^ { 2 } \right \| ^ { 2 } - \left (a ^ { 1 } \cdot a ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \sqrt {\left (a_ { 11 } ^ { 2 } + a_ { 21 } ^ { 2 } \right ) \left (a_ { 12 } ^ { 2 } + a_ { 22 } ^ { 2 } \right )- \left (a_ { 11 } a_ { 12 } + a_ { 21 } a_ { 22 } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \sqrt { a_ { 11 } ^ { 2 } a_ { 12 } ^ { 2 } + a_ { 11 } ^ { 2 } a_ { 22 } ^ { 2 } + a_ { 21 } ^ { 2 } a_ { 12 } ^ { 2 } + a_ { 21 } ^ { 2 } a_ { 22 } ^ { 2 } - \left (a_ { 11 } ^ { 2 } a_ { 12 } ^ { 2 } + a_ { 21 } ^ { 2 } a_ { 22 } ^ { 2 } + 2 a_ { 11 } a_ { 21 } a_ { 12 } a_ { 22 } \right ) } \\ &= \left [ \left (a_ { 11 } a_ { 22 } -a_ { 12 } a_ { 21 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 1 / 2 } = \left \| \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , a ^ { 2 } \right ) \right \| \end {aligned} $</p> <h3>질문 5. 선형 사상 중에서 기하적으로 의미가 있는 예는 어떤 것이 있는가?</h3> <p>(1) 평면 위의 벡터를 $ \theta $ 만큼 회전: $ \left ( \begin {array} { rr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ) $<ol type=1 start=1><li>(1) 평면 위의 벡터를 $ \theta $ 만큼 회전: $ \left ( \begin {array} { rr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ) $ \[ \begin {aligned} T \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { c } \cos \theta \\ \sin \theta \end {array} \right ), T \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } \sin \theta \\ \cos \theta \end {array} \right ) \\ T \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) &=T \left (x \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) + y \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \right ) \\ &=x T \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) + y T \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { l } x \cos \theta \\ x \sin \theta \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { rr } -y \sin \theta \\ y \cos \theta \end {array} \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { l } x \cos \theta-y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \end {aligned} \]</li> <li>원점을 지나는 직선 또는 평면에 대한 반사</li> <li>원점을 지나는 직선 또는 평면으로의 정사영</li> <li>크기 변화: 보기 1</li></ol> <p>보기 4</p> <p>연립방정식 $ \left \{\begin {array} { l } 2 x + 3 y=1 \\ x-y=2 \end {array} \right . $ 을 행렬로 나타낸 것은 $ \left ( \begin {array} { rr } 2 & 3 \\ 1 & -1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ) $ 이다. $ A= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 3 \\ 1 & -1 \end {array} \right ), X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ), b= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ) $ 로 두자. $ A ^ { -1 } =- \frac { 1 } { 5 } \left ( \begin {array} { rr } -1 & -3 \\ -1 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } \frac { 1 } { 5 } & \frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & - \frac { 2 } { 5 } \end {array} \right ) $ 이다. $ A ^ { -1 } $ 을 $ A X=b $ 의 양변에 곱하면 $ A ^ { -1 } A \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )=A ^ { -1 } \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ) $ 에서 좌변은 $ A ^ { -1 } A \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )=I \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) $ 가 되어 $ \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )=A ^ { -1 } \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } \frac { 1 } { 5 } & \frac { 3 } { 5 } \\ \frac { 1 } { 5 } & - \frac { 2 } { 5 } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } \frac { 7 } { 5 } \\ - \frac { 3 } { 5 } \end {array} \right ) $ 을 얻는다.</p> <h2>2. 크래머의 법칙</h2> <p>위의 보기 4 번과 같이 $ A ^ { -1 } $ 을 $ A X=b $ 의 양변에 곱하여 해 $ X=A ^ { -1 } b $ 를 구는 방법을 잘 관찰하여 보면 소위 크래머의 법칙(Cramer's rule)이라고 불리는 법칙을 발견할 수 있다.</p> <p>연립 방정식 $ \left \{\begin {array} { l } a_ { 11 } x + a_ { 12 } y + a_ { 13 } z=b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x + a_ { 22 } y + a_ { 23 } z=b_ { 2 } \\ a_ { 31 } x + a_ { 32 } y + a_ { 33 } z=b_ { 3 } \end {array} \right . $ 행렬로 나타내어 보자.</p> <p>\[ \begin {array} { l } A= \left (a ^ { 1 } , a ^ { 2 } , a ^ { 3 } \right ) a ^ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } a_ { 11 } \\a_ { 21 } \\a_ { 31 } \end {array} \right ),a ^ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } a_ { 12 } \\a_ { 22 } \\a_ { 32 } \end {array} \right ), a ^ { 3 } = \left ( \begin {array} { l } a_ { 13 } \\a_ { 23 } \\a_ { 33 } \end {array} \right ), X= \left ( \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right ), b= \left ( \begin {array} { l } b_ { 1 } \\b_ { 2 } \\b_ { 3 } \end {array} \right ) \text { 일 때 } A X=b \text { 이다. } \\ \operatorname { det } A \neq 0 \text { 이면 } X=A ^ { -1 } b= \frac { a d(A) } {\operatorname { det } A } b \text { 이다. } \\ \text { 여기서 } D= \operatorname { det } A= \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , a ^ { 2 } , a ^ { 3 } \right ) \text { 로 두면 } \\ x= \frac { 1 } { D } \operatorname { det } \left (b, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } \right ), y= \frac { 1 } { D } \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , b, a ^ { 3 } \right ), z= \frac { 1 } { D } \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , a ^ { 2 } , b \right ) \end {array} \] 임을 알 수 있다.</p> <p>$ L \left (e_ { j } \right )=A e_ { j } = \left ( \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\ a_ { 2 j } \\ \vdots \\ a_ { m j } \end {array} \right ) $</p> <p>$ \begin {aligned} L( \vec { x } ) &=L \left (x_ { 1 } e_ { 1 } + \cdots + x_ { n } e_ { n } \right )=x_ { 1 } L \left (e_ { 1 } \right ) + \cdots + x_ { n } L \left (e_ { n } \right ) \\ &=x_ { 1 } A e_ { 1 } + \cdots + x_ { n } A e_ { n } =x_ { 1 } \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ a_ { 21 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } \end {array} \right ) + \cdots + x_ { n } \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\ a_ { 2 n } \\ \vdots \\ a_ { m n } \end {array} \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } a_ { 11 } + \cdots + x_ { n } a_ { 1 n } \\ x_ { 1 } a_ { 21 } + \cdots + x_ { n } a_ { 2 n } \\ \vdots \\ x_ { 1 } a_ { m 1 } + \cdots + x_ { n } a_ { m n } \end {array} \right )=A \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \end {aligned} $</p> <h2>4. 선형사상</h2> <h3>질문 1. 선형사상이란 무엇인가?</h3> <p>답 사상 $ T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { m } $ 중에서 벡터의 합과 스칼라 곱을 보존하는 것으로서 선형사상이라는 이름은 $ T $ 의 각 성분이 일차 함수로 주어지기 때문에 붙여진 이름이다.</p> <p>예를 들어 2차원 경우를 생각해보면 $ T(x, y)=(f(x, y), g(x, y))=(a x + b y, c x + d y) $ 경우를 말하는 것이다. 각 성분이 $ x, y $ 에 대해서 1 차식으로 주어진다.</p> <h3>질문 2. 주어진 사상이 선형사상인지 어떻게 알 수 있는가?</h3> <p>답 임의의 두 벡터 $ v, w $ 에 대해서 $ T(v + w)=T(v) + T(w) $ 를 만족하는 지와 임의의 실수 $ c $에 대해서 $ T(c v)=c T(v) $ 를 만족하는 지를 확인해보면 된다. 예를 들면 $ T(x, y)=(x + 1, y + 2) $는 선형사상이 아니다. $ T((1,0) + (0,1))=T(1,1)=(1 + 1,1 + 2)=(2,3) $ 이나, $ T((1,0)) + $ $ T((0,1))=(2,2) + (1,3)=(3,5) $ 로서 둘은 같지 않다.</p> <h3>질문 3. 선형사상의 예는 어떤 것이 있는가?</h3> <p>답 가장 중요한 예는 행렬에 의해서 정의되는 사상이다. \[T(x, y)=(2 x + 3 y, 4 x + 5 y) \]는 행렬의 곱으로 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \left ( \begin {array} { l } x \\y \end {array} \right ) \rightarrow \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \\4 & 5 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\y \end {array} \right ) \]</p> <h3>질문 4. 행렬로 정의되는 사상이 항상 선형사상이 된다면 반대로 임의의 선형사상은 행렬로 나타낼 수 있는가?</h3> <p>답 이 질문의 중요성은 다음과 같다. 위의 질문의 답이 예라면 벡터의 연산을 잘 보존하는 사상을 공부할 때 사실상 그 사상을 나타내는 행렬을 공부하면 된다. 행렬을 공부함으로써 많은 중요한 정보를 알아낼 수 있다. 가령 사상이 평행사변형의 면적을 어떻게 변화시키는지, 사상의 역사상은 무엇인지 알 수가 있다.</p> <p>위의 질문의 답은 예이다. 주어진 선형사상을 나타내는 행렬을 어떻게 구성하는지 생각해보자. 선형사상 $ L: R ^ { n } \rightarrow R ^ { m } $ 에 대해서, $ L(X)=A X $ 인 $ m \times n $ 행렬 $ A $ 를 찾아보자. 그런 행렬이 있다면, 표준 단위벡터 $ e_ { j } $ 에 대해 $ L \left (e_ { j } \right )=A e_ { j } $ 이고 우변은 $ A $ 의 $ j $ 번째 열이다. 따라서 $ A $ 의 $ j $ 번째 열이 $ L \left (e_ { j } \right ) $ 인 행렬이 된다.</p> <p>$ \begin {aligned} A ^ { -1 } &= \frac { 1 } {\operatorname { det } A } a d(A) \\ &= \frac { 1 } {\operatorname { det } A } \left ( \begin {array} { lll } (-1) ^ { 1 + 1 } \operatorname { det } A_ { 11 } & (-1) ^ { 2 + 1 } \operatorname { det } A_ { 21 } & (-1) ^ { 3 + 1 } \operatorname { det } A_ { 31 } \\ (-1) ^ { 1 + 2 } \operatorname { det } A_ { 12 } & (-1) ^ { 2 + 2 } \operatorname { det } A_ { 22 } & (-1) ^ { 3 + 2 } \operatorname { det } A_ { 32 } \\ (-1) ^ { 1 + 3 } \operatorname { det } A_ { 13 } & (-1) ^ { 2 + 3 } \operatorname { det } A_ { 23 } & (-1) ^ { 3 + 3 } \operatorname { det } A_ { 33 } \end {array} \right ) \end {aligned} $</p> <p>임을 확인하여 보아라. 이 $ c_ { i j } $ 를 행렬 $ A $ 의 $ (i, j) $-여인수(cofactor)라고 한다. 위의 식으로 역행렬을 구하는 것을 여인수방법(cofactor method)이라고 한다.</p> <p>보기 2</p> <p>$ a d-b c \neq 0 $ 일 때 $ \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right )= \frac { 1 } { a d-b c } \left ( \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ) $ 이다.</p> <p>보기 3</p> <p>$ \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } \lambda_ { 3 } \neq 0 $ 이면 $ \left ( \begin {array} { ccc } \lambda_ { 1 } & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_ { 3 } \end {array} \right ) ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\lambda_ { 1 } } & 0 & 0 \\ 0 & \frac { 1 } {\lambda_ { 2 } } & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } {\lambda_ { 3 } } \end {array} \right ) $ 이다.</p> <p>$ S_ { 2 } =\| \operatorname { det } (A)\| S_ { 1 } $</p> <p>이것은 선형사상의 경우, 즉 행렬로 정의되는 사상의 경우 면적의 변화를 쉽게 계산할 수 있음을 보여준다. 이제 $ D $ 와 $ T(D) $ 의 면적의 변화에 대해서도 말할 수 있는데 각각 평행사변형으로 분할했고 각각의 평행사변형이 $ \| \operatorname { det } (A)\| $ 만큼 변하기 때문에 $ T(D) $ 의 면적과 $ D $ 의 면적의 비 또한 $ \| \operatorname { det } (A)\| $ 가 된다.</p> <h2>3. 선형사상의 대수적 성질</h2> <p>연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x + 2 y + 3 z &=0 \\2 x + 4 y + 6 z &=0 \\3 x + 6 y + 9 z &=0 \end {aligned} \right . \] 을 행렬로 표현해보면 $ A X=b $ 로 표현할 수 있다. 여기서 \[ A= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9 \end {array} \right ), \quad X= \left ( \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right ), \quad b= \left ( \begin {array} { l } 0 \\0 \\0 \end {array} \right ) \]</p> <p>이다. 우리는 연립 방정식의 해에 관심이 있는데 해는 선형사상 $ X \rightarrow A X $ 의 $ b $ 의 역상(inverse image)이다. 즉 해집합은 상(image)이 $ b $ 가 되는 $ X $ 들을 모아놓은 집합, $ S= \left \{ X \in R ^ { 3 } : A X=b \right \} $ 이다. 집합 $ S $ 는 벡터의 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있는 벡터 공간이다. 즉, $ v, w \in R ^ { 3 } $ 가 $ S $ 의 원소라면(연립 방정식의 해라면) 임의의 실수 $ s $ 와 $ t $ 에 대해 $ s v + t w $ 도 연립방정식의 해가 된다. (확인하여 보아라!) 기하학적으로 보면 이것은 집합 $ S $ 가 $ v, w $ 에 의해 형성되는 평면을 포함한다는 것을 의미한다. 이 관찰은 연립방정식의 해집합을 이해하는 데 큰 도움을 준다.</p> <p>보기 9</p> <p>앞의 보기 11의 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \end {array} \right ) $ 에 대해 $ \operatorname { det } A ^ { 5 } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \operatorname { det } \left (A ^ { 5 } \right )=( \operatorname { det } A) ^ { 5 } =5 ^ { 5 } $</p> <h1>모듈 22. 역행렬과 크래머의 법칙</h1> <p>목표</p> <p>일차 연립방정식의 해법을 알아본다.</p> <p>들어가기</p> <p>$ a d-b c \neq 0 $ 일 때 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) $ 에 대해서 $ A ^ { * } = \frac { 1 } { a d-b c } \left ( \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ) $ 를 정의하면 $ A A ^ { * } =A ^ { * } A=I $ 가 됨을 보여라.</p> <h2>1. 역행렬</h2> <p>어떤 정방행렬 $ A $ 에 대하여 정방행렬 $ B $ 가 있어서 $ B A=A B=I $ 이 되면 $ A $ 를 가역행렬 (invertible matrix)이라고 하고, 이때 $ B $ 를 $ A $ 의 역행렬(inverse matrix)이라고 한다.</p> <p>보기 1</p> <p>정방행렬 $ A $ 는 언제 역행렬을 갖는가?</p> <p>풀이</p> <p>역행렬이 있다면 $ A A ^ { -1 } =I $ 이고 양변의 행렬식을 생각하면 $ \operatorname { det } \left (A A ^ { -1 } \right )= \operatorname { det } I=1 $ 이다. 행렬식의 성질에 의하여 $ \operatorname { det } \left (A A ^ { -1 } \right )=( \operatorname { det } A) \left ( \operatorname { det } A ^ { -1 } \right ) $ 이므로 $ \operatorname { det } A \neq 0 $임을 알 수 있다. 한편, $ \operatorname { det } A \neq 0 $ 이면 역행렬 $ A ^ { -1 } $ 을 다음과 같이 구할 수 있다. $ c_ { i j } =(-1) ^ { i + j } \operatorname { detA } _ {\mathrm { ij } } $ 로 두고 $ a d(A)= \left (c_ { i j } \right ) ^ { t } $ 로 두면</p> <p>보기 5</p> <p>연립방정식 $ \left \{\begin {array} { l } 2 x + 3 y=1 \\ x-y=2 \end {array} \right . $ 을 행렬을 써서 $ \left ( \begin {array} { rr } 2 & 3 \\ 1 & -1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ) $ 로 나타낼 수 있다.</p> <p>행렬의 곱과 더하기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.</p> <p>(1) 행렬 $ A, B, C $ 에 대하여 곱 $ A B, B C $ 가 정의될 때, $ (A B) C=A(B C) $ 이다.</p> <p>(2) $ A, A ^ {\prime } $ 이 $ m \times n $ 행렬이고, $ B, B ^ {\prime } $ 이 $ n \times l $ 행렬일 때, 실수 $ k $ 에 대하여 $ \left (A + A ^ {\prime } \right ) B= $ $ A B + A ^ {\prime } B, A \left (B + B ^ {\prime } \right )=A B + A B ^ {\prime } ,(k A) B=k(A B)=A(k B) $ 이다.</p> <p>$ m \times n $ 행렬 $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 의 행과 열을 바꾸어 놓은 것을 $ A $ 의 전치행렬(transpose matrix)이라고 부르고, $ A ^ { t } $ 혹은 $ A ^ { T } $ 로 쓴다. 즉, $ A ^ { t } $ 는 $ n \times m $ 행렬로서 $ A ^ { t } = \left (b_ { i j } \right ) $ 라고 하면 $ b_ { i j } =a_ { j i } $ 이다.</p> <p>보기 6</p> <p>$ \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {array} \right ) ^ { T } = \left ( \begin {array} { ll } 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end {array} \right ), \left (a_ { 1 } \cdots a_ { n } \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 } \\ \vdots \\ a_ { n } \end {array} \right ) ^ { t } $ 이다.</p> <p>두 행렬의 곱은 앞의 행렬의 열의 개수와 뒤에 곱하는 행렬의 행의 개수가 같을 때 다음과 같이 정의한다. $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 는 $ m \times n $ 행렬, $ B= \left (b_ { j k } \right ) $ 는 $ n \times l $ 행렬일 때 두 행렬의 곱 $ A B $ 는 $ m \times l $ 행렬이다. $ A B= \left (c_ { i k } \right ) $ 로 두면 $ c_ { i k } = \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } $ 로서 $ A $ 의 $ i $ 번째 '행벡터'와 $ B $ 의 $ k $ 번째 '열벡터'의 '내적'으로 볼 수 있다.</p> <p>보기 3</p> <p>$ \left ( \begin {array} { lll } -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & -3 \\ 2 & -2 \\ 3 & -1 \end {array} \right ) $ $ = \left ( \begin {array} { lll } (-1) \cdot(1) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 & (-1) \cdot(-3) + 0 \cdot(-2) + 1 \cdot(-1) \\ (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & (-2) \cdot(-3) + 0 \cdot(-2) + 2 \cdot(-1) \end {array} \right ) $ $ = \left ( \begin {array} { ll } -1 + 3 & 3-1 \\ -2 + 6 & 6-2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 2 & 2 \\ 4 & 4 \end {array} \right ) $</p> <p>보기 4</p> <p>$ \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 22 & 28 \\ 49 & 64 \end {array} \right ) $</p> <h2>3. 외적과 회전력</h2> <p>회전력(torque)을 외적을 써서 표시하면 간단히 나타낼 수 있다. 공간 속 한 점 $ P $ 에 힘 $ F $ 가 작용하여 점 $ P $ 를 점 $ O $ 둘레로 회전시킬 때 $ (O $ 와 $ P $ 가 한 막대기 혹은 렌치(wrench)위의 점이라고 하자) 벡터 $ \overrightarrow { O P } $ 와 힘 $ F $ 의 외적 $ \overrightarrow { O P } \times F $ 을 회전력이라고 한다. 즉, 회전력의 크기는 $ \| \overrightarrow { O P } \times F\| $ 이고, 회전이 $ \overrightarrow { O P } \times F $ 와 수직인 평면에서 일어난다. 일반적으로 회전하는 방향은 회전면과 수직이며 오른손의 법칙을 따라 정해진 방향(회전하는 모양대로 오른손 4 개 손가락을 감을 때 엄지손가락이 가리키는 방향)으로 나타낸다. 따라서 여기서는 $ \overrightarrow { O P } \times F $ 와 같은 방향임을 볼 수 있다.</p> <h1>모듈 24. 평면의 방정식</h1> <p>목표</p> <p>삼차원 공간 속의 평면의 방정식을 구할 수 있다.</p> <p>들어가기</p> <p>삼차원 공간 속에 있는 평면은 어떤 식으로 표현할 수 있는가?</p> <p>삼차원 공간 속에서 한 점 $ P= \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } \right ) $ 을 지나는 평면은 여러 개가 있다. 그 가운데 벡터 $ n= \left (n_ { 1 } , n_ { 2 } , n_ { 3 } \right ) \neq(0,0,0) $ 과 수직인 것은 하나 밖에 없다. 이 평면의 식은 다음과 같이 얻을 수 있다. 평면 위의 임의의 한 점을 $ X=(x, y, z) $ 라고 하자. 그러면 $ n $ 과 $ \overrightarrow { P X } $ 는 수직이므로</p> <p>$ n \cdot(X-P)=0 $, 즉, $ \left (n_ { 1 } , n_ { 2 } , n_ { 3 } \right ) \cdot \left ((x, y, z)- \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } \right ) \right )=0 $ 혹은 $ n_ { 1 } \left (x-p_ { 1 } \right ) + n_ { 2 } \left (y-p_ { 2 } \right ) + n_ { 3 } \left (z-p_ { 3 } \right )=0 $</p> <p>선형사상 $ L_ { A } : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 $ (x, y, z) \rightarrow(y, z, x) $ 일 때 $ L_ { A } (X)=A X $ 가 되게 하는 행렬 $ A $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ A \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } y \\ z \\ x \end {array} \right ), L(1,0,0)=(0,0,1), L(0,1,0)=(1,0,0) $, $ L(0,0,1)=(0,1,0) $ 에서 $ A= \left (L \left (e_ { 1 } \right ), L \left (e_ { 2 } \right ), L \left (e_ { 3 } \right ) \right ) $ 이므로 $ A= \left ( \begin {array} { ccc } 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end {array} \right ) $</p> <p>보기 6</p> <p>$ T(x, y, z)=(a x + b y + c z, d y + e z, f z) $ 이면 $ T \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { lll } a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ) $ 이다.</p> <h2>2. 선형사상의 기하학적 성질</h2> <p>사상에 대한 중요한 질문 중 하나는 어떤 영역의 면적 또는 부피가 주어진 사상에 의해서 어떻게 변하는가 하는 것이다. 일반적인 사상에 대해서 이 질문에 대답하기는 쉽지 않지만 특별한 사상, 가령 선형사상 같은 경우는 대답할 수가 있다. $ T: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } , T(X)=A X, X \in R ^ { 2 } $ 의 경우에 어떤 영역 $ D $ 가 주어져 있다고 해보자(예를 들면 $ D= \{ (x, y):-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2 \} ) . D $ 의 면적과 $ T $ 에 의해 옮겨간 $ D $ 의 상(image), $ T(D) $ 의 면적사이에는 어떤 관계가 있는지 알고 싶다. 우리는 $ D $ 를 작은 평행사변형들의 합으로 분할 할 수 있거나 또는 그런 분할로 근사할 수 있다. 그리고 이 분할은 $ T $ 에 의해 $ T(D) $ 의 작은 평행사변형들의 합으로의 한 분할로 보내진다. (왜 그런가?) 이 관찰은 임의로 주어진 영역의 면적이 $ T $ 에 의해 어떻게 변하는지 알기 위해서 평행사변형의 면적이 어떻게 변하는지 알면 된다는 것을 보여준다. 두 벡터 $ u, v $ 에 의해 생성되는 평행사변형의 면적을 $ S_ { 1 } $, 이 평행사변형의 $ T $ 에 의한 상, 즉 $ T(u), T(v) $ 에 의해 생성되는 평행사변형의 면적을 $ S_ { 2 } $ 라고 하면 우리는 다음과 같은 관계식을 얻는다.</p> <p>$ R ^ { 2 } $ 상의 한 점은 $ A $ 에 의해서 $ R ^ { 2 } $ 상의 어떤 한 점으로 대응된다. 일반적으로 임의의 $ m \times n $ 행렬 $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 가 주어지면 함수 $ L_ { A } : R ^ { n } \rightarrow R ^ { m } $ 를 $ L_ { A } (X)=A X $ 로 정의할 수 있다. 여기서 $ X= $ $ \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \in R ^ { n } $ 이다.</p> <p>$ L_ { A } (X)=A X=A \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 21 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } \end {array} \right ) \in R ^ { m } $</p> <p>이 함수는 다음과 같은 특징을 갖는다.</p> <ol type= start=1><li>$ L_ { A } (X + Y)=L_ { A } (X) + L_ { A } (Y) $</li> <li>$ L_ { A } (c X)=c L_ { A } (X) $</li></ol> <p>이와 같은 두 가지 성질을 갖는 함수를 선형사상(linear mapping or linear transformation)이라고 부른다.</p> <p>이 행렬식을 계산할 때에는 $ i, j, k $ 가 마치 상수인 것처럼 취급한다.</p> <p>보기 1</p> <p>$ a=(2,1,1), b=(-4,3,1) $ 일 때 $ a \times b $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} a \times b= \left \| \begin {array} { rrr } i & j & k \\ 2 & 1 & 1 \\ -4 & 3 & 1 \end {array} \right \| &= \left \| \begin {array} { rr } 1 & 1 \\ 3 & 1 \end {array} \right \| i- \left \| \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -4 & 1 \end {array} \right \| j + \left \| \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -4 & 3 \end {array} \right \| k \\ &=(1-3) i-(2 + 4) j + (6 + 4) k \\ &=-2 i-6 j + 10 k \\ &=(-2,-6,10) \end {aligned} $</p> <h2>2. 외적의 성질</h2> <p>외적은 다음과 같은 성질을 갖는다. $ a, b, c \in R ^ { 3 } $ 에 대해</p> <ol type=1 start=1><li>교환법칙이 성립하지 않고 $ b \times a=-a \times b $ 이다.</li> <li>자기 자신과의 외적 혹은 평행한 벡터끼리의 외적은 0 -벡터이다. $ a \times a=(0,0,0) $ (한 행이 다른 행의 상수배일 때 그 행렬의 행렬식의 값이 0 이 되는 행렬 식의 성질을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.)</li> <li>외적과 더하기 사이에 배분법칙이 성립한다. $ \begin {aligned} a \times(b + c)=& \left \| \begin {array} { ccc } i & j & k \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } + c_ { 1 } & b_ { 2 } + c_ { 2 } & b_ { 3 } + c_ { 3 } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } i & j & k \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| + \left \| \begin {array} { ccc } i & j & k \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ c_ { 1 } & c_ { 2 } & c_ { 3 } \end {array} \right \| \\=& a \times b + a \times c \\(a + b) \times c=a \times c + b \times c \end {aligned} $</li> <li>$ a \cdot(b \times c)=(a \times b) \cdot c= \left \| \begin {array} { lll } a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \\ c_ { 1 } & c_ { 2 } & c_ { 3 } \end {array} \right \| $ 이다. 행렬식의 성질을 이용하거나 성분을 써서 전 개하여 양변을 비교하면 쉽게 알 수 있다.</li> <li>$ a, b $ 의 외적 $ a \times b $ 는 $ a, b $ 와 각각 수직이다. 즉, $ a \times b \perp a $ 이고 $ a \times b \perp b $ 이다. $ a \cdot(a \times b)=0 $임을 보이기 위해 성질 4)와 행렬식의 성질을 이용하거나 성분을 써서 계산해 보면 된다.</li> <li>스칼라 $ k $ 에 대해 $ (k a) \times b=k(a \times b)=a \times(k b) $ 이다.</li> <li>$ \|a\| ^ { 2 } \|b\| ^ { 2 } =(a \cdot b) ^ { 2 } + \|a \times b\| ^ { 2 } $ 임을 성분을 써서 비교하여 보면 알 수 있다. 이로부터 외적의 크기가 두 벡터에 의해 이루어지는 평형사변형의 면적과 같음을 알 수 있다. 즉, $ \|a \times b\| $ $ =\|a\|\|b\| \sin \theta, \theta $ 는 $ a, b $ 사이의 각으로서 $ 0 \leq \theta \leq \pi $ 인 것을 가리킨다.</li> <li>결합법칙이 성립하지 않는다. 즉 $ (a \times b) \times c \neq a \times(b \times c) $ 이다. 예를 들면 $ (i \times i) \times j= $ $ (0,0,0), i \times(i \times j)=-j $ 로서 둘은 서로 다른 벡터이다.</li> <li>삼차원 공간의 세 개의 벡터 $ a, b, c $ 에 의해 결정되는 평행육면체(parallelepiped box) $ \{ r a + s b + t c: 0 \leq r, s, t \leq 1 \} $ 의 부피는 $ \|a \cdot(b \times c)\|=\| \operatorname { det } (a, b, c)\| $ 와 같다. 왜냐하면 $ b $ 와 $ c $ 가 이루는 평행사변형인 밑면의 넓이는 $ \|b \times c\| $ 이고 높이는 $ b \times c $ 와 $ a $ 사이의 각을 $ \theta $ 라 고 하면 $ \|a\| \cos \theta $ 의 절댓값과 같다. 따라서 부피는 \|\| $ a\| \cos \theta\| b \times c\|\| $ 이고 이것은 $ a \cdot(b \times c) $ 의 절댓값 $ \|a \cdot(b \times c)\| $ 과 같다.</li></ol> <p>보기 3</p> <p>$ \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , a ^ { i } + b, a ^ { i + 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ $ = \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , a ^ { i } , a ^ { i + 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) + \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , b, a ^ { i + 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $</p> <p>2) 두 열을 교환하면 행렬식은 $ (-1) $ 을 곱한 만큼 차이가 난다. 따라서 두 열이 같으면 행렬식은 0 이 된다:</p> <p>$ \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i } , \cdots, a ^ { j } , \cdots a ^ { n } \right )=- \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { j } , \cdots, a ^ { i } , \cdots a ^ { n } \right ) $</p> <p>3) 한 열에 상수를 곱한 것을 다른 열에 더하여 얻은 행렬의 행렬식은 처음 행렬의 행렬식과 같다:</p> <p>$ \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , a ^ { i } + k a ^ { j } , a ^ { i + 1 } , \cdots a ^ { n } \right )= \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , a ^ { i } , a ^ { i + 1 } , \cdots a ^ { n } \right ) $</p> <h1>모듈 20. 행렬</h1> <h1>모듈 21. 행렬식</h1> <h1>모듈 22. 역행렬과 크래머의 법칙</h1> <h1>모듈 23. 벡터의 외적</h1> <h1>모듈 24. 평면의 방정식</h1> <h1>모듈 25. 선형사상</h1> <h1>모듈 20. 행렬</h1> <p>목표 행렬에 관한 기본 연산(더하기, 스칼라곱, 곱하기 등)을 할 수 있다.</p> <p>들어가기</p> <p>일차 연립방정식 $ 4 x-z = 0, x + y + z=1, y-z=-1 $ 을 푸는 방법을 여러 가지 생각해 보아라.</p> <p>행렬(Matrix)은 숫자나 기호를 아래와 같이 직사각형 모양으로 배열한 것으로서 행(row)의 개수 $ m $ 과 열(column)의 개수 $ n $ 으로 행렬의 크기를 $ m \times n $ 으로 나타낸다. $ a_ { i j } $ 를 $ (i, j) $ 항이라고 하고 아래의 행렬을 $ \left (a_ { i j } \right ) $ 로 표현하기도 한다.</p> <p>$ \left ( \begin {array} { ccc } a_ { 11 } a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right )= \left (a_ { i j } \right ) $</p> <p>$ \left (a_ { i 1 } , a_ { i 2 } , \cdots, a_ { i n } \right ) $ 를 $ i $ 번째 행벡터, $ \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\ a_ { 2 j } \\ \vdots \\ a_ { r j } \end {array} \right ) $ 를 $ j $ 번째 열벡터라고 한다. $ 1 \times n $ 행렬이나 $ m \times 1 $ 행렬을 각각 행벡터(row vector), 열벡터(column vector)라고도 한다.</p> <p>보기 1</p> <p>$ \left ( \begin {array} { l } 1 \\2 \\3 \end {array} \right ) $ $ 3 \times 1 $ 행렬 열벡터</p> <p>$ m \times n $ 행렬 $ A, A_ { 1 } , A_ { 2 } $ 와 $ n \times l $ 행렬 $ B $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left (A_ { 1 } + A_ { 2 } \right ) ^ { t } =A_ { 1 } ^ { t } + A_ { 2 } ^ { t } $</li> <li>$ (c A) ^ { t } =c A ^ { t } $</li> <li>$ \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } =A $</li> <li>$ (A B) ^ { t } =B ^ { t } A ^ { t } $</li></ol> <p>증명은 양 변을 비교하면 되므로 각자 하도록 남겨둔다.</p> <p>행의 수와 열의 수가 같은 행렬을 정방행렬(square matrix)이라고 부른다. 또, 대각선(diagonal)의 항들, 즉, $ (i, i) $ 항들이 모두 1 이고 나머지 항은 모두 0 인 정방행렬을 항등행렬(identity matrix, 혹은 단위행렬)이라고 부르고, $ I_ { n } $ 또는 $ I $ 로 나타낸다.</p> <p>보기 7</p> <p>$ I_ { 3 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ) $ 는 항등행렬의 하나이다.</p> <h1>모듈 21. 행렬시</h1> <p>목표</p> <p>주어진 행렬의 행렬식을 계산할 수 있다.</p> <p>들어가기</p> <p>행렬식이란 무엇인가?</p> <h2>1. 행렬식의 정의</h2> <p>정방행렬에 하나의 실수를 대응시키는 함수인 행렬식(determinant)를 다음과 같이 귀납적으로 정의할 수 있다. $ n \times n $ 행렬 $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 의 행렬식을 $ \operatorname { det } A $ 혹은 $ \|A\| $ 로 표시한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ n=1 $ 인 경우, $ \operatorname { det } A= \operatorname { det } \left (a_ { 11 } \right )=a_ { 11 } $ 으로 정의한다.</li> <li>$ n=k $ 인 경우 정의되었다고 가정하고, $ n=k + 1 $ 일 때 다음과 같이 정의한다.</li></ol> <p>$ \operatorname { det } A=\|A\|= \sum_ { j=1 } ^ { k + 1 } (-1) ^ { 1 + j } a_ { 1 j } $ det $ \mathrm { A } _ { 1 j } $</p> <p>식의 성질을 묘사할 때 다음 기호를 사용하면 편리하다. 행렬 $ A $ 의 각 열을 다음과 같이 표시하면</p> <p>$ a ^ { 1 } = \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ \vdots \\ a_ { n 1 } \end {array} \right ), \quad \cdots, a ^ { n } = \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\ \vdots \\ a_ { n n } \end {array} \right ) $</p> <p>$ A= \left (a_ { i j } \right )= \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ 로 나타낼 수 있다. 예를 들어 표준단위벡터 $ e_ { 1 } = \left ( \begin {array} { c } 1 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ), \cdots, e_ { n } = \left ( \begin {array} { c } 0 \\ \vdots \\ 1 \end {array} \right ) $ 을 사용하여 항등행렬을 $ I_ { n } = \left (e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right ) $ 으로 표시할 수 있다. 이 기호를 사용하면 행렬식은 $ R ^ { n } \times R ^ { n } \times \cdots \times R ^ { n } $ 의 원소 $ \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ 에 실수 $ \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { n } \right )= \operatorname { det } A $ 를 대응시키는 함수로 볼 수 있다.</p> <h2>2. 행렬식의 성질</h2> <p>행렬식은 다음과 같은 특별한 성질을 가짐을 보일 수 있다. "열" 대신 "행"을 넣어도 아래의 모든 성질이 그대로 성립한다. 증명은 적어도 모든 항을 다 써서 비교해보면 되므로 생략한다.</p> <p>1) 각 열에 대해 선형이다: 즉, 다음 두 가지 성질이 있다. 스칼라 $ k \in R $ 에 대해 $ \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots \right . $, $ \left .a ^ { i-1 } , k a ^ { i } , a ^ { i + 1 } , \cdots, a ^ { n } \right )=k \operatorname { det } \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { i-1 } , a ^ { i } , a ^ { i + 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ 이고 하나의 열벡터 $ b= $ $ \left ( \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ \vdots \\ b_ { n } \end {array} \right ) $ 를 한 열에 더하면 행렬식의 값은 다음과 같다.</p> <p>4) 항등행렬의 행렬식은 1 이다.</p> <p>5) $ \operatorname { det } (A B)=( \operatorname { det } A)( \operatorname { det } B) $</p> <p>6) $ \operatorname { det } A= \operatorname { det } A ^ { t } $</p> <p>어떤 함수 $ f: R ^ { n } \times R ^ { n } \times \cdots \times R ^ { n } \rightarrow R $ 가 있어서 위의 성질 1 $ \left .) \sim 4 \right ) $ 를 만족시키면 $ f \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ $ = \operatorname { det } (A), A= \left (a ^ { 1 } , \cdots, a ^ { n } \right ) $ 임이 알려져 있다. 증명은 생략한다.</p> <p>보기 7</p> <p>$ A= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end {array} \right ) $ 의 행렬식의 값은, 첫 번째 행과 세 번째 행이 같으므로 위의 성질 2)에 의해 계산하지 않아도 $ \operatorname { det } A= \left \| \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end {array} \right \|=0 $ 임을 알 수 있다.</p> <p>보기 8</p> <p>위 성질 3)에 의하여 $ \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end {array} \right \| $ 임을 계산하지 않고도 알 수 있다. 왜냐하면 우변의 행렬은 좌변의 행렬의 첫 번째 행을 두 번째 행에 더해서 얻은 것이기 때문이다.</p> <p>보기 1</p> <p>$ A= \left ( \begin {array} { ll } a & 0 \\ 0 & a \end {array} \right ) $ 일 때 $ L_ { A } (X)=A X $ 는 크기를 변화시킨다. (scaling)</p> <p>$ \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) \rightarrow \left ( \begin {array} { l } a \\ 0 \end {array} \right ), \quad \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \rightarrow \left ( \begin {array} { l } 0 \\ a \end {array} \right ) $</p> <p>보기 2</p> <p>$ A= \left ( \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ) $ 일 때 $ L_ { A } (X)=A X $ 는 반사(reflection)시키는 효과를 나타낸다.</p> <p>보기 3</p> <p>$A= \left ( \begin {array} { rr } \cos \frac {\pi } { 2 } & - \sin \frac {\pi } { 2 } \\ \sin \frac {\pi } { 2 } & \cos \frac {\pi } { 2 } \end {array} \right ) \text { 일 때 } L_ { A } (X)=A X= \left ( \begin {array} { rr } 0 & -1 \\1 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } -y \\x \end {array} \right ) \text { 는 } $ 회전(rotation)시키는 효과를 나타낸다. 이 선형사상은 $ (x, y) $ 를 $ (-y, x) $ 로 보낸다.</p> <p>보기 4</p> <p>$ A= \left ( \begin {array} { rr } 1 & 0.5 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) $ 일 때 $ L_ { A } (X)=A X $ 는 $ x $-축 방향으로 움직이게 한다. (horizontal shear)</p> <p>보기 5</p> <p>$ \left ( \begin {array} { rrrr } 2 & 0 & -1 & 0 \\1 & 4 & 3 & 0 \end {array} \right ) $ $ 2 \times 4 $ 행렬</p> <p>행렬의 더하기는 행렬의 크기가 같을 때 각 항끼리 더하는 것으로 정의한다. 두 행렬의 합 $ \left (a_ { i j } \right ) + \left (b_ { i j } \right )= \left (c_ { i j } \right ) $ 로 두면 $ c_ { i j } =a_ { i j } + b_ { i j } $ 이다.</p> <p>행렬의 스칼라곱은 스칼라를 모든 항에 곱한다. 스칼라 $ k \in R $ 에 대하여 $ k \left (a_ { i j } \right )= \left (d_ { i j } \right ) $ 로 두면 $d_ { i j } =k a_ { i j } \text { 이다. } $</p> <p>보기 2</p> <p>$ \left ( \begin {array} { lll } 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rrr } 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \end {array} \right ), \quad 2 \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 2 & 3 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 0 & 2 \\ 4 & 6 \end {array} \right ) $</p> <p>$ \left ( \begin {array} { rrr } 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { rrr } 0 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rrr } 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \end {array} \right ), 2 \left ( \begin {array} { lr } 0 & 1 \\ 1 & -1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } 0 & 2 \\ 2 & -2 \end {array} \right ) $</p> <p>$ A \cdot(X-P)=0 $</p> <p>으로 주어진다. 이 방정식은 $ A= \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ), P= \left (p_ { 1 } , \cdots, p_ { n } \right ), X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 일 때 \[a_ { 1 } \left (x_ { 1 } -p_ { 1 } \right ) + \cdots + a_ { n } \left (x_ { n } -p_ { n } \right )=0 \]이다.</p> <h1>모듈 25. 서녕사상</h1> <p>목표</p> <p>선형사상을 이해한다.</p> <p>들어가기</p> <p>좌표평면에 아인슈타인의 사진이 놓였다고 해보자. 사진 상의 각 점은 어떤 좌표를 가질 것이고 벡터로 표현할 수 있다. 이 사진을 변형하는 것을 함수로 표현할 수 있을 것인가?</p> <h2>1. 선형사상의 정의</h2> <p>사진을 변형하게 되면 사진에 있는 한 점이 다른 점으로 옮겨 가게 될 것이다. 좌표평면 $ R ^ { 2 } $ 위의 한 점을 $ R ^ { 2 } $ 위의 다른 한 점으로 보내는 함수(함숫값이 벡터일 때는 함수대신 사상(mapping)이라고도 함)는 여러 종류가 있을 수 있다. 만약 사상이 복잡한 것이라면 변형된 사진은 알아보기 힘든 형태가 될 것이나 사진을 약간 찌그러뜨리거나 어떤 방향으로 잡아 늘이거나 축소시켜도 사진은 여전히 알아볼 수 있다. 이런 방법에 해당하는 것이 선형사상으로서 선형사상은 하나의 행렬을 곱하는 것으로 정의할 수 있다.</p> <p>임의의 $ 2 \times 2 $ 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) $ 에 대해 하나의 함수 $ L_ { A } : R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } $ 를 다음과 같이 정의할 수 있다. $ X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \in R ^ { 2 } $ 에 대해</p> <p>$ L_ { A } (X)=A X= \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) $</p> <h1>모듈 23. 벡터의 외적</h1> <p>목표</p> <p>벡터의 외적의 정의를 알고 사용할 수 있게 한다.</p> <p>들어가기</p> <p>3차원 공간에서 두 개의 벡터와 동시에 수직이 되는 벡터를 어떻게 구할 것인가?</p> <h2>1. 외적의 정의</h2> <p>3차원 공간의 두 벡터 $ a= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right ) $ 와 $ b= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right ) $ 의 외적(cross product) $ a \times b $ 를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ a \times b= \left (a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right ) i + \left (a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } \right ) j + \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) k $</p> <p>이 성분을 제대로 기억하기 위해 다음과 같이 행렬식을 이용할 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} a \times b &= \left \| \begin {array} { ccc } i & j & k \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cc } a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| i- \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| j + \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } \end {array} \right \| k \\ &= \left (a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right ) i- \left (a_ { 1 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 1 } \right ) j + \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) k \end {aligned} $</p>	자연
이공계를 위한 미분적분학_함수	<h2>$2 $차원 직교좌표계 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $</h2> <p>실수 $ a $ 와 $ b $ 에 대해 결정되는 순서쌍 $ (a, b) $ 의 집합은 카테시안 곱집합 (Cartesian product) 표기를 이용하여 \[ \mathbb { R } ^ { 2 } = \mathbb { R } \times \mathbb { R } = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb { R } \} \] 로 나타낸다. $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 원소 $ (a, b) $ 에서 $ a $ 를 나타내는 실선 하나를 $ x $ 축(axis), $ b $ 를 나타내는 또 다른 실선 하나를 $ y $ 축이라 하자. 두 축이 반드시 한 점에서 만나야 하는 조건을 주면, $ x $ 축에서의 점 $ a $ 와 $ y $ 축에서의 점 $ b $ 에 의해서 평면에서 점 $ P $의 위치가 유일하게 하나 결정된다. 다시 말하면 카테시안 곱 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 와 평면이 동치라는 것인데, 이러한 이유로 평면은 좌표들로 구성된 $2 $ 차원 공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 로 생각할 수 있다.</p> <p>특히 두 축이 수직으로 만나면 기하학적인 사실들을 직관적으로 보여주는 안정된 좌표를 구성하는데, 이를 이차원 직교좌표계(rectangular coordinate system) 또는 카테시안 좌표계라 한다. $2 $ 차원 직교좌표평면은 $ x, y $ 축이 만나는 원점(original point) $ O $ 에 의해 네 개의 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ 사분면(quadrant)으로 나뉘는데, 제Ⅰ 사분면은 $ x, y $ 좌표가 모두 양수이고, 시계반대방향으로 돌아가면서 제Ⅱ, 제Ⅲ, 제Ⅳ사분면이 된다(그림 $2 $ 참조). 그림 $3 $ 에 점 몇 개를 나타내었는데, 각 사분면의 특징이 나타남을 알 수 있다.</p> <h2>로그함수</h2> <p>$ a>0 $ 이고 $ a \neq 1 $ 이면 지수함수 $ f(x) = a ^ { x } $ 는 수평선 판정법에 의해 함수 $ f: \mathbb { R } \rightarrow(0, \infty) $ 는 일대일 전사함수이다. 따라서 지수함수는 역함수 $ f ^ { -1 } :(0, \infty) \rightarrow \mathbb { R } $ 를 가진다. 이 역함수를 밑이 $ a $ 인 로그(logarithm) 함수라 하고 첫 세 문자를 따서 $ f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x $ 로 나타낸다. 즉, \[ \log _ { a } x=y \quad \Longleftrightarrow \quad a ^ { y } =x \] 이다. 가령 $ 10 ^ { -3 } =0.001 $ 이므로 $ \log _ { 10 } 0.001=-3 $ 이다. 또한 $ a ^ { 0 } =1 $ 로부터 $ \log _ { a } 1=0 $ 를 얻는데, 이는 로그함수의 그래프가 $ (0,1) $ 을 지난다는 것을 말해준다.</p> <p>만약 $ f(x)=a ^ { x } $ 이고 $ f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x $ 이라 하자. 그러면 식 ( $2 $)에 의해 다음을 얻는다.</p> <p>$16 $ 정리 모든 $ x \in \mathbb { R } $ 에 대하여 $ \log _ { a } \left (a ^ { x } \right )=x $ 이고, 모든 실수 $ x>0 $ 에 대하여 $ a ^ {\log _ { a } x } =x $ 이다.</p> <p>로그함수의 그래프는 그림 $8 $과 같이 $ y=a ^ { x } $ 의 그래프를 직선 $ y=x $ 에 대하여 대칭으로 구해진다. 그림 $8 $은 $ a>1 $ 인 경우이고, 그림 $9 $은 밑 $ a $ 에 따른 다양한 $ y= \log _ { a } x $ 의 그래프를 나타내고 있다.</p> <p>다음 로그함수의 성질들은 $ 1.2 $ 절에 주어진 지수의 법칙 $11 $로부터 쉽게 알 수 있다.</p> <p>$17 $ 로그의 법칙 $ a>0, a \neq 1 $ 일 때 양수 $ x $ 와 $ y $ 에 대하여</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log _ { a } (x y)= \log _ { a } x + \log _ { a } y $</li> <li>$ \log _ { a } \left ( \frac { x } { y } \right )= \log _ { a } x- \log _ { a } y $</li> <li>$ \log _ { a } \left (x ^ { r } \right )=r \log _ { a } x \quad(r $ 은 임의의 실수 $ ) $</li></ol> <p>예를 들어 로그 법칙을 쓰면 $ \log _ { 2 } 80- \log _ { 2 } 5= \log _ { 2 } \left ( \frac { 80 } { 5 } \right )= \log _ { 2 } 16=4 $ 로 간단히 된다.</p> <h2>함수의 증가와 감소</h2> <p>그림 $11$에 그려진 그래프는 점 $ A $ 에서 $ B $ 까지는 올라가고 $ B $ 에서 $ C $ 까지는 내려가다가 다시 $ C $ 에서 $ D $ 까지는 올라간다. 이때 함수 $ f $ 는 구간 $ [a, b] $ 에서 증가, $ [b, c] $ 에서 감소, $ [c, d] $ 에서 증가한다고 말한다. 이러한 성질은 정해진 구간 사이에서 $ x_{1}<x_{2} $ 를 만족하는 $ x_{1} $ 과 $ x_{2} $ 를 택했을 때, $ f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) $ 이거나 $ f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) $ 인 사실로 구별이 가능하다.</p> <p>정의 구간 $ I $ 에 속하는 임의의 $ x_{1}, x_{2} $ 에 대하여 $ x_{1}<x_{2} $ 일 때 (a) $ f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) $ 이면 함수 $ f $ 는 $ I $ 에서 증가(increasing)한다고 말한다. (b) $ f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) $ 이면 함수 $ f $ 는 $ I $ 에서 감소(decreasing)한다고 말한다.</p> <p>증가함수의 정의에서 부등식 $ f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) $ 는 $ x_{1}, x_{2} $ 가 $ I $ 에 속하고 $ x_{1}<x_{2} $ 를 만족하는 모든 쌍에 대하여 만족하여야 함에 유의하자. 감소함수에 대해서도 마찬가지이다.</p> <h2>함수의 변환</h2> <p>이미 알고 있는 함수의 그래프에 평행이동, 확장, 축소, 반사와 같은 변환을 적용해서 새로운 함수의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 $12$ 와 $13$ 을 보면서 다음의 사실 (a). (b)를 직관적으로 확인해 보아라.</p> <p>$5$ 수직과 수평이동 변환 양수 $ c $ 에 대하여 (a) $ y=f(x)+c $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $ 만큼 위로, $ y=f(x)-c $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $ 만큼 아래로 평행이동시킨 것이다. (b) $ y=f(x-c) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $ 만큼 오른쪽으로, $ y=f(x+c) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $ 만큼 왼쪽으로 평행이동시킨 것이다.</p> <p>$6$ 수직과 수평 확장 및 축소변환 $ c>1 $ 일 때 (a) $ y=c f(x) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 수직방향으로 $ c $ 만큼 늘여 확장한 것이고, $ y=\left(\frac{1}{c}\right) f(x) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 수직방향으로 $ c $ 만큼 줄여 축소한 것이다. (b) $ y=f(c x) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $ 만큼 수평으로 늘여 확장한 것이고, $ y=f\left(\frac{x}{c}\right) $ 의 그래프는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 $ c $만큼 수평으로 줄여 축소한 것이 된다.</p> <p>예제 $ 4$ $1.2 $ 절에서 배울 $ y=\cos x $ 의 그래프에 $ c=2 $ 로 확장 및 축소 변환을 하면 그림 $14$ 와 같다.</p> <p>예제 $ 5$ $ y=\sqrt{x} $ 의 그래프는 그림 $15$ (a)와 같다. 이 그래프에 변환을 이용하면, 함수 $ y=\sqrt{x}-2, y=\sqrt{x-2}, y=-\sqrt{x}, y=2 \sqrt{x}, y=\sqrt{-x} $ 들의 그래프를 다음과 같이 얻을 수 있다.</p> <p>예제 $ 6$ $ y=1-\sin x $ 의 그래프는 $ 1.2 $ 절의 $ y=\sin x $ 의 그래프를 $ x $ 축에 대한 대칭으로 $ y=-\sin x $ 의 그래프를 얻고 이를 다시 $1$ 만큼 위로 이동하면 그림 $16 $과 같이 된다.</p> <p>$8$ 절대값을 통한 변환 $ y=\|f(x)\| $ 는 $ f(x) \geq 0 $ 일 때는 $ y=f(x) $ 이고, $ f(x)<0 $ 일 때는 $ y=-f(x) $ 임을 말한다. 따라서 $ y=\|f(x)\| $ 의 그래프는 $ x $ 축 위에 그려진 $ y=f(x) $ 의 그래프는 그대로 두고, $ x $ 축 아래에 위치한 부분의 그래프를 $ x $ 축에 대해 반사를 시키면 된다.</p> <p>예제 $7$ 함수 $ y=\left\|x^{2}-1\right\| $ 의 그래프를 그려 보자. 먼저 포물선 $ y=x^{2} $ 의 그래프($1.2$절 참조)를 $1$ 만큼 아래로 이동시켜 $ y=x^{2}-1 $ 의 포물선을 그리면, $ -1<x<1 $ 에서 그래프가 $ x $ 축 아래에 위치하게 된다. 따라서 $ y=\left\|x^{2}-1\right\| $ 의 그래프는 $ x $ 축 아래에 위치하는 이 부분의 그래프를 $ x $ 축에 대해 반사시키면 그림 $17$ (b)와 같이 된다.</p> <h1>1.3 연습문제</h1> <p>※ ( $1 \sim 4 $) 다음 함수로부터 $ f + g, f-g, f g, f / g $ 를 구하고 각 함수의 정의역을 찾아라.</p> <ol type = 1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } , \quad g(x)=3 x ^ { 2 } -1 $</li> <li>$ f(x)= \sqrt { 1 + x } , \quad g(x)= \sqrt { 1-x } $</li> <li>$ f(x)=x, \quad g(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ f(x)=x ^ { 3 } , \quad g(x)=-x ^ { 2 } $</li></ol> <p>※ ( $5-10 $) 다음 함수로부터 합성함수 $ f \circ g, g \circ f $, $ f \circ f, g \circ g $ 를 구하고 그 정의역을 찾아라.</p> <ol type=1 start=5><li>$ f(x)=2 x ^ { 2 } -2, \quad g(x)=3 x + 2 $</li> <li>$ f(x)=1-x ^ { 3 } , \quad g(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ f(x)= \sin x, \quad g(x)=1- \sqrt { x } $</li> <li>$ f(x)=1-3 x, \quad g(x)=5 x ^ { 2 } + 3 x + 21 $</li> <li>$ f(x)=x + \frac { 1 } { x } , \quad g(x)= \frac { x + 1 } { x + 2 } $</li> <li>$ f(x)= \sqrt { 2 x + 3 } , \quad g(x)=x ^ { 2 } + 1 $</li></ol> <p>※ ( $11 \sim 12 $) 다음 함수로부터 $ f \circ g \circ h $ 를 구하여라.</p> <ol type=1 start=11><li>$ f(x)=x + 1, \quad g(x)=2 x, \quad h(x)=x-1 $</li> <li>$ f(x)= \frac { 2 } { x + 1 } , \quad g(x)= \cos x, \quad h(x)= \sqrt { x + 3 } $</li></ol> <p>※ ( $13 \sim 16 $) 다음 함수를 $ f \circ g $ 나 또는 $ f \circ g \circ h $ 의 형태의 합성함수로 나타내어라.</p> <ol type=1 start=13><li>$ F(x)= \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 10 } $</li> <li>$ G(x)= \sin ( \sqrt { x } ) $</li> <li>$ H(x)=1-3 ^ { x ^ { 2 } } $</li> <li>$ K(x)= \sqrt[3] {\sqrt { x } -1 } $</li></ol> <p>$17 $. $ f(x)=x + 4 $ 이고 $ h(x)=4 x-1 $ 일 때 $ g \circ f=h $ 를 만족하는 함수 $ g $ 를 구하여라.</p> <p>$18 $. $ f \circ(g + h)=f \circ g + f \circ h $ 가 참인지 밝혀라.</p> <p>$ 19 $. $ f_ { 0 } (x)=x ^ { 2 } $ 이라 하자. $ n=0,1,2, \cdots $ 에 대하여 $ f_ { n + 1 } =f_ { 0 } \left (f_ { n } (x) \right ) $ 로 정의하면 함수 $ f_ { n } (x) $ 는 어떻게 표현되는가?</p> <p>$ 20 $. 아래의 그래프로부터 다음 값을 계산하고, 만약 값이 정해지지 않는다면 그 이유를 말해 보아라.</p> <ol type=a start=1><li>$ f(g(2)) $</li> <li>$ g(f(0)) $</li> <li>$ (f \circ g)(0) $</li> <li>$ (g \circ f)(6) $</li> <li>$ (g \circ g)(-2) $</li> <li>$ (f \circ f)(4) $</li></ol> <h1>1.4 역함수</h1> <p>이 절에서는 함수의 합성연산에 대한 역원을 알아보기로 한다. 실제로 실수 $3$의 덧셈에 대한 역원이 $ -3 $ 이고 곱셈에 대한 역원이 $ \frac{1}{3} $ 이 듯이, 어떤 연산에 대하여 역원을 찾는가가 핵심이다. 실수에서와 마찬가지로 $ f $ 의 덧셈에 대한 역원은 $ -f $ 이다. 다시 말해서 \[ ((f+(-f))(x)=(f-f)(x)=f(x)-f(x)=0=0(x) \] 이므로 $ f+(-f)=0 $ 이고 마찬가지로 $ (-f)+f=0 $ 이 성립한다. 또 $ (f g)(x)= $ $ (g f)(x)=1 $, 즉 $ f(x) g(x)=1 $ 로부터 $ f(x) \neq 0 $ 일 경우 $ g(x)=\frac{1}{f(x)} $ 이므로 함수의 곱셈에 대한 $ f $ 의 역원은 $ \frac{1}{f} $ 이다. 이와 같이 역원은 그 연산의 항등원과 관련되어 있는데, 합성연산에 대한 항등원은 함수를 적용하지 않은 것과 동일한 항등함수이므로, 합성연산에 대한 역원, 즉 역함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 가 집합 $ A $ 에서 $ B $ 에로의 함수라 하자. 만약 집합 $ B $ 에서 $ A $ 에로의 \[ \begin{array}{l} x \in A \text { 에 대하여 }(g \circ f)(x)=x \text { 이고, } \\ y \in B \text { 에 대하여 }(f \circ g)(y)=y \text { 이면 } \end{array} \]<caption>(1)</caption>함수 $ g $ 를 $ f $ 의 역함수(inverse function)라 하고, $ g=f^{-1} $ 로 표기한다.</p> <p>이 표기와 합성 연산을 통하여 식 ($1$)을 다시 쓰면 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin{array}{l} x \in A \text { 에 대하여 }\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=x \text { 이고, } \\ y \in B \text { 에 대하여 }\left(f \circ f^{-1}\right)(y)=y \text { 이다. } \end{array} \]<caption>(2)</caption></p> <p>그림 $1$을 보고 역함수를 이해하면 다음과 같은 식을 얻는다.</p> <p>$ y=f(x) \Longleftrightarrow f^{-1}(y)=x $<caption>(3)</caption></p> <p>모든 함수 $ f $ 가 항상 역함수를 갖는 것은 아니다. 그림 $2$ 에서 식 ($3$)을 적용해 역함수를 생각하면 개념이 쉽게 이해된다. $ f $ 는 정의역 원소 하나 마다 단 하나 값을 대응시키기 때문에 역함수가 존재하지만, $ g $ 는 $2$ 와 $3$ 을 같이 $4$ 로 대응시키기 때문에 역함수에 의해 $4$ 에 대응하는 값이 $2$ 와 $3$ 두 개가 된다. 이것은 대응하는 값이 유일해야 한다는 함수의 정의에 모순되므로 역함수가 존재하지 않는다.</p> <p>따라서 어떤 함수가 역함수를 가지려면 이런 조건이 보장되어야 한다. 그림 $2$ 에서 함수 $ f $ 는 $ x_{1} \neq x_{2} $ 일 때 $ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) $ 를 만족하는 특성을 가지는데, 이러한 성질을 갖는 함수를 일대일 함수라고 부른다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 가 일대일(one-to-one) 또는 단사(injection)라는 것은 정의역의 서로 다른 두 점이 결코 같은 함수값을 가지는 않는다는 것을 말한다. 즉, $ x_{1} \neq x_{2} $ 일 때, $ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) $이다.</p> <h2>거듭제곱 함수</h2> <p>실수 $ a $ 에 대하여 $ f(x)=x^{a} $ 의 형태로 표현된 함수를 거듭제곱함수(power function)라고 한다. 몇 가지의 경우를 생각해 보자.</p> <h3>[Ⅰ] 양의 정수 $ n $ 에 대하여 $ a=n $ 일 때</h3> <p>함수 $ f(x)=x^{n} $ 의 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고 모두 원점 $ (0,0) $ 을 지난다. $ n=1 $ 이면 홀함수 $ y=x $ 는 기울기가 $1$ 이고 원점을 지나는 직선이 되어 치역이 $ \mathbb{R} $ 이지만, $ n=2 $ 이면 짝함수 $ y=x^{2} $ 의 그래프는 $ y $ 축에 대하여 대칭인 포물선으로 치역이 $ [0, \infty) $ 이다. 또한 홀함수 $ y=x^{3} $ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 포물선으로 치역은 $ \mathbb{R} $ 이다.</p> <p>그림 $10$에서 보듯이 $ f(x)=x^{n} $ 의 그래프는 $ n $ 이 짝수인지 홀수인지에 영향을 받는다. 만약 $ n $ 이 짝수이면 $ f(x)=x^{n} $ 은 짝함수로 그래프는 포물선 $ y=x^{2} $ 과 유사하다. 만약 $ n $ 이 홀수이면 $ f(x)=x^{n} $ 은 홀함수로 그래프는 $ y=x^{3} $ 의 그래프와 유사하다. 그림 $11$을 통하여 $ n $ 이 증가함에 따라 $ f(x)=x^{n} $ 의 그래프는 $0$ 근방에서 더 평평해지지만, $ \|x\| \geq 1 $ 일 때는 더 급격히 커진다는 것을 확인하여라.</p> <h3>[Ⅱ] 양의 정수 $ n $ 에 대하여 $ a=\frac{1}{n} $ 일 때</h3> <p>함수 $ f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} $ 는 제곱근함수이다. $ n=2 $ 일 때 $ f(x)=\sqrt{x} $ 의 정의역은 $ [0, \infty) $ 이고 그래프는 포물선 $ x=y^{2} $ 의 상반부이다(그림 $12$(a) 참조). 사실 모든 짝수 $ n $ 에 대해서, $ y=\sqrt[n]{x} $ 의 정의역은 $ [0, \infty) $ 이고 그래프는 $ y=\sqrt{x} $ 와 유사하다. 그러나 $ n=3 $ 이면 $ f(x)=\sqrt[3]{x} $ 의 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고 그래프는 그림 $ 12$(b) 와 같다. 또한 모든 홀수 $ n $ 에 대하여 $ y=\sqrt[n]{x} $ 의 정의역과 치역은 모두 $ \mathbb{R} $ 이고 그래프는 $ y=\sqrt[3]{x} $ 의 그래프와 유사하다. 이 함수에 대하여는 나중 $ 1.3 $ 절에서 자세히 공부하기로 하자.</p> <h3>[Ⅲ] $ a=-1 $ 일 때</h3> <p>함수 $ f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} $ 는 분수함수인데, $ y=\frac{1}{x} $ 라 두면 $ x y=1 $ 이므로 반비례함수이다. 분모는 $0$ 이 되어선 안 되므로, 이 함수의 정의역은 $0$ 이 아닌 모든 실수이다. 그래프는 그림 $13$에서 보듯이 좌표축이 점근선인 쌍곡선인데, 나중에 자세히 알아보기로 한다.</p> <h2>지수함수</h2> <p>모든 실수 $ x $ 에 대하여 양의 실수 $ a $ 를 밑으로 하는 형태의 함수 $ f(x)=a^{x} $ 를 지수함수(exponential function)라 한다. 예를 들어 함수 $ f(x)=2^{x} $ 은 밑이 $2$ 인 지수함수인데, 밑이 변수인 제곱 함수 $ g(x)=x^{2} $ 와는 다르다는데 유의하자. 지수 함수를 이해하기 위하여 다양한 $ x $ 에 따라 $ a^{x} $ 에 어떤 현상이 일어나는지 하나하나 살펴보기로 한다. 우선 기본적인 지수법칙은 다음과 같다.</p> <p>$11$ 지수의 법칙 $ a $ 와 $ b $ 를 양수라 하자. 임의의 실수 $ x $ 와 $ y $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a^{x+y}=a^{x} a^{y} $</li> <li>$ a^{x-y}=\frac{a^{x}}{a^{y}} $</li> <li>$ \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x y} $</li> <li>$ (a b)^{x}=a^{x} b^{x} $</li></ol> <ol type=I start=1><li>$ x $ 가 양의 정수 $ n $ 이면 $ a^{n}=\underbrace{a \cdots a}_{n} $ 은 거듭제곱에 지나지 않고 $ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} $ 은 거듭제곱의 역수로 이해한다. 따라서 $ x=0 $ 이면 \[ a^{0}=a^{n-n}=a^{n} \cdot a^{-n}=a^{n} \cdot \frac{1}{a^{n}}=1 \] 이다.</li> <li>$ x $ 가 유리수로 $ x=\frac{p}{q}(p $ 와 $ q $ 는 정수이고 $ q>0) $ 이면 \[ a^{x}=a^{p / q}=\sqrt[q]{a^{p}}=(\sqrt[q]{a})^{p} \] 이므로 제곱근과 거듭제곱을 통해 이해하면 된다.</li> <li>만약 $ x $ 가 무리수라면 $ a^{x} $ 는 어떻게 이해하여야 할까? 가령 $ 2^{\sqrt{3}} $ 또는 $ 2^{\sqrt{5}} $ 은 어떻게 계산해야 하는 걸까? 모든 유리수 $ x $ 에 대응하는 $ y=2^{x} $ 의 값을 그래프로 나타내면, 그림 $24$ 와 같은데 보다시피 무리수 $ x $ 에 대응하는 함수값이 비어있다. 그림 $24$ 의 빈곳을 모두 채워 넣은 그림 $25$ 은 모든 실수 $ x \in \mathbb{R} $ 에 대한 함수 $ f(x)=2^{x} $ 의 완성된 그래프를 보여 준다.</li></ol> <p>그림 $26$은 여러 가지 밑 $ a $ 에 대한 $ y=a^{x} $ 의 그래프를 나타낸 것인데, 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고 $ a \neq 0 $ 일 때 $ a^{0}=1 $ 이기 때문에 모든 그래프가 점 $ (0,1) $ 을 지난다. 그리고 $ a=1 $ 인 경우는 상수함수가 되어 그림 $ 27$(b) 가 되므로, $ a=1 $ 을 제외한 모든 함수 $ y=a^{x} $ 의 치역은 $ (0, \infty) $ 이다. 또한 $ 0<a<1 $ 이면 그래프는 감소하고 $ a>1 $ 이면 증가하며, $ (1 / a)^{x}=1 / a^{x}=a^{-x} $ 이므로, $ y=a^{x} $ 와 $ y=(1 / a)^{x} $ 의 그래프는 서로 $ y $ 축에 대하여 대칭이다(그림 $27$ (a)와 (c) 참조).</p> <p>예제 $10$ 함수 $ y=3-2^{x} $ 의 그래프는 $ y=2^{x} $ 의 그래프를 $ x $ 축에 대하여 반사시켜 $ y=-2^{x} $ 의 그래프를 구한 뒤 이를 위로 $3$ 만큼 수직이동하면 된다. 그림 $28$ (c)에서 보듯이 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고 치역은 $ (-\infty, 3) $ 이다.</p> <p>예제 $7$ 제 $1$ 사분면의 각 $ x $ 에서 $ \cos x=\frac{2}{5} $ 라고 하면, 직각삼각형의 빗변이 $5$이고 밑변이 $2$ 라는 것을 뜻한다. 피타고라스 정리에 의하면 높이는 $ \sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21} $ 이다 (제 $1$ 사분면이므로 값은 양수임에 유의하라). 따라서 $ \sin x=\frac{\sqrt{21}}{5}, \tan x=\frac{\sqrt{21}}{2} $ 가 됨을 알 수 있다.</p> <p>다음에 소개할 삼각비에 대한 항등식들은 아주 유용한 식이므로 잘 기억해 두도록 하자.</p> <p>$10$ 정리</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1, \quad \tan ^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta, \quad \cot ^{2} \theta+1=\csc ^{2} \theta $</li> <li>합,차의 공식 (부호는 복호 동순) \[ \begin{array}{l} \sin (x \pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos (x \pm y)=\cos x \cos y \pm \sin x \sin y \\ \tan (x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} \end{array} \]</li> <li>배각공식 $ \sin (2 x)=2 \sin x, \cos x $ \[ \cos (2 x)=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \sin ^{2} x \]</li> <li>곱의 공식 \[ \begin{array}{l} \sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)] \\ \cos x \cos y=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)] \\ \sin x \sin y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)] \end{array} \]</li></ol> <p>증명 ($1$)은 그림 $17$에 피타고라스 정리를 적용하면 $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 이므로, $ r=1 $ 로 택하면 $ x=\cos \theta, y=\sin \theta $ 가 되어 첫 번째가 증명된다. 양 변을 $ \cos ^{2} \theta $ 로 나누면 두 번째 식이, $ \sin ^{2} \theta $ 로 나누면 세 번째 식이 얻어진다. ($2$)의 합의 공식에 $ x=y $ 를 대입하고 ($1$)을 이용하면 ($3$)이 얻어진다.($2$)와 ($4$)의 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>예제 $ 8$ $[0,2 \pi] $ 에서 $ \sin x=\sin 2 x $ 를 만족하는 $ x $ 를 구하여 보자. 먼저 삼각 항등식의 $2$ 배각 공식 $ \sin 2 x=2 \sin x \cos x $ 에 따라 주어진 등식은 $ \sin x=2 \sin x \cos x $, 즉 $ \sin x(1-2 \cos x)=0 $ 이 된다. 따라서 구하는 해는 $ \sin x=0 $ 또는 $ \cos x=\frac{1}{2} $ 를 만족해야 한다. $ \sin x=0 $ 를 풀면 $ x=0, \pi, 2 \pi $ 이고 $ \cos x=\frac{1}{2} $ 를 풀면 $ x=\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} $ 이므로 주어진 등식은 다섯 개의 해 $ 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5 \pi}{3}, 2 \pi $ 를 가진다.</p> <p>탄젠트함수 $ f(x)=\tan x $ 도 정의역을 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 로 제한하면 \[ f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \] 은 일대일 전사함수가 되므로, 역함수 $ f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 가 존재한다. 이를 역탄젠트함수라 하고 $ \tan ^{-1} $ 또는 $ \arctan $ 로 나타낸다. 역탄젠트함수는 정의역이 $ \mathbb{R} $ 이고 치역이 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 인데, 그림 $16$ 을 직선 $ y=x $ 에 대하여 반사시키면 그림 $17$ 과 같은 역탄젠트함수의 그래프를 얻는다. 여기서 직선 $ y=\pm \frac{\pi}{2} $ 는 역탄젠트함수의 수평점근선이 된다.</p> <p>또한 $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} $ 에 대하여 $ \tan ^{-1} x=y \Longleftrightarrow \tan y=x $ 이고 $21$ $ -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $ 에 대하여 $ \tan ^{-1}(\tan x)=x $ $ x \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ \tan \left(\tan ^{-1} x\right)=x $ 이다.</p> <p>예제 $8$ 식 $ \cos \left(\tan ^{-1} x\right) $ 를 간단히 나타내어 보자. 먼저 $ y=\tan ^{-1} x $ 라 두면, $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} $ 인 경우에 이는 $ \tan y=x $ 와 동치이다. 직접 $ \cos y $ 를 구해도 되지만, $ \tan y $ 를 알고 있으므로 \[ \sec ^{2} y=1+\tan ^{2} y=1+x^{2} \] 을 이용하면 더 쉽게 해결이 된다. 즉 $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} $ 에서 $ \sec y>0 $ 이므로 $ \sec y=\sqrt{1+x^{2}} $ 이다. 따라서 $ \cos \left(\tan ^{-1} x\right)=\cos y=\frac{1}{\sec y}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $ 이 된다.</p> <p>주 삼각함수 항등식을 이용하는 대신에 그림을 이용해도 된다. $ y=\tan ^{-1} x $ 와 동치인 $ \tan y=x $ 를 이용하여 그림 $18$과 같이 직각삼각형을 그려 보자. 여기서 $ y>0 $ 임에 주의하자. 그러면 직각삼각형으로부터 $ \cos \left(\tan ^{-1} x\right)=\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} $ 를 얻는다.</p> <p>예제 $9$</p> <ol type=a start=1><li>$ \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} $ 이고 $ \frac{\pi}{6} $ 는 $ -\frac{\pi}{2} $ 과 $ \frac{\pi}{2} $ 사이에 속하므로 $ \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6} $ 이다.</li> <li>$ \tan \left(\arcsin \frac{1}{3}\right) $ 를 구하기 위해 $ \theta=\arcsin \frac{1}{3} $ 이라 하자. 이는 $ \sin \theta=\frac{1}{3} $ 와 동치이므로, 그림 $19$ 와 같이 각 $ \theta $ 를 갖는 직각삼각형을 그리고 피타고라스정리를 적용하면 밑변의 길이는 $ \sqrt{9-1}=2 \sqrt{2} $ 이 된다. 그러면 직각삼각형으로부터 $ \tan \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)=\tan \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} $ 이 된다.</li></ol> <p>다음에 소개하는 역삼각함수도 위에서와 마찬가지 방법으로 정의가 가능하다.</p> <p>$22$ $ \|x\| \geq 1 $ 와 $ y \in\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right] $ 에 대하여 \[ y=\csc ^{-1} x \Longleftrightarrow \csc y=x \] $ \|x\| \geq 1 $ 와 $ y \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $ 에 대하여 \[ y=\sec ^{-1} x \Longleftrightarrow \sec y=x \] $ x \in \mathbb{R} $ 와 $ y \in(0, \pi) $ 에 대하여 \[ y=\cot ^{-1} x \quad \Longleftrightarrow \quad \cot y=x \]</p> <p>예제 $1$ 의 함수 $ f(x)=x^{3} $ 는 일대일 전사함수로 역함수를 가진다. 사실, $ f^{-1}(x)=x^{\frac{1}{3}} $ 인데, \[ f^{-1}(f(x))=\left(x^{3}\right)^{\frac{1}{3}}=x \text { 이고 } f\left(f^{-1}(x)\right)=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=x \] 로 알 수 있다. 지금부터 역함수를 어떻게 구해야 하는지 알아보자. 만약 함수 $ y=f(x) $ 에서 $ x $ 를 $ y $ 에 대한 식으로 풀 수 있다면 $ x=f^{-1}(y) $ 는 바로 얻어진다. 즉, $ x $ 를 독립변수로 하기 위해서 $ x $ 와 $ y $ 를 교환하면 $ y=f^{-1}(x) $ 을 얻을 수 있다는 말이다.</p> <p>$15$ 함수 $ f $ 의 역함수 구하기 $1$단계 $ y=f(x) $ 라고 쓴다. $2$ 단계 이 방정식에서 (가능하다면) $ x $ 를 $ y $ 에 관한 식으로 푼다. $3$ 단계 $ f^{-1} $ 를 $ x $ 의 함수로 표현하기 위해 $ x $ 와 $ y $ 를 바꾼다. 그 결과로 $ y=f^{-1}(x) $ 을 얻는다.</p> <p>예제 $2$ 함수 $ f(x)=x^{3}+2 $ 는 $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 인 전단사함수이므로 역함수 $ f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 를 가진다. 먼저 $ y=x^{3}+2 $ 로 쓰고 이것을 $ x $ 에 대하여 풀면, $ x^{3}=y-2 $ 에서 $ x=\sqrt[3]{y-2} $ 을 얻는다. 이제 $ x $ 와 $ y $ 를 바꾸면 $ y=\sqrt[3]{x-2} $ 가 되므로 역함수는 $ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2} $ 이 된다.</p> <p>역함수의 정의에서 $ x $ 와 $ y $ 을 교환하는 것은 $ f $ 의 그래프로부터 $ f^{-1} $ 의 그래프를 얻기 위한 방법을 제공해준다. 즉, $ f(a)=b \Leftrightarrow f^{-1}(b)=a $ 은 $ f $ 의 그래프 위에 점 $ (a, b) $ 이 있으면, 점 $ (b, a) $ 는 $ f^{-1} $ 의 그래프 위에 있다는 것을 말해준다. 그런데, $ (b, a) $ 와 $ (a, b) $ 는 직선 $ y=x $ 에 대하여 서로 대칭(그림 $5$ 참조) 이므로 역함수의 그래프는 $ f $ 의 그래프를 직선 $ y=x $ 에 대하여 반사시키면 된다(그림 $6$ 참조).</p> <p>예제 $3$ 함수 $ f(x)=\sqrt{-1-x} $ 의 역함수의 그래프를 그려 보자. 먼저 함수 $ y=\sqrt{-1-x} $ 의 정의역이 $ \{x \mid x \leq-1\} $ 이고 치역은 $ \{y \mid y \geq 0\} $ 임을 확인하자. 실제로 이 함수의 그래프는 포물선 $ y^{2}=-1-x $ 또는 $ x=-y^{2}-1 $ 의 상반부가 해당되므로, $ f:(\infty,-1] \rightarrow[0, \infty] $ 가 일대일 전사 함수임을 알 수 있다. 따라서 역함수 \[ f^{-1}:[0, \infty) \rightarrow(-\infty,-1] \] 가 존재한다. 역함수의 그래프는 $ f $ 의 그래프를 직선 $ y=x $ 에 대하여 반사시키면 그림 $7$이 되는데, 실제로 역함수의 식은 $ f^{-1}(x)=-x^{2}-1 $ 이다.</p> <p>지금부터 기존의 알려져 있는 함수들이 가지는 역함수에 대해서 조사해 보기로 한다.</p> <h2>그래프가 반복되는 함수</h2> <p>함수의 그래프의 일정 부분이 반복되어 나타나는 경우가 있는데, $ y $ 축이나 원점에 대하여 대칭인 경우와 주기함수인 경우가 이에 해당한다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 가 정의역에 있는 모든 수 $ x $ 에 대하여 $ f(-x) = f(x) $ 를 만족하면, $ f $ 를 짝함수(even function)라 하고 $ f(-x)=-f(x) $ 를 만족하면 $ f $를 홀함수(odd function)라 한다.</p> <p>예를 들면, 함수 $ f(x)=x ^ { 2 } $ 은 짝함수이고 $ f(x)=x ^ { 3 } $ 은 홀함수이다. 짝함수의 그래프는 $ y $ 축에 대하여 대칭으로서, $ x \geq 0 $ 에서의 그래프를 $ y $ 축에 대하여 반사시킴으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 $18 $ 참조). 반면 홀함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로, $ x \geq 0 $ 에서의 그래프를 원점을 중심으로 시계방향으로 $ 180 ^ {\circ } $ 회전함으로써 전체 그래프를 얻는다(그림 $19 $ 참조).</p> <p>예제 $8 $</p> <ol type=a start=1><li>$ f(x)=x ^ { 5 } + x $ 는 $ f(-x)=(-x) ^ { 5 } + (-x)=-x ^ { 5 } -x= - \left (x ^ { 5 } + x \right )=-f(x) $ 이므로 홀함수이다.</li> <li>$ g(x)=1-x ^ { 4 } $ 는 $ g(-x)=1-(-x) ^ { 4 } =1-x ^ { 4 } =g(x) $ 이 되어 짝함수이다.</li> <li>$ h(x)=2 x-x ^ { 2 } $ 는 $ h(-x)=2(-x)-(-x) ^ { 2 } =-2 x-x ^ { 2 } $ 이므로, $ h(-x) \neq h(x) $ 이고 $ h(-x) \neq-h(x) $ 이다. 따라서 $ h $ 는 짝함수도 홀함수도 아니고 그래프가 $ y $ 축에 대하여도 원점에 대하여도 대칭이 아니다.</li></ol> <p>다음 그림 $20 $에서 나타낸 이들의 그래프를 통하여 확인하여 보아라.</p> <p>정의 모든 정의역에서 $ f(x)=f(x + p) $ 를 만족하는 함수 $ y=f(x) $ 를 주기함수(periodic function)라 하고 이때 $ p $ 를 주기(period)라 한다.</p> <p>주기가 $ p $ 인 주기함수의 그래프는 길이가 $ p $ 인 구간에서의 그래프가 전체 정의역에 걸쳐 반복하여 나타나게 된다. 대표적인 함수가 삼각함수인데, $ 1.2 $ 절에서 자세히 조사할 것이다.</p> <h2>이차함수</h2> <p>차수가 $2$ 인 다항함수를 이차함수라 하는데, $ P(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) $ 의 형태를 가진다. 먼저 이차함수의 기본을 이루는 함수 $ f(x)=x^{2} $ 을 조사하여 보자. 함수의 그래프는 $ f(0)=0, f(2)=4, f(-1)=1 $ 이므로 $ (-1,1) $ 에서 $ (0,0) $ 을 지나 $ (2,4) $ 를 연결하는 방법으로 다른 여러 점들을 구해 연결하면 그림 $5$ 와 같은 포물선이 된다. 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고 모든 실수 $ x $ 에 대하여 $ x^{2} \geq 0 $ 이므로 치역은 $ [0, \infty) $ 인데, 그래프를 통해서도 이를 확인할 수 있다.</p> <p>$ g(x)=a x^{2} $ 이 나타내는 포물선은 $ 1.1 $ 절에 의하면 $ f(x)=x^{2} $ 를 $ a $ 만큼 수직으로 확장하거나 축소시킨 것이고, 짝함수로 그래프는 $ y $ 축에 대하여 대칭이다. 또한 $ a>0 $ 일 때 $ f(x)=x^{2} $ 와 같이 위로 열리며 $ a<0 $ 이면 아래로 열린다(그림 $6$ 참조).</p> <p>$1.1$절에 의하면, $ h(x)=a(x-p)^{2} $ 은 $ g(x)=a x^{2} $ 의 그래프를 $ p $ 만큼 수평으로 평행이동한 것이고, $ k(x)=a x^{2}+q $ 는 $ g(x)=a x^{2} $ 의 그래프를 수직으로 $ q $ 만큼 평행이동한 것이다. 일반적으로 $ P(x)=a(x-p)^{2}+q $ 는 $ g(x)=a x^{2} $ 의 그래프를 수평으로 $ p $ 만큼 평행이동한 뒤 수직으로 $ q $ 만큼 평행이동한 것이 된다. 즉 포물선의 형태는 그대로 두고 그림 $5$ 의 포물선의 꼭지점 $ (0,0) $ 을 $ (p, q) $ 로 옮기면 된다.</p> <p>예제 $5$ 이차함수 $ f(x)=x^{2}+6 x+10 $ 를 완전 제곱의 형태로 바꾸면 $ y=x^{2}+6 x+10=(x+3)^{2}+1 $ 이다. 따라서 이 그래프는 $ y=x^{2} $ 의 그래프를 $3$ 만큼 왼쪽으로 $1$ 만큼 위쪽으로 이동하면 되므로 그림 $7$과 같다.</p> <p>예제 $ 6$ $ y=-2 x^{2}+3 x+1 $ 의 그래프를 그리기 위해 이를 완전제곱의 형태로 바꾸면 \[ \begin{aligned} y &=-2 x^{2}+3 x+1=-2\left(x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{9}{16}\right)+\frac{9}{8}+1 \\ &=-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{17}{8} \end{aligned} \] 인데, 여기서 $ \frac{9}{16} $ 을 빼고 더하여도 등호가 바뀌지 않는다는 성질을 이용하였다. 따라서 $ y=x^{2} $ 의 그래프를 $2$ 만큼 수직으로 확장한 것을 $ x $ 축에 대하여 반사하여 $ y=-2 x^{2} $ 를 얻고, 이 포물선의 꼭지점이 $ \left(\frac{3}{4}, \frac{17}{8}\right) $ 이 되도록 평행이동하면 그림 $8$과 같다.</p> <p>다음 그림 $9$ 에서는 $3$ 차 함수, $4$ 차 함수, $5$ 차 함수들의 그래프를 제시하였는데, 왜 이러한 형태가 되는지는 나중에 알아보기로 한다.</p> <p>따라서 어떤 함수가 역함수를 가지려면 이런 조건이 보장되어야 한다. 그림 $2$ 에서 함수 $ f $ 는 $ x_{1} \neq x_{2} $ 일 때 $ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) $ 를 만족하는 특성을 가지는데, 이러한 성질을 갖는 함수를 일대일 함수라고 부른다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 가 일대일(one-to-one) 또는 단사(injection)라는 것은 정의역의 서로 다른 두 점이 결코 같은 함수값을 가지는 않는다는 것을 말한다. 즉, $ x_{1} \neq x_{2} $ 일 때, $ f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) $이다.</p> <p>참인 명제의 대우(contrapositive)명제는 항상 참이므로, 일대일 함수는 $ f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) $ 이면 $ x_{1}=x_{2} $ 이라는 것과 동치이다. 이것은 등호로 설명되었기 때문에 정의보다 훨씬 이해하기가 쉬운데, 특히 함수 $ f $ 의 그래프가 수평선과 한 점 이상에서 만날 수 없다는 것을 의미한다.</p> <p>$13$ 수평선 판정법 함수가 일대일이 될 필요충분조건은 그래프가 수평선과 한번 이상 만나지 않는 것이다.</p> <p>예제 $1$ 함수 $ f(x)=x^{3} $ 은 $ x_{1} \neq x_{2} $ 이면 $ x_{1}^{3} \neq x_{2}^{3} $ 이므로 일대일 함수이다. 그림 $3$ 에서 보듯이 $ f(x)=x^{3} $ 의 그래프가 두 번 이상 만나는 수평선은 없다는 사실로도 파악이 된다. 반면, $ g(1)=1=g(-1) $ 이기 때문에 $ g(x)=x^{2} $ 은 일대일함수가 아닌데, 그림 $4$ 에서 보듯이 수평선은 $ g $ 의 그래프와 한 번 이상 교차한다.</p> <p>일대일 함수는 함수 $ f: A \rightarrow B $ 가 역함수를 갖는 조건에 매우 중요하다. 실제로 식 ($3$)은 $ f $ 가 $ x $ 를 $ y $ 로 보낸다면 $ f^{-1} $ 는 $ y $ 를 다시 $ x $ 로 보낸다는 것을 의미한다. 이미 언급했듯이 $ f $ 가 일대일이 아니면, $ f^{-1} $ 는 함수로 정의되지 않을 것이다. 또한 $ f $ 의 정의역이 $ f^{-1} $ 의 치역이고, $ f^{-1} $ 의 치역이 $ f $ 의 정의역이므로 $ B $ 가 함수 $ f $ 의 치역과 같아야 $ f^{-1} $ 가 정의될 것이다. 이러한 성질은 전사(onto, 또는 surjection)라 한다. 그리고 전사인 일대일 함수는 일대일 전사, 또는 전단사 (bijection) 또는 일대일 대응(one-to-one correspondence) 함수라 한다.</p> <p>$14$ 정리 함수가 역함수를 가질 필요충분조건은 함수가 일대일 전사 함수일 때이다.</p> <p>주 $ f^{-1} $ 는 단순히 기호일 뿐, $ -1 $ 을 지수로 오해하지 말라. 즉, $ f^{-1}(x) $ 는 역수함수 $ \frac{1}{f(x)} $ 가 아니다.</p> <p>예제 $3$ $ f(x)=\sqrt{x} $ 이고 $ g(x)=\sqrt{2-x} $ 이라 하자.</p> <ol type=a start=1><li>$ (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{2-x})=\sqrt{\sqrt{2-x}}=\sqrt[4]{2-x} $ 이므로 $ f \circ g $ 의 정의역은 $ \{x \mid 2-x \geqq 0\}=[2, \infty) $ 이다.</li> <li>$ (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{2-\sqrt{x}} $ 이 되는데, 우선 $ \sqrt{x} $ 가 정의되기 위해서 $ x \geq 0 $ 이어야 하고, 또한 $ \sqrt{2-\sqrt{x}} $ 가 정의되어야 하므로 $ 2-\sqrt{x} \geq 0 $ 으로부터 $ \sqrt{x} \leq 2 $ 또는 $ x \leq 4 $ 이 된다. 이를 종합하면, $ g \circ f $ 의 정의역은 $ 0 \leq x \leq 4 $ 이므로 닫힌 구간 $ [0,4] $ 이다.</li> <li>$ (f \circ f)(x)=f(f(x))=f(\sqrt{x})=\sqrt{\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x} $ 이므로 $ f \circ f $ 의 정의역 은 $ [0, \infty) $ 이다.</li> <li>$ (g \circ g)(x)=g(g(x))=g(\sqrt{2-x})=\sqrt{2-\sqrt{2-x}} $ 이다. 우선 $ 2-x $ $ \geq 0 $ 일 때 즉, $ x \leq 2 $ 일 때 정의된다. 또한 $ 2-\sqrt{2-x} \geq 0 $ 이어야 하는데, 이는 $ \sqrt{2-x} \leq 2 $ 또는 $ 2-x \leq 4 $ 와 동치이므로 $ x \geq-2 $ 를 얻는다. 이를 종합하면 $ g \circ g $ 의 정의역은 $ -2 \leq x \leq 2 $ 즉, 닫힌구간 $ [-2,2] $ 이 된다.</li> <p>세 개 또는 그 이상의 함수들도 합성이 가능하다. 예를 들면 합성함수 $ f \circ g \circ h $ 는 다음과 같이 첫째 $ h $ 다음에 $ g $ 를 적용하고 마지막으로 $ f $ 를 적용하면 된다.</p> <p>$ (f \circ g \circ h)(x)=f(g(h(x))) $<caption>(2)</caption></p> <p>예제 $ 4$ $ f(x)=\frac{x}{(x+1)}, g(x)=x^{10}, h(x)=x+3 $ 이면 $ f \circ g \circ h $ 는 ($2$)에 대하여 \[ \begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x) &=f(g(h(x)))=f(g(x+3)) \\ &=f\left((x+3)^{10}\right)=\frac{(x+3)^{10}}{(x+3)^{10}+1} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>지금까지 간단한 함수들로부터 복잡한 함수들을 만드는데 합성을 사용했다. 그러나 다음의 예제와 같이 복잡한 함수를 간단한 함수로 분해하는 것이 유용한 경우가 있는데 이를 연습해 보기로 하자.</p> <p>예제 $5$ 함수 $ F(x)=\cos ^{2}(x+9) $ 를 $ F=f \circ g \circ h $ 가 되도록 함수 $ f, g, h $를 찾아 보자. $ F(x) $ 는 관찰해 보면 $ x $ 에 먼저 9 를 더하고 그 결과에 코사인을 취한 후, 마지막으로 제곱을 함으로써 얻어진다는 사실이 표악된다. 따라서 $ h(x)=x+9, g(x)=\cos x, \quad f(x)=x^{2} $ 라 두면 \[ \begin{aligned} (f \circ g \circ h)(x) &=f(g(h(x)))=f(g(x+9)) \\ &=f(\cos (x+9))=\cos ^{2}(x+9) \end{aligned} \] 이 되어 $ F=f \circ g \circ h $ 임을 알았다.</p> <h2>자연로그</h2> <p>밑 $ a $ 를 $ e $ 로 선택한 자연지수함수 $ f(x)=e^{x} $ 의 역함수는 $ f^{-1}(x)=\log _{e} x $ 가 되는데, 이를 자연 로그함수(natural logarithm)라 하고 간단히 $ f^{-1}(x)=\ln x $ 라 쓴다. 즉, $ \ln x=y \quad \Longleftrightarrow \quad e^{y}=x $이고 $ x \in \mathbb{R} $ 에 대하여 $ \ln \left(e^{x}\right)=x $ 이고, $ x>0 $ 에 대하여 $ e^{\ln x}=x $<caption>(4)</caption>이다. 특히 $ x=1 $ 이라 두면 $ \ln e=1 $ 을 얻는다.</p> <p>예제 $ 4$ $ \ln x=5 $ 는 $ e^{5}=x $ 와 동치이므로 $ x=e^{5} $ 로 간단히 구해진다. 이와는 달리 양변에 자연지수함수를 취하면, $ e^{\ln x}=e^{5} $ 인데, 왼쪽 변이 식 ($4$)에 의하면 $ e^{\ln x}=x $ 이므로 $ x=e^{5} $ 이 된다.</p> <p>예제 $5$ 방정식 $ e^{5-3 x}=10 $ 을 풀기 위하여 양변에 자연로그를 취하면 $ \ln \left(e^{5-3 x}\right)=\ln 10 $ 이다. 왼쪽 변에 식 ($4$)를 적용하면, $ 5-3 x=\ln 10 $ 인데 이를 풀면 $ 3 x=5-\ln 10 $ 즉, $ x=\frac{1}{3}(5-\ln 10) $ 가 된다.</p> <p>예제 $6$ 로그 법칙에 의해 $ \ln a+\frac{1}{2} \ln b=\ln a+\ln b^{\frac{1}{2}}=\ln a+\ln \sqrt{b} $ $ =\ln (a \sqrt{b}) $ 로 간단히 표현된다.</p> <p>자연로그는 앞으로 배울 미분, 적분 이론을 때때로 간단하게 처리해주는 유용한 함수인데, 특히 자연로그의 값의 근사값들은 하나의 표로 제시되어 있고 계산기나 컴퓨터에 기본으로 프로그램화 되어 있다. 밑이 $ a \neq 1 $ 인 $ \log _{a} x $ 는 이러한 자연로그함수로 간단히 처리된다. $ y=\log _{a} x $ 는 $ a^{y}=x $ 와 동치인데, 이 식의 양변에 자연로그를 취하면 $ y \ln a=\ln x $ 가 되므로 다음을 얻는다.</p> <p>$18$ 정리 양수 $ a \neq 1 $ 에 대하여 $ \log _{a} x=\frac{\ln x}{\ln a} $ 이다.</p> <p>예를 들면, $ \log _{8} 5 $ 의 값은 $ \log _{8} 5=\frac{\ln 5}{\ln 8} \approx 0.773976 $ 와 같이 자연로그의 값으로 계산이 가능하다.</p> <p>지수함수 $ y=e^{x} $ 의 그래프의 역함수는 자연로그함수 $ y=\ln x $ 이므로, 자연로그함수의 그래프는 자연지수함수의 그래프를 $ y=x $ 에 대하여 반사하면 된다 (그림 $10$ 참조). 밑이 $1$ 보다 큰 로그함수와 마찬가지로 자연 로그함수도 $ (0, \infty) $ 에서 정의된 증가함수이며 $ y $ 축이 수직 점근선이다(이것은 $ x $ 가 0 에 접근할 때 $ \ln x $ 의 절대값이 아주 큰 음수가 된다는 것을 의미한다).</p> <p>예제 $7$ 함수 $ y=\ln (x-2)-1 $ 의 그래프는 $ y=\ln x $ 의 그래프에서 $2$ 만큼 오른쪽으로 이동하여 $ y=\ln (x-2) $ 의 그래프를 얻고 다시 이를 아래로 $1$ 만큼 이동하면 된다(그림 $11$ 참조).</p> <h2>쌍곡선함수</h2> <p>지수함수 $ e^{x} $ 과 $ e^{-x} $ 을 적당히 결합하면 물리학이나 공학 등 응용분야에서 자주 이용되는 함수를 얻을 수 있다. 재미있는 점은 이들 함수의 그래프가 쌍곡선과 관련이 있어 쌍곡선함수(hyperbolic function)라 하는데, 이들이 삼각함수의 삼각항등식과 같이 비슷한 성질을 가지기 때문에 별개로 쌍곡선 사인 (hyperbolic sine), 쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine), 쌍곡선 탄제트(hyper bolic tangent) 함수라 하고, 간략하게 $ \sinh , \cosh , \tanh $ 로 표기한다. 삼각함수와 마찬가지로 이들의 역수는 $ \operatorname{csch}, \mathrm{sech}, \operatorname{coth} $ 로 표기한다.</p> <p>정의 쌍곡선 함수 \[ \begin{aligned} \sinh x &=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x} \\ \cosh x &=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x} \\ \tanh x &=\frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \operatorname{coth} x=\frac{\cosh x}{\sinh x} \end{aligned} \]</p> <p>주 쌍곡선 코사인 함수는 $ x $ 에 $ e^{x} $ 과 $ e^{-x} $ 의 평균값을 대응시키고, 쌍곡선 사인함수는 $ x $ 에 $ e^{x} $ 과 $ -e^{-x} $ 의 평균값을 대응시킨다.</p> <p>예제 $12$ $ \sinh 0=0 $ 인 반면 $ \cosh 0=1 $ 이다. 따라서 $ \tanh 0=0 $ 이 된다.</p> <p>쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인 함수의 정의역은 지수함수로 정의되었으므로 지수함수의 정의역과 같이 $ \mathbb{R} $ 이다. 그러나, 쌍곡선 사인함수의 치역이 $ \mathbb{R} $ 인 반면, 쌍곡선 코사인 함수의 치역은 $ [1, \infty) $ 이다. 분수함수로서 쌍곡선 탄젠트 함수는 수평점근선 $ y=\pm 1 $ 을 가진다.</p> <p>쌍곡선함수들은 삼각함수들에서처럼 다음과 같은 여러 가지 항등식을 가진다.</p> <p>$12$ 쌍곡선함수의 항등식</p> <ol type=a start=1><li>$ \sinh (-x)=-\sinh x $</li> <li>$ \cosh (-x)=\cosh x $</li> <li>$ \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 $</li> <li>$ 1-\tanh ^{2} x=\operatorname{sech}^{2} x $</li> <li>$ \sinh (x+y)=\sinh x \cosh y+\cosh x \sinh y $</li> <li>$ \cosh (x+y)=\cosh x \cosh y+\sinh x \sinh y $</li></ol> <p>증명 (a)와 (b)는 정의로부터 쉽게 얻어진다. (c) $ \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2} $ $ =\frac{e^{2 x}+2+e^{-2 x}}{4}-\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4} $ $ =\frac{e^{2 x}+2+e^{-2 x}}{4}-\frac{e^{2 x}-2+e^{-2 x}}{4}=\frac{4}{4}=1 $. (d) 식 (c) $ \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 $ 의 양변을 $ \cosh ^{2} x $ 로 나누면, $ 1- $ $ \frac{\sinh ^{2} x}{\cosh ^{2} x}=\frac{1}{\cosh ^{2} x} $ 이므로 $ 1-\tanh ^{2} x=\operatorname{sech}^{2} x $ 이 된다. 나머지 증명은 연습문제에서 하여라.</p> <p>예제 $ 13$ $ \sinh x=\frac{3}{5} $ 이면 항등식에 의해 $ \cosh ^{2} x=1+\sinh ^{2} x=1+\frac{9}{25}= $ $ \frac{34}{25} $ 이므로 $ \cosh x=\frac{\sqrt{34}}{5} $ 가 된다. 여기서 코사인 쌍곡선 함수는 반드시 양이라는 사실을 이용하였다. 반면에 $ \cosh x=\frac{5}{3} $ 이면 $ \sinh ^{2} x=\cosh ^{2} x-1= $ $ \frac{25}{9}-1=\frac{16}{9} $ 이므로 $ \sinh x=\pm \frac{4}{3} $ 가 된다.</p> <h2>로그함수</h2> <p>양의 상수 $ a $ 를 밑(base)으로 하는 로그(logarithm) 함수는 $ f(x)=\log _{a} x $ 의 형태로 표현하는데, 이것은 지수함수의 역함수이며 $ 1.4 $ 절의 역함수에서 자세히 공부할 것이다. 그림 $36$ 은 밑에 따른 다양한 로그함수의 그래프를 나타내었는데, 어느 경우이든 로그함수의 정의역은 $ (0, \infty) $ 이고 치역은 $ \mathbb{R} $ 이다. 특히 $ a=e $ 인 경우 $ f(x)=\log _{e} x=\ln x $ 로 표기한다.</p> <h2>초월함수</h2> <p>대수함수와는 달리 다항함수의 어떤 대수적 연산으로도 나타낼 수 없는 함수들이 있는데, 이들을 초월함수(transcendental function)라 한다. 위에서 언급한 삼각함수, 지수함수, 로그함수들이 이에 해당되지만, 그 외에도 많은 함수들이 있다. $11$장에서는 무한급수의 합으로 표현되는 초월함수에 대하여 자세히 공부할 것이다.</p> <h1>1.2 여러 가지 함수들</h1> <p>이 절에서는 자연과학, 공학, 사회과학 분야들에서 빈번히 나타나는 현상을 모델화하는데 사용되는 함수에 대하여 하나하나 알아보기로 한다.</p> <h2>다항함수</h2> <p>음이 아닌 정수 $ n $ 에 대하여 실수 $ a_{0}, \cdots a_{1}, \cdots a_{2}, \cdots a_{n} $ 가 존재하여 \[ P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \] 로 표현되는 함수 $ P $ 를 다항함수(polynomial function)라 한다. 여기서 실수 $ a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 을 다항함수의 계수(coefficient)라 하고, 최고차항 계수가 $ a_{n} \neq 0 $ 이면 다항함수의 차수(degree)는 $ n $ 이라 하고 $ \operatorname{deg} P=n $ 으로 표기한다. 모든 다항함수의 정의역은 $ \mathbb{R}=(-\infty, \infty) $ 이다.</p> <h2>상수함수</h2> <p>상수항으로만 이루어져 $ P(x)=a $ 의 형태를 가지는 다항함수를 상수함수 (constant function)라 하는데, 상수함수의 그래프는 $ x $ 축과 평행한 직선으로 나타난다.</p> <h2>일차함수</h2> <p>차수가 $1$인 다항함수를 일차함수(linear function)라 하는데, $ P(x)= m x+b $ 의 형태를 가진다. 일차함수의 그래프는 직선으로 나타나는데, 여기서 $ m $ 은 직선의 기울기, $ b $ 는 $ y $ 축 절편이다. 일차함수는 $ m>0 $ 이면 증가하고 $ m<0 $ 이면 감소하며, $ m=0 $ 이면 수평인 직선이 되어 상수함수 $ P(x)=b $ 를 얻는다. 그림 $1$에서 다양한 기울기를 가지는 직선들을 나타내었다.</p> <p>예제 $1$ 일차함수 $ f(x)=2 x-1 $ 은 기울기가 $2$ 이고 $ y $ 절편이 $ -1 $ 인 직선이다. 그래프가 $ x $ 축 전반에 걸쳐 있으므로 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이고, $ y $ 축 전반에 걸쳐 있으므로 치역도 $ \mathbb{R} $ 이다(그림 $2$ 참조).</p> <p>평면에서의 직선이 반드시 함수의 그래프인 것은 아니다. 실제로 $ x $ 축과 평행인 수평직선은 기울기가 $0$ 이므로 상수함수 $ y=b $ 의 그래프이지만, $ y $ 축과 평행한 수직 직선 $ x=a $ 는 함수를 나타내는 그래프가 아닌데, 사실 기울기는 무한대이다(그림 $3$ 참조).</p> <p>이제 수직이 아닌 직선의 식을 구해 보기로 하자. 기울기 $ m $ 과 $ y $ 절편 $ b $ 를 알면 직선의 식은 $ y=m x+b $ 로 바로 구해지지만, 기울기 $ m $ 과 직선이 지나는 한 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 알면 직선의 식은 $ y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) $<caption>(1)</caption>으로 구할 수 있다. 또한 직선은 두 개의 점으로 결정되므로, 두 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 과 $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ 을 지나는 직선의 식도 구할 수 있다. 실제로 두 점을 지나는 직선의 기울기는 $ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $<caption>(2)</caption>이므로, 식 ($1$)을 적용하면 된다.</p> <p>예제 $2$ 두 점 $ (-2,1) $ 과 $ (2,-4) $ 를 잇는 직선의 기울기는 $ m=\frac{2-(-2)}{-4-1} =-\frac{4}{5} $ 이다. 이 직선이 $ (-2,1) $ 를 지나므로 직선의 식은 $ y-1=-\frac{4}{5}(x+2) $ 또는 $ y-1=-\frac{4}{5}(x+2) $ 이므로 $ y=-\frac{4}{5} x-\frac{3}{5} $ 이 된다.</p> <p>주 예제 $2$ 의 직선의 식 양변에 $5$ 를 곱하여 정리하면 $ 4 x+5 y+3=0 $ 이 되는데, 때때로 평면에서 직선의 식은 $ A x+B y+C=0 $ 로 표현하기도 한다. 여기서 $ A \neq 0, B=0 $ 이면 수직선 $ x=-\frac{C}{A} $ 가 되어 함수가 아닌 직선까지 아울러 표현이 된다는 사실에 주목하도록 하자.</p> <p>$9$ 정리 두 직선 $ y=m_{1} x+b_{1} $ 와 $ y=m_{2} x+b_{2} $ 가 서로 평행일 필요충분조건은 $ m_{1}=m_{2} $ 이고, 서로 수직일 필요충분조건은 $ m_{1} m_{2}=-1 $ 이다.</p> <p>예제 $3$ 직선 $ 4 x+6 y+5=0 $ 와 평행이고 $ (5,2) $ 를 지나는 직선의 식을 구하여 보자. 먼저 직선을 기울기-절편식이 되도록 정리하면 $ y=-\frac{2}{3} x-\frac{5}{6} $ 이므로 이와 평행한 직선의 기울기는 $ -\frac{2}{3} $ 이 된다. 이 직선이 $ (5,2) $ 를 지나므로 구하는 직선의 식은 $ y-2=-\frac{2}{3}(x-5)=-\frac{2}{3} x+\frac{16}{3} $ 이 된다.</p> <p>예제 $4$ 두 직선 $ 2 x+3 y=1 $ 과 $ 6 x-4 y-1=0 $ 이 서로 수직임을 증명하여 보자. 먼저 이들을 기울기-절편의 형태로 바꾸면 \[ y=-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}, \quad y=\frac{3}{2} x-\frac{1}{4} \] 가 된다. 따라서 두 직선의 기울기의 곱은 $ -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}=-1 $ 이 되므로 서로 수직이다.</p> <h2>함수의 이해</h2> <p>정의역에 있는 $ x $ 가 함수 $ f $ 에 입력되면 함수의 법칙에 따라 $ f(x) $ 를 출력하는 것으로 함수를 이해할 수 있다(그림 $1$ 참조). 따라서 정의역은 모든 가능한 입력의 집합, 치역은 모든 가능한 출력의 집합이다. 또는 그림 $2$ 에서와 같이 $ A $ 의 원소에서 대응하는 $ B $ 의 원소를 화살표로 연결하기도 한다.</p> <p>함수를 직관적으로 이해하는 가장 보편적인 방법은 그래프(graph)를 이용하는 것이다. 정의역이 $ A $ 인 함수 $ f $ 의 그래프는 $ x y $ 평면에서 순서쌍들의 집합으로 \[ \{(x, f(x)) \mid x \in A\} \] 와 같이 정의된다(그림 $3$ 참조). 즉, 점 $ (x, y) $ 가 $ f $ 의 그래프에 있으면 $ y=f(x) $이 되는데, 그림 $4$와 같이 그래프를 통해 정의역과 치역을 찾을 수 있다.</p> <p>예제 $1$ 함수 $ f $ 의 그래프가 그림 $5$ 에 그려져 있다. 점 $ (1,3) $ 이 $ f $ 의 그래프에 있으므로 $ f(1)=3 $ 이고 $ f(5) \approx-0.7 $ 임을 추정할 수 있다. 또한 함수의 그래프가 $ x $ 축에서 $ 0 \leq x \leq 7 $ 에 걸쳐 있으므로 $ f $ 의 정의역은 닫힌 구간 $ [0,7] $이고, 그래프가 $ y $ 축에석 $ -2 $ 에서 $4$ 까지 걸쳐 있으므로 $ f $ 의 치역은 $ [-2,4] $가 된다.</p> <p>일반적으로 함수의 그래프는 $ x y $ 평면에서 곡선(여기서는 직선도 포함한다)으로 나타나는데, $ x y $ 평면에 있는 곡선이 항상 함수로 표현되는 것은 아니다. 이를 판정할 방법은 함수의 정의로부터 다음과 같이 아주 간단하게 얻을 수 있다.</p> <p>$4$ 수직선테스트 $ x y $ 평면에서의 곡선이 함수의 그래프일 필요충분조건은 $ y $ 축과 평행인 수직선들이 곡선과 단 한 번만 만나는 것이다.</p> <p>그림 $6$(a) 에서와 같이 수직선 $ x=a $ 가 점 $ (a, b) $ 에서 곡선과 만나면 $ f(a)=b $ 라는 관계를 얻는다. 그러나 그림 $6$ (b)와 같이 곡선이 두 점 $ (a, b) $ 와 $ (a, c) $ 에서 만나면 $ f(a)=b, f(a)=c $ 가 되어 $ a $ 가 단 하나 값으로 대응하지 않기 때문에 함수의 정의에 모순이다. 예를 들면 그림 $7$ (a)의 포물선 $ x=y^{2}-2 $ 는 함수의 그래프가 아니다. 그러나 이를 (b)와 (c)에서처럼 두 부분으로 분리하면 (b)는 함수 $ f(x)=\sqrt{x+2} $ 의 그래프이고 c는 함수 $ g(x)= -\sqrt{x+2} $ 의 그래프가 된다.</p> <h2>두 점 사이의 거리</h2> <p>미적분학 이론을 전개해 나갈 때 기본이 되는 것은 거리 개념이다. 지금부터 $1$ 차원 직선, $2$ 차원 평면에서의 거리 개념을 소개하기로 한다. 우선 거리를 재는 데 바탕이 되는 개념은 실수 집합에서의 정의되는 절대값(absolute value)이다.</p> <p>정의 실수 $ x $ 의 절대값은 부호로 $ \|x\| $ 로 표기하고 다음과 같이 정의된다. \[ \|x\|=\left\{\begin{aligned} x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0 \end{aligned}\right. \]</p> <p>정의로부터 다음을 쉽게 파악할 수 있다.</p> <p>$1$ 절대값의 성질 실수 $ a $ 와 $ b $ 에 대하여 다음이 성립한다. (a) $ \|a\| \geq 0 $ (단 등호는 $ a=0 $ 일 때만 성립한다) (b) $ \|a b\|=\|a\|\|b\| $ (c) $ b \neq 0 $ 일 때 $ \left\|\frac{a}{b}\right\|=\frac{\|a\|}{\|b\|} $ (d) 정수 $ n $ 에 대하여 $ \left\|a^{n}\right\|=\|a\|^{n} $ (e) $ \|a+b\| \leq\|a\|+\|b\| $ (단, 등호는 $ a, b $ 가 같은 부호일 때 성립한다.)</p> <p>실수 $ x $ 를 수직선 상에 표기하면 $ \|x\| $ 는 원점에서 점 $ x $ 까지의 거리를 나타내므로 다음과 같은 사실은 쉽게 얻어진다.</p> <p>$2$ 정리 $ k>0 $ 일 때 다음이 성립한다. (a) $ \|x\|=k $ 이라는 것은 $ x=\pm k $ 임을 말한다. (b) $ \|x\| \leq k \Longleftrightarrow-k \leq x \leq k $ (c) $ \|x\|>k \quad \Longleftrightarrow \quad x>k $ 이거나 $ x<-k $</p> <p>이제 실수 $ x, y $ 사이의 거리를 측정할 수 있다. 이들 두 점에 대응하는 수직선 상의 점을 $ P(x), Q(y) $ 라 하자. 그러면 두 점 $ P(x), Q(y) $ 사이의 거리는 \[ \|P Q\|=\|x-y\|=\sqrt{(x-y)^{2}} \]<caption>(1)</caption>로 결정되는데, 오른쪽 변에서 제곱근으로 표현한 것은 $2$차원 평면으로 거리 개념을 확장하려는 의도에서이다. 그러면 절대값의 성질로부터 두 점 사이의 거리는 항상 음이 아닌 실수이고, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 $0$이 결코 될 수 없다는 것을 알 수 있다.</p> <p>평면에서 두 점 사이의 거리는 그림 $3$ 에서의 직각삼각형의 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같다.</p> <p>$3$ 정리 $ \mathbb{R}^{2} $ 에서 두 점 $ P\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 와 $ Q\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 사이의 거리는 $ \|P Q\|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} $ 이다.<caption>(2)</caption></p> <p>예제 $1$ 세 점 $ A(-1,3), B(3,11), C(5,15) $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \|A C\|=\sqrt{[5-(-1)]^{2}+(15-3)^{2}}=\sqrt{6^{2}+12^{2}}=\sqrt{180}=6 \sqrt{5} \\ \|B C\|=\sqrt{(5-3)^{2}+(15-11)^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} \\ \|A B\|=\sqrt{[3-(-1)]^{2}+(11-3)^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{80}=4 \sqrt{5} \end{array} \] 이다. 특히 $ \|A B\|+\|B C\|=4 \sqrt{5}+2 \sqrt{5}=6 \sqrt{5}=\|A C\| $ 이므로, 점 $ A, B, C $ 는 동일 직선 위에 있음을 알 수 있다.</p> <p>미분적분학에서 다루는 기본적인 도구는 두 집합사이의 관계를 나타내는 함수이다. 집합 $ A $ 와 $ B $ 가 실수의 부분집합이라 하자. 집합 $ A $ 의 각 원소 $ x $ 에 집합 $ B $ 의 원소 $ y $ 를 단 하나 대응(mapping)하는 규칙을 $ A $ 에서 $ B $ 로의 함수 (function)라 하고, 흔히 알파벳 $ f, g, h, \ldots $ 등으로 표기한다. 원소 $ x \in A $ 에 대응하는 $ B $ 의 원소를 $ f(x) $ 라 쓰고, $ f $ 의 함수값(function value) 또는 상(image) 이라 한다. 따라서 함수는 \[ y=f(x) \text { 또는 } f: x \mapsto f(x) \] 로 표현한다. 함수 $ y=f(x) $ 에서 변수 $ x $ 를 독립변수(indcpendent variable)라 하고 변수 $ y $ 를 종속변수(dependent variable)라 한다. 때로는 $ A $ 에서 $ B $ 로의 함수를 $ f: A \rightarrow B $ 로 나타내는데, 집합 $ A $ 를 함수의 정의역(domain)이라 하고 정의역의 모든 $ x $ 에 대응하는 $ f(x) $ 의 집합을 $ f $ 의 치역(range)이라 한다.</p> <p>정의역 $ A $ 를 가지는 두 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 서로 같다는 것은 모든 $ x \in A $ 에 대하여 $ f(x)=g(x) $ 인 경우를 말하는데, $ f=g $ 로 표기한다.</p> <h2>유리함수</h2> <p>다향함수 $ P $ 와 $ Q $ 의 분수식 $ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} $ 으로 나타나는 함수를 유리함수(rational function)라 하는데, 여기서 정의역은 $ Q(x) \neq 0 $ 인 모든 실수 $ x $ 로 이루어진다. 유리함수의 가장 간단한 예는 거듭제곱함수의 반비례함수 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 인데, 정의역은 $ \{x \mid x \neq 0\} $ 이다. 가령, 함수 $ f(x)=\frac{2 x^{4}-x^{2}+1}{x^{2}-4} $ 은 정의역이 $ \{x \mid x \neq \pm 2\} $ 인 유리함수로 그림 $14$와 같은 그래프를 가지는데, 나중에 자세히 배울 것이다.</p> <h2>대수함수</h2> <p>대수함수(algebraic function)는 다항함수에 대수적인 연산 즉 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 그리고 근호를 취하는 것이 작용된 형태를 가지는 것을 말한다. 다항함수, 유리함수는 자동적으로 대수함수이고, \[ f(x)=\sqrt{x^{2}+1}, \quad g(x)=\frac{x^{4}-16 x^{2}}{x+\sqrt{x}}+(x-2)^{3} \sqrt{x+1} \] 들도 대수함수이다. 다양한 형태를 가지는 여러 가지 대수함수들의 그래프는 4장에서 조사할 것이다.</p> <p>수학적 모델을 표현하는 가장 기본적인 함수이기도 한 대수함수들은 어느 정도 단순한 대수적 계산으로 함수값들이 계산되는 특징이 있지만, 현실적으로는 이들을 사용하는 데 제한을 받는 경우가 허다하다. 가령 파도를 나타내는 함수라든지, 스프링, 전자파를 나타내는 함수들은 위에서 배운 어떤 함수로도 표현할 길이 없다. 대수함수로 표현되지 않는 함수들을 초월(transcendental)함수라 하는데 물리학이나 공학 등에서 쉽게 만나는 수학적 모델을 더 적절하게 표현할 수 있는 함수들이다. 지금부터 이들 함수에 대해서 하나하나 살펴보기로 하자.</p> <h2>삼각함수</h2> <p>삼각함수(geometric function)는 정의역이 각으로 주어진 함수이다. 함수를 정의하기 전에 먼저 정의역에 대하여 알아보자. 일반적으로 미분적분학에서 각을 나타내는 단위는 도(degree) 대신에 라디안(radian)을 사용하고 간단히 $ \mathrm{rad} $ 로 쓴다. 반지름이 $1$ 인 원의 둘레의 길이를 $ 2 \pi $ 라디안으로 정하므로, $ \pi \mathrm{rad}=180^{\circ} $ 이 된다. 따라서 \[ 1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \mathrm{rad}, \quad 1 \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right) ^{\circ} \] 이다. 예를 들면 $ 60^{\circ}=60 \cdot \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3} \mathrm{rad} $ 이고 $ \frac{5 \pi}{4} \mathrm{rad}=\frac{5 \pi}{4} \cdot\left(\frac{180}{\pi}\right) $ $ =225^{\circ} $ 이다.</p> <p>라디안을 단위로 하는 각을 $ x y $ 평면에 표준화시켜 나타내어 보자. 원점 $ O $ 에서 $ x $ 축의 양의 방향으로 수평인 반직선을 기준선(initial side)이라 하고 원점을 중심으로 기준선에서 $ \theta $ 라디안만큼 회전한 반직선을 종선(terminal side)이라 한다. 그리고 시계 반대방향의 각을 양각, 시계방향의 각을 음각이라고 한다. 그림 15 에 여러 가지 각들을 나타내 보았는데, 모든 각에 $ 2 \pi $ 를 더하면 한 바퀴 돌아 제자리에 온다는 것에 유의하자.</p> <h1>1.1 연습문제</h1> <p>$1$. 함수 $ f $ 와 $ g $ 의 그래프가 아래의 그림에 주어져 있다. 다음에 답하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ f(-4) $ 와 $ g(3) $ 의 값을 정하라.</li> <li>$ f(x)=g(x) $ 를 만족하는 $ x $ 의 값은?</li> <li>방정식 $ f(x)=-1 $ 의 해를 추정하여라.</li> <li>$ f $ 가 감소하는 구간은?</li> <li>$ f $ 와 $ g $ 의 정의역과 치역을 각각 찾아라.</li></ol> <p>$ ※ $ ($2-5$) 다음 곡선들 중에서 함수의 그래프를 나타내는 곡선을 찾아라. 이 경우 정의역과 치역을 말하여 보아라.</p> <p>$ y=f(x) $ 의 그래프에서 다음의 그래프들이 어떻게 얻어지는지 설명하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ y=5 f(x) $</li> <li>$ y=f(x-5) $</li> <li>$ y=-f(x) $</li> <li>$ y=-5 f(x) $</li> <li>$ y=f(5 x) $</li> <li>$ y=5 f(x)-3 $</li></ol> <p>※ ($7-8$) $ h \neq 0 $ 일 때 $ f(2+h), f(x+h) $, $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $ 의 값을 계산하여라.</p> <p>$7$. $ f(x)=x-x^{2} $</p> <p>$8$. $ f(x)=\frac{x}{x+1} $</p> <p>※ ($9-13$) $1.1$절에서 소개한 함수를 근거로 변환을 하여 다음 함수를 구한 다음, 그 그래프를 그려라.</p> <p>$9$.</p> <ol type=a start=1><li>$ y=-x^{3} $</li> <li>$ y=(x+1)^{2} $</li></ol> <p>$10.$</p> <ol type=a start=1><li>$ y=1-x^{2} $</li> <li>$ y=x^{2}-4 x+3 $</li></ol> <p>$11. $</p> <ol type=a start=1><li>$ y=1+2 \cos x $</li> <li>$ y=\frac{2}{x+1} $</li></ol> <p>$12$.</p> <ol type=a start=1><li>$ y=1+\sqrt{x-1} $</li> <li>$ y=\sin \|x\| $</li></ol> <p>$13$.</p> <ol type=a start=1><li>$ y=\|\sin x\| $</li> <li>$ y=\left\|x^{2}-2 x\right\| $</p></li></ol> <p>※ ($14 \sim 17$)주어진 곡선의 그래프를 갖는 함수의 식을 구하여라.</p> <p>$14$. 점 $ (-1,3) $ 과 $ (3,3) $ 을 지나고 꼭지점이 $ (1,-1) $ 인 포물선</p> <p>$15$. 포물선 $ x+(y-1)^{2}=0 $ 의 하반부</p> <p>※ ($18-19$) 다음에 주어진 함수가 짝함수인지 홀함수인지 아니면 둘 다 아닌지 말해보아라.</p> <p>※ ($20-25$) 다음 $ f $ 가 짝함수인지 홀함수인지 아니면 둘 다 아닌지를 결정하고, 대칭을 아용하여 그래프를 완성하여 보아라.</p> <p>$20$. $ f(x)=x^{4}-4 x $</p> <p>$21$. $ f(x)=3 x^{3}+2 x+1 $</p> <p>$22$. $ f(x)=x^{-3} $</p> <p>$23$. $ f(x)=x^{-2} $</p> <p>$24$. $ f(x)=x^{2}+x $</p> <p>$25$. $ f(x)=x^{3}-x $</p> <h1>1.1 함수의 정의와 성질</h1> <p>미분적분학에서 기본적으로 다루는 수집합은 실수의 집합 $ \mathbb{R} $ 이다. 자연수의 집합을 $ \mathbb{N} $, 정수의 집합을 $ \mathbb{Z} $, 유리수의 집합을 $ \mathbb{Q} $ 라 두면 \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] 의 관계가 있다. 실수의 집합은 기하학적 도형인 직선과 일대일 대응 (one-to-one correspondence)이 되므로, 흔히 직선 위의 점으로 실수를 표현한다. 이러한 이유로 수들을 나타내는 직선을 실직선(real line)이라 하는데, 원점 $ O $ 를 중심으로 오른쪽에는 양수, 왼쪽에는 음수를 나타낸다. $ a $ 가 양수이면 $ a>0 $, 음수이면 $ a<0 $ 으로 표현한다. 두 실수 $ a $ 와 $ b $ 가 $ a-b>0 $ 이면 $ a>b $ 를 의미하고, $ a-b<0 $ 이면 $ a<b $ 를 의미한다. 기호 $ a \leq b $ 는 $ a<b $ 이거나 $ a=b $ 를 말하고, $ a \geq b $ 는 $ a>b $ 이거나 $ a=b $ 이다. 그림 $1$의 실직선에서 보듯이 두 실수는 $ a>b $ 이거나 $ a<b $ 또는 $ a=b $ 중의 하나로 항상 크기를 비교할 수 있다(이런 이유로 $ \mathbb{R} $ 을 순서집합(ordered set)이라 한다).</p> <h2>구간</h2> <p>실수의 부분집합들 중에서 선분으로 표시되는 부분집합을 구간(interval)이라 하는데, 앞으로 미분적분학 이론을 전개시켜 나갈 때 자주 사용할 것이다. $ a<b $일 때 $ [a, b]=\{x \mid a \leq x \leq b\} $ 은 닫힌(closed) 구간, $ (a, b)=\{x \mid a<x<b\} $ 은 열린(open) 구간을 나타내기로 한다. 구간 \[ [a, b)=\{x \mid a \leq x<b\}, \quad(a, b]=\{x \mid a<x \leq b\} \] 은 열려 있지도 닫혀 있지도 않다. 부호 $ \infty $ (무한)은 수를 나타내는 게 아니라 무한이라는 개념을 상징하는 부호에 지나지 않는데, \[ \begin{aligned} {[a, \infty) } &=\{x \mid a \leq x\}, &(a, \infty) &=\{x \mid a<x\} \\ (-\infty, b] &=\{x \mid x \leq b\}, &(-\infty, b) &=\{x \mid x<b\} \end{aligned} \] 와 같이 무한구간을 나타낼 때 사용한다. 물론, $ (-\infty, \infty)=\mathbb{R} $ 이다.</p> <h2>역 쌍곡선함수</h2> <p>$ 1.2 $ 절의 그림 $33$ 과 $35$ 에서 보듯이 쌍곡선 사인 함수와 쌍곡선 탄젠트 함수는 일대일 함수이므로, 각각 역함수 $ \sinh ^{-1} $ 와 $ \tanh ^{-1} $ 를 가진다. 그러나 그림 $34$에서 보듯이 쌍곡선 코사인 함수는 일대일 함수가 아니므로 역함수를 가지지 않는다. 그러나 정의역을 $ [0, \infty] $ 로 제한하면 일대일 함수가 되므로, 이 영역에서 역함수 $ \cosh ^{-1} $ 를 정의할 수 있다.</p> <p>$23$ $ x, y \in \mathbb{R} $ 일 때 $ y=\sinh ^{-1} x \Longleftrightarrow \sinh y=x $ \ x \geq 1 \) 이고 $ y \geq 0 $ 일 때 $ y=\cosh ^{-1} x \Longleftrightarrow \cosh y=x $ $ x \in \mathbb{R} $ 이고 $ -1<y<1 $ 일 때 $ y=\tanh ^{-1} x \Longleftrightarrow \tanh y=x $</p> <p>이들의 그래프는 그림 $ 20,21,22 $ 에 나타나 있는데 나머지 역 쌍곡선 함수도 비슷하게 정의된다.</p> <p>삼각함수와는 달리 쌍곡선 함수들의 역함수는 우리에게 익숙한 함수로 표현이 가능하다. 사실, 쌍곡선 함수가 지수함수에 의하여 정의되므로 역함수는 다음과 같이 자연로그 함수로 표현될 것은 당연하다.</p> <p>$ 24 $ 정리 (a) $ \sinh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right), x \in \mathbb{R} $ (b) $ \cosh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right), x \geq 1 $ (c) $ \tanh ^{-1} x=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right),-1<x<1 $</p> <p>증명 (a) $ y=\sinh ^{-1} x $ 라 두면 $ x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} $ 와 동치이다. 따라서 $ e^{y}-2 x-e^{-y}=0 $ 을 얻는데, 양변에 $ e^{y} $ 를 곱하면 $ e^{2 y}-2 x e^{y}-1 =0 $ 로 $ e^{y} $ 에 관한 이차방정식이 된다. 이제 $ \left(e^{y}\right)^{2}-2 x\left(e^{y}\right)-1=0 $ 에 이차방정식의 근의 공식을 적용하면 \[ e^{y}=\frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2}+4}}{2}=x \pm \sqrt{x^{2}+1} \] 을 얻는다. 여기서 $ x<\sqrt{x^{2}+1} $ 인 경우, $ x-\sqrt{x^{2}+1}<0 $ 이 되어 $ e^{y}>0 $ 에 모순이다. 따라서 $ e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1} $ 가 되고, 양변에 자연로그를 취하면 $ y=\ln \left(e^{y}\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) $ 이 된다. 나머지 증명은 연습문제 $ 35 $ 로 남겨둔다.</p> <h2>역 삼각함수</h2> <p>삼각함수는 주기함수로 같은 그래프가 반복하여 나오므로 일대일 함수가 아니다. 따라서 역함수를 갖지 않는다. 그러나 일대일 전사함수가 되도록 함수의 정의역을 제한하면 꽤 괜찮은 역함수를 만들 수 있다. 즉, 사인함수 $ f(x)=\sin x $ 를 $ -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ 로 제한하면 $ f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow[-1,1] $ 은 일대일 전사함수가 되므로, 역함수 $ f^{-1}:[-1,1] \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 가 존재한다. 이것을 역사인함수 또는 아크사인(arc sine)함수라 부르고, 간단히 $ \sin ^{-1} $ 또는 $ \arcsin $ 으로 나타낸다. 역사인함수는 정의역이 $ [-1,1] $ 이고 치역이 $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 인데, 그림 $13$ 에서와 같이 역사인함수의 그래프는 제한된 그림 $ 12 $ 의 사인함수의 그래프를 직선 $ y=x $ 에 대하여 반사하면 된다.</p> <p>또한 $ -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ 에 대하여 $ \sin ^{-1} x=y \Longleftrightarrow \sin y=x $ 이고 $ 19 $ $ -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ 에 대하여 $ \sin ^{-1}(\sin x)=x $, $ -1 \leq x \leq 1 $ 에 대하여 $ \sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x $ 이다.</p> <p>마찬가지 방법으로 역코사인함수를 정의할 수 있다. 정의역을 $ 0 \leq x \leq \pi $ 로 제한하면 코사인함수 $ f(x)=\cos x $ 는 $ f:[0, \pi] \rightarrow[-1,1] $ 인 일대일 전사 함수이므로 역함수 $ f^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] $ 가 존재하는데, 이를 역코사인 함수라 하고 $ \cos ^{-1} $ 또는 $ \arccos $ 로 나타낸다. 역코사인 함수의 정의역은 $ [-1,1] $ 이고 치역은 $ [0, \pi] $ 인데, 그림 $14$ 의 그래프를 직선 $ y=x $ 에 대하여 반사하면 그래프는 그림 $15$ 와 같다.</p> <p>마찬가지로 $ 0 \leq y \leq \pi $ 일 때 $ \cos ^{-1} x=y \quad \Longleftrightarrow \quad \cos y=x $ 이고 $ 20 $ $ 0 \leq x \leq \pi $ 에 대하여 $ \cos ^{-1}(\cos x)=x $ $ -1 \leq x \leq 1 $ 에 대하여 $ \cos \left(\cos ^{ -1 }\right)=x $ 이다.</p> <h2>함수의 합성</h2> <p>실수의 경우와는 달리, 함수들 사이에는 또 다른 연산이 가능한데 합성 (composition)이 바로 그것이다. 예를 들어 $ y=f(u)=\sqrt{u} $ 이고 $ u= $ $ g(x)=x^{2}+1 $ 이라고 하자. 그러면 $ y $ 는 $ u $ 의 함수이고 $ u $ 는 $ x $ 의 함수이므로, $ y $는 궁극적으로는 $ x $ 의 함수로 볼 수 있다. 이것을 대입하여 풀어 쓰면 \[ y=f(u)=f(g(x))=f\left(x^{2}+1\right)=\sqrt{x^{2}+1} \] 가 되는데, 이를 함수 $ f $ 와 $ g $ 의 합성(composition)이라고 부른다. 일반적으로 두 함수 $ f $ 와 $ g $ 를 합성하기 위해서는 꼭 지켜져야 하는 하나의 규칙이 있다. 즉, $ g $ 의 정의역에 속하는 수 $ x $ 에 대응하는 값 $ g(x) $ 가 반드시 $ f $ 의 정의역에 들어가야 한다는 것인데, 이로써 이에 대응하는 수 $ f(g(x)) $ 의 정의가 보장된다. 이러한 조건 하에서 $ x $ 에 최종적으로 얻은 수 $ f(g(x)) $ 를 대응시키면 새로운 함수 $ h(x)=f(g(x)) $ 가 존재하는데, 이 함수를 $ f $ 와 $ g $ 의 합성함수라 부르고 $ f \circ g $ 로 표시한다.</p> <p>정의 함수 $ g $ 의 치역이 함수 $ f $ 의 정의역에 포함되는 경우, $ f $ 와 $ g $ 의 합성함수 $ f \circ g $ 는 \[ (f \circ g)(x)=f(g(x)) \] 로 정의한다.</p> <p>$ f \circ g $ 의 정의역은 위에서 알아본 바와 같이 $ g $ 의 정의역 중에서 $ g(x) $ 가 $ f $ 의 정의역에 속하게 하는 $ x $ 의 집합이다. 그러나 합성함수의 정의역을 구하는 경우, 정의를 유도한 조건을 이용하는 대신에 계산한 합성함수로부터 직접 구하는 것이 빠르다. 그림 $1$, $2$ 로 $ f \circ g $ 를 쉽게 이해할 수 있다.</p> <p>예제 $ 2$ $ f(x)=x^{2} $ 이고 $ g(x)=x-3 $ 일 때 함성함수 $ f \circ g $ 와 $ g \circ f $ 는 다음과 같다. \[ \begin{array}{l} (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x-3)=(x-3)^{2} \\ (g \circ f)(x)=g(f(x))=g\left(x^{2}\right)=x^{2}-3 \end{array} \]</p> <p>주 예제 $2$ 에서 보듯이 일반적으로 $ f \circ g \neq g \circ f $ 이다. $ f \circ g $ 는 함수 $ g $ 를 먼저 적용하고 $ f $ 를 두 번째로 적용한다는 것을 꼭 기억하라.</p> <h2>수 $ e $</h2> <p>$3$ 장에서 자세히 다루겠지만, 지수함수를 통하여 아주 특이한 실수를 하나 찾을 수 있는데 이에 대하여 알아 보자. 지수함수는 밑 $ a $ 의 선택에 따라 $ y=a^{x} $ 의 그래프가 진로에 영향을 받는데, 이러한 현상은 그래프 위의 각 점에서의 곡선의 접선을 통하여 구별이 된다. 그림 $29$ 와 $30$ 에서는 점 $ (0,1) $ 에서의 $ y=2^{x} $ 과 $ y=3^{x} $ 의 접선을 나타내었는데, 기울기는 $ y=2^{x} $ 일 때 대략 $ m_{1} \approx 0.7 $ 이고 $ y=3^{x} $ 일 때 대략 $ m_{2} \approx 1.1 $ 이다.</p> <p>이제 점 $ (0,1) $ 에서의 $ y=a^{x} $ 의 접선의 기울기가 $1$ 이 되는 $ a $ 를 선택하면 재미있는 실수 하나를 얻는데, 이를 지수(exponential)의 첫 자를 따서 문자 $ e $ 로 나타낸다. 실수 $ e $ 는 무리수인데, 미분적분학의 용도에 가장 적합한 수로 어떤 공식은 무리수 $ e $ 에 의해 아주 단순화 된다. 위에서 관찰한 기울기의 크기 $ m_{1}, m_{2} $ 에서 수 $ e $ 는 2 와 3 사이에 있을 것이라고 추측이 되는데, 사실 $ e $ 의 값은 소수점 아래 $5$ 자리까지 쓰면 $ e \approx 2.71828 $ 이다.</p> <p>정의 밑이 $ e $ 인 지수함수 $ y=e^{x} $ 를 자연 지수함수(natural exponential function)라 한다.</p> <p>실수 $ e $ 를 정의하는 과정에서 $ y=e^{x} $ 의 그래프는 당연히 $ y=2^{x} $ 와 $ y=3^{x} $ 의 그래프 사이에 위치하는 것을 알 수 있다(그림 $31$ 참조).</p> <p>예제 $ 11$ 함수 $ y=\frac{1}{2} e^{-x}-1 $ 의 그래프는 $ y=e^{x} $ 의 그래프를 $ y $ 축에 대해 반사시켜 $ y=e^{-x} $ 의 그래프를 얻은 뒤, 이를 $2$ 배만큼 축소하여 $ y=\frac{1}{2} e^{-x} $ 의 그래프를 얻고, 이를 다시 아래로 $1$ 만큼 이동시키면 된다. 당연히 정의역은 $ \mathbb{R} $ 이지만, 치역은 수직이동을 통해 변경이 되어 $ (-1, \infty) $ 이 된다(그림 $ 32 $(d)참조).</p> <h2>삼각함수</h2> <p>삼각함수들은 실수 $ x $ 라디안에 삼각비로 대응되는 함수들인데, $ x \mapsto \sin x $ 로 정의되는 함수는 사인함수(sine function), $ x \mapsto \cos x $ 로 정의되는 함수는 코사인 함수(cosine function)라 한다. 일반적인 함수 부호 $ f, g, \ldots $ 대신에 삼각함수의 경우는 $ y=\sin x, y=\cos x $ 로 표기한다.</p> <p>먼저 사인과 코사인함수의 정의역은 모두 $ \mathbb{R} $ 이고, 모든 실수 $ x $ 에 대해 \[ -1 \leq \sin x \leq 1,-1 \leq \cos x \leq 1 \] 또는 $ \|\sin x\| \leq 1,\|\cos x\| \leq 1 $ 이므로 치역은 닫힌 구간 $ [-1,1] $ 이다. 또 모든 $ x $ 의 값에 대해 \[ \sin (x+2 \pi)=\sin x \quad, \quad \cos (x+2 \pi)=\cos x \] 이므로 주기가 $ 2 \pi $ 인 주기함수이다. 사인과 코사인함수의 그래프는 다음 그림$ 20$과 같다.</p> <p>$ n $ 이 정수일 때 사인함수의 특징은 $ \pi $ 의 정수배, 즉 $ x=n \pi $ 에서 $ \sin x=0 $ 인 반면, 코사인 함수의 특징은 $ x=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi $ 에서 $ \cos x=0 $ 이다. 즉 코사인함수의 그래프는 사인함수의 그래프를 오른쪽으로 $ \frac{\pi}{2} $ 만큼 수평 이동한 것이므로 \[ \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x \] 를 얻는다.</p> <p>주 $ \sin (-x)=-\sin x $ 이므로 사인함수는 홀함수이고 $ \cos (-x)=\cos x $ 이므로 코사인 함수는 짝함수인데, 그림 $20$으로부터 확인하여 보자.</p> <p>탄젠트함수(tangent function)는 사인과 코사인함수의 비로 다음과 같이 분수함수 \[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \] 로 정의된다. 따라서 $ \cos x=0 $ 이 되는 $ x=\pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \cdots $ 에서 정의되지 않고, 함수의 치역은 $ \mathbb{R} $ 이다. 여기서 탄젠트함수는 모든 $ x $ 에 대해 \[ \tan (x+\pi)=\tan x \] 로 주기가 $ \pi $ 인 것에 유의하자.</p> <p>예제 9 그림 20(a) 의 $ y=\sin x $ 의 그래프를 수평으로 $2$ 만큼 압축하면 그림 $ 22$에서와 같이 $ y=\sin 2 x $ 의 그래프가 되는데, $ y=\sin x $ 의 주기가 $ 2 \pi $ 인 반면에 $ y=\sin 2 x $ 의 주기는 $ \frac{2 \pi}{2}=\pi $ 가 된다.</p> <p>나머지 세 삼각함수로 코시컨트 (cosecant), 시컨트 (secant), 코탄젠트 (cotangent) 함수가 있는데, 이들은 사인, 코사인, 그리고 탄젠트 함수의 역수로 정의된다. 즉, \[ y=\csc x=\frac{1}{\sin x}, \quad y=\sec x=\frac{1}{\cos x}, \quad y=\cot x=\frac{1}{\tan x} \] 인데, 다음의 그림 $23$ 의 그래프로부터 함수의 정의역과 치역을 확인하도록 하자.</p> <h1>1.2 연습문제</h1> <p>※ ( $1 \sim 2 $) 각 함수를 거듭제곱 함수, 제곱근함수, 다항함수 (차수를 말하라). 유리함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수로 분류하여라.</p> <p>$1 $.</p> <ol type = a start=1><li>$ f(x)= \sqrt[5] { x } $</li> <li>$ g(x)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $</li> <li>$ h(x)=x ^ { 9 } + x ^ { 4 } $</li> <li>$ r(x)= \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 3 } + \|x\| } $</li> <li>$ s(x)= \tan 2 x $</li> <li>$ t(x)= \log _ { 10 } x $</li></ol> <p>$2 $.</p> <ol type=a start=1><li>$ y= \frac { x-6 } { x + 6 } $</li> <li>$ y=x + \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x-1 } } $</li> <li>$ y=10 ^ { x } $</li> <li>$ y=x ^ { 10 } $</li> <li>$ y=2 t ^ { 6 } + t ^ { 4 } - \pi $</li> <li>$ y= \cos \theta + \sin \theta $</li></ol> <p>※ ( $3-9 $) 다음 조건을 만족하는 직선의 식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=3><li>두 점 $ (-2,1) $ 과 $ (4,-6) $ 을 연결한 직선</li> <li>점 $ (2,-3) $ 을 지나고 기울기가 $6 $ 인 직선</li> <li>$ x $ 절편이 $ -8, y $ 절편이 $6 $ 인 직선</li> <li>$ (4,5) $ 를 지나고 $ x $ 축에 평행인 직선</li> <li>$ (4,5) $ 를 지나고 $ y $ 축에 평행인 직선</li> <li>$ (1,-6) $ 을 지나고 직선 $ x + 2 y=6 $ 에 평행인 직선</li> <li>$ (-1,-2) $ 를 지나고 직선 $ 2 x + 5 y + 8=0 $ 에 수직인 직선</li></ol> <p>※ $(10 \sim 11) $ 주어진 함수의 그래프를 같은 평면 위에 그리고, 이들 관계에 대하여 말해 보아라.</p> <ol type=1 start=10><li>$ y=e ^ { x } , \quad y=e ^ { -x } , \quad y=8 ^ { x } , \quad y=8 ^ { -x } $</li> <li>$ y=3 ^ { x } , \quad y=10 ^ { x } , \quad y= \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { x } , \quad y= \left ( \frac { 1 } { 10 } \right ) ^ { x } $</li></ol> <p>12. $ y=e ^ { x } $ 의 그래프를 다음과 같이 변환을 하고 그 결과로 얻는 그래프의 함수를 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$2 $ 만큼 아래로 이동</li> <li>$2 $ 만큼 오른쪽으로 이동</li> <li>$ x $ 축에 대한 대칭</li> <li>$ y $ 축에 대한 대칭</li> <li>$ x $ 축에 대한 대칭을 한 다음에 $ y $ 축에 대한 대칭</li></ol> <p>$13 $. 다음에서 도는 라디안으로, 라디안은 도로 나타내어라</p> <ol type=a start=1><li>$ 210 ^ {\circ } $</li> <li>$ 9 ^ {\circ } $</li> <li>$ -315 ^ {\circ } $</li> <li>$ 36 ^ {\circ } $</li> <li>$ 4 \pi $</li> <li>$ \frac { 5 } { 12 } \pi $</li> <li>$ - \frac { 7 } { 2 } \pi $</li> <li>$ \frac { 8 } { 3 } \pi $</li></ol> <h1>1.3 함수의 연산</h1> <p>실수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 통해 새로운 실수를 얻는 것과 마찬가지로, 두 함수를 대상으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 정의할 수 있다. 먼저 함수 $ f $와 $ g $ 의 정의역이 각각 집합 $ A $ 와 $ B $ 라고 하자. 만약 두 함수의 합 $ f+g $ 를 \[ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \]<caption>(1)</caption>로 정의하면, 식($1$)의 오른쪽 변은 실수 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 가 모두 정의되어야 덧셈이 가능하다. 따라서 $ f+g $ 의 정의역은 $ f $ 의 정의역인 동시에 $ g $ 의 정의역도 되어야 하므로 $ A \cap B $ 가 된다.</p> <p>주 식 ($1$)에서 구별하지 않고 덧셈 부호를 사용하고 있지만, 엄밀하게 말해서 왼쪽 변의 부호 $+$는 함수들의 덧셈이고 오른쪽 변의 부호 $+$는 실수 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 의 덧셈을 의미한다는데 주의하자.</p> <p>마찬가지로 차 $ f-g $, 곱 $ f g $, 몫 $ \frac{f}{g} $ 를 정의할 수 있는데, 몫에서는 분모가 반드시 $0$이 되어서는 안 된다는 사실을 기억해야 한다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 와 $ g $ 의 정의역이 각각 $ A $ 와 $ B $ 라고 하자. 그러면 $ x \in A \cap B $ 에 대하여</p> <ol type=i start=1><li>$ f+g $ 는 $ (f+g)(x)=f(x)+g(x) $ $ f-g $ 는 $ (f-g)(x)=f(x)-g(x) $ $ f g $ 은 $ (f g)(x)=f(x) g(x) $</li> <li>$ \frac{f}{g} $ 는 $ x \in\{x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0\} $ 에 대하여 $ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} $</li></ol> <p>예제 $1$ 함수 $ f(x)=\sqrt{x} $ 의 정의역은 $ 1.2 $ 절에서 $ [0, \infty) $ 임을 알았다. 따라서 함수 $ g(x)=\sqrt{4-x^{2}} $ 의 경우에는 $ 4-x^{2} \geq 0 $ 을 만족하는 $ x $, 즉 $ x^{2} \leq 4 $ 이 정의역이 된다. 이를 풀면 $ -2 \leq x \leq 2 $ 를 얻으므로 $ g $ 의 정의역은 구간 $ [-2,2] $ 이다. 따라서 두 함수 $ f, g $ 에 사칙 연산을 할 수 있는 정의역은 $ [0, \infty) \cap[-2,2]=[0,2] $ 이다. 즉, $ 0 \leq x \leq 2 $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} (f+g)(x)=\sqrt{x}+\sqrt{4-x^{2}}, \\ (f-g)(x)=\sqrt{x}-\sqrt{4-x^{2}}, \end{array} \] \[ (f g)(x)=\sqrt{x} \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4 x-x^{3}} \] 이다. 한편 $ 0 \leq x<2 $ 에 대하여 $ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x^{2}}}=\sqrt{\frac{x}{4-x^{2}}} $ 이 되는데, 여기서 $ g(2)=0 $ 이므로 $ x=2 $ 는 정의역에서 제외시켰다.</p>	자연
행렬과 대수_고유값과 행렬대각화	<h2>6.4 대칭행렬의 직교대각화</h2> <p>정사각행렬 중 대칭행렬들은 중요한 성질을 가진다. 대표적인 것이 직교대각화 가능인 것이다. 특히 이차형식은 대칭행렬을 이용하여 표현되므로 그의 직교대각화 성질을 이용하여 이차동차식의 표준화를 체계적으로 다룰 수 있게 된다.</p> <p>이제 직교행렬을 정의하기로 한다.</p> <p>정의 정사각행렬 $ P $ \[ P^{T} P=I \] 를 만족하면 직교행렬 orthogonal matrix 이라 한다.</p> <p>즉, 직교행렬 $ P $ 는 $ P^{-1}=P^{T} $ 이므로 역행렬이 전치행렬이 됨을 알 수 있다. 다음 정리는 직교행렬의 판별 기준이 된다.</p> <p>정리 직교행렬의 열벡터들은 정규직교 집합이 된다.</p> <p>증명 직교행렬 $ P $ 는 $ P^{T} P=I $ 이므로 $ P=\left(P^{1}, \cdots, P^{n}\right) $ 와 같이 열벡터들로 나타내면 \[ I=P^{T} P=\left(a_{i j}\right), \quad a_{i j}=\left(P^{i}\right)^{T} P^{j} \] 로부터 $ \left(P^{i}\right)^{T} P^{j}=\left\{\begin{array}{ll}1, & i=j \\ 0, & i \neq j\end{array}\right. $. 그런데 $ \left(P^{i}\right)^{T} P^{j}=P^{j} \cdot P^{i} $</p> <p>예제 $ A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right) $ 에 대하여 $ A A^{T}=I_{3} $ 가 되어 $ A $ 는 직교행렬이다. 한편, $ A $ 의 행(열)벡터들이 정규직교 집합임을 확인할 수 있다.</p> <p>정의 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 적당한 직교행렬 $ P $ 와 대각행렬 $ D $ 가 존재하여 \[ P^{T} A P=D \] 일 때 행렬 $ A $ 는 직교대각화 가능이라 한다.</p> <p>특별히 직교대각화가 가능인 행렬의 조건을 알아보고, 이때 직교대각화에 이용되는 행렬은 어떻게 구성하는지 알아보자.</p> <p>Main 정리 $ A \in M_{n} $ $ A $ 의 고유벡터들이 $ n $ 개의 정규직교 집합을 이루면 직교대각화가 가능이다.</p> <p>증명 $ \quad A p^{(1)}=\lambda_{1} p^{(1)}, \cdots, A p^{(n)}=\lambda_{n} p^{(n)} $ 인 $ A $ 의 고유벡터 $ p^{(1)}, \cdots, p^{(n)} $ 는 정규직교 집합이므로 각각을 열벡터로 하는 행렬 $ P=\left(p^{(1)} \cdots p^{(n)}\right) $ 로 잡으면 앞 정리에 따라 직교행렬이 된다. 또, \[ \begin{array}{c} A P=P D, \text { 즉 } P^{T} A P=D \\ D=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{array}\right) \end{array} \] 형태로 주대각선 성분이 $ A $ 의 고유값으로 하는 대각행렬이 됨을 알 수 있다.</p> <p>정리 $ A \in M_{n} $ 일 때, $ A $ 가 $ n $ 개의 서로 다른 고유값을 가지면 대각화 가능이다.</p> <p>도움 정리 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 의 서로 다른 고유값 $ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{k} $ 을 가지면 각각에 속하는 고유벡터 $ X_{1}, \cdots, X_{k} $ 는 일차독립이다.</p> <p>증명 집합 $ \left\{X_{1}, \cdots, X_{k}\right\} $ 가 일차종속이라 하자. 여기서 일차독립인 최대 정수를 $ r $ $ (1 \leq r<k) $ 라 하자. 그러면 $ \left\{X_{1}, \cdots, X_{r}, X_{r+1}\right\} $ 은 일차종속이므로 \[ c_{1} X_{1}+\cdots+c_{r} X_{r}+c_{r+1} X_{r+1}=0 \] 을 만족하는 모두는 영 아닌 스칼라 $ c_{i} $ 들이 존재한다. 식 ($1$)의 양변에 행렬 $ A $ 를 곱하면 \[ \begin{aligned} O &=A\left(c_{1} X_{1}+\cdots+c_{r} X_{r}+c_{r+1} X_{r+1}\right) \\ &=c_{1} A X_{1}+\cdots+c_{r} A X_{r}+c_{r+1} A X_{r+1} \\ &=c_{1}\left(\lambda_{1} X_{1}\right)+\cdots+c_{r}\left(\lambda_{r} X_{r}\right)+c_{r+1}\left(\lambda_{r+1} X_{r+1}\right) \end{aligned} \] 식 $(1$)의 양변에 $ \lambda_{r+1} $ 을 곱하면 \[ c_{1} \lambda_{r+1} X_{1}+\cdots+c_{r} \lambda_{r+1} X_{r}+c_{r+1} \lambda_{r+1} X_{r+1}=0 \] ($2$), $(3$)으로부터 \[ c_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{r+1}\right) X_{1}+\cdots+c_{r}\left(\lambda_{r}-\lambda_{r+1}\right) X_{r}=0 \] 그런데 $ \left\{X_{1}, \cdots, X_{r}\right\} $ 은 일차독립이므로 \[ c_{1}\left(\lambda_{1}-\lambda_{r+1}\right)=\cdots=c_{r}\left(\lambda_{r}-\lambda_{r+1}\right)=0 \] 이고 $ \lambda_{i} $ 들은 서로 다르므로 \[ c_{1}=\cdots=c_{r}=0 \] 이 값을 식($1$)에 대입하면 \[ c_{r+1} X_{r+1}=0 \] 그런데 고유벡터 $ X_{r+1} \neq O $ 이므로 $ c_{r+1}=0 $ $(4$), $(5$)로부터 $ c_{1}=\cdots=c_{r}=c_{r+1}=0 $ 이 되어 $ \left\{X_{1}, \cdots, X_{r}, X_{r+1}\right\} $ 은 일차종속이라는 것에 모순이 된다. 즉, 일차독립인 최대 정수를 $ r(1 \leq r<k) $ 이라는 가정이 모순이므로 집합 $ \left\{X_{1}, \cdots, X_{k}\right\} $ 는 일차독립이다.</p> <p>일반적으로 $ A $ 의 특성다항식은 \[ \left\|\lambda I_{n}-A\right\|=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{m_{1}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{k}\right)^{m_{k}}\left(m_{1}+\cdots+m_{k}=n\right) \] 형태가 되고, $ m_{i} $ 를 $ \lambda_{i} $ 의 중복도라 한다. 앞의 예제에서도 보았듯이 중복도가 있는 고유값에 속한 고유벡터들이 일차독립인 경우도 있다. 다음 절 대칭행렬의 예를 참조한다. $ A $ 가 대각화 가능일 때, $ A^{k} $ 는 다음 정리에 따라 십게 계산할 수 있다.</p> <p>정리 \[ A^{k}=P D^{k} P^{-1} \text {, 여기서 } D^{k}=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2}^{k} & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}^{k} \end{array}\right) \]</p> <p>증명 $ \quad A^{k}=\left(P D P^{-1}\right)^{k}=\left(P D P^{-1}\right) \cdots\left(P D P^{-1}\right)=P D^{k} P^{-1} $</p> <h3>대칭행렬의 직교대각화</h3> <p>정사각행렬 $ A $ 의 고유값 $ \lambda_{j} $ 에 속하는 고유벡터의 공간 \[ E_{j}=\left\{X_{j} \mid\left(A-\lambda_{j}\right) X_{j}=O\right\} \] 에 대한 다음 도움 정리는 형식적인 증명은 생략하고, 아래의 예제를 통하여 이해하기로 한다.</p> <p>도움 정리 대칭행렬의 고유값 $ \lambda_{j} $ 의 중복도가 $ k_{j} $ 일 때, $ \operatorname{dim} E_{j}=k_{j} $</p> <p>도움 정리에 따라 중복도가 있는 고유값에 속하는 고유벡터들은 일차독립이므로 $ G r a m-S c h m i d t $ 과정을 통하여 종합하면 고유벡터들의 $ n $ 개의 정규직교 집합을 얻을 수 있다.</p> <p>Main 정리 대칭행렬은 직교대각화 가능이다.</p> <p>증명의 개요 $ A $ 의 고유다항식을 \[ P_{A}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{j}\right)^{k_{j}}, k_{1}+\cdots+k_{j}=n \] 라 할 때, $ 1 \leq \operatorname{dim} E_{j} \leq k_{j} $. 그런데 대칭행렬 $ A \in M_{n} $ 은</p> <ol type=1 start=1><li>서로 다른 고유값에 속하는 고유벡터는 직교($6.2$절 도움 정리) 앞 [도움 정리]에 따라</li> <li>각각의 고유공간에 대하여 $ \operatorname{dim} E_{j}=k_{j}$, 이므로 종합하면 $ n $ 차 대칭행렬 $ A $ 는 " $ n $ 개의 일차독립인 고유벡터가 존재"하게 되어 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 직교대각화 가능이 된다. 아래 예제를 통하여 보이기로 한다.</li></ol> <p>예제 (대칭행렬의 직교대각화와 Gram-Schmidt 과정) $ A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right) $ 의 고유값은 $ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=8 $ 이다. $ \lambda_{1}=2 $ (중근)에 속하는 일차독립인 고유벡터는 $2$ 개를 $ X_{1}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), X_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) $ 선택할 수 있으므로 $ \operatorname{dim} E_{2}=2 $. 즉, $ E_{2}=\left\langle\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\rangle $. Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 정규직교화하면 \[ v_{1}=\frac{X_{1}}{\left\\|X_{1}\right\\|}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}\right) \] \[ v_{2}=\frac{X_{2}-\left(X_{2} \cdot v_{1}\right) v_{1}}{\left\\|X_{2}-\left(X_{2} \cdot v_{1}\right) v_{1}\right\\|}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{array}\right) \] \[ E_{2}=\left\langle\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{array}\right)\right\rangle \] 이제 $ \lambda_{2}=8 $ 에 속하는 고유벡터 $ X_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) $ 을 얻을 수 있고 즉, $ E_{8}=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\rangle $. 정규화하면, \[ \begin{array}{l} v_{3}=\frac{X_{3}}{\left\\|X_{3}\right\\|}=\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right) \\ E_{8}=\left\langle\left(\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \left.\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \end{array}\right)\right. \end{array} \] 따라서 대칭행렬 $ A $ 를 직교대각화 하는 행렬 $ P $ 는 다음과 같다. \[ P=\left(\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right) \] 따라서 대칭행렬은 직교대각화가 가능임을 알 수 있다. 즉, \[ P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right) \]</p> <p>정리 대칭행렬의 고유값은 모두 실수이다.</p> <p>증명 복소행렬 단원의 에르미트 Hermite 행렬에 대한 해당 정리를 모방하면 된다. 간단하므로 연습으로 남기기로 한다.</p> <p>$ n $ 차 행렬 $ A $ 의 고유값의 합은 그 행렬의 trace 값 $ \operatorname { tr } (A) $ 과 같다.</p> <p>정리 $ n $ 차 행렬 $ A $ 에 대하여 \[ \sum_ { i = 1 } ^ { n } \lambda_ { i } = \operatorname { tr } (A) \]</p> <p>증명 $ A $ 의 특성다항식의 $ \lambda ^ { n-1 } $ 항의 계수는 $ (-1) ^ { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i i } $ 임을 알 수 있는데, 특성다항식을 그 고유값들로 인수분해하여 \[ P_ { A } ( \lambda)=\|A- \lambda I\|=(-1) ^ { n } \left ( \lambda- \lambda_ { 1 } \right ) \cdots \left ( \lambda- \lambda_ { n } \right ) \] 로 쓰고 $ \lambda ^ { n-1 } $ 항을 살펴보면 그 계수는 \[ (-1) ^ { n + 1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \lambda_ { i } \]</p> <h1>6.3 행렬의 대각화</h1> <p>어떤 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 \[ P ^ { -1 } A P \] 가 대각행렬 a diagonal matrix 이 되는 적당한 행렬 $ P $ 가 존재하는지 알아보자. 이것은 나중에 이차형식의 표준화 문제를 해결하는 도구가 된다.</p> <p>정의 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 적당한 가역행렬 $ P $ 가 존재하여 \[ P ^ { -1 } A P=D \] 로 대각행렬 $ D $ 가 되는 행렬 $ A $ 를 대각화 가능 diagonalizable 이라 한다.</p> <p>앞으로는 $ n $ 차 정사각행렬 $ A \in M_ { n } $ 에 대하여 논하기로 한다.</p> <p>Main 정리 $ A $ 가 대각화 가능일 필요충분조건은 $ n $ 개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다.</p> <p>증명 $ A $ 가 대각화 가능이면, $ P ^ { -1 } A P=D= \left ( \begin {array} { ccc } d_ { 1 } & & \\ & d_ { 2 } & \\ & \ddots & \\ & & d_ { n } \end {array} \right ) $ 가 되는. 적당한 가역행렬 $ P= \left [P ^ { 1 } , \cdots, P ^ { n } \right ] $ 이 존재한다. 즉, $ A P=P D $, 행렬곱의 열벡터를 비교하면 \[ A P ^ { 1 } =d_ { 1 } P ^ { 1 } , \cdots, A P ^ { n } =d_ { n } P ^ { n } \] 따라서 $ d_ { i } $ 들은 $ A $ 의 고유값이고, 열벡터 $ P $ 들은 각각 고유값 $ d_ { i } $ 에 속하는 고유벡터들이다. 그런데 $ P $ 가 가역행렬이므로 그 열벡터 $ P ^ { 1 } , \cdots, P ^ { n } $ 는 일차독립이다.</p> <h2>대각화 ALGORITHM</h2> <p>역으로, $ A $ 의 고유값 $ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} $ 에 속하는 일차독립인 고유벡터를 \[ P^{1}, \cdots, P^{n} \] 라 하자 (즉, $ \left.A P^{i}=\lambda_{i} P^{i}\right) $. 이것을 열벡터로 하는 행렬 \[ P=\left[P^{1}, \cdots, P^{n}\right] \] 라 하자. 그러면 \[ \begin{aligned} A P &=\left[A P^{1}, \cdots, A P^{n}\right] \\ &=\left[\lambda_{1} P^{1}, \cdots, \lambda_{n} P^{n}\right] \\ &=\left[P^{1}, \cdots, P^{n}\right]\left(\begin{array}{lll} \lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n} \end{array}\right)=P D \end{aligned} \] 이 경우 증명과정에서 나타나 있듯이 $ A p^{(1)}=\lambda_{1} p^{(1)}, \cdots, A p^{(n)}=\lambda_{n} p^{(n)} $ 인 $ A $ 의 고유벡터 $ p^{(1)}, \cdots, p^{(n)} $ 는 일차독립이므로 각각을 열벡터로 하는 행렬 $ P=\left(p^{(1)} \ldots p^{(n)}\right) $ 로 잡으면 가역행렬이 되고, 또 \[ \begin{array}{l} A P=P D, \text { 즉 } P^{-1}AP = D \\ D=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & & \vdots \\ \vdots & & \ddots &0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{array}\right) \end{array} \] 형태로 주대각선 성분이 $ A $ 의 고유값으로 하는 대각행렬이 됨을 알 수 있다. 대각화 프로세스를 알고리즘화하면 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A p^{(1)}=\lambda_{1} p^{(1)}, \cdots, A p^{(n)}=\lambda_{n} p^{(n)} $ 인 고유벡터 $ p^{(1)}, \cdots, p^{(n)} $ 를 구한다.</li> <li>$ p^{(1)}, \cdots, p^{(n)} $ 을 각 열벡터로 하는 행렬 $ P=\left(p^{(1)} \cdots p^{(n)}\right) $ 로 잡는다.</li> <li>$ P^{-1} A P=D, \quad D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{n}\end{array}\right) $</li></ol> <p>예제 행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}5 & -6 \\ 2 & -2\end{array}\right) $ 의 고유값은 $ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 $ 의 각각에 속하는 고유벡터는 $ \left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) $. 따라서 $ P=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) $ 로 잡으면 실제로 \[ \begin{aligned} P^{-1} A P &=\left(\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} \]</p> <p>예제 행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) $ 의 특성방정식은 $ (\lambda-1)^{2}=0 $ 로 행렬 $ A $ 의 고유값 $ \lambda=1 $ (중근)이다. 이 고유값에 속하는 고유벡터는 $ X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ 0\end{array}\right)=x_{1}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) $ 로 일차독립인 고유벡터 두 개가 존재하지 않는다. 따라서 행렬 $ A $ 는 대각화 가능하지 않다.</p> <p>이제 대각화 가능일 조건을 알아보자. $ A $ 가 서로 다른 고유값을 갖는 것이다. (증명은 [도움 정리]와 앞 [Main 정리]의 직접적인 결과이다.)</p> <p>예제 행렬 $ A = \left ( \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -3 & 0 \end {array} \right ) $ 의 고유값과 고유벡터를 구하여 보자.</p> <p>풀이 $ A $ 의 특성방정식 \[ \begin {aligned} \|A- \lambda I\| &= \left \| \begin {array} { ccc } 1- \lambda & 2 & 2 \\ 1 & 2- \lambda & -1 \\ 3 & -3 & - \lambda \end {array} \right \| \\ &=( \lambda-3) ^ { 2 } ( \lambda + 3)=0 \end {aligned} \] 따라서 $ A $ 의 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =3 $ (중근), $ \lambda_ { 2 } =-3 $ 이다. 이제 각 고유값 $ \lambda $ 에 속하는 고유벡터는 $ X= \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ) $ 로 나타내면, 특성방정식 $ (A- \lambda I) X=O $ 는 \[ \begin {array} { l } (1- \lambda) x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 2 x_ { 3 } =0 \\ x_ { 1 } + (2- \lambda) x_ { 2 } -x_ { 3 } =0 \\ 3 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } + (- \lambda) x_ { 3 } =0 \end {array} \]<caption>(1)</caption>이므로 $ \lambda_ { 1 } =3 $ 에 속하는 고유벡터는 \[ \begin {array} { l } -2 x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 2 x_ { 3 } =0 \\ x_ { 1 } -x_ { 2 } -x_ { 3 } =0 \\ 3 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } -3 x_ { 3 } =0 \end {array} \] 로 $3 $개의 방정식이 동치로 $ x_ { 1 } -x_ { 2 } -x_ { 3 } =0 $ 이다. 이것을 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } + x_ { 3 } $ 로 쓰면 고유벡터 \[ X= \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x_ { 2 } + x_ { 3 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )=x_ { 2 } \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ) + x_ { 3 } \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ) \] 여기서 $ x_ { 2 } , x_ { 3 } $ 는 자유변수 free variablles 이다. 즉, $ \lambda_ { 1 } =3 $ 에 속하는 고유공간 $ E_ { 3 } $ 의 기저로 $ \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ) $ 을 생각할 수 있다. 마찬가지로 $ \lambda_ { 2 } =-3 $ 에 속하는 고유벡터는 $(1) $에서 \[ \begin {array} { l } 4 x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 2 x_ { 3 } =0 \\ x_ { 1 } + 5 x_ { 2 } -x_ { 3 } =0 \\ 3 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } =0 \end {array} \] 이것을 풀면 \[ \begin {array} { l } x_ { 1 } -x_ { 2 } + x_ { 3 } =0 \\ 3 x_ { 2 } -x_ { 3 } =0 \end {array} \] 고유벡터 $ X= \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } -2 x_ { 2 } \\ x_ { 2 } \\ 3 x_ { 2 } \end {array} \right )=x_ { 2 } \left ( \begin {array} { c } -2 \\ 1 \\ 3 \end {array} \right ) $ 즉, $ \lambda_ { 2 } =-3 $ 에 속하는 고유공간 $ E_ { -3 } $ 의 기저로 $ \left ( \begin {array} { c } -2 \\ 1 \\ 3 \end {array} \right ) $ 를 생각할 수 있다.</p> <h1>6.2 고유벡터의 기하</h1> <p>고유값 $ \lambda \neq 0 $ 인 실수일 때 그 고유값에 속하는 고유벡터의 기하적인 뜻은 다음과 같다. 변환전 $ X $ 과 행렬곱 변환후 $ A X $ 가 평행인 벡터 $ X \neq O $ 가 고유벡터이다. 즉, $ A X = \lambda X $</p> <p>예제 $ L: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } , L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } y \\ x \end {array} \right ) $ 에 대한 고유값과 고유벡터는 각각 그림과 같다.</p> <p>예제 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 3 & 0 \\ 0 & 2 \end {array} \right ) $ 는 확대. 축소 magnification 평면변환을 나타낸다. $ A $ 의 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =3, \lambda_ { 2 } =2 $ 임을 알 수 있다. $ \lambda_ { 1 } =3 $ 에 속하는 고유벡터는 다음과 같이 $ \left ( \begin {array} { l } k \\ 0 \end {array} \right ) $ 형태이다. 마찬가지로, $ \lambda_ { 2 } =2 $ 에 속하는 고유벡터는 다음과 같이 $ \left ( \begin {array} { l } 0 \\ k \end {array} \right ) $ 형태이다. 그림으로 보면, $ x $ 축 상의 벡터들 또는 $ y $ 축 상의 벡터들의 $ A $ 행렬변환에 의한 상은 각각의 스칼라배가 된다는 것을 알 수 있다.</p> <p>예제 $ x $ 축 방향 전단 shear transform 을 나타내는 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) $ 의 고유벡터를 구하여 보자.</p> <p>풀이 $ x $ 축 방향 전단 shear 에 대하여 고유벡터는 한 가지 형태 $ \left ( \begin {array} { l } k \\ 0 \end {array} \right ) $. 실제로, 고유값은 $ \lambda_ { 1 } = \lambda_ { 2 } =1 $ 이고, \[ \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } k \\ 0 \end {array} \right )=1 \left ( \begin {array} { l } k \\ 0 \end {array} \right ) \]</p> <p>예제 대각선 $ y=x $ 로의 사영변환을 나타내는 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ) $ 의 고유벡터를 구하여 보자.</p> <p>풀이 주어진 사영변환의 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =1, \lambda_ { 2 } =0 $. 고유벡터는 각각 다음과 같다.</p> <p>$ \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } k \\ k \end {array} \right )=1 \left ( \begin {array} { l } k \\ k \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 0 \\ k \end {array} \right )=0 \left ( \begin {array} { l } 0 \\ k \end {array} \right ) $</p> <h3>직교대각화 프로세스 알고리즘</h3> <ol type = 1 start=1><li>$ A p ^ { (1) } = \lambda_ { 1 } p ^ { (1) } , \cdots, A p ^ { (n) } = \lambda_ { n } p ^ { (n) } $ 인 $ A $ 의 고유벡터 $ p ^ { (1) } , \cdots, p ^ { (n) } $ 를 구한다.</li> <li>앞 예제와 같이 고유벡터들의 정규직교 집합을 구성한다. $ p ^ { (1) } , \cdots, p ^ { (n) } $ 을 각 열벡터로 하는 행렬 $ P= \left (p ^ { (1) } \cdots p ^ { (n) } \right ) $ 로 잡는다.</li> <li>$ P ^ { T } A P=D, \quad D= \left ( \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_ { n } \end {array} \right ) $</li></ol> <p>대칭행렬은 직교대각화가 가능함을 앞 예제를 통하여 알아보았다. 역으로, 직교대각화 가능이면 대칭행렬임을 논증하여 다음 정리를 얻는다.</p> <p>Main 정리 대칭행렬은 직교대각화 가능일 필요충분조건이다.</p> <p>증명 (직교대각화 가능이면 대칭행렬임을 증명) 대칭행렬 $ A $ 가 직교대각화 가능이라면, $ P ^ { T } A P=D $ 가 되는 직교행렬 $ P $ 와 대각행렬 $ D $ 가 존재하므로 \[ \begin {aligned} P ^ { T } A P &=D=D ^ { T } \\ &= \left (P ^ { T } A P \right ) ^ { T } =P ^ { T } A ^ { T } P \end {aligned} \] 따라서 $ P ^ { T } A P=P ^ { T } A ^ { T } P $. 그러므로 \[ P \left (P ^ { T } A P \right ) P ^ { T } =P \left (P ^ { T } A ^ { T } P \right ) P ^ { T } \text { , 즉 } A=A ^ { T } \]</p> <h2>연습문제 $ 6.3 $</h2> <p>$1$. 다음 중 대각화 가능인 행렬을 고르시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left(\begin{array}{rr}5 & -3 \\ 2 & 0\end{array}\right) $</li> <li>$ \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) $</li> <li>$ \left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) $</li> <li>$ \left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) $</li></ol> <p>$2$. 행렬 $ A=\left(\begin{array}{llr}0 & 1 & 8 \\ 1 & 0 & -17 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right) $ 는 대각화 가능임을 보여라. 힌트 고유값</p> <p>$3$. $ A=\left(\begin{array}{rrr}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right) $ 는 대각화가능 행렬이다. 대각화에 이용되는. 행렬은 \[ P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] 임을 보여라.</p> <p>$4$. $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 의 특성방정식이 서로 다른 $ n $ 개의 실근을 가지면 $ A $ 는 대각화 가능임을 보여라.</p> <p>$5$. 행렬 $ A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right) $ 에 대하여 $ G=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) $ 의 열벡터가 $ A $ 의 고유벡터임을 보이고, 이때 \[ G^{-1} A G=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] 임을 보여라. 이를 이용하여 $ A^{10} $ 을 구하라.</p> <p>$6$. $ A $ 가 대각화 가능일 때 각각 다음이 성립함을 증명하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A^{-1} $ 도 대각화 가능이다.</li> <li>$ A^{k} $ 도 대각화 가능이다. (단, $ k $ 는 자연수 )</li> <li>$ A^{T} $ 도 대각화 가능이다.</li></ol> <p>$7$. 행렬 $ A $ 가 대각화 가능 행렬일 때 고유값들의 곱은 $ \|A\| $ 와 같음을 보여라.</p> <p>$8$. 다음을 증명하여라.</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) $ 에 대하여 $ D=(a-d)^{2}+4 b c $ 라 할 때 다음을 보여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ D>0 $ 이면 $ A $ 는 대각화 가능이다.</li> <li>$ D<0 $ 이면 $ A $ 는 대각화 가능하지 않다.</li></ol> <h2>연습문제 $ 6.4 $</h2> <p>$1$. 다음 대칭행렬의 고유공간의 차원을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) $</li> <li>$ \left(\begin{array}{lll}6 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right) $</li></ol> <p>$2$. 다음 행렬은 직교행렬임을 보여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) $</li> <li>$ \left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right) $</li></ol> <p>$3$. 다음은 직교행렬임을 확인하고, 간단히 그 역행렬을 나타내어라. \[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right) \]</p> <p>$4$. 대칭행렬의 행렬식은 그 고유값들의 곱임을 보여라.</p> <p>$5$. 다음을 보여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $ 가 직교행렬이면 고유값의 절대값은 1 , 즉 $ \|A\|=\pm 1 $</li> <li>$ A, B $ 가 직교행렬이면 $ A B $ 도 직교행렬이다.</li> <li>$ A $ 가 직교행렬이면 $ A^{T} $ 도 직교행렬이다.</li></ol> <p>$6$. $ a \neq b $ 일 때, $ A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & b\end{array}\right) $ 를 직교대각화하는 행렬 $ P $ 를 구하라.</p> <p>$7$. $ \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) $ 는 직교대각화 가능행렬이다. 직교대각화하는 행렬 $ P $ 를 구하라.</p> <p>$8$. 차수가 같은 직교행렬의 곱은 직교행렬임을 보여라.</p> <p>$9$. 정사각행렬 $ A $ 가 $ A^{T} A=I $ 이면 $ A A^{T}=I $ 임을 보여라.</p> <p>$10$. 3차 직교행렬 $ A $ 의 행렬식의 값이 1 이면 1 을 고유값으로 가짐을 보여라. 또, $ P_{A}(x)=x^{3}-(\operatorname{tr} A) x^{2}+(\operatorname{tr} A) x-1 $ 임을 보여라.</p> <p>$11$. 부분공간 $ V \subseteq R^{n} $ 에 대하여 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 에 대하여 $ A V=\{A v \mid v \in V\} $ 가 $ V $ 에 포함되면(즉, $ A V \subseteq V $ )이면 $ A $ 가 $ V $ 를 보존한다고 말한다. $ A $ 가 $ V $ 를 보존하면 $ A^{T^{2}} $ 는 $ V^{\perp} $ 를 보존함을 보여라.</p> <p>$12$. 다음을 보여라.</p> <p>\[ A=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) \text { 일 때, } X, Y \in R^{2} \text { 에 대하여 } \] $ (A X) \circ(A Y)=X \circ Y $ 임을 확인하여라.</p> <p>$13$. $ A \in M_{n} $ 가 직교행렬일 때, \[ A X \circ A Y=X \circ Y \] 임을 보여라. 힌트 $ A X \circ A Y=X \circ A^{T} A Y $</p> <p>정의 유클리드 벡터공간 $ V, V $ 에 대하여 선형사상 $ L: V \rightarrow V $ 이 \[ \langle L(v), L(w)\rangle=\langle v, w\rangle, v, w \in V \] 일 때 직교사상 orthogonal 또는 등거리 사상 isometry 이라 한다.</p> <h3>부록: $ R^{2} $ 상의 직교행렬</h3> <p>정리 $ A \in M_{2} $ 가 \[ \left.\langle A X, A Y\rangle=\langle X, Y\rangle{ }^{5}\right\rangle \] 를 만족하는 행렬은 \[ A=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right) \text { 또는 } A=\left(\begin{array}{cc} \cos \varphi & \sin \varphi \\ \sin \varphi & -\cos \varphi \end{array}\right) \]</p> <p>증명 $ \quad\left\langle A e_{1}, A e_{1}\right\rangle=a_{11}{ }^{2}+a_{21}{ }^{2}=1 $ $ \left\langle A e_{2}, A e_{2}\right\rangle=a_{12}{ }^{2}+a_{22}{ }^{2}=1 $ 이므로 적당한 $ \varphi, \psi $ 에 대해서 $ a_{11}=\cos \varphi, a_{21}=\sin \varphi, a_{22}=\cos \psi $, $ a_{12}=-\sin \psi $. 그런데 $ \left\langle A e_{1}, A e_{2}\right\rangle=a_{11} a_{12}+a_{21} a_{22}=0 $ 로부터 $ -\cos \varphi \sin \psi+\sin \varphi \cos \psi=0 $, 즉 $ \sin (\varphi-\psi)=0 $. 따라서 $ \varphi=\psi+k \pi, k \in Z $. 그러므로 $ k $ 가 짝수일 때, $ \cos \varphi=\cos \psi, \sin \varphi=\sin \psi $ $ k $ 가 홀수일 때, \[ \cos \varphi=-\cos \psi, \sin \varphi=-\sin \psi \]</p>	자연
시계열 자료에서 불변하는 인과성 탐색: 원-달러 환율 데이터에 적용	<h1>5. 데이터 분석</h1> <p>이 장에서는 Pfister 등 (2019)의 방법을 이용하여 원 달러 환율에 영향을 미칠 것으로 거론되는 변수들을 설명변수로 하여, 이 변수들 중 어느 변수가 환율에 대해 불변적 인과성을 갖는지 분석하고자 한다. Granger causality 방법은 시간적으로 선행되어 종속변수와 연관성이 있는 설명변수를 찾는데 중점을 두고 있으며, He와 Maekawa (2001)에서 언급했듯이 허위 연관성의 결과가 나오기도 하므로, 자료 분석에 이용하지 않기로 한다. 또한 Chow 검정은 설명력이 높은 모형을 가정하고, 특정 시점을 전후로 구조적인 변화가 있었는지 검정하는 방법인데, 이 연구에서는 설명력이 높은 모형이 아닌 모형의 국소적 탐색에 관심이 있으므로 Chow 검정 역시 이용하지 않기로 한다.</p> <p>한국은행(Bank of Korea, BOK) 경제통계시스템에서 2007년 1월부터 한 달 간격으로 2019년 12월까지의 기간의 자료를 수집하였다. 데이터 분석에 이용된 변수는 다음과 같으며, Table 1 표에 정리하였다.</p> <ul> <li>$ Y $ : 원달러 환율의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{1} $ : 12 개월 기준 한국의 은행간 기준 금리(12M KORIBOR)의 전월 대비 변화량,</li> <li>$ X_{2} $ : 한국은행 대차대조표에 나타난 총 자산 중 외환보유액의 비율의 log return,</li> <li>$ X_{3} $ : 한국은행 대차대조표에 나타난 월말 총 자산 중 IMF 리저브포지션의 비율의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{4} $ : 한국은행 대차대조표에 나타난 월말 총 자산 중 원화대출금의 비율의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{5} $ : 한국은행 대차대조표에 나타난 월말 총 자산 중 유가증권의 비율의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{6} $ : 한국은행 대차대조표에 나타난 월말 총 자산 중 기타국내자산의 비율의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{7} $ : 계절조정된 한국 소비자 물가지수(CPI)를 이용한 인플레이션율,</li> <li>$ X_{8} $ : 미국에 대한 대외금융자산의 전월 대비 log return,</li> <li>$ X_{9} $ : 미국에 대한 대외금융부채의 전월 대비 log return.</li></ul> <p>환율에 영향을 미칠 수 있는 통화정책과 관련된 변수 $ X_{1}, \ldots, X_{6} $, 경제상황을 반영하는 인플레이션율 $ X_{7} $을 설명변수로 고려하였다. 박성욱 (2019)에 따르면 대외금융자산 및 대외금융부채가 외환 유동성에 영향을 미칠 가능성이 있음을 시사하고 있다. 이러한 이유에서 대외금융자산과 대외금융부채의 $ \log $ return $ X_{8}, X_{9} $ 을 설명변수로 고려하였다. 대부분의 변수는 추세의 제거를 위해 $ \log $ return값을 이용하였고, 금리 $ X_{1} $ 은 전월대비 변화량이 음수가 될 수 있으므로 $ \log $ 를 취하지 않고, 변화량 값을 분석에 이용하였다. 인플레이션율 $ X_{7} $ 은 다음과 같이 계산하였다.</p> <p>$ \text { 인플레이션율 }=\frac{\text { 해당년도CPI }-\text { 전년도CPI }}{\text { 전년도CPI }} \times 100$</p> <p>Figure 2에서 각 변수의 시계열 그래프를 통해 시간에 흐름에 따른 변화를 확인할 수 있다.</p> <p>식 (4.1)을 가정하고, AIC 기준으로 가정 적합한 $ p $ 를 찾기로 한다. 3.4절에서 소개한 다양한 옵션이 있으나, variance test, decoupled test 등 몇가지 방법은 계산 과정에서 matrix의 singularity 문제로 인해 이용할 수 없었고, GAM 방법을 이용한 smooth.variance, smooth.decoupled 방법을 이용했을 때에는 분석이 가능했으며 유의미한 결과를 얻을 수 있었다.</p> <p>분석 결과를 Figure 3에 제시하였다. Figure 3에서 lag 수에 따른 유의한 변수를 확인할 수 있다. 그래프의 $ X $ 축은 lag 수를, $ Y $ 축은 각 변수가 불변하는 인과성이 없다는 귀무가설에 대한 $ p $-value의 log 변환값이 표시되어 있다. $ p=0.10 $ 에 해당하는 수평선보다 어떤 변수가 낮은 곳에 위치한다면, 그 변수는 유의수준 $ 0.10 $ 를 기준으로 불변하는 인과성이 있다고 해석할 수 있다. 마찬가지로, $ p=0.05 $ 에 해당하는 수평선보다 어떤 변수가 낮은 곳에 위치한다면, 그 변수는 유의수준 $ 0.05 $ 를 기준으로 불변하는 인과성이 있다고 해석할 수 있다. 예를 들어, smooth variance 검정 결과에서 lag를 두개 포함한 모형의 경우에는 유의 수준 $ 0.05 $ 기준으로는 $ X_{2} $ 만 유의하고, 유의수준 $ 0.10 $ 기준으로는 모든 변수가 구조적 불변성을 갖는 유의한 변수로 선택되었다. smooth decoupled 검정에 따르면 lag를 두개 포함한 모형의 경우에는 유의 수준 $ 0.05 $ 기준에서 구조적 불변성을 갖는 유의한 변수는 없으며, 유의수준 $ 0.10 $ 기준으로는 $ X_{2}, X_{6} $ 가 구조적 불변성을 갖는 유의한 변수로 선택되었다. smooth variance 방법과, smooth decoupled 방법을 이용하여 분석한 결과, AIC 기준으로 lag 하나만 포함한 모형이 가장 적합했으며, 이 때에는 유의수준 $ 0.05 $ 에서 총 자산 중 외환 보유액의 비율 $ X_{2} $ 만이 구조적 불변성을 갖는 유의한 변수로 선택되었다. Figure 2에서도 $ Y $ 와 $ X_{2} $ 의 추세가 유사함을 확인할 수 있다. Table 2에 AIC 기준으로 가장 적합한 모형의 분석 결과를 제시하였다. AIC 기준으로 선택된 모형은 다음과 같이 $ X_{2} $ 의 lag 하나만 포함한 모형이다.</p> <p>$Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{2} X_{2 t}+\left(Y_{t-1}, X_{2, t-1}\right) B_{1}+\epsilon_{t} .$</p> <p>종속변수를 가장 잘 설명할 수 있는 회귀식을 찾은 것이 아니라, 각 설명변수와 종속변수의 조건부 관계를 파악하는 것을 목표로 하였기 때문에 절편에 해당하는 $ \beta_{0} $ 와 과거시점의 계수에 해당하는 matrix $ B_{1} $ 은 추정하지 않았음을 유의하기 바란다. $ \hat{\beta}_{2}=0.61 $ 로 추정할 수 있으며, $ X_{2} $가 한 단위 증가할 때 $ Y $가 증가하는 정도는 0.61로 일정하다고 설명할 수 있다. 즉, 외환 보유액의 비율이 원 달러 환율에 불변하는 영향을 미친다는 결론을 내릴 수 있다. 이것은 원 달러 환율을 조정하기 위해 통화 정책 수립시 외환 보유액의 비율을 조정하는 것이 실제로 실효성이 있다는 것을 의미한다.</p> <h1>4. R 패키지 seqICP의 seqICP 함수 이용 방법</h1> <p>seqICP 함수의 이용 방법에 대한 설명을 하고자 한다.</p> <p>$ \operatorname { seqICP } ( \mathrm { X } , \mathrm { Y } \text { , test = "decoupled", par.test = } \operatorname { list } ( \operatorname { grid } =c( \theta \text { , round } ( \operatorname { nrow } ( \mathrm { X } ) / 2), \operatorname { nrow } ( \mathrm { X } )) \text { , complements = FALSE, link = sum, alpha } =0.05, \quad \mathrm { ~B } =100 \text { , permutation = FALSE), } $</p> <p>$ \text { model = "iid", par.model = list(pknown = FALSE, } $ $ \text { p = 0, max.p = 10), max.parents = ncol(X), stopIfEmpty = TRUE, } \text { silent = TRUE) } $</p> <ul> <li>test 방법으로는 “decoupled", "combined", "trend", "variance", "block.mean", "block.variance", (줄간격조정) "block.decoupled", "smooth.mean", "smooth.variance", "smooth.decoupled"와 "hsic"을 선택할 수 있다.</li> <li>par.test에 입력해야하는 변수는 grid, complements, link, alpha, B, permutation이 있다. grid는 change point 유뮤 검정을 위한 block을 구성하는 데 이용되는 시간 간격을 sequence 형태로 입력해야 한다. complements='TRUE'이면 전체 시간을 각각의 환경과 그 환경의 여집합을 비교하게 되고, 'FALSE'이면 모든 환경을 pairwise로 비교하게 된다. link는 pairwise 검정량을 비교한 방법을 명시하는 것이다. alpha는 가설 검정의 유의수준, permutaion='TRUE'이면 permutation test를 하고, 'FALSE'이면 scaled residuals이 이용 된다.</li> <li>model에는 반응변수가 독립적인 값을 가지면 'iid'를 입력하고, 시간 의존적이면 ‘ar’을 입력한다.</li> <li>par.model는 모형에 포함시켜야하는 lag를 알고 있다면, pknown=TRUE이고, $ p $ 를 지정하고, 그렇지 않다면, pknown=FALSE이고, max.p를 지정하여 AIC 방법을 이용하여 lags의 수를 결정한다.</li> <li>max.parents에는 모형에 포함시킬 변수의 갯수의 최대값을 입력한다.</li></ul> <p>시계열 자료에서 $ p $ 이전 시점까지의 모든 변수를 포함한 모형을 고려하여 분석할 필요가 있다. model = "ar"로 설정한 경우 다음과 같은 모형을 가정한다.</p> <p>$Y_ { t } =X_ { t } ^ { S ^ { * } } \beta + \sum_ { k=1 } ^ { p } \left (Y_ { t-k } , X_ { t-k } \right ) B_ { k } + \epsilon_ { t } . $<caption>(4.1)</caption></p> <h2>3.3. 표준화 잔차에 근거한 가설검정</h2> <p>Gaussian 선형 모형을 가정하고 다음과 같은 가설 검정을 할 수 있다.</p> <p>$ H_{0, S}:\left\{\begin{array}{ll} \exists \beta \in(\mathbb{R} \backslash\{0\})^{\|S\|}, & \sigma \in(0, \infty): \\ \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{S} \beta+\boldsymbol{\epsilon}, & \boldsymbol{\epsilon} \perp \mathbf{X}^{S}, \boldsymbol{\epsilon} \sim N\left(\mathbf{0}, \sigma^{2} \mathbf{I d}\right) . \end{array}\right. $</p> <p>집합 $ S $ 가 시간에 따른 불변성이 유지되지 않는다면, 모든 시간에 걸쳐서 $ Y $ 와 $ X^{S} $ 는 같은 선형 함수로 표현되지 않을 것이다. 따라서, 다음 절차에 따라 goodness-of-fit 검정을 시행한다.</p> <ol type=1 start=1><li>Gaussian 선형 모형의 적합식을 구한다.</li> <li>잔차가 Gaussian 분포를 따르는지 검정한다.</li></ol> <p>(3.1)의 회귀식에 대해서 ordinary least squares (OLS) 방법으로 모수를 추정하고, 잔차를 계산할 수 있다. 잔차는 $ \mathbf{R}^{S}:=\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}^{S}\right) \mathbf{Y} $ 이고, 표준화된 잔차(scaled residual)은 다음과 같이 계산할 수 있다. 이 때, Id는 identity matrix이고, $ \mathbf{P}_{\mathbf{X}}^{S}=\mathbf{X}^{S}\left(\left(\mathbf{X}^{S}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{X}^{S}\right)^{-1}\left(\mathbf{X}^{S}\right)^{\mathrm{T}} $ 이다.</p> <p>$ \tilde{\mathbf{R}}^{s}=\frac{\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}^{S}\right) \mathbf{Y}}{\left\\|\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}^{S}\right) \mathbf{Y}\right\\|_{2}}=\frac{\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}^{S}\right) \epsilon}{\left\\|\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}^{S}\right) \epsilon\right\\|_{2}}=\frac{\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{x}}^{S}\right) \tilde{\epsilon}}{\\|\left.\left(\mathbf{I d}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}^{S}\right) \tilde{\epsilon}\right\|_{2}} $</p> <p>이 때, $ \tilde{\epsilon}=\boldsymbol{\epsilon} /\\|\epsilon\\|_{2} $ 이다. 표준화된 잔차의 유의성을 판단하는 방법으로 부트스트랩(Bootstrap) 방법을 이용할 수 있다. 부트스트랩 방법을 이용하여 $ \epsilon $ 을 $ N\left(0, \sigma^{2}\right. \mathbf{Id} ) $ 으로부터 랜덤하게 발생한 후, 유의수준 $ \alpha $ 에 해당하는 threshold를 찾을 수 있다. 유의수준으로는 주로 $ \alpha=0.05 $ 를 기준으로 한다.</p> <h2>3.4. 검정 방법 선택</h2> <p>Change point의 유무는 서로 다른 환경 $ e, f $ 에서 구한 회귀계수 $ \beta_{e, S} \neq \beta_{f, S} $ 여부, 오차 분산 $ \sigma_{e, S}^{2} \neq \sigma_{f, S}^{2} $ 여부에 따라 검정할 수 있다. Pfister 등 (2019)에서 제시한 variance test, decoupled test 등은 회귀 계수와 오차 분산 비교 하는 방법을 이용한 방법이다. R 패키지 seqICP에서는 다음과 같은 방법을 이용하여 change point의 유무를 검정할 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>Variance test 분산의 동질성을 $ \chi^{2} $ 방법을 이용하여 오차의 분산을 비교함으로써 검정한다.</li> <li>Decoupled test decoupled test는 본페로니(Bonferroni) 방법을 이용하여 다중 비교에서 생길 수 있는 오류를 보정한 검정 방법이다.</li> <li>Combined test change point 유무를 확인하기 위해 block 단위의 검정량을 계산한 후, 그 중 가장 큰 값 또는 합산한 값을 검정량으로 선택할 수 있다.</li> <li>Smooth variance test generalized additive model (GAM)을 이용하여 scaled residuals의 점진적인 변화를 탐지하는 방법이다.</li> <li>Hilbert Schmidt Independence Criterion (HSIC) test Gretton 등 (2007)에서 제시된 Kernel을 이용하여 변수들 간의 독립성을 검정하는 방법으로, $ \tilde{\mathbf{R}}^{s} $ 의 HSIC 검정량을 R 패키지 dHSIC 를 이용하여 계산한다.</li></ol> <h1>2. 기존 분석 방법</h1> <p>시계열 자료 분석시 인과성을 설명하고자 고안된 두 가지 대표적인 방법, Granger causality와 Chow test에 대해서 설명하고자 한다.</p> <h2>2.1. Granger causality 방법</h2> <p>Granger causality 방법은 정상성이 유지되는(stationary) 시계열 자료 $ \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\},(t=1, \ldots, n) $ 에 대해서 두 변수 간의 관계를 파악하기 위해 Granger (1969)가 제시한 이론이다. Granger Causality라고 명명되었지만, 실제로는 인과 관계를 확인하기보다는 시차상으로 앞선 사건이 나중에 일어난 사건과 연관성이 있는지 여부를 확인할 수 있는 방법이다. 다음 식을 살펴 보자.</p> <p>$ \begin{array}{l} Y_{t}=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} X_{t-i}+\sum_{j=1}^{m} \beta_{j} Y_{t-j}+\epsilon_{1 t}, \\ X_{t}=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} X_{t-i}+\sum_{j=1}^{m} \delta_{j} Y_{t-j}+\epsilon_{2 t} . \end{array} $</p> <p>이 때, $ \alpha_{i}, \lambda_{i}(i=1, \ldots, m) $ 는 시계열 $ \left\{X_{t}\right\} $ 의 과거 $ \left\{X_{t-1}, \ldots, X_{t-m}\right\} $ 의 계수이고, $ \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1, \ldots, m) $ 는 시계열 $ \left\{Y_{t}\right\} $의 과거 $ \left\{Y_{t-1}, \ldots, Y_{t-m}\right\} $ 의 계수이다. 위의 모형은 현재 시점보다 $ m $ 시점 앞선 시점까지 분석에 고려함을 의미한다. 위의 식에서 $ \alpha_{i}^{\prime} s(i=1, \ldots, m)=0 $ 에 대한 가설 검정을 하여 $ \alpha_{i}^{\prime} s(i=1, \ldots, m) $ 중 적어도 하나가 0 이 아니라는 결론을 내릴 수 있다면 $ Y_{t} $ 는 $ X_{t} $ 의 과거 시점으로 표현되기 때문에 $ \left\{X_{t}\right\} $ 가 $ \left\{Y_{t}\right\} $ 보다 선행해서 일어날 가능성이 높으며, 두 변수는 높은 상관성(correlation)을 가진다고 해석할 수 있다. 하지만, $ Y_{t} $ 의 패턴이 $ X_{t} $와 비슷한 양상을 보인다고 해서, $ X_{t} $ 가 $ Y_{t} $ 에 영향을 주었다고 말하기는 어렵다. 같은 방식으로, $ \lambda_{i}^{\prime} s \neq 0(i= $ $ 1, \ldots, m) $ 이 확인되면, $ Y $ 는 $ X $ 보다 선행해서 일어난다고 볼 수 있다. 때로는 $ \alpha_{i}^{\prime} s(i=1, \ldots, m) \neq 0 $ 이고, 동시에 $ \lambda_{i}^{\prime} s \neq 0(i=1, \ldots, m) $ 인 경우가 있다. 이 때에는, 상호 영향을 줄 가능성이 있다고 본다. 참고로, 다변량 시계열 자료에 대해서는 위의 모형을 다변량으로 확장한 structural vector auto-regressive 모형을 검정할 수 있다. 위의 식에서, $ \alpha_{i}^{\prime} s(i=1, \ldots, m)=0 $ 을 기각할 수 있을 경우, 이 이론을 제시한 Granger 교수 역시 두 시계열이 인과 관계에 있다고 볼 수 없음을 인지하고 Granger와 Newbold (1977)에서 $ X_{t} $ 가 $ Y_{t} $ 보다 선행한 사건(precedence), 또는 일시적으로 연관성(temporally related)을 보이는 관계에 있다고 언급하였다. He와 Maekawa (2001)은 서로 상관 없는 독립인 시계열 $ \left\{X_{t}\right\} $ 와 $ \left\{Y_{t}\right\} $ 가 Granger causality 검정 결과 허위 연관성(spurious correlation)을 보이는 예를 제시하였다.</p> <h2>2.2. Chow 검정</h2> <p>1960년에 계량경제학자 Gregory Chow 교수가 제안한 방법으로써, 시계열에서 특정 시점 전 후로 구조의 변화가 있었는지 여부를 검정하는 방법이다. 예를 들어 설명변수가 $ x_{1 t}, x_{2 t} $ 이고, 종속변수가 $ y_{t}(t=1, \ldots, n) $ 인 경우를 살펴보자. 시점 $ t=1,2, \ldots, n_{1}, n_{1}+1, \ldots, n $ 에 대해서, 다음과 같이 시점을 두 개의 집단으로 나누어서 회귀식을 구할 수 있다.</p> <p>$ \begin{array}{l} y_{t}=a_{1}+b_{1} x_{1 t}+c_{1} x_{2 t}+\epsilon_{t}, \quad t=1,2, \ldots, n_{1}, \\ y_{t}=a_{2}+b_{2} x_{1 t}+c_{2} x_{2 t}+\epsilon_{t}, \quad t=n_{1}+1, \ldots, n . \end{array} $</p> <p>귀무가설은 다음과 같다.</p> <ol type=i start=1><li>$ a_{1}=a_{2}, b_{1}=b_{2}, c_{1}=c_{2} $.</li> <li>$ \epsilon_{t} $ 는 독립이고, 동일한 (iid) Gaussian 분포를 따른다.</li></ol> <p>시간 $ t=1,2, \ldots, n_{1}, n_{1}+1, \ldots, n $ 에 걸쳐서 구조적인 변화가 없었다면, 모든 시간에 걸쳐서 다음과 같이 하나의 회귀식을 가정할 수 있다.$ \epsilon_{t} $ 는 독립이고, 동일한 (iid) Gaussian 분포를 따른다.<p>$y_{t}=a+b x_{1 t}+c x_{2 t}+\epsilon_{t}, \quad t=1,2, \ldots, n .$<caption>(2.1)</caption></p> <p>식 (2.1)의 잔차제곱합(the sum of squared residuals)을 $ S_{C} $ 라고 하고, $ S_{1} $ 을 위의 두 집단 중 시간상으로 앞선 집단의 회귀식의 잔차제곱합, $ S_{2} $ 를 시간상으로 나중인 집단의 회귀식의 잔차제곱합이라고 하자. Chow 검정 통계량은 다음과 같다.</p> <p>$\frac{\left(S_{C}-\left(S_{1}+S_{2}\right)\right) k}{\left(S_{1}+S_{2}\right) /(n-2 k)}$</p> <p>이 때, $ k $ 는 각각의 회귀식의 모수의 갯수이다. 이 경우에는 $ x_{1 t}, x_{2 t} $ 의 회귀계수와, 절편, 즉 $ k=3 $ 이다. 귀무가설 하에서 Chow 검정 통계량은 자유도가 $ k, n-2 k $ 인 $ F $ 분포를 따른다. 귀무가설을 기각할 수 있다면 $ n_{1} $ 시점 전후로 구조적인 충격이 발생했다고 볼 수 있으며, 반대로 귀무가설을 기각할 수 없다면, 설명변수와 종속변수 간에 시간이 지나도 불변하는 연관성이 유지된다고 볼 수 있다.</p> <h1>6. 결론</h1> <p>Pfister 등 (2019)가 제시한 방법은 기존 회귀분석과 달리 데이터를 잘 설명할 수 있는 모든 설명 변수를 찾기 보다는, 인과성을 갖는 설명변수와 종속변수의 관계를 조건부로 찾는 데 중점을 두고 있다. 실제로 모든 변수를 측정하는 것은 불가능하기 때문에, 인과추론에서는 인과 관계를 국소적으로 알아내는 분석 방법을 제시하는 것이 이러한 제한된 환경에서는 의미가 있다. 이 방법은 Granger causality로 설명하기 어려웠던 시계열 자료에서 불변하는 인과성을 갖는 변수를 찾는 데 유용하게 쓰일 수 있다. Chow test에서는 고정된 모형에 대해서 일정 시점 전 후의 차이를 확인하는 데 반해, Pfister 등 (2019)가 제시한 방법을 이용하면 유의한 설명변수를 찾을 수 있다는 장점이 있다. 또한 Pfister 등 (2019)은 Chow test와 달리 회귀 계수의 차이를 추론하는 데 있어 optimal rate을 보장한다. 자료 분석시, $ \mathrm{R} $ 패키지 seqICP의 seqICP 함수로 쉽게 이용할 수 있으며, variance test, decoupled test 등 다양한 옵션을 선택할 수 있다. 다만, 고차원 데이터 분석시 계산과정에서 variance test 등 몇몇 방법은 singularity 문제로 인해 이용할 수 없는 경우도 종종 발생하는데, smooth variance test, smooth decoupled test 등 smoothing 기법을 이용하여 singularity 문제 없이 분석할 수 있다. 이 논문에서는 원 달러 환율에 영향을 주는 변수를 찾기 위해 Pfister 등 (2019)가 제시한 방법을 이용하였으며, 외환 보유액의 비율이 원 달러 환율에 불변하는 영향을 미친다는 결론을 내렸다. 하지만, 종속 변수와 설명변수는 사전적인 정보에 의존하여 미리 정해 놓고 분석을 하였으며, 분석을 통해서 변수 간의 영향력이 전달되는 방향을 찾은 것은 아니라는 점을 유의하기 바란다. 예를 들면, 대외금융자산은 환율에 영향을 줄 수도 있지만, 반대로 환율이 대외금융자산에 영향을 줄 수도 있고, 또는 이 두 변수는 상호작용이 있을 수 있다는 전문가의 의견이 있다. 종속 변수와 설명변수를 바꾸어서 분석을 할 경우, 다른 결과가 나올 가능성도 배제할 수 없다. Pfister 등 (2019)가 제시한 방법은 설명변수들이 독립이 아닐 경우에도 이용할 수는 있으나, 설명변수들이 상호적인 영향을 주는 경우에는 이용할 수 없다. 즉, 비순환 그래프 모형(directed acyclic model)에서 설명 변수들 간에 상호 작용이 없고, 종속변수에 직접적인 다른 개입이 없어 설명 변수와 종속 변수의 조건부 분포가 일정하게 유지된다는 가정하에서 이루어진 분석이다. 현실에서는 설명 변수들 간에 상호작용이 있을 가능성이 있으므로, 가정한 내용이 적합하지 않은 경우 다른 결론이 나올 가능성도 있음을 염두에 두길 바란다.</p> <h1>3. 시계열 인과 모형</h1> <h2>3.1. 모형의 국소적 탐색</h2> <p>회귀분석에서 적합한 모형을 찾는 방법으로 최대가능도(likelihood), AIC 또는 BIC를 비교하는 방법이 주로 쓰인다. Pearl 등 (2016)는 이러한 검정 방법을 모형을 전체적으로 검정하는(globally test) 방법이라고 언급하였고, 이 방법의 문제점을 지적하였다. 이 방법은 모형에 포함되는 모든 변수를 알아야만 검정이 가능하므로, 모형에 포함시켜야하는 모든 변수를 다 측정할 수 없을 때에는 적용할 수 없다. 또한 모형에 포함시키는 변수가 많을수록 모형의 설명력 또한 높아질 가능성이 있지만, 이러한 모형이 설명변수와 종속변수 간의 인과 관계를 보장하는 것은 아니다.</p> <p>Pearl 등 (2016)는 전체적으로 완벽한 모형을 찾는 것은 현실적으로 어려운 일이기 때문에 차선책으로 국소적으로 인과 관계에 있는 변수를 찾는 방법을 제시하였다. Figure 1 에서 $ X_{1} $ 과 $ X_{2} $ 가 $ Y $ 에 영향을 주는 것을 표현하고 있다. $ X_{1} $ 과 $ X_{2} $ 외에도 $ Y $ 를 설명하는 데 도움이 되는 추가적인 변수가 있을 수 있으나, 인과성이 확실하지 않은 변수들은 Figure 1 그래프에 표시되어 있지 않다. 즉, 설명력이 뛰어난 모형을 찾기보다는 변수간의 인과성을 잘 표현하는 데 초점을 맞추고 있다. Figure 1에서 $ X_{1} $ 과 $ X_{2} $ 은 독립이 아니다. 하지만, $ X_{1} $ 과 $ X_{2} $ 가 독립이 아니더라도, $ X_{1} $ 은 $ X_{2} $ 와 $ Y $ 의 조건부 분포를 구하는데 영향을 주지 않는다. 이것은 설명변수들간의 독립성 가정을 요구하는 회귀분석 모형과는 다른 점이다. 비슷한 맥락으로, Pfister 등 (2019)에서도 시계열 자료에서 종속변수 $ Y $ 를 잘 설명할 수 있는 복잡한 모형이 아니라, 인과성을 갖는 설명변수 (causal predictors)를 찾는데 초점을 맞추고 있으며, 설명변수들이 서로 독립일 필요는 없음을 강조하고 있다. 하지만, Pfister 등 (2019)에서는 $ Y $ 에 직접적으로 개입하는 변수는 모두 알고 있다는 강한 가정을 하고 있다. $ Y $ 에 추가적으로 개입하는 설명 변수가 없는 경우, 설명변수와 종속변수 간의 조건부 분포는 불변하므로, 설명변수와 종속변수와의 인과 관계를 설명할 수 있기 때문이다. 환경이 달라지더라도, 즉 때로는 어떤 변수가 존재기도하고, 빠지기도 하는 등의 변화가 있을지라도, 그러한 변수가 $ Y $ 에 직접적인 영향을 주지 않는다면, 그 변수를 모형에 포함시키지 않아도 시간에 따라 불변하는 인과성을 찾는 데 문제가 되지 않는다. 특히, 거시 경제에서는 예상하기 어려운 다양한 변수가 존재하고, 측정되지 않은 변수를 모두 포함하는 완벽한 모형을 찾는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에, 환경이 변하더라도 적용가능한 인과추론방법이 거시 경제 자료 분석에 유용하게 이용될 수 있다.</p> <h2>3.2. 시계열 인과 모형</h2> <p>Pfister 등 (2019)에서는 시간에 따라 불변하는 인과성을 갖는 설명변수의 집합을 다음과 같이 정의하고 있다.</p> <p>Definition 1. (불변 집합 $ S $ ) 다음 조건을 만족하는 $ \mu \in \mathbb{R}, \beta \in(\mathbb{R} \backslash\{0\})^{\|S\| \times 1}, \sigma \in \mathbb{R}_{+} $이 존재한다면, 집합 $ S \subseteq $ $ \{1, \cdots, d\} $ 를 $ (\mathbf{Y}, \mathbf{X}) $ 에 대한 불변 집합(invariant set $ ) $ 이라고 한다.</p> <ol type=a start=1><li>$ Y_{t}=\mu+X_{t}^{S} \beta+\epsilon_{t}, \epsilon_{t} \perp X_{t}^{S} $</li> <li>$ \epsilon_{1}, \ldots, \epsilon_{n}^{i i d} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) $.</li></ol> <p>$ \perp $ 기호는 독립을 뜻하고 $ S $ 가 $ i, j $ 번째 설명변수를 포함한 집합 $ \left\{X_{i}, X_{j}\right\} $ 의 부분집합이면, $ S \subseteq\{i, j\} $ 로 표현하였다. $ (\mathbf{Y}, \mathbf{X}) $ 에 대해서 시간에 관계없이 불변하는 집합 $ S^{} \subseteq\{1, \ldots, d\} $ 이 존재하면, 이를 구조적 불변성 (structural invariance)이 있다고 한다.</p> <p>Pfister 등 (2019)는 시계열 자료에서 종속변수 $ Y $ 에 영향을 미칠 것으로 예상되는 설명변수 $ X_{1}, \ldots, X_{d} $ 중 종속변수에 영향을 주는 설명변수(causal predictors)의 집합 $ S^{} \subseteq\{1, \ldots, d\} $ 을 찾는 방법을 제시하였다. 이 때, 추가적으로 $ Y $ 에 직접적으로 개입하는 변수가 없다는 가정을 한다. 두 변수의 조건부 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면, 시간에 따라 변하지 않는 구조(invariant structure)가 있다 또는 정상성(stationary)이 유지된다고 말할 수 있다. 불변집합 $ S^{} $ 를 찾기 위해, $ \{1, \ldots, d\} $ 의 부분 집합 $ S $ 에 대해서 다음과 같이 $ H_{0, S} $ 가 성립하는지를 검정하고, 그러한 $ S $ 의 교집합인 plausible causal predictors $ \tilde{S} $ 를 찾는 방법을 이용한다.</p> <p>$ H_{0, S} $ : 집합 $ S $ 는 $ (\mathbf{Y}, \mathbf{X}) $ 에 대하여 시간에 관계 없이 불변하는 집합(invariant set)이다</p> <p>위의 귀무가설에 대하여, plausible causal predictors은 다음과 같이 수식으로 정의할 수 있다.</p> <p>$\tilde{S}:=\bigcap_{\substack{S \subseteq[1,, d]: \\ H_{0, S} \text { is true }}} S \subseteq S^{}$</p> <p>데이터 분석시에는 결정 방식(decision rule) $ \phi=\left(\phi_{S}\right)_{\subseteq \subseteq[1, \ldots, d]} $ 에 대해 가설검정을 할 수 있다. 귀무가설 $ H_{0,5} $ 을 채택하면, $ \phi_{S}=0 $, 기각하면 $ \phi_{S}=1 $ 로 표시한다. 궁극적으로 다음을 만족하는 $ \hat{S} $ 를 찾는 것을 목표로 한다.</p>	자연
m673-복소해석학	<p>부등식 (4.54) 에의해서 부등식 (4.57)의 오른쪽에 있는 각 피적분함수는 조건 \[ \left \| \left (z-z_ { j } \right ) \boldsymbol {\delta } _ { j } (z) \right \|< \sqrt { 2 } s_ { j } \varepsilon \]<caption>$ (4.58) $</caption></p> <p>을 만족한다. $ C_ { j } $ 가 사각형의 경계일 때 경로의 길이는 $ 4 s_ { j } $ 이고 사각형의 넓이를 $ A_ { j } $라 하면 \[ \left \| \int_ { C_ { j } } \left (z-z_ { j } \right ) \delta_ { j } (z) d z \right \|< \sqrt { 2 } s_ { j } \varepsilon 4 s_ { j } =4 \sqrt { 2 } A_ { j } \varepsilon . \]<caption>$ (4.59) $</caption></p> <p>만일 $ C_ { j } $는 부분 사각형의 경계이면 이 길이는 $ 4 s_ { j } + L_ { j } $을 넘지 않는다. 여기서 $ L_ { j } $는 $ C $의 한 부분인 $ C_ { j } $의 그 부분의 길이이다. 다시 $ A_ { j } $를 $ C_ { j } $를 포함하는 사각형전체의 넓이라고 하면</p> <p>\[ \left \| \int_ { C_ { j } } \left (z-z_ { j } \right ) \delta_ { j } (z) d z \right \|< \sqrt { 2 } s_ { j } \varepsilon \left (4 s_ { j } + L_ { j } \right )<4 \sqrt { 2 } A_ { j } \varepsilon + \sqrt { 2 } S L_ { j } \varepsilon \]<caption>$ (4.60) $</caption></p> <p>여기서 $ S $는 $ R $을 덮는데 사용된 원래의 사각들 뿐 만 아니라 등심선 전체 $ C $를 둘러싸는 어떤 사각형의 한변의 길이이다. $ A_ { j } $ 전체의 합은 $ S ^ { 2 } $을 넘지 않음에 주의하자.</p> <p>각각은 다항곡선 $ L_ { k } $ 또는 $ -L_ { k } $와 $ C $ 및 $ C_ { k } $의 일부로 이루어진 내부의 점이 왼쪽에 있도록 방향을 택한 등심선이다. 편의상 등심선 $ \Gamma_ { 1 } $ 과 $ \Gamma_ { 2 } $ 를 \[ \Gamma_ { 1 } =U + L_ { 1 } + U_ { 1 } + \cdots + U_ { n } + L_ { n + 1 } , \quad \Gamma_ { 2 } =D + \left (-L_ { 1 } \right ) + D_ { 1 } + \cdots + D_ { n } + \left (-L_ { n + 1 } \right ) \]으로 나타내자. 여기서 $ U $와 $ D $는 $ C=U + D $를 만족하는 각각 반시계방향의 $ C $의 위쪽과 아래쪽 등심선이고, $ U_ { k } $와 $ D_ { k } $는 $ C_ { k } =U_ { k } + D_ { k } $를 만족하는 각각 시계방향의 $ C_ { k } $의 위쪽과 아래쪽 등심선이다. 이제 $ \Gamma_ { 1 } $과 $ \Gamma_ { 2 } $ 위에서 $ f $에 Cauchy-Goursat 정리를 적용하면</p> <p>$ \begin {aligned} 0= \int_ {\Gamma_ { 1 } } f(z) d z &= \int_ { U } f(z) d z + \int_ { L_ { 1 } } f(z) d z + \int_ { U_ { 1 } } f(z) d z \\ & + \cdots + \int_ { U_ { n } } f(z) d z + \int_ { L_ { n + 1 } } f(z) d z, \\ 0= \int_ {\Gamma_ { 2 } } f(z) d z=& \int_ { D } f(z) d z + \int_ { L_ { 1 } } f(z) d z + \int_ { D_ { 1 } } f(z) d z \\ & + \cdots + \int_ { D_ { n } } f(z) d z + \int_ { L_ { n + 1 } } f(z) d z . \end {aligned} $</p> <p>증명 (Cauchy-Goursat) 주어진 임의의 양수 $ \varepsilon $에 대해서 보조정리 4.1에 있는 $ R $의 덮개를 생각하자. $ j $번째 사각형이나 부분사각형위에서 다음 함수</p> <p>$ \delta_ { j } (z)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { f(z)-f \left (z_ { j } \right ) } { z-z_ { j } } -f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) & z \neq z_ { j } , \\ 0 & z=z_ { j } \end {array} \right . $<caption>(4.53)</caption></p> <p>여기서 $ z_ { j } $이 부등식 (4.51)이 성립하는 $ j $번째 사각형이나 부분사각형내의 고정점이다. (4.51)에 의하여 $ \delta_ { j } (z) $이 정의되는 구역내의 모든 점 $ z $에서</p> <p>$ \left \| \delta_ { j } (z) \right \|< \varepsilon $<caption>(4.54)</caption></p> <p>또한 $ f(z) $는 부분구역에서 연속이고</p> <p>$ \lim _ { z \rightarrow z_ { j } } \delta_ { j } (z)=f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right )-f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right )=0 $</p> <p>이므로 $ \delta_ { j } (z) $은 부분구역전체에서 연속이다. 다음으로 $ C_ { j } (j=1, \ldots, n) $은 $ R $ 을 덮는 위의 사각형과 부분사각형들의 양방향의 경계를 나타내자. (4.53)의 정의에 의하여 임의의 특별한 $ C_ { j } $ 위의 점에서 $ f $의 값은</p> <p>$ f(z)=f \left (z_ { j } \right )-z_ { j } f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) + f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) z + \left (z-z_ { j } \right ) \boldsymbol {\delta } _ { j } (z) $</p> <p>으로 쓸 수 있다. 위 식의 양변을 $ C_ { j } $ 에서 선적분을 취하면</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { C_ { j } } f(z) d z &= \left [f \left (z_ { j } \right )-z_ { j } f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) \right ] \int_ { C_ { j } } d z + f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) \int_ { C_ { j } } z d z \\ & + \int_ { C_ { j } } \left (z-z_ { j } \right ) \delta_ { j } (z) d z . \end {aligned} $<caption>(4.55)</caption></p> <p>증명 귀류법을 사용하여 증명한다. $ P(z) $가 어떠한 $ z $에 대해서도 영점을 가지지 않는다고 가정하자. 그러면 \[f(z)= \frac { 1 } { P(z) } \] 은 분명히 전함수이다. Liouville 정리를 이용하기 위해 $ f $가 복소평면에서 유계임을 보이자. 먼저 \[w= \frac { a_ { 0 } } { z ^ { n } } + \frac { a_ { 1 } } { z ^ { n-1 } } + \frac { a_ { 2 } } { z ^ { n-2 } } + \cdots + \frac { a_ { n-1 } } { z } \]<caption>(4.76)</caption></p> <p>라고 쓰면 $ P(z)= \left (a_ { n } + w \right ) z ^ { n } $이 된다. $ \|z\| \geq R $일 때 \[ \left \| \frac { a_ { k-1 } } { z ^ { n-k + 1 } } \right \|< \frac {\left \|a_ { n } \right \| } { 2 n } \quad k=1,2, \cdots, n \] 이 되도록 충분히 큰 수 $ R $를 택할 수 있다. 삼각부등식에 의하여 $ \|z\| \geq R $에</p> <p>대해서 $ \|w\|< \left \|a_ { n } \right \| / 2 $이다. 따라서 $ \|z\| \geq R $ 일 때 \[ \left \|a_ { n } + w \right \| \geq\|\| a_ { n } \|-\| w\|\|>\frac {\left \|a_ { n } \right \| } { 2 } \] 이고 따라서 $ \|z\| \geq R $일 때 \[\|P(z)\|= \left \|a_ { n } + w \right \| \left \|z ^ { n } \right \|>\frac {\left \|a_ { n } \right \| } { 2 } \|z\| ^ { n } \geq \frac {\left \|a_ { n } \right \| } { 2 } R ^ { n } . \]<caption>(4.77)</caption></p> <p>그러면 $ \|z\| \geq R $ 일 때 \[\|f(z)\|= \frac { 1 } { \|P(z)\| }< \frac { 2 } {\left \|a_ { n } \right \| R ^ { n } } . \] 따라서 $ f $는 원판 $ \|z\| \leq R $의 외부 구역에서는 유계이다. 그런데 $ f $는 닫힌 원판 $ \|z\| \leq R $의 내부 구역에서 연속이므로 $ \|f\| $도 또한 연속인 실함수이므로 컴팩트 집합 $ \|z\| \leq R $에서 최대 값을 가진다. 따라서 $ \|f\| \ 는 복소평면 전체에서 유계이다. Liouville 정리에 의하여 \( f(z) $는 상수함수이므로 $ P(z) $도 상수함수이다. 그러나 $ P(z) $ 는 상수함수가 아니므로 이것은 모순이다.</p> <p>참고 4.8 보기 4.6에서 $ C=C_ { 2 } -C_ { 1 } $은 시계 반대방향의 단순닫힌곡선임을 알 수 있다.</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z- \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z= \frac { 1 } { 2 } + i $</p> <p>다가함수의 가지들을 포함하는 적분을 계산할 때는 몇몇은 주의해야 한다.</p> <p>보기 4.7 주어진 원 $ C:\|z\|=1 $ 위의 선적분 $ \int_ { C } z ^ { -1 / 2 } d z $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 먼저 0은 피적분함수 $ z ^ { -1 / 2 } $ 의 가지점이고 이가함수임을 주의하자. 먼저 가지를</p> <p>$ z ^ { 1 / 2 } = \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } $</p> <p>으로 나타내자. 여기서 $ r=\|z\|, \theta= \operatorname { Arg } z,- \pi< \theta \leq \pi $ 이다. 따라서 원을 매개변수로 바꾸면</p> <p>$ z( \theta)=e ^ { i \theta } , \quad- \pi \leq \theta \leq \pi $</p> <p>으로 표현된다. 그러면 정의에 의하여</p> <p>$ \int_ { C } z ^ { -1 / 2 } d z= \int_ { - \pi } ^ {\pi } i e ^ { i \theta } e ^ { -i \theta / 2 } d \theta=i \int_ { - \pi } ^ {\pi } \cos ( \theta / 2) d \theta- \int_ { - \pi } ^ {\pi } \sin ( \theta / 2) d \theta=4 i $</p> <p>이다. $ C $의 다른 매개화는 $ z(t)=e ^ { i t } , 0 \leq t \leq 2 \pi $이고, 따라서</p> <p>$ \int_ { C } z ^ { -1 / 2 } d z= \int_ { 0 } ^ {\pi } i e ^ { i t } e ^ { -i t / 2 } d t + \int_ {\pi } ^ { 2 \pi } i e ^ { i t } e ^ { -i(t-2 \pi) / 2 } d t=4 i $</p> <p>풀이 피적분함수 $ z / \left [ \left (z ^ { 2 } + 9 \right )(z-i) \right ] $는 $ z=i $때문에 $ C $의 내부에서 해석적이지 못하다. 그러므로 Cauchy-Goursat 정리를 바로 사용할 수 없다. 그런데 피적분 함수의 분모를 0으로 하는 값 중 $ z_ { 0 } =i $만이 $ C $의 내부에 있다. 이 점을 제외한 함수 \[f(z)= \frac { z } { z ^ { 2 } + 9 } \] 은 $ C $ 내부에서 해석적이므로 Cauchy적분공식의 조건을 만족한다. 따라서</p> <p>주어진 적분을 다시 표현하면 \[ \int_ { C } \frac { f(z) } { z-i } d z \] 이다. Cauchy 적분공식 (4.64)으로부터 구하는 적분값은 $ 2 \pi i f(i)= \frac { - \pi } { 4 } $ 이다.</p> <p>식 (4.64) 를 이용하여 $ f ^ {\prime } (z) $의 적분표현을 구하여 보도록 하자. $ 0< $ $ \| \Delta z\|<d $에 대해서 \[ \begin {aligned} \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \left ( \frac { 1 } { s-z- \Delta z } - \frac { 1 } { s-z } \right ) \frac { f(s) } {\Delta z } d z \\&= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z- \Delta z)(s-z) } d s \end {aligned} \] 여기서 $ d< \operatorname { dist } (z, C)= \inf \{ \|z-s\|: s \in C \} $이다. $ f $가 $ C $ 위에서 연속이라는 사실을 이용하여 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z- \Delta z)(s-z) } d s= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z) ^ { 2 } } d s \] 임을 보이자. 이를 위해서 먼저 \[ \int_ { C } \left [ \frac { 1 } { (s-z- \Delta z)(s-z) } - \frac { 1 } { (s-z) ^ { 2 } } \right ] f(s) d s= \Delta z \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z- \Delta z)(s-z) ^ { 2 } } d s \]</p> <p>참고 4.11 정리 4.3은 임의의 함수 $ f $ 와 임의의 구역에서 성립한다는 것은 아니다. 다만 하나의 명제가 성립하면 다른 명제도 또한 성립한다는 뜻이다. 우리는 다음 절에서 정리 $ 4.3 $의 명제 중 하나가 성립할 함수나 구역의 조건들을 살펴볼 것이다.</p> <p>보기 $ 4.11 $ 연속함수 $ f(z)=z ^ { n } $ ( $ n $ 은 자연수)는 복소평면 전체에서 부정적분 $ F(z)=z ^ { n + 1 } /(n + 1) $을 가지므로 $ z=0 $ 에서 $ z=1 + i $를 연결하는 모든 등심선에 대해서</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ { 1 + i } z ^ { n } d z= \left . \frac { z ^ { n + 1 } } { n + 1 } \right \|_ { 0 } ^ { 1 + i } = \frac { 1 } { n + 1 } (1 + i) ^ { n + 1 } $</p> <p>보기 $ 4.12 $ 원점을 제외한 복소평면전체에서 연속인 함수 $ 1 / z ^ { n } (n \neq 1 $은 자연수) 는 영역 $ \|z\|>0 $ 에서 부정적분 $ \frac { 1 } { -n + 1 } z ^ { -n + 1 } $ 를 가진다. 따라서 원점을 지나지 않는 $ z_ { 1 } $ 부터 $ z_ { 2 } $ 까지 연결하는 임의의 등심선에 대해서</p> <p>$ \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } \frac { d z } { z ^ { n } } = \left . \frac { 1 } { -n + 1 } z ^ { -n + 1 } \right \|_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } = \frac { 1 } { -n + 1 } \left ( \frac { 1 } { z_ { 2 } ^ { n-1 } } - \frac { 1 } { z_ { 1 } ^ { n-1 } } \right ) \quad \left (z_ { 1 } \neq 0, z_ { 2 } \neq 0 \right ) $</p> <p>$ \begin {aligned} (f + g) ^ {\prime } (t) &=(u + r) ^ {\prime } (t) + i(v + s) ^ {\prime } (t) \\ &= \left [u ^ {\prime } (t) + r ^ {\prime } (t) \right ] + i \left [v ^ {\prime } (t) + s ^ {\prime } (t) \right ]=f ^ {\prime } (t) + g ^ {\prime } (t) \end {aligned} $</p> <p>(ii) 복소 상수를 $ z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } $ 라 가정하자. 그러면</p> <p>$ \left (z_ { 0 } f \right )(t)= \left (x_ { 0 } u(t)-y_ { 0 } v(t) \right ) + i \left (x_ { 0 } v(t) + y_ { 0 } u(t) \right ) $</p> <p>이므로 $ t $ 로 미분하면</p> <p>$ \begin {aligned} \left (z_ { 0 } f \right ) ^ {\prime } (t) &= \left (x_ { 0 } u(t)-y_ { 0 } v(t) \right ) ^ {\prime } + i \left (x_ { 0 } v(t) + y_ { 0 } u(t) \right ) ^ {\prime } \\ &= \left (x_ { 0 } + i y_ { 0 } \right ) \left (u ^ {\prime } (t) + i v ^ {\prime } (t) \right )=z_ { 0 } f ^ {\prime } (t) \end {aligned} $</p> <p>이다.</p> <p>(iii) $ e ^ { z_ { 0 } t } =e ^ { x_ { 0 } t + i y_ { 0 } t } =e ^ { x_ { 0 } t } \cos \left (y_ { 0 } t \right ) + i e ^ { x_ { 0 } t } \sin \left (y_ { 0 } t \right ) $ 이므로 미분하면</p> <p>$ \begin {aligned} \frac { d } { d t } e ^ { z_ { 0 } t } &= \left (e ^ { x_ { 0 } t } \cos \left (y_ { 0 } t \right ) \right ) ^ {\prime } + i \left (e ^ { x_ { 0 } t } \sin \left (y_ { 0 } t \right ) \right ) ^ {\prime } \\ &=e ^ { x_ { 0 } t } \left [ \left (x_ { 0 } + i y_ { 0 } \right ) \cos y_ { 0 } t + i \left (x_ { 0 } + i y_ { 0 } \right ) \sin \left (y_ { 0 } t \right ) \right ] \\ &=z_ { 0 } e ^ { z_ { 0 } t } \end {aligned} $</p> <p>정리 $ 4.11 $ 함수 $ f $가 점 $ z_ { 0 } $에서 해석적이면 $ f $의 모든 계수의 도함수 $ f ^ { (n) } $은 또한 점 $ z_ { 0 } $ 에서 해석함수이다.</p> <p>그러나, 정리 4.11은 실함수에서는 성립하지 않는다(연습문제 14). 함수 \[f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \] 가 점 $ z=(x, y) $에서 해석적이면 $ f ^ {\prime } $의 해석성은 $ f ^ {\prime } $의 연속성을 보장한다. 그런데 \[f ^ {\prime } (z)=u_ { x } (x, y) + i v_ { x } (x, y)=v_ { y } (x, y)-i u_ { y } (x, y) \] 이므로 $ u, v $ 의 1 계 편도함수는 그 점에서 연속이다. 즉 $ u, v $ 는 $ C ^ { 1 } $ 함수이다. 더구나 $ f ^ {\prime \prime } $도 $ z $에서 해석적이고 연속이며 \[f ^ {\prime \prime } (z)=u_ { x x } (x, y) + i v_ { x x } (x, y)=v_ { y x } (x, y)-i u_ { y x } (x, y) \]</p> <p>이므로 $ u, v $의 이계 편도함수 역시 그 점에서 연속이다. 즉 $ u, v $는 $ C ^ { 2 } $ 함수이다. 이러한 과정을 계속하면 따름정리 $ 4.5 $를 얻는다. 따름정리 $ 4.5 $ 함수 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $가 점 $ z=x + i y $에서 해석적이면 $ f $ 의 성분함수 $ u, v $는 그 점에서 모든 계수에 대해 연속인 도함수를 갖는다. 보기 $ 4.19 C $를 양의 방향의 원 $ \|z\|=2 $일 때 \[ \int_ { C } \frac { e ^ { z } + z ^ { 2 } } { z ^ { 3 } } d z \] 의 적분값을 구하여라.</p> <p>$ C $의 내부에 $ z=0 $이 있으므로 이 점을 제외한 나머지를 $ f(z)= $ $ e ^ { z } + z ^ { 2 } $ 라 두면 $ f $는 $ C $위와 내부에서 해석적이다. 따라서 Cauchy 적분공식 (4.70)을 이용하면 구하는 적분은 \[ \int_ { C } \frac { e ^ { 2 z } + z ^ { 2 } } { z ^ { 3 } } d z= \int_ { C } \frac { f(z) } { (z-0) ^ { 2 + 1 } } d z= \frac { 2 \pi i } { 2 ! } f ^ {\prime \prime } (0)=3 \pi i . \]</p> <p>(iii) $ C_ { 3 } =C_ { 2 } -C_ { 1 } $ 이므로 $ C_ { 3 } $ 에 따른 함수 (4.43)의 적분값은</p> <p>$ \int_ { C_ { 3 } } f(z) d z= \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z- \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z=2 \sqrt { 3 } (-1 + i)-2 \sqrt { 3 } (1 + i)=-4 \sqrt { 3 } $.</p> <h1>4.3 Cauchy-Goursat 정리</h1> <p>정리 $ 4.3 $에서 연속함수 $ f $가 구역 $ D $에서 부정적분을 가질 때 $ D $ 내에 완전히 놓여있는 임의의 주어진 닫힌등심선 $ C $ 를 따른 선적분</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=0 $<caption>$ (4.44) $</caption></p> <p>임을 기억할 것이다. 이 절에서는 단순닫힌등심선 $ C $ 위의 선적분이 (4.44)을 만족하는 함수의 다른 조건을 찾으려 한다. 또한 다른 형태의 구역에서 선적분에 관한 내용도 또한 다룬다.</p> <p>$ C $는 반시계방향(양의 방향)을 가리키는 단순닫힌등심선 $ z=z(t)(a \leq $ $ t \leq b) $ 이라 하고 $ f $는 $ C $ 위와 내부의 모든 점에서 해석적이라 가정하자. 정의 $ 4.5 $에 의하여</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { a } ^ { b } f[z(t)] z ^ {\prime } (t) d t $<caption>$ (4.45) $</caption></p> <p>이고 만일 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $이고 $ z(t)=x(t) + i y(t) $이면 (4.45)의 오른쪽 피적분함수</p> <p>$ f[z(t)] z ^ {\prime } (t)=u(x(t), y(t)) x ^ {\prime } (t)-v(x(t), y(t)) y ^ {\prime } (t) $ $ + i \left (u(x(t), y(t)) y ^ {\prime } (t) + v(x(t), y(t)) x ^ {\prime } (t) \right ) $</p> <p>는 실변수 $ t $ 에 관한 복소함수이므로 정의 $ 4.2 $ 를 사용하면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { a } ^ { b } \left (u x ^ {\prime } -v y ^ {\prime } \right ) d t + i \int_ { a } ^ { b } \left (v x ^ {\prime } + u y ^ {\prime } \right ) d t $<caption>$ (4.46) $</caption></p> <p>보기 $ 4.2 $ 다항곡선</p> <p>$ z= \left \{\begin {array} { ll } t + i t ^ { 2 } & 0 \leq t \leq 1 \\ t + i & 1 \leq t \leq 2 \end {array} \right . $<caption>$ 4.12 $</caption></p> <p>은 단순호 이다.</p> <p>보기 $ 4.3 $ 원점을 중심으로 하는 단위원</p> <p>$ z=e ^ { i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) $<caption>$ 4.13 $</caption></p> <p>은 시계 반대방향으로 향하는 단순닫힌곡선이다. 중심이 점 $ z_ { 0 } $이고 반지름 $ R $ 인 원은</p> <p>$ z=z_ { 0 } + \operatorname { Re } ^ { i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) $<caption>$ 4.14 $</caption></p> <p>이다.</p> <p>같은 단위원도 다르게 표현될 수 있다.</p> <p>보기 $ 4.4 $호</p> <p>$ z=e ^ { -i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) $<caption>$ 4.15 $</caption></p> <p>은 집합으로는 (4.13) 와 동일하지만 시계 방향으로 향하는 단순닫힌곡선이다. 또한호</p> <p>$ z=e ^ { 2 i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) $<caption>$ 4.16 $</caption></p> <p>은 집합으로는 (4.13), (4.15) 와 동일하지만 시계 반대방향으로 두바퀴 돈다.</p> <p>호 $ C: z=z(t)=x(t) + i y(t) $의 성분들의 도함수 $ x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t) $ 이 정의된 구간 $ [a, b] $ 위에서 존재하고 연속이라 할 때 $ C $를 미분가능한 호라 한다.</p> <p>미분가능한 호 $ z(t)=x(t) + i y(t), a \leq t \leq b $, 의 도함수는 정의 $ 4.1 $에 의하여</p> <p>$ z ^ {\prime } (t)=x ^ {\prime } (t) + i y ^ {\prime } (t) $<caption>$ (4.17) $</caption></p> <p>이고 실함수</p> <p>$ \left \|z ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } $<caption>$ (4.18) $</caption></p> <p>은 구간 $ [a, b] $위에서 연속이므로 적분가능하다. 그런데 미적분학에서 평면 상의 미분가능한 곡선 $ \mathbf { r } (t)=(x(t), y(t)), a \leq t \leq b $의 길이는</p> <p>$ F_ { 1 } (z)= \frac { 2 } { 3 } z ^ { 3 / 2 } = \frac { 2 } { 3 } r \sqrt { r } e ^ { i 3 \theta / 2 } \quad \left (r>0,- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) $</p> <p>이므로</p> <p>$ \int_ { C_ { 1 } } z ^ { 1 / 2 } d z= \int_ { -3 } ^ { 3 } f_ { 1 } (z) d z= \left .F_ { 1 } (z) \right \|_ { -3 } ^ { 3 } =2 \sqrt { 3 } \left (e ^ { i 0 } -e ^ { i 3 \pi / 2 } \right )=2 \sqrt { 3 } (1 + i) $.</p> <p>(ii) 이 경우도 (i)과 유사하게 하여 피적분함수는 아래쪽 반평면 내에서 가지 (4.43)와 일치하는 가지</p> <p>$ f_ { 2 } (z)= \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } \quad \left (r>0, \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac { 5 \pi } { 2 } \right ) $</p> <p>으로 대체할 수 있다. 해석함수</p> <p>$ F_ { 2 } (z)= \frac { 2 } { 3 } z ^ { 3 / 2 } = \frac { 2 } { 3 } r \sqrt { r } e ^ { i 3 \theta / 2 } \quad \left (r>0, \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac { 5 \pi } { 2 } \right ) $</p> <p>은 $ f_ { 2 } (z) $ 의 부정적분이다. 따라서</p> <p>$ \int_ { C_ { 2 } } z ^ { 1 / 2 } d z= \int_ { -3 } ^ { 3 } f_ { 2 } (z) d z= \left .F_ { 2 } (z) \right \|_ { -3 } ^ { 3 } =2 \sqrt { 3 } \left (e ^ { i 3 \pi } -e ^ { i 3 \pi / 2 } \right )=2 \sqrt { 3 } (-1 + i) $.</p> <p>참고 4.21 합성함수 $ g(z)= \exp [f(z)] $은 $ R $ 내에서 연속이고 해석적이고 내부에서 상수함수가 아니다. 따라서 $ R $에서 연속인 크기 $ \|g(z)\|= \exp [u(x, y)] $은 경계위에서 $ R $ 내의 최대값을 가져야 한다. 지수함수의 증가성질때문에 $ u(x, y) $의 최대값은 또한 경계위에서 발생해야 한다.</p> <p>참고 $ 4.22 $ 정리 4.16와 따름정리 4.6에서 최대값 대신 최소값도 경계에서 발생한다.</p> <p>참고 $ 4.23 $ 최대크기정리는 실변수함수에서는 성립하지 않는다. 실제로, 단위원 $ D(0 ; 1)= \left \{ (x, y): x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \right \} $에서 정의된 $ f(x, y)=1- \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) $ 은 미분가능하지만 내부의 점 $ (x, y)=(0,0) $ 에서 최대값을 가진다.</p> <p>참고 $ 4.24 $ 최대·최소크기정리는 조화함수에 대해서도 성립한다(정리 7.4를 보라).</p> <p>정리 $ 4.17 $ (Schwarz 보조정리) $ D= \{ z \in \mathbb { C } ;\|z\|<1 \} $이라 하자. $ f $는 $ f(0)= $ 0이고 $ D $ 에서 해석적이라고 가정하자. 만일 $ \|f(z)\| \leq 1 \forall z \in D $이면 $ \left \|f ^ {\prime } (0) \right \| \leq 1 $이고 모든 $ z \in D $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq\|z\| $이다. 더욱이 만일 $ \left \|f ^ {\prime } (0) \right \|= $ 1이거나, 만일 어떤 $ z \neq 0 $에 대해서 $ \|f(z)\|=\|z\| $이면, 상수 $ c,\|c\|=1 $, 가 존재하여 모든 $ z \in D \ 에 대해서 \( f(z)=c z $이다.</p> <p>증명 함수 $ g: D \rightarrow \mathbb { C } $ 를 \[g(z)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { f(z) } { z } & z \neq 0 \\ f ^ {\prime } (0) & z=0 \end {array} \right . \]</p> <p>로 정의하자. 그러면 $ g $ 는 $ D $에서 해석적이다. 최대크기원리를 사용하면, $ \|z\| \leq r(0<r<1) $ 에 대해서 $ \|g(z)\| \leq r ^ { -1 } $이다. $ r \rightarrow 1 ^ { + } $라 두면 모든 $ z \in D $ 에 대해서 $ \|g(z)\| \leq 1 $이다. 즉 $ \|f(z)\| \leq\|z\| $이고 $ \left \|f ^ {\prime } (0) \right \|=\|g(0)\| \leq 1 $이다. 만일 어떤 $ z \in D(z \neq 0) $에 대해서 $ \|f(z)\|=\|z\| $이거나 $ \left \|f ^ {\prime } (0) \right \|=1 $이면, $ \|g\| $은 $ D $ 내부에서 그의 최대값을 가진다. 따라서 다시 최대크기원리를 적용하면 $ g(z) \equiv c, c $ 는 $ \|c\|=1 $인 상수, 이다. 이것으로부터 $ f(z)=c z $ 이고 정리가 증명된다.</p> <p>$ f(z)=z ^ { n } g(z) $라 두고 최대크기원리를 적용하면 아래 따름정리를 얻는다:</p> <p>따름정리 $ 4.7 f(z) $가 $ D $에서 $ f ^ { k } (0)=0, k=0,1,2, \ldots, n-1 $인 해석함수라고 가정하자. 만일 모든 $ z \in D $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq 1 $이면, $ \|f(z)\| \leq\|z\| $이고 등식이 성립하면 $ f(z)=c z ^ { n } $ 이다. 여기서 $ c $ 는 $ \|c\|=1 $ 인 상수이다.</p> <p>특히 $ n=1 $ 일 때 \[ \left \|f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \leq \frac { M_ { R } } { R } . \]<caption>$ (4.74) $</caption></p> <p>증명 Cauchy 적분공식 (4.70)와 정리 $ 4.2 $를 이용하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $ 4.14 $ (Liouville) 만일 $ f $가 복소 평면전체에서 전함수이고 유계이면 $ f(z) $는 평면전체에서 상수이다. 증명 $ f $ 가 전함수이므로 $ z_ { 0 } $와 $ R $의 임의의 선택에 대해서 부등식 (4.74)가 성립한다. $ f $가 유계이므로 모든 $ z $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq M $을 만족하는 상수 $ M $이 존재한다. (4.74)의 상수 $ M_ { R } $은 항상 $ M_ { R } \leq M $이므로 \[ \left \|f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \leq \frac { M } { R } . \]<caption>$ (4.75) $</caption></p> <p>여기서 $ z_ { 0 } $는 평면상의 임의의 고정된 점이고 $ R $이 임의의 큰 수이다. 부등식 (4.74) 의 상수 $ M $이 선택한 $ R $ 의 값에 무관하므로 부등식은 충분히 큰 $ R $에 대해서도 성립한다. 이것으로 부터 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=0 $이다. $ z_ { 0 } $는 평면상의 임의의 점이므로 평면상의 모든 점에서 $ f ^ {\prime } (z)=0 $이다. 따라서 $ f $는 상수함수이다.</p> <p>참고 4.17 Liouville 정리는 실함수에 대해서 성립하지 않는다. $ f(x, y)= $ $ \sin (x y) $ 은 유계이고 임의의 실수점에서 모든 계수의 도함수를 가지지만 상수함수는 아니다.</p> <p>Liouville 정리를 이용하면 Gauss가 증명한 대수학의 기본정리를 증명할 수 있다. 정리 $ 4.15 $ (대수학의 기본정리 $ ) ^ { 5 } n \geq 1 $차의 임의의 다항식 \[P(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + a_ { 2 } z ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \quad \left (a_ { n } \neq 0 \right ) \] 은 적어도 하나 영점을 가진다. 즉, $ P \left (z_ { 0 } \right )=0 $인 적어도 한 점 $ z_ { 0 } $이 존재한다.</p> <p>$ z_ { n } =P $ 이므로 모든 $ z \in D $에 대해서 $ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) $이다. 따라서 $ f(z) $는 구역 $ D $ 전체에서 상수함수이다.</p> <p>따름정리 4.6 함수 $ f $ 가 유계이고 닫힌구역 $ R $에서 연속이고 $ R $의 내부에서 해석적이고 상수함수가 아니라고 가정하자. 그러면 $ R $ 내에서 $ \|f(z)\| $의 최대값은 $ R $의 경계의 어느 점에서 일어나고 $ R $의 내부에서는 일어나지 않는다. 즉 \[ \max _ { z \in R } \|f(z)\|= \max _ { z \in \partial R } \|f(z)\| . \] 증명 $ R $의 내부의 각 점에서 해석적인 함수 $ f $는 또한 $ R $ 전체에서 연속이므로 $ \|f(z)\| $은 $ R $의 어느 점에서 최대값을 가진다. 즉 상수 $ M>0 $이 존재하여 모든 $ z \in R $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq M $이고 적어도 하나의 점 $ z_ { 0 } $에서 $ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|=M $이다. 만일 $ f \ 가 상수함수이면 모든 \( z \in R $에 대해서 $ \|f(z)\|=M $. 그러나 만일 $ f(z) $이나 상수함수가 아니면 최대크기원리에 의해 $ R $의 내부의 임의의 점 $ z $에 대해 $ \|f(z)\| \neq M $이다. 따라서 \[ \max _ { z \in R } \|f(z)\|= \max _ { z \in \partial R } \|f(z)\| . \]</p> <p>쓰고 직접계산 할 수 있다. $ R $내에서 $ x= \pi / 2 $일 때 $ \sin ^ { 2 } x $는 최대이고 증가 함수 $ \sinh ^ { 2 } y $은 $ y=1 $일 때 최대가 된다. 그러므로 $ R $내에서 $ \|f(z)\| $의 최대 값은 경계점 $ z=( \pi / 2) + i $ 에서 일어나고 $ R $ 내의 다른 점에서 일어나지 않는다.<p>참고 4.20 따름정리 4.6내의 함수 $ f $를 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $로 쓸 때 성분함수 $ u(x, y) $와 $ v(x, y) $가 조화함수이면 $ R $ 의 내부가 아닌 경계위에서 최대 값을 가진다.</p> <p>증명 $ \|f(z)\| $이 $ D $ 내의 어떤 점 $ z_ { 0 } $ 에서 최대값을 갖는다고 가정하자. 그러면 $ f $는 $ D $ 전체에서 상수이어야 함을 보이면 된다.</p> <p>$ D $는 연결 열린집합이므로 $ z_ { 0 } $부터 $ D $ 내의 임의의 다른 점 $ P $까지 $ D $내에 완전히 놓여있는 선분의 끝점과 끝점을 연결하는 유한개의 선분들로 이루어진 다항선 $ L $이 존재한다. $ D $가 평면전체가 아닌한 $ d $를 $ L $위의 점들로 부터 $ D $의 경계까지의 최단거리라 하자. 그러면 $ L $을 따라 점 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { n } $의 유한개 수열을 이룬다. 여기서 $ z_ { n } =P $이고 각 점이 \[ \left \|z_ { k } -z_ { k-1 } \right \|<d \quad(k=1,2, \ldots, n) \] 되도록 이웃한 점들이 충분히 가깝게 한다. 각 근방 $ N_ { k } $은 $ z_ { k } $이 중심이고 반지름이 $ d $ 되게 하는 근방들 $ N_ { 0 } , N_ { 1 } , \ldots, N_ { n } $ 의 유한 집합열을 만든다(그림4.19). 이러한 근방들은 모두 $ D $의 내부에 포함되어 있고 각 근방 $ N_ { k } \quad k= $ $ 1,2, \ldots, n) $ 의 중심 $ z_ { k } $ 은 앞의 근방 $ N_ { k-1 } $ 에 놓여있음에 주의하자.</p> <p>$ \|f(z)\| $이 $ z_ { 0 } \in D $에서 최대값을 가진다고 가정하였으므로 $ \|f(z)\| $은 $ z_ { 0 } \in $ $ N_ { 0 } $에서 최대값을 가진다. 그러므로 보조정리 $ 4.1 $에의하여 $ N_ { 0 } $ 전체를 통하여 $ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) $이다. 특히 $ f \left (z_ { 1 } \right )=f \left (z_ { 0 } \right ) $이다. 이것은 각 $ z \in N_ { 1 } $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq \left \|f \left (z_ { 1 } \right ) \right \| $ 를 뜻한다. 보조정리 $ 4.1 $ 를 다시 적용하면 $ z \in N_ { 1 } $ 일 때 \[f(z)=f \left (z_ { 1 } \right )=f \left (z_ { 0 } \right ) \] $ z_ { 2 } \in N_ { 1 } $ 이므로 $ f \left (z_ { 2 } \right )=f \left (z_ { 0 } \right ) $. 따라서 $ z \in N_ { 2 } $ 일 때 $ \|f(z)\| \leq \left \|f \left (z_ { 2 } \right ) \right \| $. 보조정리 $ 4.2 $ 를 다시 적용하면 $ z \in N_ { 2 } $일 때 \[f(z)=f \left (z_ { 2 } \right )=f \left (z_ { 0 } \right ) . \] 이 방법을 계속하면 $ N_ { n } $ 에 도달하게 되고 $ f \left (z_ { n } \right )=f \left (z_ { 0 } \right ) $이다.</p> <p>그러나, 만일 가지를 $ 0 \leq \operatorname { Arg } \mathrm { z }<2 \pi $로 택하면,</p> <p>$ \int_ { C } z ^ { -1 / 2 } d z= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } i e ^ { i t } e ^ { -i t / 2 } d t=-4 $</p> <p>이 된다.</p> <p>보기 4.7에서 보면 선적분의 값은 피적분함수의 가지에 따라 적분값이 다름을 알 수 있다.</p> <p>보기 4.8 $ C $를 고정점 $ z_ { 1 } $으로 부터 $ z_ { 2 } $까지 잇는 임의의 매끄러운 호 $ z= $ $ z(t)(a \leq t \leq b) $라 하자.</p> <p>$ I= \int_ { C } z ^ { n } d z, \quad n $은 자연수</p> <p>을 구하라.</p> <p>풀이 정의 $ 4.5 $에 의하여</p> <p>$ I= \int_ { a } ^ { b } [z(t)] ^ { n } z ^ {\prime } (t) d t $</p> <p>이다. 그런데</p> <p>$ \frac { d } { d t } \frac { [z(t)] ^ { n + 1 } } { n + 1 } =[z(t)] ^ { n } z ^ {\prime } (t) $</p> <p>이므로</p> <p>$ I= \left . \frac { [z(t)] ^ { n + 1 } } { n + 1 } \right \|_ { a } ^ { b } = \frac { [z(b)] ^ { n + 1 } -[z(a)] ^ { n + 1 } } { n + 1 } = \frac { z_ { 2 } ^ { n + 1 } -z_ { 1 } ^ { n + 1 } } { n + 1 } $</p> <p>참고 $ 4.9 $ 보기 $ 4.8 $ 은 선적분의 값이 등심선에 의존하지 않고 양 끝점에만 의존하는 것을 알 수 있다. 따라서 만일 $ C $가 점 $ z_ { 1 } , z_ { 2 } , \cdots, z_ { k + 1 } $을 각각 연결하는 등심선 $ C_ { j } , j=1, \cdots, k $으로 이루어졌다면</p> <p>$ \int_ { C } z ^ { n } d z= \sum_ { j=1 } ^ { k } \int_ { C_ { j } } z d z= \sum_ { j=1 } ^ { k } \frac { z_ { j + 1 } ^ { n + 1 } -z_ { j } ^ { n + 1 } } { n + 1 } = \frac { z_ { k + 1 } ^ { n + 1 } -z_ { 1 } ^ { n + 1 } } { n + 1 } $</p> <p>이다. 따라서 $ C $ 가 닫힌 등심선이면 $ z_ { k + 1 } =z_ { 1 } $ 이므로</p> <p>$ \int_ { C } z ^ { n } d z=0 $</p> <p>보기 $ 4.9 C $를 점 $ z=3 $에서 $ z=-3 $까지 반원경로</p> <p>$ z=3 e ^ { i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq \pi) $</p> <p>을 나타낸다고 하자(그림 $ 4.3 $ 왼쪽). 이 때 적분</p> <p>$ I= \int_ { C } z ^ { 1 / 2 } d z $<caption>$ (4.36) $</caption></p> <p>을 구하라.</p> <p>풀이 1. 등심선이 상반구이므로 다가함수 $ z ^ { 1 / 2 } $ 의 가지 중</p> <p>$ f(z)= \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } \quad(r>0,0< \theta<2 \pi) $<caption>$ (4.37) $</caption></p> <p>를 잡자. 그러면 $ f(z) $는 $ C $의 $ \theta=0 $인 시작점 $ z=3 $에서 정의되지 않지만 $ 0< \theta<2 \pi $에서 연속이므로 적분값 (4.36)이 존재한다.</p> <p>2. $ f(z) $가 $ C $ 위에서 조각연속임을 보이자. $ C: z( \theta)=3 e ^ { i \theta } , 0 \leq \theta \leq \pi $, 일 때</p> <p>$ f[z( \theta)]= \sqrt { 3 } e ^ { i \theta / 2 } = \sqrt { 3 } \cos \frac {\theta } { 2 } + i \sqrt { 3 } \sin \frac {\theta } { 2 } \quad(0< \theta \leq \pi) ^ { 3 } $</p> <p>적분 (4.84) 의 피적분함수 \[ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|- \left \|f \left (z_ { 0 } + \rho e ^ { i \theta } \right ) \right \| \] 는 변수 $ \theta $에 대해서 연속이고 (4.82)에 의하여 전체구간 $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi $에서 0보다 크거나 같다. 적분값이 0이므로 피적분함수는 0이어야 한다. 즉 \[ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \left \|f \left (z_ { 0 } + \rho e ^ { i \theta } \right ) \right \| \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) . \]<caption>(4.85)</caption></p> <p>이것은 원 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \rho $ 위의 모든 점 $ z $에 대해서 $ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|=\|f(z)\| $이다.</p> <p>그런데 $ z_ { 1 } $ 은 빠진근방 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon $ 내에서 임의로 선택한 점이므로 임의의 원 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \rho, 0< \rho< \varepsilon $ 위의 모든 점 $ z $ 에 대해서 $ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|=\|f(z)\| $이다. 따라서 근방 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon $ 내의 모든 곳에서 $ \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|=\|f(z)\| $이다. 해석함수 $ f $ 의 크기 $ \|f(z)\| $가 구역에서 상수이면 함수 $ f $도 상수 (2.5 절 연습문제 6)이므로 근방의 각 점 $ z $에대해서 $ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) $이다.</p> <p>참고 $ 4.19 $ 보조정리 $ 4.2 $의 증명에서 $ z_ { 0 } $의 근방에서 해석함수 $ f $는 식 (4.80)을 만족함을 알 수 있다. 이러한 성질을 Gauss 평균값 성질이라 한다. 즉, 해석함수는 평균값 성질을 만족한다. 더욱이, 조화함수도 평균값 성질을 만족함을 알 수 있다[9]. 또한 평균값성질을 만족하는 연속함수는 조화함수임을 알 수 있다. 정리 $ 4.16 $ (최대크기원리) 함수 $ f $ 가 주어진 영역 $ { } ^ { 6 } D $에서 상수가 아닌 해석함수이면 $ \|f(z)\| $은 $ D $ 내에서 최대값을 가지지 않는다. 즉 영역 $ D $ 내의 모든 점 $ z $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| $을 만족하는 점 $ z_ { 0 } $는 $ D $ 내에 존재하지 않는다.</p> <p>참고 $ 4.18 $ 대수학의 기본정리를 계속 적용하면 \[P(z)=a_ { n } \left (z- \alpha_ { 1 } \right ) \left (z- \alpha_ { 2 } \right ) \cdots \left (z- \alpha_ { n } \right ) \]<caption>(4.78)</caption></p> <p>으로 분해할 수 있다. 여기서 $ \alpha_ { 1 } , \alpha_ { 2 } , \ldots, \alpha_ { n } $은 서로 다를 필요는 없다. 보조정리 $ 4.2 f(z) $은 점 $ z_ { 0 } $의 근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon $ 전체에서 해석적이라 가정하자. 만일 근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon $의 각 점 $ z $에 대해서 $ \|f(z)\| \leq \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| $이면 근방 전체에서 $ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) $ 이다.</p> <p>증명 $ f $가 주어진 조건을 만족한다고 가정하자. $ z_ { 1 } $을 주어진 근방내의 $ z_ { 0 } $ 와 다른 점이라 하자. $ \rho $를 점 $ z_ { 0 } $와 $ z_ { 1 } $과의 거리라고 하자. 만일 $ C_ {\rho } $를 $ z_ { 0 } $가 중심이고 $ z_ { 1 } $을 지나는 양의 방향의 원 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \rho( $ 그림 4.18)이면 Cauchy 적분공식에 의하여 \[f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ {\rho } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z \]<caption>(4.79)</caption></p> <p>$ C_ {\rho } $ 에 대한 매개변수 표현 \[z=z_ { 0 } + \rho e ^ { i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq 2 \pi) \] 을 사용하면 (4.79) 는 \[f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f \left (z_ { 0 } + \rho e ^ { i \theta } \right ) d \theta . \]<caption>(4.80)</caption></p> <p>$ = \int_ {\alpha } ^ {\beta } f[z( \phi( \tau))] z ^ {\prime } [ \phi( \tau)] \phi ^ {\prime } ( \tau) d \tau $</p> <p>$ = \int_ {\alpha } ^ {\beta } f[Z( \tau)] Z ^ {\prime } ( \tau) d \tau $</p> <p>$ f $ 가 실구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 적분가능한 실함수라 하자. 그러면</p> <p>$ \int_ { b } ^ { a } f(x) d x=- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $<caption>$ 4.29 $</caption></p> <p>이 성립한다. 이와 같이 일반적으로 적분은 적분하는 방향에 따라 부호가 달라진다. 따라서 선적분에서도 등심선의 방향을 정의해야 한다.</p> <p>$ C: z=z(t)(a \leq t \leq b) $를 등심선이라 하자. $ C $의 반대방향을 가지는 등심선을 $ -C $으로 나타내기로 하자(그림 $ 4.1 $ 왼쪽). $ -C $를 매개변수로 바꾸면 $ -C: z=z(-t)(-b \leq t \leq-a) $이다.</p> <p>$ f $가 실구간 $ [a, b] $에서 정의된 적분가능한 실함수라 하자. $ c $를 구간 $ [a, b] $의 임의의 점이라 하자. 그러면</p> <p>$ \int_ { b } ^ { a } f(x) d x= \int_ { a } ^ { c } f(x) d x + \int_ { c } ^ { b } f(x) d x $<caption>$ 4.30 $</caption></p> <p>이 성립한다. 이와 같이 두 적분구간의 합집합에서 적분은 각 구간에서의 적분의 합임을 알 수 있다. 따라서 선적분에서도 두 등심선의 합을 정의하여야 한다.</p> <p>두 등심선 $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $의 합 $ C=C_ { 1 } + C_ { 2 } $은 $ C_ { 1 } $의 끝점과 $ C_ { 2 } $ 의 시작점을 잇는 등심선이다(그림 $ 4.1 $ 오른쪽). 즉, $ C_ { 1 } : z=z_ { 1 } (t), a \leq t \leq c $와 $ C_ { 2 } : z= $ $ z_ { 2 } (t), c \leq t \leq b $일 때 $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $의 합 $ C=C_ { 1 } + C_ { 2 } : z=z(t), a \leq t \leq b $은</p> <p>$ z=z(t)= \left \{\begin {array} { ll } z_ { 1 } (t), & a \leq t \leq c \\ z_ { 2 } (t), & c \leq t \leq b \end {array} \right . $<caption>$ 4.31 $</caption></p> <p>으로 정의한다.</p> <p>실함수의 성질 (4.29), (4.30)을 적용하면 선적분에서도 이와 같은 성질이 성립한다.</p> <p>정리 $ 4.2 $</p> <ol type=i start=1><li>$ z_ { 0 } $ 가 복소상수일 때 $ \int_ { C } z_ { 0 } f(z) d z=z_ { 0 } \int_ { C } f(z) d z $</li> <li>$ \int_ { C } [f(z) \pm g(z)] d z= \int_ { C } f(z) d z \pm \int_ { C } g(z) d z $</li> <li>$ \int_ { -C } f(z) d z=- \int_ { C } f(z) d z $</li> <li>$ \int_ { C_ { 1 } + C_ { 2 } } f(z) d z= \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z + \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z $</li> <li>$ C $ 위에서 $ \|f\| \leq M $ 이고 $ L $ 이 $ C $ 의 길이일 때</li></ol> <p>$ \left \| \int_ { C } f(z) d z \right \| \leq M L $.<caption>$ 4.32 $</caption></p> <p>일반적으로</p> <p>$ \left \| \int_ { C } f(z) d z \right \| \leq \int_ { C } \|f(z)\|\|d z\| $</p> <p>여기서 $ \|d z\|= \left \|z ^ {\prime } (t) \right \| d t $이다. 특히</p> <p>$ L= \int_ { C } \|d z\|= \int_ { a } ^ { b } \left \|z ^ {\prime } (t) \right \| d t ; \quad C: z=z(t),(a \leq t \leq b) $</p> <p>증명 (i) (ii) : 정의와 복소함수 $ w(t) $의 적분성질로 부터 증명된다.</p> <p>(iii) $ C: z=z(t), a \leq t \leq b $라 하면 $ -C: z=z(-t),-b \leq t \leq-a $이다. 그러면 (4.29)에 의하여</p> <p>이다. 두 개의 실변수를 사용하여 실함수들의 선적분으로 나타내면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { C } u d x-v d y + i \int_ { C } v d x + u d y $.</p> <p>식 (4.47)은 형식적인 계산으로 $ f(z) $ 대신 $ u + i v, d z $ 대신 $ d x + i d y $로 바꾸고 곱을 전개하면 얻을 수 있다. 또한 (4.47)은 $ C $ 가 단순닫힌등심선이 아닌 임의의 등심선이고 $ f[z(t)] $가 $ C $위에서 조각적연속일 때도 성립한다.</p> <p>정리 $ 4.4 $ (Green 정리) $ R \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $은 경계 $ C= \partial R $가 시계반대방향으로 조각적 매끄러운 곡선을 가진 평면상의 구역이라 하자(그림 4.8). 만일 $ P, Q $ : $ R \rightarrow \mathbb { R } $ 이 연속적으로 미분가능한 함수이면</p> <p>$ \int_ { C } P d x + Q d y= \iint_ { R } \left (Q_ { x } -P_ { y } \right ) d A $.<caption>$ (4.48) $</caption></p> <p>$ f $ 가 $ R $ 위에서 해석 함수이므로 $ R $ 위에서 연속이다. 따라서 실함수 $ u $와 $ v $ 는 또한 $ R $ 위에서 연속이다. 만일 $ f $ 의 도함수 $ f ^ {\prime } $ 가 $ R $ 위에서 연속이면 $ u $ 와 $ v $ 는 $ R $ 위에서 연속적으로 미분가능이다. 그린정리를 사용하면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \iint_ { R } \left (-v_ { x } -u_ { y } \right ) d A + i \iint_ { R } \left (u_ { x } -v_ { y } \right ) d A $<caption>$ (4.49) $</caption></p> <p>을 얻을 수 있다. $ f $ 가 해석함수이므로 Cauchy-Riemann 방정식</p> <p>$ u_ { x } =v_ { y } , \quad u_ { y } =-v_ { x } $</p> <p>특별히 $ C $ 가 원점이 중심이고 반지름이 $ r>0 $인 원 $ z=r e ^ { i \theta } (- \pi< \theta \leq \pi) $일 때</p> <p>$ \int_ { C } \frac { d z } { z ^ { n } } =0 $</p> <p>참고 $ 4.12 $ 보기 $ 4.12 $ 에서와 같은 원에서 함수 $ f(z)= \frac { 1 } { z } $ 의 선적분은 비슷하게 계산할 수 없다. 왜냐하면 $ \log z $ 의 임의의 가지 $ F(z) $ 의 도함수가 $ 1 / z $ 이라고 해도, 원 $ C $가 지나는 구역때문에 임의로 선택된 가지 $ F(z) $ 가 가지절단을 따라 정의된다고 해도 미분가능하지 않다. 특히, 원점에서 시작되는</p> <p>방사선 $ \theta= \alpha $ 가 가지절단이면, $ F ^ {\prime } (z) $ 는 방사선과 원 $ C $ 가 만나는 점에서 존재하지 않는다. 따라서 $ C $ 는 $ F ^ {\prime } (z)=1 / z $ 인 구역내에 놓여있지 않다. 그러므로, 부정적분방법을 직접 사용할 수 없다.</p> <p>그러나 적당한 가지를 선택하면 가지내의 임의의 두 점을 잇는 선적분은 부정적분법을 사용할 수 있다.</p> <p>보기 4.13 $ D= \{ z \in \mathbb { C } :\|z\|>0,- \pi< \operatorname { Arg } z< \pi \} $일 때 함수 $ 1 / z $ 의 부정적분은 $ \log z $의 주요가지 $ \log z $이다. 따라서 적분경로가 $ -2 i $ 부터 $ 2 i $ 까지 일 때(그림 4.5왼쪽)</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { -2 i } ^ { 2 i } \frac { d z } { z } &= \left . \log z \right \|_ { -2 i } ^ { 2 i } = \log (2 i)- \log (-2 i) \\ &= \left ( \ln 2 + i \frac {\pi } { 2 } \right )- \left ( \ln 2-i \frac {\pi } { 2 } \right )= \pi i . \end {aligned} $</p> <p>$ \left \|z ^ { 1 / 2 } \right \|= \left \| \sqrt { R } e ^ { i \theta / 2 } \right \|= \sqrt { R } \quad(0< \theta<2 \pi) $</p> <p>이고</p> <p>$ \left \|z ^ { 2 } + 1 \right \| \geq \left .\|\| z \right \| ^ { 2 } -1 \mid=R ^ { 2 } -1 $</p> <p>이므로 경로 $ C_ { R } $ 위에서 피적분함수는</p> <p>$ \left \| \frac { z ^ { 1 / 2 } } { z ^ { 2 } + 1 } \right \| \leq M_ { R } $ 여기서 $ M_ { R } = \frac {\sqrt { R } } { R ^ { 2 } -1 } $</p> <p>이다. 또한 $ C_ { R } $ 의 길이는 $ L= \pi R $ 이므로 정리 $ 4.2( \mathrm { v } ) $ 에의하여</p> <p>$ \left \| \int_ { C_ { R } } \frac { z ^ { 1 / 2 } } { z ^ { 2 } + 1 } d z \right \| \leq M_ { R } L= \frac {\pi / \sqrt { R } } { 1-(1 / R) ^ { 2 } } $<caption>$ (4.39) $</caption></p> <p>이다. $ R \rightarrow \infty $ 이면 (4.39)의 오른쪽이 0 이므로 극한 (4.38)을 얻는다.</p> <p>일반적으로 선적분의 값은 두 점을 연결하는 등심선에 의존한다. 그러나 보기 $ 4.8 $과 같이 어떤 함수는 등심선에 의존하지 않고 미적분학의 기본 정리와 같이 등심선의 양 끝점에만 의존한다. 다음 정리는 이와 같이 선적분이 적분의 경로에 의존하지 않고 등심선의 양 끝점에 의존하는 함수의 경우를 제시하고 있다. 먼저 다음 용어를 도입하자.</p> <p>정의 4.6 $ f $는 구역 $ D $에서 정의된 연속함수라 하자. $ D $내의 모든 $ z $에 대해서 $ F ^ {\prime } (z)=f(z) $를 만족하는 함수 $ F $를 $ f $의 부정적분이라 한다.</p> <p>이고 $ \theta_ { 0 } $ 은 $ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t $ 의 편각이다. 식 (4.4) 에서 $ r_ { 0 } $ 에 관하여 풀면</p> <p>$ r_ { 0 } = \int_ { a } ^ { b } e ^ { -i \theta_ { 0 } } w(t) d t $ )<caption>(4.6)</caption></p> <p>이다. 식 (4.6) 의 왼쪽은 실수이므로 오른쪽 또한 실수이어야 한다. (i)에 의하여 (4.6)의 오른쪽은</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } e ^ { -i \theta_ { 0 } } w d t= \operatorname { Re } \int_ { a } ^ { b } e ^ { -i \theta_ { 0 } } w d t= \int_ { a } ^ { b } \operatorname { Re } \left (e ^ { -i \theta_ { 0 } } w \right ) d t $</p> <p>로 쓸 수 있다. 따라서 식 (4.6)은</p> <p>$ r_ { 0 } = \int_ { a } ^ { b } \operatorname { Re } \left (e ^ { -i \theta_ { 0 } } w \right ) d t $<caption>(4.7)</caption></p> <p>인 형태를 가진다. 그런데</p> <p>$ \operatorname { Re } \left (e ^ { -i \theta_ { 0 } } w \right ) \leq \left \|e ^ { -i \theta_ { 0 } } w \right \|= \left \|e ^ { -i \theta_ { 0 } } \right \|\|w\|=\|w\| $</p> <p>이므로 (4.7) 에의 하여</p> <p>$ r_ { o } \leq \int_ { a } ^ { b } \|w\| d t $</p> <p>이다. 적분값이 0 이 아니면 $ r_ { 0 } $ 는 (4.5) 의 왼쪽이므로 증명이 끝난다.</p> <p>복소 이상적분을 다음과 같이 정의하자. 만일 다음 극한</p> <p>$ \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } w(t) d t $<caption>(4.8)</caption></p> <p>$ L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t $<caption>$ (4.19) $</caption></p> <p>이므로 식 (4.18) 의 표현을 사용하면 미분가능한 호 $ z(t)=x(t) + i y(t) $의 길이는</p> <p>$ L= \int_ { a } ^ { b } \left \|z ^ {\prime } (t) \right \| d t $<caption>$ (4.20) $</caption></p> <p>이다.</p> <p>참고 $ 4.2 $ 곡선 $ C $ 의 매개표현 방법은 유일하지 않으나 곡선의 길이는 매개 표현에 관계없이 일정하다.</p> <p>증명 $ \quad \alpha \leq \tau \leq \beta $에 대해서</p> <p>$ t= \phi( \tau) $<caption>$ (4.21) $</caption></p> <p>이라 가정하자. 여기서 $ \phi $는 구간 $ \alpha \leq \tau \leq \beta $에서 구간 $ a \leq t \leq b $ 위로의 실함수이다. $ \phi $를 연속 도함수를 가지는 연속함수라고 하자. 또한 각 $ \tau $ 에 대해서 $ \phi ^ {\prime } ( \tau)>0 $이라고 가정하자. 호 $ C $ 의 길이는 변수변환식 (4.21), 식(4.20)과 합성함수의 미분 $ z ^ {\prime } (t)=z ^ {\prime } [ \phi( \tau)] \phi ^ {\prime } ( \tau) $을 사용하면</p> <p>$ L= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \left \|z ^ {\prime } [ \phi( \tau)] \right \| \phi ^ {\prime } ( \tau) d \tau $</p> <p>따라서 만일 $ C $를</p> <p>$ z=Z( \tau)=z[ \phi( \tau)] \quad( \alpha \leq \tau \leq \beta) $<caption>$ (4.22) $</caption></p> <p>으로 나타내면 합성함수의 미분법에 의하여</p> <p>$ Z ^ {\prime } ( \tau)=z ^ {\prime } [ \phi( \tau)] \phi ^ {\prime } ( \tau) $<caption>$ (4.23) $</caption></p> <p>이므로</p> <p>$ L= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \left \|Z ^ {\prime } ( \tau) \right \| d \tau $<caption>$ (4.24) $</caption></p> <p>은 (4.20)과 동일한 형태를 가진다. 만일 $ C $가 (4.22)와 같이 표현되면, $ C $는 같은 길이가 얻어진다.</p> <p>을 이루므로 각 $ \sigma_ { k } $에 공통인 점 $ z_ { 0 } $가 존재한다. 또한 이러한 사각형들의 각각은 가능한 $ z_ { 0 } $와 다른 $ R $의 점들을 포함한다. 집합열의 사각형들의 크기는 감소하고 $ z_ { 0 } $의 임의의 $ \delta $-근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $는 사각형의 대각선의 길이가 $ \delta $ 보다 작을 때 그러한 사각형을 포함한다(그림 4.9오른쪽). 그러므로 모든 $ \delta $-근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $은 $ z_ { 0 } $와 다른 $ R $ 의 점들을 포함한다. 따라서 $ z_ { o } $는 $ R $ 의 집적점이다.</p> <p>함수 $ f $가 $ R $ 전체에서 해석이므로 $ z_ { 0 } $에서 해석이고 따라서 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $이 존재한다. 도함수의 정의에의하여 각 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta $-근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $이 존재하여 근방내의 $ z_ { 0 } $와 다른 모든 점에 대해서</p> <p>$ \left \| \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } -f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \quad \left (z \neq z_ { 0 } \right ) $</p> <p>이 성립한다. 사각형 $ \sigma_ { K } $ 의 대각선의 길이가 $ \delta $ 보다 작도록 $ K $ 가 충분히 클때 $ \delta $-근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $은 사각형 $ \sigma_ { K } $을 포함한다. 따라서 $ z_ { 0 } $는 사각형 $ \sigma_ { K } $ 또는 $ \sigma_ { K } $의 부분으로 이루어진 부분구역에 대해 부등식 (4.51) 내의 $ z_ { j } $와 같은 역할을 한다. 그런데 이것은 집합열을 만든 방법에 모순이다.</p> <p>참고 $ 4.10 $</p> <ol type=i start=1><li>부정적분은 해석함수이다.</li> <li>부정적분이 존재한다면 복소상수를 제외하면 유일하다.</li></ol> <p>정리 $ 4.3 f $ 는 구역 $ D $ 에서 정의된 연속함수라 가정하자. 다음 명제는 모두 동치이다.</p> <ol type=i start=1><li>$ f $는 $ D $에서 부정적분을 가진다.</li> <li>$ D $ 내의 임의의 두 고정점 $ z_ { 1 } $ 과 $ z_ { 2 } $ 를 연결하는 $ D $ 내에 완전히 포함된 등심선을 따른 $ f(z) $ 의 선적분은 모두 같은 값을 가진다.</li> <li>$ D $ 내에 완전히 포함된 닫힌 등심선을 따른 $ f(z) $ 의 선적분은 모두 값 0 을 가진다.</li></ol> <p>증명 (i) $ \Rightarrow $ (ii). 만일 등심선 $ C $ 는 $ D $ 에 포함된 $ z_ { 1 } $ 과 $ z_ { 2 } $ 를 연결하는 매끄러운 호라 하고 매개변수식이 $ z=z(t)(a \leq t \leq b) $이면 합성함수의 미분법으로 부터</p> <p>$ \frac { d } { d t } F[z(t)]=F ^ {\prime } [z(t)] z ^ {\prime } (t)=f[z(t)] z ^ {\prime } (t)(a \leq t \leq b) $</p> <p>미적분학의 기본정리는 실변수의 복소함수에 적용할 수 있으므로(연습문제 2)</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { a } ^ { b } f[z(t)] z ^ {\prime } (t) d t=[F[z(t)]]_ { a } ^ { b } =F[z(b)]-F[z(a)] $</p> <p>그런데 $ z(b)=z_ { 2 } , z(a)=z_ { 1 } $ 이므로 이 선적분값은 $ F \left (z_ { 2 } \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) $ 이고 이 값은 $ z_ { 1 } $ 과 $ z_ { 2 } $ 를 연결하는 등심선 $ C $에 의존하지 않는다. 즉</p> <p>$ \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } f(z) d z=[F(z)]_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } =F \left (z_ { 2 } \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) $.<caption>$ (4.40) $</caption></p> <p>이므로 $ \theta=0 $에서 $ f[z( \theta)] $의 실수부와 허수부의 오른쪽극한은 각각 $ \sqrt { 3 } , 0 $이다. 따라서 $ f[z( \theta)] $은 $ \theta=0 $ 에서 $ f $의 값을 $ \sqrt { 3 } $ 으로 정의할 때 닫힌 구간 $ [0, \pi] $ 위에서 연속이다.</p> <p>3. 그러므로</p> <p>$ I= \int_ { 0 } ^ {\pi } \sqrt { 3 } e ^ { i \theta / 2 } 3 i e ^ { i \theta } d \theta=3 \sqrt { 3 } i \int_ { 0 } ^ {\pi } e ^ { 3 i \theta / 2 } d \theta $</p> <p>$ =2 \sqrt { 3 } \left [e ^ { 3 i \theta / 2 } \right ]_ { 0 } ^ {\pi } =-2 \sqrt { 3 } (1 + i) $</p> <p>또한, 위의 보기에서 피적분함수 $ z ^ { 1 / 2 } $의 가지를</p> <p>$ z ^ { 1 / 2 } = \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } \quad \left (r>0,- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) $</p> <p>라 두어도 같은 결과를 얻는다.</p> <p>보기 4.10 $ C_ { R } $ 이 반원</p> <p>$ z= \operatorname { Re } ^ { i \theta } \quad(0 \leq \theta \leq \pi) $</p> <p>을 나타낸다고 하자(그림 4.3오른쪽). 이때</p> <p>$ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { C_ { R } } \frac { z ^ { 1 / 2 } } { z ^ { 2 } + 1 } d z=0 $<caption>$ (4.38) $</caption></p> <p>임을 보여라.</p> <p>증명 먼저 $ z ^ { 1 / 2 } $의 가지를 보기 $ 4.10 $의 (4.37)과 같이 잡자. 그러면 $ \|z\|= $ $ R>1 $ 일 때</p> <p>풀이에서 사용된 원 $ C_ { 0 } $는 $ C $를 완전히 포함할 수 있는 큰 원이라도 같은 결과를 얻는다. 일반적으로 같은 방법으로 $ C $가 점 $ a $를 주위로 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌 등심선일 때 적분 \[ \int_ { C } \frac { 1 } { z-a } d z=2 \pi i \] 를 얻는다.</p> <h1>4.4 Cauchy 적분공식과 응용</h1> <p>이 절에서는 Cauchy 의 다른 정리를 살펴보기로 한다.</p> <p>정리 4.10 (Cauchy 적분공식) $ f $는 양의 방향의 단순닫힌등심선위와 내부의 모든 점에서 해석적이라 하자. 만일 $ z_ { 0 } $가 $ C $의 내부의 임의의 점이면 \[f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z . \]<caption>(4.64)</caption></p>증명 $ f $ 가 $ z=z_ { 0 } $ 에서 연속이므로 주어진 $ \varepsilon>0 $에 대해서 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \] 을 만족하는 $ \delta>0 $이 존재한다. 이제 양수 $ \rho< \delta $를 양의 방향의 원 $ C_ { 0 } $ : $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \rho $ 이 $ C $ 의 내부에 포함되도록 작게 선택한다(그림 4.16). 그러면 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \rho \text { 이면 } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \text { . } \]<caption>(4.65)</caption></p> <p>함수 $ f(z) / \left (z-z_ { 0 } \right ) $은 등심선 $ C $와 $ C_ { 0 } $의 사이의 구역에서 해석적이므로 따름정리 $ 4.4 $에 의하여 \[ \int_ { C } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z= \int_ { C_ { 0 } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z . \]</p> <p>을 계산한다. 선분 $ O A $를 매개변수로 표현하면 $ z=0 + i y(0 \leq y \leq 1 $이고 $ O A $ 위에서 $ x=0 $이므로 $ f(z)=y(0 \leq y \leq 1 $이다. 따라서</p> <p>$ \int_ { O A } f(z) d z= \int_ { 0 } ^ { 1 } i y d y=i \int_ { 0 } ^ { 1 } y d y= \frac { 1 } { 2 } i $.</p> <p>선분 $ A B $를 매개변수로 나타내면 $ z=x + i(0 \leq x \leq 1) $이고 따라서</p> <p>$ \int_ { A B } f(z) d z= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (1 + 2 x-i 3 x ^ { 2 } \right ) \cdot 1 d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } (1 + 2 x) d x-3 i \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } d x=2-i $.</p> <p>따라서 (4.33) 으로부터</p> <p>$ \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z=2- \frac { i } { 2 } $<caption>(4.34)</caption></p> <p>2. 선분 $ O B $는 직선 $ y=x $ 위의 점이므로 선분 $ C_ { 2 } $를 매개표현하면 $ z= $ $ x + i x(0 \leq x \leq 1) $이다. 따라서</p> <p>$ \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (3 x-3 i x ^ { 2 } \right )(1 + i) d x $</p> <p>$ =(1 + i) \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (3 x-3 i x ^ { 2 } \right ) d x=(1 + i) \left ( \frac { 3 } { 2 } -i \right ) $.<caption>(4.35)</caption></p> <p>실변수함수에서 $ \int_ { a } ^ { a } f(x) d x=0 $와 같이 적분의 시작점과 끝점이 같으면 적분값이 0 이다. 그러나 복소 선적분에서는 일반적으로 그렇지 않다.</p> <p>위 식의 양변을 $ f \left (z_ { 0 } \right ) \int_ { C_ { 0 } } \frac { d z } { z-z_ { 0 } } $ 을 빼면 \[ \int_ { C } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z-f \left (z_ { 0 } \right ) \int_ { C_ { 0 } } \frac { d z } { z-z_ { 0 } } = \int_ { C_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } d z . \]<caption>(4.66)</caption></p> <p>그런데 \[ \int_ { C_ { 0 } } \frac { d z } { z-z_ { 0 } } =2 \pi i \] 이므로 식 (4.66) 은 \[ \int_ { C } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z-2 \pi i f \left (z_ { 0 } \right )= \int_ { C_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } d z . \]<caption>(4.67)</caption></p> <p>정리 4.2(v) 과 (4.65)를 이용하면 \[ \left \| \int_ { C_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } d z \right \|< \frac {\varepsilon } {\rho } 2 \pi \rho=2 \pi \varepsilon . \]</p> <p>(4.67) 에 의하여 \[ \left \| \int_ { C } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z-2 \pi i f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|<2 \pi \varepsilon . \] $ \varepsilon $은 임의의 양수이므로 (4.64) 를 얻는다. 보기 $ 4.18 C $ 는 양의 방향의 원 $ \|z\|=2 $ 이라 하자. 적분 \[ \int_ { C } \frac { z } {\left (z ^ { 2 } + 9 \right )(z-i) } d z \] 을 구하여라.</p> <p>을 계산하자. $ M= \max _ { z \in C } \|f(z)\| $이고 $ L $을 등심선 $ C $의 길이라고 하자. $ \mid s- $ $ z \mid>d $이고 \[\|s-z- \Delta z\| \geq\|\| s-z\|-\| \Delta z\|\|>d-\| \Delta z\| \] 이므로 $ \| \Delta z\| \rightarrow 0 $일 때 \[ \left \| \Delta z \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z- \Delta z)(s-z) ^ { 2 } } d s \right \| \leq \frac { \| \Delta z\| M L } { (d-\| \Delta z\|) d ^ { 2 } } \rightarrow 0 \] 따라서 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z) ^ { 2 } } d s \]</p> <p>이고 결국 \[f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z) ^ { 2 } } d s . \]<caption>$ (4.68) $</caption></p> <p>식 (4.68) 을 이용하여 같은 방법을 사용하면 \[f ^ {\prime \prime } (z)= \frac { 1 } {\pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z) ^ { 3 } } d s . \]<caption>$ (4.69) $</caption></p> <p>을 얻을 수 있다. 귀납법을 사용하면 \[f ^ { (n) } (z)= \frac { n ! } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(s) } { (s-z) ^ { n + 1 } } d s \quad n=0,1,2, \ldots \]<caption>$ (4.70) $</caption></p> <p을 얻을 수 있다. 여기서 $ f ^ { (0) } =f $ 이다.</p> <p>식 (4.69)는 $ C $의 내부에 있는 각 점 $ z $에서 함수 $ f $의 2 계도함수의 존재성을 말한다. 실제로, 만일 함수 $ f $는 한 점에서 해석적이면 $ f $의 도함수 $ f ^ {\prime } $는 그 점에서 또한 해석적이다. 왜냐하면, 만일 $ f $가 점 $ z $에서 해석적이면 $ z $에 관한 원이 존재하여 $ f $가 원 위와 내부에서 해석적이다. 그러면 (4.69)로 부터 $ f ^ {\prime \prime } (z) $는 그 원의 내부의 각 점에서 존재하고, 따라서 도함수 $ f ^ {\prime } $는 $ z $에서 해석적이다. 같은 방법을 해석함수 $ f ^ {\prime } $에 적용하면 그 도함수 $ f ^ {\prime \prime } $도 해석적임을 보일 수 있다. 이를 계속하면 다음 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>명제 $ 4.2 $ 복소함수 $ w $가 구간 $ [a, b] $ 위에서 적분가능할 때</p> <ol type=i start=1><li>$ \operatorname { Re } \int_ { a } ^ { b } w(t) d t= \int_ { a } ^ { b } \operatorname { Re } w(t) d t, \operatorname { Im } \int_ { a } ^ { b } w(t) d t= \int_ { a } ^ { b } \operatorname { Im } w(t) d t $</li> <li>$ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t= \int_ { a } ^ { c } w(t) d t + \int_ { c } ^ { b } w(t) d t $</li> <li>$ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t=W(b)-W(a) $, 여기서 $ W ^ {\prime } (t)=w(t) $.</li> <li>$ \left \| \int_ { a } ^ { b } w(t) d t \right \| \leq \int_ { a } ^ { b } \|w(t)\| d t, \quad a \leq b $</li></ol> <p>증명 (i) 은 정의에 의하여 자명하다.</p> <p>(ii), (iii)은 실함수의 적분의 성질</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } u(t) d t= \int_ { a } ^ { c } u(t) d t + \int_ { c } ^ { b } u(t) d t $</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } u(t) d t=U(b)-U(a) $ 여기서 $ U ^ {\prime } (t)=u(t) $</p> <p>에 의하여 성립한다.</p> <p>(iv) $ a=b $ 일 때 자명하다. $ a<b $라고 가정하자. $ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t $의 값이 복소수이므로 극형식으로 표현하면</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t=r_ { 0 } e ^ { i \theta_ { 0 } } $<caption>(4.4)</caption></p> <p>으로 나타낼 수 있다. 여기서</p> <p>$ r_ { 0 } = \left \| \int_ { a } ^ { b } w(t) d t \right \| $<caption>(4.5)</caption></p> <p>위의 두 식을 합하면 각 $ k $ 에 대해서 $ \int_ { L_ { k } } f(z) d z + \int_ { L_ { k } } f(z) d z=0, \int_ { U_ { k } } f(z) d z + $ $ \int_ { D_ { k } } f(z) d z= \int_ { C_ { k } } f(z) d z $이고 $ \int_ { U } f(z) d z + \int_ { D } f(z) d z= \int_ { C } f(z) d z $이므로 \[ \int_ { C } f(z) d z + \sum_ { k=1 } ^ { n } \int_ { C_ { k } } f(z) d z=0 \]</p> <p>이 된다.</p> <p>따름정리 $ 4.4 $ (경로변형원리) $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $는 양의 방향을 갖는 단순닫힌등심선이라 하자. $ C_ { 2 } $는 $ C_ { 1 } $의 내부에 있다(그림 4.13왼쪽). 만일 함수 $ f $가 이>러한 등심선과 그 사이의 점들로 이루어진 단힌구역내에서 해석적이면 \[ \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z= \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z . \]<caption>(4.63)</caption></p> <p>따름정리 4.4은 $ f $가 해석적인 구역내에서 $ C_ { 1 } $이 연속적으로 $ C_ { 2 } $로 변형될 수 있을 때 $ C_ { 1 } $ 위의 선적분값이 변하지 않음을 보여주고 있다. 다음 보기는 이것을 응용한 것이다.</p> <p>보기 4.17 $ C $는 원점 주위를 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌등심선이라하자. 이 때 선적분 \[ \int_ { C } \frac { 1 } { z } d z \] 을 구하여라.</p> <p>$ C $ 의 안쪽에 원점을 중심으로 하고 반경이 충분히 작은 양의 방향의 원 $ C_ { 0 } $을 넣을 수 있다(그림 $ 4.13 $ 오른쪽). 그러면 $ \frac { 1 } { z } $는 원점을 제외한 모든 구역에서 해석함수이므로 $ C $ 와 $ C_ { 0 } $ 로 둘어싸인 구역의 내부에서 해석적이다. 따름정리 $ 4.3 $에 의하여 \[ \int_ { C } \frac { 1 } { z } d z= \int_ { C_ { 0 } } \frac { 1 } { z } d z . \] 그런데 보기 $ 4.16 $에 의하여 \[ \int_ { C_ { 0 } } \frac { 1 } { z } d z=2 \pi i \]이므로 구하는 적분값은 $ 2 \pi i $이다.</p> <p>이 존재하면 극한 (4.8) 을</p> <p>$ \int_ { a } ^ {\infty } w(t) d t $</p> <p>로 나타내고 이 적분을 복소이상적분이라 한다. 비슷한 방법으로 $ \int_ { - \infty } ^ { b } w(t) d t $를 정의할 수 있다.</p> <p>명제 (iv)는 복소이상적분에 대해서도 성립한다.</p> <p>따름정리 $ 4.1 $ 두 이상적분이 존재하면</p> <p>$ \left \| \int_ { a } ^ {\infty } w(t) d t \right \| \leq \int_ { a } ^ {\infty } \|w(t)\| d t $</p> <p>이 성립한다.</p> <h1>$ 4.2 $ 등심선과 등심선적분</h1> <p>1 절에서는 실수 구간위에서 정의된 복소함수의 적분을 정의하였다. 복소 변수의 복소함수의 적분은 실수의 구간에서 정의되기 보다는 복소평면위의 곡선위에서 정의된다. 따라서 이러한 형태의 적분을 구하는데 필요한 곡선을 구별할 필요가 있다.</p> <p>정의 $ 4.3 $ 복소평면의 점 $ z=(x, y) $ 들의 집합 $ C $ 가 호 $ ( \operatorname { arc } ) $ 라 함은</p> <p>$ x=x(t), \quad y=y(t) \quad(a \leq t \leq b) $<caption>$ 4.9 $</caption></p> <p>여기서 $ x(t) $ 와 $ y(t) $ 는 실매개변수 $ t $ 의 연속함수이다. 이것을 실매개변수 $ t $의 복소함수</p> <p>$ z=z(t) \quad(a \leq t \leq b) $<caption>$ 4.10 $</caption></p> <p>사용하여 $ C $ 의 집합을 표현한다. 여기서</p> <p>$ z(t)=x(t) + i y(t) $<caption>$ 4.11 $</caption></p> <p>이다. 구간 $ [a, b] $에서 정의된 호 $ C $가 단순호 또는 Jordan 호라 함은 구간 $ [a, b] $ 내의 임의의 두 점이 $ t_ { 1 } \neq t_ { 2 } $ 이면 $ z \left (t_ { 1 } \right ) \neq z \left (t_ { 2 } \right ) $, 즉 $ z(t) $는 일대일함수이다. 호 $ C $가 양 끝점 $ a, b $에서 일치하면, 즉 $ z(a)=z(b) $이면 닫힌곡선이라고 한다. 만일 닫힌곡선 $ C $가 양 끝점 $ a, b $를 제외한 나머지 부분에서 단순호를 단순닫힌곡선 또는 Jordan 곡선이라 한다.</p> <p>이 만족된다.</p> <p>증명 1. 먼저 부등식 (4.51) 이 $ \sigma_ { j } $ 내의 모든 다른 점 $ z $에 대해서 성립하는 점 $ z_ { j } $ 가 존재하지 않는 사각형또는 부분 사각형 $ \sigma_ { j } $ 이 존재할 가능성에 대해 생각하자.</p> <p>만일 $ \sigma_ { j } $ 이 사각형이면 한변을 2 등분하여 4 개의 작은 사각형을 만든다. 만일 $ \sigma_ { j } $ 이 부분사각형이면 사각형과 같이 작은 사각형으로 나누고 $ R $ 바깥부분에 놓여있는 부분은 제거한다. 만일 이러한 작은 사각형중 어느하나가 이 사각형내의 모든 다른 점 $ z $에 대해서 부등식 (4.51) 이 성립하는 점 $ z_ { j } $ 가 존재하지 않으면 이 사각형을 좀더 세분을 계속한다. 이러한 과정이 각 부분 구역에 대해 요구한 대로 모두 완료되었을 때 유한번 반복후 $ R $은 보조정리 $ 4.1 $ 이 성립하는 유한개의 사각형과 부분사각형들로 덮힐 수 있다.</p> <p>2. 원래의 부분 구역들중 하나를 유한번 분할한 후 필요한 점들 $ z_ { j } $가 존재하지 않고 모순에 이른다고 가정하자.</p> <p>만일 그러한 부분구역이 사각형이면 그 구역를 $ \sigma_ { 0 } $으로 나타내고 부분 사각형이면 이 부분사각형의 전체 사각형을 $ \sigma_ { 0 } $ 으로 나타내자. $ \sigma_ { 0 } $을 다시 분할한 후에 4개의 작은 사각형중 족어도 하나는 $ R $의 점을 포함하지만 적당한 $ z_ { j } $ 가 없는 것을 $ \sigma_ { 1 } $로 표시하자(그림 4.9왼쪽). 다시 $ \sigma_ { 1 } $을 분할하고 이 과정을 반복하자. 사각형 $ \sigma_ { k-1 } (k=1,2, \cdots) $을 분할한 후에 이것으로 만들어진 4개의 사각형중 하나 이상은 선택될 수 있다. 특별한 선택을 하기 위해 $ \sigma_ { k } $ 를 가장 아래쪽과 왼쪽에서 가장 먼 쪽의 것을 택한다. 이러한 방식으로 택한 사각형는 축차 무한 집합열</p> <p>$ \sigma_ { 0 } , \sigma_ { 1 } , \sigma_ { 2 } , \ldots, \sigma_ { k-1 } , \sigma_ { k } , \ldots $<caption>$ (4.52) $</caption></p> <p>$ F(z)= \int_ { z_ { 0 } } ^ { z } f(s) d s $</p> <p>로 정의할 수 있다. 이제 $ F(z) $ 가 $ D $ 내에서 $ f $ 의 부정적분임을 보이자. $ z + $ $ \Delta z $는 $ D $ 내에 포함되는 충분히 작은 $ z $ 의 근방내의 점이라 하자(그림 4.4). 그러면</p> <p>$ F(z + \Delta z)-F(z)= \int_ { z_ { 0 } } ^ { z + \Delta z } f(s) d s- \int_ { z_ { 0 } } ^ { z } f(s) d s= \int_ { z } ^ { z + \Delta z } f(s) d s $</p> <p>이다. 여기서 $ z $ 와 $ z + \Delta z $ 를 직선으로 연결한 경로로 택한다(그림 4.4).</p> <p>그러면</p> <p>$ \int_ { z } ^ { z + \Delta z } d s= \Delta z $</p> <p>이므로</p> <p>$ f(z)= \frac { 1 } {\Delta z } \int_ { z } ^ { z + \Delta z } f(z) d s $</p> <p>로 쓸 수 있다. 그러므로</p> <p>$ \frac { F(z + \Delta z)-F(z) } {\Delta z } -f(z)= \frac { 1 } {\Delta z } \int_ { z } ^ { z + \Delta z } [f(s)-f(z)] d s $</p> <p>이다. $ f $ 가 점 $ z $ 에서 연속이므로 주어진 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta>0 $가 존재하여</p> <p>$ \|s-z\|< \delta $ 이면 $ \|f(s)-f(z)\|< \varepsilon $.</p> <p>따라서 만일 점 $ z + \Delta z $ 가 $ \| \Delta z\|< \delta $ 가 되도록 $ z $ 에 충분히 가까우면</p> <p>$ \left \| \frac { F(z + \Delta z)-F(z) } {\Delta z } -f(z) \right \|< \frac { 1 } { \| \Delta z\| } \varepsilon\| \Delta z\|= \varepsilon $.</p> <p>그러므로 $ F ^ {\prime } (z)=f(z) $.</p> <p>따라서, $ g $는 $ D $위에서 상수이다. 그런데 $ z_ { 0 } $에서 $ g \left (z_ { 0 } \right )=1 $이므로 $ D $위에서 $ g=1 $이다. 그러므로 $ D $ 위에서 $ e ^ { F(z) } =z $.</p> <p>2. 유일성. $ F $와 $ G $가 $ D $ 위에서 해석함수이고 $ e ^ { F(z) } =e ^ { G(z) } =z $를 만족한다고 하자. 그러면 $ e ^ { F(z)-G(z) } =1 $이고 고정된 $ z_ { 0 } $에서 적당한 정수 $ n $에 대해서 $ F \left (z_ { 0 } \right )-G \left (z_ { 0 } \right )=2 \pi n i $이다. 그런데 $ F ^ {\prime } (z)=1 / z=G ^ {\prime } (z) $이므로 $ \frac { d } { d z } (F-G)(z)=0 $이고, 따라서, $ D $ 위에서 $ F-G=2 \pi n i $이다.</p> <p>따름정리 $ 4.3 $ 만일 $ f $가 단일연결영역 $ D $에서 해석적이고 0이 아니라면, $ f(z)) ^ { 1 / n } $의 가지는 $ D $에서 정의될 수 있다.</p> <p>증명 $ f(z)=e ^ { g(z) } $라 두자. 여기서 $ g(z) $는 $ D $에서 해석적이다. $ (f(z)) ^ { 1 / n } $ 을 $ (f(z)) ^ { 1 / n } = \exp \{ g(z) / n \} $으로 정의한다.</p> <p>참고 $ 4.14 $ 일반적으로 $ n $개의 함수 $ \exp \{ (g(z) + 2 k \pi i) / n \} k=0,1, \ldots, n-1 $은 $ (f(z)) ^ { 1 / n } $의 가지이다.</p> <p>참고 $ 4.15 $ 만일 $ f $ 가 단일연결영역에서 해석적이 아니면 Cauchy-Goursat 정리는 성립하지 않는다.</p> <p>보기 $ 4.16 $ 함수 $ 1 /(z-a) $은 $ z=a $을 제외한 모든 점에서 해석적이다. 그러나 $ z=a $ 를 중심으로 하는 임의의 원 $ C $에서 \[ \int_ { C } \frac { 1 } { z-a } d z=2 \pi i \]</p> <p>\[ \int_ { C } f(z) d z \]<caption>4.25</caption></p> <p>으로 나타내고 이러한 적분을 선적분 또는 등심선적분이라 한다. 실수상에서의 적분은 두 점을 연결하는 방법은 유일하지만 복소평면상의 두 점을 연결하는 곡선은 유일하지 않다. 따라서 선적분은 두 점을 연결하는 등심선에 의존하게 된다. 만일 선적분이 등심선에 의존하지 않는다면 선적분(4.25)를</p> <p>\[ \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } f(z) d z \]<caption>4.26</caption></p> <p>으로 나타내기로 하자.</p> <p>실매개변수 $ t $에 관한 곡선</p> <p>\[ z=z(t) \quad(a \leq t \leq b) \]<caption>4.27</caption></p> <p>을 점 $ z_ { 1 } =z(a) $에서 점 $ z_ { 2 } =z(b) $까지 연결하는 등심선 $ C $ 라 하자. 함수 $ f(z) $는 등심선 $ C $ 위에서 조각적 연속이라 하자. 즉, $ f[z(t)] $ 구간 $ a \leq t \leq $ $ b $ 위에서 조각적 연속이다.</p> <p>정의 4.5 등심선 $ C $를 따르는 복소함수 $ f $의 선적분(또는 등심선 적분)을 다음과 같이 정의한다:</p> <p>\[ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { a } ^ { b } f[z(t)] z ^ {\prime } (t) d t \].<caption>4.28</caption></p> <p>참고 4.4 $ C $ 가 등심선이므로 $ z ^ {\prime } (t) $은 구간 $ a \leq t \leq b $ 위에서 조각적 연속이고 적분 (4.28) 이 존재한다.</p> <p>참고 4.5 선적분 (4.28) 은 잘 정의되었다. 즉, $ C: z=Z( \tau)=z( \phi( \tau)), \alpha \leq $ $ \tau \leq \beta $ 의 다른 매개변수표현에 대한 선적분은 (4.28)과 같다.</p> <p>증명 $ \quad \phi ^ {\prime } ( \tau)>0 $이라 가정하자. 등심선 $ C: z=z(t), a \leq t \leq b $ 에 관한 선적분은 정의 4.5에 의하면</p> <p>\[ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { a } ^ { b } f[z(t)] z ^ {\prime } (t) d t \]</p> <p>참고 4.1 미적분학의 모든 정리가 복소함수에 대해서 성립하지는 않는다. $ w(t) $ 가 구간 $ [a, b] $ 위에서 연속함수이고 $ w(t) $ 이 구간 $ (a, b) $ 위에서 미분가</p> <p>능하다고 하자. 그러나 $ w(t) $는 평균값 정리을 만족하지 않는다.</p> <p>보기 $ 4.1 w(t)=e ^ { 2 \pi i t } $는 구간 $ [0,1] $ 위에서 연속이고 $ (0,1) $에서 미분가능하다. 또한 모든 $ t \in[a, b] $에 대해서 $ \left \|w ^ {\prime } (t) \right \|= \left \|2 \pi i e ^ { 2 \pi i t } \right \|=2 \pi $이다. 그러나 $ w(1)-w(0)=0 $이므로</p> <p>$ \frac { w(1)-w(0) } { 1-0 } =w ^ {\prime } (c) $</p> <p>을 만족하는 $ c \in(0,1) $는 존재하지 않는다.</p> <p>정의 $ 4.2 $ 만일 $ u $와 $ v $가 구간 $ [a, b] $ 위에서 적분가능할 때 $ (4.1) $의 적분을</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } w(t) d t= \int_ { a } ^ { b } u(t) d t + i \int_ { a } ^ { b } v(t) d t $<caption>$ 4.3 $</caption></p> <p>으로 정의한다. 또한 이 경우 $ w(t) $가 구간 $ [a, b] $ 위에서 적분가능하다고 말한다.</p> <p>정의 $ 4.2 $ 로 부터 $ f, g ;[a, b] \rightarrow \mathbb { C } $ 가 적분가능하고 $ z_ { 0 } $ 가 복소상수일 때</p> <ol type=i start=1><li>$ \int_ { a } ^ { b } [f(t) + g(t)] d t= \int_ { a } ^ { b } f(t) d t + \int_ { a } ^ { b } g(t) d t $</li> <li>$ \int_ { a } ^ { b } z_ { 0 } f(t) d t=z_ { 0 } \int_ { a } ^ { b } f(t) d t $</li></ol> <p>을 얻을 수 있다.</p> <p>만일 $ C $가 매끄럽지 않은 임의의 등심선이면 $ C $는 유한개의 매끄러운 호 $ C_ { 1 } , \ldots, C_ { n } $들의 합</p> <p>$ C=C_ { 1 } + \cdots + C_ { n } $</p> <p>으로 표현할 수 있다. 여기서 $ C_ { k } $ 는 점 $ z_ { k } $ 와 $ z_ { k + 1 } $ 을 연결하는 매끄러운 호이다. 그러면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z= \sum_ { k=1 } ^ { n } \int_ { C_ { k } } f(z) d z= \sum_ { k=1 } ^ { n } [F(z)]_ { z_ { k } } ^ { z_ { k + 1 } } =F \left (z_ { n + 1 } \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) $</p> <p>따라서 (i) 로 부터 (ii)가 성립한다.</p> <p>(ii) $ \Rightarrow $ (iii). $ z_ { 1 } $과 $ z_ { 2 } $는 $ D $ 내에 놓여 있는 닫힌 등심선 $ C $ 위에 놓여있는 임의의 점이라 하자. $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $는 시작점 $ z_ { 1 } $과 끝점 $ z_ { 2 } $ 을 연결하고 $ C= $ $ C_ { 1 } -C_ { 2 } $ 를 만족하는 등심선이라 하자. (ii) 가 성립하므로</p> <p>$ \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z= \int_ { C_ { 2 } } f(z) d z $<caption>$ (4.41) $</caption></p> <p>또는</p> <p>$ \int_ { C_ { 1 } } f(z) d z + \int_ { -C_ { 2 } } f(z) d z=0 $<caption>$ (4.42) $</caption></p> <p>로 쓸 수 있다. 따라서 $ \int_ { C } f(z) d z=0 $ 이다.</p> <p>(iii) $ \Rightarrow $ (i). 이것을 증명하기 위해서는 (iii) $ \Rightarrow $ (ii) 와 (ii) $ \Rightarrow $ (i) 으로 나누어 증명한다. (iii) $ \Rightarrow $ (ii) 은 자명하게 성립한다. (ii) 가 성립하므로 등심선 적분은 등심선에 의존하지 않으므로 함수</p> <p>미적분학에서 평면상의 곡선 $ \mathbf { r } (t)=(x(t), y(t)) $ 이 매끄러운 곡선을 $ \mathbf { r } (t) $ 이 연속적으로 미분가능하고 모든 $ t \in[a, b] $에서 $ \mathbf { r } ^ {\prime } (t)= \left (x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t) \right ) \neq $ $ (0,0) $으로 정의하였다. 따라서 매끄러운 곡선의 접선 벡터</p> <p>$ \mathbf { T } (t)= \frac {\mathbf { r } ^ {\prime } (t) } {\left \| \mathbf { r } ^ {\prime } (t) \right \| } $</p> <p>의 정의가 가능하다. 같은 방법으로 복소평면상의 호에 관하여 매끄러운 호를 정의할 수 있다.</p> <p>정의 $ 4.4 $ 호 $ C: z=z(t) $가 구간 $ [a, b] $ 위에서 연속적으로 미분가능하고 $ (a, b) $ 에서 $ z ^ {\prime } (t) \neq 0 $ 일 때 호 $ C $ 를 매끄러운 호라고 한다. 유한개의 매끄러운 호들이 서로 연결되어 있는 호를 등심선(Contour) 또는 조각적으로 매끄러운 호(piecewise smooth arc)라 한다. 만일 등심선의 시작점과 끝점이 일치하고 다른 점에서 만나지 않으면 이것을 단순닫힌등심선(simply closed contour)라 한다.</p> <p>예를 들어, 방향을 가진 원, 삼각형 또는 사각형의 경계등이 단순닫힌등심선이다.</p> <p>참고 $ 4.3 $ 만일 $ z=z(t), a \leq t \leq b $, 가 등심선이라면 $ z(t) $는 연속함수이고 $ z ^ {\prime } (t) $ 은 조각적으로 연속이다. 등심선 또는 단순닫힌등심선의 길이는 등심선을 이루는 각각의 매끄러운 호의 길이들의 합이다.</p> <p>다음 정리는 단순닫힌곡선에 관한 성질을 나타내고 있다.</p> <p>정리 4.1 (Jordan 곡선론) $ { } ^ { 2 } $ 복소평면내의 단순닫힌곡선(또는 단순닫힌등심선) $ C $ 는 평면을 내부와 외부라 부르는 공통경계 $ C $를 가지는 두 개의 열린 연결집합으로 나눈다. 이 둘 중 내부는 유계집합이고, 외부는 유계가 아닌 집합이다.</p> <p>$ f $는 복소변수 $ z $의 복소함수라고 하자. 복소평면상의 두 점을 연결하는 등심선 $ C $ 위에서 정의된 함수의 적분에 관하여 생각하기로 한다. 이러한 적분을</p> <p>만일 $ L $ 을 $ C $ 의 길이라고 하면 부등식 (4.57), (4.59), (4.60) 으로 부터 \[ \left \| \int_ { C } f(z) d z \right \|< \left (4 \sqrt { 2 } S ^ { 2 } + \sqrt { 2 } S L \right ) \varepsilon \] $ \varepsilon $은 임의의 양수이므로 위 부등식의 오른쪽은 원하는 만큼 작게할 수 있다.</p> <p>지금까지는 단순닫힌등심선으로 둘러싸인 구역에서 해석함수의 선적분의 값이 0 임을 증명하였다. 이제는 보다 다양한 구역으로 Cauchy-Goursat 정리를 확장하도록 한다.</p>\<p>정의 $ 4.7 $ 단일연결영역(simply connected domain) $ D $는 구역 $ D $내의 모든 단순닫힌등심선이 $ D $ 내에서 연속적으로 한 점으로 줄어들 수 있는 구역이다. 단일연결구역이 아닌 구역을 다중연결영역(multiply connected do-main)이라 한다.</p> <p>보기 $ 4.15 $ 단순닫힌등심선으로 둘러싸인 구역은 단일연결영역이다. 그러 두 개의 원으로 둘러싸인 원환은 단순연결영역이 아니다.</p> <p>Cauchy-Goursat 정리는 단일연결영역으로 확장할 수 있다.</p> <p>정리 $ 4.7 $ 만일 함수 $ f $가 단일연결영역 $ D $ 전체에서 해석적이면 $ D $내에 놓여있는 모든 닫힌등심선 $ C $에 대해서 \[ \int_ { C } f(z) d z=0 . \]</p> <p>증명 만일 $ C $가 단순닫힌등심선이면 Cauchy-Goursat 정리에 의하여 당연하다. 만일 $ C $ 가 유한번 만나는 닫힌 등심선인 경우(그림 4.11) $ C $는 유한개의 단순닫힌등심선들의 합으로 표현할 수 있다. 각각의 단순닫힌등심선에 Cauchy-Goursat 정리를 적용하면 $ C $에 대해 원하는 결과를 증명할 수 있다. 만일 닫힌등심선이 무한번 만난 경우인데 보다 자세한 증명은 이 책의 수준을 넘는다.</p> <p>따름정리 $ 4.2 $ 단일연결영역 $ D $ 전체에서 해석함수 $ f $ 는 $ D $ 내에서 부정적분을 가진다. 증명 정리 4.3과 정리 4.7에 의해 성립한다.</p> <p>정리 $ 4.8 \mathrm { D } $는 단일연결영역이고 $ 0 \notin D $라 하자. 그러면 해석함수 $ F(z) $가 존재하여 $ e ^ { F(z) } =z $를 만족한다. 여기서 $ F(z) $는 $ \bmod 2 \pi i $의 의미로 유일하다.</p> <p>$ F(z)= \log z $라 쓰고 $ F $의 선택은 구역 $ D $에서 $ \log $의 가지라 부른다. 증명 1. 존재성. 따름정리 $ 4.2 $에 의하여 $ D $ 위에서 $ F ^ {\prime } (z)=1 / z $인 해석함수 $ F(z) $가 존재한다. 점 $ z_ { 0 } \in D $를 고정하자. 그러면 $ z_ { 0 } $는 3장 4절에서 정의한 로그함수의 적당한 가지의 영역의 점이다. 만일 $ F $에 적당한 상수를 더하여 $ F \left (z_ { 0 } \right )= \log z_ { 0 } $가 되도록하면 $ z_ { 0 } $에서 $ e ^ { F \left (z_ { 0 } \right ) } =z_ { 0 } $가 된다. 이제 모든 $ z \in D $에 대해서 $ e ^ { F(z) } =z $임을 보이자. 이것을 보이기 위해서 $ g(z)=e ^ { F(z) } / z $라 두자. $ 0 \notin D $이므로 $ g $는 $ D $ 위에서 해석적이고 $ F ^ {\prime } (z)=1 / z $이므로 \[ g ^ {\prime } (z)= \frac { z \cdot \frac { 1 } { z } \cdot e ^ { F(z) } -1 \cdot e ^ { F(z) } } { z ^ { 2 } } =0 . \]</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=0 $<caption>(4.72)</caption></p> <p>이면 $ f $ 는 $ D $ 전체에서 해석적이다. 증명 만일 정리의 가정이 성립한다 하자. 그러면 정리 $ 4.3 \ 에 의하여 \( f $는 부정적분 $ F $를 가진다. 그런데 $ F ^ {\prime } =f $이므로 $ F $는 해석함수이다. 정리 $ 4.11 $ 에 의하여 해석함수의 도함수도 역시 해석함수이므로 $ f \ 는 해석함수이다. 참고 \( 4.16 $ 만일 $ D $가 단일연결영역이면 $ D $ 위에서 연속함수들의 집합에 대해서 Morera 정리는 Cauchy-Goursat 정리의 역을 말하고 있다.</p> <p>가능하고 그 1계 도함수가 연속이라고 하자. 그러면 \[ \int_ { C } g d z=2 i \iint_ { R } \frac {\partial g } {\partial \bar { z } } d A(z) \] 임을 보여라. 여기서 $ \frac {\partial g } {\partial \bar { z } } $은 연습문제 $ 2.4 $절 14 문제 (b)에서 나온 식이다. 16. (일반화된 Cauchy공식) $ C $는 단순닫힌등심선이고 $ f $는 $ C $로 둘러싸인 구역 $ R $ 에서 연속이고 $ \frac {\partial f } {\partial \bar { z } } $가 존재한다고 가정하자. 그러면 $ C $의 내부의 임의의 점에서 \[f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(w) } { w-z } d w- \frac { 1 } {\pi } \iint_ { R } \frac {\partial f / \partial \bar { w } } { w-z } d A(w) \] 임을 증명하여라. (힌트: 영역 $ R $ 내에 $ z $의 작은 $ \varepsilon $-근방을 제거한 영역 $ R_ {\varepsilon } $에 문제 복소버젼 Green 정리를 $ g(w)= \frac { f(w) } { w-z } $에 대입하여 식을 구하고 $ \varepsilon \rightarrow $ 0을 취하여 극한을 구한다.)</p> <h1>$ 4.5 $ 복소적분의 주요 정리</h1> <p>이 절에서는 복소적분공식을 이용한 정리들을 살펴보기로 한다. 정리 4.13 (Cauchy 부등식) $ C $는 $ z_ { 0 } $을 중심으로 하고 반지름이 $ R $인 양의 방향의 원이라 하고(그림 4.17) $ f $는 $ C $ 위와 내부에서 해석함수이고 $ M_ { R } $은 $ C $ 위에서 $ \|f(z)\| $의 최대값이라 하자. 그러면 \[ \left \|f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \leq \frac { n ! M_ { R } } { R ^ { n } } , n=1,2, \ldots \]<caption>$ (4.73) $</caption></p> <p>을 만족한다. 따라서 (4.49) 의 오른쪽 피적분함수는 $ R $ 전체에서 0이다. 그러므로 다음 결과를 얻는다.</p> <p>정리 $ 4.5 $ (Cauchy) $ C $는 단순닫힌등심선이라 하고, $ f $ 가 $ C $로 둘러싸인 구역 $ R $ 에서 해석함수이고 $ f ^ {\prime } $가 $ R $에서 연속이면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=0 $</p> <p>참고 4.13 적분값이 $ O $ 이면 $ C $ 의 방향은 무의미하다. 만일 $ C $ 가 시계방향이라면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=- \int_ { -C } f(z) d z $<caption>$ (4.50) $</caption></p> <p>이므로 (4.50) 은 또한 성립한다.</p> <p>Cauchy 정리의 가정 " $ f ^ {\prime } $ 은 연 속"은 Goursat에 의해 제거되었다.</p> <p>정리 4.6 (Cauchy-Goursat) $ C $가 단순닫힌등심선이라 하자. $ f $가 $ C $ 위와 내부에서 해석적이면</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=0 $</p> <p>특별한 언급이 없는 한 단순닫힌등심선 $ C $는 시계반대방향을 나타내기로 하자. $ R $ 은 $ C $ 의 위와 내부점으로 이루어진 구역이라 하자. $ R $을 $ x $ 축과 $ y $ 축과 나란하게 같은 간격으로 나눈다. 이렇게 해서 얻은 부분구역을 간단히 사각형이라 하자. 사각형은 경계를 포함하여 내부의 점을 말한다. 만일 특별한 사각형이 $ R $에 있지 않은 점을 포함한다면 이 점들을 제거하고 나머지를 부분사각형이라 한다. 구역 $ R $은 유한개의 사각형과 부분사각형들로 덮힌다.</p> <p>보조정리 4.1 $ f $가 닫힌구역 $ R $ 전체에서 해석적이라 하자. 임의의 양수 $ \varepsilon $ 에 대해서 구역 $ R $은 유한개의 사각형과 부분사각형 $ \sigma_ { 1 } , \cdots, \sigma_ { n } $에 의하여 덮히고 각 $ \sigma_ { j } $내에 고정점 $ z_ { j } $가 존재하여 모든 $ z \in \sigma_ { j } $에대해서 부등식</p> <p>$ \left \| \frac { f(z)-f \left (z_ { j } \right ) } { z-z_ { j } } -f ^ {\prime } \left (z_ { j } \right ) \right \|< \varepsilon \quad \left (z \neq z_ { j } \right ) $<caption>$ (4.51) $</caption></p> <p>보기 $ 4.20 C $ 는 양의 방향을 가지는 임의의 단순등심선이라 하고 $ z_ { 0 } $는 $ C $의 내부점이라 하자. \[ \int_ { C } \frac { 1 } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } d z= \left \{\begin {array} { ll } 2 \pi i, & n=1 \\ 0, & n \neq 1 . \end {array} \right . \]<caption>(4.71)</caption></p> <p>함수 $ f(z)=1 $ 이라 놓으면 Cauchy 적분공식 (4.70)로 부터 (4.71)을 얻을 수 있다. 다음 정리의 증명은 해석함수의 도함수는 그 자체가 해석적이라는 사실에 의존하고 있다. 정리 $ 4.12 $ (Morera) 만일 $ f $가 영역 $ D $ 전체에서 연속이고 $ D $ 내에 놓여있는 모든 닫힌 등심선에 대해서</p> <p>$ \int_ { C } f(z) d z=0 $<caption>(4.72)</caption></p> <p>이면 $ f $ 는 $ D $ 전체에서 해석적이다. 증명 만일 정리의 가정이 성립한다 하자. 그러면 정리 $ 4.3 \ 에 의하여 \( f $는 부정적분 $ F $를 가진다. 그런데 $ F ^ {\prime } =f $이므로 $ F $는 해석함수이다. 정리 $ 4.11 $ 에 의하여 해석함수의 도함수도 역시 해석함수이므로 $ f \ 는 해석함수이다. 참고 \( 4.16 $ 만일 $ D $가 단일연결영역이면 $ D $ 위에서 연속함수들의 집합에 대해서 Morera 정리는 Cauchy-Goursat 정리의 역을 말하고 있다.</p> <p>보기 $ 4.20 C $ 는 양의 방향을 가지는 임의의 단순등심선이라 하고 $ z_ { 0 } $는 $ C $의 내부점이라 하자. \[ \int_ { C } \frac { 1 } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } d z= \left \{\begin {array} { ll } 2 \pi i, & n=1 \\ 0, & n \neq 1 . \end {array} \right . \]<caption>(4.71)</caption></p> <p>함수 $ f(z)=1 $ 이라 놓으면 Cauchy 적분공식 (4.70)로 부터 (4.71)을 얻을 수 있다. 다음 정리의 증명은 해석함수의 도함수는 그 자체가 해석적이라는 사실에 의존하고 있다. 정리 $ 4.12 $ (Morera) 만일 $ f $가 영역 $ D $ 전체에서 연속이고 $ D \ 내에 놓여있는 모든 닫힌 등심선에 대해서</p> <h1>4.1 복소값을 가지는 함수 \( w(t) $</h1> <p>복소함수의 복소적분을 정의하는 방법은 두 가지로 요약할 수 있는데, 첫번째 방법은 구간 $ [a, b] $ 위에서 정의된 복소평면위의 유계변동을 가지는 곡선을 이용한 복소함수 f의 선적분을 정의하는 방법과 구간 $ [a, b] $에서 정의된 복소함수를 실 및 허수 부분으로 나누어 각 부분이 실함수이므로 실함수의 적분이 정의되고 이를 이용하여 복소적분을 실 및 허수부분의 적분으로 형식적으로 정의하는 방법을 고려 할 수 있다.</p> <p>우리는 편의상 후자의 방법을 이용하여 복소함수 $ f(z) $ 의 적분을 정의하고자 한다. 먼저 실수의 적당한 구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 복소함수 $ w(t) $의 미분과 적분을 생각하자. 함수</p> <p>$ w(t) = u(t) + i v(t) $<caption>$ 4.1 $</caption></p> <p>라 하자. 여기서 $ u(t) $와 $ v(t) $는 구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 실함수이다.</p> <p>정의 4.1 $ u $ 와 $ v $ 가 점 $ t $ 에서 미분가능할 때 함수 (4.1) 의 도함수 $ w ^ {\prime } (t) $ (또는</p> <p>$ \left . \frac { d w } { d t } (t) \right ) $를</p> <p>$ w ^ {\prime } (t)=u ^ {\prime } (t) + i v ^ {\prime } (t) $<caption>$ 4.2 $</caption></p> <p>으로 정의한다.</p> <p>정의 4.1로 부터 다음 사실을 얻을 수 있다.</p> <p>명제 $ 4.1 z_ { 0 } $ 는 복소상수, $ f(t) $ 와 $ g(t) $ 가 구간 $ [a, b] $ 위에서 정의된 복소함수 일 때</p> <ol type=i start=1><li>$ (f + g) ^ {\prime } (t)=f ^ {\prime } (t) + g ^ {\prime } (t) $</li> <li>$ \left (z_ { 0 } f \right ) ^ {\prime } (t)=z_ { 0 } f ^ {\prime } (t) $</li> <li>$ \frac { d } { d t } e ^ { z_ { 0 } t } =z_ { 0 } e ^ { z_ { 0 } t } $</li></ol> <p>증명 (i) $ f(t)=u(t) + i v(t), g(t)=r(t) + i s(t) $라 하자. 그러면 $ (f + g)(t)= $ $ f(t) + g(t)=(u + r)(t) + i(v + s)(t) $이므로 정의 $ 4.1 $에 의하여</p> <p>원 $ C $ 를 매개변수로 나타내면 $ z-a=r e ^ { i \theta } , 0<r< \infty, 0 \leq \theta \leq 2 \pi $로 쓸 수 있다. 따라서 정의 $ 4.5 $ 에 의하여 \[ \begin {aligned} \int_ { C } \frac { 1 } { z-a } d z &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { r e ^ { i \theta } } i e ^ { i \theta } d \theta \\&=i \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta=2 \pi i \end {aligned} \]</p> <p>보기 $ 4.16 $ 에서 $ C:\|z\|=r, \quad 0<r< \infty $ 일 때 \[ \int_ { C } \frac { 1 } { z } d z=2 \pi i \]<caption>$ (4.61) $</caption></p> <p>유한평면은 단일연결이므로 전함수는 언제나 부정적분을 가진다. 예를 들어, 다항함수, $ \sin z, \cos z, e ^ { z } $등은 언제나 부정적분을 가진다. Cauchy-Goursat 정리는 다중연결영역에서도 적용할 수 있다. 정리 $ 4.9 $ 등심선 $ C $와 $ C_ { k } $는 다음 두 조건을 만족한다고 하자:</p> <ol type=i start=1><li>$ C $ 는 시계반대방향의 단순닫힌등심선이다;</li> <li>$ C_ { k } (k=1,2, \ldots, n) $ 는 $ C $ 의 내부에 있으며 서로 만나지 않는 시계방향 의 단순닫힌등심선이다.</li></ol> <p>만일 함수 $ f $ 가 $ C_ { k } , k=1,2, \ldots, n $ 의 내부를 제외한 $ C $ 위와 내부전체에서 해석적이면 \[ \int_ { C } f(z) d z + \sum_ { k=1 } ^ { n } \int_ { C_ { k } } f(z) d z=0 . \]<caption>$ (4.62) $</caption></p> <p>식 (4.62) 에서 적분의 각 경로의 방향은 닫힌구역의 내부가 그 경로의 왼쪽에 놓여 있음에 주의하자. 이러한 방향을 양의 방향이라고 한다.</p> <p>증명 바깥 등심선 $ C $에서 내부 등심선 $ C_ { 1 } $을 연결하는 끝과 끝을 연결하는 유한개의 선분으로 이루어진 다항선분경로를 $ L_ { 1 } $이라 하자. $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $를 연결하는 다항선분경로를 $ L_ { 2 } $라 한다. 이러한 방식으로 계속하면 $ C_ { n + 1 } $과 $ C $를 연결하는 다항선분경로를 $ L_ { n + 1 } $라 하자. 그림 4.12와 같이 한쪽으로 가리키는 방향을 따라 도는 두 개의 단순닫힌등심선 $ \Gamma_ { 1 } $과 $ \Gamma_ { 2 } $를 형성한다.</p>	자연
곡선과 곡면의 미분기하학_곡면의 곡률	<p>정리 $7.3 $ 정칙곡면 $ M $상의 모양연산자 $ S $는 선형사상(linear map)이고, 대칭사상 (symmetric map)이다.</p> <p>증명 임의의 접벡터 $ v_ { p } , w_ { p } \in T_ { p } M $에 대하여 \[S \left (a v_ { p } + b w_ { p } \right )=- \nabla_ { a v_ { p } + b w_ { p } } n=-a \nabla_ { v_ { p } } n-b \nabla_ { w_ { p } } n=a S \left (v_ { p } \right ) + b S \left (w_ { p } \right ) \]이므로 $ S $는 선형사상이다. 한편 대칭성에 대한 증명을 위하여 \[ \left \langle S \left (v_ { p } \right ), w_ { p } \right \rangle= \left \langle v_ { p } , S \left (w_ { p } \right ) \right \rangle \]<caption>( 7.1 )</caption>임을 보이자. 먼저 곡면 $ M $의 좌표조각사상을 $ X $라 할 때 $ \left \{ X_ { u } , X_ { v } \right \} $에 대해서 \[ \left \langle S \left (X_ { u } \right ), X_ { v } \right \rangle= \left \langle X_ { u } , S \left (X_ { v } \right ) \right \rangle \]임을 증명하자. 실제로, $ \left \langle n, X_ { u } \right \rangle= \left \langle n, X_ { v } \right \rangle=0 $이기 때문에 \[ \begin {aligned} \left \langle S \left (X_ { u } \right ), X_ { v } \right \rangle &=- \left \langle n_ { u } , X_ { v } \right \rangle \\&=- \frac {\partial } {\partial u } \left \langle n, X_ { v } \right \rangle + \left \langle n, X_ { v u } \right \rangle \\ &= \frac {\partial } {\partial v } \left \langle n, X_ { u } \right \rangle- \left \langle n_ { v } , X_ { u } \right \rangle \\&= \left \langle S \left (X_ { v } \right ), X_ { u } \right \rangle \end {aligned} \]이다. 따라서 $ \left \{ X_ { u } , X_ { v } \right \} $가 기저(basis)이고 $ S $가 선형사상이라는 사실로부터 ( $7.1 $)이 증명된다.</p> <h1>7.4 곡률 공식</h1> <p>곡면이 좌표조각사상으로 표현될 때의 Gauss 곡률과 평균곡률은 정리 $ 7.35 $로부터 얻을 수 있다. 여기서는 곡면이 방정식의 해로 표현될 때 곡률을 구하는 방법을 알아본다.</p> <p>정리 $ 7.39 $ 정칙곡면 $ M $상의 점 $ p $에서의 일차독립인 접벡터 $ v, w \in T_ { p } M $에 대하여 \[ \begin {array} { l } S(v) \times S(w) = K(p) v \times w, \\ S(v) \times w + v \times S(w)=2 H(p) v \times w \end {array} \]가 성립한다.</p> <p>증명 일차독립인 벡터 $ \{ v, w \} $는 접공간 $ T_ { p } M $의 기저가 되기 때문에 어떤 실수 $ a, b, c $, $ d $가 존재하여 \[ \begin {array} { l } S(v)=a v + b w, \\S(w)=c v + d w \end {array} \]로 나타낼 수 있다. 따라서 기저 $ \{ v, w \} $에 대응하는 모양연산자의 대응행렬은 $ S= \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) $이다. 따라서 $ K(p)= \operatorname { det } S=a d-b c, H(p)= \frac { 1 } { 2 } \operatorname { tr } S= \frac { a + d } { 2 } $이다. 그러므로 다음 등식 \[ \begin {array} { l } S(v) \times S(w)=(a d-b c) v \times w=K(p) v \times w, \\ S(v) \times w + v \times S(w)=(a + d) v \times w=2 H(p) v \times w \end {array} \]이 성립한다.</p> <p>따름정리 $ 7.40 $ 정칙곡면 $ M $상의 점 $ p $에서의 접벡터 $ \{ v, w \} $가 정규직교기저이면 \[ \begin {array} { l } K(p)= \langle S(v), v \rangle \langle S(w), w \rangle- \langle S(v), w \rangle ^ { 2 } , \\H(p)= \frac { 1 } { 2 } \{\langle S(v), v \rangle + \langle S(w), w \rangle \} \end {array} \]가 성립한다.</p> <p>증명 정리 $ 7.39 $로부터 임의의 두 벡터 $ v, w $에 대하여 \[ \begin {array} { l } K(p)= \frac {\langle S(v) \times S(w), v \times w \rangle } {\\|v \times w \\| ^ { 2 } } , \\ H(p)= \frac { 1 } { 2 } \frac {\langle S(v), v \rangle \\|w \\| ^ { 2 } + \langle S(w), w \rangle \\|v \\| ^ { 2 } -2 \langle S(v), w \rangle \langle v, w \rangle } {\\|v \times w \\| ^ { 2 } } \end {array} \]이다. 한편 접벡터 $ v, w $는 정규직교기, 즉, $ \\|v \\|= \\|w \\|=1, \langle v, w \rangle=0 $이기 때문에 $ \\|v \times w \\|=1 $이다. 따라서 정리가 증명된다.</p> <p>정리 $ 7.8 $ (Weingarten 등식) 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $의 모양연산자 $ S $는 \[ \left ( \begin {array} { l } S \left (X_ { u } \right ) \\S \left (X_ { v } \right ) \end {array} \right ) = \frac { 1 } { E G-F ^ { 2 } } \left ( \begin {array} { ll } e G-f F & f E-e F \\ f G-g F & g E-f F \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } X_ { u } \\X_ { v } \end {array} \right ) \]을 만족한다.</p> <p>증명 $ \left \{ X_ { u } , X_ { v } \right \} $ 기저이기 때문에 $ S \left (X_ { u } \right ), S \left (X_ { v } \right ) $는 어떤 함수 $ a, b, c, d $에 의해 \[ \begin {array} { l } S \left (X_ { u } \right )=a X_ { u } + b X_ { v } , \\S \left (X_ { v } \right )=c X_ { u } + d X_ { v } \end {array} \]로 표현할 수 있다. 따라서 위의 등식으로부터 $ X_ { u } $와 $ X_ { v } $를 내적을 취하고 정리 $ 7.7 $로부터 \[ \begin {array} { ll } e=a E + b F, & f=a F + b G \\ f=c E + d F, & g=c F + d G \end {array} \]이다. 이것을 행렬방정식으로 표현하면 \[ \left ( \begin {array} { ll } e & f \\f & g \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } E & F \\F & G \end {array} \right ) \]이 된다. 그러므로 해는 \[ \left ( \begin {array} { ll } a & b \\c & d \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } e & f \\f & g \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } E & F \\ F & G \end {array} \right ) ^ { -1 } = \frac { 1 } { E G-F ^ { 2 } } \left ( \begin {array} { ll } e & f \\ f & g \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { cc } G & -F \\-F & E \end {array} \right ) \]이다.</p> <p>정리 $ 7.52 $ 정칙곡면 $ M $상의 단위속력곡선 $ \gamma $가 측지선이면, 다음 등식 \[S(T) = \pm N ^ {\prime } = \pm(- \kappa T + \tau B) \]이 성립한다. 여기서 $ S $는 모양연산자, $ \{ T, N, B \} $는 곡선 $ \gamma $의 Frenet 틀장이다.</p> <p>증명 단위속력곡선 $ \gamma $가 측지선, 즉 $ \kappa_ { g } =0 $이니까 $ \gamma ^ {\prime \prime } (s)= \kappa_ { n } n $이다. 한편 Frenet 공식으로부터 $ \gamma ^ {\prime \prime } (s)= { } _ {\kappa } N $이므로 $ N= \pm n $이다. 그러므로 다시 Frenet 공식에 의해 \[S(T)=S \left ( \gamma ^ {\prime } \right )=- \nabla_ {\gamma } n= \pm \nabla_ {\gamma } N= \pm N ^ {\prime } = \pm(- \kappa T + \tau B) \]가 성립한다.</p> <p>예제 $ 7.53 $ (1) 평면상에서 측지선은 직선이다. 왜나하면 $ S=0 $이므로 $ \gamma $가 측지선이라고 하면 정리 $ 7.52 $로부터 $ \kappa= \tau=0 $이다. 따라서 곡선 $ \gamma $는 직선이다.</p> <p>(2) 반지름 $ r $인 구면 $ S ^ { 2 } (r) $상에서의 측지선은 대원(great circle)의 일부분이다. 실제로 만약 $ \gamma $를 측지선이라고하면 정리 $ 7.52 $로부터 \[S(T)= \pm(- \kappa T + \tau B) \]이다. 한편 예제 $ 7.5 $로부터 $ S(T)=- \frac { 1 } { r } T $이다. 따라서 비교하면 \[ \kappa= \frac { 1 } { r } , \quad \tau=0 \]이다. 따라서 곡선은 평면곡선으로 반지를이 $ r $인 원이다. 이는 구면에서 대원이다.</p> <p>정리 $ 7.54 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $가 $ F=0 $을 만족할 때, $ u $-곡선과 $ v $-곡선의 측지곡률 $ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 1 } $과 $ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 2 } $는 각각 \[ \begin {array} { l } \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 1 } = \frac {\left \langle X_ { u \omega } , X_ { v } \right \rangle } { E \sqrt { G } } =- \frac { E_ { v } } { 2 E \sqrt { G } } , \\ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 2 } = \frac {\left \langle X_ { u v } , X_ { v } \right \rangle } { G \sqrt { E } } = \frac { G_ { u } } { 2 G \sqrt { E } } \end {array} \]이다.</p> <h1>7.1 모양연산자</h1> <p>정칙곡면 $ M $상의 임의의 점 $ p \in M $에서의 접벡터 $ v_ { p } $방향으로의 공변미분 $ \nabla_ { v_ { p } } n $은 정리 $ 2.18 $ ( $ 4 $)로부터 $ \left \langle \nabla_ { v_ { p } } n, n \right \rangle = 0 $이다. 즉, $ \nabla_ { v_ { p } } n \in T_ { p } M $이다.</p> <p>정의 $ 7.1 $ 정칙곡면 $ M $상의 임의의 점 $ p \in M $에 대하여 연산자 $ S_ { p } : T_ { p } M \rightarrow T_ { p } M $는 \[S_ { p } \left (v_ { p } \right )=- \nabla_ { v_ { p } } n \]으로 정의하고 $ M $의 모양연산자(shape operator)라 한다.</p> <p>참고 모양연산자 $ S_ { p } $의 표현에 혼동의 염려가 없는 경우 $ S $로 표현한다.</p> <p>정리 $ 7.2 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $에 대하여 \[ S \left (X_ { u } \right )=-n_ { u } , \quad S \left (X_ { v } \right )=-n_ { v } \]가 성립한다. 여기서 $ n_ { u } = \frac {\partial(n \circ X) } {\partial u } $이다.</p> <p>증명 일반적으로 임의의 곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } $상에서의 벡터장 $ V $의 공변미분은 예제 $ 2.17 $에 의해 \[ \nabla_ {\alpha ^ {\prime } (t) } V=(V \circ \alpha) ^ {\prime } (t) \]이다. 지금 $ \alpha(u)=X \left (u, v_ { 0 } \right ) $ 를 $ u $-곡선이라 하면 $ \alpha ^ {\prime } \left (u_ { 0 } \right )=X_ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} S \left (X_ { u } \right ) &=S \left ( \alpha ^ {\prime } \left (u_ { 0 } \right ) \right )=- \nabla_ {\alpha ^ {\prime } \left (u_ { 0 } \right ) } n \\&=- \left . \frac { d } { d u } (n \circ \alpha) \right \|_ { u=u_ { 0 } } \end {aligned} \] \[=-n_ { u } \] 이다. 다른 등식도 유사하게 증명된다.</p> <h1>제 $7 $ 장 연습문제</h1> <p>$ 01 $ 선직면의 가우스곡률 $ K $는 \[K = - \frac { f ^ { 2 } } { E G-F ^ { 2 } } \]임을 증명하여라. 즉, 선직면의 가우스곡률은 항상 $ K \leq 0 $이다.</p> <p>$ 02 $ 정칙곡면 $ M $ 위의 임의의 곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 에 대하여 \[S \left ( \alpha ^ {\prime } (t) \right )=-n ^ {\prime } (t), \quad \kappa_ { n } \left ( \alpha ^ {\prime } \right )= \frac { 1 } {\left \\| \alpha ^ {\prime } \right \\| ^ { 2 } } \left \langle n, \alpha ^ {\prime \prime } \right \rangle \] 을 증명하여라.</p> <p>$ 03 $ 타원포물면 $ X(u, v)= \left (u, v, u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) $상의 곡선 $ \gamma(t)=( \cos t, \sin t, 1) $에 대하여 법곡률 $ \kappa_ { n } \left ( \gamma ^ {\prime } \right ) $을 구하여라.</p> <p>$ 04 $ 정칙곡면 $ M $상의 임의의 점 $ p $에서의 평균곡률 $ H $는 다음과 같음을 중명하여라. \[H= \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ {\pi } \kappa_ { n } ( \theta) d \theta . \] 여기서 $ \kappa_ { n } ( \theta) $는 점 $ p $에서 고정된 주축과 이루는 각의 크기가 $ \theta $인 방향으로의 법곡률이다. (정리 $7.25 $)</p> <p>$ 05 $ 정칙곡면 $ M $상의 점 $ p \in M $에서의 수직인 두 벡터 $ v, w $에 대하여 \[ \kappa_ { n } (v) + \kappa_ { n } (w)=2 \mathrm { H } (p) \]임을 증명하여라.</p> <p>$ 06 $ 정칙곡선 $ \alpha(t)=(g(t), h(t), 0),(h>0) $을 $ x $축으로 회전한 회전면의 Gauss 곡률 $ K $를 구하여라.</p> <p>$ 07 $ Gauss 곡률이 $ K=0 $인 회전면은 평면, 원뿔, 또는 원기둥의 일부분임을 증명하여라.</p> <p>증명 $ u $-곡선의 측지곡률 $ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 1 } $은 문제 $ 7.47 $로부터 \[ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 1 } = \frac { 1 } {\left \\|X_ { u } \right \\| ^ { 3 } } \left \langle n, X_ { u } \times X_ { u u } \right \rangle \]이다. 한편 $ n= \frac { X_ { u } \times X_ { v } } {\left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| } $ 이기 때문에 위 등식으로부터 \[ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 1 } = \frac { 1 } { E \sqrt { G } } \left \langle X_ { u u } , X_ { v } \right \rangle=- \frac { E_ { v } } { 2 E \sqrt { G } } \]이 성립한다. 마지막 등식은 $ E_ { v } =-2 \left \langle X_ { u u } , X_ { v } \right \rangle $이기 때문에 성립한다. 한편 유사하게 $ v $-곡선 $ \beta(v)=X \left (u_ { 0 } , v \right ) $ 에 대해서도 $ G_ { u } =-2 \left \langle X_ { v v } , X_ { u } \right \rangle $이므로 \[ \left ( \kappa_ { g } \right )_ { 2 } =- \frac { 1 } { G \sqrt { E } } \left \langle X_ { v v } , X_ { u } \right \rangle= \frac { G_ { u } } { 2 G \sqrt { E } } \]가 성립됩을 알 수 있다.</p> <p>따름정리 $ 7.55 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $가 $ E=1, F=0 $을 만족할 때, $ u $-곡선은 측지선이다.</p> <p>문제 $ 7.9 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $상에서의 제 $2 $기본형식 $ I I $는 \[I I \left (v_ { p } , w_ { p } \right )= \left \langle S \left (v_ { p } \right ), w_ { p } \right \rangle \]을 만족함을 증명하여라.</p> <p>예제 $ 7.10 $ 구면 $ S ^ { 2 } (r) $의 모양연산자를 정리 $ 7.8 $을 이용하여 구하여라. 그리고 예제 $ 7.5 $와 비교하여라.</p> <p>풀이 구면의 좌표조각사상 $ X $는 $ X(u, v)=(r \cos v \cos u, r \cos v \sin u, r \sin v $이므로 예제 $ 6.2 $와 예제 $ 6.12 $로부터 \[E=r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } v, \quad F=0, \quad G=r ^ { 2 } \] \[e=-r \cos ^ { 2 } v, \quad f=0, g=-r \]이다. 따라서 정리 $ 7.8 $로부터 \[ \begin {array} { l } S \left (X_ { u } \right )= \frac { e } { E } X_ { u } =- \frac { 1 } { r } X_ { u } , \\S \left (X_ { v } \right )= \frac { g } { G } X_ { v } =- \frac { 1 } { r } X_ { v } \end {array} \]를 얻는다. 즉, \[ \left ( \begin {array} { c } S \left (X_ { u } \right ) \\ S \left (X_ { v } \right ) \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cc } - \frac { 1 } { r } & 0 \\ 0 & - \frac { 1 } { r } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } X_ { u } \\X_ { v } \end {array} \right ) \]이다.</p> <p>예제 $ 7.4 $ 평면 $ M = R ^ { 2 } $에 대한 좌표조각사상은 $ X(u, v)=(u, v, 0) $이고, $ n= $ $ (0,0,1) $이다. 따라서 $ S \equiv 0 $이다. 즉, $ S \left (v_ { p } \right )=- \nabla_ { v_ { p } } (0,0,1)=0 $이다.</p> <p>예제 $ 7.5 $ 구면 $ S ^ { 2 } (r) $에 대한 모양연산자를 구하여라.</p> <p>풀이 (i) 구면 $ S ^ { 2 } (r) $ 의 좌표조각사상은 \[X(u, v)=(r \cos v \cos u, r \cos v \sin u, r \sin v) \]이고, 예제 $ 6.12 $로부터 법벡터는 \[n= \frac { X_ { u } \times X_ { v } } {\left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| } = \frac { X } { r } \]이므로 모양연산자는 \[ \begin {array} { c } S \left (X_ { u } \right )=-n_ { u } =- \frac { 1 } { r } X_ { u } , \\S \left (X_ { v } \right )=-n_ { v } =- \frac { 1 } { r } X_ { v } \end {array} \]가 된다. 그러므로 임의의 접벡터 $ v_ { p } =a X_ { u } + b X_ { v } $에 대하여 \[S \left (v_ { p } \right )=a S \left (X_ { u } \right ) + b S \left (X_ { v } \right )=- \frac { 1 } { r } \left (a X_ { u } + b X_ { v } \right )=- \frac { 1 } { r } v_ { p } \]이다. 즉 $ S=- \frac { 1 } { r } \mathrm { id. } $이다.</p> <p>(ii) 구면 $ S ^ { 2 } (r)= \left \{ x=(x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =r ^ { 2 } \right \} $의 법벡터장은 \[n= \frac {\nabla g } {\\| \nabla g \\| } = \left ( \frac { x } { r } , \frac { y } { r } , \frac { z } { r } \right )= \frac { x } { r } \]이고, $ v_ { p } = \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ) $ 일 때, $ v_ { p } [x]=v_ { 1 } , v_ { p } [y]=v_ { 2 } , v_ { p } [z]=v_ { 3 } $ 이다. 따라서 \[S \left (v_ { p } \right )=- \nabla_ { v_ { p } } n=- \frac { 1 } { r } \left (v_ { p } [x], v_ { p } [y], v_ { p } [z] \right )=- \frac { 1 } { r } v_ { p } \]이다.</p> <h1>7.5 Gauss 사상</h1> <p>정칙곡면 $ M $상에서 정의된 사상 $ \mathrm { G } : M \rightarrow S ^ { 2 } (1) $를 \[ \mathrm { G } (p) = n(p) \] 로 정의할 때, $ \mathrm { G } $ 를 $ M $상의 Gauss 사상(Gauss map)이라고 한다.</p> <p>정리 $7.43 $ 정칙곡면 $ M $상의 임의의 점 $ p \in M $ 에서의접벡터 $ v_ { p } $에 대해서 \[S \left (v_ { p } \right )=-d \mathrm { G } _ { p } \left (v_ { p } \right ) \]이다.</p> <p>증명 Gauss 사상 $ \mathrm { G } : M \rightarrow S ^ { 2 } (1) $ 에 대하여 $ T_ { G(p) } S ^ { 2 } (1) \equiv T_ { p } M $ 임은 두 공간 모두 $ n_ { p } $에 수직이므로 분명하다. 따라서 $ \mathrm { G } $의 미분사상은 $ d \mathrm { G } _ { p } : T_ { p } M \rightarrow T_ { p } M $로 생각할 수 있다. 그러므로 임의의 접벡터 $ v_ { p } $에 대하여 곡선 $ \gamma $ 를 $ \gamma(0)=p, \gamma ^ {\prime } (0)=v_ { p } $를 만족 한다고 하면 \[d \mathrm { G } _ { p } \left (v_ { p } \right )= \left . \frac { d } { d t } \mathrm { G } ( \gamma(t)) \right \|_ { t=0 } = \left . \frac { d } { d t } n( \gamma(t)) \right \|_ { t=0 } = \nabla_ { v_ { p } } n \]이다. 여기서 마지막 등식은 예제 $ 2.17 $로부터 따른다. 따라서 모양연산자의 정의로부터 정리가 증명된다.</p> <p>문제 $ 7.44 $ 정칙곡면 $ X: U \rightarrow M $상에서 다음이 성립함을 증명하여라. \[d \mathrm { G } \left (X_ { u } \right ) \times d \mathrm { G } \left (X_ { v } \right )=K(u, v) X_ { u } \times X_ { v } . \]</p> <p>예제 $ 7.6 $ 원기둥 $ M= \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } \right \} $의 좌표조각사상은 \[X(u, v)=(r \cos u, r \sin u, b v) \] 이므로 $ X_ { u } =(-r \sin u, r \cos u, 0), X_ { v } =(0,0, b) $이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } X_ { u } \times X_ { v } =b r( \cos u, \sin u, 0), \\n=( \cos u, \sin u, 0)= \left ( \frac { x } { r } , \frac { y } { r } , 0 \right ) \end {array} \]이다. 따라서 모양연산자는 \[S \left (X_ { u } \right )=- \frac { 1 } { r } X_ { u } , \quad S \left (X_ { v } \right )=0 \] 가 된다. 한편 임의의 벡터 $ v_ { p } = \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ) $에 대하여 \[S \left (v_ { p } \right )=- \nabla_ { v_ { p } } n=- \frac { 1 } { r } \left (v_ { p } [x], v_ { p } [y], 0 \right )=- \frac { 1 } { r } \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , 0 \right ) \]이다. 따라서 $ w= \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , 0 \right ), \tilde { w } = \left (0,0, w_ { 3 } \right ) $에 대하여 \[S(w)=- \frac { 1 } { r } w, \quad S( \tilde { w } )=0 \]가 성립한다.</p> <p>정리 $ 7.7 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $가 주어질 때 \[e= \left \langle S \left (X_ { u } \right ), X_ { u } \right \rangle, \quad f= \left \langle S \left (X_ { u } \right ), X_ { v } \right \rangle, \quad g= \left \langle S \left (X_ { v } \right ), X_ { v } \right \rangle \]이 성립한다.</p> <p>증명 곡면상의 모양연산자의 정의에 의해 \[ \left \langle S \left (X_ { u } \right ), X_ { u } \right \rangle=- \left \langle \nabla_ { X_ { v } } n, X_ { u } \right \rangle= \left \langle n, X_ { u u } \right \rangle=e \]이다. 다른 등식도 유사하게 증명된다.</p> <p>$ 08 $ 정리 $ 7.31 $을 증명하여라.</p> <p>$ 09 $ 평면곡선 $ \gamma $의 측지곡률은 $ \kappa_ { g } ( \gamma)= \kappa_ { 2 } ( \gamma) $임을 보여라.</p> <p>$ 10 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $에 대하여 다음을 증명하여라.</p> <p>\[ \left \langle X_ { u u } , X_ { v v } \right \rangle- \left \langle X_ { u v } , X_ { u v } \right \rangle=- \frac { 1 } { 2 } E_ { v v } + F_ { u v } - \frac { 1 } { 2 } G_ { u u } . \]</p> <p>$ 11 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $에 대하여 Gauss 곡률 $ K $는 \[ \frac { 1 } {\left (E G-F ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \left \{\operatorname { det } \left ( \begin {array} { ccc } - \frac { 1 } { 2 } E_ { v v } + F_ { u v } - \frac { 1 } { 2 } G_ { u u } & \frac { 1 } { 2 } E_ { u } & F_ { u } - \frac { 1 } { 2 } E_ { v } \\F_ { v } - \frac { 1 } { 2 } G_ { u } & E & F \\ \frac { 1 } { 2 } G_ { v } & F & G \end {array} \right )- \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ccc } 0 & \frac { 1 } { 2 } E_ { v } \frac { 1 } { 2 } G_ { u } \\ \frac { 1 } { 2 } E_ { v } & E & F \\ \frac { 1 } { 2 } G_ { u } & F & G \end {array} \right ) \right \} \]임을 증명하여라. (제 $ 2 $기본형식의 계수 $ e, f, g $를 제 $1 $기본형식으로 나타내어라.)</p> <p>$ 12 $ $ F=0 $인 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow M $의 가우스곡률 $ K $는 \[K= \frac { -1 } {\sqrt { E G } } \left [ \frac {\partial } {\partial u } \left ( \frac { 1 } {\sqrt { E } } \frac {\partial \sqrt { G } } {\partial u } \right ) + \frac {\partial } {\partial v } \left ( \frac { 1 } {\sqrt { G } } \frac {\partial \sqrt { E } } {\partial v } \right ) \right ] \]임을 증명하여라.</p> <p>정리 $7.45 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $상의 임의의 점 $ p \in X(U) $에서의 Gauss 곡률 $ K(p) $는 \[\|K(p)\|= \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { A \left ( \mathrm { G } \left (M_ { r } \right ) \right ) } { A \left (M_ { r } \right ) } . \] 여기서 $ M_ { r } =X(U) \cap B_ { r } ^ { 3 } (p), B_ { r } ^ { n } (p)= \left \{ x \in R ^ { n } \mid \\| \mathrm { x } -p \\|<r \right \} $ 이고 $ \mathrm { G } $는 Gauss 사이이다.</p> <p>증명 (ⅰ) 우선 이중적분의 평균값정리(mean value theorem)를 복습한다. 즉, 임의의 미분 가능한 함수 $ f: B_ { r } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) \rightarrow R $에 대하여 \[ \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { A(r) } \iint_ { B_ { r } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) } f d A=f( \tilde { p } ) \]<caption>(7.7)</caption>이다. 여기서 $ A(r)=A $rea $ \left (B_ { r } ^ { 2 } ( \tilde { p } ) \right ) $ 이다.</p> <p>(ⅱ) 곡면의 면적공식에 의해 \[A \left (M_ { r } \right )= \iint_ { X ^ { -1 } \left (M_ { r } \right ) } \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v . \]<p> <p>(ⅲ) 곡면 $ \mathrm { G } \left (M_ { r } \right ) $의 좌표조각사상은 $ n \circ X: U \rightarrow S ^ { 2 } (1) $이다. 따라서 정리 $ 7.2 $로부터 $ (n \circ X)_ { u } =n_ { u } $이고 $ d \mathrm { G } \left (X_ { u } \right )=n_ { u } $이므로 문제 $ 7.44 $로부터 \[ \begin {aligned} A \left ( \mathrm { G } \left (M_ { r } \right ) \right ) &= \iint_ { X ^ { -1 } \left (M_ { r } \right ) } \left \\|n_ { u } \times n_ { v } \right \\| d u d v \\&= \iint_ { X ^ { -i } \left (M_ { r } \right ) } \mid K ^ {\prime } (u, v) \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v . \end {aligned} \] 그러므로 평균값정리 ( $ 7.7 $)로부터 만약 $ p=X( \tilde { p } ) $라 하면 \[ \begin {aligned} \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { A \left ( \mathrm { G } \left (M_ { r } \right ) \right ) } { A \left (M_ { r } \right ) } &= \frac {\lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { A_ { r } } \iint\|K\| \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v } {\lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { A_ { r } } \iint \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v } \\ &= \frac {\left \|K ^ { - } (p) \right \| \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\|(p) } {\left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\|(p) } \\&= \left \|K ^ {\prime } (p) \right \| \end {aligned} \]이다. 여기서 $ A_ { r } = \operatorname { Area } \left (X ^ { -1 } \left (M_ { r } \right ) \right ) $이다.</p>	자연
공학도를 위한 기초미적분학_적분의 응용	<p>정리 $ 6.2.1 $<ol type=1 start=1><li>구간 $ [a, b] $에서 연속인 함수 $ y=f(x) $의 그래프와 두 직선 $ x=a, x=b $와 $ x $축으로 둘러싸인 영역을 $ x $축으로 회전하여 만든 입체의 부피는 \[V= \pi \int_ { a } ^ { b } (f(x)) ^ { 2 } d x \]이다.</li> <li>구간 $ [c, d] $에서 연속인 함수 $ x=g(y) $의 그래프와 두 직선 $ y=c, y=d $와 $ y $축으로 둘러싸인 영역을 $ y $축으로 회전하여 생기는 입체의 부피는 \[V= \pi \int_ { c } ^ { d } (g(y)) ^ { 2 } d y \]이다.</li></ol></p> <p>예제 $ 6.2.3 $ 곡선 $ y= \sqrt { x } $와 직선 $ x=4, x $축으로 둘러싸인 영역을 $ x $축으로 회전하여 만들어지는 회전체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 적분 범위는 $ [0,4] $이고 $ x $축 위의 임의의 점에서 만들어지는 수직 절단면은 반지름이 $ \sqrt { x } $인 원판이므로 \[V= \pi \int_ { 0 } ^ { 4 } ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } d x=8 \]이다.</p> <p>두 함수의 그래프 사이의 영역을 회전하여 만든 입체의 부피를 구하는 문제를 생각해보자.</p> <p>정리 $ 6.2.2 $ 연속인 두 함수 $ y=f(x) $와 $ y=g(x) $가 구간 $ [a, b] $에서 $ f(x) \geq g(x) \geq 0 $을 만족하면 구간 $ [a, b] $에서 $ f $와 $ g $의 그래프 사이의 영역을 $ x $축에 관해 회전하여 만든 입체의 부피는 \[V= \pi \int_ { a } ^ { b } \left ((f(x)) ^ { 2 } -(g(x)) ^ { 2 } \right ) d x \]이다.</p> <p>증명 회전한 입체의 $ x $축에 수직인 절단면의 넓이는 바깥쪽 반지름 $ r_ { o u t } $에 의해 만들어진 원판의 넓이에서 안쪽 반지름 $ r_ {\text { in } } $에 의해 만들어진 원판의 넓이를 빼서 얻어진다. 따라서 단면의 넓이는 \[A(x)= \pi \left (r_ {\text { out } } ^ { 2 } -r_ {\text { in } } ^ { 2 } \right )= \pi \left ((f(x)) ^ { 2 } -(g(x)) ^ { 2 } \right ) \]이고, 부피는 \[V= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x= \pi \int_ { a } ^ { b } \left ((f(x)) ^ { 2 } -(g(x)) ^ { 2 } \right ) d x \]이다.</p> <p>예제 $ 6.2.4 $ 구간 $ [0,2] $에서 $ f(x)= \frac { 1 } { 2 } + x ^ { 2 } $과 $ g(x)=x $ 사이에 있는 영역을 $ x $축으로 회전하여 만들어지는 입체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 주어진 구간에서는 $ f(x) \geq g(x) \geq 0 $이므로 부피는 \[ \begin {aligned} V &= \pi \int_ { 0 } ^ { 2 } \left ( \left ( \frac { 1 } { 2 } + x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) d x= \pi \int_ { 0 } ^ { 2 } \left ( \frac { 1 } { 4 } + x ^ { 4 } \right ) d x \\&= \frac { 69 } { 10 } \pi \end {aligned} \]이다.</p> <h2>연 ·습 ·문 ·제 6.2</h2> <p>$ 1 $. 주어진 함수의 그래프로 둘러싸인 영역을 회전하여 만들어지는 입체의 부피를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y= \sqrt { x } , ~ y=0, ~ x=1, ~x $축 회전</li> <li>$ y=x ^ { 2 } , ~ y=0, x=1,~ x $축 회전</li> <li>$ y=x ^ { 2 } , ~y=0, x=1, ~y $축 회전</li> <li>$ y=x ^ { 2 } , ~y=8-x ^ { 2 } , ~y $축 회전</li></ol> <p>예제 $ 6.2.2 $ 한 변의 길이가 $ a $인 정사각형이 밑면이고, 높이가 $ h $인 각뿔의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 점 $ x $에서 $ y $축에 평행한 평면으로 절단한 단면의 한 변의 길이를 $ s $라 하면 삼각형의 비례식 $ x: h= \frac { s } { 2 } : \frac { a } { 2 } $로부터 $ s= \frac { a x } { h } $를 얻게 된다. 단면의 넓이는 $ A(x)=s ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } x ^ { 2 } $가 되므로 구하는 부피는 \[V= \int_ { 0 } ^ { h } A(x) d x= \int_ { 0 } ^ { h } \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } x ^ { 2 } d x= \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } h \]이다. 각뿔의 부피는 각기둥의 부피의 $ \frac { 1 } { 3 } $이라는 공식을 확인할 수 있다.</p> <p>회전체란 평면에 있는 영역을 $ x $축이나 $ y $축 또는 임의의 직선을 축으로 회전하여 생기는 입체를 말한다. 회전체의 절단면은 원판이므로 절단면의 넓이를 이용하여 회전체의 부피를 구할 수 있다.</p> <p>함수 $ f $가 구간 $ [a, b] $에서 연속이라 하자. $ f $의 그래프와 $ x $축, 두 직선 $ x=a $, $ x=b $로 둘러싸인 영역을 $ x $축으로 회전하여 만들어지는 회전체의 부피를 구해보자.</p> <p>구간 $ [a, b] $를 $ n $개의 동일한 크기를 갖는 부분구간으로 나누면 각 구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $의 표본점 $ x_ { k } ^ { * } $에서 단면적이 $ \pi \left (f \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ) ^ { 2 } $이므로 정리에 의해 \[V= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \pi \left (f \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ) ^ { 2 } \Delta x= \pi \int_ { a } ^ { b } (f(x)) ^ { 2 } d x \]가 회전체의 부피이다.</p> <h1>6.2 부피</h1> <p>$ 3 $차원 공간에 놓여 있는 입체 $ S $의 부피를 구해보자.</p> <p>구간 $ [a, b] $를 동일한 길이를 갖는 $ n $개의 부분구간으로 나누고 구간 내의 각 점 $ x $에서 $ x $축에 수직인 평면으로 ( $ x $축에 수직인 평면으로 식빵을 얇게 썬 것처럼) 입체를 자른 절단면의 넓이 $ A(x) $가 $ x $의 연속함수라고 하자.</p> <p>$ k $번째 구간의 표본점을 $ x_ { k } ^ { * } $라 하면 이 점을 지나는 절단면의 넓이는 $ A \left (x_ { k } ^ { * } \right ) $이고 두께는 $ \Delta x = \frac { b-a } { n } $이므로 그 조각의 근사적인 부피는 $ A \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \Delta x $이다. $ n $개의 조각의 근사적인 부피를 합하면 $ \sum_ { k=1 } ^ { n } A \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \triangle x $이다. 이 식에서 $ n $을 무한대로 보내는 극한을 취하면 다음 정의를 얻는다.</p> <p>정의 $ 6.2.1 $ $ S $가 구간 $ [a, b] $ 사이에 놓인 입체라 하자. 점 $ x $를 지나고 $ x $축에 수직인 평면으로 입체를 잘라 만들어진 절단면의 넓이 $ A(x) $가 연속이면 $ S $의 부피 $ V $는 \[V= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } A \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \Delta x= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x \]이다.</p> <p>예제 $ 6.2.1 $ 구간 $ [0, \pi] $에서 만들어진 입체가 밑면은 $ x $축과 $ y= \sin x $의 그래프로 둘러싸인 영역이고 $ x $축에 수직인 단면은 정사각형인 입체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 $ x $축에 수직인 평면으로 절단된 단면의 넓이는 $ A(x)= \sin ^ { 2 } x $이므로 부피는 \[V= \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin ^ { 2 } x d x= \int_ { 0 } ^ {\pi } \frac { 1- \cos 2 x } { 2 } d x= \frac {\pi } { 2 } \]이다.</p> <h1>6.1 곡선 사이의 넓이</h1> <p>폐구간 $ [a, b] $에서 $ f $가 연속이고 $ f(x) \geq 0 $일 때, $ y = f(x) $의 그래프와 $ x $축, 두 직선 $ x=a, x=b $로 둘러싸인 영역의 넓이는 제 $ 4 $장에서 배운 정적분의 정의에 따라 $ A= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $이다.</p> <p>함수 $ f(x) $가 $ f(x) \leq 0 $이고 연속일 때 넓이는 $ A=- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $가 된다.</p> <p>위의 두 경우를 합해서 다음과 같이 말할 수 있다.</p> <p>정리 $ 6.1.1 $ 폐구간 $ [a, b] $에서 $ f $가 연속일 때, $ y=f(x) $의 그래프와 $ x $축, 직선 $ x=a $, $ x=b $로 둘러싸인 영역의 넓이는 $ A= \int_ { a } ^ { b } \|f(x)\| d x $이다.</p> <p>이제 두 함수의 그래프와 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제에 대하여 생각해보자. 먼저 ( $ 1 $) 폐구간 $ [a, b] $에서 $ f(x) \geq g(x) \geq 0 $인 경우</p> <p>위 그림에서 보듯이 $ S $의 넓이는 $ f(x) $의 그래프에 의해 만들어진 영역 $ S_ { 1 } $의 넓이에서 $ g(x) $의 그래프에 의해 만들어진 영역 $ S_ { 2 } $의 넓이를 빼면 된다. 따라서 \[A= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x= \int_ { a } ^ { b } (f(x)-g(x)) d x \]이다.</p> <p>( $ 2 $) 폐구간 $ [a, b] $에서 $ f(x) \geq 0 \geq g(x) $인 경우</p> <p>두 함수의 그래프로 둘러싸인 영역은 $ S_ { 1 } $과 $ S_ { 2 } $이므로 각각의 넓이를 구해서 더하면 된다. $ g(x) $가 구간에서 음수인 것에 주의하여 계산하면, \[A= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + \left [- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right ]= \int_ { a } ^ { b } (f(x)-g(x)) d x \]이다.</p>	자연
선형대수학	<p>정리 $ 3.3.10 $ 부분공간 $ U, W $ 가 $ V=U + W $ 일 때 $ V=U \oplus W $ 일 필요충분조건은 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W $ 이다.</p> <p>[증명] $ \operatorname { dim } V=r, \operatorname { dim } W=s, U $ 와 $ W $ 의 기저를 각각 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } \right \} , \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { s } \right \} $ 라 하자. $ V=U + W $ 이므로 $ V $ 의 임의 원소 $ v $ 는 $ U $ 의 원소 $ u= \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } u_ { i } , W $ 의 원소 $ w= \sum_ { j=1 } ^ { s } \beta_ { j } w_ { j } $ 로 표시된다. \[ \begin {aligned} v &= \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } u_ { i } + \sum_ { j=1 } ^ { s } \beta_ { j } w_ { j } \\ &= \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } u_ { r } + \beta_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + \beta_ { s } w_ { s } \end {aligned} \] 이므로 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } , w_ { 1 } , \cdots, w_ { s } \right \} $ 는 $ V $ 를 생성한다. $ \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } u_ { i } + \sum_ { j=1 } ^ { s } \beta_ { j } w_ { j } = \mathbf { 0 } $ 이라 하면 $ \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } u_ { i } = \sum_ { j=1 } ^ { s } \left (- \beta_ { j } \right ) w_ { j } $ 이고, 양변의 합은 $ U $ 의 원소인 동시에 $ W $ 의 원소이다. $ U \cap W= \{\mathbf { 0 } \} $ 에서 \[ \quad \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } u_ { i } = \mathbf { 0 } , \quad \sum_ { j=1 } ^ { s } \beta_ { j } w_ { j } = \mathbf { 0 } \] $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } $ 와 $ w_ { 1 } , \cdots w_ { s } $ 가 일차독립이므로 모든 $ \alpha_ { i } =0, \beta_ { j } =0 $ 이다. 이로써 집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } , w_ { 1 } , \cdots, w_ { s } \right \} $ 가 $ U \oplus W $ 의 기저임을 알았다. $ V=U \oplus W $ 이므로 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } (U \oplus W)=r + s= \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W $ 가 성립한다. 역으로 $ \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } V $ 라 하자. $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } $ 가 $ U $ 의 기저라 하면 벡터 $ w_ { r + 1 } , \cdots, w_ { n } $ 이 존재하여 다음 집 합이 $ V $ 의 기저가 된다. \[ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } , w_ { r + 1 } , \cdots, w_ { n } \] 이때 $ \left \{ w_ { r + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $ 은 $ W $ 의 기저이고 $ \operatorname { dim } W=m=n-r= \operatorname { dim } V- \operatorname { dim } U $ 이다. 임의의 $ v \subset U \cap W $ 는 $ v \subset U $ 이고 $ v \subset W $ 이므로 \[ v= \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } u_ { r } = \alpha_ { r + 1 } w_ { r + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } w_ { n } \] 이항하여 정돈하면 \[ \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } u_ { r } + \left (- \alpha_ { r + 1 } \right ) w_ { r + 1 } + \cdots + \left (- \alpha_ { n } \right ) w_ { n } = \mathbf { 0 } \] 집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { r } , w_ { r + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $ 이 일차독립이므로 \[ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { r } =- \alpha_ { r + 1 } = \cdots=- \alpha_ { n } =0 \] 따라서 $ v= \mathbf { 0 } $ 이다. 즉 $ U \cap W= \{\mathbf { 0 } \} $.</p> <p>정리 $ 3.4.4 $ 행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) $ 의 행계수(열계수)는 전치행렬 $ A ^ { t } $ 의 열계수(행계수)와 같다.</p> <p>[증명] 행렬 $ A $ 의 행벡터 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 은 전치행렬 $ A ^ { t } $ 의 열벡터 $ R ^ { (1) } , R ^ { (2) } , \cdots, R ^ { (n) } $ 이다. $ \operatorname { dim } \left \langle A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } \right \rangle= \operatorname { dim } \left \langle R ^ { (1) } , R ^ { (2) } , \cdots, R ^ { (n) } \right \rangle $ 이므로 $ A $ 의 행계수는 $ A ^ { t } $ 의 열계수와 같다.</p> <p>정리 $ 3.4.5 $ 행렬 $ A= \left (a_ { i j } \right ) \subset M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) $ 의 행공간의 차원과 열공간의 차원은 같다. 즉 행열의 행계수와 열계수는 같다.</p> <p>[증명] 행렬 $ A $ 의 행공간 $ \left \langle A_ { 1 } , \cdots, A_ { m } \right \rangle $ 의 기저를 $ \left \{ B_ { 1 } , B_ { 2 } , \cdots, B_ { r } \right \} , r \leq m $ 이라 하고 \[ B_ { 1 } = \left (b_ { 11 } , b_ { 12 } , \cdots, b_ { 1 n } \right ), B_ { 2 } = \left (b_ { 21 } , b_ { 22 } , \cdots, b_ { 2 n } \right ), \cdots, B_ { r } = \left (b_ { r 1 } , b_ { r 2 } , \cdots, b_ { r n } \right ) \] 모든 $ A_ { i } \subset \left \langle B_ { 1 } , \cdots, B_ { r } \right \rangle $ 이므로 $ c_ { i j } \subset \mathbb { K } $ 가 존재하여 \[ \begin {array} { l } A_ { 1 } =c_ { 11 } B_ { 1 } + \cdots + c_ { 1 r } B_ { r } \\ A_ { 2 } =c_ { 21 } B_ { 1 } + \cdots + c_ { 2 r } B_ { r } \\ \enspace \vdots \hspace { 3em } \vdots \hspace { 6em } \vdots \\ A_ { m } =c_ { m 1 } B_ { 1 } + \cdots + c_ { m r } B_ { r } \\ \end {array} \] 행렬 $ A= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { m } \right ) $ 의 제 $ i j $-성분 $ a_ { i j } $ 는 \[ a_ { i j } =c_ { i 1 } b_ { 1 j } + \cdots + c_ { i r } b_ { r j } = \sum_ { k=1 } ^ { r } c_ { i k } b_ { k j } \] 행렬 $ A $ 의 제 $ j $ 열 \[ \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\ a_ { 2 j } \\ \vdots \\ a_ { m j } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } \sum_ { k=1 } ^ { r } c_ { 1 k } b_ { k j } \\ \vdots \\ \sum_ { k=1 } ^ { r } c_ { m k } b_ { k j } \end {array} \right ]=b_ { 1 j } \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\ c_ { 21 } \\ \vdots \\ c_ { m 1 } \end {array} \right ] + \cdots + b_ { r j } \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 r } \\ c_ { 2 r } \\ \vdots \\ c_ { m r } \end {array} \right ] \] $ C_ { i } = \left (c_ { 1 i } , \cdots, c_ { m i } \right ) ^ { t } , i=1, \cdots, r $ 라 놓으면 $ A $ 의 제 $ j $ 열벡터는 $ C_ { 1 } , \cdots, C_ { r } $ 에 의하여 생성된다. 그러므로 $ A $ 의 열공간은 $ \left \langle C_ { 1 } , \cdots, C_ { r } \right \rangle $ 의 부분공간이다. $ \left \langle C_ { 1 } , \cdots, C_ { r } \right \rangle $ 의 차원은 $ r $ 이하이고 $ r $ 는 $ A $ 의 행공간의 차원이었으므로 $ A $ 의 열공간의 차원은 행공간의 차원 이하이다. 같은 이유에서 $ A $ 의 행공간의 차원은 열공간의 차원 이하이다. 따라서 행렬 $ A $ 의 열공간의 차원과 행공간의 차원은 같다.</p> <p>예제 $ 3.3.10 $ 에서 부분공간 $ W_ { 1 } $ 과 $ W_ { 2 } $ 의 합은 또한 부분공간임을 알았다. 이러한 사실에 근거하여 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 $ 3.3.9 $ 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U, W $ 에서 다음의 차원정리가 성립한다. \[ \operatorname { dim } (U + W)= \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W- \operatorname { dim } (U \cap W) \]</p> <p>[증명] $ U, W $ 가 부분공간이면 $ U \cap W $ 는 $ U $ 와 $ W $ 의 부분공간이다. $ \operatorname { dim } U=m, \operatorname { dim } W=n, \operatorname { dim } (U \cap W)=r $ 라 하자. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 $ U \cap W $ 의 기저라 하면 정리 $ 3.3.6 $ 에 의하여 $ U, W $ 의 기저가 존재하여 \[ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , u_ { 1 } , \cdots, u_ { m-r } \right \} , \quad F= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , w_ { 1 } , \cdots, w_ { n-r } \right \} \] $ m + n-r $ 개의 벡터로 이루어진 다음 집합은 $ U + W $ 의 기저임을 보이자. \[ B= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , u_ { 1 } , \cdots, u_ { m-r } , w_ { 1 } , \cdots, w_ { n-r } \right \} \] $ E $ 가 $ U $ 의 생성원집합, $ F $ 가 $ W $ 의 생성원집합이므로 $ B=E \cup F $ 는 $ U + W $ 를 생성함은 분명하다. $ B $ 의 원소가 일차독립임을 보이기 위하여 다음 등식이 성립한다고 가정한다. \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } + \beta_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + \beta_ { m-r } u_ { m-r } + \gamma_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + \gamma_ { n-r } w_ { n-r } = \mathbf { 0 } \] 다음의 벡터 $ v $ 는 $ U $ 의 원소인 동시에 $ W $ 의 원소이다. 즉 $ v \subset U \cap W $ 이다. \[ v=- \gamma_ { 1 } w_ { 1 } - \cdots- \gamma_ { n-r } w_ { n-r } \] $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \} $ 가 $ U \cap W $ 의 기저이므로 수 $ \delta_ { 1 } , \cdots, \delta_ { r } $ 가 존재하여 \[ \begin {array} { l } \delta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \delta_ { r } v_ { r } =v=- \gamma_ { 1 } w_ { 1 } - \cdots- \gamma_ { n-r } w_ { n-r } \\ \delta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \delta_ { r } v_ { r } + \gamma_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + \gamma_ { n-r } w_ { n-r } = \mathbf { 0 } \end {array} \] $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , w_ { 1 } , \cdots, w_ { n-r } \right \} $ 이 $ W $ 의 기저이므로 이들은 일차독립이다. 그러므로 $ \delta_ { 1 } = \cdots= \delta_ { r } = \gamma_ { 1 } = \cdots= \gamma_ { n-r } =0 . \gamma_ { 1 } = \cdots= \gamma_ { n-r } =0 $ 에서 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } + \beta_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + \beta_ { m-r } u_ { m-r } = \mathbf { 0 } \] $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , u_ { 1 } , \cdots, u_ { m-r } \right \} $ 이 $ U $ 의 기저로 일차독립이므로 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { r } = \beta_ { 1 } = \cdots= \beta_ { m-r } =0 $. 이로써 집합 $ B $ 는 $ U + W $ 의 기저임을 알았다. $ B $ 의 원소의 개수는 $ (m + n-r) $ 개이므로 $ \operatorname { dim } (U + W)=m + n-r $ 이다. $ \operatorname { dim } U=m, \operatorname { dim } W=n, \operatorname { dim } (U \cap W)=r $ 이므로 $ \operatorname { dim } (U + W)= \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W- \operatorname { dim } (U \cap W) $ 가 성립한다.</p> <p>예제 $ 3.4.8 $ 다음 행렬의 계수와 열공간의 차원을 구하여 비교하여 보아라. \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] $ A ^ { (1) } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 3 \end {array} \right ], A ^ { (2) } = \left [ \begin {array} { r } 2 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right ], A ^ { (3) } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ] $ 에 대하여 $ A ^ { (1) } x + A ^ { (1) } y + A ^ { (1) } z=(0,0,0) $ 인 $ x, y, z $ 를 구한다. \[ \left \{\begin {array} { r } x + 2 y-z=0 \\ 2 x-y + z=0 \\ 3 x + y + z=0 \end {array} \right . \] 위 연립방정식의 계수행렬 $ A $ 의 행렬식 $ \|A\|=-5 \neq 0 $ 이므로 자명한 해뿐이므로 $ x=y=z=0 $ 이다. $ A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , A ^ { (3) } $ 은 일차독립이므로 $ \operatorname { dim } \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , A ^ { (3) } \right \rangle=3 $ 이다. 다음으로 $ A $ 를 사다리꼴행렬로 변형하면 \[ \begin {aligned} A &= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & 4 \end {array} \right ] \\ & \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & 0 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \end {aligned} \] 따라서 $ \operatorname { rank } A=3 $.</p> <p>예제 $ 3.1 .12 $ 벡터공간 $ V $ 의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v $ 에서 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } \right \rangle + \cdots + \left \langle v_ { r } \right \rangle $</li> <li>$ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle \subseteq \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v \right \rangle $</li> <li>$ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { i } \right \rangle, i=1, \cdots, r $</li></ol> <p>[풀이] (1) 정의에 의하여 \[ \begin {aligned} \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle &= \left \{\alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } \mid \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { r } \in \mathbb { K } \right \} \\ &= \left \{\alpha_ { 1 } v_ { 1 } \mid \alpha_ { 1 } \in \mathbb { K } \right \} + \cdots + \left \{\alpha_ { r } v_ { r } \mid \alpha_ { r } \in \mathbb { K } \right \} \\ &= \left \langle v_ { 1 } \right \rangle + \cdots + \left \langle v_ { r } \right \rangle \end {aligned} \]</p> <p>(2) $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v \right \rangle $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 포함하는 부분공간이므로 정리 $ 3.1 .5 $ 에 의하여 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ 를 부분집합으로 갖는다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ W_ { 1 } , \cdots, W_ { r } $ 가 존재하여 $ W_ { 1 } \oplus \cdots \oplus W_ { r } $ 가 $ V $ 와 같을 때 $ V $ 를 $ W_ { 1 } , \cdots, W_ { r } $ 의 직합(direct sum)이라 하고 다음으로 나타낸다. \[ V=W_ { 1 } \oplus \cdots \oplus W_ { r } \] $ r=2 $ 일 때는 $ W_ { 1 } $ 과 $ W_ { 2 } $ 는 서로 다른 것의 보공간(complement space)이라 한다.</p> <p>예제 $ 3.3.13 $ $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 부분공간 $ \mathbb { R } _ { y z } , \mathbb { R } _ { x y } , \mathbb { R } _ { z } $ 가 다음과 같을 때 $ \mathbb { R } _ { y z } + \mathbb { R } _ { x y } , \mathbb { R } _ { y z } + \mathbb { R } _ { z } , \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 관계를 구하여라. \[ \mathbb { R } _ { y z } = \{ (0, y, z) \mid y, z \subset \mathbb { R } \} , \mathbb { R } _ { x y } = \{ (x, y, 0) \mid x, y \subset \mathbb { R } \} , \mathbb { R } _ { z } = \{ (0,0, z) \mid z \subset \mathbb { R } \} \]</p> <p>[풀이] $ \mathbb { R } ^ { 3 } = \mathbb { R } _ { x y } + \mathbb { R } _ { y z } , \mathbb { R } ^ { 3 } = \mathbb { R } _ { x y } + \mathbb { R } _ { z } $ 임을 바로 알 수 있다. 평면 $ \mathbb { R } _ { x y } , \mathbb { R } _ { y z } $ 의 교선 위의 벡터 $ u $ 를 생각하면 $ u= \mathbf { 0 } + u, \mathbf { 0 } \subset \mathbb { R } _ { x y } , u \subset \mathbb { R } _ { y z } $ 이고 $ u=u + \mathbf { 0 } , u \subset \mathbb { R } _ { x y } , \mathbf { 0 } \subset \mathbb { R } _ { y z } $ 이다. 그러므로 $ u $ 를 $ \mathbb { R } _ { x y } , \mathbb { R } _ { y z } $ 의 원소의 합으로 나타내는 방법은 두 가지이다. 즉 $ \mathbb { R } _ { x y } \cap \mathbb { R } _ { y z } = \mathbb { R } , \mathbb { R } _ { x y } \cap \mathbb { R } _ { z } = \{\mathbf { 0 } \} $. 따라서 $ \mathbb { R } ^ { 3 } = \mathbb { R } _ { x y } + \mathbb { R } _ { y z } , \mathbb { R } ^ { 3 } = \mathbb { R } _ { x y } \oplus \mathbb { R } _ { z } $.</p> <p>예제 $3.1.9 $ 벡터 $ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) $ 은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 생성원임을 보여라.</p> <p>[풀이] $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 임의의 벡터 $ X=(x, y, z) $ 에서 $ (x, y, z)= \alpha(1,1,1) + \beta(1,1,0) + \gamma(1,0,0) $ 인 $ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb { R } $ 가 존재함을 보이면 된다. \[ \begin {aligned} (x, y, z)&= \alpha(1,1,1) + \beta(1,1,0) + \gamma(1,0,0) \\ &=( \alpha, \alpha, \alpha) + ( \beta, \beta, 0) + ( \gamma, 0,0) \\ &=( \alpha + \beta + \gamma, \alpha + \beta, \alpha) \end {aligned} \] 이므로 $ x= \alpha + \beta + \gamma, y= \alpha + \beta, z= \alpha $ 이다. 이들을 계산하면 \[ \alpha=z, \quad \beta=y-z, \quad \gamma=x-y \] 따라서 \[ (x, y, z)=z(1,1,1) + (y-z)(1,1,0) + (x-y)(1,0,0) \]</p> <p>예제 $ 3.1.10 $ 벡터 $ (1,1,1) $ 을 $ (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1) $ 의 일차결합으로 표시할 때 계수를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ \quad(x, y, z) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $ 은 \[ (x, y, z)= \frac { x + y-z } { 2 } (1,1,0) + \frac { -x + y + z } { 2 } (0,1,1) + \frac { x-y + z } { 2 } (1,0,1) \] 로 표시된다. $ x=y=z=1 $ 이면 \[ (1,1,1)= \frac { 1 } { 2 } (1,1,0) + \frac { 1 } { 2 } (0,1,1) + \frac { 1 } { 2 } (1,0,1) \] 그러므로 계수는 모두 $ \frac { 1 } { 2 } $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.1.11 $ 다항식집합 $ \mathbb { R } _ { n } [x]= \{ f(x) \in \mathbb { R } [x] \mid \operatorname { deg } f(x)<n \} $ 의 생성원을 구하여라.</p> <p>[풀이] $ \quad f(x) \in \mathbb { R } _ { n } [x] $ 는 $f(x)=a_ { 0 } \cdot 1 + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } $ 으로 표시되므로 $ \left \{ 1, x, \cdots, x ^ { n-1 } \right \} $ 이 생성원집합이다.</p> <p>[풀이] (i) $ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } $ 이 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 을 생성함을 보이자. 임의의 벡터 $ X \subset \mathbb { K } ^ { n } , X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 에 대하여 다음 식이 성립한다. \[ \begin {aligned} \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) &= \left (x_ { 1 } , 0, \cdots, 0 \right ) + \left (0, x_ { 2 } , 0, \cdots, 0 \right ) + \cdots + \left (0,0, \cdots, 0, x_ { n } \right ) \\ &=x_ { 1 } (1,0, \cdots, 0) + x_ { 2 } (0,1,0, \cdots, 0) + \cdots + x_ { n } (0,0, \cdots, 0,1) \end {aligned} \] 그러므로 $ X= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } e_ { 2 } + x_ { 2 } e_ { 2 } + \cdots + x_ { n } e_ { n } $</p> <p>(ii) $ \alpha_ { 1 } e_ { 1 } + \alpha_ { 2 } e_ { 2 } + \cdots + \alpha_ { n } e_ { n } =O $ 이면 \[ \begin {array} { l } \alpha_ { 1 } (1,0, \cdots, 0) + \alpha_ { 2 } (0,1, \cdots, 0) + \cdots + \alpha_ { n } (0,0, \cdots, 0,1)=(0,0, \cdots, 0) \\ \left ( \alpha_ { 1 } , 0, \cdots, 0 \right ) + \left (0, \alpha_ { 2 } , \cdots, 0 \right ) + \cdots + \left (0,0, \cdots, 0, \alpha_ { n } \right )=(0,0, \cdots, 0) \end {array} \] 에서 $ \left ( \alpha_ { 1 } , \alpha_ { 2 } , \cdots, \alpha_ { n } \right )=(0,0, \cdots, 0), \alpha_ { 1 } = \alpha_ { 2 } = \cdots= \alpha_ { n } =0 $. (i)과 (ii)에서 $ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } $ 은 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 을 생성하고 일차독립이다. 따라서 $ \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 은 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 기저이다.</p> <p>정리 $ 3.3.11 $ $ V=W_ { 1 } + \cdots + W_ { r } (r \geq 2) $ 일 때 $ V=W_ { 1 } \oplus \cdots \oplus W_ { r } $ 일 필요충분조건은 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W_ { 1 } + \cdots + \operatorname { dim } W_ { r } $ 이다.</p> <p>[증명] 정리 $ 3.3.10 $ 과 $ r $ 에 관한 수학적 귀납법으로 증명된다.</p> <p>정리 $ 3.3.12 $ 유한차원 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ W $ 의 보공간 $ W ^ {\prime } $ 는 존재하고, $ \operatorname { dim } W ^ {\prime } = \operatorname { dim } V- \operatorname { dim } W $ 이다.</p> <p>[증명] $ \operatorname { dim } W=m $ 이라 하면 정리 $ 3.3.7 $ 에서 $ m \leq n $ 이다. $ m=n $ 이면 $ W=V $ 이므로 $ W ^ {\prime } = \{\mathbf { 0 } \} $ 으로 이 정리는 증명된다. $ m<n $ 이라 하자. 정리 $ 3.3.6 $에 의하면 $ \operatorname { dim } V=n $ 과 $ W $ 의 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { m } \right \} $ 에 대하여 다음 집합이 $ V $ 의 기저가 되는 벡터 $ v_ { m + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 존재한다. \[ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { m } , v_ { m + 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \] 벡터 $ v_ { m + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 의하여 생성된 부분공간을 $ W ^ {\prime } $ 라 놓으면 \[ V=W + W ^ {\prime } \] 임의의 $ w \subset W \cap W ^ {\prime } $ 에서 $ w \subset W $ 이고 동시에 $ w \subset W ^ {\prime } $ 이므로 \[ w= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } v_ { m } = \alpha_ { m + 1 } v_ { m + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \] 이항하여 정돈하면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } v_ { m } + \left (- \alpha_ { m + 1 } \right ) v_ { m + 1 } + \cdots + \left (- \alpha_ { n } \right ) v_ { n } = \mathbf { 0 } \] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이므로 \[ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { m } =- \alpha_ { m + 1 } = \cdots=- \alpha_ { n } =0 \] 그러므로 $ w= \mathbf { 0 } $ 이다. 따라서 $ W \cap W ^ {\prime } = \{\mathbf { 0 } \} $ 이다. 이로써 $ V $ 는 $ W $ 와 $ W ^ {\prime } $ 의 직합임이 증명되었다. 정리 $ 3.3.10 $에 의하여 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W + \operatorname { dim } W ^ {\prime } , \operatorname { dim } W ^ {\prime } = \operatorname { dim } V- $ $ \operatorname { dim } W $ 가 성립한다.</p> <p>정리 $ 3.2.5 $ 벡터 $ v $ 가 일차독립인 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시된다면 $ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } $ 인 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 은 오직 한 조만 존재한다.</p> <p>[증명] $ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } , v= \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } $ 이라 하면 \[ \begin {aligned} \mathbf { 0 } &=v-v= \left ( \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \right ) + \left ( \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } \right ) \\ &= \left ( \alpha_ { 1 } - \beta_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left ( \alpha_ { n } - \beta_ { n } \right ) v_ { n } \end {aligned} \] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이므로 \[ \alpha_ { 1 } - \beta_ { 1 } =0, \cdots, \alpha_ { n } - \beta_ { n } =0 \] 그러므로 $ \alpha_ { 1 } = \beta_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } = \beta_ { n } $ 이다. 이는 벡터 $ v $ 가 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시된다면 그 표시 방법은 일의적으로 정해짐을 의미한다.</p> <p>예제 $ 3.2.6 $ 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이고 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 가 일차종속이면 $ w $는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 의하여 생성된 부분공간 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 의 원소이다.</p> <p>정리 3.4.9 연립방정식 $ A X=B $ 가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 다음 두 행렬의 계수가 같은 것이다. \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ], \quad A ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & b_ { 1 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } & b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } & b_ { m } \end {array} \right ] \]</p> <p>[증명] 연립방정식 $ A X=B $ 는 다음으로 표시된다. \[ \begin {aligned} A X &= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]=x_ { 1 } \left [ \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ a_ { 21 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } \end {array} \right ] + x_ { 2 } \left [ \begin {array} { c } a_ { 12 } \\ a_ { 22 } \\ \vdots \\ a_ { m 2 } \end {array} \right ] + \cdots + x_ { n } \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\ a_ { 2 n } \\ \vdots \\ a_ { m n } \end {array} \right ] \\ &=x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } =B \end {aligned} \] 연립방정식의 근 $ x_ { 1 } = \alpha_ { 1 } , x_ { 2 } = \alpha_ { 2 } , \cdots, x_ { n } = \alpha_ { n } $ 이 존재하면 $ B $ 는 행렬 $ A $ 의 열벡터 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 에 의하여 생성된다. 행렬의 계수는 열계수와 같다. 그러므로 행렬의 계수는 일차독립인 열벡터의 최대 개수이다. 열벡터 $ B $ 가 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 에 의하여 생성되면 $ \operatorname { rank } A= \operatorname { rank } A ^ {\prime } $ 이고 역도 성립한다.</p> <p>예제 3.3.14 벡터공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $에서 $ W= \langle(1,1,0),(0,1,1) \rangle $의 보공간과 차원을 구하여라.</p> <p>[풀이] 벡터 $ (1,1,0),(0,1,1) $과 $ (1,0,1) $은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저이고 $ (1,1,0), (0,1,1) $은 $ W $의 기저이다. $ W ^ {\prime } = \langle(1,1,0) \rangle $이라 하면 $ \mathbb { R } ^ { 3 } =W \oplus W ^ {\prime } $이고, $ \operatorname { dim } W ^ {\prime } =1= \operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 3 } - \operatorname { dim } W $.</p> <p>예제 3.3.15 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 부분공간 $ W= \langle(1,0,1),(2,1,0),(-5,2,-9) \rangle $의 보공간과 차원을 구하여라.</p> <p>[풀이] \[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -5 & 2 & -9 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right \|=0 \] 이므로 세 벡터는 일차종속이다. 실제로 $ (1,0,1),(2,1,0) $은 일차독립이고 $ (-5, 2,-9)=-9(1,0,1) + 2(2,1,0) $이다. $ (1,0,1),(2,1,0) $의 일차결합으로 표시되지 않는 벡터 $ (1,0,0) $을 잡으면 $ \{ (1,0,1),(2,1,0),(1,0,0) \} $은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저이다. $ W ^ {\prime } = \langle(1,0,0) \rangle $이라 놓으면 $ \mathbb { R } ^ { 3 } =W \oplus W ^ {\prime } $이고 $ \operatorname { dim } W ^ {\prime } =1= \operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 3 } - \operatorname { dim } W=3-2 $이다.</p> <p>예제 $ 3.3.2 $ 3차 이하의 다항식 전체의 집합으로 이루어진 벡터공간 $ P_ { 3 } ( \mathbb { R } ) $ 에 대하여 다음 물음에 답하여라.<ol type=1 start=1><li>$ E= \left \{ 1, x, x ^ { 2 } \right \} , F= \left \{ 1, x-1, x ^ { 2 } -3 x + 2 \right \} $ 는 $ P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 의 기저이다.</li> <li>다항식 $ 1 + x + x ^ { 2 } $ 의 기저 $ E, F $ 에 대한 좌표를 구하여라.</li></ol></p> <p>[풀이] (1) (i) $ f(x) \subset P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 는 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c=a \cdot x ^ { 2 } + b \cdot x + c \cdot 1 $ 이므로 $ \{ 1 , \left .x, x ^ { 2 } \right \} $ 은 $ P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 를 생성한다. $ \alpha \cdot 1 + \beta \cdot x + \gamma \cdot x ^ { 2 } =0 $ 이면 $ \alpha + \beta x + \gamma x ^ { 2 } =0 . x=0 $ 이면 $ \alpha=0 $ 이고 $ x \neq 0 . \beta x + \gamma x ^ { 2 } =0, \beta + \gamma x=0 $ 에서 $ \gamma=0 $ 이면 $ \beta=0 $. 그러므로 $ \alpha= \beta= \gamma=0 $. 이는 $ 1, x, x ^ { 2 } $ 이 일차독립임을 뜻한다. 따라서 $ \left \{ 1, x, x ^ { 2 } \right \} $ 은 $ P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 의 기저이다.</p> <p>(ii) 임의의 $ f(x) \subset P_ { 2 } ( \mathbb { R } ), f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c= \alpha(1) + \beta(x-1) + \gamma \left (x ^ { 2 } -3 x + 2 \right ) $ 인 실수 $ \alpha, \beta, \gamma $ 가 존재함을 보이자. \[ \begin {aligned} a x ^ { 2 } + b x + c &= \alpha + \beta(x-1) + \gamma \left (x ^ { 2 } -3 x + 2 \right ) \\ &=( \alpha- \beta + 2 \gamma) + ( \beta-3 \gamma) x + \gamma x ^ { 2 } \end {aligned} \] 양변의 계수를 비교하면 \[ \alpha- \beta + 2 \gamma=c, \quad \beta-3 \gamma=b, \quad \gamma=a \] 이 연립방정식의 해는 \[ \alpha=a + b + c, \quad \beta=b + 3 a, \quad \gamma=a \] $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c=a \left (x ^ { 2 } -3 x + 2 \right ) + (b + 3 a)(x-1) + (a + b + c) \cdot 1 $ 이므로 $ P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $는 $ 1, x-1, x ^ { 2 } -3 x + 2 $ 에 의하여 생성된다. 일차독립을 증명하기 위하여 $ \alpha \cdot 1 + \beta(x-1) + \gamma \left (x ^ { 2 } -3 x + 2 \right )=0 $ 이라 하자. $ ( \alpha- \beta + 2 \gamma) + ( \beta-3 \gamma) x + \gamma x ^ { 2 } =0 $ 에서 $ \alpha- \beta + 2 \gamma=0, \beta-3 \gamma=0, \gamma=0 $. 이 식에서 $ \alpha=0, \beta=0, \gamma=0 $ 이다. 이로써 $ \{ 1, x-1, \left .x ^ { 2 } -3 x + 2 \right \} $ 는 $ P_ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 의 기저임을 알았다.</p> <p>예제 $ 3.3.11 $ $ \mathbb { R } ^ { 4 } $ 공간의 부분공간 $ U= \{ (a, b, c, d) \mid b + c + d=0 \} , W= \{ (a, b, c, d) \mid a + b=0, c=2 d \} $ 에 대하여 $ U, W, U \cap W $ 의 차원과 기저를 구하여라.</p> <p>[풀이 $ ] $ (i) $ 0 \cdot a + b + c + d=0 $ 에서 $ (a, c, d)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) $ 이라 놓으면 $ (a, b, c, d)=(1,0,0,0),(0,-1,1,0),(0,-1,0,1) $ 이다. $ v_ { 1 } =(1,0,0,0), v_ { 2 } =(0,-1,1,0), v_ { 3 } =(0,-1,0,1) $ 은 부분공간 $ U $ 의 기저이므로 $ \operatorname { dim } U=3 $.</p> <p>(ii) 연립방정식 $ a + b=0, \quad c=2 d $ 또는 $ a + b=0, \quad c-2 d=0 $ 에서 $ (b, d)=(1,0),(0,1) $ 이라 놓는다. 그러면 $ (-1,1,0,0),(0,0,2,1) $ 은 부분공간 $ W $ 의 기저이고 $ \operatorname { dim } W=2 $.</p> <p>(iii) 연립방정식 $ b + c + d=0, a + b=0, c=2 d $ 에서 $ d=1 $ 이라 놓으면 $ (3,-3 $, $ 2,1) $ 이 $ U \cap W $ 의 기저이므로 $ \operatorname { dim } (U \cap W)=1 $.</p> <p>예제 $ 3.3.12 $ 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ M_ { n } ( \mathbb { ~K } ) $ 의 부분공간 $ U= \left \{\left [a_ { i j } \right ] \mid \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { n } , a_ { i j } =0,1 \leq j<i \leq n \right \} , W= \left \{\left [a_ { i j } \right ] \mid \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { n } , a_ { i j } =0,1 \leq i<j \leq n \right \} , D= \left \{\left [a_ { i j } \right ] \mid \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { n } , a_ { i j } =0,1 \leq i \neq j \leq n \right \} $ 에 대하여 다음을 확인하여라.<ol type=1 start=1><li>$ M_ { n } =U + W, U \cap W=D $</li> <li>$ \operatorname { dim } U= \operatorname { dim } W= \frac { n(n + 1) } { 2 } , \operatorname { dim } (U \cap W)=n $</li> <li>$ \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W- \operatorname { dim } (U \cap W)=n ^ { 2 } = \operatorname { dim } (U + W) $</li></ol></p> <p>[풀이] $ x_ { 1 } a_ { 1 } + \cdots + x_ { n } a_ { n } = \left (x_ { 1 } a_ { 11 } + \cdots + x_ { n } a_ { n 1 } , \cdots, x_ { 1 } a_ { 1 n } + \cdots + x_ { n } a_ { n n } \right )=0 $ 이면 다음 제차연립방정식이 자명한 해 $ (0, \cdots, 0) $ 만을 해로 가질 필요중분조건은 $ D \neq 0 $이다. \[ \begin {array} { c } x_ { 1 } a_ { 11 } + \cdots + x_ { n } a_ { n 1 } =0 \\ x_ { 1 } a_ { 12 } + \cdots + x_ { n } a_ { n 2 } =0 \\ \vdots \\ x_ { 1 } a_ { 1 n } + \cdots + x_ { n } a_ { n n } =0 \end {array} \]</p> <p>예제 $3.2.10 $ 실수 $ \mathbb { R } $ 위의 $ 2 \times 3 $ 행렬 전체 집합 $ V $ 는 행렬의 스칼라곱과 덧셈에 의하여 벡터공간을 이룬다. 다음 행렬은 벡터공간 $ V $ 에서 일차독립인가?<ol type=1 start=1><li>$ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 4 \\ 4 & 5 & -2 \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -8 & 7 \\ 2 & 10 & -1 \end {array} \right ] $</li> <li>$ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & -3 \\ -2 & 0 & 5 \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { rrr } 4 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & -3 \end {array} \right ] $</li></ol></p> <p>(2) $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 을 일차독립이라 하면 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 도 일차독립임을 보이면 충분하다. 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n-1 } $ 이 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n-1 } v_ { n-1 } =0 \] $ \alpha_ { n } =0 $ 이라 놓으면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n-1 } v_ { n-1 } + 0 v_ { n } = \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } =0 \] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이므로 \[ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { n-1 } = \alpha_ { n } =0 \] 그러므로 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { n-1 } =0 $ 이 되어 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 은 일차독립이다.</p> <p>정리 $ 3.2.2 $는 벡터의 일차독립과 일차종속의 기본 성격을 나타낸 것이다. 종속성은 새로운 벡터의 첨가에 따르는 변화가 없으며 독립성은 제외에 관하여 불변임을 의미한다. 이러한 특성은 생성원인 동시에 일차독립인 벡터를 얻는 데 중요한 역할을 한다.</p> <p>정리 $ 3.2.3 $ 벡터 $ v $ 와 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 대하여 다음 성질이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>영이 아닌 벡터 $ v $ 는 일차독립이다.</li> <li>영벡터는 일차종속이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 중 어느 한 벡터가 영이거나 이들 중 어느 두 벡터가 서로 같으면 일차종속이다.</li></ol></p> <p>[증명] (1),(2) 수 $ \alpha $ 와 벡터 $ v \neq \mathbf { 0 } $ 에 대하여 $ \alpha v= \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha=0 $ 이다. 그러므로 $ v $ 는 일차독립이다. 벡터 $ v= \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha=1 $ 에 대하여 $ \alpha v=1 v=v= \mathbf { 0 } $. 즉 $ \alpha v= \mathbf { 0 } $ 이지만 $ \alpha=1 \neq 0 $ 이다. 이는 $ v= \mathbf { 0 } $ 이 일차종속임을 의미한다.</p> <p>(3) (2)에 의하면 \[ \alpha u + (- \alpha) u=( \alpha- \alpha) u=0 u= \mathbf { 0 } \] 이므로 $ \alpha u $ 의 음원은 $ (- \alpha) u $ 이다. $ \alpha u $ 의 음원은 $ - \alpha u $ 이므로 $ (- \alpha) u=- \alpha u $ 이다.</p> <p>(4) $ \alpha \neq 0 $ 이면 역수 $ \alpha ^ { -1 } $ 이 존재하여 \[ \mathbf { 0 } = \alpha ^ { -1 } \mathbf { 0 } = \alpha ^ { -1 } ( \alpha u)= \left ( \alpha ^ { -1 } \alpha \right ) u=1 u=u \] 그러므로 $ u \neq \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha=0 $ 이다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 공이 아닌 부분집합 $ U $ 가 $ V $ 의 덧셈과 스칼라곱에 의하여 그 자신이 하나의 벡터공간을 이룰 때 $ U $ 를 $ V $ 의 부분공간(subspace)이라 한다. ( $ V $, $ + , \cdot) $ 이 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간이고 $ (U, + , \cdot) $ 이 $ \mathbb { K } $ 위에서 벡터공간일 때 $ U $ 는 $ V $ 의 부분공간이다. $ U $ 의 덧셈과 스칼라곱이 $ V $ 의 그것들과 일치하여야 한다는 뜻이다. 부분집합 $ U $ 가 다음의 네 가지 조건만 만족하면 충분하다. $ U $ 가 $ V $ 의 부분집합이므로 벡터공간의 다른 조건은 분명하게 성립하기 때문이다.</p> <ol type=i start=1><li>모든 $ u, v \in U $ 에서 $ u + v \in U $</li> <li>$ \mathbf { 0 } \in U $</li> <li>모든 $ u \in U $ 에서 $ -u \in U $</li> <li>모든 $ u \in U, \alpha \in \mathbb { K } $ 에서 $ \alpha u \in U $</li></ol> <p>정리 $ 3.1.3 $ 벡터공간 $ V $ 의 부분집합 $ U $ 가 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 모든 $ u, v \in U $ 와 수 $ \alpha $ 에서 $ u-v \in U, \alpha u \in U $ 이다.</p> <p>정리 $ 3.4.1 $ 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 원소 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 의하여 생성된 부분공간 $ W= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 과 $ \alpha \subset \mathbb { K } $ 에 대하여, 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} W &= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { n } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { n } \right \rangle(i \neq j) \\ &= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } , \alpha v_ { i } , v_ { i + 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle( \alpha \neq 0) \\ &= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } , v_ { i } + \alpha v_ { j } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { n } \right \rangle(i \neq j, \alpha \neq 0) \end {aligned} \]</p> <p>[증명] (1) 임의의 $ w \subset W $ 에 대하여 $ w= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { i } v_ { i } + \cdots + \alpha_ { j } v_ { j } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { j } v_ { j } + \cdots + \alpha_ { i } v_ { i } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } $ 이므로 $ w \subset \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $. 또한 $ w \subset \left \langle v_ { i } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 이면 $ w \subset W $ 이다. 따라서 $ W= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { n } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { j } , \cdots, v_ { i } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $</p> <p>예제 $ 3.3.8 $ 벡터 $ (1,2,3),(-2,1,0),(1,0,1) $ 은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 기저이다.</p> <p>[풀이] $ \operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 3 } =3 $ 이고 벡터가 세 개이므로 이들이 일차독립임을 보이면 충분하다. \[ \begin {array} { c } \alpha(1,2,3) + \beta(-2,1,0) + \gamma(1,0,1)=(0,0,0) \\ ( \alpha-2 \beta + \gamma, 2 \alpha + \beta, 3 \alpha + \gamma)=(0,0,0) \end {array} \] 에서 다음 연립방정식을 얻는다. \[ \begin {array} { r } \alpha-2 \beta + \gamma=0 \\ 2 \alpha + \beta=0 \\ 3 \alpha + \gamma=0 \end {array} \] 연립방정식의 해는 $ (0,0,0) $ 뿐이다. 따라서 주어진 세 벡터는 일차독립이다.</p> <p>정리 $ 3.3.5 $ 벡터공간 $ V $ 의 차원이 $ n $ 이기 위한 필요충분조건은 일차독립인 벡터의 최대 개수가 $ n $ 이다.</p> <p>[증명] 정리 $ 3.3 .2 $ 에 의하면 $ m>n $ 인 벡터 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } $ 은 일차종속이다. 따라서 일차독립인 벡터의 최대 개수는 $ n $ 이다. 역으로 일차독립인 $ n $ 개의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 존재하고 $ v $ 가 임의의 벡터이면 $ (n + 1) $ 개의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , v $ 는 일차종속이다. 적어도 하나는 영이 아닌 수 $ \alpha_ { i } , \alpha $ 가 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + \alpha v= \mathbf { 0 } \] $ \alpha \neq 0 $ 이어야 하므로 $ v= \left (- \alpha ^ { -1 } \alpha_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \alpha ^ { -1 } \alpha_ { n } \right ) v_ { n } $. 그러므로 $ V= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 이다. 따라서 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 기저이고 차원은 $ n $ 이다.</p> <p>정리 $ 3.3.2 $ 벡터 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 벡터공간 $ V $ 의 기저이면 $ m $ 개의 벡터집합 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $ 은 $ m>n $ 일 때 일차종속이다.</p> <p>[증명] $ \quad \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle=V $ 이므로 $ w_ { i } = \alpha_ { 1 i } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n i } v_ { n } , \alpha_ { j i } \subset \mathbb { K } , 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n $ 인 $ \alpha_ { j i } $ 가 존재한다. $ x_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } + \cdots + x_ { m } w_ { m } = \mathbf { 0 } $ 인 수 $ x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } , \cdots, x_ { m } $ 이 존재하여 이들 중 적어도 하나는 0이 아님을 보이자. \[ \begin {aligned} x_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } + \cdots + x_ { m } w_ { m } &=x_ { 1 } \left ( \sum_ { j=1 } ^ { n } \alpha_ { j 1 } v_ { j } \right ) + \cdots + x_ { m } \left ( \sum_ { j=1 } ^ { n } \alpha_ { j m } v_ { j } \right ) \\ &= \left ( \sum_ { j=1 } ^ { m } \alpha_ { 1 j } x_ { j } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left ( \sum_ { j=1 } ^ { m } \alpha_ { n j } x_ { j } \right ) v_ { n } = \mathbf { 0 } \end {aligned} \] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이므로 계수 $ \sum_ { j=1 } ^ { m } \alpha_ { 1 j } x_ { j } =0, \cdots, \sum_ { j=1 } ^ { m } \alpha_ { n j } x_ { j } =0 $. \[ \begin {array} { c } \alpha_ { 11 } x_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { 1 m } x_ { m } =0 \\ \alpha_ { 21 } x_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { 2 m } x_ { m } =0 \\ \vdots \\ \alpha_ { n 1 } x_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n m } x_ { m } =0 \end {array} \] 방정식의 개수 $ n $ 이 미지수의 개수 $ m $ 보다 작으므로 자명하지 않는 해 $ X= \left (x_ { 1 } \right ., \left . \cdots, x_ { n } \right ) \neq \mathbf { 0 } $ 가 존재한다. 적어도 하나의 $ x_ { i } $ 는 영이 아니므로 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } $ 은 일차종속이다.</p> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차종속인가, 일차독립인가를 판별하는 것은 $ \mathbb { K } $가 무엇이냐라는 질문과 깊은 관계를 갖는다.</p> <p>예제 $ 3.2.8 $ 복소수 $ 1, i $ 는 실수 $ \mathbb { R } $ 위에서는 일차독립이나 복소수 $ \mathbb { C } $ 위에서는 일차종속이다.</p> <p>[풀이] 임의의 실수 $ \alpha, \beta \subset \mathbb { R } $ 에 대하여 $ \alpha(1) + \beta(i)=0 $ 이라 하면 \[ \alpha + \beta i=0=0 + 0 i \] 복소수의 성질에 의하여 $ \alpha=0, \beta=0 $. 따라서 $ 1, i $ 는 실수 위에서 일차독립이다. 그러나 $ i \neq 0,-1 \neq 0 $ 이고 \[ i(1) + (-1)(i)=i-i=0 \] 이는 $ 1, i $ 가 $ \mathbb { C } $ 위에서 일차종속임을 뜻한다.</p> <p>예제 $ 3.2.9 $ 유클리드공간 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 $ n $ 개의 벡터 \[ \begin {array} { c } a_ { 1 } = \left (a_ { 11 } , a_ { 12 } , \cdots, a_ { 1 n } \right ) \\ a_ { 2 } = \left (a_ { 21 } , a_ { 22 } , \cdots, a_ { 2 n } \right ) \\ \vdots \\ a_ { n } = \left (a_ { n 1 } , a_ { n 2 } , \cdots, a_ { n n } \right ) \end {array} \] 이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 이들의 성분으로 이루어진 행렬식의 값이 영이 아닌 것이다. \[ D= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \neq 0 \]</p> <p>[풀이] (1) $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 $ V $ 의 생성원이므로 $ w $ 는 이들의 일차결합으로 표시된다. $ w= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } $ 인 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 이 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + (-1) w= \mathbf { 0 } \] $ w=v_ { n + 1 } , \alpha_ { n + 1 } =-1 $ 이라 놓으면 $ \sum_ { i=1 } ^ { n + 1 } \alpha_ { i } v_ { i } = \mathbf { 0 } $ 이고 $ \alpha_ { i } $ 중 적어도 하나 $ \alpha_ { n + 1 } \neq 0 $ 이다. 그러므로 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 는 일차종속이다. 또 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 $ V $ 의 생성원이면 이들에 $ w $ 를 첨가한 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 도 $ V $ 를 생성한다.</p> <p>(2) $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle=V $ 이므로 임의의 벡터 $ w \subset V $ 는 다음으로 표시된다. \[ w= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { i-1 } v_ { i-1 } + \alpha_ { i } v_ { i } + \alpha_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \] $ v_ { i } $ 가 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } $ 의 일차결합이면 \[ v_ { i } = \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i-1 } v_ { i-1 } \] 이 $ v_ { i } $ 를 위의 식에 대입하면 \[ \begin {aligned} w &= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { i-1 } v_ { i-1 } + \alpha_ { i } \left ( \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i-1 } v_ { i-1 } \right ) + \alpha_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \\ &= \left ( \alpha_ { 1 } + \alpha_ { i } \beta_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left ( \alpha_ { i-1 } + \alpha_ { i } \beta_ { i-1 } \right ) v_ { i-1 } + \alpha_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \end {aligned} \] 따라서 $ w $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } , v_ { i + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시된다.</p> <p>(2) $ \alpha \sin x + \beta \cos x + \gamma x=0 $ 이라 놓으면 \[ \begin {array} { l } x=0 \text { 이면 } \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 + \gamma \cdot 0=0 \\ x= \frac {\pi } { 2 } \text { 이면 } \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 + \frac {\pi } { 2 } \cdot \gamma=0 \\ x= \pi \text { 이면 } \alpha \cdot 0 + \beta \cdot(-1) + \gamma \cdot \pi=0 \end {array} \] 이 연립방정식의 근은 $ \alpha= \beta= \gamma=0 $ 이다. 따라서 $ \sin x, \cos x, x $ 는 일차독립이다.</p> <p>예제 $ 3.2.4 $ 벡터 $ u, v, w $ 가 일차독립이면 $ u + v, u-v, u-2 v + w $ 도 일차독립이다.</p> <p>[풀이] $ \alpha(u + v) + \beta(u-v) + \gamma(u-2 v + w)= \mathbf { 0 } $ 인 수 $ \alpha, \beta, \gamma $ 를 구하자. $ \alpha u + \alpha v + \beta u- \beta v + \gamma u-2 \gamma v + \gamma w= \mathbf { 0 } $ 에서 \[ ( \alpha + \beta + \gamma) u + ( \alpha- \beta-2 \gamma) v + \gamma w=0 \] 벡터 $ u, v, w $ 가 일차독립이므로 \[ \begin {array} { l } \alpha + \beta + \gamma=0 \\ \alpha- \beta-2 \gamma=0 \\ \gamma=0 \end {array} \] 이 연립방정식의 해는 $ \alpha=0, \beta=0, \gamma=0 $ 뿐이므로 $ u + v, u-v, u-2 v + w $ 는 일차독립이다.</p> <p>예제 $ 3.2.5 $ 벡터 $ u=(1 + i, 2 i), v=(1,1 + i) $ 는 복소수체 $ \mathbb { C } $ 위에서 일차종속이나 실수체 $ \mathbb { R } $ 위에서는 일차독립이다.</p> <p>[풀이] (i) 실수 $ \alpha, \beta $ 가 존재하여 $ \alpha(1 + i, 2 i) + \beta(1,1 + i)= \mathbf { 0 } $ 이라 하면 $ ( \alpha + \alpha i, 2 \alpha i) + ( \beta, \beta + \beta i)=( \alpha + \beta + \alpha i, \beta + (2 \alpha + \beta) i)=(0,0) $. $ \alpha + \beta + \alpha i=0, \beta + (2 \alpha + \beta) i =0 $ 에서 $ \alpha + \beta=0, \alpha=0 $ 이고 $ \beta=0,2 \alpha + \beta=0 $. 따라서 $ \alpha= \beta=0 $ 이 되어 벡터 $ u $, $ v $ 는 $ \mathbb { R } $ 위에서 일차독립이다.</p> <p>[증명] 부분공간의 정의에 의하여 $ u-v \in U, \alpha u \in U $ 임은 분명하다. 역이 성립함을 보이자. $ \alpha=0 $ 이면 정리 $ 3.1.2 $ 에 의하여 $ \mathbf { 0 } =0 u \in U \cdot \alpha=-1 $ 이면 $ -u=(-1) u $ $ \in U $, 모든 $ u, v \in U $ 에서 $ u + v=u-(-v) $ 이고 $ -v \in U $ 이므로 $ u + v \in U $ 이다. 이로써 부분공간이기 위한 조건 네 가지 모두를 만족한다.</p> <p>영원 이외의 원소를 갖는 벡터공간은 적어도 두 개의 부분공간을 갖는다. 자명한 부분공간 $ \{\mathbf { 0 } \} $ 과 벡터공간 그 자신이 부분공간이다. 자신과 같지 않은 부분공간을 진부분공간(proper subspace)이라 한다. 자명한 부분공간 이외의 다른 진부분공간을 갖지 않는 벡터공간을 단순공간(simple space)이라 한다.</p> <p>예제 $ 3.1.3 $ 유클리드공간 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 벡터 $ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ), Y= \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) $ 에서 \[ X \cdot Y=x_ { 1 } y_ { 1 } + \cdots + x_ { n } y_ { n } \] 을 $ X $ 와 $ Y $ 의 도트곱(dot product)이라 한다. 도트곱이 영인 벡터 $ X, Y $ 를 서로 수직 (orthogonal, perpendicular) 이라 하고 $ X \perp Y $ 로 나타낸다. 집합 $ X ^ {\perp } = \left \{ Y \in \mathbb { R } ^ { n } \mid \right . $ $ X \perp Y, X $ : 고정된 벡터 $ \} $ 는 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 부분공간이다.</p> <p>[풀이] 정리 $ 3.1.3 $ 에 의하면 두 가지 사실만 확인하면 된다. 모든 $ Y, Z \in X ^ { + } $ 에서 $ X \cdot Y=X \cdot Z=0 $ 이므로 \[ \begin {array} { l } X \cdot(Y-Z)=X \cdot Y-X \cdot Z=0, \\ X \cdot( \alpha Y)= \alpha(X \cdot Y)=0, \alpha \in \mathbb { R } \end {array} \] 따라서 $ Y-Z \in X ^ {\perp } , \alpha Y \in X ^ {\perp } $ 이 성립한다. 즉 $ X ^ {\perp } $ 는 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 공간의 부분공간이다.</p> <p>[풀이] $ A, B \subset M_ { m \times n } $ 에 대하여 $ A= \left (a_ { i j } \right ), B= \left (b_ { i j } \right ), c \subset \mathbb { R } $ 이면 \[ A + B= \left (a_ { i j } + b_ { i j } \right ), c A= \left (c a_ { i j } \right ) \] 집합 $ M_ { m \times n } $ 은 이러한 연산 $ + $, ."." 에 의하여 벡터공간을 이룬다. 제 $ i j $-성분은 1이고 나머지 모든 성분은 0인 행렬을 $ M_ { i j } $ 라 하면 \[ \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ]=a_ { 11 } \left [ \begin {array} { cccc } 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end {array} \right ] + a_ { 12 } \left [ \begin {array} { cccc } 0 & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end {array} \right ] + \cdots + a_ { m n } \left [ \begin {array} { cccc } 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right ] \] 이고 $ \left \{ M_ { i j } \mid i=1, \cdots, m, j=1, \cdots, n \right \} $ 은 일차독립이다. 따라서 집합 $ \left \{ M_ { i j } \right \} $ 는 벡터공간 $ M_ { m \times n } $ 의 기저이고 이 집합의 개수는 $ m \times n=m n $ (개)이다.</p> <p>(2) $ v_ { n } $ 이 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 의 일차결합이면 \[ \begin {array} { c } v_ { n } = \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n-1 } v_ { n-1 } , \\ \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n-1 } v_ { n-1 } + (-1) v_ { n } = \mathbf { 0 } \end {array} \] $ \beta_ { 1 } = \alpha_ { 1 } , \cdots, \beta_ { n-1 } = \alpha_ { n-1 } ,-1= \alpha_ { n } $ 이라 놓으면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] 이고 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 중에서 적어도 하나는 영이 아니다. 즉 $ \alpha_ { n } $ 은 영이 아닌 하나의 계수이다. 역으로 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 이고 $ \alpha_ { n } \neq 0 $ 라 하자. \[ a_ { n } v_ { n } = \left (- \alpha_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \alpha_ { n-1 } \right ) v_ { n-1 } \] $ \alpha_ { n } ^ { -1 } $ 를 양변에 곱하면 \[ v_ { n } = \left (- \alpha_ { 1 } \right ) \alpha_ { n } { } ^ { -1 } v_ { 1 } + \cdots + \left (- \alpha_ { n-1 } \right ) \alpha_ { n } { } ^ { -1 } v_ { n-1 } \] $ - \alpha_ { 1 } \alpha_ { n } { } ^ { -1 } = \beta_ { 1 } , \cdots,- \alpha_ { n-1 } \alpha_ { n } { } ^ { -1 } = \beta_ { n-1 } $ 이라 하면 \[ v_ { n } = \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n-1 } v_ { n-1 } \] 이 되어 $ v_ { n } $ 은 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 의 일차결합이다.</p> <p>정리 $ 3.2.4 $ 유한 개의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } (n \geq 2) $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차종속일 필요충분조건은 그중의 하나의 벡터가 나머지 $ (n-1) $ 개의 벡터의 일차결합으로 표시되는 것이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립일 필요충분조건은 그중의 어느 벡터도 나머지 벡터의 일차결합으로 표시되지 않는 것이다.</li></ol></p> <p>[증명] (2)는 (1)의 대우이므로 (1)을 증명하면 된다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차종속이면 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 을 만족하는 적어도 하나는 영이 아닌 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 이 존재한다. 이들 중 $ \alpha_ { i } \neq 0 $ 이라 하면 \[ v_ { i } = \left (- \frac {\alpha_ { 1 } } {\alpha_ { i } } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \frac {\alpha_ { i-1 } } {\alpha_ { i } } \right ) v_ { i-1 } + \left (- \frac {\alpha_ { i + 1 } } {\alpha_ { i } } \right ) v_ { i + 1 } + \cdots + \left (- \frac {\alpha_ { n } } {\alpha_ { i } } \right ) v_ { n } \] $ - \frac {\alpha_ { 1 } } {\alpha_ { i } } = \beta_ { 1 } , \cdots,- \frac {\alpha_ { n } } {\alpha_ { i } } = \beta_ { n } $ 이라 놓으면 \[ v_ { i } = \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i-1 } v_ { i-1 } + \beta_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } \] 따라서 $ v_ { i } $ 는 $ (n-1) $ 개의 벡터 $ v_ { i } , \cdots, v_ { i-1 } , v_ { i + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시된 다. 역으로 $ v_ { i } $ 가 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } , v_ { i + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시되었다면 \[ v_ { i } = \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i-1 } v_ { i-1 } + \beta_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } \] 이항하여 정돈하면 \[ \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i-1 } v_ { i-1 } + (-1) v_ { i } + \beta_ { i + 1 } v_ { i + 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] $ \alpha_ { 1 } = \beta_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } = \beta_ { n } , \alpha_ { i } =-1 $ 이라 놓으면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 중 적어도 하나 $ \alpha_ { i } =-1 \neq 0 $ 이므로 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다.</p> <p>예제 $ 3.1.6 $ 실수 $ \mathbb { R } $ 위의 $ n $ 차정방행렬 전체의 집합 $ M_ { n } $ 은 행렬의 합과 스칼라곱에 의하여 벡터공간을 이룬다. $ n $ 차대칭행렬 전체의 집합 $ T_ { n } $ 은 부분공간이다.</p> <p>[풀이] 전치행렬의 성질로부터 $ A, B \in T_ { n } , \alpha \in \mathbb { R } $ 에서 \[ { } ^ { t } (A-B)= { } ^ { t } A- { } ^ { t } B=A-B, \quad { } ^ { t } ( \alpha A)= \alpha ^ { t } A= \alpha A \] 따라서 $ A-B \in T_ { n } , \alpha A \in T_ { n } $ 이므로 $ T_ { n } $ 은 부분공간이다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U, W $ 에서 합집합 $ U \cup W $, 교집합 $ U \cap W $ 가 부분공간이 되는가 살펴보자. 수 $ \alpha $ 와 벡터 $ u, v \in U \cap W $ 에서 $ u, v \in U $ 이고 $ u, v \in W $ 이므로 $ u-v \in U, u-v \in W, \alpha u \in U, \alpha u \in W $ 이다. 그러므로 \[ u-v \in U \cap W, \quad \alpha u \in U \cap W \] 이는 $ U $ 와 $ W $ 의 교집합은 항상 부분집합임을 뜻한다. 그러나 합집합 $ U \cup W $ 는 항상 부분공간이라고 할 수는 없다.</p> <p>예제 $ 3.1.7 $ 유클리드공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 다음의 부분공간 $ U, W $ 의 합집합 $ U \cup W $ 는 부분공간이 아니다. \[ U= \{ (x, y) \mid y=x \} , \quad W= \{ (x, y) \mid y=-x \} \]</p> <p>[풀이] $ U \cap W= \{\mathbf { 0 } \} $ 이므로 자명한 부분공간이다. 원점이 아닌 벡터 $ X \in U, Y \in W $ 에서 벡터합 $ X + Y $ 는 $ X, Y $ 를 두 변으로 하는 직사각형의 대각선이다. 이 대각선은 직선 $ y=x $ 상에 있지 않고 직선 $ y=-x $ 상에도 있지 않다. 즉 $ X + Y \notin U $, $ X + Y \notin W $ 이므로 $ X + Y \notin U \cup W $. 따라서 $ W $ 는 부분공간이 아니다.</p> <p>예제 $ 3.1.8 $ 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U, W $ 에서 집합 $ \{ u + w \mid u \in U, w \in W \} $ 를 $ U + W $ 로 나타낸다. $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 공간은 부분공간 $ U= \{ (x, 0) \mid x \in \mathbb { R } \} , W= \{ (0, x) \mid x \in \mathbb { R } \} $ 의 합이다.</p> <p>[풀이] 모든 $ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } $ 은 $ (x, y)=(x, 0) + (0, y) $ 으로 표시된다. $ (x, 0) \in U $, $ (0, y) \in W $ 이므로 $ \mathbb { R } ^ { 2 } =U + W $ 이다.</p> <p>정리 $ 3.1.4 $ 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ W_ { 1 } , \cdots, W_ { n } $ 에서 이들의 합은 부분공간을 이룬다. \[ W=W_ { 1 } + \cdots + W_ { n } = \left \{ w_ { 1 } + \cdots + w_ { n } \mid w_ { i } \in W_ { i } , i=1, \cdots, n \right \} \]</p> <p>[증명] 벡터 $ u, v \in W, u= \sum_ { i=1 } ^ { n } u_ { i } , v= \sum_ { i=1 } ^ { n } v_ { i } $ 에서 \[ u-v= \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } u_ { i } \right )- \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } v_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (u_ { i } -v_ { i } \right ) \] $ u \in W, \alpha \in \mathbb { K } $ 에서 \[ \alpha u= \alpha \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } u_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha u_ { i } \] $ W_ { i } $ 가 부분공간이므로 $ u_ { i } -v_ { i } \in W_ { i } , \alpha u_ { i } \in W_ { i } , i=1, \cdots, n $. 그러므로 $ u-v \in W $, $ \alpha u \in W $ 이다. 이는 $ W $ 가 $ V $ 의 부분공간임을 뜻한다.</p> <p>정리 $ 3.2.1 $ 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 들 중에서 영벡터가 적어도 하나 있으면 이들은 일차종속이다.</p> <p>[증명 $ ] \quad v_ { i } = \mathbf { 0 } $ 이라 하면 $ 0 \cdot v_ { 1 } + \cdots + 0 \cdot v_ { i-1 } + 1 \cdot v_ { i } + 0 \cdot v_ { i + 1 } + \cdots + 0 \cdot v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 이고 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { i-1 } = \alpha_ { i + 1 } = \cdots= \alpha_ { n } =0, \alpha_ { i } =1 \neq 0 $. 따라서 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다.</p> <p>예제 $ 3.2.1 $ 다음 벡터에 대하여 일차종속, 일차독립을 판별하여라.<ol type=1 start=1><li>$ (0,1,0),(1,1,0),(0,0,1) $</li> <li>$ (1,0,1),(0,1,0) $</li> <li>$ 1 + x, x, 1 $</li> <li>$ 1 + x, 1-x $</li></ol></p> <p>[풀이] (1) $ \alpha(0,1,0) + \beta(1,1,0) + \gamma(0,0,1)=(0,0,0) $ 인 실수 $ \alpha, \beta, \gamma $ 를 구한다. \[ \begin {array} { c } (0, \alpha, 0) + ( \beta, \beta, 0) + (0,0, \gamma)=(0,0,0) \\ ( \beta, \alpha + \beta, \gamma)=(0,0,0) \end {array} \] 에서 $ \beta=0, \alpha + \beta=0, \gamma=0 $. 따라서 $ \alpha=0, \beta=0, \gamma=0 $. 벡터 $ (0,1,0),(1,1,0) $, $ (0,0,1) $ 은 일차독립이다.</p> <p>(2) $ \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,0)=(0,0,0) $ 인 $ \alpha, \beta $ 를 구한다. \[ ( \alpha, 0, \alpha) + (0, \beta, 0)=( \alpha, \beta, \alpha)=(0,0,0) \] $ \alpha=0, \beta=0 $ 이므로 $ (1,0,1),(0,1,0) $ 은 일차독립이다.</p> <p>(3) $ \alpha(1 + x) + \beta x + \gamma 1=0 $ 이라 놓으면 \[ \alpha + \alpha x + \beta x + \gamma=( \alpha + \gamma) + ( \alpha + \beta) x=0 \] $ \alpha + \gamma=0, \alpha + \beta=0 $ 에서 $ \alpha=- \beta, \alpha=- \gamma $ 이므로 \[ \alpha=- \beta=- \gamma \] $ \alpha=1 $ 이면 $ \beta= \gamma=-1 $ 이고 $ (1)(1 + x) + (-1) x + (-1) 1=0 . \quad \alpha(1 + x) + \beta x + \gamma 1=0 $ 이고 $ \alpha \neq 0, \beta \neq 0, \gamma \neq 0 $ 인 $ \alpha, \beta, \gamma $ 가 존재한다. 이는 $ 1 + x, x, 1 $ 이 일차종속임을 뜻한다.</p> <p>(2) $ r(B)= \langle(1,1,2,1),(1,0,1,2),(2,1,3,4) \rangle= \langle(1,0,1,2),(0,1,1,0),(0,0,0,1) \rangle $. 행렬 $ B $ 의 행공간의 기저는 $ \{ (1,0,1,2),(0,1,1,0),(0,0,0,1) \} $, 차원은 3이다. 열공간의 기저는 $ \left \{ (1,0,0) ^ { t } ,(0,1,0) ^ { t } ,(0,0,1) ^ { t } \right \} $ 차원은 3이다. 사다리꼴행렬로 나타내는 과정을 이용한 것이다. \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rr } 1 & -3 \\ 2 & -6 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rr } 1 & -3 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { rr } 1 & -3 \\ 2 & -6 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 2 & 0 \end {array} \right ] } \\{\left [ \begin {array} { llll } 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 2 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \text { , } } \\{\left [ \begin {array} { llll } 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end {array} \right ] } \\{\Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\n0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] } \\ \end {array} \]</p> <h1>제 $ 3 $ 장 벡터공간</h1> <h2>3.1 벡터공간</h2> <p>복소수 전체 집합의 공이 아닌 부분집합 $ \mathbb { K } $ 에서 덧셈 $ + $ 와 곱셈 $ \cdot $ 에 대하여 $ ( \mathbb { K } , + ) $ 가 덧셈군, $ \mathbb { K } - \{ 0 \} $ 이 곱셈군이고 좌우분배법칙을 만족할 때 $ \mathbb { K } $ 를 체라 한다. 영을 나타내는 0은 덧셈에 관한 항등원, 1은 곱셈에 관한 항등원이다. $ \mathbb { C } $ 는 복소수체, $ \mathbb { R } $ 는 실수체, $ \mathbb { Q } $ 는 유리수체를 나타낸다.</p> <p>공이 아닌 집합 $ V $ 위의 덧셈(addition) $ + : V \times V \rightarrow V, u + v \in V, u, v \in V $와 스칼라곱 “ $ \cdot $ ”: $ \mathbb { K } \times V \rightarrow V, \alpha v \in V, \alpha \in \mathbb { K } , v \in V $ 에서 다음 조건을 만족할 때 $ (V, + , “ \cdot ") $ 을 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간(vector space over $ \mathbb { K } ) $ 이라 한다.</p> <ol type = 1 start=1><li>$ (V, + ) $ 이 덧셈군이다.</li> <li>분배법칙이 성립한다. $ a \in \mathbb { K } , u, v \in V, \alpha(u + v)= \alpha u + \alpha v $</li> <li>모든 $ \alpha, \beta \in \mathbb { K } , u \in V $ 에서 $ ( \alpha + \beta) u= \alpha u + \beta u $</li> <li>모든 $ \alpha, \beta \in \mathbb { K } , u \in V $ 에서 $ ( \alpha \beta) u= \alpha( \beta u) $</li> <li>모든 $ u \in V $, 수 $ 1 \in \mathbb { K } $ 에서 $ 1 u=u $</li></ol> <p>벡터공간의 원소를 벡터라 하고 체의 원소를 수(number) 또는 스칼라(scalar)라 한다. 어떤 집합이 벡터공간이 되도록 하는 연산 $ + $ 와 스칼라곱은 여러 가지가 있을 수 있다. 우리의 목적은 그들 연산이 어떠한 것이든 항상 성립하는 벡터공간의 성질을 밝히는 데 있다. 연산들이 의미하는 구체적인 내용에는 관심을 두지 않기로 한다. 실수 $ \mathbb { R } $ 위의 벡터공간을 실벡터공간(real vector space) 복소수 $ \mathbb { C } $ 위의 벡터공간을 복소벡터공간(complex vector space)이라 한다. 벡터공간이 될 조건 (1)을 자세히 쓰면<ol type=i start=1><li>모든 $ u, v, w \in V $ 에서 $ (u + v) + w=u + (v + w) $</li> <li>모든 $ u \in V $ 에서 $ u + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } + u=u $ 인 벡터 $ \mathbf { 0 } $ 이 존재한다.</li> <li>모든 $ u \in V $ 에서 $ u + (-u)=(-u) + u= \mathbf { 0 } $ 인 벡터 $ -u $ 가 존재한다.</li> <li>모든 $ u, v \in V $ 에서 $ u + v=v + u $</li></ol>영원 $ \mathbf { 0 } $ 을 영벡터(zero vector), 음원 $ -u $ 를 $ u $ 의 음벡터(negative vector)라 한다. 영벡터 $ \mathbf { 0 } $ 과 수 0은 구별된다.</p> <p>(2) (i) $ 1 + x + x ^ { 2 } =1 \cdot 1 \cdot + 1 \cdot x + 1 \cdot x ^ { 2 } $ 이므로 기저 $ E $ 에 관한 좌표는 $ (1,1,1) $ 이다. $ 1 + x + x ^ { 2 } =3 \cdot 1 + 4(x-1) + 1 \cdot \left (x ^ { 2 } -3 x + 2 \right ) $ 이므로 기저 $ F $ 에 관한 좌표는 (3, 4, 1) 이다.</p> <p>정리 $ 3.3.1 $ $ n $ 개의 벡터 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 벡터공간 $ V $ 의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 $ V $ 의 임의의 벡터 $ v $ 가 이들의 일차결합으로 일의적으로 표시되는 것이다.</p> <p>[증명] 기저의 정의와 정리 $ 3.2.5 $ 에 의하여 이 정리의 한편은 명백하다. 역을 증명하기 위하여 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 이라 하자. $ 0 v_ { 1 } + \cdots + 0 v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 과 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 에서 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } =0 v_ { 1 } + \cdots + 0 v_ { n } \] 가정에 의하여 $ \alpha_ { 1 } =0, \cdots, a_ { n } =0 $. 따라서 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차독립이다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 $ V $ 의 생성원이었으므로 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>정리 $ 3.4.10 $ $ m \times n $ 연립방정식 $ A X=O $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ X_ { 1 } , \cdots, X_ { r } $ 가 이 동차식의 해이면 일차결합 $ \alpha_ { 1 } X_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } X_ { r } $ 도 해이다.</li> <li>$ X $ 가 비동차식 $ A X=B $ 의 하나의 해, $ X_ { 0 } $ 가 동차식 $ A X=O $ 의 해이면 $ X_ { 0 } + X $ 는 $ A X=B $ 의 해이다. 그러므로 비동차식의 해집합은 $ \{ X_ { 0 } + X \mid A X=B , A X_ { 0 } =O \} $ 이다.</li></ol></p> <p>[증명] (1) $ A X_ { 1 } = \cdots=A X_ { r } =O $ 이면 $ A \left ( \alpha_ { 1 } X_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } X_ { r } \right )= \alpha_ { 1 } \left (A X_ { 1 } \right ) + \cdots + \alpha_ { r } \left (A X_ { r } \right )= \alpha_ { 1 } \cdot 0 + \cdots + \alpha_ { r } \cdot O=0 $ 이므로 $ \alpha_ { 1 } X_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } X_ { r } $ 도 $ A X=O $ 의 해이다.</p> <p>(2) $ A X=B, A X_ { 0 } =O $ 이므로 $ A \left (X + X_ { 0 } \right )=B + O=B $. 따라서 $ X + X_ { 0 } $ 는 $ A X=B $ 의 해이다.</p> <p>정리 $ 3.4.11 $ $ m \times n $ 연립동차방정식 $ A X=O $ 의 일차독립인 해는 $ (n- \operatorname { rank } A) $ 조가 존재하고 나머지 해는 이들의 일차결합으로 표시된다. 즉 $ A X=O $ 의 해로 이루어진 행렬의 계수는 $ n- \operatorname { rank } A $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.1.14 $ $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 공간의 벡터 $ (2,4),(3,6) $ 과 $ (1,2),(2,5) $ 에서 위의 정리를 생각해 보아라.</p> <p>[풀이] $ \quad \alpha(2,4) + \beta(3,6)=(0,0), \alpha, \beta \in \mathbb { R } $ 이면 \[ (2 \alpha, 4 \alpha) + (3 \beta, 6 \beta)=(2 \alpha + 3 \beta, 4 \alpha + 6 \beta)=(0,0) \] 그러므로 \[ 2 \alpha + 3 \beta=0,4 \alpha + 6 \beta=0 \] 이를 풀면 $ \alpha=3, \beta=-2 $. 따라서 $ 3(2,4)-2(3,6)=(0,0), \alpha(1,2) + \beta(2,5)= $ $ (0,0), \alpha, \beta \in \mathbb { R } $ 를 풀면 $ \alpha=0, \beta=0 $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.1.15 $ $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 임의의 벡터는 벡터 $ (2,3,4),(6,9,12),(1,0,1) $, $ (0,2,-1),(4,1,7) $ 에 의하여 생성된다.</p> <p>[풀이] 임의의 벡터 $ (x, y, z) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 이들 벡터의 일차결합임을 보이자. \[ (6,9,12)=3(2,3,4),(4,1,7)=(2,3,4) + 2(1,0,1)-(0,2,-1) \] 이므로 \[ \begin {aligned} S &= \langle(2,3,4),(6,9,12),(1,0,1),(0,2,-1),(4,1,7) \rangle \\ &= \langle(2,3,4),(1,0,1),(0,2,-1) \rangle \end {aligned} \]</p> <h2>3.2 일차독립과 일차종속</h2> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 원소 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 에서 일차식 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 이 존재할 때 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 을 일차종속(linearly dependent)이라 한다. 1차종속이 아닌 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 을 일차독립 (linearly independent)이라 한다. 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + a_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { n } =0 $ 인 것이다. 일차독립과 일차종속은 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 배열 순서에는 관계가 없다.</p> <p>예제 $ 3.3.4 $ 실수계수다항식 전체의 집합 $ \mathbb { R } [x] $ 가 이루는 벡터공간의 차원은 무한이다.</p> <p>[풀이] $ E= \left \{ 1, x, x ^ { 2 } , \cdots, x ^ { n } , \cdots \right \} \subseteq \mathbb { R } [x] $ 는 기저이고 이 집합의 원소의 개수는 유한이 아니다. 실제로 임의의 다항식 $ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } $ 은 $ E $ 의 원소 중 $ 1, x, x ^ { 2 } , \cdots, x ^ { n } $ 의 일차결합이다. 따라서 $ \operatorname { dim } _ {\mathbb { R } } \mathbb { R } [x]= \infty $.</p> <p>예제 $ 3.3.5 $ 벡터 $ (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) $ 은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 기저이고 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 차원은 3이다.</p> <p>[풀이] \[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -3 & -1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 에서 $ x(1,2,3) + y(1,1,1) + z(2,-1,1)=(0,0,0) $ 의 해는 $ (0,0,0) $ 뿐임을 알 수 있다.</p> <p>예제 $ 3.3.6 $ 실수 $ \mathbb { R } $ 위의 $ m \times n $ 행렬 전체의 집합 $ M_ { m \times n } $ 은 $ \mathbb { R } $ 위의 벡터공간을 이룬다. 이 행렬공간의 차원은 $ m n $ 이다.</p> <p>(1) 단 하나의 원소 $ \mathbf { 0 } $ 으로 된 집합 $ V= \{\mathbf { 0 } \} $ 은 아래로 주어진 연산에 의하여 벡터공간을 이룬다. 이 공간을 자명한 벡터공간(trivial vector space)이라 한다. \[ \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } , \quad \alpha \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } , \quad \alpha \in \mathbb { K } \]</p> <p>(2) 체 $ \mathbb { K } $ 는 $ \mathbb { K } $ 위에서 벡터공간이다. 실수 $ \mathbb { R } $ 는 $ \mathbb { R } $ 위의 벡터공간이고, 복소수 $ \mathbb { C } $ 는 $ \mathbb { C } $ 위의 벡터공간이다.</p> <p>[풀이] (1) 벡터공간의 조건 중에서 몇 가지만 확인하자. $ V $ 의 원소는 $ \mathbf { 0 } $ 뿐이므로 $ \mathbf { 0 } $ 은 영원인 동시에 음원이다. 수 $ \alpha $ 에서 \[ \alpha( \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } , \quad \alpha \mathbf { 0 } + \alpha \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } \] 이므로 $ \alpha( \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } + \alpha \mathbf { 0 } $ 이 성립한다. 수 $ \alpha, \beta $ 에서 \[( \alpha + \beta) \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } , \quad \alpha \mathbf { 0 } + \beta \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } \] 이므로 $ ( \alpha + \beta) \mathbf { 0 } = \alpha \mathbf { 0 } + \beta \mathbf { 0 } $ 이다. 또한 \[( \alpha \beta) \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } , \quad \alpha( \beta \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } \] 이므로 $ ( \alpha \beta) \mathbf { 0 } = \alpha( \beta \mathbf { 0 } ) $ 이다. 특히 $ \alpha=1 $ 이면 $ 1 \cdot \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } $</p> <p>예제 $ 3.2.2 $ 벡터 $ u=(6,2,3,4), v=(0,5,-3,1), w=(0,0,7,-2) $ 는 일차독립이다.</p> <p>[풀이] 실수 $ x, y, z $ 가 존재하여 $ x u + y v + z w= \mathbf { 0 } $ 이라 하자. \[ \begin {aligned} (0,0,0,0) &=x(6,2,3,4) + y(0,5,-3,1) + z(0,0,7,-2) \\ &=(6 x, 2 x, 3 x, 4 x) + (0,5 y,-3 y, y) + (0,0,7 z,-2 z) \\ &=(6 x, 2 x + 5 y, 3 x-3 y + 7 z, 4 x + y-2 z) \end {aligned} \] 이 등식의 성분을 비교하면 \[ \begin {array} { l } 6 x=0 \\ 2 x + 5 y=0 \\ 3 x-3 y + 7 z=0 \\ 4 x + y-2 z=0 \end {array} \] 이 연립방정식의 근을 구하면 $ x=y=z=0 $. 따라서 벡터 $ u, v, w $ 는 일차독립이다.</p> <p>예제 $ 3.2.3 $ $ \mathbb { R } $ 에서 $ \mathbb { R } $ 로의 함수 전체의 집합이 이루는 벡터공간을 $ V $ 라 하자. 함수 $ f, g, h $ 가 다음과 같을 때 일차독립, 일차종속을 판정하여라.<ol type=1 start=1><li>$ f(x)=e ^ { 2 x } , g(x)=x ^ { 2 } , h(x)=x $</li> <li>$ f(x)= \sin x, g(x)= \cos x, h(x)=x $</li></ol></p> <p>[풀이] (1) $ \alpha e ^ { 2 x } + \beta x ^ { 2 } + \gamma x=0 $ 이라 놓으면 \[ \begin {array} { l } x=0 \text { 이면 } \alpha e ^ { 0 } + \beta 0 + \gamma 0= \alpha=0 \\ x=1 \text { 이면 } \alpha e ^ { 2 } + \beta + \gamma=0 \\ x=2 \text { 이면 } \alpha e ^ { 4 } + 4 \beta + 2 \gamma=0 \end {array} \] 이 세 식에서 $ \alpha= \beta= \gamma=0 $. 따라서 $ e ^ { 2 x } , x ^ { 2 } , x $ 는 일차독립이다.</p> <p>(3) $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { i } \right \rangle $ 의 임의의 원소 $ u= \left ( \sum_ { i=1 } ^ { r } \alpha_ { i } v_ { i } \right ) + \alpha v_ { i } $ 이므로 \[ \begin {aligned} u &= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { i } v_ { i } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } + \alpha v_ { i } \\ &= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \left ( \alpha_ { i } + \alpha \right ) v_ { i } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } \\ &= \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { i } v_ { i } + \cdots + \beta_ { r } v_ { r } \end {aligned} \] 여기서 $ \beta_ { 1 } = \alpha_ { 1 } , \cdots, \beta_ { i-1 } = \alpha_ { i-1 } , \beta_ { i } = \alpha_ { i } + \alpha, \beta_ { i + 1 } = \alpha_ { i + 1 } , \cdots, \alpha_ { r } = \beta_ { r } $ 이다. 이로써 $ u \in \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $, 즉 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { i } \right \rangle \subseteq \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ 가 증명되었다. 따라서 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots \right . $, $ \left .v_ { r } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { i } \right \rangle, i=1, \cdots, r $ 이다.</p> <p>[풀이] 행렬공간 $ M_ { n } ( \mathbb { K } )=M_ { n \times n } ( \mathbb { K } ) $ 에서 $ E_ { i j } = \left [a_ { i j } \right ], a_ { i j } =1, a_ { k l } =0, k \neq i, l \neq j $ 의 집합 $ \left \{ E_ { i j } \mid 1 \leq i \leq j \leq n \right \} $ 는 기저이고, 이 집합의 원소의 개수는 $ n \times n=n ^ { 2 } $ (개)이다. $ \left \{ E_ { i j } \mid 1 \leq j<i \leq n \right \} , \left \{ E_ { i j } \mid 1 \leq i<j \leq n \right \} , \left \{ E_ { i j } \mid 1 \leq i=j \leq n \right \} $ 은 각각 $ U, W, D $ 의 기저이고 그 차원은 $ \frac { n(n + 1) } { 2 } , \frac { n(n + 1) } { 2 } , n $ 이다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U $ 와 $ W $ 가 $ U \cap W= \{ 0 \} $ 일 때 합 $ U + W $ 를 $ U, W $ 의 직합이라 하고 $ U \oplus W $ 로 나타낸다. 벡터 $ v \subset U \oplus W $ 는 $ u \subset U, w \subset W $ 가 존재하여 \[ v=u + w \] $ v=u ^ {\prime } + w ^ {\prime } $ 인 벡터 $ u ^ {\prime } \subset U, w ^ {\prime } \subset W $ 가 존재한다면 $ u + w=u ^ {\prime } + w ^ {\prime } $ 에서 $ u-u ^ {\prime } =w ^ {\prime } -w $ 는 $ U $ 의 원소인 동시에 $ W $ 의 원소이다. $ u-u ^ {\prime } \subset U \cap W $ 이고 $ U \cap W= \{\mathbf { 0 } \} $ 이므로 $ u-u ^ {\prime } = \mathbf { 0 } , u=u ^ {\prime } $. 마찬가지로 $ w ^ {\prime } -w \subset U \cap W, w ^ {\prime } -w= \mathbf { 0 } , w ^ {\prime } =w $. 이상에서 $ U + W $ 의 임의의 원소는 $ u + w $ 로 표시되고, 그 표시법은 일의적임을 알았다. 부분공간 $ U + W $ 를 $ U, W $ 의 직합(direct sum)이라 하고 $ U \oplus W $ 로 나타낸다. 부분공간 $ W_ { 1 } , \cdots, W_ { r } $ 가 $ W_ { i } \cap W_ { j } = \{\mathbf { 0 } \} , 1 \leq i \neq j \leq n $ 일 때 직합 $ W_ { 1 } \oplus \cdots \oplus W_ { r } $ 도 정의할 수 있다.</p> <p>예제 3.3.7 벡터 $ (1,-2,5,-3),(2,3,1,-4),(3,8,-3,-5) $에 의하여 생성된 $ \mathbb { R } ^ { 4 } $ 공간의 부분공간 $ W $의 기저와 차원을 구하여라.</p> <p>[풀이] $ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 5 & -3 \\ 2 & 3 & 1 & -4 \\ 3 & 8 & -3 & -5 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 5 & 3 \\ 0 & 7 & -9 & 2 \\ 0 & 14 & -18 & 4 \end {array} \right ] \Rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & 7 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] $에서 $ (1,-2,5,-3),(0,7,-9,2) $는 $ W $의 기저를 이룬다. 또한 $ W $의 차원은 2이다.</p> <p>정리 3.3.4 $ n $차원 벡터공간 $ V $의 부분집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $이 일차독립이거나 생성원집합이면 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 $ V $의 기저를 이룬다.</p> <p>[증명] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $이 일차독립이면 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 $ V $를 생성하고 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $이 $ V $를 생성하면 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $은 일차독립임을 보여야 한다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $을 일차독립이라 하고 $ w $가 이들과 다른 벡터라 하면 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $의 개수는 $ n $개 이상이므로 일차종속이다. 정리 3.3.2에 의하면 차원보다 많은 개수로 된 벡터집합은 일차종속이기 때문이다. 적어도 하나는 영이 아닌 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } , \alpha $가 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + \alpha w= \mathbf { 0 } \] 그러면 $ \alpha \neq 0 $이다. $ \alpha=0 $이라 하면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] 그런데 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $은 일차독립이므로 모든 $ \alpha_ { i } =0 $. 이는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $가 일차종속이라는 것에 어긋난다. $ \alpha \neq 0 $이므로 \[ w= \left (- \frac { a_ { 1 } } { a } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \frac { a_ { n } } { a } \right ) v_ { n } \] 따라서 $ w \subset \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $이다. $ w $가 $ V $의 임의의 원소이므로 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle=V $, 즉 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $은 $ V $를 생성한다.</p> <p>복소수 $ \mathbb { C } $ 위의 벡터공간 $ \mathbb { C } ^ { n } $, 임의의 체 위의 벡터공간 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 도 유클리드공간과 같이 생각할 수 있다. $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 공간의 두 벡터 $ X= \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), Y= \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) $ 에서 \[ \begin {aligned} &X + Y= \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) + \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right )= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , x_ { 2 } + y_ { 2 } \right ) \\ & \alpha X= \left ( \alpha x_ { 1 } , \alpha y_ { 1 } \right ), \alpha \in \mathbb { R } \end {aligned} \]</p> <p>예제 $ 3.1.2 $ 유계인 폐구간 $ [a, b] $ 위의 연속인 실함수 $ f:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } $ 전체의 집합 $ C[a, b] $ 는 아래의 덧셈과 스칼라곱에 의하여 벡터공간을 이룬다. \[ \begin {aligned} &(f + g)(x)=f(x) + g(x), x \in[a, b] \\ &( \alpha f)(x)= \alpha f(x), \quad \alpha \in \mathbb { R } \end {aligned} \]</p> <p>[풀이] 모든 $ x \in[a, b] $ 에서 $ O(x)=0 $ 인 영함수(zero function) $ O:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } $ 는 $ C[a, b] $ 의 영원이다. 모든 $ f \in C[a, b] $ 에서 \[ (O + f)(x)=O(x) + f(x)=0 + f(x)=f(x) \] 함수 $ -f:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } ,(-f)(x)=-f(x), x \in[a, b] $ 는 연속이고 \[ [f + (-f)](x)=f(x) + (-f)(x)=f(x)-f(x)=0=O(x) \] 그러므로 $ -f \in C[a, b] $ 는 $ f $ 의 음원이다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 과 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 에서 아래의 벡터를 $ v_ { 1 } , \cdots , v_ { n } $ 의 1차결합(linear combination) 이라 한다. \[ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \]</p> <p>벡터 $ v $ 가 적당한 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시될 때 $ v $ 는 이들 벡터에 의하여 생성(generated)되었다고 한다. 이때는 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 이 존재하여 $ v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } v_ { i } $ 가 된다. 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합 전체 집합은 다음 정리에서 보는 바와 같이 부분공간을 이룬다. 이 집합을 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 의하여 생성된 부분공간이라 하고 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 으로 나타낸다. 즉 \[ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle= \left \{\alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } \mid \alpha_ { i } \text { : 수, } i=1, \cdots, n \right \} \] $ V= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 인 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 존재할 때 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 을 $ V $ 의 생성원집합(generating set)이라 한다. 모든 $ V $ 의 원소가 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합이 될 때 이들은 $ V $ 의 생성원들이 된다.</p> <p>예제 $ 3.3.9 $ 벡터 $ (1,0,1),(2,1,0) $ 을 포함하는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 기저를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ (1,0,1),(2,1,0) $ 으로 생성된 부분공간은 \[ \begin {aligned} W &= \{\alpha(1,0,1) + \beta(2,1,0) \mid \alpha, \beta \subset \mathbb { R } \} \\ &= \{ ( \alpha, 0, \alpha) + (2 \beta, \beta, 0) \mid \alpha, \beta \subset \mathbb { R } \} \\ &= \{ ( \alpha + 2 \beta, \beta, \alpha) \mid \alpha, \beta \subset \mathbb { R } \} \\ &= \{ (x, y, z) \mid x-2 y-z=0, x, y, z \subset \mathbb { R } \} \end {aligned} \] $ W $ 의 원소가 아닌 벡터 $ (1,0,0) $ 을 택하면 일차독립인 벡터집합 $ \{ (1,0,1), (2,1,0),(1,0,0) \} $ 을 얻는다.</p> <p>정리 $ 3.3.7 $ $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ W $ 에서<ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { dim } W \leq \operatorname { dim } V $</li> <li>$ \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } V \Longleftrightarrow W=V $</li></ol></p> <p>[증명] (1) $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { r } \right \} $ 가 부분공간 $ W $ 의 일차독립인 벡터의 최대 개수라 하면 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { r } $ 는 $ V $ 에서도 일차독립이다. 정리 $ 3.3.5 $ 에 의하면 일차독립인 $ V $ 의 원소의 최대 개수가 $ V $ 의 차원이므로 $ r \leq n $ 이다. 즉 부분공간 $ W $ 의 차원은 $ V $ 의 차원보다 작다.</p> <p>(2) $ \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } V $ 이면 $ W $ 의 기저 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 기저이기도 하다. 따라서 $ W= \left \langle u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \rangle=V $ 이다.</p> <p>정리 3.1.1 벡터공간의 영원과 음벡터는 오직 하나뿐이다.</p> <p>[증명] 모든 벡터 $ u \in V $에서 $ u + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } + u=u, u + \mathbf { 0 } ^ {\prime } = \mathbf { 0 } ^ {\prime } + u=u $인 벡터 $ \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } ^ {\prime } $가 있다고 하자. $ u= \mathbf { 0 } ^ {\prime } $이면 \[ \mathbf { 0 } ^ {\prime } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } ^ {\prime } = \mathbf { 0 } ^ {\prime } \] $ u= \mathbf { 0 } $이면 \[ \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } ^ {\prime } = \mathbf { 0 } ^ {\prime } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } \] 그러므로 $ \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } ^ {\prime } + \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } ^ {\prime } $가 성립한다. 이는 영벡터가 오직 하나뿐임을 뜻한다. 벡터 $ v, v ^ {\prime } $가 고정된 벡터 $ u $의 음벡터라 하면 \[ \begin {array} { l } u + v=v + u= \mathbf { 0 } \\ u + v ^ {\prime } =v ^ {\prime } + u= \mathbf { 0 } \end {array} \] 그러면 \[ v=v + \mathbf { 0 } =v + \left (u + v ^ {\prime } \right )=(v + u) + v ^ {\prime } = \mathbf { 0 } + v ^ {\prime } =v ^ {\prime } \] 이는 $ u $의 음벡터는 오직 하나뿐임을 뜻한다.</p> <p>예제 3.1.1 다음은 가장 알기 쉬운 벡터공간이다.</p> <p>행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { m \times n } $ 에서 몇 개의 행과 열을 제외하여 만든 $ s \times s $ 행렬을 $ A $ 의 부분행렬(submatrix)이라 한다. 행렬 $ A $ 의 $ r $ 차부분행렬 중에서 행렬식의 값이 0이 아닌 것이 적어도 하나 있고 $ (r + 1) $ 차부분행렬의 행렬식의 값은 모두 0일 때 $ r $ 를 행렬 $ A $ 의 계수(rank) 라 한다. 행렬 $ A $ 의 0이 아닌 부분행렬식이 존재하는 최고차가 계수이다.</p> <p>정리 $ 3.4.6 $ 행렬 $ A $ 의 계수와 전치행렬 $ A ^ { t } $ 의 계수는 같다.</p> <p>[증명] 전치행렬 $ A ^ { t } $ 의 임의의 $ r $ 차부분행렬식은 $ A $ 의 하나의 $ r $ 차행렬식의 전치행렬식이다. 행렬식과 그 전치행렬식의 값은 같으므로 $ \operatorname { rank } A= \operatorname { rank } A ^ { t } $ 이다.</p> <p>정리 $ 3.4.7 $ 행렬 $ A $ 의 계수는 행렬의 열과 행에 관한 기본변형에 의하여 변하지 않는다.</p> <p>[증명] 다음 두 행렬의 계수가 같음을 보이면 충분하다. \[ \begin {array} { l } A= \left [ \begin {array} { ccccccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 i } & \cdots & a_ { 1 j } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 i } & \cdots & a_ { 2 j } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & & \vdots & & & \vdots \\ a_ { m 1 } & \cdots & a_ { m i } & \cdots & a_ { m j } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \\ A ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { ccccccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 i } & \cdots & a_ { 1 j } + \alpha a_ { 1 i } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 i } & \cdots & a_ { 2 j } + \alpha a_ { 2 i } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & \cdots & a_ { m i } & \cdots & a a_ { m j } + \alpha_ { m i } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \\ \end {array} \] 행렬 $ A $ 의 $ r $ 차부분행렬식 $ \|R\|_ { r } $ 가 $ A $ 의 $ j $ 열을 포함하지 않으면 이에 대응하는 $ A ^ {\prime } $ 의 $ r $ 차부분행렬식은 $ \|R\|_ { r } $ 와 같다. $ \|R\|_ { r } $ 가 $ j $ 열을 포함하면 행렬식의 성질에 의하여 $ \|R\|_ { r } ^ {\prime } =\|R\|_ { r } + \alpha\|R\|_ { r } ^ {\prime \prime } $ 의 꼴이 된다. 여기서 $ \|R\|_ { r } ^ {\prime \prime } $ 이 행렬식 $ \|R\|_ { r } $ 의 제 $ j $ 열 대신에 제 $ i $ 열이 들어간 행렬식이다. $ \|R\|_ { r } ^ {\prime \prime } $ 이 $ A $ 의 제 $ i $ 열을 포함하고 있으면 $ \left \|R_ { r } \right \| ^ {\prime \prime } =0 $, $ A $ 의 제 $ i $ 열을 포함하지 않으면 $ \|R\|_ { r } ^ {\prime \prime } $ 은 부호를 생각하지 않을 때 $ A $ 의 하나의 $ r $ 차부분행렬식과 같다. 그러므로 $ A $ 의 모든 $ r $ 차부분행렬식의 값은 0이다. $ A ^ {\prime } $ 의 모든 $ r $ 차부분행렬식도 0이다. 행렬의 계수의 정의에 의하면 $ \operatorname { rank } A ^ {\prime } \leq \operatorname { rank } A $ 이다. 역으로 행렬 $ A ^ {\prime } $ 의 제 $ i $ 열에 $ - \alpha $ 를 곱하여 제 $ j $ 열에 더하면 행렬 $ A $ 가 됨으로 위의 결과에서 $ \operatorname { rank } A \leq \operatorname { rank } A ^ {\prime } $ 이다. 이로써 행렬 $ A $ 와 $ A ^ {\prime } $ 의 계수는 같음이 증명되었다.</p> <p>[풀이] $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 가 일차종속이므로 전부가 0은 아닌 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, a_ { n } , \alpha $ 가 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + \alpha w=0 \] $ \alpha=0 $ 이면 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } =0 $ 이므로 모든 $ \alpha_ { i } =0 $. 이는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 가 일차종속이라는 가정에 어긋난다. 그러므로 $ \alpha \neq 0 $. $ \alpha $ 로 양변을 나누면 \[ w= \left (- \frac { a_ { 1 } } { a } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \frac { a_ { n } } { a } \right ) v_ { n } \] 벡터 $ w $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시되므로 이들의 일차결합 전체의 집합인 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 의 원소이다.</p> <p>예제 $ 3.2.7 $ 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 벡터공간 $ V $ 의 생성원일 때 다음 성질이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>임의의 벡터 $ w \in V $ 에 대하여 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w $ 는 일차종속이고 또한 $ V $ 를 생성한다.</li> <li>벡터 $ v_ { i } $ 가 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } $ 의 일차결합이면 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { i-1 } , v_ { i + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 $ V $ 를 생성한다.</li></ol></p> <p>예제 $ 3.3.10 $ $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 에서 다음 성질이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ (n + 1) $ 개의 벡터는 일차종속이다.</li> <li>일차독립인 벡터집합은 한 기저의 부분집합이다.</li> <li>$ n $ 개의 원소로 된 일차독립인 벡터는 기저를 이룬다.</li></ol></p> <p>[풀이] (1) $ \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 이 $ V $ 의 기저이면 정리 $ 3.3.5 $ 에 의하여 $ (n + 1) $ 개 이상의 벡터로 이루어진 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } , \cdots, e_ { m } $ 은 일차종속이다.</p> <p>(2) $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 가 일차독립이면 (1)에 의하여 $ r \leq n $ 이다. $ r=n $ 이면 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 기저이다. $ r<n $ 이면 정리 $ 3.3.6 $ 에 의하여 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { r + 1 } , \cdots, v_ { m } \right \} $ 이 존재한다.</p> <p>(3) 일차독립인 $ n $ 개의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 (2)에 의하여 어떤 기저의 부분집합이다. 기저의 원소의 개수는 $ n $ 이므로 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 기저이다.</p> <p>유한차원 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ W_ { 1 } , W_ { 2 } , \cdots, W_ { r } $ 의 차원 사이의 관계를 살펴보자. 부분공간 $ W_ { 1 } $ 과 $ W_ { 2 } $ 의 합(sum)을 다음으로 정의한다. \[ W_ { 1 } + W_ { 2 } = \left \{ w_ { 1 } + w_ { 2 } \mid w_ { 1 } \subset W_ { 1 } , w_ { 2 } \subset W_ { 2 } \right \} \] 임의의 $ w, w ^ {\prime } \subset W_ { 1 } + W_ { 2 } $ 에서 $ w=w_ { 1 } + w_ { 2 } , w ^ {\prime } =w_ { 1 } ^ {\prime } + w_ { 2 } ^ {\prime } , w_ { 1 } , w_ { 1 } ^ {\prime } \subset W_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 2 } ^ {\prime } \subset W_ { 2 } $ 이고 \[w + w ^ {\prime } = \left (w_ { 1 } + w_ { 2 } \right ) + \left (w_ { 1 } ^ {\prime } + w_ { 2 } ^ {\prime } \right )= \left (w_ { 1 } + w_ { 1 } ^ {\prime } \right ) + \left (w_ { 2 } + w_ { 2 } ^ {\prime } \right ) \] $ W_ { 1 } , W_ { 2 } $ 가 부분공간이므로 $ w_ { 1 } + w_ { 1 } ^ {\prime } \subset W_ { 1 } , w_ { 2 } + w_ { 2 } ^ {\prime } \subset W_ { 2 } $ 이다. 그러므로 $ w + w ^ {\prime } \subset W_ { 1 } + W_ { 2 } $ 가 성립한다. 임의의 $ \alpha \subset \mathbb { K } $ 에 대하여 \[ \alpha w= \alpha \left (w_ { 1 } + w_ { 2 } \right )= \alpha w_ { 1 } + \alpha w_ { 2 } \] 이고 $ \alpha w_ { 1 } \subset W_ { 1 } , \alpha w_ { 2 } \subset W_ { 2 } $ 이므로 $ \alpha w \subset W_ { 1 } + W_ { 2 } $ 이다. $ \alpha=0 $ 또는 $ \alpha=-1 $ 이면 \[ \begin {array} { c } 0 w=0 \left (w_ { 1 } + w_ { 2 } \right )=0 w_ { 1 } + 0 w_ { 2 } = \mathbf { 0 } \\ (-1) w=(-1) \left (w_ { 1 } + w_ { 2 } \right )=(-1) w_ { 1 } + (-1) w_ { 2 } \end {array} \] 이므로 $ \mathbf { 0 } \subset W_ { 1 } + W_ { 2 } ,-w \subset W_ { 1 } + W_ { 2 } $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.4.9 $ 행렬 $ A, B \subset M_ { 2 \times 2 } ( \mathbb { R } ) $ 로서 다음 성질을 만족하는 예를 들어라.<ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { rank } (A + B)< \operatorname { rank } A, \operatorname { rank } B $</li> <li>$ \operatorname { rank } (A + B)>\operatorname { rank } A, \operatorname { rank } B $</li></ol></p> <p>[풀이] (1) $ A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } -1 & -1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] $ 에서 $ \operatorname { rank } A= \operatorname { rank } B=1, \operatorname { rank } (A + B)= \operatorname { rank } \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ]=0 $</p> <p>(2) $ A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] $ 에서 $ \operatorname { rank } A=1, \operatorname { rank } B=1, \operatorname { rank } (A + B)= \operatorname { rank } \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ]=2 $.</p> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 $ n $ 개의 미지수 $ x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $ 의 일차결합 $ a_ { 1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =b $ 를 일차방정식(linear equation)이라 한다. $ m $ 개의 일차방정식으로 이루어진 계(system)를 연립일차방정식(system of linear equations) 또는 연립방정식이라 한다. \[ \begin {array}{c} a_ { 11 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \quad \vdots \hspace { 6em } \vdots \hspace { 3em } \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \end {array} \]$ x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $ 을 이 연립방정식의 변수 또는 미지수라 하고 $ a_ { i j } $ 를 계수, $ b_ { i } $ 를 상수라 한다. $ n $ 개의 미지수와 $ m $ 개의 방정식으로 이루어진 연립방정식을 $ m \times n $ 연립방정식이라 한다. 연립방정식의 계수를 성분으로 갖는 행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) $ 를 계수행렬, $ B= \left [b_ { 1 } \cdots b_ { m } \right ] ^ { t } $ 를 상수행렬이라 한다. \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { m } \end {array} \right ] \] 그러면 $ m \times n $ 연립방정식은 $ A X=B $ 로 표시된다. \[ A X= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { 1 j } x_ { j } \\ \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { 2 j } x_ { j } \\ \vdots \\ \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { m j } x_ { j } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { m } \end {array} \right ] \] $ B=O $ 인 연립방정식 $ A X=O $ 을 동차연립방정식 또는 제차연립방정식이라 하고, $ B \neq O $ 인 연립방정식 $ A X=B $ 를 비동차연립방정식이라 한다.</p> <p>[증명] $ A= \left [a_ { i j } \right ] \subset M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ), \operatorname { rank } A=r $ 이면 행렬 $ R_ { r } $ 가 존재하여 \[ \begin {array} { l } \left \|R_ { r } \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 r } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 r } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { r 1 } & a_ { r 2 } & \cdots & a_ { r r } \end {array} \right \| \neq 0 \\ \end {array} \] \[ \begin { cases } a_ { 11 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 1 r } x_ { r } + a_ { 1 r + 1 } x_ { r + 1 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =0 \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 2 r } x_ { r } + a_ { 2 r + 1 } x_ { r + 1 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =0 \\ \quad \vdots \hspace { 6em } \vdots \hspace { 3em } \vdots \hspace { 7em } \vdots \hspace { 3em } \vdots \\ a_ { r1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { r r } x_ { r } + a_ { r r + 1 } x_ { r + 1 } + \cdots + a_ { r n } x_ { n } =0 \end { cases } \] 이 식을 $ x_ { 1 } , \cdots, x_ { r } $ 에 대하여 풀면 \[ \begin { cases } a_ { 11 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 1 r } x_ { r } =-a_ { 1 r + 1 } x_ { r + 1 } - \cdots-a_ { 1 n } x_ { n } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 2 r } x_ { r } =-a_ { 2 r + 1 } x_ { r + 1 } - \cdots-a_ { 2 n } x_ { n } \\ \quad \vdots \hspace { 5em } \vdots \hspace { 5em } \vdots \hspace { 7em } \vdots \\ a_ { r 1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { r r } x_ { r } =-a_ { r r + 1 } x_ { r + 1 } - \cdots-a_ { r n } x_ { n } \end { cases } \] 행렬로 나타내면 \[ \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 r } \\ \vdots & & \vdots \\ a_ { r 1 } & \cdots & a_ { r r } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { r } \end {array} \right ]=- \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 1 r + 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & & \vdots \\ a_ { r r + 1 } & \cdots & a_ { r n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { r + 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ] \] $ \left \|R_ { r } \right \| \neq 0 $ 이므로 $ R_ { r } $ 의 역행렬 $ R_ { r } ^ { -1 } $ 을 양변에 곱하면 \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { r } \end {array} \right ]=-R_ { r } ^ { -1 } \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 1 r + 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & & \vdots \\ a_ { r r + 1 } & \cdots & a_ { r n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { r + 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ccc } c_ { 11 } & \cdots & c_ { 1 n-r } \\ \vdots & & \vdots \\ c_ { r 1 } & \cdots & c_ { r n-r } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { r + 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ] } \\ = \left [ \begin {array} { ccc } c_ { 11 } & \cdots & c_ { 1 n-r } \\ \vdots & & \vdots \\ c_ { r 1 } & \cdots & c_ { r n-r } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { r + 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]=x_ { r + 1 } \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\ \vdots \\ c_ { r 1 } \end {array} \right ] + \cdots + x_ { n } \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 n-r } \\ \vdots \\ c_ { r n-r } \end {array} \right ] \\ \end {array} \] 그러므로 $ x_ { r + 1 } , \cdots, x_ { n } $ 은 다음 식을 만족하는 $ t_ { 1 } , \cdots, t_ { n-r } $ 의 해이다. \[ \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { r } \end {array} \right ]=t_ { 1 } \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\ \vdots \\ c_ { r 1 } \end {array} \right ] + \cdots + t_ { n-r } \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 n-r } \\ \vdots \\ c_ { r n-r } \end {array} \right ] \] 다음 식을 $ t_ { 1 } c_ { 1 } + \cdots + t_ { n-r } c_ { n-r } $ 로 나타내면 $ c_ { 1 } , \cdots, c_ { n-r } $ 는 동차식 $ A X=O $ 의 해이다. 또한 $ c_ { 1 } , \cdots, c_ { n-r } $ 는 일차독립이다. \[ X= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { r } \\ x_ { r + 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]=t_ { 1 } \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\ \vdots \\ c_ { r 1 } \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] + \cdots + t_ { n-r } \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 n-r } \\ \vdots \\ c_ { r n-r } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ] \] 실제로 $ d_ { 1 } c_ { 1 } + \cdots + d_ { n-r } c_ { n-r } =0 $ 이라 놓으면 $ d_ { 1 } = \cdots=d_ { n-r } =0 $ 이다. 이로써 $ c_ { 1 } , \cdots $, $ c_ { n-r } $ 는 동차식 $ A X=O $ 의 일차독립인 해이고, 임의의 해는 이들의 일차결합임을 보였다. 연립방정식 $ A X=O $ 의 해집합은 $ \left \langle c_ { 1 } , c_ { 2 } , \cdots, c_ { n-r } \right \rangle $ 이고, 차원은 $ n-r=n- \operatorname { rank } A $ 이다.</p> <p>행렬 $ R $ 의 열벡터 $ R ^ { (1) } , \cdots, R ^ { (r) } $ 가 일차독립임을 보이자. 수 $ x_ { 1 } , \cdots, x_ { r } $ 가 존재하여 \[ x_ { 1 } R ^ { (1) } + \cdots + x_ { r } R ^ { (r) } = \mathbf { 0 } \] 이라 하면 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 r } x_ { r } =0 \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 r } x_ { r } =0 \\ \vdots \\ a_ { r 1 } x_ { 1 } + a_ { r 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { r r } x_ { r } =0 \end {array} \right . \] 위의 동차식의 계수행렬 $ R $ 의 행렬식의 값이 $ \|R\| \neq 0 $ 이므로 Cramer의 법칙에 의하여 자명한 해만을 갖는다. 즉 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } = \cdots=x_ { r } =0 $.</p> <p>임의의 열벡터 $ A ^ { (s) } (r + 1 \leq s \leq n) $ 은 $ R ^ { (1) } , \cdots, R ^ { (r) } $ 에 의하여 생성됨을 보이자. 다음 연립방정식은 계수행렬 $ \|R\| \neq 0 $ 이므로 오직 하나뿐인 해 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { r } $ 를 갖는다. \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 1 r } x_ { r } =a_ { 1 s } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { 2 r } x_ { r } =a_ { 2 s } \\ \vdots \\ a_ { r 1 } x_ { 1 } + \cdots + a_ { r r } x_ { r } =a_ { r s } \end {array} \right . \] 모든 $ i=1, \cdots, r $ 에 대하여 $ a_ { i s } =a_ { i s } \alpha_ { 1 } + \cdots + a_ { i r } \alpha_ { r } = \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { i k } \alpha_ { k } $ 인 순서로 $ \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) $ 이 단 하나 존재한다. $ \operatorname { rank } A=r $ 이므로 모든 $ t=1 + r, \cdots, m $ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[ \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 r } & a_ { 1 s } \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 r } & a_ { 2 s } \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_ { r 1 } & \cdots & a_ { r r } & a_ { r s } \\ a_ { t 1 } & \cdots & a_ { t r } & a_ { t s } \end {array} \right \|=0 \] 이 행렬식의 제 $ 1,2, \cdots, r $ 열에 각각 $ \alpha_ { 1 } , \alpha_ { 2 } , \cdots, \alpha_ { r } $ 를 곱한 값 $ \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { i k } \alpha_ { k } (i=1, \cdots, r) $ 를 제 $ s $ 열에서 빼면 \[ \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 r } & 0 \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 r } & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_ { r 1 } & \cdots & a_ { r r } & 0 \\ a_ { t 1 } & \cdots & a_ { t r } & a_ { t s } - \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { t k } a_ { k } \end {array} \right \|=0 \] 이 행렬식을 $ (r + 1) $ 열에 관하여 전개하면 \[ \left (a_ { t s } - \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { t k } \alpha_ { k } \right )\|R\|=0 \] $ \|R\| \neq 0 $ 이므로 모든 $ t=r + 1, \cdots, m $ 에 대하여 \[ a_ { t s } - \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { t k } \alpha_ { k } =0, a_ { t s } =a_ { t 1 } \alpha_ { 1 } + \cdots + a_ { t r } \alpha_ { r } \] 이는 행렬 $ A $ 의 제 $ s $ 열 $ A ^ { (s) } $ 가 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (r) } $ 의 일차결합임을 의미한다. 따라서 모든 열 $ A ^ { (r + 1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 이 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (r) } $ 의 일차결합이다. 아래의 벡터 $ R ^ { (1) ^ {\prime } } , \cdots, R ^ { (r) ^ {\prime } } $ 는 $ A $ 의 열공간의 기저를 이룬다. 따라서 $ A $ 의 열공간의 차원은 $ \operatorname { rank } (A) $ 와 같다. \[ R ^ { (1) ^ {\prime } } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ \vdots \\ a_ { 1 r } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ], \cdots, R ^ { (r) ^ {\prime } } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 r } \\ \vdots \\ a_ { r r } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \] 역으로 $ A $ 의 $ r $ 개의 열벡터 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (r) } $ 가 일차독립이라 하여도 일반성을 잃지 않는다. $ A ^ { (s) } (s=r + 1, \cdots, n) $ 는 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (r) } $ 에 의하여 생성되므로 행렬 $ A $ 는 다음의 꼴이 된다. \[ A ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 r } & 0 & \cdots & 0 \\ a_ { 21 } & \cdots & a_ { 2 r } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { r 1 } & \cdots & a_ { r r } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & \cdots & a_ { m r } & 0 & \cdots & 0 \end {array} \right ] \] 가정에 의하여 행렬 $ A $ 의 계수는 $ r $ 이다. $ \operatorname { rank } A ^ {\prime } =r ^ {\prime } $ 라 하면 $ (r + 1) $ 차 이상의 부분행렬식은 0이므로 $ r ^ {\prime } \leq r $ 이다. $ r ^ {\prime }<r $ 라면 행렬 $ A ^ {\prime } $ 의 열공간의 차원은 $ r $ 보다 작다. 그러므로 $ A ^ { (1) ^ {\prime } } , \cdots, A ^ { (r) ^ {\prime } } $ 중의 어느 하나는 나머지 열벡터의 일차결합이다. 이것은 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (r) } $ 가 일차독립이라는 가정에 모순이다. 따라서 $ \operatorname { rank } A= \operatorname { rank } A ^ {\prime } =r $ 이다.</p> <p>(2) $ \mathbb { K } $ 위의 덧셈을 수의 더하기(plus), 스칼라곱을 수의 곱하기로 주면 $ \mathbb { K } $ 는 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간이다.</p> <p>실수 $ \mathbb { R } $ 위의 집합 $ \mathbb { R } ^ { n } = \left \{ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \mid x_ { i } \in \mathbb { R } , i=1, \cdots, n \right \} $ 을 벡터공간이 되도록 하는 연산에 관하여 생각해보자. 임의의 $ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ), Y= \left (y_ { 1 } , \cdots \right . $, $ y_ { n } $ )에서 덧셈과 스칼라곱을 아래로 정의한다. \[ \begin {aligned} &X + Y= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right )= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) \\ & \alpha X= \left ( \alpha x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } \right ), \quad \alpha \in \mathbb { R } \end {aligned} \] 이때 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , + , \cdot \right ) $ 은 벡터공간을 이룬다. 이를 Euclid공간(Euclidean space)이라 한다. 실제로 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 이 벡터공간인가를 확인하자. $ \alpha, \beta \in \mathbb { R } , X, Y, Z \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에서<ol type=1 start=1><li>$ \begin {aligned} { [ } & \left . \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) \right ] + \left (z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) + \left (z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \right ) \\ &= \left ( \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } \right ) + z_ { 1 } , \cdots, \left (x_ { n } + y_ { n } \right ) + z_ { n } \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } + \left (y_ { 1 } + z_ { 1 } \right ), \cdots, x_ { n } + \left (y_ { n } + z_ { n } \right ) \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } + z_ { 1 } , \cdots, y_ { n } + z_ { n } \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left [ \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) + \left (z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \right ) \right ] \end {aligned} $</li> <li>$ (0, \cdots, 0) \in \mathbb { R } ^ { n } $ 이고 \[ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + (0, \cdots, 0)= \left (x_ { 1 } + 0, \cdots, x_ { n } + 0 \right )= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \]</li> <li>$ \left (-x_ { 1 } , \cdots,-x_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } $ 이고 \[ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (-x_ { 1 } , \cdots,-x_ { n } \right )= \left (x_ { 1 } -x_ { 1 } , \cdots x_ { n } -x_ { n } \right )=(0, \cdots, 0) \]</li> <li>$ \begin {aligned} & \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right )= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) \\ =& \left (y_ { 1 } + x_ { 1 } , \cdots, y_ { n } + x_ { n } \right )= \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) + \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} & \alpha \left [ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) \right ]= \alpha \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) \\ &= \left ( \alpha \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } \right ), \cdots, \alpha \left (x_ { n } + y_ { n } \right ) \right )= \left ( \alpha x_ { 1 } + \alpha y_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } + \alpha y_ { n } \right ) \\ &= \left ( \alpha x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } \right ) + \left ( \alpha y_ { 1 } , \cdots, \alpha y_ { n } \right )= \alpha \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \alpha \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} &( \alpha + \beta) \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left (( \alpha + \beta) x_ { 1 } , \cdots,( \alpha + \beta) x_ { n } \right ) \\ =& \left ( \alpha x_ { 1 } + \beta x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } + \beta x_ { n } \right )= \left ( \alpha x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } \right ) + \left ( \beta x_ { 1 } , \cdots, \beta x_ { n } \right ) \\ =& \alpha \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \beta \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} &( \alpha \beta) \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left (( \alpha \beta) x_ { 1 } , \cdots,( \alpha \beta) x_ { n } \right ) \\ =& \left ( \alpha \left ( \beta x_ { 1 } \right ), \cdots, \alpha \left ( \beta x_ { n } \right ) \right )= \alpha \left ( \beta x_ { 1 } , \cdots, \beta x_ { n } \right )= \alpha \left ( \beta \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right ) \end {aligned} $</li> <li>$ 1 \cdot \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left (1 \cdot x_ { 1 } , \cdots, 1 \cdot x_ { n } \right )= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $</li></ol></p> <p>예제 $ 3.3.3 $ 체 $ \mathbb { K } $ 위의 순서조의 집합 $ \mathbb { K } ^ { n } = \left \{\left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \mid x_ { i } \subset \mathbb { K } \right \} $ 의 연산을 다음으로 정의하자. $ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ), Y= \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) $ 과 $ \alpha \subset \mathbb { K } $ 에 대하여 \[ X + Y= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ), \alpha X= \left ( \alpha x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } \right ) \] 이때 $ e_ { 1 } =(1,0, \cdots, 0), \cdots, e_ { n } =(0, \cdots, 0,1) $ 의 집합 $ \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 은 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 기저이고 $ \operatorname { dim } _ {\mathbb { K } } \mathbb { K } ^ { n } =n $ 이다.</p> <p>[풀이] 임의의 $ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } e_ { 1 } + \cdots + x_ { n } e_ { 1 } $ 이고 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $ 은 일차독립이다. 이 집합의 원소는 $ n $ 개이다. 이것 이외의 다른 기저가 있을지라도 그 원소의 개수는 $ n $ 개이다. 따라서 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 차원은 $ n $ 이다.</p> <p>정리 $ 3.1.5 $ 벡터공간 $ V $ 의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 의 일차결합 전체의 집합 \[ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle= \left \{ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } \mid \alpha_ { i } \in \mathbb { K } , i=1, \cdots, r \right \} \] 은 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 포함하는 최소의 부분공간이다.</p> <p>[증명] 집합 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $ 의 두 원소 $ u, v $ \[ u= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } , v= \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { r } v_ { r } \] 의 합은 \[ \begin {aligned} u + v &= \left ( \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } \right ) + \left ( \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { r } v_ { r } \right ) \\ &= \left ( \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \beta_ { 1 } v_ { 1 } \right ) + \cdots + \left ( \alpha_ { r } v_ { r } + \beta_ { r } v_ { r } \right ) \\ &= \left ( \alpha_ { 1 } + \beta_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left ( \alpha_ { r } + \beta_ { r } \right ) v_ { r } \end {aligned} \] $ \alpha_ { 1 } + \beta_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { r } + \beta_ { r } \in \mathbb { K } $ 이므로 $ u + v \in \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle . \alpha \in \mathbb { K } $ 에서 \[ \alpha u= \alpha \left ( \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } \right )= \left ( \alpha \alpha_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left ( \alpha \alpha_ { r } \right ) v_ { r } \] 이고 $ \alpha \alpha_ { i } \in \mathbb { K } $ 이므로 $ \alpha u \in \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $. 이로써 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ 가 $ V $ 의 부분공간임이 확인되었다. 모든 $ v_ { i } $ 는 \[ v_ { i } =0 v_ { 1 } + \cdots + 0 v_ { i-1 } + 1 v_ { i } + 0 v_ { i + 1 } + \cdots + 0 v_ { r } \] 이므로 $ v_ { i } \in \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ . $ L $ 을 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 포함하는 부분공간이라 하자. 임의의 $ v \in \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ 에서 $ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { r } v_ { r } $ 는 $ L $ 의 원소 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 의 일차결합이므로 부분공간의 정의에 의하여 $ L $ 의 원소이다. 그러므로 $ v \in L $ 이다. 따라서 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle \subseteq L $ 이다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 포함하는 모든 부분공간에 대하여 이러한 성질이 성립하므로 $ \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \rangle $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 를 포함하는 최소의 부분공간이다.</p> <p>[풀이] (1) 실수 $ x A + y B + z C=0 $ 이라 놓으면 \[ \begin {array} { l } x \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end {array} \right ] + y \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 4 \\ 4 & 5 & -2 \end {array} \right ] + z \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -8 & 7 \\ 2 & 10 & -1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \\{\left [ \begin {array} { lll } x + y + 3 z & -2 x-y-8 z & 3 x + 4 y + 7 z \\ 2 x + 4 y + 2 z & 4 x + 5 y + 10 z & -x-2 y-z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] } \end {array} \] 이 등식의 성분을 비교하면 \[ \begin {array} { l } x + y + 3 z=0,-2 x-y-8 z=0,3 x + 4 y + 7 z=0 \\ 2 x + 4 y + 2 z=0,4 x + 5 y + 10 z=0,-x-2 y-z=0 \end {array} \] 이들 일차식을 만족하는 해는 $ x=0, y=0, z=0 $ 뿐이다. 따라서 행렬 $ A, B, C $ 는 일차독립이다.</p> <h2>3.3 기저와 차원</h2> <p>벡터공간 $ V $ 의 부분집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 다음 두 조건을 동시에 만족할 때 집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 을 $ V $ 의 기저(basis) 라 한다.<ol type=1 start=1><li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차독립이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 $ V $ 를 생성한다.</li></ol></p> <h2>3.4 행공간과 열공간</h2> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 의 행벡터 $ A_ { 1 } , \cdots, A_ { m } $ 에 의하여 생성된 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 부분공간을 행렬 $ A $ 의 행공간(row space)이라 하고, 행공간의 차원을 행계수(row rank)라 한다. $ A $ 의 열벡터 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 에 의하여 생성된 $ \mathbb { K } ^ { m } $ 의 부분공간을 열공간(column space) 이라 하고, 그 차원을 열계수(column rank)라 한다.</p> <p>행렬의 행공간과 열공간은 연립방정식의 해의 존재성을 규명하는 데 유용하게 쓰인다.</p> <p>예제 $ 3.4.1 $ 다음 행렬 $ A, B $ 의 행공간과 열공간의 기저를 구하여라.<ol type=1 start=1><li>$ A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & -3 \\ 2 & -6 \end {array} \right ] $</li> <li>$ B= \left [ \begin {array} { llll } 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \end {array} \right ] $</li></ol></p> <p>[풀이] (1) $ r(A)= \{ (1,-3),(2,-6) \} = \{ (1,-3) \} , c(A)= \left \{\left \{\begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { l } -3 \\ -6 \end {array} \right ] \right \} = \left \langle \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ] \right \rangle $. 행렬 $ A $ 의 행공간 $ r(A) $ 의 기저는 $ \{ (1,-3) \} $, 차원은 1이고, 열공간 $ c(A) $ 의 기저는 $ \left \{\left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ] \right \} $, 차원은 1이다.</p> <p>집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 기저가 되기 위한 조건 (1)은 $ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { n } =0 $ 을 의미하고, (2)는 임의의 벡터 $ v \subset V $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합으로 표시됨을 뜻한다. 그러므로 $ V $ 의 임의의 벡터 $ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } $ 으로 표시되고, 이러한 표시는 일의적으로 정해진다. 이러한 수의 조 $ \left ( \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } \right ) $ 을 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots \right . $, $ \left .v_ { n } \right \} $ 에 대한 $ v $ 의 좌표(coordinates)라 한다. 벡터 $ v $ 의 좌표는 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 의 원소의 나열 순서에 따라 다를 수 있다. 이러한 혼동을 피하기 위하여 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots $, $ v_ { n } $ 의 순으로 나열된 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 을 순서기저(ordered basis)라 한다. 유한 개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는 벡터공간을 유한차원 벡터공간(finite dimensional vector space)이라 하고, 그러하지 않은 벡터공간을 무한차원 벡터공간(infinite dimensional vector space)이라 한다. 앞으로 유한차원 벡터공간에 대하여 살펴보도록 한다.</p> <p>예제 $ 3.3.1 $ 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 $ n $ 개의 벡터 \[ e_ { 1 } =(1,0, \cdots, 0), e_ { 2 } =(0,1,0, \cdots, 0), \cdots, e_ { n } =(0,0, \cdots, 0,1) \] 은 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 기저를 이룬다. 기저 $ \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 을 $ \mathbb { K } ^ { n } $ 의 표준기저(standard basis)라 한다.</p> <p>정리 $ 3.4.8 $ 행렬의 계수와 행렬의 행(열)계수는 같다.</p> <p>[증명] 열벡터에 대하여 증명하면 정리 $ 3.4 .5 $ 에 의하여 행벡터에 대해서도 성립한다. 행렬 $ A $ 를 열벡터 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 으로 나타낸다. \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ], A ^ { (1) } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ a_ { 21 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } \end {array} \right ], A ^ { (2) } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 12 } \\ a_ { 22 } \\ \vdots \\ a_ { m 2 } \end {array} \right ], \cdots, A ^ { (n) } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\ a_ { 2 n } \\ \vdots \\ a_ { m n } \end {array} \right ] \] 행렬 $ A $ 의 기본행(열)변형으로 $ \operatorname { rank } (A)=r $ 일 때, $ \|R\| \neq 0 $ 라 놓아도 일반성을 읺지 않는다. \[ \|R\|= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 r } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 r } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { r 1 } & a_ { r 2 } & \cdots & a_ { r r } \end {array} \right \| \neq 0 \]</p> <p>정리 $ 3.1.2 $ 벡터공간 $ V $ 의 벡터 $ u $ 와 수 $ \alpha $ 에서 다음 성질이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ \alpha \mathbf { 0 } = \mathbf { 0 } $</li> <li>$ 0 u= \mathbf { 0 } $</li> <li>$ (- \alpha) u= \alpha(-u)=- \alpha u $</li> <li>$ a u= \mathbf { 0 } $ 이고 $ u \neq \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha=0 $</li></ol></p> <p>[증명] (1) 영벡터의 뜻에 따르면 \[ \alpha \mathbf { 0 } = \alpha( \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } + \alpha \mathbf { 0 } \] 양변에 $ - \alpha \mathbf { 0 } $ 을 더하면 \[ \alpha \mathbf { 0 } + (- \alpha \mathbf { 0 } )=( \alpha \mathbf { 0 } + \alpha \mathbf { 0 } ) + (- \alpha \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } + ( \alpha \mathbf { 0 } + (- \alpha \mathbf { 0 } )) \] $ \alpha \mathbf { 0 } + (- \alpha \mathbf { 0 } )= \mathbf { 0 } $ 이므로 \[ \mathbf { 0 } = \alpha \mathbf { 0 } + (- \alpha \mathbf { 0 } )= \alpha \mathbf { 0 } + \mathbf { 0 } = \alpha \mathbf { 0 } \] 여기서 $ - \alpha \mathbf { 0 } $ 는 $ \alpha \mathbf { 0 } $ 의 음벡터를 뜻한다.</p> <p>(2) 수 0에서 \[0 u=(0 + 0) u=0 u + 0 u \] 이 식의 양변에 $ -0 u $ 를 더하면 \[0 u + (-0 u)=(0 u + 0 u) + (-0 u)=0 u + (0 u + (-0 u))=0 u \] 그러므로 \[ \mathbf { 0 } =0 u + (-0 u)=0 u \]</p> <p>정리 $ 3.3.3 $ 집합 $ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} , F= \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $ 이 벡터공간 $ V $ 의 기저이면 $ m=n $ 이다.</p> <p>[증명] $ n>m $ 이라 하면 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $ 이 기저이므로 정리 $ 3.3 .2 $ 에 의하면 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다. 그런데 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 기저이므로 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차독립이다. 이는 명백한 모순이므로 $ n \leq m $ 이어야 한다. 마찬가지로 $ n<m $ 라 하면 $ \left \{ v_ { 1 } \right ., \left . \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 기저이므로 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } $ 은 일차종속이다. 이는 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } $ 이 일차독립이라는 가정에 모순이다. 그러므로 $ n \geq m $. 이로써 $ n \leq m, n \geq m $, 즉 $ n=m $ 임이 증명되었다.</p> <p>벡터공간의 기저는 여러 가지가 있을 수 있다. 위 정리에서 본 바와 같이 그 기저의 원소는 서로 다를지라도 기저를 이루는 벡터의 개수는 같다. 이 일정한 수를 벡터공간의 차원(dimension)이라 한다. $ n $ 개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는 벡터공간을 유한차원 벡터공간이라 하고 $ \operatorname { dim } _ {\mathbb { K } } V=n $ 으로 나타낸다. 체 $ \mathbb { K } $ 를 특별히 언급하지 않아도 혼동의 우려가 없으면 $ \operatorname { dim } V=n< \infty $ 로 나타내기로 한다. 영벡터 하나로만 이루어진 자명한 공간 $ \{\mathbf { 0 } \} $ 의 차원은 0으로 정의한다. 체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ \mathbb { K } $ 의 생성원은 1뿐으로 이 공간의 차원은 1이다.</p> <p>정리 3.4.2 행렬 $ M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) $ 의 행공간과 열공간에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ A $ 에 기본행변형을 유한 번 시행하여 얻은 행렬을 $ B $ 라 하면 $ A $ 의 행공간과 $ B $ 의 행공간은 같다.</li> <li>$ A $ 에 기본열변형을 유한 번 시행하여 얻은 행렬을 $ C $ 라 하면 $ A $ 의 열공간과 $ C $ 의 열공간은 같다.</li></ol></p> <p>[증명] 행렬 $ A $ 의 행벡터를 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { m } $ 이라 하자. $ \left \langle A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { m } \right \rangle $ 에 기본행변형을 시행하면 정리 3.4.1에 의하여 $ \alpha \subset \mathbb { K } , \alpha \neq 0 $ 이면 \[ \left \langle A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { n } \right \rangle= \left \langle A_ { 1 } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { n } \right \rangle \\ = \left \langle A_ { 1 } , \cdots, \alpha A_ { i } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { m } \right \rangle= \left \langle A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } + \alpha A_ { j } , \cdots, A_ { m } \right \rangle \] 따라서 기본행변형에 의하여 행렬 $ A $ 의 행공간을 변하지 않는다. 마찬가지로 기본열변형에 의하여 열공간도 변하지 않는다.</p> <p>정리 3.4.3 행렬 $ A \subset M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) $ 의 기약 행(열) 사다리꼴행렬이 처음 $ r $ 개의 영이 아닌 행벡터와 $ (m-r) $ 개의 영벡터로 이루어져 있을 때 영이 아닌 $ r $ 개의 행(열)벡터는 $ A $ 의 행공간의 기저를 이룬다.</p> <p>다음으로 $ n>1 $ 이고 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 $ V $ 를 생성한다고 하자. 그러면 적어도 하나 는 영이 아닌 수 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 이 존재하여 다음 식을 만족한다고 하자. \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] $ \alpha_ { n } \neq 0 $ 라고 가정하면 \[ v_ { n } = \left (- \frac {\alpha_ { 1 } } { a_ { n } } \right ) v_ { 1 } + \cdots + \left (- \frac {\alpha_ { n-1 } } { a_ { n } } \right ) v_ { n-1 } \] $ V $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 에 의하여 생성되고 $ v_ { n } $ 은 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 에 의하여 생성되므로 $ V $ 는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 에 의하여 생성된다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 이 일차독립이면 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } \right \} $ 은 $ V $ 의 기저이고 차원은 $ n-1 $ 이다. 이는 $ V $ 의 차원이 $ n $ 이라는 가정에 모순이다. 그러므로 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n-1 } $ 은 일차종속이다. 이러한 과정을 계속하여 $ V= \left \langle v_ { 1 } \right \rangle $ 을 얻는다. $ v_ { 1 } = \mathbf { 0 } $ 이면 $ \operatorname { dim } V=0 . \quad v_ { 1 } \neq \mathbf { 0 } $ 이고 $ \alpha v_ { 1 } = \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha=0 $ 이다. 즉 $ v_ { 1 } $ 은 일차독립이다. 그러므로 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } \left \langle v_ { 1 } \right \rangle=1 $. 이는 $ \operatorname { dim } V>1 $ 라는 가정에 어긋난다. 따라서 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차독립이다. $ \operatorname { dim } V=n=1 $ 일 때 임의의 $ v \subset V $ 는 $ v= \alpha v_ { 1 } $ 으로 표시된다. $ v= \mathbf { 0 } $ 이면 $ \alpha v_ { 1 } = \mathbf { 0 } $ 이므로 $ \alpha=0 $ 또는 $ v_ { 1 } = \mathbf { 0 } . v_ { 1 } \neq \mathbf { 0 } $ 이므로 $ \alpha=0 $. 따라서 $ v_ { 1 } $ 은 일차독립이다.</p> <p>(ii) 복소수 $ z=-1, z ^ {\prime } =1 + i $ 라 놓으면 $ (z)(1 + i, 2 i) + \left (z ^ {\prime } \right )(1,1 + i)=(-1 -i,-2 i) + (1 + i)(1,1 + i)=(-1-i,-2 i) + (1 + i, 2 i)=(-1-i + 1 + i,-2 i + 2 i)=(0,0) $. 즉 $ z u + z ^ {\prime } v= \mathbf { 0 } $ 이지만 $ z=-1 \neq 0, z ^ {\prime } =1 + i \neq 0 $ 이다. 따라서 $ u, v $는 복소수체 $ \mathbb { C } $ 위에서는 일차종속이다.</p> <p>정리 $ 3.2 .2 $ 벡터공간 $ V $ 의 원소 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차종속이면 이들 중에 몇 개의 벡터를 첨가하여도 일차종속이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차독립이면 이들 중에서 몇 개의 벡터를 제외하여도 일차독립이다.</li></ol></p> <p>[증명] (1) $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 일차종속이면 적어도 하나는 0이 아닌 수 $ \alpha_ { i } , i=1, \cdots, n $ 이 존재하여 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } = \mathbf { 0 } \] 새로운 벡터 $ w_ { n + 1 } , \cdots, w_ { n + m } $ 에서 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + 0 w_ { n + 1 } + \cdots + 0 w_ { n + m } = \mathbf { 0 } \] 이 성립한다. $ \alpha_ { n + 1 } = \cdots= \alpha_ { n + m } =0 $ 이라 놓으면 \[ \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } + \alpha_ { n + 1 } w_ { n + 1 } + \cdots + \alpha_ { n + m } w_ { n + m } = \mathbf { 0 } \] 그러면 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n + m } $ 중 적어도 하나는 0이 아니다. 실제로 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $ 중 적어도 하나는 영이 아니다. 이러한 사실은 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } , w_ { n + 1 } , \cdots, w_ { n + m } $ 이 일차종속임을 뜻한다.</p> <p>정리 $ 3.3.6 $ $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 의 $ r $ 개 $ (r<n) $ 의 원소 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 이 일차독립이면 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { r + 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 기저가 되는 벡터 $ v_ { r + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 이 존재한다.</p> <p>[풀이] $ \operatorname { dim } V=n $ 이므로 $ r(r<n) $ 개의 벡터 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 는 기저가 되지 못한다. $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 가 일차독립인 벡터의 최대 개수이면 정리 $ 3.3 .5 $ 에 의하여 $ r=n= \operatorname { dim } V $ 이다. 이는 모순이기 때문에 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } $ 는 최대 개수가 아니다. 적당한 벡터 $ w $ 가 존재하여 \[ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , w \] 는 일차독립이다. 이러한 $ w $ 가 존재하지 않는다면 모든 벡터 $ w $ 에 대하여 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , w $ 는 일차종속이다. 그러면 일차독립인 벡터의 개수는 $ r $ 개 이하이므로 정리 $ 3.3.5 $ 에 어긋난다. $ w=v_ { r + 1 } $ 이라 놓으면 다음 벡터는 일차독립이다. \[ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { r + 1 } \] 같은 이유에서 $ r + 1<n $ 일 때 일차독립인 벡터 \[ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { r + 1 } , v_ { r + 2 } \] 가 존재한다. 이러한 과정을 $ n-r $ 번 시행하면 기저가 되는 벡터 \[ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } , v_ { r + 1 } , \cdots, v_ { r + (n-r) } \] 를 얻는다. 즉 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { r } \right \} $ 에 적당한 벡터 $ v_ { r + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 을 첨가하여 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 이 $ V $ 의 기저가 되도록 할 수 있다.</p>	자연
알기 쉬운 현대대수학_군의 작용, 실로우 정리	<h3>정리 3.3.12</h3> <p>유한군 $ G $ 가 가해군이기 위한 필요충분조건은 모든 잉여군이 소수 위수 의 순환군인 조성렬을 갖는 것이다.</p> <caption>증명</caption> <p>잉여군이 순환군인 조성렬은 가해열이므르 $ G $ 는 가해군이다. 역으로 $ G=G_ { 0 } $ 하 $ G_ { 1 } \backsim \ldots \backsim G_ { n } = \{ e \} $ 롤 $ G $ 의 가해열이라 하자. $ G_ { 0 } \neq G_ { 1 } $ 일 매 $ H_ { 1 } $ 를 $ G_ { 1 } $ 를 포함하고 있는 $ G $ 의 §-대정규부분군이라 하자. 또 $ H_ { l + 1 } $ 롤 $ G_ { 1 } $ 을 포함하고 있는 $ H_ { 1 } $ 의 극대정규부분군이라 하먼 $ G $ 가 유한군이므르 모든 잉여군이 단순군인 열을 얻는다. \[ G=G_ { 0 } \approx H_ { 1 } \backsim H_ { 2 } \backsim \cdots \cdots H_ {\mathrm { k } } \diamond G_ { 1 } \]</p> <p>모든 짝 $ \left (G_ { 1 } , G_ { 1 + 1 } \right ) $ 에 대하여 이러한 작업을 시행하여 준조성열의 가해 세분열 $ G=N_ { 0 } = \cdots N_ { m } = \{ e \} $를 얻는다. 이매 모든 잉여군은 가환이코 단순군이므로 소수 위수의 순환군이다.</p> <caption>연습문제<h2>연습문제 $ 3.3 $</h2> <ol type= start=1><li>대칭균 $ S_ { 3 } $ 의 교환자군은 교대군 $ A_ { 3 } $ 가 됨을 보여라.</li> <li>균 $ G $ 의 부분균 $ M, N $ 에 대하여 다옹이 성립합올 보여라. (1) $ N \subseteq M $ 이면 $ N ^ {\prime } \subseteq M ^ {\prime } $ 이다. (2) $ M \approx G $ 이며 $ M ^ {\prime } \approx G $ 이다.</li> <li>균 $ G $ 의 정규부분군 $ N $ 과 임의의 부분군 $ M $ 에 대하여 $ (M N / N) ^ {\prime } =M ^ {\prime } N / N $ 성립 함을 보여라.</li> <li>4 원수군 $ Q= \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \} $ 의 교환자군을 구하여라.</li> <li>$ H $ 가 벽영군 $ G $ 의 진부분군이면 $ H $ 는 $ N_ { G } (H) $ 의 진부분군임을 보여라.</li> <li>대칭군 $ S_ { n } (n=1,2,3,4) $ 은 모두 가해군임을 보여라.</li> <li>정이면체군 $ D_ { n } = \left \{< \sigma, \tau>\mid \sigma ^ { n } =1= \tau ^ { 2 } , \tau ^ { -1 } \sigma \tau= \sigma ^ { -1 } \right \} $ 는 가해군임을 보여라.</li> <li>균 $ G $ 의 중심 $ Z(G) $ 는 $ G $ 의 특성부분군임을 보여라.</li> <li>표대군 $ A_ { 5 } $ 및 대칭군 $ S_ { 6 } $ 는 가해군이 아님을 보여라.</li> <li>가해군 $ G $ 의 정규부분군 $ N $ 에 대하여 $ G / N $ 이 가해군임을 증병하여라.</li> <li>모든 유한균은 합성렬을 가짐을 밝혀라.</li> <li>$ G $ 와 $ T $ 가 가해군이면 $ G \times T $ 도 가해군임을 밝혀라.</li></ol> <p>정리 3.1.2 군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용할 때 $ g x=y $ 가 되는 적당한 $ g \in G $ 가 존재하는 관계를 $ x \sim y $ 라 하면 $ \sim $ 은 동치관계이다.</p> <p>증명 모든 $ x \in X $ 에 대하여 $ e x=x $ 이므로 $ x \sim x \cdot x \sim y $ 이면 $ g x=y $ 인 $ g \in G $ 가 존재하므로 $ x=g ^ { -1 } y, y \sim x, g ^ { -1 } \in G \cdot x \sim y, y \sim z $ 이면, $ g x=y, h y=z $ 인 $ g, h \in G $ 가 존재한다. $ z=h y=h(g x)=(h g)(x), h g \in G $ 이므로 $ x \sim z $. 따라서 $ \sim $ 은 $ \mathrm { Y } $ 위의 동치관계이다.</p> <p>위의 동치관계 $ \sim $ 에 관한 동치류 $ \bar { x } =O(x) $ 를 $ X $ 위의 $ G $ 의 궤도(orbit)라고 한다. 궤도 $ O(x) $ 의 원소의 개수를 궤도의 크기 또는 길이라 한다. 궤도 전체의 집합 $ \{ O(x) \mid x \in X \} $ 는 집합 $ X $ 의 분할이다. 즉 $ X= \cup \{ O(x) \mid x \in X \} , O $ $ (x) \cap O(y)= \varnothing $ 또는 $ O(x)=O(y) $ 이다.</p> <p>정리 3.1.3 군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용할 때 집합 $ G_ { x } = \{ g \in G \mid g x=x \} $ 는 $ G $ 의 부분군이다.</p> <p>증명</p> <p>$ e x=x $ 이므로 $ e \equiv G_ { x } , g, h \in G_ { x } $ 이면 $ g x=x, h x=x $ 에서 $ (g h) x=g(h x)= $ $ g x=x $. 그러므로 $ g h \in G_ { x } $. 또 $ x=e x= \left (g ^ { -1 } g \right ) x=g ^ { -1 } (g x)=g ^ { -1 } x $ 이므로 $ g ^ { -1 } \boxminus G_ { x } $. 따라서 $ G_ { z } $ 는 $ G $ 의 부분군이다.</p> <h3>정리 3.2.2</h3> <p>유한군 $ G $ 의 $ p $ 부분군 $ H $ 에 대하여 $ p \mid[G: H] $ 이면 $ N_ { G } (G) \neq H $ 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>\[[G: H] \equiv \left [N_ { G } (H): H \right ]( \bmod p) \text { 에서 } \left [N_ { G } (H): H \right ] \equiv 0( \bmod p) \text { . } \] $ \left [N_ { G } (H): H \right ] \geq 1 $ 가 항상 성립하므로 $ \left [N_ { G } (H): H \right ]>1 $. 따라서 $ N_ { G } (G) \neq H $.</p> <p>따름정리 $ 2.6 .17 $ 에 의하면 상군 $ G / N $ 의 부분군은 $ H / N, N \subseteq H \subseteq G $ 의 꾤이다. 위의 정리를 이용하면 실로우 정리를 증명하여 보자.</p> <h3>정리 3.2.3</h3> <p>First Sylow Theorem 위수가 $ p ^ { n } m, n \geq 1,(p, m)=1 $ 이 유한군 $ G $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>모든 $ i(1 \leq i \leq n) $ 에 대하여 위수가 $ p ^ { i } $ 인 부분군이 존재한다.</li> <li>위수가 $ p ^ { i } $ 인 부분군은 위수가 $ p ^ { i + 1 } $ 인 어떤 부분군의 정규부분군이다.</li></ol> <caption>증명</caption> <p>$ p \\| G \mid $ 이므로 정리 2.8.7에 외하여 위수가 $ p $ 인 원소 $ a \in G $ 가 존재한다. 순환군 $ \langle a \rangle $ 는 외수가 $ p $ 인 $ G $ 의 부븐균이다. 귀납법으로 이 정리를 증명하기 위하여 위수가 $ p ^ { t } (1 \leq i<n) $ 인 부분군 $ H $ 가 존재한다고 가정하자 $ [G: H] $ 는 $ p $ 의 배수이므로 $ H<N_ { G } (H), H \neq N_ { G } (H) $. 그러므로 \[ 1< \left \|N_ { G } (H) / H \right \|= \left [N_ { G } (H): H \right ] \equiv[G: H]( \bmod p) \] $ N_ { G } (H) / H $ 는 위수가 $ p $ 인 배수인 유한군이므로 워수가 $ p $ 인 부분근을 갖는다. 이 부분균은 $ K / H, K \subseteq N_ { G } (H), H \subseteq K ^ { * } $ 의 꼴이다. $ H \triangleleft N_ { G } (H) $ 이므로 $ H $ $ \Delta K ^ {\circ } $ 이다. $ \left \|K ^ { * } / H \right \|= \left [K ^ { * } : H \right ]=p $ 에서 $ \left \|K ^ { * } \right \|=p\|H\|=p p ^ { i } =p ^ { i + 1 } $. 따라서 위수가 $ p ^ { i + 1 } $ 인 $ G $ 의 부분균 $ K $ 가 존재한다.</p> <caption>정의</caption> <p>$ \|G\|=p ^ { n } m \left (p \mid m, p \right . $ 는 소수)인 유한군 $ G $ 의 위수가 $ p ^ { n } $ 인 부분군올 실로우 $ p- $부분군(Sylow p-subgroup)이라 한다.</p> <h2>$ 3.2 $ 실로우 정리</h2> <p>실로우 정리는 군론의 활용 및 균의 구조톤에서 가장 증요한 부분의 하나이다. 실로우 정리를 증명하기 위하여 이 책에서는 헝거포드(Hungerford)의 저서에 있는 방법을 사용하여 증명을 시도하였다. 실로우 정리를 활용하여 정규부분균, 위수 및 단순군을 찾아내는 것이 학습목표이다.</p> <h3>정리 3.2.1</h3> <p>유한군 $ G $ 의 $ p $-부분군 $ H $ 에 대하여 $ \left [N_ { G } (H): H \right ]=[G: H] $ 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ S $ 를 $ H $ 의 좌잉여류 전체의 집합이라고 하자. $ H $ 가 $ S $ 에 좌측곱셈에 의하여 작용하 면 $ O_ { 0 } = \{ x H \in S \mid h x H=x H, h \in H \} = \left \{ x H \in S \mid x \in N_ { G } (H) \right \} $ 이나. 실제로 $ h x H=x H, \quad h \in H \Leftrightarrow x ^ { -1 } h x H=H, h \in H \Leftrightarrow x ^ { -1 } h x \in H, h \in H \Leftrightarrow x $ $ \in N_ { G } (H) . O_ { 0 } $ 의 원소의 개수는 $ N_ { G } (H) $ 의 부분군 $ H $ 의 지수이다. 그러므로 $ \mid O_ { 0 } = \left [N_ { G } (H): H \right ] $. $ x H \in O_ { 0 } $ 이면 $ x H $ 의 계도는 오직 하나의 원소로 되어 있고 이의 역도 성 립하므르 서로소인 궤도 $ O_ { 0 } , O_ { 1 } , \cdots, O_ { n } $ 의 합으로 표시된다. $ S=O_ { 0 } \cup O_ { 1 } \cup \cdots \cup O_ { n } , \left \|O_ { i } \right \|>1, i=1, \cdots, n $ $ x_ { i } \in O_ { i } , H_ { i } =H_ { x_ { i } } $ 이면 정리 $ 3.1 .4 $ 에 의하여 $ \left \|O_ { i } = \left [H: H_ { i } \right ], \right \| O_ { i } \mid>$, $ 1(i \geq 1) $ 이므르 $ p\|\| O \mid $ 이다. $ \|O\|= \left \|O_ { 1 } \right \| + \left \|O_ { 2 } \right \| + \cdots + \left \|O_ { n } \right \| $ 에서 모든 $ \mid O_ { 1 } $ 는 $ p $ 의 배수이므로 $ \|S\|= \left \|O_ { 0 } ( \bmod p) . \quad \right \| S\|=[G: H], \quad\| O_ { 0 } \mid= \left [N_ { G } (H): H \right ] $ 이므로 $ \left [N_ { G } (H): H \right ] \equiv[G: H]( \bmod p) $ 가 성립한다.</p> <h1>(3.1) 군의 작용</h1> <p>비가환 유한군의 구조홀 반히는 데 유영한 공이 아닌 어떤 집합 위의 군의 작용에 대하여 살며보고, 이를 확용하여 실로우 정리롤 공부하고 군의 구조톤을 연구함을 목표르 한다.</p> <p>정의 군 $ G $ 와 집합 $ X $ 에 관한 사상 $ \circ: G \times X \rightarrow X $ 가 다온 조건올 만졈할 매 이 사상 을 $ X $ 위의 $ G $ 의 작용(action)이라 한다.</p> <ol type = start=1><ol type= start=1><li>모든 $ a, b \in G, x \in X $ 에 매항 $ (a b) \circ x=a \circ(b \circ x) $ 이다.</li> <li>항둥올 $ e \in G, x \in X $ 에 대하여 $ e \circ x=x $ 이다.</li> <p>$ (a, B) \equiv G \times X $ 의 작양 에 관한 상 $ a \circ x=a x $ 로 나타내면 $ (a b)_ { x } = $ $ a(b x), e x=x $ 이다. 집합 $ X $ 위의 $ G $ 의 작용이 존재한 매 $ G $ 는 $ X $ 에 작용한다 $ G $ acts on a set $ \mathrm { X } ) $ 고 하고, $ X $ 올 $ G $-집합 $ (G $-set)이라 한다.</p> <p>보기 1 I $ I_ { n } = \{ 1, \cdots, n \} $, 대칭군 $ S_ { n } $ 에 대하여 $ 0: S_ { n } \times I_ { n } \rightarrow I_ { n } ,( \sigma, i) \rightarrow \sigma \circ $ $ i= \sigma(i), i \in I_ { n } , \sigma \in S_ { n } $ 은 $ S_ { n } $ 위의 $ G $-작용이다.</p> <p>보기 $ 2 G=G L(2, R), X=R ^ { 2 } $ 에서 $ G \times X \rightarrow X, \left ( \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ], \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \right ) \rightarrow \left [ \begin {array} { l } a x + b y \\ c x + d y \end {array} \right ] $ 은 작 용이다.</p> <h3>정리 3.3.1</h3> <p>균 $ G $ 의 부분군 $ N $ 과 교환자군 $ G ^ {\prime } $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ G ^ {\prime } $ 는 $ G $ 의 정규부분군이나.</li> <li>$ N * G, G / N $ 이 가환군이기 위한 필요충분조건온 $ G ^ {\prime } \subseteq N $ 이다. 뜨 $ G / G $ 는 가환군이다.</li></ol> <caption>증명</caption> <ol type= start=1><li>$ [z, y] ^ { z } =z ^ { -1 } \left (z ^ { -1 } y ^ { -1 } z y \right ) z=z ^ { -1 } z ^ { -1 } \left (z z ^ { -1 } \right ) y ^ { -1 } \left (z z ^ { -1 } \right ) z \left (z z ^ { -1 } \right ) y z $ \[ \begin {array} { l } = \left (z ^ { -1 } z ^ { -1 } z \right ) \left (z ^ { -1 } y ^ { -1 } z \right ) \left (z ^ { -1 } z z \right ) \left (z ^ { -1 } y z \right ) \\ = \left [z ^ { -1 } x z, z ^ { -1 } y z \right ]= \left [z ^ { z } , y ^ { 2 } \right ] \end {array} \] 이므로 $ [x, y] ^ { z } \in G ^ {\prime } $. 입의의 $ z $ 와 $ \left [x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ] \cdots \left [x_ { n } , y_ { n } \right ] \in G ^ {\prime } $ 에 대하여 \[ z ^ { -1 } \left [x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ] \cdots \left [x_ { n } , y_ { n } \right ] z= \left (z ^ { -1 } \left [x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ] z \right ) \cdots \left (z ^ { -1 } \left [x_ { n } , y_ { n } \right ] z \right ) \in G ^ {\prime } \] $ G ^ {\prime } $ 의 원소는 $ \left [x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ] \cdots \left [x_ { n } , y_ { n } \right ] $ 의 꼴이므로 $ G ^ {\prime } $ 는 $ G $ 의 정규부분군이다.</li> <li>$ N \uplus G $ 이면 모튼 $ x, y \in G $ 에 내하여 \[ (x N)(y N)=(y N)(x N) \Leftrightarrow[x, y] \in N \] 따라서 $ N $ 비이고 $ G / H $ 가 가환이면 $ G ^ {\prime } \subseteq N $ 이다. 역으로 $ G ^ {\prime } \subseteq N $ 이면 모든 $ x, y \in G $ 에 대하여 $ [x, y] \in N $ 이다. $ x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y=x ^ { -1 } \left (y ^ { -1 } x y \right ) \in N $ 이므로 $ N $ 바이나. 그러므로 군 $ G / N $ 을 생각할 수 있어서 $ (x N)(y N)=(y, N)(x N), x, y \in G $, 즉 $ G / N $ 은 가환 균이나.</li></ol> <h3>정리 $ 3.24 $</h3> <p>14 Second Sylow Theorem 유한군 $ G $ 의 $ p $-부분군 $ H $ 를 포함하는 실로우 $ p $ -부분군이 존재한다. 즉 실로우 $ p $-부분군 $ P $ 에 대하여 $ H \subseteq P ^ { z } $ 인 $ x \in G $ 가 존 재한다. 여기서, $ p ^ { 2 } =x p x ^ { -1 } $ 이다. 또 $ G $ 의 모든 실로우 $ p $-부분군은 서로 공액 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>정리 $ 3.2 .3 $ 에 의하여 실로우 $ p $ 부분군 $ P $ 가 존재한다. $ G $ 에서의 $ P $ 의 좌잉여류 전체의 집합 $ S $ 위에 $ H $ 가 좌측곱에 의하여 작용한다고 하자. 모든 $ u \in G $, $ h \in H $ 에 대하여 $ H \times S \rightarrow S,(h, x P) \rightarrow h x P $. 정리 3.2.1에 의하여 $ \left \|O_ { 0 } \right \| \equiv\|S\| \equiv[G: P]( \bmod p) . \quad p \mid[G: P] $ 이므로 $ \left \|O_ { 0 } \right \| \neq 0 $. 그러므로 $ x P \in O_ { 0 } $ 가 존재하여 $ x P \in S_ { 0 } \Leftrightarrow h x P=x P, h \in H \Leftrightarrow $ $ x ^ { -1 } h x P=P \Leftrightarrow x ^ { -1 } h x \in P \Leftrightarrow x ^ { -1 } H x \subseteq P $. 즉 $ H \subseteq x P x ^ { -1 } , \quad\|P\|= $</p> <p>$ \left \|x P x ^ { -1 } \right \| $ 이므로 $ x P x ^ { -1 } $ 도 실로우 $ p $-부분군이다. 따라서 $ H $ 는 실로우 $ p $-부분 균 $ P ^ { x } $ 의 부분균이다. $ H $ 가 실로우 $ p $ 부분군이면 $ \|H\|= \left \|P ^ { z } \right \| $ 이므로 $ H=P ^ { z } $ 이고, $ H $ 와 $ P $ 는 서로 공액이다. 즉 모든 실로우 $ p $ 부분군은 서로 공액이다.</p> <h3>따름정리 $ 3.27 $</h3> <p>P 가 유한균 $ G $ 의 실호우 $ p $ 부분균이면 $ G $ 의 $ p $ 부분균은 $ \frac { \|G\| } {\left \|N_ { G } (P) \right \| } $ 개 다. 즉 실로우 $ p $ 부분군의 개수가 $ 1 + k p $ 이면 $ \left \|N_ { G } (P) \right \|= \frac { \|G\| } { (1 + k p) } $ 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ G $ 가 실호우 $ p $ 부분군의 집합 $ S $ 에 공액으로 작용하면 실호우 $ p $ 부분군 $ P $ 에 대하여 $ \|G\|=(1 + k p) \left \|N_ { G } (p) \right \|, \left \|O_ { 0 } \right \|=1 + k p, N_ { G } (p)= \left \{ g \mid g \in G, g P ^ { -1 } =P \right \} $.</p> <p>$ P $ 가 $ N_ { G } (P) $ 의 부분군이므로 $ (1 + k p) $ 는 $ \frac { \|G\| } { \|P\| } $ 의 약수이다. 따라서 $ \left \|N_ { G } (P) \right \|= \frac { \|G\| } { (1 + k p) } , 1 + k p= \frac { \|G\| } {\left \|N_ { G } (P) \right \| } $ 이다.</p> <caption>보기</caption> <p>위수가 360 인 모든 군 $ G $ 는 정규진부분군을 갖는다. $ 350=2 \times 5 ^ { 2 } \times 7 $ 이므로 정리 $ 3.2 .3 $ 에 의하여 위수가 25 인 부분군이 존재 한다. 실로우 5 -부분군은 $ 1,6,11,16 $ 개다. Sylow $ p $ 부분균 $ P $ 에 대하여 $ \frac { \|G\| } { \|P\| } = \frac { 350 } { 25 } =14 $. 이들 증에서 14 의 약수는 1 뿐이므로 $ 1= \frac { \|G\| } {\left \|N_ { G } (P) \right \| } , N_ { G } (P)=\|G\| $. 따라서 $ P $ 는 $ G $ 의 정규부분군이다.</p> <caption>보기 2</caption> <p>위수가 60 인 군 $ G $ 의 위수가 5 인 부분군은 하나뿐이거나 여섯 개다. 모든 실로우 5 -부분군 $ P $ 의 위수는 5 이고, 이들은 $ 1,6,11,16 $ 개가 있다. $ \frac { \|G\| } { P \mid } = \frac { 60 } { 5 } =12 $ 이므로 실로우 5 부분군은. 한 개 또는 여섯 개가 있다.</p> <caption>연습문제 $ 3.2 $</caption> <ol type= start=1><li>위수가 56 인 균 $ G $ 는 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>위수가 35 인 군은 순환군임을 보여라.</li> <li>위수가 200 또는 1975 인 모든 군은 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>소수 $ p, q $ 에 대하여 위수가 $ p g $ 인 모든 근은 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>워수가 992 인 모든 근온 만슨균이 아닐을 보여라.</li> <li>대칭군 $ S_ { 4 } $ 의 실로우 $ p- $ 부분군은 각각 몇 개나 있는가?</li> <li>위수가 350 인 근 $ G $ 는 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>위수가 $ p ^ { n } m, n \geq 1,(p, m)=1 $ 이 유한군 $ G $ 에 대하여 다음이 성럽한다. "모든 $ i(1 \leq i \leq n) $ 에 대하여 위수가 $ p $ 인 부분군이 존재한다." 이를 이용하여 코시 정리를 증명하여라.</li> <li>유한군 $ G $ 의 모든 실로우 $ p $-부분군은 서로 공액임을 보여라.</li> <li>유한군 $ G $ 외 실로우 $ p $ 부분군의 개수는 $ 1 + k p $의 형태이고, 이는 $ \|G\| $ 의 약수임을 증명하여라.</li> <li>위수가 2015 인 군은 단순군이 아님을 보여라.</li></ol> <h3>정리 3.3.4</h3> <p>1 군 $ G $ 가 가해군이기 위한 필요충분조건은 교환자열이 $ G ^ { (n) } = \{ e \} $ 이 되는 졍수 $ n \geq 0 $ 이 존재하는 것이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ G ^ { (n) } = \{ e \} $ 이면 $ G ^ { (n) } / G ^ { (1 + 1) } $ 는 가환군이므로 교환자열은 가환정규열이다. 따라서 $ G $ 는 가해군이다. 역으로 $ G $ 가 가해군이라 하먼 $ G $ 의 가환정규열이 존재하여 \[ G=N_ { 0 } \diamond N_ { 1 } \leadsto \ldots \quad N_ { n } = \{ e \} \] 정리 3.3.1에 (2)에 의하여 $ N_ { 1 } \supseteq G ^ { (1) } $ 이다. $ N_ { G } \supseteq G ^ { (1) } $ 하 가정하면 $ N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } $ 은 가환이므로 정리 $ 3.3 .1 $ 에 의하여 $ N_ { 1 + 1 } \supseteq N_ { 1 } ^ {\prime } $. 모든 $ N_ { ! } \supseteq G ^ { (1) } $ 이므로 \[ \left .N_ { 1 } ^ {\prime } \equiv G ^ { (t) } \right ) ^ {\prime } =G ^ { (l + 1) } \] 그러므르 $ N_ { 1 + 1 } \supseteq G ^ { (l + 1) } , i $ 에 관한 귀납에 의하여 $ \{ e \} =N_ { n } \supseteq G ^ { (n) } $, $ G ^ { (n) } = \{ e \} $ 이다.</p> <h3>정리 $ 3.3 .5 $</h3> <p>가해군 $ G $ 의 모든 부븐군은 가해군이다.</p> <caption>증명</caption> <p>군 $ G $ 의 가환정규열을 $ G=N_ { 0 } \backsim N_ { 1 } \backsim \cdots \quad \backsim N_ { n } = \{ e \} , H $ 롤 $ G $ 의 임의의 부분군이라 하자. $ M_ { 1 } =H \cap N_ { 1 } $ 라 놓으면</p> <h3>정리 3.1.6</h3> <p>군 $ G $ 의 위수가 $ p ^ { n } (n \leq 0) $ 이기 위한 필요충분조건은 모든 $ g \in G $ 의 위수가 $ p ^ { m } (0 \leq m \leq n) $ 의 홉이 듸는 것이다.</p> <caption>증명</caption> <p정리 2.4.7(라그랑주 정리)에 의하여 $ \| \langle g \rangle\|\|G\| $ 이므로 $ o(g) \mid p ^ { n } $. 그러므로 $ g $ 의위수는 $ p ^ { m } (0 \leq m \leq n) $ 이다. 역으로 $ g \in G, o(g)=p ^ { m } $ 이라 하자. 소수 $ q $ 가 $ \|G\| $ 의 약수이면 정리 $ 2.8 .7 $ (코시 정리)에 의하여 $ o(h)=q $ 인 $ h \in G $ 가 존재한다. 모든 $ G $ 의 원소의 위수는 $ p $ 의 벽이므르 $ q=p $ 이다. $ \|G\| $ 의 약수익 소수는 $ p $ 뿐이므로 $ \|G\|=p ^ { n } $ 의 합이다.</p> <caption>정리<h3>정리 3.1.7</h3> <p>위수가 $ p ^ { n } $ 인 유한군 $ G $ 가 유한집합 $ X $ 에 작용하고 $ p $ $ X \mid $ 이면 $ G $ 는 적어도 하나의 고정점을 갖는다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ p $-균 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용한다면 겅리 3.1.4에 의하여 체도의 크기는 $ \|G\|=p ^ { n } $ 의 약수이다. 임의의 케도 $ O(x) $ 의 크기는 $ 1, p, \cdots, p ^ { n-1 } , p ^ { n } $ 증의 어느 하나이 다. 정리 3.1.4에 의하면 $ \|X\|= \left \|O_ { 1 } \right \| + \cdots + \left \|O_ { r } \right \|, \left \|O_ { 1 } \right \| \mid p ^ { n } $ 이다.</p> <p>$ \mid O_ { i } =p ^ { 2 } (0 \leq i \leq n) $. 모든 $ i \geq 1 $ 이면 $ p\|\| X \mid $ 이므로 모순이다. 그러므로 $ \mid O:=p ^ { 0 } =1 $ 인 게도가 존새한다. 그러면 $ O_ { i } = \{ x \} $, 즉 $ x $ 는 고정점이다.</p> <p>이므로 $ G ^ {\prime } \varsubsetneqq \alpha \left (G ^ {\prime } \right ) $. 따라서 $ \alpha \left (G ^ {\prime } \right )=G ^ {\prime } $. 자기동형사상 $ f_ { g } (x)=g ^ { -1 } x g $ 에 대하여 \[ f_ { g } \left (x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y \right )=g ^ { -1 } \left (x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y \right ) g \in G ^ {\prime } , g \in G \] 그러므로 $ G ^ {\prime } $ 는 $ G $ 의 특성부분군이다.</p> <caption>보기 4</caption> <p>$ G ^ { (1) } , G ^ { (2) } , G ^ { (3) } , \cdots $ 은 모두 $ G $ 의 특성부분군이다. 이들 모두가 $ G $ 의 정규 부분군이다.</p> <caption>보기 5</caption> <p>군 $ G $ 의 중심 $ Z(G) $ 는 $ G $ 의 특성부분군이다.</p> <caption>정의</caption> <p>정규열 $ G=G_ { 0 } \diamond G_ { 1 } \leadsto \ldots \Leftrightarrow G_ { n } = \{ e \} $ 와 $ N \approx G_ { l } , G_ { 1 + 1 } \approx N $ 이 되는 $ G $ 의 부 분군에 대하여 다음을 주어진 정규열의 1 계단 세분(one step refinement)이라 한다. 1 단계 세분올 유한번 시행하여 생기는 정규열을 주어진 정규열의 세분 (refinement), 주어진 정규열보다 길이가 긴 세분정규열올 진세분(proper refinement)이라 한다. \[ G=G_ { 0 } \approx G_ { 1 } \otimes \ldots G_ { l } \diamond N \backsim G_ { l + 1 } \approx \ldots \otimes G_ { n } = \{ e \} _ {\hat {\imath } } \]</p> <caption>정의</caption> <p>군 $ G $ 의 정규부분군 $ N $ 이 $ N \neq G, N \subseteq H \subseteq G $ 인 정규부분군 $ H $ 는 $ N $ 또는 $ G $ 뿐일 때 $ N $ 를 $ G $ 의 극대정규부분군(maximal normal subgroup)이라 한다. $ N \approx $ $ G $ 가 극대정규부분군이기 위한 필요충분조건은 $ N \neq G, G / N $ 가 단순군이 되는 것이다.</p> <caption>정의</caption> <p>정규열 $ G=G_ { 0 } \backsim G_ { 1 } \backsim \cdots \cdots G_ { n } = \{ e \} $ 에서 각 $ G_ { 1 + 1 } $ 이 $ G_ { 1 } $ 의 극대정규부분군 (즉, $ G_ { 1 } \neq G_ { l + 1 } , G_ { l } / G_ { l + 1 } $ 이 단순군)일 때 이 열을 조성렬 또는 합성렬 (composition series)이라 한다.</p> <caption>보기 6</caption> <p>대칭군 $ S_ { 3 } $ 에서 $ S_ { 3 } \bullet A_ { 3 } \backsim \{ 1 \} , S_ { 4 } $ 에서 $ S_ { 4 } \bullet A_ { 4 } \bullet V_ { 4 } \bullet \{ 1,(12)(34) \} =0 $ $ \{ 1 \} $ 은 각각의 합성렬이다.</p> <h3>정리 3.1.4</h3> <p>군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용할 때, $ x \in X $ 의 궤도의 원소의 개수는 지수 $ \left [G: G_ { x } \right ] $ 이다. 즉 $ \|G\|=\|O(x)\|\|\| G_ { x } \|,\| O(x)\|\|\|G $\| 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ G $ 에서 $ G_ { x } $ 의 잉여류 전체의 집합 $ S $ 에서 $ x $ 의 궤도 $ O(x) $ 로의 사상 $ \phi: S \rightarrow $ $ O(x), \phi \left (g G_ { x } \right )=g x, g \in G $ 은 일대일 대응이다. 실제로 $ g, h \in G $ 에 대하여 $ g x=h x \Leftrightarrow x=g ^ { -1 } h x \Leftrightarrow g ^ { -1 } h \in G_ { x } \Leftrightarrow g G_ { x } =h G_ { x } . $ 따라서 $ \|O(x)\|=\|S\|= \left [G: G_ { x } \right ]=\|G\| / \left \|G_ { x } \right \|,\|G=\| O(x)\|\| \left \|G_ { x } \right \| $.</p> <h3>따름정리 3.1.5</h3> <p>$ G $ 가 유한군이면 $ x \equiv G $ 의 공액류의 위수는 $ \left [G: C_ { G } (x) \right ] $ 이다. 서로 다른 $ G $ 의 공액류가 $ \overline { x_ { 1 } } , \cdots, \overline { x_ { n } } $ 이면 $ \|G\|= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [G: C_ { G } \left (x_ { i } \right ) \right ] $ 이다.</p> <p>모든 $ g \in G $ 에 대하여 $ g x=x, G_ { x } =G, O= \{ x \} $ 일 때 $ x $ 는 집합 $ S $ 위의 군 $ G $ 의 작용의 고정점(fixed point)이라 한다.</p> <caption>정의</caption> <p>$ G $ 에서 $ G_ { x } $ 의 잉여류 전체의 집합 $ S $ 에서 $ x $ 의 궤도 $ O(x) $ 로의 사상 $ \phi: S \rightarrow $ $ O(x), \phi \left (g G_ { x } \right )=g x, g \notin G $ 은 일대일 대응이다. 실제로 $ g, h \in G $ 에 대하여 $ g x=h x \Leftrightarrow x=g ^ { -1 } h x \Leftrightarrow g ^ { -1 } h \in G_ { x } \Leftrightarrow g G_ { x } =h G_ { x } $ 따라서 $ \|O(x)\|=\|S\|= \left [G: G_ { x } \right ]=\|G\| / \left \|G_ { x } \right \|,\|G\|=\|O(x)\|\|\| G_ { z } \mid $. 3.1.5 $ G $ 가 유한군이면 $ x \equiv G $ 의 공액류의 위수는 $ \left [G: C_ { G } (x) \right ] $ 이다. 서로 다른 $ G $ 의 공액류가 $ \overline { x_ { 1 } } , \cdots, \overline { x_ { n } } $ 이면 $ \|G\|= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [G: C_ { G } \left (x_ { i } \right ) \right ] $ 이다. 모든 $ g \equiv G $ 에 대하여 $ g x=x, G_ { z } =G, O= \{ x \} $ 일 때 $ x $ 는 집합 $ S $ 위의 군 $ G $ 의 작용의 고정점(fixed point)이라 한다.</p> <caption>정의</caption> <p>위수가 $ p ^ { n } (n \leq 0, p $ : 소수 $ ) $ 인 유한군 $ G $ 를 $ p $-군 $ (p $-group $ ) $ 이라 한다. $ G $ 의 부 분군 $ H $ 가 $ p $-군일 때 $ H $ 를 $ p $-부분군 $ (p $-subgroup $ ) $ 이라 한다.</p> <caption>보기 5</caption> <p>$ \langle e \rangle $ 는 군 $ G $ 의 $ p $-부분군이다. 즉 $ \| \langle e \rangle\|=1=p ^ { 0 } $ 이다.</p> <p>이므로 위 정리에 의하여 $ G / N $ 도 가해군이다.</p> <h3>정리 3.3.7</h3> <p>균 $ G $ 의 정규부분군 $ N $ 에서 $ N $ 과 $ G / N $ 이 가해군이면 $ G $ 도 가해군이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ N, G / N $ 가 가해군이면 양의 정수 $ m, n $ 이 존재하여 $ N ^ { (m) } = \{ e \} ,(G / N) ^ { (n) } $ $ =N / N= \{ e N \} $. 연습문제 $ 3.3 .9 $ 에 의하여 $ \{ e N \} =(G / N) ^ { (n) } =G ^ { (n) } N / N $ 이 므로 $ G ^ { (n) } \subseteq N $. 따라서 $ G ^ { (m n) } = \left (G ^ { (n) } \right ) ^ { (m) } \subseteq N ^ { (m) } = \{ e \} $. 정리 3.3.4에 의하여 $ G $ 는 가해군이다.</p> <h3>따름정리 $ 3.3 .8 $</h3> <p>모든 유한 $ p $-군은 가해군이다.</p> <caption>증명</caption> <p>유한 $ p $-군 $ G $ 의 의수 $ \|G\| $ 에 관한 귀납법으로 증명한다. $ \|G\|=1, G= \{ e \} $ 이면 $ G $ 는 가해군이다. $ \|G\|>1, G \neq \{ e \} $ 이라 하면 $ Z(G) \equiv \{ e \} $ 이다. 잉여군 $ G / Z(G) $ 는 유한 $ p $-군이고 위수는 $ G $ 의 위수보다 작으므로 귀납법가정에 의하여 $ G / Z(G) $ 는 가해군이다. $ Z(G) $ 는 가환이므로 가해군이다. 정리 3.3.7에 의하여 $ Z(G) \approx G, Z(G) $, $ G / Z(G) $ 가 가해군이므로 $ G $ 도 가해군이다.</p> <h3>정리 3.3.9</h3> <p>대칭군 $ S_ { n } (n \geq 5) $ 은 가해군이 아니다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ S_ { n } $ 이 가해군이라 하떤 교대군 $ A_ { n } $ 도 가해군이다. $ A_ { n } $ 은 가환군이 아니므로 $ A_ { n } ^ {\prime } \neq \{ 1 \} $. 정리 2.5.10에 의하여 $ A_ { n } $ 은 단순군이고, $ A_ { n } ^ {\prime } $ 은 $ A_ { n } $ 의 정규부분 군이다. 그러므로 $ A_ { n } ^ {\prime } =A_ { n } , A_ { n } ^ { (1) } =A_ { n } \neq \{ 1 \} , i \geq 1 $. 정리 3.3.4에 의하여 $ A_ { n } $ 은 가해군이 아니다. 따라서 $ S_ { n } $ 은 가해군이 될 수 없다.</p> <caption>정의</caption> <p>균 $ G $ 위의 모든 자기동형사상 $ \alpha $ 에 대하여 $ \alpha(H) \subseteq H $를 만족하는 $ G $ 의 부분군 $ H $ 를 $ G $ 의 특성부분군(charateristic subgroup)이라 한다.</p> <caption>보기 3</caption> <p>$ \alpha: G \rightarrow G $ 가 자기동형사상이면 $ \alpha \left (x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y \right )= \alpha(x) ^ { -1 } \alpha(y) ^ { -1 } \alpha(x) \alpha(y) $ $ G ^ {\prime } $ 이므로 $ \alpha \left (G ^ {\prime } \right ) \subseteq G ^ {\prime } $. 또한 \[ \begin {aligned} x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y &= \alpha \left ( \alpha ^ { -1 } \left (x ^ { -1 } \right ) \alpha ^ { -1 } \left (y ^ { -1 } \right ) \alpha ^ { -1 } (x) \alpha ^ { -1 } (y) \right ) \\ &= \alpha \left [ \left ( \alpha ^ { -1 } (x) \right ) ^ { -1 } \left ( \alpha ^ { -1 } (y) \right ) ^ { -1 } \left ( \alpha ^ { -1 } (x) \right ) \left ( \alpha ^ { -1 } (y) \right ) \right ] \equiv \alpha \left (G ^ {\prime } \right ) \end {aligned} \]</p> <p>\[ \left \langle \epsilon>\subseteq Z_ { 1 } (G) \leqq Z_ { 2 } (G) \leqq \cdots \right . \] 이것울 $ G $ 의 중가중심렬(ascending central series)이라 한다. $ Z_ { n } (G)=G $ 인 정수 $ n $ 이 존재한 때 군 $ G $ 를 멱영군(nilpotent group)이라 한다.</p> <caption>보기 1</caption> <p>가환군 $ G $ 에서 $ G=Z(G)=Z_ { ! } (G) $ 이다. 모든 가환군은 벽영군이다.</p> <h3>정리 3.3.3</h3> <p>모든 유한 $ p $-군은 벽영군이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ G $ 와 자명하지 않은 모든 상군은 $ p $-균이다. 연습문제 $ 3.1 .7 $ 에 의하여 이틀은 자명하지 않은 중심을 갖는다. 그러므로 $ G \neq Z_ { ! } (G) $ 이먼 $ Z_ { ! } (G) $ 는 $ Z_ { ! + 1 } (G) $ 의 진부분집합이다. $ G $ 가 유한이므로 $ Z_ { m } (G)=G $ 가 되는 정수 $ n $ 이 존재한다.</p> <p>다항식의 근과 제6장 갈루아 이론의 주요정리와 깊은 관계가 있는 가해군의 성질을 살펴보자.</p> <caption>정의</caption> <p>군 $ G $ 의 부분군들의 유한 열에 대하여 $ N_ { t + 1 }<N_ { 1 } , i=1, \cdots, n-1 $ 일 매, 이 열 을 군 $ G $ 의 정규열(subnormal series)이라 한다. \[ G=N_ { 0 } \supseteq N_ { 1 } \supseteq \cdots \supseteq N_ { n } = \{ e \} \] 이때, $ N_ { 4 } / N_ { 1 + 1 } $를 이 열의 잉여군(factor)이라 하고, 각 $ N_ { l } $ 롤 부분정규 (subnormal)라 한다. $ \{ e \} \approx G $ 이므로 $ G \supseteq \{ e \} $ 는 $ G $ 의 정규열이다. $ H \approx G $ 이면 $ G \supseteq H \supseteq \{ e \} $ 도 정규열이다. 정규열에서 각 $ N_ { 1 } $ 는 $ G $ 의 정규부분군이 아닐 수도 있고, 또 같은 부분군이 중복될 수도 있다. 이 열을 중복이 되는 것이 없도록 하였을 때 정규 $ N $을 이 정규열의 길이(length)라 한다.</p> <caption>정의</caption> <p>모든 잉여군 $ N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } $ 이 가환인 정규열을 갖는 균 $ G $ 를 가해군(solvable group) 이라 한다. 군 $ G $ 의 유한개의 부분군 $ N_ { 0 } =G, \cdots, N_ { n } = \{ e \} $ 가 존재하여 다음 조건을 만족하면 $ G $ 는 가해군이다. \[ G=N_ { 0 } \therefore N_ { 1 } \therefore \cdots \backsim N_ { n } = \{ e \} , N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } : \text { 아벨군 } \] 이 열을 가환정규열(abelian subnormal series) 또는 가해열(solvable series)이라 한다.</p> <caption>보기 2</caption> <p>모든 가환군은 가해군이다. G가 가환균이변 $ G \backsim \{ e \} , G / \{ e \} \simeq G $ 이므르 $ G \backsim \{ e \} $ 는 가환정규열이다.</p> <caption>정의</caption> <p>군 $ G $ 와 정수 $ i=0,1,2, \cdots $ 에 대하여 $ G ^ { (0) } =G, G ^ { (1) } =G ^ {\prime } , \cdots, G ^ { (1 + 1) } $ $ =G ^ { (1) ^ {\prime } } , \cdots $ 라 한 매 $ G=G ^ { (0) } \supseteq G ^ { (1) } \supseteq \cdots \supseteq G ^ { (l) } \supseteq G ^ { (1 + 1) } \supseteq \cdots $ 을 $ G $ 의 교환자열(commutator series) 또는 유도열(derived series)이라 한다. 유한균 $ G $ 의 교환자열의 길이는 유한이다. 그러나 $ \{ e \} $ 로 끝나지 않는 경우 가 있다. $ S_ { 3 } $ 에서 $ S_ { 3 } ^ { (1) } =A_ { 3 } , S_ { 3 } ^ { (2) } = \{ 1 \} $ 이다. $ D_ { n } $ 에서는 $ D_ { n } ^ { (1) } =< \sigma ^ { 2 } >, D_ { n } ^ { (2) } = \{ 1 \} $ 이고, $ S_ { 4 } $ 에서 $ S_ { 4 } ^ { (1) } =A_ { 4 } , S_ { 4 } ^ { (2) } =V_ { 4 } $, $ S_ { 4 } ^ { (3) } = \{ 1 \} $. 정리 $ 3.3 .1 $ 에 의하여 모든 $ G ^ { (t) } \approx G, G ^ { (t) } / G ^ { (1 + 1) } $ 은 가환군이다.</p> <p>다음은 근의 작용을 이용하여 케일리 정리를 증명하여 본다.</p> <h3>정리 3.1.9</h3> <p>$ 1.9 $ 군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 의 좌잉여류 전체의 집합을 $ S= \{ H, x H, y H, \cdots \} $ 라 하자. $ G $ 가 $ S $ 에 좌측곱 $ G \times S \rightarrow S,(g, x H) \rightarrow g x H $ 로 작용할 때 작용준동형 $ \theta: G \rightarrow A(S) $ 의 핵은 $ \bigcap_ { z \equiv G } x H x ^ { -1 } $ 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>작용 $ G \times S \rightarrow S,,(g, x H) \rightarrow g x H $, 일대일 대응 $ \theta_ { g } : S \rightarrow S, x H \rightarrow g x H $, 작용준동형사상 $ \quad \theta: G \rightarrow A(S) $ 에서 $ g \in \operatorname { Ker } \theta $ 이면 $ \theta_ { g } =1_ { 3 } $ 이다. 모든 $ x H \in S $ 에 대하여 $ g x H= \theta_ { g } (x H)=1_ { g } (x H)=x H $. 모든 $ x \in G $ 에 대하여 $ x ^ { -1 } g x H=H, x ^ { -1 } g x \in H $. 모든 $ x \in G $ 에 대하여 $ g $ in $ x x ^ { -1 } $ 이므로 Ker $ \theta \subset \bigcap_ { z \equiv G } x H x ^ { -1 } $, 역으로 $ g \in \bigcap_ { z \equiv G } x H x ^ { -1 } $ 이면 $ g x H=x H, x \in G $ 이므로 $ \bigcap_ { z \equiv G } x H x ^ { -1 } \subset \operatorname { Ter } \theta $. 따라서 $ \operatorname { Ner } \theta= \bigcap_ { z \equiv G } x H x ^ { -1 } $ 이다.</p> <p>부분군 $ H $ 의 지수가 $ n $ 이면 $ \|S\|=n $ 이므로 $ \|A(S)\|=n !, A(S) \simeq S_ { n } $ 이다. $ H= \{ e \} $ 이면 $ \operatorname { Ser } \theta= \bigcap_ { z \equiv G } \operatorname { xex } ^ { -1 } = \{ e \} $ 이므로 $ \theta $ 느 단사이다.</p> <caption>따름정리 3.1.10</caption> <p>케일리(Cayley) 정리 : 군 $ G $ 는 치환군 $ A(G) $ 의 어펀 부분균과 둥형이 다. $ G $ 가 유한이면 대칭근 $ S(G) $ 의 한 부분균과 동형이다.<p> <caption>증명</caption> <p>정리 $ 3.19 $ 에서 $ H= \{ e \} $ 이면 $ S=G, \operatorname { Ser } \theta= \{ e \} $ 이므로 $ \theta: G \rightarrow A(G) $ 는 단사 준동형사상이다. 그러므로 $ G \simeq \theta(G) \subseteq A(G) $.</p> <caption>보기 6</caption> <p>위수가 6 인 균 $ G $ 에는 $ a ^ { 2 } =e $ 인 원소 $ a $ 가 존재한다. $ \| \langle a \rangle\|=2 $ 이므로 $ H= \langle a \rangle $ 의 지수는 3 이다. 정리 $ 3.1 .9 $ 에 의하여 작용준동형 $ \theta: G \rightarrow A(S) $, $ \|S\|=3 $ 이 존재한다. $ H $ 가 겅규부분균이 아니 면 $ \bigcap_ { x \in 6 } x H x ^ { -1 } = \{ e \} = \operatorname { Ler } \theta $ 이므 로 $ \theta $ 는 일대일이다. $ (A) S \simeq S_ { 3 } ,\|G\|= \left \|S_ { 3 } \right \|=6 $ 이므로 $ G \simeq S_ { 3 } , H $ 가 정규부분균이면 연습문제 2.5.7에 의하여 $ H \triangleleft Z(G) $. 염습뮨제 $ 3.1 .1 $ 에 의하여 $ Z(G)=G, G $ 는 아벨군 이다. $ G $ 가 순환군일 매 한하여 $ Z \left (G ^ {\prime } \right )=G $ 이므로 $ G \simeq Z_ { 0 } $ 이다.</p> <caption>$ 3.1 $</caption> <p>연습문제</p> <ul> <ol type= start=1><li>$ G / Z(G) $ 가 순환군이면 $ G $ 는 가환군임을 보여라.</li> <li>군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용하고 $ g_ { s } =l $ 이면 $ G_ { 0 } $ 와 $ G_ { t } $ 는 동형관계에 있음을 보여라.</li> <li>군 $ G $ 가 $ G $ 에 공액으로 작용할 때 다음이 성립함을 보여라. (1) 각 $ g \in G $ 에 의한 공액각용에 의하여 유도된 자기등형이 존재한다. (2) $ Z(G) $ 가 혁인 준동형사상 $ G \rightarrow A u t G $ 가 존재한다.</li> <li>군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 의 좌잉여류 전체의 집합 $ X $ 예서 작용 $ G \times X \rightarrow X,(g, x H) \rightarrow $ $ g(x H)=g x H $ 에 의하여 유도된 즌동형사상 $ G \rightarrow A(S) $ 의 핵은 $ H $ 의 부분집합임울 보여라.</li> <li>위수가 55 인 군 $ G $ 가 위수가 18 인 집합 $ X $ 에 작용하면 $ G $ 는 적어도 두 개의 고정점율 가짐을 보여라.</li> <li>유한 $ p $-균 $ G $ 의 정규부분균 $ N( \neq \{ e \} ) $ 에서 $ N \cap Z(G) \neq \{ e \} $ 임올 보여라.</li> <li>유한 $ p $-균 $ G $ 의 $ Z(G) \equiv \{\epsilon \} $ 임을 보여라.</li> <li>위수가 $ p ^ { 2 } (p $ 는 소수)인 모든 근은 아밸근입을 보여라.</li> <li>군 $ G $ 가 집힙 $ G $ 에 공액으로 작용한 때 이 작용의 핵은 $ G $ 의 증심임을 보여라.</li> <li>부분근 $ G $ 가 집합 $ G $ 에 공역으로 각용한 때 $ g $ 가 $ H $ 의 고겅점일 필요승분조건온 $ g \in C_ { G } (G) $ 가 되는 것임을 보여라.</li> <li>군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용하고 계도가 $ X $ 뿐일 매 $ G $ 는 추이적(transitive)이라 한다. $ \left \|X_ { g } \right \| $ 를 $ g $ 의 고정점의 개수 $ t ^ { * } $ 를 $ G $ 의 궤도의 수라 한 때 $ \sum_ { g \equiv G } \left [ \mid X_ { g } \right ] ^ { 2 } =t ^ { * } \|G\| $ 임올 보여라.</li> <li>군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용하고 모든 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } \in X $ 에 대하여 $ g x_ { 1 } =y_ { 1 } , g x_ { 2 } =y_ { 2 } $ 인 $ g \in G $ 가 존재한 매 $ G $ 는 이중 추이적(doubly transitive)이라 한다. 이때 $ \sum_ { g=G } \left [ \left \|X_ { g } \right \| \right ] ^ { 2 } $ $ =2\|G\| $ 임을 보여라.</li> <li>$ p\|\| G \mid $ 인 유한군 $ G $ 는 위수가 $ p $ 인 원소를 갖는다. 군의 작용으로 증명하여라.</li> <li>$ H $ 가 군 $ G $ 의 부분군일 때 $ \bigcap_ { x \notin G } x H x ^ { -1 } $ 는 $ H $ 에 포항되는 $ G $ 의 정규부분군 증에서 가 장 큰 것임을 보여라.</li> <li>$ p $-군 $ G $ 가 유한집합 $ X $ 에 작용하고 $ X_ { 0 } = \{ x \in X \mid g x \neq x, g \neq e \} $ 일 때 $ \|X\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \| $ $ ( \bmod p) $ 입올 보여라.</li> <li>$ H $ 가 군 $ G $ 의 부분군일 때, $ A \prec G $ 일 필요층분조건온 $ H $ 가 $ G $ 에서 공액류의 합집합니다.</li></ol> <h3>[정리 3.3.2]</h3> <p>2 군 준동형사상 $ f: G \rightarrow \bar { G } $ 와 $ G $ 의 부분균 $ H $ 에 대하여 $ f \left (H ^ {\prime } \right )=f(H) ^ {\prime } $ 가 성립 한다.</p> <caption>증명</caption> <p>모든 $ x, y \in G $ 에 대하여 \[ \begin {array} { c } f([x, y])=f \left (x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y \right )=f \left (x ^ { -1 } \right ) f \left (y ^ { -1 } \right ) f(x) f(y) \\ =f(x) ^ { -1 } f(y) ^ { -1 } f(x) f(y)=[f(x), f(y)] \\ H ^ {\prime } =<[x, y] \mid x, y \in H>\text { 와 } f([x, y])=[f(x), f(y)] \text { 에서 } f \left (H ^ {\prime } \right ) \subseteq f(H) ^ {\prime } \text { 이다. } \\ \text { 또 } f \left (H ^ {\prime } \right )=<[f(x), f(y)] \mid x, y \subseteq H>\text { 와 } [f(x), f(y)]=f([x, y]) \text { 에서 } \\ f(H) ^ {\prime } \sqsubseteq f \left (H ^ {\prime } \right ) \text { 이다. 따라서 } f(H) ^ {\prime } =f \left (H ^ {\prime } \right ) \text { 이다. 또 } f \text { 가 전사이면 } \\ f \left (G ^ {\prime } \right )= \bar { G } ^ {\prime } \text { 이다. } \end {array} \]</p> <caption>정의</caption> <p>$ G $ 외 중심 $ Z(G) $ 는 $ G $ 의 정규부분군이다. 표준준동형사상 $ G \rightarrow G / Z(G) $ 에 대 하여 $ Z(G / Z(G)) $ 의 역상 $ Z_ { 2 } (G)=Z_ { 1 } (G) $ 를 포함하고 있는 $ G $ 의 정규부분군 이다. $ Z_ { i } (G) $ 를 표준준동형 $ G \rightarrow G / Z_ { i-1 } (G) $ 외 중심 $ Z \left (G / Z_ { i-1 } (G) \right ) $ 의 역상 이라 하면 모든 $ Z_ { i } (G) \otimes G $ 이고</p> <p>보기 3 군 $ G $ 의 부분균 $ H $ 의 좌잉여류 전체의 집합 $ S= \{ a H \mid a \in G \} $ 에 내하여 $ G \times S \rightarrow S,(g, a H) \rightarrow g a H $ 는 $ S $ 위에서의 $ G $ 의 작용이다. 작용 $ G \times H \rightarrow H,(g, h) \rightarrow g h $를 좌 평행이동(left translation)이라 한다. 작용 $ H \times G \rightarrow G,(h, g) \rightarrow h ^ { -1 } g h $를 공액작용(conjugate action)이라 한다.</p> <p>$ \left (h_ { 1 } h_ { 2 } \right ) \circ g= \left (h_ { 1 } h_ { 2 } \right ) ^ { -1 } g \left (h_ { 1 } h_ { 2 } \right )=h_ { 2 } ^ { -1 } h_ { 1 } ^ { -1 } g h_ { 1 } h_ { 2 } =h_ { 2 } ^ { -1 } $ $ \left ( \begin {array} { llll } g & h_ { 1 } & \circ & g \end {array} \right ) h_ { 2 } =h_ { 2 } \circ \left (h_ { 1 } \circ g \right ) $ 이다.</p> <h3>정리 3.1.1</h3></p> <p>군 $ G $ 가 집합 $ X $ 에 작용할 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>각 $ g $ 에 대하여 $ \tau_ { g } : X \rightarrow X, \tau_ { g } (x)=g x $ 는 $ X $ 위의 치환이다.</li> <li>집합 $ A( \mathrm { X } )= \left \{\tau_ { g } \mid g \in G \right \} $ 에 대하여 $ \tau: G \rightarrow A( \mathrm { X } ), \tau(g)= \tau_ { g } $ 는 준둥형이다</li></ol> <p>증명<p> <ol type= start=1><li>$ x \in X $ 에 대하여 $ x=g \left (g ^ { -1 } x \right ) $ 이므로 $ \tau_ { g } \left (g ^ { -1 } x \right )=x $. 즉 $ \tau_ { g } $ 는 전사이다. $ \tau_ { g } $ $ (x)= \tau_ { g } (y) $, 즉 $ g x=g y $ 이면 $ x=g ^ { -1 } (g x)=g ^ { -1 } (g y)=y $. 따라서 $ \tau_ { g } $ 는 전단사이다</li> <li>$ \tau: G \rightarrow A(X), g, g ^ {\prime } \in G $ 에 대하여 $ \tau_ { g g ^ {\prime } } = \tau_ { g } \circ \tau_ { g ^ {\prime } } : X \rightarrow X ^ {\text { 이 성립하므로 } } $ $ \tau $ 는 군준동형사상이다. 작용의 조건 (2)에서 $ x=e \circ x= \left (g g ^ { -1 } \right ) \circ x $. 조 건 (1)에서 $ \left (g g ^ { -1 } \right ) \circ x=g \circ \left (g ^ { -1 } \circ x \right ) $. 그러므로 $ x=g \circ \left (g ^ { -1 } \circ x \right ) $ $ =g \left (g ^ { -1 } x \right ) $. 뜨 $ \tau_ { g g ^ {\prime } } (x)= \left (g g ^ {\prime } \right ) x=g \left (g ^ {\prime } x \right )=g \left ( \tau_ { g ^ {\prime } } (x) \right )= \tau_ { g } \left ( \tau_ { g ^ {\prime } } (x) \right )= $ $ \left ( \tau_ { g } \tau_ { g ^ {\prime } } \right )(x) \cdot x \in X $ 가 성립한다.</li></ol> <p>Ker $ \tau= \left \{ g \in G \mid \tau_ { g } =1 \right \} = \{ g \in G \mid g \circ x=x, x \in X \} $ 는 $ G $ 의 정규부분군이 다. $ K= \operatorname { Ker } \tau $ 를 착용의 핵이라 하고, $ \operatorname { Ser } \tau= \{ e \} $ 일 때 $ G $ 는 $ X $ 에 충실한 작 용(faithful action)이 일어났다고 한다. 정리 3.1.1의 (2)에서의 $ \tau $ 를 $ X $ 위에 작용 하는 $ G $ 의 준동형사상 또는 작용 준동형사상(action homomorphism)이라 한다.</p> <p>\[ H=M_ { 0 } \leadsto M_ { 1 } \leadsto \ldots \quad M_ { n } = \{ e \} \] 모든 $ i $ 에 대하여 \[ \begin {array} { l } M_ { ! + 1 } =H \cap N_ { ! + 1 } =H \cap N_ { ! } \cap N_ { t + 1 } =M_ { ! } \cap N_ { t + 1 } \\ M_ { ! } / M_ { ! + 1 } =M_ { ! } / \left (M_ { ! } \cap N_ { t + 1 } \right )=M_ { ! } N_ { t + 1 } / N_ { t + 1 } \end {array} \] 그런데 $ N_ { 1 + 1 } $ 은 $ N_ { 1 } $ 의 정규부분군이고 $ M_ { ! } =H \cap N_ { 1 } $ 는 $ N_ { 1 } $ 의 부분군이므르 \[ M_ { l } N_ { 1 + 1 } / N_ { 1 + 1 } \subseteq N_ { l } / N_ { 1 + 1 } \] 모든 $ N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } $ 이 가환이므로 $ M_ { 1 } / M_ { 1 + 1 } $ 도 가환이다. 따라서 $ H=M_ { 0 } =M_ { 1 } $ $ \because \ldots \quad \because M_ {\Pi } = \{ e \} $ 는 가환 정규열이다. 즉 $ H $ 는 가해군이다.</p> <h3>정리 3.3.6</h3> <p>가헤균 $ G $ 의 전사 준동형사상의 상은 모두 가해군이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ G=N_ { 0 } =N_ { 1 } a \ldots \quad \backsim N_ { n } = \{ e \} $ 롤 $ G $ 의 가환 정규열, $ f: G \rightarrow H $ 를 $ H=f(G) $ 인 전사준동영사상이라 하자. $ H $ 에 관한 열 $ H=f \left (N_ { 0 } \right ) \supseteq f \left (N_ { 1 } \right ) \supseteq \cdots \supseteq $ $ f \left (N_ { n } \right )= \{ e \} $ 에서 모든 $ f \left (N_ { t + 1 } \right ) \approx f \left (N_ { t } \right ) $ 이므로 이것은 $ H $ 의 정규열이다. 임의의 $ x \in N_ { 1 } $ 에 대하여 $ f_ { 1 } ( \bar { x } )= \overline { f(x) } , \bar { x } =x N_ { 1 + 1 } , \overline { f(x) } =f(x) f \left (N_ { 1 + 1 } \right ) $ 로 정의한 $ f_ { 1 } : N_ { l } / N_ { 1 + 1 } \rightarrow f \left (N_ { l } \right ) / f \left (N_ { 1 + 1 } \right ) $ 은 사상이다. 실제로 $ \bar { x } = \bar { y } $ 이면 $ \overline { f(x) } = \overline { f(y) } . f_ { 1 } $ 는 잉여집합 $ x N_ { 1 + 1 } $ 의 $ x $ 에 의존하지 않는다. $ f \left (N_ { 1 } \right ) $ 의 임의 의 원소는 $ f \left (x_ { 1 } \right ), x_ { 1 } \in N_ { 1 } $ 의 할이고 $ f \left (x_ { 1 } \right ) f \left (N_ { 1 + 1 } \right ) $ 의 원상은 $ x_ { 1 } N_ { 1 + 1 } $ 이다. 그러므로 모든 $ f: $ 는 전사이다. 또 $ x, y \in N_ { 1 } $ 에 대하여 \[ f_ { 1 } ( \bar { x } \bar { y } )=f_ { 1 } ( \overline { x y } )= \overline { f(x y) } = \overline { f(x) f(y) } = \overline { f(x) } \overline { f(y) } =f_ { 1 } ( \bar { x } ) f_ { i } ( \bar { y } ) \] 이므로 $ f $ 는 $ N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } $ 에서 $ f \left (N_ { 1 } \right ) / f \left (N_ { t + 1 } \right ) $ 로의 전사준동형사상이다. 모든 $ N_ { 1 } / N_ { 1 + 1 } $ 이 가환이므로 $ f \left (N_ { 1 } \right ) / f \left (N_ { 1 + 1 } \right ) $ 도 가환이다. 그러므로 정규열 \[ H=f \left (N_ { 0 } \right ) \bullet f \left (N_ { 1 } \right ) \bullet \cdots \quad f \left (N_ { n } \right )= \{ e \} \] 는 가환정규열이다. 따라서 $ H $ 는 가해군이다.</p> <h2>$ 3.3 $ 교환자군, 가해군</h2> <p>먼저 유한근의 구조론에 중요한 역할을 하는 교환자군, 멱영군 등올 살대보자. 다음은 가해군을 공부하여 제6장 갈루아 이론에서 5 차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 사실올 규명함이 학습목표이다.</p> <caption>정의</caption> <p>군 $ G $ 의 임의의 원소 $ x, y $ 에 대하여 $ x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y $ 를 $ x $ 와 $ y $ 의 교환자(commutator) 라 하고, $ x ^ { -1 } y ^ { -1 } x y=[x, y] $ 로 나타낸다. 균 $ G $ 의 교환자 $ [x, y], x, y \in G $ 에 의하여 생성된 $ G $ 의 부분군 $ G ^ {\prime } $ (또는 $ [G, G]) $ 를 $ G $ 의 교환자군(commutator group)이라 한다. 균 $ G $ 의 교환자군 $ G ^ {\prime } $ 의 각 원소는 $ a_ { i } = \left [x_ { i } , y_ { i } \right ] $ 의 요한곱(finite sum) \[ a_ { 1 } ^ { a_ { 1 } } \theta_ { 2 } ^ { a_ { 2 } } \cdots a_ { n } ^ { a_ { 0 } } , \quad \alpha_ { i } = \pm 1 \] 의 꼴로 표시된다. $ s=[x, y] $ 의 역원은 $ \hat { s } ^ { -1 } =[y, x] $ 이므로 $ G ^ {\prime } $ 의 원소는 \[ \left [x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ] \cdots \left [x_ { n } , y_ { n } \right ] \] 의 괄호 표시됨을 알 수 있다. $ [x, y]=e $ 일 필요충분조건은 $ x y=y x $ 이므로 균 $ G $ 가 가환군이기 위한 필요층분조건은 $ G ^ {\prime } = \{ e \} $ 이다.</p> <h3>정리 3.3.10</h3> <p>10 한 정규열이 합성렬이기 위한 필요충분조건은 그것이 진세분열을 갖지 않 는 것이다.</p> <caption>증명</caption> <p>모든 $ G_ { 1 } \circ H \circ G_ { l + 1 } $ 에 대하여 $ H / G_ { ! + 1 } $ 는 $ G_ { ! } / G_ { l + 1 } $ 의 진부분군이다. 그리 undefined $ G_ { n } = \{ e \} $ 이 진세분을 가질 필요종분조건은 적당한 $ i $ 에 대하여 $ G_ { 1 } \in H $ 부 $ G_ { 1 + 1 } $ 인 $ H $ 가 존재하는 것이다. 이의 대우가 주어진 명제가 된다.</p> <p>$ G=G ^ {\prime } $ 인 가해군 $ G $ 에 대하여 $ G=G ^ { (0) } =G ^ { (1) } = \cdots G ^ { (n) } = \{ e \} $ 이므로 $ G= \{ e \} $ 이다. 따라서 $ G \neq \{ e \} $ 이면 가해군 $ G $ 는 $ G \neq G ^ {\prime } $ 롤 만쟉한다. $ G $ 가 가해군인 동시에 단순군이면 $ G ^ {\prime } \approx G, G ^ {\prime } \neq G $ 이므로 $ G ^ {\prime } = \{ e \} $. 즉 가해군 이 단순군일 필요충분조건은 가환군이 되는 것이다.</p> <h3>정리 3.3.11</h3> <p>11 군 $ G \neq \{ e \} $ 가 가해군인 동시에 단순군일 필요충분조건은 $ G \simeq G_ { y } $ 인 소수 $ p $ 가 존재하는 것이다.</p> <caption>증명</caption<p>가해단순군 $ G $ 는 가환군이므로 정규부분군은 $ \{ e \} $ 뿐이다. 정리 $ 2.4 .5 $ 에 의하 여 $ G $ 의 위수는 소수 $ p $ 이다. 역으로 $ G \simeq G_ { y } $ 이면 $ G $ 는 가환단순군이다. 따라서 $ G $ 는 가해단순군이다.</p> <h3>정리 3.1.8</h3> <p>번사이드(Burnside) 정리 유한군 $ G $ 가 유한집합 $ X $ 에 작용하고 $ g \in G $ 에 의하여 고겅되는 $ X $ 의 모든 원소의 집합올 $ X_ { g } $ 라 하면 $ X $ 위에서 작용하는 $ G $ 의 궤도의 개수는 $ \left ( \frac { 1 } {\mid G } \right ) \sum_ { g } \left \|X_ { g } \right \| $ 이다.</p> <caption>증명</caption> <p>$ g x=x $ 인 쌍 $ (g, z) $ 의 규수를 구한다. $ G_ { z } $ 와 $ \left \|X_ { g } \right \| $ 의 정의에서 $ \sum_ { z \in \mathbb { X } } \left \|G_ { z } \right \|= \sum_ { g \equiv G } \left \|X_ { g } \right \| $. $ \mathrm { X } $ 의 계도에 의한 분할 $ \mathrm { X } = \mathrm { O } _ { 1 } \cup \mathrm { O } _ { 2 } \cup \cdots \cup \mathrm { O } _ { k } $ 에서 \[ \sum_ { g \equiv G } \left \|X_ { g } \right \|= \sum_ { z \equiv 0_ { i } } \left \|G_ { z } \right \| + \sum_ { z \equiv 0_ { z } } \left \|G_ { z } \right \| + \cdots + \sum_ { z \equiv 0_ { z } } \left \|G_ { z } \right \| \] $ x, y $ 가 같은 계도 $ O $ 의 원소이면 $ O(x)=O(y)=0, \mid O= \left [G: G_ { z } \right ] $ $ = \left [G: G_ { y } \right ] \cdot $ 그러므로 $ \left \|G_ { z } \right \|= \left \|G_ { y } \right \| $. 모든 $ O_ { i } $ 에 대하여 $ \sum_ { z \in O_ { i } } \left \|G_ { z_ { l } } = \right \| O_ { i j } \left \|G_ { z_ { i } } \right \| $ 이므로 \[ \sum_ { g \equiv G } \left \| \mathbb { N } _ { g } \right \|= \left \|O_ { 1 } \right \| \left \|G_ { z_ { i } } \right \| + \left \|O_ { 2 } \right \| \left \|G_ { z_ { 2 } } \right \| + \cdots + \left \|O_ { k } \right \| \mid G_ { z_ { p } } , x_ { i } \in O_ { i } \] 정리 3.1.4에 의하여 $ \left \|O_ { i 1 } \right \| G_ { z_ { i } } \|=\| G $ 이므로 서로 다른 계도가 $ k $ 개이면 \[ \sum_ { g \equiv G } \left \|X_ { g } \right \|=k \mid G, k= \left ( \frac { 1 } { \|G\| } \right ) \left ( \sum_ { g \equiv G } \left \|X_ { g } \right \| \right ) \] 이다.</p> <h3>따름정리 3.2.5</h3> <p>유한균 $ G $ 의 실로우 $ p $-부분군 $ P $ 가 $ G $ 의 정규부분군이기 위한 필요충분조건은 $ P $ 가 유일한 실로우 $ p $-부분군이 되는 것이다.</p> <caption>증명</caption> <p>정리 3.2.4에 의하면 $ G $ 의 실로우 $ p $ 부분균은 $ P ^ { z } $ 의 꼴이다. $ P $ 가 $ G $ 의 정규부분군 이면 모든 $ x \in G $ 에 대하여 $ P ^ { x } =P $ 이므로 $ P $ 가 유일한 실로우 $ p $-부분군이다. 역으로 $ P $ 가 유일한 실로우 $ p $ 부분군이면 모든 $ x \in G $ 에 대하여 $ P=P ^ { z } $. 따라서 $ P $ 는 $ G $ 의 정규부분군이다.</p> <h3>정리 3.2.6</h3> <p> Third Sylow Theorem 유한군 $ G $ 의 실로우 $ p $ 부분군의 개수는 $ 1 + k p$($k $ 는 적당한 음이 아닌 정수)의 꼴이고, 이는 $ \|G\| $ 의 약수이다.</p> <caption>증명</caption> <p>어떤 실로우 $ p $ 부분군 $ P $ 와 공액인 $ G $ 의 부분군의 개수는 $ \left [G: N_ { G } (P) \right ] $ 이고 $ \|G\| $ 의 약수이다. 공액에 의하여 $ P $ 가 $ G $ 의 실로우 $ p $ 부분군 전체의 집합 $ S $ 위에 작용하면 모든 $ x \in P $ 와 $ Q \in S $ 에 대하여 $ x Q x ^ { -1 } =Q $ 가 될 필요층분조건은 $ Q \in O_ { 0 } $ 가 되는 것이다. $ x Q x ^ { -1 } =Q, x \in P $ 일 필요충분조건은 $ P \subseteq N_ { G } (Q) $ 이나. $ P, Q $ 는 $ G $ 의 실 로우 $ p $ 부분군이므로 이들은 모두 $ N_ { G } (Q) $ 의 실로우 $ p $-부분군이다. 그러므로 $ P, Q $ 는 서로 공액이다. 그런데 $ Q $ 는 $ N_ { G } (Q) $ 의 정규부분군이므로 따름정리 3.2.5에 의하여 $ Q=P $, 즉 $ S= \{ P \} . O_ { 0 } = \{ P \} $. 정리 3.2.1에 의하여 $ \|S\| \equiv \left \|O_ { 0 } \right \|=1( \bmod p) $. 따라서 $ \|S\|=1 + k p $ 의 꼴이다.</p> <p>군 $ G $ 의 부분군 $ G_ { x } $ 를 $ x $ 를 고정시키는 부분군 또는 $ x $ 의 고정화부분군(stabilizer subgroup)이라 한다. 군 $ G $ 자신 위의 공액관계의 작용에 대하여 궤도 $ \left \{ g x g ^ { -1 } \mid g \in G \right \} $ 를 $ x \in G $ 의 공액류라 한다. 부분군 $ H $ 가 군 $ G $ 위에서 공액 관계에 의하여 작용할 때 고정확부분군 $ C_ { H } (x)= \left \{ h \in H \mid h xh ^ { -1 } =x \right \} = $ $ \{ h \in H \mid h x=x h \} $ 를 $ H $ 에서 $ x $ 의 중심화부분군(centralizer subgroup)이라 한다. $ H $ 가 $ G $ 의 모든 부분군의 집합 $ X $ 위에서 공액관계로 작용하면 고정화부분군 $ N_ { H } (K)= \left \{ h \in H \mid h K h ^ { -1 } =K \right \} $ 를 $ K $ 의 정규화 부분군(normalizer subgroup)이라 한다.</p> <caption>보기 4</caption> <p>\[ \begin {array} { l } \text { 군 } G= \left \{\left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } -1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } 0 & 1 \\ -1 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } 0 & -1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } 0 & -1 \\ -1 & 0 \end {array} \right ] \right \} , \\ t= \left \{ (x, 2 x) \in I R ^ { 2 } \mid x \in R \right \} \in X \text { 에서 } \\ \left .G_ { t } = \left \{\left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { cc } -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ] \right \} , \left [ \begin {array} { cc } -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ] \right \} \\ O_ { (t) } = \{ (x, 2 x),(x,-2 x),(2 x, x),(2 x,-x) \mid x \in \mathbb { R } \} \end {array} \] 이다.</p>	자연
확률적 reduced K-means 군집분석	<p>알고리듬</p> <p>단계 1 $t=0 $ 에서 $ \hat {\pi } _ { 1 } ^ { (0) } , \ldots, \hat {\pi } _ { K } ^ { (0) } , \hat {\mu } _ { 1 } ^ { (0) } , \ldots, \hat {\mu } _ { K } ^ { (0) } , \hat {\mathbf { A } } ^ { (0) } , \hat {\epsilon } ^ { (0) } $ 의 초깃값을 임의로 지정한다.</p> <p>단계 1 E-step : $ t + 1(t=0,1,2, \ldots,) $ 번째 반복에 대해서 다음의 수식에 따라 $k=1, \ldots, K, i=1, \ldots, N $ 에 다음의 기대값을 구한다.</p> <ol type=a start=1><li>$ \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } =p \left (z_ { i k } =1 \mid \mathbf { x } _ { i } \right )= \frac {\hat {\pi } _ { k } ^ { (t) } p \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid z_ { i k } =1 \right ) } {\sum_ { l=1 } ^ { K } \hat {\pi } _ { l } ^ { (t) } p \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid z_ { i l } =1 \right ) } $,</li> <li>$ \mathbf { e } _ { i k } ^ { (t + 1) } =E \left [ \mathbf { y } _ { i k } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ]= \hat {\mu } _ { k } ^ { (t) } + \hat {\mathbf { A } } ^ { (t) \top } \left ( \mathbf { M } ^ { (t + 1) } \right ) ^ { -1 } \left ( \mathbf { x } _ { i } - \hat {\mathbf { A } } ^ { (t) } \hat {\mu } _ { k } ^ { (t) } \right ) $,</li> <li>$ \mathbf { v } _ { i k } ^ { (t + 1) } =E \left [ \mathbf { y } _ { i k } \mathbf { y } _ { i k } ^ {\top } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ]= \mathbf { I } - \hat {\mathbf { A } } ^ { (t) \top } ( \mathbf { M } ) ^ { (t + 1) ^ { -1 } } \hat {\mathbf { A } } ^ { (t + 1) } + E \left ( \mathbf { y } _ { i k } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) E \left ( \mathbf { y } _ { i k } ^ {\top } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $, 여기서 $ \mathbf { M } ^ { (t + 1) } = \hat {\mathbf { A } } ^ { (t) } \hat {\mathbf { A } } ^ { (t) \top } + \epsilon ^ { (t) } \mathbf { I } $.</li></ol> <p>단계 1 M-step: $t + 1(t=0,1,2, \ldots) $ 번째 반복에 대해서 $ k=1, \ldots, K $ 에 대하여 추정치를 아래와 같이 갱신한다.</p> <ol type=a start=1><li>$ \hat {\pi } _ { k } ^ { (t + 1) } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { N } \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } } { N } $,</li> <li>$ \hat {\mu } _ { k } ^ { (t + 1) } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { N } \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } \mathbf { e } _ { i k } ^ { (t + 1) } } {\sum_ { i=1 } ^ { N } \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } } $,</li> <li>$ \hat {\mathbf { A } } ^ { (t + 1) } = \sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { k=1 } ^ { K } \left ( \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } \mathbf { x } _ { i } \mathbf { e } _ { i k } ^ { (t + 1) \top } \right ) \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { k=1 } ^ { K } \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } \mathbf { v } _ { i k } ^ { (t + 1) } \right ) ^ { -1 } $,</li> <li>$ \hat {\epsilon } ^ { (t + 1) } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { k=1 } ^ { K } \gamma \left (z_ { i k } \right ) ^ { (t + 1) } \left ( \mathbf { x } _ { i } ^ {\top } \mathbf { x } _ { i } -2 \mathbf { x } _ { i } ^ {\top } \hat {\mathbf { A } } ^ { (t + 1) } \mathbf { e } _ { i k } ^ { (t + 1) } + \operatorname { tr } \left ( \mathbf { v } _ { i k } ^ { (t + 1) } \hat {\mathbf { A } } ^ { (t + 1) \top } \hat {\mathbf { A } } ^ { (t + 1) } \right ) \right ) } { N J } $.</li></ol> <p>단계 1 위의 단계 2와 단계 3을 수렴할 때까지 반복한다.</p> <p>\[ \mathbf { X } = \mathbf { U F B } ^ {\top } + \mathbf { E B } ^ {\top } + \mathbf { E } ^ {\perp } \mathbf { B } ^ {\perp \top } \]<caption>(4.1)</caption></p> <p>여기서 $ \mathbf { B } ^ {\perp } \left (J \times(J-Q) \right . $ )은 $ \mathbf { B } ^ {\top } $ 의 영 공간(null space)의 열 방향 정규 직교 기저(columnwise orthonormal basis)로 구성하도록 했다. 즉 $ \mathbf { B } ^ {\top } \mathbf { B } ^ {\perp } =0 $ 을 만족한다. $ \mathrm { E } (N \times Q) $ 는 군집과 관련 있는 부분 공간에서의 잔차이며 각 원소는 $ N \left (0, \sigma_ { E } ^ { 2 } \right ) $ 를 따른다. $ \mathbf { E } ^ {\perp } (N \times(J-Q)) $ 는 그 외 공간에서의 잔차이고 각 원소는 $ N \left (0, \sigma_ { E ^ {\perp } } ^ { 2 } \right ) $ 를 따른다. 군집이 내포되어 있는 자료 $ \mathbf { X } $ 는 군집 중심 행렬, 군집의 부분 공간에 놓여있는 잔차, 그리고 군집의 부분 공간과 직교한 부분 공간에 놓여있는 잔차로 완전하게 설명될 수 있다.</p> <p>이 모형을 활용하여 모의실험을 위한 자료를 다음과 같이 구성하였다. 군집의 개수는 네 개 $ (K=4) $, 축소 차원의 개수는 두 개 $ (Q=2) $ 로 고정했다. 또한 네 가지 요소를 활용하여 자료를 생성했다. 첫 번째 요소는 군집이 중첩되는 수준으로 이를 위해 군집 중심에 대한 정보를 가지고 있는 $ \mathbf { F } $ 를 다음의 구조로 생성하도록 한다.</p> <p>\[ \mathbf { F } = \left ( \begin {array} { cccc } c & -c & c & -c \\ c & -c & -c & c \end {array} \right ) ^ {\top } . \]<caption>(4.2)</caption></p> <p>여기서 $ c $ 에 의해서 군집 중심부 간의 거리가 결정되며, $ c $ 가 클수록 군집 간 경계가 명확히 구별될 것이다. 반면, $ c $ 가 작을수록 군집 간에 중첩되는 비율이 증가하게 될 것이다. $ c=5 $ 와 $ c=2.5 $ 인 경우를 고려했다.</p> <h2>4.2. 모의실험 결과</h2> <p>Table 1는 군집 별 표본 크기가 100일 때 $ c=2.5 $ 인 경우의 변수 개수와 PSR 수준별 평균 ARI와 오분류율(MR)을 방법론별로 요약한 결과이다. 편의상 확률적 reduced K-means 군집분석, reduced K-means 군집분석, Tandem 군집분석, 가우지안 혼합 모형, K-means 군집분석을 각각 PRKM, RKM, TKM, GMM, KM으로 표현했다. Table 2 와 Table 3는 각각 군집 별 표본 크기가 50일 때, $ c=5 $ 인 경우와 $ c=2.5 $ 인 경우의 변수 개수와 PSR 수준별 평균 ARI와 오분류율을 방법론별로 요약한 결과이다. 이때의 결과도 표본 크기가 100일 때의 결과와 같은 방식으로 정리했다. 표본 크기가 100이면서 $ c=5 $ 인 경우의 실험 결과와 해석은 생략했으며 Lee (2021)에 정리되어 있다.</p> <h3>4.2.1. 군집 당 표본 크기가 100 이고 $ c=2.5 $ 인 경우</h3> <p>군집 당 표본 크기가 100이고 군집 중첩이 발생한 경우 $ (c=2.5) $ 의 결과는 Table 1에 정리되어 있다. 변수가 10개인 결과를 살펴보면 PSR 수준에 상관없이 모두 RKM이 가장 높은 평균 ARI를 주었으나 다른 방법론도 평균 ARI가 크게 다르지 않았다. 변수 수에 비해 군집당 표본 크기가 충분하다면 군집 중첩이 있는 자료에서도 방법론에 따른 성능 차이는 크지 않다.</p> <p>변수의 개수가 50개인 경우에 모든 PSR 수준에서 RKM이 가장 높은 ARI를 형성했으며 PRKM의 경우는 그 다음으로 높았다. 반면, 다른 나머지 방법론의 경우 PSR 수준에 관계없이 ARI가 상대적으로 낮게 형성된 것을 볼 수 있었다.</p> <p>변수의 개수가 100개인 경우에 PSR 수준 0.2에는 의미 있는 군집이 형성된 경우는 없었다. PSR 수준 0.25에서는 PRKM이 평균 ARI 0.634의 가장 좋은 결과를 얻었으며 나머지 방법의 경우 ARI가 0.5 이하였다. 이는 군집 별 표본 크기가 변수의 개수와 동일한 상황에서 PSR이 지나치게 작을 경우 올바로 군집을 형성하는 방법론은 없었지만, PSR이 일정 수준보다 높아질 경우에는 PRKM이 다른 방법론보다 군집을 잘 형성할 수 있음을 시사한다. PSR 수준 0.3에서는 RKM이 0.831로 가장 높은 평균 ARI를 가졌으며, PRKM이 0.810으로 두 번째로 높았고, TKM은 0.6대, KM과 GMM의 경우에는 0.5대로 낮은 평균 ARI를 얻었다.</p> <h3>4.2.2. 군집 당 표본 크기가 50이고 $ c=5 $ 인 경우</h3> <p>표본 크기가 50개이고 군집 중첩이 없는 경우 $ (c=5) $ 의 결과는 Table 2에 정리되어 있다. 변수가 10개일 경우에 PSR 수준 0.05일 때, RKM과 KM의 경우 군집이 완벽하게 형성된 것을 확인할 수 있으나, TKM에서는 0.7대의 평균 ARI를 얻었다. 특히 PRKM에서는 0.807의 상대적으로 낮은 평균 ARI를 얻은 것을 볼 수 있으며, 평균 오분류율은 0.126으로 가장 컸다. 이는 해당 유형의 자료의 경우 PRKM의 성능이 10개 자료에 따라 편차가 매우 심했기 때문이며, 초기치를 주는 횟수(20개)가 부족했던 것이 원인이었던 것으로 추측된다. PSR 수준 0.10과 0.15인 경우에서는 모든 방법론이 완벽하게 군집을 형성했다.</p> <p>단계 1 각 개체마다 사후 확률 $ \left ( \gamma \left (z_ { i k } \right ) \right ) $ 이 가장 큰 군집으로 할당한다.</p> <h1>4. 모의실험</h1> <p>모의실험을 통해 확률적 reduced K-means 모형의 성능을 확인하고 reduced K-means 모형과 가우지안 혼합 모형, 그리고 주성분 분석을 통해 차원 축소를 진행한 후에 K-means 모형으로 군집분석을 진행하는 Tandem 군집분석의 성능과 비교하였다. 이때, 확률적 reduced K-means 모형과의 동등한 비교를 위해 가우지안 혼합 모형의 공분산 행렬은 항등 행렬(identity matrix)로 제약하기로 하며, 모의실험 자료 또한 그에 맞도록 구성했다. 본 모의실험을 통해 다양한 자료 유형에서, 차원 축소가 군집분석에 어떤 영향을 미치는지, 그리고 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하는 것이 Tandem 군집분석에 비해 어떤 이점이 있는지 파악하고자 하였다. 모형 평가 기준으로는 adjusted rand index (ARI)와 오분류율(misclassification rate)을 이용했다. 또한, 각 군집 분석 방법론마다 20개의 초깃값을 시도했다.</p> <h2>4.1. 모의실험 자료 생성</h2> <p>Timmerman 등 (2010)에서 reduced K-means 모형은 $ \mathbf { X } = \mathbf { U F B } ^ {\top } + \mathbf { E } _ { R } $ 로 나타낼 수 있음을 보인다. 여기서 $ \mathrm { U } (N \times K) $ 는 군집 배정 행렬을 뜻하며, 각각의 개체가 어느 군집에 속하는지를 지시한다. 개체 $ i $ 가 군집 $ k $ 에 속할 경우 $ u_ { i k } =1 $, 아닐 경우 $ u_ { i k } =0 $ 이며, $ \sum_ { k=1 } ^ { K } u_ { i k } =1 $ 을 만족한다. $ \mathbf { F } (K \times Q) $ 는 축소 차원에서 군집의 중심을 나타내는 행렬로 $ f_ { k q } $ 는 $ k $ 번째 군집의 $ q $ 번 째 요소 점수(component score)이다. $ \mathbf { B } (J \times Q) $ 는 원 자료 $ \mathbf { X } (N \times J) $ 를 군집을 설명하는 축소 차원 ( $ Q $ 차원)으로 투영시키는 열 방향 정규 직교 적재 행렬(columnwise orthonormal loading matirx)이다. $ \mathbf { E } _ { R } $ 은 reduced K-means에서의 잔차항이다. 이에 따라 해당 연구에서는 모의실험 자료 생성 모형을 다음과 같이 구성한다.</p> <p>본 연구에서 사용한 수정된 보스턴 자료에는 실제 각 개체에 대한 위도와 경도 변수가 포함되어 있어, 실제 군집이 형성된 위치를 확인할 수 있었다. Figure 3과 같이 각 개체의 위치를 살펴본 결과, 현재의 보스턴의 중심지에 제 1 군집이 형성된 것을 볼 수 있었다. Choi와 Baek (2017)에 따르면 20세기 초 미국은 대규모 이민과 도시의 발전이 진행되면서 대도시의 인구가 급격하게 증가하였고, 도심지의 슬럼화가 일어났다. 특히, 1960년에서 80년대 산업구조 변환기 미국은 급격한 교외화 및 도심 쇠퇴, 임대공동주택단지의 슬럼화 문제가 심했으므로 군집분석의 결과는 합리적이라 생각된다.</p> <p>Figure 4은 군집분석 방법론별 결과를 축소된 차원에 보스턴 자료를 투사하여 2차원 평면에 나타낸 그림이다. GMM과 KM의 경우에는 군집분석을 먼저 한 후, 주성분 분석으로 2차원 평면에 차원축소하여 나타냈다. 오직 PRKM만이 군집을 나누는 축소 차원을 적절하게 찾으면서도 합리적인 군집 할당을 했음을 알 수 있다. 반면 RKM의 경우 군집을 나눌 수 있는 축소 차원은 적절하게 찾았지만 군집 배정을 합리적으로 하지 못했다. PRKM과는 다르게 RKM에서는 두 군집 간의 거리가 가까워 제 2 군집으로 할당되었어야 하는 개체 중 일부가 제 1 군집으로 잘못 할당된 것으로 보인다.</p> <p>반면 보스턴 자료에서 PRKM이 찾아내는 공간은 직교 공간이 아닌 다른 공간(두 축의 각도는 약 $ \left .110.4 ^ {\circ } \right ) $ 이기 때문에 두 군집 사이의 거리를 넓히는 작용이 일어났고, 따라서 RKM보다 더 적절한 군집분석 결과를 얻었을 것이다. 보스턴 자료는 RAD와 TAX 등의 변수에서 값이 몰려있는 것이 군집형성에 주요한 역할을 했고, 군집 크기가 다른 비대칭 데이터이며, 실제 군집 차원상에서의 군집 형태가 원형인지도 알 수 없다. 즉, 모의 실험 자료와는 특성이 다른 자료이며, 이러한 유형의 자료에서는 관측치의 개수가 충분함에도 모의실험의 결과와 달리 RKM의 성능이 오히려 좋지 않은 것으로 생각된다.</p> <p>한편, TKM에서는 군집을 나누기에 적당한 축소 차원을 적절하게 찾지 못했으며, 주성분 분석을 통한 차원 축소 방법은 보스턴 자료를 군집분석할 때 좋은 선택이 아님을 알 수 있다. GMM과 KM에서도 거의 동일한 결과를 얻었다.</p> <h1>6. 결론</h1> <p>차원 축소와 군집분석을 개별적으로 진행하는 Tandem 군집분석에서의 축소된 차원은 군집의 구조를 적절히 반영하지 않을 가능성이 있었다. 본 연구에서는 이런 Tandem 군집분석의 문제를 해결하기 위해 개발된 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하는 방법론 중 하나인 reduced K-means를 확률적인 모델로 전환을 시도했다. 이를 확률적 reduced K-means(PRKM)이라 명명했으며, 모델 추정을 위해 EM 알고리듬을 활용했다. 또한 그 성능을 기존의 reduced K-means 모형과 Tandem 군집분석, 그리고 차원 축소를 진행하지 않는 가우지안 혼합 모형(공분산을 제약함)과 K-means 모형과 비교했다.</p> <p>변수가 50개일 경우의 결과를 살펴보면, PSR 수준 0.05에서는 제대로 된 군집을 형성하는 방법론은 없었다. PSR 수준 0.10에서는 RKM이 0.992로 가장 높은 평균 ARI의 결과를 얻었으며, PRKM는 평균 ARI 0.982로 두 번째로 높았다. 반면 다른 방법론의 경우 평균 ARI가 0.85보다 낮은 수준이었다. PSR 수준 0.15인 경우에도 마찬가지로, RKM이 완벽한 군집을 형성해 평균 ARI가 1이었으며, PRKM이 그다음으로 0.997이었다. 하지만 다른 방법론의 경우에도 0.95 이상으로 크게 뒤떨어지지 않는 ARI 결과를 주었다.</p> <p>변수가 100개일 경우에는 PSR 수준 0.1인 경우에는 오직 PRKM이 0.764의 평균 ARI를 가졌으며 나머지 방법론의 경우 모두 0.5보다 낮은 ARI를 주었다. 특히 RKM의 경우 TKM보다도 평균 ARI가 낮았다. PSR 수준이 0.15인 경우에도, PRKM의 경우 0.981으로 가장 높은 평균 ARI 결과를 얻었으며, RKM이 0.889로 그보다는 낮은 평균 ARI를 기록했다. 즉, 군집 중첩이 발생하지 않은 자료에서 군집당 표본 크기가 변수 수 보다 작은 경우 RKM의 성능이 PRKM에 비해 상대적으로 많이 떨어진다는 점을 알 수 있다.</p> <h3>4.2.3. 군집 당 표본 크기가 50이고 $ c=2.5 $ 인 겅우</h3> <p>군집 당 표본 크기가 50개이고 군집 중첩이 발생한 경우 $ (c=2.5) $ 의 결과는 Table 3에 정리되어 있다. 변수가 10개일 경우에 PSR 수준이 0.2인 경우 RKM과 PRKM이 차례로 0.950, 0.931로 높은 평균 ARI를 주었으며, GMM의 경우 0.855로 가장 낮은 평균 ARI를 얻었다. PSR 수준이 0.25 이상일 때는 전체 방법론에서 비등하게 높은 평균 ARI를 보였다.</p> <p>변수가 50개일 경우에 PSR 수준 0.2에서 의미 있는 군집을 형성한 방법론은 없었다. PSR 수준 0.25에서는 PRKM의 경우 0.649로 가장 높은 평균 ARI를 얻었으며, RKM의 경우 0.538로 그다음으로 높았다. 다른 방법론의 경우에는 0.5보다 낮은 평균 ARI를 보였다. PSR 수준 0.3인 경우에는 RKM과 PRKM 각각 평균 ARI 0.860과 0.840으로 높았으며, 다른 방법론의 경우 평균 ARI가 0.7 이하였다. 여기서도 마찬가지로 군집당 표본 크기가 변수 수와 같은 경우에 PSR이 일정 수준보다 낮을 때 RKM의 성능이 PRKM에 비해 떨어진다는 사실을 알 수 있다.</p> <p>마지막으로 변수가 100개일 경우의 결과를 살펴보면, PSR 수준 0.2와 0.25에서 의미 있는 군집이 형성된 방법론은 없었다. 하지만 PSR 수준 0.3에서는 PRKM의 경우 0.547으로 가장 높은 평균 ARI를 주었으며, TKM의 경우 두 번째로 높은 0.426의 평균 ARI를 주었다. 즉, 군집 중첩이 있는 자료에서도 군집 당 표본 크기보다 변수의 개수가 2배가량 많을 경우, PRKM의 성능이 다른 방법론에 비해 군집을 잘 형성한다.</p> <p>본 연구는 변수의 개수에 비해 표본 크기가 작고, PSR이 작은 자료에 적합한 군집 분석 방법론을 제시했다는데 의의가 있다. 모의실험 결과, 변수의 개수가 군집 당 표본 크기보다 상대적으로 클수록, 그리고 PSR이 작을수록 reduced K-means 기반의 군집분석이 기존의 Tandem 군집분석과 차원 축소를 포함하지 않는 군집분석보다 성능이 뛰어나다는 점을 확인할 수 있었다. 특히, 변수의 개수가 군집 당 표본 크기보다 큰 경우, 확률적 reduced K-means 모형의 성능은 기존의 reduced K-means의 성능을 상회했다. 이에 대한 원인은 변수의 개수에 비하여 상대적 표본 크기가 작을 때, 비 확률적 차원 축소 방법보다는, 확률적 모형의 차원 축소가 더 적절하기 때문이었던 것으로 추정된다.</p> <p>확률적 관점에서 확률적 reduced K-means 모형은 쉽게 확장이 가능하다는 장점이 있다. 먼저 EM 알고리듬을 통해 추정되기 때문에, 결측이 존재하는 자료에 대해서 쉽게 확장할 수 있다. 군집에 대한 고려 없이 결측 대체를 진행한 후에 군집분석을 진행하는 것보다 본 모델에 결측자료에 대한 추정까지 통합하여 군집분석을 진행하는 것이 더 합리적일 수 있을 것이다. 또한, 비정규분포를 따르는 연속형 변수나 범주형 변수로의 확장도 가능하여 좀 더 다양한 유형의 자료에 적합하도록 확장시킬 수 있을 것이다. 마지막으로, 사전분포를 고려할 수 있기 때문에 베이지안적 모형으로도 확장할 수 있을것이다. 특히 본 연구에서 유도한 확률 reduced K-means 모형의 EM 알고리듬에서는 군집 중 일부가 소멸되는 현상이 발생했으며 특히 PSR 수준이 낮은 경우 더 심한 경향이 있었다. 이는, 초기치에 따라 일부 군집의 비율 $ \left ( \pi_ { k } ; k=1, \ldots, K \right ) $ 이 지나치게 0에 가까워지는 경우가 있어 생기는 문제로 보인다. 이를 해결하기 위해 군집의 비율에 사전 확률(가령, $ \left . \pi_ { k } =1 / K k=1, \ldots, K \right ) $ 을 부여하여 잘못된 초기치에 대한 민감성을 낮추는 것이 한 방법이 될 수 있을 것이다.</p> <p>본 연구에서는 군집의 개수 $ (K) $ 와 축소 차원의 수 $ (Q) $ 를 정하는 방법에 대해서는 다루지 않았다. 비확률적인 군집분석에서의 군집의 개수를 정하는 문제에 대해서 Milligan과 Cooper (1985)는 Calinski-Harabasz 인덱스를 비롯한 30가지 방법을 비교했다. De Soete와 Carroll (1994)은 차원 축소를 위해서 $ Q $ 는 $ \min (K-1, J) $ 보다 작게 정한다고 언급하고 있다. Vichi와 Kiers (2001)는 만일 $ \min (K-1, J) $ 보다 작은 $ Q $ 로도 군집구조가 설명될 경우, 더 적은 수의 차원을 시도해보는 것이 바람직하다고 말한다. 그러나 확률적인 군집분석 모형을 위한 $ K $ 와 $ Q $ 를 정하는 방법은 연구가 많이 진행된 바가 없다. 특히 확률적 reduced K-means 모형에서는 $ K $ 와 $ Q $ 가 서로 의존적이기 때문에 이는 더욱 어려운 문제이다. 따라서 본 연구에서는 해석에 초점을 맞추어 좀 더 합리적인 결과를 주는 군집의 개수와 축소 차원의 수를 사용했다. 하지만, AIC와 BIC를 활용하여 $ K $ 와 $ Q $ 를 보다 정량적인 기준으로 결정하는 방법에 대한 연구가 진행될 필요가 있다.</p> <p>한편으로, 확률적 reduced K-means 모형에서 형성되는 축소 차원은 직교 공간이 아니다. 이에 따라서 축소 차원의 랭크가 1인 경우를 제외하고는 기존의 reduced K-means과는 달리 변수에 대한 설명이 어려워진다. 따라서, 가중치 행렬( $ \mathrm { A } $)을 정규 직교 행렬로 제약하여 모형을 추정하는 연구도 필요할 것이며, 모의실험과 같은 유형의 자료에서 관측치가 충분한 경우 PRKM의 성능이 RKM에 비해 떨어지는 문제도 해결될 가능성도 있다. 또한, 본 연구는 확률적 주성분 분석 모형을 확장시켰기 때문에 자료 $ \mathbf { x } $ 의 공분산의 잔차항을 $ \epsilon \mathbf { I } $ 로 제약했다. 모형의 일반성을 높이기 위해서 공분산의 잔차항을 일반적인 공분산 행렬(general covariance matrix)로 확장시키는 연구도 가능할 것이다.</p> <p>\[ p( \mathbf { x } )= \sum_ { k=1 } ^ { K } p_ { k } \left (z_ { k } \right ) \int_ {\mathbf { y } _ { k } } p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } _ { k } , z_ { k } \right ) p_ { k } \left ( \mathbf { y } _ { k } \right ) d \mathbf { y } _ { k } , \]<caption>(3.7)</caption></p> <p>으로 표현된다.</p> <p>본 연구에서의 확률적 reduced K-means는 가중치 행렬 $ \mathbf { A } $ 에 대한 특별한 제약이 존재하지 않아 $ \mathbf { A } ^ {\top } $ 를 적재 행렬로 해석할 수 없다. 무어-펜로즈 유사 역행렬(Moore-Penrose pseudoinverse matrix) $ \mathbf { A } ^ { + } $를 정의하면, $ \mathbf { A } ^ { + } E( \mathbf { x } )=E \left ( \mathbf { y } _ { k } \right ),(k=1, \ldots, K) $ 가 성립하게 되고, 이는 원 자료 $ \mathbf { X } $ 차원상에서의 군집 중심값에 $ \mathbf { A } ^ { + } $가중치 행렬을 통해 축소 차원에서의 군집 중심 값을 구할 수 있다고 해석할 수 있다. 즉, $ \mathrm { A } ^ { + } $를 적재 행렬로 해석한다.</p> <p>확률적 reduced K-means 모형의 추정은 로그 가능도 $ l( \theta)= \ln (p( \mathbf { X } \mid \theta)) $ 가 최대가 되도록 하는 모수를 찾아줌으로써 이루어진다. 하지만, 식 3.7의 로그 가능도를 직접적으로 계산하는 것은 어려운 문제이다. 따라서 확률적 reduced K-means 모형에서는 로그 가능도를 직접적으로 높이는 대신, EM 알고리듬을 이용하여 로그 가능도의 하한 값이 최대가 되도록 하는 모수 값을 추정한다. 이때, 개체 $ \mathbf { x } $ 가 $ k $ 번째 요인에 속하는지에 대한 정보 $ z_ { k } $ 와 축소 차원에서의 $ k $ 번째 요인의 잠재변수 $ \mathbf { y } _ { k } (k=1, \ldots, K) $ 를 결측된 자료로 간주하도록 한다. 추정하고자 하는 모수를 $ \theta= \left \{\pi_ { 1 } , \ldots, \pi_ { K } , \mu_ { 1 } , \ldots, \mu_ { K } , \mathrm { A } , \epsilon \right \} $ 라 할 때, 해당 모수를 구하기 위한 EM 알고리듬은 다음에 정리되어있다. EM 알고리듬의 유도과정은 Appendix에 정리되어 있다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>군집분석이란 N 개의 개체를 주어진 변수의 특성을 고려하여 K 개의 상이한 그룹으로 묶어 군집으로 정의하고, 그 군집의 대표적 특성을 찾아 분석하는 기법을 뜻한다. 기본적인 군집분석 중 하나인 K-means 군집분석은 유클리드 거리를 사용해 군집분석을 진행하기 때문에 변수의 수가 지나치게 많아지게 될 경우, 군집분석이 제대로 이루어지지 않을 수 있는 문제가 있다. 따라서 분석가들은 K-means 군집분석을 할 때 자료의 모든 변수가 군집을 형성하는데 연관 있는 것은 아니거나 변수의 개수가 지나치게 많다고 판단할 경우 주성분 분석(principal component analysis), 또는 요인 분석(factor analysis)을 통해 주성분과 요인을 먼저 찾아내곤 한다. 즉, 차원 축소를 통해 몇 개의 주성분 또는 요인을 찾아내며, 그 축소된 차원상에서 군집분석을 실시한다. 이렇게 차원 축소와 군집분석 두 개의 독립적인 단계로 이루어진 분석 방법을 Arabie와 Hubert (1994)는 Tandem 군집분석이라고 명명했다.</p> <p>Tandem 군집분석에서 차원 축소를 통해 찾은 부분 차원이 반드시 군집 구조를 설명할 수 있는 차원일 것이라는 보장은 없다. 특히 군집의 구조와는 상관없는 변수들의 분산 또는 공분산이 클 때, 주성분 분석을 통한 차원 축소는 오히려 군집의 구조를 가릴 수 있다. 따라서, 군집 구조를 잘 밝혀낼 수 있는 저차원을 찾아내는 것이 강조되었으며, 차원 축소와 군집분석 두 개의 독립적인 단계가 아닌, 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하는 방법론들이 개발되어 왔다. De Soete와 Carroll (1994)의 Reduced K-means (RKM)에서는 군집분석은 본래의 차원에서 진행하되 중심 좌표 행렬에 대해서 차원 축소를 실시한다. Vichi와 Kiers (2001)가 제안한 Factorial K-means (FKM)에서는 자료와 중심 좌표 행렬 모두 축소된 차원에 투영시켜 차원 축소를 하고, 축소된 차원 하에서 군집분석을 진행한다. 또한, Timmerman 등 (2010)의 연구에서는 RKM과 FKM은 전체 잔차 대비 군집과 연관된 차원상에서의 잔차 비율 proportion of subspace residual (PSR) 수준에 따라, 상호 보완적인 관계임을 밝혔다. 즉, PSR 수준이 높을 때는 RKM이 우수하며, PSR 수준이 낮을 때는 FKM이 우수하다. Rocci 등 (2011)이 제안한 factorial discriminent K-means (FDKM)에서는 Reduced K-means와 factorial K-means에서의 적재 행렬에 추가적인 제약을 줄 때 RKM과 FKM이 동등함을 밝히고, 좀 더 안정적인 군집분석 방법 선택을 도왔다. Timmerman 등 (2013)이 제안한 subspace K-means 군집분석에서는 군집 중심 간의 차이를 드러내는 부분 공간(subspace)과, 각 군집별 군집 내 분산을 설명하는 부분 공간을 동시에 추론하는 방법론을 구축했으며, 두 부분 공간이 같지 않은 자료를 군집분석할 수 있게 되었다.</p> <p>두 번째 요소는 전체 잔차의 분산 중에서 군집을 설명하는 축소 차원 하에 놓여있는 잔차가 설명하는 비중으로 proportion of subspace residual (PSR)을 고려했으며 식은 다음과 같다.</p> <p>\[ \operatorname { PSR } = \frac {\sigma_ { E } ^ { 2 } } {\sigma_ { E } ^ { 2 } + \sigma_ { E ^ {\perp } } ^ { 2 } } . \]<caption>(4.3)</caption></p> <p>이때 $ \sigma_ { E } ^ { 2 } =1 $ 로 고정하도록 한다. $ c=5 $ 인 경우 $ \operatorname { PSR } = \{ 0.05,0.10,0.15 \} $ 세 가지 수준을 고려했고 $ c=2.5 $ 인 경우 $ \operatorname { PSR } = \{ 0.2,0.25,0.3 \} $ 세 가지 수준을 고려했다. 이는 $ c=2.5 $ 인 경우 너무 작은 PSR 수준에서 군집이 거의 생성되지 못했기 때문이며, $ c=5 $ 인 경우보다 조금 더 높은 수준의 PSR을 설정했다.</p> <p>세 번째 요소는 변수의 개수이다. 변수의 개수가 10개인 경우와 50개인 경우, 그리고 100개인 경우 세 가지를 고려했다. 이때, 변수의 개수에 따른 적재 행렬 $ \mathbf { B } $ 는 $ (8 \times 2) $ 행렬에 $ 0((J-8) \times 2) $ 행렬을 첨가한 형태이다. 예를들어 변수 개수 50개인 경우의 $ \mathrm { B } $ 는 다음과 같다.</p> <p>\[ \mathbf { B } _ { (50 \times 2) } = \left ( \begin {array} { cccccccccc } 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.25 & 0.56 & 0.56 & 0 & 0, \ldots, 0 \\ 0.41 & 0.41 & 0.41 & -0.41 & -0.41 & -0.41 & 0 & 0 & 0 & 0, \ldots, 0 \end {array} \right ) ^ {\top } . \]<caption>(4.4)</caption></p> <p>마지막으로 네 번째 요소로는 표본 크기(sample size)를 고려했으며, 각 군집별 표본 크기가 100(총 400개)인 경우와 50(총 200개)인 경우를 고려했다. 생성된 자료에 대한 예시는 Figure 1과 같다. Figure 1은 열 방향 정규 직교 행렬 $ \mathrm { B } $ 로 정의되는 축소 차원에 원 자료를 투사한 결과 $ ( \mathrm { XB } ) $ 이며 실질적인 군집 구조를 드러낸다. 실제 군집 구조에 PSR 수준과 변수의 개수는 영향을 주지 않는다. 각 요소의 조합마다 10개의 자료를 형성했다.</p> <p>\[ \mathbf { x } = \mathbf { A y } _ { k } + \mathbf { v } . \]<caption>(3.5)</caption></p> <p>여기서, $ \mathbf { y } _ { k } (Q $ 차원 $ ) $ 는 $ k $ 번째 가우지안 요인의 잠재 변수를 뜻하며 $ N \left ( \mu_ { k } , \mathbf { I } \right ) $ 의 가우지안 분포를 따른다. $ \mathbf { A } (J \times Q) $ 는 $ k $ 번째 요인의 잠재변수 $ \mathbf { y } _ { k } $ 를 선형 결합하는 역할을 하는 가중치 행렬(weight matrix)이며, 모든 $ k=1, \ldots, K $ 에서 공통이다. 마지막으로 $ \mathbf { v } $ 는 모형의 오차에 해당되며 $ N( \mathbf { 0 } , \epsilon \mathbf { I } ) $ 의 가우지안 분포를 따른다고 가정한다. 따라서 각 $ K $ 개의 요인의 확률 밀도 함수는,</p> <p>\[ p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid z_ { k } \right )= \int_ {\mathbf { y } _ { k } } p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } _ { k } , z_ { k } \right ) p_ { k } \left ( \mathbf { y } _ { k } \right ) d \mathbf { y } _ { k } \]<caption>(3.6)</caption></p> <p>으로 표현되며 이때 $ p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid z_ { k } \right ) $ 는 $ N \left ( \mathbf { A } \mu_ { k } , \mathbf { A } \mathbf { A } ^ {\top } + \epsilon \mathbf { I } \right ) $ 를 따르고, $ p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid \mathbf { y } _ { k } , z_ { k } \right ) $ 는 $ N \left ( \mathbf { A } \mathbf { y } _ { k } , \epsilon \mathbf { I } \right ) $ 를 따른다. $ \mathbf { x } $ 의 주변분포는 최종적으로</p> <p>\[ F( \mathbf { U } , \mathbf { C } )= \sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { k=1 } ^ { K } u_ { i k } \sum_ { j=1 } ^ { J } \left (x_ { i j } -g_ { k j } \right ) ^ { 2 } + \sum_ { k=1 } ^ { K } n_ { k } \sum_ { j=1 } ^ { J } \left (g_ { k j } -c_ { k j } \right ) ^ { 2 } . \]<caption>(2.5)</caption></p> <p>Reduced K-means 군집분석은 개체와 군집 중심 사이의 유클리드 거리 합이 최소가 되도록 개체를 군집에 배정하고, 그에 따른 군집 중심 행렬에 대해 차원축소를 진행한다고 이해할 수 있다. 식 2.5는 alternating least-squares (ALS) 알고리듬에 따라 최소화될 수 있다. 즉, $ \mathbf { C } $가 주어진 상태에서 $ F( \mathbf { U } , \mathbf { C } ) $ 가 최소가 되도록 군집 배정 행렬 $ \mathbf { U } $ 를 찾아주는 과정과, $ \mathbf { U } $ 가 주어진 상태에서 $ F( \mathbf { U } , \mathbf { C } ) $ 가 최소가 되도록 축소 차원에서의 군집 중심 행렬 $ \mathrm { C } $ 를 찾아주는 과정을 반복하게 된다. 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하게 되므로, 이때 찾게되는 축소 차원은 주성분 분석을 통해 찾아지는 축소 차원과는 다른, 군집 구조를 드러내기에 적합한 차원이라 기대할 수 있으며, Tandem 군집분석에 비해 좀 더 적절한 군집분석을 할 수 있다. 본 연구에서는 reduced K-means 군집분석을 확률적인 모형으로 전환하였다.</p> <h1>3. 확률적 reduced K-means 군집분석</h1> <p>확률적 reduced K-means 모형을 구성할 때, 군집분석과 관련하여 가우지안 혼합 모형을 활용하며, 차원 축소와 관련하여 확률적 주성분 분석 모형을 활용한다. 확률적 reduced K-means 모형 역시 reduced K-means와 마찬가지로 군집분석을 진행하고 군집 중심 행렬에 대해 차원 축소하는 과정을 반복하게 된다.</p> <p>혼합 분포(mixture density)는 $ K $ 개 요인(factor)의 분포를 가중 합한 것이라 정의할 수 있다. 여기서 자료 $ \mathbf { X } $ 의 분포는 $ K $ 개의 가우지안 분포의 혼합으로 구성되어 있다고 가정하였다. 따라서 개체 $ \mathbf { x } (J \times 1) $ 의 확률 밀도 함수는,</p> <h3>4.2.4. 모의실험 결과 해석</h3> <p>전반적으로 PSR 수준이 낮아질수록, 변수의 개수가 많아질수록, 그리고 군집 당 표본 크기가 작아질수록 모든 방법론에서 군집이 올바로 형성되는 것이 어려움을 관찰했으며, 방법론 간의 성능 차이도 커진다는 것을 알 수 있었다. 이 상황에서 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하는 방법이 기존의 방법보다 더 좋은 군집 형성을 보여준다. 또한, 군집 중첩이 없으면서 $ (c=5) $ 군집당 표본 크기가 변수 개수에 비해 크거나 같은 경우에는 오히려 TKM이 GMM과 KM보다 평균 ARI가 낮은 것을 볼 수 있었다. 이는 주성분 분석을 통한 차원 축소가 오히려 군집의 구조를 가릴 수 있다는 것을 뜻한다. 한편 군집의 중첩이 일어나는 경우에는 $ (c=2.5) $ TKM이 GMM과 KM보다 높은 평균 ARI를 주기는 했으나, PRKM과 RKM만큼 높지는 않았기에 주성분 분석이 군집분석에 적절한 차원 축소를 했다고는 생각할수 없다.</p> <p>각 군집별 표본 크기가 변수 수보다 큰 경우, RKM이 PRKM을 포함한 다른 방법론보다 ARI가 항상 안정적으로 높았다. 이는, PRKM이 찾아낸 축소차원이 RKM에 비해 적절하지 못했기 때문인 것으로 생각된다. 실험 과정에서 많은 경우에 PRKM이 찾아낸 축소차원 하에서 군집의 형태는 원형이 아닌 타원형인 경우가 많았다. 이는 PRKM에서 $ \mathbf { A } $ 를 정규 직교 행렬로 제약하지 않아 $ \mathbf { A A } ^ {\top } = \mathbf { I } $ 가 만족하지 않았기 때문인 것으로 보인다. 따라서 차원축소를 위한 충분한 관측치가 있다면 RKM을 사용하는 것이 더 나은 선택일 것이다.</p> <p>그러나 각 군집 당 표본 크기가 변수 수 보다 작은 경우에서는 항상 PRKM의 ARI가 RKM의 ARI를 상회했다. 또한, 군집 중첩이 발생하면서 $ (c=2.5) $ PSR 수준이 0.25인 경우 중에, 변수 수와 군집 당 표본 크기가 동일한 경우도 마찬가지로 PRKM의 ARI 결과가 RKM의 ARI 결과를 상회했다. 따라서 군집 당 표본 크기가 변수의 개수에 비해 작아질수록 작은 PSR 수준에서 PRKM이 RKM보다 더 높은 군집 분석 성능을 보여준다. 이를 확인하기 위해 군집별 표본 크기가 50이고, 군집 중첩이 발생한 $ (c=2.5) $ 자료를 변수 10개, 50개, 100개에 대해서 PSR 수준 0.1에서 0.5까지 0.05 간격으로 10개씩 형성했으며, 각 군집분석 방법론의 평균 ARI를 확인했다. 이때도 초깃값은 20개를 부여했다.</p> <p>주성분 분석(principal component analysis)을 확률적 모형으로 전환하기 위하여 선형 잠재 변수 모형, 특히 Roweis (1998)와 Tipping과 Bishop (1999b)이 제안한 확률적 주성분 분석 모형을 활용할 수 있다. 확률적 주성분 분석 모형은 고차원 공간에 선형적으로 잠재되어 있는 저차원의 공간으로부터 자료가 생성되었다고 가정하며, 개체 $ \mathbf { x } (J \times 1) $ 를 다음과 같이 잠재변수 $ \mathbf { y } (Q \times 1) $ 의 가중 합으로 표현한다.</p> <p>\[ \mathbf { x } = \mathrm { Ay } + \mathrm { v } . \]<caption>(3.2)</caption></p> <p>여기서 $ \mathbf { y } $ 는 $ N( \mathbf { 0 } , \mathbf { I } ) $ 를 따르며, 오차(Noise) $ \mathbf { v } $ 는 $ N( \mathbf { 0 } , \epsilon \mathbf { I } ) $ 를 따른다. $ \mathbf { A } (J \times Q) $ 의 열은 $ \mathbf { X } (N \times J) $ 의 첫 $ Q $ 개 주성분의 공간을 스팬(span)한다. 이에 따라 $ \mathbf { x \| y } $ 와 $ \mathbf { x } $ 의 주변분포는 다음과 같다.</p> <p>\[ \mathbf { x } \mid \mathbf { y } \sim N( \mathbf { A y } , \epsilon \mathbf { I } ), \]<caption>(3.3)</caption></p> <p>\[ \mathbf { x } \sim N \left ( \mathbf { 0 } , \mathbf { A } \mathbf { A } ^ {\top } + \epsilon \mathbf { I } \right ). \]<caption>(3.4)</caption></p> <p>확률적 주성분 분석 모형도 마찬가지로 로그 가능도가 최대가 되도록 모수를 추정하며, 이때 잠재 변수 $ \mathbf { y } $ 값을 결측된 자료라고 간주하여 EM 알고리듬을 활용할 수 있다.</p> <p>확률적 reduced K-means 모형에서 각각의 $ K $ 개의 가우지안 요인은 군집 구조를 설명하는 $ Q $ 개의 잠재 변수의 선형 가중 합이라고 가정한다. 따라서 각 $ K $ 개의 가우지안 요인에 대하여 확률적 주성분 분석 모형을 통해 차원 축소를 진행하도록 한다. 즉 $ k $ 번째 요인의 개체 $ \mathbf { x } $ 는 다음의 선형 결합으로 구성된다고 가정한다.</p> <p>\[ p( \mathbf { x } )= \sum_ { k=1 } ^ { K } p_ { k } \left (z_ { k } \right ) p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid z_ { k } \right ) \]<caption>(3.1)</caption></p> <p>와 같이 정의된다. 여기서, $ z_ { k } = \{ 0,1 \} $ 는 해당 개체가 $ k $ 번째 가우지안 요인에 속하는지에 대한 잠재 지시 변수이며, $ p_ { k } \left (z_ { k } =1 \right )= \pi_ { k } $ 이고 이는 혼합 비율(mixing proportion)을 뜻한다. 따라서 $ \pi_ { k } (k=1, \ldots, K) $ 는 0에서 1 사이 값을 가지며 $ \sum_ { k=1 } ^ { K } \pi_ { k } =1 $ 를 만족한다. $ p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid z_ { k } \right ) $ 는 $ N \left ( \mu_ { k } , \sigma_ { k } \right ) $ 를 따르는 가우지안 요인이다. 이런 가우지안 혼합 밀도 함수는 먼저 다항 분포(multinomial distribution)로부터 개체가 생성되는 요인 $ k $ 를 $ \left \{\pi_ { 1 } , \ldots, \pi_ { K } \right \} $ 에 따른 확률로 뽑고 난 후, 그 뽑힌 요인의 분포 $ \left (N \left ( \mathbf { x } \mid \mu_ { k } , \Sigma_ { k } \right ) \right ) $ 로부터 개체가 생성되는 일련의 프로세스를 모형화한 것이라 이해할 수 있다. 가우지안 혼합 모형을 추정할 때, 로그 가능도 $ \ln P( \mathbf { X } )= \ln \prod_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { k=1 } ^ { K } p_ { k } \left (z_ { k } \right ) p_ { k } \left ( \mathbf { x } \mid z_ { k } \right ) $ 를 최대화하는 모수 값을 찾아주며, 이를 위해서 개체 $ (i=1, \ldots, N) $ 가 어떤 요인 $ (k=1, \ldots, K) $ 으로부터 생성되었는지에 대한 정보 $ \left (z_ { i k } \right ) $ 가 결측되었다고 간주하고 Dempster 등 (1977)의 EM 알고리듬을 활용할 수 있다.</p> <p>확률적인 관점에서 차원 축소와 군집분석을 동시에 진행하는 방법도 연구가 되어왔다. Ding 등 (2002)은 가우지안 혼합 모형 gaussian mixture model (GMM)을 활용하여 군집분석을 진행한 다음, 특이값 분해 singu-lar value decomposition (SVD) 등을 활용하여 차원 축소하는 과정을 반복하는 adaptive dimension reduction expectation maximization (ADR-EM) 방법을 제안했다. 또한 선형 잠재변수 모형을 활용하여 가우지안 혼합 분포 모형의 공분산 구조에 제약을 가함으로써 군집분석과 차원 축소를 동시에 진행하는 방법론도 논의가 되었다. 이때의 선형 잠재변수 모형으로 Ghahramani와 Hinton (1996)은 요인 분석을 활용했고, Tipping과 Bishop (1999a)은 주성분 분석을 이용했다.</p> <p>본 연구에서는 reduced K-means 군집분석을 확률적 reduced K-means 모형으로 전환하고자 한다. 2 장에서는 reduced K-means 군집분석과 알고리듬을 간략하게 설명한다. 3 장에서는 reduced K-means 모형을 확률적 모형으로 확장하기 위한 가우지안 혼합 모형과 확률적 주성분 분석 모형에 대해 간략하게 설명한 후에, 확률적 reduced K-means 모형과 알고리듬을 소개한다. 4 장에서는 모의실험을 통해, 일반적인 K-means와 Tandem 군집분석에 비해 reduced K-means와 확률적 reduced K-means가 가지는 장점을 알아본다. 또한, 기존의 비확률적 방법에 비해 확률적 reduced K-means가 가지는 장점도 설명한다. 5 장에서는 Harrison과 Rubinfeld (1978)의 보스턴 자료를 통해 실제 응용 사례에 대해 다룬다. 6 장에서는 확률적 reduced K-means 모형이 가지는 의의와 추가로 필요한 연구에 대해 설명하도록 한다.</p> <h1>2. Reduced K-means 군집분석</h1> <p>De Soete와 Caroll (1994)이 제안한 reduced K-means 군집분석은 차원축소와 K-means 군집분석을 동시에 실시하는 방법이다. $ N $ 은 관측치의 개수, $ J $ 는 변수의 개수, $ K $ 는 군집의 개수, 그리고 $ Q(Q<J) $ 는 축소하고자 하는 차원의 개수로 나타내자. 군집분석을 위한 자료 행렬을 $ \mathbf { X } (N \times J) $ 로 표현하고 군집 배정 행렬(cluster membership matrix)은 $ \mathbf { U } (N \times K) $ 로, $ \mathrm { C } (K \times J) $ 는 군집 중심 행렬(centroid matrix)로 나타내자. 이때, 군집 배정 행렬 $ \mathbf { U } $ 의 $ i $ 번째 행의 $ k $ 번째 열의 원소인 $ u_ { i k } $ 는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>결과는 Figure 2에서 정리되어 있으며 모든 방법론에서 변수 개수가 표본 크기인 50보다 많아질수록 PSR 수준에 따라 평균 ARI가 완만하게 증가하는 것을 알 수 있다. 그러나 RKM의 경우 다른 방법론에 비해 특히 더 변수의 개수에 영향을 많이 받는 것을 알 수 있으며, 변수 개수 100개일 때는 오히려 차원 축소를 고려하지 않는 방법론보다 평균 ARI가 낮은 구간도 나타난다. 반면에 PRKM의 경우에는 PSR 수준에 따라 평균 ARI가 증가하는 정도가 변수 개수에 대해 가장 덜 민감함을 볼 수 있다. 따라서 군집 당 표본 크기가 변수 개수에 비해 충분히 크지 않은 상황에서는 PRKM을 선택하는 것이 가장 안전한 선택이라고 할 수 있다.</p> <h1>5. 보스턴 자료분석</h1> <p>라벨이 없는 Harrison과 Rubinfeld (1978)의 보스턴 자료(Boston data)에 본 연구에서 제안하는 확률적 reduced K means 군집분석 방법론을 적용했다. 보스턴 자료는 506개의 관측치을 가지고 있고, 주택 가치와 관련된 변수 14개로 구성되어 있으며 변수에 대한 설명은 Table 4에 정리되어 있다. 단, CHAS 변수는 이항 변수이며 분석에 포함할 경우 CHAS 변수 값대로 군집이 형성되어 분석에서 제외하여 총 13개의 변수를 사용했다. 좀 더 나은 군집분석 결과를 위해 CRIM, NOX, DIS, MEDV 변수는 로그 변환을 해줬으며, ZN 변수는 1을 더한 후 로그 변환을 했다. INDUS, LSTAT 변수는 제곱근 변환, PTRATIO와 AGE 변수는 각각 $1/ \text { PTRATIO } ^ { 1 / 2 } $와 $ 1 / \text { AGE } ^ { 1 / 5 } $ 로 역변환을 시도했다. $ B $ 변수는 분포가 지나치게 치우쳐 있어 변수 변환이 도움이 되지 않아 그대로 사용했다. 이때, 보스턴 자료에 대한 오류를 수정한 Gilley와 Pace (1996)의 자료를 이용했다. 군집의 수는 두 개로 정했으며 $ (K=2) $, 축소 차원의 수도 2로 정하여 $ (Q=2) $ 표준화를 거친 자료를 가지고 확률적 reduced K means를 적용시켰다. 보스턴 자료는 라벨이 없는 자료이기 때문에 해석적인 측면에 맞추어 군집분석 방법론의 성능을 판단했다.</p> <p>본 연구에서 제안한 확률적 reduced K-means 군집분석을 적용했을 때, 특징이 다른 개체들로 군집이 형성되는가를 알아보고자 하였다. 분석 결과 제 1 군집에는 132개의 개체가 배정이 되었고, 제 2 군집에는 374개의 개체가 배정되었다. 원 자료의 변수에 대한 군집 별 평균값은 Table 5에 정리되어 있다. 제 1 군집의 경우 CRIM, INDUS, NOX, AGE, RAD, TAX, PTRATIO, LSTAT의 변수 값이 높았다. 반면에 제 2 군집에서는 ZN, RM, DIS, B, CMEDV의 변수 값이 더 높았다. 따라서 제 1 군집은 도심에 가깝고 슬럼화가 일어난 지역이라고 추측할 수 있고 제 2 군집은 보스턴의 외곽에 위치한 주거지역에 좀 더 가까운 지역이라고 추측해 볼 수 있다. 특히 $ B $ 변수의 경우, 흑인의 비율이 너무 낮거나 높은 경우에 높은 값을 가지기 때문에 제 2 군집의 경우 흑인의 비율이 낮은 지역이라고 추측할 수 있다.</p> <p>\[ u_ { i k } = \left \{\begin {array} { ll } 1 & \text { 개체 } i \text { 가 군집 } k \text { 에 속하는 경우, } \\ 0 & \text { 이외의 경우. } \end {array} \right . \]<caption>(2.1)</caption></p> <p>K-means 군집분석에서는 개체가 하나의 군집에만 배정되므로, $ u_ { i k } $ 는 다음과 같은 제약식을 가진다.</p> <p>\[ \sum_ { k=1 } ^ { K } u_ { i k } =1. \]<caption>(2.2)</caption></p> <p>Reduced K-means 군집분석은 군집 중심 행렬 $ \mathbf { C } $ 가 $ \operatorname { Rank } ( \mathbf { C } )=Q $ 라는 가정하에서,</p> <p>\[ \mathbf { F } ( \mathbf { U } , \mathbf { C } )= \\| \mathbf { X } - \mathbf { U C } \\| ^ { 2 } \]<caption>(2.3)</caption></p> <p>을 최소화하는 군집을 찾는다. Reduced K-means 군집분석의 식 2.3은 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>\[ F( \mathbf { U } , \mathbf { C } )= \sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { j=1 } ^ { J } \left (x_ { i j } - \sum_ { k=1 } ^ { K } u_ { i k } c_ { k j } \right ) ^ { 2 } . \]<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 $ x_ { i j } $ 는 자료 행렬 $ \mathbf { X } $ 의 $ i $ 번째 행의 $ j $ 번째 열을 나타내며 $ i $ 번째 개체의 $ j $ 번째 변수 값을 나타낸다. $ c_ { k j } $ 는 군집 중심 행렬 $ \mathrm { C } $ 의 $ k $ 번째 행의 $ j $ 번째 열을 나타내며, $ k $ 번째 군집의 $ j $ 번째 변수의 중심값을 의미한다. 식 2.4는 각 개체와 각 개체가 배정된 군집 중심 사이의 거리 합을 뜻한다. $ k $ 번째 군집의 개체 수를 $ n_ { k } = \sum_ { i=1 } ^ { N } u_ { i k } $ 라 정의하고, $ k $ 번째 군집에 속하는 개체들의 $ j $ 번째 변수의 평균을 $ g_ { k j } =1 / n_ { k } \sum_ { i=1 } ^ { N } u_ { i k } x_ { i j } $ 라 정의하면 식 2.4는 다음과 같이 $ \mathbf { U } $ 와 관련된 항과, $ \mathrm { C } $ 와 관련된 항으로 나눠서 정리할 수 있다.</p>	자연
경험적 영향함수와 표본영향함수 간 차이 보정의 t통계량으로의 확장	<h1>1. 서론</h1> <p>데이터 분석에서 통계량, 통계적 모형 등에 영향을 미치는 이상치(outlier)의 선별과 이에 대한 적절한 처리는 분석 결과의 신뢰를 높이기 위해 매우 중요한 과정이라고 할 수 있다. 이러한 이상치를 판별하기 위한 도구로써 영향함수(influence function)가 활발하게 활용되고 있다. Hampel (1974)은 영향함수를 활용한 이상치 판별 방법을 가장 먼저 소개하였으며, 대부분의 통계량은 영향함수를 이용해 이상치 판별이 가능함을 보였다. 이후, Campbell (1978)은 판별분석에서 영향함수를 사용하여 이상치를 발견하였고, Radhakrishnan과 Kshirsagar (1981)은 다변량 분석에서 여러 가지 모수에 대해 이론적으로 영향함수를 유도해 냈다. Cook (1977)은 회귀분석에서의 영향력있는 관측값에 대해 연구하였으며, Cook과 Weisberg (1980,1982)는 회귀 분석에서 회귀진단 방법으로서 영향함수를 적용하였다. Critchley (1985)는 주성분분석에서 영향함수를 적용하여 영향력있는 관측치를 찾아내는 방법으로 활용하였다. Kim (1992)은 대응분석(correspondence analysis)에서의 영향함수를 유도하였으며, Kim과 Lee (1996), Kim (1998), Lee와 Kim (2003)은 $x ^ { 2 } $ 통계량에 대한 영향함수, Kim과 Kim (2005)은 $ t $ 통계량에 대한 영향함수, Lee와 Kim (2008)의 변이계수에 대한 영향함수의 유도에 관한 연구를 진행하였다. 그리고 Kim과 Kim (2019)의 빅데이터에서 모분포의 형태에 따른 $ t $ 통계량에 대한 영향함수의 성능에 대한 연구와 Park과 Kim (2019)의 통계량에 가장 작은 영향을 미치는 관측값의 위치에 대한 연구에 이르기까지 다양한 통계량에 대한 영향함수의 유도와 이상치 선별에의 활용 가능성에 대한 연구가 현재까지 활발하게 진행되고 있다.</p> <p>본 연구에서는 Kang과 Kim (2020)의 연구 방법론을 기반으로 $ t $ 통계량에 대한 표본영향함수를 직접 유도하고, 경험적 영향함수와 표본영향함수의 차이를 보정하여 각 관측값이 $ t $ 통계량에 미치는 영향의 정도를 근사적으로 추론할 수 있는 방안을 제안한다. 특히, $ t $ 통계량은 사회과학 연구에서 활용도가 매우 높으므로 이상치의 선별과 제거 순위를 정하는 데에 의미있는 도움이 될 수 있다. 2 장에서는 영향함수의 정의와 평균, 분산, 표준편차, 통계량의 경험적 영향함수 유도와 함께 표본영향함수를 정의한다. 3장에서는 통계량에 대한 표본영향함수를 유도하고, 이를 바탕으로 경험적 영향함수와의 관계를 이론적으로 살펴본다. 4장에서는 모의로 생성한 데이터를 중심으로 3장에서 다룬 추론의 타당성을 검증한 뒤, 5 장에서는 실제 자료 분석 과정에 이를 적용한 예를 다룬다. 6 장에서는 본 연구의 결론을 제시한다.</p> <h1>2. 영향함수</h1> <p>이때 표본의 표본평균인 $ 0.04079 $ 를 모든 데이터에서 빼 뒤, 2 만큼을 더하여 $ \bar { x } =2 $ 를 만족시키도록 100개의 데이터 값을 보정(calibration)하였으며, 보정한 뒤의 표본의 기술 통계는 Table 3.2와 같다. 여기서 $ t $통계량은 귀무가설 $ H_ { 0 } : \mu_ { 0 } =0 $ 이 참이라는 가정 하에 구했다.</p> <p>$ \bar { x } =2, s=0.99, n=100, t=20.17 $ 일 때, 실수 $ x_ { i } $ 에 대한 함수 $ y= \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 그래프는 Figure 3.1과 같다. $ x_ { i } =2 + 0.99 \times 10 / 20.17 \approx 2.491 $에서 함숫값이 $ 100 / 2 \times 20.17 + 20.17 / 2 \approx 12.56 $인 꼭짓점을 갖는 이차함수임을 확인할 수 있으며 Table 3.2의 크기가 100인 표본에서 얻은 EIF $ \left (t, x_ { i } \right ) $의 값들은 Figure 3.1의 그래프 위에 위치하고 있음을 Figure 3.2로 확인할 수 있다.</p> <p>한편, $ t $통계량에 대한 표본영향함수 유도를 위해 식(3.1)에서 제시한 $ t_ { (i) } $를 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $ t_ { (i) } = \frac {\sqrt { n-1 } \left ( \bar { x } _ { (i) } - \mu_ { 0 } \right ) } { s_ { (i) } } = \frac {\sqrt { n-1 } \left ( \frac { -x_ { i } + \sum_ { k=1 } ^ { n } x_ { k } } { n-1 } - \mu_ { 0 } \right ) } {\sqrt {\frac { - \left \{ x_ { i } - \bar { x } _ { (i) } \right \} ^ { 2 } + \sum_ { k=1 } ^ { n } \left \{ x_ { k } - \bar { x } _ { (i) } \right \} ^ { 2 } } { n-2 } } } $<caption>(3.3)</caption>식(3.1)과 식(3.3)를 바탕으로 정리하면 다음의 식이 성립함을 알 수 있다. $t_ { (i) } = \frac { - \frac {\sqrt { (n-1)(n-2) } } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + s t \sqrt {\frac { (n-1)(n-2) } { n } } } {\sqrt { - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } } } $<caption>(3.4)</caption>식(3.4)을 이용해 $ t $ 통계량에 대한 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $ 를 유도하면 다음과 같다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right )=-(n-1) \left (t_ { (i) } -t \right ) =-(n-1) \left \{\frac { - \frac {\sqrt { (n-1)(n-2) } } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + s t \sqrt {\frac { (n-1)(n-2) } { n } } } {\sqrt { - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } } } -t \right \} = \frac {\sqrt { (n-1)(n-2) } \left (x_ { i } - \bar { x } \right )-s t(n-1) \sqrt {\frac { (n-1)(n-2) } { n } } } {\sqrt { - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } } } + (n-1) t $.<caption>(3.5)</caption></p> <h1>5. 실제 자료 분석 과정에의 적용</h1> <p>$ t $통계량에 대한 이상치 제거 순위 결정 과정에 본 연구의 내용을 적용해 본다. 2020년 대전 지역의 한 고등학교 3학년 학생 226명의 수학 점수 자료를 활용하였으며, 기술 통계는 Table 5.1과 같다. 그리고 이 중 20명의 점수를 임의추출하였다. 적절히 $ t $통계량의 값을 키우기 위해 검정통계량의 값을 $ \mu_ { 0 } =45 $으로 설정하였으며, 본 연구에서 제안한 근사 방법으로 얻은 값의 절댓값인 $ \left \| \operatorname { CA } _ { t } \right \| $으로 각 관측값이 $ t $통계량에 미치는 영향의 정도를 얻었다. $ \left \| \operatorname { CA } _ { t } \right \| $값이 클수록 $ t $통계량에 미치는 영향이 큰 것으로 판단할 수 있으므로, 이 값이 높은 순으로 제거 순위를 부여하였다. $ t $통계량에 미치는 영향이 큰 관측값의 제거 순위는 Table 5.2와 같다.</p> <h1>6. 결론</h1> <p>본 연구에서는 $ t $통계량에 대한 표본영향함수를 유도하고, 이를 바탕으로 경험적 영향함수와 표본영향함수의 차이 및 관계를 이론적으로 확인하였다. 표본영향함수가 갖는 함수적 특성을 고찰하여 표본영향함수를 경험적 영향함수로 근사시켜 엄밀하면서도 효율성을 높일 수 있는 추론 방법을 제안하고, 모의실험을 통해 그 타당성을 검증하였다. 그 결과, 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $가 갖는 함수적 특성을 살펴보고 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 평행이동과 상수항의 합으로 보정해 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 근사적으로 추론하는 방법이 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) \approx \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 단순 근사에 비해 정확도 측면에서 뛰어남을 보였다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $가 극댓값을 갖는 $ x_ { i } $의 값의 차이 $ s / t \sqrt { n } $과 극댓값의 차이 $ (n-3 / 2) t-n / 2 t-(n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } / \sqrt { n } $를 고려해, $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) \approx \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right ) + \left (n- \frac { 3 } { 2 } \right ) t- \frac { n } { 2 t } - \frac { (n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } $, 와 같은 근사식을 수리적으로 유도하였다. 그리고 이 근사식을 바탕으로 $ t_ { (i) } -t $ 의 예측을 위하여, $t_ { (i) } -t \approx- \frac { 1 } { n-1 } \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right ) + \frac { t ^ { 2 } + n } { 2 t(n-1) } + \frac {\sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } -t $, 의 근사 방법이 단순 근사 방법에 의한 예측보다 정확성이 높다는 사실을 모의실험으로 확인하여 그 타당성도 검증하였다. 아울러, 본 연구에서 다룬 근사 방안을 실제 자료 분석에 적용해 보며, 이상치 선정 과정에 활용 가능함을 확인할 수 있었다.</p> <p>한편, $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + s / t \sqrt { n } \right ) + \left (t ^ { 2 } + n \right ) / \{ 2 t(n-1) \} + \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } / \sqrt { n } -t $의 그래프와 $ t_ { (i) } -t $의 그래프도 한 평면에 나타내보면 Figure 4.5와 같이 대부분의 값이 일치하는 모습을 확인할 수 있으며, $ x_ { i } $의 양끝 쪽의 값에서는 조금씩 일치하지 않는 모습도 관찰할 수 있다. 이는 3장에서 언급한 바와 같이 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 근본적인 함수적 차이에 의해 근사 과정에서 발생하는 필연적인 오차임을 밝힌다. 하지만 이러한 필연적 오차를 최대한 줄일 수 있는 측면에서 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $ 에 대한 단순 근사( $ \operatorname { SA } _ { t } $)보다는 보정된 근사( $ \operatorname { CA } _ { t } $)가 효율성과 정확성 측면에서 우세하다고 판단할 수 있다.</p> <p>$ t_ { (i) } -t $의 값의 단순 예측 차이 $ SPD_ { t } $ 와 식(3.13)에 의해 보정한 예측 차이 $ \operatorname { CPD } _ { t } $는 다음과 같이 정리할 수 있다. $ \operatorname { SPD } _ { t } = \left \{ t_ { (i) } -t \right \} - \left \{ - \frac { 1 } { n-1 } \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) \right \} $,<caption>(4.2)</caption>$ \operatorname { CPD } _ { T } = \left \{ t_ { (i) } -t \right \} - \left [- \frac {\operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right ) } { n-1 } + \frac { t ^ { 2 } + n } { 2 t(n-1) } + \frac {\sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } -t \right ] $.<caption>(4.3)</caption></p> <h2>3.2. $ t $통계량에 대한 경험적 영향함수와 표본영향함수의 차이</h2> <p>$ t $통계량에 대한 경험적 영향함수와 표본영향함수를 비교해 보면 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 $ x_ { i } = \bar { x } + s \sqrt { n } / t $에서 극댓값을 갖지만 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 $ x_ { i } = \bar { x } + s(n-1) /(t \sqrt { n } ) $에서 극댓값을 갖는 차이가 있다. $ \bar { x } =2, s=0.99, n=100, t=20.17 $ 일 때, 연속적인 $ x_ { i } $에 대한 일반적인 함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 그래프는 Figure 3.3과 같다. 이차함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 유사한 경향을 갖기는 하지만, $ x_ { i } =2 + 0.99 \times 99 / 10 \approx 11.801 $와 $ x_ { i } = 2-0.99 \times 99 / 10 \approx-7.801 $에서 서로 다른 두 점근선을 갖는 그래프로 $ y= \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 $ y= \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 다른 함수라고 할 수 있다. 특히, $ x_ { i } =2 + 0.99 \times 99 /(20.17 \times 10) \approx 2.486 $에서 극댓값을 갖는 것도 확인할 수 있다. 크기가 100 인 표본에서 얻은 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 값들은 Figure 3.3의 그래프 위에 위치하고 있음을 Figure 3.4에서 기하적으로도 확인할 수 있으나, Figure 3.3과 Figure 3.4에서 제시한 그래프가 서로 달라 보이는 이유는 사용된 100개의 데이터 값들이 정의역 -1과 5사이에 속하는 값들로 Figure 3.4가 Figure 3.3의 중앙 일부만을 반영하기 때문이다. Figure 3.3은 함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 그래프가 갖는 점근선의 존재를 표현해 중앙 부분에서는 이차함수와 비슷하지만 전체적으로는 이차함수가 아닌 점을 나타내고 있다.< \p> <p>지금까지 살펴본 바와 같이 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 이차함수의 그래프와 유사한 개형을 갖지만 $ x_ { i } = \bar { x } + s \sqrt { n } / t $와 $ x_ { i } = \bar { x } + s(n-1) /(t \sqrt { n } ) $에서 각각 극댓값을 갖는 차이를 가지고 있다.</p> <p>즉, 식(3.8)과 식(3.10)을 이용해 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 축으로 $ -s /(t \sqrt { n } ) $만큼 평행이동하고 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값과 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값의 차이만큼 상수항을 더하면 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $로 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 근사해 낼 수 있다. 이를 좌표평면에 그래프로 도식화하면 Figure 3.5와 같다.</p> <p>한편, $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 $ x_ { i } $축으로 $ -s /(t \sqrt { n } ) $만큼 평행이동한 식은 식(3.8)을 이용해 정리하면, $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right )=- \frac { t } { 2 s ^ { 2 } } \left \{\left (x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right )- \bar { x } \right \} ^ { 2 } + \frac {\sqrt { n } } { s } \left \{\left (x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right )- \bar { x } \right \} + \frac { t } { 2 } $<caption>(3.11)</caption>이고, 따라서 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 다음과 같이 근사시킬 수 있다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) \approx \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } + \frac { s } { t \sqrt { n } } \right ) + \left (n- \frac { 3 } { 2 } \right )- \frac { n } { 2 t } - \frac { (n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } { n } $.<caption>(3.12)</caption></p> <p>또한, 식(2.12)의 표현을 정리하면 를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right )= \sqrt { n } \left [ \frac { x_ { i } - \bar { x } } { s } - \frac {\left ( \bar { x } - \mu_ { 0 } \right ) \left \{\left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } -s ^ { 2 } \right \} } { 2 s ^ { 3 } } \right ] = \frac {\sqrt { n } } { s } \left (x_ { i } - \bar { x } \right )- \frac { 1 } { 2 s ^ { 2 } } \cdot \frac {\bar { x } - \mu_ { 0 } } { s / \sqrt { n } } \cdot \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac {\bar { x } - \mu_ { 0 } } { s / \sqrt { n } } = - \frac { t } { 2 s ^ { 2 } } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + \frac {\sqrt { n } } { s } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + \frac { t } { 2 } $.<caption>(3.2)</caption></p> <p>식(3.2)에서 $ y= \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $ 는 $ x_ { i } $ 에 대한 이차함수로 $ \partial \mathrm { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) / \partial x_ { i } = \left (-t / s ^ { 2 } \right ) \cdot \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + \sqrt { n } / s=0 $일 때 극댓값을 갖는다. $ y= \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 $ x_ { i } = \bar { x } + s \sqrt { n } / t $에서 이차함수의 꼭짓점을 갖고, 이때의 극댓값은 $ n / 2 t + t / 2 $임을 알 수 있다. 함수 $ y= \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $가 갖는 이차함수의 성질을 경험적으로 확인해 보기 위해 정규분포 $ N(0,1) $에서 크기가 100 인 표본을 임의추출하였고, 귀무가설 $ H_ { 0 } : \mu_ { 0 } =0 $이 참이라는 가정 하에 $ t $통계량을 구했다. 이렇게 구한 표본의 기술 통계는 Table 3.1과 같으며, 생성된 100개 데이터는 Kolmogorov-Smirnov 검정을 통해 정규성을 잘 만족시키는 것으로 확인되었다.</p> <h1>4. 모의실험을 통한 경험적 영향함수와 표본영향함수의 관계 확인</h1> <p>4장에서는 3장에서 이론적으로 접근한 내용을 모의실험을 통해 경험적으로 확인하고자 한다. 모의실험을 진행하기 위해 $ \mathrm { R } $ 통계 패키지에서 정규분포 $ N(0,1) $을 따르는 임의추출한 크기가 300인 표본을 사용하였고, 이렇게 추출된 표본의 기술 통계는 Table 4.1과 같다.</p> <p>크기가 300 인 표본의 표본평균이 0.05943이므로 일괄적으로 300개 데이터에서 0.05943을 빼고, 다시 4만큼을 더해서 $ \bar { x } =4 $를 만족시키도록 보정한 300개 데이터에 대해 모의실험을 진행하였다. 연구의 목적상 $ t $통계량이 적절히 큰 값으로 나와 $ t_ { (i) } -t $의 값 변화 관찰이 용이할 수 있어야 하므로 표본평균 $ \bar { x } $가 각각 2,3,4,5가 되도록 시프트해 본 후, $ t $통계량이 연구 과정에 부합하는 값이라고 판단된 $ \bar { x } =4 $인 경우를 선택하여 시프트를 실시하였다. 초기에 생성한 데이터에서 $ \bar { x } =4 $를 만족시키도록 시프트하여 다시 생성한 데이터의 기술 통계는 Table 4.2와 같다.</p> <p>$ \operatorname { SIF } \left (T, x_ { i } \right ) \approx \operatorname { EIF } \left (T, x_ { i } \right ) $에 의한 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )- \operatorname { T } ( \hat { F } ) \approx \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (T, x_ { i } \right ) $ 근사로 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )- \operatorname { T } ( \hat { F } ) $를 예측한 경우를 단순 근사(simple approximation, SA)라 하고, 단순 근사에 사용된 $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (T, x_ { i } \right ) $의 값을 $ \operatorname { SA } _ { T } $ 로 표현하기로 한다. 또한, 단순 근사 과정에서 생긴 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )-T( \hat { F } ) $의 값과 $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (T, x_ { i } \right ) $의 값의 차이를 단순 예측 차이(simple prediction difference, SPD)라 하여 이 값을 로 표현한다. 3장에서 유도한 $ \operatorname { EIF } \left (T, x_ { i } \right ) $에 실수배, 상수항의 합 보정을 한 식으로 $ \operatorname { SIF } \left (T, x_ { i } \right ) $에 대입 혹은 근사시켜 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )- \operatorname { T } ( \hat { F } ) $ 를 예측한 경우를 보정된 근사(calibrated approximation, CA)라 하고, $ \operatorname { CA } _ { T } $ 로 표현한다. 보정된 근사에 의한 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )- \operatorname { T } ( \hat { F } ) $ 와 근사한 식의 차이를 보정한 예측 차이(calibrated prediction difference, CPD)라 하고 $ \operatorname { CPD } _ { T } $ 로 나타내겠다.</p> <h2>4.1. $ t_ { (i) } -t $의 근사</h2> <p>$ t $통계량에 대한 $ \operatorname { T } \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )- \operatorname { T } (( \hat { F } ) $는 식(4.1)로 정리할 수 있다. $T \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )-T( \hat { F } )=t_ { (i) } -t=- \frac { 1 } { n-1 } \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $.<caption>(4.1)</caption>식(4.1)에서 의 그래프는 Figure 4.1과 같다.</p> <p>$ \operatorname { SIF } \approx \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $로 $ t_ { (i) } -t $를 예측한 그래프는 Figure 4.2이고, 식(3.13)을 이용해 $ t_ { (i) } -t $ 를 예측한 그래프는 Figure 4.3이다. 두 그래프 개형 모두 유사한 경향을 갖지만 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) \approx \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 단순 근사를 통한 $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 그래프는 실제 $ t_ { (i) } -t $의 그래프보다 최솟값과 최댓값이 더 크게 예측되고 있음을 알 수 있다. 반면, 식(3.13)를 이용해 $ t_ { (i) } -t $를 예측한 그래프는 최댓값과 최솟값을 비롯한 전반적인 값이 실제 $ t_ { (i) } -t $의 그래프와 일치하고 있다는 것도 확인할 수 있다. $ t_ { (i) } -t $의 그래프와 $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 그래프를 Figure 4.4와 같이 한 평면에 그려보면 두 함수의 차이가 일정하게 보이는 경향성을 기하적으로도 관찰할 수 있다. 즉, $ t $통계량에 대해서는 $ t_ { (i) } -t $를 $ \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $로 단순 근사하여 예측하게 되면 그 예측의 엄밀성이 저해될 수 있다.</p> <p>$ \operatorname { SPD } _ { t } $의 그래프는 Figure 4.6과 같다. $ \operatorname { SPD } _ { t } $는 $ x_ { i } $의 양 끝 쪽으로 갈수록 그 크기가 증가하는 경향이 있지만, 이보다 더 큰 문제는 $ \operatorname { SPD } _ { t } $의 평균값인 -0.12007, 그리고 대부분의 $ x_ { i } $에 대해 $ \operatorname { SPD } _ { t } $값이 -0.1209근방에서 일정하게 분포하는 경향으로 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $로 단순 근사시켜 예측하게 되는 경우 일정해 보이는 이 오차 때문에 $ t_ { (i) } -t $의 정확한 예측이 어렵다.</p> <p>반면, $ \operatorname { CPD } _ { t } $의 그래프는 Figure 4.7 과 같고, 대부분 $ \operatorname { CPD } _ { t } $의 값이 0 근방에 분포하고 있는 모습을 확인할 수 있다. $ \operatorname { CPD } _ { t } $ 의 평균은 0.00086 이지만 대부분의 $ x_ { i } $에 대해 $ \operatorname { CPD } _ { t } $의 값이 0 근방에서 일정하게 분포하는 경향을 갖고 있으며, $ \operatorname { SPD } _ { t } $에 비해 $ t_ { (i) } -t $예측 과정에서의 오차가 현저하게 줄어들었음을 알 수 있다. 한편, $ \operatorname { CPD } _ { t } $의 그래프는 $ x_ { i } $의 중앙값 관측 위치를 기준으로 0의 값 또는 0에 수렴하는 매우 작은 값을 대부분 갖다가 양 끝 쪽으로 갈수록 차이가 조금씩 더 커지는 경향이 발생한다. $ \operatorname { CPD } _ { t } $의 값이 $ x_ { i } $의 양 끝에서 미미하게 증가하는 현상은 이차함수인 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $로 초월함수(transcendental function)의 형태를 갖는 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 근사하는 과정에서 생기는 필연적 오차라고 할 수 있다. 하지만 Table 4.2와 같이 생성한 300개 데이터의 $ t $통계량이 72.558임을 감안한다면 이는 $ t $통계량이 갖는 척도에 비해 무시할 수 있을 정도의 값이다. 결국 3장에서 유도한 식(3.13)에 의해 $ t_ { (i) } -t $의 근사에 대한 효율성과 정확도가 매우 향상되었다고 판단할 수 있다. $ x_ { i } $, $t_ { (i) } -t $, $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $, $ \operatorname { SA } _ { t } $, $ \operatorname { SPD } _ { t } $, $ \operatorname { CA } _ { t } $, $ \operatorname { CPD } _ { t } $ 의 값은 각각 Table 4.3과 같다.</p> <h2>2.3. 경험적 영향함수와 표본영향함수</h2> <p>모집단의 분포함수 $ F $에 대해 $ T(F) $의 영향함수 $ \operatorname { IF } (T, x) $가 정의되는 경우, 표본분포함수 $ \hat { F } $에서 얻은 범함수 $ T( \hat { F } ) $의 영향함수는 모분포의 통계량을 추정하는 추정량을 $ \mathrm { IF } (T, x) $에 대입하여 얻는다. 이를 경험적 영향함수 (empirical influence function, EIF)라 하며, 식(2.11)에서 모분포가 갖는 평균 $ \mu $, 표준편차 $ \sigma $를 추정하는 추정량을 각각 표본평균 $ \bar { x } $, 표본표준편차 $ s $로 대입하면 $ t $통계량의 경험적 영향함수를 다음과 같이 얻을 수 있다. $ \operatorname { EIF } (t, x)= \operatorname { EIF } \left ( \frac {\bar { x } - \mu_ { 0 } } { s / \sqrt { n } } , x \right )= \sqrt { n } \left [ \frac { x- \bar { x } } { s } - \frac {\left ( \bar { x } - \mu_ { 0 } \right ) \left \{ (x- \bar { x } ) ^ { 2 } -s ^ { 2 } \right \} } { 2 s ^ { 3 } } \right ] $.<caption>(2.12)</caption>한편, 표본의 크기가 $ n $이고, 표본평균이 $ \bar { x } $, 표본분포함수가 $ \hat { F } $인 표본에서 $ i $번째 관측값 $ x_ { i } $를 제거한 표본의 크기 $ n-1 $인 표본의 표본평균과 표본분포함수를 각각 $ \bar { x } _ { i } , \hat { F } _ { i } $ 라 하자. 이때, $ i $번째 관측치를 제거하여 발생하는 범함수의 함숫값 차이에 섭동 $ \epsilon $을 $ -1 /(n-1) $로 고려하여 다시 얻을 수 있는 영향함수를 표본영향함수(sample influence function, SIF)라 한다. Cook과 Weisberg (1982)에 따르면 이는 하나의 관측치가 표본의 통계량에 미치는 영향을 측정하는 도구가 된다.</p> <h2>2.1. 영향함수의 정의</h2> <p>분포함수 $ F $와 실수 $ c $ 에 대해 $ T(F) = C $ 의 형태로 정의되는 함수 $ T $를 범함수(real-valued function)라 하고, 실수 $ x $에서 확률이 1인 분포함수, $ \delta_ { x } (t)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & t<x \\ 1, & t \geq x \end {array} \right . $<caption>(2.1)</caption>를 퇴화분포함수(degenerated distribution function)라고 한다. 분포함수 $ F $에 임의의 관측값 $ x $를 추가할 경우, 분포함수 $ F $와 퇴화분포함수 $ \delta_ { x } $의 혼합분포함수 $ F_ {\epsilon } $은 다음과 같이 나타낼 수 있다. $ F_ {\epsilon } =(1- \epsilon) F + { } _ {\epsilon } \delta_ { x } , \quad0< \epsilon<1 $.<caption>(2.2)</caption>이때, $ F_ {\epsilon } $을 $ F $의 섭동(perturbation)이라고 하며, Hampel (1974)은 관측값 $ x $가 추가됨으로써 $ T(F) $에 미치는 영향을 나타내기 위한 방법으로 섭동 $ F_ {\epsilon } $를 이용해 영향함수 $ \operatorname { IF } (T, x) $를 다음과 같이 정의하였다. $ \operatorname { IF } (T, x)= \lim _ {\epsilon \rightarrow 0 } \frac { T \left (F_ {\epsilon } \right )-T(F) } {\epsilon } = \lim _ {\epsilon \rightarrow 0 } \frac { T \left [(1- \epsilon) F + { } _ {\epsilon } \delta_ { x } \right ]-T(F) } {\epsilon } $.<caption>(2.3)</caption>그리고 로피탈의 정리를 이용해 식(2.3)은 다음과 같이 정리할 수 있다. $ \operatorname { IF } (T, x)= \lim _ {\epsilon \rightarrow 0 } \frac { T \left (F_ {\epsilon } \right )-T(F) } {\epsilon } = \lim _ {\epsilon \rightarrow 0 } \left [ \frac {\partial T \left (F_ {\epsilon } \right ) } {\partial \epsilon } \right ]= \left [ \frac {\partial T \left (F_ {\epsilon } \right ) } {\partial \epsilon } \right ]_ {\epsilon=0 } $.<caption>(2.4)</caption></p> <h2>2.2. 다양한 통계량에 대한 영향함수 유도</h2> <p>분포함수 $ F(t) $의 확률밀도함수를 $ f(t) $라 하면 $ \partial F(t) / \partial t=f(t) $가 성립하고, 분포함수에 대한 평균 $ \mu $와 분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 각각 함숫값으로 갖는 두 범함수 $ T_ { 1 } , T_ { 2 } $는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $ T_ { 1 } (F)= \mu= \int t f(t) d t= \int t d F(t) $ , $T_ { 2 } (F)= \sigma ^ { 2 } = \int(t- \mu) ^ { 2 } f(t) d t= \int(t- \mu) ^ { 2 } d F(t) $.<caption>(2.5)</caption>이를 이용하여 평균 $ \mu $ 와 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 영향함수는 다음과 같이 각각 유도할 수 있다 (Hampel, 1974). $ \operatorname { IF } \left (T_ { 1 } , x \right )= \operatorname { IF } ( \mu, x)=x- \mu $, $ \operatorname { IF } \left (T_ { 2 } , x \right )= \operatorname { IF } \left ( \sigma ^ { 2 } , x \right )=(x- \mu) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } $<caption>(2.6)</caption>특히, 범함수 $ T_ { 3 } $ 는 $ T_ { 3 } (F)= \sqrt { T_ { 2 } (F) } = \sigma $ 를 만족시키도록 정의하면 다음이 성립한다. $ \operatorname { IF } \left (T_ { 3 } , x \right )= \left [ \frac { 1 } { 2 \sqrt { T_ { 2 } \left (F_ {\epsilon } \right ) } } \times \frac {\partial T_ { 2 } \left (F_ {\epsilon } \right ) } {\partial \epsilon } \right ]_ {\epsilon=0 } = \frac { 1 } { 2 \sigma } \operatorname { IF } \left (T_ { 2 } , x \right ) $.<caption>(2.7)</caption>표준편차 $ \sigma $ 에 대한 영향함수는 $ \operatorname { IF } \left (T_ { 3 } , x \right )= \operatorname { IF } ( \sigma, x)=(1 / 2 \sigma) \cdot \left \{ (x- \mu) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right \} $ 로 유도할 수 있다.</p> <h2>3.3. $ t $통계량의 경험적 영향함수를 이용한 표본영향함수의 근사적 추론</h2> <p>경험적 영향함수 $ \mathrm { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 이용해 표본영향함수 $ \mathrm { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 유도 및 추론하기 위해서는 두 함수의 차이를 보정(calibration)하는 방법에 대해 생각해 볼 필요성이 있다. 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 전혀 다른 함수이지만 그 경향성이 매우 유사하므로 극댓값이 일치하도록 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 이동해 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $를 설명할 수 있는 방법을 살펴보기로 한다. 두 함수의 정의역이 매우 상이하므로 모든 $ x_ { i } $값에 대하여 두 함수를 일치시킬 수는 없지만, 두 함수의 경향의 유사성을 이용해 극댓값을 일치시키는 방법은 두 함수의 차이를 줄이는 하나의 방법론이 될 수 있다. 먼저, 두 함수는 앞서 살펴본 바와 같이 극댓값을 갖는 $ x_ { i } $의 값이 다르다. 이 차이를 정리하면 다음과 같다. $ \left ( \bar { x } + \frac { s \sqrt { n } } { t } \right )- \left ( \bar { x } + \frac { s(n-1) } { t \sqrt { n } } \right )= \frac { s \sqrt { n } } { t } - \frac { s(n-1) } { t \sqrt { n } } = \frac { s } { t \sqrt { n } } $.<caption>(3.8)</caption></p> <p>한편, $ x_ { i } = \bar { x } + s(n-1) /(t \sqrt { n } ) $에서 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값은 $ x_ { i } - \bar { x } =s(n-1) /(t \sqrt { n } ) $임을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } = \bar { x } + \frac { s(n-1) } { t \sqrt { n } } \right ) = \frac {\sqrt { (n-1)(n-2) } \cdot \frac { s(n-1) } { t \sqrt { n } } -s t(n-1) \sqrt {\frac { (n-1)(n-2) } { n } } } {\sqrt { - \frac { n } { n-1 } \cdot \frac { s ^ { 2 } (n-1) ^ { 2 } } { n t ^ { 2 } } + (n-1) s ^ { 2 } } } + (n-1) t =(n-1) t- \frac { (n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } $.<caption>(3.9)</caption>경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값은 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } = \bar { x } + s \sqrt { n } / t \right )=n / 2 t + t / 2 $이었으므로, 이를 이용해 표본영향 함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $와 경험적 영향함수 $ \operatorname { EIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값의 차이를 구해보면 다음과 같다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } = \bar { x } + \frac { s(n-1) } { t \sqrt { n } } \right )- \mathrm { EIF } \left (t, x_ { i } = \bar { x } + \frac { s \sqrt { n } } { t } \right ) =(n-1) t- \frac { (n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } - \frac { n } { 2 t } - \frac { t } { 2 } = \left (n- \frac { 3 } { 2 } \right ) t- \frac { n } { 2 t } - \frac { (n-1) \sqrt { (n-2) \left (t ^ { 2 } -1 \right ) } } {\sqrt { n } } $.<caption>(3.10)</caption></p> <p>즉, 범함수 $ T $에 대하여 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (T, x_ { i } \right ) $는 $ T \left ( \hat { F } _ { (i) } \right )-T( \hat { F } )= \{ -1 /(n-1) \} \cdot \operatorname { SIF } \left (T, x_ { i } \right ) $ 와 같이 정의한다. 표본의 크기가 $ n $인 표본에서 $ i $번째 관측값 $ x_ { i } $를 제거한 후의 $ t $통계량을 $ t_ { (i) } $라 하면, 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 다음과 같이 표현할 수 있다. $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right )= \operatorname { SIF } \left ( \frac {\bar { x } - \mu } { s / \sqrt { n } } , x_ { i } \right )=-(n-1) \left \{ t_ { (i) } -t \right \} $<caption>(2.13)</caption>Kang과 Kim (2020)은 평균, 분산, 표준편차에 대한 표본영향함수를 유도하였다. 그리고 경험적 영향함수와 표본영향함수의 차이를 살펴 표본영향함수에 대해 경험적 영향함수를 활용한 근사적 추론시 엄밀성을 높일 수 있는 보정 방안을 제안하였다. 본 연구에서는 Kang과 Kim (2020)의 연구 방법론을 $ t $통계량까지로 확장시켜 적용해 보기 위해 3 장에서 $ t $통계량에 대한 표본영향함수를 유도하기로 한다.</p> <h1>3. 표본영향함수의 유도</h1> <h2>3.1. $ t $통계량에 대한 표본영향함수 유도</h2> <p>표본의 크기가 $ n $인 표본에서 $ i $번째 관측값 $ x_ { i } $를 제거한 후의 표본평균 $ \bar { x } _ { (i) } $, 표본분산 $ s_ { (i) } ^ { 2 } $, $t $통계량 $ t_ { (i) } $는 각각 식 (3.1)과 같이 나타낼 수 있다. $ \bar { x } _ { (i) } = \frac { 1 } { n-1 } \left (-x_ { i } + \sum_ { k=1 } ^ { n } x_ { k } \right ) $, $ s_ { (i) } ^ { 2 } = \frac { 1 } { n-2 } \left [- \left \{ x_ { i } - \bar { x } _ { (i) } \right \} ^ { 2 } + \sum_ { k=1 } ^ { n } \left \{ x_ { k } - \bar { x } _ { (i) } \right \} ^ { 2 } \right ] $, $ t_ { (i) } = \frac {\bar { x } _ { (i) } - \mu_ { 0 } } { s_ { (i) } / \sqrt { n-1 } } $.<caption>(3.1)</caption></p> <p>식(3.5)에서 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 $ x_ { i } $에 대한 함수이고 분모가 0이면 함숫값이 정의되지 않는다. $ \{ -n /(n- $1) $ \} \cdot \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } =0 $을 만족시키는 $ x_ { i } = \bar { x } \pm(n-1) s / \sqrt { n } $에서 함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $ 는 서로 다른 두 점근선을 가지며, $ \bar { x } -(n-1) s / \sqrt { n }<x_ { i }< \bar { x } + (n-1) s / \sqrt { n } $에서만 함수가 정의된다. 한편, 표본영향함수 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $의 극댓값을 구해보기로 한다. $ \begin {aligned} \frac {\partial \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) } {\partial x_ { i } } &= \sqrt { (n-1)(n-2) } \left \{ (n-1) s ^ { 2 } - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right \} ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \times \left \{ - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } -s t \sqrt { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right \} \end {aligned} $<caption>(3.6)</caption>이고, $ \partial \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) / \partial x_ { i } =0 $ 일 때, $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $ 는 극값을 가지므로 분자가 0일 때 극값을 갖는다. $ \begin {aligned} \text { 분자 } &= \sqrt { (n-1)(n-2) } \times \left \{ - \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } + (n-1) s ^ { 2 } -s t \sqrt { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) + \frac { n } { n-1 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right \} = \sqrt { (n-1)(n-2) } \left \{ (n-1) s ^ { 2 } -s t \sqrt { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) \right \} \end {aligned} $,<caption>(3.7)</caption>이므로 $ (n-1) s ^ { 2 } -s t \sqrt { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right )=0 $일 때인 $ x_ { i } = \bar { x } + s(n-1) /(t \sqrt { n } ) $에서 $ \operatorname { SIF } \left (t, x_ { i } \right ) $는 극값을 유일하게 가지며, 부호변화 확인을 통해 이 값이 극댓값임을 확인할 수 있다.</p>	자연
협력적 문제해결능력 신장을 위한 공학수학 수업모형의 설계원리 개발	<h1>II. 이론적 배경</h1> <h2>1. 협력학습(Collaborative Learning)</h2> <p>협력(collaboration)이란 협동(cooperation)과 유사한개념으로 사용되지만, 어원상 라틴어 의미로 협동은 공동작업의 ‘산출’을 강조하고, 협력은 공동작업의 ‘과정’을 강조한다. 협력학습의 특징은 긍정적 상호의존성,상호작용, 개별적 책무성 및 사회적 기술의 향상 등으로 요약될 수 있다[11]. 각각의 특성을 설명하면 다음과같다.</p> <p>첫째, 긍정적 상호의존성은 구성원인 모든 학습자들이 상호도움이 된다는 인식을 갖고 집단의 과제를 수행할 때 이루어진다. 즉, 학습자들은 그들의 과제수행이다른 학습자에게 도움이 되며, 다른 구성원의 수행은 자신의 과제수행에도 도움이 된다는 점을 인식해야 한다.</p> <p>둘째, 협력학습에서 학생들은 서로에게 관심을 가져주고 개방적이며 허용적인 태도를 보여줌으로써, 구성원 서로의 성공을 촉진하고 격려하는 상호작용이 증진된다. 이러한 상호작용은 서로간의 신뢰감을 구축할 수있도록 하며 학습동기에 대한 적절한 각성과 함께 긴장감과 불안감을 감소시키는 작용도 한다.</p> <p>셋째, 개별적 책무성은 학습자 각자의 과제수행이 집단 전체의 수행결과에 직접 영향을 주며 또한 집단 전체의 수행은 학습자 각자의 수행에 영향을 준다는 인식을 갖는 것을 의미한다. 즉, 이러한 과정을 통해서 학습성취력이 우수한 학습자는 낮은 학습자들을 자발적으로 돕도록 하는 효과를 가져 올수 있다.</p> <p>넷째, 협동학습에서 학습자들은 공동의 집단목표를달성하기 위해 서로를 경계하면서도 신뢰하며, 도움을주고받고, 정확한 의사소통을 하며, 공동으로 문제를 해결할 수 있도록 독려되어야 한다. 이러한 사회적 인간관계 형성을 통해, 지적인 면에서 뿐 아니라 정의적인면에 긍정적인 영향을 받게 된다는 점에서 협력학습은경쟁적 학습이나 개별학습과 구분된다.</p> <p>협력학습에 관한 선행연구를 살펴보면 Buckholdt,Ferritor와 Tucker는 교실의 사회 경제적 수준에 상관없이 3~11세 아동에게 있어 산수, 직업발달, 독서 능력등의 수업이 협동적으로 진행될 경우 더 큰 학습효과를 나타냈다고 보고했으며, Wodarski, Buckholdt,Ferritor의 수학적 문제 해결에서도 협력학습이 더 큰효과를 가져왔다고 보고하였다<h2>2. 수학교육에서 협력적 문제해결(Collaborative Problems Solving, CPS) 적용 사례</h2> <p>수학교육에서의 협력적 문제해결 적용 사례를 살펴보면 조성진(2009)은 소집단 협동학습이 전통적 강의식수업방법보다 학생들의 동기 유발이나 자신감 부분에있어 긍정적인 것으로 나타났다고 보고하였다. 이상구(1997)는 수학과의 능력별 소집단 협력학습은 교사중심주도적 학습을 실시하는 것보다 수학과의 학력향상에효과적이며, 특히 상위권 학생에게는 심화 학습을 할수 있어 학력 향상에 도움을 주며, 중위권 및 하위권 학생들도 장기적인 지도만 따른다면 수학교과에 대한 학력향상에 도움을 줄 수 있다고 하였다[6]. 이외에 공업고등학교 2학년 학생들을 대상으로 한 연구에서 김상철(1996)은 학습 부진아 및 결손아들이 상호 협력학습을통해 학습에 대한 소외감에서 벗어날 수 있는 계기가되었고 대부분 학습 활동에 적극 참여하게 됨에 따라종전에 미해결 문제를 상호간에 도움을 받음으로써 문제 해결에 많은 효과가 있으며 학력 면에서도 세 차례의 학력평가에서 두 집단간 유의차가 있으며 평균치도효과가 있다고 하였다.</p> <p>이와 같이 수학교육에서 협력적 문제해결의 방법은학생들의 학력 향상 뿐만 아니라 학습태도 및 동료간의관계를 긍정적으로 향상시키는 데 기여하는 것으로 나타났다.</p> <h3>3. CPS 신장을 위한 수업모형을 위한 설계원리</h3> <p>위의 분석결과를 토대로 공학수학에서 학습자의 기초수학학습능력을 높이고 문제해결능력을 신장시키기위하여 (1) 수학 기본개념과 반복훈련을 통해서 기초수학능력을 높이고, (2) 동료 학습자간 협력적 문제해결방법을 통해서 문제해결능력을 신장하고, (3) 수업에서의학습자의 성찰을 촉진하고, 학습자의 수업활동에 대한교수자의 체계적인 점검과 즉각적인 피드백을 제공하고, (4) 최근 온라인과 모바일 환경에 익숙한 학습자들이 자기주도적으로 학습할 수 있는 환경을 제공하는 것이 필요한 것으로 나타났다.</p> <p>본 연구의 공학수학 수업모형이 기반으로 하고 있는설계이론을 살펴보면 그림 1과 같다</p> <h4>가. 개념이해 및 반복훈련</h4> <p>공학수학 수업에서 가장 큰 문제는 학생들의 기초수학학습능력이 매우 낮고 학생들 간의 학력차가 크다는사실이다. 학생들이 공학수학 과목을 수강하기 위해서는 ‘공학기초수학’과 ‘미분적분학’의 과목을 이수해야 하지만, 대학수학 기초 1(공학수학, 공통수학, 수1, 수2 포함)의 내용을 측정하는 사전 수학학업성취도 측정검사에서도 나타났듯이 많은 학생들이 공학수학의 여러 개념들을 배우기에는 준비가 되어 있지 않은 것으로 나타났다. 따라서 학생들이 가능한 한 공학수학의 개념들을이해하는 데 도움을 주기 위해 학생들의 수업 활동에초점을 맞추어 교사가 주도적으로 수업을 진행시켜 나가는 수업 방법이 필요한 것으로 보인다. 공학수학에서학습자들에게 기본 개념을 설명하고 과제를 제시하는과정은 다음과 같이 진행되어야 한다.</p> <p>첫째, 도입단계에서 교수자는 수업개관 및 방향을 제공하고, 학생이 알고 있는 것이 이미 학습한 내용과 어떤 관련이 있는 지를 알려준다. 수업 시작 전에 수업의목적, 절차, 수업내용 등을 상세히 설명해 주어야 한다.이전 단계에서의 교수자 활동은 학생들에게 새로이 학습할 내용의 개관을 제공하고 학생들의 배경지식과 연결짓고 학생들이 새로운 내용의 가치를 이해하도록 돕는 것이다.</p> <p>둘째, 교수자는 학습자에게 과제를 제시하기 전에 학습자에게 수학의 기본적인 개념 이해를 돕기 위해 충분히 설명한다. 이 단계에서 교수자는 학생들에게 주제를의미있게 하는 것을 돕기 위해 예시, 증명, 모델형성을사용한다. 설명 후에는 교수자가 설명해준 새로운 개념이나 기술을 이해하는 지를 질문을 통해 점검한다.</p> <p>셋째, 학생들이 개념에 대한 이해가 이루어진 후에는과제를 제시한다. 교수자는 개별과제를 제시하고 학생들이 문제를 풀어가는 과정에서 학습자의 문제해결과정을 지속적으로 점검하고 피드백을 주는 것이 중요하다. 이는 학습과정에서 잦은 실패를 경험하는 학습자나 낮은 수행능력을 지닌 학습자에게 성공적인 학습 성취경험을 제공함으로써 학업성취도를 향상시키고자 하는 데있다. 특히 학생들이 문제에 대한 틀린 답을 했을 때,정답에 대한 힌트를 주어 스스로 답할 수 있도록 안내해 간다.</p> <p>넷째, 마지막으로 정리단계에서 교수자는 학습한 내용을 검토하고 다음 차시 내용을 안내하거나 CPS 활동을 위한 안내를 한다.</p> <h4>나. 협력적 문제해결(Collaborative Problem Solving)능력 신장</h4> <p>공학수학에서 협력적 문제해결능력을 신장하기 위한CPS활동은 그림 2와 같이 (1) Before PS(문제를 풀기전의 학습 활동), (2) During PS(문제를 푸는 동안의 학습 활동), (3) After PS(문제를 푼 후의 학습 활동)의 절차를 따라서 진행하는 것이 필요하다.</p> <p>문제풀이과정에서 협력적 문제해결활동의 목적은 학습자들은 동료 피드백과 점검활동을 통해 자신의 풀이방법을 점검하고 반성할 수 있는 기회를 갖도록 하는데 있다. 즉, 동료로부터 문제풀이 절차나 전략에 대한피드백을 제공받으면서 자신의 풀이 방법의 잘못된 점을 찾아내고, 자신의 수학적 사고를 체계적으로 명백하게 확립할 수 있는 기회를 갖게 되는 것이다.</p> <p>또한 동료 피드백 활동은 학업성취수준에 관계없이자신의 문제풀이과정을 서로에게 설명해 주기 때문에모든 학생들이 피드백 활동에 적극 참여할 수 있다는장점을 가지고 있다. 실제적으로 협력적 문제해결활동을 협력과제에 적용하여 진행하면서 처음에는 상위집단학생이 주가 되어 하위집단 학생에게 자신의 풀이과정을 설명해 주는 것으로 나타났지만 시간이 흐름에 따라학생들이 친숙함에 따라 하위집단 학생들도 상위집단학생들에게 문제풀이과정을 설명해 주는 경우도 발견할수 있었다.</p> <h4>다. 학습자의 성찰 촉진 및 피드백</h4> <p>자기성찰(Self-reflection)은 고차원적인 사고 과정(mental process)으로 비판적 사고를 통해서 전문분야에 대한 이해를 높이고 대안적 관점을 개발하는 인지적인 활동을 수행하는 것으로, Dewey는 자기성찰이 인지적인 측면 뿐 만 아니라 학습과정에서 학습동기를 유발하고 유지하도록 하는 요인으로도 활용될 수 있다고 주장하였다. 이와 같이 자기성찰이라는 특성은 구성주의적 관점을 반영하는 것으로서, 자기성찰의 핵심은학생들이 평가자가 되어, 자신의 수행과 성취를 돌아보고 비판하여 발전하는 데 있다.</p> <p>그러나 자기성찰은 메타인지 전략과 마찬가지로 자동적으로 습득되는 것이 아니므로 교수자는 학습자들에게 자신이 학습하는 과정을 말하거나 글로 쓰도록 하게함으로써 자기성찰을 할 수 있도록 유도하여야 한다.</p> <p>공학수학 수업에서도 학습자가 매 수업이 끝나기 전에 수업한 내용에 대해서 스스로 평가하고 수업에 대한성찰을 유도할 수 있는 구조화된 성찰일지를 작성하는것이 필요하다. 구조화된 성찰일지는 학생이 자신의 생각, 행동, 결정 사항들에 대해서 지속적으로 반성하고수정할 수 있는 기회를 제공하고, 학습자와 교수자간의상호작용이 이루어질 수 있는 수단으로 활용될 수 있을 것으로 보인다. 이런 점에서 학습자가 학습수행 과정에서 스스로의 학습과정을 되돌아보도록 하는 성찰일지쓰기는 공학수학 수업에서 유용한 도구가 된다.</p> <p>학습자의 성찰을 촉진하는 성찰일지가 수업에서 성공적으로 정착하기 위해서는 교수자의 상호작용과 피드백이 중요하다. 피드백의 개념에 대해서 Mayer는 피드백을 학습자가 그의 반응의 유용성, 효과성, 또는 적절성에 대해 획득한 정보라고 정의하였으며, Cole과Chan은 피드백을 학생들 개인적인 활동이나 반응의 적절성과 관련해서 개별 학생들에게 다시 되돌아가는 정보를 의미한다고 하였다[23]. 수업에서 피드백은 학생들의 학업 성취를 극대화시켜주며, 학생들의 사고를 보다창의적으로 끌어주고, 학습능력을 길러주는 데 효과적인 방법이다.</p> <h4>라. 학습자의 자기주도학습 능력 신장을 지원하는온라인 학습환경 제공</h4> <p>사이버 강의실에서의 학습은 학습자 스스로 학습과정을 통제하고 자신의 학습에 대해서 책임을 지는 학습환경으로, 학습자가 자신의 시간을 운영하고, 정보를처리하며, 자료를 계획하고 감독할 수 있는 능력을 요구한다. 그러나, 사이버 강의실에서의 학습에서 학습자는 집중하기 힘들고, 자발적으로 참여하고 자신감을갖기 힘들고, 훈련의 어려움 등을 경험하게 된다. 따라서 사이버 환경에서 학습자가 성공적으로 학습하기 위해서는 학습자가 자신의 학습을 통제하고 조절할 수있는 자기주도학습능력을 계발시켜야만 한다.</p> <p>공학수학 수업에서 학습자가 자기주도적으로 학습하는 능력을 촉진시키기 위한 방법으로서, 매주 강의주제에 맞는 온라인 컨텐츠를 제공함으로써 학생들이 학습목표와 학습속도에 따라 수준별로 학습하는 것을 도울수 있다. 표 2는 공학수학 수업에 제공될 수 있는 온라인 컨텐츠의 예로서 각 차시별로 Calculus Life, Mymap, Secret Key, My Lesson, Review, Quiz! Quiz! 등 6단계로 구성되어 있다.</p> <h1>IV. 결 론</h1> <p>본 연구는 전문대학 공학계열 공학수학 수업에서 학습자의 기초 수학학습능력과 문제해결능력의 향상을 위해 요구분석과 관련 문헌연구를 바탕으로 학습자의 협력적 문제해결능력 신장을 위한 공학수학 수업모형의설계원리를 도출하고자 하였다.</p> <p>본 연구에서 도출된 공학수학 수업모형을 위한 설계원리는 (1) 수학 기본개념과 반복훈련을 통해서 기초수학능력을 높이고, (2) 동료 학습자간 협력적 문제해결방법을 통해서 문제해결능력을 신장하고, (3) 수업에서의 학습자의 성찰을 촉진하고, 학습자의 수업활동에 대한교수자의 체계적인 점검과 즉각적인 피드백을 제공하고, (4) 최근 온라인과 모바일 환경에 익숙한 학습자들이 자기주도적으로 학습할 수 있는 환경을 제공하는 것이 필요한 것으로 나타났다.</p> <p>끝으로 본 연구에서 도출한 공학수학 수업모형을 위한 설계원리는 D 대학 디지털전자과라는 특정대학의학과를 연구대상으로 선정하였기 때문에 그 결과를 일반화하기에는 무리가 따른다. 따라서 전문대학 공학계열 공학수학 수업에서 본 연구의 설계원리를 적용한 수업모형의 효과를 보다 심도있게 검증하는 것이 필요하고, 여러 타 전문대학 등으로 연구대상을 확대하여 추후 연구할 필요가 있는 것으로 보인다.</p> <h1>III. 공학수학에서 CPS 신장을 위한 수업모형 개발</h1> <h2>1. 요구분석</h2> <p>본 연구를 위해서 관련 선행연구와 함께 현행 교육과정과 실제 교육현장에서 적용 시 발생하는 차이, 즉 교수ᆞ학습내용과 학습자의 요구의 차이를 밝혀내기 위해서 요구분석을 실시하였다.<h3>가. '공학수학' 과목 분석</h3> <p>D 대학 디지털전자과에서 개설되는 ‘공학수학(Engineering Mathematics)’ 과목은 공학기술교육인증기준에 따라 MSC(Mathematics, Science and Computer) 과정 중에서 수학 영역의 전공필수과목(3학점)으로 1학년 1학기 ‘공학기초수학’(3학점)과 2학기 ‘미분적분학’(3학점)을 이수한 후 수강하도록 되어 있다. 이 과목의 목적은 학생들이 수학의 기본 개념의 습득과 활용을 바탕으로 전공기술의 기본 원리를 이해하고, 전공응용 능력을 함양하여 전공과목의 중심이 되는 라플라스 변환, 퓨리에 변환을 이해하여 전공기술에 응용할 수 있는 능력을 갖추도록 하는 데 있다. 수업내용은 크게 미분, 적분, 미분방정식, 라플라스 변환, 함수, 퓨리에 급수와 변환 등으로 구성된다.</p> <h3>나. '공학수학' 수강생 특성 분석</h3> <h4>(1) 수강생 구성</h4> <p>공학수학 수강생은 2학년 두 개반 93명(3년제 36명)으로 구성되고, 기존 2년제 학생이 전체 수강생 중 61%(57명, 취업할 복학생)를 차지하고 있다.</p> <h4>(2) 수학 기초학습능력</h4> <p>MSC(Mathematics, Science and Computer) 교과과정에서 공학수학의 선수과목 이해 정도를 측정하기 위해 대학수학 기초 1(공학수학, 공통수학, 수1, 수2 포함)의 내용을 측정하는 5지 선다형 40문항을 사용하여 수강생들의 수학 기초학습능력을 측정하였다. 시험은 CBT 방식을 사용하였는데 수강생들의 수학 기초학습능력을 측정한 결과 각반의 평균이 44.93점과 40.50점으로 매우 낮은 것으로 나타났다.</p> <h4>(3) 선호하는 수업방법</h4> <p>수강생 대상의 면담을 통해서 공학수학에서 선호하는 수업방식에 대한 질문 결과 학생들이 기존의 판서위주의 교육보다는 수학 교과목에서도 참여 위주나 흥미 위주의 수업방식을 원하는 것으로 나타났다.</p> <h4>(4) 문제해결능력</h4> <p>본 연구에서 문제해결력을 측정하기 위해 Heppner와 Peterson(1982)이 고안한 문제해결인식검사(PersonalProblem Solving Inventory)[16]를 사용하였다. 총 32문항으로 구성된 측정도구의 문항내적일관성 신뢰도 계수 Cronbach's α는 자신감이 .90, 접근 회피 스타일이 .76,개인의 통제가 .63으로 나타났다. 측정 결과, 공학수학수강생의 문제해결능력의 평균이 3.21이며 표준편차는0.34이다. 문제해결능력의 하위 변인 중에는 자신감이 3.31, 접근회피 3.21, 자신의 통제 3.09 순으로 높았다.<h3>다. 교수자의 교수법 및 교수능력 향상에 관한 요구</h3> <p>D 대학 전임교원 129명을 대상으로 교수법 및 교수능력 향상에 관한 요구를 살펴보기 위해 2009년 8월 26일부터 9월 5일까지 2주간 설문조사를 실시하였다. 연구를 위해 사용된 설문도구는 2개 영역의 17개 문항으로 구분되어 있는데, 교수의 기본적인 사항을 묻는 6문항과 교수법 및 교수능력 향상과 관련된 요구를 묻는 11개 문항으로 구성되어 있다. 설문결과를 살펴보면 다음과 같다.</p> <p>첫째, 수업방법에 대한 설문 결과, 강의(41.3%), 실험실습(30.0%), 프로젝트기반 수업(16.4%)의 수업 방법을 주로 활용하고 있는 것으로 나타났다. 향후 새롭게 시도해보고 싶은 수업방법으로는 토론 또는 세미나(37.0%), 프로젝트기반수업(17.4%), PBL (17.4%), 팀기반수업(15.8%), 사이버강의(6.5%), Portfolio 수업(4.9%)순으로 나타남. 이와 같이 다양한 수업방법에 대한 요구는 교수자의 학생의 능력향상과 학습동기 유발에 대한 관심(90.7%)에서 기인된 것으로 보여진다.</p> <p>둘째, 설문에 참여한 교수들은 수업개선을 위해서 스스로 노력하고(44.8%), 매 학기 종강 시 학생들로부터받은 강의 평가지를 활용(33.0%)하고 있지만, 보다 ‘교수법에 대한 체계적인 소개’(28.6%), ‘수업운영 능력 및향상 교육’(19.5%), ‘커뮤니케이션 또는 프리젠테이션능력 향상 교육’(18.8%), ‘우수강의 사례 제공’(10.4%),‘컴퓨터 활용 및 각종 소프트웨어 활용 교육’(9.1%), ‘정보화 관련 기기활용 교육(디지털카메라, 캠코더 등 교육기자재)’(7.8%), ‘교수법을 서로 논의할 수 있는 교수들 간의 의견공유의 장 마련’(5.8%) 등 교수법 개발 및적용에 대한 체계적인 지원에 대한 요구가 큰 것으로 나타났다.</p> <p>위의 설문결과를 정리하면 D 대학 교수자들은 학과(전공) 특성 및 학습자 특성을 고려한 교수법 개발의필요성을 인지하고, 강의 위주의 교수법보다는 학습자의 참여 및 자기주도학습이 이루어지는 학습환경을 조성해야 함을 강조하고 있음을 알 수 있다.<h3>라. 산업체, 졸업생 및 재학생의 요구분석<h3> <h4>(1) 산업체의 요구분석</h4> <p>2009넌 1학기 산업체의 요구분석을 위해서 기존 주문식/맞춤형교육 협약 4개 업체 담당자를 대상으로 설문조사를 하였다. 설문 결과를 요약하면 공학사 학위 취득의 기회가 부여되어야 하고, 기초학습능력 및 기초전공능력의 향상을 위한 교육이 필요하고, 학습자들의 실습능력 및 현장에서 요구되는 기술 습득 향상 및 창의력 개발을 위한 교과목 개발이 필요하다고 하였다.</p> <h4>(2) 졸업생 요구분석</h4> <p>2009년 1학기 졸업생을 대상으로 한 설문조사에서 가장 중요하게 지적된 사항은 전공입문 과정인 1학년 1학기 전공 교과목 부담이 크고 전문학사(2년 4학기제)이후 학사학위 취득기회의 필요(3년 6학기제)가 필요하다는 것이었다.</p> <h3>2. 요구분석 결과</h3> <p>학습자의 기초수학학습능력과 문제해결능력 신장에 초점을 둔 교수학습모형을 개발하기 위하여 위의 요구분석 결과를 토대로 현재 당면한 공학수학 수업의 문제점을 분석하고 개선방안을 제시하면 표 1과 같다.<p> <h1>요 약</h1> <p>본 연구는 전문대학 공학계열 학생들의 수학 기초학습능력과 문제해결능력 신장을 위한 공학수학 수업모형의 설계원리를 도출하고 개발하는 데 목적이 있다. 본 연구를 위해서 첫째, D 대학 디지털전자과의 교수ᆞ학습환경 분석과 함께 산업체 및 졸업생을 대상으로 한 요구분석을 실시하였고, 둘째, 요구분석 결과와 관련 선행연구를 바탕으로 공학수학 수강생들의 기초수학 학습능력과 문제해결능력 신장을 위한 수업모형의 기반 설계이론을 도출하였다. 연구 결과, 수업모형의 기반 설계이론으로는(1) 수학 기본개념과 반복훈련을 통해서 수학 기초학습능력을 높이고, (2) 동료 학습자간 협력적 문제해결활동을 통해서 문제해결능력을 신장하고, (3) 학습자의 성찰을 촉진하고 학습자의 수업활동에 대한 교수자의 체계적인 점검과 즉각적인 피드백을 제공하고, (4) 최근 온라인과 모바일 환경에 익숙한 학습자들이 자기주도적으로 학습할 수 있는 환경을 제공하는 것이다.</p> <h1>I. 서 론</h1> <p>전문대학 공학계열 학과들은 공학계열 입학생 수의 급격한 감소와 함께 이공계 학생들의 기초학습능력의 심각한 저하라는 이중고를 겪고 있다. 공학대학 학생들을 대상으로 한 설문 결과[2]에 의하면, 상당수의 학생들이 대학 공학수학에서 필요로 하는 ‘확률 및 통계’, ‘이산수학’ 등과 같은 수학의 기초 지식과 개념을 제대로 배우지 못한 것으로 나타났다. 이러한 문제들은 전문대학 직업기술교육 과정의 필수 과목인 공학수학 수업에서도 심각하게 나타나고 있다.</p> <p>최근 많은 기업들이 전문대학 공학교육의 문제점으로 지적하고 있는 것이 학생들이 공학 프로젝트 수행방법과 문제해결과정에 대한 이해가 부족하고 의사소통기술이 부족하다는 것이다. 지식정보화 사회에서 문제해결능력은 개인에게 필요한 핵심 역량으로서 공학수학의 주요 목표가 학생들이 수학적 사고에 바탕을 두고 수학 이론과 실제 공학적인 응용문제간의 관계를 이해하고 해결하는 능력을 계발하는 데 주어져야 할 것이다. 이러한 점은 공학전공 교수들의 면담 결과에서도 나타났듯이, 면담에 참여한 대부분의 교수들이 대학 수학수업에서 수업시간에 학습하는 수학의 내용을 줄이더라도 학생들이 깊이 있게 생각하고 응용할 수 있고, 배운 내용이 실제로 어떻게 활용되는 지를 보여주는 것이 중요하다고 응답하였다.</p> <p>그러나 현재 교수자 중심의 강의로 이루어지는 공학수학의 수업 방식으로는 문제해결능력과 같은 핵심역량을 갖춘 전문인을 요구하는 기업들의 요구를 만족시키기에는 어려운 것으로 보인다. 또한 공학수학 수업에서학생들의 수업 참여는 교수자의 질문에 응답하고 강의주제에 대한 개인적인 질문을 하는 정도의 매우 소극적인 수준에서 이루어지고 있어 학생들이 능동적으로 수업에 참여하고 문제를 해결해나가도록 하는 학습 환경의 조성이 필요한 것으로 보인다. 공학계열 학생들 역시 교수자 중심의 판서보다는 참여와 흥미를 유발하는 수업방식을 원하는 것으로 나타났다.</p> <p>최근 전문대학 공학계열 학습자의 문제해결능력의 향상 정도가 학습자의 성취도에 유의한 영향을 미쳤다는 연구결과가 보고되고 있다. 연구결과에 의하면, 학습자의 메타인지 수준이 높고 문제해결능력이 높아질수록 학습자는 더욱 수업에 몰입하게 되고 이것이 학업성취도의 향상을 가져왔다고 한다. 즉 문제해결능력은 학업성취에 주요한 영향을 미치는 변인으로서 문제해결능력을 높이는 교수방법 및 전략 들이 공학수업 설계 시 주요하게 고려되어야 할 것으로 보인다.</p> <p>이와 같이 학습자의 문제해결능력은 수학교육에서 주요하게 고려되어야 하는 것으로 문제해결능력을 향상시키는 방법으로 협력적 문제해결방법에 대한 관심이 높아지고 있다. 협력적 문제해결의 학습방법은 학습자들이 소규모 형태의 집단을 이뤄 다양한 문제들을 공동으로 해결하는 방식으로, 학습자들은 협력적 문제해결과정을 통해 다방면의 지식과 기능 뿐만 아니라 문제를 효과적으로 해결해나가는 과정에 관한 비판적인 시각과 책임감을 향상시킬 수 있다고 한다. 수학교육에서도 소집단 협력학습이 수학학습능력의 향상에 효과가있고, 수업분위기 및 동료관계에 긍정적인 영향을 미친다고 한다. 더욱이 수학교육에서 소집단 협력학습이 학습자들의 참여를 높이고 문제해결에 많은 효과가 있었다고 한다.</p> <p>따라서 본 연구는 관련 선행연구를 기반으로 D 대학공학계열 학습자 및 교수ᆞ학습환경을 분석하여 학습자의 수학학습능력을 높이고 문제해결능력을 신장시킬수있는 교수학습모형의 설계이론을 도출하는 데 그 목적이 있다.</p>	자연
m072-미분기하학 개론	<p>$ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $ 는 양의 방향 정규직교기저이므로 $ \mathrm{e}_{1} \times \mathrm{e}_{2}=\mathrm{e}_{3}, \mathrm{e}_{2} \times \mathrm{e}_{3}=\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{3} \times \mathrm{e}_{1}=\mathrm{e}_{2} $ 임을 알 수 있다.</p> <p>세 벡터 $ u, v, w $ 가 만드는 평행6면체의 부피를 구하여 보자. 다음 그림에서 평행6면체의 밑면의 넓이는 $ \|\mathrm{v} \times \mathrm{w}\| $ 이다.</p> <p>그리고 높이는 밑면의 수직방향이 $ \mathbf{u} $ 와 만드는 각을 $ \theta $ 라고 하면 $ \|\mathbf{u}\| \cos \theta $의 절대값이므로 평행6면체의 부피는 $ \|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|\|\mathbf{u}\| \cos \theta=(\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \cdot \mathbf{u}=[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] $의 절대값이다. 예를 들어 가로, 세로, 높이가 각각 $ a, b, c $ 인 직6면체는 벡터 $ a \mathrm{e}_{1}, b \mathrm{e}_{2}, c \mathrm{e}_{3} $ 가 만드는 평행6면체이므로 직6면체의 부피를 스칼라 삼중적으로 계산하면 $ \left(a \mathrm{e}_{1} \times b \mathrm{e}_{2}\right) \cdot c \mathrm{e}_{3}=a b c\left(\left(\mathrm{e}_{1} \times \mathrm{e}_{2}\right) \cdot \mathrm{e}_{3}\right) $ $ =a b c\left(\mathbf{e}_{3} \cdot \mathbf{e}_{3}\right)=a b c $이다.</p> <h2>예 2.6</h2> <p>$ \mathrm{u}=(4,-1,3), \mathrm{v}=(2,3,-1), \mathrm{w}=(1,1,-2) $ 이면</p> <p>(1) $ u \times v=\left\|\begin{array}{ccc}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right\|=(-8,10,14) $</p> <p>(2) $ [\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}]=(\mathrm{u} \times \mathrm{v}) \cdot \mathrm{w}=(-8,10,14) \cdot(1,1,-2)=-26 $</p> <p>(3) $ u, v, w $ 가 만드는 평행6면체의 부피는 $ \|-26\|=26 $ 이다.</p> <p>$ \mathrm{u}=(4,-1,3), \mathrm{v}=(2,3,-1) $ 를 $ \mathrm{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathrm{e}_{3} $ 의 1 차 결합으로 표현하면 $ \mathrm{u}=4 \mathrm{e}_{1}-\mathrm{e}_{2}+3 \mathrm{e}_{3}, \mathrm{u}=2 \mathrm{e}_{1}+3 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3} $이다. 이것과 외적의 성질을 이용하여 다음과 같이 외적 $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $ 를 계산할 수 있다.</p> <p>$ \mathrm{u} \times \mathrm{v}=\left(4 \mathrm{e}_{1}-\mathrm{e}_{2}+3 \mathrm{e}_{3}\right) \cdot\left(2 \mathrm{e}_{1}+3 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3}\right) $ $ =4 \mathrm{e}_{1} \times\left(2 \mathrm{e}_{1}+3 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3}\right)-\mathrm{e}_{2} \times\left(2 \mathrm{e}_{1}+3 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3}\right) $ $ +3 \mathrm{e}_{3} \times\left(2 \mathrm{e}_{1}+3 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3}\right) $ $ =8\left(\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{1}\right)+12\left(\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{2}\right)-4\left(\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{3}\right) $ $ -2\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{1}\right)-3\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{2}\right)+\left(\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}\right) $ $ +6\left(\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{1}\right)+9\left(\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{2}\right)-3\left(\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{3}\right) $ $ =12 \mathrm{e}_{3}+4 \mathrm{e}_{2}+2 \mathrm{e}_{3}+\mathrm{e}_{1}+6 \mathrm{e}_{2}-9 \mathrm{e}_{1} $ $ =-8 \mathrm{e}_{1}+10 \mathrm{e}_{2}+14 \mathrm{e}_{3}=(-8,10,14) $</p> <p>위의 경우 계산방법은 상당히 복잡하지만 일반적인 외적 수식 계산에서는 이 방법이 많이 쓰이고 간편하다.</p> <p>수학적 연산의 대부분은 결합법칙이 성립하지만 외적은 그렇지 않다. 예를 들면, 의 경우처럼 결합법칙이 성립하지 않는 경우가 있다.</p> <p>$ \begin{aligned} & u=(2,-1,1), \quad v=(1,2,-1), w=(0,1,2) \\ \Rightarrow &(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}=(-1,3,5) \times(0,1,2)=(1,2,-1) \\ & u \times(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=(2,-1,1) \times(5,-2,1)=(1,3,1) \end{aligned} $</p> <h1>1.4 벡터함수의 극한과 도함수</h1> <p>개구간 $ \mathrm{I} $ 상에서 함수 값이 벡터인 함수 $ F: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{R}^{3} $의 극한과 도함수에 대해서 알아보자. $ t \in \mathrm{I} $에 대해서 $ F(t) \in \mathrm{R}^{3} $이므로 $ F(t)=\left(f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t)\right) $로 쓸 수 있다. 이 경우 $ f_{i}: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{R} $이고 이를 $ F $의 좌표함수(coordinate function)라고 한다. 함수 $ F $를 간단히 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) $로 표시하기도 한다.</p> <h2>정의 4.1</h2> <p>$ t_{0} \in \mathrm{I}, \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathrm{R}^{3} $ 일 때, 벡터함수 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) $의 극한을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=\mathrm{v} \rightleftharpoons \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0\left(0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta \Rightarrow\|F(t)-\mathrm{v}\|<\varepsilon\right) $</p> <p>위의 정의에서 보는 것과 같이 벡터함수의 극한은 $ \|F(t)-\mathrm{v}\| $ 가 벡터의 길이를 나타내는 것을 제외하면 실수 값을 갖는 함수의 극한과 같은 방법으로 정의된다. 이를 바탕으로 다음과 같이 벡터함수의 극한을 좌표함수의 극한으로 설명할 수 있다.</p> <h2>정리 4.2</h2> <p>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=\mathrm{v} \Leftrightarrow \lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{i}(t)=v_{i}, i=1,2,3 $</p> <h3>증명</h3> <p> <p>$ (\Rightarrow) \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=\mathrm{v} $ 이므로, 주어진 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \exists \delta>0\left(0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta \Rightarrow\|F(t)-\mathrm{v}\|<\varepsilon\right) $가 성립한다. 이 $ \delta $ 에 대해서 $ 0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta $ 이면 $ \left\|f_{i}(t)-v_{i}\right\| \leq \sqrt{\left[f_{1}(t)-v_{1}\right]^{2}+\left[f_{2}(t)-v_{2}\right]^{2}+\left[f_{3}(t)-v_{3}\right]^{2}} $ $ =\|F(t)-\mathrm{v}\|<\varepsilon, \quad i=1,2,3 $이므로$ \lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{i}(t)=v_{i}, \quad i=1,2,3 $</p> <p>$ \Leftrightarrow \lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{i}(t)=v_{i} $ 이므로, 주어진 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \exists \delta_{i}>0\left(0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta_{i} \Rightarrow\left\|f_{i}(t)-v_{i}\right\|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}\right), i=1,2,3 $ 이다. 여기서 $ \delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3}\right\} $ 으로 잡는다. $ 0<\left\|t-t_{0}\right\|<\delta $ 이면 $ \|F(t)-\mathrm{v}\|=\sqrt{\mid\left[f_{1}(t)-v_{1}\right]^{2}+\left[f_{2}(t)-v_{2}\right]^{2}+\left[f_{3}(t)-v_{3}\right]^{2}} $ $<\sqrt{\left[\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}\right]^{2}+\left[\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}\right]^{2}+\left[\frac{\varepsilon}{\sqrt{3}}\right]^{2}}=\varepsilon $이다. 그러므로 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=\mathrm{v} $ 이다.</p> <h2>예 4.3</h2> <p>$ F(t)=(2 \cos t, 2 \sin t, t) $ 이면 $ \lim _{t \rightarrow \pi} F(t)=\left(\lim _{t \rightarrow \pi} 2 \cos t, \lim _{t \rightarrow \pi} 2 \sin t, \lim _{t \rightarrow \pi} t\right)=(-2,0, \pi) $이다.</p> <p>벡터함수의 극한은 좌표함수의 극한으로 바꾸어 계산할 수 있으므로 우리는 실수 값을 갖는 함수의 극한에 관한 정리를 벡터함수에 적용하면 다음 정리를 얻는다.</p> <h2>정리 4.4</h2> <p>벡터함수 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right), G=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}\right) $ 와 함수 $ h $ 에 대해서 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=\mathrm{v}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} G(t)=\mathrm{w}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t)=a $,이면 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \pm G(t))=\mathrm{v} \pm \mathrm{w} $ (2) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(h(t) F(t))=a \mathbf{v} $ (3) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \cdot G(t))=\mathrm{v} \cdot \mathrm{w} $ (4) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \times G(t))=\mathbf{v} \times \mathbf{w} $</p> <h3>증명</h3> <p>(1) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \pm G(t)) $ $ =\left(\lim _{t \rightarrow t_{0}}\left[f_{1}(t) \pm g_{1}(t)\right], \lim _{t \rightarrow t_{0}}\left[f_{2}(t) \pm g_{2}(t)\right], \lim _{t \rightarrow t_{0}}\left[f_{3}(t) \pm g_{3}(t)\right]\right) $ $ =\left(v_{1} \pm w_{1}, v_{2} \pm w_{2}, v_{3} \pm w_{3}\right)=\mathrm{v} \pm \mathrm{w} $</p> <p>(2) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(h(t) F(t)) $ $ =\left(\lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t) f_{1}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t) f_{2}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t) f_{3}(t)\right) $ $ =\left(a v_{1}, a v_{2}, a v_{3}\right)=a \mathrm{v} $</p> <p>(3) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \cdot G(t)) $ $ =\lim _{t \rightarrow t_{0}}\left(f_{1}(t) g_{1}(t)+f_{2}(t) g_{2}(t)+f_{3}(t) g_{3}(t)\right) $ $ =v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+v_{3} w_{3}=\mathrm{v} \cdot \mathrm{w} $</p> <p>(4) $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}\left(f_{i}(t) g_{j}(t)-f_{j}(t) g_{i}(t)\right)=v_{i} w_{j}-v_{j} w_{i} $ 이므로 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(F(t) \times G(t)) $ $ =\lim _{t \rightarrow t_{0}}\left(\left(f_{2} g_{3}-f_{3} g_{2}\right)(t),\left(f_{3} g_{1}-f_{1} g_{3}\right)(t),\left(f_{1} g_{2}-f_{2} g_{1}\right)(t)\right) $ $ =\left(v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)=\mathrm{v} \times \mathbf{w} $</p> <p>벡터 함수의 미분은 정리 4.6에 의하면 실수 값을 갖는 함수의 미분처럼 할 수 있다. 이 사실은 이미 정리 4.7에서 사용하였다. 즉, 벡터 함수의 내적 $ F(t) \cdot F(t) $ 는 일종의 제곱이므로 $ [f(t)]^{2} $의 도함수가 $ 2 f(t) f^{\prime}(t) $ 인 것처럼 $ [F(t) \cdot F(t)]^{\prime}=2 F(t) \cdot F^{\prime}(t) $이다. 같은 원리로 $ a, b $ 가 상수벡터일 때, 상수함수, 일차함수의 미분에 대해서도 다음과 같은 공식이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ F(t)=a \Rightarrow F^{\prime}(t)=(0,0,0) $</p> <p>$ F(t)=a+t b \Rightarrow F^{\prime}(t)=b $</p> <p>폐구간 $ [a, b] $ 에서 벡터함수 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) $ 가 나타내는 곡선의 길이는 $ \int_{a}^{b}\left\|F^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{a}^{b} \sqrt{\left[f_{1}^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[f_{2}^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[f_{3}^{\prime}(t)\right]^{2}} d t $로 주어진다는 것이 미분적분학에서 잘 알려져 있다.</p> <h2>예 4.8</h2> <p>(1) $ F(t)=(\sinh t, \cosh t, t), 0 \leq t \leq 1 $ 의 길이 $ L $ 은 $ \left\|F^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{\cosh ^{2} t+\sinh t^{2}+1^{2}} $ $ =\sqrt{2 \cosh ^{2} t}=\sqrt{2} \cosh t $이므로 $ \left.L=\int_{0}^{1}\left\|F^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{0}^{1} \sqrt{2} \cosh t d t=\sqrt{2} \sinh t\right]_{0}^{1} $ $ =\sqrt{2}(\sinh 1-\sinh 0)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(e-e^{-1}\right) $이다.</p> <p>(2) 곡선 $ F(t)=(\sin t, \cos t, 2 t), 0 \leq t \leq \pi $ 의 길이 $ L $은 >$ \left\|F^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{\cos ^{2} t+[-\sin t]^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} $이므로 $ L=\int_{0}^{\pi}\left\|F^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{0}^{\pi} \sqrt{5} d t=\sqrt{5} \pi $이다.</p> <h2>예 4.9</h2> <p>$ F: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{R}^{3}, \mathrm{u} \in \mathrm{R}^{3} $ 에 대해서 $ F(0) \perp \mathrm{u}, F^{\prime}(t) \perp \mathrm{u} \forall t \in \mathrm{I} \quad \Longrightarrow \quad F(t) \perp \mathrm{u} \forall t \in \mathrm{I} $임을 보여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ F^{\prime}(t) \perp \mathrm{u} \forall t \in \mathrm{I} $ 이므로 $ (F(t) \cdot \mathrm{u})^{\prime}=F^{\prime}(t) \cdot \mathrm{u}=0 $이다. 따라서 $ F(t) \cdot \mathrm{u} $ 는 상수이고, $ F(0) \cdot \mathrm{u}=0 $ 이므로 $ F(t) \cdot \mathrm{u}=0 \forall t \Rightarrow F(t) \perp \mathrm{u} \forall t \in \mathrm{I} $이다.</p> <h2>예 4.10</h2> <p>곡선 $ F(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right) $는 $ F(t) $와 $ F^{\prime}(t) $가 만드는 각이 일정함을 보여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ F(t) $ 와 $ F^{\prime}(t) $ 가 만드는 각을 $ \theta $ 라고 두자 $ \|F\|=e^{t} $ $ F^{\prime}=\left(e^{t}(\cos t-\sin t), e^{t}(\cos t+\sin t)\right) $ $ \left\|F^{\prime}\right\|=e^{t} \sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\cos t+\sin t)^{2}}=\sqrt{2} e^{t} $ $ F \cdot F^{\prime}=e^{2 t}[\cos t(\cos t-\sin t)+\sin t(\cos t+\sin t)]=e^{2 t} $ $ \Rightarrow \cos \theta=\frac{F \cdot F^{\prime}}{\|F\|\left\|F^{\prime}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}} $이므로 $ \theta=\frac{\pi}{4} $이다.</p> <h2>예 4.11</h2> <p>$ F(t)=(\cos t, \sin t, t) $ 일 때, $ F^{\prime}(t) $ 와 $ z $ 축이 만드는 각을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ F^{\prime}(t) $ 와 $ z $ 축이 만드는 각을 $ \theta $ 라고 두자. $ \left\|F^{\prime}\right\|=\|(-\sin t, \cos t, 1)\|=\sqrt{2} $이고 $ z $ 축의 방향의 단위벡터는 $ (0,0,1) $ 이므로 $ \cos \theta=\frac{(0,0,1) \cdot F^{\prime}}{\left\|F^{\prime}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} $</p> <h2>예 3.5</h2> <p>$ (2,1,1),(0,1,-2) $ 을 지나는 직선의 매개방정식은 $ \mathrm{x}=(2,1,1)+t[(0,1,-2)-(2,1,1)] $ $ \Rightarrow \mathrm{x}=(2,1,1)+t(-2,0,-3) $ $ \Rightarrow(x, y, z)=(2-2 t, 1,1-3 t) $ $ \Rightarrow x=2-2 t, y=1, z=1-3 t $이다.</p> <p>평면은 지나는 점과 수직 방향에 의해 결정된다. 점 $ \mathrm{u} $를 지나고 벡터 $ \mathrm{n}=(a, b, c) \neq(0,0,0) $에 수직인 평면의 방정식을 구하기 위하여 평면상의 임의의 점 $ \mathrm{x}=(x, y, z) $를 잡으면 $ \mathrm{x}-\mathrm{u} $는 $ \mathrm{n} $에 수직이므로 $ (\mathrm{x}-\mathrm{u}) \cdot \mathrm{n}=0 $이고 이는 $ \mathrm{u} $ 를 지나고 $ \mathrm{n} $ 에 수직인 평면의 벡터방정식이다. 이 방정식을 좌표로 표현하면 $ \left(x-u_{1}\right) a+\left(y-u_{2}\right) b+\left(z-u_{3}\right) c=0 $ $ a x+b y+c z+d=0, \left(-d=a u_{1}+b u_{2}+c u_{3}\right) $라는 직교방정식을 얻는다. 예를 들면, $ x y $ 평면의 수직방향은 $ (0,0,1) $ 이고 원점 $ (0,0,0) $ 를 지나므로 $ x y $ 평면의 방정식은 $ (x-0) 0+(y-0) 0+(z-0) 1=0 $에서 $ z=0 $ 이고 평면 $ x+2 y+3 z+4=0 $는 수직방향이 $ (1,2,3) $ 임을 알 수 있다.</p> <h2>예 3.6</h2> <p>(1) $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 가 일차독립일 때, $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 에 평행이고 $ b $ 를 지나는 평면의 방정식을 구하여 보자. $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 가 일차독립이므로 $ \mathrm{u} \times \mathbf{v} \neq(0,0,0) $ 이고, 이 벡터는 구하는 평면과 수직이다. 평면상의 점 $ \mathrm{x} $ 를 잡으면 $ \mathrm{x}-b $ 와 $ \mathrm{u} \times \mathrm{v} $는 수직이므로 $ (\mathrm{x}-\mathrm{b}) \cdot(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=0 $가 구하는 방정식이다. 이 평면의 매개방정식은 $ \mathrm{x}-b $가 $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $와 평행인 평면상에 있으므로 $ \mathrm{x}-b $ 는 $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $의 1차 결합으로 나타난다. 그러므로 구하는 매개방정식은 $ \mathbf{x}-b=s \mathbf{u}+t \mathbf{v},(s, t \in \mathbf{R}) $이다.</p> <p>(2) $ (2,1,1),(0,1,-2) $에 평행이고 $ (1,2,-3) $을 지나는 평면을 구하여 보자. 이 평면의 수직방향은 $ (2,1,1) \times(0,1,-2)=(-3,4,2) $이므로 평면의 방정식은 $ (x-1, y-2, z+3) \cdot(-3,4,2)=0 $ $ -3 x+4 y+2 z+1=0 $이다. 이를 매개방정식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>$ (x-1, y-2, z+3)=s(2,1,1)+t(0,1,-2) $</p> <p>$ x-1=2 s, y-2=s+t, z+3=s-2 t $</p> <p>$ x=1+2 s, y=2+s+t, z=-3+s-2 t $</p> <h2>예 3.7</h2> <p>(1) $ \mathrm{u}$, $\mathrm{v}$, $\mathrm{w} $ 가 공선이 아닐 때, 이들을 지나는 평면의 방정식을 구하여 보자. 공선이 아니라는 사실에서 $ (\mathrm{u}-\mathrm{w}) \times(\mathrm{v}-\mathrm{w}) \neq(0,0,0) $이고, 구하는 평면의 방정식은 $ [\mathrm{x}-\mathrm{w}, \mathrm{u}-\mathrm{w}, \mathrm{v}-\mathrm{w}]=0 $이다.</p> <p>(2) 공선이 아닌 세벡터 $ \mathrm{u}=(1,0,1), \mathrm{v}=(0,1,-1), \mathrm{w}=(1,1,0) $를 지나는 평면의 방정식은 $ \mathrm{u}-\mathrm{w}=(0,-1,1), \mathrm{v}-\mathrm{w}=(-1,0,-1) $, $ (\mathrm{u}-\mathrm{w}) \times(\mathrm{v}-\mathrm{w})=(1,-1,-1) $이므로 $ (\mathrm{x}-\mathrm{w}) \cdot(1,-1,-1)=0 $, $ (x-1, y-1, z) \cdot(1,-1,-1)=0 $, $ x-y-z=0 $이다.</p> <p>직선과 평면이 만나는 점은 직선의 매개방정식을 평면의 방정식에 대입하면 쉽게 구할 수 있다.</p> <h2>예 3.8</h2> <p>직선 $ x=1-2 t, y=-2+t, z=3 t $<caption>()</caption>와 평면 $ 2 x-3 y-z+2=0 $<caption>()</caption>가 만나는 점을 구하기 위하여 ()를 (*)에 대입하면 $ 2(1-2 t)-3(-2+t)-3 t+2=0 \Rightarrow t=1 $ 이므로 이를 $ \left(^{}\right) $ 에 대입하면 구하는 점 $ (-1,-1,3) $ 을 얻는다.</p> <p>$ \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { j } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end {array} \right . $</p> <h2>예 1.3</h2> <p>(1) 두 벡터 $ \mathrm { v } =(1,-2,4), \mathrm { w } =(-1,3,2) $에 대해서 $ \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } =1 \cdot(-1) + (-2) \cdot 3 + 4 \cdot 2=1 $ $ \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 1 } =1 $, $ \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 2 } =-2 $, $ \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 3 } =4 $</p> <p>(2) 만약 $ \mathrm { v } =(1,-2,4), \mathrm { w } =(x, y, 2) $가 평행이면 어떤 실수 $ a $에 대해서 $ (1,-2,4)=a(x, y, 2) $이므로 $ ax=1 $, $ a y=-2 $, $ 2 a=4 $</p> <p>$ \Rightarrow a=2, x= \frac { 1 } { 2 } , y=-1 $</p> <p>내적의 정의로부터 벡터 $ \mathrm { u } , \mathrm { v } , \mathrm { w } $와 실수 $ a $에 대해서 다음과 같은 내적의 성질을 쉽게 증명할 수 있다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } = \mathrm { w } \cdot \mathrm { V } $</li> <li>$ (u + v) \cdot w=(u \cdot w) + (v \cdot w) $</li> <li>$ (a \mathbf { v } ) \cdot \mathrm { w } =a( \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } ) $</li> <li>$ \mathrm { v } \cdot \mathrm { v } =\| \mathrm { v } \| ^ { 2 } $</li></ol> <p>예를 들면 (iii), (iv)의 경우과 같이 증명할 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} (a \mathbf { v } ) \cdot \mathbf { w } &= \left (a v_ { 1 } , a v_ { 2 } , a v_ { 3 } \right ) \cdot \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right ) \\ &= \left (a v_ { 1 } \right ) w_ { 1 } + \left (a v_ { 2 } \right ) w_ { 2 } + \left (a v_ { 3 } \right ) w_ { 3 } \\ &=a \left (v_ { 1 } w_ { 1 } + v_ { 2 } w_ { 2 } + v_ { 3 } w_ { 3 } \right )=a( \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } ) \\ \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } =& v_ { 1 } ^ { 2 } + v_ { 2 } ^ { 2 } + v_ { 3 } ^ { 2 } =\| \mathbf { v } \| ^ { 2 } \end {aligned} $</p> <p>구간 $\mathrm{I}$ 상의 벡터함수 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right) $ 가 $ t_{0} \in \mathrm{I} $ 에서 연속이라는 것은 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t)=F\left(t_{0}\right) \일 때를 말한다. 정리 \( 4.2 $ 에 의하면 이것은 각 좌표함수 $ f_{1}, f_{2}, f_{3} $ 가 $ t_{0} $ 에서 연속이라는 것과 동치이다.</p> <p>$ t_{0} \in \mathrm{I} $ 에서 $ F $ 의 도함수 $ F^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ F^{\prime}\left(t_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{F(t)-F\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} $</p> <p>도함수가 존재할 때 우리는 $ F $가 $ t_{0} $에서 미분가능이라고 한다. 도함수도 정리 4.2를 이용하면, 각 $ f_{i} $가 미분가능이고 $ F^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $임을 알 수 있다. 그리고 도함수 $ F^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 는 점 $ F\left(t_{0}\right) $ 에서 벡터함수 $ F $ 가 만드는 곡선의 접선벡터가 된다.</p> <h2>예 4.5</h2> <p>$ F(t)=(2 \sin t, 2 \cos t, t) $일 때, $ F(0)=(0,2,0) $에서 접선을 구하기 위하여 도함수 $ F^{\prime}(t)=(2 \cos t,-2 \sin t, 1) $로부터 $ (0,2,0) $에서 접선의 방향 $ F^{\prime}(0)=(2,0,1) $ 을 얻는다. 그러므로 접선의 방정식은 $ \mathbf{x}(t)=(0,2,0)+t(2,0,1)=(2 t, 2, t) $ 이다.</p> <h2>정리 4.6</h2> <p>벡터함수 $ F=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right), G=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}\right) $ 와 함수 $ h $ 가 $ t_{0} $ 에서 미분가능이면 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (F \pm G)^{\prime}\left(t_{0}\right)=F^{\prime}\left(t_{0}\right) \pm G^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (h F)^{\prime}\left(t_{0}\right)=h^{\prime}\left(t_{0}\right) F\left(t_{0}\right)+h\left(t_{0}\right) F^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ [F \cdot G]^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left[F^{\prime}\left(t_{0}\right) \cdot G\left(t_{0}\right)\right]+\left[F\left(t_{0}\right) \cdot G^{\prime}\left(t_{0}\right)\right] $</li> <li>$ [F \times G]^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left[F^{\prime}\left(t_{0}\right) \times G\left(t_{0}\right)\right]+\left[F\left(t_{0}\right) \times G^{\prime}\left(t_{0}\right)\right] $</li> <li>$ (F \circ h)^{\prime}\left(t_{0}\right)=F^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li></ol> <h3>증명</h3> <p>(1) $ (F \pm G)^{\prime}\left(t_{0}\right) $ $ =\left(\left[f_{1} \pm g_{1}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[f_{2} \pm g_{2}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[f_{3} \pm g_{3}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right) \pm g_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right) \pm g_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right) \pm g_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) \pm\left(g_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), g_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right), g_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =F^{\prime}\left(t_{0}\right) \pm G^{\prime}\left(t_{0}\right) $</p> <p>(2) $ (h F)^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(\left[h f_{1}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[h f_{2}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[h f_{3}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(h^{\prime}\left(t_{0}\right) f_{1}\left(t_{0}\right)+h\left(t_{0}\right) f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), h^{\prime}\left(t_{0}\right) f_{2}\left(t_{0}\right)+h\left(t_{0}\right) f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right. $, $ \left.h^{\prime}\left(t_{0}\right) f_{3}\left(t_{0}\right)+h\left(t_{0}\right) f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =h^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(f_{1}\left(t_{0}\right), f_{2}\left(t_{0}\right), f_{3}\left(t_{0}\right)\right)+h\left(t_{0}\right)\left(f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =h^{\prime}\left(t_{0}\right) F\left(t_{0}\right)+h\left(t_{0}\right) F^{\prime}\left(t_{0}\right) $</p> <p>(3) $ (F \cdot G)^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(f_{1} g_{1}+f_{2} g_{2}+f_{3} g_{3}\right)^{\prime}\left(t_{0}\right) $ $ =\left[f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right) g_{1}\left(t_{0}\right)+f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right) g_{2}\left(t_{0}\right)+f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right) g_{3}\left(t_{0}\right)\right] $ $ +\left[f_{1}\left(t_{0}\right) g_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right)+f_{2}\left(t_{0}\right) g_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right)+f_{3}\left(t_{0}\right) g_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right] $ $ =\left[F^{\prime}\left(t_{0}\right) \cdot G\left(t_{0}\right)\right]+\left[F\left(t_{0}\right) \cdot G^{\prime}\left(t_{0}\right)\right] $</p> <p>(4) $ (F \times G)^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(\left[f_{2} g_{3}-f_{3} g_{2}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[f_{3} g_{1}-f_{1} g_{3}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right)\right. $ $ \left.\left[f_{1} g_{2}-f_{2} g_{1}\right]^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(\left[f_{2}^{\prime} g_{3}+f_{2} g_{3}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{3}^{\prime} g_{1}+f_{3} g_{1}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{1}^{\prime} g_{2}+f_{1} g_{2}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right)\right) $ $ -\left(\left[f_{3}^{\prime} g_{2}+f_{3} g_{2}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{1}^{\prime} g_{3}+f_{1} g_{3}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{2}^{\prime} g_{1}+f_{2} g_{1}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(\left[f_{2}^{\prime} g_{3}-f_{3}^{\prime} g_{2}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{3}^{\prime} g_{1}-f_{1}^{\prime} g_{3}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{1}^{\prime} g_{2}-f_{2}^{\prime} g_{1}\right]\left(t_{0}\right)\right) $ $ +\left(\left[f_{2} g_{3}^{\prime}-f_{3} g_{2}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{3} g_{1}^{\prime}-f_{1} g_{3}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right),\left[f_{1} g_{2}^{\prime}-f_{2} g_{1}^{\prime}\right]\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left[F^{\prime}\left(t_{0}\right) \times G\left(t_{0}\right)\right]+\left[F\left(t_{0}\right) \times G^{\prime}\left(t_{0}\right)\right] $</p> <p>(5) $ (F \circ h)^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(\left[f_{1} \circ h\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[f_{2} \circ h\right]^{\prime}\left(t_{0}\right),\left[f_{3} \circ h\right]^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(f_{1}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{2}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right), f_{3}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) $ $ =\left(f_{1}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right), f_{2}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right), f_{3}^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right) $ $ =F^{\prime}\left(h\left(t_{0}\right)\right) h^{\prime}\left(t_{0}\right) $</p> <h2>정리 4.7</h2> <p>미분가능 벡터함수 $ F $가 모든 $ t \in \mathrm{I} $에 대해서 $ \|F(t)\|=c,(c $ 는 상수 $ ) $이면 모든 $ t \in \mathrm{I} $ 에 대해서 $ F(t) \cdot F^{\prime}(t)=0 $ 이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ F(t) \cdot F(t)=\|F(t)\|^{2}=c^{2} $ 에서 $ 0=[F(t) \cdot F(t)]^{\prime}=F(t) \cdot F^{\prime}(t)+F^{\prime}(t) \cdot F(t) $ $ =2 F(t) \cdot F^{\prime}(t) $이다. 그러므로 $ F(t) \cdot F^{\prime}(t)=0 $ 이다.</p> <p>정규직교기저는 이러한 유용한 성질을 갖고 있기 때문에 기하학에서 많이 사용된다. 앞 절에서 우리는 벡터 사이의 첫 번째 곱으로 내적에 대해서 알아보았다. 이제 또 다른 곱인 외적에 대해서 알아보자.</p> <h2>정의 2.3</h2> <p>벡터 $ \mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right), \mathrm{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) $ 의 외적(cross product) $ \mathrm{v} \times \mathrm{w} $ 를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \mathbf{v} \times \mathbf{w}=\left(v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2}, v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3}, v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right) $</p> <p>내적과 외적의 중요한 차이는 두 벡터의 내적은 실수이지만 외적은 벡터라는 것이다. 다음 정리는 벡터의 외적의 성질을 이해하는데 중요한 역할을 한다.</p> <h2>정리 2.4</h2> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{v} \times \mathbf{w}=\left\|\begin{array}{lll}\mathbf{e}_{1} & \mathrm{e}_{2} & \mathrm{e}_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{array}\right\| $</li> <li>$ \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=\left\|\begin{array}{lll}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{array}\right\|=D(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) $</li> <li>$ (\mathrm{v} \times \mathrm{w}) \perp \mathrm{v}, \mathrm{w} $</li> <li>$ \mathbf{v} \times \mathbf{w}=-\mathbf{w} \times \mathbf{v}, \quad \mathbf{v} \times \mathbf{v}=(0,0,0) $</li> <li>$ (\mathbf{u}+\mathbf{v}) \times \mathbf{w}=(\mathbf{u} \times \mathbf{w})+(\mathbf{v} \times \mathbf{w}), \quad(a \mathbf{v}) \times \mathbf{w}=a(\mathbf{v} \times \mathbf{w}) $</li> <li>$ \mathbf{v} \times \mathbf{w} \neq(0,0,0) $ 이면 $ \{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{v} \times \mathbf{w}\} $ 는 양의 방향 기저이다.</li></ol> <h3>증명</h3> <p>(1) $ v \times w $ $ =\left(v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2}\right) \mathbf{e}_{1}+\left(v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3}\right) \mathbf{e}_{2}+\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right) \mathbf{e}_{3} $ $ =\left\|\begin{array}{ll}v_{2} & v_{3} \\ w_{2} & w_{3}\end{array}\right\| \mathbf{e}_{1}-\left\|\begin{array}{ll}v_{1} & v_{3} \\ w_{1} & w_{3}\end{array}\right\| \mathbf{e}_{2}+\left\|\begin{array}{ll}v_{1} & v_{2} \\ w_{1} & w_{2}\end{array}\right\| \mathbf{e}_{3}=\left\|\begin{array}{ccc}\mathrm{e}_{1} & \mathrm{e}_{2} & \mathrm{e}_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{array}\right\| $</p> <p>(2) $ u \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) $ $ =u_{1}\left(v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2}\right)+u_{2}\left(v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3}\right)+u_{3}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right) $ $ =D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}) $</p> <p>(3) 행렬식의 두 행이 같으면 0 이므로 $ \mathrm{v} \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w})=D(\mathrm{v}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=0, \mathrm{w} \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w})=D(\mathrm{w}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=0 $ 이다. 따라서 $ (\mathrm{v} \times \mathrm{w}) \perp \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 이다.</p> <p>(4)와 (5)는 행렬식의 성질에 의해서 명백하다.</p> <p>(6) $ D(\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{v} \times \mathbf{w})=D(\mathbf{v} \times \mathbf{w}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) $ $ =(\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{w})=\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|^{2}>0 $ 이므로 $ \{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{v} \times \mathbf{w}\} $ 는 양의 방향 기저이다.</p> <p>내적과 행렬식의 성질에 의해서 $ \mathrm{u} \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w})=D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=D(\mathrm{w}, \mathrm{u}, \mathrm{v})=\mathrm{w} \cdot(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=(\mathrm{u} \times \mathrm{v}) \cdot \mathrm{w} $이다. 즉, $ \mathrm{u} \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) $ 는 ' $ \cdot, \times $ '의 순서는 관계없고 $ \mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w} $의 순서에 의해서 결정된다. 그러므로 내적과 외적이 혼합된 곱을 $ \mathrm{u} \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w})=[\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}] $ 로 적고 이를 $ \mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 의 스칼라 삼중적이라고 한다.</p> <p>정리 2.4의 (3)과 (6)에 의해서 $ \mathrm{v} \times \mathrm{w} $ 의 방향은 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 와 동시에 수직이면서(이 경우 2 가지 방향이 가능하다) $ \{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{v} \times \mathbf{w}\} $ 가 양의 방향이 되는 방향이다. 이제 $ \|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\| $ 만 알면 $ \mathbf{v} \times \mathbf{w} $ 의 기하학적 설명이 가능하다.</p> <p>$ \|\mathrm{v} \times \mathrm{w}\|^{2}=(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) \cdot(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) $ $ =\left(v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2}\right)^{2}+\left(v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3}\right)^{2}+\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)^{2} $ $ \begin{aligned}=& v_{2}^{2} w_{3}^{2}+v_{3}^{2} w_{2}^{2}+v_{3}^{2} w_{1}^{2}+v_{1}^{2} w_{3}^{2}+v_{1}^{2} w_{2}^{2}+v_{2}^{2} w_{1}^{2}-2\left(v_{2} w_{3} v_{3} w_{2}+v_{3} w_{1} v_{1} w_{3}+v_{1} w_{2} v_{2} w_{1}\right) \end{aligned} $ $ =\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)-\left(v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+v_{3} w_{3}\right)^{2} $ $ =\|\mathrm{v}\|^{2}\|\mathrm{w}\|^{2}-(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w})^{2}=\|\mathrm{v}\|^{2}\|\mathrm{w}\|^{2}-\left.\left.\|\mathrm{v}\|^{2}\right\|_{\mathrm{w}}\right\|^{2} \cos ^{2} \theta $ $ =\|\mathrm{v}\|^{2}\|\mathrm{w}\|^{2} \sin ^{2} \theta $이므로 $ \|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\| \sin \theta $ 이다. 이것은 두 벡터 $ \mathbf{v}, \mathbf{w} $ 가 만드는 평행사변형의 넓이임을 다음 그림에서 알 수 있다.</p> <p>평면에서 원점과 두 점 $ P_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right), P_{2}\left(a_{2}, b_{2}\right) $ 가 만드는 삼각형의 면적은 두 벡터 $ \left(a_{1}, b_{1}, 0\right),\left(a_{2}, b_{2}, 0\right) $ 가 만드는 평행사변형의 면적의 절반이므로 삼각형의 면적은 $ \frac{1}{2}\left\|\left(a_{1}, b_{1}, 0\right) \times\left(a_{2}, b_{2}, 0\right)\right\|=\frac{1}{2}\left\|a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right\| $이다.</p> <p>외적의 성질을 이용하면 다음 정리를 얻을 수 있다.</p> <h2>정리 2.5</h2> <p>$ \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} $ 가 양의 방향 정규직교기저이면 $ u \times v=w, v \times w=u, w \times u=v $이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 가 양의 방향 정규직교기저이므로 $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 에 수직인 단위벡터는 $ \pm w $ 뿐이다.</p> <p>$ \|\mathrm{u} \times \mathrm{v}\|=\|\mathrm{u}\|\|\mathrm{v}\| \sin \frac{\pi}{2}=1 $, 이고 $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{u} \times \mathrm{v}\} $ 가 양의 방향이므로 $ \mathrm{u} \times \mathrm{v}=\mathrm{w} $ 이다. 그리고 $ \{\mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u}\}$,$\{\mathrm{w}, \mathrm{u}, \mathrm{v}\} $ 도 양의 방향 정규직교기저이므로 나머지도 성립한다.</p> <p>내적 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w} $ 의 정의는 계산이 간편하지만 벡터 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 에 관한 기하학적인 정보는 거의 없다. 벡터의 내적이 갖고 있는 기하학적인 의미를 알아보기 위하여 $ \mathrm{v}$, $\mathrm{w} $가 만드는 각을 $ \theta $라고 하면, 다음 그림에서 보는 것과 같이 $ \mathrm{v}$, $\mathrm{w}$, $\mathrm{w}-\mathrm{v} $는 삼각형의 각 변을 나타낸다.</p> <p>이 삼각형에 대하여 cosine 법칙을 이용하면</p> <p>$ \begin{aligned}\|\mathrm{w}-\mathrm{v}\|^{2} &=\|\mathrm{v}\|^{2}+\|\mathrm{w}\|^{2}-2\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \theta \\\|\mathrm{w}-\mathrm{v}\|^{2} &=(\mathrm{w}-\mathrm{v}) \cdot(\mathrm{w}-\mathrm{v}) \\ &=(\mathrm{w} \cdot \mathrm{w})-2(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w})+(\mathrm{v} \cdot \mathrm{v}) \\ &=\|\mathrm{v}\|^{2}+\|\mathrm{w}\|^{2}-2(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}) \end{aligned} $</p> <p>이므로 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \theta $ 임을 알 수 있다.</p> <p>이 등식은 계산은 어렵지만 두 벡터의 사이각과 같은 기하학적인 정보를 포함하고 있다. 만약 두 벡터가 수직이면, 즉 $ \theta=\frac{\pi}{2} $이면 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \frac{\pi}{2}=0 $이다. 따라서 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 조건은 그들의 '내적이 0 '인 것이다.</p> <h2>예 1.4</h2> <p>(1) $ \mathrm{v}=(1,-2,4) $, $ \mathrm{w}=(-2,4,-8) $ 이면 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=1 \cdot(-2)+(-2) \cdot 4+4 \cdot(-8)=-42$ 이고, $ (-2,4,-8)=-2(1,-2,4) $이므로 $ \mathrm{v} / / \mathrm{w} $ 이다.</p> <p>(2) $ \mathrm{v}=(1,-2,4), \mathrm{w}=(2,3,1) $ 이면 $\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=1 \cdot 2+(-2) \cdot 3+4 \cdot 1=0$ 이므로 $ \mathrm{v} \perp \mathrm{w} $ 이다.</p> <p>내적의 계산에서 $ \|\mathrm{w}\| \cos \theta $는 다음 그림에서 보는 것처럼 $ \mathrm{w} $를 $ \mathrm{v} $에 사영시킨 벡터의 길이이다. $ \mathrm{v} \neq(0,0,0) $ 일 때, 길이가 $ \|\mathrm{w}\| \cos \theta $ 이고 방향이 $ \mathrm{v} $ 인 벡터를 $ \mathrm{v} $ 의 $ \mathrm{w} $ 에 대한 사영이라 하고 $ \mathrm{P}_{\mathrm{v}}(\mathrm{w}) $ 로 적는다. 여기서 $ \frac{\pi}{2}<\theta \leq \pi $ 이면 $ \|\mathrm{w}\| \cos \theta<0 $ 인데, 길이가 음수라는 것은 방향이 반대임을 의미한다. $ \mathrm{P}_{\mathrm{v}}(\mathrm{w}) $ 를 $ \mathrm{v} $, $\mathrm{w} $ 로 표현하면 $ \mathrm{P}_{\mathrm{v}}(\mathrm{w})=(\|\mathrm{w}\| \cos \theta) \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|}=\frac{\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \theta}{\|\mathrm{v}\|^{2}} \mathrm{v}=\frac{\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}}{\|\mathrm{v}\|^{2}} \mathrm{v} $ 이다. 이 식을 이용하면 $ P_{-v}(w)=\frac{-v \cdot w}{\|-v\|^{2}}(-v)=\frac{v \cdot w}{\|v\|^{2}} v=P_{v}(w) $이다.</p> <h2>예 1.5</h2> <p>벡터 $ \mathrm{v}=(1,-2,4), \mathrm{w}=(-1,3,2) $ 에 대해서 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=1,\|\mathrm{v}\|=\sqrt{21},\|\mathrm{w}\|=\sqrt{14} $ 이므로 $ \mathrm{P}_{\mathrm{v}}(\mathrm{w})=\frac{1}{21}(1,-2,4)=\left(\frac{1}{21},-\frac{2}{21}, \frac{4}{21}\right) $ $ \mathrm{P}_{\mathrm{w}}(\mathrm{v})=\frac{1}{14}(-1,3,2)=\left(-\frac{1}{14}, \frac{3}{14}, \frac{1}{7}\right) $이다.</p> <p>앞의 예에서 일반적으로 $ \mathrm{P}_{\mathrm{v}}(\mathrm{w}) \neq \mathrm{P}_{\mathrm{w}}(\mathrm{v}) $ 임을 보았는데 등식이 성립할 경우는 아주 제한된다. 실제로 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=0 $ 이면 $ P_{\mathrm{v}}(\mathrm{w})=\frac{\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}}{\|\mathrm{v}\|^{2}} \mathrm{v}=(0,0,0)=\frac{\mathrm{w} \cdot \mathrm{v}}{\|\mathrm{w}\|^{2}} \mathrm{w}=\mathrm{P}_{\mathrm{w}}(\mathrm{v}) $ 이고, $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w} \neq 0 $ 이면 $ P_{v}(w)=P_{w}(v) \Leftrightarrow \frac{v \cdot w}{\|v\|^{2}} v=\frac{w \cdot v}{\|w\|^{2}} w $ $ \Leftrightarrow \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|^{2}}=\frac{\mathrm{w}}{\|\mathrm{w}\|^{2}} $ $ \Leftrightarrow \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 는 같은 방향이고 $ \frac{1}{\|\mathrm{v}\|}=\frac{1}{\|\mathrm{w}\|} $ $ \Leftrightarrow \mathrm{v}=\mathrm{w} $이다. 그러므로 $ P_{v}(w)=P_{w}(v) \Leftrightarrow v=w $, 또는 $ v \cdot w=0 $ 이다.</p> <h1>1.3 직선과 평면의 방정식</h1> <p>주어진 벡터 $ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \neq(0,0,0) $ 에 평행이고 $ \mathrm{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) $ 를 지나는 직선 $ l $ 의 방정식을 구하여 보자. $ l $상의 점 $ \mathbf{x}=(x, y, z) $ 를 잡으면 $ \mathbf{x}-\mathrm{u} $는 $ \mathbf{v} $와 평행이므로, 적당한 실수 $ t $ 에 대하여 $ \mathrm{x}-\mathrm{u}=t \mathrm{v} $ 이다. 그러므로 직선의 벡터방정식은 $ \mathrm{x}=\mathrm{u}+t \mathrm{v}, t \in \mathrm{R} $로 나타낼 수 있다. 이 방정식을 좌표로 표현하면 $ (x, y, z)=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)+t\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) $ $ =\left(u_{1}+t v_{1}, u_{2}+t v_{2}, u_{3}+t v_{3}\right) $ $ \Rightarrow x=u_{1}+t v_{1}, y=u_{2}+t v_{2}, z=u_{3}+t v_{3} $라는 매개방정식을 얻고, 이로부터 $ x-u_{1}=t v_{1}, y-u_{2}=t v_{2}, z-u_{3}=t v_{3} $ $ \Rightarrow \frac{x-u_{1}}{v_{1}}=\frac{y-u_{2}}{v_{2}}=\frac{z-u_{3}}{v_{3}} $라는 직교방정식을 얻는다.</p> <h2>예 3.1</h2> <p>$ (2,-1,3) $ 에 평행이고 $ (3,1,-2) $ 를 지나는 직선의 벡터방정식은 $ \mathrm{x}=(3,1,-2)+t(2,-1,3)=(3+2 t, 1-t,-2+3 t) $이고 매개방정식과 직교방정식은 $ x=3+2 t, y=1-t, z=-2+3 t $, $ \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{3} $이다.</p> <h2>정리 3.2</h2> <p>$ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \neq(0,0,0) $에 평행이고 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $를 지나는 직선 $ l $에 대해서 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) $ 에서 $ l $까지 거리 $ d $는 다음과 같다.</p> <p>$ d=\frac{\left\|\mathrm{v} \times \overrightarrow{P_{0} P_{1}}\right\|}{\|\mathrm{v}\|} $</p> <h3>증명</h3> <p>다음 그림에서 $ d=\left\|\overrightarrow{P_{0} P_{1}}\right\| \sin \theta=\frac{\|\mathbf{v}\|\left\|\overrightarrow{P_{0} P_{1}}\right\| \sin \theta}{\|\mathrm{v}\|}=\frac{\left\|\mathbf{v} \times \overrightarrow{P_{0} P_{1}}\right\|}{\|\mathrm{v}\|} $이다.</p> <h2>예 3.3</h2> <p>$ (1,-2,2) $ 에 평행이고 $ (2,1,0) $ 를 지나는 직선의 매개방정식은 $ x=2+t, y=1-2 t, z=2 t $이고 점 $ (3,1,-2) $ 에서 이 직선까지 거리 $ d $ 는 $ \overrightarrow{P_{0} P_{1}}=(3,1,-2)-(2,1,0)=(1,0,-2) $ $ \Rightarrow \mathrm{v} \times \overrightarrow{P_{0} P_{1}}=(1,-2,2) \times(1,0,-2)=(4,4,2) $ $ \Rightarrow d=\frac{\|(1,-2,2) \times(1,0,-2)\|}{\|(1,-2,2)\|}=2 $이다.</p> <h2>예 3.4</h2> <p>$ \mathrm{u} \neq \mathrm{v} $ 일 때, $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 를 지나는 직선의 방정식을 구하여 보자. $ \mathrm{u} \neq \mathrm{v} $이므로 $ \mathrm{v}-\mathrm{u} \neq(0,0,0) $이고, 이 벡터는 구하는 직선에 평행임을 다음 그림에서 알 수 있다. 그리고 이 직선은 $ u $ 를 지나므로 직선의 벡터방정식은 $ \mathrm{x}=\mathrm{u}+t(\mathrm{v}-\mathrm{u})=(1-t) \mathrm{u}+t \mathrm{v} $이다.</p> <p>$ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 를 지나는 직선 $ \mathrm{x}=(1-t) \mathrm{u}+t \mathrm{v} $ 에서 $ \mathrm{v}-\mathrm{u} $ 의 길이를 고려하면 $ t $ 값에 따른 벡터 $ \mathrm{x}=(1-t) \mathrm{u}+t \mathrm{v} $ 의 직선에서 위치는 그림에서 보는 것과 같이 $ t<0 $ 일 때 $ \mathrm{u} $ 까지의 점, $ t=0 $ 일 때 $ u $,$ 0<t<1 $ 일 때 $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $ 사이의 점, $ t=1 $ 일 때 $ \mathbf{v} $, $ t>1 $ 일 때 $ \mathrm{v} $ 다음의 점임을 알 수 있다. 그리고 $ u, v $ 를 잇는 선분을 집합으로 표시하면 $ \{(1-t) \mathbf{u}+t \mathbf{v} \mid 0 \leq t \leq 1\} $이다.</p> <p>벡터 사이의 곱에 대해서 알아보자. 벡터 $ \mathrm { v } = \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ) $, $ \mathrm { w } = \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right ) $에 대해서 $ \mathbf { v } , \mathrm { w } $의 곱을 $ \left (v_ { 1 } w_ { 1 } , v_ { 2 } w_ { 2 } , v_ { 3 } w_ { 3 } \right ) $ 로 정의하면 그럴 듯하게 보이지만 수학적으로나 실질적인 문제에서는 거의 무용지물이기 때문에 사용하지 않는다. 기하학에서 아주 중요하게 사용되는 두 가지 유형의 벡터 사이의 곱이 있는데, 여기서 첫 번째 곱을 소개한다.</p> <h2>정의 1.2</h2> <p>벡터 $ \mathrm { v } = \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ), \mathrm { w } = \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right ) $ 의 내적(inner product) $ \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } $ 를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } =v_ { 1 } w_ { 1 } + v_ { 2 } w_ { 2 } + v_ { 3 } w_ { 3 } $</p> <p>내적은 벡터의 곱을 행하여 실수를 대응시키는 연산이고 내적의 정의로부터 다음의 성질을 쉽게 알 수 있다.</p> <p>$ \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 1 } =v_ { 1 } , \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 2 } =v_ { 2 } , \mathrm { v } \cdot \mathrm { e } _ { 3 } =v_ { 3 } $</p> <h1>$ 1.1 $ 벡터</h1> <p>실수 전체의 집합 $ \mathrm{R} $ 에 대해서 집합 $ \mathbf{R}^{2}=\left\{\left(v_{1}, v_{2}\right) \mid v_{i} \in \mathbf{R}\right\}, \mathbf{R}^{3}=\left\{\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \mid v_{i} \in \mathbf{R}\right\} $를 각각 Euclid 평면, Euclid 공간이라고 하고 이들의 원소를 각각 평면벡터, 공간벡터라고 한다. 벡터 $ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) $ 에 대해서 $ v_{1}, v_{2}, v_{3} $ 를 $ \mathrm{v} $ 의 성분이라고 한다. 이 책에서 다루는 벡터에 관한 대부분의 설명을 $ \mathrm{R}^{3} $에 대해서 주로 설명할 것이다. 평면벡터 $ \left(v_{1}, v_{2}\right) $는 $ \left(v_{1}, v_{2}, 0\right) $으로 보고 공간벡터처럼 다루면 $ \mathrm{R}^{3} $의 이론을 대부분 그대로 $ \mathrm{R}^{2} $에 적용할 수 있다. 그리고 대부분의 경우 평면벡터 또는 공간벡터는 주변 조건에서 구분되므로 그냥 벡터라고 한다. 특별히 구분할 필요가 있을 경우에만 추가로 언급할 것이다.</p> <p>두 벡터 $ \mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right), \mathrm{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) $와 실수 $ a $에 대해서 덧셈과 실수배를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \mathbf{v}+\mathbf{w}=\left(v_{1}+w_{1}, v_{2}+w_{2}, v_{3}+w_{3}\right), a \mathbf{v}=\left(a v_{1}, a v_{2}, a v_{3}\right) $</p> <p>즉, 벡터의 덧셈은 벡터의 각 성분들을 더하고, 실수배는 각 성분에 실수를 곱한다. $ \mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) $ 의 길이는 $ \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}} $으로 정의한다. 이는 원점 $ (0,0,0) $ 에서 벡터 $ \mathrm{v} $ 가 나타내는 점까지 거리이다. 임의의 실수 $ a $ 에 대해서 $ \|a \mathrm{v}\|=\sqrt{a^{2} v_{1}^{2}+a^{2} v_{2}^{2}+a^{2} v_{3}^{2}} $$ =\|a\| \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}=\|a\|\|\mathrm{v}\| $가 성립하므로 $ a \mathrm{v} $ 의 크기는 $ \mathrm{v} $ 의 $ \|a\| $ 배이다. 그리고 $ a \mathrm{v} $ 와 $ \mathrm{v} $ 는 성분비가 같으므로 방향이 같거나 $ (a>0) $ 반대 $ (a<0) $ 이다. 영벡터가 아닌 두 벡터 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $가 평행(parallel)이라는 것은 적당한 실수 $ a $ 에 대해서 $ \mathrm{v}=a \mathrm{w} $ 가 성립할 때, 즉 방향이 같거나 반대인 두 벡터를 말한다.</p> <p>길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 하며, 단위벡터는 다루기 편리하므로 기하학에서 많이 사용된다.</p> <p>그 중에서도 다음의 세 벡터 $ \mathrm{e}_{1}=(1,0,0), \mathrm{e}_{2}=(0,1,0), \mathrm{e}_{3}=(0,0,1) $이 많이 사용된다. 예를 들면, 임의의 벡터 $ \mathrm{v} $ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>$ \begin{aligned} \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) &=\left(v_{1}, 0,0\right)+\left(0, v_{2}, 0\right)+\left(0,0, v_{3}\right)=v_{1} \mathbf{e}_{1}+v_{2} \mathrm{e}_{2}+v_{3} \mathrm{e}_{3} \end{aligned} $</p> <p>그리고 영벡터가 아닌 임의의 벡터 $ \mathrm{v} $ 에 대해서 $ \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|} $는 $ \mathrm{v} $와 방향이 같은 단위벡터가 된다.</p> <h2>예 1.1</h2> <p>두 벡터 $ \mathrm{v}=(1,-2,4), \mathrm{w}=(-1,3,2) $ 에 대해서 $\begin{array}{l}\mathrm{v}+\mathrm{w}=(1+(-1),-2+3,4+2)=(0,1,6) , \frac{1}{2} \mathrm{v}=\left(\frac{1}{2},-1,2\right),\|\mathrm{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{21}\end{array}$이고, $ \mathrm{v} $ 방향의 단위벡터는 다음과 같다.</p> <p>$ \frac{\mathrm{v}}{\sqrt{21}}=\left(\frac{1}{\sqrt{21}},-\frac{2}{\sqrt{21}}, \frac{4}{\sqrt{21}}\right) $</p> <h1>1.2 벡터의 외적</h1> <p>벡터 $ \mathrm{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right), \mathrm{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) $ 에 대해서 다음과 같은 기호를 사용한다.</p> <p>$ M(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})=\left(\begin{array}{l}\mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{array}\right), D(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})=\left\|\begin{array}{l}\mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w}\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{lll}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3}\end{array}\right\| $</p> <p>$ D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}) \neq 0 $ 이면 행벡터들이 1 차독립이므로 $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 는 $ R^{3} $ 의 기저 (basis)가 된다. $ D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})>0 $ 일 때, 기저 $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 가 양의 방향이라고 하고 반대의 경우에는 음의 방향이라고 한다. 행렬식의 성질에서$ D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=D(\mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u})=D(\mathrm{w}, \mathrm{u}, \mathrm{v}) $ 이므로 기저 $ \{\mathbf{u}, \mathrm{v}, \mathbf{w}\},\{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathrm{u}\},\{\mathbf{w}, \mathrm{u}, \mathbf{v}\} $ 는 같은 방향을 갖는다. 기저 $ \{u, v, w\} $ 의 세 벡터가 서로 수직인 단위벡터일 때, 이 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다. 예를 들면 $ \left\{\mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}, \mathrm{e}_{3}\right\} $ 는 서로 수직인 단위벡터이고 $ D\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right)=\left\|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right\|=1 $ 이므로 양의 방향 정규직교기저이고, $ \left\{\mathrm{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1}\right\},\left\{\mathrm{e}_{3}, \mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2}\right\} $ 도 양의 방향 정규직교기저이다. 그리고 행렬식의 성질에 의해서 $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 가 양의 방향이면$ \{\mathrm{u}, \mathrm{v},-\mathrm{w}\} $는 음의 방향이다.</p> <h2>정리 2.1</h2> <p>$ \{u, v, w\} $ 가 정규직교기저일 때, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=\pm 1 $</p> <p>(2) $ a=x \mathrm{u}+y \mathrm{v}+z \mathrm{w} \Leftrightarrow x=a \cdot \mathrm{u}, y=a \cdot \mathrm{v}, z=a \cdot \mathrm{w} $</p> <h3>증명</h3> <p>(1) $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 가 정규직교기저이므로 $ M(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}) $와 그 전치행렬의 곱은 단위행렬임을 알 수 있다. 행렬식의 성질에서 $ [D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})]^{2}=1 $이므로 $ D(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})=\pm 1 $이다.</p> <p>(2) $ a \cdot \mathrm{u}=x(\mathrm{u} \cdot \mathrm{u})+y(\mathrm{v} \cdot \mathrm{u})+z(\mathrm{w} \cdot \mathrm{u})=x $이고 같은 방법으로 $ y=a \cdot \mathrm{v}, z=a \cdot \mathrm{w} $임을 증명할 수 있다.</p> <h2>예 2.2</h2> <p>벡터 $ (1,1,1),(1,-1,0),(1,1,-2) $ 는 $ \left\|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -2\end{array}\right\|=6 $ 이므로 $ \{(1,1,1),(1,-1,0),(1,1,-2)\} $ 는 양의 방향이다.그리고 $ (1,1,1) \cdot(1,-1,0)=0 $, $ (1,1,1) \cdot(1,1,-2)=0 $, $ (1,-1,0) \cdot(1,1,-2)=0 $이므로 서로 직교한다.</p> <p>한편, 벡터의 길이는 각각 $ \sqrt{3}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{6} $ 이므로 $ \mathrm{u}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$, $\mathrm{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$, $\mathrm{w}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2) $라고 두면 $ \{\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}\} $ 는 양의 방향 정규직교기저이고, 벡터 $ a=(2,-1,3) $ 는 $ a \cdot \mathrm{u}=\frac{4}{\sqrt{3}}, a \cdot \mathrm{v}=\frac{3}{\sqrt{2}}, a \cdot \mathrm{w}=-\frac{5}{\sqrt{6}} $이므로 $ a=\frac{4}{\sqrt{3}} \mathrm{u}+\frac{3}{\sqrt{2}} \mathrm{v}-\frac{5}{\sqrt{6}} \mathrm{w} $이다.</p>	자연
m749-선형대수학과 응용	<p>예제 3.21</p> <p>예제 3.20의 풀이과정에서 주어진 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 & 13 & 5 \end {array} \right ] $의 전치행렬 $ A ^ { t } $의 기저와 차원을 구해 정리 3.17의 결과를 조사하라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } B=A ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrrr } 1-1 & 0 & 1 \\-2 & 3 & 1 & 2 \\1 & 0 & 1 & 5 \\1 & 2 & 3 & 13 \\ 2-2 & 4 & 5 \end {array} \right ] ; \\B_ { (2) } + 2 B_ { (1) } , B_ { (3) } -B_ { (1) } , B_ { (3) } -B_ { (1) } , B_ { (5) } -2 _ { (1) } :: \left [ \begin {array} { llrr } 1-1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 3 & 3 & 12 \\0 & 0 & 4 & 3 \end {array} \right ] \\B_ { (3) } -B_ { (2) } , B_ { (4) } -3 B_ { (2) } , B_ { (5) } \leftrightarrow B_ { (3) } :: \left [ \begin {array} { llll } 1-1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 0 & 4 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \end {array} \] 최종적으로 얻어진 $ A ^ { t } $의 행사다리꼴 형태로부터 $ u_ { 1 } =(1,-1,0,1), u_ { 2 } = $ $ (0,1,1,4), u_ { 3 } =(0,0,4,3) $에 대해 $ A ^ { t } $의 기저는 $ \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} $이고, $ \operatorname { dim } \left (A ^ { t } \right )=3 $이다. 따라서 A의 열계수는 3이고, 또한 예제 3.20으로부터 A의 행계수가 3이므로 A의 행계수와 열계수는 서로 일치한다.</p> <p>풀이</p> <p>A의 행공간은 A의 행 $ A_ { (1) } $과 $ A_ { (2) } $의 일차결합 \[a_ { 1 } A_ { (1) } + a_ { 2 } A_ { (2) } =a_ { 1 } \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \end {array} \right ] + a_ { 2 } \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } a_ { 1 } & a_ { 2 } & 0 \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { 3 } \]의 집합이므로 A의 행공간은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 2차원 부분공간을 이룬다. 한편, A의 열공간은 A의 열 $ A ^ { (1) } , A ^ { (2) } $와 $ A ^ { (3) } $의 일차결합 \[a_ { 1 } A ^ { (1) } + a_ { 2 } A ^ { (2) } + a_ { 3 } A ^ { (3) } =a_ { 1 } \left [ \begin {array} { l } 1 \\0 \end {array} \right ] + a_ { 2 } \left [ \begin {array} { l } 0 \\1 \end {array} \right ] + a_ { 3 } \left [ \begin {array} { l } 0 \\0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } a_ { 1 } \\a_ { 2 } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { 2 } \]이므로 A의 열공간은 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $이다.</p> <p>정리 3.16</p> <p>행동치인 두 행렬은 같은 행공간을 갖는다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>$ A \sim { } _ { r } B $이면 B는 A에 기본연산을 유한 번 시행하여 얻어지므로 B의 각 행은 A의 행의 일차결합으로 나타난다. 따라서 B의 행공간은 A의 행공간의 부분공간이다. 위와 마찬가지로 $ A \sim { } _ { r } B $이면 $ B \sim { } _ { r } A $이므로 A의 행공간은 B의 행공간의 부분공간을 이룬다.</p> <h2>벡터공간의 직합</h2> <p>벡터공간 V의 두 부분공간 U와 W에 대해서 $ U \cap W= \{ 0 \} $이고 V의 모든 원소가 U와 W의 원소의 합으로 유일하게 표현되면 V를 U와 W의 직합(direct sum)이라 하고 \[V=U \oplus W \]로 나타낸다.</p> <p>정리 3.13</p> <p>벡터공간 V의 두 부분공간 U와 W에 대해 다음이 성립한다. \[V=U \oplus W \Rightarrow \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } W \]</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>U의 기저를 $ C= \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { p } \right \} $라 하고 W의 기저를 $ D= \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { q } \right \} $ 라 할 때 $ C \cup D $ 가 V의 기저를 이룸을 보이면 충분하다. 먼저 $ v \in V $ 이면 V가 U와 W의 직합이므로 \[ v=u + w,(u \in U, w \in W) \]로 쓸 수 있고 이때 C가 U의 기저, D가 W의 기저이므로 \[ u= \sum_ { i=1 } ^ { p } a_ { i } u_ { i } , v= \sum_ { i=1 } ^ { Q } b_ { i } w_ { i } , \quad \left (a_ { i } , b_ { i } : \text { 스칼라 } \right ) \]이고 \[v=u + w= \left (a_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + a_ { p } u_ { p } \right ) + \left (b_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + b_ { q } w_ { q } \right ) \]이므로 $ C \cup D $는 V를 생성한다. 한편 \[ \left (a_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + a_ { p } u_ { p } \right ) + \left (b_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + b_ { q } w_ { q } \right )=0 \]이라면 \[ \left (a_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + a_ { p } u_ { p } \right )=- \left (b_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + b_ { q } w_ { q } \right ) \in U \cap W= \{ 0 \} \]이므로 \[ \left (a_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + a_ { p } u_ { p } \right )= \left (b_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + b_ { q } w_ { q } \right )=0 \]이고, 이때 C와 D가 각각 일차독립이므로 \[a_ { 1 } = \cdots=a_ { p } =0, b_ { 1 } = \cdots=b_ { q } =0 \]이 되어 $ C \cup D $는 일차독립이다. 따라서 $ C \cup D $는 V의 기저를 이룬다.</p> <p>$ \Pi $가 $ \mathbb { R } ^ { n } $상의 m차원 평면이고 V가 $ \Pi $에 평행한 부분공간이면 한 점 $ a_ { 0 } \in \Pi $에 대해서 $ V= \Pi- \left \{ a_ { 0 } \right \} $가 m차원 부분공간이므로 $ V= \Pi- \left \{ a_ { 0 } \right \} $가 m개의 일차독립인 벡터 $ a_ { 1 } -a_ { 0 } $, $ \cdots, a_ { m } -a_ { 0 } $에 의해서 생성되는 점 $ a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } $이 $ \mathbb { R } ^ { n } $에 존재한다. 따라서 \[ \Pi- \left \{ a_ { 0 } \right \} =V= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \mid x= \sum_ { j=1 } ^ { m } t_ { j } \left (a_ { j } -a_ { 0 } \right ), \left (t_ { j } \in \mathbb { R } \right ) \right \} \]이므로 평면 $ \Pi $는 \[ \Pi= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \mid x=a_ { 0 } + \sum_ { j=1 } ^ { m } t_ { j } \left (a_ { j } -a_ { 0 } \right ), \left (t_ { j } \in \mathbb { R } \right ) \right \} , \] 또는 $ t_ { 0 } =1- \sum_ { j=1 } ^ { m } t_ { j } $를 써서 \[ \Pi= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \mid x= \sum_ { j=0 } ^ { m } t_ { j } a_ { j } , \sum_ { j=0 } ^ { m } t_ { j } =1 \right \} \]로 쓸 수 있다. 이는 $ m + 1 $개의 점 $ \left \{ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } \right \} $에 의해 생성되는 평면을 나타낸다.</p> <p>그리고 u와 v가 서로 평행하지 않은 두 n-벡터이면 \[S P \langle u, v \rangle= \{ s u + t v \mid s, t \in \mathbb { R } \} \]는 그림 3.3에서와 같이 u와 v를 품는 평면을 나타낸다.</p> <p>예제 3.7</p> <p>$ u=(2,1,0) $과 $ v=(0,1,2) $를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 두 벡터라고 할 때 $ W=S P \langle u, v \rangle $를 결정하고 W를 기하학적으로 해석하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x=(x, y, z) \in W $일 필요충분조건은 $ x=s u + t v $인 스칼라 s와 t가 존재하는 것이다. 따라서 \[(x, y, z)=s(2,1,0) + t(0,1,2)=(2 s, s + t, 2 t) \]가 되어 $ x=2 s, y=s + t, z=2 t $이다. 여기서 s와 t를 소거해서 $ 2 y=x + z $를 얻는다. 이것은 u와 v를 품는 평면 \[x-2 y + z=0 \]을 나타낸다.</p> <h1>3.2 기저와 차원, 좌표</h1> <p>공간기하에서 중요한 두 개념은 차원과 좌표의 사용이다. 공간 $ \mathbb { R } ^ { n } $은 n차원이고 $ \mathbb { R } ^ { n } $에서 주어진 벡터의 각 성분은 좌표성분을 나타낸다. 이러한 생각을 일반적인 벡터공간으로 확장하기 위해 필요한 개념이 벡터공간의 기저이다. 이를테면 벡터공간에서의 기저는 그 벡터공간에 대한 좌표계를 설정하기 위해 쓰일 수 있다. 결과적으로 n 개의 기저에 의해 생성된 벡터공간은 본질적으로는 $ \mathbb { R } ^ { n } $과 같은 역할을 한다고 볼 수 있다. 또한 통상적으로 차원은 기하학적 의미를 연상시키지만 기저를 통해 차원에 대한 적절한 대수적 의미를 부여하게 되면 보다 탄력적으로 벡터공간을 이해하고 활용할 수 있게 될 것이다.</p> <p>V를 벡터공간이라 하고 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $을 V의 원소라 하자. 만약 방정식 \[ k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } =0 \]을 만족하는 모두는 0이 아닌 스칼라 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots, k_ { m } $ 이 존재하게 되면 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \} $을 일차종속(linearly dependent)이라고 하고 그렇지 않은 경우 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 다시 말해서 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \} $이 일차독립일 필요충분조건은 \[k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } =0 \Leftrightarrow k_ { 1 } =k_ { 2 } = \cdots=k_ { m } =0 \]이다.</p> <p>로 정의하면 C([a, b])가 벡터공간의 모든 성질을 만족한다는 것을 십게 보일 수 있다. 따라서 C([a, b])는 벡터공간이다.</p> <p>다음 정리는 벡터공간을 정의하는 연산으로부터 쉽게 유도된다.</p> <p>정리 3.4</p> <p>V는 벡터공간, $ u \in V, k $는 스칼라일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ 0 u=0 $</li> <li>$ k 0=0 $</li> <li>$ k u=0 $이면 $ k=0 $, 또는 $ u=0 $</li></ol> <p>\|증명 \|</p> <ol type= start=1><li>$ 0=0 + 0 $ 이므로 $ 0 u + 0 u=(0 + 0) u=0 u $ \[ \begin {aligned} (0 u + 0 u) + (-0 u)=0 u + (-0 u) \\ & \Rightarrow 0 u + (0 u-0 u)=0 u-0 u \\ & \Rightarrow 0 u + 0=0 \\ & \Rightarrow 0 u=0 \end {aligned} \]</li> <li>\[ \begin {array} { l } 0 + 0=0 \text { 이므로 } k 0 + k 0=k(0 + 0)=k 0 . \\ \text { 양변에 } -k 0 \text { 을 더하면 } \\ (k 0 + k 0)-k 0=k 0-k 0=0 \\ \Rightarrow k 0 + (k 0-k 0)=0 \\ \Rightarrow k 0 + 0=0 \\ \Rightarrow k 0=0 \end {array} \]</li> <li>$ k \neq 0 $이면 $ k ^ { -1 } k=1 $인 스칼라 $ k ^ { -1 } $이 존재하므로 \[u=1 u= \left (k ^ { -1 } k \right ) u=k ^ { -1 } (k u)=k ^ { -1 } 0=0 \]</li></ol> <p>V를 벡터공간이라고 하자. V의 부분집합 W가 다시 벡터공간이 될 때 W를 벡터공간 V의 부분명 (subspace)이라고 한다.</p> <p>정리 3.5</p> <p>W가 벡터공간 V의 부분집합일 때 W가 V의 부분공간이 될 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족할 때이다.</p> <ul> <li>(S1) $ u, v \in W $이면 $ u + v \in W $</li> <li>(S2) $ u \in W $이면 스칼라 $ k $에 대해 $ k u \in W $</li></ul> <p>\|증명 \|</p> <p>W가 V의 부분공간이면 W는 벡터공간이므로 벡터공간의 정의에서 모든 조건을 만족하므로 조건 (S1), (S2)는 성립한다. 역으로 조건 $ ( \mathrm { S } 1),( \mathrm { S } 2) $ 가 성립한다면 W가 V의 부분집합이므로 가법에서 영원소와 역원의 존재를 빼고는 벡터공간의 모든 성질이 성립한다. 이제 $ w \in W $라고 하면 조건 $ ( \mathrm { S } 2) $에 의해 $ 0 w=0 \in W $ 이고 모든 $ w \in W $에 대해 $ w + 0=w $가 성립한다. 또한 $ w \in W $ 이면 $ (-1) w=-w \in W $ 이고 $ w-w=0 $ 이 성립한다. 따라서 W는 부분공간을 이룬다.</p> <p>행렬 A의 영공간 N(A)의 차원을 A의 영계수(nullity)라 하고 $ \operatorname { nullity } (A) $로 나타낸다.</p> <p>보조정리 3.18</p> <p>$ A \in M_ { m, n } $에 대해 다음이 성립한다. \[n= \operatorname { rank } (A) + \mathrm { nullity } (A) \]</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>N(A)는 제차연립방정식 $ A x=0 $의 해공간이다. 첨가행렬 $ \left [ \begin {array} { lll } A & 0 \end {array} \right ] { } _ { r } \left [ \begin {array} { lll } B & 0 \end {array} \right ] $이 대응하는 행사다리꼴이라면 B의 k개의 0이 아닌 행은 A의 행공간의 기저를 이루고, n-k개의 자유변수가 N(A)의 기저를 생성한다. 따라서 A의 영계수는 제차연립방정식의 자유변수의 수 n-k 와 같으므로 다음 관계가 성립한다. \[n=(k) + (n-k)= \operatorname { rank } (A) + \mathrm { nullity } (A) \]</p> <p>예제 3.22</p> <p>다음 행렬의 영계수와 계수를 구하고 보조정리 3.18을 검증하라. \[A= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 5 & 4 \\1 & 2 & 4 & -1 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이</p> <p>이므로 $ A x=0 $은 2 개의 자유변수를 가지므로 A의 영계수는 2이다. 또한 행사다리꼴로부터 A는 2개의 일차독립인 행벡터를 가지므로 A의 계수는 2이다. 따라서 \[ \operatorname { rank } (A) + \mathrm { nullity } (A)=2 + 2=4 \]가 성립한다.</p> <p>다음 정리는 연립일차방정식의 해의 존재성과 시스템행렬의 계수 사이의 관계를 보여준다.</p> <p>정리 3.19</p> <p>$ m \times n $ 연립일차방정식 $ A x=b $가 해를 가질 필요충분조건은 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } \left ( \left [ \begin {array} { ll } A & b \end {array} \right ] \right ) \]이다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>A가 $ m \times n $ 행렬이면 m차원 열벡터 b에 대해서 연립일차방정식 $ A x=b $는 \[x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } =b \]의 형태로 나타낼 수 있으므로 방정식이 해를 가질 필요충분조건은 b가 A의 열공간에 속할 때이다. 따라서 $ b \in S P \left \langle A ^ { (1) } A ^ { (2) } \cdots A ^ { (n) } \right \rangle $ 일 때이므로 \[S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } , b \right \rangle=S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } \right \rangle . \] 즉 $ A x=b $가 해를 가질 필요충분조건은 \[ \begin {aligned} \operatorname { rank } ([A \vdots b]) &= \operatorname { dim } \left (S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } , b \right \rangle \right ) \\ &= \operatorname { dim } \left (S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, ^ { (n) } \right \rangle \right )= \operatorname { rank } (A) \end {aligned} \]</p> <p>예제 3.28</p> <p>연립일차방정식 \[ \begin {aligned} x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } + x_ { 3 } -x_ { 4 } &=1 \\2 x_ { 1 } + 6 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } &=2 \\ -x_ { 1 } -3 x_ { 2 } + \quad 3 x_ { 4 } &=-1 \end {aligned} \]은 \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 3 & 1 & -1 \\2 & 6 & 3 & 0 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\x_ { 2 } \\x_ { 3 } \\x_ { 4 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\2 \\-1 \end {array} \right ] \]으로 나타낼 수 있고 시스템행렬 $ A $ 의 첫 번째 열과 b가 일치하므로 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } \left ( \left [ \begin {array} { ll } A & \vdots \\b \end {array} \right ] \right ) \]가 되어 정리 3.19에 의해 연립방정식의 해가 존재한다. 실제 해를 구성하기 위해 첨가행렬에 기본행연산을 적용하면 \[ \left [ \begin {array} { rrrr:r } 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\2 & 6 & 3 & 0 & 1 \\-1 & -3 & 0 & 3 & -1 \end {array} \right ] \sim_ { r } \left [ \begin {array} { rrrr:r } 1 & 3 & 1 & -1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]이므로 자유변수 $ x_ { 2 } =s, x_ { 4 } =t $에 대해 \[ \begin {array} { l } x_ { 3 } =-2 x_ { 4 } =-2 t, \\ x_ { 1 } =1-3 x_ { 2 } -x_ { 3 } + x_ { 4 } =1-3 s + 3 t \end {array} \]</p> <p>정리 3,3</p> <p>a와 u가 영벡터가 아닌 n-벡터일 때 a의 u위로의 정사영은 다음과 같다. \[ \operatorname { Pr } _ { u } (a)= \left ( \frac { a \cdot u } { u \cdot u } \right ) u= \left (a \cdot \frac { u } {\\|u \\| } \right ) \frac { u } {\\|u \\| } \]</p> <p>$ \operatorname { Pr } _ { u } (a) $가 u와 같은 방향의 벡터이므로 $ \operatorname { Pr } _ { u } (a)=k u,(k>0) $로 쓸 수 있다. 여기에서 $ k $ 를 구하기 위해 그림 3.1에서와 같이 a-k u와 u가 서로 수직이라는 사실을 이용하면 \[0=(a-k u) \cdot u=a \cdot u-k(u \cdot u) \]가 되어 $ k= \frac { a \cdot u } { u \cdot u } $이므로 정사영의 형식이 결정된다.</p> <p>예제 3.1</p> <p>$ a=(1,-2,3), u=(2,1,4) $ 에 대하여 $ \operatorname { Pr } _ { u } (a) $ 를 구하라. \[ \begin {array} { l } a \cdot u=(1)(2) + (-2)(1) + (3)(4)=12, \\u \cdot u=2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } =21 . \\ 따라서 \operatorname { Pr } _ { u } (a)= \left ( \frac { a \cdot u } { u \cdot u } \right ) u= \frac { 4 } { 7 } u= \left ( \frac { 8 } { 7 } , \frac { 4 } { 7 } , \frac { 16 } { 7 } \right ) . \end {array} \]</p> <p>n개의 순서쌍으로 된 벡터를 행렬에서는 행렬의 곱을 고려하여 n-차원 열벡터로 간주한다. 이러한 경우에 $ u, v \in \mathbb { R } ^ { n } $ 와 스칼라 $ k $ 에 대해서 대응하는 벡터의 연산은 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } u= \left [ \begin {array} { c } u_ { 1 } \\u_ { 2 } \\ \vdots \\u_ { n } \end {array} \right ], v= \left [ \begin {array} { c } v_ { 1 } \\v_ { 2 } \\ \vdots \\v_ { n } \end {array} \right ], u + v= \left [ \begin {array} { c } u_ { 1 } + v_ { 1 } \\u_ { 2 } + v_ { 2 } \\ \vdots \\ u_ { n } + v_ { n } \end {array} \right ], k u= \left [ \begin {array} { c } k u_ { 1 } \\k u_ { 2 } \\ \vdots \\k u_ { n } \end {array} \right ] \text { , } \\u \cdot v=u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } = \left [ \begin {array} { lll } v_ { 1 } & v_ { 2 } \cdots & v_ { n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } u_ { 1 } \\u_ { 2 } \\ \vdots \\u_ { n } \end {array} \right ]=v ^ { t } u . \\ \end {array} \] n-벡터는 두 벡터의 합과 스칼라 곱이 다시 n-벡터인 성질을 가지고 있다. 이와 같이 주어진 집합에서 정의된 연산의 결과가 다시 주어진 집합에 속하는 성질을 가지고 있을 때 집합은 연산에 의해 만하읻 (closed)고 한다. 예를 들면 $ \mathbb { R } ^ { n } $은 합과 스칼라 곱에 의해 닫혀있다.</p> <p>(2) $ u=(-1) v_ { 1 } + 3 v_ { 2 } + 2 v_ { 3 } =(11,31,7) $.</p> <p>예제 3.17</p> <p>$ V=M_ { 2,2 } $를 $ 2 \times 2 $ 행렬의 벡터공간이라 하자. \[E_ { 11 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 0 \end {array} \right ], E_ { 12 } = \left [ \begin {array} { ll } 0 & 1 \\0 & 0 \end {array} \right ], \quadE_ { 21 } = \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\1 & 0 \end {array} \right ], \quad E_ { 22 } = \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \]에 대해서 $ V $의 기저의 집합을 순서를 두어 \[S= \left \{ E_ { 11 } , E_ { 12 } , E_ { 21 } , E_ { 22 } \right \} , \quad \tilde { S } = \left \{ E_ { 11 } , E_ { 21 } , E_ { 12 } , E_ { 22 } \right \} \]일 때, 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rr } 2 & -1 \\ -3 & 4 \end {array} \right ] $에 대해 좌표행렬 $ [A]_ { S } $ 와 $ [A]_ {\tilde { S } } $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} A &=2 E_ { 11 } -E_ { 12 } -3 E_ { 21 } + 4 E_ { 22 } \\&=2 E_ { 11 } -3 E_ { 21 } -E_ { 12 } + 4 E_ { 22 } \end {aligned} \]이므로 \[[A]_ { S } = \left [ \begin {array} { r } 2 \\-1 \\-3 \\4 \end {array} \right ], quad[A]_ {\tilde { S } } = \left [ \begin {array} { r } 2 \\-3 \\-1 \\4 \end {array} \right ] . \]</p> <p>예제 3.15</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $에서 세 점 (1,0,0),(0,1,0)과 (0,0,1)을 지나는 평면을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>평면상의 임의의 점을 $ x=(x, y, z) $라 하면 \[x=t_ { 0 } (1,0,0) + t_ { 1 } (0,1,0) + t_ { 2 } (0,0,1), \quad t_ { 0 } + t_ { 1 } + t_ { 2 } =1 \]을 만족한다. 따라서 $ x=(x, y, z)= \left (t_ { 0 } , t_ { 1 } , t_ { 2 } \right ) $의 결과를 $ t_ { 0 } + t_ { 1 } + t_ { 2 } =1 $에 대입하면 세 점을 지나는 평면 $ x + y + z=1 $을 얻는다.</p> <p>평면의 구성에서 $ m + 1 $ 개의 점들이 적절한 의미에서 독립적으로 배치되지 않으면 차원이 m보다 작은 평면을 구성할 수 있다. 예를 들어 한 직선 상에 놓이는 세 점은 2차원 평면을 결정하지 않고 다만 직선을 생성한다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $상의 $ m + 1 $개의 점 $ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } $은 다음 조건을 만족하는 모두는 0이 아닌 실수 $ t_ { 0 } , t_ { 1 } , \cdots, t_ { m } $이 존재하면 아핀종속(affinely dependent)이라고 하고, 그렇지 않으면 아핀독립(affinely independent)이라고 한다. \[ \sum_ { j=0 } ^ { m } t_ { j } a_ { j } =0, \quad \sum_ { j=0 } ^ { m } t_ { j } =0 \]</p> <p>그러면 $ m + 1 $ 개의 점으로 구성되는 $ m $ 차원 평면에 대한 다음 상등조건이 성립함을 보이는 것은 그다지 어렵지 않다.</p> <p>정리 3.14</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $에서 택한 $ m + 1 $개의 점 $ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } $에 대해서 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$ \left \{ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } \right \} $은 아핀독립이다.</li> <li>$ \left \{ a_ { 1 } -a_ { 0 } , \cdots, a_ { m } -a_ { 0 } \right \} $은 일차독립이다.</li> <li>$ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } $은 m차원 평면을 결정한다.</li> <li>$ \left \{\left (a_ { 0 } , 1 \right ), \left (a_ { 1 } , 1 \right ), \cdots, \left (a_ { m } , 1 \right ) \right \} $은 $ \mathbb { R } ^ { n + 1 } $ 에서 일차독립이다.</li></ol> <p>평면을 구성하는 다른 수단으로는 평면에 수직인 방향을 택하는 방법이 있다. 이에 대해서는 5.2절을 참고하라.</p> <p>풀이</p> <p>V에 있는 임의의 벡터 $ x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right ) $는 \[x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right )= \left (-2 x_ { 3 } , x_ { 3 } , x_ { 3 } \right )=x_ { 3 } (-2,1,1) \]로 쓸 수 있으므로 $ v=(-2,1,1) $에 대해 $ S P \langle v \rangle=V $이다. 따라서 $ v=(-2,1,1) $ 은 V의 기저이고 $ \operatorname { dim } (V)=1 $이다.</p> <p>예제 3.12</p> <p>다음 제차연립방정식의 해공간의 기저와 차원을 구하라. \[ \begin {aligned} x_ { 1 } + x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } + x_ { 4 } &=0 \\2 x_ { 1 } + x_ { 2 } + 5 x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } &=0 \\x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } -x_ { 4 } &=0 \end {aligned} \]</p> <p>풀이</p> <p>시스템행렬에 기본행연산을 적용하면 \[A= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 3 & 1 \\2 & 1 & 5 & 4 \\1 & 2 & 4 & -1 \end {array} \right ] \sim_ { r } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 3 & 1 \\0 & -1 & -1 & 2 \\0 & 1 & 1 & -2 \end {array} \right ] \sim_ { r } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 3 & 1 \\0 & 1 & 1 & -2 \\0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]이다. 따라서 자유변수 $ x_ { 3 } =s, x_ { 4 } =t $에 대해 제차연립방정식의 해는 \[x= \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\x_ { 2 } \\x_ { 3 } \\x_ { 4 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } -2 s-3 t \\-s + 2 t \\s \\t \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -2 \\-1 \\1 \\0 \end {array} \right ] s + \left [ \begin {array} { r } -3 \\2 \\0 \\1 \end {array} \right ] t,(s, t \in \mathbb { R } ) \]로 구성된다. 따라서 $ u=(-2,-1,1,0), v=(-3,2,0,1) $이라 하면 제차 방정식의 해공간은 일차독립인 두 벡터 u와 v에 의해 생성되므로 u, v는 해공간의 기저이고 해공간의 차원은 2이다.</p> <p>예제 3.20</p> <p>주어진 벡터 $ v_ { 1 } =(1,-2,1,1,2), v_ { 2 } =(-1,3,0,2,-2), \quad v_ { 3 } =(0,1 $, $ 1,3,4), v_ { 4 } =(1,2,5,13,5) $에 의해서 생성되는 $ \mathbb { R } ^ { 5 } $의 부분공간 W의 기저와 차원을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } , v_ { 4 } $를 각 행으로 하는 $ 4 \times 5 $ 행렬 A를 구성한 후, 행사다리꼴로 변환하면 영이 아닌 행으로 구성된 벡터가 W의 기저를 이룬다. \[ \begin {array} { l } A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\-1 & 3 & 0 & 2 & -2 \\0 & 1 & 1 & 3 & 4 \\1 & 2 & 5 & 13 & 5 \end {array} \right ] ; \\A_ { (2) } + A_ { (1) } , A_ { (4) } -A_ { (1) } :: \left [ \begin {array} { lrrrr } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\0 & 1 & 1 & 3 & 4 \\0 & 4 & 4 & 12 & 3 \end {array} \right ] \\A_ { (3) } -A_ { (2) } , A_ { (4) } -4 A_ { (2) } :: \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end {array} \right ] \\ \frac { 1 } { 4 } A_ { (3) } , A_ { (4) } -3 A_ { (3) } :: \\{\left [ \begin {array} { lllll } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] } \end {array} \] 따라서 $ w_ { 1 } =(1,-2,1,1,2), \quad w_ { 2 } =(0,1,1,3,0), w_ { 3 } =(0,0,0,0,1) $ 에 대해 W의 기저는 $ \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right \} $이고 $ \operatorname { dim } (W)=3 $이다.</p> <p>예제 3.8</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 두 벡터 $ u=(1,1) $와 $ v=(2,4) $는 일차독립임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ k_ { 1 } u + k_ { 2 } v=0 $으로 두면 \[ \begin {array} { l } k_ { 1 } (1,1) + k_ { 2 } (2,4)=(0,0) \\ \Rightarrow \left (k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } , k_ { 1 } + 4 k_ { 2 } \right )=(0,0) \\ \Rightarrow \left \{\begin {array} { l } k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } =0 \\k_ { 1 } + 4 k_ { 2 } =0 \end {array} \right . \\ \Rightarrow \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\1 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } k_ { 1 } \\k_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\0 \end {array} \right ] \end {array} \] 이고, 시스템의 행렬식이 $ \left \| \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 1 & 4 \end {array} \right \|=2 \neq 0 $이므로 $ k_ { 1 } =k_ { 2 } =0 $이다. 따라서 u와 v는 일차독립이다.</p> <p>예제 3.9</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 세 벡터 $ u=(1,-2,1), v=(2,1,-1), w=(7,-4,1) $가 일차독립인지 조사하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ k_ { 1 } u + k_ { 2 } v + k_ { 3 } w=0 $이면 \[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 7 \\-2 & 1 & -4 \\1 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } k_ { 1 } \\k_ { 2 } \\k_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\0 \\0 \end {array} \right ] \]이고, 시스템행렬을 동치인 행사다리꼴로 변환하면 \[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 7 \\0 & 5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]이므로 대응하는 연립방정식은 0이 아닌 해를 갖는다. 따라서 주어진 벡터는 일차종속이다.</p> <p>보조정리 3.8</p> <p>$ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \} $이 일차종속일 필요충분조건은 한 벡터가 그 이전 벡터들의 일차결합으로 표현될 때이다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>먼저 한 벡터 $ v_ { i } $가 그 이전 벡터들의 일차결합으로 표현되면 모두는 0이 아닌 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots, k_ { i-1 } $이 있어서 \[v_ { i } =k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { i-1 } v_ { i-1 } \]이므로 \[k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { i-1 } v_ { i-1 } -v_ { i } + 0 v_ { i + 1 } + \cdots + 0 v_ { m } =0 \]이 성립한다. 따라서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $은 일차종속이다. 역으로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $가 일차종속이면 모두는 0이 아닌 스칼라 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots $, $ k_ { m } $이 있어서 \[k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } =0 \]이 성립하므로 0이 아닌 스칼라 중 제일 마지막 것을 $ k_ { i } $라면 \[ v_ { i } =- \sum_ { j=1 } ^ { i-1 } \left ( \frac { k_ { j } } { k_ { i } } \right ) v_ { j } \]이므로 $ v_ { i } $는 그 이전 벡터들의 일차결합으로 표현된다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>$ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $ 가 일차독립인 최대의 부분집합이므로 $ i=k + 1, \cdots, n $에 대해 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } , v_ { i } $는 일차종속이다. 따라서 모두는 0이 아닌 스칼라 $ s_ { 1 } $, $ s_ { 2 } , \cdots, s_ { k } $와 t가 있어서 \[s_ { 1 } v_ { 1 } + s_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + s_ { k } v_ { k } + t v_ { i } =0 \]이다. 만약 $ t=0 $이라면 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $가 일차독립이므로 \[s_ { 1 } =s_ { 2 } = \cdots=s_ { k } =0 \]이 되어 가정에 모순된다. 따라서 $ t \neq 0 $이고 위 식을 $ v_ { i } $로 풀어쓰면 \[v_ { i } =- \sum_ { j=1 } ^ { k } \left ( \frac { s_ { j } } { t } \right ) v_ { j } \]가 되어 각 $ k + 1 \leq i \leq n $ 에 대해 $ v_ { i } $는 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $의 일차결합으로 표현된다. 따라서 $ S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle \supset S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle=V $가 되어 $ S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle=V $이다.</p> <h1>3.1 벡터와 벡터공간</h1> <p>n개의 실수 성분을 갖는 순서쌍 $ \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $ 전체의 집합을 n-공간(n-dimensional space)이라고 하며 $ \mathbb { R } ^ { n } $으로 표시한다. 이때 각 순서쌍을 n-공간의 점, 또는 n-벡터(n-vector)라고 한다. 표현의 관례상 굵은 소문자를 써서 벡터를 나타낸다. 이에 따라 $ u = \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots \right . $, $ \left .u_ { n } \right ) $은 n-벡터이며 $ u_ { i } $는 벡터 u의 i번째 (component)이라고 한다.</p> <p>이제 벡터의 기본연산을 소개하자. $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $와 $ v= \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right ) $ 를 두 n-벡터라고 하자. 두 벡터 u와 v는 대응하는 성분이 서로 일치할 때 상등한 벡터로 정의한다. 즉</p> <p>$ u=v \Leftrightarrow u_ { 1 } =v_ { 1 } , u_ { 2 } =v_ { 2 } , \cdots, u_ { n } =v_ { n } $</p> <p>(sum) u + v는 대응하는 성분의 합으로 정의되는 새로운 벡터이다. \[u + v= \left (u_ { 1 } + v_ { 1 } , u_ { 2 } + v_ { 2 } , \cdots, u_ { n } + v_ { n } \right ) \] 모든 성분이 0 인 벡터를 $ 0=(0,0, \cdots, 0) $ 으로 표시하고 앵 (zero vector)라고 부른다. 벡터의 유용한 연산으로 비디의 스기라 (scalar multiplication)을 들 수 있다. $ k $ 가 실수이고 $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $ 가 $ n $-벡터일 때, $ u $ 의 스칼라 곱 $ k u $ 는 다음과 같이 $ k $ 와 $ u $ 의 성분의 곱으로 정의한다. \[k u= \left (k u_ { 1 } , k u_ { 2 } , \cdots, k u_ { n } \right ) \] 여기서 $ (-1) u $ 를 $ -u $ 로 정의하고 $ u + (-v) $ 를 $ u-v $ 로 정의하자. 이러한 정의로부터 벡터의 연산에 관한 다음 성질을 유도하는 것은 그다지 어렵지 않다.</p> <p>A의 행공간의 차원을 (row rank)라 하고, 열공간의 차원을 여개 (column rank)라고 한다. 정리 3.17에서와 같이 주어진 행렬의 행계수는 열계수와 일치하므로 이때 행계수, 또는 열계수를 구분 없이 주어진 행렬의 (rank)라고 하고 행렬 A의 계수를 $ \operatorname { rank } (A) $로 정의한다. 정리 3.16에 의해 행렬을 행사다리꼴로 변환하면 이때 영이 아닌 행은 일차독립으로 행공간의 기저를 이룬다. 따라서 주어진 행렬의 계수는 이 기저의 수와 같다.</p> <p>예제 3.19</p> <p>$ 3 \times 4 $ 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 5-3 \\ 2 & 3 & 1-4 \\ 3 & 8 & -3-5 \end {array} \right ] $의 행공간의 기저와 계수를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>기본행연산을 적용하여 A를 동치인 행사다리꼴로 변환한다. \[ \begin {array} { l } A_ { (2) } -2 A_ { (1) } , A_ { (3) } -3 A_ { (1) } :: \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 5 & -3 \\0 & 7 & -9 & 2 \\0 & 14 & -18 & 4 \end {array} \right ] \\A_ { (3) } -2 A_ { (2) } :: \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 5 & -3 \\0 & 7 & -9 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ]:= \hat { A } \\ \end {array} \] $ A \sim { } _ { r } \hat { A } $이고 A의 행공간은 $ \hat { A } $의 행공간과 같으므로 A의 행공간의 기저는 행사다리꼴 $ \hat { A } $의 영이 아닌 두 행이 이루는 벡터 \[v_ { 1 } =(1,-2,5,-3), \quad v_ { 2 } =(0,7,-9,2) \]이다. 따라서 $ \operatorname { rank } (A)=2 $이다.</p> <p>정리 3.17</p> <p>주어진 행렬의 행계수와 열계수는 서로 일치한다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <p>주어진 $ m \times n $ 행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] $에 대해서 A의 행계수를 r이라 하고 행공간의 기저를 \[ S_ { 1 } = \left [ \begin {array} { llll } b_ { 11 } & b_ { 12 } & \cdots & b_ { 1 n } \end {array} \right ], \cdots, _ { r } = \left [ \begin {array} { llll } b_ { r 1 } & b_ { r 2 } & \cdots & b_ { r n } \end {array} \right ] \]이라 하면 $ A $ 의 각 행은 기저 $ \left \{ S_ { 1 } , S_ { 2 } , \cdots, S_ { r } \right \} $의 일차결합으로 표현되므로 스칼라 $ c_ { i j } $에 대해 \[ \begin {array} { c } A_ { (1) } =c_ { 11 } S_ { 1 } + c_ { 12 } S_ { 2 } + \cdots + c_ { 1 r } S_ { r } \\A_ { (2) } =c_ { 21 } S_ { 1 } + c_ { 22 } S_ { 2 } + \cdots + c_ { 2 r } S_ { r } \\ \vdots \\A_ { (m) } =c_ { m 1 } S_ { 1 } + c_ { m 2 } S_ { 2 } + \cdots + c_ { m r } S_ { r } \end {array} \]로 쓸 수 있다. 이 방정식의 양변에서 j번째 성분을 살펴보면 각 $ j=1, \cdots, n $에 대해 \[ \begin {array} { c } a_ { 1 j } =c_ { 11 } b_ { 1 j } + c_ { 12 } b_ { 2 j } + \cdots + c_ { 1 r } b_ { r j } \\a_ { 2 j } =c_ { 21 } b_ { 1 j } + c_ { 22 } b_ { 2 j } + \cdots + c_ { 2 r } b_ { r j } \\ \vdots \\ a_ { m j } =c_ { m 1 } b_ { 1 j } + c_ { m 2 } b_ { 2 j } + \cdots + c_ { m r } b_ { r j } \end {array} \]이다. 따라서 각 $ j=1, \cdots, n $에 대해 \[A ^ { (j) } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\a_ { 2 j } \\ \vdots \\a_ { m j } \end {array} \right ]=b_ { 1 j } \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\c_ { 21 } \\ \vdots \\c_ { m 1 } \end {array} \right ] + b_ { 2 j } \left [ \begin {array} { c } c_ { 12 } \\c_ { 22 } \\ \vdots \\c_ { m 2 } \end {array} \right ] + \cdots + b_ { r j } \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 r } \\c_ { 2 r } \\ \vdots \\c_ { m r } \end {array} \right ] \]이 되어 A의 각 열은 r개의 벡터 \[ \left [ \begin {array} { c } c_ { 11 } \\c_ { 21 } \\ \vdots \\c_ { m 1 } \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { c } c_ { 12 } \\c_ { 22 } \\ \vdots \\c_ { m 2 } \end {array} \right ], \cdots, \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 r } \\c_ { 2 r } \\ \vdots \\ c_ { m r } \end {array} \right ] \]의 일차결합으로 표현된다. 따라서 A의 열공간의 차원은 기껏해야 r이고 열계수는 r을 초과할 수 없다. 따라서 A의 열계수 $ \leq A $의 행계수이다. 마찬가지로, 전치행렬 $ A ^ { t } $에 위의 논의를 적용하면 $ A ^ { t } $의 열계수(= $ A $ 의 행계수 $ ) \leq A ^ { t } $ 의 행계수(= $ A $ 의 열계수 $ ) $가 되어 A의 행계수와 열계수는 서로 일치한다.</p> <p>만일 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $가 벡터공간 V의 일차독립인 벡터이고 \[V=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle \]이면 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $를 벡터공간 V의 기 (basis)라고 한다. V의 기저는 V를 생성하는 일차 독립인 V의 원소들을 뜻한다.</p> <p>정리 3.10</p> <p>V를 벡터공간이라고 하자. V에 있는 모든 일차독립인 벡터의 집합은 V의 기저로 확장할 수 있다.</p> <p>\|증명 \|</p> <p>V의 원소 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $가 일차독립이라고 하자. 이 원소들이 V를 생성하면 기저가 되므로 결과는 자명하다. V를 생성하지 못한다면 $ x \in V-S P \left \langle v_ { 1 } \right . $, $ v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } >$인 원소를 택하면 보조정리 3.8에 의해 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } , x $는 일차독립이다. 이때 $ v_ { k + 1 } =x $로 두고 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } , v_ { k + 1 } $에 대해 위와 같은 추론을 반복해서 V의 기저로 확장한다.</p> <p>다음 정리는 벡터공간의 어떤 원소들의 집합이 벡터공간의 기저가 될 수 있는지를 결정하고자 할 때 유용하게 쓰인다.</p> <p>정리 3.11</p> <p>$ V=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle $이고 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $가 V의 일차독립인 최대의 부분집합이 라면 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $는 V의 기저이다.</p> <p>다항식 $ p=x ^ { 2 } + 4 x-3 $ 을 $ p_ { 1 } =x ^ { 2 } -2 x + 5, p_ { 2 } =2 x ^ { 2 } -3 x, p_ { 3 } =x + 3 $의 일차결합으로 나타내라.</p> <p>풀이</p> <p>$ p=k_ { 1 } p_ { 1 } + k_ { 2 } p_ { 2 } + k_ { 3 } p_ { 3 } $라고 두면 \[ \begin {aligned} x ^ { 2 } + 4 x-3 &=k_ { 1 } \left (x ^ { 2 } -2 x + 5 \right ) + k_ { 2 } \left (2 x ^ { 2 } -3 x \right ) + k_ { 3 } (x + 3) \\&= \left (k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } \right ) x ^ { 2 } + \left (-2 k_ { 1 } -3 k_ { 2 } + k_ { 3 } \right ) x + \left (5 k_ { 1 } + 3 k_ { 3 } \right ) \end {aligned} \]로부터 연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } &=1 \\-2 k_ { 1 } -3 k_ { 2 } + k_ { 3 } &=4 \\5 k_ { 1 } + 3 k_ { 3 } &=-3 \end {aligned} \right . \]을 얻고, 이를 풀면 $ k_ { 1 } =-3, k_ { 2 } =2, k_ { 3 } =4 $이다. 따라서 $ p=-3 p_ { 1 } + 2 p_ { 2 } + 4 p_ { 3 } $이다.</p> <p>정리 3.7</p> <p>$ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $을 벡터공간 V의 원소라 할 때 $ W=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \rangle $라 하자.</p> <ol type= start=1><li>W는 V의 부분공간이다.</li> <li>W는 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $를 품는 V의 최소 부분공간이다. 즉 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $를 품는 V의 모든 부분공간은 W를 포함한다.</li></ol> <p>\| 증명 \|</p> <ol type= start=1><li>$ W=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \rangle $ 가 $ V $ 의 부분집합임은 자명하다. 이제 $ v $와 w를 W의 두 원소라고 하면 적당한 스칼라 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { m } $ 과 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , \cdots, t_ { m } $에 대해서 \[v=s_ { 1 } v_ { 1 } + s_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + s_ { m } v_ { m } , w=t_ { 1 } v_ { 1 } + t_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + t_ { m } v_ { m } \]으로 쓸 수 있다. 그러면 \[ \begin {aligned} v + w &= \left (s_ { 1 } v_ { 1 } + s_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + s_ { m } v_ { m } \right ) + \left (t_ { 1 } v_ { 1 } + t_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + t_ { m } v_ { m } \right ) \\&= \left (s_ { 1 } + t_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (s_ { 2 } + t_ { 2 } \right )_ { 2 } + \cdots + \left (s_ { m } + t_ { m } \right ) v_ { m } \end {aligned} \] 이고 또한 스칼라 k에 대해 \[ \begin {aligned} k v &=k \left (s_ { 1 } v_ { 1 } + s_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + s_ { m } v_ { m } \right ) \\ &= \left (k s_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (k s_ { 2 } \right ) v_ { 2 } + \cdots + \left (k s_ { m } \right ) v_ { m } \end {aligned} \]이 되어 $ v + w $와 kv는 W의 원소이다. 따라서 W는 V의 부분공간이다.</li> <li>$ U $ 를 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $을 품는 V의 임의의 부분공간이라 하면 벡터공간의 성질에 의해 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $의 일차결합 $ k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } $ 은 U에 속한다. 따라서 U는 $ W $ 를 포함한다.</li></ol> <p>$ S= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \} $ 가 벡터공간 V의 부분집합일 때 S의 모든 일차결합에 의해 만들어진 V의 부분공간 $ S P \langle S \rangle:=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \rangle $를 집합 S에 의해 (subspace spanned by S)이라고 한다. 예를 들면 v가 영이 아닌 n-벡터일 때 \[S P \langle v \rangle= \{ t v \mid t \in \mathbb { R } \} \]는 그림 3.2에서와 같이 v에 평행하고 원점을 지나는 직선을 나타낸다.</p> <p>풀이</p> <p>$ b= \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ b_ { 3 } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { 3 } $가 R(A)의 원소일 필요충분조건은 연립방정식 $ A x=b $가 무모순일 때이므로 첨가행렬 $ [A \vdots b] $를 가우스 소거법을 써서 행사다리꼴로 전 환하면이다. 이로부터 연립방정식 $ A x=b $가 무모순일 다음 조건을 얻는다. \[-3 b_ { 1 } + b_ { 2 } + b_ { 3 } =0 \Rightarrow b_ { 3 } =3 b_ { 1 } -b_ { 2 } \] 따라서 A의 치역은 다음과 같다. \[R(A)= \left \{ b= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\b_ { 2 } \\3 b_ { 1 } -b_ { 2 } \end {array} \right ]=b_ { 1 } \left [ \begin {array} { l } 1 \\0 \\3 \end {array} \right ] + b_ { 2 } \left [ \begin {array} { r } 0 \\1 \\ -1 \end {array} \right ] \mid b_ { 1 } , b_ { 2 } \right . \text { 는 실수 \} } \]</p> <p>예제 3.24에서 R(A)가 두 개의 일차독립인 벡터에 의해 생성되므로 \[ \operatorname { dim } (R(A))=A \text { 의 계수 } =2 \]이다.</p> <p>마지막으로 비제차방정식 $ A x=b $의 해집합의 구조를 종합적으로 이해하기 위해 제차방정식 $ A x=0 $의 해공간에 대해 살펴보자. A가 $ m \times n $ 행렬이면 \[A x=x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } \]이 되어 \[ A x \in S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } \right \rangle \]이다. 만일 열벡터 $ A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } $이 일차독립이면 $ A x=0 $은 \[x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } =0 \]이므로 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } = \cdots=x_ { n } =0 $이다. 다시 말해서 A의 열벡터가 일차독립이면 제차방정식 $ A x=0 $은 자명한 해를 유일한 해로 갖는다. 그러나 $ m<n $, 즉 미지수의 개수가 방정식의 수보다 많으면 각 열벡터 $ A ^ { (j) } $에 대해 $ A ^ { (j) } \in \mathbb { R } ^ { m } $이고 $ \mathbb { R } ^ { m } $은 m개의 기저에 의해 생성되므로 $ A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 은 일차종속이 된다. 이것은 곧 \[A x=x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } =0 \]인 모두는 0이 아닌 수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $ 이 존재한다는 것을 뜻한다. 따라서 $ m<n $이면 $ A x=0 $은 자명하지 않은 해를 갖는다. $ x_ { 0 } $ 가 $ A x=0 $의 자명하지 않은 해라고 하면 $ x_ { 0 } $의 임의의 상수 배 $ k x_ { 0 } $에 대해 \[A \left (k x_ { 0 } \right )=k \left (A x_ { 0 } \right )=k 0=0 \]이므로 $ m<n $이면 $ A x=0 $은 무수히 많은 해를 갖는다. 이 결과를 비제차방정식 $ A x=b $에 적용해 보자. $ x_ { 0 } $가 제차방정식 $ A x=0 $의 자명하지 않은 해이고 $ x_ { 1 } $이 비제차방정식 $ A x=b $의 한 해라고 하면 임의의 상수 k에 대해 \[A \left (k x_ { 0 } + x_ { 1 } \right )=A \left (k x_ { 0 } \right ) + A x_ { 1 } =k \left (A x_ { 0 } \right ) + b=k 0 + b=b \]가 되므로 $ k x_ { 0 } + x_ { 1 } $은 $ A x=b $의 해가 된다. 따라서 $ m<n $이면 $ A x=b $는 무한히 많은 해를 갖는다.</p> <p>예제 3.25</p> <p>예제 3.23에 주어진 연립방정식은 $ m=3<n=4 $이므로 무한히 많은 해가 존재한다. 이것은 예제 3.23에서 얻어진 결과와 일치한다.</p> <p>이제 주어진 벡터공간의 원소를 써서 부분공간을 생성하는 일반적인 방법에 대해 알아보자. V를 벡터공간, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $을 V의 원소라 하자. 임의의 스칼라 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots, k_ { m } \in \mathbb { R } $에 대해 벡터 w가 다음과 같이 표시될 때 \[w=k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } \] w를 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $ 의 (linear combination)이라 하고, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } $의 일차결합 전체의 집합을 \[S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \rangle= \left \{ k_ { 1 } v_ { 1 } + k_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k_ { m } v_ { m } \mid k_ { i } \in \mathbb { R } \right \} \]로 정의한다.</p> <p>예제 3.5</p> <p>$ w=(2,-5) $를 두 벡터 $ u=(1,2) $와 $ v=(2,1) $의 일차결합으로 나타내라.</p> <p>풀이</p> <p>$ w=k_ { 1 } u + k_ { 2 } v $ 라고 두면 $ (2,-5)=k_ { 1 } (1,2) + k_ { 2 } (2,1) $로부터 연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } &=2 \\2 k_ { 1 } + k_ { 2 } &=-5 \end {aligned} \right . \]을 얻고, 이를 풀면 $ k_ { 1 } =-4, k_ { 2 } =3 $이다.따라서 $ w=-4 u + 3 v $이다.</p> <p>예제 3.6</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $의 경우를 확장하여 일반적으로는 어떤 집합 $V$가 있어서 $V$가 합과 스칼라 곱에 의해 닫혀있을 때 $V$를 벡터공간(vector space)이라고 하고, $ V $의 각 원소를 벡터(vector)라고 한다. $u, v, w$가 $V$의 원소이고 $k,l$이 임의의 실수일 때 벡터공간 $V$에 대해 다음 성질이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>합과 스칼라 곱에 의해 닫혀있는 성질 \[ \begin {aligned} u + v & \in V \\k u & \in V \end {aligned} \]</li> <li>가법 성질 \[ \begin {array} { l } u + v=v + u \\u + (v + w)=(u + v) + w \\0 \in V \text { 가 존재해서 } u + 0=u=0 + u \\ \text { 각 } u \in V \text { 에 대해 } (-1) u \text { 가 존재해서 } u + (-1) u=0 \end {array} \]</li> <li>스칼라 곱의 성질 \[ \begin {aligned} k( \ell u) &=(k \ell) u \\k(u + v) &=k u + k v \$k + \ell) u &=k u + \ell u \\1 u &=u \end {aligned} \]</li></ol> <p>표현을 간단히 하기 위해 \( (-1) u=-u, u + (-1) v=u-v $로 쓰고 결합법칙에 의해 더하는 순서에는 무관하므로 $ u + (v + w) $를 괄호 없이 $ u + v + w $로 나타낸다.</p> <p>앞에서 살펴본 바와 같이 $ \mathbb { R } ^ { n } $은 벡터공간을 이룬다. 벡터공간은 $ \mathbb { R } ^ { n } $에서처럼 단지 순서쌍의 집합만으로 구성되는 것이 아니며 매우 포괄적인 개념으로 작용한다. 예를 들어 구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 전체의 집합을 $C([a, b])$로 정의하고 $f$와 $g$를 $C([a, b])$의 원소, $k$를 임의의 실수라고 할 때 $ f + g $와 $kf$를 각각 $ a \leq x \leq b $인 $x$에 대해 \[ \begin {aligned} (f + g)(x) &=f(x) + g(x) \$k f)(x) &=k f(x) \end {aligned} \]</p> <p>예제 3.12에서 해공간의 차원은 2 이고, 이는 자유변수의 수와 같다. 일반적으로 제차연립방정식의 해공간의 차원은 자유변수의 개수와 일치한다.</p> <p>벡터공간의 차원에 대해 다음 성질이 성립한다.</p> <p>정리 3.12</p> <p>V를 \( \operatorname { dim } (V)=k $인 벡터공간이라고 하면 V에 대해 다음 사실이 성립한다.<ol type= start=1><li>V에 있는 $ k + 1 $개 이상의 벡터는 일차종속이다.</li> <li>V에 있는 k개 미만의 벡터는 V를 생성하지 않는다.</li> <li>V에 있는 k개의 일차독립인 벡터는 V의 기저를 이룬다.</li> <li>V를 생성하는 k개의 벡터는 V의 기저이다.</li></ol> <p>\| 증명 \|</p> <p>(1)과 (2)는 정리 3.11과 그 증명과정으로부터 직접 얻어진다. (3)을 보이기 위해 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $ 를 V에 있는 k개의 일차독립인 원소라 하자.</p> <p>v를 0 이 아닌 V의 임의의 원소라면 (1)에 의해 $ v, v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $는 일차종속이 되어 모두는 0이 아닌 스칼라 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { k } $ 와 t가 있어서 \[s_ { 1 } v_ { 1 } + s_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + s_ { k } v_ { k } + t v=0 \]으로 쓸 수 있다. 여기서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $가 일차독립이므로 $ t \neq 0 $임은 명백하다. 따라서 \[v=- \frac { s_ { 1 } } { t } v_ { 1 } - \frac { s_ { 2 } } { t } v_ { 2 } - \cdots- \frac { s_ { k } } { t } v_ { k } \in S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle \]이므로 $ V=S P \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle $ 이고 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $ 가 일차독립이므로 $ v_ { 1 } $, $ v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $는 V의 기저를 이룬다. (4)는 연습문제로 독자에게 남긴다.</p> <p>예제 3.2</p> <p>$ V= \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이고, $ W= \left \{ v= \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ) \in V \mid v_ { 1 } =v_ { 2 } -v_ { 3 } \right \} $ 일 때 W는 V의 부분공간임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>조건 $ ( \mathrm { S } 1) $을 보이기 위해 $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right ) $와 $ v= \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right ) $를 W의 임의의 두 원소라 하면 $ u + v= \left (u_ { 1 } + v_ { 1 } , u_ { 2 } + v_ { 2 } , u_ { 3 } + v_ { 3 } \right ) $이고 u와 v가 W에 속하므로 $ u_ { 1 } =u_ { 2 } -u_ { 3 } , v_ { 1 } =v_ { 2 } -v_ { 3 } $이다. 따라서 \[u_ { 1 } + v_ { 1 } = \left (u_ { 2 } -u_ { 3 } \right ) + \left (v_ { 2 } -v_ { 3 } \right )= \left (u_ { 2 } + v_ { 2 } \right )- \left (u_ { 3 } + v_ { 3 } \right ) \] 가 되어 $ u + v \in W $ 이다. 또한 $ w= \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right ) \in W $이고 k가 스칼라이면 \[ k w_ { 1 } =k \left (w_ { 2 } -w_ { 3 } \right )=k w_ { 2 } -k w_ { 3 } \]가 되어 $ k w= \left (k w_ { 1 } , k w_ { 2 } , k w_ { 3 } \right ) \in W $ 이다. 따라서 $ ( \mathrm { S } 2) $를 만족한다. 그러므로 W는 V의 부분공간이다.</p> <p>정리 3.15에서 V의 원소 v가 V의 기저 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $에 대해 \[v=c_ { 1 } v_ { 1 } + c_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + c_ { n } v_ { n } \]로 나타날 때 $ c_ { 1 } , c_ { 2 } , \cdots, c_ { n } $ 을 V의 기저 $ S= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 에 대한 조 (coordinates)라고 하고 좌표로 구성된 벡터 $ (v)_ { S } := \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } , \cdots, c_ { n } \right ) $을 v의 죄표배( (coordinate vector), 이를 행렬로 나타낸 것을 $ [v]_ { S } := \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 } \\ c_ { 2 } \\ \vdots \\ c_ { n } \end {array} \right ] $ 이라 쓰고 이를 $ v $ 의 주밈 (coordinate matrix)이라고 한다.</p> <p>예제 3.16</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저 $ S= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} $에서 $ v_ { 1 } =(1,2,1), v_ { 2 } =(2,9,0), v_ { 3 } =(3,3 $,4)일 때 각각 다음을 구하라.</p> <ol type= start=1><li>$ v=(5,-1,9) $의 좌표벡터와 좌표행렬</li> <li>$ (u)_ { S } =(-1,3,2) $ 인 벡터 $ u $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ v=c_ { 1 } v_ { 1 } + c_ { 2 } v_ { 2 } + c_ { 3 } v_ { 3 } $이면 \[ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\2 & 9 & 3 \\1 & 0 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 1 } \\c_ { 2 } \\c_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 5 \\-1 \\9 \end {array} \right ] \]이므로 이를 풀면 $ c_ { 1 } =1, c_ { 2 } =-1, c_ { 3 } =2 $이다. 따라서 좌표벡터 $ (v)_ { S } =(1,-1,2) $, 좌표행렬 $ [v]_ { S } = \left [ \begin {array} { r } 1 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right ] $.</p> <p>\[A ^ { (j) } = \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\a_ { 2 j } \\ \vdots \\a_ { m j } \end {array} \right ], \quad(j=1,2, \cdots, n) \] 를 A의 열벡터(column vector)라고 하고, A의 열벡터에 의해 생성되는 $ \mathbb { R } ^ { m } $의 부분공간을 A의 열공간(column space)이라고 한다. 따라서 A의 행공간과 열공간은 다음과 같다. A의 행공간 $ =S P \left \langle A_ { (1) } , A_ { (2) } , \cdots, A_ { (m) } \right \rangle \subset \mathbb { R } ^ { n } $, A의 열공간 $ =S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } \right \rangle \subset \mathbb { R } ^ { m } $.</p> <p>주어진 행렬 $ A \in M_ { m, n } $에 대해 A의 치역(range)을 \[R(A)= \left \{ A x \mid x \in \mathbb { R } ^ { n } \right \} \]로 정의한다. $ x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대해 \[A x=x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } \]이므로 \[R(A)=S P \left \langle A ^ { (1) } , A ^ { (2) } , \cdots, A ^ { (n) } \right \rangle=A \]의 열공간이다. 따라서 행렬 A의 치역 R(A)는 $ \mathbb { R } ^ { m } $의 부분공간을 이룬다.</p> <p>예제 3.18</p> <p>$ 2 \times 3 $ 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] $에 대해서 A의 행공간과 열공간을 구하라.</p> <p>예제 3.10</p> <p>\[ \begin {array} { c } v_ { 1 } =(1,2,5,-1), v_ { 2 } =(2,-1,0,3), v_ { 3 } =(7,-1,5,8) \text { 에서 } \\v_ { 3 } =v_ { 1 } + 3 v_ { 2 } \end {array} \]이므로 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} $는 일차종속이다.</p> <p>정리 3.9</p> <p>벡터 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $가 일차독립이고, $ \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} $ 이 생성하는 벡터공간에 놓이면 $ k \leq m $이다.</p> <p>\\| 증명 \\|</p> <p>$ V=S P \left \langle w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \rangle $이라 하자. $ m<k $라고 가정하면 모순에 이름을 보인다. 먼저 $ S ^ { (0) } = \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} $라고 하자. 수학적 귀납법을 써서 각 $ j=0,1 $, $ \cdots, m $에 대해 여전히 V를 생성하는 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { j } $와 $ m-j $개의 $ S ^ { (0) } $의 벡터로 구성된 집합 $ S ^ { (j) } $가 존재함을 보이자. 그러면 $ S ^ { (m) } = \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { m } \right \} $이 V를 생성하고 $ v_ { m + 1 } = \sum_ { j=1 } ^ { m } k_ { j } v_ { j } $이 되므로 이는 벡터 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $가 일차 독립이라는 가정에 모순이 된다. $ S ^ { (j) } = \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { j } , w_ { j + 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $이라고 가정하자. $ S ^ { (j) } $가 V를 생성하므로 \[v_ { j + 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { j } k_ { i } v_ { i } + \sum_ { i=j + 1 } ^ { m } k_ { i } w_ { i } \]이고, 이는 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { j + 1 } , w_ { j + 1 } , \cdots, w_ { m } $이 일차종속임을 의미한다. 따라서 보조정리 3.8에 의해 이들 중 하나는 이전 벡터들의 일차결합으로 표현된다. 그러나 벡터 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } \right \} $는 일차독립이므로 그 대상이 될 수는 없다. 따라서 벡터 $ \left \{ w_ { j + 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $중 하나가, 이를 $ w_ { j + 1 } $이라 하면 $ w_ { j + 1 } $은 $ v_ { 1 } , \cdots, v_ { j + 1 } $의 일차결합으로 표현되므로 \[S ^ { (j + 1) } = \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { j + 1 } , w_ { j + 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} =S ^ { (j) } \cup \left \{ v_ { j + 1 } \right \} - \left \{ w_ { j + 1 } \right \} \]이 V를 생성하게 된다. 따라서 수학적 귀납법이 성립한다.</p> <p>V가 벡터공간일 때 V를 생성하는 기저의 개수를 벡터공간 V의 차원(dimension)이라고 하고 $ \operatorname { dim } (V) $라고 쓴다. 정리 3.11은 벡터공간 V의 차원이 V를 생성하는 일차독립인 원소들의 최대 개수를 나타낸다는 것을 뜻한다. 영벡터의 공간의 차원은 0으로 간주한다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $에서 다음과 같은 n-벡터를 생각하자. \[ \begin {array} { c } e_ { 1 } =(1,0, \cdots, 0), e_ { 2 } =(0,1,0, \cdots, 0), \cdots, e_ { n } =(0, \cdots, 0,1) \\x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } \text { 이면 } \\x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )= \sum_ { j=1 } ^ { n } x_ { j } e_ { j } \end {array} \]이므로 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $ 은 $ \mathbb { R } ^ { n } $을 생성한다. 따라서 $ \operatorname { dim } \left ( \mathbb { R } ^ { n } \right ) \leq n $이다. 한편 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $은 일차독립이고 $ \mathbb { R } ^ { n } $을 생성하므로 정리 3.9에 의해 $ n \leq \operatorname { dim } \left ( \mathbb { R } ^ { n } \right ) $이다. 따라서 $ \mathbb { R } ^ { n } $은 n차원 벡터공간이고 이때 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $은 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 기저를 이룬다. 이 기저를 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 표준기저(standard basis)라고 한다.</p> <p>예제 3.11</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 부분공간 \[V= \left \{ x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right ) \mid x_ { 1 } =-2 x_ { 3 } , x_ { 2 } =x_ { 3 } \right \} \]에 대한 기저를 구하고 차원을 결정하라.</p> <p>정리 3,1</p> <p>실수 k, l과 n-벡터 u, v, w에 대해 합과 스칼라 곱에 관한 다음 성질이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ u + v=v + u $</li> <li>$ u + (v + w)=(u + v) + w $</li> <li>$ k( \ell u)=(k \ell) u $</li> <li>$ k(u + v)=k u + k v,(k + \ell) u=k u + \ell u $</li> <li>$ u + 0=u=0 + u $<li> <li>$ 1 u=u $</li> <li>$ u-u=0 $</li></ol> <p>n-벡터를 다루는 데 유용하게 쓰일 뿐만 아니라 벡터의 기하학적 해석이나 응용에 다양성을 주는 벡터의 연산으로 유클리드 내적이 있다. 두 n-벡터 $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $와 $ v= \left (v_ { 1 } \right . $, $ v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ )의 유클리드 내적(Euclidean inner product) $ u \cdot v $를 다음과 같이 정의한다. \[u \cdot v=u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } \] 유클리드 내적은 벡터의 크기를 재거나 수직 등 벡터 간의 관계를 이용해서 공간기하를 해석하는 중요한 수단으로 자주 활용된다. 유클리드 내적의 기본성질을 살펴보자. 다음은 유클리드 내적의 정의로부터 어렵지 않게 유도할 수 있다.</p> <p>정리 3.2</p> <p>u, v, w가 n-벡터이고 k가 실수일 때 유클리드 내적에 대해 다음 사실이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ u \cdot v=v \cdot u( $ 교환법칙 $ ) $</li> <li>$ u \cdot(v + w)=u \cdot v + u \cdot w $(분배법칙)</li> <li>$ k(u \cdot v)=(k u) \cdot v=u \cdot(k v)( $ 동차성 $ ) $</li> <li>$ u \cdot u \geq 0 $ 이고, $ u \cdot u=0 \Leftrightarrow u=0 $ (양성)</li></ol> <p>여기에서 $ u \cdot u=u_ { 1 } ^ { 2 } + u_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + u_ { n } ^ { 2 } =0 $이 될 필요충분조건은 $ u_ { 1 } =u_ { 2 } = \cdots=u_ { n } =0 $이므로 (4)는 쉽게 유도된다. 주어진 n-벡터 u에 대해서 \[ \\|u \\|= \sqrt { u \cdot u } = \sqrt { u_ { 1 } ^ { 2 } + u_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + u_ { n } ^ { 2 } } \] 을 벡터 u의 우르리드 (Euclidean norm)이라고 한다. 벡터의 노름은 벡터의 크기, 또는 길이를 재는 장치로 기능한다. 길이가 1 인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 유클리드 공간에서 영이 아닌 두 벡터 u와 v는 $ u \cdot v=0 $이면 서로 수직을 이룬다. 일반적인 내적공간에서 직교성의 주요 관점들은 5장에서 자세하게 다루어진다. 이러한 수직성의 개념을 이용해서 한 벡터의 다른 벡터 위로의 정사영에 대해 생각해 보자. 영벡터가 아닌 두 벡터 $ a $ 와 $ u $ 가 주어져 있을 때 그림 3.1과 같이 $ a $ 를 $ u $ 위로 투영시켜서 얻어지는 벡터를 a의 u위로의 정사영(projection)이라 하고 $ \mathrm { Pr } _ { u } (a) $로 나타낸다.</p> <p>예제 3.14</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 두 부분공간 \[U=S P \langle(1,-1,0),(0,1,-1) \rangle, W=S P \langle(1,1,1) \rangle \]이면 U와 W의 생성벡터들이 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $에서 서로 일차독립을 이루는 세 개의 벡터이므로 \[ \mathbb { R } ^ { 3 } =U \oplus W \]이다. 한편 \[S=S P \langle(1,1,1),(1,0,-1) \rangle \]이면 명백히 U와 S의 생성벡터의 합은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $를 생성하지만 \[ \operatorname { dim } U + \operatorname { dim } S=2 + 2>\operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 3 } =3 \]이므로 $ \mathbb { R } ^ { 3 } \neq U \oplus S $이다. 실제로 두 평면 U와 S의 교선은 직선으로서 \[U \cap S=S P \langle(1,0,-1) \rangle \neq \{ 0 \} \]이다.</p> <h2>$ \mathbb { R } ^ { n } $에서의 평면</h2> <p>X가 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 부분집합일 때 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 한 점 $ a \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대해 X의 a만큼의 평행이동(parallel translate)을 집합 \[X- \{ a \} = \{ x-a \mid x \in X \} \]로 정의한다. $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 부분집합 $ \Pi $는 $ a \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대해서 평행이동 $ \Pi- \{ a \} $가 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 m차원 부분공간을 이룰 때 $ \Pi $를 $ \mathbb { R } ^ { n } $에서 m차원 평면(plane)이라고 한다. 이때 부분공간 $ V= \Pi- \{ a \} $를 평면 II에 평행한 부분공간(parallel subspace)이라고 한다. $ \Pi $가 평면일 때 정의에 의해 $ \Pi- \{ a \} $가 부분공간이 될 필요충분조건은 $ a \in \Pi $ 일 때이다. 따라서 평면에 평행한 부분공간은 점 a의 선택에 의존하지 않는다. $ \mathbb { R } ^ { n } $에서 $ m $ 차원 평면을 구성하는 방법으로는 적절하게 배치된 $ m + 1 $개의 점을 이용하는 것이다. 예를 들어 서로 다른 두 점은 직선을 결정하고, 한 직선 상에 놓이지 않는 세 점은 2차원 평면을 결정한다.</p> <p>예제 3.18</p> <p>$ v_ { 1 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 1 \end {array} \right ], v_ { 2 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right ], v_ { 3 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 5 \end {array} \right ] $에 대해 $ W $를 $ S= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} $에 의해 생성되는 벡터공간이라고 하자. $ W= \mathbb { R } ^ { 3 } $인지 검증하고 W가 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 부분공간이면 $W$의 기저가 되는 $S$의 최소의 부분집합을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\[w= \left [ \begin {array} { l } w_ { 1 } \\w_ { 2 } \\w_ { 3 } \end {array} \right ] \in W \text { 이면 } \] \[x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + x_ { 3 } v_ { 3 } =w \]를 만족하는 스칼라 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } $가 존재하므로 $ A= \left [ \begin {array} { lll } v_ { 1 } & v_ { 2 } & v_ { 3 } \end {array} \right ] $에 대해서 연립 일차방정식 $ A x=w $를 만족한다. 첨가행렬을 행사다리꼴로 전환하면 이다. 따라서 \[W= \left \{ w= \left [ \begin {array} { l } w_ { 1 } \\w_ { 2 } \\w_ { 3 } \end {array} \right ] \mid 3 w_ { 1 } -2w_ { 2 } + w_ { 3 } =0 \right \} \]이고 $W$는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $에서 원점을 지나는 2차원 평면을 이룬다. 이때 $ w= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ] $는 $W$에 놓이지 않으므로 $ W \neq \mathbb { R } ^ { 3 } $이다. 한편, $W$의 기저를 이루는 $S$의 부분집합을 구하기 위해 $ w=0 $으로 두면이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } x_ { 2 } =-3 x_ { 3 } , \\x_ { 1 } =x_ { 2 } + x_ { 3 } =-2 x_ { 3 } \end {array} \]를 만족하므로 $ x_ { 3 } =-1 $이라 두면 $ x_ { 1 } =2, x_ { 2 } =3 $에 대해 \[x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + x_ { 3 } v_ { 3 } =2 v_ { 1 } + 3 v_ { 2 } -v_ { 3 } =0 \]이다. 따라서 $ v_ { 3 } =2 v_ { 1 } + 3 v_ { 2 } $이므로 $S$는 일차종속이고 $S$의 임의의 두 원소가 $W$의 기저를 이룬다.</p> <p>예제 3,3</p> <p>V를 모든 실함수의 집합이라 할 때 $ W= \{ f \in V \mid f(3)=1 + f(2) \} $라고 하면 W가 V의 부분공간을 이루는지 조사하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f, g \in W $라고 하면 $ f(3)=1 + f(2) $이고 $ g(3)=1 + g(2) $이다. 그러면 \[ \begin {aligned} (f + g)(3) &=f(3) + g(3)=(1 + f(2)) + (1 + g(2)) \\&=2 + (f + g)(2) \neq 1 + (f + g)(2) \end {aligned} \] 가 되어 $ f + g \notin W $이다. 따라서 W는 부분공간을 이루지 않는다.</p> <p>제차연립방정식 $ A x=0 $의 해집합을 행렬 A의 (null space), 또는 (kernel)이라 한다. A가 $ m \times n $ 행렬일 때 A의 영공간을</p> <p>$ N(A)= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \mid A x=0 \right \} $</p> <p>로 정의한다.</p> <p>정리 3.6</p> <p>A가 $ m \times n $ 행렬이면 N(A)는 $ \mathbb { R } ^ { n } $의 부분공간이다.</p> <p>\| 증명 \|</p> <ul> <li>(S1) : $ u, v \in N(A) $ 이면 $ A u=0, A v=0 $ 이므로 \[A(u + v)=A u + A v=0 + 0=0 \]이므로 $ u + v \in N(A) $ 이다.</li> <li>(S2) : $ u \in N(A) $ 라면 임의의 스칼라 k에 대해 \[A(k u)=k A u=k 0=0 \]이므로 $ k u \in N(A) $이다.</li></ul> <p>예제 3.4</p> <p>행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 5 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & -1 \end {array} \right ] $의 영공간 N(A)를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>N(A)는 제차 연립일차방정식 $ A x=0 $의 해집합이므로 해를 구하기 위해 첨가행렬 $ [A \vdots 0] $을 가우스 소거법을 써서 행사다리꼴로 전환하면</p> <p>\[ \left [ \begin {array} { lll } A & \vdots & 0 \end {array} \right ] \sim { } _ { r } \left [ \begin {array} { lrrrrr } 1 & 1 & 3 & 1 & \vdots & 0 \\0 & -1 & -1 & 2 & \vdots & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 \end {array} \right ] \]이다. 따라서 자유변수 $ x_ { 3 } =s, x_ { 4 } =t $ 에 대해서 \[ \begin {array} { l } x_ { 2 } =-x_ { 3 } + 2 x_ { 4 } =-s + 2 t \\x_ { 1 } =-x_ { 2 } -3 x_ { 3 } -x_ { 4 } =-(-s + 2 t)-3 s-t=-2 s-3 t \end {array} \]이므로 행렬 A의 영공간은 \[N(A)= \left \{ x= \left [ \begin {array} { r } -2 \\-1 \\1 \\0 \end {array} \right ] s + \left [ \begin {array} { r } -3 \\2 \\0 \\1 \end {array} \right ] t: s, t \in \mathbb { R } \right \} \]이다.</p>	자연
Mann-Kendall 비모수 검정과 Sen’s slope를 이용한 최근 40년 남한지역 계절별 평균기온의 경향성 분석	<p>남한지역의 계절 평균기온 시계열 자료에 대해 Mann-Kendall 검정을 수행한 결과 Table 2에 나타난 바와 같이 봄, 여름, 가을에서 상승 경향성이 존재하는 것을 알 수 있다. Sen's slope를 이용해 경향성 정도를 계산해보면 봄의 경우 0.039, 여름은 0.032, 가을의 경우 0.036으로 봄의 상승 경향성이 다른 계절에 비해 가장 큰 것을 알 수 있었다. 경향성이 존재하는 봄, 여름, 가을의 평균기온 자료에 대해 변동점 유무를 파악하기 위해 Pettitt 검정을 수행하였다. 그 결과 봄의 경우 1996년이 변동점으로 탐색되었으며, 여름은 2003년, 가을의 경우 2002년이 변동점으로 탐색되었다. 또한 계절별로 탐색된 변동점을 기준으로 평균기온의 상승 경향의 변화 정도를 비교분석해 보았다.</p> <p>변동점을 기준으로 자료를 전반부와 후반부로 나누어 Sen's slope를 살펴보면, 봄의 경우 변동점인 1996년 이전에는 0.0036으로 상승 경향성이 크지 않았지만 1996년 이후에는 0.0433으로 상승 경향성이 커진 것을 알 수 있다. 여름의 경우도 마찬가지로 2003년이 변동점으로 탐색되었으며, 변동점 전과 후의 기온자료에 대해 Sen's slope가 0.0100에서 0.0770으로 크게 상승하는 것을 알 수 있다. 가을의 경우 Pettitt 검정 결과 2002년이 변동점으로 탐색되었으며 이를 기준으로 전과 후의 기온자료에 대한 Sen's slope가 0.0380에서 0.0230으로 다소 감소하는 것을 알 수 있다. 가을의 경우를 제외하고는 최근에 들어 평균기온의 상승 경향성의 정도가 더 커진 것으로 나타났다. 경향성이 존재하는 봄, 여름, 가을의 평균기온 자료와 탐색된 변동점 전후의 Sen's slope를 이용한 시각화 결과가 Figure 4에 나타나 있다.</p> <p>다음으로 공간적 분석을 위해 분석대상인 60개 ASOS 지점 각각에 대해 계절별 평균기온 시계열 자료를 분석하였다. 먼저 Mann-Kendall 검정을 수행하여 지점별로 평균기온 자료에 경향성이 존재하는지 살펴보았다. 그 결과, 전체 60개 지점 중 봄의 경우 $ 90 \% $ 에 해당하는 54개 지점에서, 여름은 전체 분석대상 지점의 $ 81.67 \% $ 에 해당하는 49개 지점, 가을의 경우 $ 85 \% $ 에 해당하는 51개 지점에서 평균기온 자료에 상승 경향성이 존재하는 것으로 나타났다. 경향성 유무를 공간적으로 표현해 보면 Figure 5와 같이 나타난다. 봄의 경우 일부 해안가 지점 몇 곳을 제외하고는 대체로 경향성이 존재하였으며, 여름의 경우 경향성이 존재하지 않는 것으로 나타난 지점들이 대체로 내륙에 위치하고 있는 것을 알 수 있다. 또한 가을의 경우 경향성이 존재하지 않는 지점들을 살펴보면 일부 내륙지점 및 남해안의 해안가에 위치하는 지점들인 것을 알 수 있다. 60개 지점에 대한 경향성 분석결과 대부분의 지점들에서 상승 경향성이 존재하였고, 공간적으로 살펴본 결과 경향성이 존재하지 않는 지점들은 계절마다 상이했으며 뚜렷한 공간적 특성은 존재하지 않았다. 분석결과 계절별로 경향성이 존재하는 것으로 나타난 ASOS 지점 각각에 대해 Pettitt 검정을 적용하여 변동점을 탐색하였다. 탐색된 지점별 변동점을 연대별로 정리한 결과는 Table 3과 같다.</p> <p>\[ U_ { t, T } = \sum_ { i=1 } ^ { t } \sum_ { j=t + 1 } ^ { T } \operatorname { sgn } \left (X_ { i } -X_ { j } \right ), \]<caption>(2.9)</caption></p> <p>\[ K_ { T } = \max \left \|U_ { t, T } \right \|, \]<caption>(2.10)</caption></p> <p>\[ P \simeq 2 \exp \left ( \frac { -6 K_ { T } ^ { 2 } } { T ^ { 3 } + T ^ { 2 } } \right ). \]<caption>(2.11)</caption></p> <p>검정결과 유의하게 나타난 $ t $ 시점을 자료의 변동점으로 판단할 수 있다. 본 연구에서는 Pettitt 검정을 통해 기온자료에 존재하는 유의한 변동점을 탐색하였으며, 탐색된 변동점을 기준으로 시계열 자료를 각각 전반부 $ \mathbf { y } _ { 1 } , \ldots, \mathbf { y } _ { t } $ 와 후반부 $ \mathbf { y } _ { t + 1 } , \ldots, \mathbf { y } _ { T } $ 로 구분한 뒤, 구분된 각 구간의 Sen's slope를 계산하여 변동점 전후의 경향성 정도를 비교 분석하였다. 본 연구의 분석과정을 도식화하면 Figure 2와 같다. 전처리 및 결측치 대체가 완료된 지점별 일평균기온 시계열 자료를 이용하여 남한 전체의 연평균기온 시계열 자료, 계절 평균기온 시계열 자료를 생산하고, 이를 대상으로 비모수적 방법인 Mann-Kendall 검정을 통해 경향성을 분석하고, Pettitt 검정을 수행하여 변동점을 탐색한다. 그 후 경향성이 존재하는 것으로 확인된 계절에 대해서는 공간적 분석을 위해 관측지점별로 경향성 분석을 수행한다. 경향성이 존재하는 관측지점의 수와 공간적 분포를 확인한다. 마지막으로 개별 ASOS 지점의 변동점을 탐색한 뒤 변동점의 연대별 분포를 확인하고, 남한의 계절 평균기온 시계열 자료에서 탐색된 변동점과 비교한다.</p> <h1>3. 연구결과</h1> <p>40년간 수집된 남한의 연평균기온 시계열 자료에 대해 Mann-Kendall 검정을 수행한 결과 Table 1에서와 같이 상승 경향성이 존재하는 것으로 나타났다. 또한 경향성 정도를 파악하기 위해 Sen's slope값을 계산한 결과 약 0.036으로 나타났다. 즉, 우리나라의 최근 40년간 연평균기온 시계열 자료로 부터 평균기온이 연간 약 $ 0.036 ^ {\circ } \mathrm { C } $ 상승하는 경향성이 있다는 것을 알 수 있다. Figure 3은 Sen's slope를 이용하여 40년간의 연평균기온자료에 대한 경향성을 시각화한 결과로 뚜렷한 상승 경향성을 확인할 수 있다.</p> <p>봄의 경우 관측지점의 약 $ 83 \% $ 가 1990년대에 해당하는 변동점을 가지고 있고, 여름의 경우 관측지점의 약 $ 68 \% $ 가 2000년대에 해당하는 변동점을 가지고 있다. 또한 가을의 경우 약 $ 53 \% $ 의 ASOS 지점이 2000년대에 해당하는 변동점을 가지고 있는 것으로 나타났다. 이는 Table 2에서 계절별 평균기온 자료에서 탐색된 변동점의 연대와 일치하는 것을 알 수 있다. 한편 가을의 경우 앞서 살펴본 계절별 평균기온 자료에서 파악된 변동점이 2002년이 었고, 이를 기준으로 전후 자료의 상승 경향성의 정도를 비교했을 때 다른 계절에서와는 다르게 최근에 와서 상승 경향성의 정도가 줄어드는 것으로 나타났었다. 그 이유가 Table 3에 나타난 바와 같이 가을의 경우 각 지점별 변동점이 1990년대와 2000년대에 각각 $ 41.67 \% $ 와 $ 53.33 \% $ 로 나누어 분포하기 때문인 것으로 예상해볼 수 있다. 즉, 가을의 평균기온 자료는 지점별로 상이한 변동점을 가지기 때문에 2002년 변동점을 기준으로 가을 자료의 상승 경향성을 파악하기는 힘들다고 볼 수 있다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>1980년 3월부터 2020년 2월까지 40년간 남한지역의 ASOS로부터 수집된 연평균기온 자료, 3개월 단위로 구분한 계절 평균기온 자료에 대해 Mann-Kendall 검정을 수행하여 경향성을 분석하였다. 또한 Sen's slope를 이용하여 경향성 정도를 파악하고 Pettitt 검정을 실시하여 평균기온 자료에 존재하는 변동점을 파악하였다. 그 결과 40년간의 연평균기온 자료에는 상승 경향성이 있는 것으로 나타났으며, 상승 경향성의 정도를 나타내는 Sen's slope값이 0.036으로 연평균 기온은 1년에 약 $ 0.036 ^ {\circ } \mathrm { C } $ 씩 상승하는 경향성을 보이는 것으로 나타났다. 계절 평균기온 자료를 이용한 경향성 분석에서는 겨울을 제외한 모든 계절에서 상승 경향성이 있는 것으로 나타났다. 또한 Sen's slope 값을 살펴보면 봄이 0.039, 여름은 0.032, 가을은 0.036으로 봄의 상승 경향성이 가장 큰 것으로 나타났다. Pettitt 검정 결과로 나타난 변동점은 봄의 경우 1996년, 여름의 경우 2003년, 가을은 2002년으로 탐색 되었다. 변동점을 기준으로 시계열 자료를 전반부와 후반부로 나누어 Sen's slope를 계산한 결과, 봄과 여름에서는 전반부에 대비하여 후반부에 들어 매우 큰 폭 상승했고 가을의 경우 소폭 하락했다. 즉, 최근 들어 봄과 여름의 경우 상승 경향성의 정도가 더욱 커졌음을 알 수 있었다.</p> <p>결론적으로 Mann-Kendall 검정에서는 식 (2.6)의 검정통계량 $ Z $ 를 이용해 시계열 자료에 경향성이 존재하는지를 검정할 수 있으며, 검정통계량값의 부호에 따라 경향의 방향성 또한 표현 가능하다. 본 연구에서는 Mann-Kendall 검정을 분석 대상 전지점의 연평균 기온자료 및 계절별 평균 기온자료에 대해 적용하여 연도별, 계절별 기온의 경향성을 분석하였다.</p> <h2>2.3. Sen's slope</h2> <p>Sen's slope 방법은 Sen (1968)이 제안한 추세 기울기의 정도를 평가하는 비모수적 방법으로, 추세 기울기의 추정을 위해 선형 모델을 사용한다. 식 (2.7)과 같이 정의되는 잔차 분산 $ Q_ { i } $ 를 이용하여 중앙값 $ Q_ {\text { med } } $ 를 구한 뒤 이 값을 Sen's slope 추정값으로 사용한다. 중앙값 $ Q_ {\text { med } } $ 는 식 (2.8)과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>\[ Q_ { i } = \frac { X_ { t } -X_ { t ^ {\prime } } } { t-t ^ {\prime } } . \]<caption>(2.7)</caption></p> <p>\[ Q_ {\text { med } } = \left \{\begin {array} { ll } Q_ {\frac { n + 1 } { 2 } } , & \text { if } n \text { is odd, } \\ \frac { Q_ { (n + 2) } + Q_ {\frac { n + 1 } { 2 } } } { 2 } , & \text { if } n \text { is even. } \end {array} \right . \]<caption>(2.8)</caption></p> <h2>2.4. Pettitt 검정</h2> <p>Pettitt 검정은 자료의 분포를 가정하지 않고 시계열 자료의 변동점(change point) 존재 여부를 검정하는 비모수적 검정 방법이다. 전체 $ T $ 시점의 시계열 자료에 대해 특정 $ t $ 시점이 변동점인지를 검정하기 위해 시계열 관측값의 순위(rank)를 이용하여 식 (2.9)와 같은 통계량 $ U_ { t, T } $ 를 계산한다. 각 시점 의 $ U_ { t, T } $ 중 최대값을 식 (2.10)과 같이 Pettitt 검정통계량 $ K_ { T } $ 로 정의한다. 또한 유의확률 $ P $ 는 식 (2.11)과 같이 계산할 수 있다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>최근 범지구적 이상기후의 잦은 출현으로 기상 변화와 관련한 연구가 활발히 이뤄지고 있다. 국내에서는 이상기후의 탐지와 기상자료의 분류 및 군집분석에 관한 연구가 활발히 진행되고 있다. Kim 등 (2017)은 기온과 강수량의 수치모델 격자자료를 이용하여 기상관측소를 월별로 군집 분석하여 공간적 패턴을 분석하였다. 또한 Baek 등 (2018)의 연구에서는 자기조직화지도를 이용한 서울특별시의 폭염 사례 분류를 다루었고, Lee 등 (2020)의 연구에서 여름철 한반도 폭염의 특성을 분석하였다. 하지만, 이와 같이 기상 변화에 대한 연구가 활발함에도 불구하고, 장기간의 기상자료를 이용한 기온 변화에 대한 경향성 분석 연구는 부족했다.</p> <p>이상기후의 잦은 출현은 인류의 안전과 지속 가능한 발전에 큰 위협 요인으로 작용할 가능성이 높다 (Swart 등, 2003). 기후변화의 객관적 평가와 향후 발생할 이상기후의 출현시점을 예측, 대비하기 위해서는 과거 장기간 기상관측자료를 바탕으로 한 기온에 대한 경향성 파악이 필수적이다. Choi 등 (2018)은 평균 기온 시계열자료의 경향성을 선형 추세로만 설명하는 것에 한계가 있음을 지적하면서, 추가로 변동점 분석(change point analysis)을 수행하였다. 본 연구에서는 비모수적분석방법을 이용해 40년간 축적된 남한지역의 연평균 기온 및 계절별 평균기온 시계열 자료에 대한 경향성 분석을 수행한 뒤, Pettitt test를 이용해 변동점 분석을 추가로 수행했다. 또한, 공간적 분석을 위해 남한지역의 종관기상관측장비(automated surface observing system; ASOS)로부터 축적된 기온자료를 대상으로 기상관측소 별로 경향성 분석을 수행하였다.</p> <h1>2. 자료 및 방법</h1> <p>현재 우리나라에서는 102개소의 ASOS로부터 기상관측자료가 축적되고 있다. 본 연구에서는 장기간의 기온변화를 파악하기 위해 102개소 중 1980년 3월 1일부터 2020년 2월 28일까지 최근 40년간의 기온자료가 축적된 60개 지점을 분석대상으로 하였다. 분석에 사용된 60개 ASOS 지점은 Figure 1과 같이 남한 전역에 고르게 분포하고 있다. 지도상에 나타난 번호는 각 기상관측소의 지점번호를 의미한다. 본 연구에서는 기온 자료에 대한 경향성 분석을 위해 비모수적 방법인 Mann-Kendall 검정 (Mann, 1945), Sen's slope (Sen, 1968), Pettitt 검정 (Pettitt, 1979) 등의 경향성 분석방법을 적용하였다.</p> <h2>2.1. 데이터 전처리</h2> <p>기상관측자료의 경우 관측장비의 오류, 설비고장 물리적 제약으로 일정 기간 연속적인 결측값을 갖는 경우가 있으므로 (Yozgatligil 등, 2013), 결측값이 발생한 지점의 경우 Kim 등 (2016)에서와 같은 방법으로 결측값을 대체하는 데이터 전처리 과정을 거친 후 분석에 사용하였다. 먼저, Legates와 McCabe (1999)가 제안한 d-index를 이용한다. d-index는 결측값이 존재하는 지점과 주변 지점의 시계열 간에 유사성을 측정하는 측도로 아래식 (2.1)과 같다.</p> <p>\[ d = 1.0- \frac {\sum_ { i } ^ { n } \left \|X_ { i } -Y_ { i } \right \| } {\sum_ { i } ^ { n } \left [ \left \|Y_ { i } - \bar { X } \right \|- \left \|X_ { i } - \bar { X } \right \| \right ] } , \]<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 $ Y_ { i } $ 는 결측이 존재하는 지점의 $ i $ 번째 관측값이고 $ X_ { i } $ 는 주변 지점의 $ i $ 번째 관측값, $ \bar { X } $ 는 주변 지점 관측값의 평균이다. $ n $ 은 관측값의 개수를 의미한다. d-index 값을 이용하여 기온자료에 결측값이 존재하는 지점을 기준으로 반경 $ 70 \mathrm { km } $ 이내의 주변 지점 중 기온 자료의 유사성이 가장 높은 지점을 선정하였다. 선정된 주변 지점들의 시계열 자료를 바탕으로 inverse distance weighting (IDW) 방법을 적용하였다. IDW는 식 (2.2)에서와 같이 결측값이 존재하는 지점과 시계열의 유사성이 높은 지점들간의 거리의 역수를 가중치로 두어 결측값을 대체하는 방법이다 (Di Piazza 등, 2011).</p> <p>\[ \hat { Y } _ { i } = \frac {\sum_ { i } ^ { K } \left [X_ { t i } w_ { i } ^ { * } \right ] } {\sum_ { i } ^ { K } w_ { i } ^ { * } } , \]<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 $ w_ { i } ^ { * } $ 는 거리의 역수로 가중치를 나타내며, $ X_ { t i } $ 는 $ i $ 번째 주변지점의 시계열, $ \hat { Y } _ { t } $ 는 $ t $ 시점 결측에 대한 대체값을 나타낸다. 본 연구에서는 d-index를 기준으로 시계열의 유사성이 가장 높은 주변 지점 3개를 선정하고 IDW 방법을 이용하여 ASOS로부터 수집된 일평균기온 자료의 결측값을 대체하여 사용하였다.</p> <h2>2.2. Mann-Kendall 검정</h2> <p>Mann-Kendall 검정은 세계기상기구(world meteorological organization)가 기상자료의 경향성 분석을 수행할 때 권장하는 검정 방법으로, 검정에 사용되는 데이터의 정규성을 요구하지 않는 비모수적 검정방법이다 (Kim과 Park, 2004). 시계열 자료 $ X_ { t } (t=1,2, \ldots, n) $ 에 하여 $ t ^ {\prime } =1,2, \ldots, n-1 $ 과 $ t=t ^ {\prime } + 1, \ldots, n $ 시점의 $ X_ { t } $ 에 대한 크기 비교를 통해 경향성의 존재 유무 및 경향의 방향성(상승 경향, 하강 경향, 무경향)을 식 (2.3)의 지시자(indicator) $ \operatorname { sgn } \left (X_ { t } -X_ { t ^ {\prime } } \right ) $ 을 이용하여 나타낸다.</p> <p>\[ \operatorname { sgn } \left (X_ { t } -X_ { t ^ {\prime } } \right )= \left \{\begin {array} { ll } 1, & \text { if } X_ { t } >X_ { t ^ {\prime } } , \\ 0, & \text { if } X_ { t } =X_ { t ^ {\prime } } , \\ -1, & \text { if } X_ { t }<X_ { t ^ {\prime } } . \end {array} \right . \]<caption>(2.3)</caption></p> <p>그리고 식 (2.3)을 이용하여 Kendall 통계량 $ S $ 를 식 (2.4)와 같이 정의한다.</p> <p>\[ S= \sum_ { t ^ {\prime } } ^ { n-1 } s_ { t } = \sum_ { t ^ {\prime } =1 } ^ { n-1 } \sum_ { t=t ^ {\prime } + 1 } ^ { n } \operatorname { sgn } \left (X_ { t } -X_ { t ^ {\prime } } \right ). \]<caption>(2.4)</caption></p> <p>이때 $ S $ 의 분산은 식 (2.5)와 같이 주어진다. $ m $ 은 데이터를 사계절로 분할하여 구성한 경우를 예로 들어 4개의 그룹으로 나눌 수 있는 것과 같이, 분석 범위에서의 그룹의 개수를 나타낸다.</p> <p>\[ \operatorname { Var } (S)= \frac { n(n-1)(2 n + 5)- \sum_ { i } ^ { m } t_ { i } \left (t_ { i } -2 \right ) \left (2 t_ { i } + 5 \right ) } { 18 } . \]<caption>(2.5)</caption></p> <p>표본의 수 $ n $ 이 10보다 클 때 $ (n>10), S $ 와 $ \operatorname { Var } (S) $ 를 이용하여 표준정규분포를 따르는 검정통계량 $ Z $ 를 다음의 식 (2.6)과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>\[ Z= \left \{\begin {array} { ll } \frac { S-1 } {\sqrt {\operatorname { Var } (S) } } , & S>0, \\ 0, & S=0, \\ \frac { S + 1 } {\sqrt {\operatorname { Var } (S) } } , & S<0. \end {array} \right . \]<caption>(2.6)</caption></p>	자연
s059-(이공계 학생을 위한) 미분적분학	<p>예제</p> <p>$ f(x)=x ^ { 4 } -4 x ^ { 3 } + 3 $으로 주어진 함수 $ f(x) $에 대해서, 극값과 변곡점을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x)=x ^ { 4 } -4 x ^ { 3 } + 3 $에서 $ f ^ {\prime } (x)=4 x ^ { 2 } (x-3), f ^ {\prime \prime } (x)=12 x(x-2) $를 얻는다. 이때 임계점을 구하기 위해 $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 풀면 $ x=0 $ 또는 $ x=3 $이고, 이들 임계점에 대해서 $ f ^ {\prime \prime } (0)=0, f ^ {\prime \prime } (3)=36 $이 된다.</p> <ol type=i start=1><li>$ f ^ {\prime } (3)=0 $ 이고 $ f ^ {\prime \prime } (3)>0 $ 이므로 $ f(3)=-24 $ 는 극솟값이다.</li> <li>$ f ^ {\prime } (0)=0 $이지만 $ f ^ {\prime \prime } (0)=0 $이므로 이계도함수 판정법으로 임계점 $ x=0 $에 대해서는 판정할 수 없다. 그러나 $ x<0,0<x<3 $인 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이므로, 일계도함수 판정법에 의해 $ f(x) $는 $ x=0 $에서 극값을 갖지 않는다.</li> <li>$ x=0 $ 또는 $ x=2 $에서 $ f ^ {\prime \prime } (x)=0 $이 된다. 이때 $ (0,3) $에서 곡선은 위로 오목에서 아래로 오목으로 변하므로, $ (0,3) $은 변곡점이다. 또한 $ (2,-13) $에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목으로 변하기 때문에, $ (2,-13) $은 변곡점이 된다.</li></ol> <p>함수 $ f(x) $가 구간 $ I $의 내점에서 극대 또는 극소를 갖는지의 여부를 결정하는 방법으로 다음 $ n $계 도함수 판정법을 이용할 수 있다.</p> <p>정리 12 $ n $계 도함수 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $가 한 점 $ c $를 포함하는 어떤 열린구간에서 연속인 $ n $계 도함수 $ f ^ { (n) } (x) $ (단, $ n \geq 2 $ )를 가지고, $ f ^ {\prime } (c)= \cdots=f ^ { (n-1) } (c)=0, f ^ { (n) } (c) \neq 0 $일 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ n $이 짝수이고 $ f ^ { (n) } (c)>0 \left ( \right . $ 또는 $ \left .f ^ { (n) } (c)<0 \right ) $이면, 함수 $ f(x) $ 는 $ x=c $에서 극솟값 (또는 극댓값 )을 갖는다.</li> <li>$ n $이 홀수이면, $ f(x) $는 $ x=c $에서 극값을 갖지 않는다. 그러나 $ n $이 홀수이고 $ f ^ {\prime \prime } (c)=f ^ { (3) } (c)= \cdots=f ^ { (n-1) } (c)=0, \quad f ^ { (n) } (c) \neq 0 $이면, $ (c, f(c)) $는 변곡점이 된다.</li></ol> <p>증명</p> <h3>(2) 일계도함수 판정법</h3> <p>극값을 구하기 위해서는 먼저 $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 만족하는 $ x $값을 구하고, 그중에서 극값을 갖는 것과 그렇지 못한 것을 구분한다. 또한 $ f ^ {\prime } (x) $가 존재하지 않는 점에서 극값의 존재 여부도 조사해야 한다.</p> <p>정리 7 일계도함수 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고, $ c \in(a, b) $가 $ f( \varkappa) $의 임계점일 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ a<x<c $인 모든 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $이고 $ c<x<b $인 모든 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이면, $ f(c) $는 극댓값이다.</li> <li>$ a<x<c $인 모든 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이고 $ c<x<b $인 모든 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $이면, $ f(c) $는 극솟값이다.</li> <li>$ x=c $의 좌우에서 $ f ^ {\prime } (x) $의 부호가 변하지 않으면, $ f(x) $는 $ x=c $에서 극값을 갖지 않는다.</li></ol> <p>증명</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고 나머지는 독자에게 남긴다. $ x \in(a, b) $라고 하자. $ a<x<c $에서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $이므로, $ f(x) $는 닫힌구간 $ [a, c] $에서 증가함수이다. 따라서 $ f(x)<f(c) $가 된다. 또한 $ c<x<b $에서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이므로, $ f(x) $는 닫힌구간 $ [c, b] $에서 감소함수이다. 따라서 $ f(c)>f(x) $가 된다. 그러므로 모든 $ x \in(a, b) $에 대해서, $ f(c) \geq f(x) $가 성립한다. 따라서 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극댓값을 갖는다.</p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 극값을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 4 } -4 x ^ { 3 } $</li> <li>$ f(x)= \sqrt[3] { (x-1) ^ { 2 } } $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ f ^ {\prime } (x)=4 x ^ { 2 } (x-3), f ^ {\prime \prime } (x)=12 x(x-2) $이다. 먼저 임계점을 구하기 위해 $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 풀면 $ x=0 $ 또는 $ x=3 $이고, 이들 임계점에 대해서 $ f ^ {\prime \prime } (0)=0, f ^ {\prime \prime } (3)=36 $이 성립한다. 이때</p> <ol type=i start=1><li>$ f ^ {\prime } (3)=0 $ 이고 $ f ^ {\prime \prime } (3)>0 $ 이므로, $ f(3)=-27 $ 은 극솟값이다.</li> <li>$ f ^ {\prime \prime } (0)=0 $ 이므로, 임계점 $ x=0 $ 에 대해서는 이계도함수 판정법을 적용할 수 없다. 그러나 $ x<0,0<x<3 $ 인 $ x $ 에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이므로, 일계도함수 판정법에 의해 $ f(x) $ 는 $ x=0 $ 에서 극값을 갖지 않는다.</li></ol> <p>(2) $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 2 } { 3 } (x-1) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } = \frac { 2 } { 3 \sqrt[3] { x-1 } } $가 된다. 이때 $ x=1 $에서 함수 $ f(x) $는 미분가능하지 않다. 그러나 충분히 작은 $ h $에 대해서 $ f ^ {\prime } (1-h)= \frac { 2 } { 3 \sqrt[3] { -h } }<0, f ^ {\prime } (1 + h)= \frac { 2 } { 3 \sqrt[3] { h } } >0 $이다. 즉 $ x=1 $의 좌우에서 $ f ^ {\prime } (x) $의 부호가 음에서 양으로 변한다. 따라서 $ f(x) $는 $ x=1 $에서 극솟값 0을 갖는다.</p> <p>정리 3 함수의 증가·감소 조건</p> <p>함수 $ f(x) $가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x) $가 증가함수이면, $ f ^ {\prime } (x) \geq 0 $</li> <li>$ f(x) $가 감소함수이면, $ f ^ {\prime } (x) \leq 0 $</li></ol> <p>이다. 단, $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 만족하는 점의 좌우에서 (1)은 $ f ^ {\prime } (x)>0,(2) $는 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이어야 한다.</p> <h2>2. 극대와 극소</h2> <h3>(1) 극댓값과 극솟값</h3> <p>정의 4 극댓값과 극솟값</p> <p>함수 $ f(x) $가 구간 $ D $에서 정의된 함수라 하고, $ c \in D $라고 할 때</p> <ol type= start=1><li>한 점 $ c $를 포함하는 적당한 열린구간 $ I $ (단, $ I \subset D $ )가 존재하여 $ I $의 모든 원소 $ x $에 대해서 $ f(c) \geq f(x) $를 만족하면 함수 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극댓값(local maximum value)을 갖는다고 하고, $ f(x) $는 $ x=c $에서 극대(local maximum)라고 한다. 이때 $ (c, f(c)) $를 극댓점이라고 한다.</li> <li>한 점 $ c $를 포함하는 적당한 열린구간 $ I $ (단, $ I \subset D) $가 존재하여 $ I $의 모든 원소 $ x $에 대해서 $ f(c) \leq f(x) $를 만족하면 함수 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극솟값(local minimum value)을 갖는다고 하고, $ f(x) $는 $ x=c $에서 극소(local minimum)라고 한다. 이때 $ (c, f(c)) $를 극솟점이라고 한다.</li> <li>극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(local extreme value)이라 하고, 극댓점과 극솟점을 통틀어 극점이라고 한다.</li></ol> <p>다음 정리는 페르마(Ferma)의 이름을 따서 명명되었다.</p> <p>정리 5 페르마 정리</p> <p>구간 $ I $의 내점 $ x=c $에서 함수 $ f(x) $가 극값을 갖고, $ f ^ {\prime } (c) $가 존재하면 $ f ^ {\prime } (c)=0 $</p> <p>증명</p> <p>$ f(x) $가 구간 $ I $의 임의의 내점 $ x=c $에서 극댓값을 갖는다고 가정하자. 그러면 $ c $에 충분히 가까운 $ x $에 대해서, $ f(c) \geq f(x) $가 성립한다. 따라서 $ h $가 0에 충분히 가까운 양 또는 음이면 $ f(c) \geq f(c + h) $, 즉 $ f(c + h)-f(c) \leq 0 $이므로, $ h>0 $이고 충분히 작은 $ h $에 대해서 $ \frac { f(c + h) \cdots f(c) } { h } \leq 0 $이 된다. 그러므로 $ \lim _ { h \rightarrow + 0 } \frac { f(c + h)-f(c) } { h } \leq0 $ 을 얻는다. 그런데 $ f ^ {\prime } (c) $가 존재하므로 $ f ^ {\prime } (c)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(c + h)-f(c) } { h } = \operatorname { lin } _ { h, + 0 } \frac { f(c + h)-f(c) } { h } $이고, $ f ^ {\prime } (c) \leq 0 $ 이 된다. 이제 $ h<0 $ 이면, $ \frac { f(c + h)-f(c) } { h } \geq 0 $ 이므로 $ f ^ {\prime } (c)= \operatorname { imm } _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(c + h)-f(c) } { h } = \operatorname { iim } _ { h \rightarrow-0 } \frac { f(c + h)-f(c) } { h } \geq 0 $이 된다. 따라서 $ f ^ {\prime } (c)=0 $을 얻는다. 극솟값을 갖는 경우도 같은 방법으로 증명한다.</p> <p>증명</p> <p>코시의 평균값정리에 의해 $ x<a $이면 $ \frac { f(a)-f(x) } { g(a)-g(x) } = \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } { y ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } $을 만족하는 $ c_ { 1 } $ (단, $ x<c_ { 1 }<a $ )이 존재하고, $ x>a $이면 $ \frac { f(x)-f(a) } { g(x)-g(a) } = \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } $인 $ c_ { 2 } $ (단, $ a<c_ { 2 }<x $ )가 존재한다. 그런데 $ f(a)=0=g(a) $이므로 $ x<a $이면, $ \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } \left ( \right . $ 단, $ \left .x<c_ { 1 }<a \right ) $</p> <p>$ x>a $이면, $ \frac { f } { g } (x)= \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } \left ( \right . $ 단, $ \left .a<c_ { 2 }<x \right ) $이고, $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $ 가 존재하므로 $ \lim _ { x \rightarrow a-0 } \frac { f(x) } { g(x) } = \lim _ { x \rightarrow a-0 } \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (c_ { 1 } \right ) } = \lim _ { x \rightarrow a-0 } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $ $ \lim _ { x \rightarrow a + 0 } \frac { f(x) } { g(x) } = \lim _ { x \rightarrow a + 0 } \frac { f ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (c_ { 2 } \right ) } = \lim _ { x \rightarrow a + 0 } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $가 된다. 따라서 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $ 가 성립한다.</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고, (2)는 (1)과 유사하게 증명되므로 독자에게 남긴다. $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $를 $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $인 구간 $ I $의 임의의 두 점이라고 하자. 그러면 함수 $ f(x) $는 닫힌구간 $ \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ] $에서 연속이고, 열린구간 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $에서 미분가능 하므로, 평균값정리에 의해 $ f \left (x_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 1 } \right )=f ^ {\prime } (x) \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) $을 만족하는 $ x=c \left ( \right . $단, $ \left .x_ { 1 }<c<x_ { 2 } \right ) $가 존재한다. 그런데 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이므로 $ f \left (x_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 1 } \right )>0 $, 즉 $ f \left (x_ { 2 } \right )>f \left (x_ { 1 } \right ) $가 성립한다. 따라서 함수 $ f(x) $는 구간 $ I $에서 증가한다.</p> <p>예제</p> <p>함수 $ f(x)=x ^ { 2 } e ^ { -x } $의 증감을 조사하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)=x(2-x) e ^ { x } $이고 $ e ^ { -x } >0 $이다. 따라서 $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 만족하는 $ x $는 $ x=0 $ 또는 $ x=2 $이다.</p> <ol type=i start=1><li>$ x<0 $일 때, $ f ^ {\prime } (x)<0 $이므로 $ f(x) $는 감소한다.</li> <li>$ 0<x<2 $일 때, $ f ^ {\prime } (x)>0 $이므로 $ f(x) $는 증가한다.</li> <li>$ x>2 $일 때, $ f ^ {\prime } (x)<0 $이므로 $ f(x) $는 감소한다.</li></ol> <p>참고</p> <p>[정리 2]의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } $은 모든 구간에서 증가하지만 $ f ^ {\prime } (0)=0 $이므로 $ f ^ {\prime } (x) \geq 0 $이다. 즉 $ f(x) $가 증가함수이면 $ f ^ {\prime } (x) \geq 0 $이다.</p> <h3>(3) 변곡점과 이계도함수 판정법</h3> <p>정의 8 위로 오목과 아래로 오목</p> <p>함수 $ f(x) $가 열린구간 $ I $에서 미분가능하다고 하자. 이때 함수 $ f(x) $의 그래프가 $ I $에서 항상 접선보다 위에 있으면, $ f(x) $는 위로 오목 (concave upward) 또는 아래로 볼록이라고 한다. 또한 함수 $ f(x) $의 그래프가 $ I $에서 항상 접선보다 아래에 있으면, $ f(x) $는 아래로 오목 (concave downward) 또는 위로 볼록이라고 한다.</p> <p>미분가능한 함수 $ f(x) $가 열린구간 $ I $에서 위로 오목 (또는 아래로 오목 )이라는 것은 $ f ^ {\prime } (x) $가 $ I $에서 증가 (또는 감소)하는 것을 의미한다.</p> <p>정리 9 오목성의 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $가 한 점 $ c $를 포함하는 어떤 열린구간 $ I $에서 두 번 미분가능할 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ I $에서 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $이면 $ f(x) $는 $ I $에서 위로 오목이다.</li> <li>$ I $에서 $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $이면 $ f(x) $는 $ I $에서 아래로 오목이다.</li></ol> <p>곡선 $ y=f(x) $위에 있는 한 점의 좌우에서 오목성이 바뀌면, 이 점을 변곡점 (inflec-tion point)이라고 한다.</p> <p>정리 10 변곡점 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $가 한 점 $ c $를 포함하는 어떤 열린구간 $ I $에서 두 번 미분가능하고 $ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $일 때, $ x=c $의 좌우에서 $ f ^ {\prime \prime } (x) $의 부호가 변하면 $ f(x) $는 $ x=c $에서 변곡점 $ (c, f(c)) $를 갖는다.</p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 변곡점을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 3 } -3 x $</li> <li>$ f(x)=x- \cos x( $ 단, $ 0<x<2 \pi) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) 오목성을 결정하기 위해 이계도함수를 구하면 $ f ^ {\prime \prime } (x)=6 x $가 된다. 이때 $ x>0 $이면 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0, x<0 $이면 $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $이다. 그러므로 곡선은 $ (- \infty, 0) $에서 아래로 오목이고, $ (0, \infty) $에서 위로 오목이다. 따라서 $ x=0 $을 중심으로 좌우에서 아래로 오목에서 위로 오목으로 변하므로, $ (0,0) $은 변곡점이 된다.</p> <p>증명</p> <p>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $에서 $ \frac { d y } { d x } =- \frac { x } { y } $ 이므로, 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서의 접선의 기울기는 $ - \frac { x_ { 1 } } { y_ { 1 } } $ 이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은</p> <p>(ⅰ) $ y_ { 1 } \neq 0 $ 일 때 : $ y-y_ { 1 } =- \frac { x_ { 1 } } { y_ { 1 } } \left (x-x_ { 1 } \right ) $, 즉 $ x_ { 1 } x + y_ { 1 } y=r ^ { 2 } $</p> <p>(ⅱ) $ y_ { 1 } =0 $ 일 때 : 원 위의 점 $ (-r, 0),(r, 0) $ 에서는 기울기를 구할 수 없으나, 원의 성질로부터 점 $ (-r, 0),(r, 0) $ 에서의 접선의 방정식은 각각 $ x=-r, x=r $ 이며, 이것은 위의 방정식 $ ( * ) $ 에 $ (-r, 0) $, $ (r, 0) $ 를 대입하여 얻은 것과 같다.</p> <p>따라서 ( i ), (ii)에서 구하는 접선의 방정식은 $ x_ { 1 } x + y_ { 1 } y=r ^ { 2 } $으로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>포물선 $ y ^ { 2 } =4 p x $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서의 접선의 방정식은 $ y_ { 1 } y=2 p \left (x + x_ { 1 } \right ) $이고, 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서의 접선의 방정식은 $ \frac { x_ { 1 } x } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 1 } y } { b ^ { 2 } } =1 $이다.</p> <p>구간 $ I $의 내점 $ x=c $에서 $ f ^ {\prime } (c)=0 $을 만족하는 $ x=c $를 정점 (stationary point)이라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>닫힌구간 $ [0,3] $에서 정의된 함수 $ f(x)=4 x-x ^ { 2 } $에 대해서, $ f(0)=0 $이 최솟값이 된다. 이때 도함수 $ f ^ {\prime } (x)=4-2 x $는 $ x=0 $에서 존재하지만, $ f ^ {\prime } (0) \neq 0 $임에 유의한다.</p> <p>페르마 정리의 역은 참이 아니다. 즉 $ f ^ {\prime } (c)=0 $을 만족하는 $ x=c $에서 항상 극값을 갖는다고 할 수 없다.</p> <p>예</p> <p>함수 $ f(x)=x ^ { 5 } $은 $ f ^ {\prime } (0)=0 $이지만 $ x=0 $에서 극값을 갖지 않는다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (c) $가 존재하지 않더라도 함수 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극값을 가질 수 있다. 이때 $ f ^ {\prime } (c) $가 존재하지 않는 점 $ x=c $를 특이점(singular point)이라고 한다. 특이점은 함수 $ f(x) $의 그래프가 뾰족한 모서리를 갖든지 접선이 수직이든지 또는 점프를 하는 점이다.</p> <p>예</p> <p>함수 $ f(x)=\|x\| $와 $ g(x)=x ^ { 2 / 3 } $은 $ x=0 $에서 극솟값을 갖는다. 그러나 $ f ^ {\prime } (x)=0 $을 만족하는 $ x $는 구할 수 없다. 왜냐하면 $ f ^ {\prime } (0) $이 존재하지 않기 때문이다.</p> <p>정의 6</p> <p>임계점 $ f(x) $의 정의역 내의 어떤 값 $ x=c $에 대해서 $ f ^ {\prime } (c)=0 $이거나 또는 $ f ^ {\prime } (c) $가 존재하지 않을 때, $ x=c $를 함수 $ f(x) $의 임계점 (critical point) 또는 임계수 (critical number)라고 한다.</p> <p>함수 $ f(x) $가 $ x=c $에서 극값을 가지면, $ x=c $는 $ f(x) $의 임계점이다. 그러나 모든 임계점에서 함수가 극값을 갖는 것은 아니다.</p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 임계점을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=2 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -12x $</li> <li>$ f(x)=x(1-x) ^ { 2 / 5 } $</li> <li>$ f(x)= \frac { 2 x ^ { 2 } } { x + 2 } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\[f ^ {\prime } (x)=6 x ^ { 2 } -6 x-12=6 \left (x ^ { 2 } -x-2 \right )=6(x-2)(x + 1) \]이므로, 임계점은 -1 또는 2이다.</li> <li>$ f ^ {\prime } (x)= \frac { 5-7 x } { 5(1-x) ^ { 3 / 5 } } $이다. 따라서 $ 5-7 x=0 $, 즉 $ x= \frac { 5 } { 7 } $이면 $ f ^ {\prime } (x)=0 $이고, $ x=1 $일 때 $ f ^ {\prime } (x) $는 존재하지 않는다. 그러므로 임계점은 $ \frac { 5 } { 7 } $ 또는 1 이다.</li> <li>함수 $ f(x) $의 정의역은 $ x=-2 $를 제외한 모든 실수의 집합 $ \mathbb { R } $이다. 여기서 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 2 x(x + 4) } { (x + 2) ^ { 2 } } $이므로, $ x=0 $ 또는 $ x=-4 $에서 $ f ^ {\prime } (x)=0 $이며 $ x=-2 $에서 $ f ^ {\prime } (x) $는 존재하지 않는다. 그런데 $ x=-2 $는 함수 $ f(x) $의 정의역에 속하지 않으므로, 임계점은 0 또는 -4이다.</li></ol> <p>예</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } } { e ^ { x } } $ 은 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형으로 로피탈 정리를 두 번 이용하여 극한을 구한다. $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } } { e ^ { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 x } { e ^ { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 } { e ^ { x } } =0 $</p> <p>$ 0 \cdot \infty \infty- \infty, 0 ^ { n } , 1 ^ {\infty } , \infty ^ { 0 } $ 형태의 부정형은 대수적 방법을 사용하거나 로그, 지수함수를 취함으로써, $ \frac { 0 } { 0 } $ 또는 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태로 변형한 후 로피탈 정리를 적용한다.</p> <h2>(1) 부정형의 곱</h2> <p>$ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=0, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \infty( $ 또는 $ - \infty) $ 일 때, 극한 $ \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x) $ 를 $ 0 \cdot \infty $ 형태의 부정형이라고 한다. 이 경우는 $ f g= \frac { f } {\frac { 1 } { g } } $ 또는 $ f g= \frac { g } {\frac { 1 } { f } } $로 변형하여, $ \frac { 0 } { 0 } , \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형에 로피탈 정리를 적용한다.</p> <h2>(2) 부정형의 차</h2> <p>$ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \infty, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \infty $ 일 때, 극한 $ \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)-g(x)] $ 를 $ \infty- \infty $ 형태의 부정형이라고 한다. 이 경우는 부정형 $ \frac { 0 } { 0 } , \frac {\infty } {\infty } $ 형태로 변형시킨 후 로피탈 정리를 적용한다.</p> <h3>(2) 매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $로 주어진 곡선</h3> <p>$ \{ f } (i), g(i) $의 이계도함수가 존재하면, $ \frac { d y } { d x } = \frac { g ^ {\prime } (t) } { f ^ {\prime } (t) } $이고 $ \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } = \frac { f ^ {\prime } (t) g ^ {\prime \prime } (t)-f ^ {\prime \prime } (t) g ^ {\prime } (t) } {\left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } $이므로, 매개변수로 표시한 곡률은 $ \kappa= \frac {\left \|f ^ {\prime } g ^ {\prime \prime } -f ^ {\prime \prime } g ^ {\prime } \right \| } {\left (f ^ {\prime 2 } + g ^ {\prime 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } $으로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>매개변수방정식 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $로 주어진 반지름이 $ r $인 원의 곡률을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>매개변수방정식 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 에 대해서 $ f ^ {\prime } =-r \sin \theta, f ^ {\prime \prime } =-r \cos \theta, g ^ {\prime } =r \cos \theta, g ^ {\prime \prime } =-r \sin \theta $이므로, 곡률은 $ \kappa= \frac { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } {\left (r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right ) ^ { 3 / 2 } } = \frac { 1 } { r } $이다.</p> <h3>(3) 극방정식 $ r=f( \theta) $로 주어진 곡선</h3> <p>극방정식 $ r=f( \theta) $로 주어진 곡선 $ C $위의 한 점 $ P(r, \theta) $에서 $ r $과 $ \frac { d r } { t 9 } $이 모두 0 이 아니면, $ P $ 에서의 곡률 $ k $는 $ \kappa= \left \| \frac { d \alpha } { d s } \right \|= \frac {\left \|r ^ { 2 } + 2 r ^ {\prime 2 } -r r ^ {\prime \prime } \right \| } {\left (r ^ { 2 } + r ^ {\prime 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } $으로 주어진다. 여기서 $ r ^ {\prime } $과 $ r ^ {\prime \prime } $은 각각 $ \theta $에 관한 $ r $의 일계도함수와 이계도함수이다.</p> <h1>$ 3.5 $ 부정형과 로피탈 정리</h1> <p>극한정리 [1.1절 정리 7 ]</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M \left ( \right . $ 단, $ M \neq 0 $ )일 때, $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { L } { M } $은 극한 연산에 많이 이용되지만, 조건 $ M \neq 0 $ 때문에 사용에 크게 제한을 받는다. 예를 들면 도함수의 정의 $ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } $ 조차도 이 정리가 적용되지 않는다. 이제 $ M=0 $일 때, $ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 부정형 (indeterminate form)의 극한을 구하는 방법을 생각한다. 여기서 $ \frac { 0 } { 0 } $이라는 표현은 수학적으로는 의미가 없다. 이것은 단지 분모와 분자가 모두 0에 접근하고 있다는 것을 의미할 뿐이다. 또 다른 부정형으로는 $ \frac {\infty } {\infty } , 0 \cdot \infty, \infty- \infty, 0 ^ { 0 } , 1 ^ {\infty } , \infty ^ { 0 } $ 형태가 있다. 먼저 부정형 $ \frac { 0 } { 0 } $과 $ \frac {\infty } {\infty } $를 구하는 방법에 초점을 맞춘다. 다른 부정형의 경우는, 로그나 지수를 취하거나 대수적 방법을 사용하여 $ \frac { 0 } { 0 } $와 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태로 변형하여 구한다.</p> <p>다음 로피탈 정리(L'Hospital's theorem)는 로피탈이 1696년에 발간한 그의 저서에 처음으로 등장했다.</p> <p>정리 1 $ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 로피탈 정리</p> <p>한 점 $ a $를 포함하는 어떤 열린구간 (단, $ a $는 제외 가능)에서 두 함수 $ f(x) $와 $ g(x) $가 미분가능하고, $ g ^ {\prime } (x) \neq 0 $이라고 하자. 이때 $ f(a)=0=g(a) $이고 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $가 존재하면 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $</p> <p>프랑스 수학자 코시에 의해 증명된 다음 정리는 평균값정리를 확장한 것이다. 코시의 평균값정리에서 $ g(x)=x $로 두면 평균값정리가 유도된다.</p> <p>정리 5</p> <p>코시의 평균값정리 두 함수 $ f(x), g(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고, 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능하며, 모든 $ x \in(a, b) $에 대해서 $ g ^ {\prime } (x) \neq 0 $이면 $ \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } = \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } $를 만족하는 $ x=c $ (단, $ a<c<b) $가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>$ g(a)=g(b) $라면, 롤의 정리에 의해 $ g ^ {\prime } (c)=0 $ (단, $ a<c<b $ )인 $ x=c $가 존재하게 되므로, 가정에 모순이 된다. 따라서 $ g(a) \neq g(b) $가 된다. 이제 $ k= \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } , \varphi(x)=f(b)-f(x)-k \{ g(b)-g(x) \} $라 놓고, 롤의 정리를 이용하면 $ \varphi ^ {\prime } (c)=0 $ (단, $ a<c<b $을 만족하는 $ x=c $ 가 존재한다. 따라서 $ \varphi ^ {\prime } (c)=-f ^ {\prime } (c) + k g ^ {\prime } (c)=0 $을 얻으며, $ g ^ {\prime } (c) \neq 0 $이므로 $ \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } = \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } ( $ 단, $ a<c<b) $</p> <p>코시의 평균값정리는 로피탈 정리를 증명하는 데 이용된다.</p> <p>참고</p> <p>[테일러 정리 (Taylor's theorem)] : 함수 $ f(x) $ 가 열린구간 $ (a, b) $ 에서 $ n $번 미분가능하고, 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 $ f ^ { (n-1) } $ 이 연속이면 \[f(b)=f(a) + \frac { f ^ {\prime } (a) } { 1 ! } (b - a) + \frac { f ^ {\prime \prime } (1) } { 2 ! } (b-a) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } \left (x_ { 0 } \right ) } { n ! } (b-a) ^ { n } \]이 성립하는 $ x_ { 0 } $ (단, $ a<x_ { 0 }<b $ ) 가 존재한다.</p> <p>정리 11 이계도함수 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $가 한 점 $ c $를 포함하는 어떤 열린구간 $ I $에서 연속인 이계도함수를 가질 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ f ^ {\prime } (c)=0 $이고 $ f ^ {\prime \prime } (c)>0 $이면, $ f(c) $는 극솟값이다.</li> <li>$ f ^ {\prime } (c)=0 $이고 $ f ^ {\prime \prime } (c)<0 $이면, $ f(c) $는 극댓값이다.</li></ol> <p>증명</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고, (2)는 (1)과 유사하게 증명할 수 있으므로 독자에게 남긴다. $ f ^ {\prime \prime } (c)>0 $이면, $ f ^ {\prime \prime } (x) $가 $ x=c $에서 연속이기 때문에 $ c $를 포함하는 적당한 열린구간 $ I $에서 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $이 된다. 따라서 오목성의 판정법 [정 리 9]에 의해, $ f(x) $는 $ I $에서 위로 오목이다. 그러므로 $ f(x) $의 그래프는 점 $ (c, f(c)) $에서 주어진 접선보다 위쪽에 놓여 있다. 그러나 $ f ^ {\prime } (c)=0 $이므로, $ (c, f(c)) $에서의 접선은 수평이다. 이것은 $ x \in I $일 때, $ f(x) \geq f(c) $임을 의미한다. 따라서 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극소값을 궂는다.</p> <p>참고</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $이거나 $ f ^ {\prime \prime } (c) $가 존재하지 않으면, 극값을 구하기 위해 이계도함수 판정법을 이용할 수 없다. 이 경우, $ f(c) $의 극값 여부를 판정하기 의해서는 일계도함수 판정법을 이용해야 한다.</p> <p>예</p> <p>함수 $ g(x)=x ^ { 4 } $에서 $ g ^ {\prime \prime } (0)=0 $이지만 $ (0,0) $은 변곡점이 아니고, 일계도함수 판정법 [정리 7]에 의해 $ g(x) $는 $ x=0 $에서 극솟값 0을 갖는다.</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime \prime } (c) $가 정의되지 않을 경우 $ x=c $의 좌우에서 $ f ^ {\prime \prime } (x) $의 부호가 변하면, $ (c, f(c)) $는 변곡점이 된다. 예를 들면 함수 $ f(x)=x ^ { 1 / 3 } $ 에서 $ f ^ {\prime \prime } (0) $은 존재하지 않지만, $ (0,0) $을 변곡점으로 갖는다. 왜냐하면 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 3 } x ^ { - \frac { 2 } { 3 } } \cdot f ^ {\prime \prime } (x)=- \frac { 2 } { 9 } x ^ { - \frac { 5 } { 3 } } $이므로 $ f ^ {\prime \prime } (0) $은 존재하지 않지만, $ x<0 $이면 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $이고 $ x>0 $이면 $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $이므로 $ (0,0) $은 변곡점이 된다.</p> <p>따라서 $ f(x) $는 $ x=1 $에서 극댓값 $ f(1)=e ^ { -1 } $을 가지고, 구간 $ (- \infty, 2) $에서 아래로 오목하고, $ (2, \infty) $에서 위로 오목하다. 그러므로 변곡점은 $ \left (2,2 e ^ { -2 } \right ) $이다. 한편 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } x e ^ { -x } =0, \lim _ { x \rightarrow- \infty } x e ^ { -x } =- \infty $이므로, 직선 $ y=0 $은 수평점근선이다. 이를 토대로 그래프를 그리면 다음과 같다.</p> <h2>5. 속도와 가속도</h2> <p>시각 $ t=t_ { 1 } $에서 움직이는 물체의 위치함수 $ s=f(t) $의 순간변화율 (속도) $ \mathbf { v } $는 작은 닫힌구간 $ \left [t_ { 1 } , t_ { 2 } \right ] $에 대한 평균변화율 (평균속도)의 극한 $ \mathbf { v } = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta t } = \lim _ { t_ { 2 } \rightarrow t_ { 1 } } \frac { f \left (t_ { 2 } \right )-f \left (t_ { 1 } \right ) } { t_ { 2 } -t_ { 1 } } =f ^ {\prime } (t) $</p> <p>로 주어진다. 이 극한은 시각 $ t=t_ { 1 } $에서 $ f(t) $의 미분계수 $ f ^ {\prime } \left (t_ { 1 } \right ) $이다. 이것은 $ s=f(t) $의 시각 $ t $에 관한 변위 $ s $의 순간변화율로서의 도함수 $ f ^ {\prime } \left (t_ { 1 } \right ) $에 대한 또 다른 설명이다. 이때 속도의 절댓값 $ \left \|f ^ {\prime } \left (t_ { 1 } \right ) \right \| $을 물체의 속력이라고 한다. 한편 속도의 시간에 대한 순간변화율을 시각 $ t $에서의 가속도라 하고 $ \mathbf { a } = \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta \mathbf { v } } {\Delta t } = \lim _ { t_ { 2 } \rightarrow t_ { 1 } } \frac {\mathbf { v } \left (t_ { 2 } \right )- \mathbf { v } \left (t_ { 1 } \right ) } { t_ { 2 } -t_ { 1 } } =f ^ {\prime \prime } (t) $로 표시한다.</p> <h1>$ 3.1 $ 접선과 법선의 방정식</h1> <p>함수 $ y = f(x) $ 가 $ x=x_ { 0 } $ 에서 미분가능할 때, $ y=f(x) $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $ 에서의 접선의 방정식은 $ y-f \left (x_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) $이고, 법선의 방정식은 $ y-f \left (x_ { 0 } \right )=- \frac { 1 } { f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } \left (x-x_ { 0 } \right ) $로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>$ \sin (x + y)=y ^ { 2 } \cos x $ 위의 한 점 $ (0,0) $에서 접선의 방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>음함수 미분법을 이용하면 $ \cos (x + y) \left (1 + \frac { d y } { d x } \right )=2 y \frac { d y } { d x } \cos x + y ^ { 2 } (- \sin x) $이다. 이때 $ \frac { d y } { d x } = \frac { y ^ { 2 } \sin x + \cos (x + y) } { 2 y \cos x- \cos (x + y) } $이므로, 한 점 $ (0,0) $에서의 미분계수는 $ \left . \frac { d y } { d x } \right \|_ { x=0, y=0 } =-1 $이 된다. 따라서 접선의 방정식은 $ y=-x $이다.</p> <p>예제</p> <p>원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서의 접선의 방정식은 $ x_ { 1 } x + y_ { 1 } y=r ^ { 2 } $으로 주어짐을 보이시오.</p> <h3>(2) 극방정식 $ r=f( \theta) $로 주어진 곡선</h3> <p>직교좌표와 극좌표 사이의 관계식 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $를 미분하면 $ d x= \cos \theta d r-r \sin \theta d \theta, d y= \sin \theta d r + r \cos \theta d \theta $가 되므로, $ d s= \pm \sqrt { (d x) ^ { 2 } + (d y) ^ { 2 } } $에 대입하여 간단히 하면, 극좌표로 표시된 호의 길이의 미분은 $ d s= \pm \sqrt { (d r) ^ { 2 } + r ^ { 2 } (d \theta) ^ { 2 } } $ 또는 $ d s= \pm \sqrt { r ^ {\prime 2 } + r ^ { 2 } } d \theta $가 된다.</p> <p>예</p> <p>원 $ r=a \sin \theta $ 에 대해서, $ r ^ {\prime } =a \cos \theta $ 이므로 $ d s= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } d \theta= \pm a d \theta $</p> <h2>2. 곡률</h2> <p>$ P(x, y) $와 $ Q(x + \Delta x \cdot y + \Delta y) $를 곡선 $ y=f(x) $ 위의 두 점이라 하고, 접선이 $ P $ 와 $ Q $ 사이에 있는 곡선 $ \Delta s $를 그릴 때, 접선은 각 $ \Delta \alpha $만큼 회전함을 알 수 있다. 이때 $ \frac {\Delta \alpha } {\Delta s } $를 곡선 $ P Q $의 평균곡률이라 하고, 곡선 위의 한 점 $ P $에서의 곡률 (curvature) $ \kappa $를 $ \kappa= \left \| \lim _ {\Delta s \rightarrow 0 } \frac {\Delta \alpha } {\Delta s } \right \|= \left \| \frac { d \alpha } { d s } \right \| $로 정의한다. 즉 곡률 $ \kappa $는 한 점 $ P $의 근방에서 곡선의 구부러진 상태의 비율을 나타낸다.</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고, (2)는 (1)과 유사하게 증명할 수 있으므로 독자에게 남긴다. 테일러 정리로부터 $ f(c + h)-f(c)= \frac { h ^ { n } } { n ! } f ^ { (n) } (c + \theta h)( $ 단, $ 0< \theta<1) $를 얻는다. 그런데 $ h ^ { n } >0 $이고, 충분히 작은 $ \|h\| $에 대해서 $ f ^ { (n) } (c) $와 $ f ^ { (n) } (c + \theta h) $는 동부호이다. 따라서 $ f ^ { (n) } (c)>0 $ (또는 $ \left .f ^ { (n) } (c)<0 \right ) $이면 $ f(c + h)-f(c)>0( $ 또는 $ f(c + h)-f(c)<0) $이므로, (1)이 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>함수 $ y=x ^ { 5 } -5 x ^ { 4 } + 10 x ^ { 3 } -10 x ^ { 2 } + 5 x + 1 $ 의 변곡점을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x)=x ^ { 5 } -5 x ^ { 4 } + 10 x ^ { 3 } -10 x ^ { 2 } + 5 x + 1 $ 로 놓으면 $ f ^ {\prime } (x)=5 x ^ { 4 } -20 x ^ { 3 } + 30 x ^ { 2 } -20 x + 5 $이므로, $ f ^ {\prime \prime } (1)=0 $이 된다. 그런데 $ f ^ { (3) } (x)=60(x-1) ^ { 2 } $에서 $ f ^ { (3) } (1)=0 $ $ f ^ { (4) } (x)=120(x-1) $에서 $ f ^ { (4) } (1)=0 $ $ f ^ { (5) } (x)=120 $에서 $ f ^ { (5) } (1) \neq 0 $이므로, 함수 $ f(x) $는 변곡점 $ (1,2) $를 갖는다.</p> <h2>3. 극대와 극소를 이용한 최적화</h2> <p>최댓값이나 최솟값을 구하는 문제, 즉 최적화 문제에 미분적분학을 이용할 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \pi-0 } \frac {\sin x } { 1- \cos x } $를 구할 때, 분모 $ 1- \cos x $가 $ x \rightarrow \pi-0 $일 때 0 으로 접근하지 않으므로 로피탈 정리를 적용할 수 없다.</p> <p>예제</p> <p>로피탈 정리를 이용하여, 다음 극한을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } } { 3 ^ { x } -1 } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } {\sin x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\tan x } { x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 부정형이므로, $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } } { 3 ^ { x } -1 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 x } { 3 ^ { x } \ln 3 } =0 $</li> <li>$ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 부정형이므로, $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } {\sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } {\cos x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \tan x=0 $</li> <li>$ \frac { 0 } { 0 } $ 형태의 부정형이므로, $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\tan x } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sec ^ { 2 } x } { 1 } =1 $</li></ol> <p>정리 2 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 로피탈 정리</p> <p>한 점 $ a $를 포함하는 어떤 열린구간 (단, $ a $는 제외 가능 )에서 $ f(x) $와 $ g(x) $가 미분가능하고, $ g ^ {\prime } (x) \neq 0 $이라고 하자. 이때 $ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \pm \infty= \lim _ { x \rightarrow a } g(x) $이고 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $가 존재하면 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $</p> <h2>(3) 부정형의 멱</h2> <p>$ \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)] ^ { g(x) } $ 을 구할 때, $ 0 ^ { 0 } , 1 ^ {\infty } , \infty ^ { 0 } $ 형태의 부정형은 자연로그를 이용한다.</p> <p>예제</p> <p>로피탈 정리를 이용하여, 다음 극한을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } $</li> <li>$ \operatorname { iim } _ { x \rightarrow + 0 } ( \sin x) ^ { x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } $ 은 $ 1 ^ {\infty } $ 형태의 부정형이다. 따라서 $ y= \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } $ 이라 놓고, 양변에 자연로그를 취하면 $ \ln y=x \ln \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) $ 이므로 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \ln y= \lim _ { x \rightarrow \infty } x \ln \left (1 + \frac { 1 } { x } \right )= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) } {\frac { 1 } { x } } $이다. 이때 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \ln \left (1 + \frac { 1 } { x } \right )=0= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { x } $ 이므로, 로피탈 정리에 의해 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) } {\frac { 1 } { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { x } } \left (- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right ) } { - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { x } } =1 $을 얻는다. 따라서 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } =e ^ { 1 } =e $ 이다.</li> <li></li></ol> <p>$ \lim _ { x \rightarrow + 0 } ( \sin x) ^ { x } $ 은 $ 0 ^ { 0 } $ 형태의 부정형이다. 따라서 $ y=( \sin x) ^ { x } $ 로 놓고, 양변에 자연로그를 취하면 $ \ln y=x \ln ( \sin x) $ 이므로 $ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow + 0 } \ln y &= \lim _ { x \rightarrow + 0 } x \ln ( \sin x) = \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac {\ln ( \sin x) } { 1 / x } = \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac { ( \sin x) ^ { -1 } \cos x } { -x ^ { -2 } } = \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac { ( \sin x) ^ { -1 } \cos x } { -x ^ { -6 } } \left ( \frac { x ^ { 2 } \sin x } { x ^ { 2 } \sin x } \right )= \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac { -x ^ { 2 } \cos x } {\sin x } = \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac { -2 x \cos x + x ^ { 2 } \sin x } {\cos x } = \frac { 0 } { 1 } =0 \end {aligned} $을 얻는다. 따라서 $ \lim _ { x \rightarrow + 0 } ( \sin x) ^ { x } =e ^ { 0 } =1 $ 이다.</p> <p>(2) $ f(x)=x- \cos x $ (단, $ 0<x<2 \pi $ )에서 $ f ^ {\prime } (x)=1 + \sin x, f ^ {\prime \prime } (x)= \cos x $이므로, $ x= \frac {\pi } { 2 } $ 또는 $ x= \frac { 3 \pi } { 2 } $일 때, $ f ^ {\prime \prime } (x)=0 $이 된다. 점 $ \left ( \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) $에서 곡선은 위로 오목에서 아래로 오목으로 변하므로 $ \left ( \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) $는 변곡점이다. 또한 점 $ \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) $에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목으로 변하기 때문에 $ \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) $은 변곡점이 된다.</p> <p>참고</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime \prime } (c) $ 가 존재하지 않는 점이 변곡점이 될 수 있는 점이다. 그러나 $ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime \prime } (c) $ 가 존재하지 않는 점이 항상 변곡점일 필요는 없다.</p> <p>예</p> <p>(1) 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } $ 에서 $ f ^ {\prime \prime } (0)=0 $ 이다. 이때 함수 $ f(x) $는 $ x=0 $에서 극값을 갖지 않고, $ (0,0) $이 $ f(x) $의 변곡점이 된다.</p> <p>(2) 함수 $ f(x)=x ^ { 4 } $에서 $ f ^ {\prime \prime } (0)=0 $이다. 이때 함수 $ f(x) $는 $ x=0 $에서 극값 0을 갖고, $ (0,0) $은 $ f(x) $의 변곡점이 아니다.</p> <p>이계도함수의 또 다른 응용은 함수의 극값을 구하는 데 있다.</p> <p>이다. 이때 $ x=4, d x= \Delta x=0.5 $ 를 취하면 $ f(4)=2$, $d y=0.125 $ 이므로</p> <p>$ \sqrt { 4.5 } =f(4 + 0.5) \approx f(4) + d y=2 + 0.125=2.125 $</p> <p>가 된다.</p> <p>예제</p> <p>구의 반지름을 측정한 결과 $ 21 \mathrm { ~cm } $ 이었고, 최대 오차는 $ 0.05 \mathrm { ~cm } $ 이었다. 이 결과를 이용하여 구의 부피를 계산할 때 최대 오차를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>구의 반지름을 $ r $ 이라 하면, 부피는 $ V= \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ { 3 } $ 으로 주어진다. 따라서 $ r $의 측정값에서 오차가 $ d r= \Delta r $ 이면, $ V $ 를 계산할 때 오차는 $ \Delta V $ 이다. 그러므로 미분을 이용하여 근삿값을 구하면 $ d V=4 \pi r ^ { 2 } d r $이 된다. 그런데 $ r=21 $이고 $ d r=0.05 $이므로 $ d V \approx 277 $이 되고, 따라서 부피의 계산에서 최대 오차는 약 $ 277 \mathrm { ~cm } ^ { 3 } $ 이 된다.</p> <p>참고</p> <p>선형근사보다 더 좋은 근삿값을 구하기 위해 이차근사식을 이용한다. $ y=f(x) $ 가 $ x_ { 0 } $ 근방에서 정의된 두 번 미분가능한 함수일 때, $ x_ { 0 } $ 근방에서 $ y=f(x) $ 에 대한 이차근사식은 $ f(x) \approx f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ {\prime \prime } \left (x_ { 0 } \right ) } { 2 } \left (x-x_ { 0 } \right ) $로 주어진다.</p> <h2>2. 뉴턴의 방법</h2> <p>미분가능한 함수 $ f(x) $ 에 대해서, 방정식 $ f(x)=0 $ 의 근에 대한 근삿값을 구하는 방법에는 그래프에 의한 방법과 보간법 (interpolation)이 있다. 여기서는 그래프를 이용하여 방정식 $ f(x)=0 $ 의 근에 대한 근삿값을 구하는 뉴턴의 방법에 대해서 알아본다. 뉴턴의 방법은 근의 근삿값을 구하는 정확하고 빠른 방법 중의 하나이다.</p> <h1>3.2 호의 길이의 미분과 곡률</h1> <h2>1. 호의 길이의 미분</h2> <p>연속인 곡선 위에서 서로 다른 두 점 $ P $ 와 $ Q $ 사이의 부분을 호(arc)라 하고, 호의 길이가 유한일 때 길이를 갖는 호(rectifiable arc)라고 한다. 보통 '곡선의 길이'와 '호의 길이'를 혼용한다.</p> <h3>(1) 매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $으로 주어진 곡선</h3> <p>$ s $를 매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $로 주어진 곡선 위의 점 $ P_ { 0 } \left (t_ { 0 } \right ) $에서 $ P(t) $까지 측정된 호의 길이라 하고, $ t $가 증가할 때 $ s $도 증가한다고 하자. 그러면 $ \begin {aligned} \frac {\Delta s } {\Delta t } &= \frac {\Delta s } {\overline { P Q } } \cdot \frac {\overline { P Q } } {\Delta t } = \frac {\Delta s } {\overline { P Q } } \frac {\sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + ( \Delta y) ^ { 2 } } } {\Delta t } = \frac {\Delta s } {\overline { P Q } } \sqrt {\left ( \frac {\Delta x } {\Delta t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\Delta y } {\Delta t } \right ) ^ { 2 } } \end {aligned} $이다. 따라서 $ \Delta t $가 0에 접근할 때 $ \frac {\Delta s } {\overline { P Q } } $는 1에 접근하므로, $ t $에 관한 $ s $의 도함수는 $ \frac { d s } { d t } = \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } $이 된다. 그러므로 호의 길이에 대한 미분 $ d s= \mp \sqrt { (d x) ^ { 2 } + (d y) ^ { 2 } } $을 얻는다.</p> <p>다음 정리는 롤의 정리의 특별한 경우이다.</p> <p>정리 2</p> <p>함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능할 때, 방정식 $ f(x)=0 $이 $ [a, b] $에서 두 개의 해를 가지면 $ f ^ {\prime } (x)=0 $은 $ (a, b) $에서 적어도 하나의 해를 갖는다.</p> <p>증명</p> <p>방정식 $ f(x)=0 $의 두 해를 $ x=s, x=t $ (단, $ s<t $ )라고 하자. 그러면 $ f(s)=f(t) $이므로, 롤의 정리에 의해 $ s<c<t $ ( 따라서 $ a<c<b) $이고 $ f ^ {\prime } (x)=0 $인 $ c $가 존재한다.</p> <p>[정리 2 ]의 결과를 다음과 같이 일반화할 수 있다.</p> <p>따름정리</p> <p>임의의 $ n>0 $ (단, $ n \in \mathbb { N } $ )에 대해서 함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능할 때, 방정식 $ f(x)=0 $이 $ \lceil a, b] $에서 $ n $개의 해를 가지면 $ f ^ {\prime } (x)=0 $은 $ (a, b) $에서 적어도 $ n-1 $개의 해를 갖는다.</p> <h2>2. 평균값정리</h2> <p>프랑스의 수학자 라그랑주(Lagrange)에 의해 증명된 다음 평균값정리(mean-value theorem)는 롤의 정리를 일반화한 것이다.</p> <p>정리 3</p> <p>평균값정리 함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고, 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능하면 $ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $를 만족하는 $ x=c $ (단, $ a<c<b $ )가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>$ h(x)=f(x)-f(a)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } (x-a) $로 정의된 함수 $ h(x) $는 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고, 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능하다. 또한 $ h(a)=h(b) $이므로, 롤의 정리에 의해 $ h ^ {\prime } (c)=0 $을 만족하는 $ x=c( $ 단, $ a<c<b) $가 적어도 하나 존재한다. 그러므로 $ 0=h ^ {\prime } (c)=f ^ {\prime } (c)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $, 즉 $ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $가 된다.</p> <p>예</p> <p>닫힌구간 $ [-2,4] $에서 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 2 $의 최댓값과 최솟값을 구해보자. 함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [-2,4] $에서 연속이므로, $ f(x) $는 최댓값과 최솟값을 갖는다. 먼저 $ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -6 x=3 x(x-2) $이므로, 임계점은 0 또는 2로 주어진다. 이때 극댓값은 $ f(0)=2 $이고, 극솟값은 $ f(2)=-2 $이다. 한편 닫힌구간의 양 끝점에서의 함숫값은 $ f(-2)=-18 $이고 $ f(4)=18 $이다. 따라서 함수 $ f(x) $의 최댓값은 $ f(4)=18 $이고, 최솟값은 $ f(-2)=-18 $이다.</p> <p>최대 또는 최소가 되는 어떤 양의 문제를 해결하기 위해서는, 미분하기 전에</p> <ol type=1 start=1><li>그려야 할 그림이 있다면 먼저 그린다.</li> <li>변수들과 그것들의 관계가 어떻게 되는지 알아보고, 최대가 되거나 최소가 되어야 할 양을 한 변수의 함수로 나타낸다.</li></ol> <p>를 먼저 확인하여야 한다.</p> <p>예제</p> <p>둘레가 $ 40 \mathrm { ~m } $인 울타리를 이용하여 직사각형 모양의 작은 정원을 만들 때, 이 울타리로 둘러싸인 넓이가 최대인 것은 한 변의 길이가 $ 10 \mathrm { ~m } $인 정사각형임을 보이시오.</p> <p>증명</p> <p>직사각형 울타리의 가로와 세로를 각각 $ x, y $라 하고, 넓이 $ A=x y $가 최대가 되는 값을 구하면 된다. 그런데 울타리의 둘레가 $ 40 \mathrm { ~m } $이므로 $ 2 x + 2 y=40 $이 된다. $ y=20-x $ 를 $ A=x y $에 대입하면 $ A(x)=x(20-x)( $ 단, $ 0 \leq x \leq 20) $로 주어진다. 이때 $ A ^ {\prime } (x)=2(10-x) $이므로, $ x=10 $에서 $ A $는 최대 넓이를 갖는다. 따라서 넓이가 최대인 것은 한 변의 길이가 $ 10 \mathrm { ~m } $인 정사각형 모양의 정원이다. 이때 최개 넓이는 $ 100 \mathrm { ~m } ^ { 2 } $이다.</p> <p>일반적으로 극값에 관한 문제를 풀 때는 하나의 변수로 표시하는 것이 유익하지만, 두 개 이상의 변수를 사용하여 음함수로 보고 풀 수도 있다.</p> <p>예제</p> <p>정점 $ (0,-1) $에서 타원 $ x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } =4 $ 에 내접하는 이등변삼각형의 최대 넓이를 구하시오.</p> <p>예제</p> <p>$ x_ { 0 } = \frac {\pi } { 3 } $에서 $ f(x)= \cos x $의 선형화를 구하고, 이것을 이용하여 $ \cos 1 $의 근삿값을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)=- \sin x $이므로, $ x_ { 0 } = \frac {\pi } { 3 } $에서 $ f(x)= \cos x $의 선형화는 $ L(x)= \cos \left ( \frac {\pi } { 3 } \right )- \sin \left ( \frac {\pi } { 3 } \right ) \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right )= \frac { 1 } { 2 } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) $이고, 선형근사식은 $ \cos x \approx \frac { 1 } { 2 } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) $로 주어진다. 따라서 $ \cos 1 \approx \frac { 1 } { 2 } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \left (1- \frac {\pi } { 3 } \right ) \approx 0.5409 $</p> <p>정의 1 미분</p> <p>$ y=f(x) $ 가 미분가능한 함수일 때, 미분 $ d x $ 는 실숫값을 갖는 독립변수이고, 미분 $ d y $는 $ d y=f ^ {\prime } (x) d x $로 정의되는 종속변수이다.</p> <p>미분가능한 함수 $ y=f(x) $에 대해서, $ \| \Delta x\| $가 충분히 작으면 $ \Delta y $와 $ d y $의 차는 매우 작아지므로, 함수의 증분 $ \Delta y $의 근삿값(approximation)으로 $ d y $를 사용할 수 있다. $ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) d x $가 성립한다.</p> <p>예</p> <p>미분을 이용하여, $ \sqrt { 4.5 } $의 근삿값을 구해보자. $ y=f(x)= \sqrt { x } $라고 하면 $ d y=f(x) d x= \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } d x $</p> <p>풀이</p> <p>밑변이 점 $ P(x, y) $에서 타원과 만난다고 하면, 이등변삼각형의 넓이 $ A $는 $ A(x, y)=x(y + 1), x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } =4 $로 주어진다. 이 방정식의 각각에 음함수 미분법을 이용하면 $ \frac { d A } {\dot { u } x } =y + 1 + x \frac { d y } { d x } , \quad x + 4 y \frac { d y } { d x } =0 $을 얻는다. 그런데 $ A $가 극대가 되어야 하므로 $ \frac { d A } { d x } =0 $으로 놓고 두 방정식에서 $ \frac { d y } { d x } $를 소거하면, $ 4 y ^ { 2 } + 4 y=x ^ { 2 } $이 된다. 이 방정식과 $ x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } =4 $에서 $ x $를 소거하면, $ y= \frac { 1 } { 2 } $ 또는 $ y=-1 $을 얻는다. 이때 $ A $는 $ y=-1 $일 때 최소 넓이 0을 갖고, $ y= \frac { 1 } { 2 } $일 때 최대 넓이를 갖게 된다. 따라서 $ x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } =4 $에 $ y= \frac { 1 } { 2 } $을 대입하면 $ x= \sqrt { 3 } $이므로, 최대 넓이는 $ A \left ( \sqrt { 3 } , \frac { 1 } { 2 } \right )= \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 3 } $이다.</p> <h2>4. 함수의 그래프</h2> <p>곡선을 그리는 과정에서 도함수를 이용하면 어느 정도 정확한 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 지금까지 곡선을 그리는 데 필요한 정의역과 치역, 극한과 연속, 도함수와 접선, 극대와 극소, 증가 또는 감소구간, 오목성과 변곡점 등을 살펴보았다. 이 자료를 이용하여 함수의 그래프를 그린다.</p> <p>테일러 정리로부터 $ n=1 $일 때 평균값정리를 얻는다.</p> <h1>3.4 함수의 증감과 극대 · 극소</h1> <h2>1. 함수의 증감</h2> <p>한 점 $ a $를 포함하는 어떤 구간에서 정의된 함수 $ f(x) $가 충분히 작은 모든 양수 $ h $에 대해서 $ f(a-h)<f(a)<f(a + h) $를 만족하면 함수 $ f(x) $는 $ x=a $에서 증가상태에 있다고 하고, $ f(a-h)>f(a)>f(a + h) $를 만족하면 $ x=a $에서 감소상태에 있다고 한다. 함수 $ f(x) $가 어떤 구간 안의 모든 $ x $에서 증가상태 또는 감소상태이면, $ f(x) $는 그 구간에서 증가(strictly increasing) 또는 감소(strictly decreasing)라고 한다.</p> <p>정의 1 단조함수</p> <p>$ f(x) $가 구간 $ I $에서 정의된 함수일 때, 임의의 두 점 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ (단, $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $ )에 대해서 $ f \left (x_ { 1 } \right )<f \left (x_ { 2 } \right ) \left ( \right . $ 또는 $ \left .f \left (x_ { 1 } \right )>f \left (x_ { 2 } \right ) \right ) $를 만족하면, $ f(x) $를 $ I $에서 증가(또는 감소)함수라고 한다. 또한 구간 $ I $에서 증가함수이거나 감소함수일 때, $ I $에서 단조함수라고 한다.</p> <p>함수 $ f(x)=x ^ { 2 } $은 구간 $ (- \infty, 0] $에서 감소하고 구간 $ \left . [0, \infty \right ) $에서는 증가하므로 $ (- \infty, 0] $과 $ [0, \infty) $에서 각각 단조함수이지만, 구간 $ (- \infty, \infty) $ 에서는 단조함수가 아니다.</p> <p>정리 2 단조함수의 판정법</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 구간 $ I $ 에서 연속이고, $ I $ 내부의 모든 점에서 미분가능할 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ I $의 모든 내점에서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $이면, $ f(x) $는 $ I $에서 증가한다.</li> <li>$ I $의 모든 내점에서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이면, $ f(x) $는 $ I $에서 감소한다.</li></ol> <p>증명</p> <p>먼저 $ a_ { 1 } $을 방정식 $ f(x)=0 $의 근 $ r $에 대한 제 1 근삿값이라 하고, $ \left (a_ { 1 } , f \left (a_ { 1 } \right ) \right ) $ 에서 곡선 $ y=f(x) $의 접선 $ L $을 구한다. 이때 $ L $의 $ x $축 절편을 $ a_ { 2 } $라고 하자. 이 $ a_ { 2 } $를 $ r $에 대한 제 2 근삿값으로 사용한다. $ a_ { 1 } $에 대한 $ a_ { 2 } $의 관계식을 얻기 위해, $ L $의 기울기가 $ f ^ {\prime } \left (a_ { 1 } \right ) $인 것을 이용하면 $ y-f \left (a_ { 1 } \right )=f ^ {\prime } \left (a_ { 1 } \right ) \left (x-a_ { 1 } \right ) \0이 된다. 그런데 \( L $의 $ x $축 절편이 $ a_ { 2 } $이므로 $ y=0 $으로 놓으면, $ f ^ {\prime } \left (a_ { 1 } \right ) \neq 0 $ 일 때 $ a_ { 2 } =a_ { 1 } - \frac { f \left (a_ { 1 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (a_ { 1 } \right ) } $이 구해진다. 다음에 $ a_ { 1 } $을 $ a_ { 2 } $로 대치하여 같은 과정을 반복한다. 이때 $ \left (a_ { 2 } , f \left (a_ { 2 } \right ) \right ) $에서의 접선을 이용하면, 제 3 근삿값 $ a_ { 3 } =a_ {\imath } - \frac { f \left (a_ { 2 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (a_ { 2 } \right ) } $를 얻는다.</p> <p>이러한 과정을 반복하면 $ f ^ {\prime } \left (a_ { n } \right ) \neq 0 $ 일 때, 근사점화수열 $ a_ { n + 1 } =a_ { n } - \frac { f \left (a_ { n } \right ) } { f ^ {\prime } \left (a_ { n } \right ) } \left ( \right . $ 단, $ \left .r_ { 1 } -1,2, \cdots \right ) $을 얻을 수 있다. 이 과정을 뉴턴 - 랩슨 방법 (Newton - Raphson's method) 또는 뉴턴의 방법 (Newton's method)이라고 한다. 특히 $ n $ 이 커짐에 따라 $ a_ { n } $ 이 $ r $ 에 점점 더 가까워지면, 이 수열은 $ r $ 로 수렴한다고 하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =r $ 로 나타낸다.</p> <h3>(1) 직교방정식 $ y=f(x) $로 주어진 곡선</h3> <p>두 번 미분가능한 함수 $ y=f(x) $에 대해서, $ \tan \alpha=y ^ {\prime } $이므로, $ \alpha= \operatorname { ta } _ { 1 } { } ^ { -1 } y $을 미분하여 $ d \alpha= \frac { y ^ {\prime \prime } } { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x $를 얻는다. 그런데 $ d s= \pm \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x $ 이므로, 곡선 $ y=f(x) $ 위의 점 $ P(x, y) $에서의 곡률은 $ \kappa= \left \| \frac { d \alpha } { d s } \right \|= \frac {\left \|y ^ {\prime \prime } \right \| } {\left ..1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 3 / 2 } } $으로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>포물선 $ y=x ^ { 2 } $ 위의 한 점 $ (0,0) $에서 곡률을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ y ^ {\prime } =2 x, y ^ {\prime \prime } =2 $이므로 $ \kappa= \frac { 2 } {\left (1 + 4 x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } $이다. 따라서 $ (0,0) $에서 곡률은 $ \kappa=2( \mathrm { rad } / $ 단위 길이 \)가 된다.</p> <p>참고</p> <p>(곡률원) : 곡선 $ y=f(x) $, 한 점 $ P $에서 접선 $ L $과 곡률 $ \kappa $를 가질 때, $ L $에 대해서 곡선과 같은 쪽에 있는 반지름이 $ \frac { 1 } {\kappa } $인 원을 $ P $에서의 곡률원 (circle of curvaiure)이라 한다. 이때 이 원의 중심을 곡률중심 (center of curvature), 이 원의 반경을 곡률 반지름 (radius of curvature)이라고 한다. 곡률반지름을 $ R $로 표시하면 $ R= \frac {\left [1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 3 / 2 } } {\left \|y ^ {\prime \prime } \right \| } $으로 주어진다.</p> <p>$ a= \infty $ 또는 $ a=- \infty $일 경우와 $ x \rightarrow a + 0 $ 또는 $ x \rightarrow a-0 $일 경우도 위의 두 로피탈정리는 적용된다.</p> <p>예제</p> <p>로피탈 정리를 이용하여, 다음 극한을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac {\ln x } {\csc x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형이므로, $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ^ { x } } =0 $</li> <li>$ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형이므로, $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 / x } { 1 } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { x } =0 $</li> <li>$ \frac {\infty } {\infty } $ 형태의 부정형이므로, 로피탈 정리와 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } =1 $ 을 사용하면 $ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac {\ln x } {\csc x } &= \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac { 1 / x } { - \csc x \cot x } = \lim _ { x \rightarrow + 0 } \left (- \frac {\sin x } { x } \tan x \right )=(-1)(0)=0 \end {aligned} $</li></ol> <p>참고</p> <p>부정형 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } $ 의 극한은 로피탈 정리에 의해 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } $ 를 구하면 되지만, 경우에 따라서는 로피탈 정리를 두 번 이상 적용하여 극한을 구해야 한다.</p> <h1>$ 3.6 $ 미분과 근삿값</h1> <h2>1. 미분</h2> <p>한 점 $ x_ { 0 } $ 를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의된 미분가능한 함수 $ y=f(x) $ 에 대해서, 곡선 $ y=f(x) $ 버의 점 $ \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $ 에서의 접선의 방정식은 $ \ y=f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) $로 주어진다.</p> <p>$ x=x_ { 0 } $ 에서 곡선 $ y=f(x) $의 접선은 그 접점 근처에서 원래 곡선과 비슷한 함숫값을 가지므로, $ x_ { 0 } $에 가까운 $ x $에 대해서 $ y=f(x) $의 근사식으로 한 점 $ \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $에서의 접선을 이용하는 것이 효과적이다. 이러한 이유에서 근사식 $ f(x) \approx f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) $를 $ x=x_ { 0 } $ 에서 함수 $ y=f(x) $ 의 선형근사식 또는 접선근사식이라고 하고, 함수 $ L(x)=f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) $를 $ x=x_ { 0 } $ 에서의 $ f(x) $ 의 선형화라고 한다.</p> <p>$ x=x_ { 1 } $에 대응되는 접선 $ (*) $ 위의 $ y $ 좌표는 $ y_ { 1 } =f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } \right ) $ 이다. 이때 $ x $의 증분 $ \Delta x $와 $ y $의 증분 $ \Delta y $를 $ \Delta x=x_ { 1 } -x_ { 0 } , \Delta y=f \left (x_ { 1 } \right )-f \left (x_ { 0 } \right ) $로 정의하면. 근사식 $ f \left (x_ { 1 } \right ) \approx y_ { i } =f \left (x_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \Delta x $, 즉 $ \Delta y ^ {\prime } =f \left (x_ { 1 } \right )-f \left (x_ { 0 } \right ) \approx f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \Delta x=d y $를 얻는다. 이때 $ d y=f ^ {\prime } (x) \Delta x $를 $ y=f(x) $의 미분(differential)이라고 한다. 여기서 특히 $ f(x)=x $이면 $ f ^ {\prime } (x)=1 $이므로, $ d x= \Delta x $가 된다. 따라서 함수 $ y=f(x) $ 의 미분은 $ d y=f ^ {\prime } (x) d x $로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>닫힌구간 $ [0,2] $에서 정의된 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -x + 1 $에 대해서, 평균값정리의 결론을 만족하는 $ c $의 값을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>함수 $ f(x) $는 닫힌구간 $ [0,2] $에서 연속이고 열린구간 $ (0,2) $에서 미분가능하다. 따라서 평균값정리에 의해 $ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(2)-f(0) } { 2-0 } $, 즉 $ 3 c ^ { 2 } -2 c-1=1 $을 만족하는 $ c $를 0 과 2사이에서 구할 수 있다. 이때 $ c= \frac { 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } $을 얻는다.</p> <p>열린구간 $ (a, b) $에서 도함수 $ f ^ {\prime } (x) $의 최대, 최솟값을 각각 $ M, m $이라 할 때, 평균값정리에 의해 부등식 $ (b-a) m \leq f(b)-f(a) \leq(b-a) M $을 얻는다.</p> <p>예</p> <p>$ f(x)= \sin x $이면, $ f ^ {\prime } (x)= \cos x $이므로 $ M= \max \{\cos x \} =1, m= \min \{\cos x \} =-1 $이 된다. 따라서 모든 $ a, b \in \mathbb { R } $에 대해서 $ \| \sin b- \sin a\| \leq\|b-a\| $</p> <p>참고</p> <p>평균값정리는 다른 형태로 변형된다. $ b-a=h, \frac { c-a } { b } - \frac { a } { a } = \theta $라 놓으면, 평균값정리는 $ f(a + h)=f(a) + h f ^ {\prime } (a + \theta h)( $ 단, $ 0< \theta<1) $로 변형된다. 따라서 $ h $가 충분히 작으면 $ f(a + h) \approx f(a) + h f ^ {\prime } (a) $가 된다. (3.6절 참조)</p> <p>정리 4</p> <p>함수 $ f(x) $가 열린구간 $ I $의 모든 점 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)=0 $이면, $ f(x) $는 $ I $에서 상수함수이다.</p> <p>증명</p> <p>$ x_ { 1 } , x_ { 2 } $를 $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $인 구간 $ I $의 임의의 두 점이라 하자. 닫힌구간 $ \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ] $에서 $ f(x) $에 평균값정리를 이용하면 $ f \left (x_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 1 } \right )=f ^ {\prime } (c) \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) \left ( \right . $ 단, $ \left .x_ { 1 }<c<x_ { 2 } \right ) $을 만족하는 $ x=c $가 존재한다. 그런데 모든 $ x $에 대해서 $ f ^ {\prime } (x)=0 $이므로 $ f ^ {\prime } (c)=0 $이 된다. 따라서 $ f \left (x_ { 2 } \right )=f \left (x_ { 1 } \right ) $, 즉 $ f(x) $는 열린구간 $ I $에서 상수함수이다.</p> <h1>$ 3.3 $ 평균값정리</h1> <p>평균값정리는 미분적분학에서 폭넓게 이용된다. 여기서 서술되는 결과의 대부분이 평균값정리에 의존하고 있다.</p> <h2>1. 롤의 정리</h2> <p>다음 롤의 정리는 17세기 프랑스 수학자 롤(Rolle)에 의해 처음으로 소개되었다. 최대·최솟값정리를 이용하여 증명하는 롤의 정리는 평균값정리를 증명할 수 있도록 한다는 점에서 의의가 있다.</p> <p>정리 1</p> <p>롤의 정리 (Rolle's theorem) 함수 $ f(x) $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $에서 미분가능할 때, $ f(a)=f(b) $이면 $ f ^ {\prime } (c)=0 $을 만족하는 $ c(단, a<c<b) $가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 가 상수함수이면, 모든 $ c \in(a, b) $ 에서 $ f ^ {\prime } (c)=0 $이므로 정리는 성립한다.</p> <p>이제 어떤 $ x \in(a, b) $ 에 대해서 $ f(x)>f(a) $ (또는 $ f(x)<f(a) $ )인 경우를 생각한다. 최대·최솟값정리에 의해 닫힌구간 $ [a, b] $ 내의 어떤 점에서 $ f(x) $는 최댓값 (또는 최솟값)을 갖는다. 그런데 $ f(a)=f(b) $이므로, 열린구간 $ (a, b) $의 적당한 점 $ x=c $에서 최댓값 (또는 최솟값)을 가져야 한다. 따라서 $ f(x) $는 $ x=c $에서 극댓값 (또는 극솟값)을 갖고 또한 $ x=c $에서 미분 가능하므로, 페르마 정리 [정리 5]에 의해 $ f ^ {\prime } (c)=0 $을 만족한다.</p> <p>예제</p> <p>닫힌구간 $ [0,1] $에서 정의된 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 2 x + 2 $에 대해서, 롤의 정리의 결론을 만족하는 $ c $의 값을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>함수 $ f(x) $는 닫힌구간 $ [0,1] $에서 연속이고 열린구간 $ (0,1) $에서 미분가능하다. 또한 $ f(0)=f(1) $이다. 그러므로 $ f ^ {\prime } (c)=3 c ^ { 2 } -6 c + 2=0 $을 만족하는 $ c $를 구할 수 있다. 이때 $ c=1- \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \in(0,1) $을 얻는다.</p> <p>참고</p> <p>움직이는 물체의 위치함수가 $ s=f(t) $로 주어질 때, 두 개의 서로 다른 순간 $ t=a $와 $ t=b $에서 물체가 같은 위치에 있다면 $ f(a)=f(b) $이다. 롤의 정리는 $ a $와 $ b $ 사이의 어떤 순간 $ t=c $에서 속도가 0이라는 것을 의미한다.</p>	자연
m867-미분적분학	<p>한편 $ R $의 경계 $ C $는 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } , C_ { 3 } , C_ { 4 } $로 합성되어 있으며 \[ \begin {array} { l } C_ { 1 } : \mathbf { r } _ { 1 } (t)=t \mathbf { i } + g_ { 1 } (t) \mathbf { j } , \quad t \in[a, b] \\ C_ { 2 } : \mathbf { r } _ { 2 } (t)=b \mathbf { i } + t \mathbf { j } , \quad t \in \left [g_ { 1 } (b), g_ { 2 } (b) \right ] \\ C_ { 3 } : \mathbf { r } _ { 3 } (t)=(a + b-t) \mathbf { i } + g_ { 2 } (a + b-t) \mathbf { j } , \quad t \in[a, b] \\ C_ { 4 } : \mathbf { r } _ { 4 } (t)=a \mathbf { i } + \left (g_ { 1 } (a) + g_ { 2 } (a)-t \right ) \mathbf { j } , \quad t \in \left [g_ { 1 } (a), g_ { 2 } (a) \right ] \\ \end {array} \]라고 가정하자 (그림 15.13 참조). 각각의 경우 $ \int_ { C_ { i } } M(x, y) d x $를 계산하자. 먼저 $ C_ { 2 } $와 $ C_ { 4 } $ 위에서 $ x $는 상수이므로 $ \frac { d x } { d t } =0 $이고, 따라서 \[ \int_ { C_ { 2 } } M(x, y) d x= \int_ { C_ { 4 } } M(x, y) d x=0 . \] 그러므로 \[ \begin {aligned} \int_ { C } M(x, y) d x &= \int_ { C_ { 1 } } M(x, y) d x + \int_ { C_ { 2 } } M(x, y) d x + \int_ { C_ { 3 } } M(x, y) d x + \int_ { C_ { 4 } } M(x, y) d x \\ &= \int_ { C_ { 1 } } M(x, y) d x + \int_ { C_ { 3 } } M(x, y) d x \\ &= \int_ { a } ^ { b } M \left (t, g_ { 1 } (t) \right ) 1 d t + \int_ { a } ^ { b } M \left (a + b-t, g_ { 2 } (a-b-t) \right )(-1) d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } M \left (t, g_ { 1 } (t) \right ) d t + \int_ { a } ^ { b } M \left (u, g_ { 2 } (u) \right ) d u \quad(u=a + b-t) \\ &= \int_ { a } ^ { b } \left [M \left (x, g_ { 1 } (x) \right )-M \left (x, g_ { 2 } (x) \right ) \right ] d x . \end {aligned} \] 따라서 \[ \int_ { C } M(x, y) d x=- \iint_ { R } \frac {\partial M } {\partial y } d A \]</p> <p>벡터장 $ \mathbf { F } $가 \[ \mathbf { F } (x, y)=M(x, y) \mathbf { i } + N(x, y) \mathbf { j } \]이면 식 (15.19)는 \[ \frac {\partial N } {\partial x } = \frac {\partial M } {\partial y } . \]</p> <p>예제 15.8</p> <p>$ \mathbf { F } (x, y)=y ^ { 2 } e ^ { x y } \mathbf { i } + (1 + x y) e ^ { x y } \mathbf { j } $ 와 $ \mathbf { G } (x, y)= \frac { x } { y } \mathbf { i } + \frac { y } { x } \mathbf { j } $ 일 때 $ \mathbf { F } $ 는 어떤 스칼라 함수의 그래디언트이고 $ \mathrm { G } $ 는 어떠한 스칼라함수의 그래디언트도 아님을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathrm { F } $에 대하여 \[ \begin {array} { l } \frac {\partial N } {\partial x } =y e ^ { x y } + (1 + x y) y e ^ { x y } = \left (2 y + x y ^ { 2 } \right ) e ^ { x y } \\ \frac {\partial M } {\partial y } =2 y e ^ { x y } + y ^ { 2 } x e ^ { x y } = \left (2 y + x y ^ { 2 } \right ) e ^ { x y } \end {array} \]이다. $ \frac {\partial N } {\partial x } = \frac {\partial M } {\partial y } $이고 $ \mathbf { F } $의 정의역이 $ x y $평면이므로 정리 [15.1에 의하여 $ \mathbf { F } $는 어떤 스칼라함수의 그래디언트이다. $ \mathrm { G } $ 에 대해서 \[ \frac {\partial N } {\partial x } =- \frac { y } { x ^ { 2 } } \text { 이고 } \quad \frac {\partial M } {\partial y } =- \frac { x } { y ^ { 2 } } \]이므로 $ \mathrm { G } $는 어떠한 스칼라함수의 그래디언트도 아니다.</p> <p>선적분의 기본정리는 2차원 평면에서도 자연스럽게 유도될 수 있다. $ f $는 시점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $와 종점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 잇는 유향곡선 $ C $의 각 점에서 미분가능한 이변수함수라고 하자. 만일 $ \operatorname { grad } f $가 $ C $ 위에서 연속이면 \[ \int_ { C } \operatorname { grad } f \cdot d \mathbf { r } =f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) . \] 더구나 $ \mathbf { F } $ 가 $ \mathbf { F } = \operatorname { grad } f $ 인 연속벡터장이면 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) . \]</p> <p>예제 15.16</p> <p>$ C $는 시점 $ (0,0) $과 종점 $ (2,4) $를 잇는 포물선 $ y=x ^ { 2 } $의 한 부분이다. $ \mathbf { F } (x, y)= y ^ { 3 } \mathbf { i } + 3 x y ^ { 2 } \mathbf { j } $일 때 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>15.1절 예제 15.5에서 $ \mathrm { F } = \operatorname { grad } f, f(x, y)=x y ^ { 3 } $이므로 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =f(2,4)-f(0,0)=2 \cdot 4 ^ { 3 } -0=128 \text { . } \]</p> <p>경로의 독립성</p> <p>선적분의 기본정리는 $ \mathbf { F } $가 미분가능한 함수 $ f $의 그래디언트이고 정의역 $ D $를 가지면 선적분 $ \int_ { C } \mathrm { ~F } \cdot d \mathbf { r } $의 값은 $ D $ 내의 유향곡선의 시점과 종점에만 의존한다고 말한다. 따라서 만일 $ C_ { 1 } $이 $ D $ 내의 유향곡선으로 $ C $와 같은 시점과 종점을 가지면 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { C_ { 1 } } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } . \] 좀 더 일반적으로 $ \mathrm { F } $가 정의역 $ D $에서 연속인 벡터장이고 $ D $ 내의 같은 시점과 종점을 가지는 임의의 두 개의 유향곡선 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ (그림 [15.12) 에 대해서 $ \int_ { C_ { 1 } } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { C_ { 2 } } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $이 성립하면 $ \int_ { C } \mathrm { ~F } \cdot d \mathbf { r } $ 은 경로의 독립이라고 한다. $ \int_ { C } \mathrm { ~F } \cdot d \mathbf { r } $이 경로에 독립이면 $ \mathrm { F } $의 정의역 $ D $ 내의 임의의 닫힌 유향곡선 $ C $ 에 $ \int_ { C } \mathrm { ~F } \cdot d \mathbf { r } =0 $이다. 또한 만일 $ D $ 내의 모든 닫힌 유향곡선 $ C $에 대해 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =0 $이면 $ \mathbf { F } = \operatorname { grad } f $임을 보일 수 있다.</p> <p>정의 15.6</p> <p>위와 같은 조건에서 $ \Sigma $ 위에서 $ g $의 곡면적분 $ \iint_ {\Sigma } g(x, y, z) d S $는 다음과 같이 정의한다. \[ \iint_ {\Sigma } g(x, y, z) d S= \lim _ {\\| \wp \vartheta \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } g \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta S_ { k } \]<caption>(15.32)</caption></p> <p>14.3절의 곡면 면적에 관한 공식을 이용하면, $ \Sigma $가 $ R $ 위에서 $ f $의 그래프이면 \[ \iint_ {\Sigma } g(x, y, z) d S= \iint_ { R } g(x, y, f(x, y)) \sqrt {\left [f_ { x } (x, y) \right ] ^ { 2 } + \left [f_ { y } (x, y) \right ] ^ { 2 } + 1 } d A . \]<caption>(15.33)</caption>임을 보일 수 있다.</p> <p>예제 15.19</p> <p>$ \iint_ {\Sigma } z ^ { 2 } d S $ 를 구하여라. 여기서 $ \Sigma $ 는 $ 1 \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 $ 인 원뿔 $ z= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $의 부분이다(그림 15.15).</p> <p>풀이</p> <p>$ R $은 환 $ 1 \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 $이고 $ R $의 모든 $ (x, y) $에 대해서 \[ f(x, y)= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \]이면 $ \Sigma $는 $ R $ 위에서의 $ f $의 그래프이다. 따라서 (15.5)을 이용하면 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Sigma } z ^ { 2 } d S &= \iint_ { R } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \sqrt {\left (f_ { x } \right ) ^ { 2 } + \left (f_ { y } \right ) ^ { 2 } + 1 } d A= \iint_ { R } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \sqrt { 2 } d A \\ &= \sqrt { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 1 } ^ { 2 } r ^ { 2 } r d r d \theta= \frac { 15 \sqrt { 2 } } { 4 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 d \theta= \frac { 15 \pi \sqrt { 2 } } { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>정의 15.5</p> <p>$ \mathbf { F } $를 매끄러운 유향곡선 $ C $ 위에서 연속벡터장이라고 하자. $ C $ 위에서 $ \mathbf { F } $의 선적분 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $은 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { C } \mathbf { F } (x, y, z) \cdot \mathbf { T } (x, y, z) d s \]<caption>(15.23)</caption>으로 정의한다. 여기서 $ \mathbf { T } (x, y, z) $는 주어진 유향곡선 $ C $ 위의 점 $ (x, y, z) $에서 단위접선 벡터이다.</p> <p>정의 ⒖4에서 선적분 $ \int_ { C } f(x, y, z) d s $ 에서 $ C $ 는 방향을 갖는 것을 요구하지 않는다. 그러나 선적분 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $ 에서 $ C $ 는 방향을 가져야 한다. 즉 선적분 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $은 $ C $ 의 방향에 의존한다. 그러나 $ C $ 의 방향을 유도하는 어떠한 특별한 매끄러운 매개화 $ \mathbf { r } $에는 독립적이다. $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $을 구하기 위해 $ \mathbf { r } =x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } $이 정의역을 $ [a, b] $으로 하는 $ C $의 매개화라고 하자. 매개화는 $ C $ 에 주어진 방향으로 유도한다고 가정하면 12.5절에서 \[ \mathbf { T } (x(t), y(t), z(t))= \frac { d \mathbf { r } / d t } {\\| \mathbf { r } / d t \\| } \]이므로 (15.22)와 정의 15.5로부터 \[ \begin {aligned} \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } &= \int_ { a } ^ { b } \left [ \mathbf { F } (x(t), y(t), z(t)) \cdot \frac { d \mathbf { r } / d t } {\\|d \mathbf { r } / d t \\| } \right ] \left \\| \frac { d \mathbf { r } } { d t } \right \\| d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } \mathbf { F } (x(t), y(t), z(t)) \cdot \frac { d \mathbf { r } } { d t } d t . \end {aligned} \] 그러므로 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { a } ^ { b } \mathbf { F } (x(t), y(t), z(t)) \cdot \frac { d \mathbf { r } } { d t } d t . \]<caption>(15.24)</caption></p> <p>예제 15.13</p></p>곡선 $ C_ { 0 } , C_ { 1 } , C_ { 2 } , C_ { 3 } $가 그림 15.10과 같고 $ C $가 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } , C_ { 3 } $로 합성된 곡선이라 할 때 \[ \int_ { C } y z d x + x z d y + x y d z= \int_ { C_ { 0 } } y z d x + x z d y + x y d z \] 임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>각 곡선을 매개화하면 다음과 같다. \[ \begin {array} { lll } C_ { 0 } : \mathbf { r } _ { 0 } (t)=t \mathbf { i } + t \mathbf { j } + t \mathbf { k } & t \in[0,1] & \left ( \frac { d x } { d t } = \frac { d y } { d t } = \frac { d z } { d t } =1 \right ) \\ C_ { 1 } : \mathbf { r } _ { 1 } (t)=t \mathbf { i } & t \in[0,1] & \left ( \frac { d x } { d t } =1, \frac { d y } { d t } = \frac { d z } { d t } =0 \right ) \\ C_ { 2 } : \mathbf { r } _ { 2 } (t)= \mathbf { i } + t \mathbf { j } & t \in[0,1] & \left ( \frac { d y } { d t } =1, \frac { d x } { d t } = \frac { d z } { d t } =0 \right ) \\ C_ { 3 } : \mathbf { r } _ { 3 } (t)= \mathbf { i } + \mathbf { j } + t \mathbf { k } & t \in[0,1] & \left ( \frac { d z } { d t } =1, \frac { d x } { d t } = \frac { d y } { d t } =0 \right ) \end {array} \] 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ { C_ { 0 } } y z d x + x z d y + x y d z &= \int_ { 0 } ^ { 1 } [(t \cdot t) 1 + (t \cdot t) 1 + (t \cdot t) 1] d t= \int_ { 0 } ^ { 1 } 3 t ^ { 2 } d t=1 \\ \int_ { C_ { 1 } } y z d x + x z d y + x y d z &= \int_ { 0 } ^ { 1 } [(0 \cdot 0) 1 + (t \cdot 0) 0 + (t \cdot 0) 0] d t= \int_ { 0 } ^ { 1 } 0 d t=0 \\ \int_ { C_ { 2 } } y z d x + x z d y + x y d z &= \int_ { 0 } ^ { 1 } [(t \cdot 0) 0 + (1 \cdot 0) 1 + (1 \cdot t) 0] d t= \int_ { 0 } ^ { 1 } 0 d t=0 \\ \int_ { C_ { 3 } } y z d x + x z d y + x y d z &= \int_ { 0 } ^ { 1 } [(1 \cdot t) 0 + (1 \cdot t) 0 + (1 \cdot 1) 1] d t= \int_ { 0 } ^ { 1 } 1 d t=1 . \end {aligned} \] 이것을 결합하면</p> <p>선적분의 다른 형식</p> <p>$ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $은 매개화된 $ \mathbf { r } (t)=x(t) \mathbf { i } + y(t) \mathbf { j } + z(t) \mathbf { k } (t \in[a, b]) $ 매끄러운 유향곡선 $ C $ 위에서 정의된 연속벡터장이다. 그러면 식 (15.24)에 의하여 \[ \begin {array} { l } \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } \\ = \int_ { a } ^ { b } \mathbf { F } (x(t), y(t), z(t)) \cdot \frac { d \mathbf { r } } { d t } d t \\ = \int_ { a } ^ { b } [M(x(t), y(t), z(t)) \mathbf { i } + N(x(t), y(t), z(t)) \mathbf { j } \\ \quad + P(x(t), y(t), z(t)) \mathbf { k } ] \cdot \left [ \frac { d x } { d t } \mathbf { i } + \frac { d y } { d t } \mathbf { j } + \frac { d z } { d t } \mathbf { k } \right ] d t \\ = \int_ { a } ^ { b } \left [M(x(t), y(t), z(t)) \frac { d x } { d t } + N(x(t), y(t), z(t)) \frac { d y } { d t } + P(x(t), y(t), z(t)) \frac { d z } { d t } \right ] d t . \end {array} \] 위의 등식 중 마지막 적분을 \[ \int_ { C } M(x, y, z) d x + N(x, y, z) d y + P(x, y, z) d z \] 또는 좀더 간단하게와 같이 쓴다. 즉, \[ \int_ { C } M d x + N d y + P d z \] \[ \begin {array} { l } \int_ { C } M(x, y, z) d x + N(x, y, z) d y + P(x, y, z) d z \\ = \int_ { a } ^ { b } \left [M(x(t), y(t), z(t)) \frac { d x } { d t } + N(x(t), y(t), z(t)) \frac { d y } { d t } + P(x(t), y(t), z(t)) \frac { d z } { d t } \right ] d t . \end {array} \]<caption>(15.25)</caption></p> <h2>15.2 선적분</h2> <p>이 절에서는 제 4 장에 도입된 단일 적분보다 더 일반화된 적분을 정의한다. 실수 위의 구간 $ [a, b] $에서 정의된 함수의 적분 대신 공간 위의 곡선 $ C $ 위에서 정의된 함수의 적분을 다루고자 한다. 이러한 형태의 적분을 선적분이라 부른다.</p> <p>전선이 공간상의 유한길이로 조각적으로 매끄러운 곡선 $ C $로 주어지고 $ C $ 위의 임의의 점 $ (x, y, z) $에서 전선의 밀도가 $ f(x, y, z) $라고 가정하자. $ C $를 따라서 작은 부분의 점 $ P_ { 0 } , P_ { 1 } , \ldots, P_ { n } $을 택하여 얻은 $ C $ 의 임의의 분할을 생각한다. 1과 $ n $ 사이의 각 정수 $ k $에 대해 $ \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) $를 $ P_ { k-1 } $과 $ P_ { k } $ 사이에 있는 $ C $의 임의의 점이라 하고 $ \Delta s_ { k } $를 $ P_ { k-1 } $과 $ P_ { k } $ 사이에 있는 $ C $의 부분의 길이라고 하자 (그림 15.6). 만약 $ \Delta s_ { k } $가 작으면 $ P_ { k-1 } P_ { k } $ 사이의 전선의 부분의 질량은 대략 $ f \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta s_ { k } $이다. 따라서 전선 전체의 질량 $ m $은 대략</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta s_ { k } $<caption>(15.20)</caption></p> <p>이고 (15.20)은 $ \\| \wp \\|= \max \left ( \Delta s_ { 1 } , \ldots, \Delta s_ { n } \right ) \rightarrow 0 $일 때 $ m $으로 수렴할 것이다. 만일 $ f $가 $ C $의 모든 점에서 연속이면 (15.20)은 실제로 극한을 가지고, 이 극한을 $ C $ 위에서 $ f $의 선적분이라 한다.</p> <p>유향곡면</p> <p>15.2절에서 유향곡선 $ C $ 위에서 벡터장 $ \mathbf { F } $의 선적분 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $을 공부하였다. 이 절에서 주어진 벡터장 $ \mathrm { F } $의 곡면적분을 하기 위해서는 곡면의 방향이 필요하다. 우리는 곡면의 안쪽 면과 바깥쪽 면이 있다고 생각하는데 이러한 두 면의 존재성을 알기 위해서 곡면 $ \Sigma $는 경계점이 아닌 점에서 접평면을 가진다고 가정하자. 곡면 위의 그러한 점에서 두 개의 법선벡터가 존재하고 서로 반대 방향을 가진다. 만일 각각의 경계점이 아닌 점에서 선택한 법선벡터가 $ \Sigma $ 위에서 연속적으로 변하도록 하나의 법선을 택할 수 있으면 $ \Sigma $를 유향곡면이라 한다. 이와 같은 법선의 선택은 $ \Sigma $에 대한 방향을 주고 $ \Sigma $을 유향곡면으로 만든다. 예를 들어 구, 포물면, 그 외의 곡면은 유향곡면이다. 그러나 Möbius의 곡면은 유향곡면이 아니다. $ \Sigma $가 유향곡면이라 하고 $ \mathrm { n } $을 $ \Sigma $의 경계점이 아닌 점에서의 바깥 방향의 단위법선 벡터라고 하자. $ \mathrm { F } $가 벡터장일 때 $ \Sigma $ 위에서 유향적분을 \[ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S \]<caption>(15.35)</caption>로 정의한다. $ \Sigma $가 $ R $ 위에서 연속도함수를 가지는 함수 $ f $의 그래프이면 바깥 방향의 단위 법선벡터는 \[ \mathbf { n } = \frac { -f_ { x } \mathbf { i } -f_ { y } \mathbf { j } + \mathbf { k } } {\sqrt {\left (f_ { x } \right ) ^ { 2 } + \left (f_ { y } \right ) ^ { 2 } + 1 } } \]이므로 $ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $일 때 \[ \begin {array} { l } \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S \\ = \iint_ { R } (M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } ) \cdot \left [ \frac { -f_ { x } \mathbf { i } -f_ { y } \mathbf { j } + \mathbf { k } } {\sqrt {\left (f_ { x } \right ) ^ { 2 } + \left (f_ { y } \right ) ^ { 2 } + 1 } } \right ] \sqrt {\left (f_ { x } \right ) ^ { 2 } + \left (f_ { y } \right ) ^ { 2 } + 1 } d A \\ = \iint_ { R } \left [-M(x, y, f(x, y)) f_ { x } (x, y)-N(x, y, f(x, y)) f_ { y } (x, y) + P(x, y, f(x, y)) \right ] d A . \end {array} \]<caption>(15.36)</caption></p> <p>정리 15.3</p> <p>다음 명제 (i), (ii), (iii)은 동치이다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \mathbf { F } = \operatorname { grad } f $, 즉 $ \mathbf { F } $가 보존벡터장이다.</li> <li>$ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $이 경로에 독립이다.</li> <li>$ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =0, C $는 $ \mathbf { F } $의 정의역에 놓여 있는 임의의 닫힌 유향곡선.</li> <p>일반적으로 (i)이면</p> <li>curl $ F=0 $</li></ol> <p>만일 $ \mathrm { F } $의 정의역이 3차원 공간 전체이거나 구멍이 없는 임의의 영역이면 (iv) $ \Rightarrow $ (i) 이 성립한다. 즉 (i), (ii), (iii), (iv)는 모두 동치이다.</p> <h2>15.4 Green 정리</h2> <p>정리 15.4 (Green 정리)</p> <p>$ R $은 시계 반대 방향을 가지는 조각적으로 매끄러운 경계 $ C $를 가지는 $ x y $평면 내의 단일영역이고, $ M $과 $ N $이 $ R $위에서 연속인 편도함수를 가지는 2변수함수라고 하면 \[ \int_ { C } M(x, y) d x + N(x, y) d y= \iint_ { R } \left ( \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } \right ) d A . \]</p> <p>[증명]</p> <p>다음 등식 $ \int_ { C } N(x, y) d y= \iint_ { R } \frac {\partial N } {\partial x } d A $,<caption>(15.27)</caption>$ \int_ { C } M(x, y) d x=- \iint_ { R } \frac {\partial M } {\partial y } d A $<caption>(15.28)</caption>임을 보이면 충분하다. 편의상 (15.28)만 증명하면 된다. 먼저 $ R $이 구간 $ [a, b] $ 위의 $ g_ { 1 } $과 $ g_ { 2 } $의 그래프 사이의 영역이라고 가정하자. 우변은 \[ - \iint_ { R } \frac {\partial M } {\partial y } d A=- \int_ { a } ^ { b } \int_ { g_ { 1 } (x) } ^ { g_ { 2 } (x) } \frac {\partial M } {\partial y } d y d x= \int_ { a } ^ { b } \left [M \left (x, g_ { 1 } (x) \right )-M \left (x, g_ { 2 } (x) \right ) \right ] d x \text { . } \]</p> <p>벡터장의 회전</p> <p>벡터장 도함수의 두 번째 형태는 회전이다.</p> <p>정의 15.3</p> <p>$ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $는 벡터장이고 $ M, N, P $의 1계 편도함수가 모두 존재한다고 하자. $ \mathrm { F } $의 회전 curl $ \mathrm { F } $를 \[ \text { curl } \mathbf { F } (x, y, z)= \left ( \frac {\partial P } {\partial y } - \frac {\partial N } {\partial z } \right ) \mathbf { i } + \left ( \frac {\partial M } {\partial z } - \frac {\partial P } {\partial x } \right ) \mathbf { j } + \left ( \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } \right ) \mathbf { k } \]<caption>(15.5)</caption>로 정의한다. 이것을 기억하는 데 도움을 주기 위해 curl $ \mathrm { F } $를 기호로 표현하면 \[ \operatorname { curl } \mathbf { F } = \nabla \times \mathbf { F } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ M & N & P \end {array} \right \| \text { . } \]<caption>(15.6)</caption></p> <p>예제 15.4</p> <p>$ \mathbf { F } (x, y, z)=x z \mathbf { i } + x y ^ { 2 } z \mathbf { j } -e ^ { 2 y } \mathbf { k } $일 때 curl $ \mathbf { F } $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>정의에 의하여 \[ \begin {aligned} \operatorname { curl } \mathbf { F } (x, y, z) &= \nabla \times \mathbf { F } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ x z & x y ^ { 2 } z & -e ^ { 2 y } \end {array} \right \| \\ &= \left (-2 e ^ { 2 y } -x y ^ { 2 } \right ) \mathbf { i } + (x-0) \mathbf { j } + \left (y ^ { 2 } z-0 \right ) \mathbf { k } \\ &= \left (-2 e ^ { 2 y } -x y ^ { 2 } \right ) \mathbf { i } + x \mathbf { j } + y ^ { 2 } z \mathbf { k } \end {aligned} \]</p> <p>정리 15.1</p> <p>$ \mathbf { F } =M \mathrm { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $이 벡터장이라 하자. 만일 연속인 혼합편도함수를 가지는 스칼라 함수 $ f $가 존재하고 $ \operatorname { grad } f= \mathbf { F } $이면 식 (15.19)가 성립한다.</p> <p>만일 $ \mathbf { F } $ 의 정의역이 3차원 공간 전체이고 식 (15.19) 가 성립하면, $ \mathbf { F } = \operatorname { grad } f $ 인 스칼라 함수 $ f $ 가 존재한다.</p> <p>예제 15.7</p> <p>$ \mathrm { ~F } (x, y, z)=2 x y z \mathbf { i } + x ^ { 2 } z \mathbf { j } + \left (x ^ { 2 } y + 1 \right ) \mathbf { k } $ 와 $ \mathbf { G } (x, y, z)=y z \cos x y \mathbf { i } + x z \cos x y \mathbf { j } + \cos x y \mathrm { k } $ 일 때 $ \mathrm { F } $ 는 어떤 스칼라함수의 그래디언트이고, $ \mathrm { G } $ 는 어떠한 스칼라함수의 그래디언트도 아님을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>먼저 $ \mathrm { F } $에 대해서 \[ \frac {\partial P } {\partial y } =x ^ { 2 } = \frac {\partial N } {\partial z } , \quad \frac {\partial M } {\partial z } =2 x y= \frac {\partial P } {\partial x } , \quad \frac {\partial N } {\partial x } =2 x z= \frac {\partial M } {\partial y } \]이다. $ \mathrm { F } $의 정의역은 3차원 전체이므로 정리 15.1에 의하여 $ \mathrm { F } $ 는 어떤 스칼라함수의 그래디언트이다. 그러나 $ \mathrm { G } $에 대해서는 \[ \frac {\partial P } {\partial y } =-x \sin x y \neq \frac {\partial N } {\partial z } =x \cos x y \]이므로 식 (15.19)가 성립하지 않으므로 정리 15.1에 의하여 $ \mathrm { G } $ 는 어떠한 스칼라함수의 그래디언트도 될 수 없다.</p> <h1>CHAPTER 15 벡터장의 미적분</h1> <p>이 장에서는 공간 위의 점을 벡터로 대응시키는 벡터장(또는 벡터함수)의 미적분에 대해 공부하기로 한다. 지구의 중력장은 대표적인 벡터장이다.</p> <p>먼저 벡터장을 정의하고 벡터장의 선적분, 곡면적분을 다루룬 후 Green 정리, Stokes 정리, 발산정리를 다룬다.</p> <h2>15.1 벡터장</h2> <p>지구의 중력장은 공간상의 한 점 $ (x, y, z) $를 지구가 $ (x, y, z) $에 놓여진 단위질량에 영향을 주는 힘을 대응한다. 비숫하게 주어진 전하에 의한 전기장은 공간상의 점 $ (x, y, z) $를 주어진 전하가 $ (x, y, z) $에 놓여진 양의 단위전하에 미치는 전기적인 합으로 대응한다. 이러한 대응을 벡터장이라 부른다.</p> <p>정의 15.1</p> <p>벡터장 $ \mathbf { F } $ 는 정의역이라 부르는 공간상의 점들의 집합 $ D $와 $ D $의 각 점 $ (x, y, z) $를 오직 한 개의 벡터 $ \mathbf { F } (x, y, z) $로 대응시키는 법칙으로 이루어진다.</p> <p>예제 15.1</p> <ol type = 1 start=1><li>$ \mathbf { F } (x, y, z)= \mathbf { j } $</li> <li>$ \mathbf { F } (x, y, z)=z \mathbf { j } $</li> <li>$ \mathbf { F } (x, y, z)=x \mathbf { i } + y \mathbf { j } $</li> <li>점 $ (x, y, z) $에 놓여진 단위 점질량과 원점에 놓여진 주어진 점질량 $ m $ 사이의 중력장은 $ \mathbf { F } (x, y, z)= \frac { -G m } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } (x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } ) $<caption>(15.1)</caption></li></ol> <p>이다(그림15.4). 여기서 $ G $는 중력상수이다. 비슷하게 만일 전하량 $ q $가 원점에 놓여 있을 때 쿨롱의 법칙에 따르면 전기장 $ E $는 \[ \mathbf { E } (x, y, z)= \frac { q } { 4 \pi \varepsilon_ { 0 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } (x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } ) \]이다. 여기서 $ \varepsilon_ { 0 } $는 대략 $ 8.854 \times 10 ^ { -12 } C ^ { 2 } / \mathrm { Nm } ^ { 2 } $ (또는 $ F / \mathrm { m } $)는 중요한 물리 상수인 진공 상태의 유전율이다.</p> <p>정의 15.4</p> <p>$ f $는 유한길이를 가지는 조각적으로 매끄러운 곡선 $ C $ 위에서 연속이라 하자. $ C $ 위에서 $ f $의 선적분 $ \int_ { C } f(x, y, z) d s $는 \[ \int_ { C } f(x, y, z) d s= \lim _ {\\| \wp \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta s_ { k } \]<caption>(15.21)</caption>로 정의한다.</p> <p>(15.21)의 값은 $ C $를 매개화하면 쉽게 구할 수 있다. $ C $가 구간 $ [a, b] $ 위에서 매끄러운 벡터함수 $ \mathbf { r } (t)=x(t) \mathbf { i } + y(t) \mathbf { j } + z(t) \mathbf { k } $ 으로 매개화되었다고 가정하면 \[ \int_ { C } f(x, y, z) d s= \int_ { a } ^ { b } f(x(t), y(t), z(t)) \left \\| \frac { d \mathbf { r } } { d t } \right \\| d t \]<caption>(15.22)</caption>임을 보일 수 있고, 또한 $ C $의 임의의 매끄러운 매개화 $ \mathbf { r } $에 대해서 $ \int_ { C } f(x, y, z) d s $는 일정함을 보일 수 있다.</p> <p>예제 15.9</p> <p>$ C $가 $ (0,0,0) $와 $ (1,-3,2) $를 잇는 선분일 때 $ \int_ { C } \left (x + y ^ { 2 } -2 z \right ) d s $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ C $를 \[ \mathbf { r } (t)=t \mathbf { i } -3 t \mathbf { j } + 2 t \mathbf { k } , \quad 0 \leq t \leq 1 \]으로 매개화하면 $ x(t)=t, y(t)=-3 t, z(t)=2 t $이고 \[ \left \\| \frac { d \mathbf { r } } { d t } \right \\|= \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d z } { d t } \right ) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 ^ { 2 } + (-3) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 14 } \]이므로 (15.22)로부터 \[ \begin {aligned} \int_ { C } \left (x + y ^ { 2 } -2 z \right ) d s &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (t + (-3 t) ^ { 2 } -2(2 t) \right ) \sqrt { 14 } d t \\ &= \sqrt { 14 } \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (-3 t + 9 t ^ { 2 } \right ) d t \\ &= \frac { 3 } { 2 } \sqrt { 14 } . \end {aligned} \]</p> <p>발산정리는 그린정리와 비슷한 2차원 및 고차원의 형태이다. 입체영역 $ D $가 $ x y $평면 내의 단일영역 $ R $ 위에서 정의된 두 함수 $ F_ { 1 } $과 $ F_ { 2 } $의 그래프 사이의 입체영역이고 $ D $가 각각 $ x z $평면과 $ y z $평면에 대해서도 대응되는 성질을 가지는 성질들을 가질 때 단일입체영역이라 한다(그림 15.29). 통상 구, 반구, 타원체, 정육면체, 정사면체에 의해 둘러싸인 영역들이 단일입체영역이다. 지금부터는 임의의 단일입체영역 $ D $는 유향경계표면을 가지고 법선벡터는 $ D $의 바깥 방향이라고 가정한다.</p> <p>정리 15.6 (발산정리)</p> <p>$ D $가 단일입체영역으로 경계면 $ \Sigma $가 $ D $에서 나오는 방향의 법선벡터 $ \mathbf { n } $에 의해 방향화되어 있고, $ \mathrm { F } $는 $ D $에서 연속인 편도함수를 가지는 성분함수로 된 벡터장이라 하자. 그러면 \[ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S= \iiint_ { D } \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z) d V . \]<caption>(15.41)</caption></p> <p>예제 15.24</p> <p>$ \Sigma $ 가 구면 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =4 $ (그림 15.31)이고 $ \mathbf { F } (x, y, z)=4 x \mathbf { i } + 4 y \mathbf { j } + 4 z \mathbf { k } $일 때 적분 $ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ D $가 구 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq 4 $이고 \[ \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z)=4 + 4 + 4=12 \]이므로 발산정리를 이용하면 \[ \iiint_ { D } \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z) d V= \iiint_ { D } 12 d V=12 \times \frac { 4 } { 3 } \pi \times 2 ^ { 3 } =128 \pi \]</p> <p>발산의 개념은 한 영역을 통하여 흐르는 유체의 연구로부터 시작된다. $ \mathbf { v } $를 스크린과 같은 표면을 통하여 흐르는 유체(예를 들어 공기)의 속도장이라고 하자. 물리적으로 $ \operatorname { div } \mathbf { v } (x, y, z) $은 $ (x, y, z) $ 에서 유체의 단위부피당 흐르는 유체의 질량의 (시간에 관한) 비율을 나타낸다. 만일 $ \operatorname { div } \mathbf { v } (x, y, z)>0 $이면 $ (x, y, z) $을 소스라 부르고 $ \operatorname { div } \mathbf { v } (x, y, z)<0 $이면 싱크라고 한다. 소스점에서는 양의 질량(positive mass)만큼 흘러나오고 싱크점에서는 흘러들어가는 것을 말한다. 만일 영역의 모든 점 $ (x, y, z) $에서 $ \operatorname { div } \mathrm { v } (x, y, z)=0 $이면, 영역에는 소스도 싱크도 없다. 속도장이 자유발산인 유체를 비압축 유체라고 한다.</p> <p>예제 15.3</p> <p>$ \mathbf { v } (x, y, z)=x ^ { 3 } y z ^ { 2 } \mathbf { i } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } \mathbf { j } + x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \mathbf { k } $일 때 소스점과 싱크점을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \operatorname { divv } (x, y, z)=3 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } + 2 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } + 3 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } =8 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } $이므로 $ (x, y, z) $가 임의의 좌표평면상에 있으면 $ \operatorname { divv } (x, y, z)=0 $이다. 만일 $ y>0 $ 이고 $ x $와 $ z $가 0이 아니면 $ \operatorname { divv } (x, y, z)>0 $이다. 따라서 소스점들은 $ x z $평면 오른쪽에 있고 싱크점들은 왼쪽에 있다.</p> <p>벡터장의 선적분</p> <p>공간상의 한 점 $ P $에서 $ Q $까지 직선을 따라 일정한 힘 $ \mathrm { F } $를 가하여 물체를 움직이면, 힘에 의한 물체에 행해진 일 $ W $는 \[ W= \mathbf { F } \cdot \overrightarrow { P Q } \]이다. 이제 물체가 공간상의 유한길이를 갖는 매그러운 곡선 $ C $를 따라 움직이고 벡터장 $ \mathbf { F } $는 물체에 가하는 연속적인 힘이라고 가정하자. 이때 물체가 $ C $를 따라 움직이며 힘에 의해 물체에 행해진 일을 구하자.</p> <p>물체가 움직인 $ C $의 방향으로 정하고 $ C $를 잘게 잘라서 $ C $ 위의 점을 $ P_ { 0 } , P_ { 1 } , \ldots, P_ { n } $을 택함으로써 $ C $의 임의의 분할 $ \wp $ 를 선택한다. 1과 $ n $ 사이의 각 정수 $ k $에 대해 $ \Delta s_ { k } $를 $ P_ { k-1 } $과 $ P_ { k } $ 사이의 곡선의 길이를 나타내고 $ \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) $를 곡선의 이 부분 위의 점이라고 하자. 만일 $ \Delta s_ { k } $가 작으면 물체가 $ P_ { k-1 } $부터 $ P_ { k } $까지 $ C $를 따라 움직일 때 이것은 점 $ \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) $에서 단위접선벡터 $ \mathbf { T } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) $의 방향으로 거의 움직인다(그림 [15.8). 따라서 $ C $의 이 부분 위에서 물체에 행한 일의 양은 대략 \[ \mathbf { F } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \cdot \left [ \Delta s_ { k } \mathbf { T } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \right ]= \left [ \mathbf { F } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \cdot \mathbf { T } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \right ] \Delta s_ { k } \]이다. 이것으로부터 곡선 $ C $ 전체를 따라 움직이는 물체에 행한 일의 총량은 대략 \[ \sum_ { k=1 } ^ { n } \mathbf { F } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \cdot \mathbf { T } \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta s_ { k } \]이다. 이것으로부터 분할을 더욱더 세분하면 힘에 의한 일 $ W $는 \[ W= \int_ { C } \mathbf { F } (x, y, z) \cdot \mathbf { T } (x, y, z) d s \]이다.</p> <p>벡터장의 발산</p> <p>벡터장의 도함수는 두 가지가 있는데, 하나는 실수값 함수이고 다른 하나는 벡터장이다. 벡터장 도함수의 첫 번째 형태인 발산에 대해 살펴보자.</p> <p>정의 15.2</p> <p>$ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $는 벡터장이고 $ \frac {\partial M } {\partial x } , \frac {\partial N } {\partial y } , \frac {\partial P } {\partial z } $가 존재한다 하자. $ \mathrm { F } $의 발산 $ \operatorname { divF } ( $ 또는 $ \nabla \cdot \mathbf { F } ) $는 다음과 같이 정의한다. ( \begin {aligned} \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z) &= \nabla \cdot \mathbf { F } (x, y, z) \\ &= \frac {\partial M } {\partial x } (x, y, z) + \frac {\partial N } {\partial y } (x, y, z) + \frac {\partial P } {\partial z } (x, y, z) \end {aligned} \)<caption>(15.3)</caption></p> <p>벡터장 $ \mathbf { F } $의 발산 $ \operatorname { div } \mathbf { F } $는 실수값 함수임을 정의로부터 알 수 있다. 편의상 기호 $ \nabla $를 $ \nabla= \frac {\partial } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial } {\partial y } \mathbf { j } + \frac {\partial } {\partial z } \mathbf { k } $<caption>(15.4)</caption>로 정의하면 $ \mathrm { F } $의 발산 $ \operatorname { divF } $는 $ \nabla $와 $ \mathrm { F } $의 내적 $ \nabla \cdot \mathrm { F } $와 같이 기호로 정의됨을 알 수 있다.</p> <p>예제 15.2</p> <p>$ \mathrm { ~F } $가 (15.2)와 같이 주어진 중력장일 때 $ \operatorname { div } \mathbf { F } =0 $ 임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac {\partial M } {\partial x } (x, y, z) &= \frac { -G m \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } -(-G m x) \left ( \frac { 3 } { 2 } \right )(2 x) \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } \\ &= \frac { G m \left (2 x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -z ^ { 2 } \right ) } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 5 / 2 } } \end {aligned} \] 마찬가지로 \[ \begin {array} { l } \frac {\partial N } {\partial y } (x, y, z)= \frac { G m \left (2 y ^ { 2 } -z ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 5 / 2 } } \\ \frac {\partial P } {\partial z } (x, y, z)= \frac { G m \left (2 z ^ { 2 } -x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 5 / 2 } } \end {array} \] 이므로 \[ \operatorname { div } \mathbf { F } = \frac {\partial M } {\partial x } + \frac {\partial N } {\partial y } + \frac {\partial P } {\partial z } =0 . \] 위의 예제 15.2 와 같이 $ \operatorname { div } \mathbf { F } =0 $인 벡터장 $ \mathbf { F } $을 자유발산장이라고 한다.</p> <p>만일 $ \mathbf { r } $이 $ [a, b] $ 위에서 $ C $의 매개함수라고 하자. $ C $의 길이는 \[ \int_ { C } 1 d s= \int_ { a } ^ { b } \left \\| \frac { d \mathbf { r } } { d t } \right \\| d t . \] 곡선 $ C $가 매끄러운 곡선들 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } , \ldots, C_ { n } $으로 이루어졌다고 가정하고 $ f $가 $ C $ 위에서 연속이면 \[ \int_ { C } f(x, y, z) d s= \int_ { C_ { 1 } } f(x, y, z) d s + \int_ { C_ { 2 } } f(x, y, z) d s + \cdots + \int_ { C_ { n } } f(x, y, z) d s \]이다.</p> <p>예제 15.10</p> <p>$ C $는 그림15.7과 같이 두 개의 곡선 $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $로 이루어져 있다. $ \int_ { C } (1 + x y) d s $를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>곡선 $ C_ { 1 } $과 $ C_ { 2 } $를 매개화하면 \[ \begin {array} { ll } C_ { 1 } : \mathbf { r } _ { 1 } (t)=2 \cos t \mathbf { i } + 2 \sin t \mathbf { j } , & - \frac {\pi } { 2 } \leq t \leq \frac {\pi } { 2 } \\ C_ { 2 } : \mathbf { r } _ { 2 } (t)=-2 t \mathbf { j } , & -1 \leq t \leq 1 \end {array} \] 따라서 \[ \left \\| \frac { d \mathbf { r } _ { 1 } } { d t } \right \\|= \sqrt { (-2 \sin t) ^ { 2 } + (2 \cos t) ^ { 2 } } =2 \text { 이고 } \left \\| \frac { d \mathbf { r } _ { 2 } } { d t } \right \\|=2 \]이므로 \[ \begin {array} { l } \int_ { C_ { 1 } } (1 + x y) d s= \int_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } [1 + (2 \cos t)(2 \sin t)] 2 d t= \left [2 \left (t + 2 \sin ^ { 2 } t \right ) \right ]_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } =2 \pi, \\ \int_ { C_ { 2 } } (1 + x y) d s= \int_ { -1 } ^ { 1 } [1 + 0(-2 t)] 2 d t=[2 t]_ { -1 } ^ { 1 } =4 . \end {array} \] 그러므로 \[ \int_ { C } (1 + x y) d s= \int_ { C_ { 1 } } (1 + x y) d s + \int_ { C_ { 2 } } (1 + x y) d s=2 \pi + 4 . \]</p> <p>예제 15.17</p> <p>$ C $가 시계 반대 방향의 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $일 때 적분 $ \int_ { C } -x ^ { 2 } y d x + x ^ { 3 } d y $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ M=-x ^ { 2 } y $와 $ N=x ^ { 3 } $이라 두면 \[ \frac {\partial N } {\partial x } =3 x ^ { 2 } , \quad \frac {\partial M } {\partial y } =-x ^ { 2 } \]이므로 Green 정리에 의하여 주어진 적분은 \[ \begin {aligned} \iint_ { R } \left ( \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } \right ) d A &= \iint_ { R } \left (3 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right ) d A \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } 4(r \cos \theta) ^ { 2 } r d r d \theta=16 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } \theta d \theta=16 \pi \end {aligned} \]</p> <p>Green 정리를 이용하면 $ x y $평면 내의 도형의 면적을 구할 수 있다. $ R $이 조각적으로 매끄러운 경계 $ C $를 가지는 단일영역이라고 하자. 만일 $ M $과 $ N $을 \[ \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } =1 \]<caption>(15.29)</caption>이 성립하도록 택하면, $ R $ 의 넓이 $ A $ 는 \[ A= \iint_ { R } 1 d A= \iint_ { R } \left ( \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } \right ) d A= \int_ { C } M(x, y) d x + N(x, y) d y . \] 통상 (15.29)가 성립하도록 $ M $과 $ N $을 다음의 하나 \[ \begin {array} { cl } M(x, y)=0, & N(x, y)=x \\ M(x, y)=-y, & N(x, y)=0 \\ M(x, y)=- \frac { 1 } { 2 } y, & N(x, y)= \frac { 1 } { 2 } x \end {array} \]로 택하면 \[ A= \int_ { C } x d y=- \int_ { C } y d x= \frac { 1 } { 2 } \int_ { C } x d y-y d x \]<caption>(15.30)</caption></p> <h2>15.6 Stokes 정리와 발산정리</h2> <p>Stokes 정리는 Green 정리의 3차원의 관점에 관한 정리이다. $ \Sigma $가 곡선 $ C $에 의해 둘러싸인 유향곡면이라 하자. $ \Sigma $ 위의 임의의 점에서 $ \Sigma $의 방향을 주는 법선 방향으로 엄지손가락이 향하도록 오른손을 놓는다고 상상하자. 만일 엄지손가락이 법선 방향을 향하도록 유지하면서 $ C $를 향하도록 하면, 나머지 손가락은 $ C $ 위에 방향을 정하는 방법으로 자연스럽게 비틀린다. 이 방향을 $ \Sigma $에 의해 $ C $ 위에 유도된 방향이라고 한다(그림 15.25).</p> <p>정리 15.5 (Stokes 정리)</p> <p>$ \Sigma $는 유한 곡면면적을 가지고 있는 유향곡면이라 하고, $ \mathrm { n } $을 곡면의 바깥 방향의 단위 법선벡터라고 하자, $ \Sigma $는 닫힌 조각적으로 매끄러운 곡선 $ C $에 의해 둘러싸여 있다고 가정하자. $ C $의 방향은 $ \Sigma $에 의해 도입되었다고 하자(그림 $ 15.26 $ ). $ \mathrm { F } $가 $ \Sigma $ 위에서 정의된 연속벡터장이고, $ \mathrm { F } $의 성분함수가 $ \Sigma $의 경계가 아닌 점에서 연속인 편도함수를 가지면 \[ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \iint_ {\Sigma } \operatorname { curl } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S . \]<caption>(15.38)</caption>만일 $ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $이면 \[ \int_ { C } M(x, y, z) d x + N(x, y, z) d y + P(x, y, z) d z= \iint_ {\Sigma } \operatorname { curl } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S \]<caption>(15.39)</caption>이다.</p> <p>예제 15.22</p> <p>$ C $는 그림 [15.27과 같이 평면 $ z= \frac { y } { 2 } $ 에 놓여 있는 유향삼각형이다. 만일 \[ \mathbf { F } (x, y, z)=-3 y ^ { 2 } \mathbf { i } + 4 z \mathbf { j } + 6 x \mathbf { k } \]일 때 $ \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } $를 구하여라.</p> <p>그래디언트로 함수 찾기</p> <p>일변수함수는 도함수를 적분함으로써 구할 있는 것처럼 다변수함수는 연속적인 적분을 통하여 그래디언트로부터 구할 수 있다.</p> <p>예제 15.5</p> <p>$ \operatorname { grad } f(x, y)=y ^ { 3 } \mathbf { i } + 3 x y ^ { 2 } \mathbf { j } $를 만족하는 2변수함수 $ f $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac {\partial f } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathbf { j } = \operatorname { grad } f(x, y)=y ^ { 3 } \mathbf { i } + 3 x y ^ { 2 } \mathbf { j } $ 이므로 \[ \frac {\partial f } {\partial x } =y ^ { 3 } \text { 이고 } \frac {\partial f } {\partial y } =3 x y ^ { 2 } \]<caption>(15.11)</caption></p> <p>식 (15.11) 의 첫 번째 식을 $ x $에 관하여 양변을 편적분하면 \[ f(x, y)=x y ^ { 3 } + g(y) \]<caption>(15.12)</caption></p> <p>여기서 $ g(y) $는 $ x $에 관하여 상수이다. 식 (15.12)의 양변을 $ y $에 관해서 편미분하면 \[ \frac {\partial f } {\partial y } =3 x y ^ { 2 } + \frac { d g } { d y } \text { . } \]<caption>(15.13)</caption></p> <p>식 (15.13)과 (15.11)의 두 번째를 비교하면 \[ \frac { d g } { d y } =0 \]이므로 $ g(y)=C( $ 상수 $ ) $. 따라서 \[ f(x, y)=x y ^ { 3 } + C . \]</p> <p>예제</p> <p>15.6 grad $ f(x, y, z)= \left (2 x y + z ^ { 2 } \right ) \mathbf { i } + x ^ { 2 } \mathbf { j } + (2 x z + \pi \cos \pi z) \mathbf { k } $를 만족하는 3변수함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac {\partial f } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathbf { j } + \frac {\partial f } {\partial z } \mathbf { k } &= \operatorname { grad } f(x, y, z) \\ &= \left (2 x y + z ^ { 2 } \right ) \mathbf { i } + x ^ { 2 } \mathbf { j } + (2 x z + \pi \cos \pi z) \mathbf { k } \end {aligned} \]이므로</p> <p>예제 15.25</p> <p>$ D $ 는 $ x y $ 평면과 반구 $ z= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 로 둘러싸인 영역이라 하자. $ \mathbf { F } (x, y, z)=x ^ { 3 } \mathbf { i } + y ^ { 3 } \mathbf { j } + z ^ { 3 } \mathbf { k } $일 때 $ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S $를 구하여라. 여기서 $ \Sigma $는 $ D $의 경계면이다.</p> <p>풀이</p> <p>$ \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z)=3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } =3 \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) $ 이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S &= \iiint_ { D } \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y, z) d V= \iiint_ { D } 3 \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) d V \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (3 \rho ^ { 2 } \right ) \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \phi d \theta \\ &= \frac { 96 } { 5 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin \phi d \phi d \theta \\ &= \frac { 96 } { 5 } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } d \theta= \frac { 192 } { 5 } \pi \end {aligned} \]</p> <p>예제 15.11</p> <p>입자가 매개화 \[ \mathbf { r } (t)= \cos t \mathbf { i } + \sin t \mathbf { j } + t \mathbf { k } , \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \]인 곡선 $ C $ (그림 15.9)을 따라 \[ \mathbf { F } (x, y, z)=-z y \mathbf { i } + z x \mathbf { j } + x y \mathbf { k } \]로 주어진 힘으로 움직인다. 이때 힘에 의해 입자가 행해진 일 $ W $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x(t)= \cos t, y(t)= \sin t, z(t)=t $이고 $ \frac { d \mathbf { r } } { d t } =- \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + \mathbf { k } $이다. 식 (15.24)를 사용하면 \[ \begin {aligned} W= \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { F } (x(t), y(t), z(t)) \cdot \frac { d \mathbf { r } } { d t } d t \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } (-t \sin t \mathbf { i } + t \cos t \mathbf { j } + \cos t \sin t \mathbf { k } ) \cdot(- \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } + \mathbf { k } ) d t \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } (t + \cos t \sin t) d t=2 \pi ^ { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>곡선 $ -C $의 방향은 곡선 $ C $의 방향의 반대이므로 $ -C $ 위의 임의의 점에서 접선벡터는 $ C $의 같은 점에서의 접선벡터의 음의 방향이다. 따라서 \[ \int_ { -C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =- \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } \]</p> <p>$ \frac {\partial f } {\partial x } =2 x y + z ^ { 2 } , \quad \frac {\partial f } {\partial y } =x ^ { 2 } , \quad \frac {\partial f } {\partial z } =2 x z + \pi \cos \pi z $<caption>(15.14)</caption></p> <p>식 (15.14)의 첫 번째 등식의 양변을 $ x $에 관하여 편적분하면</p> <p>$ f(x, y, z)=x ^ { 2 } y + x z ^ { 2 } + g(y, z) $<caption>(15.15)</caption></p> <p>여기서 $ g $는 $ x $에 관해서 상수이다. 식 (15.15)의 양변을 $ y $에 관해 편미분하면</p> <p>$ \frac {\partial f } {\partial y } =x ^ { 2 } + \frac {\partial g } {\partial y } $<caption>(15.16)</caption></p> <p>식 (15.16)과 (15.14)의 두 번째 등식을 비교하면</p> <p>$ \frac {\partial g } {\partial y } =0 $</p> <p>따라서 $ g $는 $ y $에 관하여 상수이다. 그러므로 식 (15.15)를 다시 쓰면</p> <p>$ f(x, y, z)=x ^ { 2 } y + x z ^ { 2 } + h(z) $<caption>(15.17)</caption></p> <p>다시 식 (15.17)의 양변을 $ z $에 관하여 편미분하면</p> <p>$ \frac {\partial f } {\partial z } =2 x z + \frac { d h } { d z } $<caption>(15.18)</caption></p> <p>식 (15.18)과 (15.14)의 세 번째 등식을 비교하면</p> <p>$ \frac { d h } { d z } = \pi \cos \pi z $</p> <p>그러므로 $ h(z)= \sin \pi z + C, C $는 상수. 따라서 식 (15.17)은</p> <p>$ f(x, y, z)=x ^ { 2 } y + x z ^ { 2 } + \sin \pi z + C $</p> <p>만일 $ \mathrm { F } =M \mathrm { i } + N \mathrm { j } + P \mathrm { k } $가 벡터장이고 $ M, N, P $가 연속인 편도함수를 가지고, $ \mathbf { F } = \operatorname { grad } f $ 인 $ f $ 가 존재한다면, 식 (15.8)에 의하여 $ \operatorname { curl } \mathrm { F } = \operatorname { curl } ( \operatorname { grad } f)=0 $. 그런데 curl $ \mathrm { F } =0 $은 \[ \frac {\partial P } {\partial y } = \frac {\partial N } {\partial z } , \quad \frac {\partial M } {\partial z } = \frac {\partial P } {\partial x } , \quad \frac {\partial N } {\partial x } = \frac {\partial M } {\partial y } \]<caption>(15.19)</caption>와 동치이다. 그러나 식 (15.19)를 만족하는 벡터장 $ \mathrm { F } =M \mathrm { i } + N \mathrm { j } + P \mathrm { k } $은 일반적으로 스칼라함수의 그래디언트일 필요는 없다. 만일 $ \mathrm { F } $의 정의역이 3차원 전체이거나, 구 또는 평행육면체(좀 더 일반적으로 $ D $가 구멍이 없으면)이면 역이 성립한다.</p> <p>$ \mathrm { v } $가 입체영역을 통하여 흐르는 유체의 속도장을 나타낸다고 가정하면 curl $ \mathbf { v } $은 축에 관하여 회전하려는 유체의 경향을 잴 수 있다(그림 15.5). 때로는 curl F를 rot $ \mathrm { F } $라고 쓰기도 하며, 만일 curl $ \mathrm { F } =0 $이면 $ \mathrm { F } $를 비회전벡터장이라고 한다.</p> <p>그래디언트, 발산, 회전에 관하여 다음과 같은 관계식이 성립한다. $ \operatorname { div } ( \operatorname { curl } F)=0 $<caption>(15.8)</caption></p>$ \operatorname { curl } ( \operatorname { grad } f)=0 $<caption>(15.8)</caption>$ \operatorname { div } ( \operatorname { grad } f)= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial z ^ { 2 } } $<caption>(15.9)</caption></p>식 (15.9)의 오른쪽을 $ f $의 Laplacian이라 부르고 $ \nabla ^ { 2 } f $ 또는 $ \Delta f $라고 쓴다. 특히 방정식 $ \nabla ^ { 2 } f=0 $<caption>(15.10)</caption>을 Laplace 방정식이라 부르고 Laplace 방정식의 해를 조화함수라고 부른다.</p> <p>$ f, M, N $ 이 이변수함수이고 $ \mathrm { F } =M \mathrm { i } + N \mathrm { j } $ 이면 2차원의 경우에 대해서도 그래디언트, 발산, 회전, Laplacian을 정의할 수 있다. \[ \begin {aligned} \operatorname { grad } f(x, y) &= \frac {\partial f } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathbf { j } \\ \operatorname { div } \mathbf { F } (x, y) &= \frac {\partial M } {\partial x } + \frac {\partial N } {\partial y } \\ \operatorname { curl } \mathbf { F } (x, y) &= \left ( \frac {\partial N } {\partial x } - \frac {\partial M } {\partial y } \right ) \mathbf { k } \\ \nabla ^ { 2 } f(x, y) &= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>벡터를 성분으로 표현할 수 있는 것처럼 벡터장도 성분함수로 나타낼 수 있다. 즉 \[ \mathbf { F } (x, y, z)=M(x, y, z) \mathbf { i } + N(x, y, z) \mathbf { j } + P(x, y, z) \mathbf { k } \]로 쓸 수 있다. 식 (15.1)을 다시 쓰면 $ \mathbf { F } (x, y, z)= \frac { -G m x } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { i } + \frac { -G m y } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { j } + \frac { -G m z } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { k } $<caption>(15.2)</caption></p> <p>$ \mathbf { F } =M \mathbf { i } + N \mathbf { j } + P \mathbf { k } $라고 할 때, $ \mathbf { F } $의 각 성분 $ M, N, P $가 $ (x, y, z) $ 에서 연속이면 $ \mathbf { F } $를 $ (x, y, z) $에서 연속이라고 부른다. 위의 중력장 $ \mathbf { F } $와 전기장 $ \mathbf { E } $ 는 모두 연속벡터장이다. 실제로 우리가 생각한 모든 벡터장은 정의역의 모든 점에서 연속이다.</p> <p>벡터장으로서의 그래디언트</p> <p>$ f $가 3변수의 미분가능한 함수라고 가정하자. $ f $의 그래디언트 $ \nabla f $는 실제로 벡터장이다. 즉 \[ \nabla f(x, y, z)= \operatorname { grad } f(x, y, z)= \frac {\partial f } {\partial x } (x, y, z) \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } (x, y, z) \mathbf { j } + \frac {\partial f } {\partial z } (x, y, z) \mathbf { k } . \]이다. 만일 벡터장 $ \mathbf { F } $가 어떤 다변수의 미분가능한 함수 $ f $의 $ \nabla f $와 일치하면 $ \mathbf { F } $를 보존벡터장이라 부르고, $ f $를 $ \mathbf { F } $의 Potential 함수라고 한다. 예를 들어 $ f(x, y, z)= \frac { G m } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } } $은 \[ \nabla f(x, y, z)=- \frac { G m } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } (x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } )= \mathbf { F } (x, y, z) \]이므로 중력장 $ \mathbf { F } $는 보존벡터장이고 $ f $는 중력장 $ \mathbf { F } $의 potential 함수이다. 이와 마찬가지로 전기장 $ \mathbf { E } $ 또한 보존벡터장임을 알 수 있다.</p> <p>예제 15.18</p> <p>타원 \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \]에 의해 둘러싸인 영역 $ R $의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>타원을 시계 반대 방향의 곡선으로 매개화하면 \[ \mathbf { r } (t)=a \cos t \mathbf { i } + b \sin t \mathbf { j } , \quad 0 \leq t \leq 2 \pi . \] 따라서 (15.30)에 의하여 \[ \begin {aligned} A= \frac { 1 } { 2 } \int_ { C } x d y-y d x &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } [(a \cos t)(b \cos t)-(b \sin t)(-a \sin t)] d t \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } a b d t= \pi a b . \end {aligned} \]</p> <h2>15.5 곡면적분과 유향곡면상의 적분</h2> <p>$ \Sigma $는 $ x y $평면 내의 수직 또는 수평단일영역들의 유한개로 이루어진 영역 $ R $ 위에서 정의된 연속도함수를 가지는 함수의 그래프라고 하자. $ g $는 $ \Sigma $ 위에서 연속이라고 하자. 예를 들어 $ \Sigma $를 얇은 금속판이라 하고 $ g $를 $ (x, y, z) $에서 $ \Sigma $의 질량밀도라고 생각하면 금속판의 질량 $ m $을 구하기 위해 $ R $ 을 둘러싸는 직사각형 $ R ^ {\prime } $을 택하고 $ \wp $를 $ R ^ {\prime } $의 분할로 부분사각형 $ R_ { 1 } , \ldots, R_ { n } $이 $ R $에 완전히 포함되고 $ \Sigma_ { 1 } , \Sigma_ { 2 } , \ldots, \Sigma_ { n } $을 $ R_ { 1 } , \ldots, R_ { n } $의 $ \Sigma $ 위로의 사영이라 하고 $ \Delta S_ { 1 } , \Delta S_ { 2 } , \ldots, \Delta S_ { n } $을 $ \Sigma_ { 1 } , \Sigma_ { 2 } , \ldots, \Sigma_ { n } $ 의 표면적이라 하자. 1과 $ n $ 사이의 각 정수 $ k $에 대해서 $ \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) $를 $ \Sigma_ { k } $의 임의의 점이라 하자 (그림 15.14). 만일 $ \\| \wp \\| $이 충분히 작으면, \[ m \approx \sum_ { k=1 } ^ { n } g \left (x_ { k } , y_ { k } , z_ { k } \right ) \Delta S_ { k } . \]<caption>(15.31)</caption></p> <p>$ \Sigma $가 여러 개의 유향곡면 $ \Sigma_ { 1 } , \ldots, \Sigma_ { n } $으로 이루어지고 각 곡면의 공통부분이 서로 반대방향으로 붙어 있으면 \[ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S= \iint_ {\Sigma_ { 1 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S + \cdots + \iint_ {\Sigma_ { n } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S . \]<caption>(15.37)</caption></p> <p>예제 15.21</p> <p>$ \Sigma $는 단위구면 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 $이고 방향법선벡터는 구의 바깥 방향이다(그림 15.24). $ \mathbf { F } (x, y, z)=z \mathbf { k } $일 때 $ \iint \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathbf { F } (x, y, z)=z \mathbf { k } $ 이므로 $ M=N=0 $ 이고 $ P(x, y, z)=z . \Sigma $ 를 상반구 $ \Sigma_ { 1 } $과 하반구 $ \Sigma_ { 2 } $로 나누면 $ \Sigma_ { 1 } $은 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 로 둘러싸인 영역 $ R $ 위의 $ z= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $의 그래프이고 $ \Sigma_ { 1 } $ 에 대한 법선은 위쪽 방향이다. 그러므로 $ f(x, y)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $이면 식 (15.36)에 의해 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Sigma_ { 1 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S &= \iint_ { R } P(x, y, f(x, y)) d A= \iint_ { R } \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } d A \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1-r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 3 } d \theta= \frac { 2 } { 3 } \pi . \end {aligned} \] 같은 방법으로 $ \Sigma_ { 2 } $ 는 $ R $ 위에서 $ z=- \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $의 그래프이고 $ \Sigma_ { 2 } $에 대한 법선 벡터는 아래 방향이다. 따라서 $ f(x, y)=- \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $이면 \[ \iint_ {\Sigma_ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S= \iint_ { R } -P(x, y, f(x, y)) d A= \iint_ { R } \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } d A= \frac { 2 } { 3 } \pi . \] 그러므로 (15.5)에 의하여 \[ \iint_ {\Sigma } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S= \iint_ {\Sigma_ { 1 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S + \iint_ {\Sigma_ { 2 } } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d S= \frac { 4 } { 3 } \pi . \]</p>	자연
M337-선형대수학	<p>유제 3.13</p> <p>$ z=2-3 i $일 때 $ z \bar { z } $와 $ \|z\| $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ z \bar { z } =(2-3 i)(2 + 3 i)=2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } =13 $이고 $ \|z\|= \sqrt { z \bar { z } } = \sqrt { 13 } $이다.</p> <p>유제 3.14</p> <p>$ z, w \in \mathbb { C } $일 때 다음을 증명하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \overline { z + w } = \bar { z } + \bar { w } $</li> <li>$ \overline { z w } = \bar { z } \bar { w } $</li> <li>$ \overline {\bar { z } } =z $</li></ol> <p>풀이</p> <p>$ z=a + b i, w=c + d i $라 하자.</p> <p>(1) $ \begin {aligned} \overline { z + w } &= \overline { (a + b i) + (c + d i) } = \overline { (a + c) + (b + d) i } \\ &=(a + c)-(b + d) i=(a-b i) + (c-d i) \\ &= \bar { z } + \bar { w } \end {aligned} $</p> <p>(2) $ \begin {aligned} \overline { z w } &= \overline { (a + b i)(c + d i) } = \overline { (a c-b d) + (a d + b c) i } \\ &=(a c-b d)-(a d + b c) i=(a-b i)(c-d i) \\ &= \bar { z } \bar { w } \end {aligned} $</p> <p>(3) $ \overline {\bar { z } } = \overline { a-b i } =a + b i=z $</p> <p>유제 3.12</p> <p>$ S $를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 곡면 $ x y ^ { 2 } + 2 y z=16 $이라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>곡면 $ S $의 법선벡터 $ \mathrm { N } (x, y, z) $를 구하라.</li> <li>점 $ P(1,2,3) $에서 $ S $의 접평면 $ H $의 방정식을 구하라.</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) 곡면 $ F(x, y, z)=0 $의 법선벡터는 \[ \mathrm { N } (x, y, z)=F_ { x } \mathrm { i } + F_ { y } \mathrm { j } + F_ { z } \mathrm { k } \]이다. 여기서 $ F_ { x } , F_ { y } $, 그리고 $ F_ { z } $는 편미분이다. $ F(x, y, z)= $ $ x y ^ { 2 } + 2 y z-16 $이므로 $ F_ { x } =y ^ { 2 }$ , $F_ { y } =2 x y + 2 z$, $F_ { z } =2 y $이다. 그러므로 \[ \mathrm { N } (x, y, z)=y ^ { 2 } \mathbf { i } + (2 x y + 2 z) \mathbf { j } + 2 y \mathbf { k } \]이다.</p> <p>(2) 점 $ P(1,2,3) $에서 $ H $의 법선벡터는 \[ \mathrm { N } (1,2,3)=4 \mathrm { i } + 10 \mathrm { j } + 4 \mathrm { k } \]이다. $ \mathrm { N } =2 \mathrm { i } + 5 \mathrm { j } + 2 \mathrm { k } $ 또한 $ H $에 수직이다. 그러므로 $ H $의 방정식은 $ 2 x + 5 y + 2 z=c $에서 점 $ P $를 대입하면 $ c=18 $이므로 \[2 x + 5 y + 2 z=18 \]이다.</p> <h1>3.7 복소수</h1> <p>복소수들의 집합은 $ \mathbb { C } $로 나타낸다. 복소수는 두 실수의 순서쌍 $ (a, b) $이고 다음과 같이 상등, 덧셈, 그리고 곱셈이 정의된다. \[ \begin {array} { l } (a, b)=(c, d) \text { 일 필요충분조건은 } a=c \text { 이고 } b=d \$a, b) + (c, d)=(a + c, b + d) \\(a, b)(c, d)=(a c-b d, a d + b c) \end {array} \]</p> <p>벡터 \( (1,2,3) $ 과 $ (2,3,1) $ 은 같은 세 개의 숫자를 갖고 있지만 대응하는 원소들이 같지 않기 때문에 같은 벡터가 아니다.</p> <p>보기 3.1</p> <p>(1) $ (2,-5) $, $(7,9) $, $(0,0,0) $, $(3,4,5) $는 모두 벡터이다. $ (2,-5) $, $(7,9) \in \mathbb { R } ^ { 2 } $이고 $ (0,0,0) $, $(3,4,5) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $이다. $ (0,0,0) $은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 영벡터이다.</p> <p>(2) $ (x-y, x + y, z-1)=(4,2,3) $ 을 만족하는 $ x, y, z $ 를 찾아라. 대응하는 원소가 같아야 하므로 \[x-y=4, x + y=2, z-1=3 \]이다. 위의 연립방정식을 풀면 $ x=3, y=-1, z=4 $이다.</p> <p>열벡터(Column Vectors)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 안의 벡터를 나타낼 때 종종 수평으로 쓰기보다 수직으로 내려쓴다. 이러한 벡터를 열벡터라 하고 수평으로 쓴 벡터를 행벡터(row vectors)라 한다. 예를 들어 다음의 벡터들은 열벡터이다.</p> <p>$ \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { r } 3 \\ -4 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { r } 1 \\ 5 \\ -6 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { r } 1.5 \\ \frac { 2 } { 3 } \\ -15 \end {array} \right ] $.</p> <p>유제 3.1</p> <p>다음을 만족시키는 $ x $와 $ y $를 찾아라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (x, 5)=(3, x + 2 y) $</li> <li>$ (4, y)=x(1,4) $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>두 벡터의 성분이 각각 같아야 하므로 $ x=3,5=x + 2 y $이다. 따라서 $ x=3, y=1 $이다.</li> <li>$ (4, y)=x(1,4)=(x, 4 x) $ 이므로 $ x=4, y=4 x $ 이다. 따라서 $ x=4, y=16 $ 이 된다.</li></ol> <h1>3.3 벡터의 합과 스칼라 곱</h1> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 안의 벡터 $ u, v $가 있을 때 \[u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ), v= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \ldots, b_ { n } \right ) \]이라 하자. 벡터 $ u $와 $ v $의 합 $ u + v $는 $ u $와 $ v $의 대응하는 각 성분들을 더하여 얻어진다. 즉 \[u + v= \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } , a_ { 2 } + b_ { 2 } , \ldots, a_ { n } + b_ { n } \right ) \]이다. 벡터 $ u $와 실수 $ k $의 스칼라 곱은 벡터 $ u $의 모든 성분에 $ k $를 곱하면 된다. 즉 \[k u= \left (k a_ { 1 } , k a_ { 2 } , \ldots, k a_ { n } \right ) \]이다. $ u + v $와 $ k u $ 모두 다시 $ \mathbb { R } ^ { n } $안의 벡터임을 명심하자. 성분의 개수가 다른 두 벡터의 합은 정의되지 않는다. 벡터의 덧셈과 스칼라 곱을 기하학적으로 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위에서 설명하면 다음과 같다.</p> <p>(3) $ V(t)= \frac { d F(t) } { d t } = \left (3 t ^ { 2 } , 2 t, 3 t ^ { 2 } , 1 \right ) $이므로 \[ \begin {aligned} \mathrm { T } &= \frac { V(2) } {\\|V(2) \\| } = \frac { (12,4,12,1) } {\sqrt { 144 + 16 + 144 + 1 } } \\&= \left ( \frac { 12 } {\sqrt { 305 } } , \frac { 4 } {\sqrt { 305 } } , \frac { 12 } {\sqrt { 305 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 305 } } \right ) . \end {aligned} \]</p> <h1>3.6 $ \quad \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위의 벡터(공간벡터), i.jk 표시법</h1> <p>이 절에서는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 안의 벡터들을 공간벡터라 한다. 이 벡터들을 위한 특별한 표시법이 있다.<ul> <li>$ \mathrm { i } =(1,0,0) $은 $ x $축 방향의 단위벡터이다.</li> <li>$ \mathrm { j } =(0,1,0) $은 $ y $축 방향의 단위벡터이다.</li> <li>$ \mathrm { k } =(0,0,1) $은 $ z $축 방향의 단위벡터이다.</li></ul></p> <p>그러면 임의의 벡터 $ u=(a, b, c) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $는 다음과 같이 유일하게 나타내어진다. \[u=(a, b, c)=a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } \]</p> <p>$ \mathrm { i } , \mathrm { j } , \mathrm { k } $ 벡터가 단위벡터이고 서로간에 직교하기 때문에 다음과 같은 내적을 얻을 수 있다. \[ \mathrm { i } \cdot \mathrm { i } =1, \mathrm { j } \cdot \mathrm { j } =1, \mathrm { k } \cdot \mathrm { k } =1 \text { 이고 } \mathrm { i } \cdot \mathrm { j } =0, \mathrm { i } \cdot \mathrm { k } =0, \mathrm { j } \cdot \mathrm { k } =0 \text { . } \]</p> <p>$u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \ldots, u_ { n } \right ), v= \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , \ldots, v_ { n } \right ), w= \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , \ldots, w_ { n } \right ) $ 이라하자.</p> <p>(ii) $ \begin {aligned} (k u) \cdot &= \left (k u_ { 1 } , k u_ { 2 } , \ldots, k u_ { n } \right ) \cdot \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , \ldots, v_ { n } \right ) \\ &=k u_ { 1 } v_ { 1 } + k u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + k u_ { n } v_ { n } \\ &=k \left (u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } \right ) \\ &=k(u \cdot v) \end {aligned} $</p> <p>(iii) $ \begin {aligned} u \cdot v &=u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } \\ &=v_ { 1 } u_ { 1 } + v_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + v_ { n } u_ { n } =v \cdot u \end {aligned} $</p> <p>(iv) $ u_ { i } ^ { 2 } $이 모두 양수이고 $ u \cdot u=u_ { 1 } ^ { 2 } + u_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + u_ { n } ^ { 2 } $이므로 $ u \cdot u \geq 0 $이다. 또한 $ u \cdot u=u_ { 1 } ^ { 2 } + u_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + u_ { n } ^ { 2 } =0 $ 일 필요충분조건은 모든 $ i $ 에 대하여 $ u_ { i } =0 $이므로 $ u=0 $이다.</p> <p>$ \mathbb { C } ^ { n } $에서의 내적</p> <p>$ \mathbb { C } ^ { n } $ 위의 벡터 $ u= \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { n } \right ), v= \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , \ldots, w_ { n } \right ) $이 있을 때 $ u $와 $ v $의 내적은 다음과 같이 정의된다. \[u \cdot v=z_ { 1 } \overline { w_ { 1 } } + z_ { 2 } \overline { w_ { 2 } } + \cdots + z_ { n } \overline { w_ { n } } . \]</p> <p>$ w_ { i } $가 실수일 때 $ w_ { i } = \overline { w_ { i } } $이기 때문에 이 정의는 실수에서의 내적 정의와 일치한다. $ u $의 놈은 다음과 같이 정의된다. \[ \\|u \\|= \sqrt { u \cdot u } = \sqrt { z_ { 1 } \overline { z_ { 1 } } + z_ { 2 } \overline { z_ { 2 } } + \cdots + z_ { n } overline { z_ { n } } } = \sqrt {\left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } + \cdots + \left \|z_ { n } \right \| ^ { 2 } } . \]여기서 $ u \neq 0 $일 때는 항상 $ u \cdot u $와 $ \\|u \\| $는 양수이고 오직 $ u=0 $일 때만 $ u \cdot u=0, \\|u \\|=0 $이 된다.</p> <p>보기 3.12</p> <p>$ \mathbb { C } ^ { 3 } $의 벡터들이 $ u=(2 + 3 i, 4-i, 3 + 5 i), v=(3-4 i, 5 i, 4-2 i) $일 때 \[u \cdot v=(2 + 3 i) \overline { (3-4 i) } + (4-i) \overline { (5 i) } + (3 + 5 i) \overline { (4-2 i) } \] \[ \begin {aligned} &=(2 + 3 i)(3 + 4 i) + (4-i)(-5 i) + (3 + 5 i)(4 + 2 i) \\&=(-6 + 13 i) + (-5-20 i) + (2 + 26 i)=-9 + 19 i, \\u \cdot u &=\|2 + 3 i\| ^ { 2 } + \|4-i\| ^ { 2 } + \|3 + 5 i\| ^ { 2 } \\&=4 + 9 + 16 + 1 + 9 + 25=64, \\ \\|u \\| &= \sqrt { 64 } =8 . \end {aligned} \]벡터 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱, 그리고 내적이 $ \mathbb { C } ^ { n } $ 위에서 잘 정의되므로 $ \mathbb { C } ^ { n } $을 유클리드 $ n $ 공간이라고 부른다. $ \mathbb { R } ^ { n } $에 관한 정리 3.2 또한 $ \mathbb { C } ^ { n } $에서 모두 성립한다 $ (u \cdot v=v \cdot u $를 $ u \cdot v= \overline { u \cdot v } $로 대치해야 함). 또한 정리 3.3과 3.4도 $ \mathbb { C } ^ { n } $ 위에서 모두 성립한다.</p> <p>이 정의는 슈바르츠 부등식에 의하여 잘 정의되어 있다. \[-1 \leq \frac { u \cdot v } {\\|u \\| \\|v \\| } \leq 1 . \]</p> <p>만약 $ u \cdot v=0 $이면 $ \theta=90 ^ {\circ } $ (또는 $ \theta= \pi / 2 $ )이다. 이것도 앞의 직교 정의와 일치한다.</p> <p>벡터 $ u $의 벡터 $ v $ 위로의 정사영은 다음과 같이 정의되는 벡터이다. \[ \operatorname { proj } (u, v)= \frac { u \cdot v } {\\|v \\| ^ { 2 } } v= \frac { u \cdot v } {\\|v \\| } \frac { v } {\\|v \\| } = \frac { u \cdot v } { v \cdot v } v . \]</p> <p>보기 3.5</p> <p>(1) $ u=(1,-2,3), v=(2,4,5) $라고 하자. \[ \begin {aligned} d(u, v) &= \sqrt { (1-2) ^ { 2 } + (-2-4) ^ { 2 } + (3-5) ^ { 2 } } \\&= \sqrt { 1 + 36 + 4 } = \sqrt { 41 } . \end {aligned} \] 벡터 $ u, v $의 끼인각 $ \theta $는 \[u \cdot v=2-8 + 15=9, \] \[ \begin {array} { c } \\|u \\| ^ { 2 } =1 + 4 + 9=14 \\ \\|v \\| ^ { 2 } =4 + 16 + 25=45 \end {array} \] 이므로 \[ \cos \theta= \frac { u \cdot v } {\\|u \\| \\|v \\| } = \frac { 9 } {\sqrt { 14 } \sqrt { 45 } } \] 이다. 또한 \[ \operatorname { proj } (u, v)= \frac { u \cdot v } {\\|v \\| ^ { 2 } } v= \frac { 9 } { 45 } (2,4,5)= \left ( \frac { 2 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } , 1 \right ) \] 이다.</p> <p>(2) 그림 3-2처럼 각각의 끝점이 $ A, B $인 벡터 $ u, v $가 주어졌을 때, 벡터 $ v $ 위의 벡터 $ u $의 정사영 $ u ^ { * } $의 크기는 \[ \left \\|u ^ { * } \right \\|= \\|u \\| \cos \theta= \\|u \\| \frac { u \cdot v } {\\|u \\| \\|v \\| } = \frac { u \cdot v } {\\|v \\| } . \] $ u ^ { * } $를 구하기 위해서는 벡터 $ v $ 방향의 단위벡터에 $ u ^ { * } $의 크기 $ \left \\|u ^ { * } \right \\| $를 곱하면 된다. \[u ^ { * } = \left \\|u ^ { * } \right \\| \frac { v } {\\|v \\| } = \frac { u \cdot v } {\\|v \\| } \frac { v } {\\|v \\| } = \frac { u \cdot v } {\\|v \\| ^ { 2 } } v . \] 이 식은 정사영의 정의와 일치한다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 안의 벡터 $ u, v $에 대하여 특별한 연산이 있는데 이 연산은 $ \mathbb { R } ^ { n } , n \neq 3 $인 공간에서는 정의되지 않는다. 이 연산을 외적이라고 하며 $ u \times v $라고 쓴다. $ u \times v $의 계산 공식을 쉽게 외울 수 있는 방법은 2차 행렬식과 그것의 음(negative)의 값을 다음과 같이 사용하는 것이다. \[ \left \| \begin {array} { ll } a & b \\c & d \end {array} \right \|=a d-b c \text { 이고 } - \left \| \begin {array} { ll } a & b \\c & d \end {array} \right \|=b c-a d \text { . } \]</p> <p>이제 $ u=a_ { 1 } \mathrm { i } + a_ { 2 } \mathbf { j } + a_ { 3 } \mathrm { k } $이고 $ v=b_ { 1 } \mathrm { i } + b_ { 2 } \mathrm { j } + b_ { 3 } \mathrm { k } $라 하자. 그러면 $ \begin {aligned} u \times v &= \left (a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right ) \mathrm { i } + \left (a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } \right ) \mathrm { j } + \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) \mathrm { k } \\ &= \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ll } a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| \mathrm { i } - \left \| \begin {array} { cc } a_ { 1 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| \mathrm { j } + \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } \end {array} \right \| \mathrm { k } . \end {aligned} $</p> <p>더 나아가 벡터 연산들을 $ i j k $ 표시법으로 나타낼 수 있다. \[u=a_ { 1 } \mathrm { i } + a_ { 2 } \mathrm { j } + a_ { 3 } \mathrm { k } \text { 이고 } v=b_ { 1 } \mathrm { i } + b_ { 2 } \mathrm { j } + b_ { 3 } \mathrm { k } \]라고 하자. 그러면 $ c $가 스칼라일 때 \[u + v= \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) \mathbf { i } + \left (a_ { 2 } + b_ { 2 } \right ) \mathbf { j } + \left (a_ { 3 } + b_ { 3 } \right ) \mathbf { k } \text { 이고 } c u=c a_ { 1 } \mathbf { i } + c a_ { 2 } \mathbf { j } + c a_ { 3 } \mathbf { k } \]이다. 또한 \[u \cdot v=a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } + a_ { 3 } b_ { 3 } \text { 이고 } \\|u \\|= \sqrt { u \cdot u } = \sqrt { a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } + a_ { 3 } ^ { 2 } } \]이다.</p> <p>보기 3.8</p> <p>$ u=3 \mathrm { i } + 5 \mathrm { j } -2 \mathrm { k } $이고 $ v=4 \mathrm { i } -8 \mathrm { j } + 7 \mathrm { k } $라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ u + v=7 \mathrm { i } -3 \mathrm { j } + 5 \mathrm { k } $</li> <li>$ 3 u-2 v=(9 \mathbf { i } + 13 \mathbf { j } -6 \mathbf { k } ) + (-8 \mathrm { i } + 16 \mathbf { j } -14 \mathrm { k } )= \mathrm { i } + 29 \mathrm { j } -20 \mathrm { k } $</li> <li>$ u \cdot v=12-40-14=-42 $</li> <li>$ \\|u \\|= \sqrt { 9 + 25 + 4 } = \sqrt { 38 } $</li></ol> <p>외적(Cross Product)</p> <p>위치벡터(Located Vectors)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 임의의 점 $ A \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $과 $ B \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \ldots, b_ { n } \right ) $을 사용하여 $ A $로부터 $ B $로의 위치벡터(located vector) $ \overrightarrow { A B } $를 정의할 수 있다. 그리고 이 벡터 $ \overrightarrow { A B } $는 바로 다음의 벡터 $ u $와 같은 크기와 방향을 갖기 때문에 동일한 벡터이다(그림 3-3).</p> <p>유제 3.7</p> <p>점 $ P $와 $ Q $를 지나는 벡터를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P(2,3,-1) $, $Q(4,6,-3) $</li> <li>$ P(1,-3,4,-1) $, $Q(2,-3,1,-5) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ u= \overrightarrow { P Q } =Q-P=(4-2,6-3,-3-(-1))=(2,3,-2) $</p> <p>(2) $ \begin {aligned} u &= \overrightarrow { P Q } =Q-P=(2-1,-3-(-3), 1-4,-5-(-1)) \\ &=(1,0,-3,-4) \end {aligned} $</p> <p>초평면(Hyperplanes)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 초평면 $ H $ 란 선형 방정식 \[a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =b \]<caption>(1)</caption>를 만족시키는 점들 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \right ) $의 집합이다. 여기서 계수 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } \right . $, $ \left .a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $은 영이 아니다. 그러므로 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 위의 초평면 $ H $란 하나의 선이고 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위의 초평면 $ H $ 란 하나의 평면이 된다. 그림 3-4에서 벡터 $ u $는 초평면 $ H $ 위의 임의의 직선 $ \overrightarrow { P Q } $와 직교한다. 이러한 이유로 벡터 $ u $를 초평면 $ H $의 법선 벡터(normal vector)라 한다.</p> <p>초평면 $ H $ 위의 점 $ P \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , \ldots, p_ { n } \right ) $과 $ H $에 수직인 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots \right . $, $ \left .a_ { n } \right ) $이 주어졌을 때 $ H $의 방정식을 구하는 방법은 $ Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \right ) $을 초평면 $ H $ 위의 임의의 점이라 하고 위와 같은 방법으로 구할 수 있다. 즉 벡터 $ v $를 구하여 이 벡터가 $ u $ 와 수직임을 이용한다. \[v= \overrightarrow { P Q } =Q-P= \left (x_ { 1 } -p_ { 1 } , x_ { 2 } -p_ { 2 } , \ldots, x_ { n } -p_ { n } \right ) \]이므로 \[ \begin {aligned} u \cdot v &=a_ { 1 } \left (x_ { 1 } -p_ { 1 } \right ) + a_ { 2 } \left (x_ { 2 } -p_ { 2 } \right ) + \cdots + a_ { n } \left (x_ { n } -p_ { n } \right )=0 \\& \Leftrightarrow \left (a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } \right )- \left (a_ { 1 } p_ { 1 } + a_ { 2 } p_ { 2 } + \cdots + a_ { n } p_ { n } \right )=0 \\& \Leftrightarrow a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =b . \end {aligned} \]여기서 $ b=a_ { 1 } p_ { 1 } + a_ { 2 } p_ { 2 } + \cdots + a_ { n } p_ { n } $ 이다. 그러므로 식 (1)과 같은 결과를 얻는다. 여기서 주의할 점은 벡터 $ u $의 성분들이 이 방정식의 변수들의 계수라는 것이다.</p> <p>언급 $ \mathrm { i } , \mathrm { j } , \mathrm { k } $ 벡터의 외적은 다음과 같다.</p> <p>$ \mathrm { i } \times \mathrm { j } = \mathrm { k } , \mathrm { j } \times \mathrm { k } = \mathrm { i } , \mathrm { k } \times \mathrm { i } = \mathrm { j } $ $ \mathrm { j } \times \mathrm { i } =- \mathrm { k } , \quad \mathrm { k } \times \mathrm { j } =- \mathrm { i } , \mathrm { i } \times \mathrm { k } =- \mathrm { j } $</p> <p>정리 3.5</p> <p>$ u, v $를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 안의 벡터라 하자.</p> <ol type=i start=1><li>벡터 $ u \times v $는 $ u $와 $ v $ 모두에 직교한다.</li> <li>세 벡터곱 $ w \cdot(u \times v)= \\|w \\| \\|u \times v \\| \cos \theta $의 절댓값은 $ u, v, w $를 변으로 갖는 평행직육면체의 부피다(그림 3-6).</li></ol> <p>$ u, v, u \times v $는 오른손법칙을 말하는 것이고 다음의 공식 \[ \begin {aligned} \\|u \times v \\| ^ { 2 } &= \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } -(u \cdot v) ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } -( \\|u \\| \\|v \\| \cos \rho) ^ { 2 } \\&= \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \left (1- \cos ^ { 2 } \rho \right )= \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \sin \rho \end {aligned} \]로부터 $ u \times v $의 크기를 구할 수 있다. \[ \\|u \times v \\|= \\|u \\| \\|v \\| \sin \rho . \]여기서 $ \rho $는 $ u $와 $ v $의 끼인각이다. 이는 기하학적으로 두 벡터 $ u $와 $ v $를 두변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같다.</p> <p>컬레복소수와 절댓값(Complex Conjugate, Absolute Value)</p> <p>복소수 $ z=a + b i $가 있을 때 $ z $의 컬레복소수를 다음과 같이 정의하고 나타낸다. \[ \bar { z } = \overline { a + b i } =a-b i . \]</p> <p>그러면 $ z \bar { z } =(a + b i)(a-b i)=a ^ { 2 } -b ^ { 2 } i ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $이다. 만약 $ z $가 실수이면 $ \bar { z } =z $이다.</p> <p>$ z $의 절댓값 $ \|z\| $는 $ z \bar { z } $의 음이 아닌 제곱근으로 정의한다. 즉 \[\|z\|= \sqrt { z \bar { z } } = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } . \]</p> <p>$ \|z\| $는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $에서 점 $ (a, b) $의 놈과 일치한다.</p> <p>$ z \neq 0 $이라고 하자. 그러면 $ \mathbb { C } $ 안의 $ z $의 역(inverse) $ z ^ { -1 } $과 나눗셈은 각각 다음과 같다. $ z ^ { -1 } = \frac {\bar { z } } { z \bar { z } } = \frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } i $ 그리고 $ \frac { w } { z } = \frac { w \bar { z } } { z \bar { z } } =w z ^ { -1 } $.</p> <p>보기 3.10</p> <p>$ z=2 + 3 i, w=5-2 i $일 때 \[ \begin {array} { l } z + w=(2 + 3 i) + (5-2 i)=(2 + 5) + (3-2) i=7 + i \\z w=(2 + 3 i)(5-2 i)=10 + 15 i-4 i-6 i ^ { 2 } =16 + 11 i \\ \bar { z } = \overline { 2 + 3 i } =2-3 i \text { 이고 } \bar { w } = \overline { 5-2 i } =5 + 2 i \\ \frac { w } { z } = \frac { 5-2 i } { 2 + 3 i } = \frac { (5-2 i)(2-3 i) } { (2 + 3 i)(2-3 i) } = \frac { 4-19 i } { 13 } = \frac { 4 } { 13 } - \frac { 19 } { 13 } i \\\|z\|= \sqrt { 4 + 9 } = \sqrt { 13 } \text { 이고 } \|w\|= \sqrt { 25 + 4 } = \sqrt { 29 } \end {array} \]가 된다.</p> <p>유제 3.10</p> <p>점 $ P(4,-3,-4,2) $를 지나며 벡터 $ u=(2,-2,8,5) $와 평행한 직선 $ L $의 방정식을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ L $ 위의 임의의 한 점을 $ X \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \right ) $라 하면 위치벡터 $ \overrightarrow { P X } $는 벡터 $ u $와 평행하다. 즉 임의의 $ t \in \mathbb { R } $에 대하여 \[ \overrightarrow { P X } =t u \text { 또는 } \left (x_ { 1 } -4, x_ { 2 } + 3, x_ { 3 } + 4, _ { 4 } -2 \right )=t u \]이다. 그러므로 \[x_ { 1 } -4=2 t, x_ { 2 } + 3=-2 t, x_ { 3 } + 4=8 t, x_ { 4 } -2=5 t \]또는 \[x_ { 1 } =2 t + 4, x_ { 2 } =-2 t-3, x_ { 3 } =8 t-4, x_ { 4 } =5 t + 2 \]이다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 곡선들(Curves)</p> <p>$ D $를 실직선 $ \mathbb { R } $ 위의 구간이라 하자. 연속함수 $ F: D \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $은 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 곡선이다. 그러므로 각각의 점 $ t \in D $에 대하여 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 다음과 같은 점이 대응된다. \[F(t)= \left (F_ { 1 } (t), F_ { 2 } (t), \ldots, F_ { n } (t) \right ) \]또한 미분가능하다면 $ F(t) $의 미분은 벡터 \[V(t)= \frac { d F(t) } { d t } = \left ( \frac { d F_ { 1 } (t) } { d t } , \frac { d F_ { 2 } (t) } { d t } , \ldots, \frac { d F_ { n } (t) } { d t } \right ) \]를 유도한다. 이 벡터는 곡선의 접선(tangent)을 뜻한다. $ V(t) $를 정규화하면 \[ \mathrm { T } (t)= \frac { V(t) } {\\|V(t) \\| } \]이다. 그러므로 $ \mathrm { T } (t) $는 곡선에 대한 접선단위벡터이다.</p> <p>유제 3.4</p> <p>$ u $와 $ v $가 수직이 되게 하는 $ k $를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ u=(2, k,-4), v=(1,3,-4) $</li> <li>$ u=(1,2 k, 5,-3), v=(1,-2,-3,4) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ u \cdot v=(2, k,-4) \cdot(1,3,-4)=2 + 3 k + 16=0 $ 이므로 \[k=-6 . \]</p> <p>(2) $ u \cdot v=(1,2 k + 1,5,-3) \cdot(1,-2,-3,4)=1-4 k-2- $ $ 15-12=0 $ 이므로 $ k=-7 $.</p> <p>유제 3.5</p> <p>다음 벡터들을 정규화하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ u=(1,3,-4) $</li> <li>$ u=(-2,4,4,-3) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ \begin {aligned} \\|u \\| &= \sqrt { 1 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + (-4) ^ { 2 } } = \sqrt { 26 } \text { 이므로 } \\ \hat { u } &= \frac { u } {\\|u \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 26 } } (1,3,-4)= \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 26 } } , \frac { 3 } {\sqrt { 26 } } , \frac { -4 } {\sqrt { 26 } } \right ) \end {aligned} $</p> <p>(2) $ \\|u \\|= \sqrt { (-2) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } + (-3) ^ { 2 } } = \sqrt { 45 } $ 이므로 \[ \begin {aligned} \hat { u } &= \frac { u } {\\|u \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 45 } } (-2,4,4,-3) \\&= \left ( \frac { -2 } {\sqrt { 45 } } , \frac { 4 } {\sqrt { 45 } } , \frac { 4 } {\sqrt { 45 } } , \frac { -3 } {\sqrt { 45 } } \right ) . \end {aligned} \]</p> <p>유제 3.6</p> <p>$ u=(2,-3,5), v=(1,4,-3) $일 때 다음을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \cos \theta, \theta $는 $ u $와 $ v $의 끼인각.</li> <li>$ \operatorname { proj } (u, v), v $ 위로의 $ u $의 정사영.</li> <li>$ d(u, v), u $와 $ v $의 거리.</li></ol> <p>풀이</p> <p>보기 3.6</p> <p>(1) $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위의 평면 $ H $의 방정식을 $ 2 x-5 y + 7 z=4 $라고 하자. 점 $ P(1,1,1) $과 점 $ Q(5,4,2) $는 이 방정식의 근들이다. 그러므로 점 $ P $와 $ Q $, 선분 \[v= \overrightarrow { P Q } =Q-P=(5-1,4-1,2-1)=(4,3,1) \]은 평면 $ H $ 위에 있다. 벡터 $ u=[2,-5,7] $은 평면 $ H $에 수직이다. 그러므로 \[u \cdot v=(2,-5,7) \cdot(4,3,1)=8-15 + 7=0 \]이다. 즉 $ u $는 $ v $에 직교한다.</p> <p>(2) 점 $ P(1,3,-4,2) $를 지나고 벡터 $ u=(4,-2,5,6) $에 직교하는 $ \mathbb { R } ^ { 4 } $ 위의 초평면 $ H $의 방정식을 구하라.</p> <p>(3) $ \mathbb { R } ^ { 4 } $에서 점 $ P(1,2,3,-4) $를 지나고 벡터 $ u=(5,6,-7,8) $과 평행한 직선 $ L $의 방정식을 구하라. 또한 $ t=1 $ 일 때의 선 $ L $ 위의 점 $ Q $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>(2) 초평면 $ H $의 방정식의 계수들은 벡터 $ u $의 성분들이므로 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다. \[4 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + 5 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } =k . \]점 $ P $를 이 식에 대입하면 \[4(1)-2(3) + 5(-4) + 6(2)=k \text { 또는 } k=-10 \]이므로 $ 4 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + 5 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } =-10 $이 초평면 $ H $의 방정식이다.</p> <p>(3) 식 (2)에 위의 정보를 대입하면 \[ \begin {array} { c } x_ { 1 } =5 t + 1, x_ { 2 } =6 t + 2, x_ { 3 } =-7 t + 3, x_ { 4 } =8 t-4 \\ \text { 또는 } L(t)=(5 t + 1,6 t + 2,-7 t + 3,8 t-4) \end {array} \]이다. $ t=0 $일 때 $ L(0)=(1,2,3,-4)=P $임을 주의하자.또한 $ t=1 $이면 $ L(1)=(6,8,-4,4)=Q(6,8,-4,4) $이다.</p> <p>복소수 $ (a, 0) $은 실수 $ a $이다. 그러므로 실수의 모든 연산이 복소수 안에서 보존된다. 즉 \[(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0) \text { 그리고 } (a, 0)(b, 0)=(a b, 0) \]이므로 실수 $ \mathbb { R } $은 복소수 $ \mathbb { C } $의 부분집합이 된다.</p> <p>복소수 $ \mathbb { C } $는 실수 $ \mathbb { R } $과 유리수 $ \mathbb { Q } $와 같은 덧셈과 곱셈 등의 연산을 정의할 수 있는 체(field)이다.</p> <p>복소수 $ (0,1) $은 $ i $로 나타내고 다음과 같은 성질을 갖는다. $ i ^ { 2 } =i i=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1 $ 또는 $ i= \sqrt { -1 } $.</p> <p>따라서 모든 복소수 $ z=(a, b) $는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다. \[z=(a, b)=(a, 0) + (0, b)=(a, 0) + (b, 0)(0,1)=a + b i \].</p> <p>위의 표시법 $ z=a + b i, a \equiv \operatorname { Re } z $ 그리고 $ b \equiv \operatorname { Im } z $에서 $ a $와 $ b $를 각각 $ z $의 실수부(real part), 허수부(imaginary part)라고 부른다. 사실 두 복소수의 곱과 합은 이 표시법과 $ i= \sqrt { -1 } $을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>$ z=a + b i, w=c + d i $라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { c } z + w=(a + b i) + (c + d i)=a + c + b i + d i=(a + c) + (b + d) i, \\z w=(a + b i)(c + d i)=a c + b c i + a d i + b d i ^ { 2 } =(a c-b d) + (a d + b c) i . \end {array} \]</p> <p>또한 $ \mathbb { C } $에서 $ z $의 음(negative)과 뺄셈을 다음과 같이 정의한다. \[-z=-1 z \text { 그리고 } w-z=w + (-z) \text { . } \]</p> <p>위의 정리를 이용하여 삼각부등식(triangle inequality) 또는 민코프스키 부등식(Minkowski inequality)이라 알려진 부등식을 증명할 수 있다.</p> <p>정리 3.4</p> <p>(민코프스키 부등식)</p> <p>임의의 벡터 $ u, v \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대하여 \[ \\|u + v \\| \leq \\|u \\| + \\|v \\| . \]</p> <p>증명</p> <p>내적과 슈바르츠 부등식을 이용하면 \[ \\|u + v \\| ^ { 2 } =(u + v) \cdot(u + v)=(u \cdot u) + 2(u \cdot v) + (v \cdot v) \] \[ \leq \\|u \\| ^ { 2 } + 2 \\|u \\| \\|v \\| + \\|v \\| ^ { 2 } =( \\|u \\| + \\|v \\|) ^ { 2 } \] 이고 양변에 제곱근을 취하면 원하던 결과를 얻는다.</p> <p>거리, 각, 정사영(Distance, Angles, Projections)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 안의 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $ 과 $ v= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \ldots, b_ { n } \right ) $ 사이의 거리를 다음과 같이 나타내고 정의한다. \[d(u, v)= \\|u-v \\|= \sqrt {\left (a_ { 1 } -b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (a_ { 2 } -b_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \cdots + \left (a_ { n } -b_ { n } \right ) ^ { 2 } } . \]</p> <p>이 정의는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 위 또는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위의 거리개념과 일치한다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 안의 영이 아닌 벡터 $ u, v $ 의 끼인각 $ \theta $ 는 다음과 같이 정의된다. \[ \cos \theta= \frac { u \cdot v } {\\|u \\| \\|v \\| } \]</p> <p>(1) $ \\|u \\|= \sqrt { 2 ^ { 2 } + (-3) ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } = \sqrt { 38 } $ 이고 \[ \begin {array} { c } \\|v \\|= \sqrt { 1 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } + (-3) ^ { 2 } } = \sqrt { 26 } , \\u \cdot v=2-12-15=-25 \end {array} \] 이므로 \[ \cos \theta= \frac { u \cdot v } {\\|u \\| \\|v \\| } = \frac { -25 } {\sqrt { 38 } \sqrt { 26 } } . \]</p> <p>(2) $ \begin {aligned} \operatorname { proj } (u, v) &= \frac { u \cdot v } {\\|v \\| ^ { 2 } } v= \frac { -25 } { 26 } (1,4,-3) \\ &= \left ( \frac { -25 } { 26 } , \frac { -100 } { 26 } , \frac { 75 } { 26 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>(3) $ d(u, v)= \\|u-v \\|= \\|(1,-7,8) \\|= \sqrt { 1 + 49 + 64 } = \sqrt { 114 } $</p> <h1>3.5 $ \quad \mathbb { R } ^ { n } $위의 위치벡터, 초평면, 선, 곡선</h1> <p>이 절에서는 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 $ n $ 순서쌍 $ P \left (a_ { i } \right ) \equiv P \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $을 점으로 보고 $ n $ 순서쌍 $ u= \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } , \ldots, c_ { n } \right ) $은 영점 0 에서부터 점 $ C \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } , \ldots, c_ { n } \right ) $까지의 벡터로서 구분한다.</p> <h2>(1) 벡터의 덧셈</h2> <p>벡터 $ u $와 $ v $가 주어져 있을 때 $ u + v $는 그림 3-1(a)에서 보다시피 벡터 $ u $와 $ v $를 양변으로 가지는 평행사변형을 이용하여 구할 수 있다. $ u + v $는 바로 이 평행사변형의 대각선이다. $ u=(a, b, c) $이고 $ v= \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } , c ^ {\prime } \right ) $ 이라고 하면 \[u + v= \left (a + a ^ {\prime } , b + b ^ {\prime } c + c ^ {\prime } \right ) \]이 된다.</p> <h2>(2) 벡터의 스칼라 곱</h2> <p>벡터 $ u $에 수 $ k $를 곱한다는 것은 벡터 $ u $의 크기를 $ k $배 한다는 것이다. 그림 3-1(b)에서 보다시피 $ u=(a, b, c) $라 하면 $ k u=(k a, k b, k c) $가 된다. 만약 $ k>0 $이면 $ k u $는 $ u $와 같은 방향이고 $ k<0 $이면 $ k u $는 $ u $와 반대 방향이 된다. 또한 $ k=0 $이면 $ k u=0 $이 된다.</p> <p>벡터의 음과 뺄셈은 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 안에서 다음과 같이 정의된다. \[-u=(-1) u, u-v=u + (-v) . \]</p> <p>벡터 $ -u $를 $ u $의 음(negative)이라 하고 $ u-v $를 벡터 $ u, v $의 차(difference)라고 한다.</p> <p>벡터 $ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \ldots, u_ { m } \in \mathbb { R } ^ { n } $과 스칼라 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } , \ldots, k_ { m } \in \mathbb { R } $이 주어졌을 때 \[ v=k_ { 1 } u_ { 1 } + k_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + k_ { m } u_ { m } \]을 벡터 $ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \ldots, u_ { m } $의 선형결합이라 한다.</p> <p>벡터 $ u, v \in \mathbb { R } ^ { n } $가 스칼라 $ k \in \mathbb { R } $에 $ u=k v $를 만족한다고 하면 $ u $를 $ v $의 배수 (multiple)라 한다. 또한 $ k>0 $이면 $ u $가 $ v $와 같은 방향이고 $ k<0 $이면 $ u $는 $ v $와 반대 방향을 갖는다. 이때 두 벡터 $ u $와 $ v $를 평행하다고 한다.</p> <p>유제 3.2</p> <p>$ u=(2,-5,-3), v=(4,2,0), w=(0,3,4) $ 일 때 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 3 u-4 v $</li> <li>$ u-3 v + 6 w $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ \begin {aligned} 3 u-4 v &=3(2,-5,-3)-4(4,2,0) \\ &=(6,-15,-9)-(16,8,0)=(-10,-23,-9) \end {aligned} $</p> <p>(2) $ \begin {aligned} u-3 v + 6 w &=(2,-5,-3)-3(4,2,0) + 6(0,3,4) \\ &=(2,-5,-3)-(12,6,0) + (0,18,24) \\ &=(-10,7,21) \end {aligned} $</p> <p>유제 3.3</p> <p>벡터 $ v=(-2,3,5) $를 $ u_ { 1 } =(1,1,1) $, $u_ { 2 } =(2,1,3) $, $u_ { 3 } =(2,-1,1) $의 선형결합으로 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>$ v=k_ { 1 } u_ { 1 } + k_ { 2 } u_ { 2 } + k_ { 3 } u_ { 3 } $ 가 되는 $ k_ { i } $ 들을 구하면 되므로 \[ \left [ \begin {array} { r } -2 \\3 \\5 \end {array} \right ]=k_ { 1 } \left [ \begin {array} { l } 1 \\1 \\1 \end {array} \right ] + k_ { 2 } \left [ \begin {array} { l } 2 \\1 \\3 \end {array} \right ] + k_ { 3 } \left [ \begin {array} { r } 2 \\-1 \\1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } + 2 k_ { 3 } \\k_ { 1 } + k_ { 2 } -k_ { 3 } \\k_ { 1 } + 3 k_ { 2 } + k_ { 3 } \end {array} \right ] \]이다. 양쪽의 벡터가 같으므로 각 성분이 일치함을 이용해 연립방 정식 형태로 나타내면 \[ \begin {aligned} -2 &=k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } + 2 k_ { 3 } \\3 &=k_ { 1 } + k_ { 2 } -k_ { 3 } \\5 &=k_ { 1 } + 3 k_ { 2 } + k_ { 3 } \end {aligned} \]이다. \[ \left \{\begin {array} { r l } { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 3 } } & { = - 2 } \\{ - k _ { 2 } - 3 k _ { 3 } } & { = 5 } \\{ k _ { 2 } - k _ { 3 } } & { = 7 } \end {array} \text { 또는 } \left \{\begin {array} { rl } k_ { 1 } + 2 k_ { 2 } + 2 k_ { 3 } & =-2 \\-k_ { 2 } -3 k_ { 3 } & =5 \\-4 k_ { 3 } & =12 \end {array} \right . \right . \]이므로 $ k_ { 3 } =-3, k_ { 2 } =4, k_ { 1 } =-4 $ 이다. 따라서 \[v=-4 u_ { 1 } + 4 u_ { 2 } -3 u_ { 3 } \]이다.</p> <p>점 $ P \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , \ldots, p_ { n } \right ) $과 $ Q \left (q_ { 1 } , q_ { 2 } , \ldots, q_ { n } \right ) $이 $ H $ 위에 있기 때문에 이 점들은 위의 초평면 방정식을 만족한다. 즉 \[ \begin {array} { c } a_ { 1 } p_ { 1 } + a_ { 2 } p_ { 2 } + \cdots + a_ { n } p_ { n } =b \text { 이고 } a_ { 1 } q_ { 1 } + a_ { 2 } q_ { 2 } + \cdots + a_ { n } q_ { n } =b, \\v= \overrightarrow { P Q } =Q-P= \left (q_ { 1 } -p_ { 1 } , q_ { 2 } -p_ { 2 } , \ldots, q_ { n } -p_ { n } \right ) \end {array} \]이라 하면 \[ \begin {aligned} u \cdot v &=a_ { 1 } \left (q_ { 1 } -p_ { 1 } \right ) + a_ { 2 } \left (q_ { 2 } -p_ { 2 } \right ) + \cdots + a_ { n } \left (q_ { n } -p_ { n } \right ) \\&= \left (a_ { 1 } q_ { 1 } + a_ { 2 } q_ { 2 } + \cdots + a_ { n } q_ { n } \right )- \left (a_ { 1 } p_ { 1 } + a_ { 2 } p_ { 2 } + \cdots + a_ { n } p_ { n } \right ) \\&=b-b=0 \end {aligned} \]이므로 $ v= \overrightarrow { P Q } $는 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $에 직교한다.</p> <p>보기 3.7</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 위의 곡선 $ F(t)=( \sin t, \cos t, t) $를 보자. $ F(t) $를 미분하면 \[V(t)=( \cos t,- \sin t, 1) \]을 얻고 이 벡터는 곡선의 접선이다. $ V(t) $를 정규화하면 \[ \mathrm { T } (t)= \frac { V(t) } {\\|V(t) \\| } = \frac { ( \cos t,- \sin t, 1) } {\sqrt {\cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t + 1 } } = \left ( \frac {\cos t } {\sqrt { 2 } } , \frac { - \sin t } {\sqrt { 2 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \]이다.</p> <p>유제 3.11</p> <p>$ C $를 $ \mathbb { R } ^ { 4 } $안의 곡선 $ F(t)= \left (t ^ { 3 } -3, t ^ { 2 } -2, t ^ { 3 } + 1, t \right ), 0 \leq t \leq 4 $라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ t=2 $일 때의 곡선 위의 점 $ P $를 찾아라.</li> <li>곡선 $ C $의 시점 $ Q $와 종점 $ Q ^ {\prime } $을 찾아라.</li> <li>$ t=2 $일 때의 곡선 $ C $에 대한 단위접선벡터 $ \mathrm { T } $를 찾아라.</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) $ P=F(2)= \left (2 ^ { 3 } -3,2 ^ { 2 } -2,2 ^ { 3 } + 1,2 \right )=(5,2,9,2) $이다.</p> <p>(2) 시점은 $ t=0 $일 때이므로 $ Q=F(0)= \left (0 ^ { 3 } -3,0 ^ { 2 } -2,0 ^ { 3 } + 1 \right . $, $ 0)=(-3,-2,1,0) $이고 종점은 $ t=4 $일 때이므로 \[Q ^ {\prime } =F(4)= \left (4 ^ { 3 } -3,4 ^ { 2 } -2,4 ^ { 3 } + 1,4 \right )=(61,14,65,4) \]이다.</p> <h1>3.1 개요</h1> <p>벡터의 성분들은 실수체(the field of real numbers) $ \mathbb { R } $ 또는 복소수체 $ \mathbb { C } $(the field of complex numbers)의 원소이고 벡터 연산들은 이러한 체 위에서 이루어진다. 체 $ \mathbb { R } , \mathbb { C } $의 원소들을 스칼라(scalars)라고 부른다. 예를 들어 $ 1 \in \mathbb { R } $, $ 2 \in \mathbb { R } $일 때 이러한 숫자를 스칼라라 하고, $ (1,2) \in \mathbb { R } ^ { 2 } $일 때 $ (1,2) $는 벡터라고 볼 수 있다.</p> <p>벡터를 표시하는 방법에는 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 벡터의 성분을 괄호 안에 나열하는 방법이다.</p> <p>$ w = \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , \ldots, w_ { n } \right ) $.</p> <p>이것을 선형배열(linear array) 또는 벡터(vector)라고 한다.</p> <p>다른 방법은 물리학에서 기원된 방법이다. 물리학적인 양을 나타내는 것 중 힘과 속도와 같은 크기와 방향을 가진 물리량이 있는데, 이것을 0 점을 시작점으로 적합한 길이(벡터의 크기)와 방향으로 나타낸다. 이것을 벡터라 한다. 우리는 나열하는 방법을 주로 사용하고 다른 방법은 기하학적으로 설명할 때 주로 사용한다.</p> <h1>3.2 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 안의 벡터</h1> <p>실수로 이루어진 모든 $ n $ 순서쌍 $ \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $의 집합을 $ \mathbb { R } ^ { n } $이라 나타내고 $ n $ 공간이라 부른다. 그리고 \[u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) \] 을 점 또는 벡터라 부른다. 실수 $ a_ { i } $들을 $ u $의 좌표(coordinates), 성분(components), 원소(entries 또는 elements)라고 한다. 또한 $ \mathbb { R } ^ { n } $을 논할 때 $ \mathbb { R } $의 원소들을 스칼라라고 부른다.</p> <p>두 벡터 $ u, v $가 있어 그들의 성분의 개수가 일치하고 각각의 대응하는 성분이 모두 같을 때 우리는 " $ u, v $가 같다."고 하고 $ u=v $라고 쓴다.</p> <p>보기 3.2</p> <p>(1) $ u=(2,4,-5), v=(1,-6,9) $ 라 하자. \[ \begin {array} { l } u + v=(2 + 1,4 + (-6),-5 + 9)=(3,-2,4), \\7 u=(7(2), 7(4), 7(-5))=(14,28,-35), \\-v=(-1)(1,-6,9)=(-1,6,-9) \\3 u-5 v=(6,12,-15) + (-5,30,-45)=(1,42,-60) . \end {array} \]</p> <p>(2) 영벡터 $ 0=(0,0, \ldots, 0) \in \mathbb { R } ^ { n } $ 는 스칼라 $ 0 \in \mathbb { R } $ 와 비슷하다. 임의의 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $ 에 대하여 \[u + 0= \left (a_ { 1 } + 0, a_ { 2 } + 0, \ldots, a_ { n } + 0 \right )= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right )=u . \]</p> <p>(3) $ u= \left [ \begin {array} { r } 2 \\ 3 \\ -4 \end {array} \right ], v= \left [ \begin {array} { r } 3 \\ -1 \\ -2 \end {array} \right ] $ 라 하자. 그러면 \[2 u-3 v= \left [ \begin {array} { r } 4 \\6 \\-8 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { r } -9 \\3 \\6 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -5 \\9 \\-2 \end {array} \right ] \]</p> <p>정리 3.1</p> <p>임의의 $ u, v, w \in \mathbb { R } ^ { n } $와 스칼라 $ k, k ^ {\prime } \in \mathbb { R } $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ (u + v) + w=u + (v + w) $</li> <li>$ u + 0=u $</li> <li>$u + (-u)=0 $</li> <li>$u + v=v + u $</li> <li>$k(u + v)=ku + kv $</li> <li>$(k + k ^ {\prime } )u=ku + k ^ {\prime } u $</li> <li>$(kk ^ \prime)u=k(k ^ {\prime } u) $</li> <li>$ 1 u=u $</li></ol> <p>평행한 두 벡터</p> <p>복소평면(Complex Plane)</p> <p>실수 $ \mathbb { R } $의 원소들은 선 위에 점들로 나타내어지듯이 복소수 $ \mathbb { C } $의 점들은 평면 위의 점들로 나타내어질 수 있다. 즉 평면 위의 점 $ (a, b) $는 $ a + b i $를 의미한다(그림 3-7). $ \|z\| $는 영점 0에서 점 $ z $까지의 거리를 나타낸다. 이 평면을 복소평면이라 부른다.</p> <h1>3.8 $ \mathbb { C } ^ { n } $ 의 벡터들</h1> <p>복소수들의 $ n $ 순서쌍들의 집합은 $ \mathbb { C } ^ { n } $으로 나타내고 복소 $ n $ 공간이라 부른다. 실수와 마찬가지로 $ \mathbb { C } ^ { n } $의 원소들을 점 또는 벡터라 부르고 $ \mathbb { C } $의 원소들은 스칼라라고 부른다. $ \mathbb { C } ^ { n } $ 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다. \[ \begin {array} { l } \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { n } \right ) + \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } , \ldots, w_ { n } \right )= \left (z_ { 1 } + w_ { 1 } , z_ { 2 } + w_ { 2 } , \ldots, z_ { n } + w_ { n } \right ) \\ \quad z \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { n } \right )= \left (z z_ { 1 } , z z_ { 2 } , \ldots, z z_ { n } \right ) . \\ \end {array} \] 여기서 $z, w_ { i } , z \in \mathbb { C } $이다.</p> <p>보기 3.11</p> <p>$ \mathbb { C } ^ { 3 } $의 벡터들이 $ u=(2 + 3 i, 4-i, 3), v=(3-2 i, 5 i, 4-6 i) $일 때 \[ \begin {array} { c } u + v=(2 + 3 i, 4-i, 3) + (3-2 i, 5 i, 4-6 i) \\=(5 + i, 4 + 4 i, 7-6 i), \$5-2 i) u=((5-2 i) 2 + 3 i,(5-2 i) 4-i,(5-2 i) 3) \\=(16 + 11 i, 18-13 i, 15-6 i) . \end {array} \]</p> <p>(ii)에서 내적의 첫 번째 벡터로부터 \( k $를 빼낼 수 있다는 것을 알 수 있다. 또한 (iii)과 (ii)로부터 \[u \cdot(k v)=(k v) \cdot u=k(v \cdot u)=k(u \cdot v) \]를 얻을 수 있다. 즉 내적의 두 번째 벡터로부터 $ k $를 빼낼 수 있다는 것을 알 수 있다.</p> <p>위에서 정의된 벡터 합, 스칼라 곱 그리고 내적을 정의한 공간 $ \mathbb { R } ^ { n } $을 보통 유클리드 $ n $ 공간(Euclidean $ n $-space)이라 부른다.</p> <p>벡터의 놈(Norm, length)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $안의 벡터 $ u $의 놈 또는 크기를 $ \\|u \\| $라고 나타내고 $ u \cdot u $의 양의 제곱근으로 정의한다. 즉 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $일 때 \[ \\|u \\|= \sqrt { u \cdot u } = \sqrt { a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } ^ { 2 } } \]으로, $ u $의 성분들의 제곱의 합의 제곱근이다. 그러므로 $ \\|u \\| \geq 0 $이고 $ \\|u \\|=0 $일 필요충분조건은 $ u=0 $ 이다.</p> <p>한 벡터 $ u $가 $ \\|u \\|=1 $ (또는 $ u \cdot u=1 $ )을 만족하면 단위벡터라고 부른다. 임의의 영이 아닌 벡터 $ v \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대하여 벡터 \[ \hat { v } = \frac { 1 } {\\|v \\| } v= \frac { v } {\\|v \\| } \]는 $ v $와 방향이 같은 유일한 단위벡터이다. $ \hat { v } $를 구하는 과정을 $ v $를 정규화 (normalizing $ v $ )한다고 한다.</p> <p>보기 3.4</p> <p>(1) $ u=(1,-2,-4,5,3) $이라고 하자. $ \\|u \\| $ 를 찾기 위해서 먼저 $ \\|u \\| ^ { 2 } =u \cdot u $ 를 다음과 같이 찾아보자. \[ \begin {aligned} \\|u \\| ^ { 2 } &=1 ^ { 2 } + (-2) ^ { 2 } + (-4) ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } \\&=1 + 4 + 16 + 25 + 9=55 . \end {aligned} \]그러므로 $ \\|u \\|= \sqrt { 55 } $이다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 선들(Lines)</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { n } $ 위의 점 $ P \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \ldots, b_ { n } \right ) $을 지나고 영이 아닌 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) $과 평행한 직선 $ L $이란 다음을 만족시키는 점 $ X \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \right ) $들의 집합이다.</p> <p>$ X=P + t u $ 또는 $ \left \{\begin {array} { c } x_ { 1 } =a_ { 1 } t + b_ { 1 } \\ x_ { 2 } =a_ { 2 } t + b_ { 2 } \\ \vdots \\ \vdots \\ x_ { n } =a_ { n } t + b_ { n } \end {array} \right . $ 또는 $ L(t)= \left (a_ { i } t + b_ { i } \right ) $<caption>(2)</caption>$ \\ $여기서 $ t $는 모든 실수값을 나타낸다.</p> <p>이 방정식은 점 $ P \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \ldots, b_ { n } \right ) $으로부터 점 $ X \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \right ) $으로의 위치벡터 $ \overrightarrow { P X } = \left (x_ { 1 } -b_ { 1 } , x_ { 2 } -b_ { 2 } , \ldots, x_ { n } -b_ { n } \right ) $이 벡터 $ u $와 평행하므로 임의의 스칼라 $ k $에 대하여 \[ \overrightarrow { P X } =u t, t \in \mathbb { R } \]라 쓸 수 있고( $ (t $가 변함에 따라 서로 다른 점 $ X $의 좌표가 나온다), 다시 말해 \[ \left (x_ { 1 } -b_ { 1 } , x_ { 2 } -b_ { 2 } , \ldots, x_ { n } -b_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \right ) t \]이므로 대응하는 원소들을 같게 놓으면 \[x_ { 1 } =a_ { 1 } t + b_ { 1 } , x_ { 2 } =a_ { 2 } t + b_ { 2 } , \cdots, x_ { n } =a_ { n } t + b_ { n } \]이다. 그러므로 식 (2)을 얻을 수 있다(그림 3-5).</p> <p>$ u \times v $는 벡터이다. 그러므로 $ u \times v $는 벡터곱(vector product) 또는 외적(outer product)이라고도 불린다.</p> <p>보기 3.9</p> <p>$ u \times v $를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ u=4 \mathrm { i } + 3 \mathrm { j } + 6 \mathrm { k } , v=2 \mathrm { i } + 5 \mathrm { j } -3 \mathrm { k } $</li> <li>$ u=(2,-1,5), v=(3,7,6) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) \[ \begin {aligned} u \times v &= \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\4 & 3 & 6 \\2 & 5 & -3 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { rr } 3 & 6 \\5 & -3 \end {array} \right \| \mathrm { i } - \left \| \begin {array} { rr } 4 & 6 \\2 & -3 \end {array} \right \| \mathrm { j } + \left \| \begin {array} { ll } 4 & 3 \\2 & 5 \end {array} \right \| \mathrm { k } \\&=(-9-30) \mathrm { i } + (12 + 12) \mathrm { j } + (20-6) \mathrm { k } \\&=-39 \mathrm { i } + 24 \mathrm { j } + 14 \mathrm { k } \end {aligned} \]</p> <p>(2) $ \begin {aligned} u \times v &= \left \| \begin {array} { crr } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ 2 & -1 & 5 \\ 3 & 7 & 6 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { rr } -1 & 5 \\ 7 & 6 \end {array} \right \| \mathrm { i } - \left \| \begin {array} { ll } 2 & 5 \\ 3 & 6 \end {array} \right \| \mathrm { j } + \left \| \begin {array} { lr } 2 & -1 \\ 3 & 7 \end {array} \right \| \mathrm { k } \\ &=(-6-35) \mathrm { i } + (15-12) \mathrm { j } + (14 + 3) \mathrm { k } \\ &=-41 \mathrm { i } + 3 \mathrm { j } + 17 \mathrm { k } \\ &=(-41,3,17) \end {aligned} $</p> <p>(2) $ v=(1,-3,4,2) $이고 $ w= \left ( \frac { 1 } { 2 } ,- \frac { 1 } { 6 } , \frac { 5 } { 6 } , \frac { 1 } { 6 } \right ) $ 이라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { l } \\|v \\|= \sqrt { 1 + 9 + 16 + 4 } = \sqrt { 30 } , \\ \\|w \\|= \sqrt {\frac { 9 } { 36 } + \frac { 1 } { 36 } + \frac { 25 } { 36 } + \frac { 1 } { 36 } } = \sqrt {\frac { 36 } { 36 } } =1 \end {array} \] 이므로 $ w $는 단위벡터이지만 $ v $는 아니다. 그렇지만 $ v $를 정규화하여 \[ \hat { v } = \frac { v } {\\|v \\| } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 30 } } , \frac { -3 } {\sqrt { 30 } } , \frac { 4 } {\sqrt { 30 } } , \frac { 2 } {\sqrt { 30 } } \right ) \] 를 얻는다. 이 벡터는 $ v $와 방향이 같은 유일한 단위벡터이다.</p> <p>다음 식은 슈바르츠 부등식(Schwarz inequality) 또는 코시 슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)이라고 부른다.</p> <p>정리 3.3</p> <p>(슈바르츠 부등식)</p> <p>임의의 벡터 $ u, v \in \mathbb { R } ^ { n } $에 대하여 \[\|u \cdot v\| \leq \\|u \\| \\|v \\| . \]</p> <p>증명</p> <p>임의의 $ t $에 대하여 정리 3.2를 이용하면 \[ \begin {aligned} 0 \leq(t u + v) \cdot(t u + v) &=t ^ { 2 } (u \cdot u) + 2 t(u \cdot v) + (v \cdot v) \\&= \\|u \\| ^ { 2 } t ^ { 2 } + 2(u \cdot v) t + \\|v \\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 이고 이 식은 $ t $에 관한 2차방정식이다. 모든 $ t $에 대하여 \[0 \leq \\|u \\| ^ { 2 } t ^ { 2 } + 2(u \cdot v) t + \\|v \\| ^ { 2 } \] 이라는 말은 이 방정식이 2개의 실근을 갖지 못한다는 말이다. 다시 말해 판별식이 $ 2 ^ { 2 } (u \cdot v) ^ { 2 } -4 \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \leq 0 $, 즉 \[4(u \cdot v) ^ { 2 } \leq 4 \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \] 이어야 함을 뜻한다. 양변을 4로 나누고 제곱근을 취하면 바로 $ \sqrt { (u \cdot v) ^ { 2 } } =\|u \cdot v\| \leq \\|u \\| \\|v \\| $이다.</p> <p>유제 3.8</p> <p>$ P(3,2,4,-1) $을 지나고 벡터 $ u=(3,-2,1,5) $에 수직인 $ \mathbb { R } ^ { 4 } $ 위의 초평면 $ H $의 방정식을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ H $ 위의 임의의 한 점을 $ X \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \right ) $라 하면 위치벡터 $ \overrightarrow { P X } $는 벡터 $ u $ 와 수직이므로 내적이 0 이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \overrightarrow { P X } \cdot u &= \left (x_ { 1 } -3, x_ { 2 } -2, x_ { 3 } -4, x_ { 4 } + 1 \right ) \cdot(3,-2,1,5) \\&=3 \left (x_ { 1 } -3 \right )-2 \left (x_ { 2 } -2 \right ) + \left (x_ { 3 } -4 \right ) + 5 \left (x_ { 4 } + 1 \right )=0 \end {aligned} \]이다. 이를 정리하면 $ 3 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + x_ { 3 } + 5 x_ { 4 } =4 $이다. 또는 $ H $의 방정식의 계수들은 바로 벡터 $ u $의 성분들이므로 \[3 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + x_ { 3 } + 5 x_ { 4 } =k . \]점 $ P $를 이 식에 대입하면 $ k=4 $이므로 $ 3 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + x_ { 3 } + 5 x_ { 4 } =4 $이다.</p> <p>유제 3.9</p>\ p>점 $ P(1,-3,-4) $를 포함하고 평면 $ H ^ {\prime } : 3 x-6 y + 5 z=2 $에 평행한 평면 $ H $의 방정식을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ H $와 $ H ^ {\prime } $이 평행하므로 둘은 같은 법선벡터를 갖는다. 그러므로 $ H $의 방정식은 $ 3 x-6 y + 5 z=k $꼴이어야 하고 이 식에 점 $ P $를 대입하면 $ k=1 $을 얻는다. 그러므로 $ H $의 방정식은 \[3 x-6 y + 5 z=1 \text { . } \]</p>	자연
m812-논리와 사고	<p>동일개념의 예들을 살펴보자.</p> <ol type = start=1><li>태양과 해</li> <li>동무와 친구</li> <li>별과 항성</li> <li>혹성과 행성</li> <li>의복과 옷</li> <li>선생님과 교사</li></ol> <h2>2) 다른개념(동음이의어)</h2> <p>동일한 단어로 표현되지만 전혀 다른 의미로 사용되는 개념을 말한다.</p> <p> <p>예제 다른개념을 가진 단어를 찾아보시오.</p> <p>"말을 타고 달리는 남자는 웃고 있었다. 멀어져 가는 그 남자의 뒷모습을 보고 여자는 혼자 중얼거렸다. '떠나는 것이 그렇게 좋아? 하지만 당신은 언젠가 돌아올 거야. 그러리라 믿고 나는 기다릴 거야 그녀의 말을 알아들은 사람은 아무도 없었다."</p> <p>풀이 “말을 타고 달리는 $ \cdots $”의 말은 가축의 종류로서 교통수단으로 이용되는 말을 의미하고, “그녀의 말을 알아들은 $ \cdots $ "에서의 말은 의사를 전달하는 수단으로써의 말을 의미한다.</p></p> <p>다른개념의 예들을 살펴보자.</p> <ol type= start=1><li>먹는 밤과 깜깜한 밤</li> <li>과일 배와 교통수단으로의 배</li> <li>사람의 감각기관 눈과 겨울에 내리는 눈</li> <li>눈이 멀다와 거리가 멀다</li></ol> <h2>3) 반대개념(contrary concept)</h2> <p>반대개념이란 분량이나 정도의 차이를 가진 개념으로서 그 중간 개념을 허용할 수 있는 개념이다. 한 유개념에 종속되는 두 종개념의 관계이며, 두 종개념의 외연은 서로 배타적이다. 또한 유개념의 외연과 두 종개념들의 외연의 합이 다르다. 모순개념과 혼동할 수 있으므로 각별히 주의해야 한다. 모순개념에 대해서는 뒤에 설명할 것이다.</p> <p> <p>예제 반대개념을 가진 단어를 찾아보시오.</p> <p>"약한 친구들을 괴롭히는 못된 학생이 있다. 그런데 그 학생의 부모는 자기 자식은 더 없이 착한데 함께 어울리는 친구들이 나쁘다며 검은 까마귀 노는 곳에 흰백로가 가면 안 된다고 말했다."</p> <p>풀이 흰색과 검은색은 색(color)의 종개념으로 두 종개념을 합해도 유개념인 색의 외연이 될 수 없다. 색의 외연이 흰색과 검은 색을 합해도 더 크다.</p></p> <p>반대개념의 예들을 살펴보자.</p> <ol type= start=1><li>크다와 작다(유개념은 크기)</li> <li>높다와 낮다(유개념은 높이)</li> <li>깊다와 얕다(유개념은 깊이)</li> <li>넓다와 좁다(유개념은 넓이)</li> <li>어른과 아이(유개념은 연령)</li> <li>많다와 적다(유개념은 양)</li></ol> <h2>4) 모순개념(contradictory concept)</h2> <p> <p>모순개념은 서로 부정하여 둘 사이에 중간 개념을 허용하지 않는 두 개념을 말한다.</p> <p>모순개념은 한 유개념에 속하는 두 종개념의 외연이 완전히 서로 다른 관계를 말한다. 즉 두 종개념의 외연을 합한 것이 그 유개념의 외연과 같은 경우에 해당된다.</p> <p>유개념의 제 3 의 종개념이 존재하지 않는다.</p> <p>예를 들면, 여자와 남자는 모순개념이다. 두 개념의 외연은 완전히 다르며, 이 두 개념을 합하면 유개념인 사람과 일치된다.</p></p> <p>어떤 단어들을 떠 올리면 머릿속에 무엇인가가 떠오른다. 그것이 실물이든, 심상이든, 성질이든 그 단어에 적합한 무엇이 머릿속에 자리한다. 이때 생겨난 견해나 생각을 관념이라고 하고, 하나의 사물을 나타내는 여러 관념 속에서 공통적이고 일반적인 요소를 추출하고 종합하여 얻은 관념을 개념이라고 한다. 즉 어떤 사물로부터 비본질적인 것을 버리고 본질적인 것만을 뽑아 낸 것이 개념인 것이다. 간단히 말하면 개념이란 어떤 사물에 대한 일반적인 뜻이나 내용이다.</p> <p>다음의 예문을 살펴보자.</p> <p>"영희는 너무 어려서 아직 돈에 대한 개념이 없다."</p> <p>어떤 실물에 대한 개념이 생기기 위해서는 그 실물에 대한 이해와 의미를 객관적으로 파악해야 한다. 영희에게는 천원이든 만원이든 단지 한 장의 종이로만 생각한다. 아직 돈에 대한 개념이 영희에게는 있지 않기 때문이다. 영희에게는 돈을 본 순간 머릿속에 한 장의 종이가 생각나게 된다. 어떤 실물이나 심상에 대한 개념이 생기기 위해서는 정확한 인식과 함께 지식이 필요하다는 것을 알게 된다.</p> <p>급속한 문명의 발달은 계속해서 신개념을 만들어낸다. 과거에는 없었던 새로운 개념들이 탄생하는 것이다. 오래 전에는 돈이라는 개념이 존재하지 않았을 것이다. 돈의 개념도 문명이 만들어낸 신개념인 것이다.</p> <p>사물의 특유한 속성이 우리의 감각기관을 통해 인식되어 사유라는 과정을 거쳐 개념화된다. 사유는 정확한 개념을 우리의 머릿속에 인식하게 하는 중요한 매개체이다. 특히 올바른 사유는 정확한 개념뿐만 아니라 앞으로 배우게 될 올바른 논증을 위해서도 중요한 역할을 한다. 사유, 즉 사고한다는 것은 인간만이 갖는 인간의 독특한 속성이며 다른 동물들과 현저히 구별되는 즉 인간이 만물의 영장이 될 수밖에 없는 특별한 요소인 것이다.</p> <p>개념을 갖는다는 것은 이미 사유의 과정을 통해서 얻게 된 것이다. 그런데 머릿속에 자리 잡은 개념이 불명확하게 된다면 다른 사람과의 논쟁에서 문제가 발생하게 된다. 한마디로 의사소통에 어려움이 생기게 된다는 것이다. 타자와의 의사소통이 원활하게 이루어지기 위해서 서로 간의 대화 속에서 사용되는 개념들의 이해가 먼저 일치해야 한다. 또한 부정확한 개념의 이해는 자신의 주장을 왜곡시키거나 오해를 불러올 수도 있다. 그러므로 어떤 주제에 대한 논쟁을 하려면 먼저 개념에 대한 정확한 정의와 이해가 선결되어야 한다.</p> <p>개념은 반드시 단어를 통해서만 표현된다. 개념은 사람들의 머릿속에 있는 사고의 내용이기 때문에 그것이 표현되려면 단어라는 표현방식으로 나타나게 된다.</p> <p>이러한 개념과 단어의 불가분적 관계가 있지만 그 차이점은 개념이 사고의 기본형식이라면 단어는 언어의 기본형식이라는 것이다.</p> <p>어떤 사람이 꽃을 보았다고 하자. 꽃을 보는 순간 그 사람은 꽃에 대해 인식을 하게 된다. 그리고는 “꽃이 참 예쁘구나!"라고 말했다고 하면, 그 사람에게는 꽃의 개념에 대해 정확한 인식을 한 것이다. 그러나 꽃을 보고 과거 아픈 연인과의 이별을 떠올렸다면 그 사람에게는 꽃은 아픔이요 이별의 상징이 될 것이다. 그래서 꽃은 이별의 상징이 되어버린 사람에게는 아름다울 수가 없게 된다. 그렇다고 꽃의 개념이 슬픔이며 아픔의 상징인 것은 아니다. 이렇듯 개념은 각자의 주관적인 생각들을 배제하고 객관적이며 본질적인 것들을 나타내는 것으로 정의해야 한다.</p> <p> <p>예제 다음 단어들을 보고 머릿속에 떠오르는 개념을 말하시오.</p> <ol> <li>부모, 형제, 친구, 사촌, $ \cdots $</li> <li>개, 새, 물고기, 곤충, $ \cdots $</li> <li>초등학생, 중학생, 고등학생, 대학생, $ \cdots $</li></ol> <p>풀이</p> <ol> <li>인간관계의 개념</li> <li>동물의 개념</li> <li>학생의 개념</li></ol></p> <h2>1) 개념의 구분</h2> <h3>(1) 추상적 개념(abstract concept)</h3> <p>사물의 속성에 관한 개념을 말하며 속성개념이라고도 한다. 인식의 대상이 아니라 인식자체를 말한다. 예를 들면 행복, 사랑, 슬픔, 기쁨, 부드러움, 딱딱함 등</p> <h3>(2) 구체적 개념(concrete concept)</h3> <p>그러한 속성을 지닌 어떤 구체적인 사물을 말하며 대상개념이라고도 한다.</p> <p>구체적 개념은 추상적 개념의 실체가 된다. 사물의 인식 자체가 아니라 인식대상을 말한다.</p> <p> <p>추상적 개념을 구체적 개념으로 변환하는 과정을 조작화라고 한다. 우리의 느낌을 구체적으로 말이나 글로 표현할 때 조작화가 이루어진다. 사람들과의 대화뿐만 아니라 기업 활동에서도 조작화는 매우 중요하다. 상품의 인지도나 충성도를 어떻게 구체적으로 나타낼 수 있겠는가? 즉 자사 상품에 대한 고객들의 호감을 기업입장에서 어떻게 이해하고 받아들여야 하는가? 라는 문제도 개념의 조작화에 의해 쉽게 해결될 수 있다.</p> <p>예를 들면, 불쾌한 감정은 추상적인 것인데 이것을 구체적 개념으로 나타낸 것이 불쾌지수이다. 또한 뇌의 명석한 정도를 지능지수로 조작함으로써 측정될 수 있다. 선진국의 기준과 복지국가의 기준을 마련할 때도 조작화는 필요하다.</p> <p>예를 들어, 연인 사이에 사랑하는 정도를 어떻게 구체적으로 표현할 수 있겠는가?이다.다음 글을 읽어보자.</p></p> <p>“이성간의 오랜 만남은 어떤 책임을 가지게 한다. 이성간에 친구가 될 수 없다면 결혼을 전제로 사귀는 것이어야 한다. 그러나 남자친구의 사랑을 점점 의심하게 된다. 과연 이 사람이 아직도 나를 사랑하고 있는지 말이다."</p> <p> <p>이 여자는 남자친구가 자신을 사랑하는 정도에 대해 다음과 같이 구체화하여 짐작할 수 있을 것이다.</p> <p>예를 들어, 인간은 상위개념으로서 연예인를 포함하고 연예인은 하위개념으로 인간에 포함된다. 이때 두 개념 가운데 다른 개념을 포함하는 인간이 유개념이 되고, 다른 개념에 포함되는 연예인이 종개념이 된다.</p> <p> <p>예제 유개념과 종개념을 가진 단어를 찾아보시오.</p> <p>"동물의 왕국에서는 사자가 왕이다. 그러나 동물원 우리에 갇힌 사자에게서는 왕의 위엄보다는 구경거리가 된 슬픈 운명이 느껴진다."</p></p>풀이 여기서 동물이 유개념이 되고 사자가 종개념이 된다. 왜냐하면 동물의 외연 가운데 사자가 포함 되기 때문이다.</p></p> <p>다음은 유개념과 종개념과 관련된 컴퓨터 파일폴더에 얽힌 재미있는 이야기다.</p> <p>어느 대학에 컴맹인 교수가 있었다. 어느 날 그 교수는 자신의 컴퓨터에 바이러스가 감염되어 고장이 났다는 사실을 알게 되었다. 그래서 그 교수는 컴퓨터 수리기사를 불렀다. 수리기사는 컴퓨터 파일을 살펴보다가 파일이름이 전부 독수리, 앵무새, 까치, 비둘기, 참새 등 모두 새이름으로 되어 있다는 사실을 발견했다. 수리기사는 교수가 아마도 새를 연구하는 사람이라고 생각하고는 “새를 남달리 사랑하시나 봐요?"라고 물었다. 그러자 그 교수는 “이보게 젊은이, 왜 파일을 저장할 때 마다 꼭 새이름으로 저장하라고 하는 거지? 더 이상 생각나는 새(birds) 이름도 없는데 말이야!'라고 대답하였다고 한다.</p> <p>그런데 유개념과 종개념의 구분이 고정된 것이 아니라 상대적인 것임을 기억해야 한다. 예를 들어, 인간이 유개념이 되고 연예인이 종개념이 되지만, 가수나 개그맨이라는 개념과 연예인이라는 개념을 비교하면 가수나 개그맨은 종개념이고, 연예인은 유개념이다. 그러므로 두 개념은 비교하는 개념에 따라 상대적으로 유개념이 되기도 하고 종개념이 되기도 한다.</p> <p>유개념과 종개념의 예들을 살펴보자.</p> <ol> <li>꽃과 장미</li> <li>새와 비둘기</li> <li>물과 얼음</li> <li>식물과 잣나무</li> <li>학교와 대학교</li></ol> <h1>2.2 개념의 종류</h1> <h2>1) 동일개념(identical concept)</h2> <p>동일개념이란 내포와 외연이 완전히 일치되는 두 개념을 말한다. 단지 명칭만 다를 뿐이다.</p> <p> <p>예를 들면, 서울과 대한민국의 수도, 등변삼각형과 등각삼각형, 양친과 부모는 동일개념이다.</p> <p>반면에 사회주의 국가와 공산주의 국가는 동일개념이 아니다. 사실 사회주의 국가가 공산주의 국가보다 더 포괄적인 개념이다.</p></p> <p> <p>예제 동일개념을 가진 단어를 찾아보시오.</p> <p>"심한 상처를 입은 한 어린 아이가 고통스러워하며 병원 침대에 누워 있다. 아무런 죄도 없이, 어른들이 일으킨 전쟁 때문에 그렇게 된 것이었다. 그 장면을 텔레비전 화면으로 본 한 아동이 몹시 슬퍼하며 눈물을 흘렸다."</p> <p>풀이 동일개념으로 사용된 단어는 어린 아이와 아동이다. 둘 다 같은 의미를 가지고 있는 동의어이다.</p></p> <p>그러므로 모든 개념은 반드시 단어로 표현되지만 모든 단어가 개념을 가지지는 않는다. 예를 들어, 접속사나 조사 등은 개념을 가지지 않는다. 그러므로 개념을 먼저 정확히 알아야 하며 그 다음으로 개념에 적합한 단어를 사용하여 표현하는 것이 중요하다.</p> <h1>2.1 개념의 정의</h1> <p>"개개의 사물로부터 비본질적인 것을 버리고 본질적인 것만을 뽑아내는 사유의 한 형식" 또는 "사물, 현상에 대한 일반적인 지식이나 관념"이라고 말할 수 있다.</p> <h2>사과의 개념</h2> <p>사과라는 낱말을 들으면 '과일이다', ‘빨갛다', '탐스럽다', '부사', '육오', '홍옥’ 등을 떠올리게 된다. 이렇게 사과에 대한 일반적인 생각 중, 개개의 사과에서 끄집어낼 수 있는 공통적인 성질이 사과의 개념이 된다.</p> <p>어떤 사물을 인식하기 전까지는 객관적인 사물에 불과하지만 인식하고 머릿속으로 들어오면 개념이 된다. 사물에 대한 각자의 인식은 주관적일 수 있지만 논리학에서는 객관적인 인식만을 그 사물의 개념으로 정의한다.</p> <p>다음은 인도 우화인 장님과 코끼리 이야기를 소개한다. 코끼리를 부분적으로 만진 시각장애인들에게 만진 것에 대해 각각 물었다.</p> <p>배를 만진 사람 : 벽 같아! 엄니를 만진 사람 : 창인데 코를 만진 사람 : 뱀이네요. 다리를 만진 사람 : 나무인걸. 귀를 만진 사람 : 부채야 꼬리를 만진 사람 : 아니야, 틀림없이 밧줄이야.</p> <p> <p>이 예에서 인식의 중요함을 알려주고 있다. 어떤 사물에 대한 인식에 장애가 있다면 올바른 사고나 개념을 이끌어 낼 수 없음을 보여준다. 사물에 대한 인식에 아무런 장애가 없다고 하더라도 각자의 인식에는 주관적인 요인들이 작용할 수 있다. 그러므로 어떤 사물에 대한 객관적이고도 정확한 정의를 내리기 위해서는 정확한 개념화가 중요하다.</p> <p>어떤 사고나 사물에 대하여 한 문화나 사회 전체 또는 개인에게 특유하게 고착화된 개념이 있다. 바로 고정관념이 그것이다. 이 고정관념은 사람의 마음속에 잠재하여 항상 머리에서 떠나지 않고 외계의 동향이나 상황의 변화에도 변혁되기 어려운 선입견 또는 편견이다. 따라서 고정관념은 객관적이거나 올바르지 않은 개념화의 한 예가 된다.</p></p> <p>다음 예들은 고정관념화가 된 경우들이다.</p> <p>별모양, 살색, 책 모양, 성(남, 여)에 대한 역할, 흑인과 백인, $ \cdots $</p> <p>이런 고정관념들이 의식의 전환을 통해 천천히 변화되기도 한다. 시대를 앞서가는 사람들의 공통점은 이와 같은 고정관념을 뛰어넘었다는 것이다. 달걀을 세울 수 없다는 편견을 콜럼부스는 깼었다. 그런 태도가 콜럼부스가 아메리카 대륙을 발견하게 한 원동력이 될 수 있지 않았나 생각해본다. 한니발도 로마를 공격할 때 알프스를 넘었다. 그의 생각은 그 당시 아무도 예상할 수 없었던 공격루트였다.</p> <p>첫째, 일주일에 몇 번이나 사랑한다고 말하는가? 둘째, 하루에 몇 번 전화를 거는가? 통화시간은 전보다 짧아졌는가? 셋째, 한 달에 몇 번 선물이나 이벤트로 나를 감동시키는가?</p></p> <p> <p>위에서 추상적인 개념을 구체적인 개념으로 변환하는 과정을 조작화라고 정의하였다. 조작화의 의의는 개념을 이해하기 쉽도록 재 개념화하는 것이다. 그러므로 여러 사람이 혼동할 수 있는 개념을 정확한 기준을 마련하여 원래의 개념을 이해하여 기술, 설명, 예측, 통제 등으로 사용된다.</p> <p>즉 조작화는 정확한 개념을 나타내기 위한 것이다. 반면에 명확하게 개념을 정의할 필요도 있다. 애매하거나 모호한 단어나 문구는 듣는 사람들의 입장에서 다양하게 해석될 수 있다. 그러므로 어떤 문장 전체의 뜻을 이해하는 데 있어서 단어나 문구 하나하나에 대한 명확한 개념이 중요하다. 서로 간의 의견대립이 생긴다면 어떤 문제점이 있는가를 살피고 명확한 개념을 철저히 찾아야 한다. 개념을 어떻게 정의하고 어떻게 규정하는가?는 논리적 사유와 비판적 사유에서 특히 중요하다.</p> <p>다음은 여야가 합의한 언론법안의 내용이다. 그러나 각자의 입장에 따라 서로 다르게 해석되고 있다.</p></p> <p>여야는 언론 법안을 “사회적 논의기구에서 100 일간 논의한 뒤 표결 처리한다."는 데 합의하였다. 그러나 각 정당과 사회단체에 따라 개념을 이해하는 데 입장 차이를 발견한다. A당은 사회적 합의기구가 아닌 사회적 논의기구에서 기껏해야 100 일의 시간을 끌다가 언론 악법을 표결처리 하려고 하며, B당은 국회의장의 직권상정으로 언론악법 강행처리를 막고 시간을 벌어 여론의 힘으로 저지하려고 한다. 시민사회단체들이 촉구한 사회적 합의기구는 기한을 정한 형식적인 논의기구가 아니고 언론법안이 우리 사회에 미치는 영향이 막대한 만큼 충분한 시간을 갖고 사회적인 합의를 도출하자는 것으로 해석하고 있다.</p> <h2>2) 개념의 분류</h2> <h3>(1) 내포와 외연</h3> <p> <p>모든 개념을 내포적, 외연적 방법으로 나타낼 수 있다. 내포란 개념이 지닌 의미와 내용을 말하며, 개념이 포함하고 있는 사물의 특유한 속성을 말한다. 주관적 요소의 개입을 허용하지 않으며 어떤 사물을 정의한다는 것은 그 대상을 반영하고 있는 개념의 내포를 밝히는 논리적 방법이다.</p> <p>반면에 외연은 개념이 포함하고 있는 사물의 범위의 전체를 말한다. 그 개념이 지시하는 부류의 구성원 전체이다.</p> <p>예를 들어, 『고양이』란 개념의 내포를 생각해보자.</p></p> <p>고양이는 “털이 부드럽고, 다리가 4개이며, 특정한 방법으로 움직이고, 아기 울음 비슷한 소리를 내는 동물이다."라고 정의할 수 있다. 이 정의가 고양이의 내포에 해당한다. 그래서 어떤 대상의 내포를 말할 때 화자의 주관적 요소가 개입돼서는 안 된다. 누구나 다 객관적으로 공감할 수 있어야 하며 내포에 의해 하나의 개념이 머릿속에 떠올라야 한다.</p> <p> <p>외연은 명사나 명사형이 지시하는 부류의 구성원이므로 고양이의 외연은 고양이 자체로서 세상에 있는 모든 고양이로 구성된다. 고양이를 종류별로 나열해보면 샴, 아메리칸 솟헤어, 망스, 버어만, 페르시안, 아비시니안, 싱가푸라 등이 있다. 한 개념의 외연은 공동체 구성원 사이에서 전형적으로 사용하는 동일한 것을 말한다.</p> <p>종합적으로 내포는 개념의 깊이를 말하고 있다면, 외연은 개념의 넓이에 대해 말해주는 방법이다.</p> <p>내포적 개념을 전개시켜 사물의 본질을 무엇이라고 규정 지우는 것을 정의(definition)라고 하고, 그 외연을 전개시키는 것을 분류(classification)라고 한다.</p></p> <p> <p>예제 동물의 내포를 말하시오.</p> <p>풀이 동물의 속성을 나타내는 것으로써 운동, 감각, 신경 등의 기능이 있는 생명체이다.</p></p> <p> <p>예제 동물의 외연을 말하시오.</p> <p>풀이 동물의 범위에 포함되는 모든 개체를 나열하면 되는 데 사실 모든 구성원을 포함시키는 것은 불가능하다. 동물의 외연을 사람, 소, 개구리, 사자, 새, 참치, 풍뎅이 $ \cdots $ 등으로 나열하면 된다. 내포는 수에서 집합을 표현하는 방법 가운데 조건제시법에 해당하며, 외연은 원소나열법에 해당된다.</p></p> <p> <p>예제 집합 $ \{\mathrm { x } \in $ 자연수 $ \mid 0< \mathrm { x }<5 \} $ 을 원소나열법으로 나타내시오.</p> <p>풀이 $ \quad \{ 1,2,3,4 \} $</p></p> <p> <p>예제 대한민국 학교의 내포와 외연을 말하시오.</p> <p>풀이 내포와 외연을 집합으로 나타내면 다음과 같다. 내포는 { 학교 (1) 일정한 목적, 설비, 제도 및 법규에 의거하여, 교사가 계속적으로 학생에게 교육을 실시하는 기관 (2) 대한민국에 있다 } 이며, 외연은 { 모든 초등학교, 중등학교, 고등학교, 대학교, $ \cdots $ } 이다.</p></p> <p> <p>예제 대한민국에 있는 모든 공립 초등학교의 내포를 말하시오.</p> <p>풀이 { 학교 (1) 일정한 목적, 설비, 제도 및 법규에 의거하여, 교사가 계속적으로 학생에게 교육을 실시하는 기관 (2) 대한민국에 있다 (3) 8살이 되어 처음 들어가는 곳 (4) 국가가 운영하는 곳 }</p></p> <p> <p>예제 가족에 대한 내포적 개념과 외연적 개념을 말하시오.</p> <p>풀이 가족의 내포는 혈연관계나 혼인, 입양 등으로 맺어지는 집단이다. 외연은 할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 형(오빠), 누나(언니), 동생 등이다.</p></p> <h3>(2) 유개념과 종개념</h3> <p> <p>상대적으로 어떤 개념이 다른 개념보다 상위에 있을 때 상위에 있는 개념을 유개념이라고 한다.</p> <p>유개념을 상위개념이라고도 한다. 반면에 자신의 상위개념인 유개념에 포함되는 개념을 종개념이라고 한다. 그런 의미에서 종개념을 하위개념이라고도 말한다. 두 개념은 포함관계로 설명할 수 있다. 즉 다른 개념을 포함하는 개념이 유개념이며, 다른 개념에 포함되는 개념이 종개념이다.</p></p>	자연
비유클리드기하학	<p>이제 모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 $ \mathbb { H } $-반사변환의 곱임을 보이는 데 필요한 모든 것을 얻었다.</p> <p>[정리 3.7] 각각의 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 한 개, 두 개 또는 세 개의 $ \mathbb { H } $-반사변환의 곱이다.</p> <p>증명 유클리드기하학과 구면기하학의 경우에서처럼, 각각의 등거리변환은 한 직선에 있지 않은 세 점 $ P, Q, R $ 에 미치는 변환의 효과에 의해 결정된다는 것을 유의하자. 각 점 $ A( \in \mathbb { H } ) $ 가 $ \mathbb { H } $-직선 위에 있지 않은 $ P, Q, R $ 로부터의 $ \mathbb { H } $-거리에 의해 결정되기 때문에 위의 논의는 $ \mathbb { H } $ 에서도 성립한다. $ P, Q, R $ 로부터 같은 $ \mathbb { H } $-거리에 있는 두 점 $ A, A ^ {\prime } $ 이 존재한다면, $ P, Q, R $ 은 $ A, A ^ {\prime } $ 의 $ \mathbb { H } $-등거리 집합에 머무르게 되고, 이는 위의 보조정리에 어긋난다.</p> <p>이제 주어진 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ f $ 를 $ \mathbb { H } $-반사변환의 곱으로 표현하기 위해 $ \mathbb { H } $-직선에 있지 않은 임의의 $ P, Q, R( \in \mathbb { H } ) $ 을 택하고, 많아야 세 개의 $ \mathbb { H } $-반사변환을 이용한다. 이 때 $ \mathbb { E } ^ { 2 } $ 와 $ \mathbb { S } ^ { 2 } $ 의 경우에서와 꼭같이 각 반사변환에 의한 등거리 점들의 교환을 사용하여 $ P, Q, R $ 을 각각 $ f(P), f(Q), f(R) $ 로 보낸다.</p> <p>[따름정리 3.5] $ \mathbb { H } $-등거리변환의 집합은 군이다.</p> <p>증명 $ \mathbb { E } ^ { 2 } $ 와 $ \mathbb { S } ^ { 2 } $ 의 경우에서처럼 각각의 반사변환은 자신의 역이므로 따름정리가 성립한다.</p> <p>Ⅱ에서의 쌍곡운동은, 두 점이 $ \mathbf { Q } _ { 1 } \left (X_ { 1 } , Y_ { 1 } , Z_ { 1 } \right ), \mathbf { Q } _ { 2 } \left (X_ { 2 } , Y_ { 2 } , Z_ { 2 } \right ) $일 때, 그것의 유일한 독립 두 점 불변이 '로렌츠(Lorentz)-스칼라 곱' \[ \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ]=X_ { 1 } X_ { 2 } + Y_ { 1 } Y_ { 2 } -Z_ { 1 } Z_ { 2 } \] 인 3차원 로렌츠 변환(1.8절, 생각하는 문제 4)에 의해 표현된다.</p> <p>두 점 $ \mathbf { Q } _ { 1 } , \mathbf { Q } _ { 2 } $의 쌍곡 거리는, $ \phi(u) $가 $ u $의 음이 아닌 연속 단조함수일 때, 형태 \[D \left ( \mathbf { Q } _ { 1 } , \mathbf { Q } _ { 2 } \right )= \phi \left ( \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \right ) \] 로 나타날 것이다.</p> <p>이제 다음 코시-슈바르츠 부등식의 '로렌츠 유사'의 결과인 \[ \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] ^ { 2 } \geq 1 \]<caption>(3.12)</caption>을 살펴보자. (3.11)의 고려 없이, $ \left [ \mathrm { Q } _ { 1 } \mathrm { Q } _ { 1 } \right ]<0 $이면 \[ \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] ^ { 2 } \geq \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 1 } \right ] \left [ \mathbf { Q } _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \] 를 얻는데 등호가 성립할 필요충분조건은 $ X_ { 1 } , Y_ { 1 } , Z_ { 1 } $과 $ X_ { 2 } , Y_ { 2 } , Z_ { 2 } $가 비례적인 것이다. 이 부등식을 증명하기 위해 실변수 $ \lambda $에 관한 2차 함수 \[ \begin {array} { l } {\left [ \left ( \lambda \mathbf { Q } _ { 1 } + \mathbf { Q } _ { 2 } \right ) \left ( \lambda \mathbf { Q } _ { 1 } + \mathbf { Q } _ { 2 } \right ) \right ] } \\ = \left ( \lambda X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \lambda Y_ { 1 } + Y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } - \left ( \lambda Z_ { 1 } + Z_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \\ = \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 1 } \right ] \lambda ^ { 2 } + 2 \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \lambda + \left [ \mathbf { Q } _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \end {array} \] 를 생각하자. 이것은 큰 $ \lambda $에 대해 음수이지만, $ \lambda=- \frac { Z_ { 2 } } { Z_ { 1 } } $에 대해서는 양 또는 0이다. $ \left (X_ { 1 } ^ { 2 } + Y_ { 1 } ^ { 2 } -Z_ { 1 } ^ { 2 }<0 \right . $이므로 $ Z_ { 1 } \neq 0 $이다.) 후자의 경우에서 함수는 실제로 값 \[ \left (X_ { 2 } - \frac { Z_ { 2 } } { Z_ { 1 } } X_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (Y_ { 2 } - \frac { Z_ { 2 } } { Z_ { 1 } } Y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } \geq 0 \] 을 갖는다. 따라서 $ \lambda $에 관한 2차 함수는 판별식 \[ \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] ^ { 2 } - \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 1 } \right ] \left [ \mathbf { Q } _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \geq 0 \] 를 갖고, 0이 될 필요충분조건은 $ \frac { X_ { 2 } } { X_ { 1 } } = \frac { Y_ { 2 } } { Y_ { 1 } } = \frac { Z_ { 2 } } { Z_ { 1 } } $인 것이다.</p> <p>역사적으로 말하면, 쌍곡평면은 비유클리드 평면 一끝이 없는(무계인) 직선과, 각각의 직선 $ \ell $ 과 점 $ P \in \ell $ 에 대해 $ \ell $과 만나지 않는 $ P $를 지나는 직선 $ \ell ^ {\prime } $이 적어도 한 개 있는 곡면一을 탐색하는 한 결과이다. 그러한 곡면은 구면과는 반대의 방법으로 유클리드 평면으로부터 떨어져 나왔다. (구면에서는 위의 성질을 갖는 직선 $ \ell ^ {\prime } $이 하나도 없다.) 쌍곡기하학의 모형에는 여기서 다루는 것 외에 의구모형과 클라인의 모형이 있다. 이것에 관해서는 다른 책을 참고하기 바란다.</p> <h1>3.1 쌍곡평면</h1> <p>$ x $-축으로 무한히 갈수록 온도가 내려가는 데카르트 좌표를 가진 2차원 우주를 생각하자. 더욱이 이 우주의 물체가 $ x $-축에 접근함에 따라 기온이 내려가 이 물체를 작아지게 한다고 상상하자. 따라서 이 이상한 나라의 거주자는 $ P(0,1) $ 에서 $ P ^ {\prime } (1,1) $로의 수평직선을 따라 걷는 것이 $ Q(0,0.5) $에서 $ Q ^ {\prime } (1,0.5) $로의 수평직선을 따라 걷는 것보다 시간이 적게 든다는 것을 알게 될 것이다. 이 나라의 줄자는 위치의 좌표가 작아지는 만큼 작아지기 때문에 이 관찰은 전혀 이상하지가 않을 것이다. 만약 외부 관찰자가 볼 때 이 축소가 주어진 물체의 길이가 $ x $-축으로부터의 거리에 반비례한다면 거주자는 $ P $에서 $ P ^ {\prime } $까지 걷는 것은 $ Q $에서 $ Q ^ {\prime } $까지 걷는 시간의 반이 걸리고 $ R(0,0.1) $에서 $ R ^ {\prime } (1,0.1) $까지 걷는 시간의 $ \frac { 1 } { 10 } $이 걸림을 알게 될 것이다.</p> <p>나중에 보겠지만 $ x $-축의 특성은 아래반평면과 위반평면 사이에 어떠한 대화도 불가능하게 만든다는 것이다. 결과적으로 우리의 관심을 위반평면에 제한하고 이것을 쌍곡평면 $ \mathbb { H } $라 한다. 이것은 또한 푸앵카레 위반평면으로 알려져 있다. 쌍곡평면과 유클리드 평면을 구별하는 것은 주변공간이 아니라 이 공통 주변공간에서 길이(거리)를 재는 방법임을 인지하는 것은 매우 중요하다. 대강 말해서 앞에서 말한 쌍곡길이(또는 쌍곡거리)는 비율상수를 1로 택하여<p>쌍곡길이 $ = \frac {\text { 유클리드 길이 } } { y } $</p>로 정의한다. 이것을 쌍곡길이의 공식정의로 채택하는 것은 문제가 있음을 여러분에게 경고한다. 실제로 이것은 $ P $에서 $ P ^ {\prime } $을 잇는 수평선분의 쌍곡길이는 $ \frac { 1 } { 1 } =1 $이고 $ R $ 에서 $ R ^ {\prime } $을 잇는 수평선분의 쌍곡길이는 $ \frac { 1 } { 0.1 } =10 $임을 말해준다. 그러나, 이 식은, 예를 들어 $ R $에서 $ P $ 또는 $ P ^ {\prime } $을 잇는 선분의 쌍곡길이를 계산하는 즉각적인 방법을 제공해 주지 못한다. 이 직선을 다루기 위해서는 극소미분을 이용해야 한다. $ P(x, y), Q(x + d x, y) $와 $ R(x + d x, y + d y) $를 극소삼각형이라 하자. 극소선분 $ P R $의 유클리드 길이는 물론<p>$ P R $의 유클리드 길이 $ = \sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } $</p>이다. 이에 따라, 극소선분 $ P R $의 쌍곡길이를<p>$ P R $의 쌍곡길이 $ = \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } $<caption>(3.1)</caption></p>으로 다시 대강 정의한다. 이 정의는 쌍곡길이의 계산을 미적분학의 계산으로 만들어 준다. 예를 들어, $ R $과 $ P $를 잇는 선분을 따라서는 $ d x \equiv 0 $이고, 따라서<p>\[ \begin {aligned} R P \text { 의 쌍곡길이 } &= \int_ { 0.1 } ^ { 1 } \frac { d y } { y } = \ln 1- \ln 0.1 \\&= \ln 10 \approx 2.303 \end {aligned} \]</p>을 얻는다. 사선 $ R P ^ {\prime } $을 생각해 보면, 이 직선의 방정식은<p>\[y-0.1= \frac { 1-0.1 } { 1-0 } (x-0) \text { , } \]</p>즉,<p>$ y=0.9 x + 0.1 $</p>이다. 미분하면<p>\[d y=0.9 d x \]</p>를 얻는다. $ y $와 $ d y $의 이 값을 식 (3.1)에 대입하고 $ R P ^ {\prime } $을 따라 극소선분들의 쌍곡길이들을 더하기 위해 적분을 하면<p>\[ \begin {aligned} R P ^ {\prime } \text { 의 쌍곡길이 } &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + (0.9 d x) ^ { 2 } } } { 0.9 x + 0.1 } \\&= \sqrt { 1.81 } \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 0.9 x + 0.1 } = \frac {\sqrt { 1.81 } } { 0.9 } [ \ln (0.9 x + 0.1)]_ { 0 } ^ { 1 } \\& \approx 3.442 \end {aligned} \]</p>를 얻는다. 따라서 식 (3.1)은 임의의 곡선의 쌍곡길이를 정적분으로 표현하는 좋은 방법을 우리에게 제공해 주게 된다. 임의의 곡선 $ \gamma $의 쌍곡길이를 표현<p>\[d_ { h } ( \gamma)= \int_ {\gamma } \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } \]<caption>(3.2)</caption></p>으로 정의한다. 예를 들어 점 $ (2,4) $와 $ (3,9) $를 잇는 포물선 $ y=x ^ { 2 } $의 일부의 쌍곡길이는<p>$ \int_ { 2 } ^ { 3 } \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + (2 x d x) ^ { 2 } } } { x ^ { 2 } } = \int_ { 2 } ^ { 3 } \frac {\sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } } } { x ^ { 2 } } d x $</p>이다. 이 적분은 계산하기 쉽지는 않지만 심프슨(Simpson) 법칙에 의해 적당한 정확성을 보장하면서 계산될 수 있다. 따라서 실제로 쌍곡평면 위의 임의의 곡선의 쌍곡길이를 계산하는 방법을 갖게 되었다.</p> <p>$ \mathbb { H } $-반사변환 $ J ^ { -1 } \Omega_ { O X } J $는 \[ J ^ { -1 } (w)= \frac { -i w + 1 } { w-i } \stackrel {\Omega_ { O X } (J(z)) } {\longrightarrow } J ^ { -1 } \left ( \Omega_ { O X } (J(z)) \right ) \] \[= \frac { -i \bar { w } + 1 } {\bar { w } -i } = \frac { -i \overline {\left ( \frac { i z + 1 } { z + i } \right ) } + 1 } {\left ( \frac { i z + 1 } { z + i } \right )-i } = \frac { 1 } {\bar { z } } \] 이므로, 실제로 단위원에 관한 반전 $ I $이고, 따라서, $ I $는 $ \mathbb { H } $-등거리변환임을 알게 된다. $ \mathbb { H } $-등거리변환 (i)과 (ii)에 의해 형성된 $ C_ {\alpha, \varrho } $에 관한 반전 $ \tau_ {\alpha } d_ {\varrho } I d_ {\varrho } ^ { -1 } \tau_ {\alpha } ^ { -1 } $ 또한 $ \mathbb { H } $-등거리변환이다. 유클리드 직선 $ x= \alpha $에 관한 유클리드 반사변환 $ \tau_ {\alpha } \Omega_ { O Y } \tau_ {\alpha } ^ { -1 } $과 함께 이 반전들은 모든 $ \mathbb { H } $-반사변환을 형성한다. 3.4절에서 이것들이 모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환을 생성함을 볼 것이다. 이의 즉각적인 결과는 $ \mathbb { H } $-직 리드 반직선 $ x= \alpha(y>0) $로 이루어진다는 것이다.</p> <p>$ \mathbb { H } $ 위의 임의의 두 점 $ z_ { 1 } , z_ { 2 } $ 사이에 유일한 $ \mathbb { H } $-직선이 존재하고, (점이 실축에 접근할수록 $ \mathbb { H } $-거리가 무한으로 가기 때문에) $ \mathbb { H } $-직선은 부정적으로 확장됨을 보이는 것은 어렵지 않다. 따라서 $ \mathbb { H } $-직선은 “평면" 위의 “직선"처럼 행동한다. 그러나, 공간 $ \mathbb { H } $가 유클리드의 평행공준을 만족하지 않으므로 유클리드 직선같이 행동하지는 않는다. 앞에서 설명했듯이 $ \mathbb { H } $는 오랫동안 찾아왔던 “비유클리드 평면”이다.</p> <p>쌍곡기하학의 대부분의 개념은 무한원에 의해 가장 간단하게 서술될 수 있다. 예를 들어, 점근선은 무한원 위에서 공통교점을 갖는 직선들로 정의할 수 있다. (이때 이 공통 교점은 직선들에 속하지 않고, 오히려 공통 극한점이거나 직선들의 끝점이라는 것이 강조되어야 하지만.) 따라서 점근선은 쌍곡평면 자신에서나 무한원 위에서 공통교점을 갖지 않는 초평행선과는 구별된다.</p> <p>이 구별에 따르면 초평행선에 관한 반사변환들의 곱과 점근선에 관한 반사변환들의 곱을 구별할 수 있다. 앞의 것은 평행이동이고, 뒤의 것은 그것이 반사변환의 두 직선의 공통 극한점에 관한 회전변환과 유사하므로 극한회전변환이다. 알고 있듯이, 회전변환(잘 위치한 교선들의 쌍에 대한 반사변환들의 곱)이 있고, 미끄럼반사변환이 있음도 쉽게 알 수 있다. 이 네 가지 형태가 쌍곡 등거리변환의 전부라는 것을 확립하기 전에 이것들을 좀더 자세히 살펴 보자. 이것들을 “유클리드 형태와 같이” 만드는 좌표의 이점을 이용하고, $ \mathbb { H } $와 $ \mathbb { D } $ 사이에서 이동함으로써 그것이 어떻게 평면의 점과 직선에 영향을 미치는가를 알 수 있다. 각각의 경우에 등거리변환은 어떤 족 안의 직선을 치환하고, 족의 모든 직선에 직교하는 각각의 곡선을 보존한다.</p> <ol type=i start=1><li>회전변환<p>$ \mathbb { D } $에서 $ O $에 관한 회전변환은 $ r_ {\vartheta } (w)=e ^ { i \vartheta } w $이다. 이것은 $ \mathbb { D } $의 지름 $ (O $를 지나는 $ \mathbb { D } $-직선 $ ) $들을 치환하고, $ O $에 중심을 둔 원 $ ( \mathbb { D } $-중심 $ O $를 가진 $ \mathbb { D } - $ 원)들을 보존한다. 그림 3.11은 이것과 $ \mathbb { H } $에서의 상 또한 잘 보여 준다. 회전변환은 오직 한 개의 고정점(회전변환의 중심; $ \mathbb { D } $에서는 $ O, \mathbb { H } $에서는 i)을 갖는다.</p></li> <li>극한회전변환<p>$ \mathbb { H } $에서 $ \infty $에 관한 극한회전변환은 $ \tau_ {\alpha } (z)= \alpha + z $이다. 이 변환은 직선 " $ x= $ 상수" $ ( \infty $ 를 지나는 $ \mathbb { H } $-직선 $ ) $들을 치환하고 직선들 " $ y= $ 상수"를 보존한다. 후자의 곡선은 $ \mathbb { H } $-직선이 아닌데 호로사이클이라 부른다. $ \mathbb { D } $에서는 이것들은 무한원에 접하는 유클리드 원들이다(그림 $3.12 $). 이 변환은 $ \mathbb { D } $나 $ \mathbb { H } $에서는 고정점을 갖지 못하지만 무한원 위에서는 한 개( $ \mathbb { D } $에서 $ i, \mathbb { H } $에서는 $ \infty) $를 갖는다. 이 점은 치환된 직선들의 공통 끝점이다.</p></li> <p>[따름정리 3.6] 방향보존과 방향역전 등거리변환 집합은 서로의 여집합이다.</p> <p>증명 정리의 앞에서 논의한 것에 따르면 $ \Omega_ { O Y } $가 방향을 보존하지 못한다는 사실만 증명하면 된다. 이는 $ \Omega_ { O Y } $가 고정점 집합으로 $ y $-축을 갖지만 각각의 방향보존 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 많아야 2 개, 즉, 2 차방정식 \[ z= \frac {\alpha z + \beta } {\gamma z + \delta } \] 의 해를 고정점으로 갖기 때문에 분명하다.</p> <p>[따름정리 3.7] $ \mathbb { H } $-등거리변환은 복소수 $ a, b $ 가 $ \|a\| ^ { 2 } -\|b\| ^ { 2 } =1 $을 만족할 때 방향보존인 경우로 함수 \[ f(z)= \frac { a z + b } {\bar { b } z + \bar { a } } \] 와 방향역전의 경우로 함수 \[ \bar { f } (z)= \frac { a \bar { z } + b } {\bar { b } \bar { z } + \bar { a } } \] 로 주어진다.</p> <p>증명 3.3절에서 보았듯이 $ \mathbb { D } $-등거리변환은, $ h $가 $ \mathbb { H } $-등거리변환이고 \[ J(z)= \frac { i z + 1 } { z + i } , \quad J ^ { -1 } (z)= \frac { -i z + 1 } { z-i } \] 이라면, 함수 $ J h J ^ { -1 } $이다. $ h $가 방향보존 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ h(z)= \frac {\alpha z + \beta } {\gamma z + \delta } $라면 $ J h J ^ { -1 } $는 행렬 \[ \begin {aligned} & \left ( \begin {array} { ll } i & 1 \\ 1 & i \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { cc } -i & 1 \\ 1 & -i \end {array} \right ) \\=& \left ( \begin {array} { cc } \alpha + i \beta-i \gamma + \delta & i \alpha + \beta + \gamma-i \delta \\ -i \alpha + \beta + \gamma + i \delta & \alpha-i \beta + i \gamma + \delta \end {array} \right ) \end {aligned} \] 를 갖고, 이때 행렬식은 \[ \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } i & 1 \\ 1 & i \end {array} \right ) \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end {array} \right ) \operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } -i & 1 \\ 1 & -i \end {array} \right )=(-2) 1(-2)=4 \] 이다. $ c= \alpha + i \beta-i \gamma + \delta, d=i \alpha + \beta + \gamma-i \delta $라 놓으면 행렬은 \[ \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } c & d \\ \bar { d } & \bar { c } \end {array} \right ) \] 형태가 된다. 이때 $ 4= \operatorname { det } =c \bar { c } -d \bar { d } =\|c\| ^ { 2 } -\|d\| ^ { 2 } $ 이므로 $ \frac { c } { 2 } =a, \frac { d } { 2 } =b $라 놓으면 \[ f(z)=J h J ^ { -1 } (z)= \frac { a z + b } {\bar { b } z + \bar { a } } \quad \left (\|a\| ^ { 2 } -\|b\| ^ { 2 } =1 \right ) \] 로 쓸 수 있다.</p> <p>반지름은 원에 수직이라는 사실로부터 $ O $에서의 각은 그림에서 보여진 것처럼 $ \alpha $와 $ \beta $이다. 그러면 반지름의 길이가 1이므로 $ \lambda= \cos ( \pi- \alpha) $이고 $ \mu= \cos \beta $이다. $ \mathbb { H } $-면적 $ d A $ 에 대한 식으로부터<p>면적 $ \left ( \Delta_ {\alpha \beta } \right )= \iint_ {\Delta_ {\alpha \beta } } \frac { d x d y } { y ^ { 2 } } = \int_ {\lambda } ^ {\mu } d x \int_ {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } ^ {\infty } \frac { d y } { y ^ { 2 } } = \int_ {\lambda } ^ {\mu } \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $</p>를 얻고, 변수변환 $ x= \cos \vartheta $에 의해 \[ \int_ {\lambda= \cos ( \pi- \alpha) } ^ {\mu= \cos \beta } \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } = \int_ {\pi- \alpha } ^ {\beta } \frac { - \sin \vartheta d \vartheta } {\sin \vartheta } = \pi- \alpha- \beta \] 를 얻는다.</p> <p>[따름정리 3.8] 세 각이 $ \alpha, \beta, \gamma( \neq 0) $인 삼각형 $ \Delta_ {\alpha \beta \gamma } $의 면적은 $ \pi-( \alpha + \beta + $ $ \gamma $ )이다.</p> <p>증명 $ \Delta_ {\alpha \beta \gamma } $의 한 변을 $ \infty $로 확장시켜서 $ \Delta_ {\alpha \beta \gamma } $ 를 두 점근삼각형 $ \Delta_ {\alpha, \beta + \delta } $와 $ \Delta_ {\pi- \gamma, \delta } $의 차로써 그림 3.18처럼 표현할 수 있다. 적분, 즉 면적은 가법성이 성립하므로 \[ \begin {aligned} \text { 면적 } \left ( \Delta_ {\alpha \beta \gamma } \right ) &= \text { 면적 } \left ( \Delta_ {\alpha, \beta + \delta } \right )- \text { 면적 } \left ( \Delta_ {\pi- \gamma, \delta } \right ) \\ &= \pi-( \alpha + \beta + \delta)- \pi + ( \pi- \gamma + \delta) \\ &= \pi-( \alpha + \beta + \gamma) \end {aligned} \]</p> <p>공준 1. 임의의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 $ \ell $이 유일하게 존재한다 —정리 3.2의 다음 부분에서 보장되었다.</p> <p>공준 2. 임의의 직선 안에 유한 선분을 연속하게 잡을 수 있다.</p> <p>공준 3. 중심이 있고 반지름이 있는 원이 존재한다.</p> <p>그러나 다음 정리는 약간 의외로 받아들여질 것이다. 증명없이 제시하겠다.</p> <p>[정리 3.3] 위반평면에서 모든 유클리드 원은 또한 쌍곡원이다.</p> <p>[정리 3.4] 원이 유클리드 중심 $ (h, k) $와 유클리드 반지름 $ r $을 갖는다면 그것은 쌍곡 중심 $ (H, K) $와 쌍곡반지름 $ R $을 갖는다. 여기서<p>$ H=h, \quad K= \sqrt { k ^ { 2 } -r ^ { 2 } } , \quad R= \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { k + r } { k-r } $</p>이고,<p>$ h=H, \quad k=K \cosh R, \quad r=K \sinh R $</p>로 주어진다.</p> <p>[따름정리 3.3] 모든 쌍곡원은 또한 유클리드 원이다.</p> <p>이제 나머지 두 개의 공준을 살펴보자.</p> <p>공준 4. 모든 직각은 서로 같다.</p> <p>공준 5. 주어진 직선 $ m $과 $ m $ 위에 있지 않은 점 $ P $에 대해 $ P $를 지나 $ m $과 평행한 유일한 직선이 존재한다.</p> <p>두 개의 만나지 않는 측지선을 평행하다고 정의한다면 공준 5는 위반평면에서는 성립하지 않음을 알 수 있다. 실제로, 그림 3.3의 측지선 $ \ell, n, r $은 모두 $ P $를 지나고 측지선 $ m $과 평행이다.</p> <h1>3.3 반평면 모형과 등각 원반 모형</h1> <p>쌍곡평면을 $ \mathbb { H } $로 연구하는 것은 $ \mathbb { S } ^ { 2 } $를 그것의 입체사영상 $ \mathbb { C } \cup \{\infty \} $ 로 연구하는 것과 같다. 다만 이때 $ \mathbb { H } $로 후퇴사상시킬 “실제” 쌍곡평면이 없다는 것을 제외하고는 말이다. 거리함수<p>$ d s_ { h } = \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } $</p>을 가진 $ \mathbb { H } $를 쌍곡평면이라 한다. 물론 다른 것도 그렇게 될 수 있지만 $ \mathbb { H } $와 등거리 동치인 곡면은 같은 이름을 가질 수 있으므로 이 $ \mathbb { H } $를 쌍곡평면의 모형으로 부른다. 실제로, 보통 사용하는 쌍곡평면에는 여러 가지가 있는데 특별한 하나는 $ \mathbb { H } $를 잘 보완하는 단위원반인 $ \mathbb { D } $-모형이다. 이 절의 끝에서 $ \mathbb { H } $의 몇 가지 불편한 특징을 제시한 후 $ \mathbb { D } $-모형(푸앵카레 모형)을 소개하겠다.</p> <p>마지막으로 앞의 절과 결합하면 다음을 얻는다.</p> <p>[정리 3.10] 두 쌍곡 등거리변환이 쌍곡적으로 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점에서 일치하면 이 두 변환은 위반평면 전체에서 일치한다.</p> <h1>3.8 삼각형의 면적</h1> <p>쌍곡평면에서 점근선의 존재는 점근삼각형 -두 변이 점근선인 삼각형- 의 존재를 시사한다. 실제로 보통의 삼각형은 두 개의 점근삼각형의 차이이다. 따라서 점근삼각형의 면적이 유한이면 이로부터 일반적인 삼각형의 면적을 구할 수 있다. 우리는 이 면적을 $ \mathbb { H } $-모형에서 계산하자. 거기서는 유클리드 너비 $ d x $와 유클리드 높이 $ d y $를 갖는 극소 직사각형은 $ \mathbb { H } $-너비 $ \frac { d x } { y } $와 $ \mathbb { H } $-높이 $ \frac { d y } { y } $를 갖고 따라서 $ \mathbb { H } $-넓이</p>\[ d A= \frac { d x d y } { y ^ { 2 } } \] 를 갖는다. 그러므로, 삼각형 $ \Delta $의 면적을 계산하기 위해 $ \frac { 1 } { y ^ { 2 } } $을 $ \Delta $ 위에서 적분 해야만 한다. 전과 같이 요령은 $ \Delta $ 를 편리한 위치에서 선택하는 것이다.</p> <p>[정리 3.11] 세 각이 $ \alpha, \beta, \gamma(=0) $인 점근삼각형 $ \Delta_ {\alpha \beta } $의 면적은 $ \pi-( \alpha + \beta) $이다.</p> <p>증명 먼저 $ \Delta_ {\alpha \beta } $가 $ \mathbb { D } $에 있다고 가정하면, $ \Delta_ {\alpha \beta } $의 극한꼭지점이 $ i $가 되게 하기 위해 $ O $에 관해 회전시킨다. 그러면 $ \mathbb { H } $에서의 $ \Delta_ {\alpha \beta } $의 상은 그것의 점근변으로 수직선분을 갖게 되고 세 번째 변은 실축 위에 중심이 있는 반원이다. $ \mathbb { H } $-등 거리변환 $ z \mapsto \delta + z( \delta \in \mathbb { R } ) $에 의해 이 반원의 중심이 $ O $가 되게 할 수 있고, 이것에 더해 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ z \mapsto \varrho z( \varrho \in \mathbb { R } ) $를 적용하여 반지름이 1이 되게 만들 수 있다. 따라서 $ \Delta_ {\alpha \beta } $를 그림 3.17에 주어진 형태로 가정해도 일반성을 잃지 않는다.</p> <p>만약 $ \mathfrak { A } $가 $ \mathcal { D } $ 안의 원형 원반이고, $ r $이 이것의 쌍곡 반지름이며 $ \rho_ { 0 } $이 중심으로 0을 갖는 쌍곡적으로 합동인 원반의 유클리드 반지름이라면, 두 번째 적분 (3.9)는 쉽게 계산될 수 있다.</p> <p>$ m( \mathfrak { A } )=2 \pi k \int_ { 0 } ^ {\rho_ { 0 } } \frac {\rho d \rho } {\left (1- \rho ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } = \pi k \frac {\rho_ { 0 } ^ { 2 } } { 1- \rho_ { 0 } ^ { 2 } } = \pi k \sinh ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } r $</p> <p>이 식이 쌍곡 반지름 $ r $의 작은 값에 대해 원의 면적에 대한 대응하는 유클리드 공식과 근사적으로 일치하기 위해서는 \[ k=4 \]<caption>(3.10)</caption>를 취해야만 한다.</p> <p>48. 쌍곡반지름이 $ r $인 원의 원주의 쌍곡길이는 \[L=2 \pi \sinh r \] 과 같다.</p> <p>49. 쌍곡기하학의 사영 모형의 경우에서 대응되는 문제의 처리를 약술하는 것이 관심거리일 것이다. 쌍곡 평면(즉, 그 안에서 직선 선분이 쌍곡 직선을 표현하는 단위원의 내부)은 그것이 $ \zeta $-축에 평행인 사영변환에 의해 북쪽 반구의 상으로서 나타나도록 $ \mathrm { N } $에서 구를 접하는 사영평면 $ \Pi $ 안에 놓일 수 있다. 동차좌표 $ X, Y, Z $를 갖는 쌍곡 평면의 점 $ \mathbf { Q } $는 \[ \frac { X } { Z } = \xi, \quad \frac { Y } { Z } = \eta \quad \left ( \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } =1 \right ) \] 에 의해 결정될 것이다. 단위원(즉, 쌍곡 평면의 수평선, 또는 절대, 또는 무한)의 방정식은 \[X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } -Z ^ { 2 } =0 \] 이다. 이것의 모든 내부점은 부등식 \[X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } -Z ^ { 2 }<0 \] 에 의해 특성화된다. 따라서 \[X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } -Z ^ { 2 } =-1 \]<caption>(3.11)</caption>로 놓음으로써 동차좌표를 표준화할 수 있다.</p> <p>$ \mathbb { D } $의 이 변환 $ T $가 분명히 전단사이므로, 이것은 다음 성질을 갖는 새로운 쌍곡평면의 모형을 정의한다.</p> <ul> <li>영역 : $ \mathbb { P } ^ { 2 } =T \mathbb { D } = $ 열린단위원반</li> <li>$ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직선 $ = \mathbb { D } $-직선의 $ T $-상 $ = \mathbb { P } ^ { 2 } $ 를 횡단하는 유클리드 직선 선분.</li> <li>$ \mathbb { P } ^ { 2 } $-등거리변환 $ =T g T ^ { -1 } (g $ : $ \mathbb { D } $-등거리변환 $ ) $</li></ul> <p>(다음에 보이겠지만) $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-등거리변환은 실제로는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 사영사상이기 때문에 이 모형을 사영원반모형이라 부른다.</p> <p>사영원반모형은 각과 길이를 변형시키기 때문에 $ \mathbb { D } $나 $ \mathbb { H } $보다 덜 직관적인 것 같이 보인다. 그러나, $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직선의 직선성은 다소간의 유리한 점이 있다. 예를 들어, 임의의 두 점을 지나는 유일한 쌍곡직선이 존재한다는 것은 분명해진다. 한 가지 다른 결과는 이렇다. 쌍곡다각형이 볼록이기 위한 필요충분조건은 그것의 모든 각이 $ \pi $보다 작은 것이다(푸앵카레, 1880 ). 이것은 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직선으로 이루어진 유클리드 다각형에 대해 분명한 사실이다. 따라서 이것은 $ \mathbb { D } $ (이 안에서 각은 유클리드의 의미이다) 안에 있는 그것들의 역상에 대해서도 성립한다. (이는 $ T $가 각이 $ \pi $보다 작은 성질을 보존하기 때문이다.)</p> <p>사영원반모형은 다른 모형에서는 거의 분별(구별)할 수 없는 사실을 우리에게 경고한다. 점 "초월 무한(beyond infinity)"에 대한 의미가 부여된다. 극한회전변환은 무한점에 관한 회전변환으로 볼 수 있음을 앞에서 보았다. 이제 쌍곡평행이동은 “초월 무한”에 관한 회전변환으로 볼 수 있음을 보일 것이다. 실제로, 회전변환, 극한회전변환과 평행이동에 의해 치환된 직선족은 사영원반모형에서 그림 3.20에서와 같이 나타난다. 3.6절에 따르면 평행이동에 의해 치환된 직선들은 평행이동의 불변선에 직교한다. 그것들이 공통 교점을 갖는 이유는 임의의 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직선 $ \ell $ 에 수직인 직선들은 $ \ell $의 끝점을 지나 단위원에 접하는 직선들의 교점인 $ \ell $의 극 $ p( \ell) $을 지나기 때문이다. 이것은 다음의 결과이다.</p> <p>$ \mathbb { P } ^ { 2 } $의 그림은 자주 볼 수 없는데 이는 아마도 세부 사항들이 $ \mathbb { H } $-모형과 $ \mathbb { D } $-모형에서 보다 경계에 더 압축되어 있기 때문일 것이다. 아직까지도 대부분의 세부 사항은 작은 면적을 가진 삼각형에 의한 쪽맞추기에서 볼 수 있다. 그림 3.23은 각 $ \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 3 } , \frac {\pi } { 7 } $ (왼쪽)와 $ \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 4 } , \frac {\pi } { 5 } $ (오른쪽)를 가진 삼각형에 의한 쪽맞추기를 보여 준다.</p> <p>38. 본문 토의에서, 단위원의 내부가 쌍곡 평면으로 선택되었다. 다른 임의의 원의 내부도 이 목적에 동등하게 적당하다. 특히, 수평선으로 직선, 예를 들면 실축을 택할 수 있다. 그러면 쌍곡 평면 $ \mathcal { D } $는 위 반평면 $ \Im z>0 $가 된다. 이 $ \mathcal { G } $-기하학에서 운동의 군은 양의 행렬식을 갖는 모든 실 뫼비우스 변환의 군이다. 이 경우에 쌍곡 직선은 실축에 수직인 반원이다. 거리 함수 $ f \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right ) $는 1.9절, 문제 3의 방법에 의해 찾을 수 있다. $ z_ { 0 } =i $로 놓고, $ \mathfrak { T } $ 를, $ \mathfrak { T } (i)=0 $이 되도록, 위반평면을 단위원의 내부로 사상하는 뫼비우스 변환이라 하자. 만약 $ z_ { 2 } =x_ { 2 } + i y_ { 2 } $ 이면, $ \mathfrak { T } = \left ( \begin {array} { ll } i & 1 \\ 1 & i \end {array} \right ) $이고 $ \mathfrak { H } _ { z_ { 2 } } (z)= \frac { z-x_ { 2 } } { y_ { 2 } } $라 하자. 그러면 \[ f \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right )= \left \| \frac { z_ { 1 } -z_ { 2 } } { z_ { 1 } - \bar { z } _ { 2 } } \right \|= \left (z_ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ; z_ { 2 } , \bar { z } _ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \] 이 된다.</p> <p>모든 기하학적 목적에 있어서 쌍곡기하학의 이 '반평면 모형'은 '단위원 모형'과 전적으로 동치이다. 해석함수의 이론에서의 이것의 응용의 측면에서 후자를 선호한다.</p> <p>39. 쌍곡기하학의 다른 형태, 즉 유클리드기하학의 원소들에 의한 표현이 존재한다. 단위원의 내부에서의 쌍곡기하학은 입체사영을 통해 위 반구로 전환 될 수 있다. 그러면 적도는 수평선의 역할을 하고, 쌍곡직선은 적도에 수직인 구면 반원에 의해 표현된다. 이것의 평면은 적도의 평면에 수직이다. 운동군의 대수적 표현은 1.8절, 생각하는 문제 4에서 확립되었다.</p> <p>사영사상, 즉 중심으로서 $ \zeta $-축의 무한점으로부터의 투시를 한번 더 시행하여, 단위원의 내부로 되돌아 올 수 있다. 이 평행 사영사상에 의해 적도에 수직인 구면 반원이 단위원 내의 유클리드 선분 위로 사상함을 쉽게 알 수 있다. 따라서, 직선이 단위원의 현에 의해 나타내어지는 쌍곡기하학의 다른 모형에 이른다. 이 모형에서 쌍곡 운동들의 군은 단위원을 불변시키는 평면에서의 모든 사영 변환의 군에 의해 나타날 수 있다. 이 변환은 (1.34)에 주어져 있다.</p> <p>위반구를 단위원의 내부로 사상하는 평행 사영사상은 북극을 제외하고는 등각적이 아니기 때문에, 두 번째 단위원 모형에서 쌍곡 각의 측도는 일반 적으로 대응하는 유클리드 각의 측도와 다르다는 것은 명백하다.</p> <p>앞으로의 모든 문제에서, (푸앵카레 원 모형이라고도 부르는) '등각 단위 원반 모형'을 이용한다.</p> <p>40. $ \mathcal { D } $ 안의 직교원, 즉 쌍곡 직선에 관한 반전사상을 쌍곡대칭사상이라 부른다. 이 대칭사상의 주된 성질은 다음과 같다. 쌍곡 대칭사상은 단위원의 내부를 자기자신 위로 사상하고 (곡선으로서) 단위원을 불변시킨다. 단위원 내부 $ (\|z\|<1) $의 모든 점 $ z $에 대해 쌍곡적으로 대칭인 점 $ z ^ { * } $도 또한 단위원의 내부에 놓인다(그림 3.25). 쌍곡 대칭사상은 쌍곡 직선을 쌍곡 직선에 사상한다. 쌍곡거리는 쌍곡 대칭사상에 관해 불변이다.</p> <p>41. $ \mathcal { D } $ 안의 주어진 쌍곡 선분 $ \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right ) $에 대해, 0이 하나의 끝점이고 다른 한 끝점은 실축 위에 있도록 하는 표준 위치에서, 합동 선분을 기하학적 구성에 의해서 찾아라. 같은 방법으로, 주어진 삼각형에 대해, 표준위치에서 합동 삼각형을 구하라.</p> <p>42. 쌍곡거리 $ D \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right ) $가<ol type=1 start=1><li>쌍곡운동에 의해 불변이고,</li> <li>음이 아니고,</li> <li>하나의 쌍곡직선위에서 가법적</li></ol>이라면, 양의 상수 인자를 고려해서, 이 함수의 유일성을 증명하라. 불변성은 $ \phi(u) $가 $ 0 \leq u<1 $에 대해 음이 아닌 실함수일 때, $ D \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right )= $ $ \phi \left [f_ { -1 } \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right ) \right ] $를 유도한다. 여기서 $ f_ { -1 } $는 거리함수 \[ f_ { -1 } \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right )= \frac {\left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \| } {\left \|1- \bar { z } _ { 2 } z_ { 1 } \right \| } \] 으로 주어진 대칭함수이다.</p> <p>증명 부등호 " $ \geq $"는 $ P R \cup R Q $를 곡선 $ C $로 잡고 위의 정리 3.6을 적용하면 얻을 수 있다. 만약 $ R $이 $ P, Q $ 를 지나는 $ \mathbb { H } $-직선 ( $ y $-축이 되게 잡자) 위에 있지 않다면 그림 3.8처럼 가정할 수 있다. ( $ R $이 $ P $ 보다 아래에 있어도 증명은 마찬가지이다.) $ P R $의 각각의 극소선분은 $ P S $의 대응되는 선분의 $ \mathbb { H } $-길이의 $ k $배이다. (여기서 $ k \geq \sec \angle R P Q $ 이다.) 따라서 $ k>1 $이고<p>$ P R $ 의 $ \mathbb { H } $-길이 $ >P S $ 의 $ \mathbb { H } $-길이</p>가 성립한다. 비슷하게<p>$ R Q $ 의 $ \mathbb { H } $-길이 $ >S Q $ 의 $ \mathbb { H } $-길이</p>를 얻으므로<p>$ (P R $ 의 $ \mathbb { H } $-길이 $ ) + (R Q $ 의 $ \mathbb { H } $-길이 $ )>P Q $ 의 $ \mathbb { H } $-길이</p>가 성립한다.</p> <p>이제 중요한 보조정리를 증명하기 위해, 임의의 $ P, P ^ {\prime } ( \in \mathbb { H } ) $을 $ y $-축에 대해 서로 거울상이 되는 위치로 옮기고자 한다. 이것은 먼저 $ P ^ {\prime } $이 $ P $와 같은 $ y $ 좌표를 가질 때까지 $ P $에 관해 회전을 함으로써 해결된다. (그러한 위치는 중간값 정리에 의해 반드시 존재한다.) 그 다음 $ P, P ^ {\prime } $이 $ y $-축으로부터 (유클리드) 등거리에 있도록 적당한 $ \tau_ {\alpha } $ 를 적용한다.</p> <p>[보조정리 3.1] 두 점 $ P, P ^ {\prime } ( \in \mathbb { H } ) $으로부터 $ \mathbb { H } $-등거리인 점들의 집합은 $ \mathbb { H } $-직선 $ \ell $이고 $ \ell $에 관한 $ \mathbb { H } $-반사변환은 $ P $와 $ P ^ {\prime } $을 교환한다.</p> <p>첫 번째 정리는 $ \mathbb { H } $ 위의 임의의 $ \mathbb { H } $-직선 선분 $ P Q $를 $ \mathbb { H } $-등거리변환에 의해 $ y $-축으로 옮기는 것에 의존한다. 이것은 $ P $를 $ \tau_ {\alpha } $에 의해 $ y $-축 위로 옮기고, $ Q $가 $ y $-축 위에 올 때까지 (즉, $ \mathbb { D } $ 위에서 $ Q $의 상이 $ y $-축 위에 올 때까지) $ P $에 관해 회전시킴으로써 해결된다. 이 $ \mathbb { H } $-등거리변환이 원과 각을 보존하므로 $ P $와 $ Q $ 사이의 $ \mathbb { H } $-직선은 반드시 $ P $와 $ Q $를 지나고 실축에 수직인 원의 일부이다. 이 "원"은 $ y $-축 자신이다.</p> <p>[정리 3.6] $ P $와 $ Q $ 사이의 $ \mathbb { H } $-직선 선분은 $ P $와 $ Q $를 잇는 쌍곡길이가 가장 짧은 곡선이다.</p> <p>증명 위의 논지에 의해 $ \mathbb { H } $-직선 선분 $ P Q $가 $ y $-축의 선분이라 가정할 수 있다. $ C $가 $ P $ 에서 $ Q $로의 또 다른 곡선이라면, 부등식<p>$ C $의 $ \mathbb { H } $-길이 $ = \int_ { C } \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } \geq \int_ { P } ^ { Q } \frac { d y } { y } =P Q $의 $ \mathbb { H } $-길이</p>를 얻는다.</p> <p>[따름정리 3.4 (삼각부등식)] $ P, Q, R \in \mathbb { H } $을 세 점이라 하면<p>$ (P R $의 $ \mathbb { H } $-길이 $ ) + (R Q $의 $ \mathbb { H } $-길이 $ ) \geq(P Q $의 $ \mathbb { H } $-길이 $ ) $</p>가 성립한다. $ R $이 $ P, Q $를 지나는 $ \mathbb { H } $-직선 위에 있지 않으면 절대부등식이 성립한다.</p> <p>43. $ \mathcal { D } $의 점 $ z_ { 0 } $을 지나지 않는 주어진 쌍곡 직선 $ \mathfrak { l } $에 초평행인 $ z_ { 0 } $을 지나는 모든 쌍곡 직선은 $ z_ { 0 } $을 지나는 두 개의 쌍곡 평행선에 의해 형성되는 외부각 안에 존재한다. 임의의 두 개의 교차하지 않는 $ \mathfrak { l } $에 초평행인 직선은 공통 수직 쌍곡 직선을 가짐을 보여라.</p> <p>44. 각의 합이 영인 점근 삼각형을 구성하라. 두 개의 평행하지 않는 쌍곡 직선에 대해 네 개의 공통 쌍곡 평행선이 존재함을 보여라.</p> <p>45. 이 기하학에 대한 외계 원소일지라도, 그들은 가끔 유용하게, 예를 들어 식 (1.19)에서 예시된 것처럼 거리 함수의 정의에서 사용된다.</p> <p>46. 쌍곡 반지름 $ r $을 갖는 쌍곡 원과 쌍곡적으로 합동인 0에 관한 원은 유클리드 반지름 $ \rho= \tanh \frac { 1 } { 2 } r $을 갖는다.</p> <p>47. (쌍곡 기하학에서의 면적) $ \mathfrak { A } $를 하나, 또는 그 이상의 단일 닫힌 곡선에 의해 둘러싸인 닫힌 영역이라 하자. $ \mathfrak { A } $의 면적 $ m( \mathfrak { A } ) $로 다음 성질을 가진 음이 아닌 수를 도입한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \mathfrak { A } $의 함수로, $ m( \mathfrak { A } ) $는 가법적, 즉 $ \mathfrak { A } $가 두 개의 겹치지 않는 부분 $ \mathfrak { A } _ { 1 } , \mathfrak { A } _ { 2 } $로 이루어지면, $ m( \mathfrak { A } )=m \left ( \mathfrak { A } _ { 1 } \right ) + m \left ( \mathfrak { A } _ { 2 } \right ) $ 이다.</li> <li>영역이 불변, 즉 $ \tilde {\mathfrak { A } } $가 쌍곡 운동 또는 대칭사상에 의한 $ \mathfrak { A } $의 상이라면, $ m( \tilde {\mathfrak { A } } )=m( \mathfrak { A } ) $이다.</li></ol> <p>$ m( \mathfrak { A } ) $를 영역 $ \mathfrak { A } $ 위에서 취한 이중적분으로 정의한다. 그러면, 가법성을 보장한다. 불변조건을 형성하기 위해, 이중적분에 대한 변환식을 적용한다. 이것을 위해 뫼비우스 변환 $ w= \mathfrak { H } (z)= \frac { a z + b } { c z + d } $의 함수 행렬식 야코비안(Jacobian)이 필요하다. $ z=x + i y, w=X + i Y $라 놓으면, 이 행렬식은 \[ \Delta(z)= \frac {\partial X } {\partial x } \frac {\partial Y } {\partial y } - \frac {\partial X } {\partial y } \frac {\partial Y } {\partial x } = \left \| \frac { d \mathfrak { H } (z) } { d z } \right \| ^ { 2 } = \left \| \frac { a d-b c } { (c z + d) ^ { 2 } } \right \| ^ { 2 } \]<caption>(3.3)</caption>이 된다. $ w= \mathfrak { H } _ { z_ { 1 } } (z)= \frac { z-z_ { 1 } } { 1- \bar { z } _ { 1 } z } $이면, 이 행렬식은 \[ \Delta_ { z_ { 1 } } (z)= \frac {\left (1- \left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } {\left \|1- \bar { z } _ { 1 } z \right \| ^ { 4 } } \]<caption>(3.4)</caption>이 될 것이다.</p> <p>[정의 3.2] 위의 값 $ \pi-( \alpha + \beta + \gamma) $를 각부족이라 부른다.</p> <p>이 각부족은 항상 양수이다. 따라서 다음이 성립한다.</p> <p>[정리 3.12] 임의의 쌍곡삼각형의 내각의 합은 $ \pi $보다 작다.</p> <p>증명 연습문제로 남긴다.</p> <p>[정리 3.13] 합이 $ \pi $보다 작은 세 각이 주어지면 그것들은 실제로 적당한 쌍곡 삼각형의 각들이다.</p> <p>증명 연습문제로 남긴다.</p> <p>삼각부등식을 만족하는 세 개의 (유클리드 또는 쌍곡) 길이 $ a, b, c $가 주어지면, (유클리드 또는 쌍곡) 삼각형은, 변이 단지 이 길이들을 가지도록 그릴 수 있고, 같은 측도를 갖는 모든 삼각형은 (각각 유클리드 또는 쌍곡적 $ \left ( \mathcal { U } _ { + } \right . $-합동) 의미에서) 첫 번째 것과 동치이다. 그러나, 유클리드기하학에서, 합이 $ \pi $인 세 각 $ \alpha, \beta, \gamma $ 는 그들의 각들이 $ \alpha, \beta, \gamma $인 삼각형을 유일하게 결정하는데에는 충분하지 않다. 각들이 이와 같은 순서로 이 값들을 갖는 합동이 아닌 삼각형이 무수히 많다. 모든 이런 삼각형은 서로 닮았다고 말한다. 다음 정리는 쌍곡기하학에서는 닮음성이 없음을 보여준다.</p> <p>[정리 3.14] $ \alpha, \beta, \gamma $가 조건 $ \alpha + \beta + \gamma< \pi $를 만족하는 세 각이라면, 이 각들을 갖는 쌍곡삼각형이 존재하고 임의의 두 개의 그러한 삼각형은 쌍곡적으로 합동이다.</p> <p>[정리 3.15] 쌍곡적으로 합동인 삼각형들은 같은 쌍곡면적을 갖는다.</p> <h1>3.9 사영원반모형</h1> <p>사영원반모형은 쌍곡직선의 상이 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 직선이 되도록 쌍곡평면을 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $로 사상함으로써 만들어진다. 벨트라미(Beltrami, 1868)에 의해 고안된 등각원반모형으로부터 이 모형을 구성하는 아주 간단한 방법이 그림 3.19에 있다. 위의 것은 고전적인 $ \mathbb { D } $-직선이 그려진 원반 $ \mathbb { D } $를 역입체사영에 의해 구의 아래 반쪽에 사상함을 보여준다. 1.1절에서 보았지만 입체사영은 원과 각을 보존한다. 따라서 $ \mathbb { D } $-직선은 적도에 수직인 원으로 사상된다. 아래 반구에 있는 $ \mathbb { D } $-직선의 상은 수직단면이고, 따라서 반구를 평면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 위로 수직으로 투영시키면 $ \mathbb { D } $-직선의 상은 직선이 된다.</p> <p>역으로 이 모양의 임의의 함수는 실수 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $를 알맞게 택함으로 얻을 수 있다. $ a, b $ 가 $ \|a\| ^ { 2 } -\|b\| ^ { 2 } =1 $을 만족하는 복소수라면 $ c=2 a, d=2 b $라 놓고, 연립방정식 \[ c= \alpha + i \beta-i \gamma + \delta \] \[d=i \alpha + \beta + \gamma-i \delta \] 를 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ 에 관해 푼다. 해는 \[ \begin {aligned} \alpha= \Re a + \Im b, & \beta= \Re b + \Im a \\ \gamma= \Re b- \Im a, & \delta= \Re a- \Im b \end {aligned} \] 이고 $ \alpha \delta- \beta \gamma=\|a\| ^ { 2 } -\|b\| ^ { 2 } =1 $을 만족한다.</p> <p>마지막으로 방향역전 $ \mathbb { D } $-등거리변환 \[ \bar { f } (z)= \frac { a \bar { z } + b } {\bar { b } \bar { z } + \bar { a } } \quad \left (\|a\| ^ { 2 } -\|b\| ^ { 2 } =1 \right ) \] 을 생성하기 위해서는 위에서 얻은 $ f(z) $와 방향역전 $ \mathbb { D } $-등거리변환 $ \Omega_ { O X } (z)= $ $ \bar { z } $ 를 합성한다. 즉 $ \bar { f } (z)=f \left ( \Omega_ { O X } (z) \right ) $이다.</p> <h1>3.6 등거리변환의 기하학적 서술</h1> <p>쌍곡평면의 중요한 자산(유용한 성질)은 무한원 (즉, $ \infty $ 에 중심을 둔 원)이다. $ \mathbb { D } $-모형에서 무한원 $ \partial \mathbb { D } $는 그 자신이 $ \mathbb { D } $의 점들이 되는 단위원 $ - \mathbb { D } $의 유클리드 극한점의 집합- 이다. 점 $ w( \in \mathbb { D } ) $의 $ O $에서부터의 $ \mathbb { D } $-거리가 $ \|w\| \rightarrow 1 $일 때 무한대로 가기 때문에 이 점들은 $ \mathbb { D } $-거리의 관점에서 보면 무한점이다. $ \mathbb { H } $의 무한원 $ \partial \mathbb { H } $는 $ J $에 의한 단위원의 역상 $ \mathbb { R } \cup \{\infty \} $이다.</p> <p>[보조정리 3.2] 방향역전 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ \bar { f } $는 무한원 위에 두 개의 고정점을 갖는다.</p> <p>증명 정리 3.8에 의해 \[ \bar { f } (z)= \frac { - \alpha \bar { z } + \beta } { - \gamma \bar { z } + \delta } \quad( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb { R } , \alpha \delta- \beta \gamma=1) \] 라 가정할 수 있다. 따라서 $ \bar { f } $는 무한원 $ \mathbb { R } \cup \{\infty \} $ 위에서 방정식 \[x= \frac { - \alpha x + \beta } { - \gamma x + \delta } \quad(x \in \mathbb { R } \cup \{\infty \} ) \] 의 실수해인 고정점들을 갖는다. $ \gamma=0 $이면 해는 $ x= \frac {\beta } {\alpha + \delta } , \infty $이고, $ \gamma \neq 0 $이면 이차방정식 $ \gamma x ^ { 2 } -( \alpha + \delta) x + \beta=0 $을 얻는데, 이것은 해 \[ x= \frac {\alpha + \delta \pm \sqrt { ( \alpha- \delta) ^ { 2 } + 4 } } { 2 \gamma } \] 를 갖는다. $ ( \alpha- \delta) ^ { 2 } + 4>0 $이므로 이것들은 두 개의 해이다. 따라서 $ \bar { f } $는 무한원 위에 두 개의 고정점을 갖는다.</p> <p>이 보조정리는 방향역전 등거리변환의 분류를 방향보존 등거리변환의 경우로 바꾸어 주는데, 이는 다시 직선들의 쌍의 분류로 바뀌게 된다. 다음을 보자.</p> <p>[정리 3.9 ( $ \mathbb { H } $-등거리변환의 분류)] 쌍곡평면의 각각의 등거리변환은 다음 중의 하나이다.</p> <ol type=i start=1><li>회전변환,</li> <li>극한회전변환,</li> <li>평행이동, 또는</li> <li>미끄럼반사변환.</li></ol> <p>증명 3.4절과 3.5 절에서 각각의 방향보존 등거리변환은 두 개의 반사변환의 곱임을 보았다. 반사변환의 축(직선)들 $ \ell, m $은 오로지 다음의 세 가지 근본적으로 다른 경우만 취할 수 있다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \ell $ 과 $ m $ 이 만난다.</li> <li>$ \ell $ 과 $ m $ 이 점근적이다.</li> <li>$ \ell $ 과 $ m $ 은 초평행이다.</li></ol> <ol type=i start=1><li>적당한 좌표계를 도입함으로써 $ \mathbb { D } $ 안에서 $ \ell $과 $ m $의 교점을 $ O $로 택 할 수 있다. 그러면 $ \Omega_ { m } \Omega_ {\ell } $은 $ r_ {\vartheta } (w)=e ^ { i \vartheta } w( \vartheta \in \mathbb { R } ) $, 즉, $ \mathbb { D } $-회전변환이다.</li> <li>적당한 좌표계를 선택함으로써 $ \mathbb { H } $ 안에서 $ \ell $과 $ m $이 $ \infty $에서 점근 적이고 $ \ell $ 은 $ y $-축이 되게 할 수 있다. 그러면 적당한 $ \alpha( \in \mathbb { R } ) $ 에 대해 $ x= \frac {\alpha } { 2 } $ 이 고 $ \Omega_ { m } \Omega_ {\ell } $ 은 $ \tau_ {\alpha } (z)= \alpha + z $, 즉, $ \mathbb { H } $-극한회전변환이다.</li> <li>알맞은 좌표계에 의해 $ \mathbb { H } $ 에서 $ \ell $ 은 $ y $-축이 되고 $ m $은 $ \ell $과 만나지 않는 반원이 되게 할 수 있다. $ \ell $ 에 수직인 여러 가지 $ \mathbb { H } $-직선들은 $ m $과 $ [0, \pi] $에서 연속적으로 변하는 각을 만든다(그림 $3.15 $). 따라서 중간값정리를 쓰면 그 들 중의 하나 $ n $은 $ \ell $과 $ m $에 공통수선이다. 그러면, $ n $ 을 $ y $-축이 되게 하는 새 좌표계를 선택함으로써 $ \ell $과 $ m $은 중심이 $ O $인 반원들이 된다. 이제 $ \ell, m $ 에 관한 $ \mathbb { H } $-반사변환들의 곱은 $ d_ {\varrho } (z)= \varrho z( \varrho>0) $, 즉, $ \mathbb { H } $-평행이동이다. $ \bar { f } $ 가 방향역전 등거리변환이라면 보조정리 3.2에 따라 다음 경우를 얻는다.</li> <li>경우 (iv): $ \bar { f } $ 는 무한원 위에 두 개의 고정점을 갖는다. $ \ell $을 고정점들을 연결 하는 $ \mathbb { H } $-직선이라 하고, $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ f= \bar { f } \Omega_ {\ell } $을 생각하자. $ \Omega_ {\ell } $도 또한 $ \ell $ 의 끝 점을 고정하므로 $ f $ 는 이 두 끝점을 고정하는 방향보존 $ \mathbb { H } $-등거리변환이다. 방향 보존 등거리변환들의 표준형태들 $ r_ {\vartheta } , \tau_ {\alpha } , d_ {\varrho } $를 살펴 봄으로써 직선의 끝점을 고정하는 유일한 하나는 그것의 축의 끝점을 고정하는 $ d_ {\varrho } $ 임을 알 수 있다. 그러므로<p>$ f= \bar { f } \Omega_ {\ell } = \ell $이 축인 평행이동<p>이고, 따라서<p>$ \bar { f } =f \Omega_ {\ell } = \ell $이 축인 미끄럼반사변환</p>이다.</li></ol> <p>[정리 3.2] 쌍곡평면의 측지선은<ol type=i start=1><li>$ x $-축 위에 중심을 둔 유클리드 반원의 호이거나,</li> <li>$ x $-축과 직교하는 유클리드 직선의 선분이다.</li></ol></p> <p>증명 각각의 경우에서 쌍곡길이를 계산하고 정리 3.1을 이용하라.</p> <p>$ x $-축 위에 중심을 두고 위반평면에 놓여 있는 유클리드 반원을 측지선 또는 쌍곡직선이라 부른다. 위반평면에 놓여 있는 $ x $-축과 직교하는 유클리드 반직선도 같은 이름으로 부른다.</p> <p>위반평면의 임의의 두 점은 측지선에 의해 연결될 수 있다. $ d_ { h } (P, Q) $로 계산되는 점 $ P $와 $ Q $ 사이의 쌍곡길이는 그들을 잇는 측지선의 쌍곡길이이다.</p> <p>유클리드 원은 만나지 않거나, 한 점에서 만나거나 또는 두 점에서 만난다. 두 점에서 만나는 중심이 실축상에 있는 두 원은 하나의 교점을 실축의 위쪽에 다른 하나는 아래쪽에 갖는다. 따라서 위반평면에서는 그들은 오직 하나의 교점을 갖는다. 비슷하게 실축에 중심을 둔 원과 수직 선분은 많아야 한 개의 교점을 갖는다. 따라서 임의의 두 측지선은 만나지 않거나 한 점에서 만난다.</p> <p>지금까지는 평면에서 새로운 길이를 정의했고, 그것의 “직선"이 무엇인지 알았다. 이제 이 새로운 기하학에서 각의 측도를 알아 보자. 유클리드의 용어를 쓰면, 각은 그것의 변으로서 임의의 곡선을 허용한다. 그러한 각의 유클리드 측도는 각을 이루는 변들의 꼭지점에서의 두 접선에 의해 이루어지는 각의 일반적 측도로 정의된다. 이 더 일반적인 개념에서 합동이 아닌 각들이 같은 측도를 가질 수 있는 경우가 쉽게 생겨날 수 있다. 실제로, 한 변이 $ x $-축이고 다른 한 변이 $ y=x ^ { n } (n=2,3, \cdots,) $인 원점에서의 모든 각은 같은 각측도 0을 갖는다. 쌍곡길이와 측지선에 반해, 각의 쌍곡측도를 정의하는 것은 의외로 쉽다. 각의 쌍곡측도는 그것의 유클리드 측도와 같다. 여러분이 이 정의가 너무 쉽다고 느꼈다면, 그것은 맞다. 사실은 기하학적 측도는 임의로 정의될 수 없다. 그것은 유클리드의 공통 관념에서 명시된 성질을 가져야 한다. 더욱이, 측지선분의 길이와 (측지선분에 의해 이루어지는) 직선각의 측도에 대해서는 같은 측도를 갖는다면 합동이 됨을 예측할 수 있다. 즉, 동일한 길이를 갖는 측지선분들은 합동이고, 같은 측도를 갖는 직선각에 대해서도 마찬가지이어야 한다.</p> <h1>3.2 유클리드기하학 대 쌍곡기하학</h1> <p>기하학의 역사에서 살펴 본 유클리드의 처음 네 개의 공준은 쌍곡기하학에서도 역시 성립하지만 평행공준은 성립하지 않는다. 여기서 이것들을 다시 살펴 보자.</p> <li>평행이동<p>$ \mathbb { H } $에서 $ O $에서 $ \infty $를 잇는 직선을 따른 평행이동은 $ d_ {\varrho } (z)= \varrho z( \varrho>0) $ 이다. 이것은 $ O $ 에 중심을 둔 반원들 ( $ y $-축에 직교하는 $ \mathbb { H } $-직선들 $ ) $을 치환하고, $ y $-축(평행이동의 직선(축)이라 불리는 $ \mathbb { H } $-직선)과 직선들 $ y=c x(c $ :상수)를 보존한다. 후자의 직선들은 $ \mathbb { H } $-직선들은 아니지만 $ y $-축의 등거리 곡선이다. $ \mathbb { D } $ 에서는 이것들은 $ -i $ 와 $ i $ 를 지나는 곡선들이다. 평행이동은 $ \mathbb { D } $ 또는 $ \mathbb { H } $ 안에 고정점을 갖지 않지만 무한원에서는 불변 $ \mathbb { H } - $ 또는 $ \mathbb { D } $-직선의 끝점에서 두 개( $ \mathbb { D } $에 대해서는 $ \pm i, \mathbb { H } $ 에 대해서는 $ O $와 $ \infty) $를 갖는다. 유클리드 직선 $ y=c x $가 $ y $-축으로부터 왜 $ \mathbb { H } $-등거리가 되는지 보기 위해 그 둘 사이에 직교선분 $ P Q, P ^ {\prime } Q ^ {\prime } $을 고려하자. $ P Q $는 $ \mathbb { H } $-등 거리변환인 확대변환에 의해 $ P ^ {\prime } Q ^ {\prime } $으로 보내진다. 따라서 모든 그러한 선분은 같은 $ \mathbb { H } $-거리를 갖는다.</p></li> <li>미끄럼반사변환<p>미끄럼반사변환은 반사변환과 축이 반사변환의 직선(축)인 평행이동과의 곱이다. 따라서 반사변환의 직선(축)을 $ y $-축으로 잡으면 평행이동에 대한 위의 서술을 이용할 수 있다. 평행이동처럼 미끄럼반사변환은 하나의 불 변직선과 무한원 위에 두 개의 고정점(불변직선의 양 끝점)을 갖는다.</p></li></ol> <h1>3.7 등거리변환의 분류</h1> <p>유클리드기하학과 구면기하학에서처럼 미끄럼반사변환은 유일한 방향 역전 등 거리변환이다. 이것은 $ \ell $ 이 두 직선 $ m, n $ 의 공통수선일 때, 임의의 세 개의 반사변환의 곱을 $ \Omega_ { n } \Omega_ { m } \Omega_ {\ell } $로 변환함으로써 증명될 수 있다. 그러나, 점근선과 초평행선의 존재로 인해 더 많은 경우들이 고려되어야 한다. 불변직선 $ \ell $ 또는 보다 정확히는 그것들의 끝점들을 찾기 위해, 지름길로서, 3.5절에 있는 일반적인 방향역전 $ \mathbb { H } $-등거리변환을 사용하겠다.</p> <p>$ D $의 가법성은 $ \phi(u) $에 대해 함수 방정식 \[ \phi \left ( \frac { x_ { 1 } -x_ { 2 } } { 1-x_ { 1 } x_ { 2 } } \right )= \phi \left (x_ { 1 } \right )- \phi \left (x_ { 2 } \right ), \quad \left (x_ { 1 } \geq x_ { 2 } \right ) \] 를 유도하고, 따라서 $ \phi(u) $는 단조적이고 $ \phi(0)=0 $인 것은 분명하다. 이것은 또한 연속이다. 실제로 $ \lim _ { u \rightarrow + 0 } \phi(u)= \alpha $이면, $ \alpha \geq 0 $이다. 함수 방정식으로부터 \[ \lim _ { x_ { 1 } \rightarrow x_ { 2 } + 0 } \phi \left (x_ { 1 } \right )= \phi \left (x_ { 2 } \right ) + \alpha \] 가 성립하고, 단조함수는 오직 가산 개의 불연속점만 가질 수 있으므로, $ \alpha=0 $, 즉 $ \phi(u) $는 오른쪽으로부터 연속이다. 함수 방정식은 $ \phi(u) $가 왼쪽으로부터도 또한 연속이고 따라서 연속임을 유도한다.</p> <p>방정식의 하나의 해가 알려져 있다. $ \phi(x)= \tanh ^ { -1 } x \cdot \psi(x) $를 다른 해라 놓으면 \[ \psi ^ { -1 } \left [ \psi \left (x_ { 1 } \right )- \psi \left (x_ { 2 } \right ) \right ]= \phi ^ { -1 } \left [ \phi \left (x_ { 1 } \right )- \phi \left (x_ { 2 } \right ) \right ] \] 가 성립한다. 따라서 $ \phi \left (x_ { i } \right )=X_ { i } $와 $ \psi \left [ \phi ^ { -1 } (X) \right ]=F(X) $라 놓으면, $ F(X) $에 대해 잘 알려진 함수 방정식 \[ F \left (X_ { 1 } \right )-F \left (X_ { 2 } \right )=F \left (X_ { 1 } -X_ { 2 } \right ) \] 를 얻고, $ c $가 상수일 때, 이 방정식의 모든 연속 해는 $ F(X)=c X $에 의해 주어진다. 따라서 $ \psi(x)=c \phi(x) $이다.</p> <p>다시 $ \mathbb { D } $로 돌아 가면, $ \mathbb { D } $-직선은 $ \mathbb { D } $ 안의 단위원에 수직인 원호(circular arcs)임을 알고, 반전사상은 원과 각을 보존함을 이용하자. 물론 $ \mathbb { D } $-직선은 $ \mathbb { D } $의 지름(유클리드 선분)을 포함한다. 몇 가지 $ \mathbb { H } $-직선과 $ \mathbb { D } $에서의 그것들의 상이 그림 3.6에 비교되어 있다. $ \mathbb { D } $-반사변환은, 예견했듯이, $ \mathbb { D } $-직선에 관한 반전사상이다.</p> <p>요약하면, 쌍곡평면의 $ \mathbb { H } $-모형은 거리가 \[ d s_ { h } = \frac { \|d z\| } { s z } \] 인 위 $ z $-반평면이다. $ \mathbb { H } $-직선(측지선)은 (위반직선 $ \Re z= $ 상수 를 포함하는) 실축에 직교하는 반원이고, $ \mathbb { H } $-각은 유클리드 각과 같다.</p> <p>$ \mathbb { D } $-모형은 거리가 \[ d s_ { d } = \frac { \|2 d w\| } { 1-\|w\| ^ { 2 } } \] 인 열린 $ w $-단위원반 $ \mathbb { D } $이다. $ \mathbb { D } $-직선은 ( $ \mathbb { D } $의 지름을 포함한) $ \mathbb { D } $ 의 경계원에 직 교하는 원호이고, $ \mathbb { D } $-각은 유클리드 각과 같다. 마지막 성질은 $ J: \mathbb { H } \rightarrow \mathbb { D } $가 두 개의 반전사상의 곱이기 때문이며, 따라서 각이 보존된다. 동시에 이것이 바로 $ \mathbb { D } $-모형을 각을 보존하지 않는 다른 모형(사영원반모형: 3.9절)과 구별하여 “등각모형"이라 부르는 이유이기도 하다.</p> <h1>3.4 세 반사변환정리</h1> <p>우리가 $ \mathbb { H } $-등거리변환 (또는 $ \mathbb { D } $-등거리변환)을 모두 찾았는지는 아직 모른다. 그러나, 임의의 점이나 직선을 편리한 위치로 가져올 수 있을 정도로는 충분하게 찾았다. 계산을 쉽게 해 주는 위치의 선택에 의해 $ \mathbb { H } $-거리의 기본성질을 유도하겠다. 우리의 목표는 유클리드와 구면 등거리변환을 분류하는 데 기본이 되었던 보조정리 —즉, 두 점의 등거리 집합은 직선이고, 등거리 집합에 관한 반사변환은 이 두 점을 교환한다- 의 $ \mathbb { H } $ 형태를 증명하는 것이다.</p> <p>앞의 세 함수는 우리가 유클리드 기하학에서 각각 평행이동, 확대변환과 반사변환으로 다룬 것이다. 실제로 적당한 형태로 공액화되면 모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 유클리드 사상이 된다. 유클리드 확대변환과 평행이동은 $ \mathbb { H } $에서는 다른 기하학적 의미를 갖는다는 것을 인지해야만 하지만 위의 과정은 쌍곡기하학을 가시화하는데 매우 유용하다. 유클리드 확대변환 $ d_ {\varrho } ( \varrho \neq 0) $는 $ \mathbb { H } $-확대변환이 아니다. (실제로 $ \mathbb { H } $-확대변환은 아무것도 없다.) 유클리드 평행이동 $ \tau_ {\alpha } ( \alpha \neq 0) $는, 나중에 보겠지만, 어떤 “측지선”도 불변하지 않게 하지 못하므로, $ \mathbb { H } $-평행이동이 아니다. 실제로 $ d_ {\varrho } $는 ( $ y $-축을 불변 측지선으로 갖는) $ \mathbb { H } $-평행이동이고, $ \tau_ {\alpha } $는 쌍곡평면만의 고유한 등거리변환의 한 형태이다.</p> <p>"분명한” $ \mathbb { H } $-등거리변환 (i), (ii), (iii)은 모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환을 생성하기에는 충분치 않다. 특히 회전변환이 더 필요한 것으로 느낀다. $ \mathbb { H } $-회전변환은 $ \mathbb { H } $를 열린 원반 $ \mathbb { D } $ 위로 사상함으로써 가장 잘 만들 수 있다. 이 때 다소간의 회전변환은 원점에 관한 유클리드 회전변환으로서 구체화된다. 이를 위해 먼저 $ \mathbb { D } $ 위에서의 등거리변환을 분류하고 이를 $ \mathbb { H } $ 위로 옮겨 생각하면 된다.</p> <p>이제 $ \mathbb { H } $에서 $ \mathbb { D } $ 위로의 사상을 구체적으로 구해 보자. 먼저 $ z $-평면을 중심이 $ -i $이고 반지름이 $ \sqrt { 2 } $인 원 $ C_ { -i, \sqrt { 2 } } $에 대해 반전시키고, $ x $-축에 관해 반사시킨다. 중심 $ -i $로부터 $ O $ 와 $ i $ 까지의 거리의 곱이 $ 1 \times 2=( \text { 반지름 } ) ^ { 2 } $이기 때문에 반전은 $ O $와 $ i $를 교환한다. 따라서 연이어서 $ x $-축에 관한 반사변환을 행하면 궁극적으로 $ O $는 $ -i $에 사상하게 된다. 이 사상은 $ \mathbb { H } $의 점들을 $ \mathbb { D } $ 안에 ( $ \pm 1 $은 고정되고, $ O $를 아래 $ -i $로 보내고, $ \infty $를 위 $ i $ 로 보내는) "올바른 방법”으로 보낸다. 또한, 반전의 기하학적 성질에 의해, 원과 각을 보존한다. 특히, $ -1, i, 1 $을 지나는 $ \mathbb { H } $ 위에서의 유클리드 반원은 $ \mathbb { D } $ 위의 $ x $-축의 선분으로 사상된다. 중심이 $ d $이고 반지름이 $ \varrho $인 원 $ C_ { d, \varrho } $ 에 관한 반전사상은 식 (2.6)에 의해 주어진 함수 \[ \bar { g } (z)= \frac { d \bar { z } + \varrho ^ { 2 } -d \bar { d } } {\bar { z } - \bar { d } } \] 이므로, $ C_ { -i, \sqrt { 2 } } $에 대한 반전사상은 \[I_ { C } (z)= \frac { -i \bar { z } + 1 } {\bar { z } -i } \] 이고, 여기에 $ x $-축에 관한 반사변환을 적용하면 $ \mathbb { H } $에서 $ \mathbb { D } $ 위로의 사상으로서 \[J(z)= \frac { i z + 1 } { z + i } \] 을 얻는다.</p> <p>역으로 함수 \[ f(z)= \frac {\alpha z + \beta } {\gamma z + \delta } \quad( \alpha \delta- \beta \gamma=1) \] 를 살펴보자. 이것을 다시 쓰면 \[ f(z)= \frac {\alpha } {\gamma } - \frac { 1 } {\gamma( \gamma z + \delta) } \] 이 된다. $ \gamma>0 $이라 가정하면, 이 함수는 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ z \mapsto \gamma z, z \mapsto z + $ $ \varepsilon \left ( \varepsilon= \delta, \frac {\alpha } {\gamma } \right ) $와 $ z \mapsto- \frac { 1 } { z } \left (z \mapsto \frac { 1 } {\bar { z } } \right . $과 $ z \mapsto- \bar { z } $ 의 곱)의 곱이다. 따라서 함수 자신은 $ \mathbb { H } $-등거리변환이다. $ \gamma<0 $이면 \[ f(z)= \frac { - \alpha z- \beta } { - \gamma z- \delta } \] 로 쓰고 같은 논의를 반복한다. 마지막으로 $ \gamma=0 $이면 \[ f(z)= \frac {\alpha } {\delta } z + \frac {\beta } {\delta } \quad( \alpha \delta=1) \] 이 되고 동시에 $ \frac {\alpha } {\delta } >0 $이다. 따라서 이것은 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ \tau_ {\frac {\beta } {\delta } } d_ {\frac {\alpha } {\delta } } $이다.</p> <p>이 경우 각각의 $ \tau_ {\varepsilon } $ 또는 $ d_ {\varrho } $가 두 $ \mathbb { H } $-반사변환의 곱이므로 $ f $ 는 방향을 보존한다.</p> <p>두 번째로 \[ \bar { f } (z)= \frac { - \alpha \bar { z } + \beta } { - \gamma \bar { z } + \delta } \] 를 살펴보자. 이 함수는 \[ f(z)= \frac {\alpha z + \beta } {\gamma z + \delta } \] 에 $ \Omega_ { O Y } (z)=- \bar { z } $ 를 곱한 것이다. $ f(z) $ 는 방향보존 $ \mathbb { H } $-등거리변환이므로 $ \bar { f } (z)= $ $ f \left ( \Omega_ { O Y } (z) \right ) $ 는 방향역전 $ \mathbb { H } $-등거리변환이다.</p> <p>[정리 3.1] $ \Gamma $를 중심이 $ C(c, 0) $이고 반지름이 $ r $인 유클리드 원이라 하자. $ P $와 $ Q $를 양의 $ x $-축과 반지름 $ C P $와 $ C Q $가 (유클리드) 각 $ \alpha $와 $ \beta( \alpha< \beta) $를 각각 이루는 $ \Gamma $ 위의 점이라 하자. 그러면<p>호 $ P Q $ 의 쌍곡길이 $ = \ln \frac {\csc \beta- \cot \beta } {\csc \alpha- \cot \alpha } $</p>이다.</p> <p>위의 정리는 $ x $-축에 중심을 둔 원호의 쌍곡길이는 호의 양 끝점을 지나는 반지름이 양의 $ x $-축에 대한 기울기에만 의존함을 말한다. 따라서 다음의 정리가 성립한다.</p> <p>[따름정리 3.1] $ P Q $ 와 $ P ^ {\prime } Q ^ {\prime } $이 $ x $-축 위에서 같은 중심 $ C $를 갖는 유클리드 원들의 호이고 각각의 세 짝 $ C, P, P ^ {\prime } $과 $ C, Q, Q ^ {\prime } $이 공선점이라면, 두 개의 호 $ P Q $와 $ P ^ {\prime } Q ^ {\prime } $은 같은 쌍곡길이를 갖는다.</p> <p>수직 직선의 쌍곡길이도 식 (3,2)에 의해 쉽게 계산된다. 이의 계산은 여러분에게 맡긴다.</p> <p>[따름정리 3.2] 점 $ P \left (a, y_ { 1 } \right ) $과 $ Q \left (a, y_ { 2 } \right ) \left (0<y_ { 1 } \leq y_ { 2 } \right ) $를 잇는 유클리드 선분의 쌍곡길이는<p>\[ \ln \frac { y_ { 2 } } { y_ { 1 } } \]</p>이다.</p> <p>앞에서 계산했듯이, 선분 $ P P ^ {\prime } , R P $와 $ R P ^ {\prime } $의 쌍곡길이는 각각 1, 2.303과 3.442이다.<p>$ 3.442>1 + 2.303=3.303 $</p>이므로 쌍곡평면에서 두 점을 잇는 유클리드 직선은 두 점 사이에서의 가장 가까운 쌍곡거리가 되지 못함을 알게 된다. 물론 이것은 쌍곡평면에서 주어진 점들의 쌍을 잇는 모든 곡선 중 쌍곡길이가 가장 짧은 곡선을 구별하는 매우 자연적인 문제를 제시한다. 그러한 곡선을 측지선( $ \mathbb { H } - $직선 $ ) $이라 하는데 이것의 구별이 가능하다는 것은 놀랄만하고, 고맙게도 상당히 쉽다.</p> <p>[정리 3.16 (직교성 조건)] $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직선 $ \ell $과 $ m $이 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-직교하기 위한 필요충분조건은 $ p(m) $이 $ \ell $ 위에 $ p( \ell) $이 $ m $ 위에 놓여 있는 것이다.</p> <p>증명 $ C( \ell), C(m) $을 $ T $에 의해 각각 $ \ell, m $으로 보내지는 $ \mathbb { D } $-직선이라 하자 $ ( $. $ C( \ell), C(m) $이 단위원에 직교하는 원이기 때문에 그들의 중심은 각각 $ \ell, m $의 극 $ p( \ell), p(m) $이다.</p> <p>$ C( \ell) $과 $ C(m) $이 직교한다고 하자. 그러면 (그들 모두가 그들의 교점을 포함하고 $ C(m) $과의 직교성을 보존하므로) $ C(m) $에 대한 반전사상은 $ C( \ell) $과 단위 원을 자신 위로 사상한다. 따라서 그들의 교점 $ P $와 $ Q $ 를 교환한다. 그러나 반전사상의 정의에 의하면, 두 점이 반전사상에 의해 교환된다면 그것들을 지나는 유클리드 직선(이 경우에는 $ \ell $ )은 반전사상의 중심(이 경우에는 $ p(m)) $을 지난다. 따라서 $ p(m) $은 $ \ell $ 위에 놓여 있고, 반사변환에 의해 $ p( \ell) $은 $ m $ 위에 놓여 있다.</p> <p>역으로, $ p(m) $이 $ \ell $ 위에 있다면, $ C(m) $에 관한 반전사상은 $ \ell $과 단위원을 자신위로 사상하고, 따라서 $ P $와 $ Q $를 서로 교환하며, 결과적으로 $ C( \ell) $을 자신 위로 보낸다. (이것은 이 반전이 $ C( \ell) $을 $ P $와 $ Q $를 지나고 단위원에 수직인 원 위로 사상하고, $ C( \ell) $이 그러한 조건을 만족하는 유일한 것이기 때문이다.) 그러나 이것은 $ C( \ell) $이 $ C(m) $과 수직임을 말한다.</p> <p>직교성 조건은 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-등거리변환이 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 사영사상, 즉 유클리드 직선을 유클리 드 직선으로 보내는 사상으로 확장될 수 있다는 표현상 분명하지만 미묘한 사실을 증명하는 데 사용될 수 있다. 따라서 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-등거리변환은 원반 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $를 자신 위로 보내는 사영사상이다. 실제로 $ \mathbb { P } ^ { 2 } $-등거리변환은 그러한 모든 사상이다. 이 사실을 증명하는 것은 사영기하학의 기본정리를 필요로 하여 지금으로서는 좀 어 려우며 당장 필요치 않기 때문에 생략한다. 단지 이 사실의 한 가지 관심있는 결과만 언급하겠다. 쌍곡직선을 쌍곡직선으로 보내는 쌍곡평면의 유일한 사상은 등거리변환이다.</p> <p>두 점 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } \in \mathbb { D } $ 사이의 $ \mathbb { D } $-거리를 그것들의 역상 $ J ^ { -1 } \left (w_ { 1 } \right ), J ^ { -1 } \left (w_ { 2 } \right ) \in \mathbb { H } $ 사이의 $ \mathbb { H } $-거리로 정의한다. 따라서 $ \mathbb { D } $-등거리변환은 $ \mathbb { H } $-등거리변환 $ h $의 공액 $ J h J ^ { -1 } $이다. $ O $에 관한 유클리드 회전변환은 실제로 $ \mathbb { D } $-등거리변환임을 밝히기 위해 $ \mathbb { H } $-거리 \[d s_ { h } = \frac { \|d z\| } {\Im z } \] 를 $ w $ 에 관해 전개한다.<p>\[w=J(z)= \frac { i z + 1 } { z + i } \] 이므로 \[z= \frac { -i w + 1 } { w-i } \] 이고, 따라서 \[ \begin {aligned} \frac { \|d z\| } {\Im z } &= \left \|d \frac { -i w + 1 } { w-i } \right \| / \Im \left ( \frac { -i w + 1 } { w-i } \right ) \\&= \frac { \|2 d w\| } { 1-\|w\| ^ { 2 } } . \end {aligned} \]</p> <p>$ O $ 에 관한 유클리드 회전변환이 $ \|w\| $를 보존하므로 이 회전변환에서 위의 식은 불변이다. 따라서 $ \mathbb { D } $-등거리변환 \[ \mathrm { (iv) } \quad r_ {\vartheta } (w)=e ^ { i \vartheta } w \quad( \vartheta \in \mathbb { R } ) \] 를 얻게 된다. 그러므로 $ \mathbb { D } $-거리 \[d s_ { d } = \frac { \|2 d w\| } { 1-\|w\| ^ { 2 } } \] 은 $ O $를 지나는 직선에 관한 유클리드 반사변환에 대해 불변이다. (증명은 여러분에게 남긴다.) 특히 \[ \mathrm { (v) } \quad \Omega_ { O X } (w)= \bar { w } \] 이다. 더욱 일반적으로 $ \mathbb { D } $-거리 \[ d s_ { d } = \frac { \|2 d w\| } { 1-\|w\| ^ { 2 } } \] 은 뫼비우스 변환 (1.2) (또는 (1.5))에 대해 불변이다. (증명은 여러분이 해 보기 바란다.) (iv)와 (v)를 각각 ( $ O $에 관한) $ \mathbb { D } $-회전변환과 (실축 $ O X $ 에 관한) $ \mathbb { D } $-반사변환이라 부르고, $ J ^ { -1 } $에 의한 그것들의 공액들은 ( $ i $에 관한) $ \mathbb { H } $-회전변환과 (단위원에 관한) $ \mathbb { H } $-반사변환이라 부른다. 변환 $ r_ {\vartheta } $와 $ \Omega_ { O X } $는 $ \operatorname { rot } \vartheta $와 $ \operatorname { ref } \vartheta $에 의해 표현될 수 있다.</p> <h1>3.5 복소함수로서의 등거리변환</h1> <p>모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 직선 $ x= \alpha $ 나 원 $ C_ {\alpha, \rho } $ 에 관한 반전사상의 곱임을 정립하였으므로, $ \mathbb { H } $-등거리변환을 복소함수로 표현하기 위해 반전사상에 대한 형태를 사용할 수 있다. $ \mathbb { E } ^ { 2 } $와 $ \mathbb { S } ^ { 2 } $에서와 같이 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 방향보존 (짝수 개의 반사변환의 곱)과 방향역전 (홀수 개의 반사변환의 곱) 등거리변환의 두 집합의 합으로 이루어져 있다. 방향보존 등거리변환은 모든 $ \mathbb { H } $-등거리변환의 군 $ \Im( \mathbb { H } ) $의 부분군 $ \mathfrak { I } ^ { + } ( \mathbb { H } ) $를 형성한다. 방향역전 원소는, $ \Omega_ { O Y } $가 $ y $-축에 관한 반사변환일 때 잉여류 $ \mathfrak { I } ^ { + } ( \mathbb { H } ) $ 。 $ \Omega_ { O Y } $를 만든다. $ \mathfrak { I } ^ { + } ( \mathbb { H } ) $의 원소의 형태를 앎과 동 시에 $ \Omega_ { O Y } \notin \mathfrak { I } ^ { + } ( \mathbb { H } ) $ 임을 보게 될 것인데, 이는 $ \Omega_ { O Y } $가 고정점들의 직선을 가 졌고, $ \mathfrak { I } ^ { + } ( \mathbb { H } ) $ 의 각각의 자명하지 않은 원소는 기껏해야 2개의 고정점을 가짐이 알려져 있기 때문이다.</p> <p>[정리 3.8 (푸앵카레(1882)] 실수 $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $가 $ \alpha \delta- \beta \gamma=1 $을 만족할 때, 방향보존 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 \[ f(z)= \frac {\alpha z + \beta } {\gamma z + \delta } \] 의 형태를 갖고, 방향역전 $ \mathbb { H } - $ 등거리변환은 \[ \bar { f } (z)= \frac { - \alpha \bar { z } + \beta } { - \gamma \bar { z } + \delta } \] 의 형태를 갖는다.</p> <p>국소거리함수<p>$ d s_ { h } = \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } $</p>이 주어진 $ \mathbb { H } $를 $ \mathbb { H } $-모형이라 정의한다. $ \mathbb { H } $와 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $는, 등거리 동치는 아닐 수 있지만, 분명히 위상동형이다. $ \mathbb { H } $에서의 극소거리<p>$ d s_ { h } = \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } $</p>은 단지 유클리드 거리 $ \sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } $을 $ y $로 나눈 것이므로 둘 사이의 비는 방향에 관계없이 상수이다. 이것은 극소삼각형의 변길이의 비에 의해 결정되는 각은 어느 거리함수에 의해 계산되더라도 같다는 것을 말한다. 이제 $ \mathbb { H } $의 또다른 성질을 찾기 위해서는 등거리변환의 성질로부터 기하학을 유도하는 클라인(Klein)의 프로그램을 이용해야 한다.</p> <p>[정의 3.1] 사상 $ T: \mathbb { H } \rightarrow \mathbb { H } $가 모든 $ x, y \in \mathbb { H } $에 대해<p>\[d_ { h } (T x, T y)=d_ { h } (x, y) \]</p>를 만족하면 등거리변환이라 부른다.</p> <p>$ \mathbb { E } ^ { 2 } , \mathbb { S } ^ { 2 } $에서와 마찬가지로 $ \mathbb { H } $-등거리변환은 공선성을 보존한다. 특히 다음을 얻는다.</p> <p>[정리 3.5] $ T $를 $ \mathbb { H } $-등거리변환이라 하자. 그러면 $ \mathbb { H } $의 서로 다른 세 점 $ P, Q $와 $ R $ 이 공선점이기 위한 필요충분조건은 $ T P, T Q $와 $ T R $이 공선점인 것이다.</p> <p>증명 연습문제로 남긴다.</p> <p>$ \mathbb { H } $-등거리변환은 $ z=x + i y $의 함수인 복소함수로 간단하게 표현된다. $ z $에 관해서는 극소거리<p>\[d s_ { h } = \frac {\sqrt { d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } } } { y } \]</p>은<p>\[d s_ { h } = \frac { \|d z\| } {\Im z } \]</p>이고, $ d s $를 불변하게 하는 $ \mathbb { H } \rightarrow \mathbb { H } $로의 함수 중 몇 가지는 다음과 같다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \tau_ {\alpha } (z)= \alpha + z \quad( \alpha \in \mathbb { R } ) $</li> <li>$ d_ {\varrho } (z)= \varrho z \quad \left ( \varrho \in \mathbb { R } ^ { + } \right ) $와</li> <li>$ \Omega_ { O Y } (z)=- \bar { z } $ ( $ y $-축에 관한 반사변환).</li></ol> <p>이 세 가지 형태의 변환을 하나로 통합한 일반적인 형태의 뫼비우스 변환은<p>\[w= \frac { a z + b } { c z + d } \quad(a, b, c, d \in \mathbb { R } , \quad a d-b c>0) \]</p>이고, 이 변환에서 $ \mathbb { H } $-거리<p>\[d s_ { h } = \frac { \|d z\| } {\Im z } \]</p>는 불변이다. (증명은 여러분에게 맡긴다.)</p> <p>쌍곡 거리 $ D $의 가법성은 쌍곡 직선위의 임의의 세 점 $ \mathbf { Q } _ { 1 } , \mathbf { Q } _ { 2 } , \mathbf { Q } _ { 3 } $이 이 순서로 있을 때, \[ \phi \left (- \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \right ] \right ) + \phi \left (- \left [ \mathbf { Q } _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 3 } \right ] \right )= \phi \left (- \left [ \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 3 } \right ] \right ) \]<caption>(3.13)</caption>을 유도한다. 불변성에 의해 이 직선을 $ -1<X<1 $로, 따라서 \[ \begin {array} { lll } \mathrm { Q } _ { 2 } : X_ { 2 } =0, & Y_ { 2 } =0, & Z_ { 2 } =1 \\ \mathrm { Q } _ { 1 } : X_ { 1 }<0, & Y_ { 1 } =0, & Z_ { 1 } = \sqrt { 1 + X_ { 1 } ^ { 2 } } \\ \mathrm { Q } _ { 3 } : X_ { 3 } >0, & Y_ { 3 } =0, & Z_ { 3 } = \sqrt { 1 + X_ { 3 } ^ { 2 } } \end {array} \] 으로 가정할 수 있다. 그러므로 (3.13)에 의해 \[ \phi \left [ \sqrt { 1 + X_ { 1 } ^ { 2 } } \right ] + \phi \left [ \sqrt { 1 + X_ { 3 } ^ { 2 } } \right ]= \phi \left [-X_ { 1 } X_ { 3 } + \sqrt { 1 + X_ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 + X_ { 3 } ^ { 2 } } \right ], \] 또는 \[ \begin {array} { l } 1 + X_ { 1 } ^ { 2 } =u, \quad X_ { 1 } =- \sqrt { u ^ { 2 } -1 } \\ 1 + X_ { 3 } ^ { 2 } =v, \quad X_ { 3 } = \sqrt { v ^ { 2 } -1 } \end {array} \] 이면, \[ \phi(u) + \phi(v)= \phi \left [u v + \sqrt { u ^ { 2 } -1 } \sqrt { v ^ { 2 } -1 } \right ] \] 이다. 이것은 편각 $ u>1 $에 대해, $ c $가 양의 상수일 때, 연속 단조해로서 함수 $ \phi(u)=c \cosh ^ { -1 } u $만 갖는다.</p>	자연
s521-기하학개론	<h2>2. 회전체의 부피</h2> <p>함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ f(x) \geq 0 $ 이라 하자. 함수 $ f $ 와 $ x $ 축, $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역 $ R $ 을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는 다음과 같이 구한다.</p> <p>$ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right\} $ 을 구간 $ [a, b] $ 의 분할, $ w_{i} $ 를 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 임의의 점이라 하자. 영역 $ R $ 을 그림 5-20(a)와 같이 폭이 작은 직사각형으로 나누고 각각의 직사각형을 $ x $ 축 주위로 회전하면 반지름이 $ f\left(w_{i}\right) $ 이고 높이가 $ \Delta x_{i} $ 인 원기둥이 만들어진다(그림 (5-20(b)).</p> <p>따라서 분할 $ P_{n} $ 을 이용하여 얻을 수 있는 입체의 부피는<p>\[ \sum_{i=1}^{n} \pi\left[f\left(w_{i}\right)\right]^{2} \Delta_{x_{i}} \]</p>이다. 만일 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \pi\left[f\left(w_{i}\right)\right]^{2} \Delta x_{i} $ 가 존재하면 입체의 부피는<p>\[ V=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \pi\left[f\left(w_{i}\right)\right]^{2} \Delta x_{i}=\int_{a}^{b} \pi[f(x)]^{2} d x \]</p>이다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) \geq 0 $ 일 때 구간 $ [a, b] $ 에서 $ y=f(x) $ 와 $ x $ 축 사이의 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는 다음과 같다.<p>\[ V=\pi \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} d x=\pi \int_{a}^{b} y^{2} d x \]</p></p> <p>예제 $5.6.3$ 구간 $ [0,1] $ 에서 $ y=1-x^{2} $ 과 $ x $ 축 사이의 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 구간 $ [0,1] $ 에서 $ f(x)=1-x^{2} \geq 0 $ 이므로 $ f(x) $ 와 $ x $ 축 사이의 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는<p>\[ \begin{aligned} V &=\pi \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{2} d x \\ &=\pi \int_{0}^{1}\left(1-2 x^{2}+x^{4}\right) d x \\ &=\left.\pi\left(x-\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}\right)\right\|_{0} ^{1} \\ &=\frac{8}{15} \pi \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>정리 $5.6.1$을 이용하여 구간 $ [c, d] $ 에서 $ g(y) \geq 0 $ 일 때 구간 $ [c, d] $ 에서 $ x=g(y) $와 $ y $ 축 사이의 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있다.</p> <h1>5.3 미적분학의 기본정리</h1> <p>이 절에서는 정적분을 계산할 때 가장 중요하게 사용되는 미적분학의 기본정리를 알아보고 이 정리를 활용하여 정적분을 계산하는 다양한 방법을 학습한다.</p> <p>정리 $5.3.1$ 미적분학의 기본정리 (1) 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속일 때 $ x \in[a, b] $ 에 대하여<p>\[ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \]<p>라 하자. 그러면 $ F $ 는 $ [a, b] $ 에서 미분가능하고 임의의 $ x \in(a, b) $ 에 대하여 $ F^{\prime}(x)=f(x) $ 이다.</p> <p>증명 $ h>0 $ 이라 하자. $ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t $ 이므로<p>\[ \begin{aligned} F(x+h)-F(x) &=\int_{a}^{x+h} f(t) d t-\int_{a}^{x} f(t) d t \\ &=\int_{a}^{x+h} f(t) d t+\int_{x}^{a} f(t) d t \\ &=\int_{a}^{x+h} f(t) d t \end{aligned} \]<caption>(1)</caption></p>이다. 적분의 평균값의 정리에 의하여<p>\[ \int_{x}^{x+h} f(t) d t=f\left(c_{h}\right) h \]<caption>(2)</caption></p>인 $ c_{h} \in(x, x+h) $ 가 존재한다. 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리하면<p>\[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{\int_{x}^{x+h} f(t) d t}{h}=f\left(c_{h}\right) \]<p>이다. $ \lim _{h \rightarrow 0} c_{h}=x $ 이고 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이므로<p>\[ \begin{aligned} F^{\prime}(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+h} f(t) d t}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} f\left(c_{h}\right) \\ &=f(x) \end{aligned} \]<p>가 성립한다.</p> <p>정리 $5.3.1$의 미적분학의 기본정리 (1)을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.3.1$ $ \frac{d}{d x} \int_{2}^{x}\left(t^{3}-2 \cos t\right) d t $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ f(t)=t^{3}-2 \cos t $ 라 하면 미적분학의 기본정리 (1)에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int_{2}^{x}\left(t^{3}-2 \cos t\right) d t &=\frac{d}{d x} \int_{2}^{x} f(t) d t \\ &=f(x) \\ &=x^{3}-2 \cos x \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.3.2$ $ \frac{d}{d x} \int_{x}^{3}\left(e^{t}-\tan t^{3}\right) d t $ 을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f(t)=e^{t}-\tan t^{3} $ 이라 하면 미적분학의 기본정리 (1)에 의하여</p> <p>\[ \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int_{x}^{3}\left(e^{t}-\tan t^{3}\right) d t &=\frac{d}{d x} \int_{x}^{3} f(t) d t \\ &=-\frac{d}{d x} \int_{3}^{x} f(t) d t \\ &=-f(x) \\ &=-e^{x}+\tan x^{3} \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>연쇄법칙과 미적분학의 기본정리 (1)을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.3.3$ $ \frac{d}{d x} \int_{0}^{\sin x} \frac{1}{t^{2}+2} d t $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ u=\sin x $ 라 하고 $ F(u)=\int_{0}^{u} \frac{1}{t^{2}+2} d t $ 라 하자.</p> <p>미적분학의 기본정리 (1)에 의하여<p>\[ \frac{d}{d u} F(u)=\frac{1}{u^{2}+2} \]</p>이다. 그리고 연쇄법칙에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \frac{d}{d x} F(u) &=F^{\prime}(u(x)) \cdot u^{\prime}(x) \\ &=\frac{1}{u^{2}+2} \cdot(\cos x) \\ &=\frac{\cos x}{\sin ^{2} x+2} \end{aligned} \]</p>이다. 따라서<p>\[ \frac{d}{d x} \int_{0}^{\sin x} \frac{1}{t^{2}+2} d t=\frac{\cos x}{\sin ^{2} x+2} \]</p>이다.</p> <h1>5.2 정적분의 성질</h1> <p>$ \int_{b}^{a} f(x) d x $ 를 리만합을 이용하여 정의하게 되면 $ \Delta x=\frac{a-b}{n} $ 가 된다. 또한 $ a=b $인 경우, $ \Delta x=\frac{a-a}{n}=0 $ 이므로 이 사실로부터 다음 정의를 쉽게 얻을 수 있다.</p> <p>정의 $ 5.2 .1 $<p>(1) $ \int_{a}^{a} f(x) d x=0 $ (2) $ \int_{b}^{a} f(x) d x=-\int_{a}^{b} f(x) d x $</p> <p>다음 정리는 정적분에 관련된 기본적인 정리로 정적분을 쉽게 계산하고자 할 때 사용하는 중요한 정리이다.</p> <p>정리 $5.2.1$ 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 $ k $ 가 실수일 때 다음 관계식이 성립한다.<p>(1) $ \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x $ (2) $ \int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x $ (3) $ \int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x $</p> <p>증명 $ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} $ 이 $ [a, b] $ 의 분할이고 $ w_{i} $ 를 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 의 임의의 점, $ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} $ 이라 하면 다음이 성립한다.<p>(1)\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(w_{i}\right)+g\left(w_{i}\right)\right] \Delta_{i} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i}+\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} g\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \\ &=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x \end{aligned} \]</p> <p>(2)\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(w_{i}\right)-g\left(w_{i}\right)\right] \Delta_{i} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i}-\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} g\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \\ &=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x \end{aligned} \]</p> <p>(3)\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} k f(x) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} k f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \\ &=k \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \\ &=k \int_{a}^{b} f(x) d x \end{aligned} \]</p></p> <p>정적분의 기본적인 정리를 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.2.1$ $ \int_{0}^{1} f(x) d x=2 $ 이고 $ \int_{0}^{1} g(x) d x=-3 $ 일 때 다음을 구하여라.</p> <p>(1) $ \int_{0}^{1}(f(x)+g(x)) d x \quad $ (2) $ \int_{0}^{1}(f(x)-g(x)) d x $ (3) $ \int_{0}^{1} 4 f(x) d x \quad\quad\quad\quad$ (4) $ \quad\int_{1}^{0} 3 g(x) d x $</p> <p>(1) \[ \int_{0}^{1}(f(x)+g(x)) d x=2-3=-1 \] (2) \[ \int_{0}^{1}(f(x)-g(x)) d x=2-(-3)=5 \] (3) \[ \int_{0}^{1} 4 f(x) d x=4 \int_{0}^{1} f(x) d x=4 \times 2=8 \] (4) \[ \int_{1}^{0} 3 g(x) d x=-3 \int_{0}^{1} g(x) d x=(-3) \times(-3)=9 \]</p> <p>미적분학의 기본정리 (1)을 이용하여 정적분을 계산할 때 가장 많이 사용되는 미적분학의 기본정리 (2)를 증명할 수 있다.</p> <p>정리 미적분학의 기본정리 (2) $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ F $ 가 $ f $ 의 원시함수일 때<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a) \]</p>이다.</p> <p>증명<p>\[ G(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \]</p>라 하면 미적분학의 기본정리 (1)에 의하여 임의의 $ x \in[a, b] $ 에 대하여<p>\[ G^{\prime}(x)=f(x) \]</p>이므로 $ G $ 는 $ f $ 의 원시함수이다. 그러므로 적절한 상수 $ C $ 에 대하여<p>\[ F(x)=G(x)+C \]</p>이다. 그런데<p>\[ G(a)=\int_{a}^{a} f(x) d x=0 \]</p>이므로<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=G(b)=G(b)-G(a)=F(b)-F(a) \]</p>가 성립한다.</p> <p>미적분학의 기본정리 (2)의 내용을 식으로 다시 정리하면 다음과 같다.<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right\|_{a} ^{b}=F(b)-F(a) \]</p></p> <p>예제 $5.3.4$ $ \int_{0}^{1}\left(3 x+e^{x}\right) d x $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ F(x)=\frac{3}{2} x^{2}+e^{x} $ 는 $ f(x)=3 x+e^{x} $ 의 원시함수이므로 미적분학의 기본정리 (2)에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\left(3 x+e^{x}\right) d x &=F(1)-F(0) \\ &=\left(\frac{3}{2}+e\right)-1 \\ &=\frac{1}{2}+e \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>미적분학의 기본정리 (2)를 이용하여 정적분을 계산하고자 할 때 원시함수가 쉽게 구해지지 않을 경우 치환적분법이나 부분적분법을 이용한다.</p> <p>치환적분법에 의하여 정적분을 계산할 때에는 적분구간을 치환된 변수에 맞게 변경하여 계산을 수행한다.</p> <p>정리 정적분의 치환적분법 폐구간 $ [a, b] $ 에서 함수 $ g $ 의 도함수가 연속이고 함수 $ f $ 가 함수 $ g $ 의 치역에서 연속이면<p>\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u \]</p>가 성립한다.</p> <p>증명 $ f $ 의 원시함수를 $ F $ 라 하면 미적분학의 기본정리 (2)에 의하여<p>\[ \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u=F(g(b))-F(g(a)) \]</p>이다. 한편 부정적분의 치환적분법에 의하여<p>\[ \int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=F(g(x))+C \text { (단, } C \text { 는 상수) } \]</p>이므로 미적분학의 기본정리 (2)에 의하여<p>\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=F(g(b))-F(g(a)) \]</p>이다. 그러므로<p>\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u \]</p>가 성립한다.</p> <p>정적분의 치환적분법을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.3.5$ $ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x+1} d x $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ u=x^{3}+3 x+1 $ 이라 하면 $ d u=\left(3 x^{2}+3\right) d x $ 이다. $ x=0 $ 일 때 $ u=1 $이고 $ x=1 $ 일 때 $ u=5 $ 이다. 정적분의 치환적분법에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x+1} d x &=\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u \\ &=\left.\frac{1}{3} \ln u\right\|_{1} ^{5} \\ &=\frac{1}{3} \ln 5 \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.3.6$ $ \int_{1}^{2} x \sqrt{x+1} d x $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ u=x+1 $ 이라 하면 $ d u=d x $ 이다. $ x=1 $ 일 때 $ u=2 $ 이고 $ x=2 $ 일 때 $ u=3 $ 이다. 정적분의 치환적분법에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{1}^{2} x \sqrt{x+1} d x &=\int_{2}^{3}(u-1) \sqrt{u} d u \\ &=\int_{2}^{3}(u \sqrt{u}-\sqrt{u}) d u \\ &=\left.\left(\frac{2}{5} u^{2} \sqrt{u}-\frac{2}{3} u \sqrt{u}\right)\right\|_{2} ^{3} \\ &=\frac{8}{5} \sqrt{3}-\frac{4}{15} \sqrt{2} \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>풀이 수직으로 자른 단면의 넓이를 $ A(x) $ 라 하면 넓이는 변의 길이의 제곱에 비례하므로<p>\[ 10: A(x)=h ^ { 2 } : x ^ { 2 } \]</p>이다. 따라서 $ A(x)= \frac { 10 } { h ^ { 2 } } x ^ { 2 } $ 이다. 그러므로 입체의 부피는<p>\[ \begin {aligned} V &= \int_ { 0 } ^ { h } \frac { 10 } { h ^ { 2 } } x ^ { 2 } d x \\ &= \left . \frac { 10 } { h ^ { 2 } } \left [ \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right ] \right \|_ { 0 } ^ { h } \\ &= \frac { 10 h } { 3 } \end {aligned} \]</p>이다.</p> <p>예제 5.6.2 밑면이 $ \frac { x ^ { 2 } } { 3 ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 } } =1 $ 인 타원이고 밑면에 수직이 되도록 자른 단면이 정 삼각형인 입체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 그림 5-19에서 $ x \in[-3,3] $ 일 때 입체의 밑면에 수직으로 자른 단면이 정삼각형이고 이 정삼각형의 밑변을 $ \overline { P Q } $ 라 하면 $ \overline { P Q } $ 의 길이는<p>\[ \overline { P Q } =2 y= \frac { 4 \sqrt { 9-x ^ { 2 } } } { 3 } \]</p>이다. 따라서 수직단면의 넓이는<p>\[ A(x)= \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 9 } \left (9-x ^ { 2 } \right ) \]</p>이다. <p>따라서 입체의 부피는\[ \begin {aligned} V &= \int_ { -3 } ^ { 3 } A(x) d x \\ &= \frac { 4 \sqrt { 3 } } { 9 } \int_ { -3 } ^ { 3 } \left (9-x ^ { 2 } \right ) d x \\ &= \left . \frac { 8 \sqrt { 3 } } { 9 } \left (9 x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right ) \right \|_ { 0 } ^ { 3 } \\ &=16 \sqrt { 3 } \end {aligned} \]이다.</p> <h1>5.1 정적분의 정의</h1> <p>함수 $ y=f(x) $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속인 함수라 하고 $ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} $ 을 $ [a, b] $의 분할이라고 하자.</p> <p>함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 각 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 에서 $ f $ 는 최솟값 $ m_{i} $ 와 최댓값 $ M_{i} $ 를 갖는다. 따라서 내접하는 직사각형들 넓이의 합은</p> <p>\[ \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i} \]</p>이고, 외접하는 직사각형들 넓이의 합은<p>\[ \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i} \]</p>이다. 만일 $ w_{i} $ 를 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 임의의 점이라 하면<p>\[ \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i} \]</p>가 성립한다. 구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 임의의 점 $ w_{i} $ 를 선택하여 만든 합<p>\[ A_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \]</p>을 분할 $ P_{n} $ 에 대한 함수 $ f $ 의 리만합(Riemann sum)이라 정의한다(그림 5-1).</p> <p>이 합은 구간 $ [a, b] $ 의 분할방법 및 점 $ w_{i} $ 의 선택방법에 따라 달라짐을 알 수 있다. 그러나 만일 위의 부등식에서 좌변의 극한과 우변의 극한이 같은 값 $ L $ 을 갖는다면<p>\[ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i}=L \]</p>이 된다.</p> <p>이제 리만합을 이용하여 정적분을 정의하도록 한다.</p> <p>정의 $5.1.1$ $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 유계인 함수이고 $ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} $ 이 구간 $ [a, b] $ 의 분할이며 $ w_{i} $ 가 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 한 점이라 하자.</p> <p>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} $ 를 $ [a, b] $ 에서 함수 $ f $ 의 정적분이라 하고<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta_{x_{i}} \]</p>로 표시한다. 만일 우변의 극한이 존재하면 $ f $ 는 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하다(integrable)고 한다.</p> <p>예제 $5.1.1$ $ \int_{0}^{2}(x+2) d x $ 를 구하여라.</p>풀이 $ [0,2] $ 를 균등하게 $ n $ 등분하자. 그러면<p>\[ 0=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=2, \Delta_{x}=\frac{2}{n}, x_{i}=i \Delta_{x}=\frac{2}{n} i \]</p>이다. 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 에서 $ w_{i} $ 를 구간의 오른쪽 끝점인 $ x_{i} $ 로 선택하여 직사각형 넓이의 합을 구하면 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin{aligned} f\left(x_{1}\right) \Delta x+f\left(x_{2}\right) \Delta x+\cdots+f\left(x_{n}\right) \Delta x \\ &=\left(\frac{2}{n}+2\right) \cdot \frac{2}{n}+\left(\frac{4}{n}+2\right) \cdot \frac{2}{n}+\cdots+\left(\frac{2 n}{n}+2\right) \cdot \frac{2}{n} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2}{n} i+2\right) \frac{2}{n} \\ &=\frac{4}{n^{2}} \cdot \frac{n(n+1)}{2}+4 \end{aligned} \]</p>따라서<p>\[ \int_{0}^{2}(x+2) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{4 n(n+1)}{2 n^{2}}+4\right)=6 \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.1.2$ $ \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x $ 를 구하여라.</p> <p>$ [-1,1] $ 을 균등하게 $ n $ 등분하자. 그러면<p>\[ -1=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=1, \Delta x_{i}=\Delta x=\frac{2}{n}, x_{i}=-1+\frac{2}{n} i \]</p>이다. 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 에서 $ w_{i} $ 를 구간의 오른쪽 끝점인 $ x_{i} $ 로 선택하여 직사각형 넓이의 합을 구하면 다음과 같다.<p>\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x_{i} &=\sum_{i=1}^{n}\left[1-\left(-1+\frac{2}{n} i\right)^{2}\right] \frac{2}{n} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{8}{n^{2}} i-\frac{8}{n^{3}} i^{2}\right] \\ &=\frac{8}{n^{2}} \cdot \frac{n(n+1)}{2}-\frac{8}{n^{3}} \cdot \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ &=\frac{4(n+1)}{n}-\frac{4(n+1)(2 n+1)}{3 n^{2}} \end{aligned} \]</p>따라서<p>\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x_{i} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{4(n+1)}{n}-\frac{4(n+1)(2 n+1)}{3 n^{2}}\right] \\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>구간 $ [a, b] $ 에서 연속인 함수 $ f $ 에 대한 정적분과 무한급수와의 관계를 정리하면 다음과 같다.<p>(1) \[ \int_{0}^{1} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n} \] (2) \[ \int_{0}^{1} f(a+x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n} \] (3) \[ \int_{a}^{a+p} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(a+\frac{p}{n} i\right) \frac{p}{n} \]</p> <p>예제 $5.1.3$ $ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right) $ 을 정적분으로 나타내어라.</p> <p>풀이 \[ \begin{aligned} \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n} &=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n} \end{aligned} \]</p>이므로<p>\[ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right) &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n} \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} d x \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>앞의 결과를 이용하여 다음 정리를 유도한다.</p> <p>정리 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면<p>\[ \left\|\int_{a}^{b} f(x) d x\right\| \leq \int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \]</p>가 성립한다.</p> <p>증명 구간 $ [a, b] $ 내의 모든 점 $ x $ 에 대하여<p>\[ -\|f(x)\| \leq f(x) \leq\|f(x)\| \]</p>가 성립한다. 따라서<p>\[ -\int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \]</p>가 성립한다. 이 부등식을 정리하면<p>\[ \left\|\int_{a}^{b} f(x) d x\right\| \leq \int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \]</p>이다.</p> <p>다음 정리는 적분의 평균값 정리로 이 정리는 다음 절에서 학습할 미적분학의 기본정리를 증명하는 데 중요하게 사용된다.</p> <p>정리 적분의 평균값 정리 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이면<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a) \]</p>를 만족하는 $ c \in(a, b) $ 가 존재한다. 이때 $ f(c) $ 를 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 의 평균값이라 한다.</p> <p>증명 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 $ f $ 는 최댓값 $ M $, 최솟값 $ m $ 을 는다. 즉<p>\[ m \leq f(x) \leq M \]<p>이므로<p>\[ \int_{a}^{b} m d x \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} M d x \]<p>이 성립한다. 그러므로<p>\[ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) \]</p>이고<p>\[ m \leq \frac{\int_{a}^{b} f(x) d x}{b-a} \leq M \]</p>이다. 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 중간값 정리에 의하여<p>\[ \frac{\int_{a}^{b} f(x) d x}{b-a}=f(c) \]</p>즉,<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=f(c)(b-a) \]</p>를 만족하는 $ c \in(a, b) $ 가 존재한다.</p> <p>적분의 평균값 정리는 구간 $ [a, b] $ 에서 함수 $ y=f(x) $ 가 양의 값을 갖는 함수일 경우에 $ x $ 축과 $ y=f(x) $ 사이의 영역의 넓이는 적당한 점 $ c \in[a, b] $ 에서 $ f(c) $ 를 세로의 길이로, $ b-a $ 를 가로의 길이로 갖는 직사각형의 넓이와 같음을 설명하고 있다(그림 5-5).</p> <p>예제 $5.2.4$ (1) 구간 $ [0,2] $ 에서 $ f(x)=x $ 의 평균값을 구하라. (2) 구간 $ [0,2] $ 에서 $ g(x)=x^{2} $ 의 평균값을 구하라.<p>풀이 (1) 구간 $ [0,2] $ 에서 $ f(x) $ 의 평균값은</p> <p> <p>\[ f(c)=\frac{\int_{0}^{2} x d x}{2-0}=\frac{2}{2}=1 \]</p>이다. (2) 구간 $ [0,2] $ 에서 $ g(x) $ 의 평균값은<p>\[ g(c)=\frac{\int_{0}^{2} x^{2} d x}{2-0}=\frac{4}{3} \]</p>이다.</p> <p>정의 5.4.2 구간 $ (- \infty, \infty) $ 에서 $ f(x) $ 가 연속일 때 실수 $ a $ 에 대하여<p>\[ \begin {aligned} \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x & = \int_ { - \infty } ^ { a } f(x) d x + \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x \\ &= \lim _ { t \rightarrow- \infty } \int_ { t } ^ { a } f(x) d x + \lim _ { s \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { s } f(x) d x \end {aligned} \]</p>로 정의한다.</p> <p>정의 5.4.2에서 우변에 있는 두 개의 극한이 모두 수렴할 때 이상적분 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $는 수렴한다고 하고 우변에 있는 두 개의 극한 중 어느 하나라도 수렴하지 않으면 상적분 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $ 는 발산한다고 한다.</p> <p>예제 5.4.4 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ y= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } $ 의 그래프는 그림 5-8 과 같다.</p> <p>정의 5.4.2에서 $ a=0 $ 이라 하면<p>\[ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \int_ { - \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x + \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x \]</p>이다. 이때<p>\[ \begin {aligned} \int_ { - \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x &= \lim _ { t \rightarrow- \infty } \int_ { t } ^ { 0 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \left . \lim _ { t \rightarrow- \infty } \tan ^ { -1 } x \right \|_ { t } ^ { 0 } \\ &= \lim _ { t \rightarrow- \infty } \left ( \tan ^ { -1 } 0- \tan ^ { -1 } t \right )= \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} \]</p>이고<p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x &= \lim _ { s \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { s } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \left . \lim _ { s \rightarrow \infty } \tan ^ { -1 } x \right \|_ { 0 } ^ { s } \\ &= \lim _ { s \rightarrow \infty } \left ( \tan ^ { -1 } s- \tan ^ { -1 } 0 \right )= \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} \]</p>이므로<p>\[ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \frac {\pi } { 2 } + \frac {\pi } { 2 } = \pi \]</p>이다.</p> <p>다음 정리는 정적분을 계산할 때 적분구간을 소구간으로 나누어 적분할 수 있음을 설명한다.</p> <p>정리 $ a<c<b $ 이고 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \]</p>가 성립한다.</p> <p>그림 5-4에서 $ \int_{a}^{b} f(x) d x $ 는 $ x=a $ 부터 $ x=b $ 까지 $ x $ 축과 함수 사이의 넓이를 나타고 $ \int_{a}^{c} f(x) d x $ 와 $ \int_{c}^{b} f(x) d x $ 의 합이 같은 넓이를 나타낸다는 사실을 쉽게 이해할 할 수 있다.</p> <p>예제 $5.2.2$ $ \int_{0}^{1} f(x) d x=4 $ 이고 $ \int_{0}^{4} f(x) d x=-3 $ 일 때 $ \int_{1}^{4} f(x) d x $ 를 구하여라.</p> <p>정리 $ 5.2 .2 $ 에 의하여<p>\[ \int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{0}^{4} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x \]</p> <p>\[ \begin{array}{l} =-3-4 \\ =-7 \end{array} \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.2.3$ $ f $ 가 구간 $ [-1,1] $ 에서 적분가능한 함수일 때 \[ \int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{-1}^{1} f(x) d x \] 를 하나의 정적분으로 나타내어라.</p> <p>풀이 정리 5.2.2에 의하여<p>\[ \int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{1} f(x) d x \]</p>가 성립한다. 따라서 좌변과 우변의 항을 이항하면<p>\[ -\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{-1}^{1} f(x) d x \]</p>이므로 주어진 적분을 하나의 정적분으로 나타내면<p>\[ -\int_{0}^{1} f(x) d x \]</p>이다.</p> <p>정적분의 정의와 정리 $ 5.2.2 $ 를 이용하여 다음 정리를 증명할 수 있다.</p> <p>정리 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하다고 하자. (1) $ f(x) \geq 0 $ 이면 $ \int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0 $ 이다. (2) $ f(x) \geq g(x) $ 이면 $ \int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x $ 이다.</p> <p>증명 (1) $ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} $ 이 구간 $ [a, b] $ 의 분할이고 $ w_{i} $ 를 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 의 임의의 점, $ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} $ 이라 하자. $ \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) $ $ \Delta x_{i} \geq 0 $ 이므로<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(w_{i}\right) \Delta x_{i} \geq 0 \]</p>이 성립한다. (2) $ f(x)-g(x) \geq 0 $ 이므로<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x \geq 0 \]</p>이다. 따라서<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x \]</p>가 성립한다.</p> <p>정리 구간 $ [a, b] $ 에서 두 함수 $ y=f(x) $ 와 $ y=g(x) $ 사이의 영역의 넓이는 다음과 같다.<p>\[ A=\int_{a}^{b}\|f(x)-g(x)\| d x \]</p></p> <p>예제 $5.5.2$ 구간 $ [0,3] $ 에서 두 함수 $ f(x)=x^{2} $ 과 $ g(x)=2-x^{2} $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이 $ x=1 $ 에서 $ x^{2}=2-x^{2} $ 이 성립한다. 따라서 구간 $ [0,1] $ 에서 $ f(x) \leq g(x) $ 이고 구간 $ [1,3] $ 에서 $ f(x) \geq g(x) $ 이다.</p> <p>구간 $ [0,1] $ 에서 두 함수 사이의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A_{1} &=\int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \\ &=\int_{0}^{1}\left(\left(2-x^{2}\right)-x^{2}\right) d x \\ &=\int_{0}^{1}\left(2-2 x^{2}\right) d x \\ &=\left.\left(2 x-\frac{2}{3} x^{3}\right)\right\|_{0} ^{1} \\ &=\frac{4}{3} \end{aligned} \]</p>이다. 구간 [1, 3] 에서 두 함수 사이의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A_{2} &=\int_{1}^{3}(f(x)-g(x)) d x \\ &=\int_{1}^{3}\left(x^{2}-\left(2-x^{2}\right)\right) d x \end{aligned} \]</p> <p>\[ \begin{array}{l} =\int_{1}^{3}\left(2 x^{2}-2\right) d x \\ =\left.\left(\frac{2}{3} x^{3}-2 x\right)\right\|_{1} ^{3} \\ =\frac{40}{3} \end{array} \]</p>이다. 따라서 구간 $ [0,3] $ 에서 두 함수 $ f(x)=x^{2} $ 과 $ g(x)=1-x^{2} $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ A=A_{1}+A_{2}=\frac{4}{3}+\frac{40}{3}=\frac{44}{3} \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.5.3$ 두 함수 $ f(x)=x^{3}-3 x+1 $ 과 $ g(x)=x+1 $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이 두 함수 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 의 교점의 $ x $ 값은 $ x^{3}-3 x+1=x+1 $ 을 만족한다. $ x^{3}-4 x=0 $ 에서 $ x=-2,0,2 $ 이다. 따라서 함수 $ f(x)=x^{3}-3 x+1 $ 과 $ g(x)=x+1 $ 에 의하여 둘러싸인 영역 $ R $ 의 넓이는<p>\[ \int_{-2}^{2}\|f(x)-g(x)\| d x \]</p>이다.</p> <p>구간 $ [-2,0] $ 에서 $ f(x) \geq g(x) $ 이므로 구간 $ [-2,0] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 사이의 영역 $ R_{1} $ 의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A_{1} &=\int_{-2}^{0}(f(x)-g(x)) d x \\ &=\int_{-2}^{0}\left(x^{3}-4 x\right) d x \\ &=\left.\left(\frac{x^{4}}{4}-2 x^{2}\right)\right\|_{-2} ^{0} \\ &=4 \end{aligned} \]</p>이다. 구간 $ [0,2] $ 에서 $ f(x) \leq g(x) $ 이므로 구간 [0, 2$ ] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 사이의 영역 $ R_{2} $ 의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A_{2} &=\int_{0}^{2}(g(x)-f(x)) d x \\ &=\int_{0}^{2}\left(-x^{3}+4 x\right) d x \\ &=\left.\left(-\frac{x^{4}}{4}+2 x^{2}\right)\right\|_{0} ^{2} \\ &=4 \end{aligned} \]</p>이다. 따라서 두 함수 $ f(x)=x^{3}-3 x+1 $ 과 $ g(x)=x+1 $ 에 의하여 둘러 싸인 영역의 넓이는<p>\[ A_{1}+A_{2}=4+4=8 \]</p>이다.</p> <p>지금까지는 영역의 넓이를 구하기 위하여 영역을 $ x $ 축에 수직인 방향으로 잘라 직사각형을 만들어 리만합의 극한으로 영역의 넓이를 구하였다. 하지만 함수에 따라서는 영역을 $ x $ 축에 수직인 방향으로 자르는 대신 $ y $ 축에 수직인 방향으로 잘라 직사각형을 만들어 리만합의 극한으로 영역의 넓이를 구하는 것이 더 편리할 수 있다.</p> <p>부정적분의 부분적분법과 미적분학의 기본정리 (2)를 사용하여 정적분의 부분적분법을 유도할 수 있다.</p> <p>정리 정적분의 부분적분법 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 $ [a, b] $ 에서 미분가능하면<p>\[ \int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x=(f(b) g(b)-f(a) g(a))-\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x \]</p>가 성립한다.</p> <p>증명 곱셈에 관한 미분 정리로부터<p>\[ \frac{d}{d x}(f(x) g(x))=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \]</p>가 성립한다. 따라서 $ f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) $ 는 $ f(x) g(x) $ 의 원시함수이다. 미적분학의 기본정리 (1)과 기본정리 (2)로부터<p>\[ \begin{aligned} f(b) g(b)-f(a) g(a) &=\left.(f(x) g(x))\right\|_{a} ^{b} \\ &=\int_{a}^{b}(f(x) g(x))^{\prime} d x \end{aligned} \]</p> <p>\[ =\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x+\int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x \]</p>이다. 그러므로 우변의 $ \int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x $ 를 좌변으로 이항하면<p>\[ (f(b) g(b)-f(a) g(a))-\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x \]</p>가 성립한다.</p> <p>정적분의 부분적분법을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 5.3.7 $ \int_{0}^{\pi} x \sin x d x $ 를 구하여라.</p> <p>$ f(x)=x, g^{\prime}(x)=\sin x $ 라 놓으면 $ f^{\prime}(x)=1, g(x)=-\cos x $ 이다. 정적분의 부분적분법에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x \sin x d x &=\left.(-x \cos x)\right\|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} \cos x d x \\ &=\pi+\int_{0}^{\pi} \cos x d x \\ &=\pi+\left.\sin x\right\|_{0} ^{\pi} \\ &=\pi \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>예제 5.3.8 $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x $ 를 구하여라.</p> <p>$ f(x)=\cos x, g^{\prime}(x)=e^{x} $ 라 놓으면 $ f^{\prime}(x)=-\sin x, g(x)=e^{x} $ 이다. 정적분의 부분적분법에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x &=\left.\left(e^{x} \cos x\right)\right\|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x \\ &=-1+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x \end{aligned} \]<caption>(1)</caption></p>이다. $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x $ 에서 $ f(x)=\sin x, g^{\prime}(x)=e^{x} $ 라 놓으면 $ f^{\prime}(x)= $$ \cos x, g(x)=e^{x} $ 이다. 정적분의 부분적분법에 의하여<p>\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x &=\left.\left(e^{x} \sin x\right)\right\|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x \\ &=e^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x \end{aligned} \]<caption>(2)</caption></p>이다. 식 (2)의 결과를 식 (1)에 대입하면<p>\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x=\left(-1+e^{\frac{\pi}{2}}\right)-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x \]</p>이므로<p>\[ \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos x d x=\frac{1}{2}\left(-1+e^{\frac{\pi}{2}}\right) \]</p>이다.</p> <p>정리 $ \alpha<\beta $ 일 때 극좌표 함수 $ r=f(\theta) $ 와 $ \theta=\alpha, \theta=\beta $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.<p>\[ A(R)=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta}[f(\theta)]^{2} d \theta=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2} d \theta \]</p> <p>예제 $5.5.5$ 극좌표 함수 $ r=\cos 2 \theta $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.</p> <p>극좌표 함수 $ r=\cos 2 \theta $ 의 그래프는 그림 5-15와 같고 4 개의 영역은 같은 넓이를 갖는다.</p>4 개의 영역 중 한 영역의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A &=\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} 2 \theta d \theta \\ &=\frac{1}{4} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 4 \theta) d \theta \\ &=\left.\frac{1}{4}\left(\theta+\frac{1}{4} \sin 4 \theta\right)\right\|_{-\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}} \\ &=\frac{\pi}{8} \end{aligned} \]</p>이다. 따라서 극좌표 함수 $ r=\cos 2 \theta $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ 4 A=\frac{\pi}{2} \]</p>이다.</p> <p>직교좌표계에서와 같이 두 극좌표 함수에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같이 구한다.</p> <p>정리 임의의 $ \theta \in[\alpha, \beta] $ 에 대하여 $ f(\theta) \geq g(\theta) $ 일 때 $ [\alpha, \beta] $ 에서 두 극좌표 함수 $ r=f(\theta) $ 와 $ r=g(\theta) $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.<p>\[ A(R)=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta}\left\{[f(\theta)]^{2}-[g(\theta)]^{2}\right\} d \theta \]</p></p> <p>예제 $5.5.6$ $ f(\theta)=1+\sin \theta $ 의 외부와 $ g(\theta)=3 \sin \theta $ 의 내부로 이루어진 영역의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이 두 극좌표 함수를 같은 평면에 나타내고 $ f(\theta) $ 의 외부와 $ g(\theta) $ 의 내부를 나타내면 그림 5-16와 같다.</p> <p>$ 1+\sin \theta=3 \sin \theta $ 인 $ \theta $ 에서 두 극좌표 함수 $ f(\theta) $ 와 $ g(\theta) $ 는 만난다. 따라서 $ \theta=\frac{\pi}{6} $ 와 $ \theta=\frac{5}{6} \pi $ 일 때 $ f(\theta)=g(\theta) $ 이다. 임의의 $ \theta \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5}{6} \pi\right] $ 에 대하여 $ f(\theta) \leq g(\theta) $ 이므로 $ f(\theta)=1+\sin \theta $ 의 외부와 $ g(\theta)=3 \sin \theta $ 의 내부로 이루어진 영역의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A &=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5 \pi}{6}}\left((3 \sin \theta)^{2}-(1+\sin \theta)^{2}\right) d \theta \\ &=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5 \pi}{6}}\left(8 \sin ^{2} \theta-2 \sin \theta-1\right) d \theta \\ &=\left.\frac{1}{2}(3 \theta-2 \sin 2 \theta+2 \cos \theta)\right\|_{\frac{\pi}{6}} ^{\frac{5 \pi}{6}} \\ &=\pi \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>정리 구간 $ [c, d] $ 에서 $ g(y) \geq 0 $ 일 때 구간 $ [c, d] $ 에서 $ x=g(y) $ 와 $ y $ 축 사이의 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는 다음과 같다.<p>\[ V=\pi \int_{c}^{d}[g(y)]^{2} d y=\pi \int_{c}^{d} x^{2} d y \]</p></p> <p>예제 5.6.4 구간 $ [0,1] $ 에서 $ x=\sqrt{1-y} $ 와 $ y $ 축 사이의 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부푀를 구하여라.</p> <p>풀이 구간 $ [0,1] $ 에서 $ g(y)=\sqrt{1-y} \geq 0 $ 이므로 $ g(y) $ 와 $ y $ 축 사이의 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는<p>\[ \begin{aligned} V &=\pi \int_{0}^{1}(1-y) d y \\ &=\left.\pi\left(y-\frac{y^{2}}{2}\right)\right\|_{0} ^{1} \\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>정리 $5.6.1$과 정리 $5.6.2$를 이용하여 다음과 같은 회전체의 부피 공식을 얻을 수 있다.</p> <p>정리 (1) 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) \geq g(x) $ 이면 구간 $ [a, b] $ 에서 $ y=f(x) $ 와 $ y=g(x) $ 사이의 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는 다음과 같다.<p>\[ V=\pi \int_{a}^{b}\left([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\right) d x \]</p>(2) 구간 $ [c, d] $ 에서 $ f(y) \geq g(y) $ 이면 구간 $ [c, d] $ 에서 $ x=f(y) $ 와 $ x=g(y) $ 사이의 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는 다음과 같다.<p>\[ V=\pi \int_{c}^{d}\left([f(y)]^{2}-[g(y)]^{2}\right) d y \]</p></p> <p>정리 $5.6.3$을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.6.5$ (1) $ y=2 x-x^{2} $ 과 $ y=x $ 에 의하여 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피를 구하여라.<p>(2) $ y=2 x-x^{2} $ 과 $ y=x $ 에 의하여 둘러싸인 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 $ y=2 x-x^{2} $ 과 $ y=x $ 의 교점은 $ (0,0) $ 과 $ (1,1) $ 이다.</p> <p>(1) 임의의 $ x \in[0,1] $ 에 대하여 $ 2 x-x^{2} \geq x $ 이므로 $ y=2 x-x^{2} $ 과 $ y=x $ 에 의하여 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 주위로 회전하여 들어진 회전체의 부피는<p>\[ \begin{aligned} V &=\pi \int_{0}^{1}\left[\left(2 x-x^{2}\right)^{2}-x^{2}\right] d x \\ &=\pi \int_{0}^{1}\left(3 x^{2}-4 x^{3}+x^{4}\right) d x \\ &=\left.\pi\left(x^{3}-x^{4}+\frac{1}{5} x^{5}\right)\right\|_{0} ^{1} \\ &=\frac{\pi}{5} \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>(2) 임의의 $ y \in[0,1] $ 에 대하여 $ y>1-\sqrt{1-y} $ 이므로 $ \quad x=1- $ $ \sqrt{1-y} $ 와 $ x=y $ 에 의하여 둘러싸인 영역을 $ y $ 축 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부피는<p>\[ \begin{aligned} V &=\pi \int_{0}^{1}\left[y^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] d y \\ &=\pi \int_{0}^{1}\left(y^{2}+y-2+2 \sqrt{1-y}\right) d y \\ &=\frac{1}{6} \pi \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.6.6$ $ y=(x-1)^{2}, x $ 축, $ y $ 축에 의하여 둘러싸인 영역을 직선 $ y=-1 $ 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부푀를 구하여라.</p> <p>풀이 그림 5-25에서 색이 칠해진 부분을 $ y=-1 $ 을 축으로 회전하면 외부를 나타내는 함수는 $ y=(x-1)^{2}+1 $ 이고 내부를 나타내는 함수는 $ y=1 $ 이다. 따라서 $ y=-1 $ 주위로 회전하여 만들어진 회전체의 부푀는<p>\[ \begin{aligned} V &=\pi \int_{0}^{1}\left[\left((x-1)^{2}+1\right)^{2}-1^{2}\right] d x \\ &=\pi \int_{0}^{1}\left((x-1)^{4}+2(x-1)^{2}\right) d x \\ &=\left.\pi\left[\frac{1}{5}(x-1)^{5}+\frac{2}{3}(x-1)^{3}\right]\right\|_{0} ^{1} \\ &=\frac{13}{15} \pi \end{aligned} \]</p>이다.</p> <h1>5.6 입체도형의 부피</h1> <p>이 절에서는 수직단면과 회전체를 이용하여 입체도형의 부피를 구하는 방법을 알아본다.</p> <h2>1. 수직단면을 이용한 입체도형의 부피</h2> <p>그림 5-17(a)와 같이 입체도형이 평면 위에 놓였을 때 $ P_ { n } = \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 을 구간 $ [a, b] $ 의 분할, $ w_ { i } $ 를 소구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $ 내의 임의의 점이라 하자.</p> <p>$ i=1,2, \cdots, n $ 일 때 $ x $ 축에 수직이면서 $ x_ { i } $ 를 지나는 평면으로 입체를 자르면 얇은 평판이 생긴다. 이때 $ i $ 번째의 평판은 높이가 $ \Delta x_ { i } $ 이고 밑넓이가 $ A \left (w_ { i } \right ) $ 인 기둥과 비슷하므로 그 평판의 부피는<p>\[ \Delta V_ { i } \approx A \left (w_ { i } \right ) \Delta x_ { i } \]</p>가 된다(그림 5-17(b)). 따라서 분할 $ P_ { n } $ 을 이용하여 얻을 수 있는 입체의 부피는<p>\[ \sum_ { i=1 } ^ { n } A \left (w_ { i } \right ) \Delta x_ { i } \]</p>이다. 만일 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } A \left (w_ { i } \right ) \Delta x_ { i } $ 가 존재하면 입체의 부피는<p>\[ V= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } A \left (w_ { i } \right ) \Delta x_ { i } = \int_ { a } ^ { b } A(x) d x \]</p>이다.</p> <p>예제 $5.6.1 $ 밑면의 넓이가 10 이고 높이가 $ h $ 인 삼각뿔의 부피를 구하여라.</p> <p>예제 $5.4.2$ $ \int_{-\infty}^{0} x^{2} d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이 \[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{0} x^{2} d x &=\lim _{s \rightarrow-\infty} \int_{s}^{0} x^{2} d x=\left.\lim _{s \rightarrow-\infty} \frac{1}{3} x^{3}\right\|_{s} ^{0} \\ &=\lim _{s \rightarrow-\infty}\left(0-\frac{1}{3} s^{3}\right)=\infty \end{aligned} \]</p>이다.</p> <p>다음 예제는 이상적분의 특징을 잘 설명해 준다.</p> <p>예제 $5.4.3$ $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x $ 는 $ p>1 $ 일 때 수렴하고 $ p \leq 1 $ 일 때 발산함을 보여라.</p> <p>풀이 (i) $ p=1 $ 일 때<p>\[ \begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x &=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x=\left.\lim _{t \rightarrow \infty} \ln x\right\|_{1} ^{t} \\ &=\lim _{t \rightarrow \infty}(\ln t-\ln 1)=\infty \end{aligned} \]</p>이므로 이상적분은 발산한다. (ii) $ p \neq 1 $ 일 때<p>\[ \begin{aligned} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x &=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{p}} d x \\ &=\left.\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]\right\|_{1} ^{t} \\ &=\frac{1}{1-p} \lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{t^{p-1}}-1\right]=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{p-1}, & p>1 \\ \infty, & p<1 \end{array}\right. \end{aligned} \]</p>이다. 그러므로 이상적분은 $ p>1 $ 일 때 수렴하고 $ p \leq 1 $ 일 때 발산한다.</p> <p>예제 $ 5.4 .3 $ 에서 $ p=1 $ 일 때 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 라 하고 $ p=1.1 $ 일 때 $ g(x)=\frac{1}{x^{1.1}} $ 이라 하자.</p> <p>두 함수를 같은 좌표평면에 그리면 다음과 같다.</p> <p>$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x $ 는 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 과 $ x=1, x $ 축에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이인데 예제 $5.4.3$의 계산결과에 따르면 그 넓이는 $ \infty $ 이다. $ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{1 \cdot 1}} d x $ 는 $ g(x)=\frac{1}{x^{1 \cdot 1}} $ 과 $ x=1 $, $ x $ 축에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이인데 예제 $ 5.4 .3 $ 의 계산결과에 따르면 그 넓이는 $ \frac{1}{1.1-1}=10 $ 으로 유한한다.</p> <p>그림 5-7에서 알 수 있듯이 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 과 $ g(x)=\frac{1}{x^{1 \cdot 1}} $ 의 그래프는 구간 $ [1, \infty) $ 에서 매우 비슷하지만 이상적분을 계산하면 전혀 다른 결과를 나타날 수 있음을 보여준다.</p> <p>정리 두 함수 $ x=f(y) $ 와 $ x=g(y) $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.<p>\[ A=\int_{r}^{s}\|f(y)-g(y)\| d y \]</p>여기서 $ r $ 과 $ s $ 는 각각 두 함수의 교점의 $ y $ 값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값이다.</p> <p>정리 $ 5.5.3 $ 을 이용하여 다음 예제를 풀어보자.</p> <p>예제 $5.5.4$ 두 함수 $ f(y)=y^{2}-4 $ 와 $ g(y)=y-2 $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.</p> <p>두 함수 $ f(y) $ 와 $ g(y) $ 의 교점의 $ y $ 값은 $ y^{2}-4=y-2 $ 를 만족한다. $ y^{2}-y-2=0 $ 에서 $ y=-1,2 $ 이다. 구간 $ [-1,2] $ 에서 $ f(y) \leq g(y) $ 이므로 두 함수 $ f(y)=y^{2}-4 $ 와 $ g(y)=y-2 $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ \begin{aligned} A &=\int_{-1}^{2}(g(y)-f(y)) d y \\ &=\int_{-1}^{2}\left(-y^{2}+y+2\right) d y \end{aligned} \] \[ \begin{array}{l} =\left.\left(-\frac{y^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}+2 y\right)\right\|_{-1} ^{2} \\ =\frac{9}{2} \end{array} \]</p>이다.</p> <p>이제 극좌표 함수로 표현된 영역의 넓이를 구해보자.</p> <p>영역 $ R $ 이 그림 5-13에서와 같이 $ \theta=\alpha, \theta=\beta $ 와 함수 $ r=f(\theta) $ 에 의하여 둘러싸인 영역이라 하자. 그림 5-14의 넓이를 구하는 과정은 다음과 같다.</p> <p>영역 $ R $ 을 극 $ O $ 를 지나는 $ n $ 개의 반직선으로 분할하여<p>\[ \alpha=\theta_{0}<\theta_{1}<\cdots<\theta_{n-1}<\theta_{n}=\beta \]</p>이고<p>\[ \Delta \theta_{i}=\theta_{i}-\theta_{i-1} \]</p>이라 하자. $ i $ 번째 부분영역 $ R_{i} $ 에서 극좌표 함수의 최댓값을 $ f\left(v_{i}\right) $, 최솟값을 $ f\left(u_{i}\right) $ 라 하면 부분영역 $ R_{i} $ 는 중심각이 $ \Delta \theta_{i} $ 이고 반지름이 $ f\left(u_{i}\right) $ 와 $ f\left(v_{i}\right) $ 인 부채꼴들 사이에 있게 된다.</p> <p>이때 부분영역 $ R_{i} $ 의 넓이 $ \Delta A_{i} $ 는 \[ \frac{1}{2}\left[f\left(u_{i}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} \leq \Delta A_{i} \leq \frac{1}{2}\left[f\left(v_{i}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} \text { (그림 5-14(b)) } \]</p>이므로 $ \theta=\alpha, \theta=\beta $ 와 함수 $ r=f(\theta) $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\left[f\left(u_{i}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} \leq A \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\left[f\left(v_{i}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} \]</p>가 성립한다.</p> <p>만일 $ \left[\theta_{i-1}, \theta_{i}\right] $ 내의 임의의 점 $ w_{i} $ 에 대하여 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\left[f\left(w_{i}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} $ 가 존재하면 $ \theta=\alpha, \theta=\beta $ 와 극좌표 함수 $ r=f(\theta) $ 에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta}[f(\theta)]^{2} d \theta=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2} d \theta \]</p>이다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <h1>5.5 평면의 넓이</h1> <p>함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ f(x) \geq 0 $ 일 때 구간 $ [a, b] $ 에서 $ y=f(x) $ 와 $ x $축 사이에 있는 영역의 넓이는\[ A=\int_{a}^{b} f(x) d x \]이다. 만일 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) \leq 0 $ 이면 $ y=f(x) $ 와 $ x $ 축 사이에 있는 영역의 넓이는\[ A=-\int_{a}^{b} f(x) d x \]이다. 이를 정리하면 다음과 같다. 정리 $ 5.5.1 $ 구간 $ [a, b] $ 에서 $ y=f(x) $ 와 $ x $ 축 사이에 있는 영역의 넓이는 다음과 같다.\[ A(R)=\int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \]</p> <p>예제 $ 5.5.1 $ 구간 $ [0,4] $ 에서 $ f(x)=x^{2}-4 $ 와 $ x $ 축 사이의 영역 $ R $ 의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이 $ x=2 $ 에서 $ x^{2}-4=0 $ 이다. 따라서 구간을 $ [0,2] $ 와 $ [2,4] $ 로 나누어 정적분을 계산한다. 구간 $ [0,2] $ 에서 $ f(x)=x^{2}-4 $ 와 $ x $ 축 사이의 영역을 $ R_{1} $ 이라 하자. 구간 $ [0,2] $ 에서 $ f(x) \leq 0 $ 이므로 $ R_{1} $ 의 넓이는<p>\[ A_{1}=-\int_{0}^{2}\left(x^{2}-4\right) d x=\left.\left(-\frac{x^{3}}{3}+4 x\right)\right\|_{0} ^{2}=\frac{16}{3} \]</p>이다. 구간 $ [2,4] $ 에서 $ f(x)=x^{2}-4 $ 와 $ x $ 축 사이의 영역을 $ R_{2} $ 라 하자. 구간 $ [2,4] $ 에서 $ f(x) \geq 0 $ 이므로 $ R_{2} $ 의 넓이는<p>\[ A_{2}=\int_{2}^{4}\left(x^{2}-4\right) d x=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-4 x\right)\right\|_{2} ^{4}=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3} \]</p>이다. 따라서 구간 $ [0,4] $ 에서 $ f(x)=x^{2}-4 $ 와 $ x $ 축 사이의 영역 $ R $ 의 넓이는<p>\[ A=A_{1}+A_{2}=\frac{16}{3}+\frac{32}{3}=16 \]</p>이다.</p> <p>이제 두 함수에 의하여 둘러싸인 영역의 넓이를 구해보자.</p> <p>구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 가 연속이고 구간 내의 모든 점 $ x $ 에서 $ f(x) \geq g(x) $ 라하자. 그리고 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 에 의하여 둘러싸인 영역을 $ R $ 이라 하자.</p> <p>$ P_{n}=\left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} $ 이 구간 $ [a, b] $ 의 분할이고 $ w_{i} $ 가 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 한 점이고 $ i=1,2, \cdots, n $ 에 대하여 $ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} $ 이라 하자. 그림 $ 5-10 $ 에서 두 함수 사이의 영역 $ R $ 의 넓이는 리만합 $ \sum_{i=1}^{n}\left(f\left(w_{i}\right)-g\left(w_{i}\right)\right) \Delta x_{i} $ 의 극한값이므로<p>\[ A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(f\left(w_{i}\right)-g\left(w_{i}\right)\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x \]<p>이다. 같은 방법으로 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 가 연속이고 구간 내의 모든 점 $ x $ 에서 $ f(x) \leq g(x) $ 일 때 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 로 둘러싸인 영역의 넓이는<p>\[ A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(g\left(w_{i}\right)-f\left(w_{i}\right)\right) \Delta x_{i}=\int_{a}^{b}(g(x)-f(x)) d x \]</p>이다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p>	자연
M521-기초정수론	<h1>7.1 가우스 함수</h1> <p>가우스 함수 $ [x] $는 6장에서 소개하였다. $ [x] $는 $ [x] \leq x<[x]+1 $을 만족시키는 유일한 정수이다. 또한 $ p^{k} \mid n $이고 $ p^{k+1} \nmid n $이면 $ p^{k} \\| n $이라고 정의하자. 다음 정리는 가우스 함수 $ [x] $의 많은 기본 성질을 포함하고 있다.</p> <p>정리 7.1 실수 $ x, y $에 대하여 다음 성질을 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ [x] \leq x<[x]+1, x-1<[x] \leq x, 0 \leq x-[x]<1 $</li> <li>$ x \geq 0 $ 이면 $ [x]=\sum_{1 \leq i \leq x} 1 $ 이다.</li> <li>$ [x]+[y] \leq[x+y] \leq[x]+[y]+1 $</li> <li>$ m $ 이 양의 정수이면 $ \left[\frac{[x]}{m}\right]=\left[\frac{x}{m}\right] $ 이다.</li> <li>$ n $과 $ a $가 양의 정수이면 $ \left[\frac{n}{a}\right] $은 $ 1,2, \cdots, n $ 중에서 $ a $의 배수의 개수이다.</li></ol> <p>증명 (1), (2)는 정의에 의해 당연하다. $ n, m $은 정수 그리고 $ 0 \leq a, b<1 $에 대해 $ x=n+a, y=m+b $라 놓으면 \[ \begin{aligned} {[x]+[y] } &=n+m \leq[n+a+m+b]=[x+y] \\ &=n+m+[a+b] \leq n+m+1=[x]+[y]+1 \end{aligned} \] 이다. 그러므로 (3)이 성립하고 (4)를 증명하기 위하여 \[ x=n+a, n=q m+r, 0 \leq a<1,0 \leq r \leq m-1 \] 이라 하면 $ 0 \leq r+a<m $ 이므로 \[ \left[\frac{x}{m}\right]=\left[\frac{q m+r+a}{m}\right]=q+\left[\frac{r+a}{m}\right]=q \] 이고 \[ [\underline{[x]}]=[\underline{n}]=\left[q+\frac{r}{\underline{n}]}\right]=q \]이다. 따라서 (4)가 성립한다. (5)를 증명하기 위하여 $ a, 2 a, \cdots, j a $를 $ n $보다 작거나 같은 $ a $의 모든 배수라 하면 $ j a \leq n<(j+1) a $이다. 따라서 $ j \leq \frac{n}{a}<j+1 $, 즉 $ \left[\frac{n}{a}\right]=j $이다.</p> <p>정리 7.2 $ n $은 양의 정수, $ p $는 소수, 그리고 $ p^{e} \\| n ! $이면 \[ e=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^{k}}\right] \] 이다.</p> <p>증명 만일 $ p^{k}>n $이면 $ \left[\frac{n}{p^{k}}\right]=0 $이다. 따라서 사실상 $ \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^{k}}\right] $ 은 무한급수가 아니다. 정리 7.1의 (5)에 의하여 $ 1,2, \cdots, n $ 중에서 $ p $의 배수의 개수는 $ \left[\frac{n}{p}\right] $이다. 마찬가지로 $ 1,2, \cdots, n $ 중에서 $ p^{2}, p^{3}, \cdots, p^{k} $의 배수의 개수는 각각 \[ \left[\frac{n}{p^{2}}\right],\left[\frac{n}{p^{3}}\right], \cdots,\left[\frac{n}{p^{k}}\right] \] 이다. 따라서 $ p^{e} $가 $ n ! $를 나눌 수 있는 가장 큰 $ e $는 \[ e=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^{k}}\right] \] 이다.</p> <p>보기 7.1 $ 30 ! $에서 0이 아닌 수가 몇 번째 자리에서 처음 나타나는가?</p> <p>$ e $와 $ f $를 각각 $ 5^{e} \\| 30 ! $, $ 2^{f} \\| 30 ! $인 정수라면 $ \\e=\left[\frac{30}{5}\right]+\left[\frac{30}{25}\right]=6+1=7 $ $ \\f=\left[\frac{30}{2}\right]+\left[\frac{30}{4}\right]+\left[\frac{30}{8}\right]+\left[\frac{30}{16}\right] =15+7+3+1=26 $ 따라서 $ 10^{n} \\| 30! $인 $ n $은 7이므로 8번째 자리에서 0이 아닌 수가 처음 나온다.</p> <p>정리 7.3 $ n $과 $ r $을 $ 1 \leq r \leq n $인 정수라 하면 이항계수 \[ \left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !} \] 은 정수이다.</p> <p>증명 임의의 소수 $ p $에 대하여 $ e, f $를 각각 $ p^{e} \\| r !(n-r) ! $이고 $ p^{f} \\| n !$ 인 정수라 하면 \[ e=\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{r}{p^{k}}\right]+\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{n-r}{p^{k}}\right] \leq \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{r+n-r}{p^{k}}\right]=f \] 이다. 따라서 이항계수 $ \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !} $은 정수이다.</p> <p>정리 7.17 만일 $ p $와 $ q=2 p+1 $이 소수이면 $ q $는 $ M_{p} $와 $ M_{p}+2 $ 중 오직 하나의 약수이다.</p> <p>증명 페르마의 작은 정리에 의하여 \[ 2^{q-1}-1 \equiv 0(\bmod q) \] 이다. 따라서 \[ \left(2^{\frac{q-1}{2}}-1\right)\left(2^{\frac{q-1}{2}}+1 \right) \equiv \left(2^{p}-1\right)\left(2^{p}+1\right) \equiv 0(\bmod q) \] 즉, $ M_{p}\left(M_{p}+2\right) \equiv 0( \bmod q) $이다. 따라서 $ q \mid M_{p} $ 또는 $ q \mid M_{p}+2 $이다. 그러나 $ q $가 $ M_{p} $와 $ M_{p}+2 $를 동시에 나눌 수는 없다. 왜냐하면 동시에 나누는 경우에 $ q \mid 2 $이므로 모순이다.</p> <p>보기 7.6</p> <p>$ p=23 $과 $ q=2 p+1=47 $은 소수이므로 $ 47 \mid M_{23} $ 또는 $ 47 \mid M_{23}+2 $이다. 그런데 \[ 2^{23} \equiv 2^{3}\left(2^{5}\right)^{4} \equiv 2^{3} \cdot(-15)^{4}( \bmod 47) \] 이고 $ (-15)^{4}=(225)^{2} \equiv(-10)^{2} \equiv 6( \bmod 47) $ 이므로 \[ 2^{23} \equiv 2^{3} \cdot 6 \equiv 48 \equiv 1(\bmod 47) \] 이다. 따라서 $ M_{23} $이 합성수임을 알 수 있다.</p> <p>정리 7.18 $ q=2 n+1 $가 소수이면 다음을 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ q \equiv \pm 1( \bmod 8) $ 이면 $ q \mid M_{n} $</li> <li>$ q \equiv \pm 3( \bmod 8) $이면 $ q \mid M_{n}+2 $</li></ol> <p>증명 $ q \mid M_{n} $이라는 사실은 \[ 2^{ \frac{q-1}{2}} = 2^{n} \equiv 1( \bmod q) \] 와 동치이므로 르장드르 심벌로 나타내면 $ \left( \frac{2}{q}\right)=1 $과 동치이다. 따라서 $ q \equiv \pm 1(\bmod 8) $이면 $ \left( \frac{2}{q} \right)=1 $, 즉 $ q \mid M_{n} $이다. 마찬가지로 (2)의 결과를 얻을 수 있다.</p> <p>따름정리 7.19 $ p $와 $ q = 2 p+1 $가 소수라 하자. $ p \equiv 3( \bmod 4) $이면 $ q \mid M_{p} $ 그리고 $ p \equiv 1 $ $ (\bmod 4) $이면 $ q \nmid M_{p} $이다.</p> <p>증명 $ p=4 k+3 $이면 $ q=8 k+7 $이고 $ p=4 k+1 $이면 $ q=8 k+3 $이므로 정리 7.18에 의하여 그 결과를 얻는다.</p> <h1>7.4 완전수와 메르센 소수</h1> <p>산술 함수 이론의 응용으로서 완전수(perfect number)에 관하여 알아보자. 완전수에 관한 문제는 오래전부터 다루어져 왔으나 아직도 많은 미해결 문제를 가지고 있다.</p> <p>정의 7.4 양의 정수 $ n $이 $ n $의 모든 양의 약수의 합과 같을 때, 즉 $ \sigma(n)=2 n $일 때 $ n $을 완전수라 한다.</p> <p>예를 들어 $ \sigma(6)=1+2+3+6=2 \cdot 6 $ \[\sigma(28)=1+2+4+7+14+28=2 \cdot 28\] 이므로 6과 28은 완전수이다. 496도 8128도 완전수가 됨을 쉽게 알 수 있다. 우리는 다음과 같은 당연한 질문을 생각할 수 있을 것이다.</p> <ol type=1 start=1><li>어떻게 완전수를 찾을 수 있는가?</li> <li>완전수는 무한히 많은가?</li> <li>$ n $ 번째 완전수는 $ n $ 자릿수인가?</li> <li>짝수인 완전수의 일의 자릿수는 항상 반복적으로 6 또는 8 인가?</li> <li>홀수인 완전수는 존재하는가?</li></ol> <p>5번째와 6번째의 완전수는 33550336 그리고 8589869056으로 알려져 있다. 따라서 (3), (4)는 사실이 아님을 알 수 있으나 (1), (2) 그리고 (5)는 아직도 해결되지 않은 문제들이다.</p> <p>정리 7.14 $ 2^{k}-1 $이 소수이면 $ n=2^{k-1}\left(2^{k}-1\right) $은 완전수이고 모든 짝수인 완전수는 이와 같은 형태이다.</p> <p>증명 $ 2^{k}-1=p, p $를 소수라 놓으면 $ n=2^{k-1} p $이고 $ \operatorname{gcd}\left(2^{k-1,} p\right)=1 $이므로 \[ \begin{aligned} \sigma(n) &=\sigma\left(2^{k-1} p\right)=\sigma\left(2^{k-1}\right) \sigma(p) \\ &=\left(2^{k}-1\right)(p+1)=\left(2^{k}-1\right) 2^{k}=2 n \end{aligned} \] 따라서 $ n $은 완전수이다. 반대로 $ n $이 짝수인 완전수라고 하자. 그러면 홀수 $ m $과 $ k \geq 2 $에 대해 $ n=2^{k-1} m $으로 놓으면 $ \operatorname{gcd}\left(2^{k-1}, m\right)=1 $이므로 \[ \sigma(n)=\sigma\left(2^{k-1} m\right)=\sigma\left(2^{k-1}\right) \sigma(m)=\left(2^{k}-1\right) \sigma(m) \] 이다. 즉, $ \sigma(n)=\left(2^{k}-1\right) \sigma(m)=2 n=2^{k} m $이다. 따라서 \[ 2^{k} m=\left(2^{k}-1\right) \sigma(m) \] 이고 또한 $ \operatorname{gcd}\left(2^{k}-1,2^{k}\right)=1 $이므로 $ \left(2^{k}-1\right) \mid m $이다. $ m=\left(2^{k}-1\right) t $라 놓으면 $ \sigma(m)=2^{k} t $이고 $ t $와 $ m $은 $ m $의 약수이므로 \[ 2^{k} t=\sigma(m) \geq m+t=2^{k} t \] 이다. 따라서 $ \sigma(m)=m+t $. 이것은 $ t=1 $이고 $ m $은 소수일 수밖에 없다. 즉, $ m=\left(2^{k}-1\right) t=2^{k}-1 $인 소수이다. 따라서 정리는 증명되었다.</p> <p>정리 7.14에 의하면 짝수인 완전수를 찾는 문제는 $ 2^{k}-1 $의 형태의 소수를 찾는 문제와 동일함을 말한다.</p> <p>정의 7.5 소수 $ p=2^{k}-1 $을 메르센 소수(Mersenne prime)라 한다.</p> <p>보조정리 7.15 $ a^{k}-1(a>0, k \geq 2) $이 소수이면 $ a=2 $이고 $ k $는 소수이다.</p> <p>증명 \[ a^{k}-1=(a-1)\left(a^{k-1}+a^{k-2}+\cdots+a+1\right) \] 이고 $ a^{k}-1 $이 소수이므로 $ a-1=1 $, 즉 $ a=2 $이다. 또한 $ k $가 합성수이면 $ k=r s, r>1, s>1 $이라 놓고 \[ a^{k}-1=\left(a^{r}\right)^{s}-1=\left(a^{r}-1\right)\left(a^{r(s-1)}+a^{r(s-2)}+\cdots+a^{r}+1\right) \] 이 됨으로 $ a^{k}-1 $이 소수가 아니다. 따라서 $ k $는 소수이다.</p> <p>소수 $ p=2,3,5,7 $에 대하여 메르센 소수 $ 2^{p}-1 = 3,7,31,127 $을 얻어서 \[ \begin{array}{c} 2\left(2^{2}-1\right)=6, \\ 2^{2} \left(2^{3}-1 \right)=28 \\ 2^{4} \left(2^{5}-1\right)=496, \\ 2^{6}\left(2^{7}-1\right)=8128 \end{array} \] 등의 완전수가 존재한다. 모든 소수 $ p $에 대하여 $ 2^{p}-1 $이 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어 $ 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89 $이다. 메르센 소수가 무한히 많이 존재하는가? 즉, 짝수인 완전수가 무한히 많이 존재하는가라는 문제는 아직도 미해결 문제이다.</p> <p>정리 7.16 짝수인 완전수의 일의 자릿수는 항상 6 또는 8이다.</p> <p>증명 $ n $을 짝수인 완전수라 하면 $ 2^{k}-1 $인 메르센 소수에 대하여 $ n=2^{k-1} $ $ \left(2^{k}-1\right) $의 형태를 갖는다. 또한 $ k $는 소수이다. 따라서 $ k=2 $이면 $ n=6 $이고, $ k>2 $라 가정하면 $ k \equiv 1( \bmod 4) $ 또는 $ k \equiv 3( \bmod 4) $이다. $ k=4 m+1 $ 형태이면 \[ n=2^{4 m}\left(2^{4 m+1}-1\right)=2^{8 m+1}-2^{4 m}=2 \cdot 16^{2 m}-16^{m} \] 이고 또한 어떤 양의 정수 $ t $ 에 대하여 $ 16^{t} \equiv 6( \bmod 10) $이므로 $ n \equiv 2 \cdot 6 $ $ -6 \equiv 6(\bmod 10) $이다. $ k=4 m+3 $ 형태이면 \[ n=2^{4 m+2}\left(2^{4 m+3}-1\right)=2^{8 m+5}-2^{4 m+2}=2 \cdot 16^{2 m+1}-4 \cdot 16^{m} \]이다. 따라서 $ n \equiv 2 \cdot 4 \cdot 6 \equiv-12 \equiv 8(\bmod 10) $이다. 그러므로 모든 짝수인 완전수는 일의 자릿수가 6 또는 8이다.</p> <p>메르센 소수 $ M_{p} = 2^{p}-1 $이 짝수인 완전수 $ 2^{p-1} M_{p} $와 일대일 대응관계가 있음을 알아 보았다. $ M_{p}=2^{p}-1 $이 어떤 경우에 소수 또는 합성수가 되는지 알아 보는 것은 중요한 문제이다.</p> <p>정리 7.20 $ p $가 홀수인 소수이면 $ M_{p} $의 모든 소수인 약수는 $ 2 k p+1 $의 형태를 갖는다.</p> <p>증명 $ q $를 $ M_{p} $의 임의의 소수인 약수라 하면 $ 2^{p} \equiv 1(\bmod q) $이다. $ l $을 $ 2^{l} \equiv 1 $$ (\bmod q) $인 가장 작은 양의 정수, 즉 법 $ q $에 관한 2의 위수라 하면 $ l \mid p $이다. 분명히 $ l \neq 1 $이므로 $ l=p $이다. 또한 페르마의 작은 정리에 의하여 $ 2^{q-1} \equiv 1(\bmod q) $이므로 $ p \mid q-1 $이다. 즉, $ q=p t+1 $이다. 그런데 $ q $는 홀수이므로 $ t $는 짝수이다. 따라서 $ q=2 k p+1 $의 형태를 갖는다.</p> <p>정리 7.21 $ p $가 홀수인 소수이면 $ M_{p} $의 모든 소수인 약수는 $ q $는 $ q \equiv \pm 1(\bmod 8) $의 형태를 갖는다.</p> <p>증명 $ q=2 n+1 $을 $ M_{p} $의 소수인 약수라 하자. $ a=2^{\frac{p+1}{2}} $이면 \[ a^{2}-2=2^{p+1}-2=2 M_{p} \equiv 0(\bmod q) \] 이다. 따라서 $ a^{2} \equiv 2(\bmod q) $ 이고 여기에 $ n $ 제곱을 하면 \[ a^{q-1}=a^{2 n} \equiv 2^{n}(\bmod q) \] 를 얻는다. 또한 $ q $가 홀수이고 $ \operatorname{gcd}(a, q)=1 $이므로 $ a^{q-1} \equiv 1(\bmod q) $이다. 따라서 $ 2^{n} \equiv 1(\bmod q) $, 즉 $ q \equiv \pm 1(\bmod 8) $이다.</p> <p>지금까지 짝수인 완전수에 관하여 알아 보았다. 그러면 홀수인 완전수는 존재하는가? 이 문제는 아직도 해결되지 않은 문제이다. 이제 홀수인 완전수가 될 필요조건에 대하여 알아보자.</p> <p>정리 7.22 $ n $이 홀수인 완전수이면 서로 다른 홀수인 소수 $ p_{i} $ 와 $ p_{1} \equiv k_{1} \equiv 1(\bmod 4) $에 대하여 \[ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}{ }^{2 j_{2}} \cdots p_{r}^{2 j_{r}} \] 의 형태를 갖는다.</p> <p>증명 $ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}}$인 완전수라 하면 \[ 2 n=\sigma(n)=\sigma\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \sigma\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \sigma\left(p_{r}^{k_{r}}\right) \] 이다. $ n $이 홀수이므로 $ 2 n \equiv 2(\bmod 4) $이다. 따라서 $ 2 \mid \sigma(n) $이고 $ 4 \nmid \sigma(n) $이다. 그러므로 $ \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right) $ 중 하나만, 이를테면 $ \sigma\left(p_{1}^{k_{1}}\right) $은 짝수이고 4의 배수가 아니다. 그리고 다른 $ \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right) $는 모두 홀수이다. $ p_{i} $는 모두 홀수이므로 $ p_{i} \equiv 1 $$ (\bmod 4) $ 또는 $ p_{i} \equiv 3(\bmod 4) $이다. $ p_{i} \equiv 3 \equiv-1(\bmod 4) $ 이면 \[ \begin{aligned} \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right) &=1+p_{i}+p_{i}{ }^{2}+\cdots+p_{i}^{k_{i}} \\ & \equiv 1+(-1)+(-1)^{2}+\cdots+(-1)^{k_{i}}(\bmod 4) \end{aligned} \] 이다. 따라서 \[ \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right)=\left\{\begin{array}{ll} 0(\bmod 4), & k_{i} \text { 가 홀수일 때 } \\ 1(\bmod 4), & k_{i} \text { 가 짝수일 때 } \end{array}\right. \] 이다. 그리고 $ \sigma\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \equiv 2(\bmod 4) $ 이므로 $ p_{1} \equiv 1(\bmod 4) $ 이다. 또한 $ p_{i} \equiv $ $ 3(\bmod 4) $ 이면 모든 지수 $ k_{i} $ 는 짝수여야만 한다. 만일 $ p_{i} \equiv 1(\bmod 4) $이면 \[ \begin{aligned} \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right) &=1+p_{i}+p_{i}{ }^{2}+\cdots+p_{i}^{k_{i}} \\ & \equiv 1+1^{1}+1^{2}+\cdots+1^{k_{i}}(\bmod 4) \\ & \equiv k_{i}+1(\bmod 4) \end{aligned} \] 이다. 그리고 $ \sigma\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \equiv 2(\bmod 4) $이므로 $ k_{1} \equiv 1(\bmod 4) $이다. $ i \neq 1 $인 $ \sigma\left(p_{i}^{k_{i}}\right) $ 는 $ \equiv 1 $ 또는 $ 3(\bmod 4) $이므로 $ k_{i} \equiv 0 $ 또는 $ 2(\bmod 4) $이다. 따라서 $ i \neq 1 $인 어떤 경우도 $ k_{i} $는 짝수이고 $ p_{1} \equiv k_{1} \equiv 1(\bmod 4) $ 이다.</p> <p>위 정리에 의하여 홀수인 완전수 $ n $은 \[ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{2 j_{2}} \cdots p_{k_{r}}^{2 j_{r}}=p_{1}^{k_{1}}\left(p_{2}^{j_{2}} \cdots p_{r}^{j_{r}}\right)^{2}=p_{1}^{k_{1}} m^{2} \] 으로 나타낼 수 있다.</p> <p>따름정리 7.23 $ n $이 홀수인 완전수이면 $ p $는 $ p \nmid m $인 소수이며 $ p \equiv k \equiv 1(\bmod 4) $에 대하여 $ n=p^{k} m^{2} $인 형태로 나타낼 수 있다. 특히 $ n \equiv 1(\bmod 4) $이다.</p> <p>증명 $ n \equiv 1(\bmod 4) $ 만 보이면 된다. $ p \equiv k \equiv 1(\bmod 4) $ 이므로 $ p^{k} \equiv 1(\bmod 4) $이고 $ m \equiv 1 $ 또는 $ 3(\bmod 4) $이므로 $ m^{2} \equiv 1(\bmod 4) $이다. 따라서 $ n= p^{k} m^{2} \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1(\bmod 4) $이다.</p> <p>오래전부터 정수론 학자들이 관심을 가져온 또 다른 종류의 정수들, 친근한 수(amicable numbers)가 있다.</p> <p>정의 7.6 한 쌍의 정수 $ m, n $을 친근한 수라 함은 $ m, n $을 제외한 각각의 양의 약수들의 합이 각각 $ n $과 $ m $이 될 때를 말한다.</p> <p>$ \sigma $ 함수를 써서 친근한 수를 표현하면 \[ \sigma(m)-m=n \text { 이고 } \sigma(n)-n=m \] 이다. 따라서 $ \sigma(m)=m+n=\sigma(n) $이다. 예를 들어 $ m=220, n=284 $는 친근한 수이다. 즉 \[ \sigma(m)=\sigma(n)=504=284+220 \]</p> <p>그 외에 $ m=17296 $과 $ n=18416 $도 친근한 수이고 많은 친근한 수의 쌍이 알려져 있지만 무한히 많은 쌍이 있는지는 아직도 해결되지 않았다.</p> <h1>7.2 산술 함수</h1> <p>어떤 함수들은 약수의 성질과 아주 중요한 연관성을 가지고 있다. 자연수를 정의역으로 갖는 함수를 산술 함수(arithmetic function)라 한다.</p> <p>정의 7.1 주어진 자연수 $ n $에 대하여 $ \tau(n) $을 $ n $의 양의 약수의 개수, $ \sigma(n) $을 $ n $의 약수들의 합, $ \sigma_{k}(n) $을 $ n $의 양의 약수들의 $ k $제곱의 합 그리고 $ \omega(n) $을 $ n $을 나누는 서로 다른 소수의 개수라 정의한다.</p> <p>예를 들어 $ \tau(12)=6, \sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28, \sigma_{2}(12)=1^{2}+2^{2}+ 3^{2}+4^{2}+6^{2}+12^{2}=210, \omega(12)=2 $이다. 분명히 $ n $이 소수일 필요충분조건은 $ \tau(n)=2 $이고 또한 이것은 $ \sigma(n)=n+1 $과 동치이다. 또한 위에서 정의한 산술 함수들을 합의 기호로 표현하면 \[ \tau(n)=\sum_{d \mid n} 1, \sigma(n)=\sum_{d \mid n} d, \sigma_{k}(n)=\sum_{d \mid n} d^{k} \text { 그리고 } \omega(n)=\sum_{p \mid n} 1 \text { 이다. } \] 자연수 $ n $의 소인수분해가 $ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}} $이라면 $ n $의 양의 약수 $ d $는 \[ d=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}, 0 \leq a_{i} \leq k_{i}(i=1,2, \cdots, r) \] 의 형태를 갖고 또한 이와 같은 $ d $는 모두 $ n $의 양의 약수임은 당연하다.</p> <p>정리 7.4 자연수 $ n>1 $의 소인수분해가 $ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}} $이면,</p> <ol type=1 start=1><li>$ \tau(n)=\left(k_{1}+1\right)\left(k_{2}+1\right) \cdots\left(k_{r}+1\right) $ 이고,</li> <li>(2) $ \sigma(n)=\frac{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot \frac{p_{2}^{k_{2}+1}-1}{p_{2}-1} \cdots \frac{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1} $이다.</li></ol> <p>증명 $ n $의 양의 약수 $ d $는 $ d = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}, 0 \leq a_{i} \leq k_{i}(i=1,2, \cdots, r) $이므로 $ a_{i} $ 각각에 대하여 $ k_{i} + 1 $ 선택의 방법이 있다. 따라서 $ n $의 양의 약수의 총 개수는 \[ \left(k_{1}+1\right)\left(k_{2}+1\right) \cdots \left(k_{r}+1 \right) \]이다. $ \sigma(n) $을 계산하기 위해 \[ \left(1+p_{1}+ \cdots+ p_{1}^{k_{1}} \right) \left(1+p_{2} + \cdots+p_{2}^{k_{2}}\right) cdots\left(1 +p_{r}+ \cdots+p_{r}^{k_{r}} \right) \] 을 생각하자. $ n $의 양의 약수는 이 곱을 전개하였을 때 정확히 하나의 합으로 나타난다. 따라서 \[ \sigma(n)=\left(1+p_{1}+\cdots+p_{1}^{k_{1}}\right)\left(1+p_{2}+\cdots+p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots\left(1+p_{r}+\cdots+p_{r}^{k_{r}}\right) \] 이다. 즉 \[ \sigma(n)=\frac{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot \frac{p_{2}^{k_{2}+1}-1}{p_{2}-1} \cdots \frac{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1} \] 이다.</p> <h1>7.3 뫼비우스 역공식</h1> <p>지금까지 $ \tau(n)=\sum_{d \mid n} 1 $과 $ \sigma(n)=\sum_{d \mid n} d $에 대하여 살펴보았다. 오일러 $ \phi $ 함수 $ \phi(n) $은 $ \tau(n), \sigma(n) $과 같은 형태의 간단한 표현방법은 없다. 따라서 $ \phi(n) $을 어떤 산술 함수들의 합으로 표현할 수 있는가를 알아보자. 모든 양의 정수 $ n $에 대하여 산술 함수 $ F(n) $과 $ f(n) $이 \[ F(n)=\sum_{d \mid n} f(d) \] 와 같은 관계를 가지고 있을 때 $ f(n) $ 을 $ F(n) $ 의 항들의 합으로 표현할 수 있을까? 이 결과가 바로 뫼비우스 역공식(Möbius inversion formula)이다.</p> <p>정의 7.3 $ n $은 양의 정수, 뫼비우스 함수 $ \mu(n) $은 다음과 같이 정의된다.<p>$ \mu(n)=\left\{\begin{array}{ll}1, & n=1 \text { 일 때 } \\ 0, & \text { 어떤 소수 } p \text { 에 대해 } p^{2} \mid n \text { 일 때 } \\ (-1)^{r}, & \text { 어떤 소수 } p_{1}, \cdots, p_{r} \text { 에 대해 } n=p_{1} p_{2} \cdots p_{r} \text { 일 때 }\end{array}\right. $</p></p> <p>예를 들어 $ \mu(1)=1, \mu(2)=-1, \mu(3)=-1, \mu(4)=0, \mu(5)=-1, \cdots $ 이다. 또 $ p $가 소수이면 당연히 $ \mu(p)=-1 $ 이고 $ k \geq 2 $인 정수 $ k $에 대하여 $ \mu\left(p^{k}\right)=0 $이다.</p> <p>정리 7.9 $ \mu(n) $은 승법 함수이다.</p> <p>증명 $ m $과 $ n $을 $ \operatorname{gcd}(m, n) = 1 $인 양의 정수라 하자. $ m=1 $이면 $ \mu(1)=1 $이므로 \[ \mu(m n)=\mu(n)=\mu(1) \cdot \mu(n) = \mu(m) \mu(n) \] 이다. 따라서 $ m>1, n>1 $이라 가정해도 좋다. 만일 $ p^{2} \mid m $ 또는 $ p^{2} \mid n $이면 $ p^{2} \mid m n $이므로 $ \mu(m n)=0=\mu(m) \mu(n) $이다. 그러므로 서로 다른 소수 $ p_{i} $와 $ q_{j} $에 대하여 $ m=p_{1} p_{2} \cdots p_{r}, n=q_{1} q_{2} \cdots q_{s} $라 놓으면 \[ \mu(m n)=(-1)^{r+s}=(-1)^{r} \cdot(-1)^{s}= \mu(m) \mu(n) . \] 따라서 $ \mu(n) $은 승법 함수이다.</p> <p>정리 7.10 양의 정수 $ n $에 대하여 다음 관계식이 성립한다.<p>$ \sum_ { d \mid n } \mu(d) = \left \{\begin {array} { ll } 1, & n=1 \text { 일 때 } \\ 0, & n>1 \text { 일 때 } \end {array} \right . $</p></p> <p>증명 분명히 $ \sum_ { d \mid n } \mu(d)= \mu(1)=1 $이다. $ n>1 $에 대하여 다음과 같은 산술 함수 $ F(n)= \sum_ { d \mid n } \mu(d) $을 정의하자. $ \mu(n) $이 승법 함수이므로 정리 7.7에 의하여 $ F(n) $도 승법 함수이다. 먼저 소수 $ p $에 대하여 \[ \begin {aligned} F \left (p ^ { k } \right ) &= \sum_ { d \mid p ^ { k } } \mu(d)= \mu(1) + \mu(p) + \mu \left (p ^ { 2 } \right ) + \cdots + \mu \left (p ^ { k } \right ) \\ &= \mu(1) + \mu(p)=1 + (-1)=0 \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ n=p_ { 1 } ^ { k_ { 1 } } p_ { 2 } ^ { k_ { 2 } } \cdots p_ { r } ^ { k_ { r } } $이면 \[ \sum_ { d \mid n } \mu(d)=F(n)=F \left (p_ { 1 } ^ { k_ { 1 } } \right ) F \left (p_ { 2 } ^ { k_ { 2 } } \right ) \cdots F \left (p_ { r } ^ { k_ { r } } \right )=0 \] 이다.</p> <p>정리 7.11 뫼비우스 역공식 산술 함수 $ F $와 $ f $가 다음과 같이 정의되어 있다.<p>$ F(n)= \sum_ { d \mid n } f(d) $</p> <p>그러면 $ f(n)= \sum_ { d \mid n } \mu(d) F \left ( \frac { n } { d } \right ) $ 이다.</p></p> <p>증명 분명히 \[ \begin {aligned} \sum_ { d \mid n } \mu(d) F \left ( \frac { n } { d } \right ) &= \sum_ { d \mid n } \mu(d) \left ( \sum_ { c \mid \left ( \frac { n } { d } \right ) } f(c) \right ) \\ &= \sum_ { d \mid n } \sum_ { c \mid \frac { n } { d } } \mu(d) f(c) \end {aligned} \]<caption>(7.2)</caption>이고 (7.2)의 이중합은 $ d \mid n $이고 $ c \mid \frac { n } { d } $인 모든 양의 정수의 쌍 $ (c, d) $들의 합이므로 $ c d \mid n $인 모든 양의 정수의 쌍 $ (c, d) $들의 합과 같다. 따라서 이 합을 $ c \mid n $이고 $ d \mid \frac { n } { c } $인 모든 양의 정수의 쌍 $ (c, d) $들의 합으로 표현하면 (7.2) 는 \[ \begin {aligned} \sum_ { d \mid n } \sum_ { c \mid \frac { n } { d } } \mu(d) f(c) &= \sum_ { c \mid n } \left ( \sum_ { d \mid \frac { n } { c } } \mu(d) f(c) \right ) \\ &= \sum_ { c \mid n } f(c) \left ( \sum_ { d \backslash \frac { n } { c } } \mu(d) \right ) \end {aligned} \]<caption>(7.3)</caption>와 같이 표현된다. 따라서 정리 $ 7.10 $에 의하여 $ \frac { n } { c } =1 $이면, $ n=c $일 때 $ \sum_ { d \mid 1 } \mu(d)=1 $이고, 그 외의 경우에는 $ \sum_ { d \mid \frac { n } { c } } \mu(d)=0 $이므로 $ \sum_ { d \mid \frac { n } { c } } \mu(d)=1 $이다.</p> <p>그러므로 \[ f(n)= \sum_ { d \mid n } \mu(d) F \left ( \frac { n } { d } \right ) \] 이다.</p> <p>보기 7.2</p> <p>$ 720=2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5, \quad \tau(720)=(4+1)(2+1)(1+1)=30 $</p> <p>$ \sigma(720)=\frac{2^{5}-1}{2-1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3-1} \cdot \frac{5^{2}-1}{5-1}=31 \cdot 13 \cdot 6=2418 $</p> <p>$ \tau(n) $의 또 다른 성질 중의 하나로 양의 정수 $ n $의 모든 약수의 곱은 $ n^{\frac{\tau(n)}{2}} $이 된다는 사실이 있다. $ d $를 $ n $의 임의의 양의 약수라 하면 어떤 정수 $ d^{} $에 대해 $ n=d d^{} $이다. $ d $가 $ n $의 모든 $ \tau(n) $의 양의 약수에 대해서 같은 $ \tau(n) $ 방정식을 얻고 이 방정식들을 모두 곱하면 \[ n^{\tau(n)}=\left(\prod_{d \mid n} d\right) \cdot\left(\prod_{d^{} \mid n} d^{}\right) \] 를 얻는다. 그러나 $ \Pi_{d \mid n} d=\Pi_{d^{} \mid n} d^{} $ 이므로 $ n^{\frac{\tau(n)}{2}}=\prod_{d \mid n} d $<caption>(7.1)</caption>이다. 예를 들어 $ \prod_{d \\| 16} d=16^{\frac{\tau(16)}{2}}=16^{\frac{5}{2}}=4^{5}=1024 . \tau(n) $은 항상 짝수는 아니다. 등식 (7.1)의 좌, 우변 모두는 정수이므로 $ \tau(n) $이 홀수인 경우는 $ n $이 완전 제곱수가 된다는 사실을 알 수 있다. 일반적으로 $ \tau(m n)=\tau(m) \tau(n) $과 $ \sigma(m n)=\sigma(m) \sigma(n) $은 성립하지 않음을 알 수 있다. $ \tau(2 \cdot 10)=\tau(20)=6 \neq 2 \cdot 4=\tau(2) \cdot \tau(10) $이고, $ \quad \sigma(2 \cdot 10)=\sigma(20)=42 \neq 3 \cdot 18=\sigma(2) \cdot \sigma(10) $이다.</p> <p>정의 7.2 $ \operatorname{gcd}(m, n)=1 $일 때, $ f(m n)=f(m) f(n) $인 산술 함수 $ f $를 승법 함수(multiplicative function)라 한다.</p> <p>$ f $ 가 항등적으로 0이 아닌 승법 함수이면 $ f(n) \neq 0 $인 정수 $ n $이 존재하고 $ f(n) =f(n \cdot 1)=f(n) f(1) $이므로 $ f(1)=1 $이다.</p> <p>정리 7.5 $ \tau $와 $ \sigma $는 승법 함수이다.</p> <p>증명 $ m $과 $ n $이 서로소라 하자. 먼저 $ m $ 또는 $ n $이 1이면 자명하므로 $ m>1 $, $ n>1 $ 이라 가정하자. 만일 \[ m=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}}, \quad n=q_{1}^{j_{1}} q_{2}^{j_{2}} \cdots q_{s}^{j_{s}} \] 라 놓으면 $ \operatorname{gcd}(m, n)=1 $이므로 $ \operatorname{gcd}\left(p_{i}, q_{j}\right)=1 $이다. 따라서 $ m n $의 소인수 분해는 \[ m n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}} \cdot q_{1}^{j_{1}} q_{2}^{j_{2}} \cdots q_{s}^{j_{s}} \] 이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \tau(m n) &=\left[\left(k_{1}+1\right) \cdots\left(k_{r}+1\right)\right]\left[\left(j_{1}+1\right) cdots\left(j_{s}+1\right)\right]=\tau(m) \tau(n), \\ \sigma(m n) &=\left[\frac{p_{1}^{k_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdots frac{p_{r}^{k_{r}+1}-1}{p_{r}-1}\right]\left[\frac{q_{1}^{j_{1}+1}-1}{q_{1}-1} \cdots \frac{q_{s}^{j_{s}+1}-1}{q_{s}-1}\right] \\ &=\sigma(m) \sigma(n) \end{aligned} \] 이다. 따라서 $ \tau $와 $ \sigma $는 승법 함수이다.</p> <p>보조정리 7.6 $ \operatorname{gcd}(m, n)=1 $이면 $ m n $의 양의 약수들은 $ d_{1}\left\|n, d_{2}\right\| m $ 그리고 $ \left(d_{1}, d_{2}\right)=1 $인 $ d_{1} d_{2} $들로 이루어져 있고 이 곱 $ d_{1} d_{2} $는 모두 다르다.</p> <p>증명 $ m>1, n>1 $이라 가정해도 충분하다. $ m $과 $ n $의 소인수분해를 \[ m=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}}, \quad n=q_{1}^{j_{1}} q_{2}^{j_{2}} \cdots q_{s}^{j_{s}} \] 라 놓으면 $ p_{1}, \cdots, p_{r}, q_{1}, \cdots, q_{s} $들은 모두 서로 다른 소수들이므로 따라서, $ m n $의 소인수분해는 \[ m n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}} q_{1}^{j_{1}} q_{2}^{j_{2}} \cdots q_{s}^{j_{s}} \] 이다. 그러므로 $ m n $의 양의 약수 $ d $는 \[ d=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}} q_{1}^{b_{1}} q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{s}^{b_{s}}, \quad 0 \leq a_{i} \leq k_{i}, \quad 0 \leq b_{i} \leq j_{i} \] 이다. 따라서 $ d=d_{1} d_{2}, \operatorname{gcd}\left(d_{2}, d_{2}\right)=1 $ 로 나타낼 수 있다. 여기서 $ d_{1}=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}, d_{2}=q_{1}^{b_{1}} q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{s}^{b_{s}} $이다.</p> <p>정리 7.7 $ f $가 승법 함수이면 $ F(n)=\sum_{d \mid n} f(d) $로 정의된 함수 $ F $도 승법 함수이다.</p> <p>$ F(m n)=\sum_{d \mid m n} f(d)=\sum_{d_{1}\left\|m, d_{2}\right\| n} f\left(d_{1} d_{2}\right) $</p> <p>또한, $ f $가 승법 함수이므로 $ f\left(d_{1} d_{2}\right)=f\left(d_{1}\right) f\left(d_{2}\right) $이다. 따라서 \[ \begin{aligned} F(m n) &=\sum_{d_{1}\left\|m, d_{2}\right\| n} f\left(d_{1}\right) f\left(d_{2}\right) \\ &=\left(\sum_{d_{1} \mid m} f\left(d_{1}\right)\right)\left(\sum_{d_{2} \mid n} f\left(d_{2}\right)\right)=F(m) F(n) \end{aligned} \] 이다. 즉, $ F $도 승법 함수이다.</p> <p>정리 7.5는 정리 7.7을 이용하여 다음과 같이 쉽게 증명된다.</p> <p>따름정리 7.8 $ \tau $와 $ \sigma $는 승법 함수이다.</p> <p>증명 분명히 $ f(n)=1, g(n)=n $인 함수는 승법 함수이다. 따라서 $ \tau(n)=\sum_{d \mid n} 1 $과 $ \sigma(n)=\sum_{d \mid n} d $도 승법 함수이다.</p> <p>보기 7.3</p> <p>$ n=14 $ 일 때 (7.3)의 이중합의 표현을 보면 \[ \begin{aligned} \sum_{d \mid 14} \sum_{c \mid \frac{14}{d}} \mu(d) f(c)=& \mu(1)[f(1)+f(2)+f(7)+f(14)]+\mu(14) f(1) \\ &+\mu(2)[f(1)+f(7)]+\mu(7)[f(1)+f(2)] \\ =& f(1)[\mu(1)+\mu(2)+\mu(7)+\mu(14)]+f(14) \mu(1) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &+f(2)[\mu(1)+\mu(7)]+f(7)[\mu(1)+\mu(2)] \\ =& \sum_{c \mid 14}\left(\sum_{d \mid \frac{14}{c}} f(c) \mu(d)\right) \end{aligned} \] 이다.</p> <p>보기 7.4</p> <p>$ \tau(n)=\sum_{d \mid n} 1 $이므로 $ f(n)=1, F(n)=\tau(n) $이라 놓으면 \[ \sum_{d \mid n} \mu(d) \tau\left(\frac{n}{d}\right)=1 \] 을 얻을 수 있다. 또한 $ \sigma(n)=\sum_{d \mid n} d $ 이므로 $ f(n)=n, F(n)=\sigma(n) $ 이라 놓으면 \[ \sum_{d \mid n} \mu(d) \sigma\left(\frac{n}{d}\right)=n \] 의 공식을 얻는다.</p> <p>보조정리 7.12 $ n $은 양의 정수, $ d $를 $ n $의 약수라 하면 $ 1 \leq k \leq n $이고 $ \operatorname{gcd}(k, n)=d $인 정수 $ k $의 개수는 $ \phi\left(\frac{n}{d}\right) $이다.</p> <p>증명 $ \operatorname{gcd}(k, n)=d $이면 $ d \mid k $이고 $ \operatorname{gcd}\left(\frac{k}{d,}, \frac{n}{d}\right)=1 $ 이다. 또한 $ 1 \leq k \leq n $이면 $ 1 \leq \frac{k}{d} \leq \frac{n}{d} $이므로 조건을 만족하는 정수 $ k $는 $ d \mid k, \operatorname{gcd}\left(\frac{k}{d,} \frac{n}{d}\right)=1 $이고, $ 1 \leq \frac{k}{d} \leq \frac{n}{d} $을 만족한다. 따라서 그런 정수 $ k $는 $ k=k^{\prime} d, \operatorname{gcd}\left(k^{\prime}, \frac{n}{d}\right)=1 $이고 $ 1 \leq k^{\prime} \leq \frac{n}{d} $을 만족한다. 반대로 $ \operatorname{gcd}\left(k^{\prime}, \frac{n}{d}\right)=1 $이고 $ 1 \leq k^{\prime} \leq \frac{n}{d} $인 정수 $ k^{\prime} $에 대하여 $ k=k^{\prime} d $는 보조정리의 조건을 만족시킨다. 따라서 보조정리의 조건을 만족시키는 정수 $ k $의 개수는 $ 1 \leq k^{\prime} \leq \frac{n}{d} $이고 $ \operatorname{gcd}\left(k^{\prime}, \frac{n}{d}\right)=1 $인 정수 $ k^{\prime} $의 개수, 즉 $ \phi\left(\frac{n}{d}\right) $과 같다.</p> <p>정리 7.13 양의 정수 $ n $에 대하여 다음이 성립한다. \[ n=\sum_{d \mid n} \phi(d) \]</p> <p>증명 $ 1 \leq k \leq n $인 모든 정수 $ k $는 $ n $의 오직 하나의 양의 약수 $ d $에 대하여 $ \operatorname{gcd}(k, n)=d $를 만족하므로 보조정리 7.12에 의하여 $ n=d d^{\prime} $이면 \[ n=\sum_{d \mid n} \phi\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d^{\prime} \mid n} \phi\left(d^{\prime}\right) \] 이다. 따라서 정리는 증명되었다.</p> <p>정리 7.13에 뫼비우스 역공식을 적용하면 \[ \phi(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) \frac{n}{d}=n \sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} \] 를 얻는다. $ \mu(n) $과 $ \frac{1}{n} $은 승법 함수이고 $ \frac{\mu(n)}{n} $도 승법 함수이다. 따라서 $ \frac{\phi(n)}{n} $도 승법 함수이고 $ \phi(n) $도 승법 함수임을 알 수 있다. 소수 $ p $와 정수 $ k \geq 1 $에 대하여 \[ \begin{aligned} \phi\left(p^{k}\right) &=p^{k} \cdot \sum_{d \mid p^{k}} \frac{\mu(d)}{d} \\ &=p^{k} \cdot\left(\frac{\mu(1)}{1}+\frac{\mu(p)}{p}+\frac{\mu\left(p^{2}\right)}{p^{2}}+\cdots+\frac{\mu\left(p^{k}\right)}{p^{k}}\right) \\ &=p^{k}\left(1-\frac{1}{p}\right) \end{aligned} \] 이므로 $ n=p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{r}^{k_{r}} $이면 \[ \phi(n)=\phi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \phi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \phi\left(p_{r}^{k_{r}}\right) \] $ =p_{1}^{k_{1}}\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right) p_{2}^{k_{2}}\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) $ $ =n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) $ $ =p_{1}^{k_{1}-1}\left(p_{1}-1\right) p_{2}^{k_{2}-1}\left(p_{2}-1\right) \cdots p_{r}^{k_{r}-1}\left(p_{r}-1\right) $.</p> <p>보기 7.5 $\phi(14400)=\phi\left(2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}\right)=2^{5}(2-1) \cdot 3^{1}(3-1) \cdot 5^{1}(5-1)=3840 $이다.</p>	자연
기초수학	<h2>4.1.3 유리식의 덧셈과 뺄셈</h2> <p>유리식을 더하고 빼는 규칙은 유리수를 더하고 빼는 규칙과 같다. 더하게 되는 (또는 빼게 되는) 두 유리식의 분모가 같으면, 우리는 분자를 더한다(또는 뺀다). 그리고 공통의 분모는 그대로 유지한다. 다음의 결과는 분모가 같은 두 유리식의 덧셈과 뺄셈의 성질이다.</p> <p>정리 4.1.5 분모가 같은 두 유리식의 덧셈과 뺄셈 $ \frac { a } { b } $ 와 $ \frac { c } { b } $ 가 두 유리식이라 하자. 그러면 $ \frac { a } { b } + \frac { c } { b } = \frac { a + c } { b } , \quad \frac { a } { b } - \frac { c } { b } = \frac { a-c } { b } (b \neq 0) $.</p> <p>보기 4.1.6 분모가 같은 두 유리식의 덧셈과 뺄셈 지적된 연산을 실행하고 그 결과를 간단히 하라. 답은 인수분해 된 꼴로 남겨두라.<ol type=a start=1><li>$ \frac { x ^ { 2 } -3 } { 2 x + 3 } + \frac { x + 1 } { 2 x + 3 } , x \neq- \frac { 3 } { 2 } $</li> <li>$ \frac { x } { x-2 } - \frac { 3 x + 6 } { x-2 } , x \neq 3 $</li></ol></p> <p>풀이<ol type=a start=1><li>$ \frac { x ^ { 2 } -3 } { 2 x + 3 } + \frac { x + 1 } { 2 x + 3 } = \frac {\left (x ^ { 2 } -3 \right ) + (x + 1) } { 2 x + 3 } $ $ = \frac { x ^ { 2 } + x-2 } { 2 x + 3 } $ $ = \frac { (x + 2)(x-1) } { 2 x + 3 } $</li> <li>$ \frac { x } { x-2 } - \frac { 3 x + 6 } { x-2 } = \frac { x-(3 x + 6) } { x-2 } $ $ = \frac { -2 x-6 } { x-2 } = \frac { -2(x + 3) } { x-2 } $</li></ol></p> <p>더해지거나 빼주게 되는 두 유리식의 분모가 다르면, 우리는 유리수의 덧셈과 뺄셈에 대한 일반적인 공식을 사용할 수 있다. 다음은 분모가 다른 두 유리식의 덧셈과 뺄셈에 관한 공식이다.</p> <p>정리 4.1.7 분모가 다른 두 유리식의 덧셈과 뺄셈 $ \frac { a } { b } $ 와 $ \frac { c } { d } $ 는 $ b \neq d $ 인 임의의 두 유리식이라 하자. 여기서 $ b \neq 0, d \neq 0 $. 그러면,<ol type=1 start=1><li>$ \frac { a } { b } + \frac { c } { d } = \frac { a \cdot d } { b \cdot d } + \frac { b \cdot c } { b \cdot d } = \frac { a d + b c } { b d } $</li> <li>$ \frac { a } { b } - \frac { c } { d } = \frac { a \cdot d } { b \cdot d } - \frac { b \cdot c } { b \cdot d } = \frac { a d-b c } { b d } $.</li></ol></p> <p>보기 $ 4.1 .8 $ 분모가 다른 두 유리식의 덧셈과 뺄셈 지적한 연산을 실행하고 이 결과를 간단히 하라. 답은 인수분해 된 꼴로 그대로 두라.<ol type=a start=1><li>$ \frac { x-3 } { x + 4 } + \frac { x } { x-2 } , x \neq-4,2 $</li> <li>$ \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -4 } - \frac { 1 } { x } , x \neq-2,0,2 $</li></ol></p> <p>풀이<ol type=a start=1><li>$ \frac { x-3 } { x + 4 } + \frac { x } { x-2 } = \frac { x-3 } { x + 4 } \cdot \frac { x-2 } { x-2 } + \frac { x + 4 } { x + 4 } \cdot \frac { x } { x-2 } $ $ = \frac { (x-3) \cdot(x-2) } { (x + 4) \cdot(x-2) } + \frac { (x + 4) \cdot x } { (x + 4) \cdot(x-2) } $ $ = \frac { (x-3)(x-2) + (x + 4) x } { (x + 4)(x-2) } $ $ = \frac { x ^ { 2 } -5 x + 6 + x ^ { 2 } + 4 x } { (x + 4)(x-2) } = \frac { 2 x ^ { 2 } -x + 6 } { (x + 4)(x-2) } $</li> <li>$ \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -4 } - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -4 } \cdot \frac { x } { x } - \frac { x ^ { 2 } -4 } { x ^ { 2 } -4 } \cdot \frac { 1 } { x } $ $ = \frac { x ^ { 2 } x- \left (x ^ { 2 } -4 \right ) \cdot 1 } {\left (x ^ { 2 } -4 \right ) x } $ $ = \frac { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } + 4 } { x(x-2)(x + 2) } $</li></p>	자연
s097-(R과 함께하는) 기초통계학	<p>예제 1</p> <p>X가 모비율 p인 베르누이 모집단으로부터 n개의 임의 표본을 추출하였을 때, 어떤 특정한 속성을 가지고 있는 개체수가 x일 때 모비율 p의 최대우도추정량 $ \hat { p } $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>선 우도함수는 $ \begin {aligned} L(p) &=p ^ { x_ { 1 } + x_ { 2 } + \cdots + x_ { n } } (1-p) ^ { n- \left (x_ { 1 } + x_ { 2 } + \cdots + x_ { n } \right ) } \\ &=p ^ { x } (1-p) ^ { n-x } \end {aligned} $이므로 양변에 대수를 취하여 다음과 같이 로그 우도함수를 얻을 수 있다. \[ \ln L(p)=x \ln p + (n-x) \ln (1-p) \] 로그 우도함수를 p에 관하여 미분하여 0으로 놓으면 $ \frac { d \ln L(p) } { d p } = \frac { x } { p } - \frac { n-x } { 1-p } =0 $이므로 이를 p에 관해 풀면 다음과 같은 최대우도추정 $ \hat { p } $ 를 얻을 수 있다. $ \hat { p } = \frac { x } { n } $</p> <p>예제 2</p> <p>$ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $ 을 확률밀도함수 \[f(x ; \theta)= \frac { 1 } {\theta } e ^ { -x / \theta } , 0<x< \infty, 0< \theta< \infty \] 를 갖는 분포의 확률표본이라 할 때 모수 $ \theta $ 의 최대우도추정량 $ \hat {\theta } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>우도함수는 $ \begin {aligned} L( \theta) &= \prod_ { i=1 } ^ { n } f \left (x_ { i } ; \theta \right )= \frac { 1 } {\theta } e ^ { -x_ { 1 } / \theta } \cdot \frac { 1 } {\theta } e ^ { -x_ { 2 } / \theta } \cdots \frac { 1 } {\theta } e ^ { -x_ { n } / \theta } \\ &= \frac { 1 } {\theta ^ { n } } \exp \left (- \frac { 1 } {\theta } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \right ), 0< \theta< \infty \end {aligned} $ 이고, 따라서 로그 우도함수는 \[ \ln L( \theta)=-n \ln \theta- \frac { 1 } {\theta } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } , 0< \theta< \infty \] 이다. 그러므로 우도방정식 \[ \frac { d } { d \theta } \ln L( \theta)=- \frac { n } {\theta } + \frac { 1 } {\theta ^ { 2 } } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } =0 \] 이고, 이 방정식의 해를 구하면 $ \hat {\theta } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } = \bar { x } $ 이다.</p> <p>풀이</p> <p>우선 표본평균과 표분분산을 먼저 구하면 각각 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \bar { x } &= \frac { 1 } { 5 } (2.9 + 2.5 + 3.7 + 3.0 + 2.8)=2.98, \\ s ^ { 2 } &= \frac { 1 } { 4 } \sum_ { i=1 } ^ { 5 } \left (x_ { i } -2.98 \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { 1 } { 4 } (0.0064 + 0.2304 + 0.5184 + 0.0004 + 0.0324) \\ &=0.197 \end {aligned} $ 따라서 표본표준편차는 $ s= \sqrt { 0.197 } =0.4438 $ 이고, $ 1- \alpha=0.95 $ 에 대하여 자유도 4인 t 분포표로부터 $ t_ { 0.025 } (4)=2.776 $ 을 얻는다. 그러면 $ 95 \% $ 신뢰구간의 하한과 상한은 각각 다음과 같다. $ \hat {\theta_ { 1 } } = \bar { x } -t_ { 0.025 } (4) \cdot \frac { s } {\sqrt { 5 } } =2.98-0.551=2.429 $, $ \hat {\theta_ { 2 } } = \bar { x } + t_ { 0.025 } (4) \cdot \frac { s } {\sqrt { 5 } } =2.98 + 0.551=3.531 $ 신뢰수준 $ 95 \% $에 대한 모평균 $ \mu $의 신뢰구간은 (2.429,3.531) 이다.</p> <h1>7.4 모비율의 구간추정</h1> <p>이항모집단의 모비율 p의 점추정량은 \[ \hat { p } = \frac { X } { n } \]이며, 여기서 X 를 어떤 특정한 속성을 가지고 있는 개체의 총수라 하면 X는 이항 분포 B(n, p)를 따른다. 또한 표본크기 n이 대표본일 때 X의 분포는 근사적으로 N(n p, n p(1-p))를 따른다. 이때 대표본의 기준은 흔히 $ n \hat { p } >5 $이고 $ n(1- \hat { p } )>5 $ 로 $ n $ 이 충분히 큰 경우를 의미한다.</p> <p>따라서 \[Z= \frac { X-n p } {\sqrt { n p(1-p) } } = \frac {\hat { p } -p } {\sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } } \]는 근사적으로 표준정규분포를 따르므로 임의의 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $에 대하여 $ P \left (-z_ {\alpha / 2 }< \frac {\hat { p } -p } {\sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } }<z_ {\alpha / 2 } \right )=1- \alpha $가 성립한다. 그러므로 좌변항의 괄호 속 부등식을 p에 관해 풀어서 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>우리는 $ E( \bar { X } )= \mu $임을 알고 있다. 따라서 $ \bar { X } $ $ \mu $의 불편추정량이며, 이러한 이유 때문에 $ \mu $의 추정량으로 가장 많이 사용한다. 불편성의 약점은 좋은 추정량이 갖추어야 할 성질로서 $ \theta $에 얼마나 가까운 값을 갖느냐가 아니라 $ \hat {\theta } $의 기댓값이 $ \theta $와 같은 것을 요구한다는 사실이다.</p> <p>n개의 표본을 반복하여 추출할 때 추정량이 갖는 값들은 서로 근사한 값들을 가져야 한다. 다시 말하면 어떤 특별한 표본을 이용하여 얻은 추정값이 다른 표본을 이용하여 얻은 추정값과 많은 차이를 갖지 않는 추정량이 바람직하다. 이러한 성질은 추정량의 분산이 작아야 함을 요구하며 분산이 작으면 추정량의 분포가 널리 퍼져 있지 않다는 의미이다.</p> <hp>정의2 । 유효추정량(efficient estimator)</p> <p>모수 $ \theta $에 대한 두 불편추정량을 $ \hat {\theta } _ { 1 } , \hat {\theta } _ { 2 } $라 하고, 각각의 분산을 $ \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta } _ { 1 } \right ) $, $ \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta } _ { 2 } \right ) $ 라 할 때 $ \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta } _ { 1 } \right )< \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta } _ { 2 } \right ) $ 이면 $ \hat {\theta } _ { 1 } $ 은 $ \hat {\theta } _ { 2 } $ 보다 더 유효한 추정량 (more efficient estimator)이라 한다. 모수 $ \theta $ 의 가능한 모든 불편추정량 가운데 가장 작은 분산을 갖는 추정량을 최량불편추정량(best unbiased estimator) 또는 최소분산불편추정량(minimum variance unbiased estimator)이라 한다.</p> <p>그림 1은 크기 n 인 표본을 이용한 세 가지 추정량 $ \hat {\theta_ { 1 } } , \hat {\theta_ { 2 } } , \hat {\theta_ { 3 } } $의 분포를 보여준다. 세 추정량 가운데 $ \hat {\theta_ { 1 } } $과 $ \hat {\theta_ { 2 } } $의 평균값은 모수 $ \theta $와 같으며 $ E \left ( \hat {\theta_ { 3 } } \right )>\theta $이므로 $ \hat {\theta_ { 3 } } $ 는 양의 편의를 갖는다. $ \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta_ { 1 } } \right )>\operatorname { Var } \left ( \hat {\theta_ { 2 } } \right )>\operatorname { Var } \left ( \hat {\theta_ { 3 } } \right ) $ 이므로 $ \hat {\theta_ { 3 } } $ 의 분산이 가장 작지만 $ \hat {\theta_ { 3 } } $ 는 불편추정량이 아너므로 가장 유효한 추정량이 되지 못한다. 유효성은 $ \theta $ 의 불편추정량 가운데 분산이 가장 작은 추정량을 요구하므로 이 경우 $ \hat {\theta_ { 2 } } $이 유효추정량이며 모든 불편추정량 가운데 가장 유효한 추정량을 증명하는 작업은 쉽지 않다.</p> <p>$ E \left (S ^ { 2 } \right )= \sigma ^ { 2 } $</p> <p>따라서 $ S ^ { 2 } $은 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $의 불편추정량임을 알 수 있다.</p> <p>모비율(population proportion)은 어떤 정부 시책에 대한 국민 지지율이나 어떤 상품의 시장 점유율 또는 부품생산에 있어서 불량률 등과 같이 모집단에서 어떤 특정한 속성을 갖는 비율을 의미한다. 따라서 모비율의 추정은 여론조사, 시장조사, 품질관리분야에서 많이 요구되고 있다.</p> <p>어떤 특정한 속성에 대한 모비율이 p인 무한모집단으로부터 n개의 임의 표본을 추출하였을 때, 특정한 속성을 가지고 있는 개체의 총수를 X라 하면 X는 이항분포 B(n, p)를 따른다. 이때 모비율의 추정량인 표본비율(sample proportion)은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \hat { p } = \frac { X } { n } $</p> <p>X가 이항분포 b(n, p)를 따를 때 $ E(X)=n p $, $ \operatorname { Var } (X)=n p(1-p) $ 이 성립되므로, 표본비율 $ \hat { p } $ 의 기댓값과 분산은 다음과 같다. $ E( \hat { p } )=p $, $ \operatorname { Var } ( \hat { p } )= \frac { p(1-p) } { n } $ 그러므로 $ \hat { p } $ 는 모비율 $ p $ 의 불편추정량이면서 일치추정량이다.</p> <p>예제 3</p> <p>어떤 제품의 품질 특성을 조사하기 위하여 10개의 표본을 추출하여 측정한 결과 다음과 같은 값을 얻었다. 2.3 2.2 2.1 1.9 2.2 2.4 2.1 2.3 1.7 1.8 이 품질 특성값에 대한 모평균 $ \mu $와 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $, 그리고 모표준편차 $ \sigma $를 추정하여라.<p>풀이</p> <p>모평균의 추정값은 $ \hat {\mu } = \bar { X } = \frac { 1 } { 10 } (2.3 + 2.2 + \cdots + 1.8)=2.1 $ 이고 모분산의 추정값은 $ \begin {aligned} \hat {\sigma } ^ { 2 } =S ^ { 2 } &= \frac { 1 } { 10-1 } \left [(2.3-2.1) ^ { 2 } + (2.2-2.1) ^ { 2 } + \cdots + (1.8-2.1) ^ { 2 } \right ] \\ &=0.0533 \end {aligned} $이다. 그리고 모표준편차의 추정값은 \[S= \sqrt { 0.0533 } =0.231 \]이다.</p> <p>표본 수가 작은 경우에는 추정량의 불편성과 유효성은 바람직한 성질들이지만 이와 다른 추정량의 성질로서 충분성을 생각할 수 있다. 충분성이라는 의미는 표본이 제공하는 모수에 대한 모든 정보를 이용한 추정량이라는 의미이다. 즉 충분통계량이란 표본의 모든 관측값을 이용할 뿐 아니라 관측값들이 제공하는 정보도 이용하는 추정량인 것을 의미한다. 우리는 일반적으로 모수 $ \theta $를 추정하는 데 있어서 통계량 $ \hat {\theta } $가 $ \theta $의 추정량으로 사용될 때, 통계량 $ \hat {\theta } $가 표본에 포함되어 있는 $ \theta $에 관한 모든 정보를 갖고 있으면 통계량 $ \hat {\theta } $를 $ \theta $의 충분통계량이라 한다. 이것은 충분통계량 값이 알려지면 다른 통계량들의 관찰값들도 모수에 대한 더 많은 정보를 갖지 않음을 의미한다. 따라서 $ \hat {\theta } $를 모수 $ \theta $의 충분통계량이라 하면 $ \hat {\theta } $의 값이 주어졌을 때 그 어떤 다른 통계량들의 조건부분포도 모수 $ \theta $를 포함하지 않는다. 이를 이용하면 표본의 중앙값은 관측값들의 순위만을 이용하고 관측값들이 제공하는 숫자적인 정보를 이용하지 않으므로 충분통계량이 아니다.</p> <p>충분통계량의 정의와 성질은 기초통계학의 범위를 벗어나므로 생략한다.</p> <h1>7.2 최대우도추정</h1> <p>앞에서 소개한 바람직한 추정량의 조건 또는 특징들은 추정량이 훌륭한 것인지를 판단하는 기준을 제공하지만 이러한 조건들을 전부 또는 대부분 보유하는 추정량을 구하는 방법을 제시하지는 못하고 있기 때문에 이를 별도로 고려해볼 필요가 있다. 예를 들면 모평균의 추정량인 표본평균이나 모비율의 추정량인 표본비율의 경우처럼 앞에서 설명한 모든 조건을 갖춘 추정량이 있는 반면, 이처럼 모든 특성을 고루 갖춘 추정량의 발견이 가능치 못한 경우도 있다. 이러할 때에는 여러 특성 중 어느 것을 중요시하는가 하는 문제가 발생하는데, 이런 경우에는 적절한 추정량을 결정 할 수 있는 일반적인 과정을 밟는 것이 중요하다. 이러한 과정에는 여러 가지가 있으며, 그중에서도 최대우도추정방법을 제일 많이 사용한다.</p> <p>피셔(R. A. Fisher)는 좋은 추정량이 되기 위한 기준들의 상당히 많은 조건을 만족하는 추정량을 찾기 위한 방법으로 최대우도추정방법을 개발하였다. 그는 1920년대에 추정량을 구하는 최대우도추정방법을 제시하였는데 이 방법에 의한 추정량은 앞에서 연구한 좋은 추정량의 몇 가지 성질을 지닌다. 특히 이 방법은 추정량을 구하기가 용이하고 구한 추정량은 표본크기가 클 때 모수 근처에서 정규분포에 가까우므로 자주 사용된다. 최대우도추정방법은 주어진 표본이 추출될 가장 가능한 표본공간을 택하여 모수를 추정한다. 이 말은 다시 말하면 다른 표본공간에서 가장 빈번히 관측된 표본을 생성할 수 있는 표본공간이 선택된다는 의미이다.</p> <p>따라서 표준정규분포의 성질로부터 임의의 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $ 에 대하여 \[P \left (-z_ {\alpha / 2 }<Z<z_ {\alpha / 2 } \right )=1- \alpha \] 가 성립한다. 여기서 $ z_ {\alpha / 2 } $는 표준정규분포 N(0,1)에서 오른쪽 꼬리의 넓이가 $ ( \alpha / 2) $인 점을 나타내며, 구간추정에서 $ z_ {\alpha / 2 } $값으로 $ z_ { 0.05 } =1.645, \quad z_ { 0.025 } =1.96 $, $ z_ { 0.005 } =2.576 $이 주로 사용-된다.</p> <p>위의 식에 Z 통계량을 대입하면 \[P \left (-z_ {\alpha / 2 }< \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } }<z_ {\alpha / 2 } \right )=1- \alpha \]이므로, 좌변 항의 괄호 속 부등식을 $ \mu $에 관해 풀어 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>$ P \left ( \bar { X } -z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } }< \mu< \bar { X } + z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right )=1- \alpha $</p> <p>따라서 모평균 $ \mu $ 에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간은 다음과 같다.</p> <p>$ \left ( \bar { X } -z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } , \bar { X } + z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right ) $</p> <p>이것은 모평균 $ \mu $가 위의 구간에 포함될 것을 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰할 수 있음을 의미한다. 또한 모집단의 분포가 정규분포가 아닌 임의의 모집단에서 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 알고 있을 때 미지의 모평균 $ \mu $의 신뢰구간은 n이 대표본일 경우 중심극한정리에 의해 위의 식을 그대로 사용한다.</p> <p>예제 1</p> <p>어느 회사에서 생산하는 비누 무게는 분산이 $ \sigma ^ { 2 } =4( \mathrm { ~g } ) $인 정규분포를 따른다고. 한다. 25개의 비누를 임의 추출하였을 때 그 평균무게의 값은 $ \bar { X } =97( \mathrm { ~g } ) $이었다. 실제 평균무게 $ \mu $에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하여라.</p> <p>예제 2</p> <p>미지의 평균 $ \mu $와 미지의 분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 갖는 분포도에서 크기 3인 확률표본을 관측하였다. 이때 $ \mu $를 추정하기 위하여 추정량으로 $ Y_ { 1 } = \bar { X } $ 와 $ Y_ { 2 } = $ $ \frac { X_ { 1 } + 2 X_ { 2 } + 2 X_ { 3 } } { 5 } $ 를 사용한다고 할 때, 더 유효한 추정량을 찾아라.</p> <p>풀이</p> <p>\[E \left (Y_ { 1 } \right )= \frac { 1 } { 3 } E \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + X_ { 3 } \right )= \frac { 1 } { 3 } ( \mu + \mu + \mu)= \mu \]이고 \[E \left (Y_ { 2 } \right )= \frac { 1 } { 5 } E \left (X_ { 1 } + 2 X_ { 2 } + 2 X_ { 3 } \right )= \frac { 1 } { 5 } ( \mu + 2 \mu + 2 \mu)= \mu \]이므로 모두 불편추정량이다. 그런데 \[ \operatorname { Var } \left (Y_ { 1 } \right )= \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } = \frac {\sigma ^ { 2 } } { 3 } \] 이고 \[ \operatorname { Var } \left (Y_ { 2 } \right )= \left ( \frac { 1 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } = \frac { 9 \sigma ^ { 2 } } { 25 } \]이므로 $ \operatorname { Var } \left (Y_ { 1 } \right )< \operatorname { Var } \left (Y_ { 2 } \right ) $ 이다. 따라서 $ Y_ { 1 } $ 은 $ Y_ { 2 } $ 보다 더 유효한 추정량이다.</p> <p>추정량은 추출된 표본에 따라 변하는 통계량이고, 미지의 모수 $ \theta $에 대한 통계량은 여러 가지가 있을 수 있다. 따라서 어떤 추정량 $ \hat {\theta } $가 좋고 나쁜지는 추정량의 표본분포가 모수 $ \theta $ 주위에 어떤 형태로 분포되어 있는가에 달려 있다고 할 수 있다.</p> <p>어떤 모수에 대한 점추정을 할 때 쓰는 점추정량으로는 표본평균, 중앙값, 최빈값 등 여러 가지가 있을 수 있는데, 이중 좋은 성질을 가지고 있는 추정량을 사용하는 것이 바람직하다. 좋은 추정량 $ \hat {\theta } $가 갖는 성질로 다음과 같은 몇 가지의 성질을 생각할 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>추정량의 기댓값이 모수의 참값과 같아야 하는 불편성(unbiasedness)</li> <li>추정량이 다른 추정량과 비교하여 상대적으로 작은 분산을 갖는 유효성 (efficiency)</li> <li>표본으로부터 이용가능한 정보를 사용하는 충분성(sufficiency)</li> <li>표본의 크기가 매우 크다면 참값에 매우 가까운 추정량을 거의 항상 얻게 되는 일치성(consistency)</li></ol> <p>정의 1 \| 불편추정량(Unbiased Estimator)</p> <p>통계량 $ \hat {\theta } =u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) $ 이 모수 $ \theta $ 의 추정량이라 하자. 만일 $ E \left [u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) \right ]= \theta $ 이면 통계량 $ u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) $ 은 $ \theta $ 의 불편추정량(unbiased estimator)이라 한다. 그렇지 않으면 $ \hat {\theta } $ 는 편의(偏倚, biased) 되었다고 하고 $ \hat {\theta } $가 $ \theta $ 의 편의추정량이면 $ b( \hat {\theta } )=E( \hat {\theta } )- \theta $를 편의라 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>$ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $ 이 $ B(1, p) $ 로부터의 확률표본이라 하자. $ \bar { X } $ 는 모수 p의 불편추정량임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>통계량 $ Y= \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } $ 는 $ B(n, p) $ 를 따르며, 이때 통계량 $ \bar { X } =Y / n $ 는 \[E \left [ \frac { X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } } { n } \right ]= \frac { 1 } { n } E \left [X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \right ] \] $ = \frac { 1 } { n } \left (E \left [X_ { 1 } \right ] + E \left [X_ { 2 } \right ] + \cdots + E \left [X_ { n } \right ] \right ) $ $ = \frac { 1 } { n } (p + p + \cdots + p)= \frac { 1 } { n } (n p)=p $ 이므로 $ \bar { X } $ 는 모수 $ p $ 의 불편추정량이다.</p> <h1>7.1 추정의 개념</h1> <p>모집단의 특성을 나타내는 모수의 정확한 값을 모르는 경우 표본을 기초로 하여 모집단에 관한 정보를 얻으려고 하는 것을 통계적 추론(Statistical Inference)이라 한다. 일반적으로 모집단의 규모란 방대한 것이어서 이들을 구성하는 요소 전부를 관측한다는 것은 시간이나 경비 문제상 어려움이 많게 된다. 따라서 모집단의 특성을 나타내는 모수값을 직접 계산하기 힘들며, 이러한 이유로 우리는 모집단으로부터 적절한 과정을 통해 추출한 표본을 대신 관찰함으로써 모수값을 취하게 된다.</p> <p>통계적 추론에서 가장 중요한 부분은 추정과 검정이론을 들 수 있다. 이 장에서는 먼저 추정이론을 다루기로 한다.</p> <p>앞 장에서 우리는 확률표본들의 특징들로부터 그 모집단의 특징을 알아았다. 예를 들면 표본평균 $ \bar { X } _ { n } $는 모평균 $ \mu $를 알아보기 위해 사용했고, 표본분산 $ S ^ { 2 } $은 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 알아보는 데 사용될 수 있다. 여기서 미지의 모평균, 모분산 등을 모수 (parameter)라 하고 모수 $ \theta $의 모든 가능한 값의 집합 $ \Omega $를 모수공간(parameter space)이라 한다. 이 미지의 모수들을 가능한 한 정확히 예측(추정)하고자 하는 것이 우리의 주된 목적이다. 그러면 그런 모수를 어떤 도구로 어떻게 예측(추정)할 것인가?</p> <p>모집단으로부터 추출된 표본을 이용하여 하나의 값으로 모수를 추정하는 것을 점추정(point estimation)이라 하고, 모수가 속하는 구간을 추정하는 것을 구간추정(interval estimation)이라 한다.</p> <p>확률변수 X의 확률밀도함수는 알려져 있는 함수 형태로 임의의 값을 갖는 미지의 모수 $ \theta $에 의존한다고 하며 $ f(x ; \theta), \theta \in \Omega $와 같이 표시하기로 하자. 이때 모수공간 전체에 대한 확률함수 또는 확률밀도함수들의 집합 $ \{ f(x ; \theta) ; \theta \in \Omega \} $ 를 분포족(family of distributions)이라 한다. 우리는 때때로 이러한 분포족으로부터 확률변수의 확률 함수 또는 확률밀도함수 하나를 정확하게 택해야 할 필요가 있다. 이때 모수 $ \theta $에 대한 점추정값, 즉 선택된 확률밀도함수에 대응하는 모수값이 필요한 것이다.</p> <p>$ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $을 분포족 $ \{ f(x ; \theta) ; \theta \in \Omega \} $의 하나의 원소인 확률함수 또는 확률밀도함수를 갖는 분포로부터 추출한 확률표본이라 하자. 이제 이 표본들의 관측값 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $을 이용하여 모수 $ \theta $의 값을 추정하려 하고, 모수 $ \theta $를 추정하기 위해 사용되는 확률표본(random sample) $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $들의 함수인 통계량 $ Y = u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) $을 모수 $ \theta $의 추정량(estimator)이라 하고 $ \hat {\theta } $로 표기한다. 그러면 이 추정량 $ Y=u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) $이 모수 $ \theta $의 정확한 추정량이 되려면 어떤 성질들을 갖추어야 하겠는가?</p> <p>$ t= \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } } $</p> <p>이때 t 통계량은 자유도 n-1 인 t 분포를 따른다.그러므로 임의의 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $에 대하여 $ P \left (-t_ { (n-1, \alpha / 2) }< \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } }<t_ { (n-1, \alpha / 2) } \right )=1- \alpha $가 성립한다. 여기서 $ t_ { (n-1, \alpha / 2) } $ 는 자유도 n-1인t 분포의 오른쪽 꼬리의 넓이가 $ ( \alpha / 2) $인 점을 나타내며, 구간추정에서 $ t_ { (n-1, a / 2) } $ 값으로 $ t_ { (10,0.025) } =2.228 $, $ t_ { (20,0.025) } =2.086, t_ { ( \infty, 0.025) } =1.96 $ 이 주로 사용된다.</p> <p>위 식의 좌변 항의 괄호 속 부등식을 $ \mu $에 관해 풀어서 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>$ P \left ( \bar { X } -t_ { (n-1, \alpha / 2) } \frac { S } {\sqrt { n } }< \mu< \bar { X } + t_ { (n-1, \alpha / 2) } \frac { S } {\sqrt { n } } \right )=1- \alpha $</p> <p>따라서 $ n<30 $인 경우 모평균 $ \mu $에 대한 $ (1- \alpha) 100 \% $ 신뢰구간은 다음과 같다.</p> <p>$ \left ( \bar { X } -t_ { (n-1, \alpha / 2) } \frac { S } {\sqrt { n } } , \bar { X } + t_ { (n-1, \alpha / 2) } \frac { S } {\sqrt { n } } \right ) $ $ t \left (n-1, \frac {\alpha } { 2 } \right ) $는 $ t_ {\frac {\alpha } { 2 } } (n-1) $로도 표시한다.</p> <p>예제 2</p> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서 크기 5인 표본을 추출한 결과 [2.9 2.5 3.7 3.0 2.8 ]을 얻었다. 이 결과를 이용하여 모평균 $ \mu $에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하여라.</p> <p>$ P \left ( \hat { p } -z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } }<p< \hat { p } + z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } \right )=1- \alpha $</p> <p>따라서 표본크기 n이 대표본일 때 모비율 p에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간은 다음과 같다.</p> <p>$ \left ( \hat { p } -z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } , \hat { p } + z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } \right ) $</p> <p>예제 1</p> <p>어떤 공정에서 제조된 최근의 로트로부터 100개의 표본을 취해서 검사해본 결과 2개의 불량품이 나왔다. 모불량률의 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \hat { p } = \frac { 2 } { 100 } =0.02 $ 이고. $ z_ {\alpha / 2 } =z_ { 0.025 } =1.96 $ 이므로 모불량률 $ 95 \% $ 신뢰구간은 다음과 같다. $ 0.02-1.96 \sqrt {\frac { 0.02 \times 0.98 } { 100 } }<p<0.02 + 1.96 \sqrt {\frac { 0.02 \times 0.98 } { 100 } } $ 즉 $ 0.02-0.02744<p<0.02 + 0.02744 $ 이고, 따라서 $ 0<p<0.04744 $ 이다.</p> <h1>7.5 표본의 크기 결정</h1> <p>모수를 추정하기 위하여 표본을 추출하는데 이때 표본의 크기를 얼마로 하여야 할 것인가를 결정해야 한다. 일반적으로 표본의 크기가 너무 크면 시간과 노력이 많이 소비되는 반면 표본의 크기가 너무 작으면 오차가 큰 정보를 얻을 수 있다. 따라서 정해진 오차한계(limit of error)를 만족시키는 표본의 크기 결정이 필요하다.</p> <h2>7.5.1 모평균 추정에서의 표본의 크기 결정</h2> <p>모평균 $ \mu $를 추정하는 데 있어서 오차한계를 정해진 값 d보다 작게 하려면 표본의 크기를 얼마로 하면 좋은가를 결정해보자. 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 알고 있을 때 모평균 $ \mu $에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간 $ \bar { X } \pm z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } $에서 $ z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } $ 는 모수와 추정량 차이로서 오차가 이것보다 작을 가능성이 $ 100(1- \alpha) \% $ 임을 의미한다. 이때 $ z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } $ 를 모평균 $ \mu $의 추정에서 오차의 한계 라고 한다. 따라서 오차한계 $ z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } $를 d와 같게 두고, n에 대해서 풀면 다음을 얻을 수 있다.</p> <p>$ n= \left (z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } { d } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>위의 식은 모표준편차 $ \sigma $를 알고 있는 경우에만 사용 가능하며, 실제로 $ \sigma $ 를 모르는 경우가 대부분이므로 예비표본을 미리 추출하여 $ \sigma $를 추정하여 표본의 크기 n을 구할 수 있다.</p> <p>예제 1</p> <p>어느 공장에서 생산되고 있는 제품은 평균 사용시간이 2,000(시간) 이고, 표준편차는 200(시간)으로 품질관리를 하고 있다. 현재 생산되고 있는 제품의 평균 사용시간의 추정에서 $ 95 \% $ 오차한계가 40시간 이내가 되기 위해서 필요한 표본의 크기를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[n \geq \left (z_ { 0.025 } \frac {\sigma } { d } \right ) ^ { 2 } = \left (1.96 \times \frac { 200 } { 40 } \right ) ^ { 2 } =96.04 \]이므로 필요한 표본의 크기는 n=97 이다.</p> <h2>7.5.2 모비율 추정에서의 표본의 크기 결정</h2> <p>모비율 p에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간 \[ \hat { p } \pm z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } \] 에서 오차한계 $ z_ {\alpha / 2 } \sqrt {\frac {\hat { p } (1- \hat { p } ) } { n } } $ 를 d와 같게 두고 n에 대해서 풀면 다음과 같다.</p> <p>$ n= \hat { p } (1- \hat { p } ) \left ( \frac { z_ {\alpha / 2 } } { d } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>위의 식은 $ \hat { p } $가 사전조사나 과거 경험에 의해 추정된 p-값으로 알고 있는 경우에만 사용 가능하다. 그러나 p-값에 대한 사전정보가 전혀 없을 때는 $ \hat { p } (1- \hat { p } ) $의 최대변동인 $ \hat { p } = \frac { 1 } { 2 } $ 일 때 주로 사용하며, 이때 표본의 크기 n은 다음과 같다.</p> <p>풀이</p> <p>$ z_ {\alpha / 2 } =z_ { 0.025 } =1.96 $ 이고, $ \sigma=2, n=25 $ 이므로 $ \mu $ 에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간 \[97-1.96 \frac { 2 } {\sqrt { 25 } }< \mu<97 + 1.96 \frac { 2 } {\sqrt { 25 } } \text { , 즉 } 96.216< \mu<97.784 \]이다.</p> <h2>7.3.2 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 모르는 경우 모평균 $ \mu $의 구간추정</h2> <p>정규모집단 $N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 모를 때 미지의 모평균 $ \mu $의 신뢰구간을 구해보자. 우선 정규모집단으로부터 추출한 표본크기 n이 대표본 $ (n \geq 30) $ 일 경우 모평균 $ \mu $에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간은 모표준편차 $ \sigma $대신 표본표준편차 S를 대입하여 다음과 같이 구할 수 있다.</p> <p>$ \left ( \bar { X } -z_ {\alpha / 2 } \frac { S } {\sqrt { n } } , \bar { X } + z_ {\alpha / 2 } \frac { S } {\sqrt { n } } \right ) $</p> <p>또한 모집단의 분포가 정규분포가 아닌 임의의 모집단에서 n이 대표본일 경우 중심극한정리에 의해 $ \bar { X } $는 근사적으로 정규분포를 따르므로, 모표준편차 $ \sigma $는 표본 표준편차 S로 추정될 수 있으므로 모평균 $ \mu $의 구간추정은 위의 식을 그대로 사용 할 수 있다.</p> <p>위의 식을 이용하여 신뢰구간을 구하는 경우 표본에 따라 $ \bar { x } $와 S가 변하므로 신뢰구간도 변하게 된다. 따라서 신뢰구간을 반복적으로 구할 때, 신뢰구간 중에는 모평균 $ \mu $를 포함하지 않는 경우도 있지만 전체의 약 $ 100(1- \alpha) \% $ 정도는 모평균 $ \mu $를 포함할 것으로 기대할 수 있다.</p> <p>그러나 표본크기 n이 소표본 $ (n<30) $일 경우 모집단이 정규분포를 따를 때에도 $ \sigma $ 대신 S를 대입한 것이 정규분포와는 크게 다를 수 있으므로 이러한 경우 다른 분포가 필요하게 된다. 따라서 Z 통계량에서 $ \sigma $ 대신 S를 대입한t 통계량은 다음과 같다.</p> <p>모평균 $ \mu $의 추정량으로 여러 가지 통계량이 사용될 수 있으며, 그 가운데 가장 대표적인 것이 표본평균이다. 모집단으로부터 추출한 크기 n인 임의 표본을 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $ 이라 할 때 모평균의 추정량인 표본평균은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \bar { X } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } $</p> <p>모평균이 $ \mu $이고 모분산이 $ \sigma ^ { 2 } $인 무한모집단으로부터 크기 n인 표본을 복원추출 할 때 표본평균 $ \bar { X } $는 다음과 같은 성질을 갖는다.</p> <p>$ E( \bar { X } )= \mu $, $ \operatorname { Var } ( \bar { X } )= \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } $</p> <p>따라서 $ \bar { X } $는 모평균 $ \mu $의 불편추정량이고, $ \bar { X } $의 분산이 $ \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } $이므로 표준편차는 $ \frac {\sigma } {\sqrt { n } } $이다. 모평균이 $ \mu $이고 모분산이 $ \sigma ^ { 2 } $인 모집단으로부터 크기 n인 임의 표본을 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $이라 할 때 모분산의 추정량인 표본분산은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>6.2절의 성질 4에 의하면 $ \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n-1) $ 이므로 무한모집단으로부터 임의 표본을 추출하여 얻은 표본분산 $ S ^ { 2 } $은 다음과 같은 성질을 갖는다.</p> <h1>7.7 R을 이용한 빅데이터 분석</h1> <p>국민생활과 직결되는 공산품, 전기용품 등의 제품안전정책과 시험인증, 법정계량제도 정책을 수립·시행하고 있는 국가기술표준원(http://www. kats.go.kr)에서는 한국인 인체표준 정보 데이터베이스를 구축하고, 한국인이 쓰기에 편리한 제품개발과 생활공간 디자인에 필요한 인체표준정보를 제공하는 한국인 인체치수조사보급사업을 추진하고 있다. 이 사업은 1979년 1차 측정을 시작으로 2015년 7차 측정까지 $ 5 \sim 7 $년 주기로 한국인의 인체치수 측정을 통해 도출된 한국인 인체표준정보를 구축하여 산업계에 보급하고 있다. 이 중 5차부터 7차 인체치수데이터를 한국인 인체치수조사 sizekorea(http://sizekorea.kr/)를 홈페이지에서 공개하고 있다.</p> <p>예제 1</p> <p>제7차 인체치수데이터를 "http://sizekorea.kr/"에서 다운로드 받는다. 이 데이터는 전국 5개 권역(서울/경기, 인천, 강원/영납/호납/충청) 단위로 남자 3,192 명, 여자 3,221 명 등 총 6,413명에 대해 총 133개 항목을 측정하였다.</p> <ol type= start=1><li>sizekorea.csv 자료를 이용하여 체지방량 변수에서 15개의 확률표본을 추출하 여라. 단, na.omit()를 이용하여 결측값이 들어있는 자료는 삭제한다.</li> <li>(1)에서 추출한 표본을 이용하여 평균 체지방량에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하 여라.</li> <li>sizekorea.csv 자료의 기초대사량평가 변수에서 표준은 1 로, 나머지는 0으로 코덩했을 때, 정상 기초대사량 비율에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하여라.</li></ol> <p>예제 2</p> <p>$ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $ 은 평균이 $ 1 / \lambda $ 인 지수분포로부터의 확률표본이다.</p> <p>(1) $ \lambda=5 $ 이고, $ n $ 이 100 일 때 자료를 생성하여 $ \lambda $의 로그 우도함수를 정의하고, 이것을 최대로 하는 $ \lambda $의 값을 구하라. 또한 이 결과를 $ \lambda $의 이론적인 최대우도추정량의 값과 비교하여 0이 됨을 확인하여라.</p> <p>(2) (1)의 경우에 대해 우도함수와 로그 우도함수의 그래프를 그려라.</p> <p>신뢰구간을 잘못 해석하는 예는 "모수 $ \theta $가 신뢰구간 [L, U]에 포함될 확률은 $ 100(1- \alpha) $이다"라고 하는 것이다. 즉, 모평균, 모분산, 모비율 등 모수는 상수이므로 확률분포를 갖지 않으며, 따라서 확률도 정의되지 않는다. 다음 시뮬레이션을 통한 예를 통해서 신뢰구간에 대한 개념을 살펴보자.</p> <p>예제 3</p> <p>표준정규분포로부터 10개의 표본을 뽑아 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하는 것을 100번 반복했을 때, 몇 개의 신뢰구간이 모평균 0을 포함하는지 확인하여라.</p> <p>표본크기가 변하면 추정량의 분포도 변하기 때문에 $ n \rightarrow \infty $일 때 추정량의 성질은 중요하다. 6장의 표 4에서 보듯이 균등분포에서 표본크기가 $ n=1 $이면 $ \bar { X } $의 분포는 모집단 분포와 동일한 균등분포이다. 표본크기가 $ n=2 $이면 $ \bar { X } $의 분포는 삼각형 모양의 분포이다. $ n=30 $이면 $ \bar { X } $의 분포는 점점 더 정규분포에 가까워짐을 알 수 있다. 추정량에 요구되는 또 다른 성질로서 표본크기가 매우 크다면 참값에 매우 가까운 값을 거의 항상 얻게 되기를 요구할 수 있다. 이러한 성질을 일치성이라고 한다.</p> <p>정의 3 \| 일치추정량(consistent estimator)</p> <p>모수 $ \theta $의 추정량을 $ \hat {\theta } _ { n } $이라 할 때 임의의 양수 $ \varepsilon $에 대하여 $ \hat {\theta } _ { n } $이 $ \theta $에 확률수렴하면, 즉 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left ( \left \| \hat {\theta } _ { n } - \theta \right \|< \varepsilon \right )=1 \text { 또는 } \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left ( \left \| \hat {\theta } _ { n } - \theta \right \| \geq \varepsilon \right )=0 \]이 성립하면 $ \hat {\theta } _ { n } $ 을 $ \theta $ 의 일치추정량이라 한다.</p> <p>다음 성질은 일치성을 만족하는 두 가지 충분조건을 제시한다.</p> <p>성질 1</p> <p>표본크기가 $ n $ 이고 $ \hat {\theta_ { n } } $ 을 $ \theta $ 의 한 추정량이라고 하자. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } E \left ( \hat {\theta_ { n } } \right )= \theta, \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { Var } \left ( \hat {\theta_ { n } } \right )=0 \]이면 $ \hat {\theta_ { n } } $은 $ \theta $의 일치추정량이다.</p> <p>성질 1에 의하면 $ \bar { X } _ { n } $ 는 $ \mu $의 일치추정량이다. 이제 모집단의 대표적 모수인 모평균, 모분산과 모표준편차, 그리고 모비율에 대한 점추정에 대하여 살펴보자.</p> <h1>7.3 모평균의 구간추정</h1> <p>구간추정이란 미지 모수 $ \theta $의 참값이 속할 것으로 기대되는 구간을 추정하는 것이다. 미지 모수 $ \theta $의 구간추정을 위하여 표본으로부터 계산한 추정량 $ \hat {\theta } _ { 1 } , \hat {\theta } _ { 2 } $를 정하고 주어진 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $에 대하여 $ P \left ( \hat {\theta } _ { 1 }< \theta< \hat {\theta } _ { 2 } \right )=1- \alpha $가 만족될 때 구간 $ \left ( \hat {\theta } _ { 1 } , \hat {\theta } _ { 2 } \right ) $를 $ \theta $의 $ (1- \alpha) 100 \% $ 신뢰구간(confidence interval) 또는 구간추정량(interval estimator)이라 하고, $ (1- \alpha) $를 신뢰계수(confidence coefficient) 또는 신뢰도(degree of confidence)라 한다. 그리고 $ \hat {\theta } _ { 1 } $과 $ \hat {\theta } _ { 2 } $를 신뢰한계(confidence limits)라 하며, $ \hat {\theta } _ { 1 } $을 신뢰하한(confidence lower limit), $ \hat {\theta } _ { 2 } $을 신뢰상한(confidence upper limit)이라 한다.</p> <p>신뢰계수는 일반적으로 $ \alpha $가 0.1,0.05,0.01이 되는 $ 90 \%, 95 \%, 99 \% $를 주로 사용한다. $ 90 \% $ 신뢰도라 함은 표본으로부터 얻은 신퇴구간이 정확한 모수의 참값을 포함할 확률이 $ 90 \% $임을 나타내는 것이 아니고, 다음 그림과 같이 미지의 모수 $ \theta $를 갖는 모집단으로부터 확률표본 10개를 임의로 추출하였을 때, 각각의 표본으로부터 얻은 신뢰구간 10개 중에서 $ 90 \% $에 해당하는 9개의 구간이 모평균의 참값을 포함하고, 나머지 $ 10 \% $에 해당하는 1개의 구간은 모수의 참값을 포함하지 않음을 의미 한다.</p> <h2>7.3.1 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 아는 경우 모평균 $ \mu $의 구간추정</h2> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $을 알고 있을 때 미지의 모평균 $ \mu $의 신뢰구간을 구해보자. 정규모집단으로부터 추출한 크기가 n인 임의 표본의 표본평균 $ \bar { x } $는 정규분포 $ N \left ( \mu, \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } \right ) $을 따르므로 이것을 표준화한 Z 통계량 $ Z= \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } $는 표준정규분포 N(0,1) 을 따른다.</p> <p>이와 같이 가능한 모든 모수값을 갖는 모수공간 $ \Omega $를 갖는 모집단 분포로부터 확률표본 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $을 취할 때, 확률표본에서 관찰된 값 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $에 기초하여 통계량의 값 $ u \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) $이 모수 $ \theta $에 대한 좋은 추정값이 되도록 하는 추정량 $ u \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) $을 찾고자 한다. 이때 $ \theta $에 대한 좋은 추정량을 찾기 위한 타당한 방법 가운데 하나는 결합확률함수 또는 결합밀도함수를 $ \theta $의 함수로 생각하고, 이 함수를 최대로 하는 $ \theta $를 구하는 것이다. 다시 말해서 미지인 모수 $ \theta $를 갖는 모집단분포 $ f(x ; \theta) $로부터 크기 $ n $인 확률표본 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $을 추출 할 때, 결합확률함수 $ \begin {aligned} f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } ; \theta \right ) &=f \left (x_ { 1 } ; \theta \right ) f \left (x_ { 2 } ; \theta \right ) \cdots f \left (x_ { n } ; \theta \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } f \left (x_ { i } ; \theta \right ) \end {aligned} $를 모수 $ \theta $의 함수 $ \begin {aligned} L( \theta)=L \left ( \theta ; x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) &=f \left (x_ { 1 } ; \theta \right ) f \left (x_ { 2 } ; \theta \right ) \cdots f \left (x_ { n } ; \theta \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } f \left (x_ { i } ; \theta \right ) \end {aligned} $로 생각할 수 있으며, 이 함수를 우도함수(likelihood function)라 부른다. 그리고 모수공간 $ \Omega $에서 우도함수 $ L( \theta) $를 최대로 하는 $ \theta= \hat {\theta } $가 존재한다면 $ \hat {\theta } $를 모수 $ \theta $의 최대우도추정(MLE; maximum likelihood estimator)이라 한다. 이때 $ \Omega $가 개구간이고 우도함수 $ L( \theta) $가 $ \Omega $에서 미분가능하고 최댓값을 갖는다면, 최대우도추정은 $ \frac { d } { d \theta } L( \theta)=0 $을 만족하는 해가 되며, 이 방정식을 우도방정식(maximum likelihood equation)이라 한다. 한편 최대우도추정을 구할 때, 때때로 우도함수 자체를 최대로 하는 모수값을 구하는 것보다 우도함수에 자연로그를 취하여 $ \frac { d } { d \theta } \ln L( \theta)=0 $ 을 최대로 하는 $ \theta= \hat {\theta } $ 를 구하는 것이 쉬울 때가 있다.</p> <p>$ n= \frac { 1 } { 4 } \left ( \frac { z_ {\alpha / 2 } } { d } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>예제 2</p> <p>어느 광고회사에서 새로 나온 신제품에 대한 불량률을 조사하고자 한다. 신제품에 대한 불량률의 $ 95 \% $ 추정오차한계가 $ 5 \% $ 이내가 되기 위해서 필요한 표본의 크기를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>신제품이기 때문에 불량률에 대한 사전정보가 전혀 없으므로 \[n \geq \frac { 1 } { 4 } \left ( \frac { z_ { 0.025 } } { d } \right ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left ( \frac { 1.96 } { 0.05 } \right ) ^ { 2 } =384.15 \]에서 필요한 표본의 크기는 n=385 이다.</p> <h1>7.6 모분산의 구간추정</h1> <p>모평균 $ \mu $를 알 때와 모를 때로 나누어서 모분산의 구간추정에 대하여 살펴보자.</p> <h2>7.6.1 모평균 $ \mu $를 알 때의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $의 구간추정</h2> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서 모평균 $ \mu $를 알고 있을 때 미지의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $의 신뢰구간을 구해보자.</p> <p>다음과 같이 정의되는 $ \chi ^ { 2 } $ 통계량 \[ \chi ^ { 2 } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \]은 자유도가 n인 카이제곱분포를 한다.</p> <p>따라서 임의의 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ P \left ( \chi_ { (n, 1- \alpha / 2) } ^ { 2 }< \chi ^ { 2 }< \chi_ { (n, \alpha / 2) } ^ { 2 } \right )=1- \alpha $</p> <p>여기서 $ \chi_ { (n, \alpha / 2) } ^ { 2 } $ 는 $ 100( \alpha / 2) \% $ 점이며, $ \chi_ {\alpha / 2 } ^ { 2 } (n) $ 으로도 표시한다. 위의 식에 $ \chi ^ { 2 } $ 통계량을 대입하면</p> <p>따라서 임의의 양수 $ \alpha(0< \alpha<1) $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ P \left ( \chi_ { (n-1,1- \alpha / 2) } ^ { 2 }< \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } }< \chi_ { (n-1, \alpha / 2) } ^ { 2 } \right )=1- \alpha $</p> <p>위의 식에서 좌변 항의 괄호 속 부등식을 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 관해 풀어서 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>$ P \left ( \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\chi_ { (n-1, \alpha / 2) } ^ { 2 } }< \sigma ^ { 2 }< \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\chi_ { (n-1,1- \alpha / 2) } ^ { 2 } } \right )=1- \alpha $</p> <p>따라서 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $에 대한 $ 100(1- \alpha) \% $ 신뢰구간은 다음과 같다.</p> <p>$ \left ( \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\chi_ { (n-1, \alpha / 2) } ^ { 2 } } , \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\chi_ { (n-1,1- \alpha / 2) } ^ { 2 } } \right ) $</p> <p>예제 1</p> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $에서 크기 10인 표본을 추출한 결과 다음과 같다고 한다. 이때 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간을 구하여라. 2.9 2.5 3.4 3.0 2.8 2.9 3.1 2.8 2.8 2.9</p> <p>풀이</p> <p>표본평균 $ \bar { x } =2.91 $이므로 표본분산은 \[S ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (x_ { i } -2.91 \right ) ^ { 2 } = \frac { 0.489 } { 9 } =0.0543 \]이고, 크기 10인 표본을 추출하였으므로 $ \chi_ { 0.02 \sigma } ^ { 2 } (9)=19.02, \chi_ { 0.976 } ^ { 2 } (9)=2.70 $ 이다. 그러면 $ 95 \% $ 신뢰구간의 하한과 상한은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } \frac { (n-1) s ^ { 2 } } {\chi_ {\alpha / 2 } ^ { 2 } (n-1) } = \frac { 9 \cdot(0.0543) } { 19.02 } =0.0257, \\ \frac { (n-1) s ^ { 2 } } {\chi_ { 1- \alpha / 2 } ^ { 2 } (n-1) } = \frac { 9 \cdot(0.0543) } { 2.7 } =0.1811 \end {array} \] 따라서 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간은 (0.0257,0.1811)이고 모표준편차에 대한 $ 95 \% $ 신뢰구간은 (0.1603,0.4256)이다. 일반적으로 모집단에 대한 정보를 알고 있는 경우에 비하여 정보가 부족한 경우 신뢰구간의 폭이 더 크게 된다.</p>	자연
선형대수학	<p>내적공간 $ V $의 부분집합 $ S $에서 $ S $의 모든 원소와 수직인 벡터 전체 집합 $ S ^ { -1 } = \{ v \subset V \mid \langle v, s \rangle=0, s \subset S \} $를 생각하자. 임의의 $ u, v \subset S ^ { -1 } $에서 $ \langle u + v, s \rangle= \langle u, s \rangle + \langle v, s \rangle=0, \langle \alpha u, s \rangle= \alpha \langle u, s \rangle=0, \langle 0, s \rangle=0 $이므로 $ S ^ { -1 } $은 $ V $의 부분공간이다. $ S ^ { -1 } $을 $ S $의 직교보공간(orthogonal complement space)이라 한다.</p> <p>예제 $6.2.14 $ 표준내적공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $에서 벡터 $ X_ { 0 } =(2,1) $의 직교보공간 $ X_ { 0 } ^ {\perp } $을 구하여라.</p> <p>[풀이] 임의의 $ X=(x, y) \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $에 대하여 \[ X_ { 0 } \cdot X=2 x + y=0 \] 인 $ (x, y)=( \alpha,-2 \alpha)= \alpha(1,-2)= \langle(1,-2) \rangle $이다. 따라서 $ X_ { 0 } ^ {\perp } = \{ (x, y) \mid x + 2 y =0 \} = \langle(1,-2) \rangle $이다.</p> <p>정리 $6.2.12 $ 내적공간 $ V $의 부분공간 $ W $에서 $ V = W \oplus W ^ {\perp } $이 성립한다. \[ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W + \operatorname { dim } W ^ {\perp } \]</p> <p>[증명] $ \{ 0 \} ^ {\perp } =V, V ^ {\perp } = \{ 0 \} $이므로 $ W= \{ 0 \} $인 경우는 분명하다. $ \operatorname { dim } W=m \geq 1 $이라고 하자. 정리 $ 6.2 .7 $에 의하여 부분공간 $ W $의 정규직교기저 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $이 존재한다. 정리 $3.3.6 $에 의하여 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } $이 일차독립이므로 \[ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } , v_ { m + 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \] 이 $ V $의 기저가 되는 벡터 $ v_ { n + 1 } , \cdots, v_ { n } $이 존재한다. 이 기저에 Gram-Schmidt의 직교화과정을 시행하여 다음 정규직교기저를 얻는다. \[ \left \{ w_ { 1 } , w_ { m } , w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} \] 이때 $ \left \{ w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $이 $ W ^ {\perp } $의 기저임을 밝히자. 임의의 $ v \subset W ^ {\perp } $은 또한 $ V $의 원소이므로 \[ v= \alpha_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } w_ { m } + \alpha_ { m + 1 } w_ { m + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } w_ { n } , \alpha_ { i } \subset \mathbb { K } \] 모든 $ i=1,2, \cdots, m $에 대하여 \[ 0= \left \langle v, w_ { i } \right \rangle= \alpha_ { i } \left \langle w_ { i } , w_ { i } \right \rangle= \alpha_ { i } \] 이므로 \[ v= \alpha_ { m + 1 } w_ { m + 1 } + \cdots + \alpha_ { n } w_ { n } \] 그러므로 $ W ^ {\perp } $은 $ w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } $에 의하여 생성된다. 즉 \[ W ^ {\perp } \subset \left \langle w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \rangle \] 역으로 $ u \subset \left \langle w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \rangle $이면 $ i=1, \cdots, m $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle u, w_ { i } \right \rangle &= \left \langle \beta_ { m + 1 } w_ { m + 1 } + \cdots + \beta_ { n } w_ { n } , w_ { i } \right \rangle \\ &= \beta_ { m + 1 } \left \langle w_ { m + 1 } , w_ { i } \right \rangle + \cdots + \beta_ { n } \left \langle w_ { n } , w_ { i } \right \rangle \\ &=0 \end {aligned} \] 그러므로 $ u \subset W ^ {\perp } $이다. 이로써 $ W ^ {\perp } = \left \langle w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \rangle $임을 알았다. 일차독립인 집합의 부분집합은 역시 일차독립이므로 $ w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } $은 일차독립이다. 그러므로 $ \left \{ w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $은 부분공간 $ w ^ {\perp } $의 기저이다.</p> <p>정리 $ 6.2 .7 $ 유한차원 내적공간은 정규직교기저를 갖는다.</p> <p>[증명] $ V $의 차원을 $ n $이라 하자. $ m + 1=n $이면 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $은 정규직교기저이다. $ m + 1<n $일 때 정규직교집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m + 1 } \right \} $에 위 정리의 증명과정을 다시 시행하면 정규직교집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m + 2 } \right \} $를 얻는다. 이러한 과정을 $ n-m $번 시행하면 정규직교집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $을 얻을 수 있다. 정리 $ 6.2 .2 $에 의하여 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $은 $ V $의 정규직교기저이다.</p> <p>정리 $6.2.6 $에서와 같이 어떤 기저로부터 정규직교기저를 구하는 과정을 Gram-Schmidt 의 직교화과정(Gram-Schmidt orthothgonal process)이라 한다.</p> <p>예제 $6.2.11 $ 벡터 $ (1,0,1) $에 Gram-Schmidt의 과정을 써서 표준내적공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 정규직교기저를 구하여라.</p> <p>[풀이] 벡터 $ v_ { 1 } = (1,0,1), e_ { 1 } =(1,0,0), e_ { 2 } =(0,1,0), e_ { 3 } =(0,0,1) $은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간을 생성하므로 $ v_ { 1 } $과 다른 두 벡터가 일차독립이면 이들은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저이다. $ \alpha v_ { 1 } + \beta e_ { 1 } + \gamma e_ { 2 } =0 $이면 \[ ( \alpha + \beta, \gamma, \alpha)=(0,0,0) \] 에서 $ \alpha= \beta= \gamma=0 $. 그러므로 $ \left \{ v_ { 1 } , e_ { 1 } , e_ { 2 } \right \} $는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저이다. $ u_ { 1 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } v_ { 1 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1,0,1) $에 대하여 \[ w_ { 2 } = \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + e_ { 1 } \] 이 $ u_ { 1 } $과 수직이 되도록 하자. \[ \begin {aligned} 0 &= \left \langle w_ { 2 } , u_ { 1 } \right \rangle= \left \langle \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + e_ { 1 } , u_ { 1 } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \left \langle u_ { 1 } , u_ { 1 } \right \rangle + \left \langle e_ { 1 } , u_ { 1 } \right \rangle= \alpha_ { 1 } + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {aligned} \] 이므로 \[ \alpha_ { 1 } =- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \] 그러므로 \[ w_ { 2 } =- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } u_ { 1 } + e_ { 1 } = \left ( \frac { 1 } { 2 } , 0,- \frac { 1 } { 2 } \right ) \] $ \left \\|w_ { 2 } \right \\|= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } $이므로 \[ u_ { 2 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1,0,-1) \] 이라 놓으면 $ \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } \right \} $는 정규직교집합이다. \[ w_ { 3 } = \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + \alpha_ { 2 } u_ { 2 } + e_ { 2 } \] 가 $ u_ { 1 } , u_ { 2 } $와 수직이 되도록 $ \alpha_ { 1 } , \alpha_ { 2 } $를 정하자. \[ \begin {array} { l } 0= \left \langle w_ { 3 } , u_ { 1 } \right \rangle= \alpha_ { 1 } \left \langle u_ { 1 } , u_ { 1 } \right \rangle + \alpha_ { 2 } \left \langle u_ { 2 } , u_ { 1 } \right \rangle + \left \langle e_ { 2 } , u_ { 1 } \right \rangle= \alpha_ { 1 } \\ 0= \left \langle u_ { 3 } , u_ { 2 } \right \rangle= \alpha_ { 1 } \left \langle u_ { 1 } , u_ { 2 } \right \rangle + \alpha_ { 2 } \left \langle u_ { 2 } , u_ { 2 } \right \rangle + \left \langle e_ { 2 } , u_ { 2 } \right \rangle= \alpha_ { 2 } \end {array} \] $ \alpha_ { 1 } = \alpha_ { 2 } =0 $이므로 $ w_ { 3 } =e_ { 2 } , \left \\|w_ { 3 } \right \\|=1 $이다. 따라서 $ \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} = \left \{\frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1,0,1) \right . $, $ \left . \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1,0,-1),(0,1,0) \right \} $은 정규직교기저이다.</p> <p>정리 6.3.5 유한차원 벡터공간 $ V $의 부분공간 $ W $에서 다음이 성립한다. \[ V ^ { * } = W ^ { * } \oplus \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } \] 즉 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W + \operatorname { dim } \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $.</p> <p>[증명] $ W $의 기저 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } \right \} $에 대해 $ V $의 기저 $ E= \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { m } , w_ { m + 1 } , \cdots \right ., \left .w_ { n } \right \} $이 존재한다. 기저 $ E $의 쌍대기저를 $ E ^ { * } = \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $이라 하면 $ \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { m } \right \} $은 $ W ^ { * } $의 쌍대기저이므로 $ \left \{\phi_ { m + 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $이 $ \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $의 기저임을 보이면 정리의 증명은 완성된다. 임의의 $ \phi \in \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } , \phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } , x_ { i } \in \mathbb { K } $에 대하여 \[ \begin {aligned} 0= \phi \left (w_ { j } \right ) &= \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } \right ) \left (w_ { j } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } \left (w_ { j } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \delta_ { i j } =x_ { j } , \quad j=1,2, \cdots, m \end {aligned} \] 이므로 $ \phi=x_ { m + 1 } \phi_ { m + 1 } + \cdots + x_ { n } \phi_ { n } $이다. 역으로 $ \phi=y_ { m + 1 } \phi_ { m + 1 } + \cdots + y_ { n } \phi_ { n } $이라 하면 $ j=1, \cdots, m $에 대하여 $ \phi \left (w_ { j } \right )=0 $. 즉 $ \phi \in \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $이다. 이로써 $ \phi_ { m + 1 } , \cdots, \phi_ { n } $은 $ \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $를 생성하는 것을 알았다. $ E ^ { * } $가 $ V ^ { * } $의 기저이므로 $ \phi_ { m + 1 } , \cdots, \phi_ { n } $은 일차독립이다. 따라서 $ \left \{\phi_ { m + 1 } , \cdots, \phi_ { m } \right \} $은 $ \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $의 기저이고 $ \operatorname { dim } V ^ { * } =W ^ { * } \oplus \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $이다. 또한 $ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } V ^ { * } , \quad \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } W ^ { * } $이므로 $ \quad \operatorname { dim } \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } =n-m= \operatorname { dim } V- \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } W ^ {\perp } $이다. 즉 $ \operatorname { dim } W ^ {\perp } = \operatorname { dim } \left (W ^ { * } \right ) ^ {\perp } $.</p> <p>정리 $6.3.1 $ 유한차원 벡터공간 $ V $와 쌍대공간 $ V ^ { * } $의 차원은 같다. 즉 $ \operatorname { dim } V = \operatorname { dim } V ^ { * } $</p> <p>[증명] $ V $의 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $과 임의의 벡터 $ v, w $에 대하여 $ v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } v_ { i } , \quad w= \sum_ { i=1 } ^ { n } \beta_ { i } v_ { i } $라 놓으면 \[ \begin {aligned} \phi_ { i } (v + w) &= \phi_ { i } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } v_ { i } + \sum_ { i=1 } ^ { n } \beta_ { i } v_ { i } \right )= \phi_ { i } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \alpha_ { i } + \beta_ { i } \right ) v_ { i } \right ) \\ &= \left ( \alpha_ { i } + \beta_ { i } \right ) v_ { i } = \alpha_ { i } v_ { i } + \beta_ { i } v_ { i } = \phi_ { i } (v) + \phi_ { i } (w), \\ \phi_ { i } ( \alpha v)=& \phi_ { i } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha \alpha_ { i } v_ { i } \right )= \alpha \alpha_ { i } = \alpha \phi_ { i } (v) \end {aligned} \] 이므로 $ \phi_ { i } \in V ^ { * } $이다. $ \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $는 $ V ^ { * } $의 기저임을 보이자. $ \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $이 $ V ^ { * } $를 생성함을 보이기 위하여 \[ \phi \in V ^ { * } , \quad v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } v_ { i } \] 에서 \[ \begin {aligned} \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \phi \left (v_ { i } \right ) \phi_ { i } \right )(v) &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \phi \left (v_ { i } \right ) \phi_ { i } (v)= \sum_ { i=1 } ^ { n } \phi \left (v_ { i } \right ) \alpha_ { i } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } \phi \left (v_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } \phi \left ( \alpha_ { i } v_ { i } \right ) \\ &= \phi \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } v_ { i } \right )= \phi(v) \end {aligned} \] 모든 $ v \in V $에 대하여 상이 같으므로 \[ \begin {aligned} \phi &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \phi \left (v_ { i } \right ) \phi_ { i } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } z_ { i } \phi_ { i } , \quad z_ { i } = \phi \left (v_ { i } \right ), i=1, \cdots, n \end {aligned} \] 그러므로 $ \phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } $은 $ V ^ { * } $를 생성한다. 한편으로 $ \phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } $이 일차독립임을 보이기 위하여 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } =0, \quad x_ { i } \in \mathbb { K } \] 라 놓자. 임의의 $ v \in V $에 대하여 \[ \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } \right )(v)=0, \quad \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } (v)=0 \] $ v=v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } $인 경우에 $ \phi_ { i } \left (v_ { i } \right )=1 $이므로 \[ x_ { 1 } =x_ { 2 } = \cdots=x_ { n } =0 \] 이로써 집합 $ \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $이 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V ^ { * } $의 기저임이 확인되었다. 따라서 $ V $와 $ V ^ { * } $의 차원은 같다.</p> <p>$ n $차원 내적공간의 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $을 적당한 방법으로 변형하여 정규직교기저 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $을 얻을 수 없을까 하는 의문을 갖게 된다. 실제로 이러한 변형은 가능하다. 가장 널리 알려진 Gram-Schmidt의 직교화과정을 소개하기로 한다.</p> <p>정리 $6.2.6 $ 내적공간 $ V $의 정규직교집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } \right \} $에서 $ m<n, n = \operatorname { dim } V $이면 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } , u_ { m + 1 } \right \} $이 정규직교집합이 되는 벡터 $ u_ { m + 1 } $이 존재한다.</p> <p>[증명] 정리 $ 6.2 .1 $에 의하여 $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } $은 일차독립이다. 정리 $ 3.3 .6 $에 의하여 집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } , w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $이 $ V $의 기저가 되는 벡터 $ w_ { m + 1 } , \cdots, w_ { n } $이 존재한다. \[ v_ { m + 1 } =a_ { 1 } u_ { 1 } + \cdots + a_ { m } u_ { m } + w_ { m + 1 } , a_ { i } \subset \mathbb { K } , i=1, \cdots, m \] 이 모든 $ u_ { j } $와 수직이 되도록 하자. 식의 양변에 내적을 시행하면 \[ \begin {aligned} \left \langle v_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle &= \sum_ { i=1 } ^ { m } a_ { i } \left \langle u_ { i } , u_ { j } \right \rangle + \left \langle w_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle \\ &=a_ { j } \left \langle u_ { j } , u_ { j } \right \rangle + \left \langle w_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle \\ &=a_ { j } + \left \langle w_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle \end {aligned} \] $ a_ { j } =- \left \langle w_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle $라 놓으면 모든 $ j=1, \cdots, m $에 대하여 \[ \left \langle v_ { m + 1 } , u_ { j } \right \rangle=0 \] 모든 $ j=1, \cdots, m $에 대하여 \[ u_ { m + 1 } = \frac { v_ { m + 1 } } {\left \\|v_ { m + 1 } \right \\| } \] 이라 놓으면 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } , u_ { m + 1 } \right \} $은 정규직교집합이다.</p> <p>내적공간 $ V $의 벡터 $ u, v $에서 $ d(u, v) = \\|u-v \\| $를 $ u-v $의 거리(distence), $ d $를 거리함수 (metric function)라 한다.</p> <p>정리 $6.1.2 $ 내적공간 $ V $에서 $ d(u, v)= \\|u-v \\| $로 정의된 함수 $ d: V \times V \rightarrow \mathbb { R } $는 다음 성질을 갖는다. 임의의 $ u, v, w \subset V, \alpha \subset \mathbb { K } $에 대하여<ul> <li>(1) $ d(u, v) \geq 0, u=v \Leftrightarrow d(u, v)=0 $</li> <li>(2) $ d(u, v)=d(v, u) $</li> <li>(3) $ d(u, v) \leq d(u, w) + d(w, u) $</li></ul></p> <p>[증명] 정리 $6.1.1 $의 (4)에 의하여 \[ \begin {aligned} \\|u-v \\| &= \\|u-w + w-v \\|= \\|(u-w) + (w-v) \\| \\ & \leq \\|u-w \\| + \\|w-v \\| \end {aligned} \] 따라서 \[ d(u, v) \leq d(u, w) + d(w, v) \]</p> <p>예제 $ 6.1.8 $ 벡터 $ u= \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right ), v= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right ) $의 내적 $ \langle u, v \rangle=2 a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } + 4 a_ { 3 } b_ { 3 } $에 대하여 다음에 답하여라.<ul> <li>(1) $ u=(1,-1,0), v=(1,-1,1) $의 거리 $ d(u, v) $를 구하여라.</li> <li>(2) $ A=(0,1,1), B=(1,-1,-1), C=(-2,0,2) $로 된 $ \triangle A B C $의 변의 길이를 구하여라.</li></ul></p> <p>[풀0\|] (1) d(u, v) $ = \\|u-v \\|= \\|(1,-1,0)-(1,-1,1) \\| $ $ = \\|(0,0,-1) \\|= \sqrt { 4(-1)(-1) } = \sqrt { 4 } =2 $</p> <p>$ (2) d(A, B)= \\|(-1,2,2) \\|= \sqrt { 2 + 4 + 16 } = \sqrt { 22 } \\ $ $ d(B, C)= \\|(3,-1,-3) \\|= \sqrt { 18 + 1 + 36 } = \sqrt { 55 } \\ $ $ d(C, A)= \\|(-2,-1,1) \\|= \sqrt { 8 + 1 + 4 } = \sqrt { 13 } $</p> <p>예제 6.4.4 다음 행렬이 직교 Unitary행렬일 필요충분조건을 구하여라.<ul> <li>(1) $ [c] $</li> <li>(2) $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ 1 \times 1 $ 행렬 $[c]$가 직교일 필요충분조건은 $ c c=1, c^{2}=1, c=\pm 1 $이다. 또 $ 1 \times 1 $ 복소행렬 $ [c] $가 Unitary 행렬이기 위한 필요충분조건은 $ c \bar{c}=1,\|c\|=1 $이다.</p> <p>(2) $ A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right], A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right], A^{}=A^{t}=\left[\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right] $, 에서 $ a d-b c=\pm 1 $이므로 \[ \left[\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] \text { 또는 }\left[\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right]=-\left[\begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] \] $ a=d, c=-b, b=-c, d=a $ 또는 $ a=-d, c=b, b=c, d=-a $이므로 \[ A=\left[\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array}\right] \text { 또는 } A=\left[\begin{array}{rr} a & b \\ b & -a \end{array}\right] \] 따라서 $ A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] $가 직교행렬일 필요충분조건은 \[ A=\left[\begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array}\right] \text { 또는 } A=\left[\begin{array}{rr} a & b \\ b & -a \end{array}\right] \] 이다. 한편으로 \[ A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right], \bar{A}=\left[\begin{array}{ll} \bar{a} & \bar{b} \\ \bar{c} & \bar{d} \end{array}\right],(\bar{A})^{t}=A^{}=\left[\begin{array}{ll} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d} \end{array}\right], A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] \] 에서 \[ \left[\begin{array}{ll} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d} \end{array}\right]=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] \] $ \|a d-b c\|=1 $이므로 $ a d-b c=e^{i \theta} $이라 놓으면 \[ \left[\begin{array}{ll} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d} \end{array}\right]=e^{-i \theta}\left[\begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array}\right] \] 에서 $ \bar{a}=e^{-i \theta} d, \bar{c}=-e^{-i \theta} b, \bar{b}=-e^{-i \theta} c, \bar{d}=e^{-i \theta} a $ 이다. 따라서 $ A $가 Unitary 행렬이기 위한 필요충분조건은 $ A=\left[\begin{array}{cc}a & b \\ -e^{-i \theta} \bar{b} & e^{-i \theta} \bar{a}\end{array}\right] $</p> <p>예제 6.5.3 다음 행렬을 이용하여 유클리드공간의 정규직교기저를 구하여라.<ul> <li>(1) $ \left [ \begin {array} { ll } 3 & 1 \\ 1 & 3 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ p(t)= \left \| \begin {array} { rr } 3-t & -1 \\ -1 & 3-t \end {array} \right \|=(3-t) ^ { 2 } -1=(t-2)(t-4) $이므로 고유값은 $ \lambda=2,4 $이다. $ \lambda_ { 1 } =2, \lambda_ { 2 } =4 $에 대응하는 고유벡터는 \[ v_ { 1 } = \left [ \begin {array} { c } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \quad v_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \] 따라서 $ \left \{\left [ \begin {array} { c } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { c } - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \right \} $은 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 공간의 정규직교기저이다.</p> <p>(2) $ p(t)= \left \| \begin {array} { rrr } 1-t & -1 & 0 \\ -1 & 1-t & 0 \\ 0 & 0 & -t \end {array} \right \|=t ^ { 2 } (2-t) $이므로 고유값은 $ \lambda=0,2 $이다. $ \lambda_ { 1 } =2 $의 고유벡터 $ v_ { 1 } , \lambda_ { 2 } =0 $의 고유벡터 $ v_ { 2 } , v_ { 3 } $는 \[ v_ { 1 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ], \quad v_ { 2 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ], \quad v_ { 3 } = \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -1 \\ 0 \end {array} \right ] \] 따라서 정규직교기저 $ \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} $은 $ u_ { 1 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ], \quad u_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 \end {array} \right ], \quad u_ { 3 } = \left [ \begin {array} { c } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 \end {array} \right ] $</p> <p>정리 6.3.7 선형변환 $ T $와 수반변환 $ T ^ { * } $은 대칭이다. 즉 $ \left (T ^ { * } \right ) ^ { * } = T ^ { * * } =T $이다.</p> <p>[증명] 고정된 벡터 $ u $에 대하여 $ \langle v, T(u) \rangle= \left \langle T ^ { * } (v), u \right \rangle, v \in V $인 유일한 선형 변환이 $ T ^ { * } $이므로 \[ \begin {aligned} \left \langle v, T ^ { * * } (u) \right \rangle &= \left \langle v, \left (T ^ { * } \right ) ^ { * } (u) \right \rangle= \left \langle T ^ { * } (v), u \right \rangle \\ &= \overline {\left \langle u, T ^ { * } (v) \right \rangle } = \overline {\langle T(u), v \rangle } \\ &= \langle v, T(u) \rangle \end {aligned} \] 모든 $ v \in V $에 대하여 위 식이 성립하므로 $ T ^ { * * } (u)= \left (T ^ { * } \right ) ^ { * } u=T(u), u \in V $이다. 따라서 $ T ^ { * * } =T $ 이다.</p> <p>예제 6.3.5 다음 선형변환의 수반사상을 구하여라.</p> <ul> <li>(1) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y, z)=(x + y + z, 0,0), x, y, z \in \mathbb { R } $</li> <li>(2) $ T: \mathbb { R } ^ { 2 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , T(x, y)=(2 x + y, 2 y + x), x, y \in \mathbb { R } $</li></ul> <p>[풀이] (1) $ X=(x, y, z), Y= \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle(x, y, z), T ^ { * } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \right \rangle &= \left \langle T(x, y, z), \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \right \rangle \\ &=(x + y + z, 0,0) \cdot \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \\ &=(x + y + z) x ^ {\prime } =x x ^ {\prime } + y x ^ {\prime } + z x ^ {\prime } \\ &= \left \langle(x, y, z), \left (x ^ {\prime } , x ^ {\prime } , x ^ {\prime } \right ) \right \rangle \end {aligned} \] 그러므로 $ T ^ { * } : V \longrightarrow V $ 는 $ T ^ { * } (x, y, z)=(x, x, x) $인 선형 변환이다.</p> <h1>6.2 정규직교기저</h1> <p>내적공간 $ V $의 부분집합 $ S $의 임의의 두 원소가 서로 직교할 때 $ S $를 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 직교집합 $ S $의 모든 원소가 단위벡터, 즉 $ \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=\delta_{i j} $일 때 $ S $를 정규직교집합(orthonarmal set)이라 한다.</p> <p>예제 6.2.1 표준내적공간 $ \mathbb{R}^{n}, \mathbb{C}^{n} $의 표준기저는 정규직교집합이다.</p> <p>[풀이] $ e_{1}=(1,0, \cdots, 0), \cdots, e_{n}=(0,1, \cdots, 0) $에서 \[ e_{i} \cdot e_{j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{array}\right. \]이므로 $ \left\{e_{1}, \cdots, e_{n}\right\} $은 정규직교집합이다.</p> <p>예제 6.2.2 다항식공간 $ P_{2} $ 위의 내적 $ \langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x $에서 집합 $ \{1, x ,\left.\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2}\right\} $은 직교집합이다.</p> <p>[풀이] $ \langle 1, x\rangle=\int_{-1}^{1} x d x=\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{-1}^{1}=0 \\$ $\left\langle 1, \frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2}\right\rangle=\int_{-1}^{1}\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2}\right) d x=\left[\frac{1}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x\right]_{-1}^{1}=0 \\$ $\int_{-1}^{1} x\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{2}\right) d x=\int_{-1}^{1}\left(\frac{3}{2} x^{3}-\frac{1}{2} x\right) d x=\left[\frac{3}{8} x^{4}-\frac{1}{4} x^{2}\right]_{1}^{-1}=0\\$ 따라서 주어진 집합의 서로 다른 다항식은 서로 직교한다.</p> <p>정리 6.2.1 내적공간의 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합은 일차독립이다.</p> <p>[증명] 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합 $ S $의 서로 다른 벡터 $ v_{1}, \cdots, v_{m} $이 \[ \alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{m} v_{m}=0 \] 이라 하자. 임의의 $ v_{k}, k=1, \cdots, m $에 대하여 \[ \begin{aligned} 0=\left\langle v_{k}, 0\right\rangle &=\left\langle v_{k}, \alpha_{1} v_{1}+\cdots+\alpha_{m} v_{m}\right\rangle \\ &=\alpha_{1}\left\langle v_{k}, v_{1}\right\rangle+\cdots+\alpha_{k}\left\langle v_{k}, v_{k}\right\rangle+\cdots+\alpha_{m}\left\langle v_{k}, v_{m}\right\rangle \end{aligned} \] $ \left\langle v_{k}, v_{i}\right\rangle=0, i \neq k $이므로 \[ 0=\alpha_{k}\left\langle v_{k}, v_{k}\right\rangle \] $ \left\langle v_{k}, v_{k}\right\rangle \neq 0 $이므로 $ \alpha_{k}=0, k=1, \cdots, m $이다. 따라서 $ v_{1}, \cdots, v_{m} $은 일차독립이다. 이는 직교집합 $ S $가 일차독립임을 뜻한다.</p> <p>예제 6.2.3 유클리드공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 서로 수직인 벡터 $ X_{1}, \cdots, X_{m}\left(X_{i} \neq 0, m \leq n\right) $은 일차독립이다.</p> <p>[풀이] 행벡터 $ X_{j}, j=1, \cdots, m $에 대하여 \[ a_{1} X_{1}+\cdots+a_{m} X_{m}=0 \] 이라 하자. 임의의 $ X_{j}, j=1, \cdots, m $에 관한 표준내적을 시행하면 \[ \begin{aligned} 0 &=X_{j} \cdot O=X_{j} \cdot\left(a_{1} X_{1}+\cdots+a_{m} X_{m}\right) \\ &=X_{j}\left(a_{1} X_{1}+\cdots+a_{m} X_{m}\right)^{t} \\ &=X_{j}\left(a_{1} X_{1}^{t}+\cdots+a_{m} X_{m}^{t}\right)=a_{1} X_{j} X_{1}^{t}+\cdots+a_{m} X_{j} X_{m}^{t} \\ &=a_{j} X_{j} X_{j}^{t}=a_{j} X_{j} \cdot X_{j} \end{aligned} \] $ X_{j} X_{j}^{t} \neq 0 $이므로 $ a_{j}=0, j=1, \cdots, m $이다. 따라서 $ X_{1}, \cdots, X_{m} $은 일차독립이다.</p> <p>정리 $ 6.2 .9 $ 내적공간 $ V $의 정규직교집합 $ S=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $과 임의의 벡터 $ v $에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>(1) $ \left\\|v-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i}\right\\|^{2}=\\|v\\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} $</li> <li>(2) $ \sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \leq\\|v\\|^{2} \quad $ [Bessel 의 inequality]</li> <li>(3) $ \left\\|v^{2}\right\\|=\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \Longleftrightarrow v=\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i} $</li></ul></p> <p>[증명] (1)$ \begin{aligned} \\| & v-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i} \\|^{2}=\left(v-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i}, v-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i}\right) \\=&\langle v, v\rangle-\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}\left\langle v, v_{i}\right\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle\left\langle v_{i}, v\right\rangle \\ &+\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle \sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle \\=&\langle v, v\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2}-\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2}+\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \\=&\langle v, v\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \end{aligned} $</p> <p>(2) $ \left\\|v-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i}\right\\|^{2} \geq 0 $이므로 $ \sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \leq\\|v\\|^{2} $</p> <p>(3) $ \begin{aligned} v=\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i} & \Longleftrightarrow\langle v, v\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\|v, v_{i}\right\|^{2}=0 \\ & \Longleftrightarrow\\|v\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v, v_{i}\right\rangle\right\|^{2} \end{aligned} $</p> <p>정리 $6.2.10$ 정규직교집합 $ S=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $에서 다음은 동치관계에 있다.<ul> <li>(1) $ \langle v, w\rangle=\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, v\right\rangle}\left\langle v_{i}, w\right\rangle $</li> <li>(2) $ \\|v\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v_{i}, v\right\rangle\right\|^{2} $</li> <li>(3) 정규직교집합 $ T $가 $ S \subseteq T $이면 $ S=T $이다.</li></ul></p> <p>[증명] (1) $ \Longrightarrow(2) .(1) $에서 $ v=w $라 놓으면 \[ \begin{aligned} \\|v\\|^{2} &=\langle v, v\rangle=\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, v\right\rangle}\left\langle v_{i}, v\right\rangle \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v_{i}, v\right\rangle\right\|^{2} \end{aligned} \]</p> <p>$ (2) \Longrightarrow(3) S \neq T $라 하면 $ v_{0} \subset T, v_{0} \not \subset S $인 벡터 $ v_{0} $가 존재하여 \[ 1=\left\\|v_{0}\right\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left\|\left\langle v_{i}, v_{0}\right\rangle\right\|=0 \] 이므로 모순이다. 따라서 $ S=T $, 즉 $ S $는 최대정규직교집합이다.</p> <p>$ (3) \Longrightarrow(1) $ 임의의 벡터 $ w $에 대하여 \[ w^{\prime}=w-\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, w\right\rangle} v_{i} \] 라 놓으면 \[ \begin{aligned} \left\langle v_{j}, w^{\prime}\right\rangle &=\left\langle v_{j}, w\right\rangle-\left\langle v_{j}, \sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, w\right\rangle} v_{i}\right\rangle \\ &=\left\langle v_{j}, w\right\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v_{i}, w\right\rangle\left\langle v_{j}, v_{i}\right\rangle \\ &=\left\langle v_{j}, w\right\rangle-\left\langle v_{j}, w\right\rangle=0 \end{aligned} \] 그러므로 $ w^{\prime} $는 모든 $ v_{i} \subset S $와 수직이다. $ \left\\|w^{\prime}\right\\| \neq 0 $라면 정규직교 집합 $ T=S \cup\left\{\frac{w^{\prime}}{\left\\|w^{\prime}\right\\|}\right\} $는 $ S $를 진부분집합으로 갖는다. 이는 모순이므로 $ \left\\|w^{\prime}\right\\|=0 $이다. 즉 $ w^{\prime}=0 $이다. 임의의 $ v \subset V $에 대하여 \[ \begin{aligned} 0=\left\langle v, w^{\prime}\right\rangle &=\langle v, w\rangle-\left\langle v, \sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, w\right\rangle} v_{i}\right\rangle \\ &=\langle v, w\rangle-\sum_{i=1}^{n}\left\langle v_{i}, w\right\rangle\left\langle v, v_{i}\right\rangle \\ &=\langle v, w\rangle-\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, v\right\rangle}\left\langle v_{i}, w\right\rangle \end{aligned} \] 이므로 \[ \langle v, w\rangle=\sum_{i=1}^{n} \overline{\left\langle v_{i}, v\right\rangle}\left\langle v_{i}, w\right\rangle \]</p> <p>[증명] $ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $을 벡터공간 $ V $의 정규직교기저, $ E ^ { * } = \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $을 $ V ^ { * } $의 쌍대기저라 하자. 임의의 벡터 $ v= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } v_ { i } , \phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi_ { i } $에 대하여 $ w= \sum_ { i=1 } ^ { n } \bar { x } _ { i } v_ { i } $라 놓으면 모든 $ v_ { i } $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle v_ { i } , w \right \rangle &= \left (v_ { i } , \sum_ { j=1 } ^ { n } \bar { x } _ { j } v_ { j } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { j } \left \langle v_ { i } , v_ { j } \right \rangle \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { j } \delta_ { i j } =x_ { i } \end {aligned} \] 그런데 $ \phi_ { i } (v)=x_ { i } $이므로 $ \phi_ { i } (v)= \left \langle v_ { i } , w \right \rangle $이다. 즉 \[ \begin {array} { l } \phi(v)= \phi \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } v_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \phi \left (v_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \cdot x_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \\ \langle v, w \rangle= \left \langle \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } v_ { i } , w \right \rangle= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \left \langle v_ { i } , w \right \rangle= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \end {array} \] 이므로 $ \phi(v)= \langle v, w \rangle $이다. $ \phi(v)= \langle v, w \rangle= \left \langle v, w ^ {\prime } \right \rangle $인 벡터 $ w, w ^ {\prime } $가 존재한다면 \[ \langle v, w \rangle- \left \langle v, w ^ {\prime } \right \rangle= \left \langle v, w-w ^ {\prime } \right \rangle=0 \] 이다. 임의의 벡터 $ v $에 대하여 위 식이 성립하므로 \[ \left \langle w-w ^ {\prime } , w-w ^ {\prime } \right \rangle=0 \] 그러므로 $ w-w ^ {\prime } = \mathrm { O } , w=w ^ {\prime } $이다. 이로써 $ \phi(v)= \langle v, w \rangle $인 $ w $는 존재하고 단 하나 뿐임이 증명되었다.</p> <p>예제 6.4.6 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 항등변환 $ I: V \rightarrow V $에서 정규직교기저 $ E, F $에 관한 행렬 $ [I]_{F}^{E}=P $는 Unitary 행렬이다. $ V $가 실벡터공간이면 $ P $는 직교행렬이다.</p> <p>[풀이] $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}, F=\left\{w_{1}, \cdots, w_{n}\right\} $을 $ V $의 정규직교기저라 하자. 행렬 $ [T]_{F}^{E}=P=\left[p_{i j}\right] $의 정의에 의하면 $ w_{i}=\sum_{i=1}^{n} p_{j i} v_{j}, i=1, \cdots, n $이므로 \[ \begin{aligned} \delta_{j k} &=\left\langle w_{j}, w_{k}\right\rangle=\left\langle\sum_{l=1}^{n} p_{l j} v_{l}, \sum_{m=1}^{n} p_{m k} v_{m}\right\rangle \\ &=\sum_{l=1}^{m} \sum_{m=1}^{n} p_{l j} \bar{p}_{m k}\left\langle v_{l}, v_{m}\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} p_{i j} \bar{p}_{i k}=\sum_{i=1}^{n} \bar{p}_{i k} p_{i j} \end{aligned} \] 따라서 $ P P^{}=P^{} P=I $. 즉 $ P $는 Unitary 행렬이다. $ P $가 실행렬이면 \[ \sum_{i=1}^{n} p_{i j} p_{i k}=\delta_{j k}=\sum_{i=1}^{n} p_{i k} p_{i j} \] 이므로 $ P P^{t}=P^{t} P=I $. 즉 $ P $는 직교행렬이다.</p> <p>예제 6.4.7 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.<ul> <li>(1) $ \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] $</li> <li>(2) $ \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ A A^{}= $ \[ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 이므로 $ A $는 직교행렬이고 $ A^{-1}=A^{t} $이다. 즉 \[ A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \]</p> <p>(2) $ A A^{}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] $, $ A^{} A=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\\ $ 이므로 $ A $ 는 직교행렬이고 $ A^{-1}=A^{t} $이다. 즉 \[ A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]</p> <p>정리 6.4.5 Unitary 행렬 전체의 집합 $ U(n)=\left\{A \in M_{n \times n}(\mathbb{C}) \mid A^{}=A^{-1}\right\} $은 하나의 군(group)을 이룬다.</p> <p>[증명] 임의의 $ A, B \in G(n) $에서 $ (A B)^{}=B^{} A^{}=B^{-1} A^{-1}=(A B)^{-1},\left(A^{}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{}, I^{}=I $가 성립한다. 따라서 $ U(n) $은 $ M_{n \times n}(\mathbb{C}) $의 부분군이다.</p> <p>정리 6.5.16 유한차원 복소내적공간 $ V $ 위의 정규변환이 자기수반변환이기 위한 필요충분조건은 $ T $의 모든 고유값이 실수가 되는 것이다.</p> <p>[증명] $ T: V \rightarrow V $가 자기수반변환이라 하고, $ T $의 고유값 $ \lambda $에 대응하는 고유벡터를 $ v $라 하면 \[ \begin {aligned} \\|T(v) \\| ^ { 2 } & = \langle T(v), T(v) \rangle= \left \langle T(v), T ^ { * } (v) \right \rangle \\ &= \langle \lambda v, \bar {\lambda } v \rangle= \lambda ^ { 2 } \langle v, v \rangle= \lambda ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 그런데 $ v \neq \mathbf { 0 } , \\|v \\| \neq 0 $이므로 $ \lambda ^ { 2 } $은 음이 아닌 실수이다. 그러므로 $ \lambda $는 실수이다. 역으로 $ T $가 정규변환이고 그의 모든 고유값이 실수라고 하자. 정리 6.5.13에 의하여 $ T $의 고유벡터로 이루어진 $ V $의 정규직교기저 $ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $이 존재한다. $ T \left (v_ { j } \right )= \lambda_ { j } v_ { j } , j=1, \cdots, n $이라 하면 \[ T ^ { * } \left (v_ { j } \right )= \overline {\lambda_ { j } } v_ { j } = \lambda_ { j } v_ { j } =T \left (v_ { j } \right ) \] 따라서 $ T=T ^ { * } $. 즉 $ T $는 자기수반변환이다.</p> <p>정리 6.5.17 유한차원 복소내적공간 $ V $ 위의 정규변환이 등장사상이기 위한 필요충분조건은 그의 모든 고유값의 절대값이 1이 되는 것이다.</p> <p>[증명] $ T: V \rightarrow V $가 등장사상이면 $ T $의 고유값 $ \lambda $, 고유벡터 $ v $에서 \[ \\|v \\| ^ { 2 } = \langle v, v \rangle= \langle T(v), T(v) \rangle=( \lambda v, \lambda v)= \lambda \lambda \\|v \\| ^ { 2 } =\| \lambda\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \] $ \\|v \\| \neq 0 $이므로 $ \| \lambda\| ^ { 2 } =1 $이다. 역으로 $ T $의 모든 고유값의 절대값이 1이라 하자. 고유벡터로 이루어진 $ V $의 정규직교기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[ \left \langle T \left (v_ { i } \right ), T \left (v_ { j } \right ) \right \rangle= \left \langle \lambda_ { i } v_ { i } , \lambda_ { j } v_ { j } \right \rangle= \lambda_ { i } \bar {\lambda } _ { j } \left \langle v_ { i } , v_ { j } \right \rangle= \lambda_ { i } \bar {\lambda } _ { j } \delta_ { i j } \] 그러므로 $ \left \{ T \left (v_ { i } \right ), \cdots, T \left (v_ { j } \right ) \right \} $는 $ V $의 정규직교기저이다. 정리 6.4.2에 의하여 $ T $는 등장사상이다.</p> <p>예제 $6.2.4$ 내적공간 $ \mathbb{R}^{2} $의 원소 $ \{(\cos \theta, \sin \theta),(-\sin \theta, \cos \theta)\},\{(\cos \theta $, $ \sin \theta),(\sin \theta,-\cos \theta)\} $는 정규직교 집합이다. (단 $ 0 \leq \theta<2 \pi $ )</p> <p>[풀이] $ \cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1 $이므로 $ (\cos \theta, \sin \theta),(-\sin \theta, \cos \theta),(\sin \theta,-\cos \theta) $의 크기는 모두 1이다. \[ \begin{aligned} (\cos \theta, \sin \theta) \cdot(-\sin \theta, \cos \theta) &=[\cos \theta, \sin \theta]\left[\begin{array}{r} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right] \\ &=-\sin \theta \cos \theta+\sin \theta \cos \theta=0 \\ (\cos \theta, \sin \theta) \cdot(\sin \theta,-\cos \theta) &=[\cos \theta, \sin \theta]\left[\begin{array}{r} \sin \theta \\ -\cos \theta \end{array}\right] \\ &=\cos \theta \sin \theta-\sin \theta \cos \theta=0 \end{aligned} \] 이므로 모두 직교집합이다.</p> <p>내적공간 $ V $의 기저 $ \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $이 직교집합일 때 $ \left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $을 직교기저 (orthogonal basis)라 한다. 단위벡터로 이루어진 직교기저를 정규직교기저 (orthonormal basis)라 한다.</p> <p>예제 $6.2.5$ $ A, B \subset M_{2 \times 2},\langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A B^{t}\right) $로 정의된 내적에 대하여 다 집합은 정규직교기저이다. \[ \left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{array}\right]\right\} \]</p> <p>[풀이] $ M_{2 \times 2} $ 공간의 차원은 4이므로 주어진 네 개의 행렬이 정규직교집합이면 정리 $6.2.1$에 의하여 일차독립이므로 주어진 집합은 기저를 이룬다. 즉 정규직교기저이다. 다음 계산에서 정규직교집합임을 알 수 있다. $ \left\langle\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{array}\right]\right\rangle=1 \cdot 0+0 \cdot \frac{2}{3}+0 \cdot \frac{1}{3}+0 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=0 $ $ \left\langle\left[\begin{array}{ll}0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]\right\rangle=0 \cdot 0+\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}=0 $ $ \left\langle\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right]\right\rangle=0 \cdot 0+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}=0 $ $ \left\langle\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right]\right\rangle=0 \cdot 0+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \frac{2}{3}=0 $ $ \left\\|\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]\right\\|{ }^{2}=\left\\|\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{array}\right]\right\\|\left\\|^{2} \quad\right\\|\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]\left\\|{ }^{2}\right\\|\left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right] \\|=\frac{9}{9}=1 $</p> <p>[증명] $ V $의 정규직교기저 $ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $에 대하여 임의의 $ v \in V $는 \[ v= \left \langle v, v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } + \cdots + \left \langle v, v_ { n } \right \rangle v_ { n } \] 으로 표시된다. $ v=T \left (v_ { j } \right \rangle, j=1, \cdots, n $일 때 \[ T \left (v_ { j } \right )= \left \langle T \left (v_ { j } \right ), v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } + \cdots + \left \langle T \left (v_ { j } \right ), v_ { n } \right \rangle v_ { n } \] $ V=T ^ { * } \left (v_ { j } \right ), j=1, \cdots, n $일 때 \[ T ^ { * } \left \langle v_ { j } \right \rangle= \left \langle T ^ { * } \left \langle v_ { j } \right \rangle, v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } + \cdots + \left \langle T ^ { * } \left (v_ { j } \right ), v_ { n } \right \rangle v_ { n } \] 그러므로 $ [T]_ { E } ^ { E } =M= \left [m_ { i j } \right ], m_ { i j } = \left \langle T \left (v_ { j } \right ), v_ { i } \right \rangle, \left [T ^ { * } \right ]_ { E } ^ { E } =M ^ { * } = \left [m_ { i j } ^ { * } \right ], m_ { i j } ^ { * } = \left \langle T ^ { * } \left (v_ { j } \right ) \right . $, $ \left .v_ { i } \right \rangle $이다. 모든 $ i, j $에 대하여 \[ \begin {aligned} m_ { i j } &= \left \langle T \left (v_ { j } \right ), v_ { i } \right \rangle= \left \langle v_ { j } , T ^ { * } \left (v_ { i } \right ) \right \rangle \\ &= \overline {\left \langle T ^ { * } \left (v_ { i } \right ), v_ { j } \right \rangle } = \overline { m_ { j i } ^ { * } } \end {aligned} \] 즉 $ m_ { i j } ^ { * } = \overline { m_ { j i } } $이다. 따라서 $ ( \bar { M } ) ^ { t } =M ^ { * } $이다.</p> <p>[풀이] (1) $ X=(x, y), Y= \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) $에 대하여 \[ \langle T(X), T(Y) \rangle= \left ( \frac { 1 } { 2 } x + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } y \right ) \left ( \frac { 1 } { 2 } x ^ {\prime } + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } y ^ {\prime } \right ) + \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } y \right ) \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } x ^ {\prime } + \frac { 1 } { 2 } y ^ {\prime } \right ) \\ = \left ( \frac { 1 } { 4 } x x ^ {\prime } + \frac {\sqrt { 3 } } { 4 } x y ^ {\prime } + \frac {\sqrt { 3 } } { 4 } x ^ {\prime } y + \frac { 3 } { 4 } y y ^ {\prime } \right ) + \left ( \frac { 3 } { 4 } x x ^ {\prime } - \frac {\sqrt { 3 } } { 4 } x y ^ {\prime } - \frac {\sqrt { 3 } } { 4 } x ^ {\prime } y + \frac { 1 } { 4 } y y ^ {\prime } \right ) \\ = \left ( \frac { 1 } { 4 } x x ^ {\prime } + \frac { 3 } { 4 } y y ^ {\prime } \right ) + \left ( \frac { 3 } { 4 } x x ^ {\prime } + \frac { 1 } { 4 } y y ^ {\prime } \right )=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } \\ =(x, y) \cdot \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right )= \langle X, Y \rangle \] 즉 $ \langle T(X), T(Y) \rangle= \langle X, Y \rangle, \langle T(X), T(X) \rangle= \langle X, X \rangle, \\|T(X) \\|= \\|X \\| $이므로 Unitary 변환이다.</p> <p>예제 6.3.7 다음 행렬의 수반행렬을 구하여라. \[ A= \left [ \begin {array} { cr } i & -5 \\ 2 + i & 3 \end {array} \right ] \quad B= \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 2 + i & -2 + i \\ 1-i & i & 1 \\ 1 & 2 & -i \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] $ \quad \bar { A } = \left [ \begin {array} { rr } -i & -5 \\ 2-i & 3 \end {array} \right ],( \bar { A } ) ^ { t } = \left [ \begin {array} { cc } -i & 2-i \\ -5 & 3 \end {array} \right ] $이므로 $ A ^ { * } = \left [ \begin {array} { cc } -i & 2-i \\ -5 & 3 \end {array} \right ] $ $ \bar { B } = \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 2-i & -2-i \\ 1 + i & -i & 1 \\ 1 & 2 & i \end {array} \right ],( \bar { B } ) ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 + i & 1 \\ 2-i & -i & 2 \\ -2-i & 1 & i \end {array} \right ] $ 이므로 $ B ^ { * } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 + i & 1 \\ 2-i & -i & 2 \\ -2-i & 1 & i \end {array} \right ] $</p> <p>예제 6.3.8 표준기저에 관한 다음 선형변환의 행렬과 수반변환의 행렬을 구하여라.<ul> <li>(1) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y, z) = (y + z, x + z, y + x) $</li> <li>(2) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y, z)=(x + y-z,-x + 2 y + 2 z, x + 2 y + 3 z) $</li></ul></p> <p>내적공간 $ V $의 벡터 $ u, v $에서 $ \langle u, v \rangle=0 $일 때 이들 벡터는 서로 수직(perpendicular) 또는 서로 직교(orthogonal)한다고 한다. 실벡터공간 $ V $의 벡터 $ u, v $가 모두 영이 아니면 Schwarz의 부등식에서 \[ -1 \leq \frac {\langle u, v \rangle } {\\|u \\| \\|v \\| } \leq 1 \] $ \frac {\langle u, v \rangle } {\\|u \\| \\|v \\| } = \cos \theta $라 하고 $ \theta(0 \leq \theta \leq \pi) $ 를 두 벡터가 이루는 각(angle)이라 한다. $ \langle u, v \rangle=0 $ 일 때 $ \cos \theta=0, \theta= \frac {\pi } { 2 } $ 라 한다. 모든 벡터 $ u $에 대하여 $ \langle u, 0 \rangle= \langle 0, u \rangle=0 $이므로 영벡터는 모든 벡터와 직교한다.</p> <p>예제 $6.1.9 $ 유클리드 내적공간에서 다음 벡터가 이루는 각의 크기를 구하여라. \[ u = (1,-1,0,2), v=(0,0,1,3) \]</p> <p>[풀이] $ \\|u \\|= \sqrt { 6 } , \\|v \\|= \sqrt { 10 } , \langle u, v \rangle=6 $이므로 \[ \cos \theta= \frac { 6 } {\sqrt { 6 } \sqrt { 10 } } = \frac { 6 } {\sqrt { 60 } } = \frac { 3 } {\sqrt { 15 } } \]</p> <p>예제 $6.1.10 $ 예제 $ 6.1 .5 $의 내적에 대하여 다음을 구하여라. \[ A= \left [ \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 0 & 1 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \]<ul> <li>(1) $ \langle A, B \rangle $</li> <li>(2) $ \\|A \\|, \\|B \\| $</li> <li>(3) $ \cos (A, B) $</li> <li>(4) $ d(A, B) $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ \langle A, B \rangle=1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1=0 $이므로 $ A $와 $ B $는 수직이다. (2) $ \\|A \\|= \sqrt {\langle A, A \rangle } = \sqrt { 1 + 1 + 0 + 1 } = \sqrt { 3 } $ $ \\|B \\|= \sqrt {\langle B, B \rangle } = \sqrt { 1 + 4 + 1 } = \sqrt { 6 } $ (3) $ \cos \theta= \frac { 0 } {\sqrt { 3 } \sqrt { 6 } } =0 $ (4) $ d(A, B)= \\|A-B \\|= \left \\| \left [ \begin {array} { rr } 0 & -3 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \right \\|= \sqrt { 9 } =3 $</p> <p>예제 $6.1.11 $ 실내적공간 $ V $의 직교하는 두 벡터 $ u, v $에 대하여 Pythagoras 정리가 성립한다. 즉 \[ \\|u + v \\| ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } + \\|v \\| ^ { 2 } \]</p> <p>[풀이] $ \begin {aligned} \\|u + v \\| ^ { 2 } &= \langle(u + v),(u + v) \rangle= \langle u, u \rangle + \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle \\ &= \\|u \\| ^ { 2 } + 2 \langle u, v \rangle + \\|v \\| ^ { 2 } \end {aligned} $에서 $ \langle u, v \rangle=0 $ 이므로 \[ \\|u + v \\| ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } + \\|v \\| ^ { 2 } \]</p> <p>정리 6.5.10 상삼각행렬 $ A $가 대각행렬이 될 필요충분조건은 $ A ^ { * } A = A A ^ { * } $이다.</p> <p>[증명] $ A= \left [a_ { i j } \right ], a_ { i j } =0, i>j $이고 $ A ^ { * } A=A A ^ { * } $라 하자. 행렬의 곱의 정의에 의하면 이 행렬의 제 $ i i $-성분은 \[ \sum_ { j=1 } ^ { n } \bar { a } _ { j i } a_ { j i } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } \bar { a } _ { i k } \] 즉 \[ \sum_ { j=1 } ^ { n } \left \|a_ { j i } \right \| ^ { 2 } = \sum_ { k=i } ^ { n } \left \|a_ { i k } \right \| ^ { 2 } \] $ A $가 대각행렬이 아니라고 가정하고, $ a_ { i k } \neq 0, k>i $인 $ k $가 존재하는 최소 첨자를 $ i $라 하자. \[ \left [ \begin {array} { ccccccc } 0 & \cdots & 0 & & 0 & & \\ \vdots & & \vdots & & & \\ 0 & \cdots & a_ { i i } & \cdots & a_ { i k } & \cdots & a_ { i n } \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0 & & 0 & \cdots & a_ { n k } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \] 그러면 \[ \begin {array} { l } \sum_ { j=1 } ^ { i } \left \|a_ { j i } \right \| ^ { 2 } = \left \|a_ { i i } \right \| ^ { 2 } + \sum_ { k=i + 1 } ^ { n } \left \|a_ { i k } \right \| ^ { 2 } \\ \left \|a_ { i i } \right \| ^ { 2 } = \left \|a_ { i i } \right \| ^ { 2 } + \sum_ { k=i + 1 } ^ { n } \left \|a_ { i k } \right \| ^ { 2 } \end {array} \] 이므로 $ \sum_ { k=i + 1 } ^ { n } \left \|a_ { i k } \right \| ^ { 2 } =0 $. 따라서 $ \left \|a_ { i k } \right \| ^ { 2 } =0, a_ { i k } =0 $이다. 이는 $ a_ { i k } $의 선택에 모순이다. 그러므로 $ A $는 대각행렬이어야 한다. 역으로 $ A $가 대각행렬이면 $ A ^ { * } A=A A ^ { * } $가 분명히 성립한다.</p> <p>정리 $6.2.3 $ 집합 $ E= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $이 내적공간 $ V $의 정규직교기저일 때 임의의 벡터 $ v, w $에 대하여 다음 등식이 성립한다.<ul> <li>(1) $ v= \left \langle v_ { 1 } , v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } + \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } \right \rangle v_ { 2 } + \cdots + \left \langle v_ { 1 } , v_ { n } \right \rangle v_ { n } $</li> <li>(2) $ \langle v, w \rangle= \left \langle v, v_ { 1 } \right \rangle \overline {\left \langle w, v_ { 1 } \right \rangle } + \left \langle v, v_ { 2 } \right \rangle \overline {\left \langle w, v_ { 2 } \right \rangle } + \cdots + \left \langle v, v_ { n } \right \rangle \overline {\left \langle w, v_ { n } \right \rangle } $</li></ul></p> <p>[증명 ] $ v= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } , w= \beta_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \beta_ { n } v_ { n } $이라 하자. (1) 임의의 $ v_ { k } , k=1, \cdots, n $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle v, v_ { k } \right \rangle &= \left \langle \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } v_ { n } , v_ { k } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \left \langle v_ { 1 } , v_ { k } \right \rangle + \cdots + \alpha_ { k } \left \langle v_ { k } , v_ { k } \right \rangle + \cdots + \alpha_ { n } \left \langle v_ { n } , v_ { k } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \cdot 0 + \cdots + \alpha_ { k } \cdot 1 + \cdots + \alpha_ { n } \cdot 0 \end {aligned} \] 모든 $ k $에 대하여 $ \alpha_ { k } = \left \langle v, v_ { k } \right \rangle $이므로 \[ v= \sum_ { k=1 } ^ { n } \alpha_ { k } v_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \left \langle v, v_ { k } \right \rangle v_ { k } \]</p> <p>정리 6.5.9 실행렬 $ A $가 실수인 고유값만을 가지면 $ A $는 상삼각행렬과 직교닮음이다. 즉 실수인 고유값만을 갖는 실행렬은 상삼각행렬화 가능하다.</p> <p>[증명] 행렬 $ A $의 차수 $ n $에 관한 귀납법으로 증명하자. $ n=1 $일 때는 자명하므로 $ n-1 $차행렬 모두에 대하여 이 정리가 성립한다고 가정하자. $ A $의 실고유값 $ \lambda $에 대응하는 고유단위벡터를 $ X_{1} $이라 하면 \[ A X_{1}=\lambda_{1} X_{1}, \quad\left\\|X_{1}\right\\|=1, \quad X_{1} \in \mathbb{R}^{n} \] Gram-Schmidt의 직교화과정으로 정칙행렬 $ P_{1}=\left[X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right] $을 만들자. 그러면 $ P_{1}^{t} A P_{1} $은 다음 형으로 표시된다. \[ P_{1}^{\vdash} A P_{1}=\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & * \\ 0 & A_{1} \end{array}\right] \] 행렬 $ A_{1} $의 고유값은 $ A $의 고유값이고 모두 실수이므로 가정에 의하여 $ n-1 $차정칙행렬 $ P_{2} $가 존재하여 \[ P_{2}^{t} A_{1} P_{2}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{2} & & & * \\ 0 & \lambda_{3} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} \end{array}\right] \] 이때 다음 행렬 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{array}\right] \] 는 $ n $차정칙행렬이고 \[ \begin{array}{l} {\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{array}\right]^{-1} P_{1}^{\vdash} \quad A P_{1}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & P_{2}^{-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & * \\ 0 & A_{1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{array}\right]} \\ =\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & * \\ 0 & P_{2}^{-1} A_{1} P_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda_{1} & * & * & \cdots & * \\ 0 & \lambda_{2} & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \lambda_{n} \end{array}\right]=T \\ \end{array} \] 따라서 \[ P=P_{1}\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & P_{2} \end{array}\right] \] 라 놓으면 $ =P^{-1} A P=T $. 즉 행렬 $ A $는 상삼각행렬과 직교닮음이다.</p> <p>예제 6.5.6 다음 행렬을 삼각행렬화하여라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right] \]</p> <p>[풀이] 행렬 $ A $의 고유다항식은 \[ p(t)=-(t-2)^{2}(t-3) \] 고유값 $ \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=3 $에 대응하는 고유공간은 $ V_{1}=\langle(1,0,0)\rangle, V_{2}=\langle(1,1,-2)\rangle $이다. $ \mathbb{R}^{3} $의 정규직교기저 $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, v_{1}=(1,0,0) $을 구하여 보자. 다음 행렬 \[ A_{2}=\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{array}\right] \] 의 고유다항식 $ P^{\prime}(t)=(t-2)(t-3) $이므로 고유값은 $ \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3 $이다. 이들에 대응하는 고유공간은 $ U_{1}=\langle(1,-1)\rangle, U_{2}=\langle(1,-2)\rangle $이다. $ \mathbb{R}^{2} $의 기저 $ \left\{w_{2}=\right. \left.(1,-1), w_{3}=(1,0)\right\} $을 열벡터로 갖는 행렬을 $ P_{2} $라 하면 \[ \begin{array}{l} P_{2}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right], \quad P_{2}^{\frac{t}{2}}=\left[\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \\ P_{2}^{\vdash} A_{1} P_{2}=\left[\begin{array}{lr} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 0 & 3 \end{array}\right] \end{array} \] 정칙행렬 $ P $를 다음과 같이 놓자. \[ P=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad P^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \] 그러면 $ A $는 삼각화가능하고 \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \] 따라서 $ A $를 삼각화하는 $ \mathbb{R}^{2} $의 기저는 $ \{(1,0,0),(0,1,-1),(0,1,0)\} $이다.</p> <h1>$ 6.3 $ 수반사상과 수반행렬</h1> <p>체 $ \mathrm{K} $ 위의 벡터공간 $ V $에서 $ \mathrm{K} $로의 선형사상 전체의 집합 $ V^{} $ 위의 덧셈과 스칼라곱을 다음으로 정의한다.<ul> <li>(1) $ \phi, \phi^{\prime} \in V^{} $ 에 대하여 $ \left(\phi+\phi^{\prime}\right)(v)=\phi(v)+\phi^{\prime}(v), v \in V $</li> <li>(2) $ \phi \in V^{}, \alpha \in \mathbb{K} $ 에 대하여 $ (\alpha \phi)(v)=\alpha \phi(v), v \in V $</li></ul></p> <p>그러면 $ V^{} $는 이 곱셈과 스칼라곱에 의하여 $ \mathbf{K} $ 위의 벡더공간이다. $ V^{} $를 벡터공간 $ V $의 쌍대공간(dual space)이라 하고, $ V^{} $의 원소를 선형범함수 (linear functional) 또는 범함수라 한다.</p> <p>예제 $6.3.1$ 체 $ \mathbb{K} $ 위의 벡터공간 $ V $와 $ \phi \in V^{} $에서 \[ \phi(v)=\langle\phi, v\rangle, v \in V \] 로 나타내면<ul> <li>(1) $ \langle\phi, u+v\rangle=\langle\phi, u\rangle+\langle\phi, v\rangle $</li> <li>(2) $ \langle\alpha \phi, u\rangle=\alpha\langle\phi, u\rangle $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ \langle\phi, u+v\rangle=\phi(u+v)=\phi(u)+\phi(v)=\langle\phi, u\rangle+\langle\phi, v\rangle \\$ (2) $ \langle\alpha \phi, u\rangle=(\alpha \phi)(u)=\alpha(\phi(u))=\alpha\langle\phi, u\rangle $.</p> <p>예제 $6.3.2$ 복소내적공간 $ V $ 위의 고정된 벡터 $ v_{0} $에 대하여 \[ \phi(v)=\left\langle v, v_{0}\right\rangle, \quad \phi^{\prime}(v)=\left\langle v_{0}, v\right\rangle, v \in V \] 로 정의된 사상 $ \phi: V \rightarrow \mathbb{R}, \phi^{\prime}: V \rightarrow \mathbb{C} $는 범함수인가?</p> <p>[풀이] 임의의 $ u, v \in V, \alpha \in \mathbb{C} $에 대하여 \[ \begin{array}{l} \phi(u+v)=\left\langle u+v, v_{0}\right\rangle=\left\langle v, v_{0}\right\rangle+\left\langle v, v_{0}\right\rangle=\phi(u)+\phi(v) \\ \phi(\alpha u)=\left\langle\alpha u, v_{0}\right\rangle=\alpha\left\langle u, v_{0}\right\rangle=\alpha \phi(u) \end{array} \] 이므로 $ \phi $는 선형사상이다. 한편으로 \[ \begin{array}{l} \phi^{\prime}(u+v)=\left\langle v_{0}, u+v\right\rangle=\left\langle v_{0}, u\right\rangle+\left\langle v_{0}, v\right\rangle=\phi^{\prime}(u)+\phi^{\prime}(v) \\ \phi^{\prime}(\alpha u)=\left\langle v_{0}, \alpha u\right\rangle=\bar{a}\left\langle v_{0}, u\right\rangle=\bar{a} \phi^{\prime}(u) \end{array} \] 이므로 $ \phi^{\prime} $는 선형이 아니다. 실벡터공간 $ V $ 위에서 $ \phi, \phi^{\prime} $는 모두 선형사상이다.</p> <p>예제 $6.3.3$ 체 $ \mathbb{K} $ 위의 유클리드공간 $ \mathbb{K}^{n} $의 벡터 $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) $에 대하여 $ \phi: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}, \phi(X)=x_{i}, i=1, \cdots, n $으로 정의된 사상 $ \phi $는 $ \mathbb{K}^{n} $ 위의 선형범함수이다.</p> <p>[풀이] 임의의 $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \phi(X+Y)=\phi\left(x_{1}+y_{1}, \cdots, x_{n}+y_{n}\right)=x_{i}+y_{i}=\phi(X)+\phi(Y) \\ \phi(\alpha X)=\phi\left(\alpha x_{1}, \cdots, \alpha x_{n}\right)=\alpha x_{i}=\alpha \phi(X) \end{array} \]</p> <p>정리 $6.2.4 $ 내적공간 $ V $의 영이 아닌 벡터로 이루어진 정규직교 집합 $ S= \left \{ v_ { 1 } \right . $, $ \left . \cdots, v_ { m } \right \} $에 의하여 생성된 $ V $의 부분공간을 $ W $라 하자. 임의의 벡터 $ u \subset V $는 다음 꼴로 표시된다. \[ u=w_ { 1 } + w_ { 2 } \] 여기서 $ w_ { 1 } = \left \langle u, v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } + \left \langle u, v_ { 2 } \right \rangle v_ { 2 } + \cdots + \left \langle u, v_ { m } \right \rangle v_ { m } , w_ { 2 } =u- \left \langle u, v_ { 1 } \right \rangle v_ { 1 } - \left \langle u, v_ { 2 } \right \rangle v_ { 2 } - \cdots- \left \langle u, v_ { m } \right \rangle v_ { m } $이고 $ w_ { 2 } $와 $ W $는 직교한다.</p> <p>[증명] $ u=w_ { 1 } + w_ { 2 } $는 분명하다. 모든 $ k=1, \cdots, n $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle w_ { 2 } , v_ { k } \right \rangle &= \left \langle u, v_ { k } \right \rangle- \left \langle u, v_ { 1 } \right \rangle \left \langle v_ { 1 } , v_ { k } \right \rangle- \cdots- \left \langle u, v_ { m } \right \rangle \left \langle v_ { m } , v_ { k } \right \rangle \\ &= \left \langle u, v_ { k } \right \rangle- \left \langle u, v_ { k } \right \rangle \left \langle v_ { k } , v_ { k } \right \rangle \\ &= \left \langle u, v_ { k } \right \rangle- \left \langle u, v_ { k } \right \rangle=0 \end {aligned} \] 임의의 $ w \subset W, w= \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } v_ { m } $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle w_ { 2 } , w \right \rangle &= \left \langle w_ { 2 } , \alpha_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } v_ { m } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle + \cdots + \alpha_ { m } \left \langle w_ { 2 } , v_ { m } \right \rangle \\ &=0 \end {aligned} \] 따라서 $ w $는 $ W $의 모든 원소와 수직이다.</p> <p>예제 $6.1.4 $ $ 2 \times 2 $ 행렬 $ A = \left [ \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ a_ { 3 } & a_ { 4 } \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { cc } b_ { 1 } & b_ { 2 } \\ b_ { 3 } & b_ { 4 } \end {array} \right ] $의 곱을 $ \langle A, B \rangle=a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 3 } + a_ { 3 } b_ { 2 } + a_ { 4 } b_ { 4 } $로 정의할 때 $ \langle $, $ \rangle $은 $M_ { 2 \times 2 } $의 내적인가?</p> <p>[풀이] 내적의 조건 (4)를 확인하자. $ \langle A, A \rangle=a_ { 1 } a_ { 1 } + a_ { 2 } a_ { 3 } + a_ { 3 } a_ { 2 } + a_ { 4 } a_ { 4 } =a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 4 } ^ { 2 } + 2 a_ { 2 } a_ { 3 } \geq 0 $라는 조건이 항상 성립하지는 않는다. 따라서 $ \langle , \rangle $은 내적이 아니다.</p> <p>예제 $6.1.5 $ 행렬공간 $ M_ { 2 \times 2 } $의 원소 $ A= \left [ \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ a_ { 3 } & a_ { 4 } \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } b_ { 1 } & b_ { 2 } \\ b_ { 3 } & b_ { 4 } \end {array} \right ] $의 내적 $ \langle A, B \rangle =a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } + a_ { 3 } b_ { 3 } + a_ { 4 } b_ { 4 } $에 관한 다음을 계산하여라.<ul> <li>(1) $ \left \langle \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { rr } -1 & 0 \\ 3 & 2 \end {array} \right ] \right \rangle $</li> <li>(2) $ \left \langle \left [ \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \right \rangle $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ 1 \cdot(-1) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2=16 \\ $ (2) $ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0=2 $.</p> <p>예제 $ 6.1.6 $ 다항식공간 $ P_ { n } $의 원소 $ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , g(x)=b_ { 0 } + b_ { 1 } x + \cdots + b_ { n } x ^ { n } $에 대하여 다음 사상은 내적임을 보여라.<ul> <li>(1) $ \langle f, g \rangle=a_ { 0 } b_ { 0 } + \cdots + a_ { n } b_ { n } $</li> <li>(2) $ \langle f, g \rangle= \int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x, a<b $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ \langle f, f \rangle=a_ { 0 } ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } ^ { 2 } \geq 0 \\ $ (2) $ \langle f, f \rangle= \int_ { a } ^ { b } f(x) ^ { 2 } d x \geq 0 $</p> <p>한 벡터공간은 여러 개의 내적을 가질 수 있다. 내적공간의 내적이 어떤 것이든 그들에게 공통으로 적용되는 특성을 찾는 것이 우리의 관심이다. 내적을 갖는 벡터공간을 내적공간이라 한다. 벡터 $ v=0 $이면 $ \langle v, v\rangle=0, v \neq 0 $이면 $ \langle v, v\rangle>0 $이므로 $ \sqrt{\langle v, v\rangle} $를 생각할 수 있다. 실수 $ \sqrt{\langle v, v\rangle} $를 $ v $의 길이(length) 또는 노름 (norm)이라 하고 \[ \\|v\\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}, \quad\\|v\\|^{2}=\langle v, v\rangle \] 로 나타낸다. $ \\|v\\|=1 $일 때 $ v $를 단위벡터(unit vector)라 한다. $ v \neq 0 $일 때 $ \frac{v}{\\|v\\|} $는 단위벡터이다.</p> <p>정리 $6.1.1$ 내적공간 $ V $의 임의의 벡터 $ u, v $와 $ \alpha \subset \mathbb{K} $에서 다음이 성립한다.<ul> <li>(1) $ \\|\alpha u\\|=\|\alpha\|\\|u\\| $</li> <li>(2) $ \\|u\\| \geq 0,\\|u\\| \neq 0 \Longleftrightarrow\\|u\\|>0 $</li> <li>(3) $ \|\langle u, v\rangle\| \leq\\|u\\|\\|v\\| \quad $ [Cauchy-Schwarz inequality]</li> <li>(4) $ \\|u+v\\| \leq\\|u\\|+\\|v\\| \quad $ [Triangle inequality]</li></ul></p> <p>[증명] (1) $ \\|\alpha u\\|=\sqrt{\langle\alpha u, \alpha u\rangle}=\sqrt{\alpha \bar{\alpha}\langle u, u\rangle}=\|\alpha\|\\|u\\| $</p> <p>(2) $ \langle u, u\rangle \geq 0 $이므로 $ \\|u\\|=\sqrt{\langle u, u\rangle} \geq 0 . u=0 \Longleftrightarrow\langle u, u\rangle=0,\\|u\\|=0 $</p> <p>(3) $ u=0 $이면 등식이 성립한다. $ u \neq 0 $일 때 \[ w=v-\frac{\langle v, u\rangle}{\\|u\\|^{2}} u \] 라 놓으면 \[ \begin{aligned} \langle w, u\rangle &=\left\langle v-\frac{\langle v, u\rangle}{\\|u\\|^{2}} u, u\right\rangle \\ &=\langle v, u\rangle-\frac{\langle v, u\rangle}{\\|u\\|^{2}}\langle u, u\rangle \\ &=\langle v, u\rangle-\langle v, u\rangle=0 \\ 0 \leq\\|w\\|^{2} &=\left\langle v-\frac{\langle v, u\rangle}{\\|u\\|^{2}} u, v-\frac{\langle v, u\rangle}{\\|u\\|^{2}} u\right\rangle \\ &=\langle v, v\rangle-\frac{\langle v, u\rangle\langle u, v\rangle}{\\|u\\|^{2}} \\ &=\\|v\\|^{2}-\frac{\|\langle u, v\rangle\|^{2}}{\\|u\\|^{2}} \end{aligned} \] 따라서 \[ \|\langle u, v\rangle\|^{2} \leq\\|u\\|^{2}\\|v\\|^{2}, \quad\|\langle u, v\rangle\|=\\|u\\|\\|v\\| \]</p> <p>(4) \[ \begin{aligned} \\|u+v\\|^{2} &=\\|u\\|^{2}+\langle u, v\rangle+\langle v, u\rangle+\\|v\\|^{2} \\ &=\\|u\\|^{2}+2\|\langle u, v\rangle\|+\\|v\\|^{2} \\ & \leq\\|u\\|^{2}+2\\|u\\|\\|v\\|+\\|v\\|^{2} \\ &=(\\|u\\|+\\|v\\|)^{2} \end{aligned} \] 따라서 \[ \\|u+v\\| \leq\\|u\\|+\\|v\\| . \]</p> <p>예제 $6.1.7$ 표준내적공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 벡터 $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $에 대하여 정리 $6.1.1$의 (3), (4)의 부등식을 말하여라.</p> <p>[풀이] 표준내적의 정의에 의하여 \[ \begin{array}{l} X \cdot Y=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}, \quad X \cdot X=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, \quad Y \cdot Y=\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}, \\ \|X \cdot Y\|=\left\|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right\|, \quad\\|X\\|=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad\\|Y\\|=\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \end{array} \] 이므로 \[ \left\|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right\| \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \] 한편 \[ X+Y=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right), \quad\\|X+Y\\|=\left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \] 이므로 \[ \left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} . \]</p> <p>(2) 표준기저에 관한 $ T $의 행렬은 \[ M=[T]= \left [ \begin {array} { ccr } 1 & 0 & -i \\ i & 1 + i & 1 \\ 0 & 2 i & 0 \end {array} \right ] \] 이므로 $ T ^ { } $에 관한 행렬은 \[ M ^ { * } = \left [T ^ { * } \right ]= \left [ \begin {array} { ccc } 1 & -i & 0 \\ 0 & 1-i & -2 i \\ i & 1 & 0 \end {array} \right ] \] 따라서 $ T ^ { * } (x, y, z)=(x-i y,(1-i) y-2 i z, i x + y) $</p> <h1>6.4 Unitary 변환과 Unitary 행렬</h1> <p>체 $ \mathrm { K } $ 위의 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $가 내적을 보존시킬 때, 즉 모든 $ v \in V $에 대하여 $ \\|T(v) \\| = \\|v \\| $이 성립할 때 $ T $를 등장변환 (isometry transformation)이라 한다. 복소수체 $ \mathbb { C } $ 위의 등장사상을 Unitary변환(unitary transformation), 실수체 $ \mathbb { R } $ 위의 등장변환을 직교변환(orthogonal transformation)이라 한다.</p> <p>예제 6.4.1 다음 각 선형사상에서 $ \langle T(u), T(v) \rangle= \langle u, v \rangle, u, v \in V $가 성립한다.<ul> <li>(1) $ T: \mathbb { R } ^ { 2 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y)=(x, 0, y) $</li> <li>(2) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow M_ { 3 \times 3 } ( \mathbb { R } ), T(x, y, z)= \left [ \begin {array} { lll } x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ X=(x, y), Y= \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) $에 대하여 \[ \langle X, Y \rangle=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } , \langle T(X), T(Y) \rangle=(x, 0, y) \cdot \left (x ^ {\prime } , 0, y ^ {\prime } \right )=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } \] 따라서 $ \langle X, Y \rangle= \langle T(X), T(Y) \rangle $이다.</p> <p>Unitary 행렬(직교행렬)과 Unitary 변환(직교변환)의 관계를 살펴보자.</p> <p>정리 6.4.3 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $가 Unitary 변환(직교변환)일 필요충분조건은 정규직교기저에 관한 $ T $의 행렬이 Unitary(직교)가 되는 것이다.</p> <p>[증명] $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $을 $ V $의 정규직교기저에 관한 $ T $의 행렬을 $ A $라 하면 정리 6.3.9에 의하여 $ \left[T^{}\right]_{E}^{E}=A^{} $이다. $ T \circ T^{}=T^{} \circ T=I $에서 \[ [T]_{E}^{E}\left[T^{}\right]_{E}^{E}=\left[T^{}\right]_{E}^{E}[T]_{E}^{E}=[I]_{E}^{E}=I \] 가 성립하므로 \[ A A^{}=A^{} A=I \] 역으로 $ A A^{}=A^{} A=I $이면 $ T_{A^{\circ}} T_{A^{}}=T_{A^{}} T_{A}=I . T_{A^{}}=T^{} $이다. 즉 $ T T^{}=T^{} T =I, T_{A}=T $이므로 $ T_{A} $는 Unitary 변환 (직교변환)이다.</p> <p>정리 6.4.4 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 Unitary 변환의 고유값의 절대값은 1이다. 또 실수 위의 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 직교변환의 고유값이 존재하면 고유값은 $ \pm 1 $이다.</p> <p>[증명] $ \lambda $를 Unitary(직교)변환 $ T $의 고유값, $ v \in V, v \neq 0 $을 $ \lambda $에 대응하는 고유 벡터라 하면 \[ \\|v\\|=\\|T(v)\\|=\\|\lambda v\\|=\|\lambda\|\\|v\\| \] $ \\|v\\| \neq 0 $이므로 $ \|\lambda\|=1 $이다. $ \lambda \in \mathbb{R} $이면 $ \lambda=\pm 1 $이다.</p> <p>예제 6.4.5 다음 행렬의 고유값의 절대값을 구하여라.<ul> <li>(1) $ \left[\begin{array}{cc}\frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2}\end{array}\right] $</li> <li>(2) $ \left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) \[ \begin{aligned} A=\left[\begin{array}{cc} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{array}\right], A^{}=(\bar{A})^{t} &=\left[\begin{array}{cc} \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \\ \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \end{array}\right] \\ {\left[\begin{array}{cc} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \\ \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \end{array}\right] } &=\left[\begin{array}{cc} \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \\ \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned} \] 이므로 $ A A^{}=A^{} A=I $이다. 따라서 $ A $는 Unitary 행렬이므로 고유값의 절대값은 1이다.</p> <p>(2) $ A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], A^{}=A^{t}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] $ 에서 $ A A^{}=A^{} A=I $. 따라서 $ A$는 직교행렬이고, 고유값은 $ 1,-1 $이다.</p> <p>예제 6.1.1 $ \mathbb{R}^{n} $ 공간의 벡터 $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{t}, Y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)^{t} $에 대하여 $ X^{t} Y=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} $는 내적을 이룬다.</p> <p>[풀이] 내적의 조건 (1),(2),(3)은 분명히 만족한다. 조건 (4)를 만족함을 보이자. $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{2}\right)^{t} $에 대하여 $ X^{t} X=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geq 0 $이므로 $ X^{t} X \geq 0 $이다. $ X=0 $이면 $ X^{t} X=0 $이고 $ X^{t} X=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=0 $이면 모든 $ x_{i}=0 $이므로 $ X=0 $이다.</p> <p>위의 내적을 스칼라적(scalar product) 또는 도트적(dot product)이라 하고 $ X \cdot Y $로 나타낸다. 도트적을 표준내적(standard product)이라 하고, 표준내적에 관한 내적공간을 표준내적공간(standard inner space)이라 한다.</p> <p>예제 6.1.2 벡터공간 $ \mathbb{C}^{n} $의 임의의 벡터 $ \alpha=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), \beta=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $의 곱을 \[ \langle\alpha, \beta\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_{i} \bar{y}_{i} \] 로 정의하면 $ \langle $,$ \rangle$은 내적이다. 이 때 $\langle\alpha, \beta\rangle=\alpha \cdot \beta $로 나타내고 $ \mathbb{C} $ 위의 표준내적이라 한다.</p> <p>[풀이] 조건 (4)를 확인하자. 모든 복소수 $ x $에 대하여 $ x \bar{x} \geq 0 $이므로 \[ \langle\alpha, \alpha\rangle=\alpha \cdot \alpha=x_{1} \bar{x}_{1}+\cdots+x_{n} \bar{x}_{n} \geq 0 \] 즉 $ \langle\alpha, \alpha\rangle \geq 0 . ~\alpha=0 $이면 $ \langle\alpha, \alpha\rangle=0 $이고, $ \langle\alpha, \alpha\rangle=0 $이면 모든 $ x_{i} \bar{x}_{i}=0, x_{i}=0 $이므로 $ \alpha=0 $이다.</p> <p>예제 6.1.3 행렬공간 $ M_{n \times n}(\mathbb{R}) $ 에서 행렬 $ E_{r s}=\left(a_{i j}\right) $ \[ E_{r s}=\left(a_{i j}\right), \quad a_{i j}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=r, j=s \\ 0, & \text { 그밖에 } \end{array}\right. \] 의 집합 $ \left\{E_{r s} \mid r, s=1, \cdots, n\right\} $은 기저를 이룬다. \[ \left\langle E_{i j}, E_{l m}\right\rangle=\left\{\begin{array}{ll} 1, & i=l, j=m \\ 0, & \text { 그밖에 } \end{array}\right. \] 으로 정의된 사상 $ \langle,\rangle: M_{n \times n}(\mathbb{R}) \times M_{n \times n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} $는 내적이다.</p> <p>[풀이] $ A=\left[a_{i j}\right], B=\left[b_{k l}\right] \subset M_{n \times n}(\mathbb{R}) $는 $ A=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} E_{i j}, B=\sum_{k, l=1}^{n} b_{k l} E_{k l} $로 표시된다. \[ \begin{aligned} \langle A, B\rangle &=\left\langle\sum a_{i j} E_{i j}, \sum b_{k l} E_{k l}\right\rangle=\sum_{i, j=1}^{n} \sum_{k, l=1}^{n} a_{i j} b_{k l}\left\langle E_{i j}, E_{k l}\right\rangle \\ &=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} b_{i j}=\operatorname{tr}\left(A B^{t}\right) \end{aligned} \] 행렬의 trace의 성질에 의하여 조건 (1), (2), (3)은 쉽게 증명된다. $ A=\left[a_{i j}\right] $에 대하여 $ \langle A, A\rangle=\operatorname{tr}\left(A A^{t}\right) \geq 0 . A=O \Longleftrightarrow \operatorname{tr}\left(A A^{t}\right)=0,\langle A, A\rangle=0 $.</p> <p>정리 6.5.7실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $에 대하여 다음은 동치관계에 있다.<ul> <li>(1) $ T $가 자기수반변환이다. 즉 $ T=T^{} $</li> <li>(2) $ T $의 교유벡터로 이루어진 $ V $ 의 정규직교기저가 존재한다.</li></ul></p> <p>[증명] 정리 6.5.5에 의하여 (1)이면 (2)가 성립한다. 역으로 $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $이 $ T $의 고유벡터로 이루어진 $ V $의 정규직교기저라 하자. \[ T\left(w_{j}\right)=\lambda_{j} w_{j}, \quad a_{i j}=\lambda_{j} \delta_{i j}, \quad i, j=1, \cdots, n \] 에 대하여 $ T^{}: V \rightarrow V $를 다음으로 정의하자. \[ T^{}\left(w_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i j} w_{i}, \quad i=1, \cdots, n \] 그러면 \[ \begin{array}{l} \left\langle w_{i}, T^{}\left(w_{j}\right)\right\rangle=\left(w_{i}, \sum_{i=1}^{n} a_{k j} w_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k j}\left\langle w_{i}, w_{k}\right\rangle=a_{i j}, \\ \left\langle T\left(w_{i}\right), w_{j}\right\rangle=\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k i}, w_{k}, w_{j}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k i}\left\langle w_{k}, w_{j}\right\rangle=a_{j i} \end{array} \] $ a_{i j}=\lambda_{j} \delta_{i j}=\lambda_{i} \delta_{j i}=a_{j i} $이므로 $ \left\langle w_{i}, T^{}\left(w_{j}\right)\right\rangle=\left\langle T\left(w_{i}\right), w_{j}\right\rangle $. 따라서 $ T=T^{} $. 즉 $ T $는 자기수반사상이다.</p> <p>예제 6.5.4 다음 행렬에서 $ P^{-1} A P $가 되는 직교행렬 $ P $를 구하여라.<ul> <li>(1) $ \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{array}\right] $</li> <li>(2) $ \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) 행렬 $ A $의 고유값은 $ 1,-1 $이므로 다음 등식을 만족하는 직교행렬 $ P $가 존재한다. \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right], \quad P=\left[\begin{array}{rr} \cos \frac{\theta}{2} & \sin \frac{\theta}{2} \\ \sin \frac{\theta}{2} & -\cos \frac{\theta}{2} \end{array}\right] \]</p> <p>(2) 행렬 $ B $는 대칭행렬이므로 다음 등식을 만족하는 정직교행렬 $ P $가 존재한다. \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right], \quad P=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \]</p> <p>예제 6.5.5 다음 행렬을 대각화하여라.<ul> <li>(1) $ A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] $</li> <li>(2) $ B=\left[\begin{array}{rrrr}5 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 2\end{array}\right] $</li></ul> <p>[풀이] (1) 행렬 $ A $의 고유다항식 $ p(t)=(t-1)^{2}(t-4) $의 근 $ \lambda=1,4 $이다. $ \lambda_{1}=1$에 대응하는 고유벡터 $ w_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right), w_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right), \lambda=4 $에 대응하는 고유벡터 $ w_{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) $로이루어진 정규직교기저 $ \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} $에 의하여 $ A $는 대각화된다. 즉 \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right], \quad P=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \]</p> <p>(2) 행렬 $ B $의 고유다항식 $ p(t)=t^{2}(t-2)(t-4) $의 해는 $ \lambda=0,2,4 $이다. $ \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=4 $에 대응하는 단위고유벡터는 $ u_{1}=(0,0,1,0), u_{2}=(0,0,0,1), u_{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right), u_{4}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right) $이다. 따라서 \[ P^{-1} B P=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right], P=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \]</p> <p>정리 6.5.2 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 자기수반변환 $ T $는 $ n $개의 실수인 고유값을 갖는다.</p> <p>[증명] 임의의 고유값 $ \lambda \in \mathbb { K } $에 대응하는 고유벡터를 $ w, w \neq 0 $이라 하면 \[ \begin {aligned} \langle T(w), w \rangle & = \langle w, T(w) \rangle= \overline {\langle T(w), w \rangle } , \\ \langle T(w), w \rangle &= \langle \lambda w, w \rangle= \lambda \langle w, w \rangle= \lambda \\|w \\| ^ { 2 } , \\|w \\|>0 \\ \end {aligned} \] $ \langle T(w), w \rangle, \\|w \\| ^ { 2 } $은 실수이므로 $ \lambda= \frac {\langle T(w), w \rangle } {\\|w \\| ^ { 2 } } $는 실수이다.</p> <p>$ T $가 $ n $개의 고유값을 가짐을 보이자. $ V $의 정규직교기저 $ E $에서 행렬 $ [T]_ { E } ^ { E } $는 정리 6.3.9에 의하여 자기수반행렬(Hermite행렬)이다. 이 행렬을 $ A $라 놓으면 $ A=A ^ { * } $이다. 내적공간 $ \mathbb { C } ^ { n } $ 위의 선형변환 $ T_ { A } : \mathbb { C } ^ { n } \longrightarrow \mathbb { C } ^ { n } , T_ { A } (X)=A X $의 고유다항식은 $ f(t)=\|t I-A\| $이다. $ f(t) $는 $ n $차복소계수다항식이므로 중복을 허락하여 $ n $개의 근 $ \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } $을 갖는다. 정리 6.3.9에 의하여 Hermite행렬 $ A $에 관한 선형변환 $ T_ { A } $는 자기수반변환이고, $ T_ { A } $의 고유값은 모두 실수이므로 $ T_ { A } $의 고유값 $ \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } $은 모두 실수이다. 따라서 자기수반변환 $ T $는 $ n $개의 실수인 고유값을 갖는다.</p> <p>예제 6.5.2 다음 행렬의 고유값은 모두 실수임을 보여라.<ul> <li>(1) $ \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1 + 2 i \\ 1-2 i & 3 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ \left [ \begin {array} { rcc } 2 & i & 0 \\ -i & 1 & 1-i \\ 0 & 1 + i & -1 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>정리 6.5.12 Unitary 행렬과 Hermite 행렬은 정규행렬이다.</p> <p>[증명] $ U $가 Unitary 행렬이면 $ U ^ { * } U = U ^ { -1 } U=U U ^ { -1 } =U U ^ { * } , H $가 Hermite이면 $ H ^ { * } H=H H=H H ^ { * } $이므로 $ U, H $는 정규행렬이다.</p> <p>예제 6.5.7 다음 각 행렬을 직교행렬, Unitary 행렬, 대칭행렬, Hermite 행렬, 교대칭행렬 (skew-symmetric), 교대 Hermite 행렬, 정규행렬로 분류하여라.<ul> <li>(1) $ \left [ \begin {array} { rr } 1 & -2 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ \left [ \begin {array} { ll } 1 & i \\ i & 2 \end {array} \right ] $</li> <li>(3) $ \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1-i \\ 1 + i & 3 \end {array} \right ] $</li> <li>(4) $ \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 \end {array} \right ] $</li> <li>(5) $ \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ] $</li> <li>(6) $ \left [ \begin {array} { ll } 1 & i \\ i & 1 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>[풀이]<ul> <li>(1) 정규행렬</li> <li>(2) 정규행렬</li> <li>(3) Hermite 행렬</li> <li>(4) 교대칭행렬</li> <li>(5) 교대칭행렬, 정규행렬</li> <li>(6) 정규행렬</li></ul></p> <p>예제 6.5.8 다음 중에서 Unitary 또는 Hermite가 아니면서 정규인 행렬은 어느 것인가?<ul> <li>(1) $ \left [ \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ \left [ \begin {array} { rr } 0 & -1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] $</li> <li>(3) $ \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] $</li> <li>(4) $ \left [ \begin {array} { ll } 1 & i \\ i & 2 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>정리 $6.3.4$ 유한차원 내적공간 $ V $에서 $ V $와 $ \left(V^{}\right)^{}=V^{* } $은 동형관계에 있다.</p> <p>[증명] $ V $의 고정된 하나의 벡터를 $ v_{0} $라 하자. 임의의 $ \phi \in V^{} $에 대하여 $ \bar{\alpha}(\phi)=\phi\left(v_{0}\right) $로 정의된 사상 $ \bar{a}: V^{} \rightarrow \mathbb{K} $는 선형범함수이다. 실제로 $ \phi, \phi^{\prime} \in V^{}, k \in \mathbb{K} $에 대하여 \[ \begin{array}{c} \bar{\alpha}\left(\phi+\phi^{\prime}\right)=\left(\phi+\phi^{\prime}\right)\left(v_{0}\right)=\phi\left(v_{0}\right)+\phi^{\prime}\left(v_{0}\right)=\bar{\alpha}(\phi)+\bar{\alpha}\left(\phi^{\prime}\right), \\ \bar{\alpha}(k \phi)=(k \phi)\left(v_{0}\right)=k \phi\left(v_{0}\right)=k \bar{\alpha}(\phi) \end{array} \] $ v_{0} $에 관한 사상 $ \bar{\alpha} $를 $ \bar{\alpha}_{v_{0}} $라 놓고, $ v_{0} $를 $ V $의 임의의 원소로 택하면 $ v $를 $ \bar{\alpha}_{v} $로 대응시키는 사상 $ T: V \rightarrow V^{* } $가 존재한다. $ v_{1}, v_{2} \in V $이고 $ v_{1}=v_{2} $이면 모든 $ \phi \in V^{} $에 대하여 \[ \begin{array}{l} T\left(v_{1}\right) \in V^{* }, T\left(v_{1}\right): V^{} \rightarrow \mathbb{K},\left(T\left(v_{1}\right)\right)(\phi)=\phi\left(v_{1}\right), \\ T\left(v_{2}\right) \in V^{* }, T\left(v_{2}\right): V^{} \rightarrow \mathbb{K},\left(T\left(v_{2}\right)\right)(\phi)=\phi\left(v_{2}\right), \end{array} \] 이므로 $ T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right) $, 즉 $ \bar{\alpha}_{v_{1}}=\bar{\alpha}_{v_{2}} $이다. 임의의 $ u, v \in V, x, y \in \mathbb{K} $에 대하여 \[ \begin{aligned} T(x u+y v) &=(\phi)(x u+y v)=x \phi(u)+y \phi(v) \\ &=x T(u)(\phi)+y T(v)(\phi) \\ &=(x T(u)+y T(v))(\phi) \end{aligned} \] 이므로 $ T $는 선형사상이다. $ T $가 일대일임을 보이기 위하여 $ v \in \operatorname{ker} T $라 하면 모든 $ \phi \in V^{} $에 대하여 \[ (T(v))(\phi)=0 \] 특히 $ i=1, \cdots, n,(T(v))\left(\phi_{i}\right)=0 $이면, $ v=\sum_{i=1}^{n} x_{i} v_{i} $에서 \[ (T(v))\left(\phi_{i}\right)=\phi_{i}^{\prime}(v)=x_{i}=0 \] 모든 $ x_{i}=0 $이므로 $ v=\sum_{i=1}^{n} x_{i} v_{i}=0 $이다. 그러므로 $ \operatorname{ker} T=\{0\} $이다. 정리 $6.3.2$에 의하여 $ \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} V^{}, \operatorname{dim} V^{}=\operatorname{dim}\left(V^{}\right)^{} $이므로 $ \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} V^{ } $이다. 따라서 $ T: V \longrightarrow V^{ } $은 전사이다. 이로써 $ T $는 전단사인 선형사상임이 증명되었다.</p> <p>내적공간 $ V $의 부분공간 $ W $에서 모든 $ w \in W $에 대하여 $ \phi(w)=0 $인 $ \phi \in V^{} $ 전체의 집합 $ \left(W^{}\right)^{\perp}=\left\{\phi \in V^{} \mid \phi(w)=0, w \in W\right\} $를 $ W $의 영화군(annihilator)이라 한다.</p> <p>예제 $6.2.6 $ 예제 $ 6.1 .5 $(1)에 의한 내적공간 $ P_ { 2 } $에서 다음 집합은 정규직교기저인가? \[ \left \{ 1, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ { 2 } , x ^ { 2 } \right \} \]</p> <p>[풀이] $ \left \langle 1, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ { 2 } \right \rangle = 1 \cdot 0 + 0 \cdot \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } + 0 \cdot \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } =0 \\ $ $ \left \langle 1 x ^ { 2 } \right \rangle=1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1=0 \\ $, $ \left \langle \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ { 2 } , x ^ { 2 } \right \rangle=0 \cdot 0 + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \cdot 0 + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \cdot 1= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \neq 0 $이므로 직교집합이 아니다.</p> <p>정리 $6.2.2 $ $ n $차원 내적공간 $ V $의 정규직교집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 정규직교기저를 이룬다.</p> <p>[증명] 정리 $ 6.2 .1 $에 의하여 직교집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 일차독립이다. $ V $의 차원이 $ n $이므로 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 기저이다. 즉 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 정규직교기저이다.</p> <p>정리 6.2.11 정규직교집합 $ S = \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $의 모든 벡터와 수직인 벡터가 영벡터뿐일 필요충분조건은 임의의 $ v \subset V $가 $ v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \overline {\left \langle v_ { i } , v \right \rangle } v_ { i } $로 표시되는 것이다.</p> <p>[증명] 임의의 벡터 $ v $에 대하여 $ v ^ {\prime } =v- \sum_ { i=1 } ^ { n } \overline {\left \langle v_ { i } , v \right \rangle } v_ { i } $라 놓으면 \[ \begin {aligned} \left \langle v_ { j } , v ^ {\prime } \right \rangle &= \left \langle v_ { j } , v- \sum_ { i=1 } ^ { n } \overline {\left \langle v_ { i } , v \right \rangle } v_ { i } \right \rangle \\ &= \left \langle v_ { j } , v \right \rangle- \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \langle v_ { i } , v \right \rangle \left \langle v_ { j } , v_ { i } \right \rangle \\ &= \left \langle v_ { j } , v \right \rangle- \left \langle v_ { j } , v \right \rangle=0 \end {aligned} \] 이므로 $ v ^ {\prime } $는 모든 $ v_ { j } $와 수직이다. 그러므로 $ v ^ {\prime } =0, v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \overline {\left \langle v_ { i } , v \right \rangle } v_ { i } $. 역으로 $ v $가 모든 $ v_ { j } $와 수직이라면 \[ v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \overline {\left \langle v_ { j } , v \right \rangle } v_ { j } =0 \]</p> <p>정리 6.4.2 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $가 Unitary 변환이기 위한 필요충분조건은 임의의 정규직교기저 $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $에서 $ \left\{T\left(v_{1}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\} $이 정규직교기저가 되는 것이다.</p> <p>[증명] $ T: V \rightarrow V $가 Unitary 변환이고 $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $이 $ V $의 정규직교기저라 하자. 모든 $ v_{i}, v_{j} $에 대하여 $ \left\langle T\left(v_{i}\right), T\left(v_{j}\right)\right\rangle=\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0,\left\\|T\left(v_{i}\right)\right\\|=\left\\|v_{i}\right\\|=1 $이므로 $ \left\{T\left(v_{1}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\} $은 $ V $의 정규직교기저이다. 역으로 $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\}, F=\left\{T\left(v_{1}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\} $이 $ V $의 정규직교기저라 하면 $ \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=\delta_{i j},\left\langle T\left(v_{i}\right)\right., \left.T\left(v_{j}\right)\right\rangle=\delta_{i j} $이다. 임의의 $ v=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}, \alpha_{i} \in \mathbb{K} $에서 \[ \begin{array}{l} \\|T(v)\\|^{2}=\langle T(v), T(v)\rangle=\left\langle T\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}\right), T\left(\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} v_{j}\right)\right\rangle \\ \quad=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{i} \bar{\alpha}_{j} \cdot\left\langle T\left(v_{i}\right), T\left(v_{j}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \bar{\alpha}_{i} \\ \\|v\\|^{2}=\langle v, v\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}, \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}\right\rangle \\ =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{i} \bar{\alpha}_{j} \cdot\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \bar{\alpha}_{i} \end{array} \] 그러므로 $ \\|T(v)\\|=\\|v\\|, v \in V $이다. 즉 $ T $는 Unitary 변환이다.</p> <p>행렬 $ A \in M_{n \times n} $이 $ A A^{}=A^{} A=I $, 즉 $ A^{}=A^{-1} $일 때 $ A $를 Unitary행렬(unitary matrix)이라 한다. A가 실행렬인 Unitary 행렬을 실 Unitary행렬 (real unitary matrix) 또는 직교행렬(orthogonal matrix)이라 한다.</p> <p>예제 6.4.3 다음 각 행렬은 Unitary 행렬이다.<ul> <li>(1) $ \left[\begin{array}{ll}i & 0 \\ 0 & i\end{array}\right] $</li> <li>(2) $ \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) $ A=\left[\begin{array}{ll}i & 0 \\ 0 & i\end{array}\right], \bar{A}=\left[\begin{array}{rr}-i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right], A^{}=(\bar{A})^{t}=\left[\begin{array}{rr}-i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right] $ $ A A^{}=\left[\begin{array}{ll}i & 0 \\ 0 & i\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $ $ A^{} A=\left[\begin{array}{rr}-i & 0 \\ 0 & -i\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}i & 0 \\ 0 & i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $ 에서 $ A A^{}=A^{} A=I $. 따라서 $ A $는 Unitary 행렬이다.</p> <p>(2) $ B $의 고유다항식은 \[ p(t)= \left \| \begin {array} { ccc } t-1 & -i & 0 \\ i & t-1 & -i \\ 0 & i & t-1 \end {array} \right \|=(t-1) \left (t ^ { 2 } -2 t-1 \right ) \] 이므로 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =1, \lambda_ { 2 } =1 + \sqrt { 2 } , \lambda_ { 3 } =1- \sqrt { 2 } . \lambda_ { 1 } =1 $이면 \[ \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { r } -i y=0 \\ i x-i z=0 \\ i y=0 \end {array} \right . \] 의 해집합은 $ \langle(1,0,1) \rangle $이다. $ \lambda_ { 2 } =1 + \sqrt { 2 } $이면 \[ \left [ \begin {array} { crr } \sqrt { 2 } & -i & 0 \\ i & \sqrt { 2 } & -i \\ 0 & i & \sqrt { 2 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { rr } \sqrt { 2 } x-i y & =0 \\ i x + \sqrt { 2 } y-i z & =0 \\ i y + \sqrt { 2 } z & =0 \end {array} \right . \] 의 해집합은 $ \langle(1,- \sqrt { 2 } i,-1) \rangle $이다. $ \lambda_ { 3 } =1- \sqrt { 2 } $이면 \[ \left [ \begin {array} { ccc } - \sqrt { 2 } & -i & 0 \\ i & - \sqrt { 2 } & -i \\ 0 & i & - \sqrt { 2 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { r } - \sqrt { 2 } x-i y \quad=0 \\ i x- \sqrt { 2 } y- \quad i z=0 \\ i y- \sqrt { 2 } z=0 \end {array} \right . \] 의 해집합은 $ \langle(1, \sqrt { 2 } i,-1) \rangle $이다. \[ Q= \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & - \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & i \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } { 2 } & - \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ], \quad Q ^ { * } \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & - \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & - \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & - \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \] 에서 \[ \begin {aligned} Q ^ { * } B Q &= \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & - \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & - \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & i & 0 \\ -i & 1 & i \\ 0 & -i & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & - \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i & \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } { 2 } & - \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \\ &= \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 + \sqrt { 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 1- \sqrt { 2 } \end {array} \right ] \end {aligned} \]</p> <p>정리 6.3.10 행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } $에 의한 선형변환 $ T $의 수반행렬 $ T ^ { * } $의 행렬은 $ A ^ { * } =( \bar { A } ) ^ { t } $이다.</p> <p>[증명] 선형변환 $ T $의 $ \mathbb { K } ^ { n } $의 표준기저에 관한 행렬은 $ A $이므로 정리 6.3 .7 에 의하여 표준기저에 대한 $ T ^ { * } $의 행렬 $ M ^ { * } =( \bar { A } ) ^ { t } $이다.</p> <p>예제 6.3.10 다음 선형변환의 수반사상을 구하여라.<ul> <li>(1) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y, z) = (-y + z,-x + 2 z, x + 2 y + 2 z), x, y, z \in \mathbb { R } $</li> <li>(2) $ T: \mathbb { C } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { C } ^ { 3 } , T(x, y, z)=(x-i z, i x(1 + i) y + z, 2 i y), x, y, z \in \mathbb { C } $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) 표준기저에 관한 $ T $의 행렬은 \[ M=[T]= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end {array} \right ] \] 이므로 \[ M ^ { * } = \left [T ^ { * } \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end {array} \right ] \] 따라서 $ T ^ { * } (x, y, z)=M ^ { * } X=(-y + z,-x + 2 z, x + 2 y + 2 z) $</p> <p>정리 $ 6.2.5 $ $n $차원 내적공간 $ V $의 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합 $ S = \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { m } \right \} $에서 $ W= \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { m } \right \rangle, w_ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } v_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \\|v_ { i } \right \\| ^ { 2 } } v_ { i } $라 하면 $ w_ { 2 } =v-w_ { 1 } $인 벡터 $ w_ { 2 } $는 $ W $의 모든 벡터와 직교한다. 즉 임의의 $ v \subset V $에서 $ v=w_ { 1 } + w_ { 2 } , w_ { 2 } \perp W $ 인 벡터 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } $가 존재한다.</p> <p>[증명] 모든 $ i=1, \cdots, m $ 에 대하여 \[ u_ { i } = \frac { v_ { i } } {\left \\|v_ { i } \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } } v_ { i } \] 라 놓으면 집합 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { m } \right \} $은 정규직교집합이다. 모든 $ i=1, \cdots, m $에 대하여 \[ \begin {array} { c } \left \langle v, u_ { i } \right \rangle= \left \langle v, \frac { v_ { i } } {\left \\|v_ { i } \right \\| } \right \rangle= \frac { 1 } {\left \\|v_ { i } \right \\| } \left \langle v, v_ { i } \right \rangle \\ \left \langle v, u_ { i } \right \rangle u_ { i } = \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \\|v_ { i } \right \\| } \frac { v_ { i } } {\left \\|v_ { i } \right \\| } = \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \\|v_ { i } \right \\| ^ { 2 } } v_ { i } \\ = \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } v_ { i } \end {array} \] 이므로 \[ \begin {array} { l } w_ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \left \langle v, u_ { i } \right \rangle u_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } v_ { i } \\ w_ { 2 } =v- \sum_ { i=1 } ^ { m } \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } v_ { i } \end {array} \] 위의 정리에서 $ w_ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } v_ { i } $를 $ W $ 위의 $ v $의 직교사영(orthogonal projection), $ w_ { 2 } =v-w_ { 1 } $을 $ u $의 직교사영의 성분 (component of $ v $ orthogonal to $ w_ { 1 } $ )이라 한다. 실수 $ \frac {\left \langle v, v_ { i } \right \rangle } {\left \langle v_ { i } , v_ { i } \right \rangle } $를 $ v_ { i } $에 대한 $ v $의 Fourier 계수(Fourier coefficient)라 한다.</p> <p>정리 6.3.6 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $에서 다음 조건을 만족하는 선형변환 $ T ^ { * } : V \longrightarrow V $가 오직 하나 존재한다. \[ \langle T(v), u \rangle = \left \langle v, T ^ { * } (u) \right \rangle, \quad u, \quad v \in V \]</p> <p>[증명] 고정된 벡터 $ u \in V $에 대하여 $ T_ { u } : V \rightarrow \mathbb { K } $는 선형범함수이다. 정리 6.3.2에 의하면 \[ \langle T(v), u \rangle=T_ { u } (v)= \langle v, w \rangle, \quad v \in V \] 인 벡터 $ w $는 오직 하나 존재한다. 임의의 $ u \in V $에 대하여 $ T ^ { * } (u)=w= \alpha \left (T_ { u } \right ) $로 정의된 사상 $ T ^ { * } : V \rightarrow V $는 선형사상이다. 실제로 $ u_ { 1 } , u_ { 2 } \in V, x_ { 1 } , x_ { 2 } \in \mathbb { K } $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \langle v, T ^ { * } \left (x_ { 1 } u_ { 1 } + x_ { 2 } u_ { 2 } \right ) \right \rangle &= \left \langle T(v), x_ { 1 } u_ { 1 } + x_ { 2 } u_ { 2 } \right \rangle= \bar { x } _ { 1 } \left \langle T(v), u_ { 1 } \right \rangle + \bar { x } _ { 2 } \left \langle T(v), u_ { 2 } \right \rangle \\ &= \bar { x } _ { 1 } \left \langle v, T ^ { * } \left (u_ { 1 } \right ) \right \rangle + \bar { x } _ { 2 } \left \langle v, T ^ { * } \left (u_ { 2 } \right ) \right \rangle \\ &= \left \langle v, x_ { 1 } T ^ { * } \left (u_ { 1 } \right ) \right \rangle + \left \langle v, x_ { 2 } T ^ { * } \left (u_ { 2 } \right ) \right \rangle \\ &= \left \langle v, x_ { 1 } T ^ { * } \left (u_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } T ^ { * } \left (u_ { 2 } \right ) \right \rangle \end {aligned} \] 모든 $ v \in V $에 대하여 위 식이 성립하므로 $ T ^ { * } \left (x_ { 1 } u_ { 1 } + x_ { 2 } u_ { 2 } \right )=x_ { 1 } T ^ { * } \left (u_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } T ^ { * } \left (u_ { 2 } \right ) $. 즉 $ T ^ { * } $는 선형사상이다. 유일성을 보이기 위하여 모든 $ v \in V $에 대하여 \[ \langle T(v), u \rangle= \langle v, L(u) \rangle \] 인 선형변환 $ L: V \rightarrow V $가 존재한다고 가정하자. \[ \langle T(v), u \rangle= \langle v, L(u) \rangle, \quad u, \quad v \in V \] 이면 $ \langle v, L(u) \rangle= \left \langle v, T ^ { * } (u) \right \rangle= \langle T(v), u \rangle $이다. $ \left \langle v, L(u)-T ^ { * } (u) \right \rangle=0 $이 모든 $ v $에 대하여 성립하므로 $ L(u)=T ^ { * } (u), u \in U $이다. 따라서 $ L=T ^ { * } $이다. 이로써 $ \langle T(v), u \rangle= \langle v, w \rangle= \left \langle v, T ^ { * } (u) \right \rangle, u, v \in V $인 선형변환 $ T ^ { * } $는 존재하고 오직 하나뿐임이 증명되었다. $ T=T ^ { * } $인 $ T $를 자기수반변환이라 한다.</p> <p>정리 6.5.5 (Spectral Theorem) 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 자기수반변환 $ T $에서 $ T $의 고유벡터로 이루어진 $ V $의 정규직교기저가 존재한다.</p> <p>[증명] $ T: V \rightarrow V $가 자기수반변환이라 하자. $ n = 1 $이면 $ V= \{ v \} , v \neq 0 $이면 $ T(v)= \lambda v, \lambda \in \mathbb { R } $이 존재한다. $ w= \frac { v } {\\|v \\| } $라 놓으면 $ \{ w \} $는 $ V $의 정규직교기저이다. $ \operatorname { dim } V=n>1 $일 때 $ n $에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. $ n-1 $차원의 모든 내적공간에 대하여 $ T $의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저가 존재한다고 가정하자. 정리 6.5.2에 의하여 실수인 $ T $의 고유값 $ \lambda_ { 1 } $과 고유벡터 $ v_ { 1 } $이 존재한다. $ w_ { 1 } = \frac { v_ { 1 } } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } , W= \left \langle w_ { 1 } \right \rangle $이라 놓으면 $ T \left (w_ { 1 } \right )= \lambda_ { 1 } w_ { 1 } \in \left \langle w_ { 1 } \right \rangle $이므로 $ W $ 는 $ T - $불변부분공간이다. 정리 6.5.4에 의하여 직교보공간 $ W ^ {\perp } $도 $ V $의 $ T - $불변부분공간이다. 정리 6.2.12 에 의하여 $ V=W \oplus W ^ {\perp } , \operatorname { dim } W ^ {\perp } =n-1 $이고 정리 6.5.4에 의하여 $ T_ { W } { } ^ {\perp } : $ $ W ^ {\perp } \longrightarrow W ^ {\perp } $는 자기수반변환이다. 가정에 의하여 $ T_ { W } { } ^ {\perp } $의 고유벡터로 이루어진 $ W ^ {\perp } $의 정규직교기저 $ \left \{ w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } \right \} $이 존재한다. 이들 모든 벡터는 $ W ^ {\perp } $의 원소이므로 $ w_ { 1 } $과 서로 수직이다. 따라서 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $은 $ V $의 정규직교집합이다. 정리 6.2.2에 의하여 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $은 $ V $의 정규직교기저이다.</p> <p>정리 6.5.6 $n $차행렬 $ A $가 Hermite이면 $ P ^ { -1 } A P $가 대각행렬이 되는 Unitary 행렬 $ P $가 존재한다. 즉 Hermite행렬은 대각행렬과 Unitary 닮음이다. A가 실대칭행렬이면 대각행렬과 직교닮음이다.</p> <p>[증명] 표준 내적공간 $ \mathbb { C } ^ { n } $에서 표준기저에 관한 행렬 $ A $의 선행사상을 $ T $라 하면, 정리 6.5.1에 의하여 $ T $는 자기수반변환이다. 정리 6.5 .5에 의하여 $ T $의 고유벡터로 이루어진 정규직교기저 $ F = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $이 존재한다. 표준기저를 $ E $라 하면 $ T=I \cdot T \cdot I $ \[ [T]_ { F } ^ { F } =[I]_ { E } ^ { F } [T]_ { E } ^ { E } [I]_ { F } ^ { E } , \quad[T]_ { F } ^ { F } =P ^ { * } A P \] $ T \left (w_ { i } \right )= \lambda_ { i } w_ { i } , i=1, \cdots, n $이라 놓으면 \[ D=[T]_ { F } ^ { F } = \operatorname { diag } \left ( \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right ), \quad D=P ^ { * } A P \] 예제 6.4.6에 의하여 $ [I]_ { F } ^ { E } =P $는 Unitary 행렬이다. 따라서 $ D=P ^ { -1 } A P $가 되는 Unitary 행렬 $ P $가 존재한다. 또 $ A $가 실대칭행렬인 경우에는 표준내적공간 $ \mathbb { R } ^ { n } $에 대하여 생각하면 $ P $는 직교행렬이다.</p> <p>[풀이] (1) $ X=(x, y, z) $라 놓으면 $ \phi(X)=x-2 y + 4 z= \left \langle(x, y, z), \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \right \rangle=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } + z z ^ {\prime } $. $ x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } $를 상수로 보면 모든 $ x, y, z \in \mathbb { R } $에 대하여 \[ \left (1-x ^ {\prime } \right ) x- \left (2 + y ^ {\prime } \right ) y + \left (4-z ^ {\prime } \right ) z=0 \] $1-x ^ {\prime } =-2-y ^ {\prime } =4-z ^ {\prime } =0 $에서 $x ^ {\prime } =1, y ^ {\prime } =-2, z ^ {\prime } =4 $이므로 $w=(1,-2,4) $이다.</p> <p>(2) $ X=(x, y), \phi(X)=x-2 y= \left \langle(x, y), \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) \right \rangle=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } $에서 \[ \left (1-x ^ {\prime } \right ) x- \left (2 + y ^ {\prime } \right ) y=0 \] 모든 $ x, y $에 대하여 위 식이 성립하려면 $ 1-x ^ {\prime } =0,2 + y ^ {\prime } =0 $이다. 따라서 $ x ^ {\prime } =1 , y ^ {\prime } =-2, w=(1,-2) $이다.</p> <p>정리 6.3.8 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ S $, $ T $와 $ \alpha \in \mathbb { K } $에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>(1) $ (S + T) ^ { * } =S ^ { * } + T ^ { * } $</li> <li>(2) $ (S T) ^ { * } =T ^ { * } S ^ { * } $</li> <li>(3) $ ( \alpha T) ^ { * } = \bar {\alpha } T ^ { * } $</li></ul></p> <p>정리 6.3.1에서의 $ V ^ { * } $의 기저 $ \left \{\phi_ { 1 } , \cdots, \phi_ { n } \right \} $을 $ V ^ { * } $의 쌍대기저(dual basis)라 한다. 이 때 $ \phi_ { j } \left (v_ { j } \right )= \delta_ { i j } $가 된다.</p> <p>예제 6.3.4 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 공간의 기저 $ \{ (1,0,-1),(-1,1,0),(0,1,1) \} $에 관한 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) ^ { * } $의 기저를 구하여라.</p> <p>[풀이] 임의의 $ X = (a, b, c) \in \mathbb { R } ^ { 2 } $에 대하여 \[ (a, b, c)= \alpha(1,0,-1) + \beta(-1,1,0) + \gamma(0,1,1) \] 이라 놓자. \[ \alpha- \beta=a, \beta + \gamma=b,- \alpha + \gamma=c \] 에서 \[ \alpha= \frac { a + b-c } { 2 } , \quad \beta= \frac { -a + b-c } { 2 } , \quad \gamma= \frac { a + b + c } { 2 } \] 따라서 $ V ^ { * } $의 기저는 $ \left \{\phi_ { 1 } , \phi_ { 2 } , \phi_ { 3 } \right \} $으로 \[ \phi_ { 1 } (a, b, c)= \alpha= \frac { a + b-c } { 2 } , \quad \phi_ { 2 } (a, b, c)= \beta= \frac { -a + b-c } { 2 } , \quad \phi_ { 3 } (a, b, c)= \gamma= \frac { a + b + c } { 2 } \] 를 만족한다.</p> <p>정리 6.3.2 선형범함수 $ \phi \in V ^ { * } $에 대하여 $ \phi(v)= \langle v, w \rangle, v \in V $인 벡터 $ w \in V $는 오직 하나만이 존재한다.</p> <p>[증명] 정리 $6.2.6 $에서 $ m=1 $인 경우를 생각하자. \[ v_ { 1 } =w_ { 1 } , \quad u_ { 1 } = \frac { w_ { 1 } } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } = \frac { v_ { 1 } } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } \] 에 대하여 $ v_ { 2 } = \alpha_ { 1 } u_ { 1 } + w_ { 2 } $ 가 $ v_ { 1 } $ 과 수직이 되도록 하려면 \[ \begin {aligned} 0= \left \langle v_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle &= \alpha_ { 1 } \cdot \left \langle u_ { 1 } , v_ { 1 } \right \rangle + \left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \cdot \frac {\left \langle w_ { 1 } , w_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } + \left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \cdot \frac {\left \\|w_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } + \left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle \\ &= \alpha_ { 1 } \left \\|w_ { 1 } \right \\| + \left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle \end {aligned} \] 에서 \[ \alpha_ { 1 } =- \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } \] 그러므로 \[ \begin {aligned} v_ { 2 } &=- \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } u_ { 1 } + w_ { 2 } =w_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } \frac { w_ { 1 } } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| } \\ &=w_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|w_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } \end {aligned} \] 다음으로 \[ u_ { 2 } = \frac { v_ { 2 } } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| } \] 라 놓고 $ v_ { 3 } = \beta_ { 1 } u_ { 1 } + \beta_ { 2 } u_ { 2 } + w_ { 3 } $가 $ u_ { 1 } , u_ { 2 } $와 수직이 되도록 하려면 \[ \beta_ { 1 } =- \left \langle w_ { 3 } , u_ { 1 } \right \rangle, \quad \beta_ { 2 } =- \left \langle w_ { 3 } , u_ { 2 } \right \rangle \] 이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} v_ { 3 } &=w_ { 3 } - \left \langle w_ { 3 } , u_ { 2 } \right \rangle u_ { 2 } - \left \langle w_ { 3 } , u_ { 1 } \right \rangle u_ { 1 } \\ &=w_ { 3 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 2 } \right \rangle } { v_ { 2 } } \frac { v_ { 2 } } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } \frac { v_ { 1 } } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } \\ &=w_ { 3 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 2 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } \end {aligned} \] 이러한 과정을 계속하면 \[ v_ { m } =w_ { m } - \sum_ { j=1 } ^ { m-1 } \frac {\left \langle w_ { m } , v_ { j } \right \rangle } {\left \\|v_ { j } \right \\| ^ { 2 } } v_ { j } , \quad m=1, \cdots, n \] 그러면 집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 직교집합으로 $ V $의 기저이다. 또 $ \frac { v_ { i } } {\left \\|v_ { i } \right \\| } =u_ { i } $라 놓으면 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $은 정규직교기저이다.</p> <p>예제 6.5.10 다음 Hermite 행렬을 대각화하여라.<ul> <li>(1) $ A= \left [ \begin {array} { cc } 2 & 1-i \\ 1 + i & 3 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & i & 0 \\ -i & 1 & i \\ 0 & -i & 1 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>[풀이] (1) 행렬 $ A $의 고유다항식은 \[ p(t)= \left \| \begin {array} { rr } t-2 & -1 + i \\ -1-i & t-3 \end {array} \right \|=t ^ { 2 } -5 t + 4=(t-1)(t-4) \] 의 근은 $ \lambda_ { 1 } =1, \lambda_ { 2 } =4 $이다. $ \lambda_ { 1 } =1 $ 에 대응하는 고유단위벡터는 $ \left ( \frac { -1 + i } {\sqrt { 3 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \right ) $, $ \lambda_ { 2 } =4 $에 대응하는 고유단위벡터는 $ \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } , \frac { 1 + i } {\sqrt { 3 } } \right ) $이다. \[ P= \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \left [ \begin {array} { cc } -1 + i & 1 \\ 1 & 1 + i \end {array} \right ] \] 에 의하여 $ A $는 대각화된다. 즉 \[ P ^ { * } A P= \left [ \begin {array} { cc } \frac { -1-i } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1-i } {\sqrt { 3 } } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } 2 & 1-i \\ 1 + i & 3 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } \frac { -1 + i } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1 + i } {\sqrt { 3 } } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 4 \end {array} \right ] \]</p> <p>$ W \cap W ^ {\perp } $의 임의의 원소를 $ w $라 하면 $ w \subset W, w \subset W ^ {\perp } $이므로 $ \langle w, w \rangle=0 $, 즉 $ w=0 $이다. 따라서 $ V=W + W ^ {\perp } , W \cap W ^ {\perp } = \{ 0 \} $이므로 $ V=W \oplus W ^ {\perp } $이다. 또한 $ V $가 유한차원 내적공간이면 \[ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W + \operatorname { dim } W ^ {\perp } \]</p> <p>예제 $6.2.15 $ $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 부분공간 $ W \{ (a, 0,0) \mid a \subset \mathbb { R } \} $의 직교보공간 $ W ^ {\perp } $을 구하고 $ \mathbb { R } ^ { 3 } = W \oplus W ^ {\perp } $임을 보여라.</p> <p>[풀이] $W ^ {\perp } = \{ (0, b, c) \mid b, c \subset \mathbb { R } \} $ 이고 $ W= \left \langle \left ( \begin {array} { ll } 1, & 0,0 \end {array} \right ) \right \rangle, W ^ {\perp } = \langle(0,1,0), (0,0,1) \rangle $이다. $ \mathbb { R } ^ { 3 } =W \oplus W ^ {\perp } $이므로 $ \operatorname { dim } W ^ {\perp } =3-1=2 $.</p> <p>예제 $6.2.16 $ $ W $가 내적공간 $ V $의 부분공간이면 $ W \subset \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다. $ V $가 유한차원이면 $ W= \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다.</p> <p>[풀이] 임의의 $ w \subset W $에서 $ \langle w, v \rangle=0, v \subset W ^ {\perp } $이므로 $ w \subset \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다. 따라서 $ W \subset \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다. $ V $가 유한차원이면 정리 $6.2.11 $에 의하여 \[ V=W \oplus W ^ {\perp } , V=W ^ {\perp } \oplus \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } \] 차원을 생각하면 \[ \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W + \operatorname { dim } W ^ {\perp } = \operatorname { dim } W ^ {\perp } + \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } \] 에서 $ \operatorname { dim } W= \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다. 그런데 $ W \subset \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이므로 $ W= \left (W ^ {\perp } \right ) ^ {\perp } $이다.</p> <p>정리 $6.2.13 $ 내적공간 $ V $의 유한차원 부분공간 $ W $에서 임의의 $ v \subset V $에 대하여 $ v=w_ { 1 } + w_ { 2 } , w_ { 1 } \subset W, w_ { 2 } \subset W ^ {\perp } $이라 하자. 모든 $ w \subset W, w \neq w_ { 1 } $에 대하여 $ \left \\|v-w_ { 1 } \right \\|< \\|v-w \\| $가 성립한다.</p> <p>[증명] 정리 $6.2.12 $에 의하여 $ v=w_ { 1 } + w_ { 2 } , w_ { 1 } \subset W, w_ { 2 } \subset W ^ {\perp } $인 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } $는 오직 한 쌍만이 존재한다. 임의의 $ w \subset W, w \neq w_ { 1 } $에서 \[ v-w= \left (v-w_ { 1 } \right ) + \left (w_ { 1 } -w \right )=w_ { 2 } + \left (w_ { 1 } -w \right ) \] 라 놓으면 $ \left \langle w_ { 1 } -w, w_ { 2 } \right \rangle=0 $이므로 \[ \\|v-w \\| ^ { 2 } = \left \\|w_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } + \left \\|w_ { 1 } -w \right \\| ^ { 2 } \] $ w \neq w_ { 1 } $이므로 $ \left \\|w_ { 1 } -w \right \\| ^ { 2 } >0, \\|v-w \\| ^ { 2 } \geq \left \\|w_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } $이다. 따라서 \[ \left \\|v-w_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } \leq \\|v-w \\| ^ { 2 } \]</p> <p>(2) $ X=(x, y, z), Y= \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) $에 대하여 \[ \begin {aligned} \langle T(X),&T(Y) \rangle= \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } y \right ) \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ {\prime } - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } y ^ {\prime } \right ) + y y ^ {\prime } + \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x + z \right ) \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ {\prime } + z ^ {\prime } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } x x ^ {\prime } - \frac { 1 } { 2 } x y ^ {\prime } - \frac { 1 } { 2 } x ^ {\prime } y + \frac { 1 } { 2 } y y ^ {\prime } + y y ^ {\prime } + \frac { 1 } { 2 } x x ^ {\prime } + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x z ^ {\prime } + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x ^ {\prime } z + z z ^ {\prime } \\ & \neq x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } + z z ^ {\prime } =(x, y, z) \cdot \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right )=X \cdot Y \end {aligned} \] 따라서 $ T $는 Unitary 변환이 아니다.</p> <p>선형변환 $ T: V \rightarrow V $가 Unitary이면 모든 $ v \in V $에 대하여 $ \\|T(v) \\| ^ { 2 } = \\|v \\| ^ { 2 } , \langle T(v), T(v) \rangle= \langle v, v \rangle $이다. 임의의 $ u, v \in V $에서 \[ \\|T(u + v) \\|= \\|u + v \\|, \quad \\|T(u-i v) \\|= \\|u-i v \\| \] 가 성립하므로 \[ \begin {array} { l } \langle T(u), T(v) \rangle + \langle T(v), T(u) \rangle= \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle, \\ -i \langle T(u), T(v) \rangle + i \langle T(v), T(u) \rangle=-i \langle u, v \rangle + i \langle v, u \rangle \end {array} \] 이 두 식으로부터 $ \langle T(u), T(v) \rangle= \langle u, v \rangle $를 얻는다. 따라서 선형변환 $ T $가 unitary일 필요충분조건은 모든 $ u, v \in V $에 대하여 $ \langle T(u), T(v) \rangle= \langle u, v \rangle $가 되는 것임을 알 수 있다.</p> <p>정리 6.4.1 $ T $를 체 $ \mathbb { K } $ 위의 내적공간 $ V $ 위의 선형변환이라 한다. $ T $가 Unitary이기 위한 필요충분조건은 $ T $의 수반사상 $ T ^ { * } $가 존재하여 $ T T ^ { * } =T ^ { * } T=I $가 되는 것이다. 즉 $ T ^ { * } =T ^ { -1 } $이다.</p> <p>[증명] $ T(v)=0 $인 벡터 $ v \in V $가 있으면 $ \langle u, v \rangle= \langle T(u), T(v) \rangle=0 $이므로 $ v=0 $이다. 그러므로 Unitary 변환은 일대일 변환이다. $ T $의 역사상을 $ T ^ { -1 } $이라 하면 모든 $ u, v \in V $에 대하여 \[ \langle T(u), v \rangle= \left \langle T(u), \left (T \circ T ^ { -1 } \right )(v) \right \rangle= \left \langle T(u), T \left (T ^ { -1 } (v) \right \rangle= \left \langle u, T ^ { -1 } (v) \right \rangle \right . \] 그러므로 $ T ^ { -1 } =T ^ { * } $이다. 역으로 $ T ^ { * } $이 존재하여 $ T ^ { * } T=T T ^ { * } =I $라고 하자. 그러면 $ T $는 가역이고 $ T ^ { -1 } =T ^ { * } $이다. 모든 $ u, v \in V $에 대하여 \[ \langle T(u), T(v) \rangle= \left \langle u, T ^ { * } (T(v)) \right \rangle= \langle u, I(v) \rangle= \langle u, v \rangle \] 이므로 $ T $는 Unitary 변환이다.</p> <p>유한차원 내적공간 위의 자기수반변환, Unitary 변환, 직교변환에 관한 정리를 Hermite, Unitary, 직교 행렬에 적용하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 6.5.18<ul> <li>(1) $ H $가 Hermite 행렬이면 (i) $ H $는 대각행렬 $ D $와 Unitary 닮음이다. (ii) $ D $의 주대각성분은 $ H $의 고유값이다. (iii) $ H $의 고유값은 실수이다.</li> <li>(2) $A $가 Unitary 행렬이면 (i) $ A $는 대각행렬 $ D $와 Unitary 닮음이다. (ii) $ D $의 주대각성분은 $ A $의 고유값이다. (iii) $ A $의 고유값의 절대값은 1이다.</li> <li>(3) $A $가 직교행렬이면 (i) $ A $는 대각행렬 $ D $와 Unitary 닮음이다. (ii) $ D $의 주대각성분은 $ A $의 고유값이다. (iii) $ A $의 고유값의 절대값은 1이다. 즉 고유값은 $ \pm 1 $이다.</li></ul></p> <p>예제 6.5.9 다음 행렬을 대각화하여라.<ul> <li>(1) $ A = \left [ \begin {array} { rr } 5 & -3 \\ -3 & 5 \end {array} \right ] $</li> <li>(2) $ B= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end {array} \right ] $</li></ul></p> <p>[풀이] 행렬 $ A, B $는 모두 실대칭행렬이므로 대각화 가능하다. (1) $ A $의 고유다항식은 \[ p(t)= \left \| \begin {array} { cc } t-5 & 3 \\ 3 & t-5 \end {array} \right \|=(t-5) ^ { 2 } -9=(t-2)(t-8) \] 이므로 $ A $의 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =2, \lambda_ { 2 } =8 $ 이다. $ \lambda_ { 1 } =2 $이면 \[ \left [ \begin {array} { rr } -3 & 3 \\ 3 & -3 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { r } -3 x + 3 y=0 \\ 3 x-3 y=0 \end {array} \right . \] 의 해는 $ v_ { 1 } =(1,1) $이다. $ \lambda_ { 2 } =8 $이면 \[ \left [ \begin {array} { ll } 3 & 3 \\ 3 & 3 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad 3 x + 3 y=0 \] 의 해는 $ v_ { 2 } =(1,-1) $이다. 그러므로 고유벡터로 이루어진 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 공간의 정규직교기저는 $ \left \{\left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ), \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } ,- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \right \} $이다. 직교행렬 \[ P= \left [ \begin {array} { cc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ], \quad P ^ { t } = \left [ \begin {array} { cc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \] 에서 \[ P ^ { t } A P= \left [ \begin {array} { cc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 5 & -3 \\ -3 & 5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 0 \\ 0 & 8 \end {array} \right ] \]</p> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $에서 $ T(W) \subset W $인 $ V $의 부분공간 $ W $를 $ T $-불변부분공간 ( $ T $-invariant subspace)이라 한다.</p> <p>정리 6.5.4 체( \mathbb { K } \) 위의 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 자기수반변환 $ T $에서 다음 성질이 성립한다.<ul> <li>(1) $ T - $-불변부분공간 $ W $의 직교보공간 $ W ^ {\perp } $는 $ T - $불변부분공간이다.</li> <li>(2) $ T - $불변부분공간 $ W $ 위의 선형변환 $ T_ { W } : W \longrightarrow W, T_ { W } (w) = T(w) $는 $ W $ 위의 자기수반변환이다.</li></ul></p> <p>[증명] (1) 임의의 $ w \in W, v \in W ^ {\perp } $에서 $ T(w) \in W, v \in W ^ {\perp } $이므로 \[ \langle T(v), w \rangle= \langle v, T(w) \rangle=0 \] $ \langle T(v), w \rangle=0 $이므로 $ T(v) \in W ^ {\perp } $. 따라서 $ T \left (W ^ {\perp } \right ) \subset W ^ {\perp } $. 즉 $ W ^ {\perp } $는 $ T - $불변부분공간이다.</p> <p>(2) 임의의 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } \in W $에서 \[ \left \langle T_ { W } \left (w_ { 1 } \right ), w_ { 2 } \right \rangle= \left \langle T \left (w_ { 1 } \right ), w_ { 2 } \right \rangle= \left \langle w_ { 1 } , T \left (w_ { 2 } \right ) \right \rangle= \left \langle w_ { 1 } , T_ { W } \left (w_ { 2 } \right ) \right \rangle \] 이므로 $ \left (T_ { W } \right ) ^ { * } =T_ { W } $이다. 따라서 $ T_ { W } : W \rightarrow W $는 자기수반변환이다.</p> <h1>6.5 자기수반변환, Hermite행렬</h1> <p>유한차원 내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $의 행렬 $ M $과 수반변환 $ T^{} $의 행렬 $ M^{} $이 같은 행렬, 즉 $ M=M^{}=(\bar{M})^{t} $ 일 때 $ T $를 Hermite변환 (Hermitian linear transformatian) 또는 Hermite 작용소(Hermitian operator)라 하고, 행렬 $ M $을 Hermite 행렬(Hermitian matrix)이라 한다. $ M=M^{t} $일 때 $ T $ 를 대칭변환(symmetric transformation) 또는 대칭작용소(symmetric operator)라 하고, $ M $을 대칭행렬 (symmetric matrix)라 한다. 대칭행렬에는 실대칭행렬(real symmetric matrix), 복소대칭행렬 (complex symmetric matrix) 이 있다.</p> <p>정리 6.5.1 유한차원 내적공간 $ V $ 위의 자기수반변환의 정규직교기저에 관한 행렬은 Hermite 이다. 이의 역도 성립한다.</p> <p>[증명] 선형변환 $ T: V \rightarrow V $가 자기수반사상이면 $ T=T^{} $이므로 $ V $의 정규직교기저 $ E=\left\{v_{1}, \cdots, v_{n}\right\} $에서 \[ m_{i j}^{}=\left\langle T^{}\left(v_{j}\right), v_{i}\right\rangle=\left\langle T\left(v_{j}\right), v_{i}\right\rangle=m_{i j} \] 따라서 $ M^{}=M $, 즉 $ M $은 Hermite 행렬이다. 역으로 정규직교기저 $ E=\left\{v_{1}, \cdots\right, \left.v_{n}\right\} $에 관한 행렬이 Hermite인 선형변환을 $ T $라 하면 모든 $ m_{j i}=\bar{m}_{i j} $이므로 \[ \left\langle T\left(v_{i}\right), v_{j}\right\rangle=m_{j i}=\overline{m_{i j}}=\overline{\left\langle T\left(v_{j}\right), v_{i}\right\rangle}=\overline{\left\langle v_{j}, T^{}\left(v_{i}\right)\right\rangle}=\left\langle T^{}\left(v_{i}\right), v_{j}\right\rangle \] 따라서 $ T^{}\left(v_{i}\right)=T^{}\left(v_{i}\right), i=1, \cdots, n $. 즉 $ T^{}=T $이다.</p> <p>예제 6.5.1 다음 선형변환의 자기수반변환과 수반행렬을 구하여라.<ul> <li>(1) $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(2 x+y+z, x+2 y+z, x+y+2 z) $</li> <li>(2) $ T: M_{3 \times 3} \rightarrow M_{3 \times 3}, T(A)=A-A^{t}, A \in M_{3 \times 3} $</li></ul></p> <p>[풀이] 표준내적공간 $ \mathbb{R}^{3} $에서 \[ \begin{aligned} \left\langle T(x, y, z),\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\right\rangle &=(2 x+y+z) x^{\prime}+(x+2 y+z) y^{\prime}+(x+y+2 z) z^{\prime} \\ &=x\left(2 x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime}\right)+y\left(x^{\prime}+2 y^{\prime}+z^{\prime}\right)+z\left(x^{\prime}+y^{\prime}+2 z^{\prime}\right) \\ &=(x, y, z) \cdot\left(2 x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime}, x^{\prime}+2 y^{\prime}+z^{\prime}, x^{\prime}+y^{\prime}+2 z^{\prime}\right) \\ &=\left\langle(x, y, z), T^{}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\right\rangle \end{aligned} \] 그러므로 $ T^{}(x, y, z)=(2 x+y+z, x+2 y+z, x+y+2 z) $. 즉 $ T^{}=T $이다. 따라서 \[ M=[T]=\left[T^{}\right]=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right]=M^{} \]</p> <p>(2) $ \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(A B^{t}\right), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}\left(A^{t} B^{t}\right) $이므로 $ \begin{aligned}\langle T(A), B\rangle &=\operatorname{tr}\left(T(A) B^{t}\right)=\operatorname{tr}\left\{\left(A-A^{t}\right) B^{t}\right\} \\ &=\operatorname{tr}\left(A B^{t}-A^{t} B^{t}\right)=\operatorname{tr}\left(A B^{t}-A B\right)=\operatorname{tr} A\left(B-B^{t}\right)^{t} \end{aligned} $\[ =\left\langle A, T^{}(B)\right\rangle \] $ T^{} $의 유일성에 의하여 $ T^{}(B)=B-B^{t}, B \in M_{n \times n} $. 즉 $ T^{}=T $이다. $ M_{2 \times 2} $의 기저 \[ \begin{array}{l} E_{11}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad E_{12}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad E_{13}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ E_{21}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad E_{22}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad E_{23}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ E_{31}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad E_{32}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad E_{33}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ \end{array} \] 에 대하여 \[ \begin{array}{l} T\left(E_{11}\right)=E_{11}-E_{11}^{t}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{12}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{13}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ T\left(E_{21}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{22}\right)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{23}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right] \\ T\left(E_{31}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{32}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right], T\left(E_{33}\right)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \end{array} \] 따라서 $ T $의 표준기저 $ \left\{E_{11}, \cdots, E_{33}\right\} $에 관한 행렬은 아래와 같다. \[ M=M^{}=\left[\begin{array}{rrrrrrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] <p>정리 $ 6.2 .8 $ $n $차원 내적공간 $ V $의 기저 $ \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $에 대하여 \[ \begin {array} { l } v_ { 1 } = w_ { 1 } \\ v_ { 2 } =w_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } \\ v_ { 3 } =w_ { 3 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 2 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } \\ \vdots \quad \quad \vdots \\ v_ { n } =w_ { n } - \frac {\left \langle w_ { n } , v_ { n-1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { n-1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { n-1 } - \cdots- \frac {\left \langle w_ { n } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } \end {array} \] 이 되는 벡터집합 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $은 직교기저이다. 모든 $ u_ { i } = \frac { v_ { i } } {\left \\|v_ { i } \right \\| } $라 놓으면 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots \right . $, $ \left .u_ { n } \right \} $은 정규직교기저이다.</p> <p>(2) 행렬 $ B $의 고유다항식은 \[ p(t)= \left \| \begin {array} { ccc } t-3 & 0 & 1 \\ 0 & t-2 & 0 \\ 1 & 0 & t-3 \end {array} \right \|=(t-4)(t-2) ^ { 2 } \] 이므로 고유값은 $ \lambda_ { 1 } =2, \lambda_ { 2 } =4 $이다. $ \lambda_ { 1 } =2 $이면 \[ \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { r } -x + z=0 \\ x-z=0 \end {array} \right . \] 의 해집합은 $ V_ { 1 } = \langle(1,0,1) $, $ (0,1,0) \rangle $이다. $ \lambda_ { 2 } =4 $이면 \[ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left \{\begin {array} { l } x + z=0 \\ 2 y=0 \\ x + z=0 \end {array} \right . \] 의 해집합은 $ V_ { 2 } = \langle(-1,0,1) \rangle $이다. $ V $의 직교기저 $ \{ (1,0,1),(0,1,0) $, $ (-1 $, $ 0,1) \} $에 관한 정규직교기저는 $ \left \{\left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ),(0,1,0), \left (- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \right \} $이다. 직교행렬 \[ Q= \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ], \quad Q ^ { t } = \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 & 1 & 0 \\ - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \] 에서 \[ Q ^ { t } B Q= \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 & 1 & 0 \\ - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rcc } 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end {array} \right ] . \]</p> <p>(2) $ X=(x, y, z), Y= \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) $에 대하여 \[ \begin {aligned} \langle T(X), T(Y) \rangle & \left .= \left \{\begin {array} { lll } x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { ccc } x ^ {\prime } & 0 & 0 \\ 0 & y ^ {\prime } & 0 \\ 0 & 0 & z ^ {\prime } \end {array} \right ] \right \} \\ &=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } + z z ^ {\prime } \\ \langle X, Y \rangle &= \left \langle(x, y, z), \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \right \rangle=x x ^ {\prime } + y y ^ {\prime } + z z ^ {\prime } \\ \end {aligned} \] 따라서 $ \langle T(X), T(Y) \rangle= \langle X, Y \rangle $ 이다.</p> <p>예제 6.4.2 다음 각 선형변환은 Unitary인가?<ul> <li>(1) $ T: \mathbb { R } ^ { 2 } \longrightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , T(x, y) = \left ( \frac { 1 } { 2 } x + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } y,- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } y \right ) $</li> <li>(2) $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , T(x, y, z)= \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } y, y, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } x + z \right ) $</li></ul></p> <p>[풀이]<ul> <li>(1) $ \bar { A } = \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1-2 i \\ 1 + 2 i & 3 \end {array} \right ],( \bar { A } ) ^ { t } = \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1 + 2 i \\ 1-2 i & 3 \end {array} \right ]=A $에서 $ A=A ^ { * } $</li> <li>(2) $ \bar { A } = \left [ \begin {array} { rrr } 2 & -i & 0 \\ i & 1 & 1 + i \\ 0 & 1-i & -1 \end {array} \right ],( \bar { A } ) ^ { t } = \left [ \begin {array} { rcc } 2 & i & 0 \\ -i & 1 & 1-i \\ 0 & 1 + i & -1 \end {array} \right ]=A $에서 $ A=A ^ { * } $</li></ul></p> <p>정리 6.5.3 Hermite 행렬 $ A $의 서로 다른 고유값 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $에 대응하는 각각의 고유벡터는 서로 수직이다.</p> <p>[증명] $ A = A ^ { * } , T_ { A } : \mathbb { C } ^ { n } \rightarrow \mathbb { C } ^ { n } , T_ { A } (X)=A X $로 주어진 선형변환 $ T_ { A } $는 자기수반사상이다. 고유값 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $에 대응하는 고유벡터를 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } $라 하면 \[ \begin {array} { c } \lambda_ { 1 } \left \langle X_ { 1 } , X_ { 2 } \right \rangle= \left \langle \lambda_ { 1 } , X_ { 2 } \right \rangle= \left \langle T_ { A } \left (X_ { 1 } \right ), X_ { 2 } \right \rangle= \left \langle X_ { 1 } , T_ { A } \left (X_ { 2 } \right ) \right \rangle \\ = \left \langle X_ { 1 } , \lambda_ { 2 } X_ { 2 } \right \rangle= \bar {\lambda } _ { 2 } \left \langle X_ { 1 } , X_ { 2 } \right \rangle, \\ \left ( \lambda_ { 1 } - \bar {\lambda } _ { 2 } \right ) \left \langle X_ { 1 } , X_ { 2 } \right \rangle=0 \end {array} \] $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $는 실수이므로 $ \lambda_ { 1 } - \lambda_ { 2 } \neq 0, \lambda_ { 1 } \neq \lambda_ { 2 } $이면 $ \left \langle X_ { 1 } , X_ { 2 } \right \rangle=0 $이다. 따라서 고유벡터 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } $는 서로수직이다.</p> <p>예제 6.3.9 행렬 $ A $에 관한 선형변환 $ T: \mathbb { C } ^ { 3 } \longrightarrow \mathbb { C } ^ { 3 } , T(X) = A X, X \in \mathbb { C } ^ { 3 } $의 수반변환 $ T ^ { * } $와 그의 행렬을 구하여라. \[ A= \left [ \begin {array} { ccr } 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1-i & -i \\ 1 & 2 i & 3 \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] $ X=(x, y, z), T(X)=A X=(2 x + z,(1-i) y + 2 i z, x-i y + 3 z) $이므로 \[ \begin {array} { l } \left \langle T(x, y, z), \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \right \rangle=(2 x + z) \vec { x } + \{ (1-i) y + 2 i z \} \vec { y } + (x-i y + 3 z) \vec { z } \\ \quad=x(2 \vec { x } + \vec { z } ) + y \{ (1-i) \vec { y } -i \vec { z } \} + z( \vec { x } + 2 i \vec { y } + 3 \vec { z } ) \\ \quad=x \left ( \overline { 2 x ^ {\prime } + z ^ {\prime } } \right ) + y \left ( \overline { (1 + i) y ^ {\prime } + i z ^ {\prime } } \right ) + z \left ( \overline { x ^ {\prime } -2 i y ^ {\prime } + 3 z ^ {\prime } } \right ) \\ \quad= \left \langle(x, y, z), \left (2 x ^ {\prime } + z ^ {\prime } ,(1 + i) y ^ {\prime } + i z ^ {\prime } , x ^ {\prime } -2 i y ^ {\prime } + 3 z ^ {\prime } \right ) \right \rangle \end {array} \] 그러므로 $ T ^ { * } (x, y, z)=(2 x + z,(1 + i) y + i z, x-2 i y + 3 z) $이다. 따라서 \[ \left [T ^ { * } \right ]= \left [ \begin {array} { ccc } 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 + i & -2 i \\ 1 & i & 3 \end {array} \right ]=( \bar { A } ) ^ { t } \]</p> <p>예제 $ 6.2 .8 $ 유클리드 내적공간 $ \mathbb{R}^{3} $의 벡터 $ v_{1}=(1,1, 1), v_{2}=(0,1,-1) $에 의하여 생성된 부분공간에 대하여 벡터 $ v=(1,-1,1) $의 직교사영과 그 성분을 구하여라.</p> <p>[풀이] $ \left\langle v, v_{1}\right\rangle=1,\left\langle v, v_{2}\right\rangle=-2,\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle=3,\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle=2 $이므로 \[ \begin{array}{c} w_{1}=\frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}=\frac{1}{3} v_{1}+\frac{-2}{2} v_{2} \\ =\frac{1}{3}(1,1,1)-(0,1,-1)=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \\ \begin{aligned} w_{2} &=v-w_{1}=(1,-1,1)-\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \\ &=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right) \end{aligned} \end{array} \]</p> <p>예제 $ 6.2.9 $ 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) $에 대하여 $ \langle X, Y\rangle=x_{1} y_{1} +2 x_{2} y_{2}+3 x_{3} y_{3} $으로 정의된 내적 $ \langle $,$ \rangle$ 가 있다. 벡터 $X_{1}=(1,1,1), X_{2}=(1,1 $, $ 0), X_{3}=(1,0,0) $에 대한 벡터 $ X=(1,2,3) $의 Fourier 계수를 구하여라./p> <p>[풀이] $ \left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle=6,\left\langle X_{2}, X_{2}\right\rangle=3,\left\langle X_{3}, X_{3}\right\rangle=1 \\$, $\left\langle X, X_{1}\right\rangle=14,\left\langle X, X_{2}\right\rangle=5,\left\langle X, X_{3}\right\rangle=1$ 이므로 \[ \frac{\left\langle X, X_{1}\right\rangle}{\left\langle X_{1}, X_{1}\right\rangle}=\frac{7}{3}, \quad \frac{\left\langle X, X_{2}\right\rangle}{\left\langle X_{2}, X_{2}\right\rangle}=\frac{5}{3}, \quad \frac{\left\langle X, X_{3}\right\rangle}{\left\langle X_{3}, X_{3}\right\rangle}=1 \]</p> <p>예제 $ 6.2 .10 $ 유클리드 내적공간 $ \mathbb{R}^{4} $의 부분집합 $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} $ \[ \begin{array}{l} v_{1}=(1,0,0,1), \quad v_{2}=(-1,2,-1,1) \\ v_{3}=(2,3,2,-2), \quad v_{4}=(-1,0,2,1) \end{array} \] 에 대하여 다음에 답하여라.<ul> <li>(1) $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} $는 직교집합이다.</li> <li>(2) 정규직교화한 집합 $ \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\} $는 정규직교기저이다.</li> <li>(3) $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} $는 직교기저, $ \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\} $는 정규직교기저이다.</li> <li>(4) 벡터 $ (0,1,1,0) $ 를 $ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} $의 일차결합으로 나타내어라.</li></ul></p> <p>[풀이] \[ \text { (1) } \begin{aligned} \left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle &=1 \cdot(-1)+1 \cdot 1=0,\left\langle v_{1}, v_{3}\right\rangle=1 \cdot 2+1 \cdot(-2)=0 \\ \left\langle v_{1}, v_{4}\right\rangle &=1 \cdot(-1)+1 \cdot 1=0 \\ \left\langle v_{2}, v_{3}\right\rangle &=(-1) \cdot 2+2 \cdot 3+(-1) \cdot 2+1 \cdot(-2)=0 \\ \left\langle v_{2}, v_{4}\right\rangle &=(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 0+(-1) \cdot 2+1 \cdot 1=0 \\ \left\langle v_{3}, v_{4}\right\rangle &=2 \cdot(-1)+3 \cdot 0+2 \cdot 2+(-2) \cdot 1=0 \end{aligned} \] 이므로 $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} $는 직교집합이다.</p> <p>(2) $ \left\\|v_{1}\right\\|=\sqrt{2},\left\\|v_{2}\right\\|=\sqrt{7},\left\\|v_{3}\right\\|=\sqrt{21},\left\\|v_{4}\right\\|=\sqrt{6} $이므로 \[ u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} v_{1}, \quad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{7}} v_{2}, \quad u_{3}=\frac{1}{\sqrt{21}} v_{3}, \quad u_{4}=\frac{1}{\sqrt{6}} v_{4} \] 라 놓으면 $ \left\{u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\right\} $는 정규직교집합이다.</p> <p>(3) $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\} $는 직교집합이므로 정리 $ 6.2 .2 $에 의하여 $ \mathbb{R}^{4} $ 공간의 직교기저이다.</p> <p>(4) $ v=(0,1,1,0) $이라 하면 \[ \left\langle v, v_{1}\right\rangle=0, \quad\left\langle v, v_{2}\right\rangle=1, \quad\left\langle v, v_{3}\right\rangle=5, \quad\left\langle v, v_{4}\right\rangle=2 \] 이므로 \[ \begin{aligned} v &=\frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}+\frac{\left\langle v, v_{3}\right\rangle}{\left\langle v_{3}, v_{3}\right\rangle} v_{3}+\frac{\left\langle v, v_{4}\right\rangle}{\left\langle v_{4}, v_{4}\right\rangle} v_{4} \\ &=\frac{1}{7} v_{2}+\frac{5}{21} v_{3}+\frac{2}{6} v_{4} \end{aligned} \] 실제로 \[ \begin{array}{c} \frac{1}{7}(-1,2,-1,1)+\frac{5}{21}(2,3,2,-2)+\frac{2}{6}(-1,0,2,1) \\ =\left(-\frac{1}{7}+\frac{10}{21}-\frac{2}{6}, \frac{2}{7}+\frac{15}{21},-\frac{1}{7}+\frac{10}{21}+\frac{4}{6}, \frac{1}{7}-\frac{10}{21}+\frac{2}{6}\right) \\ =(0,1,1,0) \\ \left\\|u_{1}\right\\|=\left\\|u_{2}\right\\|=\left\\|u_{3}\right\\|=\left\\|u_{4}\right\\|=1 \text { 이므로 } \\ \left\langle v, u_{1}\right\rangle=\left\langle v, \frac{1}{\sqrt{2}} v_{1}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\langle v, v_{1}\right\rangle=0,\left\langle v, u_{2}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{7}}\left\langle v, u_{2}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{7}}, \\ \left\langle v, u_{3}\right\rangle=\left\langle v, \frac{1}{\sqrt{21}} v_{3}\right\rangle=\frac{5}{\sqrt{21}},\left\langle v, u_{4}\right\rangle=\left\langle v, \frac{1}{\sqrt{6}} v_{4}\right\rangle=\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \text { 즉 } \quad v=\frac{1}{\sqrt{7}} u_{2}+\frac{5}{\sqrt{21}} u_{3}+\frac{2}{\sqrt{6}} u_{3} \end{array} \]</p> <p>예제 $6.2.12 $ 유클리드 내적공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저 $ \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } , w_ { 4 } \right \} $로부터 정규직교기저를 구하여라. \[ w_ { 1 } = (0,2,1,0), w_ { 2 } =(1,-1,0,0), w_ { 3 } =(1,2,0,-1), w_ { 4 } =(1,0,0,1) \]</p> <p>[풀이] 다음의 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } , v_ { 4 } \right \} $는 직교기저이다. \[ \begin {array} { l } v_ { 1 } =w_ { 1 } =(0,2,1,0) \\ v_ { 2 } =w_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 2 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } = \frac { 1 } { 5 } (5,-1,2,0) \\ v_ { 3 } =w_ { 3 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 2 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 3 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } (1,1,-2,-2) \\ v_ { 4 } =w_ { 4 } - \frac {\left \langle w_ { 4 } , v_ { 3 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 3 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 3 } - \frac {\left \langle w_ { 4 } , v_ { 2 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 2 } - \frac {\left \langle w_ { 4 } , v_ { 1 } \right \rangle } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } v_ { 1 } = \frac { 4 } { 15 } (1,1,-2,3) \\ u_ { 1 } = \frac { v_ { 1 } } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } = \left (0, \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } , 0 \right ), u_ { 2 } = \frac { v_ { 2 } } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| } = \left ( \frac { 5 } {\sqrt { 30 } } , \frac { -1 } {\sqrt { 30 } } , \frac { 2 } {\sqrt { 30 } } , 0 \right ) \end {array} \] $ u_ { 3 } = \frac { v_ { 3 } } {\left \\|v_ { 3 } \right \\| } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 10 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 10 } } , \frac { -2 } {\sqrt { 10 } } , \frac { -2 } {\sqrt { 10 } } \right ), u_ { 4 } = \frac { v_ { 4 } } {\left \\|v_ { 4 } \right \\| } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 15 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 15 } } , \frac { -2 } {\sqrt { 15 } } , \frac { 3 } {\sqrt { 15 } } \right ) $</p> <p>[풀이]<ul> <li>(1) 대칭행렬, 직교행렬</li> <li>(2) 교대칭행렬, 정규행렬</li> <li>(3) 비정규행렬</li> <li>(4) 정규행렬, 비Unitary 행렬, 비Hermite 행렬</li></ul></p> <p>내적공간 $ V $ 위의 선형변환 $ T $가 $ T ^ { * } T = T T ^ { * } $이면 $ T $를 정규변환(normal linear transformation)이라 한다.</p> <p>정리 6.5.13 정규변환 $ T $의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 서로 수직이다.</p> <p>[증명] 먼저 $ w $가 고유값 $ \lambda $에 대응하는 $ T $의 고유벡터이면 $ w $는 고유값 $ \lambda $에 대응하는 $ T ^ { * } $의 고유벡터임을 보이자. $ T $가 정규변환이면 \[ \begin {aligned} \langle T(w), T(w) \rangle= \left \langle T ^ { * } T(w), w \right \rangle= \left \langle T T ^ { * } (w), w \right \rangle= \left \langle T ^ { * } (w), T ^ { * } (w) \right \rangle \\ \end {aligned} \] $T(w)= \lambda w, w \neq \mathbf { 0 } $이므로 \[ \begin {aligned} 0=& \\|T(w)- \lambda w \\| ^ { 2 } = \langle T(w)- \lambda w, T(w)- \lambda w \rangle \\ &= \langle T(w), T(w) \rangle- \bar {\lambda } \langle T(w), w \rangle- \lambda \langle w, T(w) \rangle + \bar {\lambda } \lambda \langle w, w \rangle \\ &= \left \langle T ^ { * } (w), T ^ { * } (w) \right \rangle- \bar {\lambda } \left \langle w, T ^ { * } (w) \right \rangle- \lambda \left \langle T ^ { * } (w), w \right \rangle + \bar {\lambda } \lambda \langle w, w \rangle \\ &= \left \langle T ^ { * } (w)- \bar {\lambda } w, T ^ { * } (w)- \bar {\lambda } w \right \rangle \\ &= \left \\|T ^ { * } (w)- \bar {\lambda } w \right \\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 그러므로 $ T ^ { * } (w)- \bar {\lambda } w=0, T ^ { * } (w)= \bar {\lambda } w $이다. 즉 $ w $는 $ T ^ { * } $의 고유값 $ \bar {\lambda } $에 대응하는 고유벡터이다. 다음으로 $ T \left (w_ { 1 } \right )= \lambda_ { 1 } w_ { 1 } , T \left (w_ { 2 } \right )= \lambda_ { 2 } w_ { 2 } , \lambda_ { 1 } \neq \lambda_ { 2 } $라고 하자. 그러면 다음 등식이 성립한다. \[ \begin {array} { l } \bar {\lambda } _ { 2 } \left \langle w_ { 1 } , w_ { 2 } \right \rangle= \left \langle w_ { 1 } , \lambda_ { 2 } w_ { 2 } \right \rangle= \left \langle w_ { 1 } , T \left (w_ { 2 } \right ) \right \rangle= \left \langle T ^ { * } \left (w_ { 1 } \right ), w_ { 2 } \right \rangle \\ = \left \langle \bar {\lambda } _ { 1 } w_ { 1 } , w_ { 2 } \right \rangle= \bar {\lambda } _ { 1 } \left \langle w_ { 1 } , w_ { 2 } \right \rangle \\ \end {array} \] $ \lambda_ { 1 } \neq \lambda_ { 2 } $이므로 \[ \begin {array} { l } \left ( \bar {\lambda } _ { 1 } - \bar {\lambda } _ { 2 } \right ) \left (w_ { 1 } , w_ { 2 } \right )=0 \\ \end {array} \] 에서 $ \left \langle w_ { 1 } , w_ { 2 } \right \rangle=0 $이다. 즉 $ w_ { 1 } $와 $ w_ { 2 } $는 서로 수직이다.</p> <h1>$ 6.1 $ 내적공간</h1> <p>이 장에서 체 $ \mathbb { K } $는 실수체 $ \mathbb { R } $ 또는 복소수체 $ \mathbb { C } $를 말한다. $ \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathbb { R } ^ { 3 } , \cdots, \mathbb { R } ^ { n } $ 공간의 내적(dot product)의 개념을 추상적인 벡터공간으로 확장하고자 한다.</p> <p>체 $ \mathbb { K } $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 사상 $ \langle, \rangle: V \times V \rightarrow \mathbb { K } $가 다음의 조건 (axiom)을 만족할 때 $ \langle $, $ \rangle $을 $V $의 내적(inner product)이라 한다. 모든 $ u, v, w \subset V, \alpha \subset \mathbb { K } $에 대하여<ul> <li>(1) $ \langle u, v \rangle = \overline {\langle v, u \rangle } $</li> <li>(2) $ \langle u + v, w \rangle= \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle $</li> <li>(3) $ \langle \alpha u, v \rangle= \alpha \langle u, v \rangle $</li> <li>(4) $ \langle u, u \rangle \geq 0, u=0 \Longleftrightarrow \langle u, u \rangle=0 $</li></ul></p> <p>어떤 내적을 갖고 있는 벡터공간을 내적공간(inner space), 실수체 $ \mathbb { R } $ 위의 내적공간을 실내적공간(real inner space)이라 한다. 유한차원 실내적공간을 Euclid 공간(Euclidean space), 복소수체 $ \mathbb { C } $ 위의 내적공간을 복소내적공간(complex inner space)이라 한다.</p> <p>벡터공간의 내적으로부터 (i) $ \langle \alpha u + \beta v, w \rangle= \alpha \langle u, w \rangle + \beta \langle v, w \rangle $, (ii) $ \langle u, \alpha v + \beta w \rangle= \bar {\alpha } \langle u, v \rangle + \bar {\beta } \langle u, w \rangle= \langle u, \alpha v \rangle + \langle u, \beta w \rangle $가 성립한다. $ V $가 실내적공간이면 모든 $ u, v, w \subset V, \alpha \subset \mathbb { R } $에 대하여<ul> <li>(1) $ \langle u, v \rangle= \langle v, u \rangle $</li> <li>(2) $ \langle u + v, w \rangle= \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle, \langle u, v + w \rangle= \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle $</li> <li>(3) $ \langle \alpha u, v \rangle= \alpha \langle u, v \rangle= \langle u, \alpha v \rangle $</li> <li>(4) $ \langle u, u \rangle \geq 0 . u=0 \Longleftrightarrow \langle u, u \rangle=0 $</li></ul></p> <p>(2) $ \begin {aligned} \langle v, w \rangle &= \left \langle \sum_ { k=1 } ^ { n } \alpha_ { k } v_ { k } , \sum_ { k=1 } ^ { n } \beta_ { k } v_ { k } \right \rangle= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } \alpha_ { i } \bar {\beta } _ { j } \left \langle v_ { i } , v_ { j } \right \rangle \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } \alpha_ { i } \bar {\beta } _ { j } \delta_ { i j } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \alpha_ { i } \bar {\beta } _ { i } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \langle v, v_ { i } \right \rangle \overline {\left \langle w, w_ { i } \right \rangle } \end {aligned} $</p> <p>예제 $6.2.7 $ 유클리드공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 정규직교기저 $ \left \{ (0,1,0), \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \right . $, $ \left . \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0,- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \right \} $에서 벡터 $ (1,2,3) $을 이들 벡터의 일차결합으로 나타내어라.</p> <p>[풀이] $ v = (1,2,3), v_ { 1 } =(0,1,0), v_ { 2 } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ), v_ { 3 } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0,- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) $이라 놓으면 \[ \left \langle v, v_ { 1 } \right \rangle=2, \left \langle v, v_ { 2 } \right \rangle= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } + \frac { 3 } {\sqrt { 2 } } = \frac { 4 } {\sqrt { 2 } } =2 \sqrt { 2 } , \left \langle v, v_ { 3 } \right \rangle= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } - \frac { 3 } {\sqrt { 2 } } =- \sqrt { 2 } \] 따라서 \[ (1,2,3)=2(0,1,0) + 2 \sqrt { 2 } \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right )- \sqrt { 2 } \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0,- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) . \]</p> <p>정리 6.5.8 에 의하면 복소행렬 $ A $는 상삼각행렬화가능하다. $ U ^ { * } A U $가 상삼각행렬인 Unitary 행렬 $U $가 존재한다. 즉 모든 복소행렬은 상삼각행렬과 Unitary 닮음이다. 선형변환 $ T $의 상삼각화행렬의 대각성분은 $ T $의 고유값으로 이루어져 있다. 행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $가 상삼각행렬이면 $ A $의 고유다항식은 $ P(t)= \left (t-a_ { 11 } \right ) \left (t-a_ { 22 } \right ) \cdots \left (t-a_ { n n } \right ) $이기 때문이다. $ A ^ { * } A=A A ^ { * } $를 만족하는 정방행렬을 정규행렬(normal matrix) 이라 한다.</p> <p>정리 6.5.11 $ A $가 대각행렬 $ D $와 Unitary 닮음일 필요충분조건은 $ A $가 정규행렬인 것이다.</p> <p>[증명] A가 정규행렬일 때 $ A $와 Unitary 닮음인 행렬 $ U ^ { * } A U $도 정규행렬이다. 실제로 정규행렬 $ U $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left (U ^ { * } A U \right ) ^ { * } \left (U ^ { * } A U \right ) &= \left (U ^ { * } A ^ { * } U \right ) \left (U ^ { * } A U \right )=U ^ { * } A ^ { * } \left (U U ^ { * } \right ) A U \\ &=U ^ { * } A ^ { * } A U=U ^ { * } A A ^ { * } U=U ^ { * } A U U ^ { * } A ^ { * } U \\ &= \left (U ^ { * } A U \right ) \left (U ^ { * } A U \right ) ^ { * } \end {aligned} \]</p> <p>$ A $가 대각행렬 $ D $와 Unitary 닮음이면 $ A=U ^ { * } D U $인 Unitary행렬 $ U ^ { * } $가 존재하고, $ D $는 정규행렬이므로 $ U ^ { * } D U $도 정규행렬이다. 따라서 $ A $는 정규행렬이다. 역으로 $A $가 정규행렬이면 Unitary행렬 $ U $가 존재하여 $ U ^ { * } A U $가 상삼각행렬이 된다. $A $가 정규행렬이므로 $ U ^ { * } A U $도 정규행렬이다. 정리 6.5.10에 의하여 $ U ^ { * } A U $는 대각행렬이므로 행렬 $ A $는 대각화가능하다. 즉 $ A $는 대각행렬과 Unitary 닮음이다.</p>	자연
네이버 영화 리뷰 데이터를 이용한 의미 분석(semantic analysis)	<h1>1. 서론</h1> <p>인터넷의 성장과 SNS의 등장으로 텍스트 데이터의 양이 방대해지고 그 중요성 또한 대두되고 있다. 인터넷 이용자들이 온라인에 남긴 글을 보고 우리는 정보를 빠르게 얻을 수 있으며 직접 경험해보지 않아도 특정 상품이나 서비스에 대한 평가를 읽고 파악할 수 있다. 영상 컨텐츠에 대한 리뷰의 중요성 또한 강조되고 있는데 특히 사용자들이 이용할 컨텐츠를 결정할 때 해당 컨텐츠의 평점이나 리뷰를 보고 참고하기 때문이다. 네이버의 영화 탭에 들어가면 현재 상영하는 영화에 대한 평점이나 리뷰를 확인할 수 있다. 이 때 리뷰에서 간혹 ‘별점 테러’ 혹은 ‘리뷰 알바'라는 단어를 보게 되는 것도 그만큼 영화 관객들이 영화의 평점과 리뷰를 참고해 해당 영화를 볼 것인지 결정하는 경우가 많다는 것을 시사한다.</p> <p>영화의 평점과 리뷰에 대한 관심이 많아지면서 영화 리뷰의 감성 분석을 수행하는 선행 연구가 많이 진행되어왔다. 초기 텍스트 분석에서는 machine learning을 이용하여 Random Forest, XGBoost, Naïve Bayes 등의 분석을 수행했다. Kharde와 Sonawane (2016)는 machine learning을 이용해 50000개의 영화 리뷰에 대한 SVM 분석을 수행하였다. Parmar 등 (2014)은 Random Forest의 hyperparameters tuning을 통해 영화 리뷰의 감성 분석 성능을 높였다. 그리고 Nayak (2016)은 Nä̈ve bayes, Support Vector Machine, Random Forest Classifier를 활용해 Twitter의 영화 리뷰 데이터 감성 분석을 하고 성능을 비교했다. 최근에는 순환 신경망(recurrent neural network, RNN)을 이용해 문장의 구조를 반영하여 감성 분석을 수행하는 경우가 많다. 특히 문장에서 단어의 순서를 고려한 LSTM 모델과 반대 방향으로의 순서까지 고려한 Bidirectional LSTM, 그리고 CNN과 LSTM을 결합한 Hybrid형태의 CNN-LSTM 모델을 활용하고 있다. Lee 등 (2018)은 deep learning을 이용해 한글을 음소 단위로 분할하여 IMDB의 영화 리뷰를 RNN, LSTM, GRU 세 가지 모형을 이용해 감성 분석을 시행하였다. Oh 등 (2019)은 bidirectional LSTM 모델을 이용해 한국어 영화리뷰 감성 분석을 수행했고 Park과 Kim (2019)은 CNN과 LSTM을 결합하여 CNN 모형과 LSTM모형을 상호 보완한 CNN-LSTM 모델을 제안했다. 또한 Rehman 등 (2019)도 Hybrid CNN-LSTM model을 제안하여 영화 리뷰 감성 분석의 성능을 개선하였다. 그럼에도 아직 한국어 자연어 처리는 띄어쓰기와 오타에 따라 분석이 잘 되지 않는 어려움이 있다. 온라인 리뷰 특성 상 띄어쓰기와 오타 문제는 불가피하고, 줄임말이나 유행어의 사용이 많을수록 분석은 더욱 어렵다. 본 연구에서는 네이버 영화 리뷰 및 평점 데이터를 가지고 리뷰의 의미를 분석하는 모형을 구축하고 리뷰 텍스트 데이터를 이용하여 평점을 예측해보고자 한다. 2장에서는 연구 데이터의 EDA(탐색적 자료분석)과정과 자연어 전처리 과정, 그리고 모형 구축 과정에 대해 자세히 서술할 것이다. 3장에서는 모형 구축과정에서는 2-Class Classification model에서 시작하여 점차 확대해가며 다양한 모델의 성능을 비교해 최적의 Classification model을 구축하고자 한다. 먼저 가장 간단한 2-Class Classification에서 기존에 사용하던 머신러닝 방법과 RNN모형을 비교할 것이다. 그 후 10-Class부터 데이터를 그룹화한 4-Class와 3-Class까지 Classification 모형을 순차적으로 적용시킬 것이다. 그리고 그 과정에서 Classification과 Regression 모형, 그리고 두 가지를 결합한 모형의 성능을 비교한다. 또한 두 번의 Classification-을 단계적으로 수행하는 2-step 방법론을 통해서도 텍스트 리뷰의 의미를 분석할 것이다. 마지막 4장에서는 모델이 예측하지 못한 오분류 데이터를 확인해봄으로써 오분류의 원인을 서술하고 모델의 한계점을 알아보고자 한다.</p> <h1>3. Modeling</h1> <p>모델링을 하기 위해 sklearn의 model selection 모듈을 이용해 train data와 test data로 나누었다. 이 때 train data와 test data의 비율은 3:1로, 각각 86만(855,773)개의 $ 75 \%, 25 \% $ 만큼 나누어 훈련용 리뷰 수는 약 64만(641,829)개, 테스트용 리뷰 수는 약 21만(213,944)개로 split했다. 준비된 train data와 test data를 2장에서 서술한 자연어 처리 과정을 통해 모델 입력 형태로 만들어 주었다. 3장 modeling에서는 2-Class와 10-Class의 Classification과 Regression, 그룹화된 4-Class Classification, 그리고 두 번의 단계로 분석하는 2-step 방법까지 수행한 후 모델들을 비교하여 영화 리뷰의 의미를 분석하고자 한다.</p> <h2>3.1. 2-Class Classification</h2> <h3>3.1.1. 1점/10점 Classification</h3> <p>우선적으로 평점이 1점, 10점인 리뷰 만을 가지고 데이터가 잘 분류되는지 2-Class Classification을 수행하였다. 그 중에서도 기존의 머신러닝 분류 모형과 RNN을 이용한 모형의 분류 결과를 비교 분석해 그 성능을 비교했다. 머신러닝 분류모형으로는 Random Forest, XGBoost, Naïve Bayes 모델, RNN모형으로는 LSTM, Bi-LSTM, Conv1d-LSTM 모형을 사용하였다. 머신러닝 분류 모형과 RNN 모형에 들어가는 데이터셋은 차이가 있다. 머신러닝 분류 모형의 경우 Figure 7의 (a)와 같이 문서에 등장하는 단어들의 빈도를 가지고 count vectorize하여 가장 빈도가 높은 단어 500개를 이용해 word list를 구성하였다. 각 리뷰에서 word list에 있는 단어가 등장하면 1 , 그렇지 않으면 0을 부여하는 방법으로 훈련 데이터를 만들어 모델에 적합 시켰다. 반면 RNN 모형에 들어가는 데이터 셋은 자연어 처리 과정을 거친 결과로, Figure 7의 (b)와 같은 형태이다.</p> <p>XGBoost는 grid search cross validation을 이용해서 최적의 모수를 사용했고, Random Forest는 조율모수에 따른 성능 차이가 크지않아서 디폴트 모형을 사용했다. LSTM model에서는 단어를 벡터로 표현하기 위해 모델에 Embedding과정을 포함하는데, 본 연구에서는 embedding vector의 차원을 100으로 설정하였다. 따라서 Embedding layer에 단어 집합의 크기와 설정한 embedding vector의 차원을 입력해준다. 해당 분류 모형은 평점이 1점과 10점인 리뷰를 분류하는 모형으로 2-Class Classification이기 때문에 마지막 출력 층에서 뉴런의 수는 1을, 활성화 함수로는 sigmoid를 사용한다. 추후 Class의 크기를 크게 할 때에는 활성화 함수를 softmax로 변경해 모델에 적용해 주었다. LSTM model은 layer를 쌓아서 모형을 더 정교하고 복잡하게 만들 수 있다. 따라서 LSTM layer만 단층으로 있는 간단한 모형과 두 층의 layer와 과적합 방지를 위해 Dropout을 적용한 모형을 비교하였다. 그 결과 정확도의 차이가 미미하고 분석에 소요되는 시간을 고려했을 때 간단한 모델을 사용해도 성능에 크게 영향이 없을 것이라고 판단했다. 따라서 이후에 언급하는 LSTM모형은 가장 간단한 형태의 LSTM모형을 기본으로 한다.</p> <h2>3.2. Multi-Class Classification</h2> <p>이번에는 Multi-Class Classification 분석을 수행하고자 한다. 평점이 1점부터 10점까지 있기 때문에 우선 10-Class Classification-을 시도하고, 점차 Class수를 줄여가며 최적의 Classification 모델을 구축하고자 했다.</p> <h3>3.2.1. 10-Class Classification</h3> <p>Multi-Class Classification 문제에서는 10-class classification, regression, 그리고 regression과 classification-을 결합한 3가지 형태의 모델을 적용하고 비교하였다.</p> <p>1) 10-Class Classification model 10-Class Classification은 2-Class 문제에서 사용한 LSTM모델을 동일하게 사용했다. 다만 마지막에 Dense에는 Class 수만큼 입력해주고, multi-Class case이기 때문에 활성화함수는 'softmax'를 사용하였다. 분류 결과 10-class classification의 정확도는 $ 57.1 \% $ 로 산정되었다. 이 때 전체 자료에서 평점 10점의 비중이 $ 51 \% $ 인 것과 분류 모델로 예측된 평점의 $ 62 \% $ 가 10점인 것을 고려하면 정확도가 유의미하게 높다고 판단하기는 어려웠다.</p> <p>2) Regression 다음으로는 regression을 이용하여 분석하고자 했다. 평점에서 1점은 부정적인 의미를, 10점은 긍정에 가까운 의미를 나타내는 등간척도이기 때문에 회귀 분석이 가능하다고 판단하여 수행했지만, regression 결과 RMSE값은 2.17이었다. 이 때 평점의 범위가 1부터 10이라는 점을 고려하면 성능이 좋다고 판단하기 어려웠다.</p> <h3>3.2.2. 4-Class Classification</h3> <p>앞서 class가 10개일 때 1점과 10점에서는 잘 예측하는 반면 나머지 평점에서는 예측이 잘 되지 않았다. 따라서 이번에는 Class수를 줄여 4-Class를 중심으로 앞의 과정을 반복 수행하였다.</p> <p>1) 4-Class Classification 10개의 Class를 4개로 그룹화하기 위해 $ 50 \% $ 비중을 차지하고 있는 10 점을 제외한 나머지 평점들을 3점씩 나누었다. 1-3점, 4-6점, 7-9점, 10점으로 그룹화했을 때 비중을 살펴보니 각각 $ 20 \% $, $ 10 \% $, $ 20 \% $, $ 50 \% $ 로 고르게 분포되었다고 판단하여 4-Class로 4-Class로 그룹화하여 모델에 적합한 결과 분류 정확도는 $ 65.4 \% $ 였다.</p> <p>2) Regression + Classification Regression과 Classification에서의 정확도를 비교하기 위해 앞의 Regression결과를 그룹화하여 Classifi-cation 모형처럼 만드는 방법을 사용하였다. 앞서 10-Class Regression결과를 아래와 같이 구간을 나누어 4-class classification case로 바꾼 뒤 정확도를 산정한 결과 정확도는 $ 49.8 \% $ 였다. $ \left \{\begin {array} { ll } y=0 & \text { if } \quad \hat { y }<0.5 \\ y=1 & \text { if } \quad 0.5 \leq \hat { y }<1.5 \\ y=2 & \text { if } \quad 1.5 \leq \hat { y }<2.5 \\ y=3 & \text { if } \quad \hat { y } \geq 2.5 \end {array} \right . $<caption>(3.1)</caption></p> <h1>5. 결론</h1> <p>지금까지 한국어 자연어 처리와 머신러닝과 딥러닝을 이용해 네이버 영화 리뷰 데이터의 평점 예측을 통한 텍스트의 의미 분석을 수행하였다. 3장에서는 가장 극 단의 두 평점을 분류하는 2-Class Classification부터 10-Class, 그리고 평점들을 그룹화 하여 분류한 4-Class와 3-Class Classification 분석 후 정확도를 가지고 각 모델의 성능을 비교하였다. 2-Class 문제에서는 머신러닝과 딥러닝을 비교함으로써 가장 좋은 성능을 보인 LSTM 모형을 선택했고, multi-Class 문제에서는 Classification과 Regression을 결합한 형태보다 단순 Classification의 정확도가 높은 것을 확인했다. 또한 1점과 10점의 2-Class Classification 정확도가 좋았던 결과를 이용해 1-9점과 10점을 우선적으로 분류하고 1-9점으로 예측한 데이터를 가지고 한 번 더 분류 분석을 수행하는 2-step 방법을 고안해냈다. 다수의 2, 3, 4, 10 Class 문제에서 정확도를 비교해본 결과 Class 수가 늘어날수록 정확도가 줄어드는 것을 확인할 수 있었다. 4장에서는 실제 리뷰를 가지고 이러한 오분류의 원인에 대해 서술하였다. 리뷰만으로 평점 예측이 어려운 경우, 비꼬는 듯한 풍자 표현이 포함된 리뷰의 경우, 그리고 평점이 잘못 라벨링된 label mismatch가 그러한 경우이며 특히 Label mismatch인 데이터가 훈련 데이터에 있을 경우 모델 성능을 저하하는 요소가 될 수 있음을 설명했다.</p> <p>오 분류의 원인 중 첫 번째와 두 번째의 경우 임베딩 방법의 한계로, BERT, ELMo, GPT-2 등 contextual embedding 관련 방법을 활용하면 개선의 여지가 있을 것이다. 본 연구에 사용한 데이터가 한 줄 평의 짧은 문장이라는 한계도 있다. 문장이 짧을수록 가치 판단에 대한 부분도 적은 부분을 차지하기 때문에 짧은 문장의 한계를 고려하면 양 극단의 평점은 잘 예측 가능하지만 그 사이의 평점에서 미묘한 차이를 분류하기는 쉽지 않다. 또한 짧은 문장에서는 모델을 다양화하기 어렵다는 한계점이 있다. 선행 연구에서 CNN과 RNN을 결합한 모델의 성능이 가장 좋았음에도 불구하고 본 연구 데이터에서는 CNN을 적용하기에 문장의 길이가 충분히 길지 않아서 성능의 차이가 크지 않았다. 따라서 만약 데이터가 좀 더 풍부했다면 더 다양한 모델의 적용이 가능했을 것이다. 그럼에도 본 연구에서의 최종 모형을 활용하여 mismatch 데이터를 검거에 활용하는 등 모델을 정교화 하는 것에 기여할 수 있을 것이다. 더 나아가 본 연구 데이터에 고객 식별 번호 데이터를 결합시킨 형태의 자료가 있다면 고객 개인이 남긴 리뷰와 평점을 통해 개인의 영화 취향을 학습함으로써 새로운 작품을 추천하는 개인화 추천 시스템에까지 활용할 수도 있을 것이다.</p> <h3>2.1.2. 변수 설명</h3> <p>Rating(평점)변수는 1점부터 10점까지 10개의 class로 구성되어 있으며, 각 평점당 리뷰 수와 비중은 Figure 1과 같다. 해당 데이터의 특이점은 리뷰 수가 가장 많은 평점은 10점이고 그 비중은 $ 50 \% $ 에 육박한다는 점이다. 다음으로 리뷰 수가 많은 평점은 1점으로 그 비중은 $ 13.8 \% $ 이다. 즉, 해당 데이터는 양 극단의 값의 빈도가 높은 Bimodal(쌍봉)의 형태를 보인다. 이는 평점이 1점부터 10점까지 있지만 리뷰를 남기는 관객들은 영화에 매우 만족했거나 매우 불만족스러운 상황에 리뷰를 작성하는 경향이 있기 때문이라고 판단했다.</p> <p>Review(리뷰)변수는 영화의 리뷰가 담긴 텍스트 자료이다. 평균 길이는 약 49이고, 최대 길이는 998이며 리뷰의 길이 분포는 Figure 2의 (a)와 같다. Figure 2의 (b)그래프에서 리뷰 길이가 200이하 자료들을 자세히 보면 길이가 50이하인 문장의 길이가 비교적 짧은 자료들이 많은데 이것은 해당 데이터가 영화의 한 줄 평으로 작성된 데이터이기 때문이다. 또한, (b) 그래프에서 길이 140부근에서 리뷰의 수가 주변 대비 많은 것을 볼 수 있다. 이것은 네이버 영화에서 직접 리뷰를 입력할 때 140자 정도 작성하면 텍스트 박스가 거의 꽉 차게 되는 것을 보고 리뷰 작성자들이 주어진 텍스트 박스를 넘치지 않게 작성하는 경향이 있다고 해석했다.</p> <h3>2.1.3. 영화 별 평점 분포</h3> <p>다음은 영화 별 평점의 분포를 살펴보았다. 본 연구에서 활용한 데이터에는 텍스트 리뷰없이 평점만 존재하는 자료들이 존재한다. 따라서 영화 별 평점 분포를 확인할 때에는 텍스트 리뷰가 없는 데이터를 포함해 약 108만개의 평점 데이터를 모두 활용할 것이고, 이후 의미 분석을 수행할 때에는 텍스트 리뷰가 없는 데이터는 제외한 후 분석을 수행할 것이다. 총 1,077,600개의 평점 데이터 중 평점이 가장 많은 영화는 58,439 개의 평점이 달린 '82년생 김지영'이고, 그 다음으로는 '조커'(36,459개), '백두산'(35,378개), '엑시트'(31,655개), '봉오동 전투'(28,162개), '겨울왕국2'(27,029개)이다. Figure 3에서 영화 '82년생 김지영'의 평점 분포를 보면 1점과 10점에 가장 많은 평점이 몰려있는 것을 확인할 수 있다. 반면 평점이 두 번째로 많은 영화 '조커'는 평점 10점의 비중이 매우 높다. 그 외 다른 영화도 평점의 분포가 영화마다 다른 것을 보고 영화의 평균 평점과 분산과의 관계를 확인하고자 했다.</p> <p>Figure 4는 평점의 평균과 평점의 분산의 관계를 보기 위한 그래프다. 이 때 평점의 수가 100개 이하인 영화는 평균과 분산 계산 시 왜곡된 값이 산정될 수 있기 때문에 제외했다. 즉, 평점의 수가 100개 이상인 영화의 리뷰 약 77만개의 데이터를 활용해 그래프를 그린 것이다. 그래프의 $ x $ 축은 영화 별 평점의 평균 값이고, $ y $ 축은 영화 별 평점의 분산을 나타낸다. 그래프를 보면 평균 평점이 5-6일 때 평점의 분산이 크고, 평균 평점 1점, 10점 근처에서는 평점의 분산이 작다. 따라서 평균 평점이 5-6점인 영화는 평점이 5-6점에 몰려있는 것이 아니라 평균 평점이 양 극단에 분포되어 있다는 점을 알 수 있다. 평균 평점이 양 극단에 분포하는 경우는 분산이 크기 때문인데, 영화 '82년생 김지영'이나 '백두산'의 평점 분포가 이러한 경우다. 다음으로는 평균 평점과 영화의 매출액과의 관계를 살펴보았다. 매출액은 Kofic의 박스오피스 매출 데이터를 2019년 7월부터 2020년 6월까지 추출한 값이다. Figure 5는 누적 관객수가 만 명 이상인 영화들의 평균 평점과 누적 관객수와의 산점도를 그린 것이다. 그래프를 보면 영화의 평균 평점과 누적 관객수는 양의 상관 관계가 있는 듯 하지만 명확한 양의 상관 관계가 있다고 보기는 어렵다. 즉, 평균 평점이 높은 영화가 반드시 누적 관객수가 큰 것은 아니라고 판단했다.</p>	자연
m072-미분기하학 개론	<p>예를 들면 선직면의 경우 직선으로 만든 곡면인데 이들 직선은 모두 측지선이다.</p> <p>$ \alpha $는 곡면조각 $ \mathbf { x } $상의 단위속력속선이고, $ T, N, B $는 $ \alpha $ 의 Frenet 틀장일 때, $ \angle(B, \mathrm { n } )= \theta, \angle(N, \mathrm { n } )= \varphi $ 라고 하면 $ \kappa_ { g } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \left ( \mathbf { n } \times \alpha ^ {\prime } \right )=T ^ {\prime } \cdot( \mathbf { n } \times T) = \left [T ^ {\prime } , \mathbf { n } , T \right ]= \left [ \mathbf { n } , T, T ^ {\prime } \right ]=[ \mathbf { n } , T, \kappa N] = \kappa( \mathbf { n } \cdot(T \times N))= \kappa( \mathbf { n } \cdot B)= \kappa \cos \theta $ $ \kappa_ {\mathrm { n } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathbf { n } = \kappa N \cdot \mathbf { n } = \kappa \cos \varphi $ $ \kappa ^ { 2 } = \kappa_ {\mathrm { n } } ^ { 2 } + \kappa_ { g } ^ { 2 } \Rightarrow \kappa_ { g } = \pm \kappa \sin \varphi $ 이다.</p> <p>곡면 $ M $상의 점 $ p $ 에서 접평면과 수직인 평면 $ \Pi $를 하나 택하면 곡면과 공통부분 $ \Pi \cap M $은 $ p $ 근방에서 $ M $상의 곡선 $ \gamma $를 만든다. 이를 $ p $ 에서 $ M $의 법단면(normal section)이라고 한다. 법단면 $ \gamma $ 는 $ \Pi $상의 곡선이므로 $ N $은 평면 $ \Pi $와 평행이다. 그리고 법벡터 $ \mathrm { n } $ 은 곡면에 수직이므로 $ \mathrm { n } $ 도 $ \Pi $와 평행이다. 즉 $ \mathrm { n } , N $ 은 같은 평면상의 벡터이다. $ \mathrm { n } , N \perp T \Rightarrow \mathrm { n } , N \text { 은 평행 } \Rightarrow \varphi=0, \text { 또는 } \pi \Rightarrow \kappa_ { g } =0 \Rightarrow \text { 법단면 } \gamma \text { 는 측지선 } $</p> <p>예 $ 5.2 $ 단순곡면 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $가 $ K \leq 0 $이면 단순폐곡선인 측지선은 존재하지 않는다. 왜냐하면 만약 $ \alpha $ 가 단순폐곡선인 측지선이면 $ 0= \int_ { 0 } ^ { l( \alpha) } \kappa_ { g } d s=2 \pi- \iint_ {\operatorname { Int } ( \alpha) } K d S $ 이지만 $ K \leq 0 $ 이므로 우변은 $ 2 \pi $ 이상이다. 이것은 모순이므로 단순폐곡선인 측지선은 존재하지 않는다.</p> <p>유한개의 정칙곡선의 끝점을 차례로 붙여서 만든 것을 Jordan 곡선이라고 한다.</p> <p>정리 $ 5.3 $ [Gauss-Bonnet 정리 (다각형 version)] 단순곡면 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $상의 곡선 $ \alpha $ 는 정칙곡선 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { m } $를 차례로 이어서 만든 단위속력, 양의방향 Jordan 단순폐곡선이다. $ \alpha_ { k } , \alpha_ { k + 1 } $이 만드는 모서리의 내각, 외각을 $ i_ { k } , \varepsilon_ { k } $ 라고 두면 $ \int_ { 0 } ^ { l( \alpha) } \kappa_ { g } d s + \iint_ {\operatorname { Int } ( \alpha) } K d S= \sum_ { k } i_ { k } -(m-2) \pi $ 이다.</p> <p>내각, 외각 사이에 다음의 관계가 성립한다. $ \varepsilon_ { k } = \pi-i_ { k } , \sum_ { k } \varepsilon_ { k } =m \pi- \sum_ { k } i_ { k } $ $ \sum_ { k } i_ { k } -(m-2) \pi=2 \pi- \left (m \pi- \sum_ { k } i_ { k } \right )=2 \pi- \sum_ { k } \varepsilon_ { k } $</p> <p>예 $ 5.4 $ 정리 5.3에서 (1) $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { m } $ 이 측지선이면 $ \kappa_ { g } =0 $ 이므로 $ i_ { 1 } + i_ { 2 } + \cdots + i_ { m } =(m-2) \pi + \iint_ {\operatorname { Int } ( \alpha) } K d S $ 이다. 평면의 경우 측지선은 직선이고, Jordan 곡선은 $ m $각형, $ K=0 $ 이므로 $ i_ { 1 } + i_ { 2 } + \cdots + i_ { m } =(m-2) \pi $ 이다. 즉 $ m $각형 내각의 합의 공식이다. 특히 $ m=3 $이면 $ i_ { 1 } + i_ { 2 } + i_ { 3 } = \pi $ 이다. 즉, 평면에서 삼각형 내각의 합은 $ \pi $ 이다. 이것은 평면의 Gauss 곡률이 0이기 때문에 갖는 특성이다. 단위구면의 경우 $ K=1 $ 이므로 $ i_ { 1 } + i_ { 2 } + i_ { 3 } = \pi + \iint_ {\operatorname { Int } ( \alpha) } d S $ 이다. 따라서 $ \text { (측지삼각형의 면적 } )= \left (i_ { 1 } + i_ { 2 } + i_ { 3 } \right )- \pi $ 이고, 단위구면에서 구면삼각형의 내각의 합이 $ \pi $ 보다 크다. 의구(pseudosphere)는 $ K=-1 $ 이므로 $ \text { (측지삼각형의 면적 } )= \pi- \left (i_ { 1 } + i_ { 2 } + i_ { 3 } \right ) $ 이고, 의구에서 측지삼각형의 내각의 합은 $ \pi $ 보다 작다.</p> <h1>$ 5.3 $ 곡면의 곡률</h1> <p>곡선의 곡률은 곡선에 대한 정보를 많이 갖고 있음을 보았다. 곡면의 경우도 이러한 역할올 하는 곡률이 있다. 다만 곡면에서는 다양한 곡률들이 목적에 따라 다루어진다. 이들 곡률의 계산은 앞에서 다룬 제 1 차, 2차 기본형식이 중요하게 사용된다.</p> <p>곡면조각 $ \mathrm { x } $ 상의 단위속력곡선 $ \alpha(t)= \mathrm { x } (u(t), v(t)) $ 에 대해서 $ \alpha ^ {\prime } \perp \mathrm { n } $ 이므로 정규직교기저 $ \mathrm { n } , \alpha ^ {\prime } , \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } $ 을 얻는다. $ \left \| \alpha ^ {\prime } \right \|=1 $ 이므로 $ \alpha ^ {\prime } \cdot \alpha ^ {\prime \prime } =0 $ 이고 $ \alpha ^ {\prime \prime } = \left ( \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } \right ) \mathrm { n } + \left ( \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \left ( \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } \right ) \right ) \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } $ 이다. 이 때, $ \kappa_ {\mathrm { n } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } , \kappa_ {\mathrm { g } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \left ( \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } \right ) $ 으로 적고, $ \kappa_ {\mathrm { n } } $ 을 $ \alpha $ 의 법곡률(normal curvature), $ \kappa_ { g } $ 롤 $ \alpha $ 의 측지곡률(geodesic curvature)이라고 한다. $ \alpha $ 의 곡률은 $ \left \| \alpha ^ {\prime \prime } \right \| $ 이므로 $ \alpha ^ {\prime \prime } = \kappa_ {\mathrm { n } } \mathrm { n } + \kappa_ { g } \left ( \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } \right ) \Rightarrow \kappa ^ { 2 } = \left \| \alpha ^ {\prime \prime } \right \| ^ { 2 } = \kappa_ {\mathrm { n } } ^ { 2 } + \kappa_ { g } ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>단위구면의 경우 $ f(u)= \cos u, g(u)= \sin u $ 이므로 $ I=d u ^ { 2 } + f ^ { 2 } d v ^ { 2 } =d u ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } u d v ^ { 2 } I I= \left (f ^ {\prime } g ^ {\prime \prime } -g ^ {\prime } f ^ {\prime \prime } \right ) d u ^ { 2 } + f g ^ {\prime } d v ^ { 2 } =d u ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } u d v ^ { 2 } \text { EG } -F ^ { 2 } = \cos ^ { 2 } u= \left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathrm { x } _ { v } \right \| ^ { 2 } $ 이다. $ D= \left (- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) \times(- \pi, \pi) $ 이므로 단위 구면의 면적은 $ \iint_ { D } \sqrt {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } d u d v= \int_ { - \pi } ^ {\pi } \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \cos u d u d v=4 \pi $ 이다.</p> <p>윤환면의 경우 $ f(u)=a + b \cos u, g(u)=b \sin u $ 이므로 $ I= \left [ \left (f ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + \left (g ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \right ] d u ^ { 2 } + f ^ { 2 } d v ^ { 2 } =b ^ { 2 } d u ^ { 2 } + (a + b \cos u) ^ { 2 } d v ^ { 2 } I I= \frac { f ^ {\prime } g ^ {\prime \prime } -g ^ {\prime } f ^ {\prime \prime } } {\sqrt {\left (f ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + \left (g ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } } d u ^ { 2 } + \frac { f g ^ {\prime } } {\sqrt {\left (f ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + \left (g ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } } d v ^ { 2 } =b d u ^ { 2 } + (a + b \cos u) \cos u d v ^ { 2 } \sqrt { E G-F ^ { 2 } } =b(a + b \cos u) $ 이다. $ D=(0,2 \pi) \times(0,2 \pi) $ 이므로 윤환면의 면적은 $ \iint_ { D } \sqrt {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } d u d v= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } b(a + b \cos u) d u d v=4 \pi ^ { 2 } a b $ 이다.</p> <p>예 $ 3.3 $ 곡면조각 $ \quad \mathbf { x } (u, v)=(3 \cos u \cos v, 3 \cos u \sin v, 3 \sin u) $ 는 반지를 3인 구면이다. $ \mathrm { x } _ { u } =(-3 \sin u \cos v,-3 \sin u \sin v, 3 \cos u) $ $ \mathrm { x } _ { v } =(-3 \cos u \sin v, 3 \cos u \cos v, 0) $ $ \mathrm { x } _ { u } \times \mathrm { x } _ { v } =9 \cos u(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v,- \sin u) $ $ \mathrm { n } =(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v,- \sin u) $ $ \mathrm { x } _ { u u } =(-3 \cos u \cos v,-3 \cos u \sin v,-3 \sin u) $ $ \mathrm { x } _ { u v } =(3 \sin u \sin v,-3 \sin u \cos v, 0) $ $ \mathrm { x } _ { v v } =(-3 \cos u \cos v,-3 \cos u \sin v, 0) $ 이므로 $ \mathrm { E } =9, \mathrm { ~F } =0, \mathrm { G } =9 \cos ^ { 2 } u \mathrm { ~L } =3, \mathrm { M } =0, \mathrm { ~N } =3 \cos ^ { 2 } u \Rightarrow K = \frac { 9 \cos ^ { 2 } u } { 81 \cos ^ { 2 } u } = \frac { 1 } { 9 } $ $ \kappa_ {\mathrm { n } } = \frac {\mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } {\mathrm { E } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { ~F } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { G } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } = \frac { 3 \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 3 \cos ^ { 2 } u \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } { 9 \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 9 \cos ^ { 2 } u \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 3 } $ 반지름 3인 구면상의 곡선의 법곡률은 곡선에 관계없이 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이다.</p> <p>곡선을 $ y $ 축 둘레로 회전시킨 회전체 $ M $이 곡면임을 보이기 위해 $ D $를 적절히 잡고 $ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=(f(u) \cos v, g(u), f(u) \sin v) $ 라고 두면 $ \mathbf { x } _ { u } = \left (f ^ {\prime } \cos v, g ^ {\prime } , f ^ {\prime } \sin v \right ), \mathbf { x } _ { v } =(-f \sin v, 0, f \cos v) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left (f g ^ {\prime } \cos v,-f ^ {\prime } f, f g ^ {\prime } \sin v \right ) \Rightarrow \left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \|=f \sqrt {\left (f ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + \left (g ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } \neq 0 $ 이다. 그러므로 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이고, $ \alpha $ 의 성질에 의해서 $ \mathrm { x } $ 는 곡면조각이다. 이 곡면조각들로 $ M $ 을 덮을 수 있으므로 $ M $ 은 곡면이다. 이런 곡면 $ M $ 을 회전면(surface of revolution), 곡선 $ \alpha $ 를 $ M $ 의 모선이라고 한다.</p> <p>앞에서 다룬 예 $ 1.3 $의 단순곡면 $ \mathbf { x } (u, v)=( \cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u) $ 는 모선인 단위원 $ \alpha(t)=( \cos t, 0, \sin t) $를 $ z $축 둘레로 회전한 회전면으로 단위 구면이다.</p> <p>예 $ 1.11 $ [회전면의 예] $ \alpha: \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \alpha(t)=(a + b \cos t, 0, b \sin t),(a>b>0) $ 를 모선으로 하는 회전면을 윤환면(torus)이라고 한다. 이 때 곡면조각은 다음과 같이 주어진다. $ D=(0,2 \pi) \times(0,2 \pi) ~ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=((a + b \cos u) \cos v,(a + b \cos u) \sin v, b \sin u) $ $ D $에 적당한 변화를 주면 윤환면 전체를 덮을 수 있다.</p> <p>예 $ 1.2 $ $ D= \left \{ (u, v) \mid u ^ { 2 } + v ^ { 2 }<1 \right \} $ 일 때, $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $, $ \mathrm { x } (u, v)= \left (u, v, \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) $는 곡면조각임을 보여라.</p> <p>풀이 각 좌표함수가 미분가능이므로 $ \mathrm { x } $ 는 미분가능이고 $ \mathbf { x } _ { u } = \left (1,0, \frac { -u } {\sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } } \right ), \mathbf { x } _ { v } = \left (0,1, \frac { -v } {\sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } } \right ) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left ( \frac { u } {\sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } } , \frac { v } {\sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } } , 1 \right ) \neq(0,0,0) $ 이므로 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이다. 역함수 $ \mathbf { x } ^ { -1 } : \mathbf { x } (D) \rightarrow D, \mathbf { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(x, y) $ 는 연속이므로 $ \mathrm { x } $ 는 곡면조각이다.</p> <p>예 $ 1.3 $ $ D= \left \{ (u, v) \mid- \frac {\pi } { 2 }<u< \frac {\pi } { 2 } ,- \pi<v< \pi \right \} $일 때, $ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=( \cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u) $ 는 곡면조각임을 보여라.</p> <p>예 3.4 곡면조각 $ x(u, v)=((2 + \cos u) \cos v,(2 + \cos u) \sin v, \sin u) $ 는 $ a=2$, $b=1 $ 인 윤활면이다. 5.2절의 계산을 이용하면 $ \mathrm { E } =1, \mathrm { ~F } =0, \mathrm { G } =(2 + \cos u) ^ { 2 } \mathrm { ~L } =1, \mathrm { M } =0, \mathrm { ~N } =(2 + \cos u) \cos u \Rightarrow K= \frac {\cos u } { 2 + \cos u } \Rightarrow K=0 \Leftrightarrow u= \frac {\pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } $ 위의 모선의 각 부분을 희전할 때, 윤환면은 Gauss 곡률이 양수, 0 , 음수인 부분으로 나누어진다.</p> <p>예 3.5 쌍곡포물면의 곡면조각 $ \mathrm { x } (u, v)=(u, v, u v) $에 대해서 $ \mathrm { E } =1 + v ^ { 2 } , \mathrm { ~F } =u v, \mathrm { G } =1 + u ^ { 2 } \mathrm { ~L } =0, \mathrm { M } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } , \mathrm { ~N } =0 \Rightarrow K= \frac { -1 } {\left (1 + u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } }<0 $ 이므로 쌍곡포물면은 항상 음의 Gauss 곡률을 갖는 곡면이다.</p> <p>예 3.6 곡선 $ \alpha, \beta $ 에 대해서 $ \beta(t) \neq(0,0,0) \forall t $ 일 때, 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)= \alpha(u) + v \beta(u) $ 를 선직면(ruled surface)이라고 한다. 이것은 $ \alpha(u) $를 지나고 $ \beta(u) $에 평행인 직선들로 이루어진 곡면이다. $ \mathrm { x } _ { u } = \alpha ^ {\prime } + v \beta ^ {\prime } , \mathrm { x } _ { v } = \beta, \mathrm { x } _ { v v } =(0,0,0) \Rightarrow \mathrm { N } =0 \Rightarrow K= \frac {\mathrm { LN } - \mathrm { M } ^ { 2 } } {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } = \frac { - \mathrm { M } ^ { 2 } } {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } \leq 0 $ 이므로 선직면의 Gauss 곡률은 항상 0이하이다.</p> <h1>$ 5.4 $ 측지선</h1> <p>곡면 $ M $상의 곡선 $ \alpha $ 에 대해서 $ \alpha ^ {\prime \prime } \perp M $일 때, $ \alpha $를 측지선(geodesic)이라고 한다. 측지선은 $ M $상에서 직선의 역할을 하는 곡선이다. $ \alpha ^ {\prime } $는 곡면에 접하므로 $ \alpha $가 측지선이면 $ \left ( \left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } \right ) ^ {\prime } = \left ( \alpha ^ {\prime } \cdot \alpha ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } =2 \alpha ^ {\prime } \cdot \alpha ^ {\prime \prime } =0 \Rightarrow \left \| \alpha ^ {\prime } \right \| \text { 는 상수 } $ 이다. 즉, 측지선의 속력은 일정하다. 여기서 $ \left \| \alpha ^ {\prime } \right \|=c $라고 두면 $ s=c t $는 호장 함수이고 $ \beta(s)= \alpha \left ( \frac { s } { c } \right ) $ 는 $ \alpha $의 단위속력 재매개화이다. $ \beta ^ {\prime } (s)= \frac { 1 } { c } \alpha ^ {\prime } \left ( \frac { s } { c } \right ) \Rightarrow \beta ^ {\prime \prime } (s)= \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \alpha ^ {\prime \prime } \left ( \frac { s } { c } \right ) \Rightarrow \beta ^ {\prime \prime } \perp M $ 이므로 $ \beta $도 측지선이다. 즉, 측지선의 단위속력 재매개화는 측지선이다. 그러므로 측지선의 성질을 조사할 때 단위속력 곡선이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다.</p> <p>정리 $ 4.1 $<ol type=1 start=1><li>$ \alpha $가 측지선일 필요충분조건은 $ \kappa_ { g } =0 $이다.</li> <li>$ \alpha $가 직선의 일부이면 측지선이다.</li></ol></p> <p>증명<ol type=1 start=1><li>$ \alpha $가 단위속력이라고 가정하자. $ \alpha ^ {\prime \prime } = \kappa_ {\mathrm { n } } \mathrm { n } + \kappa_ { g } \left ( \mathrm { n } \times \alpha ^ {\prime } \right ) $이므로 $ \alpha ^ {\prime \prime } $은 측지선 $ \Leftrightarrow \alpha ^ {\prime \prime } , \mathrm { n } $은 평행 $ \Leftrightarrow \kappa_ { g } =0 $</li> <li>$ \alpha(t)=p + t q \Rightarrow \alpha ^ {\prime \prime } =(0,0,0) $ 이므로 측지선이다.</li></ol></p> <p>미분가능 함수 $ f: D \rightarrow \mathrm { R } $ 에 대해서 $ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=(u, v, f(u, v)) $ 는 미분가능이고 $ \mathbf { x } _ { u } = \left (1,0, f_ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } = \left (0,1, f_ { v } \right ) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left (-f_ { u } ,-f_ { v } , 1 \right ) \neq(0,0,0) $ 이므로 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이다. 그리고 역함수 $ \mathbf { x } ^ { -1 } : \mathbf { x } (D) \rightarrow D, \mathbf { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(x, y) $ 는 연속이므로 $ \mathrm { x } $ 는 곡면조각이다. 이것을 Monge 조각(Monge patch)이라고 한다. Monge 조각의 상(image)은 $ f $ 의 그래프이고, 앞에서 다룬 예 $ 1.2 $의 경우 $ f(u, v)= \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } $ 인 경우의 Monge 조각이다. 그리고 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=(u, v, u v) $ 는 $ f(u, v)=u v $ 인 Monge 조각이다.</p> <p>예 $ 1.4 $ (1) $ \mathrm { x } : \mathrm { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)= \left (u ^ { 2 } , v ^ { 2 } , u v \right ) $ 는 단사함수가 아니므로 곡면조각이 아니다. 그리고 $ \mathbf { x } _ { u } =(2 u, 0, v), \mathbf { x } _ { v } =(0,2 v, u) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left (-2 v ^ { 2 } ,-2 u ^ { 2 } , 4 u v \right ) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } (0,0) \times \mathbf { x } _ { v } (0,0)=(0,0,0) $ 이므로 정칙도 아니지만 정의역을 $ D= \{ (u, v) \mid u, v>0 \} $으로 줄이면 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)= \left (u ^ { 2 } , v ^ { 2 } , u v \right ) $ 는 곡면조각이다. (2) $ \mathrm { x } : \mathrm { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } \right ) $는 Monge 조각이 아니다. 왜냐하면 함수 $ f: \mathrm { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathrm { R } , f(u, v)= \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } $ 는 $ (0,0) $에서 편도함수가 존재하지 않으므로 미분가능이 아니다.</p> <p>$ \alpha= \left ( \alpha_ { 1 } , \alpha_ { 2 } , \alpha_ { 3 } \right ) $가 $ M=f ^ { -1 } (a) $상의 곡선이면 $ \alpha(t) \in f ^ { -1 } (a) $이므로 $ f( \alpha(t))=a \forall t $ 이고, 양변을 미분하면 $ f_ { x } \alpha_ { 1 } { } ^ {\prime } + f_ { y } \alpha_ { 2 } { } ^ {\prime } + f_ { z } \alpha_ { 3 } { } ^ {\prime } =0 \Rightarrow \nabla f \cdot \alpha ^ {\prime } =0 $ 이다. 그러므로 $ \nabla f \perp \alpha ^ {\prime } $ 이다. $ M $상의 임의의 곡선 $ \alpha $에 대해서 $ \nabla f \perp \alpha ^ {\prime } $ 이므로 곡면상의 모든 접벡터(아래 참조)와 $ \nabla f $는 수직이다.</p> <p>곡면조각 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $와 $ \mathrm { x } (D) $상의 점 $ p $ 에 대해서 곡선 $ \alpha: \mathrm { I } \rightarrow \mathbf { x } (D), \alpha \left (t_ { 0 } \right )=p $ 는 $ p $를 지나는 $ \mathbf { x } (D) $ 상의 곡선이다. $ \alpha $의 $ t=t_ { 0 } $에서 속도벡터 $ \alpha ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \mathrm { v } $를 $ p $에서 $ \mathrm { x } (D) $의 접벡터(tangent vector)라고 한다.</p> <p>$ p= \mathrm { x } (a, b) $일 때, $ \alpha(t)= \mathrm { x } (t, b) $는 $ \alpha(a)=p $인 $ \mathrm { x } (D) $상의 곡선이다. 이를 $ v=b $에서 $ u $-곡선 ( $ u $-parameter curve)이라고 한다. $ t=a $에서 속도벡터 $ \alpha ^ {\prime } (a)= \left . \frac { d } { d t } \right \|_ { t=a } \mathbf { x } (t, b)= \mathbf { x } _ { u } (a, b) $ 는 $ p $에서 접벡터이다.</p> <p>예 $ 1.8 $ $ \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, u ^ { 2 } -v ^ { 2 } \right ) $의 $ v=3 $에서 $ u $-곡선 $ \alpha $는 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (t, 3)= \left (t, 3, t ^ { 2 } -9 \right ) $ $ \alpha ^ {\prime } (t)=(1,0,2 t) \Rightarrow \alpha ^ {\prime } (2)=(1,0,4) $ $ \mathbf { x } _ { u } =(1,0,2 u) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } (2,3)=(1,0,4)= \alpha ^ {\prime } (2) $ 이고, $ u=2 $ 에서 $ v $-곡선 $ \beta $ 는 $ \beta(t)= \mathbf { x } (2, t)= \left (2, t, 4-t ^ { 2 } \right ) $ $ \beta ^ {\prime } (t)=(0,1,-2 t) \Rightarrow \beta ^ {\prime } (3)=(0,1,-6) $ $ \mathbf { x } _ { v } =(0,1,-2 v) \Rightarrow \mathbf { x } _ { v } (2,3)=(0,1,-6)= \beta ^ {\prime } (3) $ 이다.</p> <p>벡터 $ \mathrm { x } _ { u } , \mathrm { x } _ { v } $ 와 더불어 곡면의 성질을 다룰 때 중요한 역할을 하는 벡터를 소개한다. 곡면조각 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $ 에 대해서 벡터 $ \mathbf { n } = \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \| } $ 를 $ \mathrm { x } $ 의 단위법벡터장이라고 한다. $ \mathrm { n } $ 은 $ \mathrm { x } _ { u } , \mathrm { x } _ { v } $ 에 수직이므로 곡면 $ \mathrm { x } (D) $상의 각 점에서 접평면에 수직인 벡터이다. 그러므로 점 $ p \in \mathrm { x } (D) $에서 접평면의 방정식은 $ ( \mathrm { y } -p) \cdot \mathrm { n } =0 $ 이다.</p> <h1>$ 5.1 $ 곡면의 정의</h1> <p>이제부터 별다른 말이 없으면 $ D $는 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $의 open set이고 $ D $의 좌표를 $ (u, v) $, $ \mathrm { R } ^ { 3 } $의 좌표는 $ (x, y, z) $로 적기로 한다.</p> <p>정의 $ 1.1 $ (1) 미분가능 함수 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $가 $ D $상에서 $ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \neq(0,0,0) $ 일 때, 정칙(regular)이라고 한다. 여기서 $ \mathrm { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } $는 각각 $ u, v $에 대한 편도함수를 의미한다. 즉 $ \mathbf { x } = (f, g, h) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } = \left (f_ { u } , g_ { u } , h_ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } = \left (f_ { v } , g_ { v } , h_ { v } \right ) $ 이다. (2) 정칙함수 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $에 대해서 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { x } (D) $가 위상동형일 때, $ \mathrm { x } $를 곡면조각(surface patch), 또는 단순곡면(simple surface)이라고 한다. (i) $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $ 는 정칙 $ \Leftrightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \neq(0,0,0) \Leftrightarrow \left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \| \neq 0 \Leftrightarrow \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } $는 1차독립 (ⅱ) $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { x } (D) $가 위상동형이라는 것은 이 함수가 이미 연속 이므로 역함수 $ \mathrm { x } ^ { -1 } : \mathrm { x } (D) \rightarrow D $가 연속이면 된다. 그리고 역함수가 정의되려면 $ \mathrm { x } $는 단사함수이어야 한다.</p> <p>곡면조각 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $ 에 대해서 $ \mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } = \left ( \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { u } \right ) \left ( \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { x } _ { v } \right )- \left ( \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { v } \right ) ^ { 2 } = \left \| \mathbf { x } _ { u } \right \| ^ { 2 } \left \| \mathbf { x } _ { v } \right \| ^ { 2 } - \left \| \mathbf { x } _ { u } \right \| ^ { 2 } \left \| \mathbf { x } _ { v } \right \| ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta = \left \| \mathbf { x } _ { u } \right \| ^ { 2 } \left \| \mathbf { x } _ { v } \right \| ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta= \left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \| ^ { 2 } >0 $ 이 성립한다. 그리고 $ \mathbf { x } (D) $의 면적은 $ \iint_ { D } \sqrt {\mathbf { E G } - \mathbf { F } ^ { 2 } } d u d v= \left . \iint_ { D } \right \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \mid d u d v $ 임이 잘 알려져 있다.</p> <p>풀이 각 좌표함수가 미분가능이므로 $ \mathrm { x } $ 는 미분가능이고 $ \mathbf { x } _ { u } =(- \sin u \cos v,- \sin u \sin v, \cos u), ~ \mathbf { x } _ { v } =(- \cos u \sin v, \cos u \cos v, 0) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \cos u(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v,- \sin u) $ 이고 $ \left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \|= \cos u \neq 0,- \frac {\pi } { 2 }<u< \frac {\pi } { 2 } $ 이므로 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이다. 역함수 $ \mathrm { x } ^ { -1 } : \mathrm { x } (D) \rightarrow D $를 구하기 위하여 $ (x, y, z) \in \mathbf { x } (D), ~ \mathbf { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(u, v) $, 라고 두면 $ (x, y, z)=( \cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u) \Rightarrow u= \sin ^ { -1 } z, \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \cos u \Rightarrow \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = \cos v \Rightarrow v= \left \{\begin {array} { c } \cos ^ { -1 } \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , y \geq 0 \\ - \cos ^ { -1 } \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , y \leq 0 \end {array} \right . $ 이다. $ v $의 경우 $ y=0 $ 일 때 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 의 정의역을 살펴보면 $ x>0 $ 이므로, 어느 경우이든 $ v=0 $ 이다. 따라서 $ v $는 잘 정의된 (well-defined) 함수이고, 연속이다. 그러므로 $ \mathrm { x } $ 는 곡면조각이다.</p> <p>법곡률을 계산해 보면 \( \alpha ^ {\prime \prime } = \left ( \mathrm { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v } v ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } = \mathrm { x } _ { u } ^ {\prime } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { u } u ^ {\prime \prime } + \mathrm { x } _ { v } ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v } v ^ {\prime \prime } = \left ( \mathrm { x } _ { u u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { u v } v ^ {\prime } \right ) u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { u } u ^ {\prime \prime } + \left ( \mathrm { x } _ { v u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v v } v ^ {\prime } \right ) v ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v } v ^ {\prime \prime } \Rightarrow \kappa_ {\mathrm { n } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } = \left ( \mathrm { x } _ { u u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { u v } v ^ {\prime } \right ) u ^ {\prime } \cdot \mathrm { n } + \left ( \mathrm { x } _ { v u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v v } v ^ {\prime } \right ) v ^ {\prime } \cdot \mathrm { n } = \mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \) 이다. 이 공식은 $ \alpha $ 가 단위속력일 때 성립한다. $ \alpha $ 가 임의속력일 때, $ \alpha $ 의 호장함수롤 $ s, " {\prime } " $ "을 $ t $ 에 대한 미분으로 적으면 $ \frac { d \alpha } { d s } =T= \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| } \alpha ^ {\prime } , \frac { d ^ { 2 } \alpha } { d s ^ { 2 } } = \frac { d } { d s } T= \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| } T ^ {\prime } T \cdot \mathrm { n } =0 \Rightarrow T ^ {\prime } \cdot \mathrm { n } =-T \cdot \mathrm { n } ^ {\prime } \left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } = \mathrm { E } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { ~F } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { G } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } $ 이므로 \( \kappa_ {\mathrm { n } } = \frac { d ^ { 2 } \alpha } { d s ^ { 2 } } \cdot \mathrm { n } = \frac { 1 } {\left \|a ^ {\prime } \right \| } T ^ {\prime } \cdot \mathrm { n } =- \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| } T \cdot \mathrm { n } ^ {\prime } =- \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } } \alpha ^ {\prime } \cdot \mathrm { n } ^ {\prime } =- \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } } \left ( \mathrm { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathrm { x } _ { v } v ^ {\prime } \right ) \cdot \left ( \mathrm { n } _ { u } u ^ {\prime } + \mathrm { n } _ { v } v ^ {\prime } \right ) = \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } } \left ( \mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \right ) = \frac {\mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } {\mathrm { E } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { ~F } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { G } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } \) 이다.</p> <h1>$ 5.2 $ 기본형식</h1> <p>곡면조각 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $에 대해서 $ \mathrm { E } = \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { u } , \mathrm { ~F } = \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { v } , \mathrm { G } = \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { x } _ { v } $ 라고 두자. $ \alpha $ 가 $ \mathbf { x } (D) $상의 곡선이면 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $로 쓸 수 있다. 이 때, 속도벡터는 $ \alpha ^ {\prime } = \mathbf { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathbf { x } _ { v } v ^ {\prime } \Rightarrow \left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } = \left ( \mathbf { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathbf { x } _ { v } v ^ {\prime } \right ) \cdot \left ( \mathbf { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathbf { x } _ { v } v ^ {\prime } \right ) = \left ( \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { u } \right ) \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \left ( \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { x } _ { v } \right ) u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \left ( \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { x } _ { v } \right ) \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } = \mathbf { E } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathbf { G } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } $ 이다. 그러므로 곡선의 길이는 $ s= \int_ { t_ { 0 } } ^ { t } \sqrt {\mathbf { E } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathbf { G } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d t $ 이다. 여기서 $ d t $를 $ \sqrt { } $속으로 넣어서 형식적으로 계산하면 $ \sqrt {\mathbf { E } \left ( \frac { d u } { d t } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } \frac { d u } { d t } \frac { d v } { d t } + \mathbf { G } \left ( \frac { d v } { d t } \right ) ^ { 2 } } d t = \sqrt {\mathbf { E } d u ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } d u d v + \mathbf { G } d v ^ { 2 } } $ 이다. 이 때 $ I= \mathrm { E } d u ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } d u d v + \mathbf { G } d v ^ { 2 } $<caption>( * )</caption>을 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $의 제1 기본형식(first fundamental form)이라고 한다. 이 때, $ \alpha $ 의 길이는 $ s= \int_ { t_ { 0 } } ^ { t } \sqrt { I } \Rightarrow d s= \sqrt { I } \Rightarrow d s ^ { 2 } =I $ 이므로 $ d s ^ { 2 } = \mathbf { E } d u ^ { 2 } + 2 \mathbf { F } d u d v + \mathbf { G } d v ^ { 2 } $ 으로 적기도 한다. 제1 기본형식 () 에서 사용된 기호를 상세히 설명하는 것은 여기서는 큰 의미가 없기 때문에 다루지 않을 것이다. 다만 3가지 값 $ \mathrm { E } , \mathrm { F } , \mathrm { G } $는 많이 사용될 것이다. 그리고 $ \mathrm { L } = \mathrm { x } _ { u u } \cdot \mathrm { n } , \mathrm { M } = \mathrm { x } _ { u v } \cdot \mathrm { n } , \mathrm { N } = \mathrm { x } _ { v v } \cdot \mathrm { n } $ 이라고 둘 때, $ II= \mathrm { L } d u ^ { 2 } + 2 \mathbf { M } d u d v + \mathbf { N } d v ^ { 2 } $ 을 제2 기본형식(second fundamental form)이라고 한다. 한편 $ \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { n } =0, \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { n } =0 $ 이므로 $ \mathbf { x } _ { u u } \cdot \mathbf { n } + \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { n } _ { u } =0 \Rightarrow \mathbf { L } = \mathbf { x } _ { u u } \cdot \mathbf { n } =- \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { n } _ { u } $ $ \mathbf { x } _ { u v } \cdot \mathbf { n } + \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { n } _ { v } =0 \Rightarrow \mathbf { M } = \mathbf { x } _ { u v } \cdot \mathbf { n } =- \mathbf { x } _ { u } \cdot \mathbf { n } _ { v } $ $ \mathbf { x } _ { v u } \cdot \mathbf { n } + \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { n } _ { u } =0 \Rightarrow \mathbf { M } = \mathbf { x } _ { v u } \cdot \mathbf { n } =- \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { n } _ { u } $ $ \mathbf { x } _ { v v } \cdot \mathbf { n } + \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { n } _ { v } =0 \Rightarrow \mathbf { N } = \mathbf { x } _ { v v } \cdot \mathbf { n } =- \mathbf { x } _ { v } \cdot \mathbf { n } _ { v } $ 가 성립한다. $ d \mathbf { x } = \mathbf { x } _ { u } d u + \mathbf { x } _ { v } d v, d \mathbf { n } = \mathbf { n } _ { u } d u + \mathbf { n } _ { v } d v $ 로 적으면 $ I=d \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x } , I I=-d \mathbf { x } \cdot d \mathbf { n } $ 이다.</p> <p>$ \beta(t)= \mathrm { x } (a, t) $는 $ \beta(b)=p $인 $ \mathrm { x } (D) $상의 곡선이다. 이를 $ u=a $에서 $ v $-곡선 ( $ v $-parameter curve)이라고 한다. $ t=b $ 에서 속도벡터 $ \beta ^ {\prime } (b)= \left . \frac { d } { d t } \right \|_ { t=b } \mathbf { x } (a, t)= \mathbf { x } _ { v } (a, b) $ 는 $ p $에서 접벡터이다. 따라서 $ \mathbf { x } _ { u } (a, b), \mathbf { x } _ { v } (a, b) $는 $ p $ 에서 접벡터이다. 그리고 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이므로 이들 두 벡터는 1차독립이다. 이제 $ p $ 에서 임의의 접벡터를 이들 두 벡터의 1차결합으로 표현해 보자.</p> <p>$ \mathrm { v } $ 가 $ p $ 에서 $ \mathrm { x } (D) $의 접벡터이면 곡선 $ \alpha: \mathrm { I } \rightarrow \mathbf { x } (D), \alpha \left (t_ { 0 } \right )=p $ 가 존재해서 $ \alpha ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \mathrm { v } $이다. $ \left ( \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha \right )(t) \in \mathrm { R } ^ { 2 } $이므로 $ \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha \right )(t)=(u(t), v(t)) $ 로 쓸 수 있다.</p> <p>그러므로 $ \alpha(t)= \mathbf { x } \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha \right )(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $ 이다. $ \mathrm { x } (D) $ 상의 곡선은 항상 이와 같이 표현된다. 이 때 속도벡터를 계산해보면 $ \alpha ^ {\prime } = \frac { d } { d t } \mathbf { x } (u, v)= \mathbf { x } _ { u } u ^ {\prime } + \mathbf { x } _ { v } v ^ {\prime } $ 이고 $ \mathbf { v } = \alpha ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \mathbf { x } _ { u } (a, b) u ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) + \mathbf { x } _ { v } (a, b) v ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 이므로 $ p $ 에서 $ \mathbf { x } (D) $ 의 접벡터 $ \mathbf { v } $ 는 $ \mathbf { x } _ { u } (a, b), \mathbf { x } _ { v } (a, b) $ 의 1 차결합으로 표현된다. 역으로 임의의 $ c_ { 1 } , c_ { 2 } \in \mathrm { R } $ 에 대해서 곡선을 $ \alpha(t)= \mathbf { x } \left (c_ { 1 } t + a, c_ { 2 } t + b \right ) $ 로 정의하면 $ \alpha $ 는 $ \alpha(0)= \mathrm { x } (a, b)=p $ 인 $ \mathbf { x } (D) $상의 곡선이고 $ \alpha ^ {\prime } (0)=c_ { 1 } \mathbf { x } _ { u } (a, b) + c_ { 2 } \mathbf { x } _ { v } (a, b) $ 이다. 그러므로 $ p $ 에서 $ \mathbf { x } (D) $의 접벡터의 집합은 $ \left \{ c_ { 1 } \mathbf { x } _ { u } (a, b) + c_ { 2 } \mathbf { x } _ { v } (a, b) \mid c_ { 1 } , c_ { 2 } \in \mathrm { R } \right \} $ 이다. 이것은 $ \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } $를 기저로 갖는 2차원 벡터공간이며 $ p $ 를 지나는 평면이다. 이를 $ p $ 에서 $ \mathrm { x } $ 의 접평면(tangent plane)이라고 한다.</p> <p>정의 1.3 곡면조각 $ \mathrm { x } $ 에 대해서<ol type=1 start=1><li>$ K= \frac {\mathrm { LN } - \mathrm { M } ^ { 2 } } {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } $ 을 $ \mathrm { x } $ 의 Gauss 곡률이라고 한다.</li> <li>$ \left ( \mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } \right ) x ^ { 2 } + ( \mathrm { EN } -2 \mathrm { FM } + \mathrm { GL } ) x + \mathrm { LN } - \mathrm { M } ^ { 2 } =0 $ 의 두 근 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } $ 를 $ \mathrm { x } $ 의 주곡률(principal curvature)이라고 한다.</li></ol></p> <p>근과 계수의 관계에서 $ K=k_ { 1 } k_ { 2 } $ 임을 알 수 있다. 주곡률의 산술평균 $ H= \frac { k_ { 1 } + k_ { 2 } } { 2 } =- \frac {\mathrm { EN } -2 \mathrm { FM } + \mathrm { GL } } { 2 \left ( \mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } \right ) } $ 를 $ \mathrm { x } $ 의 평균곡률(mean curvature)이라고 한다.</p> <p>어떤 점 $ p $에서 주곡률이 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } $이면 $ p $근방에서 곡면은 이차곡면 $ z= \frac { 1 } { 2 } \left (k_ { 1 } x ^ { 2 } + k_ { 2 } y ^ { 2 } \right ) $<caption>()</caption>과 비슷하다. 이들 $ k_ { 1 } , k_ { 2 } $의 부호에 따라 다음의 4가지 경우로 나누어 볼 수 있다.</p> <p>정칙 단순곡선 $ \alpha: \mathrm { I } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 2 } , \alpha(t)=(f(t), g(t)) $ 에 대해서 $ M= \{ (f(u), g(u), v) \mid(u, v) \in \mathbf { I } \times \boldsymbol { R } \} $ 은 곡면이 된다.</p> <p>이를 보이기 위하여 $ \mathbf { x } : J \times R \rightarrow M, \mathbf { x } (u, v)=(f(u), g(u), v) $ 로 정의하면 $ \left ( \mathrm { J } \subset \mathrm { I } \right . $ 는 $ \alpha_ {\mid J } $ 가 단사함수가 되도록 잡는다), $ \alpha $ 가 정칙이므로 $ \mathbf { x } _ { u } = \left (f ^ {\prime } , g ^ {\prime } , 0 \right ), \mathbf { x } _ { v } =(0,0,1) \Rightarrow \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left (g ^ {\prime } ,-f ^ {\prime } , 0 \right ) \neq(0,0,0) $ 이다. 따라서 $ \mathrm { x } $ 는 정칙이고, $ \alpha $ 의 성질에 의해서 $ \mathrm { x } $ 는 곡면조각이다. 이런 곡면조각들로 $ M $ 을 덮을 수 있으므로 $ M $ 은 곡면이다. 이 때 곡면 $ M $ 을 주면 (cylinder), 곡선 $ \alpha $ 를 $ M $ 의 모선이라고 한다.</p> <p>예 1.10 [주면의 예] (1) 타원 $ \alpha: \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 2 }$, $\alpha(t)=( \cos t, 2 \sin t) $ 을 모선으로 하는 주면은 타원주면이다. (2) 포물선 $ \alpha: \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } ^ { 2 }$, $\alpha(t)= \left (t, t ^ { 2 } \right ) $ 을 모선으로 하는 주면은 포물주면이다.</p> <p>정칙 단순곡선 $ \alpha=(f, g, 0) $ 가 $ f>0 $ 일 때,</p> <p>예 $ 2.1 $ (1) $ p, q $ 가 서로 수직인 단위벡터일 때, 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)=a + u p + v q $ 는 $ a $를 지나고 $ p, q $에 평행인 평면이다. 이 때, $ \mathrm { x } _ { u } =p, \mathrm { x } _ { v } =q $이므로 $ \mathrm { E } =p \cdot p=1, \mathrm { ~F } =p \cdot q=0, \mathrm { G } =q \cdot q=1 \Rightarrow I=d u ^ { 2 } + d v ^ { 2 } $ 이고, $ \mathbf { x } _ { u u } = \mathbf { x } _ { u v } = \mathbf { x } _ { v v } =(0,0,0) \Rightarrow I I=0 $ 이다. (2) 단위구면의 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)=( \cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u) $ 에서 $ \mathbf { x } _ { u } =(- \sin u \cos v,- \sin u \sin v, \cos u), \mathbf { x } _ { v } =(- \cos u \sin v, \cos u \cos v, 0), \mathbf { x } _ { u u } =(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v,- \sin u), \mathbf { x } _ { u v } =( \sin u \sin v,- \sin u \cos v, 0), \mathbf { x } _ { v v } =(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v, 0), \mathbf { n } =(- \cos u \cos v,- \cos u \sin v,- \sin u) $ 이므로 $ \mathrm { E } =1, \mathrm { ~F } =0, \mathrm { G } = \cos ^ { 2 } u \mathrm { ~L } =1, \mathrm { M } =0, \mathrm { ~N } = \cos ^ { 2 } u \Rightarrow I=d u ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } u d v ^ { 2 } =I I $ 이다. (3) Monge 조각 $ \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, u ^ { 2 } -v ^ { 2 } \right ) $ 에서 $ \mathbf { x } _ { u } =(1,0,2 u), \mathbf { x } _ { v } =(0,1,-2 v), \mathbf { x } _ { u u } =(0,0,2), \mathbf { x } _ { u v } =(0,0,0), \mathbf { x } _ { v v } =(0,0,-2), \mathbf { n } = \frac { (-2 u, 2 v, 1) } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } $ 이므로 $ \mathrm { E } =1 + 4 u ^ { 2 } , \mathrm { ~F } =-4 u v, \mathrm { G } =1 + 4 v ^ { 2 } , \mathrm { ~L } = \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } , \mathrm { M } =0, \mathrm { ~N } = \frac { -2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } \Rightarrow I= \left (1 + 4 u ^ { 2 } \right ) d u ^ { 2 } -8 u v d u d v + \left (1 + 4 v ^ { 2 } \right ) d v ^ { 2 } , I I= \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } d u ^ { 2 } - \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } d v ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>예 $ 3.7 $ 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)=(u \cos v, u \sin v, b v), b \neq 0 $ 을 나선면(helicoid)이라고 한다. $ \mathbf { x } _ { u } =( \cos v, \sin v, 0), \mathbf { x } _ { v } =(-u \sin v, u \cos v, b) \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } =(b \sin v,-b \cos v, u), \mathbf { n } = \frac { (b \sin v,-b \cos v, u) } {\sqrt { b ^ { 2 } + u ^ { 2 } } } \mathbf { x } _ { u u } =(0,0,0), \mathbf { x } _ { u v } =(- \sin v, \cos v, 0), \mathbf { x } _ { v v } =(-u \cos v,-u \sin v, 0) $ 이므로 $ \mathrm { E } =1, \mathbf { F } =0, \mathrm { G } =b ^ { 2 } + u ^ { 2 } \mathrm { ~L } =0, \mathrm { M } = \frac { -b } {\sqrt { b ^ { 2 } + u ^ { 2 } } } , \mathbf { N } =0 \Rightarrow K= \frac { -b ^ { 2 } } {\left (b ^ { 2 } + u ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $ 이다. 그러므로 나선면의 Gauss 곡률은 $ -1 \leq K<0 $ 이다.</p> <p>예 $ 3.8 $ Monge 조각 $ \mathbf { x } (u, v)=(u, v, f(u, v)) $ 는 $ \mathbf { x } _ { u } = \left (1,0, f_ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } = \left (0,1, f_ { v } \right ) $ $ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \left (-f_ { u } ,-f_ { v } , 1 \right ), \mathrm { n } = \frac {\left (-f_ { u } ,-f_ { v } , 1 \right ) } {\sqrt { 1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } } } $ $ \mathbf { x } _ { u u } = \left (0,0, f_ { u u } \right ), \mathbf { x } _ { u v } = \left (0,0, f_ { u v } \right ), \mathbf { x } _ { v v } = \left (0,0, f_ { v v } \right ) $ 이므로 $ \mathbf { E } =1 + f_ { u } ^ { 2 } , \mathbf { F } =f_ { u } f_ { v } , \mathbf { G } =1 + f_ { v } ^ { 2 } \mathbf { L } = \frac { f_ { u u } } {\sqrt { 1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } } } , \mathbf { M } = \frac { f_ { u v } } {\sqrt { 1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } } } , \mathbf { N } = \frac { f_ { v v } } {\sqrt { 1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } } } \Rightarrow K = \frac { f_ { u u } f_ { v v } -f_ { u v } ^ { 2 } } {\left (1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $ 이다. 예 $ 3.5 $ 의 경우 $ f(u, v)=u v $ 이므로 $ f_ { u } =v, f_ { v } =u, f_ { u u } =f_ { v v } =0, f_ { u v } =1 $ 이므로 $ K= \frac { f_ { u u } f_ { v v } -f_ { u v } ^ { 2 } } {\left (1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } = \frac { -1 } {\left (1 + u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $ 임을 알 수 있다. 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, u ^ { 2 } -v ^ { 2 } \right ) $ 은 $ f(u, v)=u ^ { 2 } -v ^ { 2 } $ 인 쌍곡포물면이다. $ f_ { u } =2 u, f_ { v } =-2 v, f_ { u u } =2, f_ { v v } =-2, f_ { u v } =0 $ 이므로 $ K= \begin { cases } f_ { u u } f_ { v v } -f_ { u v } ^ { 2 } \\ \left (1 + f_ { u } ^ { 2 } + f_ { v } ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \end { cases } = \begin { cases } -4 \\ \left (1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \end { cases } $ 이다.</p> <p> <ol type=1 start=1><li>$ k_ { 1 } , k_ { 2 } $ 의 부호가 같은 경우 $ K>0 $ 이고 방정식 $ \left ( ^ { * } \right ) $ 는 타원포물면의 방정식이다. 이 때, 점 $ p $ 를 타원점(elliptic point)이라고 한다.</li> <li>$ k_ { 1 } , k_ { 2 } $ 의 부호가 다큰 경우 $ K<0 $ 이고 방정식 $ \left ( ^ { * } \right ) $ 는 쌍곡포물면의 방정식이다. 이 때, 점 $ p $ 를 쌍곡점(hyperbolic point)이라고 한다.</li> <li>$ k_ { 1 } \neq 0, k_ { 2 } =0 $ 인 경우 $ K=0 $ 이고 방정식 $ () $ 는 포물주면의 방정식이다. 이 때, 점 $ p $ 를 포물점 (parabolic point)이라고 한다.</li> <li>$ k_ { 1 } =k_ { 2 } =0 $ 인 경우 $ K=0 $ 이고 방정식 $ () $ 는 평면의 방정식이다. 이 때, 점 $ p $ 를 평면점 (planar point)이라고 한다. 평면점 근방에서 곡면은 여러 가지 모양이 가능하다. 다음 3개의 Monge 조각은 왼점에서 $ k_ { 1 } =k_ { 2 } =0 $ 이지만 각각 모양은 다르다.</li></ol></p> <p>예 $ 3.2 $ 곡면조각 $ \mathrm { x } (u, v)= \left (u, v, u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) $ 은 타원포물면이다. 이 때 $ \mathrm { x } _ { u } =(1,0,2 u), \mathrm { x } _ { v } =(0,1,2 v), \mathrm { x } _ { u } \times \mathrm { x } _ { v } =(-2 u,-2 v, 1) \Rightarrow \mathrm { E } =1 + 4 u ^ { 2 } , \mathrm { ~F } =4 u v, \mathrm { G } =1 + 4 v ^ { 2 } , \mathrm { n } = \frac { (-2 u,-2 v, 1) } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } $ 이고, $ \mathrm { x } _ { u u } =(0,0,2), \mathrm { x } _ { u v } =(0,0,0), \mathrm { x } _ { v v } =(0,0,2) \Rightarrow \mathrm { L } = \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } , \mathrm { M } =0, \mathrm { ~N } = \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } $ 이므로 $ \mathrm { LN } - \mathrm { M } ^ { 2 } = \frac { 4 } { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } , \mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } =1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } \Rightarrow K= \frac {\mathrm { LN } - \mathrm { M } ^ { 2 } } {\mathrm { EG } - \mathrm { F } ^ { 2 } } = \frac { 4 } {\left (1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $ 이다. (1) 곡선 $ \alpha(t)=( \cos t, \sin t, 1)= \mathrm { x } ( \cos t, \sin t) $ 는 $ \mathrm { x } $상의 곡선이다. $ \alpha ^ {\prime } (t)=(- \sin t, \cos t, 0) \Rightarrow \left \| \alpha ^ {\prime } (t) \right \|=1 $ 이므로 $ \alpha $ 는 단위속력 곡선이다. $ \alpha $ 의 법곡률올 계산하면 $ \alpha ^ {\prime \prime } (t)=(- \cos t,- \sin t, 0) \Rightarrow \kappa_ {\mathrm { n } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } = \frac { 2 \cos ^ { 2 } t + 2 \sin ^ { 2 } t } {\sqrt { 1 + 4 \sin ^ { 2 } t + 4 \cos ^ { 2 } t } } = \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } $ 이다. 한편 $ u= \cos t, v= \sin t $ 이므로 $ \mathrm { L } = \mathrm { N } = \frac { 2 } {\sqrt { 1 + 4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } } } = \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } , \mathrm { M } =0 \Rightarrow \kappa_ {\mathrm { n } } = \mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } = \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } (- \sin t) ^ { 2 } + 0 + \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } ( \cos t) ^ { 2 } = \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } $ 이다. 따라서 $ \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } = \mathrm { L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } $ 이 성립한다. (2) 곡선 $ \alpha(t)= \left (t ^ { 2 } , t, t ^ { 4 } + t ^ { 2 } \right )= \mathrm { x } \left (t ^ { 2 } , t \right ) $ 는 $ \mathrm { x } $상의 곡선이다. $ \alpha ^ {\prime } (t)= \left (2 t, 1,4 t ^ { 3 } + 2 t \right ) \Rightarrow \left \| \alpha ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 16 t ^ { 6 } + 16 t ^ { 4 } + 8 t ^ { 2 } + 1 } $ 이므로 $ \alpha $는 단위속력 곡선이 아니다. $ t=1 $ 일 때 $ \alpha $의 법곡률을 계산하면 $ \left \| \alpha ^ {\prime } (1) \right \|= \sqrt { 41 } ,(u, v)=(1,1), \mathrm { L } = \mathrm { N } = \frac { 2 } { 3 } , \mathrm { M } =0, u ^ {\prime } (1)=2, v ^ {\prime } (1)=1 \Rightarrow \kappa_ {\mathrm { n } } = \frac { 1 } {\left \| \alpha ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } } \left ( \mathrm { ~L } \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + 2 \mathrm { M } u ^ {\prime } v ^ {\prime } + \mathrm { N } \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \right ) = \frac { 1 } { 41 } \left ( \frac { 2 } { 3 } \cdot 4 + 0 + \frac { 2 } { 3 } \cdot 1 \right )= \frac { 10 } { 123 } $ 이다.</p> <p>단순곡면 $ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $상의 곡선 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $가 주기 $ a $인 단순폐곡선이라는 것은 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $상의 평면곡선 $ \alpha ^ { * } (t)=(u(t), v(t)) $가 주기 $ a $인 단순폐곡선 임을 의미한다. 그리고 $ \alpha $의 내부는 $ \operatorname { Int } ( \alpha)= \mathbf { x } \left ( \operatorname { Int } \left ( \alpha ^ { * } \right ) \right ) $으로, $ \alpha $가 양의 방향이라는 것은 $ \alpha ^ { * } $가 양의 방향인 것을 의미한다.</p> <p>단순곡면 $ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $에 대해서 $ ( \mathbf { x } (D) \text { 의 면적 } )= \iint_ {\mathbf { x } ( \mathrm { D } ) } d S= \iint_ { D } \sqrt {\mathrm { EG } - \mathbf { F } ^ { 2 } } d u d v \iint_ {\mathbf { x } (D) } K d S= \iint_ { D } K \sqrt {\mathbf { E G } - \mathbf { F } ^ { 2 } } d u d v $ 이다. $ \iint_ { M } K d S $를 곡면 $ M $ 의 전곡률(total curvature)이라고 한다.</p> <p>정리 ( \ 5.1 \) [Gauss-Bonnet 정리 (단순폐곡선 version)] $ \alpha $ 는 단순곡면 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { R } ^ { 3 } $상의 단위속력, 양의방향 단순폐곡선이고 길이가 $ l( \alpha) $ 이면 $ \int_ { 0 } ^ { l( \alpha) } \kappa_ { g } d s=2 \pi- \iint_ {\operatorname { Int } ( \alpha) } K d S $ 이다.</p> <p>$ x y $ 평면 $ \mathbf { x } (u, v)=(u, v, 0) $ 상의 임의의 곡선 $ \alpha $ 에 대해서 $ B= \pm \mathbf { n } $ 이므로 $ \cos \theta= \pm 1 $ 이다. 따라서 평면에서는 $ \kappa_ { g } = \pm \kappa $, $ \kappa_ {\mathrm { n } } =0 $ 이다.</p> <p>예 $ 4.2 $ (1) 단위구면 $ \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) $ 의 단위법벡터장은 $ \mathrm { n } (u, v)= \left (u, v, \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) $ 이다. 구면의 반지름과 같은 반지름을 갖는 구면상의 원을 대원(great circle)이라고 하는데, 반지름 1인 원 $ \alpha(t)=( \sin t, 0, \cos t),- \frac {\pi } { 2 }<t< \frac {\pi } { 2 } $ 는 대원의 일부이다. $ \alpha(t)= \mathbf { x } ( \sin t, 0) $ 에서 단위법빅터는 $ \mathbf { n } ( \sin t, 0)=( \sin t, 0, \cos t) $ 이다. $ \alpha ^ {\prime \prime } (t)=(- \sin t, 0,- \cos t), \Rightarrow \kappa_ {\mathrm { n } } = \alpha ^ {\prime \prime } \cdot \mathrm { n } =- \sin ^ { 2 } t- \cos ^ { 2 } t=-1 $ 이고 $ \kappa=1 $ 이므로 $ \kappa_ { g } =0 $ 이다. 따라서 구면의 대원은 측지선 이다. 한편, 대원은 중심을 지나는 평면과 구면의 공통부분이고 중심 을 지나는 평면은 접평면과 수직이므로 대원은 법단면이다. 따라서 법단면이 측지선임을 다시 확인할 수 있다. (2) 주면의 경우 모선은 법단면이므로 측지선이다.</p> <h1>$ 5.5 $ Gauss-Bonnet 정리</h1> <p>Gauss-Bonnet 정리는 곡면론에서 가장 멋있고 심오한 정리이다. 이 정리는 Gauss 곡률과 Euler수를 연결하고 있는데, 이 책에서는 정리의 여러 가지 version에 대해서 결과만 설명한다.</p> <p>예 $ 1.9 $ (1) 곡면조각 $ \mathrm { x } (u, v)=(u, v, u v) $는 $ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } =(-v,-u, 1) $이므로 단위 법벡터장은 $ \mathbf { n } = \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \| } = \frac { (-v,-u, 1) } {\sqrt { 1 + u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } $ 이다. 곡면상의 점 $ (2,3,6) $ 에서 접평면의 방정식은 $ (u, v)=(2,3) $ 일 때, 수직방향 $ (-3,-2,1) $을 사용하면 $ (x-2, y-3, z-6) \cdot(-3,-2,1)=0 \Rightarrow 3 x + 2 y-z-6=0 $ 이다. (2) 곡면조각 $ \mathbf { x } (u, v)= \left (u, v, \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) $ 의 단위 법벡터장은 $ \mathbf { n } = \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \| } = \left (u, v, \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) $ 이고 곡면상의 점 $ \left ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right ) $ 에서 접평면의 방정식은 $ (u, v)= \left ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right ) $ 일 때, 수직방향 $ (1,2,2) $ 을 사용하면 $ \left (x- \frac { 1 } { 3 } , y- \frac { 2 } { 3 } , z- \frac { 2 } { 3 } \right ) \cdot(1,2,2)=0 \Rightarrow x + 2 y + 2 z-3=0 $ 이다.</p> <p>유계이고 폐집합인 곡면을 compact 곡면, 연속인 단위 법벡터가 곡면 전체에서 정의된 곡면을 유향곡면(oriented surface)이라고 한다. 유향 compact 곡면은 위상적으로 다음 $ T_ { g } $ 중의 하나이다.</p> <p>곡면 $ M $ 의 Euler 특성수 $ \chi(M) $은 곡면을 다각형으로 분할하여 $ \chi(M)=( \text { 꼭지점의 수 } v)-( \text { 변의 수 } e) + ( \text { 면의 수 } f) $ 로 정의되는 수이다. $ \chi(M) $은 다각형 분할방법과 무관한 위상적 불변수이고 $ T_ { g } $ 의 Euler 특성수는 $ \chi \left (T_ { g } \right )=2-2 g $ 이다.</p> <p>정리 $ 5.5 $ [Gauss-Bonnet 정리 (compact 곡면 version)] $ M $ 이 유향 compact 곡면이면 전곡률은 $ \iint_ { M } K d S=2 \pi \chi(M) $ 이다.</p> <p>$ M $ 이 단위구면 $ S ^ { 2 } $이면 $ K=1, \chi \left (S ^ { 2 } \right )=2 $이다. 그러므로 $ \iint_ { S ^ { 2 } } d S=4 \pi $ 이다. 이것은 $ S ^ { 2 } $의 면적이 $ 4 \pi $라는 사실을 이미 알고 있으므로 별다른 것이 아니지만 단위구면의 모양을 변형시켜도 $ \iint_ { M } K d S=4 \pi $ 가 성립한다는 것은 놀라운 결과이다. Gauss 곡률이 상수가 아니면 적분하기 어렵지만 Gauss-Bonnet 정리를 이용하면 $ M $ 의 전곡률은 여전히 $ 4 \pi $ 이다.</p> <p>(1) 타원면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ 의 Gauss 곡률은 상수가 아니다. 그러나 구면과 위상동형이므로 $ \chi=2 $이고 전곡률은 $ \iint_ { M } K d S=4 \pi $이다. (2) $ M=T_ { 1 } $이 torus이면 $ \chi=0 $이므로 $ \iint_ { M } K d S=0 $이다. 만약 $ M $의 모든 점에서 $ K \neq 0 $ 이면 $ M $ 의 모든 점에서 $ K>0 $, 또는 $ K<0 $ 이다. 그러면 $ \iint_ { M } K d S>0 \text { , 또는 } \iint_ { M } K d S<0 $ 이 되고, 이는 모순이므로 torus는 Gauss 곡률이 0인 점이 있다.</p>	자연
제 1상 임상시험에서 다양한 멈춤 규칙을 이용한 최대허용용량 추정법	<p>마지막으로 Table 8의 Curve 8은 첫 단계의 독성반응확률이 비교적 높고 균일하게 확률이 증가하는데 목표독성확률과 비슷한 독성확률을 갖는 세번째 용량에서 NM, J3, BSM방법의 MTD 선택 비율이 가장 높았다. 그 중에서 BSM방법의 비율이 $ 31.5 \% $ 로 가장 높았고 그 다음 $ \mathrm { NM } (30.7 \%), \mathrm { J } 3(23.1 \%) $ 방법 순이었다. 반면에 SM3는 확률이 매우 낮은 첫번째 용량을 MTD로 가장 많이 추정했다. 독성 반응 횟수는 J3와 Rim 방법이 2.6, 2.7번으로 다른 방법에 비해 적은 편이었다. 피험자 수는 J3가 평균 6.9명으로 최소였고 그 다음 Rim(8.4 명), NM(11.0 명)방법 순이었다.</p> <p>각 곡선별로 목표독성확률을 가진 용량에서 MTD가 추정된 비율을 Figure 6에 표현했다. BSM방법이 대체로 추정 비율이 높고 SM3 방법은 비율이 낮은 곡선이 많은 것을 확인할 수 있다.</p> <h1>4. 고찰</h1> <p>제 1 상 임상시험을 시행하는 목적 중 하나는 사람에게 허용할 수 있으면서 최대의 효능을 가진 복용량인 MTD 를 찾는 것이다. 본 논문에서는 8단계 복용량 수준의 독성 확률 곡선을 이용하여 여러가지 MTD 추정법들의 정확도와 안전성을 모의실험으로 비교하였다. 실험에서 이용한 곡선들은 실제 임상시험에서 많이 나타나는 독성 확률의 증가 형태를 기반으로 다양한 상황에서 실험이 가능하도록 만들어진 곡선이다. 따라서 일반적인 증가 형태를 보이는 약물이라면 모의실험의 곡선 중 하나와 비슷한 양상을 보일 것이기 때문에 모의실험의 결과와 실제 임상의 결과가 비슷할 것으로 예상된다. 다만 일반적인 증가 형태가 아니고 모의실험의 곡선과 매우 다른 특이한 증가 형태의 약물이라면 모의실험의 결과와 차이가 있을 수 있다.</p> <p>모의실험 결과를 보면 기존에 많이 쓰이고 있는 SM3보다 최근 제안된 방법들이 목표독성확률에 근접하게 MTD를 추정했다. 독성반응확률이 균일하게 증가하는 곡선의 경우 SM3와 J3방법은 목표독성확률보다 낮거나 높은 수준의 용량을 MTD로 추정한 비율이 높아 다른 방법들에 비해 정확도가 낮았다. 다른 방법들 중에서는 BSM 방법이 목표독성확률을 갖는 용량을 MTD로 선택한 비율이 $ 35.2 \% $ 로 제일 높아서 정확도가 높은 것으로 나타났다. 세번째와 네번째 단계의 용량에서 급격하게 확률이 높아지는 곡선에서는 대부분의 방법이 정확도가 높게 나타났고 그 중에서 BSM 방법의 추정 비율이 $ 62.7 \% $ 로 가장 잘 추정했다. 여섯번째 단계에서 급격하게 확률이 증가하는 경우 모든 방법에서 목표독성확률과 근접하게 MTD를 추정했고 그 중에서도 BSM방법의 추정 비율이 $ 77.0 \% $ 로 정확도가 매우 높았다. 세번째 단계의 용량까지는 확률이 낮다가 그 후에 급격하게 증가하는 곡선에서도 BSM방법(47.6 \%)이 다른 방법들에 비해 정확하게 MTD를 추정하는 것으로 나타났다. 네번째 단계의 용량까지는 확률이 매우 낮고 그 후에 급격히 증가하는 경우에는 BSM $(50.2 \%) $ 과 NM 방법(49.3 \%)이 다른 방법들에 비해 목표독성확률에 근접하게 MTD를 추정했다. 초기 단계에서 확률이 급격하게 증가하는 곡선의 경우에는 다른 곡선들과 다르게 SM3(49.8 \%) \) 의 정확도가 가장 높았다. 첫번째 용량의 확률이 비교적 높고 증가 폭이 크지 않은 경우 NM, J3, BSM 방법이 목표독성확률에 비슷한 용량을 MTD로 추정했는데 그 중에서도 NM의 추정 비율이 $ 30.2 \% $ 로 가장 높았다. 첫 용량에서의 독성반응확률이 비교적 높고 균일하게 증가하는 곡선에서는 BSM방법(31.5 \%)의 정확도가 가장 높았다. 결론적으로 8 가지 곡선 중 6가지 곡선에서 BSM이 목표독성확률에 근접한 용량을 MTD로 추정한 비율이 가장 높았고 따라서 BSM 방법이 다른 방법들에 비해 정확도가 높음을 알 수 있었다. 특히 독성 확률이 중간에 급격하게 증가하는 곡선에서의 추정 비율이 $ 60 \% $ 이상으로 매우 높았다.</p> <p>용량별로 MTD가 선택된 비율과 피험자 수에 대한 결과는 Table 1 과 같다. 독성반응확률이 균일하게 증가하는 Curve 1 에서는 NM, Rim, BSM 방법에서 목표독성확률과 가장 근접한 $ 35 \% $ 의 독성 확률을 가진 네번째 단계의 용량을 MTD로 가장 많이 선택했다. 그 중에서 BSM방법의 선택 비율이 $ 35.2 \% $ 로 가장 높았고 그 다음 NM $ (34.9 \%) $, Rim 방법 $(26.7 \%) $ 순이었다. J3는 $ 50 \% $ 의 확률을 갖는 다섯번째 용량을 MTD로 가장 많이 선택했고 SM3는 그보다 확률이 낮은 두번째 용량의 선택 비율이 가장 높았다. 실험 중 독성 반응을 보인 횟수는 J3 방법이 평균 2.5번으로 가장 낮았고 그 다음 Rim(2.7번), SM3(2.8 번) 순이었다. 실험에 필요한 피험자 수는 J3 방법이 평균 7.5명으로 가장 적었고 Rim방법이 9.5명으로 두번째로 적었다. MTD를 추정하지 못한 횟수는 NM 방법이 18 번으로 가장 적었고 BSM방법이 23회로 그 다음으로 적었다.</p> <p>두번째 단계의 용량까지는 독성반응확률이 낮다가 세번째와 네번째 용량에서 급격하게 높아지는 Curve 2의 결과는 Table 2와 같다. SM3를 제외한 다른 방법들은 독성반응확률이 $33 \% $인 세번째 용량을 MTD로 가장 많이 추정했다. 그 중에서 BSM 방법의 추정 비율이 $ 62.7 \% $ 로 가장 높았고 그 다음 NM 방법이 $ 57.1 \% $ 로 높았다. 독성 반응을 보인 횟수는 J3가 평균 2.3 번으로 가장 적었고 전체적으로 23 번 정도로 모든 방법이 큰 차이를 보이지는 않았다. 실험에 필요한 피험자 수는 J3 방법이 평균 6명으로 최소였고 Rim(7.9 명), NM(8.6 명) 순이었다. MTD 추정에 실패한 횟수는 BSM, NM, J3 방법이 각각 0 번, 1 번, 9 번으로 매우 적었다.</p> <p>다섯번째 단계의 용량까지는 독성반응확률이 비교적 낮다가 여섯번째 단계의 용량에서 급격하게 증가하는 Curve 3에서는 다섯번째 용량의 독성반응확률이 $ 25 \% $ 로 목표독성확률과 가장 비슷했다. Table 3의 모든 추정법이 다섯번째 용량에서의 MTD 추정 비율이 가장 높았다. 그 중 BSM 방법이 $ 77.0 \% $ 로 매우 높았고 그 다음 NM $(73.0 \%) $ 과 J3방법 $(67.3 \%) $이 높았다. 독성 반응 횟수는 J3 방법이 평균 2.3번으로 가장 적었지만 전체적으로 23 번 정도로 큰 차이는 없었다. 피험자 수는 J3방법이 7.9명으로 가장 적었고 그 다음 NM과 Rim 방법이 각각 10.3, 10.6 명으로 비슷했다.</p> <p>Table 4의 Curve 4는 세번째 단계의 용량까지는 독성반응확률이 5 \%이하로 매우 낮고 그 다음 단계부터 확률이 급격하게 증가하는 곡선으로 세번째 용량의 확률이 목표독성확률과 가장 근접하다. SM3를 제외한 방법들은 세번째 용량을 MTD로 가장 많이 선택했다. 선택 비율을 보면 BSM이 47.6 \%로 가장 높았고 NM방법이 $ 44.9 \% $ 로 두번째였다. 독성 반응을 보인 횟수는 J3방법이 평균 $ 2.3 $ 번으로 가장 적었고 다른 방법들도 $ 2 ~ 3 $ 번으로 비슷했다. 피험자 수는 J3방법이 7.4명으로 가장 적었고 Rim방법이 9.6명으로 두번째로 적었다. 추정에 실패한 횟수는 BSM, Rim, NM 방법이 모두 10 번 이하로 매우 적었다.</p> <p>네번째 단계의 용량까지는 독성반응확률이 매우 낮고 그 다음부터 급격히 증가하는 Curve 5에서는 모든 방법이 목표독성확률과 가장 비슷한 여섯번째 용량을 MTD로 가장 많이 추정했다. Table 5 와 같다. 그 중에서 BSM(50.2 \%)방법과 NM $(49.3 \%) $ 방법이 다른 방법들에 비해 비율이 높았다. 독성 반응 횟수는 모든 방법이 23 번으로 큰 차이를 보이지 않았다. 실험에 필요한 피험자 수는 J3가 9.3명으로 최소였고 그 다음 Rim(12.5 명), NM방법(13.3명) 순이었다. MTD를 추정하지 못한 횟수는 SM3가 52번으로 다른 방법들에 비해 적은 편이었다.</p> <p>Curve 6는 Table 6과 같다. Curve 6는 세번째 단계의 용량까지는 독성반응확률이 급격히 증가하다가 그 다음 단계부터는 증가폭이 줄어드는 곡선인데 두번째 용량의 확률이 목표독성확률과 가장 근접하다. 모든 방법이 두번째 용량을 MTD로 가장 많이 추정했는데 그 중에서 SM3와 BSM 방법의 비율이 각각 $ 49.8 \% $ 와 $ 42.9 \% $ 로 비교적 높았다. 독성 반응을 보인 횟수는 NM방법이 평균 $ 4.2 $ 번으로 다른 방법에 비해 많았고 J3, Rim, SM3는 각각 2.4, 2.6, 2.7번으로 비슷했다. 실험에 푈요한 피험자 수는 J3 방법이 $ 5.8 $ 명으로 다른 방법에 비해 적은 편이었다. 실험이 완료되지 못한 횟수는 NM과 BSM방법이 각각 8 번과 14 번으로 매우 적었다.</p> <p>Table 7에서 첫번째 용량의 독성반응확률이 $ 22 \% $ 로 비교적 높고 확률이 균일하게 증가하는 Curve 7에서는 목표독성확률과 가장 비슷한 용량에서 NM, J3, BSM 방법의 MTD 추정 비율이 높았다. 그 중에서 NM방법이 $ 30.2 \% $ 로 가장 높았고 그 다음 BSM과 J3방법이 각각 $ 28.7 \%, 22.1 \% $ 였다. 독성 반응을 나타낸 횟수는 J3와 Rim 방법이 각각 평균 $ 2.6 $ 번과 2.7번으로 비슷했다. 피험자 수는 J3방법이 6.6번으로 다른 방법들에 비해 적었다. MTD를 추정하지 못한 횟수는 전체적으로 많은 편이었는데 그 중에서도 SM3가 3,351번으로 매우 많았다.</p> <h2>2.3. J3방법</h2> <p>Figure 3에서 Park과 Kim의 J3 방법은 먼저 1명의 피험자에게 DM 방법으로 용량을 증가시키다가 독성 반응이 나타나면 다른 1명의 피험자에게 동일한 용량을 투약한다. 여기서 2명 모두 독성 반응이 있으면 증량을 중단하고 한 단계 낮은 용량을 MTD로 한다. 반대로 2명 중 1명만 독성 반응이 있으면 1명의 피험자를 추가하고 총 3명 중 2명 이상 독성 반응이 있을 경우 실험을 중단하고 MTD를 정한다. 만약 3명 중 1명에게 독성 반응이 있으면 용량을 한 단계 높여서 실험을 다시 진행한다.</p> <h2>2.4. Biased coin and stopping rule method (BSM)방법</h2> <p>Jeon과 Kim의 BSM 방법은 처음에 한 명의 피험자에게 투약하여 독성 반응이 없으면 biased coin 방법으로 다음 피험자의 용량을 결정한다. 첫 피험자에게 독성 반응이 나타나면 특정한 멈춤 규칙을 이용하여 MTD를 정하게 되는데 best-of-five design을 보완한 규칙을 사용했다. Best-of-five design은 SM3 보다 빠르게 추정이 이루어지는 방법이지만 위험성은 높다는 단점이 있다. BSM 방법에서는 이를 보완하기 위해 중간에 1명의 피험자를 추가하여 멈춤 규칙을 적용했다. 따라서 실험 시간을 단축하면서 안전성을 확보할 수 있도록 했다.</p> <p>Figure 4의 실험 과정을 자세히 살펴보면 다음과 같다. 1명의 피험자에게 약을 투여하여 독성 반응이 없으면 $ 2 / 3 $ 의 확률로 다음 피험자에게 한 단계 높은 용량을 투약하거나 $ 1 / 3 $ 의 확률로 동일한 용량을 투약한다. 만약 동일한 용량에 1명의 피험자를 추가하게 되었을 때 독성 반응이 없으면 용량을 한 단계 높여서 실험을 다시 시행한다. 반대로 독성 반응이 있을 경우에는 다른 한명에게 동일한 용량을 투약하고 이 피험자에게 독성 반응이 없으면 다음 용량으로 실험을 다시 한다. 반대로 독성 반응이 있을 경우 실험을 중단하고 한 단계 낮은 용량으로 MTD를 정한다. 처음에 피험자가 독성 반응을 보이면 3명의 피험자에게 동일한 용량을 투약한다. 3명 중 2명 이상에게 독성 반응이 나타나면 실험을 중단하고, 모두 독성 반응이 없으면 다음 용량으로 실험을 다시 시행한다. 만약 1명만 독성 반응이 있으면 동일한 용량을 2명의 피험자에게 추가로 투약한다. 총 5명 중 3명이 독성 반응을 보이면 증량을 중단하고 한 단계 낮은 용량을 MTD로 한다. 5명 중 1명에게만 독성 반응이 있을 경우 용량을 증가시켜서 실험을 다시 실시한다. 만약 2명에게 독성 반응이 있으면 동일한 용량에 1명의 피험자를 추가하여 총 6 명 중 3 명이 반응을 보이면 실험을 중단하고 MTD를 정한다. 반대로 2명에게 독성 반응이 있을 경우 다음 단계의 용량으로 실험을 계속 한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>제 1 상 임상시험은 ‘투약 용량 발견 시험(dose finding study)'라고 불리는 단계로서, 동물 실험 또는 시험관 실험을 통해 개발한 신약 물질을 사람에게 시험하는 첫번째 단계이다. 제 1 상 임상시험의 가장 주요한 목적은 환자에게 허용할 수 있고 최대의 효능을 가진 복용량을 결정하는 것이고, 이를 최대허용용량(maximum tolerated dose, MTD)이라 한다. MTD는 사람에게 시험할 수 있는 안전한 용량 중에 약의 효능을 확인할 수 있을 정도의 충분한 용량으로 정해야 한다. 여기서 목표로 하는 독성반응율은 일반적으로 $25-33 \% $ 를 사용한다.</p> <p>MTD를 추정하는 기존의 방법에는 Dixon과 Mood가 제안한 DM 방법이 있다. DM 방법은 1명의 피험자에게 약을 투여하여 독성 반응이 나타나면 용량을 감소시키고 나타나지 않으면 용량을 증가시키는 추정법이다. 이 방법은 1 명의 피험자에 대한 반응만 필요하므로 실험을 쉽게 설계할 수 있다는 장점이 있다. 그러나 MTD를 정확하게 추정하지 못할 수 있고, 치료 효과가 적은 낮은 수준의 용량이 추정될 수 있다는 단점이 있다. Storer 와 Korn 등 은 DM 방법의 단점을 보완하기 위하여 표준방법(standard method, SM)을 제안했다. 표준방법에는 SM3와 SM6 방법이 있는데 각 용량 수준에 3명의 피험자를 배정하여 특정한 조건을 만족하면 실험을 종료하고 한 단계 낮은 수준의 용량을 MTD로 선택하는 추정법이다. 표준방법 중에서도 미국에서 가장 보편적으로 사용되는 방법은 SM3 방법이다. SM3 방법은 디자인의 설계가 비교적 간단하고, 투약 용량을 점진적으로 올려가면서 진행하기 때문에 MTD를 조심스럽게 찾을 수 있다. 하지만 추정된 MTD의 독성 확률이 실험 전에 정한 목표독성확률에 근접하지 않을 수 있다는 단점이 있다. SM3 방법으로 정한 MTD는 목표독성확률보다 작은 독성 확률을 갖는 용량이 선택될 가능성이 높고 이런 경우 약효가 거의 없는 낮은 용량이 선택될 수 있다.</p> <p>기존의 방법들을 보완하기 위해 최근 다양한 추정법들이 제안되고 있다. Lee와 Kim의 NaMi (NM) 방법은 처음에 1 명의 피험자에게 DM 방법을 적용하여 용량을 증가시키다가 독성반응이 나타나면 피험자 수를 1 명 더 늘린다. 2 명의 피험자에게 동일한 용량을 다시 투약하여 1 명이 독성반응이 나타나면 3 명으로 피험자를 늘려서 실험을 진행하는 두 단계 MTD 추정법이다. 이 방법은 DM 방법과 SM3 방법을 결합한 것으로 두 방법보다 적은 수의 피험자로 실험을 진행하면서도 효능은 유지할 수 있는 방법이다. Kim과 Kim 의 Rim 방법은 1명의 피험자에게 투약하여 독성 반응이 나타나지 않으면 biased coin design을 사용하여 다음 피험자에게 용량을 증가할지 또는 동일한 용량을 적용할지를 결정한다. 반면에 독성반응이 나타나는 경우에는 적절한 멈춤 규칙을 이용하여 MTD를 정하는 추정법이다. 이 방법은 처음에 독성 반응이 나타나지 않을 경우 무조건 더 높은 수준의 용량을 투약하는 것이 아니라 biased coin design을 사용하므로 안전성이 높다는 장점이 있다. Park과 Kim 의 J3 방법은 1명의 피험자에게 DM 방법으로 용량을 증가시키다가 독성 반응이 나타나면 다른 1 명에게 동일한 수준의 용량을 투여한다. 그리고 2명 중 1 명에게 독성 반응이 나타나면 또 다른 1 명에게 동일한 용량을 투약하는 두 단계 추정법이다. 이 방법은 초기에 실험 시간을 단축할 수 있고 낮은 용량에서 복용량을 증가시키는 속도가 빠르다는 장점이 있다. Jeon과 Kim 의 biased coin and stopping rule method (BSM)방법은 처음에 1 명의 피험자에서 독성 반응이 나타나지 않으면 biased coin design을 이용하여 다음 피험자에게 투여할 용량을 정하고, 독성 반응이 나타나면 적절한 멈춤 규칙을 이용해 MTD를 정하는 방법이다. 멈춤 규칙은 best-of-five 설계에 1 명의 피험자를 추가한 규칙을 사용했다. 이 방법은 biased coin design으로 안전성을 높이고 용량 증가속도가 빠른 멈춤 규칙으로 피험자 수를 줄일 수 있는 방법이다.</p> <p>본 논문에서는 다양한 MTD 추정법을 비교하여 가장 효율적인 추정법을 찾는 것을 목표로 한다. 또한 앞으로 어떠한 방향으로 추정법을 개선해야 하는지에 대해 고찰하고자 한다.</p> <h1>2. 방법</h1> <h2>2.1. NaMi (NM)방법</h2> <p>Lee와 Kim 이 제안한 NM 방법은 처음에 1명의 피험자에게 투약하여 독성이 반응할 때까지 복용량을 증가시킨다. 이것은 DM방법과 동일한 증량 방법이고 이로 인해 낮은 용량에서 빠르게 용량을 증가시킬 수 있다. 여기서 독성 반응이 나타나면 2 명의 피험자를 추가하여 총 3명 중 3명에게 독성 반응이 나타나면 실험을 중단하고 한 단계 낮은 용량을 MTD로 결정한다. 만약 3명 중 1명에게만 독성 반응이 있으면 SM3방법으로 MTD를 정한다. 3명 중 2명에게 독성 반응이 나타날 경우 다른 3명의 피험자를 추가한 뒤에 총 6명 중 3명 이상이 독성 반응을 보이면 한 단계 낮은 용량을 MTD로 한다. 반대로 6명 중 2명에게 독성 반응이 있으면 SM3 방법으로 MTD를 결정하게 된다.</p> <p>여기서 SM3 방법은 3명의 피험자에게 투약하여 2명이 독성 반응을 보이면 한 단계 낮은 용량으로 MTD 를 정하고, 독성 반응을 보이는 피험자가 없으면 용량을 한 단계 높여서 실험을 다시 진행한다. 만약 3명 중 1명이 독성 반응을 보이면 같은 복용량에 3명을 추가하고 총 6명 중 2명 이상에게 독성 반응이 있으면 실험을 중단한다. 여기서 6명 중 1명만 독성 반응이 있으면 다음 단계의 복용량으로 실험을 다시 시작한다. Figure 1 에서 NM 방법을 그림으로 표현하였다.</p> <h2>2.2. Rim방법</h2> <p>Kim과 Kim의 Rim 방법은 처음에 1명의 피험자에게 투약하여 독성 반응이 없으면 biased coin design으로 다음 피험자의 용량을 정한다. Rim 방법에서는 배정비를 2/3로 정하였는데 이것은 Efron이 사용한 확률과 동일하다.</p> <p>Figure 2의 실험 방법은 처음에 1명의 피험자에게 투약하여 독성 반응이 없으면 $ 2 / 3 $ 의 확률로 다음 피험자 에게 한 단계 높은 용량을 사용하고, $ 1 / 3 $ 의 확률로 다음 피험자에게 동일한 용량을 사용한다. 동일한 복용량을 사용한 경우 피험자에게 독성 반응이 없으면 다음 단계의 용량으로 실험을 다시 하고 독성 반응이 있으면 다른 피험자에게 동일한 용량을 투약한다. 그 후에 새로운 피험자에게 독성 반응이 없으면 한 단계 높은 용량으로 실험을 다시 진행하고 독성 반응이 있으면 실험을 중단하고 한 단계 낮은 용량을 MTD로 결정한다. 가장 처음 투약한 피험자가 독성 반응이 있으면 같은 용량에 두명의 피험자를 추가하여 총 3명 중 2명 이상이 독성 반응이 있으면 실험을 중단한다. 만약 3 명 중 1 명만 반응이 있으면 3 명의 피험자를 추가하여 총 6명 중 2명 이상이 독성 반응이 있을 경우 증량을 중단한다. 반대로 6명 중 1명만 반응이 있으면 한 단계 높은 용량으로 실험을 다시 시행한다.</p> <h1>3. 모의실험 계획 및 결과</h1> <p>본 논문에서는 SM3방법, NM방법, Rim방법, J3방법 그리고 BSM방법을 비교하기 위해 모의실험을 실시했다. Figure 5에 추정법들을 비교하기 위해 사용한 dose toxicity curves는 Park과 Ahn의 논문에서 사용한 곡선을 8단계 복용량 수준으로 수정하여 Lee와 Kim이 사용한 곡선을 이용했다.</p> <p>위 곡선들은 실제로 나타날 수 있는 독성 반응 확률을 기반으로 다양한 상황에서 실험이 가능하도록 만들어진 곡선이다. 각 복용량 수준에서 독성이 발생할 확률이 얼마인지를 나타내는데 곡선별로 확률의 증가 패턴을 다양하게 구성했다. Curve 1은 독성이 반응할 확률이 비교적 균일하게 증가하고 Curve 2 부터 Curve 6 은 확률이 낮다가 특정 용량 수준에서 급격하게 높아진다. Curve 7과 Curve 8은 첫 용량 수준부터 확률이 높고 균일하게 증가하는 패턴이다.</p> <p>모의실험을 실시할 때는 SAS의 RANBIN함수를 이용했고 각 용량 수준에서의 독성반응확률을 이용하여 이항분포의 난수를 생성하여 실험했다. 각 용량 수준에 $ n $ 명이 배정되고 확률이 $ p_ { i j } $ 일 경우 $ \operatorname { Bin } \left (n, p_ { i j } \right ) $ 를 사용하여 난수를 발생시켰다. 여기서 $ p_ { i j } $ 는 Figure 5 에서 제시한 Curve $ j(j = 1,2, \ldots, 8) $ 의 $ i(i=1,2, \ldots, 8) $ 번째 용량의 독성 확률을 의미한다. Biased coin design이 적용된 부분에서는 $ 2 / 3 $ 의 확률로 1 이 나오면 다음 피험자에게 한 단계 높은 용량을 투약하고 $ 1 / 3 $ 의 확률로 0 이 나올 경우 동일한 용량을 투약하도록 했다. 또한 모의실험의 목표독성확률은 $ 33 \% $ 로 정했고 10,000 번 반복 실험하였다.</p> <p>용량 수준에 따른 MTD 발생 비율과 피험자 수는 Table 1-Table 8에 정리하였다. 표에서 ' \%subject'는 각 용량별로 피험자가 배정된 비율이고 ‘ \%MTD'는 용량별로 MTD로 선택된 비율을 의미한다. 'None'은 MTD를 추정하지 못한 횟수인데 첫 단계의 용량에서 실험이 종료되거나 마지막 단계까지 실험이 종료되지 못한 경우 추정에 실패한 것으로 보았다. 'Average toxicity'는 독성 반응을 보인 피험자 수의 평균이고 'Average subject'는 한 번 실험하는데 필요한 피험자 수의 평균을 뜻한다.</p>	자연
s009-기초미적분학	<p>예제 3.6</p> <p>순환소수 $ 0.65252 \overline { 52 } $ 를 유리수로 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>$ 0.65252 \overline { 52 } =0.6 + 0.052 + 0.00052 + 0.0000052 + \cdots $ 에서 다음 합을 먼저 계산하자. \[ 0.052 + 0.00052 + 0.0000052 + \cdots \] 이 합은 $ a_ { 1 } =0.052, r=0.01 $ 인 무한등비급수이므로 \[ S= \frac { a } { 1-r } = \frac { 0.052 } { 1-0.01 } = \frac { 0.052 } { 0.99 } = \frac { 52 } { 990 } \] 따라서 \[ 0.6 + \frac { 52 } { 990 } = \frac { 6 } { 10 } + \frac { 52 } { 990 } = \frac { 646 } { 990 } = \frac { 323 } { 495 } \]</p> <p>예제 3.7</p> <p>다음 각 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>음이 아닌 정수 $ a, b, c, d, e, f $ 에 대하여 \[ 0 . \overline { a b c d e f } = \frac { a b c d e f } { 10 ^ { 6 } -1 } \] 임을 보여라.</li> <li>$ 0 . \overline { 153846 } $ 을 분수로 변환하라</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ x=0 . \overline { a b c d e f } $ 라 두면 \[ 10 ^ { 6 } x=a b c d e f \cdot \overline { a b c d e f } \] $ 10 ^ { 6 } x-x=a b c d e f $ 이므로 \[ x= \frac { a b c d e f } { 10 ^ { 6 } -1 } \]</li> <li>예제 (1)의 결과를 이용한다. \[ \begin {aligned} 0 . \overline { 153846 } &= \frac { 153846 } { 10 ^ { 6 } -1 } = \frac { 153846 } { 999999 } \\ &= \frac { 2 \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 7 \cdot 11 \cdot 37 } { 3 ^ { 3 } \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 } = \frac { 2 } { 13 } \end {aligned} \]</li></ol> <p>예제 3.8</p> <p>예로 \[ \begin {array} { l } \sum_ { k=1 } ^ { 10 } k=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10=55 \\ \sum_ { n=1 } ^ { 5 } \frac { n } { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 3 } { 4 } + \frac { 4 } { 5 } + \frac { 5 } { 6 } = \frac { 71 } { 20 } \\ \sum_ { x=1 } ^ { 4 } \sin (x \pi)= \sin ( \pi) + \sin (2 \pi) + \sin (3 \pi) + \sin (4 \pi)=0 \\ \sum_ { i=2 } ^ { 4 } \left (i ^ { 2 } + 2 \right )= \left (2 ^ { 2 } + 2 \right ) + \left (3 ^ { 2 } + 2 \right ) + \left (4 ^ { 2 } + 2 \right )=6 + 11 + 18=35 \end {array} \]</p> <p>예제 1.5</p> <p>다음 값을 계산하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { k=1 } ^ { 3 } 2 ^ { k } (k + 1) $</li> <li>$ \sum_ { i=2 } ^ { 4 } \left (i ^ { 2 } + 2 \right ) $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { k } =2 ^ { k } (k + 1) $ 이고 시그마 기호는 $ a_ { 1 } $ 에서 $ a_ { 3 } $ 까지 합하라는 것이다. \[ \begin {aligned} \sum_ { k=1 } ^ { 3 } 2 ^ { k } (k + 1) &=2 ^ { 1 } (1 + 1) + 2 ^ { 2 } (2 + 1) + 2 ^ { 3 } (3 + 1) \\ &=4 + 12 + 32=48 \end {aligned} \]</li> <li>어떠한 문자도 합의 인덱스로 사용할 수 있고, 문제는 $ i $ 가 2 부터 시작하고 있으므로 둘째항부터 넷째항까지 더하라는 것이다. \[ \begin {aligned} \sum_ { i=2 } ^ { 4 } \left (i ^ { 2 } + 2 \right ) &= \left (2 ^ { 2 } + 2 \right ) + \left (3 ^ { 2 } + 2 \right ) + \left (4 ^ { 2 } + 2 \right ) \\ =& 6 + 11 + 18=35 \end {aligned} \]</li></ol> <p>예제 1.6</p> <p>피타고라스 나무는 가지의 길이가 1 이 되면 두 갈래로 분기하고 길이가 $ 1 / 2 $ 이 되면 다시 분기하고 길이가 $ 1 / 4 $ 이 되면 다시 분기하는 과정을 무한히 시행하여 얻어진 나무이다. 다음 각 물음에 답하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>한 갈래의 총 길이를 구하라.</li> <li>다음 부등식을 만족하는 최초의 $ n $ 을 구하라. \[ \left \|1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n-1 } } -2 \right \|<0.00001 \]</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>한 갈래의 길이 $ (L) $ 는 \[ 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots \] 첫째항이 1 이고 공비가 $ 1 / 2 $ 인 무한 등비급수이므로 \[ L= \frac { 1 } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =2 \] 따라서 한 갈래의 총 길이는 2 이다.</li> <li>등비수열의 합이 \[ 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n-1 } } = \frac { 1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =2 \left (1- \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \right ) \] 이므로 \[ \left \|1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n-1 } } -2 \right \|= \frac { 1 } { 2 ^ { n-1 } }<10 ^ { -5 } \] 또는 \[ 2 ^ { n-1 } >\frac { 1 } { 10 ^ { -5 } } =10 ^ { 5 } \] 양변에 로그를 취하여 정리하면 \[ \begin {array} { l } \log _ { 10 } 2 ^ { n-1 } >\log _ { 10 } 10 ^ { 5 } \\ (n-1) \log _ { 10 } 2>5 \\ n>\frac { 5 } {\log _ { 10 } 2 } + 1=17.609 \ldots \end {array} \] $ n=18 $ 이므로 적어도 18 개 항을 더해야 한다.</li></ol> <p>예제 3.5</p> <p>다음 등식을 보여라. \[ S= \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 5 } } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots=1 \]</p> <p>풀이</p> <p>한 변의 길이가 1 인 정사각형을 그림 3.2 와 같이 분할하여 $ a_ { n } $ 을 $ n $ 째 분할된 영역의 넓이로 정의하자. 정사각형의 넓이 $ A=1 $ 이다. 수열 $ a_ { n } $ 을 차례로 나열하면 \[ \begin {array} { c } a_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \times A= \frac { 1 } { 2 } \\ a_ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } a_ { 1 } \Leftrightarrow a_ { 2 } = \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } \\ a_ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } a_ { 2 } \Leftrightarrow a_ { 3 } = \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } \\ \ldots \\ a_ { n } = \frac { 1 } { 2 } a_ { n-1 } \Leftrightarrow a_ { n } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \end {array} \] 무한급수 \[ a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } + \cdots= \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots \] 의 합은 1 이다. 따라서 $ S=1 $ 이다.</p> <p>이상의 논리를 무한등비급수(일반항이 등비수열인 급수)로 쉽게 일반화할 수 있다.</p> <p>$ \|r\|<1 $ 인 공비 $ r $ 을 갖는 무한등비급수의 합은 \[ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { 1 } r ^ { k } =a_ { 1 } + a_ { 1 } r + a_ { 1 } r ^ { 2 } + \cdots + a_ { 1 } r ^ { n } + \cdots= \frac { a_ { 1 } } { 1-r } \]</p> <p>무한등비급수의 합은 첫째항과 공비만 알면 구할 수 있다. 예를 들어 \[ \frac { 3 } { 2 } + 1 + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 4 } { 9 } + \cdots= \frac {\frac { 3 } { 2 } } { 1- \frac { 2 } { 3 } } = \frac { 9 } { 2 } \] 유리수는 유한 순환소수 또는 무한 순환소수로 변환할 수 있음을 잘 알고 있다. 예로, \[ \frac { 1 } { 3 } =0.33333 \cdots \] 무한등비급수를 이용하면 무한 순환소수를 다시 분수로 고칠 수 있다. 예로 \[ \begin {aligned} 0.33333 \cdots &=0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + \cdots \\ &=3 \left ( \frac { 1 } { 10 } + \frac { 1 } { 10 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 10 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 10 ^ { 4 } } + \cdots \right ) \\ &=3 \times \frac {\frac { 1 } { 10 } } { 1- \frac { 1 } { 10 } } =3 \times \frac { 1 } { 9 } = \frac { 1 } { 3 } \end {aligned} \] 순환소수를 무한급수를 이용하지 않고 다음처럼 간단하게 분수로 고칠 수도 있다. \[ x=0.333333 \cdots \] 으로 두면, \[ 10 x=3.33333 \cdots=3 + 0.33333 \cdots=3 + x \] $ x $ 에 대하여 풀면 \[ \begin {aligned} 10 x-x &=3 \\ 9 x &=3 \\ x &= \frac { 1 } { 3 } \end {aligned} \] 무한 순환소수의 반복되는 부분은 그 반복 위에 직선을 그어 표시한다. 예를 들어, \[ \begin {array} { l } \frac { 1 } { 3 } =0.33333333 \cdots=0 . \overline { 3 } \\ \frac { 1 } { 7 } =0.142857142857 \cdots=0 . \overline { 142857 } \\ \frac { 1 } { 11 } =0.09090909 \cdots=0 . \overline { 09 } \\ \frac { 1 } { 13 } =0.076923076923 \cdots=0 . \overline { 076923 } \end {array} \]</p> <h1>1 수열</h1> <p>수열이란 수들의 배열을 말한다. 예를 들어, \[ \begin {array} { l } 1,2,3,4,5, \cdots \\ 2,4,6,8,10, \cdots \\ 1,4,9,16,25, \cdots \\ 1,1,2,3,5,8, \cdots \end {array} \]</p> <p>위의 4 개의 수열은 단순한 수의 배열로 생각할 수도 있지만, 의미를 부여하면 특별해질 수 있다. 첫째 수열은 자연수의 순차적 나열이고, 둘째 수열은 짝수의 순차적 나열이고, 셋째 수열은 제곱수의 순차적 나열이고, 넷째 수열은 이전 두 수의 합을 나열한 것이라는 의미로도 생각할 수 있다. 더 나아가 제곱수로 나열된 수열은 한 변의 길이가 $ 1,2,3, \cdots $ 에 대응하는 정사각형의 넓이를 나열한 수열이라는 의미를 부여할 수 있고, 마지막 수열은 꽃잎의 수, 나뭇가지가 분기되는 수, 해바라기 씨의 배열, 솔방울의 배열 등에서 발견되며, 이 수열을 피보나치 수열이라 부른다.</p> <p>수열에서 맨 처음 위치에 나열한 수를 첫째항, 두 번째 위치에 나열한 수를 둘째항, $ n $ 번째 위치에 나열한 항을 $ n $ 번째항이라 한다. $ n $ 번째항을 일반항이라 부른다. 일반적으로 수열은 항의 나열 위치를 표시하기 위해 아래 첨자를 사용하여 \[ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } , a_ { 4 } , a_ { 5 } , \cdots, a_ { n } , \cdots \] 과 같이 표현한다. 예를 들어, \[ 1,4,9,16,25, \cdots \] 은 \[ a_ { 1 } = 1, a_ { 2 } =4, a_ { 3 } =9, a_ { 4 } =16, a_ { 5 } =25, \cdots, a_ { n } , \cdots \] 으로 표기한다. 여기서 중요한 것은 일반항 $ a_ { n } $ 에 대한 식을 발견해야 하는 것이다. 이를 위해 수열을 다음과 같이 고쳐 써보자. \[ a_ { 1 } =1 ^ { 2 } , a_ { 2 } =2 ^ { 2 } , a_ { 3 } =3 ^ { 2 } , a_ { 4 } =4 ^ { 2 } , a_ { 5 } =5 ^ { 2 } , \cdots \] 각 항이 제곱으로 되어 있다는 사실로부터 \[ a_ { n } =n ^ { 2 } \] 임을 유추할 수 있다.</p> <p>다음 수열의 일반항을 구하고, 100 번째항의 값을 구하라. \[ 2,4,6,8,10, \cdots \]</p> <p>풀이</p> <p>수열을 다시 표현하면 \[ 2 \times 1,2 \times 2,2 \times 3,2 \times 4,2 \times 5, \cdots \] 자연수의 배열에 2 를 곱한 것이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 일반항 \[ a_ { n } =2 n, n=1,2,3, \cdots \] 100 번째항은 $ a_ { 100 } $ 이므로 \[ a_ { 100 } =2 \times 100=200 \]</p> <p>예제 1.2에서 경험했듯이 수열의 일반항만 알 수 있다면, 수열을 손쉽게 활용할 수 있다.</p> <p>예제 1.3</p> <p>복리 연이율 $ 5 \% $ 를 지급하는 어떤 은행에 연초 1000 만원을 예금하였다고 하자. 10 년 후에 받을 수 있는 원리금을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>1 년 후에 찾는다면, 원리금은 \[ 1000 \text { 만원 } + 1000 \text { 만원 } \times 0.05=1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) \] 2 년 후에 찾는다면, 원리금은 1000 만원 $ (1 + 0.05) + 1000 $ 만원 $ (1 + 0.05) \times 0.05=1000 $ 만원 $ (1 + 0.05) ^ { 2 } $ 3 년 후에 찾는다면, 원리금은 \[ \begin {array} { l } 1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) ^ { 2 } + 1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) ^ { 2 } \times 0.05 \\ =1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) ^ { 3 } \end {array} \] 이러한 과정을 반복적으로 적용하면, $ n $ 년 후에 찾게 되는 원리금 $ a_ { n } $ 은 \[ a_ { n } =1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) ^ { n } \] 10 년 후에 받을 수 있는 원리금은 $ n=10 $ 을 $ a_ { n } $ 에 대입하여 구할 수 있다. 원리금은 \[ a_ { 10 } =1000 \text { 만원 } (1 + 0.05) ^ { 10 } =16,288,946 \text { 원 } \] 수열의 합의 개념을 설명한다.</p> <p>예제 1.4</p> <p>첫날은 1 원을 용돈으로 받고, 다음 날은 전날의 두 배를 용돈으로 받는다고 하자. $ n $ 째 날에 받을 용돈 $ a_ { n } $ 을 구하고, 30 일간 받은 용돈의 합을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } a_ { 1 } =1 \\ a_ { 2 } =2 a_ { 1 } =2(1)=2 \\ a_ { 3 } =2 a_ { 2 } =2(2)=2 ^ { 2 } \\ a_ { 4 } =2 a_ { 3 } =2 \left (2 ^ { 2 } \right )=2 ^ { 3 } \end {array} \] 과 같은 규칙으로부터 다음 식을 유추할 수 있다. \[ a_ { n } =2 ^ { n-1 } \] 30 일간 받은 용돈은 \[ \begin {aligned} a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { 30 } &=1 + 2 + 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 3 } + \cdots + 2 ^ { 29 } \\ &=1,073,741,823 \text { 원 } \end {aligned} \]</p> <p>수열의 합은 도형에서 길이, 넓이, 부피 등을 계산할 때도 필연적으로 나타난다. 예를 들어, 고구마의 부피를 계산해야 한다고 하자.</p> <p>고구마가 구형이든지, 또는 원통형이면 그 부피를 공식을 이용해 간단히 구할 수 있겠지만, 일반적으로 고구마는 구형도 원통형도 아니다. 고구마의 부피를 구하는 한 가지 방법은 고구마를 원통 조각으로 잘라서 조각들의 부피를 더하는 방법을 적용하는 것이다. 물론, 물이 담긴 원통형 비커에 고구마를 담궈 부피를 계산할 수도 있다. 이때 각 조각의 부피는 수열이 되고, 더한 것은 수열의 합이 된다. 이것이 정적분의 시초이다. 수열의 합은 자주 사용하므로 이를 시그마라는 기호를 도입하여 표기한다.</p> <p>수열의 첫째항부터 $ n $ 째항까지의 합은 시그마 기호를 사용하여 표현한다. \[ \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } \]</p> <p>예제 3.3</p> <p>어느 고을의 사또는 선행을 한 아이에게 상으로 첫째 날에 쌀 1 톨, 둘째 날은 2 톨, 셋째 날은 4 톨, 계속해서 전날의 2 배에 해당하는 쌀을 30 일 동안 주기로 했다. 아이가 30 일 동안 받을 쌀의 양을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>첫째항 $ a_ { 1 } =1 $, 공비 $ r=2 $ 인 등비수열을 따른다는 것은 쉽게 알 수 있다. 아이가 받을 쌀의 개수는 $ S_ { 30 } $ 이므로 $ a_ { 1 } =1, r=2, n=30 $ 을 \[ S_ { n } = \frac { a_ { 1 } \left (r ^ { n } -1 \right ) } { r-1 } \] 에 대입하면 \[ S_ { 30 } = \frac { 1 \left (1-2 ^ { 30 } \right ) } { 1-2 } =2 ^ { 30 } -1=1073741824-1=1073741823 \text { 톨 } \] 30 일 동안 받을 쌀의 개수는 $ 1,073,741,823 $ 톨이다. 쌀 $ 20 \mathrm { ~kg } $ 에는 약 972,400 톨이 들어 있다고 하므로(한번 계산해보라!) \[ \frac { 1,073,741,823 } { 972,400 } =1104.21 \cdots \] 약 $ 20 \mathrm { ~kg } $ 짜리 1104 포대를 포상으로 받게 된다.</p> <p>예제 3.4</p> <p>그림 $ 3.1 $ 과 같이 어떤 사람이 높이 $ 10 \mathrm { ~m } $ 에서 공을 낙하시켰다. 공은 본래 높이의 절반만큼 수직으로 되튀어 올라 다시 낙하한다. 11 번째 되튀어 올라온 공의 높이는 얼마인가? 더 나아가 공이 움직인 총 거리를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>첫째 높이는 $ a_ { 1 } =10 $, 공비 $ r=1 / 2 $ 인 등비수열이다. 참고로 수열을 나열해보자. \[ 10, \frac { 10 } { 2 } , \frac { 10 } { 4 } , \frac { 10 } { 8 } , \frac { 10 } { 16 } , \cdots \text { 또는 } 10, \frac { 10 } { 2 } , \frac { 10 } { 2 ^ { 2 } } , \frac { 10 } { 2 ^ { 3 } } , \frac { 10 } { 2 ^ { 4 } } , \cdots \] 구하는 값은 $ a_ { 10 } $ 이므로 $ a_ { 1 } =10, r=1 / 2, n=11 $ 을 $ a_ { n } =a_ { 1 } r ^ { n-1 } $ 에 대입하면 \[ a_ { 11 } =10 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 11-1 } =10 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 10 } =0.00977 \] 따라서 11 번째 되튀어 올라온 높이는 $ 0.00977 \mathrm { ~m } =0.977 \mathrm { ~cm } $ 이다. 공이 움직인 총 거리는 구하여보자. 먼저 움직인 총 거리는 \[ 10 + \left [ \frac { 10 } { 2 } + \frac { 10 } { 2 } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 2 } } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 3 } } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 4 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 4 } } \right ] + \cdots \] 이 문제에 답하기 위해 다음 무한급수의 값 $ S $ 를 알아야 한다. \[ S= \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots \] 예제 $ 3.5 $ 에서 $ S=1 $ 이므로 \[ \begin {aligned} 10 & + \left [ \frac { 10 } { 2 } + \frac { 10 } { 2 } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 2 } } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 3 } } \right ] + \left [ \frac { 10 } { 2 ^ { 4 } } + \frac { 10 } { 2 ^ { 4 } } \right ] + \cdots \\ &=10 + 2 \times 10 \times \left ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } } + \cdots \right ) \\ &=10 + 2 \times 10 \times S=30 \end {aligned} \] 따라서 공이 움직인 길이는 $ 30 \mathrm { ~m } $ 이다.</p> <p>$ a_ { 2 } =r a_ { 1 } $ $ a_ { 3 } =r a_ { 2 } =r \left (r a_ { 1 } \right )=r ^ { 2 } a_ { 1 } $ $ a_ { 4 } =r a_ { 3 } =r \left (r ^ { 2 } a_ { 1 } \right )=r ^ { 3 } a_ { 1 } $.. $a_ { n } =a_ { 1 } r ^ { n-1 } $</p> <p>이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>공비가 $ r $ 인 등비수열의 일반항 $ a_ { n } $ 은 \[ a_ { n } =a_ { 1 } r ^ { n-1 } \]</p> <p>예제 3.1</p> <p>등비수열 -4,-2,-1, ···의 일곱째항을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ a_ { n } / a_ { n-1 } =r $ 이므로 \[ r= \frac { a_ { n } } { a_ { n-1 } } = \frac { -1 } { -2 } = \frac { 1 } { 2 } \] $ a_ { 1 } =-4, r=1 / 2, n=7 $ 을 $ a_ { n } =a_ { 1 } r ^ { n-1 } $ 에 대입하면 $ a_ { 7 } =(-4) \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 7-1 } =(-4) \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 6 } =(-4) \left ( \frac { 1 } { 64 } \right )=- \frac { 1 } { 16 } $</p> <p>공비가 $ r $ 인 등비수열의 $ n $ 항까지의 합 $ S_ { n } $ 은 \[ S_ { n } = \frac { a_ { 1 } \left (r ^ { n } -1 \right ) } { r-1 } , r \neq 1 \]</p> <p>증명</p> <p>가우스의 아이디어를 사용하여 간단하게 증명할 수 있다.</p> <p>예제 2.3</p> <p>1 부터 1000 사이에 있는 홀수의 합을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ 1,3,5,7,9, \cdots, 999 $ 인 수열의 합을 구하면 된다. 첫째항은 1 , 마지막 항은 999 , 항수는 500 이므로 합은 \[ S_ { 500 } = \frac { 500(1 + 999) } { 2 } =250,000 \]</p> <h1>3 등비수열</h1> <p>원금 $ A $ 원을 복리식 이자가 $ r \% $ 인 은행에 연초에 예금하고 $ n $ 년 말에 찾는다고 할 때, 원리금 $ S_ { n } $ 은 \[ S_ { n } =A(1 + 0.01 r) ^ { n } \] 임을 알고 있다. $ S_ { n } $ 을 연도별로 나열하면 \[ A(1 + 0.01 r), A(1 + 0.01 r) ^ { 2 } , A(1 + 0.01 r) ^ { 3 } , A(1 + 0.01 r) ^ { 4 } , \cdots \] 인 수열이다. 연속한 항의 비를 계산하면 \[ \frac { A(1 + 0.01 r) } { A(1 + 0.01 r) ^ { 2 } } = \frac { A(1 + 0.01 r) ^ { 2 } } { A(1 + 0.01 r) ^ { 3 } } = \frac { A(1 + 0.01 r) ^ { 3 } } { A(1 + 0.01 r) ^ { 4 } } = \cdots=1 + 0.01 r \] 로 비가 일정하다. 이러한 수열을 등비수열이라 한다.</p> <p>모든 $ n $ 에 대하여 \[ \frac { a_ { n } } { a_ { n-1 } } =r \text { 또는 } a_ { n } =r a_ { n-1 } \] 을 만족하는 수열 $ a_ { n } $ 을 등비수열이라 하고, $ r $ 을 공비라 한다.</p> <p>등차수열과 마찬가지로 등비수열의 일반항을 $ a_ { 1 } , r $ 및 $ n $ 의 항으로 나타낼 수 있다.</p> <p>풀이</p> <p>시그마의 성질을 이용하면 \[ \begin {aligned} \sum_ { k=1 } ^ { 10 } \left (2 a_ { k } + \frac { 2 } { 3 } b_ { k } \right ) &=2 \sum_ { k=1 } ^ { 10 } a_ { k } + \frac { 2 } { 3 } \sum_ { k=1 } ^ { 10 } b_ { k } \\ &=2(20) + \frac { 2 } { 3 } (24)=40 + 16 \\ &=56 \end {aligned} \]</p> <p>합을 계산할 때 식의 변형 또는 함수의 성질에 대한 통찰이 필요하다.</p> <p>예제 1.8</p> <p>다음 합을 계산하라. \[ \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { k(k + 1) } \]</p> <p>풀이</p> <p>일반항 $ a_ { k } = \frac { 1 } { k(k + 1) } $ 을 부분분수 \[ a_ { k } = \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k + 1 } \] 로 고친 다음 합을 계산한다. \[ \begin {aligned} \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { k(k + 1) } =& \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k + 1 } \right ) \\ =& \left ( \frac { 1 } { 1 } - \frac { y } { 2 } \right ) + \left ( \frac { y } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { y } { 4 } \right ) + \cdots \\ & + \left ( \frac { 1 } {\not 2 } - \frac { 1 } { n } \right ) + \left ( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right ) \\ =& 1- \frac { 1 } { n + 1 } \end {aligned} \]</p> <p>예제 $ 3.5 $ 의 결과를 다시 분석해보자. 무한급수에서 $ n $ 째항까지의 합(부분합이라고 함)을 \[ S_ { n } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \] 로 두자. 그러면 "항의 수 $ n $ 을 무한히 늘려서 가면 $ S_ { n } $ 은 $ S $ 로 접근해 간다." 이것을 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } =S \] 로 표시하고 $ S $ 는 $ S_ { n } $ 의 극한이다" 라고 한다.</p> <p>이제, 이러한 결과를 좀 더 확실하게 입증해보자.</p> <p>수열 $ a_ { n } $ 은 $ a_ { 1 } =1 / 2, r=1 / 2 $ 인 등비수열이기 때문에 합 $ S_ { n } $ 을 직접 구할 수 있다. \[ S_ { n } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \] 계산의 중간 부분을 지우고 간략하게 쓰면 \[ S_ { n } =1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \] $ n $ 이 무한히 커질 때 $ (1 / 2) ^ { n } $ 이 어디로 접근하는지만 알면 $ S $ 를 구할 수 있다.</p> <p>지수함수 $ y=(1 / 2) ^ { x } $ 의 수평점근선은 $ y=0 $ 이므로 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } =0 \] 따라서 $ S=1 $ 이다.</p> <p>예제 2.1</p> <p>자연수는 첫째항이 1 이고, 공차가 1 인 등차수열이므로 일반항은 \[ a_ { n } =n \] 이고, 자연수 가운에 홀수의 나열은 첫째항이 1 이고 공차가 2 인 등차수열이므로 일반항은 \[ a_ { n } =1 + (n-1) 2=2 n-1 \] 자연수 가운데 3 으로 나누어 나머지가 1 이 되는 수열은 \[ 1,4,7,10, \cdots \] 즉, 첫째항이 1 이고, 공차가 3 인 등차수열이므로 일반항은 \[ a_ { n } =1 + (n-1) 3=3 n-2 \]</p> <p>예제 2.2</p> <p>첫째항이 3 이고 공차가 4 인 등차수열의 101 째항의 값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ a_ { 1 } =3, d=4 $ 및 $ n=101 $ 을 등차수열의 일반항 공식에 대입하면 \[ a_ { 101 } =3 + (101-1) \times 4=403 \]</p> <p>인류사에서 3 대 수학자 가운데 한 사람인 가우스에 대한 유명한 일화가 있다. 가우스가 초등학교를 다니던 때, 담임선생님이 약간의 휴식 시간을 갖기 위해 아이들에게 1 부터 100 까지 더하라는 문제를 제시했다. 문제가 제시되자마자 가우스는 5050 이라는 답을 하여 선생넘에게 휴식시간을 제공하지 않았다고 한다. 가우스가 사용한 계산법은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { lr } S=1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 100 & \checkmark \text { 차례로 더함 } \\ S=100 + 99 + 98 + 97 + \cdots + 1 & \checkmark \text { 거꾸로 더함 } \\ 2 S=101 + 101 + 101 + \cdots + 101 & \checkmark \text { 세로로 더함 } \\ 2 S=101 \times 100 & \checkmark 101 \text { 이 } 100 \text { 개 } \\ S=101 \times 50=5050 & \checkmark 2 \text { 로 나눔 } \end {array} $</p> <p>공차가 $ d $ 인 등차수열의 $ n $ 항까지의 합 $ S_ { n } $ 은 \[ S_ { n } = \frac { n } { 2 } \left [2 a_ { 1 } + (n-1) d \right ] \] 특히, $ a_ { n } =l $ 인 경우 \[ S_ { n } = \frac { n \left (a_ { 1 } + l \right ) } { 2 } \]</p> <p>예제 1.9</p> <p>다음 합을 계산하라. \[ \sum_ { n=1 } ^ { 29 } \log \frac { n } { n + 1 } \]</p> <p>풀이</p> <p>일반항 $ a_ { n } = \log \frac { n } { n + 1 } $ 을 로그의 성질을 이용하여 \[ a_ { n } = \log n- \log (n + 1) \] 로 고친 다음 합을 계산한다. \[ \begin {aligned} \sum_ { n=1 } ^ { 99 } \log \frac { n } { n + 1 } =& \sum_ { n=1 } ^ { 99 } [ \log n- \log (n + 1)] \\ =&( \log 1- \log 2) + ( \log 2- \log 3) + \log (3- \log 4) \\ & \quad + \cdots + ( \log 99- \log 100) \\ =& \log 1- \log 100=-2 \end {aligned} \]</p> <h1>2 등차수열</h1> <p>우리는 다양한 수열을 만날 수 있고, 동시에 인위적으로 수열을 만들 수도 있다. 어떤 경우이건 일반항을 알아야만 수열을 편리하게 사용할 수 있다.</p> <p>먼저 각 항의 차가 일정한 수열인 등차수열에 대해 설명한다.</p> <p>모든 $ n $ 에 대하여 \[ a_ { n } -a_ { n-1 } =d \text { 또는 } a_ { n } =a_ { n-1 } + d \] 를 만족하는 수열 $ a_ { n } $ 을 등차수열이라 하고, 일정한 수 $ d $ 를 공차라 한다.</p> <p>예로, 수열 \[ 3,5,7,9, \cdots \] 에서 연속한 항의 차는 \[ 5-3=7-5=9-7= \cdots=2 \] 이므로 주어진 수열은 공차가 2 인 등차수열이다.</p> <p>등차수열인 경우 첫째항과 공차만 알고 있으면 일반항을 찾을 수 있다.</p> <p>공차가 $ d $ 인 등차수열의 일반항 $ a_ { n } $ 은 \[ a_ { n } =a_ { 1 } + (n-1) d \]</p> <p>증명</p> <p>$ a_ { 2 } =a_ { 1 } + d $ $ a_ { 3 } =a_ { 2 } + d= \left (a_ { 1 } + d \right ) + d=a_ { 1 } + 2 d $ $ a_ { 4 } =a_ { 3 } + d= \left (a_ { 1 } + 2 d \right ) + d=a_ { 1 } + 3 d $ $ a_ { n } =a_ { 1 } + (n-1) d $</p>	자연
m604-(사범대생을 위한) 확률과 통계	<p>참고 조건부확률 $ P(B \mid A) $는 사건 $ A $를 새로운 표본공간으로 생각하였을 때, 사건 $ A \cap B $가 발생할 확률이다.</p> <p>앞에서 정리한 확률의 기본 성질은 조건부확률에 대해서도 성립한다. 조건부확률에 대한 기본 성질을 알아보자.</p> <p>정리 10 조건부확률의 기본 성질 표본공간 $ S $의 세 사건 $ A, B, C $에 대하여, 다음이 성립한다. (단, $ P(A) \neq 0 $, $ P(C) \neq 0 $ )</p> <ol type=1 start=1><li>$ 0 \leq P(B \mid A) \leq 1 $</li> <li>$ P(S \mid A)=1 $</li> <li>$ P(\phi \mid A)=0 $</li> <li>$ P\left(B^{c} \mid A\right)=1-P(B \mid A) $</li> <li>$ P((A \cup B) \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C)-P((A \cap B) \mid C) $</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건이면 $ P((A \cup B) \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C) $ 이다.</li> <li>$ n $개의 사건 $ B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} $이 상호배반사건이면 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i} \mid A\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i} \mid A\right) $ 이다.</li></ol> <p>증명 (1) 사건 $ A $가 일어났을 때의 사건 $ B $의 조건부확률은 $ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $이므로 각 사건의 범위를 구하면 $ 0 \leq P(A \cap B) \leq 1 $이고 $ 0<P(A) \leq 1 $이다. 그러므로 두 부등식을 서로 나누면 위의 부등식은 \[ 0 \leq \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \leq 1 \] 이다. 따라서 구하는 확률은 \[ 0 \leq P(B \mid A) \leq 1 \]이다.</p> <p>(2) 조건부확률의 정의에 의하여 주어진 확률 $ P(S \mid A) $은 $ P(S \mid A)=\frac{P(S \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)} $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(S \mid A)=1 \]이다.</p> <p>(3) 조건부확률의 정의에 의하여 주어진 확률 $ P(\phi \mid A) $은 $ P(\phi \mid A)=\frac{P(\phi \cap A)}{P(A)}=\frac{P(\phi)}{P(A)} =\frac{0}{P(A)} $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(\phi \mid A)=0 \] 이다.</p> <p>(4) 조건부확률의 정의에 의하여 주어진 확률 $ P\left(B^{c} \mid A\right) $은 $ P\left(B^{c} \mid A\right)=\frac{P\left(A \cap B^{c}\right)}{P(A)} $이다. 여기서 곱사건의 성질에 의하여 우변의 곱사건은 \[ \frac{P\left(A \cap B^{c}\right)}{P(A)}=\frac{P(A)-P(A \cap B)}{P(A)}=1-\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=1-P(B \mid A) \] 이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P\left(B^{c} \mid A\right)=1-P(B \mid A) \] 이다.</p> <p>(5) 조건부확률의 정의와 집합의 분배법칙에 의하여 주어진 확률 $ P((A \cup B) \mid C) $은 \[ P((A \cup B) \mid C)=\frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)}=\frac{P((A \cap C) \cup(B \cap C))}{P(C)} \] 이다. 여기서 합사건의 정의에 의하여 우변은 \[ \frac{P((A \cap C) \cup(B \cap C))}{P(C)}=\frac{P(A \cap C)+P(B \cap C)-P(A \cap B \cap C)}{P(C)} \] 이고 우변의 항을 분리하면 각각 조건부확률의 정의에 맞는다. 따라서 구하는 확률은 \[ P((A \cup B) \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C)-P((A \cap B) \mid C) \] 이다.</p> <p>6) (5)와 마찬가지이나 두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건이므로 상호배반사건에 대한 합사건의 정의에 의하여 주어진 확률 $ P((A \cup B) \mid C) $은 \[ P((A \cup B) \mid C)=\frac{P((A \cap C) \cup(B \cap C))}{P(C)}=\frac{P(A \cap C)+P(B \cap C)}{P(C)} \]이고 우변의 항을 분리하면 각각 조건부확률의 정의에 맞는다. 따라서 구하는 확률은 \[ P((A \cup B) \mid C)=P(A \mid C)+P(B \mid C) \]이다.</p> <p>(7) 조건부확률의 정의에 의하여 주어진 확률 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i} \mid A\right) $은 \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}\right) \cap A\right)}{P(A)}=\frac{P\left(\bigcup_{i=1}^{n}\left(B_{i} \cap A\right)\right)}{P(A)}\]이다. $ n $개의 사건 $ B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} $은 상호배반사건이므로 $ \left(A \cap B_{1}\right),\left(A \cap B_{2}\right), \cdots $, $ \left(A \cap B_{n}\right) $도 상호배반사건이다. 따라서 합의 법칙에 의하여 구하는 확률은\[P\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(\bigcup_{i=1}^{n}\left(B_{i} \cap A\right)\right)}{P(A)}=\sum_{i=1}^{n} \frac{P\left(A \cap B_{i}\right)}{P(A)}=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i} \mid A\right)\]이다.</p> <h1>1.2 확률의 계산</h1> <h2>1.2.1 확률의 기본 정리</h2> <p>앞에서 정리한 확률을 구하는 기본적인 성질들과 더불어 여러 가지 상황이 다양하게 제시된 사건의 확률을 구하는 여러 가지 방법에 대하여 알아보자.</p> <p>참고 곱의 법칙(multiplication principle) 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 사건 $ A $의 경우의 수가 $ n(A) $이고 사건 $ B $의 경우의 수가 $ n(B) $라고 하자. 두 사건 $ A $와 $ B $가 동시에 발생할 경우의 수는 \[ n(A \cap B)=n(A) \times n(B) \] 이다.</p> <p>예제22 어떤 분식점의 메뉴에 다섯 가지 종류의 김밥과 네 가지 종류의 라면이 있다. 이 중에서 각 메뉴별로 한 가지씩 주문한다고 할 때, 선택할 수 있는 경우의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 김밥의 종류를 선택할 수 있는 경우의 수는 다섯 가지이고 라면의 종류를 선택할 수 있는 경우의 수는 네 가지이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 5 \times 4=20 \text { (가지 }) \] 이다.</p> <p>곱의 법칙은 세 개 이상의 사건에 대해서도 성립한다. 즉, $ m $ 개의 사건 $ A_{1}, A_{2} , \cdots, A_{m} $이 동시에 일어날 수 있는 경우의 수는 \[ n\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{m}\right)=n\left(A_{1}\right) \times n\left(A_{2}\right) \times \cdots \times n\left(A_{m}\right) \] 이다.</p> <p>예제23 아래의 지도에 빨강, 파랑, 노랑, 주황의 네 가지 물감을 사용하여 각 영역을 구분하여 색칠하려고 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>같은 색을 두 번 이상 사용하지 않을 때, 색칠할 수 있는 경우의 수를 구하시오.</li> <li>한 가지 색을 여러 번 사용할 때, 색칠할 수 있는 경우의 수를 구하시오.</li></ol> <p>풀이 (1) A영역에 착색 가능한 수는 4가지, B영역에 착색 가능한 수는 A}에 착색한 색을 제외한 3가지, C영역에 착색 가능한 수는 A와 B에 착색한 색을 제외한 2가지이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 4 \times 3 \times 2=24(\text { 가지 }) \] 이다.</p> <p>(2) A영역에 착색 가능한 수는 4가지, B영역에 착색 가능한 수는 A}에 착색한 색을 제외한 3가지, C영역에 착색 가능한 수는 B에 착색한 색을 제외하고 A에 착색한 색을 재사용할 수 있으므로 3가지이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 4 \times 3 \times 3=36 \text { (가지 }) \] 이다.</p> <p>예제24 2520의 양의 약수의 개수를 구하시오.</p> <p>풀이 약수를 구하기 위하여 2520을 소인수분해하면 $ 2520=2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7 $이다. 그러므로 2520의 양의 약수는 $ 2^{a} \times 3^{b} \times 5^{c} \times 7^{d} $ (단, $ a=0,1,2,3, b=0,1,2, c=0,1, d=0,1 $)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때, $ a, b, c, d $가 될 수 있는 경우의 수는 각각 4, 3, 2, 2이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 4 \times 3 \times 2 \times 2=48 \text { (개) } \] 이다.</p> <h1>1.3 조건부확률</h1> <h2>1.3.1 조건부확률의 뜻과 성질</h2> <p>한 개의 주사위를 던지는 시행을 생각하자. 이때, 홀수의 눈이 나올 확률은 $ \frac{1}{2} $이다. 그러나 주사위의 눈의 수가 4 이상이라는 조건에서는 홀수의 눈이 나올 확률은 $ \frac{1}{2} $이 아니다. 왜냐하면 눈의 수가 4 이상이라는 조건에서는 표본공간이 $ \{1,2,3,4,5,6\} $ 이 아니라 $ \{4,5,6\} $이기 때문이다. 여기서는 홀수의 눈이 나올 경우가 $ \{5\} $ 뿐이므로 확률은 $ \frac{1}{3} $이다. 이와 같이 사건 $ A $의 확률이 다른 사건 $ B $의 발생 여부에 영향을 받게 되는 경우에 대한 확률을 조건부확률이라고 한다.</p> <p>정의 19 조건부확률 확률이 0이 아닌 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 사건 $ A $가 발생했다는 조건 아래 사건 $ B $가 발생할 확률을 사건 $ A $가 일어났을 때의 사건 $ B $의 조건부확률(conditional probability)이라고 한다.<p>기호</p> <p>◦사건 $ A $ 가 일어났을 때의 사건 $ B $ 의 조건부확률 ☞ $ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $</p></p> <p>예제42 두 기계 $ M $과 $ N $을 이용하여 제품을 생산하는 어떤 공장이 있다. 이 공장의 제품 중에서 $ M $기계에서 생산한 불량품은 $ 9 \% $이고 $ N $기계에서 생산한 불량품은 $ 5 \% $라고 한다. 불량품 중에서 한 개를 선택할 때, 이 제품이 $ N $기계의 제품일 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 불량품인 사건을 $ A $, $ N $기계에서 생산된 제품인 사건을 $ B $라 하자. 이때, 확률의 덧셈정리에 의하여 $ P(A)=0.09+0.05=0.14 $이고 $ P(A \cap B)=0.05 $이다. 따라서 조건부확률의 정의에 의하여 구하는 확률은 \[ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{0.05}{0.14}=\frac{5}{14} \] 이다.</p> <p>예제43어떤 회사의 주가가 금요일에 상승할 확률은 0.7이다. 그리고 금요일에 상승하고 그다음 주 월요일에 상승할 확률은 0.3이라고 한다. 어떤 특정한 금요일에 그 회사의 주가가 올랐다는 조건 아래에서 그 다음주 월요일에 다시 주가가 상승할 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 금요일에 주가가 상승할 사건을 $ A $, 그 다음주 월요일에 주가가 상승할 사건을 $ B $라 하면 $ P(A)=0.7 $이고 $ P(A \cap B)=0.3 $이다. 따라서 조건부확률의 정의에 의하여 구하는 확률은 \[ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{0.3}{0.7}=\frac{3}{7} \] 이다.</p> <p>예제44 어떤 공장에서 생산한 전구를 1000시간 이상 사용할 확률은 0.8이고 350시간 이상 사용할 확률은 0.32라고 한다. 이 공장에서 생산한 전구를 1000 시간 이상 사용했다는 조건 아래에서 350시간 이상을 사용할 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 전구의 수명이 1000시간 이상일 사건을 $ A$, 350시간 이상일 사건을 $ B $라 하면 $ A \cap B=B $이고 $ P(A)=0.8, P(B)=0.32 $이다. 따라서 조건부확률의 정의에 의하여 구하는 확률은 \[ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0.32}{0.8}=\frac{2}{5} \] 이다.</p> <p>참고 조합의 수 사이의 관계식</p> <ol type=1 start=1><li>$ { }_{n} C_{r}={ }_{n} C_{n-r}( $ 단, $ n, r $ 은 정수, $ 0 \leq r \leq n) $</li> <li>$ { }_{n} C_{r}={ }_{n-1} C_{r}+{ }_{n-1} C_{r-1} $ (단, $ n, r $ 은 정수, $ \left.0 \leq r \leq n\right) $</li> <li>$ { }_{n} C_{n}=1 $</li> <li>$ { }_{n} C_{0}=1 $</li></ol> <p>예제 30 어떤 아이스크림 가게에는 31가지의 서로 다른 맛의 아이스크림이 있다. 이 중에서 3가지의 아이스크림을 골라서 한 컵에 담는다.</p> <ol type=1 start=1><li>3가지의 아이스크림이 서로 다른 맛일 경우의 수를 구하시오.</li> <li>딸기 맛 아이스크림을 반드시 포함할 경우의 수를 구하시오.</li></ol> <p>풀이 (1) 서로 다른 31가지에서 3가지를 택하는 조합의 수이다. 따라서 구하는 경우의 수는 \[ { }_{31} C_{3}=\frac{31 !}{3 ! \times 28 !}=4495(\text { 가지 }) \] 이다.</p> <p>(2) 한 가지 맛이 정해졌으므로 서로 다른 30가지에서 2가지를 택하는 조합의 수이다. 따라서 구하는 경우의 수는 \[ { }_{30} C_{2}=\frac{30 !}{2 ! \times 28 !}=435 \text { (가지 }) \] 이다.</p> <p>예제31 어떤 DVD 대여점에 9개의 DVD가 새로 들어왔다. 4명의 손님이 새로 들어온 DVD 9개를 2개, 2개, 2개, 3개씩 빌려가는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 9개를 2개, 2개, 2 개, 3개씩 선택하여 네 묶음으로 나누는 방법의 수는 $ { }_{9} C_{2} \times{ }_{7} C_{2} \times{ }_{5} C_{2} \times{ }_{3} C_{3} \times \frac{1}{3 !} $ 가지이다. 그리고 네 묶음을 4명의 손님에게 나누어주는 방법의 수는 $ 4 ! $가지이다. 따라서 구하는 방법의 수는 \[ { }_{9} C_{2} \times{ }_{7} C_{2} \times{ }_{5} C_{2} \times{ }_{3} C_{3} \times \frac{1}{3 !} \times 4 !=30240 \text { (가지) } \] 이다.</p> <p>예제32 흰 공 4개와 검은 공 3개가 들어 있는 상자에서 2개의 공을 꺼낼 때, 같은 색의 공을 꺼낼 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 흰 공만을 꺼내는 사건을 $ A $, 검은 공만을 꺼내는 사건을 $ B $라 하면 각 사건의 확률은 $ P(A)=\frac{{ }_{4} C_{2}}{{ }_{7} C_{2}}=\frac{2}{7}, P(B)=\frac{{ }_{3} C_{2}}{{ }_{7} C_{2}}=\frac{1}{7} $ 이다. 그리고 두 사건 $ A $와 $ B $는 상호배반사건이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\frac{2}{7}+\frac{1}{7}=\frac{3}{7} \] 이다.</p> <p>예제33 소정이의 메신저 일촌 그룹에는 가족 2명, 친구 10명, 직장동료 5명이 등록되어 있다. 임의로 3명의 일촌에게 쪽지를 보낼 때, 가족의 일촌 한 명 이상이 쪽지를 받을 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 쪽지를 받는 사람 중에서 가족의 일촌이 한 명 이상 포함되는 사건을 $ A $라 하면 사건 $ A $의 여사건 $ A^{c} $은 가족의 일촌이 포함되지 않는 사건이다. 그러므로 여사건 $ A^{c} $의 확률은 $ P\left(A^{c}\right)=\frac{{ }_{15} C_{3}}{{ }_{17} C_{3}}=\frac{91}{136} $이다. 따라서 여사건의 성질에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A)=1-P\left(A^{c}\right)=1-\frac{91}{136}=\frac{45}{136} \]이다.</p> <p>정의 4 빈도와 상대빈도 어떤 사건을 구성하는 표본점들의 개수를 빈도(또는 도수, frequency)라 하고, 표본공간의 빈도에 대한 그 사건의 빈도의 비를 상대빈도(또는 상대도수, relative of frequency)라고 한다.<p>기호</p> <ul> <li>사건 $ A $ 의 빈도 $ n(A) $ 또는 $ \|A\| $</li> <li>사건 $ A $ 의 상대빈도 $ \frac{n(A)}{n(S)} $ 또는 $ \frac{\|A\|}{\|S\|} $</li></ul></p> <p>예를 들어, 한 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나오는 사건을 사건 $ A $라 정의할 때, 사건 $ A $의 빈도는 $ n(A)=1 $이고 표본공간의 빈도는 $ n(S)=2 $이므로 사건 $ A $의 상대빈도는 $ \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{2} $이다. 또 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 사건 $ B $라 정의할 때, 사건 $ B $의 빈도는 $ n(B)=2 $이고 표본공간의 빈도는 $ n(S)=6 $이므로 사건 $ B $의 상대빈도는 $ \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{1}{3} $이다.</p> <p>정의 5 전사건과 공사건 반드시 일어나는 사건, 즉 어떤 시행에서 표본공간 전체를 전사건(sure event)이라 하고, 절대로 일어나지 않는 사건, 즉 어떤 시행에서 한 가지의 결과도 발생하지 않은 사건을 공사건(impossible event) 이라고 한다.<p>기호</p> <ul> <li>전사건 ⭢ $ S $ 또는 $ \Omega $</li> <li>공사건 ⭢ $ \phi $</li></ul></p> <p>예를 들어, 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 8의 눈이 나올 사건은 공사건이다.</p> <p>정의 6 여사건 어떤 시행에서 발생한 사건에 대하여, 그 사건에 포함되지 않은 결과들을 갖는 사건을 여사건(complement event)이라고 한다.<p>기호</p> <p>◦ 사건 $ A $의 여사건 ⭢ $ A^{c} $</p></p> <p>예를 들어, 한 개의 동전을 던지는 시행에서 앞면이 나올 사건을 사건 $ A $라 정의할 때, 사건 $ A $의 여사건은 $ A^{c}=\{ $ 뒷면 $ \} $이다. 또 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 사건 $ B $라 정의할 때, 사건 $ B $의 여사건은 $ B^{c}= \{1,2,4,5\} $ 이다.</p> <p>정의 7 합사건과 곱사건 어떤 시행에서 발생한 두 사건을 $ A $와 $ B $라 할 때, $ A $ 또는 $ B $가 발생하는 사건을 합사건(union event)이라 하고, $ A $와 $ B $가 동시에 발생하는 사건을 곱사건(product event)이라고 한다.<p>기호</p> <ul> <li>두 사건 $ A $와 $ B $의 합사건 ⭢ $ A \cup B $</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $의 곱사건 ⭢ $ A \cap B $</li></ul></p> <p>예를 들어, 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 짝수의 눈이 나올 사건을 $ A $라 하고 3의 배수의 눈이 나올 사건을 $ B $라고 하자. 이때, 표본공간은 $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $ 이고 사건 $ A $는 $ A=\{2,4,6\} $, 사건 $ B $는 $ B=\{3,6\} $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $의 합사건은 $ A \cup B=\{2,3,4,6\} $이고, 두 사건 $ A $와 $ B $의 곱사건은 $ A \cap B=\{6\} $이다.</p> <p>두 사건 $ A $와 $ B $가 독립이면 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>정리 14 확률의 곱셈정리 Ⅱ 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \text { (단, } P(A)>0, P(B)>0 \text { ) } \] 이다.</p> <p>증명 두 사건 $ A $ 와 $ B $ 가 서로 독립이면 $ P(B \mid A)=P(B) $ 이고 조건부확률의 정의는 $ P(B \mid A) =\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $이므로 두 식의 우변을 비교한 등식은 $ P(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $이다. 즉 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이면 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $이다. 역으로 가정 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $를 변형하면 $ \frac{P(A \cap B)}{P(A)}=P(B) $이다. 여기서 조건부확률의 정의에 의하여 좌변은 $ \frac{P(A \cap B)}{P(A)}=P(B \mid A) $이므로 두 식의 우변을 비교한 등식은 \[ P(B \mid A)=P(B) \]이다. 그러므로 독립의 정의에 의하여 두 사건 $ A $와 $ B $는 서로 독립이다. 따라서 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $이면 두 사건 $ A $와 $ B $는 서로 독립이다.</p> <p>참고 두 사건 $ A $와 $ B $의 독립과 종속</p> <ol type=1 start=1><li>독립이면 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $ 이다.</li> <li>종속이면 $ P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) $ 이다.</li></ol> <p>정리 15 독립사건의 성질 Ⅰ 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P(A)=0 $ 또는 $ P(B)=0 $일 때, 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립사건이다.</li> <li>$ P(A)>0, P(B)>0, A $와 $ B $가 상호배반사건일 때, 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립사건이 아니다.</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $가 독립사건이면 $ P(A \mid B)=P(A) $ 또는 $ P(B \mid A)=P(B) $이다.</li></ol> <p>증명 (1) $ P(A)=0 $ 또는 $ P(B)=0 $이면 $ A=\phi $ 또는 $ B=\phi $이므로 $ A \cap B=\phi $ 이고 $ P(A \cap B) =0 $이다. 또한 $ P(A) \cdot P(B)=0 $이므로 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=0 $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립사건이다.</p> <p>(2) $ P(A)>0 $이고 $ P(B)>0 $이므로 $ P(A) \cdot P(B)>0 $이다. 또한 두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건이므로 $ A \cap B=\phi $이고 $ P(A \cap B)=0 $이므로 $ P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) $ 이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립사건이 아니다.</p> <p>(3) 두 사건 $ A $와 $ B $의 조건부확률은 $ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ 또는 $ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} $이고 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립사건이므로 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $이다. 그러므로 위의 조건부확률은 각각 $ P(B \mid A)=\frac{P(A) \cdot P(B)}{P(A)}=P(B) $ 또는 $ P(A \mid B)= $ $ \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}=P(A) $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $의 조건부확률은 \[ P(A \mid B)=P(A) \text { 또는 } P(B \mid A)=P(B) \] 이다.</p> <p>예제53 두 명의 농구 선수가 한 번의 자유투에서 공을 넣을 확률은 각각 0.8, 0.7이다. 다음을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>두 명의 선수가 모두 공을 넣을 확률</li> <li>둘 중 한 명의 선수가 공을 넣을 확률</li></ol> <p>풀이 두 명의 농구 선수가 한 번의 자유투에서 공을 넣을 사건을 각각 $ A, B $라 하자.</p> <p>(1) 두 명의 농구 선수가 서로의 결과에 영향을 받지 않으므로 사긴 $ A $와 $ B $는 서로 독립이다. 따라서 확률의 곱셈정리 Ⅱ에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=0.8 \times 0.7=0.56 \] 이다.</p> <p>(2) 둘 중 한 명의 선수가 공을 넣으므로 구하는 확률은 두 사건의 합사건의 확률 $ P(A \cup B) $이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0.8+0.7-0.56=0.94 \]이다.</p> <p>예제54 서울지역의 60대 이상의 남성 중 $ 60 \% $는 고혈압, $ 20 \% $는 고지혈증, $ 70 \% $는 고혈압 또는 고지혈증의 증세가 있다고 한다. 고혈압과 고지혈증은 독립인지 구하시오.</p> <p>풀이 고혈압인 사건을 $ A $, 고지혈증인 사건을 $ B $라 하면 $ P(A)=0.6, P(B)=0.2, P(A \cup B) =0.7 $이다. 확률의 덧셈정리의 변형에 의하여 두 사건의 곱사건은 $ P(A \cap B)=P(A) +P(B)-P(A \cup B) $이다. 그러므로 $ P(A \cap B)=0.6+0.2-0.7=0.1 $이다. 한편 $ P(A) \cdot P(B) =0.6 \times 0.2=0.12 $이다. 이때, 두 확률을 비교하면 \[ P(A \cap B)=0.1 \neq P(A) \cdot P(B)=0.12 \] 이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립이 아니다.</p> <p>참고 확률의 곱셈정리 Ⅱ는 세 개 이상의 사건에 대해서도 성립한다. 즉 서로 독립인 $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $에 대하여, $ P\left(A_{i}\right)>0 $일 때, \[ P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n}\right) \] 이다. (단, $ i=1,2, \cdots, n $ )</p> <p>예제55 어떤 중국집에서 손님이 탕수육을 주문할 확률은 0.5이고 탕수육을 주문한 사람이 자장면을 주문할 확률은 0.8이다. 손님의 $ 40 \% $가 음식을 배달시킬 때, 손님이 탕수육과 자장면을 주문하여 배달시킬 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 탕수육을 주문하는 사건을 $ A $, 자장면을 주문하는 사건을 $ B $, 음식을 배달시키는 사건을 $ C $라 하면 $ P(A)=0.5, P(B \mid A)=0.8, P(C)=0.4 $이다. 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 탕수육과 자장면을 주문할 확률은 \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=0.5 \times 0.8=0.4 \]이다. 그리고 사건 $ (A \cap B) $와 사건 $ C $는 서로 독립이다. 따라서 확률의 곱셈정리 Ⅱ에 의하여 구하는 확률은 \[ P((A \cap B) \cap C)=P(A \cap B) \cdot P(C)=0.4 \times 0.4=0.16 \] 이다.</p> <p>예제56 현준이는 작년 입시에서 $ A, B, C, D $대학교에 입학 원서를 제출하였다. $ A $, $ B, C $ 대학교에 합격할 확률이 각각 0.8, 0.6, 0.5이고 $ B $대학교에 합격했을 때, $ D $대학교에 합격할 확률이 0.9 라고 한다. 현준이가 네 개의 대학교에 모두 합격할 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 각각의 대학교에 합격하는 사건을 $ A, B, C, D $라 하면 $ P(A)=0.8, P(B)=0.6 $, $ P(C)=0.5, P(D \mid B)=0.9 $이다. 이때, 각 대학교에 합격하는 사건은 서로 독립이므로 $ P(D \mid B)=P(D) $이다. 그러므로 $ P(D)=0.9 $이다. 따라서 확률의 곱셈정리 Ⅱ의 확장에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cap B \cap C \cap D)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \cdot P(D)=0.8 \times 0.6 \times 0.5 \times 0.9=0.216 \] 이다.</p> <p>정리 12 전확률의 법칙(total pbobability rule) $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $이 표본공간 $ S $의 분할일 때, 사건 $ B $의 확률은 0이거나 다음이 성립한다.<p>$ P(B)=\bigcup_{i=1}^{n} P\left(A_{i} \cap B\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right) $</p></p> <p>증명 표본공간 $ S $의 사건 $ B $를 $ B=\left(A_{1} \cap B\right) \cup\left(A_{2} \cap B\right) \cup \cdots \cup\left(A_{n} \cap B\right) $와 같이 변형하자. $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $이 표본공간 $ S $의 분할이므로 상호배반사건이 되어 사건 $ B $의 변형된 식을 구성하는 $ n $쌍의 사건 $ \left(A_{1} \cap B\right),\left(A_{2} \cap B\right), \cdots,\left(A_{n} \cap B\right) $도 상호배반사건이다. 이때, 확률의 덧셈정리에 의하여 사건 $ B $의 확률은 \[ \begin{aligned} P(B) &=P\left(\left(A_{1} \cap B\right) \cup\left(A_{2} \cap B\right) \cup \cdots \cup\left(A_{n} \cap B\right)\right) \\ &=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)+\cdots+P\left(A_{n} \cap B\right) \end{aligned} \] 로 정리되고 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 사건 $ B $의 확률은 \[ P(B)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) \cdot P\left(B \mid A_{n}\right) \] 으로 정리된다. 따라서 사건 $ B $의 확률은 \[ P(B)=\bigcup_{i=1}^{n} P\left(A_{i} \cap B\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right) \] 이다.</p> <p>예제48 지수의 필통에는 볼펜 3자루와 형광펜 4자루가 들어 있고 동백이의 필통에는 볼펜 4자루와 형광펜 3자루가 들어 있다. 한 필통에서 펜을 한 자루 꺼낼 때, 그 펜이 형광펜일 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 지수의 필통에서 펜을 꺼내는 사건을 $ A_{1} $, 동백이의 필통에서 펜을 꺼내는 사건을 $ A_{2} $, 형광펜을 꺼내는 사건을 $ B $라 하면 $ P\left(A_{1}\right)=\frac{1}{2}, P\left(A_{2}\right)=\frac{1}{2} $이고 각 필통을 선택했다는 조건 아래에서 형광펜을 꺼낼 확률은 $ P\left(B \mid A_{1}\right)=\frac{4}{7}, P\left(B \mid A_{2}\right)=\frac{3}{7} $이다. 따라서 전확률의 법칙에 의하여 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P(B) &=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right) \\ &=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right) \\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>예제 49 어떤 소프트볼 팀에는 각각 승률이 0.4, 0.6, 0.8인 3명의 투수 갑, 을, 병이 있다. 이 투수들이 10게임 중 각각 2게임, 3게임, 5게임에 출전한다고 할 때, 이 팀이 우승할 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 투수 갑이 출전하는 사건을 $ A_{1} $, 투수 을이 출전하는 사건을 $ A_{2} $, 투수 병이 출전하는 사건을 $ A_{3} $, 게임에서 우승하는 사건을 $ B $라 하면 $ P\left(A_{1}\right)=\frac{2}{10}=0.2, P\left(A_{2}\right)=\frac{3}{10}=0.3 $, $ P\left(A_{3}\right)=\frac{5}{10}=0.5 $이고 각 투수가 출전했다는 조건 아래에서 게임에 우승할 확률은 $ P\left(B \mid A_{1}\right)=0.4, P\left(B \mid A_{2}\right)=0.6, P\left(B \mid A_{3}\right)=0.8 $이다. 따라서 전확률의 법칙에 의하여 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P(B) &=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)+P\left(A_{3} \cap B\right) \\ &=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right) \cdot P\left(B \mid A_{3}\right) \\&=0.2 \times 0.4+0.3 \times 0.6+0.5 \times 0.8=0.66\end{aligned}\]이다.</p> <p>사건 $ A $가 일어났을 때의 사건 $ B $의 조건부확률은 $ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $이고 마찬가지로 사건 $ B $ 가 일어났을 때의 사건 $ A $의 조건부확률은 $ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} $이다. 이때, 두 식에 공통으로 나타난 확률에 대하여 특별한 결과가 성립한다.</p> <p>정리 11 확률의 곱셈정리 Ⅰ 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, $ P(A)>0, P(B)>0 $일 때, 다음이 성립한다. \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=P(B) \cdot P(A \mid B) \]</p> <p>증명 두 조건부확률 $ P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} $와 $ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} $를 각각 곱사건에 대하여 정리하면 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A) $이고 $ P(A \cap B)=P(B) \cdot P(A \mid B) $ 이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=P(B) \cdot P(A \mid B) \]이다.</p> <p>예제 45 어떤 단체의 회원 중에 $ 40 \% $가 남성이고 그중 $ 20 \% $가 대학생이다. 이 단체에서 한 명의 회원을 선발할 때, 그 사람이 대학생인 남성일 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 선발된 사람이 남성일 사건을 $ A $, 대학생일 사건을 $ B $라 하면 $ P(A)=0.4 $이다. 그리고 표본공간이 남성으로 축소된 것에 대한 대학생일 경우의 확률은 $ P(B \mid A)=0.2 $ 이다. 따라서 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=0.4 \times 0.2=0.08 \] 이다.</p> <p>예제 46 어떤 주머니에 3개의 당첨 제비가 포함된 총 10개의 제비가 들어 있다. 갑과 을이 순서대로 1개씩 제비를 뽑을 때, 을이 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하시오. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)</p> <p>풀이 갑이 당첨 제비를 뽑을 사건을 $ A $, 을이 당첨 제비를 뽑을 사건을 $ B $라 하자. 을이 당첨 제비를 뽑을 경우의 첫 번째는 갑과 을이 모두 당첨 제비를 뽑는 경우이고, 이 확률은 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)=\frac{3}{10} \times \frac{2}{9}=\frac{1}{15} $ 이다. 두번째는 갑은 당첨 제비를 뽑지 못하고 을만 당첨 제비를 뽑을 경우이고, 이 확률은 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 $ P\left(A^{c} \cap B\right)=P\left(A^{c}\right) \cdot P\left(B \mid A^{c}\right)=\frac{7}{10} \times \frac{3}{9}=\frac{7}{30} $이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(B)=P(A \cap B)+P\left(A^{c} \cap B\right)=\frac{1}{15}+\frac{7}{30}=\frac{3}{10} \]이다.</p> <p>정리 16 독립사건의 성질 Ⅱ 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>두 사건 $ A $와 $ B^{c} $는 서로 독립이다.</li> <li>두 사건 $ A^{c} $와 $ B $는 서로 독립이다.</li> <li>두 사건 $ A^{c} $와 $ B^{c} $는 서로 독립이다.</li></ol> <p>증명 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이므로 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $이다.</p> <p>(1) 두 사건 $ A $와 $ B^{c} $의 곱사건의 확률은 $ P\left(A \cap B^{c}\right)=P(A)-P(A \cap B) $이고 독립의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(A \cap B^{c}\right)=P(A)-P(A) \cdot P(B)=P(A)(1-P(B)) \] 이다. 여기서 여사건의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(A \cap B^{c}\right)=P(A) \cdot P\left(B^{c}\right) \] 이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B^{c} $는 서로 독립이다. 즉 \[ \begin{aligned} P\left(A \cap B^{c}\right) &=P(A)-P(A \cap B) \\ &=P(A)-P(A) \cdot P(B) \\ &=P(A) \cdot(1-P(B)) \\ &=P(A) \cdot P\left(B^{c}\right) \end{aligned} \] 이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B^{c} $는 서로 독립이다.</p> <p>(2) (1)과 마찬가지로 두 사건 $ A^{c} $와 $ B $의 곱사건의 확률은 $ P\left(A^{c} \cap B\right)=P(B)-P(A \cap B) $이고 독립의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(A^{c} \cap B\right)=P(B)-P(A) \cdot P(B)=P(B)(1-P(A)) \] 이다. 여기서 여사건의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(A^{c} \cap B\right)=P\left(A^{c}\right) \cdot P(B) \] 이다. 따라서 두 사건 $ A^{c} $와 $ B $는 서로 독립이다. 즉 \[ \begin{aligned} P\left(A^{c} \cap B\right) &=P(B)-P(A \cap B) \\ &=P(B)-P(A) \cdot P(B) \\ &=P(B) \cdot(1-P(A)) \\ &=P\left(A^{c}\right) \cdot P(B) \end{aligned} \] 이다. 따라서 두 사건 $ A^{c} $와 $ B $는 독립이다.</p> <p>(3) 두 사건 $ A^{c} $와 $ B^{c} $의 곱사건의 확률은 $ P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=P\left((A \cup B)^{c}\right) $이고 합사건 $ (A \cup B) $에 대한 여사건의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=1-P((A \cup B))\]이다. 여기서 확률의 덧셈정리에 의하여 우변의 확률은 \[P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=1-(P(A)+P(B)-P(A \cap B))\]이고 독립의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=1-(P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B))\]이다. 이때, 우변을 인수분해하면 구하는 확률은 \[P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=(1-P(A)) \cdot(1-P(B))\]이다. 여기서 여사건의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)=P\left(A^{c}\right) \cdot P\left(B^{c}\right)\]이다. 따라서 두 사건 $ A^{c} $와 $ B^{c} $는 서로 독립이다. 즉 \[\begin{aligned}P\left(A^{c} \cap B^{c}\right) &=P\left((A \cup B)^{c}\right) \\&=1-P(A \cup B) \\&=1-(P(A)+P(B)-P(A \cap B)) \\&=1-(P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)) \\&=(1-P(A)) \cdot(1-P(B)) \\&=P\left(A^{c}\right) \cdot P\left(B^{c}\right) \end{aligned}\]이다. 따라서 두 사건 $ A^{c} $와 $ B^{c} $는 독립이다.</p> <p>예제 57 50개의 스위치로 연결된 회로가 있다. 각 스위치가 닫히지 않을 확률은 0.1로 동일하다고 할 때, 다음을 구하시오. (단, 각 스위치는 독립적으로 작동한다.)</p> <ol type=1 start=1><li>병렬로 연결된 회로가 작동할 확률</li> <li>직렬로 연결된 회로가 작동할 확률</li></ol> <p>풀이 각각의 스위치가 닫힐 사건을 $ A_{i} $라 하면 각 스위치가 닫히지 않을 확률은 $ P\left(A_{i}^{c}\right)=0.1 $이다. $ ( $ 단, $ i=1,2, \cdots, 50) $</p> <p>(1) 50개의 스위치가 병렬로 연결된 회로는 다음과 같다.</p> <p>병렬로 연결된 회로는 적어도 하나의 스위치가 닫히면 작동한다. 따라서 독립사건의 성질에 의하여 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P\left(\bigcup_{i=1}^{50} A_{i}\right) &=1-P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{50} A_{i}\right)^{c}\right) \\ &=1-P\left(\bigcap_{i=1}^{50} A_{i}^{c}\right) \\ &=1-P\left(A_{1}^{c}\right) \cdot P\left(A_{2}^{c}\right) \cdots P\left(A_{50}^{c}\right) \\ &=1-(0.1)^{50} \fallingdotseq 0.999 \end{aligned} \] 이다.</p> <p>(2) 50개의 스위치가 직렬로 연결된 회로는 다음과 같다.</p> <p>직렬로 연결된 회로는 모든 스위치가 닫히면 작동한다. 각 스위치가 닫히지 않을 확률이 $ P\left(A_{i}^{c}\right)=0.1 $ 이므로 여사건의 확률에 의하여 각 스위치가 닫힐 확률은 $ P\left(A_{i}\right) =1-P\left(A_{i}\right)=1-0.1=0.9 $이다. 따라서 독립사건의 성질에 의하여 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P\left(\bigcap_{i=1}^{50} A_{i}\right) &=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdots P\left(A_{50}\right) \\ &=(0.9)^{50} \fallingdotseq 0.00515 \end{aligned} \] 이다.</p> <h2>1.2.3 중복순열과 중복조합</h2> <p>원소를 택하여 일렬로 배열하는 방법인 순열과 순서에 관계없이 택하는 조합의 조건에서 중복을 허락한 경우에 대한 경우의 수를 구하는 방법들에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 15 중복집합과 중복수 집합에서 원소들의 반복이 허용된 집합을 중복집합(multiset or repetition set)이라 하고, 중복집합에서 원소의 중복된 횟수를 중복수(repetition number)라고 한다.</p> <p>순열과 비교되는 중복집합을 대상으로 하는 첫 번째 방법을 중복순열이라고 한다.</p> <p>정의 16 중복순열과 중복순열의 수 서로 다른 $ n $개의 원소에서 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하여 일렬로 배열하는 것을 $ n $개의 원소에서 $ r $개를 택하는 중복순열(permutation with repetition)이라 하고, 이 순열의 경우의 수를 중복순열의 수라고 한다.<p>기호</p> <p>◦ 중복순열의 수 ☞ $ { }_{n} \Pi_{r} $ 또는 $ \Pi(n, r) $</p></p> <p>정리 7 중복순열의 수의 계산 서로 다른 $ n $개의 원소에서 중복을 허락하여 $ r $개를 택하는 중복순열의 수는 \[ { }_{n} \Pi_{r}=n^{r} \text { (단, } 0 \leq r \leq n \text { ) } \] 이다.</p> <p>증명 서로 다른 $ n $개의 원소에서 $ r $개를 택하는 순열에서 중복이 허락되므로 $ r $개의 각 원소를 선택할 수 있는 경우의 수는 각각 $ n $개씩이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는 \[ \begin{array}{c} { }_{n} \Pi_{r}=n \times n \times \cdots \times n=n^{r} \\ \square r \text { 개 } \end{array} \]이다.</p> <p>예제34 두 자리의 자연수 중에서 각 자리의 수가 모두 6 의 약수가 되는 수의 개수를 구하시오.</p> <p>풀이 두 자리의 자연수를 두 개의 빈칸으로 생각하자. 그리고 6의 양의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 두 개의 빈칸에 올 수 있는 수는 각각 4가지이다. 즉 십의 자리에 올 수 있는 수가 4개이고 일의 자리에 올 수 있는 수가 4개인 중복순열의 경우이다. 따라서 구하는 경우의 수는 \[ { }_{4} \Pi_{2}=4^{2}=16 \text { (개) } \] 이다.</p> <p>예제35 첫 번째 자리가 0과 1로 시작하지 않는 일곱 자리 전화번호가 될 확률을 구하시오.</p> <p>풀이1 0과 1이 첫 번째 자리에 오지 않는 사건을 $ A $라 하면 사건 $ A $의 여사건 $ A^{c} $은 첫 번째 자리에 0 또는 1이 포함되는 사건이다. 또한 여사건 $ A^{c} $은 0이 포함되는 사건과 1이 포함되는 두 사건의 상호배반사건의 합사건이다. 그러므로 여사건 $ A^{c} $ 의 확률은 \[ P\left(A^{c}\right)=\frac{{ }_{10} \Pi_{6}}{{ }_{10} \Pi_{7}}+\frac{{ }_{10} \Pi_{6}}{{ }_{10} \Pi_{7}}=\frac{1}{5} \]이다. 따라서 여사건의 성질에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A)=1-P\left(A^{c}\right)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} \] 이다.</p> <p>풀이2 전화번호를 7개의 빈칸으로 생각하자. 첫 번째 칸에는 0과 1이 자리할 수 없으므로 가능한 경우의 수는 8가지이고 두 번째 칸부터 일곱 번째 칸에는 0과 1이 포함되므로 가능한 경우의 수는 각각 10가지이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A)=8 \times \frac{{ }_{10} \Pi_{6}}{{ }_{10} \Pi_{7}}=\frac{4}{5} \] 이다.</p> <h2>1.2.2 순열과 조합</h2> <p>사건에 대한 확률을 계산하는 데 필요한 경우의 수를 구하는 방법은 여러 가지가 있다. 기본적인 방법으로 앞서 살펴본 합의 법칙과 곱의 법칙이 있다. 이것을 바탕으로 경우의 수를 구하는 특별한 방법들에 대하여 알아보자. 그 중 첫 번째는 순서를 고려하여 물건을 일렬로 배열하는 방법인 순열이다. 순열의 수의 기호는 순열의 영어 단어인 Permutation의 첫 글자 P를 사용하여 나타낸다.</p> <p>정의 13 순열과 순열의 수 서로 다른 $ n $개의 원소에서 $ r $개를 선택하여 순서를 고려하여 일렬로 배열하는 것을 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 순열(permutation)이라 하고, 이 순열의 경우의 수를 순열의 수라고 한다.<p>기호</p> <p>◦ 순열의 수 ⭢ $ { }_{n} P_{r} $ 또는 $ P(n, r) $</p></p> <p>정리 5 순열의 수의 계산 서로 다른 $ n $개의 원소에서 $ r $개를 택하는 순열의 수는 \[ \left.{ }_{n} P_{r}=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1)) \text { (단, } 0 \leq r \leq n\right) \] 이다.</p> <p>증명 서로 다른 $ n $개에서 $ r $개를 택하여 한 줄로 배열할 때, 첫 번째 자리에는 $ n $가지가 올 수 있고 두 번째 자리에 올 수 있는 것은 첫 번째 자리에 놓인 것을 제외한 $ (n-1) $가지, 세 번째 자리에 올 수 있는 것은 앞의 두 자리에 놓인 것을 제외한 $ (n-2) $가지이다. 이와 같이 차례로 생각하면 $ r $번째 자리에 올 수 있는 것은 앞의 $ (r-1) $ 자리에 놓인 것을 제외한 $ (n-(r-1)) $가지이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는 \[ { }_{n} P_{r}=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1)) \] 이다.</p> <p>순열의 수 $ { }_{n} P_{r} $에서 $ r=n $일 때, 즉 순열의 수 $ { }_{n} P_{n} $은 서로 다른 $ n $개의 원소를 일렬로 배열하는 것이다. 이때, 경우의 수는 \[ { }_{n} P_{n}=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1)) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] 이다. 이것을 $ n $계승(factorial)이라 하고 기호로 $ n ! $로 나타낸다. 즉 \[ n !=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1)) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] 이다. 순열의 수 $ { }_{n} P_{r} $을 계승의 기호를 사용하여 나타내면 \[ \begin{aligned} { }_{n} P_{r} &=n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1)) \\ &=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-(r-1))(n-r)(n-(r+1)) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{(n-r)(n-(r+1)) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &=\frac{n !}{(n-r) !} \end{aligned} \] 이다. 이 식에서 $ r=n $이라 하면 좌변은 $ { }_{n} P_{n} $, 즉 $ n! $이고 우변은 $ \frac{n !}{0 !} $이다. 이때, 위의 식이 성립하기 위하여 $0 !$을 1로 정의한다.</p> <p>정리 2 확률의 기본 성질 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A, B $와 공사건 $ \phi $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 0 \leq P(A) \leq 1 $</li> <li>$ P(\phi)=0 $</li> <li>$ P(S)=1 $</li> <li>$ P\left(A^{c}\right)=1-P(A) $ 또는 $ P(A)=1-P\left(A^{c}\right) $</li> <li>$ P(B-A)=P(B)-P(A \cap B) $</li></ol> <p>증명 (1) 표본공간 $ S $의 사건 $ A $의 빈도는 $ 0 \leq n(A) \leq n(S) $이다. 이 부등식을 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ 0 \leq \frac{n(A)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)}=1 \] 이다. 따라서 사건 $ A $의 확률은 \[ 0 \leq P(A) \leq 1 \] 이다.</p> <p>(2) [증명1] (1)과 마찬가지로 공사건의 빈도 $ n(\phi) $를 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ \frac{n(\phi)}{n(S)}=0 \] 이다. 따라서 공사건 $ \phi $ 의 확률은 \[ P(\phi)=0 \] 이다.</p> <p>[증명2] 표본공간 $ S $와 공사건 $ \phi $에 대하여, $ \phi \cup S=S $이므로 $ P(\phi \cup S)=P(S) $이다. 또한 표본공간 $ S $와 공사건 $ \phi $는 상호배반사건이므로 $ P(\phi \cup S)=P(\phi)+P(S) $이다. 두 식의 우변을 비교하면 \[ P(S)=P(\phi)+P(S) \] \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{11}{12} \] 이다.</p> <p>정리 2 확률의 기본 성질 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A, B $와 공사건 $ \phi $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 0 \leq P(A) \leq 1 $</li> <li>$ P(\phi)=0 $</li> <li>$ P(S)=1 $</li> <li>$ P\left(A^{c}\right)=1-P(A) $ 또는 $ P(A)=1-P\left(A^{c}\right) $</li> <li>$ P(B-A)=P(B)-P(A \cap B) $</li></ol> <p>증명 (1) 표본공간 $ S $의 사건 $ A $의 빈도는 $ 0 \leq n(A) \leq n(S) $이다. 이 부등식을 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ 0 \leq \frac{n(A)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)}=1 \]이다. 따라서 사건 $ A $의 확률은 \[ 0 \leq P(A) \leq 1 \] 이다.</p> <p>(2) [증명1] (1)과 마찬가지로 공사건의 빈도 $ n(\phi) $ 를 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ \frac{n(\phi)}{n(S)}=0 \] 이다. 따라서 공사건 $ \phi $ 의 확률은 \[ P(\phi)=0 \] 이다.</p> <p>[증명2] 표본공간 $ S $와 공사건 $ \phi $에 대하여, $ \phi \cup S=S $이므로 $ P(\phi \cup S)=P(S) $이다. 또한 표본공간 $ S $와 공사건 $ \phi $는 상호배반사건이므로 $ P(\phi \cup S)=P(\phi)+P(S) $이다. 두 식의 우변을 비교하면 \[ P(S)=P(\phi)+P(S) \]이다. 따라서 공사건 $ \phi $의 확률은 \[ P(\phi)=0 \] 이다.</p> <p>(3) [증명1] (1)과 마찬가지로 표본공간의 빈도 $ n(S) $를 자신으로 나누면 \[ \frac{n(S)}{n(S)}=1 \] 이다. 따라서 표본공간 $ S $의 확률은 \[ P(S)=1 \] 이다.</p> <p>[증명2] 표본공간 $ S $의 사건 $ A $와 사건 $ A $의 여사건 $ A^{c} $에 대하여, $ A \cup A^{c}=S $이므로 $ P\left(A \cup A^{c}\right)=P(S) $이다. 또한 사건 $ A $와 사건 $ A $의 여사건 $ A^{c} $은 상호배반사건이므로 $ P\left(A \cup A^{c}\right)=P(A)+P\left(A^{c}\right)=1 $이다. 두 식의 우변을 비교하면 \[P(S)=P(A)+P\left(A^{c}\right)=1 \] 이다. 따라서 표본공간 $ S $의 확률은 \[ P(S)=1 \] 이다.</p> <p>(4) (3)의 [증명2]에서 구한 식을 비교하면 \[ P(A)+P\left(A^{c}\right)=P(S)=1 \] 이다. 따라서 여사건 $ A^{c} $의 확률 또는 사건 $ A $의 확률은 \[ P\left(A^{c}\right)=1-P(A) \text { 또는 } P(A)=1-P\left(A^{c}\right) \] 이다.</p> <p>(5) 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, $ (A \cap B) \cup\left(A^{c} \cap B\right)=B $ 이므로 $ P((A \cap B) \cup $ $ \left.\left(A^{c} \cap B\right)\right)=P(B) $ 이다. 또한 사건 $ (A \cap B) $와 사건 $ \left(A^{c} \cap B\right) $는 상호배반사건이므로 $ P\left((A \cap B) \cup\left(A^{c} \cap B\right)\right)=P(A \cap B)+P\left(A^{c} \cap B\right) $ 이다. 두 식의 우변을 비교하면 \[ P(B)=P(A \cap B)+P\left(A^{c} \cap B\right) \] 이다. 여기서 $ A^{c} \cap B=B-A $이므로 $ P\left(A^{c} \cap B\right)=P(B-A) $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $의 차사건 $ B-A $의 확률은 \[ P(B-A)=P(B)-P(A \cap B) \] 이다.</p> <p>정리 1 확률의 덧셈정리 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건이 아닐 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $가 발생할 확률은 $ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) $이다.</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건일 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $가 발생할 확률은 $ P(A \cup B)=P(A)+P(B) $이다.</li></ol> <p>증명 (1) 조건에 대한 경우의 수는 $ n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B) $ 이다. 양변을 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ \frac{n(A \cup B)}{n(S)}=\frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A \cap B)}{n(S)} \] 이다. 따라서 확률의 정의에 의하여 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \] 이다.</p> <p>(2) (1)과 마찬가지로 조건에 대한 경우의 수는 $ n(A \cup B)=n(A)+n(B) $이다. 양변을 0이 아닌 표본공간의 빈도 $ n(S) $로 나누면 \[ \frac{n(A \cup B)}{n(S)}=\frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)} \] 이다. 따라서 확률의 정의에 의하여 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B) \] 이다.</p> <p>예제14 과수원이 밀집되어 있는 어떤 마을의 재배 유형을 조사하였더니 사과를 재배하는 농가는 전체의 $ \frac{3}{5} $이고 배를 재배하는 농가는 전체의 $ \frac{1}{3} $이며 사과와 배를 모두 재배하는 농가는 전체의 $ \frac{1}{6} $이다. 이 마을에서 임의로 한 농가를 선택할 때, 이 농가가 사과 또는 배를 재배할 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 사과를 재배하는 농가를 선택할 사건을 $ A $라 하고 배를 재배하는 농가를 선택할 사건을 $ B $라 하자. 그러면 $ P(A)=\frac{3}{5} $이고 $ P(B)=\frac{1}{3} $이며 $ P(A \cap B)=\frac{1}{6} $이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{3}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{23}{30} \] 이다.</p> <p>예제15 어떤 백화점에서 추석 명절의 선물 구매 유형을 조사하였더니 갈비를 구입한 사람은 전체의 $ \frac{2}{3} $이고 과일을 구입한 사람은 전체의 $ \frac{1}{2} $이며 갈비와 과일을 모두 구입한 사람은 전체의 $ \frac{1}{4} $이었다. 이 구매자 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 구매자가 갈비 또는 과일을 구입한 사람일 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 갈비를 구입한 구매자를 선택할 사건을 $ A $라 하고 과일을 구입한 구매자를 선택할 사건을 $ B $라 하자. 그러면 $ P(A)=\frac{2}{3} $이고 $ P(B)=\frac{1}{2} $이며 $ P(A \cap B)=\frac{1}{4} $이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{11}{12} \] 이다.</p> <p>예제51 어떤 금연교실에 참가하여 수료한 후 여성의 $ 40 \% $와 남성의 $ 20 \% $가 적어도 1년 동안 담배를 피우지 않았다. 금연에 성공한 이 사람들은 그 후에 금연성공 연회에 참석하는데, 만약 금연교실에 참가한 여성이 $ 30 \% $일 때, 금연성공연회에 참석한 남성의 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 금연교실에 참가한 여성의 사건을 $ A_{1} $, 금연교실에 참가한 남성의 사건을 $ A_{2} $, 금연에 성공하여 연회에 참석할 사건을 $ B $라 하면 $ P\left(A_{1}\right)=0.3, P\left(A_{2}\right)=1-P\left(A_{1}\right)=1-0.3= 0.7 $이고 각 성별로 금연교실에 참가했다는 조건 아래에서 금연성공 연회에 참석할 확률은 $ P\left(B \mid A_{1}\right)=0.4, P\left(B \mid A_{2}\right)=0.2 $이다. 그러므로 금연성공 연회에 참석한 남성의 조건부확률은 $ P\left(A_{2} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{2} \cap B\right)}{P(B)} $이다. 여기서 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 금연성공 연회에 참석하고 남성일 확률은 $ P\left(A_{2} \cap B\right)=P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right) $이고 전확률의 법칙에 의하여 금연성공 연회에 참석할 확률은 $ P(B)=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right) $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P\left(A_{2} \mid B\right) &=\frac{P\left(A_{2} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)}{P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)} \\&=\frac{P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)}{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)} \\&=\frac{0.7 \times 0.2}{0.3 \times 0.4+0.7 \times 0.2}=\frac{7}{13}\end{aligned}\] 이다.</p> <p>예제52 남자의 $ 5 \% $, 여자의 $ 0.25 \% $가 색맹이라 할 때, 색맹인 사람을 무작위로 한 명 선택한다. 다음의 경우에 선택한 사람이 남자일 확률을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>남자의 수와 여자의 수의 비율이 똑같은 경우</li> <li>남자의 수가 여자의 수의 2배인 경우</li></ol> <p>풀이 남성이 뽑힌 사건을 $ A_{1} $, 여성이 뽑힌 사건을 $ A_{2} $, 색맹인 사람이 뽑힌 사건을 $ B $라 하자.</p> <p>(1) 남자와 여자의 비율이 같으므로 $ P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{2}\right)=0.5 $이고 각 경우에 대한 색맹일 조건부확률은 $ P\left(B \mid A_{1}\right)=0.05, P\left(B \mid A_{2}\right)=0.0025 $이다. 색맹인 사람이 뽑힌 경우 그 사람이 남자일 조건부확률은 $ P\left(A_{1} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{1} \cap B\right)}{P(B)} $이다. 여기서 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 남성이고 색맹일 확률은 $ P\left(A_{1} \cap B\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right) $이고, 전확률의 법칙에 의하여 색맹일 확률은 $ P(B)=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right) $이다. 따라서 구하는 확률은 \[P\left(A_{1} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{1} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)}\] \[\begin{array}{l}=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)} \\=\frac{0.5 \times 0.05}{0.5 \times 0.05+0.5 \times 0.0025}=\frac{20}{21}\end{array}\] 이다.</p> <p>(2) 남자의 비율이 여자의 두 배, 즉 $ P\left(A_{1}\right)=2 P\left(A_{2}\right) $이므로 $ P\left(A_{1}\right)=\frac{2}{3}, P\left(A_{2}\right)=\frac{1}{3} $이다. 따라서 (1)과 마찬가지로 전개에 의하여 구하는 확률은 \[\begin{aligned}P\left(A_{1} \mid B\right) &=\frac{P\left(A_{1} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)} \\&=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)} \\&=\frac{\frac{2}{3} \times 0.05}{\frac{2}{3} \times 0.05+\frac{1}{3} \times 0.0025}=\frac{40}{41}\end{aligned}\]이다.</p> <p>정의 8 상호배반사건 어떤 시행에서 발생한 두 사건을 $ A $와 $ B $라 할 때, 두 사건 $ A $와 $ B $가 동시에 발생하지 않는, 즉 $ A \cap B=\phi $인 경우의 두 사건 $ A $와 $ B $를 상호배반사건(mutually exclusive event)이라고 한다.</p> <p>사건 $ A $와 여사건 $ A^{c} $의 곱집합은 $ A \cap A^{c}=\phi $이므로 두 사건 $ A $와 $ A^{c} $은 상호배반사건이다. 즉 자신의 사건과 여사건은 상호배반사건이 되는 특별한 경우이다. 예를 들어, 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 짝수의 눈이 나올 사건을 $ A $라 하고 홀수의 눈이 나올 사건을 $ B $라고 하자. 사건 $ A $는 $ A=\{2,4,6\} $이고 사건 $ B $는 $ B=\{1,3,5\} $이다. 따라서 두 사건 $ A $와 $ B $의 곱사건은 $ A \cap B=\phi $이므로 두 사건 $ A $와 $ B $는 상호배반사건이다. 이때, $ B=A^{c} $이고 $ A=B^{c} $이다.</p> <p>예제 1 어떤 주머니에 1부터 9까지 숫자가 한 개씩 적힌 9개의 공이 들어 있다. 한 개의 공을 꺼내는 시행에서 다음을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>표본공간</li> <li>근원사건</li> <li>꺼낸 공의 숫자가 2의 배수인 사건</li> <li>꺼낸 공의 숫자가 6의 약수인 사건</li> <li>(3)의 빈도와 상대빈도</li> <li>(4)의 빈도와 상대빈도</li> <li>(3)과 (4)의 합사건</li> <li>(3)과 (4)의 곱사건</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>표본공간은 모든 가능한 결과의 집합이므로 \[ S=\{1,2,3, \cdots, 9\} \] 이다.</li> <li>근원사건은 한 개의 표본점만을 결과로 갖는 사건이므로 $ \{1\},\{2\},\{3\}, \cdots,\{9\} $ 이다.</li> <li>꺼낸 공의 숫자가 2의 배수인 사건을 $ A $라 하면 \[ A=\{2,4,6,8\} \] 이다.</li> <li>꺼낸 공의 숫자가 6의 약수인 사건을 $ B $라 하면 \[ B=\{1,2,3,6\} \] 이다.</li> <li>빈도는 각 사건을 구성하는 표본점들의 개수이므로 \[ n(A)=4 \] 이고, 상대빈도는 표본공간의 빈도에 대한 각 사건의 빈도의 비이므로 \[ \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{9} \] 이다.</li> <li>(5)와 마찬가지로 빈도는 \[ n(B)=4 \] 이고, 상대빈도는 \[ \frac{n(B)}{n(S)}=\frac{4}{9} \] 이다.</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $의 합사건은 \[ A \cup B=\{1,2,3,4,6,8\} \] 이다.</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $의 곱사건은 \[ A \cap B=\{2,6\} \] 이다.</li></ol> <h2>1.1.2 확률의 뜻</h2> <p>사전에서 조사되는 확률의 뜻은 “어떤 일이 일어날 확실성의 정도를 나타내는 수"이다. 이것은 수학적인 문장으로 "어떤 시행에서 사건 $ A $가 일어날 가능성을 나타내는 수”라고 바꾸어 정의할 수 있다. 확률의 기호는 확률의 영어 단어인 Probability의 첫 글자를 사용하여 나타낸다. 예를 들어, 사건 $ A $의 확률은 $ P(A) $로 표시한다.</p> <p>수학에서 구체적인 확률의 의미는 수학적인 방법, 통계적인 방법, 공리적인 방법으로 각각 다르게 정의한다. 이 세 가지 방향의 확률의 정의에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 9 수학적 확률 어떤 시행의 결과가 유한개이고 각 근원사건이 같은 정도로 발생할 것이 기대될 때, 표본공간 $ S $에서 사건 $ A $가 발생할 수학적 확률(또는 고전적 확률)은 \[ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{\text { 사건 } A \text { 의 빈도 }}{\text { 표본공간 } S \text { 의 빈도 }} \] 이다.</p> <p>수학적 확률은 표본공간에서 각 근원사건이 같은 정도로 발생할 것이 기대될 때 정의하고 표본공간은 유한인 것으로 한정한다. 그리고 정의에서 보듯이 수학적 확률은 상대빈도와 동일함을 알 수 있다. 예를 들어, 어떤 주머니에 알파벳이 적힌 26장의 카드가 들어 있다. 이때, 알파벳 모음의 카드를 꺼낸 사건을 $ A $라 할 때, 표본공간은 $ S=\{a, b, \cdots, z\} $ 이고 사건 $ A $는 $ A=\{a, e, i, o, u\} $이므로 사건 $ A $의 확률 $ P(A) $는 \[ \begin{aligned} P(A) &=\sum_{e_{i} \in A} P\left(\left\{e_{i}\right\}\right) \\ &=P(\{a\})+P(\{e\})+P(\{i\})+P(\{o\})+P(\{u\}) \\ &=\frac{1}{26}+\frac{1}{26}+\frac{1}{26}+\frac{1}{26}+\frac{1}{26}=\frac{5}{26}=\frac{n(A)}{n(S)} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>참고로 위의 수학적 확률은 라플라스(Laplace, P. S.; 1749 1827)에 의해 정의되어 라플라스 확률이라고도 한다.</p> <p>예제4 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 4 이하의 눈이 나올 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 표본공간은 $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $이다. 4 이하의 눈이 나올 사건을 $ A $라 하면 $ A= \{1,2,3,4\} $이다. 따라서 사건 $ A $의 확률은 \[ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \] 이다.</p> <p>예제5 15의 양의 약수 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 그 수가 3의 양의 약수일 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 표본공간은 $ S=\{1,3,5,15\} $이다. 3의 양의 약수를 선택할 사건을 $ A $라 하면 $ A=\{1,3\} $이다. 따라서 사건 $ A $의 확률은 \[ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \] 이다.</p> <h3>1. 1 .3 확률의 기본 성질</h3> <p>간단한 사건의 확률이 아닌 여러 가지 상황이 다양하게 제시된 사건의 확률을 구하는 기본적인 성질에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 12 경우와 경우의 수 어떤 사건이 발생할 수 있는 각각의 방법을 경우(cases)라 하고, 그 방법의 총 개수를 경우의 수(possibility of cases) 라고 한다.<p>기호</p> <p>◦ 사건 $ A $ 의 경우의 수 ⭢ $ n(A) $ 또는 $ \|A\| $</p></p> <p>참고 합의 법칙(addition principle) 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 사건 $ A $의 경우의 수가 $ n(A) $이고 사건 $ B $의 경우의 수가 $ n(B) $라고 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건이 아닐 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $가 발생할 경우의 수는 $ n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B) $이다.</li> <li>두 사건 $ A $와 $ B $가 상호배반사건일 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $가 발생할 경우 의 수는 $ n(A \cup B)=n(A)+n(B) $이다.</li></ol> <p>예제12 어떤 분식점의 메뉴에 다섯 가지 종류의 김밥과 네 가지 종류의 라면이 있다. 이 중에서 어떤 것이든 한 가지 메뉴를 주문한다고 할 때, 선택할 수 있는 경우의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 김밥의 종류를 선택할 수 있는 경우의 수는 다섯 가지이고, 라면의 종류를 선택할 수 있는 경우의 수는 네 가지이다. 따라서 합의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 5+4=9( \text { 가지 }) \] 이다.</p> <p>예제 13 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 두 눈의 합이 5의 배수가 되는 경우의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 5의 배수는 $ 5, 10, 15, \cdots $이다. 주사위 눈의 합의 최대는 12이므로 5의 배수는 눈의 합이 5인 경우와 10인 경우를 생각할 수 있다. 두 눈을 순서쌍으로 나타낼 때, 눈의 합이 5인 경우는 $ (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) $이고 눈의 합이 10인 경우는 $ (4,6) $, $ (5,5),(6,4) $이다. 따라서 합의 법칙에 의하여 총 경우의 수는 \[ 4+3=7( \text { 가지 }) \] 이다.</p> <p>확률의 곱셈정리 Ⅰ은 세 개 이상의 사건에 대해서도 성립한다. 즉 $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $에 대하여, $ P\left(A_{i}\right)>0 $일 때, \[\begin{array}{l} P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}\right) \\ \quad=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} \mid A_{1} \cap A_{2}\right) \cdots P\left(A_{n} \mid A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n-1}\right) \end{array} \] 이다. (단, $ i=1,2, \cdots, n $ )</p> <p>예제 47 어떤 바구니에 10개의 검은 공과 5개의 흰 공이 들어 있다. 임의로 한 개의 공을 꺼내어 색을 확인하고 나온 공과 같은 색의 공을 2개 더하여 주머니에 넣는 조작을 3회 반복할 때, 3회 모두 흰 공이 나올 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 첫 번째 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $ A $, 두 번째 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $ B $, 세 번째 꺼낸 공이 흰 공일 사건을 $ C $라 하자. 세 번 모두 흰 공을 꺼내야 하므로 구하는 확률은 세 사건의 곱사건이므로 확률의 곱셈정리 I의 확장에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B) \]이다. 이때, 조건에 의하여 우변의 각 확률은 \[ P(A)=\frac{5}{10+5}=\frac{1}{3}, \quad P(B \mid A)=\frac{5+2}{10+5+2}=\frac{7}{17}, \quad P(C \mid A \cap B)=\frac{5+(2 \times 2)}{10+5+(2 \times 2)}=\frac{9}{19} \]이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B)=\frac{1}{3} \times \frac{7}{17} \times \frac{9}{19}=\frac{21}{323} \]이다.</p> <p>정의 20 분할 표본공간 $ S $의 $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $이 다음의 조건을 만족할 때, 표본공간 $ S $의 분할(partition)이라고 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A_{i} \cap A_{j}=\phi( $ 단, $ i \neq j) $</li> <li>$ \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=S $</li></ol> <p>참고 분할을 집합의 벤다이어그램으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>분할의 정의에 조건부확률과 확률의 곱셈정리 Ⅰ을 적용하면 확률의 중요한 모형이 만들어진다. 표본공간 $ S $의 분할된 각 집합에 대한 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 전확률의 법칙이 구성되고 분할된 각 집합에 대한 조건부확률에 의하여 베이즈의 정리가 완성된다.</p> <p>조합과 비교되는 중복집합을 대상으로 하는 방법을 중복조합이라고 한다.</p> <p>정의 18 중복조합과 중복조합의 수 서로 다른 $ n $개의 원소에서 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하는 것을 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 중복조합(combination with repetition)이라 하고, 이 조합의 경우의 수를 중복조합의 수라고 한다.<p>기호</p> <p>◦중복조합의 수 ☞ $ { }_{n} H_{r} $ 또는 $ H(n, r) $</p></p> <p>정리 9 중복조합의 수의 계산 서로 다른 $ n $개에서 중복을 허락하여 $ r $개를 택하는 중복조합의 수는 \[ { }_{n} H_{r}={ }_{n+r-1} C_{r}={ }_{n+r-1} C_{n-1} \] 이다.</p> <p>증명 $ m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}=n $인 중복집합 $ \left\{m_{1} \cdot a_{1}, m_{2} \cdot a_{2}, \cdots, m_{n} \cdot a_{n}\right\} $ 에서 $ r $개를 택하는 중복조합의 수를 알아보자. 각 원소 $ a_{i} $에 대하여 선택된 중복수를 $ x_{i} $라 할 때, 선택된 원소들로 이루어진 중복집합은 \[ \left\{x_{1} \cdot a_{1}, x_{2} \cdot a_{2}, \cdots, x_{n} \cdot a_{n}\right\} \] 이다. 이것은 연립방정식 $ \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=r \\ x_{i} \geq 0, i=1,2, \cdots, n\end{array}\right. $ 의 정수해의 개수와 같다. 예를 들어, 1과 $ + $ 를 원소로 갖는 중복집합 $ \{r \cdot 1,(n-1) \cdot+\} $를 생각할 때, 주어진 중복집합에서 $ r $개의 원소 1과 $ (n-1) $개의 원소 $ + $를 배열하는 방법인 같은 것을 포함하는 순열의 경우의 수와도 같다. 중복집합의 원소를 배열하기 위하여 $ (n-1) $개의 $ + $는 $ r $개의 1을 $ n $개의 그룹으로 나누어 각 빈칸에 놓이게 될 원소 1의 개수를 각 원소 $ a_{i} $의 중복수로 생각하면 된다.</p> <p>즉 위의 그림에서 첫 번째 빈칸을 $ a_{1} $으로 생각하고 놓이게 될 원소 1의 개수를 $ x_{1} $으로, 두 번째 빈칸을 $ a_{2} $로 생각하고 놓이게 될 원소 1의 개수를 $ x_{2} $로, $ \cdots, n $번째 빈칸을 $ a_{n} $으로 생각하고 놓이게 될 원소 1의 개수를 $ x_{n} $으로 이해할 수 있다. 그러므로 이것은 중복집합 $ \{r \cdot 1,(n-1) \cdot+\} $에서 같은 것을 포함하는 순열의 경우의 수가 된다. 따라서 구하는 경우의 수는\[ { }_{n} H_{r}=\frac{(r+(n-1)) !}{r !(n-1) !}={ }_{r+n-1} C_{r}={ }_{r+n-1} C_{n-1}={ }_{n+r-1} C_{r}={ }_{n+r-1} C_{n-1} \] 이다.</p> <h1>1.1 확률의 뜻과 성질</h1> <p>우연한 일들의 발생 가능성을 수리적으로 분석하기 위해서는 확률의 개념이 필요하다. 확률의 뜻을 보기 전에 확률에서 사용하는 다양한 수학적인 용어들을 알아보자.</p> <h3>1.1.1 확률의 기본 용어</h3> <p>정의 1 시행 동일한 조건 아래에서 반복할 수 있는 실험이나 관찰을 시행(trial)이라고 한다.</p> <p>예를 들어, 한 개의 동전을 던지는 것이나 한 개의 주사위를 던지는 것은 시행이다. 시행을 여러 번 반복하면 일정한 규칙이 나타나게 되는데 이러한 규칙으로 여러 가지 확률의 성질이 완성된다.</p> <p>정의 2 표본공간과 사건 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합을 표본공간(sample space)이라 하고, 표본공간의 부분집합을 사건(또는 사상, event)이라고 한다.<p>기호</p> <ul> <li>표본공간 ⭢ $ S $ 또는 $ \Omega $</li> <li>사건 ⭢ $ A, B, C, \cdots $ 또는 $ E_{1}, E_{2}, E_{3}, \cdots $</li></ul></p> <p>예를 들어, 한 개의 동전을 던지는 시행에서 가능한 결과는 앞면과 뒷면이 나오는 것이므로 표본공간은 $ S=\{ $ 앞면, 뒷면 $ \} $이고 앞면이 나오는 사건을 사건 $ A $라 정의할 때, 사건 $ A $는 $ A=\{ $ 앞면 $ \} $이다. 또 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 가능한 결과는 1부터 6까지의 눈이 나오는 것이므로 표본공간은 $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $이고 3의 배수의 눈이 나오는 사건을 사건 $ B $라 정의할 때, 사건 $ B $는 $ B=\{3,6\} $이다.</p> <p>정의 3 표본점과 근원사건 표본공간의 각각의 원소들, 즉 어떤 시행에서 발생한 각각의 결과들을 표본점(sample point)이라고 한다. 한편 표본공간의 한 원소로만 이루어진 사건, 즉 한 개의 표본점만을 결과로 갖는 사건을 근원사건(fundamental event)이라고 한다.<p>기호 - 표본점 $ a, b, c, \cdots $ 또는 $ e_{1}, e_{2}, e_{3}, \cdots $</p></p> <p>근원사건은 더 이상 나눌 수 없는 사건이고 근원사건 전체의 합집합은 표본공간이다. 예를 들어, 한 개의 동전을 던지는 시행에서 표본점은 '앞면 ', '뒷면'이고 근원사건은 $ \{ $ 앞면 $ \},\{ $ 뒷면 $ \} $이다. 또 한 개의 주사위를 던지는 시행에서 표본점은 ' 1 ', ' 2 ', '3', '4', '5', '6'이고 근원사건은 $ \{ 1 \},\{ 2 \},\{ 3 \},\{ 4 \},\{ 5 \},\{ 6 \} $ 이다.</p> <p>풀이1 선택된 학생이 적어도 3학년, 즉 3학년 이상인 사건을 $ A $라 하면 사건 $ A $의 여사건 $ A ^ { c } $은 3학년 미만, 즉 2학년 이하인 사건이다. 그러므로 확률의 덧셈정리에 의하여 여사건 $ A ^ { c } $의 확률은 $ P \left (A ^ { c } \right )= \frac { 210 } { 700 } + \frac { 185 } { 700 } = \frac { 395 } { 700 } = \frac { 79 } { 140 } $이다. 따라서 여사건의 성질에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A)=1-P \left (A ^ { c } \right )=1- \frac { 79 } { 140 } = \frac { 61 } { 140 } \] 이다.</p> <p>풀이 2 선택된 학생이 3학년 학생일 사건을 $ A $, 4학년 학생일 사건을 $ B $라 하면 두 사건 $ A $와 $ B $는 상호배반사건이다. 따라서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은 \[ P(A \cup B)=P(A) + P(B)= \frac { 140 } { 700 } + \frac { 165 } { 700 } = \frac { 305 } { 700 } = \frac { 61 } { 140 } \] 이다.</p> <p>참고 확률의 덧셈정리는 세 개의 사건에 대해서도 성립한다. 표본공간 $ S $의 세 사건 $ A, B, C $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type = 1 start=1><li>세 사건 $ A, B, C $ 가 상호배반사건이 아닐 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $ 또는 사건 $ C $가 발생할 확률은 $ P(A \cup B \cup C)=P(A) + P(B) + P(C)-P(A \cap B)- P(B \cap C)-P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C) $이다.</li> <li>세 사건 $ A, B, C $가 상호배반사건일 때, 즉 $ A \cap B= \phi, B \cap C= \phi, C \cap A= \phi $일 때, 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $ 또는 사건 $ C $가 발생할 확률은 $ P(A \cup B \cup C)= P(A) + P(B) + P(C) $이다.</li></ol> <p>예제19 어떤 대학교에서는 500명의 1학년 학생들의 교양 필수과목의 수강신청 결과를 조사하였다. 글쓰기를 신청한 학생은 200명, 영어회화를 신청한 학생은 190명, 대학수학을 신청한 학생은 180명, 글쓰기와 영어회화를 신청한 학생은 50명, 영어회화와 대학수학을 신청한 학생은 80명, 대학수학과 글쓰기를 신청한 학생은 70명이었다. 이들 중에서 임의로 한 학생을 선택할 때, 이 학생이 세 과목을 모두 신청하였을 확률을 구하시오. (단, 모든 학생은 반드시 한 과목 이상을 신청해야 한다.)</p> <p>참고 다음의 세 가지는 동일한 중복조합 $ { }_{n} H_{r} $의 문제이다.</p> <ol type=1 start=1><li>서로 다른 $ n $개의 원소로부터 중복을 허락하여 $ r $개를 선택하는 경우의 수</li> <li>$ r $개의 동일한 물건을 $ n $개의 서로 다른 상자에 분배하는 방법의 수</li> <li>연립방정식 $ \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=r \\ x_{i} \geq 0, \quad i=1,2, \cdots, n \end{array} \right. $의 음이 아닌 정수해의 개수</li></ol> <p>예제 39 똑같은 크기의 사과 10개를 다섯 명의 어린이에게 나누어주는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 다섯 명의 어린이가 사과를 한 개씩 받는 것은 어린이를 선택한 것으로 생각하는 것과 같다. 즉 다섯 명의 어린이가 집합의 원소가 되어 중복이 허락되어 열 번 선택되는 중복조합의 경우이다. 따라서 구하는 방법의 수는 \[ { }_{5} H_{10}={ }_{10+5-1} C_{10} = { }_{14} C_{10} = 1001 \text { (가지) } \] 이다.</p> <p>예제40 동일한 크기의 배 4개와 서로 다른 크기의 오렌지 6개가 있다. 이것을 5개의 서로 다른 상자에 넣는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 동일한 크기의 배 4개를 5개의 상자에 넣는 중복조합과 서로 다른 크기의 오렌지 6개를 5개의 상자에 넣는 중복순열이 동시에 발생한다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 \[ { }_{5} H_{4} \times{ }_{5} \Pi_{6} ={ }_{5+4-1} C_{4} \times{ }_{5} \Pi_{6} = 1093750 \text { (가지) } \] 이다.</p> <p>예제41 연립방정식 $ \left\{ \begin{array}{l}x+y-z=10 \\ x>0, y>2, z<3 \end{array} \right. $의 음이 아닌 정수해의 개수를 구하시오.</p> <p>풀이 연립방정식의 음이 아닌 정수해의 개수는 중복조합의 수이므로 방정식의 범위를 조정 하자. 변수의 범위가 정수이므로 $ x>0 $은 $ x \geq 1 $과 같고 $ y>2 $는 $ y \geq 3, z<3 $은 $ z \leq 2 $와 같다. 그러므로 각 세 변수를 $ x-1=X, y-3=Y, 2-z=Z $로 치환하면 새로운 연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{l} X+Y+Z=x+y-z-2=10-2=8 \\ X \geq 0, Y \geq 0, Z \geq 0 \end{array}\right. \] 이 완성된다. 따라서 중복조합의 수에 의하여 구하는 음이 아닌 정수해의 개수는 \[ { }_{3} H_{8}={ }_{8+3-1} C_{8}={ }_{10} C_{8}=45 \text { (개) } \] 이다.</p> <p>이산표본공간이라고 하는 개별적인 표본점을 시행의 결과로 갖는 표본공간에서 어떤 사건에 대한 확률은 위의 두 확률로 정의할 수 있지만 임의의 실수 구간에 존재하는 모든 실수를 표본점으로 갖는 연속표본공간에서는 정의할 수 없다. 예를 들어, 전구의 수명이나 사람들의 키가 가질 수 있는 값은 실수이므로 전구의 수명이 20시간보다 클 확률이나 키가 $ 175 \mathrm{cm} $보다 작을 확률은 수학적 확률 또는 통계적 확률로 확인할 수 없다. 이러한 문제점을 보완하여 러시아의 수학자 콜모고로프(Kolmogorov, A. N.; 1903~1987)는 모든 표본공간에서 정의할 수 있는 확률을 공리를 도입하여 정의하였다. 이것을 공리적 확률이라고 한다. 공리적 확률은 전체 공간의 확률이 1인 르베그측도(Lebesque measure)로 정의한다. 이것은 수학적 확률 또는 통계적 확률과 같이 구체적인 식으로 확률을 정의하는 것이 아니라 확률이 가지고 있어야 할 수학적 기본 성질을 나타내어 확률을 정의한다.</p> <p>정의 11 공리적 확률 표본공간 $ S $에 대한 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}, \cdots $에 대하여,<ul> <li>(공리 1) $ 0 \leq P\left(A_{i}\right) \leq 1 $</li> <li>(공리 2) $ P(S)=1 $</li> <li>(공리 3) $ i \neq j $일 때, $ A_{i} \cap A_{j}=\phi $이면 $ P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_{i}\right) $</li></ul>를 만족하는 확률을 공리적 확률이라고 한다.</p> <p>표본공간이 이산인 경우에 각 원소가 같은 정도로 발생할 것이 기대되면 그 경우에는 수학적 확률이 위의 공리를 만족하므로 수학적 확률로 확률을 구하고, 각 원소가 같은 정도로 발생할 것이 기대되지 않으면 통계적 확률이 위의 공리를 만족하므로 통계적 확률로 확률을 구한다. 또 연속인 경우에는 길이, 넓이, 부피 등의 기하적 측도가 위의 공리를 만족하므로 적분을 도입하여 확률을 구한다. 공리적 확률은 르베그 적분으로 정의하기 때문에 표본공간이 무한인 경우에도 적용할 수 있다.</p> <p>예제 11 한 변의 길이가 2인 정사각형의 내부에 임의로 한 점을 찍을 때, 정사각형의 밑변과 이루는 삼각형이 둔각삼각형이 될 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 정사각형의 내부에 찍는 한 점이 정사각형의 밑변을 지름으로 하는 반원의 내부에 있을 때, 둔각삼각형이 된다. 정사각형의 넓이는 $ 2 \times 2=4 $이고 반원의 넓이는 $ 1 \times 1 \times \pi \times \frac{1}{2}=\frac{\pi}{2} $이다. 따라서 구하는 확률은 $ \frac{\pi}{8} $이다.</p> <p>예제 36 파란 공 4개와 빨간 공 4개가 어떤 상자 안에 들어 있다. 여기서 2개의 공을 꺼낸다고 할 때, 2개가 모두 파란 공일 확률을 다음의 조건 아래에서 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>비복원 추출</li> <li>동시추출</li> <li>복원추출</li></ol> <p>풀이 파란 공을 꺼내는 사건을 $ A $라 하자.</p> <p>(1) 사건 $ A $의 경우의 수는 4개의 파란 공에서 차례대로 2개의 공을 꺼내는 것이므로 순열의 수에 의하여 $ { }_{4} P_{2} $이고 전체 경우의 수는 8개의 공에서 차례대로 2개의 공을 꺼내는 것이므로 순열의 수에 의하여 $ { }_{8} P_{2} $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A)=\frac{{ }_{4} P_{2}}{{ }_{8} P_{2}}=\frac{3}{14} \] 이다.</p> <p>(2) 사건 $ A $의 경우의 수는 동시에 2개를 꺼내는 것이므로 조합의 수에 의하여 $ { }_{4} C_{2} $이고 전체 경우의 수는 8개의 공에서 동시에 2개를 꺼내는 것이므로 조합의 수에 의하여 $ { }_{8} C_{2} $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A)=\frac{{ }_{4} C_{2}}{{ }_{8} C_{2}}=\frac{3}{14} \]이다.</p> <p>(3) 사건 $ A $의 경우의 수는 4개의 파란 공에서 2개의 공을 첫 번째 공을 꺼낸 조건과 같은 상태에서 꺼내는 것이므로 중복순열의 수에 의하여 $ { }_{4} \Pi_{2} $이고 전체 경우의 수는 8개의 공에서 2개의 공을 첫 번째 공을 꺼낸 조건과 같은 상태에서 꺼내는 것이므로 중복순열의 수에 의하여 $ { }_{8} \Pi_{2} $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ P(A)=\frac{{ }_{4} \Pi_{2}}{{ }_{8} \Pi_{2}}=\frac{4^{2}}{8^{2}}=\frac{1}{4} \]이다.</p> <p>중복집합을 대상으로 하는 두 번째 순열은 같은 것을 포함하는 순열이다.</p> <p>정의 17 같은 것을 포함하는 순열과 같은 것을 포함하는 순열의 수 전체 $ n $개의 원소에 같은 것이 각각 $ n_{1} $개, $ n_{2} $개, $ \cdots, n_{m} $개 있을 때, 전체 $ n $개를 모두 일렬로 배열하는 방법을 같은 것을 포함하는 순열이라 하고, 이 순열의 경우의 수를 같은 것을 포함하는 순열의 수라고 한다.</p> <p>정리 8 같은 것을 포함하는 순열의 수의 계산 각각 $ n_{1} $개, $ n_{2} $개, $ \cdots, n_{m} $개씩의 같은 것을 포함하고 있는 전체 $ n $개의 원소를 일렬로 배열하는 같은 것을 포함하는 순열의 수는 \[ \frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \cdots n_{m} !} \text { ( 단, } n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{m}=n \text { ) } \] 이다.</p> <p>증명 같은 것을 포함하는 순열의 수는 $ n $칸짜리 한 줄로 연결된 빈 상자에 각 원소를 배열하는 방 법의 수와 같다. 먼저 $ n $개의 빈 상자에서 $ n_{1} $개의 상자를 선택하여 배열하는 경우의 수는 $ { }_{n} C_{n_{1}} $이다. 그 다음 $ n_{1} $개를 제외한 $ \left(n-n_{1}\right) $개의 빈 상자에서 $ n_{2} $개의 상자를 선택하여 배열하는 경우의 수는 $ { }_{n-n_{1}} C_{n_{2}} $이다. 마찬가지 방법으로 $ n_{2} $개를 더 제외한 $ \left(\left(n-n_{1}\right)-n_{2}\right) $개의 빈 상자에서 $ n_{3} $개의 상자를 선택하여 배열하는 경우의 수는 $ { }_{n-n_{1}-n_{2}} C_{n_{3}} $이다. 위의 방법들을 반복하여 마지막 $ n_{m-1} $개를 더 제외한 $ \left(\left(n-n_{1}-\right.\right. $ $ \left.\left.\cdots-n_{m-2}\right)-n_{m-1}\right) $개의 빈 상자에서 $ n_{m} $개의 상자를 선택하여 배열하는 경우의 수는 $ n-n_{1}-n_{2}-\cdots-n_{m-1} C_{n_{m}} $이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는 \[\begin{array}{l} { }_{n} C_{n_{1}} \cdot{ }_{n-n_{1}} C_{n_{2}} \cdot{ }_{n-n_{1}-n_{2}} C_{n_{3}} \cdots \cdots \cdot{ }_{n-n_{1}-n_{2}-\cdots-n_{m-1} C_{n_{m}}} \\ =\frac{n !}{\left(n-n_{1}\right) ! n_{1} !} \cdot \frac{\left(n-n_{1}\right) !}{\left(n-n_{1}-n_{2}\right) ! n_{2} !} \cdot \frac{\left(n-n_{1}-n_{2}\right) !}{\left(n-n_{1}-n_{2}-n_{3}\right) ! n_{3} !} \cdot \cdots \\ \quad \cdot \frac{\left(n-n_{1}-n_{2}-\cdots-n_{m-1}\right) !}{\left(n-n_{1}-n_{2}-\cdots-n_{m}\right) ! n_{m} !} \\ =\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \cdots n_{m} !} \end{array} \]이다.</p> <p>예제 37 4개의 흰색 깃발, 2개의 붉은 깃발, 2개의 파란 깃발이 있다. 이것을 일렬로 세우는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 각 색의 깃발별로 같은 것이 포함되어 있는 경우이다. 따라서 구하는 방법의 수는 \[ \frac{(4+2+2) !}{4 ! \cdot 2 ! \cdot 2 !}=420 \text { (가지) } \]이다.</p> <p>예제 38 2개의 0과 6개의 1을 모두 나열하여 만든 이진수의 개수를 구하시오.</p> <p>풀이1 전체 8개의 숫자를 배열하는데 각 숫자별로 같은 것이 포함되어 있는 경우이다. 따라서 구하는 방법의 수는 \[ \frac{(2+6) !}{2 ! \cdot 6 !}=28(\text { 가지 }) \]이다.</p> <p>풀이 2 아래와 같이 6개의 1을 먼저 배열하고 생긴 일곱 개의 사이에 0을 배열한다.</p> <p>$ \begin{array}{lllllllllllll}\vee & 1 & \vee & 1 & \vee & 1 & \vee & 1 & \vee & 1 & \vee & 1 & \vee\end{array} $</p> <p>위의 체크한 자리에 0을 배열할 수 있는 방법은 2개의 0을 묶어서 한 자리를 선택하여 배열하거나 두 자리를 선택하여 0을 한 개씩 배열하는 것이다. 따라서 합의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 \[ { }_{7} C_{1}+{ }_{7} C_{2}=28 \text { (가지) } \] 이다.</p> <p>예제2 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 다음을 구하시오.</p> <ol type = 1 start=1><li>표본공간</li> <li>근원사건</li> <li>서로 다른 면이 나오는 사건</li> <li>서로 같은 면이 나오는 사건</li> <li>(3)의 빈도와 상대빈도</li> <li>(4)의 빈도와 상대빈도</li> <li>(3)과 (4)의 합사건</li> <li>(3)과 (4)의 곱사건</li></ol> <p>풀이 서로 다른 두 개의 동전을 던지는 시행에서 두 개의 동전 각각의 결과를 순서쌍으로 나타내면 (앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면)이다.</p> <p>(1) 표본공간은 모든 가능한 결과의 집합이므로 $ S= \{ ( $ 앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면 $ ) \} $ 이다.</p> <p>(2) 근원사건은 한 개의 표본점만을 결과로 갖는 사건이므로 $ \{ ( $ 앞면, 앞면 $ ) \} , \{ ( $ 앞면, 뒷면 $ ) \} , \{ ( $ 뒷면, 앞면 $ ) \} , \{ ( $ 뒷면, 뒷면 $ ) \} $ 이다.</p> <p>(3) 서로 다른 면이 나오는 사건을 $ A $라 하면 \[ A= \{ ( \text { 앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면 } ) \} \] 이다.</p> <p>(4) 서로 같은 면이 나오는 사건을 $ B $라 하면 \[ B= \{\text { (앞면, 앞면), (뒷면, 뒷면) } \} \] 이다. 이때, $ B=A ^ { c } $이고 $ A=B ^ { c } $이다.</p> <p>(5) 빈도는 각 사건을 구성하는 표본점들의 개수이므로 \[ n(A)=2 \] 이고, 상대빈도는 표본공간의 빈도에 대한 각 사건의 빈도의 비이므로 \[ \frac { n(A) } { n(S) } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \] 이다.</p> <p>(6) (5)와 마찬가지로 빈도는 \[ n(B)=2 \] 이고, 상대빈도는 \[ \frac { n(B) } { n(S) } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \] 이다.</p> <p>(7) 두 사건 $ A $와 $ B $의 합사건은 $ A \cup B= \{ ( $ 앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면) $ \} $ 이다. 따라서 여기서는 특별히 합사건 $ A \cup B $와 표본공간 $ S $가 같다. 즉, $ A \cup B=S $ 이다.</p> <p>참고 순열의 수 사이의 관계식</p> <ol type=1 start=1><li>$ { }_{n} P_{r}=\frac{n !}{(n-r) !}( $ 단, $ n, r $ 은 정수, $ 0 \leq r \leq n) $</li> <li>$ { }_{n} P_{n}=n ! $</li> <li>$ 0 !=1 $</li> <li>$ { }_{n} P_{0}=1 $</li></ol> <p>예제25 7개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7에서 서로 다른 4개를 택하여 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수를 구하시오.</p> <p>풀이 서로 다른 7개에서 4개를 택하는 순열의 수이다. 따라서 구하는 정수의 개수는 \[ { }_{7} P_{4}=\frac{7 !}{(7-4) !}=7 \times 6 \times 5 \times 4=840 \text { (개) } \] 이다.</p> <p>예제26 민희는 3벌의 긴 바지와 2벌의 치마, 2벌의 반바지를 갖고 있다. 일주일 동안 매일 다른 하의를 입을 수 있는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 하의가 모두 7벌이므로 월요일에 입을 수 있는 하의는 7벌이고, 화요일에 입을 수 있는 하의는 6벌이다. 이와 같은 방법을 반복하면 일요일에 입을 수 있는 하의는 1벌이다. 따라서 구하는 방법의 수는 \[ { }_{7} P_{7}=7 !=7 \times 6 \times \cdots \times 2 \times 1=5040 \text { (가지) } \] 이다.</p> <p>예제 27 현경이는 소설책 5권과 시집 4권, 만화책 3권을 책꽂이에 꽂으려고 한다. 같은 종류끼리 배치하는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>풀이 종류별로 책을 분류하면 3개의 묶음이 되고 이를 일렬로 책꽂이에 꽂는 방법의 수는 $ 3 !=3 \times 2 \times 1=6 $(가지)이다. 이때, 소설책끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 $ 5 ! $, 시집끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 $ 4 ! $, 만화책끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 $ 3 ! $이다. 따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는 \[ 3 ! \times(5 ! \times 4 ! \times 3 !)=6 \times(120 \times 24 \times 6)=103680(\text { 가지 }) \] 이다.</p> <p>예제 28 바닷가에 위치한 어떤 리조트에는 3층부터 10층까지 각 층마다 씨뷰 룸이 5개, 가든뷰 룸이 5개 있다. 동건, 우성, 병헌이네 가족이 이 리조트에 객실을 각각 한 개씩 예약할 때, 세 가족 모두 7층의 씨뷰 룸으로 객실을 배정받을 확률을 구하시오. (단, 예약이 안 되는 경우는 없으며 객실 배정은 임의로 한다.)</p> <p>풀이 리조트의 객실의 총 수는 $ (5+5) \times 8=80 $이므로 세 가족이 80개의 객실 중 3개의 객실을 배정받는 경우의 수는 $ { }_{80} P_{3} $가지이다. 이때, 7층의 씨뷰 룸으로 객실을 배정받는 경우의 수는 $ { }_{5} P_{3} $가지이다. 따라서 구하는 확률은 \[ \frac{{ }_{5} P_{3}}{{ }_{80} P_{3}}=\frac{5 \times 4 \times 3}{80 \times 79 \times 78}=\frac{1}{8216} \] 이다.</p> <p>예제29 지혜와 준형이를 포함한 8명이 극장에 가서 나란히 붙은 8개의 좌석에 일렬로 앉을 때, 지혜와 준형이가 나란히 앉게 될 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 8명이 일렬로 앉는 총 방법의 수는 $ 8 ! $가지이다. 지혜와 준형이를 묶어서 한 사람으로 볼 때, 7명을 일렬로 앉히는 방법의 수는 $ 7 ! $가지이고 지혜와 준형이가 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 $ 2 ! $가지이므로 지혜와 준형이가 나란히 앉는 방법의 수는 $ 7 ! \times 2 ! $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ \frac{7 ! \times 2 !}{8 !}=\frac{(7 \times 6 \times \cdots \times 2 \times 1) \times(2 \times 1)}{8 \times 7 \times \cdots \times 2 \times 1}=\frac{1}{4} \] 이다.</p> <p>사건의 확률 모형은 등식이 아닌 부등식으로도 표현이 가능하다. 합사건과 곱사건에 대한 확률 부등식을 알아보자.</p> <p>정리 3 불의 부등식(Boole's inequality) 표본공간 $ S $의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $에 대하여, 다음의 부등식이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P\left(A_{1} \cup A_{2}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) $</li> <li>$ P\left(A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) $, 즉 \[ \quad P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \]</li></ol> <p>증명 (1) 두 사건 $ A_{1} $과 $ A_{2} $의 합사건의 확률 $ P\left(A_{1} \cup A_{2}\right) $는 확률의 덧셈정리에 의하여 $ P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)-P\left(A_{1} \cap A_{2}\right) $이거나 $ P\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) $이다. 따라서 합사건의 확률은 \[ P\left(A_{1} \cup A_{2}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \] 이다.</p> <p>(2) 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $의 합사건 $ A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{n} $은, 즉 $ \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}=\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) \cup A_{n} $이다. 변형된 합사건의 확률 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right)=P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) \cup A_{n}\right) $ 은 부등식 (1)에 의하여 \[ P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) \cup A_{n}\right) \leq P\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right)+P\left(A_{n}\right) \] 이다. 여기서 우변 중 확률 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) $에 위의 과정을 적용하면 \[ P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) \cup A_{n}\right) \leq P\left(\bigcup_{i=1}^{n-2} A_{i}\right)+P\left(A_{n-1}\right)+P\left(A_{n}\right) \] 이다. 마찬가지로 우변 중 확률 $ P\left(\bigcup_{i=1}^{n-2} A_{i}\right) $ 에 위의 과정을 반복하여 적용하면 \[ \begin{array}{l} P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_{i}\right) \cup A_{n}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right), \\ \quad \text { 즉 } P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right) \leq P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+\cdots+P\left(A_{n}\right) \end{array} \] 이다. 따라서 $ n $개의 사건의 합사건의 확률은 \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \] 이다.</p> <p>정리 4 본페로니의 부등식(Bonferroni's inequality) 표본공간 $ S $의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $에 대하여, 다음의 부등식이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \geq 1-P\left(A_{1}^{c}\right)-P\left(A_{2}^{c}\right) $</li> <li>$ P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}\right) \geq 1-P\left(A_{1}^{c}\right)-P\left(A_{2}^{c}\right)-\cdots-P\left(A_{n}^{c}\right) $, 즉 $ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right) \geq 1-\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}^{c}\right) $</li></ol> <p>증명 (1) 두 사건 $ A_{1} $과 $ A_{2} $의 곱사건 $ A_{1} \cap A_{2} $는 집합에서의 드 모르간 법칙에 의하여 $ \left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right)^{c} $이다. 그러므로 곱사건 $ A_{1} \cap A_{2} $의 확률은 \[ P\left(A_{1} \cap A_{2}\right)=P\left(\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right)^{c}\right) \] 이고 여사건의 성질에 의하여 우변의 확률은 \[ P\left(\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right)^{c}\right)=1-P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) \] 이다. 여기서 우변의 확률은 두 사건의 합사건이므로 불의 부등식 (1)에 의하여 확률 $ P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) $은 \[ P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) \leq P\left(A_{1}^{c}\right)+P\left(A_{2}^{c}\right) \] 이고 위의 부등식은 \[ 1-P\left(A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c}\right) \geq 1-\left(P\left(A_{1}^{c}\right)+P\left(A_{2}^{c}\right)\right) \] 이다. 따라서 곱사건의 확률은 \[ P\left(A_{1} \cap A_{2}\right) \geq 1-P\left(A_{1}^{c}\right)-P\left(A_{2}^{c}\right) \] 이다.</p> <p>(2) 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $의 $ n $개의 곱사건 $ A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n}=\bigcap_{i=1}^{n} A_{i} $는 집합에서의 드모르간 법칙에 의하여 $ \bigcap_{i=1}^{n} A_{i}=\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}\right)^{c} $이다. 그러므로 여사건에 의하여 변형된 $ n $개의 사건의 곱사건의 확률은 \[ P\left(\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}\right)^{c}\right)=1-P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}\right) \] 이고 불의 부등식 (2)를 적용하면 우변의 확률은 \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}^{c}\right) \leq \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}^{c}\right) \] 이다. 따라서 $ n $개의 사건의 곱사건의 확률은 \[ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}\right) \geq 1-\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}^{c}\right) \] 이다.</p> <p>예제 21 어떤 전자회사에서 생산하는 전자레인지는 90개의 주요 부품으로 구성되어 있다고 한다. 각 부품의 수명이 5년 안에 고장 나지 않을 확률이 0.999로 동일할 때, 이 기계가 적어도 5년 안에 고장 나지 않을 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 전자레인지의 90개의 부품이 고장 나지 않을 경우의 사건을 $ A_{i} $라 하면 $ P\left(A_{i}\right)=0.999 $이고 여사건의 확률은 $ P\left(A_{i}^{c}\right)=1-P(A)=0.001 $이다. (단, $ i=1,2, \cdots, 90 $) 전자레인지가 고장 나지 않기 위해서는 90개의 부품이 모두 고장 나지 않아야 하므로 구하는 확률은 90개의 사건의 곱사건의 확률 $ P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{90}\right) $이다. 따라서 본페로니의 부등식 (2)에 의하여 구하는 확률은 \[ P\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{90}\right)=P\left(\bigcap_{i=1}^{90} A_{i}\right) \geq 1-\sum_{i=1}^{90} P\left(A_{i}^{c}\right)=1-(0.001 \times 90)=0.91 \] 이다.</p> <h2>1.3.2 사건의 독립과 종속</h2> <p>두 사건의 관계에 있어서 한 사건이 발생할 확률이 다른 사건이 발생할 확률에 영향을 주는 경우를 조건부확률로 살펴보았다. 이와 반대로 한 사건이 발생할 확률이 다른 사건이 발생할 확률에 영향을 주지 않는 경우를 생각할 수 있다. 예를 들어, 3개의 흰 공과 5개의 검은 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 두 번 꺼낼 때, 첫 번째 공이 흰 공일 사건을 $ A $, 두 번째 공이 흰 공일 사건을 $ B $라 하고 조건부확률 $ P(B \mid A) $를 구해보자. 이때, 주머니에서 공을 꺼내는 방법에는 첫 번째 꺼낸 공을 다시 넣고 두 번째 공을 꺼내는 복원추출의 방법과 첫 번째 꺼낸 공을 다시 넣지 않고 두 번째 공을 꺼내는 비복원추출의 방법이 있다.</p> <p>복원추출의 방법으로 구한 조건부확률은 $ P(B \mid A)=\frac{3}{8} $ 인데, 이것은 사건 $ B $의 확률 $ P(B)=\frac{3}{8} $과 같다. 즉 $ P(B \mid A)=P(B) $이다. 이와 같이 사건 $ A $가 발생했을 때의 사건 $ B $의 조건부확률이 사건 $ B $의 확률과 같을 때, 사건 $ A $와 사건 $ B $는 독립이라고 한다.</p> <p>비복원추출의 방법으로 구한 조건부확률은 첫 번째에서 흰 공을 꺼낸 후 한 개의 흰 공이 줄어든 상태에서 다시 흰 공을 꺼낼 확률이므로 $ P(B \mid A)=\frac{2}{7} $이다. 이때, 전확률의 법칙에 의하여 사건 $ B $의 확률은 \[ \begin{aligned} P(B) &=P(A \cap B)+P\left(A^{c} \cap B\right)=P(A) \cdot P(B \mid A)+P\left(A^{c}\right) \cdot P\left(B \mid A^{c}\right) \\ &=\frac{3}{8} \times \frac{2}{7}+\frac{5}{8} \times \frac{3}{7}=\frac{3}{8} \end{aligned} \]이다. 즉 $ P(B \mid A) \neq P(B) $이다. 이와 같이 사건 $ A $가 발생했을 때의 사건 $ B $의 조건부 확률이 사건 $ B $의 확률과 같지 않을 때, 사건 $ A $와 사건 $ B $는 종속이라고 한다.</p> <p>정의 21 독립과 종속 표본공간 $ S $의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 사건 $ A $가 발생했을 때의 사건 $ B $의 조건부확률이 사건 $ B $가 발생할 확률과 같을 때, 즉 $ P(B \mid A)=P(B) $일 때, 사건 $ A $와 사건 $ B $는 서로 독립(independence)이라 하고, 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여, 사건 $ A $가 발생했을 때의 사건 $ B $의 조건부확률이 사건 $ B $가 발생할 확률과 같지 않을 때, 즉 $ P(B \mid A) \neq P(B) $일 때, 사건 $ A $와 사건 $ B $는 서로 종속(dependence)이라고 한다.</p> <p>전확률의 법칙은 임의의 한 사건의 확률을 표본공간의 분할된 모든 사건의 조건부 확률에 의하여 정리하였다. 이와 비슷한 확률모형으로 실험의 시행 후에 결정되는 확률로 한 사건이 발생했음을 알고 있을 때, 그것이 특정 사건 안에서 발생했을 확률을 베이즈의 정리 또는 사후확률이라고 한다.</p> <p>정리 13 베이즈의 정리(Bayes's theorem) $ n $개의 사건 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} $이 표본공간 $ S $의 분할일 때, 사건 $ B $가 발생했다는 조건 아래 각 사건 $ A_{i} $의 조건부 확률은 0이 되거나 다음이 성립한다. (단, $ i=1,2 $, $ \cdots, n) $<p>$ P\left(A_{i} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{i} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right)} $</p></p> <p>증명 사건 $ B $가 발생했다는 조건 아래 각 사건 $ A_{i} $의 조건부 확률은 \[ P\left(A_{i} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{i} \cap B\right)}{P(B)} \] 이다. 여기서 곱사건의 확률에는 확률의 곱셈정리 Ⅰ을 적용하고 사건 $ B $의 확률에는 전확률의 법칙을 적용한다. 따라서 조건부확률은 \[ P\left(A_{i} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{i} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right) \cdot P\left(B \mid A_{i}\right)} \] 이다.</p> <p>예제50 어떤 시험의 선다형 문제에서 학생은 정답을 알거나 추측한다. 학생이 정답을 알고 있을 확률은 0.6이고 문제의 보기는 5개라고 한다. 한 학생이 답을 맞추었을 때, 그 학생이 답을 알고 있었을 확률을 구하시오.</p> <p>풀이 정답을 알고 있는 사건을 $ A_{1} $, 답을 추측한 사건을 $ A_{2} $, 정답을 맞추는 사건을 $ B $라 하면 $ P\left(A_{1}\right)=0.6, P\left(A_{2}\right)=1-P\left(A_{1}\right)=1-0.6=0.4 $이다. 그리고 정답을 알고 있는 경우에 답을 맞출 확률은 $ P\left(B \mid A_{1}\right)=1 $이고 답을 추측한 경우에 답을 맞출 확률은 $ P\left(B \mid A_{2}\right)=\frac{1}{5}=0.2 $ 이다. 그러므로 답을 맞춘 학생이 답을 알고 있었을 경우의 조건부 확률은 $ P\left(A_{1} \mid B\right)=\frac{P\left(A_{1} \cap B\right)}{P(B)} $이다. 여기서 확률의 곱셈정리 Ⅰ에 의하여 정답을 알고 있고 답을 맞춘 확률은 $ P\left(A_{1} \cap B\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right) $이고 전확률의 법칙에 의하여 답을 맞춘 확률은 $ P\left(A_{1}\right)=P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right) $이다. 따라서 구하는 확률은 \[ \begin{aligned} P\left(A_{1} \mid B\right) &=\frac{P\left(A_{1} \cap B\right)}{P(B)}=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1} \cap B\right)+P\left(A_{2} \cap B\right)} \\ &=\frac{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)}{P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(B \mid A_{2}\right)} \\ &=\frac{0.6 \times 1}{0.6 \times 1+0.4 \times 0.2}=\frac{15}{17}\end{aligned}\]이다.</p> <p>순서를 고려하여 배열하는 순열과 달리 순서를 고려하지 않고 일렬로 배열하는 방법은 조합이다. 조합의 수의 기호는 조합의 영어 단어인 Combination의 첫 글자 C를 사용하여 나타낸다.</p> <p>정의 14 조합(combination)과 조합의 수 서로 다른 $ n $개의 원소에서 순서를 고려하지 않고 $ r $개를 선택하는 것을 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 경우의 수를 조합의 수라고 한다.<p>◦ 기호</p> <p>조합의 수 ⭢ $ { }_{n} C_{r} $ 또는 $ \left(\begin{array}{l}n \\ r\end{array}\right) $ 또는 $ C(n, r) $</p></p> <p>정리 6 조합의 수의 계산 서로 다른 $ n $개의 원소에서 $ r $개를 택하는 조합의 수는 \[ { }_{n} C_{r}=\frac{{ }_{n} P_{r}}{r !}=\frac{n !}{r !(n-r) !} \quad(\text { 단, } 0 \leq r \leq n) \] 이다.</p> <p>증명 서로 다른 $ n $개의 원소로부터 $ r $개를 택한 후 다시 $ r $개의 원소에 순서를 부여하여 일렬로 배열하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여 $ { }_{n} C_{r} \cdot r $이다. 이것은 $ n $개의 원소로부터 $ r $개를 선택하여 일렬로 나열하는 순열의 수 $ { }_{n} P_{r} $ 과 같다. 즉 $ { }_{n} C_{r} \cdot r !={ }_{n} P_{r} $이다. 따라서 조합의 수는 \[ { }_{n} C_{r}=\frac{{ }_{n} P_{r}}{r !}=\frac{n !}{r !(n-r) !} \] 이다.</p> <p>서로 다른 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 것은 $ (n-r) $개를 남기는 것이므로 조합의 수 $ { }_{n} C_{r} $은 $ n $개에서 남긴 $ (n-r) $을 택하는 조합의 수 $ { }_{n} C_{n-r} $과 같다. 그리고 서로 다른 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 방법의 수는 어느 특정한 한 개를 선택하는 경우와 선택하지 않는 경우가 있다. 이때, 어느 특정한 한 개를 선택하는 방법의 수는 $ { }_{n-1} C_{r-1} $개이고 선택하지 않는 방법의 수는 $ { }_{n-1} C_{r} $개이다. 따라서 서로 다른 $ n $개에서 $ r $개를 택하는 조합의 수는 위의 두 방법의 수의 합과 같다. 즉 $ { }_{n} C_{r}={ }_{n-1} C_{r-1}+{ }_{n-1} C_{r} $이다. 또한 $ r=n $일 때, 조합의 수 $ { }_{n} C_{n} $은 $ { }_{n} C_{n}=\frac{{ }_{n} P_{n}}{n !}=\frac{n !}{n ! \times 0 !} $이므로 1이고 $ r=0 $일 때, $ { }_{n} C_{0} $은 $ { }_{n} C_{n} $과 같으므로 1이다.</p>	자연
이공계를 위한 미분적분학_미분의 응용	<h2>4.6 최적화 문제</h2> <p>산업 현장에서 요구되는 것들은 최소의 생산비용, 최대의 이윤, 우주선의 최대 가속도, 최소 에너지 등등인데 최대 또는 최소가 핵심이다. 이러한 상황을 적절하게 함수를 이용해 표현함으로써 해결책을 모색 해 볼 수 있는데. 수학에서는 이를 최적화 문제(Optimization problems)라 한다. 최적화 문제는 관련된 함수 들의 최대값 혹은 최소값을 구하는 것으로 귀착되는데, 이 절에서는 지금까지 배운 것들을 바탕으로 몇 가지 문제를 다루어 보기로 하자.</p> <p>예제1 2400 미터의 길이의 철망으로 강을 따라 그림 1 과 같이 강 쪽에는 철 망을 치지 않고 직사각형의 닭장을 만들고자 한다. 닭장의 면적을 가장 넓게 하려면 어떻게 만들어야 하는가 알아보자. 우선 닭장의 세로를 $ x $, 가로를 $ y $ 라 두면 닭장의 면적 $ A $ 는 $ A=x y $ 이다. 이 문제를 해결하기 위해 면적을 변수 $ x $ 를 가지는 함수 $ A(x) $ 로 표현하여 보자. 울타리의 전체 길이가 2400 미터이므로 $ 2 x+y=2400 $ 으로부터 $ y=2400-2 x $ 가 되어, 면적 함수는 \[ A(x)=xy=x(2400-2 x)=2400 x-2 x^{2} \] 가 되고 정의역은 $ 0 \leq x \leq 1200 $ 이다. 이제 최적화 문제는 함수 $ A(x) $ 의 최대값으로 해결된다. 우선 1계 도함수 $ A^{\prime}(x)=2400-4 x $ 에서 임계점은 $ 2400-4 x $ $ =0 $ 을 만족하는 점 $ x=600 $ 이고, 임계점 근방에서 $ A^{\prime}(x) $ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $ A(600)=720,000 $ 은 극대값이 된다. 이 극대값과 정의역 구간의 양 끝점에서 함수값 $ A(0)=0, A(1200)=0 $ 을 비교하면 최대값은 $ A(600) $ $ =720,000 $ 이다. 즉. 세로가 600 미터, 가로가 1200 미터가 되도록 만들면 최대의 면적을 얻게 된다. 1계도함수 판정법으로 최대와 최소가 결정할 수 있는데, 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <p>8. 극값과 1 계도함수 판정법 $ c $ 가 닫힌구간에서 정의된 연속 함수 $ f $ 의 임계점이라 하자.<ol type=a start=1><li>$ x<c $ 에서 $ f^{\prime}(x)>0 $ 이고 $ x>c $ 에서 $ f^{\prime}(x)<0 $ 이면, $ f(c) $ 는 $ f $ 의 최대값이 된다.</li> <li>$ x< c$ 에서 $ f^{\prime}(x)<0 $ 이고 $ x>c $ 에서 $ f^{\prime}(x)>0 $ 이면. $ f(c) $ 는 $ f $ 의 최소값이 된다.</li></ol> <p>예제 2 용량이 1리터( $ \mathrm{L}) $인 원통을 만드는데 필요한 철판의 비용을 최소화하는 문제를 풀어 보자. 비용을 최소화한다는 것은 철판의 크기를 최소화하는 것 이고, 이는 원통의 겉넓이를 최소화한다는 것이므로, 원동의 겉넓이를 나타내는 함수가 필요하다. 그림 2 와 같이 원통 밑면의 반지름이 $ r $, 높이를 $ h $ 라 하자(길이의 단위는 $ \mathrm{cm} $ 이다).</p> <p>그림 3 에서와 같이 표면은 면적이 $ \pi r^{2} $ 인 원 두개와 가로가 $ 2 \pi r $ 이고 세로가 $ h $ 인 직사각형 하나로 이루어져 있으므로, 표면적은 \[ A=2 \pi r^{2}+2 \pi r h \] 이 된다. 그런데 원통의 부피는 $ 1 \mathrm{~L}=1,000 \mathrm{~cm}^{3} $ 이므로 $ \pi r^{2} h=1000 $ 이 되고, 여기서 $ h=1000 /\left(\pi r^{2}\right) $ 를 얻을 수 있다. 따라서 $ r>0 $ 에 대하여 $ A $ 는 $ r $ 에 대한 함수 \[ A(r)=2 \pi r^{2}+2 \pi r\left(\frac{1000}{\pi r^{2}}\right)=2 \pi r^{2}+\frac{2000}{r} \] 으로 표현된다. 이제 1 계 도함수 $ A^{\prime}(r)=4 \pi r-\frac{2000}{r^{2}}=\frac{4\left(\pi r^{3}-500\right)}{r^{2}} $ 은 $ r=0 $ 에서 정의되지 않지만 $ \mathrm{A} $ 의 정의역 $ (0, \infty) $ 에 속하지 않으므로 임계점이 될 수 없다. 따라서 임계짐은 $ A^{\prime}(r)=0 $ 또는 $ \pi r^{3}=500 $ 을 만족하는 점 $ r=\sqrt[3]{500 / \pi} $ 이 유일하다. 이제 $ r<\sqrt[3]{500 / \pi} $ 인 $ r $ 에서 $ A^{\prime}(r)<0 $ 이고 $ r>\sqrt[3]{500 / \pi} $ 인 $ r $ 에서 $ A^{\prime}(r)>0 $ 이므로, 1 계 도함수 판정법에 의해 $ r=\sqrt[3]{500 / \pi} $ 에서 최소가 된다, 또한 $ r=\sqrt[3]{500 / \pi} $ 인 경우 $ h $ 는 \[ h=\frac{1000}{\pi r^{2}}=\frac{1000}{\pi(500 / \pi)^{2 / 3}}=2 \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}=2 r \] 이므로, 철판의 비용을 최소화하려면 반지름은 $ \sqrt[3]{500 / \pi} $, 높이는 반지름의 두 배 즉 지름 $ 2 \sqrt[3]{500 / \pi} $ 와 같게 하면 된다.</p> <p>주 예제 2 는 음함수 미분법을 사용해도 된다. 부피를 나타내는 공식 $ \pi r^{2} h=1000 $ 을 이용하여 $ A(r)=2 \pi r^{2}+2 \pi r h $ 의 $ h $ 를 제거하는 대신에, 음함수 미분법을 적용하여 보자. 이 함수를 $ r $ 에 대하여 미분하면 $ A^{\prime}(r)=4 \pi r+2 \pi k+2 \pi r h $ '이므로, 임계점 $ a $ 은 $ A^{\prime}(a)=0 $ 즉</p> <p>(1) $ 2 a r+h+a h^{\prime}=0 $</p> <p>을 만족하게 된다. 또한 부피 공식 $ \pi r^{2} h=1000 $ 을 $ r $ 에 대하여 음함수 미분하면 $ 2 \pi r h+\pi r^{2} $ $ h^{\prime}=0 $ 이므로 $ 2 \hbar+r h^{\prime}=0 $ 을 얻는다. 임계점 $ a $ 도 이 식을 만족하므로</p> <p>(2) $ 2 h+a h^{\prime}=0 $</p> <p>가 되는데, 식 (1), (2)를 풀면 $ 2 a-h=0 $를 얻어 $ h=2 n $ 라는 결론을 내릴 수 있다.</p> <p>이제 3장에서 공부한 미분과 그 법칙들이 실생활에서 일어나는 문제들을 해결하는데 어떻게 활용되는지 알아보기로 하자. 특히 미분을 통해 함수의 최대값과 최소값을 구하는 방법을 배울 것인데. 이는 생산 현장에서 요구하는 최소의 비용. 최적의 걸과 등을 예측하는 최적화 문제 해결에 직접 활용됨을 알게 될 것이다.</p> <h1>4.1 최대값과 최소값</h1> <p>정의역 $ D $ 에서 함수 $ f $ 가 가지는 극값(extreme value)에 대하여 알아보기로 하자</p> <p>정의 함수 $ f $ 의 징의역 $ D $ 의 모든 점 $ x $ 에 대해 $ f(c) \geq f(x) $ 를 만족하면 $ f $ 는 $ c $ 에서 최대(absolute maximum 혹은 global maximum)가 된다고 하고, $ f(c) $ 를 $ D $ 위에서의 $ f $ 의 최대값(maximum value)이라고 한다.</p> <p>마찬 가지로, $ D $ 의 모든 점 $ x $ 에 대해 $ f(c) \leq f(x) $ 를 만족하면 함수 $ f $ 는 $ c $ 에 서 최소(absolute minimum 혹은 global minimum)가 된다고 하고, $ f(c) $ 를 $ D $ 위에서의 $ f $ 의 최소값(minimum value)이라고 한다.</p> <p>그림 1 에서 함수 $ f $ 는 $ d $ 에서 최대값, $ a $ 에서 최소값을 가진다는 것을 알 수 있는데, 그래프에서 $ (d, f(d)) $ 는 최고점이고 $ (a, f(a)) $ 는 최저점임을 알 수 있다.</p> <p>그런데, $ b $ 근방의 구간 $ (a, c) $ 의 점 $ x $ 에서는 $ f(x) \leq f(b) $ 이므로 $ f(b) $ 는 이 구간에서는 가장 큰 함수값이 되고, $ c $ 근방의 구간 $ (b, d) $ 의 점 $ x $ 에서는 $ f(c) \leq f(x) $ 이므로 $ f(c) $ 는 이 구간에서 가장 작은 함수값이 되는데. 이러한 점들은 다음과 같이 특별한 이름으로 구별하기로 한다.</p> <p>정의 $ c $ 근방의 모든 점 $ x $ 에서 $ f(c) \geq f(x) $ 가 만족하면 함수 $ f $ 는 $ c $ 에서 극대(local maximum 훅은 relative maximum)라 하고, $ f(c) $ 는 극대값 이라 한다.</p> <p>마찬가지로 $ f(c) \leq f(x) $ 을 만족하면 함수 $ f $ 는 $ c $ 에서 극소 (local maximum 혹은 relative maximum)라 하고 $ f(c) $ 를 극소값이라 한다.</p> <p>예제 1 함수 $ f(x)=\cos x $ 는 모든 실수 $ x $ 에 대해 $ -1 \leq \cos x \leq 1 $ 이므로, 최대값은 1 이고 최소값은 $ -1 $ 이다. 또한 모든 정수 $ n $ 에 대하여 $ \cos 2 n \pi=1 $ 이기 때문에 $ 2 n \pi $ 에서 극소가 되고, $ \cos (2 n+1) \pi=-1 $ 이므로 $ (2 n+1) \pi $ 에서 극소가 되어 극대, 극소가 되는 점들이 무수히 많다.</p> <p>예제 2 함수 $ f(x)=x^{2} $ 은 모든 실수 $ x $ 에 대해 $ x^{2} \geq 0 $ 이므로 $ f(x) \geq f(0) $ 임을 알 수 있다. 따라서 $ f(0)=0 $ 이 $ f $ 의 최소값이고 동시에 극소값도 된다 (그림 2 참조). 반면, 함수 $ f(x)=x^{3} $ 은 최대값과 최소값 어느 것도 가지지 않 을 뿐 더러 극대나 극소도 갖지 않는다(그림 3 참조).</p> <p>예제 3 그림 4 는 $ -1 \leq x \leq 4 $ 에서의 함수 $ f(x)=3 x^{4}-16 x^{3}+18 x^{2} $ 의 그래프이다, $ f(1)=5 $ 는 극대값이지만 최대값은 아니다. 사실, 최대값은 $ f(-1)=37 $ 이 되는데 정의역 끝점에서 발생한다. 한편 $ f(0)=0 $ 은 극소값에 지나지 않지만, $ f(3)=-27 $ 은 극소값인 동시에 최소값도 된다. 정의역 끝점 $ x=4 $ 에서 $ f $ 는 극대도 최대도 아님에 유의하자.</p> <p>이상의 예제에서 함수들이 극값들을 가질 수도 있고 아닐 수도 있음을 보았다. 어떤 경우에 극값이 보장될까? 다음 정리에서 이를 확인할 수 있는데. 중명은 까다로우므로 생락하기로 한다.</p> <p>1. 극값 정리 함수 $ f $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 연속함수이면, $ f $ 는 정의역 안의 어떤 수 $ c $ 와 $ d $ 에서 최대값 $ f(c) $ 와 최소값 $ f(d) $ 를 반드시 가진다.</p> <p>예제 3 에서와 같이 극값은 하나 이상 있을 수 있다. 그러나 그림 5 와 6 에서처럼 극값 정리가 요구하는 두 가지 조건 중 어느 것이라도 빠지면 함수의 극값은 보장 되지 않는다. 그림 5 는 함수 $ f $ 가 닫힌구간 $ [0,2] $ 에서 정의되었지만 연속이 아니므로 극값 정리가 성립하지 않는다. 특히 1. 에서 연속성 조건이 만족되지 않음에 따라, 함수의 최대값이 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. 그림 6 의 함수 $ g $ 는 구간 $ (0,2) $ 에서 연속이지만. $ (0,2) $ 가 닫힌구간이 아니므로 극값 정리가 성립하지 않는다. 사실, 그래프는 이 구간에서 최대값도 최소값도 가지지 않는다는 것을 알 수 있다.</p> <p>극값 정리는 극값의 존재는 확인해 주지만 이 값을 찾는 방법은 제시하지 않는다. 이제 극값을 구하는 방법을 알아보기로 하자. 그림 7 의 그래프는 $ c $ 에서 극대값을 갖고 $ d $ 에서 극소값을 갖는다. 그런데, 이 점들을 지나는 접선이 수평이므로 기울기가 0 이 되어 $ f^{\prime}(c)=0 $ 이고 $ f^{\prime}(d)=0 $ 라는 결론을 내릴 수 있다.</p> <p>2. 정리 함수 $ f $ 가 점 $ c $ 에서 극값을 가지고 $ f^{\prime}(c) $ 가 존재한다면, \[ f^{\prime}(c)=0 \text { 이다. } \]</p> <p>증명 우선 $ f^{\prime}(c) $ 가 존재한다는 사실로부터 $ f^{\prime}(c)=f^{\prime}(c+)=f^{\prime}(c-) $ 임을 기억하여 두자. 이제 $ f $ 가 $ c $ 에서 극대값을 가진다고 하면 이는 $ c $ 근방의 $ x $ 에 대하여 $ f(c) \geq f(x) $ 임을 말한다. 다시 말해서 층분히 작은 $ h $ 에 대하여 $ f(c) \geq f(c+h) $, 즉 $ f(c+h)-f(c) \leq 0 $ 임을 뜻한다. 만약 $ h>0 $ 이면 $ \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0 $ 이 되므로 오른쪽극한을 통해 \[ f^{\prime}(c)=f^{\prime}(c+)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq \lim _{h \rightarrow 0^{+}} 0=0 \] 을 엳고, 만약 $ h<0 $ 이면 $ \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0 $ 이므로 왼쪽극한을 통해 \[ f^{\prime}(c)=f^{\prime}(c-)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq \lim _{h \rightarrow 0^{-}} 0=0 \] 를 얻는다. 이상의 사실로부터 $ f^{\prime}(c)=0 $ 이 됨을 알 수 있다. $ f(c) $ 가 극소값인 경우에도 마찬가지 방법으로 증명이 가능하다.</p> <h3>■ 곡선의 오목과 볼록</h3> <p>그림 5 에는 두 가지 형태의 증가함수가 있는데 그 차이는 $ A $ 와 $ B $ 사이의 곡선 들이 서로 다른 방향으로 굽어져 있다는 데 있다. 이를 미분을 통해 표현하는 방 법을 찾기 위해서 그림 6 에서와 같이 곡선의 점에서 접선을 그려보자. 그러면 그 림 6(a)에서는 곡선이 접선들 위에 존재하고 그림 6(b)에서는 곡선이 접선들 아 래에 위치하는 특징으로 확연히 구별되는데, 이들을 함수의 오목성(concavity) 또는 볼록성(convexity)이라고 한다.<p>정의 구간 $ I $ 에서 함수 $ f $ 의 그래프가 각 점에서의 접선 위에 놓여 있으면 $ I $ 에서 위로 오목(concave upward)하다고 하고, $ f $ 의 그래프가 각 점에서 의 접선 아래에 놓여 있으면 $ I $ 에서 아래로 오목(concave downward)하다 고 한다.</p> <p>위에서 이미 미분을 통해 함수의 오목성을 구별하였는데, 이를 좀 더 조사해 보자. 우선 그림 $ 6(\mathrm{a}) $ 를 살펴보면, 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 각 점에서의 접 선의 기울기가 증가한다는 것을 알 수 있다. 이것은 도함수 $ f^{\prime} $ 이 증가함수라는 것을 뜻하는데, 함수 $ f^{\prime} $ 의 도함수 $ f^{\prime \prime} $ 의 값이 양수인 경우에 해당한다. 마찬가 지로, 그림 $ 6(\mathrm{~b}) $ 에서는 $ f^{\prime \prime} $ 의 값이 음수에 해당된다. 이 사실의 역 명제도 참인데 증명은 생략하기로 한다.</p> <p>8 오목성 판정법 (Concavity Test)</h3> <p>구간 $ I $ 의 모든 점 $ x $ 에서<ol type=a start=1><li>$ f^{\prime \prime}(x)>0 $ 이면 $ f $ 의 그래프는 $ I $ 에서 위로 오목하다.</li> <li>$ f^{\prime \prime}(x)<0 $ 이면 $ f $ 의 그래프는 $ I $ 에서 아래로 오목하다.</li></ol></p> <p>위로 오목은 아래로 볼록, 아래로 오목은 위로 볼록과 동치인데 여기서는 오 목에 초점을 두기로 한다. 곡선의 오목성질이 위에서부터 아래로 변하거나 혹 은 아래로부터 위로 변하는 순간이 있는데 이들 점을 다음과 같이 구별하기로 하자.</p> <p>정의 점 $ P $ 에서 연속인 함수 $ f $ 의 그래프가 $ P $ 근방에서 위로 오목에서 아 래로 오목으로, 혹은 아래로 오목에서 위로 오목으로 변하면 $ P $ 를 변곡점 (inflection point)이라 부른다.</p> <p>오목성 판정법에서 보면 2계 도함수 값의 부호가 바뀌는 점이 변곡점이다. 만일 그래프가 변곡점에서 접선을 가지면, 그 접선은 그래프를 관통하게 된다. 그림 7은 함수의 오목성을 나타낸 것인데, 위로 오목은 $ \mathrm{CU} $, 아래로 오목은 $ \mathrm{CD} $ 로 표시하였다. 여기서 변곡점은 $ B, C, D, P $ 인데, 변곡점에서 곡선의 오목한 방향이 바뀜을 알 수 있다.</p> <p>예제 3. 다음의 조건<ol type=i start=1><li>$ (-\infty, 1) $ 에서 $ f^{\prime}(x)>0 $ 이고 $ (1, \infty) $ 에서 $ f^{\prime}(x)<0 $</li> <li>$ (-\infty,-2) $ 과 $ (2, \infty) $ 에서 $ f^{\prime \prime}(x)>0 $ 이고 $ (-2,2) $ 에서 $ f^{\prime \prime}(x)<0 $</li> <li>$ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-2 $ 이고 $ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0 $</li></ol></p> <p>$G $. 정의역 $ D $ 에서 2계 도함수는 다음과 값이 구해진다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime \prime } (x) &= \frac { 2(x + 1) ^ { 3 / 2 } (6 x + 4)- \left (3 x ^ { 2 } + 4 x \right ) 3(x + 1) ^ { 1 / 2 } } { 4(x + 1) ^ { 3 } } \\ &= \frac { 3 x ^ { 2 } + 8 x + 8 } { 4(x + 1) ^ { 5 / 2 } } . \end {aligned} \] 여기서 정의역 $ D $ 의 모든 점 $ x $ 에서 분모는 항상 양수이고, 분자도 \[ 3 x ^ { 2 } + 8 x + 8=3 \left (x- \frac { 4 } { 3 } \right ) ^ { 2 } + \frac { 8 } { 3 } \geq \frac { 8 } { 3 } \] 이 되어 양수이다. 이는 정의역 $ D $ 의 모든 $ x $ 에 대해 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $ 임을 말하므로, 정의역 $ (-1, \infty) $ 전체에서 위로 오목하다는 것이고 따라서 변곡점은 없다. 이상을 종합하여 그래프를 그리면 그림 6 과 같다.</p> <p>예제 3 함수 $ f(x)=x e ^ { x } $ 에서</p> <p>$A $. 정의역은 $ \mathbb { R } $ 이다.<p>$B $. $ x $ 절편과 $ y $ 절편은 둘 다 0 이므로 원짐 $ (0,0) $ 을 지닌다.</p> <p>$C $. 대칭성, 주기성 모두 해당사항 없다.</p> <p>$D $. 음의 무한대에서의 극한은 로피탈 법칙을 적용하면 \[ \lim _ { x \rightarrow- \infty } x e ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow- \infty } \frac { x } { e ^ { -x } } = \lim _ { x \rightarrow- \infty } \frac { 1 } { -e ^ { -x } } = \lim _ { x \rightarrow- \infty } \left (-e ^ { x } \right )=0 \] 이므로 $ y=0 $ 즉. $ x $ 측은 수평점근선이다. 반면, 양의 무한대에서의 극한 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } x e ^ { x } = \infty $ 은 점근선과 무관하지만 그래프의 형태를 예측하는데 도움이 된다.</p> <p>$E $. 1계 도함수 $ f ^ {\prime } (x)=x e ^ { x } + e ^ { x } =(x + 1) e ^ { x } $ 에서 $ e ^ { x } $ 은 항상 양수이므로, $ x + 1>0 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이고, $ x + 1<0 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이 된다. 따라 서 $ f $ 는 $ (-1, \infty) $ 에서 증가하고 $ (- \infty,-1) $ 에서 감소한다.</p> <p>$F $. 임계점은 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 인 경우에만 생기므로 $ x=-1 $ 은 유일한 임계점이 된다. $ x=-1 $ 근방에서 $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 음으로부터 양으로 변하므로 $ f(-1)=-e ^ { -1 } $ 은 극대값이다.<p>$G $. 2 계 도함수 $ f ^ {\prime \prime } (x)=(x + 1) e ^ { x } + e ^ { x } =(x + 2) e ^ { x } $ 에서 $ x>-2 $ 인 경우 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $ 이고 $ x<-2 $ 인 경우 $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $ 임을 알 수 있다. 따라서 $ f $ 는 $ (-2, \infty) $ 에서 위로 오목하고 $ (- \infty,-2) $ 에서 아래로 오목하게 되므로, 이로부터 $ \left (-2,-2 e ^ { -2 } \right ) $ 는 변곡점이 됨을 알 수 있다.</p> <p>이상을 종합하여 그래프를 그리면 그림 7과 같다.</p> <p>예제4 함수 $ y= \frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 1 } $ 에서</p> <p>$A $. 모든 실수 $ x $ 에 대하여 분모 $ x ^ { 2 } + 1 $ 은 결코 0 이 아니므로 정의역은 $ \mathbb { R } $ 이 된다.<p>$B $. $ x $ 절편과 $ y $ 절편은 모두 0 이므로 원점 $ (0,0) $ 을 지난다.<p>$C $. $ f(-x)=-f(x) $ 로 $ f $ 는 홀함수이므로 그래프는 원짐에 대해 대칭이다. 주기성은 없다.<p>$D $. 분모가 0이 되는 경우가 없기 때문에 무한대의 극한이 나을 수가 없다. 따라서 수직짐근선은 존재하지 않는다. 또한 $ x \rightarrow \infty $ 일 때 $ f(x) \rightarrow \infty $ 이고 $ x \rightarrow- \infty $ 일 때 $ f(x) \rightarrow- \infty $ 이므로, 수평점근선도 존재하지 않는다.</p> <p>■ 근사값의 정확도</p> <p>뉴턴의 방법은 특히 프로그램 할 수 있는 계산기나 컴퓨터를 사용하여 근사해를 구할 때 매우 편리한데, 문제는 몇 번째 근사해에서 계산을 멈추어야 하는가 이다. 이는 원하는 근사해가 어느 정도의 정확도를 요구하는가에 따라 달라진다. 예를 들어 소수점 이하 여덟째짜리 까지 정확한 근사해를 얻고자 한다면. 근사해 $ x_ { n } $ 과 $ x_ { n + 1 } $ 이 소수점 이하 여덟째 자리까지 같을 때 멈추면 된다. 이유는 $ n $ 이후부터의 근사해는 소수점 이하 여덟째 까지 모두 같을 것이기 때문이 다. 예제 2 에서 이를 확인하여 보자.</p> <p>예제 2 뉴턴의 방법을 이용하여 $ \sqrt[6] { 2 } $ 의 근사값을 소수점 이하 여덟째 자리까지 구하여 보자. 우선 $ \sqrt[6] { 2 } $ 를 해로 가지는 방정식은 $ x ^ { 6 } -2=0 $ 이므로 $ f(x)=x ^ { 6 } -2 $ 라 둔다. 그러면 $ f ^ {\prime } (x)=6 x ^ { 5 } $ 이므로 근사해들은 \[ x_ { n + 1 } =x_ { n } - \frac { x_ { n } ^ { 6 } -2 } { 6 x_ { n } ^ { 5 } } \] 로 구해진다. 이제 초기 근사해로 $ x_ { 1 } =1 $ 을 택하면 \[ \begin {array} { l } x_ { 2 } \approx 1.16666667, x_ { 3 } \approx 1.12644368, x_ { 4 } \approx 1.12249707 . \\ x_ { 6 } \approx 1.12246205, x_ { 6 } \approx 1.12246205, \cdots \end {array} \] 등이 된다. 그런데 $ x_ { 5 } $ 와 $ x_ { 6 } $ 이 소수점 이하 여덟째 자리까지 같으므로 원하는 근사해는 $x_ { 5 } $ 즉, $ \sqrt[6] { 2 } \approx 1.12246205 $ 이 된다.</p> <p>예제 3 방정식 $ \cos x = x $ 의 근사해를 소수점 이하 여덟째 자리까지 정확도를 가지도록 구하여 보자. 방정식은 $ \cos x-x=0 $ 와 동치이므로 함수는 $ f(x)= \cos x-x $ 라 두면 된다. 그러면 $ f ^ {\prime } (x)=- \sin x-1 $ 이므로 근사해는 식 (2)에 의해 (3) $ x_ { n + 1 } =x_ { n } - \frac {\cos x_ { n } -x_ { n } } { - \sin x_ { n } -1 } =x_ { n } + \frac {\cos x_ { n } -x_ { n } } {\sin x_ { n } + 1 } $ 로 구해진다. 초기 근사해를 선택하기 위하여 여기서는 주어진 방정식의 실제 해 가 $ y= \cos x $ 와 $ y=x $ 의 교점임을 상기하자(그림 4 참조). 보다 정밀한 그림 5 에서 이 교점의 $ x $ 좌표가 1 보다 작다는 것이 파악되므로 초 기 근사해는 $ x_ { 1 } =1 $ 로 택하는 것이 적절하다. 그러면 식(3)으로 부터 \[ \begin {aligned} x_ { 2 } & \approx 0.75036387, x_ { 3 } \approx 0.73911289 \\ x_ { 4 } & \approx 0.73908513, x_ { 5 } \approx 0.73908513, \cdots \end {aligned} \] 이 되고, 소수점 이하 여덟째 자리까지 같은 근사해는 $ x_ { 4 } $ 와 $ x_ { 5 } $ 이므로 원하는 방정식의 근사해는 $ x_ { 4 } \approx 0.739085 $ 이다.</p> <p>주 예제 3 에서 초기 근사해로 $ x_ { 1 } =0.75 $ 을 선택하여 보자. 그러면 뉴턴의 방법에 따라 $ x_ { 2 } \approx 0.73911114, x_ { 3 } \approx 0.73908513, x_ { 4 } \approx 0.73908513, \cdots $ 이 되므로, 예제 3 과 같은 결과를 한 단계 앞선 $ x_ { 3 } $ 에서 얻는다. 이 차이는 원하는 근사해를 구하는데 초기 근사해를 잘 선택함으로써 계산을 빨리 끝낼 수 있다는 사실을 반영해준다.</p> <p>그러나 이 함수는 사점근선을 가지는데, 이를 조사하기 위해 분모를 분자로 나누어 보자. 그러면</p>\[ f(x)= \frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + 1 } =x- \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } \] 을 얻는데. $ x \rightarrow \pm \infty $ 일 때 \[ f(x)-x=- \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } =- \frac {\frac { 1 } { x } } { 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \rightarrow 0 \] 이므로, 직선 $ y=x $ 는 사점근선이 된다.<p>$E $. 1 계 도함수 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 3 x ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )-x ^ { 3 } \cdot 2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = \frac { x ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + 3 \right ) } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } $ 는 $ \mathbb { R } $ 에서 정의된다. 특히 0 을 제외한 모든 $ x $ 에 대해 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이므로 $ f $ 는 모든 실수에서 증가 한다.<p>$F $. $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 을 만족하는 임계점은 0 인데, 0 근방에서 $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 변하지 않으므로 이점은 극점이 아니다.<p>$G $. 2계 도함수 $ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac {\left (4 x ^ { 3 } + 6 x \right ) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } - \left (x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } \right ) \cdot 2 \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) 2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 4 } } $ $ = \frac { 2 x \left (3-x ^ { 2 } \right ) } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } $ 는 $ \mathbb { R } $ 에서 정의되고, $ f ^ {\prime \prime } (x)=0 $ 을 만족하는 점은 분자에만 영항을 받으므로 변곡점이 될 가능성은 $ x=0, x= \pm \sqrt { 3 } $ 에서 일어난다.</p> <p>아래 표에서 $ ( \sqrt { 3 } , 3 \sqrt { 3 } / 4),(- \sqrt { 3 } ,-3 \sqrt { 3 } / 4),(0,0) $ 은 모두 변곡점 이되는 것을 알 수 있다.</p> <p>극값을 찾을 때 정리2를 근거로 무턱대고 $ f ^ {\prime } (x) = 0 $ 을 만족하는 해 $ x $ 를 구하는 것은 아주 위험하다. 예를 들어 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } $ 는 $ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } $ 이므로 $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 을 얻는다. 그러나 $ f $ 는 0 에서 극값을 가지지 않는데, 실제로 $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 은 $ (0,0) $ 에서 수평 접선을 가진다는 의미일 뿐이다(그림 8 참조). 반면에. 함수 $ f(x)=\|x\| $ 는 0 에서 극소값인 동시에 최소값인 0 을 갖지만, $ f ^ {\prime } (0) $ 은 존재하지 않는다(그림 9 참조). 방금 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 라는 조건이 $ c $ 에서 극값을 가진다는 보장이 되지 않을 뿐 더 러. $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하지 않음에도 불구하고 $ c $ 에서 극값을 가질 때도 있음을 알았다. 따라서 $ f $ 의 극값을 구하기 위해서는 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하지 않는 경우 모두를 포함하여 다루어야 하는데, 이들에 특별한 이름을 불여 구별하기로 한다.</p> <p>정의 함수 $ f $ 의 정의역에 있는 점 $ c $ 가 $ f $ 의 임계점(critical point)이라는 것 은 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하지 않는 경우이다.</p> <p>$ f $ 가 $ c $ 에서 극대이거나 극소를 가지면 $ c $ 는 반드시 $ f $ 의 임계짐이 된다. 그러나 이 역은 참이 아닌데 다음 예제에서 이를 확인하여 보자.</p> <p>예제 4 함수 $ f(x)=x ^ { (3 / 5) } (4-x) $ 의 도함수는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \frac { 3 } { 5 } x ^ { -2 / 5 } (4-x) + x ^ { 3 / 5 } (-1) \\ &= \frac { 3(4-x) } { 5 x ^ { 2 / 5 } } - x ^ { 3 / 5 } \\ &= \frac { 3(4-x)-5 x } { 5 x ^ { 2 / 3 } } = \frac { 12-8 x } { 5 x ^ { 2 / 5 } } \end {aligned} \]</p> <p>예제 2 함수 $ f(x) = \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x + 1 } } $ 에서</p> <p>$A $. 정의역은 $ D= \{ x \mid x + 1>0 \} = \{ x \mid x>-1 \} =(-1, \infty) $ 이다.</p> <p>$B $. $ x $ 와 $ y $ 절편은 둘 다 0 으로 원점 $ (0,0) $ 을 지난다.</p> <p>$C $. 대칭성, 주기성은 해당사항 없다.</p> <p>$D $. 정의역에 따라 양의 무한대에서의 극한만 조사하면 되는데, $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x + 1 } } $ $ = \infty $ 이므로 수평점근선은 없다.</이제 정의억의 왼쪽 긑점 $ -1 $ 에서 분모가 0 이 되므로 수직점근성의 가능성이 있다. 사실 $ x \rightarrow-1 ^ { + } $ 일 때 $ \sqrt { x + 1 } \rightarrow 0 $ 이고 $ f(x) $ 는 항상 양수이므로 $ \lim _ { x \rightarrow-1 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x + 1 } } = \infty $ 이 되고 따라서 직선 $ x=-1 $ 은 수점근선이 된다.<p>$E $ . 1 계 도함수 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 2 x \sqrt { x + 1 } -x ^ { 2 } \cdot 1 /(2 \sqrt { x + 1 } ) } { x + 1 } = \frac { x(3 x + 4) } { 2(x + 1) ^ { 3 / 2 } } $ 를 살펴보면. 징의역의 모든 짐 $ x $ 에서 $ 3 x + 4>0 $ 이므로 $ f ^ {\prime } $ 의 부호는 $ \frac { x } {\sqrt { (x + 1) ^ { 3 } } } $ 에 따라 걸징덥을 알 수 있다, 이를 풀면 $ -1<x<0 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이고 $ x>0 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이므로 $ f $ 는 $ (-1,0) $ 에서 감소하고 $ (0, \infty) $ 에서 증가한다.<p>$F $. 1계 도함수의 분모를 0 으로 하는 점 $ -1 $ 은 정의역 $ D $ 에 속하지 않으므로 임계점이 되지 않는다, 이제 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 을 만족하는 짐은 $ x=0 $ 과 $ - \frac { 4 } { 3 } $ 인데. $ - \frac { 4 } { 3 } $ 또한 $ f $ 의 정의역 $ D $ 에 속하지 않으므로 임계점이 뇔 수 없다. 따라서 유일한 임계점은 0 이고, 0 근방에서 $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 음에서 양으로 변하므로 극대값 $ f(0)=0 $ 을 가지는데 1계도함수 판정법에 의해서도 극대값임을 알 수 있다.</p> <p>$G $. 변곡점과 오목성 2 계 도함수 $ y=f ^ {\prime \prime } (x) $ 로부터 함수의 오목성이 파악된다. 즉. $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $ 인 구간에서는 위로 오목하고, $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $ 인 구간에서는 아래로 오목하다. 변곡점들은 오목의 방향이 변하는 곳에서 발생하는데, $ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime \prime } (c) $ 가 존재하지 않는 점들을 대상으로 오목의 방향이 바뀌는지 반드시 확인해야 한다.</p> <p>지금부터 위의 항목을 바탕으로 함수의 그래프를 그려 보기로 하자. 다양한 함수들의 그래프를 되도록 많이 그려봄으로써 그래프를 결정짓는 항목들에 익숙해지도록 해야한다.</p> <p>예제 1 함수 $ y= \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } $ 에서<p>$A $. 정의역은 $ D= \left \{ x \mid x ^ { 2 } -1 \neq 0 \right \} = \{ x \mid x \neq \pm 1 \} =(- \infty,-1) \cup(-1,1) \cup $ $ (1, \infty) $ 이다.</p> <p>$B $. $ x $ 절편과 $ y $ 절편은 둘 다 0 , 즉 그래프는 원점 $ (0,0) $ 을 지난다.</p> <p>$C $. $ f(-x)=f(x) $ 로 $ f $ 는 짝함수이므로, 그래프는 $ y $ 축 대칭이다. 주기성은 해당사항 없다.</p> <p>$D $. 양 음의 무한대에서의 극한이 $ \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } = \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 2 } { 1-1 / x ^ { 2 } } =2 $ 이므로, 직선 $ y=2 $ 는 수평점근선이다. 또한 분모를 0 으로 하는 점 $ x= \pm 1 $ 에서 왼쪽 · 오른쪽 극한을 구하면 \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } = \infty, \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { - } } \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } =- \infty \\ \lim _ { x \rightarrow-1 ^ { + } } \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } =- \infty, \lim _ { x \rightarrow-1 ^ { - } } \frac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } = \infty \end {array} \] 이므로, 직선 $ x=1 $ 과 $ x=-1 $ 은 모두 수직점근선이 된다.</p> <h2>4.3 연습문제</h2><ol type=1 start=1><li>아래에 주어진 $ f $ 의 그래프를 이용해서 다음을 구하여라.<ol type=a start=1><li>$ f $ 가 증가하는 가장 큰 열린구간</li><li>$ f $ 가 감소하는 가장 큰 열린구간</li><li>$ f $ 가 위로 오목인 가장 큰 열린구간</li><li>$ f $ 가 아래로 오목인 가장 큰 열린구간</li><li>변곡점의 좌표</li></ol></ol><p>※ (2-7) 다음의 함수 $ f $ 에 대하여 (a) 증가 혹은 감소하는 구간 (b) 임계점과 극값 (c) 변곡점과 구간에 따른 오목성 을 조사하여라.</p><ol type=1 start=2><li>$ f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3 $</li><li>$ f(x)=x-2 \sin x, \quad 0<x<3 \pi $</li><li>$ f(x)=x^{2} e^{x} $</li><li>$ f(x)=x \ln x $</li><li>$ f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} $</li><li>$ f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3} $</li></ol><p>※ (8-11) 1계, 2계도함수 판정법을 모두 사용하여 $ f $ 의 극값에 대하여 조사하고, 어느 판정법이 더 쉬운지 알아보아라.</p><ol type=1 start=8><li>$ f(x)=x^{5}-5 x+3 $</li> <li>$ f(x)=\frac{x}{x^{2}+4} $</li> <li>$ f(x)=x+\sqrt{1-x} $</li> <li>$ f(x)=5-3 x^{2}+x^{3} $</li> <li>$ f^{\prime \prime} $ 이 $ (-\infty, \infty) $ 에서 연속이라고 가정하자.<ol type=a start=1><li>$ f^{\prime}(2)=0 $ 이고 $ f^{\prime \prime}(2)=-5 $ 이면. $ f $ 에 대해 무엇을 말할 수 있는가?</li> <li>$ f^{\prime}(6)=0 $ 이고 $ f^{\prime \prime}(6)=0 $ 이면, $ f $ 에 대해 무엇을 말할 수 있는가?</li></ol></li><li>$ -2 $ 에서 극대값 3,1 에서 극소값 0 을 가지는 삼차함수 $ f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d $ 를 구하여라.</li> <li>함수 $ f(x)=a x e^{b x^{2}} $ 가 극대값 $ f(2)=1 $ 을 가지려면 $ a, b $ 는 어떤 값을 가져야 하는가?</li></ol><p>※ (15-20) 다음 함수에 대하여 (a) 증가 혹은 감소하는 구간 (b) 임계점과 극값 (c) 변곡점과 오목성 (d) 수직과 수평점근선을 구하고 이들 결과를 종합하여 그래프를 그려라.</p><ol type=1 start=15><li>$ f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1} $</li> <li>$ f(x)=\frac{x^{2}}{(x-2)^{2}} $</li> <li>$ f(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x $</li> <li>$ f(x)=x \tan x,-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} $</li> <li>$ f(x)=e^{\frac{-1}{x+1}} $</li> <li>$ f(x)=\ln \left(\tan ^{2} x\right) $</li> <li>다함함수 $ P(x)=x^{4}+c x^{3}+x^{2} $ 이 두 개의 변곡점을 가지려면 $ c $ 의 값을 어떻게 정해야 하는가?</li> <li>$ 0<x<\pi / 2 $ 일 때 $ \tan x>x $ 임을 보여라. [힌트] $ f(x)=\tan x-x $ 가 $ (0, \pi / 2) $ 에서 증가함을 보이면 된다.</li></ol> <h2>4.3 미분과 함수의 그래프</h2> <p>이 절에서는 미분을 통해 파악할 수 있는 함수의 성질에 대하여 조사하고자 한다. 이미 미분계수 $ f^{\prime}(x) $ 가 점 $ (x, f(x)) $ 에서의 함수 $ y=f(x) $ 의 접선의 기울 기라는 걸 배웠는데, 이로써 그래프가 진행하는 방향을 예측할 수 있었다. 미분 을 통해 유추할 수 있는 함수의 성질은 어떤 것들이 있으며, 이들로 인해 그래프가 어떤 영향을 받는지 하나하나 알아보기로 하자.</p> <h3>■ 함수의 증가와 감소</h3> <p>함수 $ f $ 의 도함수를 통해 함수의 증가와 감소가 설명된다. 그림 1 에서 각 점 마다 접선의 기울기를 그려 놓았다.</p>기울기가 양수인 경우는 $ A $ 와 $ B $ 사이에, $ C $ 와 $ D $ 사이에서 나타나는데 이들 구간에서는 $ f^{\prime}(x)>0 $ 임을 알 수 있다. 반 면, 기울기가 음수인 경우는 $ B $ 와 $ C $ 사이인데, 여기서 $ f^{\prime}(x)<0 $ 임을 알 수 있다. 따라서 $ f^{\prime}(x) $ 가 양수일 때 $ f $ 는 증가하고 $ f^{\prime}(x) $ 가 음수일 때 $ f $ 는 감소 한다는 결론을 내릴 수 있는데, 이를 MVT를 이용하면 증명이 가능하다.</p> <p>6. 증감 테스트<ol type=a start=1><li>어떤 구간에서 $ f^{\prime}(x)>0 $ 이면 그 구간에서 $ f $ 는 증가한다.</li> <li>어떤 구간에서 $ f^{\prime}(x)<0 $ 이면 그 구간에서 $ f $ 는 감소한다.</li></ol></p> <p>증명 (a) $ x_{1}<x_{2} $ 인 $ x_{1} $ 과 $ x_{2} $ 를 주어진 구간에서 택하자. 증가함수임을 보이려면 $ f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) $ 임을 보이면 된다. 이제 $ f^{\prime}(x)>0 $ 의 조건에 따라 $ f $ 는 구간 $ \left[x_{1}, x_{2}\right] $ 에서 미분가능하고 따라서 연속도 보장된다. 그러면 MVT에 의해<ol type=1 start=1><li>$ \quad f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x_{2}-x_{1}\right) $</li></ol>을 만족하는 수 $ c $ 가 구간 $ \left(x_{1}, x_{2}\right) $ 에 존재함을 안다. 그런데, 가정에 의 하면 $ f^{\prime}(c)>0 $ 이고 $ x_{2}-x_{1}>0 $ 이므로 식 (1)의 오른쪽 변은 \[ f^{\prime}(c)\left(x_{2}-x_{1}\right)>0 \] 이 된다. 따라서 식 (1)에서 $ f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)>0 $ 혹은 마찬가지로 $ f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right) $ 을 얻는다. (b)도 마찬가지 방법으로 증명된다.</p> <p>주1 수직점근선은 흔히 분수함수의 경우 분모가 0이 되는 점에서 흔히 나타난다. 주 2 수직점근선을 조사하는 경우, $ a $ 에서의 왼쪽. 오른쪽 극한 $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x) $ 와 $ \lim _ { x \rightarrow \varepsilon ^ {\prime } } f(x) $ 을 반드시 구해야 한다. 특히 $ a $ 가 $ f $ 의 정의역의 끝점이거나 혹은 $ f(a) $ 가 정의되지 않은 경우에도 마찬가지로 조사해야 한다는데 유의하자. 주 3 $ \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } f(x) = \pm \infty $ 이면 어뗜 점근선도 형성하지 않지만 그래프를 그릴 때 아주 유용하다.</p> <p>.(ⅲ) 직선 $ y=m x + b $ 이 사점근선(slint asymptote)이라는 것은 \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } [f(x)-(m x + b)]=0 \] 이 되는 경우이다. 이는 그림 4 에서와 갈이 $ y=f(x) $ 의 그래프와 직선 $ y=m x + b $ 사이의 거리가 오른쪽으로 갈수록 점점 0 에 가까워진다는 것 으로 말한다. 때때로 유리함수에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 하나 높을 때 발생한다(그림 4 참조), 마찬가지로 $ \lim _ { x \rightarrow- \infty } [f(x)-(m x + b)] $ $ =0 $ 인 경우도 이에 해당한다.</p> <p>$ E $. 1계 도함수 $ y=f ^ {\prime } (x) $ 로부터 쉽게 파악이 된다. 즉. $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 인 구간에서 $ f $ 는 증가하고, $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 인 구간에서 $ f $ 는 감소한다.</p> <p>$F $. 극대와 극소 임계점 $ c $ 를 먼지 구해야 하는데. $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이거나 $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하지 않는 점 이 이에 해당된다. 임계점 $ c $ 에 대하여 1 계도함수 판정법을 적용하여 $ f(c) $ 가 극 대인지 극소인지 조사한다. 이때, 임계점 $ c $ 에서 $ f ^ {\prime \prime } (c) \neq 0 $ 인 경우에는 2 계도 함수 판정법을 이용해도 된다.</p> <p>이제 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 을 만족하는 점은 $ 12-8 x=0 $, 즉 $ x= \frac { 3 } { 2 } $ 이다, 또한 $ x=0 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 가 존재하지 않으므로 임계점은 $ \frac { 3 } { 2 } $ 과 0 둘 다 해당된다.</p> <p>그러나 그림 10 을 보면 임계점 0 에서 극값을 갖지 않음을 알 수 있다.</p> <p>이제 닫힌 구간에서 정의된 연속함수의 최대값와 최소값을 구체적으로 찾을 준비가 되었다. 이것이 임계점에서 발생하는 경우도 있을 것이고 혹은 닫힌 구간의 끝점에서 발생하는 경우도 있을 것인데, 다음의 세 단계 과정을 거치면 쉽게 얻어진다.</p> <p>3. 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서의 연속함수 $ f $ 의 최대값과 최소값 구하기<ol type= start=1><li>$ (a, b) $ 에 있는 $ f $ 의 임계점에서 함수값을 구함.</li> <li>구간의 양 끝점에서의 함수값을 구함.</li> <li>위 1,2 단계에서 구한 값 중 가장 큰 값이 최대값. 가장 작은 값이 최소값이 된다.</li></ol></p> <p>예제 5 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 1 $ 는 닫힌구간 $ \left [- \frac { 1 } { 2 } , 4 \right ] $ 에서 연속이므로, 극값 정리에 의해 최대값과 최소값이 존재한다. 이제 $ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -6 x $ $ =3 x(x-2) $ 는 구간 내 모든 점 $ x $ 에 대해 존재하므로, $ f $ 의 임계점은 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 즉, $ x=0 $ 또는 $ x=2 $ 이 된다(이 임계점들이 구간 $ \left (- \frac { 1 } { 2 } , 4 \right ) $ 에 있음 을 확인하라) 따라서 두 개의 임계점에서의 함수값 $ f(0)=1, f(2)=-3 $ 과 구간의 양 끝에서의 함수값 $ f \left (- \frac { 1 } { 2 } \right )= \frac { 1 } { 8 } , f(4)=17 $ 로부터 최대값은 $ f(4)=17 $ 이고 최소값은 $ f(2)=-3 $ 임을 알 수 있다(그림 11 참조).</p> <p>14. 밑변이 $ x $ 축 위에 있고 다른 두 꼭지점온 $ x $ 축 위에 있는 포물선 $ y=8-x ^ { 2 } $ 에 있는 사각형 중 최대 넓이를 가지는 경우의 넓이를 구하여라.</p> <p>15. 반지름이 $ r $ 인 원에 내접하는 이등변 삼각헝 중에서 가장 큰 넓이를 가지는 것을 구하여라.</p> <p>16. 반지름이 $ r $ 인 구에 내접하는 직각 원통의 최대 부피와 최대 겉넓이를 구하여라.</p> <p>17. 반지름이 $ r $ 이고 높이가 $ h $ 인 원뿔에 내접하는 직각 원통 의 최대 부피를 구하여라.</p> <p>18. $ 10 \mathrm { ~m } $ 길이의 전선을 둘로 나누어 하나는 정사각형으로 또 다른 하나는 정삼각형으로 만들려고 한다. 두 개의 넓이의 합이 ( $a $) 최대 ( $b $) 최소가 되도록 하려면 어떻게 나누면 되는가?<p>19. 점 (3,5)를 지나는 직선이 1사분면과 만나서 생기는 영역의 넓이가 최소가 되도록 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>20. 같은 둘레를 가지는 이등변 삼각형 중에서 가장 큰 넓이를 가지는 것은 정삼각형임을 보여라.</p> <p>21. 지면에서 수직으로 $ I $ 만큼 높은 곳 $ P $ 에서 마라톤 주자를 보고 있다. 한 마라토너가 다른 마라토너보다 3 배나 빠르게 뚼다고 하면, 두 마라토너 사이의 각 $ \theta $ 가 최대가 되는 값을 구하여라.</p> <p>[ 힌트] $ \tan \theta $ 를 최대화하여라.</p> <p>22. 선분 $ A B $ 에서 점 $ P $ 를 어디에 잡아야 각 $ \theta $ 가 최대로 되는가?</p> <p>23. 다음과 같이 생긴 연을 만들려고 한다. 연 가장자리는 길이가 같은 두 쌍의 나무로 만들었을 때, 연의 넓이를 최대가 되게 하려면 대각선의 길이를 얼마로 해야 하는가?</p> <p>24. 원 뿔 모양의 컵을 만들려고 반지름이 $ R $ 인 부채꼴을 아래 그림과 같이 잘랐다. $ C A $ 와 $ C B $ 를 붙여 만든 최대 부피를 구하여라.</p> <p>25. 24번과 같은 원쎵 모양의 컵이 $ 27 \mathrm { ~cm } ^ { 3 } $ 의 부피를 가지도록 비용을 최소화하여 만들려 한다. 이때 원뿔의 높이와 부채꼴의 반지름을 어떻게 대해야 하는가?</p> <p>(2) $ \quad x_ { n + 1 } =x_ { n } - \frac { f \left (x_ { n } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) } , \quad f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) \neq 0 $</p> <p>이 결과 얻은 수열 $ \left \{ x_ { n } \right \} $ 은 $ r $ 에 수렴한다. 즉 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =r \] 이다(이를 증명하는데 상당한 이론적 배경히 필요한데. 수치해석학과 값은 과목 에서 상세히 다루므로 참조하여라)</p> <p>주 근사해의 수열 $ \left \{ x_ { n } \right \} $ 이 실제의 해에 수렴하는 경우도 있지만 수렴하지 않는 경우도 있다는 것에 유의하자. 예를 들어 그림 3 에서는 $ x_ { 2 } $ 가 $ x_ { 1 } $ 보다 더 나쁜 근사해라는 걸 보여 주는데, 이는 $ f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) $ 의 값이 거의 0 에 가까워 일어나는 현상이다. 또한, 새롭게 구한 근사해가 그림 3 의 $ x_ { n } $ 와 같이 $ f $ 의 정의역 밖에 있을 수도 있다. 이런 나쁜 상황을 피하려면 초기에 근사해 $ x_ { 1 } $ 을 신중히 선택해야 한다.</p> <p>예제 1 방정식 $ x ^ { 3 } -2 x-5=0 $ 의 근사해를 뉴턴의 방법을 적용하여 구하여 보자. 먼저 $ f(x)=x ^ { 3 } -2 x-5 $ 라 두면 $ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -2 $ 이 되므로 근사해들은 식 (2)에 의해 \[ x_ { n + 1 } =x_ { n } - \frac { x_ { n } ^ { 3 } -2 x_ { n } -5 } { 3 x_ { n } ^ { 2 } -2 } \] 로 구해진다. 이제 초기 근사해를 적절히 선택하여 보자. 우선 1 과 3 에서의 함수값이 $ f(1)=-6 $ 과 $ f(3)=16 $ 이므로 IVT에 의해 1 과 3 사이에 해가 존재한다는 결론을 얻을 수 있다. 따라서 초기 근사해로 $ x_ { 1 } =2 $ 를 선택하면 \[ \begin {array} { l } x_ { 2 } =x_ { 1 } - \frac { x_ { 1 } ^ { 3 } -2 x_ { 1 } -5 } { 3 x_ { 1 } ^ { 2 } -2 } =2- \frac { 2 ^ { 3 } -2(2)-5 } { 3(2) ^ { 2 } -2 } \approx 2.1 \\ x_ { 3 } =x_ { 2 } - \frac { x_ { 2 } ^ { 3 } -2 x_ { 2 } -5 } { 3 x_ { 2 } ^ { 2 } -2 } =2.1- \frac { (2.1) ^ { 3 } -2(2.1)-5 } { 3(2.1) ^ { 2 } -2 } \approx 2.0946 \end {array} \] 등으로 근사해들이 구해진다.</p> <h2>4.7 연습문제</h2> <ol type=1 start=1><li>$ y=5 x-4 $ 이 $ x=3 $ 에서의 함수 $ y=f(x) $ 의 접선의 식 이다. 방정식 $ f(x)=0 $ 의 해를 구하는데 초기 근사해를 $ x_{1}=3 $ 이라 두고 뉴턴의 방법을 적용하였다. 두 번째 근사해 $ x_{2} $ 를 구하여라.</li> <li>함수의 그래프가 그림과 같을 때 뉴턴의 방법을 사용하고자 한다. 다음과 같이 초기값을 택한다면 어떤 일이 나타나는지 그래프를 이용해서 설명해 보아라.<ol type=a start=1><li>$ x_{1}=0 $</li> <li>$ x_{1}=1 $</li> <li>$ x_{1}=3 $</li> <li>$ x_{1}=4 $</li> <li>$ x_{1}=5 $</li></ol></li>※ (3-6) 다음의 방정식에서 뉴턴의 방법을 적용하여 구한 세 번째 근사해 $ x_{3} $ 를 소수점 이하 네 번째 자리까지 구하여라. 여기서 $ x_{1} $ 은 초기 근사해이다.<li>$ x^{3}+2 x-4=0, \quad x_{1}=1 $</li> <li>$ x^{3}-x^{2}-1=0, \quad x_{1}=1 $</li> <li>$ x^{4}-20=0, \quad x_{1}=2 $</li> <li>$ x^{5}+2=0, \quad x_{1}=-1 $</li>※ (7-8) 뉴턴의 방법을 이용하여 다음 수의 근사값을 소수점 이하 여덟째 자리의 정확도를 가지도록 구하여라.<li>$ \sqrt[3]{30} $</li> <li>$ \sqrt[7]{1000} $</li>※ (9-12) 뉴턴의 방법을 이용하여 주어진 구간에서 소수점이하 여섯째 자리의 정확도를 가지는 근사해를 구하여라.<li>구간 $ [2,3] $ 에서 $ 2 x^{3}-6 x^{2}+3 x+1=0 $ 의 해</li> <li>구간 $ [1,2] $ 에서 $ x^{4}+x-4=0 $ 의 해</li> <li>$ \sin x=x^{2} $ 의 양수 해</li> <li>$ 2 \cos x=x^{4} $ 의 양수 해</li>※ (13-18) 뉴턴의 방법을 이용하여 다음 방정식의 해를 소수점 이하 여섯째 자리까지 구하여라.<li>$ x^{4}=1+x $</li> <li>$ e^{x}=3-2 x $</li> <li>$ \tan ^{-1} x=1-x $</li> <li>$ \sqrt{x+3}=x^{2} $</li> <li>$ \cos x=\sqrt{x} $</li> <li>$ \tan x=\sqrt{1-x^{2}} $</li> <li>어떤 초기값 $ x_{1}(\neq 0) $ 를 택하더라도 뉴턴의 방법을 통해 방정식 $ \sqrt[3]{x}=0 $ 의 근사해를 찾을 수 없는데, 그 이유를 그림을 통하여 설명하여라.</li> <li>$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x} & , x \geq 0 \\ -\sqrt{-x} & , x<0\end{array}\right. $ 일 때 방정식 $ f(x)=0 $ 의 해는 $ x=0 $ 이다. 이 경우는 어떤 초기값 $ x_{1}(\neq 0) $ 를 택하더라도 뉴턴의 방법을 통해 근사해를 찾을 수 없는데, 이유를 그림을 통해 설명하여라.</li></ol> <h1>4.6 연습문제</h1> <p>※ ( $1 $- $20 $) 다음에 답하여라.<p>$1 $. 차이가 $100 $ 이고 곱이 최소가 되는 두 수를 구하여라.</p> <p>$2 $. 곱이 $100 $ 이고 합이 최소가 되는 두 양수를 구하여라.</p> <p>$3 $. 어느 수와 그 수의 역수와의 합이 최소가 되게 하는 양수 를 구하여라.</p> <p>$4 $. 둘레가 $ 100 \mathrm { ~m } $ 이고 면적이 최대인 사각형을 구하여라.</p> <p>$5 $. 면적이 $ 1,000 \mathrm { ~m } ^ { 2 } $ 이고 둘레가 최소인 사각형을 구하여라.</p> <p>$6 $. 한 변의 길이가 $ 3 \mathrm { ~m } $ 인 정사각형 모양의 판지가 있다. 네 귀퉁이에서 정사각형을 잘라내고 가장자리를 구부려서 웟 면이 없는 상자를 만들면, 이 상자가 가질 최대 부피를 구하여라.</p> <p>$7 $. 어느 농부가 $ 1,500,000 \mathrm { ~m } ^ { 2 } $ 면적의 사각형 대지에 울타리를 치는데. 한 변과 평행인 울타리로 이등분하여 두 개의 영역을 만들고자 한다. 울타리 비용을 최소화하려면 이것을 어떻게 만들어야 하는가?</p> <p>$8 $. 면적이 $ 1,200 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } $ 인 종이로 밑면이 정사각형이고 웟면이 없는 상자를 만들 때, 상자의 부피가 최대가 되도록 만들어 보아라.</p> <p>$9 $. ( $a $) 같은 넓이를 가지는 사각형 중 가장 작은 둘레를 갖는 것은 정사각형임을 보여라.</p> <p>( $b $) 같은 둘레를 가지는 사각형 중에서 가장 큰 넓이를 가지 는 것은 정사각형임을 보여라.</p> <p>$10 $. 직선 $ 6 x + y = 9 $ 위에서 점 $ (-3,1) $ 과 가장 가까이 있는 점을 구하여라.</p> <p>$11 $. 타원 $ 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $ 위에서 점 $ (1,0) $ 과 가장 멑리 떨어져 있는 점을 구하여라.</p> <p>$12 $. 반지름이 $ r $ 인 원에 내접하는 사각형 중에서 가장 큰 넓이를 가지는 사각형을 구하여라.</p> <p>$13 $. 타원 $ x ^ { 2 } / a ^ { 2 } + y ^ { 2 } / b ^ { 2 } =1 $ 에 내접하는 사각형 중 가장 큰 넓이를 가지는 사각형을 구하여라.</p> <h1>4. 4 연습문제</h1> <p>※ ( $1-22 $) 다음 극한을 구하여라. 로피탈 법칙을 적용하기 전 에 기본적인 방법으로 구해지는지 우선 확인해야 함에 유 의하자. 만약 로피탈 법칙을 적용할 수 없으면 그 이유를 설명하라.</p> <p>$1 $. $ \lim _ { x \rightarrow-1 } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x + 1 } $</p> <p>$2 $. $ \lim _ { x \rightarrow-2 } \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } $</p> <p>$3 $. $ \lim _ { x \rightarrow( \pi / 2) ^ { + } } \frac {\cos x } { 1- \sin x } $</p> <p>$4 $. $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x + \tan x } {\sin x } $</p> <p>$5 $. $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { e ^ { t } -1 } { t ^ { 3 } } $</p> <p>$6 $. $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { e ^ { 3 t } -1 } { t } $</p> <p>$7 $. $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x } $</p> <p>$8 $. $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln x } { x } $</p> <p>$9 $. $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ^ { -1 } x } { x } $</p> <p>$10 $. $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x ^ { 2 } } $</p> <p>$11 $. $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { ( \ln x) ^ { 2 } } { x } $</p> <p>$12 $. $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } {\ln \left (1 + 2 e ^ { x } \right ) } $</p> <p>여기서 + 부호는 미분계수들이 양수, $ - $ 부호는 미분계수들이 음수임을 나타낸다. 마지막 행에는 증감 테스트를 적용한 결론을 나타내었다. 이를 바탕으로 그 래프를 그리면 그림 2와 같다. 앞에서 $ f $ 의 극점은 임계점이지만, 임계점이 반드시 극점이지는 않다는 것을 알았다 (4.1절 예제 2 참조), 그렇다면 임계점이 극점이 되는 경우를 어떻게 찾 아낼 수 있을까? 우선, 그림 2 에서 $ f $ 의 그래프가 $ (-1,0) $ 에서 증가하고 $ (0,2) $ 에서 감소하므로 $ f(0)=5 $ 는 $ f $ 의 극대값이 됨을 알 수 있다. 이를 미분 을 이용해서 표현하면, $ -1<x<0 $ 에서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이고 $ 0<x<2 $ 에서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이 된다. 따라서 극대를 가지는 임계점 0 부근에서 $ f ^ {\prime } (x) $ 의 부호 가 양에서 음으로 바뀐다는 것을 알 수 있다. 이를 바탕으로 다음의 유용한 테스트가 얻어진다.</p> <h3>7. 1계도함수 판정법 (First Derivative Test)</h3> <p>$ c $ 가 연속함수 $ f $ 의 임계점이 라고 하자. 만일 $ c $ 부근에서 $ f ^ {\prime } $ 의 함수값이<ol type=a start=1><li>양수에서 음수로 변한다면, $ f $ 는 $ c $ 에서 극대를 가진다.</li> <li>음수에서 양수로 변한다면, $ f $ 는 $ c $ 에서 극소를 가진다.</li> <li>부호가 변하지 않는다면 (즉, $ c $ 의 양 쪽에서 똑같이 양수이거나 혹 은 똑같이 음수), $ f $ 는 $ c $ 에서 극대나 극소를 갖지 않는다.</li></ol></p> <p>예제 1 의 도표에서는 $ f ^ {\prime } (x) $ 가 $ -1 $ 부근에서 음에서 양으로 변하므로 1 계도함 수 판정법에 의하면 $ f(-1) = 0 $ 은 극소값이다. 마찬가지로, $ f ^ {\prime } $ 이 2 부근에서 음에서 양으로 변하므로 $ f(2)=-27 $ 도 극소값이다. 반면, 0 부근에서 $ f ^ {\prime } (x) $ 가 양에서 음으로 변했기 때문에 $ f(0)=5 $ 는 극대값이 된다. 1계도함수 판정법으로부터 함수의 증감테스트가 가능한데, 그림 3을 통하면 이해가 빠르다. 예를 들어서, 그림 3 (a)에서 $ f $ 는 $ c $ 에서 극대를 가지는데, 이 유는 $ f ^ {\prime } (x) $ 의 부호가 $ c $ 에서 양에서 음으로 변하기 때문이다. 즉 $ f $ 가 $ c $ 의 왼 쪽에서는 증가하고 $ c $ 의 오른쪽에서는 감소하므로 $ c $ 에서 극대가 된다. 나머지 그림 (b), (c), (d)에서도 이를 확인하여라.</p> <h2>4.7 뉴턴의 방법</h2> <p>이 절에서는 미분이 방정식 $ f(x) = 0 $ 의 근사해를 구하는데 어떻게 사용되는지 알아 보기로 한다. 사실, 이차 방정식 $ a x ^ { 2 } + b x + c=0 $ 과 값이 공식으로 해의 정확한 값을 얻을 수 있는 몇몇 경우를 제외하고는 다항방정식의 해의 정확한 값을 구하기란 쉽지가 않다. 더구나. 5차 이상의 다항방정식 같은 경우는 일반적으로 해를 구하는 공식 자체가 없다. 또한 $ \cos x-x=0 $ 와 같은 초월방정식 에서는 정확한 해를 구하기가 불가능하다. 이러한 경우 해의 근사값을 효과적으로 어떻게 얻기 위하여 방정식과 연관이 있는 함수를 대상으로 계산기나 컴퓨터 수학 프로그램을 이용한다. 이 절에서는 이러한 의도로 개발되어 있는 다양한 방법들 중에서 뉴턴의 방법(Newton's Method)에 대하여 소개하기로 한다.</p> <p>■ 뉴턴의 방법</p> <p>방정식 $ f(x)=0 $ 의 해 $ r $ 은 함수 $ y=f(x) $ 의 $ x $ 절편임을 감안하여, 근사해를 함수의 그래프를 이용해 구하여 보자(그림 1 참조). 첫 단계로 근사해 $ x_ { 1 } $ 을 적절하게 선택하자 (함수의 그래프에서 추정하거나 혹은 IVT를 이용하면 된다). 그러면 점 $ \left (x_ { 1 } , f \left (x_ { 1 } \right ) \right ) $ 에서의 함수의 접선 $ L $ 의 식은 기울기가 $ f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) $ 이고 $ \left (x_ { 1 } , f \left (x_ { 1 } \right ) \right ) $ 을 지나므로</p> <p>(1) \[ y-f \left (x_ { 1 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) \left (x-x_ { 1 } \right ) \]</p> <p>이다. 다음으로 접선 $ L $ 의 $ x $ 절편을 새로운 근사해 $ x_ { 2 } $ 로 선택하기로 한다. 이는 식 (1)에 $ y=0 $ 를 대입하여 얻어지므로 $ 0-f \left (x_ { 1 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) $ 이 되고, 만약 $ f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) \neq 0 $ 이면 근사해 $ x_ { 2 } $ 는 \[ x_ { 2 } =x_ { 1 } - \frac { f \left (x_ { 1 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) } \] 로 구해진다. 사실 뉴턴의 방법은 한 점을 지나는 접선이 그 점 근방에서의 함수의 그래프와 충분히 가까이 있다는데 근거를 두는데, 이로써 접선의 $ x $ 절편 $ x_ { 2 } $ 가 그래프의 $ x $ 절편 $ r $ 에 충분히 가까이 있을 것이라는 추정이 가능하다. 다시 점 $ \left (x_ { 2 } , f \left (x_ { 2 } \right ) \right ) $ 에서의 함수의 접선을 구하고 이의 $ x $ 절편을 세 번째 근 사해 $ x_ { 3 } $ 로 택하는데, $ f ^ {\prime } \left (x_ { 2 } \right ) \neq 0 $ 인 경우 \[ x_ { 3 } =x_ { 2 } - \frac { f \left (x_ { 2 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 2 } \right ) } \] 로 구해진다. 이 과징을 반복함으로서 근사해 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } , \cdots $ 을 계속하여 얻을 수 있다(그림 2참조). 일반적으로 $ n $ 번째 근사해 $ x_ { n } $ 가 $ f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) \neq 0 $ 인 조건을 만족하는 경우, 근사해 $ x_ { n + 1 } $ 은 다음과 같이 구한다.</p> <p>E. 1계도함수 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 4 x \left (x ^ { 2 } -1 \right )-2 x ^ { 2 } ● 2 x } {\left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } } = \frac { -4 x } {\left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } } $에서 $ f ^ {\prime } $의 부호는 분자 $ -4 x $에 의해 걸징됩을 할 수 있다. 따라서 $ x \neq-1 $이고 $ x<0 $ 이면 $ f ^ {\prime } (x)>0 $이 되고 $ x \neq 1 $이고 $ x>0 $이면 $ f ^ {\prime } (x)<0 $이므로, $ f $는 $ (- \infty,-1) \cup(-1,0) $에서 증가하고 $ (0,1) \cup(1, \infty) $에서 감소한다.<p>F. 1계도함수 $ f ^ {\prime } $은 $ x \neq \pm 1 $일 때 존재하는데, 이 점은 정의역 $ D $ 밖의 점이므로 함수 $ f $는 $ D $에서 미분가능하다. 따라서 임계짐은 $ f(x)=0 $ 즉 $ -4 x=0 $을 만족하는 $ x=0 $ 뿐이다. 그런데, 0 근방에서 $ f ^ {\prime } $이 양에서 음으로 변하므로 1계도함수 판정법에 의해 $ f(0)=0 $은 극소값이다.<p>G. 2계도함수 $ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { -4 \left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } + 4 x \cdot 2 \left (x ^ { 2 } -1 \right ) 2 x } {\left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 4 } } = \frac { 12 x ^ { 2 } + 4 } {\left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 3 } } $도 $ x \neq \pm 1 $일 때 존재하는데. 이 점은 정의역 $ D $ 밖의 점이므로 함수 $ f $는 $ D $에서 2계 미분가능하다. 이제 모든 $ x $에 대해 분자가 $ 12 x ^ { 2 } + 4>0 $이므로 $ f ^ {\prime \prime } (x)=0 $인 점은 존재하지 않는데, 이로써 변곡점이 없다고 결론 지을 수 없다는데 유의하자. 사실 2 계 미분은 1 과 $ -1 $에서 불가능한데, 이 또한 $ f $의 정의역에 들어있지 않기 때문에 변곡점이 될 수 없다. 또한 $ f ^ {\prime \prime } (x) $의 부호가 분모에 영향을 받는데 주의하면, \[ f ^ {\prime \prime } (x)>0 \Longleftrightarrow x ^ { 2 } -1>0 \Longleftrightarrow\|x\|>1 \]를 얻어 구간 $ (- \infty,-1) \cup(1, \infty) $에서는 위로 오목하다. 마찬가지로 \[ f ^ {\prime \prime } (x)<0 \Longleftrightarrow\|x\|<1 \]이 되므로 \( (-1,1) \ 에서는 아래로 오목함을 알 수 있다. 이들을 종합하여 그린 그래프는 그림 5와 같다.</p>	자연
m831-표본추출방법론	<h1>1.4 기본용어</h1> <p>모집단(population)</p> <p>모집단이란 어떤 조사 목적의 전체 집단의 모든 기본단위의 집합이다. 예로 대통령 선거에 관한 여론조사를 하고자 할 때는 선거에 참여할 수 있는 모든 유권자가 모집단이 된다. 모집단의 종류로 유한모집단과 무한모집단이 있다. 이는 모집단을 구성하는 기본단위의 수가 유한인지 무한인지에 따라 결정된다. 일반적으로 표본조사에서 다루는 대부분의 문제는 유한모집단의 예들이다. 따라서 표본조사를 실시하기 위해서는 모집단에 대한 명확한 정의가 필요하다. 예로 대통령 선거에 관한 여론조사 조사원은 반드시 투표권이 있는 사람에 한하여 조사를 해야 한다. 실제 조사에서는 모집단을 목표모집단과 조사가능 모집단으로 나누기도 한다. 목표모집단(target population)이란 조사목적에 의해 개념상 규정된 모집단이며 조사가능 모집단(accessible population)은 표본을 추출하기 위해 규정된 모집단이다. 실제 이 두 모집단은 두 모집단은 일치하여야 한다. 그러나 현실적으로 이 두 모집단은 일치하지 않는다.</p> <p>모수(parameter)</p> <p>모집단의 특성을 나타내는 것을 통틀어 모수라 한다. 즉 모집단의 평균, 총계, 비율, 분산 등이다. 이 모수는 대부분 모집단의 특성값이므로 알지 못하는 경우가 대부분인데 모수를 추정하기 위하여 표본값을 이용하는 것이다.</p> <p>통계량(statistics)</p> <p>통계량은 모집단의 특성값, 즉 모수를 알기 위하여 표본에서 얻어진 값을 말한다. 즉 모수의 한 특성치인 모평균을 알기 위하여 표본평균을 이용하고, 모총계를 알기 위하여 표본총계를 이용하고, 모비율을 알기 위하여 표본비율을 이용하게 되는데 이 표본평균, 표본총계, 표본비율을 모두 통계량이라 한다.</p> <p>기본단위(단위: unit)</p> <p>표본조사에서 모집단의 특성이 되는 필요한 정보를 알아내기 위해 관찰, 면접을 할 때 조사의 대상이 되는 구성 요소를 말한다. 정확한 표본조사를 위해서는 명확하게 기본단위가 정의되어야 하고 또 구체적으로 확인할 수 있어야 한다. 뒤에 나오는 추출단위와는 구분됨에 주의해야 한다. 예로 어느 지역에서 여론조사를 한다면 그 지역의 주민들을 대상으로 하는 조사이므로 그 지역주민임을 증명하는 그 지역의 주민등록자가 될 것이다. 또 십대들의 시청률조사를 하고자 한다면 십대들인 사람들을 대상으로 하는 조사이므로 십대들인 사람들이 기본단위가 된다. 가구별로 가족수를 조사한다면 각 가구가 기본단위가 된다.</p> <p>추출단위(sampling unit)</p> <p>표본조사를 하기 위한 표본추출에서 실제로 추출되는 기본단위들을 추출단위라 한다. 예로 대통령 선거 여론조사는 하는데 있어서 먼저 가구를 선택하게 되고 그 가구 내에 있는 투표권이 있는 유권자를 조사하게 된다. 이 경우 추출단위는 가구가 되고 유권자는 기본단위가 된다. 가구의 특성을 묻는 가구조사의 경우에는 기본단위와 추출단위 모두가 가구가 된다. 즉 추출단위는 모집단에서 표본을 추출하기 위하여 기본단위들이 모인 한 집합을 말한다.</p> <p>추출대장(추출틀: sampling frame)</p> <p>연구대상의 모든 기본단위의 목록, 즉 모집단 내의 모든 추출단위들의 목록을 말하며 이로부터 최종적인 표본추출이 된다. 추출대장은 모집단의 모든 추출단위를 누락없이 그리고 중복없이 포함해야 한다. 추출대장은 조사가능한 모집단의 구체적 표현이다. 추출대장이 불완전하면 왜곡된 통계가 작성될 수 있다. 앞에서도 예를 들었지만 1936년 미국 대통령 선거의 경우에 불완전한 추출대장을 사용해서 표본조사를 실시하여 실패한 사례이다.</p> <p>추출단위를 결정할 때 유의해야 할 중 하나는 모집단과 추출대장이 서로 일치하는가를 봐야 한다. 추출대장이 모집단보다 적거나 클 수가 있다. 추출대장이 모집단 보다 적은 경우 실제조사에 있어서 모집단이 표본에 포함되지 못하는 경우가 발생하므로 모집단의 대표성이 떨어질 수 있다. 예를 들어 전화소지자들을 모집단으로 생각할 경우 추출대장은 전화번호부가 될 것이다. 그러나 전화번호부에 포함되지 않은 전화소지자들도 있으므로 이 경우는 추출대장이 모집단보다 적은 경우가 된다. 또 반대로 추출대장이 모집단 보다 큰 경우가 있을 수 있다. 예를 들어 월간지를 1년 이상 구독한 사람들을 모집단으로 하여 월간지의 내용에 관한 조사를 하고자 할 때 월간지 구독기간이 기본 1년이지만 때에 따라서 6개월만 구독하는 사람도 포함될 수 있다. 이 경우에도 모집단이 아닌 다른 단위가 포함될 수 있다.</p> <p>또 주의할 점은 미리 결정된 추출대장을 현실적으로 만들 수 있는가에 대한 검토가 우선되어야 한다. 예를 들어 우리나라 가구 당 평균소득 조사인 경우 기본단위는 가구이지만 만약 추출단위를 가구로 결정하였다면 우리나라 전체 가구에 대한 방대한 양의 추출대장이 필요하다. 이는 너무 방대하여 불가능하지만 만약 추출단위를 동으로 한다면 전국의 전체 동에 대한 목록을 만드는 것은 가구목록을 만드는 것보다 횔씬 수월하게 된다.</p> <h1>1.5 표본추출방법</h1> <p>앞에서 언급했지만 표본(sample)은 모집단의 특성을 알아보기 위하여 모집단의 추출단위 중에서 추출된 부분집합을 말한다. 따라서 올바른 표본의 추출은 표본조사의 중요한 부분이다. 이에 따라 표본추출방법이 중요한 문제로 떠오르는데 그 종류로는 크게 비확률추출법(nonprobability sampling method), 확률추출법(probability sampling method)이 있다.</p> <h2>1.5.1 비확률추출법</h2> <p>비확률추출법은 각 추출단위에 객관적인 추출확률을 부여하지 않고 조사자의 주관적인 판단에 의해 독단적으로 의도적으로 표본을 뽑는 방법을 말한다. 따라서 확률에 의하여 추출된 경우가 아니므로, 어떤 정확한 확률치를 정할 수가 없다. 비확률추출법의 대표적인 예들로 전형추출(judgement sampling), 할당추출(quota sampling), 눈덩이추출(snowball sampling)이 있다.</p> <h3>1) 전형추출법</h3> <p>표본을 추출하는데 있어서 해당분야의 조사자가 그의 지식과 경험에 의하여 모집단을 대표한다고 생각되는 추출단위를 주관적으로 선정하여 얻은 표본을 추출하는 법을 말한다. 예로 서울시의 소득조사를 하기 위해 전문가인 조사원이 가구원수나 소득이 서울시의 평균적이라고 판단되는 가구를 표본으로 선정, 추출하는 방식을 말한다. 이 방법은 주관적인 판단이 많으므로 과학적인 조사방법이라고 할 수 없다. 그러나 다른 방법보다 시간적으로나 비용면에서 많은 장점을 갖고 있고 전문가가 정확히 판단할 경우에는 의외로 좋은 결과가 나올 수 있으므로 가끔 사용되기도 한다. 그래도 주관적인 의도가 많이 내포되어 있으므로 위험성이 높아 이보다 나은 할당추출법이 도입되었는데 이는 다소간 전형추출법에서 나타나는 이러한 결점을 보완하기 위해 도입되었다.</p> <h3>2) 할당추출법</h3> <p>할당추출법은 모집단의 분포와 똑같게 표본의 기본단위들을 조사자의 주관적인 판단에 따라 추출하는 방법이다. 예를 들어 전체 대학생의 용돈에 대한 조사하고자 하는데 먼저 학생처에서 조사하는 시점의 대학생 수를 파악하고 대학생들의 학과별, 학년별, 성별 분포를 알아 본 다음 표본을 전체 대학생의 비와 같은 방법으로 학과별, 학년별, 성별별을 표본으로 뽑는 방식을 말한다. 따라서 이는 조사자의 판단에 따라 결정되며 단지 각 범주에 구성비율 만을 유지하기만 하면 된다. 그러나 이 방법 역시 표본추출 시 조사자의 주관이 개입되어 표본으로부터 구한 결과는 과학적인 결과가 되지 못한다. 그러나 최근까지도 영국에서의 여론조사는 이 할당추출법을 많이 사용하였다.</p> <h3>3) 눈덩이추출법</h3> <p>눈덩이추출법은 조사자가 적절하다고 판단하는 조사대상자들을 선정한 다음, 그들로 하여금 또 다른 조사대상자를 추천하도록 하는 방법이다.</p> <h2>1.5.2 확률추출법</h2> <p>확률추출법은 표본의 추출이 조사자의 주관에 의존하는 것이 아니라 추출단위에 대하여 사전에 일정한 추출확률이 주어지는 표본추출방법이다. 그러기 위해서는 모든 연구대상이 표본으로 추출될 확률이 알려져 있어야 하며 표본의 구성요소들이 추출되기 위해서는 무작위적인 추출, 즉 확률적으로 추출 가능성이 동등해야 한다. 확률추출법의 예로는 우리가 앞으로 배우게 되는 단순임의추출법, 층화임의추출법, 계통추출법, 단순집락추출법, 이단집락추출법 등이다. 확률추출법은 표본이 모집단의 특성이나 구조를 잘 반영하며 표본추출방법이 객관적으로 이루어져, 주어진 추출방법에 따라 누구나 표본추출이 가능하다. 또 추정의 정밀도나 신뢰도를 계산하여 구할 수 있으므로 정확한 추출법이다. 보편적으로 표본조사의 추출법이라 함은 확률에 의한 표본추출법을 의미한다. 그러나 때에 따라서는 확률추출법이 어렵고 시간이 많이 든다하여 반드시 비확률표본추출법이 확률추출법보다 못한다하지는 않는다고 한다.</p> <h1>1.1 통계학과 조사</h1> <h2>1.1.1 통계학</h2> <p>본 표본추출방법론을 공부하기 위해서는 통계학의 기초가 필요하다. 그러나 자세한 통계학 이론은 다른 책이나 강의를 이용하도록 하고 여기서는 통계학의 의미만 생각해 보기로 한다. Davidian, M.과 Louis, T. A은 2012년도 Science지에 다음과 같이 통계학에 대해 언급하였다.</p> <p>"Statistics is the science of learning from data, and of measuring, controlling, and communicating uncertainty; and it thereby provides the navigation essential for controlling the course of scientific and societal advances."</p> <p>또한 미국통계학회 회장을 지낸 Jon Kettenring도 통계학을 다음과 같이 언급하였다.</p> <p>"I like to think of statistics as the science of learning from data...It presents exciting opportunities for those who work as professional statisticians. Statistics is essential for the proper running of government, central to decision making in industry, and a core component of modern educational curricula at all levels."</p> <p>이 세 건의 통계학에 대한 정의에서 알 수 있는 것은 통계학이 결국 모든 사회현상에서 발생하고 있는 자료를 다루는 학문이라 할 수 있다. 국내에서는 한국통계학회가 발간한 '통계용어사전(1991)'에서 '통계학'을 '연구목적에 필요한 자료 및 정보를 최적한 방법으로 수집하고 수집한 자료를 과학적이고 논리적인 이론에 의하여 정리, 분석하는 학문이라 하였다.</p> <h2>1.1.2 조사</h2> <p>위의 통계학 정의 내용 중에서 '자료 및 정보를 최적한 방법으로 수집하고'에 중점을 둔다면 이는 조사(Survey)라는 새로운 영역이 생겨난다. 시카고 대학 교수인 Fritz Scheuren이 미국통계협회에서 정의한 조사는 다음과 같다.</p> <p>"Today the word "survey" is used most often to describe a method of gathering information from a sample of individuals. This "sample" is usually just a fraction of the population being studied."</p> <p>국내의 '통계용어사전(1991)'에는 조사를 다음과 같이 언급하고 있다. '인간의 생활과 그를 둘러싸고 있는 환경 전반에 걸쳐 정보를 얻기 위해 행해지는 행위'라고 언급되어 있다. 즉 어떤 한 인간이 자기가 알고자 하는 것에 대한 정보를 얻기 위해 행해지는 행위가 조사라 할 수 있다. 그러기 위해서는 조사 관찰 대상이 존재하게 되고 그 대상에 대한 과학적으로 정보를 얻기 위해 나름대로의 체계화된 연구가 필요하게 된다. 이런 의미에서 조사는 체계적이면서 논리적이고 과학적인 방법이다. 조사에는 전수조사가 있고 표본조사가 있다.</p> <h1>1.3 표본조사</h1> <p>우리나라에서 대통령을 선출할 경우 대통령을 선출할 수 있는 유권자는 투표할 수 있는 자격이 있는 전국의 유권자가 된다. 많은 경우 대통령 후보자가 투표일 며칠 전에 자신의 예상 득표율을 알고 싶은 경우가 생긴다. 이 경우 전국의 유권자를 다 조사한다는 것은 현실적으로 불가능하다. 이 전국의 유권자를 다 조사하는 경우를 앞에서 언급한 것처럼 전수조사라 하고 그 중에 적절한 몇 명만을 추출하여 조사하는 방법을 표본조사라 한다. 즉 전수조사에서는 전체 단위들에 대하여 개개 단위들 모두 조사한 반면에 표본조사에서는 전체 모집단 중 일부의 부분집단을 추출하여 그 추출된 일부분을 대상으로 조사를 실시하고 이 때 얻어진 정보를 이용하여 전체 모집단에 대한 특성을 추정하게 된다. 즉 어떠한 특징을 알고자 하는 모든 대상을 모집단(population)이라고 하고 그 중에 일부를 뽑아 전체 모집단의 특징을 파악하려는 경우에 그 뽑힌 자료를 우리는 표본(sample)이라 한다. 따라서 이 표본에 의한 조사를 표본조사라 한다. 이 표본조사의 근본 목적은 조사자가 적은 표본을 가지고 큰 전체모집단에 관한 특징을 알아내는 것이다. 당연히 큰 모집단에서 적은 표본으로 전체의 특징을 정확히 알아내기 위해서는 체계적이고 과학적인 방법론을 적용한 조사를 하여야 한다. 이러한 체계적이고 과학적인 방법을 기초로 한 조사라 함은 조사 대상이 무엇이며, 조사 자료를 어떤 방법으로 어떻게 뽑을 것인가 등이 포함되어 있다. 따라서 모집단 전체를 조사하는 경우보다 모집단 중에 표본을 조사하는 것이 여러 면으로 장점이 많을 수 있다.</p> <p>표본조사의 가장 큰 장점은 모집단을 일부, 즉 표본으로 모집단 전체를 설명하는 능력이다. 조사를 행하는데 있어서 드는 비용은 확실히 전수조사를 했을 경우보다 적게 든다. 적절히 수행되는 표본조사라는 것은 자료의 정보를 정확하게 얻기 위하여 표본을 적절하게 그리고 합리적으로 뽑는 방법이다. 따라서 어떤 사회나 단체를 대표하는 몇 사람을 추출하여 조사를 하게 되면 그 사회나 단체의 특징을 연구할 수 있는 것과 같은 의미를 갖게 될 것이다. 표본조사의 구체적인 장점은 다음과 같다.</p> <p>(1) 경제성 : 아무래도 전체를 조사하는 것보다 부분을 조사하는 것이 비용과 노력이 적게 들 것이다.</p> <p>(2) 신속성: 표본조사의 경우 전수조사보다 자료가 적기 때문에 자료수집과 자료처리 면에서 훨씬 빠르다. 이러한 이유 때문에 많은 분야에 표본조사가 쓰이고 있다. 따라서 정책결정과 같은 빠른 의사 결정을 해야 할 경우 전수조사보다는 표본조사의 경우가 횔씬 낫다.</p> <p>(3) 전수조사가 불가능한 경우 : 경제적, 시간적 제약으로 전수조사에서 불가능한 복잡한 조사, 즉 모집단이 무한히 많거나 모집단 파악이 불가능한 경우에도 표본조사는 가능하다. 예를 들어 전구의 수명검사와 같은 제품의 파괴검사, 혈액검사 등과 같이 전수조사가 불가능한 경우는 표본조사가 필수적이다.</p> <p>(4) 심도있고 세밀한 조사가 가능: 아무래도 많은 수의 조사보다는 적은 수를 추출하여 조사를 하게 되므로 좀 더 심도있고 자세한 조사가 가능하다.</p> <p>(5) 조사의 정확성 : 표본조사에서 나타나는 표본오차가 전수조사로 나타나는 비표본오차가 보다 더 적을 수가 있다. 즉 많은 양과 시간을 필요로 하지 않으므로 실제 조사과정에서 조사원에 대한 철저한 관리와 유능한 조사원들을 고용하여 비표본오차를 줄일 수 있다. 전수조사의 경우 조사규모가 방대하여 자료의 입력, 처리과정 등에서 오류가 발생하기 쉽다.</p> <p>그러나 표본조사가 갖는 한계점 또한 있다.</p> <p>(1) 정확하지 못한 추출로 인한 오류: 모집단을 제대로 대표하지 못하는 표본을 사용할 경우 잘못된 통계를 만들게 된다. 그 예로 미국의 '리터러리 다이제스트'사의 경우를 보자. 1890 년부터 1938년까지 발행된 이 잡지는 매번 대통령선거 때마다 여론조사를 했었다. 그 중에서도 1936년 미국 대통령 선거는 랜든 후보(상류층이 지지)와 루즈벨트 후보(서민층이 지지)의 대결이었는데 전화번호부와 자동차 등록대장을 사용하여 1,000만명의 사람들에게 설문지를 배포하여 회수된 240만 명에 대하여 우편조사를 하였다. 그 결과 랜든 후보의 득표율 $ 57 \% $, 루즈벨트 $ 43 \% $로서 랜든의 압도적 승리 예상을 하였지만 실제 결과는 루즈벨트 후보의 압도적 승리로 끝났다, 즉 루즈벨트는 $ 62 \% $를 얻었고 랜든은 $ 38 \% $를 얻었다. 모집단은 미국 전체의 유권자이지만 표본추출을 전화번호부(당시 전화를 소지한 비율이 $ 35 \% $ 정도)와 자동차 등록대장을 사용하였기 때문에 표본이 모집단 내의 서민층을 반영하지 못하여 나타난 결과이다. 경제적으로 소외된 계층이 루즈벨트의 뉴딜정책을 적극 지지해 그에게 몰표를 가져다 준 결과이다. 결국 2년 후 이 회사는 없어지고 만다. 따라서 아무리 많은 표본이라도 표본이 모집단을 적절히 반영하지 못하면 현실을 왜곡한 통계결과를 만들게 된다. 반면에 여론조사기관인 갤럽에서는 단지 20,000명을 대상으로 조사하였지만 거주지, 연령, 성별, 인종과 같은 기준에 따라 유권자 전체의 구성비율과 같도록 표본을 추출함으로서 루즈벨트의 승리를 예견하였다(루즈벨트 $ 54 \% $, 랜든 $ 46 \%) $. 이와 같이 표본을 적게 뽑아도 정확한 방법에 의해 추출될 때 정확한 예측을 할 수 있다.</p> <p>또 다른 예로 1948년 미국 대통령선거에서 당시 여론조사기관인 Roper, Crossley 등은 공화당 후보로 출마한 듀이가 민주당 후보로 출마한 트루만 보다 $ 5 \% $ 이상의 지지율차이로 승리를 예측하였다. 그러나 실제 선거결과는 트루만의 승리로 나타났다. 이와 같이 표본조사에 있어서 모집단을 제대로 대표하지 못한 표본을 사용할 경우에는 잘못된 통계를 만들어 낼 수 있다.</p> <p>(2) 표본조사를 통해서는 모집단 내 희소한 부차모집단의 특성까지 알기는 힘들 경우 : 희귀한 질병과 같이 숫자적으로 적은 경우에는 표본조사가 힘들다. 당연히 이 경우에는 전수조사를 통하여 조사가 이루어져야 한다.</p>	자연
s009-기초미적분학	<p>일반적으로, 임의의 양의 실수 $ x $ 에 대하여</p> <caption>$ \log x=n+\alpha, n $ 은 정수, $ 0 \leq \alpha<1 $</caption> <p>이 성립된다. $ n $ 은 정수이며 지표라고 하고, $ \alpha $ 는 실수로 가수라고 한다. $ n $ 이 음이 아닌 정수인 경우, $ x $ 는 한 자리 이상의 정수부분을 포함하고, $ n $ 이 음수인 경우 $ x $ 는 1 보다 작은 소수이다. 예를 들어,</p> <caption>$ \log 0.24=-1+0.3801 $</caption> <p>에서 지표가 $ -1 $ 이고, 진수 $ 0.24 $ 는 소수점 아래 첫 자리에 0 이 아닌 수를 포함하고 있다. 계산기를 이용하여 소수에 대한 로그의 값을 계산해보면 사실을 더 명확하게 알 수 있다</p> <caption>$ \log 0.023=-1.6383=-2+0.3617 $</caption> <p>마지막으로 로그함수 $ y=\log _{a}(x-m)+n $ 의 그래프에 대하여 살펴보자.</p> <h3>예제 $ 2.8 $</h3> <p>함수 $ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>함수 $ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 의 그래프는 $ y=2 \log _{2} x $ 의 그래프를 $ x $ 축으로 $ -3 $ 만큼, $ y $ 축으로 $ -2 $ 만큼 평행이동한 것이다.</p> <p>예제 $ 2.8 $ 에서 주어진 함수의 그래프에서 다음 두 가지 문제가 도출된다.</p> <ol type=i start=1><li>$ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 의 각 절편은?</li> <li>$ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 와 $ y=2 \log _{2} x $ 가 만나는 $ x $ 의 값은?</li></ol> <h3>예제 $ 2.9 $</h3> <p>$ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 의 각 절편을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ f(0)=2 \log _{2} 3-2 $ 이므로 $ y $ 의 절편은 $ 2 \log _{2} 3-2 \approx 1.1699 $ 이다. $ x $ 의 절편을 구하기 위해 $ y=0 $ 으로 놓고 로그방정식</p> <caption>$ 2 \log _{2}(x+3)-2=0 $</caption> <p>을 풀면</p> <caption>$ \begin{aligned} \log _{2}(x+3) &=1 \\ x+3 &=2 \\ x &=-1 \end{aligned} $</caption> <p>따라서 $ x $ 의 절편은 $ -1 $ 이다.</p> <h3>예제 $ 2.10 $</h3> <p>$ y=2 \log _{2}(x+3)-2 $ 와 $ y=2 \log _{2} x $ 가 만나는 점을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>만나는 점에서 두 함수의 $ y $ 값이 같으므로 (로그)방정식</p> <caption>$ 2 \log _{2}(x+3)-2=2 \log _{2} x $</caption> <p>를 풀어 $ x $ 를 구한다. 로그함수의 성질로부터</p> <caption>$ \begin{aligned} \log _{2}(x+3)-\log _{2} x &=1 \\ \log _{2} \frac{x+3}{x} &=1 \\ \frac{x+3}{x} &=2 \end{aligned} $</caption> <p>양변에 $ x $ 를 곱하면 $ x+3=2 x $ 이다. 일차방정식을 $ x $ 에 대하여 풀면 $ x $ $ =3 $ 이다. 따라서 만나는 점은 $ \left(3,2 \log _{2} 3\right) \approx(2,3.1699) $ 이다.</p> <p>실제, 이러한 추론은 사실이다. 이 추론과 같이, $ (0,1) $ 을 지나면서 곡선 $ y=a^{x} $에 접하는 직선의 기울기가 1 이 되는 $ a $ 의 값을 $ e $ 로 나타내고, $ e $ 를 자연대수라고 부른다. 자연대수 $ e $ 는 원주율 $ \pi $ 와 더불어 자연현상을 분석하는데 매우 중요한 수이다.</p> <p>이제 $ e $ 의 값이 얼마인지를 추정하여 보자. 그림 $ 1.13 $ 은 $ y=e^{x} $ 의 그래프 위에 있는 세 점 $ (0,1),(h, 1) $ 과 $ \left(h, e^{h}\right) $ 로 만들어 지는 직각삼각형을 그린 것이다. 직감적으로 관찰할 수 있듯이 직각삼각형의 기울기가 접선의 기울기가 되는 것처럼 보인다. 여기서 접선이란 곡선에 접하는 직선으로 접점 근방에서 곡선의 아래에 있든 위에 있는 관계는 없으나 한쪽에만 있어야 한다. 따라서 직각삼각형의 기울기가 접선의 기울기는 될 수 없다. $ h $ 의 값이 0 보다 큰 경우에는 절대로 접선의 기울기가 될 수 없다. 실제로 그림 1.14는 $ y=e^{x} $ 와 $ h $ 가 매우 작은 값을 때 $ (0,1) $ 을 지나는 직선을 그렸는데 $ y $ 축을 기준으로 높낮이가 서로 교대하고 있는 것이 관찰된다. 따라서 완전한 접선의 기울기가 구해지려면 $ h \rightarrow 0 $ 로 두어야 한다. 이것은 미적분학에서 다루게 될 것이다.</p> <p>직각삼각형의 기울기는</p> <caption>$ \frac{e^{h}-1}{h-0}=\frac{e^{h}-1}{h} $</caption> <p>이고, 이 식은 $ h $ 가 작으면 거의 1 에 가깝게 된다. 즉</p> <caption>$ \frac{e^{h}-1}{h} \approx 1 $</caption> <p>$ e^{h} $ 에 대하여 풀면</p> <caption>$ e^{h} \approx 1+h $</caption> <p>따라서 $ e $ 의 근삿값은</p> <caption>$ e \approx(1+h)^{\frac{1}{h}} $</caption> <p>미적분학에서는 다음 극한 식을 보일 수 있다. (12장 2절 지수함수와 로그함수의 미분을 참고하라.)</p> <caption>$ e=\lim _{h \rightarrow 0^{+}}(1+h)^{\frac{1}{h}} $</caption> <p>자연대수 $ e $ 의 근삿값을 수열로 추정하기 위해 자연수 $ m $ 에 대해 $ h=\frac{1}{m} $ 이라 놓으면</p> <caption>$ e \approx\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m} $</caption> <p>그림 $ 1.15 $ 는 $ f(m)=(1+1 / m)^{m} $ (단, $ m $ 은 자연수)의 그래프이다.</p> <p>그림 $ 1.15 $ 로부터 수열 $ f(m) $ 은 어떤 특정한 값에 접근하고 있는 것처럼 보인다.이 값을 보다 구체적으로 알아보기 위해 $ f\left(10^{k}\right), k=1,2,3,4,5,6 $ 의 값을 출력해 보자. 표의 값은 $ e $ 의 정확한 값만 표기한 것이다. $ m $ 의 값이 10 배로 증가함에 따라 근삿값도 소수점 이하도 한 자리씩 정확도가 개선되고 있는 것이 관찰된다.</p> <p>예제 $ 1.1 $ 에서 $ 2^{n} $ 및 $ \log _{2} A $ 의 표현이 등장한다. $ 2^{n} $ 에서 $ n $ 의 값이 커짐에 따라 그 값이 엄청나게 커진다는 것과, 반대로 $ \log _{2} A $ 는 $ A $ 가 매우 큰 값임에도 불구하고 계산 결과는 그다지 크지 않다는 것을 관찰할 수 있다. 두 표현이 서로 상반된 역할을 하고 있음을 직관적으로 알 수 있다.</p> <p>이 장의 주요한 목적은 $ 2^{n} $ 과 같은 지수함수와 $ \log _{2} A $ 와 같은 로그함수를 정의 하고 이 함수들이 가지고 있는 성질과 그것들을 어떻게 활용하는지에 대해 학습 한다.</p> <p>$ 2^{n} $ 에서 2 는 밑이라고 하고 $ n $ 은 지수라고 하는데, 지수는 자연수뿐만 아니라 모든 양의 실수를 지수로 사용할 수 있다. 우선 지수함수를 정의하고, 실수를 지수로 갖는 지수함수는 어떻게 계산되어야 하는지 설명한다.</p> <p>임의의 실수 $ x $ 에 대하여</p> <caption>$ y=a^{x}, \quad a>0, a \neq 1 $</caption> <p>을 밑이 $ a $ 인 지수함수라고 한다. 또한 $ x $ 를 지수라고 한다.</p> <p>지수가 변수인 함수 $ f(x)=2^{x} $ 과 밑이 변수인 함수 $ g(x)=x^{2} $ 을 혼동해서는 안된다. 지수함수에서 $ a>0 $ 이라는 가정은 $ (-1)^{1 / 2}=\sqrt{-1}=i $ 는 실수가 아니기 때문에 필요하다. 또한 $ a^{x} $ 이 유일한 값을 갖기 위해서 $ a $ 는 1 이 되면 안 된다. 왜냐하면 $ 4 \neq 3 $ 이지만 $ 1^{4}=1^{3} $ 이기 때문이다.</p> <p>지수함수의 $ 2^{x} $ 의 의미를 좀 더 자세하게 살펴보자. 예를 들어</p> <caption>$ x=3 $ (양의 정수) 일 때, $ 2^{3}=2 \times 2 \times 3=8 $</caption> <caption>$ x=-3 $ (음의 정수)일 때, $ 2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8} $</caption> <caption>$ x=\frac{1}{2} $ (유리수)일 때, $ 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} \quad\left(y^{2}=2\right. $ 를 만족하는 $ y $ 의 값)</caption> <caption>$ x=\frac{3}{2}( $ 유리수 $ ) $ 일 때, $ 2^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{2})^{3} $</caption> <p>과 같이 유리수 지수를 갖는 수는 1장에서 정의했다.</p> <p>지수가 무리수인 경우, 즉</p> <p>$ 2^{\sqrt{3}} $ 이 의미를 갖도록 하려면 어떻게 해야 할까?</p> <p>이러한 질문에 답하기 위해 $ y=2^{x}(x $ 는 정수 및 유리수)의 그래프를 그려보자.</p> <p>유리수에 대응하는 $ y=2^{x} $ 의 그래프에서 점 사이가 비어보이는 것은 이해를 돕기 위함임을 알자. 이상적(상상)으로는 유리수와 유리수 사이에 공간은 있지만, 우리의 눈으로는 그 공간을 절대 볼 수 없다. 아무튼, 유리수 $ x $ 에 대응하는 $ y=2^{x} $ 의 그래프는 상상이라는 현미경으로 보면 점과 점 사이에 함수의 값이 정의되지 않은 셀 수 없는 정도로 많은 공간들이 존재한다. 이 빈 공간들에 무리수 지수들을 정의하여 매끄러운 곡선이 탄생되도록 할 것이다. 무리수 지수를 갖는 수 가운데 $ 2^{\sqrt{3}} $ 이라는 하나의 수를 사용하여 하나의 빈칸을 채우는 방법을 설명한다. 이를 위해 먼저 무리수 $ \sqrt{3} $ 을 순환하지 않는 무한소수로 표현하면</p> <caption>$ \sqrt{3}=1.7320508075688772935274463415058723669428052538104 \cdots \cdots $</caption> <p>어떻게 $ \sqrt{3} $ 을 무한소수로 표현했는지에 대한 의문을 가져보기 바란다. 무리수$ \sqrt{3} $ 에 대응하는 순환하지 않는 무한소수를 소수점 이하 자릿수 단위의 유한소수로 나열하면(이것을 수열이라고 한다)</p> <p>① $ \quad 1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,1.732058, \cdots $</p> <p>수열의 극한 개념과 실수의 속성으로부터 나열된 수의 길이가 길어지면 길어질수록 $ \sqrt{3} $ 에 더 가깝게 접근한다. (1)에서 나열된 유한소수(유리수)에 대응하는 밑이 2 인 유리수 지수는</p> <p>②\[2^{1.7}, 2^{1.73}, 2^{1.732}, 2^{1.7320}, 2^{1.73205}, 2^{1.732058}, \cdots\]</p> <p>미적분학에서 배울 극한의 이론에 의하면 (2)의 끝은 오직 하나 존재한다는 것을 보장한다. 그 끝을 $ 2^{\sqrt{3}} $ 으로 정의하여 무리수 지수를 갖는 수의 개념을 만든다. 그림 $ 1.2 $ 의 그래프에 보이는 빈 공간은 무리수 지수들로 채우면 그림 $ 1.3 $ 을 얻을 수 있고, 이것은 $ y=2^{x} $ 에 대한 완전한 그래프가 된다.</p> <p>유리수에 대한 지수성질은 모든 실수로 확장할 수 있다.</p> <p>모든 실수 $ x, y $ 에 대하여</p> <caption>(i) $ a^{x+y}=a^{x} a^{y} $</caption> <caption>(ii) $ a^{x-y}=a^{x} \div a^{y} $</caption> <caption>(iii) $ \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x y} $</caption> <caption>(iv) $ (a b)^{x}=a^{x} b^{x} $</caption> <p>밑 $ a $ 는 지수함수의 그래프에 어떤 영향을 끼치는지 살펴보자. 먼저 $ a>1 $ 인 경우에 대응하는 지수함수의 그래프를 조사해보자.</p> <h3>예제 $ 1.2 $</h3> <p>지수함수 $ y=2^{x} $ 와 $ y=3^{x} $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ 2^{0}=3^{0}=1,2^{1}<3^{1}, 2^{2}<3^{2}, \cdots $ 이므로, 다음 결과를 예측할 수 있다.</p> <caption>$ 2^{x} \leq 3^{x}, x \geq 0 $</caption> <p>또한 $ 2^{-1}>3^{-1}, 2^{-2}>3^{-2}, \cdots $ 이므로 다음 결과도 예측할 수 있다.</p> <caption>$ 2^{x} \geq 3^{x}, x<0 $</caption> <p>즉 $ x \geq 0 $ 에서는 $ 3^{x} $ 이 $ 2^{x} $ 보다 크고, $ x<0 $ 에서는 $ 2^{x} $ 이 $ 3^{x} $ 보다 크다는 것을 의미한다. 따라서 $ x \geq 0 $ 에서는 $ y=3^{x} $ 의 그래프는 $ y=2^{x} $ 의 그래프 위에 놓여야 하고, $ x<0 $ 에서는 $ y=3^{x} $ 의 그래프는 $ y=2^{x} $ 의 그래프 아래에 놓여야 한다. 이를 반영하여 두 함수의 그래프를 그리면 $ a>1 $</p> <p>이면서 동시에 $ a $ 의 값이 크면 클수록 지수함수의 그래프는 $ y $ 축에 가깝게 접근한다. 다른 말로, $ 3^{x} $ 은 $ 2^{x} $ 보다 더 빠르게 증가한다. 또한 $ a>1 $ 인 경우, 그래프는 증가 $ (x $ 의 값이 커지면 $ y $ 의 값도 커진다)하고, 그래프는 항상 $ (0,1) $ 을 지난다.</p> <p>이제 $ 0<a<1 $ 인 경우에 대응하는 지수함수의 그래프를 살펴보자.</p> <h3>예제 $ 1.3 $</h3> <p>$ y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} $ 과 $ y=2^{x} $ 의 그래프는 $ y $ 축에 대칭임을 보여라. 대칭성을 이용 하여 $ y=0.5^{x} $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ f(x)=2^{x} $ 및 $ g(x)=0.5^{x} $ 으로 두자. 모든 $ x $ 에 대하여 $ f(x)=g(-x) $가 성립하면 두 그래프는 $ y $ 축에 대칭이다. 지수성질에 의해</p> <caption>$ g(-x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-x}=\frac{1^{-x}}{2^{-x}}=2^{x}=f(x) $</caption> <p>따라서 두 그래프는 $ y $ 축에 대하여 대칭이므로, 거울에 비친 자기의 모 습처럼 $ y $ 축에 대칭이 되도록 그리면 된다.</p> <h3>예제 $ 1.4 $</h3> <p>지수함수 $ y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} $ 과 $ y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>예제 $ 1.2 $ 에서 보인 대칭성을 이용하면 두 함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.</p> <p>$ 0<a<1 $ 이면서 동시에 $ a $ 의 값이 작으면 작을수록 지수함수의 그래프는 $ y $ 축에 가깝게 접근한다. 다른 말로, $ 3^{-x} $ 은 $ 2^{-x} $ 보다 더 빠르게 감소한다. 또한 $ 0<a<1 $ 인 경우, 그래프는 감소 $ (x $ 의 값이 커지면 $ y $ 의 값은 작아진다)하고, 그래프는 항상 $ (0,1) $ 을 지난다.</p> <p>지금까지의 예제들을 통하여 지수함수는 다음과 같은 성질을 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있다.</p> <ul> <li>$ f(x)=a^{x} $ 의 그래프는 $ a^{0}=1 $ 이므로 항상 $ (0,1) $ 을 지난다.</li> <li>임의의 실수 $ x $ 에 대하여 $ a^{x} $ 은 유일한 값을 갖는다.</li> <li>$ f(x)=a^{x} $ 의 정의구역은 $ (-\infty, \infty) $ 이고 치역은 $ (0, \infty) $ 이다.</li> <li>$ a>1 $ 이면 $ f(x)=a^{x} $ 은 증가함수이다. $ 0<a<1 $ 이면 $ f(x)=a^{x} $ 은 감소함수이다.</li> <li>지수함수는 일대일함수이다. 즉 $ a^{u}=a^{v} $ 이면 $ u=v $ 이다.</li> <li>$ a^{u}=b^{u}, u \neq 0 $ 이면 $ a=b $ 이다. 지수가 같으면 밑이 같아야 한다.</li></ul> <h3>예제 $ 1.5 $</h3> <p>복리 연이율 $ r \% $ 인 은행에 $ A $ 원의 원금을 예금하였다. 원리금을 $ n $ 년이 지난 후 돌려받는다고 할 때 $ n $ 년 후의 수령액을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>1 년 후의 원리금은</p> <caption>$ A+A \times \frac{r}{100}=A\left(1+\frac{r}{100}\right) $</caption> <p>이고, 이 금액은 1 년 후 예금하게 될 원금이 된다. 2 년 후의 원리금은</p> <caption>$ \begin{aligned} A\left(1+\frac{r}{100}\right)+A\left(1+\frac{r}{100}\right) \times \frac{r}{100} &=A\left(1+\frac{r}{100}\right)\left(1+\frac{r}{100}\right) \\ &=A\left(1+\frac{r}{100}\right)^{2} \end{aligned} $</caption> <p>이고, 이 금액은 2 년 후 예금하게 될 원금이 된다. 이러한 과정을 반복하면 $ n $ 년 후의 원리금은</p> <caption>$ A\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n} $</caption> <p>지수함수 $ f(x)=a^{x} $ 의 개념과 성질은 배웠다. 이제 자연현상 및 공학에서 가장 많이 사용되는 밑 $ a $ 에 대하여 살펴보고자 한다. 먼저 $ a>1 $ 인 지수함수 $ y=a^{x} $ 의 그래프는 $ a $ 의 값에 관계없이 항상 $ (0,1) $ 을 지나고, 증가한다. 여기서 점 $ (0,1) $ 의 매우 가까운 근방에서 그래프의 모양과 기울기를 관찰해 보기로 하자. 물론, 어떤 그래프이든지 줌인 해 들어가면 직선에 가깝다는 것은 쉽게 알 수 있다. 아무리 굴곡이 심한 지형이라도 자신이 서 있는 발 근방은 경사만 조금 다를 뿐 평평할 것이다. 물론 완전히 뾰족한 지점은 제외하고서 하는 말이다.</p> <p>그림 1.7은 $ y=2^{x} $ 과 $ y=3^{x} $ 의 그래프를 $ (0,1) $ 의 근방으로 줌인 한 것이고 그림 $ 1.8 $ 은 $ (0,1) $ 을 중심으로 한 1 단위의 정사각형을 그린 것이다.</p> <p>점 $ A $ 와 $ B $ 에 기점으로 보면 곡선은 직선에 가까우나 $ A $ 와 $ B $ 를 지나지 않으므로 기울기가 1 이 아니다. 또한 밑이 2 인 경우는 기울기가 1 보다 작고 밑이 3 인 경우는 기울기가 1 보다 큰 것처럼 보인다. 정사각형을 그린 이유는 기울기가 1 이 되는 밑의 값에 관심이 있기 때문이다. 따라서 밑이 2 보다 작거나 3 보다 큰 경우는 기울기가 더욱 더 1 로부터 멀 것이므로 현재의 관심사에서는 거리가 멀다. 따라서 밑의 값을 2 보다는 크고 3 보다는 작은 값으로 재조정 한다.</p> <p>그림 $ 1.9 $ 는 $ y=2.5^{x} $ 과 $ y=2.9^{x} $ 의 그래프이다. 그리고 그림 $ 1.10 $ 는 $ (0,1) $ 을 중심으로 단위가 1 인 정사각형을 그린 것으로 두 개의 곡선은 직선에 가깝다는 것은 당연하지만, 확연히 다른 점이 발견된다. 두 곡선이 모두 점 $ A $ 와 $ B $ 에 가까워졌다는 것이다. 그럼에도 불구하고 $ y=2.5^{x} $ 의 그래프는 점의 아래에 $ y=2.9^{x} $ 의 그래프는 점의 위에 놓여 있음을 관찰할 수 있다. 따라서 $ 2.5 $ 보다 크고 $ 2.9 $ 보다 작은 값을 취하여 보자.</p> <p>그림 $ 1.11 $ 은 $ y=2.7^{x} $ 과 $ y=2.8^{x} $ 의 그래프를 $ (0,1) $ 의 중심으로 확대한 것이다. 그림 $ 1.12 $ 는 두 곡선 모두 점 $ A $ 와 $ B $ 를 지나는 것처럼 보인다. 이로부터 우리는 다음과 같은 추론이 가능하다.</p> <p>$ (0,1) $ 을 지나면서 곡선 $ y=a^{x} $ 에 접하는 직선의 기울기가 1 이 되는 밑 $ a $ 의 값 이 존재한다.</p> <p>소수점 이하 10 자리까지의 실제 $ e $ 의 값은 $ 2.718281828 $ 이다. 밑이 자연대수인 지수함수 $ f(x)=e^{x} $ 를 자연지수함수라고 한다. 자연지수함수는 삼각함수와 더불어 자연과학 및 공학 분야에서 가장 빈번하게 사용되는 함수이다.</p> <h3>예제 $ 1.6 $</h3> <p>자연지수함수 $ y=e^{x} $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ x \geq 0 $ 일 때 $ 2^{x}<e^{x}<3^{x} $ 이고 $ x<0 $ 일 때 $ 3^{x}<e^{x}<2^{x} $ 이므로, $ y=e^{x} $의 그래프는 $ y=2^{x} $ 의 그래프와 $ y=3^{x} $ 의 그래프 사이에 놓인다.</p> <p>모든 물체는 온도를 가지고 있으면, 그 물체를 둘러싸고 있는 매질의 온도와 상호작용을 하면서 물체의 온도는 변한다. 맛있는 사탕을 추운 곳에 두면 더운 곳에 두었을 때보다 더 단단해진다. 금속도 이와 마찬가지로 금속을 구성하고 있는 원자들이 주위의 온도에 따라 끊임없이 진동하면서 그 형태를 유지하고 있다.</p> <p>맛있는 뜨거운 커피가 배달되었다. 이 커피의 처음 온도는 뜨겁지만 시간이 지남에 따라 주위의 온도와 서로 상호작용을 하면서 식어간다. 냉커피인 경우 커피의 온도는 커피숍의 온도로 따뜻해질 것이다. 커피의 온도는 시간에 따라 어떻게 변할까. 온도가 내려가는 경우, $ T(t)=a t+b, a<0 $ 와 같은 직선을 따라 내려갈까, $ T(t)=a t^{2}+b t+c, a<0 $ 와 같은 포물선을 따라 내려갈까.</p> <p>뉴턴의 냉각법칙에 의하면 시간 $ t $ 에서 커피의 온도 $ T(t) $ 는 다음과 같은 자연지수함수를 포함하는 식에 따라 변한다.</p> <caption>$ T(t)=T_{0}+\left(M-T_{0}\right) e^{-k t} $</caption> <p>여기서 $ T_{0} $ 는 커피의 최초의 온도이고 $ M $ 은 주위의 온도이며 $ k $ 는 열전도 계수이다.</p> <h3>예제 $ 1.7 $</h3> <p>따뜻한 봄, 커피숍의 온도는 $ 25^{\circ} \mathrm{C} $ 였고, 커피의 온도는 $ 90^{\circ} \mathrm{C} $ 였다고 하자. 그러면 시간이 지남에 따라 커피는 식어 간다. 열전도계수가 $ k= $ $ 0.1 $ 이라고 하면 시간 $ t $ 분일 때 커피의 온도는 다음과 같다.</p> <caption>$ T(t)=90+(25-90) e^{-0.1 t}=90-65 e^{-0.1 t} $</caption> <h3>풀이</h3> <p>$ T(t)=50 $ 을 만족하는 $ t $ 의 값을 구하면 된다. 즉 방정식 $ 90-65 e^{-0.1 t} $ $ =50 $ 인 $ t $ 의 값을 구하면 된다.</p> <caption>$ -65 e^{-0.1 t}=-40 $ $ e^{-0.1 t}=\frac{40}{65}=\frac{8}{13} $</caption> <p>이 방정식을 풀기 위해서는 다음 절에서 배울 로그를 이용해야 한다. 참고로, 로그를 이용하여 $ t $ 를 구하면</p> <caption>$ t=10(\ln 13-\ln 8) $</caption> <p>$ t $ 의 근삿값을 계산기로 계산하면</p> <caption>$ 10(\ln 13-\ln 8) \approx 4.855 $</caption> <p>따라서 $ 50^{\circ} \mathrm{C} $ 가 되는 데 걸리는 시간은 5 분 정도이다.</p> <h1>04. 지수함수와 로그함수</h1> <h1>1 .지수함수</h1> <p>국가 성장률은 몇 퍼센트, 실업률은 몇 퍼센트, 물가 상승률은 몇 퍼센트, 부채 비율은 몇 퍼센트 등과 같은 증가 또는 감소 비율의 이야기를 들어본 적이 있을 것이다. 바이오 관련 기술이 발전하면서 평균수명이 늘어나고 있지만, 반대로 예기치 않은 바이러스의 창궐로 인해 무시무시한 질병이 곳곳에서 발생하여 이로인해 예기치 못한 사망률도 증가하고 있다. 우리는 오늘도 수많은 대상의 양과 질에 대한 증가 또는 감소의 이야기를 들으면서 살아가고 있다. 양과 질의 변동은 직선적으로 변할 수도 있고, 곡선적으로 변할 수도 있다. 그 가운데 자연현상의 변화를 지배하고 있는 지수곡선적 변화에 초점을 맞추어 보자. 먼저 인위적이기는 하지만 아래와 같은 반복적인 현상을 통하여 지수적 변화의 정도를 체험해보자.</p> <p>신문지 한 장을 준비하여 절반씩 접어 쌓는 과정을 반복한다(그림 1.1). 물론, 신문을 많이 준비하여 접는 수만큼 쌓아도 된다. 한 장의 종이를 계속 접어 쌓는 것은 실제적으로 불가능하지만, 이상적으로는 가능하므로 접을 수 있다고 해보자. 신문지 한 장의 두께가 $ 0.00612 \mathrm{~mm} $ 인데, 이를 $ t $ 라 두고, $ n $ 회 접었을 때 두께를 $ T(n)[\mathrm{mm}] $ 라고 하자. 문제를 풀 때, 숫자이든 문자이든 약간 거추장스러운 것들이 나타나면 이처럼 대수를 도입하여 할당해 두고 최종단계에 그것들을 끄집어내어 쓰면 편리하다. 그러면 $ T(n) $ 은 다음과 같이 계산된다.</p> <p>$ \begin{array}{ll}0 \text { 회 } & T(0)=t \\ 1 \text { 회 } & T(1)=2 t \\ 2 \text { 회 } & T(2)=4 t=2^{2} t \\ 3 \text { 회 } & T(3)=8 t=2^{3} t \\ 4 \text { 회 } & T(4)=16 t=2^{4} t\end{array} $</p> <caption>5 회 $ \quad T(5)=32 t=2^{5} t $ ; $ n $ 회 $ \quad T(n)=2^{n} t $</caption> <p>따라서 $ n $ 회를 접었을 때 높이는</p> <caption>$ \begin{aligned} T(n)=0.00612 \times 2^{n} \mathrm{~mm} &=6.12 \times 10^{-3} \times 2^{n} \times 10^{-6} \mathrm{~km} \\ &=6.12 \times 2^{n} \times 10^{-9} \mathrm{~km} \end{aligned} $</caption> <p>예를 들어,</p> <p>$ T(10)=0.00000626688 $</p> <p>$ T(20)=0.00641728512 $</p> <p>$ T(30)=6.571299963 $</p> <p>$ T(40)=6729.011163 $</p> <p>$ T(50)=6890507.431 $</p> <p>마지막 식 $ T(50)=6890507.431 \mathrm{~km} $ 는 신문지 한 장을 50 번 접으면 그 높이가 600 만 $ \mathrm{km} $ 보다 더 높다는 것을 의미한다.</p> <h3>예제 $ 1.1 $</h3> <p>지구에서 태양까지의 거리는 약 1 억 5000 만 $ \mathrm{km} $ 이다. 신문지를 몇 번 접으면, 접힌 신문지 높이의 끝이 태양에 도달하겠는가?</p> <h3>풀이</h3> <p>방정식 $ T(n) \geq 150,000,000 $ 을 만족하는 최소의 자연수 $ n $ 을 구하면 된다. 즉</p> <caption>$ 612 \times 10^{-5} \times 2^{n} \times 10^{-6} \geq 15 \times 10^{7} $</caption> <p>을 만족하는 최소의 자연수 $ n $ 의 값을 구하면 된다. $ n $ 을 구하기 위해 $ 2^{n} $ 에 대하여 정리하면</p> <caption>$ 2^{n} \geq \frac{15}{612} \times 10^{18} $</caption> <p>자연수 $ n $ 을 순차적으로 대입해서 그 값이 $ (15 / 612) 10^{18} $ 을 넘는 최초의 자연수를 찾으면 된다. 그러나 여기서는 로그함수에 대한 사전 경험을 위해, 로그함수를 이용하여 $ n $ 을 구하여본다.</p> <caption>$ n \geq \log _{2} \frac{15 \times 10^{18}}{612} $</caption> <p>계산기를 이용하여 근삿값을 구하면</p> <caption>$ n \geq 54.44420845 $</caption> <p>따라서 부등식을 만족하는 최초의 자연수는 55 이므로 55 회를 접으면 태양에 도달할 수 있다.</p> <p>로그함수의 값은 지수함수를 통하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 예를 들면,</p> <caption>$ 2^{3}=8 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{2} 8=3 $</caption> <caption>$ \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{\frac{1}{2}} 16=-4 $</caption> <caption>$ 10^{5}=100,000 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{10} 100,000=5 $</caption> <caption>$ 3^{-4}=\frac{1}{81} \quad \Leftrightarrow \quad \log _{3} \frac{1}{81}=-4 $</caption> <caption>$ 5^{1}=5 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{5} 5=1 $</caption> <caption>$ \left(\frac{3}{4}\right)^{0}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{\frac{3}{4}} 1=0 $</caption> <p>로그함수의 값을 지수함수를 이용하지 않고 구할 수 있는 방법을 모색해보자. 앞에서도 언급했듯이 일차함수의 역함수는 일차함수이고, 이차함수의 역함수는 무리함수이므로, 무리함수의 값을 구하기 위해 다시 이차함수로 바꾸는 작업을 하지 않는다. 그 이유는 무리함수에 대한 정확한 개념을 만들었기 때문이다. 만약 로그함수에 대해서도 정확한 개념을 정립할 수 있다면, 지수함수의 도움 없이 로그함수도 자존할 수 있을 것이다. 로그함수는 지수함수의 역함수이기 때문에 지수성질에 버금가는 로그성질을 만들어 낼 수 있다.</p> <p>다음 로그함수의 기본성질은 이러한 생각이 합당하다는 것을 보증한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \log _{a} x y=\log _{a} x+\log _{a} y $</li> <li>$ \log _{a} \frac{x}{y}=\log _{a} x-\log _{a} y $</li> <li>모든 실수 $ r $ 에 대하여 $ \log _{a} x^{r}=r \cdot \log _{a} x $</li></ol> <h3>증명</h3> <p>( i)만 증명하고 나머지는 연습으로 남긴다.\[m=\log _{a} x \text { 이고 } n=\log _{a} y \text { 라 하자. 로그의 정의로부터 }\]</p> <caption>$ a^{m}=x $ 이고 $ a^{n}=y $</caption> <p>이므로 두 식을 곱하면</p> <caption>$ a^{m} \cdot a^{n}=x y $</caption> <p>지수성질에 의해</p> <caption>$ a^{m+n}=x y $</caption> <p>로그의 정의를 다시 적용하면</p> <caption>$ \log _{a} x y=m+n $</caption> <p>따라서</p> <caption>$ \log _{a} x y=\log _{a} x+\log _{a} y $</caption> <p>증명에서 지수함수의 성질을 이용하였는데, 이것은 로그함수의 DNA가 지수함수이므로 피할 수 없다(피할 수 없으면 즐겨라!).</p> <h3>예제 $ 2.3 $</h3> <p>$ \log _{10} 2=0.3010, \log _{10} 3=0.4771 $ 이라고 하자. 다음 값을 계산하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 기본성질 ( i )로부터</p> <caption>$ \begin{aligned} \log _{10} 6 &=\log _{10} 2 \times 3=\log _{10} 2+\log _{10} 3 \\ &=0.3010+0.4771=0.7781 \end{aligned} $</caption> <p>(2) 기본성질 (ii)로부터</p> <caption>$ \begin{aligned} \log _{10} 9 &=\log _{10} 3^{2}=2 \log _{10} 3 \\ &=2 \times 0.4771=0.9542 \end{aligned} $</caption> <p>다음은 유사 이래 학생들이 가장 많이 실수를 하는 것으로, 잘못된 결과를 유도하지 않도록 반드시 기억해 두기 바란다.</p> <caption>$ \log _{a}(x+y) \neq \log _{a} x+\log _{a} y $</caption> <caption>$ \frac{\log _{a} x}{\log _{a} y} \neq \log _{a} x-\log _{a} y $</caption> <p>예제 $ 2.3 $ 에서 밑이 10 인 로그를 사용하였다. 실제로 인류는 10 진법을 주로 사용하므로 자연스럽게 밑이 10 인 로그를 많이 사용한다(컴퓨터는 2 진법을 주로 사용한다). 밑 10 인 로그를 상용로그라 하고, 상용로그 $ \log _{10} x $ 는 간단히 $ \log x $ 로 쓴다. 자연현상 또는 공학에서는 밑이 $ e $ 인 로그를 많이 사용하고, 이러한 로그를 자연로그라 한다. $ x $ 에 대한 자연로그 $ \log _{e} x $ 를 간단히 $ \ln x $ 로 쓴다. 로그의 값은 로그표를 사용하던지 또는 계산기를 사용하면 된다.</p> <h3>예제 $ 2.4 $</h3> <p>$ \log 2=0.3010, \log 3=0.4771 $ 이라 하자. 다음 값을 계산하여라.</p> <p>(1) $ \log 600 $</p> <p>(2) $ \log \frac{72}{25} $</p> <p>(3) $ \log 0.24 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ \begin{aligned} \log 600 &=\log \left(2 \cdot 3 \cdot 10^{2}\right) \\ &=\log 2+\log 3+2 \log 10 \\ &=0.3010+0.4771+2=2.7781 \end{aligned} $</p> <p>(2) $ \begin{aligned} \log \frac{72}{25} &=\log \frac{2^{3} 3^{2}}{5^{2}}=3 \log 2+2 \log 3-2 \log 5 \\ &=3 \log 2+2 \log 3-2(1-\log 2) \\ &=5 \log 2+2 \log 3-2 \\ &=5 \times 0.3010+2 \times 0.4771-2=0.4592 \end{aligned} $</p> <p>(3) $ \begin{aligned} \log 0.24 &=\log \frac{24}{100}=\log \frac{2^{3} \cdot 3}{10^{2}} \\ &=3 \log 2+\log 3-2 \log 10 \\ &=3 \times 0.3010+0.4771-2=-0.6199 \end{aligned} $</p> <p>로그함수의 밑은 원하는 밑으로 자유롭게 바꿀 수 있다.</p> <p>(i) $ \log _{a} x=\frac{\log _{b} x}{\log _{b} a} $</p> <p>(ii) $ \log _{a^{m}} b^{n}=\frac{n}{m} \log _{a} b $</p> <p>공식 ( i)을 로그의 밑변환 공식이라 부른다.</p> <h3>증명</h3> <p>(i) 항등식</p> <caption>$ x=a^{\log _{a} x} $</caption> <p>의 양변에 밑이 $ b $ 인 로그를 취하여 정리하면</p> <caption>$ \log _{b} x=\log _{b} a^{\log _{a} x} $ $ \log _{b} x=\left(\log _{a} x\right)\left(\log _{b} a\right) $</caption> <p>이로부터 밑변환 공식을 얻는다.</p> <p>(ii) 결과 (i)을 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.</p> <p>이런 정보를 모두 사용하여 로그함수를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>임의의 양수 $ x $ 에 대하여</p> <caption>$ y=\log _{a} x, a>0, a \neq 1 $</caption> <p>을 밑이 $ a $ 인 로그함수라고 한다. 이때 $ x $ 는 진수라고 한다.</p> <p>함수 $ f(x)=a^{x} $ 와 $ g(x)=\log _{a} x $ 는 서로 역함수의 관계이므로, 양의 실수 $ x $ 에 대하여</p> <caption>$ (f \circ g)(x)=f(g(x))=a^{g(x)}=a^{\log _{a} x}=x $</caption> <p>$ x $ 는 모든 실수에 대하여</p> <caption>$ (g \circ f)(x)=g(f(x))=\log _{a} f(x)=\log _{a} a^{x}=x $</caption> <p>정리하면 다음 항등식을 얻는다.</p> <p>양의 실수 $ x $ 에 대하여</p> <caption>$ a^{\log _{a} x}=x $</caption> <p>$ x $ 는 모든 실수에 대하여</p> <caption>$ \log _{a} a^{x}=x $</caption> <p>예로,</p> <caption>$ 2^{\log _{2} 3}=3 $ (\\)<caption>$ \log _{5} 5^{7}=7 $</caption> <h3>예제 21</h3> <p>로그함수 $ y=\log _{2} x $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>함수 $ y=\log _{2} x $ 의 역함수는 $ y=2^{x} $ 이므로, $ y=2^{x} $ 의 그래프를 $ y=x $ 에 대칭시켜서 그리면 된다.</p> <p>$ y=a^{x}, a>1 $ 의 그래프와 마찬가지로 $ y=\log _{a} x $ 의 그래프는 증가하고 항상 $ (1,0) $ 을 지난다. 왜냐하면 $ \log _{a} 1=0 $ 이기 때문이다.</p> <h3>예제 $ 2.2 $</h3> <p>로그함수 $ y=\log _{0.5} x $ 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ y=0.5^{x} $ 의 그래프를 $ y=x $ 에 대칭이동한 것이다.</p> <p>$ y=a^{x}, 0<a<1 $ 의 그래프와 마찬가지로 $ y=\log _{a} x $ 의 그래프는 감소 하고 항상 $ (1,0) $ 을 지난다.</p> <p>위의 예제들을 통하여 로그함수에 관한 사실을 정리하면 다음과 같다.</p> <ul> <li>로그함수 $ f(x)=\log _{a} x $ 는 항상 $ (1,0) $ 을 지난다.</li> <li>$ f(x)=\log _{a} x $ 의 정의역은 $ (0, \infty) $ 이고 치역은 $ (-\infty, \infty) $ 이다.</li> <li>$ a>1 $ 일 때 $ f(x)=\log _{a} x $ 는 증가함수이다. $ 0<a<1 $ 일 때 $ f(x)=\log _{a} x $ 는 감소함수이다.</li> <li>로그함수는 일대일함수이다. 즉 $ \log _{a} u=\log _{a} v $ 이면 $ u=v $ 이다.</li> <li>$ \log _{a} u=\log _{b} u, u \neq 1 $ 이면 $ a=b $ 이다. 진수가 같으면 밑도 같아야 한다.</li></ul> <h3>증명</h3> <p>마지막 성질을 증명하자. 먼저 다음 사실을 알자.</p> <caption>$ \log _{a} b \log _{b} a=1 $</caption> <p>실제로,</p> <caption>$ \log _{a} b \log _{b} a=\log _{b} a^{\log _{a} b}=\log _{b} b=1 $</caption> <p>$ \log _{a} b \log _{b} a=1 $ 로부터</p> <caption>$ \log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a} $</caption> <p>이므로</p> <caption>$ \log _{a} u=\log _{b} u $</caption> <p>는</p> <caption>$ \log _{u} a=\log _{u} b $</caption> <p>와 동치이다(같다는 의미). 로그함수의 일대일 성질로부터 $ a=b $ 이다.</p> <h1>2. 로그함수</h1> <p>로그함수는 지수함수의 역함수로 탄생된 것이다. 물론, 천문학적인 큰 수를 다루기 위한 수단으로 개발된 것이라는 의견도 있음을 지적해 둔다. 로그함수가 도입된 과정을 좀 더 자세히 살펴보자. 지수함수 $ y=a^{x} $에서 $ y $ 를 알고 있을 때 대응하는 $ x $ 를 구해야 하는 경우가 발생한다. 2 를 열 번 반복하여 곱하면 $ 2^{10} $ 이고, 이를 계산하면 $ 2^{10}=1024 $ 이다. 반대로 2 를 몇 번 반복적으로 곱하면 8192 가 되는가? 즉 $ 2^{x}=8192 $를 만족하는 $ x $ 를 찾아야 하는 경우가 있고, 이것은 지수함수의 역과정이다. 소인수분해를 하면 $ 8192=2^{13} $ 이므로 $ x=13 $ 이다(지수함수는 일대일함수이다). 즉 2를 13 번 반복적으로 곱했다는 것이다. 짜장면 가게에서 요리사가 면을 반으로 접으면서 만든 면발의 수가 8192 개였다면 그는 13 번의 반복 작업을 한 것이 된다. 과연 요리사는 13 번의 반복 작업을 수행할 수 있을까?</p> <p>이제, $ 2^{x}=10000 $을 만족하는 $ x $ 를 구해야만 하는 경우가 발생했다고 하자. 물론 $ x $ 는 자연수이어야 한다고 고집하는 경우, $ 2^{13}=8192 $ 및 $ 2^{14}=16384 $ 이므로 방정식 $ 2^{x}=10000 $ 는 자연수 해 $ x $ 를 갖지 않는다(그림 2.1).</p> <p>그림 $ 2.1 $ 로부터 방정식을 만족하는 실수 $ x $ 는 존재한다는 것을 알 수 있다 ( $ y=2^{x} $ 의 그래프와 직선 $ y=10000 $ 의 그래프가 만나는 점의 $ x $ 의 값이 해다!). 하지만 해를 알고 있는 함수로 표현할 길이 없다. 예를 들어, $ y=2 x $ 의 역함수는 $ y=0.5 x $ 이므로, 일차함수의 개념으로 역함수를 표현하고 자유롭게 사용할 수 있다. $ y=2^{x} $ 의 역함수는 기존에 알고 있는 함수로 표현할 수 없으므로, 해를 표현할 새로운 표현이 필요하다. 해는 2 와 10000 이라는 정보를 다 포함하도록 해야 하므로, 이를 $ x=\log _{2} 10000 $으로 표현한 것이다. 해를 $ x=\log _{2} 10000 $ 와 같이 표현해도, 해의 실제적 의미는 $ 2^{x}=10000 $을 만족하는 실수 $ x $ 의 값이 되어야 한다.</p> <p>지수함수 $ y=a^{x} $ 의 역함수의 개념으로 로그함수를 정의한다는 것은 위에서 간단하게 언급하였다. 따라서 역함수를 구하는 순서에 따라 $ x $ 와 $ y $ 의 자리를 바꾼 방정식 $ x=a^{y} $을 $ y $ 에 대하여 풀어야 한다. $ y $ 는 기존에 알고 있는 함수로 풀 수 없기 때문에 새로운 기호를 도입할 필요가 있다. $ y $ 는 고정된 $ a $ 와 변수 $ x $ 에 관한 함수가 된다는 것은 자명하다. 따라서 $ f(x)=a^{x} $ 이라면 $ f^{-1}(x)=?(a, x) $이다. 무엇(?)에 해당하는 것에 $ \log $ 를 도입하여 표현했고, 밑 $ a $ 는 $ \log $ 에서도 밑에 해당되도록 밑에 붙이고, $ x $ 는 함수처럼 보이는 위치에 둔 것이다.</p>	자연
알기 쉬운 선형대수학과 응용	<p>이 선형연산자는 좌표평면 위에서 $ \Theta $ 만큼의 회전이동을 뜻한다. 따라서 $ 0< \theta< \pi $ 또는 $ \pi< \theta<2 \pi $ 인 경우에, 기하학적으로 $ A $ 및 $ L_ { A } $의 고유치와 고유벡터가 존재하지 않음을 알 수 있다.</p> <p>(보기 3) $ \quad $다음 선형연산자의 고유치와 고유공간을 구하여 보자.</p> <p>\[ T: \mathbb { R } _ { 3 } [x] \rightarrow \mathbb { R } _ { 3 } [x], \quad T(f(x))=f(x) + x f ^ {\prime } (x) + f ^ {\prime } (x) \]</p> <p>먼저 $ \mathbb { R } _ { 3 } [x] $ 의 표준기저 $ B= \left \{ 1, x, x ^ { 2 } \right \} $ 에 대하여 $ A=[T]_ { B } $라고 하면, \[ \begin {array} { l } T(1)=1 \quad=1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x ^ { 2 } \\ T(x)=1 + 2 x=1 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x ^ { 2 } , \quad[T]_ { B } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end {array} \right ] \\ T \left (x ^ { 2 } \right )=2 x + 3 x ^ { 2 } =0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 3 \cdot x ^ { 2 } \end {array} \]</p> <p>그런데 $ A=[T]_ { B } $의 고유치는 $ \lambda_ { 1 } =1, \lambda_ { 2 } =2, \lambda_ { 3 } =3 $이고 이에 대응하는 $ A $의 고유공간 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } $는 각각 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } E_ { 1 } = \{ a(1,0,0) \mid a \in \mathbb { R } \} \\ E_ { 2 } = \{ a(1,1,0) \mid a \in \mathbb { R } \} \\ E_ { 3 } = \{ a(1,2,1) \mid a \in \mathbb { R } \} \end {array} \]</p> <p>풀이 $ \quad $ $ \operatorname { det } (-3 I-A)=0 $임을 보임으로써 $ \lambda=-3 $은 $ A $의 고유치가 됨을 알 수 있고, $ E_ { -3 } $은 동차연립1차방정식 \[ (-3 I-A)=0 \] 즉, \[ \begin {array} { r } -8 x_ { 1 } -8 x_ { 2 } -16 x_ { 3 } =0 \\ -4 x_ { 1 } -4 x_ { 2 } -8 x_ { 3 } =0 \\ 4 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } + 8 x_ { 3 } =0 \end {array} \] 여기서, \[ X= \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ] \] 의 해 공간이므로, 구하는 해 $ X $를 구하면 $ X=s X_ { 1 } + t X_ { 2 } $, $s $, $t \\in \mathbb { R } $, 여기서 \[ X_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ], \quad X_ { 2 } = \left [ \begin {array} { r } -2 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>따라서 $ E_ { -3 } $ 은 위의 $ X_ { 1 } $과 $ X_ { 2 } $에 의해 생성되는 벡터공간( $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분공간)이다. 즉, $ E_ { -3 } =~ \langle(-1,1,0),(-2,0,1) \rangle $ 이다.</p> <p>정의 4 $ \quad $체 $ F $ 위의 행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ]_ { n \times n } \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $ 에 대하여, 부정원 $ x $에 관한 $ n $ 차 다항식 \[ f(x)= \operatorname { det } (x I-A)= \left \| \begin {array} { cccc } x-a_ { 11 } & -a_ { 12 } & \cdots & -a_ { 1 n } \\ -a_ { 21 } & x-a_ { 22 } & \cdots & -a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ -a_ { n 1 } & -a_ { n 2 } & \cdots & x-a_ { n n } \end {array} \right \| \] 를 $ A $의 고유다항식 또는 특성다항식 (characteristic polynomial)이라고 한다. 또, $ n $ 차원 벡터공간 $ V $위의 선형연산자 $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $에 대하여 \[ f(x)= \operatorname { det } \left (x I-[T]_ { B } \right ) \quad(B \text { 는 } ~V \text { 의 임의의 기저 } ) \] 를 $ T $의 고유다항식 또는 특성다항식이라고 한다.</p> <p>$ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $를 $ \lambda $ 에 대응하는 $ A $의 고유벡터라고 한다.</p> <p>또, $ A $의 고유치 $ \lambda $ 에 대응하는 $ A $의 고유벡터 전체와 영벡터로 이루어진 집합 \[ E_ {\lambda } = \left \{ v \in F ^ { n } \mid L_ { A } (v)= \lambda v \right \} \] 를 $ \lambda $ 에 대응하는 $ A $의 고유공간이라고 한다.</p> <p>(보기 1) $ \quad $다음과 같이 정의된 선형연산자를 생각하여 보자.</p> <p>\[ \begin {array} { l } L_ { A } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , \quad \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } \right )=L_ { A } \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) \\{\left [ \begin {array} { l } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ], \quad A= \left [ \begin {array} { rr } 5 & 0 \\ 12 & -1 \end {array} \right ] \in \operatorname { Mat } _ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \end {array} \]</p> <p>이 때, \[ L_ { A } (1,2)= \left [ \begin {array} { cc } 5 & 0 \\ 12 & -1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 5 \\ 10 \end {array} \right ]=5 \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ]=5(1,2) \] 이므로, $ \lambda=5 $는 $ L_ { A } $의[ $ A $의] 고유치이고 $ w=(1,2) $는 $ L_ { A } $의 [ $A $의] 고 유 벡 터이다.</p> <p>§6.4 문제 14, 15에서 체 $ F $ 위의 두 행렬 $ A, B \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $가 상사행렬이면, $ \operatorname { det } (A)= \operatorname { det } (B) $, $ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B) $ 임을 알았다.</p> <p>또 $ \operatorname { tr } (A)= \operatorname { tr } (B) $ 라는 것도 알 수 있다. 실제로, $ B=P ^ { -1 } A P $ 라고 하면, 트레이스의 성질에 의하여 \[ \operatorname { tr } (B)= \operatorname { tr } \left (P ^ { -1 } A P \right )= \operatorname { tr } \left (A P ^ { -1 } P \right )= \operatorname { tr } (A) \]</p> <p>이제 $ V $를 체 $ F $ 위의 유한차원 벡터공간이라 하고 $ T \in M_ { F } (V) $ 라고 할 때, $ V $의 두 기저 $ B= \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} , C= \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $ 에 대하여 $ w_ { j } = \sum_ { i=1 } ^ { n } p_ { i j } v_ { i } (1 \leq j \leq n) $ 이면 $ P= \left [p_ { i j } \right ]_ { n \times n } \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $ 는 가역행렬이고 $ [T]_ { C } =P ^ { -1 } [T]_ { B } P $ 이다 (§6.4 정리 3). 따라서 \[ \operatorname { det } [T]_ { C } = \operatorname { det } [T]_ { B } , \quad \operatorname { tr } [T]_ { C } = \operatorname { tr } [T]_ { B } \]이므로 $ \operatorname { det } [T]_ { B } , \operatorname { tr } [T]_ { B } $는 기저 $ \mathrm { B } $에 관계없이 일정하다.</p> <p>$ P $의 열 벡터는 1차독립 이므로 $ P $는 가역이고 따라서 (**)은 $ P ^ { -1 } A P=D $로 고쳐 쓸 수 있다. 그러므로 $ A $는 대각화 가능하다.</p> <p>$ P $의 열벡터는 1차독립 이므로 $ P $는 가역이고 따라서 $ ( * ) $은 $ P ^ { -1 } A P=D $로 고쳐 쓸 수 있다. 그러므로 $ A $는 대각화 가능하다.</p> <p>위의 증명으로부터 대각화 가능한 $ n $차 정방행렬 $ A $를 대각화하는 다음과 같은 절차를 얻을 수 있다.</p> <p>단계 1 $ \quad A $의 고유치를 구한다.</p> <p>단계 2 $ \quad A $의 $ n $개로 구성된 1 차독립인 고유벡터 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $을 구한다.</p> <p>단계 3 $ \quad P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $을 열벡터로 하는 행렬 $ P= \left [P_ { 1 } \vdots P_ { 2 } \vdots \cdots \vdots P_ { n } \right ] $을 구성한다.</p> <p>단계 4 $ \quad P ^ { -1 } A P= \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $ 를 계산한다. 여기서 $ \lambda_ { i } $는 $ P_ { i } $에 대응하는 고유치이다 $ (i=1,2, \cdots, n) $.</p> <p>[예제 1] $ \quad $ 다음 $ \mathbb { R } $ 위의 정방행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end {array} \right ] \] 을 대각화하는 행렬 $ P $를 구하고, $ A $를 대각화하여라.</p> <p>풀이 $ \quad $ $ A $의 특성방정식은 $ (x-1)(x-5) ^ { 2 } =0 $이므로, $ A $의 고유치는 $ \lambda=1 $과 $ \lambda=5 $이다. 또한 \[ P_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ], \quad P_ { 2 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ] \] 은 $ \lambda=5 $에 대응하는 고유공간에 대한 기저를 이루고, \[ P_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \] 은 $ \lambda=1 $에 대응하는 고유공간에 대한 기저이다. 따라서 $ \left \{ p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } \right \} $가 1차독립임을 쉽게 조사할 수 있으므로, $ A $는 대각화 가능이고, \[ P= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] \] 은 $ A $를 대각화한다. 검산으로서는 \[ P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { rrr } - \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>(보기 7) $ \quad $체 $ \mathbb { R } $ 위의 정방행렬 $ A $를 다음과 같은 행렬이라고 생각하자.</p> <p>\[ A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] \]</p> <p>그러면 $ A $의 고유다항식은 \[ f(x)= \operatorname { det } \left [ \begin {array} { rr } x-a & -b \\ -c & x-d \end {array} \right ]=x ^ { 2 } -(a + d) x + (a d-b c) \] 이므로, \[ f(A)=A ^ { 2 } -(a + d) A + (a d-b c) I=0 \] 임을 쉽게 조사할 수 있다.</p> <p>(예제 6) $ \quad $체 $ F $ 위의 3 차 정방행렬 $ A $가 다음과 같고 $ A $의 고유다항식이 $ f(x) $일 때 $ f(A)=O $ 을 보여라.</p> <p>\[ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이 $ \quad $ $ A $의 고유다항식은 \[ f(x)= \operatorname { det } \left [ \begin {array} { ccc } x-1 & 0 & 0 \\ 0 & x-2 & -3 \\ 0 & 0 & x-1 \end {array} \right ]=(x-1) ^ { 2 } (x-2) \] 이므로 \[ f(A)=(A-I) ^ { 2 } (A-2 I)=O \] 임을 알 수 있다.</p> <p>보기 7과 예제 6을 바탕으로 일반적인 정방행렬 및 선형연산자에 관하여 Cayley-Hamilton의 정리를 소개하면서 이 절을 마친다. 증명은 이 책의 범위를 벗어남으로 생략한다.</p> <p>정리 6 (Cayley-Hamilton) 체 $ F $ 위의 $ n $차 정방행렬 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $에 대하여 \[ f(x)=x ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } \in F[x] \] 를 $ A $의 고유다항식이라고 하면 \[ f(A)=A ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } A + a_ { 0 } I=O \] 이다.</p> <p>§6.1 정리 5과 이 절 정리 1에 의하여 $ (1) \Leftrightarrow(2),(2) \Leftrightarrow(3) $ 이다.</p> <p>앞의 정리처럼 §5.4 정리 5에 의하여 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 3 $ \quad F $ 를 체라 하고 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F), \Lambda \in F $라고 할 때, \[ E_ {\lambda } = \left \{\left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in F ^ { n } \mid L_ { A } \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \lambda \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right \} \] 이라고 하면 $ E_ {\lambda } $ 는 동차연립1차방정식 \[ ( \lambda I-A) \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \] 의 해공간 으로서 $ F ^ { n } $의 부분공간이다. 또, 다음 명제는 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lambda $ 는 $ A $의 [ $L_ { A } $ 의] 고유치이다. 즉, $ E_ {\lambda } \neq \{ (0, \cdots, 0) \} $ 이다.</li> <li>$ \operatorname { det } ( \lambda I-A)=0 $</li></ol> <p>정리 2와 3에 의하여 다음 따름정리가 성립한다.</p> <p>따름정리 4 $ \quad V $를 체 $ F $ 위의 $ n $차원 벡터공간이라 하고 $ \lambda \in F $, $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $라고 할 때, $ V $의 임의의 기저 $ \mathcal { B } $에 대하여 다음 두 명제는 서로 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$ \lambda $는 $ [T]_ { B } $의 고유치이다.</li> <li>$ \operatorname { det } ( \lambda I-[T]_ { B } )=0 $</li></ol> <p>[예제 1] $ \quad $ $ 1=-3 $이 $ \mathbb { R } $ 위의 $ 3 \times 3 $ 행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 5 & 8 & 16 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & -4 & -11 \end {array} \right ] \] 의 고유치임을 보이고, 이에 대응하는 고유공간 $ E_ { -3 } $을 구하여라.</p> <p>$ r_ { 1 } \lambda_ { 1 } X_ { 1 } + r_ { 2 } \lambda_ { 2 } X_ { 2 } + \cdots + r_ { k } \lambda_ { k } X_ { k } =0 ~~~ $<caption>$ \left (_ { 2 } \right ) $</caption></p> <p>$ \left (_ { 1 } \right ) $에 $ \lambda_ { 1 } $을 곱하여 그 결과를 $ \left (_ { 2 } \right ) $로부터 빼면, 다음과 같이 된다.</p> <p>\[ r_ { 2 } \left ( \lambda_ { 2 } - \lambda_ { 1 } \right ) X_ { 2 } + \cdots + r_ { k } \left ( \lambda_ { k } - \lambda_ { 1 } \right ) X_ { k } =0 \]</p> <p>한편, 귀납적 가정에 의하여 $ \left \{ X_ { 2 } , \cdots, X_ { k } \right \} $는 1차독립이므로 \[ r_ { 2 } \left ( \lambda_ { 2 } - \lambda_ { 1 } \right )=r_ { 3 } \left ( \lambda_ { 3 } - \lambda_ { 1 } \right )= \cdots=r_ { k } \left ( \lambda_ { k } - \lambda_ { 1 } \right )=0 \] 이고, $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { k } $ 는 서로 다르므로 $ r_ { 2 } =r_ { 3 } = \cdots=r_ { k } =0 $ 이다. 따라서 $ \left (_ { 1 } \right ) $는 $ r_ { 1 } X_ { 1 } =0 $가 된다. $ X_ { 1 } \neq 0 $이므로 $ r_ { 1 } X_ { 1 } =0 $는 $ r_ { 1 } =0 $를 유도한다. 그러므로 $ \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $는 1차독립이다.</p> <p>정리 7 (Cayley-Hamilton) 체 $ F $ 위의 $ n $차원 벡터공간 $ V $상의 선형연산자 $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $에 대하여 \[ f(x)=x ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } \in F[x] \] 를 $ T $의 고유다항식이라고 하면 \[ f(T)=T ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } T + a_ { 0 } 1_ { V } =O_ { V } \] 이다.</p> <h1>§2 대각화법</h1> <p>이 절에서는 선형연산자와 정방행렬의 대각화 가능성에 대하여 논하고 다음과 같은 대각화 문제에 대하여 알아본다.</p> <p>1. 체 $ F $ 위의 유한차원 벡터공간의 선형연산자 $ T: V \rightarrow V $가 주어질 때, $ T $의 행렬표현이 대각행렬로 되는 $ V $에 대한 기저가 존재하는가?</p> <p>$ A $가 어떤 기저에 관한 선형연산자 $ T: V \rightarrow V $의 행렬표현이라고 한다면, 이 문제는 $ T $에 대한 새로운 행렬이 대각이 되도록 하는 기저의 변환이 존재하는가를 묻는 것과 같다. §6.4 정리 3에 의하면 $ P $가 적당한 전이행렬일 때, $ T $에 대한 새로운 행렬이 $ P ^ { -1 } A P $가 됨을 알았다. 따라서 다음 대각화 문제의 행렬형으로 바뀌어진다.</p> <p>2. 체 $ F $ 위의 정방행렬 $ A $에 대하여 $ P ^ { -1 } A P $가 대각행렬이 되는 가역행렬 $ P $가 존재하는가?</p> <p>정의 $ \quad $체 $ F $ 위의 정방행렬 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $에 대하여 가역행렬 $ P $가 존재하여, $ P ^ { -1 } A P $가 대각행렬이 될 때, 즉 $ P ^ { -1 } A P= \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $일 때, $ A $를 대각화 가능한 (diagonalizable)행렬 이라 하고, 행렬 $ P $는 $ A $를 대각화한다 (diagonalize)라고 한다.</p> <p>$ B_ { i } $가 1차독립이라는 사실로부터, $ Y_ { i } $속의 모든 항의 계수는 0이라는 것을 알 수 있다. 그러므로 $ B $는 1차독립이다.</p> <p>【주의】 $ \quad $4. 정리 5의 증명과정 $ (3) \Rightarrow(1) $로부터 대각화 과정이 분명해짐을 보여준다 :</p> <ol type=1 start=1><li>$ n $ 정방행렬 $ A $의 여러 가지 고유치에 대응하는 고유공간을 구한다.</li> <li>각각의 고유공간으로부터 기저를 선택한다.</li> <li>(2)의 모든 기저들 속의 모든 고유벡터들의 모임이 1차독립임을 안다.</li> <li>(3)에서 모든 고유벡터들의 모임이 $ n $ 개의 벡터라면, 정리 2 로부터 $ A $는 대각화 가능한 행렬임을 알 수 있다.</li></ol> <p>[예제 7] $ \quad $체 $ F $ 위의 대각화 가능한 정방행렬 $ A $의 모든 고유치 $ \lambda $ 에 대하여 $ \lambda ^ { 2 } =2 \Lambda $ 가 성립할 때, $ A ^ { 2 } =2 A $임을 증명하여라.</p> <p>풀이 $ \quad P ^ { -1 } A P=D= \operatorname { diag } \left ( \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right ) $ 이라 하자. 모든 $ i $에 대하여, $ \lambda_ { i } ^ { 2 } =2 \lambda_ { i } $이기 때문에, \[ D ^ { 2 } = \operatorname { diag } \left ( \lambda_ { 1 } ^ { 2 } , \cdots, \lambda_ { n } ^ { 2 } \right )= \operatorname { diag } \left (2 \lambda_ { 1 } , \cdots, 2 \lambda_ { n } \right )=2 D \] 를 얻는다. 따라서 \[ \begin {aligned} A ^ { 2 } &= \left (P D P ^ { -1 } \right ) ^ { 2 } =P D ^ { 2 } P ^ { -1 } =P(2 D) P ^ { -1 } \\ &=2 \left (P D P ^ { -1 } \right )=2 A \end {aligned} \] 이다.</p> <p>$ (4) \Rightarrow(1): \quad A $의 고유치 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { n } $에 대응되는 $ n $ 개의 1차독립인 고유벡터 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $을 갖는다 하고 \[ P= \left [ \begin {array} { cccc } P_ { 11 } & P_ { 12 } & \cdots & P_ { 1 n } \\ P_ { 21 } & P_ { 22 } & \cdots & P_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ P_ { n 1 } & P_ { n 2 } & \cdots & P_ { n n } \end {array} \right ] \] 을 각 열벡터가 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $인 행렬이라 하자. 행렬의 곱 $ A P $의 열은 \[ A P_ { 1 } , A P_ { 2 } , \cdots, A P_ { n } \] 이고, \[ A P_ { 1 } = \lambda_ { 1 } P_ { 1 } , A P_ { 2 } = \lambda_ { 2 } P_ { 2 } , \cdots, A P_ { n } = \lambda_ { 1 } P_ { n } \] 이므로,<p>$ A P= \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } P_ { 11 } & { } _ { 1 } P_ { 12 } & \cdots & \lambda_ { n } P_ { 1 n } \\ \lambda_ { 1 } P_ { 21 } & \lambda_ { 2 } P_ { 22 } & \cdots & \lambda_ { n } P_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_ { 1 } P_ { n 1 } & \lambda_ { 2 } P_ { n 2 } & \cdots & \lambda_ { n } P_ { n n } \end {array} \right ] \\ = \left [ \begin {array} { cccc } P_ { 11 } & P_ { 12 } & \cdots & P_ { 1 n } \\ P_ { 21 } & P_ { 22 } & \cdots & P_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ P_ { n 1 } & P_ { n 2 } & \cdots & P_ { n n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \Lambda_ { n } \end {array} \right ]=P D ~~~ $<caption>$ ( * ) $</caption></p>이고, 여기서 $ D $는 주 대각선상에 고유치 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { n } $을 갖는 대각행렬이다.</p> <p>(보기 4) $ \quad $ $ A $가 체 $ \mathbb { R } $ 위의 $ n $ 정방삼각행렬이라면, $ A $의 고유치는 행렬 $ A $의 주대각선상의 성분들이다. 실제로, 행렬 $ A $의 주대각선상의 성분들을 $ a_ { 11 } , a_ { 22 } , \cdots, a_ { n n } $이라면, $ x I-A $의 주 대각성분들은 $ x-a_ { 11 } , x-a_ { 22 } , \cdots, x-a_ { n n } $ 임을 알 수 있다. 따라서, \[ f(x)= \operatorname { det } (x I-A)= \left (x-a_ { 11 } \right ) \left (x-a_ { 22 } \right ) \cdots \left (x-a_ { n n } \right ) \] 그러므로 $ A $의 고유치는 $ a_ { 11 } , a_ { 22 } , \cdots, a_ { n n } $ 이다.</p> <p>체 $ F $ 의 원소 $ \Lambda $ 가 선형연산자 또는 정방행렬의 고유치일 때, 그 고유다항식 $ f(x) \in F[x] $ 는 체 $ F $ 위에서 다음과 같이 인수분해가 된다고 하자.</p> <p>\[ f(x)=(x- \lambda) ^ { m } g(x), m \geq 1, g( \lambda) \neq 0 \]</p> <p>이 때, $ \lambda $ 를 중복도 (multiplicity)가 $ m $인 고유치라고 한다.</p> <p>정리 5 $ \quad V $를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차원 벡터공간이라 하고 $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $ $ \left [A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) \right ] $ 라고 하자. 또, $ \lambda \in F $를 중복도가 $ m $ 인 $ T[A] $의 고유치라고 할 때, $ E_ {\lambda } $ 를 $ \lambda $에 대응하는 고유공간이라면, 다음을 얻는다. \[ 1 \leq \operatorname { dim } _ { F } E_ {\lambda } \leq m \]</p> <p>증명 $ \quad $ $ \operatorname { dim } _ { F } E_ {\lambda } =r $ 이라고 하면, $ E_ {\lambda } \neq \{ 0 \} $ 이므로 $ r \geq 1 $ 이다. 이제 $ \mathrm { C } _ { 1 } = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { r } \right \} $를 고유공간 $ E_ {\lambda } $ 의 기저라고 하면, 에 적당한 벡터 $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { s } $ 를 첨가하여 $ V $ 의 기저 $ \mathbb { C } = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { r } , u_ { 1 } , \cdots, u_ { s } \right \} $를 얻을 수 있으며(제5장 참고), 이 때 $ T \left (w_ { 1 } \right ), \cdots, T \left (w_ { r } \right ), T \left (u_ { 1 } \right ), \cdots, T \left (u_ { s } \right ) $는 다음과 같이 $ w_ { 1 } , \cdots, w_ { r } , u_ { 1 } , \cdots, u_ { s } $의 1차결합으로 표시할 수있다.</p> <p>정리 3 $ \quad $체 $ F $ 위의 $ n $ 정방행렬 $ A $가 서로 다른 $ k $개의 고유치 $ \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { k } \in F $을 가질 때 $ X_ { 1 } , \cdots, X_ { k } \in F ^ { n } $을 각각 $ \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { k } $에 대응하는 고유벡터라고 하면 $ \left \{ X_ { 1 } , \cdots, X_ { k } \right \} $는 1차독립이다.</p> <p>증명 $ \quad $ $ k $ 에 관한 수학적 귀납법으로 증명하자. 만약 $ k=1 $이면 $ X_ { 1 } \neq 0 $이기 때문에 $ \left \{ X_ { 1 } \right \} $는 1차독립이다. 이제, $ k>1 $ 이고, $ k-1 $ 개의 고유치에 대하여 정리가 성립한다고 가정하자. $ X_ { 1 } , \cdots, X_ { k } $ 가 1차독립임을 보이기 위하여 임의의 $ F $ 의 원소 $ r_ { 1 } , \cdots, r_ { k } $에 대하여, $ X_ { 1 } , \cdots, X_ { k } $ 의 1차결합이 0이라고 하자 :<p>$ r_ { 1 } X_ { 1 } + r_ { 2 } X_ { 2 } + \cdots + r_ { k } X_ { k } =0 ~~~ $<caption>$ \left (_ { 1 } \right ) $</caption></p>우리의 목적은 $ r_ { 1 } =r_ { 2 } = \cdots=r_ { k } =0 $을 보이는 것이다. $ \left (_ { 1 } \right ) $의 양변에 $ A $에 의한 왼쪽 곱연산을 취하고, 모든 $ i $에 대하여 $ A X_ { i } = \lambda_ { i } X_ { i } $를 적용하면</p> <p>$ \left (_ { 1 } \right ) $은 다음과 같이 된다.</p> <p>따름정리 2 $ \quad $ 체 $ F $ 위의 행렬 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $에 대하여 다음 명제는 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $는 대각화 가능한 행렬이다.</li> <li>$ L_ { A } : F ^ { n } \rightarrow F ^ { n } $는 대각화 가능한 선형연산자이다.</li> <li>벡터공간 $ F ^ { n } $은 $ L_ { A } (A) $의 고유벡터로 이루어진 기저를 갖는다.</li> <li>$ A $는 $ n $개의 1차독립인 고유벡터를 갖는다.</li></ol> <p>증명 $ \quad $ 이 정리는 정리 1에 의하여 성립됨을 알 수 있으나 정방행렬을 대각화하는 방법을 제시해 주기 때문에 보다 실제적인 방법으로 $ (1) \Leftrightarrow(4) $를 증명한다.</p> <p>$ (1) \Rightarrow(4): \quad A $가 대각화 가능이라고 가정했으므로 $ P ^ { -1 } A P $가 대각행렬이 되는 즉, $ P ^ { -1 } A P=D $인 가역행렬 \[ P= \left [ \begin {array} { cccc } p_ { 11 } & p_ { 12 } & \cdots & p_ { 1 n } \\ p_ { 21 } & p_ { 22 } & \cdots & p_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_ { n 1 } & p_ { n 2 } & \cdots & p_ { n n } \end {array} \right ] \] 이 존재하고, 여기서 $ D $는 대각행렬 $ \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $ 즉, \[ D= \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_ { n } \end {array} \right ] \] 이다. $ A $와 $ D $는 서로 상사이므로, $ A $의 고유다항식은 $ f(x)=\|x I-D\| $ $ = \left (x- \lambda_ { 1 } \right ) \cdots \left (x- \lambda_ { n } \right ) $이 된다. 한편, $ A P=P D $으로부터<p>$ A P=A \left [ \begin {array} { cccc } p_ { 11 } & p_ { 12 } & \cdots & p_ { 1 n } \\ p_ { 21 } & p_ { 22 } & \cdots & p_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ p_ { n 1 } & p_ { n 2 } & \cdots & p_ { n n } \end {array} \right ]=P \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_ { n } \end {array} \right ] \\ = \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } p_ { 11 } & \lambda_ { 2 } p_ { 12 } & \cdots & \lambda_ { n } p_ { 1 n } \\ \lambda_ { 1 } p_ { 21 } & \lambda_ { 2 } p_ { 22 } & \cdots & \lambda_ { n } p_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_ { 1 } p_ { n 1 } & \lambda_ { 2 } p_ { n 2 } & \cdots & \lambda_ { n } p_ { n n } \end {array} \right ] ~~~ $<caption>$ ( * ) $</caption></p>이다. 이제 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $으로 $ P $의 열벡터를 나타낸다면 ()에 의하여 $ A P $의 $ \cdots, A P_ { n } $이기 때문에,<p>\[ A P_ { 1 } = \lambda_ { 1 } P_ { 1 } , A P_ { 2 } = \lambda_ { 2 } P_ { 2 } , \cdots, A P_ { n } = \lambda_ { 1 } P_ { n } \] $ ( ) $</p>이다. $ P $가 가역이므로 이 열벡터는 모두 영이 아니다. 따라서 $ ( *) $에 의하여 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { n } $ 은 $ A $의 고유치이고 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $ 은 대응하는 고유벡터이다. $ P $가 가역이므로 §5.4 정리 5 에 의하여 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } , \cdots, P_ { n } $ 은 1차독립이다. 따라서 $ A $는 $ n $ 개의 1차독립인 고유벡터를 갖는다.</p> <p>(예제 2) $ \quad $ $ T: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 을 \[ T \left ( \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ] \right )= \left [ \begin {array} { c } 3 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } \\ -2 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } \\ 5 x_ { 3 } \end {array} \right ] \] 에 의하여 주어지는 선형연산자라 하자. $ T $의 행렬이 대각이 되는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $에 대한 기저를 구하고, $ T $를 대각화 하여라.</p> <p>풀이 $ \quad $ $ B= \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \right \} $가 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $에 대한 표준기저를 나타내면, \[ \begin {array} { l } T \left (e_ { 1 } \right )=T \left ( \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \right )= \left [ \begin {array} { r } 3 \\ -2 \\ 0 \end {array} \right ], \quad T \left (e_ { 2 } \right )=T \left ( \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \right )= \left [ \begin {array} { r } -2 \\ 3 \\ 0 \end {array} \right ] \\ T \left (e_ { 3 } \right )=T \left ( \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ] \right )= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 5 \end {array} \right ] \end {array} \] 이므로, $ T $에 대한 표준행렬은 \[ [T]_ { B } =A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end {array} \right ] \] 이다. 이제 $ T $에 대한 대각행렬 $ D $를 얻기 위하여 표준기저를 새로운 기저 $ C= \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} $로 변형시키고자 한다. $ P $를 미지의 기저 $ \mathrm { C } $에서 표준기저 $ \mathrm { B } $로의 전이행렬이라 하면 §6.4 정리 6에 의하여 $ A $와 $ D $는 서로 상사, 즉 \[ D=P ^ { -1 } A P \] 이 된다. 다시 말하면 전이행렬 $ P $는 $ A $를 대각화한다. 이 행렬은 예제 1에서 다룬바 있다. 이 예제의 계산에서는 \[ P= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ], \quad D= \left [ \begin {array} { lll } 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 이다. $ P $는 기저 $ C= \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} $에서 표준기저 $ B= \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \right \} $로의 전이행렬을 나타내므로 $ P $의 열은 $ \left [u_ { 1 } \right ]_ { B } , \left [u_ { 2 } \right ]_ { B } , \left [u_ { 3 } \right ]_ { B } $이므로, \[ \left [u_ { 1 } \right ]_ { B } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left [u_ { 2 } \right ]_ { B } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ], \quad \left [u_ { 3 } \right ]_ { B } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \] 이다. 따라서, \[ \begin {array} { l } u_ { 1 } =(-1) e_ { 1 } + (1) e_ { 2 } + (0) e_ { 3 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \\ u_ { 2 } =(0) e_ { 1 } + (0) e_ { 2 } + (1) e_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ] \\ u_ { 3 } =(1) e_ { 1 } + (1) e_ { 2 } + (0) e_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \end {array} \] 은 $ T $에 대한 대각행렬 $ D $를 만드는 기저벡터들이다.</p> <p>【주의】 $ \quad $ 2. 위의 정의에 의하여, 선형연산자 $ T $의 고유다항식과 행렬 $ [T]_ { B } $의 고유다항식은 일치하고, 특히 행렬 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $의 고유다항식과 선형연산자 $ L_ { A } : F ^ { n } \rightarrow F ^ { n } $의 고유다항식은 일치한다.</p> <p>행렬 $ A $의 [선형연산자 $ T $ 의] 고유다항식이 $ f(x) $ 일 때, 방정식 $ f(x)=0 $을 $ A $의 [ $ T $의] 특성방정식 (characteristic equation) 또는, 고유방정식 (eigenequation)이라고 한다. 일반적으로, 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 방정식 $ f(x)=0 $은 $ F $에서 $ n $ 개 이하의 근을 가진다.</p> <p>【주의】 $ \quad $3. $ V $를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차원 벡터공간이라 하고 $ T \in End_ { F } (V) $라고 하자 $ \left [A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) \right . $라고 하자]. 이 때,</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x) $를 $ T $의 [ A의] 특성다항식이라고 하면, $ f( \lambda)=0 $일 때 $ \Lambda \in F $는 $ T $의 [ $ A $ 의] 고유치이다. 이러한 의미에서, 고유치를 특성근 (characteristic root)이 라고도 한다.</li> <li>$ T $는 [ $ A $ 는] 중복을 허락하여 $ n $ 개 이하의 고유치를 가진다.</li></ol> <p>(예제 2) $ \quad $행렬 $ A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 4 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] \in \operatorname { Mat } _ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 의 고유다항식을 구하고, 이를 이용하여 모든 고유치 및 이에 대응하는 고유공간을 구하여라.</p> <p>풀이 $ \quad V $행렬 $ A $의 [ $ L_ { A } $ 의] 고유다항식은 \[ f(x)= \operatorname { det } (x I-A)= \left \| \begin {array} { rr } x-1 & -4 \\ -1 & x-1 \end {array} \right \|=(x + 1)(x-3) \] 이므로 $ A $의 [ $ L_ { A } $ 의 ] 고유치는 $ \lambda=-1, \lambda=3 $ 이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lambda=-1 $ 에 대응하는 고유공간 $ E_ { 1 } $ 은 다음 동차연립1차방정식의 해공간이다. \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rrr } -1-1 & -4 \\ -1 & -1 & -1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ] } \\{\left [ \begin {array} { rrcc } -2 & -4 & \vdots & 0 \\ -1 & -2 & \vdots & 0 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { llcl } 1 & 2 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & 0 \end {array} \right ] } \end {array} \] 이 연립1차방정식의 일반해는 \[ \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]=t \left [ \begin {array} { r } -2 \\ 1 \end {array} \right ] \quad(t \in \mathbb { R } ) \] 이므로, $ E_ { 1 } = \{ t(-2,1) \mid t \in \mathbb { R } \} = \langle(-2,1) \rangle $ 이다.</li> <li>$ \lambda_ { 2 } =3 $에 대응하는 고유공간 $ E_ { 2 } $ 는 다음 동차연립1차방정식의 해공간이다. \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rr } 3-1 & -4 \\ -1 & 3-1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ] } \\{\left [ \begin {array} { rrrr } 2 & -4 & \vdots & 0 \\ -1 & 2 & \vdots & 0 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & 0 \end {array} \right ] } \end {array} \] 이 연립1차방정식의 일반해는 \[ \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]=t \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] \quad(t \in \mathbb { R } ) \] 이므로, $ E_ { 2 } = \{ t(2,1) \mid t \in \mathbb { R } \} = \langle(2,1) \rangle $ 이다.</li></ol> <p>[예제 3] $ \quad $예제 1에서 언급한 3차 정방행렬 $ A $ 의 고유다항식을 구하고 이를 이용하여 $ A $의 모든 고유치 및 이에 대응하는 $ A $의 고유공간을 구하여라.</p> <p>\[ n=t_ { 1 } + \cdots + t_ { k } \leq d_ { 1 } + \cdots + d_ { k } \leq m_ { 1 } + \cdots + m_ { k } =n \]</p>$ (2) \Rightarrow(3) $ : $ \quad $(2)에 의하여, $ n=d_ { 1 } + \cdots + d_ { k } \leq m_ { 1 } + \cdots + m_ { k } =n $이다. 따라서 $ d_ { 1 } + \cdots + d_ { k } =m_ { 1 } + \cdots + m_ { k } $이다. 한편 모든 $ i $에 대하여 $ d_ { i } \leq m_ { i } $이므로, $ d_ { i } =m_ { i } $가 되어야 하며 (3)이 성립한다.</p> <p>$ (3) \Rightarrow(1): $ $ \quad $모든 $ i $에 대하여, $ B_ { i } $를 $ E_ {\lambda_ { i } } $의 기저라고 두고 $ B $를 모든 $ B_ { i } $의 합집합이라 하자. 그러면 $ B $는 $ d_ { 1 } + \cdots + d_ { k } $ 개의 고유벡터를 포함하고 (3)에 의하여, $ d_ { 1 } + \cdots + d_ { k } =m_ { 1 } + \cdots + m_ { k } =n $ 이므로, $ B $가 1차독립임을 밝히면 충분하다. $ B $가 1차독립임을 증명하기 위하여, $ B $에 있는 모든 벡터의 1차결합이 0이라 하자. 그리고 $ Y_ { i } $를 $ B_ { i } $로부터 나온 벡터들의 1차결합이라 하자. 그러면 $ Y_ { i } $는 $ E_ {\lambda_ { i } } $에 속한다 $ (i=1,2, \cdots, k) $. 따라서 영이 아닌 $ Y_ { i } $의 모임은 정리 3에 의하여 1차독립이다. 한편 $ Y_ { 1 } + Y_ { 2 } + \cdots + Y_ { k } =0 $이므로 각각의 $ i $에 대하여 $ Y_ { i } =0 $이다.</p> <h1>§1 고유치와 고유공간</h1> <p>이 절에서는 선형연산자와 정방행렬의 고유치, 고유벡터, 고유공간, 고유다항식에 대하여 논한다. 고유벡터는 선형연산자의 해석에서 중요한 역할을 하게 되고 진동, 전기계, 유전학, 화학반응, 양자역학, 기계공학, 경제학, 기하학의 연구에서도 중요하게 취급된다.</p> <p>정의 1 $ \quad V $를 체 $ F $ 위의 벡터공간이라 하고 $ T \in E n d_ { F } (V) $라고 하자.</p> <ol type = 1 start=1><li>$ \lambda \in F $ 에 대하여 \[ T(w)= \Lambda w, \quad w \neq 0 \] 인 벡터 $ w \in V $가 존재할 때, $ \lambda $를 $ T $의 고유치 (eigenvalue) 또는 특성치 (characteristic value)라 하고 $ w $를 고유치 $ \lambda $에 대응하는 $ T $의 고유벡터 (eigenvector) 또는 특성벡터 (characteristic vector)라 한다.</li> <li>$ \lambda \in F $가 $ T $의 고유치인 경우에, $ \lambda $에 대응하는 (corresponding) $ T $의 고유벡터 전체와 영벡터로 이루어진 집합, 즉 \[ E_ {\lambda } = \{ w \in V \mid T(w)= \lambda w \} \] 를 $ \lambda $에 대응하는 $ T $의 고유공간 (eigenspace) 또는 특성공간 (characteristic space)이라고 한다</li></ol> <p>【주의】 $ \quad $ 1. 용어 'eigenvector' 는 독일어와 영어의 혼합어이다. 독일어의 접두사 'eigen'은 'proper (참, 고유)' 또는 'characteristic (특성)' 으로 해석될 수 있다. 따라서 eigenvalue 는 흔히 proper value(고유치), characteristic value (특성치) 등으로 불리기도 한다.</p> <p>정의 2 $ \quad $체 $ F $ 위의 $ n $ 정방행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ]_ { n \times n } \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $의 곱에 의하여 정의되는 선형변환 $ L_ { A } : F ^ { n } \rightarrow F ^ { n } $의 고유치, 고유벡터, 고유공간을 각각 행렬 $ A $의 고유치 (또는, 특성치), 고유벡터 (또는, 특성벡터), 고유공간 (또는, 특성공간)이라고 한다.</p> <p>다시 말하면, $ \lambda \in F $ 에 대하여 \[ L_ { A } \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \lambda \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \text { , 즉 } A \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]= \Lambda \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ] \] 인 벡터 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \neq(0, \cdots, 0) $가 존재할 때, $ \lambda $를 $ A $의 고유치라 하고</p> <p>사실상, \[ P ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end {array} \right ], \quad P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { rrr } -3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>【주의】 $ \quad $2. 예제 3의 풀이과정에서 $ P ^ { -1 } A P $의 대각성분 -3, -3, 1은 행렬 $ P $의 열로써 행렬 $ A $의 고유벡터인 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } $에 대응하는 행렬 $ A $의 고유치임을 알 수 있다.</p> <p>[예제 4] $ \quad $실수체 $ \mathbb { R } $ 위의 다음 행렬이 다음과 같을 때 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \end {array} \right ] \] $ A $는 대각화 가능하지 않음을 보여라.</p> <p>풀이 $ \quad $ $ A $의 고유치는 $ \lambda=-1, \lambda=3 $이고, 이에 대응하는 고유공간은 $ E_ { -1 } = \left \langle X_ { 1 } \right \rangle, E_ { 3 } = \left \langle X_ { 2 } \right \rangle $이다. 여기서 \[ X_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 2 \\ 1 \end {array} \right ], \quad X_ { 2 } = \left [ \begin {array} { r } 5 \\ 6 \\ -1 \end {array} \right ] \] $ X_ { 1 } , X_ { 2 } $는 1차독립이다. 한편, $ \lambda=-1 $에 대응하는 모든 고유벡터는 $ X_ { 1 } $ 의 배수이고, $ \lambda=3 $에 대응하는 모든 고유벡터는 $ X_ { 2 } $의 배수이므로, 고유치 -1, 3에 대응하는 1차독립인 고유벡터는 두 개뿐이다. 따라서, 정리 2에 의하여 $ A $는 대각화 가능하지 않다.</p> <p>또, $ V $를 체 $ F $ 위의 유한차원 벡터공간이라 하고 $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $라고 할 때, $ V $의 적당한 기저 $ \mathbb { C } $에 관한 $ T $의 행렬 $ [T]_ { C } $가 대각행렬일 때, $ T $를 대각화 가능한 선형연산자 (diagonalizable linear operator)라고 한다.</p> <p>【주의】 $ \quad $1. 체 $ F $ 위의 대각행렬 $ \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $은 물론 대각화 가능한 행렬이고, 특히 스칼라 행렬 $ \lambda I $는 대각화 가능한 행렬이다. 한편, 임의의 가역행렬 $ P \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $에 대하여 $ P ^ { -1 } ( \lambda I) P= \lambda I $이므로, $ \lambda I $와 닯은 행렬은 $ \lambda I $뿐이다.</p> <p>또, $ V $를 체 $ F $ 위의 유한차원 벡터공간이라 하고 $ \lambda \in F $이라고 할 때, $ \lambda 1_ { V } : V \rightarrow V, \left ( \lambda 1_ { V } \right )(v)= \lambda v $는 대각화 가능한 선형연산자이다.</p> <p>정리 1 $ \quad V $ 를 체 $ F $ 위의 유한차원 벡터공간이라 하고 $ T \in \operatorname { End } _ { F } (V) $라 할 때, 다음 명제는 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ T $는 대각화 가능한 선형연산자이다.</li> <li>$ V $의 임의의 기저 $ \mathbb { B } $에 대하여 $ [T]_ { B } $는 대각화 가능한 행렬이다.</li> <li>$ T $의 고유벡터로 이루어진 $ V $의 기저 $ \mathbb { D } = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $가 존재한다.</li></ol> <p>증명 $ \quad $ $ (1) \Longrightarrow(2) $ : 명제 (1)가 성립한다고 가정하고 $ \mathbb { B } $를 $ V $의 임의의 기저라고 하면, 적당한 기저 $ \mathbb { C } $가 존재하여 $ [T]_ { C } $는 대각행렬이고, 적당한 가역행렬 $ P \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $ 에 대하여 $ [T]_ { C } =P ^ { -1 } [T]_ { B } P $이므로, §6.4 정리 3에 의하여 $ [T]_ { B } $는 대각화 가능한 행렬이다.</p> <p>이 대각행렬임을 알 수 있다. $ P $의 열에 대한 우선적인 순서는 없다. $ P ^ { -1 } A P $의 $ i $번째의 대각선 상의 성분은 $ P $의 $ i $째 열벡터에 대한 고유치이므로 $ P $의 열의 순서를 바꾸는 것은 $ P ^ { -1 } A P $의 대각선 상의 고유치의 순서를 바꾸는 것에 지나지 않는다. 따라서 위 예제에서 \[ P= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 로 쓴다면, \[ P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { lll } 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end {array} \right ] \]</p> <p>[보기 1] $ \quad $ $ \mathbb { R } $ 위의 정방행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { ll } -3 & 2 \\ -2 & 1 \end {array} \right ] \] 의 특성방정식은 \[ \operatorname { det } ( \lambda I-A)= \operatorname { det } \left [ \begin {array} { cc } \lambda + 3 & -2 \\ 2 & \lambda-1 \end {array} \right ]=( \lambda + 1) ^ { 2 } =0 \] 이다. 따라서 $ \lambda=-1 $ 이 $ A $의 유일한 고유치이다. $ \lambda=-1 $ 에 대응하는 고유벡터는 $ (-I-A) x=0 $, 즉 \[ \begin {array} { l } 2 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } =0 \\ 2 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } =0 \end {array} \] 의 해이다. 이 연립1차방정식의 해는 $ x_ { 1 } =t, x_ { 2 } =t $이다 $ (t \in \mathbb { R } ) $. 따라서 고유공간은 원소가 \[ \left [ \begin {array} { c } t \\ t \end {array} \right ]=t \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ] \quad(t \in \mathbb { R } ) \] 인 모든 벡터로서 형성된다. 그러나 이 공간은 1차원이므로 $ A $는 두 개의 1차독립 고유벡터를 갖지 않는다. 따라서 대각화 가능이 아니다.</p> <p>$ (2) \Rightarrow(1) $ : 명제 (2)이 성립한다고 가정하고 $ \mathbb { B } $를 $ V $의 임의의 기저라고 하자. 이 때, $ [T]_ { B } $는 대각화 가능하므로, 적당한 가역행렬 $ P \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $에 대하여 $ P ^ { -1 } [T]_ { B } P=D $는 대각행렬이다. 그런데 § 6.4 정리 6에 의하여 $ [T]_ { C } =D $인 $ V $의 기저 $ \mathbb { C } $가 존재하므로, $ T $는 대각화 가능하다.</p> <p>$ (1) \Rightarrow(3): \quad T $를 대각화 가능한 선형연산자라 가정하자. 그러면 벡터공간 $ V $의 한 기저 $ \mathbb { D } = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $가 존재하여 $ [T]_ { D } = \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $이다. 이 때, \[ T \left (w_ { i } \right )= \lambda_ { i } w_ { i } , \quad w_ { i } \neq 0 \quad(1 \leq i \leq n) \] 이므로, 각 $ \lambda_ { i } $는 $ T $의 고유치이고 $ w_ { i } $는 고유치 $ \Lambda_ { i } $에 대응하는 $ T $의 고유벡터이다. 한편, $ T $의 고유다항식은 다음과 같다. \[ \operatorname { det } \left (x I-[T]_ { D } \right )= \left (x- \lambda_ { 1 } \right ) \cdots \left (x- \lambda_ { n } \right ) \]</p> <p>$ (3) \Rightarrow(1): T $의 고유벡터로 이루어진 $ V $의 기저 $ \mathbb { D } = \left \{ w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right \} $가 존재한다고 가정하자. 그러면 \[ T \left (w_ { i } \right )= \lambda_ { i } w_ { i } , \quad \lambda_ { i } \in F \quad(1 \leq i \leq n) \] 가 된다. 이 경우, 각 $ \lambda_ { i } $는 $ T $의 고유치이고 $ w_ { i } $는 $ \lambda_ { i } $에 대응하는 $ T $의 고유벡터이며 $ [T]_ { D } = \operatorname { diag } \left \{\Lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $이므로 $ T $는 대각화 가능하다.</p> <p>따라서 $ E_ { -1 } = \langle(-1,2,1) \rangle= \mathbb { R } X_ { 1 } $이고 그의 차원은 1이다. 그러나 $ \lambda_ { 1 } =-1 $의 중복도는 2이다.</p> <p>(2) (1)과 같은 방법으로 $ \lambda_ { 2 } =3 $에 대응하는 고유공간은 $ E_ { 3 } = \langle(5,6,-1) \rangle $이다.</p> <p>[보기 5] $ \quad $행렬 $ A= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \in \operatorname { Mat } _ { 2 } ( \mathbb { R } ) $ 을 생각하여 보자.</p> <p>행렬 $ A $의 고유다항식은 $ f(x)=x ^ { 2 } $이므로 $ A $의 고유치는 0 뿐이고, 0 에 대응하는 고유공간 $ E $는 다음과 같다.</p> <p>\[ E= \{ t(0,1) \mid t \in \mathbb { R } \} = \langle(0,1) \rangle= \mathbb { R } (0,1), \quad \operatorname { dim } _ { F } E=1<2 \]</p> <p>(예제 5) $ \quad $체 $ F $ 위의 정방행렬 $ A \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) $ 에 대하여, $ A $와 $ A ^ { t } $는 똑같은 고유다항식과 똑같은 고유치를 갖는다.</p> <p>풀이 $ \quad $ 행렬식의 성질에서 $ \operatorname { det } A= \operatorname { det } A ^ { t } $ 이므로 \[ \begin {aligned} A \text { 의 고유다항식 } &= \operatorname { det } (x I-A)= \operatorname { det } (x I-A) ^ { t } \\ &= \operatorname { det } \left (x I-A ^ { t } \right )=A ^ { t } \text { 의 고유다항식 } \end {aligned} \] 따라서 $ A $의 고유치와 $ A ^ { t } $의 고유치도 같게 된다.</p> <p>선형연산자 $ T: V \rightarrow V $의 고유값 $ \lambda $ 에서 $ E_ {\lambda } = \{ w \in V \mid T(w)= \Lambda w \} $를 생각하여 보자. 임의의 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } , w \in W, a \in F $에 대하여 다음 식이 성립하므로 $ E_ {\lambda } $ 는 $ V $의 부분공간임을 다음과 같이 부분공간의 성질에 의해서도 밝힐 수 있다.</p> <p>정리 4 $ \quad $ 체 $ F $ 위의 $ n $ 정방행렬 $ A $가 서로 다른 $ n $개의 고유치 $ \lambda_ { 1 } , \cdots $, $ \lambda_ { n } \in F $를 갖는다면 $ A $는 대각화가능한 행렬이고 $ A $는 $ \operatorname { diag } \left \{\lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } \right \} $과 상사행렬이다.</p> <p>증명 $ \quad $ $ X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } $ 은 $ n $ 개의 서로 다른 고유치 $ \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { n } $ 에 대응하는 고유벡터라고 하면 정리 3에 의하여 $ \left \{ X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } \right \} $ 은 1차독립이다. 따라서 $ n $ 차 정방행렬 $ A $가 $ n $ 개의 1차독립인 고유벡터를 가지므로 정리 2에 의하여 $ A $는 대각화 가능하다.</p> <p>[예제 5] $ \quad $ 체 $ F $ 위의 3차 정방행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \end {array} \right ] \] 가 대각화 가능임을 보여라.</p> <p>풀이 $ \quad $ $ A $의 고유다항식을 계산하면 \[ f(r)= \operatorname { det } (x I-A)= \left \| \begin {array} { ccc } x-1 & 0 & 0 \\ -1 & x-2 & 3 \\ -1 & 1 & x \end {array} \right \|=(x-1)(x-3)(x + 1) \] 이므로 $ A $의 고유치는 $ \lambda=1, \lambda=3, \lambda=-1 $이다. 따라서 정리 4에 의하여, $ A $는 대각화 가능하다.</p> <p>(예제 6) $ \quad $정리 4의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 3 & 0 \\ 0 & 3 \end {array} \right ) $일 때 $ A $의 고유방정식은 $ \operatorname { det } (x I-A)=(x-3) ^ { 2 } =0 $이므로 $ \Lambda=3 $은 $ A $의 유일한 고유치이다. 그러나 $ A $는 $ P=I $일 때 $ P ^ { -1 } A P= \left ( \begin {array} { ll } 3 & 0 \\ 0 & 3 \end {array} \right ) $이므로 $ A $는 대각화 가능하다.</p> <p>따라서 $ 1 \leq r \leq m $, 즉 $ 1 \leq \operatorname { dim } _ { F } E_ {\lambda } \leq m $ 이다.</p> <p>위의 사실은 $ n $ 차 정방행렬에 대해서도 같은 방법으로 증명된다.</p> <p>【주의】 $ \quad $4. 예제 3에서 고유다항식이 $ (x + 3) ^ { 2 } (x-1) $ 임을 알았다. 그리고 고유치 -3과 1에 대응하는 각각의 고유공간의 차원이 2와 1임도 알았다. $ -3 $의 중복도는 2이고 1의 중복도는 1이며, 그들의 고유공간의 차원과 일치하였다. 그러나 항상 그렇지 않다는 것을 다음 예제 4를 통해 알 수 있을 것이다. 따라서 정리 9의 결과는 일반적인 경우로써 중요하게 여겨진다.</p> <p>(예제 4) $ \quad $체 $ \mathbb { R } $ 위의 3차 정방행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \end {array} \right ] \] 에 대한 고유다항식, 고유치, 고유공간을 구하여라.</p> <p>풀이 $ \quad $행렬 $ A $ 의 고유다항식은 \[ \begin {aligned} f(x) &= \operatorname { det } (x I-A)= \left \| \begin {array} { rrr } x-2 & -1 & -1 \\ -2 & x-1 & 2 \\ 1 & 0 & x + 2 \end {array} \right \| \\ &=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -5 x-3=(x + 1) ^ { 2 } (x-3) \end {aligned} \]</p> <p>따라서, $ A $의 고유치는 $ \Lambda_ { 1 } =-1, \lambda_ { 2 } =3 $이다.</p> <p>(1) $ \lambda_ { 1 } =-1 $에 대응하는 고유공간 $ E_ { -1 } $은 $ (-I-A) X=O $를 만족하는 모든 $ X $의 모임이다. 여기서 \[ X= \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ] \] 이다. $ (-I-A) X=O $를 행렬 방정식으로 고치면 \[ \left [ \begin {array} { rrr } -3 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \] 이 2차방정식을 풀어서 $ X $를 구하면 $ X=t X_ { 1 } , \quad X_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 2 \\ 1 \end {array} \right ] $이다.</p>	자연
보조 혼합 샘플링을 이용한 베이지안 로지스틱 회귀모형: 당뇨병 자료에 적용 및 분류에서의 성능 비교	<p>$ p \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } \right )=N_ { p } \left ( \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } , \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } } \right ) $.<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 $ \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } $와 $ \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } } $는 각각 다변량정규분포의 평균과 공분산행렬이다. 일반적으로 로짓 모형에 대한 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta_ { k } } $의 조건부 사후 분포(conditional posterior distribution)는 특정 분포의 형태를 가지고 있지 않기 때문에 깁스 샘플링을 사용할 수 없으나, 2.2절에서 도입한 잠재변수 $ \boldsymbol { y ^ { u } } $와 $ \boldsymbol { R } $을 사용하면 $ \boldsymbol {\beta_ { k } } $에 대한 조건부 사후 분포를 다변량정규분포의 형태로 유도할 수 있다. 이때, 계산된 조건부 사후 분포는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} p \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } \mid \boldsymbol { y ^ { u } } , \boldsymbol { R } \right ) & \propto p \left ( \boldsymbol { y ^ { u } } \mid \boldsymbol {\beta_ { k } } , \boldsymbol { R } \right ) p( \boldsymbol {\beta } ) \\ & \propto \exp \left \{ - \sum_ { i=1 } ^ { N } \left ( \frac { 1 } { 2 s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } } \left (y_ { k, i } ^ { u } - \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { k } } -m_ { r_ { k i } } \right ) ^ { 2 } \right ) \right \} \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 } \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } - \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } \right ) ^ { T } \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } ^ { -1 } } \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } - \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } \right ) \right \} \\ & \propto \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 } \left [ \boldsymbol {\beta_ { k } ^ { T } } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac {\boldsymbol { x_ { i } ^ { T } } \boldsymbol { x_ { i } } } { s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } } + \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } ^ { -1 } } \right ) \boldsymbol {\beta_ { k } } -2 \boldsymbol {\beta_ { k } ^ { T } } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac {\boldsymbol { x_ { i } ^ { T } } \left (y_ { k, i } ^ { u } -m_ { r_ { k i } } \right ) } { s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } } + \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } ^ { -1 } } \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } \right ) \right ] \right \} \\ &=N_ { p } \left ( \boldsymbol {\mu_ { N } } , \boldsymbol {\Sigma_ { N } } \right ) \end {aligned} \)<caption>(2.8)</caption></p> <h1>1. 서론</h1> <p>통계학, 경제학, 의학, 공학 등을 비롯한 다양한 분야에서는 반응변수의 형태가 이항 혹은 다항인 범주형 자료들이 많이 나타난다. 이때, 여러 요인을 사용해 해당 자료를 모형화하고, 특정 사건이 발생할 확률을 예측하는 것은 매우 중요한 분석 과제이다. 예를 들어, 경제학에서는 위험 요인들의 측면에서 실업률을 예측하고, 의학 분야에서는 다양한 원인을 파악하여 질병 발생을 예측하는 등의 연구가 많이 이루어져왔다. 일반화선형모형(generalized linear model)은 이러한 범주형 자료에 많이 사용되는 모형이며, 특히, 로짓 연결함수(logit link function)를 사용한 로짓 모형(또는 로지스틱 회귀모형)은 적합성이 뛰어나고 의미 있는 해석이 가능하다는 장점이 있어 가장 보편적으로 사용되는 모형이다.</p> <p>베이지안 관점에서 로짓 모형에 대한 추론은 오랜 시간 연구가 되어왔다. Zellner와 Rossi (1984)에서는 로짓 모형에 대한 추론을 위해 Student's $ t $ 분포를 이용한 중요도 샘플링(importance sampling) 방법을 제시하였고, Gamerman (1997), Chib 등(1998), Lenk와 DeSarbo (2000), 그리고 Scott (2011) 등에서는 Markov chain Monte Carlo를 이용한 방법을 제안하였다. 이러한 베이지안 접근법들은 대부분 샘플링 과정에서 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘(Metropolis-Hastings algorithm)을 포함하고 있다 (Chib과 Greenberg, 1995). 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘은 어떤 확률 분포 $ p(x) $에서 표본을 생성하고 싶을 때, 적절한 제안 분포(proposal distribution) $ q(x) $를 도입하여 $ p(x) $에 대한 표본을 생성하는 알고리즘으로, $ p(x) $가 잘 알려진 분포의 형태가 아니더라도 표본을 생성할 수 있다는 장점이 있다. 하지만 생성된 표본들은 독립 표본이 아니며 $ p(x) $의 차원이 커질수록 표본 생성을 위한 제안 분포의 적절성을 보장하기가 어렵고, 수렴의 속도가 느리다는 단점이 있다 (Gelman 등, 1997). 이때, 깁스 샘플링(Gibbs sampling)은 이를 해결하기 위한 효율적인 대안이 될 수 있다. 베이지안 접근법에서 일반화선형모형은 켤레사전분포(conjugate prior distribution)가 존재하지 않아 깁스 샘플링 적용이 불가능해 보였지만, Albert와 Chib (1993)은 프로빗 모형에서 보조 혼합 잠재변수의 도입을 통한 깁스 샘플링 방법을 소개하였다. Held와 Holmes (2006)에서는 그 방법을 로짓 모형에까지 확장하여 모수에 대한 깁스 샘플링을 가능하게 하였으나, 잠재변수에 대한 조건부 사후분포는 폐쇄형(closed form)으로 나타나지 않아 기각 샘플링(rejection sampling)이 사용되었다.</p> <p>Frühwirth-Schnatter와 Frühwirth (2007)는 기존의 방식에서 더 나아가 모든 잠재변수에 대한 조건부 사후분포를 폐쇄형으로 유도한 보조 혼합 샘플링(auxiliary mixture sampling) 방법을 제안하였다. 보조 혼합 샘플링은 두 단계에 거쳐 보조 잠재변수를 도입한다. 첫 번째 단계는 McFadden (1973)과 Scott (2011)에서 제안된 유틸리티를 잠재변수로 도입한다. 첫 번째 잠재변수의 도입은 로짓 모형을 모수 $ \boldsymbol {\beta } $에 대한 조건부 선형모형으로 나타내 모형의 선형성을 만족시킨다. 이때, 정의된 조건부 선형모형의 오차항은 표준 굼벨 분포(Standard Gumbel distribution)를 따른다. 두 번째 잠재변수는 성분 지표기(component indicator)로 오차항의 분포를 혼합정규분포로 근사 시켜 모형의 정규성을 만족시킨다(Shephard, 1994; Kim 등, 1998; Chib 등, 2002; Omori 등, 2007). 결과적으로 로짓 모형은 정규성을 만족하는 조건부 선형모형으로 나타나게 되고, 정규분포는 모수 $ \boldsymbol {\beta } $에 대한 켤레사전분포가 된다.</p> <p>$ \begin {aligned} \pi_ { 0, i } &=p \left (- \infty<y_ { 0, i } ^ { u }< \infty, \quad y_ { 1, i } ^ { u } \leq y_ { 0, i } ^ { u } , \ldots, y_ { K, i } ^ { u } \leq y_ { 0, i } ^ { u } \right ) \\ &=p \left (- \infty<y_ { 0, i } ^ { u }< \infty, \quad \epsilon_ { 1 i } \leq y_ { 0, i } ^ { u } - \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { 1 } } , \ldots, \epsilon_ { K i } \leq y_ { 0, i } ^ { u } - \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { K } } \right ) \\ &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } \exp \left \{ -y_ { 0, i } ^ { u } -e ^ { -y_ { 0, i } ^ { u } } \left (1 + \sum_ {\ell=1 } ^ { K } e ^ { x_ { i } \beta_ {\ell } } \right ) \right \} d y_ { 0, i } ^ { u } \\ & \therefore \pi_ { 0, i } =p \left (y_ { i } =0 \right )= \frac { 1 } { 1 + \sum_ {\ell=1 } ^ { K } e ^ { x_ { i } \beta_ {\ell } } } . \end {aligned} $<caption>(2.3)</caption></p> <p>$ \begin {aligned} \pi_ { k, i } &=p \left (y_ { 0, i } ^ { u } \leq y_ { k, i } ^ { u } , \ldots, \quad- \infty<y_ { k, i } ^ { u }< \infty, \ldots, y_ { K, i } ^ { u } \leq y_ { k, i } ^ { u } \right ) \\ &=p \left (y_ { 0, i } ^ { u } \leq y_ { k, i } ^ { u } , \ldots, \quad- \infty<y_ { k, i } ^ { u }< \infty, \ldots, \epsilon_ { K i } \leq y_ { k, i } ^ { u } - \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { K } } \right ) \\ &=e ^ { x_ { i } \beta_ { k } } \int_ { - \infty } ^ {\infty } \exp \left \{ -y_ { k, i } ^ { u } -e ^ { -y_ { k, i } ^ { u } } \left (1 + \sum_ {\ell=1 } ^ { K } e ^ { x_ { i } \beta_ {\ell } } \right ) \right \} d y_ { k, i } ^ { u } \\ & \therefore \pi_ { k, i } =p \left (y_ { i } =k \right )= \frac { e ^ { x_ { i } \beta_ { k } } } { 1 + \sum_ {\ell=1 } ^ { K } e ^ { x_ { i } \beta_ {\ell } } } . \end {aligned} $<caption>(2.4)</caption></p> <p>교차 검증 정확도를 살펴보면 보조 혼합 샘플링을 활용한 다범주 로짓 모형이 0.98로 가장 좋은 분류 성능을 보이며, 그 다음엔 MLE를 사용한 다범주 로짓 모형, 랜덤 포레스트, 신경망 순으로 좋은 분류 성능을 보였다. 랜덤 포레스트나 신경망 모형 같은 경우는 초 매개변수의 탐색 과정을 거치면 Table 5 에서 나타난 성능보다 더 개선된 성능을 보일 것으로 예상되지만, 그것을 고려하더라도 보조 혼합 샘플링을 활용한 로짓 모형의 정확도는 0.98로 분류에 대해 준수한 성능을 보이는 것을 확인할 수 있다.</p> <h1>6. 결론 및 논의</h1> <p>로짓 모형에 대한 전통적인 베이지안 추론은 메트로폴리스 알고리즘을 통해 이루어져 왔지만, 수렴의 속도가 느리고, 제안 분포의 적절성을 보장하기 어려운 단점이 있다. 이를 해결하기 위해 본 논문에서는 Frühwirth-Schnatter와 Frühwirth (2007)에서 제안한 보조 혼합 샘플링 방법을 도입하여 로짓 모형에 대한 베이지안 추론을 수행하였다.</p> <p>제안한 모형의 효과를 검증하기 위해 5.1절에서 2020년 서울특별시 당뇨병 자료에 이러한 모형을 적용하고 메트로폴리스 알고리즘을 활용한 모형과 비교해보았다. 비교 분석 결과, 주어진 반복 시행안에서 보조 혼합 샘플링 방법이 메트로폴리스 알고리즘보다 더 좋은 수렴 결과를 보이는 것을 확인할 수 있었다. 제안된 모형의 추론 결과를 살펴보면 체중이 당뇨병 유병 확률에 가장 큰 영향을 미치는 것으로 나타났고, 흡연과 나이 등의 변수들도 당뇨병 유병 확률에 많은 영향을 미치는 것을 확인할 수 있었다. 이는 당뇨병에 영향을 미친다고 알려진 환경적인 요인들과 동일한 결과이다. 5.2절에서는 로지스틱 회귀 분석의 또 다른 기능인 분류에 초점을 맞춘 비교 분석을 진행하였다. 분석 결과, 초 매개변수의 조율 과정을 필요로 하지 않는 로지스틱 회귀 모형이 머신러닝 모형보다 좋은 성능을 보였으며, 그중에서도 본 논문에서 제안한 보조 혼합 샘플링을 사용한 베이지안 로지스틱 회귀 모형이 가장 좋은 성능을 보였다.</p> <p>제안한 모형의 효과를 검증하기 위해 5.1절에서 2020 년 서울특별시 당뇨병 자료에 이러한 모형을 적용하고 메트로폴리스 알고리즘을 활용한 모형과 비교해보았다. 비교 분석 결과, 주어진 반복 시행안에서 보조 혼합 샘플링 방법이 메트로폴리스 알고리즘보다 더 좋은 수렴 결과를 보이는 것을 확인할 수 있었다. 제안된 모형의 추론 결과를 살펴보면 체중이 당뇨병 유병 확률에 가장 큰 영향을 미치는 것으로 나타났고, 흡연과 나이 등의 변수들도 당뇨병 유병 확률에 많은 영향을 미치는 것을 확인할 수 있었다. 이는 당뇨병에 영향을 미친다고 알려진 환경적인 요인들과 동일한 결과이다. 5.2절에서는 로지스틱 회귀 분석의 또 다른 기능인 분류에 초점을 맞춘 비교 분석을 진행하였다. 분석 결과, 초 매개변수의 조율 과정을 필요로 하지 않는 로지스틱 회귀 모형이 머신러닝 모형보다 좋은 성능을 보였으며, 그중에서도 본 논문에서 제안한 보조 혼합 샘플링을 사용한 베이지안 로지스틱 회귀 모형이 가장 좋은 성능을 보였다.</p> <p>여기서, 공변량 벡터 $ \boldsymbol { x_ { i } } $는 $ \boldsymbol { x_ { i } } = \left \{ 1, x_ { i, 1 } , \ldots, x_ { i, p-1 } \right \} $으로 모든 $ i=1, \ldots, N $에 대해 절편항(intercept)을 나타내기 위한 1과 $ p-1 $개의 공변량(covariates)으로 이루어진 $ 1 \times p $ 행벡터(row vector)이다. $ \boldsymbol {\beta } _ { k } $는 기준 그룹보다 $ k $번째 그룹에 속할 로그 오즈의 공변량에 따른 변화량으로 해석된다.</p> <h2>2.2. 로짓 모형에 대한 데이터 확대 방법</h2> <p>Frühwirth-Schnatter와 Frühwirth (2007)에서 제안한 로지스틱 회귀 모형에 대한 보조 혼합 샘플링(auxiliary mixture sampling)은 두 단계에 걸쳐 보조 잠재변수(auxiliary latent variable)를 도입한다. 각각의 단계를 통해 회귀 모형식은 선형성과 정규성을 만족하게 되고, 최종적으로 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta } $에 대해 깁스 샘플링(Gibbs sampling)을 적용할 수 있게 된다. 모든 잠재변수의 도입 단계는 총 $ (K + 1) $개의 범주 $ \{ 0,1, \ldots, K \} $를 갖는 다범주 자료를 기준으로 설명되었다. 이진수 자료의 경우 $ K=1 $과 같다.</p> <p>첫 번째 단계는 McFadden (1973)과 Scott (2011)에서 제안된 유틸리티(utilities)의 도입을 통해 이루어진다. $ y_ { k, i } ^ { u } , k=1, \ldots, K $는 그룹 $ k $가 선택 될 유틸리티이며 공변량 $ x_ { i } $를 통해 모델링 되고, $ y_ { 0, i } ^ { u } $는 기준 그룹 0 이 선택될 유틸리티이며 모든 공변량들과 독립, 즉, $ \boldsymbol {\beta_ { 0 } } =0 $이라고 가정한다. 이때, $ y_ { k, i } ^ { u } $에 대한 모형식은 식 (2.3)과 같다.</p> <p>$ y_ { k, i } ^ { u } = \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { k } } + \epsilon_ { k i } , \quad k=1, \ldots, K, \quad i=1, \ldots, N. $<caption>(2.2)</caption></p> <p>$ y_ { 0, i } ^ { u } $와 식 (2.3)의 회귀 오차 $ \epsilon_ { k i } $의 분포를 표준 굼벨 분포(standard Gumbel distribution 혹은 Type Ⅰ extreme value distribution)이라고 가정하면, $ \pi_ { k, i } =p \left (y_ { i } =k \right )=p \left ( \max \left \{ y_ { 0, i } ^ { u } , \ldots, y_ { K, i } ^ { u } \right \} =y_ { k, i } ^ { u } \right ), \quad k=0, \ldots, K $와 같으며 식 (2.3)에 의해 계산된 $ \pi_ { k, i } $는 식 (2.4) - (2.5)으로 나타나고 이는 식 (2.2)와 정확히 같다.</p> <p>본 논문에서는 실제 이항 자료와 다항 자료에 대한 로짓 모형에서 보조 혼합 샘플링 방법을 사용하여 추론하려고 한다. 이항 자료는 한국 질병 관리청에서 시행한 지역사회건강조사 자료로, 2020 년을 기준으로 1년 이내에 당뇨병을 진단받은 50대 미만 성인 자료를 사용하였고, 제안된 방법을 사용한 로짓 모형을 적용하여 메트로폴리스 알고리즘을 사용한 모형 결과와 비교 분석할 것이다. 다항 자료는 UCI Machine Learning Repository에서 제공하는 IRIS 데이터를 사용하여 로짓 모형과 여러 머신러닝 모형들의 분류 성능을 비교 분석하려고 한다. 2장에서는 범주형 자료에 대한 기본적인 로짓 모형과 보조 혼합 샘플링 단계를 설명하고, 3장에서는 모형의 오차항 분포에 대한 혼합정규분포 근사 과정을 설명한다. 4장에서는 간단한 모의 실험을 통해 보조 혼합 샘플링을 사용한 로짓 모형의 추정 성능을 살펴본다. 5장에서는 실제 자료에 대한 분석 결과를 살펴보고, 마지막으로 6장에서는 본 논문을 요약정리하고 향후 연구 방향에 대해 논의한다.</p> <h1>2. Auxiliary mixture sampling for logit model</h1> <h2>2.1. 범주형 자료에 대한 로짓 모형</h2> <p>$ K + 1 $개의 범주를 갖는 다범주 확률변수 $ y_ { 1 } , \ldots, y_ { N } \in \{ 0,1, \ldots, K \} $는 로짓 모형을 사용하여 공변량 벡터 $ x_ { i } $와 연결될 수 있으며, 기준 그룹(baseline category)이 그룹 0일때 로짓 모형은 식 (2.1)-(2.2)로 나타난다. 만약 $ K = 1 $이라면 확률변수 $ y_ { i } $는 Bernoulli $ \left ( \pi_ { 1, i } \right ) $를 따르는 이항변수이다.</p> <p>$ \begin {aligned} y_ { i } \sim \operatorname { Multi } \left ( \pi_ { 0, i } , \pi_ { 1, i } , \ldots, \pi_ { K, i } \right ), \\ log \frac { p \left (y_ { i } =k \right ) } { p \left (y_ { i } =0 \right ) } = \log \frac {\pi_ { k, i } } {\pi_ { 0, i } } = \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { k } } , \\ \pi_ { 0, i } =p \left (y_ { i } =0 \right )= \sum_ {\ell=1 } ^ { K } \frac { 1 } { 1 + e ^ { x_ { i } \beta_ { t } } } \quad \pi_ { k, i } =p \left (y_ { i } =k \right )= \sum_ {\ell=1 } ^ { K } \frac { e ^ { x_ { i } \beta_ { k } } } { 1 + e ^ { x_ { i } \beta_ { t } } } \quad k=1,2, \ldots, K, \quad i=1,2, \ldots, N \end {aligned} $<caption>(2.1)</caption></p> <p>$ p( \boldsymbol {\beta } )=N_ { 11 } ( \mathbf { 0 } , 100 \boldsymbol { I } ) $.</p> <p>모수에 대한 사후 추정치는 40,000 번의 반복 시행과 20,000 번의 제거(burn-in)를 통해 얻은 표본을 바탕으로 계산되었다. 제안된 모형의 성능을 보여주기 위해서 MCMC 방법 중 하나인 메트로폴리스(Metropolis) 알고리즘을 추론 방법으로 사용한 베이지안 로지스틱 회귀모형의 결과와 비교하였다. 메트로폴리스 알고리즘을 사용하기 위해서는 모수 $ \boldsymbol {\beta } $에 대한 사전 분포와 모수를 샘플링하기 위한 제안 분포(proposal distribution)의 정의가 필요하다. 사전 분포로는 보조 혼합 샘플링과 동일한 무정보적인 사전 분포를 사용하였고, 제안 분포는 다음과 같은 정규분포를 사용하였다 (Chib과 Greenberg, 1995).</p> <p>$ q \left ( \boldsymbol {\beta ^ { * } } \mid \boldsymbol {\beta ^ { (t-1) } } \right )=N_ { 11 } \left ( \boldsymbol {\beta ^ { (t-1) } } , \boldsymbol { I } \right ) $.<caption>(5.1)</caption></p> <p>메트로폴리스 알고리즘 역시 모수에 대한 사후 추정치를 계산하기 위해 40,000번의 반복 시행과 20,000번의 제거(burn-in)를 통해 얻은 표본을 사용하였다.</p> <h3>5.1.3. 분석 결과</h3> <p>Figure 2에서는 주요 모수에 대한 사후 표본 히스토그램이 제시되어있다. Figure 2(b), (d), (f)에 나타난 메트로폴리스 알고리즘에 의한 사후 표본 히스토그램을 보면 좌 혹은 우로 굉장히 기울어진(skewed) 분포의 형태가 나타난다. 반면, 보조 혼합 샘플링에 의한 사후 표본 히스토그램을 보면 좌우 대칭과 단봉을 만족하는 정규분포와 거의 유사한 형태를 보인다. 또한, Figure 3에서 제시된 각 알고리즘에 대한 로그 사후 확률의 trace plot을 살펴보면, 보조 혼합 샘플링과 달리 메트로폴리스 알고리즘은 긴 반복시행동안 같은 값을 갖으며 수렴으로 판단하기 어려운 형태를 보인다. 따라서, 메트로폴리스 알고리즘은 주어진 반복 시행 횟수안에서 충분히 수렴하지 못하였지만 본 논문에서 제안한 방법은 더 안정적으로 수렴한 것을 알 수 있다.</p> <p>Table 4는 보조 혼합 샘플링 방법을 통해 추정된 각 모수의 사후평균와 $ 95 \% $ 신용구간을 보여주고 있다. 대부분의 회귀 계수의 $ 95 \% $ 신용구간이 0을 포함하지 않음으로, 본 분석에서 설정한 설명 변수가 당뇨병 진단 여부에 유의한 영향을 미치고 있는 것을 알 수 있다. 그 중 젋은 당뇨의 대표 원인으로 지적되는 비만의 경우, 본 분석 결과에서도 동일한 결과가 나타남을 알 수 있다. Table 4에 따르면 1단계 비만, 2단계 비만인 사람은 체중이 정상인 사람들보다 당뇨병을 진단받을 오즈(odds)가 각각 $ 4.57(= \exp (1.52)) $, $ 12.77(= \exp (2.547)) $배 정도로 상당히 높게 추정되었다. 과체중의 경우 $ 95 \% $ 신용구간이 0을 포함한다. 그러나, 오른쪽으로 치우쳐진 신용구간 형태이고 $ 90 \% $ 신용구간이 (0.013,1.460)인 것을 고려하면 과체중인 사람도 체중이 정상인 사람들보다 당뇨병에 걸릴 오즈가 더 클 것이라고 예상할 수 있다. 또한, 평생 5갑 이상의 흡연을 경험한 사람이 비흡연자보다 당뇨병에 걸릴 오즈가 $ 1.74(= \exp (0.556)) $배로, 증가의 크기는 작지만 통계적으로 유의한 결과를 보여주고 있으며, 가구 월 소득은 증가할수록 당뇨병의 걸릴 오즈가 $ 0.32(= \exp (-1.151) $배 감소하는 것으로 나타났다. 고혈압 진단과 성별 변수 같은 경우 유의하지 않은 결과를 보여주고 있지만, Table 3에 나와있는 변수들에 대한 당뇨환자 그룹 간 단순 비교 결과와 그 방향성은 일치하는 결과를 제시하고 있다.</p> <p>본 논문의 모든 근사 과정은 R software의 optimx 함수를 통해 수행되었다 (version 4.0.4; R Core Team, 2021). 근사 결과는 2.2절의 Table 1과 같고, 해당 혼합정규분포의 그래프는 Figure 1과 같다. 이때, 쿨백-라이블러 발산의 값은 0.0012로 0과 아주 근사하므로 제안 분포가 목표 분포에 대해 적절히 근사되었음을 알 수 있다.</p> <h1>4. 모의 실험</h1> <h2>4.1. 모의 실험의 구성</h2> <p>본 논문에서 제안한 보조 혼합 샘플링 방법을 적용한 로짓 모형의 성능을 검증하기 위해 각기 다른 3개의 시나리오로 구성된 모의실험을 수행하였다. 각 시나리오는 분석의 편의를 위해 이항 자료로 한정하였고, 표준정규분포에서 임의로 생성한 하나의 공변량만을 사용하였다. 즉, $ K=1, p=2 $를 만족한다. 각 시나리오는 이항 자료에서 범주 1의 비율에 따른 적합 결과를 살펴보기위해 참값 $ \boldsymbol {\beta_ { 1 } } $을 다양하게 변화시켜 적절한 모수의값을 결정하였다. 각 시나리오는 표본 크기가 100인 데이터셋을 100개 생성하여 구성하였다. 각 모의실험 시나리오의 참값과 범주 1의 비율은 Table 2에 나타나 있으며, 각 시나리오별로 보조 혼합 샘플링 방법을 적용한 로짓 모형을 적합 시켜 모형의 성능을 보였다.</p> <p>$ p \left ( \boldsymbol {\beta_ { 1 } } \right )=N_ { 2 } ( \boldsymbol { 0 } , 100 \boldsymbol { I } ) $</p> <p>모수에 대한 추정 방법은 2.3절에서 보인 보조 혼합 샘플링 방법이 사용되었으며, 모수에 대한 사후 추정치는 10,000 번의 반복 시행과 5000 번의 제거(burn-in)를 통해 얻은 표본을 바탕으로 계산되었다.</p> <h2>4.2. 모의 실험 결과</h2> <p>Table 2 는 모의실험의 결과를 나타내고 있다. 각 시나리오별 100개의 데이터셋에서 모수에 대한 사후 평균과 $ 95 \% $ 신용구간(credible interval, CI)을 구한 뒤, 해당 100개의 사후 평균과 신용구간의 평균값을 참값과 비교하기 위한 모수 추정치로 사용하였다. 또한, 모수 추정치의 적절성을 보이기 위해 $ 95 \% $ 신용구간을 기준으로 한 포함확률(coverage probability, CP)를 계산하였다. 모든 시나리오는 표본 크기가 100인 작은 데이터셋으로 이루어져 있음에도 불구하고 거의 모든 모수의 추정 결과가 참값에 가깝게 나타났다. 이러한 결과는 소표본일 때도 추정에 강점을 갖는 베이지안 방법론의 이론적인 장점을 잘 보여준다. 모수에 대한 포함확률을 살펴보면, 모든 시나리오에 대해 대부분 $ 95 \% $ 전후의 포함확률을 나타내고 있어 데이터셋 전반에 걸쳐 모수의 추정이 적절하게 잘 이루어졌음을 알 수 있다. 특히, 시나리오 Ⅱ와 Ⅲ은 이항 자료에서 불균형의 정도가 로짓 모형의 모수 추정에 영향을 주는지 살펴보기 위해, 굉장히 크게 불균형을 이루도록 데이터셋이 생성되었다. 일반적으로 로짓 모형은 대표적인 대칭 연결함수인 로짓 연결함수를 사용하기 때문에, 데이터셋의 불균형 정도가 심하면 모수가 편향 추정되거나, $ p \left (y_ { i } =1 \right ) $의 확률이 과소추정 될 수 있다는 단점이 있다고 알려져 있다. 하지만, Table 2에 나타난 시나리오 Ⅲ에 대한 모수 추정결과를 살펴보면, 100개 데이터셋에 대한 범주 1 의 평균 비율이 약 $ 5 \% $로 심한 불균형을 이루고 있음에도 불구하고 $ \beta_ { 0 } $와 $ \beta_ { 1 } $의 포함확률이 각각 0.89, 0.97로 준수한 추정 결과를 보였다. 추정 방법의 비교를 위해서 각 시나리오 별로 메트로폴리스 알고리즘을 사용한 모형 또한 적합 시켜 보았는데, 시나리오 Ⅲ에서 $ \beta_ { 0 } $에 대하여 편향된 모수 추정치 $ \left ( \hat {\beta } _ { 0 } =-6.283 \right ) $와 낮은 포함확률 ( $ \mathrm { CP } =0.39 $)을 보여주었다. 보조 혼합 샘플링 방법이 상대적으로 우수한 성능을 보여준다는 것을 한 번 더 확인할 수 있었다.</p> <p>Replace $ \omega_ { r } $ and $ s_ { r } ^ { 2 } \operatorname { to } \omega_ { r } ^ {\prime } = \log \frac {\omega_ { r } } { 1- \omega_ { r } } $, $ s_ { r } ^ { 2 ^ {\prime } } = \log s_ { r } ^ { 2 } $</p> <p>$ \begin {aligned} \therefore O \left ( \boldsymbol {\omega ^ {\prime } } , \boldsymbol { m } , \boldsymbol { s ^ { 2 ^ {\prime } } } \right ) &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } \exp \left \{ - \epsilon-e ^ { - \epsilon } \right \} \left \{ - \epsilon-e ^ { - \epsilon } - \log \left ( \sum_ { r=1 } ^ { M } \frac { e ^ {\omega_ { r } ^ {\prime } } } { 1 + e ^ {\omega_ { r } ^ {\prime } } } f_ { N } \left ( \epsilon ; m_ { r } , e ^ { s_ { r } ^ { 2 ^ {\prime } } } \right ) \right ) \right \} d \epsilon + \alpha \left ( \sum_ { r=1 } ^ { M } \frac { e ^ {\omega_ { r } ^ {\prime } } } { 1 + e ^ {\omega_ { r } ^ {\prime } } } -1 \right ) ^ { 2 } \end {aligned} $.<caption>(3.2)</caption></p> <p>본 논문의 목적 함수는 $ p_ {\epsilon } ( \epsilon) $와 $ q_ { M, \epsilon } ( \epsilon) $에 대한 쿨백-라이블러 발산에 벌점항(penalty term)이 추가된 형태이다. 목적 함수는 일차적으로 식 (3.1)과 같이 나타낼 수 있지만, 해당 식을 사용할 경우 성분 가중치 $ \omega_ { r } $와 성분 분산 $ s_ { r } ^ { 2 } $은 각각 $ [0,1],[0, \infty) $으로 범위가 제약되어 목적 함수를 최소화하는 과정에서 모수의 범위가 만족하지 않는 문제가 발생할 수 있다. 따라서, 범위의 제약이 없는 변환된 모수 $ \omega_ { r } ^ {\prime } $과 $ s_ { r } ^ { 2 ^ {\prime } } $를 사용하여 목적 함수를 재정의하면 식 (3.2)와 같다. 목적 함수의 벌점항은 혼합정규분포의 가중치 합이 1을 만족하도록 사용되었고, 실제 근사 과정에서 벌점 가중치 $ \alpha $는 $ 10 ^ { 9 } $로 설정되었다.</p> <h2>5.2. IRIS 데이터를 사용한 분류 분석</h2> <p>5.1 절에서는 보조 혼합 샘플링을 적용한 로짓 모형의 추론(inference)에 초점을 맞춰 실제 데이터를 분석하였다면, 이 절에서는 로짓 모형의 또 다른 기능인 분류(classification)에 초점을 맞취 실제 데이터를 분석하고자 한다. 이 절에서는 UCI Machine Learning Repository(https://archive.ics.uci.edu/ml/datasets)에서 제공하는 IRIS 데이터를 사용하여 분류 분석을 수행하였다. IRIS 데이터는 꽃받침의 길이( $ \mathrm { cm } $)와 넓이( $ \mathrm { cm } $), 꽃잎의 길이( $ \mathrm { cm } $)와 넓이( $ \mathrm { cm } $)로 구성된 총 4개의 설명 변수와 붓꽃(iris)의 종류를 나타내는 종속 변수로 이루어진 다범주 분류 분석을 위한 데이터이다. 종속 변수는 setosa, versicolor, virginica 총 3개의 범주로 이루어져 있으며, 각 범주 당 50개씩, 총 150개의 표본을 가진다. 데이터에 개수가 많지 않으므로 모형의 분류 성능을 확인하기 위해 데이터를 5 개의 폴더 ( $ K=5 $)로 나누어 사용한 K-fold 교차 검증 방법을 활용하였으며, 그 중에서도 한 폴더에 특정 범주가 몰리는 것을 방지하기 위해 계층적 K-fold 교차 검증(stratified K-fold cross validation) 방법을 사용하였다. 본 논문에서는 보조 혼합 샘플링을 사용한 로짓 모형의 분류 성능을 비교하기 위해 분류 분석에서 보편적으로 사용되는 모형 3가지 (i) maximum likelihood estimate (MLE)을 사용한 로짓 모형, (ⅱ) 랜덤 포레스트, (ⅲ) 신경망 모형을 비교 모형으로 설정하였다 (Theodoridis, 2015).</p> <p>두 가지의 모수 추정 방법을 활용한 로짓 모형의 경우, 초 매개변수(hyperparameter)의 조율(tunning)을 필요로 하지 않기 때문에, 5-fold 교차검증을 활용해 교차 검증 정확도(cross validation accuracy)를 계산하였다. 랜덤 포레스트와 신경망 모형의 경우, 훈련 데이터(train data)를 이용하여 초 매개변수를 조율하고, 데이터에 적합한 모형 구조를 탐색하는 과정이 필요하지만, 사용하는 데이터가 분류 문제에서 널리 사용되는 간단한 예제 데이터이며, 로짓 모형과 동일한 데이터를 사용해야만 정확도에 대한 수치적 비교가 가능하다는 점을 고려하여 모형 구조를 탐색하는 과정 없이 R-software에서 제공하는 함수의 기본값을 사용하여 모형을 훈련시키고 교차 검증 정확도를 계산하였다. 모형 적합을 위해 사용한 R package는 neuralnet (version 1.44.2), VGAM (version 1.1-5), randomForest (version 4.6-14)이며, 각 모형의 교차 검증 정확도와 오분류의 개수는 Table 5에서 확인할 수 있다.</p> <p>where $ \boldsymbol {\mu_ { N } } = \boldsymbol {\Sigma_ { N } } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac {\boldsymbol { x_ { i } ^ { T } } \left (y_ { k, i } ^ { u } -m_ { r_ { k i } } \right ) } { s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } } + \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } ^ { -1 } } \boldsymbol {\mu_ { k 0 } } \right ) $<caption>(2.9)</caption></p> <p>$ \boldsymbol {\Sigma_ { N } } = \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac {\boldsymbol { x_ { i } ^ { T } } \boldsymbol { x_ { i } } } { s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } } + \boldsymbol {\Sigma_ { k 0 } ^ { -1 } } \right ) ^ { -1 } $<caption>(2.10)</caption></p> <p>잠재변수 $ \boldsymbol { y ^ { u } } $은 역변환 샘플링(inverse transform sampling) 방법과 지수분포의 성질을 사용하여 샘플링 되고, $ \boldsymbol { R } $은 $ \boldsymbol { y ^ { u } } $, $ \boldsymbol {\beta } $ 그리고 $ \boldsymbol { y } $에 대해 조건부 독립을 만족하므로 $ r_ { k i } $가 각각 이산분포(discrete distribution)에서 샘플링 된다. 샘플링 단계에 대한 자세한 설명은 Frühwirth-Schnatter와 Frühwirth (2007)에서 확인할 수 있다. 최종적으로 로짓 모형에 대한 보조 혼합 샘플링 방법의 샘플링 단계는 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <p>Step 1: 잠재변수의 초기값 $ y_ { k, i } ^ { u(0) } $와 $ r_ { k i } $를 생성한다. $ (k=1, \ldots, K, \quad i=1, \ldots, N) $</p> <p>Step 2: $ t $ 시점의 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta_ { k } ^ { (t) } } $를 깁스 샘플링을 사용하여 식 (2.9) - (2.11)에서 보인 다변량정규분포로 부터 생성한다.</p> <p>Step 3은 잠재변수의 초기값을 설정할 때도 적용이 가능하며, Step 2 - Step 3는 알고리즘이 수렴할 때까지 반복된다.</p> <h1>3. 혼합정규분포 근사</h1> <p>보조 혼합 샘플링을 위해서는 2.2절에서 언급한 것처럼 표준 굼벨 분포를 혼합정규분포로 근사시키는 과정이 필요하다. Titterington 등 (1985)에서는 특정 분포에 대한 혼합정규분포를 근사시키기 위해 다양한 방법을 제시하였는데, 본 논문에서는 적절한 혼합정규분포의 성분 개수 $ M $과 혼합정규분포의 모수 $ \left ( \omega_ { r } , m_ { r } , s_ { r } \right ), r= 1, \ldots, M $를 추정하기 위해 쿨백-라이블러 발산(Kullback-Leibler divergence)을 사용하였다. 쿨백-라이블러 발산은 목표 분포(target distribution) $ p(x) $와 제안 분포(proposal distribution) $ q(x) $, 두 확률 분포의 정보의 차이를 계산하는 함수로 비대칭적(asymmetric)이기 때문에 거리 공식(distance metric)은 아니며 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \delta_ {\mathrm { KL } } (p, q)= \int_ { - \infty } ^ {\infty } p(x) \log \frac { p(x) } { q(x) } d x $.</p> <p>쿨백-라이블러 발산의 범위는 항상 $ \delta_ {\mathrm { KL } } (p, q) \geq 0 $를 만족하며, 두 확률 분포가 정확히 동일한 분포일 때만 0 의 값을 갖는다. 따라서, $ \delta_ {\mathrm { KL } } (p, q) $의 값을 가장 작게 하는 제안 분포 $ q(x) $가 $ p(x) $에 대한 가장 적절한 근사 분포라고 할 수 있다.</p> <p>2.2절에 언급한 회귀 오차 $ \epsilon $의 분포 $ p_ {\epsilon } ( \epsilon) $와 $ M $개의 성분을 갖는 혼합정규분포 $ q_ { M, \epsilon } ( \epsilon) $를 각각 목표 분포와 제안 분포로 설정하면 쿨백-라이블러 발산을 이용한 본 논문의 목적 함수(objective function)는 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} O \left ( \boldsymbol {\omega } , \boldsymbol { m } , \boldsymbol { s ^ { 2 } } \right ) &= \delta_ {\mathrm { KL } } \left (p_ {\epsilon } , q_ { M, \epsilon } \right ) + \alpha \left ( \sum_ { r=1 } ^ { M } \omega_ { r } -1 \right ) ^ { 2 } \\ &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } \exp \left \{ - \epsilon-e ^ { - \epsilon } \right \} \left \{ - \epsilon-e ^ { - \epsilon } - \log \left ( \sum_ { r=1 } ^ { M } \omega_ { r } f_ { N } \left ( \epsilon ; m_ { r } , s_ { r } ^ { 2 } \right ) \right ) \right \} d \epsilon + \alpha \left ( \sum_ { r=1 } ^ { M } \omega_ { r } -1 \right ) ^ { 2 } \end {aligned} $<caption>(3.1)</caption></p> <h1>5. 실제 데이터 분석</h1> <h2>5.1. 당뇨병 자료의 분석</h2> <h3>5.1.1. 자료의 탐색</h3> <p>국제 당뇨병 연맹(International Diabetes Federation)에서 발표한 IDF 당뇨병 백서에 따르면 2019년 기준 전세계 20세부터 79세까지의 성인 중 $ 9.3 \% $, 463만 명이 당뇨병 환자인 것으로 추정되며, 2045년에는 그 수가 700만 명까지 늘어날 것으로 예측했다(International Diabetes Federation, 2019). 또한, Nanayakkara 등 (2020)에 의하면 젋은 연령대에서 제 2형 당뇨병 유병률이 높아지고 있으며, 합병증에 의한 위험도도 노년기에 당뇨병을 진단 받은 사람보다 더 높은 것으로 나타나 젋은 연령대에 대한 당뇨병 연구의 필요성이 높아지고 있다. 따라서, 5.1절에서는 2장에서 제안된 보조 혼합 샘플링을 사용한 베이지안 로지스틱 회귀모형을 한국의 젊은 당뇨병 환자에 대한 자료에 적용하여 그 결과를 살펴보고자 한다.</p> <p>본 논문에서 사용된 자료는 한국 질병 관리청에서 실시한 2020년 지역사회건강조사 자료 (Community Health Survey, 2020, Korea Disease Control and Prevention Agency)로 2020년 기준 서울특별시에 거주하는 50대 미만 성인 9,977명을 분석 대상으로 설정하였고, 조사 응답 중 { 무응답, 모름 } 에 대한 데이터는 분석의 편의상 제외되었다. 반응 변수 $ y_ { i } , i=1, \ldots, 9977 $는 이진 변수로 설명 변수들과 상관을 위해 2020 년 기준 최근 1년 이내에 당뇨병을 진단받은 사람을 '1', 당뇨병을 진단받은 적 없는 사람을 ' 0 '으로 정의하였다. 반응 변수를 설명하기 위한 설명 변수는 Song 등 (2007)과 Kim 등 (2014)을 토대로 이환 및 건강 행태, 인구사회학적 특성으로 구성하였다.</p> <p>Table 3은 설명 변수들의 정의와 당뇨병 진단 여부에 따른 차이를 보여준다. 전체 9,977명 중에서 당뇨병을 진단 받은 그룹은 60명( $ 0.6 \% $), 진단 받지 않은 그룹은 9,917명( $ 99.4 \% $)이다. 두 그룹 간의 유의한 변수 차이를 설명하기 위해 범주형 설명 변수에 대해서는 카이제곱 검정을, 연속형 설명 변수에 대해서는 이분산 $ t $-검정을 시행하였다. 각 검정에 의한 $ p $-value는 Table 3에 나타나 있으며 모든 변수에서 두 그릅 간 통계적으로 유의한 차이가 있었다.</p> <h3>5.1.2. 베이지안 모형</h3> <p>본 논문에서는 당뇨병 자료를 분석하기 위해 2장에서 제안한 보조 혼합 샘플링을 베이지안 로지스틱 회귀모형에 대한 모수 추정 방법으로 사용하였다. 베이지안 추론 방법을 사용하기 위해 모수 $ \boldsymbol {\beta } $에 대하여 다음과 같은 무정보적인 사전 분포를 설정하였다.</p> <p>식 (2.6)과 같이 회귀 오차 $ \epsilon $을 혼합정규분포로 근사하면, 성분 지표기(component indicator) $ r_ { k i } $가 잠재변수로 도입되며 $ r_ { k i } $를 사용하여 식 (2.3)을 다시 나타내면 다음과 같다.</p> <p>$ y_ { k, i } ^ { u } = \boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { k } } + m_ { r_ { k i } } + \epsilon_ { k i } , \quad \epsilon_ { i } \mid r_ { k i } \sim N \left (0, s_ { r_ { k i } } ^ { 2 } \right ) $.<caption>(2.6)</caption></p> <p>본 논문에서는 9개의 성분을 갖는 혼합정규분포를 사용하였고, 그 때 해당 분포의 모수는 Table 1에 제시되어 있다. 제시된 혼합정규분포의 성분 개수 $ M $과 모수 $ \left ( \omega_ { r } , m_ { r } , s_ { r } ^ { 2 } \right ), r=1, \ldots, M $의 추정 과정은 3장에서 자세히 설명하도록 한다.</p> <h2>2.3. Auxiliary mixture sampling</h2> <p>2.2절에서 도입한 잠재변수의 개수는 $ \boldsymbol { y ^ { u } } = \left \{ y_ { 1 } ^ { u } , \ldots, y_ { N } ^ { u } \right \} ,(N \times K) $와 $ \boldsymbol { R } = \left \{ r_ { 1 } , \ldots, r_ { N } \right \} ,(N \times K) $으로 총 $ 2 N K $개이며(이진수 자료의 경우 $ 2 N $개), 이를 이용하면 보조 혼합 샘플링 단계는 크게 두 단계의 블록 샘플링으로 나타낼 수 있다: (ⅰ) 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta } $ 샘플링, (ⅱ) 잠재변수 $ \boldsymbol { y ^ { u } } $와 $ \boldsymbol { R } $ 샘플링. 먼저 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta_ { k } } $에 대한 사전 분포를 다음과 같이 가정한다.</p> <p>이는 로짓 연결함수를 사용하지 않은 선형 회귀식 (2.3)에서도 회귀 계수 $ \boldsymbol {\beta_ { k } } $가 일반적인 로짓 모형에서와 동일하게 해석 가능하다는 것을 의미한다. 따라서, 첫 번째 잠재변수 $ y_ { k, i } ^ { u } $의 도입은 모형의 반응 변수 $ y_ { k, i } ^ { u } $와 회귀오차 $ \epsilon_ { k i } $가 선형성을 만족할 뿐만 아니라 $ \boldsymbol {\beta_ { k } } $의 조건부 사후 분포 $ p \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } \mid \boldsymbol { y } , \boldsymbol { y ^ { u } } \right ) $가 $ \boldsymbol { y } $에 대해 조건부 독립이 되도록 한다. 즉, $ p \left ( \boldsymbol {\beta } \mid \boldsymbol { y } , \boldsymbol { y ^ { u } } \right )=p \left ( \boldsymbol {\beta_ { k } } \mid \boldsymbol { y ^ { u } } \right ) $가 된다.</p> <p>잠재변수 도입의 두 번째 단계는 회귀 오차 $ \epsilon_ { k i } $의 분포를 $ M $개의 성분을 갖는 혼합정규분포로 근사시켜 오차의 정규성을 만족시키는 것이다. 이러한 방법은 Shephard (1994), Kim 등 (1998), Chib 등 (2002)과 Omori 등 (2007)에서 제안한 $ \log \chi_ { 1 } ^ { 2 } $ 분포를 혼합정규분포로 근사하는 것에서 착안되었다. 앞서 언급하였듯이 로짓 연결함수를 사용하였을 때 회귀 오차 $ \epsilon_ { k i } $는 표준 굼벨 분포를 따른다.</p> <p>$ p_ {\epsilon } ( \epsilon)= \exp \left \{ - \epsilon-e ^ { - \epsilon } \right \} $.</p> <p>이때, 회귀 오차의 정규성을 만족시키기 위해 $ p_ {\epsilon } ( \epsilon) $을 식 (2.6)과 같이 $ M $개의 성분을 갖는 혼합정규분포 $ q_ { M, \epsilon } ( \epsilon) $로 근사 시킨다.</p> <p>$ p_ {\epsilon } ( \epsilon) \approx q_ { M, \epsilon } ( \epsilon) $, where $ q_ { M, \epsilon } ( \epsilon)= \sum_ { r=1 } ^ { M } \omega_ { r } f_ { N } \left ( \epsilon ; m_ { r } , s_ { r } ^ { 2 } \right ) $.<caption>(2.5)</caption></p> <p>Step 3: $ \lambda_ { k i } ^ { (t) } = \exp \left \{\boldsymbol { x_ { i } } \boldsymbol {\beta_ { k } ^ { (t) } } \right \} , \quad(k=1, \ldots, K, \quad i=1, \ldots, N) $를 계산한 뒤, 아래와 같은 단계를 통해 $ t $ 시점의 잠재변수 $ y_ { k, i } ^ { u(t) } $와 $ r_ { k i } ^ { (t) } $를 생성한다.</p> <p>● $ \lambda_ { k i } ^ { (t) } $와 $ y_ { i } $가 고정되어 있을 때, 식 (2.12)에서 $ t $ 시점의 유틸리티 $ y_ { k, i } ^ { u(t) } $를 샘플링 한다. \[ y_ { k, i } ^ { u(0) } =- \log \left (- \frac {\log \left (U_ { i } \right ) } { 1 + \sum_ {\ell=1 } ^ { K } \lambda_ {\ell i } ^ { (t) } } - \frac {\log \left (V_ { k i } \right ) } {\lambda_ { k i } ^ { (t) } } \boldsymbol { I } \left (y_ { i } \neq k \right ) \right ), k=1, \ldots, K \]<caption>(2.11)</caption>여기서 $ U_ { i } $와 $ V_ { 1 i } , V_ { 2 i } , \ldots, V_ { K i } $는 $ \operatorname { Uniform } \{ 0,1 \} $을 따르는 랜덤 확률변수이며, $ I(A) $는 조건 $ \mathrm { A } $가 참 일땐 1 의 값을 갖고 거짓일 땐 0 의 값을 갖는 지시 함수이다.</p> <p>● $ \lambda_ { k i } ^ { (t) } $와 $ y_ { i } $가 고정되어 있을 때, $ t $ 시점의 성분 지표기 $ r_ { k i } ^ { (t) } $는 식 (2.13)를 확률로 갖는 이산 분포에서 생성된다. \[ Pr \left (r_ { k i } =j \mid y_ { k, i } ^ { u(t) } , \boldsymbol {\beta } _ { k } \right ) \propto \frac {\omega_ { j } } { s_ { j } } \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { y_ { k, i } ^ { u(t) } - \log \lambda_ { k i } ^ { (t) } -m_ { j } } { s_ { j } } \right ) ^ { 2 } \right \} \]<caption>(2.12)</caption></p> <p>5.1절에서 사용한 당뇨병 자료는 그룹 '1'이 전체의 $ 0.6 \% $밖에 차지하지 않는 희귀 사건(rare events) 자료이다. 본 논문에서는 해당 자료를 분석하기 위해서 이항 자료에 대해 가장 널리 사용되는 로지스틱 회귀모형을 적용하였지만, 희귀 사건 데이터에 대한 로지스틱 회귀 분석 결과는 $ P \left (y_ { i } =1 \right ) $를 과소추정한다는 단점이 있다 (King과 Zeng, 2001). 이때, 비대칭 연결함수(asymmetric link function)는 이 한계를 극복하기 위한 하나의 해결 방안이 될 수 있다 (Chen 등, 1999). 비대칭 연결함수를 사용한 모형은 사건이 발생할 확률이 0으로 접근하는 속도와 1 로 접근하는 속도를 다르게 설정하여 대칭 연결함수는 설명할 수 없는 자료의 불균형을 설명하며, 일반적으로 비대칭 연결함수를 사용한 모형에 대한 베이지안 추론 방법은 제안 분포를 사용하는 마코프체인 몬테카를로가 많이 사용되어왔다 (Chen 등, 1999; Kim과 Hwang, 2019; Kim과 Hwang, 2020). 따라서, 보조 혼합 샘플링을 비대칭 연결함수를 사용한 모형에 적용할 수 있도록 확장한다면 보다 직관적이고 일반화된 분석이 가능할 것이다. 보조 혼합 샘플링의 두 번째 보조 잠재변수 $ R $의 도입은 로짓 모형의 오차항에 대한 분포를 혼합정규분포를 사용해 근사시키기 위해 사용되었다. 본 논문에서는 Table 1에 나타난 혼합정규분포의 근사 결과를 고정된 값으로 사용하였지만, 해당 값을 Gwewke와 Keane (1999)에서 제시한 것처럼 로짓 모형의 오차항에 대한 분포를 혼합정규분포로 근사시키기 위한 사전 분포로 활용할 수도 있다. 또한, 본 논문에서 사용한 실제 데이터는 표본의 크기가 상당히 크기 때문에 베이지안 추론의 장점을 보여주기 어려웠다. 따라서 더욱 작은 소표본 데이터에 적용한다면 베이지안 추론 방법의 장점을 보여주는 또 다른 후속 연구가 될 수 있을 것이다.</p> <h1>요약</h1> <p>로지스틱 회귀 모형은 다양한 분야에서 범주형 종속 변수를 예측하거나 분류하기 위한 모형으로 많이 사용되고 있다. 로지스틱 회귀 모형에 대한 전통적인 베이지안 추론 기법으로 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리즘이 많이 사용되었지만, 수렴의 속도가 느리고 제안 분포에 대한 적절성을 보장하기 어렵다. 따라서, 본 논문에서는 모형에 대한 베이지안 추론 방법으로 Frühwirth-Schnatter와 Frühwirth (2007)에서 제안된 보조 혼합 샘플링(auxiliary mixture sampling) 기법을 사용하였다. 이 방법은 모형의 선형성과 정규성을 만족시키기 위해 두 단계에 거쳐 잠재변수를 도입하며, 결과적으로 깁스 샘플링을 통한 추론을 가능하게 한다. 제안한 모형의 효과를 검증하기 위해 2020년 지역사회 건강조사 당뇨병 자료에 적용하여 메트로폴리스-헤이스팅스를 사용한 모형과 추론 결과를 비교 분석하였다. 또한, 다양한 분류 모형들과 본 논문에서 제안한 모형의 분류 성능을 비교한 결과 제안된 모형이 분류 분석에서도 좋은 성능을 보이는 것을 확인할 수 있었다.</p> <p>주요용어: 로지스틱 회귀모형, 마코프체인 몬테카를로, 베이지안 추론, 분류 분석, 지역사회 건강조사</p>	자연
m530-확률과 보험통계	<p>풀이 (1) 우선 $ X $ 의 분포함수를 먼저 구하면, \[F_ { X } (x)= \int_ { 0 } ^ { x } f(u) d u= \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \frac { 4 } { 3 } e ^ { -u } - \frac { 2 } { 3 } e ^ { -2 u } \right ) d u \] $ =1- \frac { 4 } { 3 } e ^ { -x } + \frac { 1 } { 3 } e ^ { -2 x } $ 이고, 따라서 $ Y=X-2 $ 의 분포함수는 \[ \begin {aligned} F_ { Y } (y) &= \frac { F_ { X } (y + 2)-F_ { X } (2) } { 1-F_ { X } (2) } \\&=1 + \frac { 1 } { 1-4 e ^ { 2 } } \left (4 e ^ { -(y-2) } -e ^ { -2 y } \right ), \quad y>0 \end {aligned} \]이다. 그러므로 $ Y $ 의 밀도함수는 \[ \begin {aligned} f_ { Y } (y) &= \frac { d } { d y } F_ { Y } (y)= \frac { d } { d y } \left (1 + \frac { 1 } { 1-4 e ^ { 2 } } \left (4 e ^ { -(y-2) } -e ^ { -2 y } \right ) \right ) \\ &= \frac { 2 } { 1-4 e ^ { 2 } } \left (-2 e ^ { -(y-2) } + e ^ { -2 y } \right ), \quad y>0 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>(2) $ Y $ 의 1 차 적률과 2 차 적률을 구하면 각각 다음과 같다. \[ \begin {aligned} E(Y) &=E[X-2 \mid X>2]= \frac { 1 } { 1-F(2) } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) f(x) d x \\ &= \frac { 1 } { 1-F(2) } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) \left ( \frac { 4 } { 3 } e ^ { -x } - \frac { 2 } { 3 } e ^ { -2 x } \right ) d x \\ &= \frac { 3 e ^ { 4 } } { -1 + 4 e ^ { 2 } } \left [- \frac { 4 } { 3 } (x-1) e ^ { -x } + \frac { 1 } { 6 } (2 x-3) e ^ { -2 x } \right ]_ { 0 } ^ {\infty } \\ &= \frac { 3 e ^ { 4 } } { -1 + 4 e ^ { 2 } } \frac { 1-8 e ^ { 2 } } { 6 e ^ { 4 } } = \frac { 1-8 e ^ { 2 } } { 2 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) } \\ E \left (Y ^ { 2 } \right ) &=E \left [(X-2) ^ { 2 } \mid X>2 \right ]= \frac { 1 } { 1-F(2) } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) ^ { 2 } f(x) d x \\ &= \frac { 1 } { 1-F(2) } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) ^ { 2 } \left ( \frac { 4 } { 3 } e ^ { -x } - \frac { 2 } { 3 } e ^ { -2 x } \right ) d x \\ &= \frac { 3 e ^ { 4 } } { -1 + 4 e ^ { 2 } } \frac { -1 + 16 e ^ { 2 } } { 6 e ^ { 4 } } = \frac { 1-16 e ^ { 2 } } { 2 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) } \end {aligned} \] 그러므로 $ Y $ 의 평균은 \[ E(Y)= \frac { 1-8 e ^ { 2 } } { 2 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) } =1.0175 \] 이고 분산은 \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (Y) &=E \left (Y ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } (Y)= \frac { 1-16 e ^ { 2 } } { 2 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) } - \left ( \frac { 1-8 e ^ { 2 } } { 2 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { 1-24 e ^ { 2 } + 64 e ^ { 4 } } { 4 \left (1-4 e ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } =1.0172 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 1 한 보험증권은 면책금액 250 을 초과하는 손실에 대하여 보상하도록 계약이 되어 있다고 하자. 그리고 보험증권 소지자의 손실 $ X $ 는 평균 1,000 인 지수분포에 따른다고 한다. 이 보험증권 아래서 보험회사에서 지불할 보험금과 보험 가입자가 부담해야 할 손실의 기대값을 구하여라.</p> <p>풀이 보험회사에 의하여 지불할 보험금은 \[ Y=(X-250)_ { + } = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , 0 \leq X<250 \\ X-250 & , \quad X \geq 250 \end {array} \right . \] 이므로, 보험 지급금의 기대값은 \[ \begin {aligned} E(Y) &= \int_ { 250 } ^ {\infty } (x-250) f_ { X } (x) d x= \int_ { 250 } ^ {\infty } (x-250) \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -x / 1000 } d x \\ &= \left .(-1)(x-750) e ^ { -x / 1000 } \right \|_ { 250 } ^ {\infty } \\ &=1000 e ^ { -1 / 4 } =778.801 \end {aligned} \] 이다. 따라서 보험 가입자의 평균손실은 $ 1000-778.801=221.199 $ 이다.</p> <p>예제 2 면책금액 10 을 갖는 보험증권에 대한 손해액은 모수 $ \alpha=1, \beta=0.05 $ 인 와이블분포에 따른다고 한다. (1) 보험회사의 손실이 적어도 25 이상일 확률을 구하여라. (2) 보험회사가 보험금을 지불했다는 조건 아래서, 지불금이 많아야 25 일 확률을 구하여라.</p> <p>(1) 보험 가입자의 손실을 $ X $ 그리고 보험회사의 손실을 $ Z $ 라 하자. 그러면 $ X $ 는 모수 $ \alpha=1, \beta=0.05 $ 인 와이블 분포를 가지므로, 밀도함수와 분포함수 는 각각 다음과 같다. \[ f(x)=0.05 e ^ { -0.05 x } , \quad F(x)=1-e ^ { -0.05 x } \] 그러므로 구하고자 하는 확률은 \[ \begin {aligned} P(Z \geq 25) &=P(X>25 \mid X>10)= \frac { 1-F(25) } { 1-F(10) } \\ &= \frac { e ^ { -1.25 } } { e ^ { -0.5 } } =0.47237 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>(2) 보험회사의 보험 지급금을 $ Y $ 라 하면, \[ Y= \left \{\begin {array} { ll } 0 & , \quad X \leq 10 \\ X-10, & X>10 \end {array} \right . \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} P(Y \leq 25) &=P(X-10 \leq 25 \mid X>10)= \frac { F(35)-F(10) } { 1-F(10) } \\ &= \frac { e ^ { -0.5 } -e ^ { -1.75 } } { e ^ { -0.5 } } =0.7135 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>또한 $ S $ 의 분포함수는 얼마나 많은 지급요구가 발생하느냐에 따라 구별되며, 다음과 같이 전확률 공식에 의하여 얻어진다. \[ \begin {aligned} F_ { S } (s) &=P(S \leq s)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } P(S \leq s \mid N=n) P(N=n) \\ &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } P \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \leq s \right ) P(N=n) \\ &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } F ^ { * n } (s) P(N=n) \end {aligned} \] 여기서 $ F ^ { * n } (x) $ 는 $ F(x) $ 의 $ n $ 차 합성, 즉 \[ \begin {array} { c } F ^ { * 0 } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x<0 \\ 1, & x \geq 0 \end {array} \right . \\ F ^ { * n } (x)=P \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \leq x \right ), \quad n=1,2,3, \cdots \end {array} \] 이다. 따라서 $ S $ 의 밀도함수는 \[ f_ { S } (s)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f ^ { * } n(s) P(N=n) \] 이고, $ f ^ { * n } (x) $ 는 역시 밀도함수 $ f(x) $ 의 $ n $ 차 합성인 \[ \begin {array} { c } f ^ { * 0 } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end {array} \right . \\ f ^ { * n } (x)=P \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } =x \right ), \quad n=1,2,3, \cdots \end {array} \] 이다. 특히 $ f(x) $ 의 $ n $ 차 합성 $ f ^ { * n } (x) $ 는 다음과 같이 쉽게 얻을 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ { (n + 1) } (x) &=P \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n + 1 } =x \right ) \\ &= \sum_ { y } P \left (X_ { n + 1 } =y \right ) P \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } =x-y \right ) \\ &= \sum_ { v } f(y) f ^ { n } (x-y) \end {aligned} \] 또한 개개의 보험 지급금의 분포가 이산형이면 총액 $ S $ 도 이산확률변수이고, 확률 함수와 분포함수도 연속형과 동일한 방법에 의해 얻는다.</p> <p>예제 2 확률변수 $ X \sim \operatorname { Exp } (1000) $ 에 대하여, $ d=2 $ 인 좌측제거이동 확률변수를 $ Z $ 라 한다. (1) $ Z $ 의 분포함수와 밀도함수를 구하여라. (2) $ Z $ 의 평균과 분산을 구하여라.</p> <p>풀이 (1) $ X \sim \operatorname { Exp } (1000) $ 이므로 $ X $ 의 밀도함수와 분포함수는 각각 다음과 같다. \[ f_ { X } (x)= \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -x / 1000 } , \quad F_ { X } (x)=1-e ^ { -x / 1000 } , \quad x>0 \] 따라서 $ d=2 $ 에서 좌측삭제이동 확률변수를 $ Z $ 는 \[ Z=(X-2)_ { + } = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , 0 \leq X<2 \\ X-2 & , \quad X \geq 2 \end {array} \right . \] 와 같이 정의된다. 그러므로 $ z>0 $ 이면 \[ F_ { Z } (z)=F_ { X } (z + 2)=1- \exp \left (- \frac { z + 2 } { 1000 } \right ) \] 이고, 따라서 \[ f_ { Z } (z)=f_ { X } (z + d)= \frac { 1 } { 1000 } \exp \left (- \frac { z + 2 } { 1000 } \right ) \] 이다. 한편 $ z=0 $ 이면 \[ F_ { Z } (0)=F_ { X } (2)=1-e ^ { -1 / 500 } \] 이므로 $ Z $ 의 분포함수와 밀도함수는 각각 다음과 같다. \[ F_ { Z } (z)= \left \{\begin {array} { ll } 1-e ^ { -1 / 500 } & , z \leq 0 \\ 1- \exp \left (- \frac { z + 2 } { 1000 } \right ), & z>0 \end {array} \right . \] $ f_ { Z } (z)= \left \{\begin {array} { ll } 1-e ^ { -1 / 500 } & z=0 \\ \frac { 1 } { 1000 } \exp \left (- \frac { z + 2 } { 1000 } \right ), & z>0 \end {array} \right . $</p> <p>$ f_ { Y } (y)= \frac { d } { d y } F_ { Y } (y)= \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -y / 1000 } , \quad y>0 $</p> <p>이와 같이 어떤 상수 $ d $ 와 $ X>d $ 인 조건 아래서, 새롭게 정의되는 확률변수 $ Y=X-d $ 를 좌측절단이동 확률변수(left truncated and shifted variable)라 한다. 그러면 앞에서 살펴본 바와 같이 확률변수 $ Y $ 의 밀도함수와 분포함수는 각각 $ f_ { Y } (y)= \frac { f_ { X } (y + d) } { 1-F_ { X } (d) } , \quad y>0 $ $ F_ { Y } (y)= \frac { F_ { X } (y + d)-F_ { X } (d) } { 1-F_ { X } (d) } , \quad y>0 $ 이다. 또한 $ k $ 차 적률은 $ \begin {aligned} e_ { X } ^ { k } (d) &=E \left (Y ^ { k } \right )=E \left [(X-d) ^ { k } \mid X>d \right ] \\ &= \frac {\int_ { d } ^ {\infty } (x-d) ^ { k } f(x) d x } { 1-F(d) } \end {aligned} $ 이다. 물론 이산확률변수 $ Y $ 에 대하여 동일한 형태의 확률함수와 분포함수를 가지며, 또한 $ k $ 차 적률은 $ e_ { X } ^ { k } (d)=E \left (Y ^ { k } \right )= \frac {\sum_ { x } (x-d) ^ { k } f(x) } { 1-F(d) } $ 으로 정의된다. 특히 $ k=1 $ 인 $ Y $ 의 기대값은 제 5 장에서 살펴본 평균잔여 생존함수와 동일하다.</p> <p>예제 $ 1 x>0 $ 에 대하여 $ X $ 의 빌도함수가 다음과 같은 혼합항 지수분포라 하자. \[f_ { X } (x)= \frac { 4 } { 3 } e ^ { -x } - \frac { 2 } { 3 } e ^ { -2 x } \] (1) $ d=2 $ 에 대한 좌측절단이동 확률변수 $ Y $ 의 분포함수와 밀도함수를 구하여라. (2) $ Y $ 의 평균과 분산을 구하여라.</p> <h1>7.3 초과손실 재보험</h1> <p>어느 보험회사가 이미 판매한 보험 상품으로 인하여 입게 될 손실을 방지하기 위하여 다른 보험회사로부터 보험을 다시 구입하는 것을 재보험(reinsurance)이라 하고, 그 재보험 상품을 판매한 보험회사를 재보험회사(reinsurer)라 한다. 이때 원수보험회사, 즉 재보험 상품을 구입한 보험회사의 입장에서 재보험을 구입하는 행위를 출재보험(reinsurance ceded)이라 하고 재보험회사가 재보험을 받아들이는 행위를 수재보험(reinsurance assumed)이라고 한다. 따라서 재보험은 원수보험회사가 인수한 보험 계약에 대한 책임의 일부 또는 전부를 재보험회사에 전가하는 방식을 말한다. 이러한 재보험을 통하여 원수보험회사는 보험 계약자로 인한 위험을 다른 보험회사로 분산할 뿐만 아니라, 재정적으로 건실한 대형 보험회사의 보호를 받는다는 사실에 의하여 소비자들에게 고액보험의 인수능력을 확대할 수 있다. 그리고 재보험 계약에 의하여 재보험회사가 지급하는 보험금을 재보험금(reinsurance claim)이라고 하고, 재보험회사가 재보험금 지급책임을 원수보험회사로부터 수재보험하는 보험 계약상의 책임을 부담하는 대가로 받는 보험료를 재보험료(reinsurance premium)라 한다. 이때 원보험자의 연간손해보상액이 연간수입보험료의 일정비율을 초과할 때, 그 초과부분을 재보험자가 보상하는 조건의 재보험을 초과손해율 재보험(stop loss reinsurance)이라 한다.</p> <p>이제 한 보험회사가 입게 될 손실을 만회하기 위하여 재보험회사와 면책금액 $ d $를 갖는 보험 계약을 체결한다고 하자. 재보험회사가 출재보험회사에 지불해야 할 보험료에 대하여 살펴보기 위하여, 어느 기간동안 이 보험회사에 신청된 보험금 총액 $ S $ 의 확률분포를 살펴본다. 이 기간동안 보험회사에 보험금 지급이 요구된 횟수를 $ N $ 이라 하고, $ X_ { k } $ 를 $ k $ 번째 지급할 보험금액이라 하자. 그러면 이 기간에 보험회사가 지급해야 할 보험금 총액은 \[ S=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { N } \] 이다. 이때 확률변수들 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots $ 은 항등적으로 독립이라 하고, 이 변수들과 $ N $ 은 독립이라고 가정한다. 그리고 독립 확률변수들 $ X_ { k } $ 의 밀도함수와 분포함수를 각각 $ f(x), F(x) $ 라 하면, 이미 제 3 장에서 살펴본 바와 같이 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ E(S)=E[E(S \mid N)]=E(N) E(X) $, 단 $ X $ 는 $ X_ { k } , k=1,2,3, \cdots $ 를 의미한다. (2) $ \operatorname { Var } (S)=E(N) \operatorname { Var } (X) + E ^ { 2 } (X) \operatorname { Var } (N) $ (3) $ M_ { S } (t)=E \left [E \left (e ^ { t S } \mid N \right ) \right ]=E \left [e ^ { N \log M_ { X } (t) } \right ]=M_ { N } \left [ \log M_ { X } (t) \right ] $</p> <p>(2) $ Z $ 의 1 차 적률과 2 차 적률을 구하면, \[ \begin {aligned} E(Z) &=E \left [(X-d)_ { + } \right ]= \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) f(x) d x \\ &= \frac { 1 } { 1000 } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) e ^ { -x / 1000 } d x \\ &=- \left . \frac { 1 } { 1000 } (x + 998) e ^ { -x / 1000 } \right \|_ { 2 } ^ {\infty } \\ &=1000 e ^ { -1 / 500 } =998.002 \\ E \left (Z ^ { 2 } \right ) &=E \left [(X-d)_ { + } ^ { 2 } \right ]= \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) ^ { 2 } f(x) d x \\ &= \frac { 1 } { 1000 } \int_ { 2 } ^ {\infty } (x-2) ^ { 2 } e ^ { -x / 1000 } d x \\ &=- \left . \frac { 1 } { 1000 } \left (x ^ { 2 } + 1996 x + 1996004 \right ) e ^ { -x / 1000 } \right \|_ { 2 } ^ {\infty } \\ &=2000000 e ^ { -1 / 500 } =(1.996) 10 ^ { 6 } \end {aligned} \] 그러므로 $ Z $ 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } E(Z)=998.002 \\ \operatorname { Var } (Z)=E \left (Z ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } (Z)=(1.996) 10 ^ { 6 } -998.002 ^ { 2 } =999996 \end {array} \]</p> <p>한편 확률변수 $ X $ 에 대하여 \[ U= \min (X, d)=X \wedge d= \left \{\begin {array} { ll } X, & 0 \leq X \leq d \\ d, & X>d \end {array} \right . \] 라 하면, $ U $ 는 상수 $ d $ 에 의하여 유계한 확률변수이다. 이와 같이 정의되는 확률변수 $ U $ 를 $ d $ 에 의한 우측제거 확률변수(right censored variable)라 한다. 그러면 $ u<d $ 에 대하여 \[ F_ { U } (u)=P(U \leq u)=P(X \leq u)=F_ { X } (u) \] 이고, $ u \geq d $ 이면 명백히 $ F_ { U } (u)=1 $ 이다. 따라서 $ U $ 의 분포함수는 \[ F_ { U } (u)= \left \{\begin {array} { ll } F_ { X } (u), & u<d \\ 1 & , u \geq d \end {array} \right . \] 이고, $ U $ 의 밀도함수는 \[ f_ { U } (u)= \left \{\begin {array} { ll } f_ { X } (u) & , u<d \\ 1-F_ { X } (d), & u=d \end {array} \right . \] 로 정의된다.</p> <p>이제 한 보험회사가 입게 될 손실을 만회하기 위하여 재보험회사와 면책금액 $ d $를 갖는 보험 계약을 체결하였다고 하자. 그리고 어떤 주어진 기간동안 이 보험회사에 신청된 보험금 총액을 $ S $ 라 하면, 재보험회사가 출재보험회사에 지불해야 할 보험금은 \[ Y=(S-d)_ { + } = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , \quad 0 \leq S<d \\ S-d & , S \geq d \end {array} \right . \] 이고, 따라서 출재회사에 의하여 유지되는 보험금 총액은 \[ S-Y= \left \{\begin {array} { l } S, 0 \leq S<d \\ d, \quad S \geq d \end {array} \right . \]이다. 그러면 초과 손해율 재보험에 대한 보험 지급금의 기대값에 대하여 다음과 같은 여러 가지 표현방법을 사용할 수 있다. 우선 기대값의 정의로부터 \[ \begin {aligned} E(Y) &= \int_ { 0 } ^ { d } (0) f_ { S } (s) d s + \int_ { d } ^ {\infty } (s-d) f_ { S } (s) d s \\ &= \int_ { d } ^ {\infty } (s-d) f_ { S } (s) d s \end {aligned} \] 이다. 더욱이 $ f_ { S } (s)=- \frac { d } { d s } \left [1-F_ { S } (s) \right ] $ 이므로 위 식에 부분적분법을 적용하면 \[ E(Y)= \int_ { d } ^ {\infty } \left [1-F_ { S } (s) \right ] d s \] 를 얻는다. 또한 $ E(S) $ 를 이용하여 \[ \begin {aligned} E(Y) &= \int_ { d } ^ {\infty } (s-d) f_ { S } (s) d s \\ &= \int_ { d } ^ {\infty } (s-d) f_ { S } (s) d s + \int_ { 0 } ^ { d } (s-d) f_ { S } (s) d s + \int_ { 0 } ^ { d } (d-s) f_ { S } (s) d s \\ &= \int_ { 0 } ^ {\infty } (s-d) f_ { S } (s) d s + \int_ { 0 } ^ { d } (d-s) f_ { S } (s) d s \\ &=E(S)-d + \int_ { 0 } ^ { d } (d-s) f_ { S } (s) d s \end {aligned} \] 로 나타낼 수 있으며, $ S=(S-d)_ { + } + (S \wedge d), E(S \wedge d)= \int_ { 0 } ^ { d } \left [1-F_ { S } (s) \right ] d s $ 이므로 \[ \begin {aligned} E(Y) &=E \left [(S-d)_ { + } \right ]=E(S)-E[(S \wedge d)] \\ &=E(S)- \int_ { 0 } ^ { d } \left [1-F_ { S } (s) \right ] d s \end {aligned} \] 이다. 이와 같은 $ E(Y) $ 에 대한 여러 가지 표현방법은 각각 장점을 가지고 있다. 예를 들어, 분포가 해석적인 경우 다시 말해서 정규분포 또는 감마분포인 경우에는 첫 번째 식이 다루기 쉽다. 그러나 두 번째와 네 번째 식은 이산형 또는 혼합형등을 포함하여 일반적인 경우에 사용하며, 유한구간에서의 적분이 요구되고 더불어 $ E(S) $ 를 알고 있는 경우에는 세 번째와 네 번째 식이 유용하다.</p> <p>$ E \left [(X \wedge d) ^ { k } \right ]= \left \{\begin {array} { l } \sum_ { x \leq d } x ^ { k } f(x) + d ^ { k } \sum_ { x>d } f(x), X \text { 가 이산형인 경 우 } \\ \int_ { 0 } ^ { d } x ^ { k } f(x) d x + d ^ { k } \int_ { d } ^ {\infty } f(x) d x, X \text { 가 연속형인 경 우 } \end {array} \right . $</p> <p>를 $ k $ 차 보상한도 적률(limited moment)이라 한다. 이때 $ X $ 의 적률이 존재한다면, 1 차 적률에 대하여 $ \lim_ { d \rightarrow \infty } E(X \wedge d)=E(X) $ 이 성립한다. 특히 $ 1-F(d)= \sum_ { x>d } f(x) $ 또는 $ 1-F(d)= \int_ { d } ^ {\infty } f(x) d x $</p> <p>이므로 $ k $ 차 보상한도 적률은 다음과 같이 표현할 수 있다. $ E \left [(X \wedge d) ^ { k } \right ]= \left \{\begin {array} { l } \sum_ { x \leq d } x ^ { k } f(x) + d ^ { k } [1-F(d)], X \text { 가 이산형인 경 우 } \\ \int_ { - \infty } ^ { d } x ^ { k } f(x) d x + d ^ { k } [1-F(d)], X \text { 가 연속형인 경 우 } \end {array} \right . $</p> <p>또한 $ S(x)=1-F(x) $ 이라 할 때, 부분적분법을 이용하면 연속확률변수 $ X $ 에 대한 $ X \wedge d $ 의 $ k $ 차 적률은 다음과 같이 표현이 가능하다.</p> <p>$ \begin {aligned} E \left [(X \wedge d) ^ { k } \right ]=& \int_ { - \infty } ^ { d } x ^ { k } f(x) d x + d ^ { k } [1-F(d)] \\=& \int_ { - \infty } ^ { 0 } x ^ { k } f(x) d x + \int_ { 0 } ^ { d } x ^ { k } f(x) d x + d ^ { k } [1-F(d)] \\=& \left .x ^ { k } F(x) \right \|_ { - \infty } ^ { 0 } - \int_ { - \infty } ^ { 0 } k x ^ { k-1 } F(x) d x- \left .x ^ { k } S(x) \right \|_ { 0 } ^ { d } \\ & + \int_ { 0 } ^ { d } k x ^ { k-1 } S(x) d x + d ^ { k } S(d) \\=&- \int_ { - \infty } ^ { 0 } k x ^ { k-1 } F(x) d x + \int_ { 0 } ^ { d } k x ^ { k-1 } S(x) d x \end {aligned} $</p> <p>한편 보험 계약자의 손실이 면책금액 이하인 경우에는 보험회사가 보험금을 지불하지 않으며, 반면에 면책금액보다 클 경우에 초과분에 해당하는 보험금을 지불하는 경우의 면책금액을 일반면책금액(ordinary deductible)이라 한다. 예를 들어, 5 만 원의 면책금액에 동의한 보험에 가입하였다고 할 때, 가입자의 손실이 5 만 원이하이면 보험회사는 보상할 의무가 없다. 한편 6 만 원의 손실을 갖는 경우에 보험회사는 그 차액인 1 만 원을 보상하면 된다. 이때 보험증권 소지자의 손실 $ X $ 에 대하여 면책금액 $ d $ 를 적용한 보험회사의 보험 지급금을 $ Y $ 라 하면, 이 보험 지급금은 좌측제거이동 확률변수 \[ Y=(X-d)_ { + } = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , 0 \leq X<d \\ X-d, & X \geq d \end {array} \right . \] 로 정의된다. 이와 같은 종류의 보험 계약은 손실이 면책금액 $ d $ 를 초과할 때까지 보험회사가 보험금을 지급하지 않는다는 특성을 갖는다. 이와 같이 면책금액을 초과하는 손실에 대하여 보험회사의 면책금액을 제외한 초과분에 해당하는 보험금을 지급하는 형태의 보험 계약을 초과손해율보험(stop loss or excess of loss insurance)이라 한다. 그러면 초과손해율보험에 대한 보험 지급금의 기댓값은, 즉 보험회사의 손실당 기대지불금은 \[ \begin {aligned} E(Y) &= \int_ { 0 } ^ { d } (0) f_ { X } (x) d x + \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) f_ { X } (x) d x \\ &= \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) f_ { X } (x) d x \end {aligned} \] 이고, $ Y $ 의 2 차 적률이 \[ \begin {aligned} E \left (Y ^ { 2 } \right ) &= \int_ { 0 } ^ { d } (0) ^ { 2 } f_ { X } (x) d x + \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) ^ { 2 } f_ { X } (x) d x \\ &= \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) ^ { 2 } f_ { X } (x) d x \end {aligned} \] 이므로 $ Y $ 의 분산은 \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (Y) &=E \left (Y ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } (Y) \\ &= \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) ^ { 2 } f_ { X } (x) d x- \left ( \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) f_ { X } (x) d x \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다. 예를 들어, 손실변수 $ X $ 가 구간 $ [0,1000] $ 에서 균등분포를 이룬다 하고, 각 손실에 면책금액 100 이 적용된다고 하자. 그러면 손실당 평균보험 지급금은 \[ E(Y)= \int_ { 100 } ^ { 1000 } (x-100) \frac { 1 } { 1000 } d x= \left . \frac { 1 } { 1000 } \left ( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } -100 x \right ) \right \|_ { 100 } ^ { 1000 } =405 \] 이고, \[ E \left (Y ^ { 2 } \right )= \int_ { 100 } ^ { 1000 } (x-100) ^ { 2 } \frac { 1 } { 1000 } d x= \left . \frac { 1 } { 3000 } (x-100) ^ { 3 } \right \|_ { 100 } ^ { 1000 } =243000 \] 이므로 분산은 $ \operatorname { Var } (Y)=243000-405 ^ { 2 } =78975 $ 이다.</p> <p>따라서 $ Y=X \wedge d $ 의 기대값은 다음과 같다.</p> <p>$ E(Y)=E(X \wedge d)=- \int_ { - \infty } ^ { 0 } F(x) d x + \int_ { 0 } ^ { d } S(x) d x $</p> <p>예를 들어, 손실변수 $ X $ 가 구간 $ [0,1000] $ 에서 균등분포를 이루고, 각 손실에 대하여 보증한도 $ d=500 $ 을 적용한다고 하자. 그러면</p> <p>$ E(Y)= \int_ { 0 } ^ { 500 } x \frac { 1 } { 1000 } d x + \int_ { 500 } ^ { 1000 } 500 \frac { 1 } { 1000 } d x=375 $ $ E \left (Y ^ { 2 } \right )= \int_ { 0 } ^ { 500 } x ^ { 2 } \frac { 1 } { 1000 } d x + \int_ { 500 } ^ { 1000 } 500 ^ { 2 } \frac { 1 } { 1000 } d x= \frac { 500000 } { 3 } =166666.7 $ 이고, 따라서 보험 지급금의 평균은 $375 $ , 분산은 $ 166666.7-375 ^ { 2 } =26041.7 $ 이다.</p> <p>예제 3 $25 $세인 사람의 생존시간 $ X $ 는 구간 $ [0,75] $ 에서 균등분포를 이룬다고 하자. 이때 이 사람이 앞으로 $10 $ 년 안에 생존할 것으로 기대되는 시간을 구하여라. 단, 단위는 년이다.</p> <p>풀이 25 세인 사람이 앞으로 10 년 안에 생존할 시간을 $ Y $ 라고 하자. 그러면 25세인 사람의 앞으로의 생존시간을 최대 10 년으로 적용하므로, 확률변수 $ Y $ 는 다음과 같이 정의된다. \[ Y= \min (X, 10)=X \wedge 10= \left \{\begin {array} { ll } X, & 0 \leq X<10 \\ 10, & X \geq 10 \end {array} \right . \] 그러므로 $ Y $ 의 기대값은 \[ \begin {aligned} E(Y) &= \int_ { 0 } ^ {\infty } g(x) f_ { X } (x) d x= \int_ { 0 } ^ { 10 } \frac { x } { 75 } d x + \int_ { 10 } ^ { 75 } \frac { 10 } { 75 } d x \\ &=9.3333 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>한편 $ P \left (N_ { 1 } + 2 N_ { 2 } =x \right )= \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(x)= \sum_ { y } P_ { 1 } (y) P_ { 2 } (x-y) $ 을 구하면 다음 과 같다. \[ \begin {array} { l } \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(0)=P_ { 1 } (0) P_ { 2 } (0)=0.049787 \\ \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(1)=P_ { 1 } (1) P_ { 2 } (0)=0.049787 \\ \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(2)=P_ { 1 } (0) P_ { 2 } (2) + P_ { 1 } (2) P_ { 2 } (0)=0.124467 \\ \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(3)=P_ { 1 } (1) P_ { 2 } (2) + P_ { 1 } (3) P_ { 2 } (0)=0.107872 \\ \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right )(4)=P_ { 1 } (0) P_ { 2 } (4) + P_ { 1 } (2) P_ { 2 } (2) + P_ { 1 } (4) P_ { 2 } (0)=0.151435 \end {array} \] 즉 $ P_ { 1 } * P_ { 2 } $ 의 확률함수를 다음 표와 같이 얻는다.</p> <p>이제 $ P \left (N_ { 1 } + 2 N_ { 2 } + 3 N_ { 3 } =x \right )= \left ( \left (P_ { 1 } * P_ { 2 } \right ) * P_ { 3 } \right )(x) $ 를 앞에서와 동일한 방법 으로 구하면, 다음과 같다.</p> <h1>$ 7.1 $ 확률변수의 이동</h1> <p>확률변수 $ X $ 의 밀도함수와 분포함수를 각각 $ f_ { X } (x), F_ { X } (x) $ 라 하자. 그러면 어떤 상수 $ d $ 에 대하여 $ X>d $ 인 조건 아래서, 확률변수 $ Y = X-d $ 의 확률분포를 생각해 볼 수 있다. 특히 연속확률변수 $ X $ 에 대하여, 확률변수 $ Y $ 의 분포함수는 조건부 확률에 의하여 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} F_ { Y } (y) &=P(Y \leq y \mid X>d)=P(X \leq y + d \mid X>d) \\ &= \frac { P(d<X \leq y + d) } { P(X>d) } \\ &= \frac { F_ { X } (y + d)-F_ { X } (d) } { 1-F_ { X } (d) } \end {aligned} $ 따라서 $ Y $ 의 밀도함수는</p> <p>$ f_ { Y } (y)= \frac { d } { d y } F_ { Y } (y)= \frac { f_ { X } (y + d) } { 1-F_ { X } (d) } $ 이다. 예를 들어, 확률변수 $ X \sim \operatorname { Exp } (1000) $ 이라 하면, $ f_ { X } (x)= \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -x / 1000 } , \quad F_ { X } (x)=1-e ^ { -x / 1000 } , \quad x>0 $ $ f_ { X } (x)= \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -x / 1000 } , \quad F_ { X } (x)=1-e ^ { -x / 1000 } , \quad x>0 $ 이므로 $ X>2 $ 인 조건 아래서, 확률변수 $ Y=X-2 $ 의 분포함수와 밀도함수는 각각 다음과 같다.</p> <p>$ F_ { Y } (y)= \frac { F_ { X } (y + 2)-F_ { X } (2) } { 1-F_ { X } (2) } =1-e ^ { -y / 1000 } $</p> <p>예제 1 지난 1 년 동안 보험금 지급 건수가 $ 0,1,2,3 $ 이고 각각의 확률이 $ 0.1,0.2,0.3 $, $ 0.4 $ 인 보험증권을 생각하자. 이때 개개의 보험지급금이 1 또는 2 이고, 이 지급금에 대한 확률은 각각 $ 0.4 $ 와 $ 0.6 $ 이라고 한다. (1) 보험금 총액에 대한 평균과 분산을 구하여라. (2) 보험금 총액에 대한 확률함수와 분포함수를 구하여라.</p> <p>풀이 (1) 보험금 지급 건수 $ N $ 의 확률분포는 \[ P(N=n-1)=(0.1) n, n=1,2,3,4 \] 이고 개개의 보험 지급금 $ X $ 는 \[ f(x)=P(X=x)= \left \{\begin {array} { ll } 0.4, & x=1 \\ 0.6, & x=2 \end {array} \right . \] 인 확률함수를 갖는다. 따라서 $ N $ 의 평균과 분산은 각각 \[ \begin {array} { l } E(N)=(1)(0.2) + (2)(0.3) + (3)(0.4)=2.0 \\ E \left (N ^ { 2 } \right )=(1) ^ { 2 } (0.2) + (2) ^ { 2 } (0.3) + (3) ^ { 2 } (0.4)=5.0 \\ \operatorname { Var } (N)=E \left (N ^ { 2 } \right )-E(N) ^ { 2 } =5.0-(2.0) ^ { 2 } =1.0 \end {array} \] 이고 $ X $ 의 평균과 2 차 적률 그리고 분산은 각각 \[ \begin {array} { l } E(X)=(1)(0.4) + (2)(0.6)=1.6 \\ E \left (X ^ { 2 } \right )=(1) ^ { 2 } (0.4) + (2) ^ { 2 } (0.6)=2.8 \\ \operatorname { Var } (X)=E \left (X ^ { 2 } \right )-E(X) ^ { 2 } =2.8-(1.6) ^ { 2 } =0.24 \end {array} \] 이다. 따라서 $ S $ 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } E(S)=E(N) E(X)=(2.0)(1.6)=3.2 \\ \operatorname { Var } (S)=E(N) \operatorname { Var } (X) + E(X) ^ { 2 } \operatorname { Var } (N) \\ =(2.0)(0.24) + (2.8)(1.0)=3.28 \end {array} \]</p> <p>(2) $ S $ 의 확률함수를 구하기 위하여 우선 $ f ^ { * n } $ 을 먼저 구한다. 한편 많아야 세 개인 지급요구와 각각에 대한 지급금은 두 가지 경우가 있으므로, $ x=0,1,2 $, $ \cdots, 6 $ 에 대하여 생각하면 충분하다. \[ f ^ { * 1 } (x)=f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0.4, & x=1 \\ 0.6, & x=2 \end {array} \right . \] 이고, 2 차 합성은 $ f ^ { * 2 } (x)= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 1 } (x-y) $ 이므로 \[ \begin {aligned} f ^ { * 2 } (1) &= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 1 } (1-y)=f(0) f(1) + f(1) f(0)=0 \\ f ^ { * 2 } (2) &= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 1 } (2-y) \\ &=f(0) f(2) + f(1) f(1) + f(2) f(0)=0.16 \\ f ^ { * 2 } (3) &= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 1 } (3-y) \\ &=f(0) f(3) + f(1) f(2) + f(2) f(1) + f(3) f(0)=0.48 \\ f ^ { * 2 } (4) &= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 1 } (4-y) \\ &=f(0) f(4) + f(1) f(3) + f(2) f(2) + f(3) f(1) + f(4) f(0)=0.36 \end {aligned} \] 이다. 같은 방법으로 3 차 합성은 $ f ^ { * 3 } (x)= \sum_ { y } f(y) f ^ { * 2 } (x-y) $ 이므로 \[ \begin {array} { l } f ^ { * 3 } (3)=f(1) f ^ { * 2 } (2) + f(2) f ^ { * 2 } (1)=(0.4)(0.16) + (0.6)(0)=0.064 \\ f ^ { * 3 } (4)=f(1) f ^ { * 2 } (3) + f(2) f ^ { * 2 } (2)=(0.4)(0.48) + (0.6)(0.16)=0.288 \\ f ^ { * 3 } (5)=f(1) f ^ { * 2 } (4) + f(2) f ^ { * 2 } (3)=(0.4)(0.36) + (0.6)(0.48)=0.432 \\ f ^ { * 3 } (6)=f(2) f ^ { * 2 } (4)=(0.6)(0.36)=0.216 \end {array} \] 이다. 이제 $ S $ 의 확률함수 $ f_ { S } (s) $ 를 구한다. \[ \begin {aligned} f_ { S } (0)=& f ^ { * 0 } (0) P(N=0)=(1.0)(0.1)=0.1000 \\ f_ { S } (1)=& f ^ { * 0 } (1) P(N=0) + f ^ { * 1 } (1) P(N=1) + f ^ { * 2 } (1) P(N=2) \\ & + f ^ { * 3 } (1) P(N=3)=(0.4)(0.2)=0.0800 \\ f_ { S } (2)=& f ^ { * 1 } (2) P(N=1) + f ^ { * 2 } (2) P(N=2)=(0.6)(0.2) + (0.16)(0.3) \\ =& 0.1680 \end {aligned} \] \[ \begin {aligned} f_ { S } (3) &=f ^ { * 2 } (3) P(N=2) + f ^ { * 3 } (3) P(N=3)=(0.48)(0.3) + (0.064)(0.4) \\ &=0.1696 \end {aligned} \] \[ \begin {aligned} f_ { S } (4) &=f ^ { * 2 } (4) P(N=2) + f ^ { * 3 } (4) P(N=3)=(0.36)(0.3) + (0.288)(0.4) \\ &=0.2232 \end {aligned} \] \[ \begin {array} { l } f_ { S } (5)=f ^ { * 3 } (5) P(N=3)=(0.432)(0.4)=0.1728 \\ f_ { S } (6)=f ^ { * 3 } (6) P(N=3)=(0.216)(0.4)=0.0864 \end {array} \] 따라서 $ f(x) $ 의 합성과 $ f_ { S } (s) $ 그리고 $ S $ 의 분포함수 $ F_ { S } (s) $ 는 다음과 같다.</p> <p>(1) $ \begin {aligned} E \left [(S-d)_ { + } \right ] &= \sum_ { s=3 } ^ {\infty } (s-2) f_ { S } (s) \\ &=(1)(0.2152) + (2)(0.1645) + (3)(0.0952)=0.8298 \end {aligned} $</p> <p>(2) $ \begin {aligned} E \left [(S-d)_ { + } \right ] &= \sum_ { s=2 } ^ {\infty } \left [1-F_ { S } (s) \right ] \\ &=(1-0.5251) + (1-0.7403) + (1-0.9048) + (1-1.0000) \\ &=0.8298 \end {aligned} $</p> <p>(3) $ \begin {aligned} \left .E(S-d)_ { + } \right ] &=E(S)-d + \sum_ { s=0 } ^ { d-1 } (d-s) f_ { S } (s) \\ &=2.3861-2 + (2)(0.1408) + (1)(0.1621)=0.8298 \end {aligned} $</p> <p>(4) \[ \begin {aligned} E \left [(S-d)_ { + } \right ] &=E(S)- \sum_ { s=0 } ^ { d-1 } \left [1-F_ { S } (s) \right ] \\ &=2.3861-(1-0.1408)-(1-0.3029)=0.8298 \end {aligned} \]</p> <p>한편 제 5 장 정리 3 에서 복합 푸아송분포의 합은 역시 복합 푸아송분포를 이루는 것을 살펴보았다. 이것은 $ m $ 개의 독립인 보험증권에 대한 복합 푸아송 지급금액 또는 연간 지급금이 독립인 동일한 보험증권의 $ m $ 년 동안 지급된 금액의 합이 다시 복합 푸아송분포를 이루는 것을 의미한다. 특히 $ S_ { i } $ 가 고정된 보험금 $ x_ { i } $ 와 이 보험금의 청구 횟수 $ N_ { i } \sim P \left ( \lambda_ { i } \right ) $ 를 갖는다면, $ S_ { i } =x_ { i } N_ { i } $ 이고, 지급된 누적보험금 \[ S=S_ { 1 } + S_ { 2 } + \cdots + S_ { m } =x_ { 1 } N_ { 1 } + x_ { 2 } N_ { 2 } + \cdots + x_ { m } N_ { m } \] 은 모수 $ \lambda= \lambda_ { 1 } + \lambda_ { 2 } + \cdots + \lambda_ { m } $ 인 복합 푸아송분포를 이룬다. 또한 서로 다른 보험 지급금 $ x_ { i } $ 에 대하여 \[ P \left (X=x_ { i } \right )= \frac {\lambda_ { i } } {\lambda } , \quad i=1,2, \cdots, m \] 이 성립한다. 한편 $ S $ 가 모수 $ \lambda $ 와 이산형 보험 지급금 분포 \[ p_ { i } =P \left (X=x_ { i } \right ), \quad i=1,2, \cdots, m \] 를 갖는 복합 푸아송분포이고, 보험금 $ x_ { i } $ 의 청구 횟수를 $ N_ { i } $ 라 하자. 그리고 \[ N=N_ { 1 } + N_ { 2 } + \cdots + N_ { m } , \quad n=n_ { 1 } + n_ { 2 } + \cdots + n_ { m } \] 이라 하면, $ N=n $ 인 조건 아래서 $ N_ { 1 } , N_ { 2 } , \cdots, N_ { m } $ 의 조건부 결합확률함수는 \[ P \left (N_ { 1 } =n_ { 1 } , N_ { 2 } =n_ { 2 } , \cdots, N_ { m } =n_ { m } \mid N=n \right )= \frac { n ! } { n_ { 1 } ! n_ { 2 } ! \cdots n_ { m } ! } p_ { 1 } ^ { n_ { 1 } } p_ { 2 } ^ { n_ { 2 } } \cdots p_ { m } ^ { n_ { m } } \] 이다. 따라서 $ N_ { 1 } , N_ { 2 } , \cdots, N_ { m } $ 의 결합확률함수 \[ \begin {aligned} P \left (N_ { 1 } \right .& \left .=n_ { 1 } , N_ { 2 } =n_ { 2 } , \cdots, N_ { m } =n_ { m } \right ) \\ &=P \left (N_ { 1 } =n_ { 1 } , N_ { 2 } =n_ { 2 } , \cdots, N_ { m } =n_ { m } \mid N=n \right ) P(N=n) \end {aligned} \] \[ \begin {array} { l } = \frac { n ! } { n_ { 1 } ! n_ { 2 } ! \cdots n_ { m } ! } p_ { 1 } ^ { n_ { 1 } } p_ { 2 } ^ { n_ { 2 } } \cdots p_ { m } ^ { n_ { m } } \left ( \frac {\lambda ^ { n } } { n ! } e ^ { - \lambda } \right ) \\ = \prod_ { i=1 } ^ { m } e ^ { - \lambda p_ { i } } \frac {\left ( \lambda p_ { i } \right ) ^ { n_ { i } } } { n_ { i } ! } \end {array} \] 를 얻는다. 그러면 $ N_ { i } $ 의 주변 확률함수는 \[ P \left (N_ { i } =n_ { i } \right )=e ^ { - \lambda p_ { i } } \frac {\left ( \lambda p_ { i } \right ) ^ { n_ { i } } } { n_ { i } ! } \sim P \left ( \lambda p_ { i } \right ), \quad i=1,2, \cdots, m \] 이고, $ N_ { 1 } , N_ { 2 } , \cdots, N_ { m } $ 은 독립임을 알 수 있다. 따라서 다음 정리 2 를 얻는다.</p> <p>다음 그림은 예제 1 에 주어진 밀도함수를 갖는 확률변수에 대한 이동 및 제거 변수들의 밀도함수를 비교한 것이다.</p> <h1>$ 7.2 $ 면책금액</h1> <p>이제 보험 계약자의 사고로 인하여 발생한 보험회사의 손실과 이러한 보험회사의 손실을 보전하는 면책금액에 대하여 살펴본다. 어떤 정해진 한계 금액 $ d $ 의 초과손실에 대하여만 보상하는 조건으로 보험증권을 가입할 경우, 계약조건에 명시된 한계 금액을 보험회사의 면책금액(deductible)이라 한다. 이와 같은 보험 계약은 피보험자의 손실이 면책금액 이하인 경우에는 보험회사와 보험 계약자 쌍방간에 보험 지급금을 특별히 정의하지 않으며, 면책금액 이상인 경우에 한하여 면책금액을 제외한 나머지 손실에 대하여 보상한다. 따라서 보험 계약자의 손실 $ X $ 와 면책금액 $ d $ 에 대하여 보험회사에서 지급해야 할 보상금 $ Y $ 는 좌측절단이동 확률변수 $ Y=X-d $ 로 정의되며, 이 확률변수를 보험학에서 초과손실 확률변수(excess loss variable)라고도 한다. 그러면 보험 가입자에 의하여 보험회사에 미친 초과손실액에 대한 확률변수 $ Y $ 의 밀도함수와 분포함수는 앞에서 살펴본 바와 같이 각각 \[ \begin {array} { l } f_ { Y } (y)= \frac { f_ { X } (y + d) } { 1-F_ { X } (d) } , \quad y>0 \\ F_ { Y } (y)= \frac { F_ { X } (y + d)-F_ { X } (d) } { 1-F_ { X } (d) } , \quad y>0 \end {array} \] 이다. 특히 1 차 적률 \[ \begin {aligned} e_ { X } (d)=E(Y) &=E(X-d \mid X>d) \\ &= \left \{\begin {array} { ll } \frac {\sum_ { x>d } (x-d) f(x) } { 1-F(d) } , \\ \frac {\int_ { d } ^ {\infty } (x-d) f(x) d x } { 1-F(d) } , & X \text { 가 이산형인 연 속형인 경 우 } \end {array} \right . \end {aligned} \] 를 평균초과손실함수(mean excess loss function)라고 부른다. 따라서 사건당 기대지불금은 좌측절단이동 확률변수의 기대값 $ e_ { X } (d) $ 로 나타난다.</p> <p>또한 면책금액 $ d $ 이하의 손실에 대하여 보험회사가 보험금을 지급하지 않으나, 보험회사가 보험금을 지불해야 하는 사건이 발생할 경우, 즉 $ X \geq d $ 일 때, 보험 가입자의 손해액 전부를 지불함으로써 발생하는 면책금액을 소손해면책금액(franchise deductible)이라 한다. 따라서 소손해면책금액 $ d $ 에 대한 보험회사의 손실은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ Y= \left \{\begin {array} { ll } 0, & X<d \\ X, & X \geq d \end {array} \right . $</p> <p>$ Y= \left \{\begin {array} { ll } 0, & X<d \\ X, & X \geq d \end {array} \right . $</p> <p>그리고 이 경우에 $ Y $ 의 밀도함수와 분포함수는 각각 \[ f_ { Y } (y)= \left \{\begin {array} { l } F_ { X } (d), y=0 \\ f_ { X } (y), y>d \end {array} , \quad F_ { Y } (y)= \left \{\begin {array} { l } F_ { X } (d), 0 \leq y \leq d \\ F_ { X } (y), y>d \end {array} \right . \right . \] 이다. 한편 확률변수 $ Y $ 는 $ (X-d)_ { + } $을 이용하여 다음과 같이 표현이 가능하다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } Y= \left \{\begin {array} { ll } 0, & X<d \\ X, & X \geq d \end {array} = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , X<d \\ X-d, & X \geq d \end {array} + \left \{\begin {array} { ll } 0, & X<d \\ d, & X \geq d \end {array} \right . \right . \right . \\ =(X-d)_ { + } + \left \{\begin {array} { ll } 0, & X<d \\ d, & X \geq d \end {array} \right . \\ \end {array} \] 따라서 소손해면책금액 $ d $ 인 기대 보험 지급금은 \[ \begin {aligned} E(Y) &=E \left [(X-d)_ { + } \right ] + d P(X>d) \\ &=E(X)-E(X \wedge d) + d P(X>d) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>보험회사의 면책금액에 반대되는 개념으로 손실이 어느 한도를 초과할 때, 그 한도 이상 초과되는 손실에 대하여 보험회사가 보상하지 않는 보험증권을 보상한도증권(policy limit)이라 한다. 예를 들어 자동차보험의 경우, 대인배상 I은 책임보험으로 다른 사람을 다치게 하거나 사망하게 한 경우에 보험회사는 8 천만 원을 한도로 보상한다. 따라서 자동차 사고로 인하여 사람이 다친 경우에 치료비로 1 억원이 필요하다면, 보험회사는 8 천만 원을 보상하고 나머지 2 천만 원은 운전자의 부담이 된다. 이와 같은 보증한도증권은 보편적으로 손실 $ d $ 보다 적은 손실에 대하여 보험회사가 손실액 전액을 보상하지만, $ d $ 보다 큰 손실에 대하여 보험회사는 단지 $ d $ 만을 보상한다. 따라서 이 증권에 대한 보상 손실액 $ Y $ 은 우측제거 확률변수 $ Y=X \wedge d= \min (X, d)= \left \{\begin {array} { ll } X, & 0 \leq X \leq d \\ d, & X \geq d \end {array} \right . $ 와 같이 정의되며, 이 확률변수를 보상한도손실 확률변수(limited loss variables)라 한다. 그러므로 $ Y $ 의 분포함수와 밀도함수는 각각 다음과 같다.</p> <p>$ F_ { Y } (y)= \left \{\begin {array} { ll } F_ { X } (y), & y<d \\ 1, & y \geq d \end {array} , \quad f_ { Y } (y)= \left \{\begin {array} { ll } f_ { X } (y) & y<d \\ 1-F_ { X } (d), & y=d \end {array} \right . \right . $</p> <p>그러면 보험 가입자의 손실을 면책금액과 보증한도손실을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. $ X= \left \{\begin {array} { ll } 0 & , 0 \leq X<d \\ X-d, & X \geq d \end {array} + \left \{\begin {array} { ll } X, & 0 \leq X<d \\ d, & X \geq d \end {array} \right . \right . $ $ =(X-d)_ { + } + (X \wedge d) $</p> <p>그리고 이 확률변수의 기대값 $ E(X \wedge d) $ 를 보상한도 기대값(limited expected value)이라 한다. 한편 $ X \wedge d $ 의 $ k $ 차 적률</p> <p>예제2 $ S $ 가 모수 $ \mu $ 와 $ \sigma ^ { 2 } $ 인 정규분포를 갖는다면, \[ E \left [(S-d)_ { + } \right ]= \sigma \phi \left ( \frac { d- \mu } {\sigma } \right )-(d- \mu) \left [1- \Phi \left ( \frac { d- \mu } {\sigma } \right ) \right ] \] 임을 보여라. 여기서 $ \phi(z) $ 와 $ \Phi(z) $ 는 각각 표준정규밀도함수와 표준정규분포함수이다.</p> <p>풀이 우선 $ Z \sim N(0,1) $ 에 대하여 먼저 생각한다. 표준정규밀도함수와 분포함수를 각각 $ \phi(z), \Phi(z) $ 이라 하면, 부분적분법에 의하여 \[ \begin {aligned} E \left [(Z-t)_ { + } \right ] &= \int_ { t } ^ {\infty } [1- \Phi(z)] d z \\ &=[z(1- \Phi(z))]_ { t } ^ {\infty } + \int_ { t } ^ {\infty } z \phi(z) d z \end {aligned} \] 이고, 또한 $ \phi ^ {\prime } (z)=-z \phi(z) $ 이므로 \[ \int_ { t } ^ {\infty } z \phi(z) d z=- \int_ { t } ^ {\infty } \phi ^ {\prime } (z) d z= \phi(t) \] 따라서 \[ E \left [(Z-t)_ { + } \right ]=-t(1- \Phi(t)) + \phi(t) \] 이다. 한편 $ S= \sigma Z + \mu \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 이므로 \[ E \left [(S-d)_ { + } \right ]=E \left [( \sigma Z + \mu-d)_ { + } \right ]= \sigma E \left [ \left (Z- \frac { d- \mu } {\sigma } \right )_ { + } \right ] \] 따라서 \[ \begin {aligned} E \left [(S-d)_ { + } \right ] &= \sigma E \left [ \left (Z- \frac { d- \mu } {\sigma } \right )_ { + } \right ] \\ &= \sigma \phi \left ( \frac { d- \mu } {\sigma } \right )-(d- \mu) \left [1- \Phi \left ( \frac { d- \mu } {\sigma } \right ) \right ] \end {aligned} \] 를 얻는다.</p> <p>한편 어떤 상수 $ d $ 보다 작은 값을 무시하지 않고 0 으로 대치한 확률변수 \[ Z=(X-d)_ { + } = \left \{\begin {array} { ll } 0 & , 0 \leq X<d \\ X-d, & X \geq d \end {array} \right . \] 을 좌측제거이동 확률변수(left censored and shifted variable)라 한다. 그러면 $ z>0 $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} F_ { Z } (z) &=P(Z \leq z)=P(X-d \leq z) \\&=P(X \leq z + d)=F_ { X } (z + d) \end {aligned} \] 이고 $ z=0 $ 이면 \[F_ { Z } (0)=P(Z \leq 0)=P(0<X \leq d)=F_ { X } (d) \] 이다. 또한 $ z>0 $ 에서 \[f_ { Z } (z)= \frac { d } { d z } F_ { X } (z + d)=f_ { X } (z + d) \] 이나, $ z=0 $ 에서 점프크기 $ F_ { X } (d) $ 를 갖는 불연속이므로 $ Z $ 의 분포함수와 밀도함수는 각각 \[ F_ { Z } (z)= \left \{\begin {array} { l } F_ { X } (d), z=0 \\ F_ { X } (z + d), z>0 \end {array} , \quad f_ { Z } (z)= \left \{\begin {array} { l } F_ { X } (d), z=0 \\ f_ { X } (z + d), z>0 \end {array} \right . \right . \] 이다. 따라서 $ k $ 차 적률은 \[ E \left (Z ^ { k } \right )=E \left [(X-d)_ { + } ^ { k } \right ]= \left \{\begin {array} { l } \sum_ { x>d } (x-d) ^ { k } f(x), X \text { 가 이산형인 경 우 } \\ \int_ { d } ^ {\infty } (x-d) ^ { k } f(x) d x, X \text { 가 연속형인 경 우 } \end {array} \right . \] 으로 정의된다. 그러면 평균잔여생존함수 $ e_ { X } ^ { k } (d) $ 와 $ (X-d)_ { + } $의 $ k $ 차 적률 사이에 다음이 성립하는 것을 살펴볼 수 있다. \[E \left [(X-d)_ { + } ^ { k } \right ]=e_ { X } ^ { k } (d)[1-F(d)] \]</p> <p>한편 금년도에 비하여 내년에 $ 100 r \% $ 의 인플레이션이 발생하여 보험회사에 추가적인 손실이 불가피하다고 하자. 예를 들어, 내년도의 손실에 $ 5 \% $ 의 인플레이션이 적용된다면, $ r=0.05 $ 이다. 따라서 금년도의 보험회사의 손실을 $ X $ 그리고 내년도 손실을 $ Y $ 라 하면, $ Y=(1 + r) X $ 이다. 이제 $ X $ 와 $ Y $ 의 밀도함수를 각각 $ f_ { X } (x), f_ { Y } (y) $ 라 하면, $ y=(1 + r) x $ 는 일차함수이므로 내년도의 손실에 대한 밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ f_ { Y } (y)=f_ { X } \left ( \frac { y } { 1 + r } \right ) \left \| \frac { d } { d y } \left ( \frac { y } { 1 + r } \right ) \right \|= \frac { 1 } { 1 + r } f_ { X } \left ( \frac { y } { 1 + r } \right ) $</p> <p>예제 4 올해의 손실변수 $ X $ 는 밀도함수 \[ f_ { X } (x)=0.1 e ^ { -0.1 x } , \quad x>0 \] 을 갖는다고 한다. 한편 내년도에 $ 10 \% $ 의 인플레이션이 모든 손실에 영향을 미치며, 이러한 손실에 면책금액 $ d $ 가 적용된다고 한다. 이때 내년도의 손실 $ Y $ 의 분포함수를 구하고, 보험회사가 지불할 보험금이 5 이하일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이 $ r=0.1 $ 이므로 내년도의 손실변수는 $ Y=1.1 X $ 이다. 따라서 $ Y $ 의 밀도함수는 \[ f_ { Y } (y)= \frac { 1 } { 1.1 } f_ { X } \left ( \frac { y } { 1.1 } \right )= \frac { 1 } { 11 } e ^ { -y / 11 } , \quad y>0 \] 이고, 분포함수는 \[ F_ { Y } (y)= \int_ { 0 } ^ { y } f_ { Y } (u) d u=1-e ^ { -y / 11 } , \quad y>0 \] 이다. 그러므로 내년도에 보험회사가 지불할 보험금이 5 이하일 확률은 \[ \begin {aligned} P(Y<5) &=P(d<Y<5 \mid Y>d)=P(d<1.1 X<d + 5 \mid 1.1 X>d) \\ &=P \left ( \frac { d } { 1.1 }<X< \frac { d + 5 } { 1.1 } \mid X>\frac { d } { 1.1 } \right ) \\ &= \frac { F_ { X } ((d + 5) / 1.1)-F_ { X } (d / 1.1) } { 1-F_ { X } (d / 1.1) } \\ &= \frac {\exp (-d / 11)- \exp [-(d + 5) / 11] } {\exp (-d / 11) } \\ &=1-e ^ { -5 / 11 } =1-0.6347=0.3653 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 3 확률변수 $ X \sim \operatorname { Exp } (1000) $ 에 대하여, $ d=2 $ 인 우측제거 확률변수를 $ U $ 라 할 때, (1) $ U $ 의 분포함수와 밀도함수를 구하여라. (2) $ U $ 의 평균과 분산을 구하여라.</p> <p>풀이 (1) $ d=2 $ 에서 우측삭제 확률변수를 $ Z $ 는 \[ U=X \wedge 2= \left \{\begin {array} { ll } X, & 0 \leq X \leq 2 \\ 2, & X>2 \end {array} \right . \] 와 같이 정의되며, $ X $ 의 밀도함수와 분포함수가 각각 \[ f_ { X } (x)= \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -x / 1000 } , \quad F_ { X } (x)=1-e ^ { -x / 1000 } , \quad x>0 \] 이므로 $ U $ 의 분포함수와 밀도함수는 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } F_ { U } (u)= \left \{\begin {array} { ll } 1-e ^ { -u / 1000 } , & 0 \leq u<2 \\ 1 & , u \geq 2 \end {array} \right . \\ f_ { U } (u)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { 1000 } e ^ { -u / 1000 } & , 0<u<2 \\ e ^ { -1 / 500 } & , u=2 \end {array} \right . \end {array} \] 이다.</p> <p>(2) $ U $ 의 평균과 분산 \[ \begin {aligned} E(U) &= \int_ { 0 } ^ { 2 } u f_ { U } (u) d u + 2 f_ { U } (2) \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \frac { u } { 1000 } e ^ { -u / 1000 } d u + 2 e ^ { -1 / 500 } \\ &=- \left .(x + 1000) e ^ { -x / 1000 } \right \|_ { 0 } ^ { 2 } + 2 e ^ { -1 / 500 } \\ &=1000 \left (1-e ^ { -1 / 500 } \right )=1.998 \\ E \left (U ^ { 2 } \right ) &= \int_ { 0 } ^ { 2 } u ^ { 2 } f_ { U } (u) d u + 2 ^ { 2 } f_ { U } (2) \end {aligned} \] \[ \begin {array} { l } = \int_ { 0 } ^ { 2 } \frac { u ^ { 2 } } { 1000 } e ^ { -u / 1000 } d u + 4 e ^ { -1 / 500 } \\ =- \left . \left (x ^ { 2 } + 2000 x + 2000000 \right ) e ^ { -x / 1000 } \right \|_ { 0 } ^ { 2 } + 4 e ^ { -1 / 500 } \\ =4000 \left (500-501 e ^ { -1 / 500 } \right )=3.9947 \end {array} \] 따라서 $ U $ 의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. [ \begin {array} { l } E(U)=1.998 \\ \operatorname { Var } (U)=3.9947-(1.998) ^ { 2 } =0.0027 \end {array} \]</p>	자연
기초미적분학_논리와 집합	<p>$12 $ 집합의 대수법칙을 사용하여 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ \left (A \cap B ^ { C } \right ) \cup \left (A ^ { C } \cap B \right ) \cup \left (A ^ { C } \cap B ^ { C } \right ) $</li> <li>$ \left [ \left (A ^ { c } \cap B \right ) \cup \left (A \cap C ^ { c } \right ) \right ] \cap \left [ \left (B ^ { c } \cap C \right ) \cup \left (A \cap B ^ { C } \right ) \right ] $</li></ol> <p>$ 13 $ 우리대학교 공과대학 신입생들이 수학, 물리, 화학 세 과목 중에 원하는 과목을 선택하 여 수강신청을 하였다. 수학을 신청한 학생은 $ 80 $ 명, 물리를 신청한 학생은 $ 90 $ 명, 화학 을 신청한 학생은 $ 70 $ 명, 수강신청을 하지 않은 학생은 $ 15 $ 명, 세 과목 모두 신청한 학 생은 $ 20 $ 명, 수학과 물리 $ 2 $ 과목을 신청한 학생은 $ 40 $ 명, 수학과 화학 $ 2 $ 과목을 신청한 학생은 $30 $ 명, 물리와 화학 $ 2 $ 과목을 신청한 학생은 $ 25 $ 명이라고 하자.</p> <ol type= start=1><li>공과대학 신입생은 몇 명인가?</li> <li>수학 1 과목만 신청한 학생은 몇 명인가?</li> <li>물리 1 과목만 신청한 학생은 몇 명인가?</li> <li>화학 1 과목만 신청한 학생은 몇 명인가?</li></ol> <p>$ 14 $ 세 집합 $ A, B, C $ 에 대하여 다음을 증명하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) $</li> <li>$ A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) $</li></ol> <p>예제 $1.2.5 $ $ x $ 가 실수이고 $ p(x): x>1, q(x): x ^ { 2 } + x-2>0 $ 일 때, $ p(x) $ 는 $ q(x) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <p>풀이 $ x>1 $ 이면 $ x ^ { 2 } + x-2=(x-1)(x + 2)>0 $ 이므로 \[ p(x) \Rightarrow q(x) \] 이다. 그러나 $ x=-3 $ 이면 $ x ^ { 2 } + x-2=4>0 $ 이지만 $ x \not>1 $ 이므로 \[ p(x) \not \Leftarrow q(x) \] 이다. 따라서 $ p(x) $ 는 $ q(x) $ 이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.</p> <p>유제 $ 1.2.5 $ $ x $ 가 실수이고 $ p(x): x ^ { 3 } -x<0, q(x): x ^ { 2 } -x<0 $ 일 때, $ p(x) $ 는 $ q(x) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <p>예제 $ 1.2.6 $ $ x, y $ 가 실수일 때, 다음에서 $ p(x, y) $ 는 $ q(x, y) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <ol type= start=1><li>$ p(x, y): x + y=0, q(x, y): x=0, y=0 $</li> <li>$ p(x, y): x ^ { 2 } =y ^ { 2 } : q(x, y):\|x\|=\|y\| $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ x=1, y=-1 $ 이면 $ x + y=0 $ 이지만 $ x \neq 0, y \neq 0 $ 이므로 \[ p(x, y) \Rightarrow q(x, y) \] 이다. $ x=0, y=0 $ 이면 $ x + y=0 $ 이므로 \[ p(x, y) \Leftarrow q(x, y) \] 이다. 따라서 $ p(x, y) $ 는 $ q(x, y) $ 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.</li> <li>\[ \begin {aligned} x ^ { 2 } =y ^ { 2 } \Leftrightarrow x= \pm y \Leftrightarrow\|x\|=\|y\| \text { 이므로 } \\ & p(x, y) \Rightarrow q(x, y) \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ p(x, y) $ 는 $ q(x, y) $ 이기 위한 필요충분조건이다.</li></ol> <p>유제 $ 1.2.6 $ $ x, y $ 가 실수일 때, 다음에서 $ p(x, y) $ 는 $ q(x, y) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <ol type= start=1><li>$ p(x, y): x<0 $ 또는 $ y<0, q(x, y): x y<0 $</li> <li>$ p(x, y): x>0, y>0, q(x, y): x + y>0, x y>0 $</li></ol> <p>정리 $ 1.4.4 $ 두 집합 $ A, B $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \|A \cup B\|=\|A\| + \|B\|-\|A \cap B\| $</li> <li>$ A \cap B= \varnothing $ 이면 $ \|A \cup B\|=\|A\| + \|B\| $.</li></ol> <p>$ A \cap B= \varnothing $ 일 때 $ A $ 와 $ B $ 는 서로소라고 한다.</p> <p>예제 $ 1.4.4 $ 우리대학고 신입생 중에서 수학을 수강하는 학생이 $ 50 $ 명, 물리를 수강하는 학생 이 $ 60 $ 명, 수학과 물리를 모두 수강하는 학생이 $ 30 $ 명이라 할 때, 수학 또는 물리를 수강하는 학생은 몇 명인가?</p> <p>수학을 수강하는 학생들의 집합을 $ A $, 물리를 수강하는 학생들의 집합을 $ B $ 나 하면 \[ \|A\|=50,\|B\|=60,\|A \cap B\|=30 \] 이므로 $ \|A \cup B\|=\|A\| + \|B\|-\|A \cap B\|=50 + 60-30=80 $ 이다. 세 집합 $ A, B, C $ 에 대하여 \[ A \cap B=B \cap C=C \cap A= \varnothing \] 일 때, $ A, B, C $ 는 서로소라고 한다.</p> <p>정의 $ 1.4.5 $ 세 집합 $ A, B, C $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \|A \cup B \cup C\|=\|A\| + \|B\| + \|C\|-\|A \cap B\|-\|B \cap C\|-\|C \cap A\| + \|A \cap B \cap C\| $</li> <li>$ A, B, C $ 가 서로소이면 $ \|A \cup B \cup C\|=\|A\| + \|B\| + \|C\| $.</li></ol> <p>예제 $ 1.4.5 $ 우리대학교 신입생 $ 100 $ 명을 대상으로 개설을 희망하는 기초과학 교과목을 조사 하였더너 수학을 희망한 학생 $ 48 $ 명, 물리를 희망한 학생 $ 40 $ 명, 화학을 희망한 학생 $ 35 $ 명, 수 학과 물리를 희망한 학생 $ 15 $ 명, 물리와 화학을 희망한 학생 $ 12 $ 명, 화학과 수학을 희망한 학 생 $ 10 $ 명, 어떤 과목도 희망하지 않은 학생 $ 10 $ 명이었다. 이때 세 과목 모두를 희망한 학생은 몇 명인가?</p> <p>풀이 수학, 물리, 화학을 희망한 학생들의 집합을 각각 $ A, B, C $ 라 하면 \[ \begin {array} { l } \|A\|=48,\|B\|=40,\|C\|=35, \\ \|A \cap B\|=15,\|B \cap C\|=12,\|C \cap A\|=10, \\ \|A \cup B \cup C\|=100-10=90 \end {array} \] 이다. 따라서 $ 90=48 + 40 + 35-15-12-10 + \|A \cap B \cap C\| $ 이므로 \[ \|A \cap B \cap C\|=4 \]</p> <p>유제 $ 1.4 .5 $ 예제 $ 1.4.5 $에 대해 다음 물음에 답하여라.</p> <ol type= start=1><li>한 과목만 희망한 학생은 몇 명인가?</li> <li>두 과목만 희망한 학생은 몇 명인가?</li></ol> <p>집합 $ A $ 에 대하여 $ A $ 의 부분집합으로 이루어진 모임을 $ A $ 의 부분집합족이라 한다. 특히 $ A $ 의 모든 부분집합으로 이루어진 $ A $ 의 부분집합족을 $ A $ 의 멱집합(Power set)이라 부르고 $ P(A) $ 또는 $ 2 ^ { A } $ 으로 나타낸다.</p> <p>예 $ A= \{ 1,2,3 \} $ 일 때 멱집합은 \[ P(A)= \{\varnothing, \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 1,2 \} , \{ 1,3 \} , \{ 2,3 \} , A \} \] 이다<p>위의 예에서 $ \|A\|=3 $ 이고 $ \|P(A)\|=8=2 ^ { 3 } $ 이다. 일반정으로 $ \|A\|=n $ 이면 $ \|P(A)\|=2 ^ { n } $ 이다. 집합에서는 원소 사이의 순서를 고려하지 않는다. 예를 들어 \[ \{ 1,2 \} = \{ 2,1 \} \] 이다. 원소 사이의 순서를 고려할 때는 $ (1,2) $ 와 같이 소괄호를 사용하며 순서쌍이라고 부른다.</p> <p>정의 $ 1.4.6 $ 순서쌍</p> <ol type= start=1><li>$ (a, b) $ : $ a $ 와 $ b $ 의 순서쌍 $ \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ): a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $ 의 $ n $-순서쌍</li> <li>순서쌍의 상등 \[ \begin {array} { l } (a, b)=(c, d) \Leftrightarrow a=c, b=d \\ \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right )= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right ) \Leftrightarrow a_ { 1 } =b_ { 1 } , a_ { 2 } =b_ { 2 } , \cdots, a_ { n } =b_ { n } \end {array} \]</li></ol> <p>정의 $ 1.4.7 $ 곱집합</p> <ol type= start=1><li>집합 $ A, B $ 에 대하여 \[ A \times B= \{ (a, b): a \in A, b \in B \} \] 을 $ A $ 와 $ B $ 의 카테시안 곱(Cartesian product)이라 한다.</li> <li>집합 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 에 대하여 \[ A_ { 1 } \times A_ { 2 } \times \cdots \times A_ { n } = \left \{\left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ): a_ { i } \in A_ { i } , i=1,2, \cdots, n \right \} \] 을 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 의 카테시안 곱이바 한다.</li></ol> <p>간단히 $ A_ { 1 } \times A_ { 2 } \times \cdots \times A_ { n } = \prod_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } $ 으로 나타낸다.</p> <p>예제 $ 1.3 .3 $ 삼단논법이 유효추론임을 보여라.</p> <p>풀이 $ [(p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)] \rightarrow(p \rightarrow r) $ 의 진리표를 작성하여 보자.</p> <p>따라서 $ [(p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)] \rightarrow(p \rightarrow r) \equiv T $ 이므로 유호추론이다.</p> <p>유제 $ 1.3.3 $ 소거법이 유효추론임을 보여라.</p> <p>예제 $ 1.3.4 $ 다음 전제로부터 유효한 결론을 도출하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ p, \sim p \vee q $</li> <li>$ p \rightarrow q, \sim q, r \rightarrow p $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ \sim p \vee q \equiv p \rightarrow q $ 이므로 긍정법칙에 의하여 $ q $ 이다. 즉 $ p, \sim p \vee q \Rightarrow q $ 이다.</li> <li>부정법칙에 의하여 \[ \begin {array} { l } p \rightarrow q, \sim q \Rightarrow \sim p \\ \sim p, r \rightarrow p \Rightarrow \sim r \end {array} \] 이므로 삼단논법에 의하여 $ \sim r $ 이다. 즉 \[ p \rightarrow q, \sim q, r \rightarrow p \Rightarrow \sim r \] 이다.</li></ol> <p>유제1.3.4 다음 전제로부터 유효한 결론을 도출하여라. \[ p \wedge q, p \rightarrow(q \rightarrow r) \]</p> <h1>1.4. 집합</h1> <p>명확하게 규정된 대상들의 모임을 집합(set)이라 하고, 그 대상들을 그 집합의 원소 (element)라 부른다. $ A $ 가 집합이고 $ a $ 가 $ A $ 의 원소일 때 $ a \in A $ 라 나타내고, $ b $ 가 $ A $ 의 원소가 아닐 때 $ b \notin A $ 라 나타낸다. 또 원소가 하나도 없는 집합을 공집합(empty set)이라 하고 $ \varnothing $ 또는 { } 이라 나타낸다.</p> <p>집합을 표현할 때는 일반적으로 명제술어를 사용한다. $ p(x) $ 가 명제술어일 때 \[ A= \{ x: p(x) \} \] 은 $ p(x) $ 가 참인 $ x $ 들의 집합을 의미한다. 이와 같은 표현을 조건제시법이라고 한다. 이때 $ p(x) $ 는 집합 $ A $ 의 조건, $ A $ 는 $ p(x) $ 의 진리집합이라고 부른다. 집합 $ A $ 의 원소가 유한개이거나 가산무한개일 때는 원소를 일일이 나열하는 원소나열법을 사용하기도 한다. 예를 들어, $ 1 $ 부터 $ 5 $ 까지의 자연수 집합은 \[ A= \{ 1,2,3,4,5 \} \] 으로, 자연수 전체의 집합은 \[ N= \{ 1,2,3,4, \ldots \} \] 으로 나타낸다.</p> <p>유제1.1.7 논리적 동치법칙은 사용하여 $ (p \wedge q) \vee(p \rightarrow-q) \equiv T $ 임을 보여라.</p> <h1>1.2. 명제술어</h1> <p>수식 $ x ^ { 2 } =1, y=x ^ { 2 } $ 둥과 같이 변수를 포함하는 문장은 변수의 값이 정해지지 않으면 참 도 아니고 거짓도 아니다. 그러나 변수의 값이 정해지면 참 또늘 거짓인지가 명확하게 판별된 다. 이러한 수식을 다루기 의하여 명제술어의 개녕을 도입한다.</p> <p>정의 1.2.1 명제술어 변수 $ x $ 를 포함하는 문장 $ p(x) $ 가 $ x $ 값에 따라서 참(True)인지 거짓(False)인지 명확하 게 판별할 스 있을 때, $ p(x) $ 를 명제술어 또는 명제함수라고 부른다.</p> <p>이때 변수 $ x $ 가 속하게 되느 범위를 논의 영역이라 하고 $ D $ 로 나타낸다.</p> <p>예 명제술어 $ p(x): x ^ { 2 } =2 x $ 에 대하여 $ p(1): 1 ^ { 2 } =2 \times 1 $ 이므로 거짓 $ p(2): 2 ^ { 2 } =2 \times 2 $ 이므로 참</p> <p>예제1.2.1 이변수 명계술어 $ p(x, y): x ^ { 2 } =2 y $ 에 대하여 $ p(1,2), p(2,2) $ 의 진리값을 구하여라.</p> <p>명제술어에 '모든' 또는 '어떤'이라는 단어를 사용하여 명제를 만들기 위하여 한정기호 (quantifier)를 사용한다. 한정기호에는 전칭한정기호와 존재한정기호 두 가지를 정의한다.</p> <p>정의 1.2.2 전칭한정기호</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x p(x) $ : 참 $ \Leftrightarrow $ 모든 $ x $ 에 대하여 $ p(x) $ 가 참</li> <li>$ \forall x p(x) $ : 거짓 $ \Leftrightarrow $ 어떤 $ x $ 에 대하여 $ p(x) $ 가 거짓 $ (p(x) $ 가 거짓인 $ x $ 가 존재</li></ol> <p>정의 1.2.3 존재한정기호</p> <ol type=1 start=1><li>$ \exists x p(x) $ : 참 $ \Leftrightarrow $ 어떤 $ x $ 에 대하여 $ p(x) $ 가 참 $ (p(x) $ 가 참인 $ x $ 가 존재)</li> <li>$ \exists x p(x) $ : 거짓 $ \Leftrightarrow $ 모든 $ x $ 에 대하여 $ p(x) $ 가 거짓</li></ol> <p>$ \forall $ 은 All(또는 Arbitrary)의 첫 자 $ \mathrm { A } $ 를, $ \exists $ 은 Exist의 첫 자 E를 거꾸로 사용한 기호이다.</p> <p>유제 $ 1.4.1 $ \[ \begin {array} { l } A= \{ x: 1 \leq x \leq 20, x \text { 는 짝수 } \} , \\ B= \{ x: 1 \leq x \leq 20, x \text { 는 3의 배수 } \} \end {array} \] 일 때 $ A \cup B, A \cap B, A-B, B-A, A \oplus B $ 를 구하여라.</p> <p>집합을 다루는 경우 관심 대상의 전체집합 $ U $ 를 설정하고, $ U $ 의 부분집합만을 다루는 게 일반적이다. 즉, 전체집합(universal set)은 명게술어의 논의 영역을 집합으로 바꾸어 부르는 것을 의미한다. 전체집합 $ U $ 의 부분집합 $ A $ 에 대하여, $ U-A $ 를 $ A $ 의 여집합(complement)라 하고 $ A ^ { c } ( $ 또는 $ \bar { A } ) $ 로 나타낸다. \[ A ^ { C } = \{ x: x \in U \text { 이고 } x \notin A \} : A \text { 의 여집합(complement) } \]</p> <p>예제 $ 1.4.2 $ $ A-B=A \cap B ^ { C } $ 을 증명하여라.</p> <p>$ \begin {aligned} 풀이 x \in A-B & \Leftrightarrow x \in A \text { 이고 } x \notin B \\ & \Leftrightarrow x \in A \text { 이고 } (x \in U \text { 이고 } x \notin B) \\ & \Leftrightarrow x \in A \text { 이고 } x \in B ^ { c } \\ & \Leftrightarrow x \in A \cap B ^ { c } \end {aligned} $</p> <p>유제 $ 1.4 .2 $ $ A \subset B $ 이면 $ A \cap B=A $ 를 증명하여라.</p> <p>집합 $ A, B $ 를 조건제시법으로 표현하여 \[ A= \{ x: p(x) \} , B= \{ x: q(x) \} \] 이면 집합의 연산은 다음과 같이 표현된다. \[ \begin {array} { l } A \cup B= \{ x: p(x) \vee q(x) \} \\ A \cap B= \{ x: p(x) \wedge q(x) \} \\ A ^ { c } = \{ x: \sim p(x) \} \end {array} \] 따라서 집합의 연산에 대하여 논리적 동치법칙과 유사한 정리가 성립한다.</p> <p>예제 $ 1.4.3 $ 집합의 대수법칙을 사용하여 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ \left (A ^ { c } \cap B \right ) \cup \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right ) $</li> <li>$ \left (A ^ { c } \cup B ^ { c } \right ) ^ { c } - \left (A ^ { c } \cap B \right ) $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ \begin {aligned} \left (A ^ { c } \cap B \right ) \cup \left (A ^ { c } \cap B ^ { C } \right ) &=A ^ { c } \cap \left (B \cup B ^ { C } \right ) & &( \because \text { 분배법칙 } ) \\ &=A ^ { c } \cap U & &( \because \text { 보법칙 } ) \\ &=A ^ { c } & &( \because \text { 항등법칙 } ) \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} \left (A ^ { c } \cup B ^ { c } \right ) ^ { c } - \left (A ^ { c } \cap B \right ) &=(A \cap B)- \left (A ^ { c } \cap B \right ) & &( \because \text { 드모리간의 법칙, 이중보법칙 } ) \\ &=(A \cap B) \cap \left (A ^ { c } \cap B \right ) ^ { c } & \left ( \because A-B=A \cap B ^ { c } \right ) \\ &=(A \cap B) \cap \left (A \cup B ^ { c } \right ) &( \because \text { 드모르간의 법칙, 이중보법칙 } ) \\ &=[(A \cap B) \cap A] \cup \left [(A \cap B) \cap B ^ { c } \right ] \quad( \because \text { 분배법칙 } ) \\ &=(A \cap B) \cup \left [(A \cap B) \cap B ^ { c } \right ] \quad( \because \text { 결합, 교환, 멱등법칙 } ) \\ &=(A \cap B) \cup \varnothing &( \because \text { 결합, 보, 지배법칙 } ) \\ &=A \cap B &( \because \text { 지배법칙 } ) \end {aligned} $</li></ol> <p>유제 $ 1.4 .3 $ 집합의 대수법칙을 사용하여 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (A \cup B)-(A-B) $</li> <li>$ (A-B) ^ { c } \cup(A \cup B) ^ { c } $</li></ol> <p>$ A $ 가 유한집합일 때, $ A $ 에 속한 원소의 개수를 $ n(A) $ 또는 $ \|A\| $ 로 나타낸다.</p> <p>예제 1.1.2 합성명제 $ (p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p) $의 진리표를 작성하여라.</p> <p>합성명제 $ (p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow p) $ 를 간단히 $ p \leftrightarrow q(p $ if and only if $ p) $ 로 나타내고, 쌍조건문이라고 부른다.</p> <p>유제 1.1.2 합성명제 $ p \leftrightarrow(p \rightarrow q) $ 의 진리표를 작성하여라.</p> <p>정의 1.1.5 역, 이, 대우 조건명제<p>$ p \rightarrow q $ 에 대하여,</p><p>$ \begin {aligned} q & \rightarrow p \quad: p \rightarrow q \end{aligned}$의 역(Converse),</p><p> $\begin{aligned} \sim p & \rightarrow \sim q: p \rightarrow q \end{aligned}$의 이(Inverse),</p><p>$\begin{aligned} \sim q & \rightarrow \sim p: p \rightarrow q\end {aligned} $의 대우(Contraposition)<br>라고 부른다.</p> <p>예 두 명제 ' $ p $ : 손님이 온다, $ q $ : 개가 짖는다' 에 대하여</p><p> $ p \rightarrow q $ : 손님이 오면 개가 짖는다. </p><p>역 $ (q \rightarrow p) $ : 개가 짖으면 손님이 온다. </p><p>이 $ ( \sim p \rightarrow \sim q) $ : 손님이 오지 않으면 개가 짖지 않는다. </p><p>대우 $ ( \sim q \rightarrow \sim p) $ : 개가 짖지 않으면 손님이 오지 않는다.</p> <p>조건명제 $ p \rightarrow q $ 와 역, 이 대우에 대한 진리표는 다음과 같다.</p> <p>여기에서 조건명제 $ p \rightarrow q $ 와 대우명제 $ \sim q \rightarrow \sim p $ 의 진리값이 일치함을 알 수 있다. 이와 같이 두 명제의 진리값이 일치하는 경우를 논리적 동치라고 한다.</p> <p>정의 1.1.6 논리적 동치 두 명제 $ p, q $ 의 진리값이 일치할 때, $ p $ 와 $ q $ 는 논리적 동치라 말하고 \[ p \equiv q \] 로 나타낸다.</p> <p>위의 표에 의하여 $ p \rightarrow q = \sim q \rightarrow p $ 가 성립하고 대우 법칙이라고 부른다.</p> <p>예제 11.3 진리표를 작성하여 $ p \rightarrow q= \sim p \vee q $ 임을 보여라.</p> <h1>1.1. 명제</h1> <p>정의 $ 1.1,1 $ 명제 참(True)인지 거짓(False)인지를 명확하게 구분할 수 있는 문장 또는 수식을 명제 (Proposition)라고 한다.</p> <p>명제는 영어 소문자 $ p, q, r $ 등으로 나타내며 $ \mathrm { T } $ (참) 또는 $ \mathrm { F } $ (거짓)를 진리값이라고 한다. 하나 이상의 명제를 결합하여 새로운 명제(합성명제)를 만들기 위하여 논리연산자를 사용한다. 논리연산자에는 부정, 논리곱, 논리합, 배타적논리합, 함축 등이 있다.</p> <p>정의 $1.1.2 $ 부정 $ p $ 가 명제일 때, $ \sim p $ 의 진키값은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>이때 $ \sim p $ 는 " $ p $ 가 아니다 $ ( $ not $ p) . " $ 로 읽으며 $ p $ 의 부정이라고 한다.</p> <p>정의 1.1.3 논리곱, 논리합, 배타적논리합 $ p, q $ 가 명제일 때, $ p \wedge q(p $ and $ q), p \vee q(p $ or $ q), p \oplus q(p $ xor $ q) $ 의 진리값은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>이때 $ p \wedge q, p \vee q, p \oplus q $ 은 각각 $ p $ 와 $ q $ 의 논리곱, 논리합, 배타적논리합이라고 한다.</p<p>예제 $ 1,1,1 $ 합성명제 $ \sim(p \wedge q) \oplus( \sim p \vee q) $ 의 진리표흘 작성하여라.</p> <p>유제 $ 1.1 .1 $ 합성명제 $ ( \sim p \wedge q) \vee(p \wedge \sim q) $ 의 진리표를 작성하여라.</p> <p>정의 $ 1.1 .4 $ 함축(조건명제) $ p, q $ 가 명제일 때, $ p \rightarrow q $ 의 진리값은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ p \rightarrow q $ 는 “ $ p $ 이면 $ q $ 이다(If $ p $, then $ q) . " $ 또는 “ $ p $ 는 $ q $ 틀 의미한다 $ (p $ implies $ q) . " $ 라고 읽으며, 합축 또는 조건명제라고 말한다. 이때 $ p $ 는 가정(또는 조건), $ q $ 는 결론이라 부르며, 영 어 표현으로 $ q $ if $ p $ (또는 $ p $ only if $ q $ )로 나타낸다.</p> <p>예제 1.1.5 논리적 동치법칙을 사용하여 $ p \vee( \sim p \wedge q) \equiv p \vee q $임을 보여라.</p> <p>$ \begin {aligned} \text { 풀이 } p \vee(-p \wedge q) & \equiv(p \vee-p) \wedge(p \vee q) & &( \because \text { 분배법칙 } ) \\ & \equiv T \wedge(p \vee q) & &( \because \text { 부정법칙 } ) \\ & \equiv p \vee q & &( \because \text { 항등법칙 } ) \end {aligned} $</p> <p>유제 1.1.5 논리적 동치법칙을 사용하여 $ (p \wedge q) \rightarrow r \equiv p \rightarrow(q \rightarrow r) $임을 보여라.</p> <p>예제 1.1.6 논리적 동치법칙을 사용하여 $ (p \rightarrow q) \wedge( \sim p \rightarrow q) $를 간단히 하여라.</p> <p>$ \begin {aligned} \text { 풀이 } (p \rightarrow q) \wedge( \sim p \rightarrow q) & \equiv( \sim p \vee q) \wedge(p \vee q) &( \because \text { 함축법칙, 이중부정법칙 } ) \\ & \equiv( \sim p \wedge p) \vee q & &( \because \text { 분배법칙 } ) \\ & \equiv F \vee q & &( \because \text { 부정법칙 } ) \\ & \equiv q & &( \because \text { 항등법칙 } ) \end {aligned} $</p> <p>유제 1.1.6 논리적 동치법칙을 사용하여 $ (p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow \sim p) \wedge(r \rightarrow p) $를 간단히 하여라.</p> <p>예제 1.1.7 논리적 동치법칙을 사용하여 $ (p \wedge q) \rightarrow q \equiv T $임을 보여라.</p> <p>$ \begin {aligned} \text { 풀이 } (p \wedge q) \rightarrow q & \equiv-(p \wedge q) \vee q & &( \because \text { 함축법칙) } \\ & \equiv(-p \vee-q) \vee q & &( \because \text { 드모르간의 법칙 } ) \\ & \equiv-p \vee(-q \vee q) & &( \because \text { 결합법칙 } ) \\ & \equiv-p \vee T & &( \because \text { 부정법칙 } ) \\ & \equiv T & &( \because \text { 지배법칙 } ) \end {aligned} $</p> <p>정의 1.4.1 집합의 포함관계와 상등</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ A $ 의 모든 원소가 $ B $ 에도 속할 때 $ A $ 는 $ B $ 의 부분집합(subset)이라 하고, $ A \subset B $ 로 나타낸다. 즉, \[ x \in A \Rightarrow x \in B \] 일 때, $ A \subset B $ 이다.</li> <li>$ A \subset B $ 이고 $ B \subset A $ 일 때 $ A $ 의 $ B $ 는 같다고 하고 $ A=B $ 로 나타낸다. 즉, \[ x \in A \Leftrightarrow x \in B \] 일 때, $ A=B $ 이다.</li></ol> <p>모든 집합 $ A $ 에 대하여 $ \varnothing \subset A $ 이고 $ A \subset A $ 이다.</p> <p>예 $ A= \{ 1,2,3 \} , B= \{ 2,3,4,1 \} , C= \{ 3,2,1 \} $ 이면 $ A \subset B $ 이고 $ A=C $ 이다.</p> <p>정의 1.4.2 집합의 연산</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.</p> <ul> <li>$ A \cup B= \{ x: x \in A $ 또는 $ x \in B \} : $ 합집합(union)</li> <li>$ A \cap B= \{ x: x \in A $ 이고 $ x \in B \} : $ 교집힙(intersection)</li> <li>$ A-B= \{ x: x \in A $ 이고 $ x \notin B \} $ : 차집합(difference)</li> <li>$ A \oplus B=(A-B) \cup(B-A) $ : 대칭차집합(symmtric difference $ ) $</li></ul> <p>예제 1.4.1 $ A= \{ 1,2,3,4,5,6 \} , B= \{ 1,3,5,7,9 \} $ 일 때 $ A \cup B, A \cap B, A-B $, $ B-A, A \oplus B $ 를 구하여라.</p> <p>$ \begin {aligned} 풀이 A \cup B &= \{ 1,2,3,4,5,6,7,9 \} , A \cap B= \{ 1,3,5 \} \\ A-B &= \{ 2,4,6 \} , B-A= \{ 7,9 \} , A \oplus B= \{ 2,4,6,7,9 \} \end {aligned} $</p> <p>예제 $ 1.2.2 $ $ x $ 는 정수, $ p(x): x ^ { 2 } =2 x $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여라.</p> <p>(1) $ \forall x p(x) $ (2) $ \exists x p(x) $</p> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ p(1) $ 이 거짓이므로 $ \forall x p(x) $ 는 거짓</li> <li>$ p(2) $ 가 참이므로 $ \exists x p(x) $ 는 참</li></ol> <p>유제 $ 1.2 .2 x $ 는 실수, $ p(x): x ^ { 2 }<x $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여라.</p> <p>(1) $ \forall x p(x) $ (2) コx $ p(x) $</p> <p>이제 $ \forall x p(x) $ 의 부정 $ \sim[ \forall x p(x)] $ 를 고려하여 보자. \[ \begin {aligned} \sim[ \forall x p(x)] \text { : 참 } & \Leftrightarrow \forall x p(x) \text { : 거짓 } \\ & \Leftrightarrow p(x) \text { 가 거짓인 } x \text { 가 존재 } \\ & \Leftrightarrow \sim p(x) \text { 가 참인 } x \text { 가 존재 } \\ & \Leftrightarrow \exists x[ \sim p(x)] \text { : 참 } \end {aligned} \] 따라서 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 $ 1.2.4 $</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sim[ \forall x p(x)] \equiv \exists x[ \sim p(x)] $</li> <li>$ \sim[ \exists x p(x)] \equiv \forall x[ \sim p(x)] $</li></ol> <p>예 $ \sim \left [ \forall x \left (x ^ { 2 } >x \right ) \right ] \equiv \exists x \left (x ^ { 2 } \leq x \right ) $ 정의 $1.2.2 $와 $1.2.3 $을 이변수 명제술어인 경우에 적용하면 다음과 같다.</p> <p>정리 $ 1.2.5 $</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x \forall y p(x, y): $ 참 $ \Leftrightarrow $ 모든 $ x $ 와 모든 $ y $ 에 대하여 $ p(x, y) $ 가 참</li> <li>$ \forall x \exists y p(x, y) $ : 참 $ \Leftrightarrow $ 모든 $ x $ 에 대하여 ' $ p(x, y) $ 가 참인 $ y $ 가 존재'</li> <li>$ \exists x \forall y p(x, y) $ : 참 $ \Leftrightarrow $ '모든 $ y $ 에 대하여 $ p(x, y) $ 가 참'인 $ x $ 가 존재</li> <li>$ \exists x \exists y p(x, y) $ : 참 $ \Leftrightarrow p(x, y) $ 가 참인 $ x $ 와 $ y $ 가 존재</li></ol> <p>예제 $ 1.2.3 $ $ x, y $ 는 실수, $ p(x, y): x ^ { 2 } =2 y $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x \forall y p(x, y) $</li> <li>$ \forall x \exists y p(x, y) $</li> <li>$ \exists x \forall y p(x, y) $</li> <li>$ \exists x \exists y p(x, y) $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ p(1,1) $ 이 거짓이므로 $ \forall x \forall y p(x, y) $ 은 거짓이다.</li> <li>모든 $ x $ 에 대하여 $ p \left (x, \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right ) $ 이 참이므로 $ \forall x \exists y p(x, y) $ 은 참이다.</li> <li>임의의 $ x $ 에 대하여 $ p \left (x, \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 1 \right ) $ 은 거짓이므로 '모든 $ y $ 에 대하여 $ p(x, y) $ 가 참' 인 $ x $ 가 존재하지 않는다. 따라서 $ \exists x \forall y p(x, y) $ 은 거짓이다.</li> <li>$ p(2,2) $ 는 참이므로 $ \exists x \exists y p(x, y) $ 는 참이다.</li></ol> <p>유제 $ 1,2.3 $ $ x, y $ 는 실수, $ p(x, y): x ^ { 2 }<y $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x \forall y p(x, y) $</li> <li>$ \forall x \exists y p(x, y) $</li> <li>$ \exists x \forall y p(x, y) $</li> <li>$ \exists x \exists y p(x, y) $</li></ol> <p>예제 $ 1.2.4 $ 다음 명제에 대한 부정문을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x \exists y \left (x ^ { 2 }<y \right ) $</li> <li>$ \exists x \forall y \left (x ^ { 2 } \leq y ^ { 2 } \right ) $</ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ \begin {aligned} \sim \left [ \forall x \exists y \left (x ^ { 2 }<y \right ) \right ] & \equiv \exists x \left [ \sim \left [ \exists y \left (x ^ { 2 }<y \right ) \right ] \right ] \\ & \equiv \exists x \forall y \left [ \sim \left (x ^ { 2 }<y \right ) \right ] \\ & \equiv \exists x \forall y \left (x ^ { 2 } \geq y \right ) \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} \sim \left [ \exists x \forall y \left (x ^ { 2 } \leq y ^ { 2 } \right ) \right ] & \equiv \forall x \left [ \sim \left [ \forall y \left (x ^ { 2 } \leq y ^ { 2 } \right ) \right ] \right ] \\ & \equiv \forall x \exists y \left [ \sim \left (x ^ { 2 } \leq y ^ { 2 } \right ) \right ] \\ & \equiv \forall x \exists y \left (x ^ { 2 } >y ^ { 2 } \right ) \end {aligned} $</li></ol> <p>유제1.2.4 다음 명제에 대한 부정문을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \forall x \exists y \left [ \left (x ^ { 2 }<y \right ) \vee \left (x \geq y ^ { 2 } \right ) \right ] $</li> <li>$ \exists x \forall y \left [ \left (x ^ { 2 } \leq y \right ) \wedge(x>y + 1) \right ] $</li></ol> <p>두 명제술어 $ p(x), q(x) $ 에 대하여 $ p(x) \rightarrow q(x) $ 가 항상 참일 때, 즉 \[ \forall x[p(x) \rightarrow q(x)] \equiv T \] 일 때, $ p(x) \Rightarrow q(x) $ 으로 나타내고 \[ p(x)는 q(x)이기 위한 충분조건, \] \[ q(x)는 p(x)이기 위한 필요요조건 \] 이라고 한다. $ p(x) $ 가 $ q(x) $ 이기 위한 충분조건입을 증명하기 위하여 \[ p(x)가 참인 x 에 대하여 q(x)가 참 \] 임을 보이면 된다. $ p(x) $ 가 $ Q(x) $ 이기 위한 필요조건임을 증명하기 위하여 \[ p(x) \Leftarrow q(x) \] 임을 보이면 된다. 또한 \[ \forall x[p(x) \leftrightarrow q(x)] \equiv T \] 일 때, $ p(x) \Leftrightarrow q(x) $ 으로 나타내고 \[ p(x) \text { 는 } q(x) \text { 이기 위한 필요충분조건(또는 동치조건) } \] 이라고 한다.</p> <p>예제1.4.6 $ A= \{ 1,2 \} , B= \{ 3,4 \} $ 일 때 $ A \times B $ 와 $ B \times A $ 를 구하여 비교하여라</p> <p>풀이 $ A \times B= \{ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) \} $, $ B \times A= \{ (3,1),(3,2),(4,1),(4,2) \} $ 따라서 $ A \times B \neq B \times A $ 이다.</p> <p>곱집합은 원소 사이의 순서를 고려하기 위하여 도입한 개념이기 때문에 \[ ((a, b), c),(a,(b, c)),(a, b, c) \] 은 모두 동일한 것으로 간주한다.</p> <p>정리 $ 1.4 .8 $</p> <ol type= start=1><li>$ \|A\|=n,\|B\|=m $ 이면 $ \|A \times B\|=n m $ 이다.</li> <li>분배법칙 \[ \begin {array} { l } A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) \\ A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) \end {array} \]</li></ol> <p>예제 $ 1.4.7 $ $ A= \{ 1,2 \} , B= \{ 2,3,4 \} , C= \{ a, b, c, d \} $ 일 때 다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ A \times B $</li> <li>$ \|A \times B \times C\| $</li> <li>$ \|P(A \times B)\| $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ A \times B= \{ (1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4) \} $</li> <li>$ \|A\|=2,\|B\|=3,\|C\|=4 $ 이면 $ \|A \times B \times C\|=2 \times 3 \times 4=24 $.</li> <li>$ \|A \times B\|=6 $ 이므로 $ \|P(A \times B)\|=2 ^ { 6 } =64 $.</li></ol> <h1>1장 연습문제</h1> <p>$ 01 $ 다음 합성명제의 진리표를 작성하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (p \vee q) \rightarrow(q \wedge \sim p) $</li> <li>$ (p \wedge \sim q) \rightarrow( \sim p \vee r) $</li></ol> <p>$ 02 $ 진리표를 작성하여 $ (p \rightarrow q) \rightarrow r $ 과 $ p \rightarrow(q \rightarrow r) $ 이 동치인지 아닌지를 판별하여라.</p> <p>$ 03 $논리적 동치법칙을 사용하여 다음이 항진명제임을 증명하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ p \rightarrow(p \vee q) $</li> <li>$ [ \sim q \wedge(p \rightarrow q)] \rightarrow \sim p $</li> <li>$ [(p \rightarrow q) \wedge(q \rightarrow r)] \rightarrow(p \rightarrow r) $</li></ol> <p>$ 04 $ 논리적 동치법칙을 사용하여 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (p \rightarrow q) \wedge(p \rightarrow \sim q) $</li> <li>$ (p \vee q) \rightarrow[( \sim q \wedge r) \rightarrow(p \wedge r)] $</li> <li>$ ( \sim p \oplus q) \rightarrow(p \vee q) $</li></ol> <p>$ 05 $ 진리표를 작성하여 다음 추론이 유효추론인지를 판별하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ p \rightarrow r, q \rightarrow r \mapsto p \vee Q \rightarrow r $</li> <li>$ p \rightarrow q, r \rightarrow s, p \vee r \mapsto q \vee s $</li> <li>$ p \rightarrow q, r \rightarrow s, \sim q \vee \sim s \mapsto \sim p \vee \sim r $</li></ol> <p>$ 06 $ 논리적 추론법칙을 사용하여 다음 전제로부터 유효한 결론을 유도하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (p \wedge q) \rightarrow r, r \rightarrow s, \sim s $</li> <li>$ p \vee q, q \rightarrow r, \sim r, p $</li> <li>$ ( \sim p \vee \sim q) \rightarrow \sim r, \sim r \rightarrow \sim s, s $</li></ol> <p>$ 07 $ $ x $가 실수일 때 $ p(x): x ^ { 2 } >1, q(x): x ^ { 3 } >1 $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여 라.</p> <ol type= start=1><li>$ \forall x[p(x) \vee \sim q(x)] $</li> <li>$ \exists x[p(x) \wedge q(x)] $</li></ol> <p>$ 08 $ $x, y $가 실수이고 $ p(x, y): x>y, q(x, y): x ^ { 2 } >y ^ { 2 } $ 에 대하여 다음 명제의 진리값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ \forall x \forall y[p(x, y) \vee q(x, y)] $</li> <li>$ \forall x \forall y[p(x, y) \rightarrow q(x, y)] $</li> <li>$ \exists x \forall y[p(x, y) \wedge q(x, y)] $</li> <li>$ \exists x \exists y[ \sim p(x, y) \wedge q(x, y)] $</li></ol> <p>$ 09 $ $ x $ 가 실수일 때, 다음에서 $ p(x) $ 는 $ Q(x) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <ol type= start=1><li>$ p(x): x ^ { 2 } >1, q(x): x ^ { 2 } + x-2>0 $</li> <li>$ p(x): x ^ { 2 }<1, q(x): x ^ { 3 } + x ^ { 2 } -x-1>0 $</li></ol> <p>$ 10 $ $ x, y $ 가 실수일 때, 다음에서 $ p(x, y) $ 는 $ q(x, y) $ 이기 위한 무슨 조건인가?</p> <ol type= start=1><li>$ p(x, y): x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =0, q(x, y): x y=0 $</li> <li>$ p(x, y): x>y, q(x, y): x ^ { 2 } >y ^ { 2 } $</li></ol> <p>$11 $ 전체집합 $ U= \{ x: x $ 는 자연수이고 $ x \leq 10 \} , A= \{ x: x $ 는 짝수 $ \} $ 이고 \[ (A \cup B) \cap \left (A ^ {\subset } \cup B ^ { C } \right )= \{ 1,2,3,6 \} \] 일 때, 집합 $ B $ 를 구하여라.</p> <h1>1.3. 논리적 추론</h1> <p>주어진 명제 $ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } $ 이 참인 것을 바탕으로 명제 $ q $ 가 참임을 유도하는 과정을 추론 (argument 또는 inference)이라고 한다. 이때 주어진 명제 $ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } $ 은 전제(또는 가정) 라 하고, 유도된 명제 $ q $ 는 결론이라고 한다. 이러한 추론과정을 다음과 같이 나타낸다. \[ \begin {array} { c } p_ { 1 } \\ p_ { 2 } \\ \vdots \\ \frac { p_ { n } } {\therefore q } \end {array} \text { 또는 } p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \rightarrow q \] 가정이 참일 때 결론도 참인 추론은 정당한 추론(유효추론)이라 하고, 가정이 참일 때 결론 이 참일 수도 있고 거짓일 수도 있는 추론은 부당한 추론(무호추론)이라고 한다. 즉 $ \left (p_ { 1 } \wedge p_ { 2 } \wedge \cdots \wedge p_ { n } \right ) \rightarrow q \equiv T $ (항진명제)이면 유효추론이고, 그렇지 않으면 무효추론이다.</p> <p>예제 $ 1.3.1 $ $ p, p \rightarrow q \rightarrow q $ 가 유효추론인지를 판별하여라.</p> <p>풀이 $ [p \wedge(p \rightarrow q)] \rightarrow q $ 의 진리표를 작성하여 보자.</p> <p>따라서 $ [q \wedge(p \rightarrow q)] \rightarrow q \equiv T $ 이므로 유효추론이다.</p> <p>유제1.3.1 $ q, p \rightarrow \sim q \mapsto \sim p $ 가 유효추론인지를 판별하여라.</p> <p>예제 $ 1.3 .2 $ $ q, p \rightarrow q \mapsto p $ 가 유효추론인지를 판별하여라.</p> <p>풀이 $ [q \wedge(p \rightarrow q)] \rightarrow p $ 의 진리표를 작성하여 보자.</p> <p>유제 $ 1.3.2 $ $ p \rightarrow q, q \mapsto \sim p $ 가 유효추론인지를 판별하여라.</p> <p>추론 $ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \rightarrow q $ 이 유호추론일 때, $ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \Rightarrow q $ 으로 나타내기로 하면 다음과 같은 추론법칙이 성립한다.</p>	자연
이공계를 위한 미분적분학_무한급수	<h3>[ VI] 비율판정법과 근판정법 (Ratio Test and Root Test)</h3> <p>마지막으로 급수의 수렴에 가장 많이 이용되는 두 가지 판정법을 소개하기로 한다. 아래에서 보듯이 차이점은 $ L $ 을 구하는 방법에 있는데, 급수에 따라 쉬운 방법을 택하는 것이 최선이다.</p> <p>16 비율 판정법 급수 $ \sum a_ { n } $ 에서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|=L $ 이라 하자.</br>(i) $ L<1 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 절대수렴한다(따라서 수렴한다).</br>(ii) $ L>1 $ 이거나 $ L= \infty $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 발산한다.</br>(iii) $ L=1 $ 이면 급수 $ \sum a_ { n } $ 의 수렴 또는 발산에 대하여 어떤 결론도 내릴 수 없다.</p> <p>17 근 판정법 급수 $ \sum a_ { n } $ 에서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|a_ { n } \right \| ^ { 1 / n } =L $ 이라 하자.</br>(i) $ L<1 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 절대수렴한다(따라서 수렴한다).</br>(ii) $ L>1 $ 이거나 $ L= \infty $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 발산한다.</br>(iii) $ L=1 $ 이면 급수 $ \sum a_ { n } $ 의 수렴 또는 발산에 대하여 어떤 결론도 내릴 수 없다.</p> <p>예제 12 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { n ^ { 3 } } { 3 ^ { n } } $ 에서 $ a_ { n } =(-1) ^ { n } \frac { n ^ { 3 } } { 3 ^ { n } } $ 이라고 하면, $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \frac { (n + 1) ^ { 3 } } { 3 ^ { n + 1 } } \cdot \frac { 3 ^ { n } } { n ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { 3 } \rightarrow \frac { 1 } { 3 } \] 을 얻는다. $ L= \frac { 1 } { 3 }<1 $ 이므로 비율 판정법 16에 따르면 주어진 급수는 수렴한다.</p> <p>으로 표현하면, 괄호안의 모든 항들은 양수이므로 모든 $ n $ 에 대하여 $ s_ { 2 n } \leq b_ { 1 } $ 이 된다. 이것은 수열 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 이 유계수열임을 나타내므로 단조수렴정리로부터 수열 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} $ 은 수렴한다. 이제 $ s= \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { 2 n } $ 이라 하자. 한편 부분합 수열 $ \left \{ s_ { 2 n + 1 } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 의 극한도 \[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { 2 n + 1 } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (s_ { 2 n } + b_ { 2 n + 1 } \right ) \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { 2 n } + \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { 2 n + 1 } =s + 0=s \end {aligned} \] 이다. 짝수 번째의 부분합과 홀수 번째의 부분합이 모두 $ s $ 에 수렴하므 로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } =s $ 이고 따라서 급수는 수렴한다.</p> <p>예제 8 교대급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n } =1- \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } + \cdots $ 에서 $ b_ { n } = \frac { 1 } { n } $ 인데 (i) $ \frac { 1 } { n + 1 }< \frac { 1 } { n } $ 에 의해 $ b_ { n + 1 }<b_ { n } $ 이고, (ii) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } =0 $ 이므로 교대급수판정법 14 에 의하여 수렴한다.</p> <p>이다. 비율 판정법에 의하면, 주어진 급수는 $ 3\|x\|<1 $ 일 때 수렴하고 $ 3\|x\|>1 $ 일 때 발산한다. 그러므로 수렴반지름은 $ R=1 / 3 $ 이고. 구간 $ (-1 / 3,1 / 3) $ 에서 수렴한다. 구간의 양 끝점에서 급수를 조사하기 이전에는 이 구간이 수렴구간이 라 할 수 없다는 사실에 유의하자. 실제로 $ x=-1 / 3 $ 일 때 멱급수는 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-3) ^ { n } (-1 / 3) ^ { n } } {\sqrt { n + 1 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { n + 1 } } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 } } + \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } + \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } + \cdots \] 인데, 이 급수는 $ p=1 / 2<1 $ 인 $ p $-급수로 발산한다. 그리고. $ x=1 / 3 $ 일 때 멱 급수는 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-3) ^ { n } (1 / 3) ^ { n } } {\sqrt { n + 1 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } {\sqrt { n + 1 } } \] 로 교대급수인데, 교대급수만정법에 의하여 수렴한다(직접 확인하여 보아라). 따라서 주어진 멱급수는 $ -1 / 3<x \leq 1 / 3 $ 일 때 수렴하므로 수렴구간은 $ \left (- \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right ] $ 이다.</p> <p>예제 5 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n(x + 2) ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } $ 에서 $ a_ { n } =n(x + 2) ^ { n } / 3 ^ { n + 1 } $ 이라고. 놓으면 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \| &= \left \| \frac { (n + 1)(x + 2) ^ { n + 1 } } { 3 ^ { n } =2 } \cdot \frac { 3 ^ { n + 1 } } { n(x + 2) ^ { n } } \right \| \\ &=(1 + 1 / n) \frac { \|x + 2\| } { 3 } \rightarrow \frac { \|x + 2\| } { 3 } \end {aligned} \]</p> <p>정리 15의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 교대조화급수 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n } =1- \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } + \cdots \] 는 수렴하지만 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \| \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n } \right \|=1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } + \cdots $ 는 조화급수로 발산 하기 때문에 절대수렴하지는 않는다. 급수가 이러한 성질을 가지면 조건부 수렴 한다(conditionally converge)고 한다.</p> <p>예제 11 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\cos n } { n ^ { 2 } } = \frac {\cos 1 } { 1 } + \frac {\cos 2 } { 2 ^ { 2 } } + \frac {\cos 3 } { 3 ^ { 2 } } + \cdots $ 는 양수 항과 음수 항을 가지지만 교대급수는 아니다. 실제로 처음 항은 양수이고 다음의 세 개 항 들은 음수이다. 이 경우에는 절대수렴을 통해 수렴에 대한 판정을 할 수 있다. 먼저 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \| \frac {\cos n } { n ^ { 2 } } \right \|= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { \| \cos n\| } { n ^ { 2 } } $ 의 수렴에 대하여 조사하여 보자. 모든 $ n $ 에 대하여 $ \| \cos n\| \leq 1 $ 이므로 \[ \frac { \| \cos n\| } { n ^ { 2 } } \leq \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \] 을 얻는다. 급수 $ \sum 1 / n ^ { 2 } $ 이 수렴하므로 비교판정법에 의하여 $ \sum\| \cos n\| / n ^ { 2 } $ 도 수렴한다. 따라서 주어진 급수는 절대수렴하고 정리 15 로부터 수렴한다는 것을 알 수 있다.</p> <p>테일러 급수를 사용하여 함수의 극한을 쉽게 처리할 수 있는데 이를 소개하기로 한다. 실제로 부정형의 극한문제는 로피탈 법칙을 사용하여 풀 수 있는데, 테일러 급수를 이용하면 좁 더 쉅게 풀리는 경우가 있다.</p> <p>예제 9 (a) 극한 $ \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1-x } { x ^ { 2 } } $ 은 $ e ^ { z } $ 의 0 에서의 테일러 급수를 이용하면 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1-x } { x ^ { 2 } } &= \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac {\left (1 + x + x ^ { 2 } / 2 ! + x ^ { 3 } / 3 ! + \cdots \right )-1-x } { x ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } / 2 ! + x ^ { 3 } / 3 ! + x ^ { 4 } / 4 ! + \cdots } { x ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { z \rightarrow 0 } \left (1 / 2 + x / 3 ! + x ^ { 2 } / 4 ! + x ^ { 3 } / 5 ! + \cdots \right )= \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \] 로 해결된다.</p> <p>(b) 극한 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x ^ { 3 } -x ^ { 3 } } { x ^ { 9 } } $ 을 구해보자. 먼저 $ \sin x $ 의 0 에서의 테일러 급수 $ \sin x=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots $ 에 $ x $ 대신 $ x ^ { 3 } $ 을 대입하면, 모든 실수 $ x $ 에 대하여 \[ \sin x ^ { 3 } =x ^ { 3 } - \frac { x ^ { 9 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 15 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 21 } } { 7 ! } + \cdots \] 을 얻는다. 따라서 원 식은 \[ \frac {\sin x ^ { 3 } -x ^ { 3 } } { x ^ { 9 } } = \frac {\left (x ^ { 3 } - \frac { x ^ { 9 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 15 } } { 5 ! } - \cdots \right )-x ^ { 3 } } { x ^ { 9 } } =- \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { x ^ { 6 } } { 5 ! } - \cdots \] 로 정리되므로 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x ^ { 3 } -x ^ { 3 } } { x ^ { 9 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (- \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { x ^ { 6 } } { 5 ! } - \cdots \right )=- \frac { 1 } { 6 } $ 로 간단히 구해진다.</p> <p>주 예제 8 (b)는 다르게 풀어도 된다. 즉, $ a_ {\mathrm { n } } $ 을 대표할 수 있는 함수 $ f(x)= \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } $ 를 택하자. 그러면 도함수 \[ f ^ {\prime } (x)= \frac { x ^ { 2 } + 1-2 x ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } = \frac { 1-x ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \] 로부터 $ x ^ { 2 } >1 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 임을 안다. 따라서 함수 $ f $ 는 수열을 포함하는 구간 $ (1, \infty) $ 에 서 감소하므로, $ a_ { n } =f(n)>f(n + 1)=a_ { n + 1 } $ 을 얻어 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 감소수열이 된다.</p> <p>정의 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n } \leq M $ 이 되는 실수 $ M $ 이 존재할 때 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 위로 유계(bounded above)라고 한다. 그리고 모든 $ n \geq 1 $ 에 대 하여 $ m \leq a_ { n } $ 이 되는 실수 $ m $ 이 존재할 때 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 아래로 유계 (bounded below)라고 한다. 위로 유계이면서 아래로 유계인 수열은 유계수열(bounded sequence)이라고 한다.</p> <p>예를 들어, 일반항이 $ a_ { n } =n $ 인 수열은 모든 $ n $ 에 대하여 $ a_ { n } >0 $ 이므로 아래 로 유계이지만 위로 유계는 아니다. 반면, 일반항이 $ a_ { n } =n /(n + 1) $ 인 수열은 모든 $ n $ 에 대하여 $ 0<a_ { n }<1 $ 이므로 유계수열이다. 단조수열과 유계수열과는 서로 동치가 아니다. 사실, 일반항이 $ a_ { n } =(-1) ^ { n } $ 이면 $ -1 \leq a_ { n } \leq 1 $ 이므로 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 유계수열이지만 발산한다. 따라서 유계수열이 반드시 수렴한다고 볼 수 없다. 또한 수열 $ \{ n \} $ 은 증가하여 단조수열이지 만 수렴하지 않으므로, 단조수열이라고 반드시 수렴하는 것도 아니다. 그럼에도 불구하고 이들은 수열의 수렴성에 아주 중요한 역할을 한다. 다음 정리에서 유계인 단조수열은 반드시 수렴한다는 것을 소개하는데, 이 사실은 그림 6 을 통해 이해하는 정도로 하고 증명은 생략한다(실해석학이란 과목에서 중요하게 다루 는데, 실수의 특성인 완전성(completeness)을 이용하면 증명이 가능하다).</p> <p>주 예제 3 에서는 부분수열이 발산한다는 성질로 원래의 수열이 발산한다는 결론을 이끌어 내었다. 그러나 부분수열이 수렴한다고 해서 원래 수열이 수렴한다는 보장은 없으므로 주의하도록 하자.</p> <p>무한급수의 수렴과 이를 형성하는 무한수열과의 관계는 다음 정리로 분명해진다.</p> <p>7 정리 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴하면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $ 이다.</p> <p>증명 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴하므로 부분합 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 은 수렴하는데, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } =s $ 라 하자. 여기서 $ n \rightarrow \infty $ 이면 $ n-1 \rightarrow \infty $ 이므로, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n-1 } =s $ 가 된다. 이제 $ a_ { n } =s_ { n } -s_ { n-1 } $ 로 표현하면 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (s_ { n } -s_ { n-1 } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } - \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n-1 } =0 \] 이 되어 증명이 끝난다.</p> <p>일반적으로 정리 7 의 역은 성립하지 않는다. 가령 예제 3 에서 조화급수 $ \sum 1 / n $ 이 발산하는 것을 보였지만 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 일반항은 $ a_ { n } =1 / n \rightarrow 0 $ 로 수렴 한다. 그러나 정리 7 의 대우(contrapositive)가 참이라는 사실로부터, 발산하 는 급수를 판정하는 방법을 유도해 낼 수 있다.</p> <p>8 발산급수판정법 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } $ 이 존재하지 않거나 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \neq 0 $ 이면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 발산한다.</p> <p>다. 그리고 $ b_ { 2 }<b_ { 1 } $ 은 명백하게 성립하므로 모든 $ n $ 에 대하여 $ \left \{ b_ { n } \right \} $ 은 감소 한다. (ii) 당연히 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 3 } + 1 } =0 $ 이므로 교대급수판정법 14 에 의하면 주 어진 급수는 수렴한다.</p> <h2>[ V ] 절대수렴 급수 (Absolute convergent series)</h2> <p>급수 $ \sum a_ { n } $ 이 양수급수도 아니고 교대급수도 아닌 경우, 이 급수의 각 항에 절 대값을 취한 새로운 급수 $ \sum \left \|a_ { n } \right \|= \left \|a_ { 1 } \right \| + \left \|a_ { 2 } \right \| + \left \|a_ { 3 } \right \| + \cdots $ 를 생각하자. 만약 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $ 이 수렴하면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 는 절대수렴한다고 한다. 예를 들면, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \| \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n ^ { 2 } } \right \|= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 가 $ p=2 $ 인 $ p- $ 급수로 수렴하기 때문에 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n ^ { 2 } } $ 는 절대수렴한다. 다음에서 보듯이 절대수렴성을 통해 급수의 수렴성이 결정된다.</p> <p>15 정리 절대수렴하는 급수 $ \sum a_ { n } $ 은 반드시 수렴한다.</p> <p>증명 먼저 $ \left \|a_ { n } \right \| $ 이 $ a_ { n } $ 또는 $ -a_ { n } $ 이므로 $ 0 \leq a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \leq 2 \left \|a_ { n } \right \| $ 임을 확인하 자. 만약 $ \sum \left \|a_ { n } \right \| $ 이 수렴하면 $ \sum 2 \left \|a_ { n } \right \| $ 도 수렴한다. 따라서 위 부등식에 비교판정법을 적용하면 급수 $ \sum \left (a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \right ) $ 이 수렴하게 된다. 그런데 \[ \sum a_ { n } = \sum \left (a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \right )- \sum \left \|a_ { n } \right \| \] 이므로, 수렴하는 두 급수의 합에 의해 $ \sum a_ { n } $ 도 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>에제 6 부정적분 $ \int e ^ { -x ^ { 2 } } d x $ 은 지금까지 배운 적분법을 적용해 구할 수 없 지만(12장에서 이중적분을 이용하여 구할 것이다), 놀랍게도 이를 표현하는 멱급수는 찾을 수 있다. 실제로 부정적분 $ \int e ^ { -x ^ { 2 } } d x $ 를 0 에서의 테일러 급수로 표현하여 보자. 먼저 함수 $ f(x)=e ^ { -z ^ { 2 } } $ 의 0 에서의 테일러 급수는 직접 계산하지 않고 $ e ^ { z } $ 의 테일러 급수 (10)에 $ x $ 대신 $ -x ^ { 2 } $ 을 대입하면 쉽게 얻어진다. 즉, 모든 $ x $ 에 대하여 \[ e ^ { -x ^ { 2 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac {\left (-x ^ { 2 } \right ) ^ { n } } { n ! } =1- \frac { x ^ { 2 } } { 1 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 3 ! } + \cdots \] 이 된다. 이제 멱급수를 항별적분하면 \[ \int e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \int \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { 1 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 3 ! } + \cdots \right ) d x \]</p> <p>\[ \begin {aligned} =& C + x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 \cdot 1 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 \cdot 2 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 \cdot 5 ! } + \cdots \\ & + (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) n ! } + \cdots \end {aligned} \] 이고 이 급수는 모든 $ x $ 에 대하여 수렴한다. 여기서 상수 $ C $ 는 예제 5 (b)와 같이 쉽게 구할 수 없는데, 이런 경우는 그대로 두어도 된다.</p> <p>예제 5 일반항이 $ a_ { n } =n ! / n ^ { n } $ 인 수열은 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 분모, 분자가 $ \infty $ 로 발산 하지만 로피탈 법칙을 사용할 수 없다. 더욱이 예제 3(b)와 같이 이를 대표해 주는 함수를 찾아 로피탈 법칙을 적용할 수도 없다. 그러나 \[ a_ { n } = \frac { n ! } { n ^ { n } } = \underbrace {\frac { 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n } { n \cdot n \cdot n \cdot \cdots \cdot n } } _ { n \text { 번 } } = \frac { 1 } { n } ( \underbrace {\frac { 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot n } { n \cdot \cdots \cdot n } } _ { (n-1) \text { 번 } } ) \] 로 풀어쓰면 괄호 안의 분수에서 분자는 분모보다 작거나 같기 때문에 기껏해야 1 이 된다. 따라서 \[ 0<a_ { n } \leq \frac { 1 } { n } \] 인 관계를 얻게 된다. 이제 $ n \rightarrow \infty $ 이라 두면 $ 1 / n \rightarrow 0 $ 이므로 압축정리 3 에 의하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $ 이 된다.</p> <p>예제 6 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } $ 의 극한에 대하여 알아보자. 그림 4 에서 수열 $ \frac { (-1) ^ { n } } { n } $ 을 평면에 나타내었는데, 부호가 번갈아 바뀜에도 불구하고 0 으로 수렴할 것이라는 예측이 가능하다. 실제로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { (-1) ^ { n } } { n } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } =0 $ 이므로, 따름정리 4 에 의하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } =0 $ 이라는 것을 알 수 있다.</p> <p>을 얻는다. 그런데 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 발산하고 $ f(x) \geq 0 $ 이므로, $ n \rightarrow \infty $ 일 때 $ \int_ { 1 } ^ { n } f(x) d x \rightarrow \infty $ 이다. 따라서 위의 식에서 $ s_ { n-1 } \rightarrow \infty $ 를 얻고 이로부터 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } $ 는 발산한다는 것을 알 수 있다.</p> <p>예제 $ 1 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } + 1 } $ 의 수렴을 조사하기 위하여 함수 $ f(x)=1 / \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) $ 를 택하자. 사실, $ f $ 는 구간 $ [1, \infty) $ 에서 연속이고 양의 값을 가지는 감소함수이므 로 적분판정법을 이용할 수 있다. 이제 특이적분은 \[ \begin {array} { c } \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \lim _ { t \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { t } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \lim _ { t \rightarrow \infty } \left [ \tan ^ { -1 } x \right ]_ { 1 } ^ { t } \\ = \lim _ { t \rightarrow \infty } \left ( \tan ^ { -1 } t- \frac {\pi } { 4 } \right )= \frac {\pi } { 2 } - \frac {\pi } { 4 } = \frac {\pi } { 4 } \end {array} \] 로 수렴하므로 적분판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.</p> <p>예제 2 실수 $ p $ 에 대하여 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { p } } $ 를 $ p $-급수 $ (p- \operatorname { series } ) $ 라 한다. (i) $ p<0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } 1 / n ^ { p } = \infty $ 이고 $ p=0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } 1 / n ^ { p } =1 $ 이다. 따라서 발산급수판정법 8 에 의해 각각의 경우 모두 발산한다. (ii) $ p>0 $ 이면 함수 $ f(x)=1 / x ^ { p } $ 는 구간 $ [1, \infty) $ 에서 연속이고 양의 값을 가지는 감소함수이다. 그리고 특이적분 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { p } } d x $ 은 $ p>1 $ 일 때 수렴하고 $ p \leq 1 $ 일 때 발산한다는 것을 알고 있다. 따라서 적분판정법 10 에 의하면, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { p } } $ 는 $ p>1 $ 일 때 수렴하고 $ 0<p \leq 1 $ 일 때 발산한다.</p> <p>23 정리 $ \|x-a\|<R $ 에서 $ f(x)=T_ { n } (x) + R_ { n } (x) $ 라 하자. 구간 $ \|x-a\|<R $ 의 모든 $ x $ 에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } R_ { n } (x)=0 $ 이면, $ f(x) $ 는 테일 러 급수의 합 과 같다.</p> <p>나머지 함수 $ R_ { n } (x)=f(x)-T_ { n } (x) $ 가 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } R_ { n } (x)=0 $ 이 된다는 말은 $ f(x) $ 의 근사값으로 $ n $ 차 테일러 다항함수값 $ T_ { n } (x) $ 를 택할 수 있다는 것을 의 미한다. 그리고 $ f(x) \approx T_ { n } (x) $ 의 경우 발생하는 오차 $ R_ { n } (x) $ 의 크기는 다음의 정리로 예측이 가능하다.</p> <p>24 정리 함수 $ f $ 가 구간 $ \|x-a\|<R $ 에서 $ (n + 1) $ 번 미분가능하면 그 구간의 모든 $ x $ 에서 오차의 크기는 $ x $ 와 $ a $ 사이의 적당한 점 $ z $ 에 대하여 \[ R_ { n } (x)=f(x)-T_ { n } (x)= \frac { f ^ { (n + 1) } (z) } { (n + 1) ! } (x-a) ^ { n + 1 } \] 로 결정된다.</p> <p>여기서, $ \|x-a\| \leq d $ 일 때 $ \left \|f ^ { (n + 1) } (x) \right \| \leq M $ 이면 이 구간에서 오차의 크기는</p> <p>(9) $ \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq \frac { M } { (n + 1) ! } \|x-a\| ^ { n + 1 } \leq \frac { M } { (n + 1) ! } d ^ { n } $ 로 유계된다.</p> <p>예제 2 함수 $ f(x)=e ^ { x } $ 와 $ a=0 $ 에서의 데일러 급수와의 오차에 대하여 조사 하여 보자. 모든 $ n $ 에 대하여 $ f ^ { (n + 1) } (x)=e ^ { x } $ 이므로, 임의의 양수 $ d $ 에 대하여 $ \|x\| \leq d $ 이면 $ \left \|f ^ { (n + 1) } (x) \right \|=e ^ { x } \leq e ^ { d } $ 이다. 따라서 $ M=e ^ { d } $ 이라 두면, 식 (9)에 의해 \[ 0 \leq \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq \frac { e ^ { d } } { (n + 1) ! } d ^ { n + 1 } \] 이 된다. 한편 모든 $ x $ 에 대하여 급수 $ \sum x ^ { n } / n ! $ 는 수렴하므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { d ^ { n } } { n ! } =0 $ 이 되고, 이로부터</p> <p>예제 13 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { n } } { n ! } $ 에서 $ a_ { n } =n ^ { n } / n $ ! 이 양수이므로 비율 판정법을 적용하 는데 부호는 생각할 필요가 없다. $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \begin {aligned} \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } &= \frac { (n + 1) ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } \cdot \frac { n ! } { n ^ { n } } = \frac { (n + 1)(n + 1) ^ { n } } { (n + 1) n ! } \cdot \frac { n ! } { n ^ { n } } \\ &= \left ( \frac { n + 1 } { n } \right ) ^ { n } = \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } \rightarrow e \end {aligned} \] 이다. $ L=e>1 $ 이므로 비율 판정법 16 에 의하면 주어진 급수는 발산한다.</p> <p>예제 14 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 2 n + 3 } { 3 n + 2 } \right ) ^ { n } $ 에서 $ a_ { n } = \left ( \frac { 2 n + 3 } { 3 n + 2 } \right ) ^ { n } $ 이므로 근 판정법을 이용 하는 것이 편리하다. 사실, $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \left \|a_ { n } \right \| { } ^ { 1 / n } = \frac { 2 n + 3 } { 3 n + 2 } = \frac { 2 + 3 / n } { 3 + 2 / n } \rightarrow 2 / 3 \] 로 쉽게 구해진다. 이제 $ L= \frac { 2 } { 3 }<1 $ 이므로 근 판정법 17 에 의하여 급수는 수렴 한다.</p> <p>예제 4 극한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 1 } $ 은 분모, 분자를 $ n $ 에 관한 최고차 항으로 나누고 극한의 성질 (a)와 (e)를 이용하면 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1 + 1 / n } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } 1 } {\lim _ { n \rightarrow \infty } 1 + \lim _ { n \rightarrow \infty } 1 / n } = \frac { 1 } { 1 + 0 } =1 \] 이 된다. 수열의 극한에 대하여도 함수의 극한과 마찬가지로 여러 유용한 정리들이 있는데, 이를 알아보자.</p> <p>3 압축정리 충분히 큰 $ n_ { 0 } $ 에 대하여 $ n \geq n_ { 0 } $ 일 때 $ a_ { n } \leq b_ { n } \leq c_ { n } $ 이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } =L $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =L $ 이다.</p> <p>증명 $ 2.1 $ 절의 압축정리 3 과 정리 1 을 그림 3 의 경우에 적용하면 된다.</p> <p>4 따름정리 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|a_ { n } \right \|=0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $ 이다.</p> <p>증명 $ - \left \|a_ { n } \right \| \leq a_ { n } \leq \left \|a_ { n } \right \| $ 이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (- \left \|a_ { n } \right \| \right )=- \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|a_ { n } \right \|=0 $ 이므로 압축 정리 3 에 의해 원하는 결과를 얻는다.</p> <p>(b) $ g(x)= \frac { x ^ { 3 } } { x + 2 } $ 와 같은 함수는 함수 $ h $ 에 $ x ^ { 3 } $ 을 곱한 것이므로, $ h $ 의 멱급수 에 $ x ^ { 3 } $ 을 곱하면 \[ \begin {aligned} & \frac { x ^ { 3 } } { x + 2 } =x ^ { 3 } \cdot \frac { 1 } { x + 2 } =x ^ { 3 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 2 ^ { n + 1 } } x ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 2 ^ { n + 1 } } x ^ { n + 3 } \\ =& \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } + \frac { 1 } { 8 } x ^ { 5 } - \frac { 1 } { 16 } x ^ { 6 } + \cdots \end {aligned} \] 이 되고, 수렴구간은 마찬가지로 $ (-2,2) $ 이다.</p> <p>함수를 미분하고. 적분하듯이, 함수를 표현한 멱급수를 미분하고. 적분할 수 있을까? 위험한 생각이긴 하지만 멱급수를 차수가 무한으로 확장된 다항함수 라는 의미로 이해하면, 다항함수의 미분과 적분이라는 개념을 멱급수에도 그대로 적용해도 무난한 것 같다. 다행히 함수가 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $ 의 멱급수로 표현되면 다항함수에서와 같이 급수의 각 항들을 미분하거나 적분해도 되는데, 이러한 것을 항별미분(term-by-term differentiation)또는 항별적분 (term-by-term integration)이라고 한다.</p> <p>19 정리 멱급수 $ \sum c_ { n } (x-a) ^ { n } $ 의 수렴반지름이 $ R>0 $ 이면 \[ f(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } (x-a) + c_ { 2 } (x-a) ^ { 2 } + \cdots= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } \] 로 정의되는 함수 $ f $ 는 구간 $ (a-R, a + R) $ 에서 미분과 적분이 가능한데, 다음과 같이 항별미분과 항별적분으로 구해진다.</p> <p>주 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } $ 은 수렴할 수도 발산할 수도 있음에 유의하자.</p> <p>예제 $ 4 \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 2 } } { 5 n ^ { 2 } + 4 } = \frac { 1 } { 5 } \neq 0 $ 이므로 발산급수판정법에 의하여 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } } { 5 n ^ { 2 } + 4 } $ 는 발산한다.</p> <p>수열의 극한법칙을 이용하면 다음과 같이 수렴하는 급수에 대한 성질을 얻는다.</p> <p>9 (a) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 $ A $ 로 수렴하고 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 이 $ B $ 로 수렴하면,</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } \pm b_ { n } \right ) $ 는 $ A \pm B $ 로 수렴하고 상수 $ c $ 에 대하여 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } c a_ { n } $ 는 $ c A $ 로 수렴한다. (b) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴하고 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 이 발산하면, $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } \pm b_ { n } \right ) $ 는 발산한다.</p> <p>예제 5 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 3 } { n(n + 1) } + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \right ) $ 는 두 개의 급수로 판정할 수 있다. 예제 2 (b)에서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n + 1) } =1 $ 임을 알았고, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } $ 은 $ a=1 / 2 $ 이고 $ r=1 / 2 $ 인 기하급수이므로 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } = \frac { 1 / 2 } { 1-1 / 2 } =1 $ 로 수렴한다. 따라서 주어진 급수는 수렴하는 두 급수의 상수곱과 합으로 이루어져 있으므로, 다음과 같이 수렴한다. \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 3 } { n(n + 1) } + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \right )=3 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n + 1) } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } =4 \]</p> <p>(c) 이상에서 조사한 사실을 바탕으로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } $ 임을 보여라. 가우스(Gauss)는 이 극한값을 $ a $ 와 $ b $ 의 산술-기하평균(arithmetic-geometric mean)이라고 불렀다.</br>30. (a) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { 2 n } =L $ 이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { 2 n + 1 } =L $ 이면 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 수렴하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 임을 보여라.</p> <p>(b) $ a_ { 1 } =1 $ 이고 $ a_ { n + 1 } =1 + \frac { 1 } { 1 + a_ { n } } $ 일 때 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 의 여덟 번째 항까지 구하여라.</br>(c) (a)를 이용하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \sqrt { 2 } $ 임을 보여라. 이 극한 을 풀어쓰면 다음과 같다. \[ \sqrt { 2 } =1 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 1 } { 2 + \cdots } } \]</p> <h2>$ 10.2 $ 무한급수</h2> <p>무한수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 에서 각 항들을 기호 $ + $ 로 연결한 식</br>(1) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } + \cdots $ 또는 간단히 $ \sum a_ { n } $</br>을 무한급수(infinite series) 또는 간단히 급수(series)라고 한다. 얼핏 보면 무한급수는 덧셈을 무한번 하는 것 같은데 과연 이것이 가능할까? 실제로 여러 수 를 계속하여 더한다는 것은 유한개의 수를 더한다는 것을 두고 정의된 것이기 때문에, 급수에 사용된 덧셈 기호는 단순히 상징적인 의미일 뿐 덧셈과는 거리 가 멀다. 실제로 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n=1 + 2 + 3 + \cdots + n + \cdots $ 에서 $ + $ 는 무슨 의미를 가지 고 있을까? 이를 이해하기 위하여 먼저 각 항들을 처음부터 순서대로 차근차근 더한 누적합들로 새로운 수열 $ 1,3,6,10,15,21, \cdots, \frac { n(n + 1) } { 2 } , \ldots $ 을 만들자. 이 새로운 수열의 일반항 $ n(n + 1) / 2 $ 은 $ n $ 이 커짐에 따라 점점 더 커지므로 발산하게 된다. 결국 급수의 항들을 하나씩 더해 갈수록 값이 커져 발산한다는 것이므로 무한급수가 발산한다는 결론을 내릴 수 있다. 반면, 급 수 $ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 16 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots $ 에서 누적합으로 만들어지는 새로운 수열은 \[ \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 7 } { 8 } , \frac { 15 } { 16 } , \cdots, 1- \frac { 1 } { 2 ^ { n } } , \cdots \]</p> <p>예제 7 실수 $ r $ 에 대한 무한등비수열 $ \left \{ r ^ { n } \right \} $ 의 수렴성에 대하여 알아보자. 예 제 2 로부터 $ r=-1 $ 일때 발산한다는 것을 안다. 또한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } 1 ^ { n } =1 $ 이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } 0 ^ { n } =0 $ 이므로 $ r>1,0<r<1,-1<r<0, r \leq-1 $ 의 네 경우만 조사하면 된다.</p> <p>먼저 $ x \in \mathbb { R } $ 인 함수 $ f(x)=r ^ { x } $ 에서 $ r>1 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } r ^ { x } = \infty $ 이고 $ 0<r<1 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } r ^ { x } =0 $ 이므로, $ x=n $ 일 때 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } = \left \{\begin {array} { ll } \infty, & r>1 \\ 0, & 0<r<1 \end {array} \right . \] 이 된다. 만약 $ -1<r<0 $ 이면 $ 0<\|r\|<1 $ 이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|r ^ { n } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \|r\| ^ { n } =0 $ 이다. 따라서 따름정리 4 로부터 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =0 $ 이 된다. 마지막으로 $ r \leq-1 $ 인 경우는 예제 2 에서와 같이 수열 $ \left \{ r ^ { n } \right \} $ 은 발산한다(그림 5 참조).</p> <p>지금까지 수렴하는 수열을 몇 가지 알아보았는데, 다행히 극한까지 정확히 구할 수 있었다. 그러나 일반적으로 수렴하는 수열이라 하더라도 극한을 정확하게 찾는 것은 쉽지 않다. 흔히 수열을 대상으로 수학적 이론을 수립할 때 극한 값 자체보다도 수렴한다는 사실만 알아도 충분하므로 수열의 수렴성이 보장되는지를 확인할 필요가 있다. 이제 어떤 조건에서 수열이 수렴하는지 알아볼 것 인데, 수열의 유계성과 단조성이 주요 핵심을 이룬다.</p> <p>20. $ 0.1234 \overline { 56 } $</br>21. $ 6.2 \overline { 54 } $</br>22. 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ln \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) $ 가 발산하지만 항들은 0으로 수렴 함을 보여라.</br>※ (23-24) 다음 분수를 부분분수를 이용하여 분리하여 부분 합이 수렴함을 보이고 급수의 합을 구하여라.</br>23. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { (4 n + 1)(4 n-3) } $</br>24. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } + 3 n + 1 } {\left (n ^ { 2 } + n \right ) ^ { 2 } } $</br>25. $ f_ { 1 } =1, f_ { 2 } =1, n \geq 3 $ 일 때 $ f_ { n } =f_ { n-1 } + f_ { n-2 } $ 로 정의된 피보나치 수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 이 다음을 만족함을 보여라.</br>(a) $ \frac { 1 } { f_ { n-1 } f_ { n + 1 } } = \frac { 1 } { f_ { n-1 } f_ { n } } - \frac { 1 } { f_ { n } f_ { n + 1 } } $</br>(b) $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { f_ { n-1 } f_ { n + 1 } } =1 $</p> <p>(c) $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { f_ { n } } { f_ { n-1 } f_ { n + 1 } } =2 $</br>26. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 의 부분합이 $ s_ { n } = \frac { n-1 } { n + 1 } $ 일때 $ a_ { n } $ 과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 을 구하여라.</br>27. $ a_ { n } \neq 0 $ 일때 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 수렴하면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { a_ { n } } $ 은 발산함을 보여라.</br>※ (28-30) 다음 급수가 수렴하는 $ x $ 값을 구하고 그 급수의 합을 구하여라.</br>28. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { 3 ^ { n } } $</br>29. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 4 ^ { n } x ^ { n } $</br>30. $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac {\cos ^ { n } x } { 2 ^ { n } } $</p> <p>예제 6 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } -1 } $ 는 위에서 언급했듯이 비교판정법 12 를 적용할 수 없다. 그러나 $ a_ { n } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } -1 } , b_ { n } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } $ 을 택하면, \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 / \left (2 ^ { n } -1 \right ) } { 1 / 2 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n } } { 2 ^ { n } -1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1-1 / 2 ^ { n } } =1 \] 로 양수이다. 급수 $ \sum 1 / 2 ^ { n } $ 은 $ r=1 / 2 $ 인 기하급수로 수렴하므로, 극한비교판 정법 13에 의해 주어진 급수도 수렴한다.</p> <p>예제 7 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 2 } } } $ 의 항 $ a_ { n } = \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } $ 에서 분자는 $ 2 n ^ { 2 } $ 에, 분모 는 $ \sqrt { n ^ { 5 } } =n ^ { 5 / 2 } $ 에 영향을 받으므로 $ b_ { n } = \frac { 2 n ^ { 2 } } { n ^ { 5 / 2 } } = \frac { 2 } { n ^ { 1 / 2 } } $ 으로 선택하여 보자. 그 러면 \[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n ^ { 2 } + 3 n } {\sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } \cdot \frac { n ^ { 1 / 2 } } { 2 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n ^ { 5 / 2 } + 3 n ^ { 3 / 2 } } { 2 \sqrt { 5 + n ^ { 5 } } } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 + 3 / n } { 2 \sqrt { 5 / n ^ { 5 } + 1 } } = \frac { 2 + 0 } { 2 \sqrt { 0 + 1 } } =1 \end {aligned} \] 로 극한이 양수이다. 한편 $ \sum b_ { n } =2 \sum 1 / n ^ { 1 / 2 } $ 은 $ p=1 / 2<1 $ 인 $ p $-급수로 발산하므로, 극한비교판정법 13에 의하면 주어진 급수도 발산한다.</p> <p>예제1. $ a \neq 0 $ 일 때 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a r ^ { n-1 } =a + a r + a r ^ { 2 } + \cdots $ 를 기하급수(geometric series)라 한다.</br>(i) $ r=1 $ 이면 $ s_ { n } =a + a + \cdots + a=n a \rightarrow \pm \infty $ 이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } $ 는 존재하지 않아 급수는 발산한다.</br>(ii) $ r \neq 1 $ 이면 $ s_ { n } =a + a r + a r ^ { 2 } + \cdots + a r ^ { n-1 } $ 에서 $ s_ { n } -r s_ { n } =a-a r ^ { n } $ 이 므로 (2) \[ s_ { n } = \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } \] 이 된다. 따라서 $ -1<r<1 $ 이면 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 10.1절 예제 7 에 의하여 $ r ^ { n } \rightarrow 0 $ 이므로 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } = \frac { a } { 1-r } \] 로 수렴한다. 따라서 $ \|r\|<1 $ 일 때 기하급수는 수렴하고 급수의 합은 $ \frac { a } { 1-r } $ 이다.</br>(iii) $ r \leq-1 $ 이거나 $ r>1 $ 이면 10.1절 예제 7 에 의하여 수열 $ \left \{ r ^ { n } \right \} $ 은 발산하므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } $ 은 존재하지 않는다. 따라서 이 경우 기하급수는 발산한다.</p> <p>6 정리 기하급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a r ^ { n-1 } $ 는 $ \|r\|<1 $ 이면 $ \frac { a } { 1-r } $ 로 수렴하고 $ \|r\| \geq 1 $ 이면 발산한다.</p> <h3>[II] 비교판정법 (Comparison Test)</h3> <p>비교판정법은 수렴, 발산을 이미 알고 있는 급수를 이용하여 주어진 급수의 수렴, 발산을 판정하는 방법이다. 급수가 부분합들의 극한으로 수렴이 결정되는 데도 불구하고, 비교판정법은 단순히 급수를 이루는 수열에 대한 정보를 통해 해결되는 특징이 있다.</p> <p>12 비교판정법 모든 $ n $ 에 대하여 $ 0 \leq a_ { n } \leq b_ { n } $ 이면 다음이 성립한다.</br>(i) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 이 수렴하면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 도 수렴한다.</br>(ii) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 발산하면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 도 발산한다.</p> <p>증명 부분합들을 각각 $ s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } , t_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { k } $ 이라고 하자.</br>(i) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $ 이 수렴한다고 하고 $ t= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } b_ { k } $ 라 하자. 그러면</p> <p>$ b_ { n } \geq 0 $ 이므로 $ t_ { n } \leq t $ 이다. 또한 급수가 양수급수이므로 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 은 증가수열이다. 그리고 모든 $ n $ 에 대하여 $ 0 \leq a_ { n } \leq b_ { n } $ 이 므로 $ s_ { n } \leq t_ { n } \leq t $ 가 되어 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 은 위로 유계인 수열이다. 따라서 단조수열정리에 의하여 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 은 수렴하므로, 급수 $ \sum a_ { n } $ 은 수렴한다.</br>(ii) 모든 $ n $ 에 대하여 $ b_ { n } \geq a_ { n } $ 이므로 $ t_ { n } \geq s_ { n } $ 이 된다. 이제 $ \sum a_ { n } $ 이 발산하므로 $ s_ { n } \rightarrow \infty $ 이고, 따라서 $ t_ { n } \rightarrow \infty $ 이다. 그러므로 $ \sum b_ { n } $ 은 발산한다.</p> <p>20 정리 $ \|x-a\|<R $ 에서 중심 $ a $ 의 멱급수 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $ 의 계수는 $ c_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } $ 에 의해 결정된다.</p> <p>이와 같이 $ a $ 를 중심으로 하는 $ f $ 의 멱급수를 테일러 급수(Taylor series)라 한다.</p> <p>21 정리 중심 $ a $ 에서의 함수 $ f $ 의 테일러 급수는 다음과 같다.</p> <p>(5) \[ \begin {aligned} f(x)=& \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } (x-a) ^ { n } \\ =& f(a) + \frac { f ^ {\prime } (a) } { 1 ! } (x-a) + \frac { f ^ {\prime \prime } (a) } { 2 ! } (x-a) ^ { 2 } \\ & \quad + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (a) } { 3 ! } (x-a) ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} \]</p> <p>특히 $ a=0 $ 일 때 급수를 맥클로린 급수(Maclaurin series)라 하는데, 크게 보아 테일러 급수로 묶어 생각해도 된다.</p> <p>22 정리 중심이 0 인 함수 $ f $ 의 맥클로린 급수는 다음과 같다.</p> <p>(6) \[ \begin {aligned} f(x) &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } \\ &=f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (0) } { 3 ! } x ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} \]</p> <p>예제 1 점 0 에서의 $ f(x)=e ^ { x } $ 의 테일러 급수를 가하여 보자. 모든 $ n $ 에 대하 여 $ f ^ { (n) } (x)=e ^ { z } $ 이므로 $ f ^ { (n) } (0)=e ^ { 0 } =1 $ 이다. 따라서 중심 $ a=0 $ 에서의 $ f $ 의 테일러 급수는</p> <p>예제 4 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } + 4 n + 3 } $ 에서 일반항 $ a_ { n } = \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } + 4 n + 3 } $ 은 충분히 큰 $ n $ 에 대하여 분모 $ 2 n ^ { 2 } $ 에 영향을 크게 받으므로, 비교를 위해 $ b_ { n } = \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } } $ 를 택 하자. 그러면 $ p=2 $ 인 $ p $-급수 $ \sum \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 가 수렴하므로, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 2 } \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $ 은 수렴한다. 이제 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } + 4 n + 3 }< \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } } $ 이므로, 비교판 정법에 의하여 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 5 } { 2 n ^ { 2 } + 4 n + 3 } $ 는 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>예제 5 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } $ 는 예제 3 에서 적분판정법 10 에 의하여 발산한다는 것을 알았는데, 비교판정법 12 을 이용해도 판정이 가능하다. $ n \geq 3 $ 에서 $ \ln n>1 $ 이므로 $ \frac {\ln n } { n } >\frac { 1 } { n } $ 이다. 비교를 위해 급수 $ \sum \frac { 1 } { n } $ 를 택하면 이는 $ p=1 $ 인 $ p $-급수, 또는 조화급수이므로 발산한다. 따라서 비교판정법 12 에 의 하여 주어진 급수는 발산한다.</p> <h3>■ 테일러 다항함수에 의한 근사</h3> <p>$ n $ 차 테일러 다항 함수 $ T_ { n } (x) $ 를 이용하여 $ f(x) $ 의 근사값을 구하면, 오차 $ R_ { n } (x)=f(x)-T_ { n } (x) $ 가 생긴다. 이제 큰사값의 정확도를 원하는 만큼 얻기 위해서는 $ n $ 을 얼마나 크게 하여야 하는지 알아보기로 한다. 먼저 앞에서 다루 었던 식 (9) \[ \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq \frac { M } { (n + 1) ! } \|x-a\| ^ { n + 1 } \] 을 기억하자.</p> <p>예제 7 $ a=8 $ 에서 2 차 테일버 다항함수를 이용하여 함수 $ f(x)= \sqrt[3] { x } $ 를 근사시켜 보자. 먼저 \[ \begin {array} { ll } f(x)=x ^ { 1 / 3 } & f(8)=2 \\ f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 3 } x ^ { -2 / 3 } & f ^ {\prime } (8)= \frac { 1 } { 12 } \\ f ^ {\prime \prime } (x)=- \frac { 2 } { 9 } x ^ { -5 / 3 } & f ^ {\prime \prime } (8)=- \frac { 1 } { 144 } \\ f ^ {\prime \prime \prime } (x)= \frac { 10 } { 27 } x ^ { -8 / 3 } & \end {array} \] 이므로 2차 테일러 다항함수는 \[ \begin {aligned} T_ { 2 } (x) &=f(8) + \frac { f ^ {\prime } (8) } { 1 ! } (x-8) + \frac { f ^ {\prime \prime } (8) } { 2 ! } (x-8) ^ { 2 } \\ &=2 + \frac { 1 } { 12 } (x-8)- \frac { 1 } { 288 } (x-8) ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다. 따라서 8 에서 함수 $ f $ 는 \[ x ^ { 1 / 3 } \approx T_ { 2 } (x)=2 + \frac { 1 } { 12 } (x-8)- \frac { 1 } { 288 } (x-8) ^ { 2 } \] 로 근사된다. 그러고 $ \left \|f ^ {\prime \prime \prime } (x) \right \| \leq M $ 이라고 하면, 오차의 한계는</p> <p>13. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n + 1 } { n ^ { 2 } } $</p> <p>14. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 4 + 3 ^ { n } } { 2 ^ { n } } $</p> <p>15. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n e ^ { -n ^ { 2 } } $</p> <p>16. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n e ^ { -n } $</p> <p>17. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } e ^ { -n } $</p> <p>18. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 5-2 \sqrt { n } } { n ^ { 3 } } $</p> <p>19. $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 3 } -1 } $</p> <p>20. $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 + \sin n } { 10 ^ { n } } $</p> <p>21. $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac {\sqrt { n } } { n-1 } $</p> <p>22. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 + (-1) ^ { n } } { n \sqrt { n } } $</p> <p>23. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } $</p> <p>24. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 n + 3 } $</p> <p>25. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 1 + \sqrt { n } } $</p> <p>26. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 + n + n ^ { 2 } } {\sqrt { 1 + n ^ { 2 } + n ^ { 6 } } } $</p> <h3>■ 이항급수</h3> <p>임의의 두 실수 $ a, b $ 와 양의 정수 $ k $ 에 대하여 이항전개식(binomial expansion)은 \[ \begin {aligned} (a + b) ^ { k } &=a ^ { k } + k a ^ { k-1 } b + \frac { k(k-1) } { 2 ! } a ^ { k-2 } b ^ { 2 } + \cdots + k a b ^ { k-1 } + b ^ { k } \\ &= \sum_ { n=0 } ^ { k } \left ( \begin {array} { l } k \\ n \end {array} \right ) a ^ { k-n } b ^ { n } \end {aligned} \] 인데, 여기서 이하계수는 $ \left ( \begin {array} { l } k \\ 0 \end {array} \right )=1 $ 이고 $ n=1,2, \cdots, k $ 에 대하여 \[ \left ( \begin {array} { l } k \\ n \end {array} \right )= \frac { k(k-1) \cdots(k-n + 1) } { n ! } \] 이다. 특히 $ a=1 $ 이고 $ b=z $ 이면 이항전개식은</p> <p>(15) \[ (1 + x) ^ { k } = \sum_ { n=0 } ^ { k } \left ( \begin {array} { l } k \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } \]</p> <p>이 된다. 뉴턴은 식 (15)의 지수를 양의 정수 $ k $ 에 국한시키지 않고. 모든 실수로 확장시켰는데, 이 경우 식 (15)는 무한급수로 표현되는 하나의 함수가 된다. 이를 위하여 먼저 $ k \in \mathbb { R } $ 일 때 함수 $ f(x)=(1 + x) ^ { k } $ 의 0 에서의 테일러 급수를 구해보자. $ f(0)=(1 + 0) ^ { k } =1 $ 이고. $ n=1,2, \cdots $ 에 대하여 \[ f ^ { (n) } (x)=k(k-1) \cdots(k-n + 1)(1 + x) ^ { k-n } \] 이므로, $ f ^ { (n) } (0)=k(k-1) \cdots(k-n + 1) $ 이다. 따라서 $ f(x)=(1 + x) ^ { k } $ 의 0 에서의 테일러 급수는 \[ f(x)=(1 + x) ^ { k } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { k(k-1) \cdots(k-n + 1) } { n ! } x ^ { n } \] 이 되는데, 이 급수를 이항급수(binomial series) 라기, 한다. 이항급수의 일반항 을 $ a_ { n } $ 이라고. 하면, $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \frac { \|k-n\| } { n + 1 } \|x\|= \frac { \|1-k / n\| } { 1 + 1 / n } \|x\| \rightarrow\|x\| \] 이므로, 비율 판정법에 의하여 이항급수는 $ \|x\|<1 $ 에서 수렴하고. $ \|x\|>1 $ 에서 발산함을 알 수 있다.</p> <p>정의 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 이 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n } \leq a_ { n + 1 } $ 이면 증가수열 (increasing sequence), $ a_ { n } \geq a_ { n + 1 } $ 이면 감소수열(decreasing sequence) 이라 하는데, 이들을 통틀어 단조수열(monotone sequence) 이라고 한다.</p> <p>예제 8 (a) 수열 $ \left \{\frac { 3 } { n + 5 } \right \} $ 은 $ n \geq 1 $ 일 때 $ \frac { 3 } { n + 5 } >\frac { 3 } { (n + 1) + 5 } = \frac { 3 } { n + 6 } $ 이므로 감소수열이다.</br>(b) 일반항이 $ a_ { n } = \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } $ 인 수열에 대하여 알아보자. (a)에서와 같이 잇달아 있는 항들의 크기를 비교하는 것 보다 여기서는 이웃하는 항들의 비를 통해 서 조사하면 횔씬 쉽다. 즉, $ n \geq 1 $ 일 때 $ n ^ { 2 } + n>1 $ 이므로 \[ \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } = \frac {\frac { n + 1 } { (n + 1) ^ { 2 } + 1 } } {\frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } } = \frac { (n + 1) \left (n ^ { 2 } + 1 \right ) } { n \left [(n + 1) ^ { 2 } + 1 \right ] } = \frac {\left (n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + n \right ) + 1 } {\left (n ^ { 3 } + n ^ { 2 } + n \right ) + n ^ { 2 } + n }<1 \] 이 된다. 이는 $ a_ { n + 1 }<a_ { n } $ 와 동치이므로 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 감소한다.</p> <p>43. $ \tan ^ { -1 } x $ 의 멱급수를 이용하여 $ \pi=2 \sqrt { 3 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { (2 n + 1) 3 ^ { n } } $ 임을 보여라.</p> <p>44. (a) 피적분함수의 분모를 완전제곱식으로 나타낸 뒤, $ \int_ { 0 } ^ { 1 / 2 } \frac { d x } { x ^ { 2 } -x + 1 } = \frac {\pi } { 3 \sqrt { 3 } } $ 임을 보여라.</p> <p>(b) 먼저 $ x ^ { 3 } + 1=(x + 1) \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right ) $ 을 이용하여 $ f(x)= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 3 } } $ 을 변수분리하여라. 그 다음 $ \frac { 1 } {\left (x ^ { 3 } + 1 \right ) } $ 의 멱급수와 (a)를 이용하여 $ \pi $ 가 다음과 같음을 보여라.</p>\[ \pi= \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 4 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 8 ^ { n } } \left ( \frac { 2 } { 3 n + 1 } + \frac { 1 } { 3 n + 2 } \right ) \]<p>45. $ \|x\|<2 $ 에 대해서 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } x ^ { n } $ 이 수렴한다고 한다. 급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } $ 에 대하여 무엇을 말할 수 있는 가? 설명하여라.</p> <h2>$ 10.5 $ 테일러 급수</h2> <p>$ 10.4 $ 절에서 특정한 함수들의 멱급수 표현에 대하여 알아보았다. 이 절에서는 일 반적으로 어떤 함수들이 멱급수로 표현될 수 있고. 또 그런 멱급수 표현은 어떻 게 구할 수 있는지에 대하여 알아보기로 한다.</p> <p>57. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\sin 4 n } { 4 ^ { n } } $</p> <p>58. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 \cdot 4 \cdot \cdots \cdot(2 n) } { n ! } $</p> <p>※ (59-60) 급수의 항들이 다음과 같이 정의 될 때 급수 $ \sum a_ { n } $ 의 수렴과 발산을 판정하여라.</p> <p>59. $ a_ { 1 } =2, \quad a_ { n + 1 } = \frac { 5 n + 1 } { 4 n + 3 } a_ { n } \quad(n \geq 2) $</p> <p>60. $ a_ { 1 } =1, \quad a_ { n + 1 } =2 + \frac {\cos n } {\sqrt { n } } a_ { n } \quad(n \geq 2) $</p> <p>61. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 이 절대수렴하면 $ \left \| \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \right \| \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $ 임을 보여라.</p> <h2>10.4 멱급수</h2> <p>이 절에서는 각 항들이 $ x $ 에 관한 함수로 이루어진 급수에 대하여 알아보도록 하자. 변수 $ x $ 에 대하여 다음과 같은 형태</p> <p>(1) $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } =c_ { 0 } + c_ { 1 } x + c_ { 2 } x ^ { 2 } + c_ { 3 } x ^ { 3 } + \cdots $</p> <p>로 표현된 급수를 $ x $ 에 대한 멱급수(power series)라 하고, 실수 $ c_ { n } $ 은 급수의 계수 (coefficient)라고 한다. 여기서 멱급수의 형태는 무한차수를 가지는 다항함수로 보이지만 실제로 다항함수에서 무한차수라는 개념은 의미가 없다. 멱급수를 어 떻게 이해하여야 할까? 급수의 수렴을 부분합의 극한으로 정의한 것과 마찬가지 로, 멱급수도 부분합들을 통해서 이해할 것이다. 그런데, 멱급수의 부분합 \[ s_ { n } =c_ { 0 } + c_ { 1 } x + c_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + c_ { n } x ^ { n } \]</p> <p>예제 3 멱급수로 정의된 함수 $ J_ { 0 } (x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } x ^ { 2 n } } { 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } $ 를 0계 베셀 함수 (Bessel function of order 0)라 부른다. 먼저 $ a_ { n } = \frac { (-1) ^ { n } x ^ { 2 n } } {\left [2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } \right ] } $ 이라 두면, 모 든 $ x $ 에 대하여 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \| &= \left \| \frac { (-1) ^ { n + 1 } x ^ { 2(n + 1) } } { 2 ^ { 2(n + 1) } [(n + 1) !] ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } { (-1) ^ { n } x ^ { 2 n } } \right \| \\ &= \frac { x ^ { 2 n + 2 } } { 2 ^ { 2 n + 2 } (n + 1) ^ { 2 } (n !) ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 ^ { 2 n } (n !) ^ { 2 } } { x ^ { 2 n } } = \frac { x ^ { 2 } } { 4(n + 1) ^ { 2 } } \rightarrow 0 \end {aligned} \] 이다. 결국 $ L=0<1 $ 이므로 비율 판정법에 의하면 0 계 베셀 합수는 모든 $ x $ 에 대하여 수렴한다. 다른 말로 베셀 함수 $ J_ { 0 } $ 의 정의역은 $ (- \infty, \infty)= \mathbb { R } $ 이다. 이상의 예제를 통해 다음의 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>인데, $ f(n)= \frac {\ln n } { n } $ 이므로 정리 1 에 의하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\ln n } { n } =0 $ 임을 알 수 있다. $ 2.3 $ 절의 함수에 대한 극한 법칙은 다음과 같이 수열의 극한에서도 성립한다.</p> <p>2 극한의 성질 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 과 $ \left \{ b_ { n } \right \} $ 이 수렴하면 다음이 성립한다.</br>(a) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } + b_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } + \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } $</br>(b) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } -b_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } - \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } $</br>(c) 실수 $ c $ 에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } c a_ { n } =c \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } $</br>(d) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } b_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \cdot \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } $</br>(e) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } \neq 0 $ 인 경우에 한하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } } {\lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } } $</br>(f) $ p>0 $ 이고 $ a_ { n } >0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } ^ { p } = \left [ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \right ] ^ { p } $</p> <h2>$ 10.1 $ 수열 $ 10.2 $ 무한급수 $ 10.3 $ 급수의 수렴판정법 $ 10.4 $ 멱급수 $ 10.5 $ 테일러 급수</h2> <p>초월함수와 같이 쉽게 이해되지 않는 함수들을 다항함수와 비슷한 형태의 꼴로 표현하려는 뉴턴의 아이디어는 무한수열과 무한급수의 중요성을 대두시켰다. 함수가 무한급수로 표현되기만 하면 예측하기 어려웠던 함수값이 구해지고, 적 분이 불가능했던 함수들도 다항함수에서 처리하는 방법과 유사한 방법으로 해 결되는 장점을 가진다. 이 장에서는 우선 무한급수의 수렴을 조사할 수 있는 여 러 판정법에 대하여 다각적으로 알아보기로 한다. 다음으로 함수들을 무한급수 로 표현하는 방법에 대하여 알아보기로 하는데, 특히 테일러급수에 초점을 맞추고 이들의 응용에 대하여 조사할 것이다.</p> <h2>$ 10.1 $ 수열</h2> <p>실수들이 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } , a_ { 4 } , \cdots, a_ { n } , \cdots $ 와 같이 정해진 순서대로 나열된 수들을 무한 실수열(infinite sequence of real numbers)이라 한다. 여기서 $ a_ { 1 } $ 을 첫째 항, $ a_ { 2 } $ 를 둘째항 등으로 부르는데, $ n $ 번째 항인 $ a_ { n } $ 을 일반항이라 한다. 일반적 으로 무한수열은 모든 양의 정수 $ n $ 마다 대응하는 수 $ a_ { n } $ 으로 구성되고, 모든 자연수 $ n $ 에 대하여 $ a_ { n } $ 다음에는 반드시 $ a_ { n + 1 } $ 이 있다. 흔히 무한 실수열은 간단히 실수열 또는 수열(sequence)이라 하는데, $ f(n) = a_ { n } $ 이라 표현하면, \[ f: n \mapsto f(n) \] 의 관계는 자연수의 집합 $ \mathbb { N } $ 을 정의역으로 하고 수열이 치역인 함수 $ f $ 를 결정 한다. 편의상 수열은 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } , \cdots $ 와 같이 나열하거나 일반항을 통해 간단히 $ \left \{ a_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 또는 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 으로 표현한다. 그러나 $ n $ 은 반드시 1 부터 시작할 필요는 없다는 사실에 유의하자. 예를 들면 수열 $ \left \{\frac { n } { n + 1 } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 은 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n } = \frac { n } { n + 1 } $ 임을 의미하므로 $ \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 4 } { 5 } , \cdots, \frac { n } { n + 1 } , \cdots $ 인 수열이다. 반면 수열 $ \{\sqrt { n-3 } \} _ { n=3 } ^ {\infty } $ 은 $ n \geq 3 $ 에 대하여 $ a_ { n } = \sqrt { n-3 } $ 임을 의미하므로 $ 0,1, \sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \cdots, \sqrt { n-3 } , \cdots $ 인 수열이다. 그러나 수열들의 일반항이 다 음 예제와 같이 분명하게 하나의 수식으로 정의되지는 않는 경우도 있다</br>예제 1 (a) $ n $ 년도 1 월 1 일의 세계인구의 수가 $ P_ { n } $ 일 때 수열 $ \left \{ P_ { n } \right \} $ 은 분명한 의미를 가지긴 해도 수의 나열을 통해 쓰기에는 무리가 있다.</br>(b) 무리수 $ e \approx 2.7182818 \cdots $ 의 소수점 이하 $ n $ 번째 자리의 수를 $ a_ { n } $ 이라 하면 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 은 $ 7,1,8,2,8,1,8, \cdots $ 와 같이 나열할 수는 있지만 일반항을 하나의 식으로 표현할 방법은 전혀 없다.</p> <p>이다. 비율 판정법을 의하면 $ \|x + 2\| / 3<1 $ 또는 $ \|x + 2\|<3 $ 일 때 수렴하고, $ \|x + 2\| / 3>1 $ 또는 $ \|x + 2\|>3 $ 일 때 발산하므로 수렴반지름은 $ R=3 $ 이다. 마 지막으로 $ \|x + 2\|<3 $ 와 동치인 구간 $ -5<x<1 $ 의 양 끝점 $ x=-5 $ 와 $ x=1 $ 에서 수렴과 발산을 판정하여야 한다. 실제로, $ x=-5 $ 일 때 급수는 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n(-3) ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } = \frac { 1 } { 3 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } n $ 이므로 발산급수판정법에 의하여 발산하고, $ x=1 $ 일 때도 급수는 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n(-3) ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } = \frac { 1 } { 3 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } n $ 이므로 발산급수판정법에 의하여 발산한다. 따라서 주어진 급수의 수렴구간은 $ (-5,1) $ 이다.</p> <p>앞에서 수렴하는 멱급수들을 통해 함수가 정의된다는 사실을 언급했다. 역으로 기존의 함수들이 멱급수의 형태로 표현될 수 있을까 하는 의문이 생기는데, 이를 해결하려는 노력은 오늘의 미분적분학으로 발전시키는 원동력이 되었다. 실제로 어떤 함수들은 멱급수로 표현할 수 있는데, 지금부터 이에 대해서 알아 보기로 한다.</p> <p>우선 기하급수 $ 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } $ 는 $ \|x\|<1 $ 일 때 $ \frac { 1 } { 1-x } $ 로 수렴하므로, 정의역을 $ (-1,1) $ 로 하는 함수 $ f $ 를</p> <p>(3) \[ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } = \frac { 1 } { 1-x } \]</p> <p>예제 2 (a) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 2 ^ { 2 n } 3 ^ { 1-n } $ 에서 $ n $ 번째 항을 $ a r ^ { n-1 } $ 인 형태로 바꿔 쓰면 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 2 ^ { 2 n } 3 ^ { 1-n } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 4 ^ { n } } { 3 ^ { n-1 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 4 \left ( \frac { 4 } { 3 } \right ) ^ { n-1 } \] 이므로, $ a=4 $ 이고 $ r= \frac { 4 } { 3 } >1 $ 인 기하급수이다. 정리 6 에 의하면 급수는 발산한다.</br>(b) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n + 1) } $ 에서는 분수를 $ \frac { 1 } { i(i + 1) } = \frac { 1 } { i } - \frac { 1 } { i + 1 } $ 의 부분분수 형 태로 분리하면 쉽게 해결이 된다. 따라서 부분합은 \[ s_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac { 1 } { i(i + 1) } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } { i } - \frac { 1 } { i + 1 } \right ) \]</p> <p>\[ = \left ( \frac { 1 } { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \right ) + \cdots + \left ( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right ) \] 인데, 괄호의 뒤에 있는 항과 다음 괄호의 앞에 있는 항이 소거되므로 결국 $ s_ { n } =1- \frac { 1 } { n + 1 } $ 이 된다. 따라서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } { n + 1 } \right )=1 $ 로 수렴 하므로 주어진 급수는 1 에 수렴한다.</p> <p>은 실제로 차수가 $ n $ 인 다항함수이므로, 멱급수는 차수를 무한히 크게 하여 얻어지는 다항함수들의 극한으로 생각하면 된다. 멱급수 (1)에 특정한 값 $ x $ 를 대입하면 $ 10.2 $ 절에서 배웠던 무한급수 가 되고 이는 수렴하거나 발산한다. 특히 수렴하게 되는 $ x $ 에 급수의 합 $ s=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + c_ { 2 } x ^ { 2 } + c_ { 3 } x ^ { 3 } + \cdots $를 대응시킨 다음의 관계 \[ x \longmapsto f(x)=s \] 로 함수 $ f $ 가 결정되는데, 이때의 정의역은 급수가 수렴하는 모든 $ x $ 들의 집합이 된다. 예를 들어서 모든 $ n $ 에 대하여 $ c_ { n } =1 $ 이라고 하면 멱급수는 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } =1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots + x ^ { n } + \cdots \]</p> <p>로 기하급수가 되므로, $ -1<x<1 $ 일 때 수렴하고 $ \|x\| \geq 1 $ 일 때 발산한다는 것을 안다. 따라서 \[ x \longmapsto f(x)=1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots \] 로 정의되는 함수 $ f $ 의 정의역은 열린구간 $ (-1,1) $ 이다. 톡히 $ f(0)=1 $ 이므로 함수 $ f $ 의 $ x $ 절편은 $ (0,1) $ 이다. 일반적으로 멱급수는 실수 $ a $ 에 대하여</p> <p>(2) $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } =c_ { 0 } + c_ { 1 } (x-a) + c_ { 2 } (x-a) ^ { 2 } + c_ { 3 } (x-a) ^ { 3 } + \cdots $</p> <p>와 같은 형태로 정의하는데, 이를 $ x-a $ 에 대한 멱급수, 또는 중심이 $ a $ 인 멱급 수라고 한다. 중심이 0 이면 멱급수 (2)는 바로 (1)이다. 지금부터 멱급수가 수렴하게 되는 $ x $ 를 조사하여 보자. 먼저 $ x=a $ 이면 상수항을 제외한 모든항이 0 이 되므로 멱급수는 $ x=a $ 에서 반드시 $ c_ { 0 } $ 로 수렴한다.</p> <p>\[ \left \|R_ { 2 } (x) \right \| \leq \frac { M } { 3 ! } \|x-8\| ^ { 3 } \] 이 된다. 실제로 구간 $ 7 \leq x \leq 9 $ 에서 이 근사식의 정확도를 조사하여 보자. 특히 $ x \geq 7 $ 일 때 $ x ^ { 3 / 3 } \geq 7 ^ { 8 / 3 } $ 이므로 \[ f ^ {\prime \prime \prime } (x)= \frac { 10 } { 27 } \cdot \frac { 1 } { x ^ { 8 / 3 } } \leq \frac { 10 } { 27 } \cdot \frac { 1 } { 7 ^ { 8 / 3 } }<0.0021 \] 를 얻는데, 이로써 $ M=0.0021 $ 로 택할 수 있다. 그리고 $ 7 \leq x \leq 9 $ 에서 $ \|x-8\| \leq 1 $ 이므로 \[ \left \|R_ { 2 } (x) \right \| \leq \frac { M } { 3 ! } \|x-8\| ^ { 3 }< \frac { 0.0021 } { 3 ! } \cdot 1 ^ { 3 } = \frac { 0.0021 } { 6 }<0.0004 \] 이다. 이 결과는 $ 7 \leq x \leq 9 $ 에서 근사식이 가지는 오차가 $ 0.0004 $ 이내임을 말해 준다.</p> <p>예제 8 예제 $ 4( \mathrm { a } ) $ 에서 구한 0 에서의 테일러 급수 $ \sin x=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } $ $ - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots $ 는 교대급수이다. 이제 $ \|x\|<1 $ 에서 $ \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } $ 은 점차 감소하여 0 에 접근하므로, 교대급수판정법에 의하면 $ \|x\|<1 $ 에서 이 급수는 수렴한다.</p> <p>여기서 $ \sin x $ 의 테일러 급수가 모든 $ x $ 에 대하여 수렵하므로, $ \cos x $ 의 테일러 급수도 모든 $ x $ 에 대하여 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>(b) 0에서의 $ g(x)= \frac {\cos x } { x ^ { 2 } } $ 의 테일러 급수는 (a)의 결과에 $ \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 을 곱하면 된다.</p> <p>즉, \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \cos x &= \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n } } { (2 n) ! } \\ &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n-2 } } { (2 n) ! } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2(n-1) } } { (2 n) ! } \end {aligned} \] 이고, 마찬가지로 모든 실수 $ x $ 에 대하여 수렴한다.</p> <p>(c) 0 에서의 $ h(x)= \tan x $ 의 테일러 급수는 \[ \tan x= \frac {\sin x } {\cos x } = \frac { x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots } { 1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } \cdots } \] 인데 나눗셈을 직접 계산함으로써</p> <p>(14) \[ \tan x=x + \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 2 } { 15 } x ^ { 5 } + \cdots \] 을 얻는다.</p> <p>로 표현되는데, 이 사실은 함수를 멱급수로 표현함으로써 얻을 수 있는 성과 증 하나이다.</p> <p>예제3 $ a=2 $ 에서의 $ f(x)=e ^ { x } $ 의 테일러 급수를 구하여 보자. 모든 $ n $ 에 대 하여 $ f ^ { (n) } (2)=e ^ { 2 } $ 이므로 테일러 급수는 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (2) } { n ! } (x-2) ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { e ^ { 2 } } { n ! } (x-2) ^ { n } \] 이 된다. 예제 1 에서 보았듯이 이 급수의 수렴반지름은 $ R= \infty $ 이고. 예제 2 에서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } R_ { n } (x)=0 $ 임을 알았으므로, 모든 $ x $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} e ^ { x } &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { e ^ { 2 } } { n ! } (x-2) ^ { n } \\ &=e ^ { 2 } + e ^ { 2 } (x-2) + \frac { e ^ { 2 } } { 2 ! } (x-2) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 3 ! } (x-2) ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} \] 라는 결론을 내릴 수 있다. 주 함수 $ e ^ { x } $ 에 대하여 예제 1 에서는 0 을 중심으로, 예제 3 에서는 2 를 중심으로 하는 테일러 수를 각각 구하였다. 함수값 $ f(x) $ 의 근사값으로 $ n $ 차 테일러 다항함수 $ T_ { n } (x) $ 을 택했을 때 발생하는 오차 $ R_ { n } (x) $ 의 크기를 고려한다면, 0 에 가까은 $ x $ 에서는 예제 1 이 적절하고 2 에 가 까운 $ x $ 에서는 예제 3 이 적절하다.</p> <p>(c) 피보나치 수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 은 $ f_ { 1 } =1, f_ { 2 } =1 $ 이고 $ n \geq 3 $ 일 때 $ f_ { n } $ 은 이전 두 항 을 합한 것으로 다음 조건 \[ f_ { n } =f_ { n-1 } + f_ { n-2 } \] 에 의하여 반복적으로 정의된다. 처음 몇 항을 나열해 보면 $ \{ 1,1,2,3,5 $, $ 8,13,21, \cdots \} $ 이 된다. 이 수열은 13 세기 이탈리아 수학자 피보나치 (Fibonacci)가 토끼의 번식에 관한 문제를 푸는 과정에서 발견하였다. 일반적으로 수열에 대하여 $ n $ 을 한없이 크게 하면 $ a_ { n } $ 이 일정한 값에 접근하는 경우가 있다. 예를 들면, 일반항이 $ a_ { n } =n /(n + 1) $ 인 수열은 $ n $ 이 증가함에 따라서 각 항들이 1 에 가까워진다. 실제로 \[ 1- \frac { n } { n + 1 } = \frac { 1 } { n + 1 } \] 에 $ n $ 을 충분히 크게 하면 이 수들은 점점 작은 수가 되어 0 에 접근하게 된다. 이 경우 수열 $ \left \{\frac { n } { n + 1 } \right \} $ 이 1에 수렴(converge) 한다, 혹은 수열의 극한(limit)이 1 이라 하고 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 1 } =1 \] 로 나타낸다. 일반적으로 기호 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 은 $ n $ 이 무한대로 커짐에 따라 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 이 $ L $ 에 접근함을 의미하는데, 앞에서 배웠던 함수의 극한에 관한 정의와 매우 유사하다.</p> <p>정의 $ n $ 이 무한대로 커질 때 $ a_ { n } $ 이 $ L $ 에 접근하는 경우 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 의 극한 값은 $ L $ 이라 하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 또는 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 $ a_ { n } \rightarrow L $ 로 나타낸다. 만약 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } $ 이 $ L $ 로 존재하면 수열은 수렴한다(converge) 고 하며, 그렇지 않을 경우 수열은 발산한다(diverge)고 한다. 특히 $ n $ 이 무한대로 커짐에 따라서 $ a_ { n } $ 이 점차 양의 무한대로 커지거나 음의 무한대 로 작아지면서 극한이 존재하지 않으면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \pm \infty $ 로 나타내는데, 물론 발산하는 경우의 하나이다.</p> <p>(b) 왼쪽 변을 적분하면 $ \ln (1-x) $ 이므로, 이 로그함수의 멱급수는 오른쪽 변 을 항별 적분하여 \[ \begin {aligned} - \ln (1-x) &= \int \frac { 1 } { 1-x } d x= \int \left (1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots \right ) d x \\ &=x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \cdots + C= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } + C \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n } + C \end {aligned} \]</p> <p>이 된다. 이제 $ C $ 의 값을 정하기 위하여 $ x=0 $ 을 대입하면 $ C=- \ln (1-0)=0 $ 이므로 \[ \ln (1-x)=-x- \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \cdots=- \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n } \] 이 되고, 수렴반지름은 원래의 급수와 동일하므로 $ R=1 $ 이다.</p> <p>주 예제 8 (b)에 $ x= \frac { 1 } { 2 } $ 을 대입하면 $ \ln \frac { 1 } { 2 } =- \ln 2 $ 이므로 \[ \ln 2= \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 24 } + \cdots= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n 2 ^ { n } } \] 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 9 $ f(x)= \tan ^ { -1 } x $ 롤 멱급수로 표현하여 보자. 실제로 \[ \begin {aligned} \tan ^ { -1 } x &= \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x= \int \left (1-x ^ { 2 } + x ^ { 4 } -x ^ { 6 } + \cdots \right ) d x \\ &=c + x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 } + \cdots \end {aligned} \] 인데, 여기서 예제 6 의 결과에 항별 적분을 이용하였다. 톡히 $ x=0 $ 일 때 $ \tan ^ { -1 } 0=0 $ 이므로 $ C=0 $ 을 얻는다. 따라서 \[ \tan ^ { -1 } x=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 } + \cdots= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } \] 이고 $ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $ 의 급수의 수렴반지름이 1 이므로 $ \tan ^ { -1 } x $ 의 급수의 수렴반지름도 1 이다.</p> <h2>10.5 연습문제</h2> <p>※ (1-6) 0 에서의 함수 $ f(x) $ 의 테일러 급수를 구하고, 이 급수의 수렴반지름을 구하여라.</p> <p>1. $ f(x)= \sin 2 x $</p> <p>2. $ f(x)=x e ^ { x } $</p> <p>3. $ f(x)= \ln (1 + x) $</p> <p>4. $ f(x)= \cosh x $</p> <p>5. $ f(x)=e ^ { 5 x } $</p> <p>6. $ f(x)=(1 + x) ^ { -3 } $</p> <p>※ (7-12) 다음에서 주어진 점 $ a $ 에서의 $ f(x) $ 의 테일러 급수 를 구하고, 이 급수의 수렵반지름을 구하여라.</p> <p>7. $ f(x)=1 + x + x ^ { 2 } , a=2 $</p> <p>8. $ f(x)=e ^ { x } , a=3 $</p> <p>9. $ f(x)= \cos x, a= \pi $</p> <p>10. $ f(x)=1 / \sqrt { x } , a=9 $</p> <p>11. $ f(x)= \ln x, \quad a=2 $</p> <p>12. $ f(x)=x ^ { -2 } , \quad a=1 $</p> <p>※ (13-18) 앞에서 배운 0 에서의 테일러 급수를 이용하여 다 음 함수의 테일러 급수를 구하여라.</p> <p>13. $ f(x)=x \cos 2 x $</p> <p>14. $ f(x)=x \tan ^ { -1 } x $</p> <p>15. $ f(x)=e ^ { -x / 2 } $</p> <p>16. $ f(x)= \sin \left (x ^ { 4 } \right ) $</p> <p>17. $ f(x)=x ^ { 2 } e ^ { -x } $</p> <p>18. $ f(x)= \sin ^ { 2 } x $ [힌트] $ \sin ^ { 2 } x= \frac { 1 } { 2 } (1- \cos 2 x) $</p> <p>※ (19-22) 멱급수를 이용하여 다음의 부정적분을 구하여라.</p> <p>19. $ \int x \cos \left (x ^ { 3 } \right ) d x $</p> <p>20. $ \int \frac {\sin x } { x } d x $</p> <p>21. $ \int \sqrt { x ^ { 3 } + 1 } d x $</p> <p>32. $ \frac { 1 } { (2 + x) ^ { 3 } } $</p> <p>33. $ \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { 2 + x } } $</p> <p>34. $ \frac { x } {\sqrt { 4 + x ^ { 2 } } } $</p> <p>※ (35-38) (a) $ a $ 에서의 $ n $ 차 테일러 다항식에 의하여 $ f $ 의 근사값을 구하여라.</p> <p>(b) 주어진 구간의 $ x $ 에 대하여 택한 근사값 $ f(x) \approx $ $ T_ { n } (x) $ 의 정환도를 측정하여라.</p> <p>(c) (b)의 결가로부터 $ \left \|R_ { n } (x) \right \| $ 의 크기를 그래프로 확인하여라.</p> <p>35. $ f(x)= \sqrt { x } , \quad a=4, \quad n=2,4 \leq x \leq 4.2 $</p> <p>36. $ f(x)=x ^ { -2 } , \quad a=1, \quad n=2, \quad 0.9 \leq x \leq 1.1 $</p> <p>37. $ f(x)= \cos x, \quad a= \pi / 3, n=4, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi / 3 $</p> <p>38. $ f(x)=x \ln x, a=1, \quad n=3,0.5 \leq x \leq 1.5 $</p> <p>39. $ f(x)= \sin x, a= \pi / 6, n=3 $ 을 이용하여 $ \sin 35 ^ {\circ } $ 의 근사값을 소수점 이하 다섯째 자리까지 추정하여라.</p> <p>40. $ e ^ { x } $ 의 0 에서의 테일러 급수를 이용한 $ e ^ { 0.1 } $ 의 근사값이 $ 0.0001 $ 의 정확도를 가지려면 테일러 급수의 몇 째 항까 지 이용하여야 하는지 조사하여라.</p> <p>※ (41-42) 테일러 부등식을 이용하여 측정한 근사값이 주어 진 오차의 크기만큼 정확하도록 하는 $ x $ 의 값을 찾아라.</p> <p>41. $ \sin x \approx x- \frac { x ^ { 3 } } { 6 } \quad $, $ \mid $ 오차 $ \mid<0.01 $</p> <p>42. $ \cos x \approx 1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 4 } } { 24 } , \quad $ \|오차 $<0.005 $</p> <p>43. (a) 이항급수를 이용하여 0 에서의 $ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x ^ { 3 } } } $ 의 테일러 급수를 구하여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 $ f ^ { (9) } (0) $ 을 계산하여라.</p> <p>44. (a) $ f(x)= \frac { x } { (1-x) ^ { 2 } } $ 을 멱급수로 표현하여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n } { 2 ^ { n } } $ 의 합을 구하여라.</p> <p>45. (a) $ f(x)= \frac {\left (x + x ^ { 2 } \right ) } { (1-x) ^ { 3 } } $ 을 멱급수로 표현하여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 2 } } { 2 ^ { n } } $ 의 합을 구하여라.</p> <p>(d) $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } c_ { n } 9 ^ { n } $</p> <p>22. $ c \neq 0 $ 일 때 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt[n] {\left \|c_ { n } \right \| } =c $ 이면 급수 $ \sum c_ { n } x ^ { n } $ 의 수렴 반지름이 $ R=1 / c $ 임을 보여라.</p> <p>23. $ \sum c_ { n } x ^ { n } $ 의 수렴반지름이 $ R $ 이다. 멱급수 $ \sum c_ { n } x ^ { 2 n } $ 의 수렴반지름은 얼마인가?</p> <p>※ (24-29) 다음 함수의 멱급수 표현을 찾고 수렴반지름을 구하여라.</p> <p>24. $ f(x)= \frac { 1 } { x-5 } $</p> <p>25. $ f(x)= \frac { 1 } { 1-x ^ { 3 } } $</p> <p>26. $ f(x)= \frac { 1 } { 1 + 9 x ^ { 2 } } $</p> <p>27. $ f(x)= \frac { x } { 9 + x ^ { 2 } } $</p> <p>28. $ f(x)= \frac { 3 } { 1-x ^ { 4 } } $</p> <p>29. $ f(x)= \frac { x } { 4 x + 1 } $</p> <p>※ (30-31) 다음 함수의 멱급수를 구하기 위해, 먼저 분수를 부분 변수로 분리한 두 각각의 멱급수를 구하여라. 이 때 수렴반지름은 얼마인가?</p> <p>30. $ f(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x-2 } \quad $</p> <p>31. $ f(x)= \frac { 7 x-1 } { 3 x ^ { 2 } + 2 x-1 } $</p> <p>32. (a) 미분을 이용하여 함수 $ f(x)=1 /(1 + x) ^ { 2 } $ 를 멱급수로 표현하고 수렴반지름을 구하여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 $ f(x)=1 /(1 + x) ^ { 3 } $ 의 멱급수를 구 하여라.</p> <p>(7) $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots $</p> <p>이 된다. 이 급수의 수렴반지름을 구하기 위하여 $ a_ { n } =x ^ { n } / n ! $ 라고 놓으면 $ n \rightarrow \infty $ 일 때, \[ \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \left \| \frac { x ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } \cdot \frac { n ! } { x ^ { n } } \right \|= \frac { \|x\| } { n + 1 } \rightarrow 0<1 \]</p> <p>이 되어 비율 판정법에 의하면 모든 $ x $ 에 대하여 테일러 급수 (7)은 수렴하고 수렴반지름은 $ R= \infty $ 이다.</p> <h3>■ $ n $ 차 테일러 다항함수</h3> <p>예제 1로부터 함수 $ f(x)=e ^ { x } $ 가 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } $ 로 포현된다는 것을 알았다. 그런데 $ e ^ { x } $ 가 멱급수 표현을 가지는지는 어떻게 알 수 있을까? 다시 말해서 어떤 조건에서 함수값 $ f(x) $ 와 테일러 급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } (x-a) ^ { n } $ 가 같아질까? 이를 알아보기 위해 함수 $ f $ 가 무한번 미분가능하고</p> <h2>$ 10.2 $ 연습문제</h2> <p>1. 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n } = \frac { 2 n } { 3 n + 1 } $ 이라 하자.</br>(a) 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 이 수렴하는가?</br>(b) 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 수렴하는가?</br>※ (2-17) 다음 급수의 수렴발산을 판단하고 수렴하면 합을 구하여라.</br>2. $ -2 + \frac { 5 } { 2 } - \frac { 25 } { 8 } + \frac { 125 } { 32 } - \cdots $</br>3. $ 1 + 0.4 + 0.16 + 0.064 + \cdots $</br>4. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 5 \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n-1 } $</br>5. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-3) ^ { n-1 } } { 4 ^ { n } } $</br>6. $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 2 } { n ^ { 2 } -1 } $</br>7. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 3 } { n(n + 3) } + \frac { 5 } { 4 ^ { n } } \right ) $</p> <p>8. $ \sum_ { k=2 } ^ {\infty } \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } -1 } $</br>9. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \sqrt[n] { 2 } $</br>10. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \arctan n $</br>11. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { e ^ { -n } } { 3 ^ { n-1 } } $</br>12. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } ( \cos 1) ^ { k } $</br>13. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { ( \sqrt { 2 } ) ^ { n } } $</br>14. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 3 ^ { n } + 2 ^ { n } } { 6 ^ { n } } $</br>15. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ln \left ( \frac { n } { 2 n + 5 } \right ) $</br>16. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 3 } { 5 n } + \frac { 2 } { n } \right ) $</br>17. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n } { n + 5 } $</br>※ (18-21) 다음과 같은 순환소수를 분수로 나타내어라.</br>18. $ 0 . \overline { 2 } =0.2222 \cdots $</br>19. $ 0 . \overline { 73 } =0.73737373 \cdots $</p> <h3>■ 테일러 급수 (Taylor series)</h3> <p>멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $ 가 수렴반지릅 $ R>0 $ 을 가지면, 구간 $ (a-R, a + R) $ 에 있는 모든 $ x $ 에 대하여</p> <p>(1) $ \quad f(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } (x-a) + c_ { 2 } (x-a) ^ { 2 } + c_ { 3 } (x-a) ^ { 3 } + \cdots $</p> <p>로 정의되는 함수 $ f $ 가 존재한다. 식 (1)에 $ x=a $ 를 대입하면 $ f(a)=c_ { 0 } $ 를 얻듯이 $ n \geq 1 $ 인 계수 $ c_ { n } $ 을 $ f $ 의 함수값으로 결정할 수 있을까? 이를 알아보기 위해 식 (1)을 항별미분하면</p> <p>(2) $ f ^ {\prime } (x)=c_ { 1 } + 2 c_ { 2 } (x-a) + 3 c_ { 3 } (x-a) ^ { 2 } + 4 c_ { 4 } (x-a) ^ { 3 } + \cdots $</p> <p>이 되는데, 여기에 $ x=a $ 를 대입하면 원했던 $ f ^ {\prime } (a)=c_ { 1 } $ 을 얻는다. 다시 식 (2)를 항별미분하면</p> <p>(3) $ f ^ {\prime \prime } (x)=2 c_ { 2 } + 2 \cdot 3 c_ { 3 } (x-a) + 3 \cdot 4 c_ { 4 } (x-a) ^ { 2 } + \cdots $</p> <p>을 얻을 것이므로 $ n $ 번째 계수 $ c_ { n } $ 은 \[ c_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } \] 로 결정된다. 특히 $ 0 !=1 $ 과 $ f ^ { (0) } (x)=f(x) $ 를 사용하면 $ n=0 $ 인 경우에도 식 (4)가 성립하므로 다음의 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>$ \mathbf { 5 } $ 단조수렴정리 유계이고 단조인 수열은 반드시 수렴한다.</p> <p>예제 9 수열 $ a_ { n } = \frac { 2 ^ { n } } { n ! } $ 의 수렴성을 조사하여 보자. 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 \[ \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } = \frac {\frac { 2 ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } } {\left ( \frac { 2 ^ { n } } { n ! } \right ) } = \frac { 2 ^ { n + 1 } n ! } { 2 ^ { n } (n + 1) ! } = \frac { 2 } { n + 1 } \leq 1 \]</p> <p>이므로 수열은 감소수열이다. 그리고 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} 0< \frac { 2 ^ { n } } { n ! } &= \frac { 2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 2 } { n \cdot(n-1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1 } \\ &= \left [ \frac { 2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2 } { n \cdot(n-1) \cdot \cdots \cdot 2 } \right ] \left ( \frac { 2 } { 1 } \right ) \leq 2 \end {aligned} \] 이므로 유계수열인데, 여기서 오른쪽 변에 괄호로 묶은 분수가 1 보다 작다는 것 을 이용하였다. 따라서 단조수렴정리에 의하여 이 수열은 수렴한다.</p> <h2>$ 10.1 $ 연습문제</h2> <p>※ (1-4) 다음의 수열에서 첫째 항부터 다섯째 항까지 구하여라.</br>1. $ a_ { n } =1-(0.2) ^ { n } $</br>2. $ a_ { n } = \frac { 3(-1) ^ { n } } { n ! } $</br>3. $ a_ { 1 } =3 $, 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n + 1 } =2 a_ { n } -1 $</br>4. $ a_ { 1 } =4 $, 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n + 1 } = \frac { a_ { n } } { a_ { n } -1 } $</br>※ (5-8) 다음 수열들의 일반항을 구하여라.</br>5. $ \left \{\frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 8 } , \frac { 1 } { 16 } , \cdots \right \} $</br>6. $ \left \{ 1,- \frac { 2 } { 3 } , \frac { 4 } { 9 } ,- \frac { 8 } { 27 } , \cdots \right \} $</br>7. $ \{ 5,1,5,1,5,1, \cdots \} $</br>8. $ \{ 2,7,12,17, \cdots \} $</br>※ (9-20) 다음 수열들의 수렴, 발산을 결정하고, 수렴하는 경우 극한을 구하여라.</br>9. $ a_ { n } =n(n-1) $</br>10. $ a_ { n } = \frac { 2 ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } $</br>11. $ a_ { n } = \frac { (-1) ^ { n-1 } n } { n ^ { 2 } + 1 } $</br>12. $ a_ { n } = \cos (n / 2) $</br>13. $ \left \{ n ^ { 2 } e ^ { -n } \right \} $</br>14. $ \left \{\frac { (2 n-1) ! } { (2 n + 1) ! } \right \} $</br>15. $ a_ { n } = \cos \left ( \frac { n } { 2 } \right ) $</br>16. $ \left \{\frac { e ^ { n } + e ^ { -n } } { e ^ { 2 n } -1 } \right \} $</br>17. $ a_ { n } = \ln (n + 1)- \ln n $</br>18. $ a_ { n } = \frac {\sqrt { n } } { 1 + \sqrt { n } } $</br>19. $ a_ { n } =n ^ { 2 } e ^ { -n } $</br>20. $ a_ { n } = \frac { n ! } { 2 ^ { n } } $</p> <p>(c) (b)를 이용하여 $ f(x)=x ^ { 2 } /(1 + x) ^ { 3 } $ 의 멱급수를 구하여라.</p> <p>33. (a) 예제 8 의 (b)를 이용하여 $ f(x)= \ln (1 + x) $ 의 멱급수를 구하여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 $ f(x)=x \cdot \ln (1 + x) $ 의 멱급수를 구하여라.</p> <p>(c) (a)를 이용하여 $ f(x)= \ln \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) $ 의 멱급수를 구하여라.</p> <p>※ (34-37) 다음 함수를 멱급수로 표현하고 수렴반지름을 구하여라.</p> <p>34. $ f(x)=x \ln (1 + x) \quad $</p> <p>35. $ f(x)= \frac { x ^ { 2 } } { (1-2 x) ^ { 2 } } $</p> <p>36. $ f(x)= \arctan \left ( \frac { x } { 3 } \right ) \quad $</p> <p>37. $ f(x)= \frac { x ^ { 3 } } { (x-2) ^ { 2 } } $</p> <p>※ (38-41) 다음 부정적분을 멱급수로 표현하고 수렴반지름 을 구하여라.</p> <p>38. $ \int \frac { t } { 1-t ^ { 2 } } d t $</p> <p>39. $ \int \frac {\ln (1-t) } { t } d t $</p> <p>40. $ \int \frac { x- \tan ^ { -1 } x } { x } d x \quad $</p> <p>41. $ \int \tan ^ { -1 } \left (x ^ { 2 } \right ) d x $</p> <p>42. $ \|x\|<1 $ 에서의 기하급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } $ 를 이용하여 다음 급수의 합을 구하여라.</p> <p>(a) $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } n x ^ { n-1 } $</p> <p>(b) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n x ^ { n } $</p> <p>(c) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n } { 2 ^ { n } } $</p> <h2>$ 10.3 $ 급수의 수렴판정법</h2> <p>$ 10.2 $ 절에서의 기하급수나 $ \sum 1 / n(n + 1) $ 와 같은 급수는 부분합 $ s_ { n } $ 이 간단한 형태가 되어 극한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } $ 을 통해 급수의 합을 쉽게 구할 수 있었다. 그러나 대부분의 경우 급수의 합을 정확히 구하는 것이 상당히 어렵다. 수열의 수렴성이 중요했던 것과 마찬가지로, 급수의 합 보다는 급수가 수렴한다는 조건만으로 충분한 경우가 많다. 이 절에서는 급수의 수렴과 발산을 결정하는 여러 가지 판정 법에 대하여 알아보도록 하는데, 어떤 급수에 어떤 판정법이 적절한가 판단하는 것은 많은 경험을 통해야 가능하다.</p> <h3>[1] 적분판정법 (Integral Test)</h3> <p>급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } $ 에서 $ a_ { k } $ 를 대표할 수 있는 함수를 이용하는 방법이다.</p> <p>10 적분판정법 $ f $ 가 $ [1, \infty) $ 에서 연속이면서 양의 값을 갖는 감소함수이 고 $ k=1,2,3, \cdots $ 에 대하여 $ f(k)=a_ { k } $ 를 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.</p> <p>(a) 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 수렴하면 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } $ 도 수렴한다.</br>(b) 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 발산하면 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } $ 도 발산한다.</p> <p>증명 (a) 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 수렴한다고 하자. 그림 1 에서 표시된 $ n $ 번째 직사각형은 가로가 1 이고 세로가 $ f(n + 1)=a_ { n + 1 } $ 이므로 넓 이는 $ a_ { n + 1 } $ 이 된다. 따라서 첫 번째부터 $ (n-1) $ 번째 사각형까지의 넓이의 합은 $ \sum_ { k=2 } ^ { n } a_ { k } $ 이고, $ x=1 $ 부터 $ x=n $ 까지 그래프 아래의 영역의 넓이는 $ \int_ { 1 } ^ { n } f(x) d x $ 이므로</br>(1) $ \quad \sum_ { k=2 } ^ { n } a_ { k } \leq \int_ { 1 } ^ { n } f(x) d x \leq \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $</br>을 얻는데, 두 번째 부등호는 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 가 수렴하고 $ f(x) \geq 0 $ 인 사실로 유도하였다. 이제 부분합은 식 (1)에 의해 \[ s_ { n } =a_ { 1 } + \sum_ { k=2 } ^ { n } a_ { k } \leq a_ { 1 } + \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) dx \] 이므로, 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 은 위로 유계가 된다. 또한 $ a_ { n + 1 } =f(n + 1) \geq 0 $ 으로 부터 $ s_ { n + 1 } =s_ { n } + a_ { n + 1 } \geq s_ { n } $ 이므로 이 수열은 증가수열이 다. 따라서 단조수렴정리에 의해 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 은 수렴한다. (b) 특이적분 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } f(x) d x $ 이 발산한다고 하자. (a)의 경우와 마찬가지 로 그림 2 로부터 첫 번째부터 (n-1) 번째까지의 사각형의 넓이의 합은 $ \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } a_ { k } $ 이고, $ x=1 $ 에서 $ x=n $ 까지 그래프 아래의 영역의 넓 이는 $ \int_ { 1 } ^ { n } f(x) d x $ 이므로, \[ \int_ { 1 } ^ { n } f(x) d x \leq a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { n-1 } = \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } a_ { k } =s_ { n-1 } \]</p> <h2>$ 10.3 $ 연습문제</h2> <p>※ (1-4) 다음 급수가 수렴하는 $ p $ 값을 구하여라.</p> <p>1. $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n( \ln n) ^ { p } } $</p> <p>2. $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } 1 / \left (n ^ { p } \ln n \right ) $</p> <p>3. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n-1 } } { n ^ { p } } $</p> <p>4. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n-1 } \frac { ( \ln n) ^ { p } } { n } $</p> <p>5. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n ^ { p } } $</p> <p>6. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n \left (1 + n ^ { 2 } \right ) ^ { p } $</p> <p>※ (7-40) 가장 적절한 판정법을 택하여 다음 급수의 수렴 * 발산을 결정하여라.</p> <p>7. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 4 } } $</p> <p>8. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt[4] { n } } $</p> <p>9. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 3 n + 1 } $</p> <p>10. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { n + 2 } { n + 1 } $</p> <p>11. $ \sum_ {\mathrm { n } =1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } + n + 1 } $</p> <p>12. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 5 } { 2 + 3 ^ { n } } $</p> <p>41. (a) $ \sum a_ { n } $ 과 $ \sum b_ { n } $ 이 양수급수이고 $ \sum b_ { n } $ 이 수렴한다고 하자. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } =0 $ 이면 $ \sum a_ { n } $ 이 수렴함을 보여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 다음 급수가 수렴함을 보여라.</p> <p>(i) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n ^ { 3 } } $</p> <p>(ii) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } {\sqrt { n } e ^ { n } } $</p> <p>42. (a) $ \sum a_ { n } $ 과 $ \sum b_ { n } $ 이 양수급수이고 $ \sum b_ { n } $ 이 발산한다 고 하자. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } = \infty $ 이면 $ \sum a_ { n } $ 이 발산함을 보 여라.</p> <p>(b) (a)를 이용하여 다음 급수가 발산함을 보여라.</p> <p>(i) $ \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\ln n } $</p> <p>(ii) $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } $</p> <p>* (43-50) 다음 교대급수의 수렴·발산을 결정하여라.</p> <p>43. $ - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 2 } { 4 } - \frac { 3 } { 5 } + \frac { 4 } { 6 } - \frac { 5 } { 7 } + \cdots $</p> <p>44. $ \frac { 1 } {\ln 2 } - \frac { 1 } {\ln 3 } + \frac { 1 } {\ln 4 } - \frac { 1 } {\ln 5 } + \frac { 1 } {\ln 6 } - \cdots $</p> <p>주 예제 5 는 급수의 수렴을 조사할 때 어떤 판정법을 쓰는 게 좋은지 각자의 선택에 달려 있음 을 말해 준다. 연습문제에서 주어진 급수에 적절한 판정법을 택하는 연습을 할 것인데, 다양 한 방법을 통해 판정해 봄으로써 충분한 경험을 쌓도록 하라.</p> <h3>[III ] 극한비교판정법 (Limit Comparison Test)</h3> <p>주어진 급수의 항들이 비교하려는 수렴급수의 항들보다 크거나 발산급수의 항들보다 작으면 비교판정법을 이용할 수 없다. 예를 들어서 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } -1 } $ 은 수렴하는 기하급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } $ 와 유사하므로 수렴할 것으로 추측이 되지만,</p> <p>$ a_ { n } = \frac { 1 } { 2 ^ { n } -1 } >\frac { 1 } { 2 ^ { n } } =b_ { n } $ 이므로 비교판정법을 사용할 수가 없다. 이런 경우에 는 다른 판정법을 사용해야 한다.</p> <p>13 극한비교판정법 $ \sum a_ { n } $ 과 $ \sum b_ { n } $ 이 양수급수일 때, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } =c>0 $ 이면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.</p> <p>증명 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } =c>0 $ 이므로 충분히 큰 $ n $ 에 대하여 $ \frac { a_ { n } } { b_ { n } } $ 은 $ c $ 가까이 있는 데, 특히 $ c $ 로부터 거리가 $ \frac { c } { 2 } $ 보다 작은 열린구간 안에 존재한다. 이를 다시 쓰면, 적당한 $ N>0 $ 이 존재하여 $ n>N $ 이면 \[ c- \frac { c } { 2 }< \frac { a_ { n } } { b_ { n } }<c + \frac { c } { 2 } \] 가 된다. 이제 $ c- \frac { c } { 2 } =m $ 이라 두고 $ c + \frac { c } { 2 } =M $ 이라 두면, $ n>N $ 일 때 $ m b_ { n }<a_ { n }<M b_ { n } $ 인 관계를 얻는다. 여기에 비교판정법에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. (i) $ \sum b_ { n } $ 이 수렴하면 $ \sum M b_ { n } $ 도 수렴하므로 $ \sum a_ { n } $ 은 수렴한다. (ii) $ \sum b_ { n } $ 이 발산하면 $ \sum m b_ { n } $ 도 발산하므로 $ \sum a_ { n } $ 은 발산한다.</p> <p>이다. 여기서 $ n $ 번째 일반항 $ 1- \frac { 1 } { 2 ^ { n } } $ 은 $ n $ 이 커짐에 따라서 1 에 접근하게 되는 데, 이는 급수의 항들을 누적하여 계속 더하다 보면 1 에 접근한다는 것을 말한 다. 이 경우 급수는 1 에 수렴한다고 하는데, 극한 1 을 급수의 합(sum)이라 하고 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 16 } + \cdots \frac { + 1 } { 2 ^ { n } } + \cdots=1 \] 로 나타낸다. 일반적으로, 급수의 합을 구하기 위하여 다음과 같이 누적하여 더한 $ s_ { 1 } =a_ { 1 } $ $ s_ { 2 } =a_ { 1 } + a_ { 2 } $ $ s_ { 3 } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } $ $ s_ { 4 } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + a_ { 4 } $ 을 생각해 보자. $ n $ 번째 항까지의 합을 부분합(partial sum)이라 하고 $ s_ { n } $ 을 써서 \[ s_ { n } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } \] 로 표기한다. 부분합들로 구성된 새로운 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 이 수렴하는 경우도 있고 발 산하는 경우도 있다.</p> <p>정의 무한급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 에서 $ n $ 번째까지의 부분합을 $ s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } $ 이라 하 자. 만약 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 이 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } =s $ 로 수렴하면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 은 $ s $ 에 수렴한 다고 하는데, $ s $ 를 급수의 합이라 하고 \[ a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } + \cdots=s \text { , 또는 } \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } =s \] 로 나타낸다. 그리고 부분합의 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 이 발산하면 급수는 발산한다고 한다.</p> <p>예제11 $ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 4-x } } $ 에서 $ f(x) $ 를 $ (1 + x) ^ { k } $ 의 형태로 쓰면 $ f(x)= \frac { 1 } { 2 } \left (1- \frac { x } { 4 } \right ) ^ { -1 / 2 } $ 이다. 먼저 $ k=-1 / 2 $ 인 이항급수를 구하면 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x } } &=(1 + x) ^ { -1 / 2 } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { c } -1 / 2 \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } \\ &=1 + (-1 / 2) x + \frac { (-1 / 2)(-3 / 2) } { 2 ! } x ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>\[ \begin {aligned} & + \frac { (-1 / 2)(-3 / 2)(-5 / 2) } { 3 ! } x ^ { 3 } + \cdots \\ =1&- \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 \cdot 3 } { 2 ! 2 ^ { 2 } } x ^ { 2 } - \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 3 ! 2 ^ { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots \\ & + \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1) } { n ! 2 ^ { n } } x ^ { n } + \cdots \end {aligned} \] 이 되는데, 여기서 $ x $ 대신에 $ -x / 4 $ 롤 대입하면 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } {\sqrt { 4-x } } =& \frac { 1 } { 2 } \left (1- \frac { x } { 4 } \right ) ^ { -1 / 2 } \\ =& \frac { 1 } { 2 } \left [1- \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { -x } { 4 } \right ) + \frac { 1 \cdot 3 } { 2 ! 2 ^ { 2 } } \left ( \frac { -x } { 4 } \right ) ^ { 2 } - \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 3 ! 2 ^ { 3 } } \left ( \frac { -x } { 4 } \right ) ^ { 3 } + \cdots \right ] \\ =& \frac { 1 } { 2 } \left [1 + \frac { 1 } { 8 } x + \frac { 1 \cdot 3 } { 2 ! 8 ^ { 2 } } x ^ { 2 } + \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 3 ! 8 ^ { 3 } } x ^ { 3 } + \cdots \right . \\ & \left . + \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1) } { n ! 8 ^ { n } } x ^ { n } + \cdots \right ] \end {aligned} \] 을 얻는다. 이 급수는 $ \|-x / 4\|<1 $ 또는 $ \|x\|<4 $ 일 때 수렴하므로 수렴반지 릅은 $ R=4 $ 이다.</p> <p>예제9 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } 3 n } { 4 n-1 } $ 는 교대급수이지만 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 n } { 4 n-1 } = \frac { 3 } { 4 } $ 로 0에 수렴하지 않아 조건 (ii)를 만족하지 않는다. 따라서 교대급수판정법 14 에 의해 수렴하지 않는다는 것을 알 수 있다. 또한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (-1) ^ { n } 3 n } { 4 n-1 } $ 이 존재하지 않으므로 발산급수판정법 8 에 의해서도 발산함을 알 수 있다.</p> <p>예제 10 교대급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 3 } + 1 } $ 가 교대급수판정법의 조건 (i)과 (ii)를 만족하는지를 알아보자. (i) 수열 $ b_ { n } = \frac { n ^ { 2 } } { n ^ { 3 } + 1 } $ 이 감소하는지 명확하지 않으므로 감소여부를 알아보기 위하여 $ f(x)= \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } + 1 } $ 라 두자. 그러면 모든 $ f(n)=b_ { n } $ 은 정의역 $ x $ 가 양 수인 경우에 나타난다. 함수가 구간 $ x>0 $ 에서 감소하는 경우는 도함수가 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { x \left (2-x ^ { 3 } \right ) } {\left (x ^ { 3 } + 1 \right ) ^ { 2 } }<0 $ 일 때이므로, 이를 풀면 $ 2-x ^ { 3 }<0 $ 즉 $ x>2 ^ { 1 / 3 } $ 일 때이다. 따라서 $ n \geq 2 $ 일 때 $ f(n + 1)<f(n) $ 이 되어 $ b_ { n + 1 } \leq b_ { n } $ 이</p> <p>※ (21-26) 다음 수열이 단조수열인지, 유계수열인지 밝혀라.</br>21. $ a_ { n } = \frac { 1 } { 5 ^ { n } } $</br>22. $ a_ { n } = \frac { 2 n-3 } { 3 n + 4 } $</br>23. $ a_ { n } =n e ^ { -n } $</br>24. $ a_ { n } =n + \frac { 1 } { n } $</br>25. $ a_ { n } = \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 } $</br>26. $ a_ { n } = \cos \left ( \frac { n \pi } { 2 } \right ) $</br>※ (27-28) 다음과 같이 정의된 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 이 단조수열정리 에 의해 수렴함을 보이고 극한을 구하여라.</br>27. $ a_ { 1 } =1, a_ { n + 1 } =3-1 / a_ { n } \quad(n \geq 1) $</br>28. $ a_ { 1 } =2, \quad a_ { n + 1 } = \frac { 1 } { 3-a_ { n } } \quad(n \geq 1) $</br>29. $ a>b $ 인 두 자연수 $ a $ 와 $ b $ 에 대하여 $ a_ { 1 } $ 을 산술평균 $ a_ { 1 } = \frac { a + b } { 2 } , b_ { 1 } $ 을 기하평균 $ b_ { 1 } = \sqrt { a b } $ 라 두고, 모든 $ n \geq 1 $ 에 대하여 $ a_ { n + 1 } = \frac { a_ { n } + b_ { n } } { 2 } , b_ { n + 1 } = \sqrt { a_ { n } b_ { n } } $ 이라 두자.</br>(a) 수학적 귀납법을 이용하여 \[ a_ { n } >a_ { n + 1 } >b_ { n + 1 } >b_ { n } \] 를 보여라.</br>(b) (a)를 이용하여 수열 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 과 $ \left \{ b_ { n } \right \} $ 이 모두 수렴함을 밝혀라.</p> <h3>[IV ] 교대급수 (Alternating series)</h3> <p>지금까지의 양수급수와는 달리 각 항의 부호가 양-음으로 교대로 바뀌는 급수를 교대급수라 한다. 즉, 모든 $ n $ 에 대하여 $ b_ { n } >0 $ 일 때, 교대급수는 $ n $ 번째 항 $ a_ { n } $ 이 $ a_ { n } =(-1) ^ { n-1 } b_ { n } $ 또는 $ a_ { n } =(-1) ^ { n } b_ { n } $ 으로 나타난다. 교대급수의 수렴을 판정하는 방법은 유일한데 다음과 같다.</p> <p>14 교대급수판정법 모든 $ n $ 에 대하여 $ b_ { n } >0 $ 이라 하자.</br>(i) 모든 $ n $ 에 대하여 $ b_ { n + 1 } \leq b_ { n } $ 이고</br>(ii) $ \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =0 $ 이면 교대급수 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n-1 } b_ { n } =b_ { 1 } -b_ { 2 } + b_ { 3 } -b_ { 4 } + \cdots \] 는 수렴한다.</p> <p>증명 먼저 부분합 수열 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 을 생각하자. 주어진 가정 (i)에서 $ b_ { 2 } \leq b_ { 1 } $ 이므로 $ s_ { 2 } =b_ { 1 } -b_ { 2 } \geq 0 $ 이고, $ b_ { 4 } \leq b_ { 3 } $ 이므로 $ s_ { 4 } =s_ { 2 } + \left (b_ { 3 } -b_ { 4 } \right ) \geq s_ { 2 } $ 이다. 일반적으로 모든 $ n $ 에 대하여 $ a_ { 2 n-1 } \geq a_ { 2 n } $ 이므로 \[ s_ { 2 n } =s_ { 2 n-2 } + \left (b_ { 2 n-1 } -b_ { 2 n } \right ) \geq s_ { 2 n-2 } \] 을 얻는다. 따라서 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } $ 는 증가하는 단조수열이다. 한편 \[ s_ { 2 n } =b_ { 1 } - \left (b_ { 2 } -b_ { 3 } \right )- \left (b_ { 4 } -b_ { 5 } \right )- \cdots- \left (b_ { 2 n-2 } -b_ { 2 n-1 } \right )-b_ { 2 n } \]</p> <p>예제 2 일반항이 $ a_ { n } =(-1) ^ { n } $ 인 수열은 나열하면 $ \{ -1,1,-1,1, \cdots \} $ 으로 각 항들이 $ -1 $ 과 1 로 반복하여 나타난다. 따라서 $ n $ 을 아무리 크게 하여도 어떤 특정한 값에 접근하지 않으므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } (-1) ^ { n } $ 은 존재하지 않아 이 수열은 발산 한다고 한다. 그림 1 과 같이 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 로 극한을 가지는 수열을 생각하자. 그림 1 에서 나타난 점들을 연결하여 그래프를 그림 2 와 같이 만들면 $ f(n)=a_ { n } $ 을 만족하는 함수 $ f $ 의 그래프가 되고 나아가 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L $ 이 됨을 알 수 있다. 여기서 수 열의 극한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 이 함수의 극한 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L $ 과 다른 점은 수열에서는 정의역 $ x $ 가 단지 자연수를 취한다는 것이다.</p> <p>1 정리 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L $ 이고 양의 정수 $ n $ 에 대하여 $ f(n)=a_ { n } $ 이면, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L $ 이다.</p> <p>예제 3 (a) $ r>0 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \left (1 / x ^ { r } \right )=0 $ 이라는 사실로부터 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ { -r } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { r } } =0 $ 이 됨을 알 수 있다.</br>(b) 극한 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\ln n } { n } $ 은 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 분모, 분자가 $ \infty $ 로 발산하는 경우이지만 로피탈 법칙을 바로 사용해서는 안된다. 왜냐하면 로피탈 법칙은 수열이 아닌 실변수함수에 적용되기 때문이다. 그렇지만 $ f(x)=( \ln x) / x $ 라고 놓으 면 로피탈 법칙을 적용할 수 있어 \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 / x } { 1 } =0 \]</p> <p>로 정의할 수 있었다. 이것을 다른 관점으로 보면, 함수 $ f(x)= \frac { 1 } { 1-x } $ 가 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } $ 으로 표현된 것으로 보이는데, 이러한 과정에서 주의할 것은 유리함수 $ f $ 의 정의역 $ \mathbb { R } - \{ 1 \} $ 과는 달리 $ (-1,1) $ 에서만 멱급수로 표현된다는 점이다. 물론 이러한 정의역은 멱급수의 수렴구간으로 결정된다.</p> <p>예제 6 $f(x)= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $ 와 같은 함수의 멱급수 표현은 기하급수의 표현 (3) 을 통해 쉽게 구할 수 있는데, 식 (3)의 $ x $ 에 $ -x ^ { 2 } $ 로 대입하면 \[ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1- \left (-x ^ { 2 } \right ) } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } 1-x ^ { 2 } + x ^ { 4 } -x ^ { 6 } + \cdots \] 이 된다. 이는 $ r=-x ^ { 2 } $ 인 기하급수이므로, $ \left \|-x ^ { 2 } \right \|<1 $ 즉 $ \|x\|<1 $ 일 때 수렴 한다. 따라서 수렴구간은 $ (-1,1) $ 이다.</p> <p>예제 7 (a) $ h(x)= \frac { 1 } { x + 2 } $ 의 멱급수를 구하려면 우선 식을 조금 변형해야 한 다. 실제로 \[ \begin {aligned} h(x) &= \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 1-(-x / 2) } \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left (1- \frac { x } { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { x ^ { 3 } } { 8 } + \ldots \ldots \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 2 ^ { n + 1 } } x ^ { n } \end {aligned} \] 이고, 수렴구간은 $ \|x / 2\|<1 $ 로부터 $ \|x\|<2 $ 를 얻으므로 $ (-2,2) $ 이 된다.</p> <p>(8) \[ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } (x-a) ^ { n } \] 이 참이라고 하자. 테일러 급수의 합은 부분합의 극한이므로, 부분합을 $ T_ { n } $ 이라 하면</p> <p>$ \begin {aligned} T_ { n } (x) &= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { f ^ { (k) } (a) } { k ! } (x-a) ^ { k } \\ &=f(a) + \frac { f ^ {\prime } (a) } { 1 ! } (x-a) + \frac { f ^ {\prime \prime } (a) } { 2 ! } (x-a) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } (x-a) ^ { n } \end {aligned} $</p> <p>로 $ n $ 차 다항함수가 되는데, 이를 중심 $ a $ 에서의 $ f $ 의 $ n $ 차 테일러 다항함수 (Taylor polynomial function)라고 한다. 예를 들어, 0 에서 $ f(x)=e ^ { x } $ 의 테일러 다항함수는 \[ \begin {array} { l } T_ { 1 } (x)=1 + x, \quad T_ { 2 } (x)=1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } , \\ T_ { 3 } (x)=1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } , \ldots \ldots \end {array} \] 등등이다. 테일러 급수는 테일러 다항함수의 극한이므로 식 (8)로부터 \[ f(x)= \lim _ { n \rightarrow \infty } T_ { n } (x) \] 가 된다. 이게 \[ R_ { n } (x)=f(x)-T_ { n } (x) \] 이라 두면 $ f(x)=T_ { n } (x) + R_ { n } (x) $ 가 되는데, $ R_ { n } (x) $ 를 테일러 급수의 나머지 함수(remainder function)라 부른다. 만약 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } R_ { n } (x)=0 $ 이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } T_ { n } (x) $ $ =f(x)- \lim _ { n \rightarrow \infty } R_ { n } (x)=f(x) $ 이므로 다음의 정리를 얻는다.</p> <p>예제 3 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } =1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } + \cdots $ 를 조화급수(harmonic series) 라 한다. 수렴을 조사하기 위하여 부분합을 계산하는 대신에, 짝수항 까지의 부 분합 $ s_ { 2 n } $ 을 계산하고, 이를 보다 다루기 쉬운 형태의 수를 만들어 보자. 즉, $ s_ { 1 } =1, s_ { 2 } =1 + \frac { 1 } { 2 } $ 이므로 $ s_ { 4 } $ 를 이와 비슷한 유형으로 정리하면 \[ \begin {aligned} s_ { 4 } &=1 + \frac { 1 } { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \right )>1 + \frac { 1 } { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right ) \\ &=1 + \frac { 2 } { 2 } \end {aligned} \] 이 된다. 이를 계속하면 \[ \begin {aligned} s_ { 2 n } =& 1 + \frac { 1 } { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 8 } \right ) + \cdots \\ & + \left ( \frac { 1 } { n + 1 } + \frac { 1 } { n + 2 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 n } \right )>1 + \frac { 1 } { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right ) \\ & + \left ( \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } \right ) + \cdots + \left ( \frac { 1 } { 2 n } + \frac { 1 } { 2 n } + \cdots + \frac { 1 } { 2 n } \right ) \\ =& 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 } =1 + \frac { n } { 2 } \end {aligned} \] 을 얻는다. 이제 $ n \rightarrow \infty $ 일 때 수열 $ \left \{ 1 + \frac { n } { 2 } \right \} $ 이 발산하므로, 이보다 큰 수로 이루어진 수열 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} $ 은 당연히 발산한다. 따라서 $ \left \{ s_ { n } \right \} $ 은 발산하므로, 조화급수는 발산하게 된다.</p> <p>11 정리 $ p $ - 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { p } } $ 는 $ p>1 $ 이면 수렴하고 $ p \leq 1 $ 이면 발산한다.</p> <p>주 $ p=1 $ 일 때, $ p $ - 급수는 조화급수가 되어 발산한다.</p> <p>예제 3 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } $ 의 수렴성 조사를 위해 함수 $ f(x)= \frac {\ln x } { x } $ 를 택하자. 그러면 $ f $ 는 $ x>1 $ 에서 양이고 연속이다. 이제 $ f $ 가 감소함수인지를 알아보기 위하여 함수를 미분하면 \[ f ^ {\prime } (x)= \frac { (1 / x) x- \ln x } { x ^ { 2 } } = \frac { 1- \ln x } { x ^ { 2 } } \] 이다. 따라서 $ \ln x>1 $ 일 때, 즉 $ x>e $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이므로 $ x>e $ 에서 $ f $ 는 감소함수가 된다. 여기서 적분판정법을 이용할 수 있는 적절한 구간은 $ [3, \infty) $ 임에 유의하자. 이제 특이적분은</p><p>\[ \begin {aligned} \int_ { 3 } ^ {\infty } \frac {\ln x } { x } d x &= \lim _ { t \rightarrow \infty } \int_ { 3 } ^ { t } \frac {\ln x } { x } d x= \lim _ { t \rightarrow \infty } \left [ \frac { ( \ln x) ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { 3 } ^ { t } \\ &= \lim _ { t \rightarrow \infty } \frac { ( \ln t) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( \ln 3) ^ { 2 } } { 2 } = \infty \end {aligned} \]로 발산하므로, 적분판정법에 의하여 $ \sum_ { n=3 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } $ 은 발산한다. 따라서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } = \frac {\ln 2 } { 2 } + \sum_ { n=3 } ^ {\infty } \frac {\ln n } { n } $ 도 당연히 발산한다.</p> <p>(c) 0에서의 $ f(x)=e ^ { 2 } \sin x $ 의 테일러 급수를 셋째 항까지만 구하여 보자. (b)에서와 마찬가지로 \[ e ^ { x } \sin x= \left (1 + \frac { x } { 1 ! } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ) \left (x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } + \cdots \right ) \] 인데, 이들을 직접 곱합으로써 다음을 얻는다. \[ e ^ { 2 } \sin x=x + x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \cdots \]</p> <p>테일러 급수도 멱급수로써 미분, 적분이 가능한데, 이미 알고 있는 테일러 급수를 항별 미분이나 항별 적분을 함으로써 새로운 함수의 테일러 급수를 찾을 수 있다. 특히 예제 6에서는 적분할 수 없는 함수의 부정적분도 테일러 급수 표현이 가능하다는 것을 알아봄으로써 테일러 급수가 가지는 역할을 확인해 볼 예정이다.</p> <p>예제 5(a) 0에서의 $ f(x)= \cos x $의 테일러 급수를 직접 가해도 되지만, $ \sin x $을 미분하면 $ \cos x $가 되므로 예제 4(a)에서의 테일버 급수를 항별 미분하면 다음과 같이 쉽게 구해진다.</p> <p>(13) \[ \begin {aligned} \cos x &= \frac { d } { d x } ( \sin x)= \frac { d } { d x } \left (x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \right ) \\ &=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n } } { (2 n) ! } \end {aligned} \]</p> <p>18 정리 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $ 은 다음 세 가지 중 어느 하나이다.</p> <p>(a) 한 점 $ x=a $ 일 때만 수렴한다.</p> <p>(b) 모든 실수 $ x $ 에 대하여 수렴한다.</p> <p>(c) 어떤 양수 $ R $ 이 존재하여 $ \|x-a\|<R $ 이면 수렴하고. $ \|x-a\|>R $ 이면 발산한다.</p> <p>중심이 $ a $ 인 멱급수가 수렴하는 $ x $ 의 집합은 흔히 $ a $ 를 중심으로 하는 구간으로 표시하는데 이를 수렴구간(interval of convergence)이라 하고, $ a $ 에서 수렴 구간의 끝점까지의 거리 $ R $ 을 수렴반지름(radius of convergence)이라 한다.</p> <p>정리 18 (a)의 경우는 수렴구간이 한 점 $ a $ 로 구성되었으므로 $ R=0 $ 이며 (b)의 경우 수렴구간은 $ (- \infty, \infty) $ 로 $ R= \infty $ 이다. (c)의 경우는 $ \|x-a\|<R $ 또는 $ a-R<x<a + R $ 에서 수렴하므로 수렴반지름은 $ R $ 이다. 그러나 예제 3 에서</p> <p>보았듯이, 열린구간의 양쪽 끝점 $ x=a \pm R $ 에서 수렴 - 발산을 반드시 확인하여야 수렴구간이 결정된다. 따라서 (c)의 경우는 수렴구간이 $ (a-R, a + R) $, $ (a-R, a + R],[a-R, a + R),[a-R, a + R] $ 중의 하나이다(그림 1 참조).</p> <p>주 일반적으로 급수의 수렴반지름 $ R $ 을 결정할 때 먼저 비율 판정법 또는 근 판정법을 적용한 다. 그리고 수렴반지름으로 얻은 열린 구간의 끝점에서 각각의 급수를 구체적으로 찾은 뒤 $ 10.3 $ 절에서 배운 판정법을 통해 수렴 발산을 결정해야 수렴구간이 정확하게 구해진다.</p> <p>예제 4 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-3) ^ { n } x ^ { n } } {\sqrt { n + 1 } } $ 에서 $ a_ { n } =(-3) ^ { n } x ^ { n } / \sqrt { n + 1 } $ 이라고, 하면, $ n \rightarrow \infty $ 일 때 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \| &= \left \| \frac { (-3) ^ { n + 1 } x ^ { n + 1 } } {\sqrt { n + 2 } } \cdot \frac {\sqrt { n + 1 } } { (-3) ^ { n } x ^ { n } } \right \|= \left \|-3 x \sqrt {\frac { n + 1 } { n + 2 } } \right \| \\ &=3 \sqrt {\frac { 1 + (1 / n) } { 1 + (2 / n) } } \|x\| \rightarrow 3\|x\| \end {aligned} \]</p>	자연
M657-(사범대생을 위한) 형대대수학	<p>$ 1: 59: 00: 15=1 + 59 \times \frac { 1 } { 60 } + 15 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 3 } } = \frac { 28561 } { 14400 } = \frac { 169 ^ { 2 } } { 120 ^ { 2 } } $</p> <p>② 둘째 칸 1: 56: 56: 58: 14: 50: 06: 15 를 십진법으로 고치면</p> <p>$ \begin {aligned} 1: 56 ; 56: 58: 14 ; 50: 06: 15 \\=& 1 + 56 \times \frac { 1 } { 60 } + 56 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 2 } } + 58 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 3 } } + 14 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 4 } } + 50 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 5 } } + 6 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 6 } } \\ & + 15 \times \frac { 1 } { 60 ^ { 7 } } \\=& \frac { 23280625 } { 11943936 } = \frac { 4825 ^ { 2 } } { 3456 ^ { 2 } } \end {aligned} $</p> <h3>3) 두 수 $ \frac { 169 ^ { 2 } } { 120 ^ { 2 } } , \frac { 4825 ^ { 2 } } { 3456 ^ { 2 } } $ 을 살펴보면 점토에 새겨져 있는 수가 단지 피타고라스짝만을 의미하는 것이 아니라 삼각비와도 관련 있다는 것을 알 수 있다.</h3> <p>① 직각삼각형에서 $ a=120, c=169 $ 이면 그 사잇각 $ \theta $ 는 $ \cos \theta=120 / 169 $ 에서 계산기를 쓰면 $ \theta=44.76 ^ {\circ } $ 이다.</p> <p>② 다시 말하면, 점토의 첫째 칸에 있는 수들은 직각 삼각형(특히, 피타고라스 삼각형)에서 밑변과 빗변의 비의 제곱을 알려주는 값이고 이것은 결국 cosine의 값을 나타내므로 점토판은 각도가 31.89도부터 44.76도에 이르는 삼각비를 나타낸 표이다. 이로부터 당시 바빌로니아인들이 삼각비의 값을 표로 만들어 사용했다는 것을 알 수 있다.</p> <p>천체 관측에 따른 계산에서 필요로 하는 삼각비를 구한 프톨레마이오스(Ptolemy)의 현표를 소개하였다. 프톨레마이오스는 중심각이 $ \frac { 1 } { 2 } { } ^ {\circ } $ 에서 $ 180 ^ {\circ } $ 까지 $ \frac { 1 } { 2 } $ 도 간격으로 이에 해당하는 현의 길이 360 개를 구했는데 그의 계산방법을 알아보았다.</p> <p>10 세기 경에 아랍 수학자들에 의하여 피타고라스짝이 모두 구해진다. 피타고라스, 플라톤, 그리고 디오판토스가 일부 피타고라스짝을 어떻게 구했는지 소개하였다. 또한 피타고라스짝에서 만들어지는 삼각형의 넓이를 피타고라스수라 부른다(예를 들면 $ (3,4,5) $ 가 피타고라스짝이므로 6 은 피타고라스수이다). 피타고라스수를 만드는 방법을 알아보았다.</p> <h2>3.1 삼각비와 피타고라스짝(Plimpton 322)</h2> <p>점토판의 크기는 $ 13 \times 9 \times 2 \mathrm { ~cm } $ 이다. 뉴욕에서 출판업을 하는 George A. Plimpton의 이름에서 따왔는데 그는 역사적인 수학책 등의 모든 소장품을 1930 년대 중반에 콜럼비아대학에 기증하였다. 그는 이 점토판을 1922년 경에 Edgar J. Banks로부터 10달러에 구입하였는데 Banks는 이 점토판을 이라크 남쪽 Senkereh로 불리는 유적지에서 구했다고 한다. Senkereh의 옛 지명은 Larsa이다. 기원전 1900 년에서 기원전 1600 년 사이로 연대가 추정되며 60 진법으로 쓰여져 있다.</p> <h3>1) Plimpton 322 의 오류 수정</h3> <p>플림톤에는 세 군데 오류가 있다. 먼저 이를 수정해보자.</p> <p>① 첫 번째 오류 : 9째 줄</p> <p>점토판을 만드는 과정에서 8: 1 을 9: 1 로 단순히 잘못 기입한 것으로 짐작할 수 있다. $ 8: 1=8 \times 60 + 1=481 $ 로 고치면 피타고라스짝(481,600,769) 를 얻는다.</p> <p>② 두 번째 오류: 13 째 줄</p> <p>점토판을 만드는 과정에서 25921 의 제곱근 $ 161=2 \times 60 + 41=2: 41 $ 을 점토판에 써 넣어야하는데 이를 잊고 $ 25921=7: 21: 1 $ 로 잘못 기입한 것으로 추측할 수 있다.</p> <p>③ 세 번째 오류 : 15 째 줄</p> <p>두 수 56,53 으로는 피타고라스짝을 만들 수 없다. 그러나 53 의 2 배 106 을 사용하면 (56,90,106)은 피타고라스짝이다. 따라서 점토판에 있는 53 은 $ 106=1: 46 $ 으로 바꾸어야한다.</p> <h3>2) 60진법을 10 진법으로 고쳐보자.</h3> <p>① 첫째 칸 1: 59: 00: 15를 십진법으로 고치면</p> <p>현표를 바탕으로 보면 프톨레마이오스는 $ \sqrt { 2 } \risingdotseq \frac { 577 } { 408 } , \sqrt { 3 } \risingdotseq \frac { 374123 } { 216000 } $, 그리고 $ \pi $ 를 $ \frac { 377 } { 120 } \risingdotseq 3.1416666 $ 으로 사용하였다.</p> <p>(1) 프톨레마이오스의 계산방법을 살펴보자.</p> <p>이제 원의 반지름 $ r $ 을 60 으로 하여 내용을 전개하자. 중심각이 $ \alpha $ 인 현(chord)의 길이를 $ crd \alpha $ 로 표시하자. 먼저, 원을 $ n $ 등분한 중심각의 현의 길이를 $ c_ { n } $ 이라 하면</p> <p>$ c_ { n } = \operatorname { crd } \left ( \frac { 360 ^ {\circ } } { n } \right ) $</p> <p>그림에서 지름이 $ A C(=2 r=120) $ 이고 원의 중심을 $ D $라 하자.</p> <p>(a) $ D C $ 의 중심을 $ E $</p> <p>(b) $ B E=E F $</p> <p>인 $ E, F $ 를 잡자. 이때 프톨레마이오스는 다음을 얻는다.</p> <p>$ D F=c_ { 10 } , B F=c_ { 5 } $</p> <p>먼저 $ D F=c_ { 10 } $ 인 이유는 원에 내접하는 정 10 각형의 한 변의 길이는 $ D F $ 이다. 그 이유를 살펴보자. $ E B ^ { 2 } =r ^ { 2 } + (r / 2) ^ { 2 } , E B= \frac { 1 } { 2 } r \sqrt { 5 } $ 이고 따라서</p> <p>$ D F=E B-D E= \frac { 1 } { 2 } r \sqrt { 5 } - \frac { 1 } { 2 } r= \frac { 1 } { 2 } r( \sqrt { 5 } -1) $</p> <p>이다. 오른쪽 그림에서 닮은비를 사용하면</p> <p>$ \frac { r } { x } = \frac { x } { r-x } , x ^ { 2 } + r x-r ^ { 2 } =0 $</p> <h1>제3장 피타고라스짝</h1> <p>방정식 $ X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } = Z ^ { 2 } $ 양의 정수해 $ (a, b, c) $ 를 피타고라스짝(Pythagorean triple)이라 부른다. 2009 개정 교육과정 수학(3)에서 처음으로 피타고라스짝을 도입 정의하고 있다. 각 변의 길이가 정수인 삼각형을 피타고라스 삼각형이라 하고 이때의 넓이를 피타고라스 수(Pythagorean number)라 한다.</p> <p>이와 같은 정의를 바탕으로 현재까지 진행되고 있는 정수론적 발전을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>피타고라스 정리에서 가장 오래되고 중요한 결과는 $ \sqrt { 2 } $ 가 유리수가 아니라는 것이다. 이는 히파수스(Hippasos)의 발견으로 여겨지며 이를 파타고라스 학파는 비밀로 하기로 했으나 히파수스는 이를 어기고 발설을 하였다. 필자는 히파수스의 행동을 지동설을 주장한 갈릴레이의 위대한 행동과 비교하곤 한다. 히파수스에 변절 이후 Plato은 유리수가 아닌 수의 발견에 대한 중요성을 인지하고 곧 이를 “정사각형의 대각선과 변의 비가 유리수가 아니라는 것을 모르면 인간으로 불릴 자격이 없다"70)로 표현하였다. 환원하면 2 개의 피타고라스 삼각형으로 나누어지는 정사각형은 존재하지 않는다. 3 개로 나누어지는 정사각형이 존재하지 못하는 거도 쉽게 보일 수 있지만 4개로 나눌 수 없다는 완벽한 증명은 학부 수준을 넘어 선다. 즉, 곡선(Elliptic curve)</p> <p>$ y ^ { 2 } =x(x + 1)(x-4)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -4 x $</p> <p>의 유리수인 해 $ (x, y) $ 를 찾는 문제이다 $ (x>4) $. 환원하면 $ \operatorname { gcd } (a, b)=1 $ 인 두 피타고라스짝 $ (a, a + b, m),(b, a + b, n) $ 은 존재하지 않는다는 것이다. 결국 $ m \geq 5 $ 일 때, $ m $ 개의 피타고라스 삼각형으로 나누어지는 정사각형은 존재한다. 한편, 페르마는 넓이가 1이고 각 변의 길이가 유리수인 직각삼각형이 존재하지 못한다는 것을 증명하였다. 157인 경우는 존재한다. 그러나 일반적인 수에 대하여는 아직 해결을 못하고 있다.</p> <p>본 장에서는 삼각비와 피타고라스짝을 다룬다. 연대가 B.C. 1900 B.C. 1600으로 추정되는 고대 바빌로나아인의 점토판(Plimpton 322 )을 자세히 알아보았다. Plimpton 322 는 삼각비로 말하면 각도가 $ 44.76 ^ {\circ } $ 에서 $ 31.89 ^ {\circ } $ 까지 15 개로 나누어 이에 대한 $ (1 / \cos \theta) ^ { 2 } $ 을 기록한 것이고 피타고라스짝으로 말하면 $ (119,120,169),(3367,3456,4825), \cdots $ 등 모두 15 개를 기록한 것이다. 이와 같이 정수 입장에서 보면 삼각비나 피타고라스짝은 같은 개념이다.</p>	자연
기하학 일반_해석 기하학	<p>특히, 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서 타원, 쌍곡선, 포물선의 극선은 다음과 같다.</p> <p> <ol type=1 start=1><li>타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $의 극선은 $ \frac { x_ { 1 } x } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 1 } y } { b ^ { 2 } } =1 $이다.</li> <li>쌍곡선 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $의 극선은 $ \frac { x_ { 1 } x } { a ^ { 2 } } - \frac { y_ { 1 } y } { b ^ { 2 } } =1 $이다.</li> <li>포물선 $ y ^ { 2 } =4 p x $의 극선은 $ y_ { 1 } y=2 p \left (x + x_ { 1 } \right ) $이다.</li></ol></p> <p>정리 $ 2.2.6 $ 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서 $ 2 $차곡선의 극선 $ l $은 $ P $에서 그 곡선에 그은 $ 2 $개의 접선의 교점을 지나는 직선이다.</p> <p>증명 $ 2 $차곡선과 극선 $ l $과의 교점을 $ A_ { 1 } \left ( \xi_ { 1 } , \eta_ { 1 } \right ), A_ { 2 } \left ( \xi_ { 2 } , \eta_ { 2 } \right ) $라 하고, 점 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } $에서 $ 2 $차곡선의 접선을 각각 $ \stackrel {\leftrightarrow } { A_ { 1 } T_ { 1 } } , \overleftrightarrow { A_ { 2 } T_ { 2 } } $라 하자. 그러면 점 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } $ 는 극선 $ l $ 위에 있으므로 \[ \begin {array} { l } a x_ { 1 } \xi_ { 1 } + h \left (x_ { 1 } \eta_ { 1 } + \xi_ { 1 } y_ { 1 } \right ) + by_ { 1 } \eta_ { 1 } + g \left ( \xi_ { 1 } + x_ { 1 } \right ) + f \left ( \eta_ { 1 } + y_ { 1 } \right ) + c=0, \\a x_ { 1 } \xi_ { 2 } + h \left (x_ { 1 } \eta_ { 2 } + \xi_ { 2 } y_ { 1 } \right ) + b y_ { 1 } \eta_ { 2 } + g \left ( \xi_ { 2 } + x_ { 1 } \right ) + f \left ( \eta_ { 2 } + y_ { 1 } \right ) + c=0 \end {array} \] 이다. 또한 점 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } $는 $ 2 $차곡선 위의 점이므로, 점 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } $ 에서 $ 2 $차곡선의 접선 $ \overleftrightarrow { A_ { 1 } T_ { 1 } } $, $ \overleftrightarrow { A_ { 2 } T_ { 2 } } $ 는 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } a x \xi_ { 1 } + h \left (x \eta_ { 1 } + \xi_ { 1 } y \right ) + b y \eta_ { 1 } + g \left ( \xi_ { 1 } + x \right ) + f \left ( \eta_ { 1 } + y \right ) + c=0, \\a x \xi_ { 2 } + h \left (x \eta_ { 2 } + \xi_ { 2 } y \right ) + b y \eta_ { 2 } + g \left ( \xi_ { 2 } + x \right ) + f \left ( \eta_ { 2 } + y \right ) + c=0 \end {array} \] 그러므로 접선 $ \overleftrightarrow { A_ { 1 } T_ { 1 } } , \overrightarrow { A_ { 2 } T_ { 2 } } $는 모두 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지난다. 그러므로 $ P $는 $ 2 $개의 접선의 교점이다. 따라서 극선 $ l $은 $ P $에서 $ 2 $차곡선에 그은 $ 2 $개의 접선의 접점 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } $를 잇는 직선이다.</p> <p>( $ 2 $) $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right )=0 $ 에 $ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \lambda_ { 1 } \bar { x } + \lambda_ { 2 } \bar { y } + \lambda_ { 3 } \bar { z } \\ y ^ {\prime } = \mu_ { 1 } \bar { x } + \mu_ { 2 } \bar { y } + \mu_ { 3 } \bar { z } \text { 를 대입하여 얻은 것이 } \\ z ^ {\prime } = \nu_ { 1 } \bar { x } + \nu_ { 2 } \bar { y } + \nu_ { 3 } \bar { z } \end {array} \right . $ \[ \begin {aligned} 0 &=F ^ {\prime } \left ( \lambda_ { 1 } \bar { x } + \lambda_ { 2 } \bar { y } + \lambda_ { 3 } \bar { z } , \mu_ { 2 } \bar { x } + \mu_ { 2 } \bar { y } + \mu_ { 3 } \bar { z } , \nu_ { 1 } \bar { x } + v_ { 2 } \bar { y } + \nu_ { 3 } \bar { z } \right ) \\&:= \bar { a } \bar { x } ^ { 2 } + \bar { b } \bar { y } ^ { 2 } + \bar { c } \bar { z } { } ^ { 2 } + 2 \bar { f } \bar { y } \bar { z } + 2 \bar { g } \bar { z } \bar { x } + 2 \bar { h } \bar { x } \bar { y } + 2 \bar { l } \bar { x } + 2 \bar { m } \bar { y } + 2 \bar { n } \bar { z } + \bar { d } \\&:= \bar { F } ( \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) \end {aligned} \]이라면, \[ \begin {array} { l } \bar { a } =a ^ {\prime } \lambda_ { 1 } ^ { 2 } + b ^ {\prime } \mu_ { 1 } ^ { 2 } + c ^ {\prime } v_ { 1 } ^ { 2 } + 2 f ^ {\prime } \mu_ { 1 } v_ { 1 } + 2 g ^ {\prime } v_ { 1 } \lambda_ { 1 } + 2 h ^ {\prime } \lambda_ { 1 } \mu_ { 1 } \\ \bar { b } =a ^ {\prime } \lambda_ { 2 } ^ { 2 } + b ^ {\prime } \mu_ { 2 } ^ { 2 } + c ^ {\prime } v_ { 2 } ^ { 2 } + 2 f ^ {\prime } \mu_ { 2 } \nu_ { 2 } + 2 g ^ {\prime } v_ { 2 } \lambda_ { 2 } + 2 h ^ {\prime } \lambda_ { 2 } \mu_ { 2 } \\ \bar { c } =a ^ {\prime } \lambda_ { 3 } ^ { 2 } + b ^ {\prime } \mu_ { 3 } ^ { 2 } + c ^ {\prime } \nu_ { 3 } ^ { 2 } + 2 f ^ {\prime } \mu_ { 3 } v_ { 3 } + 2 g ^ {\prime } v_ { 3 } \lambda_ { 3 } + 2 h ^ {\prime } \lambda_ { 3 } \mu_ { 3 } \\ \bar { f } =a ^ {\prime } \lambda_ { 2 } \lambda_ { 3 } + b ^ {\prime } \mu_ { 2 } \mu_ { 3 } + c ^ {\prime } \nu_ { 2 } \nu_ { 3 } + f ^ {\prime } \left ( \mu_ { 2 } \nu_ { 3 } + \mu_ { 3 } \nu_ { 2 } \right ) + g ^ {\prime } \left ( \nu_ { 2 } \lambda_ { 3 } + v_ { 3 } \lambda_ { 2 } \right ) + h ^ {\prime } \left ( \lambda_ { 2 } \mu_ { 3 } + \lambda_ { 3 } \mu_ { 2 } \right ) \\ \bar { g } =a ^ {\prime } \lambda_ { 3 } \lambda_ { 1 } + b ^ {\prime } \mu_ { 3 } \mu_ { 1 } + c ^ {\prime } \nu_ { 3 } \nu_ { 1 } + f ^ {\prime } \left ( \mu_ { 3 } \nu_ { 1 } + \mu_ { 1 } v_ { 3 } \right ) + g ^ {\prime } \left ( \nu_ { 3 } \lambda_ { 1 } + v_ { 1 } \lambda_ { 3 } \right ) + h ^ {\prime } \left ( \lambda_ { 3 } \mu_ { 1 } + \lambda_ { 1 } \mu_ { 3 } \right ) \\ \bar { f } =a ^ {\prime } \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + b ^ {\prime } \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + c ^ {\prime } v_ { 1 } \nu_ { 2 } + f ^ {\prime } \left ( \mu_ { 1 } \nu_ { 2 } + \mu_ { 2 } v_ { 1 } \right ) + g ^ {\prime } \left ( \nu_ { 1 } \lambda_ { 2 } + v_ { 2 } \lambda_ { 1 } \right ) + h ^ {\prime } \left ( \lambda_ { 1 } \mu_ { 2 } + \lambda_ { 2 } \mu_ { 1 } \right ) \\ \bar { l } =l ^ {\prime } \lambda_ { 1 } + m ^ {\prime } \mu_ { 1 } + n ^ {\prime } v_ { 1 } \\ \bar { m } =l ^ {\prime } \lambda_ { 2 } + m ^ {\prime } \mu_ { 2 } + n ^ {\prime } \nu_ { 2 } \\ \bar { n } =l ^ {\prime } \lambda_ { 3 } + m ^ {\prime } \mu_ { 3 } + n ^ {\prime } \nu_ { 3 } \\ \bar { d } =d ^ {\prime } \end {array} \]이다. 그러므로 다음을 알 수 있다. $ \overline {\Delta_1 } = \begin { vmatrix} \bar { a } & \bar { h } & \bar { g } & \bar { l } \\ \bar { h } & \bar { b } & \bar { f } & \bar { m } \\ \bar { g } & \bar { f } & \bar { c } & \bar { n } \\ \bar { l } & \bar { m } & \bar { n } & \bar { d } \end { vmatrix} = \begin { vmatrix} \lambda_1 & \mu_1 & \nu_1 & 0 \\ \lambda_2 & \mu_2 & \nu_2 & 0 \\ \lambda_3 & \mu_3 & \nu_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end { vmatrix} ^ 2 \cdot \Delta' = \Delta_1 ' = \Delta_1 $</p> <p>(a), (b), (c)에 의하여 $ 2 $차곡면 $ F(x, y, z) = 0 $은 적당한 좌표축의 평행이동과 회전이동에 의하여 다음과 같은 꼴로 변환된다. \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + c ^ {\prime } z ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0, a ^ {\prime } \neq 0 \]</p> <p>( $ 1 $) $ a ^ {\prime } \neq 0, b ^ {\prime } \neq 0, c ^ {\prime } \neq 0 $인 경우 \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } + c ^ {\prime } \left (z ^ {\prime } + \frac { n ^ {\prime } } { c ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } = \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } + \frac { n ^ {\prime 2 } } { c ^ {\prime } } -d ^ {\prime } \]에서 $ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \bar { x } \\ y ^ {\prime } = \bar { y } - \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \text { 로 놓으면, } k ^ {\prime } = \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } + \frac { n ^ {\prime 2 } } { c ^ {\prime } } -d ^ {\prime } \text { 에 대하여 } a ^ {\prime } \bar { x } ^ { 2 } + b ^ {\prime } \bar { y } ^ { 2 } + c ^ {\prime } \bar { z } ^ { 2 } =k ^ {\prime } \text { 으로 } \\ z ^ {\prime } = \bar { z } - \frac { n ^ {\prime } } { c ^ {\prime } } \end {array} \right . $된다.</p> <p>예제 $ 1.4 .3 $ 삼각형 $ \triangle A B C $의 $ 3 $수선은 한 점에서 만난다는 것을 증명하여라.</p> <p>증명 그림과 같은 삼각형 $ \triangle A B C $를 생각해도 무방하다. 직선 $ \overleftrightarrow { A C } $의 방정식은 $ \frac { x } { c } + \frac { y } { a } =1 $이다. 직선 $ \overleftrightarrow { B D } $는 $ \overleftrightarrow { A C } $에 수직이고 점 $ B $를 지나므로, 그 방정식은 $ y= \frac { c } { a } (x-b) $이다. 즉 $ l_ { 1 } : c x-a y-b c=0 $. 직선 $ \overleftrightarrow { A B } $ 의 방정식은 $ \frac { x } { b } + \frac { y } { a } =1 $이다. 직선 $ l_ { 2 } = \overleftrightarrow { C E } $ 는 $ \overleftrightarrow { A B } $에 수직이고. 점 $ C $ 를 지나므로, 그 방정식은 $ y= \frac { b } { a } (x-c) $이다. 즉 $ l_ { 2 } : b x-a y-b c=0 $. 직선 $ l_ { 3 } = \overleftrightarrow { A O } $의 방정식은 $ x=0 $이다. 즉, $ l_ { 3 } : x=0 $. 이때 \[l_ { 1 } -l_ { 2 } + (b-c) l_ { 3 } :(c x-a y-b c)-(b x-a y-b c) + (b-c) x=0 \]이므로, $ l_ { 1 } -l_ { 2 } + (b-c) l_ { 3 } $ 은 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } $의 직선속이다. 그러나 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } $은 점 $ P \left (0, \frac { b c } { a } \right ) $을 지난다. 그러므로 $ l_ { 1 } -l_ { 2 } + (b-c) l_ { 3 } $도 점 $ P \left (0, \frac { b c } { a } \right ) $을 지난다.</p> <p>문제 $ 4.3 $ $ 3 $직선 $ 3 x-y=4, x + y=0,5 x-2 y=k $가 한 점에서 만나도록 $ k $의 값을 정하여라.</p> <p>문제 $ 4.4 $ $ 2 $직선 $ 2 x + y-4=0, x + y-1=0 $의 교점을 지나고 직선 $ 4 x-5 y=0 $에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>그러므로 \[ \begin {aligned} \cos \left ( \angle \left ( \pi_ { 1 } , \pi_ { 2 } \right ) \right ) \\ &= \pm \frac {\left (x_ { 0 } + l_ { 1 } \right ) \left (x_ { 0 } + l_ { 2 } \right ) + \left (y_ { 0 } + m_ { 1 } \right ) \left (y_ { 0 } + m_ { 2 } \right ) + \left (z_ { 0 } + n_ { 1 } \right ) \left (z_ { 0 } + n_ { 2 } \right ) } {\sqrt {\left (x_ { 0 } + l_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 0 } + m_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (z_ { 0 } + n_ { 1 } \right ) ^ { 2 } } \cdot \sqrt {\left (x_ { 0 } + l_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 0 } + m_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (z_ { 0 } + n_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } } \end {aligned} \]이다. \[ \begin {array} { c } x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } + z_ { 0 } ^ { 2 } + l_ { 1 } x_ { 0 } + m_ { 1 } y_ { 0 } + n_ { 1 } z_ { 0 } =-l_ { 1 } x_ { 0 } -m_ { 1 } y_ { 0 } -n_ { 1 } z_ { 0 } -d_ { 1 } , \\ \left (l_ { 2 } -l_ { 1 } \right ) x_ { 0 } + \left (m_ { 2 } -m_ { 1 } \right ) y_ { 0 } + \left (n_ { 2 } -n_ { 1 } \right ) z_ { 0 } = \frac { d_ { 1 } -d_ { 2 } } { 2 } \end {array} \]이므로, \[ \cos \left ( \angle \left ( \pi_ { 1 } , \pi_ { 2 } \right ) \right )= \pm \frac { l_ { 1 } l_ { 2 } + m_ { 1 } m_ { 2 } + n_ { 1 } n_ { 2 } - \frac { d_ { 1 } + d_ { 2 } } { 2 } } {\sqrt {\left (l_ { 1 } ^ { 2 } + m_ { 1 } ^ { 2 } + n_ { 1 } ^ { 2 } -d_ { 1 } \right . } \cdot \sqrt { l_ { 2 } ^ { 2 } + m_ { 2 } ^ { 2 } + n_ { 2 } ^ { 2 } -d_ { 2 } } } \]이다. 이것은 점 $ P_ { 0 } $와 상관없으므로, 이것으로부터 구면의 교각이 결정된다. 두 구면 $ \pi_ { 1 } , \pi_ { 2 } $가 직교할 조건은 \[l_ { 1 } l_ { 2 } + m_ { 1 } m_ { 2 } + n_ { 1 } n_ { 2 } - \frac { d_ { 1 } + d_ { 2 } } { 2 } =0 \text { (수직조건) } \]이다.</p> <p>( $ 3 $) 포물선 $ y ^ { 2 } =4 p x $ 위의 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu) $인 직선의 방정식은 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 1 } + \lambda t \\ y=y_ { 1 } + \mu t \end {array} \right . $이다. 이 직선과 포물선은 서로 다른 $ 2 $점 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $에서 만난다고 하자. 그러면 \[ \begin {array} { c } \left (y_ { 1 } + \mu t \right ) ^ { 2 } =4 p \left (x_ { 1 } + \lambda t \right ) \\ \mu ^ { 2 } t + 2 \left ( \mu y_ { 1 } -2 p \lambda \right ) t + y_ { 1 } ^ { 2 } -4 p x_ { 1 } =0 \end {array} \]은 서로 다른 두 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $를 갖는다. 이때 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $에 대응하는 점을 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $라 하자. 만일 $ P $가 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $의 중점이면, $ \overline { P Q_ { 1 } } = \overline { P Q_ { 2 } } $이고 $ t_ { 1 } + t_ { 2 } =0 $이어야 한다. 그런데 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 \[0=t_ { 1 } + t_ { 2 } =-2 \frac {\mu y_ { 1 } -2 p \lambda } {\mu ^ { 2 } } \]이므로, $ \mu y_ { 1 } -2 p \lambda=0 $을 얻는다. 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 임의이므로, 점 $ P $의 자취의 방정식은 \[ \mu y-2 p \lambda=0 \]이다. 이때 $ m= \frac {\mu } {\lambda } $로 놓으면, 포물선의 평행현의 중점의 자취는 원점을 지나는 직선 $ y= \frac { 2 p } { m } $이다. 그러므로 이 직선은 포물선의 한 직경이다. 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $의 $ 2 $개의 직경을 $ d_ { 1 } , d_ { 2 } $라 하고, 그 직경의 각 기울기를 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } $라 하자. 만일 $ d_ { 2 } $ 는 $ d_ { 1 } $에 평행인 현의 중점의 자취이면, $ m_ { 2 } =- \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } m_ { 1 } } $이다. 그러므로 $ m_ { 1 } =- \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } m_ { 2 } } $이다. 이것은 $ d_ { 1 } $이 또한 $ d_ { 2 } $에 평행인 형의 중점의 자취임을 나타낸다. 쌍곡선에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p> <p>다음에, $ \tan 2 \theta= \frac { 2 } { 5-5 } = \infty $, 즉, $ \theta= \frac {\pi } { 4 } $만큼 $ X Y $-평면을 회전시켜 얻어진 $ \xi \eta $-평면에 대하여 $ X Y $-평면 위의 점 $ (X, Y) $ 와 $ \xi \eta $-평면 위의 점 $ ( \xi, \eta) $ 사이의 관계는 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } X= \xi \cos \frac {\pi } { 4 } - \eta \sin \frac {\pi } { 4 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } ( \xi- \eta) \\Y= \xi \sin \frac {\pi } { 4 } + \eta \cos \frac {\pi } { 4 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } ( \xi + \eta) \end {array} \right . \]</p> <p>이것을 $ () $에 대입하면, 타원의 기본형 $ \frac {\xi ^ { 2 } } { 4 } + \frac {\eta ^ { 2 } } { 6 } =1 $ 을 얻는다. 따라서 주어진 $ 2 $차곡선의 그래프는 다음과 같다.</p> <p>예제 $ 2.3.3 $ $ 2 $차곡선 $ 4 x ^ { 2 } -4 x y + y ^ { 2 } + 6 x-8 y + 3=0 $의 그래프를 그려라.</p> <p>[풀이] $ h ^ { 2 } -a b=(-2) ^ { 2 } -4=0 $이므로, 이 곡선은 포물선이다. $ \tan 2 \theta= \frac { -4 } { 4-1 } =- \frac { 4 } { 3 } $를 만족하는 최소의 양의 각 $ \theta $만큼 $ x y- $평면의 좌표축을 회전시키자. \[ \tan 2 \theta= \frac { 2 \tan \theta } { 1- \tan ^ { 2 } \theta } =- \frac { 4 } { 3 } \] 이므로, $ \tan \theta=2,0< \theta< \frac {\pi } { 2 } $이다. 따라서 $ \left \{\begin {array} { l } \cos \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \\ \sin \theta= \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } \end {array} \right . $ 이다. 그러므로 $ x y- $평면 의의 점 $ (x, y) $와 회전시킨 $ X Y $-평면 위의 점 $ (X, Y) $ 사이의 관계는 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } x=X \cos \theta-Y \sin \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } (X-2 Y) \\y=X \sin \theta + Y \cos \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } (2 X + Y) . \end {array} \right . \] 이것을 원 식에 대입하면, \[5 Y ^ { 2 } -2 \sqrt { 5 } X-4 \sqrt { 5 } Y + 3=0 \]을 얻는다. 이 식을 완전제곱하면, \[5 \left (Y- \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } \right ) ^ { 2 } -2 \sqrt { 5 } \left (X + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 5 } } \right )=0 \]이다. 이때, $ \left \{\begin {array} { l } \xi=X + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 5 } } \\ \eta=Y- \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } \end {array} \right . $로 눟으면, 다시 말해, $ X Y- $평면을 $ X $-축 방향으로 $ - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 5 } } $만큼, $ Y $-축방향으로 $ \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } $만큼 평행이동시키면, $ \xi \eta $-평면 위에서 포물선의 표준형 $ \eta ^ { 2 } = \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } \xi $를 얻는다. 따라서 주어진 $ 2 $차곡선의 그래프는 다음과 같다.</p> <p>만일 $ g ^ {\prime } =0 $이면, $ b ^ {\prime } Y ^ { -2 } + 2 f ^ {\prime } Y + c=0 $이다. 이 이차방정식은 두 근을 $ \alpha, \beta $라 하면, $ Y= \alpha $ 또는 $ Y= \beta $ 이다. 이것은 $ X $-축에 평행한 두 직선이다.</p> <p>$ a ^ {\prime } \neq 0, b ^ {\prime } =0 $인 경우에도 마찬가지 결과를 얻는다.</p> <p>이상을 종합하면, 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 $ 2.3.1 $ 이차곡선의 방정식 \[f(x, y) \equiv a x ^ { 2 } + 2 h x y + b y ^ { 2 } + 2 g x + 2 f y + c=0 \]은 다음과 같이 분류된다.</p> <p>(ⅰ) $ h ^ { 2 } -a b \neq 0 $인 경우 ( $ 1 $) 만일 $ h ^ { 2 } -a b<0 $이면, 이차곡선은 타원이다. (여기에는 원, 점타원, 허타원을 포함 한다.) ( $ 2 $) 만일 $ h ^ { 2 } -a b>0 $이면, 이차곡선은 쌍곡선 또는 교차하는 두 직선이다.</p> <p>(ⅱ) $ h ^ { 2 } -a b=0 $인 경우에 이차곡선은 포물선 또는 평행한 두 직선이다.</p> <p>예제 $ 2.3.2 $ $ 2 $차곡선 $ 5 x ^ { 2 } + 2 x y + 5 y ^ { 2 } -12 x-12 y-12=0 $의 그래프를 그려라.</p> <p>[풀이] $ h ^ { 2 } -a b=1 ^ { 2 } -25<0 $이므로, 이 곡선은 타원이다. 이 곡선의 중심은 \[ \left \{\begin {array} { l } 5 x + y-6=0 \\x + 5 y-6=0 \end {array} \right . \] 의 해이다. 이 연립방정식을 풀면, 중심 $ (1,1) $을 얻는다. 그러므로 $ \left \{\begin {array} { l } x=X + 1 \\ y=Y + 1 \end {array} \right . $로 놓으면, 다시 말해, $ x y $-평면을 $ x $축 방향으로 $ 1 $만큼, $ y $-축 방향으로 $ 1 $만큼 평행이동시켜 얻어진 $ X Y- $평면의 원점 $ O ^ {\prime } $ 는 $ x y $-평면의 점 $ (1,1) $이 된다. 이것을 원식에 대입하면, $ X Y $-평면에서의 $2 $차곡선 $ ( ) $ \[5 X ^ { 2 } + 2 X Y + 5 Y ^ { 2 } =24 \]를 얻는다.</p> <p>직경</p> <p>정의 $ 2 $차곡선과 직선이 두 점에서 만난다고 하자. 이때 그 $ 2 $개의 교점을 끝점으로 하는 선분을 그 곡선의 현이라 한다. 타원과 쌍곡선에서는 그 중심 $ O $를 지나는 현을, 포물선에서는 주축에 평행인 포물선 안에 있는 직선을 직경(diameter)이라 한다.</p> <p>정리 $ 2.2.4 $ 원뿔곡선의 평행현의 중점의 자취는 한 직경이다.</p> <p>증명 ( $ 1 $) 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 $ 위의 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu) $인 직선의 방정식은 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 1 } + \lambda t \\ y=y_ { 1 } + \mu t \end {array} \right . $이다. 이 직선과 타원은 서로 다른 $ 2 $점 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $에서 만난다고 하자. 그러면 \[ \frac {\left (x_ { 1 } + \lambda t \right ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac {\left (y_ { 1 } + \mu t \right ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \] \[ \left (b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right ) t ^ { 2 } + 2 \left (x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda + y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu \right ) t + \left (b ^ { 2 } x_ { 1 } ^ { 2 } + a ^ { 2 } y_ { 1 } ^ { 2 } -a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right )=0 \]은 서로 다른 두 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $를 갖는다. 이때 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $에 대응하는 점을 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $라 하자. 만일 $ P $가 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $의 중점이면, $ \overline { P Q_ { 1 } } = \overline { P Q_ { 2 } } $이고 $ t_ { 1 } + t_ { 2 } =0 $이어야 한다. 그런데 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 \[0=t_ { 1 } + t_ { 2 } =-2 \frac { x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda + y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu } { b ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + a ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \]이므로, $ x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda + y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu=0 $을 얻는다. 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 임의이므로, 점 $ P $의 자취의 방정식은 \[x b ^ { 2 } \lambda + y a ^ { 2 } \mu=0 \]이다. 이때 $ m= \frac {\mu } {\lambda } $로 놓으면, 타원의 평행현의 중점의 자취는 원점을 지나는 직선 $ y=- \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } m } x $이다. 그러므로 이 직선은 타원의 한 직경이다.</p> <p>( $ 1 $) $ D \neq 0 $인 경우 이때는 모든 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , t_ { 3 } $가 $ 0 $이 아니므로, \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } + c ^ {\prime } \left (z ^ {\prime } + \frac { n ^ {\prime } } { c ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } = \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } + \frac { n ^ {\prime 2 } } { c ^ {\prime } } -d ^ {\prime } \]이다. $ \left \{\begin {array} { l } \bar { x } =x ^ {\prime } \\ \bar { y } =y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } , \bar { d } =d ^ {\prime } - \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } - \frac { n ^ {\prime 2 } } { c ^ {\prime } } \text { 로 놓으면, } t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + t_ { 2 } \bar { y } ^ { 2 } + t_ { 3 } \bar { z } ^ { 2 } + \bar { d } =0 \text { 으로 } \\ \bar { z } =z ^ {\prime } + \frac { n ^ {\prime } } { c ^ {\prime } } \end {array} \right . $된다. 그러나 예제 $ 6.2.2 $에 의하여 \[ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\ h & b & f & m \\g & f & c & n \\l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\0 & t_ { 2 } & 0 & 0 \\0 & 0 & t_ { 3 } & 0 \\0 & 0 & 0 & \bar { d } \end {array} \right \|=t_ { 1 } t_ { 2 } t_ { 3 } \bar { d } \]이다. 그러므로 $ \bar { d } = \frac {\Delta_ { 1 } } { t_ { 1 } t_ { 2 } t_ { 3 } } $ 이다. 따라서 $ 3 $차곡면의 방정식은 \[ t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + t_ { 2 } \bar { y } ^ { 2 } + t_ { 3 } \bar { z } ^ { 2 } + \frac {\Delta_ { 1 } } { t_ { 1 } t_ { 2 } t_ { 3 } } =0 \]으로 된다.</p> <p>만일 $ n ^ {\prime } =0 $이면, $ \quad a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 $ 이다. $ \quad a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } = \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } -d ^ {\prime } $이므로, $ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \bar { x } \\ y ^ {\prime } = \bar { y } - \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \text { 로 놓으면, } k ^ {\prime } = \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } -d ^ {\prime } \text { 에 대하여 } a ^ {\prime } \bar { x } ^ { 2 } + b ^ {\prime } y ^ { 2 } =k ^ {\prime } \text { 로 변환된다. 이때 만일 } \\ z ^ {\prime } = \bar { z } \end {array} \right . $ $ k ^ {\prime } \neq 0 $이면, $ 2 $차곡면은 (실 또는 허)타원기둥면 또는 쌍곡기둥면이다. 만일 $ k ^ {\prime } =0 $이면, $ 2 $차곡면은 두 평면 또는 한 직선을 나타낸다.</p> <p>( $ 3 $) $ a ^ {\prime } \neq 0, b ^ {\prime } =c ^ {\prime } =0 $인 경우 \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 \]만일 $ m ^ {\prime } , n ^ {\prime } $ 중의 하나가 $ 0 $이면, $ 2 $차곡면은 포물기둥면을 나타낸다. 만일 $ m ^ {\prime } =n ^ {\prime } =0 $ 이면, $ a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + d ^ {\prime } =0 $이므로, $ 2 $차곡면은 (실 또는 허)의 평행 $ 2 $직선을 나타낸다.</p> <p>[멱] 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $과 구면 $ S: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 $이 주어졌다고 하자. 점 $ P_ { 0 } $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 직선 $ g $는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>\[g: \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\y=y_ { 0 } + \mu t, \quad- \infty<t< \infty \\ z=z_ { 0 } + v t \end {array} \right . \]이 직선 $ g $는 구면 $ S $와 $ 2 $점 $ Q, R $에서 만난다고. 하자. 그러면 \[ \begin {array} { r } \left (x_ { 0 } + \lambda t \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 0 } + \mu t \right ) ^ { 2 } + \left (z_ { 0 } + \nu t \right ) ^ { 2 } + 2 l \left (x_ { 0 } + \lambda t \right ) + 2 m \left (y_ { 0 } + \mu t \right ) + 2 n \left (z_ { 0 } + \nu t \right ) + d=0, \\ t ^ { 2 } + 2 \left [( \lambda + l) x_ { 0 } + ( \mu + m) y_ { 0 } + ( \nu + n) z_ { 0 } \right ] t + \left (x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } + z_ { 0 } ^ { 2 } + 2 l x_ { 0 } + 2 m y_ { 0 } + 2 n z_ { 0 } + d \right )=0 \end {array} \]이므로, $ t $에 관한 이 $ 2 $차방정식은 서로 다른 두 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $을 가져야 한다.</p> <p>\[ \overline { P A } ^ { 2 } + \overline { P B } ^ { 2 } + \overline { P C } ^ { 2 } = \overline { G A } ^ { 2 } + \overline { G B } ^ { 2 } + \overline { G C } ^ { 2 } + 3 \overline { G P } ^ { 2 } \]</p> <p>[극좌표] $ O $는 좌표평면의 원점이라 하자. $ O $에서 방사하는 반직선을 $ x $-축이라 하자. 이때 평면 위의 점 $ P $의 위치는 선분 $ O P $와 $ x $-축 사이의 각 $ \theta $와 $ \overline { O P } =r $에 의하여 정해진다. 이러한 $ r, \theta $를 점 $ P $의 극좌표라 한다. 이때 $ \theta $는 편각, $ r $은 동경, $ O $는 극이라 한다.</p> <p>원점 $ O $를 지나 $ x $-축과 직교하는 $ y $-축을 잡아서 점 $ P $의 직각좌표를 $ (x, y) $라 하면, \[ \left \{\begin {array} { l } x=r \cos \theta \\y=r \sin \theta \end {array} , \left \{\begin {array} { l } r= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ \theta= \tan ^ { -1 } \frac { y } { x } \end {array} \right . \right . \]를 얻는다. 이것은 직각좌표와 극좌표와의 관계식이다. 극좌표가 주어지면, 그에 대응하는 직각좌 표가 유일하게 결정된다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 직각좌표가 주어지면, 그에 대응 하는 극좌표는 무수히 많이 존재한다. 그 이유는 직각좌표의 편각 때문이다.</p> <p>문제 $ 1.2 $ 다음 직각좌표에 의한 방정식은 극좌표에 의한 방정식으로, 극좍표에 의한 방정식에 직각좌표에 의한 방정식으로 변환하여라.</p> <p> <ol type=1 start=1></li> <li>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $</li> <li>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + a x=a \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + a x=a \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $</li> <li>$ r \cos \theta=a $</li> <li>$ r=2 a \cos \theta $</p></ol> <p>정리 $ 1.4.1 $ $ 3 $개의 직선 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } $가 한 점 $ P $에서 만나기 위한 필요충분조건은 모두는 $ 0 $이 아닌 적당한 실수 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \lambda_ { 3 } $에 대하여 $ \lambda_ { 1 } l_ { 1 } + \lambda_ { 2 } l_ { 2 } + \lambda_ { 3 } l_ { 3 } $가 점 $ P $를 지나는 것이다.</p> <p>예제 $ 1.4.2 $ $ a, b $는 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } =2 $를 만족하는 임의의 실수라 하자. 그러면 직선의 방정식 $ \frac { x } { a } + \frac { y } { b } =1 $은 일정한 점을 지남을 보여라.</p> <p>증명 $ \frac { 1 } { b } =2- \frac { 1 } { a } $이므로, \[ \begin {aligned} 0 &= \frac { x } { a } + \frac { y } { b } -1= \frac { x } { a } + \left (2- \frac { 1 } { a } \right ) y-1 \\ &=(2 y-1) + \frac { 1 } { a } (x-y) \end {aligned} \]이다. 직선 $ l: \frac { x } { a } + \frac { y } { b } -1=0 $은 직선 $ l_ { 1 } : 2 y-1=0 $ 와 $ l_ { 2 } : x-y=0 $의 직선속이다. 그러나 $ l_ { 1 } $과 $ l_ { 2 } $는 점 $ P \left ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) $을 지난다. 그러므로 직선 $ l: \frac { x } { a } + \frac { y } { b } -1=0 $도 그 교점 $ P \left ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) $을 지난다.</p> <p>직선 $ l $의 방정식이 $ a x + b y + c=0, a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 $일 때, $ l $의 헤세의 표준형 \[x \cos \theta + y \sin \theta=p \geqq 0 \] 에서 $ p= \frac { \|c\| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , \cos \theta=- \frac { \|c\| a } { c \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , \sin \theta=- \frac { \|c\| b } { c \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } $이다. 그러므로 $ \|d\|= \left \|p- \left (x_ { 1 } \cos \theta + y_ { 1 } \sin \theta \right ) \right \| $ $ = \left \|x_ { 1 } \cos \theta + y_ { 1 } \sin \theta-p \right \| $ $ = \frac {\left \|a x_ { 1 } + b y_ { 1 } + c \right \| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } $ 이다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 $ 1.3.1 $ 직선 $ l $의 방정식 $ a x + b y + c=0, a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 $ 과 $ l $ 위에 있지 않는 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에 대하여 $ P $에서 직선 $ l $까지의 거리 $ d $는 다음과 같다. \[d=- \frac {\left \|a x_ { 1 } + b y_ { 1 } + c \right \| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \]</p> <p>예제 $ 1.3.2 $ 원점 $ (0,0) $에서 직선 $ x + 2 y-1=0 $까지의 거리를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ d= \frac { \|0 + 2 \cdot 0-1\| } {\sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } = \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } $</p> <p>문제 $ 3.1 $ $ 2 $직선 $ l_ { i } : x \cos \theta_ { i } + y \sin \theta_ { i } =p_ { i } >0, i=1,2 $가 이루는 각 중에서 원점을 포함하는 쪽의 이등분선은 $ l_ { 1 } -l_ { 2 } $이고, 다른 쪽의 이등분선은 $ l_ { 1 } + l_ { 2 } $임을 증명하여라.</p> <h1>제 $6 $장 $2 $차곡면의 분류</h1> <h2>6.1 특성방정식</h2> <p>$ 2 $차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]의 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 종선에 공액인 경면이 주경면이 되기 의한 조건은 $ \lambda, \mu, \nu $가 \[ \left \{\begin {array} { l } (a-t) \lambda + h \mu + g \nu=0 \\h \lambda + (b-t) \mu + f \nu=0 \\g \lambda + f \mu + (c-t) \nu=0 \end {array} \right . \]을 만족하는 것이다. 이 연립방정식에서 동시에 $ 0 $이 아닌 $ \lambda, \mu, \nu $를 갖기 의해서는 $ t $가 특성방 정식 \[ \Delta \equiv \left \| \begin {array} { ccc } a-t & h & g \\h & b-t & f \\g & f & c-t \end {array} \right \|=0 \]을 만족한다. 이 특성방정식을 전개하여 정리하면, 다음과 같다, \[t ^ { 3 } -I \cdot t ^ { 2 } + J \cdot t-D=0 \]</p> <p>여기서 $ I=a + b + c, J=b c + c a + a b-f ^ { 2 } -g ^ { 2 } -h ^ { 2 } $이고. $ D= \left \| \begin {array} { lll } a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end {array} \right \| $이다.</p> <p>정리 $ 6.1.1 $ 특성방정식의 계수 $ I, J, D $는 좌표축의 변환에 대하여 불변이다.</p> <p>증명 직교좌표계 $ O-x y z $의 원점 $ O $를 점 $ O ^ {\prime } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $로 옮겨서 $ O ^ {\prime } $를 원점으로 하는 직교 좌표계를 $ O ^ {\prime } -x ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } $이라 하고, 원점 $ O ^ {\prime } $를 중심으로 좌표축 $ x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } $-축을 회전하여 얻은 새로운 직교좌표계 $ O ^ {\prime } - \bar { x } \bar { y } \bar { z } $를 생각하자. 여기서 $ x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } $-축과 $ \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } $-축 사잇각의 각 코사인은 다음과 같다고 하자.</p> <p>이상을 종합하여 정리하면, 다음과 같다.</p> <p>정리 $ 6.2.1 $ $ x, y, z $에 관한 $ 2 $차방정식 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 \]을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취가 나타내는 곡면은 타원면, $ 1,2 $엽쌍곡면, $ 2 $차뿔면, 타원포물면, 쌍곡포물면, 타원기둥면, 쌍곡기둥면, 포물기둥면, 두 평면 중에서 어느 하나이다.</p> <p>예제 $ 6.2.2 $ $ 2 $차곡면의 방정식 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 \]을 생각하자. 이때 $ 2 $차곡면 $ F(x, y, z)=0 $에 대한 행렬식 \[ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\h & b & f & m \\ g & f & c & n \\l & m & n & d \end {array} \right \| \]의 값은 좌표축의 변환에 의하여 변환된 2차곡면 $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \equiv a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + c ^ {\prime } z ^ {\prime 2 } + 2 f ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } + 2 g ^ {\prime } z ^ {\prime } x ^ {\prime } + 2 h ^ {\prime } x ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 l ^ {\prime } x ^ {\prime } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 $ 에 대한 행렬식 \[ \Delta_ { 1 } ^ {\prime } = \left \| \begin {array} { llll } a ^ {\prime } & h ^ {\prime } &g ^ {\prime } & l ^ {\prime } \\h ^ {\prime } & b ^ {\prime } & f ^ {\prime } & m ^ {\prime } \\g ^ {\prime } & f ^ {\prime } & c ^ {\prime } & n ^ {\prime } \\l ^ {\prime } & m ^ {\prime } & n ^ {\prime } & d ^ {\prime } \end {array} \right \| \]의 값과 같음을 증명하여라.</p> <p>여기서 $ a>b $라 가정한다. 이것은 초점이 $ F \left ( \sqrt { a ^ { 2 } -b ^ { 2 } } , 0 \right ), F ^ {\prime } \left (- \sqrt { a ^ { 2 } -b ^ { 2 } } , 0 \right ), a>b>0 $인 타원의 방정식이다. 이때 $ x $-축, $ y $-축을 각각 장축, 단축이라 한다.</p> <p>$ a $ 와 $ b $의 역할을 바꾸면, 초점이 $ F \left (0, \sqrt { b ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \right ), F ^ {\prime } \left (0,- \sqrt { b ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \right ), 0<a<b $인 타원의 방정식 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $은 $ x $-축, $ y $-축이 각각 단축, 장축이다.</p> <p>타원의 방정식 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1, a>b>0 $에 대하여 원점 $ O $를 중심으로 하고 반지름이 $ a $인 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $은 타원의 보조원 (auxiliary circle)이라 한다.</p> <p>$ x $에 대한 타원 위의 점을 $ \left (x, y_ { 1 } \right ) $이라 하고 원 위의 점을 $ \left (x, y_ { 2 } \right ) $라 하면, \[ \left \|y_ { 1 } \right \|= \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } = \frac { b } { a } \left \|y_ { 2 } \right \| \]이다. 그러므로 $ x $-축에 수직인 임의의 직선 $ l $과 원, 타원이 만나는 $ 2 $점을 끝점으로 하는 선분 $ C C ^ {\prime } , D D ^ {\prime } $에 대하여 $ \overline { D D } ^ {\prime } $는 $ \overline { C C } ^ {\prime } $을 $ \frac { b } { a } (<1) $배로 축소한 것이다.따라서 타원 위의 임의의 점 $ (x, y) $에 대하여 \[ \left \{\begin {array} { l } x=a \cos \theta \\y=b \sin \theta \end {array} \right . \] 이다. 이것은 $ \theta $를 매개변수로 하는 타원의 방정식이다. 이때 $ \theta $는 타원의 이심각(eccentric angle)이라 한다. $ e:= \frac {\overline { O F } } {\overline { O A } } = \frac {\sqrt { a ^ { 2 } -b ^ { 2 } } } { a } (<1) $ 는 타원의 이심률(eccentricity $ ) $이라 한다. 그러므로 \[a e= \sqrt { a ^ { 2 } -b ^ { 2 } } , 0<e<1 \]이다. 따라서 초점 $ F, F ^ {\prime } $ 의 좌표는 각각 $ (a e, 0),(-a e, 0) $ 이다. $ x $-축 위에 $ \overline { O D } = \frac { a } { e } , \overline { O D } { } ^ {\prime } =- \frac { a } { e } $ 인 점 $ D, D ^ {\prime } $ 를 잡고, 이 각 점을 지나 $ x $-축에 수직인 직선 $ l, l ^ {\prime } $ 을 그리자. 그러면 \[l: x= \frac { a } { e } ,l ^ {\prime } : x=- \frac { a } { e } \]이다. 이 직선을 타원의 준선(directrix)이라 한다.</p> <p>이 연립방정식에서 동시에 $ 0 $이 아닌 $ \lambda, \mu, \nu $를 갖기 위해서는 \[ \left \| \begin {array} { ccc } a-t & h & g \\h & b-t & f \\g & f & c-t \end {array} \right \|=0 \]이어야 한다. 이것은 $ t $에 관한 $ 3 $차방정식이다. 이러한 방정식을 특성방정식(characteristic equation)이라 한다. 만일 특성방정식의 해가 $ 0 $이 아닌 $ t $이면, $ \lambda ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } =1 $을 고려하여 $ \lambda, \mu, \nu $의 값을 구할 수 있다. 그러면 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $에 수직이고 그에 공액인 경면의 방정식은 다음과 같다. \[t( \lambda x + \mu y + \nu z) + l \lambda + m \mu + n \nu=0 \]</p> <p>이와 같은 경면을 주경면(principal diameter plane)이라 한다.</p> <p>예제 $ 5.21 $ $ 2 $차곡면 $ 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } -2 y z-2 z x-2 x y + 4 x + 14 y + 4 z-23=0 $의 주경면의 방정식을 구하여라.</p> <p>[풀이] 특성방정식은 \[ \left \| \begin {array} { ccc } 3-t & -1 & -1 \\-1 & 1-t & -1 \\ -1 & -1 & 3-t \end {array} \right \|=0 \]이다. 즉, $ t(t-3)(t-4)=0 $. 그러므로 $ t=3,4 $ 이다.</p> <p>(ⅰ) $ t=3 $ 일 때, \[ \left \{\begin {array} { l } \mu + \nu=0 \\ \lambda + 2 \mu + v=0 \\ \lambda + \mu=0 \end {array} \right . \]이므로, $ \lambda: \mu: \nu=1:-1: 1 $이다. $ \lambda ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } =1 $이므로, \[ \left \{\begin {array} { l } \lambda= \pm \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \\ \mu= \mp \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \\ \nu= \pm \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \end {array} \right . \]이다. 그러므로 주경면의 방정식은 다음과 같다. \[3(x-y + z) + 2-7 + 2=0, x-y + z-1=0 \]</p> <p>(ⅱ) $ t=4 $일 때, \[ \left \{\begin {array} { l } \lambda + \mu + \nu=0 \\ \lambda + 3 \mu + \nu=0 \\ \lambda + \mu + \nu=0 \end {array} \right . \]이므로, $ \lambda: \mu: \nu=1: 0:-1 $ 이다. 그러므로 $ \left \{\begin {array} { l } \lambda= \pm \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ \mu=0 \\ \nu= \mp \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right . $이다. 따라서 주경면의 방정식은 다음과 같다. \[4(x + 0 \cdot y-z) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 7-1 \cdot 2=0, x-z=0 \]</p> <p>(ⅱ) $ h ^ { 2 } -a b = 0 $인 경우 이때는 먼저 $ x y- $평면의 각 축을 $ \tan 2 \theta= \frac { 2 h } { a-b } $를 만족하는 각 $ \theta $만큼 회전하여 얻어진 $ X Y $-평면을 생각한다. 그러면 \[ \left \{\begin {array} { l } x=X \cos \theta-Y \sin \theta \\y=X \sin \theta + Y \cos \theta \end {array} \right . \]이므로, $ x y- $평면 위의 이차곡선 $ C $의 방정식은 $ X Y- $평면에서는 다음과 같이 변환된다는 것을 알 수 있다. \[a ^ {\prime } X ^ { 2 } + b ^ {\prime } Y ^ { 2 } + 2 g ^ {\prime } X + 2 f ^ {\prime } Y + c=0 . \]여기서 $ 0=h ^ { 2 } -a b=h ^ {\prime 2 } -a ^ {\prime } b ^ {\prime } =-a ^ {\prime } b ^ {\prime } $이다. 그러므로 $ a ^ {\prime } =0, b ^ {\prime } \neq 0 $ 또는 $ a ^ {\prime } \neq 0, b ^ {\prime } =0 $이다.</p> <p>만일 $ a ^ {\prime } =0, b ^ {\prime } \neq 0 $이면, $ b ^ {\prime } Y ^ { -2 } + 2 g ^ {\prime } X + 2 f ^ {\prime } Y + c=0 $이다. 이때, 만일 $ g ^ {\prime } \neq 0 $이면, \[b ^ {\prime } \left (Y + \frac { f ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } + 2 g ^ {\prime } \left (X + \frac { b ^ {\prime } c-f ^ {\prime 2 } } { 2 b ^ {\prime } g ^ {\prime } } \right )=0 \]이다. 평행이동에 의하여 $ X Y- $평면의 원점을 $ \left (- \frac { b ^ {\prime } c-f ^ {\prime 2 } } { 2 b ^ {\prime } g ^ {\prime } } ,- \frac { f ^ {\prime } } { g ^ {\prime } } \right ) $ 으로 옮기면, 즉, \[ \left \{\begin {array} { l } \xi=X + \frac { b ^ {\prime } c-f ^ {\prime 2 } } { 2 b ^ {\prime } g ^ {\prime } } \\ \eta=Y + \frac { f ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \end {array} \right . \]라 놓으면, $ b ^ {\prime } \eta ^ { 2 } + 2 g ^ {\prime } \xi=0 $이다. $ 4 p=- \frac { 2 g ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } $로 놓으면, $ \eta ^ { 2 } =4 p \xi $이다. 그러므로 이것은 포물선이다.</p> <p>$ t_ { 1 } $에 대응하는 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $는 \[ \left \{\begin {array} { l } \left (a ^ {\prime } -t_ { 1 } \right ) \lambda=0 \\ \left (b ^ {\prime } -t_ { 1 } \right ) \mu + f ^ {\prime } \nu=0 \\f ^ {\prime } \mu + \left (c ^ {\prime } -t_ { 1 } \right ) \nu=0 \end {array} \right . \]에 의하여 정해진다. 그런데 $ ( \lambda, \mu, \nu)=(1,0,0) $이어야 한다. 그러므로 $ a ^ {\prime } =t_ { 1 } \neq 0 $이다.</p> <p>(a) 특성방정식 $ \left (a ^ {\prime } -t \right ) \left [ \left (b ^ {\prime } -t \right ) \left (c ^ {\prime } -t \right )-f ^ {\prime 2 } \right ]=0 $은 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime } $와 다른 $ 0 $이 아닌 실근 $ t_ { 2 } $를 갖는다고 가정하자. 이때 $ t_ { 2 } $에 대응하는 방향코사인 $ \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $을 정하면, 정리 $ 6.1.2 $에 의하여 이 방향은 $ t_ { 1 } $에 대응하는 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $에 수직이므로, $ \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $의 공액 주경면은 $ ( \lambda, \mu, \nu) $ 의 공액 주경면인 $ y ^ {\prime } z ^ {\prime } - $ 평면에 수직이다. 이때 직교좌표계 $ O-x ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } $를 회전 이동하여 $ \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $ 의 공액 주경면이 $ z ^ {\prime \prime \prime } x ^ {\prime \prime } - $ 평면이 되도록 직교좌표계 $ O-x ^ {\prime \prime } y ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } $를 잡자. 그러면 $ y ^ {\prime } z ^ {\prime } - $ 평면은 $ y ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } - $ 평면으로 회전하지만, $ 2 $ 차곡면 $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } z ^ {\prime } \right )=0 $은 $ y ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } - $ 평면과 $ z ^ {\prime \prime } x ^ {\prime \prime } - $ 평면에 대칭이다. 그러므로 $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right )=0 $은 다음과 같이 변환된다. \[F ^ {\prime \prime } \left (x ^ {\prime \prime } , y ^ {\prime \prime } , z ^ {\prime \prime } \right ) \equiv a ^ {\prime \prime \prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime \prime \prime } y ^ {\prime 2 } + c ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime 2 } + 2 n ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } + d ^ {\prime \prime } =0 \]</p> <p>[직선의 헤세의 표준형] 직각좌표평면의 원점 $ O $에서 직선 $ l $에 수선 $ m $을 그리자. $ m $의 방향은 직선이 있는 쪽으로 향하는 방향이 양의 방향이라 하자. $ l $과 $ m $의 교점을 $ H $라 하자. $ \overline { O H } = p $로 놓자. 직선 $ l $ 위의 임의의 점 $ P(x, y) $에 대하여 $ x $-축과 선분 $ O P $가 이루는 각을 $ \varphi $라 하고 $ \overline { O P } =r $이라 하자. $ x $-축과 직선 $ m $이 이루는 각을 $ \theta $라 하자. 그러면 \[ \left \{\begin {array} { l } x=r \cos \varphi \\y=r \sin \varphi \end {array} , p=r \cos ( \varphi- \theta) \right . \]이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} p &=r( \cos \theta \cos \varphi + \sin \theta \sin \varphi) \\ &=x \cos \theta + y \sin \theta \end {aligned} \]이것을 직선 $ l $의 헤세(Hesse)의 표준형이라 한다.</p> <p>직선 $ l $의 방정식이 $ a x + b y + c=0, a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0 $꼴일 때, 이 직선 $ l $의 헤세의 표준형 \[x \cos \theta + y \sin \theta=p \]를 구해보자. $ \frac {\cos \theta } { a } = \frac {\sin \theta } { b } =- \frac { p } { c } $에서 $ 1= \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta= \frac { p ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left (a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) $이므로, $ p= \frac { \|c\| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } $이다. 이때 $ \cos \theta=- \frac { p a } { c } =- \frac { \|c\| a } { c \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , \sin \theta=- \frac { p b } { c } =- \frac { \|c\| b } { c \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } $이다. 그러므로 직선 $ l $의 헤세의 표준형은 다음과 같다. \[- \frac { \|c\| } { c } \cdot \frac { a x + b y + c } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } =0 \]</p> <p>[반전] 중심이 $ O $이고 반지름이 $ r $인 구면 $ S: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = r ^ { 2 } $이 주어졌다고 하자. 공간의 한 점 $ P(x, y, z) $를 직선 $ \overleftrightarrow { O P } $ 위의 점 $ P ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) $에 $ \overline { O P } \cdot \overline { O P ^ {\prime } } =r ^ { 2 } $을 만족하도록 대응시키자. 이때 점 $ P ^ {\prime } $를 점 $ P $의 구면 $ S $에 관한 반전(inversion)이라 한다.</p> <p>점 $ O, P, P ^ {\prime } $는 일직선 위의 점이므로, $ k>0 $가 존재하여 \[ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } =k x \\y ^ {\prime } =k y \\z ^ {\prime } =k z \end {array} \right . \]이다. 그러므로 \[ \begin {array} { c } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \cdot \sqrt { k ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) } =r ^ { 2 } \\ k= \frac { r ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \end {array} \]이다. 따라서 점 $ P(x, y, z) $의 구면 $ S $ 에 관한 반점 $ P ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } \cdot y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) $는 다음과 같다. \[P ^ {\prime } \left ( \frac { r ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \frac { r ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \frac { r ^ { 2 } z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \right ) \]</p>특히, 만일 $ P $가 구면 $ S $ 위의 점이면, $ P ^ {\prime } =P $이다. 만일 $ P $가 구 $ S $의 밖의 점이면, $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } >r ^ { 2 } $이므로, $ x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } = \frac { r ^ { 4 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } }<r ^ { 2 } $이다. 그러므로 반점 $ P ^ {\prime } $는 구의 내부의 점이다. 만일 $ P $가 구 $ S $의 내부의 점이면, $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 }<r ^ { 2 } $이므로, \[x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } = \frac { r ^ { 4 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } >r ^ { 2 } \]이다. 그러므로 반점 $ P ^ {\prime } $는 구 $ S $의 밖의 점이다.</p> <p>$ \left \{\begin {array} { l } \left (a-t_ { 2 } \right ) \lambda_ { 2 } + h \mu_ { 2 } + g \nu_ { 2 } =0 \\ h \lambda_ { 2 } + \left (b-t_ { 2 } \right ) \mu_ { 2 } + f \nu_ { 2 } =0 \text { 에 대하여 마찬가지로 하면, 다음을 얻는다. } \\ g \lambda_ { 2 } + f \mu_ { 2 } + \left (c-t_ { 2 } \right ) \nu_ { 2 } =0 \end {array} \right . $ $ a \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + b \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + c \nu_ { 1 } \nu_ { 2 } + f \left ( \mu_ { 1 } \nu_ { 2 } + \mu_ { 2 } \nu_ { 1 } \right ) + g \left ( \nu_ { 1 } \lambda_ { 2 } + v_ { 2 } \lambda_ { 1 } \right ) + h \left ( \lambda_ { 1 } \mu_ { 2 } + \lambda_ { 2 } \mu_ { 1 } \right ) $ $ - \left ( \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + v_ { 1 } \nu_ { 2 } \right ) t_ { 2 } =0 $</p> <p>그러므로 $ \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + v_ { 1 } v_ { 2 } =0 $이다.</p> <p>정리 $ 6.1.3 $ 특성방정식 $ t ^ { 3 } -t ^ { 2 } + J t-D=0 $의 근은 모두 실수이고 $ 3 $근 중에서 적어도 하나는 $ 0 $이 아니다. 여기서 $ I=a + b + c, J=b c + c a + a b-f ^ { 2 } -g ^ { 2 } -h ^ { 2 } , D= \left ( \begin {array} { lll } a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end {array} \right ) $ 이다.</p>증명 만일 특성방정식이 복소수 근 $ t $를 가졌다면, 공액복소수 $ \bar { t } $도 근이다. 그러면 \[ \left \{\begin {array} { l } (a-t) \lambda + h \mu + g \nu=0 \\h \lambda + (b-t) \mu + f \nu=0 \\ g \lambda + f \mu + (c-t) \nu=0 \end {array} \right . \]은 모두는 $ 0 $이 아닌 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $을 가지므로, $ t, \bar { t } $ 에 대응하는 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $, $ ( \bar {\lambda } , \bar {\mu } , \bar {\nu } ) $도 서로 공액이다. 정리 $ 6.1.2 $ 에 의하여 $ \lambda \bar {\lambda } + \mu \bar {\mu } + \nu \bar {\nu } =0 $이다. 그러므로 $ \lambda= \mu= \nu=0 $이다. 이것은 모순이다.</p> <p>만일 특성방정식의 모든 근이 $ 0 $ 이라면, 특성방정식은 $ t ^ { 3 } =0 $꼴이어야 한다. 그러므로 $ I=0, J=0, D=0 $이다. 이때 \[0=I ^ { 2 } -2 J=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 f ^ { 2 } + 2 g ^ { 2 } + 2 h ^ { 2 } \]이므로, $ a=b=c=f=g=h=0 $이다. 이것은 모순이다.</p> <p>정리 $ 2.2.5 $ 타원과 쌍곡선에 있어서 한 직경 $ d_ { 2 } $가 다른 직경 $ d_ { 1 } $에 평행인 현을 $ 2 $등분하면, $ d_ { 1 } $도 역시 직경 $ d_ { 2 } $에 평행인 현을 $ 2 $등분한다.</p> <p>이와 같은 $ 2 $개의 직경을 서로 공액인 직경(conjugate diameter)이라 한다. 그러므로 만일 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } $는 각각 공액인 직경의 기울기이면, 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 에서는 $ m_ { 1 } m_ { 2 } =- \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } $이고 쌍곡선 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 에서는 $ m_ { 1 } m_ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } $이다.</p> <p>극과 극선</p> <p>정의 이차곡선의 방정식 \[f(x, y) \equiv a x ^ { 2 } + 2 h x y + b ^ { 2 } y + 2 g x + 2 f y + c=0 \]에 대하여 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 평면 위의 임의의 점일 때, 직선의 방정식 \[a x_ { 1 } x + h \left (x_ { 1 } y + x y_ { 1 } \right ) + b y_ { 1 } y + g \left (x + x_ { 1 } \right ) + f \left (y + y_ { 1 } \right ) + c=0 \]은 $ 2 $차곡선의 극선이라 하고, $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 극(pole)이라 한다. 만일 점 $ P $가 이차곡선 위에 있으면, $ P $의 극선은 그 점에서 그 곡선의 접선이 된다.</p> <p>정리 $ 6.1.2 $ 특성방정식 $ D-J t + It ^ { 2 } -t ^ { 3 } = 0 $의 $ 3 $개의 근 중에서 $ 2 $개의 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $가 서로 같지 않으면, 이에 대응하는 방향코사인 $ \left ( \lambda_ { 1 } , \mu_ { 1 } , \nu_ { 1 } \right ), \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $ 에 대하여 \[ \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + m_ { 1 } m_ { 2 } + \nu_ { 1 } \nu_ { 2 } =0 \]이다.</p> <p>증명 $ \left \{\begin {array} { l } \left (a-t_ { 1 } \right ) \lambda_ { 1 } + h \mu_ { 1 } + g \nu_ { 1 } =0 \cdots \cdots① \\ h \lambda_ { 1 } + \left (b-t_ { 1 } \right ) \mu_ { 1 } + f v_ { 1 } =0 \cdots \cdots② \\ g \lambda_ { 1 } + f \mu_ { 1 } + \left (c-t_ { 1 } \right ) v_ { 1 } =0 \cdots \cdots③ \end {array} \right . $ $① \times \lambda_ { 2 } + ② \times \mu_ { 2 } + ③ \times v_ { 2 } $로부터 다음을 얻는다. $ a \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + b \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + c \nu_ { 1 } \nu_ { 2 } + f \left ( \mu_ { 1 } \nu_ { 2 } + \mu_ { 2 } \nu_ { 1 } \right ) + g \left ( \nu_ { 1 } \lambda_ { 2 } + v_ { 2 } \lambda_ { 1 } \right ) + h \left ( \lambda_ { 1 } \mu_ { 2 } + \lambda_ { 2 } \mu_ { 1 } \right ) $ $ - \left ( \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } + \mu_ { 1 } \mu_ { 2 } + v_ { 1 } \nu_ { 2 } \right ) t_ { 1 } =0 $</p> <p>공간의 임의의 점 $ P $의 좌표가 구좌표계에서는 $ (x, y, z) $라 하고 신좌표계에서는 $ (X, Y, Z) $라 하자.</p> <p>점 $ P $에서 $ X Y $-평면에 내린 수선의 발을 $ M, M $에서 $ X $-축에 내린 수선의 발을 $ N $이라 하자. 점 $ P $에서 $ x y $-평면에 내린 수선의 발을 $ Q, Q $에서 $ x $-축에 내린 수선의 발을 $ R $이라 하자. 그러면 다각선 $ O N M P $를 $ x $-축에 사영하면, \[[O N]_ { x } + [N M]_ { x } + [N P]_ { x } =[O P]_ { x } \] $ \overline { O N } {\cos } ( \angle( \mathrm { x } , \mathrm { X } )) + \overline {\mathrm { NM } } \cos ( \angle( \mathrm { x } , \mathrm { Y } )) + \overline {\mathrm { MP } } \cos ( \angle( \mathrm { x } , \mathrm { Z } ))= \mathrm { x } $ 이다. 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \left \{\begin {array} { l } x=l_ { 1 } X + l_ { 2 } Y + l_ { 3 } Z \\y=m_ { 1 } X + m_ { 2 } Y + m_ { 3 } Z \\ z=n_ { 1 } X + n_ { 2 } Y + n_ { 3 } Z \end {array} \right . \]</p> <p>마찬가지로, 다각선 $ O R Q P $를 $ X $-축에 사영하면, \[[O R]_ { X } + [R Q]_ { X } + [Q P]_ { X } =[O P]_ { X } \] $ \overline { O R } \cos ( \angle( \mathrm { x } , \mathrm { X } )) + \overline {\mathrm { RQ } } \cos ( \angle( \mathrm { y } , \mathrm { X } )) + \overline {\mathrm { QP } } \cos ( \angle( \mathrm { z } , \mathrm { X } ))= \mathrm { X } $ 이다. 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \left \{\begin {array} { l } X=l_ { 1 } x + m_ { 1 } y + n_ { 1 } z \\Y=l_ { 2 } x + m_ { 2 } y + n_ { 2 } z \\Z=l_ { 3 } x + m_ { 3 } y + n_ { 3 } z \end {array} \right . \]<p>$ \overline { O P } ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } + Z ^ { 2 } $이므로, 이 등식에 위의 $ x, y, z $를 대입하여 계수를 비교하면, 다음을 얻는다. \[l_ { i } ^ { 2 } + m_ { i } ^ { 2 } + n_ { i } ^ { 2 } =1, i=1,2,3 \] $ \left \{\begin {array} { l } l_ { 1 } l_ { 2 } + m_ { 1 } m_ { 2 } + n_ { 1 } n_ { 2 } =0 \\ l_ { 2 } l_ { 3 } + m_ { 2 } m_ { 3 } + n_ { 2 } n_ { 3 } =0 \\ l_ { 3 } l_ { 1 } + m_ { 3 } m_ { 1 } + n_ { 3 } n_ { 1 } =0 \end {array} \right . $</p> <p>$ x, y, z $에 관한 $ 1 $차방정식 $ A x + B y + C z + D=0 $의 헤세의 표준형은 다음과 같다. \[- \epsilon \cdot \frac { A x + B y + C z + D } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } =0, \epsilon= \pm 1, \epsilon D>0 \]</p> <p>( $ 2 $) 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ (l, m, n) $인 평면의 방정식은 다음과 같다. \[l \left (x-x_ { 1 } \right ) + m \left (y-y_ { 1 } \right ) + n \left (z-z_ { 1 } \right )=0 \]</p> <p>( $ 3 $) $ x, y, z $-축의 각 절편 $ a, b, c $를 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다. \[ \frac { x } { a } + \frac { y } { b } + \frac { z } { c } =1 \]</p> <p>[공간에서 직선의 방정식]</p> <p>( $ 1 $) 두 평면 $ \left \{\begin {array} { l } A x + B y + C z + D=0 \\ A ^ {\prime } x + B ^ {\prime } y + C ^ {\prime } z + D ^ {\prime } =0 \end {array} \right . $의 교선은 직선이므로, $ z $는 상수로 간주하여 이것을 연립하여 $ x, y $에 관하여 풀면, $ \left \{\begin {array} { l } x=p z + h \\ y=q z + k \end {array} \right . $꼴을 얻는다. 즉, \[ \frac { x-h } { p } = \frac { y-k } { q } =z \]</p> <p>( $ 2 $) 주어진 직선 $ g $는 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ (l, m, n) $이라 하자. $ P(x, y, z) $는 $ g $ 위의 임의의 점이라 하자. 그러면 \[ \left (x-x_ { 0 } , y-y_ { 0 } , z-z_ { 0 } \right )= \overrightarrow { P_ { 0 } P } =t(l, m, n),- \infty<t< \infty \]이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + l t \\y=y_ { 0 } + m t,- \infty<t< \infty \\z=z_ { 0 } + n t \end {array} \right . \]</p> <p>[공간의 한 점에서 펑면에 이르는 거리] 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서 평면 $ \pi $에 이르는 거리 $ d $를 구해보자. 점 $ P $를 지나고 평면 $ \pi $에 평행인 평면을 $ \pi ^ {\prime } $이라 하자. 원점 $ O $에서 평면 $ \pi, \pi ^ {\prime } $에 내린 수선의 발을 각각 $ H, H ^ {\prime } $이라 하고. $ \overline { O H } =p, \overline { O H ^ {\prime } } =p ^ {\prime } $ 놓자. $ \pi, \pi ^ {\prime } $의 헤세의 표준형을 각각 다음과 같다고 하자. \[ \left \{\begin {array} { l } \pi : l x + m y + n z=p \\ \pi ^ {\prime } : l x + m y + n z=p ^ {\prime } \end {array} \right . \]</p> <p>점 $ P $는 평면 $ \pi ^ {\prime } $ 위에 있으므로, $ l x_ { 0 } + m y_ { 0 } + n z_ { 0 } =p ^ {\prime } $이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[d=p- \left (l x_ { 0 } + m y_ { 0 } + n z_ { 0 } \right ) \]</p> <p>정리 $ 2.3.2 $ 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서 평면 $ A x + B y + C z + D=0 $에 이르는 거리 $ d $는 다음과 같다. \[d= \epsilon \cdot \frac { A x_ { 0 } + B y_ { 0 } + C z_ { 0 } + D } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } , \epsilon= \pm 1, \epsilon D>0 \]</p> <p>증명 $ \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C } = \frac { -p } { D } = \frac { - \epsilon } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } , \epsilon= \pm 1, \epsilon D>0 $이라 놓으면, $ A x + B y + C z + D=0 $의 헤세의 표준형은 $ l x + m y + n z=p $로 된다. 그러므로 다음을 얻는다. \[d=p- \left (l x_ { 1 } + m y_ { 1 } + n z_ { 1 } \right ) \] $ = \epsilon \cdot \frac { A x_ { 0 } + B y_ { 0 } + C z_ { 0 } + D } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } , \epsilon= \pm 1, \epsilon D>0 $</p> <p>단, $ D $의 부호는 $ h>0 $이 되도록 잡는다.</p> <p>공간에서 $ 2 $직선은 만나는 경우도 있고 그렇지 않은 경우도 있다. 위에서 말한 $2 $직선 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $가 서로 만날 조건은 최단거리가 $ h=0 $일 것이다. 그러므로 다음 정리들 얻는다.</p> <p>정리 $ 3.2.2 $ 두 직선 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $는 각각 점 $ P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ), P_ { 2 } \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) $를 지나고 그들의 방향 코사인은 각각 $ \left (l_ { 1 } , m_ { 1 } , n_ { 1 } \right ), \left (l_ { 2 } , m_ { 2 } , n_ { 2 } \right ) $라 하자. 이때 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $가 서로 만날 조건은 $ \begin { vmatrix} { x_2 - x_1 } & { y_2 - y_1 } & { z_2 - z_1 } \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end { vmatrix} = 0 $이다.</p> <p>[직선과 평면이 이루는 각] 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ (l, m, n) $인 직선 $ g $와 평면 $ \pi: A x + B y + C z + D=0 $이 이루는 각 $ \theta $는 이 평면에 수직인 직선 $ g ^ {\prime } $와 $ g $가 이루는 각 $ \varphi $의 여각 $ \frac {\pi } { 2 } - \varphi $이다.</p> <p>평면 $ \pi $에 수직인 직선 $ g ^ {\prime } $의 방향코사인은 \[ \left (- \epsilon \cdot \frac { A } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } ,- \epsilon \cdot \frac { B } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } ,- \epsilon \cdot \frac { C } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } \right ), \epsilon= \pm 1 \]이다. 여기서 $ D=0 $ 일 때는 $ \epsilon $은 임의로, $ D \neq 0 $일 때는 $ \epsilon D>0 $ 이 되도록 $ \epsilon $을 선택한다. \[ \begin {aligned} \cos \varphi &= \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } - \theta \right )= \sin \theta \\ &=- \epsilon \cdot \frac { l A + m B + n C } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } \end {aligned} \]이므로, 이것으로부터 $ \theta $가 결정된다. 그러므로 만일 $ g / / \pi $ 또는 $ g \subset \pi $이면, $ l A + m B + n C=0 $ (평행조건)이고, 만일 $ g \perp \pi $이면, \[ \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C } \quad \text { (수직조건) } \]이다.</p> <p>$ t $에 대응하는 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $를 정하는 식은 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } \left (a ^ {\prime } -t \right ) \lambda=0 \\ \left (b ^ {\prime } -t \right ) \mu + f ^ {\prime } \nu=0 \\f ^ {\prime } \mu + \left (c ^ {\prime } -t \right ) \nu=0 \end {array} \right . \]</p> <p>이 식은 $ t=t_ { 1 } =a ^ {\prime } $에 대응하는 방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu)=(1,0,0) $ 을 갖는다. 한편 $ t=a ^ {\prime } $는 중근이므로, $ \left (b ^ {\prime } -a ^ {\prime } \right ) \left (c ^ {\prime } -a ^ {\prime } \right )-f ^ {\prime 2 } =0 $ 이어야 한다. 그러므로 $ t_ { 2 } =a ^ {\prime } $에 대응하는 동시에 $ 0 $이 아닌 방향코사인 $ \left (0, \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $가 존재한다.</p> <p>방향코사인 $ (1,0,0) $의 공액 주경면을 $ y ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } - $평면으로, 방향코사인 $ \left (0, \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $의 공액 주경면을 $ z ^ {\prime \prime } x ^ {\prime \prime } - $평면이 되도록 직교좌표계 $ O-x ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } $를 회전하여 직교좌표계 $ O-x ^ {\prime \prime } y ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } $를 잡자. 그러면 $ 2 $차곡면 $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right )=0 $ 은 다음과 같이 변환된다. \[F ^ {\prime \prime } \left (x ^ {\prime \prime } , y ^ {\prime \prime } , z ^ {\prime \prime } \right ) \equiv a ^ {\prime \prime } x ^ {\prime \prime 2 } + a ^ {\prime \prime } y ^ {\prime \prime 2 } + c ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime 2 } + 2 n ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } + d ^ {\prime \prime } =0 \]</p> <p>여기서 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { lll } \lambda_ { 1 } & \mu_ { 1 } & \nu_ { 1 } \\ \lambda_ { 2 } & \mu_ { 2 } & \nu_ { 2 } \\ \lambda_ { 3 } & \mu_ { 3 } & \nu_ { 3 } \end {array} \right ) $은 직교행렬이고 $ \|A\|=1 $이다.</p> <p>이때 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + x ^ {\prime } \\ y=y_ { 0 } + y ^ {\prime } \\ z=z_ { 0 } + z ^ {\prime } \end {array} \right . $ 이고, $ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \lambda_ { 1 } \bar { x } + \lambda_ { 2 } \bar { y } + \lambda_ { 3 } \bar { z } \\ y ^ {\prime } = \mu_ { 1 } \bar { x } + \mu_ { 2 } \bar { y } + \mu_ { 3 } \bar { z } , \\ z ^ {\prime } =v_ { 1 } \bar { x } + \nu_ { 2 } \bar { y } + \nu_ { 3 } \bar { z } \end {array} , \left \{\begin {array} { l } \bar { x } = \lambda_ { 1 } x ^ {\prime } + \mu_ { 1 } y ^ {\prime } + v_ { 1 } z ^ {\prime } \\ \bar { y } = \lambda_ { 2 } x ^ {\prime } + \mu_ { 2 } y ^ {\prime } + v_ { 2 } z ^ {\prime } \\ \bar { z } = \lambda_ { 3 } x ^ {\prime } + \mu_ { 3 } y ^ {\prime } + \nu_ { 3 } z ^ {\prime } \end {array} \right . \right . $이다. 그러므로 다음을 얻는다. $ \left \{\begin {array} { l } x= \lambda_ { 1 } \bar { x } + \lambda_ { 2 } \bar { y } + \lambda_ { 3 } \bar { z } + x_ { 0 } \\ y= \mu_ { 1 } \bar { x } + \mu_ { 2 } \bar { y } + \mu_ { 3 } \bar { z } + y_ { 0 } \\ z=v_ { 1 } \bar { x } + v_ { 2 } \bar { y } + v_ { 3 } \bar { z } + z_ { 0 } \end {array} \right . $</p> <p>( $ 3 $) 뿔면과 기둥면은 분명히 그 위의 직선을 전부 포함한다.</p> <p>이를 정리하면, 다음을 얻는다.</p> <p>정리 $ 5.5.1 $ $ 2 $차곡면 중에서 그 위의 직선을 전부 포함하는 것은 $ 1 $엽쌍곡면, 쌍곡포물면, 뿔면, 기둥면뿐이다.</p> <p>예제 $ 5.5.2 $ $ 1 $엽쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ 위의 한 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나는 $ 2 $개의 모선을 포함하는 평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>[풀이] 점 $ P_ { 0 } $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 직선 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\ y=y_ { 0 } + \mu t \\ z=z_ { 0 } + \nu t \end {array} \right . $가 모선이 되기 위해서는 $ 3 $조건의 하나인 다음 조건을 만족해야 한다. \[ \frac { x_ { 0 } \lambda } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 0 } \mu } { b ^ { 2 } } - \frac { z_ { 0 } \nu } { c ^ { 2 } } =0 \]</p> <p>이것에 $ t $를 곱하여 $ \left \{\begin {array} { l } \lambda t=x-x_ { 0 } \\ \mu t=y-y_ { 0 } \\ v t=z-z_ { 0 } \end {array} \right . $를 대입하면, $ \frac { x_ { 0 } x } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 0 } y } { b ^ { 2 } } - \frac { z_ { 0 } z } { c ^ { 2 } } =1 $을 얻는다. 이것은 점 $ P_ { 0 } $을 지나는 모선이 그 점에서의 접평면 위에 있음을 의미한다. 그러므로 구하는 평면은 접평면이다.</p> <p>문제 $ 5.2 $ 쌍곡포물면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + 2 n z=0 $ 위의 한 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나는 $ 2 $개의 모선을 포함하는 평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>[풀이] 점 $ P_ { 0 } $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 직선 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\ y=y_ { 0 } + \mu t \\ z=z_ { 0 } + \nu t \end {array} \right . $ 가 모선이 되기 위해서는 $ 3 $조건의 하나인 다음 조건을 만족해야 한다. \[ \frac { x_ { 0 } \lambda } { a ^ { 2 } } - \frac { y_ { 0 } \mu } { b ^ { 2 } } + n \nu=0 \]</p> <p>이것에 $ t $ 를 곱하여 $ \left \{\begin {array} { l } \lambda t=x-x_ { 0 } \\ \mu t=y-y_ { 0 } \\ \nu t=z-z_ { 0 } \end {array} \right . $를 대입하면, $ \frac { x_ { 0 } x } { a ^ { 2 } } - \frac { y_ { 0 } y } { b ^ { 2 } } + n \left (z + z_ { 0 } \right )=0 $을 얻는다. 이것은 점 $ P_ { 0 } $을 지나는 모선이 그 점에서의 접평면 위에 있음을 의미한다. 그러므로 구하는 평면은 접평면이다.</p> <h2>1.4 직선속</h2> <p>직각좌표평면에서 직선 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } $의 방정식은 다음과 같다고 하자. \[ \left \{\begin {array} { l } l_ { 1 } : a_ { 1 } x + b_ { 1 } y + c_ { 1 } = 0 \\l_ { 2 } : a_ { 2 } x + b_ { 2 } y + c_ { 2 } =0 \end {array} \right . \] $ l_ { 1 } $ 과 $ l_ { 2 } $는 평행이 아니고 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $에서 만난다고 하자. 임의의 실수 $ \lambda $에 대하여 \[l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } : \left (a_ { 1 } + \lambda a_ { 2 } \right ) x + \left (b_ { 1 } + \lambda b_ { 2 } \right ) y + \left (c_ { 1 } + \lambda c_ { 2 } \right )=0 \]이므로, 이것은 직선 $ l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $의 방정식이다. \[ \left \{\begin {array} { l } a_ { 1 } x_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { 0 } + c_ { 1 } =0 \\a_ { 2 } x_ { 0 } + b_ { 2 } y_ { 0 } + c_ { 2 } =0 \end {array} \right . \]이므로, 직선 $ l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $도 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $을 지난다. 역으로, 점 $ P $를 지나는 임의의 직선 $ l $은 적당한 실수 $ \lambda $에 대하여 $ l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $꼴이다. 왜냐하면, $ Q \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 $ l $ 위의 임의의 점이라 하면 $ \left (a_ { 1 } + \lambda a_ { 2 } \right ) x_ { 1 } + \left (b_ { 1 } + \lambda b_ { 2 } \right ) y_ { 1 } + \left (c_ { 1 } + \lambda c_ { 2 } \right )=0 $을 만족하는 실수 $ \lambda $가 존재한다. 이러한 실수 $ \lambda $에 대하여 직선 $ l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $는 점 $ P, Q $를 지나는 직선이다. 두 점을 지나는 직선은 유일하게 존재하므로, $ l=l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $이다.</p> <h2>5.4 극과 극면</h2> <p>$ 2 $차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]과 점 $ P_ { 0 } $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 직선 \[ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\y=y_ { 0 } + \mu t \\z=z_ { 0 } + v t \end {array} \right . \]와의 교점을 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $라 하자. 이때 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $에 관한 $ P_ { 0 } $의 조화공액점 $ P $의 자취를 구해보자.</p> <p>$ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\ y=y_ { 0 } + \mu t \\ z=z_ { 0 } + \nu t \end {array} F(x, y, z)=0 \right . $에 대입하면, 다음 $ t $에 관한 $ 2 $차방정식을 얻는다.</p> <p>$ \left (a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c v ^ { 2 } + 2 f \mu \nu + 2 g \nu \lambda + 2 h \lambda \mu \right ) t ^ { 2 } $ $ + 2 \left [ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \mu + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu \right ] t + F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 $</p> <p>[참고] 광선을 타원의 한 초점 $ F $에 두면, 정리 $ 2.2.1 $에 의하여 반사광선은 다른 초점 $ F ^ {\prime } $에 집중된다. 광선을 포물선의 초점 $ F $ 에 두면, 정리 $ 2.2 .2 $ 에 의하여 반사광선은 $ x $-축에 평행하게 발산한다. $ F, F ^ {\prime } $를 초점이라 하고, 탐조등에 포물경이 사용되는 이유는 이러한 원리에 의한 것이다.</p> <p>$2 $차곡선의 방정식 \[a x ^ { 2 } + 2 h x y + b y ^ { 2 } + 2 g x + 2 f y + c = 0 \]에서 기울기가 $ m $인 접선의 방정식 $ y=m x + k $를 구해보자. \[ \begin {array} { l } a x ^ { 2 } + 2 h x(m x + k) + b(m x + k) ^ { 2 } + 2 g x + 2 f(m x + k) + c=0, \\x ^ { 2 } \left (a + 2 h m + b m ^ { 2 } \right ) + 2 x[(h k + g) + m(b k + f)] + \left (b k ^ { 2 } + 2 f k + c \right )=0 \end {array} \]에서 판별식은 $ D / 4=0 $이어야 한다. 즉, \[[(h k + g) + m(b k + f)] ^ { 2 } - \left (a + 2 h m + b m ^ { 2 } \right ) \left (b k ^ { 2 } + 2 f k + c \right )=0 . \]</p> <p>이 방정식으로부터 $ k $의 값이 정해진다. 그 값을 $ k_ { 0 } $이라 하면, 기울기가 $ m $인 접선의 방정식은 $ y=m x + k_ { 0 } $이다.</p> <p>( $ 1 $) 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1, a>b>0 $인 경우 \[ \begin {array} { c } \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { (m x + k) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \\ \left (m ^ { 2 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) x ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } m k x + a ^ { 2 } \left (k ^ { 2 } -b ^ { 2 } \right )=0 \end {array} \]의 판별식은 $ D / 4=0 $이어야 하므로, \[ \begin {array} { c } \left (a ^ { 2 } m k \right ) ^ { 2 } - \left (m ^ { 2 } a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \left (a ^ { 2 } \left (k ^ { 2 } -b ^ { 2 } \right ) \right )=0 \\k ^ { 2 } =a ^ { 2 } m ^ { 2 } + b ^ { 2 } \end {array} \]이다. 그러므로 $ k= \pm \sqrt { a ^ { 2 } m ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $이다. 따라서 기울기가 $ m $인 접선의 방정식은 다음과 같다, \[y=m x \pm \sqrt { a ^ { 2 } m ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \]</p> <p>직선군의 성질<ol type=1 start=1><li>일엽쌍곡면 위의 임의의 점 $ P $를 지나는 직선은 각 직선군에서 하나씩 존재한다.</li> <li>같은 직선군에 속하는 임의의 2직선은 만나지 않는다.</li> <li>서로 다른 직선군에 속하는 임의의 2직선은 서로 만나거나 평행이다.</li></ol></p> <p>[2엽쌍곡면] 방정식 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, a, b, c>0 $을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취가 나타내는 곡면은 2엽쌍곡면(hyperboloid of $ 2 $-sheet)이라 하고, 원점 $ O $를 그 중심(center)이라 한다. 이 이엽쌍곡면과 각 좌표평면과의 교선은 각각 다음과 같다.</p> <p> <ol type=i start=1><li>쌍곡선: $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \quad( $ 평면 $ z=0 $과의 교선)</li> <li>쌍곡선: $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ y=0 $과의 교선)</li></ol></p> <p>임의의 $ k(\|k\| \geqq a) $에 대하여 평면 $ x=k $와 교선은 타원이다. 즉, \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \left ( \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } -1 \right ) } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \left ( \frac { k ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } -1 \right ) } =1 . \]</p> <p>마찬가지로, \[- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1,- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, a, b, c>0 \] 도 이엽쌍곡면이다.</p> <h2>6.2 $2 $차곡면의 분류</h2> <p>$ 2 $차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]을 생각하자. 정리 $ 6.1.3 $에 의하여 특성방정식의 모든 근은 실수이고 그 중에서 적어도 하나는 $ 0 $이 아니므로, $ 0 $이 아닌 특성근 $ t_ { 1 } $에 대응하는 방향코사인의 공액 주경면이 $ y ^ {\prime } z ^ {\prime } - $ 평면이 되도록 직교좌표축 $ O-x y z $ 을 직교좌표축 $ O-x ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } $으로 회전이동시키면, 변환된 $2 $차곡면 $ F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right )=0 $ 은 $ y ^ {\prime } z ^ {\prime } $-평면에 대칭이 되므로, 그 방정식은 다음과 같다. \[F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \equiv a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + c ^ {\prime } z ^ {\prime 2 } + 2 f ^ {\prime } y ^ {\prime } z ^ {\prime } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 \]</p> <p>정리 $ 6.1.1 $에 의하여 특성방정식의 계수 $ I, J, D $는 좌표축의 회전이동에도 불변이므로, 특성 방정식은 다음과 같다. \[ \left \| \begin {array} { ccc } a ^ {\prime } -t & 0 & 0 \\0 & b ^ {\prime } -t & f ^ {\prime } \\ 0 & f ^ {\prime } & c ^ {\prime } -t \end {array} \right \|= \left (a ^ {\prime } -t \right ) \left [ \left (b ^ {\prime } -t \right ) \left (c ^ {\prime } -t \right )-f ^ {\prime 2 } \right ]=0 \]</p> <p>이것은 $ 2 $차곡면 $ F(x, y, z)=0 $ 위의 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서의 접평면(tangent plane)의 방정식이다. 이때 점 $ P_ { 0 } $은 접점(tangent point)이라 한다.</p> <p>$ 2 $차곡면 $ F(x, y, z)=0 $ 위의 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나고 $ P_ { 0 } $의 접평면에 수직인 직선을 점 $ P_ { 0 } $에서의 법선이라 한다. 그 법선의 방정식은 다음과 같다. \[ \frac { x-x_ { 0 } } { a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l } = \frac { y-y_ { 0 } } { h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m } = \frac { z-z_ { 0 } } { g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n } \]</p> <p>정리 $ 5.3.1 $ 구면 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 위의 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서의 접평면은 점 $ P_ { 0 } $을 지나는 직경에 수직이다.</p> <p>증명 점 $ P_ { 0 } $에서의 접평면의 방정식은 $ x_ { 0 } x + y_ { 0 } y + z_ { 0 } z=a ^ { 2 } $이다. 이때 점 $ P_ { 0 } $에서의 법선을 방정식은 $ \frac { x-x_ { 0 } } { x_ { 0 } } = \frac { y-y_ { 0 } } { y_ { 0 } } = \frac { z-z_ { 0 } } { z_ { 0 } } $이다. 이것은 점 $ P_ { 0 } $와 원점 $ O $를 지나는 직선의 방정식이다.</p> <h2>1.3 점과 직선과의 거리</h2> <p>직선 $ l $의 방정식은 $ a x + b y + c = 0 $이라 하자. 한 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $는 직선 $ l $위에 있지 않는 점이라 하자. 이때 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $에서 직선 $ l $까지의 거리를 구해보자.</p> <p>점 $ P $을 지나고 직선 $ l $에 평행인 직선 $ l ^ {\prime } $을 그리자. $ O $ 에서 $ l $ 에 수선 $ m $을 내리고 $ l, l ^ {\prime } $과의 교점을 각각 $ Q_ { 0 } , Q $라 하자. $ \overline { O Q_ { 0 } } =p, O Q=p ^ {\prime } $ 이라하자. $ l, l ^ {\prime } $ 의 헤세의 표준형은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } l: x \cos \theta + y \sin \theta=p \geqq 0 \\ l ^ {\prime } : x \cos \theta + y \sin \theta=p ^ {\prime } \end {array} \] $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $는 직선 $ l ^ {\prime } $ 위에 있으므로, $ x_ { 1 } \cos \theta + y_ { 1 } \sin \theta=p ^ {\prime } $이다. $ P $에서 $ l $에 내린 수선의 발을 $ P_ { 0 } $라 하고, $ P P_ { 0 } $의 방향이 $ m $의 방향과 일치하면 $ P P_ { 0 } $는 양의 방향의 선분, 반대이면 음의 방향의 선분이라 하자. 부호까지 고려하여 \[d=P P_ { 0 } =Q Q_ { 0 } =Q O + O Q_ { 0 } =O Q_ { 0 } -O Q=p-p ^ {\prime } \]이므로, \[d=p- \left (x_ { 1 } \cos \theta + y_ { 1 } \sin \theta \right ) \] 이다. 이와 같이 부호까지 포함한 거리를 유향거리(directed distance)라고 한다.</p> <p>이것은 $ t $를 매개변수로 하는 직선의 방정식이다. 이것으로부터 다음을 얻는다. \[ \frac { x-x_ { 0 } } { l } = \frac { y-y_ { 0 } } { m } = \frac { z-z_ { 0 } } { n } (=t) \]</p> <p>이것을 점 $ P_ { 0 } $를 지나고 방향코사인이 $ (l, m, n) $인 직선의 대칭방정식이라 한다.</p> <p>( $ 3 $) 두 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ), P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $을 지나는 직선의 방정식 점 $ P_ { 0 } , P_ { 1 } $를 지나는 직선의 방정식을 $ g $라 하고, $ g $의 방향코사인을 $ (l, m, n) $이라 하자. 그러면 \[ \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } , y_ { 1 } -y_ { 0 } , z_ { 1 } -z_ { 0 } \right )= \overrightarrow { P_ { 0 } P_ { 1 } } =k(l, m, n),- \infty<k< \infty \] \[ \left \{\begin {array} { l } l= \frac { x_ { 1 } -x_ { 0 } } { k } \\m= \frac { y_ { 1 } -y_ { 0 } } { k } \\n= \frac { z_ { 1 } -z_ { 0 } } { k } \end {array} \right . \]이다. 따라서 ( $ 2 $)에 의하여 다음을 얻는다. \[ \frac { x-x_ { 0 } } { x_ { 1 } -x_ { 0 } } = \frac { y-y_ { 0 } } { y_ { 1 } -y_ { 0 } } = \frac { z-z_ { 0 } } { z_ { 1 } -z_ { 0 } } \left (= \frac { t } { k } \right ) \]</p> <p>마찬가지로, \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1,- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, a, b, c>0 \] 도 일엽쌍곡면이다.</p> <p>쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, a, b, c>0 $은 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \left ( \frac { x } { a } - \frac { z } { c } \right ) \left ( \frac { x } { a } + \frac { z } { c } \right )= \left (1- \frac { y } { b } \right ) \left (1 + \frac { y } { b } \right ) \]</p> <p>$ 0 $이 아닌 임의의 실수 $ \lambda, \mu $에 대하여 ( $ 1 $) $ \left \{\begin {array} { l } \frac { x } { a } - \frac { z } { c } = \lambda \left (1- \frac { y } { b } \right ) \\ \frac { x } { a } + \frac { z } { c } = \frac { 1 } {\lambda } \left (1 + \frac { y } { b } \right ) \end {array} \right . $또는 ( $ 2 $) $ \left \{\begin {array} { l } \frac { x } { a } - \frac { z } { c } = \mu \left (1 + \frac { y } { b } \right ) \\ \frac { x } { a } + \frac { z } { c } = \frac { 1 } {\mu } \left (1- \frac { y } { b } \right ) \end {array} \right . $는 위의 일엽쌍곡선의 방정식을 만족한다. $ 2 $평면의 교선은 직선이므로, ( $ 1 $), ( $ 2 $)는 모두 직선을 나타내고, 직선 ( $ 1 $), ( $ 2 $)는 일엽쌍곡면 위에 놓여 있다. $ \lambda, \mu $는 $ 0 $이 아닌 임의의 실수이므로, ( $ 1 $), ( $ 2 $)는 각각 일엽쌍곡면 위의 $ 2 $개의 직선군에 포함된다. 각 곡선군에 속하는 직선을 일엽쌍곡면의 모선이라 한다. 이러한 $ 2 $개의 직선군은 다음과 같은 성질을 갖는다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.</p> <p> <ol type=a start=1><li>원은 이심률이 정의되지 않는다.</li> <li>만일 $ e<1 $이면, $ C $는 타원이다.</li> <li>만일 $ e=1 $이면, $ C $는 포물선이다.</li> <li>만일 $ e>1 $이면, $ C $는 쌍곡선이다.</li></ol></p> <p>이러한 이유로, 원, 타원, 쌍곡선, 포물선을 통틀어 원뿔곡선(conic section)이라 한다.</p> <p>원</p> <p>정의 한 정점 $ C $에서 거리 $ r $이 일정한 점의 자취를 원(circle)이라 한다. 이때 $ C $는 원의 중심이라 하고, $ r $은 원의 반지름(radius)이라 한다.</p> <p>$ x y $-좌표평면에서 증심이 $ C(a, b) $이고 반지름이 $ r $인 원의 방정식은 다음과 같다. \[(x-a) ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } =r ^ { 2 } \]</p> <p>일반적으로 원의 방정식은 \[x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 g x + 2 f y + c=0 \]꼴이다.</p> <p>반지름이 $ r $인 원의 중심 $ C(a, b) $에서 $ x $-축과 평행선을 그리자. 원 위의 임의의 점 $ P(x, y) $에 대하여 선분 $ C P $와 이 평행선이 이루는 각을 $ \theta $라 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[ \left \{\begin {array} { l } x=a + r \cos \theta \\y=b + r \sin \theta \end {array} \right . \]</p> <p>이것은 매개변수 $ \theta $에 관한 원의 방정식이다.</p> <p>반지름이 $ a $인 원의 한 끝 $ O $를 극으로 하고, 그 직경을 $ x $-축이라 하자. 이때 원 위의 임의의 점 $ P $의 극좌표는 $ (r, \theta) $라 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[r=2 a \cos \theta \]</p> <p>이것은 원의 극방정식이다.</p> <p>타원</p> <p>정의 두 정점 $ F, F ^ {\prime } $에서 이르는 거리의 합이 일정한 점 $ P $의 자취를 타원(ellipse)이라 한다. 이 때 $ F, F ^ {\prime } $는 타원의 초점(focus)이라 한다.</p> <p>$ F, F ^ {\prime } $를 지나는 직선을 $ x $-축이라 하고, 선분 $ F F ^ {\prime } $의 중점을 $ O $라 하자. $ O $에서 $ F F ^ {\prime } $의 수직 이등분선을 $ y $-축이라 하자. $ F $ 와 $ F ^ {\prime } $의 좌표를 각각 $ (c, 0) \cdot(-c, 0) $라 하고, 타원 위의 임의의 점을 $ P(x, y) $라 하자.</p> <h2>4.2 타원면</h2> <p>방정식 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } = 1, a, b, c>0 $을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취가 나타내는 곡면은 타원면(ellipsoid)이라 하고, 원점 $ O $를 그 중심(center)이라 한다. 이 타원면과 각 좌표평면과의 교선은 타원이다. 즉,<ol type=i start=1><li>$ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ z=0 $ 과의 교선)</li> <li>$ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ y=0 $ 과의 교선)</li> <li>$ \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 \quad $ (평면 $ x=0 $ 과의 교선)</li></ol></p> <p>$ \|k\|<c $에 대하여 평면 $ z=k $와의 교선은 타원이다. 즉, \[ \begin {array} { c } \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1- \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \\ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \left (1- \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right ) } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \left (1- \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right ) } =1 . \end {array} \]</p> <p>[곡면의 방정식] 방정식 $ f(x, y, z) = 0 $에 대하여 $ f(a, b, c)=0 $이 성립하면, 점 $ (a, b, c) $는 그 방정식을 만족한다고 한다. 만일 $ f(a, b, c)=0 $이 성립하면, $ x=a, y=b $에 대하여 $ z $의 값은 $ f(a, b, z)=0 $으로부터 정해진다. 이때 $ (a, b) $가 연속적으로 변할 때, $ c $도 연속적으로 변하는 경우에는 점 $ (a, b, c) $는 한 곡면 $ S $를 그린다. 이러한 곡면 $ S $를 방정식 $ f(x, y, z)=0 $이 나타내는 곡면이라 한다.</p> <p>예를 들어, 임의의 $ z $에 대하여 방정식 $ f(x, y)=0 $이 그리는 곡면 $ S $를 생각하자. 방정식 $ f(x, y)=0 $을 만족하는 점 $ P(x, y) $의 자취는 곡선 $ C $이다. 각 $ z=c $는 점 $ (0,0, c) $를 지나는 $ x y $-평면에 평행인 평면을 의미한다. 그러므로 $ S $는 기둥면이다.</p> <p>특히, 만일 곡선 $ C $가 원, 타원, 쌍곡선, 포물선이면, 곡면 $ S $는 각각 원기둥면, 타원기둥면, 쌍곡선기둥면, 포물선기둥면이라 한다.</p> <p>두 곡면 $ S_ { 1 } : f(x, y, z)=0, S_ { 2 } : g(x, y, z)=0 $을 동시에 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취는 공간곡선을 그린다.</p> <p>[좌표변환] 유클리드 공간의 $ x y z- $좌표계를 구좌표계라 하고 그의 원점을 $ O $라 하자. 점 $ Q ^ {\prime } (a, b, c) $을 원점으로 하는 $ X Y Z $-좌표계를 신좌표계라 하자.</p> <p>공간의 점 $ P $의 좌표가 구좌표계에서는 $ (x, y, z) $이고 신좌표계에서는 $ (X, Y, Z) $라 하자. 그러면 점 $ P $의 구좌표 $ x, y, z $와 신좌표 $ X, Y, Z $의 관계는 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } x=X + a \\y=Y + b \\c=Z + c \end {array} \right . \]</p> <p>( $ 1 $) 평행이동 구좌표계의 점 $ P(x, y, z) $을 신좌표계의 점 $ P(X, Y, Z) $로 변환하는 것을 점 $ P $의 평행이동(translation)이라 한다.<p>( $ 2 $) 좌표축의 회전 유클리드 공간에서 원점 $ O $를 공유하는 $ 2 $개의 직교축 $ x, y, z $와 $ X, Y, Z $를 잡자. 이때 $ X $-축의 $ x, y, z $-축에 관한 방향코사인을 $ l_ { 1 } , m_ { 1 } , n_ { 1 } $이라 하고 $ x $-축의 $ X, Y, Z $-축에 관한 방향코사인을 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } $라 하자. 이와 같이 구좌표축과 신좌표축 사이의 코사인은 다음과 같다고 하자.</p> <p>[꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리] 다음 두 직선 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $는 꼬인 위치에 있다고 하고 각각 점 $ P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ), P_ { 2 } \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) $를 지난다고 하자. 또한 그들의 방향코사인은 각각 $ \left (l_ { 1 } , m_ { 1 } , n_ { 1 } \right ), \left (l_ { 2 } , m_ { 2 } , n_ { 2 } \right ) $라 하자. \[ \left \{\begin {array} { l } g_ { 1 } : \frac { x-x_ { 1 } } { l_ { 1 } } = \frac { y-y_ { 1 } } { m_ { 1 } } = \frac { z-z_ { 1 } } { n_ { 1 } } \\ g_ { 2 } : \frac { x-x_ { 2 } } { l_ { 2 } } = \frac { y-y_ { 2 } } { m_ { 2 } } = \frac { z-z_ { 2 } } { n_ { 2 } } \end {array} \right . \]</p> <p>$ g_ { 1 } , g_ { 2 } $와 동시에 직교하는 직선을 $ g $라 하고, 그 교점들을 각각 $ H_ { 1 } , H_ { 2 } $라 하자.</p> <p>그러면 구하는 거리 $ h $는 점 $ H_ { 1 } $과 $ H_ { 2 } $ 사이의 거리이다. 이때 직선 $ g $의 방향코사인은 $ (l, m, n) $이라 하자. 그러면 $ g $는 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $와 직교하므로, \[ \left \{\begin {array} { l } l_ { 1 } l + m_ { 1 } m + n_ { 1 } n=0 \\l_ { 2 } l + m_ { 2 } m + n_ { 2 } n=0 \end {array} \right . \]이다. 이것을 연립하여 풀면, 다음을 얻는다. $ \left \{\begin {array} { l } l=n \cdot \frac { m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } } { l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } } \\ m=n \cdot \frac { n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } } { l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } } \end {array} \right . $ 즉, $ \quad \frac { l } { m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } } = \frac { m } { n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } } = \frac { n } { l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } } (=k) $.</p> <h1>제1장 평면 위의 좌표와 직선</h1> <h2>1.1 평면 위의 좌표</h2> <p>[좌표] 평면 위의 한 점 $ O $에서 수직으로 만나는 두 유향직선을 선택하고 이를 $ x $-축, $ y $-축이라 하자. 평면 위의 한 점을 $ P $라 할 때, $ P $에서 $ y $-축에 평행선을 그어서 $ x $-축과 만나는 점을 $ M $이라 하면, 반직선 $ O M $ 은 반직선 $ N P $ 와 평행하다. 만일 반직선 $ O M $의 방향이 $ x $-축의 방향과 일치하면, $ O M $에 양의 실수 $ x $를 대응시키고, 만일 반직선 $ O M $의 방향이 $ x $-축의 방향과 반대이면, $ O M $에 음의 실수 $ x $를 대응시키자. 여기서 선분 $ O M $의 길이는 $ \|x\| $이다. 마찬가지로, $ P $에서 $ x $-축에 평행선을 그어서 $ y $-축과 만나는 점을 $ N $ 이라 하면, 반직선 $ O N $은 반직선 $ M P $와 평행하다. 만일 반직선 $ O N $의 방향은 $ y $-축의 방향과 일치하면, $ O N $에 양의 실수 $ y $를 대응시키고, 만일 반직선 $ O N $의 방향은 $ y $-축의 방향과 반대이면, $ O N $에 음의 실수 $ y $를 대응시키자. 여기서 선분 $ O N $의 길이는 $ \|y\| $이다.</p> <p>이러한 실수 $ x, y $를 점 $ P $의 좌표(coordinate)라 하고, $ P = (x, y) $또는 $ P(x, y) $로 나타낸다. $ x, y $를 각각 점 $ \mathrm { P } $의 횡좌표(abscissa), 종좌표(ordinate)라 한다. $ x $-축과 $ y $-축을 좌표축 (coordinate axis), $ O $를 원점(origin)이라 한다. 좌표축을 직교축(right angled axis), 좌표를 직각좌표(right angled coordinate)라 한다. 이러한 구조를 갖는 평면을 직각좌표평면(right angled coordinate plane)이라 한다.</p> <p>[선분을 일정한 비로 나누는 점의 좌표] 직각좌표평면에서 두 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), Q \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) $가 주어질 때 직선 $ P Q $ 위에서 $ \overline { P R } : \overline { R Q } =m: n $인 점 $ R $의 좌표를 $ (x, y) $라 하면, \[x-x_ { 1 } : x_ { 2 } -x=m: n, m \left (x_ { 2 } -x \right )=n \left (x-x_ { 1 } \right ),(m + n) x=m x_ { 2 } + n x_ { 1 } \] \[y-y_ { 1 } : y_ { 2 } -y=m: n, m \left (y_ { 2 } -y \right )=n \left (y-y_ { 1 } \right ),(m + n) y=m y_ { 2 } + n y_ { 1 } \]이므로, \[ \left \{\begin {array} { l } x= \frac { m x_ { 2 } + n x_ { 1 } } { m + n } \\ y= \frac { m y_ { 2 } + n y_ { 1 } } { m + n } \end {array} \right . \]이다.특히, $ m=n $, 즉, $ R $이 선분 $ P Q $의 증점이면, $ R $의 좌표는 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } x= \frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } } { 2 } \\y= \frac { y_ { 1 } + y_ { 2 } } { 2 } \end {array} \right . \]</p> <p>이때 직교행렬 $ A $ 는 행렬식의 값이 $ + 1 $이 되도록 선택하자. 그러면 \[ \left ( \begin {array} { l } X \\Y \\Z \end {array} \right )=A \left ( \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right )=A ^ { -1 } \left ( \begin {array} { l } X \\Y \\Z \end {array} \right )=A ^ { t } \left ( \begin {array} { l } X \\Y \\Z \end {array} \right ) \] 이다. 여기서 $ A ^ { t } $는 $ A $의 전치행렬이다.</p> <p>[원기둥좌표와 구면좌표] $ x y z $-좌표계를 갖는 공간의 임의의 점 $ P(x, y, z) $에서 $ x y $-평면에 내린 수선의 발을 $ M $이라 하고, $ \overline { O M } =r, \angle(x, O M)= \varphi, \overline { O P } = \rho, \angle(z, O P)= \theta $로 놓으면, 점 $ P $의 위치는 $ (r, \varphi, z) $에 의해서도 정해지고, 또한 $ ( \rho, \theta, \varphi) $에 의해서도 정해진다. 이때 $ (r, \varphi, z) $는 점 $ P $의 원기둥좌표(cylindrical coordinates)라 하고, $ ( \rho, \theta, \varphi) $는 점 $ P $의 구면좌표 (spherical coordinates)라 한다. 점 $ \mathrm { P } $의 직각좌표 $ x, y, z $는 원기둥좌표 $ r, \varphi, z $와 구면좌표 $ \rho, \theta, \varphi $와의 관계는 다음과 같음을 알 수 있다. \[ \begin {array} { l } \left \{\begin {array} { l } x=r \cos \varphi \\y=r \sin \varphi, \\ z=z \end {array} , \left \{\begin {array} { l } x= \rho \sin \theta \cos \varphi \\ y= \rho \sin \theta \sin \varphi \\z= \rho \cos \theta \end {array} \right . \right . \\ \left \{\begin {array} { l } \rho ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \\ \tan \theta= \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { z } \\ \tan \varphi= \frac { y } { x } \end {array} \right . \end {array} \]</p> <h2>3.2 유클리드 공간에서의 평면과 직선</h2> <p>[평면의 방정식] ( $ 1 $)원점 $ O $에서 평면 $ \pi $에 수선 $ t $을 그리자. 이때 $ t $과 $ \pi $의 교점을 $ H $라 하자. 수선 $ t $의 방향 코사인을 $ (l, m, n) $이라 하자. $ \overline { O P } = p $로 놓자.</p> <p>평면 $ \pi $ 위의 임의의 점을 $ P(x, y, z) $라 하자. 점 $ P $에서 $ x y $-평면에 내린 수선의 발을 $ Q $라 하고, 점 $ Q $에 $ x $-축에 내린 수선의 발을 $ R $이라 하자. 이때 다각선 $ O R Q P $를 $ t $ 위로 사영하면, \[ \begin {array} { c } { [O R]_ { t } + [R Q]_ { t } + [Q P]_ { t } =[O P]_ { t } } \\ \overline { O R } \cos ( \angle( \mathrm { x } , \mathrm { t } )) + \overline {\mathrm { RQ } } \cos ( \angle( \mathrm { y } , \mathrm { t } )) + \overline {\mathrm { QP } } \cos ( \angle(z, \mathrm { t } ))= \overline {\mathrm { OH } } = \mathrm { p } \\l x + m y + n z=p \end {array} \]이다. 이것은 평면 $ \pi $의 방정식이다. 이 평면 $ \pi $의 방정식을 헤세의 표준형이라 한다. 수선 $ t $의 방향코사인 $ (l, m, n) $은 평면 $ \pi $의 방향코사인이라 한다.</p> <p>역으로, $ x, y, z $의 $ 1 $차방정식 $ A x + B y + C z + D=0 $에 대하여 \[ \frac { l } { A } = \frac { m } { B } = \frac { n } { C } = \frac { -p } { D } = \frac { - \epsilon } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } + C ^ { 2 } } } , \epsilon= \pm 1, \epsilon D>0 \] 이라 놓으면, $ A x + B y + C z + D=0 $은 $ l x + m y + n z=p $로 된다. 이때 $ l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } =1 $이므로, $ (l, m, n) $은 한 유향직선의 방향코사인이다. $ l x + m y + n z=p $은 원점에서 내린 수선 $ t $의 방향코사인이 $ (l, m, n) $이고 수선거리가 $ p $ 인 평면의 방정식이다. 그러므로 \[A x + B y + C z + D=0 \]은 평면의 방정식이다.</p> <p>이때 $ {\overline { P_ { 0 } Q } } ^ { 2 } \cdot {\overline { P_ { 0 } Q } } ^ { 2 } = \left [ \left ( \lambda t_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \mu t_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \nu t_ { 1 } \right ) ^ { 2 } \right ] \left [ \left ( \lambda t_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \mu t_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \nu t_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] $ $ = \left (t_ { 1 } t_ { 2 } \right ) ^ { 2 } $이므로, 근과 계수와 관계에 의하여 다음을 얻는다. \[ \overline { P_ { 0 } Q } \cdot \overline { P_ { 0 } R } =t_ { 1 } t_ { 2 } =x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } + z_ { 0 } ^ { 2 } + 2 l x_ { 0 } + 2 m y_ { 0 } + 2 n z_ { 0 } + d \]</p> <p>그러므로 이것은 $ g $의 직선방향과 무관한 일정한 값이다. 이때 $ \overline { P_ { 0 } Q } \cdot \overline { P_ { 0 } R } $은 점 $ P_ { 0 } $의 구면 $ S $에 관한 멱(power)이라 한다.</p> <p>$2 $ 개의 구면 \[ \begin {array} { l } S_ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l_ { 1 } x + 2 m_ { 1 } y + 2 n_ { 1 } z + d_ { 1 } =0 \\S_ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l_ { 2 } x + 2 m_ { 2 } y + 2 n_ { 2 } z + d_ { 2 } =0 \end {array} \]에 관하여 그 멱이 같은 점 $ P(x, y, z) $의 자취는 다음과 평면의 방정식임을 알 수 있다. \[2 \left (l_ { 1 } -l_ { 2 } \right ) x + 2 \left (m_ { 1 } -m_ { 2 } \right ) y + 2 \left (n_ { 1 } -n_ { 2 } \right ) z + d_ { 1 } -d_ { 2 } =0 \]</p> <p>( $ 1 $) 타원면 또는 쌍곡면 $ a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } =1, a b c \neq 0 $의 경우에 대한 이러한 $ 3 $조건은 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c v ^ { 2 } =0 \\a x_ { 0 } \lambda + b y_ { 0 } \mu + c z_ { 0 } \nu=0 \\a x_ { 0 } ^ { 2 } + b y_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } =1 \end {array} \right . \]</p> <p>이때, 세 번째 식으로부터 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $은 타원면 또는 쌍곡면 위에 있음을 알 수 있다.</p> <p>$ x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } $ 은 동시에 $ 0 $이 될 수 없다. $ z_ { 0 } \neq 0 $이라 가정해도 무방하다. 그러면 두 번째 식으로부터 $ \nu=- \frac { 1 } { c z_ { 0 } } \left (a x_ { 0 } \lambda + b y_ { 0 } \mu \right ) $이므로, 이것을 첫 번째 식에 대입하면, 다음을 얻는다. \[a \left (a x_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \lambda ^ { 2 } + 2 a b x_ { 0 } y_ { 0 } \lambda \mu + b \left (b y_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \mu ^ { 2 } =0 \]</p> <p>이 방정식의 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $로부터 $ 2 $차곡면과 직선의 교점 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $ 를 얻는다. \[P_ { 1 } \left (x_ { 0 } + \lambda t_ { 1 } , y_ { 0 } + \mu t_ { 1 } , z_ { 0 } + v t_ { 1 } \right ), P_ { 2 } \left (x_ { 0 } + \lambda t_ { 2 } , y_ { 0 } + \mu t_ { 2 } , z_ { 0 } + v t_ { 2 } \right ) \]</p> <p>그러므로 $ \underline { P_ { 0 } P_ { 1 } } =t_ { 1 } ( \lambda, \mu, \nu), \underline { P_ { 0 } P_ { 2 } } =t_ { 2 } ( \lambda, \mu, \nu) $이다. $ \underline { P_ { 0 } P } =t( \lambda, \mu, \nu) $이라 하자.</p> <p>$ P_ { 0 } , P_ { 1 } , P, P_ { 2 } $가 조화열점이므로, $ \frac { 2 } { t } = \frac { 1 } { t_ { 1 } } + \frac { 1 } { t_ { 2 } } $ 이다. 즉, $ \frac { 2 } { t } = \frac { t_ { 1 } + t_ { 2 } } { t_ { 1 } t_ { 2 } } $. 그러므로 근과 계수의 관계에 의하여 \[ \begin {aligned} \frac { 2 } { t } =- \frac { 2 } { F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } \left [ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda \right .& + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right )_ {\mu } \\& \left . + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu \right ] \end {aligned} \]를 얻는다. 이때 $ \left \{\begin {array} { l } \lambda t=x-x_ { 0 } \\ \mu t=y-y_ { 0 } \text { 을 대입하면, } \\ \nu t=z-z_ { 0 } \end {array} \right . $ \[ \begin {aligned} F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) + \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) & + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \\ & + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \end {aligned} \]을 얻는다. 즉, \[ \begin {aligned} a x_ { 0 } x + b y_ { 0 } y + c z_ { 0 } z + f \left (y_ { 0 } z + y z_ { 0 } \right ) & + g \left (z_ { 0 } x + z x_ { 0 } \right ) + h \left (x_ { 0 } y + x y_ { 0 } \right ) \\& + l \left (x + x_ { 0 } \right ) + m \left (y + y_ { 0 } \right ) + n \left (z + z_ { 0 } \right ) + d=0 . \end {aligned} \]</p> <p>정리 $ 4.1.1 $ 구면 $ S: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =r ^ { 2 } $에 대하여 원점 $ O $를 지나지 않는 구면 위의 점 $ P $의 $ S $에 관한 반점 $ P ^ {\prime } $은 $ O $를 지나지 않는 구면 위의 점이고, 원점 $ O $를 지나는 구면 위의 점 $ P $의 반점 $ P ^ {\prime } $는 평면 위의 점이다.</p> <p>따름정리 $ 4.1.2 $ 구면 $ S: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =r ^ { 2 } $에 대하여 $ 2 $개의 구면 $ S_ { 1 } , S_ { 2 } $의 $ S $에 관한 반전을 각각 $ S_ { 1 } ^ {\prime } , S_ { 2 } { } ^ {\prime } $이라 하자. 이때 $ S_ { 1 } $과 $ S_ { 2 } $의 교각은 $ S_ { 1 } ^ {\prime } $과 $ S_ { 2 } ^ {\prime } $ 의 교각은 같다.</p> <p>증명 $ 2 $개의 구면 \[ \begin {array} { l } S_ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l_ { 1 } x + 2 m_ { 1 } y + 2 n_ { 1 } z + d_ { 1 } =0 \\ S_ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l_ { 2 } x + 2 m_ { 2 } y + 2 n_ { 2 } z + d_ { 2 } =0 \end {array} \]에 대하여 $ d_ { 1 } , d_ { 2 } \neq 0 $이라 가정하자. 그러면 \[ \begin {array} { l } S_ { 1 } ^ {\prime } : d_ { 1 } \left (x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } \right ) + 2 l_ { 1 } r ^ { 2 } x ^ {\prime } + 2 m_ { 1 } r ^ { 2 } y ^ {\prime } + 2 n_ { 1 } r ^ { 2 } z ^ {\prime 2 } + r ^ { 4 } =0 \\ S_ { 2 } ^ {\prime } : d_ { 2 } \left (x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } \right ) + 2 l_ { 2 } r ^ { 2 } x ^ {\prime } + 2 m_ { 2 } r ^ { 2 } y ^ {\prime } + 2 n_ { 2 } r ^ { 2 } z ^ {\prime 2 } + r ^ { 4 } =0 \end {array} \]이다. 이때 \[ \cos \left ( \angle \left (S_ { 1 } , S_ { 2 } \right ) \right )== \pm \frac { l_ { 1 } l_ { 2 } + m_ { 1 } m_ { 2 } + n_ { 1 } n_ { 2 } - \frac { d_ { 1 } + d_ { 2 } } { 2 } } {\sqrt {\left (l_ { 1 } ^ { 2 } + m_ { 1 } ^ { 2 } + n_ { 1 } ^ { 2 } -d_ { 1 } \right . } \cdot \sqrt { l_ { 2 } ^ { 2 } + m_ { 2 } ^ { 2 } + n_ { 2 } ^ { 2 } -d_ { 2 } } } = \cos \left ( \angle \left (S_ { 1 } ^ {\prime } , S_ { 2 } ^ {\prime } \right ) \right ) \]이다.</p> <p>지금 기저곡선은 $ C: f(x, y)=0, z=k $라 하고, 꼭짓점 $ S $는 원점 $ O $라 하자. $ C $ 위의 임의의 점 $ Q \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , k \right ) $와 원점을 잇는 직선의 방정식은 다음과 같다. \[ \frac { x } { x_ { 1 } } = \frac { y } { y_ { 1 } } = \frac { z } { k } \]</p> <p>즉, \[ \left \{\begin {array} { l } x_ { 1 } =k \frac { x } { z } \\y_ { 1 } =k \frac { y } { z } \end {array} \right . \]</p> <p>그러므로 기저곡선 $ C $의 뿔면의 방정식은 다음과 같다. \[f \left (k \frac { x } { z } , k \frac { y } { z } \right )=0 \]</p> <p>만일 $ C: f(x, y)=0, z=k $가 $ 2 $차곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선)이면, 그의 뿔면은 $ 2 $차뿔면(원뿔면, 타원뿔면, 쌍곡뿔면, 포물뿔면)(quadric cone)이라 한다.</p> <p>정리 $ 4.5.1 $ $ x, y, z $에 관한 $ 2 $차의 동차식 \[a_ { 11 } x ^ { 2 } + a_ { 22 } y ^ { 2 } + a_ { 33 } z ^ { 2 } + 2 a_ { 12 } x y + 2 a_ { 23 } y z + 2 a_ { 31 } z x=0 \]이 나타내는 곡면은 $ 2 $차뿔면이다.</p> <p>증명 \[f(x, y) \equiv a_ { 11 } x ^ { 2 } + a_ { 22 } y ^ { 2 } + a_ { 33 } + 2 a_ { 12 } x y + 2 a_ { 23 } y + 2 a_ { 31 } x=0 \]을 취하면, $ f(x, y)=0 $은 $ 2 $차곡선이다. $ C: f(x, y)=0, z=1 $을 기저곡선으로 하는 $ 2 $차뿔면의 방정식은 $ f \left (k \frac { x } { z } , k \frac { y } { z } \right )=0, k=1 $이다. 그러므로 \[a_ { 11 } \left ( \frac { x } { z } \right ) ^ { 2 } + a_ { 22 } \left ( \frac { y } { z } \right ) ^ { 2 } + a_ { 33 } + 2 a_ { 12 } \frac { x } { z } \cdot \frac { y } { z } + 2 a_ { 23 } \frac { y } { z } + 2 a_ { 31 } \frac { x } { z } =0, \] \[a_ { 11 } x ^ { 2 } + a_ { 22 } y ^ { 2 } + a_ { 33 } z ^ { 2 } + 2 a_ { 12 } x y + 2 a_ { 23 } y z + 2 a_ { 31 } z x=0 \]이 나타내는 곡면은 $ 2 $차뿔면이다. $ 1 $엽쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $에 대하여 $ 2 $차뿔면 \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =0 \]은 $ 1 $엽쌍곡면의 점근뿔면(asymptotic cone)이라 하고, $ 2 $엽쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $에 대하여 $ 2 $차뿔면 \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =0 \]은 $ 2 $엽쌍곡면의 점근뿔면(asymptotic cone)이라 한다.</p> <h2>5.3 접평면과 법선</h2> <p>$ 2 $ 차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]에 대하여 점 $ P_ { 0 } $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $ 인 직선의 방정식은 \[ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\y=y_ { 0 } + \mu t \\ z=z_ { 0 } + v t \end {array} \right . \]이므로, 이를 $ F(x, y, z)=0 $에 대입하면, 다음 $ t $에 관한 $ 2 $차방정식을 얻는다. \[ \begin {aligned} \left (a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c v ^ { 2 } \right .& + 2 f \mu \nu + 2 g \nu \lambda + 2 h \lambda \mu) t ^ { 2 } + 2 \left [ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda \right . \\& \left . + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \mu + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu \right ] t + F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 \end {aligned} \]</p> <p>이 방정식의 근으로부터 $ 2 $차곡면과 직선의 교점을 얻는다. 만일 $ P_ { 0 } $이 $ 2 $차곡면 위에 있으면, $ F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 $이므로 $ t=0 $은 위의 $ 2 $차방정식의 한 근이다. $ t=0 $이 중근일 때, $ 2 $차곡면은 점 $ P_ { 0 } $에서 접한다고 한다. $ t=0 $이 중근이기 위해서는 \[ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \mu + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu=0 \]이어야 한다. 이때 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\ y=y_ { 0 } + \mu t \\ z=z_ { 0 } + \nu t \end {array} \right . $에서 $ \lambda, \mu, \nu $를 소거하면, $ t $도 자연적으로 소거되어 $ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \left (z-z_ { 0 } \right )=0 $을 얻는다. $ F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 $이므로, 위의 방정식은 다음과 같이 된다. \[ \begin {aligned} a x_ { 0 } x + b y_ { 0 } y + c z_ { 0 } z + f \left (y_ { 0 } z + y z_ { 0 } \right ) + & g \left (z_ { 0 } x + z x_ { 0 } \right ) + h \left (x_ { 0 } y + x y_ { 0 } \right ) \\ & + l \left (x + x_ { 0 } \right ) + m \left (y + y_ { 0 } \right ) + n \left (z + z_ { 0 } \right ) + d=0 \end {aligned} \]</p> <p>[한 직선과 그 직선 위에 있지 않는 한 점을 포함하는 평면의 방정식] 점 $P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $과 그 점을 지나지 않는 직선 \[g: \frac { x-x_ { 1 } } { l } = \frac { y-y_ { 1 } } { m } = \frac { z-z_ { 1 } } { n } \]을 포함하는 평면의 방정식 $ \pi: A x + B y + C z + D=0 $을 구해보자. 평면 $ \pi $는 점 $ P_ { 0 } $를 지나므로, $ A x_ { 0 } + B y_ { 0 } + C z_ { 0 } + D=0 $이다. 그러므로 $ P_ { 0 } $을 포함하는 평면 $ \pi $의 방정식은 \[A \left (x-x_ { 0 } \right ) + B \left (x-x_ { 0 } \right ) + C \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \]이다. $ g \subset \pi $이므로, \[ \begin {array} { r } A \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } \right ) + B \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } \right ) + C \left (z_ { 1 } -z_ { 0 } \right )=0 \\ l A + m B + n C=0 \end {array} \]이다. 이때 $ A, B, C $는 동시에 $ 0 $이 아닌 상수이므로, \[ \left \| \begin {array} { ccc } x-x_ { 0 } & y-y_ { 0 } & z-z_ { 0 } \\x_ { 1 } -x_ { 0 } & y_ { 1 } -y_ { 0 } & z_ { 1 } -z_ { 0 } \\l & m & n \end {array} \right \|=0 \]이다. 이것이 구하는 평면의 방정식이다.</p> <p>[ $ 2 $평면이 이루는 각] $ 2 $개의 평면 \[ \left \{\begin {array} { l } \pi_ { 1 } : A_ { 1 } x + B_ { 1 } y + C_ { 1 } z + D_ { 1 } =0 \\ \pi_ { 2 } : A_ { 2 } x + B_ { 2 } y + C_ { 2 } z + D_ { 2 } =0 \end {array} \right . \]이 이루는 각은 $ \theta $라 하자. 그려면 이들에 각각 수직인 직선 $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $의 방향코사인은 각각 \[ \left (- \epsilon_ { 1 } \cdot \frac { A_ { 1 } } {\sqrt { A_ { 1 } ^ { 2 } + B_ { 1 } ^ { 2 } + C_ { 1 } ^ { 2 } } } ,- \epsilon_ { 1 } \cdot \frac { B_ { 1 } } {\sqrt { A_ { 1 } ^ { 2 } + B_ { 1 } ^ { 2 } + C_ { 1 } ^ { 2 } } } ,- \epsilon_ { 1 } \cdot \frac { C_ { 1 } } {\sqrt { A_ { 1 } ^ { 2 } + B_ { 1 } ^ { 2 } + C_ { 1 } ^ { 2 } } } \right ), \epsilon_ { 1 } = \pm 1, \epsilon_ { 1 } D_ { 1 } >0 \] \[ \left (- \epsilon_ { 2 } \cdot \frac { A_ { 2 } } {\sqrt { A_ { 2 } ^ { 2 } + B_ { 2 } ^ { 2 } + C_ { 2 } ^ { 2 } } } ,- \epsilon_ { 2 } \cdot \frac { B_ { 2 } } {\sqrt { A_ { 2 } ^ { 2 } + B_ { 2 } ^ { 2 } + C_ { 2 } ^ { 2 } } } ,- \epsilon_ { 2 } \cdot \frac { C_ { 2 } } {\sqrt { A_ { 2 } ^ { 2 } + B_ { 2 } ^ { 2 } + C_ { 2 } ^ { 2 } } } \right ), \epsilon_ { 2 } = \pm 1, \epsilon_ { 2 } D_ { 2 } >0 \]이다. 이때 $ \theta= \angle \left (g_ { 1 } , g_ { 2 } \right ) $이다. 그러므로 \[ \cos \theta= \cos \left ( \angle \left (g_ { 1 } , g_ { 2 } \right ) \right )= \pm \frac { A_ { 1 } A_ { 2 } + B_ { 1 } B_ { 2 } + C_ { 1 } C_ { 2 } } {\sqrt { A_ { 1 } ^ { 2 } + B_ { 1 } ^ { 2 } + C_ { 1 } ^ { 2 } } \cdot \sqrt { A_ { 2 } ^ { 2 } + B_ { 2 } ^ { 2 } + C_ { 2 } ^ { 2 } } } \]이다.</p> <p>만일 $ \pi_ { 1 } = \pi_ { 2 } $ 또는 $ \pi_ { 1 } / / \pi_ { 2 } $이면, \[ \frac { A_ { 1 } } { A_ { 2 } } = \frac { B_ { 1 } } { B_ { 2 } } = \frac { C_ { 1 } } { C_ { 2 } } \quad \text { (평행조건) } \]이고, 만일 $ \pi_ { 1 } \perp \pi_ { 2 } $이면, \[A_ { 1 } A_ { 2 } + B_ { 1 } B_ { 2 } + C_ { 1 } C_ { 2 } =0 \text { (수직조건) } \]이다.</p> <p>그러므로 \[ \left \{\begin {array} { l } l=k \left (m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } \right ) \\ m=k \left (n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } \right ) \\n=k \left (l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } \right ) \end {array} \right . \]이다. $ l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } =1 $ 이므로, \[ \frac { 1 } { k } = \pm \sqrt {\left (m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } \right ) ^ { 2 } } :=D \]이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \left \{\begin {array} { l } l= \frac { m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } } { D } \\m= \frac { n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } } { D } \\n= \frac { l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } } { D } \end {array} \right . \]</p> <p>$ 2 $점 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $사이의 거리를 $ r $이라 하면, 유향직선 $ \overleftrightarrow { P_ { 1 } P_ { 2 } } $의 방향코사인은 \[ \left ( \frac { x_ { 2 } -x_ { 1 } } { r } , \frac { y_ { 2 } -y_ { 1 } } { r } , \frac { z_ { 2 } -z_ { 1 } } { r } \right ) \]이다. 유향직선 $ \overleftrightarrow { P_ { 1 } P_ { 2 } } $과 $ g $ 사이의 각을 $ \theta $라 하면, $ g $의 방향코사인은 $ (l, m, n) $이므로, \[ \cos \theta= \frac { l \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) + m \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) + n \left (z_ { 2 } -z_ { 1 } \right ) } { r } \]이다. 한편 $ h=r \cos \theta $ 이므로, 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} h &=l \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) + m \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) + n \left (z_ { 2 } -z_ { 1 } \right ) \\&= \frac { 1 } { D } \cdot \left [ \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) \left (m_ { 1 } n_ { 2 } -m_ { 2 } n_ { 1 } \right ) + \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) \left (n_ { 1 } l_ { 2 } -n_ { 2 } l_ { 1 } \right ) + \left (z_ { 2 } -z_ { 1 } \right ) \left (l_ { 1 } m_ { 2 } -l_ { 2 } m_ { 1 } \right ) \right ] \\ &= \frac { 1 } { D } \cdot \left [ \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) \left \| \begin {array} { l } m_ { 1 } & n_ { 1 } \\m_ { 2 } & n_ { 2 } \end {array} \right \|- \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) \left \| \begin {array} { l } l_ { 1 } & n_ { 1 } \\l_ { 2 } & n_ { 2 } \end {array} \right \| + \left (z_ { 2 } -z_ { 1 } \right ) \left \| \begin {array} { l } l_ { 1 } & m_ { 1 } \\l_ { 2 } & m_ { 2 } \end {array} \right \| \right ] \\ & = \frac { 1 } { D } \cdot \begin { vmatrix} { x_2 - x_1 } & { y_2 - y_1 } & { z_2 - z_1 } \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end { vmatrix} \end {aligned} \]</p> <h1>제 $4 $장 $2 $차곡면</h1> <p>$ 2 $차곡면(quadric surface)이란 $ x, y, z $에 관한 $ 2 $차방정식 \[a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $ 의 자취를 말한다. $ 2 $차곡면의 특별한 경우에는 구면, 타원면, 쌍곡면, 포물면 등이 있다.</p> <h2>4.1 구면</h2> <p>구면(sphere) $ S $는 한 정점 $ C(a, b, c) $에서 일정한 거리 $ r $을 갖는 점 $ P(x, y, z) $의 자취이다. 이때 점 $ C $는 구 $ S $의 중심(center)이라 하고, $ r $은 반지름(radius)이라 한다. \[S:(x-a) ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } + (z-c) ^ { 2 } =r ^ { 2 } \]이를 전개하면, \[X ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 \]꼴로 된다.</p> <p>역으로, 만일 $ l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } -d>0 $이면, 이 $ 2 $차방정식을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취는 증심이 $ C(-l,-m,-n) $이고 반지름이 $ \sqrt { l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } -d } $인 구면이다.</p> <p>만일 $ l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } -d=0 $ 이면, 점구(point sphere)이라 하고, 만일 $ l ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n ^ { 2 } -d<0 $이면, 허구(imaginary sphere)라 한다.</p> <p>이것은 구하는 자취의 방정식이다. 이 평면을 점 $ P_ { 0 } $의 극면(polar plane)이라 하고, 점 $ P_ { 0 } $을 극(pole)이라 한다. 만일 점 $ P_ { 0 } $이 $ 2 $차곡면 위에 있으면, $ P_ { 0 } $의 극면은 $ P_ { 0 } $에서 $ 2 $차곡면의 접평면이다. 또 점 $ P_ { 0 } $에서 $ 2 $차곡면에 접선을 그을 때는 그 위의 점점은 모두 점 $ P_ { 0 } $의 극면 위에 있다.</p> <p>정리 $ 5.4.1 $ $2 $차곡면 $ F(x, y, z)=0 $에 관하여 점 $ P_ { 1 } $의 극면 $ \pi_ { 1 } $이 점 $ P_ { 2 } $를 지나면, 점 $ P_ { 2 } $의 극면 $ \pi_ { 2 } $는 점 $ P_ { 1 } $을 지난다.</p> <p>증명 $ 2 $차곡면 $ F(x, y, z)=0 $에 관하여 점 $ P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $의 극면 $ \pi_ { 1 } $은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \pi_ { 1 } : a x_ { 1 } x + b y_ { 1 } y + c z_ { 1 } z + f \left (y_ { 1 } z + y z_ { 1 } \right ) & + g \left (z_ { 1 } x + z x_ { 1 } \right ) + h \left (x_ { 1 } y + x y_ { 1 } \right ) \\ & + l \left (x + x_ { 1 } \right ) + m \left (y + y_ { 1 } \right ) + n \left (z + z_ { 1 } \right ) + d=0 . \end {aligned} \]이 평면 $ \pi_ { 1 } $이 점 $ P_ { 2 } \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) $를 지나면, \[ \begin {aligned} a x_ { 1 } x_ { 2 } + b y_ { 1 } y_ { 2 } + c z_ { 1 } z_ { 2 } & + f \left (y_ { 1 } z_ { 2 } + y_ { 2 } z_ { 1 } \right ) + g \left (z_ { 1 } x_ { 2 } + z_ { 2 } x_ { 1 } \right ) + h \left (x_ { 1 } y_ { 2 } + x_ { 2 } y_ { 1 } \right ) \\ & + l \left (x_ { 2 } + x_ { 1 } \right ) + m \left (y_ { 2 } + y_ { 1 } \right ) + n \left (z_ { 2 } + z_ { 1 } \right ) + d=0 \end {aligned} \]이다. 이것으로부터 점 $ P_ { 2 } $의 극면을 점 $ P_ { 1 } $을 지남을 알 수 있다.</p> <p>예제 $ 5.4.2 $ 타원면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $에 대하여 점 $ P_ { 0 } $의 극면 $ \pi_ { 0 } $은 점 $ P_ { 0 } $과 중심(원점)을 잇는 직선을 종선으로 하는 경면에 평행임을 증명하여라.</p> <p>증명 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $의 극면의 방정식은 $ \frac { x_ { 0 } x } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 0 } y } { b ^ { 2 } } + \frac { z_ { 0 } z } { c ^ { 2 } } =1 $이다. 한편, 점 $ P_ { 0 } $과 원점을 잇는 직선을 종선으로 하는 경면의 방정식은 $ \frac { x_ { 0 } } { a ^ { 2 } } x + \frac { y_ { 0 } } { b ^ { 2 } } y + \frac { z_ { 0 } } { c ^ { 2 } } z=0 $이다. 이 두 평면은 평행이다.</p> <p>예제 $ 2.2.3 $ 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1, a>b>0 $에 서로 직교하는 $ 2 $개의 접선을 그을 수 있는 점의 자취를 구하여라. 또한 쌍곡선 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $에 서로 직교하는 $ 2 $개의 접선을 그을 수 있는 점의 자취를 구하여라.</p> <p>[풀이] ( $ 1 $) 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지나고 기울기가 $ m $인 접선은 다음을 만족한다. \[ \begin {array} { c } y_ { 1 } =m x_ { 1 } \pm \sqrt { a m ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \\ \left (x_ { 1 } -a ^ { 2 } \right ) m ^ { 2 } -2 m x_ { 1 } y_ { 1 } + y_ { 1 } ^ { 2 } -b ^ { 2 } =0 \end {array} \]이 $ m $에 관한 $ 2 $차방정식의 $ 2 $근을 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } $라 하면, 근과 계수의 관계에 의하여 \[m_ { 1 } m_ { 2 } = \frac { y_ { 1 } ^ { 2 } -b ^ { 2 } } { x_ { 1 } ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \]이다. 두 접선은 서로 직교하므로, $ m_ { 1 } m_ { 2 } =-1 $ 이다. 그러므로 \[x_ { 1 } ^ { 2 } + y_ { 1 } ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \]이다. 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 임의이므로, 구하는 자취는 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $이다.</p> <p>( $ 2 $) 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지나고 기울기가 $ m $인 접선은 다음을 만족한다. \[ \begin {array} { c } y_ { 1 } =m x_ { 1 } \pm \sqrt { a m ^ { 2 } -b ^ { 2 } } \\ \left (x_ { 1 } -a ^ { 2 } \right ) m ^ { 2 } -2 m x_ { 1 } y_ { 1 } + y_ { 1 } ^ { 2 } + b ^ { 2 } =0 \end {array} \]이 $ m $에 관한 $ 2 $차방정식의 $ 2 $근을 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } $라 하면, 근과 계수의 관계에 의하여 \[ m_ { 1 } m_ { 2 } = \frac { y_ { 1 } ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { x_ { 1 } ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \]이다. 두 접선은 서로 직교하므로, $ m_ { 1 } m_ { 2 } =-1 $이다. 그러므로 \[x_ { 1 } ^ { 2 } + y_ { 1 } ^ { 2 } =a ^ { 2 } -b ^ { 2 } \]이다. 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 임의이므로, 구하는 자취는 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } -b ^ { 2 } $이다.</p> <p>정의 예제 $ 2.1.4 $에서 얻은 원들을 각각 타원, 쌍곡선의 준원(director circle)이라 한다.</p> <p>예제 $ 5.3.2 $ 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $이고 타원면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $에 접하는 접평면의 방정식은 $ \lambda x + \mu y + v z= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + c ^ { 2 } v ^ { 2 } } $임을 증명하여라. 또, $ 1 $엽쌍곡면, $ 2 $엽쌍곡면에 대해서는 어떻게 되는가?</p> <p>증명 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 타원면의 접평면의 방정식은 $ \lambda x + \mu y + v z=p $라 하자. 타원면 위의 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서 접평면의 방정식은 다음과 같다.</p> <p>$ \frac { x_ { 0 } x } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 0 } y } { b ^ { 2 } } + \frac { z_ { 0 } z } { c ^ { 2 } } =1 $</p> <p>두 접평면이 일치해야 하므로, \[ \frac { x_ { 0 } } { a ^ { 2 } } = \frac {\lambda } { p } , \frac { y_ { 0 } } { b ^ { 2 } } = \frac {\mu } { p } , \frac { z_ { 0 } } { c ^ { 2 } } = \frac {\nu } { p } \]이어야 한다. 즉, $ x_ { 0 } = \frac { a ^ { 2 } \lambda } { p } , y_ { 0 } = \frac { b ^ { 2 } \mu } { p } , z_ { 0 } = \frac { c ^ { 2 } \nu } { p } $. $ P_ { 0 } $는 타원면 위의 점이므로, 다음을 알 수 있다. \[a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + c ^ { 2 } \nu ^ { 2 } =p ^ { 2 } , p= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + c ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \]그러므로 구하는 접평면의 방정식은 다음과 같다. \[ \lambda x + \mu y + \nu z= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + c ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \]</p> <p>마찬가지로 하면, 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 $ 1 $엽쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $과 $ 2 $엽쌍곡면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $의 접평면은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } \lambda x + \mu y + \nu z= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } -c ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } , \\ \lambda x + \mu y + \nu z= \pm \sqrt { a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } -b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } -c ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \end {array} \]</p> <p>예제 $ 1.1.1 $ 직각좌표평면에서 점 $ A \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), B \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ), C \left (x_ { 3 } , y_ { 3 } \right ) $을 꼭짓점으로 갖는 삼각형 $ \triangle A B C $의 무게중심의 좌표 $ G \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $을 구하여라.</p> <p>[풀이] 변 $ A B $의 중점의 좌표를 $ M \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) $라 하면, \[ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } } { 2 } \\y ^ {\prime } = \frac { y_ { 1 } + y_ { 2 } } { 2 } \end {array} \right . \]이다.</p> <p>$ G $는 $ \triangle A B C $의 무게중심이므로, $ \overline { C G } : \overline { G M } =2: 1 $이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \left \{\begin {array} { l } x_ { 0 } = \frac { 2 x ^ {\prime } + x_ { 3 } } { 3 } = \frac { x_ { 1 } + x_ { 2 } + x_ { 3 } } { 3 } \\ y_ { 0 } = \frac { 2 y ^ {\prime } + y_ { 3 } } { 3 } = \frac { y_ { 1 } + y_ { 2 } + y_ { 3 } } { 3 } \end {array} \right . \]</p> <p>문제 $ 1.1 $ 삼각형 $ \triangle A B C $의 무게중심을 $ G $라 하고 $ P $는 같은 평면 위의 점이라 하자. 그려면 다음이 성립함을 증명하여라.</p> <p>마찬가지로, 다른 좌표면에 평행인 평면과의 교선도 타원이다. 특히, $ a=b=c $일 때 타원면은 반지름이 $ a $인 구면으로 뵌다.</p> <h2>4.3 쌍곡면</h2> <p>[일엽쌍곡면] 방정식 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1, a, b, c>0 $을 만족하는 점 $ P(x, y, z) $의 자취가 나타내는 곡면은 $ 1 $엽쌍곡면(hyperboloid of $ 1 $-sheet)이라 하고, 원점 $ O $를 그 중심(center)이라 한다. 이 $ 1 $엽쌍곡면과 각 좌표평면과의 교선은 각각 다음과 같다.</p> <p> <ol type=i start=1><li>타원: $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ z=0 $과의 교선)</li> <li>쌍곡선: $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ y=0 $과의 교선)</li> <li>쌍곡선: $ \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 $ (평면 $ x=0 $과의 교선)</li></ol></p> <p>임의의 $ k $에 대하여 평면 $ z=k $와 교선은 타원이다. 즉, \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \left (1 + \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right ) } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \left (1 + \frac { k ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right ) } =1 . \]</p> <h1>제 $2 $장 $2 $차곡선과 그 성질</h1> <h2>2.1 $2 $차곡선의 방정식</h2> <p>$2 $차곡선(quadric curve)은 $2 $차방정식 \[f(x, y) \equiv a x ^ { 2 } + 2 h x y + b y ^ { 2 } + 2 g x + 2 f y + c = 0 \]의 해들의 자취가 그리는 곡선을 말한다. 이 방정식을 $2 $차곡선의 방정식(quadric equation)이라 한다.</p> <p>$2 $차곡선 중 특별한 곡선에는 원, 타원, 쌍곡선, 포물선이 있다.</p> <p>정의 유클리드 평면 $ E ^ { 2 } $ 위에 교차하는 두 직선 $ l, m $에 대하여 한 직선 $ m $을 다른 직선 $ l $을 중심으로 회전하여 얻어진 곡면을 원뿔(cone)이라 한다. 이때, 직선 $ l $은 그 원뿔의 회전축 (rotation axis)이라 한다. 직선 $ m $에 의하여 생성된 직선들을 그 원뿔의 모선(generator)이라 한다. 그 교차점을 그 원뿔의 중심(center)이라 하고, $ O $로 나타낸다.</p> <p>원뿔과 중심 $ O $를 지나지 않는 다음과 같은 평면이 교차하는 단면은 여러 가지 곡선을 나타낸다.<ol type=a start=1><li>평면이 원뿔의 회전축에 수직으로 교차하는 단면은 원(circle)이다.</li> <li>평면이 원뿔의 모선과 평행하지 않게 회전축과 예각으로 교차하는 단면은 타원(ellipse)이다.</li> <li>평면이 원뿔의 모선과 평행하지 않게 회전축과 예각으로 교차하는 단면은 타원(ellipse) 이다.</li> <li>평면이 원뿔의 회전축과 평행하게 교차하는 단면은 쌍곡선(hyperbola)이다.</li></ol></p> <p>정의 유클리드 평면 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 위의 한 정점 $ F $와 한 정직선 $ l $에 대하여 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 위의 곡선 $ C $가 원뿔곡선 (conic section)이라는 것은 $ C $ 위의 임의의 점 $ P $에서 직선 $ l $까지의 거리 $ d $에 대하여 $ \frac {\overline { P F } } { d } $가 항상 일정할 때를 말한다. 이때, 정점 $ F $는 $ C $의 초점(focus), 직선 $ l $은 준선(directrix), 그리고 $ \frac {\overline { P F } } { d } =e $는 이심률(eccentricity)이라 한다.</p> <p>이심률 $ e $의 값에 따라 원뿔곡선들이 결정된다.</p> <p>만일 $ k ^ {\prime } \neq 0 $이면, (실 또는 허)타원면, $ 1 $엽쌍곡면, $ 2 $엽쌍곡면 중의 하나이다.</p> <p>만일 $ k ^ {\prime } =0 $이면, 뿔면 또는 단 한 점으로 나타낸다.</p> <p>( $ 2) $ $ a ^ {\prime } \neq 0, b ^ {\prime } \neq 0, c ^ {\prime } =0 $인 경우 \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 \]만일 $ n ^ {\prime } \neq 0 $ 이면, $ a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } =-2 n ^ {\prime } \left (z ^ {\prime } + \frac { b ^ {\prime } d ^ {\prime } -m ^ {\prime 2 } } { 2 b ^ {\prime } n ^ {\prime } } \right ) $이다. 이때 \[ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \bar { x } \\ y ^ {\prime } = \bar { y } - \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \\z ^ {\prime } = \bar { z } - \frac { b ^ {\prime } d ^ {\prime } -m ^ {\prime 2 } } { 2 b ^ {\prime } n ^ {\prime } } \end {array} \right . \]로 놓으면, $ a ^ {\prime } \bar { x } ^ { 2 } + b ^ {\prime } y ^ { 2 } =-2 n ^ {\prime } \bar { z } $로 변환된다. 그러므로 이때는 타원포물면 또는 쌍곡포물면을 나타낸다.</p> <p>[접평면] 구면 $ S: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 $ 위의 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $에서 접평면을 구해보자. $ P_ { 0 } $은 $ S $ 위의 점이므로, \[x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } + z_ { 0 } ^ { 2 } + 2 l x_ { 0 } + 2 m y_ { 0 } + 2 n z_ { 0 } + d=0 \]이다. $ S $의 중심이 $ C(-l,-m,-n) $이므로, 유향직선 $ \overleftrightarrow { P_ { 0 } C } $의 방향비는 \[ \left (x_ { 0 } + l \right ): \left (y_ { 0 } + m \right ): \left (z_ { 0 } + n \right ) \]이다. 즉, $ \overleftrightarrow { P_ { 0 } C } $의 방향벡터는 $ \left (x_ { 0 } + l, y_ { 0 } + m, z_ { 0 } + n \right ) $ 이다. 점 $ P_ { 0 } $에서 구면 $ S $의 접평면 $ \pi $는 수직이다. $ \pi $ 위의 임의의 점을 $ P(x, y, z) $ 라 하자. 그러면 유향직선 $ \overleftrightarrow { P_ { 0 } P } $은 $ \overleftrightarrow { P_ { 0 } C } $와 수직이다.이때 $ \overleftrightarrow { P_ { 0 } C } $의 방향비는 $ \left (x-x_ { 0 } \right ): \left (y-y_ { 0 } \right ): \left (z-z_ { 0 } \right ) $이다. 그러므로 $ \left (x_ { 0 } + l \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + \left (y_ { 0 } + m \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + \left (z_ { 0 } + n \right ) \left (z-z_ { 0 } \right )=0 $, $ x_ { 0 } x + y_ { 0 } y + z_ { 0 } z + l x + m y + n z=x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } + z_ { 0 } ^ { 2 } + l x_ { 0 } + m y_ { 0 } + n z_ { 0 } $ $ =-l x_ { 0 } -m y_ { 0 } -n z_ { 0 } -d $, $ x_ { 0 } x + y_ { 0 } y + z_ { 0 } z + l \left (x + x_ { 0 } \right ) + m \left (y + y_ { 0 } \right ) + n \left (z + z_ { 0 } \right ) + d=0 $ 이다. 이것이 접평면 $ \pi $의 방정식이다.</p> <h1>연습문제</h1> <p>$ 1 $. 두 점 $ (1,-2,0),(10,7,9) $에서 방향코사인이 $ \left ( \frac { 8 } { 9 } , \frac { 4 } { 9 } , \frac { 1 } { 9 } \right ) $인 직선에 내린 정사영 사이의 거리를 구하여라.</p> <p>$ 2 $. $ O-x y z $ 좌표계에서의 방정식 $ x y = a z $에 대하여 $ z $-축을 그대로 두고 $ x, y $-축만 $ 45 ^ {\circ } $ 회전할 때 $ x y=a z $는 어떻게 변환되는가?</p> <p>$ 3 $. 원기둥좌표가 $ \left (4, \frac {\pi } { 6 } , 3 \right ) $인 점의 직각좌표를 구하여라. 직각좌표가 $ (2,2,3) $인 점의 원기둥 좌표를 구하여라.</p> <p>$ 4 $. 평면 $ \frac { x } { a } + \frac { y } { b } + \frac { z } { c } =1 $의 방향코사인을 구하여라. 원점에서 이 평면까지의 거리를 구하여라.</p> <p>$ 5 $. $ 3 $개의 평면 \[ \left \{\begin {array} { l } x + y + z=0 \\a x + b y + c z=0 \\ (b + c) x + (c + a) y + (a + b) z=0 \end {array} \right . \]은 일직선을 공유함을 보여라. 또한 그 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>$ 6 $. 다음 평면의 방정식을 구하여라.</p> <p> <ol type=a start=1><li>두 평면 $ 2 x + y=4, y + 2 z=0 $의 교선과 점 $ (2,-1,1) $을 지나는 평면</li> <li>두 평면 $ 2 x + y=4, y + 2 z=0 $의 교선을 지나고 평면 $ 3 x + 2 y-3 z=6 $에 수직인 평면</li></ol></p> <p>$ 7 $. 다음 두 직선 사이의 최단거리를 구하여라.</p> <ol type=a start=1><p> <li>$ x $-축, $ \frac { x + 1 } { 2 } = \frac { y-2 } { 3 } = \frac { z-1 } { 4 } $</li> <li>$ \frac { x-1 } { 1 } = \frac { y + 2 } { 3 } = \frac { z + 1 } { 2 } , \frac { x-3 } { 2 } = \frac { y-1 } { 4 } = \frac { z + 2 } { 2 } $</li></ol></p> <p>만일 $ \Delta_ { 1 } \neq 0 $이면, $ 2 $차곡면의 방정식은 타원면, $ 1 $, $ 2 $엽쌍곡면 증의 하나를 나타낸다.</p> <p>만일 $ \Delta_ { 1 } =0 $이면, $ 2 $차곡면의 방정식은 뿔면 또는 한 점을 나타낸다.</p> <p>( $ 2 $) $ D=0 $인 경우 이때는 $ 0=D=t_ { 1 } t_ { 2 } t_ { 3 } $이므로, $ t_ { 1 } =a ^ {\prime } , t_ { 2 } =b ^ {\prime } , t_ { 3 } =c ^ {\prime } $ 중 적어도 하나는 $ 0 $이다.</p> <p>(a) $ t_ { 1 } \neq 0, t_ { 2 } \neq 0, t_ { 3 } =0 $인 경우 \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 . \]</p> <p>(ⅰ) 만일 $ n ^ {\prime } \neq 0 $ 이면, $ a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } - \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } =0 $으로 된다. \[ \left \{\begin {array} { l } \bar { x } =x ^ {\prime } \\ \bar { y } =y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \\ \bar { z } =z ^ {\prime } + \frac { d ^ {\prime } } { 2 n ^ {\prime } } - \frac { m ^ {\prime 2 } } { 2 n ^ {\prime } b ^ {\prime } } \end {array} , \bar { n } =n ^ {\prime } \right . \]으로 놓으면, $ t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + t_ { 2 } \bar { y } ^ { 2 } + 2 \bar { n } \bar { z } =0 $으로 된다. 그러나 예제 $ 6.2 2 $ 에 의하여 \[ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\h & b & f & m \\ g & f & c & n \\l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\0 & t_ { 2 } & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & n \\0 & 0 & \frac { n } { n } & 0 \end {array} \right \|=-t_ { 1 } t_ { 2 } \bar { n } ^ { 2 } \neq 0 \]이다. 그러므로 $ \bar { n } = \sqrt { - \frac {\Delta_ { 1 } } { t_ { 1 } t_ { 2 } } } $이다. 따라서 $ 3 $차곡면의 방정식은 \[t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + t_ { 2 } \bar { y } ^ { 2 } + 2 \sqrt { - \frac {\Delta_ { 1 } } { t_ { 1 } t_ { 2 } } } \bar { z } =0 \]으로 된다.</p> <p>이 식에 대응하는 $ D $는 다음과 같다.</p> <p>$ \left \| \begin {array} { ccc } a-r & h & g \\ h & b-r & f \\ g & f & c-r \end {array} \right \|=D-J r + I r ^ { 2 } -r ^ { 3 } $</p> <p>회전이동에 의하여 $ \bar { x } ^ { 2 } + \bar { y } ^ { 2 } + \bar { z } ^ { 2 } =x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } $ 임을 알 수 있다. 회전이동에 의하여 $ F(x, y, z)-r \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) $ 은 $ \bar { F } ( \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } )-r \left ( \bar { x } ^ { 2 } + \bar { y } ^ { 2 } + \bar { z } ^ { 2 } \right ) $ 으로 변환된다. 이때 이 식에 대응하는 $ D $는 다음과 같다.</p> <p>$ \left \| \begin {array} { ccc } \bar { a } -r & \bar { h } & \bar { g } \\ \bar { h } & \bar { b } -r & \bar { f } \\ \bar { g } & \bar { f } & \bar { c } -r \end {array} \right \|= \bar { D } - \bar { J } r + \bar { I } r ^ { 2 } -r ^ { 3 } $</p> <p>임의의 $ 2 $차식 $ F(x, y, z)-r \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) $은 좌표축이 회전이동 대하여 불변이므로, \[ \bar { D } - \bar { J } r + \bar { I } r ^ { 2 } -r ^ { 3 } =D-J r + I r ^ { 2 } -r ^ { 3 } \] 이다. $ \bar { D } =D, \bar { I } =I $이므로, $ \bar { J } =J $이다.</p> <p>예제 $ 1.2.2 $ 직선의 방정식 $ 2 x-3 y-1=0 $의 헤세의 표준형을 구하여라.</p> <p>[풀이] $ c=-1 $이므로, $ - \frac { \|c\| } { c } =1 $이다. $ a=2, b=-3 $이므로, $ \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \sqrt { 13 } $ 이다. 그러므로, 헤세의 표준형은 다음과 같다. \[ \frac { 2 x-3 y-1 } {\sqrt { 13 } } =0, \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } x- \frac { 3 } {\sqrt { 13 } } - \frac { 1 } {\sqrt { 13 } } =0 \]</p> <p>[직선의 방향코사인] 직각좌표평면에서 직선 $ l $은 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $를 지나고 $ x $-축, $ y $-축과 각각 $ \alpha, \beta $의 각을 이룬다고 하자.직선 $ l $ 위의 임의의 점을 $ P(x, y) $라 하고, $ \overline { P_ { 0 } P } $ 또는 $ \overline { P P_ { 0 } } $을 $ r $이라 하자. 그러면 $ m \left ( \angle P P_ { 0 } Q \right )= \alpha, \alpha + \beta= \frac {\pi } { 2 } $이므로, \[ \left \{\begin {array} { l } x-x_ { 0 } =r \cos \alpha \\y-y_ { 0 } =r \sin \alpha=r \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } - \beta \right )=r \cos \beta \end {array} \right . \]이다. 이때 $ \lambda= \cos \alpha, \mu= \cos \beta $로 놓으면, 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} \lambda ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } &= \cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \beta \\&= \cos ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \left ( \frac {\pi } { 2 } - \alpha \right ) \\&= \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha=1 \end {aligned} \]이때 $ ( \lambda, \mu)=( \cos \alpha, \cos \beta) $는 직선 $ l $의 방향코사인(direction cosine)이라 한다. 그러므로 \[ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + r \cos \alpha \\y=y_ { 0 } + r \cos \beta \end {array} \right . \] 는 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $와 방향코사인 $ ( \cos \alpha, \cos \beta) $에 의하여 결정된 매개변수 $ r $에 관한 직선 $ l $의 방정식이다.</p> <p>(ⅱ) 만일 $ m ^ {\prime } =0, n ^ {\prime } =0 $이면, $ \bar { x } =x ^ {\prime } , \bar { d } =d ^ {\prime } $로 놓자. 그러면 $ t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + \bar { d } =0 $ 으로 된다. 이때 \[ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\h & b & f & m \\g & f & c & n \\l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { llll } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & \bar { d } \end {array} \right \|=0 \]이다. 그러므로 이 $ 2 $차곡면은 평행한 두 평면을 나타낸다.</p> <p>(ⅲ) 만일 $ m ^ {\prime } =0, n ^ {\prime } \neq 0 $이면, $ \bar { x } =x ^ {\prime } , \bar { z } =z ^ {\prime } + \frac { d ^ {\prime } } { 2 n ^ {\prime } } $로 놓자. 그러면 \[ t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + 2 \bar { n } \bar { z } =0 \]으로 된다. 이때 $ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\ h & b & f & m \\ g & f & c & n \\ l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { n } { n } \\ 0 & 0 & \bar { n } & 0 \end {array} \right \|=0 $이다. 그러므로 이 $ 2 $차곡면은 포물기둥면이다.</p> <p>마찬가지로, 만일 $ m ^ {\prime } \neq 0, n ^ {\prime } =0 $이면, $ \bar { x } =x ^ {\prime } , \bar { y } =y ^ {\prime } + \frac { d ^ {\prime } } { 2 m ^ {\prime } } $로 놓자. 그러면 \[t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + 2 \bar { m } \bar { y } =0 \]으로 된다. 이때 $ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\ h & b & f & m \\ g & f & c & n \\ l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { m } { 0 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac { m } { 0 } & 0 & 0 \end {array} \right \|=0 $이다. 그러므로 이 $ 2 $차곡면은 포물기둥면이다.</p> <p>이를 종합하여 정리하면 다음을 얻는다.</p> <h2>5.5 모선</h2> <p>$ 2 $ 차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]에 대하여 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 직선 \[ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 0 } + \lambda t \\ y=y_ { 0 } + \mu t \\z=z_ { 0 } + \nu t \end {array} \right . \]가 전부 $ 2 $차곡면 위에 놓여 있으려면, 임의의 실수 $ t $에 대하여 \[ \begin {array} { l } \left (a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c \nu ^ { 2 } + 2 f \mu \nu + 2 g \nu \lambda + 2 h \lambda \mu \right ) t ^ { 2 } + 2 \left [ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda \right . \\ \left . \quad + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \mu + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu \right ] t + F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 \end {array} \]이어야 한다. 즉, \[ \begin {array} { l } \left (a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c \nu ^ { 2 } + 2 f \mu \nu + 2 g \nu \lambda + 2 h \lambda \mu \right )=0 \\ \left (a x_ { 0 } + h y_ { 0 } + g z_ { 0 } + l \right ) \lambda + \left (h x_ { 0 } + b y_ { 0 } + f z_ { 0 } + m \right ) \mu + \left (g x_ { 0 } + f y_ { 0 } + c z_ { 0 } + n \right ) \nu=0 \\F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 \end {array} \]</p> <p>[직선의 극방정식] 극 $ O $에서 직선 $ l $에 수선 $ m $을 그리자. 이때 $ l $과 $ m $의 교점을 $ H $라 하자. $ \overline { O H } =p $라 하고 $ m $ 과 $ x $-축이 이루는 각을 $ \varphi $라 하자. 직선 $ l $위의 점 $ P $의 직각좍표를 극좌표 $ P(r, \theta) $로 나타내자.그러면 $ r \cos ( \theta- \varphi)=p $이다. 이것이 직선 $ l $의 극방정식이다.</p> <p>지금까지 직선의 방정식을 여러 가지 모양으로 나타낼 수 있다는 것을 알아보있다. 문제에 따라 적당한 직선의 방정식을 선택하면 된다.</p> <p>예제 $ 1.23 $ 삼각형 $ \triangle A B C $의 3개의 중선은 한 점에서 만난다는 것을 직선의 방정식을 통하여 확인하여라.</p> <p>[풀이] 삼각형 $ \triangle O A B $를 생각하면 층분하다. 점 $ A, B $을 좌표를 각각 $ (a, c),(b, 0) $라 하자. 선분 $ O B, O A, A B $의 중점을 각각 $ L, M, N $이라 하자. 그러면 그들의 좌표는 각각 $ \left ( \frac { b } { 2 } , 0 \right ) $, $ \left ( \frac { a } { 2 } , \frac { c } { 2 } \right ), \left ( \frac { a + b } { 2 } , \frac { c } { 2 } \right ) $이다. 이때 직선 $ \overleftrightarrow { O N } , \overleftrightarrow { B M } $의 방정식을 각각 다음과 같다. $ \overleftrightarrow { O N } $의 방정식: $ y= \frac { c } { a + b } x $ $ \overleftrightarrow { B M } $의 방정식: $ y= \frac { c } { a-2 b } (x-b) $이 두 직선의 교점 $ G $와 좌표는 $ \left ( \frac { a + b } { 3 } , \frac { c } { 3 } \right ) $ 이다. 직선 $ \overleftrightarrow { L A } $의 방정식은 다음과 같다. $ \overleftrightarrow { L A } $의 방정식: $ y= \frac { c } { a-b / 2 } \left (x- \frac { b } { 2 } \right ) $이 직선의 방정식은 점 $ G \left ( \frac { a + b } { 3 } , \frac { c } { 3 } \right ) $을 만족한다. 그러므로 $ 3 $중선은 한 점에서 만난다.</p> <h2>6.3 주축변환</h2> <p>$ 6.2 $절에서 $ 2 $차곡면의 방정식 $ F(x, y, z) = 0 $은 적당한 좌표변환에 의하여 다음과 같은 꼴로 변환될 수 있다는 것을 알았다. \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } y ^ {\prime 2 } + c ^ {\prime } z ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 \]</p> <p>이때 특성방정식은 \[ \left \| \begin {array} { ccc } a ^ {\prime } -t & 0 & 0 \\0 & b ^ {\prime } -t & 0 \\ 0 & 0 & c ^ {\prime } -t \end {array} \right \|=0 \] 이므로, 특성근은 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime } , t_ { 2 } =b ^ {\prime } , t_ { 3 } =c ^ {\prime } $이다. 한편 \[D= \left \| \begin {array} { lll } a & h & g \\h & b & f \\g & f & c \end {array} \right \|=D ^ {\prime } = \left \| \begin {array} { lll } a ^ {\prime } & h ^ {\prime } & g ^ {\prime } \\h ^ {\prime } & b ^ {\prime } & f ^ {\prime } \\g ^ {\prime } & f ^ {\prime } & c ^ {\prime } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } a ^ {\prime } & 0 & 0 \\0 & b ^ {\prime } & 0 \\ 0 & 0 & c ^ {\prime } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } t_ { 1 } & 0 & 0 \\ 0 & t_ { 2 } & 0 \\0 & 0 & t_ { 3 } \end {array} \right \|=t_ { 1 } t_ { 2 } t_ { 3 } \] 이므로, $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , t_ { 3 } $중에서 $ 0 $인 것이 존재하는 것은 $ D=0 $일 때이다.</p> <p>이때 특성방정식은 $ \left \| \begin {array} { ccc } a ^ {\prime \prime } -t & 0 & 0 \\ 0 & b ^ {\prime \prime } -t & 0 \\ 0 & 0 & c ^ {\prime \prime } -t \end {array} \right \|=0 $이다. 따라서 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime \prime } =t_ { 2 } =b ^ {\prime \prime } \neq 0, t_ { 3 } =c ^ {\prime \prime } $ 이다. 그러므로 $ F ^ {\prime \prime } \left (x ^ {\prime \prime } , y ^ {\prime \prime } , z ^ {\prime \prime } \right ) \equiv a ^ {\prime \prime } x ^ {\prime \prime 2 } + a ^ {\prime \prime } y ^ {\prime \prime 2 } + c ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime 2 } + 2 n ^ {\prime \prime } z ^ {\prime \prime } + d ^ {\prime \prime } =0 $은 회전면이다.</p> <p>(c) 특성방정식 $ \left (a ^ {\prime } -t \right ) \left [ \left (b ^ {\prime } -t \right ) \left (c ^ {\prime } -t \right )-f ^ {\prime 2 } \right ]=0 $ 의 근은 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime } \neq 0, t_ { 2 } =t_ { 3 } =0 $이라 가정하자. 이때 특성방정식은 $ t ^ { 2 } \left (t-a ^ {\prime } \right )=0 $ 꼴이어야 한다. 그러므로 $ b ^ {\prime } + c ^ {\prime } =0, b ^ {\prime } c ^ {\prime } -f ^ {\prime 2 } =0 $ 이다. 따라서 $ b ^ {\prime } =c ^ {\prime } =f ^ {\prime } =0 $이다. 그러므로 $ 2 $차곡면은 \[F ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) \equiv a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 \]꼴이다.</p> <p>만일 $ \Delta_ { 1 } >0 $이면, $ t_ { 1 } t_ { 2 }<0 $이므로, $ 2 $차곡면의 방정식은 쌍곡포물면을 나타낸다.</p> <p>만일 $ \Delta_ { 1 }<0 $이면, $ t_ { 1 } t_ { 2 } >0 $이므로, $ 2 $차곡면의 방정식은 타원포물면을 나타낸다.</p> <p>(ⅱ) 만일 $ n ^ {\prime } =0 $이면, $ a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + b ^ {\prime } \left (y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \right ) ^ { 2 } + d ^ {\prime } - \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } =0 $으로 된다. \[ \left \{\begin {array} { l } \bar { x } =x ^ {\prime } \\ \bar { y } =y ^ {\prime } + \frac { m ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } , \bar { d } =d ^ {\prime } - \frac { m ^ {\prime 2 } } { b ^ {\prime } } \end {array} \right . \]으로 놓으면, $ t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + t_ { 2 } \bar { y } ^ { 2 } + \bar { d } =0 $으로 된다. 따라서 이것은 타원기둥면, 쌍곡기둥면, 두 평면, 또는 한 직선을 나타낸다.</p> <p>(b) $ t_ { 1 } \neq 0, t_ { 2 } =t_ { 3 } =0 $인 경우 \[a ^ {\prime } x ^ {\prime 2 } + 2 m ^ {\prime } y ^ {\prime } + 2 n ^ {\prime } z ^ {\prime } + d ^ {\prime } =0 . \]</p> <p>(ⅰ) 만일 $ m ^ {\prime } \neq 0, n ^ {\prime } \neq 0 $이면, $ \left \{\begin {array} { l } \bar { x } =x ^ {\prime } \\ \bar { y } =y ^ {\prime } + \frac { 2 n ^ {\prime } + d ^ {\prime } } { 2 m ^ {\prime } } , \bar { m } =m ^ {\prime } \text { 로 놓자. 그러면 } \end {array} \right . $ \[t_ { 1 } \bar { x } ^ { 2 } + 2 \bar { m } \bar { y } =0 \]으로 된다. 이때 \[ \Delta_ { 1 } = \left \| \begin {array} { llll } a & h & g & l \\h & b & f & m \\g & f & c & n \\l & m & n & d \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cccc } t_ { 1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bar { m } \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & \bar { m } & 0 & 0 \end {array} \right \|=0 \] 이다. 그러므로 이 $ 2 $차곡면은 포물기둥면을 나타낸다.</p> <p>직선 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } $의 교점 $ P $를 지나는 임의의 직선은 임의의 실수 $ \lambda $에 대하여 $ l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } $꼴이다. 이러한 직선을 직선속(pencil of lines)이라 한다.</p> <p>\[ \lambda= \frac {\lambda_ { 2 } } {\lambda_ { 1 } } \text { 으로 놓으면, } l_ { 1 } + \lambda l_ { 2 } \text { 는 } \lambda_ { 1 } l_ { 1 } + \lambda_ { 2 } l_ { 2 } \text { 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 } \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } \text { 는 동시에 } \] $ 0 $이 아닌 실수이다.</p> <p>지금 $ 3 $개의 직선이 한 점에서 만나기 위한 조건을 직선속을 이용하여 구해보자. \[ \left \{\begin {array} { l } l_ { 1 } : a_ { 1 } x + b_ { 1 } y + c_ { 1 } =0 \\ l_ { 2 } : a_ { 2 } x + b_ { 2 } y + c_ { 2 } =0 \\ l_ { 3 } : a_ { 3 } x + b_ { 3 } y + c_ { 3 } =0 \end {array} \right . \] $ l_ { 1 } , l_ { 2 } $가 점 $ P $를 지난다고 하자. 그러면 그들의 직선속 $ \lambda_ { 1 } l_ { 1 } + \lambda_ { 2 } l_ { 2 } $도 점 $ P $를 지난다. 이때 만일 $ l_ { 3 } $도 점 $ P $를 지나면, $ \lambda_ { 1 } l_ { 1 } + \lambda_ { 2 } l_ { 2 } $와 $ l_ { 3 } $의 직선속 $ \mu_ { 1 } \left ( \lambda_ { 1 } l_ { 1 } + \lambda_ { 2 } l_ { 2 } \right ) + \mu_ { 2 } l_ { 3 } $도 점 $ P $를 지난다. 그러면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>$ \lambda: \mu $가 실수가 되기 위해서는 \[a ^ { 2 } b ^ { 2 } x_ { 0 } ^ { 2 } y_ { 0 } ^ { 2 } -a b \left (a x_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \left (b y_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \geqq 0, \] \[ \begin {aligned} a b c z_ { 0 } ^ { 2 } \left (a x_ { 0 } ^ { 2 } + b y_ { 0 } ^ { 2 } + c z_ { 0 } ^ { 2 } \right ) & \leqq 0, \\a b c & \leqq 0 \end {aligned} \]이어야 한다. $ a b c \neq 0 $이므로, $ a b c<0 $이어야 한다. $ a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } + c \nu ^ { 2 } =0 $이므로, $ a, b, c $는 동시에 음이 아니다. 즉, $ a, b, c $중에서 $ 2 $ 개는 양수이고 한 개는 음수이어야 한다. 그러므로 타원면과 쌍곡면 중에서 그 곡면 위의 직선을 전부 포함하는 것은 $ 1 $엽쌍 곡면분이다.</p> <p>( $ 2 $) 포물면 $ a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + 2 n z=0 $의 경우에 위의 $ 3 $ 조건은 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } a \lambda ^ { 2 } + b \mu ^ { 2 } =0 \\a x_ { 0 } \lambda + b y_ { 0 } \mu + n \nu=0 \\ a x_ { 0 } ^ { 2 } + b y_ { 0 } ^ { 2 } + 2 n z_ { 0 } =0 \end {array} \right . \] 첫 번째 식으로부터 $ a b<0 $ 임을 알 수 있다. 그러므로 포물면 위의 직선을 전부 포함하는 것은 쌍곡포물면뿐이다.</p> <h2>5.2 경면과 주경면</h2> <p>$ 2 $차곡면 \[F(x, y, z) \equiv a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } + 2 f y z + 2 g z x + 2 h x y + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d = 0 \]에 대하여 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $인 현의 중점의 자취는 \[(a x + h y + g z + l) \lambda + (h x + b y + f z + m)_ {\mu } + (g x + f y + c z + n) \nu=0 \]이다. 즉, \[(a \lambda + b \mu + c \nu) x + (h \lambda + b \mu + f \nu) y + (g \lambda + f \mu + c \nu) z + l \lambda + m \mu + n \nu=0 . \]</p> <p>이것은 평면의 방정식이다. 이 평면을 방향 $ ( \lambda, \mu, \nu) $에 공액인 경면(diameter plane)이라 한다. 이 경면에 의하여 $ 2 $등분되는 현을 그 경면의 종선이라 한다. 유심 $2 $차곡면의 중심은 그 곡면의 경면 위에 있다.</p> <p>방향코사인 $ ( \lambda, \mu, \nu) $에 공액인 경면 \[(a \lambda + b \mu + c \nu) x + (h \lambda + b \mu + f \nu) y + (g \lambda + f \mu + c \nu) z + l \lambda + m \mu + n \nu=0 \] 이 $ ( \lambda, \mu, \nu) $ 에 수직이라 하자. 그러면 \[ \frac { a \lambda + h \mu + g \nu } {\lambda } = \frac { h \lambda + b \mu + f \nu } {\mu } = \frac { g \lambda + f \mu + c \nu } {\nu } (=t) \]이다. 그러므로 다음을 얻는다. \[ \left \{\begin {array} { l } (a-t) \lambda + h \mu + g \nu=0 \\ h \lambda + (b-t) \mu + f \nu=0 \\g \lambda + f \mu + (c-t) \nu=0 \end {array} \right . \]</p> <p>이때 특성방정식은 다음과 같다. \[ \left \| \begin {array} { ccc } a ^ {\prime \prime } -t & 0 & 0 \\0 & b ^ {\prime \prime } -t & 0 \\ 0 & 0 & c ^ {\prime \prime } -t \end {array} \right \|=0 \]</p> <p>주경면의 방향을 정하는 방정식은 \[ \left \{\begin {array} { l } \left (a ^ {\prime \prime } -t \right ) \lambda=0 \\ \left (b ^ {\prime \prime } -t \right ) \mu=0 \\ \left (c ^ {\prime \prime } -t \right ) \nu=0 \end {array} \right . \]이지만, $ t=t_ { 1 } $에 대응하는 방향코사인은 $ ( \lambda, \mu, \nu)=(1,0,0) $이다. 그런데 $ t=t_ { 2 } $에 대응하는 방향코사인 $ \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right ) $는 $ ( \lambda, \mu, \nu) $에 수직이다. 그러므로 $ \lambda \lambda_ { 2 } + \mu \mu_ { 2 } + v \nu_ { 2 } =0 $이다. 따라서 $ \lambda_ { 2 } =0 $이다. $ \lambda_ { 2 } ^ { 2 } + \mu_ { 2 } ^ { 2 } + v_ { 2 } ^ { 2 } =1 $이므로 $ \left ( \lambda_ { 2 } , \mu_ { 2 } , \nu_ { 2 } \right )=(0,1,0) $을 취해도 무방하다. 특성근은 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime \prime } , t_ { 2 } =b ^ {\prime \prime } , t_ { 3 } =c ^ {\prime \prime } $이므로, $ a ^ {\prime \prime } \neq 0, b ^ {\prime \prime } \neq 0 $이다.</p> <p>(b) 특성방정식 $ \left (a ^ {\prime } -t \right ) \left [ \left (b ^ {\prime } -t \right ) \left (c ^ {\prime } -t \right )-f ^ {\prime 2 } \right ]=0 $은 중근 $ t_ { 1 } =a ^ {\prime } =t_ { 2 } $를 갖는다고, 가정하자.</p> <h2>4.5 기둥면과 뿔면</h2> <p>[기둥면] 기둥면(cylinder)은 어떤 곡선 $ C $ 위의 한 점을 지나는 정직선 $ g $에 대하여 $ C $ 위의 점을 따라 직선 $ g $에 평행인 모든 직선이 이루는 곡면을 말한다. 이때 곡선 $ C $를 기둥면의 기저 곡선(base curve)이라 하고, $ g $와 평행인 직선은 기둥면의 모선(generator)이라 한다.</p> <p>지금 기둥면의 기저곡선 $ C $ 는 $ x y- $평면 위의 곡선 $ f(x, y) = 0 $이라 하고, $ C $ 위의 한 점을 지나는 정직선 $ g $의 방향코사인은 $ (l, m, n) $이라 하자.</p> <p>기저곡선 $ C: f(x, y)=0 $ 위의 점 $ Q \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , 0 \right ) $을 지나는 모선의 방정식은 다음과 같다. \[ \frac { x-x_ { 1 } } { l } = \frac { y-y_ { 1 } } { m } = \frac { z-0 } { n } \]</p> <p>즉, $ \left \{\begin {array} { l } x_ { 1 } =x- \frac { l } { m } z \\ y_ { 1 } =y- \frac { m } { n } z \end {array} \right . $. 점 $ Q $는 기저곡선 $ C $ 위에 있으므로, \[0=f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )=f \left (x- \frac { l } { m } z, y- \frac { m } { n } z \right ) \]이다. 그러므로 기둥면의 방정식은 다음과 같다. \[f \left (x- \frac { l } { m } z, y- \frac { m } { n } z \right )=0 \]</p> <p>기저곡선 $ C: f(x, y)=0 $가 $ 2 $ 차곡선(원, 타원, 쌍곡선, 포물선)일 때 기저곡선 $ C $의 기둥면은 $ 2 $차곡선(원, 타원, 쌍곡, 포물) 기둥면(quadric cylinder)이라 한다.</p> <p>[뿥면] 정점 $ P $와 곡선 $ C $ 위의 임의의 점을 잇는 직선으로 이루어진 곡면을 뿔면(cone)이라 한다. 이때 $ P $는 뿔면의 꼭짓점(vertex)이라 하고, $ C $는 기저곡선(base curve)이라 한다.뿔면을 만드는 직선은 모선(generator)이라 한다.</p> <p>구면 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 l x + 2 m y + 2 n z + d=0 $ 위의 점 $ P(x, y, z) $의 구면 $ S $에 관한 반점 $ P ^ {\prime } \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \right ) $에 대하여 \[ \left \{\begin {array} { l } x ^ {\prime } = \frac { r ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \\ y ^ {\prime } = \frac { r ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \\z ^ {\prime } = \frac { r ^ { 2 } z } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \end {array} \right . \]이므로, $ \left (P ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } =P $ 이므로, \[ \left \{\begin {array} { l } x= \frac { r ^ { 2 } x ^ {\prime } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } \\y= \frac { r ^ { 2 } y ^ {\prime } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } \\ z ^ {\prime } = \frac { r ^ { 2 } z ^ {\prime } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } \end {array} \right . \]이다. 그러므로 \[ \begin {array} { c } \frac { r ^ { 4 } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } + \frac { 2 l r ^ { 2 } x ^ {\prime } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } + \frac { 2 m r ^ { 2 } y ^ {\prime } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } + \frac { 2 n r ^ { 2 } z ^ {\prime 2 } } { x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } } + d=0, \\ d \left (x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } + z ^ {\prime 2 } \right ) + 2 l r ^ { 2 } x ^ {\prime } + 2 m r ^ { 2 } y ^ {\prime } + 2 n r ^ { 2 } z ^ {\prime 2 } + r ^ { 4 } =0 \end {array} \] 이다. 따라서 원점 $ O $를 지나지 않는 구 $ (d \neq 0) $ 위의 점 $ P $는 $ O $를 지나지 않는 구면 위의 점 $ P ^ {\prime } $로 반전하고, 원점 $ O $를 지나는 구 $ (d=0) $ 위의 점 $ P $는 평면 위의 점 $ P ^ {\prime } $로 반전한다.</p> <p>( $ 2 $) 쌍곡선 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 위의 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $을 지나고 방향코사인이 $ ( \lambda, \mu) $인 직선의 방정식은 $ \left \{\begin {array} { l } x=x_ { 1 } + \lambda t \\ y=y_ { 1 } + \mu t \end {array} \right . $이다. 이 직선과 타원은 서로 다른 $ 2 $점 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $에서 만난다고 하자. 그러면 \[ \begin {array} { c } \frac {\left (x_ { 1 } + \lambda t \right ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac {\left (y_ { 1 } + \mu t \right ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \\ \left (b ^ { 2 } \mu ^ { 2 } -a ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right ) t ^ { 2 } + 2 \left (x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda-y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu \right ) t + \left (b ^ { 2 } x_ { 1 } ^ { 2 } -a ^ { 2 } y_ { 1 } ^ { 2 } -a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right )=0 \end {array} \]은 서로 다른 두 근 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $를 갖는다. 이때 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $ 에 대응하는 점을 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $라 하자. 만일 $ P $ 가 $ Q_ { 1 } , Q_ { 2 } $의 중점이면, $ \overline { P Q_ { 1 } } = \overline { P Q_ { 2 } } $ 이고 $ t_ { 1 } + t_ { 2 } =0 $이어야 한다. 그런데 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 \[0=t_ { 1 } + t_ { 2 } =-2 \frac { x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda-y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu } { b ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } -a ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \]이므로, $ x_ { 1 } b ^ { 2 } \lambda-y_ { 1 } a ^ { 2 } \mu=0 $ 을 얻는다. 점 $ P \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $은 임의이므로, 점 $ P $의 자취의 방정식은 \[x b ^ { 2 } \lambda-y a ^ { 2 } \mu=0 \]이다. 이때 $ m= \frac {\mu } {\lambda } $로 놓으면, 타원의 평행현의 중점의 자취는 원점을 지나는 직선 $ y= \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } m } x $이다. 그러므로 이 직선은 쌍곡선의 한 직경이다.</p> <p>( $ 2 $) 쌍곡선 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1, a, b>0 $인 경우 \[ \begin {array} { c } \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { (m x + k) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \\ \left (m ^ { 2 } a ^ { 2 } -b ^ { 2 } \right ) x ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } m k x + a ^ { 2 } \left (k ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right )=0 \end {array} \]의 판별식은 $ D / 4=0 $이어야 하므로, \[ \begin {array} { c } \left (a ^ { 2 } m k \right ) ^ { 2 } - \left (m ^ { 2 } a ^ { 2 } -b ^ { 2 } \right ) \left (a ^ { 2 } \left (k ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \right )=0 \\ k ^ { 2 } =a ^ { 2 } m ^ { 2 } -b ^ { 2 } \end {array} \]이다. 그러므로 $ k= \pm \sqrt { a ^ { 2 } m ^ { 2 } -b ^ { 2 } } $ 이다. 따라서 기울기가 $ m $인 접선의 방정식은 다음과 같다, \[y=m x \pm \sqrt { a ^ { 2 } m ^ { 2 } -b ^ { 2 } } \]</p> <p>( $ 3 $) 포물선 $ y ^ { 2 } =4 p x, p>0 $인 경우 \[ \begin {array} { c } (m x + k) ^ { 2 } =4 p x \\ m ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2(m k-2 p) x + k ^ { 2 } =0 \end {array} \]의 판별식은 $ D / 4=0 $이어야 하므로, \[ \begin {array} { c } (m k-2 p) ^ { 2 } -m ^ { 2 } k ^ { 2 } =0 \\k= \frac { p } { m } \end {array} \]이다. 그러므로 기울기가 $ m $인 접선의 방정식은 다음과 같다, \[y=m x + \frac { p } { m } \]</p>	자연
Dantzig 위험을 사용한 포트폴리오 최적화 선형계획법 모형	<h2>4.3. 알고리즘</h2> <p>본 장에서는 앞서 설명한 Dantzig-type West (3.1)와 Dantzig-type North (3.2)모형의 알고리즘을 제시한다. 조율모수인 $ \alpha $ 와 $ c_ { 7 } $ 은 10-fold 교차검증으로 선택한다. 교차검증에서 선택의 기준은 기대수익률과 샤프 지수로, $ \alpha=(0.86,0.88,0.90,0.92,0.94,0.96,0.98) $ 중 하나로 선택한다. $ c_ { 5 } $ 는 경험적으로 10 으로 지정하였고, $ c_ { 6 } $ 는 Dantzig-type West 모형보다 기대수익률 조건이 하나 더 추가되었으므로 보다 완화된 제약을 부여하기 위해 15 로 선택하였다. 또한 (3.5)의 $ h $ 는 $ 45,55,65,70,75,80 $ 값들 중에서 한달 전 $ (t-1) $ 의 포트폴리오 기대수익률과 위험도, 샤프 지수를 벤치마크와 비교하여 더 좋은 성능을 가지는 값으로 선택한다. $ \hat {\Sigma } _ { t } (3.6) $ 는 현재 시간 $ t $ 의 자산 공분산 행렬 추정치로, $ t-1 $ 로부터 과거 1년치 데이터로 계산한다. 측정 과정에서 윈도우는 1년(252일) 이며, 롤링 윈도우를 통해 한 달씩 이동해가며 표본 외 측정을 실시한다. Dantzig-type West 모형 알고리즘은 다음과 같다.</p> <p>Dantzig-type North (3.2) 모형의 알고리즘은 다음과 같다. Dantzig-type West 모형과 같은 방법으로 $ \alpha, c_ { 7 } , h $ 를 선택하며, $ c_ { 7 } $ 의 선택 가능 범위는 $ c_ { 7 } =(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1) $ 로 지정하였다. $ \hat {\mu } _ { t } $ 는 $ t $ 시점의 자산 수익률이며, $ \hat {\Sigma } _ { t } $ 와 $ \hat {\mu } _ { t } $ 는 West와 마찬가지로 $ t-1 $ 로부터 과거 1 년치 데이터로 추정한다.</p> <p>식(3.1)과 (3.1)는 LP 문제의 일반형이므로 각각 표준형식인 (3.3)와 (3.4)로 변환한 후, 선형계획법 중 듀얼-심플렉스 방법을 사용하여 최적해 $ \hat {\delta } $ 를 구하였다. 따라서 구해진 최적해 $ \delta $ 와 선택된 $ \alpha $ 들로 가중치를 도출하고 이를 통해 포트폴리오가 구성된다.</p> <h2>4.4. 데이터 분석을 통한 포트폴리오 모형의 성능 비교</h2> <p>본 절에서는 5 개의 데이터를 사용해 포트폴리오의 표본 외 성능을 측정하고자 한다. 벤치마크는 인덱스 펀드(Market Index)와 동일가중치 포트폴리오(equally-weighted portfolio) 두 가지로, 인덱스 펀드는 DOW30, $ \mathrm { S } \& \mathrm { P } 100 $ 등의 종합주가지수에 투자하는 펀드이며, 동일가중치 포트폴리오는 보유한 종목들의 가중치를 동일하게 구성하는 포트폴리오이다. 해석의 편리성을 위해 Dantzig-type West와 Dantzig-type North모형은 각각 West, North로 표기한다. 모형이 West와 North 두개, 벤치마크가 두개이므로 총 4가지 경우로 나누어 비교한다. $ 4.2 $ 장에서 설명했던 기대수익률, 위험도, 샤프지수, 희소성, 안정성, 회전율을 지표로 사용하여 벤치마크와의 비교를 통해 포트폴리오의 성능과 그 의미를 해석해본다. 먼저, 기대수익률과 위험도, 샤프지수 결과를 표로 비교해 보았다.</p> <p>기존의 포트폴리오 최적화 모형들과 차별점은 다음과 같다. 첫번째로, 포트폴리오 위험을 Dantzig-type 선형계획법으로 변환하여 데이터가 늘어날수록 계산 시간이 급격히 늘어나는 이차계획법 모형의 단점을 보완하였다. 두번째로, 목적함수에 희소성과 관련된 항 $ \left ( \sum_ { j } \left \| \delta_ { j } \right \| \right ) $ 에 직접적으로 거래비용과 연관되는 항 $ \left ( \sum_ { j } \left \| \delta_ { j } - \tilde {\delta } _ { j } \right \| \right ) $ 을 더하여 희소성과 안정성을 조절하고 해석을 용이하게 하였다. 여기서 $ \delta_ { j } $ 와 $ \tilde {\delta } _ { j } $ 는 현시점과 이전시점에 $ j $ 번째 자산에 투자한 가중치를 각각 의미한다. 마지막으로, 가우시안 커널을 사용하여 계산한 가중치는 시간의 흐름을 반영해 현재 시점과 가까운 시점에 큰 가중치가 부여되도록 하였다. 따라서 시계열 특성을 고려한 공분산 행렬을 추정할 수 있다. 본 논문 구성의 전개는 다음과 같다. 2장에서는 기본적인 Markowitz의 평균-분산 포트폴리오 모형과 Park 등 (2019a)의 펴터베이션 방법에 대해 설명하고, Dantzig의 선형계획법에 대해 제안한다. 3장에서는 Dantzig-type 위험을 적용시킨 모형과 펴터베이션 방법을 결합해 포트폴리오 최적화 모형을 제안하고, 가우시안 커널 공분산 행렬의 추정을 기술한다. 4장에서는 5 개의 대표적인 주가종합지수 데이터들의 분석을 통해 제안한 모형의 성능을 평가한다. 5 장에서는 내용을 요약하고 분석 결과를 바탕으로 결론을 내린다.</p> <h1>2. 포트폴리오 선택과 퍼터베이션 방법</h1> <h2>2.1. Markowitz의 평균-분산 포트폴리오 모형</h2> <p>현대 포트폴리오 선택 이론은 Markowitz에서 제안한 평균-분산 포트폴리오 모형에 기반을 두고 있다. 먼저, 효율적 투자선(efficient frontier)이란 주어진 위험 하에서 기대수익률을 최대화하거나 주어진 기대수익률 하에서 위험을 가장 최소화하는 포트폴리오들의 집합인 곡선이다. 평균-분산 포트폴리오 최적화 모형의 목적은 개인의 효용곡선과 효율적 투자선이 만나는 점을 찾는 것이다. 자산을 $ \mathrm { i } $ 로 나타내고(총 $ p $ 개의 자산) $ T $ 기간 동안 $ t $ 시점이 존재한다. $ t $ 시점의 수익률 벡터는 $ r_ { t } $ 이며 $ p \times 1 $ 벡터로, 다변량 정규분포를 따른다 $ \left (r_ { t } = \left (r_ { 1 t } , r_ { 2 t } , \ldots, r_ { p t } \right ) \sim \operatorname { MVN } ( \mu, \Sigma) \right ) $. $w $ 는 $ p \times 1 $ 차원 벡터인 자산의 가중치로 표기한다.</p> <p>Table 7은 펴터베이션 가중치들의 변화인 회전율을 측정한 표이다. 벤치마크 대비 높은 수익률을 추구하는 North 모형의 경우 West 모형보다 회전율이 상대적으로 높은 것을 확인할 수 있다. 회전율 중 S&P100의 값인 0.3034 가 가장 큰 값인데, 이는 전체 $ T $ 기간 동안 최대로 리밸런싱 되는 자산 가중치합은 0.3034 라고 할 수 있다. 분석 결과 North 모형에서만 $ \delta $ 가 음수인 공매도가 발생했는데, 공매도의 유무 또한 회전율에 영향을 미치는 것으로 해석할 수 있다. 회전율이 낮으면 안정성 측면과 비슷하게 거래 비용이 감소한다. 전체적으로 희소성, 안정성, 회전율은 North 모형 보다는 West 모형이 낮은 양상을 보이므로 West 모형의 관리 비용과 거래 비용이 더 적을 것으로 예상된다. 또한 샤프지수를 교차검증 기준으로 사용한 West 모형은 다른 모형들 중 포트폴리오 비용이 가장 낮을 것으로 예상된다.</p> <p>마지막으로, LP의 장점인 계산 시간(computing time)의 이점을 확인해보기 위해 데이터별 최적화 시간 평균과 그 표준편차를 측정해보고자 한다. Table 8은 West, North 모형 별 계산 시간을 보여주고 있다. 교차검증 과정에서 반복적으로 (3.1)과 (3.2)의 알고리즘을 최적화하는 과정에서 최적해를 구하는데 걸리는 시간(초)을 측정하여, 평균과 표준편차를 계산하였다. West 모형과 North 모형의 계산 시간 차이는 별로 크지 않았으며, 데이터가 커질수록 계산 시간이 증가하였다. 149개 자산 기준 최적화에 걸린 평균 시간은 최대 0.0462 초이고 계산 시간의 표준편차도 0.0106 으로 큰 변동없이 빠른 최적해 계산을 확인할 수 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 논문에서는 포트폴리오 최적화 문제를 이차계획법이 아닌 선형계획법으로 해결하기 위해 이차형식으로 이루어진 위험(분산)을 Dantzig-type의 선형꼴로 변환하였으며, 특정 벤치마크보다 높은 수익률 또는 낮은 위험도를 얻기 위해 펴터베이션 방법을 접목시킨 최적화 모형을 제안하였다. 최적화식의 목적함수에는 희소성과 거래비용을 직접적으로 최소화하는 항을 구성해 희소하고 안정적인 포트폴리오를 구성하도록 하였다. 또한 데이터의 시계열성을 고려하여 시간의 흐름을 반영할 수 있는 커널을 이용한 공분산 행렬을 추정하여 현재시점에 가까운 자산 가중치에 더 큰 값이 부여되도록 하였다. 최적화된 포트폴리오의 성능을 평가하기 위해 기대수익률, 위험도, 샤프지수를 측정하여 벤치마크와 비교하였으며, 포트폴리오 비용과 연관되는 희소성과 안정성, 회전율을 측정하여 그 성능을 알아보았다. 5 가지 종합주가지수 데이터인 DOW30, DAX30, S&P100, FTSE100, FTSE250를 활용하여 6가지 성능 측정 지표들을 도출하였다. 또한 선형계획법을 적용시킨 최적화 모형의 계산상의 장점을 확인하기 위해 알고리즘 과정에서 교차검증 시에 반복적으로 최적해를 구하는데 걸린 시간을 측정하였다. 선택된 h들에 대해 대부분의 데이터에서 North 모형의 수익률이 West 모형보다 높았고, 벤치마크와 비교해 증가한 빈도가 높았다. 위험도는 벤치마크가 동일가중치인 경우 더욱 감소하였고, West 모형이 North 보다 낮은 위험도를 가졌다. 따라서 전반적으로 펴터베이션 방법의 목적을 만족했다고 볼수 있다. 희소성과 안정성은 West 모형과 North 모형이 비슷하게 낮은 수준으로 나타났고, 특히 교차검증을 샤프지수 기준으로 했을 때 매우 낮았다. 회전율은 West 모형보다 North 모형이 더 높았다.</p> <p>Figure 2와 Figure 3의 산점도를 보면 대체적으로 West 모형은 서쪽으로 이동했고, North 모형은 북쪽으로 이동했다. 각 산점도를 살펴보면, 첫번째로 West-인덱스 산점도에서 대부분 벤치마크보다 기대수익률이 증가하였고, 몆개의 점을 제외하고는 벤치마크와 비슷한 수준의 위험도를 가지거나 감소한 것을 볼 수 있다. 그 다음으로 West-동일가중치 산점도를 보면 기대수익률은 벤치마크인 동일가중치 포트폴리오와 큰 차이가 없지만 대부분의 위험도는 벤치마크보다 감소했다. 따라서 West 모형의 목적에 맞게 벤치마크보다 낮은 위험도를 가지는 포트폴리오를 구성했다고 할 수 있다. 세번째로 North-인덱스 산점도에서는 대부분의 기대수익률은 벤치마크보다 증가하였고 위험도 또한 증가하였다. 마지막으로 North-동일가중치 산점도를 살펴보면 벤치마크에 비해 위험도는 증가하고 기대수익률 또한 증가한 경우가 많았다. 벤치마크보다 북쪽으로 이동시킨 North 모형의 목적을 만족한다고 해석할 수 있다.</p> <p>인덱스 펀드는 주가지수를 따라가면서 시장 평균 수익률정도의 수익률을 추구하므로 위험도가 낮다. 따라서 West 모형의 경우 벤치마크보다 높은 위험도를 가지는 경우가 있었고, North 모형의 경우 기대수익률의 개선이 더욱 빈번하게 실현되었다고 예상할 수 있다. 요약하자면 기대수익률-위험도 산점도를 살펴본 결과 West와 North 모형의 목적을 만족하는 포트폴리오를 구성할 수 있었다. 특히 벤치마크가 동일가중치 포트폴리오인 경우는 West 모형을, 벤치마크가 인덱스 펀드인 경우는 North 모형을 사용할 때 목적에 잘 부합하는 포트폴리오가 구성됨을 확인할 수 있었다.</p> <p>다음으로 수익률과 위험도 외에 포트폴리오 관리 비용과 거래 비용과 관련된 희소성, 안정성, 회전율 지표에 대해 분석해 보고자 한다. Table 5 는 희소성을 나타낸 표이다. 벤치마크 이외에 투자한 자산은 그 수가 희소할수록 포트폴리오를 관리하는 비용이 줄어들게 된다. 현재 결과에서는 벤치마크가 인덱스 펀드인 경우 DOW30 는 최대 $ 14 \% $ 의 자산에 $ \delta $ 만큼 투자하고 벤치마크에 상관없이 FTSE250에서 최소로 $ 2.01 \% $ 의 자산에 투자해 운용하는 것으로 볼 수 있다. 따라서 전체 자산에서 최대 $ 14 \% $ 의 자산에 $ 1- \alpha $ 만큼 투자하여 희소한 포트폴리오를 구성한다 할 수 있다.</p> <p>Table 6는 안정성을 측정한 표이다. 구성된 펴터베이션 자산 집합의 변화를 수치화 한 것이다. 예를 들어 벤치마크가 인덱스 펀드일 때 West-SR인 경우 S \&P100의 안정성은 0.0278 이다. 이 의미는 평균적으로 이전 시점과의 펴터베이션 가중치의 변화가 $ 2.78 \% $ 라는 것이며, 이는 평균적으로 $ 2.3908 $ 개(86개 자산 중 $ 2.78 \%) $ 의 자산 구성 변화가 발생한다고 해석할 수 있다. 안정적인 포트폴리오는 자산 구성의 변화가 적어 거래 비용을 감소시킨다. 현시점과 이전 시점의 자산 구성 변화가 2.4 개 이하의 안정적인 포트폴리오를 구성했다고 볼 수 있다.</p> <p>마지막으로, 가중치의 합을 1 로 만들어 주기 위해 $ \sum_ { t=1 } ^ { T } \hat { w } _ { t } $ 를 가중치 벡터에 나누어 준다. 이러한 과정을 통해 $ \sum_ { t=1 } ^ { T } \left ( \hat { w } _ { t } / \sum_ { t=1 } ^ { T } \hat { w } _ { t } \right )=1 $ 이 성립한다. 결론적으로, 가우시안 커널 가중치 공분산은 다음 식으로 추정된다.</p> <p>$ \hat {\Sigma } _ { t } = \frac { 1 } {\sum_ { t=1 } ^ { T } \hat { w } _ { t } } \sum_ { t=1 } ^ { T } \hat { w } _ { t } z_ { t } z_ { t } ^ {\prime } $.<caption>(3.6)</caption></p> <h1>4. 금융 데이터를 활용한 분석</h1> <p>4장에서는 실제 금융 데이터를 적용시켜 제안한 포트폴리오 최적화 모형의 표본 외(out-of sample) 성능을 측정한다. 이전 12 개월(252일) 데이터를 사용하여 기대수익률과 자산 공분산 행렬 등을 추정하며, 현재 시점으로부터 한달동안의 포트폴리오의 성능을 계산한다. 모형에서의 조율모수인 $ \alpha, c_ { 7 } $ 는 10-fold cross-validation(교차검증)으로 결정한다. 결정 수단으로는 기대수익률(mean-return)과 Sharpe (1964) 샤프 지수(Sharpe-Ratio) 로, $ \alpha $ 와 $ c $ 의 조합 중 측정 수단의 결과가 가장 종은 조합으로 조율모수를 결정한다. 또한, 펴터베이션 가중치 $ \delta $ 는 시계열 분야 예측에서 널리 쓰이는 분석 방법인 롤링 윈도우 방법으로 추정하였다. 윈도우는 1년 (252일) 으로 지정했으며, 252 개의 전년도 관측치(표본 내 윈도우)로 현재 한 달(표본 외)를 예측하고 표본 내 윈도우 252 일을 한 달 뒤로 이동시켜 그 다음 월을 예측한다.</p> <p>최적화 모형을 통해 구성된 포트폴리오의 성능을 비교하기 위해 Park 등과 Shen 등을 참고하여 벤치마크를 종합주가지수를 따르는 인덱스 펀드(Market Index)와 자산에 동일한 가중치가 부여되는 동일가중치 포트폴리오(equally weighted portfolio)로 두었다. Market Index의 경우 실제 주식 시장을 가장 잘 대표하는 지표라고 할 수 있으며, 일반적으로 금융 상품에서 벤치마크로 많이 사용된다. 동일가중치 포트폴리오는 DeMiguel 등에서 설명이 되어 있듯이 샤프지수 관점에서 평균 분산 포트폴리오나 최소분산 포트폴리오(GMVP)를 포함한 모델들보다 좋은 결과를 가지며, 포트폴리오 성과를 평가하기 위해 동일가중치를 첫 번째 벤치마크로 고려해야 한다고 주장하였다. 따라서 두 벤치마크를 기준으로 실제 금융 데이터를 분석한다.</p> <p>여기서 $ \hat {\mu } _ { v } $ 는 벤치마크 기대수익률의 추정값으로 스칼라 값이다. 마지막 제약식인 $ \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta \geq \hat {\mu } _ { v } + c_ { 4 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| \left (c_ { 4 } \geq \right . $ 0)을 추가함으로써 벤치마크 수익률보다 더 큰 수익률을 갖도록 한다. West와 North의 방법의 선택은 개인의 효용에 따라 위험 회피성향이 큰 투자자인 경우 West 퍼터베이션 모형을 선택해 위험을 감소시키는 선택을 하고, 일정 수준의 위험에서 더 높은 수익률을 선호하는 투자자의 경우 North 펴터베이션 모형을 선택해 포트폴리오를 구성하는 것이 바람직하다.</p> <h2>2.3. Dantzig 선형계획법</h2> <p>일반적으로 최적화 모형에 사용되는 위험은 $ w ^ {\prime } \Sigma w $ 분산 형태의 2 차형식(quadratic)을 사용한다. 하지만 이는 최적화 문제를 계산하는 과정에서 많은 시간이 소요된다. Mansini 등에서는 선형계획법(LP) 문제로 최적해를 구할 경우 계산상의 이점이 존재하며 변수가 대칭분포를 띄지 않는 경우 분산을 대체하여 선형 형태로 위험을 측정한 연구들이 많다고 언급하였다. 또한 LP 문제는 거래비용 등 다른 제약들을 충족시켜야 하는 현실의 금융 상황 적용에 적합하다.</p> <p>LP의 창시자 중 한명인 Dantzig는 선형계획법의 효율적인 해결 방법 중 하나인 심플렉스 방법(simplex method)를 개발했다. 일반적으로 계산의 편리성 덕분에 심플렉스 방법을 많이 사용한다. 심플렉스 알고리즘은 일반형(general form)에 잉여변수(slack variable)을 추가하여 표준형(standard form)으로 변환시켜 최적해를 구하는 방법이다. Koberstein에서는 기본적인 LP 문제를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min & c_ { 0 } + c ^ {\prime } x, \text { s.t. } L \leq \bar { A } x \leq U, l \leq x \leq u . \end {array} $<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 $ x $ 벡터는 해를 구하고자 하는 변수 벡터이고, $ \bar { A } $ 는 제약 행렬이다. 차원은 각각 $ \bar { A } \in \mathbb { R } ^ { m \times \bar { n } } , x \in \mathbb { R } ^ {\bar { n } } $ 이다. (2.7) 을 표준형으로 바꾸기 위해 $ \mathrm { m } $ 만큼의 잉여변수를 추가하여 제약조건을 변환해주어 아래의 식으로 나타낸다.</p> <p>펴터베이선 방법은 West와 North 두가지 방법으로 나눌 수 있다. West 선택은 고정된 기대수익률 가정하에 위험을 효율적 투자선까지 왼쪽으로 이동시키는 포트폴리오 선택 방법이다. North 고정된 위험하에 기대수익률을 위로 이동시켜 효율적 투자선 상의 포트폴리오를 선택하게 된다. 앞서 목적 함수와 제약 조건의 위치를 바꾼 것을 반영하여 West 펴터베이션 최적화 모형은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ {\delta } & \sum_ { i } \frac {\left \| \delta_ { i } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| } , \text { s.t. } \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha, ( \alpha v + \delta) ^ {\prime } \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) \leq c_ { 2 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } . \end {array} $<caption>(2.5)</caption></p> <p>여기서 $ \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } $ 는 벤치마크의 위험(분산)의 추정치이다. 여기에 폐널티 모수(penalty parameter)인 $ c_ { 2 } \left (0<c_ { 2 } \leq 1 \right ) $ 를 곱해주었다. West 펴터베이션 모형은 벤치마크에서 편차(펴터베이션)를 주어 Figure 1과 같이 서쪽으로 이동하여 포트폴리오를 선택하도록 한다. North 펴터베이션 최적화 모형의 식은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ {\delta } & \sum_ { i } \frac {\left \| \delta_ { i } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| } , \text { s.t. } & \delta ^ {\prime } \mathbf { 1 } =1- \alpha \\ & ( \alpha v + \delta) ^ {\prime } \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) \leq c_ { 3 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } , \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta \geq \hat {\mu } _ { v } + c_ { 4 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| . \end {array} $<caption>(2.6)</caption></p> <p>$ \min c ^ {\prime } x $, $ \text { s.t. } $ $ A x \geq b $, $ x \geq 0 $.<caption>(2.8)</caption></p> <p>$ A \in \mathbb { R } ^ { m \times n } $ 이며 $ \operatorname { rank } (A)=m $ 으로 full rank를 가진다. Bixby는 LP 문제의 계산에서 심플렉스 알고리즘 보다 듀얼-심플렉스(dual-simplex) 알고리즘의 성능이 우수하다는 것을 보여주었다. 듀얼 알고리즘은 볼록 (convex) 문제를 오목(concave) 문제로 변환시켜 최적해를 구한다. 반대 방향의 경우에도 해당한다. (2.8) 의 듀얼 LP 형태는 다음과 같다.</p> <p>$ \max b ^ {\prime } y $, $ \text { s.t. } $ $ A y \leq c $, $ y \geq 0 $<caption>(2.9)</caption></p> <p>여기서 $ y $ 는 비음(non-negative)인 벡터로 $ b ^ {\prime } y $ 는 primal 목적함수인 $ c ^ {\prime } x $ 의 하한이다. 본 연구에서는 3 장에서 제안한 모형을 듀얼-심플렉스 알고리즘을 사용하여 최적해를 구하였다.</p> <h1>3. Dantzig-type 위험을 사용한 포트폴리오 최적화 모형</h1> <h2>3.1. Dantzig-type 퍼터베이션 포트폴리오 최적화 모형</h2> <p>본 절에서는 2장에서 소개한 Dantzig LP를 적용한 위험과 펴터베이션 방법을 결합시킨 포트폴리오 최적화 모형을 제안한다. 또한 금융 데이터의 시계열성을 띄고 있음을 반영하여 공분산을 추정하기 위해 가우시안 커널 가중치를 부여하는 방법을 제시한다. 포트폴리오 최적화 문제에서 분산을 위험의 척도로 사용할 경우 데이터의 차원이 늘어날수록 계산 시간이 늘어난다는 단점이 있다. 이 문제를 Park 등는 분산을 측정하는 수단을 $ \left \\| \hat {\Sigma } ^ {\prime } ( \alpha v + \delta) \right \\|_ {\max } $ 로 대체하여 LP 문제로 해결하였다. 이는 선형 회귀 모델 하에서 Candes 와 Tao가 제시한 Dantzig selector와 유사한 개념을 가진다. 한편 포트폴리오 구성 자산의 희소성은 관리비용과 연관되고, 포트폴리오 가중치의 안정성은 거래비용과 관련된다. 따라서 시간에 따른 자산 가중치 $ ( \delta) $ 의 조절을 위해 $ \ell_ { 1 } $ 페널티를 부과하였다.</p> <p>$ r_ { t } = \left (r_ { 1 t } , \ldots, r_ { p t } \right ) $ 를 $ \mathrm { t } $ 시점의 자산의 수익률 벡터라 하고, $ \mu_ { t } = \left ( \mu_ { 1 t } , \ldots, \mu_ { p t } \right ) $ 를 $ \mathrm { t } $ 시점의 기대수익률 벡터라 한다. $ r_ { t } $ 들의 공분산 행렬은 $ \Sigma $ 이며, 최적화 문제를 풀 때 사용될 기대수익률과 공분산 행렬의 추정치는 각각 $ \hat {\mu } , \hat {\Sigma } $ 라 한다. $ r_ { t } $ 는 평균이 $ \mu $ 이고 분산(공분산)이 $ \Sigma $ 인 정규분포를 따른다고 가정한다. 그리고 어떤 벡터 $ v $ 에 대해 $ \\|v \\|_ {\max } = \max _ { i \in \{ 1, \ldots, p \mid } \left \|v_ { i } \right \| $ 로 정의한다.</p> <p>최종적으로, 선택된 $ 0< \alpha<1 $ 와 $ c_ { 5 } >0 $ 에 대해 Dantzig-type West 펴터베이션 최적화 모형은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ {\delta } & \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } \right \| + \lambda \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } \right \|, \\ \text { s.t } & \delta ^ {\prime } \mathbf { 1 } =1- \alpha, \\ & \\| \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) \\|_ {\max } \leq c_ { 5 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } . \end {array} $<caption>(3.1)</caption></p> <p>(3.1)에서 $ \delta= \left ( \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { p } \right ) $ 는 펴터베이션 가중치다. $ \tilde {\delta } $ 는 현재시점 이전의 펴터베이션 가중치이다. 목적함수에서 첫번째 항인 $ \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } \right \| $ 는 포트폴리오에서 선택된 자산의 수가 적도록(희소하도록) 제한하는 역할을 한다. 두번째 항인 $ \lambda \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } \right \| $ 은 $ p $ 개 자산의 현재 시점과 이전 시점의 가중치 차이의 합을 제한하는 항으로, 직접적으로 회전율(turnover)과 관련되기에 해석에 용이하다. 해당 항을 제한시킴으로써 이전 시점의 가중치와 현재 시점의 가중치 차이를 줄여 포트폴리오 구성이 시간의 흐름에 따라 급격히 변동되지 않도록 한다. 즉, 회전율를 낮춰주어 안정적인 포트폴리오를 구성하는 역할을 한다.</p> <p>궁극적으로, 목적함수의 첫 번째 항은 관리 비용을 조절하고, 두 번째 항은 거래 비용을 절감시키는 역할을 한다. $ \lambda $ 는 조율모수(tuning parameter)로 교차검증(cross-validation) 등의 방법으로 선택할 수 있지만, 이는 최적화 과정에서 계산 시간을 증가시킨다. 본 연구에서는 분석에 사용된 5 개의 데이터 하에서 $ \lambda $ 의 값을 변화시켜 적용한 결과 $ \lambda=0.1 $ 인 경우에 공통적으로 Dantzig-type West의 성능이 우수하다는 것을 관찰할 수 있었다. 구체적으로는 $ \lambda $ 값의 변화는 포트폴리오의 기대수익률에는 큰 영향이 없었지만 포트폴리오의 위험도에는 영향을 주었다.</p> <p>Lee와 Seregina는 Markowitz의 포트폴리오 이론을 두가지 최적화 이론 문제로 구분하였다. 첫번째는 가장 잘 알려진 가중치 제약 최적화 문제(MWC)로, 다음과 같은 2 차 최적식 문제로 공식화될 수 있다.</p> <p>$ \min _ { w } \frac { 1 } { 2 } w ^ {\prime } \Sigma w $, s.t. $ w ^ {\prime } \mathbf { 1 } =1 $ and $ w ^ {\prime } \mu \geq m $.<caption>(2.1)</caption></p> <p>두번째는 위험 제약 최적화 문제(MRC)로 MWC에서 가중치 제약을 완화시킨 모형으로 다음과 같다.</p> <p>$ \min _ { w } \frac { 1 } { 2 } w ^ {\prime } \Sigma w $, s.t. $ w ^ {\prime } \mu \geq m $<caption>(2.2)</caption></p> <p>주어진 기대수익률의 제약조건에서 위험을 최소화하는 (2.2) 식은 주어진 위험 허용 범위 내에서 기대수익률을 최대화 하는 문제로도 대체할 수 있다.</p> <p>$ \max _ { w } w ^ {\prime } \mu $, s.t. $ w ^ {\prime } \Sigma w \leq \sigma ^ { 2 } $.<caption>(2.3)</caption></p> <p>식에서 $ m $ 와 $ \sigma ^ { 2 } $ 은 각각 투자자가 요구하는 일정수준의 수익률과 위험이다. 목적함수와 제약식은 개인의 효용 함수에 따라 달라질 수 있다. Markowitz 포트폴리오 선택 이론에서는 투자자는 위험을 기피하고 일정 수준의 기대수익률 만큼의 수익률을 보장하는 것을 원한다고 가정하므로 (2.1)식의 가중치 제약 최적화 문제가 일반적으로 고려되는 포트폴리오 최적화 모형이다. 또한 개인의 효용이 위험 선호인 경우 (2.3)식과 같이 기대수익률 최대화를 목적함수로 하는 최적화 모형을 선택해 포트폴리오를 구성할 수 있다. 위와 같은 포트폴리오 최적화 모형은 볼록 최적화(convex optimization) 문제이다. Markowitz 포트폴리오 최적화 이론의 궁극적인 목표는 포트폴리오로 구성되는 자산의 가중치 벡터를 구하는 것이라 요약할 수 있다. 가중치 벡터의 해를 라그랑지 기법(method of Lagrange multipliers)으로 풀어보면 기대수익률과 수익률의 공분산 행렬의 조합으로 나타낼 수 있다. 따라서 최적의 포트폴리오 구성은 기대수익률과 공분산 행렬에 영향을 받으며 추정오차에 민감하다.</p> <h2>2.2. 퍼터베이션 방법</h2> <p>평균-분산 포트폴리오 최적화 모형 이후에도 금융 및 통계 분야에서 포트폴리오 최적화 이론을 개선하기 위한 시도들이 이어졌다. Park 등, Park 등 은 벤치마크 포트폴리오보다 높은 수익률과 낮은 위험을 갖는 포트폴리오를 구성하기 위해 $ \alpha(0< \alpha<1) $ 만큼은 벤치마크에 투자하고 나머지 $ 1- \alpha $ 만큼은 최적화 모형으로 선택된 자산들에 투자하는 펴터베이선 방법을 제안했다. $ v $ 를 $ p $ 차원의 자산 가중치라 하고 $ \delta $ 를 $ p $ 차원의 펴터베이션 가중치라 할 때, 포트폴리오 가중치 $ w $ 는 $ \alpha v + \delta $ 로 나타낸다. $ ( \alpha v + \delta) ^ {\prime } \mathbf { 1 } =1 $ 으로 가중치의 합이 1 이 되는 조건이 유지된다. 또한 포트폴리오를 최적화하는 과정에서 자산들의 가중치가 재조정되는 리밸런싱(rebalancing)이 발생하며 이는 거래비용을 증가시키며 많은 자산들이 할당될 경우 관리비용이 증가한다. 이를 제어하기 위해 이전의 방법에서는 adaptive Lasso 형식의 펴터베이션 가중치 제약식을 추가하여 안정적(stable)이고 희소한(sparse) 포트폴리오를 구성하였다. 최적식 모형은 다음과 같다.</p> <h2>4.1. 데이터셋 설명</h2> <p>분석에 쓰인 데이터는 2004년 1월부터 2015년 12월까지 주식 가격과 시장 지수 자료이며, 5 개의 데이터를 사용하였다. 분석에 앞서 해당 기간 동안 상장폐지 등의 이유로 편출되어 결측이 존재하는 자산들은 제거하였다. DOW30은 다우 존스 산업평균지수로, 2004년부터 2015년까지 미국 증권거래소에 상장된 29개 기업 주식으로 구성된다. DAX30은 독일의 프랑크푸르트 증권거래소에 상장된 주식으로 구성된 지수이다. 총 29개의 종목이 있다. S&P100은 스탠다드 \&푸어스 지수로 86개 주식으로 구성된다. FTSE100과 FTSE250은 런던 증권거래소에 상장된 주식들로 구성되어 각각 81개와 149개 종목이 있다. DOW30, DAX30, S&P100, FTSE100, FTSE250 5개의 데이터 각각에 Dantzig-type 펴터베이션 포트폴리오 최적화 모형을 적용시켜 그 성능을 벤치마크와 비교한다.</p> <h2>4.2. 포트폴리오 성능 측정 지표</h2> <p>먼저, $ t $ 시점의 포트폴리오 가중치를 $ \alpha_ { t } v_ { t } + \delta_ { t } $ 라고 한다. 그리고 구성된 자산의 희소성과 안정성 측정을 위해 $ \mathrm { t } $ 시점에서 0 이 아닌 값을 가지는 $ \delta_ { t, i } $, 집합을 $ A_ { t } = \left \{\delta_ { i, t } \mid \delta_ { i, t } \neq 0, i=1, \ldots, p \right \} $ 로 정의한다. $ r_ { t } $ 는 $ t $ 시점의 $ \mathrm { p } $ 개 자산 수익률 벡터이고 $ \mathrm { p } $ 는 자산의 개수이다. 초기 $ \tau $ 시점까지의 불안정할 수 있는 추정치들을 제외한 $ \tau + 1 $ 에서 $ T $ 까지의 기간으로 표본 외 성능을 측정한다. 측정 지표는 기대수익률과 위험도, 샤프지수, $ t $ 시점에서 희소성과 안정성, 회전율(turnover) 6가지이다. 6개의 측정 지표들은 Park 등, Park 등, Fastrich 등등을 참고해 구성하였다.</p> <ol type=1 start=1><li>기대수익률(산술평균) : $ \mu=1 / T- \tau \sum_ { t= \tau + 1 } ^ { T } \left ( \alpha_ { t } v_ { t } + \delta_ { t } \right ) ^ {\prime } r_ { t } \cdot \tau $ 에서부터 $ T $ 까지의 수익률 산술평균으로 측정한다. 기대수익률(기하평균) $ : \mu( \mathrm { geo } )= \sqrt[1 / p] {\prod_ { t= \tau + 1 } ^ { T } \left (1 + \left ( \alpha_ { t } v_ { t } + \delta_ { t } \right ) ^ {\prime } r_ { t } \right ) } -1 $. 복리의 개념을 반영하여 $ \tau $ 에서부터 $ T $ 까지의 수익률 기하평균으로 측정한다.</li> <li>위험도 : $ \sigma= \sqrt { 1 /(T- \tau-1) \sum_ { t= \tau + 1 } ^ { T } \left ( \left ( \alpha_ { t } v_ { t } + \delta_ { t } \right ) ^ {\prime } r_ { t } - \mu \right ) ^ { 2 } } . \tau $ 부터 $ T $ 까지의 수익률의 표준편차로 측정한다.</li> <li>샤프지수 : $ \mu / \sigma $. 기대수익률을 위험도로 나눈 것으로, Sharpe가 포트폴리오들의 성능을 측정하고 비교하기 위해 정의하였다.</li> <li>$ t $ 시점의 희소성 : $ \left \|A_ { t } \right \| / p . t $ 시점에서 선택된 자산의 비율로, 값이 작을수록 적은 수의 자산이 선택되었다고 해석할 수 있다.</li> <li>$ t $ 시점의 안정성 : $ \left \|A_ { t } \triangle A_ { t-1 } \right \| / p . t $ 시점과 그 이전 시점인 $ \mathrm { t } -1 $ 시점의 자산 구성 차이이며, 차이가 작을수록 포트폴리오 구성의 변화가 적고 안정적이라고 해석한다.</li> <li>회전율 : $ 1 /(T- \tau-1) \sum_ { t= \tau + 1 } ^ { T } \sum_ { i=1 } ^ { p } \left \| \delta_ { t, i } - \delta_ { t-1, i } \right \| . \tau $ 부터 $ T $ 기간까지 리밸런싱이 발생한 자산 가중치들 변화의 합으로, 한 시점과 그 이전 시점 차이들의 평균이다.</li></ol> <h1>1. 서론</h1> <p>투자이론에서 위험을 낮추기 위해 상관관계가 작은 자산들에 투자하는 것을 분산투자라 한다. 분산투자는 투자이론의 기초이며 이 개념을 바탕으로 포트폴리오 이론이 체계화 되었다. 포트폴리오 이론은 1952년 Harry Markowitz에 의해 발표된 이론으로, 분산투자를 통해 구성된 포트폴리오는 위험을 감소시킬 수 있다는 것을 설명한다. 투자자들은 기대수익률의 극대화를 목표로 하며 위험을 회피하려는 경향이 있다. 수익률과 위험에는 상충관계가 있으며 이들의 조합으로 만들어진 효율적 투자선(efficient frontier)과 개별투자자들의 무차별 곡선(indifference curve)이 만나는 지점의 포트폴리오를 선택하는 것을 포트폴리오 최적화라고 한다. 하지만 개별투자자들의 무차별곡선을 추정하는 것은 어렵고 때로는 불가능하기 때문에 투자자가 선호하는 위험 수준에서 기대수익률을 최대로 하는 포트폴리오를 선택하는 것이 이상적이다. 이를 Markowitz 에서 제안한 평균-분산 포트폴리오 모형이라고 하며, 이 이론을 바탕으로 무위험자산의 가정 등을 추가한 Sharpe 와 Lintner 의 자본자산 가격결정모형(CAPM)과 보다 일반화된 모형인 Ross 의 차익거래 가격결정이론(APT)이 제안되었다. 이처럼 평균-분산 포트폴리오 최적화 이론은 금융 분야에서 핵심 이론이 되었고 지속적인 후속 연구가 이루어졌다.</p> <p>대부분의 현대 포트폴리오 최적화 문제는 평균-분산 포트폴리오 모형을 기반으로 하는데, 이들의 위험은 이차식(quadratic)으로 표현된다. 반면, Cesarone 등은 포트폴리오 위험인 분산을 측정하기 위해 이차 계획법(QP)을 사용하는 것보다 위험을 선형으로 측정하는 경우 계산적 관점에서 장점이 있다고 설명하였다. 또한, Andersen 등은 선형계획법(LP)을 사용하여 큰 규모의 최적화 문제를 효과적으로 계산할 수 있다고 설명하였다. 특히 포트폴리오 최적화에는 일반적으로 많은 수의 자산이 고려되기 때문에 선형계획법 문제를 적용하는 것은 이점이 있다. 따라서 포트폴리오 최적화 문제를 선형화 하려는 시도들이 이어졌다. 선형계획법의 정립에 큰 기여를 한 Dantzig은 Dantzig와 Infanger에서 이차계획법으로 최적해를 구하는 대신 확률적 선형계획법을 적용하여 문제를 효율적으로 해결하였다. 이후 Candes와 Tao에서는 $ l_ { 1 } $-norm 을 사용한 Dantzig selector에 대한 연구가 이어졌고, Pun과 Wong, Park 등, Park 등에서 Dantzig의 선형계획법을 적용한 포트폴리오 최적화 모형들이 제안되었다. 또한, Konno와 Yamazaki, Konno와 Wijayanayake에 의해 제안된 평균절대편차(MAD) 모형은 위험의 측정 수단을 분산 대신 절대편차(absolute deviation)로 사용하여 이차계획법을 선형계획법 문제로 접근했다. MAD 모형은 평균-분산 포트폴리오 모형에 비해 더 빠르게 최적의 포트폴리오를 생성할 수 있다는 장점이 있다. Rockafella와 Uryasev의 위험 조건부 가치(CVaR)는 선형손실함수를 기반으로 최소화하여 선형계획법 문제로 접근하였으며 최신 포트폴리오 최적화 이론의 발전에 큰 영향을 미쳤다.</p> <p>마지막 제약 조건에서의 $ \hat {\mu } _ { v } $ 는 벤치마크의 기대수익률의 추정치로, 이전 12 개월의 데이터를 사용한 표본평균을 나타낸다. 분석에 사용된 5 개의 데이터 하에서 $ \lambda $ 의 값을 변화시켜 적용한 결과 $ \lambda=0.1 $ 인 경우에 공통적으로 Dantzig-type North의 성능이 우수하다는 것을 관찰할 수 있었다. 한편 $ \hat {\Sigma } $ 는 이전 12 개월 데이터로 추정된 공분산 행렬이다. 또한 조율모수인 $ c_ { 6 } $ 은 West 최적화 모형에서의 $ c_ { 5 } $ 의 역할과 동일하지만 세 번째 제약 조건이 추가된 것을 고려해 (3.1)의 제약조건보다는 제한을 완화하기 위하여 $ c_ { 6 } $ 는 $ c_ { 5 } $ 보다 더 큰 값을 사용하였다.</p> <p>조율모수 $ c_ { 6 } $ 의 선택방법은 섹션 4.3에 설명되어 있다. 한편 (3.1)의 West 최적화 모형은 포트폴리오의 위험을 낮추는 목적을 갖지만, (3.2)의 North 최적화 모형은 위험을 일정 수준에서 유지하며 포트폴리오의 기대수익률을 높이는 목적을 갖으므로 세 번째 조건이 추가된다. $ \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta $ 는 Dantzig-type North의 기대수익률을 이전 12 개월의 데이터를 사용하여 추정한 값이다. 세번째 제약조건인 $ \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta \geq \hat {\mu } _ { v } + c_ { 7 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| $ 는 Dantzig-type North 의 기대수익률 $ \left ( \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta \right ) $ 이 벤치마크의 기대수익률 $ \left ( \hat {\mu } _ { v } \right ) $ 보다 최소 $ c_ { 7 } \mid \hat {\mu } _ { v } $ \|만큼 크다는 것을 나타낸다. 한편 두 모형의 최적화식에서 $ \delta_ { i } $ 벡터에는 음수인 값이 존재할 수 있으며, 이는 공매도(short selling)을 의미한다.</p> <p>평균-분산 포트폴리오 최적화를 적용하기 위해서는 자산 수익률의 공분산과 기대수익률을 추정해야 한다. Best와 Grauer 는 추정된 포트폴리오 수익률 평균과 공분산 행렬이 추정 오류를 범하는 경우 포트폴리오의 성능이 떨어진다는 것을 실증 분석을 통해 확인했다. Ledoit와 Wolf 등은 모든 자산의 기대수익률이 서로 독립이고 동일한 분포를 따른다(independent and identically distributed)는 가정을 통해 기대수익률의 추정을 피하고 공분산 행렬을 추정하는데 초점을 두었다. 이 가정을 바탕으로 위험에만 영향을 받는 포트폴리오인 최소분산 포트폴리오(GMVP)의 개념이 등장하였다. 자산의 공분산을 올바르게 추정하기위해 여러 연구들이 이어졌다. 표본 공분산 행렬의 대안 중 하나로 임계값(thresholding) 방법이 제안되었는데, Fan 등은 factor 모형을 적용하여 PCA를 통해 표본 공분산을 분해하고 threshold 하였다. Ledoit과 Wolf, Pantaleo 등은 고차원 데이터 적용에 용이하도록 표본 공분산을 목표 공분산까지 수축 (shrinkage)시켜 추정하였다. 다음으로 Cai 등은 역공분산 행렬에 $ l_ { 1 } $ 제약을 두어 정밀도 행렬을 추정하였다. Millington 과 Niranjan은 Graphical Lasso를 사용하여 희소한 정밀도 행렬을 추정하였다.</p> <p>포트폴리오 구성에 있어 기대수익률과 위험 이외에도 관리비용(management costs)과 거래비용(transaction costs) 또한 중요하다. 포트폴리오를 구성하는 자산의 수가 많으면 관리비용이 커지고, 자산 구성의 조정인 리밸런싱(rebalancing)이 많이 발생할수록 거래비용은 증가한다. Shen 등은 포트폴리오를 구성하는 자산의 희소성은 포트폴리오 관리비용과 관련되고 자산의 안정성은 거래비용과 관련된다고 언급했다. 따라서 포트폴리오의 자산을 희소(sparse)하게 구성할수록 관리비용은 낮아지고, 구성 자산의 가중치 변화가 적도록 안정적(stable)이게 구성하면 거래비용은 낮아진다. 희소하고 안정적인 포트폴리오 구성을 위해 Brodie 등의 연구에서 목적함수에 $ l_ { 1 } $-norm 정규화를 사용하였다. Chen 등은 $ l_ { p } $-norm $ (0<p<1) $ 을 사용하여 $ l_ { 1 } $-norm 정규화보다 안정적이고 희소한 포트폴리오를 얻었다. Park 등는 adaptive Lasso 형태의 목적함수를 제안하여 희소하면서 이전 시점과의 가중치 변화를 제한하여 안정적인 포트폴리오를 구성했다.</p> <p>본 논문에서는 Dantzig 선형계획법을 모형에 적용하여 포트폴리오 위험과 최적화식을 선형으로 구성하였다. 그리고 투자자의 효용을 고려하여 더욱 효과적인 포트폴리오를 구성하기 위해 벤치마크에 일정 수준을 투자하고 나머지는 최적화를 통해 선택된 자산들에 투자하는 펴터베이선 방법을 적용하였다. 벤치마크로는 인덱스펀드와 동일가중치 포트폴리오를 고려하여 벤치마크보다 낮은 위험 또는 높은 수익률을 얻는 것을 목적으로 하였다. 또한 자산 수익률의 공분산 행렬은 가우시안 커널을 통해 구한 가중치를 사용하여 추정했다. 본 논문에서는 Dantzig-type 모형과 펴터베이션 방법을 결합한 새로운 포트폴리오 최적화 모형을 제안하고자한다.</p> <p>한편 첫 번째 제약조건에서 $ \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha $ 은 펴터베이션 가중치 벡터와 벤치마크에 투자하는 비율 $ \alpha $ 를 더한 포트폴리오 가중치를 1 로 고정시킨다. 두 번째 제약조건에서 $ \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) $ 는 이차 형식인 분산 $ ( \alpha v + \delta) ^ {\prime } \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) $를 $ \delta $ 에 대해 미분한 선형 꼴로, 여기에 maximum norm (또는 infinity norm)을 부과하여 LP 로 변환한다. $ \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } $ 는 벤치마크 수익률들의 분산 추정치로 현재시점에서의 이전 12 개월의 데이터의 표본 분산으로 계산한다. $ \hat {\Sigma } $ 는 이전 12 개월의 데이터를 사용하여 추정된 공분산 행렬이다. 여기서 $ c_ { 5 } >0 $ 는 선택되어야 할 조율모수로 선택방법은 섹션 $ 4.3 $ 에 설명되어 있다. 한편 $ c_ { 5 } $ 값이 커질수록 제약조건이 완화되어 실현가능한(feasible) 최적해가 존재할 가능성이 커진다.</p> <p>다음으로 Dantzig-type North 펴터베이션 최적화 모형은 정해진 $ 0< \alpha<1 $ 와 $ c_ { 6 } , c_ { 7 } >0 $ 에 대해 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ {\delta } & \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } \right \| + \lambda \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } \right \|, \\ \text { s.t. } & \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha, \\ & \\| \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta) \\|_ {\max } \leq c_ { 6 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } , \\ & \hat {\mu } _ { v } \alpha + \hat {\mu } ^ {\prime } \delta \geq \hat {\mu } _ { v } + c_ { 7 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| . \end {array} $<caption>(3.2)</caption></p> <p>위의 최적화 모형 (3.1)와 (3.2)는 LP 문제의 일반형인 (2.7) 형태이다. LP 문제의 최적해를 듀얼-심플렉스 방법으로 구하기 위하여, 이를 표준형(Standard form)인 (2.8) 형태로 변환시킨다. 먼저, $ \delta_ { i } =l_ { i } , \lambda \left ( \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } \right )=t_ { i } $ 로 놓는다. 잉여변수들을 추가하고 제약 조건의 부등식 방향을 한 방향으로 통일하여 (2.8)의 A행렬을 구성한다. A행렬은 $ l_ { i } $ 와 $ t_ { i } $ 에 대해 목적함수와 제약 조건의 계수들로 이루어진다. 따라서 Dantzig-type West 모형을 표준형 식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ { l_ { i } , t_ { i } } & \sum_ { i } l_ { i } + \sum_ { i } t_ { i } , \\ \text { s.t. } & \delta_ { i } -l_ { i } \leq 0, \quad- \delta_ { i } -l_ { i } \leq 0, \\ & \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } - \frac { 1 } {\lambda } t_ { i } \leq 0, \quad- \delta_ { i } + \tilde {\delta } _ { i } - \frac { 1 } {\lambda } t_ { i } \leq 0, \\ & ( \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta))_ { i } \leq c_ { 5 } \hat {\sigma } _ { v } , \quad-( \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta))_ { i } \leq c_ { 5 } \hat {\sigma } _ { v } , \\ & \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha . \end {array} $<caption>(3.3)</caption></p> <p>Dantzig-type North 모형의 표준형식 표현은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } \min _ { l_ { i } , t_ { i } } & \sum_ { i } l_ { i } + \sum_ { i } t_ { i } , \\ \text { s.t. } & \delta_ { i } -l_ { i } \leq 0, \quad- \delta_ { i } -l_ { i } \leq 0 \\ & \delta_ { i } - \tilde {\delta } _ { i } - \frac { 1 } {\lambda } t_ { i } \leq 0, \quad- \delta_ { i } + \tilde {\delta } _ { i } - \frac { 1 } {\lambda } t_ { i } \leq 0, \\ & ( \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta))_ { i } \leq c_ { 6 } \hat {\sigma } _ { v } , \quad-( \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta))_ { i } \leq c_ { 6 } \hat {\sigma } _ { v } , \\ & \hat {\mu } ^ { T } \delta \leq- \hat {\mu } _ { v } -c_ { 7 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| + \hat {\mu } _ { v } \alpha \\ & \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha . \end {array} $<caption>(3.4)</caption></p> <p>Table 1, Table 2 는 5 개 데이터의 기대수익률을 벤치마크와 비교한 표이다. $ \alpha $ 와 $ c_ { 5 } , c_ { 6 } $ 을 선택하기 위해 교차검증에서 사용된 기준이 기대수익률인 경우는 MR로, 샤프지수인 경우는 SR로 표시하였다. 포트폴리오의 성능이 벤치마크보다 향상된 결과는 진하게 표시하였다. 표를 살펴보면, 모든 데이터에서 대부분의 포트폴리오의 기대수익률이 벤치마크보다 증가하였으며 특히 DOW30과 FTSE100은 모든 경우에 대해 벤치마크보다 기대수익률이 높았으며 FTSE250은 한 경우를 제외하고 모두 벤치마크보다 높았다. DAX30은 North에서만 기대수익률이 벤치마크보다 증가하였으며 S&P100는 벤치마크를 인덱스 펀드로 둘 때, 동일가중치 포트폴리오보다 기대수익률이 증가한 경우가 더 많았다. S&P100을 제외한 모든 데이터에서 North인 경우의 기대수익률이 West보다 높았으며, 벤치마크 대비 기대수익률 증가한 빈도 또한 North가 West보다 많았다.</p> <p>Table 3은 위험도를 나타낸 표로, 전반적으로 West가 North보다 낮은 위험도를 갖는 것을 확인할 수 있다. 그리고 벤치마크가 동일가중치 포트폴리오인 경우 인덱스 펀드보다 벤치마크 대비 위험도가 감소하였다. 인덱스 펀드 벤치마크인 경우 교차검증 과정에서 기대수익률(MR)을 사용하는 것이 벤치마크 대비 낮은 위험도를 도출한다. 반면에 동일가중치 포트폴리오 벤치마크인 경우 샤프지수(SR)을 교차검증 기준으로 할 때 위험도가 감소하였다. DOW30은 대부분의 결과 위험도가 감소하였고, DAX30과 S&P100는 West에서만 감소하였다.</p> <p>Table 4는 포트폴리오 성능의 대표적인 기준인 샤프지수 결과이다. DOW30과 FTSE100은 모든 경우에 샤프지수가 벤치마크보다 증가하였으며, FTSE250도 대부분 벤치마크 대비 샤프지수가 개선되었다. S&P100은 West인 경우에 벤치마크보다 샤프지수가 증가하였으며, DAX30은 North이면서 교차검증 기준으로 기대수익률(MR)을 사용한 경우에만 벤치마크 대비 상승하였다. 따라서, 대부분의 데이터들의 샤프지수가 벤치마크에 비해 증가하였으므로 제안한 West와 North 모형으로 포트폴리오를 구성하는 것은 인덱스 펀드와 동일가중치 포트폴리오보다 좋은 성능을 가진다고 할 수 있다. 단, DAX30 의 경우는 North 모형을 적용하고, S&P100의 경우 West 모형을 적용시켜 포트폴리오를 구성하는 것이 낫다고 볼 수 있다.</p> <p>다음으로는 포트폴리오가 West, North 펴터베이션 목적에 맞게 구성되었는지 확인하기 위해 기대수익률-위험도 산점도를 작성하였다. 산점도의 점은 벤치마크 대비 증감을 나타내며, 교차검증 기준이 기대수익률인 경우와 샤프지수인 경우를 모양과 색깔로 나누어 표시하였다. $ x $ 축은 포트폴리오 위험도에 벤치마크 위험도를 뺀 값 $ \left ( \sigma- \sigma_ { v } \right ) $ 으로, 벤치마크에 비해 증가 또는 감소한 값을 나타낸다. Figure 2와 Figure 3에서 그래프의 2,3 분면은 벤치마크보다 위험도가 감소한 것이다. $ y $ 축은 포트폴리오 기대수익률에 벤치마크 기대수익률을 뺀 값 $ \left ( \mu- \mu_ { v } \right ) $ 으로, 그래프의 1,2 분면에 점이 있다면 벤치마크보다 기대수익률이 증가했다는 것을 의미한다. Figure 2의 한 산점도 안에는 DOW30, DAX30, S&P100, FTSE100, FTSE250, 총 5 개의 데이터에 MR, SR 두가지 경우를 고려하여 총 10 개의 점이 존재하며, Figure 3의 산점도에는 5 가지 데이터에 교차검증 기준 MR, SR과 6 가지 $ h $ 의 경우가 고려되어 총 60 개의 점이 존재한다.</p> <h2>3.2. 가우시안 커널 공분산 행렬</h2> <p>포트폴리오 최적화 이론에서 공분산의 추정은 매우 중요한 의미를 가진다. 가장 기본적인 방법은 표본 공분산 행렬로 추정하는 것이다. 하지만 금융 데이터는 시계열 데이터로 시간의 흐름에 따른 고려가 필요하다. 자산 수익률의 공분산을 표본 공분산 행렬로 추정하는 것은 시간의 흐름을 반영하지 못한다는 단점이 있다. 이는 추정 오류를 발생시킬 가능성을 높인다. 예를 들어, 특정 시점의 수익률은 해당 시점 근처의 수익률과 큰 상관관계를 갖지만, 멀리 떨어진 시점에서의 수익률에서는 작은 상관관계를 가질 것이다. 앞서 정의했던 $ r_ { t } = \left (r_ { 1 t } , \ldots, r_ { p t } \right ) $ 는 자산들의 수익률 벡터로, $ r_ { t } \sim \operatorname { MVN } ( \mu, \Sigma) $ 를 따른다고 가정했다. 여기서 $ z_ { t } =r_ { t } - \bar { r } _ { t } $ 라 정의한다. 시간에 따른 가중치 벡터는 $ w_ { t } $ 로 정의한다. 현재 시점을 $ T + 1 $ 이라고 할 때, 현재 시점의 공분산은 이전 12 개월으로 추정한다. 한달은 공휴일과 주말을 제외한 21일로 지정한다. 따라서 12 개월은 $ T=252 $ 일로 계산된다.</p> <p>시간의 흐름을 반영한 공분산 행렬의 핵심은 현재 시점의 공분산을 추정할 때, 현재 시점과 가까울수록 보다 큰 가중치를 부과하는 것이다. 추가적으로, $ w_ { t } $ 는 Zhou 등 (2010)의 아이디어와 비슷하게 대칭(symmetric)이고 비음(nonnegative)인 가우시안 커널 함수를 적용하여 구한다. 시간에 대한 가중치 벡터 $ w_ { t } $ 를 식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \hat { w } _ { t } &=K \left ( \frac { \|T + 1-t\| } { h } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 h } \exp \left ( \frac { \|T + 1-t\| ^ { 2 } } { h } \right ), \quad t=1, \ldots, T . \end {aligned} $<caption>(3.5)</caption></p> <p>$ t=1 $ 은 현재와 가장 먼 과거 시점이며, $ h $ 가 고정된 경우 $ t $ 가 $ T $ 에 가까워질수록 분자의 값이 작아진다. 분자가 작아질 경우 정규분포의 평균에 가까워지고, 이에 따라 가중치는 커지게 된다. 여기서 $ h $ 는 bandwidth 로, Murillo와 Rodríguez (2008) 등 많은 연구에서와 같이 변수의 분산으로 추정하기도 한다. 시간에 따른 가중치를 구하기 위한 변수는 시간(t)이다. 1 부터 252 까지의 분산을 구하여 이전 시점(1개월 전)의 수익률의 결과가 가장 좋은 $ h $ 를 { 45, 55, 65, 70, 75, 80 } 에서 선택하였다. 한편, $ h $ 는 커널 함수의 밀도(완만하고 뾰족함)을 조절하며, $ h $ 가 증가할수록 커널은 촘촘해지고 현재 시점에 가까운 시점들은 더욱 큰 가중치를 갖게 된다.</p> <p>$ \begin {array} { cl } \min _ {\delta } ( \alpha v + \delta) ^ {\prime } \hat {\Sigma } ( \alpha v + \delta), \text { s.t. } ~ \delta ^ {\prime } 1=1- \alpha, & \sum_ { i } \frac {\left \| \delta_ { i } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| } \leq c_ { 1 } . \end {array} $<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 $ \hat {\Sigma } $ 는 $ p \times p $ 자산 공분산 행렬의 추정치이며, $ \tilde {\delta } _ { i } $ 는 $ i $ 번째 자산의 이전 시점 가중치이다. $ \sum_ { i } \delta_ { i } + \alpha=1 $ 이며 $ \alpha $ 는 0 과 1 사이의 값을 갖는다. 1 은 1 로만 이루어진 $ p $ 차원 벡터이다. $ c_ { 1 } $ 은 0 보다 큰 상수로 현재 시점의 가중치와 이전 시점 가중치를 조절하는 역할을 한다. 거래비용과 관리 관리비용을 조절하기 위해서는 안정적이고 희소한 포트폴리오를 구성하는 것이 중요하다. 먼저 희소한 포트폴리오라는 것은 포트폴리오를 구성하는 자산의 수가 적은 것을 의미한다. 따라서 희소한 포트폴리오는 관리비용을 낮추는 장점이 있다. 안정적인 포트폴리오는 추정오류와 연관된다. $ \mathrm { Li } $ (2015)는 시간이 지남에 따라 자산 가중치가 급격하게 변동하게 된다면 변수의 불확실성에 의해 추정오류가 발생할 위험이 높다고 언급하였다. 최적화 모형에 안정성과 관련된 제약 조건을 부과하면 불확실성과 다중 공선성으로 인한 추정 위험이 감소된다. 또한 안정적인 포트폴리오를 구성함에 따라 보다 적은 리밸런싱으로 거래비용이 감소한다. 따라서 마지막 제약 조건은 현재 시점의 퍼터베이선 가중치를 $ l_ { 1 } $ 페널티를 이용하여 희소하게 제한하고 이전 시점의 펴터베이션 가중치를 나눠 줌으로써 큰 변동이 발생하지 않도록 조절한다. 하지만 마지막 제약 조건에서 적절한 상수 $ c_ { 1 } $ 을 결정하기 위해 많은 시간이 소요될 수 있다. 이는 목적 함수와 마지막 제약 조건의 위치를 바뀍 $ \sum_ { i } \left \| \delta_ { i } \right \| / \left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| $ 항을 최소화시키는 문제로 바꿔 해결할 수 있다.</p>	자연
m960-(알기 쉬운 통계 원리) 기초통계학	<p>예제 1</p> <p>어느 고등학교에서 학생들의 I.Q.는 평균 120 인 정규분포를 따른다고 가정하자. 25 명의 학생들을 무작위로 추출했을 때 I.Q.의 표준편차는 $ S=6 $ 이었다. 이때 표본평균 $ \bar { X } $ 가 117 보다 크지 않을 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>모집단의 분포는 $ \sigma $ 가 미지인 정규분포이므로 $ T $ 분포를 이용할 수 있다. 그러므로 \[P( \bar { X } \leq 117)=P \left ( \frac {\bar { X } -120 } { 6 / \sqrt { 25 } } \leq \frac { 117-120 } { 6 / \sqrt { 25 } } \right )=P(T(24) \leq-2.5) \]이다. $ T $ 분포의 좌우대칭성과 부록의 $ T $ 분포표로부터 위 값은 $ 0.01 $ 이 됨을 알 수 있다.</p> <p>카이제곱분포는 물론 $ T $ 분포도 표본들이 정규모집단으로부터 추출되는 것을 가정하고 있다. 이러한 분포들을 포함하는 실제 문제에서 그러한 가정이 어느 정도 결정적인가 하는 것에 대한 의문이 생긴다. 이러한 점에서 중심극한정리에 의해 $ n $ 이 클 때 $ (n>30) \bar { X } $ 의 분포는 근사적으로 정규분포가 된다. 그리고 만일 $ \bar { X } $가 정규분포를 따르면 성질 1 이 성립한다. $ n $ 이 클 때 $ S $ 가 $ \sigma $ 의 좋은 근삿값이 되므로 $ \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } } $ 는 근사적으로 표준정규분포를 따르게 된다.</p> <p>예제 2</p> <p>예제 1 에서 100 명의 학생을 무작위로 추출하여 $ S=5 $ 를 얻었다고 하자. 이때 표본평균 $ \bar { X } $ 가 119 보다 크지 않을 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>확률 $ P( \bar { X } \leq 119) $ 는 표준정규분포를 사용함으로써 다음과 같이 근사될 수 있다. \[ P( \bar { X } \leq 119)=P \left ( \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } } \leq \frac { 119-120 } { 5 / \sqrt { 100 } } \right )=P(Z \leq-2)=0.0228 \]</p> <p>지금까지 학습한 내용을 정리하면 $ \bar { X } $ 의 분포가 모집단의 분포 형태, 모분산이 알려져 있는지의 여부, 그리고 표본크기가 얼마인가에 따라 각각 어떠한 형태의 분포가 되는지를 알 수 있는데, 이를 정리하면 그림 2 와 같다.</p> <p>한편 5 장과 6 장에서 배운 분포들 사이의 관계를 정리하면 그림 3과 같다.</p> <p>한편 다음과 같은 성질도 얻을 수 있다.</p> <p>성질 2</p> <p>$ X_ { i } \sim \chi ^ { 2 } \left (n_ { i } \right )(i=1, \cdots, \alpha) $ 이고 독립이면 \[S_ { n } =X_ { 1 } + \cdots + X_ {\alpha } \sim \chi ^ { 2 } \left (n_ { 1 } + \cdots + n_ {\alpha } \right ) \]이다.</p> <p>성질 1 에서 만들어진 변수의 개수를 $ n $ 으로 표시하면 $ n $ 개의 표준화된 정규변수 $ \frac { X_ { 1 } - \mu_ { 1 } } {\sigma_ { 1 } } , \frac { X_ { 2 } - \mu_ { 2 } } {\sigma_ { 2 } } , \cdots, \frac { X_ { n } - \mu_ { n } } {\sigma_ { n } } $ 가 정의되는데, 이들을 제곱한 뒤 전부 합한 값은 성질 2 에 의해 자유도 $ n $ 인 카이제곱분포가 된다. 즉 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다.</p> <p>성질 3</p> <p>$ X_ { i } \sim N \left ( \mu_ { i } , \sigma_ { i } ^ { 2 } \right )(i=1, \cdots, n) $ 이고 독립이면 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \mu_ { i } } {\sigma_ { i } } \right ) ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (n) \]이다. 특히 $ X_ { i } (i=1, \cdots, n) $ 를 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 에서 추출한 확률표본이면 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n), \frac { n( \bar { X } - \mu) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (1) \]이 성립한다.</p> <h1>6.1 표본분포</h1> <p>4장과 5장에서 여러 가지 확률분포와 그들의 성질을 살펴보았다. 이제부터는 확률분포를 어떤 상황에서 어떻게 이용하고, 어떠한 정보를 얻을 수 있는지에 대하여 살펴보기로 한다. 예를 들어 어느 자동차 회사에서 새 모델의 자동차 10,000대를 생산하였다고 하자. 그러면 새 모델에 대하여 소비자들은 과연 안전한가 하는 의문을 가질 것이고, 따라서 이 회사에서는 자동차의 안전성에 대한 사전 검증이 있어야 할 것이다. 그런데 안전도 시험을 위하여 10,000 대의 자동차를 모두 이용한다면 실제로 판매할 자동차가 하나도 없고, 따라서 안전도 시험은 아무런 의미가 없을 것이다. 그러면 이 회사에서 생산한 자동차의 안전도를 어떻게 조사할 것이며 그 신빙성을 어느 정도 믿을 수 있는가 하는 문제가 남는다.</p> <p>이러한 문제를 논리적으로 해결하는 것이 통계학의 묘미다. 이를 위하여 우선 생산된 자동차에서 100 대를 임의 추출하여 안전도 시험을 실시한 결과, 그들의 안전도 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { 100 } $ 을 측정하였다고 하자. 이와 같이 안전도와 같은 어떤 정보를 얻기 위하여 실험대상이 된 집단 전체를 모집단(population)이라 하며, 이 모집단의 대상들은 어떤 미지의 확률분포를 가질 것이다. 그리고 안전도를 조사하기 위하여 선정된 100 대의 자동차 측정값, 즉 모집단 특성에 관한 정보를 알기위하여 추출된 대상 또는 그들의 측정값을 표본(sample)이라 한다. 이때 안전도 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { 100 } $ 이 어떻게 나타날 것인가는 서로간에 아무런 영향을 미치지 않으므로 그들은 서로 독립이라 할 수 있다.</p> <p>한편 표본의 대상이 되는 확률변수들 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { 100 } $ 은 모두 모집단으로부터 추출된 것이므로 모집단 분포와 동일한 분포를 형성하며, 이와 같이 서로 독립이고 동일한 확률분포를 가지는 확률변수들을 확률표본(random sample)이라한다. 이러한 이유에서 모집단을 이루는 개개의 개체들은 평균 $ \mu $ 와 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 인 확률분포 $ f(x) $ 를 가지며 그들 개체들은 독립이라고 가정한다. 그리고 모집단의 특성을 나타내는 값을 모수(parameter)라 하며, 모수에는 모집단의 평균(모평균 $ \mu $ ), 모집단의 분산(모분산 $ \left . \sigma ^ { 2 } \right ) $, 그리고 모집단의 비율(모비율 $ p $ ) 등이 널리 사용된다. 한편 모집단으로부터 추출된 크기 $ n $ 인 확률표본 $ \left \{ X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } \right \} $ 에 대하여 그들의 측정값을 $ \left \{ x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 이라 할 때 확률표본의 특성을 나타내는 수치, 즉 표본의 평균(표본평균 $ \bar { X } $ ), 표본의 분산(표본분산 $ S ^ { 2 } $ ), 그리고 표본의 비율(표본비율 $ \left . \hat { p } \right ) $등을 통계량(statistics)이라 한다. 그리고 이들은 역시 또 하나의 확률변수이며, 이들의 확률분포를 표본분포(sampling distribution)라 한다. 6장에서는 이러한 통계량과 그들의 표본분포에 대하여 살펴보기로 한다.</p> <p>풀이</p> <p>모평균과 모분산은 \[ \begin {array} { l } \mu=E(X)= \sum x f(x)=3.3, \\ \sigma ^ { 2 } =E \left (X ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } (X)=14.3-10.89=3.41 \end {array} \]이므로 표본평균은 $ \mu_ {\bar { X } } =3.3 $ 이고 표본분산은 $ \operatorname { Var } ( \bar { X } )= \sigma ^ { 2 } / 36=0.095 $ 이다. 한편 중심극한정리에 의하여 근사적으로 $ \bar { X } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } / n \right ) $ 이므로 다음과 같은 확률을 구할 수 있다. \[ \begin {aligned} P(3.5< \bar { X } \leq 4.5) & \fallingdotseq P \left ( \frac { 3.5-3.3 } {\frac {\sqrt { 3.41 } } { 6 } }< \bar { X } \leq \frac { 4.5-3.3 } {\frac {\sqrt { 3.41 } } { 6 } } \right ) \\&=P(0.648<Z \leq 3.894) \\&=1-0.7389=0.2611 \end {aligned} \]</p> <p>지금까지 배운 것들과 중심극한정리를 이용하면 표 4를 설명할 수 있다.</p> <p>표 4에서 보면 첫째 행에서 4개의 서로 다른 모집단의 표본 형태를, 그리고 나머지 행에서는 표본크기가 2, 5, 그리고 30 일 때 $ \bar { X } $ 의 분포 형태를 보여주고 있다. 첫째 예는 모집단이 정규분포를 따를 때 이로부터 추출한 표본평균 $ \bar { X } $ 도 정규분포를 따른다는 것으로 바로 앞 항에서 밝힌 내용을 보여주고 있다. 둘째 예는 균등분포(uniform distribution), 셋째 예는 이산확률분포 형태의 한 예로서 쌍봉분포(bimodal distribution), 그리고 마지막 예에서는 지수분포(exponential distribution)를 갖는 모집단에서 추출된 평균이 표본크기가 점점 커짐에 따라 좌우대칭의 정규분포화해가는 과정을 보여준다.</p> <p>이제 표본분산 $ S ^ { 2 } $ 에 관한 표본분포는 다음 절에서 살펴보기로 하고 이 절의 끝으로 표본비율에 대하여 알아본다. $ N $ 명이 수강하는 통계학 수업의 결석률이 $ p $ 라하고 수업에 결석한 학생 수를 $ X $ 라 하면 결석률은 $ p=X / N $ 이고 $ X \sim B(N, p) $인 이항분포를 이룬다. 따라서 $ X $ 는 서로 독립이고 베르누이 분포 $ B(1, p) $ 에 따르는 확률변수들 $ X_ { 1 } , \cdots, X_ { N } $ 에 대하여 \[X=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { N } \]으로 나타낼 수 있으며 이 결석률, 즉 모집단의 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율 $ p $ 를 모비율(population proportion)이라 한다. 이때 크기 $ n $ 인 표본을 택하여 \[Y=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \]이라 하면 $ Y $ 는 표본의 결석자 수를 나타내며 $ Y \sim B(n, p) $ 인 분포를 이룬다. 따라서 표본크기 $ n $ 이 충분히 클 경우 중심극한정리에 의하여 $ Y $ 는 정규분포 $ N(n p, n p(1-p)) $ 에 근사한다. 그러므로 표본의 결석률 $ \hat { p } =Y / n $ 는 $ N(p, p q / n) $, $ q=1-p $ 에 근사하며, 이와 같이 확률표본에서 어떤 특성을 갖는 개체수에 대한 비율을 표본비율(sample proportion)이라 한다.</p> <p>표본평균 $ \bar { X } $ 의 평균과 분산을 구하고 모평균과 모분산을 구하여 이들을 비교하여보자. 우선 모평균 $ \mu $ 와 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 구하면 \[ \begin {aligned} & 모평균 : \mu=E(X)= \sum x f(x)=3 / 2 , \\& 모분산 : \sigma ^ { 2 } =E \left (X ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } (X)=5 / 4 \end {aligned} \] 이고, 표본평균의 평균과 분산은 \[ \begin {aligned} & \bar { X } 의 평균 : \mu_ {\bar { X } } =E( \bar { X } )= \sum \bar { x } f( \bar { x } )=3 / 2 , \\& \bar { X } 의 분산 : \operatorname { Var } ( \bar { X } )=E \left ( \bar { X } ^ { 2 } \right )-E ^ { 2 } ( \bar { X } )=5 / 8 \end {aligned} \]이며, $ \mu= \mu_ {\bar { X } } , \sigma ^ { 2 } =2 \operatorname { Var } ( \bar { X } ) $ 인 관계가 있음을 알 수 있다.</p> <p>일반적으로 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } $ 이 독립이고 동일한 분포를 이루므로 표본평균과 표본분산은 각각 다음과 같다. \[ \begin {array} { c } & \mu_ {\bar { X } } =E( \bar { X } )=E \left ( \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \right ) \\& = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } E \left (X_ { i } \right )= \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } \mu= \mu, \\& \operatorname { Var } ( \bar { X } )= \operatorname { Var } \left ( \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \right ) \\& = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \operatorname { Var } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \right )= \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum_ { i=1 } ^ { n } \operatorname { Var } \left (X_ { i } \right ) \\& = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sigma ^ { 2 } = \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } \end {array} \] 그러므로 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다.</p> <p>자유도란 독립적인 변수의 개수 또는 값을 자유로이 취할 수 있는 변수의 총수를 나타내며, 카이제곱분포를 정의하는 과정에서 합산한 원래 확률변수의 총수가 자유도가 될 것이다. 합산과정에서 활용된 원래 확률변수가 모두 독립적인 관계에 있기 때문이다. 카이제곱분포의 평균과 분산은 다음과 같다. \[E(X)=n, \operatorname { Var } (X)=2 n \]</p> <p>다음 성질은 정규분포와 카이제곱분포와의 관계를 알려준다.</p> <p>성질 1</p> <p>$ Z \sim N(0,1) $ 이면 $ Z ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1) $ 이다.</p> <p>$ Y=Z ^ { 2 } $ 의 분포함수를 $ F(y) $ 라고 하고, 표준정규분포의 분포함수를 $ \Phi(x) $ 라고 하면 \[ \begin {aligned} F(y)=P(Y \leq y)=P \left (Z ^ { 2 } \leq y \right ) &=P(- \sqrt { y } \leq Z \leq \sqrt { y } ) \\&= \Phi( \sqrt { y } )- \Phi(- \sqrt { y } ) \end {aligned} \]가 성립한다. 표준정규분포의 확률밀도함수를 $ f $ 라고 하면 $ Y $ 의 확률 밀도함수는 \[ \begin {aligned} g(y)= \frac { d F } { d y } &=f( \sqrt { y } ) \left ( \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } } \right ) + f(- \sqrt { y } ) \left ( \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } } \right ) \\ &= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } y ^ { -1 / 2 } e ^ { - \frac { y } { 2 } } = \frac { 1 } {\Gamma \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) 2 ^ {\frac { 1 } { 2 } } } y ^ {\frac { 1 } { 2 } -1 } e ^ { - \frac { y } { 2 } } \end {aligned} \]이므로 $ Z ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1) $ 이다.</p> <p>이상과 같이 정의되는 카이제곱분포는 여러 상황에서 중요한 의미를 갖는다. 예를 들어 $ Z_ { i } $ 가 어떤 제품 길이의 평균으로부터의 거리 또는 편차를 나타낸다면 $ Z_ { i } ^ { 2 } $ 은 이들 편차의 제곱이 된다. 그리고 이들을 $ n $ 개 합한 것은 $ n $ 개의 서로 다른 기계가 생산한 제품 길이의 평균으로부터의 편차를 제곱한 것의 합이 된다. 그러므로 카이제곱분포는 분산을 다루는 문제에 주로 적용된다.</p> <p>예제 1</p> <p>$ Z \sim N(0,1) $ 일 때,</p> <p>(1) 표준정규분포의 누적분포함수표를 이용하여 $ P \left (Z ^ { 2 }<3.841 \right ) $ 을 구하여라.</p> <p>(2) 카이제곱 누적분포함수표를 이용하여 $ P \left (Z ^ { 2 }<3.841 \right ) $ 을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} (1)~P \left (Z ^ { 2 }<3.841 \right ) &=P(- \sqrt { 3.841 }<Z< \sqrt { 3.841 } ) \\ &=P(-1.9598<Z<1.9598) \\ & \fallingdotseq 2 \Phi(1.96)-1 \\ &=2 \times 0.975-1=0.95 \end {aligned} $</p> <p>$ (2)~P \left (Z ^ { 2 }<3.841 \right )=P \left [ \chi ^ { 2 } (1)<3.841 \right ]=0.95 $</p> <p>$ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 인 정규모집단에서 임의 추출된 확률표본을 $ \left \{ X_ { i } , \cdots, X_ { n } \right \} $ 이라 하자. 그러면 7.1절에서 보여지듯이, 표본분산 \[S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } \]은 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 의 일치추정량이라는 사실로부터 정규모집단의 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 추정할 때 또는 $ \sigma ^ { 2 } $ 을 모르는 경우 모평균 $ \mu $ 를 추정할 때 $ S ^ { 2 } $ 을 이용하고 이러한 표본분산에 관련되는 분포가 카이제곱분포이다.</p> <p>예제 3</p> <p>모비율 $ 0.6 $ 인 모집단으로부터 크기 36인 표본을 취했을 때 표본비율 $ \hat { p } $ 가 $ 0.5 $ 와 $ 0.7 $ 사이일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>모비율 $ \hat { p } $ 는 근사적으로 $ N(0.6,(0.6 \times 0.4) / 36) $ 인 정규분포를 이루므로 \[ \begin {aligned} P(0.5< \hat { p }<0.7) &=P \left ( \frac { 0.5-0.6 } {\sqrt { 0.6 \times 0.4 / 36 } }< \frac {\hat { p } -0.6 } {\sqrt { 0.6 \times 0.4 / 36 } }< \frac { 0.7-0.6 } {\sqrt { 0.6 \times 0.4 / 36 } } \right ) \\& \fallingdotseq P(-1.25<Z<1.25) \\&=2 P(Z<1.25)-1=0.7888 \end {aligned} \]이다.</p> <h1>6.2 카이제곱분포</h1> <p>이 절에서는 많은 실제 문제에서 $ \sigma ^ { 2 } $ 의 추론에 유용하게 사용되는 표본분산 $ S ^ { 2 } = $ $ \frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } $ 의 분포에 관해 살펴보자. $ S ^ { 2 } $ 의 표본분포는 무작위 표본에서 변이성에 관심이 있는 문제에 특히 중요하다. 예를 들면, 전화회사는 통화 길이의 평균만큼 분산에도 관심이 있고, 또한 강철빔 제조업자는 강철빔의 평균장력만큼 장력의 변이성에 관해 알기를 원할 것이다.</p> <p>정규모집단에서 추출된 확률표본에 관련된 확률분포이면서 통계학의 여러 면에서 응용되는 확률분포의 하나로, 확률밀도함수 \[f(x)= \frac { 1 } {\Gamma(n / 2) 2 ^ { n / 2 } } x ^ {\frac { n } { 2 } -1 } e ^ { -x / 2 } , x>0 ^ { } \]를 자유도(d.f.; degree of freedom) $ n $ 인 카이제곱 $ \left ( \chi ^ { 2 } \right ) $ 분포(chi-square distribution)라 하며, $ X \sim \chi ^ { 2 } (n) $ 으로 나타낸다.</p> <p>예제 2</p> <p>어떤 공장에서 생산되는 강철빔들의 장력은 분산 $ \sigma ^ { 2 } =100 $ 인 정규분포를 따른다고 가정하자. 11개의 강철빔들을 무작위로 추출할 때 그 장력의 표본분산 $ S ^ { 2 } $ 이 205보다 클 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \chi ^ { 2 } =(11-1) S ^ { 2 } / 100 $ 이라고 두면 $ \chi ^ { 2 } $ 은 자유도 10 인 카이제곱분포를 따르므로 \[ \begin {aligned} P \left (S ^ { 2 } >205 \right ) &=P \left ( \frac { (11-1) S ^ { 2 } } { 100 } >\frac { (11-1) \cdot 205 } { 100 } \right ) \\&=P \left ( \chi ^ { 2 } >20.5 \right )=1-P \left ( \chi ^ { 2 } \leq 20.5 \right ) \end {aligned} \]이다. 카이제곱 분포표로부터 $ P \left ( \chi ^ { 2 } \leq 20.5 \right ) \doteq 0.975 $ 이므로 $ P \left (S ^ { 2 } >205 \right ) \doteq $ $ 0.025 $ 이다.</p> <h1>6.3 $T $분포</h1> <p>6.1절에서는 $ \bar { X } $ 의 분포를 확인하는 과정에서 모집단의 분산이 알려져 있다고 가정하여 $ \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } $ 를 주로 이용하였다. 그러나 현실적으로 $ \sigma $ 값이 알려져 있는 경우란 매우 드물다. 일반적으로 모분산 값 또한 우리가 추정하고자 하는 모집단의 모수인 것이다. 모분산 값이 알려져 있지 않을 경우 가장 합리적인 방법은 모분산에 대한 가장 좋은 추정값을 사용하는 것이다. 이때 사용하는 통계량이 표본분산 $ S ^ { 2 } $ 이다. 즉 모분산을 모르는 경우 $ \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } $ 대신 $ \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } } $ 를 사용하게 되는데, 이렇게 표준화된 확률변수가 취하는 분포를 $ T $ 분포라고 한다.</p> <p>성질 4</p> <p>$ X_ { i } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right )(i=1, \cdots, n) $ 이고 독립이라 하자. 그러면 표본분산 $ S ^ { 2 } $ 에 대하여 \[ \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n-1) \]이다.</p> <p>$ V= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \mu } {\sigma } \right ) ^ { 2 } $ 이라 하면 성질 2 에 의하여 $ V \sim \chi ^ { 2 } (n) $ 이고, 또한 \[ \begin {aligned} V &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \mu } {\sigma } \right ) ^ { 2 } \\&= \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [ \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) + ( \bar { X } - \mu) \right ] ^ { 2 } \\&= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \bar { X } } {\sigma } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \]이다. 한편 \[ V_ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \bar { X } } {\sigma } \right ) ^ { 2 } , \quad V_ { 2 } = \left ( \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } \right ) ^ { 2 } \]이라 하면 $ \frac {\bar { X } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } \sim N(0,1) $ 이므로 $ V_ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1) $ 이다. 그리고 \[V_ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \bar { X } } {\sigma } \right ) ^ { 2 } = \frac { n-1 } {\sigma ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \bar { X } } {\sigma } \right ) ^ { 2 } = \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \]이므로 성질 2에 의해 $ V_ { 1 } \sim \chi ^ { 2 } (n-1) $ 이 성립한다.</p> <p>확률밀도함수 \[ f(t)= \frac {\Gamma((n + 1) / 2) } {\sqrt {\pi n } \Gamma(n / 2) } \left (1 + \frac { t ^ { 2 } } { n } \right ) ^ { -(n + 1) / 2 } , \quad- \infty<t< \infty \ ]를 자유도 $ n $ 인 스튜던트 $ t $ 분포라 하고 $ T \sim t(n) $ 으로 나타낸다. 여기서 $ \Gamma(n) $ 은 감마 함수를 의미한다.</p> <p>$ T $ 분포의 확률밀도함수는 매우 복잡하여 우리는 $ T $ 분포의 형태 및 성질만을 논하기로 한다. $ T $ 분포의 확률밀도함수는 $ t=0 $ 에 대하여 좌우대칭이고, 일반적인 모양은 표준정규곡선과 비슷하고 $ t \rightarrow \infty $ 이면 $ f(t) \rightarrow 0 $ 이지만 꼬리부분이 표준정규곡선보다 좀 더 두텁다. 따라서 $ Z \sim N(0,1) $ 과 비교하여 꼬리확률은 $ t $ 분포가 크다.</p> <p>그리고 $ \sigma $ 대신 $ S $ 를 사용하였기 때문에, 즉 $ S $ 를 통하여 $ \sigma $ 를 추정한 것이므로 오차가 발생할 수 있으며, 따라서 불확실성의 요소가 덧붙여진다. 그러므로 $ T $ 분포는 표준정규분포보다 분산 값이 커질 것이라는 가능성을 갖게 되는 것이 하나의 차이점이다.</p> <p>일반적으로 $ T $ 분포의 평균과 분산은 다음과 같다. \[ E(T)=0, \operatorname { Var } (T)=n /(n-2), n>2 \]</p> <p>표본크기 $ n $ 이 매우 커진다면 $ t $ 값은 $ \sigma $ 와 거의 같아지게 되고, 따라서 $ T $ 분포는 표준정규분포와 거의 동일한 형태를 취하게 된다. 한편 앞에서 이야기하였던 것처럼 $ T $ 분포는 다음과 같은 중요한 성질을 갖게 된다.</p> <p>성질 1</p> <p>$ X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 이고 독립이면 \[ \frac {\bar { X } - \mu } { S / \sqrt { n } } \sim t(n-1) \]이다.</p> <p>이 경우 자유도가 $ n-1 $ 이 되는 이유는 미지의 $ \sigma $ 대신 $ S $ 를 사용하는 과정에서 자유도를 1 만큼 상실하였기 때문이다. 만일 $ n=2 $ 라면 한 관측값을 기준으로 다른 관측값의 변화 정도를 측정할 수 있게 되므로 자유로운 변수 개수는 1 이 되는것이다.</p>	자연
기초미적분학_수열의 극한	<p>연습 $5-3 $ 다음 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n + 1 } { n-2 } $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { -3 n ^ { 2 } + 1 } { n ^ { 2 } + 2 n-3 } $</li></ol> <h1>5-4 유리수열의 극한 ( $1 $)</h1> <p>분모 분자가 다항식인 일반항을 갖는 유리수열의 극한은 다음과 같이 구한다.</p> <ol type=1 start=1><li>(분자의 차수) = (분모의 차수) : 극한은 최고차항의 계수비</li></ol> <p>연습 5-4 다음 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { -3 n + 1 } { 2 n-2 } $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { -6 n ^ { 2 } + 1 } { -2 n ^ { 2 } + 2 n-3 } $</li></ol> <h1>5-5 유리수열의 극한( $2 $)</h1> <p>분모 분자가 다항식인 일반항을 갖는 유리수열의 극한은 다음과 같이 구한다.</p> <ol type=1 start=2><li>(분자의 차수)< (분모의 차수) : 극한은 $0 $</li> <li>(분자의 차수) >(분모의 차수) : 극한은 없다(양의 무한대(최고차항의 계수비가 양수) 또는 음의 무한대(최고차항의 계수비가 음수))</li></ol> <p>연습 $5-5 $ 다음 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n + 3 } { 1 + n ^ { 2 } } $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { -2 n ^ { 2 } + 1 } { n } $</li></ol> <h1>5-6 무리수열의 극한</h1> <p>일반항이 근호를 포함하는 경우 다음을 이용하여 분자 또는 분모를 유리화하여 극한을 구 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ ( \sqrt { A } + B)( \sqrt { A } -B)=A-B ^ { 2 } $</li> <li>$ ( \sqrt { A } + \sqrt { B } )( \sqrt { A } - \sqrt { B } )=A-B $</li></ol> <p>연습 $5-6 $ 다음 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ) $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) $</li></ol> <h1>5-1 수열의 극한, 수렴</h1> <p>수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $에서 $ n $이 커질 때 $ a_ { n } $이 일정한 수 $ A $에 가까워지면 수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $은 $ A $로 수렴 한다라 하고, $ A $를 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $의 극한이라 하며 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = A $로 쓴다.</p> <p>연습 $5-1 $ 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 추정하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { n } = \frac { 1 } { n } $</li> <li>$ a_ { n } = \frac { n } { n + 1 } $</li></ol> <h1>5-2 수열의 발산</h1> <p>수열이 일정한 수에 수렴하지 않을 때 발산한다고 하며 다음 세 가지 경우가 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 1,2,3, \cdots, n, \cdots $과 같이 양의 무한대 $ ( \infty) $로 발산</li> <li>$ -2,-4,-8, \cdots,-2 n, \cdots $과 같이 음의 무한대 $ (- \infty) $로 발산</li> <li>$ 1,-1,1,-1, \cdots,(-1) ^ { n } , \cdots $과 같이 진동</li></ol> <p>연습 $5-2 $ 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { n } =1 + n $</li> <li>$ a_ { n } =1-2 n $</li></ol> <h1>5-3 수렴하는 수열의 성질</h1> <p>수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $과 $ \left \langle b_ { n } \right \rangle $이 수렴하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =A, \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =B $일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } k a_ { n } =k \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =k A $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } \pm b_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \pm \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =A \pm B $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } b_ { n } \right )= \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \right ) \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } \right )=A B $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { a_ { n } } { b_ { n } } \right )= \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } } {\lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } } = \frac { A } { B } (B \neq 0) $</li></ol> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } k=k, \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } = \cdots=0 \left ( \frac { 1 } {\infty } =0 \right ) $</p> <h1>5-7 수열의 극한과 부등식</h1> <p>수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $과 $ \left \langle b_ { n } \right \rangle $이 수렴하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =A, \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =B $일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { n }<b_ { n } $이면 $ A \leq B $</li> <li>$ a_ { n } \leq c_ { n }<b_ { n } $이고 $ A=B $이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } =A $</li></ol> <p>연습 $5-7 $ 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라. (단, 각의 단위는 라디안이다.)</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { n } = \frac { 1 } { n } \sin n $</li> <li>$ a_ { n } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \cos n $</li></ol> <h1>5-8 등비수열의 극한</h1> <p>무한등비수열 $ r, r ^ { 2 } , r ^ { 3 } , \cdots, r ^ { n } , \cdots $의 극한은 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ -1<r<1 $일 때, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =0 $</li> <li>$ r=1 $일 때, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =1 $</li> <li>$ r>1 $일 때, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } = \infty $</li> <li>$ r \leqq-1 $일 때, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } $은 진동하며 발산</li></ol> <p>연습 $5-8 $다음 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n } } { 3 ^ { n } } $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 ^ { n } -2 ^ { n } } { 3 ^ { n } + 2 ^ { n } } $</li></ol> <h1>5-9 무리수 $ e $의 정의</h1> <p>일반항이 $ a_ { n } = \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } $인 수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $은 수렴하며 그 극한을 $ e $라고 한다. \[ \text { (즉, } \left . \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } =e \approx 2.718281828 \right ) \]</p> <p>연습 $5-9 $ 일반항이 다음과 같은 수열의 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a_ { n } =2 \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } $</li> <li>$ a_ { n } = \left (1 + \frac { 2 } { n } \right ) ^ { n } $</li></ol>	자연
기초미적분학_편미분	<p>정의 $ 15.1 .2 $ 는 다음 내용을 포함하고 있다.</p> <ol type=i start=1><li>함숫값 $ f(a, b) $ 가 정의되어 있다.</li> <li>극한값 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y) $ 가 존재한다.</li></ol> <p>예제 $ 15.1.5 $ 다음 함수에 대하여 점 $ (0,0) $ 에서의 연속성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \text { 일 때 } \\ 0, & (x, y)=(0,0) \text { 일 때 } \end {array} \right . $</li> <li>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \text { 일 때 } \\ 0, & (x, y)=(0,0) \text { 일 때 } \end {array} \right . $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>예제 $ 15.1 .3 $ 의 $ (1) $에 의하여 극한값 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 가 존재하지 않으므로 불연속이다.</li> <li>예제 $ 15.1.4 $에 의하여 극한값 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=f(0,0) $ 이므로 연속이다.</li></ol> <p>유제 $ 15.1.5 $ 다음 함수에 대하여 점 $ (0,0) $ 에서의 연속성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x \sqrt { y } } { x ^ { 2 } + y } , & (x, y) \neq(0,0) \text { 일 때 } \\ 0, & (x, y)=(0,0) \text { 일 때 } \end {array} \right . $</li> <li>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } -x y } {\sqrt { x } - \sqrt { y } } , & (x, y) \neq(0,0) \text { 일 때 } \\ 0, & (x, y)=(0,0) \text { 일 때 } \end {array} \right . $</li></ol> <p>정리 15.4.3</p> <p>이변수 함수 $ z=f(x, y) $가 $ (a, b) $ 의 어떤 근방에서 연속인 2계 편도함수를 갖고 $ f_{x}(a, b)=f_{y}(a, b)=0 $을 만족한다고 가정하고 $ D=f_{x x}(a, b) f_{y y}(a, b)-\left[f_{x y}(a, b)\right]^{2} $라고 놓자.<ol type=1 start=1><li>$ D>0 $ 이고 $ f_{x x}(a, b)>0 $ 이면, $ f(a, b) $ 는 극솟값이다.</li> <li>$ D>0 $ 이고 $ f_{x x}(a, b)<0 $ 이면, $ f(a, b) $ 는 극댓값이다.</li> <li>$ D<0 $ 이면 $ f(a, b) $ 는 극값이 아니다. 즉, $ (a, b, f(a, b)) $ 은 안장점이다.</li> <li>$ D=0 $ 이면 판정이 불가능하다.</li></ol></p> <p>예제 $ 15.4.2 $ $ f(x, y)=x^{3}-y^{2}-3 x+2 y $ 의 극값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_{x}=3 x^{2}-3, f_{y}=-2 y+2 $ 이므로 $ f_{x}=f_{y}=0 $ 을 만족하는 점은 $ (-1,1) $ 과 $ (1,1) $ 이다. $ f_{x x}=6 x, f_{\nu y}=-2, f_{x y}=0 $ 이므로 $ D=-12 x $ 이다.<ol type=1 start=1><li>$ (-1,1) $ 인 경우 $ D=12>0 $ 이고 $ f_{x x}(-1,1)=-6<0 $ 이므로 $ f(-1,1)=3 $ 은 극댓값이다.</li> <li>$ (1,1) $ 인 경우 $ D=-12<0 $ 이므로 점 $ (1,1,-1) $ 은 안장점이다.</li></ol></p> <p>유제 $ 15.4.2 $ $ f(x, y)=x^{3}-3 x y+y^{3} $ 의 극값과 안장점을 구하여라.</p> <h1>15장 연습문제</h1> <p>$ 01 $ 다음 함수에 대하여 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 일 때의 극한을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} $</li> <li>$ f(x, y)=\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $</li> <li>$ f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} $</li> <li>$ f(x, y)=\frac{\sin x y}{x y} $</li></ol> <p>$ 02 $ 다음 함수에 대하여 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 에서 연속성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. $</li> <li>$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x y}{x y}, & x y \neq 0 \\ 0, & x y=0\end{array}\right. $</li></ol> <p>$ 03 $ 다음 함수의 편도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=\frac{x-y}{x+y} $</li> <li>$ f(x, y)=\cos \frac{y}{x} $</li> <li>$ f(x, y)=\tan ^{-1} \frac{y}{x} $</li> <li>$ f(x, y)=e^{x^{2} y} $</li></ol> <p>$ 04 $ 연쇄법칙을 사용하여 다음 함수의 도함수 $ \frac{d z}{d t} $ 를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ z=x^{2} \ln \left(x+y^{2}\right), \quad x=\sin t, \quad y=t^{2} $</li> <li>$ z=\tan ^{-1}\left(x^{2}+y\right), \quad x=e^{t}, \quad y=\cos t $</li></ol> <p>$ 05 $ 연쇄법칙을 사용하여 다음 함수의 편도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ z=x^{2} \ln \left(x+y^{2}\right), \quad x=r \sin \theta, \quad y=r \cos \theta $</li> <li>$ z=e^{x^{2} y}, \quad x=u^{2}+v^{2}, \quad y=u v $</li></ol> <p>$ 06 $ 음함수 미분법을 사용하여 다음 함수의 도함수 또는 편도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ x^{3}+x^{2} y-3 y=0 $</li> <li>$ x^{3}+3 x^{2} y+3 x z^{2}+3 y^{2} z+y^{3}+z^{3}=1 $</li></ol> <p>$ 07 x+y+z=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $ 일 때 $ \frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x} $ 를 구하여라.</p> <p>$ 08 z=f(x, y) $ 이고 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 일 때, 다음 식이 성립함을 보여라.\[ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}=\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^{2} \]</p> <p>$ 09 $ 다음 함수에 대하여 극값과 안장점을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x^{3}+6 x y+3 y^{2}+2 $</li> <li>$ f(x, y)=x \sin y,-\pi<y<\pi $</li> <li>$ f(x, y)=\sin x+\sin y+\sin (x+y), 0<x<\pi, 0<y<\pi $</li></ol> <p>$ 10 $ 원점으로부터 곡면 $ z^{2}=x^{2}(1+y)+2 $ 까지 최단거리에 있는 곡면 위의 점과 최단거리를 구하여라.</p> <h1>15.1. 다변수 함수</h1> <h2>15.1.1 다변수 함수의 정의와 그래프</h2> <p>먼저 이변수 함수의 정의를 살펴보자. $ D $ 는 이차 공간 $ R^{2}=\{(x, y) \mid x, y \in R\} $ 의 부분집합이라 하자. $ D $ 의 임의의 원소 $ (x, y) $ 에 대하여 한 개의 실수 $ z $ 를 대응시키는 함수 $ f: D \rightarrow R, z=f(x, y) $ 를 이변수 함수라고 한다. 이때 $ D $ 는 $ f $ 의 정의역, $ x, y $ 는 독립변수, $ z $ 는 종속변수, $ G_{f}=\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\} $ 는 $ f $ 의 그래프라고 한다. $ D $ 에 관한 언급이 없을 때는 $ f(x, y) $ 가 의미를 갖는 모든 $ (x, y) $ 들의 집합으로 간주한다.</p> <p>일반적으로 $ D $ 가 $ n $ 차 공간 $ R^{n}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in R\right\} $ 의 부분집합일 때 $ D $ 의 임의의 원소 $ \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $ 에 대하여 한 개의 실수 $ z $ 를 대응시키는 함수 $ f: D \rightarrow R, z=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $ 를 $ n $ 변수 함수라고 한다. 이변수 이상의 함수를 통틀어 다변수 함수라고 한다.</p> <p>예제 $ 15.1.1 $ 함수 $ z=1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}, x \geq 0, y \geq 0 $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>그래프 $ G_{f}=\left\{(x, y, z) \mid z=1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}, x \geq 0, y \geq 0\right\} $ 은 세 점 $ (2,0,0),(0,3,0),(0,0,1) $ 을 지나는 평면 중에서 $ x y $ 평면 제 $ 1 $ 사분면의 위쪽 부분이다.</p> <p>예제 $ 15.1 .2 $ 다음 함수의 정의역을 구하고 그래프를 그려라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} $</li> <li>$ z=x^{2}+y^{2} $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>정의역은 $ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} $ 이고 그래프는 $ G_{f}=\left\{(x, y, z) \mid z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\} $ 이다. 즉, 원점을 중심으로 하고 반지름이 $ 1 $ 인 구면의 $ x y $ 평면 위쪽부분이다.</li> <li>정의역은 $ D=R^{2} $ 이고 그래프는 $ G_{f}=\left\{(x, y, z) \mid z=x^{2}+y^{2}\right\} $ 이다. 즉, 원점을 꼭지점으로 하고 $ x y $ 평면 위쪽으로 향하는 포물면으로 $ z=c>0 $ 를 고정시키면 점 $ (0,0, z) $ 를 중심으로 하고, 반지름이 $ \sqrt{z} $ 인 원을 그린다.</li></ol> <p>유제 $ 15.1.2 $ 함수 $ z=\sqrt{y-x^{2}} $ 의 정의역을 구하고 그래프를 그려라.</p> <p>정리 $ 15.1.3 $ 이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 가 점 $ (a, b) $ 에서 연속이면 다음이 성립한다. $ \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y) &=\lim _{x \rightarrow a y \rightarrow b} \lim _{y \rightarrow y}(x, y) \\ &=\lim _{y \rightarrow b} \lim _{x \rightarrow a} f(x, y) \end{aligned} $</p> <p>예제 $ 15.1.5 $ 의 $ (2) $에서 정의된 함수 $ f(x, y) $ 에 대하여 $ \lim _{x \rightarrow 0 y \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0}{x^{2}}=0 $, $ \operatorname{limlim}_{y \rightarrow 0 x \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{0}{y^{2}}=0 . $ 그러나 예제 $ 15.1.3 $의 $ (1) $에서 정의된 함수 $ f(x, y) $ 에 대하여 $ \lim _{x \rightarrow 0 y \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0}(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}=1 $, $ \lim _{y \rightarrow 0 x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0}(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1 . $</p> <h1>15.2. 편도함수</h1> <p>이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 에 대하여 $ y=b $ 로 고정시키면, $ x $ 만의 일변수 함수 $ g(x)= $ $ f(x, b) $ 가 된다. 만일 $ g(x)=f(x, b) $ 가 $ x=a $ 에서 미분가능하면 $ g^{\prime}(a)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{g(a+\Delta x)-g(a)}{\Delta x} $ 이 존재한다. 이때 $ z=f(x, y) $ 는 점 $ (a, b) $ 에서 $ x $ 에 관하여 편미분가능하다고 하고 $ g^{\prime}(a) $ 를 $ f_{x}(a, b) $ 로 나타낸다. 즉, $ f_{x}(a, b)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x, b)-f(a, b)}{\Delta x} $ 이고, $ f_{x}(a, b) $ 를 점 $ (a, b) $ 에서 $ f $ 의 $ x $ 에 관한 편미분계수라고 한다.</p> <p>마찬가지로 점 $ (a, b) $ 에서 $ f $ 의 $ y $ 에 관한 편미분계수는 $ f_{y}(a, b)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(a, b+\Delta y)-f(a, b)}{\Delta y} $ 로 정의된다.</p> <h2>15.1.2 다변수 함수의 극한과 연속성</h2> <p>이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 에 대하여 $ (x, y) \neq(a, b) $ 인 임의의 점 $ (x, y) $ 가 점 $ (a, b) $ 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $ f(x, y) $ 가 실수 $ L $ 에 한없이 가까워지면 $ \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=L $ 로 나타내고, $ L $ 은 점 $ (a, b) $ 에서 $ f(x, y) $ 의 극한값이라고 한다.</p> <p>일변수 함수 $ y=f(x) $ 에 대한 극한은 $ x $ 가 $ a $ 에 한없이 가까워지는 두 가지 경우, 즉 좌극한과 우극한만을 고려하면 되었다. 그러나 이변수 함수의 경우에는 점 $ (x, y) $ 가 점 $ (a, b) $ 에 한없이 가까워지는 경우가 무수히 많기 때문에 극한값을 구하는 문제가 더욱 복잡함에 유의하여야 한다.</p> <p>예제 $ 15.1.3 $ 다음의 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} $</li> <li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} $</li></ol> <p>풀이</p> <p>$ (1) $ 먼저 $ x $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 인 경우를 고려하면 $ \lim _{x \rightarrow 0, y=0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=1 . $ 다음으로 $ y $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 인 경우를 고려하면 $ \lim _{x=0, y \rightarrow 0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{0^{2}-y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=-1 . $ 따라서 극한값은 존재하지 않는다.</p> <p>$ (2) $ 먼저 $ x $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 인 경우를 고려하면 $ \lim _{x \rightarrow 0, y=0} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=0 .$ 같은 방법으로 $ y $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 인 경우를 고려하면 $ \lim _{x=0, y \rightarrow 0} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=0 .$ 이제 직선 $ y=x $ 를 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 인 경우를 고려하면 $ \lim _{x \rightarrow 0, y=x} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2} . $ 따라서 극한값은 존재하지 않는다.</p> <p>유제 $ 15.1.3 $ 다음의 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} $</li> <li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0} \frac{x \sqrt{y}}{x^{2}+y} $</li></ol> <p>위의 예제와 같이 극한값이 존재하지 않는 경우는 $ (x, y) $ 가 점 $ (a, b) $ 에 한없이 가까워지는 여러 가지 경우 중에서 극한값이 다르게 나오는 두 가지 경우를 찾으면 된다. 그러나 극한값이 존재하는 경우는 다음의 정의가 유용하게 사용된다.</p>	자연
m997-위상수학	<p>[예제 14.3.17] 그림 $ 14.14 $ 에 주어진 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상 디지털이미지 $ (X, 8) $ 과 $ (Y, 8) $ 은 8-동형이다. 구체적으로 $ f:(X, 8) \rightarrow(Y, 8) $ 에 대하여</p> <p>$ x_ { 1 } \rightarrow y_ { 6 } \\ $ $ x_ { 2 } \rightarrow y_ { 5 } \\ $ $ \vdots \\ $ $ x_ { 6 } \rightarrow y_ { 1 } $</p> <p>에 의하여 $ (X, 8) $ 과 $ (Y, 8) $ 은 8-동형이다.</p> <p>디지털 $ k $-동형함수를 기반으로 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상의 디지털이미지 $ (X, k) $ 들의 모임을 $ D $ 라 할 때 $ D $ 상에 콴계를 $ X, Y \in D $ 에 대하여 ' $ { } _ { X } R_ { Y } \Leftrightarrow(X, k) $ 와 $ (Y, k) $ 는 $ k $-동형이다'라고 설정하면 관계집합 $ (D, R) $ 은 동치관계집합이 되므로 $ k $-동형함수가 디지털이미지의 분류에 효과적으로 활용된다.</p> <p>14.3절에서 다룬 디지털위상수학의 기본개념과 디지털연속함수, 디지털동형함수등을 활-용하여 다음 분야를 연구한다.</p> <ol type=1 start=1><li>디지털이미지 $ (X, k) $ 의 $ k $-세선화 ( $ k $-thinning)</li> <li>Rosenfeld 디지털위상수학을 기반으로 한 부동점이론 연구</li> <li>디지털이미지의 축소 (retract) 및 확대</li> <li>디지털위상수학 측면에서 호모토피 이론 연구</li> <li>$ k $-호모토픽 세선화(k-homotopic thinning) 연구</li> <li>이미지 프.로세싱 (image processing) 분야에 적용</li> <li>디지털 위상수학을 기반으로 한 대수적 위상수학 (디지털 $ k $-호모토피군, 디지털 $ k $-호모로지군, 디지털 $ k $-코호모로지군 등)</li> <li>디지털 $ k $-다양체 연구</li></ol> <p>주의 14.1.7 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , d \right ) $ 의 부분공간이 아니다.</p> <p>증명 유클리드 거리공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , d \right ) $ 의 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 에 대한 상대위상은 이산위상공간이기에 부분거리공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , d_ {\mathbb { Z } ^ { n } } \right ) $ 은 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \mathscr { D } \right ) $ 이다. 그러므로 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 과 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \mathscr { D } \right ) $는 위상동형이 될 수 없다.</p> <p>이제 유클리드 거리공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , d \right ) $ 와 비교하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 특성을 알아보기 위하여 알레산드로프 위상구조 (Alexandroff topological structure)를 소개한다.</p> <p>정의 14.1.8 위상공간 $ (X, \mathscr { J } ) $ 의 임의의 점 $ x( \in X) $ 가 최소열린근방 (minimal open neighborhood $ ) S N(p)( \subset X) $ 를 가지면 $ (X, \mathscr { J } ) $ 를 알렉산드로프 위상공간 (Alexandroff topological space)이라 한다.</p> <p>정리 14.1.9 $ n $ 차원 카림스키-위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 알레산드로프 위상공간이다.</p> <p>증명 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 상의 임의의 점 $ p= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in \mathbb { Z } ^ { n } $ 을 택하자.</p> <ol type=i start=1><li>점 $ p $ 가 순수닫힌점인 경우는 $ S N_ { K } (p)= \prod_ { i=1 } ^ { n } \left [x_ { i } -1, x_ { i } + 1 \right ]_ { z } $ 가 되어서 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 정의에 의하여 $ S N_ { K } (p) \in \kappa ^ { n } $ 이다.</li> <li>점 $ p $ 가 순수열린점인 경우는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 정의에 대하여 $ S N_ { K } (p)= $ $ \{ p \} $ 이다.</li> <li>점 $ p $ 가 혼합된 점인 경우에는 주어진 점 $ p $ 의 좌표성분 $ x_ { i } \left (i \in[1, n]_ { z } \right ) $ 가 홀수 혹은 짝수가 되느나에 따라서 $ S N_ { K } (p) $ 의 형태가 결정된다. 여 기서 주어진 좌표성분 $ x_ { i } $ 가 짝수이면 $ x_ { i } $ 를 $ x_ { i_ { 0 } } $ 로 표시하고, $ x_ { i } $ 가 홀수이 면 $ x_ { i } $ 를 $ x_ { i_ { 1 } } $ 으로 표시하자. 그리고 $ M_ { 0 } = \left \{ i_ { 0 } \mid i_ { 0 } \right . $ 는 $ x_ { i_ { 0 } } $ 의 첨자이다 $ \} $, $ M_ { 1 } = \left \{ i_ { 1 } \mid i_ { 1 } \right . $ 는 $ x_ { i_ { 1 } } $ 의 첨자이다 $ \} $ 로 놓으면 $ M_ { 0 } \cup M_ { 1 } =[1, n]_ { z } $ 이다. 그러면<p>$ S N_ { K } (p)= \prod_ { i \in M_ { 0 } \cup M_ { 1 } } B_ { i } , \left \{\begin {array} { ll } B_ { i } = \left [x_ { i } -1, x_ { i } + 1 \right ]_ { Z } , & i \in M_ { 0 } \\ B_ { i } = \left \{ x_ { i } \right \} , & i \in M_ { 1 } \end {array} \right . $</p>이다. 따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 각 $ S N_ { K } (p) $ 는 $ p $ 의 최소열린근방 이다.</li></ol> <p>정의 14.1.2 $ \mathbb { Z } $ 상에서 $ \boldsymbol { S } = \left \{ [2 m-1,2 m + 1]_ {\boldsymbol { Z } } \mid { } ^ {\forall } \mathrm {\forall } \in \mathbb { Z } \right \} $ 을 부분기 (sub-base $ ) $ 로 하여 생성되는 위상 $ \mathscr { T } _ { s } $ 를 $ \mathbb { Z } $ 상의 Khalimsky 위상이라 하고 위상공간 $ ( \mathbb { Z } $, $ \left . \mathscr { I } _ {\mathcal { S } } \right ) $ 를 카림스키 선위상공간 (Khalimsky line topology)이라 하고 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 로 표시한다. 즉 $ \mathscr { T } _ {\boldsymbol { s } } := \kappa $ 이다.</p> <p>정의 14.1.2에서 알 수 있둣이 $ \mathbb { Z } $ 상에서 부분기 $ \boldsymbol { S } = \left \{ [2 m-1,2 m + 1]_ {\mathbb { Z } } \mid \exists \forall \right . $ $ m \in \mathbb { Z } \} $ 에 의하여 생성되는 기저 (base)는 $ \mathscr { B } _ {\boldsymbol { s } } = \left \{ [2 m-1,2 m + 1]_ {\mathbb { Z } } , \{ 2 m + 1 \} \mid \right . $ $ m \in \mathbb { Z } \} $ 임을 알 수 있다. 이 $ \mathscr { B } s $ 에 의하여 생성되는 $ \mathbb { Z } $ 상의 위상 $ \kappa $ 를 얻는다.</p> <p>[예제 14.1.3] 그림 14.1에서 알 수 있둣이 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 상에서 짝수 $ 2 m( \in \mathbb { Z } ) $ 을 원소로 갖는 가장 작은 열린집합은 $ [2 m-1,2 m + 1]_ { z } = \{ 2 m-1,2 m, 2 m + 1 \} $ 이고, 홀수 $ 2 m + 1( \in \mathbb { Z } ) $ 을 원소로 갖는 가장 작은 열린집합은 $ \{ 2 m + 1 \} $ 이다.</p> <p>디지털그림 $ P:= \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 에서 두 점 $ p, q( \in X) $ 가 $ k $-인접 ( $ k $-adjacent $ ) $ 일 때 두 점 $ p $ 와 $ q $ 가 인접이라고 한다. 그리고 두 점 $ p, q \left ( \notin \mathbb { Z } ^ { n } -X \right . $ 인 경우, $ p \in X, q \in \mathbb { Z } ^ { n } -X $ 인 경우 혹은 $ p \in \mathbb { Z } ^ { n } -X, q \in X $ 인 경우)가 $ \bar { k } $-인접일 때 두 점 $ p $ 와 $ q $ 가 인접이라 한다. 그리고 디지털그림 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 를 축약하여 $ (k, \bar { k } ) $-디지털그림이라고 부르기도 한다.</p> <p>참고 14.3.3 경의 14.3.1과 예제 14.3.2에서 알 수 있듯이 $ \mathbb { Z } , \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 상에서 제시된 디지털 $ k $-인접들의 숫자 $ k $ 는 주어진 점(그림 $ 14.6 $ 참조) $ p $ 로부터 정의 $ 14.3 .1 $ 을 만족하는 점 $ q $ 의 개수를 의미한다.</p> <p>$ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에서 하나의 $ k ^ { - } $인접을 택하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k \right ) $ 를 생각하자. 이때 한 점 $ p \in \mathbb { Z } ^ { n } $ 의 $ k $-근방 ( $ k $ neighbor)은 점 $ p $ 와 $ k $-인접한 점 $ q \left ( \oplus \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 들의 모임이다. 점 $ p $ 의 $ k $-근방을 $ N_ { k } (p) $ 로 표시한다. 즉</p> <p>증명 임의의 점 $ p \in \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 에 대하여 만약 $ p $ 가 짝수점이면 $ \overline {\{ p \} } = \{ p \} $ 이므로 $ \{ p \} $ 가 닫힌집합이고, 만약 $ p $ 가 홀수점이면 $ S N_ { M } (p)= \{ p \} $ 이므로 $ \{ p \} $ 가 열린집합이다.</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 거리화 가능 여부를 알아본다.</p> <p>정리 14.2.13 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 거리화 가능 공간이 아니다.</p> <p>증명 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니므로 거리화 가능공간이 될 수 없다. 즉, $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 정칙공간이 아니므로 정리 $ 10.4 .12 $ 에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 거리화 가능 공간이 아니다.</p> <p>정리 14.2.14 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 국소유한 위상공간이다.</p> <p>증명 임의의 $ p \left ( \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $ 에 대하여 $ \left \|S N_ { M } (p) \right \| $ 가 유한이다.</p> <p>지금까지 $ M $-위상공간의 다양한 성질을 알아보았다. 이를 바탕으로 두 개의 $ M- $ 위상부분공간 $ \left (X, \gamma_ { X } \right ), \left (Y, \gamma_ { Y } \right ) $ 에 대하여 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 의 연속성, 위상동형사상 등을 다룰 수 있다. 앞에서 다룬 $ M $-위상공간의 다양한 성질은 다음 분야에 활용될 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>2차원 유클리드 공간올 $ M $-위상구조를 기반한 이산화 (digitization) 작업</li> <li>$ M $-위상구조로부터 유도되는 위상그래프 (topological graph) 이른 연구</li> <li>$ M $-위상부분공간의 축소 (retract) 및 확대 성질 연구</li> <li>$ M $-위상 범주에서 호모토피 이론 연구</li> <li>$ M $-호모토피를 활용한 세선화 작업</li> <li>$ M $-위상구조를 활용한 이미지프로세싱 (image processing) 분야 연구</li></ol> <p>따름정리 14.1.11 $ n $ 차원 카림스키 위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 부분집합 $ X= \left \{ x \in \mathbb { Z } ^ { n } \mid x \right . $는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 순수열린점이다 $ \} $ 는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 조밀부분집합이다.</p> <p>따름정리 14.1.12 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 린델뢰프 공간이다.</p> <p>증명 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 정의에 의하여 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 의 임의의 열린덮개는 가산 열린부분덮개를 갖는다.</p> <p>따틈정리 14.1.13 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 가분공간이다.</p> <p>증명 따름정리 14.1.11에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 온 가산인 조밀한 부분집합을 갖는다.</p> <p>정리 14.1.14 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 연결공간이다.</p> <p>중명 먼저 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 가 연결공간임은 명백하다. 왜냐하면 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 는 공집합이 아니면서 서로소인 두 개의 열린집합의 합집합이 아니기 때문이다 (연습문제 $ 11.1 $ 의 문제 20 참조). 귀류법을 사용하여 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 가 공집합이 아니면서 서로소인 두 개의 열린집합 $ U, V( \in \kappa) $ 가 합집합이라고 가정하자. 이제 임의의 점 $ p \in U $ 와 $ q \in V $ 를 택하면, $ p, q \in \mathbb { Z } $ 이므로 $ \mathbb { Z } $ 상에서 유한점렬 $ \left \langle x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \rangle $ 이 존재하여 $ x_ { 0 } =p $ 이고 $ x_ { n } =q $ 이면서 임의의 점 $ x_ { i } \left ( \in \left \langle x_ { i } \right \rangle_ { i \in[0, n]_ { z } } \right ) $ 에 대하여 $ x_ { i } \in S N_ { K } \left (x_ { i-1 } \right ) $ 혹은 $ x_ { i-1 } \in S N_ { K } \left (x_ { i } \right ) $ 가 성립한다. 이제</p> <p>그립 $ 14.9 $ 에서 주어진 집합 $ X $ 를 4-인접을 고려할 때 $ (X, 4) $ 는 4 -연결 디지털이미지이다. 만약 그립 $ 14.8 $ 의 집합 $ X $ 를 4-인접만계로 가정하면 $ (X, 4) $ 는 세 개의 4-성분으로 구성되어 있음을 알 수 있다. 한편 그림 14.9에서 주어진 디지털이미지 $ (X, 4) $ 는 한 개의 4 -성분으로 구성되어 있다.</p> <p>이제 디지털이미지 $ (X, k) $ 상에서 $ k $-경로 ( $ k $-path), 단순 $ k $-경로 (simple $ k $-path), 단순 $ k $-닫힌곡선 (simple, closed $ k $-curve) 등을 소개한다.</p> <p>정의 $ 14.3 .5 $</p> <ol type=1 start=1><li>디지털이미지 $ (X, k) $ 에서 $ x, y \in X $ 에 대하여 $ x $ 로부터 $ y $ 까지 의 $ k $-경로 ( $ k $-path)는 유한 점렬 $ \left \langle x=x_ { 0 } , x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { m } =y \right \rangle( \subset X) $ 로서 임의의 $ i \in \subset[0, m-1]_ { z } $ 에 대하여 $ x_ { i } $ 와 $ x_ { i + 1 } $ 은 $ k $-인접임을 의미한다. 이 때 $ m $ 올 주어진 $ k $-경로의 길이 (length)라 한다. 만약 $ k $-경로에서 $ x_ { 0 } =x_ { m } $ 이면 주어진 $ k $-경로는 닫혔다 (closed)라고 한다.</li> <li>만약 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k \right ) $ 상에서 단순 $ k $-경로 $ \left \langle x_ { i } \right \rangle_ { i \in(0, m)_ { 2 } } $ 가 $ x_ { i } $ 와 $ x_ { j } $ 가 $ k ^ {\text { -인접이기 위 } } $ 한 필요충분조건온 $ \|i-j\|=1( \bmod m), i, j \in[0, m-1]_ { z } $ 이라면 주어진 $ k- $ 경로를 단순 $ k $-경로 (simple $ k $-path)라고 한다.</li> <li>만약 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k \right ) $ 에서 단순 $ k $-경로 $ \left \langle x_ { i } \right \rangle_ { i \in[0, m]_ { z } } $ 가 $ x_ { 0 } =x_ { m } $ 이면 주어진 단순 $ k $-경로를 단순 $ k $-닫힌곡선 (simple closed $ k $-curve)이라 한다 (그림 $ 14.10 $ 참조). $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k \right ) $ 상에서 $ l $ 개의 점으로 구성된 단순 $ k $ 곡선을 $ S C_ { k } ^ { n, l } $ 이라고 표시한다.</li></ol> <p>앞서 언급한 $ (X, k) $ 의 $ k $-연결성을 정의 $ 14.3 .5 $ 에서 소개한 $ k $-경로를 사용하여 다음과 같이 설명할 수 있다. 디지털이미지 $ (X, k) $ 에서 서로 다른 두 개의 점 $ x, y \leqq X $ 를 택앴을 때 $ x $ 에서 $ y $ 로의 $ k $-경로가 $ X $ 에 존재하면 $ (X, k) $ 를 $ k $-연결 ( $ k $-connected) 이라고 한다.</p> <p>$ N_ { k } (p):= \left \{ q \in \mathbb { Z } ^ { n } \mid p \right . $ 와 $ q $ 는 $ k $-인접이다 $ \} \cup \{ p \} $</p> <p>이다.</p> <p>$ \mathbb { Z } , \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 상에서 제시된 디지털 $ k $-인접을 사용하여 1 차원, 2 차원 및3 차원 격자공간의 이산도형 (이산객체)을 수학적으로 표현하고 온용할 수 있게 된다(그림 $ 14.7 $ 참조).</p> <p>이제 $ n $ 차원 이산공간 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 에 소개된 디지털 $ k $-인접 (정의 $ 14.3 .1 $ 참조)을 조합수학적 방법(combinatorial method)을 이용하여 다음과 같이 숫자 $ k $ 를 밝혔다.</p> <p>성질 14.3.4 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에서 디지털 $ k ^ { - } $인접은 다음과 같다.</p> <p>$ k:=k_ { m } = \sum_ { i=n-m } ^ { n-1 } 2 ^ { n-i } C_ { i } ^ { n } $</p> <p>증명 자세한 증명은 참고문헌 [8], [11], [12]를 참조하기 바란다.</p> <p>식 (14-1)을 이용하여 우리는 $ Z ^ { n } $ 상의 $ k $-인접을 계산할 수 있다(정의 $ 14.3 .1 $ 참조). 예를 들면 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathrm { Z } ^ { 3 } , \mathrm { Z } ^ { 4 } , \mathrm { Z } ^ { 5 } $ 에서 다음과 같은 디지털 $ k $-인접을 얻을 수 있다.</p> <p>$ (n, m, k) \subseteq \left \{\begin {array} { l } (2,2,8),(2,1,4) ; \\ (3,3,26),(3,2,18),(3,1,6) ; \\ (4,4,80),(4,3,64),(4,2,32),(4,1,8) ; \\ (5,5,242),(5,4,210),(5,3,130),(5,2,50),(5,1,10) \end {array} \right \} $</p> <p>이제 디지털이미지 $ (X, k) \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 에 대하여 $ k $-인접을 이용하여 디지털연결성 (digital connectivity) 개념 등을 다음과 같이 도입한다.</p> <ol type=1 start=1><li>디지털이미지 $ (X, k) $ 상에서 한 점 $ p \in X $ 와 부분집합 $ A( \subset X, p \notin A) $ 에 대하여 만약 점 $ p $ 가 $ A $ 의 어떤 점과 $ k $-인접하면 점 $ p $ 와 $ A $ 가 $ k $-인접이라고 한다.</li> <li>두 개의 서로소인 부분집합 $ A, B( \subset X) $ 에 대하여, 만약 $ a( \in A) $ 와 $ b( \in B) $ 가 존재해서 $ a $ 와 $ b $ 가 존재해서 $ a $ 와 $ b $ 가 $ k {\text { -인접 } } $이면 두 집합 $ A $ 와 $ B $는 $ k {\text { -인접 } } $이라 한다(그림 14-8 참조).</li> <li>디지털이미지 $ (X, k) $ 가 $ k $-인접하지 않는 두 개의 서로소인 부분집합 $ A $, $ B( \subset X) $ 로 분리되지 않으면 $ (X, k) $ 는 $ k $-연결이라고 한다.</li> <li>디지털이미지 $ (X, k) $ 의 부분집합 $ (A, k)( \subset(X, k)) $ 가 공집합이 아니고, $ X-A $ 의 임의의 점과 $ k ^ { - } $인접하지 않는 $ k $-연결부분집합이면 $ (A, k) $ 를 $ (X, k) $ 의 한 $ k $-성문 ( $ k $-component)이라 한다 (그림 $ 14.8 $ 밎 $ 14.9 $ 참조).</li></ol> <p>예를 들면 그림 $ 14.8 $ 에서 $ (X, 8)(X=A \cup B) $ 이라 할 때 $ (A, 8) $ 과 $ (B, 8) $ 은 8-인접이다. 그리고 $ (X, 8) $ 의 8-성분은 $ X $ 자기 자신이다.</p> <p>(3)에서 언급한 Rosenfeld model은 컴퓨터과학 분아에서 매우 많이 활용되고 있다. $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에 있는 점을 픽셀(pixel)이라 부르고, $ \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 상에 있는 점을 복셀(voxel)이라 부르며, $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에 있는 점을 $ n $-xel이라 부른다. Rosenfeld는 1971 년에 $ \mathbb { Z } , \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 에서 활용되는 디지털 $ k $-인접을 소개하였다. 이를 기반으로 Rosenfeld의 $ k $-인접을 일반화하여 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 에서 활용되는 디지털 $ k ^ { - } $ 인접이 저자에 의하여 개발되었다(정의 14.3.1 참조).</p> <p>$ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 에 $ k $-인접을 고려한 $ (X, k) $ 를 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 에서 디지털이미지(digital image)라고 부른다. $ (X, k) $ 에서 디지털 $ k $-근방 개념을 도입하여 함수의 디지털 $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-연속성. 디지털 $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-동형사상을 기반으로, 디지털 $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-호모토피, 디지털 $ k $-호모토픽 세선화 (thinning) 등이 개발된다. 이를 바탕으로 디지털곡선론과 디지털곡면론을 심층적으로 다룰 수 있고 디지털위상공간의 곱성질을 연구하는 데 활용된다. 이를 기반으로 디지털호모로지 이론, 디지털호모토피 이론, 디지털코호모로지 이론 등이 정립된다.</p> <p>(4)에서 언급한 Kovalevsky model도 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 의 각 원소를 중심으로 한 정 $ n $ 각형들의 모임으로서 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 을 인식하고 bounding relation을 이용하여 디지털공간을 생성한다.</p> <p>마지막으로 $ (5) $ 에서 언급한 space set 위상공간은 최근에 컴뮤터기하학 분아에 활용될 수 있는 국소유한 위상공간(기존의 point set topology, simplicial complex, polygon 등과 다름)이고, 근방관계에 의한 디지털공간을 생성하여 컴퓨터기하학 분야의 공간을 다루는 데 절대적으로 활용될 것으로 기대된다.</p> <p>참고문헌에 의하여 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이 정의되었지만 다음과 같이 정의하면 훨씬 더 유용하다 ([7] 참조).</p> <p>정의 14.1.19 위상공간 $ (X, \mathscr { J } ) $ 의 임의의 한원소집합이 열린집합이거나 닫힌집합이면 $ (X, \mathscr { T } ) $ 는 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이라고 한다.</p> <p>$ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이기 위한 조건을 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 분리공리라고 한다.</p> <p>$ \overline {\overline {\text { 성질 14.1.20 } } } ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 는 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이다.</p> <p>증명 임의의 점 $ p \in \mathbb { Z } $ 에 대하여 $ p $ 가 짝수이면 $ \{ p \} $ 는 닫힌집합이고 $ p $ 가 홀수이면 $ \{ p \} $ 는 열린집합이다.</p> <p>$ \overline {\text { 성질 14.1.21 } } $ (1) $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 에서 $ n \geq 2 $ 이면 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이 아니다. (2) $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ T_ { 0 } $ 공간이다.</p> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 에서 $ n \geq 2 $ 일 때 혼합된 점 (mixed point)으로 구성된 한원소 집합은 열린집합도 닫힌집합도 아니다.</li> <li>서로 다른 임의의 두 원소 $ p, q \left ( \in \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 를 택하면 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 정의에 의하여 적어도 하나의 $ S N_ { K } (p) $ 와 $ S N_ { K } (q) $ 가 존재하여(사실은 $ S N_ { K } (p) $ 와 $ S N_ { K } (q) $ 모두 존재함) $ q \notin S N_ { K } (p) $ 이거나 $ p \notin S N_ { K } (q) $ 이다.</li></ol> <p>따름정리 14.1.22 분리공리 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 은 곱성질이 아니다.</p> <p>$ \mathscr { B } _ { D } = \{ B(m, n) \mid m, n \in \mathbb { Z } \} $,</p> <p>$ B(m, n)= \left \{\begin {array} { ll } \{ (m, n) \} , & m \text { 과 } n \text { 모두 홀수이다. } \\ \{ (m + a, n) \mid a \in \{ -1,0,1 \} \} , & m \text { 은 짝수이고 } n \text { 은 홀수이다. } \\ \{ (m, n + b) \mid b \in \{ -1,0,1 \} \} , & m \text { 은 홀수이고 } n \text { 은 짝수이다. } \\ \{ (m + a, n + b) \mid a, b \in \{ -1,0,1 \} \} , m \text { 과 } n \text { 은 모두 짝수이다. } \end {array} \right . $</p> <p>즉, $ \mathscr { B } _ { D } $ 를 기저로 하여 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에 생성된 위상 $ \mathscr { I } _ {\mathscr { B } _ { p } } $ 가 $ \kappa ^ { 2 } $ 이다. 축약하면, $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathscr { T } _ {\mathscr { B } _ { p } } \right ) $ $ = \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 이다.</p> <p>[예제 14.1.6] $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 을 카림스키 디지털 평면 (Khalimsky digital plane)이라 부른다. $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상의 점 $ p=(0,0) $ 을 중심으로 볼 때 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 상에서 $ p $ 를 원소로 갖는 가장 작은 열린집합 $ S N_ { K } (p) $ 는 아홉 개 점으로 구성된 집합</p> <h1>제 14 장 디지털 위상 수학</h1> <p>컴퓨터과학의 발달과 함께 필수적으로 수반되는 수학 분야가 바로 디지털기하학(혹은 디지털 위상수학)과 컴퓨터기하학 분야이다. 왜나하면 컴퓨터스크린은 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 의 유한부분집합인 디지털공간이기 때문이다(정의 14.1,1 참조). 디지털공간의 대표적인 에는 다음과 같다.</p> <ol type = 1 start=1><li>Khalimsky 위상구조로부터 유도된 인접관계를 기반한 집합 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ (Khalimsky model이라 부름)</li> <li>Marcus-Wyse 위상구조로부터 유도된 인접관계를 기반한 집합 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ (Marcus-Wyse model이라 부름)</li> <li>디지털 $ k $-인접관계를 바탕으로 한 집합 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ (Rosenfeld model이라 부름)</li> <li>Bounding relation을 갖는 abstract cell complex(Kovalevsky model이라 부름)</li> <li>Neighborhood relation을 갖는 space set 위상공간[15] (특별한 형태의 Alexandroff 국소유한인 위상공간임, 컴퓨터기하학 분야에 많은 응용이 기대됨)</li></ol> <p>(1)에서 언급한 디지털공간의 Khalimsky model(축약하여 K-model이라 부름)을 구체적으로 알아본다. $ \mathbb { Z } $ 상에서 $ \left \{ [2 n-1,2 n + 1]_ {\mathbf { Z } } \mid n \in \mathbb { Z } \right \} $ 을 부분기 (subbase) 로 하여 유도되는 $ \mathbb { Z } $ 상의 위상공간을 Khalimsky 디지털선 (혹은 Khalimsky 1 자원 공간)이라 하고 기호로서 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 로 표시한다. 더 나아가, $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 의 곱위상으로서 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 이 생성되고, 이를 Khalimsky $ n $ 차원 공간이라 한다. 임의의 부분집합 $ X \subset \mathbb { Z } ^ { n } $ 에 대하여 부분공간으로서 $ \left (X, \kappa_ { X } ^ { n } \right ) $ 를 만든 후 자연스럽게 Khalimsky 연속함수. Khalimsky 위상동형사상 등이 만들어진다. 그런데 Khalimsky 연속함수는 기하변환 즉, 회전이동과 평행이동에 있어서 약간의 제약점을 갖고 있다. 그래서 Khalimsky $ n $ 자원 공간은 대표적인 Alexandroff 위상공간[5]인 점을 활용한다. 즉, $ \left (X, \kappa_ { X } ^ { n } \right ) $ 이 Alexandroff 위상공간이란 임의의 점 $ x \in \left (X, \kappa_ { X } ^ { n } \right ) $ 에 대하여 $ x $ 의 최소열린근방이 존재하는 공간이다. 이것을 $ S N_ { K } (x) $ 라 하겠다. 이때 서로 다른 두 원소 $ x, y \in \left (X, \kappa_ { X } ^ { n } \right ) $ 에 대하여 $ x \Subset S N_ { K } (y) $ 이거나 $ y \Subset S N_ { K } (x) $ 이면 $ x $ 와 $ y $ 는 $ K $-인접이라 한다. 이 $ K $-인접관계에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 디지털공간이 되는 것이다. 더 나아가 $ K $-위상구조로부터 $ K $-위상그래프가 형성되는 것이다. Khalimsky 인접 개념을 활용한 새로운 $ K $-인접함수(축약하여 $ A $-map이라 부름)와 $ A $-동형사상을 만든다. 그러면 $ A $-map은 기하변환을 수행하는 데 있어서 매우 큰 장점이 있다.</p> <p>증명 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 의 한 열린덟개 $ \boldsymbol { U } = \left \{ [2 n-1,2 n + 1]_ {\mathbb { Z } } \mid n \in \mathbb { Z } \right \} $ 를 택하면 유한부 분열린덟개 $ \mathscr { U } _ { 0 } ( \subset \mathscr { U } ) $ 는 존재하지 않는다.</p> <p>그러나 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 유한부분공간은 콤팩트공간이다.</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 이 디지털공간 (digital space)이 됨을 보이기 위하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 에서 유도되는 인접관계를 소개한다.</p> <p>정의 14.1.17 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 상에서 서로 다른 두 점 $ x, y \left ( \in \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 가 $ x \in S N_ { K } (y) $ 이거나 $ y \in S N_ { K } (x) $ 이면 $ x $ 와 $ y $ 는 Khalimsky 인접관계가 있다고 말한다.</p> <p>따름정리 14.1.18 Khalimsky 인접관계에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $은 디지털공간이다.</p> <p>정의 $ 14.1 .5 $ 에서 알 수 있듯이 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 온 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니다.</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 을 분리공리와 관련하여 알아본다.</p> <p>중명 성질 14.1.20에 의하여 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 는 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이고, 성질 $ 14.1 .21(1) $ 에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 은 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이 아니므로 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공리는 곱성질이 아니다.</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 거리화 가능 여부에 대하여 앝아보자.</p> <p>정리 14.1.23 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 거리화 가능 공간이 아니다.</p> <p>중명 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니기에 거리화 가능공간이 될 수 없다(정리 10.4.12의 Nagata-Smirnov 정리 참조).</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 국소유한성(locally finite)을 알아보자.</p> <p>중명 임의의 검 $ p \in \mathbb { Z } ^ { n } $ 에 대하여 정리 $ 14.1 .9 $ 에 의하여 $ S N_ { K } (p) \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 이 존재하고 $ \left \|S N_ { K } (p) \right \| $ 는 유한이다.</p> <p>지금까지 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 의 다양한 성질을 알아보았다. 요약해보면 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ T_ { 0 } $</p> <p>정의 14.3.11 디지털그림 $ p= \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 에서 다음을 정의한다.</p> <ol type=1 start=1><li>만약 한 점 $ p( \in X) $ 가 $ X- \{ p \} $ 의 임의의 점과 $ k $-인접하지 않으면 주어진 점 $ p $ 를 고립된 (isolated) 점이라 한다.</li> <li>만약 한 점 $ p( \in X) $ 가 $ \mathbb { Z } ^ { n } -X $ 의 적어도 한 점 $ q $ 와 $ \bar { k } $-인접이면 주어진 점 $ p $ 를 $ X $ 의 경계점 (border point)이라 한다.</li> <li>만약 한 점 $ p( \in X) $ 가 $ X $ 의 경계점이 아니면 주어진 점 $ p $ 를 $ X $ 의 내부점 (interior point)이라고 한다.</li> <li>$ (X, k) $ 의 한 $ k {\text { -성분 } C } $의 경계 (내부)는 $ \mathcal { C } $ 안에 있는 모든 경계점 (내부점)들의 집합이다.</li></ol> <p>지급까지 디지털그림 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 상에서 디지털위상수학 (Rosenfeld 모델)에 활용되는 기본개념을 소개했다. 이를 바탕으로 디지털 연속함수와 디지털 위상동형함수를 소개한다. 앞으로 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 를 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상의 디지털이미지 $ (X, k) $ 로 읽겠다.</p> <p>정의 14.3.12 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상의 디지털이미지 $ (X, k) $ 에 대하여 한 점 $ x_ { 0 } \in X $ 의 반경이 $ \varepsilon $ 인 디지털 $ k $-근방을 $ N_ { k } \left (x_ { 0 } , \varepsilon \right ) $ 으로 표시하고 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \bigcup_ { i \in[0, n]_ { z } } S N_ { K } \left (x_ { i } \right )=T $</p> <p>라고 놓으면 $ T $ 는 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 에서 연결집합이고, $ T \subset U \cup V= \mathbb { Z } $ 이다. 가정에 의하여 $ T \subset U $ 혹은 $ T \subset V $ 이어야 하는데 이는 모순이다. $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 의 곱위상인데 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 가 연결공간이므로 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 연결공간이다.</p> <p>$ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 이 호상연결 (path connected)임도 명백하다.</p> <p>이제 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 의 임의의 부분집합 $ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 에 대하여 부분위상공간 $ \left (X, \kappa_ { X } ^ { n } \right ) $ 을 얻는다.</p> <p>$ \overline {\text { 따틈정리 14.1.15 } } \mathbb { Z } $ 의 임의의 한 점 $ p( \in \mathbb { Z } ) $ 에 대하여 $ \left ( \mathbb { Z } - \{ p \} , \kappa_ { Z } - \left \{ _ { p } \right \} \right ) $ 은 비연결공간이다.</p> <p>따라서 임의의 점 $ p( \in \mathbb { Z } ) $ 를 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 에서 절단점 (cut point)이라 부른다.</p> <p>정리 14.1.16 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 는 콤팩트공간이 아니다.</p> <p>$ \{ p,(1,0),(1,1),(0,1),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,-1),(1,-1) \} $이다.</p> <p>한편 $ q:=(1,0) $ 이라 할 때 $ q $ 를 원소로 갖는 가장 작은 열린집합 $ S N_ { K } (q)= $ $ \{ q,(1,1),(1,-1) \} $ 이다. 그리고 $ r:=(1,1) $ 이라 할 때 $ r $ 을 원소로 갖는 가장 작연 열린집합 $ S N_ { K } (r)= \{ r \} $ 이다.</p> <p>그림 14.2에서 볼 수 있둣이 카림스키 위상공간을 다룰 때 주어진 점 $ p= \left (x_ { 1 } \right . $, $ \left .x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \left ( \in \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 의 모든 좌표성분 $ x_ { i } $ 가 짝수인 경우 그 점 $ p $ 를 순수닫힌점 (pure closed point)이라 부르고, 표시는 '■'으로 한다. 그리고 주어진 점 $ p $ 의 모든 좌표 성분 $ x_ { i } $ 가 홀수인 경우 그 점 $ p $ 를 순수열린점(pure open point)이라 부른다. 순수 열린점의 표시는 큰 점 '•'을 사용한다. 그리고 순수닫힌점과 순수열린점을 제외한 기타의 점을 혼합된 점 (mixed point)라 부르고 작은 점 '•'으로 표시한다. 그림 $ 14.2 $ 에서 알 수 있듯이 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 에서 점 $ (0,0) $ 은 순수닫힌점이고, 점 $ (1,1) $ 은 순수열린점이고, 점 $ (1,0) $ 은 혼합된 점임을 알 수 있다.</p> <p>정의 $ 14.1 .5 $ 에서 알 수 있둣이 $ n $ 차원 카림스키 공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 은 유클리드 거리 공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , d \right ) $ 와 많은 차이점이 있음을 확인할 수 있다 (예제 $ 14.1 .6 $ 참조).</p> <p>$ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 의 임의의 부분집합 $ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $ 에 대하여 부분위상공간 $ \left (X, \gamma_ { X } \right ) $ 를 얻는다.</p> <p>이제 $ M $-위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 가 디지털공간(digital space)이 됨을 보이기 위하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 상에서 인접관계를 소개한다.</p> <p>정의 14.2.10 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 상에서 서로 다른 두 점 $ x, y \left ( \Subset Z ^ { 2 } \right ) $ 가 $ x \Subset S N_ { M } (y) $ 이거나 $ y \in S N_ { M } (x) $ 이면 $ x $ 와 $ y $ 는 Marcus-Wyse 인접관계가 있다고 말한다.</p> <p>예를 들면 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 에서 저 $ p=(0,0), q=(1,0), \tau=(1,1) $ 이라 할 때 $ p $ 와 $ q $는 Marcus-Wyse 인접관계가 있지만 $ p $ 와 $ r $ 은 Marcus-Wyse 인접관계가 존재하지 않는다. 이를 바탕으로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \overline {\text { 따름정리 14.2.11 } } $ Marcus-Wyse 인접관계에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 디지털공간이다.</p> <p>증명 Marcus-Wyse 관계는 대칭틀을 만족하고, 이 관계에 의한 연결성을 갖는다.</p> <p>정의 14.2.1에서 알 수 있듯이 $ M $-위상공간은 $ T_ { 1 } $ 공간이 아니다. 그러나 다음이 성립한다.</p> <p>$ \overline {\overline {\text { 정리 14.2.12 } } } \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 $ T_ {\frac { 1 } { 2 } } $ 공간이다.</p> <p>성질 14.2.2 $ M $-위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 점 $ p \left ( \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $ 에서 $ p $ 가 짝수점이면 $ S N_ { M } (p) $ $ =U(p) $ 이고 $ p $ 가 홀수점이면 $ S N_ { M } (p)= \{ p \} $ 이다.</p> <p>$ M $-위상공간의 정의에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>성질 14.2.3 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 에서 짝수점으로 구성된 한원소집합 $ \{ p \} $ 의 폐포는 자기 자신이다.</p> <p>성질 14.2.3 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 에서 짝수점으로 구성된 한원소집합 $ \{ p \} $ 의 페포는 자기 자신이다.</p> <p>주의 14.2.4 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 은 유클리드 공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } , d \right ) $ 의 부분공간이 아니다.</p> <p>증명 주의 14.1.7과 같은 방법으로 증명된다.</p> <p>성질 14.2.5 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 알렉산드로프 위상공간이다.</p> <p>증명 정의 14.2.1에 의하여 명백하다.</p> <p>이제 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 조밀한 부분집합의 존재여부를 조사하자.</p> <p>정리 14.2.6 $ M $-위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 부분집합 $ X= \left \{ x \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \mid x \right . $ 는 홀수점이다 $ \} $ 는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 조밀한 부분집합이다.</p> <p>이제 주어진 집합 $ X \subset \mathbb { Z } $ 에 대하여 $ k $-인접(디지털 $ k $-인접)을 소개한다.</p> <p>참고로 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상의 겸을 픽셀 (pixel), $ \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 상의 점을 복셀 (voxel), 그리고 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상의 점을 $ n $-xel이라 부른다. A. Rosenfeld는 1971 년 $ \mathbb { Z } , \mathbb { Z } ^ { 2 } , \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 에서 활용되는 디지털 $ k $-인접을 소개하였고, 저자는 Rosenfeld $ k ^ {\text { -인접올 } } \mathbb { Z } ^ { n } $ 까지 일반화하여 2005년과 2008년에 다음과 같이 개발하였다.</p> <p>정의 14.3.1 자연수 $ m(1 \leq m \leq n) $ 에 대하여 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에서 서로 다른 두 개의 점 $ p= \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \right ) $ 과 $ q= \left (q_ { 1 } , q_ { 2 } , \cdots, q_ { n } \right ) $ 가 기껏해야 $ m $ 개의 좌표값이 $ \pm 1 $ 차이가 있고 나머지 좌표값은 일치할 때, 두 점 $ p $ 와 $ q $ 는 $ k_ { m } -( $ 혹은 $ k(m, n)-) $ 인접이라 한다.</p> <p>[예제 14.3.2] $ \mathbb { Z } $ 에서 활용되는 디지털 인접은 2-인접이다. $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 에서 활용되는 디지털인접은 $ k_ { 1 } =4, k_ { 2 } =8 $ 이 되어서 4-와 8-인접을 사용한다. $ \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 에서 사용되는 디지털인접은 $ k_ { 1 } =6, k_ { 2 } =18, k_ { 3 } =26 $ 이 되어서 6-, 18-, 26-인접을 사용한다 (그림 $ 14.6 $ 참조).</p> <p>이 걸에서는 $ \mathbb { Z } ^ { n } (n \in \mathbb { N } ) $ 에서 정의되는 카림스키 (Khalimsky) 위상구조를 소개하고 이를 바탕으로 Khalimsky 위상석 측면에서 함수의 연속성, 위상동형, 분리공리거 특성, 연결성 등을 다툰다. 먼저 향후 사용할 기본용어인 디지털구간 $ [a, b] z $ 를 소개한다. 임의의 서로 다른 정수 $ a, b \in \mathbb { Z } $ 에 대하여</p> <p>$ [a, b]_ { z } = \{ x \in \mathbb { Z } \mid a \leq x \leq b \} $를 의미한다.</p> <p>먼저 디지털공간에 대한 정의를 소개하기로 한다 ([20] G. Herman).</p> <p>정의 $ 14.1 .1 $ 디지털공간 (digital space)이란 집합 $ X( \neq \varnothing) $ 상에 정의되는 대칭관계집합 (symmetric relation set) $ (X, \pi) $ 로서 $ X $ 는 $ \pi $-연결성을 만족해야 한다. 여기서 $ X $ 상에서 $ \pi $-연결성이란 $ X $ 상의 임의의 서로 다른 두 원소 $ x, y( \in X) $ 에 대하여 $ X $ 상에서 유한점렬 $ \left \langle x_ { i } \right \rangle_ { i \in 10, i_ { z } } ( \subset X) $ 가 존재하여 $ x=x_ { 0 } , y=y_ { l } $ 이고 임의의 $ i \in[0, l-1]_ { z } $ 에 대하여 꽌계 $ \left (x_ { i } , x_ { i + 1 } \right ) \in \pi \left ( \right . $ 즉 $ \left .x_ { i } \pi_ { x_ { i + 1 } } \right ) $ 을 만족함을 의미한다.</p> <p>이 관계 $ \pi $ 를 인접퐌계 (adjacency relation)라 하고 $ (x, y) \in \pi $ 이면 $ x $ 와 $ y $ 는 $ \pi- $ 인접에 의하여 연결되어 있음을 의미한다. 이제 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에 Khalimsky 위상을 도입하자. 먼저 정수집합 $ \mathbb { Z } $ 에 대하여 앞서 다퉜던 Khalimsky line topology (카림스키 선 위상)를 회상하자(예제 4.1.14 참조).</p> <p>참고 $ 14.3 .6 $</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상에서의 디지털이미지 $ (X, k) $ 는 일중의 디지털그래프 (혹은 디지털 $ k $-그래프)이다. 구체석으로 언급하면 $ X $ 의 각 검올 그래프의 정점 (vertex)으로 하고 $ x, y \in X $ 에 대하여 $ x $ 와 $ y $ 가 $ k $-인접이면 $ x $ 와 $ y $ 를 연결하 주는 변(edge)이 존재한다고 정의한다.</li> <li>$ (X, k) $ 는 위상구조를 고려하지 않는다.</li></ol> <p>이제 디지털이미지 $ (X, k) $ 가 구멍 (hole)과 움푹 파인 곳 (cavity)을 갖는 경우를 설명하기 위하여 둘러싸임(surrounding) 개념을 소개한다.</p> <p>정의 14.3.7 디지털그림 $ P:= \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 에서 두 개의 집합 $ A, B( \subset X) $ 가 다음 조건을 만족한다고 가정하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $ 는 $ k {\text { -연결이다. } } $</li> <li>$ B $ 의 각 졈이 $ \mathbb { Z } ^ { n } -A $ 의 유한 $ \bar { k } $-성분 (finite $ \bar { k } $-component)의 원소이다. 이 경우 $ A $ 는 $ B $ 를 둘러싼다 $ (A $ surrounds $ B) $ 라 한다.</li></ol> <p>[예제 14.3.8] 그림 14.11에서 디지털그림 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , 8,4, X \right ) $ 를 생각하자. 여기서 $ X $는 점 49개로 구성된 픽셀들의 집합이다. 집합 $ A, B( \subset X) $ 에 대하여 $ A $ 는 $ X $ 에서 둥근원으로 둘러싸인 겸들의 모임이고, $ B $ 는 사각형으로 둘러싸인 점들의 모임이라 하자. 이때 $ A $ 가 $ B $ 를 둘러싸고 있음을 알 수 있다.</p> <p>정의 14.3.7을 바탕으로 디지털그림 $ P= \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 에서 구멍 (hole)과 움푹 파인 곳(cavity) 개념을 소개한다.</p> <p>$ f \left (N_ { k_ { 1 } } (x, 1) \right ) \subset N_ { k_ { 2 } } (f(x), 1) $</p> <p>이다.</p> <p>증명 증명은 명백하다</p> <p>디지털 연속함수는 추이율이 성립한다.</p> <p>이제 두 개의 디지털이미지 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $과 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $를 디지털위상동형 측면에서 살펴본다.</p> <p>$ \overline {\overline {\text { 정의 } 14.3 .16 } } \mathbb { Z } ^ { n_ { 1 } } $ 상의 디지털이미지 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $과 $ \mathbb { Z } ^ { n_ { 2 } } $ 상의 디지털이미지 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $가 다음 조건을 만족하면 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $과 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $는 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-동형함수 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-iso-morphism)라 한다. 함수 $ f: \left (X, k_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, k_ { 2 } \right ) $가 존재해서 다음을 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f $는 전단사함수이다.</li> <li>$ f $가 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수이다.</li> <li>$ f ^ { -1 } $가 $ \left (k_ { 2 } , k_ { 1 } \right ) $-연속함수이다.</li></ol> <p>그리고 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $과 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $는 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-동형이라 부른다.</p> <p>만약에 $ k_ { 1 } =k_ { 2 } $이면 간략하게 $ k_ { 1 } $-동형함수라고 부른다.</p> <p>성질 14.1.4 카림스키 선워상공간 (Khalimsky line topology)에서 임의의 $ m \in \mathbb { Z } $에 대한 한원소집합 $ \{ 2 m \} $ 은 $ 2 m( \in \mathbb { Z } ) $ 을 원소로 갖는 가장 작은 닫힌집합이다. 즉 임의의 한원소집합 $ \{ 2 m \} $ 의 폐포는 자기 자신이다.</p> <p>이제 카림스키 선위상공간을 기반으로 $ \mathbb { Z } ^ { n } (n \in \mathbb { N } - \{ 1 \} ) $ 상에 위상을 도입하자.</p> <p>정의 14.1.5 임의의 자연수 $ n( \in \mathbb { N } - \{ 1 \} ) $ 에 대하여 $ \mathbb { Z } ^ { n } $ 상의 위상 $ \kappa ^ { n } $ 은 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 의 곱위상 (product topology)이다. 이때 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 을 $ n $ 차원 카림스키 공간 $ (n- $ dimensional Khalimsky space)이라 한다. 축약하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , \kappa ^ { n } \right ) $ 을 $ n $ 차원 $ K $-위상공간이라 부른다.</p> <p>정의 14.1.5에서 알 수 있둣이 카림스키 $ n $ 차원 공간온 $ ( \mathbb { Z } , \kappa) $ 의 box topology와 동치임을 알 수 있다. 앞으로 $ n $ 차원 카림스키 공간의 한 점 $ p \left ( \in \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $ 를 원소로 갖는 가장 작은 열린집합을 $ S N_ { K } (p) $ 라 표시한다.</p> <p>정의 $ 14.1 .5 $ 에서 알 수 있둣이 카림스키 디지털평면 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } \right ) $ 은 다음 집합 $ \mathscr { B } _ { p } $ 를 기저로 가짐을 알 수 있다.</p> <p>라 놓자. $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서 임의의 $ p \in \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 에 대한 집합족 $ \mathscr { B } = \{ U \} $ 를 기저 (base)로 하여 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서 생성된 위상을 Marcus-Wyse 위상이라 하고 $ \gamma $ 로 표시하고 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 를 Marcus-Wyse 위상공간이라 한다. 축약하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 를 $ M $-위상공간 ( $ M $-topological space)이라 한다.</p> <p>그림 $ 14.4 $ 에서 알 수 있듯이 점 $ p:=(0,0) $ 를 원소로 갖는 가장 작은 기저 열린 집합 (base open set)은</p> <p>$ U(p)= \{ p,(-1,0),(0,-1),(1,0),(0,1) \} $</p> <p>임을 알 수 있고 $ q:=(1,0) $ 을 원소로 갖는 가장 작은 기저 열린집합온 한원소집합 $ \{ q \} $ 이다.</p> <p>그리고 점 $ p=(x, y) $ 에 대하여 $ x + y $ 가 짝수이면 그 점 $ p $ 를 짝수점이라고 부르고, $ x + y $ 가 홀수이면 그 점 $ p $ 를 홀수점이라 부르겠다.</p> <p>참고로 임의의 홀수점 $ p= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) \Subset \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 로 구성하는 한원소집합 $ \{ p \} $ 의 폐포는 \[ \left \{ p, \left (x_ { 1 } \pm 1, x_ { 2 } \right ), \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \pm 1 \right ) \right \} \text { 이다. } \]</p> <p>이제 Marcus-Wyse 위상공간 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 에서 겸 $ p=(x, y) $ 를 원소로 갖는 가장 작은 열린집합을 $ S N_ { M } (p) $ 라 표시하겠다. 그러면 자연스럽게 다음이 성립한다.</p> <p>증명 $ X $ 가 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 조밀부분집합임을 보이기 위하여 다음과 같이 증명한다.</p> <ol type=i start=1><li>먼저 임의의 홀수점 $ x \in X $ 에 대하여 $ S N_ { M } (x)= \{ x \} $ 이므로 $ x \notin X ^ {\prime } $ 임은 명백하다.</li> <li>임의의 점 $ p \in \mathbb { Z } ^ { 2 } -X $ 는 $ X ^ {\prime } $ 에 속함을 보인다. 주어진 점 $ p $ 는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 짝수점이므로 $ p $ 의 임의의 열린근방 $ U(p) $ 는 네 개의 홀수점을 포함 하므로<p>$ (U(p)- \{ p \} ) \cap X \neq \varnothing \varnothing $</p>이다. 그러므로 $ p \in X ^ {\prime } $ 이다.</li> <li>(i)과 (ii)에 의하여<p>$ \bar { X } =X \cup X ^ {\prime } =X \cup \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } -X \right )= \mathbb { Z } ^ { 2 } $</p>이 성립한다. 참고로 이 경우에 $ X \cap X ^ {\prime } = \varnothing $ 이다.</li></ol> <p>따름정리 14.2.7 $ \left ( \mathrm { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 린델뢰프 공간이다.</p> <p>증명 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 의 정의에 의하여 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 의 임의의 열린덮개는 가산열린부분덮개를 갖는다.</p> <p>따름정리 14.2.8 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 가분공간이다.</p> <p>증명 정리 $ 14.2 .6 $ 에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 는 가산인 조밀한 부분집합올 갖는다.</p> <p>이제 (2)에서 언급한 디지털공간의 Marcus-Wyse model(축약하여 $ M $-model이라 부름)을 알아본다. $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서 $ M $-위상을 생성하기 위한 부분기(subbase) (정의 14.2.1 참조)를 주어서 $ \mathrm { Z } ^ { 2 } $ 상의 위상공간을 만들고, $ \left ( \mathrm { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 로 표시한다. 더 나아가 임의의 부분집합 $ X \subset \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 에 대하여 부분공간으로서 $ \left (X, \gamma_ { X } \right ) $ 를 만든 후 자연스럽게 $ M $-연속함수, $ M $-위상동형사상 등이 만들어진다. 예를 들면, $ M $-연속함수도 기하변환 즉, 회전이동과 평행이동에 있어서 약간의 제약점을 갖고 있다. 예를 들면, 지금까지 $ M $-연속함수를 기반한 $ M $-호모토피를 정의하지 못했다. 그래서 임의의 점 $ x \in \left (X, \gamma_ { X } ^ { 2 } \right ) $ 에 대하여 $ x $ 의 최소열린근방 개념을 활용한다. 이 최소열린근방을 $ S N_ { M } (x) $ 라 하겄다. 이때 서로 다른 두 원소 $ x, y \in \left (X, \gamma_ { X } \right ) $ 에 대하여 $ x \in S N_ { M } (y) $ 이거나 $ y \in S N_ { M } (x) $ 이면 $ x $ 와 $ y $ 는 $ M $-인접이라 한다. 이 $ M $-인접관계에 의하여 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , \gamma \right ) $ 은 디지털 공간이 되는 것이다. 더 나아가 $ M $-위상그래프가 만들어진다. $ M $-인접 개념을 활용한 새로운 $ M $-인접함수(축약하여 $ M A $-map이라 부름)와 $ M A $-동형사상을 만든다. 그러면 $ M A $-map은 기하변환을 수행하는 데 있어서 매우 큰 역할을 한다. 이를 바탕으로 $ M A $-map을 기반한 $ M A- $ 호모토피 개념이 2016년에 정립되었다.</p> <p>$ \overline {\overline {\text { 정의 14.3.14 } } } \mathbb { Z } ^ { n_ { 1 } } $ 상의 디지털이미지 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $ 과 $ \mathbb { Z } ^ { n_ { 2 } } $ 상의 디지털이미지 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $ 에 대하여 함수 $ f: \left (X, k_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, k_ { 2 } \right ) $ 가 점 $ x_ { 0 } \in X $ 에서 디지털 $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-연속함수라 함은 다음 조건을 만족해야 한다. $ x_ { 0 } $ 를 원소로 갖는 임의의 $ k_ { 1 } $-연결집합의 함수 $ f $ 에 의한 상 (range of $ f $ )이 $ f \left (x_ { 0 } \right ) $ 를 원소로 갖는 $ k_ { 1 } $-연결집합이다.</p> <p>그리고 모든 점 $ x \in X $ 에 대하여 주어진 함수 $ f $ 가 디지털 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수이면 $ f $ 가 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $ 상에서 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수라 한다.</p> <p>정의 14.3.14에서 알 수 있듯이 디지털 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수에 대한 정의가 매우 수사적이어서 다음 정리 $ 14.3 .15 $ 와 같이 간략하게 재구성되었다. 그리고 “디지털 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수”영어도 간략하게 ‘ $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속 함수'라고 쓰기로 한다.</p> <p>정리 14.3.15 정의 14.3.14의 $ \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } \right ) $-연속함수의 정의는 다음과 동치이다. 함수 $ f: \left (X, k_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, k_ { 2 } \right ) $ 에 대하여 임의의 점 $ x \in X $ 에 대하여</p> <p>위에서 언급한 위상구조들은 모두 알렉산드로프 위상구조(정의 $ 14,1.8 $ 참조)를 갖고 있기에 알렉산드로프 위상공간에 큰 관심을 두어야 한다.</p> <p>최근에 디지털공간의 부동점 이론이 재조명을 받고 있다. 왜나하면 고전적인 부동점 이론의 근간을 이루고 있는 Lefschetz 수, Reidemeister 수와 Nielsen 수들의 계산에 활용되는 고전적인 대수위상적구조(호모로지론, 호모토피론)을 곧 바로 디지털위상수학에 적용할 수 없기 때문이다.</p> <p>카테고리 이론적인 측면에서 연속공간에서 디지털공간으로 변환해주는 functor로서 $ K $-model과 $ M $-model을 기반한 $ K $-이산화( $ K $-digitization)와 $ M $-digitization이 개발되었다. 이 개념들은 연속공간과 디지털공간을 연관지어주는 매우 유용한 역할을 할 것이다.</p> <p>디지털위상수학 응용분야로서 이미지 프로세싱, 이미지해석, 컴퓨터그래픽스, Approximation theory, Mathematical morphology, Topological Data Analysis(TDA), 컴퓨터기하학, 의학영상처리, Optimization theory. Lattice theory, 인공지능. Economics. Social network 등이 있다.</p> <p>최근에 관심을 끄는 연구 분야는 다음과 같다.</p> <ul> <li>디지털공간의 부동점 이론 연구</li> <li>새로운 형태의 디지털공간 개발</li> <li>Topological data analysis와 연관하여 연구</li> <li>디지털공간을 기반한 대수적 위상수학 도구 개발</li> <li>Macus-Wyse 위상구조를 일반화하는 새로운 형태의 위상구조 개발</li> <li>유클리드 공간에 대한 $ M $-위상적 측면에서 이산화(digitization) 작업</li> <li>유클리드 공간에 대한 $ K $-위상적 측면에서 이산화(digitization) 작업</li> <li>디지털 곡선이론적인 측면에서 디지털곡선의 다양한 성질 연구</li> <li>디지털 곡면이론적인 측면에서 디지털곡면의 다양한 성질 연구</li> <li>디지털 rough set theory 개발</li></ul> <p>이 장에서는 Khalimsky 위상공간, Marcus-Wyse 위상공간 그리고 디지털공간의 성질을 다루기 위한 Rosenfeld model을 주로 다룬다.</p> <h1>14.1 Khalimsky 위상공간</h1> <p>유틀리드 공간 $ \left ( \mathbb { R } ^ { n } , d \right ) $ 에서 한 검 $ p \left ( \in \mathbb { R } ^ { n } \right ) $ 의 임의의 열린근방 $ U(p) $ 는 비가산개의 원소를 갖고 있고, 검 $ p $ 의 최소열린근방을 택할 수도 없다. 그러므로 컴퓨터 과학에서 알고리즘을 통하여 $ U(p) $ 를 인식하는 데 어려움이 있다. 컴퓨터스크린은 2 차원 이산공간 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 의 부분집합이다. 예를 들면 cellular phone (휴대폰) 및 디지털 카메라 등의 스크린에서 활용되는 유한 디지털평면 $ X $ 는 100 만 화소 (pixel) 이상의 환경을 제공하고 있다. 즉 디지털 스크린 $ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $ 는 100 만개 점 (pixel)으로 구성된 집합(예, 컴퓨터스크린)이다. 그러므로 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 및 $ \mathbb { Z } ^ { n } (n \in \mathbb { N } ) $ 에서 적용되는 이산객체의 기하적 특성을 연구하기 위한 위상이 필요하게 된다. 이 위상을 기반으로 디지털평면에서 운용되는 각종 이산객체(digital object 또는 discrete object)의 위상적 특성을 파악할 수 있게 된다.</p> <p>공간으로서 임의의 검 $ p \in \mathbb { Z } ^ { n } $ 에 대하여 $ S N_ { K } (p) $ 가 존재하므로 국소유한 위상공간으로서 유용성이 많다는 겸을 알았다. 이를 바탕으로 두 개의 카림스키 부분공간 $ \left (X, \kappa_ { X } ^ { m } \right ), \left (Y, \kappa_ { Y } ^ { n } \right ) $ 에 대하여 합수 $ f: X \rightarrow Y $ 의 연속성, 위상동형사상 등을 자연스럽게 도입한다.</p> <p>앞에서 소개한 $ n $ 차원 카림스키 공간의 다양한 성질을 다음 분야에 활용할 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ n $ 차원 유클리드 공간을 카림스키 위상구조를 기반한 이산화 작업</li> <li>카림스키 위상 범주 (category of Khalimsky topological spaces)에서 부동점 (fixed point) 이론 연구</li> <li>카림스키 위상구조로부터 유도되는 위상그래프 (topological graph) 이론 연구</li> <li>카림스키 위상부분공간의 축소 (retract) 및 확대 (extension) 정리</li> <li>카림스키 위상 범주에서 호모토피 이론 연구</li> <li>카림스키 호모토피틀 활용한 세선화 작업</li> <li>카림스키 위상구조를 활용한 이미지 프로세싱 (image processing) 분야 연구</li> <li>카림스키 다양체 이론 연구</li></ol> <h1>$ 14.2 $ Marcus-Wyse 위상공간</h1> <p>Marcus-Wyse 위상은 1970년에 미국수학회에서 발행하는 저널 Amer. Math. Monthly)에 처음으로 소개되었다. Marcus-Wyse 위상은 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 공간 (즉 디지털평면)에서만 정의되는 위상이다. 디지털스크린은 유한 디지털평면이므로 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 에서 정의되는 Marcus-Wyse 위상은 컴퓨터과학 분야에 매우 유용성이 크다.</p> <p>이제 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서 Marcus-Wyse 위상을 소개한다. 먼저 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상의 점 $ p:=(x, y) $ 에 대하여 $ U(p)= \{ p,(x \pm 1, y),(x, y \pm 1) \} $ 으로 정의한다.</p> <p>정의 14.2.1 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서 $ p:=(x, y) \left ( \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $ 에 대하여</p> <p>$ U:= \left \{\begin {array} { ll } U(p), & x + y \text { 가 짝수이다 } \\ \{ p \} , & x + y \text { 가 홀수이다 } \end {array} \right . $</p> <p>$ N_ { k } \left (x_ { 0 } , \varepsilon \right )= \left \{ x \in X \mid l_ { k } \left (x_ { 0 } , x \right ) \leq \varepsilon \right \} \cup \left \{ x_ { 0 } \right \} $</p> <p>여기서 $ l_ { k } \left (x_ { 0 } , x \right ) $ 는 $ x_ { 0 } $ 로부터 $ x $ 까지의 가장 짫은 단순 $ k $-경로의 길이 (length)이다.</p> <p>[ 예제 14.3.13]</p> <ol type=1 start=1><li>그림 $ 14.13( \mathrm { a } ) $ 에 주어진 점들의 집합을 $ X $ 라 늫자. 그리고 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , 8,4, X \right ) $ 를 가정하자. 이 경우, $ N_ { 8 } (p, 1)= \left \{ p, p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } , p_ { 4 } \right \} $ 이다. 그리고 $ N_ { 8 } (p, 2)=X $ 이다.</li> <li>그림 $ 14.13( \mathrm { ~b } ) $ 에 주어진 점들의 집합을 $ Y $ 라 늫자. 그리고 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , 4,8, Y \right ) $ 를 가정하자. 이 경우, $ N_ { 4 } (q, 1)= \left \{ q, q_ { 1 } , q_ { 2 } \right \} $ 이고 $ N_ { 4 } (q, 4)=Y- \{ r \} $ 이다.</li></ol> <p>이제 두 개의 디지털이미지 $ \left (X, k_ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (Y, k_ { 2 } \right ) $ 를 생각하자. 즉 디지털그림 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n_ { 1 } } , k_ { 1 } , \overline { k_ { 1 } } , X \right ) $ 와 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n_ { 2 } } , k_ { 2 } , \overline { k_ { 2 } } , Y \right ) $ 를 가정하자. 함수 $ f: \left (X, k_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, k_ { 2 } \right ) $ 가 한 점 $ x_ { 0 } \subseteq X $ 에서 디지털 $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-연속함수(digitally $ \left (k_ { 0 } , k_ { 1 } \right ) $-continuous map)의 정의는 Rosenfeld에 의하여 다음과 같다.</p> <h1>14.3 그래프이론적 측면에서 디지털위상수학</h1> <p>집합 $ X \left ( \subset Z ^ { n } \right ) $에 $ k $-인접(혹은 디지틸 $ k $-인접)관계를 가정한 관계집합 $ (X, k) $를 $ \mathrm { Z } ^ { n } $상에서 디지털이미지 (digital image)라 한다. 그러므로 $ (X, k) $는 디지털공간 (정의 14.1.1)이 된다. 엄격하게 접근하면 $ X \left ( \subset Z ^ { n } \right ) $와 관련하여 두 가지 인접관계를 주어야 한다. 즉 $ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { n } \right ) $에 $ k $-인접을 주면 $ \mathbb { Z } ^ { n } -X $에 $ \bar { k } ( \neq k) $ 인접를 주어서 디지털연결 paradox([30] 참조)를 회피하게 된다. 예를 들면 $ X \left ( \subset \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) $에 대하여 $ X $상에 8-인접을 고려하면 $ \mathrm { Z } ^ { 2 } -X $에는 4-인접을 주는 것이다. 결과적으로 이항디지털이미지(binary digital image)라고 부르는 $ (X, k) $는 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $임을 가정한다. 특별한 경우가 아니면 주로 $ (X, k) $만을 표시하지만 이 경우 $ \mathbb { Z } ^ { n } -X $는 $ \bar { k } $-인접을 적용한다는 점을 잊어서는 안된다. 여기서 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $를 디지털그림 (digital picture)이라고 하는데, $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $ 상에서는 $ (k, \bar { k } ) \Subset \{ (4,8),(8,4) \} $를 이용하고, $ \mathbb { Z } ^ { 3 } $ 상에서는 $ (k, \bar { k } ) \in \{ (6,26),(26,6),(6,18),(18,6) \} $을 주로 사용한다. 만약 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } $에서 $ X= \left \{ p_ { 0 } , p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } \right \} $라 가정하자 (그림 $ 14.10 X:=S C_ { 3 } ^ { 2,4 } $ 참조). 이때 $ \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } \right . $, $ 8,8, X) $를 가정하면 $ (X, 8) $의 내부와 외부를 구별할 수 없기 때문이다. 앞으로 점 $ p( \Subset X) $를 검은점 (black point), $ q \in \mathbb { Z } ^ { n } -X $를 하안점 (white point)이라 부른다.</p> <p>정의 14.3.9 디지털그림 $ P= \left ( \mathbb { Z } ^ { n } , k, \bar { k } , X \right ) $ 에서 $ \mathbb { Z } ^ { n } -X $ 상의 하나의 $ \bar { k } ^ { - \text { 성분 } } $ $ H $ 가 다음 성질올 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ H $ 는 $ X $ 의 한 $ k $-성분 $ C $ 에 의하여 둘러싸인다.</li> <li>$ H $ 는 $ \boldsymbol { C } $ 와 $ \bar { k } $-인접이다.</li></ol> <p>이 경우 $ n=2 $ 이면 $ H $ 를 $ C $ 안에서 구멍(hole)이라 하고, $ n=3 $ 이면 $ H $ 를 $ C $ 안에서 움푹 파인 곳(cavity)이라 한다. 더 나아가 만약에 $ P $ 의 어떤 $ k $-성분( $ \subset X) $ 이 구멍 (옴푹 파인 곳)이면 디지털그림 $ P $ 의 구멍 ( $ P $ 의 옴푹 파인 곳(cavity))이라고 한다.</p> <p>[예제 14.3.10]</p> <ol type=1 start=1><li>그림 $ 14.12( \mathrm { a } ) $ 에 표시된 디지털그림 $ P= \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , 8,4, X \right ) $ 를 생각하자. 여기서 $ X $ 의 원소는 점' $ \bullet $' 으로 표시하고 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } -X $ 의 원소는 'O'으로 표시한다. $ P $ 에서 $ X $ 는 하나의 8-성분을 갖는데 $ X $ 자기 자신이다. 이때 $ X $ 는 두 개의 구멍 (hole) $ H_ { 1 } $ 와 $ H_ { 2 } $ 를 갖는다.</li> <li>그립 $ 14.12( \mathrm { ~b } ) $ 에 표시된 디지털그림 $ P= \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } , 4,8, X \right ) $ 를 생각하자. 여기서 $ X $ 와 $ \mathbb { Z } ^ { 2 } -X $ 의 점들은 문제 (1)에서와 같이 표시한다. 이때 $ P $ 에서 $ X $ 는 하나 의 4-성분을 갖는데 $ X $ 자기 자신이다. 이때 $ X $ 는 한 개의 구멍을 갖는다 (그림 $ 14.12 $ (b)의 $ \mathrm { H } $ 참조).</li></ol> <p>이제 디지털이미지 $ (X, k) $ 에서 고립점 (isolated point), 경계점 (border point), 내부점 (interior point)에 대하여 알아본다.</p>	자연
m867-미분적분학	<h1>12.3 벡터함수의 도함수 및 적분</h1> <p>벡터함수의 도함수의 정의도 극한과 연속성의 정의에서 보았듯이 실함수의 대응하는 정의와 아주 밀접하게 관련되어 있다.</p> <p>정의 12.5</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F} $ 의 정의역의 실수 $ t_{0} $ 를 잡자. 극한 \[ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{\mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} \] 이 존재할 때 이 극한을 $ t_{0} $ 에서 $ \mathbf{F} $ 의 도함수라 하고 \[ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{\mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} \] 라고 쓴다. 이 경우 $ \mathbf{F} $ 는 $ t_{0} $ 에서 미분가능하다고 말한다.</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}^{\prime} $ 은 $ \mathbf{F} $ 의 도함수라고 부르고, $ \mathbf{F}^{\prime} $ 의 정의역은 $ \mathbf{F} $ 가 $ t $ 에서 미분가능한 모든 실수 $ t $ 로 구성된다. $ \mathbf{F} $ 의 도함수에 대한 라이프니츠 기호는 $ \frac{d \mathbf{F}}{d t} $이다.</p> <p>$ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 의 기하학적 의미를 생각하자. $ \mathbf{F} $ 에 의하여 그려지는 곡선을 $ C $ 라 하자. $ \mathbf{F}(t) $ 와 $ \mathbf{F}\left(t_{0}\right) $ 에 대응하는 곡선 $ C $ 상의 점을 각각 $ P $ 와 $ P_{0} $ 로 놓자. 그러면 $ \mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right) $ 은 할선벡터( (secant vector) $ \overrightarrow{P_{0} P} $ 와 같은 방향을 가진다. $ t>t_{0} $ 이면 $ \frac{\mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} $ 와 $ \overrightarrow{P_{0} P} $ 는 같은 방향이고(그림 12.10의 (a)), $ t<t_{0} $ 이면 $ \frac{\mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} $ 와 $ \overrightarrow{P P_{0}} $ 는 같은 방향이다. (그림 12.10의 (b)) 따라서 $ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 가 존재한다면 이 값은 $ P_{0} $ 을 통과하고 같은 방향인 할선벡터와 평행한 벡터의 극한이다.</p> <p>결과적으로 $ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 는 $ P_{0} $ 에서 $ C $ 에 접한다고 말하는 것이 의미있다.</p> <p>만일 \[ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} \] 이면 \[ \frac{\mathbf{F}(t)-\mathbf{F}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}=\frac{f_{1}(t)-f_{1}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} \mathbf{i}+\frac{f_{2}(t)-f_{2}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} \mathbf{j}+\frac{f_{3}(t)-f_{3}\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}} \mathbf{k} \] 이다.</p> <p>정의 $ 12.5 $ 를 이용하면 $ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 는 각 성분들의 도함수를 구함으로써 직접 얻을 수 있다.</p> <p>정리 12.4</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} $ 가 $ t_{0} $ 에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $ t_{0} $ 에서 각 성분함수 $ f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t) $ 가 미분가능한 것이다. 이 경우 다음이 성립한다. \[ \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right)=f_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{i}+f_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{j}+f_{3}^{\prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{k} \]</p> <p>결과적으로 벡터함수의 도함수를 구하는 것은 실함수의 도함수를 구하는 방법과 비슷하다. 우선 상수벡터함수의 도함수를 계산하자.</p> <p>예제 12.31</p> <p>원형나선 $ \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \sin t \mathbf{j}+3 t \mathbf{k} $ 에서 접벡터 $ \mathbf{T}(t) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin{aligned} \frac{d \mathbf{r}}{d t}=-2 \sin t \mathbf{i}+2 \cos t \mathbf{j}+3 \mathbf{k} \text { 이고 } \\ \left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\|=\sqrt{(-2 \sin t)^{2}+(2 \cos t)^{2}+3^{2}}=\sqrt{13} \end{aligned} \] 이므로 식 (12.15) 로부터 다음의 결론을 얻는다. \[ \mathbf{T}(t)=\frac{\frac{d \mathbf{r}}{d t}}{\left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\|}=-\frac{2}{\sqrt{13}} \sin t \mathbf{i}+\frac{2}{\sqrt{13}} \cos t \mathbf{j}+\frac{3}{\sqrt{13}} \mathbf{k} \]</p> <p>임의의 주어진 한 점에서 실함수의 그래프상의 법선은 그 점에서 접선에 직교하도록 정의하였다. 유사하게 공간에서 곡선상의 주어진 점에서 법벡터를 접벡터에 직교하도록 정의하기를 바란다. 그러나 공간에서는 주어진 벡터에 직교하는 벡터들이 무수히 많기 때문에 우리는 그들 중에서 유일하게 하나만 선택하는 방법이 필요하다.</p> <p>이제 곡선 $ C $ 는 매끄럽고, 도함수 $ \mathbf{r}^{\prime} $ 도 매끄러운 매개화 $ \mathbf{r} $ 을 갖는다고 가정하자. 그러면 $ \mathrm{r}^{\prime} $ 에 의하여 정의된 접벡터 $ \mathrm{T} $ 는 미분가능하다. 더욱이 $ \mathrm{T} $ 의 정의역의 모든 $ t $ 에 대하여 $ \\|\mathbf{T}(t)\\|=1 $ 이다. 따름정리 $ 12.6 $ 으로부터 $ \mathbf{T}^{\prime}(t) $ 이 존재할 때는 늘 $ \mathbf{T}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{T}(t)=0 $ 을 만족한다. 따라서 $ \mathbf{T}^{\prime}(t) $ 는 $ \mathbf{T}(t) $ 에 직교한다. 그러므로 $ \mathbf{T}^{\prime}(t) $ 의 방향에서 단위벡터를 점 $ \mathbf{r}(t) $에서 $ C $ 의 법벡터로 선택하면 된다.</p> <p>정의 12.12</p> <p>$ C $ 는 매끄러운 곡선이고 $ \mathrm{r} $ 은 $ \mathrm{r}^{\prime} $ 이 매끄러운 $ I $ 위에서 정의된 $ C $ 의 매개화라 하자. 그러면 $ \mathbf{T}^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq 0 $ 인 $ I $ 의 내점 $ t_{0} $ 에 대하여 점 $ \mathbf{r}\left(t_{0}\right) $ 에서 법벡터 $ \mathbf{N}\left(t_{0}\right) $ 를 다음과 같이 정의한다. \[ \mathbf{N}\left(t_{0}\right)=\frac{\mathbf{T}^{\prime}\left(t_{0}\right)}{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right\\|} \] 일반적으로 $ I $ 의 모든 $ t $ 에 대하여 법벡터를 다음과 같이 정의한다. \[ \mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}^{\prime}(t)}{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|}=\frac{d \mathbf{T} / d t}{\\|d \mathbf{T} / d t\\|} \]<caption>(12.16)</caption></p> <p>예제 12.32</p> <p>원 $ \mathbf{r}(t)=r \cos t \mathbf{i}+r \sin t \mathbf{j} $ 에서 법벡터 $ \mathbf{N}(t) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>예제 $ 12.30 $ 으로부터 $ \mathbf{T}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j} $ 이다. 그러므로 $ \mathbf{T}^{\prime}(t)=-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j} $ 이다. 모든 $ t $ 에 대하여 $ \left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|=1 $ 이므로 식 (12.16)으로부터 \[ \mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}^{\prime}(t)}{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|}=-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j}=-\frac{1}{r} \mathbf{r}(t) . \]</p> <p>정리 12.2</p> <p>$ \mathbf{F}, \mathbf{G} $ 는 벡터함수이고 $ f, g $ 는 실함수이라 하자. 극한 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{G}(t), \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t) $ 가 각각 존재한다고 가정하고, $ \lim _{s \rightarrow s_{0}} g(s)=t_{0} $ 라 하자. 그러면 다음 성질이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(\mathbf{F}+\mathbf{G})(t)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)+\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{G}(t) $</li> <li>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(\mathbf{F}-\mathbf{G})(t)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)-\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{G}(t) $</li> <li>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(f \mathbf{F})(t)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t) \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t) $</li> <li>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t) \cdot \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{G}(t) $</li> <li>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t) \times \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{G}(t) $</li> <li>$ \lim _{s \rightarrow s_{0}}(\mathbf{F} \circ g)(s)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t) $</li></ol> <p>예제 12.9</p> <p>$ \mathbf{F}(t)=\cos \pi t \mathbf{i}+2 \sin \pi t \mathbf{j}+4 t^{2} \mathbf{k} $ 이고 $ \mathbf{G}(t)=t \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{k} $ 일 때 다음을 각각 구하여라.</p> <ol type=i start=1><li>$ \lim _{t \rightarrow 1}(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t) $</li> <li>$ \lim _{t \rightarrow 1}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t) $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(i) 우선 $ \mathbf{F} $ 와 $ \mathbf{G} $ 의 내적을 구하면 \[ \begin{aligned} (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t) &=\left(\cos \pi t \mathbf{i}+2 \sin \pi t \mathbf{j}+4 t^{2} \mathbf{k}\right) \cdot\left(t \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{k}\right) \\ &=t \cos \pi t+4 t^{5} \end{aligned} \] 따라서 \[ \begin{aligned} \lim _{t \rightarrow 1}(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t) &=\lim _{t \rightarrow 1}\left(t \cos \pi t+4 t^{5}\right) \\ &=\cos \pi+4=3 \end{aligned} \]</p> <p>(ii) 정리 12.2의 (v)를 적용하기 위하여 $ \lim _{t \rightarrow 1} \mathbf{F}(t) $ 와 $ \lim _{t \rightarrow 1} \mathbf{G}(t) $ 를 각각 구하면 \[ \lim _{t \rightarrow 1} \mathbf{F}(t)=\cos \pi \mathbf{i}+2 \sin \pi \mathbf{j}+4 \mathbf{k}=-\mathbf{i}+4 \mathbf{k} \] 이고 \[ \lim _{t \rightarrow 1} \mathbf{G}(t)=\mathbf{i}+\mathbf{k} . \] 따라서 \[ \lim _{t \rightarrow 1}(\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t)=(-\mathbf{i}+4 \mathbf{k}) \times(\mathbf{i}+\mathbf{k})=5 \mathbf{j} . \]</p> <p>정의 12.4</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F} $ 가 $ t=t_{0} $ 에서 정의되고 극한이 존재하여 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)=\mathbf{F}\left(t_{0}\right) $ 을 만족할 때 $ \mathbf{F} $는 $ t=t_{0} $ 에서 연속이라고 한다.</p> <p>또한 벡터 $ \mathrm{F} $ 의 각 성분들이 $ I $ 위에서 연속일 때 벡터함수 $ \mathrm{F} $ 가 $ I $ 위에서 연속이라고 한다.</p> <p>예제 12.10</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k} $ 에서 $ \mathbf{F}^{\prime}(t) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_{1}(t)=a, f_{2}(t)=b, f_{3}(t)=c $ 이므로 각 성분함수들은 모두 상수이다. 결과적으로 \[ \mathbf{F}^{\prime}(t)=0 \mathbf{i}+0 \mathbf{j}+0 \mathbf{k}=\mathbf{0} . \]</p> <p>예제 12.10의 결과는 상수벡터함수의 도함수가 0임을 말한다. 다음으로 일차벡터함수의 도함수를 구하자.</p> <p>예제 12.11</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=\left(x_{0}+a t\right) \mathbf{i}+\left(y_{0}+b t\right) \mathbf{j}+\left(z_{0}+c t\right) \mathbf{k} $ 에서 $ \frac{d \mathbf{F}}{d t} $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>이 경우에 $ f_{1}(t)=x_{0}+a t, f_{2}(t)=y_{0}+b t, f_{3}(t)=z_{0}+c t $ 이다. 그러므로 정리 12.4에 의하여 \[ \frac{d \mathbf{F}}{d t}(t)=a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k} \]</p> <p>예제 12.12</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=t \cos t \mathbf{i}+t \sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k} $ 에서 $ \mathbf{F}^{\prime}(\pi) $ 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>우선 $ \mathbf{F}(t) $ 의 도함수를 구하면 \[ \mathbf{F}^{\prime}(t)=(\cos t-t \sin t) \mathbf{i}+(\sin t+t \cos t) \mathbf{j}+\mathbf{k} . \] $ t=\pi $ 을 대입하면 \[ \mathbf{F}^{\prime}(\pi)=[-1-\pi(0)] \mathbf{i}+[0+\pi(-1)] \mathbf{j}+\mathbf{k}=-\mathbf{i}-\pi \mathbf{j}+\mathbf{k} . \]</p> <p>우리는 대부분 벡터함수들이 구간 위에서 정의되는 것을 볼 수 있다. 벡터함수 $ \mathbf{F} $ 의 각 성분 함수들이 $ I $ 위에서 각각 미분가능할 때 $ I $ 위에서 미분가능하다고 한다. 특히 $ I=[a, b] $ 가 닫힌구간이면 $ \mathbf{F} $ 의 미분가능성은 각 성분함수들이 $ a $ 와 $ b $ 에서 한쪽도함수를 가짐을 의미한다.</p> <p>예를 들어 $ \mathbf{F}(t)=\|t\| \mathbf{i}+\|1-t\| \mathbf{j} $ 로 정의된 함수는 $ [0,1] $ 에서 미분가능하지만 $ [-1,1] $ 에서는 미분불가능하다. 왜나하면 $ \mathbf{F}^{\prime}(0) $ 이 존재하지 않기 때문이다. 또한 $ [0,2] $ 에서도 미분불가능 하다. 역시 $ \mathbf{F}^{\prime}(1) $ 이 존재하지 않기 때문이다.</p> <p>실함수 대부분의 미분공식들을 벡터함수의 유사한 형태로 확장시킬 수 있다. 그러나 다음 정리 12.5의 (v)는 순서에 주의를 요한다. 왜나하면 외적은 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다. 여기에서는 증명없이 벡터함수의 미분 법칙을 소개한다.</p> <p>정리 12.5</p> <p>$ \mathbf{F}, \mathbf{G} $ 와 $ f $ 가 각각 $ t_{0} $ 에서 미분가능하고, $ g $ 가 $ g\left(s_{0}\right)=t_{0} $ 인 $ s_{0} $ 에서 미분가능하다고 하자. 이 경우 다음의 등식이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ (\mathbf{F}+\mathbf{G})^{\prime}\left(t_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right)+\mathbf{G}^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (\mathbf{F}-\mathbf{G})^{\prime}\left(t_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right)-\mathbf{G}^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (f \mathbf{F})^{\prime}\left(t_{0}\right)=f^{\prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{F}\left(t_{0}\right)+f\left(t_{0}\right) \mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})^{\prime}\left(t_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) \cdot \mathbf{G}\left(t_{0}\right)+\mathbf{F}\left(t_{0}\right) \cdot \mathbf{G}^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})^{\prime}\left(t_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) \times \mathbf{G}\left(t_{0}\right)+\mathbf{F}\left(t_{0}\right) \times \mathbf{G}^{\prime}\left(t_{0}\right) $</li> <li>$ (\mathbf{F} \circ g)^{\prime}\left(s_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(g\left(s_{0}\right)\right) g^{\prime}\left(s_{0}\right)=\mathbf{F}^{\prime}\left(t_{0}\right) g^{\prime}\left(s_{0}\right) $</li></ol> <h2>곡선의 길이</h2> <p>우선 가장 간단한 형태의 곡선의 길이 공식을 구하자.</p> <p>$ C $ 를 공간에서 $ \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 와 $ \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) $ 을 연결하는 선분이라 하자 (그림 12.19의 (b)). 그러면 두 점 사이의 거리를 다음과 같이 $ C $ 의 길이로 정의한다 (식 (11.1)을 보라). \[ \mathcal{L}=\sqrt{\left(x_{1}-x_{0}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{0}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{0}\right)^{2}} \]<caption>(12.6)</caption>다음으로 $ C $ 가 $ \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, a \leq t \leq b $ 로 매개화된 매그러운 곡선에 대하여 생각하자.</p> <p>$ \wp=\left\{t_{0}, t_{1}, \cdots, t_{n}\right\} $ 을 $ [a, b] $ 의 임의의 분할이라고 하고, $ L $ 을 그림 $ 12.20 $ 과 같은 다각곡선이라고 하자. $ L $ 의 $ k $ 번째 선분 $ L_{k} $ 의 길이를 $ \mathcal{L}_{k} $ 로 표시하자. 그러면 식 (12.6) 에 의하여 \[ \mathcal{L}_{k}=\sqrt{\left[x\left(t_{k}\right)-x\left(t_{k-1}\right)\right]^{2}+\left[y\left(t_{k}\right)-y\left(t_{k-1}\right)\right]^{2}+\left[z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right]^{2}} . \] 평균값 정리에 의하여 \[ \begin{array}{l} x\left(t_{k}\right)-x\left(t_{k-1}\right)=x^{\prime}\left(u_{k}\right) \Delta t_{k}, \\ y\left(t_{k}\right)-y\left(t_{k-1}\right)=y^{\prime}\left(v_{k}\right) \Delta t_{k}, \\ z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)=z^{\prime}\left(w_{k}\right) \Delta t_{k} \end{array} \] 을 만족하는 $ u_{k}, v_{k}, w_{k} $ 가 $ \left[t_{k-1}, t_{k}\right] $ 에 각각 존재한다. 단, $ \Delta t_{k}=t_{k}-t_{k-1} $ 이다. 이것을 이용하여 $ \mathcal{L}_{k} $ 을 다시 표현하면 \[ \mathcal{L}_{k}=\sqrt{\left(x^{\prime}\left(u_{k}\right)\right)^{2}\left(\Delta t_{k}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(v_{k}\right)\right)^{2}\left(\Delta t_{k}\right)^{2}+\left(z^{\prime}\left(w_{k}\right)\right)^{2}\left(\Delta t_{k}\right)^{2}} \] 또는 동치적으로 \[ \mathcal{L}_{k}=\sqrt{\left(x^{\prime}\left(u_{k}\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(v_{k}\right)\right)^{2}+\left(z^{\prime}\left(w_{k}\right)\right)^{2}} \Delta t_{k} . \]<caption>(12.7)</caption>$ \wp $ 의 노름을 작게하면, $ C $ 의 길이 $ \mathcal{L} $ 은 근사적으로 $ \sum_{k=1}^{n} \mathcal{L}_{k} $ 와 같다. 식 (12.7)을 이용하면 \[ \sum_{k=1}^{n} \mathcal{L}_{k}=\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(x^{\prime}\left(u_{k}\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(v_{k}\right)\right)^{2}+\left(z^{\prime}\left(w_{k}\right)\right)^{2}} \Delta t_{k} \]<caption>(12.8)</caption>한편 식 (12.8) 에서 오른쪽 수식은 근사적으로 \[ \int_{a}^{b} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \] 이다. 또한 \[ \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}}=\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\| \] 이므로 \[ \mathcal{L}=\int_{a}^{b}\left\\|\mathrm{r}^{\prime}(t)\right\\| d t . \]</p> <p>정의 12.10</p> <p>$ C $ 는 $ [a, b] $ 에서 정의된 조각적으로 매끄러운 매개화 $ \mathbf{r} $ 을 가지는 곡선이라 하자. 그러면 $ C $ 의 길이 $ \mathcal{L} $ 은 다음과 같이 정의한다. \[ \mathcal{L}=\int_{a}^{b}\left\\|\mathrm{r}^{\prime}(t)\right\\| d t=\int_{a}^{b}\left\\|\frac{d \mathrm{r}}{d t}\right\\| d t \]<caption>(12.9)</caption></p> <p>특히 $ \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k},(a \leq t \leq b) $ 인 경우 식 (12.9)는 다음과 같이 표현 된다. \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \\ &=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t \end{aligned} \]<caption>(12.10)</caption></p> <h1>12.4 곡선의 길이</h1> <p>12.1절에서는 벡터함수에 의하여 그려지는 곡선을 공부하였다. 이제부터 곡선이라는 용어의 의미를 제한하려고 한다.</p> <p>정의 12.7</p> <p>곡선이라 함은 실수의 임의의 구간 위에서 정의된 연속벡터함수의 치역을 말한다.</p> <p>지금까지 취급했던 모든 벡터함수들은 연속이고 이 함수들의 치역은 모두 곡선이다. 특별히 점, 직선, 선분, 원, 포물선, 파선, 원형나선 모두는 곡선이다. 일반적으로 $ C $ 는 곡선을 표시하고 $ \mathrm{r} $ 은 치역이 곡선 $ C $ 인 벡터함수를 나타낼 것이다. 이때 $ C $ 는 $ \mathrm{r} $ 에 의하여 매개화되었다고 말하거나 또는 $ \mathrm{r} $ 은 $ C $ 의 매개화라고 부른다. 그러나 종종 $ \mathrm{r} $ 을 곡선이라기도 하겠다. 예를 들어 곡선 $ \mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+3 \mathrm{k} $ 로 쓴다. 벡터함수 $ \mathrm{r} $ 의 성분함수들은 $ x, y, z $ 로 각각 표시하고 $ \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k} $ 로 쓴다. 이때 $ \mathbf{r}(t) $ 에 대응하는 점은 $ (x(t), y(t), z(t)) $ 이다.</p> <p>우리는 곡선을 임의의 연속실함수의 그래프로 생각하는데 의숙해져 있으므로 정의 12.7은 이러한 종류의 곡선들도. 포함하는 넓은 의미의 정의로 생각할 수 있다.</p> <p>예제 12.19</p> <p>$ f $ 는 구간 $ I $ 에서 정의된 연속인 실함수라 하자. 이때 $ f $ 의 그래프가 곡선임을 보이고 이 곡선의 매개화를 찾아라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+f(t) \mathbf{j}, t \in I $ 로 정의된 벡터함수 $ \mathbf{r} $ 은 연속이고 $ f $ 의 그래프를 그린다(그림 12.15). 따라서 $ f $ 의 그래프는 $ \mathrm{r} $ 의 치역이고, 정의 12.7에 의하여 $ f $ 의 그래프는 곡선이다.</p> <p>앞에서 보았던 것처럼 임의의 연속함수의 그래프를 매개화하는 것은 가능하다. 예를 들어 $ f(t)=\ln t, t>0 $ 일 때 $ f $ 의 그래프는 $ \mathrm{r}(t)=t \mathbf{i}+\ln t \mathbf{j}, t>0 $ 으로 매개화된다.</p> <h2>곡선의 성질</h2> <p>정의 12.8</p> <p>곡선 $ C $ 가 닫힌곡선이라 함은 $ C $ 가 정의역이 달힌구간 $ [a, b] $ 이고, $ \mathrm{r}(a)=\mathrm{r}(b) $ 를 만족하는 매개화를 가질 때를 말한다.</p> <p>즉 곡선의 시전과 종접이 일치할 때 곡선을 닫힌곡선이라고 한다(그림 12.16 의 (a)). 예를 들어, $ \mathrm{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi $ 가 표준원의 매개화이고 $ \mathrm{r}(0)=\mathrm{r}(2 \pi) $ 이므로 표준원은 닫힌곡선이다. 사실 임의의 원이나 타원은 닫힌곡선이다.</p> <p>예제 12.25</p> <p>원나선 $ \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi $ 에서 곡선의 길이 $ \mathcal{L} $ 을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>식 (12.10)을 이용하면 \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} d t \\ &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2} d t=2 \sqrt{2} \pi \end{aligned} \]</p> <p>예제 12.26</p> <p>곡선 $ \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+\frac{\sqrt{6}}{2} t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k},-1 \leq t \leq 1 $ 의 길이 $ \mathcal{L} $ 을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>식 (12.10)을 이용하면 \[ \mathcal{L}=\int_{-1}^{1} \sqrt{1+6 t^{2}+9 t^{4}} d t=\int_{-1}^{1}\left(1+3 t^{2}\right) d t=\left.\left(t+t^{3}\right)\right\|_{-1} ^{1}=4 \]</p> <p>예제 12.26의 함수를 약간 다르게 표현하면, 즉 $ \mathrm{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k}(-1 \leq t \leq 1) $ 인 경우 이 함수에 대응하는 곡선의 길이는 \[ \mathcal{L}=\int_{-1}^{1} \sqrt{1+4 t^{2}+9 t^{4}} d t \] 이다. 불행하게도 이 적분은 초등적인 방법으로 계산할 수가 없다. 사다리꼴 공식 또는 Simpson 법칙에 의하여 근사적으로 계산할 수 있다. 실제적으로 대부분의 곡선의 길이는 단지 근사적으로 계산할 수 있다.</p> <p>모든 곡선은 많은 매개화를 가진다. 예를 들어 두 점 $ \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) $ 과 $ (1,1,1) $ 사이의 직선 선분은 다음 함수로 매개화할 수 있다. \[ \begin{array}{l} \mathbf{r}_{1}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad \frac{1}{4} \leq t \leq 1 \\ \mathbf{r}_{2}(t)=(t-2) \mathbf{i}+(t-2) \mathbf{j}+(t-2) \mathbf{k}, \quad \frac{9}{4} \leq t \leq 3 \\ \mathbf{r}_{3}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}, \quad \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{array} \] $ \mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3} $ 에 각각 적용하면 모두 같은 길이를 얻는다. 이러한 경우 곡선의 길이는 매개화에 독립되었다고 말한다.</p> <p>정의 12.10로부터 극방정식 $ r=f(\theta) $ 의 극방정식 그래프의 길이에 대한 식을 유도할 수 있다. 단, $ f^{\prime} $ 는 닫힌구간 $ [\alpha, \beta] $ 에서 연속이다.</p> <p>$ r=f(\theta) $ 의 극방정식 그래프는 \[ \mathbf{r}(\theta)=\overbrace{r \cos \theta}^{x} \mathbf{i}+\overbrace{r \sin \theta}^{y} \mathbf{j}=f(\theta) \cos \theta \mathbf{i}+f(\theta) \sin \theta \mathbf{j} \]로 매개화된 곡선이다. 그러면 \[ \mathbf{r}^{\prime}(\theta)=\left[f^{\prime}(\theta) \cos \theta-f(\theta) \sin \theta\right] \mathbf{i}+\left[f^{\prime}(\theta) \sin \theta+f(\theta) \cos \theta\right] \mathbf{j} \] 따라서 극방정식 그래프의 길이 $ \mathcal{L} $ 은 \[ \begin{aligned} \mathcal{L} &=\int_{\alpha}^{\beta}\left\\|\mathrm{r}^{\prime}(\theta)\right\\| d \theta \\ &=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left[f^{\prime}(\theta) \cos \theta-f(\theta) \sin \theta\right]^{2}+\left[f^{\prime}(\theta) \sin \theta+f(\theta) \cos \theta\right]^{2}} d \theta \\ &=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[f(\theta)]^{2}+\left[f^{\prime}(\theta)\right]^{2}} d \theta \end{aligned} \]<caption>(12.11)</caption></p> <p>예제 12.27</p> <p>원 $ r=3 $ 의 길이를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>원의 극방정식은 $ r=3,0 \leq \theta \leq 2 \pi $ 이다. 그러므로 $ f(\theta)=3 $ 이고 $ f^{\prime}(\theta)=0 $. 공식 (12.11)에 의하여 \[ \mathcal{L}=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{3^{2}+0^{2}} d \theta=6 \pi \]</p> <p>예제 12.28</p> <p>심장형 $ r=1-\cos \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi $ 의 길이를 구하여라(그림 12.21).</p> <p>풀이</p> <p>$ f(\theta)=1-\cos \theta $ 이고 $ f^{\prime}(\theta)=\sin \theta $ 이므로 식 (12.11) 로부터 $ \begin{array}{rlr}\mathcal{L} & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{(1-\cos \theta)^{2}+\sin ^{2} \theta} d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2(1-\cos \theta)} d \theta \\ & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{4 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} d \theta \quad\left(\frac{1}{2}(1-\cos \theta)=\frac{\sin ^{2} \theta}{2} \text { 을 이용 }\right) \\ & =2 \int_{0}^{2 \pi} \sin \frac{\theta}{2} d \theta & \left(\frac{\sin \theta}{2} \geq 0, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi \text { 을 이용 }\right) \\ & =4\left[-\cos \frac{\theta}{2}\right]_{0}^{2 \pi}=8 . & \end{array} $</p> <p>속도와 가속도</p> <p>벡터함수의 도함수의 가장 중요한 물리적 응용은 물체 운동의 연구에서 볼 수 있다. 한 물체 가 공간에서 움직일 때 그것의 위치의 좌표함수 $ x, y, z $ 는 시간의 함수이다. 이 함수가 두 번 미분가능하다고 가정하자. 그리고 다음을 각각 정의한다.</p> <ul> <li>위치: $ \mathbf { r } (t) = x(t) \mathbf { i } + y(t) \mathbf { j } + z(t) \mathbf { k } $</li> <li>속도: $ \mathbf { v } (t)= \frac { d \mathbf { r } } { d t } = \frac { d x } { d t } \mathbf { i } + \frac { d y } { d t } \mathbf { j } + \frac { d z } { d t } \mathbf { k } $</li> <li>속력: $ \\| \mathbf { v } (t) \\|= \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d z } { d t } \right ) ^ { 2 } } $</li> <li>가속도: $ \mathbf { a } (t)= \frac { d \mathbf { v } } { d t } = \frac { d ^ { 2 } \mathbf { r } } { d t ^ { 2 } } = \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } \mathbf { j } + \frac { d ^ { 2 } z } { d t ^ { 2 } } \mathbf { k } $</li></ul> <p>평균속도는 $ \frac {\mathbf { r } (t)- \mathbf { r } \left (t_ { 0 } \right ) } { t-t_ { 0 } } $ 로 정의된다. \[ \mathbf { v } \left (t_ { 0 } \right )= \mathbf { r } ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \lim _ { t \rightarrow t_ { 0 } } \frac {\mathbf { r } (t)- \mathbf { r } \left (t_ { 0 } \right ) } { t-t_ { 0 } } \] 이므로 속도는 평균속도의 극한값이다(그림 12.11).</p> <h1>12.1 벡터함수의 정의와 예</h1> <p>수의 집합에서 또 다른 수의 집합으로의 대응을 함수라고 한다. 운동의 연구에서는 종종 수의 집합에서 벡터의 집합으로의 대응을 살펴볼 수 있다. 이러한 대응은 벡터함수를 결정한다.</p> <p>정의 12.1</p> <p>벡터함수는 다음 두 개의 부분으로 구성되어 있다. 즉 정의역은 실수의 집합이고 대응 규칙은 정의역의 각 실수를 오직 유일한 벡터로 대응시키는 것이다.</p> <p>벡터함수의 정의역에서 실수를 $ t $라고 표시하자. 또한 벡터함수를 $ \mathbf{F}, \mathbf{G}, \mathbf{H}, \cdots $ 등으로 표시하겠다. 정의역의 실수가 벡터함수에 의하여 대응된 벡터의 모임을 벡터함수의 치역이라고 부른다. 특별한 언급이 없는 한, 벡터함수가 식으로 정의되었을 때 정의역은 이 식이 의미있도록 하는 모든 실수로 구성된다. 예를 들어\[\begin{array}{l} \mathbf{F}(t)=(2+3 t) \mathbf{i}+(-1+t) \mathbf{j}+2 \mathbf{k} \\\mathbf{G}(t)=\mathbf{i}+\sqrt{1+t} \mathbf{j}+t \mathbf{k} \\ \mathbf{H}(t)=a(t-\sin t) \mathbf{i}+a(1-\cos t) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 4 \pi \end{array} \] 로 정의된 벡터함수의 정의역은 각각 $ (-\infty, \infty),[-1, \infty),[0,4 \pi] $ 이다. 모든 벡터함수들은 세 개의 실함수 $ f_{1}, f_{2}, f_{3} $ 에 의하여 다음과 같이 대응된다. $ \mathbf{F} $의 정의역의 각 $ t $ 에 대하여 $ f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t) $ 를 각각 $ \mathbf{F}(t) $의 $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $의 성분이라고 하자. 그러면 $ f_{1}, f_{2}, f_{3} $의 각 정의역은 $ \mathbf{F} $ 의 정의역과 같고, $ \mathbf{F} $ 의 정의역의 $ t $ 에 대하여 \[\mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k}\]이다. 이때 $ f_{1}, f_{2}, f_{3} $ 을 $ \mathbf{F} $ 의 성분함수라고 부른다.</p> <p>예제 12.1</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=\ln t \mathbf{i}+\sqrt{1-t} \mathbf{j}+t^{4} \mathbf{k} $의 정의역을 구하기, 또한 성분함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathrm{F} $ 의 정의역은 $ \ln t, \sqrt{1-t}, t^{4} $ 모두가 정의되는 $ t $의 값들로 이루어져 있다. 따라서 구하는 정의역은 구간 $ (0,1] $ 이다. 또한 성분함수들은 \[f_{1}(t)=\ln t, \quad f_{2}(t)=\sqrt{1-t}, \quad f_{3}(t)=t^{4}\]이다.</p> <p>일반적으로 벡터함수의 그래프를 그리는 것은 불가능하다. 왜나하면 이것을 그리기 위해서는 4차원이 필요하다. 그러나 우리는 단지 $ \mathrm{F} $의 치역만 그리는 것으로 벡터함수 $ \mathrm{F} $를 묘사할 수 있다. 만약에 $ \mathbf{F}(t) $를 공간상의 한 점으로 생각할 때 $ t $가 증가함에 따라서 $ \mathbf{F}(t) $는 공간상에서 곡선을 그린다. 따라서 $ \mathrm{F} $의 치역은 공간에서 곡선에 대응된다. 이러한 곡선을 스케치하는 데 종종 화살표를 사용하는데 이는 $ t $가 증가함에 따라서 곡선이 그려지는 방향을 표시한다(그림 12.1).</p> <p>예제 12.34</p> <p>원나선 $ \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \sin t \mathbf{j}+3 t \mathbf{k} $ 에서 법벡터 $ \mathbf{N}(t) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>예제 12.31로부터 $ \mathbf{T}(t)=-\frac{2}{\sqrt{13}} \sin t \mathbf{i}+\frac{2}{\sqrt{13}} \cos t \mathbf{j}+\frac{3}{\sqrt{13}} \mathbf{k} $ 임을 알 수 있다. \[ \frac{d \mathrm{~T}}{d t}=-\frac{2}{\sqrt{13}} \cos t \mathbf{i}-\frac{2}{\sqrt{13}} \sin t \mathbf{j} \] 이고 \[ \left\\|\frac{d \mathrm{~T}}{d t}\right\\|=\frac{2}{\sqrt{13}} \] 이므로 (12.16)를 이용하면 다음의 결과를 얻는다. \[ \begin{aligned} \mathbf{N}(t)=\frac{d \mathbf{T} / d t}{\\|d \mathbf{T} / d t\\|} &=\frac{-\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \cos t \mathbf{i}-\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \sin t \mathbf{j}}{\frac{2}{\sqrt{13}}} \\ &=-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j} \end{aligned} \]</p> <p>예제 12.34로부터 나선 위에서의 법벡터는 늘 $ z $ 축과 직교하고 방향도 $ z $ 축을 향한다.</p> <p>임의의 매끄러운곡선 $ C $ 상의 임의의 점에서 접벡터 $ \mathbf{T} $ 와 법벡터 $ \mathbf{N} $ 이 늘 직교하므로 10.2절의 결과로부터 $ \mathbf{T} $ 와 $ \mathbf{N} $ 에 의하여 결정된 평면상의 임의의 벡터 $ \mathbf{b} $ 는 다음의 형태로 표현할 수 있다. \[ \mathbf{b}=b_{\mathrm{T}} \mathbf{T}+b_{\mathrm{N}} \mathbf{N} \]</p> <p>이때 $ b_{\mathrm{T}}, b_{\mathrm{N}} $ 을 각각 접성분과 법성분이라고 부른다. 우리가 공부해야 할 다음 과제는 $ C $ 를 따라서 움직이는 물체의 속도벡터와 가속도벡터가 $ \mathbf{T} $ 와 $ \mathbf{N} $ 에 의하여 결정된 평면에 놓이는 것과 이들의 접성분과 법성분을 찾는 것이다.</p> <p>속도 $ \mathrm{v} $ 를 구하기 위하여 $ \mathrm{r} $ 을 물체의 위치벡터로 표시하고 $ \mathrm{T} $ 와 $ \mathrm{N} $ 이 존재한다고 가정하자. 그러면 식 (12.15)에 의하여 다음이 성립한다. \[ \mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\| \mathbf{T}=\\|\mathbf{v}\\| \mathbf{T} \]<caption>(12.19)</caption>따라서 $ \mathbf{v} $ 의 접성분은 물체의 속력 $ \\|\mathbf{v}\\| $ 이고 법성분은 0 이다. 다음으로 가속도 $ \mathrm{a} $ 를 찾기 위하여 식 (12.19)의 양변을 미분하면 \[ \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\frac{d\\|\mathbf{v}\\|}{d t} \mathbf{T}+\\|\mathbf{v}\\| \frac{d \mathbf{T}}{d t} \] 를 얻는다. 식 (12.16) 로부터 $ \frac{d \mathbf{T}}{d t}=\left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\| \mathbf{N} $ 이므로 $ \mathbf{a} $ 의 방정식은 \[ \mathbf{a}=\frac{d\\|\mathbf{v}\\|}{d t} \mathbf{T}+\\|\mathbf{v}\\|\left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\| \mathbf{N} \] 가 된다. 따라서 \[ \mathbf{a}=a_{\mathrm{T}} \mathbf{T}+a_{\mathrm{N}} \mathbf{N} \]<caption>(12.20)</caption>여기서 \[ a_{\mathbf{T}}=\frac{d\\|\mathbf{v}\\|}{d t} \text { 이고 } \quad a_{\mathbf{N}}=\\|\mathbf{v}\\|\left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\| . \]<caption>(12.21)</caption>이때 계수 $ a_{\mathrm{T}} $ 와 $ a_{\mathrm{N}} $ 을 각각 가속도의 접성분과 법성분이라고 부른다. $ \mathrm{T} $ 와 $ \mathrm{N} $ 이 서로 수직인 단위벡터이므로 식 (12.20) 과 (12.21)로부터 다음을 얻는다. \[ \begin{aligned} \\|\mathbf{a}\\|^{2}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} &=\left(a_{\mathbf{T}} \mathbf{T}+a_{\mathbf{N}} \mathbf{N}\right) \cdot\left(a_{\mathbf{T}} \mathbf{T}+a_{\mathbf{N}} \mathbf{N}\right) \\ &=a_{\mathbf{T}}^{2}\\|\mathbf{T}\\|^{2}+a_{\mathbf{N}}^{2}\\|\mathbf{N}\\|^{2} \\ &=a_{\mathbf{T}}^{2}+a_{\mathbf{N}}^{2} \end{aligned} \] 식 (12.21) 에서의 $ a_{\mathrm{N}}=\\|\mathrm{v}\\|\left\\|\frac{d \mathrm{~T}}{d t}\right\\| $ 를 계산하는 것이 좀 어렵기 때문에 다음을 이용할 수 있다. \[ a_{\mathbf{N}}=\sqrt{\\|\mathbf{a}\\|^{2}-a_{\mathbf{T}}^{2}} \]<caption>(12.22)</caption></p> <p>예제 12.35</p> <p>$ \mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k} $ 에서 가속도의 접성분과 법성분을 각각 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathrm{r} $ 을 미분하면 $ \mathrm{v}=2 t \mathrm{i}+\mathrm{j}+2 t \mathbf{k} $ 이다. 그러므로 \[ \\|\mathbf{v}\\|=\sqrt{(2 t)^{2}+1+(2 t)^{2}}=\sqrt{8 t^{2}+1} . \] 이 사실과 식 (12.21)로부터 \[ a_{\mathbf{T}}=\frac{d\\|\mathbf{v}\\|}{d t}=\frac{8 t}{\sqrt{8 t^{2}+1}} \] 를 얻는다. 다음으로 $ a_{\mathrm{N}} $ 을 구하기 위하여 \[ \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=2 \mathbf{i}+2 \mathbf{k} \] 임에 유의하라. 따라서 $ \\|\mathrm{a}\\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2} $ 이므로 식 (12.22) 로부터 다음을 얻는다. \[ a_{\mathbf{N}}=\sqrt{\\|\mathbf{a}\\|^{2}-a_{\mathbf{T}}^{2}}=\sqrt{8-\frac{64 t^{2}}{8 t^{2}+1}}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{8 t^{2}+1}} . \]</p> <p>예제 12.13</p> <p>함수 $ \mathbf{F}(t)=\tan ^{-1} t \mathbf{i}+5 \mathbf{k}, \mathbf{G}(t)=\mathbf{i}+\ln t \mathbf{j}-2 t \mathbf{k} $ 에 대하여 $ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})^{\prime}(t) $, $ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})^{\prime}(t) $ 를 각각 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>구하고자하는 도함수를 구하는 방법은 두 가지가 있다. 첫째는 우선 $ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t),(\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t) $ 를 계산한 후 그 다음 각각 미분하는 것이고 둘째는 $ \mathbf{F}^{\prime}(t) $ 와 $ \mathbf{G}^{\prime}(t) $ 를 계산하고 정리 12.5을 이용하여 $ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})^{\prime},(\mathbf{F} \times \mathbf{G})^{\prime} $ 를 구하는 것이다.</p> <p>$ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})^{\prime}(t) $ 를 구하기 위하여 첫째 방법을 이용하자. $ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t)=\tan ^{-1} t-10 t $ 이므로 \[ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})^{\prime}(t)=\frac{1}{t^{2}+1}-10 \]</p> <p>다음으로 $ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})^{\prime}(t) $ 를 구하기 위하여 둘째 방법을 이용하자. 따라서 다음을 각각 계산하면 \[ \begin{array}{c} \mathbf{F}^{\prime}(t)=\frac{1}{t^{2}+1} \mathbf{i}, \quad \mathbf{G}^{\prime}(t)=\frac{1}{t} \mathbf{j}-2 \mathbf{k} \\ \mathbf{F}^{\prime}(t) \times \mathbf{G}(t)=\left\|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{t^{2}+1} & 0 & 0 \\ 0 & \ln t & -2 t \end{array}\right\|=\frac{2 t}{t^{2}+1} \mathbf{j}+\frac{\ln t}{t^{2}+1} \mathbf{k} \\ \mathbf{F}(t) \times \mathbf{G}^{\prime}(t)=\left\|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \tan ^{-1} t & 0 & 5 \\ 0 & \frac{1}{t} & -2 \end{array}\right\|=-\frac{5}{t} \mathbf{i}+2 \tan ^{-1} t \mathbf{j}+\frac{\tan ^{-1} t}{t} \mathbf{k} \end{array} \] 이제 정리 12.5의 (v)를 적용하면 \[ \begin{aligned} (\mathbf{F} \times \mathbf{G})^{\prime}(t) &=\mathbf{F}^{\prime}(t) \times \mathbf{G}(t)+\mathbf{F}(t) \times \mathbf{G}^{\prime}(t) \\ &=-\frac{5}{t} \mathbf{i}+\left(\frac{2 t}{t^{2}+1}+2 \tan ^{-1} t\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\ln t}{t^{2}+1}+\frac{\tan ^{-1} t}{t}\right) \mathbf{k} . \end{aligned} \]</p> <p>다음 따름정리 12.6은 정리 12.5의 결과로 언뜻 보기에는 초등적인 것 같으나 의미있는 내용이다.</p> <p>따름정리 12.6</p> <p>$ \mathbf{F} $ 는 구간 $ I $ 에서 미분가능하고 모든 $ t \in I $ 에 대하여 $ \\|\mathbf{F}(t)\\|=c $ 인 $ c $ 가 존재한다고 가정하자. 그러면 \[ \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{F}^{\prime}(t)=0, \quad t \in I . \]</p> <p>[증명]</p> <p>가정에 의하여 \[ \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{F}(t)=\\|\mathbf{F}(t)\\|^{2}=c^{2}, \quad t \in I . \] 그러므로 $ \mathbf{F} \cdot \mathbf{F} $ 는 상수실함수이고 도함수는 0 이다. 결과적으로 정리 12.5의 (iv)를 적용하면 \[ \mathbf{F}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{F}(t)+\mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{F}^{\prime}(t)=(\mathbf{F} \cdot \mathbf{F})^{\prime}(t)=0 . \]</p> <p>따라서 \[ \mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{F}^{\prime}(t)=0, \quad t \in I . \]</p> <p>따름정리 12.6에 의하여 $ \\|\mathbf{F}\\| $ 가 상수실함수이면 $ \mathbf{F} $ 의 정의역의 원소 $ t $ 에 대하여 $ \mathbf{F}(t) $ 또는 $ \mathbf{F}^{\prime}(t) $ 가 0 이든지, $ \mathbf{F}(t) $ 와 $ \mathbf{F}^{\prime}(t) $ 가 직교함을 의미한다. 예를 들어 $ S $ 는 중심이 원점이고 반지름이 $ r $ 인 구이고 $ \mathbf{F} $ 가 $ S $ 위에서 움직이는 물체의 위치를 나타낸다고 하면 $ \\|\mathbf{F}\\|=r $ 이다. 결과적으로 따름정리 12.6은 모든 $ t $ 에 대하여 $ \mathbf{F}(t) $ 와 $ \mathbf{F}^{\prime}(t) $ 가 직교함을 의미한다.</p> <p>실함수에서처럼 벡터함수에서도 2계, 3계, $ \cdots $ 등의 고계도함수를 정의할 수 있다. $ t_{0} $ 에서 $ \mathbf{F} $ 의 2계도함수를 $ t_{0} $ 에서 $ \mathbf{F}^{\prime} $ 의 도함수로 정의한다. 표시는 $ \mathbf{F}^{\prime \prime}\left(t_{0}\right) $ 이다.</p> <p>\[ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} \] 이면 $ t_{0} $ 에서 $ \mathbf{F} $ 의 2계 도함수는 \[ \mathbf{F}^{\prime \prime}\left(t_{0}\right)=f_{1}^{\prime \prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{i}+f_{2}^{\prime \prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{j}+f_{3}^{\prime \prime}\left(t_{0}\right) \mathbf{k} \] 이다. 일반적으로 \[ \mathbf{F}^{\prime \prime}(t)=f_{1}^{\prime \prime}(t) \mathbf{i}+f_{2}^{\prime \prime}(t) \mathbf{j}+f_{3}^{\prime \prime}(t) \mathbf{k} \] 이다. 예를 들어 \[ \mathbf{F}(t)=\left(t^{\frac{1}{2}}+t\right) \mathbf{i}+\left(t^{3}+1\right) \mathbf{j}+e^{2 t} \mathbf{k} \] 이면 \[ \mathbf{F}^{\prime \prime}(t)=-\frac{1}{4} t^{-\frac{3}{2}} \mathbf{i}+6 t \mathbf{j}+4 e^{2 t} \mathbf{k} . \]</p> <p>예제 12.36</p> <p>반경이 $ r $ 인 원의 곡률은 $ \frac{1}{r} $ 이다.</p> <p>풀이</p> <p>중심이 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 인 원을 매개화하면 \[ \mathbf{r}(t)=\left(x_{0}+r \cos t\right) \mathbf{i}+\left(y_{0}+r \sin t\right) \mathbf{j} \] 이다. 그러면 $ \mathbf{r}^{\prime}(t)=-r \sin t \mathbf{i}+r \cos t \mathbf{j} $ 이다. 더욱이 $ \left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|=r $ 이고 $ \mathbf{T}(t)= $ $ -\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j} $ 이다. 식 (12.23) 으로부터 \[ k(t)=\frac{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|}=\frac{1}{r}\\|-\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j}\\|=\frac{1}{r} . \]</p> <p>예제 $ 12.36 $ 으로부터 반경이 크면 클수록 곡률은 점점 작아짐을 알 수 있다. 또한 이것은 지구가 왜 평평해 보이는지를 설명해 주고 있다. 즉 지구의 반경은 대단히 크므로 어느 누구도 감지하기 힘든 곡률이 주어진다. 반경 $ r $ 인 원의 곡률은 $ \frac{1}{r} $ 이기 때문에 점 $ P $ 에서 곡선 $ C $ 의 곡률반경 $ \rho(t) $ 는 $ \rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)} $ 로 주어진다. 따라서 원의 곡률반경은 원의 반경과 같다. 다음의 예는 곡선이 곡률함수를 갖는 경우이다.</p> <p>예제 12.37</p> <p>포물선 $ \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j} $ 의 곡률 $ \kappa $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>필요한 계산을 하면 다음과 같다. \[ \begin{array}{l} \frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{i}+2 t \mathbf{j}, \quad\left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\|=\sqrt{1+4 t^{2}} \\ \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{i}+\frac{2 t}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{j} \\ \frac{d \mathbf{T}}{d t}=\frac{-4 t}{\left(1+4 t^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{i}+\frac{2}{\left(1+4 t^{2}\right)^{3 / 2}} \mathbf{j} \\ \left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\|=\frac{2}{1+4 t^{2}} \end{array} \] 이상의 결과들을 공식 (12.23)에 대입하면 \[ \kappa(t)=\frac{\\|d \mathbf{T} / d t\\|}{\\|d \mathrm{r} / d t\\|}=\frac{2 /\left(1+4 t^{2}\right)}{\left(1+4 t^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{2}{\left(1+4 t^{2}\right)^{3 / 2}} . \] $ t=0 $ 일 때 포물선의 곡률은 가장 크고 $ \|t\| $ 가 증가함에 따라서 점점 감소한다. 아래 곡선이 $ y $ 축에 대하여 대칭이므로 자연스럽게 곡률은 $ t $ 와 $ -t $ 인 경우 모두 같다.</p> <p>속도벡터와 가속도벡터를 접성분과 법성분으로 분해된 것을 이용하면 식 (12.23) 보다 간단한 곡률함수의 공식을 얻을 수 있다. $ \mathrm{r} $ 을 접벡터 $ \mathbf{T} $ 와 법벡터 $ \mathbf{N} $ 을 가진 매끄러운 곡선 $ C $ 의 매개화라 하자. 그러면 식 (12.19)와 (12.20) 으로부터 $ \mathbf{v}=\\|\mathbf{v}\\| \mathbf{T} $ 이고 $ \mathbf{a}=a_{\mathrm{T}} \mathbf{T}+a_{\mathbf{N}} \mathbf{N} $ 이다. $ \mathbf{T} \times \mathbf{T}=\mathbf{0} $ 이므로 \[ \begin{aligned} \mathbf{v} \times \mathbf{a} &=(\\|\mathbf{v}\\| \mathbf{T}) \times\left(a_{\mathbf{T}} \mathbf{T}+a_{\mathbf{N}} \mathbf{N}\right) \\ &=\left[(\\|\mathbf{v}\\| \mathbf{T}) \times\left(a_{\mathbf{T}} \mathbf{T}\right)\right]+\left[(\\|\mathbf{v}\\| \mathbf{T}) \times\left(a_{\mathbf{N}} \mathbf{N}\right)\right] \\ &=\left(\\|\mathbf{v}\\| a_{\mathbf{N}}\right)(\mathbf{T} \times \mathbf{N}) . \end{aligned} \]<caption>(12.24)</caption>$ a_{\mathbf{N}}=\\|\mathbf{v}\\|\left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\| $ 이고 $ \mathbf{T}, \mathbf{N} $ 이 직교단위벡터이므로 식 (12.24) 은 다음과 같다. \[ \\|\mathbf{v} \times \mathbf{a}\\|=\\|\mathbf{v}\\| a_{\mathbf{N}}=\\|\mathbf{v}\\|^{2}\left\\|\frac{d \mathbf{T}}{d t}\right\\| . \] 그러나 \[ \kappa=\frac{\\|d \mathbf{T} / d t\\|}{\\|d \mathbf{r} / d t\\|}=\frac{\\|d \mathbf{T} / d t\\|}{\\|\mathbf{v}\\|} \] 따라서 \[ \kappa=\frac{\\|\mathbf{v} \times \mathbf{a}\\|}{\\|\mathbf{v}\\|^{3}} \]<caption>(12.25)</caption></p> <h2>호길이함수</h2> <p>$ C $ 를 매끄러운 곡선이라고 하고 구간 $ I $ 에서 정의된 \[ \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k} \quad(t \in I) \] 는 $ C $ 의 매개화라 하자. 또한 $ a $ 는 $ I $ 에서 고정된 수라고 하자. 이때 호길이함수 $ s $ 는 다음과 같이 정의된다. \[ s(t)=\int_{a}^{t}\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(u)\right\\| d u=\int_{a}^{t} \sqrt{\left(x^{\prime}(u)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(u)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(u)\right)^{2}} d u \quad(t \in I) \]<caption>(12.12)</caption>만약 $ t \geq a $ 이면 $ s(t) $ 는 $ \mathrm{r}(a) $ 와 $ \mathrm{r}(t) $ 사이의 곡선 부분의 길이이다 (그림 12.22).</p> <p>또한 $ \mathrm{r}(t) $ 이 시간 $ t \geq a $ 에 대하여 물체의 위치를 나타낼 때 $ s(t) $ 는 시간 $ a $ 에서 시간 $ t $까지의 물체가 움직인 거리이다. 식 (12.12)를 $ t $ 에 관하여 미분하면 \[ s^{\prime}(t)=\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|=\sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}} . \] 동치적으로 다음과 같이 표현한다. \[ \frac{d s}{d t}=\left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} \]<caption>(12.13)</caption>$ \mathrm{r} $ 가 운동에서 한 물체의 위치를 나타내고 $ \mathrm{r} $ 의 속도가 $ \mathrm{v} $ 이면 $ 12.3 $ 절의 속력의 정의로부터 \[ \left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|=\\|\mathbf{v}(t)\\|=\frac{d s}{d t} \geq 0 . \]<caption>(12.14)</caption>더욱이 $ \mathrm{r} $ 이 매끄럽기 때문에 $ I $ 의 각 내점에 대하여 $ \frac{d s}{d t}>0 $. 따라서 $ t $ 를 $ s $ 의 함수로 간주할 수 있다 (6.1절을 참고하여라). 그러므로 $ t $ 에 의하여 결정되는 양(quantity)은 또한 $ s $ 에 의존한다. 특히 $ C $ 가 $ t \in(a, b) $ 에 대하여 $ \mathbf{r}(t) $ 에 의하여 매개화되고, $ C $ 의 길이가 $ \mathcal{L} $ 을 가지면 $ C $ 는 $ s \in[0, \mathcal{L}] $ 에 대하여 $ \mathbf{r}(t(s)) $ 에 의하여 매개화될 수 있다.</p> <p>예제 12.29</p> <p>$ \mathrm{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k} $ 에서 $ \frac{d s}{d t} $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>식 (12.13)을 이용하면 \[ \begin{aligned} \frac{d s}{d t} &=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{1+(2 t)^{2}+\left(3 t^{2}\right)^{2}} \\ &=\sqrt{1+4 t^{2}+9 t^{4}} . \end{aligned} \]</p> <h1>12.5 곡선의 접벡터와 법벡터</h1> <p>실함수 $ f $ 의 그래프상의 접선과 법선은 $ f $ 의 도함수에 의하여 정의되었다. 이제 벡터함수의 도함수를 이용하여 공간상의 곡선에 대해서도 유사한 정의를 하려고 한다. 공간상의 곡선의 접벡터와 법벡터는 직선이라기보다는 벡터일 것이다.</p> <h2>곡선의 접벡터</h2> <p>임의의 매끄러운 곡선은 매끄러운 매개화를 가지므로 이 절에서 취급하는 매끄러운 곡선의 매개화는 늘 매그러움을 가정한다.</p> <p>정의 12.11</p> <p>$ C $ 는 구간 $ I $ 에서 정의된 매그러운 곡선이고 $ \mathbf{r} $ 은 $ C $ 의 매개화라 놓자. $ I $ 의 임의의 내점 $ t_{0} $ 에 대하여 점 $ \mathbf{r}\left(t_{0}\right) $ 에서 접벡터 $ \mathbf{T}\left(t_{0}\right) $ 를 다음과 같이 정의한다 (그림 12.23). \[ \mathbf{T}\left(t_{0}\right)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{0}\right)}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right\\|} \]</p> <p>정의에 의하여 $ \mathbf{T}\left(t_{0}\right) $ 는 단위벡터이다. 따라서 접벡터의 방향은 유일하게 결정된다. $ 12.3 $절에서 벡터 $ \mathbf{r}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 을 $ \mathrm{r} $ 에 의하여 그려진 곡선에 접하는 것으로 간주하였다. $ \frac{\mathrm{r}^{\prime}\left(t_{0}\right)}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}\left(t_{0}\right)\right\\|} $ 는 $ \mathbf{r}^{\prime}\left(t_{0}\right) $ 와 늘 같은 방향이므로 $ \mathbf{T}\left(t_{0}\right) $ 는 접벡터로 명명한 것은 정당하다.</p> <p>일반적으로 $ I $ 의 모든 내점 $ t $ 에 대하여 접벡터 $ \mathbf{T}(t) $ 는 다음과 같이 정의된다. \[ \mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}(t)}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|}=\frac{d \mathbf{r} / d t}{\\|d \mathbf{r} / d t\\|} \]<caption>(12.15)</caption></p> <p>예제 12.30</p> <p>원 $ \mathbf{r}(t)=r \cos t \mathbf{i}+r \sin t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi $ 에서 접벡터 $ \mathbf{T}(t) $ 와 $ \mathbf{T}(\pi / 3) $ 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin{array}{l} \mathbf{r}^{\prime}(t)=-r \sin t \mathbf{i}+r \cos t \mathbf{j} \text { 이므로 } \\ \left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|=\sqrt{(-r \sin t)^{2}+(r \cos t)^{2}}=r . \end{array} \] 식 (12.15) 에 의하여 \[ \mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}^{\prime}(t)}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|}=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j} \text { 이고 } \mathbf{T}\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i}+\frac{1}{2} \mathbf{j} \text {. } \]</p> <p>예제 12.30에서 주어진 위치함수 $ \mathbf{r}(t) $ 에 대하여 \[ \mathbf{T}(t) \cdot \mathbf{r}(t)=(-\sin t)(r \cos t)+(\cos t)(r \sin t)=0, \quad \forall t \in[0,2 \pi] . \] 따라서 모든 $ t $ 에 대하여 접벡터와 위치벡터가 늘 수직임을 알 수 있다.</p> <p>예제 12.14</p> <p>한 물체가 점 $ (a, b, c) $ 에 정지되어 있다고 하자. 이때 $ \mathbf { v } (t)= \mathbf { a } (t)=0 $ 임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>위치벡터는 상수이다. 따라서 $ \mathbf { r } (t)=a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } $ 로 주어진다. 그러므로 \[ \mathbf { v } (t)= \frac { d \mathbf { r } } { d t } = \mathbf { 0 } \text { 이고 } \mathbf { a } (t)= \frac { d \mathbf { v } } { d t } =0 \text { . } \]</p> <p>예제 12.15</p> <p>위치벡터 $ \mathbf { r } (t)= \left (x_ { 0 } + a t \right ) \mathbf { i } + \left (y_ { 0 } + b t \right ) \mathbf { j } + \left (z_ { 0 } + c t \right ) \mathbf { k } $ 에서 속도, 속력, 가속도를 각각 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>미분하면 \[ \mathbf { v } (t)= \frac { d \mathbf { r } } { d t } =a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } . \] 그러므로 \[ \mathbf { a } (t)= \frac { d \mathbf { v } } { d t } = \mathbf { 0 } \] 이고 속력은 \[ \\| \mathbf { v } (t) \\|= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } . \]</p> <p>예제 12.16</p> <p> 파선 (cycloid) $ \mathbf { r } (t)=r(t- \sin t) \mathbf { i } + r(1- \cos t) \mathbf { j } $ 에서 $ \mathbf { v } (t)= \mathbf { 0 } $ 인 모든 $ t $ 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathrm { r } $ 을 미분하면 \[ \mathbf { v } (t)= \frac { d \mathbf { r } } { d t } =r(1- \cos t) \mathbf { i } + r \sin t \mathbf { j } . \] 그러므로 $ \mathbf { v } (t)= \mathbf { 0 } $ 일 필요충분조건은 $ r(1- \cos t)=0=r \sin t $ 이다. 따라서 $ t $는 $ 2 \pi $의 정수배이다.</p> <p>위 예제 12.16에서 $ t $ 가 $ 2 \pi $ 의 정수배이면 $ \mathrm { r } (t) $ 는 $ x $ 축상에 놓여 있는 첨점이라 불리는 파선상의 고립점 중의 하나이다. 파선상의 이러한 점에서는 정확하게 속도가 0 이다(그림 12.12).</p> <p>예제 12.32으로부터 그림 12.27처럼 원 주위에서 시계 반대 방향으로 한 물체가 운동하는 길에서의 법벡터는 원의 중심을 향한다.</p> <p>시계 방향으로 운동하는 경우에도 역시 법벡터는 원의 중심을 향한다. 어떤 경우든지 원주상의 임의의 점에서 법벡터는 접벡터에 수직하고 $ \frac{\pi}{2} $ 라디안만큼 접벡터를 회전하면 법벡터를 얻는다. 보다 일반적으로 $ x y $ 평면에서 매끄러운 곡선상의 한 점에서 접벡터로부터 법벡터를 얻는 방법을 구체적으로 서술하고자 한다.</p> <p>$ \theta(t) $ 를 양의 $ x $ 축과 곡선상의 점 $ \mathbf{r}(t) $ 에서의 접벡터 $ \mathbf{T}(t) $ 사이의 시계 반대 방향의 각이라 놓자. (그림 12.28의 (a)) 그리고 $ \theta $ 가 $ t $ 를 포함하는 열린구간에서 단조증가함수라고 가정하자. 그러면 다음을 얻는다. \[ \mathbf{T}(t)=\cos \theta(t) \mathbf{i}+\sin \theta(t) \mathbf{j} \]<caption>(12.17)</caption>연쇄법칙에 의하여 \[ \mathbf{T}^{\prime}(t)=-[\sin \theta(t)] \theta^{\prime}(t) \mathbf{i}+[\cos \theta(t)] \theta^{\prime}(t) \mathbf{j} . \] 그래서 \[ \left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|=\sqrt{\left\{-[\sin \theta(t)] \theta^{\prime}(t)\right\}^{2}+\left\{[\cos \theta(t)] \theta^{\prime}(t)\right\}^{2}}=\theta^{\prime}(t) . \] 그러므로 \[ \mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}^{\prime}(t)}{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|}=-\sin \theta(t) \mathbf{i}+\cos \theta(t) \mathbf{j} \]<caption>(12.18)</caption></p> <p>식 (12.17)과 (12.18)에서 $ \mathrm{i}, \mathrm{j} $ 의 계수를 비교하면, $ \mathrm{i} $ 와 $ \mathrm{j} $ 의 성분을 교환하여 새로운 $ \mathrm{i} $ 성분에 마이너스 기호를 붙이면 $ \mathbf{T}(t) $ 의 공식이 $ \mathbf{N}(t) $ 의 공식이 됨을 알 수 있다. \[ \cos \left(\theta(t)+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \theta(t), \quad \sin \left(\theta(t)+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \theta(t) \] 이므로 시계 반대 방향으로 $ \mathbf{T}(t) $ 를 $ \frac{\pi}{2} $ 라디안만큼 회전하면 $ \mathbf{N}(t) $ 를 얻는다 (그림 12.28의 (a)). 마찬가지로 $ \theta $ 가 단조감소하면, $ \mathbf{N}(t)=\sin \theta(t) \mathbf{i}-\cos \theta(t) \mathbf{j} $ 이다. 이 경우에도 $ \mathbf{T}(t) $ 를 시계 방향으로 $ \frac{\pi}{2} $ 라디안만큼 회전하면 $ \mathbf{N}(t) $ 를 얻는다 (그림 12.28의 (b)).</p> <p>예제 12.33</p> <p>포물선 $ \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j} $ 에서 법벡터를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac{d \mathbf{r}}{d t}=\mathbf{i}+2 t \mathbf{j} $ 이고 $ \left\\|\frac{d \mathbf{r}}{d t}\right\\|=\sqrt{1+4 t^{2}} $ 이다. 따라서 \[ \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{i}+\frac{2 t}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{j} . \] 식 (12.16)를 이용하든지 $ \theta(t) $ 가 증가함수임에 유의하여 (그림 12.29) 예제 12.32에서 이용했던 방법을 사용하면 다음의 공식을 얻는다. \[ \mathbf{N}(t)=\frac{-2 t}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{i}+\frac{1}{\sqrt{1+4 t^{2}}} \mathbf{j} . \]</p> <p>그림 12.28의 (a)와 12.28의 (b)에서 주어진 곡선이 위로 오목(아래로 오목)인 구간들에서 법벡터의 $ \mathbf{j} $ 성분은 양(음)이다. 그러므로 사인함수의 그래프의 법벡터들은 그림 12.30처럼 나타난다.</p> <p>예제 12.7</p> <p>반지름이 $ r $ 인 원이 단위시간당 1 라디안 비율로 $ x $ 축의 양의 방향으로 구른다. $ P $ 는 시간이 0 일 때 원점에 있는 원주상의 점이라고 하자. 이때 점 $ P $ 의 움직임에 의하여 그려진 곡선을 나타내는 벡터함수 $ \mathbf { F } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>그림 12.8의 (a)처럼 원점에서 $ P $ 까지의 벡터 $ \mathbf { F } (t) $ 는 $ \mathbf { a } + \mathbf { b } $ 로 쓰여진다. 단 $ \mathbf { a } $ 는 원점에서 원의 중심 $ C $ 까지의 벡터이고, $ \mathrm { b } $ 는 $ C $ 에서 $ P $ 까지의 벡터이다. 우선 $ \mathrm { a } $ 를 $ t $로 표현하면 \[ \mathbf { a } = r t \mathbf { i } + r \mathbf { j } \]이다. 왜냐하면 시간 $ t $ 에서 원이 $ x $ 축을 따라서 수평거리 $ r t $ 만큼 구른다. 이제 \[ \mathbf { b } =r \cos \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { i } + r \sin \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { j } \] 로 표현됨을 보이자. $ t $ 를 시간 0 부터 $ \overrightarrow { C P } $ 가 회전한 라디안 값으로 해석하자. 그러면 그림 12.8의 (b)처럼 $ \overrightarrow { C P } $ 는 양 $ x $ 축과 $ \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) $ 라디안 각을 만든다. 그래서 \[ \mathbf { b } = \overrightarrow { C P } =r \cos \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { i } + r \sin \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { j } \] 로 표현된다. 그러므로 백터함수 $ \mathrm { F } $ 는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \mathbf { F } (t) &= \mathbf { a } + \mathbf { b } =(r t \mathbf { i } + r \mathbf { j } ) + r \cos \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { i } + r \sin \left ( \frac { 3 } { 2 } \pi-t \right ) \mathbf { j } \\ &=r(t- \sin t) \mathbf { i } + r(1- \cos t) \mathbf { j } \end {aligned} \]</p> <p>예제 12.38</p> <p>식 (12.25) 을 이용하여 곡선 $ \mathbf { r } (t) = \frac { 1 } { 3 } t ^ { 3 } \mathbf { i } + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } t ^ { 2 } \mathbf { j } + t \mathbf { k } $ 의 곡률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>계산에 의하여 \[ \begin {array} { l } \mathbf { v } = \frac { d \mathbf { r } } { d t } =t ^ { 2 } \mathbf { i } + \sqrt { 2 } t \mathbf { j } + \mathbf { k } \\ \\| \mathbf { v } \\|= \sqrt { t ^ { 4 } + 2 t ^ { 2 } + 1 } =t ^ { 2 } + 1 \\ \mathbf { a } = \frac { d \mathbf { v } } { d t } =2 t \mathbf { i } + \sqrt { 2 } \mathbf { j } \end {array} \] 이고 \[ \mathbf { v } \times \mathbf { a } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ t ^ { 2 } & \sqrt { 2 } t & 1 \\ 2 t & \sqrt { 2 } & 0 \end {array} \right \|=- \sqrt { 2 } \mathbf { i } + 2 t \mathbf { j } - \sqrt { 2 } t ^ { 2 } \mathbf { k } \] 따라서 식 (12.25) 에 의하여 \[ \kappa= \frac {\\| \mathbf { v } \times \mathbf { a } \\| } {\\| \mathbf { v } \\| ^ { 3 } } = \frac {\sqrt { (- \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + (2 t) ^ { 2 } + \left (- \sqrt { 2 } t ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } } {\left (t ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } = \frac {\sqrt { 2 } } {\left (t ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \] $ \mathrm { r } $ 이 $ x y $ 평면에서 곡선상에 움직이는 물체를 나타낼 때 다음 식이 성립한다. \[ \begin {array} { l } \mathbf { r } =x \mathbf { i } + y \mathbf { j } \\ \mathbf { v } = \frac { d x } { d t } \mathbf { i } + \frac { d y } { d t } \mathbf { j } \\ \mathbf { a } = \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } \mathbf { i } + \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } \mathbf { j } \end {array} \] 식 (12.25)에서 외적을 계산하면 다음 식을 얻는다. \[ \kappa= \frac {\left \| \frac { d x } { d t } \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } - \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } \frac { d y } { d t } \right \| } {\left [ \left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 3 / 2 } } \]<caption>(12.26)</caption>특히 $ x=t $ 인 경우는 다음 식을 얻는다. \[ \kappa= \frac {\left \| \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } \right \| } {\left [1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 3 / 2 } } . \]<caption>(12.27)</caption></p> <p>예제 12.39</p> <p>파선의 한 호 $ \mathrm { r } (t)=r(t- \sin t) \mathbf { i } + r(1- \cos t) \mathbf { j } , 0<t<2 \pi $ 의 곡률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>계산에 의하여 \[ \begin {aligned} x(t) &=r(t- \sin t) & y(t) &=r(1- \cos t) \\ \frac { d x } { d t } &=r(1- \cos t) & & \frac { d y } { d t } =r \sin t \\ \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } &=r \sin t & \frac { d ^ { 2 } y } { d t ^ { 2 } } &=r \cos t \end {aligned} \] 이다. 그러면 식 (12.26) 에 의하여 \[ \begin {aligned} \kappa &= \frac { \|r(1- \cos t)(r \cos t)-(r \sin t)(r \sin t)\| } {\left [r ^ { 2 } (1- \cos t) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t \right ] ^ { 3 / 2 } } \\ &= \frac { r ^ { 2 } (1- \cos t) } {\left [r ^ { 2 } (2-2 \cos t) \right ] ^ { 3 / 2 } } = \frac { 1 } { 2 ^ { 3 / 2 } r \sqrt { 1- \cos t } } . \end {aligned} \]</p> <p>예제 12.17 한 물체가 반지름 $ r>0 $ 인 원을 일정한 속력 $ v>0 $ 를 가지고 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 이 물체의 위치벡터가 방정식 \[ \mathbf{r}(t)=r\left(\cos \frac{v t}{r} \mathbf{i}+\sin \frac{v t}{r} \mathbf{j}\right) \] 로 주어짐을 증명하여라. 그리고 이때 속도와 가속도를 각각 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>중심이 원점인 원이 $ x y $-평면에 놓여 있도록 하자. 시간 $ t=0 $ 일 때 물체가 양의 $ x $ 축에 있어서 시계 반대 방향으로 움직인다. 임의의 시간 $ t $ 에 대하여 $ \theta(t) $ 를 벡터 $ \mathbf{r}(t) $ 와 양의 $ x $ 축 사이의 각이라고 놓자(그림 12.13). 그러면 \[ \mathbf{r}(t)=r[(\cos \theta(t)) \mathbf{i}+(\sin \theta(t)) \mathbf{j}] . \]<caption>(12.2)</caption>$ \theta(t) $ 를 $ r, t, v $ 로 표현하기 위하여 식 (12.2)의 양변을 미분하면 \[ \mathbf{v}(t)=r \theta^{\prime}(t)[(-\sin \theta(t)) \mathbf{i}+(\cos \theta(t)) \mathbf{j}] . \]<caption>(12.3)</caption>물체가 시계 반대 방향으로 움직이기 때문에 $ \theta $ 는 증가한다. 따라서 $ \theta^{\prime}(t)>0 $. 그러므로 $ r>0 $ 이므로 \[ \\|\mathbf{v}(t)\\|=\left\|r \theta^{\prime}(t)\right\|=r \theta^{\prime}(t) . \]<caption>(12.4)</caption></p> <p>그러나 가정에 의하여 $ \\|\mathbf{v}(t)\\|=v $. 식 (12.4) 에 의하여 $ \theta^{\prime}(t)=\frac{v}{r} $. 가정에 의하여 $ \theta(0)=0 $ 이므로 $ \theta^{\prime}(t)=\frac{v}{r} $ 를 적분하면 $ \theta(t)=\frac{v t}{r} $. 식 (12.2) 에 $ \theta(t)=\frac{v t}{r} $ 를 대입하면 \[ \mathbf{r}(t)=r\left(\cos \frac{v t}{r} \mathbf{i}+\sin \frac{v t}{r} \mathbf{j}\right) \text {. } \] 연속적으로 두 번 미분하면 \[ \mathbf{v}(t)=v\left(-\sin \frac{v t}{r} \mathbf{i}+\cos \frac{v t}{r} \mathbf{j}\right) \] 이고 \[ \mathbf{a}(t)=-\frac{v^{2}}{r}\left(\cos \frac{v t}{r} \mathbf{i}+\sin \frac{v t}{r} \mathbf{j}\right)=-\frac{v^{2}}{r^{2}} \mathbf{r}(t) . \]</p> <h2>벡터함수의 적분</h2> <p>벡터함수의 적분은 성분함수의 적분으로 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 12.6</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} $ 의 부정적분 $ \int \mathbf{F}(t) d t $ 와 정적분 $ \int_{a}^{b} \mathbf{F}(t) d t $ 를 각각 다음과 같이 정의한다. 단 $ f_{1}, f_{2}, f_{3} $ 는 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이다. \[ \begin{array}{l} \int \mathbf{F}(t) d t=\left(\int f_{1}(t) d t\right) \mathbf{i}+\left(\int f_{2}(t) d t\right) \mathbf{j}+\left(\int f_{3}(t) d t\right) \mathbf{k} \\ \int_{a}^{b} \mathbf{F}(t) d t=\left(\int_{a}^{b} f_{1}(t) d t\right) \mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b} f_{2}(t) d t\right) \mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b} f_{3}(t) d t\right) \mathbf{k} \end{array} \]</p> <p>예제 12.18</p> <p>벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=t \mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+\sin t \mathbf{k} $ 에서 $ \int \mathbf{F}(t) d t, \int_{0}^{\pi} \mathbf{F}(t) d t $ 를 각각 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>정의 12.6을 적용하면 \[ \begin{aligned} \int \mathbf{F}(t) d t &=\left(\int t d t\right) \mathbf{i}+\left(\int t^{2} d t\right) \mathbf{j}+\left(\int \sin t d t\right) \mathbf{k} \\ &=\left(\frac{1}{2} t^{2}+C_{1}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{1}{3} t^{3}+C_{2}\right) \mathbf{j}+\left(-\cos t+C_{3}\right) \mathbf{k} \end{aligned} \] 이고 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi} \mathbf{F}(t) d t &=\left[\frac{1}{2} t^{2}\right]_{0}^{\pi} \mathbf{i}+\left[\frac{1}{3} t^{3}\right]_{0}^{\pi} \mathbf{j}+[-\cos t]_{0}^{\pi} \mathbf{k} \\ &=\frac{1}{2} \pi^{2} \mathbf{i}+\frac{1}{3} \pi^{3} \mathbf{j}+2 \mathbf{k} . \end{aligned} \]</p> <p>$ f_{1}, f_{2}, f_{3} $ 가 미분가능하고, $ f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, f_{3}^{\prime} $ 도 연속이라고 하자. 벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+ $ $ f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} $ 에 대하여 정리 12.4와 정의 12.6로부터 \[ \begin{aligned} \int \mathbf{F}^{\prime}(t) d t &=\int\left[f_{1}^{\prime}(t) \mathbf{i}+f_{2}^{\prime}(t) \mathbf{j}+f_{3}^{\prime}(t) \mathbf{k}\right] d t \\ &=\left(\int f_{1}^{\prime}(t) d t\right) \mathbf{i}+\left(\int f_{2}^{\prime}(t) d t\right) \mathbf{j}+\left(\int f_{3}^{\prime}(t) d t\right) \mathbf{k} \\ &=\left[f_{1}(t)+C_{1}\right] \mathbf{i}+\left[f_{2}(t)+C_{2}\right] \mathbf{j}+\left[f_{3}(t)+C_{3}\right] \mathbf{k} \\ &=\left(f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k}\right)+\left(C_{1} \mathbf{i}+C_{2} \mathbf{j}+C_{3} \mathbf{k}\right) \\ &=\mathbf{F}(t)+\left(C_{1} \mathbf{i}+C_{2} \mathbf{j}+C_{3} \mathbf{k}\right) \end{aligned} \] 따라서 \[ \int \mathbf{F}^{\prime}(t) d t=\mathbf{F}(t)+\mathbf{C} \]<caption>(12.5)</caption>단, $ \mathrm{C} $ 는 상수벡터이다.</p> <h1>12.2 벡터함수의 극한과 연속성</h1> <p>벡터함수의 극한과 연속성의 정의는 실함수에서 정의했던 것과 비슷하다.</p> <p>정의 12.3</p> <p>$ \mathbf{F} $ 는 $ t_{0} $ 을 포함하는 어떤 열린구간 ( $ t_{0} $ 자신은 제외할 수 있다)의 각 점에서 정의된 벡터함수라 하자. $ t \rightarrow t_{0} $ 일 때 $ \\|\mathbf{F}(t)-\mathbf{L}\\| \rightarrow 0 $ 이면 $ \mathbf{L} $ 을 $ t_{0} $ 에서 $ \mathbf{F} $ 의 극한이라 하고 기호로 $ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)=\mathbf{L} $ 라고 쓴다.</p> <p>$ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)=\mathbf{L} $ 의 직관적인 의미는 $ t $ 가 충분히 $ t_{0} $ 에 가까워지면 $ \mathbf{F}(t) $ 도 $ \mathbf{L} $ 에 가까워짐을 말한다.</p> <p>따라서 정의 12.3의 기하학적 해석은 다음과 같다. 중심이 $ \mathrm{L} $ 인 임의의 구에 대하여 $ t_{0} $ 에 관한 열린구간 $ I $ 가 존재하여 $ \mathrm{F} $ 가 $ I $ 의 각 실수를 구 내부의 점으로 대응시킬 때 \[ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)=\mathbf{L} \]이라고 표기한다.</p> <p>벡터함수의 극한을 정의 12.3을 직접 이용하여 계산하는 것은 쉽지 않다. 그러나 다행히도 다음 정리를 이용하면 벡터함수의 극한을 쉽게 계산할 수 있다. 여기에서는 결과만 소개하고 증명은 생략한다.</p> <p>정리 12.1</p> <p>$ t=t_{0} $ 에서 벡터함수 $ \mathbf{F}(t)=f_{1}(t) \mathbf{i}+f_{2}(t) \mathbf{j}+f_{3}(t) \mathbf{k} $ 의 극한이 존재할 필요충분조건은 $ t=t_{0} $ 에서 각 성분함수 $ f_{1}(t), f_{2}(t), f_{3}(t) $ 의 극한이 존재하는 것이다. 이 경우 \[ \lim _{t \rightarrow t_{0}} \mathbf{F}(t)=\left[\lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{1}(t)\right] \mathbf{i}+\left[\lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{2}(t)\right] \mathbf{j}+\left[\lim _{t \rightarrow t_{0}} f_{3}(t)\right] \mathbf{k} \]이다.</p> <p>예제 12.8</p> <p>$ \lim _{t \rightarrow 0}\left(2 \cos t \mathbf{i}+\frac{\sin t}{t} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}\right) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>정리 12.1을 적용하면 \[ \begin{array}{l} \lim _{t \rightarrow 0}\left(2 \cos t \mathbf{i}+\frac{\sin t}{t} \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}\right) \\ =\left(\lim _{t \rightarrow 0} 2 \cos t\right) \mathbf{i}+\left(\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t}\right) \mathbf{j}+\left(\lim _{t \rightarrow 0} t^{2}\right) \mathbf{k} \\ =2 \mathbf{i}+\mathbf{j} \end{array} \]</p> <p>정리 12.1은 벡터함수의 적당한 결합 형태의 극한을 계산하는 공식을 유도하는 데 유용하다.</p> <h2>벡터함수의 연산</h2> <p>정의 12.2</p> <p>$ \mathbf{F}, \mathrm{G} $ 는 벡터함수들이고 $ f, g $ 는 실함수들이라 하자. 이때 함수 $ \mathbf{F}+\mathbf{G}, \mathbf{F}-\mathbf{G}, f \mathbf{F} $, $ \mathbf{F} \cdot \mathbf{G}, \mathbf{F} \times \mathbf{G} $ 및 $ \mathbf{F} \circ g $ 를 각각 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{array}{l} (\mathbf{F}+\mathbf{G})(t)=\mathbf{F}(t)+\mathbf{G}(t), \quad(\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t)=\mathbf{F}(t) \cdot \mathbf{G}(t) \\ (\mathbf{F}-\mathbf{G})(t)=\mathbf{F}(t)-\mathbf{G}(t), \quad(\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t)=\mathbf{F}(t) \times \mathbf{G}(t) \\ (f \mathbf{F})(t)=f(t) \mathbf{F}(t), \quad(\mathbf{F} \circ g)(t)=\mathbf{F}(g(t)) \end{array} \] 단, 이들 함수의 정의역은 각 함수의 오론쪽 식이 의미있도록 하는 모든 $ t $ 의 모임이다.</p> <p>예제 12.5</p> <p>$\mathbf{F}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \mathbf{G}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+t \mathbf{k} $ 그리고 $ g(t)=\sqrt{t} $ 에 대해서 $ \mathbf{F}+\mathbf{G}, \mathbf{F}-\mathbf{G}, g \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G}, \mathbf{F} \times \mathbf{G}, \mathbf{F} \circ g $ 를 각각 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>정의로부터 다음이 각각 계산된다. \[ \begin{array}{l} (\mathbf{F}+\mathbf{G})(t)=(\cos t-\sin t) \mathbf{i}+(\sin t+\cos t) \mathbf{j}+2 t \mathbf{k} \\ (\mathbf{F}-\mathbf{G})(t)=(\cos t+\sin t) \mathbf{i}+(\sin t-\cos t) \mathbf{j} \\ (g \mathbf{F})(t)=\sqrt{t} \cos t \mathbf{i}+\sqrt{t} \sin t \mathbf{j}+t^{\frac{3}{2}} \mathbf{k} \\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(t)=-\cos t \sin t+\sin t \cos t+t^{2}=t^{2} \\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(t)=t(\sin t-\cos t) \mathbf{i}-t(\sin t+\cos t) \mathbf{j}+\mathbf{k} \\ (\mathbf{F} \circ g)(t)=\mathbf{F}(g(t))=\cos \sqrt{t} \mathbf{i}+\sin \sqrt{t} \mathbf{j}+\sqrt{t} \mathbf{k} \end{array} \] 여기서 $ g \mathbf{F} $ 와 $ \mathbf{F} \circ g $ 의 정의역은 $ [0, \infty) $ 이고, 나머지 경우는 모두 실수 전체의 집합이다.</P><P>다음에서는 곡선을 그리기 위해 하나의 벡터함수를 다른 두 개의 벡터함수로 분해한다.</p> <p>예제 12.6</p> <p>$ \mathbf{H}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k} $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathbf{F}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}, \mathbf{G}(t)=t \mathbf{k} $ 로 각각 놓으면 \[ \mathbf{H}(t)=\mathbf{F}(t)+\mathbf{G}(t)=\mathbf{F}(t)+t \mathbf{k} \]이다. 따라서 $ \mathbf{H}(t) $ 에 대응하는 점은 $ \mathbf{F}(t) $ 에 대응하는 점보다 $ \|t\| $ 단위만큼 위 또는 아래에 위치한다. 따라서 $ \mathrm{F} $ 에 의한 곡선은 표준단위원이므로 $ \mathrm{H} $ 에 의한 곡선은 그림 12.6과 같다.</p> <p>예제 12.6에서 기술된 곡선을 원형나선(circular helix)$^1$이라 부른다. 이 원형나선은 원형 기둥면 $ x^{2}+y^{2}=1 $ 상에 놓임에 유의하여라.</p> <p>이제 마지막 예로 원이 직선을 따라서 굴러갈 때 원상의 한 점에 의하여 그려진 곡선, 즉 파선(cycloid)에 대하여 공부하고자 한다(그림 12.7).</p> <h2>곡선의 방향</h2> <p>곡선 $ C $ 의 조각적으로 매그러운 매개화 $ \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} $ 는 $ C $ 의 유한점을 제외하고는 모든 점에서 접벡터를 결정한다. $ \mathrm{r} $ 에 의하여 그려지는 곡선 $ C $ 의 방향으로 각 접벡터들이 향할 때 $ \mathbf{r} $ 은 $ C $ 의 방향을 결정한다고 말한다. (그림 12.33의 (a))</p> <p>일반적으로 사람들이 고속도로에서 차를 운전할때 두 개의 방향에서 하듯이 주어진 곡선도 늘 두 방향을 가진다. 임의의 한 방향에 대한 접벡터는 다른 방향에 대한 접벡터와 늘 반대 방향을 갖는다. 더욱이 곡선 $ C $ 가 일단 하나의 방향을 가지면 $ C $ 에서의 접벡터들은 $ C $의 매개화에 관계없이 늘 유일하게 결정된다.</p> <p>$ \mathbf{r} $ 을 $ [a, b] $ 에서 $ C $ 의 조각적으로 매끄러운 매개화라 가정하자. 그리고 $ \mathbf{r}_{1}(t)=\mathrm{r}(a+b-t) $, $ a \leq t \leq b $ 로 놓자. 그러면 $ \mathrm{r}_{1} $ 도 $ C $ 의 조각적으로 매끄러운 매개화이고, $ \mathrm{r} $ 에 의하여 결정된 방향과 반대의 방향을 결정한다. (그림 12.33의 (b))</p> <p>우리가 방향이 주어진 곡선 $ C $ 를 생각할 때 이 곡선의 반대 방향을 가진 곡선은 $ -C $ 이다. 자체가 꼬이지 않은 평면닫힌곡선은 위의 그림 [12.34처럼 두 방향을 갖는데, 각각 시계 반대 방향(그림 12.34의 (a)), 시계 방향(그림 12.34의 (b))이라고 부른다.</p> <p>유향곡선이라 함은 곡선이 특별한 방향을 가지는 조각적으로 매끄러운 곡선을 말한다.</p> <h2>곡률</h2> <p>$ C $ 를 매끄러운곡선이라 하자. 이때 접벡터의 크기는 늘 1 이다. 그리고 주어진 곡선의 특성 에 따라서 방향은 점에서 점으로 변한다. 예를 들어 그림 12.35의 (a)처럼 곡선이 직선이면 접벡터의 방향은 일정하다 그림 12.35의 (b)처럼 곡선이 완만하면 접벡터가 곡선을 따라서 느슨하게 변한다. 마지막으로 그림 12.35의 (c)인 경우처럼 급속도로 변하는 예도 있다.</p> <p>그림 12.35는 호길이함수 $ s $ 에 관한 접벡터의 변화율 $ \frac{d \mathbf{T}}{d s} $ 가 주어진 곡선이 꼬이고 방향 전환하는 비율과 관계있음을 보여주고 있다. \[ \frac{d \mathbf{T}}{d t}=\frac{d \mathbf{T}}{d s} \frac{d s}{d t} \] 이므로 \[ \frac{d \mathbf{T}}{d s}=\frac{d \mathbf{T} / d t}{d s / d t}=\frac{d \mathbf{T} / d t}{\\|d \mathbf{r} / d t\\|} \] 가 성립한다. 이 사실로부터 곡선의 곡률 $ \kappa $ 를 다음처럼 정의할 수 있다.</p> <p>정의 12.13</p> <p>$ C $ 는 $ \mathrm{r}^{\prime} $ 이 미분가능하고 매끄러운 매개화 $ \mathbf{r} $ 을 갖는 곡선이라고 가정하자. 이때 $ C $ 의 곡률 $ \kappa $ 는 다음의 공식으로 표현된다. \[ k(t)=\frac{\left\\|\mathbf{T}^{\prime}(t)\right\\|}{\left\\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\\|}=\frac{\\|d \mathbf{T} / d t\\|}{\\|d \mathbf{r} / d t\\|} \]<caption>(12.23)</caption></p> <p>정의에 의하여 $ \kappa(t) $ 는 0 이 아닌 양수이지만 $ \kappa(t)=0 $ 인 경우도 가능하다. 예를들면 직선의 곡률은 0 이다. 왜나하면 접벡터가 상수이기 때문이다.</p> <p>한편 그림 12.16의 (b)나 선분, 나선, 파선은 닫힌곡선이 아니다. 다음 곡선의 매끄러움을 생각하자.</p> <p>정의 12.9</p> <p>(i) 구간 $ I $ 상에 정의된 벡터함수 $ \mathrm{r} $ 이 매끄럽다함은 $ \mathrm{r} $ 이 연속인 도함수를 갖고 $ I $ 의 각 내접에 대하여 $ \mathbf{r}^{\prime}(t) \neq 0 $ 일 때를 말한다. $ C $ 가 매끄러운 매개화를 가질 때 $ C $ 는 매끄럽다고 한다.</p> <p>(ii) 구간 $ I $ 상에 정의된 연속벡터함수 $ \mathrm{r} $ 이 조각적으로 매끄럽다함은 $ I $ 가 유한개의 구간들로 구성되고 $ \mathrm{r} $ 이 유한개의 구간들에서 각각 매끄럽기 또한 $ \mathrm{r} $ 이 $ I $ 의 각 내접에서 한쪽도함수를 가질 때를 말한다. 곡선 $ C $ 가 조각적으로 매끄러운 매개화를 가질 때 $ C $ 는 조각적으로 매끄러운 곡선이라고 말한다.</p> <p>직관적으로 그림 12.17의 (a)와 (b)의 모양의 곡선들이다.</p> <p>물론 매끄러운 곡선은 언제나 조각적으로 매끄러운 곡선이지만, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.</p> <p>예제 12.20</p> <p>원 $ \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi $ 가 매끄러움을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>함수 $ \mathrm{r} $ 는 미분가능하다. 그리고 $ \mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}, 0 \leq t \leq 2 \pi $, 그러므로 $ \mathbf{r}^{\prime} $는 $ [0,2 \pi] $ 에서 연속이고, \[ \left\\|\mathrm{r}^{\prime}(t)\right\\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=1 . \] 따라서 각 $ t \in[0,2 \pi] $ 에 대하여 $ \mathbf{r}^{\prime}(t) \neq 0 $ 이므로 정의 $ 12.9 $ 의 (i)에 의하여 원은 매끄럽다.</p> <p>여제 12.21</p> <p>나선 (helix) $ \mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k} $ 가 매끄러움을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathbf{r}^{\prime}(t)=-\sin t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\mathbf{k} $ 이므로 $ \mathbf{r}^{\prime} $ 은 연속이고, 모든 $ t $ 에 대하여 $ \mathbf{r}^{\prime}(t) \neq 0 $. 그러므로 나선은 매끄럽다(그림 12.6).</p> <p>예제 12.22</p> <p>곡선 $ \mathbf{r}(t)=r(t-\sin t) \mathbf{i}+r(1-\cos t) \mathbf{j},-2 \pi \leq t \leq 2 \pi $ 가 조각적으로 매끄러움을 보여라 (그림 12.18).</p> <p>풀이</p> <p>미분하면 $ \mathbf{r}^{\prime}(t)=r(1-\cos t) \mathbf{i}+r \sin t \mathbf{j} . \mathbf{r}^{\prime} $ 은 비록 연속이지만 $ \mathbf{r}^{\prime}(0)=0 $ 이므로 $ \mathbf{r} $은 매끄럽지 않다. 그러나 $ t \neq-2 \pi, 0,2 \pi $ 인 경우 $ \mathbf{r}^{\prime}(t) \neq 0 $. 그러므로 $ \mathbf{r} $ 는 $ [-2 \pi, 0] $과 $ [0,2 \pi] $ 에서 매끄럽다. 결론적으로 $ \mathrm{r} $ 은 조각적으로 매끄럽다.</p> <p>일반적으로 $ \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 에서 $ \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) $ 까지의 선분의 매끄러운 매개화 $ \mathbf{r} $ 을 다음과 같이 언을 수 있다. \[ \begin{array}{l} \mathbf{r}(t)=\left(x_{0}+a t\right) \mathbf{i}+\left(y_{0}+b t\right) \mathbf{j}+\left(z_{0}+c t\right) \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1 \\ \text { 단, } a=x_{1}-x_{0}, \quad b=y_{1}-y_{0}, \quad c=z_{1}-z_{0} \end{array} \]</p> <p>예제 12.23</p> <p>$ (4,3,5) $ 에서 $ (2,8,5) $ 까지의 선분의 매끄러운 매개화를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x_{0}=4, y_{0}=3, z_{0}=5, x_{1}=2, y_{1}=8, z_{1}=5 $ 로 놓으면 위의 결과에 의하여 \[ \mathbf{r}(t)=(4-2 t) \mathbf{i}+(3+5 t) \mathbf{j}+5 \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 . \]</p> <p>예제 12.24</p> <p>그림 12.19의 (a)와 같은 곡선 $ C $ 의 조각적으로 매끄러운 매개화을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>곡선 $ C $ 는 선분 $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ 로 구성되어 있다. $ C $ 를 매개화하는 간단한 방법은 정의역 $ [0,1],[1,2],[2,3] $ 에서 각각 정의된 $ C_{1}, C_{2}, C_{3} $ 을 우선 매개화하고 이들을 서로 결합하면 된다. 따라서 $ \mathbf{r}(t) $ 를 다음과 같이 놓는다. \[ \mathbf{r}(t)=\left\{\begin{array}{lll} t \mathbf{i}, & 0 \leq t \leq 1 & \left(C_{1} \text { 을 매개화 }\right) \\ \mathbf{i}+(t-1) \mathbf{j}, & 1 \leq t \leq 2 & \left(C_{2} \text { 을 매개화 }\right) \\ \mathbf{i}+\mathbf{j}+(t-2) \mathbf{k}, & 2 \leq t \leq 3 & \left(C_{3} \text { 을 매개화 }\right) \end{array}\right. \] 그러면 함수 $ \mathrm{r} $ 은 정의 $ 12.9 $ 의 (ii)의 조건을 만족한다.</p> <p>예제 12.2</p> <p>$\mathbf{F}(t)=(2+3 t) \mathbf{i}+(-1+t) \mathbf{j}-2 t \mathbf{k} $ 에 의하여 그려지는 곡선을 스케치하여라.</p> <p>풀이 $ (x, y, z) $ 가 $ \mathbf{F}(t) $ 에 대응되는 곡선상의 점이라 하자. 그러면 \[x=2+3 t, \quad y=-1+t, \quad z=-2 t\] 이다. $ 11.4 $ 절의 식 (11.22) 으로부터 $ (2,-1,0) $ 을 지나고 벡터 $ 3 \mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathrm{k} $에 평행한 직선의 매개방정식임을 알 수 있다(그림 12.2).보다 일반적으로 \[\mathbf{F}(t)=\left(x_{0}+a t\right) \mathbf{i}+\left(y_{0}+b t\right) \mathbf{j}+\left(z_{0}+c t\right) \mathbf{k}\]라 놓자. 단 $ x_{0}, y_{0}, z_{0}, a, b, c $ 는 모두 상수이고 $ a, b, c $ 는 동시에 모두가 0이 아니다. 예제 $ 12.2 $ 에서처럼 $ F $ 에 의하여 그려지는 곡선은 접 $ \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 를 통과하기 벡터 $ a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k} $ 에 평행한 직선이다.</p> <p>예제 12.3</p> <p>함수 $ \mathbf{F}(t)=\cos t \mathbf{i}+\sin t \mathbf{j} $ 가 $ x y $ 평면에서 원점을 중심으로 갖는 단위원 위를 시계 반대 방향으로 움직임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \mathrm{F} $ 에 의하여 그려지는 곡선은 $ x y $ 평면에 놓여 있다. 왜나하면 $ \mathbf{F} $ 의 $ \mathrm{k} $ 성분은 0 이다. 모든 $ t $ 에 대하여 $ \\|\mathbf{F}(t)\\|=\sqrt{\cos ^{2} t+\sin ^{2} t}=1 $ 이므로 이 곡선은 단위원상에 있다. 더욱이 $ \mathbf{F}(t) $ 가 양 $ x $ 축과 $ t $ 라디안의 각을 만들기 (그림 [12.3), $ t $ 가 모든 실수임을 가정하므로 원의 모든 접은 어떤 $ t $ 에 대하여 $ \mathbf{F}(t) $ 이다. 결과적으로 모든 원은 $ \mathbf{F} $ 에 의하여 그려지고, 마지막으로 $ t $ 가 증가함에 따라 벡터 $ \mathbf{F}(t) $ 는 원을 시계 반대 방향으로 움직인다.</p> <p>예제 12.3에서 서술된 원을 표준단위원이라고 부른다. 단위원은 함수\[\mathbf{G}(t)=\cos t \mathbf{i}-\sin t \mathbf{j}\]<caption>(12.1)</caption>에 의하여 시계 방향으로도 그려진다(그림 12.4).</p> <p>예제 12.4</p> <p>$ \mathbf{F}(t)=\cos t \mathbf{i}+\cos t \mathbf{j}+\sqrt{2} \sin t \mathbf{k} $ 의 곡선을 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>이 곡선도 또한 원이다. 이 사실을 보이기 위하여 $ (x, y, z) $ 를 $ \mathbf{F}(t) $ 에 대응하는 곡선상의 점이라 놓자. 그러면 $ x=\cos t, y=\cos t, z=\sqrt{2} \sin t $ 이다. 이 방정식으로부터 \[x^{2}+y^{2}+z^{2}=\cos ^{2} t+\cos ^{2} t+2 \sin ^{2} t=2\] 이고 또한 $ x=y $ 이다. 따라서 점 $ (x, y, z) $ 는 반경이 $ \sqrt{2} $ 인 구면과 평면 $ x=y $ 위에 놓여 있다. 이로부터 이 곡선은 원에 놓여 있고 원의 모든 점은 $ \mathbf{F} $ 에 의하여 그려짐을 알 수 있다(그림 12.5).</p>	자연
미적분학_미분	<p>다음은 합성함수의 도함수에 관한 정리이다. 증명은 부록 2-3으로 넘긴다.</p> <p>함수 $ g $ 가 함수 $ f $ 의 치역에서 정의되어 있으면 $ (g \circ f)(x)=g(f(x)) $ 와 같이 정의된 $ f $와 $ g $ 의 합성함수 $ g \circ f $ 를 생각할 수 있다. 이렇게 정의된 합성함수 $ g \circ f $ 의 도함수도 $ f $ 와 $ g $ 의 도함수에 의해 구할 수 있다.</p> <p>정리 $ 2.11 $ (연쇄법칙(chain rule)) 함수 $ f $ 가 $ x=a $ 에서 미분가능하고, 함수 $ g $ 가 $ f(a) $ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 $ g \circ f $ 는 $ x=a $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. $ (g \circ f) ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) $</p> <p>$ u=f(x) $ 라 놓으면 $ y=g(f(x))=g(u) $ 이며 $ \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } $</p> <p>예제 $ 13 $ 함수 $ h(x)= \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $ 에 대하여 $ h ^ {\prime } (x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 방법 $ 1: g(u)= \sqrt { u } $ 와 $ f(x)=x ^ { 2 } + 1 $ 라 놓으면, $ g ^ {\prime } (u)= \frac { 1 } { 2 } u ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { u } } $ 이고 $ f ^ {\prime } (x)=2 x $ 이므로 $ h ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (g(x)) g ^ {\prime } (x) $ $ = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \cdot 2 x= \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $ 이다. 방법 2: $ u=x ^ { 2 } + 1, y= \sqrt { u } $ 라고 하면, $ h ^ {\prime } (x)= \frac { d y } { d u } \frac { d u } { d x } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { u } } (2 x) $ $ = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } (2 x)= \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $ 이다.</p> <p>역 쌍곡선함수의 도함수</p> <ul> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \sinh ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \operatorname { csch } ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } { \|x\| \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \cosh ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { x ^ { 2 } -1 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \operatorname { sech } ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } { x \sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \tanh ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \operatorname { coth } ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } $</li></ul> <p>주 $ \tanh ^ { -1 } x $ 와 $ \operatorname { coth } ^ { -1 } x $ 의 도함수는 동일하나 이 함수들의 정의역은 공통부분을 가지지 않는다. 즉 $ \tanh ^ { -1 } x $ 는 $ \|x\|<1 $ 위에서 $ \operatorname { coth } ^ { -1 } x $ 는 $ \|x\|>1 $ 위에서 각각 정의된다.</p> <p>쌍곡선함수가 미분가능하므로 역 쌍곡선함수도 미분가능하다. 위의 공식은 역함수에 대한 방법 또는 로그함수의 미분법에 의하여 증명할 수 있다.</p> <p>예제 $ 11 $ $ \frac { d } { d x } \left ( \sinh ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } $ 을 증명하여라.</p> <p>다음으로, $ n $ 이 양의 정수일 때, 함수 $ f(x)=x ^ { n } $ 의 도함수를 생각해보자. 만약 $ n=1 $ 이면, $ f(x)=x $ 의 그래프는 직선 $ y=x $ 이고 이것의 기울기는 모든 점에서 $1 $ 이다. 따라서 $ \frac { d } { d x } (x)=1 $ 이다. 실제로 도함수의 정의로부터 위의 식을 확인할 수 있다. $ n=2, n=3, n=4, \cdots $ 인 경우에는 간단한 인수분해 공식을 이용하면 도함수의 정의를 써서 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>실제로 $ n=3 $ 일 때, 도함수의 정의에 의해 $ f(x)=x ^ { 3 } $ 의 도함수를 구해보면, $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t ^ { 3 } -x ^ { 3 } } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { (t-x) \left (t ^ { 2 } + t x + x ^ { 2 } \right ) } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \left (t ^ { 2 } + t x + x ^ { 2 } \right )=3 x ^ { 2 } $ 이 된다. 이러한 방법에 의해, 다음을 확인할 수 있다. $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { 2 } \right )=2 x, \frac { d } { d x } \left (x ^ { 3 } \right )=3 x ^ { 2 } , \quad \frac { d } { d x } \left (x ^ { 4 } \right )=4 x ^ { 3 } , \cdots $</p> <p>이것을 일반화해서 다음 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $2.6 $ $ f(x)=x ^ { n } $ ( $ n $ 은 양의 정수 $ ) $ 이면 $ f ^ {\prime } (x)=n x ^ { n-1 } $ 이다.</p> <h2>[역삼각함수의 미분법]</h2> <p>여기서는 역삼각함수의 도함수를 구하는 과정을 설명한다. 모든 삼각함수는 정의역에서 일대일 함수가 아니므로 역함수가 없다. 그러나 이들 함수의 정의역을 제한함으로써 일대일 함수가 되게 할 수 있다. 그림 $ 2.8 $ 의 (a)에서 함수 $ y= \sin x $ 는 일대일 함수가 아니라는 것을 알 수 있다(수평선 판정법을 사용). 그러나 함수 $ f(x)= \sin x $ 는 $ - \frac {\pi } { 2 } \leq x \leq \frac {\pi } { 2 } $에서 일대일이다(그림 $ 2.8 $ 의 (b) 참조). 이 제한된 구간에서 $ f $ 의 역함수는 존재하며 $ \sin ^ { -1 } $이나 $ \arcsin $ 으로 표기한다. 이 함수를 역 사인(sine)함수 또는 아크사인(arcsine)함수라고 한다.</p> <p>역함수의 정의에 따라 $ f ^ { -1 } (x)=y \Longleftrightarrow f(y)=x $ 이므로 $ \sin ^ { -1 } x=y \Longleftrightarrow \sin y=x $ 이고 $ - \frac {\pi } { 2 } \leq y \leq \frac {\pi } { 2 } $ 따라서 $ -1 \leq x \leq 1 $ 에서 $ \sin ^ { -1 } x $ 는 사인값이 $ x $ 인 $ - \frac {\pi } { 2 } $ 와 $ \frac {\pi } { 2 } $ 사이의 값이다.</p> <p>주 $ \sin ^ { -1 } x \neq \frac { 1 } {\sin x } $</p> <p>예제 $ 6 $ (a) $ \sin ^ { -1 } \frac { 1 } { 2 } $ 과 (b) $ \tan \left ( \arcsin \frac { 1 } { 3 } \right ) $을 계산하여라.</p> <p>풀이<ol type=a start=1><li>$ \sin \frac {\pi } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } $ 이고, $ \frac {\pi } { 6 } $ 는 $ - \frac {\pi } { 2 } $ 와 $ \frac {\pi } { 2 } $ 사이에 있으므로 $ \sin ^ { -1 } \frac { 1 } { 2 } = \frac {\pi } { 6 } $</li> <li>$ \theta= \arcsin \frac { 1 } { 3 } $, 즉 $ \sin \theta= \frac { 1 } { 3 } $ 로 그림 2.9처럼 각 $ \theta $ 를 갖는 직각삼각형을 그릴 수 있 으며, 피타고라스의 정리를 이용하여 밑변의 길이를 구하면, $ \sqrt { 9-1 } =2 \sqrt { 2 } $ 이다. 따라서 이 직각삼각형으로부터 $ \tan \left ( \arcsin \frac { 1 } { 3 } \right )= \tan \theta= \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } $ 을 얻는다.</li></ol></p> <p>예제 $ 1 $ $ x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -3 x y=0 $ 에서 $ \frac { d y } { d x } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 음함수의 미분법에 의하여<ul> <li>$ \frac { d } { d x } \left (x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -3 x y \right )= \frac { d } { d y } (0) $</li> <li>$ 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \frac { d y } { d x } -3 \left (y + x \cdot \frac { d y } { d x } \right )=0 $</li> <li>$ \left (3 y ^ { 2 } -3 x \right ) \frac { d y } { d x } =3 \left (y-x ^ { 2 } \right ) $</li> <li>$ \frac { d y } { d x } = \frac { 3 \left (y-x ^ { 2 } \right ) } { 3 \left (y ^ { 2 } -x \right ) } = \frac { y-x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } -x } \quad \left ( \right . $ 단, $ \left .y ^ { 2 } -x \neq 0 \right ) $</li></ul></p> <p>예제 $ 2 $ $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 에서 $ y ^ {\prime } $ 와 $ y ^ {\prime \prime } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 음함수의 미분법에 의하여 양변을 $ x $ 에 관하여 미분하면<ul> <li>$ 2 x + 2 y y ^ {\prime } =0 $</li> <li>$ y ^ {\prime } =- \frac { 2 x } { 2 y } =- \frac { x } { y } \quad(y \neq 0) $</li></ul>이다. $ y ^ {\prime \prime } $ 를 구하기 위하여 분수함수 미분을 하면 $ y ^ {\prime \prime } =- \frac { y-x y ^ {\prime } } { y ^ { 2 } } $ 이다. $ y ^ {\prime } =- \frac { x } { y } $ 이고, $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 이므로 다음과 같다. $ y ^ {\prime \prime } =- \frac {\left (y-x \left (- \frac { x } { y } \right ) \right ) } { y ^ { 2 } } =- \frac { y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { y ^ { 3 } } =- \frac { a ^ { 2 } } { y ^ { 3 } } $</p> <p>이 장에서는 미분법의 중심 개념인 도함수가 어떻게 정의되는기를 살펴보는 것으로 시작하여 도함수를 구하는 방법인 미분법, 도함수의 도함수를 구하는 고계 도함수, 역함수와 음함수의 도함수, 변화율, 미분과 근시값 등을 다룬다.</p> <h1>2.1 도함수</h1> <p>주어진 함수의 도함수를 정의하기 위해서는 곡선의 한 점에 접하는 접선의 의미를 알아야 한다.</p> <h2>[접선]</h2> <p>평면 상의 두 점 $ \left (a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ), \left (a_ { 2 } , b_ { 2 } \right ) $ 를 지나는 직선의 기울기는 $ \frac { y \text { 값의 증가량 } } { x \text { 값의 증가량 } } = \frac { b_ { 2 } -b_ { 1 } } { a_ { 2 } -a_ { 1 } } $ 이다. 일반적으로 $ f $ 가 임의의 함수일 때, $ f $ 의 그래프 상의 두 점 $ (a, f(a)) $ 와 $ (x, f(x)) $ 를 지나는 직선의 기울기는 $ \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $ 로 나타낼 수 있다. 이 경우에 $ x \rightarrow a $ 일 때, 이 기울기들은 다음 그림에서 직선 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } , \cdots $ 의 기울기가 됨을 알 수 있다(그림 $2.1 $).</p> <p>정의 $2.1 $ 함수 $ f(x) $ 가 $ x=a $ 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. 이때 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $ 가 존재하면, 함수 $ f(x) $ 의 그래프는 점 $ (a, f(a)) $ 에서 이 극한값을 기울기로 갖는 접선 (tangent line)을 갖는다고 한다. 실제로 점 $ (a, f(a)) $ 을 지나고 위의 극한값을 기울기 로 갖는 직선은 점 $ (a, f(a)) $ 에서 $ f $ 의 그래프에 접하는 직선이 됨을 알 수 있다. 한편, $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } = \infty \quad $ 또는 $ \quad \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } =- \infty $ 일 때, $ f $ 의 그래프는 점 $ (a, f(a)) $ 에서 $ y $ 축과 평행한 접선을 갖게 되는데 이때 $ f $ 의 그 래프는 점 $ (a, f(a)) $ 에서 수직접선(vertical tangent line)을 갖는다고 하고 $ y $ 축과 평 행한 직선 $ x=a $ 를 이 점에서 $ f $ 의 그래프의 접선이라 한다.</p> <p>풀이 방법 $ 1 $ : $ y= \sinh ^ { -1 } x $ 라 놓으면, $ \sinh y=x $ 이다. 음함수의 미분법에 의하여 이 식을 $ x $ 에 관하여 미분하면, $ \cosh y \frac { d y } { d x } =1 $ $ \cosh ^ { 2 } y- \sinh ^ { 2 } y=1 $ 이고 $ \cosh y \geq 0 $ 이므로 $ \cosh y= \sqrt { 1 + \sinh ^ { 2 } y } $ 이다. 따라서 $ \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\cosh y } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \sinh ^ { 2 } y } } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } $ 방법 2 : 로그함수의 미분법에 의하여 $ \frac { d } { d x } \left ( \sinh ^ { -1 } x \right )= \frac { d } { d x } \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right )= \frac { 1 } {\left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) } \frac { d } { d x } \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $ $ = \frac { 1 } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \left (1 + \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } \right ) $ $ = \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + x } {\left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $ $ = \frac { 1 } {\sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } $</p> <p>예제 $3 $ 함수 $ f(x)=x ^ { 2 } + 1 $ 의 도함수를 구하고, $ x=0 $ 에서의 미분계수를 구하여라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac {\left (t ^ { 2 } + 1 \right )- \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t ^ { 2 } -x ^ { 2 } } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { (t + x)(t-x) } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } (t + x)=2 x $ 이다. 따라서 $ x=0 $ 에서의 미분계수는 $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 이고 이것은 원점에서 이 함수의 그래프가 기울기가 $0 $ 인 접선 $ (x $ 축)을 갖는다는 것을 의미한다.</p> <p>예제 $4 $ $ f(x)= \sqrt { x } (x>0) $ 의 도함수를 구하여라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac {\sqrt { t } - \sqrt { x } } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { ( \sqrt { t } - \sqrt { x } )( \sqrt { t } + \sqrt { x } ) } { (t-x)( \sqrt { t } + \sqrt { x } ) } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t-x } { (t-x)( \sqrt { t } + \sqrt { x } ) } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { 1 } {\sqrt { t } + \sqrt { x } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } $</p> <p>예제 $ 6 $ 그림 2.25와 같이 직원뿔의 중이컵에 $ \frac { 2 } { 3 } $ (cubic inch/sec)의 속도로 물이 들어가고 있다. 컵의 높이는 6 (inches)이고, 컵의 윗면의 반경은 2 (inches)라고 하자. 물의 깊이가 4 (inches)일 때 물의 상승하는 속도를 구하여라.</p> <p>풀이 시간 $ t $ 에 대하여 물의 높이를 $ h $ 라 하고, 물의 부피를 $ V $, 물의 윗면의 반경을 $ r $ 이라 하자. 직원뿔의 부피 $ V $ 는 $ V= \frac { 1 } { 3 } \pi r ^ { 2 } h $ 이다. 삼각형의 닮음비에 의하여 $ \frac { r } { h } = \frac { 2 } { 6 } $ 이므로 $ r= \frac { h } { 3 } $ 이다. $ V $ 를 $ h $ 에 의한 식으로 바꿔주면 $ V= \frac { 1 } { 3 } \pi r ^ { 2 } h= \frac { 1 } { 3 } \pi \left ( \frac { h } { 3 } \right ) ^ { 2 } h= \frac {\pi } { 27 } h ^ { 3 } $ 이다. $ t $ 에 관하여 양변을 미분하면 를 얻는다. 따라서 $ \frac { d V } { d t } = \frac { 2 } { 3 } , h=4 $ 일 때 $ \frac { d h } { d t } = \frac { 9 } {\pi \cdot 4 ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 } { 3 } = \frac { 3 } { 8 \pi } $ 이다. 그러므로 물의 길이가 4 (inches)일 때 물의 높이는 매초 $ \frac { 3 } { 8 \pi } $ (inches)의 비율로 상승한다.</p> <ul> <li>$ \frac { d V } { d t } = \frac {\pi } { 27 } \left (3 h ^ { 2 } \right ) \frac { d h } { d t } = \frac {\pi h ^ { 2 } } { 9 } \frac { d h } { d t } $</li> <li>$ \frac { d h } { d t } = \frac { 9 } {\pi h ^ { 2 } } \frac { d V } { d t } $</li></ul> <p>예제 $ 7 $ 사람과 전주와의 거리를 $ x $ 라 하고 사람의 그림자 길이를 $ y $ 라고 하자(그림 $ 2.26) $. $ x=24 $ 일 때의 시간 $ t=t_ { 0 } $ 에서 $ \left . \frac { d y } { d t } \right \|_ { t=t_ { 0 } } $ 를 구하면 된다. 삼각형의 닮음비에 의하여 이다. 양변을 $ t $ 에 관하여 미분하면 $ \frac { d y } { d t } = \frac { 3 } { 7 } \frac { d x } { d t } $ 를 얻는다. 가정에 의하여 $ \frac { d x } { d t } =-5( \mathrm { ft } / \mathrm { sec } ) $ 이므로 $ \frac { d y } { d t } = \frac { 3 } { 7 } (-5)=- \frac { 15 } { 7 } $ 이다. 그러므로 시람의 그림자의 길이는 $ x=24( \mathrm { ft } ) $ 일 때 시간 $ t_ { 0 } $ 에서 $ \frac { 15 } { 7 } ( \mathrm { ft } / \mathrm { sec } ) $ 의 속도 로 줄어들고 있다.</p> <ul> <li>$ \frac { x + y } { 20 } = \frac { y } { 6 } $</li> <li>$ 6 x + 6 y=20 y $</li> <li>$ y= \frac { 3 } { 7 } x $</li></ul> <p>접선 근사식은 주어진 함수의 특정한 점 $ (x=a + h) $ 에서의 함수값 $ (f(a + h)) $ 을 구하기 힘들 때 그 근방에 있는 점 $ (x=a) $ 에서의 함수값 $ f(a) $ 을 이용하여 $ f(a + h) $ 의 근시값을 구하는데 유용하게 이용될 수 있다.</p> <p>예제 $ 1 $ 접선 근사식으로 $ \sqrt { 8.5 } $ 의 근사값을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f(x)= \sqrt { x } $ 라 놓고 $ f(8.5)= \sqrt { 8.5 } $ 를 구하자. $ a=9, h=-0.5 $ 로 놓고 접선 근사식 $ f(a + h) \approx f(a) + f ^ {\prime } (a) h $ 를 이용하자. 그러면 이다. $ f(9)= \sqrt { 9 } =3 $ 이고, $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } $ 이므로 $ f ^ {\prime } (9)= \frac { 1 } { 2 \sqrt { 9 } } = \frac { 1 } { 6 } $ 이다. 그러므로 $ \sqrt { 8.5 } =f(8.5) \approx f(9) + f ^ {\prime } (9)(-0.5)=3 + \frac { 1 } { 6 } (-0.5) \approx 2.91667 $ 을 언는다. $ \sqrt { 8.5 } $ 의 근사값 $ 2.91667 $ 은 실제의 값 $ 2.91548 \cdots $ 과 소수 다섯째 자리까지만 비교하면 대략 $ 0.00119 $ 의 오차만 갖는다.</p> <h2>[미분]</h2> <p>함수 $ f $ 가 미분가능한 함수라고 하자. 위에서 유도한 접선 근사식에서 $ a $ 대신 $ f $ 의 정의역 내의 임의의 $ x $ 로 바꿔주면 $ f(x + h) \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) h $ 또는 $ f(x + h)-f(x) \approx f ^ {\prime } (x) h $ 를 얻는다. $ x $ 가 $ h $ 만큼 변할 때 위의 식에서 $ f(x + h)-f(x) $ 는 $ f $ 의 실제로 변한 값을 나타낸다. 위의 식에서 $ f ^ {\prime } (x) h $ 를(증분 $ h $ 를 갖는 $ x $ 에서) $ f $ 의 미분(differential of $ f $ )이라 하고, $ d f $ 로 나타낸다. 즉 $ d f=f ^ {\prime } (x) h $ 이다(그림 $ 2.30 $). 만약 $ g(x)=x $ 라 하면 $ d x=d g=g ^ {\prime } (x) h=h $ 이다. 따라서 $ f $ 의 미분 $ d f $ 를 다시 표현하면 $ d f=f ^ {\prime } (x) d x $ 가 되고 함수 $ y=f(x) $ 라면 $ d y=f ^ {\prime } (x) d x $ 가 된다.</p> <h1>2.3 고계 도함수</h1> <h2>[제 $2 $계 도함수]</h2> <p>합수 $ f(x) $ 가 어떤 구간에서 미분가능하다고 하면 이 구간에 속하는 임의의 점 $ x=a $ 에 대해 미분계수 $ f ^ {\prime } (a) $ 가 존재한다. 이때 극한값 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (a) } { x-a } $ 가 존재하면, 이 극한값을 $ x=a $ 에서 $ f ^ {\prime } $ 의 미분계수(differential coefficient)라 하고, $ f ^ {\prime \prime } (a) $ 로 표시한다. 이 값은 극한값이므로 함수 $ f(x) $ 에 따라 그 값이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 미분계수 $ f ^ {\prime \prime } (a) $ 가 존재하는 점들을 모두 모아서 만든 집합을 $ D $ 라고 하면, 집합 $ D $ 를 정의역으로 하고 $ D $ 의 각 원소에 그 점에서 $ f ^ {\prime } $ 의 미분계수를 대응시키는 함수를 생각할 수 있다. 즉 $ R $ 을 실수 전체의 집합이라고 할 때, $ D \rightarrow R \left (a \mapsto f ^ {\prime \prime } (a)= \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (a) } { x-a } \right ) $ 는 함수가 된다. 대개 $ f ^ {\prime \prime } $ 로 표현되는 이 함수를 $ f $ 의 제2계 도함수(second derivative of f)라 한다. 즉 $ f $ 의 제2계 도함수 $ f ^ {\prime \prime } $ 는 $ f ^ {\prime \prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f ^ {\prime } (t)-f ^ {\prime } (x) } { t-x } $ 이다. $ y=f(x) $ 의 도함수와 비슷하게 $ y=f(x) $ 의 2 계 도함수는 $ \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right )= \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } , f ^ {\prime \prime } (x), D ^ { 2 } f(x) $ 등으로 표현된다.</p> <p>$ u $ 가 $ x $ 에 의존하는 변수라면 $ d u=u ^ {\prime } (x) d x= \left ( \frac { d u } { d x } \right ) d x $ 이다. $ u, v $ 를 $ x $ 에 대한 함수라고 하자. 즉 $ u=f(x), v=g(x) $ 라 하면, 미분의 정의에 의해 $ d u=f ^ {\prime } (x) d x, \quad d v=g ^ {\prime } (x) d x $ 가 된다. 따라서 $ d(u + v)=d(f(x) + g(x)) $ $ =(f(x) + g(x)) ^ {\prime } d x $ $ = \left (f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) \right ) d x $ $ =f ^ {\prime } (x) d x + g ^ {\prime } (x) d x $ $ =d u + d v $ 이다. 마찬가지 방법으로 다음이 성립함을 증명할 수 있다.</p> <ul> <li>$ d(u v)=v d u + u d v $)</li> <li>$ d(c u)=c d u $</li> <li>$ d \left ( \frac { u } { v } \right )= \frac { v d u-u d v } { v ^ { 2 } } $</li></ul> <p>예제 $ 2 $ 다음의 미분을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ u=x ^ { 2 } $</li> <li>$ v=x \sin x $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>$ d u=2 x d x $</li> <li>$ d v=( \sin x + x \cos x) d x $</li></ol> <p>미분의 기호를 써서 접선 근사식을 쓰면 $ f(x + h) \approx f(x) + d f $ 또는 $ f(x + d x) \approx f(x) + d f $ 이다.</p> <p>예제 $ 3 $ $ \sin \frac { 7 \pi } { 36 } $ 의 근사값을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f(x)= \sin x $ 라 하면 $ f \left ( \frac {\pi } { 6 } \right ), f ^ {\prime } \left ( \frac {\pi } { 6 } \right ) $ 는 구하기가 섭다. 따라서 $ x= \frac {\pi } { 6 } $, $ d x= \frac {\pi } { 36 } $ 로 놓고 접선 근사식 $ f(x + d x) \approx f(x) + d f $ 틀 이용하자. 미분 $ d f $ 를 계산하면 $ d f=f ^ {\prime } (x) d x= \left ( \cos \frac {\pi } { 6 } \right ) \left ( \frac {\pi } { 36 } \right )= \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \cdot \frac {\pi } { 36 } \approx 0.075575 $ 이다. 그러므로 $ \sin \frac { 7 \pi } { 36 } =f \left ( \frac { 7 \pi } { 36 } \right )=f \left ( \frac {\pi } { 6 } + \frac {\pi } { 36 } \right ) \approx f \left ( \frac {\pi } { 6 } \right ) + d f $ $ =0.5 + d f \approx 0.5 + 0.075575=0.575575 $ 이다. $ \sin \frac { 7 } { 36 } \pi $ 의 실제값은 $ 0.573576 \cdots $ 이므로 근사값 $ 0.575575 $ 와의 오차는 대략 $ 0.002 $ 보다 작다.</p> <h3>연 습 문 제 2.6</h3> <p>$ 1 $. 다음 함수의 미분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=5 x ^ { 3 } + 2 $</li> <li>$ g(x)= \sin ( \cos x) $</li> <li>$ u= \sqrt { 1 + x ^ { 4 } } $</li></ol> <p>$ 2 $. 미분을 사용하여 다음의 근사값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sqrt[3] { 1.1 } $</li> <li>$ \sqrt { 98 } $</li> <li>$ \cos \frac { 11 } { 36 } \pi $</li> <li>$ f(x)=x ^ { 4 } -2 x ^ { 3 } + 9 x + 7 ; f(1,997) $</li></ol> <h2>[역 쌍곡선함수]</h2> <p>그림 $ 2.14 $ 와 그림 $ 2.16 $ 에서 보듯이 $ \sinh $, $ \tanh $ 는 일대일 함수이므로 각각 $ \sinh ^ { -1 } $, $ \tanh ^ { -1 } $ 로 표기되는 역함수를 갖는다. 그림 2.15에서 cosh은 일대일 함수가 아님을 알 수 있다. 그러나 정의역을 $ [0, \infty) $ 로 제한하면 일대일 함수가 된다. 역 쌍곡선 코사인함수는 이 제한된 함수의 역함수로 정의된다.</p> <ul> <li>$ y= \sinh ^ { -1 } x \Longleftrightarrow \sinh y=x $</li> <li>$ y= \cosh ^ { -1 } x \Longleftrightarrow \cosh y=x $ 이고 $ y \geq 0 $</li> <li>$ y= \tanh ^ { -1 } x \Longleftrightarrow \tanh y=x $</li></ul> <p>나머지 역 쌍곡선함수도 비슷하게 정의된다.</p> <p>그림 $ 2.14,2.15,2.16 $ 을 이용하여 그림 $ 2.20,2.21,2.22 $ 에서 보는 것처럼 $ \sinh ^ { -1 } $, $ \cosh ^ { -1 } , \tanh ^ { -1 } $ 의 그래프를 그릴 수 있다.</p> <p>쌍곡선함수들은 지수함수에 의하여 정의되므로 그의 역함수 역시 로그함수로 표현될 수 있다는 사실은 놀랄 만한 일이 아니다.</p> <ul> <li>$ \sinh ^ { -1 } x= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ), \quad x \in \mathrm { R } $</li> <li>$ \cosh ^ { -1 } x= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } -1 } \right ), \quad x \geq 1 $</li> <li>$ \tanh ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + x } { 1-x } \right ), \quad-1<x<1 $</li></ul> <p>예제 $ 10 $ $ \sinh ^ { -1 } x= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $ 임을 보여라.</p> <p>풀이 $ y= \sinh ^ { -1 } x $ 라 놓으면 $ x= \sinh y= \frac { e ^ { y } -e ^ { -y } } { 2 } $ 그러므로 $ e ^ { y } -2 x-e ^ { -y } =0 $ 이고 양변에 $ e ^ { y } $ 를 곱하면 $ e ^ { 2 y } -2 x e ^ { y } -1=0 $ 이다. 이것은 $ e ^ { y } $ 에 관한 이차방정식이다. 즉 $ \left (e ^ { y } \right ) ^ { 2 } -2 x \left (e ^ { y } \right )-1=0 $ 이다. 근의 공식에 의하여 $ e ^ { y } = \frac { 2 x \pm \sqrt { 4 x ^ { 2 } + 4 } } { 2 } =x \pm \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $ 여기서 $ e ^ { y } >0 $ 이다. 그런데 $ x< \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $ 이므로 $ x- \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }<0 $ 이다. 따라서 $ e ^ { y } =x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $ 이다. 그러므로 $ y= \ln \left (e ^ { y } \right )= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $ 이다.</p> <p>정리 $ 2.12 $ 함수 $ f $ 가 역함수를 갖고 개구간 $ I $ 에서 연속이라고 하자. $ f $ 가 구간 $ I $ 에서 미분가능하고 $ f(x)=y $ 라 하면 $ f ^ { -1 } $ 도 미분가능하고 다음이 성립한다. $ \left (f ^ { -1 } \right ) ^ {\prime } (y)= \frac { 1 } { f ^ {\prime } (x) } $</p> <p>증명 $ f $ 가 역함수를 가지므로 $ t \neq x $ 인 $ I $ 내의 모든 $ t $ 에 대하여 $ f(t) \neq f(x) $ 이다. 또, $ f $ 가 $ I $ 에서 연속이므로 $ f ^ { -1 } $ 도 $ y=f(x) $ 에서 연속이다. 그러므로 $ \left (f ^ { -1 } \right ) ^ {\prime } (y)= \lim _ { u \rightarrow y } \frac { f ^ { -1 } (u)-f ^ { -1 } (y) } { u-y } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f ^ { -1 } (f(t))-f ^ { -1 } (f(x)) } { f(t)-f(x) } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t-x } { f(t)-f(x) } = \frac { 1 } {\lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-(x) } { t-x } } $ $ = \frac { 1 } { f ^ {\prime } (x) } $.</p> <p>$ y=f(x) $ 그리고 $ f $ 가 역함수를 갖는다면 $ x=f ^ { -1 } (y) $ 이다. 그러면 $ \frac { d y } { d x } $ 는 $ x $ 에 관한 $ y $의 도함수이고, $ \frac { d x } { d y } $ 는 $ y $ 에 관한 $ x $ 의 도함수이므로 이 기호를 이용하여 위의 결과를 다시 쓰면 다음과 같다. $ \frac { d x } { d y } = \frac { 1 } {\frac { d y } { d x } } $</p> <p>역함수에 대한 소거방정식은 다음과 같다.<ul> <li>$ - \frac {\pi } { 2 } \leq x \leq \frac {\pi } { 2 } $ 에 대하여, $ \sin ^ { -1 } ( \sin x)=x $</li> <li>$ -1 \leq x \leq 1 $ 에 대하여, $ \sin \left ( \sin ^ { -1 } x \right )=x $</li></ul>사인함수의 역함수 $ \sin ^ { -1 } $ 의 정의역은 $ [-1,1] $ 이고, 치역은 $ \left [- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ] $ 이며, 이 역함수의 그래프(그림 $ 2.10 $ 참조)는 제한된 사인함수의 그래프(그림 $ 2.8 $ 의 (a) 참조)를 직선 $ y=x $ 에 대칭시킴으로서 언을 수 있다.</p> <p>사인함수 $ f $ 는 연속이므로 역 사인함수도 연속이다. 또한 사인함수가 미분가능하므로 역함수 $ \sin ^ { -1 } $ 도 미분가능하다. $ \sin ^ { -1 } $ 는 미분가능하므로 아래와 같이 음함수 미분법을 이용하여 쉽게 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>$ y= \sin ^ { -1 } x $ 라고 놓으며, $ \sin y=x $ 이고, $ - \frac {\pi } { 2 } \leq y \leq \frac {\pi } { 2 } $ 이다. $ \sin y=x $ 를 $ x $ 에 관하여 미분하면, $ \cos y \frac { d y } { d x } =1, \quad \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\cos y } $ $ - \frac {\pi } { 2 } \leq y \leq \frac {\pi } { 2 } $ 에서 $ \cos y \geq 0 $ 이므로 $ \cos y= \sqrt { 1- \sin ^ { 2 } y } = \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $ 이고, 따라서 $ \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\cos y } = \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $ 이다. 그러므로 다음과 같다. $ \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } , \quad-1<x<1 $</p> <h2>[함수 $ e ^ { x } $ 의 도함수]</h2> <p>함수 $ e ^ { x } $ 은 $ \ln x $ 의 역함수라는 사실과 위의 식으로부터 $ \frac { d } { d x } e ^ { x } = \frac { 1 } {\frac { d } { d y } \ln y } = \frac { 1 } {\frac { 1 } { y } } =y=e ^ { x } $ 또는 간단히 $ \frac { d } { d y } e ^ { x } =e ^ { x } $ 가 된다. 한편, $ h $ 가 미분가능함수일 때 $ e ^ { h(x) } $ 형태의 함수가 자주 나온다. 이것은 연쇄법칙에 의하여 $ \frac { d } { d x } e ^ { h(x) } =h ^ {\prime } (x) e ^ { h(x) } $ 가 된다.</p> <h2>[함수 $ a ^ { x } $ 의 도함수]</h2> <p>다음과 같이 정의된 지수함수(exponential function) $ a ^ { x } $ 의 도함수를 구해보자. $ a ^ { x } =e ^ { x \ln a } $ 함수 $ a ^ { x } $ 의 도함수는 연쇄법칙에 의한 $ e ^ { x \ln a } $ 의 미분에서 구할 수 있다. $ \frac { d } { d x } a ^ { x } = \frac { d } { d x } \left (e ^ { x \ln a } \right )= \left (e ^ { x \ln a } \right )( \ln a)=( \ln a) a ^ { x } $ 간단히 $ \frac { d } { d x } a ^ { x } =( \ln a) a ^ { x } $ 이다. 한편, 다음과 같이 정의된 멱함수(power function) $ x ^ { r } $ 의 도함수는 아래와 같이 구할 수 있다. $ x ^ { r } =e ^ { r \ln x } $ 즉 함수 $ x ^ { r } $ 의 도함수는 연쇄법칙에 의해 $ e ^ { r \ln x } $ 를 미분하여 언어진다. $ \frac { d } { d x } x ^ { r } = \frac { d } { d x } \left (e ^ { r \ln x } \right )=e ^ { r \ln x } \left ( \frac { r } { x } \right )= \frac { r } { x } x ^ { r } =r x ^ { r-1 } $ 간단히 $ \frac { d } { d x } x ^ { r } =r x ^ { r-1 } $.</p> <p>$ x= \tan y $ 이면 $ \sec ^ { 2 } y= \tan ^ { 2 } y + 1=x ^ { 2 } + 1 $ 이므로 $ \frac { d } { d x } \arctan x= \frac { 1 } {\frac { d } { d y } \tan y } = \frac { 1 } {\sec ^ { 2 } y } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } $ 이다. 다시 쓰면 다음과 같다. $ \frac { d } { d x } \arctan x= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } $</p> <p>다른 역삼각함수들은 자주 이용되지 않으나 요약하면 다음과 같다.</p> <ul> <li>$ y= \csc ^ { -1 } x(\|x\| \geq 1) \Longleftrightarrow \csc y=x, y \in \left (0, \frac {\pi } { 2 } \right ] \cup \left ( \pi, \frac { 3 \pi } { 2 } \right ] $</li> <li>$ y= \sec ^ { -1 } x(\|x\| \geq 1) \Longleftrightarrow \sec y=x, y \in \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ) \cup \left [ \pi, \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) $</li> <li>$ y= \cot ^ { -1 } x(x \in \mathbb { R } ) \Longleftrightarrow \cot y=x, y \in(0, \pi) $</li></ul> <p>위에서 설명한 역삼각함수의 도함수들을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>역삼각함수의 도함수 표</p> <ul> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \csc ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } { x \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \cos ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \sec ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } { x \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \tan ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \cot ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $</li></ul> <p>위의 각각 공식들은 연쇄법칙과 결합될 수 있다. 예를 들어 $ u $ 가 $ x $ 의 미분가능한 함수라면 $ \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } u \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1-u ^ { 2 } } } \frac { d u } { d x } $ 이고, $ \frac { d } { d x } \left ( \tan ^ { -1 } u \right )= \frac { 1 } { 1 + u ^ { 2 } } \frac { d u } { d x } $</p> <p>예제 $7 $ $ f(x)=x ^ { 2 } \sin x \cos x $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)= \left (x ^ { 2 } \right ) ^ {\prime } \sin x \cos x + x ^ { 2 } ( \sin x) ^ {\prime } \cos x + x ^ { 2 } \sin x( \cos x) ^ {\prime } $ $ =2 x \sin x \cos x + x ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x-x ^ { 2 } \sin ^ { 2 } x $</p> <p>함수의 곱셈과 마찬가지로, 두 함수 $ f, g $ 가 정의된 영역에서 $ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { f(x) } { g(x) } $ 와 같이 정의된 함수 $ \left ( \frac { f } { g } \right )(x) $ 의 도함수도 두 함수 $ f(x), g(x) $ 의 도함수에 의해 구할 수 있다. 즉 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 $ 2.10 $ 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 $ x=a $ 에서 미분가능하고 $ g(x) \neq 0 $ 이면 $ \frac { f } { g } $ 도 $ x=a $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. $ \left ( \frac { f } { g } \right ) ^ {\prime } (a)= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a)-f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } $</p> <p>증명 부록 $2-2 $</p> <p>$ \frac { d } { d x } \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac {\left ( \frac { d } { d x } f(x) \right ) g(x)-f(x) \frac { d } { d x } g(x) } { [g(x)] ^ { 2 } } $</p> <p>위의 속도와 가속도에서 도함수는 변화율을 나타냄을 알 수 있다. 사실 $ f $ 가 점 $ a $ 에서 미분가능한 임의의 함수라면 $ f ^ {\prime } (a) $ 는 $ a $ 에서 $ f $ 의 변화율로 생각할 수가 있다.</p> <p>예제 $ 1 $ $ f(t)=t ^ { 3 } -3 t-5 $ 에서 $ t=2 $ 일 때의 속도, 가속도를 구하여라.</p> <p>풀이 속도는 $ v(t)=f ^ {\prime } (t)=3 t ^ { 2 } -3 $ 이므로, $ \quad v(2)=3 \cdot 2 ^ { 2 } -3=9 $ 이다. 가속도는 $ a(t)=v ^ {\prime } (t)=6 t $ 이므로, $ a(2)=12 $ 이다.</p> <p>한 물체가 중력의 힘만을 받는다고 하자. 시간 $ t=0 $ 초일 때 물체의 높이는 지면으로부터 $ h_ { 0 } \mathrm { ft } $ 위에 있고, 그때 속도는 $ v_ { 0 } \mathrm { ft } / \mathrm { sec } $ 라 하면, 시간 $ t $ 초일 때 물체의 지면으로부터의 높이 $ h(t) $ 는 다음의 식으로 주어진다. $ h(t)=-16 t ^ { 2 } + v_ { 0 } t + h_ { 0 } $ 여기서, $ t=0 $ 에서 물체가 위로 움직이면 $ v_ { 0 } >0 $ 이고, 아래로 움직이면 $ v_ { 0 }<0 $ 이다.</p> <p>예제 $ 2 $ 지상으로부터 $ 400 \mathrm { ft } $ 인 건물의 옥상에서 공을 떨어뜨린다고 하자. 3초 후, 공의 속도와 가속도를 구하여라.</p> <p>풀이 시간 $ t=0 $ 일 때 높이 $ h_ { 0 } =400( \mathrm { ft } ) $, 속도 $ v_ { 0 } =0( \mathrm { ft } / \mathrm { sec } ) $ 이므로 지상으로부터 물체의 높이는 $ h(t)=-16 t ^ { 2 } + 0 t + 400=400-16 \mathrm { t } ^ { 2 } ( \mathrm { ft } ) $ 로 주어진다. 속도 $ v(t)=h ^ {\prime } (t)=-32 t $ 이므로 $ v(3)=-96( \mathrm { ft } / \mathrm { sec } ) $ 이다. $ v(3)<0 $ 이므로 공의 운동방향이 이래로 향한다는 것을 알 수 있다. 가속도는 $ a(t)=v ^ {\prime } (t)=-32 $ 이므로 $ a(3)=-32 \left ( \mathrm { ft } / \mathrm { sec } ^ { 2 } \right ) $ 이다.</p> <h3>연 습 문 제 2.1</h3> <p>$1 $. 다음 각 곡선에서 주어진 점을 지나는 접선과 법선의 방정식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=4-3 x $</li> <li>$ g(x)= \sin x, \quad(0,0) $</li> <li>$ h(x)=1-5 x ^ {\frac { 3 } { 5 } } $</li></ol> <p>$2 $. 다음 각 함수에서 도함수 $ f ^ {\prime } (x) $ 와 미분계수 $ f ^ {\prime } (8) $ 을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ f(x)= \sqrt[3] { x } $</li></ol> <p>$3 $. $ f(x)=3 x ^ { 2 } -5 x $ 일 때, $ f ^ {\prime } (2) $ 를 구하고 이것을 이용해서 포물선 $ y=3 x ^ { 2 } -5 x $ 위의 점 $ (2,2) $ 에서 접선의 방정식을 구하여라.</p> <p>$4 $. $ f $ 와 $ g $ 가 $ f(a)=g(a) $ 인 함수라 하고 $ f ^ {\prime } (a) $ 와 $ g ^ {\prime } (a) $ 가 존재한다고 가정하자. 이때 $ f ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (a) $ 가 성립하는지를 설명하여라.</p> <h1>2.2 미분법</h1> <p>앞 절에서는 주어진 함수의 도함수를 구할 때 직접 도함수의 정의를 사용하였다. 하지만 주어진 함수가 조금만 복잡해져도 정의에 의해 도함수를 구하는 방법은 매우 어려운 일이다. 그래서 이 절에서는 좀더 효과적으로 도함수를 구하기 위하여 몇 가지 정리를 증명하고 그 결과를 이용하여 복잡해 보이는 함수의 도함수를 구하는 방법을 설명하기로 한다.</p> <p>정리 $2.5 $ $ \quad f(x)=c $ (상수함수)이면 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 이다.</p> <p>증명 도함수의 정의에 의하여 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { c-c } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } 0=0 $ 이다.</p> <p>위의 정리에 의하면, 상수함수의 변화율은 $0 $ 이며 이는 모든 점에서 상수함수 그래프의 접선이 $ x $ 축과 평행하다는 것을 의미한다.</p> <h2>[제 $ n $ 계 도함수]</h2> <p>양의 정수 $ n \geq 3 $ 에 대하여 $ f $ 의 제 $ n $ 계 도함수 $ \left (n \right . $th derivative) $ f ^ { (n) } (x) $ 를 같은 방법으로 정의한다. 즉 $ f ^ { (n) } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f ^ { (n-1) } (t)-f ^ { (n-1) } (x) } { t-x } $ 또는 $ f ^ { (n) } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ^ { (n-1) } (x + h)-f ^ { (n-1) } (x) } { h } $ 이다.</p> <h2>[고계 도함수]</h2> <p>제2계 도함수 아상을 고계 도함수(higher derivative)라 한다. $ f $ 의 정의역 내의 모든 $ x $ 에 대하여 $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 가 존재하면 $ f $ 는 2 번 미분가능하다고 하고, $ f ^ { (n) } (x) $ 가 존재하면 $ n $ 번 미분가능하다고 한다.</p> <p>예제 $1 $ $ f(x)=x ^ { 5 } -3 x ^ { 4 } + 2 x-1 $ 의 제 $ n $ 계 도함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <ul> <li>$ f ^ {\prime } (x)=5 x ^ { 4 } -12 x ^ { 3 } + 2 $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime } (x)=20 x ^ { 3 } -36 x ^ { 2 } $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime \prime } (x)=60 x ^ { 2 } -72 x $</li> <li>$ f ^ { (4) } (x)=120 x-72 $</li> <li>$ f ^ { (5) } (x)=120 $</li> <li>$ f ^ { (6) } (x)=0 $</li> <li>$ f ^ { (n) } (x)=0, \quad(n>6) $</li></ul> <p>예제 $2 $ $ f(x)= \frac { 1 } { 1 + x } $ 의 제 $ n $ 계 도함수를 구하여라.</p> <h1>2.5 변화율</h1> <p>한 물체가 직선 $ L $ 을 따라 운동을 하고 있다고 하자. 직선 $ L $ 상에 좌표계를 도입하여 시간이 $ 0 $일 때 물체의 위치를 원점 $ O $ 로 잡고, 시간이 $ t $ 만큼 경과했을 때 물체의 위치의 좌표를 $ f(t) $ 라 표시하자(그림 $ 2.23 $). $ \frac { f \left (t_ { 1 } \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { t_ { 1 } -t_ { 0 } } $ 를 물체의 $ t=t_ { 0 } $ 에서 $ t=t_ { 1 } $ 까지의 평균속도(average velocity)라 한다.</p> <p>정의 $ 2.14 $ 한 직선을 따라 물체가 움직일 때 시간 $ t $ 에서의 물체의 좌표를 $ f(t) $ 로 나타내자. 만약 극한값 $ \lim _ { t \rightarrow t_ { 0 } } \frac { f(t)-f \left (t_ { 0 } \right ) } { t-t_ { 0 } } $ 가 존재하면, 이 값을 $ v \left (t_ { 0 } \right ) $ 로 표시하고 시간 $ t_ { 0 } $ 에서 물체의 속도(velocity)라고 한다. 즉 $ v \left (t_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 이다. 또한, 속도의 절대값을 속력(speed)이라고 한다.</p> <p>정의 $ 2.15 $ 한 직선을 따라 물체가 움직일 때 시간 $ t $ 에서의 물체의 속도를 $ v(t) $ 라 하자. 만약 극한값 $ \lim _ { t \rightarrow t_ { 0 } } \frac { v(t)-v \left (t_ { 0 } \right ) } { t-t_ { 0 } } $ 가 존재하면, 이 값을 $ a \left (t_ { 0 } \right ) $ 로 표시하고 시간 $ t_ { 0 } $ 에서의 물체의 가속도(acceleration)라 한다. 즉 $ a \left (t_ { 0 } \right )=v ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 이다.</p> <p>예제 $1 $ $ f(x)=x \cos x $ 일 때, $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 를 구하고 이를 설명하여라.</p> <p>풀이 곱셈 공식을 이용하면, $ f ^ {\prime } (x)=x \frac { d } { d x } ( \cos x) + \cos x \frac { d } { d x } (x) $ $ =-x \sin x + \cos x $ 를 얻는다. $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 를 구하기 위해 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 미분한다. $ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { d } { d x } (-x \sin x + \cos x) $ $ =-x \frac { d } { d x } ( \sin x) + \sin x \frac { d } { d x } (-x) + \frac { d } { d x } ( \cos x) $ $ =-x \cos x- \sin x- \sin x $ $ =-x \cos x-2 \sin x $ $ f, f ^ {\prime } $ 과 $ f ^ {\prime \prime } $ 의 그래프가 그림 $ 2.6 $ 에 그려져 있다. $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 를 점 $ \left (x, f ^ {\prime } (x) \right ) $ 에서의 곡선 $ y=f ^ {\prime } (x) $ 의 기울기로 설명할 수 있다. 다시 말하면, 이것은 본래 곡선 $ y=f(x) $ 의 기울기의 변화율이다. 그림 $2.6 $으로부터 $ y=f ^ {\prime } (x) $ 가 수평접선을 갖기만 하면 $ f ^ {\prime \prime } (x)=0 $ 임을 알 수 있다. 또한 $ y=f ^ {\prime } (x) $ 가 양의 기울기를 가지면 $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 는 양이고, $ y=f ^ {\prime } (x) $ 가 음의 기울기를 가지면 $ f ^ {\prime \prime } (x) $ 는 음이다. 따라서 그래프를 보면 우리가 한 계산을 점검해볼 수 있다.</p> <p>예제 $ 14 $ $ y=(2 x + 1) ^ { 5 } \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 4 } $ 을 미분하여라.</p> <p>풀이 이 예제는 연쇄법칙을 이용하기 전에 먼저 곱의 공식을 이용해야 한다. $ \frac { d y } { d x } =(2 x + 1) ^ { 5 } \frac { d } { d x } \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 4 } + \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 4 } \frac { d } { d x } (2 x + 1) ^ { 5 } $ $ =(2 x + 1) ^ { 5 } \cdot 4 \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 3 } \frac { d } { d x } \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) $ $ + \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 4 } \cdot 5(2 x + 1) ^ { 4 } \frac { d } { d x } (2 x + 1) $ $ =4(2 x + 1) ^ { 5 } \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 3 } \left (3 x ^ { 2 } -1 \right ) + 5 \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 4 } (2 x + 1) ^ { 4 } \cdot 2 $ 이고, 이것을 인수분해하면 $ \frac { d y } { d x } =2(2 x + 1) ^ { 4 } \left (x ^ { 3 } -x + 1 \right ) ^ { 3 } \left (17 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } -9 x + 3 \right ) $ 이다.</p> <p>만약 $ t $ 가 임의의 실수라면, 점 $ P( \cos t, \sin t) $ 는 $ \cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t=1 $ 을 만족하므로 단위원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 위에 놓여 있다. 사실상 $ t $ 는 그림 $ 2.18 $에서 $ \angle P O Q $ 의 라디안 단위로 측정된 값이다. 그러한 이유로 삼각함수를 때때로 원함수라고도 한다.</p> <p>마찬가지로 임의의 실수 $ t $ 에 대하여 점 $ P( \cosh t, \sinh t) $ 는 $ \cosh ^ { 2 } t- \sinh ^ { 2 } t=1 $ 과 $ \cosh t \geq 1 $ 를 만족하므로 쌍곡선 $ x ^ { 2 } -y ^ { 2 } =1 $ 의 오른쪽 분지에 놓여 있다(그림 $ 2.19 $ 참조). 이 경우에 $ t $ 는 각의 라디안 값은 아니다. 그러나 $ t $ 는 그림 2.19의 빗금 친 쌍곡선 영역의 넓이의 두 배이다. 마찬가지로 삼각함수인 경우에도 $ t $ 는 그림 $ 2.18 $의 빗금 친 부채꼴 영역의 넓이의 두 배이다.</p> <p>쌍곡선함수들의 도함수는 쉽게 계산된다. 예를 들어 다음과 같다. $ \frac { d } { d x } ( \sinh x)= \frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ { x } -e ^ { -x } } { 2 } \right )= \frac { e ^ { x } + e ^ { -x } } { 2 } = \cosh x $</p> <p>쌍곡선함수의 도함수는 아래와 같다. 삼각함수들에 대한 미분 공식과 유사하지만 부호에 있어서 좀 다르다는 것을 유의하여라.</p> <p>쌍곡선함수들의 도함수</p> <ul> <li>$ \frac { d } { d x } ( \sinh x)= \cosh x $</li> <li>$ \frac { d } { d x } ( \operatorname { csch } x)=- \operatorname { csch } x \operatorname { coth } x $</li> <li>$ \frac { d } { d x } ( \cosh x)= \sinh x $</li> <li>$ \frac { d } { d x } ( \operatorname { sech } x)=- \operatorname { sech } x \tanh x $</li> <li>$ \frac { d } { d x } ( \tanh x)= \operatorname { sech } ^ { 2 } x $</li> <li>$ \frac { d } { d x } ( \operatorname { coth } x)=- \operatorname { csch } ^ { 2 } x $</li></ul> <p>예제 $ 9 $ 위의 공식들은 연쇄법칙과 결합되어 응용될 수 있다. 예를 들면 $ \frac { d } { d x } ( \cosh \sqrt { x } )= \sinh \sqrt { x } \cdot \frac { d } { d x } \sqrt { x } = \frac {\sinh \sqrt { x } } { 2 \sqrt { x } } $</p> <h2>[음함수]</h2> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 방정식 $ y=f(x) $ 에 의하여 정의될 때 방정식 $ y=f(x) $ 는 $ f $ 를 양적으로 정의한다(define $ f $ explicitly)고 한다. 지금까지 우리가 사용한 대부분의 함수들은 양적으로 정의되었다. 예를 들면, $ y= \frac { 9 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } , y= \tan \left ( \sin x ^ { 2 } \right ), \cdots $ 이다. 하지만 모든 함수가 위와 같이 양적으로만 정의되지는 않는다. 방정식 $ g(x, y)=0 $ 이 주어졌을 때, $ x $ 의 변역 $ X $ 와 $ y $ 의 변역 $ Y $ 를 적당히 잡아주면 방정식 $ g(x, y)=0 $ 을 대응규칙으로 하는 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 정의된다고 하자. 이때 방정식 $ g(x, y)=0 $ 은 함수 $ f $ 를 음적으로 정의한다(define $ f $ implicitly)고 하며, 이때 방정식 $ g(x, y)=0 $ 을 음함수(implicit function)라 한다.</p> <p>음함수의 예를 들어보자. $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -1=0 $ 을 대응규칙으로 하는 것은 함수가 아님을 그래프에 의하여 쉽게 알 수 있다(그림 $ 2.7 $). 그러나 $ X=[-1,1], Y=[0,1] $ 로 정해주면 $ f: X \rightarrow Y, f(x)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $ 은 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -1=0 $ 을 대응규칙으로 하는 함수가 된다. 따라서 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ $ -1=0 $ 은 함수 $ f $ 를 음적으로 정의한다. 즉 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -1=0 $ 은 음함수이다.</p> <h2>[음함수 미분법]</h2> <p>음함수 $ g(x, y)=0 $ 에서 도함수 $ \frac { d y } { d x } $ 는 $ y $ 를 $ x $ 로 나타내지 않고서도 간단히 구할 수 있다. $ y $ 를 $ x $ 의 함수로 생각하고, 주어진 방정식 $ g(x, y)=0 $ 의 양변을 $ x $ 에 관하여 미분한 다음 $ \frac { d y } { d x } $ 에 관하여 푼다. 이와 같은 미분법을 음함수 미분법(implicit differentiation)이라 한다.</p> <p>풀이</p> <ul> <li>$ f ^ {\prime } (x)= \frac { -1 } { (1 + x) ^ { 2 } } $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { (-1)(-2(1 + x)) } { (1 + x) ^ { 4 } } = \frac { (-1)(-2) } { (1 + x) ^ { 3 } } $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime \prime } (x)=(-1)(-2) \frac {\left (-3(1 + x) ^ { 2 } \right ) } { (1 + x) ^ { 6 } } = \frac { (-1)(-2)(-3) } { (1 + x) ^ { 4 } } $</li> <li>$ f ^ { (n) } (x)=(-1) ^ { n } \frac { n ! } { (1 + x) ^ { n + 1 } } $</li></ul> <p>예제 $3 $ $ f(x)= \sin x $ 의 제 $ n $ 계 도함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <ul> <li>$ f ^ {\prime } (x)= \cos x= \sin \left (x + \frac {\pi } { 2 } \right ) $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime } (x)= \cos \left (x + \frac {\pi } { 2 } \right )= \sin \left (x + \frac {\pi } { 2 } + \frac {\pi } { 2 } \right )= \sin \left (x + 2 \cdot \frac {\pi } { 2 } \right ) $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime \prime } (x)= \cos \left (x + 2 \cdot \frac {\pi } { 2 } \right )= \sin \left (x + 2 \cdot \frac {\pi } { 2 } + \frac {\pi } { 2 } \right )= \sin \left (x + 3 \cdot \frac {\pi } { 2 } \right ) $</li> <li>$ f ^ { (n) } (x)= \sin \left (x + \frac { n \pi } { 2 } \right ) $</li></ul> <p>두 함수 $ f, g $ 가 정의된 영역에서 $ (f + g)(x)=f(x) + g(x) $ 와 같이 정의된 두 함수의 합 $ (f + g)(x) $ 의 도함수는 $ f $ 와 $ g $ 의 도함수에 의해 구할 수 있다. 다음 정리는 함수들의 합의 도함수는 도함수들의 합과 같음을 말해준다.</p> <p>정리 $ 2.7 $ 두 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 미분가능하면, $ f + g $ 도 미분가능하고 다음이 성립한다. $ (f + g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) $</p> <p>증명 극한정리를 사용하면 $ (f + g) ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { (f + g)(t)-(f + g)(x) } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \left ( \frac { f(t)-f(x) } { t-x } + \frac { g(t)-g(x) } { t-x } \right ) $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } + \lim _ { t \rightarrow x } \frac { g(t)-g(x) } { t-x } $ $ =f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) $.</p> <p>$ \frac { d } { d x } (f(x) + g(x))= \frac { d } { d x } f(x) + \frac { d } { d x } g(x) $</p> <p>예제 $2 $ $ f(x)=x ^ { 4 } + \sin x $ 일 때 $ \frac { d } { d x } f(x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \frac { d } { d x } f(x)= \frac { d } { d x } x ^ { 4 } + \frac { d } { d x } \sin x=4 x ^ { 3 } + \cos x $</p> <p>증명 $ f(x)=x ^ { n } $ 이면 $ t ^ { n } -x ^ { n } =(t-x) \left (t ^ { n-1 } + t ^ { n-2 } x + t ^ { n-3 } x ^ { 2 } + \cdots + t x ^ { n-2 } + x ^ { n-1 } \right ) $ 이다. 도함수의 정의에 의하여 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t ^ { n } -x ^ { n } } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { (t-x) \left (t ^ { n-1 } + t ^ { n-2 } x + t ^ { n-3 } x ^ { 2 } + \cdots + t x ^ { n-2 } + x ^ { n-1 } \right ) } { t-x } $ $ = \lim _ { t \rightarrow x } \left (t ^ { n-1 } + t ^ { n-2 } x + \cdots + t x ^ { n-2 } + x ^ { n-1 } \right ) $ $ =x ^ { n-1 } + x ^ { n-2 } \cdot x + \cdots + x \cdot x ^ { n-2 } + x ^ { n-1 } $ $ =n x ^ { n-1 } $ 이다.</p> <p>$ \frac { d } { d x } x ^ { n } =n x ^ { n-1 } $( $n $은 양의 정수)</p> <p>예제 $1 $ 정육면체에서 한 변의 길이에 대한 체적의 변화율을 구하여라.</p> <p>풀이 정육면체의 한 변의 길이를 $ s $ 라 하고, 체적을 $ V $ 라 하자. 그러면 $ V=s ^ { 3 } $ 이다. 정리 $ 2.6 $ 을 이용하면, 변화율은 $ \frac { d V } { d s } =3 s ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>예제 $ 3 $ 원의 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =25 $ 위의 점 $ (3,4) $ 에서 접선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이 방법 $ 1 $ : $ \frac { d y } { d x } =- \frac { x } { y } $ 이므로 점 $ (3,4) $ 에서 원에 대한 접선의 방정식은 $ y-4=- \frac { 3 } { 4 } (x-3) \quad $ 또는 $ \quad 3 x + 4 y=25 $ 이다. 방법 $ 2 $ : 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =25 $ 를 풀면 $ y= \pm \sqrt { 25-x ^ { 2 } } $ 을 얻는다. 한편 점 $ (3,4) $ 는 상반원 $ y= \sqrt { 25-x ^ { 2 } } $ 위에 있으므로 함수 $ f(x)= \sqrt { 25-x ^ { 2 } } $ 을 생각하자. 연쇄법칙을 이용하여 $ f $ 를 미분하면 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 2 } \left (25-x ^ { 2 } \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \frac { d } { d x } \left (25-x ^ { 2 } \right ) $ $ = \frac { 1 } { 2 } \left (25-x ^ { 2 } \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } (-2 x) $ $ =- \frac { x } {\sqrt { 25-x ^ { 2 } } } $ $ f ^ {\prime } (3)=- \frac { 3 } {\sqrt { 25-3 ^ { 2 } } } =- \frac { 3 } { 4 } $ 을 얻는다. 그러므로 접선의 방정식은 $ 3 x + 4 y=25 $ 이다.</p> <h3>연 습 문 제 2.2</h3> <p>$ 1 $. 다음 주어진 함수의 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=3 x ^ { 2 } -4 x + 2 $</li> <li>$ f(x)=(2 x-3)(x + 5) $</li> <li>$ g(x)=-3 x ^ { 2 } + \frac { 3 } { x ^ { 6 } } $</li> <li>$ g(x)=-4 x ^ { -3 } + 2 \cos x $</li> <li>$ h(x)= \frac { -2 x } {\sin x } $</li></ol> <p>$ 2 $. 다음 주어진 삼각함수의 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)= \cot x $</li> <li>$ g(x)= \operatorname { cosec } x $</li></ol> <p>$ 3 $. 다음 주어진 함수의 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=2 \left (x ^ { 2 } -4 \right ) ^ { 3 } $</li> <li>$ f(x)= \left (1-x ^ { 2 } \right ) ^ { 6 } $</li> <li>$ g(x)= \tan ^ { 3 } \left ( \frac { x } { 2 } \right ) $</li> <li>$ g(x)= \sin ^ { 2 } \left ( \cos ^ { 2 } x \right ) $</li></ol> <p>$ 4 $. 함수 $ f(x)= \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x $ 에서 미분계수가 0이 되는 점을 찾아라.</p> <p>$ 5 $. 곡선 $ f(x)= \frac { 1-x } { 1 + x } $ 위의 점 $ \left (2,- \frac { 1 } { 3 } \right ) $ 에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.</p> <p>$ 6 $. 곡선 $ y=a x ^ { 2 } + b x $ 가 점 $ (1,5) $ 에서 기울기가 $8 $ 인 접선을 가질 때 $ a, b $ 의 값을 정하여라.</p> <p>$ 7 $. 곡선 $ y=x ^ { 2 } + k $ 가 직선 $ y=2 x $ 를 접선으로 갖도록 $ k $ 의 값을 정하여라.</p> <p>역 코사인(cosine)함수는 역 사인함수와 비슷한 방법으로 얻을 수 있다. $ f(x)= \cos x $ 에서 정의역을 $ 0 \leq x \leq \pi $ 로 제한하면 $ f(x) $ 는 일대일 함수이다(그림 2.11 참조). 그러므로 $ f(x) $ 는 $ \cos ^ { -1 } $ 또는 $ \arccos $ 으로 표기하는 역함수를 갖는다.</p> <p>$ \cos ^ { -1 } x=y \Longleftrightarrow \cos y=x $ 이고 $ 0 \leq y \leq \pi $</p> <p>소거방정식은 다음과 같다.</p> <ul> <li>$ 0 \leq x \leq \pi $ 에 대하여, $ \cos ^ { -1 } ( \cos x)=x $</li> <li>$ -1 \leq x \leq 1 $ 에 대하여, $ \cos \left ( \cos ^ { -1 } x \right )=x $</li></ul> <p>역 코사인함수, 즉 $ \cos ^ { -1 } $ 의 정의역은 $ [-1,1] $ 이고 치역은 $ [0, \pi] $ 이며, 연속함수로써 이 함수의 그래프는 그림 $ 2.12 $ 와 같다. 이 함수의 도함수는 다음과 같이 주어진다. $ \frac { d } { d x } \left ( \cos ^ { -1 } x \right )=- \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } , \quad-1<x<1 $</p> <h2>[역 탄젠트함수]</h2> <p>탄젠트(tangent)함수의 역함수를 정의하기 위하여 이 함수를 $ \left (- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) $ 로 제한하면 역 탄젠트(arctangent)함수라 불리는 역함수를 얻는다. 편의상 $ x $ 에서의 함수값을 $ \arctan x $ 또는 $ \tan ^ { -1 } x $ 로 쓴다.</p> <p>$ \operatorname { arctant } x=y \Longleftrightarrow \tan y=x $</p> <p>$ x $ 는 임의의 실수, $ - \frac {\pi } { 2 }<y< \frac {\pi } { 2 } $</p> <p>예를 들면 $ \arctan 0=0, \quad \arctan 1= \frac {\pi } { 4 } , \quad \arctan (- \sqrt { 3 } )=- \frac {\pi } { 3 } $ 이고 역 탄젠트함수의 그래프는 그림 $ 2.13 $ 과 같다.</p> <p>쌍곡선함수의 과학과 공학에의 응용은 빛, 속도, 전기, 방사능 같은 실체가 점진적으로 흡수되거나 소멸되는 경우에 일어난다. 그 이유는 붕괴 현상이 쌍곡선함수에 의하여 표현될 수 있기 때문이다. 가장 유명한 응용은 걸쳐 있는 전선의 형태를 묘사하기 위하여 쌍곡선 코사인의 사용이다. 무겁고 유연하게 휘어진 전선(전화선이나 전력선 등)이 같은 높이의 두 점 사이에 걸쳐 있다면, 그 곡선은 방정식 $ y=c + a \cosh \frac { x } { a } $ 로 표현되는 곡선 모양임이 입증될 수 있으며, 그 곡선을 현수선이라 한다(그림 $ 2.17 $ 참조).</p> <p>쌍곡선함수들은 삼각함수들의 항등식과 비슷한 항등식을 갖는다.</p> <p>쌍곡선함수의 항등식</p> <ul> <li>$ \sinh (-x)=- \sinh x $,</li> <li>$ \cosh (-x)= \cosh x $</li> <li>$ \cosh ^ { 2 } x- \sinh ^ { 2 } x=1 $,</li> <li>$ 1- \tanh ^ { 2 } x= \operatorname { sech } ^ { 2 } x $</li> <li>$ \sinh (x + y)= \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y $</li> <li>$ \cosh (x + y)= \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y $</li></ul> <p>예제 $ 8 $ 다음을 증명하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ \cosh ^ { 2 } x- \sinh ^ { 2 } x=1 $</li> <li>$ 1- \tanh ^ { 2 } x= \operatorname { sech } ^ { 2 } x $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>$ \cosh ^ { 2 } x- \sinh ^ { 2 } x= \left ( \frac { e ^ { x } + e ^ { -x } } { 2 } \right ) ^ { 2 } - \left ( \frac { e ^ { x } -e ^ { -x } } { 2 } \right ) ^ { 2 } $ $ = \frac { e ^ { 2 x } + 2 + e ^ { -2 x } } { 4 } - \frac { e ^ { 2 x } -2 + e ^ { -2 x } } { 4 } $ $ = \frac { 4 } { 4 } =1 $</li> <li>(a)로부터 $ \cosh ^ { 2 } x- \sinh ^ { 2 } x=1 $ 이므로 양변을 $ \cosh ^ { 2 } x $ 로 나누면, $ 1- \frac {\sinh ^ { 2 } x } {\cosh ^ { 2 } x } = \frac { 1 } {\cosh ^ { 2 } x } $ 또는 $ 1- \tanh ^ { 2 } x= \operatorname { sech } ^ { 2 } x $</li></ol> <p>예제 1의 (a)에서 증명된 항등식은 쌍곡선함수라는 명칭의 타당성에 대한 실마리를 준다.</p> <p>$ 8 $. 원의 넓이가 반경이 $ 3 \mathrm { ~m } $ 일 때 $ 5 \mathrm { ~m } ^ { 2 } / \mathrm { sec } $ 로 줄어들고 있다. 이 순간에 반경이 줄어드는 속도를 구하여라. 또, 지름이 줄어드는 속도를 구해서 비교하여라.</p> <p>$ 9 $. 그림 $ 2.27 $ 과 같은 직원뿔형 필터를 통해 부정한 액체를 여과하려고 한다. 이 직원뿔의 높이는 $ 40 \mathrm { ~cm } $ 이며 윗면의 반경은 $ 10 \mathrm { ~cm } $ 이다. 만약 여과된 액체가 밑으로 떨어지는 분속이 $ 25 \mathrm { ~cm } ^ { 3 } / \mathrm { min } $ 이면 액체면의 높이가 $ 20 \mathrm { ~cm } $ 일 때 액체면이 내려가는 속도를 구하여라.</p> <p>$ 10 $. 그림 $ 2.28 $ 에서 보는 바와 같이 발사된 로켓이 $ 1200 \mathrm { ~m } $ 높이에서 초속 $ 260( \mathrm { ~m } / \mathrm { sec } ) $ 로 수직으로 상승하고 있다면 카메라로부터 로켓까지의 거리는 그 순간에 어떤 초속으로 멀어져 가겠는가?</p> <h1>2.6 미분과 근사값</h1> <p>접선과 도함수는 아주 밀접한 관계가 있다는 것을 2.1절에서 알 수 있었다. 정확한 함수값을 계산하기가 불가능하거나 어려운 경우에는 위의 관계를 이용하여 함수의 근사값을 구할 수 있다.</p> <h2>[접선 근사식]</h2> <p>함수 $ f $ 가 $ a $ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 함수 $ f $ 가 $ x=a $ 에서 미분계수 $ f ^ {\prime } (a) $ 를 갖게 된다. 그런데 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } =f ^ {\prime } (a) $ 이므로 $ x \rightarrow a $ 이면 $ \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \rightarrow f ^ {\prime } (a) $ 이다. 즉 $ x \rightarrow a $ 이면 $ f(x)-f(a) \rightarrow f ^ {\prime } (a)(x-a) $ 또는 $ f(x) \rightarrow f(a) + f ^ {\prime } (a)(x-a) $ 이다. 따라서 $ x $ 가 $ a $ 에 매우 가깝게 접근할 때 $ f(x) $ 는 근사적으로 $ f(a) + f ^ {\prime } (a)(x-a) $ 와 같게 된다. 이것을 $ f(x) \approx f(a) + f ^ {\prime } (a)(x-a) $ 와 같이 나타낸다. 만약 $ x=a + h $ 로 놓으면 $ x \rightarrow a $ 일 때 $ h \rightarrow 0 $ 이므로 $ h $ 가 충분히 $ 0 $에 가깝게 접근하면 $ f(a + h) \approx f(a) + f ^ {\prime } (a) h $ 이다. 이것을 접선 근사식(tangent line approximation)이라 한다(그림 $ 2.29 $).</p> <p>예제 $2 $ 곡선 $ f(x)=x ^ {\frac { 1 } { 3 } } $ 위의 점 $ (0,0) $ 에서의 접선과 법선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이 함수 $ f(x)=x ^ {\frac { 1 } { 3 } } $ 은 $ x=0 $ 에서 연속이고 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f(x)-f(0) } { x-0 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ {\frac { 1 } { 3 } } -0 } { x-0 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } x ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = \infty $ 이므로 점 $ (0,0) $ 에서 $ f $ 의 그래프는 수직접선( $ y $ 축)을 갖고, 이때 접선의 방정식은 $ x=0 $ 이 다. 법선의 방정식은 $ y=f(0)=0 $ 이다 (그림 $2.3 $).</p> <p>이제 도함수를 정의해보자.</p> <p>정의 $ 2.2 $ 함수 $ f(x) $ 가 $ x=a $ 를 포함하는 어떤 구간에서 정의되었다고 하자. 극한값 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $ 가 존재하면 이 극한값을 $ x=a $ 에서의 미분계수(differential coefficient)라 하고, $ f ^ {\prime } (a) $ 로 표시한다. 이 값은 극한값이므로 함수 $ f(x) $ 에 따라 그 값이 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다. 만약 $ x=a $ 에서 미분계수 $ f(a) $ 가 존재하면 함수 $ f(x) $ 는 $ x=a $ 에서 미분가능(differentiable at a)하다고 한다. 함수 $ f(x) $ 의 정의역에 속하는 점들 중에서 $ f(x) $ 가 미분가능한 점들을 모두 모아서 만 든 집합을 $ D $ 라고 하면, 집합 $ D $ 를 정의역으로 하고 $ D $ 의 각 원소에 그 점에서의 미분계 수를 대응시키는 함수를 생각할 수 있다. 즉 $ R $ 을 실수 전체의 집합이라고 할 때, $ D \rightarrow R \left (a \mapsto f ^ {\prime } (a)= \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \right ) $ 는 함수가 된다. 대개 $ f ^ {\prime } $ 로 표현되는 이 함수를 $ f $ 의 도함수(derivative of $ f $ )라 한다. 즉 $ f $ 의 도함수 $ f ^ {\prime } $ 는 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } $ 이다. 이 식에서 $ t=x + h $ 로 놓으면 위의 식은 $ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } $ 가 된다. 도함수를 나타내는 기호는 $ y ^ {\prime } , f(x), \frac { d y } { d x } , \frac { d f(x) } { d x } , D_ { x } y, D_ { x } f(x) $ 등이 있는데 $ \frac { d y } { d x } , \frac { d f(x) } { d x } $ 는 각각 $ \frac { d } { d x } y, \frac { d } { d x } f(x) $ 의 의미이므로 발음할 때 분수형태 로 읽어서는 안되며 '디엑스디 와이' 등으로 읽어야 한다. 주어진 함수의 도함수를 구하는 것을 그 함수를 미분한다고 하며, 여러 가지 함수를 미분하는 방법을 미분법이라 한다.</p> <p>정의 $ 2.3 $ 함수 $ f $ 가 정의역 내의 모든 점에서 미분가능할 때 함수 $ f $ 를 미분가능함수 (differentiable function)라고 한다.</p> <p>정리 $ 2.4 $ 함수 $ f $ 가 $ a $ 에서 미분가능하면 $ f $ 는 $ a $ 에서 연속이다. 즉 $ \lim _ { t \rightarrow a } f(t)=f(a) $</p> <p>증명 $ \lim _ { t \rightarrow a } f(t)-f(a)= \lim _ { t \rightarrow a } (f(t)-f(a)) $ 이므로 $ \lim _ { t \rightarrow a } (f(t)-f(a))=0 $ 임을 보이면 된다. 가정에서 $ f ^ {\prime } (a) $ 가 존재하므로 $ \lim _ { t \rightarrow a } (f(t)-f(a))= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t)-f(a) } { t-a } (t-a) $ $ = \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \cdot \lim _ { t \rightarrow a } (t-a) $ $ =f ^ {\prime } (a) \cdot 0 $ $ =0 $ 이다.</p> <p>일반적으로 위 정리의 역은 성립하지 않는다. 다시 말하면, 함수 $ f $ 가 $ x=a $ 에서 연속이라고 해서 항상 $ f ^ {\prime } (a) $ 가 존재하는 것은 아니다. 그 예를 들어보자.</p> <p>예제 $5 $ $ f(x)=\|x\| $ 는 $ x=0 $ 에서 연속이지만 미분가능하지 않다.</p> <p>풀이 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \|x\|=\|0\| $ 이므로 $ x=0 $ 에서 $ f $ 는 연속이다. $ f ^ {\prime } (0)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f(x)-f(0) } { x-0 } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \|x\| } { x } $ 그런데 $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \|x\| } { x } =1, \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \|x\| } { x } =-1 $ 이므로 $ f ^ {\prime } (0) $ 가 존재하지 않는다. 즉 $ x=0 $ 에서 $ f $는 미분가능하지 않다.</p> <h2>[접선과 법선의 방정식]</h2> <p>정의 2.1의 극한값이 존재하면 그것을 $ m_ { a } $ 라 표시하자. 즉 $ m_ { a } = \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $ 이다. $ m_ { a } $ 는 점 $ (a, f(a)) $ 에 접하는 접선의 기울기이므로, 점 $ (a, f(a)) $ 에서 $ f $ 의 그래프의 접선의 방정식은 $ y-f(a)=m_ { a } (x-a) $ 이다. 점 $ (a, f(a)) $ 를 지나고 접선과 수직인 직선을 점 $ (a, f(a)) $ 에서 $ f $ 의 그래프의 법선 (normal line)이라고 한다. 그러면 이 점에서 법선의 기울기는 $ - \frac { 1 } { m_ { a } } $ 이고, 방정식은 $ y-f(a)=- \frac { 1 } { m_ { a } } (x-a) $ 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 $1 $ 곡선 $ f(x)=x ^ { 3 } -1 $ 위의 점 $ (1,0) $ 에서 접선과 법선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이 점 $ (1,0) $ 에서 접선의 기울기를 구하면 $ \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { f(x)-f(1) } { x-1 } = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac {\left (x ^ { 3 } -1 \right )- \left (1 ^ { 3 } -1 \right ) } { x-1 } = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x ^ { 3 } -1 } { x-1 } $ $ = \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { (x-1) \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } { x-1 } $ $ = \lim _ { x \rightarrow 1 } \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right )=3 $ 이다. 그러므로 점 $ (1,0) $ 에서 접선의 방정식은 $ y-0=3(x-1) $ 또는 $ y=3 x-3 $ 이고, 법선의 방정식은 $ y-0=- \frac { 1 } { 3 } (x-1) \quad $ 또는 $ \quad y=- \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 3 } $ 이다.</p> <p>정리 $ 2.7 $ 을 확장하면 다음과 같다. 함수 $ f_ { 1 } (x), f_ { 2 } (x), \cdots, f_ { n } (x) $가 미분가능하면, $ \left (f_ { 1 } + f_ { 2 } + \cdots + f_ { n } \right )(x) $도 미분가능하고 $ \left (f_ { 1 } + f_ { 2 } + \cdots + f_ { n } \right ) ^ {\prime } (x)=f_ { 1 } ^ {\prime } (x) + f_ { 2 } ^ {\prime } (x) + \cdots + f_ { n } ^ {\prime } (x) $ 이다.</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 미분가능하면 $ (c f)(x)=c f(x) $ 로 정의되는 함수 $ (c f)(x) $ 도 미분가능하다. 즉 다음이 성립한다.</p> <p>정리 $ 2.8 $ 함수 $ f $ 가 미분가능하고 $ c $ 는 임의의 실수라 하면, 함수 $ c f $ 도 미분가능하다. 즉 $ (c f) ^ {\prime } (x)=c f ^ {\prime } (x) $</p> <p>증명 미분 정의에 의하여 $ (c f) ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { (c f)(t)-(c f)(x) } { t-x } = \lim _ { t \rightarrow x } \frac { c f(t)-c f(x) } { t-x } $ $ =c \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } =c f ^ {\prime } (x) $.</p> <p>$ \frac { d } { d x } (c f)(x)=c \frac { d } { d x } f(x) $</p> <p>예제 $3 $ $ f(x)=4 \sqrt { x } $ 일 때 $ \frac { d } { d x } f(x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \frac { d } { d x } f(x)= \frac { d } { d x } (4 \sqrt { x } )=4 \frac { d } { d x } \sqrt { x } =4 \cdot \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } = \frac { 2 } {\sqrt { x } } $</p> <p>풀이 몫의 공식을 이용하면 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { (1 + \tan x) \frac { d } { d x } ( \sec x)- \sec x \frac { d } { d x } (1 + \tan x) } { (1 + \tan x) ^ { 2 } } $ $ = \frac { (1 + \tan x) \sec x \tan x- \sec x \cdot \sec ^ { 2 } x } { (1 + \tan x) ^ { 2 } } $ $ = \frac {\sec x \left ( \tan x + \tan ^ { 2 } x- \sec ^ { 2 } x \right ) } { (1 + \tan x) ^ { 2 } } $ $ = \frac {\sec x( \tan x-1) } { (1 + \tan x) ^ { 2 } } $ 이다. 답을 간단히 하기 위해 등식 $ \tan ^ { 2 } x + 1= \sec ^ { 2 } x $ 를 이용했다. $ \sec x $ 는 결코 $0 $ 이 되지 않으므로, $ \tan x=1 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 임을 알 수 있고, 이것은 $ n $ 이 정수일 때, $ x=n \pi + \frac {\pi } { 4 } $ 일 때 성립한다(그림 $2.5 $).</p> <p>분수함수의 도함수 공식을 이용하면 임의의 정수 $ n $ 에 대한 $ f(x)=x ^ { n } $ 의 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>예제 $12 $ $ f(x)=x ^ { n } $ 에서 $ f ^ {\prime } (x)=n x ^ { n-1 } $ ( $ n $ 은 임의의 정수)임을 보여라.</p> <p>풀이 $ n>0 $ 인 경우는 정리 $ 2.6 $ 에서 보였으므로, $ n=0, n<0 $ 인 경우를 보이면 된다.</p> <ol type=a start=1><li>$ n<0 $ 인 경우 $ m=-n $ 으로 놓으면 $ m>0 $ 이다. $ \frac { d } { d x } x ^ { n } = \frac { d } { d x } x ^ { -m } = \frac { d } { d x } \left ( \frac { 1 } { x ^ { m } } \right ) $ $ =- \frac { m x ^ { m-1 } } {\left (x ^ { m } \right ) ^ { 2 } } =(-m) \frac { x ^ { m-1 } } { x ^ { 2 m } } $ $ =(-m) x ^ { -m-1 } =n x ^ { n-1 } $</li> <li>$ n=0 $ 인 경우 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { 0 } \right )= \frac { d } { d x } (1)=0=0 \cdot x ^ { 0-1 } $</li></ol> <p>$ \frac { d } { d x } x ^ { n } =n x ^ { n-1 } , $ $n $은 임의의 정수</p> <h3>연 습 문 제 2.3</h3> <p>$ 1 $. 다음 주어진 함수의 제 $ 2 $계 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 3 } + 3 x + 2 $</li> <li>$ f(x)= \frac { x + 1 } { x-1 } $</li> <li>$ g(x)=x \tan 2 x $</li> <li>$ g(x)= \sec x $</li></ol> <p>$ 2 $. 다음 주어진 함수의 제 $ n $계 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { n } \quad(n $ 은 자연수 $ ) $</li> <li>$ f(x)= \cos x $</li> <li>$ g(x)= \sin a x $</li> <li>$ g(x)= \sin ^ { 2 } x $</li> <li>$ h(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ h(x)= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } $</li></ol> <h1>2.4 역함수와 음함수 미분법</h1> <h2>[역함수]</h2> <p>일반적으로 함수를 $ y=f(x) $ 와 같이 표현하는 것은 함수의 정의역과 공역을 생략하고 대응 규칙만으로 함수를 표현하는 것이다. 예를 들어, 함수 $ y=3 x + 2 $ 는 정의역과 공역을 실수의 집합으로 갖고 정의역의 각 원소 $ x $ 에 공역의 원소 $ 3 x + 2 $ 를 대응시키는 대응규칙이다. 즉 함수 $ f: R \rightarrow R(x \mapsto 3 x + 2) $ 를 간단하게 $ y=3 x + 2 $ 와 같이 표현한 것이다. 그런데, 이 함수처럼 주어진 함수가 $ 1-1 $ 함 수인 경우에는 역으로 대응되는 대응규칙을 생각할 수 있다. 즉 $ 3 x + 2 $ 를 다시 $ x $ 로 대응시키는 규칙을 생각해보면, 원래의 함수가 '~에 $ 3 $배한 후에 $ 2 $를 더한' 규칙을 활용했으므로 다시 되돌리기 위해서는 '~에 $ 2 $를 뺀 후에 $ 3 $으로 나눈' 규칙을 활용한 함수가 된다. 다시 말해서, 함수 $ g: R \rightarrow R \left (x \mapsto \frac { 1 } { 3 } (x-2) \right ) $ 를 생각하면 $ g(f(x))=g(3 x + 2)= \frac { 1 } { 3 } ((3 x + 2)-2)=x $ 가 되어 함수 $ g $ 는 함수 $ f $ 에 의해 대응된 함수값을 다시 되돌려 주는 함수가 된다. 이러한 함수 $ g $ 를 원래의 함수 $ f $ 의 역함수라 하고 $ f ^ { -1 } $ 로 표현한다. 따라서 주어진 함수의 정의역과 공역을 적당히 조정해주면, $ f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=x=f ^ { -1 } (f(x)) $ 를 만족하는 역함수 $ f ^ { -1 } $ 를 정의할 수 있다.</p> <p>예제 $5 $ $ \left . \frac { d } { d x } \left ( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + x-1 \right ) \right \|_ { x=1 } $ 을 구하여라.</p> <p>풀이 앞의 정리들을 이용하면 $ \frac { d } { d x } f(x)= \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } + c_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + c_ { 1 } x + c_ { 0 } \right ) $ $ = \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) + \frac { d } { d x } \left (c_ { n-1 } x ^ { n-1 } \right ) + \cdots + \frac { d } { d x } \left (c_ { 1 } x \right ) + \frac { d } { d x } \left (c_ { 0 } \right ) $ $ =c_ { n } \frac { d } { d x } x ^ { n } + c_ { n-1 } \frac { d } { d x } x ^ { n-1 } + \cdots + c_ { 1 } \frac { d } { d x } (x) + 0 $ $ =n c_ { n } x ^ { n-1 } + (n-1) c_ { n-1 } x ^ { n-2 } + \cdots + c_ { 1 } $.</p> <p>정리 $ 2.9 $ 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 $ x=a $ 미분가능하면, $ f g $ 도 $ x=a $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. $ (f g) ^ {\prime } (a)=f ^ {\prime } (a) g(a) + f(a) g ^ {\prime } (a) $</p> <p>예제 $ 7 $ 다음을 미분하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ y= \frac { 1 } {\sin ^ { -1 } x } $</li> <li>$ f(x)=x \tan ^ { -1 } \sqrt { x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>$ \frac { d y } { d x } = \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } x \right ) ^ { -1 } =- \left ( \sin ^ { -1 } x \right ) ^ { -2 } \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } x \right ) $ $ =- \frac { 1 } {\left ( \sin ^ { -1 } x \right ) ^ { 2 } \sqrt { 1-x ^ { 2 } } } $</li> <li>$ f ^ {\prime } (x)= \tan ^ { -1 } \sqrt { x } + x \frac { 1 } { 1 + ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } $ $ = \tan ^ { -1 } \sqrt { x } + \frac {\sqrt { x } } { 2(1 + x) } $</li></ol> <h2>[쌍곡선함수와 역 쌍곡선함수의 미분법]</h2> <p>지수함수 $ e ^ { x } $ 과 $ e ^ { -x } $ 을 적당히 결합하여 얻은 함수들은 수학이나, 응용분야에서 자주 이용되기 때문에 이들 함수에 특별한 명칭을 부여할 가치가 있다. 이들 함수들은 삼각함수와 많은 점에서 비슷하다. 삼각함수가 원과 관계가 있는 것처럼 이들은 쌍곡선과 관련이 있다. 이런 이유에서 이들을 쌍곡선함수, 개별적으로는 쌍곡선 사인(hyperbolic sine) 함수, 쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine)함수 등으로 부른다.</p> <p>정의 $ 2.13 $ 쌍곡선함수의 정의</p> <ul> <li>$ \sinh x= \frac { e ^ { x } -e ^ { -x } } { 2 } $</li> <li>$ \operatorname { csch } x= \frac { 1 } {\sinh x } $</li> <li>$ \cosh x= \frac { e ^ { x } + e ^ { -x } } { 2 } $</li> <li>$ \operatorname { sech } x= \frac { 1 } {\cosh x } $</li> <li>$ \tanh x= \frac {\sinh x } {\cosh x } $</li> <li>$ \operatorname { coth } x= \frac {\cosh x } {\sinh x } $</li></ul> <p>쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인함수의 그래프는 그림 $ 2.14 $ 및 그림 $ 2.15 $ 와 같다. $ \sinh $의 정의역과 치역은 모두 $ \mathrm { R } $ 이다. 반면에 $ \cosh $ 의 정의역은 $ \mathrm { R } $ 이고 치역은 $ [1, \infty) $ 이다. $ \tanh $ 의 그래프는 그림 $ 2.16 $ 과 같으며 그의 수평점근선은 $ y= \pm 1 $ 이다.</p> <p>정리 $ 2.7 $, 정리 $ 2.8 $ 을 이용하면 $ (f-g) ^ {\prime } (x)=(f + (-g)) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) + (-g) ^ {\prime } (x) $ $ =f ^ {\prime } (x) + (-1) g ^ {\prime } (x)= \left (f ^ {\prime } -g ^ {\prime } \right )(x) $ 임을 알 수 있다.</p> <p>정리 $ 2.7 $ 과 정리 $ 2.8 $ 의 결과를 이용하면 모든 다항식 함수의 도함수를 구할 수 있다. 다음 예제가 이를 증명해준다.</p> <p>예제 $4 $ 다항식 $ f(x)=c_ { n } x ^ { n } + c_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + c_ { 1 } x + c_ { 0 } $ 의 도함수 $ \frac { d } { d x } f(x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 앞의 정리들을 이용하면 $ \frac { d } { d x } f(x)= \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } + c_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + c_ { 1 } x + c_ { 0 } \right ) $ $ = \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) + \frac { d } { d x } \left (c_ { n-1 } x ^ { n-1 } \right ) + \cdots + \frac { d } { d x } \left (c_ { 1 } x \right ) + \frac { d } { d x } \left (c_ { 0 } \right ) $ $ =c_ { n } \frac { d } { d x } x ^ { n } + c_ { n-1 } \frac { d } { d x } x ^ { n-1 } + \cdots + c_ { 1 } \frac { d } { d x } (x) + 0 $ $ =n c_ { n } x ^ { n-1 } + (n-1) c_ { n-1 } x ^ { n-2 } + \cdots + c_ { 1 } $.</p>	자연
가중주성분분석을 활용한 정준대응분석과 가우시안 반응 모형에 의한 정준대응분석의 동일성 연구	<h3>2.3.2. Legendre's canonical correspondence analysis</h3> <p>환경변수 $ X=\left\{x_{i j}\right\} $ 를 고려한 Legendre's CCA를 살펴보기로 한다. 우선, 환경변수 $ X_{x} $ 에 내한 다음의 다변량회귀모형을 생각한다.</p> <p>$ Q^{}=X_{s} \beta+\mathrm{E} $<caption>(2.5)</caption></p> <p>여기서, $ Q^{} $ 는 상대돗수와 독립모형과의 차이인 $ \left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) $에 가중치 $ D_{r}^{-1} $이 부여된 형태로 식 (2.3)의 다양한 모습을 취하며, 위의 식 (2.5)에서 $ \hat{\beta}=\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime} D_{r} Q^{} $로 가중회귀분석에 의해 추정된다. 여기서 $ \hat{\beta} $ 는 $ q \times p $ 행렬이며, $ \hat{\beta}=\left(\hat{\beta}_{1}, \hat{\beta}_{2}, \cdots \hat{\beta}_{p}\right) $임을 알 수 있다. 가중회귀분석에 의해,</p> <p>$ \hat{Q}^{}=X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime} D_{r} Q^{}=X_{s} \hat{\beta} $<caption>(2.6)</caption></p> <p>이며, 식 $ (2.3) $ 의 $ Q^{}=D_{r}^{-1 / 2} Q, Q=D_{r}^{1 / 2} Q^{} $로 부터, $ \hat{Q}^{}=D_{r}^{-1 / 2} \hat{Q}, \hat{Q}=D_{r}^{1 / 2} \hat{Q}^{} $로 놓고, 식 (2.6)으로 부터,</p> <p>$ \begin{aligned} D_{r}^{-1 / 2} \hat{Q} &=X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime} D_{r} D_{r}^{-1 / 2} Q \\ \hat{Q} &=D_{r}^{1 / 2} X_{s} \hat{\beta}=D_{r}^{1 / 2} X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime} D_{r}^{1 / 2} Q \\ &=D_{r}^{1 / 2} X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2} \\ &=D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2} \quad \text { where } \quad \hat{B}=X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) \end{aligned} $<caption>(2.7)</caption></p> <p>이다. 이제, $ \hat{Q} $의 의미를 살펴보자. $ \hat{Q} $ 는 $ \hat{Q}=D_{r}^{1 / 2} \hat{Q}^{}=D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2} $라는 관계에서 출발하여, 행 프로파일의 중심과의 차이인 $ \mathrm{B} $라는 데이터(행렬)를 환경변수 $ X_{s} $의 공간으로 회귀 추정한 후, 열 표준화한 $ \hat{B} D_{c}^{-1 / 2} $ 행렬에, 행 가중치 $ D_{r}^{1 / 2} $가 부여된 가중데이터 의미를 지니고 있다. 또한, $ Q=D_{r}^{-1 / 2}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2} $라는 관계에서 보면, $ \hat{Q} $은 각 셀에 대해 환경인자 $ X_{s} $가 고려되어 추정된 후의 독립성 검정을 위한 각 셀의 의미를 아울러 지닌다. 최종적으로 Legendre's CCA는 Benzecri's CA와 동일하게 $ \hat{B} D_{c}^{-1 / 2} $를 $ D_{c}^{-1 / 2} v $축에 사영하는 것이다. 이를 위해 $ \hat{Q}=D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2}, \tilde{v}=D_{c}^{-1 / 2} v $로 놓으면,</p> <p>$ \hat{Q}^{\prime} \hat{Q}=\left(D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2}\right)^{\prime}\left(D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2}\right)=\tilde{V} D_{\lambda} \tilde{V}^{\prime} $</p> <p>라는 고유치분해로 기저벡터 $ v $와 사영값 $ \hat{B} D_{c}^{-1} v $를 유도할 수 있다. Benzencri's 대응분석에서 $ B_{z}(=Q) $를 특이치 분해하듯 동일한 방법으로 $ \hat{Q} $을 특이치분해(SVD)하기로 하자.</p> <p>$ \hat{Q}=D_{r}^{1 / 2} \hat{B} D_{c}^{-1 / 2}=\tilde{U} D_{\sqrt{\lambda}} \tilde{V}^{\prime} $<caption>(2.8)</caption></p> <p>SVD에 의해, 행(site) 사영은 $ \hat{B} D_{c}^{-1 / 2} $를, 열(species) 사영은 열좌표를 각각 $ D_{c}^{-1 / 2} v $에 사영한 것으로 사영 결과는 다음과 같다.</p> <ul> <li>Species Score : $ D_{c}^{-1} v=\hat{Q}^{} \tilde{U}=D_{c}^{-1 / 2} \tilde{V}, \quad D_{c}^{-1 / 2} \tilde{V} D_{\sqrt{\lambda}}( $ 주좌표 개념 $ ) $</li> <li>Site Score : $ \hat{B} D_{c}^{-1} v=\hat{Q}^{} \tilde{V}=D_{r}^{-1 / 2} \tilde{U} D_{\sqrt{\lambda}}, \quad D_{r}^{-1 / 2} \tilde{U}( $ 표준좌표 개념 $ ) $</li> <li>Species-environment correlation : $ \operatorname{Cor}\left(D_{r}^{1 / 2} X_{s}, \tilde{U}\right)=X_{s}^{\prime} D_{r}^{1 / 2} \tilde{U} $</li></ul> <p>여기서 주좌표(principal coordination) 개념에 의해 열 사영(species score)에 $ D_{\sqrt{\lambda}} $가 붙는다.</p> <p>이상의 과정은 $ Q=D_{r}^{-1 / 2}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2} $에 대한 대응분석과 사실상 동일함을 보여주고 있다. 유일한 차이점은 환경인자를 사용하여 추정한 $ \hat{Q} $ 에 대해 Benzecri's 대응분석을 적용한다는 점이다.</p> <h2>2.3. Legendre's canonical correspondence analysis</h2> <p>Benzecri의 대응분석은 분할표에 대한 가중 주성분분석으로 알려져 있으며, Hill (1973)은 Benzecri의 재형성 식을 사용하여 상호평균법(reciprocal averaging)을 제안한 바 있다 (Kim과 Jeong, 2013). 본 절에서는 Benzecri의 대응분석 알고리즘에 충실한 Legendre's CCA를 소개하기로 한다</p> <p>$ Y = \left [y_ { i k } \right ] $에 대한 Pearson 카이제곱 통계량은 $ q_ { i k } = \left (p_ { i k } -p_ { i + } p_ { + k } \right ) / \sqrt { p_ { i + } p_ { + k } } $를 기초로 하며,</p> <p>$ \begin {aligned} \chi ^ { 2 } &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { p } \frac { ( \text { Observed } - \text { Expected } ) ^ { 2 } } {\text { Expected } } \\ &= \sum \sum \frac {\left ( \frac { y_ { i k } -y_ { i + } y_ { + k } } { N } \right ) ^ { 2 } } {\frac { y_ { i + } + y_ { + k } } { N } } =N \sum \sum \left ( \frac { p_ { i k } -p_ { i + } p_ { + k } } {\sqrt { p_ { i + } p_ { + k } } } \right ) ^ { 2 } =N \sum \sum q_ { i k } ^ { 2 } \end {aligned} $</p> <p>이다. 여기서, $ Q= \left [q_ { i k } \right ] $는</p> <p>$ \begin {aligned} Q= \left [q_ { i k } \right ] &= \frac { p_ { i k } -p_ { i + } p_ { + k } } {\sqrt { p_ { i + } p_ { + k } } } = \frac {\left (p_ { i k } -p_ { i + } p_ { + k } \right ) / p_ { i + } } {\sqrt { p_ { i + } p_ { + k } } / p_ { i + } } = \frac { p_ { k \mid i } -p_ { + k } } {\sqrt { p_ { + k } / p_ { i + } } } = \sqrt { p_ { i + } } \left [ \frac { p_ { k \mid i } -p_ { + k } } {\sqrt { p_ { + k } } } \right ] \\ &=D_ { r } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } \quad \text { where } \quad p_ { k \mid i } =p_ { i k } / p_ { i + } \end {aligned} $</p> <h1>1. 서론</h1> <p>정준대응분석(canonical correspondence analysis, CCA)은 Ter Braak (1986)에 의해 최초로 제안되었다. Ter Braak (1986)은 잠재변수를 사용한 제한적 가우시안 반응곡선 모형을 사용하여, 방향성 축(gradient) 별로 잠재변수의 반응값(site score)과 여러 관찰된 생물 종들의 최대 발현량(species score)을 추정하였다. 그리고, 장소와 종, 환경을 모두 2차원 공간에 표현하여 이들의 대응 관계를 살펴보았으며, 이를 정준대응분석이라 하였다(Jeong, 2012). 또한, 가우시안 반응곡선에 기반 한 정준대응분석 패키지 CANOCO를 발표하였다 (Ter Braak, 1988). 앞의 가우시안 반응곡선의 특징에 대해서는 Jeong (2018b)를 참고할 수 있다. Hegde와 Nail(1999, 2008)은 Ter Braak (1988)의 CANOCO를 SAS에서 구동 시킬 수 있는 SAS/IML 코드를 발표하였으며, Aart와 Smeenk (1975) 자료를 사용하여 SAS/IML에서의 계산과정을 친절하게 보인 바 있다 (Hegde, 2012).</p> <p>그런데 Ter Braak (1986)의 알고리즘은 가우시안 반응곡선회귀 추정에 대한 일반화선형모형과 species packing model을 가정하며, 그 유도과정이 상당히 난해하다. 그리고 최종 결과는 정준대응분석의 기초행렬(fundamental matrix of CCA)을 구성하는 분할행렬 $ W $에 대한 정준상관분석(canonical correlation analysis)으로 마무리된다 (Jeong, 2020). 한편, Huh (1998,2011)는 Hayashi의 수량화 3법을 설명하면서 범주형 분할표에 대한 정준상관분석이 Benzecri (1973)의 대응분석과 동일함을 보인바 있다 (Kim과 Jeong, 2013). 즉, 대응분석과 정준상관분석은 서로 밀접한 관련성을 지니고 있기 때문에, 정준상관분석을 사용하는 Ter Braak (1986)의 방법이 설명변수가 있는 정준상관분석이란 의미로 정준대응분석이라 칭하는 것에 이견이 없다. 하지만 Ter Braak (1986)의 CCA가 Benzecri (1973)의 대응분석과 수리적으로 어떤 관련성을 지니고 있는지에 대해서는 약간의 모호성과 난해함이 있다고 할 수 있다.</p> <p>한편, Legendre와 Legendre (2012)는 Ter Braak (1986)의 가우시안 반응곡선과는 전혀 다른 방법으로 CCA를 그들의 저서 Numerical Ecology에 간략히 언급하였다 (Ko 등, 2015a, 2015b). 여기서는 종 발현 자료를 종속변수로 고려하고, 환경변수로 다변량회귀분석(multivariate regression) 한 후 차원 축소된 공간 자료에 대한 가중주성분분석을 실시한다. 이는 회귀분석으로 차원축소 된 자료에 대해 Benzecri (1973)의 대응분석 방법을 적용하는것과 동일하다. Legendre와 Legendre (2012)알고리즘의 장점은 복잡한 가우시안 반응곡선과 일반화선형모형을 사용하지 않으면서도 Ter Braak (1986)의 CCA와 동일한 결과를 유도한다는 점이다. 그리고, 대응분석과 동일하게, 표준좌표, 주좌표, 대응좌표 등의 개념을 상황에 따라 적용할 수 있다는 장점을 가지고 있다.</p> <p>정준대응분석을 실시할 수 있는 프로그램 역시 다양한데, CANOCO 이외에 R에서 ANACOR (2009), VE-GAN (2011), ADE4 (2012) 등을 수행할 수 있다 (Jeong 2020). 각각의 프로그램이 어떤 알고리즘에 기초하여 실행되는가는 명확하진 않지만, 스케일과 고유치 반영 정도, 거리행렬에 따른 다양한 옵션 차이가 있을 뿐 그 결과는 별반 차이가 없는 편이다.</p> <p>본 연구에서는 Legendre와 Legendre (2012)의 알고리즘을 살펴보고, Ter Braak (1986)의 CCA와 수리적 동일함을 보이는 문제를 다루었다. 2장에서는 Ter Braak (1986)의 정준대응분석과 Legendre와 Legendre (2012)의 정준대응분석을 소개하였다. 특히, 가중주성분분석의 정준대응분석을 위해 Benzecri (1973)의 대응분석을 간략히 언급하였다. 3장에서는 기초행렬의 대칭행렬에 대한 고유치 분해를 통해 두 모형의 동일성을 다루었으며, 4장에서는 간략한 수치적 예를 소개하였다. 본 연구의 이하 전개과정에서는 가우시안반응모형에 기초한 Ter Braak (1986)의 정준대응분석(Ter Braak's CCA)을 TCCA로, 가중주성분분석에 기초한 Legendre와 Legendre (2012)의 정준대응분석(Legendre's CCA)를 LCCA라 표기하기로 한다.</p> <h2>2.2. Ter Braak's canonical correspondence analysis</h2> <p>Ter Braak's CCA 유도과정은 Jeong (2020)에서 자세히 언급되었으며, 여기서는 간략히 그 결과를 소개하기로 한다. Ter Braak's CCA는 $ q $개의 표준화된 환경변수 $ x_{j}, j=1, \ldots, q $의 선형결합으로 만들어진 잠재변수 $ z_{l}, l=1, \ldots, m $들에 대한 제한적 가우시안 모형에서 출발한다.</p> <p>다음 식 (2.1)은 $ l=1 $ (첫번째 축)에 대한 제한적 가우시안 모형이다.</p> <p>$ E\left(y_{i k}\right)=\mu_{i k}=c \exp \left\{-\frac{\left(z_{i}-u_{k}\right)^{2}}{2 t^{2}}\right\}=\exp \left(\alpha_{0}+\alpha_{1} x_{i}+\alpha_{2} x_{i}^{2}\right) $<caption>(2.1)</caption></p> <p>$ z_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i 1}+\beta_{2} x_{i 2}+\cdots+\beta_{q} x_{i q}=\sum_{j=1}^{q} \beta_{j} x_{i j}=X_{s} \underline{\beta} $.</p> <p>이제, 종 발현 $ y_{i j} $가 포아송분포를 따른다고 놓고, 우도함수 $ L\left(y ; \mu_{i k}\right)=\Pi_{k} \Pi_{i} e_{i k}^{\mu_{i k}} \mu_{i k}^{y_{i k}} / y_{i k} $ !에 대해 $ \partial \log L / \partial u_{k}= 0, \partial \log L / \partial \beta_{j}=0 $을 계산하여 다음의 관계식으로 $ \underline{\beta}, u_{k}, z_{i} $를 유도할 수 있다 (Jeong, 2020).</p> <p>(A) $ \lambda u_{k}=\sum_{i}^{n} \frac{y_{i k}}{y_{+k}} z_{i} $ (B) $ z_{i}^{}=\sum_{k}^{q} \frac{y_{i k}}{y_{i+}} u_{k}(C) \underline{\beta}=\left(X_{s}^{\prime} D_{r}^{} X_{s}\right)^{-1} X_{s}^{\prime} D_{r}^{} z^{} $ (D) $ Z=X_{s} \underline{\beta} $</p> <p>여기서 $ m $개의 축 별로 $ (l=1, \ldots, m), u_{k} $를 종 점수(species score), $ z_{i} $를 장소점수(site score)라 하며, 잠재변수인 $ z_{i} $를 환경 변수들의 선형결합으로 계산된다는 의미로 선형결합점수(linear combination score)라 칭하기도 한다. 위의 (A) (D) 관계식에 대해 반복연산으로 각 score를 계산할 수 있지만, 다음의 분할행렬 $ W $에 대한 고유치 분해로 한꺼번에 여러 잠재축에 대한 종 점수, 장소점수 그리고 설명력 등을 계산할 수 있다.</p> <p>$ W= $\begin{tabular}{c\|c} $ S_{11}=D_{c}^{} $ & $ S_{12}=Y^{\prime} X_{s} $ \\ \hline$ S_{21}=X_{s}^{\prime} Y $ & $ S_{22}=X_{s}^{\prime} D_{r}^{} X_{s} $ \end{tabular}</p> <p>즉, $ W $ 행렬에 대해 정준상관분석을 실시하여 여러 잠재변수 차원에 대한 score를 유도하는 것이 Ter Braak (1986)의 CCA이다. 특히 $ A=D_{c}^{-1 / 2}\left(Y^{\prime} X_{s}\right)\left(X_{s}^{\prime} D_{r}^{} X_{s}\right)^{-1 / 2} $로 놓으면, $ A $에 대한 특이치 분해(singular value decomposition, SVD)</p> <p>$ D_{c}^{-1 / 2}\left(Y^{\prime} X_{s}\right)\left(X_{s}^{\prime} D_{r}^{} X_{s}\right)^{-1 / 2}=U D_{\sqrt{\lambda}} V^{\prime} $</p> <p>에 따라 $ u=D_{c}^{-1 / 2} U, \beta=\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1 / 2} V, Z=X_{s} \beta $가 계산된다. 여기서 $ \beta=\left[\beta_{l}\right] $로 $ m $개의 잠재변수 축에 따라 추정된 벡터 $ \beta $를 모아놓은 행렬을 의미하며, $ A=D_{c}^{-1 / 2}\left(Y^{\prime} X_{s}\right)\left(X_{s}^{\prime} D_{r}^{} X_{s}\right)^{-1 / 2} $를 Ter Braak's CCA의 기초행렬(fundamental matrix of TCCA)이라 한다(Hegde와 Naik, 1999; Jeong, 2020).</p> <p>한편, $ D_{c}=N^{-1} D_{c}^{} $ 라는 사실에 의해,</p> <p>$ A=N^{-1 / 2} D_{c}^{-1 / 2}\left(Y^{\prime} X_{s}\right)\left(X_{s}^{\prime} N D_{r} X_{s}\right)^{-1 / 2}=D_{c}^{-1 / 2}\left(P^{\prime} X_{s}\right)\left(X_{s} D_{r} X_{s}\right)^{-1 / 2} $</p> <p>이다. 이제, Legendre와 Legendre (2012)의 알고리즘과 비교를 위해 $ A $대신 전치행렬 $ A^{\prime} $을 $ T_{b} $행렬이라 놓고 $ T_{b} $에 대한 $ \mathrm{SVD} $를 생각하자.</p> <p>$ T_{b}=\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1 / 2}\left(X_{s}^{\prime} P\right) D_{c}^{-1 / 2}=U_{t} D_{\sqrt{\lambda}} V_{t}^{\prime} $<caption>(2.2)</caption></p> <p>기초행렬 $ T_{b} $ 에 의한 Ter Braak's CCA 최종 결과는 다음과 같다.</p> <ul> <li>Species Score : $ u=D_{c}^{-1 / 2} V_{t} D_{\sqrt{\lambda}} \quad $ (주좌표 개념)</li> <li>Site Score : $ Z=X_{s}\left(X_{s}^{\prime} D_{r} X_{s}\right)^{-1 / 2} U_{t} $</li> <li>Species-environment correlation : $ \operatorname{Cor}\left(D_{r}^{1 / 2} X_{s}, D_{r}^{1 / 2} Z\right)=X_{s}^{\prime} D_{r} Z $</li></ul> <p>본 연구에서는 Legendre's CCA와 비교를 위해 $ T_{b} $ 를 Ter Braak's CCA의 기초행렬(fundamental matrix) 이라 칭하기로 한다.</p> <h2>4.2. 두 방법의 특징</h2> <p>앞의 수치예에서 가우시안 반응곡선에 기반한 TCCA와 $ \hat { Q } $에 대한 가중주성분분석인 LCCA가 완전히 동일한 결과를 유도함을 볼 수 있었다. 즉, 두 분석은 서로 동일하다. 최초의 Ter Braak (1986)의 정준대응분석은 가우시안 반응곡선 모형에서 계산된 우도를 최대로 하는 종의 발현점을 찾는 연구에서 출발한다. 그러므로, 종-발현 관계를 환경측정값의 서열에 따라 가우시안 반응곡선을 그릴 수 있다면, 종과 장소간의 관계를 이해하는데 Ter Braak's CCA 방법이 도움이 된다. 반면, 환경변수 차원에서 종의 발현과 장소와의 대응관계를 탐색하는데는 Legendre's CCA가 도움이 된다.</p> <p>한편, Legendre's CCA 방법은 확장성을 지니고 있다. 이는 종-발현 정보에 더하여 환경정보가 주어진 상황에서, 환경정보로 설명될 수 있는 종-발현 정보에 대해 다양한 다변량 모형을 적용해 볼 수 있는 단초를 제공하기 때문이다. 실제로 중복분석(redundancy analysis)은 추정된 종-발현에 대한 단순 주성분분석에 해당한다. 또한, 종-발현을 다변량회귀분석으로 설명하기보다 복잡한 선형모형으로 종-발현 정도를 추정한 이후에 다양한 다변량분석을 적용하는 연구 역시 시도되고 있다 (Makarenkov와 Legendre, 2002). 그리고 Legendre's $ \mathrm { CCA } $는 대응분석에 기초하기 때문에 대응분석의 주좌표와 표준좌표 개념을 적용할 수 있다는 잇점이 있다. 다음 Table 5는 종(species)와 위치(site) 중심 스케일에 따른 대응관계를 보여준다. 결론적으로 TCCA와 LCCA는 동일한 결과를 유도하지만, 생태학적 관점이 강조된 분석은 TCCA, 차원축소라는 통계학적 관점이 강조된 분석은 LCCA라 할 수 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>정준대응분석은 Ter Braak (1986)이 소개한 이후, 종의 발현을 환경과 연관하여 연구하는 생태학 분야에서 가장 널리 활용되는 분석 중 하나로 쓰이고 있다. 특히, 정준대응분석으로 종과 장소 밎 환경변수를 하나의 평면에 행렬도(biplot)로 나타낼 수 있어, 변수들 간의 관계성을 파악하는데 많은 도움을 받을 수 있다. 또한, 정준대응분석에서 파생된 다양한 유형의 모형들이 존재한다 (Makarenkov와 Legendre, 2002). 그런데 Ter Braak (1986)의 정준대응분석은 그 이론 전개과정 중에 여러 가정이 도입되며, 일반화선형모형, 다변량회귀모형, 정준상관분석, 방향도(gradient), 행렬도 등 다양한 통계학 사전지식이 요구된다. 반면, Legendr와 Legendre (2012)의 정준대응분석은 대응분석과 상당히 유사하다는 잇점이 있다.</p> <p>본 연구는 Legendre's CCA와 Ter Braak's CCA가 서로 다른 가정에서 출발하였지만, 결국 동일한 모형임을 밝히는 연구이다. 한편으론, 가우시안 반응곡선으로부터 정준대응분석을 자세히 소개한 Jeong (2020)의 연구에 대한 확장이라 할 수 있다. 그리고 계량형 다차원척도법(metric MDS)이 인자분석(factor analysis)과 동일함을 보이는 연구 방법과도 일맥 상통한다 (Jeong, 2018). 이러한 과정을 통해 다양한 다변량 수량화 방법론 들이 서로서로 연관되어 있음을 알 수 있고, 이를 가능케하는 특이치분해의 묘미를 발견할 수 있다.</p> <p>정준대응분석은 생태학 이외에서는 잘 알려져 있지 않지만, 사회과학 데이터에 바로 적용할 수 있으며, 정준대응분석과 유사한 연구방법론을 인자분석이나 주성분분석, 다차원척도법 등에 적용하여 새로운 정준형 모형을 도출할 수 있으리라 예상한다. 향후 많은 연구를 통해 다양한 다변량 정준형모형이 개발되길 기대한다.</p> <p>이다. 위의 식 (3.2)와 식 (3.3)을 통해 두 행렬이 서로 동일함을 확인할 수 있다. 결국 $ T_ { b } { } ^ {\prime } T_ { b } $ 와 $ \hat { Q } ^ {\prime } \hat { Q } $의 고유치 분해 결과인 $ V_ { t } $와 $ \tilde { V } $는 서로 동일하며, 고유값 역시 동일함을 볼 수 있다. 이에 따라 두 방법의 종점수(species score) $ D_ { c } ^ { -1 / 2 } V_ { t } =D_ { c } ^ { -1 / 2 } \tilde { V } $ 역시 서로 동일하다 두 방법 모두 종을 주좌표로 고려하기에 종 점수에 $ D_ {\sqrt {\lambda } } $를 곱하여 준다. 두 행렬의 차이점은 TCCA는 $ P $를, LCCA는 $ \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) $을 사용한다는 점이다. Benzecri's 대응분석이 $ D_ { r } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } $를 사용하고, Hayashi의 수량화 3법이 $ D_ { r } ^ { -1 / 2 } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } $를 사용하는 것처럼, CCA에서도 그 관계가 놀라울 정도로 유사하다. Benzecri's 대응분석에서는 고유벡터의 마지막 열이 0인 벡터로, 수량화 3법 에서는 첫 번째 열이 1인 벡터로 계산될 뿐 실질적인 계산 차이가 전혀 없다 (Kim과 Jeong, 2013). 이에 반해, Ter Braak's CCA와 Legendre's CCA는 서로 동일한 고유벡터를 제공한다.</p> <h2>3.2. 선형결합점수(linear combination score)의 동일성</h2> <p>LCCA의 $ \tilde { U } = \hat { Q } \tilde { V } D_ {\sqrt { 1 / \lambda } } , \tilde { V } =D_ { c } ^ { -1 / 2 } V $ 등에 의해, LCCA의 장소점수는 다음과 같이 전개된다.</p> <h2>2.3.1. Benzecri's correspondence analysis</h2> <p>Benzecri's 대응분석은 행 프로파일 $ \underline{a}_{i} $ 가 중심으로부터 떨어진 정도를 나타내는 $ \underline{b}_{i}, i=1, \ldots, n $ 벡터들을 $ n $개 (행의 개수)의 데이터로 간주하고, 이들을 가중유클리디안 공간에서 $ v^{\prime} D_{c}^{-1} v=1,1_{p}^{\prime} v=0 $의 성질을 만족하는 단위 벡터 $ v $에 사영(projection)하여 제곱사영값을 최대로 하는 단위벡터 $ v $와 그 사영값을 찾는 방법이다 이를 위해 데이터 $ \mathrm{B} $를 열 표준화를 하여 $ \mathrm{B} D_{c}^{-1 / 2} $로 변경시키고, 열 비율 벡터로 표준화된 $ \mathrm{B} D_{c}^{-1 / 2} $을 $ D_{c}^{-1 / 2} v $ 축에 사 영한다 (Huh, 2011; Kim과 Jeong, 2013). 이러한 대응분석을 행가중치와 열 축 표준화를 고려한다는 점에서 전통적 주성분분석과 비교하여 가중주성분분석이라 한다. 결국, 대응분석에서,</p> <p>$ Q^{}=\mathbf{B} D_{c}^{-1 / 2}=D_{r}^{-1}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2}=D_{r}^{-1 / 2} D_{r}^{-1 / 2}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2}=D_{r}^{-1 / 2} Q $<caption>(2.3)</caption></p> <p>는 매우 중요한 역할을 하며, 이를 대응분석에서 다루어야 할 표준화 데이터로 취급한다.</p> <p>이제, $ B_{z}=D_{r}^{1 / 2} \mathbf{B} D_{c}^{-1 / 2}, v_{z}=D_{c}^{-1 / 2} v $로 놓으면, $ B_{z}(=Q) $의 특이치분해(SVD)는,</p> <p>$ B_{z}=D_{r}^{1 / 2} \mathbf{B} D_{c}^{-1 / 2}=D_{r}^{-1 / 2}\left(P-\underline{r} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2}=U_{z} D_{\sqrt{\lambda}} V_{z}^{\prime} $<caption>(2.4)</caption></p> <p>이며, 행(site) 사영은 $ \mathbf{B} D_{c}^{-1 / 2} $ 를 $ D_{c}^{-1 / 2} v $, 열(species) 사영은 열좌표 $ a_{j}^{}=(0, \ldots, 1, \ldots, 0) $를 중심화한 벡터 $ \left(I_{p}-\right. \left.I_{p} \underline{c}^{\prime}\right) D_{c}^{-1 / 2} $를 $ D_{c}^{-1 / 2} v $에 사영한 것으로 식 (2.4)를 사용하면 다음과 같다.</p> <p>행 사영: $ \mathbf{B} D_{c}^{-1} v=D_{r}^{-1 / 2} U_{z} D_{\sqrt{\lambda}} $, 열 사영: $ \left(I_{p}-I_{p} \underline{c^{\prime}}\right) D_{c}^{-1} v=D_{c}^{-1} v=D_{c}^{-1 / 2} V_{z} $.</p> <p>그런데 CCA 결과와 비교를 위해, 열 프로파일의 사영결과를 주좌표(principal coordination), 행 좌표의 사영을 표준좌표(standardize coordination)로 간주하여, Table 1의 $ Y $자료에 대한 사영결과를 아래와 같이 나타내기로 한다 (Ko 등, 2015a).</p> <ul> <li>Species Score(열 사영) : $ D_{c}^{-1 / 2} V_{z} D_{\sqrt{\lambda}} $ (주좌표 개념)</li> <li>Site Score(행 사영) : $ D_{r}^{-1 / 2} U_{z} $</li></ul> <p>$ X_ { n \times q } $ 의 $ x_ { i j } (i=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, q) $ 는 $ i $ 장소(site)의 $ j $번째 환경변수에 대한 측정(관찰) 값, $ Y_ { n \times p } $ 의 $ y_ { i k } (i=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, p) $는 $ i $ 장소에서 발견된 $ k $번째 종(species)의 출현(관찰) 빈도, $ Z_ { n \times m } $의 $ z_ { i l } (i=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, m )$ 은 $ i $장소에서 추정된 $ l $번째 축의 방향(gradient)값이다. 여기서, $ X $ 와 $ Y $ 는 측정(관찰)된 값이지만, $ Z $는 미지(unknown)의 값으로 추정해야 할 부분이다 (Jeong, 2020). 즉, 종-발현-환경 자료는 종속변수 역할을 하는 분할표 $ Y $, 독립변수 역할을 하는 환경값 $ X $, 환경값 $ X $의 선형결합에 의해 차원축소되어 나타나는 잠재 변수 $ Z $로 구성된 자료이다. 이러한 데이터는 장소별로 여러 생물 종 들의 출현 빈도가 나타난 분할표 $ Y $에 연속형 혹은 이산형의 환경 관찰값이 추가되어, 생태학 상 환경 변수 $ X $에 따라 종 발현 정도 $ Y $가 어떤 영향을 받는가를 밝히고자 하는 연구를 위해 도출된 것이다.</p> <p>이제, CCA를 위해 다음의 수식을 사용하기로 한다.</p> <p>$ Y= \left [y_ { i k } \right ] $는 $ i=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, p $로 $ i $ 장소에서 $ k $ 종의 출현빈도 자료, $ \underline { y } _ { i + } = \left \{ y_ { i + } \right \} $ 는 $ i $ 장소별 모든 종의 행(장소) 합 벡터, $ \underline { y } _ { + k } = \left \{ y_ { + k } \right \} $ 는 $ k $ 종별 모든 장소에서의 열(종) 합 벡터, $ N=y_ { + + } $는 모든 종의 발현(관찰) 총 합, $ P= \left [p_ { i k } \right ]=Y / N $ 는 상대도수 행렬, $ D_ { r } ^ { } = \operatorname { diag } \left (y_ { 1 + } , y_ { 2 + } , \ldots, y_ { n + } \right ) $ 행 합 대각행렬, $ D_ { r } =D_ { r } ^ { * } / N $ 행 비율 대각행렬, $ \underline { r } = \left \{ p_ { i + } \right \} = \underline { y } _ { i + } / N $ 행 비율 벡터 혹은 행 가중치 벡터(열 프로파일의 중심), $ D_ { c } ^ { * } = \operatorname { diag } \left (y_ { + 1 } , y_ { + 2 } , \ldots, y_ { + p } \right ) $ 열 합 대각행렬, $ D_ { c } =D_ { c } ^ { * } / N $ 열 비율 대각행렬, $ \underline { c } = \left \{ p_ { + k } \right \} = \underline { y } _ { + k } / N $ 열 비율 벡터 혹은 열 가중치 벡터(행 프로파일의 중심), $ \underline { a } _ { i } = \left (y_ { i 1 } , \ldots, y_ { i p } \right ) ^ {\prime } / y_ { i + } $ 로 행(site) 프로파일 벡터, $ \mathbf { B } = \left [ \underline { b } _ { i } \right ]= \left \{\underline { a } _ { i } - \underline { c } \right \} =D_ { r } ^ { -1 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) $ 는 행프로파일과 중심 프로파일과의 차이 행렬</p> <p>$ X= \left [x_ { i j } \right ] $ 는 $ i=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, q $ 로 $ i $ 장소에서 $ q $ 개의 환경변수에 대한 환경 관찰값 자료, $ X_ { c } =X-1_ { n } D_ { r } ^ { * } X $ 환경 자료에 대한 가중 중심화 행렬, 여기서 $ 1_ { n } =[1]_ { n \times n } $ 행렬, $ X_ { s } =X_ { c } \operatorname { Diag } (V) ^ { -1 / 2 } $ 환경자료에 대한 가중 표준화 행렬, 여기서 $ V=X_ { c } D_ { r } ^ { * } X_ { c } $ 는 가중분산</p> <p>$ Z= \left [z_ { i l } \right ] $ 은 $ i=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, m $ 로 $ i $ 장소에서 $ l $ 번째 방향 축의 잠재값, 여기서, 특정 $ l $ 번째 방향 축에 대해, $ \underline { u } = \left \{ u_ { k } \right \} $ 는 $ k=1, \ldots, p $ 로 종들의 최적의 환경값 벡터, $ \underline {\beta } = \left \{\beta_ { j } \right \} $ 는 $ j=1, \ldots, q $ 로 환경변수에 대한 정준계수(회귀계수) 벡터, $ \underline { z } = \left \{ z_ { i } \right \} =X_ { s } \underline {\beta } $ 는 환경변수에 대한 선형결합(linear combination) 벡터</p> <p>$ =D_ { c } ^ { -1 / 2 } P ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } $ by $ X_ { s } ^ {\prime } \underline { r } = \underline { r } ^ {\prime } X_ { s } =0 $<caption>(3.2)</caption></p> <p>이다. 위 식 (3.1)에서 $ X_ { s } ^ {\prime } \underline { r } = \underline { r } ^ {\prime } X_ { s } =0 $이기 때문에 첫 번째 항을 제외한 나머지 3항이 모두 0이 된다. 이제, TCCA의 기초행렬 $ T_ { b } $에 대해</p> <p>$ \begin {aligned} T_ { b } { } ^ {\prime } T_ { b } &=D_ { c } ^ { -1 / 2 } P ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 / 2 } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 / 2 } X_ { s } ^ {\prime } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } \\ &=D_ { c } ^ { -1 / 2 } P ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } \end {aligned} $<caption>(3.3)</caption></p> <h2>3.1. 기초행렬의 동일성</h2> <p>TCCA는 $ T_ { b } = \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 / 2 } \left (X_ { s } ^ {\prime } P \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } $를 특이치 분해하며, LCCA는 $ \hat { Q } =D_ { r } ^ { 1 / 2 } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } ^ { 1 / 2 } Q $를 특이치 분해한다. 이에 따라, 두 방법의 동일성을 따지기 위해서, 각각의 $ T_ { b } T_ { b } $와 $ \hat { Q } ^ {\prime } \hat { Q } $의 고유치 분해(행렬의 동일성)가 동일한가를 확인하기로 한다. 여기서 $ Q=D_ { r } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } c ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } $ 라는 사실을 사용하면, $ \hat { Q } ^ {\prime } \hat { Q } $는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} \hat { Q ^ {\prime } } \hat { Q } =& D_ { c } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } ^ { 1 / 2 } D_ { r } ^ { 1 / 2 } X_ { s } \left (X_ { s } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } ^ { 1 / 2 } D_ { r } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { r } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } \\=& D_ { c } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) \left (X_ { s } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } \\=& D_ { c } ^ { -1 / 2 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } \\=& D_ { c } ^ { -1 / 2 } P ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } -D_ { c } ^ { -1 / 2 } P ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } D_ { c } ^ { -1 / 2 } \\ &-D_ { c } ^ { -1 / 2 } \underline { c } ^ {\prime } \underline { x } _ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } P D_ { c } ^ { -1 / 2 } + D_ { c } ^ { -1 / 2 } \underline { c } \underline { r } ^ {\prime } X_ { s } \left (X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } X_ { s } \right ) ^ { -1 } X_ { s } ^ {\prime } \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } D_ { c } ^ { -1 / 2 } \end {aligned} \)<caption>(3.1)</caption></p> <p>라는 행렬로 표현할 수 있다. 이제, $ Q ^ { * } $를 다음과 같이 놓자.</p> <p>$ \begin {aligned} Q ^ { * } = \left [q_ { i k } ^ { * } \right ] &= \left [ \frac { p_ { k \mid i } -p_ { + k } } {\sqrt { p_ { + k } } } \right ]= \frac { 1 } {\sqrt { p_ { i + } } } \sqrt { p_ { i + } } \left [ \frac { p_ { k \mid i } -p_ { + k } } {\sqrt { p_ { + k } } } \right ] \\ &=D_ { r } ^ { -1 / 2 } Q=D_ { r } ^ { -1 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) D_ { c } ^ { -1 / 2 } \end {aligned} $</p> <p>행 프로파일(site profile) $ \underline { a } _ { i } $ 벡터가 주어지면, $ \underline { r } = \left \{ p_ { i + } \right \} , i=1, \ldots, n $ 벡터는 행의 가중치(site mass)가 되며, $ n $개 행(site) 프로파일의 중심은 $ \underline { c } = \sum_ { i=1 } ^ { n } r_ { i } a_ { i } = \left \{ c_ { k } \right \} , k=1, \ldots, p $ 벡터로 열의 가중치(species mass)가 되어, 위의 $ \chi ^ { 2 } $는 다음과 동일한 의미를 지닌다.</p> <p>$ N \sum_ { i } r_ { i } \sum_ { k } \frac {\left (a_ { i k } -c_ { k } \right ) ^ { 2 } } { c_ { k } } =N \times \sum_ { i } ( $ 행가중치 $ )( \text { 행프로파일의 중심과의 카이제곱거리 } ) ^ { 2 } $</p> <p>이에 따라, 행 프로파일이 중심 프로파일과 떨어진 (절대)거리 행렬 $ \mathbf { B } $는 앞의 수식에서 언급한 바와 같이,</p> <p>$ \mathbf { B } = \left [ \underline { b } _ { i } \right ]= \underline { a } _ { i } - \underline { c } =p_ { i k } / p_ { i + } -p_ { + k } = \left \{ p_ { i + } ^ { -1 } \right \} \left \{ p_ { i k } -p_ { i + } p_ { + k } \right \} =D_ { r } ^ { -1 } \left (P- \underline { r } \underline { c } ^ {\prime } \right ) $</p> <p>로 표현할 수 있다.</p> <p>위의 식에서 $ \tilde { V } =V_ { t } $는 동일한 계수(rank)하에서 성립한다. 결과적으로 두 모형의 장소점수는 서로 동일하며, LCCA의 장소점수가 TCCA의 선형결합(linear combination) 점수 $ Z $로 표현됨을 확인할 수 있다.</p> <h2>3.3. 상관계수의 동일성</h2> <p>TCCA에서 환경점수와 가중 선형결합 점수와의 상관계수는 다음과 같이 표현된다.</p> <p>$ \begin {aligned} \operatorname { Cor } \left (D_ { r } ^ { 1 / 2 } X_ { s } , D_ { r } ^ { 1 / 2 } Z \right ) &=X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } Z \text { where } Z=D_ { r } ^ { -1 / 2 } \tilde { U } \\ &=X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } D_ { r } ^ { -1 / 2 } \tilde { U } =X_ { s } ^ {\prime } D_ { r } ^ { 1 / 2 } \tilde { U } \\ &= \operatorname { Cor } \left (D_ { r } ^ { 1 / 2 } X_ { s } , \tilde { U } \right ) \end {aligned} $</p> <p>위 식에서 상관계수가 두 행렬의 곱으로 바로 표현될 수 있는 이유는 $ X_ { s } $와 $ Z $가 서로 표준화되어 있기 때문이다. 결론적으로 TCCA와 LCCA의 상관계수 역시 서로 일치한다.</p> <h1>4. 수치 예 및 특징 비교</h1> <h2>4.1. 모의자료에 대한 수치 예</h2> <p>Table 3은 4개의 장소에서 3종류의 생물에 대한 출현정도와 2 개 환경변수의 측정값을 보여주는 모의자료이다. 다음의 행렬 계산에 의해 기초행렬 $ T_ { b } , \hat { Q } $ 의 $ T_ { b } { } ^ {\prime } T_ { b } $ 와 $ \hat { Q } ^ {\prime } \hat { Q } $ 가 서로 동일함을 확인할 수 있다. 한편, 이들의 계수(rank)는 모두 환경변수 개수인 2로 나타났다.</p>	자연
m673-복소해석학	<p>$ \theta_ { 2 } + \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )- \left ( \boldsymbol {\theta } _ { 1 } + \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right )= \boldsymbol {\theta } _ { 2 } - \boldsymbol {\theta } _ { 1 } $.</p> <p>각의 크기와 방향을 모두 보존하는 함수를 한꼴사상(또는 공형사상, conformal mapping)이라고 한다. 정리 $ 8.3 $ 은 해석함수는 그의 도함수가 $0 $가 아닌 모든 점에서 등각적임을 말해준다. 각의 크기는 보존하지만 방향은 보존하지 않는 함수을 등각사상(isogonal mapping)이라고 한다.</p> <p>보기 $ 8.3 $ $ f(z)= \bar { z } $ 는 양의 실수축과 양의 허수축을 각각 양의 실수축과 음의 실수축으로 사상한다. 두 곡선이 각 평면에서 직각으로 만나긴 하지만 "시계반대방향"의 각이 " 시계방향"의 각으로 사상된다. 따라서 함수 $ f $ 는 한꼴사상은 아니지만 등각사상이다.</p> <p>$ f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 $0 $이 아닌 도함수를 가지는 해석함수라고 가정하자. $ z $ 가 $ z_ { 0 } $ 에 가까이 있을 때 점 $ z $ 와 $ z_ { 0 } $ 사이의 거리와 이들 상 사이의 거리에 관한 흥미로운 관계가 존재한다.</p> <p>도함수의 정의와 $ \|z\| $ 의 연속성으로부터</p> <p>$ \left \|f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac {\left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } {\left \|z-z_ { 0 } \right \| } $.</p> <p>그러면 $ z_ { 0 } $ 에 가까운 $ z $ 에 대해서 다음이 성립한다:</p> <p>$ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \approx \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \left \|z-z_ { 0 } \right \| $.<caption>(8.9)</caption></p> <p>대략적으로 말하면, $ z $ 가 $ z_ { 0 } $ 에 가까이 있을 때 $ f(z) $ 는 일차함수 $ f \left (z_ { 0 } \right ) + $ $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) $ 에 의하여 근사될 수 있다. 이는 $ \left (z-z_ { 0 } \right ) $ 의 고차멱을 무시 할 수 있으므로 그 의미가 있다. 식 $ (8.9) $ 에 의하여 $ z_ { 0 } $ 의 "작은" 근방은 인자 $ \left \|f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| $ 에 의하여 확대된 비슷한 형태로 사상된다. 따라서 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 은 상의 기하학적 특성을 결정하는데 두 가지 역할을 한다. 식 $ (8.8) $에 의하여 $ \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 는 회전을 측정하고, 식 $ (8.9) $에 의하여 $ \left \|f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| $ 는 가까운 점에 대해서 상의 확대나 뒤틀림을 측정한다.</p> <p>참고 $ 8.1 $ (ⅰ) 동등연속모임의 각 원소가 고른연속임을 관찰하라. 즉, 동등연속모임에 대해서, 모임의 모든 함수에 대해서 뿐만 아니라 집합의 모든 점에 대해서 성립하는 $ \delta= \delta( \varepsilon) $ 을 구할 수 있다.</p> <p>(ⅱ) 어떤 모임이 동등연속이 아니면서도 그 모임의 각 원소가 고른연속이 될 수도 있다.</p> <p>보기 $8.6 $ 각 자연수 $ n $ 에 대해서 $ f_ { n } (z)=n z $ 라 하자. 그러면 $ \left \|z_ { 1 } -z_ { 0 } \right \|< \frac {\varepsilon } { n } = $ $ \delta $ 일 때</p> <p>$ \left \|f_ { n } \left (z_ { 1 } \right )-f_ { n } \left (z_ { 0 } \right ) \right \|=n \left \|z_ { 1 } -z_ { 0 } \right \|< \varepsilon $</p> <p>이므로 각 $ f_ { n } $ 은 $ \|z\| \leq R $ 위에서 고른연속이다. 그러나, $ \delta $ 가 모든 $ n $ 에 대해서 취해질 수가 없다. 따라서 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 는 $ \|z\| \leq R $ 에서 동등연속이 아니다.</p> <p>해석함수들의 국소적 고른유계모임과 동등연속모임 사이에 중요한 관계가 있다.</p> <p>정리 $ 8.10 $ 만일 $ \mathfrak { F } $ 가 영역 $ D $ 에서 해석함수의 국소적 고른유계모임이라고 하면 $ \mathfrak { F } $ 는 $ D $ 의 컴팩트 부분집합위에서 동등연속이다.</p> <p>증명 $ K $ 가 $ D $ 에 포함된 폐원판인 특별한 경우에 이 정리를 증명한다. $ D $ 의 일반적인 컴팩트 부분집합에 대한 증명은 정리 $ 8.6 $ 의 증명과 비슷하므로 독자에게 남긴다. 정리 $ 8.9 $ 에 의하여 $ \mathfrak { F } $ 에 속하는 함수의 도함수로 이루어지는 모임 $ \mathfrak { F } ^ {\prime } $ 는 역시 국소적 고른유계이다. 그러므로 정리 $ 8.8 $ 에 의하여 모든 $ f \in \mathfrak { F } $ 와 모든 $ z \in K $ 에 대해서 $ \left \|f ^ {\prime } (z) \right \| \leq M $ 이라고 가정할 수 있다. 그러면 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } \in K $ 에 대헤서 다음이 성립한다.</p> <p>보기 $ 8.8 $ 수열 $ \left \{ z ^ { n } \right \} $ 으로 이루어진 모임은 영역 $ \|z\|<1 $ 에서 정규이다. 실제로 수열 그 자체는 $ \|z\|<1 $ 의 모든 컴팩트 부분집합위에서 $0 $으로 고르게 수렴한다. 그러나 수열이나 임의의 부분수열은 전 영역에서 모두 고르게 수렴하지 않음을 주목하라.</p> <p>유계수열이 서로 다른 극한으로 수렴하는 서로 다른 부분수열을 포함할 수 있듯이 정규모임도 컴팩트 부분집합위에서 서로 다른 함수로 고르게 수렴하는 서로 다른 부분열을 포함할 수도 있다.</p> <p>보기 $ 8.9 $ 자연수 $ n $ 에 대해서</p> <p>$ f_ { n } (z)= \left \{\begin {array} { ll } z ^ { n } , & n \text { 은 홀수 } \\ 1-z ^ { n } , & n \text { 은 짝수. } \end {array} \right . $</p> <p>으로 정의된 함수열 $ \left \{ f_ { 2 n + 1 } \right \} $ 은 $ \|z\|<1 $ 인 모든 컴팩트 부분집합위에서 $0 $으로 고르게 수렴하고 $ \left \{ f_ { 2 n } \right \} $ 은 $1 $로 고르게 수렴한다.</p> <p>점집합 $ E $ 는 $ A $ 의 각 점의 모든 근방이 $ E $ 의 점을 포함하면 집합 $ A $ 에 조밀하다고 한다. 평면의 모든 영역은 조밀한 점열을 포함한다. 이 절의 주요 결과를 증명하기 전에 다음이 필요하다.</p> <p>보조정리 $ 8.1 \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 영역 $ D $ 에서 국소적 고른유계인 해석함수열이라고 가정하자. 만일 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 $ D $ 의 조밀부분집합의 모든 점에서 수렴하면, 이 것은 $ D $ 의 각 컴팩트 부분집합위에서 고르게 수렴한다.</p> <p>증명 $ \quad D $ 에 포함된 컴팩트집합 $ K $ 가 주어질 때 수열 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 $ K $ 위에서 고르게 수렴함을 보이고자 한다. 정리 $ 8.8 $ 에 의하여서 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 는 $ K $ 위에서 동등연속이다. 따라서 각 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여</p> <p>$ \frac { g(w)-g \left (w_ { 0 } \right ) } { w-w_ { 0 } } = \frac { z-z_ { 0 } } { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } $<caption>(8.15)</caption></p> <p>$ f $ 가 열린집합에서 열린집합위로 사상하므로 $ g $ 는 $ D_ { 2 } $ 에서 연속이다. 따라서 $ w \rightarrow w_ { 0 } $ 일 때 $ z \rightarrow z_ { 0 } $ 이다. 정리 $ 8.9 $ 에 의하여서 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이다. 따라서 식 $ (8.9) $에 극한을 취하면 $ g ^ {\prime } \left (w_ { 0 } \right )=g ^ {\prime } \left (f \left (z_ { 0 } \right ) \right )= \frac { 1 } {\left (f ^ {\prime } (20) \right ) } $ 를 얻을 수 있다. 그러므로 $ g $ 는 $ D_ { 2 } $ 에서 해석적이다.</p> <p>만일 함수 $ f, g $ 가 각각 영역 $ D_ { 1 } , D_ { 2 } $ 에서 한잎함수이고 원판 $ \|z\|<1 $ 위로 사상하면 $ g ^ { -1 } (f(z)) $ 도 $ D_ { 1 } $ 에서 $ D_ { 2 } $ 위로 사상하는 한잎함수이다. 따라서 원 판의 내부위로 한잎으로 사상될 수 있는 영역들의 집합은 또 다른 영역위로 한잎으로 사상될 수 있다.</p> <p>보조정리 $ 8.2 f(z) $ 가 $ \|z\|<1 $ 에서 한잎함수이고 원판을 그 자신위로 사상한다고 가정하자. 만일 $ f(0)=0 $ 이고 $ f ^ {\prime } (0)>0 $ 이면 $ f(z)=z $ 이다.</p> <p>증명 Schwartz 보조정리에 의하여 $ \|f(z)\| \leq\|z\| $ 이다. Schwartz 보조정리를 역함수에 응용하면 다시 $ \|z\| \leq\|f(z)\| $ 를 얻는다. 따라서 $ \left \| \frac { f(z) } { z } \right \|=1 $ 이다. 연습문제 $2.5.6 $에 의하여 $ \alpha $ 가 실수일 때 $ f(z)=e ^ { i \alpha } z $ 이다. $ f ^ {\prime } (0)>0 $ 이므로 결과가 나온다.</p> <p>이제 $ g(z) $ 가 $ D $ 상의 한잎함수이고 $ g \left (z_ { 0 } \right )=0, g_ { 0 } ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )>0 $ 에 의해 정규화되고 $ D $ 의 모든 $ z $ 에 대해 $ \|g(z)\|<1 $ 을 만족하면 $ g(z) $ 가 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 에 있다고 말하자. 모임 $ \mathfrak { F } $ 는 $ f_ { 0 } (z) \in \mathfrak { F } $ 이므로 공집합이 아니다. 명백히 그의 존재성을 보이려고 하는 함수 $ f $ 는 역시 $ \mathfrak { F } $ 에 속해야 한다. 이 함수가 $ \mathfrak { F } $ 에 속하는 어떤 다른 함수보다도 $ z_ { 0 } $ 에서 더욱 큰 도함수를 가짐을 보일 것이다. $ z_ { 0 } $ 에서 최대도함수를 갖는 $ \mathfrak { F } $ 에 속하는 함수의 존재를 보이기 위하여 정규모임의 이론을 응용해야 한다.</p> <p>$ \mathfrak { F } $ 가 $ D $ 에서 국소적 고른유계(실제로는 고른유계)이므로 정리 $ 8.11 $ 에 의하여 $ \mathfrak { F } $ 는 정규모임이다. 다음과 같이 놓자.</p> <p>$ A= \operatorname { lub } \left \{ g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ): g(z) \in \mathfrak { F } \right \} $</p> <p>여기서 $ A $ 가 무한일 수도 있다. $ A $ 의 정의에 의하여 $ f_ { n } ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \rightarrow A $ 가 되는 함수열 $ f_ { n } \in \mathfrak { F } $ 가 존재한다. $ \mathfrak { F } $ 의 정규성에 의하여 $ D $ 의 컴팩트 부분집합위에서 해석함수 $ f(z) $ 로 고른수렴하는 부분열 $ \left \{ f_ { n k } \right \} $ 가 존재한다. 정리 $ 5.11 $ 를 응용하면 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=A $ 임을 알 수 있고 따라서 $ A $ 는 유한이다. 또 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \geq f_ { 0 } ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )>$ 0 이므로 함수 $ f(z) $ 는 $ D $ 에 포함되지 않는다. 따라서 정리 $ 8.12 $ 에 의하여 $ f(f) $ 는 한잎이고 결국 $ \mathfrak { F } $ 의 원소가 된다.</p> <p>$ f ^ { -1 } (z)= \frac { d z-b } { -c z + a } $</p> <p>이다.</p> <p>식 $(8.1) $의 양변에 $ c a + d $ 를 곱하여 정리하면</p> <p>$ \boldsymbol {\alpha } z w + \boldsymbol {\beta } z + \gamma w + \boldsymbol {\delta } = \mathbf { 0 } $<caption>(8.1)</caption></p> <p>과 같은 형태로 변환되고 이 식은 $ z $ 와 $ w $ 에 관하여 선형이다. 따라서 이러한 이유로 선형분수변환을 쌍선형변환(bilinear transformation)이라고 부른다.</p> <p>선형분수변환 $(8.1) $을 몫과 나머지의 형태로 나누어 쓰면</p> <p>$ w=f(z)= \frac { a } { c } + \frac { b- \frac { a d } { c } } { c z + d } , \quad c \neq 0 $<caption>(8.3)</caption></p> <p>이 된다. 이 변환은</p> <p>$ f_ { 1 } (z)=c z + d, \quad f_ { 2 } (z)= \frac { 1 } { z } , \quad f_ { 3 } (z)= \frac { a } { c } + \left (b- \frac { a d } { c } \right ) z $<caption>(8.4)</caption></p> <p>들의 합성으로 표현될 수 있다. 즉</p> <p>$ f(z)= \left (f_ { 3 } \circ f_ { 2 } \circ f_ { 1 } \right )(z) $.</p> <p>따라서 우리는 선형분수변환을 이해하기 위해서는 $ f_ { 3 } $ 은 $ f_ { 1 } $ 과 동일한 선형 변환이므로 $(8.4) $의 변환 $ f_ { 1 } $ 과 $ f_ { 2 } $ 만 이해하면 충분하다.</p> <p>먼저 $ f_ { 1 } (z)=c z + d, c \neq 0 $ 인 선형함수를 살펴보자. 먼저 허수축과 나란한 직선 $ z=x_ { 0 } + i y,- \infty<y< \infty $, 이 $ f_ { 1 } $ 에 의해 어디로 사상되는지를 살펴보면 $ f_ { 1 } \left (x_ { 0 } + i y \right )=c \left (x_ { 0 } + i y \right ) + d $ 이므로, 직선으로 사상됨을 알 수 있다. 이것을 보다 정확하게 살펴보려면 $ c=c_ { 1 } + i c_ { 2 } , d=d_ { 1 } + i d_ { 2 } $ 라 두자. 여기서 $ c_ { 1 } , c_ { 2 } , d_ { 1 } , d_ { 2 } $ 는 모두 실수이다. 그러면</p> <p>$ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \geq m>\|a\| $</p> <p>이므로 Rouché 정리에 의해 $ g(z) $ 는 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에서 $ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) $ 의 영점의 개수와 동일한 개수의 영점 $ (k \geq 2) $ 을 갖는다. 그러나 이것은 $ f(z)= $ $ f \left (z_ { 0 } \right ) + a $ 가 되는 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 의 $ k $ 개의 서로 다른 점이 존재함을 뜻하므로 가정에 모순이다.</p> <p>이제 미분가능한 함수에 관한 결과를 요약해보자. 실변수의 경우에는 구간위에서 도함수가 $0 $이 되지 않음이 함수가 그 구간에서 단사가 되는 충분조건이지만 필요조건은 아니었다. 그러나 복소변수의 경우에는 영역위에서 도함수가 $0 $이 되지 않음이 함수가 그 영역에서 단사가 되는 필요조건이지만 충분조건은 아니다.</p> <p>해석함수가 단일연결영역에서 단사가 되는 충분조건은 함수가 그 경계위에서 단사가 되는 것이다.</p> <p>정리 $8.6 $ 단일연결영역 $ D $ 와 그의 경계인 단순닫힌등심선 $ C $ 에서 $ f(z) $ 가 해석적이라고 하자. 만일 $ f(z) $ 가 $ C $ 위에서 단사이면 $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 단사이다.</p> <p>증명 $ C $ 상의 $ z $ 에 대헤서 $ w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \neq f(z) $ 가 되는 $ D $ 의 점 $ z_ { 0 } $ 를 취하자. 편각원리에 의하여 $ D $ 에서 $ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) $ 의 영점의 개수는 $ \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { c } \{ f(z)- $ $ \left .f \left (z_ { 0 } \right ) \right \} $ 에 의하여 주어진다. 가정에 의하여 $ C $ 의 상은 단순닫힌등심선이고 이를 $ C ^ {\prime } $ 으로 나타내자(그림 $ 8.4 $ 참조). 따라서 $ w=f(z) $ 가 등심선 $ C ^ {\prime } $ 을 따라갈 때 $ w-w_ { 0 } =f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) $ 의 편각에 대한 순수한 변화는 등심선이 시계 반대방향으로 도느냐, 시계방향으로 도느냐에 따라서 $ + 2 \pi $ 또는 $ -2 \pi $ 가 된다. $ f(z) $ 가 $ D $ 에서 적어도 한번 값 $ w_ { 0 } $ 를 취하므로 다음을 얻는다:</p> <p>이제 이 절의 주요정리인 Riemann 사상정리를 알아보자.</p> <p>정리 $ 8.15 $ (Riemann 사상정리) $ D $ 가 전평면이 아닌 단일연결영역이고 $ z_ { 0 } $ 가 $ D $ 에 속하는 점이라고 가정하면 $ f \left (z_ { 0 } \right )=0, f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )>0 $ 을 만족하면서 $ D $ 를 원판 $ \|z\|<1 $ 로 사상하는 유일한 한잎 함수 $ f(z) $ 가 존재한다.</p> <p>증명 1. 우선 유일성을 증명하자. 만일 $ f, g $ 가 모두 $ D $ 를 $ \|z\|<1 $ 위로 사상하면서 주어진 조건을 만족한다고 하면 $ h=g \left (f ^ { -1 } \right ) $ 는 단위원판의 내부에서 그 자신위로 사상하는 한잎함수이다. 더욱이</p> <p>$ h(0)=g \left (f ^ { -1 } (0) \right )=g \left (z_ { 0 } \right )=0 $</p> <p>$ h ^ {\prime } (0)= \frac { g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } >0 $</p> <p>따라서 보조정리 $ 8.2 $ 에 의하여 $ h $ 는 항등함수이다. 즉, $ g(z) $ 는 $ f(z) $ 이므로 유일성이 증명되었다.</p> <p>$2 $. 존재성을 증명하기 위하여 우선 $ D $ 에서 원판 $ \|z\|<1 $ 안으로 사상하는 한잎함수가 존재함을 보이도록 한다. $ D $ 가 전평면이 아니므로 점 $ a \notin D $ 가 존재한다. 실제로, $ D $ 의 외부에 원판 $ \|z-a\|>\varepsilon $ 이 존재하면, $ D $ 의 모든 점에 대해서 $ \|z-a\|>\varepsilon $ 이다. 이 경우, $ w= \frac {\varepsilon } { (z-a) } $ 는 $ D $ 의 모든 점을 단위원퐌의 내부로 사상하는 한잎함수이다. 그러나 $ D $ 의 여집합이 임의의 원판을 포함하지 않을 수도 있다. 에를 들어, $ D $ 는 어떤 점 $ z_ { 0 } $ 에서 $ \infty $ 로 이르는 반직선을 뺀 평면일 수도 있다. 이런 종류의 어려움은 영역을 그 크기의 "반" 위로 사상하는 제곱근함수의 가지를 생각함으로써 피할 수 있을 것이다.</p> <p>$ f_ { n } (z)-a= \left (f_ { n } (z)-f(z) \right ) + (f(z)-a) $</p> <p>는 $ C_ { 0 } $ 의 내부에서 적어도 하나의 영점을 가지며 $ C_ { 1 } $ 의 내부에서 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 $ D $ 에서 한잎임에 모순이다.</p> <p>한잎함수열의 고른극한이 상수가 될 수도 있음을 주목하라.</p> <p>보기 $ 8.12 $ 수연 $ f_ { n } (z)= \frac { z } { n } $ 는 평면의 임의의 컴팩트 부분집합위에서 $0 $으로 고르게 수렴한다.</p> <p>정리 $ 8.13 f(z) $ 가 영역 $ D $ 상의 한잎함수이고 $ g(z) $ 가 $ f(z) $ 에 의한 $ D $ 의 상에서의 한잎함수라고 하면 합성함수 $ g(f(z)) $ 도 $ D $ 상의 한잎함수이다.</p> <p>증명 $ g(f(z)) $ 는 해석적이다. 한잎임을 보이기 위하여 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } \in D $ 에 대해서 $ g \left (f \left (z_ { 0 } \right ) \right )=g \left (f \left (z_ { 1 } \right ) \right ) $ 이라고 가정하자. $ g $ 의 단엽성에 의하여 $ f \left (z_ { 0 } \right )=f \left (z_ { 1 } \right ) $ 이다. 다시 $ f $ 의 한잎성에 의하여 $ z_ { 0 } =z_ { 1 } $ 이다.</p> <p>정리 $ 8.14 $ 영역 $ D_ { 1 } $ 에서 $ D_ { 2 } $ 로 사상하는 $ f $ 가 한잎함수이면 모든 $ z \in D_ { 1 } $ 에 대해서 $ g(f(z))=z $ 로 정의된 역함수 $ g $ 는 $ D_ { 2 } $ 에서 $ D_ { 1 } $ 위로 사상하는 한잎함수이다.</p> <p>증명 $ g $ 의 한잎성은 $ f $ 의 한잎성의 직접적인 결과이다. 해석적임을 보이기 위하여 점 $ w_ { 0 } \in D_ { 2 } $ 를 고정하면 $ w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) $ 이 되는 유일한 점 $ z_ { 0 } \in D_ { 1 } $ 가 존재한다. 이제 $ w=f(z) $ 로 놓으면 다음이 성립한다.</p> <p>경우2. $ c=0 $ 인 때 이 겅우에 식 (8.12)은 인차함수이고 $ z= \infty $ 를 $ w= \infty $ 로 사상한다. 식 $(8.12) $ 에서 $ z= \frac { 1 } {\zeta } , w= \frac { 1 } {\omega } , h(z)= \frac { 1 } { f(1 / z) } $ 로 놓으면 다음과 같다.</p> <p>$ \frac { 1 } {\omega } = \frac { a / \zeta + b } { d } = \frac { b \zeta + a } { d \zeta } , \quad $ 즉 $ \quad \omega=h( \zeta)= \frac { d \zeta } { b \zeta + a } $</p> <p>꼴 $ h ^ {\prime } (0)= \frac { d } { a } \neq 0 $ 이므로 $ h( \zeta) $ 는 $ \zeta=0 $ 에서 한꼴사상이다. 즉 $ f(z) $ 는 $ z= \infty $ 에서 한꼴이다. 따라서 선형분수변환은 확장된 펑면에서 그 평면 위로의 단사한꼴 사상이다.</p> <h1>$ 8.3 $ 정규모임</h1> <p>우리는 이미 점별수렴과 고른수렴의 차이뿐만 아니라 점별연속과 고른연속 사이의 중요한 차이를 알아 보았었다. 이제 또 다시 우리는 국소적 성질과 대역적 성질 사이의 한 차이를 만나게 된다. 이제 우리는 함수모임으로 이루어진 집합에서 성립하는 고른성을 요구할 것이다.</p> <p>정의 $ 8.1 $ 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 에 대하여 모든 $ f \in \mathfrak { F } $ 와 모든 $ z \in A $ 에 대해서 $ \|f(z)\| \leq $ $ M $ 이 되는 실수 $ M $ 이 존재하면 집합 $ \mathfrak { F } $ 는 $ A $ 위에서 고른유계(uniformly bounded)라라고 한다.</p> <p>자명하게, 모임의 고른유계성은 모임의 각 원소가 유계임을 뜻한다. 한편, 함수연 $ f_ { n } (z)=n z $ 의 각 원소는 원판 $ \|z\| \leq R $ 에서 유계이지만 모임의 모든 원소에 대한 한계는 없다.</p> <p>정의 $ 8.2 $ 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 가 만일 각 $ z \in A $ 에 대해서 고른유계인 근방이 존재하면 $ \mathfrak { F } $ 는 집합 $ A $ 위에서 국소적 고른유계(locally uniformly bounded) 라고 한다.</p> <p>$ \theta $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서의 매끄러운 곡선에 대한 접선과 $ x $ 축이 이루는 각이고, $ \phi $ 가 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 에서의 이 곡선의 상에 대한 접선과 $ u $ 축이 이루는 각이라고 가정하자. $ z $ 가 이 곡선을 따라서 $ z_ { 0 } $ 로 접근하면 식 $(8.10) $는 다음과 같이 된다.</p> <p>$ \phi=k \boldsymbol {\theta } + \arg \frac { f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right ) } { k ! } $<caption>(8.11)</caption></p> <p>식 $(8.11) $가 $ k=1 $ 인 특수한 경우에 식 $(8.8) $가 됨을 관찰하라. 일반적으로 상곡선에 대한 접선은 본래의 곡선의 접선에 의존할 뿐만 아니라 문제의 점에서의 처음으로 $0 $이 아닌 도함수의 계수와 편각에도 의존한다. 식 $(8.8) $가 정리 $8.3 $로 귀착되듯이 식 $(8.11) $는 다음 정리로 귀착된다.</p> <p>정리 $ 8.7 f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } (z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 위수 $ k-1 $ 의 근을 갖는다고 가정하자. 만일 매끄러운 두 곡선이 $ z $ 평면에서 각 $ \theta $ 로 만나면 이들의 상은 $ w $ 평면에서 각 $ k \theta $ 로 만난다.</p> <p>증명 두 곡선에 대한 접선이 실수축에 관하여 각 $ \theta_ { 1 } $ 과 $ \theta_ { 2 } $ 를 이룬다고 가정하면 $ \theta= \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } $ 은 두 곡선 사이의 각이다. 식 $(8.5) $에 의하여 이들 상 사이의 각 $ \phi $ 는 다음과 같다:</p> <p>$ \phi=k \theta_ { 2 } + \arg \frac { f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right ) } { k ! } - \left (k \boldsymbol {\theta } _ { 1 } + \arg \frac { f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right ) } { k ! } \right )=k \boldsymbol {\theta } $.</p> <p>따름정리 $ 4.3 $ 에 의하여 $ a \notin D $ 이면 $ \phi(z)= \sqrt { z-a } $ 의 해석가지는 단일연결영역 $ D $ 에서 정의될 수 있다. 더욱이 $ \phi(z) $ 는 $ D $ 에서 한잎이다. 왜냐하면 $ \phi \left (z_ { 1 } \right )= \boldsymbol {\phi } \left (z_ { 2 } \right ) \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \in D \right ) $ 이면 $ \left ( \phi \left (z_ { 1 } \right ) \right ) ^ { 2 } = \left ( \phi \left (z_ { 2 } \right ) \right ) ^ { 2 } =z_ { 1 } -a=z_ { 2 } -a $ 이기 때문이다. 이제 $ D ^ {\prime } $ 을 $ \phi(z) $ 에 의한 $ D $ 의 상이라고 하면 $ D ^ {\prime } $ 의 여집합은 원판을 포함한다. 이를 보이기 위하여 두 점 $ b,-b $ 가 동시에 $ D ^ {\prime } $ 에 속할 수 없음을 보일 것이다. 만일 이들이 $ D ^ {\prime } $ 에 속했다면 $ \phi \left (z ^ {\prime } \right )=b $ 와 $ \phi \left (z ^ {\prime \prime } \right )=-b $ 가 되는 $ D $ 의 서로 다른 두 점 $ z ^ {\prime } , z ^ {\prime \prime } $ 가 존재한다. 그러면</p> <p>$ \left [ \phi \left (z ^ {\prime } \right ) \right ] ^ { 2 } =-z ^ {\prime } a= \left [ \phi \left (z ^ {\prime \prime } \right ) \right ] ^ { 2 } =z ^ {\prime \prime } -a $</p> <p>가 되고 이는 $ z ^ {\prime } $ 과 $ z ^ {\prime \prime } $ 이 서로 다르다는 사실에 모순된다. 다음에는 원판 $ \mid z- $ $ c \mid>\varepsilon $ 이 $ D ^ {\prime } $ 에 포함되도록 점 $ c $ 와 $ \varepsilon>0 $ 을 취하자. 그러면 원판 $ \|z + c\|>\varepsilon $ 은 $ D ^ {\prime } $ 의 여집합에 포함된다. 따라서 합성함수 $ \psi(z)= \frac {\varepsilon } { z + c } $ 는 $ D ^ {\prime } $ 을 단위원판으로 사상한다. 따라서 합성함수 $ \psi( \phi(z)) $ 는 $ D $ 에서 한잎함수이고 $ D $ 를 단위원판으로 사상한다. 이제 적당한 선형분수변환에 의하여 이 함수를 부가적인 조건 $ f_ { 0 } \left (z_ { 0 } \right )=0 $ 과 $ f_ { 0 } ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )>0 $ 을 만족하는 함수 $ f_ { 0 } (z) $ 로 변환될 수 있다.</p> <p>보기 $ 8.5 $ 수연 $ f_ { n } (z)= \frac { 1 } {\left (1-z ^ { n } \right ) } $ 은 국소적 고른유계이지만 원판 $ \|z\|<1 $ 에서 고른유계는 아니다.</p> <p>이제 다음 특성화를 살펴보자.</p> <p>정리 $ 8.8 $ 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 가 영역 $ D $ 에서 국소적 고른유계이기 위한 필요충분조건은 $ \mathfrak { F } $ 가 $ D $ 의 각 컴팩트 부분집합위에서 고른유계인 것이다.</p> <p>증명 $ \mathfrak { F } $ 가 국소적 고른유계이고 $ K $ 가 $ D $ 의 컴팩트 부분집합이라고 하자. $ K $ 의 각 점에 대해서 $ \mathfrak { F } $ 가 고른유계인 근방을 취하자. 이것이 $ K $ 에 대한 한개피복을 준다. 그러면 Heine-Borel정리에 의하여 $ K $ 의 유한부분피복이 존재한다. 즉 모든 $ f \in \mathfrak { F } $ 와 모든 $ z \in N \left (z_ { i } ; \varepsilon_ { i } \right ) $ 에 대해서 $ \|f(z)\| \leq M_ { i } $ 인 때 $ K \subset $ $ \cup_ { i=1 } ^ { n } N \left (z_ { i } ; \varepsilon_ { i } \right ) $ 를 만족하는 유한개의 점 $ z_ { i } \in K $ 와 $ \varepsilon_ { i } >0 $ 이 존재한다. 따라서 $ \mathfrak { F } $ 는 $ K $ 위에서 고른유계이고 그 한계는 $ M= \max \left \{ M_ { 1 } , M_ { 2 } , \ldots, M_ { n } \right \} $ 이다.</p> <p>역은 점의 근방의 폐포가 컴팩트라는 사실로부터 직접 나온다.</p> <p>해석함수들의 국소적 고른유계모임으로 제한하면 다음 부가적인 결과를 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $ 8.9 $ ₹ 가 영역 $ D $ 에서 국소적 고른유계인 해석함수모임이라고 가정하자. 그러면 $ \mathfrak { F } $ 에 속하는 모든 함수의 $ n $ 계 도함수로 이루어진 모임 $ \mathfrak { F } ^ { (n) } $ 도 역시 $ D $ 에서 국소적 고른유계이다.</p> <p>정리 $ 8.3 $ 과 정리 $ 8.7 $ 를 결합하면 해석함수가 어떤 점에서 한꼴 사상이기 위한 필요충분조건은 그 함수가 그 점에서 $0 $이 아닌 도함수를 갖는 것임을 알 수 있다.</p> <p>선형분수변환을 한꼴사상의 관점에서 다시 살펴보자. 변환</p> <p>$ w=f(z)= \frac { a z + b } { c z + d } \quad(a d-b c \neq 0) $<caption>(8.12)</caption></p> <p>은 확장된 평면에서 그 평면으로의 단사 연속사상을 나타내고 $ f \left (- \frac { d } { c } \right )= $ $ \infty, f( \infty)= \frac { d } { c } $ 임을 상기하라. $ f ^ {\prime } (z)= \frac { a d-b c } { (c z + d) ^ { 2 } } \neq 0 $ 이므로, 이 사상은 $ z \neq $ $ - \frac { d } { c } $ 인 모든 유한인 $ z $ 에 대해서 한꼴이다. 이미 아는 것처럼, 원이나 직선위의 점이 $ \infty $ 에서 점위로 사상되는가에 따라 원이나 직선이 원이나 직선위로 사상된다.</p> <p>보기 $ 8.4 $ 역변환 $ w= \frac { 1 } { z } $ 은 원점을 지나지 않는 직선을 원으로 사상한다. 특히 직선 $ y=x + 1 $ 과 $ y=-x + 1 $ 은 각각 다음의 원들로 사상된다:</p> <p>$ \left (u + \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (v + \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } $,</p> <p>$ \left (u- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (v + \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } $.</p> <p>명제 $ 8.1 $ 선형변환 $ f_ { 1 } (z)=c z + d, c \neq 0 $, 은 직선을 직선으로, 원을 원으로 각각 사상하는 변환이다. 더욱이 $ f( \infty)= \infty $ 이다.</p> <p>두번째 $ f_ { 2 } (z)= \frac { 1 } { z } $ 인 반전함수를 살펴보자. 먼저 $ z=x, x \neq 0 $, 를 생각하자. 그러면</p> <p>$ f_ { 2 } (z)= \frac { 1 } { z } = \frac { 1 } { x } , \quad x \neq 0 $</p> <p>이다. 여기서 $ \|x\| \geq 1 $ 이면 $ \left \|f_ { 2 } (x) \right \| \leq 1 $ 이 되고, $ 0<\|x\|<1 $ 이면 $ \|f(x)\|>1 $이 되어 $ f_ { 2 } $ 는 실수축의 실수를 $ x=1 $ 을 중심으로 $ 0<\|x\|<1 $ 인 모든 실수는 $ \|u\| \geq 1 $ 인 실수 $ u $ 로 사상하고, $ \|x\| \geq 1 $ 인 모든 실수는 $ \|u\|<1 $ 인 실수 $ u $ 로 사상하는 함수임을 알 수 있다. 이것을 발전시키면 $ \|z\| \leq 1 $ 인 모든 복소수 $ z $ 는 $ w=f_ { 2 } (z)= \frac { 1 } { z } $ 에 의하여</p> <p>$ \|w\|= \frac { 1 } { \|z\| } \geq 1 $<caption>(8.5)</caption></p> <p>인 $ w $ 로 사상되고 $ \|z\| \geq 1 $ 인 모든 복소수 $ z $ 는 $ \|w\| \leq 1 $ 로 사상됨을 알 수 있다. 또한 $ \|z\|=r $ 인 원은 $ f_ { 2 } $ 에 의하여 $ \|w\|= \frac { 1 } { r } $ 인 원으로 사영됨을 알 수 있다. 비슷하게 $ f_ { 2 } $ 는 직선을 직선 또는 원으로 사영함을 보일 수 있다. 또한 $ f_ { 2 } $ 는 원을 직선 또는 원으로 사영함을 알 수 있다(아래 보기 $ 8.1 $ 참조). 이것을 정리하면</p> <p>따라서</p> <p>$ \arg \left (w-w_ { 0 } \right )= \arg \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } + \arg \left (z-z_ { 0 } \right ) \quad( \bmod 2 \pi) $<caption>(8.7)</caption></p> <p>여기서 식 $(8.7) $이 의미를 갖도록 $ f(z) \neq f \left (z_ { 0 } \right ) $ 라고 가정하자. $ \arg \left (z-z_ { 0 } \right ) $ 은 $ z $ 평면에서 점 $ z $ 와 $ z_ { 0 } $ 를 지나는 직선과 $ x $ 축 사이의 각이고 $ \arg \left (w-w_ { 0 } \right ) $ 는 $ w $ 평면에서 점 $ w $ 와 $ w_ { 0 } $ 를 지나는 직선과 $ u $ 축 사이의 각임을 주목하라.</p> <p>따라서 $ z $ 가 곡선 $ z(t) $ 를 따라서 $ z_ { 0 } $ 로 접근할 때 $ \arg \left (z-z_ { 0 } \right ) $ 는 값 $ \theta $ 로 접근하는데, 이 $ \theta $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서의 곡선 $ z(t) $ 에 대한 접선과 $ x $ 축이 이루는 각이다. 같은 방법으로 $ \arg \left (w-w_ { 0 } \right ) $ 은 값 $ \phi $ 로 접근하는데 이 $ \phi $ 는 $ w_ { 0 } $ 에서의 곡선 $ f(z(t)) $ 에 대한 접선과 $ u $ 축이 이루는 각이다 (그림 $ 8.2 $ 참조).</p> <p>이제 $ \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 가 의미를 갖도록 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이라고 가정한 다음 식 $ (8.7) $ 에 극한을 취하여 다음을 구한다.</p> <p>$ \phi= \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) + \boldsymbol {\theta } \quad( \bmod 2 \pi) $<caption>(8.8)</caption></p> <p>자신의 모든 극한점을 포함하는 유계집합은 컴팩트임을 상기하라. 이 것이 다음 정의를 함의한다.</p> <p>정의 $ 8.5 $ 정규함수모임 $ \mathfrak { F } $ 를 컴팩트라 함은 $ \mathfrak { F } $ 에서 수렴하는 모든 함수열의 고른극한(uniform limit)이 $ \mathfrak { F } $ 의 원소이다.</p> <p>따름정리 $ 8.1 $ 정규함수모임 $ \mathfrak { F } $ 가 컴팩트이기 위한 필요충분조건은 이 모임이 닫힌국소유계모임이다.</p> <p>보기 $ 8.11 $ 원판 $ \|z\|<1 $ 에서 양의 실수부를 가지는 다음과 같은 형식</p> <p>$ f(z)=1 + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } $</p> <p>의 해석함수모임 $ \mathfrak { F } $ 는 컴팩트이고 정규모임이다.</p> <p>증명 정리 $7.13 $에 의하여 모든 함수 $ f \in \mathfrak { F } $ 는 다음 부등식을 만족한다:</p> <p>$ \|f(z)\| \leq \frac { 1 + \|z\| } { 1-\|z\| } \quad(\|z\|=r<1) $.</p> <p>따라서 $ \mathfrak { F } $ 는 국소적 고른유계이고 Montel의 정리에 의하여 정규모임이다. $ \mathfrak { F } $ 가 컴팩트임을 보이기 위하여 $ \mathfrak { F } $ 에 속하는 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 이 함수 $ g $ 로 고른 수렴한다고 가정하자. 이제 $ g \in \mathfrak { F } $ 임을 보이고자 한다. 정리 $ 5.11 $ 에 의하여 $ g $ 는 $ \|z\|<1 $ 에서 해석적이다. 모든 $ n $ 에 대해서 $ f_ { n } (0)=1 $ 이므로 $ g(0)=1 $ 이다. 또 모든 $ n $ 에 대해서 $ \operatorname { Re } f_ { n } (z)>0 $ 이므로 $ \|z\|<1 $ 에 대해서 $ \operatorname { Re } g(z) \geq 0 $ 이다. 그러나 열린사상정리에 의하여 $ \|z\|<1 $ 에 대해서 $ \operatorname { Re } g(z)>0 $ 이어야 한다. 따라서 $ g \in \mathfrak { F } $ 이고 $ \mathfrak { F } $ 는 컴팩트이다.</p> <p>$ \left \|z-z ^ {\prime } \right \|< \delta $ 이면 $ \left \|f_ { n } (z)-f_ { n } \left (z ^ {\prime } \right ) \right \|< \frac {\varepsilon } { 3 } $<caption>(8.13)</caption></p> <p>이 되는 $ \delta>0 $ 이 존재한다. 여기서 $ z, z ^ {\prime } $ 은 $ K $ 의 임의의 점이고 $ n $ 은 임의의 자연수이다. $ K $ 가 유계이므로 반경이 $ \frac {\delta } { 2 } $ 인 유한개, 즉 $ p $ 개의 근방이 $ K $ 를 덮는다. 이들 $ p $ 개의 근방의 각각에서 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 이 수렴하는 $ K $ 의 조밀 부분집합으로부터 점 $ z_ { k } (k=1,2,3, \ldots, p) $ 를 취하자. 그런다음</p> <p>$ \left \|f_ { n } \left (z_ { k } \right )-f_ { m } \left (z_ { k } \right ) \right \|< \frac {\varepsilon } { 3 } \quad(k=1,2,3, \ldots, p) $<caption>(8.14)</caption></p> <p>이 되도록 충분히 큰 $ n $ 과 $ m $ 을 취하자. 식 $(8.13) $과 $(8.14) $에 의해서 $ K $ 의 각 $ z $ 에 대하여</p> <p>$ \left \|f_ { n } (z)-f_ { m } (z) \right \| \leq \left \|f_ { n } (z)-f_ { n } \left (z_ { k } \right ) \right \| + \left \|f_ { n } \left (z_ { k } \right )-f_ { m } \left (z_ { k } \right ) \right \| + \left \|f_ { m } \left (z_ { k } \right )-f_ { m } (z) \right \|< \varepsilon $</p> <p>이 되는 $ z_ { k } $ 가 $ K $ 에 존재한다. 따라서 수열 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 는 $ K $ 위에서 고른 Cauchy함수열이고, 그러므로 $ K $ 위에서 고르게 수렴한다.</p> <p>증명 $ n=1 $ 일 때 이를 증명하면 충분하다. 왜냐하면 그 결과가 새로운 각 모임에 계속적으로 적용 될 수 있기 때문이다. $ D $ 의 어떤 $ z_ { 0 } $ 가 주어진 때 각 $ f \in \mathfrak { F } $ 와 원 $ C: \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r $ 의 내부 또는 그 위의 모든 $ z $ 에 대해서 $ \|f(z)\| \leq M $ 이라 가정하자. 그러면 더욱 작은 원판 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq \frac { r } { 2 } $ 의 $ z $ 에 대해서 Cauchy적분공식을 이용하먼 다음이 성립한다.</p> <p>$ \left \|f ^ {\prime } (z) \right \|= \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { c } \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } d \zeta \right \| \leq \frac { 1 } { 2 \pi(r / 2) ^ { 2 } } \int_ { c } \|f( \zeta)\|\|d \zeta\| \leq \frac { 4 M } { r } $</p> <p>이는 모임 $ \mathfrak { F } ^ {\prime } $ 이 $ z_ { 0 } $ 에서 국소적 고른유계임을 보여준다. $ z_ { 0 } $ 가 임의이므로 증명이 완성된다.</p> <p>다음에 고른연속의 개념을 확장해보자.</p> <p>정의 $ 8.3 $ 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 는 모든 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 모든 $ f \in \mathfrak { F } $ 와 $ \left \|z_ { 1 } -z_ { 0 } \right \|< \delta $ 를 만족하는 모든 점 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } \in R $ 에 대해 $ \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon $ 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재하면 영역 $ R $ 에서 동등연속(equicontinuous)이라고 한다.</p> <p>이 된다. 따라서 $ 8.6 $은</p> <p>$ \frac {\left (w-w_ { 1 } \right ) \left (w_ { 2 } -w_ { 3 } \right ) } {\left (w-w_ { 3 } \right ) \left (w_ { 2 } -w_ { 1 } \right ) } = \frac { z_ { 2 } -z_ { 3 } } { z-z_ { 3 } } $</p> <p>으로 변형된다. 나머지의 경우도 이와 비슷하게 구할 수 있다.</p> <h1>$ 8.2 $ 한꼴사상</h1> <p>평면에서 원점을 지나는 임의의 직선은 $ \sigma(s)=s e ^ { i \alpha } $ 에 의하여 매개변수로 표현될 수 있다. 여기서 $ s $ 는 실수이고 $ \alpha $ 는 양의 실축과 그 직선사이의 각을 라디안으로 잰 것이다. 일반적으로 점 $ z_ { 0 } $ 을 지나고 실수축과 각 $ \alpha $ 를 이루는 직선은 $ \sigma(s)=z_ { 0 } + s e ^ { i \alpha } $ 로 표현될 수 있다.</p> <p>이제 함수 $ f $ 가 매끄러운 곡선 $ z(t) $ 위에서 해석적이라고 가정하자. 그러면 $ f $ 에 의한 $ z(t) $ 의 상도 매끄러운 곡선이 되는데 그 도함수는 $ f ^ {\prime } (z(t)) z ^ {\prime } (t) $로 주어진다. 매끄러운 곡선은 각 점에서 접선을 갖는 것으로 특성화된다. 우리의 목적은 한 점에서 곡선에 대한 접선의 기울기와 그 점의 상(image)에서 상곡선(image curve)에 대한 접선의 기울기를 비교하는 것이다. $ z_ { 0 } =z \left (t_ { 0 } \right ) $ 를 곡선 $ z=z(t) $ 위의 점이라고 하고, $ w=w(t)=f(z(t)) $ 와 $ w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) $ 라고 하자. 곡선위의 임의의 점 $ z \left ( \neq z_ { 0 } \right ) $ 에 대해서 다음 항등식이 성립한다:</p> <p>$ w-w_ { 0 } = \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } \left (z-z_ { 0 } \right ) $.</p> <h1>한꼴사상과 리만사상정리</h1> <p>먼저 도함수가 두 곡선사이의 각과 이들 상들의 사이의 각을 관계시킨 것을 보게 될 것이다. 더욱이 도함수가 상곡선의 "뒤틀림"을 특정한다는 것을 알게 될 것이다.원판과 반평면을 원판과 반평면으로 원판을 타원의 내부로 사상하는 해석함수들을 앞에서 살펴본 바가 있다. Riemann 사상정리로 알려진 이 장의 주 결과는 한 단일연결영역에서 또다른 단일연결영역으로 사상하는 해석함수가 거의 항상 존재함을 말해준다. 이의 증명 방법은 함수모임에서 극한 함수를 추출할 수 있는 개념인 정규모임에 의존하고 있다.</p> <h1>$ 8.1 $ 선형분수변환</h1> <p>실변수함수 $ \boldsymbol { f } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } $ 의 그래프를 그리기 위해서 정의역을 $ x $ 축으로 하고 공변역을 $ y $ 축으로 하는 $2 $차원 평면위에 표현할 수 있다. 그러나, 일반적으로 복소함수 $ w = f(z) $ 의 그래프를 그리기 위해서는 정의역과 공변역을 각각 $2 $차원씩 모두 $4 $차원이 필요하게 되어 그릴 수 없다. 따라서 이를 해결하기 위헤서는 정의역을 나타내는 $ z $ 평면과 공변역을 나타내는 $ w $ 평면을 따로 두고, 정의역의 특정한 직선이나 원과 같은 곡선이 복소함수에 의헤 그려지는 상을 추적하여 대략적으로 상상할 수 밖에 없다.<p>이 절에서는 특별한 형태의 복소함수</p> <p>$ w=f(z)= \frac { a z + b } { c z + d } $<caption>(8.1)</caption></p> <p>에 대한 그래프와 그 성질에 대해서 살펴보기로 한다. 식 $(8.1) $과 같은 복소함수 $ f(z) $ 를 선형분수변환(linear fractional transformation)이라고 한다.</p> <p>선형분수변환 $(8.1) $은 계수 $ a, b, c, d $ 에 따라 다양한 형태의 함수로 변환될 수 있는데, 몇 가지 특별한 경우를 살펴보기로 하자.</p> <p>(Ⅰ) $ c=0 $ 일 때: $ f(z)= \alpha z + \beta $ 인 형태가 된다.</p> <p>(Ⅱ) $ a=d=0 $ 이고 $ b=c $ 인 때: $ f(z)= \frac { 1 } { z } $, 반전함수(또는 뒤집기함수)(inversion)이라 부른다.</p> <p>(Ⅲ) $ a d=b c $ 일 때: $ f(z)= \frac { a } { c } $, 상수함수가 된다.</p> <p>(Ⅳ) $ a d \neq b c $ 일 때: $ f(z) $ 는 복소확장평면에서 복소확장평면위로의 전단사함수가 된다. 이 경우 역변환은</p> <p>즉, 한 점에서 곡선에 대한 접선과 그 점의 상에서 상곡선에 대한 접선사이의 차이는 오직 그 점에서 함수의 도함수에만 의존한다.</p> <p>만일 두 매끄러운 곡선이 한 점에서 만나면 이 두 곡선 사이의 각은 그 점에서의 이들 곡선에 대한 접선 사이의 각으로서 정의된다. 따라서 다음과 같이 서술할 수 있다.</p> <p>정리 $ 8.3 f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이라고 가정하고 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 만나는 평면상의 매끄러운 곡선이라 하고 $ C_ { 1 } ^ {\prime } , C_ { 2 } ^ {\prime } $ 를 각각 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } $ 의 상이라고 하자. 그러면 $ C_ { 1 } $ 에서 $ C_ { 2 } $ 로 잰 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 사이의 각은 $ C_ { 1 } ^ {\prime } $ 에서 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 로 잰 $ C_ { 1 } ^ {\prime } $ 과 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 사이의 각과 같다.</p> <p>증명 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 에 대한 접선이 각각 $ x $ 축과 각 $ \theta_ { 1 } $ 과 $ \theta_ { 2 } $ 를 이룬다고 하자(그림 $ 8.3 $ 참조). 따라서 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 사이의 각은 $ \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } $ 이다. 식 $(8.8) $에 의하여 $ C_ { 1 } ^ {\prime } $ 과 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 사이의 각은</p> <p>언뜻보면 그림 $8.5 $은 오해를 불러 일으킬 수 있다. 이것은 한 점에서 만나는 한 쌍의 직선이 두 점에서 만나는 한 쌍의 원으로 사상됨을 보여주고 있다.</p> <p>그러나 이들 직선이 역시 $ \infty $ 에서 만남을 잊어서는 안된다. 양 직선에 대해서 점 $ (0,1) $ 은 점 $ (0,-1) $ 로 사상되고, 반면에 의 점은 원점으로 사상된다. 두 직선이 $ (0,1) $ 에서 직각으로 만나듯이 두 원은 $ (0,-1) $ 에서 직각으로 만난다. 이것이 정리 $ 8.3 $ 의 한 주장이다.</p> <p>그러나 두 직선이 $ \infty $ 에서 어뗜 각으로 만나는가? 이에 관해서는 다음 정의가 필요하다. 즉, 확장된 평면상의 두 매끄러운 곡선에 대해서 만일 변환 $ w= \frac { 1 } { z } $ 에 의한 이들의 상이 원점에서 각 $ \alpha $ 로 만난다면 이들 곡선이 $ \infty $ 에서 각 $ \alpha $ 로 만난다고 한다. 그림 $8.5 $의 두 원이 원점에서 직각으로 만나므로 직선 $ y=x + 1 $ 과 $ y=-x + 1 $ 은 $ \infty $ 에서 직각으로 만난다.</p> <p>이 정의에 따라서 우리들은 형식 $(8.12) $의 모든 변환이 $ \infty $ 에서 한꼴사상임을 보일 수 있다. 여기서 살펴보아야할 두 가지 경우가 있다.</p> <p>경우 1. $ c \neq 0 $ 일 때 식 $ (8.12) $ 에서 $ z= \frac { 1 } {\zeta } , f(z)=g \left ( \frac { 1 } { z } \right ) $ 로 놓으변 다음과 같다.</p> <p>$ g( \zeta)=f \left ( \frac { 1 } {\zeta } \right )= \frac { a / \zeta + b } { c / \zeta + d } = \frac { b \zeta + a } { d \zeta + c } $</p> <p>$ g ^ {\prime } (0)= \frac { b c-a d } { c ^ { 2 } } \neq 0 $ 이므로 $ g( \zeta) $ 는 $ \zeta=0 $ 에서 등각적이다. 그러나 이것은 $ f(z) $ 가 $ z= \infty $ 에서 한꼴사상임을 뜻한다.</p> <p>$ \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \left \| \int_ { z_ { 0 } } ^ { z_ { 1 } } f ^ {\prime } (z) d z \right \| \leq M \left \|z_ { 1 } -z_ { 0 } \right \| $</p> <p>여기서 $ z_ { 0 } $ 에서 $ z_ { 1 } $ 에 이르는 경로는 직선으로 취해졌다. $ \delta= \frac {\varepsilon } { M } $ ( $ \varepsilon $ 은 임의)을 취함으로써 모임 $ \mathfrak { F } $ 는 원판 $ K $ 위에서 동등연속임을 알 수 있다.</p> <p>참고 $ 8.2 $ 정리 $ 8.10 $ 의 역은 참이 아니다.</p> <p>보기 $8.7 $ $ f_ { n } (z)=z + n $ 은 평면의 모든 컴팩트 부분집합위에서 동등연속이다. 실제로 각 $ n $ 에 대해서 $ f_ { n } \left (z_ { 1 } \right )-f_ { n } \left (z_ { 0 } \right )=z_ { 1 } -z_ { 0 } $ 이므로 $ \delta= \varepsilon $ 이 취해질 수 있다. 그러나 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 는 평면의 임의의 근방에서 고른유계가 아니다.</p> <p>우리는 모든 유계 복소수열은 수렴하는 부분수열을 가짐을 알고있다. 이 절에서 우리들의 목적은 함수열에 대한 이와 유사한 결과를 얻는 것이다. 이 점에서 어떤 형태의 수렴이 가장 타당하고 또 가장 적합한가는 명백하지 않다. 이 상황을 명확히 하기 위해서는 다음의 정의를 필요로 한다.</p> <p>정의 $ 8.4 $ 함수모임 $ \mathfrak { F } $ 가 영역 $ D $ 에서의 정규(normal)라고 함은 $ \mathfrak { F } $ 의 모든 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 가 $ D $ 의 각 컴팩트 부분집합위에서 고르게 수렴하는 부분열 $ \left \{ f_ { n_ { k } } \right \} $ 를 포함할 때를 말한다.</p> <p>이제 한 가지 흥미로운 비교가 실함수와 복소함수의 도함수 사이에서 이루어질 수 있다. 미분가능한 실함수에 대해서 그의 도함수가 $ 0 $이 아니면 그 함수는 구간에서 단사임을 보장할 수가 있다. 그러나 어떤 영역상의 복소함수에 대헤서는 그렇지 않을 수 있다. 비록 $ e ^ { z } $ 의 도함수가 결코 $ 0 $이 되지는 않지만 모든 $ z $ 에 대해서 $ e ^ { z } =e ^ { z + 2 \pi i } $ 이다. 물론 도함수가 결코 $ 0 $이 되지 않으면 적어도 국소적으로 그 함수가 단사가 된다는 것이 기하학적으로 분명하다. 이제 이것을 증명하도록 하자.</p> <p>정리 $ 8.4 f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이면 $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 의 어떤 근방에서 단사이다.</p> <p>증명 $ \quad f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이므로 함수</p> <p>$ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \ldots $</p> <p>은 $ z=z_ { 0 } $ 에서 단일근을 가지며 $ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) $ 가 하나 이상의 값을 취하지 않는 $ z_ { 0 } $ 의 근방이 존재한다. 즉 $ f(z) $ 는 $ z=z_ { 0 } $ 의 어떤 근방에서 단사이다.</p> <p>도함수가 $0 $의 값을 취하더라도 실함수는 단사가 될 수도 있다. 즉, $ f(x)=x ^ { 3 } $ 의 도함수는 원점에서 $0 $이지만 이 함수는 실직선위에서 단사이다. 그러나 복소함수의 경우에는 그런 일이 나타날 수 없음을 다음에 의하여 알 수 있다.</p> <p>위 보조정리 $ 8.1 $ 은 $ \left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 $ D $ 에서 정규모임이 됨을 보였음에 주목하자. 이제 대각화 방법에 의하여 타자 함수열이 조밀부분집합에서 수렴한다는 가정없이 이 결론이 참임을 보이도록 한다.</p> <p>정리 $ 8.11 $ (Montel의 정리) $ \mathfrak { F } $ 가 영역 $ D $ 위의 해석함수들의 국소적 고른유계모임이면 $ \mathfrak { F } $ 는 $ D $ 위의 정규모임이다.</p> <p>증명 $ \mathfrak { F } $ 의 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 이 주어질 때 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 의 어떤 부분열이 컴팩트 부분집합위에서 고르게 수렴함을 보여야 한다. $ D $ 에서 조밀한 임의의 수열 $ \left \{ z_ { k } \right \} $ 를 취하자. 보조정리 $ 8.1 $ 에 의하여, 수열 $ \left \{ z_ { k } \right \} $ 의 각 점에서 수렴하는 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 의 부분열을 만들기만 하면 충분하다. 가정에 의하여 수열 $ \left \{ f_ { n } \left (z_ { 1 } \right ) \right \} $ 은 유계이다. 따라서 $ z_ { 1 } $ 으로 수렴하는 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 의 부분열이 존재하는데 이를 $ \left \{ f_ { n, 1 } \right \} $ 으로 나타내자. 그러나 수열 $ \left \{ f_ { n, 1 } \left (z_ { 2 } \right ) \right \} $ 도 유계이다. 따라서 $ z_ { 2 } $ 에서 수렴하는 $ \left \{ f_ { n, 1 } \right \} $ 의 부분열 $ \left \{ f_ { n, 2 } \right \} $ 가 존재한다. $ \left \{ f_ { n, 2 } \right \} $ 가 $ \left \{ f_ { n, 1 } \right \} $ 의 부분열이므로 이것도 역시 $ z_ { 1 } $ 에서 수렴한다.</p> <p>이 과정을 계속하면 $ z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { m } $ 에서 수렴하는 $ m $ 번째 부분열 $ \left \{ f_ { n, m } \right \} $ 을 만들 수 있다. 아래 도표에서 볼 수 있듯이,</p> <p>$ m $ 번째 복소함수열 $ \left \{ f_ { n, m } \right \} $ 은 $ z_ { 1 } , z_ { 2 } , \ldots, z_ { m } $ 에서 수렴한다. 이제 위 도표에서 대각선을 이루는 수열 $ \left \{ f_ { n n } (z) \right \} $ 를 생각하자. 각 고정된 $ m $ 에 대해서 수열 $ \left \{ f_ { n, n } \left (z_ { m } \right ) \right \} (n \geq m) $ 은 수렴수열 $ \left \{ f_ { n, m } \left (z_ { m } \right ) \right \} $ 의 부분수열이고, 따라서 수렴한다. 그러므로 $ \left \{ f_ { n n } (z) \right \} $ 은 수열 $ z_ { k } $ 의 모든 점에서 수렴하는 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 의 부분열이다.</p> <p>Bolzano-Weierstrass정리(정리 $ 1.4 $, 연습문제 $ 1.6 .14 $ 참조)는 모든 유계 무한 점집합에 대하여 극한점이 존재함을 보장하므로 모든 유계수열에 대한 수렴 부분수열의 존재도 보장한다. Montel의 정리는 '해석함수'에 대한 Bolzano정리와 유사한 성질이라 할 수 있다. 어떤 의미에서 이는 모든 국소적 고른유계 해석함수모임과 관련된 수렴함수열의 존재를 보장하고 있다.</p> <p>이를 한 단계 더 발전시키면 두 정리는 모두 동일한 결합을 갖게 된다.Bolzano정리의 극한점은 집합의 원소일 필요가 없고 반면에 Montel의 수렴 함수는 정규모임의 원소일 필요가 없다.</p> <p>보기 $ 8.10 $ 수열 $ \left \{ z ^ { n } \right \} $ 은 $ \|z\|<1 $ 의 모든 컴팩트 부분집합상의 $0 $으로 고르게 수렴하므로 $ \|z\|<1 $ 에서 정규모임이다. 그러나 $0 $은 모임 $ \left \{ z ^ { n } \right \} $ 의 원소가 아니다.</p> <p>으로 나타낼 수 있다. 식 $ 8.6 $의 두 변들은 교차비율(cross ratio)이고, 자세한 내용은 $[4] $을 보라.</p> <p>보기 $ 8.2 $ 세 점 $ z_ { 1 } =-1, z_ { 2 } =0, z_ { 3 } =1 $ 을 $ w_ { 1 } =-i, w_ { 2 } =1, w_ { 3 } =i $ 으로 사상하는 선형분수변환을 구하여라.</p> <p>풀이 식 $ 8.6 $을 사용하면</p> <p>$ \frac { (w + i)(1-i) } { (w-i)(1 + i) } = \frac { (z + 1)(0-1) } { (z-1)(0 + 1) } $</p> <p>으로 쓸 수 있다. 이 식을 $ w $ 를 $ z $ 에 대해서 풀면,</p> <p>$ w= \frac { i-z } { i + z } $</p> <p>를 얻는다.</p> <p>$ z_ { i } $ 또는 $ w_ { i } $ 중 하나가 $ \infty $ 인 때는 $ 8.6 $은 적당히 수정되어야 한다. $ z_ { 1 } = \infty $일 때 $ 8.6 $의 오른쪽변을 $ z_ { 1 } $ 대신 $ 1 / z_ { 1 } $ 으로 교체한 후, $ z_ { 1 } \rightarrow 0 $ 일 때의 극한을 구한다. 그러면 $ 8.6 $의 오른쪽변은</p> <p>$ \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac {\left (z-1 / z_ { 1 } \right ) \left (z_ { 2 } -z_ { 3 } \right ) } {\left (z-z_ { 3 } \right ) \left (z_ { 2 } -1 / z_ { 1 } \right ) } = \lim _ { z_ { 1 } \rightarrow 0 } \frac {\left (z_ { 1 } z-1 \right ) \left (z_ { 2 } -z_ { 3 } \right ) } {\left (z-z_ { 3 } \right ) \left (z_ { 1 } z_ { 2 } -1 \right ) } = \frac { z_ { 2 } -z_ { 3 } } { z-z_ { 3 } } $</p> <p>정리 $ 8.5 f(z) $ 가 영역 $ D $ 에서 해석적이고 단사이면, $ D $ 에서 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이다.</p> <p>증명 만일 $ D $ 의 어떤 점 $ z_ { 0 } $ 에서 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=0 $ 이면</p> <p>$ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \ldots $</p> <p>은 $ z_ { 0 } $ 에서 $ k \geq 2 $ 인 위수 $ k $ 의 근을 가지며 따름정리 $ 5.6 $ 에 의하여 원 $ \mid z- $ $ z_ { 0 } \mid=r $ 이 존재하여 빠진원판 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에서 $ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) $ 와 $ f ^ {\prime } (z) $ 영점을 가지지 않는다.</p> <p>$ \begin {aligned} m &= \min _ { \|z-z 0\|=r } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|, \\ g(z) &=f(z)-f \left (z_ { 0 } \right )-a(0<\|a\|<m) \end {aligned} $</p> <p>라 두자.</p> <p>이제 $ g(z) $ 가 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에서 적어도 두 개의 서로 다른 영점을 가짐을 보이자. $ g \left (z_ { 0 } \right )=-a \neq 0 $ 이고 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에 대해서 $ g ^ {\prime } (z)=f ^ {\prime } (z) \neq 0 $ 임을 주목하자. 따라서 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에서 $ g(z) $ 의 모든 영점들은 단일이다. $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= $ $ r $ 위에서</p> <p>$ f_ { 1 } \left (x_ { 0 } + i y \right )= \left (-c_ { 2 } y + c_ { 1 } x_ { 0 } + d_ { 1 } \right ) + i \left (c_ { 1 } y + c_ { 2 } x_ { 0 } + d_ { 2 } \right )=u + i v $</p> <p>이므로 관계식</p> <p>$ u=-c_ { 2 } y + c_ { 1 } x_ { 0 } + d_ { 1 } $</p> <p>$ v=c_ { 1 } y + c_ { 2 } x_ { 0 } + d_ { 2 } $</p> <p>으로부터 $ y $ 를 소거하면</p> <p>$ v=- \frac { c_ { 1 } } { c_ { 2 } } u + \frac { c_ { 1 } } { c_ { 2 } } \left (c_ { 1 } x_ { 0 } + d_ { 1 } \right ) + c_ { 2 } x_ { 0 } + d_ { 2 } , \quad c_ { 2 } \neq 0 $</p> <p>인 $ w $ 평면에서의 직선의 방정식을 얻는다. $ c_ { 2 } =0 $ 인 경우에도 마찬가지로 직선임을 알 수 있다.</p> <p>비슷하게 실수축과 나란한 직선 $ z=x + i y_ { 0 } (- \infty<x< \infty) $ 도 함수 $ f_ { 1 } $ 에 의해 직선으로 사상됨을 알 수 있다.</p> <p>다시 $ z $ 평면위의 원이 선형변환 $ f_ { 1 } $ 에 의해 어떤 도형으로 사상되는지를 살펴보자. 먼저 단위원 $ \|z\|=1 $ 을 생각하자. 관계식 $ w=f_ { 1 } (z)=c z + d $ 에서 $ z $ 에 관하여 풀면</p> <p>$ \|c\|=\|c z\|=\|w-d\| $</p> <p>이므로 $ w $ 는 중심이 $ d $ 이고 반지름이 $ \|c\| $ 인 원으로 사상됨을 알 수 있다. 나머지의 경우의 원의 경우에도 $ f_ { 1 } $ 에 의하여 원으로 사상됨을 알 수 있다. 이것을 정리하면</p> <p>이제 $ f(z) $ 가 우리가 찾고 있는 함수임을 보일 것이다. 단위원판내부의 어떤 $ \alpha $ 에 대헤서 $ f(z) \neq \alpha $ 라고 가정하자. 그러면 함수</p> <p>$ F(z)= \sqrt {\frac { f(z)- \alpha } { 1- \bar {\alpha } f(z) } } $</p> <p>의 가지가 $ D $ 에서 정의될 수 있다. $ F(z) $ 의 한잎성은 $ f(z) $ 의 한잎성으로부터 나오고, 부등식 $ \|F(z)\|<1 $ 은 부등식 $ \|f(z)\|<1 $ 로부터 나온다. 그러나, $ F(z) $는 적절히 정규화되지 않았다. 그러므로, 함수</p> <p>$ G(z)= \frac {\left \|F ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { F ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } \frac { F(z)-F \left (z_ { 0 } \right ) } { 1- \overline { F \left (z_ { 0 } \right ) } F(z) } $</p> <p>를 생각하자. 이 함수는 $ G \left (z_ { 0 } \right )=0, G ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )>0 $ 을 만족하므로, $ G(z) \in \mathfrak { F } $ 이다. 더욱이 다음이 성립한다.</p> <p>$ G ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )= \frac {\left \|F ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 1- \left \|F \left (z_ { 0 } \right ) \right \| ^ { 2 } } = \frac { 1 + \| \alpha\| } { \| \alpha\| } A>A=f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $</p> <p>이것은 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 이 최대임에 모순이다. 따라서 $ f(z) $ 는 단위원판의 내부의 모든 값을 취해야 한다.</p> <p>정의 $ 8.7 $ 두 영역 $ D_ { 1 } , D_ { 2 } $ 에 대하여 $ D_ { 1 } $ 에서 $ D_ { 2 } $ 로 사상하는 단사인 한꼴함수가 존재하면 두 영역을 한꼴동치(conformally equivalent)라고 한다.</p> <p>참고 $ 8.3 $ 영역에서 한잎성은 $0 $이 아닌 도함수를 보장하므로 Riemann 사상정리는 전체 평면이 아닌 임의의 두 단일연결영역이 한꼴동치임을 보여준다.</p> <p>참고 $ 8.4 $ 정리 $ 8.15 $ 의 증명에서 한잎함수가 단일연결영역에서 단일연결영역으로 사상한다고 가정하였다. 그러나 위상수학에서 단일연결영역의 단사연속의 상이 다중연결이 될 수 없음을 보였었다. 따라서 단일연결영역이 다중연결영역과 한꼴동치가 될 수 없다.</p> <p>참고 $ 8.5 $ 선형분수변환이 원과 직선을 원과 직선으로 사상함을 상기하라. 따라서 원판 또는 반평면이 아닌 영역에서 단위원 내부위로의 한꼴사상은 선형분수변환이 아닌 다른 함수가 된다. 더욱이 리만사상정리의 유일성에 의하여 선형분수변환이 아닌 어떤 한잎함수도 원판 또는 반평면을 단위원의 내부로 사상할 수 없다.</p> <p>참고 $ 8.6 $ 임의의 다각형의 내부를 단위원의 내부로 사상하는 한잎사상의 존재가 정리 $ 8.15 $ 에 의하여 보장된다. 이는 몇 가지 단계를 거쳐서 이루어진다. 공식은 상반평면을 임의의 다각형의 내부위로 사상하는 한잎함수를 준다. 변환의 완전한 논의에 대해서는 참고문헌 $[11] $를 참조하라.</p> <p>명제 $ 8.2 $ 반전변환 $ f_ { 2 } (z)= \frac { 1 } { z } $ 은 직선과 원을 직선과 원으로 사영한다. 더욱이 $ f_ { 2 } $ 는 단위원내의 모든 점들을 단위원 밖의 점으로 사영하고, 단위 원 밖의 모든 점들을 단위원 내의 점으로 사영한다. 또한 $ f(0)= \infty $ 이고 $ f( \infty)=0 $.</p> <p>보기 $ 8.1 $ 반전변환 $ w=f(z)= \frac { 1 } { z } $ 에 대한 다음 직선의 상을 구하여라.</p> <p>(ⅰ) 수직선 $ x=a $</p> <p>(ⅱ) 수평선 $ y=b $</p> <p>풀이 (i) $ z=x + i y, w=u + i v $ 라 하자. 무한점 $ \infty $ 을 점으로 간주하면 직선 $ x=0 $ 의 상은 직선 $ u=0 $ 이고, 즉 $ y $ 축은 $ v $ 축으로 사영되고, 비슷하게 $ x $ 축은 $ u $ 축으로 사영된다. 다시 반전변환은 $ z= \frac { 1 } { w } = \frac { u } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } + i \frac { -v } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } $이다. 따라서 만일 $ a \neq 0 $ 이면 수직선 $ x=a $ 는 $ \frac { u } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } =a $ 을 만족하는 점 $ (u, v) $ 의 집합으로 사상된다. $ (u, v) \neq(0,0) $ 에 대헤서, 이것은</p> <p>$ \left (u- \frac { 1 } { 2 a } \right ) ^ { 2 } + v ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } { 2 a } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>와 동치이다. 즉 이것은 중심이 $ \left ( \frac { 1 } { 2 a } , 0 \right ) $ 이고 반지름이 $ \left \| \frac { 1 } { 2 a } \right \| $ 인 원이다. 무한점 $ \infty $ 는 $ (u, v)=(0,0) $ 으로 사상된다.</p> <p>$ \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { c } \left \{ f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \} = \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { c } \left \{ w-w_ { 0 } \right \} =1 $.</p> <p>즉 $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 꼭 한 번 값 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 을 취한다.</p> <p>이것은 $ z $ 가 $ C $ 위에 있을 때 $ f(z) \neq f \left (z_ { 0 } \right ) $ 인 $ D $ 의 모든 점 $ z_ { 0 } $ 에 대해 정리를 증명한 것이다. 만일 $ C $ 상의 어떤 점에서 $ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) $ 이면 식 $ \triangle_ { c } \{ f(z)- $ $ \left .f \left (z_ { 0 } \right ) \right \} $ 는 정의되지 않는다. 이 특수한 경우에 대한 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>정리 $8.3 $의 증명에서는 도함수가 $0 $이 아닌 것에 의존하였다. 이제 도함수가 $0 $이 되는 점인 임계점의 근방에서의 해석함수의 움직임을 알아보자. 만일 해석함수 $ f(z) $ 의 도함수가 $ z=z_ { 0 } $ 에서 위수 $ k-1 $ 인 영점을 갖는다면 다음과 같이 쓸 수 있다:</p> <p>$ f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right ) } { k ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k } + \frac { f ^ { (k + 1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (k + 1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k + 1 } + \cdots $.</p> <p>따라서</p> <p>$ \begin {aligned} \arg \left [f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right ] &=k \arg \left (z-z_ { 0 } \right ) \\ & + \arg \left [ \frac { f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right ) } { k ! } + \frac { f ^ { (k + 1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (k + 1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) + \cdots \right ] . \end {aligned} $<caption>(8.10)</caption></p> <h1>8.4 리만사상정리</h1> <p>$ D_ { 1 }$ , $D_ { 2 } $ 를 단일연결영역이라고 가정하면 거의 항상 $ D_ { 1 } $ 에서 $ D_ { 2 } $ 로 사상하는 해석함수가 존재한다. 우선 “대표적인" 예외를 살펴보자. $ D_ { 1 } $ 은 전 평면이고 $ D_ { 2 } $ 는 원판 $ \|z\|<1 $ 이라고 가정하자. Liouville의 정리에 의하여 상수함수는 그의 상이 그 원판에 포함되는 유일한 해석함수이므로 원판 $ \|z\|<1 $ 로 사상하는 평면전체에서 해석적인 함수가 존재할 수가 없다. 이 전의 주요 정리는 단사인 해석함수가 전체 평면이 아닌 두 단일연결영역 사이에 존재함을 말해주는 것이다. 이 놀라운 결과를 증명하기전에 한잎(univalent) $ { } ^ { 2 } $ 함수에 관한 몇 가지 예비지식이 필요하다.</p> <p>정의 8.6 $ D $ 는 단일연결영역이라 하자. 해석함수 $ f: D \rightarrow \mathbb { C } $ 가 한잎함수라 함은 $ f $ 가 단사함수이다.</p> <p>정리 8.12 $\left \{ f_ { n } (z) \right \} $ 가 영역 $ D $ 에서 정의된 한잎함수열로서 $ D $ 의 각 컴팩트 부분집합위에서 상수가 아닌 함수 $ f(z) $ 로 고르게 수렴하면 $ f(z) $ 는 $ D $ 상의 한잎함수이다.</p> <p>증명 $1 $. $ f $ 가 해석적임은 정리 8.12으로부터 나온다.</p> <p>2. $ f $ 가 한잎임을 증명하기 위하여 $ f \left (z_ { 0 } \right )=f \left (z_ { 1 } \right )=a $ 가 되는 $ D $ 의 서로 다른 두 점 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } $ 이 존재한다고 가정하자. 이제 $ C_ { 0 } $ 와 $ C_ { 1 } $ 을 그의 중심이 각각 $ z_ { 0 } , z_ { 1 } $ 인 서로 소인 두 원으로서 $ D $ 에 포함된다고 하자. 더욱이 어느 원 위에서도 $ f(z) \neq a $ 라고 가정하자. 또 $ m $ 을 $ C_ { 0 } \cup C_ { 1 } $ 위에서 $ \|f(z)-a\| $ 의 최소값이라고 하자. 이제 $ C_ { 0 } \cup C_ { 1 } $ 위에서 $ \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|<m $ 이 되도록 충분히 큰 $ n $ 을 취하면 Rouché 정리에 의하여 함수</p>	자연
m530-확률과 보험통계	<p>그러므로 보험 가입자 200명 가운데 30세 이상 49세 이하인 가입자의 수는 109명이고, 이 연령대 중에서 남성 가입자의 수는 56명이다. 그러면 30세 이상 40세 이하인 가입자 중에서 남성의 비율은 $ \frac { 56 } { 109 } =0.5138 $이고, 이 연령대에서 여성 가입자의 비율은 $ \frac { 53 } { 109 } =0.4862 $이다. 따라서 전체 보험 가입자 중에서 임의로 한 명을 선정할 때, 선정된 가입자의 연령이 30세 이상 49세 이하라는 조건( $B) $으로 제한했을 때, 그 가입자가 남성( $M) $일 확률은 $ \frac { 56 } { 109 } =0.5138 $임을 알 수 있다. 즉, 이러한 조건 아래서 선정된 사람이 남성일 확률을 다음과 같이 생각할 수 있다.</p> <p>$ \frac { 56 / 200 } { 109 / 200 } = \frac { 0.280 } { 0.545 } =0.5138 $</p> <p>이때 $ P(B \cap M)=0.28 $이고 $ P(B)=0.545 $이므로 선정된 가입자의 연령이 30세 이상 49 세 이하라는 조건 $ (B) $으로 제한했을 때, 그 가입자가 남성 $ (M) $일 확률은 $ \frac { P(B \cap M) } { P(B) } = \frac { 0.280 } { 0.545 } =0.5138 $임을 알 수 있다. 이와 같이 $ P(B)>0 $인 어떤 사건 $ B $가 주어졌다는 조건 아래서 사건 $ A $의 확률을 사건 $ B $가 주어졌을 때, 사건 $ A $의 조건부 확률이라 한다. 그러므로 조건부 확률은 그림 1.7과 같이 표본공간 $ S $ 중에서 주어진 조건 $ B $에 대하여만 생각하므로 표본공간을 $ B $로 제한하고, 이렇게 제한된 사건 $ B $ 중에서 사건 $ A $가 나타날 확률을 의미한다.</p> <p>정의 3</p> <p>$ P(B)>0 $인 사건 $ B $가 주어졌다는 조건 아래서, 사건 $ A $가 나타날 확률 $ P(A \mid B)= \frac { P(A \cap B) } { P(B) } $를 사건 $ A $의 조건부 확률(conditional probability)이라 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>어떤 보험회사는 보험금 청구액을 $ 5,000 \$ $를 기준으로 그 이상이면 $A $등급, $ 5,000 \$ $ 미만이면 $B $ 등급으로 분류한다. 지난 1년 동안에 보험 가입자 가운데 $ 68.2 \% $가 보험금 청구를 하지 않았고, $ 5,000 \$ $ 미만으로 청구한 가입자의 비율이 $ 27.6 \% $이었다. 보험금 청구가 들어왔을 때, 이 보험금 청구액이 $ B $ 등급일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>보험금 청구가 들어올 사건을 $ A, B $등급의 보험금을 청구할 사건을 $ B $라 하면, $ P(A)=1-0.682=0.318, \quad P(B)=0.276 $이다. 따라서 보험금 청구가 들어왔다는 조건 아래서, 이 보험금 청구액이 $B $ 등급일 확률은 $ P(B \mid A)= \frac { P(A \cap B) } { P(A) } = \frac { 0.276 } { 0.318 } =0.868 $이다.</p> <p>특히, 조건부 확률의 정의로부터 $ P(A)>0 $이면 $ P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A) $가 성립하는 것을 쉽게 알 수 있다. 이것을 다음 그림 1.8과 같이 수형도를 이용하여 나타낼 수 있다.</p> <p>예제 2</p> <p>자동차보험에 가입된 고객풀을 조사한 보험회사는 다음과 같은 결과를 얻었다.</p> <ol type= start=1><li>모든 고객은 적어도 한 대 이상의 자동차보험에 가입하고 있다.</li> <li>고객 중의 $ 64 \% $는 두 대 이상의 자동차보험에 가입하고 있다.</li> <li>고객 중의 $ 20 \% $는 스포츠카보험에 가입하고 있다.</li> <li>두 대 이상의 자동차보험에 가입한 고객 중에서 $ 15 \% $는 스포츠카보험에 가입하고 있다.</li></ol> <p>이때 무작위로 선정된 고객이 스포츠카가 아닌 꼭 한 대의 자동차에 대하여 보험에 가입했을 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>자동차보험에 가입한 고객 한 명을 임의로 선정하였을 때, 이 사람이 두 대 이상의 자동차보험에 가입했을 사건을 $ A $라 하고 스포츠카보험에 가입했을 사건을 $ B $라 하자. 그러면 스포츠카가 아닌 꼭 한 대의 자동차보험에 가입했을 사건은 $ A ^ { c } \cap B ^ { c } $이다. 한편 곱의 법칙에 의하여 $ P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A)=(0.64)(0.15)=0.096 $이다. 또한</p> <p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cup B) &=P(A) + P(B)-P(A \cap B) \\ &=0.64 + 0.20-0.096=0.744 \end {aligned} $</p> <p>이므로 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.</p> <p>$ P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right )=1-P(A \cup B)=1-0.744=0.256 $</p> <p>또한 세 개 이상의 사건이 조건으로 주어지는 경우에 대하여 동일한 방법으로 곱의 법칙을 생각할 수 있다. 즉, $ P(A \cap B)>0 $을 만족하는 임의의 세 사건 $ A $, $ B $ 그리고 $ C $에 대하여 $ P(A \cap B \cap)=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A \cap B) $가 성립하며, 또한 $ P \left ( \bigcap_ { i=1 } ^ { n-1 } A_ { i } \right )>0 $이면, $ P \left ( \bigcap_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } \right )=P \left (A_ { 1 } \right ) P \left (A_ { 2 } \mid A_ { 1 } \right ) P \left (A_ { 3 } \mid A_ { 1 } \cap A_ { 2 } \right ) \cdots P \left (A_ { n } \bigcap_ { i=1 } ^ { n-1 } A_ { i } \right ) $를 얻는다. 이 경우에 대하여 다음 그림 1.9와 같은 수형도를 얻는다.</p> <p>예제 5</p> <p>자동차 소유자의 보험 선호도에 대하여 보험계리인은 다음과 같은 결론을 얻었다.</p> <ol type=a start=1><li>자동차 소유자는 무자격 운전자 보험보다는 접촉사고 보험에 두 배 정도 더 가입한다.</li> <li>자동차 소유자가 어떤 보험에 가입하느냐는 것은 독립이다.</li> <li>자동차 소유자가 무자격 운전자 보험과 접촉사고 보험에 모두 가입할 확률은 0.15이다.</li></ol> <p>풀이</p> <p>$ A $와 $ B $를 각각 접촉사고와 무자격 운전자 보험에 가입하는 사건이라 하자. 그러면 조건 (a)와 (c)에 의하여 $ P(A)=2 P(B), \quad P(A \cap B)=0.15 $이고, 특히 조건 (b)에 의하여 $ A $와 $ B $가 독립이므로 $ P(A) P(B)=0.15 $이다. 따라서</p> <p>$ \begin {aligned} & P(A) P(B)=2[P(B)] ^ { 2 } =0.15 ; \\ & P(B)= \sqrt { 0.075 } =0.2739, P(A)=2 \sqrt { 0.075 } =0.5478 \end {aligned} $</p> <p>그러므로</p> <p>$ \begin {aligned} P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right ) &=P \left (A ^ { c } \right ) P \left (B ^ { c } \right )=[1-P(A)][1-P(B)] \\ &=(1-0.5478)(1-0.2739)=0.3283 \end {aligned} $</p> <p>이다.</p> <p>한편 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여 그림 1.10과 같이 사건 $ A $를 $ A=(A \cap B) \cup \left (A \cap B ^ { c } \right ) $으로 나타낼 수 있으며, 두 사건 $ A \cap B $와 $ A \cap B ^ { c } $은 서로 배반이므로 $ P(A)=P(A \cap B) + P \left (A \cap B ^ { c } \right ) $이다.</p> <p>또한 표본공간 $ S $의 분할 사건 $ B $와 $ B ^ { c } $에 대하여 $ P(B)>0 $ 와 $ P \left (B ^ { c } \right )>0 $일 때, $ P(A \cap B)=P(B) P(A \mid B), \quad P \left (A \cap B ^ { c } \right )=P \left (B ^ { c } \right ) P \left (A \mid B ^ { c } \right ) $이므로 $ P(A)=P(B) P(A \mid B) + P \left (B ^ { c } \right ) P \left (A \mid B ^ { c } \right ) $이 성립한다. 다시 말해서, 사건 $ A $의 확률은 사건 $ B $가 발생했을 때 $ A $의 조건부 확률과 사건 $ B $가 발생하지 않았을 때 $ A $의 조건부 확률의 가중된 평균이다. 이러한 사실을 확장하여 사건 $ B_ { 1 } , B_ { 2 } , \cdots, B_ { n } $을 표본공간 $ S $의 분할이라 하고, $ P \left (B_ { i } \right )>0 \left (i=1,2, \cdots, n \right ) $이라 하자. 그러면 임의의 사건 $ A $에 대하여 $ A=A \cap S=B \cap \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } B_ { i } \right )= \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \left (B \cap B_ { i } \right ) $이고 $ B_ { i } (i=1,2, \cdots, n) $가 배반이므로 $ A \cap B_ { i } $들도 역시 배반이며 따라서 $ A $의 분할이다. 그러므로 $ P(A)= \sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (A \cap B_ { i } \right ) $이고, 또한 $ P \left (A \cap B_ { i } \right )=P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) $이므로 확률 $ P(A) $에 대한 다음 전확률 공식(formula of total probability)을 얻는다.</p> <p>$ P(A \cup B)=P[A \cup(B-A)]=P(A) + P(B-A) $,</p> <p>$P(B)=P[(A \cap B) \cup(B-A)]=P(A \cap B) + (B-A) $</p> <p>그러므로 정리 1에서 살펴본 $P(A \cup B)=P(A) + P(B)-P(A \cap B) $가 성립한다. 동일한 방법에 의하여 정리 1에서 살펴본 모든 성질이 공리론적인 확률의 정의에서도 모두 성립함을 알 수 있다.</p> <p>예제 4</p> <p>$ P(A)=0.75, P(B)=0.35, P(C)=0.41, \quad P(A \cap B)=0.24, P(B \cap C)=0.25, P(C \cap A)=0.26, P(A \cap B \cap C)=0.15 $일 때, $ P(A \cup B) $와 $ P(A \cup B \cup C) $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cup B) &=P(A) + P(B)-P(A \cap B) \\ &=0.75 + 0.35-0.24=0.86 \end {aligned} $</p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cup B \cup C)=& P(A) + P(B) + P(C)-P(A \cap B) \\ &-P(A \cap C)-P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \\=& 0.75 + 0.35 + 0.41-0.24-0.25-0.25 + 0.15 \\=& 0.59 \end {aligned} $</p> <p>예제 5</p> <p>미국 의학계에 따르면, 미국 성인의 $ 32 \% $가 비만이고 $ 4 \% $는 당뇨병으로 고통을 받는다고 한다. 그리고 성인 $ 2.5 \% $가 비만이면서 당뇨병으로 고통을 받는다고 한다. 이때 비만도 아니고 당뇨병으로 고통을 받지 않는 성인의 비율을 구하여라.</p> <p>풀의</p> <p>비만인 사건을 $ A $, 당뇨병으로 고통을 받는 사건을 $ B $라 하면, 문제 조건으로부터 다음과 같은 벤다이어그램을 얻는다.</p> <p>그러므로 $ P(A)=0.32, P(B)=0.04, P(A \cap B)=0.025 $이고, 또한 비만도 아니고 당뇨병으로 고통을 받지 않는 사건은 $ A ^ { c } \cap B ^ { c } $이다. 따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right ) &=P \left [(A \cup B) ^ { c } \right ]=1-P(A \cup B) \\ &=1-P(A)-P(B) + P(A \cap B) \\ &=1-0.32-0.04 + 0.025=0.665 \end {aligned} $</p> <h1>1.3 조건부 확률</h1> <p>자동차보험을 구입하는 경우에 구입 예정자의 연령이 몇 세인가에 따라 보험료가 달리 책정되는 경우를 접해 볼 수 있다. 예를 들어, 자동차보험을 구입하고자 하는 전체 운전자(표본공간)에 대하여 제한된 연령이라는 조건 아래서 가입한 운전자가 여성인지 남성인지 구분하는 경우의 확률을 생각해 볼 수 있다.</p> <p>정리 1</p> <ol type= start=1><li>$ P( \varnothing)=0, P(S)=1 $</li> <li>$ P(A) + P \left (A ^ { c } \right )=1 $</li> <li>$ P(A \cup B)=P(A) + P(B)-P(A \cap B) $</li> <li>$ A $와 $ B $가 서로 배반이면, $ P(A \cup B)=P(A) + P(B) $</li> <li>$ A \subset B $ 이면, $ P(A) \leq P(B) $이고 $ P(B-A)=P(B)-P(A) $</li> <li>$ P \left (A \cup B \cup C \right )=P(A) + P(B) + P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C) -P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C) $</li> <li>임의의 사건 $ A $에 대하여, $ 0 \leq P(A) \leq 1 $이다.</li></ol> <p>증명</p> <p>표본공간 $ S $에 대하여 $ n(S)=N $이라 하고, 사건 $ A, B $ 그리고 $ C $에 대하여 $ n(A)=a, n(B)=b $ 그리고 $ n(C)=c $라 하면,</p> <p>(1) $ n( \varnothing)=0 $이므로 $ P( \varnothing)= \frac { n( \varnothing) } { n(S) } = \frac { 0 } { N } =0 $이고 $ P(S)= \frac { n(S) } { n(S) } = \frac { N } { N } =1 $ 이다.</p> <p>(2) $ n(S)=n(A) + n(A ^ { c } ) $이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} P(S) &= \frac { n(S) } { n(S) } = \frac { n(A) + n \left (A ^ { c } \right ) } { n(S) } = \frac { n(A) } { n(S) } + \frac { n \left (A ^ { c } \right ) } { n(S) } \\ &=P(A) + P \left (A ^ { c } \right )=1 \end {aligned} $</p> <p>(3) $ n(A \cup B)=n(A) + n(B)-n(A \cap B) $이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cup B) &= \frac { n(A \cup B) } { n(S) } = \frac { n(A) + n(B)-n(A \cap B) } { n(S) } \\ &= \frac { n(A) } { n(S) } + \frac { n(S) } { n(B) } + \frac { n(A \cap B) } { n(S) } \\ &=P(A) + P(B) + P(A \cap B) \end {aligned} $</p> <p>현대사회에서 의사결정이나 위험관리를 비롯하여 전반적인 사회현상을 다루는데 확률론의 개념이 널리 사용된다. 보편적으로 우리는 깊은 수학적 이론을 감지하지 않고도 일상생활의 많은 분야에서 확률을 사용해 오고 있다. 예를 들어, 주택가에 가스충전소를 설치하고자 한다면, 대다수 주민들에게서 항의가 들어온다. 그 이유는 충전소가 들어오게 되면 이전보다 주민들에 대한 위험요소가 많아지기 때문이다. 다시 말해서 가스충전소가 주택가에 들어옴으로 인하여 주민들의 생명에 위협을 가할 확률이 매우 높기 때문이다. 또는 주식시장에서 유명한 주식 분석가가 대단히 큰 폭의 하락이 있을 것이라고 경고하면, 대부분의 주식 소유자들은 그들이 갖고 있는 주식을 팔 것이다. 그것은 큰 폭으로 떨어질 주식을 지속적으로 보유함으로써 자산이 감소할 가능성이 높기 때문이다.</p> <p>이러한 확률은 특히 위험요소를 분석하는데 매우 중요한 역할을 하고 있으며, 따라서 이 분야의 전문가들은 위험요소 분야에서 폭넓게 확률을 연구하고 있다. 이러한 현상은 보험 산업에서도 예외는 아니며, 보험 산업은 위험요소를 다루기 위하여 오랫동안 확률을 사용해 왔다. 예를 들어, 어떤 사람이 자동차 보험에 가입하기 원한다면 보험회사는 그 사람의 지난 자동차 사고 경력에 비추어 앞으로의 사고율을 예측하고 보험료를 결정하게 된다. 또한 생명보험에 가입하고자 한다면 가입할 당시의 나이가 많을수록 보험회사는 보험료를 비싸게 책정하며, 그 이유는 나이가 많을수록 사망할 확률이 크기 때문이다. 예를 들어, 미국에서 '1993년에 자동차 사고로 인하여 인구 100,000명당 16.3명의 비율로 사망하였다'고 한다. 따라서 특별한 환경변화가 없는 한, 전문가들은 내년도에도 역시 자동차 사고에 의한 사망률이 $ 16.3 / 100000 = 0.000163 $이라고 예측할 것이다. 이제 피보험자가 교통사고로 사망할 경우에 $ 10,000 \$ $를 지급하는 조건으로 어떤 보험회사가 보험 증권을 판매한다고 하자. 물론 보험금은 증권에 서명이 되어 있는 배우자를 비롯한 보험 수익자에게 전달된다. 이때 이 회사가 1,000,000개의 증권을 팔았고 1993년도의 사망률을 아직도 믿는다면, 1994년도에 163건의 보험금을 지급해야 할 것으로 기대할 수 있으며, 따라서 이 회사는 보험금으로 $ 1,630,000 \$ $를 준비해야 할 것이다. 그러면 이 회사는 개개의 보험 가입자에게 $ 1.63 \$ $의 보험료를 부과하면 보험금으로 지급하기에 필요한 돈을 마련할 수 있다. 즉, 각 보험 가입자에게 $ 1.63 \$ $ 이상의 보험료를 부과하면 그 이상 부과된 보험료는 보험회사의 순이익으로 남게 될 것이다. 그러나 사망률이 0.000163이기 때문에 1백만 명의 보험 가입자 중에 정확히 163명이 보험금을 요구할 것인가? 그리고 1993년도의 사망률이 아직도 유효한가? 금년도의 인플레이션을 비롯한 제반 경제적 환경이 내년에도 지속적으로 유지될 것인가? 또한 보험금을 어떻게 지불할 것이며 지불할 보험금에 덧붙여 이익금을 어떻게 책정할 것인가? 등등 여러 가지 문제가 남게 된다. 이러한 문제에 대한 명쾌한 답은 확률에 있으며, 확률에 대한 많은 지식은 위험을 공동으로 관리하거나 보험과 같은 상품을 제공하는데 사용된다. 이제 이와 같은 문제를 해결하기 위하여 확률의 개념을 살펴보도록 한다.</p> <p>따라서 보험 청구금이 $ 6,000 \sim 8,000( \$) $일 상대도수 확률은 0.0435이다.</p> <p>지금까지는 표본공간을 이루는 원소의 수가 유한인 경우와 상대도수에 의한 확률의 개념을 살펴보았다. 그러나 앞에서 정의한 확률의 개념만으로는 완전하게 확률을 설명할 수 없다. 예를 들어, 어느 궁수가 10점짜리 과녁에 화살을 맞출 확률을 구한다고 하자. 그러면 표본공간은 화살이 꽂힐 과녁판 전체가 되고, 이 과녁판은 무수히 많은 점으로 이루어진다. 물론 10점짜리 과녁 안에도 무수히 많은 점으로 구성되어 있으므로 표본공간과 10점짜리 과녁 안에 화살촉이 꽂힐 점(원소)의 개수를 셈할 수 없다. 따라서 앞에서 정의한 확률의 개념을 이용하여 확률을 구한다는 것은 불가능하다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 모든 경우를 포괄적으로 설명할 수 있는 공리론적인 확률의 정의가 필요하다.</p> <p>정의 2</p> <p>표본공간 $ S $에 대하여 다음 세 가지 공리를 만족하는 $ P(A) $를 사건 $ A $의 확률이라 한다.</p> <ol type= start=1><li>임의의 사건 $ A $에 대하여 $ 0 \leq P(A) \leq 1 $</li> <li>$ P(S)=1 $</li> <li>쌍마다 배반인 사건들 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots $에 대하여, $ P \left (A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } P \left (A_ { n } \right ) $</li></ol> <p>한편 정의 2의 공리 (3)에서 $ k \geq n + 1 $에 대하여 $ A_ { k } = \varnothing $ 라 하면, $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $이 쌍마다 독립이므로 $ n=1,2,3, \cdots $에 대하여 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } , A_ { n + 1 } , \cdots $은 쌍마다 독립이다. 그리고 $ A_ { n + 1 } =A_ { n + 2 } = \cdots= \varnothing $이므로 $A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } = A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } \cup A_ { n + 1 } \cup \cdots $이다. 그러므로 정의 2의 공리 (3)에 의하여</p> <p>예제 3</p> <p>빨간 공 3개와 흰 공 5개 그리고 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서 다음과 같은 규칙에 따라 순서적으로 흰 공, 검은 공 그리고 빨간 공이 나올 확률을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>비복원 추출로 공 세 개를 꺼내는 경우</li> <li>복원 추출로 공 세 개를 꺼내는 경우</li></ol> <p>풀이</p> <p>(1) 주머니에서 임의로 처음 꺼낸 공이 흰색일 사건을 $ A $, 두 번째 꺼낸 공이 검은색일 사건을 $ B $ 그리고 세 번째 꺼낸 공이 빨간색일 사건을 $ C $라 하면, 구하고자 하는 확률은 $ P(A \cap B \cap C) $이다. 한편 처음에 흰 공이 나올 확률은 $ P(A)= \frac { 5 } { 10 } $이고, 처음에 흰 공이 나왔다면 비복원 추출을 하므로 주머니 안에는 흰 공 4개, 빨간 공 3개 그리고 검은 공 2개가 남는다. 따라서 처음에 흰 공이 나왔다는 조건 아래서 두 번째 검은 공이 나올 확률은 $ P(B \mid A)= \frac { 2 } { 9 } $이다. 또한 처음 두 번의 시행에서 각각 흰 공과 검은 공이 나왔다면 역시 주머니에는 흰 공 4개, 빨간 공 3개 그리고 검은 공 1개가 들어 있으며, 이 조건 아래서 세 번째 빨간 공이 나올 확률은 $ P(C \mid A \cap B)= \frac { 3 } { 8 } $이다. 따라서 구하고자하는 확률은 아래와 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cap B \cap C) &=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A \cap B) \\ &= \frac { 5 } { 10 } \frac { 2 } { 9 } \frac { 3 } { 8 } = \frac { 1 } { 24 } =0.0417 \end {aligned} $</p> <p>(2) 처음에 흰 공이 나올 확률은 $ P(A)= \frac { 5 } { 10 } $이고, 처음에 흰 공이 나왔다면 복원 추출을 하므로 주머니 안에 이 공을 다시 주머니에 넣는다. 따라서 주머니 안에 흰 공 5개, 빨간 공 3개 그리고 검은 공 2개가 들어 있다. 그러므로 처음에 흰 공이 나왔다는 조건 아래서 두 번째 검은 공이 나올 확률은 $ P(B \mid A)= \frac { 2 } { 10 } $이다. 그리고 이 검은 공을 다시 주머니에 넣으므로 주머니에는 흰 공 5개, 빨간 공 3개 그리고 검은 공 2개가 들어 있으며, 이 조건 아래서 세 번째 빨간공이 나올 확률은 $ P(C \mid A \cap B)= \frac { 3 } { 10 } $이다. 따라서 구하고자 하는 확률은 아래와 같다.</p> <p>가 성립하고, 또한 역도 성립한다. 이러한 사실을 $ n $개의 사건 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $으로 확장하여 $ P \left (A_ { 1 } \cap A_ { 2 } \cap \cdots \cap A_ { n } \right )=P \left (A_ { 1 } \right ) P \left (A_ { 2 } \right ) \cdots P \left (A_ { n } \right ) $이 성립하면, 사건 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $을 독립사건이라 한다.</p> <p>예제 4</p> <p>주머니 $ A $에는 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 들어 있고, 주머니 $ B $에는 빨간 공 16개와 몇 개인지 모르는 파란 공이 들어 있다고 한다. 이때 두 주머니에서 각각 하나씩 꺼낸 공의 색이 동일할 확률은 0.44라고 한다. 주머니 $ B $에 들어 있는 파란 공의 수를 구하여라.</p> <p>풀이 주머니 $ A $와 주머니 $ B $에서 꺼낸 공이 빨간 공인 사건을 각각 $ R_ { a } , R_ { b } $라 하고, 파란 공인 사건을 각각 $ B_ { a } , B_ { b } $라 하자. 그리고 주머니 $ B $에 들어 있는 파란 공의 수를 $ x $라 하자. 그러면 문제 조건으로부터</p> <p>$ \begin {aligned} 0.44 &=P \left [ \left (R_ { a } \cap R_ { b } \right ) \cup \left (B_ { a } \cap B_ { b } \right ) \right ]=P \left (R_ { a } \cap R_ { b } \right ) + P \left (B_ { a } \cap B_ { b } \right ) \\ &=P \left (R_ { a } \right ) P \left (R_ { b } \right ) + P \left (B_ { a } \right ) P \left (B_ { b } \right ) \\ &= \frac { 4 } { 10 } \cdot \frac { 16 } { x + 16 } + \frac { 6 } { 10 } \cdot \frac { x } { x + 16 } \end {aligned} $이다. 그러므로 주머니 $ B $에 들어 있는 파란 공의 수는 $ 4.4(x + 16)=4 \cdot 16 + 6 \cdot x ;(1.6) x=6.4 ; x=4 $이다.</p> <p>$ \begin {aligned} P \left (A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } \right ) &=P \left (A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } \cup A_ { n + 1 } \cup \cdots \right ) \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } P \left (A_ { n } \right ) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { n } P \left (A_ { k } \right ) + \sum_ { k=n + 1 } ^ {\infty } P \left (A_ { k } \right ) \end {aligned} $</p> <p>이다. 한편 정의 2의 공리 (1)에 의하여 $ P \left (A_ { n + 1 } \right )=P \left (A_ { n + 2 } \right )= \cdots=P( \varnothing)=0 $이므로 $ \sum_ { k=n + 1 } ^ {\infty } P \left (A_ { k } \right )=0 $이고, 따라서 $ P \left (A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (A_ { i } \right ) $가 성립한다. 즉 정의 2의 공리 (3)에서 유한 개의 쌍마다 배반인 사건 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $으로 제한하더라도 $ P \left (A_ { 1 } \cup A_ { 2 } \cup \cdots \cup A_ { n } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (A_ { i } \right ) $가 성립한다. 또한 그림 1.5와 같이 임의의 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여 $ A \cup B=A \cup(B-A), B=(A \cap B) \cup(B-A) $이다.</p> <p>한편 $ A \cap(B-A)= \varnothing $이고 $ (A \cap B) \cap (B-A)= \varnothing $이므로 앞에서 살펴본 바와 같이 다음 두 등식이 성립한다.</p> <h1>1.1 사건</h1> <p>지난 몇 년간 우리나라에 영향을 미친 지진이 발생한 일자와 횟수 그리고 지역을 조사한다고 하자. 이러한 조사의 목적은 우리나라에 찾아오는 지진이 어느 지역을 중심으로 어느 시기에 발생하는가를 조사함으로써, 앞으로 지진으로 인한 피해를 최대한 줄일 대비책을 만들기 위한 것이다. 이와 같이 어떠한 통계적 목적 아래서 관찰이나 측정을 얻는 과정을 통계적 실험(statistical experiment)이라 하며, 지진이 발생한 일자 또는 횟수나 피해정도 및 지역과 같이 통계적 실험으로부터 얻게되거나 관찰된 값을 관찰값(observation)이라 한다. 이와 같이 어떤 목적 아래서 실시한 통계실험에서 얻게 되는 모든 가능한 결과들의 집합을 표본공간(sample space)이라 하고, 이 표본공간을 이루고 있는 개개의 결과 또는 관찰값을 원소(element)라 한다. 그리고 표본공간의 부분집합을 사건(event)이라 하고 보편적으로 대문자 알파벳으로 나타낸다. 예를 들어, 공정한 주사위를 한 번 던진다면, 윗면에 나올 수 있는 모든 가능한 눈의 수는 1, 2, 3, 4, 5 그리고 6 뿐이므로 표본 공간은 $ S= \{ 1,2,3,4,5,6 \} $이고, 6개의 츨현 가능한 수들이 원소이다. 그리고 짝수인 눈들의 집합 $ A= \{ 2,4,6 \} $은 사건이다. 또한 ' 1 '의 눈이 나올 때까지 주사위를 반복해서 던 칠 때, 주사위를 던진 횟수에 관심을 갖는다고 하자. 그러면 처음 던져서 ' 1 '의 눈이 나오는 경우에 던진 횟수는 1이다. 또한 처음에는 ' 1 '의 눈이 나오지 않으나 두 번째 던져서 '1'의 눈이 나오는 경우를 생각할 수 있으며, 이 경우에 주사위를 던진 횟수는 2이다. 이와 같이 반복해서 주사위를 던져도 ' 1 '의 눈이 나오지 않은 경우를 생각할 수 있으므로, ' 1 '의 눈이 나올 때까지 주사위를 반복하여 던지는 경우에 생각할 수 있는 표본공간은 $ S= \{ 1,2,3, \cdots \} $이다.</p> <p>예제 1</p> <p>동전을 반복해서 두 번 던지는 실험을 할 때, 표본공간을 구하여라.</p> <p>풀이 동전을 한 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우는 '그림'과 '숫자'이므로 동전을 반복해서 두 번 던지는 경우에 그림 1.1 과 같이 처음의 결과와 두 번째 결과는 각각 (그림, 그림), (그림, 숫자), (숫자, 그림) 그리고 (숫자, 숫자) 뿐이다. 따라서 구하고자 하는 표본공간은 $ S= \{\text { (그림, 그림), (그림, 숫자), (숫자, 그림), (숫자, 숫자) } \} $ 이다.</p> <p>$ \begin {aligned} P(A \cap B \cap C) &=P(A) P(B \mid A) P(C \mid A \cap B) \\ &= \frac { 5 } { 10 } \frac { 2 } { 10 } \frac { 3 } { 10 } = \frac { 3 } { 100 } =0.03 \end {aligned} $</p> <p>생명표는 어느 주어진 해의 사망에 대한 확률을 제공한다. 예를 들어, 바우어(Bowers) 등은 그의 저서 〈〈Actuarial Mathematics〉〉에서 미국 전체 인구에 대한 생명표를 제시하였다. 이 생명표는 나이가 $ x $인 사람이 다음 해 이전에 사망할 확률을 $ p_ { x } =P $ (나이 $ x $인 사람이 $ x + 1 $ 이전에 사망)으로 표현하고 있다. 예를 들어, 이 생명표에 따르면, $ p_ { 25 } =P( \text { 25 세인 사람이 26세 이전에 사망 } )=0.00132 $이며, $ p_ { 25 } =0.00132 $이라 함은 어떤 사람이 25세까지 생존했다는 조건 아래서 26세 이전에 사망할 확률을 나타낸다. 이러한 생명표는 보험가격 또는 기대수명을 결정하는 문제를 비롯하여 보험관련 분야의 응용에 매우 유용하게 사용되고 있으며, 이러한 생명표는 조건부 확률을 기초로 작성된 것이다.</p> <p>한편 $ P(A)>0 $인 사건 $ A $가 주어진 경우에 사건 $ B $의 조건부 확률 $ P(B \mid A) $가 사건 $ A $가 주어지지 않은 조건에서 사건 $ B $의 확률 $ P(B) $와 동일하다면, 즉 $ P(B \mid A)=P(B) $이면, 사건 $ A $는 사건 $ B $의 발생여부에 영향을 미치지 않음을 알 수 있다. 이와 같은 경우에 두 사건 $ A $와 $ B $는 독립(independent)이라 하고, 독립이 아닌 두 사건을 종속(dependent)이라 한다. 그러면 조건부 확률의 정의로부터 사건 $ A $와 $ B $가 독립이면 $ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $인 것을 알 수 있으며, 특히 $ P(A)>0, P(B)>0 $인 두 사건 $ A, B $가 독립이면</p> <p>$ \begin {aligned} & P \left (A \cap B ^ { c } \right )=P(A) \cdot P \left (B ^ {\varepsilon } \right ) \\ & P \left (A ^ { c } \cap B \right )=P \left (A ^ { c } \right ) \cdot P(B) \\ & P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right )=P \left (A ^ { c } \right ) \cdot P \left (B ^ { c } \right ) \end {aligned} $</p> <p>$ P(A)= \sum_ { i= } ^ { n } P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) $</p> <p>예제 6</p> <p>자동차보험증권만을 가지고 있는 보험 가입자의 $ 40 \% $ 그리고 가계종합보험증권만을 소지한 사람의 $ 60 \% $가 내년에 재계약을 할 것으로 보험회사는 추정한다. 그리고 이 보험회사는 두 증권을 모두 갖고 있는 사람의 $ 80 \% $가 두 증권 중에서 적어도 어느 하나를 재계약한다고 추정한다. 한편 이 보험회사의 기록을 살펴보면, 자동차보험과 가계종합보험을 갖고 있는 보험 가입자는 각각 $ 65 \% $와 $ 50 \% $이며, 두 증권을 모두 갖고 있는 사람은 $ 15 \% $이었다. 이 보험회사의 추정에 따라서 내년에 적어도 한 증권을 구입할 보험 가입자의 백분율을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>자동차보험증권을 가질 사건을 $ A $, 가계종합보험증권을 가질 사건을 $ B $라고 하자. 그러면 $ P(A)=0.65, P(B)=0.50 $ 그리고 $ P(A \cap B)=0.15 $이다. 따라서 자동차보험증권만 가질 확률은 $ P \left (A \cap B ^ { c } \right )=P(A)-P(A \cap B)=0.65-0.15=0.50 $</p> <p>가계종합보험증권만 가질 확률은 $ P \left (A ^ { c } \cap B \right )=P(B)-P \left (A \cap B \right )=0.50-0.15=0.35 $이다. 한편 자동차보험증권만을 가지고 있는 보험 가입자 $ \left (A \cap B ^ { c } \right ) $의 $ 40 \% $, 가계종합보험증권만을 소지한 보험 가입자 $ \left (A ^ { c } \cap B \right ) $의 $ 60 \% $ 그리고 두 증권을 모두 갖고 있는 보험 가입자 $ (A \cap B) $의 $ 80 \% $가 적어도 하나의 증권에 재계약 $ (D) $하므로 구하고자 하는 확률은</p> <p>$ \begin {aligned} P(D)=& P \left (D \mid A \cap B ^ { c } \right ) P \left (A \cap B ^ { c } \right ) + P \left (D \mid A ^ { c } \cap B \right ) P \left (A ^ { c } \cap B \right ) \\ & + P(D \mid A \cap B) P(A \cap B) \\=&(0.4)(0.50) + (0.6)(0.35) + (0.8)(0.15)=0.53 \end {aligned} $이다. 따라서 내년에 적어도 한 증권을 구입할 보험 가입자는 $ 53 \% $이다.</p> <p>한편 교체한 형광등의 수명이 얼마나 되는지에 대하여 조사한다고 하자. 형광등을 교체한 순간부터 지속적으로 형광등을 사용하면 언제 끊어질지 모르므로, 이 경우의 표본공간은 $ S= \{ x \mid x \geq 0 \} $이 될 것이다. 앞에서 살펴본 바와 같이, 표본 공간이 유한집합이거나 무한집합이지만 원소의 수를 셈할 수 있는 집합인 경우, 즉 $ S= \{ 1,2,3,4,5,6 \} $ 또는 $ S= \{ 1,2,3, \cdots \} $인 경우에 이산표본공간(discrete sample space)이라 하고, 표본공간이 $ S= \{ x \mid x \geq 0 \} $과 같이 어떤 구간으로 나타나는 경우에 연속표본공간(continuous sample space)이라 한다. 한편 오로지 하나의 원소로 구성된 사건을 단순사건(simple event)이라 하고, 두 개 이상의 표본점으로 구성된 사건을 복합사건(compound event)이라 한다. 그리고 원소가 하나도 들어 있지 단은 사건을 공사건(empty event)이라 하며 $ \varnothing $로 나타낸다. 그러면 확률에서 다루는 사건이라는 용어는 집합의 개념을 담고 있는 것을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 집합에서와 동일하게 여러 가지 사건을 정의할 수 있다. 두 사건 $ A $와 $ B $에 대하여 사건 $ A $ 또는 사건 $ B $의 원소로 구성된 사건을 $ A $와 $ B $의 합사건(union of events)이라 하고, 기호 $ A \cup B= \{ x \mid x \equiv A $ 또는 $ x \in B \} $로 나타낸다. 그리고 사건 $ A $ 와 $ B $ 가 공통으로 갖는 원소로 구성된 사건을 $ A $와 $ B $의 곱사건(intersection of events)이라 하고, 기호 $ A \cap B= \{ x \mid x \in A $ 그리고 $ x \in B \} $로 나타낸다. 한편 사건 $ A $ 에는 속해 있으나, $ B $ 에는 없는 원소로 구성된 사건 $ A-B= \{ x \mid x \in A $ 그리고 $ x \notin B \} $을 차사건(difference of events)이라 하며, 차사건의 특수한 경우로 사건 $ A $에 속하지 않는 모든 원소들의 집합 $ A ^ { c } = \{ x \mid x \notin A, x \in S \} $을 $ A $의 여사건(complement event)이라 한다. 이것을 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림 1.2와 같다.</p> <p>$ A= \{ (D H, D W),(D H, S W) \} $</p> <p>$ B= \{ (D H, D W),(S H, D W) \} $</p> <p>그러면 내년에 남편 또는 아내가 사망할 사건은 $A \cup B= \{ (D H, D W),(D H, S W),(S H, D W) \} $이고 남편과 아내가 모두 사망할 사건은 $ A \cap B= \{ (D H, D W) \} $이다.</p> <p>한편 임의의 사건 $ A, B $와 $ C $에 대하여 다음과 같이 여러 가지 연산이 성립하는 것을 벤다이어그램을 이용하여 쉽게 알아 볼 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>$ S=A \cup S, A=A \cap S $</li> <li>$ A=A \cup \varnothing, \varnothing=A \cap \varnothing $</li> <li>$ S=A \cup A ^ { c } , \varnothing=A \cap A ^ { c } $</li> <li>$ \left (A \cup B) ^ { c } =A ^ { c } \cap B ^ { c } ,(A \cap B) ^ { c } =A ^ { c } \cup B ^ { c } \quad \right . $ [드모르강의 법칙]</li> <li>$ (A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C), (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C) \quad $ [배분법칙]</li> <li>$ A \subset B $ 이면, $ B=A \cup B, A=A \cap B $</li></ol> <p>또한 원소의 수가 유한개인 사건 $ A, B $와 $ C $에 대한 원소의 수를 각각 $ n(A) $, $ n(B) $ 그리고 $ n(C) $라 하면, 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ n( \varnothing)=0 $</li> <li>$ n(S)=n(A) + n \left (A ^ { c } \right ) $</li> <li>$ n(A \cup B)=n(A) + n(B)-n(A \cap B) $</li> <li>$ A $와 $ B $가 서로 배반이면, $ n(A \cup B)=n(A) + n(B) $</li> <li>$ A \subset B $이면, $ n(B-A)=n(B)-n(A) $</li> <li>$ n(A \cup B \cup C)=n(A) + n(B) + n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C) -n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) $</li></ol> <p>예제 3</p> <p>그러면 앞면을 $ H $ 그리고 뒷면을 $ T $라 할 때, 앞면이 나올 가능성은 동전을 던져서 나올 수 있는 모든 경우, 즉 $ S= \{ H, T \} $에 대하여 앞면이 나오는 사건 $ A= \{ H \} $의 원소의 비율 $ \frac {\text { 사건 } A \text { 안의 표본점의 개수 } } {\text { 표본공간 } S \text { 안의 표본점의 개수 } } = \frac { 1 } { 2 } $로 생각할 수 있다. 물론 어느 한쪽으로 찌그러진 동전을 던진다면, 앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동등하지 않고 따라서 앞면이 나올 가능성이 $ 50 \% $라는 답은 잘못이 될 수도 있다. 이와 같이 동일한 조건 아래서 동일한 실험을 무수히 많이 반복하여 실시할 때, 어느 특정한 사건 $ A $가 발생하는 상대적인 비율을 사건 $ A $의 확률이라 한다.</p> <p>정의 1</p> <p>각각의 결과가 나올 가능성이 동등한 $ N $개의 원소를 갖는 표본공간 $ S $에 대하여 $ k $개의 원소를 갖는 사건 $ A $의 확률(probability)을 $ P(A)= \frac { n(A) } { n(S) } = \frac { k } { N } , \quad k=0,1,2, \cdots, N $으로 정의한다.</p> <p>예제 1</p> <p>자동차보험에 가입한 150명의 보험 가입자를 대상으로 자동차 사고에 대한 조사를 실시한 결과 85명이 사고의 경력을 가지고 있다는 결론을 얻었다. 이 보험에 가입한 보험 가입자 중에서 임의로 한 사람을 선정하였을 때, 이 사람이 사고 경력이 있을 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>150명의 보험 가입자 전체를 대상으로 조사하였으므로 표본공간의 원소의 수는 $ n(S)=150 $이다. 이 보험 가입자 중에서 사고 경력이 있는 사람들의 집합을 $ A $라 하면 $ n(A)=85 $이므로 임의로 선정한 보험 가입자가 사고 경력을 가지고 있을 확률은 $ P(A)= \frac { n(A) } { n(S) } = \frac { 85 } { 150 } = \frac { 17 } { 30 } =0.567 $이다.</p> <p>사건에 대한 연산과 원소의 수에 대한 성질을 이용하면, 다음과 같은 기본적인 확률의 성질을 알아볼 수 있다.</p> <p>특히 그림 1.3과 같이 공통의 원소를 갖지 않는 두 사건, 즉 $ A \cap B= \varnothing $을 만족하는 두 사건 $ A $와 $ B $를 배반사건(mutually exclusive events)이다 하고, $ A_ { i } \cap A_ { j } = \varnothing, \quad i \neq j, \quad i, \quad j=1,2,3, \cdots, n $인 사건들 $ \left \{ A_ { i } \mid i=1,2, \cdots, n \right \} $을 쌍마다 배반사건(pairwisely mutually exclusive events)이라 한다. 이때 $ n $개의 사건들 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 이 쌍마다 배반이고 이들의 합사건이 표본공간이 되는 경우, 즉 다음 두 조건</p> <ol type= start=1><li>$ A_ { i } \cap A_ { j } = \varnothing, \quad i \neq j, \quad i, \quad j=1,2,3, \cdots, n $</li> <li>$ S= \bigcup_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } $</li></ol> <p>을 만족하는 사건들 $ \left \{ A_ { i } \mid i=1,2,3, \cdots, n \right \} $을 표본공간 $ S $의 분할(partition)이라 한다.</p> <p>예제 1에서 두 사건 $ A= {\text { (그림, 그림), (숫자, 숫자) } } $와 $ B= {\text { (그림, 숫자), (숫자, 그림) } } $은 서로 배반이고, 더욱이 $ S=A \cup B $이므로 두 사건 $ A $와 $ B $는 표본공간 $ S $의 분할이다.</p> <p>예제 2</p> <p>어떤 부부가 보험회사에 부부협약 생명보험증권을 구입하였다고 할 때, 보험증권을 판매한 보험회사가 생각해야 할 표본공간을 구하여라. 그리고 내년에 남편 또는 아내가 사망할 사건과 남편과 아내가 모두 사망할 사건을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>이 회사의 주된 관심은 피보험자 부부의 생존과 사망이다. 다라서 이 회사는 남편의 사망 $ (D H) $, 아내의 사망 $ (D W) $, 남편의 생존 $ (S H) $, 아내의 생존 $ (S W) $ 등 네 가지 경우를 생각할 수 있다. 그러므로 이 회사가 생각할 표본공간은 $ S= \{ (D H, D W),(D H, S W),(S H, D W),(S H, S W) \} $이다. 그러므로 남편이 사망할 사건을 $ A $ 그리고 아내가 사망할 사건을 $ B $라 하 면, 이 사건은 각각 다음과 같다.</p> <p>특히 $ P \left (B_ { i } \right )>0(i=1,2, \cdots, n) $과 $ P(A)>0 $에 대하여, 사건 $ A $가 주어졌다는 조건 아래서 사건 $ B_ { i } $ 의 조건부 확률 $ P \left (B_ { i } \mid A \right )= \frac { P \left (B_ { i } \cap A \right ) } { P(A) } $에 곱의 법칙과 전확률 공식을 적용하면 $ P \left (B_ { i } \mid A \right )= \frac { P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) } {\sum_ { j=1 } ^ { n } P \left (B_ { j } \right ) P \left (A \mid B_ { j } \right ) } $가 성립하고, 이것을 베이즈 정리(Bayes' theorem)라 한다. 이대, 이 정리에서 $ P \left (B_ { i } \right ) $는 사전확률(prior probability), $ P \left (B_ { i } \mid A \right ) $는 사후확률(posterior probability)이라 한다.</p> <p>예제 7</p> <p>생명보험증권을 구입하고자 하는 고객에게 요구되는 질문 중의 하나는 "고객이 흡연을 하는가?"라는 것이다. 그리고 보험회사는 전체 인구의 $ 30 \% $가 흡연을 한다는 것을 알고 있으며, 이 비율이 보험을 구입하고자 하는 고객에도 적용된다고 추측하고 있다. 또한 보험회사는 보험 구매자의 정직성에서 흡연가의 $ 40 \% $가 지원서에 비흡연가로 작성하며, 비흡연가인 구매자는 그 누구도 지원서에 거짓으로 작성하지 않는다는 것을 알고 있다. 비흡연가로 작성한 지원자가 실제로 비흡연가일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>지원서에 비흡연가로 작성하는 사건을 $ A $ 그리고 실제로 비흡연가인 사건을 $ B $라 하면, $ P(B)=0.7, P \left (B ^ { c } \right )=0.3 $이다. 또한 비흡연가는 실제로 지원서에 비흡연가로 작성하므로 $ P(A \mid B)=1.0 $이고, 흡연가인 지원자가 비흡연가로 작성할 확률은 $ P \left (A \mid B ^ { c } \right )=0.4 $이므로</p> <p>$ \begin {aligned} P(A) &=P(B) P(A \mid B) + P \left (B ^ { c } \right ) P \left (A \mid B ^ { c } \right ) \\ &=(0.7)(1.0) + (0.3)(0.4)=0.82 \end {aligned} $</p> <p>이다. 비흡연가로 작성한 지원자가 실제로 비흡연가일 확률은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} P(B \mid A) &= \frac { P(A \cap B) } { P(A) } = \frac { P(A \mid B) P(B) } { P(A) } \\ &= \frac { (0.7)(1.0) } { 0.82 } =0.854 \end {aligned} $</p>	자연
m530-확률과 보험통계	<p>따라서 $ n $번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 대기시간 $ S_ { n } =X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + $ $ X_ { n } $은 모수 $ n $과 $ \frac { 1 } {\lambda } $인 감마분포를 이룬다. 즉 $ S_ { n } $의 밀도함수는 $ f_ { S_ { n } } (t)= \frac { 1 } {\Gamma(n)(1 / \lambda) ^ { n } } t ^ { n-1 } e ^ { - \lambda t } , \quad t \geq 0 $이다. 특히 $ n $번째 사건이 시각 $ t $ 또는 그 이전에 나타날 필요충분조건은 시각 $ t $까지 발생한 사건의 수가 적어도 $ n $이 되는 것이다. 따라서 $ N(t) \geq n \Leftrightarrow S_ { n } \leq t $ 이고 $ N(t)=n \quad \Leftrightarrow \quad S_ { n }<t<S_ { n + 1 } $이 성립한다.</p> <p>예제 1</p>보험회사에 청구되는 보험금 신청 횟수는 푸아송 과정에 따르며, 연속적인 청구 사이의 평균 시간은 이틀이라고 한다.<p>(1) 3 일 동안 적어도 한 건의 보험금 청구가 신청될 확률을 구하여라.</p> <p>(2) 두 번째 보험금 신청이 4일째에 나타날 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 중간 발생 시간이 평균 2일 이므로 1일 당 $ \lambda= \frac { 1 } { 2 } $이고, 따라서 보험금 신청 횟수 $ N(t) $는 평균 비율 $ \lambda= \frac { 1 } { 2 } $인 푸아송 과정에 따른다. 즉</p> <p>\[ P[N(t)=x]= \frac { (t / 2) ^ { x } } { x ! } e ^ { -t / 2 } , \quad t \geq 0 \]</p> <p>이다. 그러므로</p> <p>\[ P[N(3)=0]= \frac { (3 / 2) ^ { 0 } } { 0 ! } e ^ { -3 / 2 } =e ^ { -1.5 } =0.2231 \]</p> <p>이고, 따라서 구하고자 하는 확률은</p> <p>\[ P(N(3) \geq 1)=1-P(N(3)=0)=1-0.2231=0.7769 \]</p> <p>(2) $ X $는 모수 $ \beta_ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } $와 $ \beta_ { 2 } = \frac { 1 } { 7 } $인 지수분포의 혼합형이므로 $ X $의 평균은 $ \mu_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 7 } \right )= \frac { 5 } { 21 } $이고, 적률생성함수는 $ M_ { X } (r)= \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 3 } { 3-r } + \frac { 7 } { 7-r } \right )= \frac { 21-5 r } { (3-r)(7-r) } , \quad r<3 $이다. 그러므로 $ \frac { 1 } { 1 + \theta } \frac {\theta \left [M_ { X } (r)-1 \right ] } { 1 + (1 + \theta) r \mu_ { 1 } -M_ { X } (r) } $ $ = \frac { 1 } { 1 + 0.4 } \frac { (0.4) \left [ \frac { 21-5 r } { (3-r)(7-r) } -1 \right ] } { 1 + (1 + 0.4) \frac { 5 } { 21 } r- \frac { 21-5 r } { (3-r)(7-r) } } $ $ = \frac { 6 } { 7 } \frac { 5-r } { 6-7 r + r ^ { 2 } } = \frac { 24 } { 35 } \frac { 1 } { 1-r } + \frac { 1 } { 35 } \frac { 6 } { 6-r } $ 즉 $ C_ { 1 } = \frac { 24 } { 35 } , r_ { 1 } =1 $ 그리고 $ C_ { 2 } = \frac { 1 } { 35 } , r_ { 2 } =6 $이고, 파산확률은 $ \psi(u)= \frac { 24 } { 35 } e ^ { -u } + \frac { 1 } { 35 } e ^ { -6 u } $이다.</p> <p>이고, 또한 $ \lambda + c R= \lambda M_ { X } (R) $이 성립하므로 $ \psi_ { k } (u) \leq e ^ { -R u } $도 역시 성립한다. 즉 음이 아닌 모든 정수 $ k $에 대하여 부등식이 성립한다.</p> <p>특히 리스크 과정 $ U(t) $에 대하여</p> <p>\[ \begin {aligned} E \left [e ^ { -R U(t) } \right ] &=E \left [e ^ { -R(u + c t-S(t)) } \right ] \\ &=e ^ { -R u } e ^ { -R c t } E \left [e ^ { -R S(t) } \right ] \\ &=e ^ { -R u } \left [e ^ { -R c } \exp \left \{\lambda \left (M_ { X } (R)-1 \right ) \right \} \right ] ^ { t } \end {aligned} \]</p> <p>이고, 더욱이 $ \lambda + c R= \lambda M_ { X } (R) $이므로 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \right ]=e ^ { -R u } $이다. 즉 조정계수 $ R $에 대하여 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \right ] $는 $ t $에 독립인 상수이다. 한편 파산확률은 파산시기 $ T $에 대하여 조건부 기대값을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>정리 5</p> <p>초기 자본금이 $ u \geq 0 $이고 $ S(t) $가 모수 $ \lambda t $인 복합 푸아송 과정일 때, 파산 확률에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>\[ \psi(u)= \frac { e ^ { -R u } } { E \left [e ^ { -R U(T) } \mid T< \infty \right ] } \]</p> <p>증명</p> <p>$ t>0 $ 그리고 $ R>0 $이라 하고, 파산시기 $ T $에 조건을 가하면 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \right ] $를 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>$ E \left [e ^ { -R U(t) } \right ] $ $ \quad=E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T \leq t \right ] P(T \leq t) + E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t \right ] P(T>t) $<caption>(1)<caption>이다. 한편 $ v \in[0, t] $에 대하여, $ U(v)=u + c v-S(v) $이므로 $ U(t)=U(v) + c(t-v)-[S(t)-S(v)] $이고, 다음 등식이 성립한다.</p> <h1>6.1 푸아송 과정</h1> <p>시간에 따라 인터넷 웹 사이트에 기록된 방문자 수와 같이 시간이 흐름에 따라서 어떤 사건의 발생 횟수를 기록하는 계수기를 생각하자. 방문자가 이 웹 사이트는 방문할 때마다 계수기는 1씩 증가하도록 설계되어 있다. 이제 시각 $ t $까지 기록된 방문자의 수를 $ N(t) $라 하면, $ N(t) $는 확률변수이다. 이때 최초 웹 사이트를 개설할 당시의 방문자 수를 0, 즉 $ N(0) = 0 $이라 하자. 그러면 $ N(t) $는 시각 $ t $까지 이 웹 사이트를 방문한 방문자 수이므로 음이 아닌 정수이고, 시간이 지날수록 방문자 수는 동일하거나 증가한다. 이와 같이 시각 $ t $까지 발생한 사건의 수를 $ N(t) $라 할 때, 관찰 시각에 따라 발생한 사건의 수 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $을 셈과정 (counting process)이라 하며, 셈과정은 다음의 성질을 갖는다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ t=0 $에서 사건이 발생하지 않는다. 즉 $ N(0)=0 $</li> <li>$ N(t) $는 음이 아닌 정수이다.</li> <li>$ t<s $이면 $ N(t) \leq N(s) $ 이다.</li> <li>$ t \geq 0 $와 $ h>0 $에 대하여, $ N(t + h)-N(t) $는 시구간 $ (t, t + h] $에서 발생한 사건의 수이다.</li></ol> <p>특히 셈과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $는 1 씩 증가하는 음이 아닌 정수를 갖는 확률과정으로, 이와 같은 셈과정을 보험에서는 보험청구수 과정(claim number process)이라 한다. 한편 $ N(t) $가 취하는 모든 정수들의 집합을 상태공간(state space) 그리고 상태공간 안의 각각의 원소를 상태(state)라고 한다. 따라서 셈과정 $ \{ N(t) \mid $ $ t \geq 0 \} $가 시각 $ t $에서 상태 $ n $에 있다는 것은 시각 $ t $까지 사건이 $ n $번 발생함을 의미하고 $ N(t)=n $으로 나타낸다. 그러면 $ N(t) $가 1씩 증가하므로 현재 상태 $ n $에 있다면 다음 사건이 발생할 때까지 그 상태에 머물러 있으며, 다음 사건이 발생하는 즉시 다음 상태 $ n + 1 $로 이동하는 성질을 갖는다.</p> <p>한편 임의의 $ h>0 $와 $ 0<t<s $에 대하여 $ N(s + h)-N(t + h) $와 $ N(s)- $ $ N(t) $가 동일한 분포를 이룬다면, 셈과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $은 정상증분(stationary increments)을 갖는다고 한다. 따라서 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $가 정상증분을 갖는다면, 증분 $ N(t + h)-N(t) $는 시각 $ t $에는 무관하고 단지 시구간의 길이 $ h $에만 의존한다. 또한 서로 소인 시구간에서 발생한 사건의 수가 서로 독립이면, 즉</p> <p>이다. 그러므로 $ (0, t] $에서 하나의 사건이 발생했다는 조건 아래서, 이 사건의 발생시간 $ T_ { 1 } \sim U(0, t) $의 조건부 분포는 $ (0, t] $에서 균등분포를 이루는 것을 알 수 있다.</p> <p>예제 2</p> <p>출근 시간대의 어느 교차로는 비율 $ \lambda $인 푸아송 과정에 따라 교통사고가 발생한다. 그리고 어느 날 오전 8시부터 9시 사이에 4건의 사고가 있었다고 한다.</p> <p>(1) 네 번째 사고가 8시 20분부터 8시 30분 사이에 일어났을 확률을 구하여라.</p> <p>(2) 네 번째 사고의 평균 발생시각을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 한 시간 사이에 4건의 고통사고가 있었다는 조건 아래서, 네 번째 사고의 발생시간 $ X $의 조건부 분포함수 $ P(X \leq x \mid N(1)=4) $를 구한다. 한편 $ 0 \leq x<1 $에 대하여 확률 $ P(X \leq x \mid N(1)=4) $는 구간 $ (0, x] $에서 세 건의 사고가 발생하고 $ (x, 1] $에서 한 건의 사고가 발생하거나, 구간 $ (0, x] $에서 네 건의 사고가 발생하고 $ (x, 1] $에서 사고가 발생하지 않는 경우를 생각할 수 있다. 따라서 $ X $의 조건부 분포함수는</p> <p>$ \begin {aligned} F(x)=& P[X \leq x \mid N(1)=4]= \frac { P[X \leq x, N(1)=4] } { P[N(1)=4] } \\=& \frac { P[ \{ 3 \text { 사건 } \in(0, x], 1 \text { 사건 } \in(x, 1] \} \text { or } \{ 4 \text { 사건 } \in(0, x], 0 \text { 사건 } \in(x, 1] \} ] } { P[N(1)=4] } \\=& \frac { P[ \{ 3 \text { 사건 } \in(0, x], 1 \text { 사건 } \in(x, 1] \} ] } { P[N(1)=4] } \\ & + \frac { P[ \{ 4 \text { 사건 } \in(0, x], 0 \text { 사건 } \in(x, 1] \} ] } { P[N(1)=4] } \\=& \frac { P[3 \text { 사건 } \in(0, x]] P[1 \text { 사건 } \in(x, 1]] } { P[N(1)=4] } \\ & + \frac { P[4 \text { 사건 } \in(0, x]] P[0 \text { 사거 } \in(x, 1]] } { P[N(1)=4] } \end {aligned} $</p> <p>\[ t_ { 1 }<t_ { 1 } + h_ { 1 }<t_ { 2 }<t_ { 2 } + h_ { 2 }< \cdots<t_ { n }<t_ { n } + h_ { n } \]</p> <p>에 대하여 증분들</p> <p>\[ N \left (t_ { 1 } + h_ { 1 } \right )-N \left (t_ { 1 } \right ), N \left (t_ { 2 } + h_ { 2 } \right )-N \left (t_ { 2 } \right ), \cdots, N \left (t_ { n } + h_ { n } \right )-N \left (t_ { n } \right ) \]</p> <p>이 서로 독립이면, 셈과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $은 독립증분(independent increments)을 갖는다고 한다. 이와 같은 셈과정 중에서 가장 중요한 형태로 보험통계에서 많은 응용을 갖는 푸아송 과정을 살펴본다.</p> <p>정의 1 다음 조건을 만족하는 셈과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $을 비율 $ \lambda $인 푸아송 과정(Poisson process)이라 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ N(0)=0 $</li> <li>$ N(t) $는 독립증분을 갖는다.</li> <li>$ P[N(t + h)-N(t)=x]= \frac { ( \lambda h) ^ { x } } { x ! } e ^ { - \lambda h } , h>0, x=0,1,2, \cdots $</li></ol> <p>그러면 조건 (3)으로부터, 증분 $ N(t + h)-N(t) $가 $ t $에는 무관하고 단지 시구간 $ (t, t + h] $의 길이 $ h $에만 의존하므로 푸아송 과정은 정상증분을 갖는다. 다시 말해서,</p> <p>\[ P[N(h)=x]=P[N(t + h)-N(t)=x]= \frac { ( \lambda h) ^ { x } } { x ! } e ^ { - \lambda h } \]</p> <p>이 성립한다. 특히 $ N(t + h)-N(t) $가 모수 $ \lambda h $인 푸아송분포를 이루므로</p> <p>\[ E[N(t)]= \lambda t \]</p> <p>이고, 이때 $ \lambda $를 푸아송 과정의 발생비율(rate of occurrence)이라 한다. 한편 정의 1은 다음 정의 2와 같이 정의할 수 있다.</p> <p>정의 2 다음 조건을 만족하는 셈과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $을 비율 $ \lambda(>0) $인 푸아송 과정이라 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ N(0)=0 $</li> <li>$ N(t) $는 독립이고 정상증분을 갖는다.</li> <li>$ P[N(h)=1]= \lambda h + o(h) $</li> <li>$ P[N(h) \geq 2]=o(h) $</li></ol> <p>이때 $ o(h) $는 $ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(h) } { h } =0 $을 만족하는 함수 $ g(h) $를 나타낸다. 예를 들어, $ g(h)=h ^ { 2 } $ 또는 $ 2 h ^ { 3 } $은 $ o(h) $이고, $ g(h)=h $ 또는 $ \sqrt { h } $은 $ o(h) $가 아니다. 그러면 $ o(h) $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>즉 정의 1로부터 정의 2를 얻는다. 증명의 나머지 부분은 연습문제로 남긴다.</p> <p>예제 1 우리나라 동남부 지역에서 연평균 3번의 지진이 일어난다고 하자.</p> <p>(1) 앞으로 2년간 적어도 3번의 지진이 일어날 확률을 구하여라.</p> <p>(2) 지금부터 다음 지진이 일어날 때까지 걸리는 시간의 확률분포를 구하여라.</p> <p>풀이 (1) $ [0, t] $에서 발생한 지진의 수를 $ N(t) $라 하면, 발생비율이 $ \lambda=3 $이므로 확률변수 $ N(t) $는 $ P[N(t)=x]= \frac { (3 t) ^ { x } } { x ! } e ^ { -3 t } , \quad x=0,1,2, \cdots $인 푸아송분포를 이룬다. 따라서 앞으로 2년간 발생한 지진의 수 $ N(2) $는 $ P[N(2)=x]= \frac { 6 ^ { x } } { x ! } e ^ { -6 } , \quad x=0,1,2, \cdots $이므로 구하고자 하는 확률은 다음과 같다. $ P[N(2) \geq 3]=1 (P[N(2)=0] + P[N(2)=1] + P[N(2)=2]) $ $ =1-(1 + 6 + 18) e ^ { -6 } $ $ =1-25 \cdot e ^ { -6 } =0.9380 $</p> <p>(2) 다음 지진이 일어날 때까지 소요되는 시간을 $ T $라 하면, $ T>t $일 필요충분조건은 $ [0, t] $에서 지진이 한 번도 발생하지 않는 것이다. 따라서 $ P(T>t)=P[N(t)=0]=e ^ { -3 t } $ 즉, $ T $의 분포함수를 $ F(t) $라 하면 $ F(t)=P(T \leq t)=1-P(T>t)=1-e ^ { -3 t } $이다. 따라서 $ T $는 모수 $ \frac { 1 } { 3 } $인 지수분포를 이룬다.</p> <h1>$ 6.2 $ 대기시간의 확률분포</h1> <p>연속적으로 보험금 청구가 신청되는 사이의 기간 또는 $ n $번째 청구가 있기까지 걸리는 시간 등에 대한 확률모형을 살펴보는 것도 매우 유용할 것이다. 비율 $ \lambda $인 푸아송 과정에 따라 발생하는 사건에 대하여, 처음 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간을 $ X_ { 1 } $ 그리고 $ n-1 $번째 사건과 $ n $번째 사건 사이의 경과시간을 $ X_ { n } $이라 할 때, 경과시간 $ X_ { n } $을 중간발생시간(interoccurrence time)이라 한다. 한편 $ S_ { n } $을 $ n $번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 총 시간이라 하고, $ S_ { 1 }<S_ { 2 }< \cdots $라고 하면, $ S_ { n } $과 $ X_ { i } $사이에 $ S_ { n } =X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } $이 성립한다.</p> <p>\[ 1 + (1 + \theta) r \mu_ { 1 } =M_ { X } (r) \]</p> <p>을 만족하는 양수 $ r=R $을 조정계수(adjustment coefficient)라 한다. 그러면 조정계수 $ R $에 대하여 다음이 성립하며, 이 성질들은 조정계수에 대한 또 다른 정의를 제공한다.</p> <ul> <li>(1) $ \lambda + c R= \lambda M_ { X } (R) $</li> <li>(2) $ \int_ { 0 } ^ {\infty } \left [e ^ { R x } -(1 + \theta) \right ][1-F(x)] d x=0 $</li> <li>(3) $ e ^ { R c } =E \left (e ^ { R S } \right ) $ 또는 $ M_ { c-S } (-R)=1 $ 또는 $ c= \frac { 1 } { R } \log M_ { S } (R) $</li></ul> <p>여기서 $ S $는 단위 시구간에서 지급된 누적보험금이고, 따라서 $ c-S $는 이 구간에서 보험회사의 이윤을 나타낸다.</p> <p>예제 3</p> <p>보험요구 총액 $ X $가 평균 $ \mu_ { 1 } = \frac { 1 } {\beta } $인 지수분포를 이룬다고 할 때, 조정계수 $ R $을 결정하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ X $가 평균 $ \mu_ { 1 } = \frac { 1 } {\beta } $인 지수분포를 이루므로 $ M_ { X } (r)= \frac {\beta } {\beta-r } $이고, 따라서 $ r $에 관한 방정식</p> <p>\[ 1 + (1 + \theta)(r) \frac { 1 } {\beta } =M_ { X } (r)= \frac {\beta } {\beta-r } \]</p> <p>을 만족하는 양의 해는 $ R= \frac {\theta \beta } { 1 + \theta } $이다.</p> <p>일반적으로 확률변수 $ X $가 2차 적률을 갖는다면, 조정계수 $ R $은 $ 2 \theta \frac {\mu_ { 1 } } {\mu_ { 2 } } $를 상한으로 가짐을 관찰할 수 있으며 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>예제 4</p> <p>$ X $의 확률분포가 $ f(x)= \frac { 1 } { 4 } , x=1,2,3,4 $ 이고 $ \lambda=1, c=3 $일 때,</p> <p>$ = \frac {\frac { ( \lambda x) ^ { 3 } } { 3 ! } e ^ { - \lambda x } \cdot \frac {\lambda(1-x) } { 1 ! } e ^ { - \lambda(1-x) } + \frac { ( \lambda x) ^ { 4 } } { 4 ! } e ^ { - \lambda x } \cdot e ^ { - \lambda(1-x) } } {\frac {\lambda ^ { 4 } } { 4 ! } e ^ { - \lambda } } $</p> <p>$ =4 x ^ { 3 } -3 x ^ { 4 } , \quad 0 \leq x<1 $</p> <p>이다. 또한 $ x \geq 1 $이면, 네 건의 교통사고가 모두 발생했으므로 $ F(x)=1 $이다. 그러므로 $ X $의 분포함수는</p> <p>\[ F(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0 & , \quad x<0 \\ 4 x ^ { 3 } -3 x ^ { 4 } , & 0 \leq x<1 \\ 1 & , \quad x \geq 1 \end {array} \right . \]</p> <p>이고, 네 번째 사고가 8시 20분 $ \left ( \frac { 1 } { 3 } \right . $시간)부터 8시 30분 $ \left ( \frac { 1 } { 2 } \right . $시간) 사이에 일어났을 확률은</p> <p>\[ \begin {aligned} P(20 \text { 분 } \leq X \leq 30 \text { 분 } ) &=P \left ( \frac { 1 } { 3 } \leq X \leq \frac { 1 } { 2 } \right )=F \left ( \frac { 1 } { 2 } \right )-F \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) \\ &= \frac { 5 } { 16 } - \frac { 1 } { 9 } = \frac { 29 } { 1446 } =0.2014 \end {aligned} \]</p> <p>이다.</p> <p>(2) 네 번째 사고의 발생시간 $ X $의 밀도함수는</p> <p>이다.</p> <p>(2) 두 번째 보험금이 신청될 때까지 경과시간 $ S_ { 2 } \sim \Gamma(2,2) $는 모수 2와 2인 감마분포를 이루므로 밀도함수는</p> <p>\[ f_ { S_ { 2 } } (t)= \frac { t } { 4 } e ^ { -t / 2 } , \quad t \geq 0 \]</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} P \left (3<S_ { 2 }<4 \right ) &= \int_ { 3 } ^ { 4 } \frac { t } { 4 } e ^ { -t / 2 } d t=- \left . \frac { 1 } { 2 } (t + 2) e ^ { -t / 2 } \right \|_ { 3 } ^ { 4 } \\ &= \frac { 5 } { 2 } e ^ { -3 / 2 } -3 e ^ { -2 } \\ &=0.5578-0.4060=0.1518 \end {aligned} \]</p> <p>이다.</p> <p>이제 시구간 $ (0, t] $에서 정확히 한 사건이 발생했다는 조건 아래서, 이 사건이 발생할 때까지 경과시간 $ T_ { 1 } $의 조건부 분포를 살펴보자. 그러면 $ 0<s \leq t $에 대하여, $ T_ { 1 } $의 조건부 분포는</p> <p>\[ \begin {aligned} P \left [T_ { 1 }<s \mid N(t)=1 \right ] &= \frac { P \left [T_ { 1 }<s, N(t)=1 \right ] } { P[N(t)=1] } \\ &= \frac { P[ \text { one event } \in(0, s), \text { no event } \in[s, t)] } { P[N(t)=1] } \\ &= \frac { P[ \text { one event } \in(0, s)] P[ \text { no event } \in[s, t)] } { P[N(t)=1] } \\ &= \frac {\lambda s e ^ { - \lambda s } \cdot e ^ { - \lambda(t-s) } } {\lambda t e ^ { - \lambda t } } = \frac { s } { t } , \quad 0<s \leq t \end {aligned} \]</p> <p>$ o(h) \pm o(h)=o(h), \quad o(h) \cdot o(h)=o(h), \quad k \cdot o(h)=o(h), \quad k $ 는 상수</p> <p>한편 조건 (3)은 주어진 시구간 $ h $에서 꼭 한 개의 사건이 나타날 확률이 $ \lambda h + $ $ o(h) $임을 나타내고, 조건 (4)는 시구간 $ h $에서 2개 이상의 사건이 나타날 확률은 $ o(h) $, 다시 말해서 동시에 두 개 이상의 사건이 거의 발생하지 않음을 나타낸다. 또한 조건 (2)는 한 구간에서 발생한 사건의 횟수가 중복되지 않는 다른 구간에서의 사건의 발생 횟수에 아무런 영향을 미치지 않으며, 동일한 시구간에서 발생한 사건의 수는 동일한 푸아송분포인 것을 나타낸다.</p> <p>정리 1 정의 1과 정의 2는 서로 동치이다.</p> <p>증명 우선 정의 1이면, 정의 2의 (3)과 (4)의 성질이 성립하는 것을 보인다. 푸아송 과정이 정상증분을 가지므로</p> <p>\[ P[N(h)=0]=e ^ { - \lambda h } \]</p> <p>\[ P[N(h)=1]=( \lambda h) e ^ { - \lambda h } \]</p> <p>이고, $ e ^ { - \lambda h } $를 매클로린 급수식으로 전개하면</p> <p>\[ \begin {aligned} e ^ { - \lambda h } &=1-( \lambda h) + \frac { ( \lambda h) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( \lambda h) ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { ( \lambda h) ^ { 4 } } { 4 } - + \cdots \\ &=1-( \lambda h) + ( \lambda h) \left [ \frac {\lambda h } { 2 } - \frac { ( \lambda h) ^ { 2 } } { 3 ! } + \frac { ( \lambda h) ^ { 3 } } { 4 } - + \cdots \right ] \\ &=1-( \lambda h) + o(h) \end {aligned} \]</p> <p>이므로</p> <p>\[ P[N(h)=0]=1-( \lambda h) + o(h) \]</p> <p>\[ P[N(h)=1]=( \lambda h)[1-( \lambda h) + o(h)]= \lambda h + o(h) \]</p> <p>이다. 또한</p> <p>\[ \begin {aligned} P[N(h) \geq 2] &=1-P[N(h)=0]-P[N(h)=1] \\ &=1-[1-( \lambda h) + o(h)]-[ \lambda h + o(h)] \\ &=o(h) \end {aligned} \]</p> <p>$ \begin {aligned} P \left [N_ { 1 } (t) \right .& \left .=n, N_ { 2 } (t)=m \right ] \\ &= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } P \left [N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m \mid N(t)=k \right ] P[N(t)=k] \end {aligned} $</p> <p>이다. 이때 $ N(t) $는 구간 $ [0, t] $에서 두 종류의 사건이 발생한 전체 횟수이고, 이 구간에서 제 1종 사건과 제 2종 사건이 발생한 횟수는 각각 $ N_ { 1 } (t) $와 $ N_ { 2 } (t) $이다. 그러므로 구간 $ [0, t] $에서 $ N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m $이면, $ k=n + m $이어야 한다. 즉 $ k \neq n + m $이면</p> <p>\[ P \left [N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m \mid N(t)=k \right ]=0 \]</p> <p>이고, 따라서</p> <p>$ \begin {aligned} P \left [N_ { 1 } (t) \right .& \left .=n, N_ { 2 } (t)=m \right ] \\ &=P \left [N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m \mid N(t)=n + m \right ] P[N(t)=n + m] \\ &=P \left [N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m \mid N(t)=n + m \right ] \frac { ( \lambda t) ^ { n + m } } { (n + m) ! } e ^ { - \lambda t } \end {aligned} $</p> <p>이다. 한편 구간 $ [0, t] $에서 $ n + m $번의 사건이 발생하며, 제 1종 사건과 제 2종 사건의 발생 비율이 각각 $ p $와 $ q=1-p $ 이므로</p> <p>\[ P \left [N_ { 1 } (t)=n, N_ { 2 } (t)=m \mid N(t)=n + m \right ]= \left ( \begin {array} { c } n + m \\ n \end {array} \right ) p ^ { n } q ^ { m } \]</p> <p>예제 6</p> <p>어떤 리스크 과정에 대한 $ X $의 밀도함수와 부가인자 $ \theta $가 다음과 같을 때, 파산확률 $ \psi(u) $를 구하여라.</p> <p>(1) $ f(x)=2 e ^ { -2 x } , x>0, \theta=0.2 $</p> <p>(2) $ g(x)= \frac { 1 } { 2 } \left (3 e ^ { -3 x } + 7 e ^ { -7 x } \right ), x>0, \theta=0.4 $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ X $는 모수 $ \beta= \frac { 1 } { 2 } $인 지수분포를 이루므로 $ X $의 평균은 $ \mu_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } $이고, 적률생성함수는 $ M_ { X } (r)= \frac { 2 } { 2-r } , \quad r<2 $이다. 그러므로 $ \frac { 1 } { 1 + \theta } \frac {\theta \left [M_ { X } (r)-1 \right ] } { 1 + (1 + \theta) r \mu_ { 1 } -M_ { X } (r) } = \frac { 1 } { 1 + 0.2 } \frac { (0.2) \left [ \frac { 2 } { 2-r } -1 \right ] } { 1 + (1 + 0.2) \frac { 1 } { 2 } r- \frac { 2 } { 2-r } } $ $ = \frac { 1 } { 1.2 } \frac { (0.2) \frac { r } { 2-r } } { 1 + 0.6 r- \frac { 2 } { 2-r } } = \frac { 1 } { 1.2 } \frac { 1 / 3 } { 1 / 3-r } $</p> <p>즉 $ C_ { 1 } = \frac { 1 } { 1.2 } , r_ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } $이고 파산확률은 다음과 같다.</p> <p>\[ \psi(u)= \frac { 5 } { 6 } e ^ { -u / 3 } \]</p> <p>(1) 부가인자 $ \theta $를 구하여라.</p> <p>(2) 수학프로그램(mathematica, matlab)을 이용하여, 조정계수 $ R $을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ X $의 평균은</p> <p>\[ \mu_ { 1 } =E(X)= \frac { 1 } { 4 } (1 + 2 + 3 + 4)=2.5 \]</p> <p>이고 $ \lambda=1, c=3 $ 이므로 부가인자는 다음과 같다.</p> <p>\[ \theta= \frac { c } {\lambda \mu_ { 1 } } -1= \frac { 3 } { 2.5 } -1=0.2 \]</p> <p>(2) $ X $의 적률생성함수는</p> <p>\[ M_ { X } (r)= \frac { 1 } { 4 } \left (e ^ { r } + e ^ { 2 r } + e ^ { 3 r } + e ^ { 4 r } \right ) \]</p> <p>이다. 따라서</p> <p>$ 1 + (1 + 0.2) \cdot r \cdot 2.5= \frac { 1 } { 4 } \left (e ^ { r } + e ^ { 2 r } + e ^ { 3 r } + e ^ { 4 r } \right ) ; $ $ 1 + 3 r= \frac { 1 } { 4 } \left (e ^ { r } + e ^ { 2 r } + e ^ { 3 r } + e ^ { 4 r } \right ) $</p> <p>이고, 매스매티카(Mathematica)에 의하여 해를 구하면 $ R=0.11654 $이다.</p> <p>이제 초기 자본금에 대한 파산확률의 상한이 조정계수에 의하여 표현되는 것을 살펴본다.</p> <p>정리 4</p> <p>초기 자본금이 $ u $이고 $ S(t) $가 모수 $ \lambda t $ 인 복합 푸아송 과정일 때, 파산확률에 대하여 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>\[ \psi(u) \leq e ^ { -R u } \]</p> <p>증명</p> <p>수학적 귀납법을 이용하기 위하여, $ k $번째 보험금 지급요구 또는 그 이전의 요구에서 파산이 발생할 확률을 $ \psi_ { k } (u) $ 그리고 $ - \infty<u< \infty, k=0,1,2, \cdots $ 라 하자. 그러면 모든 $ u $에 대하여</p> <p>$ = \exp \left [( \lambda t) \left \{\sum_ { k=1 } ^ { n } \frac {\lambda_ { k } } {\lambda } M_ { X_ { k } } (u)-1 \right \} \right ] $</p> <p>이다. 따라서 확률과정 $ \{ A(t) \mid t \geq 0 \} $는 비율 $ \lambda= \sum_ { k=1 } ^ { n } \lambda_ { k } $와 분포함수 $ F(x)= $ $ \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac {\lambda_ { k } } {\lambda } F_ { k } (x) $를 모수로 갖는 복합 푸아송 과정이다. 결론적으로 $ n $개의 독립인 복합 푸아송 유가증권의 합은 다시 복합 푸아송분포를 이루고 또한 해마다 나타나는 결과가 독립인 동일한 유가증권을 $ n $년 동안 누적한 결과는 복합 푸아송분포를 이루는 것을 보여준다. 특히, $ A(t) $의 기대값과 분산은 각각 다음과 같다.</p> <ul> <li>(1) $ E[A(t)]= \sum_ { k=1 } ^ { n } E \left [A_ { k } (t) \right ]= \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \lambda_ { k } t \right ) E \left (X_ { k } \right ) $</li> <li>(2) $ \operatorname { Var } [A(t)]= \sum_ { k=1 } ^ { n } \operatorname { Var } \left [A_ { k } (t) \right ]= \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \lambda_ { k } t \right ) E \left (X_ { k } ^ { 2 } \right ) $</li></ul> <p>예제 2</p> <p>어떤 보험회사는 독립적으로 운영되는 두 개의 지점을 갖고 있으며, 각 지점은 매주 각각 $ \lambda_ { 1 } =2, \lambda_ { 2 } =3 $인 푸아송 과정에 따라 보험금을 지급한다. 그리고 두 지점에서 발생하는 각 보험증권에 대한 보험 급부금은 독립이고 각각 평균 $ 15,000 \$ $와 $ 10,000 \$ $인 지수분포에 따른다고 한다. 이때 2월 한 달 동안 이 보험회사가 지급해야 할 보험 급부금 총액에 대한 평균과 분산을 구하여라.</p> <p>(2) $ \theta=0.2, \beta=0.1 $ 그리고 $ u=5 $이므로 $ \psi(5)= \frac { 1 } { 1.2 } \exp \left (- \frac { 0.2 } { 1.2 } \frac { 5 } { 10 } \right )=0.7667 $이다.</p> <p>이제 파산확률 $ \phi(u) $의 형태와 처음에 파산할 확률 $ \phi(0) $의 구체적인 모형을 얻는 방법에 대하여 살펴본다.</p> <p>정리 6</p> <p>잉여자금이 초기 자본금 $ u $ 이하로 떨어질 확률과 $ u-y $와 $ u-y-d y $ 사이에 놓일 확률은 다음과 같다.</p> <p>\[ \frac {\lambda } { c } [1-F(y)] d y= \frac { 1-F(y) } { (1 + \theta) \mu_ { 1 d y } } , \quad y>0 \]</p> <p>그러면 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } [1-F(y)] d y= \mu_ { 1 } $이므로 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1-F(y) } { (1 + \theta) \mu_ { 1 } } d y= \frac { 1 } { 1 + \theta } $이다. 따라서 $ u=0 $인 경우 예제 3의 (1)로부터 $ \psi(u)= \frac { 1 } { 1 + \theta } e ^ { -R u } , \quad \psi(0)= \frac { 1 } { 1 + \theta } $을 얻는다. 즉 잉여자금이 초기 자본금 이하로 떨어질 확률 $ \psi(0) $은 보험 지급금의 분포에 독립적으로 부가인자 $ \theta $에만 의존한다. 한편 누적손실 $ S(t)-c t $에 대하여, 확률변수 $ L= \max _ { t \geq 0 } \{ S(t)-c t \} $를 최대누적손실(maximal aggregate loss)이라 한다. 그러면 $ t=0 $에서 $ S(t)- $ $ c t=0 $이므로 확률변수 $ L $은 음이 아니다. 이때 확률변수 $ L $의 적률생성함수는 $ M_ { L } (r)= \frac {\theta r \mu_ { 1 } } { 1 + (1 + \theta) r \mu_ { 1 } -M_ { X } (r) } $ $ = \frac {\theta } { 1 + \theta } + \frac { 1 } { 1 + \theta } \frac {\theta \left [M_ { X } (r)-1 \right ] } { 1 + (1 + \theta) r \mu-M_ { X } (r) } $<caption>(1)</caption>이다. 특히 $ u>0, t>0 $에 대하여 $ 1- \psi(u)=P[U(t) \geq 0]=P[u + c t-S(t) \geq 0] $ $ =P[S(t)-c t \leq u]=P(L \leq u) $ 즉 확률변수 $ L $의 분포함수는 $ F(u)=1- \psi(u) $이다. 더욱이 $ 1- \psi(0)= \frac {\theta } { 1 + \theta } $이므로 $ L $의 적률생성함수는 $ M_ { L } (r)=1- \psi(0) + \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { u r } \left [- \psi ^ {\prime } (u) \right ] d u $ $ = \frac {\theta } { 1 + \theta } + \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { u r } \left [- \psi ^ {\prime } (u) \right ] d u $<caption>(2)</caption>이다. 따라서 식 (1)과 (2)로부터 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { u r } \left [- \psi ^ {\prime } (u) \right ] d u= \frac { 1 } { 1 + \theta } \frac {\theta \left [M_ { X } (r)-1 \right ] } { 1 + (1 + \theta) r \mu_ { 1 } -M_ { X } (r) } $을 얻는다. $ X $의 확률분포가 다음과 같이 지수분포의 혼합형 $ f_ { X } (x)= \sum_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } \beta_ { k } e ^ { - \beta_ { k } x } , \quad x>0, \quad \sum_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } =1, \quad A_ { k } >0, \quad \beta_ { k } >0 $으로 주어진다고 하면, $ X $의 적률생성함수는 $ M_ { X } (r)= \sum_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } \frac {\beta_ { k } } {\beta_ { k } -r } , \quad r< \gamma= \min \left \{\beta_ { k } \mid k=1,2, \cdots, n \right \} $이다. 그러므로 $ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { u r } \left [- \psi ^ {\prime } (u) \right ] d u $는 다음과 같이 변수 $ r $에 관한 부분분수의 형태로 표현이 가능하다. $ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { u r } \left [- \psi ^ {\prime } (u) \right ] d u= \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { C_ { k } r_ { k } } { r_ { k } -r } $ 특히 $ \psi( \infty)=0 $을 만족하는 해는 $ \psi(u)= \sum_ { k=1 } ^ { n } C_ { k } e ^ { -r_ { k } u } $뿐이다.</p> <p>$ = \frac { ( \lambda p t) ^ { n } } { n ! } e ^ { - \lambda p t } , \quad n=0,1,2, \cdots $</p> <p>이다. 같은 방법으로 $ N_ { 2 } (t) $의 확률함수는</p> <p>\[ P \left [N_ { 2 } (t)=m \right ]= \frac { ( \lambda q t) ^ { m } } { m ! } e ^ { - \lambda q t } , \quad m=0,1,2, \cdots \]</p> <p>이고, 따라서 $ N_ { 1 } (t) $와 $ N_ { 2 } (t) $는 독립이고 각각 $ \lambda p t $와 $ \lambda(1-p) t $인 푸아송분포를 이룬다. 그러므로 $ \left \{ N_ { 1 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $와 $ \left \{ N_ { 2 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $는 각각 비율 $ \lambda p $와 $ \lambda(1-p) $를 갖는 독립 푸아송 과정이다.</p> <p>예제 3</p> <p>어느 특정 지역은 주당 5건의 비율을 갖는 푸아송 과정에 따라 교통사고가 발생하여 매우 위험하다고 한다. 특히 여러 가지 교통사고의 원인 중에서 휴대폰에 의한 비율이 0.25인 것으로 알려졌다. 이 지역에서 2월 한 달 동안 휴대폰에 의한 사고가 전혀 없을 확률을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>2월 한 달 동안에 이 지역에서 발생하는 교통사고 횟수는 $ 4 \lambda=20 $인 푸아송 과정을 이룬다. 그리고 휴대폰에 의한 교통사고 발생 비율이 0.4이므로, 한 달 동안 휴대폰에 의한 교통사고 발생 횟수 $ N(t) $는 평균 $ (20)(0.25)=5 $인 푸아송 과정에 따른다. 그러므로 구하고자 하는 확률은</p> <p>\[ P[N(1)=0]= \frac { 5 ^ { 0 } } { 0 ! } e ^ { -5 } =0.0067 \]</p> <p>이다.</p> <h1>6.3 복합 푸아송 과정과 파산확률</h1> <p>확률변수열 $ \left \{ X_ { n } \mid n \geq 1 \right \} $이 독립이고 동일한 분포함수 $ F(x) $를 갖고, 각 확률변수 $ X_ { n } $은 비율 $ \lambda $인 푸아송 과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $에 독립이라 하자. 이때 $ t \geq 0 $에 대하여</p> <p>이와 같은 사실은 보험에서 많은 경우를 찾아볼 수 있다. 예를 들어, 자동차 보험에 가입한 피보험자를 여성과 남성 또는 흡연가와 비흡연가로 구분하여, 여성 (또는 비흡연가)에 의한 보험금 청구 횟수와 남성(또는 흡연가)에 의한 청구 횟수가 각각 하루에 평균 3건, 6건인 푸아송 과정에 따른다고 하자. 그러면 이 보험회사에 피보험자에 의하여 보험금이 청구된 횟수는 하루 평균 9건인 푸아송 과정에 따른다. 또한 역으로, 하루 동안에 이 보험회사에 대한 보험금 청구 횟수의 $ \frac { 1 } { 3 } $이 여성 운전자에 의한 것이고 나머지 $ \frac { 2 } { 3 } $는 남성 운전자가 신청한 것임을 알 수 있다. 더욱이 여성 운전자와 남성 운전자에 의한 청구 횟수는 각각 독립인 푸아송 과정에 따른다. 즉 푸아송 과정에 따라 보험회사에 청구된 보험금 청구 횟수를 독립인 두 개의 푸아송 과정으로 분해할 수 있다. 물론 두 개 이상으로 분류되는 사건으로 구성된 푸아송 과정도 역시 각각의 구분된 특성을 갖는 사건으로 구성된 푸아송 과정으로 분해할 수 있다. 이것을 살펴보기 위하여, 서로 다른 두 종류(제 1종, 제 2종)의 사건으로 구성된 푸아송 과정 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $에 대하여, 구간 $ [0, t] $에서 제 1종 사건과 제 2종 사건의 발생 비율을 각각 $ p $와 $ q=1-p $라고 하자. 그리고 구간 $ [0, t] $에서 제 1종 사건의 발생 횟수를 $ N_ { 1 } (t) $, 제 2종 사건의 발생 횟수를 $ N_ { 2 } (t) $라 하자.</p> <p>정리 3</p> <p>$ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $이 비율 $ \lambda $인 푸아송 과정이면, $ \left \{ N_ { 1 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $ 와 $ \left \{ N_ { 2 } (t) \mid t \right . $ $ \geq 0 \} $는 각각 비율 $ \lambda p $ 와 $ \lambda(1-p) $를 갖는 독립 푸아송 과정이다.</p> <p>증명</p> <p>우선 $ N_ { 1 } (t) $와 $ N_ { 2 } (t) $의 결합확률함수를 구하기 위하여, $ N(t) $에 대한 조건을 준다. 그러면 전확률 공식에 의하여,</p> <p>한편 $ \{ T>t \} $인 사건은 시각 $ t $에서 파산이 이루어지지 않음을 나타내고, 따라서 $ U(t) \geq 0 $, 즉 $ e ^ { -R U(t) }<1 $이다. 따라서 다음 부등식을 얻는다.</p> <p>\[ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t, U(t) \leq u_ { 0 } (t) \right ] \leq 1 \]</p> <p>\[ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t, U(t)>u_ { 0 } (t) \right ] \leq E \left [e ^ { -R u_ { 0 } (t) } \right ] \]</p> <p>그러므로 식 (3)에서 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t \right ] P(T>t) \leq P \left [U(t) \leq u_ { 0 } (t) \right ] + E \left [e ^ { -R u_ { 0 } (t) } \right ] $이다. 이때 $ u_ { 0 } (t) \rightarrow \infty $이면 $ E \left [e ^ { -R u_ { 0 } (t) } \right ] \rightarrow 0 $이고, 또한 $ U(t) $는 평균 $ m(t)=u + c t- \lambda t \mu_ { 1 } $과 분산 $ \operatorname { Var } (t)= \lambda t \mu_ { 2 } $를 가지므로 체비쇼프(Chevyshev) 부등식에 의하여, $ \frac { m(t)-u_ { 0 } (t) } {\sqrt {\operatorname { Var } (t) } } \rightarrow \infty $가 되도록 $ u_ { 0 } (t) $를 선정하면, 예를 들어 $ u_ { 0 } (t)=t ^ { 2 / 3 } $, 증명이 완성된다.</p> <p>정리 5를 이용하면, $ X $가 모수 $ \beta $인 지수분포를 갖는 경우에 파산확률에 대한 정확한 표현을 얻을 수 있다.</p> <p>예제 5</p> <p>보험금 지급액 $ X $의 확률분포가 모수 $ \frac { 1 } {\beta } $인 지수분포일 때,</p> <p>(1) 파산확률 $ \phi(u) $를 부가인자 $ \theta $와 초기 자산 $ u $를 이용하여 표현하여라.</p> <p>\[ \lim _ { k \rightarrow \infty } \psi_ { k } (u)= \phi(u) \]</p> <p>이므로 각각의 $ k $에 대하여 $ \psi_ { k } (u) \leq e ^ { -R u } $임을 보이면 충분하다. 한편 $ k=0 $이면</p> <p>\[ \psi_ { 0 } (u)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & u<0 \\ 0, & u \geq 0 \end {array} \right . \]</p> <p>이므로 부등식이 명백히 성립한다. 이제 수학적 귀납법을 이용하기 위하여</p> <p>\[ \psi_ { k-1 } (u) \leq e ^ { -R u } \]</p> <p>이라 하자. 그리고 시각 $ t $에서 첫 번째 지급요구가 발생하였다면, 이러한 사건이 발생할 확률은 $ \lambda e ^ { - \lambda t } d t $이다. 또한 그 첫 번째 지급요구액이 $ x $라 하면, 이 확률은 $ d F(x) $이고 이 순간의 자산은 $ u-c t-x $이다. 따라서 $ t $와 $ x $에 대하여 적분을 구하면</p> <p>\[ \psi_ { k } (u)= \int_ { 0 } ^ {\infty } \int_ { 0 } ^ {\infty } \phi_ { k-1 } (u + c t-x) d F(x) \lambda e ^ { - \lambda t } d t \]</p> <p>이다. 한편 가정에 의하여 $ \psi_ { k-1 } (u + c t-x) \leq e ^ { -R(u + c t-x) } $이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \psi_ { k } (u) & \leq \int_ { 0 } ^ {\infty } \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -R(u + c t-x) } d F(x) \lambda e ^ { - \lambda t } d t \\ &=e ^ { -R u } \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { R x } d F(x) \int_ { 0 } ^ {\infty } \lambda e ^ { -( \lambda + R c) t } d t \\ &=e ^ { -R u } \frac {\lambda } {\lambda + R c } M_ { X } (R) \end {aligned} \]</p> <p>이다.</p> <p>시각 $ t $에서 보험회사의 자산을 $ U(t) $라 하면, 이 자산 $ U(t) $는 보험회사가 지속적으로 보험 가입자들로부터 보험료를 받으므로 연속적으로 증가하는 확률과정이며 또한 보험금을 지급해야 하므로 감소하는 확률과정이다. 특히 회사의 자산이 마이너스가 되는 경우에, 이 회사는 파산된다고 한다. 연간 보험료와 보험금 지급이 변동이 없다는 조건 아래서, 회사가 파산할 확률을 $ \psi(u) $라 하자. 그러면 보험회사의 초기 자산 $ u=U(0) $에 대하여 이 파산확률은 보험료와 지급보험금을 결합한 보험회사의 재정적 건전성을 나타내며, 따라서 회사의 경영을 위한 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 파산확률이 매우 크다는 것은 회사의 재정적 불안정을 나타내며 이러한 불안정을 방지하기 위하여 보험회사는 재보험에 가입하거나 또는 보험료를 증가시키는 척도로 사용된다. 그러므로 보험회사의 자산 $ U(t) $는 확률과정으로 나타나며 파산확률 $ \psi(u) $는 확률과정 $ U(t) $가 음수를 갖는 경우에 대하여 나타나므로 자산과 파산확률에 대하여 살펴본다. 이제 시각 $ t $까지 보험료 수입금을 $ c(t) $ 그리고 지급된 누적보험금을 $ S(t) $라 하면, 초기 자본금 $ u=U(0) $에 대하여 보험회사의 자산은</p> <p>\[ U(t)=u + c(t)-S(t), \quad t \geq 0 \]</p> <p>로 나타난다. 각 시각 $ t $에서 $ U(t) $와 $ S(t) $의 증감에 대한 확률은 시간이 흐름에 따라 변동하는 확률과정으로 나타나고, 이러한 확률과정 $ \{ U(t): t \geq 0 \} $을 잉여 자금 과정(surplus process) 또는 리스크 과정(risk process) 그리고 $ \{ S(t): t \geq 0 \} $을 누적지급보험금 과정이라 한다. 그러나 보험료 수입금 $ c(t) $는 결정가능하고 따라서 확률과정이 아니다. 특히 일정한 보험요율 $ c $에 대하여 $ c(t)=c t $라 하면, 보험금 지급요구가 없는 한 리스크 과정은 그림 $ 6.4 $와 같이 보험요율 $ c $를 기울기로 갖는 직선을 따라 증가한다. 한편 보험금 지급요구가 발생하는 경우, 즉 시각 $ T_ { 1 } , T_ { 2 } , \cdots $에서 지급요구액에 해당하는 크기만큼 리스크는 떨어지게 되며, 특히 어떤 시각 $ T_ { 4 } =T $에서 처음 음이 되는 경우에 보험회사는 파산(ruin)된다고 한다. 이때 시각 $ t $까지 요구된 지급 건수 $ N(t) $와 각 지급요구액 $ X_ { i } $에 대하여 누적 지급금은</p> <p>\[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 12 x ^ { 2 } (1-x) & , 0<x<1 \\ 0, & \text { 다른 곳에서 } \end {array} \right . \]</p> <p>이고 따라서 $ X $의 평균은</p> <p>\[ E(X)= \int_ { 0 } ^ { 1 } 12 x ^ { 3 } (1-x) d x= \frac { 3 } { 5 } =36 \text { (분) } \]</p> <p>이다. 그러므로 오전 8시와 9시 사이에 세 번째 사고가 발생하는 시각은 평균적으로 8시 36분이다.</p> <p>한편 독립인 두 푸아송 과정의 합성뿐만 아니라 두 종류로 구분되는 사건으로 구성된 푸아송 과정을 각각의 구별되는 사건으로 구성된 푸아송 과정으로 분해할 수 있다. 우선 독립인 푸아송 과정의 합성을 살펴본다.</p> <p>정리 2</p> <p>$ \left \{ N_ { 1 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $과 $ \left \{ N_ { 2 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $를 각각 비율 $ \lambda_ { 1 } $과 $ \lambda_ { 2 } $를 갖는 독립 푸아송 과정이라 하자. 이때 $ N(t)=N_ { 1 } (t) + N_ { 2 } (t) $라 하면, $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $은 비율 $ \lambda_ { 1 } + \lambda_ { 2 } $인 푸아송 과정이다.</p> <p>증명</p> <p>증명 $ \left \{ N_ { 1 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $과 $ \left \{ N_ { 2 } (t) \mid t \geq 0 \right \} $이 각각 비율 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $인 푸아송 과정이므로 $ N_ { 1 } (t) \sim P \left ( \lambda_ { 1 } t \right ), N_ { 2 } (t) \sim P \left ( \lambda_ { 2 } t \right ) $이다. $ N_ { 1 } $과 $ N_ { 2 } $가 서로 독립이므로 $ N=N_ { 1 } + N_ { 2 } $은 모수 $ \left ( \lambda_ { 1 } + \lambda_ { 2 } \right ) t $인 푸아송분포를 이루는 것을 제 5장에서 이미 살펴보았다. 그러므로 $ \{ N(t) \mid t \geq 0 \} $은 비율 $ \lambda_ { 1 } + \lambda_ { 2 } $인 푸아송 과정이다.</p> <p>만일 $ X_ { n } $의 확률분포를 알 수 있다면, $ S_ { n } $의 확률분포를 쉅게 얻을 수 있다. 따라서 $ X_ { n } $의 확률분포를 살펴본다. 우선 $ X_ { 1 } $의 확률분포를 살펴보기 위하여, 사건 $ X_ { 1 } >t $를 생각하자. 그러면 이 사건은 첫 번째 사건이 발생하는데 걸리는 시간이 $ t $보다 큰 것을 나타내며, 따라서 시각 $ t $까지 어떠한 사건도 발생하지 않음을 의미한다. 즉 $ X_ { 1 } >t \Leftrightarrow N(t)=0 $이고, 따라서 $ P \left (X_ { 1 } >t \right )=P[N(t)=0]=e ^ { - \lambda t } $이다. 그러므로 $ X_ { 1 } $의 분포함수는 $ F(t)=1-P \left (X_ { 1 } >t \right )=1-e ^ { - \lambda t } $이고, $ X_ { 1 } $은 모수 $ \frac { 1 } {\lambda } $인 지수분포를 이루는 것을 알 수 있다. 한편 $ X_ { 1 } =s $일 때, $ X_ { 2 } >t $일 조건부 확률은 $ P \left (X_ { 2 } >t \mid X_ { 1 } =s \right )=P \left [ \right . $ no event $ \left . \in(s, s + t] \mid X_ { 1 } =s \right ] $ $ =P[ $ no event $ \in(s, s + t]] $ (독립증분에 의하여) $ =e ^ { - \lambda t } $이고 $ E \left [P \left (X_ { 2 } >t \mid X_ { 1 } \right ) \right ]=P \left (X_ { 2 } >t \right ) $이므로 $ P \left (X_ { 2 } >t \right )=e ^ { - \lambda t } $이다. 그러므로 $ X_ { 2 } $도 역시 모수 $ \frac { 1 } {\lambda } $인 지수분포를 이루며 $ X_ { 1 } $과 독립이다. 한편 동일한 방법을 반복하면, $ X_ { n } $은 모수 $ \frac { 1 } {\lambda } $인 지수분포를 이루며 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots $, $ X_ { n-1 } $과 독립이다.</p> <p>\[ \begin {aligned} E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T=v \right ] &=E \left [e ^ { -R \{ U(v) + c(t-v)-[S(t)-S(v)] \} } \mid T=v \right ] \\ &=E \left [e ^ { -R U(v) } \mid T=v \right ] e ^ { -R c(t-v) } E \left [e ^ { R[S(t)-S(v)] } \mid T=v \right ] \end {aligned} \]</p> <p>한편 구간 $ (v, t] $에서 요구된 누적 보험급여 $ S(t)-S(v) $는 역시 복합 푸아송분포를 이루고, $ v $에서 발생한 보험급여와는 독립이므로 $ U(v) $와 $ S(t)-S(v) $는 역시 독립이다. 따라서 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T=v \right ]=E \left [e ^ { -R U(v) } \mid T=v \right ] \left [e ^ { -R c } \exp \left \{\lambda \left (M_ { X } (R)-1 \right ) \right \} \right ] ^ { t-v } $ $ =E \left [e ^ { -R U(T) } \mid T=v \right ] $<caption>(2)<caption>이고, 식 (2)는 모든 $ v \leq t $에 대하여 성립한다. 즉 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T \leq t \right ]=E \left [e ^ { -R U(T) } \mid T \leq t \right ] $ 더욱이 $ t \rightarrow \infty $이면 $ P(T \leq t) \rightarrow P(T< \infty) $이므로 식 (1)의 첫 번째 항은 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T \leq t \right ] P(T \leq t) \rightarrow E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T< \infty \right ] \phi(u) $이다. 특히 $ E \left [e ^ { -R U(t) } \right ]=e ^ { -R u } $이므로, $ t \rightarrow \infty $이면 식 (1)의 두 번째 항이 0임을 보이면 증명이 완성된다. 이제 $ U(t) $의 크기에 따라 사건 $ \{ T>t \} $를 분할하여, 어떤 음이 아닌 함수 $ u_ { 0 } (t) $에 대하여 $ U(t) \leq u_ { 0 } (t) $와 $ U(t)>u_ { 0 } (t) $를 생각하자. 그러면 $ u_ { 0 } (t) $에 대한 조건을 추가하여 다음 등식을 얻는다. $ E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t \right ] P(T>t) $ $ =E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t, U(t) \leq u_ { 0 } (t) \right ] P \left [T>t, U(t) \leq u_ { 0 } (t) \right ] $ $ \quad \quad + E \left [e ^ { -R U(t) } \mid T>t, U(t)>u_ { 0 } (t) \right ] P \left [T>t, U(t)>u_ { 0 } (t) \right ] $<caption>(3)<caption></p> <p>\[ A(t)=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { N(t) } \]</p> <p>라 하면, 확률과정 $ \{ A(t) \mid t \geq 0 \} $는 복합 푸아송 과정(compound Poisson process)이라 한다. 특히 $ X_ { n } $을 $ n $번째 보험 지급요구 금액이라 하면, $ \{ A(t) \mid t \geq 0 \} $을 누적지급보험금 과정(aggregate claim process)이라 한다. 예를 들어, 대형 마켓에서 물건을 구입한 손님이 푸아송 과정에 따라 마켓을 나간다고 하자. 그리고 $ X_ { n } $은 $ n $번째 손님이 이 마켓에서 물건을 구입하기 위하여 소비한 금액으로 독립이고 동일한 분포를 이룬다고 하자. 이때 $ A(t) $는 시각 $ t $까지 마켓에서 손님에 의하여 소비된 총금액, 즉 시각 $ t $까지 마켓에서 물건을 판매한 총매출액이라 하면, $ \{ A(t) \mid t \geq 0 \} $은 복합 푸아송 과정이다. 따라서 $ n $번째 손님이 마켓을 나갈 때까지 손님들이 소비한 총액은 다음 그림 6.3과 같이 계단 모양을 이룬다.</p> <p>그러면 제 4장에서 살펴본 바와 같이, $ A(t) $의 기대값과 분산 그리고 적률생성 함수는 각각 다음과 같다.</p> <ul> <li>(1) $ E[A(t)]=E(N) E(X)=( \lambda t) E(X) $, 단 $ X $는 $ X_ { i } (i=1,2,3, \cdots) $를 의미한다.</li> <li>(2) $ \operatorname { Var } [A(t)]=E(N) \operatorname { Var } (X) + E ^ { 2 } (X) \operatorname { Var } (N) $ $ =( \lambda t) \left [ \operatorname { Var } (X) + E ^ { 2 } (X) \right ]=( \lambda t) E \left (X ^ { 2 } \right ) $</li> <li>(3) $ M_ { A } (u)= \exp \left [( \lambda t) \left \{ M_ { X } (u)-1 \right \} \right ] $</li></ul> <p>예제 1</p> <p>매주 $ \lambda=5 $인 푸아송 과정에 따라 보험금 지급요구가 신청되는 보험증권에 대하여, 보험회사는 보험금을 지급한다. 그리고 각 보험증권에 대한 보험지급금은 독립이고 평균 $ 15,000 \$ $인 지수분포에 따른다고 한다. 이때 2월 한 달 동안 이 보험 회사가 지급해야 할 보험 지급금 총액에 대한 평균과 분산을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ i $번째 지급요구가 발생한 증권에 대한 보험지급금을 $ X_ { i } $라 하면, 평균 15000인 지수분포에 따른다. 그러므로 $ E \left (X_ { i } \right )=15000, \operatorname { Var } \left (X_ { i } \right )=(2.25) 10 ^ { 8 } $이고, 따라서 4주 동안에 이 회사가 지불해야 할 보험 총액 $ A(t) $의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.</p> <p>\[ E[A(4)]=(5)(4)(15000)=300,000( \$) \]</p> <p>\[ \operatorname { Var } [A(4)]=(5)(4) \left [2(2.25) 10 ^ { 8 } \right ]=9 \times 10 ^ { 9 } ( \$) \]</p> <p>확률변수열 $ \left \{ X_ { k i } \mid i \geq 1, k=1,2, \cdots, n \right \} $은 독립이고 동일한 분포함수 $ F_ { k } (x) $를 갖고, 각 확률변수 $ X_ { k i } $는 비율 $ \lambda_ { k } $인 푸아송 과정 $ \left \{ N_ { k } (t) \mid t \geq 0 \right \} $에 독립이라 하자. 이때 $ t \geq 0 $에 대하여</p> <p>\[ A_ { k } (t)=X_ { k 1 } + X_ { k 2 } + \cdots + X_ { k N_ { k } (t) } \]</p> <p>로 정의되는 복합 푸아송 과정들 $ \left \{ A_ { k } (t) \mid t \geq 0, k=1,2, \cdots, n \right \} $가 독립이라 하면,</p> <p>\[ A(t)=A_ { 1 } (t) + A_ { 2 } (t) + \cdots + A_ { n } (t) \]</p> <p>의 적률생성함수는</p> <p>$ \begin {aligned} M_ { A } (u) &=E[ \exp \{ A(t) u \} ] \\ &=E \left [ \exp \left \{ A_ { 1 } (t) u \right \} \right ] \cdots E \left [ \exp \left \{ A_ { n } (t) u \right \} \right ] \end {aligned} $</p> <p>$ = \exp \left [ \left ( \lambda_ { 1 } t \right ) \left \{ M_ { X_ { 1 } } (u)-1 \right \} \right ] \cdots \exp \left [ \left ( \lambda_ { n } t \right ) \left \{ M_ { X_ { n } } (u)-1 \right \} \right ] $</p> <p>풀이</p> <p>시각 $ t $까지 두 지점 $ \mathrm { A } $와 $ \mathrm { B } $에서 지불해야 할 지급금 총액을 각각 $ A_ { 1 } (t) $, $ A_ { 2 } (t) $라 하자. 그러면 두 지점에서 지급요구가 있는 증권에 대한 보험 지급금이 각각 평균 $ 15,000 \$ $와 $ 10,000 \$ $인 지수분포에 따르므로</p> <p>\[ E \left (X_ { 1 } \right )=15,000, \quad \operatorname { Var } \left (X_ { 1 } \right )=(2.25) 10 ^ { 8 } \]</p> <p>\[ E \left (X_ { 2 } \right )=10,000, \quad \operatorname { Var } \left (X_ { 2 } \right )=(1.00) 10 ^ { 8 } \]</p> <p>이다. 2월 한 달 동안 다시 말해서 4주 동안 두 지점에서 지급해야 할 보험 급부금 총액에 대한 평균과 분산은 각각 다음과 같다.</p> <p>\[ E \left [A_ { 1 } (4) \right ]=(2)(4)(15000)=120,000( \$) \]</p> <p>\[ E \left [A_ { 2 } (4) \right ]=(3)(4)(10000)=120,000( \$) \]</p> <p>\[ \operatorname { Var } \left [A_ { 1 } (4) \right ]=(2)(4) \left (2 \times 2.25 \times 10 ^ { 8 } \right )=(3.6) 10 ^ { 9 } ( \$) \]</p> <p>\[ \operatorname { Var } \left [A_ { 2 } (4) \right ]=(3)(4) \left (2 \times 1.00 \times 10 ^ { 8 } \right )=(2.4) 10 ^ { 9 } ( \$) \]</p> <p>그러므로 2월 한 달 동안 이 보험회사가 지급해야 할 보험 지급금 총액에 대한 평균과 분산은 각각</p> <p>\[ E[A(4)]=E \left [A_ { 1 } (4) \right ] + E \left [A_ { 2 } (4) \right ]=120000 + 120000=240,000( \$) \]</p> <p>\[ \begin {aligned} \operatorname { Var } [A(4)] &= \operatorname { Var } \left [A_ { 1 } (4) \right ] + \operatorname { Var } \left [A_ { 2 } (4) \right ]=3.6 \times 10 ^ { 9 } + 2.4 \times 10 ^ { 9 } \\ &=6 \times 10 ^ { 9 } ( \$) \end {aligned} \]</p> <p>\[ S(t)=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { N(t) } \]</p> <p>이므로 보험회사에 대한 재정적 리스크는 보험금 지급을 요구하는 시간과 요구액을 변수로 가지는 파산확률을 계산함으로써 얻어질 수 있다. 그림 6.4는 시각 $ T_ { 4 } $에서 보험회사에 손해를 끼치게 된 누적지급보험금 $ X_ { 1 } + X_ { 2 } + X_ { 3 } + X_ { 4 } $가 초기 자산 $ u $와 시각 $ t $까지 벌어들인 보험료 $ c T_ { 4 } $보다 크게 나타나고 따라서 나머지 자금 $ U \left (T_ { 4 } \right ) $가 0보다 작게 된다. 그러므로 보험회사의 파산 시기 $ T $ 는</p> <p>\[ T= \min \{ t \mid t \geq 0, \quad U(t)<0 \} \]</p> <p>그리고 모든 $ t $에서 $ U(t) \geq 0 $이면 $ T= \infty $로 정의된다. 그러므로 $ T< \infty $이라 하면, 보험회사는 비록 오랜 시간이 걸리겠으나 어느 유한한 시점에서 파산하게 된다. 즉, 보험회사의 파산확률(ruin probability)은 초기 자금 $ u $의 함수로</p> <p>\[ \psi(u)=P(T< \infty) \]</p> <p>로 정의된다.</p> <p>이제 $ N(t) $가 발생비율 $ \lambda $를 갖는 푸아송 과정이라 하면, 누적지급금 $ S(t) $는 복합 푸아송 과정이고 따라서 고정된 시각 $ t=t_ { 0 } $에 대하여 $ S \left (t_ { 0 } \right ) $은 모수 $ \lambda t_ { 0 } $인 복합 푸아송분포를 이룬다. 또한 개개의 지급요구액 $ X_ { i } $의 분포함수와 $ k $차 적률을 각각</p> <p>\[ F(x)=P \left (X_ { i } \leq x \right ), \quad \mu_ { k } =E \left (X_ { i } ^ { k } \right ) \]</p> <p>이라 하자. 이때</p> <p>$ c=(1 + \theta) \lambda \mu_ { 1 } $ 또는 $ \theta= \frac { c } {\lambda \mu_ { 1 } } -1 $</p> <p>을 만족하는 음이 아닌 상수 $ \theta $를 부가인자(loading factor)라 한다. 특히 $ \mu_ { 1 } = $ $ E(X)>0 $인 지급요구액 $ X $의 적률생성함수 $ M_ { X } (r) $에 대하여</p>	자연
시계열 모형과 기계학습 모형을 이용한 풍력 발전량 예측 연구	<p>마지막으로 XGBoost 모형 또한 동일한 외생변수들을 사용하였으며, 파라미터 값을 조정하여 예측력을 높이고자 하였다. 적합된 모형을 사용하여 풍력 발전량의 실측값과 예측값을 비교한 결과는 Figure 8과 같다. 빨간색 선은 실측값을 나타내며 연두색 점선은 예측값을 나타낸다.</p> <h2>3.3. 모형 성능 평가</h2> <p>본 논문에서의 모형 성능 평가를 위해 mean absolute error (MAE)와 mean absolute percentage error (MAPE) 를 사용하였다. MAE와 MAPE는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \begin {aligned} \text { MAE } &= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|Y_ { t } -F_ { t } \right \| } { n } , \\ \text { MAPE } &= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left \| \frac { Y_ { t } -F_ { t } } { Y_ { t } } \right \| } { n } \times 100 \end {aligned} $<caption>(3.1)</caption></p> <p>이 때, $ n $ 은 예측한 데이터의 개수이며 는 $ t $ 시점에서의 실제 값은 $ t $ 시점에서의 예측 값을 의미한다. MAE 와 MAPE 값이 작을수록 모형의 예측 성능이 우수하다는 것을 의미한다.</p> <p>본 논문에서는 훈련 데이터를 이용해 적합한 모형으로 168 시간 후까지의 값들을 예측하여 모형의 성능을 비교하고자 한다. 모형에 따른 평가지표 비교결과는 다음 Table 6과 같다. 외생변수를 사용하는 ARIMAX, SVR, RF, XGBoost 모형에서는 각 지역에 영향을 끼치는 풍향, 풍속, 습도, 기압을 변수로 일치시켜 예측하였다. 실험환경은 R 3.6.0 버전의 RStudio와 Python 3.6 버전의 각 방법론에서 사용된 초매개변수(hyperparame ter)값을 선정하였고, 이는 Table 5 과 같다.</p> <p>예측 결과, 시계열 모형인 ARIMA나 ARIMAX 모형에 비해 기계학습 기법인 SVR, RF, XGBoost 모형의 예측력이 뛰어난 것으로 보인다. 특히 RF모형이 MAE와 MAPE가 각각 경북지역에서는 0.29 와 0.18으로, 전남지역에서는 2.02 와 1.53 으로 가장 작아 우수한 모형으로 나타난다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>본 논문에서는 최근 발전하고 있는 신재생 에너지 중 하나인 풍력에너지의 수요가 중요해짐에 따라 발전량의 정확한 예측을 하고자 하였다.</p> <p>경북지역과 전남지역의 풍력발전량 데이터, 기상 데이터를 활용하여 시계열 모형, 기계학습 모형을 이용하여 예측을 실시하였다. 본 논문에서는 많은 데이터에서 효율적으로 사용할 수 있는 모형인 Random Forest 와 XGBoost 모형의 이용을 제안하였다. 이 때, 기상데이터인 풍속과 풍향은 육상, 해상지역에 따라 크게 영향을 미치는 부분이 각각 다르므로 더미 변수를 분류하여 풍향 외생변수로서 사용하였다. 7일 간의 시간별 예측을 평가한 결과, 예측 모델의 성능은 Random Forest 모형이 MAE 지표가 각각 경북지역에서는 0.29으로, 전남지역에서는 2.02 이고 MAPE 지표가 0.18, 전남지역에서는 1.53 으로 가장 작아 우수한 모형으로 나타나 최적 모형으로 선정되었다.</p> <p>본 논문에서는 Random Forest와 XGBoost 모형과 같은 기계학습 단일 모형만을 이용하여 예측 문제에 적용하였지만, 다른 데이터 마이닝 기법이나 적용할 수 있는 외생변수의 갯수, 다양한 데이터 전처리 변형 기법 등을 활용한 연구가 추가적으로 필요하다고 할 수 있을 것이다.</p> <p>풍력발전량의 예측을 위하여 Cadenas와 Wilfrido은 ARIMA, ANN(인공신경망)을 이용한 Hybrid 모형을 적용해 비선형적으로 발생하는 오류를 줄이기 위한 Hybrid 모형이 풍속데이터의 변동성을 잘 예측해 mean absolute error (MAE)와 mean squared error (MSE) 기준으로 높은 정확도를 가진다는 점을 보였다. Catalão 등은 포르투갈에서의 풍력 데이터를 이용하여 wavelet 변형을 적용해 풍력 발전량을 예측하려고 시도했다. Liu 등은 미국 콜로라도 주의 풍속을 4가지의 서로 다른 높이에서 측정한 후, ARMA-GARCH, ARMA-GARCH(-M)모형을 다양하게 변형해 10 가지의 접근을 시도해 풍속 데이터의 변동성, 이분산성을 효과적으로 개선하였다. Zeng 등은 SVM을 응용한 모델을 이용하여 풍력발전량을 예측했고, Pinson은 덴마크 horn rev의 풍력단지 데이터를 이용하여 generalized logit (GL) transform을 적용해 비선형적, 변동성이 강한 풍력 데이터의 특성을 고려한 후, 개선된 AR, conditional parametric auto-regressive (CPAR) 모형을 이용해 풍력을 예측하였다. Anastasiades와 McSharry는 quantile regression(분위수 회귀)모형에 여러가지 외생 변수를 추가해 기존 모형의 예측능력을 상승시켰다. Li 등는 풍력 발전량 예측을 위한 앙상블 모형으로 NNs (신경망)과 wavelet 변형, 변수 선택법과 partial least squares regression (PLSR)을 이용하였다. 이 모형으로 48 시간을 예측했을 때, MAPE 기준 $ 5.0 \% $ 라는 낮은 수치를 기록했다. Wu 등은 중국 북동쪽에 위치한 풍력 발전소에서 수집한 15 분 간격의 데이터를 이용하여 DNN(딥러닝 인공신경망) 모형과 LSTM, RNNs(순환 신경망)을 적용해 발전량을 예측하였다. Park과 Kim은 변동성이 크다는 풍력에너지의 단점을 보완하기 위해 Box-cox변환을 이용하여 데이터의 분산안정화를 한 후에 NNet 신경망 모형을 이용하여 예측하였다. Zhao 등은 매우 짧은 기간의 풍력 시계열 예측을 위해 기존 forward forecasting과 backward forecasting을 기반으로 bidirectional forecasting을 이용해 길어지는 예측구간의 정확도를 높이려고 시도했다. Lahouar와 Ben Hadj Slama는 인공신경망과 Random Forest 모형을 이용하여 풍력 발전량을 예측하였다. 풍속과 같은 외생변수를 추가했을 때, Random Forest 모형이 다른 모형들에 비해 MAE값이 낮은 것을 확인했다. Yu 등은 시계열 모형인 ARMA 모형과 Boosting(부스팅 알고리즘)을 사용하여 일별 풍력 발전량을 예측하려고 시도했고, MAE가 57.09로 다른 모형과 비교했을 때 예측력이 가장 높음을 보였다. Hu 등은 LSTM을 기반으로 응용한 모형을 사용해 10 분 단위와 한 시간 단위의 풍속을 예측했다. Suh 등은 시계열의 비선형 패턴을 반영하기 위해 SVM, Hybrid 모형을 적합했고, Halil 등은 기계학습 기법인 XGBoost, SVR, Random Forest 중 Random Forest가 가장 예측력이 높다는 결론을 보였다. Zheng와 Wu는 xgboost 모형을 이용하여 단기간 풍력 발전량을 예측하려 하였다. 또한, Aditya 등은 Random Forest와 Decision Tree를 이용하여 풍력 발전량 예측을 시도하였다. Ko 등은 "DRNets"이라는 새로운 방법을 bidirectional LSTM(양방향 장기적 기억 신경 네트워크)와 함께 이용하여 풍력 시계열 데이터를 정확히 예측하고자 하였고, Hossain 등은 GRU, LSTM, Bi-LSTM, RNN(순환 신경망), NN 신경망 모형을 이용한 Hybrid 모형을 예측 모형으로 사용하였다. Ahmadi 등은 10분단위 풍속을 포함한 풍력 데이터를 사용하여 의사결정나무모형을 기반으로 해 Random Forest, AdaBoost, Gradient boosting, XGBoost 등의 모형을 적용하여 MAE 기준 가장 성능이 좋은 모형은 XGBoost 모형이라고 결론지었다. Priya와 Arulanand은 LSTM 모형을 풍향과 풍속을 포함한 다변량, 풍속만 포함한 단변량 시계열로 나누어 예측하였고 단변량일때의 풍속 예측이 더 정확하다는 것을 보였다.</p> <h2>2.5. XGBoost 모형</h2> <p>XGBoost 모형은 의사결정나무 기반의 알고리즘으로써 그래디언트 부스팅(Gradient Boosting)을 개량한 알고리즘으로서 다양한 연구에서 사용되고 있다. 이 모형의 기반인 부스팅 기법(boosting method)는 비교적 약한 모형들을 여러개 만든 후 결합하여 강한 모형을 만들어내는 방법으로서 초반의 간단한 모형에서 학습 후 발생한 오차를 또 다른 모델로 학습시켜 오차를 점차 줄여나간다. 이러한 과정을 거쳐 모형을 생성한 후 가중치를 부여해 통합함으로써 정확도가 높은 모형을 최종적으로 만들어낸다. 이러한 XGBoost 모형은 병렬 처리를 사용하기에 학습과 분류가 빠르고, 과적합이 잘 일어나지 않는 장점이 있다. 하지만 파라미터의 개수가 많아 복잡하다는 단점이 있다. 본 논문에서는 그 중 5 개의 파라미터를 조정하여 예측력이 우수하도록 모형을 적합하였다.</p> <h1>3. 데이터 및 자료 분석</h1> <h2>3.1. 데이터 및 분석 방법</h2> <p>본 연구에서 사용된 데이터는 전력거래소에서 제공받은 전남지역과 경북지역의 총 풍력 발전량 데이터이다. 2018년 01월 01일 1시부터 2020년 11월 01일 24시까지의 한시간 단위 데이터를 사용하여 분석을 실시하였다. 2018년 01월 01일부터 2020년 10월 24일까지의 자료는 훈련용 데이터(training data)로 모형 적합에 이용하였고, 2020년 10월 25일부터 2020년 11월 1일까지의 자료는 테스트 데이터(test data)로 모형의 성능을 평가하였다. 전남지역의 풍력발전량은 전라남도 지역 영광풍력발전과 약수풍력, 영광백수풍력발전에서 수집하여 총량을 계산한 후 평균으로 전처리하였다. 경북지역의 풍력발전량 또한 경상북도 지역의 양구리풍력, 영양풍력, GS 영양풍력에서 수집하여 총량을 계산한 후 평균으로 전처리하였다.</p> <p>외생변수로 사용한 풍향, 풍속, 습도, 기압과 같은 기상 데이터는 전남지역의 경우 무안, 영광, 완도 기상대에서 관측한 시간별 데이터로 풍력발전량 데이터와 같은 기간으로 기상청에서 수집하였고, 경북지역의 경우 영양군과 가까운 청송군, 안동시, 의성군에서 수집하여 총량을 구해 평균으로 전처리하여 데이터로 사용하였다.</p> <p>Figure 1과 Figure 2는 해상지역과 육상지역의 풍력발전량의 원데이터와 차분을 적용한 데이터이다. 풍력 발전량은 불규칙적인 특성이 있다는 점이 두드러져 분석에 용이하게 하기 위해 차분을 적용, 예측값을 원자료로 변형하여 성능을 평가하였다.</p> <p>Figure 3은 수집한 풍향데이터를 풍배도(WINDROSE)로 나타낸 것이다. 왼쪽 그림은 경북지역, 오른쪽 그림은 전남지역을 나타낸다. 본 논문에서는 16 방위를 이용하여 풍향에 대한 16 방위를 분류하여 영향력이 큰 풍속 변수만을 더미변수(dummy variable)로 생성하여 하나의 풍향변수로 결합해 사용하였다. 경북지방에서는 S(남), SSW(남남서), NNE(북북동)의 풍향을 선택하였고, 전남지방에서는 NE(북동),ENE(동북동), WSW(서남서)의 풍향을 선택하였다.</p> <p>본 논문에서 풍력 시계열 데이터 예측을 위해서 통계 프로그래밍 언어인 R과 Python 3.6을 이용하였으며 시계열 모형 적합 및 예측에는 forecast 패키지를 사용하였고, 머신러닝 모형 적합 및 예측에는 SVR 패키지와 RandomForestRegrssor, xgboost 패키지를 사용하였다.</p> <p>위에서 언급한 모형들과 같이 최근 연구에서는 시계열 데이터의 예측 정확도를 향상시키기 위해 다양한 측정방법이 적용되고 있다. 본 논문에서는 SVR 모형만을 이용하여 예측 문제에 적용하는 것이 아니라, 최근 추가적으로 진행된 기계학습 기법을 활용한 연구를 적용하여 예측력을 향상시키려 한다. 또한, 풍력 발전량 예측 정확성 개선을 위해 개별 단지의 발전 설비 용량을 고려하여 육상, 해상으로 지역을 나눈 데이터를 활용하였고, 같은 발전기에서 수집되는 풍속과 풍향 데이터를 활용하여 더 나은 예측 성능을 보이고자 한다. 예측오차를 검증하기 위하여 mean absolute error (MAE)와 mean absolute percentage error (MAPE)를 사용한다.</p> <p>다음 2장에서는 풍력 발전량 예측을 위해 사용한 ARIMA, ARIMAX, SVR, Random Forest, XGBoost 모형에 대하여 소개한다. 3장에서는 본 연구에 활용된 풍력발전 데이터, 풍향과 풍속 데이터에 대하여 설명하고, 4장에서는 위에서 언급한 모형을 적용한 예측 결과를 비교, 분석한다. 5장에서는 결론 및 향후 연구 방향에 대하여 제안할 예정이다.</p> <h1>2. 예측 모형</h1> <h2>2.1. Auto-regressive integrated moving average (ARIMA) 모형</h2> <p>ARIMA 모형은 대표적인 시계열 분석 모형으로, 자기회귀모형(AR)과 이동평균모형(MA) 결합된 모형을 결합한 것에 시계열의 비정상성(non-stationary)를 설명하기 위해 차분(difference) 절차를 포함한 모형이다. ARIMA $(p, d, q) $ 모형의 일반적인 형태는 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \phi_ { p } (B)(1-B) ^ { d } Y_ { t } & = \theta_ { q } (B) \epsilon_ { t } , \\ \phi_ { p } (B) &=1- \phi_ { 1 } B- \cdots- \phi_ { p } B ^ { p } , \\ \theta_ { q } (B) &=1- \theta_ { 1 } B- \cdots- \theta_ { q } B ^ { q } . \end {aligned} $<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 $ \phi_ { p } (B) $ 는 자기회귀모형에 관한 식으로, $ p $ 는 이 모형의 차수, $ \theta_ { q } (B) $ 는 이동평균모형에 관한식으로, $ q $ 는 이 모형의 차수, $ d $ 는 1 차 차분이 포함된 정도를 의미한다. $ \epsilon $ 는 오차항 또는 백색잡음(white noise)를 의미하며, 평균은 0 , 분산은 일정한 값을 가진다. $ B $ 는 후진연산자(backward shift operator)이다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>최근 미세먼지와 제철 기온 상승, 또는 지진이 발생할 때마다 원자력발전소의 가동 여부에 대한 소식 등 환경과 안전에 관련된 문제가 제기되고 있다. 2021년 미국은 파리기후변화협약 복귀 행정명령에 서명을 해 글로벌 기후변화에 매우 빠르고 민감하게 반응하며 ‘청정에너지혁명'이라는 기후변화 대응을 시도하고있다. 또 다른 사례 중 유럽은 ‘그린딜' 정책을 수립해 2050년까지 이산화탄소 배출과 흡수가 완전히 상쇄되는 탄소 중립을 달성하고자 한다. 이로 인해, 신재생에너지에 대한 관심이 전 세계 각국에서 늘어나고 있는 추세이다. 국내에서는 국제사회의 기후변화 대응 노력에 동참하기 위해 2016년 11월 3일 파리 협정 국내 비준 절차를 완료하고, 유엔(UN)에 비준서를 기탁하여, 12월 3일부터 국내에서 발효되었다. 이렇게 세계적으로 태양광, 풍력에너지 등을 포함한 신재생 에너지의 발전량이 증가하고 있다. 한국 풍력산업헙회에 따르면, 2010 년 이후로 현재까지 신규설비용량은 꾸준히 늘어나고 있고, 신규 단지수 또한 28 개에서 103 개로 증가했다. 이에 발맞춰 프로젝트 개발 및 투자가 이루어지고 있다. 이 중 풍력에너지는 빠르게 발전하고있는 재생에너지 중 하나이다.</p> <p>풍력이란, 바람이 가진 운동에너지를 이용하여 전기에너지를 생산하는 시스템이다. 즉, 에너지 변환과정을 통해 전력을 생산하는데, 특히 우리나라는 해안선이 길어 풍력발전을 하기에 유리한 조건을 가지고 있다. 풍력발전은 설치 장소에 따라 육상풍력과 해상풍력으로 구분할 수 있는데 육지에 풍력발전단지를 건설하여 발전한 것을 육상풍력, 바다에 풍력발전단지를 건설하여 발전한 것을 해상풍력이라고 한다. 육상풍력은 바람을 이용하여 환경오염 및 고갈염려가 없으며 해상풍력은 육상풍력 대비 높은 입지제약에서 자유롭고, 대형화로 높은 이용률 확보가 가능하다는 장점이 있다. 풍력발전기의 구조를 살펴보면 바람으로부터 회전력을 생산하는 회전날개(blade)와 회전축을 포함한 회전자(rotor), 이를 적정 속도로 변환하는 증속기(gearbox) 로 이루어져 있다. 또한, 풍력발전기는 회전축의 방향에 따라 수직축 풍력과 수평축 풍력 두가지로 분류되는데, 발전기의 회전축에 따라 풍향의 영향을 받기도 한다. 풍력은 이렇게 방향에 따라, 또는 변동성이 강한 대기의 움직임에 따라 역동적인 특성을 가지며 십게 예측할 수 없다는 특징을 가지고 있다. 우리나라의 경우, 바람 세기가 일정하지 않다는 점과 발전기에서 발생하는 소음에 대한 주민들의 우려 등으로 인해 풍력에너지의 성장이 더딘 편이었지만, 최근 정부의 적극적인 신재생에너지 정책과 기술력이 발전하고, 정부의 소음 관련 가이드라인 설정 등으로 인해 인근 환경을 고려한 발전소 설치가 추진되고 있어 국내 풍력 보급이 점차 확대되고 있는 추세이다. 이에 따라, 풍력 에너지의 수요를 정확히 예측하기 위한 시도들이 계속되고 있다.</p> <h2>3.2. 모형 적합 결과</h2> <p>ARIMA, ARIMAX 모형은 Akaike's information criterion (AIC)를 기준으로 그 값이 최소인 모형을 선택하였다. ARIMA 모형의 적합 결과, 경북지역과 전남지역 모두 ARIMA(2,1,0) 모형이 최적 모형으로 나타났다. 경북지역과 전남지역에서 해당 모형의 모수추정치는 Table 1, Table 2 와 같다.</p> <p>적합된 모형을 사용하여 풍력 발전량의 실측값과 예측값을 비교한 결과는 Figure 4 와 같다. 빨간색 선은 실측값을 나타내며 연두색 선은 예측값을 나타낸다. 대체적으로 예측값이 실측값을 잘 따라가는 경향을 보이지만, 몇몇 값에서 과대 또는 과소 추정이 발생하는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>해당 모형에 대한 모수 추정값은 Table 1, Table 2와 같다.</p> <p>ARIMAX 모형의 적합 결과, 경북에서는 ARIMAX(0,1,5) 모형, 전남지역에서는 ARIMAX (2,1,0) 이 최적 모형으로 나타났다. 외생변수로서 경북지역에서 영향력이 큰 풍향인 S(남), SSW(남남서), NNE(북북동) 를, 전남지역에서는 NE(북동), ENE(동북동), WSW(서남서)를 더미변수로 만들어 하나의 변수로 합친 풍향 변수 $ \left ( \gamma_ {\text { dir } } \right ) $ 와 풍속 $ \left ( \gamma_ {\text { spedd } } \right ) $, 습도 $ \left ( \gamma_ {\text { humid } } \right ) $, 기압 $ \left ( \gamma_ {\mathrm { hpa } } \right ) $ 을 사용하였으며, AIC 가 최소인 모형을 선택하였다. 적합된 모형을 사용하여 풍력 발전량의 실측값과 예측값을 비교한 결과는 Figure 5 와 같다. 빨간색 선은 실측값을 나타내며 연두색 선은 예측값을 나타낸다. ARIMA 모형에 비해 예측값이 실측값을 벗어나는 경향을 보인다.</p> <p>해당 모형에 대한 모수 추정값은 Table 3, Table 4와 같다.</p> <p>SVR 모형의 경우, ARIMAX와 같은 변수를 외생변수로 사용하여 풍력 발전량을 예측하고자 하였다. 본 논문에서는 SVR의 Kernel함수로 radial basis function (RBF) 함수를 사용하고자 하였다. 적합된 모형을 사용하여 풍력 발전량의 실측값과 예측값을 비교한 결과는 Figure 6과 같다. 빨간색 선은 실측값을 나타내며 연두색 점선은 예측값을 나타낸다. ARIMA와 ARIMAX 모형에 비해 훨씬 실측값을 잘 따라가는 경향을 보인다. RF 모형도 동일한 외생변수들을 사용하였으며, 파라미터 값을 조정하여 예측력을 높이고자 하였다. 적합된 모형을 사용하여 풍력 발전량의 실측값과 예측값을 비교한 결과는 Figure 7과 같다. 빨간색 선은 실측값을 나타내며 연두색 점선은 예측값을 나타낸다.</p> <h2>2.2. Auto-regressive integrated moving average with eXogeneous variable (ARIMAX) 모형</h2> <p>ARIMAX 모형은 앞의 모형인 ARIMA 모형에 외생변수를 추가한 모형이다. ARIMA의 차수가 $ p, d, q $ 일 때, $ k $ 개인 외생변수를 라고 할 때 $ \operatorname { ARIMAX } (p, d, q) $ 모형은 다음과 같다.</p> <p>$ \phi_ { p } (B)(1-B) ^ { d } Y_ { t } = \theta_ { q } (B) \epsilon_ { t } + \sum_ { i=1 } ^ { k } r_ { i } x_ { i t } $<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 $ \phi_ { p } (B) $ 와 $ \theta_ { q } (B) $ 는 이동평균모형에 관한 식으로, ARIMA 모형식에서 설명한 식 (2.1)과 같다. $ \epsilon_ { t } $ 는 오차항 또는 백색잡음(white noise)를 의미하며, $ r_ { i } $ 는 외생변수인 $ x_ { i t } $ 의 계수이다. 본 논문에서는 외생변수로 풍향과 풍속, 기온, 습도 등을 고려하였다.</p> <h2>2.3. Support vector regression (SVR) 모형</h2> <p>Support vector machine (SVR)은 기계학습 분야 중 하나로 감독학습에 의한 패턴 인식, 자료 분석을 위한 지도 학습 모형이며, 주로 분류와 회귀 분석, 특이점 판별을 위해 사용되는 모형이다. SVM 은 과적합 되는 경우가 적고, 신경망보다 사용하기 십다는 장점이 있다. 이러한 SVM은 크게 support vector classification (SVC)과 support vector regression (SVR) 두 가지로 나누어진다. 본 논문의 목적은 목표로 하는 값을 최대한 정확히 예측하기 위함이므로 SVM을 일반화한 SVR을 이용한다. SVR은 광범위한 변수 세트에 대한 최적화 전략이 향상되어 선형 회귀, KNN 및 Elastic Net과 같은 다른 알고리즘에 비해 더 나은 성능 예측을 보인다. SVR 함수를 찾기 위한 최적화 문제는 비용함수와 라그랑지 함수, 제약조건을 통해 해결할 수 있다.</p> <p>SVR 모형은 커널함수를 사용하는데, 본 논문에서는 radial basis function (RBF) 또는 가우시안 커널이라고 불리는 커널을 사용한다. RBF 커널의 매개변수인 를 통해 가중치를 적용하게 된다.</p> <h2>2.4. Random Forest 모형</h2> <p>Random Forest (RF) 모형은 분류, 또는 회귀분석 등에 이용되는 앙상블 학습(ensemble learning)방법의 일종으로, 훈련 과정에서 부트스트랩(bootstrap)방식을 이용해 구성한 의사 결정 트리(decision tree)로부터 분류 또는 가중 평균을 이용해 동작한다. RF 모형은 의사 결정 트리 기반의 알고리즘으로 변수 간의 상호작용 및 비선형성을 다루기 용이하고 이상치에 강해 회귀 문제에서 광범위하게 사용되고 있다. RF 의 주요 파라미터는 결정 트리의 갯수와 트리의 최대 깊이 등으로 연구자가 지정해야 하는 값이다. 결정 트리의 갯수를 늘리면 연산량이 증가해 속도가 느려지지만 데이터에 대한 과적합을 피할 수 있다. 반면, 트리의 최대 깊이를 늘리면 과적합이 발생한다. 과적합을 해결하기 위해 적정수준의 파라미터를 결정하게 된다. 본 논문에서는 파라미터를 조정하는 과정을 거쳐 예측력이 우수하도록 모형을 적합하였다.</p>	자연
공업수학	<h3>■예제 2■</h3> <p>연립미분방정식 \[ \begin {aligned} 2 x ^ {\prime } + 3 y ^ {\prime } + x + 2 y &=-t \\3 x ^ {\prime } + 4 y ^ {\prime } + 10 x + 16 y &=-e ^ { 2 t } \end {aligned} \]의 해를 구해보자. 위의 미분방정식을 미분연산자를 써서 나타내면 \[ \begin {aligned} (2 D + 1) x + (3 D + 2) y &=-t \$3 D + 10) x + (4 D + 16) y &=-e ^ { 2 t } \end {aligned} \]이 된다. 첫째 방정식에 \( -(4 D + 16) $ 을 곱해주고, 둘째 방정식에 $ (3 D + 2) $ 를 곱해서 합하면 \[-(4 D + 16)(2 D + 1) x + (3 D + 2)(3 D + 10) x=-(4 D + 16)(-t) + (3 D + 2) \left (-e ^ { 2 t } \right ) \]이 되는데, 이것을 정리하면 \[x ^ {\prime \prime } + 4 x=16 t + 4-8 e ^ { 2 t } \]이 되므로 한 해 \[x(t)=c_ { 1 } \cos (2 t) + c_ { 2 } \sin (2 t) + 4 t + 1-e ^ { 2 t } \]를 얻는다. 다음은 위의 연립미분방정식의 첫째 식에 $ -(3 D + 10) $ 을, 둘째 식에 $ (2 D + 1) $ 을 곱하여 합해주면 \[y ^ {\prime \prime } + 4 y=-10 t-3 + 5 e ^ { 2 t } \]을 얻게되고, 따라서 해를 구하면 \[y(t)=c_ { 3 } \cos (2 t) c_ { 4 } \sin (2 t)- \frac { 5 } { 2 } t- \frac { 3 } { 4 } + \frac { 5 } { 8 } e ^ { 2 t } \]이 된다. $ \\ $다음은 위의 해에 있는 상수 사이의 관계를 살펴보자. 위에서 구한 해 $ x(t), y(t) $ 를 주어진 연립미분방정식의 첫째 방정식에 대입하면 \[ \begin {aligned} 2[& \left .-2 c_ { 1 } \sin (2 t) + 2 c_ { 2 } \cos (2 t) + 4-2 e ^ { 2 t } \right ] \\& + 3 \left [-2 c_ { 3 } \sin (2 t) + 2 c_ { 4 } \sin (2 t)- \frac { 5 } { 2 } + \frac { 5 } { 4 } e ^ { 2 t } \right ] \\& + \left [c_ { 1 } \cos (2 t) + c_ { 2 } \sin (2 t) + 4 t + 1-e ^ { 2 t } \right ] \\& + 2 \left [c_ { 3 } \cos (2 t) + c_ { 4 } \sin (2 t)- \frac { 5 } { 2 } t- \frac { 3 } { 4 } + \frac { 5 } { 8 } e ^ { 2 t } \right ]=-t \end {aligned} \]이므로 \[ \left (-4 c_ { 1 } + c_ { 2 } -6 c_ { 3 } + 2 c_ { 4 } \right ) \sin (2 t) + \left (c_ { 1 } + 4 c_ { 2 } + 2 c_ { 3 } + 6 c_ { 4 } \right ) \cos (2 t)=0 \]을 얻는다. 따라서 \[-4 c_ { 1 } + c_ { 2 } -6 c_ { 3 } + 2 c_ { 4 } =0 \]과 \[c_ { 1 } + 4 c_ { 2 } + 2 c_ { 3 } + 6 c_ { 4 } =0 \]의 관계를 얻게 되는데, 예를 들어 \[c_ { 3 } = \frac { -13 c_ { 1 } -c_ { 2 } } { 20 } , \quad c_ { 4 } = \frac { c_ { 1 } -13 c_ { 2 } } { 20 } \]로 하면 되므로 주어진 연립미분방정식의 한 일반해는 \[ \begin {array} { l } x(t)=c_ { 1 } \cos (2 t) + c_ { 2 } \sin (2 t) + 4 t + 1-e ^ { 2 t } \\y(t)=- \left ( \frac { 13 c_ { 1 } + c_ { 2 } } { 20 } \right ) \cos (2 t) + \left ( \frac { c_ { 1 } -13 c_ { 2 } } { 20 } \right ) \sin (2 t)- \frac { 5 } { 2 } t- \frac { 3 } { 4 } + \frac { 5 } { 8 } e ^ { 2 t } \end {array} \]이 된다. $ \\ $다음은 간단한 고계 연립미분방정식의 해를 구해보자.</p> <h1>연립방정식과 안정성</h1> <h2>$ 6.0 $ 머리말</h2> <p>이 장에서는 여러 개의 선형미분방정식으로 된 선형연립방정식의 해를 구하려고 한다. 미분연 산자와 라플라스 변환이 중요하게 이용될 것이다. 다른 방법으로는 행렬을 사용하면 매우 좋으 나 뒤에 행렬에 관한 이론을 더욱 살핀 후로 미룰 것이다.</p> <h2>$ 6.1 $ 미분연산자를 사용한 소거법에 의한 연립미분방정식의 해</h2> <p>앞에서 소개한 것과 같이 $ t $ 가 한 독립변수일 때 \[D = \frac { d } { d t } \]라고 하자. 즉, $ D $ 는 " $ t $ 에 관하여 미분한다"는 뜻이다. 그러면 \[ \begin {array} { l } D y= \frac { d y } { d t } , \quad D x= \frac { d x } { d t } , \quad D ^ { 2 } x= \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } \\4 D x=4 \frac { d x } { d t } , \quad(2 D + 1) y=2 \frac { d y } { d t } + y \end {array} \]등이 된다. 미분방정식이나 연립미분방정식은 미분연산자 $ D $ 를 써서 나타낼 수 있다. 예를 들어 미분방정식 \[ y ^ {\prime \prime } + 2 y ^ {\prime } + 3 y= \cos (2 t) \]는 \[ \left (D ^ { 2 } + 2 D + 3 \right ) y= \cos (2 t) \]가 되고, 연립미분방정식 \[ \begin {array} { l } \frac { d x } { d t } + 2 \frac { d y } { d t } =1 \\2 \frac { d x } { d t } + 3 x \frac { d y } { d t } + 3 x-2 y= \sin (t) \end {array} \]는 \[ \begin {array} { l } D x + 2 D y=1 \\ (2 D + 3) x + (3 x D-2) y= \sin (t) \end {array} \]가 된다.</p> <h2>$ 6.2 $ 라플라스 변환에 의한 연립미분방정식의 해</h2> <p>연립미분방정식에서, 방정식이 상수 계수 또는 다항식 계수를 갖는 선형이거나, 방정식이 불연속인 함수로 되어 있는 경우, 그리고 연립미분방정식에 초기조건이 있는 경우에는 앞에서 익힌 라플라스 변환을 사용하여 해를 구할 수 있다. 예를 통하여 살펴보자.</p> <h3>■예제 1■</h3> <p>연립미분방정식 \[ \begin {array} { r } x ^ {\prime } -2 y ^ {\prime } + x-y=1 \\ 3 x ^ {\prime } + 4 y ^ {\prime } -3 x=t \\ x(0)=y(0)=0 \end {array} \]의 해를 구해보자. 주어진 미분방정식에 라플라스 변환을 취하면 \[ \left \{\begin {array} { l } s X(s)-2 s Y(s) + X(s)-Y(s)= \frac { 1 } { s } \\3 s X(s) + 4 s Y(s)-3 X(s)= \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \end {array} \right . \]또는 \[ \left \{\begin {array} { l } (s + 1) X(s) + (-2 s-1) Y(s)= \frac { 1 } { s } \\(3 s-3) X(s) + 4 s Y(s)= \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \end {array} \right . \]이 된다. 이들을 풀면 \[ \begin {array} { l } X(s)= \frac { 4 s ^ { 2 } + 2 s + 1 } { s ^ { 2 } \left (10 s ^ { 2 } + s-3 \right ) } \\Y(s)= \frac { -3 s ^ { 2 } + 4 s + 1 } { s ^ { 2 } \left (10 s ^ { 2 } + s-3 \right ) } \end {array} \]이 되는데, 앞에서 익힌 히비사이드의 공식에 의해 부분분수로 바꾸면 \[ \begin {array} { l } X(s)=- \frac { 7 } { 9 } \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } - \frac { 31 } { 99 } \frac { 1 } { s + \frac { 3 } { 5 } } + \frac { 108 } { 99 } \frac { 1 } { s- \frac { 1 } { 2 } } \\Y(s)=- \frac { 13 } { 9 } \frac { 1 } { s } - \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } + \frac { 62 } { 99 } \frac { 1 } { s + \frac { 3 } { 5 } } + \frac { 81 } { 99 } \frac { 1 } { s- \frac { 1 } { 2 } } \end {array} \]이 된다. 그러므로 해는 \[ \begin {array} { l } x(t)=- \frac { 7 } { 9 } - \frac { 1 } { 3 } t- \frac { 31 } { 99 } e ^ { -3 t / 5 } + \frac { 108 } { 99 } e ^ { t / 2 } \\y(t)=- \frac { 13 } { 9 } - \frac { 1 } { 3 } t + \frac { 62 } { 99 } e ^ { -3 t / 5 } + \frac { 81 } { 99 } e ^ { t / 2 } \end {array} \]이다.</p> <h3>■예제 2■</h3> <p>연립미분방정식 \[ \begin {aligned} x ^ {\prime \prime } -2 x ^ {\prime } + 3 y ^ {\prime } + 2 y &=4 \\2 y ^ {\prime } -x ^ {\prime } + 3 y &=0 \\x(0)=x ^ {\prime } (0)=y(0) &=0 \end {aligned} \]의 해를 구해보자. 라플라스 변환을 취하여 정리하면 \[ \begin {aligned} \left (s ^ { 2 } -2 s \right ) X + (3 s + 2) Y &= \frac { 4 } { s } \\-s X + (2 s + 3) Y &=0 \end {aligned} \]이 되므로 \[X= \frac { 4 s + 6 } { s ^ { 2 } (s + 2)(s-1) } , \quad Y= \frac { 4 } { 2 s(s + 2)(s-1) } \]를 얻고, 따라서 해를 구하면 \[ \begin {array} { l } x(t)=- \frac { 7 } { 2 } -3 t + \frac { 1 } { 6 } e ^ { -2 t } + \frac { 10 } { 3 } e ^ { t } \\y(t)=-1 + \frac { 1 } { 3 } e ^ { -2 t } + \frac { 2 } { 3 } e ^ { t } \end {array} \]이 된다.</p> <h3>■예제 3■</h3> <p>연립미분방정식 \[ \begin {aligned} x ^ {\prime \prime } -2 y &=t + 2 \\x ^ {\prime } -3 y ^ {\prime } + 2 y &=3 t ^ { 2 } \end {aligned} \]의 해를 구해보자. 우선 미분연산자를 써서 나타내면 \[D ^ { 2 } x-2 y=t + 2 \] \[D x + (-3 D + 2) y=3 t ^ { 2 } \]이 되고, 둘째 방정식에 $ (-D) $ 를 곱하여 첫째 방정식에 합해주면 \[-2 y + \left (3 D ^ { 2 } -2 D \right ) y=t + 2-6 t \]또는 \[3 y ^ {\prime \prime } -2 y ^ {\prime } -2 y=-5 t + 2 \]가 되므로 \[a= \frac { 1 + \sqrt { 7 } } { 3 } , \quad b= \frac { 1- \sqrt { 7 } } { 3 } \]일 때 해 \[y=c_ { 1 } e ^ { a t } + c_ { 2 } e ^ { b t } + \frac { 5 } { 2 } t- \frac { 7 } { 2 } \]을 얻는다. 다음은 $ x $ 를 구하기 위하여, 첫째 방정식에 $ (-3 D + 2) $ 를, 둘째 방정식에 2 를 곱 하여 합하면 \[(-3 D + 2) D ^ { 2 } x + 2 D x=(-3 D + 2)(t + 2) + 2 \left (3 t ^ { 2 } \right ) \]이 되므로 \[-3 x ^ { (3) } + 2 x ^ {\prime \prime } + 2 x ^ {\prime } =6 t ^ { 2 } + 2 t + 1 \]이 된다. 따라서 해를 구하면 \[x(t)=k_ { 1 } e ^ { a t } + k_ { 2 } e ^ { b t } + t ^ { 3 } - \frac { 5 } { 2 } t ^ { 2 } + \frac { 29 } { 2 } t + k_ { 3 } \]을 얻는다. $ \\ $다음은 임의의 상수 $ c_ { 1 } , c_ { 2 } , k_ { 1 } , k_ { 2 } , k_ { 3 } $ 사이의 관계를 살피기 위하여, 위에서 구한 $ x, y $ 를 연립미분방정식의 첫째 방정식에 대입하면 \[k_ { 1 } a ^ { 2 } e ^ { a t } + k_ { 2 } b ^ { 2 } e ^ { b t } + 6 t-5-2 c_ { 1 } e ^ { a t } -2 c_ { 2 } e ^ { b t } -5 t + 7=t + 2 \]에서 \[ \begin {array} { l } a ^ { 2 } k_ { 1 } -2 c_ { 1 } =0 \\b ^ { 2 } k_ { 2 } -2 c_ { 2 } =0 \end {array} \]을 얻는다. 그러므로 \[c_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } k_ { 1 } , \quad c_ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } k_ { 2 } \]를 얻게 되므로, 주어진 연립미분방정식의 한 일반해는 \[ \begin {array} { l } x(t)=k_ { 1 } e ^ { a t } + k_ { 2 } e ^ { b t } + t ^ { 3 } - \frac { 5 } { 2 } t ^ { 2 } + \frac { 29 } { 2 } t + k_ { 3 } \\y(t)= \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } k_ { 1 } e ^ { a t } + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } k_ { 2 } e ^ { b t } + \frac { 5 } { 2 } t- \frac { 7 } { 2 } \end {array} \]이다.</p> <p>여기서 $ D $ 에 관한 대수적 연산을 할 수 있음에 주목하자. 예를 들어 $ (D \mid 3)(D + 2)=D ^ { 2 } + 5 D + 6 $과 같이 할 수 있다. 확인해 보면 임의의 함수 $ x(t) $ 에 대하여, \[ \begin {aligned} (D + 3)(D + 2) x &=(D + 3)(D x + 2 x)=(D + 3) \left (x ^ {\prime } + 2 x \right ) \\&=D x ^ {\prime } + D(2 x) + 3 x ^ {\prime } + 6 x \\&=x ^ {\prime \prime } + 5 x ^ {\prime } + 6 x= \left (D ^ { 2 } + 5 D + 6 \right ) x \end {aligned} \]가 된다. 그러므로 위와 같은 예에서와 같이 미분방정식을 “인수분해” 할 수 있다. 예를 들어 \[x ^ {\prime \prime } + 2 x ^ {\prime } + x=0 \]은 \[ \left (D ^ { 2 } + 2 D + 1 \right ) x=0 \]인데 \[(D + 1) ^ { 2 } x=0 \]으로 나타낼 수 있다.</p> <p>예제를 통하여 간단한 연립미분방정식의 해를 구하는 것을 살펴보자.</p> <h3>■예제 1■</h3> <p>연립미분방정식 \[ \begin {array} { r } x ^ {\prime } + y ^ {\prime } =e ^ { t } \\x ^ {\prime } + x + y=1 \end {array} \]을 미분연산자를 써서 나타내면 \[ \begin {aligned} D x + D y &=e ^ { t } \$D + 1) x + y &=1 \end {aligned} \]이 된다. 다음과 같이 하여 연립미분방정식의 해를 구할 수 있다.</p> <p>우선 위의 둘째 방정식에 \( (-D) $ 를 곱해주면 연립미분방정식은 \[ \begin {array} { c } D x + D y=e ^ { t } \\-D(D + 1) x-D y=-D(1)=0 \end {array} \]이 되고, 이들 두 미분방정식을 더해주면 \[D x-D(D + 1) x=e ^ { t } \]또는 \[D x-D ^ { 2 } x-D x=e ^ { t } \]이 된다. 이것은 $ D ^ { 2 } x=-e ^ { t } $ 또는 $ x ^ {\prime \prime } =-e ^ { t } $ 이므로 해를 구하면 \[x=c_ { 1 } + c_ { 2 } t-e ^ { t } \]를 얻는다. $ \\ $다음은 $ y $ 를 구하기 위하여, 다시 위의 미분연산자 $ D $ 로 된 첫째 방정식에는 $ (D + 1) $ 을 곱 해주고 둘째 식에는 $ (-D) $ 를 곱해주면 \[ \begin {array} { l } (D + 1) D x + (D + 1) D y=(D + 1) e ^ { t } =2 e ^ { t } \\-D(D + 1) x-D y=-D(1)=0 \end {array} \] 이 되는데, $ D(D + 1)=(D + 1) D $ 이므로 위의 두 식을 더하면 \[(D + 1) D y-D y=2 e ^ { t } \]또는 \[D ^ { 2 } y=2 e ^ { t } \]이 되어 해를 구하면 \[y=c_ { 3 } + c_ { 4 } t + 2 e ^ { t } \]을 얻는다. $ \\ $한편 두 개의 일계 미분방정식으로 된 연립미분방정식의 해로서 네 개의 임의의 상수를 얻 었으므로 이들을 정리하자. 위에서 구한 $ x $ 와 $ y $ 를 연립미분방정식의 첫째 방정식에 대입하여 정리하면 \[c_ { 2 } -e ^ { t } + c_ { 4 } + 2 e ^ { t } =e ^ { t } \]이 되므로 $ c_ { 4 } =-c_ { 2 } $ 가 된다. 다음은 $ x $ 와 $ y $ 를 둘째 방정식에 대입하면 \[c_ { 2 } -e ^ { t } + c_ { 1 } + c_ { 2 } t-e ^ { t } + c_ { 3 } + c_ { 4 } t + 2 e ^ { t } =1 \]또는 \[ \begin {array} { l } c_ { 2 } + c_ { 1 } + c_ { 3 } + \left (c_ { 2 } + c_ { 4 } \right ) t=1 \\c_ { 1 } + c_ { 2 } + c_ { 3 } =1, \quad c_ { 2 } + c_ { 4 } =0 \end {array} \]이 되므로 $ c_ { 3 } =1-c_ { 1 } -c_ { 2 } $ 가 된다. 따라서 주어진 연립미분방정식의 해는 \[ \begin {array} { l } x=c_ { 1 } + c_ { 2 } t-e ^ { t } \\y= \left (1-c_ { 1 } -c_ { 2 } \right )-c_ { 2 } t + 2 e ^ { t } \end {array} \] 가 된다. $ \\ $해에 포함된 임의의 상수 사이의 관계를 구한 해를 주어진 연립미분방정식의 한 미분방정식 에 대입하여 정할 수도 있다.</p>	자연
미분적분학_도함수	<p>예제 $ 1 $ $ y=\|x-2\| $의 $ x=2 $에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.</p> <p>풀이 $ f(x)=\|x-2\| $라고 하면 $ x \geqq 2 $ 일 때 $ f(x)=x-2 $, $ x<2 $ 일 때 $ f(x)=-x + 2 $ 이고 $ f(2)=0 $ 또, \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow 2 ^ { + } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 2 ^ { + } } (x-2)=0, \\ \lim _ { x \rightarrow 2 ^ { - } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 2 ^ { - } } (-x + 2)=0 \end {array} \] 따라서 연속의 정의로부터 $ f(x) $는 $ x=2 $에서 연속이다. 그러나 $ x=2 $에서 $ f(x) $의 좌, 우미분계수는 각각 \[ \begin {array} { l } f ^ {\prime } -(2)= \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { f(2 + h)-f(2) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \|h\| } { h } = \frac { -h } { h } =-1, \\ f ^ {\prime } + (2)= \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { f(2 + h)-f(2) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \|h\| } { h } = \frac { h } { h } =1 \end {array} \] 로 되어 좌, 우미분계수가 서로 다르다. 따라서 $ f(x) $는 $ x=2 $에서 미분계수를 갖지 않는다.</p> <p>정리 $ 2 $- $ 1 $- $ 1 $ 함수 $ y=f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다.</p> <p>증명 $ y=f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하므로 $ f ^ {\prime } (a) $가 존재한다. 따라서 \[ \begin {aligned} \lim _ { h \rightarrow 0 } \{ f(a + h)-f(a) \} &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \cdot h \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } h \\ &=f ^ {\prime } (a) \cdot 0=0 . \end {aligned} \] 그러므로 $ \lim _ { h \rightarrow 0 } f(a + h)=f(a) $가 되어 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다.</p> <p>참고 그림 $ 2 $- $ 3 $을 통해서 함수의 연속성과 미분가능성을 이해하도록 하자. $ x=c $에서의 접선이 수직이면 $ c $점에서 미분계수가 존재하지 않는다. 이것은 $ \frac { f(c + h)-f(c) } { h } $가 $ h \rightarrow 0 $이면 얼마든지 커지기 때문이다.</p> <h3>연습문제 ( $ 2 $- $ 1 $- $ 2 $)</h3> <p>$ 1 $. 다음 함수들에 대하여 $ x=0 $에서의 미분가능성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y=x\|x\| $</li> <li>$ y= \left \{\begin {array} { ll } x \sin \frac { 1 } { x } , & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end {array} \right . $</li> <li>$ y=\|x-3\| $</li> <li>$ y=x ^ { 3 } $</li></ol> <p>$ 2 $. 도함수가 아래와 같이 정의되었을 때, 원함수와 도함수가 정의된 점을 결정하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 2(5 + h) ^ { 3 } -2(5) ^ { 3 } } { h } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 2 } \frac { x ^ { 2 } -4 } { x-2 } $</li> <li>$ \lim _ { t \rightarrow x } \frac { t ^ { 2 } -x ^ { 2 } } { t-x } $</li> <li>$ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\sin (x + h)- \sin x } { h } $</li></ol> <h2>$ 2 $. 연속함수와 그의 미분가능성</h2> <p>모든 연속함수는 과연 미분가능인지를 살펴본다. 연속함수라 할지라도 모든 점에서 접선이 존재한다면 그 그래프 는 부드러운(smooth) 곡선으로 나타나며 미분가능이지만 그렇지 않은 경우에는 미분가능성을 보장할 수 없다. 여기서는 이와 같이 미분가능석과 연속성과의 관계를 살펴본다.</p> <p>좌·우 미분계수 $ x = a $에서의 미분계수 $ f ^ {\prime } (a) $는 $ x=a $ 근방에서의 평균변화율의 극한값을 나타낸다. 극한값이 존재한다는 것은 좌극한값과 우극한값이 같고 유한확정이라는 뜻이다. 여기서 평균변화율의 좌극한값을 좌미분계수, 우극한값을 우미분계수라 한다. 즉, \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (a) &= \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \end {aligned} \] 임을 의미한다. \[ \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 를 $ x=a $에서 $ y=f(x) $의 우미분계수, \[ \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 를 $ x=a $에서 $ y=f(x) $의 좌미분계수라고 하고 각각 $ f ^ {\prime } + (a), f ^ {\prime } -(a) $로 나타낸다. 좌미분계수와 우미분계수가 $ x=a $에서 같을 때, $ x=a $에서 함수 $ f(x) $는 미분가능하다고 한다. 즉, $ f ^ {\prime } + (a)=f ^ {\prime } -(a)=f ^ {\prime } (a) $일 때 $ x=a $에서 미분가능하다.</p> <p>연속함수와 그 도함수의 존재가능성 어떤 주어진 구간 $ I $에서 함수 $ y=f(x) $가 각 점에서 미분가능하면, 구간 $ I $에서 함수 $ f(x) $는 연속이다. 그러나 연속함수라고 해서 각 점에서 좌미분계수와 우미분계수가 반드시 같은 것은 아니다. 다시 말하면 연속함수라고 해서 미분가능한 함수가 반드시 되는 것은 아니다. 예제 $ 1 $ 과 정리 $ 2 $- $ 1 $- $ 1 $은 그의 반례와 증명이다.</p> <p>보기 $ 1 $ 서울에서 부산까지 약 $ 440 $km라고 하자. 새마을호 열차로 약 $ 4 $시간이 소요된다면 이 열차의 평균속도는 얼마인가?</p> <p>풀이 서울에서 부산까지의 열차의 시각 $ t $에서의 위치를 $ s=f(t) $라 하면 $ t_ { 0 } =0 $에서 $ t_ { 1 } =4 $까지 변할 때, 평균변화율(평균속도) $ \Delta v $를 구하는 문제이다. 따라서 \[ \Delta v= \frac {\Delta s } {\Delta t } = \frac { f \left (t_ { 1 } \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { t_ { 1 } -t_ { 0 } } = \frac { 440-0 } { 4-0 } =110( \mathrm { ~km } / \mathrm { h } ) \] 이다. 이는 속도계를 보면 언제나 $ 110 $km를 나타낸다는 뜻이 아니다. 출발 직전에는 $ 0 $km이지만 어떤 곳에서는 $ 130 $km를 나타내는 곳도 있다. 이는 $ 4 $시간 동안 평균 $ 110 $km/h의 속도로 주행했다는 뜻이다.</p> <p>도함수 미분계수 $ f ^ {\prime } (a) $는 $ x=a $에서의 순간변화율이다. 이때, 주어진 구간 $ I $의 모든 점에서 미분가능일 때의 임의의 점 $ x $에 대하여 그 미분계수 $ f ^ {\prime } (x) $을 대응시키면 새로운 함수가 정의되는데, 이 함수를 $ y=f(x) $의 도함수(derived function, derivative)라 하고 \[ y ^ {\prime } , f ^ {\prime } (x), \frac { d y } { d x } , \frac { d } { d x } f(x) \] 등으로 나타낸다. 즉, 도함수의 정의를 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x)-f(x) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(h) } { h } $<caption>(3)</caption></p> <p>결국 ( $ 3 $)의 식은 ( $ 1 $)과 ( $ 2 $)에 의해서 구할 수 있다는 뜻이고 ( $ 3 $)의 기하학적 의미는 주어진 구간 $ I $에서의 함수 $ y=f(x) $가 주어졌다면 각 점 $ x $에서의 접선의 기울기가 된다. 속도에서 말하는 순간속도나 유기물의 성장속도(생물학), 생산비나 겨우 나올 정도의 이윤(경제학), 철사의 밀도(물리학), 용해속도(화학) 등은 동일한 도함수의 개념을 달리 표현한 것이다.</p> <p>미분한다 함수 $ f(x) $의 도함수 $ f ^ {\prime } (x) $를 구하는 것을 $ f(x) $를 미분한다(differentiate)고 말한다. $ x=a $에 있어서의 미분계수는 \[ \left [y ^ {\prime } \right ]_ { x=a } , f ^ {\prime } (a), \left [ \frac { d y } { d x } \right ]_ { x=a } , \frac { d } { d x } f(a) \] 등으로 나타낸다. 즉 $ x=a $에서 미분계수를 구하려면 먼저 도함수 $ f ^ {\prime } (x) $를 구하여 $ x $ 에 $ a $를 대입하여 구해도 된다.</p> <p>$ 5 $. 미분가능성과 연속성 함수 $ y=f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다. 그러나 역은 참이 아니다.</p> <h2>종합문제 ( $ 2 $- $ 1 $)</h2> <p>$ 1 $. 다음 각 함수에 대하여 $ x $가 $ 1 $에서 $ 3 $까지 증가할 때의 평균변화율을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 2 } $</li> <li>$ f(x)=x ^ { 3 } $</li> <li>$ f(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ f(x)= \sqrt { x } $</li></ol> <p>$ 2 $. $ t $시간 동안에 $ \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } + 1 $만큼 불어나는 어떤 종류의 박테리아를 배양 중에 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 2 \leqq t \leqq 2.01 $ 사이에 얼마나 증가하겠는가?</li> <li>$ 2 \leqq t \leqq 2.01 $ 동안의 평균증가율을 구하여라.</li> <li>$ t=2 $에서의 순간증가율을 구하여라.</li></ol> <p>$ 3 $. 원판이 팽창하고 있을 때 그 반지름의 길이 $ r $에 대한 면적의 변화율을 구하여라. 또 구에 대하여는 어떻게 되겠는가?</p> <p>$ 4 $. 도함수의 정의에 따라 다음 함수의 도함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y= \frac { 4 } {\sqrt { x } } $</li> <li>$ y=(3 x + 1) ^ { 2 } $</li> <li>$ y= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ y=3 x ^ { 2 } -x ^ { 3 } $</li></ol> <p>$ 5 $. 다음 각 곡선 위에 지정된 점에서의 접선의 기울기를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y= \frac { 1 } {\sqrt { x + 2 } } ; \left (2, \frac { 1 } { 2 } \right ) $</li> <li>$ y=8 + 2 x-x ^ { 2 } ; \quad(2,8) $</li> <li>$ x y=16 $</li> <li>$ y=2 x ^ { 3 } -1 ; \quad(1,1) $</li></ol> <p>$ 6 $. 곡선 $ y= \sqrt { x } $에서 $ x $가 $ 1 $에서 $ 2 $까지 움직일 때의 평균변화율과 같은 기울기를 갖는 접선의 접점의 좌표를 구하여라.</p> <p>$ 7 $. $ y=x ^ { 3 } + 2 x $에서 $ x $가 $ 2 $에서 $ 3 $까지 변화했을 때의 $ y $의 평균변화율과 $ x=2 $에서의 $ y $의 순간변화율은 어느 정도 차이가 있는가?</p> <p>$ 8 $. 다음 함수 $ f(x) $에 대하여 $ x=0 $에서의 미분가능성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } x ^ { 2 } + 1, & (x \geqq 0) \\ -x ^ { 2 } + 1, & (x<0) \end {array} \right . $</li> <li>$ f(x)=[x + 1] $ ([ ]은 가우스 기호)</li></ol> <p>$ 9 $. 함수 $ f(x) $가 실수 전체의 집합에서 정의되고 조건</p> <ol type=a start=1><li>$ f(a + b)=3 f(a) f(b) $</li> <li>$ f(0)= \frac { 1 } { 3 } $</li> <li>$ f ^ {\prime } (0) $가 존재</li></ol> <p>를 만족하면 $ f(x) $는 모든 $ x $에서 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (x)=3 f ^ {\prime } (0) f(x) $가 됨을 밝혀라.</p> <h2>요약 ( $ 2 $- $ 1 $)</h2> <p>$ 1 $. 기울기 점 $ P $의 좌표를 $ (a, f(a)) $라 하고 근방에 있는 점 $ Q $를 $ (a + h, f(a + h)) $라 하면 두 점 $ P, Q $를 지나는 할선의 기울기 $ m $은 \[ m = \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 이다.</p> <p>$ 2 $. 평균변화율 함수 $ y=f(x) $에서 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때 $ f(x) $는 $ f(b)-f(a) $만큼 변한다. 이때, 변화량 의 비 \[ \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \] 를 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때의 함수 $ f(x) $의 평균변화율이라 한다.</p> <p>$ 3 $. 순간변화율 평균변화율 $ \frac {\Delta y } {\Delta x } $의 극한값 \[ \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(a + \Delta x)-f(a) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 가 존재해서 유한확정일 때, $ f(x) $는 $ x=a $에서 미분가능(differentiable)이라 하고 이 극한값을 $ f(x) $의 $ x=a $에서의 순간변화율 또는 미분계수(differential coefficient)라 하고 $ f ^ {\prime } (a) $로 쓴다. 즉, \[ f ^ {\prime } (a)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(a + \Delta x)-f(a) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 이다.</p> <p>$ 4 $. 도함수 $ y=f(x) $의 도함수(derived function, derivative)는 \[ y ^ {\prime } , f ^ {\prime } (x), \frac { d y } { d x } , \frac { d } { d x } f(x) \] 등으로 나타내고 다음과 같이 정의한다. 즉, \[ f ^ {\prime } (x)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x)-f(x) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(h) } { h } . \] .</p> <h1>제 $ 2 $장 도함수</h1> <p>미분학은 임의의 운동이나 변화가 아니라 어떤 특정한 종류의 운동과 변화를 묘사하고 분석하는 방법을 제공한다. 이런 제한은 운동하는 변화를 표현하는 함수가 제시됨으로써 가능하다. 이 장에서는 도함수의 개념에 대해 소개하고 이어서 $ 1 $장에서 언급한 대수함수와 초월함수들에 대한 도함수를 구하는 법과 합성함수, 역함수, 음함수, 매개변수함수들에 대한 도함수는 어떻게 구하는지를 영역별로 자세히 소개한다. 도함수는 도함수의 응용분야나 적분개념을 이해하는 데 매우 중요한 단원이다.</p> <h2>$ 2-1 $ 미분계수와 도함수</h2> <p>$ 1 $. 평균변화율, 순간변화율</p> <p>많은 물리적인 현상들은 변화량을 내포하고 있다. 예를 를어, 자동차의 속도, 경제학에서 다루는 물가의 변화, 사 회학에서 다루는 여론의 동향의 변화, 인터넷을 이용하는 인구의 변화, 생물학에서 말하는 박테리아 수의 변화 등 이러한 모든 분야의 현상들은 모두가 시간이라는 독립변수에 따라 순간적으로 변화하고 있다. 여기서는 이러한 변화를 적절하게 나타낼 수 있는 수학적인 도구를을 설명한다.</p> <p>접선 유클리드는 접선을 곡선의 한 점에 접하는 직선으로 정의하였다. 이것은 원에 대해서는 옳은 정의가 되겠지만 거의 모든 곡선에 대해서는 옳다고 볼 수 없다. 지금 $ P, Q $ 는 곡선상의 점으로서 $ P $는 고정점이고 $ Q $는 $ P $근방에서 움직이는 점이라고 하자. 이때, $ P $ 와 $ Q $ 를 지나는 직선을 할선(secant line)이라고 한다. 또, $ Q $가 곡선을 따라서 $ P $를 향하여 접근할 때 할선의 극한값이 만약 존재한다면 이를 점 $ P $에서의 접선(tangent line)이라고 한다.</p> <p>그림 $ 2-1 $의 곡선을 $ y = f(x) $라 하자. 점 $ P $의 좌표를 $ (a, f(a)) $라 하고 근방에 있는 점 $ Q $의 좌표를 $ (a + h, f(a + h)) $라 하면 두 점 $ P, Q $를 지나는 할선의 기울기 $ m $은 다음과 같다.</p> <p>$ m= \frac { f(a + h)-f(a) } { h } $</p> <p>평균변화율 일반적으로 함수 $ y=f(x) $에서 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때 $ f(x) $는 $ f(b)-f(a) $만큼 변한다. 이 때, 변화량의 비 \[ \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \] 를 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때의 함수 $ f(x) $의 평균변화율이라 한다.</p> <p>변수 $ x $의 변화량을 $ \Delta x $또는 $ h=b-a $라 두고 이에 대응하는 $ f(x) $의 변화량을 \[ \Delta y=f(a + \Delta x)-f(a)=f(a + h)-f(a) \] 라 둘 때, $ \Delta x $를 $ x $의 증분(increment)이라 하고 $ \Delta y $를 $ \Delta x $에 대한 함수 $ y=f(x) $의 증분이라 한다. 이때, 평균변화율은 \[ \begin {aligned} \frac {\Delta y } {\Delta x } &= \frac { f(a + \Delta x)-f(a) } {\Delta x } \\ &= \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \end {aligned} \]<caption>(1)</caption>와 같이 나타낼 수도 있다.</p> <p>결국 평균 변화율의 기하학적 의미는 앞의 그림 $ 2 $- $ 1 $에서 보는 바와 같이 두 점 $ P $와 $ Q $를 잇는 직선의 기울기와 같다.</p> <p>순간벼화율(미분계수) 평균변화율 $ \frac {\Delta y } {\Delta x } $의 극한값 \[ \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(a + \Delta x)-f(a) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \] 가 존재해서 유한확정일 때, $ f(x) $ 는 $ x=a $에서 미분가능(differentiable)이라 하고 이 극한값을 $ f(x) $의 $ x=a $에서의 순간변화율 또는 미분계수(differential coefficient)라 하고 $ f ^ {\prime } (a) $로 쓴다.</p> <p>즉, \[ f ^ {\prime } (a)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(a + \Delta x)-f(a) } {\Delta x } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \]<caption>(2)</caption>이다.</p> <p>함수 $ f(x) $가 구간 $ I $의 모든 점에서 미분가능일 때, $ f(x) $는 구간 $ I $에서 미분가능이라 한다. 미분계수의 기하학적 의미는 그림 $ 2-1 $에서 $ \Delta x \rightarrow 0 $인 것은 점 $ Q $가 점 $ P $로 무한히 접근한다는 것이고 이것은 결국 점 $ P $ 에서의 접선의 기울기가 된다. 즉, $ f ^ {\prime } (a) $는 점 $ P $에서의 접선의 기울기이다.</p>	자연
	<h1>5. 결론</h1> <p>공식통계와 여론조사 결과의 언론보도에서의 문제점 및 해결방안에 대해 사례를 중심으로 알아보았다. 또한 그래프를 이용한 자료의 언로보도시의 오용사례 및 이의 해결방안도 검토하여 보았다. 과거의 언론보도와 비교할 때 긍정적인 방향으로 많은 변화가 있었음에도 불구하고, 통계발표와 관련된 언론의 보도와 관련하여 아직도 개선할 점이 많음을 부인할 수 없을 것이다.</p> <p>많은 학자들이 잘된 여론조사와 잘못된 여론조사를 판별하기 위한 조사방법론을 설명하고 있다. 특히 보도와 관련하여서는 여론조사가 문제가 있거나 혹은 문제가 있어 보인다는 의심만 들어도 보도할 가치가 없으니 무시하라고 충고하고 있다. 즉, 적절한 방법으로 확인할 수 없는 여론조사의 내용은 보도되어서는 안된다는 뜻이다. 따라서 기자들은 게이트 키퍼로서 여론조사들을 분류해서 믿을만하고 보도할 가치가 있는 정보들을 보도하여야 한다. 기자들에게 이러한 능력을 키우기 위해서는 여론조사 이용법을 교육하고 안내여야 한다. 주요 언론대학에서는 현재 여론조사 연구와 정밀저널리즘에 관한 학과목을 개설하고 있다.</p> <p>조사보도에 있어서 방송과 신문은 각각의 역할이 다르다. 방송은 당선자를 빨리 알아내고 최다득표자의 득표수를 가장 먼저 방송하려고 하며, 또한 당선 이유 또는 당선자에게 투표한 사람들의 성향조사에 관심이 있으므로 출구조사(exit poll)를 실시한다. 방송의 속보성에 비해 신문은 관련정보의 폭 넓은 보도가 관심사일 것이다. 이러한 각자의 관심사를 고려할 때 방송과 신문이 공동으로 조사를 실시하고 결과를 분석 보도하는 것이 바람직 할 것이다. 미국의 예를 들어보면 CBS는 뉴욕타임스, ABC는 워싱턴포스트와 NBC는 AP 및 월스트리트 저널과 공동여론조사기구를 구성하고 있다고 한다. 또한 학계의 여러 연구소와의 교류를 통해 문제점을 파악하고 필요한 점이 있다면 여론조사법의 개정 등을 정부에 건의할 수도 있을 것이다.</p> <p>마지막으로 여론조사 공표금지의 문제와 관련된 1998년 6월 5일자 문화일보의 논설을 소개한다. 여론조사 결과의 공표를 금지한 현행 법규정에 의해 이른바 정보의 암시장이 형성되어 정보 등을 왜곡할 가능성이 있음을 지적하고 있다. 이러한 문제점들은 관련 전문가, 학계 및 국회와 정부당국과의 공청회를 통해 해결할 수 있을 것으로 기대된다.</p> <h1>4. 언론보도상의 그래프의 오용사례 및 해결책</h1> <p>통계정보를 일반에게 전달하는 수단으로는 표(table)와 그래프(graph)를 들 수 있다. 이 중에서도 통계그래프는 수치적 정보를 간단하게 시각적으로 전달하는데 가장 효율적인 도구로서, 현대 언론매체들이 시각화편집(visual editing)을 중시하는 경향과 맞물리며 통계정보 전달에 중요한 역할을 담당하고 있다. 따라서 신문이나 잡지들이 TV 또는 라디오와 같은 시청각매체와 경쟁하려면 사진이나 그래프 등을 이용하여 시각적인 효과를 높이는 것이 좋을 것이다. 특히, 통계그래프는 컴퓨터그래픽스의 발전과 더불어 통계적 정보전달의 가장 강력한 도구로서 그 중요성을 더 해가고 있다고 할 수 있다 (장대흥, 1995).</p> <p>이러한 그래프의 중요성에 비해 일부 언론 보도에서 잘못 적용된 그래프로 인하여 독자들을 오도하는 문제가 되풀이되고 있다. 이 절에서는 언론매체 상에 나타나는 통계 그래프의 오용실태와 이의 해결방안에 대해 알아보고자 한다.</p> <p>통계그래프의 오용에 대한 연구로는 Schmid (1983)와 Tufte (1983), Wainer (1984), Jarvenpaa (1988) 및 장대흥 (1995) 등을 들 수 있다. 장대흥 (1995)에 의해 지적된 우리 나라 언론매체의 통계그래프의 오용 종류 중에서 몇 가지 사례를 들어보기로 한다.</p> <h3>(1) 자료의 크기와 그래프의 크기가 비례하지 않는다</h3> <p>예를 들어, 두 회사의 임금을 비교하는 경우를 생각해 보자. 시각적인 효과를 고려하여 막대그래프보다는 그림 4.1에서 보는 것처럼 돈자루를 이용하고 있다. 임금이 두배라는 의미에서 오른쪽의 돈자루의 높이를 왼쪽의 돈자루의 높이의 두배가 되도록 그린 결과는 시각적으로 마치 임금이 네배가 되는 것 같은 효과를 가져오고 있다. Huff (1954)는 뉴우스위크지 마저 물체를 이용한 이러한 형태의 속임수를 쓰고 있다고 지적하고 있다.</p> <p>(사례 9) 주요 수신금리 동향</p> <p>1998년 6월 2일자 문화일보 경제란은 “주요 수신금리 동향”이라는 제목 하에 그림 4.2와 같이 그래프가 게재되었다. 우선 RP수익률의 경우 금리가 하락했는데도 불구하고 마치 오른 것처럼 원의 크기가 커지고 있다. 또한 금리의 종류를 큰 원으로 표현하고 금리와 선으로 연결한 이유를 알 수 없다.</p> <h3>(2) 가로축의 눈금이 일정하지 않거나, 같은 시간대의 비교를 하지 않는다</h3> <p>일반적으로 시계열 자료를 그래프로 나타내는 경우에는 가로축은 눈금은 일정한 시간 간격에 따라 결정되어야 한다. 그러나 이 축이 일정하지 않은 경우가 많다. 또한 여러 개의 그래프를 비교하는 경우 동일한 시간에 관측된 값들을 비교해야 할 것이다.</p> <p>(사례 10) 금융위기 발생 후 은행 수신금리 처음 내려</p> <p>그림 4.3은 1998년 6월 8일자 중앙일보 23면에 게재된 그래프이다. 금융위기 후의 구조조정 속도를 비교하기 위해 스웨덴과 멕시코 두 나라의 주요 경제지표를 비교하고 있다. 금리, 환율, 주가를 비교하는 그래프에서 그래프마다 비교시점이 다르다.</p> <h3>(3) 세로축의 사용 시 문제가 있다</h3> <p>세로축이 무엇을 의미하는지 전혀 명시되지 않는 경우가 있다. 또한 두 그래프를 비교하는 경우 가능하면 동일한 축을 이용하는 것이 바람직하다. 부득이 스케일이 다른 두 그래프를 비교하고자 한다면 왼쪽과 오른쪽 축을 이용하면 될 것이다.</p> <p>(사례 12) 세로축은 화폐가치인가? 환율인가?</p> <p>1998년 6월 9일 중앙일보 4면에는 아시아 각국의 환율 추이를 비교하는 그래프가 게재되어 있다(그림 4.4). 각국의 화폐가치가 하락한다는 것을 강조하기 위해 그린 그래프로 이해되나, 그래프 상에 표기된 환율이 상승함에 따라 그래프의 추세가 하강하므로 착각을 일으키게 된다. 환율을 세로축으로 하는 그래프를 그리고 설명을 첨부하거나 화폐가치를 나타내는 다른 척도를 사용하는 것이 좋지 않을까 생각된다.</p> <h3>(4) 기사내용 또는 자료에 맞지 않는 그래프 또는 표를 선택한다</h3> <p>(사례 13) 엘니뇨와 가뭄의 관계는?</p> <p>1998년 6월 8일자 중앙일보 25면에는 “가을께부터 가뭄예고” 라는 제목 하에 엘니뇨와 가뭄과의 관계를 연구한 결과 올 하반기에는 극심한 가뭄이 올 것으로 예상된다는 기사를 게재하여 주목을 끌고 있다.</p> <p>그러나 기사와 같이 제공된 엘니뇨와 가뭄의 연관성에 관한 표는 외국의 자료를 인용한 것이며 자료에 대한 설명이 전혀 언급되어 있지 않다. 연구결과에서 인용된 우리 나라의 자료를 수록하는 것이 기사를 이해하는데 도움이 될 것이다.</p> <p>앞에서 언급된 그래프의 오용과 관련된 문제점들을 해결하기 위한 방안과 그래프의 오용을 막기 위한 제도적 해결방안은 장대흥 (1995)을 참고하기 바란다.</p> <h3>(5) 조사방법 및 조사기간</h3> <p>자료를 수집하는 조사방법으로는 면접원이 직접 피조사자를 만나서 면접을 통해 자료를 수집하는 면접조사 방법과 미리 작성된 설문지를 이용한 설문지조사, 우편설문조사 및 전화조사를 들 수 있다. 근래에들어 대부분의 여론조사는 전화조사로 이루어지고 있는 실정이다. 이재창 (1996)과 허명회 (1997)에 의하면 전화조사는 신속성과 경제성 등의 측면에서 여러 가지 장점을 지니고 있는 반면에 다음과 같은 문제점들이 있기 때문에 전화여론조사의 한계를 인식하여야 한다. 우리나라에서 실시된 전화조사의 여러 가지 문제점에 대해서는 노규형 (1998)을 참고하면 된다.</p> <p>1) 표집틀(sampling frame)의 문제: 표집틀로 사용되는 전화번호부에 최신 변동사항이 등재되지 않거나 개인이 2 대 이상의 전화번호를 가지고 있는 등의 문제가 있다. 미국 등에서는 컴퓨터를 이용한 임의번호 전화걸기(telephone random digit dialing) 방법을 이용하고 있다.</p> <p>2) 명확한 조사규칙이 없는 경우: 통화중, 전화받지 않음, 통화거절 중도탈락 등에 대한 처리규칙이 명확하지 않아 면접원에 의해 자의적으로 처리될 가능성이 높다.</p> <p>3) 응답자의 비밀보장의 문제: 자기의견보다 사회적으로 선호되는 응답을 하는 경향(social desirability bias)에 의한 편향이 발생할 수 있다.</p> <p>4) 높은 무응답비율: 응답거부 및 무응답에는 유동적이라는 면 이외에도 비협조의 뜻이 담겨 있으므로 부동층으로 보는 것이 타당하지 않으므로 무응답자들의 성향을 파악하여 이를 반영하는 방안이 강구되어야 한다. 이 비율이 높으면 결과는 믿을만 하지 않다. NBC의 경우는 면접거부율이 약 $ 20 \% $라고 알려져 있다.</p> <p>5) 밀어붙이기식 조사(push poll)의 문제: 선거운동을 가장한 조사로 인해 조사의 질이 떨어진다.</p> <p>이러한 전화조사의 문제점을 극복하고 정확한 선거결과의 예측을 위해서는 출구조사(exit poll)를 시행하는 것이 바람직하다. 그러나 국내에서는 법에 의해 출구조사가 금지되어 있는 관계로 유사 출구조사가 시행되고 있다. 또한 보도상의 필요로 인해 투표마감시간 이전에 조사가 마감되는 관계로 그 시각 이후 투표마감까지 투표한 유권자들의 성향은 파악할 수 없는 등의 비표본오차가 표본오차 보다 조사결과에 더 큰 영향을 미칠 수 있다.</p> <p>(사례 7) 방송사 출구조사는 믿을만하지 않은가?</p> <p>1998년 6월 5일자 문화일보 15면에서는 “방송사 출구조사 신뢰도 흔들” 이라는 제목 하에서 MBC/갤럽의 조사가 출구조사에 의해 시행된 것이 아님에도 불구하고 마치 출구조사에 의한 예측이 크게 빗나가 신뢰도에 상처를 입혔다고 보도하고 있다 (그림 3.5). 법으로 금지된 출구조사가 시행된 것이 아니라 유사출구조사가 시행되어 비표본오차가 조사결과에 큰 영향을 끼칠 수 있음은 전혀 언급하지 않고 방송사에 의한 조사에 문제가 있는 것처럼 보도하고 있다. 속보성에서 뒤지는 신문의 라이벌의식의 발로가 아닌지?</p> <p>그림 3.1을 보면 조사시기를 오전 8 시 오후 4 시 라고 명시하고 있어 이 기준은 비교적 잘 지켜지고 있다. 그러나 한가지 미흡한 점은 (사례 5)에서 설명한 것처럼 실제 방송에서는 전화조사가 오후 1시 30분까지만 실시되었으므로 이후의 투표자들은 조사 결과에 반영되지 않았음을 누누이 강조하였으나 그림 3.1에서는 마치 전화조사가 오후 4시까지 실시된 것으로 보도하고 있어 혼선을 일으킨다.</p> <h1>2. 공식통계의 작성 및 발표상의 문제점</h1> <p>우리 나라의 공식통계(통계법 제 8조 및 제 9조에 의거하여 통계청의 작성승인을 얻은 통계를 공식통계라고 부르기로 한다)는 지정 또는 일반통계의 형태로 각 기관에 분산되어 작성되고 있으며, 통계청에서 종합적인 조정기능을 수행하고 있다. 표 2.1에는 1999년 4월 현재 통계청 등 102개 기관에서 작성하고 있는 총 389 종의 공식통계의 종류 및 작성기관이 수록되어 있다. 대표적인 공식통계 작성 전문기관으로는 통계청과 한국은행 등을 들 수 있는데, 통계청은 인구, 주택총조사, 경제활동인구조사, 광공업통계조사, 도시가계조사 등 국가의 기간통계를 위주로, 한국은행은 국민소득, 산업연관표, 국제수지, 자금순환 등 5대 국민계정을 위주로 작성하고 있다. 통계청에서 관리하는 공식통계 중 지정통계는 60종이고 일반통계는 329종이다. 작성방법 별로는 표본에 의해 얻어지는 조사통계가 191종이고 보고통계는 163종, 나머지 35종은 가공 통계로 구성되어 있다. 또한 정부기관에 의해 작성되는 통계는 290종으로 $ 74.6 \% $를 차지하고 있다. 이처럼 정부기관의 비중이 높은 것은 신고, 인·허가 등 행정업무수행 과정에서 수집된 기초자료를 재분류·정리하여 작성한 보고통계가 많기 때문이다.</p> <p>이재창 (1998)에 의하면 조사통계는 통계적 기법을 이용하여 생산되기 때문에 오차계산을 통한 통계적 추정과 검정이 가능하나 행정업무의 부수적인 산물로 얻어지는 보고통계의 경우에는 오차의 서술이 보고 채널을 통한 과정과 보고자의 판단이 불확실한데서 발생한다고 한다. 행정기관이나 금융산업의 감독기관을 통해 작성하는 보고통계는 행정체계의 효율성이나 신뢰성과 관련되어 크게 주목될 수 밖에 없으므로 가능한 한도 내에서 통계작성과정이 밝혀져야 할 것이라고 지적하고 있다. 보고통계는 특히 그 보고내용이 보고자와 피 보고자에게 사용목적이 상반될 수 있으며, 보고자에게 유리하도록 편향되는 경우도 많을 것이다. 기업활동을 대상으로 하는 통계는 보고자에게 불이익이 될 사항은 피하거나 축소할 목적에서 의도적으로 조작되거나 허위응답을 하는 경우도 있을 것이다. 이러한 문제점들은 조사통계에서도 있지만 통계법으로 보장된 비밀 보장과 통계목적 이외에는 사용금지조항으로 인해 보고통계보다 덜 위협을 받는다고 알려져 있다. 따라서 통계정보가 투명성을 보장하고 정직하게 모든 수요자에게 공평하게 제공되지 않으면 국제금융시장의 오판이나 혼란을 야기하는 것은 물론이며 국가의 신인도에도 영향을 미치게 된다. 우리는 IMF체제를 겪으면서 통계의 투명성 부족으로 인한 많은 문제점을 인식하게 되었다.</p> <p>통계작성 시에 발생하는 문제점과 더불어 통계정보를 보도하는 과정에서 원래 작성된 통계내용과는 다른 내용이 보도되는 경우가 있다. 즉, 통계작성기관의 의도와는 달리 보도되어 통계작성자를 곤혹스럽게 만드는 경우가 있는데 기자들의 순환근무에 따른 전문성 부족 등에서 비롯될 수도 있다고 생각된다. 또 다른 이유로는 고객을 확보하기 위한 차원에서 언론사간의 과잉경쟁 및 특종의식 등에 의해 고객들의 흥미나 관심을 끌기 위한 목적으로 기사의 내용보다 과장된 제목을 사용하는 경우도 있다. 뿐만 아니라 두 개 이상의 연구기관이나 정부기관에서 발표한 결과가 서로 상이하여 이용자들을 혼란스럽게 하는 경우도 생긴다. 따라서 자료를 수집하는 과정에 대한 소상한 정보는 최종이용자의 판단에 매우 도움이 된다.</p> <p>이외에도 통계작성기관의 입장에서 겪는 어려움으로는 개별기관의 정보내용을 기사화할 목적으로 개별 기관의 자료를 요구하는 경우를 들 수 있다. 통계작성기관의 입장에서는 자료 제공기관의 기밀에 관한 사항을 공개하기가 곤란한 경우가 많다. 만약 공개로 인해 조사응답가구 및 자료제공 사업체들이 피해를 받는 경우 이들의 자료제공 거부로 인해 통계 작성에 중대한 문제가 발행할 수 있다. 통계법 13조에서는 개별기관으로부터 수립한 기초자료는 통계 작성목적에 한정하여 사용할 것을 명시하고 있다. 또한 최근의 IMF체제하에서는 국익과 관련된 사항에 대해 언론보도가 국내외에 미칠 파장 등을 고려하여 신중하게(?) 기사화 할 필요도 있을 것이다. 공식통계와 관련된 언론보도에서의 문제점을 사례를 이용하여 살펴보기로 한다.</p> <p>(사례 1) 어느 것이 진정한 실업률인가?</p> <p>1998년 4월 29일자 문화일보 1면에는 “실질실업" 400만 명이라는 제목의 기사가 게재되어 있다. 또한 1998년 6월 12일자 매일경제신문 30면에는 “내년 실업률 $ 7.2 \% $ 실직자 156만명”이라는 제목의 기사가 게재되어 있다, 그림 2.1. 물론 두 기사 모두 인용된 자료의 출처를 밝히고 있으므로 보도 상의 문제는 아니라고 할 수 있다. 그러나 두 기사 모두 정부산하기관의 실업률 전망을 인용하고 있어 전문적인 지식이 없는 일반독자의 입장에서는 혼란이 있을 수밖에 없다.</p> <p>실업통계 작성 시 통계청은 ILO 기준(주된 활동은 아니지만 1 주간 1 시간 이상 조금이라도 수입이 있는 일을 한 사람은 취업으로 간주하고, 일시 휴직의 경우 사유를 확인한 후 취업으로 분류)에 의한다고 한다(임성곤, 1991). 그러나,</p> <p>1) 노동력의 공급측면을 중시한 가구대상조사의 결과와 수요측면을 중시한 사업체 대상조사의 결과들이 불일치하고</p> <p>2) 가구대상조사에서 작성되는 실업률이 너무 적게 나오며</p> <p>3) 가구대상조사 결과가 경기를 민감하게 반영하지 못한다.</p> <p>는 등의 차이로 인해 실제 실업률을 반영하지 못한다는 지적을 받고 있다고 한다. 이러한 보도의 경우 현재 발표되고 있는 실업률을 구하는 방법과 보도되는 실업률을 계산하는 방법 및 외국의 실업률 산정 방법과의 비교 등의 자세한 설명이 추가되어야 독자들에게 혼란을 주지 않을 것이다. 통계청에서는 국회 환경노동위 업무보고를 통해 1999년 7월부터 OECD 기준의 실업통계를 ILO 기준의 실업통계와 함께 발표하기로 하였다 (매일경제신문 1999년 4월 23일자 기사 참고). OECD 기준 실업통계는 구직활동 기간을 4주일로 잡고 있어 ILO 기준에 비해 실업률이 높아지게 될 것이다.</p> <p>(사례 2) 농가부채 정말로 얼마인가?</p> <p>1998년 6월 9일자 문화일보 10면을 보면 “농가 총부채 18조원 넘어” 라는 기사가 보도되고 있다, 그림 2.2. 농가부채의 처리는 농가부채 탕감이라는 대통령 선거 공약과 관련하여 많은 농민들의 관심을 글고 있는 문제이다. 본 기사는 농림부에서 전국 3,140개의 농가를 대상으로 실시한 “97년 농가경제 조사결과”에 의하면 농가의 가구 당 평균 부채는 1,301만원이라고 밝히고 있다. 그러나 1997년에 국회에서 인용된 농림해양수산 위원회 소속위원의 조사결과(1997년 9월 26일 전국 농업경영인 농정대개획촉구대회에 참여한 농업경영인 2,132명을 대상으로 한 선택형 설문조사 결과, 농가부채조사 협의회 회의자료 참고)에 의하면 가구 당 평균 부채는 6,961만원이라고 한다. 무려 5배 가량 차이가 나고 있다. 물론 농민의 입장에서는 부채가 많으므로 이를 탕감할 필요가 있다고 주장하는 것이 도움이 될 것이나 대책을 수립해야 하는 입장에서는 어떤 자료를 인용할 것인가 곤혹스럽기만 할 것이다.</p> <p>이처럼 두 개 이상의 연구기관이나 정부기관에서 발표한 결과가 서로 상이한 경우에는 어느 쪽도 믿기도 어려운 경우가 생긴다. 물론 지면의 제약 상 상세하게 설명할 수 없으리라는 점은 이해가 되지만 자료를 수집하는 과정에 대한 소상한 정보가 같이 보도되어야만 최종이용자의 판단에 도움이 될 것이다.</p> <h1>3. 여론조사 결과의 보도상의 문제점</h1> <p>정부관련기관에 의해 작성되는 공식통계 이외에도 각종 언론기관 또는 사회단체들이 제공하는 통계정보로는 각 기관의 필요성에 의해 조사되는 여론조사 결과 등의 각종 사회통계가 있다. Sudman (1983)에 의하면 방송에서 여론조사를 실시하는 주된 이유는 정치, 경제, 사회의 여러 분야에서 뉴스의 소재가 되는 주제들을 선택하기 위한 것이라고 한다.</p> <p>최근 우리 나라에서도 선거와 관련하여 여론조사가 선거결과의 예측을 위한 중요한 수단으로 이용되고 있으며, 특히, 1997년 제 5대 대통령 선거에서는 당선자 예측뿐만 아니라 득표율까지도 오차범위 내에서 적중시켜 여론조사의 신뢰성을 높이는 기회가 되었다. 이 절에서는 각종 여론조사의 실시 및 보도와 관련된 문제점들에 대해 언급하기로 한다.</p> <p>국내에서의 선거와 관련된 여론조사의 보도는 1995년 6월 27일 지방자치단체장 선거에서 MBC TV가 한국갤럽에 의뢰하여 실시한 조사결과 전국 15개 광역단체당선자를 모두 맞추면서 언론계 및 학계의 많은 관심을 끌기 시작하였다 (서혜선·허명회, 1997). 그러나 1996년 4월 11일의 국회의원 총선거에 대한 TV 3사의 선거예측 및 보도는 오차범위를 무시하고 성급하게 발표한 예측보도 내용과 실제결과가 크게 차이가 나서 결과적으로 언론기관의 공신력 및 여론조사 자체에 대한 불신감을 증폭시키는 결과를 가져왔다.</p> <p>여론조사가 국내에 도입된 지가 30 여 년에 불과하므로 방송여론조사가 완전할 수는 없을 것이다. 그러나 여론조사와 관련하여 유의하여야 할 점들을 고려한다면 여론조사의 질을 높이고 신뢰성 높은 조사결과를 발표하는데 도움이 될 것이며, 독자의 입장에서도 여론조사의 보도 내용을 평가하는데 도움이 될 수 있을 것이다. 한국언론연구원 (1995)은 여론조사 보도와 관련하여 점검해야할 사항 20가지를 수록하고 있으며, 미국여론조사기관협회(American association for public opinion research; AAPOR)는 여론조사 기사를 보도할 때 반드시 지켜야 할 다음의 여덟가지 기준을 제시하고 있다 (오택섭, 1993).</p> <ul> <li>조사의 주관자(스폰서)</li> <li>조사하고자 하는 모집단</li> <li>표본수 및 표집방법</li> <li>결과에 대한 오차허용치</li> <li>조사방법</li> <li>조사기간</li> <li>질문지의 정확한 용어</li> <li>해석의 기준</li></ul> <p>우리 나라의 경우도 방송심의위원회의 방송심의에 관한 규정 제 27 조(통계인용보도)에 “방송은 통계를 인용하여 보도할 때에는 조사기관, 의뢰기관, 조사방법, 조사기간 및 오차 한계 등을 밝혀야 한다”라고 규정하고 있다(http://www.kbc.co.kr/review/b1.htm). 여론조사결과를 보도하는 경우 이러한 기준들에 대해 명시하여 독자들이 여론조사가 어떻게 실시되고 그 한계점들은 무엇인지를 이해하는데 도움을 주어야 할 것이다. 최근에 실시되는 대부분의 여론조사 보도가 이러한 규정을 지키려고 노력하고 있으나 아직도 1996년 4월 11일의 국회의원 총선거의 예측보도와 같이 여덟 가지 기준을 충족시키지 못하는 경우가 많이 있다.</p> <p>선거예측조사와 관련된 조사방법 및 보도에서의 문제점 및 개선 방안에 대해서는 이재창 (1996), 민제홍 (1996), 박무익 (1998), 노규형 (1998) 등에 의해 연구발표 된 바 있다. 이 절에서는 여론조사와 관련하여 위의 여덟 가지 기준을 중심으로 언론의 보도내용들을 검토해 보고자 한다.</p> <h3>(1) 조사의 주관자(후원자)</h3> <p>조사기관 사이에는 기본적인 차이점이 존재하며 이러한 차이점을 하우스효과(house effect)라고 부른다. 한국언론연구원 (1995)은 조사결과를 발표하기에 앞서 다음과 같은 조사기관에 의해 조사가 이루어 졌다면 그 결과의 해석에 유의하여야 한다고 설명하고 있다.</p> <p>1) 비전문적인 여론 조사</p> <p>2) 당파에 속한 전문 여론조사 기관</p> <p>3) 학생이 대상인 여론조사</p> <p>일반적으로 후원자에게 유리한 결과를 주로 발표하는 경향이 있으므로 기사에는 명확히 후원자를 밝혀야 한다. 특히, 켐페인 여론조사, 기사를 위한 언론사 여론조사 및 학술 여론조사 등의 경우에는 반드시 후원자가 언급되어야 할 것이다.</p> <p>(사례 3) 6.4 지방선거 개표방송</p> <p>그림 3.1은 1998년 6월 4일에 실시되었던 기초단체장선거 결과의 MBC 개표방송화면이다. 후원자가 MBC이고 주관자는 한국갤럽임을 명확하게 밝히고 있다.</p> <p>(사례 4) 고3 과외비 정말로 줄었는가?</p> <p>1998년 6월 1 일자 중앙일보 사회면에는 "고3 과외비 크게 줄었다" 라는 제목의 기사가 보도되어 있다, 그림 3.2. 마치 IMF 체제하에서 사교육비에 대한 지출이 크게 줄어들은 것처럼 보도하고 있다. 자료의 출처를 보면 조사기관은 종로학원, 조사대상도 서울시내 35개 고교 3학년 학생 2,740명을 대상으로 설문조사를 한 것으로 보도되고 있다. 우선 비전문적인 조사기관에 의한 조사와 제한된 모집단을 대상으로 조사한 결과를 마치 전국적인 조사의 결과인 것처럼 발표하고 있다. 이 경우 입시학원은 과외와 밀접한 관련이 있을 수 있는 이해당사자가 되므로 조사 결과가 편향될 수 있음과 조사결과의 해석에 한계가 있음이 지적되어야 할 것이다.</p> <h3>(2) 조사하고자 하는 모집단</h3> <p>조사하고자 하는 모집단(대상모집단)을 명확히 파악하는 것은 매우 중요하다. 대상모집단과 추출모집단이 다른데서 비롯된 잘못된 조사결과의 대표적인 예로는 1936년 미국 대통령선거를 들 수 있다. 당시 리터러리 다이제스트사에 의한 여론조사는 유권자의 모집단을 전화번호부와 자동차등록대장으로 국한시킴으로서 큰 오류가 발생하여 잘못된 예측결과를 초래하였다. 또한 1948년 대통령선거에서는 적절하지 않은 표본추출방법을 사용하여 트루먼 대신에 듀이의 당선을 잘못 예측하는 결과를 가져왔다. 앞에서 설명한(사례 4)의 경우도 조사의 대상모집단은 전국의 고교 3학년 학생이어야 함에도 불구하고 서울시내의 학생이라는 제한된 모집단을 대상으로 조사를 하여 한계를 보이고 있다.</p> <h3>(3) 표본수 및 표집방법</h3> <p>조사결과의 신뢰성은 표본의 크기 및 표집방법에 의해 영향을 받게 된다. 조사대상 전체를 조사하는 것이 아니라 조사대상의 일부인 표본을 조사하므로 차이가 발생하게 되며 이러한 차이를 표본오차(sampling error)라고 한다. 표본오차를 과학적으로 관리하기 위해서는 통계이론에 근거한 표본설계에 의해 표본추출이 이루어져야 한다.</p> <p>다음은 오택섭 (1993)에 의해 인용된 1993년 I신문 3월 25일 4면 보도기사이다.</p> <p>표본수 및 표집방법을 명확하게 밝히고 있다. (사례 3)의 경우와 같이 대부분의 여론보도가 이 기준을 잘 지키고 있다고 생각한다.</p> <h3>(4) 오차허용치 및 해석의 기준</h3> <p>조사 거부, 부재로 응답할 수 없었던 사람, 무응답 및 설문과 면접원에 따라 다른 조사결과가 나올 수도 있다는 것을 밝혀야 한다. 즉, 표본오차 및 비표본오차에 의미와 차이점 및 조사결과의 해석시 유의할 점 등에 대한 명확한 언급이 있어야 한다.</p> <p>또한 “신뢰수준 $ 95 \% $에서의 표본오차가 $ 3 \% $ 이내이다” 라는 설명보다는 “조사결과가 표본오차 범위 내에 있으므로 $ 3 \% $ 포인트 이상 달라질 확률은 100번 중 5번 꼴이다” 라는 식으로 설명하는 것이 바람직할 듯 하다. 물론 방송의 경우에는 방법론적인 세부사항을 보도할 시간이 적으나 표본오차를 이용한 결과의 해석은 매우 중요하다. 따라서 한국언론연구원 (1995)은 다음과 같이 표현할 것을 제안하고 있다.</p> <p>1) 득표율의 차이가 1 표본오차 이내인 경우에는 막상막하, 접전, 결과를 예측하기 어려움 등의 표현을 사용하고,</p> <p>2) 득표율의 차이가 1 표본오차 보다는 크지만 2 표본오차 보다는 작은 경우에는 박빙의 우세, 근소한 차이, 약간의 우세 등의 표현을 사용하는 것이 바람직하다.</p> <p>(사례 5) 허용오차의 언급</p> <p>1998년 6월 4일에 실시되었던 기초단체장선거 결과의 MBC개표방송에서는 후보들의 예상 득표율이 “오차범위 내에 있으므로” 등의 표현을 사용하여 전보다 진보된 조사결과 해석 및 보도태도를 보여주었다. 또한 투표율을 $65\%$로 예상하고 조사가 이루어진 관계로 실제 투표율이 $ 50 \% $ 대에 머물음에 따라 예측 결과에 차이가 있을 수 있음을 강조하였으며, 보도상의 필요로 인해 오후 1시 30분에 조사가 마감된 관계로 그 시각 이후 투표마감까지 투표한 유권자들의 성향은 파악할 수 없는 등의 조사의 한계를 밝혔으며 앵커들도 조사의 한계 및 해석 시 유의할 점에 대해 전문가의 자문을 구하는 등 보다 성숙된 예측방송문화가 정착됨을 볼 수 있었다.</p> <p>신문에서도 이러한 방송사들의 발표 태도를 긍정적으로 평가하고 있었다. 그러나 각 지역별로 조사된 표본의 수가 다르므로 표본오차가 달라야 함에도 불구하고 그림 3.1 을 보면 표본오차가 동일하게 $ \pm 2.5 \% $인 것처럼 보도되고 있다.</p> <p>(사례 6) 부산의 진짜 민심은 무엇인가?</p> <p>1998년 6월 5일자 한국일보를 보면 그림 3.3의 6.4 지방선거에 대한 방송들의 예측 보도와 관련하여 위장응답을 감안하지 못해 잘못 예측되었다고 보도하고 있다. MBC개표방송에서도 김기재후부와 안상영후보의 득표율의 차이가 표본오차 범위 내에 있으므로 순위가 뒤바껠 수도 있다고 설명하였고 실제로 예측이 뒤집히는 결과를 가져왔으나 무엇이 잘못된 것일까?</p> <p>물론 신뢰수준 및 오차한계 등의 통계용어의 의미 등에 대해 전혀 언급하지 않고 단지 위장응답의 문제만을 보도한 기사에도 문제가 있을 수 있지만, 오랜 기간에 걸쳐 조사된 모든 방송들의 예측결과가 틀린 점에는 분명히 표본오차만이 아닌 다른 요인이 작용한 것이 아닐까하는 의문이 남는다.</p> <h3>(6) 질문지의 정확한 용어</h3> <p>설문의 내용이 중립적이 아니고 특정한 대답을 유도하는 경우 왜곡된 결과를 가져올수 있으므로 경험이 많은 전문가들이 참여하여 설문지를 작성하는 것이 바람직하다. 한국언론연구원 (1995)은 설문작성의 사례를 통해 어떤 오류가 발생할 수 있는지를 제시하고 있다. 면접원이 조사의 목적이나 내용에 대해 잘못된 정보를 제공하거나 미숙으로 인해 부실한 조사를 할 경우 오차가 커져서 조사 결과의 충실도가 떨어질 수 있으므로 숙련된 면접원을 확보하는 것 또한 중요하다. 특히, 질문을 하는 순서에 따라 동일한 설문에 대한 대답도 달라질 수 있음에 유의하여야 한다. 경우에 따라서는 실제 면접을 시행하지 않고도 면접을 시행한 것처럼 보고하는 경우도 있으므로 면접원에 대한 교육 및 감독이 철저히 이루어 져야 한다. 감독관은 응답자들에게 전화를 걸어 면접이 제대로 실시되었는지를 확인할 필요가 있다.</p> <h3>(7) 해석의 기준</h3> <p>조사결과를 보도하는 경우 (사례 5)에서와 같이 조사의 한계 등을 고려하여 해석에 유의하여야 한다. 또한 조사결과의 신뢰성을 높이기 위해서는 통계적인 분석이 뒤따라야 한다. 특히 무응답의 처리 및 조사기간의 촉박에 의해 조사하지 못하는 기간을 보완할 수 있는 통계적 방법의 개발이 필요하다. 또한 데이터 처리 과정에서 생기는 오차를 최소한으로 줄일 수 있는 방안이 마련되어야 한다. 따라서 가능하면 조사결과의 분석이나 해석 시에는 전문가에게 의뢰하거나 자문을 받는 것이 바람직하다. 전문적인 지식이 없는 경우 인과관계와 연관관계를 혼동하는 일이 많이 발생한다. 자료를 수집하는 방법에는 실험설계(experimental design)를 통해 자료를 얻는 방법과 자연현상 또는 사회현상을 관찰(observational study)하여 자료를 얻는 두 가지 방법이 있다. 관심이 있는 두 인자들 사이의 인과관계(cause-and-effect relations)를 입증하기 위해서는 관심이 있는 인자들 이외의 다른 외부 인자들의 효과를 통제하여 이들의 효과를 극소화하는 실험을 통해 자료를 수집하여야 한다. 이러한 실험의 결과를 이용하면 관심이 있는 두 인자들 사이에 인과관계가 있음을 입증할 수 있다. 이에 비해 현상을 관찰하여 얻어지는 자료를 이용하는 경우에는 사전에 조절(control)할 수 없는 인자들이 관심이 있는 인자들에 영향을 미칠 수 있으므로 두 인자들 사이에 연관관계가 있다고는 설명할 수 있지만 인과관계가 있다고는 할 수가 없다.</p> <p>예를 들어 풍선껌의 판매량과 범죄율사이에는 높은 상관관계가 있다. 그렇다고 해서 범죄율을 낮추려면 풍선껌의 판매량을 줄이면 된다는 식의 인과관계가 성립하지는 않는 것이다. 사회과학에서의 유명한 예로는 스칸디나비아의 도시에 대한 한 연구에서 황새의 숫자와 그 도시의 유아 출생률과는 연관이 있는 것으로 발표되었다. 황새와 출생률 사이에 인과관계가 존재하는가?</p> <p>(사례 8) 턱을 치료하면 정말로 키가 크는가?</p> <p>1998년 3월 11일자 중앙일보 27면에는 “키 크고 싶으면 턱을 치료하라”는 제목의 기사가 보도되어 있다. 기사의 내용은 치과에 내원하여 악관절장애를 치료받은 청소년들의 월 평균 신장성장률이 치료를 받지 않은 일반 청소년들의 신장성장률보다 2배 가량 높으므로 턱을 치료하면 키가 커질 수 있다는 것이다. 그러나 기사의 제목은 마치 턱 치료와 키 사이에 인과관계가 있어 턱을 치료하면 키가 커진다는 의미를 포함하고 있다.</p> <p>이 조사결과는 어떠한 실험에 의한 결과가 아니라, 치과에 내원하여 치료를 받은 청소년들의 신장성장률을 관찰하여 얻어진 자료이므로 엄밀한 의미에서 현상을 관찰하여 얻어진 결과이다. 따라서 턱을 치료하면 키가 커질 수 있다는 식의 인과관계를 설명할 수는 없는 것이다. 특히 기사에 언급되어 있는 것처럼 신장호르몬의 증가가 신장성장을 촉진할 수 있을 것이며 턱을 치료하면 성장호르몬이 증가할 수도 있어 이들 사이의 연관관계로 인해 신장성장이 촉진될 수도 있을 것이다. 이러한 경우 성장호르몬의 증가라는 또 하나의 인자를 통계학에서는 잠재변수(latent variable)라고 한다. 또한 통계청 자료에서 인용하는 청소년들의 연령층과 치과에 내원하여 치료를 받은 청소년들의 연령층이 다를 수 있으며, 치료를 받은 청소년들이 성장이 활발한 연령층에 해당할 가능성 또한 배제할 수 없을 것이다.</p> <p>이처럼 현상을 관찰하여 자료를 얻은 경우에는 사전에 조절할 수 없는 인자들이 관심의 대상이 되는 인자에 미치는 영향을 배제할 수 없으므로 그 결과의 해석에 매우 조심해야 한다.</p> <p>앞에서 살펴본 것처럼 여론조사를 보도하는 과정에서 지켜야할 AAPOR의 여덟가지 기준이 어떻게 반영되고 있는지를 실제 사례를 통해 알아보았다. 이러한 기준 이외에도 신뢰성있는 보도를 위해서는 추세의 파악 및 조사결과의 효율적인 분석을 위해 계속되는 조사의 결과를 잘 보관하여야 한다. 외국의 경우를 보면, CBS와 뉴욕타임스, ABC와 NBC의 조사결과들은 Connecticut 대학의 Roper Center에, ABC와 CBS의 조사 결과는 Michigan 대학에 보관된다고 한다 (Sudman, 1983). 이렇게 보관된 자료들은 전문가들의 분석을 거쳐 문제점들을 보완하여 다음 번 조사시에 반영된다. 우리 나라의 경우에는 조사 결과가 거의 공개되는 경우가 없으므로 조사에서의 문제점을 보완할 기회도 결국 상실하는 것이 아닌지 모르겠다.</p> <p>이러한 자료가 공개된다면 여론조사 담당기관과 학계 및 여론조사 전문가들이 공동으로 참여하는 모임을 통해 현행의 여론조사의 문제점 및 보완책을 연구할 수 있을 것이다. 특히, 한국, 일본 등과 같은 아시아 지역의 국가는 미국 등과의 문화적인 차이가 있으므로 아시아 지역 나름대로의 특성을 가진 여론조사 방법 등을 개발할 필요가 있을 것이다. 이를 위해서는 이 지역의 여러 국가와의 공동 연구의 장을 마련할 필요도 있을 것이다.</p> <p>마지막으로 여론조사의 보도와 관련하여 유의할 점으로는 백해무익하고 쓸모 없으며 잘못된 결과를 낳기 쉬운 사이비 여론조사들을 들 수 있다. 사이비 여론조사는 확률적 표본에 근거하지 않은 여론조사를 뜻한다. 가장 일반적인 형태로는 시청자 또는 청취자 중에서 자발적 참여자를 대상으로 한 여론조사(self-selected listener oriented public opinion survey; SLOPS)를 들 수 있다. 가장 흔히 사용하는 방법으로는 네, 아니오로 대답할 수 있는 문제를 주고 두 개의 전화번호 중에서 하나를 눌러 대답하게 하는 방법이다. 이러한 유사 여론조사들은 신뢰성이 없으므로, 호기심 이외에는 가치가 없다. 이러한 문제점에도 불구하고 언론사에서 계속적으로 SLOPS를 실시하는 이유는 기사의 소재를 얻는데 도움을 받기 때문이라는 것이다. 특히, SLOPS에 의한 결과를 마치 진짜 여론조사에 의한 결과처럼 보도하여서는 안 될 것이다. SLOPS의 대표적인 예로는 리터러리 다이제스트가 실시한 여론조사를 들 수 있으며 최근에는 국내의 몇몇 TV방송에서 이러한 전화여론 조사를 즐겨 활용하고 있다. 시청자들을 오도할 가능성이 매우 높으므로 학자들의 입장에서는 이러한 조사의 문제점들을 지적하고 방지하도록 노력하여야 할 것이다.</p>	자연
M420-대학일반수학	<p>$ \mathrm { a } \times \mathrm { b } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \|= \mathrm { i } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 2 } & b_ { 3 } \end {array} \right \|- \mathrm { j } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 3 } \end {array} \right \| + \mathrm { k } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } \end {array} \right \| $</p> <p>이것은 벡터의 외적을 기억하고 계산하는 가장 쉬운 방법일 것이다.</p> <p>예제 6</p> <p>3 차원 공간의 모든 벡터 $ a $ 에 대하여 $ a \times a=0 $ 임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ a= \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle $ 라 하면 \[ \mathbf { a } \times \mathbf { a } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \end {array} \right \|= \mathrm { i } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ a_ { 2 } & a_ { 3 } \end {array} \right \|- \mathrm { j } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 3 } \\ a_ { 1 } & a_ { 3 } \end {array} \right \| + \mathrm { k } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 1 } & a_ { 2 } \\ a_ { 1 } & a_ { 2 } \end {array} \right \|=0 \mathrm { i } -0 \mathrm { j } + 0 \mathrm { k } =0 \] 이다.</p> <p>공정한 동전을 1000 번 연속해서 던겼을 때 앞면과 뒷면이 나오는 경우의 수는 $ 2 ^ { 1000 } $ 가지이다. 이 수는 $ 10 ^ { 300 } $ 으로 표현되며 구글의 세제곱과 같다.</p> <h1>6.3 공간벡터의 내적과 외적</h1> <p>이제 두 벡터의 곱셈에 대하여 다루어 보자. 벡터의 곱셈에는 두 가지(내적, 외적)가 있다. 특히 외적의 경우는 3 차원 공간상의 벡터에 대하여만 정의하고 있음에 주의해야 한다. 먼저 두 벡터의 내적을 정의하도록 한다.</p> <h3>정의</h3> <p>두 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right \rangle $ 의 내적(inner product)은 $ \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } $ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다. \[ \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } =a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } + \cdots + a_ { n } b_ { n } \]</p> <p>(주) 벡터의 내적을 점적(dot product) 또는 스칼라 적(scalar product)이라고도 한다. 두 벡터의 내적의 결과는 스칼라(실수)임에 주목해야 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>다음 벡터의 내적을 구하여라. (1) $ \mathrm { a } = \langle 1,2 \rangle, \mathrm { b } = \langle 2,-3 \rangle $ (2) $ a= \langle 0,1,4 \rangle, b= \langle 2,3,2 \rangle $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ a \cdot b=1 \cdot 2 + 2 \cdot(-3)=2-6=-4 $ 이다. (2) $ a \cdot b=0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 4 \cdot(2)=11 $</p> <p>벡터의 내적에 대하여 다음의 성질들이 성립한다.</p> <h3>정리</h3> <p>임의의 벡터 $ \mathrm { u } , \mathrm { v } , \mathrm { w } $ 와 임의의 스칼라 $ k $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ u \cdot v=v \cdot u $</li> <li>$ u \cdot(v + w)=u \cdot v + u \cdot w $</li> <li>$ a(u \cdot v)=(a u) \cdot v=u \cdot(a v) $</li> <li>$ u \cdot 0=0 $</li> <li>$ u \cdot u=\|u\| ^ { 2 } $</li></ol> <p>(주) 마지막 5 번 공식으로부터 벡터의 크기는 $ \| \mathrm { u } \|= \sqrt {\mathrm { u } \cdot \mathrm { u } } $ 로 계산될 수 있음을 알 수 있다.</p> <p>합(addition) : $ \mathbf { a } + \mathrm { b } = \left \langle a_ { 1 } + b_ { 1 } , a_ { 2 } + b_ { 2 } , \cdots, a_ { n } + b_ { n } \right \rangle $</p> <p>스칼라 배(Scalar multiplication) : $ k \mathbf { a } = \left \langle k a_ { 1 } , k a_ { 2 } , \cdots, k a_ { n } \right \rangle $</p> <p>예제 3</p> <p>$ a= \langle 1,2,4 \rangle $ 이고 $ \mathrm { b } = \langle-2,5,3 \rangle $ 일 때 $ \mathrm { a } + \mathrm { b } = \langle-1,7,7 \rangle, 3 \mathrm { a } = \langle 3,6,12 \rangle $ 이고 $ \mathrm { a } - \mathrm { b } = \langle 3,-3,1 \rangle $ 이다.</p> <p>벡터를, 대수적으로 사용하여 벡터의 연산에 관한 다음 법칙들이 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.</p> <h3>성질</h3> <p>임의의 벡터 $ u, \mathrm { v } , \mathrm { w } $ 와 임의의 스칼라 $ a, b $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathrm { u } + \mathrm { v } = \mathrm { v } + \mathrm { u } $</li> <li>$ ( \mathrm { u } + \mathrm { v } ) + \mathrm { w } = \mathrm { u } + ( \mathrm { v } + \mathrm { w } ) $</li> <li>$ \mathrm { u } + 0=0 + \mathrm { u } = \mathrm { u } $</li> <li>$ \mathrm { u } + (- \mathrm { u } )=(- \mathrm { u } ) + \mathrm { u } =0 $</li> <li>$ a(b \mathrm { u } )=(a b) \mathrm { u } = \mathrm { u } (a b) $</li> <li>$ a( \mathrm { u } + \mathrm { v } )=a \mathrm { u } + a \mathrm { v } $</li> <li>$ (a + b) \mathrm { u } =a \mathrm { u } + b \mathrm { u } $</li> <li>$ 1 \cdot \mathrm { u } = \mathrm { u } $</li></ol> <p>증명</p> <p>예제 5</p> <p>벡터 $ \mathrm { a } = \langle 1,0 \rangle, \mathrm { a } = \langle 1,0,0 \rangle $ 등은 단위벡터이다.</p> <p>어떤 벡터와 방향은 같지만 길이가 1 인 벡터에 대하여 생각해 보도록 하자. 앞의 예제 2 에서 벡터 $ a= \langle 1,-2,3 \rangle $ 과 방향이 같으면서 길이가 1 인 벡터를 구하려면 주어진 벡터를 그 벡터의 크기로 나누면 된다. 즉, $ \| \mathrm { a } \|= \sqrt { 14 } $ 이므로 벡터 $ \frac { a } {\sqrt { 14 } } = \left \langle \frac { 1 } {\sqrt { 14 } } , \frac { -2 } {\sqrt { 14 } } , \frac { 3 } {\sqrt { 14 } } \right \rangle $ 의 크기는 1 이다. 일반적으로 어떤 벡터를 그 벡터의 크기로 나누면 그 길이가 1 인 단위벡터가 되는데, 이것을 주어진 벡터의 방향(direction)이라 정의하고 있다.</p> <h3>정의</h3> <p>벡터 $ \mathrm { a } $ 의 방향은 $ \frac {\mathrm { a } } { \| \mathbf { a } \| } $ 이다.</p> <p>(주) 단위 벡터 $ \frac {\mathrm { a } } { \| \mathrm { a } \| } $ 은 벡터 $ \mathrm { a } $ 의 방향을 나타낸다고 보기보다는 그 단위벡터가 벡터 "a의 방향이다"라고 말한다. $ \frac {\mathrm { a } } { \| \mathrm { a } \| } $ 가 단위벡터임을 보이기 위하여 그 길이를 계산해보면 $ \left \| \frac {\mathrm { a } } { \| \mathbf { a } \| } \right \|= \left \| \frac { 1 } { \| \mathbf { a } \| } \mathrm { a } \right \|= \frac { 1 } { \| \mathbf { a } \| } \| \mathbf { a } \|=1 $ 이 성립한다.</p> <h2>등산로</h2> <p>큰 수와 작은 수를 나타내는 지수 표기법 대신에 가끔은 접두어가 사용되기도 한다. 가장 일반적인 것으로 킬로(kilo, $ 10 ^ { 3 } $ ), 메가(mega, $ \left .10 ^ { 6 } \right ) $, 기가(giga, $ 10 ^ { 9 } $ ), 테라(tera, $ \left .10 ^ { 12 } \right ) $ 를 사용한다. 또한 밀리(milli, $ \left .10 ^ { -3 } \right ) $, 마이크로(micro, $ \left .10 ^ { -6 } \right ) $, 나노(nano, $ 10 ^ { -9 } $ ), 피코(pico, $ 10 ^ { -9 } $ )를 사용한다. 따라서 1 나노초라는 것은 10 억분의 1 초를 의미하며, 32 년을 초로 환산하면 1 기가초와 거의 같다. 수학자 캐스너(E. Kasner)가 만든 용어 구글(google)은 1 이후에 0 을 100 개 나열한 수( $10 ^ { 100 } $)이다. 구글플렉스(googolplex)는 1 이후에 0 을 구글 개만큼 늘어놓은 수로써 $ 10 ^ { google } $ 로 정의된다.</p> <p>벡터 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 의 길이: 벡터 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 의 길이 $ \mid \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ \|는 다음과 같이 주어진다.</p> <p>정리</p> <p>$ \theta(0 \leq \theta \leq \pi) $ 가 두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 사이의 각이라면 \[ \| \mathrm { a } \times \mathrm { b } \|=\| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| \sin \theta \] 이 성립한다.</p> <p>(주) 벡터는 그 크기와 방향에 의하여 결정되므로 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 는 오른손 법칙에 의하여 결정되는 방향에 따라 $ \mathrm { a } $ 와 b에 동시에 수직이고 그 크기가 $ \| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| \sin \theta $ 인 벡터이다.</p> <p>기하학적인 관점에서 볼 때 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 가 시점이 같은 유향 성분이라면 이들은 각각 밑변 높이 그리고 넓이인 평행사변형이다. 따라서 외적의 크기를 다음과 같이 설명할 수 있다.</p> <p>성질</p> <p>벡터 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 의 크기는 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 에 의하여 결정되는 평행사변형의 넓이와 같다.</p> <p>예제 7</p> <p>세 점 $ P(1,4,1), Q(-1,2,3) $ 과 $ R(1,-1,2) $ 을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } \overrightarrow { P Q } = \mathrm { a } \text { 이고 } \overrightarrow { P R } = \mathrm { b } \text { 라 하자. 이때 } \\ \mathrm { a } = \langle-2,2,2 \rangle, \mathrm { b } = \langle 0,-5,1 \rangle \text { 이므로 이들 벡터의 외적을 구하면 } \\ \mathrm { a } \times \mathrm { b } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & -5 & 1 \end {array} \right \|= \mathrm { i } \left \| \begin {array} { cc } 2 & 2 \\ -5 & 1 \end {array} \right \|- \mathrm { j } \left \| \begin {array} { cr } -2 & 2 \\ 0 & 1 \end {array} \right \| + \mathrm { k } \left \| \begin {array} { cc } -2 & 2 \\ 0 & -5 \end {array} \right \|=12 \mathrm { i } + 2 \mathrm { j } + 10 \mathrm { k } \end {array} \] 이다. 이때 $ \| \mathrm { a } \times \mathrm { b } \|= \sqrt { 144 + 4 + 100 } = \sqrt { 248 } =2 \sqrt { 62 } $ 이다. 따라서 삼각형 $ P Q R $ 의 넓이는 $ \sqrt { 62 } $ 이다.</p> <p>직선의 방정식 $ \mathrm { X } =P + t \mathrm { u } $ 으로부터 \[ \begin {aligned} (x, y, z) &=(a, b, c) + t(l, m, n) \\ &=(a, b, c) + (t l, t m, t n) \\ &=(a + t l, b + t m, c + t n) \end {aligned} \] 이므로 방정식 \[ \left \{\begin {array} { l } x=a + t l \\ y=b + t m \\ z=c + t n \end {array} \right . \] 을 얻는다. 이 방정식을 점 $ P(a, b, c) $ 를 지나고, 벡터 $ \mathrm { u } (l, m, n) $ 에 평행인 직선의 매개방정식(parametric equation)이라 한다. 주어진 직선의 매개방정식에서 매개변수 $ t $ 를 소거하면 \[ \frac { x-a } { l } = \frac { y-b } { m } = \frac { z-c } { n } \] 를 얻는다. 이것을 직선의 대칭방정식(symmetric equation)이라 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>점 $ (1,1,3) $ 을 지나며 벡터 $ \langle 2,3,-5 \rangle $ 와 평행한 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>구하는 직선의 방정식을 벡터 방정식으로 나타내면 \[ \frac { x-1 } { 2 } = \frac { y-1 } { 3 } = \frac { z-3 } { -5 } \text { 이다. } \]</p> <p>예제 2</p> <p>점 $ (1,1,3) $ 을 지나며 벡터 $ \langle 2,0,-5 \rangle $ 와 평행한 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>구하는 직선의 방정식은 벡터 방정식의 형태로 쓸 수 없다. 따라서 매개 변수 $ t $ 를 사용하여 나타내면 $ \left \{\begin {array} { l } x=1 + 2 t \\ y=1 \\ z=3-5 t \end {array} \right . $ 이다.</p> <p>평면 방정식 : 이제 점 $ P(a, b, c) $ 를 지나면서 벡터 $ \mathrm { u } (l, m, n) $ 에 수직인 평면의 방정식을 구하여 보자. $ \mathrm { X } $ 를 $ X(x, y, z) $ 와 $ P(a, b, c) $ 의 위치 벡터라 하자. 이때 벡터 $ \mathrm { X } $ 는 $ (x-a, y-b, z-c) $ 로 표현된다.</p> <p>벡터의 외적에서 가장 중요한 성질 중의 하나는 다음과 같다.</p> <p>성질</p> <p>벡터 $ a \times b $ 는 $ a $ 와 $ b $ 모두와 직교한다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 가 $ \mathrm { a } $ 와 직교함을 보이기 위하여 다음과 같이 두 벡터의 내적이 0임을 보인다.</p> <p>$ \begin {aligned} ( \mathrm { a } \times \mathrm { b } ) \cdot \mathrm { a } &= \left \langle a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } , a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } , a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right \rangle \cdot \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle \\ &=a_ { 1 } \left (a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right )-a_ { 2 } \left (a_ { 1 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 1 } \right ) + a_ { 3 } \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) \\ &=0 \end {aligned} $</p> <p>마찬가지로 $ (a \times b) \cdot b=0 $임을 확인할 수 있다. 따라서 벡터 $ a \times b $ 는 $ a $ 와 모두와 직교한다.</p> <p>벡터 $ a \times b $ 의 방향: $ a $ 와 $ b $ 가 시점이 같은 유향 성분으로 표현된다면 두 벡터의 외적 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 는 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 를 지나는 평면에 수직인 방향을 가리킨다. $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 의 방향은 오른손 법칙에 따라 주어진다. 즉, 오른손의 손가락을 $ \mathrm { a } $ 에서 b 방향으로 구부리면 엄지 손가락이 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 의 방향을 가리킨다.</p> <p>두 벡터가 수직일 조건은 두 벡터의 내적이 0 임을 알고 있다. 이제 두 벡터가 평행할 조건을 알아보면 다음과 같다.</p> <p>정리</p> <p>0 이 아닌 두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 가 평행 $ \Leftrightarrow \mathrm { a } \times \mathrm { b } =0 $</p> <p>벡터의 외적에는 다음과 같이 몇 가지 유용한 대수적 법칙들이 성립한다.</p> <p>정리</p> <p>$ \mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c } $ 가 벡터이고, $ k $ 가 스칼라일 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathrm { a } \times \mathrm { b } =- \mathrm { b } \times \mathrm { a } $</li> <li>$ (k \mathrm { a } ) \times \mathrm { b } = \mathrm { a } \times(k \mathrm { ~b } )=k( \mathrm { a } \times \mathrm { b } ) $</li> <li>$ \mathrm { a } \times( \mathrm { b } + \mathrm { c } )= \mathrm { a } \times \mathrm { b } + \mathrm { a } \times \mathrm { c } $</li> <li>$ ( \mathrm { a } + \mathrm { b } ) \times \mathrm { c } = \mathrm { a } \times \mathrm { c } + \mathrm { b } \times \mathrm { c } $</li> <li>$ \mathrm { a } \cdot( \mathrm { b } \times \mathrm { c } )=( \mathrm { a } \times \mathrm { b } ) \cdot \mathrm { c } $</li> <li>$ \mathrm { a } \times( \mathrm { b } \times \mathrm { c } )=( \mathrm { a } \cdot \mathrm { c } ) \mathrm { b } -( \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } ) \mathrm { c } $</li></ol> <p>위의 정리 중에서 5 번째 나타나는 곱 $ \mathrm { a } \cdot( \mathrm { b } \times \mathrm { c } ) $ 를 벡터 $ \mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c } $ 의 스칼라 삼중적이라 한다. 삼중적은 행렬식 \[ \mathrm { a } \cdot( \mathrm { b } \times \mathrm { c } )= \left \| \begin {array} { lll } a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } \\ b_ { 1 } & b_ { 2 } & b_ { 3 } \\ c_ { 1 } & c_ { 2 } & c_ { 3 } \end {array} \right \| \] 으로 나타낼 수 있다. 스칼라 삼중적의 기하학적인 의미는 벡터 $ \mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { c } $ 에 의하여 결정되는 평행육면체로부터 찾아볼 수 있다. 그림과 같은 평행육면체의 밑면의 넓이는 $ \|A\|=\| \mathrm { b } \times \mathrm { c } \| $ 이다. $ \theta $ 를 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } \times \mathrm { c } $ 사이의 각이라 하면 평행 육면체의 높이는 $ h=\| \mathrm { a } \|\| \cos \theta\| $ 이다. 따라서 평행육면체의 부피는 \[ V=A h=\| \mathrm { b } \times \mathrm { c } \|\| \mathrm { a } \|\| \cos \theta\|=\| \mathrm { a } \cdot( \mathrm { b } \times \mathrm { c } )\| \] 이다.</p> <p>위 그림에서 $ \mathrm { v } + \mathrm { w } = \mathrm { w } + \mathrm { v } $ 가 성립함을 알 수 있다. 즉, 두 벡터의 합은 두 벡터가 이루는 평행 사변형의 대각선과 일치한다는 것을 알 수 있다. 이것을 평행사변형의 법칙(parallelogram law)이라고 한다.</p> <h3>정의</h3> <p>길이가 0 인 벡터를 영벡터(zero vector)라 하고 0 으로 표시하며, 모든 벡터 $ \mathrm { v } $에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[ \mathrm { v } + 0=0 + \mathrm { v } = \mathrm { v } \]</p> <p>벡터 $ \mathrm { v } $ 에 대하여 $ 2 \mathrm { v } $ 라는 것은 벡터 $ \mathrm { v } $ 와 방향은 같지만 길이가 2 배인 벡터이다. 또한 $ -3 \mathrm { v } $ 라는 것은 길이가 3 배이지만 방향이 반대인 벡터를 말한다. 특히 $ (-1) \mathrm { v } $ 는 대부분의 경우 $ - \mathrm { v } $ 라 쓰고 벡터 $ \mathrm { v } $ 와 길이는 같지만 방향이 반대인 벡터를 말한다. 이 벡터는 다음과 같은 성질을 갖는다. \[ \mathrm { v } + (- \mathrm { v } )=(- \mathrm { v } ) + \mathrm { v } =0 \]</p> <p>또한 $ -0=0 $ 으로 약속한다.</p> <p>위의 성질에 의해 두 벡터 $ \mathrm { v } $ 와 $ \mathrm { w } $ 의 차(difference)를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \mathrm { v } - \mathrm { w } = \mathrm { v } + (- \mathrm { w } ) $</p> <p>일반적으로 두 벡터는 대응하는 성분을 합함으로써 대수적으로 합할 수 있다. 즉, 두 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right \rangle $ 그리고 스칼라 $ k $ 에 대하여 그 합 $ \mathrm { a } + \mathrm { b } $ 와 스칼라 배 $ k \mathrm { a } $ 를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>예제 2</p> <p>세 점 $ A(-2,-1), B(4,1), C(3,4) $ 를 세 꼭지점으로 하는 삼각형은 직각삼각형임을 밝혀라.</p> <p>각 변의 길이를 구해보면 $ \overline { A B } = \sqrt { (4 + 2) ^ { 2 } + (1 + 1) ^ { 2 } } = \sqrt { 40 } $, \[ \begin {array} { l } \overline { B C } = \sqrt { (3-4) ^ { 2 } + (4-1) ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } , \\ \overline { C A } = \sqrt { (-2-3) ^ { 2 } + (-1-4) ^ { 2 } } = \sqrt { 50 } \text { 이므로 } \\ ( \overline { A B } ) ^ { 2 } + ( \overline { B C } ) ^ { 2 } =( \sqrt { 40 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } =( \sqrt { 50 } ) ^ { 2 } =( \overline { C A } ) ^ { 2 } \text { 인 관계가 } \end {array} \] 성립한다. 따라서 주어진 세 점으로 이루어진 삼각형은 변 $ C A $ 가 빗변인 직각삼각형이다.</p> <p>예제 3</p> <p>다음 중 원점에서 더 멀리 떨어져 있는 점을 구하여라. \[(1) (3,2), \left (4, \frac { 1 } { 4 } \right ) \] \[(2) (-5,2),(-3,1) \]</p> <ol type=1 start=1><li>원점 $ (0,0) $ 에서 점 $ (3,2) $ 사이의 거리는 $ \sqrt { (3-0) ^ { 2 } + (2-0) ^ { 2 } } = \sqrt { 13 } $ 이고, 원점 $ (0,0) $ 에서 점 $ \left (4, \frac { 1 } { 4 } \right ) $ 사 이의 거리는 $ \sqrt { (4-0) ^ { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 4 } -0 \right ) ^ { 2 } } = \frac {\sqrt { 257 } } { 4 } $ 이다. 이때 $ \sqrt { 13 } = \frac { 4 \sqrt { 13 } } { 4 }< \frac {\sqrt { 257 } } { 4 } $ 이므로 점 $ \left (4, \frac { 1 } { 4 } \right ) $ 이 원점에서 더 멀리 떨어져 있다.</li> <li>원점 $ (0,0) $ 에서 점 $ (-5,2) $ 사이의 거리는 $ \sqrt { (0 + 5) ^ { 2 } + (0-2) ^ { 2 } } = \sqrt { 29 } $ 이고. 원점 $ (0,0) $ 에서 점 $ (-3,1) $ 사이의 거리는 $ \sqrt { (0 + 3) ^ { 2 } + (0-1) ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } $ 이다. 이때 $ \sqrt { 10 }< \sqrt { 29 } $ 이므로 점 $ (-5,2) $ 가 원점에서 더 멀리 떨어져 있다.</li></ol> <p>예제 3</p> <p>세 점 $ O(0,0), A(0, a), B(3,1) $ 이 변 $ \overline { A B } $ 가 빗변인 직각삼각형을 이루고 있다고 하자. $ \overline { A B } = \sqrt { 10 } $ 일 때, $ a $ 의 값을 구하여라.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \overline { A B } = \sqrt { (3-0) ^ { 2 } + (1-a) ^ { 2 } } = \sqrt { 10 } \text { 이므로 } \\ 9 + a ^ { 2 } -2 a + 1=10 \text { 이고 } a ^ { 2 } -2 a=a(a-2)=0 \end {array} \] 이다. 따라서 $ a \neq 0 $ 이므로 $ a=2 $ 이다.</p> <h2>등산로</h2> <ul> <li>해석기하학(Analytic Geometry)이란 데카르트(Descartes)가 발견했고 또한 변호사 출신의 페르마(Pierre Fermat: $ 1601 \sim 1665 $ )가 17 세기 초에 독자적으로 발견한 분야로써 좌표라는 수단을 통하여 삼각형 등 각종 도형의 성질을 수식으로 나타내어 대수학적으로 연구하는 분야이다.</li> <li>프랑스의 철학자이자 수학자인 데카르트는 대단한 잠꾸러기라서 언제나 침대 속에서 누워 있는 것을 즐기는 사람이었다. 30 년 전쟁 중 병사의 침대에 누워 명상을 하던 중 천장을 기어다니는 파리를 보고 좌표를 떠올렸다고 한다. 이것이 사실인가의 여부보다는 언제나 기하학과 대수학을 이어줄 방법을 찾던 중에 이런 착상이 떠올랐다고 보는 것이 옳을 것이다.</li> <li>고대 그리스 수학자 피타고라스(Pythagoras, $ 585 ? ~ 500 ? $ B.C.)와 그의 스승 탈레스(Tales, 640? 546? B.C.)가 최초의 수학자라는 것은 누구도 의십하지 않는 정설이다. 그러나 그들에 대하여 알려진 바는 매우 드물다. 특히 피타고라스에 대해서는 기록이 거의 남아 있지 않다. 피타고라스는 많은 곳을 여행하였고 신비주의적인 피타고타스 학파를 결성하였다. 콩을 먹지 않았으며 만물은 수(All is number)라고 주창했다.<ol type=1 start=1><li>love of wisdom(지혜 사랑) : 철학</li> <li>matters learned(배움의 길) : 학문</li></ol>이라는 단어를 피타고라스가 만들었다고 전해진다. 피타고라스의 정리는 너무나 중요한 정리이다. 그 증명법도 2500 여 년 동안 기하학적 미학의 전형이 되어오고 있다. 실제로 그 증명법은 백여 가지가 넘는 것으로 알려져 있다. 이로 인하여 무리수의 발견이 이루어지고 그의 제자 히파수스가 죽음을 맞게 된다.</li></ul> <h2>등산로</h2> <p>페르마의 마지막 정리</p> <p>"3제곱을 그보다 작은 두 수의 3제곱의 합으로 나눌 수 없고, 4제곱을 어떤 두 수의 각각의 4 제곱의 합으로 나눌 수 없으며, 일반적으로 2 차를 넘는 제곱은 같은 제곱의 두 수로 나눌 수 없다.</p> <p>나는 이것에 대한 놀라운 증명을 알고 있는데, 여기에 이 증명을 쓰기에 여백이 너무 좁다."</p> <p>페르마는 당시 읽고 있던 디오판토스의《산학》이라는 책의 명제 2 권의 문제 8 번 옆의 빈칸에 다음과 같이 적었다고 하다.</p> <p>$ n $ 이 정수로써 $ n>2 $ 일 때 $ a ^ { n } + b ^ { n } =c ^ { n } $ 을 만족하는 정수 $ a, b, c $ 는 존재하지 않는다.</p> <h1>6.4 직선과 평면의 방정식</h1> <p>$ x y $ 평면에서 직선은 직선 위의 한 점과 직선의 방향(기울기 또는 경사각)이 주어지면 결정된다. 마찬가지로 삼차원 공간의 직선 $ L $ 의 식은 한 점 $ P(a, b, c) $와 $ L $ 의 방향을 알 때 결정된다.</p> <p>점 $ P(a, b, c) $ 를 지나면서 벡터 $ \mathrm { u } (l, m, n) $ 에 평행한 직선 $ L $ 의 방정식을 구하여 보자. $ \mathrm { X } $ 와 $ \mathrm { P } $ 를 각각 $ X=(x, y, z) $ 와 $ P $ 의 위치 벡터라 하자. $ \mathrm { a } $ 를 그 표현이 $ \overrightarrow { P X } $ 인 벡터라 하면 벡터의 합에 관한 법칙에 의하여 $ \mathrm { X } = \mathrm { P } + \mathrm { a } $ 를 얻는다. 이때 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { u } $ 가 평행 하므로 $ \mathrm { a } =t \mathrm { u } $ 를 만족하는 스칼라 $ t $ 가 존재한다. 따라서 직선 $ L $ 의 방정식은 $ \mathrm { X } =P + t \mathrm { u } $ 이다.</p> <p>벡터 $ \mathrm { u } (l, m, n) $ 와 벡터 $ \mathrm { X } =(x-a, y-b, z-c) $ 가 수직이므로 \[ (x-a, y-b, z-c) \cdot(l, m, n)=0 \] 으로부터 평면의 방정식 \[ l(x-a) + m(y-b) + n(z-c)=0 \] 을 얻는다. 이 방정식을 점 $ P(a, b, c) $ 를 지나고, 벡터 $ \mathrm { u } (l, m, n) $ 에 수직인 b평면의 스칼라 방정식이라 한다. 주어진 평면의 방정식은 \[ l x + m y + n z=d \] 와 같이 고쳐 쓸 수 있고 이 방정식을 평면의 선형 방정식이라 부른다.</p> <p>예제 3</p> <p>세 점 $ P(1,3,2), Q(2,3,1) $ 그리고 $ R(-1,0,2) $ 을 지나는 평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \overrightarrow { P Q } $ 와 $ \overrightarrow { P R } $ 에 대응되는 벡터를 각각 $ \mathrm { a } , \mathrm { b } $ 라 하면 $ \mathrm { a } (1,0,-1) $ 이고 $ \mathrm { b } (-2,-3,0) $ 이다. $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 모두 구하는 평면에 놓여있으므로 두 벡터의 외적 $ \mathrm { a } \times \mathrm { b } $ 를 수직인 벡터로 택할 수 있다. 따라서 \[ u=a \times b= \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end {array} \right \|=4 \mathrm { i } + 2 \mathrm { j } -3 \mathrm { k } \] 로 주어지므로 점 $ P(1,3,2) $ 를 지나고 벡터 $ \mathrm { u } =(4,2,-3) $ 에 수직인 평면의 방정식은 $ 4(x-1) + 2(y-3)-3(z-2)=0 $ 또는 $ 4 x + 2 y-3 z=4 $이다.</p> <p>예제 4</p> <p>두 평면 $ x + 2 y-2 z=5 $ 와 $ 3 x-5 y + 4 z=2 $ 사이의 각을 구하여라.</p> <p>한편 벡터 $ p r o j_ {\mathrm { a } } \mathrm { b } $ 의 크기는 \[ \left \| \operatorname { proj } _ {\mathrm { a } } \mathrm { b } \quad \right \|= \left \| \left ( \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } \right ) \mathrm { a } \right \|= \left \| \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } \right \| \mathrm { a } \mid= \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| } \]<caption>(i)</caption></p> <p>이고 또한 \[ \left \| \operatorname { proj } _ {\mathrm { a } } \mathrm { b } \right \|=\| \mathrm { b } \| \cos \theta \]<caption>(ii)</caption></p> <p>이므로 ( i )와 (ii)에서 $ \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| } =\| \mathrm { b } \| \cos \theta $ 임을 알 수 있다. 따라서 두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 의 내적에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ a \cdot b=\|a\|\|b\| \cos \theta $</p> <p>(주) 위의 공식으로부터 $ \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| } = \cos \theta $ 임을 알 수 있다. 이것을 이용하여 두 벡터가 이루는 사이의 각의 크기를 구할 수 있다. 이때 각의 크기는 $ 0 \leq \theta \leq \pi $로 한다.</p> <p>예제 2</p> <p>두 벡터 $ \mathrm { a } = \langle 2,1 \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \langle 3,-1 \rangle $ 가 이루는 각의 크기를 구하여라.</p> <h1>6.1 좌표 공간</h1> <p>서로 수직으로 만나는 두 실직선(real line)은 평면을 4등분한다. 이 두 실직선이 만나는 점을 원점(origin)이라 하며, 수평인 직선을 $ x $ 축 ($x $-axis), 수직인 직선을 $ y $ 축 ($y $-axis)이라 한다. 또한 4등분된 영역을 각각 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라 한다.</p> <p>평면 위의 점 $ P $ 에 대응하는 점은 $ P $ 점이 놓인 $ x $ 축 위의 수 $ x $ 좌표 ($x $ -coordinate)와 $ y $ 축 위의 수 $ y $ 좌표( $ y $-coordinate)의 순서쌍(ordered pair) $ (x, y) $로 나타낸다. 즉, 임의의 점은 한 개의 순서쌍에 대응하고 역으로 임의의 순서쌍은 한 점에 대응한다(그림 2).</p> <p>밑변이 $ a $ 이고 높이가 $ b $ 그리고 빗변이 $ c $ 인 직각삼각형에 대해 다음과 같은 관계가 있다.</p> <p>위의 피타고라스 정리를 이용하여 평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.</p> <h2>두 점 사이의 거리</h2> <p>직선 위의 두 점 $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 2 } $ 사이의 거리는 $ \left \|x_ { 2 } -x_ { 1 } \right \| $ 이고, 평면 위의 두 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 과 $ \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) $ 사이의 거리는 \[ d = \sqrt {\left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } } \]</p> <p>예제1</p> <p>피타고라스 정리를 이용하여 점 $ (1,3) $ 과 $ (5,1) $ 사이의 거리를 구하여라.</p> <p>구하는 거리를 $ d $ 라 하면 피타고라스 정리에 의하여 \[ d ^ { 2 } =(5-1) ^ { 2 } + (3-1) ^ { 2 } =4 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } =20 \] 이다. 따라서 구하는 거리는 $ d=2 \sqrt { 5 } $ 이다.</p> <p>예제 4</p> <ol type=1 start=1><li>벡터 $ \mathrm { a } = \langle 1,2 \rangle $ 의 크기는 $ \| \mathrm { a } \|= \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } $ 이다.</li> <li>벡터 $ a= \langle 1,-2,3 \rangle $ 의 큰기는 $ \|a\|= \sqrt { 1 ^ { 2 } + (-2) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \sqrt { 14 } $이다.</li></ol> <p>벡터 $ \mathbf { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \rangle $ 와 실수 $ k $ 에 대하여, $ k \mathbf { a } = \left \langle k a_ { 1 } , k a_ { 2 } , \cdots, k a_ { n } \right \rangle $ 이므로 다음이 성립한다.</p> <h3>성질</h3> <p>$ \begin {aligned} \|k \mathbf { a } \| &= \sqrt {\left (k a_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (k a_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \cdots + \left (k a_ { n } \right ) ^ { 2 } } \\ &=\|k\| \sqrt { a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } ^ { 2 } } =\|k\|\| \mathbf { a } \| \end {aligned} $</p> <p>실수 $ k $ 가 양이면 벡터 $ k \mathrm { a } $ 는 벡터 $ \mathrm { a } $ 의 방향과 일치하고, $ k $ 가 음이면 벡터 $ \mathrm { a } $와 반대 방향이다. 또한 $ k=0 $ 이면 벡터 $ k $ 는 아무 방향도 없다.</p> <h3>정의</h3> <p>길이가 1 인 벡터를 단위벡터(unite vector)라 한다.</p> <h1>6.2 공간벡터의 합과 차</h1> <p>벡터(vector)의 개녑은 뉴턴(I. Newton), 갈릴레이(G. Galilei) 등에 의하여 처음으로 생겨났으며 그 이름은 해밀턴(Hamilton)에 의해 붙여겼다. 이러한 벡터는 현대 물리학이나 공학의 여러 분야에서 널리 사용되고 있으며, 수학의 많은 부분에서 벡터의 개념을 기초로 하고 있다.</p> <p>넓이, 길이, 질량, 온도와 같은 물리적 양(量)은 그 양의 크기만 주어지면 충분히 나타낼 수 있다. 이와 같은 양을 스칼라(scalar)라 한다. 물리적인 양과 크기까지 같이 정해 주어야만 하는 것을 벡터(vector)라 한다. 예를 들어 어떤 물체의 무게는 스칼라이지만 바람의 이동은 보통 주어진 바람의 속력과 방향으로 나타내기 때문에 하나의 벡터를 이루게 된다.</p> <p>벡터는 기하학적으로 2 차원, 3 차원 공간의 유향성분이라든지 화살표로 표현된다. 화살표에 의하여 그 벡터를 표현하는 경우 주어진 벡터는 4 가지로 구성된다. 즉 화살표의 꼬리는 벡터의 시점(initial point)을, 화살표의 머리는 벡터의 종점(terminal point)을 나타내며, 화살표의 길이는 벡터의 길이(length)를 나타내고 벡터의 방향(direction)도 함께 표현하고 있는 것이다.</p> <p>여기서는 벡터를 나타내는 기호로 $ a, b, k, i, v, \cdots $ 와 같은 소문자 고딕을 사용하고 틍별히 언급이 없는 한 모든 스칼라는 실수로 생각하기로 한다.</p> <p>벡터 $ \mathrm { v } $ 의 시점이 $ A $ 이고, 종점이 $ B $ 인 경우 $ \mathrm { v } = \overrightarrow { A B } $ 로 쓰기로 한다. 두 벡터가 단지 길이와 방향만 같을 때 두 벡터는 동치(equivalent)라 한다. 즉, 두 벡터가 서로 다른 위치에 있다 할지라도 단지 방향과 크기만 같은 것을 의미하며 두 벡터가 동치라는 것은 두 벡터의 성질(property)이 같다는 것을 의미한다. 동치인 두 벡터를 $ \mathrm { v } \approx \mathrm { w } $ 와 같이 나타낸다.</p> <p>동치인 두 벡터가 시점과 종점까지 같은 경우 두 벡터는 같다(equal)고 하고 $ \mathrm { v } = \mathrm { w } $ 로 나타낸다. 그러나 벡터의 본질적인 요소가 길이와 방향이므로 두 벡터가 동치라는 것은 두 벡터가 같다는 것을 의미하는 것으로 하기도 한다. 앞으로 본 교재에서는 두 벡터가 동치라는 것은 두 벡터가 동일한 것을 나타내는 것으로 하겠다.</p> <p>벡터를 포함하는 여러 가지 문제는 직교 좌표계를 이용하면 간단하제 나타낼 수 있다.</p> <p>공식 6번을 증명한다. \[ \begin {aligned} a( \mathrm { u } + \mathrm { v } ) &=a \left ( \left \langle u_ { 1 } + u_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } \right \rangle \right )=a \left \langle u_ { 1 } + v_ { 1 } , u_ { 2 } + v_ { 2 } \right \rangle \\ &= \left \langle a \left (u_ { 1 } + v_ { 1 } \right ), a \left (u_ { 2 } + v_ { 2 } \right ) \right \rangle= \left \langle a u_ { 1 } + a v_ { 1 } , a u_ { 2 } + a v_ { 2 } \right \rangle \\ &= \left \langle a u_ { 1 } , a u_ { 2 } \right \rangle + \left \langle a v_ { 1 } , a v_ { 2 } \right \rangle=a \left \langle u_ { 1 } , \quad u_ { 2 } \right \rangle + a \left \langle v_ { 1 } , v_ { 2 } \right \rangle \\ &=a \mathrm { u } + a \mathrm { v } \end {aligned} \]</p> <p>벡터의 길이와 방향 일반적으로 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \rangle $ 의 길이(length)를 $ \| \mathrm { a } \| $ 으로 표시하고, 주어진 벡터의 크기(norm)라고도 한다. 주어진 벡터의 크기는 다음과 같이 계산한다. \[ \| \mathbf { a } \|= \sqrt { a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } ^ { 2 } } \]</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| } = \cos \theta $ 로부터 $ \cos \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } $ 을 얻는다. 따라서 구하는 각의 크기는 $ \theta= \frac {\pi } { 4 } $ 이다.</p> <p>두 벡터 사이의 각이 $ \theta= \frac {\pi } { 2 } $ 일 때 $ \cos \frac {\pi } { 2 } =0 $ 이므로 두 벡터가 직교(orthogonal)하기 위한 필요충분조건은 그들의 내적이 0 인 것이다.</p> <p>성질 1</p> <p>두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 b가 서로 수직이다. $ \Leftrightarrow \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } =0 $</p> <p>예제 3</p> <p>두 벡터 $ \mathrm { a } = \langle 8,6 \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \langle 3,-4 \rangle $ 의 내적이 0 이므로 서로 수직이다.</p> <p>영벡터가 아닌 서로 평행한 두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 가 이루는 각의 크기를 $ \theta $ 라 할 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 의 방향이 같으면 $ \theta=0 $ 이므로 $ \cos \theta=1 $ 이다.</li> <li>$ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 의 방향이 반대라면 $ \theta=2 \pi $ 이므로 $ \cos \theta=-1 $ 이다.</li></ol> <p>따라서 평행한 두 벡터에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>성질 2</p> <p>두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 가 평행이다. $ \Leftrightarrow \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } = \pm\| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| $</p> <p>좌표 공간에서 두 벡터의 내적은 그 결과가 실수로 양수, 음수 또는 0으로 나타난다. 그러나 물리학이나 공학에서 유용하게 사용되는 벡터의 연산 중에는 그 결과가 다시 벡터로 나타나는 연산이 있다 이것을 벡터의 외적이라 한다.</p> <p>정의</p> <p>3차원 공간의 두 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right \rangle $ 의 외적(outer product)은 $ a \times b $ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다. \[ \mathrm { a } \times \mathrm { b } = \left \langle a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } , a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } , a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right \rangle \]</p> <p>(주) 벡터의 외적을 크로스적(cross product) 또는 벡터 적(vector product)이라고도 한다. 두 벡터의 외적의 결과는 반드시 3 차원 공간의 벡터임에 주목해야 한다.</p> <p>예제 4</p> <p>다음 두 벡터 $ \mathrm { a } = \langle 1,2,3 \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \langle-1,3,1 \rangle $ 의 외적을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \mathrm { a } \times \mathrm { b } &= \langle 2 \cdot 1-3 \cdot 3,3 \cdot(-1)-1 \cdot 1,1 \cdot 3-2 \cdot(-1) \rangle \\ &= \langle-7,-4,5 \rangle \end {aligned} $</p> <p>지금 까지 벡터를 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle $ 와 같이 성분으로 표시하였다. 3 차원 공간의 벡터 중에는 특별한 역할을 하는 3 개의 벡터가 있다.</p> <p>$ \mathrm { i } = \langle 1,0,0 \rangle, \mathrm { j } = \langle 0,1,0 \rangle, \mathrm { k } = \langle 0,0,1 \rangle $</p> <p>이 3 개의 벡터는 길이가 1 인 단위 벡터이고 각각 $ x $ 축, $ y $ 축, $ z $ 축의 양의 방향을 가리키는 벡터이다. 이 3 개의 벡터를 사용하여</p> <p>풀이</p> <p>주어진 두 평면에 각각 수직인 벡터는 $ \mathrm { a } (1,2,-2) $ 이고 $ \mathrm { b } (3,-5,4) $ 이므로 이 벡터 사이의 각을 $ \theta $ 라 하면 $ \theta $ 는 두 평면 사이의 각이다. 따라서 \[ \cos \theta= \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \|\| \mathrm { b } \| } =- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \text { 에서 } \theta=45 ^ {\circ } \text { 이다. } \] 일반적으로 $ x, y, z $ 의 1 차식으로 표현된 식은 평면의 방정식을 나타낸다.</p> <p>예제 5</p> <p>평면 $ 2 x + 3 y + 4 z=12 $ 와 $ x y $ 평면, $ y z $ 평면 그리고 $ z x $ 평면으로 둘러싸인 도형은 사면체이다. 즉</p> <p>이제 공간 상의 점 $ P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $ 에서 평면 $ a x + b y + c z + d=0 $ 까지의 거리에 대하여 알아보도록 하자. 점 $ P_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 를 주어진 평면의 임의의 점이라 하고 $ \mathrm { b } $ 를 $ \overrightarrow { P_ { 0 } P_ { 1 } } $ 에 대응하는 벡터라 하면 $ \mathrm { b } = \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } , y_ { 1 } -y_ { 0 } , z_ { 1 } -z_ { 0 } \right ) $ 이다. 이때 $ P_ { 1 } $ 에서 평면까지의 거리 $ D $ 는 평면에 수직인 벡터 $ \mathrm { u } (a, b, c) $ 위로의 $ \mathrm { b } $ 의 스칼라 사영의 절댓값과 같음을 알 수 있다(그림 참조). 따라서</p> <p>이때 $ \begin {aligned} D &= \left \| \operatorname { proj } _ {\mathrm { u } } \mathrm { b } \right \|= \frac { \| \mathbf { u } \cdot \mathrm { b } \| } { \| \mathrm { u } \| } \\ &= \frac { a \left (x_ { 1 } -x_ { 0 } \right ) + b \left (y_ { 1 } -y_ { 0 } \right ) + c \left (z_ { 1- } z_ { 0 } \right ) \mid } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \\ &= \frac {\left \| \left (a x_ { 1 } + b y_ { 1 } + c z_ { 1 } \right )- \left (a x_ { 0 } + b y_ { 0 } + c z_ { 0 } \right ) \right \| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \end {aligned} $</p> <p>이고, $ P_ { 0 } $ 는 평면 위에 놓여 있으므로 그 자표들은 평면의 방정식을 만족하고 따라서 $ a x_ { 0 } + b y_ { 0 } + c z_ { 0 } + d=0 $ 을 얻는다. 그러므로 거리 $ D $ 에 관한 공식은 다음과 같다.</p> <p>점 $ P_ { 1 } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $ 에서 평면 $ a x + b y + c z + d=0 $ 까지의 거리 \[ D= \frac {\left \|a x_ { 1 } + b y_ { 1 } + c z_ { 1 } + d \right \| } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \]</p> <h3>벡터의 사영(projection)</h3> <p>0 이 아닌 두 벡터 $ \mathrm { a } $ 와 $ \mathrm { b } $ 에 대하여 벡터 $ \mathrm { a } $ 를 지나는 직선 위에 벡터 $ \mathrm { b } $ 를 사영하여 얻는 벡터를 a 위로의 b의 사영이라 하고 $ p r o j_ {\mathrm { a } } \mathrm { b } $ 로 나타낸다.</p> <p>이때 두 벡터가 이루는 각을 $ \theta $ 라 하면 다음이 성립함을 일 수 있다. a 위로의 $ \mathrm { b } $ 의 사영을 $ \operatorname { proj } _ {\mathrm { a } } \mathrm { b } = \mathrm { w } $ 라 할 때</p> <ol type=1 start=1><li>$ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } $ 인 경우: 벡터 $ \mathrm { w } $ 는 벡터 a와 같은 방향이므로 어떤 스칼라 $ k $ 가 있어서 $ \mathrm { w } =k \mathrm { a } $ 이다. 이때 벡터 $ \mathrm { w } $ 의 크기 $ \| \mathrm { w } \| $ 는 $ \| \mathrm { b } \| \cos \theta $ 가 되어야 한 다. 그러므로 $ \| \mathrm { b } \| \cos \theta=\| \mathrm { w } \|=\|k \mathrm { a } \|=k\| \mathrm { a } \| $ 이다. 따라서 $ k= \frac { \| \mathrm { b } \| } { \| \mathrm { a } \| } \cos \theta= \frac { \| \mathrm { b } \| } { \| \mathrm { a } \| } \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { b } \|\| \mathrm { a } \| } = \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } $, 즉 $ \mathrm { w } = \left ( \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } \right ) \mathrm { a } $ 이다.</li> <li>$ \frac {\pi } { 2 }< \theta \leq \pi $ 인 경우: 벡터 $ \mathrm { w } $ 를 벡터 a와 반대 방향이라고 하자. 이 벡터 의 크기는 $ -\| \mathrm { b } \| \cos \theta=k\| \mathrm { a } \| $ 이다. 그러므로 $ k=- \frac { \| \mathrm { b } \| } { \| \mathrm { a } \| } \cos \theta=- \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } $ 이다. 이때 벡터 $ \mathrm { w } $ 는 2 와 반대 방향이므로 $ \mathrm { w } =-k \mathrm { a } $ 이다. 따라서 $ \mathrm { w } = \left ( \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } \right ) \mathrm { a } $ 이다.</li></ol> <p>즉, 어떤 경우라 하더라도 a 위로의 b의 사영은 $ \operatorname { proj } _ {\mathrm { a } } \mathrm { b } = \left ( \frac {\mathrm { a } \cdot \mathrm { b } } { \| \mathrm { a } \| ^ { 2 } } \right ) \mathrm { a } $ 이다.</p> <h2>2차원 평면 벡터</h2> <p>그림 3 과 같이 2 차원 평면상에 나타난 4 개의 벡터는 모두 동치이다. 이를 표시하면 \[ \overrightarrow { A B } \approx \overrightarrow { C D } \approx \overrightarrow { O P } \approx \overrightarrow { E F } \] 이다.</p> <p>그림 3 에서 4 개의 벡터 중에서 시점이 $ O(0,0) $ 이고 종점이 $ P \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } \right ) $ 인 벡터 $ \overrightarrow { O P } $ 를 사용하고자 할 때 단지 종점만을 나타내도 충분하므로 앞으로는 벡터 $ \mathrm { v } = \left \langle p_ { 1 } , p_ { 2 } \right \rangle $ 와 같이 종점만 쓰기로 한다. 이 벡터 $ \mathrm { v } $ 를 주어진 4개의 벡터의 대표벡터(또는 위치벡터)라 하자. 만약 시점이 원점이 아닌 $ C \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } \right ) $ 이고 종점이 $ D \left (d_ { 1 } , d_ { 2 } \right ) $ 인 벡터 $ \overrightarrow { C D } $ 의 취급이 푈요한 경우라면 $ \left (d_ { 1 } -c_ { 1 } , d_ { 2 } -c_ { 2 } \right ) $ 를 계산함으로써 위치 벡터로 만들 수 있다.</p> <p>예제 1</p> <p>시점이 $ C(-3,1) $ 이고 종점이 $ D(-1,4) $ 인 벡터 $ \overrightarrow { C D } $ 의 위치 벡터는 \[ \langle-1 + 3,4-1 \rangle= \langle 2,3 \rangle \] 이다.</p> <p>두 수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } $ 를 벡터 $ a= \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } \right \rangle $ 의 성분(component)이라 한다. 따라서 두 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } \right \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } \right \rangle $ 가 같을 푈요충분조건은 $ a_ { 1 } =b_ { 1 } $ 이고 $ a_ { 2 } =b_ { 2 } $ 인 것이다.</p> <h2>3차원 공간 벡터</h2> <p>평면상의 벡터가 두 개의 실수를 나열하여 표시할 수 있는 것과 마찬가지로 3 차원 공간 내의 벡터에 대해서도 직교 좌표계를 도입함으로써 3 개의 실수를 나열하여 표시할 수 있다. 이를 위하여 먼저 고정된 점 $ O $ (원점, origin)를 정하고, $ O $ 에서 서로 수직으로 만나는 세 개의 방향을 가진 직선을 좌표축(coordinate axes)이라 부르고, 각각 $ x $ 축, $ y $ 축, $ z $ 축이라 이름 붙인다. 보통 $ x $ 축과 $ y $ 축은 수평으로, $ z $ 축은 연직으로 생각한다. 즉, 그림과 같이 3 차원 좌표계를 구성하고 각 축의 양의 방향을 지정하여 단위에 의한 길이를 정함으로써 하나의 벡터가 정해지게 된다. 단 본 교재에서는 오른손 법칙(right-handed system)만 사용할 것이다.</p> <p>평면벡터와 마찬가지로 두 벡터 $ \mathrm { a } = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle $ 와 $ \mathrm { b } = \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right \rangle $ 가 같을 필요충분조건은 $ a_ { 1 } =b_ { 1 } , a_ { 2 } =b_ { 2 } $ 이고 $ a_ { 3 } =b_ { 3 } $ 이다.</p> <p>예제 2</p> <p>시점이 $ P_ { 1 } (-3,1,2) $ 이고 종점이 $ P_ { 2 } (-1,4,1) $ 인 벡터 $ \mathrm { v } = \overrightarrow { P_ { 1 } P_ { 2 } } $는 $ \langle-1 + 3,4-1,1-2 \rangle= \langle 2,3,-1 \rangle $ 이다.</p> <p>이제 벡터의 합과 차에 대하여 알아보도록 하자</p> <p>임의의 두 벡터 $ \mathrm { v } $ 와 $ \mathrm { w } $ 에 대하여 $ \mathrm { v } + \mathrm { w } $ 를 두 벡터의 합(sum)은 벡터 $ \mathrm { v } $ 의 종점에 벡터 $ \mathrm { w } $ 의 시점을 일치시켰을 때 벡터 $ \mathrm { v } $ 의 시점에서 벡터 $ \mathrm { w } $ 의 종점에 이르는 벡터를 의미한다.</p>	자연
s009-기초미적분학	<h1>3 유리 및 무리함수</h1> <h2>$ 1 $ 유리함수</h2> <p>그림 $ 1.1 $ 과 같은 장치(일종의 망원경)를 만들어 여러 가지 물체를 관찰함으로써 실상과 허상의 위치적 관계가 결정될 수 있는 방정식을 유도하여보자.</p> <p>드레싱 폐이퍼와 돋보기 사이의 거리를 재면 재미있는 사실을 발견할 수 있다. 드레싱 폐이퍼와 돋보기 사이의 거리를 $ x \mathrm { cm } $, 피사체까지의 거리를 $ y \mathrm { cm } $, 돋보기의 초점까지 거리는 $ 10 \mathrm { cm } $ 라고 하자.</p> <p>그림 $ 1.2 $ 에서 $ \triangle A B C \propto \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C $ 이므로 $ \frac {\overline { A B } } { y } = \frac {\overline { A ^ {\prime } B ^ {\prime } } } { x } $</p> <p>또 $ \triangle C D F \propto \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } F $ 에 의해 $ \frac {\overline { A B } } { 10 } = \frac {\overline { A ^ {\prime } B ^ {\prime } } } { x-10 } \quad( \overline { C D } = \overline { A B } ) $</p> <p>두 식을 연립하여 풀면</p> <p>$ \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { y } = \frac { 1 } { 10 } $<caption>①</caption></p> <p>방정식 ①은 피사체의 실상과 허상의 거리 관계를 파악할 수 있는 공식이 된다. 방정식 ①을 $ y $ 에 대하여 풀면 $ y= \frac { 10 x } { x-10 } $ 이므로 $ y $ 는 $ x $ 에 대한 함수가 된다. 즉</p> <p>$ y=f(x)= \frac { 10 x } { x-10 } $<caption>②</caption></p> <p>함수 ②를 이용하여 거리 $ x $ (렌즈에서 허상까지 거리)에 대응하는 피사체까지의 거리를 계산할 수 있다. 예를 들어, $ x=12 \mathrm { cm } \text { 일 때 } y=60 \mathrm { cm } $ 이 치수를 그림 $ 1.3 $ 과 같이 통의 표면에 기입해 두면 허상을 통하여 피사체까지의 거리를 구할 수 있게 된다.</p> <p>예제 $ 3.2 $ $ f(x)=4 x + 1 $ 이고 $ g(x)=2 x ^ { 2 } + 5 x $ 일 때, 다음을 구하라. $ (1) $ $ g(f(1)) $ $ (2) $ $ f(g(1)) $ $ (3) $ (3) $ g(f(x)) $ $ (4) $ $ f(g(x)) $</p> <p>풀이 ▶ $ (1) $ $ f(1)=4 \cdot 1 + 1=5 $ 이므로 $ g(f(1))=g(5) $ 이다. 또한 \[ g(5)=2 \cdot 5 ^ { 2 } + 5 \cdot 5=75 \] 따라서 $ g(f(1))=75 $ 이다. $ (2) $ $ g(1)=2 \left (1 ^ { 2 } \right ) + 5(1)=7 $ 이므로 $ f(g(1))=f(7) $ 이다. 또한 \[ f(7)=4(7) + 1=29 \] 따라서 $ f(g(1))=29 $ 이다. $ (3) $ $ g(f(x)) =g(4 x + 1) =2(4 x + 1) ^ { 2 } + 5(4 x + 1)=2 \left (16 x ^ { 2 } + 8 x + 1 \right ) + 20 x + 5=32 x ^ { 2 } + 16 x + 2 + 20 x + 5 =32 x ^ { 2 } + 36 x + 7 $ $ (4) $ $ f(g(x)) =f \left (2 x ^ { 2 } + 5 x \right ) =4 \left (2 x ^ { 2 } + 5 x \right ) + 1 =8 x ^ { 2 } + 20 x + 1 $ □</p> <p>예제 $ 3.2 $ 에서 보았둣이 모든 $ x $ 에 대하여 $ (g \circ f)(x)=(f \circ g)(x) $ 는 항상 성립하지 않는다. 실제로, \[ 75=g(f(1)) \neq f(g(1))=29 \] 즉, 합성연산 에 대한 $ g \circ f \neq f \circ g $ 임을 주의하라. 미팅을 갔다 온 다음 옷을 사서 입는 것과 옷을 사서 입고 난 다음 미팅에 나가는 것은 많이 다를 수 있다.</p> <h3>$ 3 ) $ 합성함수</h3> <p>실수 상에서 더하기와 빼기는 서로 역연산 관계를 갖고 있다. 예를 들어 $ x $ 에서 출발하여 $ 3 $ 을 뺀 다음 $ 3 $ 을 더하면 출발했던 값 $ x $ 가 된다. 유사하게 합성연산으로 어떤 함수들은 서로 역관계를 갖는다. 예로, 두 함수 $ f(x)=8 x $, $ g(x)= \frac { 1 } { 8 } x $ 사이에는 특별한 의미에서 서로 역관계를 형성하고 있다. 구체적으로 $ x=12 $ 를 생각하면 \[ x=12 \rightarrow f(12)=96 \rightarrow g(96)=12 \rightarrow 12=x \] 또한 \[ x=12 \rightarrow g(12)= \frac { 3 } { 2 } \rightarrow f \left ( \frac { 3 } { 2 } \right )=12 \rightarrow 12=x \] 위의 두 과정을 정리하면 \[ \begin {aligned} &(g \circ f)(12)=g(f(12))=12 \\ &(f \circ g)(12)=f \left (g \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) \right )=12 \end {aligned} \] 실제로, 모든 $ x $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} &(g \circ f)(x)= \frac { 1 } { 8 } (8 x)=x \\ &(f \circ g)(x)=8 \left ( \frac { 1 } { 8 } x \right )=x \end {aligned} \] $ f $ 와 $ g $ 의 사이의 특별한 관계를 역함수 관계라 한다. $ g $ 는 $ f $ 의 역함수 또는 $ f $ 는 $ g $ 의 역함수라고. 한다. 모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아니다. 역함수를 갖기 워 해서는 $ f $ 가 일대일함수가 되어야 한다.</p> <h3>$ 4 ) $ 역함수의 그래프</h3> <p>실수 $ a $ 와 $ b $ 에 대해서 $ f(a)=b $ 라 하자. 그러면 역함수의 정의에 의하여, $ f ^ { -1 } (b)=a $ 이다. 즉 $ (a, b) $ 가 $ f $ 의 그래프의 점이라면 $ (b, a) $ 는 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프의 점이 된 다. 그림 $ 3.7 $ 에서 점 $ (a, b) $ 와 $ (b, a) $ 는 직선 $ y=x $ 에 대하여 대칭이다. 때문에 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프는 $ f $ 의 그래프를 $ y=x $ 에 반사시켜 그릴 수 있다.</p> <p>함수 $ f(x)=x ^ { 2 } , x \geq 0 $ 의 역함수는 $ f ^ { -1 } (x)= \sqrt { x } $ 이다. 두 함수의 그래프를 그려보면 그림 $ 3.8 $ 과 같다. 직관적으로 두 그래프는 $ y=x $ 에 대칭임을 관찰할 수 있다.</p> <p>함수와 역함수 그래프의 대칭성은 $ g(x)= \sqrt[3] { x + 1 } $ 의 그래프를 그리는 데 매우 편리하다. 왜냐하면 그리기 어려운 $ g(x)= \sqrt[3] { x + 1 } $ 의 그래프를 그리는 것 대신에, $ g(x) $ 의 그래프는 그 역함수 $ g ^ { -1 } (x)=x ^ { 3 } -1 $ 의 그래프를 그리고 난 다음 $ y=x $ 에 대칭시키면 되기 때문이다.</p> <p>예제 $ 3.7 $ $ g(x)= \sqrt[3] { x + 1 } $ 의 그래프를 그려라.<p>풀이 ▶ $ g(x)= \sqrt[3] { x + 1 } $ 의 역함수는 $ f(x)=x ^ { 3 } -1 $ 이다. 따라서 $ y=g(x) $ 의 그 래프는 $ y=x ^ { 3 } -1 $ 의 그래프를 직선의 방정식 $ y=x $ 에 대칭시켜 얻을 수 있다. □</p> <h2>그래픽아트</h2> <p>함수의 그래프와 컴퓨터를 사용하여 물체의 윤곽을 그려낼 수 있다. 아래의 웃는 얼굴에 사용된 함수를 모두 발견하여보자. 단, 그 모양이 정확하지 않아도 되고, 정의역에 대한 정확한 지적은 하지 않아도 상관없다. 또한 크기를 조절할 필요는 없다.</p> <ol type=i start=1><li>얼굴의 윤곽을 원으로 생각한다. 코는 원의 증심에 있다고 가정한다. $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 에서 위쪽은 $ f(x)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $, 아래쪽은 $ f(x)=- \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $</li> <li>왼쪽 눈은 $ 3 $ 개의 원의 방정식으로 구성되어 있다고 생각한다. 위쪽은 $ f(x)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $, 아래쪽은 $ f(x)=- \sqrt { 1-x ^ { 2 } } $ 에 평행이동을 적용 한다. $ y=f(x) $ 에서 $ x $ 축으로 $ a $ 만큼, $ y $ 축으로 $ b $ 만큼 평행이동한 $ y=f(x-a) + b $ 이다. 눈에 알맞게 $ a $ 와 $ b $ 를 선택한다. 예를 들어, 위쪽 눈은 $ y= \sqrt { 1-(x + 0.5) ^ { 2 } } + 0.5 $. 나머지도 유사하게 선택 한다. 정확하게 하려면 방정식을 풀어야 한다.</li> <li>오른쪽 눈도 동일하게 생각한다.</li> <li>입술과 눈썹은 포물선으로 구성되어 있다고 생각한다. 위쪽으로 열려 있는 것은 $ f(x)=x ^ { 2 } $, 아래쪽으로 열려 있는 것은 $ f(x)=-x ^ { 2 } $</li></ol> <p>역함수의 정의에서 두 개의 집합을 도입하여 역함수를 정의하고 있는 이유는 합성의 순서에 따라 정의역이 달라지기 때문이다. 그림 $ 3.4 $ 는 함수와 역함수의 관계를 그림으로 설명한 것이다. 기호 $ f ^ { -1 } $ 에서 $ - 1 $ 을 음의 지수, 즉 $ f ^ { -1 } (x) $ 는 $ 1 / f(x) $ 로 혼동하지 않도록 주의하라.</p> <p>예제 $ 3.4 $ $ f(x)=x ^ { 2 } -4, x \geq 0 $ 라 하자. 이때 $ f $ 의 역함수는 $ f ^ { -1 } (x)= \sqrt { x + 4 } $ 임을 확인하라.<p>풀이 ▶ $ f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=x $ 와 $ f ^ { -1 } (f(x))=x $ 를 확인해야 한다. 즉 \[ f \left (f ^ { -1 } (x) \right ) =f( \sqrt { x + 4 } ) =( \sqrt { x + 4 } ) ^ { 2 } -4 =x + 4-4=x \] 그리고 \[ f ^ { -1 } (f(x)) =f ^ { -1 } \left (x ^ { 2 } -4 \right ) = \sqrt {\left (x ^ { 2 } -4 \right ) + 4 } = \sqrt { x ^ { 2 } } =\|x\| \] $ x \geq 0 $ 이기 때문에 $ f ^ { -1 } (f(x))=\|x\|=x $ 이다. □</p> <p>주의 $ f(x) $ 의 정의역과 치역은 $ f ^ { -1 } (x) $ 의 치역과 정의역이 된다.</p> <p>역함수는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.</p> <p>$ y=f(x) $ 에서</p> <ol type=i start=1><li>$ f(y)=x $ 와 같이 $ x $ 와 $ y $ 의 자리를 바꾼다.</li> <li>$ f(y)=x $ 를 $ y $ 에 대하여 퓬다.</li> <li>$ f ^ { -1 } (x)=y $ 로 둔다.</li></ol> <p>예제 $ 3.5 $ 함수 $ f(x)=2 x + 3 $ 의 역함수를 구하라.<p>풀이 ▶ $ y=2 x + 3 $ 에서 $ x $ 와 $ y $ 를 서로 바꾸면 \[ x=2 y + 3 \] 방정식을 $ y $ 에 대하여 풀면 \[ y= \frac { x-3 } { 2 } \] 따라서 역함수는 $ f ^ { -1 } (x)= \frac { x-3 } { 2 } $ □</p> <p>유리함수 $ f(x) $ 에 대하여 $ \sqrt[n] { f(x) } $ 와 같이 표현되는 함수를 무리함수라고 한다.</p> <ul> <li>$ x $ 의 절편은 $ f(x) \geq 0 $ 이 되는 범위에서 $ f(x) $ 의 절편과 같다.</li> <li>$ y $ 의 절편은 $ \sqrt[n] { f(0) } $ 이다. $ f(0) $ 가 정의되지 않으면 $ y $ 의 절편은 없다.</li> <li>정의역은 $ n $ 이 짝수일 때 부등식 $ f(x) \geq 0 $ 을 만족하는 모든 $ x $ 의 집합이고. $ n $ 이 홀수일 때 $ f(x) $ 의 정의역과 같다.</li> <li>무리함수의 그래프와 치역은 주어진 함수에 따라 많이 달라진다.</li></ul> <p>유리함수와 마찬가지로 특정 무리함수에 대한 개념을 학습하기로 한다. 가장 대표적인 무리함수는 $ f(x)=a \sqrt { x } $ 이다. 제곱근과 관계 있고 함수임을 알 수 있다. 근호의 정의에 의해 정의역은 $ [0, \infty) $ 이고, $ x $ 및 $ y $ 의 절편은 $ 0 $ 이며, 치역은 $ a>0 $ 이면 $ [0, \infty), a<0 $ 이면 $ (- \infty, 0] $ 이다. 그림 $ 2.2 $ 는 $ y=a \sqrt { x } $ 의 그래프를 나타낸 것이다.</p> <p>$ f(x)=a \sqrt { x-m } + n $ 의 그래프는 $ y=a \sqrt { x } $ 의 그래프를 $ x $ 축으로 $ m $ 만큼, $ y $ 축으로 $ n $ 만큼 평행이동하여 그릴 수 있다.</p> <p>예제 $ 2.1 $ 함수 $ f(x)=2 \sqrt { x + 4 } -3 $ 의 그래프를 그려라. 또한 각 절편도 구하라.</p> <p>풀이 ▶ $ y=2 \sqrt { x } $ 의 그래프를 $ x $ 축으로 $ -4 $ 만큼, $ y $ 축으로 $ -3 $ 만큼 평행이동하여 그린다. $ f(0)=2 \sqrt { 0 + 4 } -3=4-3=1 $ 이므로 $ y $ 의 절편은 $ 1 $ 이다. \[ \begin {aligned} &2 \sqrt { x + 4 } -3=0 \\ & \sqrt { x + 4 } = \frac { 3 } { 2 } \end {aligned} \] 양변을 제곱하여 $ x $ 에 대하여 풀면 \[ \begin {aligned} &x + 4= \frac { 9 } { 4 } \\ &x= \frac { 9 } { 4 } -4=- \frac { 7 } { 4 } \end {aligned} \] 이므로 $ x $ 의 절편은 $ -7 / 4 $ 이다. □</p> <p>유사하게 함수 $ y= \frac { a } { (x-m) ^ { 2 } } + n $ 의 그래프도 쉽게 그릴 수 있다. 즉 $ x $ 방향으로 $ m $ 만큼 $ y $ 방향으로 $ n $ 만큼 $ y=a / x ^ { 2 } $ 의 그래프를 평행이동하여 그린다. 이때 수직점근선은 $ x=m $, 수평점근선은 $ y=n $, 정의역은 $ x=m $ 을 제외한 모든 실수, 치역은 $ a>0 $ 일 때 $ (n, \infty) $ 이고, $ a<0 $ 일 때 $ (- \infty, n) $ 이다.</p> <p>분모가 이차식 또는 그 이상인 유리함수의 그래프를 그리는 방법에 대해 살펴 보자. 컴퓨터를 사용하지 않고 유리함수의 그래프를 자세하게 그리는 것은 간단치 않다. 그러나 다항함수의 그래프를 잘 활용하면 그래프의 윤곽 정도는 쉽게 그려 낼 수 있다.</p> <p>예제 $ 1.3 $ 다음 유리함수의 그래프를 그려라. $ (1) $ $ y= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x-6 } $ $ (2) $ $ y= \frac { 5 } { x ^ { 2 } + 1 } $</p> <p>풀이 ▶ 유리함수 $ (1) $ 과 $ (2) $ 의 차이는 분모에 있는 이차식의 인수분해 가능성뿐 이다. 첫 번째는 인수분해가 가능하고 두 번째는 인수분해가 되지 않 는다. 인수분해가 된다는 것은, 이차방정식 $ x ^ { 2 } + x-6=(x-2)(x + 3)=0 $ 을 만족하는 해 $ x=2, -3 $ 에서 함숫값이 정의되지 않는 것을 의미 한다. 즉, $ x=2 $ 와 $ x=-3 $ 은 유리함수의 수직점근선이 되며 이 점에서 유리함수의 그래프는 조각난다. 반면 분모가 인수분해되지 않는 경 우는 수직점근선이 존재하지 않고 또한 그래프도 조각나지 않는다. 분자가 모두 상수이므로 분모의 이차함수에 대한 그래프를 그린 다음 그 역수를 취하여 두 함수의 그래프를 그리면 된다(그림 $ 1.13 $). □</p> <p>예제 $ 1.4 $ 다음 유리함수의 그래프를 그려라. $ (1) $ $ y= \frac { x-1 } { x ^ { 2 } + x-6 } $ $ (2) $ $ y= \frac { 5(x-1) } { x ^ { 2 } + 1 } $</p> <p>풀이 ▶ 예제 1.5로부터 $ y= \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { x + 1 } $ 의 사선점근선은 $ y=x + 1 $ 이다. 1000은 매우 큰 수에 해당하기 때문에 이 방정식의 해는 $ x + 1=1000 $ 의 해와 거의 유사할 것이다. 즉, 해는 999에 매우 가까울 것이다. 실제의 해를 구하기 위해 식 ⑥을 정리하면 다음과 같은 이차방정식이 된다. $ x ^ { 2 } -998 x-997=0 $ 근의 공식으로부터 해는 $ x=499-7 \sqrt { 5102 } , 499 + 7 \sqrt { 5102 } $ 이고, 소수 셋째자리까지 구하면 -0.998, 998.998, 998.998은 999와 거의 유사하다. □</p> <p>마지막으로 분모와 분자가 공통인수를 포함하고 있는 유리함수의 그래프를 그려보자.</p> <p>예제 1.7 함수 $ f(x)= \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 ▶ $ x ^ { 2 } -1=(x-1)(x + 1) $ 이므로 분모와 분자는 공통인수 $ x-1 $ 을 갖는다. $ x-1 \neq 0 $ 인 $ x \neq 1 $ 에서는 공통인수를 약분할 수 있다. 즉 \[ f(x)= \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } = \frac { (x-1)(x + 1) } { x-1 } =x + 1, x \neq 1 \] 따라서 $ x=1 $ 에서 $ f(x) $ 가 정의되지 않도록 그래프를 그리고, 그 외에 서는 직선 $ y=x + 1 $ 을 이용하여 그래프를 그린다(그림 1.17). □</p> <h2>2 무리함수</h2> <p>후쿠시마 앞바다에서 발생한 해일의 엄청난 힘과 파괴력은 텔레비전 중계를 통하여 보았을 것이다. 예측하기 힘든 해일로부터 자신의 생명과 재산을 지키기 위해서는, 지진의 진원지와 그로 인한 해일이 언제 육지에 도달하는지의 정보를 바로 계산할 수 있어야 한다.</p> <p>해일의 진행속도는 $ v[ \mathrm { m } / \mathrm { s } ] $, 중력가속도는 $ g \left [ \mathrm { m } / \mathrm { s } ^ { 2 } \right ] $, 수심은 $ h[ \mathrm { m } ] $ 라고 하자. 그러면 $ v= \sqrt { g h } $ 가 성립한다. 속도 $ v=a \sqrt { h } $, $ a= \sqrt { g } $ 는 $ h $ 에 대한 함수로 $ h $ 의 제곱근에 비례한다. $ y= \sqrt { h } $ 는 증가함수이므로 $ h $ 가 크면 클수록 속도 $ v $ 가 해일의 진행속도는 빨라진다. 따라서 진원지의 깊이에 정보를 갖고서 대응책을 마련해야 한다(평상시의 연구가 중요한 이유!).</p> <p>예제 $ 3.1 $ $ f(x)=x ^ { 2 } + 1 $ 이고 $ g(x)=3 x + 5 $ 일 때, 다음을 계산하여라. $ (1) $ $ (f + g)(1) $ $ (2) $ $ (f-g)(-3) $ $ (3) $ $ (f \cdot g)(5) $ $ (4) $ $ \left ( \frac { f } { g } \right )(0) $</p> <p>풀이 ▶ $ (1) $ $ f(1)=2 $ 이고 $ g(1)=8 $ 이므로 덧셈의 정의에 $ (f + g)(1)=f(1) + g(1)=2 + 8=10 $ $ (2) $ 뺄셈의 정의에 의해 $ (f \cdot g)(5)=f(5) \cdot g(5)=26 \cdot 20=520 $ $ (3) $ 곱셈의 정의에 의해 $ (f \cdot g)(5)=f(5) \cdot g(5)=26 \cdot 20=520 $ $ (4) $ 나눗셈의 정의에 의해 $ \left ( \frac { f } { g } \right )(0)= \frac { f(0) } { g(0) } = \frac { 1 } { 5 } $ □</p> <h3>$ 2 ) $ 합성함수</h3> <p>어떤 함수의 값이 다른 함수의 정의역의 원소가 되어 새로운 함숫값이 생성되는 개념을 생각해보자. 그림 $ 3.1 $ 은 $ f $ 라는 미용실에 들어가 깔끔한 머리를 하여 나오고 연속적으로 $ g $ 라는 백화점에 들어가 멋진 옷을 입고 나오는 일련의 과정을 나타낸 것이다.</p> <p>두 함수 $ f $ 와 $ g $ 에 대하여 함수 $ h $ 를 $ h(x)=g(f(x)) $ 와 같이 정의하고 $ h $ 는 $ f $ 와 $ g $ 의 합성함수라고 한다. $ h $ 는 $ g $ 와 $ f $ 의 합성함수임을 강조하기 위해 연산 $ \circ $ 을 도입하여 $ g \circ f $ 로 표기하기로 한다. 이 표현을 이용하면 $ f $ 의 정의역에 속하는 모든 $ x $ 에 대하여 \[ h(x)=(g \circ f)(x)=g(f(x)) \]</p> <p>합성함수를 이용하여 다양한 함수를 만들어 낼 수 있다. 예들 들어, $ f(x)=x ^ { 2 } $, $ g(x)= \frac { x } { x + 1 } $ 일 때 \[ \begin {aligned} &g(f(x))= \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } , \\ &f(g(x))= \left ( \frac { x } { x + 1 } \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \] $ g(x) $ 와 $ g(f(x)) $ 를 또 합성하면, 즉 \[ g(g(f(x)))= \frac {\frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } } {\frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 1 } + 1 } \] 합성과정을 계속 적용하면 복잡한 함수가 만들어진다. 자동차 조립라인을 상상해 보라. 그것은 매우 훌륭한 합성과정이다.</p> <p>함수의 치역에 속하는 모든 원소는 정의역의 오직 한 개의 원소와 대응하는 함수를 일대일함수라고 한다.</p> <p>이 정의로부터 다음 결과를 쉽게 얻는다.</p> <p>$ f $ 가 일대일함수일 필요충분조건은 임의의 $ a, b $ 에 대하여 $ f(a)=f(b) $ 이면 $ a=b $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.3 $ 다음 함수가 일대일함수인지를 결정하라. $ (1) $ $ f(x)=-4 x + 12 $ $ (2) $ $ g(x)= \sqrt { 25-x ^ { 2 } } $<p>풀이 ▶ $ (1) $ $ f(a)=f(b) $ 라고 가정하면 $ -4 a + 12=-4 b + 12 $ \[ \begin {aligned} -4 a &=-4 b \\ a &=b \end {aligned} \] 따라서 $ f(x) $ 는 일대일함수이다. $ (2) $ $ g(a)=g(b) $ 라고 가정하면 \[ \sqrt { 25-a ^ { 2 } } = \sqrt { 25-b ^ { 2 } } \] 양변을 제곱하여 \[ \begin {aligned} 25-a ^ { 2 } &=25-b ^ { 2 } \\ a ^ { 2 } &=b ^ { 2 } \\ a &= \pm b \end {aligned} \] 따라서 $ g $ 는 일대일함수가 아니다. 예로, $ g(3)=g(-3) $ 이지만 $ 3 \neq $ $ -3 $ 이다. □</p> <p>일대일함수인지 아닌지는 그래프를 이용하여 간단하게 판정할 수 있다. 그림 $ 3.2 $ 에서 주어진 $ y=f(x) $ 의 그래프는 한 점보다 더 많은 점에서 만나고 있음을 알 수 있다. 즉 $ a \neq b $ 일 때 $ f(a)=f(b) $ 이므로, 함수는 일대일이 아니다. 이를 요약하면</p> <p>“함수의 그래프와 두 점 이상에서 만나는 수평선이 존재하지 않으면 함수는 일대일이다."</p> <p>이러한 방법을 이용하여 일대일을 판정하는 것을 수평선판정법을 얻는다. 다음은 역함수에 대한 일반적인 정의이다.</p> <p>$ f $ 는 정의역이 $ X $ 이고, 치역이 $ Y $ 인 일대일함수라 하고, $ g $ 는 정의역이 $ Y $ 이고 치역이 $ X $ 인 함수라 하자. $ X $ 에 있는 모든 $ x $ 에 대하여, $ (g \circ f)(x)=x $ 이고 $ Y $ 에 있는 모든 $ x $ 에 대하여, $ (f \circ g)(x)=x $ 이면 $ g $ 는 $ f $ 의 역함수라 하고, $ g $ 를 $ f ^ { -1 } (f $ 인버스로 읽음)로 쓴다. $ f ^ { -1 } $ 의 기호를 사용하면 $ X $ 에 있는 모든 $ x $ 에 대하여, $ f ^ { -1 } (f(x))=x $ $ Y $ 에 있는 모든 $ x $ 에 대하여, $ f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=x $</p> <p>$ f(x) $ 가 우함수일 필요충분조건은 $ f(-x)=f(x) $ 이고 $ f(x) $ 가 기함수일 필요충분조건은 $ f(-x)=-f(x) $ 이다.</p> <p>예제 $ 1.1 $ $ f(x)=a / x ^ { n } $ 에서 $ n $ 이 홀수일 때 $ f(x) $ 는 기함수이고, $ n $ 일 짝수일 때 $ f(x) $ 는 우함수임을 보여라.</p> <p>풀이 ▶ $ n $ 이 홀수일 때 $ f(-x)= \frac { a } { (-x) ^ { n } } =- \frac { a } { x ^ { n } } =-f(x) $ 이므로 $ f(x)=a / x ^ { n } $ 은 기함수이고, 그래프는 원점에 대칭이다. $ n $ 이 짝수일 때 $ f(-x)= \frac { a } { (-x) ^ { n } } = \frac { a } { x ^ { n } } =f(x) $ 이므로 $ f(x)=a / x ^ { n } $ 은 우함수이고, 그래프는 $ y $ 축에 대칭이다. □</p> <p>예제 $ 1.2 $유리함수 $ y= \frac { x + 6 } { 2 x + 4 } $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 ▶ 주어진 함수를 $ y= \frac { a } { x-m } + n $ 의 형태로 고치자. $ y= \frac { x + 6 } { 2 x + 4 } = \frac { x + 2 + 4 } { 2(x + 2) } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { x + 2 } $ 이므로, 주어진 유리함수의 그래프는 $ y=2 / x $ 의 그래프를 $ x $ 축으로 $ -2 $ 만큼, $ y $ 축으로 $ 1 / 2 $ 만큼 평행이동한 것이다(그림 $ 1.10 $). □</p> <p>점근선을 이용하면 예제 $ 1.2 $ 의 그래프를 수월하게 그릴 수 있다. 일반적으로 분모와 분자의 차수가 $ 1 $ 인 유리식의 일반적인 행태는 $ y= \frac { c x + d } { a x + b } $ 이며, 식의 나늣셈을 통하여 $ y= \frac { a } { x-m } + n $ 의 형태로 고칠 수 있고, 그 그래프는 $ y=a / x $ 의 그래프를 $ x $ 방향으로 $ m $ 만큼 $ y $ 방향으로 $ n $ 만큼 평행이동한 것이다. 수직점근선은 $ x=m $, 수평점근선은 $ y=n $, 정의역은 $ x=m $ 을 제외한 모든 실수, 치역은 $ y=n $ 을 제외한 모든 실수이다. 그림 $ 1.11 $ 은 $ y=a /(x-m) + n $ 의 그래프를 나타낸 것이다.</p> <p>풀이 ▶ 예제 $ 1.3 $ 과 달리 분자에 일차식이 포함되어 있기 때문에 $ x-1 $ 의 영향 (부호의 영양)으로 그래프의 모양은 상당히 달라진다(그림 $ 1.14 $).</p> <p>분자의 차수가 큰 유리함수는 다항함수와 분자의 차수가 낮은 유리함수의 형태로 고칠 수 있다.</p> <p>예제 $ 1.5 $ 다음 유리함수의 그래프를 그려라. $ f(x)= \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { x + 1 } $</p> <p>풀이 ▶ 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으므로 나눗셈을 실행하여 다음과 같이 고친다. \[f(x)= \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { x + 1 } = \frac { (x + 1) ^ { 2 } + 2 } { x + 1 } =x + 1 + \frac { 2 } { x + 1 } \] $ f(x) $ 는 일차함수 $ y=x + 1 $ 과 유리함수 $ y=2 /(x + 1) $ 을 더한 것이므 로 두 함수의 그래프를 그린 다음 더하는 과정을 통해 개략적으로 그래프를 그린다. 그림 $ 1.15 $ 는 $ y=f(x) $ 의 그래프를 나타낸 것이다. □</p> <p>그림 $ 1.15 $ 에서 보듯이 분자의 차수가 높은 경우 수평점근선 및 수직점근선과는 완전히 다른 점근선이 나타난다. 분자의 차수가 1 차 높은 경우에는 사선점근선, $ 2 $ 차 높은 경우에는 포물선 형태의 점근선이 나타난다. 점근선은 그래프를 좀 더 정교하게 그릴 수 있도록 해주는 매우 유용한 정보 가운데 하나이다. 그림 $ 1.16 $ 은 함수 $ y=x + \frac { 2 } { x } $, $ y=x ^ { 2 } + \frac { 2 } { x } $ 의 그래프를 나타낸 것으로 사선점근선과 포물선점근선을 관찰할 수 있다.</p> <p>예제 $ 1.6 $ 사선점근선의 개념을 사용하여 다음 방정식의 해를 구하라.</p> <p>$ \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 3 } { x + 1 } =1000 $<caption>⑥</caption></p> <p>일대일이 아닌 함수는 역함수를 갖지 않지만, 함수가 일대일이 되도록 영역으로 한정하여 그 역함수를 정의할 수 있다. $ f(x)=x ^ { 2 } -4 $ 는 일대일함수가 아니지만, $ x \geq 0 $ 또는 $ x \leq 0 $ 가운데 하나를 택하면, 예로 $ x \geq 0 $ 를 택하면 $ f(x) $ 는 $ x \geq 0 $ 에서 일대일함수이므로 그 역함수를 구할 수 있다.</p> <p>예제 $ 3.6 $ 다음 함수의 역함수를 구하라. $ (1) $ $ f(x)=(x-1) ^ { 3 } $ $ (2) $ $ f(x)=x ^ { 2 } -4 $</p> <p>풀이 ▶ $ (1) $ 수평선 판정법에 의해 주어진 함수는 일대일이다. 역함수를 구하기 위하여 방정식 $ f(y)=x $, 즉 $ (y-1) ^ { 3 } =x $ 를 $ y $ 에 대하여 풀면 \[ \begin {aligned} &y-1= \sqrt[3] { x } \\ &y= \sqrt[3] { x } + 1 \end {aligned} \] 따라서 $ f ^ { -1 } (x)= \sqrt[3] { x } + 1 $ 이고, 또한 $ f $ 의 정의역과 치역은 똑같이 $ (- \infty, \infty) $ 이므로 $ f ^ { -1 } $ 의 정의역과 치역은 $ (- \infty, \infty) $ 이다. $ (2) $ 수평선 판정법에 의해 주어진 함수는 일대일이 아니다. 따라서 역함수는 존재하지 않는다. 그러나 $ x \geq 0 $ 의 영역으로 정의역을 제한하면 일대일함수가 되므로 역함수를 정의할 수 있다. $ y=x ^ { 2 } -4, x \geq 0 $ 에서 $ x $ 와 $ y $ 의 자리를 바꾸면 \[ \begin {aligned} &x=y ^ { 2 } -4 \\ &y ^ { 2 } =x + 4 \end {aligned} \] 제곱근을 이용하여 $ y $ 에 대하여 풀면 \[ y= \pm \sqrt { x + 4 } \] $ y \geq 0 $ 이므로 역함수는 $ f ^ { -1 } (x)= \sqrt { x + 4 } , x \geq-4 $ □</p> <p>$ R_ { 1 } >10 $ 인 그래프 상의 모든 점이 $ R=10 $ 에 동일한 병렬저항을 설계할 수 있는 해가 되므로 그 방법은 무수히 많다는 것을 알 수 있다. 서로 반비례하는 관계를 가지므로 극단적으로 설계할 수도 있고, 크게 차이가 나지 않도록 설계할 수도 있다. 예를 들면,</p> <p>$ \begin {aligned} & R_ { 1 } =10010 \Omega, R_ { 2 } =10.01 \Omega \text { (극단적인 예) } \\ & R_ { 1 } =30 \Omega, R_ { 2 } =15 \Omega \text { (적절한 예) } \end {aligned} $</p> <p>유리함수란 위와 같이 분모와 분자가 다항함수로 구성된 함수인데 정확한 정의는 다음과 같다.</p> <p>다항함수 $ P(x) $ 와 $ Q(x) $ 의 상(분수형태)으로 표현된 $ f(x) $ 를 유리함수라고 한다. $f(x)= \frac { Q(x) } { P(x) } $</p> <ul> <li>$ x $ 의 절편은 $ Q(x) $ 의 절편과 같다.</li> <li>$ y $ 의 절편은 $ f(0)=Q(0) / P(0) $ 이다.</li> <li>정의역은 $ P(x)=0 $ 이 아닌 모든 $ x $ 의 집합이다.</li> <li>유리함수의 그래프와 치역은 주어진 유리함수에 따라 많이 달라진다.</li></ul> <p>유리함수의 그래프와 치역은 주어진 유리함수에 따라 많이 달라진다. 따라서 여기서는 특별한 형태의 유리함수에 대해서만 학습하기로 한다.</p> <p>저항문제에서 $ x=R_ { 1 } , f(x)=R_ { 2 } $ 라 두면 $ f(x)= \frac { 10 x } { x-10 } =10 + \frac { 100 } { x-10 } $ 이라는 유리함수를 얻는다. 이것은</p> <p>$ y= \frac { 100 } { x } $<caption>④</caption></p> <p>뉴턴은 질량이 $ M $ 과 $ m $ 이고 거러가 $ r $ 만큼 떨어져 있는 두 행성 사이의 인력은</p> <p>$ F=G \frac { M m } { r ^ { 2 } } $<caption>⑤</caption></p> <p>임을 발견하였다. 힘은 거리의 제곱에 반비례하므로 거리가 멀면 멀수록 힘의 영향력은 줄어든다(이웃이 멀리 있는 사촌보다 낫다는 우리의 속담이 참인 것처럼 보인다). 식 ⑤에서 $ x=r $, $ f(x)=F $ 라 두면 $ f(x)=a \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $, $ a=G M m $</p> <p>후쿠시마에 큰 피해를 준 해일의 속도를 계산해보자. 앞바다(태평양)에서 발생한 진원지의 수심이 $ 4282 \mathrm { m } $ 이므로 해일의 속도는 \[ v= \sqrt { 9.81 \frac {\mathrm { m } } {\mathrm { s } ^ { 2 } } \times 4282 \mathrm { ~m } } \approx 204.95 \mathrm { m } / \mathrm { s } \] 단위를 $ \mathrm { km } / \mathrm { h } $ 로 고치면 \[ 204.95 \mathrm { m } / \mathrm { s } =204.95 \times \frac { 1 } { 1000 } \mathrm { km } \times \frac { 3600 } { 1 \mathrm { h } } =737.82 \mathrm { km } / \mathrm { h } \] KTX의 쵝고속도보다 $ 2 $ 배 이상 빠르게 해안으로 접근해 오므로 대피 명령이 내려지면 빨리 대피하는 것이 상책이다.</p> <p>근호와 관련이 있는 다른 예를 살펴보자. $ 2011 $ 년 유럽에서 빛보다 빠른 입자인 타키온을 발견했다고 했다가 파장이 커지자 사소한 실수로 인한 해프닝으로 마무리했다. 아인슈타인의 상대성이론에 의하면 모든 물질의 속도는 빛보다 빠를 수 없다. 따라서 타키온 입자가 존재한다고 하면, 이 입자는 허수 질량을 가져야 한다. 정지상태의 질량을 $ m_ { 0 } $, 움직일 때의 질량을 $ m $, 질량의 속도를 $ v $, 빛의 속도 를 $ c $ 라고 하자. 아인슈타인의 상대성이론에 의하면 $ m= \frac { m_ { 0 } } {\sqrt { 1- \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } $ 가 성립한다. 타키온의 속도가 빛의 속도보다 빠르므로 $ v ^ { 2 } >c ^ { 2 } $ 이다. 따라서 $ 1- \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } }<0 $ 이 되어, 근호 안의 값이 음수가 되어 $ m $ 은 허수가 된다. 누구도 '허수 질량'을 받아들일 준비가 되어 있지 않다.</p> <p>함수 ④와 ⑤와 같은 형태를 포괄하는 기본적인 유리함수의 형태는 $ f(x)=a \frac { 1 } { x ^ { n } } , n=1,2,3, \cdots $</p> <p>그림 $ 1.7 $ 은 $ f(x)=a / x $ 의 그래프를 나타낸 것이다. 유리함수는 다항함수에는 없는 점근선의 개념을 갖고 있다. 그림 $ 1.7 $ 에서 보둣이 $ x $ 의 값이 한없이 커질 때(기호로는 $ x \rightarrow \pm \infty $ 로 표기) 그래프는 $ y=0 $ 에 접근하는데, 이 직선을 수평점근선이라 한다. 반대로 $ x $ 가 특정한 값 $ 0 $ 에 매우 가까이 접근할 때 $ y $ 는 무한으로 발산하는데, 직선 $ x=0 $ 을 수직점근선이라 한다. 이상을 정리하면</p> <ul> <li>$ y= \frac { a } { x } $ 의 수평점근선은 $ y=0 $ 이고, 수직점근선은 $ x=0 $ 이다.</li> <li>$ y= \frac { a } { x } $ 의 정의역과 치역은 $ 0 $ 을 제외한 모든 실수이다.</li></ul> <p>그림 $ 1.8 $ 은 $ f(x)= \frac { a } { x ^ { 2 } } $ 의 그래프를 나타낸 것이다. 그래프로부터</p> <ul> <li>$ y= \frac { a } { x ^ { 2 } } $ 의 수평점근선은 $ y=0 $ 이고. 수직점근선은 $ x=0 $ 이다.</li> <li>$ f(x)= \frac { a } { x ^ { 2 } } $ 의 정의역은 $ 0 $ 을 제외한 모든 실수이고, 치역은 $ a>0 $ 일 때 $ (0, \infty) $ 이고, $ a<0 $ 일 때 $ (- \infty, 0) $ 이다.</li></ul> <p>이상에서 보았둣이 $ y=a / x ^ { n } $ 의 그래프는 $ n $ 이 홀수일 때와 짝수일 때 확연한 차이가 있는데 홀수일 때는 원점에 대칭이고 짝수일 때는 $ y $ 축에 대칭이다. 원점에 대칭인 함수를 기함수라고 하고, $ y $ 축에 대칭인 함수를 우함수라고 한다. 우함수 및 기함수의 정의로부터 다음과 같은 사실을 직관적으로 알 수 있다.</p> <p>렌즈함수 $ f(x) $ 의 그래프에서 드레싱 페이퍼와 렌즈 사이의 거리 $ x $ 가 $ 10 \mathrm { cm } $ 에 가까이 접근해 가면 피사체까지의 거리 $ y $ 는 무한히 멀어지게 된다. 이것은 유리 함수가 갖고 있는 반비례의 특징 때문이다.</p> <p>유리함수와 관련된 또 다른 예는 그림 $ 1.5 $ 와 같이 오른쪽 저항과 동일한 용량을 갖는 저항을 병렬로 설계할 때 나타난다. $ R=10 \Omega $ 일 때 $ R_ { 2 } $ 를 $ R_ { 1 } $ 에 대한 함수로 나타내어 보자. 저항에 관한 성질로부터 $ R= \frac { 1 } {\frac { 1 } { R_ { 1 } } + \frac { 1 } { R_ { 2 } } } = \frac { R_ { 1 } R_ { 2 } } { R_ { 1 } + R_ { 2 } } $</p> <p>$ R=10 $ 을 대입한 다음 $ R_ { 2 } $ 에 대하여 풀면</p> <p>$ \begin {aligned} &10 \left (R_ { 1 } + R_ { 2 } \right )=R_ { 1 } R_ { 2 } \\ &R_ { 2 } \left (R_ { 1 } -10 \right )=10 R_ { 1 } \end {aligned} $</p> <p>$ R_ { 2 } = \frac { 10 R_ { 1 } } { R_ { 1 } -10 } =10 + \frac { 100 } { R_ { 1 } -10 } , R_ { 1 } >10 $<caption>③</caption></p> <p>$ x=R_ { 1 } , y=R_ { 2 } $ 로 두면 식 ③은 식 ②와 완전히 똑같은 함수가 된다. 즉, 병렬로 연결된 회로의 저항 선택 문제는 실상과 허상의 문제와 차이가 전혀 없다는 것을 알 수 있다. 그림 $ 1.6 $ 은 함수 ③의 그래프를 $ R_ { 1 } \text { - } R_ { 2 } $ 평면에 나타낸 것이다.</p> <p>근호 안에 이차식이 들어가 있는 무리함수를 살펴보자.</p> <p>예제 $ 2.2 $ 무리함수 $ y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 ▶ 함수의 정의역은 $ [-2,2] $ 이고 치역은 $ [0,2] $ 이다. 해집합으로 생성되 는 순서쌍을 찍어 그래프의 윤곽을 그럴 수 있지만, 여기서는 사전에 인지하고 있는 정보(인식하고 있지 못하면 소용이 없음)를 사용하여 그래프를 그려보자. 주어진 함수의 양변을 제곱하면 \[ \begin {aligned} &y ^ { 2 } = \left ( \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } \\ &y ^ { 2 } =4-x ^ { 2 } \\ & x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 \end {aligned} \] 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $ 는 중심이 원점이고 반지름이 2 인 원을 나타내므로, 좌표평면 상에 원을 그린 다음 $ -2 \leq x \leq 2 $ 및 $ y \geq 0 $ 를 만족하는 곡선부분을 선택하면 된다(그림 $ 2.4 $). □</p> <h2>$ 3 $ 함수의 연산</h2> <h3>$ 1 ) $ 사칙연산</h3> <p>함수는 식을 사용하여 정의한 것이므로 함수들 사이에 사칙연산은 당연히 가능하고, 연산은 식의 사칙연산과 동일하게 할 수 있다. 먼저 함수가 같다는 개념부터 정립하자.</p> <p>두 함수 $ f $ 와 $ g $ 에 대해, 두 함수의 정의역이 같고. 동시에 정의역에 있는 모든 원소 $ x $ 에 대한 함숫값이 같을 때, 두 함수는 같다고 하고 $ f=g $ 라고 표기한다.</p> <p>대단히 인위적이기는 하지만 $ f(x)=x $ 와 $ g(x)=x ^ { 3 } $ 은 집합 $ \{ -1,0,1 \} $ 에서는 같다. 물론 집합이 달라지면 두 함수는 완전히 다른 함수이다. 함수들 간의 사칙연산은 다음과 같이 정의한다.</p> <ul> <li>덧셈연산 $ (f + g)(x)=f(x) + g(x) $</li> <li>뺄셈연산 $ (f-g)(x)=f(x)-g(x) $</li> <li>곱셈 연산 $ (f g)(x)=f(x) g(x) $</li> <li>나눗셈연산 $ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { f(x) } { g(x) } , g(x) \neq 0 $</li></ul> <p>함수들의 정의역이 같은 경우에만 사칙연산을 정의할 수 있다(당연한 이야기!). 즉 $ f(x)= \sqrt { x } $, $ g(x)=x ^ { 2 } $ 일 때 $ f(-1) + g(-1) $ 을 정의할 수 있다고 우기면 안된다는 이야기이다.</p>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<h1>11 삼중적분 및 중적분</h1> <p>도입문제 1</p> <p>평면 $ x+y+z=1 $과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체 $ D $의 밀도가 상수 $ c $일 때 질량증심을 구하여라.</p> <p>삼변수함수 $ f(x, y, z) $의 삼차원 공간 속의 입체 $ D \subseteq \mathbb{R}^{3} $ 위에서의 삼중적분은 $ \iiint_{D} f d V $, $ \int_{D} f d V, \iiint_{D} f d x d y d z $ 등으로 나타내며 이중적분과 같은 방법으로 정의한다. 먼저 적분 영역 $ D \subseteq \mathbb{R}^{3} $가 직육면체로서 $ D=\{(x, y, z): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, l \leq z<m\} $ (이 $ D $를 $ [a, b] \times[c, d] \times[l, m] $ 로 나타내기도 한다)일 때 적분영역을 \[\begin{array}{c}a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{s-1}<x_{s}=b, \\ c=y_{0}<y_{1}<\cdots<y_{t-1}<y_{t}=d, \\l=z_{0}<z_{1}<\cdots<z_{u-1}<z_{u}=m\end{array}\] 로 나누고 \[R_{i j k}=\left\{(x, y, z): x_{i-1} \leq x \leq x_{i},~y_{j-1} \leq y \leq y_{j}, ~z_{k-1} \leq z \leq z_{k}\right\}, \\\Delta R_{i j k}=\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right)\left(z_{k}-z_{k-1}\right)=\Delta x_{i} \Delta y_{j} \Delta z_{k},\] $ P_{i j k} $는 $ R_{i j k} $ 위의 임의의 한 점이라고 하자.</p> <p>정의 1</p> <p>삼중적분 triple integral</p> <p>$ f $의 $ D $ 위에서의 삼중적분은 \[\iiint_{D} f(x, y, z) d x d y d z=\lim _{\Delta x_{i} \rightarrow 0, \Delta y_{j} \rightarrow 0, \Delta z_{k} \rightarrow 0} \sum_{i,j,k} f\left(P_{i j k}\right) \Delta x_{i} \Delta y_{j} \Delta z_{k}\] 으로 정의한다.</p> <p>정리 1</p> <p>푸비니의 정리</p> <p>직육면체 $ D=[a, b] \times[c, d] \times[l, m] $ 위에서의 연속함수의 삼중적분은 6가지 다른 순서의 반복적분으로 나타낼 수 있다. \[\begin{aligned}\iiint_{D} f d V &=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{l}^{m} f(x, y, z) d z d y d x=\int_{a}^{b} \int_{l}^{m} \int_{c}^{d} f(x, y, z) d y d z d x \\&=\int_{l}^{m} \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y, z) d z d x d y=\int_{l}^{m} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y, z) d x d y d z \\&=\int_{a}^{d} \int_{l}^{m} \int_{a}^{b} f(x, y, z) d x d z d y=\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} \int_{l}^{m} f(x, y, z) d z d x d y\end{aligned}\]</p> <p>보기1</p> <p>$ D=[-1,2] \times[0,3] \times[2,6] $ 일 때 $ \iiint_{D} x y z d V $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} \iiint_{D} x y z d V &=\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} \int_{2}^{6} x y z d z d y d x=\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3}\left[x y \frac{z^{2}}{2}\right]_{2}^{6} d y d x \\ &=\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} 16 x y d y d x=\int_{-1}^{2}\left[8 x y^{2}\right]_{0}^{3} d x=\left[36 x^{2}\right]_{-1}^{2}=108 \end{aligned} $</p> <p>보기 1의 풀이의 적분 순서를 바꾸어 계산하여 결과를 비교하여 보아라.</p> <p>정리 2</p> <p>푸비니의 정리</p> <p>함수 $ f(x, y, z) $가 입체 $ D $ 위에서 연속이고 $ D $가 다음과 같으면<p>$D=\{(x, y, z): a \leq x \leq b, ~~g_{1}(x) \leq y \leq g_{2}(x), \\h_{1}(x, y) \leq z \leq h_{2}(x, y), g_{1}, g_{2}, h_{1}, h_{2}$는 연속함수}</p> <p>\[ \iiint_{D} f d V=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left(\int_{h_{1}(x, y)}^{h_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right) d y\right) d x 이다. \]</p> <p>$ x, y, z $에 대해 적분 순서가 위의 정리 2와 다른 다섯 가지 경우도 같은 정리가 성립한다. 예를 들어<p>\[\begin{aligned}D=\{(x, y, z):&~ c \leq y \leq d, ~g_{1}(y) \leq z \leq g_{2}(y), \\& h_{1}(y, z) \leq x \leq h_{2}(y, z), ~g_{1}, g_{2}, h_{1}, h_{2}\end{aligned}\] 는 연속함수}인 경우</p>\[ \iiint_{D} f d V=\int_{c}^{c}\left(\int_{g_{1}(y)}^{g_{2}(y)}\left(\int_{h_{1}(y, z)}^{h_{2}(y, z)} f(x, y, z) d x\right) d z\right) d y \] 이다.</p> <p>보기2</p> <p>평면 $ x+y+z=1 $과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체 $ D $ 위에서 $ f(x, y, z)=x $의 삼중적분을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[\begin{aligned}\iiint_{D} x d V &=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} x d z d y d x \\ &=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x(1-x-y) d y d x \\&=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)(1-x)-\frac{x}{2}(1-x)^{2} d x \\ &=\frac{1}{24}\end{aligned}\]</p> <p>정의 2</p> <p>부피 volume</p> <p>삼중적분 $ \iiint_{D} 1 d V $가 존재할 때 이 값을 입체 $ D \subseteq \mathbb{R}^{3} $의 부피라고 한다.</p> <p>$\iiint_{D} 1 d V=\iiint_{D} d V $ 로 쓰기도 한다.</p> <p>보기3</p> <p>평면 $ x+y+z=1 $과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체 $ D $의 부피가 $ \frac{1}{6} $임을 삼중적분을 이용하여 확인하여라.</p> <p>풀이</p> <p>부피는 $ \iiint_{D} 1 d V=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} 1 d z d y d x=\frac{1}{6} $ 이다.</p> <p>정의 3 \| 질량 mass, 질량중심 center of mass, 중심 centroid</p> <p>입체 $ D $의 밀도함수가 $ \rho=\rho(x, y, z) $일 때 $ D $의 질량은 $ \int_{D} \rho d V $이고 $ D $의 질량중심 $ (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) $ 는 $ (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\left(\frac{\int_{D} x \rho d V}{\int_{D} \rho d V}, \frac{\int_{D} y \rho d V}{\int_{D} \rho d V}, \frac{\int_{D} z \rho d V}{\int_{D} \rho d V}\right) $이다. 밀도함수가 상수함수 $ (\rho(x, y, z)=c $ (상수) $ ) $일 때의 질량중심을 중심이라고 한다.</p> <p>보기4</p> <p>밀도함수가 $ \rho(x, y, z)=x y z $이고 경계면이 $ x=2, ~x=0, ~y=0, ~y=2, ~z=2 $, $ z=0 $인 입체 $ D $의 질량과 질량중심을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>질량은 $ \iiint_{D} \rho d V=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x y z d x d y d z=8 $이고, 질량중심은 \[\begin{array}{l}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \\ =\left(\frac{\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x^{2} y z d x d y d z}{8}, \frac{\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x y^{2} z d x d y d z}{8}, \frac{\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x y z^{2} d x d y d z}{8}\right) \\ =\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)\end{array}\]이다.</p> <p>도입문제 1 [풀이]</p> <p>평면 $ x+y+z=1 $과 좌표평면으로 둘러싸인 사면체 $ D $의 밀도가 상수 $ c $일 때 질량중심은 \[\begin{array}{l}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \\ =\frac{1}{\frac{1}{6}}\left(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} x d z d y d x, \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} y d z d y d x, \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} z d z d y d x\right) \\ =\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right) \text { 이다. } \end{array}\]</p> <p>함수 $ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $의 $ n $차원 입체 $ D $ 위에서의 $ n $중적분도 이중적분과 같은 방식으로 정의하고 $ \int_{D} f, \int_{D} f d V_{n} $ 혹은 $ \int_{D} f d x_{1} d x_{2} \cdots d x_{n} $로 나타낸다.</p> <p>정의 4</p> <p>평균 average</p> <p>연속함수 $ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $의 $ n $ 차원 입체 $ D $ 위에서의 평균은 $ \frac{\int_{D} f}{\int_{D} 1} $ 로 정의한다.</p> <p>보기5</p> <p>보기4의 입체의 평균밀도를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>평균밀도는 $ \frac{\iiint_{D} \rho d V}{\iiint_{D} 1 d V}=1 $ 이다.</p>	자연
사범대생을 위한 대수학_자기동형사상과 Galois 이론	<p>이 절에서는 대입준동형사상 $ \phi_ {\alpha } $(정리 $ 5.4.4 $)를 대신하는 새로운 동형사상 $ \psi_ {\alpha, \beta } $에 대해 논한다. 동형사상 $ \psi_ {\alpha, \beta } $가 대수적 확대체의 구조를 연구하는 아주 중요한 도구이다.</p> <p>정의 $ 9.1.1 $ [대수적 켤레원소(algebraic conjugate element)] 체 $ F $의 대수적 확대체 $ E $의 원소 $ \alpha, \beta \in E $에 대하여 $ \alpha, \beta $가 $ F $위의 대수적 켤레원소(algebraic conjugate element) 정의 $ \\operatorname { irr } ( \alpha, F) = \operatorname { irr } ( \beta, F) $</p> <p>예 $ 9.1.2 $ [켤레원소] 유리수체 $ \mathbb { Q } $ 위의 대수적 켤레원소에 대한 예를 살펴 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sqrt { 2 } $와 $ - \sqrt { 2 } $는 $ \mathbb { Q } $ 위의 대수적 켤레원소이다. 실제로 $ \operatorname { irr } ( \sqrt { 2 } , \mathbb { Q } )= \operatorname { irr } (- \sqrt { 2 } , \mathbb { Q } )=x ^ { 2 } -2 $이다. 하지만, $ \sqrt { 2 } $와 $ - \sqrt { 2 } $는 실수체 $ \mathbb { R } $ 위의 대수적 컬레원소가 아니다. 왜냐하면, $ \operatorname { irr } ( \sqrt { 2 } , \mathbb { R } )=x- \sqrt { 2 } \neq \operatorname { irr } (- \sqrt { 2 } , \mathbb { R } )=x + \sqrt { 2 } $이기 때문이다.</li> <li>허수 $ i $와 $ -i $는 $ \mathbb { Q } $ 위의 대수적 컬레원소이다. 실제로 $ \operatorname { irr } (i, \mathbb { Q } )= \operatorname { irr } (-i, \mathbb { Q } )=x ^ { 2 } + 1 $이다.</li> <li>$ \sqrt[3] { 2 } $와 $ \sqrt[3] { 2 } \frac { (-1 \pm i \sqrt { 3 } ) } { 2 } $는 $ \mathbb { Q } $ 위의 대수적 컬레원소이다. 실제로 $ \operatorname { irr } ( \sqrt[3] { 2 } , \mathbb { Q } )= \operatorname { irr } \left ( \sqrt[3] { 2 } \frac { (-1 \pm i \sqrt { 3 } ) } { 2 } , \mathbb { Q } \right )=x ^ { 3 } -2 $이다.</li> <li>복소수 $ a + b i $와 켤레 복소수 $ a-b i $는 실수체 $ \mathbb { R } $ 위의 대수적 켤레원소이다. 실제로 $ \operatorname { irr } (a + b i, \mathbb { R } )= \operatorname { irr } (a-b i, \mathbb { R } )=x ^ { 2 } -2 a x + a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $이다.</li></ol> <p>정리 $ 9.1.3 $ (켤레 동형사상) 체 $ F $ 위의 대수적 원소 $ \alpha, \beta $에 대하여 $ \operatorname { deg } ( \alpha, F)=n $일 때, \[ \psi_ {\alpha, \beta } : F( \alpha) \longrightarrow F( \beta), \quad \psi_ {\alpha, \beta } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } \alpha + \cdots + a_ { n-1 } \alpha ^ { n-1 } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } \beta + \cdots + a_ { n-1 } \beta ^ { n-1 } \] 에 대하여 다음은 동치이다. 함수 $ \psi_ {\alpha, \beta } $가 동형사상 $ ( $즉 $ F( \alpha) \cong F( \beta)) \quad \Longleftrightarrow \operatorname { irr } ( \alpha, F)= \operatorname { irr } ( \beta, F) $</p> <p>(증명) $ ( \Rightarrow) $ 함수 $ \psi_ {\alpha, \beta } $가 동형사상이라 하자. 그리고 $ F $ 위에서 $ \alpha $의 기약다항식을 \[ p(x)= \operatorname { irr } ( \alpha, F)=x ^ { n } + b_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + b_ { 1 } x + b_ { 0 } \in F[x] \] 라 하자. 그러면 $ p( \alpha)= \operatorname { irr } ( \alpha, F)( \alpha)=0 $이므로 \[ \begin {aligned} 0= \psi_ {\alpha, \beta } (p( \alpha)) &= \psi_ {\alpha, \beta } \left ( \alpha ^ { n } + b_ { n-1 } \alpha ^ { n-1 } + \cdots + b_ { 1 } \alpha + b_ { 0 } \right ) \\ &= \beta ^ { n } + b_ { n-1 } \beta ^ { n-1 } + \cdots + b_ { 1 } \beta + b_ { 0 } =p( \beta) \end {aligned} \]</p> <h1>제 9 장 자기동형사상과 Galois 이론</h1> <p>갈루아(프: E. Galois, $ 1811-1832 $)는 군이라는 이름을 처음으로 사용하고, 오늘날에 정규부분군으로 불리는 군을 정의하였다. 또한, Galois 체(Galois field)라고도 불리는 유한체를 처음으로 도입하였다. 추상대수학에서, Galois 이론(Galois theory, -理論: 정리 $ 9.4.11 $)은 체의 확대를 그 자기동형군을 통해 연구하는 이론이다. 체의 확대 가운데 Galois 확대들은 그 자기동형군에 의하여 완전히 결정되 며, 이 경우 자기동형군을 Galois 군(Galois group)이라고 한다.</p> <p>Galois 군은 다항방정식의 근이 가지는 구조를 보여주는 수학적 개념으로, 방정식이 정의되는 기저체(base field)와 여기에 방정식의 근을 추가하여 생성되는 분해체(splitting field, 分解醩) 사이의 관계를 군의 구조로 바꾼 것이다.</p> <p>방정식의 근을 직접 구하거나 그 성질을 연구하는 것은 쉽지 않지만, Galois 군은 보통 유한군이므로 그 구조를 파악하기가 비교적 쉽다. Abel(노: N. H. Abel, $ 1802-1829 $)이 $ 5 $차 방정식의 근의 공식이 없다는 사실을 증명한 것도 잘 분석하면 Galois 군의 구조를 이용한 것이라고 할 수 있으며, 고차방정식이 언제 근의 공식이 가지느냐의 여부도 Galois 군의 구조가 결정한다. Galois 군은 분해체와 Galois 군 사이의 관계를 규명한 Galois 의 이름을 따서 명명되었다.</p> <p>Galois는 유한 차원 Galois 확대의 경우, 치환군을 이용해서 주어진 방정식의 다양한 해들이 서로 어떻게 대응되는가를 기술하였고, 이 과정에서 군의 개념을 도입하였다.</p> <p>이후 Galois 이론은 데데킨트(독: J. W. R. Dedekind, $ 1831-1916 $), 크로네커(독: L. Kro-necker, $ 1823-1891 $), 아르틴(오: E. Artin, $ 1898-1962 $) 등에 의해 추상화되었고, 무한 차원의 Galois 확대의 경우는 사유한군(profinite group, 射有限群) 이론의 도입으로 완성되었다. 그로텐디크(독: A. Grothendieck, $ 1928-2014 $)는 Galois 이론을 대수기하학을 사용하여 임의의 스킴(Scheme)의 에탈 기본군(étale fundamental group)에 대한 이론으로 일반화시켰다. [ $ 11, 12 $]</p> <h2>9.1 자기동형사상</h2> <p>체 $ F $의 대수적 폐포 $ \bar { F } $는 $ F $의 대수적 확대체이고 대수적 폐체이다(정리 $ 8.2.21 $). 이때 체 $ F $의 대수적 확대체 $ E $는 $ \bar { F } $의 부분체이다. 체 $ F $의 대수적 원소 $ \alpha, \beta \in E $에 대하여 \[ F( \alpha) \cong F( \beta) \Longleftrightarrow \operatorname { irr } ( \alpha, F) = \operatorname { irr } ( \beta, F) \] 임을 보인다. 이때 동형 $ F( \alpha) \cong F( \beta) $을 증명할 때 사용하는 사상이 $ \psi_ {\alpha, \beta } $이다(정리 $ 9.1.3 $).</p>	자연
미분적분학_도함수	<p>예제 $1 $ 다음을 증명하여라.<ol type = 1 start=1><li>$ y=f(x) g(x) $이면 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) $.</li> <li>$ n $이 임의의 정수일 때 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { n } \right )=n x ^ { n-1 } $.</li></ol></p> <p>증명 $(1) $ 도함수의 정의와 극한의 기본정리(정리 $1-2-1 $)를 이용하면 쉽게 증명된다. 먼저 $ F(x)=f(x) g(x) $라 놓자. 그러면 \[ \begin {array} { l } F(x + \Delta x)-F(x) \\ =f(x + \Delta x) g(x + \Delta x)-f(x) g(x) \\ =f(x + \Delta x) g(x + \Delta x)-f(x) g(x + \Delta x) + f(x) g(x + \Delta x)-f(x) g(x) \\ =g(x + \Delta x) \{ f(x + \Delta x)-f(x) \} + f(x) \{ g(x + \Delta x)-g(x) \} \end {array} \] 로 변형할 수 있다. 따라서 \[ \begin {aligned} F ^ {\prime } (x)=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { F(x + \Delta x)-F(x) } {\Delta x } \\ =& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { g(x + \Delta x) \{ f(x + \Delta x)-f(x) \} + f(x) \{ g(x + \Delta x)-g(x) \} } {\Delta x } \\ =& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } g(x + \Delta x) \cdot \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x)-f(x) } {\Delta x } \\ & + f(x) \cdot \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { g(x + \Delta x)-g(x) } {\Delta x } \\ =& g(x) f ^ {\prime } (x) + f(x) g ^ {\prime } (x) . \end {aligned} \]</p> <p>$(2) $ $ n>0 $인 경우는 정리 $2-2-1 $에서 보였으므로 $ n=0 $일 때와 $ n<0 $인 경우만 증명하면 된다.<p>i) $ n<0 $인 경우: $ m=-n $으로 놓으면 $ m>0 $이고 \[ x ^ { n } =x ^ { -m } = \frac { 1 } { x ^ { m } } \] 이다. 따라서 \[ \frac { d } { d x } \left (x ^ { n } \right )= \frac { d } { d x } \left ( \frac { 1 } { x ^ { m } } \right )= \frac { -1 \left (x ^ { m } \right ) ^ {\prime } } {\left (x ^ { m } \right ) ^ { 2 } } \] \[ \begin {array} { l } = \frac { -m x ^ { m-1 } } { x ^ { 2 m } } =- \frac { m x ^ { m-1 } } { x ^ { 2 m } } \\ =-m x ^ { (m-1)-2 m } =-m x ^ { -m-1 } \\ =n x ^ { n-1 } . \end {array} \]</p> <p>(b) (a)의 증명과 같은 방법으로 하면 된다.</p> <p>(c) $ y= \sec ^ { -1 } x, x \in(- \infty,-1) \bigcup(1, \infty) $라 놓자. 이것은 (c)의 증명에서와 같은 방법으로 $ (- \infty,-1) \bigcup(1, \infty) $에서 미분가능하다. 이제 $ y= \sec ^ { -1 } x $로부터 $ x= \sec y, 0<y< \pi, y \neq \frac {\pi } { 2 } $이므로 역함수의 미분법에 의해 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\frac { d x } { d y } } = \frac { 1 } {\sec y \tan y } \] 이다. 그런데 $ \tan y= \pm \sqrt {\sec ^ { 2 } y-1 } $이므로 $ \sec y \tan y= \pm \sec y \sqrt {\sec ^ { 2 } y-1 } $이고 $ 0<y< \pi, y \neq \frac {\pi } { 2 } $이므로 $ \sec y \tan y>0 $이다. 따라서 $ \sec y \tan y=\|x\| \sqrt { x ^ { 2 } -1 } $이므로 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { d } { d x } \sec ^ { -1 } x= \frac { 1 } { \|x\| \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } , \quad x \in(- \infty,-1) \bigcup(1, \infty) \]</p> <p>(d) (c) 증명과 같은 방법으로 하면 된다.</p> <p>예제 $2 $ 다음 주어진 함수들의 도함수를 구하여라.<ol type=1 start=1><li< $ y= \sec ^ { -1 } \left (e ^ { 2 x } \right ) $</li> <li>$ y= \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right ) $</li></ol></p> <p>풀이 $(1) $ 정리 $2-2-11 $의 (c)와 합성함수의 미분법의 연쇄법칙에 의해 \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { 1 } { e ^ { 2 x } \sqrt {\left (e ^ { 2 x } \right ) ^ { 2 } -1 } } \cdot \frac { d } { d x } e ^ { 2 x } \\ &= \frac { 2 e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } \sqrt { e ^ { 4 x } -1 } } = \frac { 2 } {\sqrt { e ^ { 4 x } -1 } } \end {aligned} \]</p> <p>$(2) $ 정리 $2-2-11 $의 (a)와 합성함수의 미분법의 연쇄법칙에 의해 \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { 1 } { 1 + \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right ) ^ { 2 } } \cdot \frac { d } { d x } \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right )= \frac {\frac { -(1 + x)-(1-x) } { (1 + x) ^ { 2 } } } { 1 + \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \frac {\frac { -2 } { (1 + x) ^ { 2 } } } {\frac { (1 + x) ^ { 2 } + (1-x) ^ { 2 } } { (1 + x) ^ { 2 } } } = \frac {\frac { -2 } { (1 + x) ^ { 2 } } } {\frac { 2 + 2 x ^ { 2 } } { (1 + x) ^ { 2 } } } = \frac { -1 } { 1 + x ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>연습문제 ( $2-2-3 $)</p> <p>$1 $. 다음 역삼각함수의 값을 주치 안에서 구하여라.<ol type = 1 start=1><li>$ \sin \left ( \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { -1 } \left ( \frac { 7 } { 9 } \right ) \right ) $</li> <li>$ \cos \left (2 \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) \right ) $</li> <li>$ \tan \left (2 \sin ^ { -1 } \left (- \frac { 2 } { 3 } \right ) \right ) $</li> <li>$ \sin \left (2 \cos ^ { -1 } \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) \right ) $</li></ol></p> <p>$2 $. 다음 함수들의 도함수를 구하여라.<ol type=1 start=1><li>$ y= \sin ^ { -1 } 4 x $</li> <li>$ y=2 \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 1 } { 3 } x \right ) $</li> <li>$ y=x \cos ^ { -1 } 2 x $</li> <li>$ y= \sin ^ { -1 } \left ( \frac { x-1 } { x } \right ) $</li> <li>$ y= \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 4 + x } { 1-4 x } \right ) $</li> <li>$ y= \sec ^ { -1 } \left ( \frac { x-1 } { x } \right ) $</li> <li>$ y= \cot ^ { -1 } (4 x) $</li> <li>$ y= \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { -1 } \frac { x } { 3 } + 3 $</li></ol></p> <p>$3 $. 다음을 증명하여라.<ol type=1 start=1><li>$ \frac { d } { d x } \cosh ^ { -1 } x= \frac { 1 } {\sqrt { x ^ { 2 } -1 } } \quad(x>1) $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \tanh ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } \quad(-1<x<1) $</li> <li>$ \sinh (x \pm y)= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y $</li> <li>$ \tanh (x \pm y)= \frac {\tanh x \pm \tanh y } { 1 \pm \tanh x \tanh y } $</li></ol></p> <h2>3. 삼각함수의 도함수</h2> <p>삼각함수에 대한 기초개념은 함수의 개요편에서 자세히 소개하였다. 여기서의 중요한 내용은 삼각함수의 도함수를 구해보는 것이다. 바퀴를 돌린다거나 바퀴 위의 점들의 속도를 측정하려고 하다보니 삼각함수들에 대한 도함수를 연구하게 되었다. 여기서 사용하는 모든 각은 라디안각으로 간주하자.</p> <p>삼각함수의 도함수</p> <p>미분과 적분에서는 일반적으로 각의 측정단위로 라디안(radian)을 쓰는데 $1 $라디안이란 반지름 $ r $인 원에서 반지름의 길이와 같은 원호에 대응하는 중심각의 크기를 말함을 1 장에서 언급하였다. 이제 삼각함수의 가장 기본이 되는 사인함수와 코사인함수에 대한 미분공식을 도함수의 정의에 의해 유도해보자.</p> <p>정리 $2-2-9 $ 삼각함수의 미분 함수 $ f(x) = \sin x, g(x)= \cos x $는 모든 점에서 미분가능하며 그 도함수는 다음과 같다.<ol type=a start=1><li>$ \frac { d } { d x } \sin x= \cos x $<caption>(13)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \cos x=- \sin x $<caption>(14)</caption></li></ol></p> <p>증명 $1 $장에서 설명한 삼각함수의 기본공식들 중 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식과 초월함수의 극한의 성질을 이용하면 각각의 도함수를 유도해낼 수 있다.</p> <p>(a) \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\sin (x + h)- \sin x } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 2 \cos \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \sin \frac { h } { 2 } } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \cos \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \frac {\sin \frac { h } { 2 } } {\frac { h } { 2 } } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \cos \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\sin \frac { h } { 2 } } {\frac { h } { 2 } } = \cos x \cdot 1= \cos x \end {aligned} \]</p> <p>ii) $ n=0 $인 경우: $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { 0 } \right )= \frac { d } { d x } (1)=0=0 x ^ { -1 } $ 따라서 모든 정수 $ n $에 대하여 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { n } \right )=n x ^ { n-1 } $이다.</p> <p>참고 정리 $2-2-2 $의 (c)를 이용하면 일반적인 세 함수의 곱의 미분공식도 유도할 수 있다. 즉, $ y=f(x) g(x) h(x) $의 도함수는 \[ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) g(x) h(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) h(x) + f(x) g(x) h ^ {\prime } (x) \] 이다. 같은 방법으로 $ n $개의 함수의 곱에 대한 도함수도 위와 같은 형태의 공식으로 얻을 수 있다. 또, 나머지 공식 (a), (b), (d)도 비슷한 방법으로 증명할 수 있다.</p> <p>보기( $2 $) 다음 함수들의 도함수를 구하여라.<ol type=1 start=1><li>$ y=3 x ^ { 4 } -5 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } -7 x + 2 $</li> <li>$ y=(3 x-5) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) $</li> <li>$ y=x \left (x ^ { 2 } + 5 \right ) \left (2 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 7 \right ) $</li> <li>$ y= \frac { 5 x ^ { 2 } + 1 } { 3 x-7 } $</li></ol></p> <p>해<ol type=1 start=1><li>$ y ^ {\prime } =12 x ^ { 3 } -15 x ^ { 2 } + 2 x-7 $</li> <li>$ y ^ {\prime } =3 \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + (3 x-5) 2 x=9 x ^ { 2 } -10 x + 3 $</li> <li>$ y ^ {\prime } =1 \left (x ^ { 2 } + 5 \right ) \left (2 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 7 \right ) + x(2 x) \left (2 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 7 \right ) $ \[ \begin {array} { l } + x \left (x ^ { 2 } + 5 \right ) \left (6 x ^ { 2 } -6 x \right ) \\ x ^ { 2 } + 35 \end {array} \] \[ =12 x ^ { 5 } -15 x ^ { 4 + } 40 x ^ { 3 } -31 x ^ { 2 } + 35 \]</li> <li>$ y ^ {\prime } = \frac { 10 x(3 x-7)- \left (5 x ^ { 2 } + 1 \right ) 3 } { (3 x-7) ^ { 2 } } = \frac { 15 x ^ { 2 } -70 x-3 } { (3 x-7) ^ { 2 } } $</li></ol></p> <p>(b) $ g ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(x + h)-g(x) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\cos (x + h)- \cos x } { h } $ \[ \begin {array} { l } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { -2 \sin \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \sin \frac { h } { 2 } } { h } =- \lim _ { h \rightarrow 0 } \sin \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \frac {\sin \frac { h } { 2 } } {\frac { h } { 2 } } \\ =- \lim _ { h \rightarrow 0 } \sin \left (x + \frac { h } { 2 } \right ) \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\sin \frac { h } { 2 } } {\frac { h } { 2 } } =- \sin x \cdot 1=- \sin x \end {array} \]</p> <p>정리 $2-2-9 $를 이용하면 나머지 삼각함수들에 대한 미분공식도 유도해낼 수 있다.</p> <p>보기 $1 $ $ y= \tan x $의 도함수를 구하여라.</p> <p>해 \[ \begin {aligned} \frac { d } { d x } \tan x &= \frac { d } { d x } \left ( \frac {\sin x } {\cos x } \right ) \\ &= \frac {\cos x \cdot \left ( \frac { d } { d x } \sin x \right )- \sin x \cdot \left ( \frac { d } { d x } \cos x \right ) } {\cos ^ { 2 } x } \\ &= \frac {\cos ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } x } {\cos ^ { 2 } x } = \frac { 1 } {\cos ^ { 2 } x } = \sec ^ { 2 } x \end {aligned} \]</p> <p>참고 나머지 삼각함수들에 대한 미분공식도 위의 보기 $1 $과 같이 유도해낼 수 있다. 즉,<ol type=a start=1><li>$ \frac { d } { d x } \cot x=- \csc ^ { 2 } x $<caption>(15)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \sec x= \sec x \tan x $<caption>(16)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \csc x=- \csc x \cot x $<caption>(17)</caption></li></ol>이다. 결과는 연습문제로 남긴다. 위에서 언급한 삼각함수들에 대한 미분공식은 반드시 기억해 두어야 한다.</p> <p>정리 $2-2-5 $ 매개변수함수의 미분 폐구간 $ [a, b] $에서 정의된 두 함수 $ x = f(t), y=g(t) $가 이 정의역에서 미분가능하고 $ a \leqq t \leqq b $인 모든 $ t $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (t) \neq 0 $라 하자. 그러면 매개변수함수 $ x=f(t), y=g(t) $에 의하여 정의된 $ x $의 함수 $ y $는 미분가능하며 그 도함수는 다음과 같다. $ \frac { d y } { d x } = \frac {\frac { d y } { d t } } {\frac { d x } { d t } } $<caption>(9)</caption></p> <p>증명 $ a \leqq t \leqq b $인 모든 $ t $에 대하여 $ f ^ {\prime } (t) \neq 0 $이므로 $ f $는 $ [a, b] $위에서 증가하거나 감소한다. 그러므로 $ f $의 역함수 $ f ^ { -1 } $가 존재하며 $ f ^ { -1 } $는 미분가능하다(역함수의 미분법 참조). 따라서 $ F=g \circ f ^ { -1 } $라 놓으면 \[ y=g(t)=g \left (f ^ { -1 } (x) \right )=F(x)=F(f(t)) \] 이다. 양변을 $ t $에 관하여 미분하면 연쇄법칙에 의해 \[ \frac { d y } { d t } =F ^ {\prime } (f(t)) \cdot f ^ {\prime } (t)= \frac { d y } { d x } \cdot \frac { d x } { d t } \] 이다. 그런데 $ \frac { d x } { d t } =f ^ {\prime } (t) \neq 0 $이므로 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { d y / d t } { d x / d t } \]</p> <p>보기( $5 $) 매개변수함수 $ x=4 t ^ { 2 } + 5, y=t ^ { 3 } -1 $로 표시되는 곡선이 있다. $ t=2 $인 점에서의 접선의 기울기를 구하여라.</p> <p>역함수의 미분</p> <p>경제학에서 수요함수(demand function)라는 것이 있다. 즉, 소비자의 한 상품 $ \mathrm { A } $에 대한 수요 함수는 일반적으로 그 상품의 가격, 다른 상품들의 가격, 소비자의 소득, 그리고 소비자의 선호와 취미 등의 함수로 나타난다. 그러나 만약 다른 상품들의 가격, 소비자의 소득, 그리고 소비자의 선호와 취미 등이 일정하다고 본다면 수요함수는 상품 $ \mathrm { A } $의 가격에 의해 수요량이 결정된다고 볼 수 있다. 여기서 상품 $ \mathrm { A } $의 가격을 $ p $, 수요량을 $ q $라 하면 수요함수는 $ q = f(p) $와 같이 일변수함수로 나타낼 수 있다. 이때, 가격에 대한 수요량의 변화율을 알고자 할 때에는 $ \frac { d q } { d p } $를 구하면 되지만 수요량에 대한 가격의 변화율을 구하고자 할 때에는 $ \frac { d p } { d q } $를 구하여야 한다. 이는 수요함수 $ q=f(p) $의 역함수를 찾아 도함수를 구하는 문제가 된다. 이러한 문제는 여러 분야에 서 종종 나타난다. 이럴 때는 군이 주어진 함수의 역함수를 구하지 않고서도 역함수의 도함수를 구하는 방법이 있다. 다음에 소개하는 정리가 바로 그것이다.</p> <p>정리 $2-2-4 $ 역함수의 미분 함수 $ y=f(x) $가 구간 $ [a, b] $에서 연속이고 증가(감소)한다고 하자. 또 함수 $ f $가 한 점 $ x \in(a, b) $에서 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (x) \neq 0 $이라 하자. 이때, $ x=f ^ { -1 } (y) $의 도함수 \[ \left (f ^ { -1 } \right ) ^ {\prime } (y)= \frac { d f ^ { -1 } (y) } { d y } = \frac { 1 } {\frac { d f(x) } { d x } } = \frac { 1 } { f ^ {\prime } (x) } \] 즉, $ \frac { d x } { d y } = \frac { 1 } {\frac { d y } { d x } } $<caption>(8)</caption>이다.</p> <p>해 $ \frac { d x } { d t } =8 t, \frac { d y } { d t } =3 t ^ { 2 } $이므로 $ \frac { d y } { d x } = \frac { d y / d t } { d x / d t } = \frac { 3 t ^ { 2 } } { 8 t } $ 이다. 따라서 \[ \left [ \frac { d y } { d x } \right ]_ { t=2 } = \frac { 3 } { 4 } . \]</p> <p>음함수의 미분</p> <p>지금까지 다룬 모든 함수들은 $ y=f(x) $형태였다. 이러한 함수형태를 양함수(explicit function)라 한다. 반면 함수가 $ f(x, y)=c $ 형태로 주어지는 경우가 있는데 이런 함수의 형태를 음함수(implicit function)라 한다. 위에서 설명한 미분법은 모두가 양함수에 대한 미분법을 소개한 것이다. 그러나 만약 $ y ^ { 3 } + 7 y=x ^ { 3 } $과 같은 음함수 위의 점 $ (2,1) $에서의 접선의 기울기를 구하려면 $ \frac { d y } { d x } $를 구하여 $ x $ 대신 $2 $를, $ y $ 대신 $1 $을 대입하여 계산하면 된다. 그런데 주어진 함수 $ y ^ { 3 } + 7 y=x ^ { 3 } $을 $ y $에 관해 정리하여 $ \frac { d y } { d x } $를 구할 것인지 아니면 그대로 둔 상태에서 $ \frac { d y } { d x } $를 구하는 것이 편리한지를 생각하게 된다. 이 경우 $ y $를 $ x $의 함수로 고치는 작업이 그리 용이하지 않기 때문에 $ y $ 를 $ x $의 함수로 고치지 않고 풀 수가 있다. 이러한 미분법을 음함수의 미분법 이라고 한다. 음함수의 미분은 그것을 양함수로 고칠 수 있다면 양함수로 고쳐서 위에서 배운 미분법을 활용하면 좋으나 양함수로 표현할 수 없는 경우도 있기 때문에 $ y $를 $ x $의 함수로 보고 합성함수의 미분법을 이용하면 좀 더 쉽게 구할 수 있다.</p> <p>요약 ( $2-2 $)</p> <p>$1 $. (대수함수의 미분법)<ol type=1 start=1><li>$ y=f(x)=k $ (상수)이면 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x)=0 $ 이다.</li> <li>$ y=f(x)=x ^ { n } $ ( $ n $ 은 실수)이면 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x)=n x ^ { n-1 } $ 이다.</li></ol></p> <p>$2 $. (일반적 형태의 함수의 미분법) 함수 $ y=f(x), y=g(x) $가 미분가능한 함수라고 하면 다음 미분공식이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ y=k f(x) \left (k \right . $는 상수)이면 $ y ^ {\prime } =k f ^ {\prime } (x) $이다.</li> <li>$ y=f(x) \pm g(x) $ 이면 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) \pm g ^ {\prime } (x) $이다.</li> <li>$ y=f(x) \cdot g(x) $ 이면 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) $이다.</li> <li>$ y= \frac { f(x) } { g(x) } (g(x) \neq 0) $ 이면 $ y ^ {\prime } = \frac { f ^ {\prime } (x) g(x)-f(x) g ^ {\prime } (x) } { [g(x)] ^ { 2 } } $이다.</li></ol></p> <p>$3 $. (연쇄법칙) 함수 $ y=f(u) $와 $ u=g(x) $가 합성함수 $ y=(f \circ g)(x)=f(g(x)) $를 결정한다고 가정하자. 함수 $ g $가 $ x $에서 미분가능하고 함수 $ f $는 $ u=g(x) $에서 미분가능하면 $ f \circ g $는 $ x $에서 미분가능하고 $ \frac { d f(g(x)) } { d x } = \frac { d f(u) } { d u } \cdot \frac { d g(x) } { d x } $이다. 즉, $ \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } $ 또는 $ \frac { d y } { d x } =f ^ {\prime } (u) g ^ {\prime } (x) $이다.</p> <p>연습문제 ( $2-2-1 $)</p> <p>$1 $. 다음 함수들의 도함수를 구하여라.<ol type=1 start=1><li>$ y=4 x ^ { 7 } $</li> <li>$ y=-3 x ^ { 12 } $</li> <li>$ y=3 x ^ { 8 } + 2 x ^ { 3 } + 5 $</li> <li>$ y= \frac { 1 } { 3 } \left (2 x ^ { 3 } + 5 \right ) $</li> <li>$ y= \sqrt { 5 } x + \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } $</li> <li>$ y= \frac { x ^ { 3 } + 1 } { 5 } $</li> <li>$ y= \frac { 1 } { a } \left (x ^ { 2 } + \frac { 1 } { b } x + c \right )(a, b, c $ 는 상수 \)</li> <li>$ y= \left ( \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right ) \left (3 x ^ { 4 } + 7 \right ) $</li> <li>$ y= \left (x ^ { 5 } + 2 x \right ) ^ { 3 } $</li> <li>$ y= \frac { x ^ { 2 } + 1 } { 3 x } $</li> <li>$ y= \frac { 3 x ^ { 8 } -6 x ^ { 2 } + 1 } { 2 x ^ { 7 } + 4 x + 2 } $</li></ol></p> <p>$2 $. 다음 식으로 나타나는 함수의 변수를 독립변수라 하고 그것에 관해서 각각 미분하여라.<ol type=1 start=1><li>$ c=2 \pi r $</li> <li>$ V(r)= \pi r ^ { 3 } $</li> <li>$ S= \frac { 1 } { t ^ { 3 } + 7 } $</li> <li>$ f(t)= \left (t ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 3 } \sqrt { 3 t + 2 } $</li></ol></p> <p>정리 $2-2-11 $ 역삼각함수의 미분 II 나머지 역삼각함수들에 대한 도함수는 정리 $2-2-10 $과 유사한 방법으로 다음과 같이 됨을 증명할 수 있다.<ol type = a start=1><li>$ \frac { d } { d x } \tan ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } (- \infty<x< \infty) $<caption>(20)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \cot ^ { -1 } x=- \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } (- \infty<x< \infty) $<caption>(21)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \sec ^ { -1 } x= \frac { 1 } { \|x\| \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } (x \in(- \infty,-1) \bigcup(1, \infty)) $<caption>(22)</caption></li> <li>$ \frac { d } { d x } \csc ^ { -1 } x=- \frac { 1 } { \|x\| \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } (x \in(- \infty,-1) \bigcup(1, \infty)) $<caption>(23)</caption></li></ol></p> <p>증명 (a) $ y= \tan ^ { -1 } x(- \infty<x< \infty) $라 놓자. 이것은 $ y= \tan x \left (- \frac {\pi } { 2 }<x< \frac {\pi } { 2 } \right ) $의 연속인 역함수이며 $ - \infty<x< \infty $에서 미분가능하며 그 도함수 $ y ^ {\prime } = \sec ^ { 2 } x $는 $0 $이 아니다. 따라서 $ y= \tan ^ { -1 } x $ 로부터 $ x= \tan y \left (- \frac {\pi } { 2 }<y< \frac {\pi } { 2 } \right ) $이므로 역함수의 미분법에 의해 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\frac { d x } { d y } } = \frac { 1 } {\sec ^ { 2 } y } = \frac { 1 } { 1 + \tan ^ { 2 } y } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \] 이다. 그러므로 \[ \frac { d } { d x } \tan ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \quad(- \infty<x< \infty) \]</p> <p>참고 위의 예제에서 보듯이 원의 방정식을 두 개의 함수로 나누어 생각하면 $ f ^ {\prime } (x) $와 $ g ^ {\prime } (x) $를 따로 구하여야 하지만 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25 $를 음함수의 미분법에 의해 구하면 $ f ^ {\prime } (x) $와 $ g ^ {\prime } (x) $를 동시에 구할 수 있다.</p> <p>앞에서 $ n $이 정수일 때 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { n } \right )=n x ^ { n-1 } $이 됨을 증명하였다. 이제 음함수의 미분법을 이용하여 $ n $이 유리수일 때도 위의 공식이 성립함을 보이자.</p> <p>정리 $2-2-6 $ 제곱의 법칙 $ r $을 임의의 유리수라고 가정하자. 그러면 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { r } \right )=r x ^ { r-1 } $<caption>(10)</caption>이다.</p> <p>증명 가정에서 $ r $이 유리수이므로 $ r= \frac { p } { q } (p, q $는 정수이고 $ q>0) $라 놓을 수 있다. 따라서 \[ y=x ^ { r } =x ^ {\frac { p } { q } } \] 라 하면 $ y ^ { q } =x ^ { p } $이므로 음함수의 미분법에 의하여 \[ q y ^ { q-1 } \cdot \frac { d y } { d x } =p x ^ { p-1 } \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { p x ^ { p-1 } } { q y ^ { q-1 } } = \frac { p } { q } \cdot \frac { x ^ { p-1 } } {\left (x ^ { p / q } \right ) ^ { q-1 } } = \frac { p } { q } \cdot \frac { x ^ { p-1 } } { x ^ { p-p / q } } \\ &= \frac { p } { q } \cdot x ^ { p-1-p + p / q } = \frac { p } { q } \cdot x ^ { (p / q)-1 } =r x ^ { r-1 } . \end {aligned} \]</p>	자연
s009-기초미적분학	<h2>극좌표방정식에 대하여</h2> <p>직각좌표계는 평면 위의 임의의 점을 표시하는 방법이다. 평면 위의 점을 표시하는 다른 방법에 대하여 살펴보자. 먼저 좌표평면 위에 있는 점 $ P $의 좌표를 $ (x, y) $라고 하자. 원점에서 점 $ P $까지의 거리는 ① \[r= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \] 양의 $ x $ 축과 선분 $ O P $가 이루는 각의 크기는 $ \theta[ \mathrm { rad } ] $는 다음 식에 의해 결정된다.</p> <p>② $ \tan \theta= \frac { y } { x } $ 또는 $ \theta= \arctan \frac { y } { x } $</p> <p>식 ①과 ②는 $ x, y $에 의해 주어진 점 $ P $가 $ r, \theta $에 의해 결정될 수 있음을 압시하고 있다. 즉 평면 위의 모든 점은 $ (r, \theta) $에 의해 결정될 수 있다는 것을 의미한다. 평면을 $ (r, \theta) $로 표현하는 좌표계를 극좌표계라고 한다. 그러므로 $ r $과 $ \theta $로 정의되는 방정식이 만들어지는 것은 당연한 이야기이다. 즉 직각좌표계에서 방정 식은 $ f(x, y)=0 $인 반면 극좌표계에서 방정식은 \[f(r, \theta)=0 \] 와 같은 표현을 갖는다. 직각좌표계에서 그래프는 다음과 같은 직각격자 틀 위에 그려진다. 그림음 원의 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $에 대한 그래프이다.</p> <p>반면 극좌표계에서 그래프는 다음과 같은 틀 위에 기려진다. 그림은 $ r= \theta $의 그래프를 나타낸 것이다.</p> <p>극좌표계에서 반지름이 $ a $인 원의 방정식은 $ r=a $가 된다. 이 방정식은 ③ \[x=a \cos \theta, y=a \sin \theta \] 를 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $에 대입하면 간단하게 얻을 수 있다. 따라서 식 (3)은 직각좌표계에서 극좌표계로 또는 반대로 변환하는데 사용되는 중요한 관계식이 된다.</p> <p>원의 방정식에 대한 그래프는 극좌표계에서 그리는 것이 횔씬 더 간단하다. 다음 그림은, 극조표계에서 정의된 방정식 $ r=1, r=2, r=3 $에 대한 그래프들이다.</p> <p>단, $ f(t)=0.24 t ^ { 2 } $이다. 거리가 포물선으로 나타나는 경우에는 $ t $의 값에 따라 평균속도가 변한다. 예를 들어 \[ \begin {array} { c } t=3 \text { 일 때 평균속도는 } 0.24(3 + 2)=1.2 \\ t=2.5 \text { 일 때 평균속도는 } 0.24(2.5 + 2)=1.08 \\ t=2.1 \text { 일 때 평균속도는 } 0.24(2.1 + 2)=0.984 \\ t=2.01 \text { 일 때 평균속도는 } 0.24(2.01 + 2)=0.9624 \end {array} \] 매우 짧은 시간 구간, 즉 $ t \rightarrow 2(2 $에 접근)로 잡으면 \[ \frac { f(t)-f(2) } { t-2 } =0.24(t + 2) \rightarrow 0.48(0.48 \text { 에 접근) } \] 임을 추측할 수 있다. 이 값이 $ t=2 $ 에서 순간속도가 된다. 당연한 이야기이지만 $ t=a $의 값이 변하면 순간속도도 $ a $의 값에 의존하여 변한다.</p> <p>평균속도에서 분모 $ \rightarrow 0 $ 일 때의 평균속도를 순간속도(간단히, 속도)라고 한다.</p> <p>속도의 단위는 평균속도와 동일한 거리/시간이다. 위에서 살펴본 바와 같이 물체가 순간젹으로 얼마나 빨리 움직이는가에 대한 지표로써 속도라는 개념이 도입되었다. 또한 속도는 어떤 함수의 극한으로 계산된다는 것도 관찰하였다.</p> <p>이제 극한의 개념을 일반젹으로 정의하여 보자.</p> <p>$ x $를 $ a $에 매우 가깝게 접근시킬 때 $ (x \neq a) f(x) $의 값을 유일한 실수 $ L $에 가깝게 접근시킬 수 있다면, $ x $가 $ a $에 접근할 때 함수 $ f $는 극한 $ L $에 접근한다고 한다. 이를 기호로 다음과 같이 표현한다.</p> <p>$ \begin {array} { ll } & \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=L \\ L=f(a) \text { 일 때, } & \\ & \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=f(a) \end {array} $</p> <p>$ f $는 $ x=a $에서 연속(continuous)이라 한다. 함수의 정의역에 속하는 모든 원소에 대하여 연속일 때, 함수는 정의역에서 연속이라고 한다. 폐구간의 끝점에서의 연속성은 한 방향에 대해서만 정의한다. $ f(x) $가 $ x=a $ 에서 연속이 아닐 때는 $ f(x) $는 $ x=a $에서 불연속이라고 한다.</p> <p>극좌표 방정식이 그래프를 그리는 방법에 대한 지식이 조금 필요하지만, CAS에 내장된 명령어로 그려도 무방하다. 극좌표 방정식 $ r=1 + \cos \theta $ =의 그래프는 하트 모양이다.</p> <h1>2 극한의 성질</h1> <p>앞 절에서 함수에 대한 극한의 개념과 극한값의 추정방법올 살펴보았다. 이러한 추정방법으로 극한값올 구하는 것은 대단히 불편하며 또한 극한값이 잘못 추정될 가능성도 있다. 따라서 이러한 문제가 극복되고, 극한이 빠르고 정확하게 계산되는 도구의 개발이 필요하다. 실제로 이러한 방법이 존재한다. 이 절에서 유리 함수에 대한 극한값이 빠르고 정확하게 계산되는 과정에 대해 학습한다.</p> <p>다음은 함수의 사칙연산에 대한 극한의 기본적인 성질이다. 직관적으로 바로 납득할 수 있지만 증명은 고등미적분학이 필요하므로 생략한다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L $ 및 $ \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M $이라고 하면, 다음 등식이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow a } \{ f(x) + g(x) \} =L + M $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } \{ c f(x) \} =c L(c $ 는 상수 $ ) $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x)=L M $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { L } { M } \quad $ 단, $ \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \neq 0 $</li></ol> <p>참고 - 극한의 기본성질에서 $ a $는 $ a ^ { + } $또는 $ a ^ { - } $또는 $ a= \infty $ 또는 $ a=- \infty $로 바꾸어도 극한의 성질은 성립한다.</p> <p>극한 성질을 말로 설명하여 보자.</p> <ol type=i start=1><li>두 함수의 합의 극한은 각 함수의 극한의 합과 같다.</li> <li>함수에 상수를 곱한 극한은 그 함수의 극한에 상수를 곱한 것과 같다.</li> <li>두 함수의 곱의 극한은 각 극한의 곱과 같다.</li> <li>두 함수의 상에 대한 극한은 각 극한의 상과 같다.</li> <p>다음 극한은 너무나 당연하다.</p> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } 1=1 $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } x=a $</li> <p>정리 (ii)와 (v)로부터 \[ \lim _ { x \rightarrow a } c= \underset { x \rightarrow a } { } \lim _ { x \rightarrow } 1=c \times 1=c \]</p> <p>따라서 오른쪽 극한과 왼쪽 극한이 다르므로 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>조각함수의 경우, 조각이 연결되지 않는 양 끝 사이에 거리, 예를 들어 $ x=a $ 에서 \[d= \left \| \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)- \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x) \right \| \] 가 0 보다 크면, $ x=a $에서 극한은 존재하지 않고, $ d=0 $이면 극한은 존재한다.</p> <p>예제 $ 1.3 $ 함수 $ f(x)= \left \{\begin {array} { r } - \frac { 2 } { 3 } x + 6(x>3) \\ x + 1(x<3) \end {array} \right . $에 대하여 $ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x) $에 대하여 토의하라.</p> <p>풀이 - 오른쪽 극한값 및 왼쪽 극한값을 구하자.</p> <p>\[ \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { + } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { + } } \left (- \frac { 2 } { 3 } x + 6 \right )=4 \] 및 \[ \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { - } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { - } } (x + 1)=4 \]</p> <p>따라서 $ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x)=4 $이다. 그림 1.7은 이러한 결과를 확신시켜 준다.</p> <p>참고 • 예제 1.3에서 $ d=0 $이므로 $ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x)=4 $ 이지만 $ f(3) $이 정의되어 있지 않으므로 $ x=3 $에서 $ f(x) $는 불연속이다. $ x=3 $에서 $ f(x) $가 연속되게 하려면 $ f(3)=4 $ 로 정의하면 된다.</p> <p>유리함수에서 수평점근선 및 수직점근선의 개념을 학습하였다. 점근선은 극한이라는 도구로 좀 더 명확하게 정의할 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } f(x)=b $이면 $ y=b $ 는 $ y=f(x) $의 수평점근선이다. $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)= \pm \infty $ 또는 $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x)= \pm \infty $이면 $ x=a $는 $ y=f(x) $의 수직점근선이다.</p> <p>우촉에서 $ x \rightarrow 0 $ 일 때 $ f(x)=1 $이므로 $ f(x) $는 1에 접근하고, 좌촉에서 $ x \rightarrow 0 $ 일 때 $ f(x)=-1 $이므로 $ f(x) $는 $ -1 $에 접근한다. 따라서 \[ \begin {array} { c } \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } f(x)= \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \|x\| } { x } = \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x } { x } = \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } 1=1 \\ \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { - } } f(x)= \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \|x\| } { x } = \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { -x } { x } = \lim _ { z \rightarrow 0 ^ { + } } (-1)=-1 \end {array} \]</p> <p>왼쪽 극한파 오른쪽 극한이 다르므로 $ x \rightarrow 0 $일 때 $ f(x) $의 극한은 정의할 수 없다.</p> <p>이상으로부터 다음 결과는 쉽게 이끌어낼 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=L $이 될 필요충분조건온 $ \lim _ { z \rightarrow a ^ { + } } f(x)= \lim _ { z \rightarrow a ^ { - } } f(x)=L $</p> <p>예제 1.2 함수 $ f(x)= \left \{\begin {aligned} x + 2 &(x \leq 3) \\- \frac { 1 } { 3 } x + 4 &(x>3) \end {aligned} \right . $ 에 대하여 $ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x) $ 에 대하여 토의하라.</p> <p>풀이 - 함수 $ f $의 그래프는 그림 $ 1.6 $에 그려져 있다.</p> <p>$ f(3) $이 정의되어 있지만 극한은 존재하지 않는다. 실제로 \[ \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { + } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { + } } \left (- \frac { 1 } { 3 } x + 4 \right )=3 \] 그리고 \[ \lim _ { x \rightarrow 3 ^ { - } } (x + 2)=5 \]</p> <p>예로 \[ \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 1 } { x } =0 \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } } =0 \] 이므로 $ y=0 $는 $ y= \frac { 1 } { x } $ 및 $ y= \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $의 수평점근선이다. 일반적으로, $ n $이 자연수일 때 \[ \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 n } } =0 \text { 및 } \lim _ { x \rightarrow \pm \infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 n + 1 } } =0 \] 이므로 $ y=0 $ 는 $ y= \frac { 1 } { x ^ { 2 n } } $ 및 $ y= \frac { 1 } { x ^ { 2 n + 1 } } $의 수평점근선이다.</p> <p>예제 $ 1.4 y= \frac { 4 x + 3 } { x-2 } $의 수평점근선과 수직점근선을 구하여라.</p> <p>풀이 - 분모가 0 이 되는 $ x $ 의 값에서 수직점근선이 존재할 수 있다. $ x \rightarrow 2 ^ { + } $ 일 때 분모는 0으로 접근하는 반면 분자는 11로 접근한다. 따라서 \[ \lim _ { x \rightarrow 2 ^ { + } } \frac { 4 x + 3 } { x-2 } = \infty \] 이고, $ x=2 $ 는 수직점근선이다.</p> <p>\[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 4 x + 3 } { x-2 } = \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { 4 + \frac { 3 } { x } } { 1- \frac { 2 } { x } } = \frac { 4 + 0 } { 1-0 } =4 \] 이므로 $ y=4 $ 는 수평점근선이다. 그림 1.8은 직선 $ x=2, y=4 $ 및 곡선 $ y= \frac { 4 x + 3 } { x-2 } $의 그래프를 나타낸 것이다.</p> <p>극한값은 어떻게 계산할 것인가? 정의대로 계산하려면 많은 값을 대입해 가면서 추정할 수밖에 없다. 쉬운 예로 \[ \lim _ { x \rightarrow 2 } (x + 2) \] 를 계산하기 위해 $ x $가 2에 매우 가까운 값을 대입해 나가면서 동시 $ x + 2 $가 어떤 특정한 값에 가까워져 가는지를 결정해야 한다. 즉 \[ \begin {array} { l } x=1.99 \text { 일 때 } x + 2=1.99 + 2=3.99 \\ x=1.999 \text { 일 때 } x + 2=1.999 + 2=3.999 \\ x=1.999999999 \text { 일 때 } x + 2=1.9999999999 + 2=3.9999999999 \end {array} \] $ x $가 2에 접근하는 값이지만 결코 2는 아니므로</p> <p>\[ \lim _ { x \rightarrow 2 } (x + 2)=4 \] 와 같은 결론을 내리기는 쉽지 않다. 그러나 극한값이 4보다 작은 어떤 값도 극한 값이 될 수 없다(왜 그런지 검정해 보라). 또한 4보다 큰 어떤 값도 극한값이 될 수 없다. 즉 4만이 유일한 극한값이 될 수 있다. 극한값을 추정하는 것이 그렇게 만만한 일이 아니라는 것이다. 이것은 극한에 대한 정의가 애매모모하기 때문이다. 프랑스 수학자 코시(Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)는 극한에 대한 모호성을, $ \epsilon- \delta $ 법을 도입하여 정의하였고, 그의 정의는 현재 해석학의 기초로 인정받고 있다. $ \epsilon- \delta $ 법으로 함수의 연속도 쉽게 증명할 수 있게 되었다. 이후에 언급하겠지만, $ f(x)=x + 2 $로 정의하면 $ f(x)=x + 2 $는 $ x=2 $에서 연속이 되므로 극한 값은 $ f(2)=4 $이다.</p> <p>[참고 1] 일반적으로 \[ \frac { (x-2)(x + 2) } { x-2 } \neq(x + 2) \] 이지만, 극한의 정의로부터 $ x \rightarrow a $는 $ x \neq a $ 임을 내포하기 있기 때문에 (4) \[ \lim _ { x \rightarrow 2 } \frac { (x-2)(x + 2) } { x-2 } = \lim _ { x \rightarrow 2 } (x + 2) \] 또한 일반적으로 (순간)속도의 계산에서는 분모 및 분자가 공통인수를 갖게 되는데, 공통인수가 쉽게 발견되면 식 (4)와 같이 공통인수가 약분되므로 극한이 쉽게 구해진다. 공통인수가 명백하게 표현되지 않거나 없는 경우도 있다. 예로 $ f(x) $ $ =e ^ { z } $인 경우 \[ \frac { f(x)-f(1) } { x-1 } = \frac { e ^ { z } -e ^ { 1 } } { x-1 } = \frac { e ^ { z } -e } { x-1 } \] 이므로 분모와 분자의 공통인수는 없다.</p> <h1>함수의 극한</h1> <p>뉴턴이 태어나기 이전 독일의 천체물리학자 케플러(1571-1630)는 관측으로 다음과 같은 놀라운 3가지 행성에 관한 운동법치을 발견하였다.</p> <ul> <li>케플러 1 법칙 모든 행성은 태양을 초점으로 하는 타원 궤도 운동을 한다.</li> <li>케플러 2법칙 동일한 시간 동안 태양을 초점으로 행성이 타원 계도를 따라 돌 때 만들어진 부채꼴의 넓이는 일정하다.</li> <li>케플러 3법칙 행성 계도의 긴 반지름의 세제곱과 주기의 제곱은 비례한다.</li></ul> <p>영국의 수학자 및 과학자 뉴턴(1643-1727)온 물체의 웁직임에 대한 순간적인 빠르기(속도라고 함), 속도의 순간격인 빠르기(가속도라고 함)를 탐구하기 위한 수단으로 "미분"을 개발하였고, 그는 이 세기적 발명품으로 케플러의 행성운동에 관한 법칙을 수학적으로 증명하였다.</p> <p>그럼 1.1에서 묘사된 태양을 기점으로 운행되는 행성의 계도는 극좌표 방정식 \[r = \frac { l } { 1 + \epsilon \cos \theta } \] 에 의해 표현된다는 것을 미분을 사용하여 증명하였다. 그림 1.2는 $ \epsilon $의 값의 선택에 따라 원 또는 타원이 됨을 나타내고 있다. 즉 \[r= \begin {array} { c } 1 \\ 1 + 0.4 \cos \theta \end {array} \text { 및 } r= \begin {array} { c } 1 \\ 1-0.5 \cos \theta \end {array} \] 의 그래프로 점선은 $ \epsilon>0 $에 해당하고, 실선은 $ \epsilon<0 $에 해당한다. 또한 $ \epsilon \rightarrow 0 $이면 원에 가까워진다.</p> <p>뉴턴 이후 미변은 행성의 움직임뿐만 아니라 시간 또는 공간적인 변화를 수반하는 대상의 연구로 확대되어, 현재 자연과학, 공학, 경영 및 경제학, 인문학등에 나타나는 현상의 연구에 필수불가결한 도구로써 자리매김하고 있다. 실제로, 뉴턴 운동 제 2 법칙은 양자를 제외한 물체의 운동을 기술하는데 지대한 공헌을 한다.</p> <p>이 장에서는 이후에 배울 미분의 DNA에 해당하는 극한의 개념과 극한 계산법에 대해 설명한다. 극한의 필요성에 대해 살며보기 위해 고속도로 위를 달리는 두 대의 자동차를 생각하자. 만약 $ 500 \mathrm { ~km } $인 거리를 주파하는데 각 자동차가 5시간 및 4시간이 걸렸다고 할 때, 달린 거리는 동일하지만 달린 시간이 다르다. 즉, 이것들은 두 사건에 대한 다름이 정의될 수 있는 지표가 될 수 있다. 이 다름의 지표를 "거리/시간 $ [ \mathrm { km } / \mathrm { h } ] $의 값"으로 간주하면</p> <p>[참고 2] $ x \rightarrow a $는 $ a $의 왼쪽과 오른쪽 양방향에서 $ x $가 $ a $에 접근한다는 것을 의미한다. 함수의 형태에 따라 양방향의 극한이 존재하지 않는 경우가 많이 있다. 그림 1.4와 같이 단차가 있다면 양방향의 극한은 같을 수가 없다.</p> <p>단차가 있을지라도 한쪽 방향의 극한은 존재한다. 따라서 극한의 개념을 조금 완화시켜 한쪽 방향의 극한이 존재하는 경우로 한정한 문제들이 많이 있다.</p> <p>단차가 있을지라도 한쪽 방향의 극한은 존재한다. 따라서 극한의 개념을 조금 완화시켜 한쪽 방향의 극한이 존재하는 경우로 한정한 문게들이 많이 있다.</p> <p>극한의 정의에서 $ x $가 $ a $의 오른쪽에서 접근할 때, $ f(x) $의 극한값 $ R $은 \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)=R \] 로 표기하고, $ R $ 을 $ x=a $에서 $ f(x) $의 오른쪽 극한값이라 한다.</p> <p>$ x $가 $ a $의 왼쪽에서 접근할 때 $ f(x) $의 극한값 $ L $은 \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x)=L \] 로 표기하고, $ L $을 $ x=a $에서 $ f(x) $의 왼쪽 극한값이라 한다.</p> <p>그림 1.4의 같은 단차는 함수 \[f(x)= \frac { \|x\| } { x } \] 로 표현할 수 있다. $ f(x) $의 그래프는 그림 1.5의 같다.</p> <p>예제 $ 1.1 $ 함수 $ f(x)= \frac { \|x\| } { x } $ 에 대하여 다음 각 극한을 구하여라.</p> <p>(a) $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } f(x) $ (b) $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } f(x) $ (c) $ \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x) $</p> <p>풀이 - 먼저 $ f(0) $은 정의되지 않음을 유의하자. 주어진 함수를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.</p> <p>$ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x } { x } =1 & (x>0) \\ \frac { -x } { x } =-1 & (x<0) \end {array} \right . $</p> <p>예제 21 $ f(x)=3 x ^ { 2 } -4 x + 5 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow 2 } f(x) $를 구하여라.</p> <p>풀이 - $ f(x) $는 이차함수이므로 \[ \lim _ { x \rightarrow 2 } f(x)=f(2)=3 \left (2 ^ { 2 } \right ) + (-4)(2) + 5=12-8 + 5=9 \]</p> <p>위의 사실로부터 유리함수는 분모가 0이 아닌 점에서 연속이 된다.</p> <p>다항함수 $ P(x) $와 $ Q(x) $에 대하여 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { P(x) } { Q(x) } = \frac { P(a) } { Q(a) } \quad(Q(a) \neq 0) \]</p> <p>예제 2.2 극한 $ \lim _ { x \rightarrow-2 } \frac { x ^ { 2 } -2 x + 3 } { x ^ { 2 } + 1 } $을 구하여라.</p> <p>풀이 - 유리함수에 대한 극한값을 구하는 문제이다. $ \lim _ { x \rightarrow-2 } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )=5 \neq 0 $ 이므로 \[ \lim _ { x \rightarrow-2 } \frac { x ^ { 2 } -2 x + 3 } { x ^ { 2 } + 1 } = \frac { (-2) ^ { 2 } -2(-2) + 3 } { (-2) ^ { 2 } + 1 } = \frac { 11 } { 5 } \]</p> <p>예제 2.3 함수 $ f(x) $는 다음과 같다.</p> <p>\[f(x)= \frac { x ^ { 2 } -9 } { x-3 } \] 극한 $ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x) $를 구하여라.</p> <p>풀이 - $ Q(x)=x-3 $이라 두면, $ Q(3)=0 $이므로 정리 $ 2.2 $ (ii)를 사용할 수 없다. 그러나 $ x \neq 0 $ 이므로 극한 내부에서 약분이 가능하다. 따라서 \[ \lim _ { x \rightarrow 3 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 3 } \frac { x ^ { 2 } -9 } { x-3 } = \lim _ { x \rightarrow 3 } \frac { (x + 3)(x-3) } { (x-3) } = \lim _ { x \rightarrow 3 } (x + 3)=3 + 3=6 \]</p> <p>정리 (iii)과 (vi)로부터 \[ \lim _ { x \rightarrow a } x ^ { 2 } = \lim _ { x \rightarrow a } x \times x= \lim _ { x \rightarrow a } x \times \lim _ { x \rightarrow a } x=a \times a=a ^ { 2 } \]</p> <p>일반적으로 자연수 $ n $에 대하여</p> <li>$ \lim _ { x \rightarrow a } x ^ { n } =a ^ { n } $</li></ol> <p>(vii)은 $ f(x)=x ^ { n } $이 $ (- \infty, \infty) $에서 연속임을 의미한다. 이 연속성과 (ii)로부터 모든 다항함수는 $ (- \infty, \infty) $에서 연속임을 보일 수 있다.</p> <p>$ n $ 차 다항함수 $ P(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } $는 $ (- \infty, \infty) $ 에서 연속이다.</p> <p>$ n $차 다항함수 $ P(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } $는 $ (- \infty, \infty) $에서 연속이다.</p> <p>증명 - 이차함수 $ P(x)=a x ^ { 2 } + b x + c $ 가 $ (- \infty, \infty) $에서 연속임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 $ v \in(- \infty, \infty) $에 대해 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow v } P(x) &= \lim _ { x \rightarrow v } \left (a x ^ { 2 } + b x + c \right ) \\ &=a \lim _ { x \rightarrow v } x ^ { 2 } + b \lim _ { x \rightarrow v } x + \underset { x \rightarrow v } { } 1 \lim _ { x \rightarrow v } =a v ^ { 2 } + b v + c=P(v) \end {aligned} \] 이므로 $ P(x) $는 $ (- \infty, \infty) $에서 연속이다.</p> <p>\[ \frac { 500 } { 5 } =100 \text { 및 } \frac { 500 } { 4 } =125 \] 숫자 100과 125는, 거리는 같지만 달린 시간의 다름에 대한 지표가 될 수 있다. 그 지표가 크면 클수록 동일한 거리를 짧은 시간에 주파할 수 있게 된다. 이 지표를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>거리와 시간의 비율을 평균속도라고 정의한다. 단위는 [거리/시간]이다.</p> <p>평균속도가 100인 경우에 대해 좀더 조사해 보자. 즉 5시간 동안 $ 500 \mathrm { ~km } $를 달렸다는 것이다. 5시간을 한 시간 단위로 나누면 1시간이 구간이 되는 5개의 시간 구간으로 등분할 수 있다. 여기서 다음과 같은 질문이 제기된다.</p> <p>다섯 개의 시간 구간에서도 평균속도가 100 이었는가?</p> <p>의문의 여지없이 "아니다"는 답이 나올 것이다. 즉 어떤 시간 구간에서는 120, 어떤 구간에서는 80일수도 있다. 시간 구간을 더 많은 구간으로 나누면 각 구간에 대응하는 평균속도가 결정된다. 우리의 관심은 구간의 간격이 0으로 접근할 때(또는 구간을 무한히 많이 나눌 때) 대응하는 평균속도의 개념이다. 구간의 간격이 0으로 접근할 때 대응하는 평균을 속도의 개념을 정의하기 위해 순간속도라는 용어를 도입한다. 순간속도의 개념을 좀 더 자세하게 설명해 보자.</p> <p>자동차가 달린 거리 $ y $는 시간 $ x $에 대하여 직선 $ y=1.2 x $ 또는 포물선 $ y= $ $ 6 / 25 x ^ { 2 } $으로 또는 삼차함수로 표현될 수 있다고 해 보자(그럼 $ \left .1.3 \right ) $. 물론 전혀 다른 함수로 표현될 수도 있다.</p> <p>(i) 거리의 합수가 $ y=1.2 x $로 표현되었다고 가정해 보자. 시간 구간 $ [2, t] $에서 평균속도는 \[ \frac { f(t)-f(2) } { t-2 } = \begin {array} { c } 1.2 t-1.2 \times 2 \\ t-2 \end {array} = \frac { 1.2(t-2) } { t-2 } =1.2 \]</p> <p>단, $ f(t)=1.2 t $ 이다. 거리가 직선으로 나타나는 경우에는 $ t $의 값에 관계없이 평균속도가 1.2로 일정하다. 따라서 $ t $가 거의 2에 가까워지더라도 평균속도의 변화는 없다.</p> <p>(ii) 거리의 합수가 $ y=0.24 x ^ { 2 } $로 표현되었다고 가정해 보자. 시간 구간 $ [2, t] $에서 평균속도는(3) \[ \begin {aligned} \frac { f(t)-f(2) } { t-2 } &= \frac { 0.24 t ^ { 2 } -0.24 \times 2 ^ { 2 } } { t-2 } =0.24 \times \frac { t ^ { 2 } -2 ^ { 2 } } { t-2 } \\ &=0.24 \times \frac { (t-2)(t + 2) } { t-2 } =0.24(t + 2), t \neq 2 \end {aligned} \]</p>	자연
선형대수학 입문_벡터공간	<h2>4. 내적공간</h2><p>여기서는 $ R^{n} $ 위의 내적 (유클리드 내적; dot product)을 일반화하여 일반적인 벡터공간으로 확장한다.</p><h3>(1) 실내적공간</h3><p>정의 27 내적과 내적공간 실벡터공간 $ V $ 의 임의의 벡터 $ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} $ 와 임의의 스칼라 $ \alpha \in R $ 에 대하여 다음 조건을 만족하는 $ V \times V $ 에서 $ R $ 로의 함수 $<,>$ 를 $ V $ 위에서의 내적이라 하고, 이와 같은 내적을 갖는 실벡터공간을 실내적공간(real inner product space), 간단히 내적공간이라 한다.</p><ol type=1 start=1><li>$<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=<\mathbf{v}, \mathbf{u}>$</li><li>$<\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}>=<\mathbf{u}, \mathbf{w}>+<\mathbf{v}, \mathbf{w}>$</li><li>$<\alpha \mathbf{u}, \mathbf{v}>=\alpha<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$</li><li>$<\mathbf{u}, \mathbf{u}>\geq 0 . $ 특히 $<\mathbf{u}, \mathbf{u}>=0 \Leftrightarrow \mathbf{u}=\mathbf{0} $</li></ol><p>참고 $ A \in M_{n} $ 가 대칭행렬일 때, 이차형식 $ q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} $ 가 임의의 $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ 에 대하여 $ q(\mathbf{x})>0 $ 이면 양의 정부호(positive definite), $ q(\mathbf{x})<0 $ 이면 음의 정부호(negative definite)라 한다. 또한 어떤 $ \mathbf{x} $ 에 대하여는 $ q(\mathbf{x})>0 $ 이고, 어떤 $ \mathbf{x} $ 에 대하여는 $ q(\mathbf{x})<0 $ 이면 부정부호 (indefinite)라 한다.</p><p>예 41 $ n $ 차의 정사각행렬 $ A $ 가 대칭행렬이고 양의 정부호일 때, $ R^{n} $ 의 두 열벡터 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $ 에 대하여 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$ 를 \[<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\mathbf{v}^{T} A \mathbf{u} \] 로 정의하면 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$ 는 $ R^{n} $ 에서의 내적이 된다. 특히 유클리드 내적 \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}^{T} \mathbf{u}=\mathbf{v}^{T} I_{n} \mathbf{u} \] 는 $ A=I_{n} $ 인 내적의 특수한 경우로 생각할 수 있다.</p><p>예제 5 $ W $ 가 직교벡터 $ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n} $ 에 의해 생성된 부분공간이고, $ \mathbf{p} $ 가 $ W $ 로의 벡터 $ \mathbf{b} $ 의 정사영이라 하면, 벡터 $ \mathbf{q}=\mathbf{b}-\mathbf{p} $ 는 $ W $ 에 직교한다.</p><p>증명 임의의 $ \mathbf{w} \in W $, 즉 $ \mathbf{w}=\alpha_{1} \mathbf{u}_{1}+\alpha_{2} \mathbf{u}_{2}+\cdots+\alpha_{n} \mathbf{u}_{n} $ 일 때 $<\mathbf{q}, \mathbf{w}>=0 $ 임을 보이면 된다. $ \mathbf{p} $ 가 $ W $ 로의 벡터 $ \mathbf{b} $ 의 정사영이므로 \[<\mathbf{q}, \mathbf{u}_{i}>=0 \text {, 즉 }<\mathbf{b}-\mathbf{p}, \mathbf{u}_{i}>=0 \] 이다. 따라서 \[ \begin{array}{l}<\mathbf{q}, \alpha_{1} \mathbf{u}_{1}+\alpha_{2} \mathbf{u}_{2}+\cdots+\alpha_{n} \mathbf{u}_{n}>\\ \quad=\alpha_{1}<\mathbf{q}, \mathbf{u}_{1}>+\alpha_{2}<\mathbf{q}, \mathbf{u}_{2}>+\cdots+\alpha_{n}<\mathbf{q}, \mathbf{u}_{n}>=0 \end{array} \] 이 성립한다. 그러므로 벡터 $ \mathbf{q}=\mathbf{b}-\mathbf{p} $ 는 $ W $ 에 직교한다.</p><p>참고 두 열벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4\end{array}\right] $ 에 대하여, 유클리드 내적 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ 는 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=7 $ 이다. 반면에 $ A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right] $ 일 때 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\mathbf{v}^{T} A \mathbf{u} $ 로 정의된 내적 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$ 에 대하여 \[<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\left[\begin{array}{ll} 1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]=51 \] 이 된다.</p><p>예 42 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] $ 이고 $ A=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right] $ 일 때, $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\mathbf{v}^{T} A \mathbf{u} $ 로 정의된 내적에 대하여 $ \mathbf{u}^{T} A \mathbf{u} $ 를 $ x, y $ 의 관계식으로 나타내면 \[ \mathbf{u}^{T} A \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ -2 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=2 x^{2}-4 x y+3 y^{2} \] 이 된다.</p><p>예 43 $R^{2}$ 에서 $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right], \mathbf{v} =\left[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \end{array}\right]$ 일 때 \[<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=6 u_{1} v_{1}-2 u_{2} v_{1}-2 u_{1} v_{2}+3 u_{2} v_{2} \] 로 정의된 내적에 대하여, $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\mathbf{v}^{T} A \mathbf{u} $ 를 만족하는 $2$차 대칭행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 6 & -2 \\ -2 & 3 \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p> <h2>3. $ R^{n} $에서의 내적과 정규직교기저</h2><p>이제 $ R^{n} $의 모든 부분공간은 기저를 가짐을 보이고, 이 기저로부터 정규직교기저를 찾는 방법을 알아본다.</p><h3>(1) $ R^{n} $에서의 내적</h3><p>$ R^{n} $에서의 두 벡터 $ \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $과 $ \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) $에 대하여, $ \mathbf{x} $와 $ \mathbf{y} $의 내적은 \[ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n} \] 으로 정의한다.</p><p>참고 (내적의 성질) $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $와 $ \mathbf{w} $가 $ R^{n} $의 벡터이고 $ \alpha $가 실수일 때, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} $</li><li>$ \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $</li><li>$ (\alpha \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}=\alpha(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})=\mathbf{u} \cdot(\alpha \mathbf{v}) $</li><li>$ \mathbf{0} \cdot \mathbf{u}=\mathbf{0} $</li></ol><p>$ \mathbf{u} \in R^{n} $에 대하여, 노름 $ \\|\mathbf{u}\\| $으로 표현되는 $ \mathbf{u} $의 길이 또는 크기는 \[ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \] 으로 주어진다. 이때 $ \\|\mathbf{u}\\| \geq 0 $이다.</p><p>정의 21 정규직교집합 $ R^{n} $의 벡터들의 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $에 대하여</p><ol type=1 start=1><li>모든 $ i \neq j $에 대하여, $ \mathbf{v}_{i} \perp \mathbf{v}_{j} $, 즉 $ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}=0 $이면 $ S $를 직교집합(orthogonal set)이라 한다.</li><li>직교집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $의 모든 $ i $에 대하여, $ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{i}=1 $, 즉 $ \left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|=1 $이면 $ S $를 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.</li></ol><p>정리 22 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k} $가 $ R^{n} $에서 $\mathbf{0}$이 아닌 벡터일 때, $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $가 직교집합이면 $ S $는 일차독립이다.</p><p>증명 임의의 $a_{1},a_{2}, \cdots, a_{k} \in R$에 대하여 $ a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{k} \mathbf{v}_{k}=\mathbf{0} $이라 가정하면, 각 $ i=1,2, \cdots, k $에 대하여 \[ \begin{aligned} 0=\mathbf{0} \cdot \mathbf{v}_{i} &=\left(a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{k} \mathbf{v}_{k}\right) \cdot \mathbf{v}_{i} \\ &=a_{1}\left(\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{i}\right)+a_{2}\left(\mathbf{v}_{2} \cdot \mathbf{v}_{i}\right)+\cdots+a_{k}\left(\mathbf{v}_{k} \cdot \mathbf{v}_{i}\right) \\ &=a_{i}\left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|^{2} \end{aligned} \] 이 된다. 그런데 $ \mathbf{v}_{i} \neq \mathbf{0} $이므로 $ \left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|^{2}>0 $으로부터 $ a_{i}=0 $을 얻는다. 따라서 $ S $는 일차독립이다.</p><p>정의 23 정규직교기저 $ R^{n} $의 기저 $ S $가 직교집합이면 직교기저(orthogonal basis)라 하고, 정규직교집합이면 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.</p><p>$ R^{n} $의 $ n $개의 $\mathbf{0}$ 아닌 벡터들의 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 직교집합(정규직교집합)이면, $ S $는 직교기저(정규직교기저)이다.</p><p>예 35 $ R^{n} $의 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $이 직교집합이면, $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $은 $ R^{n} $의 기저이다. 따라서 $ \left\{\frac{\mathbf{v}_{1}}{\left\\|\mathbf{v}_{1}\right\\|}, \frac{\mathbf{v}_{2}}{\left\\|\mathbf{v}_{2}\right\\|}, \cdots, \frac{\mathbf{v}_{n}}{\left\\|\mathbf{v}_{n}\right\\|}\right\} $은 $ R^{n} $의 정규직교기저이다.</p><p>예 36 $R^{3}$에서 \[ \left\{(0,1,0),\left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right),\left(-\frac{4}{5}, 0, \frac{3}{5}\right)\right\} \] 은 정규직교기저이다.</p><p>$ n $개의 벡터들의 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 $ R^{n} $의 기저이면 $ R^{n} $의 임의의 벡터 $ \mathbf{v} $는 \[ \mathbf{v}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n} \] 으로 유일하게 표시된다. 이때 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 $ R^{n} $의 직교기저일 경우 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $을 구하는 방법을 알아보자.</p> <p>정의 28 노름 벡터공간 $ V $ 에 임의의 내적 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$ 가 주어질 때, 벡터 $ \mathbf{u} $ 의 노름 또는 길이는 \[ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{<\mathbf{u}, \mathbf{u}>} \] 로 정의한다. 이때 $ \\|\mathbf{u}\\|=1 $ 이면, $ \mathbf{u} $ 를 단위벡터라 한다.</p><p>$ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1\end{array}\right] $ 일 때, $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=10 $ 이므로 $ \mathbf{u} $ 의 유클리드 노름은 \[ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}=\sqrt{10} \] 이다. 반면에 $2$차 대칭행렬 $ A=\left[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right] $ 에 대하여 \[<\mathbf{u}, \mathbf{u}>=\mathbf{u}^{T} A \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right]=43 \] 이므로, $ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{<\mathbf{u}, \mathbf{u}>}=\sqrt{43} $ 이 된다.</p><p>참고 내적공간 $ V $ 의 모든 벡터 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>$ \|<\mathbf{u}, \mathbf{v}>\| \leq\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| \quad$( 코시 - 슈바르츠 부등식 )</li><li>$ \\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\| \leq\\|\mathbf{u}\\|+\\|\mathbf{v}\\| \quad $( 삼각부등식 )</li></ol><p>임의의 내적공간에 대하여 삼각부등식은 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도된다.</p><p>정의 29 $\mathbf{0}$ 이 아닌 두 벡터 $ \mathbf{u} $ 와 $ \mathbf{v} $ 가 이루는 각 (angle) $ \theta $ 는 \[ \cos \theta=\frac{<\mathbf{u}, \mathbf{v}>}{\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|}(\text { 단, } 0 \leq \theta \leq \pi ) \] 로 정의한다. 이때 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $ 가 $<\mathrm{u}, \mathrm{v}>=0 $ 이면, 두 벡터 $ \mathbf{u} $ 와 $ \mathbf{v} $ 는 서로 수직 또는 직교한다고 하고, $ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $ 로 나타낸다.</p><p>$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 이 내적공간 $ V $ 의 벡터일 때, 모든 $ i \neq j $ 에 대하여 $ \mathbf{v}_{i} \perp \mathbf{v}_{j} $ 이면 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 을 직교집합이라고 한다. 한편 직교집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 이 $ V $ 의 기저이고, 모든 $ i $ 에 대해 $ \left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|=1 $ 이면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 을 $ V $ 의 정규직교기저라고 한다.</p><p>예 44 내적공간 $ V $ 의 $\mathbf{0}$ 아닌 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 에 대하여, $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 이 직교집합이면 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 은 일차독립이다.</p><p>정리 30 그람-슈미트 정규직교화</p><p>$ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 이 내적공간 $ V $ 의 기저이면, 각 $ 1 \leq k \leq n $ 에 대하여 \[ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\}=\operatorname{span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}\right\} \] 을 만족하는 정규직교기저 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}\right\} $ 이 존재한다.</p><p>내적공간 $ V $ 의 부분공간 $ W $ 에 대하여, $ W $ 의 직교보충공간 $ W^{\perp} $ 은 \[ W^{\perp}=\left\{\mathbf{v} \in V \mid \mathbf{v} \perp \mathbf{w} \quad{ }^{\forall} \mathbf{w} \in W\right\} \] 으로 정의한다.</p><p>예 45 $ R^{3} $ 의 부분공간 $ W=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,1)\} $ 의 직교보충공간은 \[ W^{\perp}=\{(0,-1,1)\} \] 이다.</p><p>$ W $ 가 유한차원 내적공간 $ V $ 의 부분공간이면, $ V=W \oplus W^{\perp} $ 이다. 따라서 $ W $ 가 유한차원 내적공간 $ V $ 의 부분공간이면, $ V $ 의 모든 벡터는 $ W $ 의 벡터와 $ W^{\perp} $ 의 백터의 합으로 유일하게 표현된다.</p> <p>$ W $가 집합 $ S $에 의하여 생성된 $ V $의 부분공간일 때 집합 $ S $는 $ W $를 생성한다고 한다. 이때 $ S $를 $ W $의 생성집합(spanning set)이라고 하며, 기호로는 \[ W=\operatorname{span}(S)=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} \] 으로 나타낸다. 사실 $ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $은 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $을 포함하는 $ V $의 가장 작은 부분공간이다.</p><p>예 12 $ R^{3} $의 모든 벡터는 $ \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $의 일차결합으로 나타낼 수 있으므로 \[ R^{3}=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} \] 이다.</p><p>예 13 $r, s \geq 1$이면 \[ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{w}_{1}, \cdots, \mathbf{w}_{s}\right\}=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{r}\right\}+\operatorname{span}\left\{\mathbf{w}_{1}, \cdots, \mathbf{w}_{s}\right\} \] 가 된다.</p><p>참고 $ V $가 벡터공간일 때, $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \in V $이면 다음은 서로 동치이다.</p><ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{v} \in \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $</li><li>$ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\}=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $</li></ol><p>정의 6 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합 $ S_{1}, S_{2} $에 대하여 \[ S_{1}+S_{2}=\left\{\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2} \mid \mathbf{v}_{1} \in S_{1}, \mathbf{v}_{2} \in S_{2}\right\} \] 로 정의한다.</p><p>예 14 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분공간 $ S_{1}, S_{2} $에 대하여, $ S_{1} \cap S_{2} $와 $ S_{1}+S_{2} $는 $ V $의 부분공간이 된다. 이때 $ S_{1}+S_{2} $는 $ S_{1}, S_{2} $를 포함하는 가장 작은 부분공간이다. 그러나 $ S_{1} \cup S_{2} $는 일반적으로 부분공간이 되지 않는다.</p><p>참고 $ S_{1}, S_{2} $가 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분공간일 때, $ S_{1}+S_{2} $의 각 벡터 $ \mathbf{x} $에 대하여 $ \mathbf{x}=\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2} $를 만족하는 $ \mathbf{x}_{1} \in S_{1} $과 $ \mathbf{x}_{2} \in S_{2} $가 유일하게 존재하면, $ S_{1}+S_{2} $를 $ S_{1}, S_{2} $ 의 직합 (direct sum)이라 하고 $ S_{1} \oplus S_{2} $로 표기한다. 직합은 여러 가지로 표현될 수 있다. 한편 $ S=S_{1}+S_{2} $이면 $ S=S_{1} \oplus S_{2} $와 $ S_{1} \cap S_{2}=\{\mathbf{0}\} $은 서로 동치가 된다.</p><p>정의 7 해공간 $ m \times n $ 행렬 $A$에 대하여 집합 \[W=\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x} = \mathbf{0} \}\] 는 벡터공간 $R^{n}$의 부분공간이다.이때 $R^{n}$의 부분공간 $W$를 연립방정식 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$의 해공간(solution space) 또는 행렬 $ A $의 영공간(null space)이라 한다.</p><p>예 15 다음 동차선형연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+2 x_{3} &=0 \\ x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}&=0 \end{array}\right. \] 의 해공간을 구해보자. 연립방정식의 첨가행렬 \[ \left[\begin{array}{llllll}1 & -1 & 2 & 0 & : & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 2 & : & 0\end{array}\right] \] 으로부터 행사다리꼴 \[ \left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & -1 & 2 & 0 & : & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & : & 0 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 따라서 이 첨가행렬에 대응하는 연립방정식은 \[ \left\{\begin{aligned} x_{1}-x_{2}+2 &x_{3} &=0 \\ &x_{3}+2 x_{4} &=0 \end{aligned}\right. \] 이다. 이때 자유변수 \[ x_{2}=s, x_{4}=t \] 를 각각 지정하면 \[ x_{3}=-2 x_{4}=-2 t, x_{1}=x_{2}-2 x_{3}=s+4 t \] 이므로, 해공간은 $ \{(s+4 t, s,-2 t, t) \mid s, t \in R\} $로 주어진다.</p> <h1>5.2 좌표벡터와 전이행렬</h1><h2>1. 좌표벡터</h2><p>$ R^{n} $ 에서 기저의 개념은 좌표계의 개념과 밀접하다. 지금까지는 $ R^{n} $ 에서 임의의 벡터는 표준기저에 관한 좌표벡터로 유일하게 표현됨을 설명하였다.</p><p>참고 $ R^{3} $ 의 한 점 $ P\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) $ 에 대하여, 벡터 $ \mathbf{x}=\overrightarrow{O P}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) $ 는 $ R^{3} $ 의 표준기저 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $ 에 관하여 \[ \mathbf{x}=a_{1} \mathbf{e}_{1}+a_{2} \mathbf{e}_{2}+a_{3} \mathbf{e}_{3} \] 로 유일하게 표현된다. 이때 $ a_{1}, a_{2}, a_{3} $ 는 점 $ P $ 의 좌표라 하며, $ \mathbf{x}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) $ 는 표준기저 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $ 에 관한 좌표로 $ a_{1}, a_{2}, a_{3} $ 를 갖는다고 한다.</p><p>이제 표준기저가 아닌 기저, 즉 순서기저에 대한 좌표벡터를 정의한다.</p><p>정리 1 좌표벡터</p><p>집합 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\} $ 가 $ R^{n} $ 의 기저이면 $ R^{n} $ 에 속하는 모든 벡터 $ \mathbf{x} $ 는 \[ \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{x}_{n} \] 으로 유일하게 표현된다. 이때 스칼라 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $ 을 순서기저(ordered basis) $ \alpha $ 에 관한 벡터 $ \mathbf{x} $ 의 좌표(coordinate)라 하고, $ R^{n} $ 의 벡터 \[ \left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right] \] 을 순서기저 $ \alpha $ 에 관한 $ \mathbf{x} $ 의 좌표벡터(coordinate vector) 또는 좌표행렬 (coordinate matrix)이라 하며, $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 로 나타낸다.</p><p>지금부터 임의의 순서기저를 $ \alpha, \beta, \cdots $ 로, 표준기저를 $ \epsilon, \epsilon^{\prime}, \cdots $ 로 각각 표현하기로 한다.</p><p>참고 집합 $ \alpha $ 가 $ R^{n} $ 의 기저일 때, $ R^{n} $ 의 한 벡터 $ \mathbf{x} $ 에 $ R^{n} $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 가 유일하게 대응되고, 역으로 $ R^{n} $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 에 대하여 $ R^{n} $ 의 벡터 $ \mathbf{x} $ 가 유일하게 대응된다.</p><p>예 1 $ \mathbf{x}_{1}=(1,1,1), \mathbf{x}_{2}=(1,-1,1), \mathbf{x}_{3}=(1,2,2) $ 로 주어진 $ R^{3} $ 의 기저 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $에 관한 $ \mathbf{x}=(3,6,-2) $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 를 구해보자. \[ \begin{aligned} \mathbf{x} &=(3,6,-2) \\ &=c_{1}(1,1,1)+c_{2}(1,-1,1)+c_{3}(1,2,2) \end{aligned} \] 로부터, 연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{l} c_{1}+c_{2}+c_{3}=3 \\ c_{1}-c_{2}+2 c_{3}=6 \\ c_{1}+c_{2}+2 c_{3}=-2 \end{array}\right. \] 을 풀면 $ c_{1}=12, c_{2}=-4, c_{3}=-5 $ 이므로 \[ [\mathbf{x}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{r} 12 \\ -4 \\ -5 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>참고 $ R^{n} $ 의 기저 $ \alpha $ 에 대하여, $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^{n} $ 와 $ c \in R $ 일 때 \[ [\mathbf{x}+\mathbf{y}]_{\alpha}=[\mathbf{x}]_{\alpha}+[\mathbf{y}]_{\alpha}, \quad[c \mathbf{x}]_{\alpha}=c[\mathbf{x}]_{\alpha} \] 가 성립한다.</p><p>예 2 $\mathbf{x}=(7,-7,5), \mathbf{y}=(1,-4,4)$ 일 때 \[ \mathbf{x}_{1}=(1,1,1), \mathbf{x}_{2}=(1,-1,1), \mathbf{x}_{3}=(1,2,2) \] 로 주어진 $ R^{3} $ 의 순서기저 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $ 에 관한 $ \mathbf{x}+\mathbf{y} $ 의 좌표벡터는 \[ [\mathbf{x}+\mathbf{y}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}-3 \\ 10 \\ 1\end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>이제 $ R^{n} $ 의 두 순서기저 \[ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\}, \quad \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \cdots, \mathbf{y}_{n}\right\} \] 에 대하여, $ \alpha $ 와 $ \beta $ 에 관한 $ \mathbf{x} \in R^{n} $ 의 두 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 와 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 사이의 관계를 생각해 보자. \[ \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{y}_{1}+c_{2} \mathbf{y}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{y}_{n}\left(\text { 단, } c_{i} \in R\right) \] 이라 하면, $ \beta $ 에 관한 $ \mathbf{x} \in R^{n} $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 는 \[ [\mathbf{x}]_{\beta}=\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right] \] 이고, 또한 $ \alpha $ 에 관한 $ \mathbf{x} \in R^{n} $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 는 \[ \begin{aligned} {[\mathbf{x}]_{\alpha} } &=\left[c_{1} \mathbf{y}_{1}+c_{2} \mathbf{y}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{y}_{n}\right]_{\alpha} \\ &=c_{1}\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\alpha}+c_{2}\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\alpha}+\cdots+c_{n}\left[\mathbf{y}_{n}\right]_{\alpha} \end{aligned} \] 로 나타낼 수 있다. 여기서 $ \alpha $ 에 관한 $ \mathbf{y}_{j} $ 의 좌표벡터를 \[ \left[\mathbf{y}_{j}\right]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c} p_{i j} \\ p_{2 j} \\ \vdots \\ p_{n j} \end{array}\right] \] 라 하고, 행렬 $ P $ 를 \[ \begin{aligned} P &=\left[\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\alpha}:\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\alpha}: \cdots:\left[\mathbf{y}_{n}\right]_{\alpha}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cccc} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1 n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{n 1} & p_{n 2} & \cdots & p_{n n} \end{array}\right] \end{aligned} \] 이라 하면 \[ [\mathbf{x}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{cccc}p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1 n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ p_{n 1} & p_{n 2} & \cdots & p_{n n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n}\end{array}\right] \] 즉 \[ [\mathbf{x}]_{\alpha}=P[\mathbf{x}]_{\beta} \] 가 성립한다.</p> <h2>2. 행렬이 갖는 기본공간</h2><h3>(1) 부분공간</h3><p>하나의 행렬은 부분공간으로 행공간, 열공간, 해공간을 갖는다. 이 세 가지 부분공간은 행렬과 관련된 다양한 성질 규명에 이용된다.</p><p>① 해공간의 기저와 차원</p><p>$ m \times n $ 행렬 $ A $와 $ \mathbf{x} \in R^{n} $에 대하여 행렬방정식으로 주어진 동차연립방정식 \[ A \mathbf{x}=\mathbf{0} \] 의 해집합은 $ R^{n} $의 부분공간이다. 이 부분공간을 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 해공간 또는 행렬 $ A $의 영공간이라 하며, 기호로 $ \operatorname{Null}(A) $로 나타낸다. 이제 해공간의 기저와 차원을 구해보자. 동차연립방정식 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 첨가행렬 $ [A: \mathbf{0}] $에 기본행연산을 실행하여 얻은 기약행사다리꼴을 $ [B: \mathbf{0}] $이라 할 때, 행렬 $ B $가 첫 행부터 $ r $ ( 단, $ 1 \leq r \leq n $ )개의 영이 아닌 행을 갖는다고 하자. 그러면 (ⅰ)$ r=n $인 경우: $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $은 유일한 해로 $ \mathbf{x}=\mathbf{0} $을 갖는다.</p><p>(ⅱ) $ r<n $인 경우: 일반성을 잃지 않고 \[ [B: \mathbf{0}]=\left[\begin{array}{ccccccccc} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{1 r+1} & \cdots & b_{1 n} & : & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{2 r+1} & \cdots & b_{2 n} & : & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & : & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r r+1} & \cdots & b_{r n} & : & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & : & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & : & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & : & 0 \end{array}\right] \] 이라고 할 수 있으므로, $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $은 \[ \left\{\begin{array}{c} x_{1}=-b_{1 r+1} x_{r+1}-b_{1 r+2} x_{r+2}-\cdots-b_{1 n} x_{n} \\ x_{2}=-b_{2 r+1} x_{r+1}-b_{2 r+2} x_{r+2}-\cdots-b_{2 n} x_{n} \\ \quad \vdots \\ x_{r}=-b_{r r+1} x_{r+1}-b_{r r+2} x_{r+2}-\cdots-b_{r n} x_{n} \end{array}\right. \] 과 동치가 된다. 즉 $ x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_{n} $은 $ n-r $개의 자유변수이다. 이때 $ n-r $개의 임의의 실수 $ s_{1}, \cdots, s_{n-r} $에 대하여 \[ x_{r+1}=s_{1}, x_{r+2}=s_{2}, \cdots, x_{n}=s_{n-r} \] 이라 하면 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$의 일반해는 $n-r$개의 벡터의 일차결합 \[ \mathbf{x}= \left[\begin{array}{c}x_{1}\\ \vdots \\ x_{r}\\ x_{r+1}\\ x_{r+2}\\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]=s_{1}\left[\begin{array}{c}-b_{1 r+1}\\ \vdots \\ -b_{r r+1}\\ 1\\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]+s_{2}\left[\begin{array}{c}-b_{1 r+2}\\ \vdots \\ -b_{r r+2}\\ 0\\ 1\\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]+s_{n-r}\left[\begin{array}{c}-b_{1n}\\ \vdots \\ -b_{rn}\\ 0\\ 0\\ \vdots \\ 1 \end{array}\right]\] 로 표현된다. 여기서 $ s_{1}, \cdots, s_{n-r} $이 임의의 실수이므로 \[ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c} -b_{1 r+1} \\ \vdots \\ -b_{r r+1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} -b_{1 r+2} \\ \vdots \\ -b_{r r+2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \cdots, \mathbf{v}_{n-r}=\left[\begin{array}{c} -b_{1 n} \\ \vdots \\ -b_{r n} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right] \] 도 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 해이다. 따라서 모든 해는 $ n-r $개 벡터들의 일차결합 \[ \mathbf{x}=s_{1} \mathbf{v}_{1}+s_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+s_{n-r} \mathbf{v}_{n-r} \] 로 표현되므로 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n-r}\right\} $는 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 해공간을 생성하고, 일차독립이므로, $ S $는 해공간 $ \left\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\} $의 기저이고, 해공간의 차원은 $ n-r $이 된다.</p><p>$ m \times n $ 행렬 $ A $에 대하여 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 해공간의 차원을 $ \operatorname{nullity}(A) $로 표기한다.</p><p>예 27 $ 3 \times 4 $ 행렬 $ A $가 \[ \left[\begin{array}{rrrr} 2 & 6 & -2 & 6 \\ 1 & 3 & 0 & 5 \\ 3 & 9 & 0 & 15 \end{array}\right] \] 로 주어질 때, 해공간 $ \left\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\} $의 기저와 차원을 구해보자. $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 첨가행렬 $ [A: \mathbf{0}] $의 기약행사다리꼴은 \[ \left[\begin{array}{llllll} 1 & 3 & 0 & 5 & : & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & : & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & : & 0 \end{array}\right] \] 이다. 이때 $ x_{2}, x_{4} $가 자유변수이므로 임의의 실수 $ r, s $에 대하여 $ x_{2}=r, x_{4}=s $라 하고 $ x_{1}, x_{2} $를 $ r, s $로 풀면 일반해는 \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -3 r-5 s_{1} \\ r \\ -2 s \\ s \end{array}\right]=r\left[\begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]+s\left[\begin{array}{r} -5 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다. 따라서 해공간의 기저와 차원은 각각 \[ S=\{(-3,1,0,0),(-5,0,-2,1)\}, \operatorname{nullity }(A)=2 \] 로 주어진다.</p> <h1>5.1 벡터공간</h1><h2>1. 벡터공간</h2><p>$ n $차원 유클리드 공간의 벡터개념을 일반화한다. 복소수체 위에서도 벡터공간을 다룰 수 있으나, 여기서는 주로 실수체 위의 벡터공간의 성질을 이해한다. 유한차원 벡터공간은 유클리드 공간과 동형이므로 대부분의 벡터공간에 대한 성질들을 유클리드 공간의 학습을 통하여 알 수 있다. 벡터공간에 대한 원리를 최초로 서술한 사람은 이탈리아의 수학자 페아노(Peano)로 알려져 있다.</p><h3>(1) 벡터공간</h3><p>정의 1 벡터공간 공집합이 아닌 임의의 집합 $ V $가 두 연산 덧셈(vector addition) '$+$'와 스칼라배 '$\cdot$'에 대하여 닫혀있고, 임의의 $ \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V $와 $ \alpha, \beta \in R $에 대하여 다음 여덟 가지 연산법칙</p><ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{x}+ \mathbf{y}= \mathbf{y}+ \mathbf{x} $</li><li>$ (\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{x}) $</li><li>모든 $ \mathbf{x} \in V $에 대하여, $ \mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x} $를 만족하는 영벡터 $ \mathbf{0} \in V $이 유일하게 존재한다.</li><li>각 $ \mathbf{x} \in V $에 대하여, $ \mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{0} $을 만족하는 $ \mathbf{x} $의 음벡터 $ -\mathbf{x} \in V $가 유일하게 존재한다.</li><li>$ \alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha \mathbf{x}+\alpha \mathbf{y} $</li><li>$ (\alpha+\beta) \mathbf{x}=\alpha \mathbf{x}+\beta \mathbf{x} $</li><li>$ (\alpha \beta) \mathbf{x}=\alpha(\beta \mathbf{x})=\beta(\alpha \mathbf{x}) $</li><li>$ 1 \mathbf{x}=\mathbf{x} $</li></ol><p>을 만족할 때, 집합 $ V $를 주어진 연산에 관한 $ R $ 위에서의 벡터공간(vector space) 또는 간단히 실벡터공간(real vector space)이라 하고, $ (V,+, \cdot) $ 또는 간단히 $ V $로 표기한다. 또한 벡터공간의 원소를 벡터라 하고, 영벡터 $\mathbf{0}$을 가법항등원이라 한다.</p><p>이 책에서는 주로 실수체 위의 벡터공간, 즉 실벡터공간에 대한 성질을 다룬다. 따라서 특별한 언급이 없는 한, 실벡터공간을 간단히 벡터공간이라 한다. '실'이라는 글자의 의미는 사용된 스칼라가 실수라는 것이다. 어떤 경우는 실수를 복소수로 확장하는 것이 필요한데, 이 경우 $ C $ 위의 복소벡터공간(complex vector space)이라 한다.</p><p>예 1 $ R^{n}=\left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), x_{i} \in R\right\} $ 위에서 덧셈과 스칼라배에 관한 연산을 임의의 $ \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in R^{3} $와 $ \alpha \in R $에 대하여 \[ \mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \cdots, x_{n}+y_{n}\right), \alpha \mathbf{x}=\left(\alpha x_{1}, \alpha x_{2}, \cdots, \alpha x_{n}\right) \] 으로 정의하면 $ R^{n} $은 벡터공간이 된다. 이때 $ R^{n} $을 $ n $차원 유클리드 공간$ (n $ - dimensional Euclidian space)이라 하고, $ R^{n} $의 벡터 $ \mathbf{x} $는 행벡터(row vector) 또는 열벡터(column vector)로 표현된다. 여기서 영벡터를 $ \mathbf{0}=(0,0, \cdots, 0) $으로, $ \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right) $에 대하여 $ -\mathbf{u}=\left(-u_{1},-u_{2}, \cdots,-u_{n}\right) $으로 정의한다.</p><p>예 2 $2$차원 유클리드 공간 $ R^{2} $는 벡터공간이다. 그러나 \[ R^{2}=\left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right), x_{i} \in R\right\} \] 위에 덧셈과 스칼라배에 관한 연산을 임의의 $ \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in R^{3} $와 $ \alpha \in R $에 대하여 \[ \mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}\right), \alpha \mathbf{x}=\left(\alpha x_{1}, 0\right) \] 으로 정의하면, $ R^{2} $는 새로운 연산에 관하여 벡터공간을 이루지 못한다. 왜냐하면 \[ \mathbf{x}=(2,1) \text { 이면, } 1 \mathbf{x}=(2,0) \neq \mathbf{x} \] 이므로, 정의 1 (8)을 만족하지 못하기 때문이다.</p><p>예 3 모든 성분이 실수인 $ m \times n $ 행렬 전체의 집합을 $ M_{m \times n} $이라 하자. 이때 $ m=n $이면 $ M_{n} $으로 표기한다. $ M_{m \times n} $에서 덧셈과 스칼라배를 각각 통상적인 행렬의 합과 스칼라배로 정의하면 $ M_{m \times n} $은 이 연산에 관하여 벡터공간을 이룬다.</p><p>예 4 실수를 계수로 하는 모든 차수의 다항식 전체의 집합을 \[ P=\left\{p=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \mid n \geq 0, a_{i} \in R\right\} \] 라 하고, $ P $에 통상적인 다항식의 덧셈과 스칼라배를 정의하면 $ P $는 이 연산에 관하여 벡터공간을 이룬다.</p><p>집합 $ V=\{\mathbf{0}\} $에서 스칼라 $ k $에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각 \[ \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}, \quad k \mathbf{0}=\mathbf{0} \] 으로 정의하면, $ V $는 이 연산에 관하여 벡터공간이 된다. 이것을 영벡터공간(zero vector space) 또는 자명한 벡터공간(trivial vector space)이라 한다.</p><p>정리 2 $ V $가 벡터공간일 때, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>모든 실수 $ \alpha $에 대하여, $ \alpha \mathbf{0}=\mathbf{0} $</li><li>모든 $ \mathbf{x} \in V $에 대하여, $ 0 \mathbf{x}=\mathbf{0} $</li><li>만일 $ \alpha \mathbf{x}=\mathbf{0} $ (단, $ \alpha \in R, \mathbf{x} \in V $ )이면, $ \alpha=0 $ 또는 $ \mathbf{x}=\mathbf{0} $이다.</li><li>모든 $ \mathbf{x} \in V $에 대하여 $ (-1) \mathbf{x}=-\mathbf{x} $이다. 이때 $ -\mathbf{x} $를 $ \mathbf{x} $의 덧셈에 관한 역원이라고 한다.</li><li>각각의 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V $에 대하여, $ \mathbf{x}+\mathbf{u}=\mathbf{v} $를 만족하는 $ \mathbf{x} \in V $가 유일하게 존재한다. 실제로 $ \mathbf{x}=\mathbf{v}+(-\mathbf{u})=\mathbf{v}-\mathbf{u} $이다.</li></ol><p>증명 여기서는 (4)만 증명하고, 나머지는 독자에게 남긴다. 모든 $ \mathbf{x} \in V $에 대하여 \[ \begin{aligned} \mathbf{x}+(-1) \mathbf{x} &=1 \mathbf{x}+(-1) \mathbf{x} \\ &=[1+(-1)] \mathbf{x}=0 \mathbf{x}=\mathbf{0} \end{aligned} \] 이므로, $ (-1) \mathbf{x}=-\mathbf{x} $가 성립한다.</p><p>벡터공간 $ V $의 영벡터 $\mathbf{0}$은 유일하다. 또 각 $ \mathbf{u} \in V $에 대해 $ -\mathbf{u} $도 유일하다. 왜냐하면 정리 2(5)에서 $ \mathbf{u}=\mathbf{v} $이면 $\mathbf{0}$이 유일함을 알 수 있고, $ \mathbf{v}=\mathbf{0} $이라 하면 $ -\mathbf{u} $가 유일함을 알 수 있다.</p> <h2>연습문제 5.1</h2><p>1. $ R^{n} $ 의 부분공간에 대한 다음 명제들의 참, 거짓을 판정하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$\mathbf{0}$이 아닌 두 벡터의 내적은 $0$이 될 수 없다.</li><li>영공간이 아닌 부분공간은 무수히 많은 기저를 가진다.</li><li>$m$차원 부분공간의 모든 기저는 $m$개의 벡터로 이루어진다.</li><li>$m$차원 부분공간의 일차독립인 벡터의 개수는 $m$보다 같거나 작다.</li><li>두 부분공간이 같은 차원을 가지면 두 부분공간을 일치한다.</li></ol><p>2. $ n $ 차 가역행렬들의 집합은 벡터공간 $ M_{n} $ 의 부분공간이 아님을 보이시오.</p><p>3. $ m \times n $ 행렬 $ A $ 에 대하여 집합 $ W=\left\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\} $ 는 벡터공간 $ R^{n} $ 의 부분공간임을 보이시오.</p><p>4. 벡터 $ \mathbf{x} \in R^{3} $ 에 대하여, $ W=\left\{\mathbf{y} \in R^{3} \mid \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0\right\} $ 는 $ R^{3} $ 의 부분공간임을 보이시오.</p><p>5. 다음 $ R^{3} $ 의 부분집합에 대하여, $ R^{3} $ 의 부분공간 여부를 판정하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ W_{1}=\{t(1,1,1) \mid t \in R\} $</li><li>$ W_{2}=\{t(1,1,1) \mid t \in Z\} $</li><li>$ W_{3}=\{s(1,0,0)+t(0,1,0) \mid t \in R\} $</li><li>$ W_{4}=\{(x, y, z) \mid x+z=1\} $</li><li>$ W_{5}=\{(x, y, z) \mid x y \geq 0\} $</li><li>$ W_{6}=\{(x, y, z) \mid z=x \text{ 또는 } z=y\} $</li></ol><p>6. $ R^{3} $ 의 두 부분공간 $ W_{1}=\{(a, a, 0) \mid a \in R\}, W_{2}=\{(0, a, a) \mid a \in R\} $ 에 대하여, 다음에 주어진 부분공간의 기저와 차원을 각각 구하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$W_{1}$</li><li>$W_{2}$</li><li>$W_{1} \cap W_{2}$</li><li>$W_{1} + W_{2}$</li></ol><p>7. $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분집합일 때, 집합 $ S $ 의 부분집합 $ S^{\prime} $ 이 일차종속이면 $ S $ 도 일차종속이고, $ S $ 가 일차독립이면 $ S^{\prime} $ 도 일차독립임을 보이시오.</p><p>8. 다음에 주어진 벡터들의 일차독립 여부를 행렬식을 이용하여 확인하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{v}_{1}=(1,2,3), \mathbf{v}_{2}=(-1,2,3), \mathbf{v}_{3}=(4,5,6) $</li><li>$ \mathbf{v}_{1}=(2,-1,3), \mathbf{v}_{2}=(-4,2,-6), \mathbf{v}_{3}=(1,3,4) $</li></ol><p>9. $ S=\left\{1+x,-1+x, x^{2}\right\} $ 는 $ P_{2} $ 의 기저임을 보이시오.</p><p>10. $ R^{3} $ 의 부분공간 $ V $ 가 $ V=\{(x, y, z) \mid a x+b y+c z=0 ; a, b, c \text {는 실수}\} $ 로 주어질 때, $ \operatorname{dim} V=2 $ 임을 보이시오.</p><p>11. $ R^{4} $ 의 네 벡터 \[ \mathbf{x}_{1}=(1,2,3,4), \mathbf{x}_{2}=(1,1,1,1), \mathbf{x}_{3}=(0,1,2,0), \mathbf{x}_{4}=(2,4,6,5) \] 에 대하여, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ W=\operatorname{span}\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}, \mathbf{x}_{4}\right\} $ 의 기저와 차원을 구하시오.</li><li>$ W $ 의 기저를 포함하는 $ R^{4} $ 의 기저와 $ W $ 의 보충공간을 각각 구하시오.</li></ol><p>12. 다음 동차연립방정식의 해공간 $ \left\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\} $ 에 대한 기저와 차원을 구하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ \left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}-x_{3} &=0 \\-2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} &=0 \\-x_{1}\qquad+x_{3} &=0 \end{aligned}\right. $</li><li>$ \left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}\qquad &+2 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}&+5 x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}&+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}&+2 x_{4}=0 \end{aligned}\right. $</li></ol><p>13. $2$ 차 대칭행렬 $ A $ 와 $ R^{2} $ 위의 두 열벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}u_{1} \\ u_{2}\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right] $ 에 대하여 $<\mathbf{u}, \mathbf{v}>$ 를 \[<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\mathbf{v}^{T} A \mathbf{u}=3 v_{1} u_{1}+2 v_{2} u_{1}+2 v_{1} u_{2}+4 v_{2} u_{2} \] 로 정의하면, $<\mathrm{u}, \mathrm{v}>$ 는 $ R^{n} $ 위에서 내적이 됨을 보이시오.</p><p>14. $ R^{4} $ 의 두 벡터 $ \mathbf{v}_{1}=(1,0,0,1), \mathbf{v}_{2}=(0,2,1,0) $ 에 대하여, $ W=\operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $ 의 직교보충공간을 구하시오.</p><p>15. $ R^{3} $ 의 두 부분공간 $ W_{1}=\operatorname{span}\{(1,1,1)\} $ 과 $ W_{2}=\operatorname{span}\{(0,1,2),(1,3, a)\} $ 에 대하여, $ \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=2 $ 를 만족하는 $ a $ 값을 구하시오.</p><p>16. $ \mathbf{v}_{1}=(1,1,0), \mathbf{v}_{2}=(0,1,1) $ 이 $ R^{3} $ 의 두 벡터일 때, 그람 - 슈미트 정규직교화과정을 이용하여 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\}=\{(1,1,0),(0,1,1)\} $ 를 기저로 갖는 $ R^{3} $ 의 부분공간 $ W $ 의 정규직교기저 $ Z=\left\{\mathbf{z}_{1}, \mathbf{z}_{2}\right\} $ 를 구하시오.</p><p>17. 유클리드 내적을 갖는 $2$ 차원 복소벡터공간 $ C^{2} $ ( 6.2절 정의 25 참조) 의 기저 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $ 가 \[ \mathbf{u}_{1}=(i, 0), \mathbf{u}_{2}=(i, i) \] 로 주어질 때, 그람-슈미트 정규직교화과정을 이용하여 정규직교기저 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $ 를 구하시오.</p><p>18. $ 3 \times 4 $ 행렬 $ A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 & 10\end{array}\right] $ 에 대하여, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ A $ 의 계수 $ \operatorname{rank}(A) $</li><li>$A$의 행공간의 차원</li><li>$A$를 첨가행렬로 하는 동차선형연립방정식의 행공간의 기저</li><li>$A$의 행공간의 직교보충공간</li></ol> <p>정리 3 $ R^{n} $ 의 두 순서기저 $ \alpha, \beta $ 에 대하여, $ P $ 를 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬이라 하면 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>행렬 $P$는 가역이다.</li><li>$ P^{-1} $ 는 기저 $ \alpha $ 에서 기저 $ \beta $ 로의 전이행렬, 즉 $ P^{-1}=[I]_{\alpha}^{\beta} $ 로 주어진다.</li></ol><p>예 4 $R^{3}$ 의 두 순서기저 } $\alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\}$ 가 \[ \begin{array}{l} \mathbf{x}_{1}=(1,2,0), \quad \mathbf{x}_{2}=(1,1,1), \quad \mathbf{x}_{3}=(2,0,1) \\ \mathbf{y}_{1}=(3,-1,4), \quad \mathbf{y}_{2}=(7,1,1), \quad \mathbf{y}_{3}=(6,1,-4) \end{array} \] 로 주어질 때, 두 순서기저 $ \alpha, \beta $ 에 대하여 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬은 \[ P=[I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 5 \\ 3 & -3 & -9 \\ 1 & 4 & 5 \end{array}\right] \] 이다. 이때 \[ P^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} -\frac{7}{5} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{8}{5} & 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array}\right] \] 이므로, 기저 $ \alpha $ 에서 기저 $ \beta $ 로의 전이행렬 $ [I]_{\alpha}^{\beta} $ 는 \[ [I]_{\alpha}^{\beta}=P^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} -\frac{7}{5} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{8}{5} & 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array}\right] \] 이 된다. 따라서 $ [\mathbf{x}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 2\end{array}\right] $ 일 때, 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 는 \[ [\mathbf{x}]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}[\mathbf{x}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{rrr} -\frac{7}{5} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{5} \\ \frac{8}{5} & 1 & \frac{1}{5} \\ -1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\frac{13}{3} \\ 7 \\ -\frac{13}{3} \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>예제 3 집합 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} $ 이 $ R^{2} $ 의 표준기저이고 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} $ 가 \[ \mathbf{y}_{1}=(1,1), \quad \mathbf{y}_{2}=(1,-1) \] 로 주어진 기저일 때, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>$ \epsilon $ 에서 $ \beta $ 로의 전이행렬 $ P $ 를 구하시오. 또한 $ [\mathbf{x}]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] $ 일 때 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 를 구하시오.</li><li>$ \beta $ 에서 $ \epsilon $ 으로의 전이행렬 $ Q $ 를 구하고, $ Q=P^{-1} $ 임을 보이시오.</li></ol><p>풀이 (1) 기저 $ \epsilon $ 에 관한 $ \mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2} $ 의 좌표벡터는 \[ \left[\mathbf{e}_{1}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}\right], \quad\left[\mathbf{e}_{2}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{array}\right] \] 이다. 따라서 기저 $ \epsilon $ 에서 $ \beta $ 로의 전이행렬은 \[ P=[I]_{\epsilon}^{\beta}=\left[\left[\mathbf{e}_{1}\right]_{\beta}:\left[\mathbf{e}_{2}\right]_{\beta}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right] \] 이 된다. 그러므로 $ [\mathbf{x}]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] $ 일 때 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 는 \[ [\mathbf{x}]_{\beta}=P[\mathbf{x}]_{\epsilon}=[I]_{\epsilon}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>(2) 기저 $ \beta $ 에 관한 $ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} $ 의 좌표벡터가 \[ \left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right] \] 이므로, 기저 $ \beta $ 에서 $ \epsilon $ 으로의 전이행렬은 \[ P=[I]_{\beta}^{\epsilon}=\left[\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\epsilon}:\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\epsilon}\right]=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] \] 로 주어진다. 이때 $ P Q=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $ 이므로, $ Q=P^{-1} $ 이다.</p><h2>연습문제 5.2</h2><p>1. 집합 $ S=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\} $ 가 $ R^{n} $ 의 기저일 때, $ A $ 가 $ n $ 차 가역행렬이면 \[ W=\left\{A \mathbf{x}_{1}, A \mathbf{x}_{2}, \cdots, A \mathbf{x}_{n}\right\} \] 는 $ R^{n} $ 의 기저임을 보이시오.</p><p>2. $ R^{2} $ 의 표준기저 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} $ 과 $ \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right] $ 로 주어진 기저 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} $ 에 대하여, $ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 9\end{array}\right] $ 일 때 $ [\mathbf{x}]_{\alpha}=P[\mathbf{x}]_{\beta} $ 가 성립함을 보이시오.</p><p>3. $ R^{2} $ 의 두 순서기저 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} $ 가 \[ \mathbf{x}_{1}=(1,2), \mathbf{x}_{2}=(2,3), \mathbf{y}_{1}=(1,3), \mathbf{y}_{2}=(1,4) \] 로 주어질 때, 두 순서기저 $ \alpha, \beta $ 에 대하여 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬 $ [I]_{\beta}^{\alpha} $ 를 구하시오.</p><p>4. 집합 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{4}\right\} $ 이 $ R^{4} $ 의 표준기저이고 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}, \mathbf{y}_{4}\right\} $ 가 \[ \mathbf{y}_{1}=(1,0,0,0), \mathbf{y}_{2}=(0,1,0,2), \mathbf{y}_{3}=(1,1,1,1), \mathbf{y}_{4}=(0,0,0,1) \] 로 주어진 기저일 때, $ \mathbf{w}=(1,2,3,4) $ 의 좌표벡터 $ [\mathbf{w}]_{\beta} $ 를 구하시오.</p><p>5. 집합 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $ 이 $ R^{3} $ 의 표준기저이고 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\} $ 가 \[ \mathbf{y}_{1}=(1,1,1), \mathbf{y}_{2}=(1,-1,1), \mathbf{y}_{3}=(1,2,2) \] 로 주어진 기저일 때, 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \epsilon $ 으로의 전이행렬 $ [I]_{\beta}^{\epsilon} $ 을 구하시오.</p><p>6. $ R^{3} $ 의 두 순서기저 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\} $ 가 \[ \begin{array}{l} \mathbf{x}_{1}=(1,1,1), \mathbf{x}_{2}=(2,3,2), \mathbf{x}_{3}=(1,5,4) \\ \mathbf{y}_{1}=(1,1,0), \mathbf{y}_{2}=(1,2,0), \mathbf{y}_{3}=(1,2,1) \end{array} \] 로 주어질 때, 두 순서기저 $ \alpha, \beta $ 에 대하여 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬 $ [I]_{\beta}^{\alpha} $ 을 구하시오.</p> <h3>(3) 일차독립과 일차종속</h3><p>참고 힐(Hill)의 1900년 행성이론에 관한 논문에 일차결합의 개념이 처음 소개되었고, 일차독립과 일차종속의 개념은 1907년 Bocher에 의해 비로소 알려지게 되었다.</p><p>정의 8 생성 벡터공간 $ V $의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $의 일차결합으로 $ V $의 모든 벡터들을 표현할 수 있을 때, $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $이 $ V $를 생성(span)한다고 한다. 즉 모든 $ \mathbf{v} \in V $에 대하여 \[ \mathbf{v}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \] 이 되는 스칼라 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $이 존재한다.</p><p>예 16 $ V_{3} $에서 표준기저벡터들의 집합 $ \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $은 $ R^{3} $를 생성한다. 또한 단항식들의 집합 $ \left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}\right\} $은 $ P_{n} $을 생성한다.</p><p>정의 9 일차독립과 일차종속 공집합이 아닌 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 벡터공간 $ V $의 부분집합일 때, 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $에 대하여 \[ a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n}=\mathbf{0} \] 을 만족하면, $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ (또는 집합 $ S $ )을 일차종속(linearly dependent)이라고 한다. 한편 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ (또는 집합 $ S $ )이 일차종속이 아니면, 즉 \[ a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0 \] 일 때 일차독립(linearly independent)이라고 한다.</p><p>$ V $가 벡터공간일 때, $\mathbf{0}$이 아닌 단 하나의 벡터 $ \mathbf{v} \in V $는 일차독립이다. 한편 공집합이 아닌 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 $ V $의 부분집합일 때, $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 중에서 적어도 하나가 $\mathbf{0}$이거나 같은 벡터가 $2$개 있으면 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $은 일차종속이 된다.</p><p>예 17 $ V_{3} $에서 표준기저벡터 $ \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0) $과 $ \mathbf{k}=(0,0,1) $은 일차독립이다. 반면에 $ V_{3} $에서 세 벡터 \[ \mathbf{a}=(1,2,3), \mathbf{b}=(-1,2,7), \mathbf{c}=(-1,6,17) \] 을 생각하면 $ \mathbf{a}+2 \mathbf{b}-\mathbf{c}=0 $이므로, 세 벡터 $ \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} $는 일차종속이다.</p><p>예 18 $ A_{1}=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right], B_{1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right], C_{1}=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 2 & 2\end{array}\right] $로 주어진 $2$차 정사각행렬에 대하여, $ A_{1}=B_{1}+C_{1} $을 만족하므로 $ \left\{A_{1}, B_{1}, C_{1}\right\} $은 벡터공간 $ M_{2} $에서 일차종속이다. 반면에 \[ A_{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], B_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], C_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right], D_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \] 이라 하면, $ c_{1} A_{2}+c_{2} B_{2}+c_{3} C_{2}+c_{4} D_{2}=O $일 때 $ c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0 $이 된다. 따라서 $ \left\{A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}\right\} $는 벡터공간 $ M_{2} $에서 일차독립이 된다.</p><p>예 19 벡터공간 $ V $의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{m} $이 일차종속이면, 모든 $ \mathbf{w} \in V $에 대해 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{m}, \mathbf{w} $도 일차종속이다.</p><p>벡터의 집합 $ S $가 일차독립이라는 의미는 $ S $ 안의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 표시될 수 없는, 모두가 반드시 필요한 벡터들이라는 것이다.</p><p>참고 $ V_{n} $에서 $ n $개의 열벡터 $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{c}x_{11} \\ x_{21} \\ \vdots \\ x_{n 1}\end{array}\right], \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{c}x_{12} \\ x_{22} \\ \vdots \\ x_{n 2}\end{array}\right], \cdots, \mathbf{x}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{1 n} \\ x_{2 n} \\ \vdots \\ z_{n n}\end{array}\right] $이 일차독립이 되기 위한 필요충분조건은 $ n $차 정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n n} \end{array}\right] \] 이 가역행렬, 즉 $ \operatorname{det}(A) \neq 0 $일 경우이다.</p><p>예 20 $ R^{3} $의 세 벡터 $ (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) $은 일차독립이다. 왜냐하면 \[ D=\left\|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right\|=1 \neq 0 \] 을 만족하기 때문이다.</p><p>정리 10 $ V $가 벡터공간일 때, $ V $에서 $\mathbf{0}$이 아닌 $2$개 이상의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $에 대하여 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 일차종속일 필요충분조건은 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 중 하나가 나머지 벡터들의 일차결합으로 표시되는 것이다.</p><p>증명 집합 $ S $가 일차종속이면 \[ a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n}=\mathbf{0} \] 을 만족하는 모두는 0이 아닌 스칼라 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $이 존재한다. 이때 $ a_{1} \neq 0 $이라 하면 \[ \mathbf{v}_{1}=\left(-\frac{a_{2}}{a_{1}}\right) \mathbf{v}_{2}+\cdots+\left(-\frac{a_{n}}{a_{1}}\right) \mathbf{v}_{n} \] 이므로, $ \mathbf{v}_{1} $은 $ S $에 속하는 나머지 벡터들의 일차결합으로 표시된다. 역으로 일반성을 잃지 않고 \[ \mathbf{v}_{1}=a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \] 이라 하면 \[ (-1) \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n}=\mathbf{0} \] 이다. 따라서 $ -1 \neq 0 $이므로 $ S $는 일차종속이다.</p><p>$ n $개의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $이 일차독립이고, $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots \mathbf{v}_{n}, \mathbf{b} $가 일차종속이면 $ \mathbf{b} $는 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $의 일차결합 \[ \mathbf{b}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \] 인 형태로 유일하게 표시된다.</p><p>예제 1 단항식들 $ 1, x, x^{2}, \cdots, x^{n} $은 $ P_{n} $에서 일차독립이다.</p><p>증명 $ 1, x, x^{2}, \cdots, x^{n} $이 일차종속이면 \[ x^{k}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{k-1} x^{k-1} \] 이 되고, 정수 $ k $와 상수 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k-1} $이 존재한다. 그러나 좌변은 $ k $차인 다항식인 반면에 우변은 $ k-1 $과 같거나 보다 작은 차수이므로 이것은 불가능하다. 따라서 단항식들 $ 1, x, x^{2}, \cdots, x^{n} $은 일차독립이 된다.</p><p>$ R^{n} $에서 $ n $개보다 많은 벡터들의 집합은 일차종속이다. 예를 들면 $ V_{3} $에서 \[ S=\{(1,2,3),(-1,2,3),(4,5,6),(3,3,8)\} \] 는 일차종속이다.</p><p>참고 $ f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) $가 구간 $ (-\infty, \infty) $에서 $ n-1 $번 미분가능한 함수이고, 어떤 $ x_{0} $ 에 대하여 론스키안(Wronskian) $ W\left(x_{0}\right) $, 즉 \[ W\left(x_{0}\right)=\left[\begin{array}{ccc} f_{1}\left(x_{0}\right) & \cdots & f_{n}\left(x_{0}\right) \\ f_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) & \cdots & f_{n}^{\prime}\left(x_{0}\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ f_{1}^{(n-1)}\left(x_{0}\right) & \cdots & f_{n}^{(n-1)}\left(x_{0}\right) \end{array}\right] \] 가 0이 아니라면 $ f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) $는 일차독립이다.</p><p>$ R^{n} $의 벡터 $ \mathbf{x}_{0}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $에 대하여 \[ \mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}+t_{1} \mathbf{v}_{1}+t_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+t_{n} \mathbf{v}_{n} \] 형태의 벡터들의 집합 \[ \left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}+t_{1} \mathbf{v}_{1}+t_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+t_{n} \mathbf{v}_{n}\right\} \] 는 부분공간 \[ \left\{\mathbf{x} \mid \mathbf{x}=t_{1} \mathbf{v}_{1}+t_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+t_{n} \mathbf{v}_{n}\right\} \] 를 $ \mathbf{x}_{0} $만큼 평행이동한 집합이다. 이와 같이 부분공간을 평행이동한 집합을 Affine 공간, 선형다양체(linear manifold) 등으로 불린다.</p> <h3>(2) 부분공간</h3> <p>정의 3 부분공간 $ H $가 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합이고 $ V $에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 $ H $ 자신이 벡터공간이 되면, $ H $를 $ V $의 부분공간(subspace)이라 한다.</p> <p>예 5 $ n $차 가역행렬들의 집합은 벡터공간 $ M_{n} $의 부분공간이 아니다. 또한 \[ V=\left\{(x, y) \in R^{2} \mid x, y \geq 0\right\} \] 도 $ R^{2} $의 부분공간이 아니다.</p> <p>정리 4 2-step 부분공간 판정법 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합 $ H $에 대하여, $ H $가 $ V $의 부분공간일 필요충분조건은</p> <ol type=1 start=1><li>모든 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $에 대하여, $ \mathbf{x}+\mathbf{y} \in H $</li> <li>$ \mathbf{x} \in H $이면, 모든 스칼라 $ \alpha $에 대하여 $ \alpha \mathbf{x} \in H $</li></ol>이다.<p>모든 벡터공간의 부분공간은 영벡터 $\mathbf{0}$을 포함해야 한다. 임의의 벡터공간 $ V $에 대하여 $ V $ 자신과 $ \{\mathbf{0}\} $은 $ V $의 부분공간이 된다. 이때 $ \{\mathbf{0}\} $과 $ V $를 $ V $의 자명한 부분공간(trivial subspace)이라 하며, 특히 $ \{\mathbf{0}\} $을 영부분공간(zero subspace) 또는 간단히 영공간(zero space)이라고 한다.</p> <p>예 6 $ H=\left\{f \in C[0,1] \mid \int_{0}^{1} f(x) d x=0\right\} $일 때, $ H $는 $ C[0,1] $의 부분공간이다.</p> <p>예 7 실수를 계수로 하는 차수가 $ n $보다 같거나 작은 모든 다항식의 집합을 \[ P_{n}=\left\{p=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \mid a_{i} \in R\right\} \] 이라 하자. 그러면 $ \left\{p \in P_{n} \mid p(0)=0\right\} $는 통상적인 다항식의 연산에 관하여 $ P_{n} $의 부분공간이지만 $ \left\{p \in P_{n} \mid p(1)=1\right\} $은 $ P_{n} $의 부분공간이 아니다.</p> <p>예 8 $ \left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \mid a+b=0\right\} $는 $ M_{2} $의 부분공간이지만, $ \left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \mid a+d=1\right\} $는 $ M_{2} $의 부분공간이 아니다.</p> <p>참고 $ H $가 $ R^{n} $의 부분공간일 필요충분조건은 모든 실수 $ k_{1}, k_{2} $와 모든 $ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in H $에 대하여, $ k_{1} \mathbf{w}_{1}+k_{2} \mathbf{w}_{2} \in H $이다.</p> <p>따름정리 벡터공간 $ V $의 공집합이 아닌 부분집합 $ H $에 대하여, $ H $가 $ V $의 부분공간일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{0} \in H $</li> <li>모든 $ \mathbf{x} \in H $에 대하여, $ -\mathbf{x} \in H $</li></ol> <p>예 9 $ R^{3} $의 부분집합 $ W_{1}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, 0\right) \mid a_{1}, a_{2} \in R\right\} $은 $ R^{3} $의 부분공간이 된다. 그러나 $ R^{3} $의 부분집합 $ W_{2}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, 1\right) \mid a_{1}, a_{2} \in R\right\} $는 $ R^{3} $의 부분공간이 아니다. 왜나하면 $ \mathbf{0}=(0,0,0) \notin W_{2} $이기 때문이다.</p> <p>실제로 $ R^{2} $의 부분공간은 영공간 $ \{\mathbf{0}\} $, 원점을 지나는 직선, $ R^{2} $ 자신의 세 종류뿐이다. 또한 $ R^{3} $의 부분공간은 영공간 $ \{\mathbf{0}\} $, 원점을 지나는 직선과 원점을 지나는 평면, $ R^{3} $ 자신의 네 종류로 분류된다.</p> <p>예 10 $ R^{2} $에서, 직선 $ y=x $ 위의 점들의 집합 $ U $, 즉 \[ U=\{(x, y) \mid y=x, x \in R\} \] 는 $ R^{2} $의 부분공간이지만, 직선 $ y=x+1 $ 위의 점들의 집합 $ V $, 즉 \[ V=\{(x, y) \mid y=x+1, x \in R\} \] 는 $ R^{2} $의 부분공간이 아니다. 왜냐하면 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $과 $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $가 $ V $의 두 점일 때 $ \left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \notin V $이기 때문이다.</p> <p>$ V $가 벡터공간일 때, 스칼라 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $과 $ V $의 부분집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $에 대하여 벡터 $ \mathbf{x} \in V $가 \[ \mathbf{x}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n} \] 형태로 표시되면, $ \mathbf{x} $를 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $의 일차결합이라고 한다.</p> <p>예 11 $R^{2}$의 두 벡터 $\mathbf{v}_{1}=(1,0), \mathbf{v}_{2}=(0,1)$에 대하여 \[ \mathbf{x} =(3,-2)=3(1,0)+(-2)(0,1)=3 \mathbf{v}_{1}+(-2) \mathbf{v}_{2} \] 이므로, $ \mathbf{x} $는 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} $의 일차결합이다.</p> <p>정리 5 $ V $가 벡터공간일 때, $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} \subset V $에 대하여 집합 \[ W=\left\{\mathbf{v} \mid \mathbf{v}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n}, a_{i} \in R\right\} \] 는 $ V $의 부분공간이 된다. 이 $ W $를 $ S $에 의하여 생성된 $ V $의 부분공간이라고 한다.</p> <p>증명 $ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in W $와 $ k \in R $이라 하자. 그러면 $ a_{i}, b_{i} \in R $ (단, $ i=1,2, \cdots, n $ )에 대하여 \[ \mathbf{x}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{n} \mathbf{v}_{n}, \quad \mathbf{y}=b_{1} \mathbf{v}_{1}+b_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+b_{n} \mathbf{v}_{n} \] 으로 쓸 수 있으므로 \[ \begin{array}{l} \mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(a_{1}+b_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\left(a_{2}+b_{2}\right) \mathbf{v}_{2}+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right) \mathbf{v}_{n} \\ k \mathbf{x}=\left(k a_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\left(k a_{2}\right) \mathbf{v}_{2}+\cdots+\left(k a_{n}\right) \mathbf{v}_{n} \end{array} \] 이 성립한다. 따라서 $ \mathbf{x}+\mathbf{y} \in W, k \mathbf{x} \in W $이다. 그러므로 $ W $는 $ V $의 부분공간이다.</p> <h2>2. 전이행렬</h2><p>$ [\mathbf{x}]_{\alpha}=P[\mathbf{x}]_{\beta} $ 에서 행렬 $ P $ 는 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 를 $ [\mathbf{x}]_{\alpha} $ 로 변환시키는 역할을 한다. 이때 행렬 \[ P=\left[\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\alpha}:\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\alpha}: \cdots:\left[\mathbf{y}_{n}\right]_{\alpha}\right] \] 를 순서기저 $ \beta $ 에서 $ \alpha $ 로의 전이행렬(transition matrix)이라 하고, $ P=[I]_{\beta}^{\alpha} $ 로 표기한다.</p><p>정리 2 $ \alpha, \beta $ 가 $ R^{n} $ 의 기저이고 $ \beta $ 에서 $ \alpha $ 로의 전이행렬을 $ P $ 라 하면, $ [\mathbf{x}]_{\alpha}=P[\mathbf{x}]_{\beta} $ 가 성립한다.</p><p>예 3 집합 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $ 이 $ R^{3} $ 의 표준기저이고 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\} $ 가 \[ \mathbf{y}_{1}=(1,0,0), \mathbf{y}_{2}=(1,1,0), \mathbf{y}_{3}=(1,1,1) \] 로 주어진 기저라고 하자. 이때 \[ \mathbf{e}_{1}=(1,0,0)=\mathbf{y}_{1}, \quad \mathbf{e}_{2}=(0,1,0)=-\mathbf{y}_{1}+\mathbf{y}_{2}, \quad \mathbf{e}_{3}=(0,0,1)=-\mathbf{y}_{2}+\mathbf{y}_{3} \] 이므로, 기저 $ \beta $ 에 관한 $ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} $ 의 좌표벡터는 \[ \left[\mathbf{e}_{1}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \quad\left[\mathbf{e}_{2}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad\left[\mathbf{e}_{3}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{r} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right] \] 이 된다. 따라서 기저 $ \epsilon $ 에서 $ \beta $ 로의 전이행렬은 \[ P=[I]_{\epsilon}^{\beta}=\left[\left[\mathbf{e}_{1}\right]_{\beta}:\left[\mathbf{e}_{2}\right]_{\beta}:\left[\mathbf{e}_{3}\right]_{\beta}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이다. 그러므로 $ [\mathbf{x}]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $ 일 때, 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\beta} $ 는 \[ [\mathbf{x}]_{\beta}=P[\mathbf{x}]_{\epsilon}=[I]_{\epsilon}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{ccc}1 &-1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3 \end{array} \right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right] \] 으로 주어진다.</p><p>예제 1 집합 $ \epsilon=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} $ 이 $ R^{2} $ 의 표준기저이고 $ \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} $ 가 \[ \mathbf{y}_{1}=(2,1), \mathbf{y}_{2}=(1,-1) \] 로 주어진 기저일 때, $ \beta $ 에서 $ \epsilon $ 으로의 전이행렬 $ P $ 와 $ [\mathbf{x}]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right] $ 일 때 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\epsilon} $ 을 구하시오.</p><p>풀이 $ P=[I]_{\beta}^{\epsilon}=\left[\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\epsilon}:\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\epsilon}\right] $ 으로부터 기저 $ \epsilon $ 에 관한 $ \mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2} $ 의 좌표벡터는 \[ \left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right], \quad\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 기저 $ \beta $ 에서 $ \epsilon $ 으로의 전이행렬 $ P $ 는 $ P=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right] $ 이 된다. 그러므로 $ [\mathbf{x}]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 4\end{array}\right] $ 일 때 좌표벡터 $ [\mathbf{x}]_{\epsilon} $ 은 \[ [\mathbf{x}]_{\epsilon}=P[\mathbf{x}]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\epsilon}[\mathbf{x}]_{\beta}=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 10 \\ -1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>이제 기약행사다리꼴을 이용하여 전이행렬을 구하는 방법을 다음 예제를 통하여 알아보자.</p><p>예제 2 $ R^{3} $ 의 두 순서기저 $ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\} $ 가 \[ \mathbf{x}_{1}=(1,2,0), \quad \mathbf{x}_{2}=(1,1,1), \quad \mathbf{x}_{3}=(2,0,1) \] \[ \mathbf{y}_{1}=(3,-1,4), \quad \mathbf{y}_{2}=(7,1,1), \quad \mathbf{y}_{3}=(6,1,-4) \] 로 주어질 때, 두 순서기저 $ \alpha, \beta $ 에 대하여 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬 $ P=[I]_{\beta}^{\alpha} $ 를 구하시오.</p><p>풀이 $ P=\left[\left[\mathbf{y}_{1}\right]_{\alpha}:\left[\mathbf{y}_{2}\right]_{\alpha}:\left[\mathbf{y}_{3}\right]_{\alpha}\right] $ 이므로, 순서기저 $ \alpha $ 에 관한 좌표벡터를 구하기 위해 \[ \left\{\begin{array}{l} \mathbf{y}_{1}=a_{1} \mathbf{x}_{1}+a_{2} \mathbf{x}_{2}+a_{3} \mathbf{x}_{3} \\ \mathbf{y}_{2}=b_{1} \mathbf{x}_{1}+b_{2} \mathbf{x}_{2}+b_{3} \mathbf{x}_{3} \\ \mathbf{y}_{3}=c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}+c_{3} \mathbf{x}_{3} \end{array}\right. \] 라 하자. 여기서 $ a_{i}, b_{i}, c_{i} \in R $ 이다. 이때 세 연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{rl}a_{1}+a_{2}+2 a_{3} & =3 \\ 2 a_{1}+a_{2}\qquad & =-1, \\ a_{2}+a_{3} & =4\end{array},\left\{\begin{array}{rl}b_{1}+b_{2}+2 b_{3} & =7 \\ 2 b_{1}+b_{2}\qquad & =1 \\ b_{2}+b_{3} & =1\end{array},\left\{\begin{aligned} c_{1}+c_{2}+2 c_{3} &=6 \\ 2 c_{1}+c_{2}\qquad &=1 \\ c_{2}+c_{3} &=-4 \end{aligned}\right.\right.\right. \] 는 모두 계수행렬로 \[ A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \] 을 갖는다. 따라서 $ \left[A: \mathbf{y}_{1}: \mathbf{y}_{2}: \mathbf{y}_{3}\right] $, 즉 \[ A=\left[\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 1 & 2 & : & 3 & 7 & 6 \\ 2 & 1 & 0 & : & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & : & 4 & 1 & -4 \end{array}\right] \] 를 기약행사다리꼴로 변형하면 \[ \left[\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 0 & 0 & : & -2 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 & -3 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & : & 1 & 4 & 5 \end{array}\right] \] 가 된다. 그러므로 기저 $ \beta $ 에서 기저 $ \alpha $ 로의 전이행렬은 \[ P=[I]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 5 \\ 3 & -3 & -9 \\ 1 & 4 & 5 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p> <p>정리 24 $ n $개의 벡터들의 집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 $ R^{n} $의 직교기저일 때, $ R^{n} $의 임의의 벡터 $ \mathbf{v}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n} $에 대하여 \[ c_{i}=\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i}}{\left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|^{2}}\quad(\text { 단, } i=1,2, \cdots, n) \] 가 성립한다.</p><p>증명 $ S $가 $ R^{n} $의 기저이므로, 임의의 벡터 $ \mathbf{v} \in R^{n} $는 \[ \mathbf{v}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}\left(\text { 단, } c_{i} \in R\right) \] 으로 표현되고, 각 $ i $ ( 단, $ i=1,2, \cdots, n $ )에 대하여 \[ \begin{aligned} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i} &=\left(c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}\right) \cdot \mathbf{v}_{i} \\ &=c_{1}\left(\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{i}\right)+c_{2}\left(\mathbf{v}_{2} \cdot \mathbf{v}_{i}\right)+\cdots+c_{n}\left(\mathbf{v}_{n} \cdot \mathbf{v}_{i}\right) \end{aligned} \] 가 된다. 그런데 $ S $가 직교기저이므로 \[ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}=0\quad(\text { 단, } i \neq j ) \] 이다. 따라서 \[ c_{i}=\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i}}{\mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{i}}=\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i}}{\left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|^{2}}\quad(\text { 단, } i=1,2, \cdots, n) \] 가 성립한다.</p><p>특히 $ S $가 $ R^{n} $의 정규직교기저이면 $ i \neq j $일 때 $ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}=0 $임을 이용하여 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} $을 쉽게 구할 수 있다. 즉 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $가 $ R^{n} $의 직교기저이면, 다음이 성립한다. \[ c_{i}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i}\quad(\text { 단, } i=1,2, \cdots, n) \]</p><p>예 37 $ \mathbf{v}=(10,-2,5) $를 $ R^{3} $의 벡터 \[ \mathbf{v}_{1}=(0,1,0), \mathbf{v}_{2}=\left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right), \mathbf{v}_{3}=\left(-\frac{4}{5}, 0, \frac{3}{5}\right) \] 에 의해 주어진 $ R^{3} $의 정규직교기저 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $의 일차결합으로 표시해보자.</p><p>$ \mathbf{v}=(10,-2,5)=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+c_{3} \mathbf{v}_{3} $라 하면 \[ c_{i}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{i} (\text{ 단, } i=1,2,3) \] 이므로 \[ c_{1}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{1}=-2, c_{2}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{2}=10, c_{3}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}_{3}=-5 \] 이다. 따라서 $ \mathbf{v} $는 정규직교기저 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $의 일차결합 \[ \mathbf{v}=-2 \mathbf{v}_{1}+10 \mathbf{v}_{2}-5 \mathbf{v}_{3} \] 로 주어진다.</p><p>$ W $가 $ R^{n} $의 직교집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{m}\right\} $에 의해 생성된 $ R^{n} $의 부분공간일 때, $ R^{n} $의 임의의 벡터 $ \mathbf{y} $에 대하여 \[ \begin{aligned} \mathbf{y}_{1} &=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{1}}{\left\\|\mathbf{v}_{1}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{1}+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{2}}{\left\\|\mathbf{v}_{2}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{2}+\cdots+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{m}}{\left\\|\mathbf{v}_{m}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{m} \\ \mathbf{y}_{2} &=\mathbf{y}-\mathbf{y}_{1} \end{aligned} \] 이라 하면, 각 $ i, j=1,2, \cdots, m $에 대하여 $ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}=0 $ (단, $ i \neq j $ )이므로 \[ \begin{aligned} \mathbf{y}_{2} \cdot \mathbf{v}_{i} &=\left(\mathbf{y}-\mathbf{y}_{1}\right) \cdot \mathbf{v}_{i}=\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}-\mathbf{y}_{1} \cdot \mathbf{v}_{i} \\ &=\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}-\left\{\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{1}}{\left\\|\mathbf{v}_{1}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{1}+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{2}}{\left\\|\mathbf{v}_{2}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{2}+\cdots+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{m}}{\left\\|\mathbf{v}_{m}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{m}\right\} \cdot \mathbf{v}_{i} \\ &=\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}-\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}}{\left\\|\mathbf{v}_{i}\right\\|^{2}} \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{i} \\ &=\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}-\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{i}=0 \end{aligned} \] 즉 \[ \mathbf{y}_{2} \cdot \mathbf{v}_{i}=0 \quad (\text { 단, } i=1,2, \cdots, m ) \] 을 만족한다. 따라서 $ S $에 의해 생성된 $ W $의 임의의 벡터 $ \mathbf{w} $는 \[ \mathbf{w}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{m} \quad\left(\text { 단, } c_{i} \in R\right) \] 이므로, $ \mathbf{y}_{2} \cdot \mathbf{w}=0 $이 된다. 그러므로 $ \mathbf{y}_{2} $는 $ W $의 모든 벡터와 직교한다. 이때 $ \mathbf{y}_{1} $을 $ \mathbf{y} $의 $ W $로의 정사영이라 하고 $ \operatorname{proj}_{W} \mathbf{y} $로 나타내며, $ \mathbf{y}_{2} $를 $ \mathbf{y} $ 의 $ W $ 에 관한 $ \mathbf{y} $ 의 직교성분이라고 한다. 따라서 \[ \mathbf{y}_{2}=\mathbf{y}-\operatorname{proj}_{W} \mathbf{y} \] 가 성립한다.</p><p>참고 $ R^{n} $ 의 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 이 정규직교집합일 때, $ W_{k} $ 가 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $에 의해 생성된 $ R^{n} $ 의 부분공간이면, $ \mathbf{y} \in R^{n} $ 의 $ W_{k} $ 로의 정사영은 \[ \operatorname{proj}_{W_{k}} \mathbf{y}=\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{2}\right) \mathbf{v}_{2}+\cdots+\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{k}\right) \mathbf{v}_{k} \] 로 주어진다.</p><p>예 38 $ R^{3} $ 의 두 벡터 $ \mathbf{v}_{1}=(0,1,0) $ 과 $ \mathbf{v}_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, 0,-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $ 로 이루어진 정규직교집합 $ S=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $ 에 의해 생성된 부분공간을 $ W $ 라 하자. 이때 $ \mathbf{y}=(3,1,1) $ 의 $ W $ 위로의 정사영은 \[ \begin{aligned} \operatorname{proj}_{W} \mathbf{y} &=\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{v}_{2}\right) \mathbf{v}_{2} \\ &=1(0,1,0)+\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, 0,-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \\ &=\left(\frac{1}{5}, 1,-\frac{2}{5}\right) \end{aligned} \] 이고, $ W $ 에 관한 $ \mathbf{y}=(3,1,1) $ 의 직교성분은 \[ \mathbf{y}-\operatorname{proj}_{W} \mathbf{y}=(3,1,1)-\left(\frac{1}{5}, 1,-\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{14}{5}, 0, \frac{7}{5}\right) \] 로 주어진다.</p> <h3>(2) 차원정리</h3> <p>행렬 $ A $의 계수와 영공간의 차원 사이에 다음 관계, 즉 행렬의 차원정리(Rank - Nullity)가 있다.</p> <p>정리 17 행렬의 차원정리 임의의 행렬 $ A \in M_{m \times n} $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \operatorname{rank}(A)+ \operatorname{nullity}(A)=n $</li> <li>$ \operatorname{rank}(A^{T})+ \operatorname{nullity}(A^{T})=m $</li></ol> <p>여기서 $ n $은 $ A $의 열의 개수이고, $ m $은 $ A $의 행의 개수이다.</p> <p>예 31 임의의 행렬 $ A \in M_{m \times n} $에 대하여, $ A^{T} \in M_{n \times m} $이므로 \[ \operatorname{rank}\left(A^{T}\right)+\operatorname{ nullity }\left(A^{T}\right)=n \] 으로 주어진다.</p> <p>예제 2 $4$차 정사각행렬 $ A $가 \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 13 \end{array}\right] \] 으로 주어질 때, 해공간의 차원 $\operatorname{nullity}(A) $를 구하시오.</p> <p>풀이 $ \operatorname{rank}(A)=2 $이고 $ n=4 $이므로, $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $의 해공간의 차원은 \[ \operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-2=2 \] 로 주어진다.</p> <p>비동차선형연립방정식 $ A \mathbf{x}=\mathbf{b} $에 관한 해의 존재성과 행렬 $ A $의 계수 사이에는 다음 관계가 있다.</p> <p>정리 18 해의 존재성 비동차선형연립방정식 $ A \mathbf{x}=\mathbf{b} $가 해를 가질 필요충분조건은 \[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}[A: \mathbf{b}] \] 이다.</p> <p>예 32 미지수가 $4$개인 선형연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{rlr} x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4} & =1 \\ -x_{1}-3 x_{2} \qquad+3 x_{4} & =-1 \\ 2 x_{1}+6 x_{2}+3 x_{3}\qquad & =2 \end{array}\right. \] 의 계수행렬 \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 0 & 3 \\ 2 & 6 & 3 & 0 \end{array}\right] \] 과 첨가행렬 \[ [A: \mathbf{b}]=\left[\begin{array}{rrrrrr} 1 & 3 & 1 & -1 & : & 1 \\ -1 & -3 & 0 & 3 & : & -1 \\ 2 & 6 & 3 & 0 & : & 2 \end{array}\right] \] 로부터 \[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}[A: \mathbf{b}]=2<4 \] 가 성립하므로 해를 갖는다. 이때 무한히 많은 해가 존재한다.</p> <p>예제 3 미지수가 $3$개인 선형연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{l} 2 x+8 y+4 z=2 \\ 2 x+5 y+z=5 \\ 4 x+10 y-z=1 \end{array}\right. \] 의 해는 유일하게 존재한다.</p> <p>증명 계수행렬 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 8 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \\ 4 & 10 & -1 \end{array}\right] \] 과 첨가행렬 \[ [A: \mathbf{b}]=\left[\begin{array}{rrrrr} 2 & 8 & 4 & : & 2 \\ 2 & 5 & 1 & : & 5 \\ 4 & 10 & -1 & : & 1 \end{array}\right] \] 의 기약행사다리꼴 \[ \left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & : & 11 \\ 0 & 1 & 0 & : & -4 \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end{array}\right] \] 으로부터 \[ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}[A: \mathbf{b}]=3 \] 이기 때문에 해는 유일하게 존재한다.</p> <p>정리 19 $ n $차 정사각행렬 $ A $가 가역일 필요충분조건은 \[ \operatorname{rank}(A)=n \] 이다.</p> <p>증명 행렬 $ A $가 가역이면 행렬방정식으로 주어진 동차연립방정식 $ A \mathbf{x}=\mathbf{0} $은 자명한 해만을 가지므로 \[ \operatorname{Null}(A)=\{\mathbf{0}\} \text {, 즉 }\operatorname{nullity }(A)=0 \] 이 된다. 따라서 행렬의 차원정리에 의해서 $ \operatorname{rank}(A)=n $이다.</p> <p>예 33 $ 3 \times 4 $ 행렬 \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 3 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & -1 & 9 \\ -1 & -2 & 0 & -5 \end{array}\right] \] 의 계수 $ \operatorname{rank}(A) $와 해공간의 차원 $ \operatorname{nullity}(A) $를 구해보자. $ A $의 기약행사다리꼴이 \[ \left[\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이므로, $ \operatorname{rank}(A)=3 $이다. 이때 $ A $의 열의 개수가 $4$ 이므로, 행렬의 차원정리에 의해 \[ \operatorname{ nullity }(A)=4-\operatorname{rank}(A)=1 \] 이 된다.</p> <p>정리 20 $ n $차 정사각행렬 $ A, B $에 대하여, $ A $가 가역행렬일 때 \[ \operatorname{rank}(A B)=\operatorname{rank}(B)=\operatorname{rank}(B A) \] 가 성립한다.</p> <h3>(4) 벡터공간의 기저와 차원</h3><p>벡터공간의 가장 기본이 되는 벡터가 기저이다. 왜냐하면 모든 벡터는 기저의 일차결합으로 유일하게 표현되기 때문이다. 벡터공간의 기저를 이루는 벡터의 개수를 차원으로 정의한다.</p><p>① 벡터공간의 기저</p><p>정의 11 기저 공집합이 아닌 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $이 벡터공간 $ V $의 부분집합일 때, $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $이 $ V $를 생성하고 일차독립이면, $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $을 $ V $의 기저(basis)라고 한다.</p><p>부분공간 $ V=\{\mathbf{0}\} $에는 일차독립인 벡터가 존재하지 않음으로 기저가 존재하지 않는다.</p><p>예 21 $ R^{3} $에서 원점을 지나는 직선을 $ V $라 할 때, $ V $의 임의의 $\mathbf{0}$ 아닌 벡터는 $ V $의 기저를 이룬다. 또한 $ R^{3} $에서 원점을 지나는 평면을 $ V $라 할 때, $ V $의 임의의 서로 상수배가 아닌 $\mathbf{0}$ 아닌 두 벡터는 $ V $의 기저를 이룬다.</p><p>예 22 $ R^{3} $의 벡터 \[ \mathbf{x}_{1}=(1,1,1), \mathbf{x}_{2}=(1,1,0), \mathbf{x}_{3}=(1,0,0) \] 으로 이루어진 $ S=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $는 $ R^{3} $의 기저가 된다.</p><p>예 23 $ \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} $은 임의의 $2$차 대칭행렬들로 이루어진 벡터공간에 대한 기저이다.</p><p>참고 기저를 잡는 방법은 일정하지 않다. 일반적으로 $ R^{2} $에서 임의의 두 벡터 $ \left(a_{1}, a_{2}\right) $와 $ \left(b_{1}, b_{2}\right) $는 \[ \left\|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right\| \neq 0 \] 일 때, $ R^{2} $의 기저가 된다. 이는 $ R^{3} $에서도 같은 방법으로 설명될 수 있다.</p><p>정리 12 $ R^{n} $에서 임의의 $ n $개의 일차독립인 벡터들의 집합은 $ R^{n} $의 기저가 된다. 또한 벡터공간에서 임의의 두 기저들은 항상 같은 수의 벡터를 가진다.</p><p>벡터공간 $ V $의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $이 일차독립이면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $은 \[ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} \] 의 기저이다.</p><p>② 벡터공간의 차원</p><p>정의 13 벡터공간의 차원 자명하지 않은 벡터공간 $ V $가 유한기저를 가질 때, $ V $의 차원(dimension)은 기저에 포함된 벡터들의 개수로 정의하고, 기호로는 \[ \operatorname{dim} V=n \] 으로 표시한다. 만일 $ V $가 유한기저를 갖지 않으면 $ V $를 무한차원의 벡터공간이라고 한다. 또한 $ V=\{\mathbf{0}\} $이면 $ V $의 차원은 0으로 정의한다.</p><p>예 25 $ \operatorname{dim} R^{n}=n $이고, $ \operatorname{dim} P_{n}=n+1 $이다. 한편 $ C[0,1] $은 무한차원의 벡터공간이 된다. 왜냐하면 함수 $ 1, x, x^{2}, \cdots $가 모두 $ C[0,1] $의 원소이고 일차독립이기 때문이다.</p><p>예 26 벡터 $ \mathbf{a}=(1,2,3) $에 의해 만들어지는 초평면 \[ \mathbf{a}^{\perp}=\left\{\mathbf{x} \in R^{3} \mid \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}=0\right\} \] 의 기저와 차원을 구해보자. $ \mathbf{x}=(x, y, z) \in \mathbf{a}^{\perp} $이면 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}=0 $이므로 $ x+2 y+3 z=0 $이다. 이때 $ y=r, z=s $로 놓으면 $ x=-2 r-3 s $ (단, $ r, s \in R $ )이 된다. 따라서 \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] r+\left[\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \] 이므로, 해공간의 차원은 $2$차원이며 기저는 \[ \{(-2,1,0),(-3,0,1)\} \] 로 주어진다.</p><p>벡터공간 $ V $의 $ n $개의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ 중에서 일차독립이 되는 벡터들의 최대개수가 $ r $이면, $ \operatorname{span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $의 차원은 $ r $이다.</p><p>참고 $ H $가 유한차원의 벡터공간 $ V $의 부분공간이면, $ H $도 유한차원이 되고 $ \operatorname{dim} H \leq \operatorname{dim} V $가 성립한다.</p>	자연
개별 관측치에 대한 관리도 비교	<h1>5. 결론 및 토의</h1> <p>본 논문에서는 연속적으로 관측되는 개별 관측치에 대하여 모평균의 변화를 탐지하는 대표적인 관리도와 실제 문제에서 간단하게 적용할 수 있는 이들 관리도의 관리모수 선택 절차를 소개하였다. 또한, 모의실험을 통하여 각 관리도의 장단점을 살펴 보고, 모평균의 작은 변화와 큰 변화가 동시에 발생할 수 있는 경우에는 $ X $-EWMA 관리도를 사용하는 것이 더 효율적임을 살펴 보았다. 특히, Luccas와 Saccuci (1990)가 제안한 관리모수 선택 절차가 효과적임을 알 수 있었다. 다만 결합관리도를 사용하는 경우에는 두 개의 검정 통계량을 사용할 때 제 1 종의 오류가 증가하는 문제가 발생하는 것과 마찬가지로, $ \mathrm{ARL}_{0} $ 를 만족하는 관리모수 $ \left(\lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $에 대한 설계가 간단하지 않는 등 이러한 접근이 최적의 모수설계인가에 대해서는 추가 연구가 필요하겠다. Capizzi와 Masarotto (2010)는 이런 문제점을 해결하기 위해 작은 변화를 $ \mu_{1} $, 큰 변화를 $ \mu_{2} $라 나타내고 관리 모수를 정하는 방법을 제안하였다. 관리상태일 때 모평균의 변화가 없는 경우에는 $ \mathrm{ARL}_{0}=B $를 만족하고, 큰 변화 $ \left(\mu_{2}\right) $가 있는 경우에는 허용치라고 하여 평균런길이를 주어진 값 이내로 하도록 관리모수를 결정하는 방법을 제안하였다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>$ \min _{\lambda, L_{Z}, L_{X}} \operatorname{ARL}\left(\mu_{1} ; \lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $<caption>(5.1)</caption></p> <p>$ \operatorname{ARL}\left(\mu_{0} ; \lambda, L_{Z}, L_{X}\right)=B, \operatorname{ARL}\left(\mu_{2} ; \lambda, L_{Z}, L_{X}\right) \leq(1+\gamma) C $<caption>(5.2)</caption></p> <p>여기서 ARL은 관리모수 $ \left(\mu_{1} ; \lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $가 주어지면 모평균의 함수로 나타난다. 식 (5.1)에서 $ \gamma $는 작은 허용치를 나타내고 $ C $는 $ \mu_{2} $의 큰 변화에 대한 $ X $관리도에서의 $ A R L_{1} $을 나타낸다고 할 수 있다. Capizzi와 Masarotto(2010)는 $ \left(\lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $의 설정을 $ \mathrm{ARL}_{0} $와 큰 평균변화에 대한 $ X $관리도의 성능을 원하는 수준으로 유지한다는 제약조건 하에서 작은 변화에 대한 평균런길이를 최소화하도록 해를 선택한다. 이 방법은 Luccas와 Saccuci (1990)의 관리모수 선택절차에 비해 $ \mathrm{ARL}_{0} $의 값도 정한 값으로 만족하며 $ 3 \sigma $의 변화에도 탐지능력이 좋은 관리모수를 정할 수 있도록 해준다. 다만, 이 결합관리도는 큰 변화에 대한 제약식을 더해 관리모수를 정한 것으로 평균런길이를 수치적으로 근사하면서 복잡한 과정을 거치게 된다. 따라서, 실제 다양한 응용문제에서 쉽게 사용하기 어려운 단점이 있다. 또, 이들 결합관리도는 통계량이 두 개이고 관리한계선이 한 쌍씩 주어지기 때문에, 심미적 관점에서 볼 때 관리상태를 이해하기 좋게 도식화한 관리도의 장점이 약해진다는 것이다. 그러나 결합관리도의 이점이 뚜렷한 만큼 앞으로 결합관리도의 모수 결정을 좀 더 쉽게 할 수 있고, 간단하게 표현할 수 있는 관리 통계량에 대한 추가 연구가 필요하다고 할 것이다.</p> <h2>2.3. $ X $ 와 EWMA의 결합 관리도</h2> <p>앞에서 $ X $관리도와 EWMA 관리도에 대하여 살펴보았는데, $ X $관리도는 현재 관측값만을 사용하기 때문에 비교적 모평균의 큰 변화에 대하여 탐지 성능이 좋은 것으로, 다시말해 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 짧다고 알려져 있다. EWMA 관리도는 $ \lambda $가 작은 경우 더 많은 과거자료를 이용하게 되므로, 모평균의 작은 변화에 대하여 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 짧아진다고 이해할 수 있다. 또, $ X $관리도와 달리 EWMA 관리도는 탐지하고 싶은 모평균의 변화 크기에 따라 $ \mathrm{ARL}_{1} $을 최소화 하도록 설정할 수 있음을 살펴 보았다. 그런데, 실제 많은 문제에서는 연속하는 개별 관측치의 분포가 변화할 때, 모평균이 크게 변화할지 작게 변화할지 미리 정하기 어려운 경우가 많이 있다. 따라서 Lucas 와 Saccucci (1990) 그리고 Montgomery (2013) 등은 어떤 하나의 관리도를 사용하기 보다는 두 관리도를 결합하여 사용할 것을 제안하였다. 즉, 시점 $ t $에서 $ X_{t} \notin\left(\mathrm{LCL}_{X}, \mathrm{UCL}_{X}\right) $ 또는 $ Z_{t} \notin\left(\mathrm{LCL}_{Z}, \mathrm{UCL}_{Z}\right) $일때 모평균의 변화가 있다고 탐지한다. 앞으로 이 결합관리도를 $ X $-EWMA 관리도라고 부르기로 한다. X-EWMA 관리도의 관리모수는 $ \left(\lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $가 되고, 런길이는</p> <p>$ \mathrm{RL}_{X-\text { EWMA }}=\min \left(\mathrm{RL}_{X}, \mathrm{RL}_{Z}\right) $,</p> <p>로 정의한다. 이때 관리모수는 관리상태하에서의 평균런길이 $ \mathrm{ARL}_{0} $가 미리 정한 값을 만족하면서 이상상태하에서의 평균런길이 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 짧은 것으로 결정된다. 그런데, 결합관리도의 경우에는 $ \mathrm{ARL}_{0} $을 만족하는 $ \left(\lambda, L_{Z}, L_{X}\right) $가 유일하지 않으며 여러 개 존재할 수 있다. 또한, 평균런길이의 계산이 간단하지 않아 관리모수의 결정이 간단하지 않다. 더욱이 관리통계량이 두 개이므로 다중검정 문제와 같이 각 관리도 작성 시 $ \alpha $ 오류를 사용한다면, 전체 오경보율이 커지게 된다. $ X $-EWMA 관리도의 제 1 종의 오류를 $ \alpha, X $관리도와 EWMA 관리도의 제 1 종의 오류를 각각 $ \alpha_{X}, \alpha_{E} $, 그리고 두 통계량이 동시에 관리한계선 밖에 존재할 확률을 $ \alpha_{C} $라 할 때 다음의 관계가 만족한다.</p> <p>$ \begin{aligned} \alpha &=P\left(X_{t} \notin\left(L C L_{X}, U C L_{X}\right) \text { 또는 } Z_{t} \notin\left(L C L_{Z}, U C L_{Z}\right) \mid \mu=\mu_{0}\right) \\ &=P\left(X_{t} \notin\left(L C L_{X}, U C L_{X}\right) \mid \mu=\mu_{0}\right)+P\left(Z_{t} \notin\left(L C L_{Z}, U C L_{Z}\right) \mid \mu=\mu_{0}\right) \\ &-P\left(X_{t} \notin\left(L C L_{X}, U C L_{X}\right) \text { 그리고 } Z_{t} \notin\left(L C L_{Z}, U C L_{Z}\right) \mid \mu=\mu_{0}\right) \\ &=\alpha_{X}+\alpha_{E}-\alpha_{C} \end{aligned} $<caption>(2.7)</caption></p> <p>이때 관리모수를 결정하는 방법으로 다음과 같이 M1과 M2 두 가지를 생각해 볼 수 있다.</p> <p>(M1) 각 관리도에서의 오경보율을 식 (2.7)이 만족하도록 선택한다. 예를 들어, 본페로니 교정(Bonferroni correction)을 사용하여 $ \alpha_{X}=\alpha_{E}=\alpha / 2 $로 정한다면 각 관리모수는 쉽게 결정된다. 이때 EWMA 통계량에 대해서는 $ \alpha_{E} $를 계산하기 어렵기 때문에, 식 (2.4)의 관계로부터 $ X $ 관리도의 $ \mathrm{ARL}_{0} $를 먼저 결정할 후, $ \mathrm{EWMA} $에 대해서도 같은 $ \mathrm{ARL}_{0} $를 갖는 $ L_{Z} $를 구할 수 있다. 이때 $ \lambda $의 선택에 따라 결합관리도의 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 달라짐에 유의한다. 한편, 본페로니 교정은 각 관리도의 관리한계폭이 넓어지게 되어 매우 보수적인 판단을 하게 되는 문제점이 존재하며, $ \lambda $가 커질수록 $ \alpha_{C} $ 또한 증가하므로 관리모수를 더 보수적으로 선택하는 경향이 있게 된다.</p> <p>(M2) 개별관측치에 대하여 $ 1.5 \sigma \sim 2 \sigma $의 변화에도 EWMA 관리도의 탐지 성능이 $ X $관리도보다 우수한 점에 착안하여, $ \mathrm{EWMA} $ 관리도에 대한 관리모수를 먼저 설정한 후, $ \mathrm{EWMA} $ 관리도의 $ \mathrm{ARL}_{0} $과 결합관리도의 $ \mathrm{ARL}_{0} $가 동일하도록 $ X $관리도의 관리모수를 결정한다.</p> <p>두 번째 관리모수 결정방법(M2)는 Lucas와 Saccucci (1990)가 제안한 것으로, 먼저 $ \mathrm{ARL}_{0} $를 만족하는 $ \left(\lambda, L_{Z}\right) $를 설정한 후 $ \mathrm{ARL}_{0} $의 값을 유지할 수 있도록 $ L_{X} $의 값을 크게 하는 것이다. 이때에도 $ \lambda $는 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 작아지도록 선택한다. Shewhart 관리도에서는 일반적으로 $ L_{X}=3 $인데, $ X $-EWMA 관리도에서는 $ L_{X}=3.5 $ 또는 더 크게 하여 $ \mathrm{ARL}_{0} $을 맞추도록 관리모수를 결정할 것을 제안하였다. 이들 관리모수 결정 방법은 모든 실제 문제에서 관리모수에 대한 선택을 쉽게 하지만, 실제로는 $ \mathrm{ARL}_{0} $를 만족하는 모수를 선택하는 데 계산상 부담이 있을 뿐 아니라 이러한 선택이 최적의 관리모수 선택을 보장하는 것은 아니다.</p> <h1>4. 실제 자료 분석</h1> <p>본 연구에서는 2018년 3월 5일부터 2020년 3월 5일까지 국민청원 보건복지 범주에 올라온 청원에 대하여 주별 단위로 108 개의 문서를 생성한 후 LDA 분석을 통한 토픽지수를 생성하고, 이 토픽지수를 개별 관측치로 하여 이에 대한 변화를 모니터링 하고자 한다. 토픽지수에 대한 자세한 사항은 Lee 등 (2021)을 참고하면 된다. 본 절에서는 특히 '중국인 입출국 금지 요청' 에 관한 토픽의 지수 변화를 모니터링하고자 한다. 본 연구에서는 개별 관측치에 대한 모평균과 모분산이 알려진 경우를 가정했는데, 이를 추정하기 위해 1주부터 25주까지의 데이터는 학습데이터로 하여 관리상태 하에서의 값을 추정하는데 사용하고, 26주부터 108주까지는 평가데이터로 사용하기로 한다. 학습자료로부터 관리상태일 때의 토픽지수에 대한 모평균과 모표준편차는 $ \hat{\mu}_{0}=0.57 $, $ \hat{\sigma}_{0}=0.08 $로 추정한다. 학습자료와 평가자료에 대한 토픽지수의 분포를 살펴보면 Figure 3과 같다.</p> <p>Figure 3에서 살펴 보면 처음 25 번째 주까지 나타난 토픽지수에 비하여 이후 등장한 토픽지수는 작은 값부터 큰 값까지 넓게 분포하는 것을 살펴 볼 수 있다. 여기서 토픽지수가 작아진 것은 중요한 탐지로 고려 하지 않고, 기존 토픽지수보다 큰 변화에 대하여 관심을 두기로 한다. Figure 3에서 볼 수 있듯이 토픽지수는 $ \hat{\mu}_{0}=0.57 $와 다른 관측치가 관측되고 있음을 알 수 있다. 예를 들어 토픽지수가 $ 0.1 $만큼 변화한 값은 $ \hat{\sigma}_{0} $를 고려하면 약 $ 1.2 \hat{\sigma}_{0} $만큼 떨어진 것으로 이해할 수 있고, $ 0.2 $만큼 변화한 값은 약 $ 2.4 \hat{\sigma}_{0} $만큼 떨어진 것으로 이해할 수 있다. 따라서 이런 경우 앞에서 살펴 본 관리도를 적용할 때 결과가 어떻게 달라지는 지 살펴보기로 한다. Figure 4(a)의 $ X $ 관리도를 살펴보면 $ \mathrm{ARL}_{0}=370 $로 할 때 $ X $관리도는 $ L_{X}=2.782 $로 관리상한선이 $ \mathrm{UCL}_{X}=0.804 $가 되어 $ 79,82,83 $번째 관측치가 이상상태로 판정되었다. 실제 토픽지수를 보더라도 그 주에 다른 주와 달리 큰 변화가 있음을 알 수 있다. Figure 4(b)에서 EWMA 관리도의 관리모수는 $ 1.2 \hat{\sigma}_{0} $ 변화를 탐지하는 데 적절한 $ \lambda $를 $ 0.2 $(Table 1 과 2 참조)로 하고, 한쪽 검정을 위한 $ L_{Z} $를 선택하여 $ \left(\lambda, L_{Z}\right)=(0.2,2.763) $로 결정하였다. 이때 관리상한선은 $ \mathrm{UCL}_{Z}=0.649 $로 82, 83번째 관측치가 이상상태로 판정되었다. 즉, 서론에서 언급한 EWMA 통계량의 '관성의 문제'에 의해 가중치가 작은 경우에는 79번째 관측치와 같이 일시적으로 커진 값에 대하여 반응이 빠르지 않았다고 해석할 수 있다. (M2)에 의하여 $ X $-EWMA 관리도를 사용한 경우를 살펴보면, Figure 4 (c)의 경우에는 $ \left(\lambda, L_{Z}, L_{X}\right)=(0.2,2.763,4.0) $을 사용한 결과를 나타낸다. 이 경우는 $ X $ 관리도에서와 마찬가지로 79번째 관측치도 탐지가능함을 알 수 있다. 일반적으로 작은 변화에 대하여 빠른 탐지를 하기 위해 EWMA 관리도를 사용하는 경우가 많아 Lee 등 (2021)에서도 EWMA 관리도를 사용했는데, 모평균의 큰 변화도 함께 나타날 수 있는 경우에는 결합관리도를 사용하는 것이 유용함을 알 수 있다.</p> <h1>2. 개별 관측치에 대한 모평균 변화 탐지방법</h1> <p>개별 관측치 $ X_{1}, X_{2}, \ldots $, 가 연속적으로 관측되는 경우를 살펴보자. 관리상태일 때 이들 관측값은 모평균이 $ \mu_{0} $, 모분산이 $ \sigma_{0}^{2} $인 정규분포를 따른다고 가정한다. 이때 $ \mu_{0} $와 $ \sigma_{0}^{2} $이 알려진 경우를 가정하고, 새롭게 관측되는 데이터에 대하여 모평균의 변화를 검정하기 위한 관리도를 살펴보도록 하자. 일반적으로 관리도는 관리통계량 $ W $에 대하여, 다음 3개의 선으로 구성된다.</p> <p>관리상한선(upper control limit, UCL) $ =\mu_{W}+L_{W} \sigma_{W} $,</p> <p>중심선 (center line, $ \mathrm{CL})=\mu_{W} $,</p> <p>관리하한선(lower control limit, LCL) $ =\mu_{W}-L_{W} \sigma_{W} $.</p> <p>여기서 $ L_{W} $는 관리한계선의 폭을 결정하며, 관리도를 설계할 때 결정해야 하는 관리모수가 된다. 통계량 $ W $가 관리한계선 내에 존재하면, 즉, $ W \in(\mathrm{LCL}, \mathrm{UCL}) $이면 관리상태 $ \left(\mu=\mu_{0}\right) $ 라고 판정하고, 통계량 $ W $가 관리한계 선 밖에 존재하면, 즉, $ W \notin(\mathrm{LCL}, \mathrm{UCL}) $이면 이상상태 $ \left(\mu \neq \mu_{0}\right) $라고 판정한다. 본 절에서는 모평균의 평균을 모니터링하기 위해 소개된 대표적인 관리통계량 $ W $에 대하여 소개하기로 한다.</p> <h2>2.1. Shewhart $ X $ 관리도</h2> <p>Shewhart (1931)가 제안한 $ X $ 관리도는 관리통계량 $ W=X_{t}(t=1,2, \ldots $,$ )인 경우로, 관리상태일 때 모평균 \mu_{0} $와 모분산은 $ \sigma_{0}^{2} $이 알려진 경우 $ X $관리도의 관리상한선과 관리하한선은 각각 다음과 같이 주어진다.</p> <p>$ \left(\mathrm{UCL}_{X}, \mathrm{LCL}_{X}\right)=\left(\mu_{0}-L_{X} \sigma_{0}, \mu_{0}+L_{X} \sigma_{0}\right) $<caption>(2.1)</caption></p> <p>이때 $ L_{X} $는 $ X $관리도의 관리모수로서 관리도의 성능을 제어하도록 설계된다. 관리도의 성능을 평가할 때는 런길이(run legnth, RL)를 사용한다. 관리한계선을 처음으로 벗어나 이상신호가 발생할 때까지 관측한 표본의 개수를 런길이(run length, RL)라고 하여, $ X $ 관리도의 런길이를 $ \mathrm{RL}_{X} $로 나타내면,</p> <p>$ \operatorname{RL}_{X}=\inf \left\{t: X_{t} \notin\left(\mathrm{LCL}_{X}, \mathrm{UCL}_{X}\right)\right\} $</p> <p>로 정의할 수 있으며 이것은 기하분포를 따른다. 다만, 런길이의 분포는 관리상태일때와 이상상태일때가 서로 다르게 주어진다. 먼저 관리상태인 경우에는 관리통계량 $ X_{t} $ 가 관리한계선 밖에서 관측될 확률은,</p> <p>$ P\left(X_{t} \notin\left(\mathrm{LCL}_{X}, \mathrm{UCL}_{X}\right) \mid \mu=\mu_{0}\right)=\alpha, t=1,2, \ldots $<caption>(2.2)</caption></p> <p>를 만족한다. 따라서 관리상태하에서 $ \mathrm{RL}_{X} $의 분포는 모수가 $ \alpha $ 인 기하분포를 따르고, 이때의 기댓값을 평균런 길이(average run length, $ \mathrm{ARL} $ )라고 하여 $ \mathrm{ARL}_{0} $라 한다.</p> <p>$ \begin{aligned} \mathrm{ARL}_{0} &=\mathrm{E}\left(\mathrm{RL}_{X} \mid \mu=\mu_{0}\right)=\sum_{k=1}^{\infty} k P\left(\mathrm{RL}_{X}=k \mid \mu=\mu_{0}\right) \\ &=\sum_{k=1}^{\infty} k(1-\alpha)^{k-1} \alpha=\frac{1}{\alpha} \end{aligned} $<caption>(2.3)</caption></p> <p>이 된다. 이처럼 $ X $관리도의 $ \mathrm{ARL}_{0} $은 제 1 종의 오류와 관계가 있고 관리도의 성능을 나타낸다. 일반적으로 관리한계선은 통계적 유의성 검정절차와 마찬가지로 미리 정한 수준의 $ \mathrm{ARL}_{0} $을 만족할 수 있도록 설정된다. 예를 들어, 식 (2.1)에서 $ L_{X} $은 보통 3으로 주어지는데, 이것은 $ \alpha=0.27 \% $에 해당하여 $ \mathrm{ARL}_{0}=370 $임을 의미한다. 즉, $ \mathrm{ARL}_{0}=370 $을 만족하는 $ X $ 관리도는 관리모수가 $ L_{X}=3 $으로 설정된다고 할 수 있다. 이제 이상상태일 때, 관리한계선을 넘어 이상신호가 발생할 때까지 런길의 분포를 살펴보기로 하자. 이상상태인 경우에는 관리통계량 $ X_{t} $가 관리한계선 밖에서 관측될 확률은,</p> <p>$ P\left(X_{t} \notin\left(\mathrm{LCL}_{X}, \mathrm{UCL}_{X}\right) \mid \mu \neq \mu_{0}\right)=1-\beta, \quad t=1,2, \ldots $</p> <p>이고, 런길이의 분포는 모수가 1- $ \beta $인 기하분포를 따르게 된다. 식 (2.3)와 마찬가지로 $ \mathrm{ARL}_{1} $은</p> <p>$ \mathrm{ARL}_{1}=\frac{1}{1-\beta} $<caption>(2.4)</caption></p> <p>이 되고, 검정력이 클수록 $ \mathrm{ARL}_{1} $이 짧아지는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 모평균의 변화가 $ 1 \sigma $보다 작은 경우 EWMA 관리도가 $ X $관리도보다 그 변화를 잘 탐지한다고 하는 것은 $ \mathrm{ARL}_{1} $을 비교했을 때 더 짧은 것이라고 설명할 수 있다.</p> <p>$ X $관리도의 경우 관리모수가 $ L_{X} $하나 뿐인데, 품질 특성치에 관하여 정규분포를 가정하였으므로 $ Z $가 표준정규분포의 확률변수일 때 $ L_{X}=Z_{\alpha / 2} $ 임을 알 수 있다. 식 (2.2)에서 $ \alpha=0.27 \% $인 경우는 관리상한선과 관리하한선이 존재하는 경우 양쪽 검정의 기각역에 해당하여, 양쪽 검정과 비슷하게 $ \alpha $값을 반으로 하여 $ L_{X} $를 정할 수 있다.</p> <p>$ >$ ARLQ $<-370 $</p> <p>alpha $<-(1 / $ ARLQ $ ) / 2 $</p> <p>$ >\mathrm{Lx}<- $ qnorm (1-alpha); Lx</p> <p>[1] $ 2.999672 $</p> <p>다만, 일반적으로 관리도는 제 1 종의 오류대신에 $ \mathrm{ARL}_{0} $에 따라 관리모수를 설정하므로, $ X $관리도를 설계할 때에도 위 $ \mathrm{R} $코드에서와 같은 순서로 $ L_{X} $를 정하면 된다. 만약 $ \mathrm{ARL}_{0}=500 $으로 하는 관리한계선을 찾고 싶은 경우 위 R 코드에서 ARL0에 370 대신에 500 을 대입하면 $ L_{X} $를 결정할 수 있다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>최근에는 다양한 분야에서 자동화된 기술로 데이터의 수집이 편리해 지고 있기 때문에 엄청난 양의 데이터가 빠른 주기로 수집된다. 이때 많은 관심사 중 하나는 데이터의 이상점 또는 변화점(change point)을 탐지하는 일이다. 이를 위한 통계적 방법 중 하나로 통계적 공정관리(statistical process control, SPC)의 도구인 관리도 (control chart)가 많이 활용된다. 관리도는 품질특성치의 값이 관리상태라면 관리한계선 내에 존재하도록 설정되어 있어, 시간이 지남에 따라 값의 상태가 어떻게 변화하는지 시각적으로도 쉽게 파악할 수 있기 때문에 많은 응용 분야에서 자주 사용된다 (Young과 Mathew, 2015; Kim 등, 2020; Lee 등, 2021). 제조업이 세계적인 우리나라에서 SPC 기법은 단어 뜻 그대로 공정관리를 위한 방법으로 주로 사용되고 있지만, 이 기법은 다양한 분야에 활용될 수 있으며, 특히 이상점이나 변화점을 탐지하는 방법으로 응용될 수 있다.</p> <p>일반적으로 관리도 작성을 위해서는 연속적으로 관측되는 일변량 혹은 다변량 데이터에 대하여 서로 독립적으로 일정한 분포를 따른다고 가정하고, 이들 분포를 특징짓는 모수의 변화 유무를 검정함으로써 이상점 또는 변화점을 탐지한다. 관리도는 시간에 따라 연속적으로 관측되는 데이터를 활용하는 방법에 따라 크게 두 가지로 나누어 생각해 볼 수 있다. 첫 번째는 현재 데이터만 이용하여 검정을 하는 경우와, 두 번째는 현재 뿐 아니라 과거 데이터를 동시에 고려하여 검정하는 경우이다. 전자를 통한 대표적인 관리도가 Shewhart 관리 도 (Shewhart, 1931)이고, 후자를 통한 관리도에는 지수가중이동평균(exponentially weighted moving average, EWMA) 관리도 (Roberts, 1959)가 대표적이다. Shewhart 관리도는 모평균이 크게 변화할 때, EWMA 관리도는 모평균의 작은 변화에 대하여 탐지성능이 뛰어나다고 알려져 있다 (Montgomery, 2013).</p> <p>그런데 과거 데이터에 대한 정보를 사용함으로써 작고 지속적인 변화에 대하여 탐지성능이 좋다고 알려진 EWMA 관리도의 경우 심각한 문제점이 존재하기도 하는데, 예를 들어, 현재 관측치에 대한 가중치가 작은 경우에 일시적으로 매우 큰 모평균의 변화가 발생하는 경우를 가정해 보자. 이 경우 EWMA 통계량은 변화전 관측된 데이터들과 결합되기 때문에 변화의 효과가 축소되어 현재의 데이터로만 생성된 통계량보다 비효율적임을 쉽게 짐작할 수 있다. 또 다른 측면에서 EWMA 통계량의 값이 관리하한선 근처에서 관측되었는데 평균변화가 큰 쪽으로 발생한 경우에는, 관리상한선을 넘어 이상신호를 줄 때까지 깨 긴 시간이 필요하고, 이러한 문제를 EWMA 관리도의 관성의 문제(inertia problem)라고 한다 (Yashchin, 1987; Woodall과 Mahmoud, 2005; Montgomery, 2013).</p> <p>이러한 문제점을 해결하기 위해서 Lucas와 Saccucci (1990), Woodall과 Mahmoud (2005), Reynolds와 Stoumbos (2005), Montgomery (2013) 등에서는 Shewhart의 $ X $ 관리도와 EWMA 관리도를 결합한 관리도(combined control chart)를 쓸 것을 조언하고 있다. 관성의 문제는 가중치가 작은 EWMA 관리도를 사용할 때 모평균의 큰 변화가 발생하는 경우의 문제이므로, 모평균의 큰 변화에 대한 EWMA 관리도의 성능을 개선 하기 위해 Shewhart $ X $ 관리도를 함께 사용한다면 모평균의 변화를 조금 더 효율적으로 탐지할 것을 기대할 수 있다. 다만 두 개의 관리도를 통해 모평균의 변화유무를 판정하기 때문에 오경보율(false alarm rate)이 커질 수 있어, Lucas와 Saccucci (1990)는 Shewhart 관리도의 관리한계선은 $ 3 \sigma $보다 조금 넓게 $ 3.25 \sigma $ 또는 $ 3.5 \sigma $로 할 것을 제안한다.</p> <p>본 논문에서는 연속적으로 관측되는 개별 관측치로부터 모평균의 변화를 모니터링하는 데 적용 가능한 방법으로 관리도를 소개하고, 각 관리도에 대하여 구체적인 설계방법을 고찰해 보고자 한다. 또한 모의실험을 통하여 관리도를 비교 평가한 후, 실제 데이터 분석을 통해 문제점과 시사점을 알아 보기로 한다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서는 일변량 관측치로부터 모평균 변화를 모니터링하기 위한 대표적인 관리도를 소개하고자 한다. 3절에는 모의실험을 통하여 각 관리도의 성능을 비교 평가하고자 한다. 4절에서는 실제 데이터 분석에 적용해 보기로 한다. 마지막으로 5절에서는 분석결과에 관해 토의 및 결론을 맺기로 한다.</p>	자연
영화 데이터를 위한 쌍별 규합 접근방식의 군집화 기법	<h1>Appendix D: $ \Lambda $ step</h1> <p>반복 과정의 마지막 단계로 $ \Lambda $를 업데이트하기 위해서는 다음의 식을 풀어야 한다. $ \Lambda $의 열 벡터 $ \lambda_ { l } $를 업데이트하여 $ \Lambda ^ { (t + 1) } = \left ( \lambda_ { 1 } ^ { (t + 1) } , \ldots, \lambda_ {\varepsilon } ^ { (t + 1) } \right ) $를 구한다.</p> <p>\[ \lambda_ { l } ^ { (t + 1) } = \lambda_ { l } ^ { (t) } + \rho \left (V_ { l } ^ { (t + 1) } -X_ { l_ { 1 } } ^ { (t + 1) } + X_ { l_ { 2 } } ^ { (t + 1) } \right ). \]<caption>(D.1)</caption></p> <h1>요 약</h1> <p>사용자들의 영화정보를 기록한 MovieLens 데이터는 추천 시스템 연구에서 아이디어를 탐색하고 검증하는데 상당한 가치가 있는 데이터로, 기존 데이터 분할 및 군집화 알고리즘을 사용하여 사용자 평점 데이터를 기반으로 항목 집합을 분할하는 연구 등에 사용되는 데이터이다. 본 논문에서는 기존 연구에서 대표적으로 사용되었던 영화 평점 데이터와 영화 장르 데이터를 통해 사용자의 장르 선호도를 예측하여 선호도 패턴을 기반으로 사용자를 군집화(clustering)하고, 유의미한 정보를 얻는 연구를 진행하였다. MovieLens 데이터는 영화의 전체 개수에 비해 사용자별 평균 영화 평점 수가 낮아 결측 비율이 높다. 이러한 이유로 기존의 군집화 방법을 적용하는 데 한계가 존재한다. 본 논문에서는 MovieLens 데이터 특성에 모티브를 얻어 쌍별 규합 벌점함수(pairwise fused penalty)를 활용한 볼록 군집화(convex clustering) 기반의 방법을 제안한다. 특히 결측치 대체(missing imputation)도 동시에 해결하는 최적화 문제를 통해 기존의 군집화 분석과 차별화하였다. 군집화는 반복 알고리즘인 ADMM을 통해 제안하는 최적화 문제를 풀어 진행한다. 또한 시뮬레이션과 MovieLens 데이터 적용을 통해 제안하는 군집화 방법이 기존의 방법보다 노이즈 및 이상치에 상대적으로 민감하지 않은 것으로 보인다.</p> <p>4. 마지막으로 데이터 Y 의 결측치가 임의의 확률로 완전한 무작위 패턴(missing completely at random, MCAR)을 갖도록 정의한다. MCAR은 결측치와 데이터 사이에 어떠한 상관관계도 없는 경우를 뜻한다.</p> <p>1단계와 2단계는 희소 가우시안 혼합 모델(sparse Gaussian mixture model)을 기반으로 하였고, $ \sigma $값은 신호 대 잡음비(signal to noise ratio)를 제어한다. 다른 사용자들의 유형을 구별하기 위한 정보를 제공하는 장르의 개수는 희소하고, 노이즈가 많은 장르는 사용자 식별의 어려움을 증가시킬 수 있다. 본 논문에서는 $ n = 500, q =7, C = 5, \sigma = 5 $를 사용하였고, 결측 비율은 각각 $25 \%, 50 \% $로 고려하였다. 시뮬레이션에 사용될 데이터의 결측치는 Figure 4에서 확인할 수 있듯이, 완전한 무작위 패턴을 가진다. 제안하는 알고리즘의 모수를 결정하기 위해 시뮬레이션에서 ratio of within-cluster sum of squares (RWCSS)를 사용하였고, 가장 작은 RWCSS 값을제공하는 $ \gamma_ { 1 } , \gamma_ { 2 } $를 선택하였다.</p> <p>\[ \mathrm { RWCSS } := \frac {\sum_ { c=1 } ^ { C } \sum_ { j=1 } ^ { n_ { c } } \left \\|X_ { j } ^ { (c) } - \bar { X } ^ { (c) } \right \\| ^ { 2 } } {\sum_ { j=1 } ^ { n } \left \\|X_ { j } - \bar { X } \right \\| ^ { 2 } } . \]</p> <p>시뮬레이션 데이터를 $ X \in \mathbb { R } ^ { k \times n } $라 할 때, nc는 c번째 군집에 포함되는 사용자의 수를 나타내며 $ \sum_ { c=1 } ^ { C } n_ { c } =n $을 만족한다. $ X_ { j } $와 $ \bar { X } $는 j번째 사용자 데이터와 전체 사용자의 평균을 나타내고 각각 k차원 벡터이다. 그리고 $ X_ { j } ^ { (c) } $와 $ \bar { X } ^ { (c) } $는 c번째 군집에 속해있는 j번째 사용자 데이터와 c번째 군집에 속해있는 사용자의 평균을 의미한다. 위에 정의된 RWCSS 값은 군집 내에 있는 데이터의 제곱합(within-cluster sum of squares)의 총합을 전체 데이터의 제곱합 (total sum of squares)으로 나눠준 값이며 항상 0과 1 사이의 값을 가진다. 작은 RWCSS 결과값은 해당 군집화 결과가 같은 군집에 있는 데이터의 동질성과 다른 군집에 있는 데이터의 이질성을 잘 설명한다는 것을 의미한다. 본 시뮬레이션에 사용한 모수는 $ \gamma_ { 1 } = \left \{ 10 ^ { 1.79 } , 10 ^ { 2.24 } \right \} $와 $ \gamma_ { 2 } = \left \{ 10 ^ { 2.24 } , 10 ^ { 3.14 } \right \} $ 이다. 시뮬레이션 분석 결과는 Tabel 1에서 확인할 수 있으며, 각 모수쌍의 조합에 대한 RWCSS 값은 100번 반복한 결과의 평균값이다. 결측 비율이 $ 25 \% $일 때 구한 RWCSS 값과 $ 50 \% $일 때 구한 RWCSS 값의 평균이 가장 작은 모수 쌍은 $ \gamma_ { 1 } =10 ^ { 1.79 } , \gamma_ { 2 } =10 ^ { 2.24 } $ 인 것을 확인할 수 있다.</p> <p>여기서 $ l= \left (l_ { 1 } , l_ { 2 } \right ) $은 $ l_ { 1 }<l_ { 2 } $를 만족하는 인덱스 쌍으로 정의하고, 집합 $ \mathcal { E } = \left \{ l= \left (l_ { 1 } , l_ { 2 } \right ): w_ { l } >\mathbf { 0 } \right \} $ 으로 정의한다. 원래의 목적 식 (2.6)을 보조변수 $ V_ { l } \in \mathbb { R } ^ { k } $을 사용하여 최적화 문제를 분할하였고, $ \varepsilon $을 인덱스 쌍 $ l= \left (l_ { 1 } , l_ { 2 } \right ) $의 개수라고 정의하면, $ V= \left (V_ { 1 } , \ldots, V_ {\varepsilon } \right ) \in \mathbb { R } ^ { k \times \varepsilon } $로 정의된다. 계산의 편의를 위해 프로베니우스 노름을 유클리디안 노름(Euclidean norm)형태로 전환하였고, $ \left \\| \left (Y_ { 1 } - \widetilde { Y } \right )_ {\Omega } \right \\|_ { F } ^ { 2 } $를 $ \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \left (Y_ { 1 } \right )_ { i } - \widetilde { Y } _ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } $로 표현하였다. 식 (3.4)의 증강 라그랑지안 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\[ \begin {aligned} L_ {\rho } ( \widetilde { Y } , X, V, \Lambda)=& \frac { 1 } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\|Y_ { i } -Z X_ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \gamma_ { 1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \left (Y_ { 1 } \right )_ { i } - \widetilde { Y } _ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \gamma_ { 2 } \sum_ { l \in \mathcal { E } } w_ { l } \left \\|V_ { l } \right \\| \\ & + \sum_ { l \in \mathcal { E } }< \lambda_ { l } , V_ { l } -X_ { l_ { 1 } } + X_ { l_ { 2 } } >+ \frac {\rho } { 2 } \sum_ { l \in \mathcal { E } } \left \\|V_ { l } -X_ { l_ { 1 } } + X_ { l_ { 2 } } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>여기서 $ \lambda $는 조정 상수이고, $ \lambda=0 $ 일 경우, $ \alpha_ { i } =X_ { i } $일 때 최소값에 도달하고, $ X_ { i } $ 벡터값에 따라 i의 군집이 결정된다. $ \lambda $가 증가하면 서로 다른 군집의 중심이 합쳐지기 시작한다. 만약 $ \alpha_ { i } = \alpha_ { j } $일 경우 i와 j는 동일한 군집내에 속한다고 볼 수 있다. 식 (2.4)는 $ \lambda $에 대해 고유한 최소점을 가지고 있다. Lindsten 등 (2011)은 식 (2.4)에서 $ l_ { q } $ 노름(norm) 패널티를 고려하였고, Hocking 등 (2011)은 $ l_ { 1 } $ 노름, $ l_ { 2 } $ 노름 그리고 $ l_ {\infty } $ 노름을 고려하였다. 위의 최적화 문제에서 $ w_ { i j } >0 $은 대부분 데이터 사이의 거리에 따라 감소하는 가중치 $ w_ { i j } = \exp \left (- \gamma \left \\|X_ { i } -X_ { j } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } \right ) $를 사용한다. K-means는 지역 최적화 알고리즘(local optimization algorithm)이기 때문에 초기값 결과에 따라 군집화 결과가 크게 변하는 반면, 식 (2.4)와 같은 볼록 이완 (convex relaxation)은 고유한 최소값(global minimizer)으로 수렴할 수 있는 알고리즘을 고려할 수 있다. 한편 식 (2.4)는 Tibshirani 등 (2005)의 fused lasso signal approximator와 유사하다.</p> <p>Hocking 등 (2011)은 $ X \in \mathbb { R } ^ { 3 \times 2 } $ 인 경우에 대해서 최적화 식 (2.2)의 기하학적인 해석을 Figure 1로 나타내었다. 첫 번째는 $ w_ { i j } =1 $인 경우로, $ \alpha $의 최적해는 Xi와 Xj의 거리 합계에 대한 제약 조건 에 따라 X에 가까운 $ \alpha $에 해당한다. 제약 조건 $ \Omega_ { q } ( \alpha)= \sum_ { i<j } w_ { i j } \left \\| \alpha_ { i } - \alpha_ { j } \right \\|_ { q } \leq t $는 회색 선으로 표시된 모든 X의 행 벡터 사이의 $ l_ { q } $거리를 의미한다. 두 번째는 일반 가중치 $ w_ { i j } $ 인 경우, $ l_ { q } $ 제약 조건은 X의 행 벡터 사이의 너비가 $ w_ { i j } $인 직사각형의 전체 면적을 의미하고 이를 제한한다. 세 번째는 $ \alpha $의 최적해를 제한한 후, $ \alpha_ { 2 } $와 $ \alpha_ { 3 } $가 융합하여 $ \alpha_ { C } = \alpha_ { 2 } = \alpha_ { 3 } $인 군집 C를 형성하고 두 개의 가중치는 더해져 $ w_ { 1 C } =w_ { 12 } + w_ { 13 } $ 가 된다. Figure 1에서 $ l_ { 2 } $경로는 데이터 X의 회전에 변하지 않는 반면 다른 경로는 그렇지 않다는 것을 확인할 수 있다.</p> <h1>Appendix A: $ \widetilde { Y } $ step</h1> <p>반복 과정의 첫 번째 단계로 $ \widetilde { Y } $를 업데이트하기 위해서는 다음의 식을 풀어야 한다.</p> <p>\[ \widetilde { Y } ^ { (t + 1) } = \arg \min _ {\bar { Y } } L_ {\rho } \left ( \widetilde { Y } , X ^ { (t) } , V ^ { (t) } , \Lambda ^ { (t) } \right ). \]<caption>(A.1)</caption></p> <p>$ \widetilde { Y } ^ { (t + 1) } $ 은 다음의 값으로 업데이트된다.</p> <p>\[ \widetilde { Y } ^ { (t + 1) } = \frac { 1 } { 1 + 2 \gamma_ { 1 } } \left (Z X ^ { (t) } + 2 \gamma_ { 1 } Y_ { 1 } \right ). \]<caption>(A.2)</caption></p> <h1>Appendix B: $ X $ step</h1> <p>반복 과정의 두 번째 단계는 다음의 식을 풀어야 한다.</p> <p>\[ X ^ { (t + 1) } = \arg \min _ { X } L_ {\rho } \left ( \widetilde { Y } ^ { (t + 1) } , X, V ^ { (t) } , \Lambda ^ { (t) } \right ). \]<caption>(B.1)</caption></p>X를 업데이트하기 위해서는 아래의 $ f(X) $를 최소화하는 해를 구해야 한다.</p> <p>\[ \begin {aligned} f(X) &= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \widetilde { Y } _ { i } -Z X_ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \sum_ { l \in \mathcal { E } }< \lambda_ { l } , V_ { l } -X_ { l_ { 1 } } + X_ { l_ { 2 } } >+ \frac {\rho } { 2 } \sum_ { l \in \mathcal { E } } \left \\|V_ { l } -X_ { l_ { 1 } } + X_ { l_ { 2 } } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \\ &= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \widetilde { Y } _ { i } -Z X_ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \frac {\rho } { 2 } \sum_ { l \in \mathcal { E } } \left \\| \tilde { V } _ { l } -X_ { l_ { 1 } } + X_ { l_ { 2 } } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \\ &= \frac { 1 } { 2 } \\| \operatorname { vec } ( \widetilde { Y } )- \operatorname { vec } (Z X) \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \frac {\rho } { 2 } \\| \operatorname { Avec } X- \operatorname { vec } ( \tilde { V } ) \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \end {aligned} \]<caption>(B.2)</caption></p> <p>제안하는 군집 방법은 $ X ^ { (0) } $와 $ X_ { T } ^ { (0) } $가 아닌 $ X ^ { (t) } $와 $ X_ { T } ^ { (t) } $를 사용하여 위의 세 단계와 동일한 방법으로 구하였으며, NMI, purity, ARI 값은 군집 수별로 100번 반복한 결과의 평균값으로 구하였다. Figure 9는 NMI 값으로 군집 결과를 비교한 그래프로 제안하는 방법의 평균 NMI와 군집 수별 NMI 값이 기존 군집화 방법에 비해 상대적으로 높은 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 이는 제안된 방법이 기존 군집화 방법에 비해 상대적으로 노이즈 및 이상치에 민감하지 않다는 것을 의미한다. purity, ARI 결과는 Figure 10, Figure 11에서 확인할 수 있으며, 마찬가지로 제안하는 방법이 기존 방법보다 높은 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 다음으로 가중치 분석을 통해 변수의 영향력을 확인한다. 실데이터에서 중요한 장르일수록 군집의 성격을 잘 반영한다. 같은 군집 안에 있는 사용자끼리 유사한 값을, 다른 군집 안에 있는 사용자와 구별되는 값을 지닐수록 사용자 간의 이질성에 영향력 있는 장르로 분류할 수 있다. 이런 점을 이용해 중요한 장르 변수를 확인할 수 있는 측도를 식 (4.1)과 같이 정의한다.</p> <p>여기서 i라는 임의의 장르에 대해서 $ x_ { i j } $를 i번째 장르의 j번째 사용자 값, $ \bar { X } _ { i \cdot } =(1 / n) \sum_ { j=1 } ^ { n } x_ { i j } $를 i번째 장르의 전체 사용자의 평균값, $ x_ { i j } ^ { (c) } $를 c번째 군집에서 $ 1 \leq j \leq n_ { c } $번째 사용자의 장르 i값으로, $ \bar { X } _ { i \cdot } ^ { (c) } = \left (1 / n_ { c } \right ) \sum_ { j=1 } ^ { n_ { c } } x_ { i j } ^ { (c) } $를 i번째 장르의 c번째 군집 내의 사용자 평균값으로 정의한다. 군집 내 제곱합과 전체 제곱합을 이용해 다음과 같이 i번째 장르의 RWCSS 값 (RWCSS-i)을 정의하여 장르 i의 중요도를 측정한다. 같은 군집 내에 있는 사용자들이 유사한 장르 정보를 가질수록 군집 내 제곱합은 작아지고, 군집 간 거리가 멀어질수록 전체 제곱합이 군집 내 제곱합보다 큰 경향을 보인다. RWCSS-i는 항상 0과 1 사이의 값을 가지고, RWCSS-i가 작을수록 장르 i가 군집화에 중요한 정보를 지닌다고 해석할 수 있다.</p> <p>1. 결측치가 존재하는 영화 평점 데이터 Y를 사용하여 노이즈를 추가한 데이터 $ T= \left (T_ { 1 } , \ldots, T_ { n } \right ) $를 생성한다.</p> <p>\[ T=Y + E \quad E_ { i j } \sim N(0, \operatorname { var } (Y)). \]</p> <p>2. 다음의 식을 만족하는 $ X ^ { (0) } $을 통해 $ X ^ { (0) } $과 $ X_ { T } ^ { (0) } $을 생성한다.</p> <p>\[ \begin {array} { ll } x_ { i } ^ { (0) } = \left (Z ^ { T Z } + \epsilon I \right ) ^ { -1 } Z ^ { T } \widetilde { Y } _ { i } ^ { (0) } , & i=1, \ldots, n . \\ x_ { T i } ^ { (0) } = \left (Z ^ { T Z } + \epsilon I \right ) ^ { -1 } Z ^ { T } \widetilde { T } _ { i } ^ { (0) } , & i=1, \ldots, n . \end {array} \]</p> <p>여기서 $ \widetilde { T } = \left ( \widetilde { T } _ { 1 } , \ldots, \widetilde { T } _ { n } \right ) $는 다음의 식을 만족하며, $ \widetilde { T } _ { i j } ^ { (0) } $은 T 의 i번째 행에서 결측치를 제외한 평균으로 정의한다.</p> <p>\[ \widetilde { T } = \left \{\begin {array} { lll } t_ { i j } , & \text { if } & (i, j) \notin \Omega \\ \widetilde { T } _ { i j } ^ { (0) } , & \text { if } & (i, j) \in \Omega \end {array} \right . \]</p> <p>3. 군집 수 $ k=2, \ldots, 20 $ 를 적용하여 $ X ^ { (0) } (k) $과 $ X_ { T } ^ { (0) } (k) $의 NMI, purity, ARI를 구한다.</p> <p>$ \lambda_ { l } \in \mathbb { R } ^ { k } $ 은 라그랑지안 승수(Lagrangian multipliers)이고, $ \Lambda= \left ( \lambda_ { 1 } , \ldots, \lambda_ {\varepsilon } \right ) \in \mathbb { R } ^ { k \times \varepsilon } $ 로 정의된다. 다음의 알고리즘을 통해 증강 라그랑지안 함수를 최소화하는 최적해를 구하였으며, 각 단계별 설명은 부록에서 확인할 수있다.</p> <h2>3.3. 수렴 기준</h2> <p>t번째 반복문에서 $ \widetilde { Y } ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { p \times n } , X ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { k \times n } , V_ { l } ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { k } , \lambda_ { l } ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { k } $는 각 반복문에서 업데이트된다. 알고리즘을멈추기 위해서는 각각의 결과가 일정 값으로 수렴해야 한다. t번째와 $ t-1 $ 의 예측 값이 거의 차이가 없을 때, t번째 예측 값을 선택하기 위해 수렴 기준을 다음과 같이 설정한다.</p> <p>\[ \left \\| \widetilde { Y } ^ { (t) } - \widetilde { Y } ^ { (t-1) } \right \\|_ { F } ^ { 2 } + \left \\|X ^ { (t) } -X ^ { (t-1) } \right \\|_ { F } ^ { 2 } + \left \\|V ^ { (t) } -V ^ { (t-1) } \right \\|_ { F } ^ { 2 } + \left \\| \Lambda ^ { (t) } - \Lambda ^ { (t-1) } \right \\|_ { F } ^ { 2 } \leq \epsilon. \]</p>알고리즘에 사용한 수렴 기준값은 $ \epsilon=10 ^ { -5 } $ 이고 수렴 기준을 충족하지 않을 경우 20번째 반복에서 알고리즘이 멈추도록 설정한다.</p> <h2>3.4. 군집 개수의 추정</h2> <p>군집의 개수를 추정하기 위해 Park 등 (2021)에서 제안한 방법을 이용하였다. 본 논문에서 사용되는 실데이터는 실제 label이 없기 때문에, 원 데이터에 노이즈를 추가한 데이터를 생성해서 원 데이터와의 군집화 결과 비교를 통해 군집 수를 선택하는 데 사용한다. 군집화의 비교로는 Kvalseth (1987)의 normalized mutual information (NMI)를 사용하였다. 노이즈가 추가된 데이터는 $ T=Y + E, E_ { i j } \sim N(0, \operatorname { var } (Y)) $로 정의한다. 여기서 $ Y \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $는 영화 평점 데이터이다. 원 데이터 Y와 노이즈가 추가된 데이터 T 를 통해 식 (2.6)에 대한 최적해인 $ \widehat { X } , \widehat { X } _ { T } $를 구하고 각각 군집 수 c를 적용하여 비교한 NMI 값 중 가장 큰 값을 가지는 군집의 개수를 선택한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>현대 사회는 정보 과잉 시대로 진입하여 인터넷에 검색만 해도 수많은 관련 정보를 얻을 수 있게 되었다. 이에 따라 방대한 정보 중에서 특정 사용자가 관심을 가질 만한 정보들을 추천해주는 추천 시스템들 역시 활발히 생성되고 있다. 추천 시스템은 사용자의 선호도, 그리고 과거 행동을 바탕으로 개인에 맞는 관심사를 제공하는 분야를 말한다. 이러한 제공은 어떤 상품을 구매할지, 어떤 음악을 들을지 또는 어떤 영화를 볼 것인지와 같은 다양한 의사결정과 연관이 있다. Netflix의 경우, 사용자가 시청한 목록들을 분석한 내용을 바탕으로 사용자가 선호할만한 콘텐츠를 예측하여 추천해줌으로써 사용자의 만족도를 높여주고, 기업에는 콘텐츠 운영의 효율성을 높여 사용자 이탈을 막는 데 효과적으로 사용되고 있다. 본 논문에서는 추천 시스템이 개인화된 추천, 특히 영화 추천에 효율적으로 구성하는 데 도움을 주기 위한 연구를 진행하였다. 본 논문에서 제안하는 방법론은 미네소타 대학의 GroupLens Research Project에서 사용자들의 영화정보를 기록한 MovieLens 데이터의 특성을 반영한 방법론이다. MovieLens 데이터는 추천시스템 연구에서 아이디어를 탐색하고 검증하는데 상당한 가치가 있는 데이터 (Harper와 Konstan, 2015)로, 기존 데이터 분할 및 군집화 알고리즘을 사용하여 사용자 평가 데이터를 기반으로 항목 집합을 분할하는 연구 (O’Connor와 Herlocker, 1999) 등에 사용되는 데이터이다.</p> <p>본 논문에서는 기존 연구에서 대표적으로 사용되었던 영화 평점 데이터와 영화 장르 데이터를 통해 사용자의 영화 장르 선호도를 예측하고 선호도 패턴을 기반으로 사용자를 군집화(clustering)하여 유의미한 정보를 얻는 연구를 진행하였다. 군집화란, 관측값의 몇 가지 공통적인 특성에 따라 다른 그룹으로 나누는 방법론으로 오래전부터 사용되었으며, 현재까지 다양한 군집화 기술이 개발되었다. Hartigan과 Wong (1979)의 K-means, Friedman과 Russell (2013)의 가우스 혼합 모델(Gaussian mixture model), Sibson (1973)의 계층적 군집화(hierarchical clustering), Ng 등 (2002)의 스펙트럼 군집화(spectral clustering)와 같은 알고리즘을 통해 다양한 군집화 모양을 인식할 수 있게 되었다. 이러한 방법은 비 볼록 최적화(non-convex optimization)이거나 거리의 임곗값에 의존하기 때문에 불안정성이 존재한다. 본 논문에서는 결측 비율이 높은 MovieLens 데이터 특성에 모티브를 얻어 결측치 대체(missing imputation)가 동시에 진행되는 쌍별 규합 벌점함수(pairwise fused penalty)를 활용한 볼록 군집화(convex clustering) 기반의 방법을 제안한다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 제2장에서는 볼록 군집화 기법과 MovieLens 데이터에 대해 소개하고, 새로운 군집화 모델을 제안한다. 제3장에서는 반복 알고리즘인 ADMM에 대해 설명하고, 제안하는 최적화 문제를 풀어 진행한 다음, 수렴 기준과 군집 개수의 추정에 대해 소개한다. 4장에서는 시뮬레이션 및 실데이터 분석을 진행하고, 마지막으로 제5장에서 본 논문에 대한 요약 및 향후 연구 과제에 대하여 논의한다.</p> <h2>4.3. 실데이터 적용</h2> <p>본 장에서는 시뮬레이션에서 선택된 모수들을 실데이터에 적용하여 제안하는 군집화 결과를 해석하고, 기존 군집화 방법들과 성능을 비교한다. 데이터는 2.2장에서 설명한 MovieLens에서 제공하는 데이터로, 영화 평점 데이터 $ Y \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $와 영화 장르 가중치 데이터 $ Z \in \mathbb { R } ^ { p \times k } $를 사용한다. 실데이터 분석에서는 영화 평점 정보를 가장 많이 가지고 있는 상위 500명의 사용자를 기준으로 $ 50 \% $의 결측 비율을 가지는 250개의 영화를 선택하였다. 250개의 영화 중에서 Documentary장르가 포함된 영화가 존재하지 않으므로 실데이터 분석에서는 해당 장르는 제거하고 총 18개의 장르를 사용하였다. $ \gamma_ { 1 } $은 Y의 결측치 대체 범위에 영향을 주는데, Figure 6에서 볼 수 있듯이 $ \gamma_ { 1 } = \{ 0,0.25,0.5,0.75,1 \} $일 때 결측치 대체 값의 범위가 $ \gamma_ { 1 } $값이 증가할수록 감소하는 것을 확인할 수 있다. 영화 평점 데이터는 0.5점과 5점 사이의 값을 가지므로 결측치도 동일한 범위 내에서 대체되어야 한다. 따라서, 최소값과 최대값이 각각 0.5와 5점에 가까운 적절한 $ \gamma_ { 1 } $을 선택해 주어야 한다. 마찬가지로 $ \gamma_ { 2 } $는 군집화에 영향을 주는 값으로, 값이 증가할수록 군집이 합쳐지게 된다. Figure 7은 $ \gamma_ { 2 } = \left \{ 0,10 ^ { -1 } , 10 ^ { 2.24 } , 10 ^ { 2.35 } \right \} $일 때의 heatmap 결과로, $ \gamma_ { 2 } $가 증가할수록 하나의 군집으로 합쳐지는 것을 확인할 수 있다. 실데이터 분석에서는 시뮬레이션 분석에서 선택된 모수를 사용하였고, 군집 개수는 3.4장에서 설명한 방법으로 추정하였다. Figure 8은 군집 수별로 100번 반복한 NMI 결과를 오차막대(error bar)로 표현한 그래프이며, 그래프에서 확인할 수 있듯이 군집의 수가 11개일 때 가장 큰 평균 NMI 값을 가지므로 군집의 수를 11개로 추정하였다. 다음으로 제안하는 군집 방법과 기존 군집 방법의 노이즈 및 이상치에 민감한 정도를 확인하기 위해 다음 세단계로 진행하여 각 군집 방법별 NMI, purity, ARI 값을 구하고 비교하였다.</p> <p>여기서 결측치 대체를 최적화 단계에서 동시에 진행하는 방법은 Park과 Zhao (2019)에서의 방법의 아이디어와 유사하다. 여기서, $ \left \\| \left (Y_ { 1 } - \widetilde { Y } \right )_ {\Omega } \right \\|_ { F } ^ { 2 } = \sum_ { (i, j) \in \Omega } \left ( \left (Y_ { 1 } \right )_ { i j } - \widetilde { Y } _ { i j } \right ) ^ { 2 } $ 이며, $ \sum_ { i } \left \\| \left (Y_ { 1 } \right )_ { i } - \widetilde { Y } _ { i } \right \\| ^ { 2 } $로 표현될 수 있다. 결측치 대체 범위는 $ \gamma_ { 1 } >0 $을 통해 조정할 수 있으며, $ \gamma_ { 1 } $이 증가할수록 범위가 좁혀진다. 마찬가지로 $ \gamma_ { 2 } >0 $를 통해 벌점항의 벌점 크기를 조정할 수 있으며, $ \gamma_ { 2 } $가 증가할수록 $ \widehat { X } _ { i } $의 열 벡터들은 서로 근접한 값을 가지게 된다. 여기서 $ w_ { i j } =w_ { j i } $는 $ X_ { i } $와 $ X_ { j } $사이의 음이 아닌 가중치로 다음과 같이 설정한다.</p> <p>\[ w_ { i j } = \iota_ { i, j } ^ { k } \exp \left (- \phi \left \\|X_ { i } -X_ { j } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } \right ). \]</p> <p>가중치 식의 첫 번째 요소인 지시 함수 $ \iota_ { i, j } ^ { k } $는 j와 i가 K-최근접 이웃(K-nearest neighbors)이면 1이 되고, 그렇지 않으면 0이 된다. 두 번째 요소는 가우스 커널 함수로 두 벡터 사이의 거리가 멀 경우의 결합을 늦춰주는 역할을 한다. $ \phi $ 는 음이 아닌 값을 가지며, $ \phi=0 $ 일 경우는 균일한 가중치를 가지게 된다.</p> <h2>2.2. MovieLens 데이터</h2> <p>본 논문에서는 영화 추천 서비스인 MovieLens의 영화 평점 데이터와 영화 장르 데이터를 이용하였다. 먼저, 영화 평점 데이터는 1995년 1월 9일부터 2019년 11월 21일 사이에 162,541명의 사용자가 62,423개의 영화에 대해 최저점인 0.5점에서 최고점인 5점 사이의 평점을 매긴 데이터로, 총 25,000,095개의 평점이 존재한다. 영화 장르 데이터는 62,423개의 영화에 대해 장르 정보가 존재한다. 본 논문에서는 영화 평점이 영화별 장르 가중치와 사용자의 고유한 장르 선호 점수의 곱으로 구해질 것이라고 가정한다. 따라서, 영화별 장르 가중치 데이터와 사용자의 고유한 장르 선호 점수 데이터가 필요하므로 영화별 장르 가중치 데이터는 Figure 2와 같이 생성한다. Figure 2에서 영화1을 예로 들면, Animation, Comedy, Romance로 총 3개의 장르 정보를 가지고 있으므로, 오른쪽의 표와 같이 Animation, Comedy, Romance에 각각 가중치 1/3을 부여하여 가중치의 합이 1이 되도록 만든다. 영화 평점 데이터와 영화 장르 가중치 데이터 그리고 사용자의 고유한 장르 선호도 데이터에 대한 가정은 Figure 3에서 확인할 수 있다. Figure 3에서 사용자2가 영화1에 평가한 3점을 예로 들면, 영화1에 대한 장르 가중치 정보와 사용자2의 추정된 장르 선호도의 곱으로 구해진 점수라고 가정을 하는 것이다. 데이터의 관계를 식으로 표현하면 다음과 같이 정의 된다. 먼저, 영화의 개수를 p개, 사용자를 n명, 장르 개수를 k개로 정의할 때, 영화 평점 데이터 행렬 $ Y \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $과 영화 장르 가중치 데이터 행렬 $ Z \in \mathbb { R } ^ { p \times k } $은 다음과 같이정의된다.</p> <p>행렬 Y의 원소 $ y_ { i j } $ 는 j번째 사용자의 i번째 영화에 대한 평점값으로 다음의 식을 만족한다고 가정한다.</p> <p>\[ y_ { i j } = \sum_ { h=1 } ^ { k } z_ { i h } x_ { h j } + \epsilon_ { i j } , \quad \epsilon_ { i j } \sim N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ), \quad i=1, \ldots, p, \quad j=1, \ldots, n \]<caption>(2.5)</caption></p> <p>여기서 행렬 Z는 영화별로 존재하는 장르 정보를 가중치화하여 다음의 식을 만족한다.</p> <p>\[ \min _ {\alpha \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \frac { 1 } { 2 } \\| \alpha-X \\|_ { F } ^ { 2 } \quad \\text { subject to } \\Omega_ { q } ( \alpha)= \sum_ { i<j } w_ { i j } \left \\| \alpha_ { i } - \alpha_ { j } \right \\|_ { q } \leq t \].<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서, $ w_ { i j } >0 $이고 $ \\| \cdot \\|_ { q } , q \in \{ 1,2, \infty \} $ 는 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 $ l_ { q } $ 노름(norm)이다. 식 (2.2)에서의 제약조건은 $ \alpha $의 행 벡터 차이에 희소성(sparsity)을 유도하는 역할을 한다. α의 행 벡터가 같아지면 해당되는 표본이 같은 군집을 형성한다고 볼 수 있으며, t를 변경하여 형성된 최적 해의 연속적인 정규화 경로(regularization path)를 군집화 경로(clusterpath)라고 부른다. 예를 들어 $ t=0 $인 경우 $ \alpha $의 모든 행은 같은 벡터를 갖게 되며, 모든 표본은 같은 군집에 속하게 된다. 여기서 t에 대한 매개변수화는 $ 0 \leq t \leq \Omega_ { q } (X) $를 취하지만, 계산의 편의를 위해 $ 0 \leq s \leq 1 $인 다음의 매개변수화를 도입한다.</p> <p>\[ \min _ {\alpha \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \frac { 1 } { 2 } \\| \alpha-X \\|_ { F } ^ { 2 } \quad \text { subject to } \\frac {\Omega_ { q } ( \alpha) } {\Omega_ { q } (X) \leq s } \].<caption>(2.3)</caption></p> <p>또한 식 (2.3)의 라그랑지안 함수(Lagrangian function)를 고려할 수 있다.</p> <p>\[ \min _ {\alpha \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \frac { 1 } { 2 } \\| \alpha-X \\|_ { F } ^ { 2 } + \lambda \Omega_ { q } ( \alpha) \].<caption>(2.4)</caption></p> <h1>3. 알고리즘</h1> <p>본 장에서는 볼록 최적화(convex optimization)를 포함한 다양한 모델을 최적화 할 수 있는 일반적인 알고리즘인 alternating direction method of multipliers (ADMM) (Boyd 등, 2011)에 대해 소개한 후, 제안하는 볼록 최적화(convex optimization)를 풀고자 한다. ADMM은 두 단계의 원시(primal) 문제와 쌍대(dual) 문제를 교차 최적화로 해를 업데이트하는 과정으로 구성된다.</p> <h2>3.1. ADMM 알고리즘</h2> <p>ADMM은 그래디언트 상승(dual ascent)과 증강 라그랑지안(augmented Lagrangian) 방법의 장점을 가진 방법이다. 그래디언트 상승이란, 쌍대 문제의 목적식을 최대화하기 위해 시작점 $ u ^ { (0) } $에서 시작하여 t = 1, 2, 3, . . . ,에 대해 2개의 단계를 반복하는 방법이다. 먼저 선형 제약 식을 가지는 다음의 원시 문제를 고려해 보자. 여기서 x와 u는 p차원의 열 벡터이다.</p> <p>\[ \min _ { x } f(x) \quad \text { subject to } \quad A x=b. \]<caption>(3.1)</caption></p> <p>식(3.1)의 라그랑지안 함수(Lagrangian function)는 다음과 같다.</p> <p>\[ L(x, u)=f(x) + u ^ { T } (A x-b). \]</p> <p>여기서, u는 라그랑지안 승수(Lagrangian multipliers) 벡터이다. t = 1, 2, 3, . . . , 가 주어질 때 그래디언트 상승은 다음을 반복한다.</p> <p>\[ x ^ { (t) } = \arg \min _ { x } L \left (x, u ^ { (t-1) } \right ). \]</p> <p>\[ u ^ { (t) } =u ^ { (k-1) } + k_ { t } \left (A x ^ { (t) } -b \right ). \]</p> <p>여기서 $ k_ { t } $는 스텝 크기(step size)이다. 그래디언트 상승 방법은 그래디언트 수렴을 보장하기 위해 f 가 엄격한 볼록(strongly convex)조건을 만족해야 하는 단점을 가지고 있다. 이런 단점은 증강 라그랑지안 방법에 의해 개선이 가능하다. 원시 문제 (3.1)을 다음과 같이 고려해보자.</p> <p>\[ \min _ { x } f(x) + \frac {\rho } { 2 } \\|A x-b \\|_ { 2 } ^ { 2 } \quad \text { subject to } \quad A x=b. \]<caption>(3.2)</caption></p> <p>여기서 $ \rho>0 $는 스텝 크기 역할을 하며 $ k_ { t } = \rho $이다. 식 (3.2)의 수정된 라그랑지안 함수는 다음과 같다.</p> <p>\[ L_ {\rho } (x, u)=f(x) + u ^ { T } (A x-b) + \frac {\rho } { 2 } \\|A x-b \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \]</p> <p>그래디언트 상승방법과 마찬가지로 t = 1, 2, 3, . . . , 가 주어질 때 다음을 반복한다.</p> <p>\[ x ^ { (t) } = \arg \min _ { x } L_ {\rho } \left (x, u ^ { (t-1) } \right ). \]</p> <p>\[ u ^ { (t) } =u ^ { (t-1) } + \rho \left (A x ^ { (t) } -b \right ). \]</p> <p>증강 라그랑지안 방법은 그래디언트 상승 방법보다 훨씬 좋은 수렴성을 가지고 있지만 문제를 분해할 수 있는 특징을 잃는다는 단점을 가지고 있다. ADMM은 수렴성과 함께 문제를 분해할 수 있는 특징을 잃지 않는 방법으로 먼저 다음의 식을 고려한다.</p> <p>\[ \min _ { x } f(x) + g(z) \quad \text { subject to } \quad A x + B z=c. \]<caption>(3.3)</caption></p> <p>$ \rho>0 $ 에 대해서, 식 (3.3)의 증강 라그랑지안 함수는 다음과 같다.</p> <p>\[ L_ {\rho } (x, z, u)=f(x) + g(z) + u ^ { T } (A x + B z-c) + \frac {\rho } { 2 } \\|A x + B z-c \\|_ { 2 } ^ { 2 } . \]</p> <p>t = 1, 2, 3, . . . , 에 대해서, ADMM은 다음의 단계를 반복적으로 수행한다.</p> <p>\[ x ^ { (t) } = \arg \min _ { x } L_ {\rho } \left (x, z ^ { (t-1) } , u ^ { (t-1) } \right ). \]</p> <p>\[ z ^ { (t) } = \arg \min _ { z } L_ {\rho } \left (x ^ { (t) } , z, u ^ { (t-1) } \right ). \]</p> <p>\[ u ^ { (t) } =u ^ { (t-1) } + \rho \left (A x ^ { (t) } + B z ^ { (t) } -c \right ). \]</p> <p>Table 2는 모수 쌍별로 $ \widetilde { Y } ^ { (t) } $의 결측치 대체 값이 Y의 실제값과 얼마나 유사한지를 확인하기 위해 아래의 식을 통해 오차 값을 측정한 결과이다.</p> <p>\[ \frac { 1 } { n_ {\Omega } } \sum_ { (i, j) \in \Omega } \left (y_ { i j } - \hat { y } _ { i j } \right ) ^ { 2 } . \]</p> <p>여기서 $ n_ {\Omega } $는 결측치의 개수이다. 결측 비율이 $25 \% $일 때 모수 쌍별로 모두 오차 값이 약 0.0094이고, $50 \% $일 때는 약 0.0066이므로 모수 쌍별로 실제 값과 결측치 대체 값의 차이에 대한 오차값이 작은 것을 확인할 수있다. 모수 쌍은 최종적으로 RWCSS결과를 바탕으로 $ \gamma_ { 1 } =10 ^ { 1.79 } , \gamma_ { 2 } =10 ^ { 2.24 } $ 를 선택하였다.</p> <h2>4.2. 군집 성능 평가 척도</h2> <p>군집 성능 평가 척도로 NMI, purity, ARI가 사용되었다.</p> <p>NMI와 purity, ARI는 0과 1 사이의 값을 가지며, 실제 군집 label이 존재할 경우 1에 가까울수록 군집화가 잘 되었다는 것을 의미한다. purity는 제대로 분류된 샘플의 비율이며, Figure 5에서 purity 예시를 확인할 수있다.</p> <p>\[ \operatorname { purity } ( \Omega, \mathbb { C } )= \frac { 1 } { N } \sum_ { k } \max _ { j } \left \|w_ { k } \cap c_ { j } \right \|. \]</p> <p>여기서 $ \Omega= \left \{ w_ { 1 } , \ldots, w_ { K } \right \} $는 군집 집합이고, $ \mathbb { C } = \left \{ c_ { 1 } , \ldots, c_ {\jmath } \right \} $는 클래스(class)의 집합이다. K개의 군집별로 각 군집 내에 속한 클래스 중 가장 많은 빈도 수를 가진 클래스의 수를 더한 후 전체 관측 값 개수 N으로 나눈 값으로 측정된다. Adjusted rand index (ARI)는 Table 3과 같은 분할표(Contingency table)가 있을 때 아래의 식으로 계산된다.</p> <h1>2. 제안</h1> <p>본 장에서는 볼록 군집화 기법에 대해 소개하고, MovieLens데이터와 제안하는 모델에 대해 설명한다.</p> <h2>2.1. 볼록 군집화 기법</h2> <p>주어진 데이터 행렬 $ X \in \mathbb { R } ^ { n \times p } $ 에서 n은 표본의 크기 그리고 p는 변수의 개수를 의미한다. 여기서 X의 표본을 군집화 하기 위해 Lindsten 등 (2011)과 Hocking 등 (2011)은 쌍별 규합벌점함수(pairwise fused penalty)를 활용하여 군집화를 유도하는 작업을 볼록 최적화 문제로 공식화했다. 이때 최적화 문제는 다음과 같다.</p> <p>\[ \min _ {\alpha \in \mathbb { R } ^ { n \times p } } \frac { 1 } { 2 } \\| \alpha-X \\|_ { F } ^ { 2 } \quad \text { subject to } \quad \sum_ { i<j } 1_ {\alpha_ { i } \neq \alpha_ { j } } \leq t \].<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 $ \\| \cdot \\|_ { F } ^ { 2 } $는 프로베니우스 노름(Frobenius norm)의 제곱 형태이고, $ \alpha_ { i } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 는 $ \alpha $ 의 $ i $ 번째 행 벡터이다. $ 1_ {\alpha_ { i } \neq \alpha_ { j } } $은 $ \alpha_ { i } \neq \alpha_ { j } $이면 1이고 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. $ \sum_ { i<j } = \sum_ { i=1 } ^ { n-1 } \sum_ { j=i + 1 } ^ { n } $은 $ n(n-1) / 2 $개의 행 벡터 쌍을 합한다. 만약 $ t \geq n(n-1) / 2 $로 고정한다면 최적화 문제 (2.1)은 제약이 없고, 해는 모든 i에 대해 $ \alpha_ { i } =X_ { i } $ 이다.</p> <p>$ t=0 $ 일 경우의 해는 $ \alpha_ { i } = \bar { X } = \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } / n $ 이 된다. 일반적으로 식 (2.1)은 비볼록 최적화 문제로 간단한 방법으로 해를 도출할 수 없다. 따라서 다음의 볼록 완화(convex relaxation)를 제안하였다.</p> <p>여기서 $ \widetilde { V } _ { l } =V_ { l } + \rho ^ { -1 } \lambda_ { l } \in \mathbb { R } ^ { k } $이고, $ \widetilde { V } = \left ( \widetilde { V } _ { 1 } , \ldots, \widetilde { V } _ {\varepsilon } \right ) \in \mathbb { R } ^ { k \times \varepsilon } $이다. 또한, $ A ^ { T } = \left (A_ { 1 } ^ { T } , \ldots, A_ {\varepsilon } ^ { T } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n k x s k } $이고, $ A_ { l } ^ { T } = \left (e_ { l_ { 1 } } -e_ { l_ { 2 } } \right ) \otimes I_ { k } \in \mathbb { R } ^ { n k \times k } $으로 정의된다. 여기서, $ e_ { l_ { 1 } } , e_ { l_ { 2 } } \in \mathbb { R } ^ { n } $는 각각 $ l_ { 1 } $번째, $ l_ { 2 } $번째 원소가 1인 단위벡터(unit vector)를 의미한다. $ \otimes $는 크로네커 곱(kronecker product)이다. $ X ^ { (t + 1) } $의 값은 아래와 같이 업데이트된다.</p> <p>\[ \operatorname { vec } (X) ^ { (t + 1) } = \left ( \rho A ^ { T } A + \left [I_ { n } \otimes Z ^ { T } Z \right ] \right ) ^ { -1 } \left ( \operatorname { vec } \left (Z ^ { T } \widetilde { Y } ^ { (t + 1) } \right ) + \rho A ^ { T } \operatorname { vec } \left ( \widetilde { V } ^ { (t) } \right ) \right ). \]</p> <p>\[ \sum_ { h=1 } ^ { k } z_ { i h } =1, \quad i=1, \ldots, p \]</p> <h2>2.3. 모델</h2> <p>본 논문에서는 쌍별 규합 벌점함수를 활용한 볼록 군집화 기법에 결측치가 존재하는 데이터의 특성을 고려한 결측치 대체 볼록 군집화 방법을 제안한다. 먼저, 목적 식에 추가로 필요한 행렬 $ Y_ { 1 } , \widetilde { Y } $에 대해 설명한다. 영화 평점 데이터 행렬 Y의 결측치 인덱스 쌍의 집합을 $ \Omega= \left \{ (i, j): y_ { i j } \right . $는 결측치 $ \} $로 정의할 때, $ Y_ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $은 아래와 같이 정의하며, 여기서 $ \bar { Y } _ { i \cdot } $은 결측치를 제외한 i번째 행 평균이다. $ \widetilde { Y } $는 본 논문에서 사용한 반복 알고리즘을 통해서 아래와 같이 결측치가 대체된 행렬로 정의한다. 알고리즘에 대한 자세한 설명은 제3장에서 확인할 수있다.</p> <p>\[ \widetilde { Y } ^ { (t) } = \left \{\begin {array} { ll } y_ { i j } , & \text { if } \quad(i, j) \notin \Omega, \\ \widetilde { Y } _ { i j } ^ { (t) } , & \text { if } \quad(i, j) \in \Omega, \end {array} \quad Y_ { 1 } = \left \{\begin {array} { ll } y_ { i j } , & \text { if } \quad(i, j) \notin \Omega, \\ \bar { Y } _ { i \cdot } , & \text { if } \quad(i, j) \in \Omega . \end {array} \right . \right . \]</p>$ \widetilde { Y } $ 와 $ Y_ { 1 } $을 행렬로 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있으며, 식 (2.6)과 같이 목적식에 결측치를 대체하는 항을 추가하고 최적화 문제를 풀어 군집화를 진행한다.</p> <p>\[ ( \widehat { X } , \widehat { Y } )= \arg \min _ { X, \bar { Y } } \frac { 1 } { 2 } \\| \widetilde { Y } -Z X \\|_ { F } ^ { 2 } + \gamma_ { 1 } \left \\| \left (Y_ { 1 } - \widetilde { Y } \right )_ {\Omega } \right \\|_ { F } ^ { 2 } + \gamma_ { 2 } \sum_ { i<j } w_ { i j } \left \\|X_ { i } -X_ { j } \right \\| . \quad i=1,2, \ldots, n \],<caption>(2.6)</caption></p> <p>실데이터에 대한 RWCSS-i를 Figure 12에서 살펴보면, 18개의 장르 중 Film-Noir, Musical, War, Western 등의 장르들이 추정된 장르 선호도를 군집화 할 때 가장 영향력 있는 변수라고 해석할 수 있다. 이는 특정 사용자 군집에서만 선호되는 장르로 해석할 수 있다. 마찬가지로, Adventure, Thriller, Action, Comedy는 장르 군집화를 진행할 때 영향을 크게 주지 않는 변수라고 해석할 수 있다.</p> <p>\[ \mathrm { RWCSS } -i:= \frac {\sum_ { c=1 } ^ { C } \sum_ { j=1 } ^ { n_ { c } } \left (x_ { i j } ^ { (c) } - \overline { X } _ { i \cdot } ^ { (c) } \right ) ^ { 2 } } {\sum_ { j=1 } ^ { n } \left (x_ { i j } - \overline { X } _ { i \cdot } \right ) ^ { 2 } } . \]<caption>(4.1)</caption></p> <p>Figure 13의 (a)는 군집별 Film-Noir, Musical, War, Western 장르의 평균 선호 점수를 사용하여 군집별로 상대적인 순위를 매긴 그래프이고, (b)는 RWCSS-i값이 큰 Adventure, Thriller, Action, Comedy 장르를 사용하여 동일한 방법으로 구한 그래프이다. (a) 그래프를 살펴보면, 4개의 장르는 군집별로 비슷한 순위를 가지고 있으며, 11개의 군집 중에서 여덟 번째 군집이 Film-Noir, Musical,War, Western 장르를 가장 많이 선호하고, 세 번째 군집은 상대적으로 낮은 선호 점수를 가지는 것을 알 수 있다. (b)의 경우 Film-Noir, Musical, War, Western 장르에 비해 경향이 비슷하지 않으므로 RWCSS-i의 결과처럼 군집을 구별 짓는 데 영향력이 상대적으로 적은 변수들로 해석할 수 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 논문에서는 MovieLens 데이터의 특성을 반영한 볼록 군집화(convex clustering) 기반의 방법을 제안하였고, 반복 알고리즘인 ADMM을 통해 제안하는 최적화 문제를 풀어 진행하였다. MovieLens 데이터는 결측 비율이 높은 데이터이므로 결측치 대체와 군집화를 동시에 진행하여 기존의 군집화 분석과 차별화를 두었다. 본 논문에서는 시뮬레이션을 통해 평균 RWCSS가 가장 작은 적절한 모수쌍 $ \gamma_ { 1 } , \gamma_ { 2 } $를 찾고, 이를 실데이터 분석에 사용하였다. 실데이터 분석에서는 원 데이터에 노이즈를 추가한 데이터를 생성하여 원 데이터와의 군집화 결과를 통해 적절한 군집 개수를 선택하였다. 또한, 제안하는 방법과 기존 군집화 방법의 군집 성능을 비교하기 위해 NMI, purity, 그리고 ARI 의 평균값을 구하였으며, 제안하는 방법이 상대적으로 높은 값을 보여 기존 방법보다 노이즈나 이상치에 상대적으로 민감하지 않다는 것을 확인할 수 있었다. 마지막으로 가중치 분석을 통해 군집화에 중요한 장르를 확인하였다. 본 논문에서는 MovieLens 데이터인 영화 평점 데이터와 영화 장르 데이터를 통해 사용자별 장르 선호도를 추정하고 군집화하여 새로운 정보를 얻는 데 의의를 둔다. 새로운 사용자가 부여한 평점을 통해 추정한 고유한 선호 장르 점수가 특정 선호도 군집에 속하게 될 경우, 해당 군집이 가지고 있는 장르 정보를 이용하여 장르 가중치가 적절하게 부여된 영화들을 추천하는 연구는 향후 연구과제로 제시한다. 또한 다중대체(multiple imputation) 방법을 군집화 최적화 식에 동시에 고려하는 방법은 추후 연구에서 고려해 볼 수 있는 중요한 주제이다.</p> <p>\[ \widetilde { C } = \arg \max _ { c \geq 2 } \operatorname { NMI } \left ( \widehat { X } (c), \widehat { X } _ { T } (c) \right ). \]</p> <p>여기서 $ \widehat { X } (c) $와 $ \widehat { X_ { T } } (c) $는 c개의 군집 수를 이용한 군집화 결과 label을 의미한다. 자세한 추정 방법은 Park 등(2021)에서 확인할 수 있다.</p> <h1>4. 시뮬레이션 및 실데이터 적용</h1> <p>본 장에서는 제안하는 알고리즘의 모수를 선택하고 기존 군집화 기법과 제안하는 군집화 기법의 성능을 비교한다. 군집화의 성능 평가 척도로는 NMI (Kvalseth, 1987), purity, ARI (Hubert와 Arabie, 1985)를 사용한다.</p> <h2>4.1. 시뮬레이션</h2> <p>시뮬레이션 연구에서는 높은 결측 비율을 갖는 영화 평점 데이터의 특성을 반영한 가상 데이터를 만들어 진행하였다. Park과 Zhao (2018)의 과정을 참조한 희소 가우시안 혼합 모델(sparse Gaussian mixture model)을 기반으로 하는 시뮬레이션 모델을 사용하였으며, 다음 네 가지 단계로 진행하여 생성하였다.</p> <p>1. i.i.d를 만족하는 표준 가우시안 랜덤 행렬의 좌특이행렬(left singular matrix)로 $ \widetilde { B } \in \mathbb { R } ^ { C \times q } $의 요소를 생성한다. $ B \in \mathbb { R } ^ { C \times k } $를 $ B= \left [ \sigma \widetilde { B } , 0_ { C \times(k-q) } \right ] $로 얻는다. 여기서 C는 군집 개수를 의미한다.</p> <p>2. 하나의 그룹에 무작위로 할당하여 i = 1, 2, . . . , n 번째 샘플의 군집 레이블 $ m_ { i } \in \{ 1, \ldots, C \} $ 를 생성한 후, $ m_ { i j } =1 \left (m_ { i } =j \right ) $ 를 사용하여 멤버십 행렬(membership matrix)인 $ M \in \mathbb { R } ^ { n \times C } $를 생성한다. n개의 샘플을 C개의 그룹 중 하나로 무작위로 할당하는 경우, 멤버십 행렬은 아래의 행렬처럼 표현된다.</p> <p>3. 표준 가우시안 노이즈 행렬(standard Gaussian noise matrix)인 $ W $ 를 추가한 데이터 행렬 $ X=M B + W, W \in $ $ \mathbb { R } ^ { n \times k } $를 생성한 후, 식 (2.5)의 가정을 만족하는 $ Y=Z X ^ { T } + W, W \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $를 생성한다. X와 Y에 사용된 노이즈 W는 표준 정규 분포(standard normal distribution)를 따른다. Z는 실데이터에 사용되는 영화별 장르 가중치 행렬이다.</p> <p>ADMM는 $ \rho $값이 결과에 민감하고, 어떤 값으로 선택해야 하는지에 대해 정해진 바가 없다. 그러나 일반적으로 어려운 문제들을 ADMM 알고리즘을 통해 풀 수 있기 때문에 가장 많이 사용되는 알고리즘이다.</p> <h2>3.2. 제안 알고리즘</h2> <p>Chi와 Lange (2015)는 쌍별 규합벌점함수(pairwise fused penalty)를 활용한 다음의 볼록 군집 문제를 ADMM을 활용하여 최적화하는 방법을 제안하였다. 행렬 $ X= \left (X_ { 1 } , \ldots, X_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { p \times n } $가 주어질 때, 다음의 U에 대한 식을 최소화하는 최적화를 고려한다.</p> <p>\[ F_ {\gamma } (U)= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\|X_ { i } -U_ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \gamma \sum_ { i<j } w_ { i j } \left \\|U_ { i } -U_ { j } \right \\|. \]</p> <p>여기서 U의 i번째 열 벡터 $ U_ { i } $는 $ X_ { i } $에 연결된 군집 중심이다. 보조변수 벡터를 $ U_ { i } -U_ { j } $로 두면 ADMM 알고리즘을 적용할 수 있다. 본 논문에서도 제안하는 볼록 최적화(convex optimization)를 ADMM 알고리즘을 통해 풀고자 한다. 먼저, 식 (2.6)은 다음의 식과 같이 구성할 수 있다.</p> <p>\[ \min _ { X, \bar { Y } } \frac { 1 } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \widetilde { Y } _ { i } -Z X_ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \gamma_ { 1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \\| \left (Y_ { 1 } \right )_ { i } - \widetilde { Y } _ { i } \right \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \gamma_ { 2 } \sum_ { l \in \mathcal { E } } w_ { l } \left \\|V_ { l } \right \\| \quad \text { subject to } \quad X_ { l_ { 1 } } -X_ { l_ { 2 } } -V_ { l } = \mathbf { 0 } . \]<caption>(3.4)</caption></p> <p>\[ \mathrm { ARI } = \frac {\sum_ { i j } \left ( \begin {array} { c } n_ { i j } \\ 2 \end {array} \right )- \frac {\left [ \sum_ { i } \left ( \begin {array} { c } a_ { i } \\ 2 \end {array} \right ) \sum_ { j } \left ( \begin {array} { c } b_ { j } \\ 2 \end {array} \right ) \right ] } {\left ( \begin {array} { c } n \\ 2 \end {array} \right ) } } {\frac { 1 } { 2 } \left [ \sum_ { i } \left ( \begin {array} { c } a_ { i } \\ 2 \end {array} \right ) + \sum_ { j } \left ( \begin {array} { c } b_ { j } \\ 2 \end {array} \right ) \right ]- \frac {\left [ \sum_ { i } \left ( \begin {array} { c } a_ { i } \\ 2 \end {array} \right ) \Sigma_ { j } \left ( \begin {array} { c } b_ { j } \\ 2 \end {array} \right ) \right ] } {\left ( \begin {array} { c } n \\ 2 \end {array} \right ) } } . \]</p> <p>$ X= \left \{ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \ldots, X_ { r } \right \} $와 $ Y= \left \{ Y_ { 1 } , Y_ { 2 } , \ldots, Y_ { s } \right \} $는 각각 군집 집합을 의미하며 $ n_ { i j } $는 $ X_ { i } $와 $ Y_ { j } $의 공통된 객체 수를 의미한다.</p> <p>Table 4는 시뮬레이션 분석을 통해 선택된 모수쌍 $ \gamma_ { 1 } =10 ^ { 1.79 } , \gamma_ { 2 } =10 ^ { 2.24 } $으로 제안하는 방법과 기존 군집 방법인 K-means, 계층적 군집화(hierarchical clustering)방법의 NMI, Purity, ARI 값을 비교한 결과이다. 시뮬레이션에서 사용한 군집 수는 $C = 5 $로 실제 군집 label과 각 군집화 방법을 통해 구한 label의 NMI, purity, ARI 값을 비교하였다. 각 값들은 100번 반복한 결과의 평균값이다. 시뮬레이션 모델은 실제 label이 존재 하므로 1에 가까울 수록 군집화가 잘 되었다고 해석할 수 있다. 결측 비율이 각각 $25 \%, 50 \% $일 때 제안하는 방법이 기존 군집 방법에 비해 NMI, purity, ARI 값이 상대적으로 큰 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 실데이터 분석에서는 실제 군집 label이 존재하지 않기 때문에 NMI, purity, ARI 값을 노이즈 및 이상치에 얼마나 민감한지 확인하는 척도로 사용한다. 각 값이 1에 가까울수록 상대적으로 오차에 민감하지 않다고 해석한다.</p>	자연
다변량회귀에서 주선택 반응변수 차원축소	<h2>2.3. 비구조적 주적합 반응변수 차원축소(unstructured principal fitted response reduction)</h2> <p>PFRR에서 $ \boldsymbol {\Gamma } $ 는 $ \boldsymbol {\Sigma } = \boldsymbol {\Gamma } \boldsymbol {\Gamma } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Sigma } \boldsymbol {\Gamma } \boldsymbol {\Gamma } ^ {\mathrm { T } } + \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Sigma } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } $ 의 조건에 대한 제약상황 아래서 추정이 된다. 이러한 제약조건으로 인해 PFRR에서 $ \Gamma $ 의 최대가능도 추정량은 해석적 식이 아닌 수치적으로 구해진다. 실제로 $ \boldsymbol {\Sigma } $에 대한 위의 조건은 $ \boldsymbol {\Gamma } $가 $ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } ) $에 대한 정보의 손실없이 $ \mathbf { Y } $의 차원을 축소하는 데 필요한 조건이지 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정하는 데 반드시 필요한 조건은 아니다. 따라서, $ \boldsymbol {\Sigma } $에 대한 조건은 그대로 유지하되, $ \boldsymbol {\Gamma } $를 가능도 함수를 이용하여 추정하는 데 이 조건을 고려하지 않는다면 $ \boldsymbol {\Gamma } $에 대한 해석적 해를 찾을 수 있다. 이를 기술하기 위해 다음의 기호를 정의한다.</p> <p>$ \mathbf { E } _ { d } $ : 정방행렬 $ \mathbf { E } $ 의 가장 큰 처음의 $ d $개의 고유값에 대응하는 고유벡터들</p> <p>$ \mathbf { B } = \hat {\mathbf {\Sigma } } ^ { -1 / 2 } \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { fit } } \hat {\mathbf {\Sigma } } ^ { -1 / 2 } , \mathbf { B } _ {\mathrm { res } } = \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { fit } } \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } $ 그리고 $ \mathbf { B } _ { y } = \hat {\mathbf {\Sigma } } _ { y } ^ { -1 / 2 } \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { fit } } \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ { y } ^ { -1 / 2 } $</p> <p>$ \mathbf { P } _ {\mathbb { F } } = \mathbb { F } \left ( \mathbb { F } ^ {\mathrm { T } } \mathbb { F } \right ) ^ { -1 } \mathbb { F } ^ {\mathrm { T } } ; . \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { fit } } = \frac { 1 } { n } \mathbb { Y } ^ {\mathrm { T } } \mathbf { P } _ {\mathbb { F } } \mathbb { Y } / n ; \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } = \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ { y } - \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { fit } } $</p> <p>식 (2.2)에서 정의된 $ \boldsymbol {\Gamma } $ 역시 식 (1.1)을 만족하고, $ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } ) $ 의 정보손실없이 반응변수의 차원을 축소할 수 있다. Yoo (2018)에 따르면 식 (2.2) $ \boldsymbol {\Gamma } $의 최대가능도 추정량이 PRR과 달리 해석적으로 표현할 수 없고, $ \hat {\Sigma } _ { y } $와 $ \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } $에 의존하여 수치적으로 추정량을 구해야 한다. 이를 위해 $ \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ { y } , \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { ft } } $와 $ \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } $의 고유벡트터들을 Cook (2007)에서 제시된 축차적 선택 알고리듬을 이용하여 $ \boldsymbol {\Gamma } $을 추정하였다. 식 (2.2)에서 축차적 선택 알고리듬을 이용하여 $ \Gamma $을 추정하는 방법을 주적합 반응변수 차원축소(principal fitted response reduction; PFRR)라고 한다. PFRR 은 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 차원인 $ d $에 대한 $ \mathrm { H } _ { 0 } : d=m $ versus $ \mathrm { H } _ { 1 } : d=r, m=0,1, \ldots,(r-1) $,의 검정이 가능하다. $ \mathrm { H } _ { 0 } $ 하에서 검정통계량은 $ \chi_ { q(r-m) } $ 분포를 따른다.</p> <p>$ \mathbf { B } _ {\mathrm { res } } $에 대한 스테트럼분해: $ \mathbf { B } _ {\mathrm { res } } = \left ( \hat {\gamma } _ { 1 } , \ldots, \hat {\gamma } _ { r } \right ) \operatorname { diag } \left ( \hat {\lambda } _ { 1 } , \ldots, \hat {\lambda } _ { r } \right ) \left ( \hat {\gamma } _ { 1 } , \ldots, \hat {\gamma } _ { r } \right ) ^ {\mathrm { T } } $ 그리고 $ \hat {\lambda } _ { 1 } \geq \hat {\lambda } _ { 2 } \geq \cdots \geq \hat {\lambda } _ { r } \geq 0 $ \[ \hat {\mathbf { V } } = \left ( \hat {\gamma } _ { 1 } , \ldots, \hat {\gamma } _ { a } \right ), \hat {\mathbf { K } } _ { d } = \operatorname { diag } \left (0, \ldots, 0, \hat {\lambda } _ { d + 1 } , \ldots, \hat {\lambda } _ { a } \right ) \text { 그리고 } a= \min (q, r) \]</p> <p>Yoo (2019a)는 다음을 증명하였다</p> <ol type=1 start=1><li>$ \hat {\mathbf {\Sigma } } = \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } + \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } \hat {\mathbf { V } } \hat {\mathbf { K } } _ { d } \hat {\mathbf { V } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } = \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } \left ( \mathbf { I } _ { r } + \hat {\mathbf { V } } \hat {\mathbf { K } } _ { d } \hat {\mathbf { V } } ^ {\mathrm { T } } \right ) \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } $</li> <li>$ \hat {\mathbf {\Gamma } } = \hat {\boldsymbol {\Sigma } } ^ { -1 / 2 } \mathbf { B } _ { d } , \hat {\mathbf {\Gamma } } = \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } \mathbf { B } _ {\mathrm { res } d } $ 혹은 $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } = \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ { y } ^ { -1 / 2 } \mathbf { B } _ { y_ { d } } $</li></ol> <p>위의 결과로 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정하는 방법을 비구조적 주적합 반응변수 차원축소(unstructured principal fitted response reduction; UPFRR)라고 한다. Yoo (2019a)에서는 위의 (2)에 있는 세가지 해중에서 $ \hat {\boldsymbol {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { B } _ {\mathrm { res } d } $를 디폴트로 사용한다. PFRR과 마찬가지로 UPFRR 역시 $ \Gamma $에 대한 차원검정을 할 수 있고, 검정통계량은 $ \mathrm { H } _ { 0 } $ 하에서 $ \chi_ { (q-m)(r-m) } $ 분포를 따른다.</p> <p>M1과 M2는 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 차원은 1인 반면, M3와 M4에서는 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 차원은 2이다. M1을 제외한 M2-M4 모두 $ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } ) $에 설명변수간에 비선형 관계가 존재한다.</p> <p>M1-M4을 100 개의 표본수에 대해 500 번의 자료를 생성하였고, 본문에서 기술된 네 가지의 모형기반 반응변수 차원축소 방법인 PRR, PFRR, UPFRR과 PCRR이 적용되었다. 그리고 $ \sigma, \sigma_ { 0 } $와 $ \sigma_ { x } $ 의 값이 바뀜에 따라 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 추정이 어떻게 바뀌는지 살펴보았다. 이들에 대한 값으로 $ (0.1,0.5,1,1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0) $이 고려되었다. 또한 $ \sigma, \sigma_ { 0 } $와 $ \sigma_ { x } ^ { 2 } $의 모든 조합을 고려하지 않고, 한 번에 이중 하나만을 변화 시켰다. 그리고 나머지는 모두 1 로 고정을 하였다. 예를 들어 $ \sigma_ { x } $의 값을 변화시킬 때, $ \sigma $과 $ \sigma_ { 0 } $는 모두 1의 값에 고정이 된다. 그리고, M1-M4의 모형들에 대해 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $로 $ \mathbf { X } $을 사용하였다. 이는 M1)을 제외한 나머지 모형에서 실제 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $를 잘못 선택한 것이다.</p> <p>그리고, 실제 $ \boldsymbol {\Gamma } $와 각각의 방법론의 추정값이 얼마나 근접한지를 살펴보기 위해 실제 $ \boldsymbol {\Gamma } $와 각각의 추정값 간에 PSRR 알고리듬에서 언급된 trace correlation coefficient 1 에서 뺀 값의 평균을 제시한다. Trace correlation coefficient에서 1을 뺀 이유는 상관성을 거리개념으로 전환하기 위해서이다. 1에서 trace correlation coefficient에서 1 을 뺀 값이 작을 수록 $ \Gamma $를 잘 추정하는 것이다.</p> <p>위의 모의실험 결과는 Figures 1-3에 정리되어 있다.</p> <p>Figures 1-3를 살펴보면 $ \sigma, \sigma_ { 0 } , \sigma_ { x } $의 값의 변화에 따른 M1-M4에서의 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 추정 결과가 매우 비슷한 형태임을 확인할 수 있다. 즉 $ \sigma $가 커짐에 따라 PFRR만 매우 급격하게 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 추정이 나빠지고, 반대로 $ \sigma ^ { 2 } $가 커지면 PRR만 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 매우 부정확하게 추정한다. 그리고 $ \sigma_ { x } $이 커지면서 PFRR이 PRR보다 다소 부정확하게 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정함을 확인할 수 있다. 또한 UPFRR은 모든 경우에서 PRR와 PFRR 중 더 좋게 $ \boldsymbol {\Gamma } $ 를 추정하는 방법과 유사하게 변화함을 확인할 수 있다. 이러한 상황에서 PSRR은 Yoo (2019a)가 기본 방법으로 제안하는 UPFFRR보다 더 정확하게 $ \Gamma $를 추정하고, 가장 잘 추정하는 방법과 매우 비슷하게 $ \Gamma $를 추정함을 확인할 수 있다.</p> <p>그리고, Table 1에 각각의 모형에 대해 $ \sigma, \sigma_ { 0 } $와 $ \sigma_ { x } $가 변화할 때 PRR의 선택 퍼센트가 정리되어 있다. Table 1 에 따른 PSRR은 모든 경우에 있어 더 바람직한 방법을 잘 선택하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 다양한 모의실험 결과를 통해 PSRR이 UPFRR보다 실제적으로 또 경험적으로 유용함을 확인할 수 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 논문은 반응변수가 다차원인 다변량 회귀분석에서 Yoo (2018)과 Yoo (2019a)에서 세 가지 방법론이 제시되고 있다. 이 세 가지 방법론은 주 반응변수 차원축소, 주적합 반응변수 차원축소 그리고 비구조적 주적합 반응변수 차원축소이다. 특히 Yoo (2019a)에서는 이 세 가지 방법 중에서 비구조적 주적합 반응변수 차원 축소를 기본 방법으로 사용하라고 권장하고 있다. 이유는 다양한 모의실험에서 가장 강건한 추정을 하고, 차원축소에 대한 안정적 검정을 제공하기 때문이다. 하지만 모의실험 결과 비구조적 주적합 반응변수 차원축소는 세 가지 모형기반 반응변수 차원축소 방법론 중에서 가장 정확하지는 않다. 다만 가장 정확한 방법론과 매우 비슷하게 움직임을 갖는다. 이를 바탕으로 비구조적 주적합 반응변수 차원축소를 기반으로 주 반응변수 차원축소 주적합 반응변수 차원축소 중 하나를 선택한다면 Yoo (2019a)에서 기본방법으로 제시한 비구조적 주적합 반응변수 차원축소보다는 더 정확한 차원축소를 기대할 수 있을 것이다.</p> <p>이에 따라 제시된 세 가지의 모형기반 반응변수 방법에서 비구조적 주적합 반응변수 차원축소을 기반으로 하여 주 반응변수 차원축소와 주적합 반응변수 차원축소을 선택하는 알고리듬을 본 논문에서 제시하였다. 그리고 이를 주선택 반응변수 차원축소라고 명명하였다. 다양한 모의실험을 통하여 주선택 반응변수 차원축소의 유용성을 입증하였다.</p> <h1>요약</h1> <p>다변량 회귀분석은 경시적 자료분석이나 함수적 자료분석 등 다양한 분야에서 빈번하게 사용되는 통계적 방법론이다. 다변량 회귀분석은 설명변수의 차원 뿐만 아니라 반응변수의 차원때문에 일변량 회귀분석에서보다 차원의 저주문제에 더 강한 영향을 받는다. 이러한 문제를 해결하기 위해 최근 Yoo (2018)와 Yoo (2019a)에 세 가지 모형기반 반응변수 차원축소 방법이 제시되었다. 하지만 Yoo (2019a)에서 제시한 기본 방법은 모의실험 결과 모형에 가장 영향을 덜 받지만, 다른 두 방법 중 더 나은 방법보다 더 좋은 추정결과를 제시하지 못한다. 이러한 단점을 극복하기 위해 본 논문에서는 기본 방법의 결과 다른 두 방법의 결과를 비교하여, 자료에 따라 최선의 방법을 제시하는 선택 알고리듬을 제시하고, 이를 주선택 반응변수 차원축소라 명명한다. 다양한 모의실험 결과 주선택 반응변수 차원축소는 Yoo (2019a)의 기본방법보다 더 정확하게 차원을 축소하고, 모든 경우에 있더 더 바람직한 방법을 선택함을 확인할 수 있다. 이러한 결과로 제안한 주선택 반응변수의 차원축소 방법의 실제적 유용성을 확인할 수 있다.</p> <p>주요용어: 다변량 회귀분석, 모형기반 차원축소, 주 반응변수 차원축소, 주적합 반응변수 차원축소, 비구조 주적합 반응변수 차원축소</p> <h2>2.2. 주적합 반응변수 차원축소(principal fitted response reduction)</h2> <p>실제로 PRR의 경우 회귀분석에서 반응변수의 차원을 축소하는 과정에서 설명변수의 정보가 개입되지 않는데, 그 이유는 알려지지 않은 $ v_ {\mathbf { x } } $의 최대 가능도 추정량이 $ \Gamma Y $가 되기 때문이다. $ \Gamma $의 추정에 설명변수의 정보를 활용하기 위해서 다음과 같이 식 (2.1)에 있는 $ v_ {\mathbf { X } } $을 $ \psi \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $로 변형한다.</p> <p>$ \mathbf { Y } = \Gamma \psi \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } + \boldsymbol {\varepsilon } $ (2.2)</p> <p>여기서 $ \psi $는 알려지지 않은 $ d \times q $ 행렬이고, $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $는 $ q $ 차원의 알려진 $ \mathbf { X } $의 벡터형태의 함수이고 $ \sum_ {\mathbf { X } } \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } =0 $를 가정한다. Yoo (2018)에서 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $ 의 후보 형태로 $ \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { 2 } , \exp ( \mathbf { X } ) $와 이들의 조합 그리고 $ K $-평균군집으로 만들어지는 $ \mathbf { X } $의 군집지시행렬(cluster indicator matrix)를 제안하고 있다. Yoo (2018)은 모의실험을 통하여 $ v_ {\mathbf { X } } = \psi \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $ 관계가 성립되지 않더라도 이 후보군의 사용으로 $ \boldsymbol {\Gamma } $가 잘 추정됨을 보여주었다. 식 (2.2)에서 정의된 모형에서 $ \Gamma $에 대한 최대가능도 추정량을 위해서 다음에 대한 기호를 정의한다.</p> <p>$ \mathbb { Y } : n \times r $ 반응변수 자료 행렬; $ \mathbb { X } : n \times p $ 설명변수 자료 행렬,</p> <p>$ \mathbb { F } : q $ 차원의 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $ 을 행으로 쌓아서 만든 $ n \times q $ 행렬,</p> <h1>1. 서론</h1> <p>회귀분석은 $ p $ 차원의 설명변수 $ \mathbf { X } \in \mathbb { R } ^ { p } $가 주어졌을 때 반응변수의 조건부 분포 $ \left ( \mathbf { Y } \in \mathbb { R } ^ { r } \mid \mathbf { X } , r \geq 1 \right ) $를 연구하는 것을 목적으로 한다. 하지만 실제로는 분포를 알아가기보다는 일반적으로 반응변수의 평균적 변화에 관심을 갖고, 이에 따라 조건부 평균 $ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } ) $ 을 통계적 모형으로 추정을 한다. 다변량회귀분석은 반응변수의 차원이 2 이상인 회귀분석을 의미한다. 다차원의 반응변수는 경시적 자료분석이나 반복측정자료 혹은 함수적 자료에서 빈번하게 나타나고 있다. 다차원 반응변수를 가진 통계적 분석은 쉽지 않다.</p> <p>예로 두 그룹간의 반응변수의 평균비교를 생각해보자. 만약 반응변수가 일변량이라면 단순히 $ t $검정에 의해 쉽게 해결될 수 있다. 하지만 반응변수가 다차원이라면 단순 $ t $ 검정이 이보다는 확실히 더 복잡한 Hotelling $ T ^ { 2 } $ 검정으로 전환되어지고, 표본의 수가 일정할 때 차원이 높아질수록 검정의 정확도 떨어지게 된다. 이 예제에서 그룹을 설명변수로 간주한다면, 이 문제는 회귀분석의 문제로 전환된다. 여기서 설명변수가 추가적 고려를 생각해보자. 그렇다면 추정해야 할 회귀계수의 수는 일변량 회귀분석에 비해 반응변수의 수 만큼 곱해져서 증가하게 된다. 즉 반응변수가 4차원이고 5개의 설명변수를 고려한 상황에서 다변량 선형회귀모형을 적합할 때, 절편을 제외한 기울기에 해당되는 회귀계수의 수는 20개가 된다. 따라서 고차원의 반응변수는 그 자체만으로 통계적 모형을 통한 자료분석을 어렵게 만들 수 있다.</p> <p>회귀분석에서 충분차원축소(sufficient dimension reduction; SDR)은 조건부 분포 $ \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } $의 다양한 특성 중 특정 부분에 대한 정보의 손실없이 설명변수 $ \mathbf { X } $의 차원을 축소하는 방법이다. 예를 들어 $ \mathbf { Y } \mathbf { X } $의 특정 부분으로 회귀분석의 주 관심사인 $ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } ) $를 고려해보자. 이러한 경우 $ \operatorname { SDR } $은 다음의 조건을 만족하는 $ \boldsymbol {\eta } \in \mathbb { R } ^ { p \times d } (d \leq p) $을 찾는 것이 목적이다.</p> <p>모의실험에 대한 절에서 상세하게 결과를 제공하지는 않지만, PSRR의 방법 선택 결과는 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $ 의 선택과 $ \hat { d } $의 추정값에 따라 차이가 날 수 있다. 동일한 $ \hat { d } $가 주어졌을 때 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } = \mathbf { X } $와 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $를 $ \mathbf { X } $의 클러스터 지시지행렬로 했을 때, PRR와 PFRR의 선택이 바뀔 수 있다. 하지만, $ \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { 2 } , \exp ( \mathbf { X } ) $ 혹은 이들의 조합에서는 방법 선택의 차이가 거의 없다. Yoo (2019a)에 따르면 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $에 대한 기본선택으로 $ \mathbf { X } $를 제시하고 있고, 모의실험 결과 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $를 $ \mathbf { X } $로 잘못 선택하는 경우에도 PFRR과 UPFRR 모두 $ \Gamma $ 를 잘 추정하기 때문에 이는 크게 문제가 되지 않는다.</p> <p>동일한 $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $가 주어졌을 때, $ \hat { d } $의 추정된 값에 따라 PSRR의 선택이 바뀔 수 있지만, 모의실험 결과 선택의 차이는 매우 미비하다. 그리고 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 실제 차원의 추정은 Yoo (2019a)에 따르면 UPFRR에 의한 추정이 가장 안정적이기 때문에 $ \hat { d } $ 는 PSRR에서 크게 문제되지 않는다.</p> <h1>4. 모의 실험</h1> <p>Yoo (2018)과 Yoo (2019a)에서 공통적으로 다루어진 5차원의 설명변수가 주어진 4차원의 반응변수의 아래의 다변량 회귀 모형 $ \mathbf { Y } = \left (Y_ { 1 } , \ldots, Y_ { 4 } \right ) \mid \mathbf { X } = \left (X_ { 1 } , \ldots, X_ { 5 } \right ) $을 고려하고자 한다</p> <p>최근의 SDR의 연구 Cook에 따르면 비모수적 방법론 보다는 모형기반의 반모수적 방법론이 더 정확하게 설명변수의 차원을 축소의 가능성을 제시하였다. 최근 Yoo은 Yoo와 Cook의 이론적 토대에 반응변수의 차원축소를 위해 주 반응변수 차원축소(principal response reduction)와 주적합 반응변수 차원축소(principal fitted response reduction)라는 두 가지의 모형기반 반모수적 방법론을 제시하였다. 이후 Yoo에서는 필요한 공분한 행렬을 제약조건이 없다는 가정에서 추정하는 모형기반 반응변수 차원 축소 방법론인 비구조적 주적합반응변수차원축소(unstructured principal fitted response reduction)을 최근에 제시하고 있다. 그리고 Yoo (2019b)에서는 위에서 언급된 Yoo와 Cook (2008), Yoo (2018)과 Yoo (2019a)에 대해 이론적인 비교 및 차이점과 장단점에 대해 설명을 하고 있다.</p> <p>Yoo (2019a)에서 개발된 비구조 주적합 반응변수 차원축소 방법론은 안정적인 차원검정을 제시하고 있다. 하지만 차원이 알려진 상황에서 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 추정의 정확도는 Yoo (2018)에서 제시된 주반응변수차원축소와 주적합 반응변수차원축소보다 더 뛰어나지는 않고, 두 방법 중 더 뛰어난 것에 근접하다는 것이 모의실험을 통해 발견하였다.</p> <p>이러한 발견을 기반으로 본 논문에서는 비구조 주적합 반응변수 차원축소 방법론과 결과를 주 반응변수 차원축소와 주적합 반응변수 차원축소와 각각 비교한 후 더 나은 방법을 선택하여 제시하는 방법을 고려하고자 한다. 이는 새로운 방법론의 개발은 아니지만, 기존의 세가지 모형기반 방법론의 자료기반 비교를 통해 가장 적절한 방법을 제시하는 것이다. Yoo (2018)과 Yoo (2019a)에서 제시된 다양한 모형에서의 모의실험을 통해 선택의 우수성을 증명하고, 이러한 증명을 바탕으로 실제 자료분석에 적용하고자 한다.</p> <p>본 논문의 차례는 다음과 같다. 2장에서는 모형기반 반응변수 차원축소에 대해 설명을 할 것이고, 3장은 주선택 반응변수 차원축소에 대한 알고리듬을 소개할 것이다. 이후 4장은 모의실험과 실제 자료분석을 통해 주선택 반응변수 차원축소의 유용성을 살펴볼 것이고, 5장에는 결론이 제시된다.</p> <h1>2. 모형기반 반응변수 차원축소</h1> <h2>2.1. 주 반응변수 차원축소(principal response reduction)</h2> <p>모형기반 반응변수 차원축소를 위해서 우선 다음의 모형을 가정한다:.</p> <p>$ \mathbf { Y } = \Gamma v_ {\mathbf { X } } + \varepsilon $ (2.1)</p> <p>식 (2.1)에서 다음의 가정을 한다.</p> <ol type=a start=(a)><li>$ \boldsymbol {\Gamma } $ 는 $ \boldsymbol {\Gamma } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Gamma } = \mathbf { I } _ { d } $ 을 만족하는 $ r \times d(d \leq r) $ 행렬이다. $ \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } $는 $ r \times(r-d) $ 행렬이고 다음의 두 성질을 만족한다. \[ \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } = \mathbf { I } _ { r-d } ; \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Gamma } = \mathbf { 0 } \]</li> <li>$ \boldsymbol {\varepsilon } \sim N \left (0, \mathbf {\Sigma } \in \mathbb { R } ^ { r \times r } \right ) $</li> <li>$ \boldsymbol {\Sigma } = \boldsymbol {\Gamma } \boldsymbol {\Gamma } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Sigma } \boldsymbol {\Gamma } \boldsymbol {\Gamma } ^ {\mathrm { T } } + \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } \boldsymbol {\Sigma } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } ^ {\mathrm { T } } $</li> <li>$ v_ {\mathbf { X } } $ 는 알려지지 않은 양정치 공분산 행렬을 갖는 $ d $ 차원의 설명변수 $ \mathbf { X } $ 의 함수이며, $ v $ 에 대해서 $ \sum_ {\mathrm { X } } v_ {\mathbf { X } } = \mathbf { 0 } $ 이다.</li> <li>$ \operatorname { cov } \left (v_ {\mathbf { X } } , \boldsymbol {\varepsilon } \right )= \boldsymbol { 0 } $ 이다.</li></ol> <p>식 (2.1)에서 제시된 모형에서 $ v_ {\mathbf { X } } $를 $ \mathbf { X } $로 대체하면, 이 식은 다변량 선형회귀모형이 되고, $ \boldsymbol {\Gamma } $는 회귀모수행렬이 된다. 식 (2.1)에서 제시된 모형이 위에서 제시된 조건 (a)-(e)를 만족한다는 가정 하에, (2.1)에 있는 $ \boldsymbol {\Gamma } $는 식 (1.1)을 만족하게 되어, 반응변수의 차원을 축소할 수 있다. Yoo (2018)은 $ \Gamma $에 대한 최대가능도 추정량이 $ \hat {\Sigma } _ { y } $의 가장 큰 처음의 $ d $개의 고유값에 대응하는 고유벡터들임을 증명하였고, 이 방법을 주 반응변수 차원축소 (principal response reduction; PRR)로 명명하였다. PRR에서 $ \boldsymbol {\Sigma } $은 과적합으로 인해 추정 불가능로 인해 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 차원에 대한 가능도 검정은 가능하지 않다.</p> <p>$ \mathbf { Y } = \boldsymbol {\Gamma } \boldsymbol { v } _ { x } + \boldsymbol {\varepsilon } $</p> <p>위의 모형에서 설명변수와 임의오차는 다음의 분포에서 생성되었다.</p><p>$ \mathbf{X} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} N\left(\mathbf{0}, \sigma_{x}^{2} \mathbf{I}_{5}\right) \amalg \boldsymbol{\varepsilon} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} N\left(\mathbf{0}, \sigma^{2} \boldsymbol{\Gamma} \boldsymbol{\Gamma}^{\mathrm{T}}+\sigma_{0}^{2} \boldsymbol{\Gamma}_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{\mathrm{T}}\right) $.</p> <p>위에서 " $ \amalg $ "는 통계적 독립을 의미한다. 그리고 $ \sigma_ { x } , \sigma $ 그리고 $ \sigma_ { 0 } $의 값들은 각각 $ \mathbf { X } $와 $ \boldsymbol {\Gamma } $와 $ \boldsymbol {\Gamma } _ { 0 } $에 의한 $ \boldsymbol {\varepsilon } $의 변동성을 측정한다.</p> <p>$ \Gamma $에 대해서는 다음의 두 가지 중 하나를 모형에 따라 고려하였다.</p> <p>$ \boldsymbol {\Gamma } _ { 1 } = \left ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ {\mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { 4 \times 1 } ; \boldsymbol {\Gamma } _ { 2 } = \left \{\left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0,0 \right )(0,0,1,0) \right \} ^ {\mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { 4 \times 2 } $</p> <p>위에서 기술된 회귀 모형과 변수 설정을 기반으로 다음의 네 개의 모형을 고려하였다.</p> <p>M1 $ \boldsymbol {\Gamma } = \boldsymbol {\Gamma } _ { 1 } $ and $ \boldsymbol { v } _ { x } =X_ { 1 } $. Under $ \psi=(1,0,0,0,0) $ and $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } = \left (X_ { 1 } , 0,0,0,0 \right ) ^ {\mathrm { T } } , \boldsymbol { v } _ {\mathbf { X } } = \boldsymbol {\psi } \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $. \[ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } )=(1 / 2) \left (X_ { 1 } , X_ { 1 } , X_ { 1 } , X_ { 1 } \right ) ^ {\mathrm { T } } . \] M2 $ \boldsymbol {\Gamma } = \boldsymbol {\Gamma } _ { 1 } $ and $ v_ { x } =X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } $. Under $ \boldsymbol {\psi } =(1,1,0,0,0) $ and $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } = \left (X_ { 1 } , X_ { 1 } X_ { 2 } , 0,0,0 \right ) ^ {\mathrm { T } } , \boldsymbol { v } _ {\mathbf { X } } = \boldsymbol {\psi } \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } $. \[E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } )=(1 / 2) \left (X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } , X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } , X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } , X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } \right ) ^ {\mathrm { T } } \text { . } \] M3 $ \boldsymbol {\Gamma } = \boldsymbol {\Gamma } _ { 2 } $ and $ \boldsymbol { v } _ { x } = \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } , \exp \left (X_ { 3 } \right ) \right ) ^ {\mathrm { T } } $. \[ \begin {array} { l } \text { Under } \psi= \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end {array} \right ] \text { and } \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } = \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \exp \left (X_ { 3 } \right ), 0,0 \right ) ^ {\mathrm { T } } , v_ {\mathbf { X } } = \psi \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } . \\ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } )= \left ((1 / \sqrt { 2 } ) \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ),(1 / \sqrt { 2 } ) \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ), \exp \left (X_ { 3 } \right ), 0 \right ) ^ {\mathrm { T } } . \end {array} \] M4 $ \boldsymbol {\Gamma } = \boldsymbol {\Gamma } _ { 2 } $ and $ v_ { x } = \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } , X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } \right ) ^ {\mathrm { T } } $. Under $ \psi= \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end {array} \right ] $ and $ \mathbf { f } _ {\mathbf { X } } = \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 1 } X_ { 2 } , 0,0 \right ) ^ {\mathrm { T } } , \boldsymbol { v } _ {\mathbf { X } } = \psi \mathbf { f } _ {\mathbf { X } \mathbf { X } } $. \[ E( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } )= \left ((1 / \sqrt { 2 } ) \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ),(1 / \sqrt { 2 } ) \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ), X_ { 1 } + X_ { 1 } X_ { 2 } , 0 \right ) ^ {\mathrm { T } } . \]</p> <p>위의 세가지 모형기반 반응변수 차원축소에 대한 심도있는 논의를 위해서 Yoo (2019b)를 참고하길 바란다.</p> <h1>3. 주선택 반응변수 차원축소(principal selected response reduction)</h1> <p>Yoo (2019a)은 모형기반 반응변수 차원축소에서 제시된 세 가지 방법론의 $ \boldsymbol {\Gamma } $ 추정의 다양한 모의실험 결과를 제시하고 있다. 고려된 모형에 따라 PRR 혹은 PFRR이 가장 좋은 추정결과를 보여주고 있고, UPFRR은 PRR와 PFRR 중 더 좋은 추정을 하는 방법보다는 다소 못하고, 더 나쁜 추정을 하는 방법보다는 더 우수한 추정결과를 보여준다. 따라서 UPFRR은 Yoo (2019a)에서 고려된 모든 모의실험 모형에서 극단적으로 나쁘거나 좋은 추정을 하기 보다는 PRR와 PFRR 중 더 나은 추정을 하는 방법과 유사하게 추정을 한다. 또한 $ \Gamma $의 차원 검정에서는 PFRR보다는 다소 더 안정적인 결과를 제시하고 있다. 이러한 이유로 Yoo (2019a)에서는 UPFRR을 세가지 방법 중 기본방법론으로 사용하기를 권장하고 있다. 하지만 이는 PRR과 PFRR이 UPFRR보다 더 나은 추정결과를 보여주는 것을 간과하고 있다. 따라서, 실제로는 UPFRR의 추정결과를 기반으로 PRR과 PFRR 중 하나를 선택하는 것이 더 바람직할 수 있다. 이러한 논의를 바탕으로 다음의 방법 선택 알고리듬을 제안하고자 한다. 아래의 알고리듬으로 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정하는 방법을 주선택 반응변수 차원축소(principal selected response reduction; PSRR)라고 한다.</p> <p>- 모형기반 방법 선택 알고리듬</p> <ol type=1 start=1><li>주어진 자료에 대해 UPFRR을 적합하고, $ \boldsymbol {\Gamma } $에 대한 차원 검정을 실시한다. 이때 검정을 통해 추정된 $ \boldsymbol {\Gamma } $의 차원을 $ \hat { d } $라고 하자.</li> <li>UPFRR에서 $ \boldsymbol {\Gamma } $에 대해 다음의 추정량을 얻는다: $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\mathrm { UPFRR } } = \hat {\mathbf {\Sigma } } _ {\mathrm { res } } ^ { -1 / 2 } \mathbf { B } _ {\mathrm { res } \alpha } $.</li> <li>$ \hat { d } $가 주어진 상황에서 PRR과 PFRR로 $ \boldsymbol {\Gamma } $을 추정하고 이를 각각 $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\mathrm { PRR } } $과 $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\mathrm { PFRR } } $ 이라고 하자.</li> <li>$ \mathbf { P } _ {\text { PRR } . U } = \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PRR } } \left ( \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PRR } } \right ) ^ { -1 } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } \left ( \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol { C } } _ {\text { UPFRR } } \right ) ^ { -1 } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } ^ {\mathrm { T } } $와 $ \mathbf { P } _ {\text { PFRR.U } } = \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PFRR } } \left ( \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PFRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PFRR } } \right ) ^ { -1 } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PFRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } \left ( \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } ^ {\mathrm { T } } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } \right ) ^ { -1 } \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } ^ {\mathrm { T } } $를 계산한다.</li> <li>$ \mathbf { P } _ {\mathrm { PRR } . \mathrm { U } } $와 $ \mathbf { P } _ {\mathrm { PFRR } . \mathrm { U } } $의 가장 큰 $ \hat { d } $개의 고유값의 산술평균의 제곱근을 각각 $ r_ {\mathrm { PRR } . \mathrm { U } } $와 $ r_ {\mathrm { PFRR } . \mathrm { U } } $라고 하자. 이렇게 계산된 $ r_ {\mathrm { PRR } . \mathrm { U } } $와 $ r_ {\mathrm { PFRR } . \mathrm { U } } $은 trace correlation coefficient이다. 계산된 $ r_ {\mathrm { PRR } . \mathrm { U } } $ 값이 1에 가까울 수록 PRR과 UPFRR의 동일성은 증가하게 된다. 즉 만약 $ r_ {\mathrm { PRR } . \mathrm { U } } >r_ {\mathrm { PFRR } . \mathrm { U } } $라면, UPFRR은 PRR과 더 근접하다고 할 수 있다.</li> <li>계산된 $ r_ {\text { PRR.U } } $와 $ r_ {\text { PFRR.U } } $을 바탕으로 다음과 같이 $ \boldsymbol {\Gamma } $ 를 추정한다. 만약 $ r_ {\text { PRR.U } } >r_ {\text { PRRR.U } } $라면, $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PRR } } $으로 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정한다. 만약 $ r_ {\text { PRR.U } }<r_ {\text { PERR.U } } $라면, $ \hat {\boldsymbol {\Gamma } } _ {\text { PFRR } } $으로 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정한다. 만약 $ r_ {\text { PRR.U } } =r_ {\text { PFRR.U } } $라면, $ \hat {\mathbf {\Gamma } } _ {\text { UPFRR } } $으로 $ \boldsymbol {\Gamma } $를 추정한다.</li></ol> <p>PCR 방법에서 trace correlation coefficient 대신에 vector correlation coefficient (Hotelling, 1936) 를 사용할 수 있다. 모의실험 결과 trace correlation coefficient와 vector correlation coefficient 모두 동일한 결과를 제공하기 때문에, 두 행렬간의 유사성을 계산하는 방법으로 계산이 더 간편한 trace correlation coefficient를 사용하고자 한다.</p>	자연
분할된 네트워크에 기반한 사회 네트워크 모니터링 절차	<p>마지막으로 전체 오경보율 $ \alpha $ 는 0.01로 설정하였는데, 각각의 Q 관리도의 오경보율은 식 (3.1)에 의해 계산할 수 있다.</p> <h2>4.2. 모의실험의 결과</h2> <p>관리도의 성능을 평가하기 위해 평균런길이(average run length, ARL)를 사용하였다. 런길이는 변화가 발생한 시점부터 관리도가 이상신호를 준 시점까지 관측한 표본의 개수로 정의하기 때문에, 이상상태에서의 ARL 값이 작을수록 관리도의 성능은 좋다고 평가할 수 있다. 전체 오경보율을 $ \alpha=0.01 $ 로 설정했기 때문에, 관리상태에서의 ARL값은 100 으로 고정된다. 이상상태에서의 ARL값은 모의실험을 독립적으로 10,000 번 반복 측정하여 계산한 평균값이고, 모든 Table의 각각의 경우에서 성능을 평가하기 용이하도록 가장 작은 ARL 값은 볼드체로 표기하였다.</p> <p>Table 1 은 $ N=30 $ 이고 $ p_ { 0 } =0.05 $ 인 경우의 결과이다. 먼저 $ g=0 $ 인 전역적 변화인 경우를 살펴보면, $ k=10( \%) $ 이고 $ \delta=0.05 $ 인 경우를 제외하고는 네트워크를 분할하지 않은 경우가 분할한 경우에 비해 성능을 좋음을 알 수 있다. 그러나 부분 네트워크에서 지역적 변화가 발생한 경우에는 그 결과가 반대로 나타난다. 변화의 크기가 $ k=10( \%) $ 인 부분 네트워크 1 개 $ (g=1) $ 에서 지역적 변화가 발생한 경우인 경우, $ \delta=0.05 $ 일 때에는 크기가 $ r=6 $ 인 네트워크로 분할했을 때 ARL이 가장 작았으며, $ \delta \geq 0.1 $ 일 때에는 $ r=10 $ 인 네트워크로 분할했을 때 ARL이 가장 작은 값을 갖는 것으로 나타났다. $ k=20( \%) $ 인 경우 $ r=6 $ 인 네트워크로 분할했을 때 ARL이 가장 작게 나타났으며, $ \delta=0.3 $ 인 경우에는 네트워크 분할 여부 및 분할 크기에 관계없이 유사한 성능을 갖는 것으로 나타났다. 부분 네트워크 2 개 $ (g=2) $ 에서 지역적 변화가 발생한 경우, 모든 $ \delta $ 에 대해 $ r=6 $ 인 네트워크로 분할했을 때 ARL이 가장 작은 것으로 나타났다. 이때 $ g=2 $ 인 경우는 부분 네트워크 2 개에서 각각 변화의 크기가 $ k / 2 $ 인 지역적 변화가 발생한 것을 나타낸다. 종합해 볼 때, 변화가 발생한 네트워크의 개 수와 관계없이 지역적 변화가 발생한 경우 네트워크를 분할하여 변화를 탐지하는 것이 네트워크를 분할하지 않은 경우보다 더 좋은 성능을 갖는 것을 확인할 수 있었다.</p> <p>런길이 분포의 특징을 살펴보기 위해 Table 1 의 일부 경우에 대하여 런길이의 백분위수들을 Table 2 에 표기하였다. 일반적으로 런길이는 산포가 매우 크고 우측으로 꼬리가 긴 분포를 따른다고 알려져 있는데, Table 2 에 나타난 최솟값, 최댓값, 중앙값, 평균 등을 살펴볼 때 이러한 경향을 확인할 수 있었다. 다른 경우에도 이와 유사한 경향을 나타내었다.</p> <p>Table 3은 $ N=30 $ 이고 $ p_ { 0 } =0.1 $ 인 경우의 결과이다. $ g=0 $ 인 전역적 변화인 경우 Table 1 의 결과와 유사하게, $ k=10( \%) $ 이고 $ \delta=0.05 $ 인 경우를 제외하고는 네트워크를 분할하지 않은 경우가 분할한 경우에 비해 성능을 좋음을 알 수 있다. 반면 지역적 변화가 발생한 경우에는 네트워크를 분할하는 것이 더 좋은 성능을 갖는 것으로 나타났다. 변화가 발생한 부분 네트워크의 개수가 1 개 $ (g=1) $ 인 경우에는 $ r=10 $, 개수가 2 개 $ (g=2) $ 인 경우에는 $ r=6 $ 인 네트워크로 분할했을 때 ARL이 가장 작게 나타났다. $ N=30 $ 이고 $ p_ { 0 } =0.2 $ 인 Table 4의 결과는 $ p_ { 0 } $ 가 0.05 와 0.1 인 Table 1 과 3 의 결과와 유사하게 나타났다. 연결 확률 $ p_ { 0 } $ 가 증가해도 변화 탐지 절차의 성능이 크게 달라지지 않음을 확인할 수 있었다.</p> <p>Table 5 는 $ N=60, p_ { 0 } =0.05 $ 이고, Table 6 은 $ N=120, p_ { 0 } =0.05 $ 인 네트워크에 대한 결과인데, 이전의 결과와 유사하게 $ g=0 $ 인 전역적 변화인 경우에는 네트워크를 분할하지 않은 경우의 성능이 더 좋음을 알 수 있다. Table 5 에서 지역적 변화에 대한 결과를 살펴보면, $ g=1 $ 인 경우에는 $ r=15, g=2 $ 인 경우에는 $ r=30 $ 으로 분할했을 때 성능이 가장 좋았지만, $ \delta $ 가 큰 경우(0.15 또는 0.2 이상) 네트워크 분할 여부 및 분할의 크기에 관계없이 관리도의 성능이 유사하게 나타났다. 네트워크의 크기 $ N $ 이 더 큰 Table 6 의 결과를 살펴보면, $ \delta $ 가 0.1 또는 0.15 이상인 경우 고려한 방법들 모두가 변화를 바로 탐지하는 것을 확인할 수 있다. 이와 같은 사실은 네트워크에서 변화가 발생하는 비율이 $ 10 \% $ 와 $ 20 \% $ 로 모든 경우가 동일하지만 $ N $ 이 커서 변화가 발생한 네트워크의 크기가 크기 때문이라고 판단된다.</p> <p>이 논문에서는 지역적 변화를 고려하였고, 효율적인 모니터링을 위해 네트워크를 적당한 크기로 분할한 후 분할된 네트워크(partitioned networks)를 모니터링하여 지역적 변화를 효율적으로 탐지하는 절차를 제안하고자 한다. 네트워크에 발생한 지역적 변화의 크기가 작은 경우 네트워크 전체에는 유의한 영향을 주지 않을 수 있지만 변화가 발생한 근처의 분할된 네트워크에는 유의한 영향을 줄 수 있다. 따라서 분할된 네트워크에서 변화를 탐지하는 절차는 네트워크에서 발생한 지역적 변화를 탐지하는 효율적인 방법이 될 수 있다. 또한, 전체 네트워크를 대상으로 네트워크의 변화를 탐지하는 경우 변화가 발생한 위치를 판단하는데 어려움이 있지만, 분할된 네트워크를 대상으로 변화를 탐지하면 변화가 탐지된 위치에 대한 정보를 얻을 수 있다는 장점이 있다. 분할된 네트워크를 모니터링하는 절차의 성능을 평가하기 위해 모의실험을 수행하였다. 모의실험을 통해 전체 네트워크에서 변화를 탐지하는 기존의 절차와 제안된 절차의 성능을 비교하여 제안된 절차의 효율을 평가하였다.</p> <h1>2. 사회 네트워크 모니터링</h1> <h2>2.1. 사회 네트워크 모형</h2> <p>사회 네트워크는 독립체 사이의 관계를 이용하여 사회적 시스템을 표현한 것이다. 사회 네트워크는 독립체를 나타내는 액터(actor)와 액터들 사이의 관계를 나타내는 연결(link)로 구성되어 있으며, 사람, 조직, 또는 집단 사이의 연결 관계를 의미한다. 이러한 연결관계는 그래프(sociogram) 또는 인접행렬(adjacency matrix)로 나타낼 수 있다. 꼭짓점(vertex) 또는 노드(node)라고도 불리는 액터는 개인, 조직, 또는 집단 등으로 정의되며, 네트워크의 크기를 결정한다. 즉, $ N $ 개의 액터로 구성된 네트워크의 크기는 $ N $ 으로 정의한다. 엣지(edge)라고도 불리는 연결은 두 액터 사이의 연결 관계의 수준을 나타낸다. 1 또는 0 의 값을 사용해서 두 액터 사이의 연결 여부를 나타내거나, 가중치(weight)를 사용해서 두 액터 사이의 연결의 강도를 나타낸다.</p> <p>시점 $ t $ 에서 크기가 $ N $ 인 네트워크의 인접행렬 $ C_ { t } $ 는 $ N \times N $ 행렬이며, 인접행렬의 $ i $ 행과 $ j $ 열 원소인 $ C_ { t } (i, j) $, $ i, j = 1,2, \ldots, N $ 은 액터 $ i $ 와 $ j $ 의 연결을 나타낸다. $ C_ { t } (i, j) $ 가 두 액터 사이의 연결 여부만을 나타내는 경우 $ i $ 와 $ j $ 가 서로 연결되어 있으면 1 의 값, 연결되어 있지 않으면 0 의 값을 갖는다. $ C_ { t } (i, j) $ 가 가중치로 표현되는 경우이 값은 액터 $ i $ 와 $ j $ 의 연결의 강도를 나타낸다.</p> <p>연결의 형태에 따라 네트워크의 형태를 분류할 수 있다. 연결이 액터 사이의 연결 여부만 나타내면 비가중 네트워크(unweighted network)라고 하며, 연결이 액터 사이의 연결 강도를 나타내면 가중 네트워크(weighted network)라고 한다. 또한 연결이 방향성을 가지면 방향 네트워크(directed network)라고 하며, 방향성을 가지지 않으면 비방향 네트워크(undirected network)라고 한다. 예를 들어, 어느 회사의 30명의 직원들이 시점 $ t $ 에서 사내 메일을 주고 받은 관계를 사회 네트워크로 표현하다고 하자. 이 네트워크의 크기는 30이며, 인접행렬은 $ 30 \times 30 $ 행렬이 된다. 30명의 직원이 각각의 액터이며, 메일을 주고 받은 관계가 연결이다. 직원 A(액터 1로 표현)가 B(액터 2로 표현)에게 정해진 기간 동안 3개의 메일을 보냈고, B는 A에게 메일을 보내지 않았다고 가정하자. 이를 비가중 방향 네트워크로 표현하면 $ C_ { t } (1,2)=1, C_ { t } (2,1)=0 $ 이고, 비가중 비방향 네트워크로 표현하면 $ C_ { t } (1,2)=C_ { t } (2,1)=1 $ 이 된다. 또한 가중 비방향 네트워크에서는 $ C_ { t } (1,2)=3, C_ { t } (2,1)=0 $ 이고, 가중 비방향 네트워크에서는 $ C_ { t } (1,2)=C_ { t } (2,1)=3 $ 이 된다.</p> <p>사회 네트워크를 표현하기 위해 다양한 확률 모형이 제안되었다. 각 액터나 액터들의 그룹인 커뮤니티(community)의 특성을 고려하지 않은 Erdôs와 Rényi 모형을 필두로 커뮤니티의 특성을 고려한 stochastic block model(SBM), Chung-Lu 모형, 그리고 커뮤니티의 특성뿐만 아니라 커뮤니티 내의 각 액터의 특성까지 고려한 degree corrected stochastic block model (DCSBM) 등이 있다. 그중 가장 기본적이고 단순한 모형은 Erdős-Rényi 모형으로, 이 모형은 네트워크 전체가 동일한 확률분포를 갖는다고 가정하기 때문에 크기가 작은 네트워크에 적합하다고 알려져 있다.</p> <p>절차 개발의 첫 단계이기 때문에, 이 논문에서는 가장 단순한 비가중 비방향 네트워크에서의 Erdős-Rényi 모형을 가정하였다. 비가중 비방향 네트워크에서 인접행렬은 각 원소가 1 또는 0의 값을 가지는 대칭행렬이고, 이때 각 원소는 확률이 $ p $ 인 베르누이분포(Bernoulli distribution)를 따른다고 가정한다. 네트워크의 특성을 나타내는 대표적인 통계량으로 연결 정도(degree)가 있는데, 네트워크 전체에 대한 연결 정도는 인접행렬 원소들의 전체 합으로 정의된다. 따라서 크기가 $ N $인 비가중 비방향 네트워크 전체의 연결 정도는 모수가 $ N ^ { 2 } $ 과 $ p $ 인 이항분포(binomial distribution), 즉 B $ \left (N ^ { 2 } , p \right ) $ 를 따름을 알 수 있다.</p> <h2>2.2. 사회 네트워크 모니터링의 도구</h2> <p>사회 네트워크를 모니터링한다는 것은 사회 네트워크에서 발생하는 변동 중 유의미한 변화를 찾아내는 것이 다. 사회 네트워크에서 발생하는 유의미한 변화를 탐지하기 위해 통계적 공정관리(statistical process control, SPC) 기법을 활용할 수 있는데, 이를 사회 네트워크 변화 탐지(social network anomaly detection, SNAD)라는 용어를 사용하기도 한다.</p> <p>사회 네트워크 모니터링에서 흔히 활용되는 통계적 공정관리 기법은 관리도(control chart)이다. 가장 널리 알려진 관리도의 종류는 Shewhart 관리도, 누적합(cumulative sum, CUSUM) 관리도, 지수가중이동평균 (exponentially weighted moving average, EWMA) 관리도이다. Shewhart 관리도는 Shewhart 에 의해 제 안된 관리도로서, 현재 시점의 표본 관측값만을 사용하여 공정의 상태를 판단하기 때문에 해석이 간단하며 큰 변화를 탐지하는 경우 효율적이다. Page (1954)가 제안한 누적합 관리도의 관리통계량은 현재까지 일정 기간 동안 관측된 통계량의 누적합 형태이고, Robert 가 제안한 지수가중이동평균 관리도의 관리통계량은 현재 시점에서 과거로 갈수록 지수적으로 작은 가중치를 가지는 이동평균의 형태이다. 누적합 관리도와 지수가중이동평균 관리도는 과거의 관측값 정보를 반영하기 때문에 작은 변화나 서서히 발생하는 변화를 탐지하는 경우 효율적이다.</p> <p>위에서 언급한 관리도를 적용할 때 기본적으로 품질특성치가 정규분포를 따른다고 가정한다. 그러나 상황에 따라 정규분포를 가정할 수는 없는 경우가 있는데, 이런 경우에는 근사적으로 정규분포를 따르는 관리통계량을 사용하는 Q 관리도를 사용할 수 있다. Q 관리도는 Quesenberry에 의해 제안되었다. 이 관리도는 가정한 분포를 따르는 관리통계량을 이 통계량의 누적분포함수값과 동일한 누적분포함수값을 갖는 표준정규분포 통계량으로 변환을 시킨 후, 변환된 통계량을 관리통계량으로 사용하는 관리도이다. 따라서 Q 관리도에서 사용하는 관리통계량은 근사적으로 표준정규분포를 따른다고 할 수 있다. 이 논문에서는 베르누이분포를 따르는 비가중 비방향 네트워크를 가정하고 사용하는 통계량인 연결 정도는 이항분포를 따르기 때문에, 이항분포에 대한 Q 관리도를 이용한다.</p> <p>시점 $ t $ 에서 계산된 연결 정도를 $ x_ { t } , t=1,2, \ldots $,라고 할 경우 $ x_ { t } $ 는 $ \mathrm { B } \left (N ^ { 2 } , p \right ) $ 를 따르기 때문에, 이항 누적분 포함수 $ u_ { t } $ 는 식 (2.1)과 같이 계산할 수 있다. 이 $ u_ { t } $ 를 표준정규분포 누적분포함수 $ \Phi( \cdot) $ 의 역함수에 대입하여 Q 관리도의 관리통계량 $ Q_ { t } $ 를 계산할 수 있다. 식 (2.2)와 같이 계산된 $ Q_ { t } $ 는 근사적으로 표준정규분포를 따르며, 이와 같은 형태의 $ Q_ { t } $ 를 관리통계량으로 사용하는 Shewhart 형태의 관리도를 Q 관리도라고 한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>사람들은 사회적 관계를 맺어 서로 연결되고, 그 연결이 모여 우리가 사는 세상은 거대한 네트워크를 구성하고 있다. 사람들 사이의 관계뿐만 아니라 우리 주변에 존재하는 많은 것들이 네트워크 형태로 구조화 되어있기 때문에, 네트워크는 다양한 분야에 활용되고 있다. 네트워크에 대한 초기 연구에는 고정된 한 시점에 서의 네트워크에 초점을 맞추었으나 점차 시간의 흐름에 따른 네트워크의 변화에 관한 연구가 이루어졌다. 시간의 흐름을 반영하는 네트워크를 동적 네트워크(dynamic network)라고 한다. 동적 네트워크가 시간의 흐름을 반영한다는 것은 시간의 흐름에 따라 발생하는 관계의 변화가 네트워크에 나타난다는 것을 의미한다. 동적 네트워크에 대한 관심이 동적 네트워크에서 발생하는 변화로 확대되었으며, 이에 따라 동적 네트워크에서 발생하는 변화를 탐지하고 이를 활용하는 연구가 활발하게 진행되고 있다. 이 논문은 동적 네트워크에서 발생하는 변화를 탐지하는데 그 목적이 있기 때문에, 특별한 언급이 없는 한 논문에 언급된 네트워크는 동적 네트워크의 성질을 가지고 있음을 가정한다.</p> <p>사회 네트워크에서의 변화는 개인이나 집단에게 발생한 변화에 의해 발생한다. 사회 네트워크에서 발생하는 변화는 네트워크의 구조적인 변화로 나타나며, 네트워크의 구조적인 변화는 통계적 공정관리 절차를 이용하여 이를 탐지할 수 있다. 즉, 사회 네트워크 모니터링(social network monitoring)은 통계적 공정관리 절차를 이용해 네트워크를 주기적으로 모니터링하고, 네트워크 내에서 개인 또는 집단에 의해 야기된 구조적인 변화를 탐지하는 것이다. 이를 활용해 Shetty와 Adibi, Malm과 Bichler, 그리고 Cheng과 Dickinson은 네트워크 내에서 가장 영향력 있는 구성원을 선별하여 모니터링했고, Krebs와 McCulloh와 Carley 는 테러리스트 네트워크와 같은 비밀스러운 네트워크 구조를 모니터링했다. 또한, Chau 등, Pandit 등, Phua 등, Fire 등, 그리고 Akoglu 등은 금융 거래 부정 행위와 같은 사기 등의 행위를 탐지하기 위해 사회 네트워크 모니터링 절차를 사용했다.</p> <p>네트워크에서의 변화는 발생하는 범위에 따라 전역적 변화(global change)와 지역적 변화(local change) 로 구분할 수 있다. 전역적 변화는 네트워크 전체에서 발생하는 변화를 의미하고, 지역적 변화는 네트워크의 일부에서 발생하는 변화를 의미하며 부분적으로 나타난다. 네트워크에 발생하는 변화가 전역적인지 지역적인지를 사전에 판단하기는 쉽지 않으며, 네트워크의 특성에 따라 빈번하게 발생하는 변화의 종류가 다를 것이라 생각된다. 그러나 사회 네트워크에서 발생하는 변화는 사회 전반에 걸쳐 발생하기보다 이웃을 중심으로 발생하는 것이 좀 더 일반적이기 때문에, 네트워크 전체가 아닌 일부에서 부분적인 변화로 나타나는 경우가 많은 비중을 차지한다.</p> <p>$ u_ { t } = \sum_ { y=0 } ^ { x_ { t } } \left ( \begin {array} { c } N ^ { 2 } \\ y \end {array} \right ) p ^ { y } (1-p) ^ { N ^ { 2 } -y } , \quad x_ { t } =0,1, \ldots, N ^ { 2 } $<caption>(2.1)</caption></p> <p>$ Q_ { t } = \Phi ^ { -1 } \left (u_ { t } \right ), \quad 0 \leq u_ { t } \leq 1 $<caption>(2.2)</caption></p> <p>Q 관리도에서의 관리한계(control limit)는 일반적으로 오경보율(false alarm rate)이 주어진 $ \alpha $ 를 만족하도록 설정한다. 따라서 관리상한(upper control limit, UCL) 은 UCL= $ \Phi ^ { -1 } [1-( \alpha / 2)] $, 관리하한(lower control limit, LCL)은 LCL= $ \Phi ^ { -1 } [ \alpha / 2] $ 와 같이 설정하면, 공정이 관리상태(in-control state)일 때 관리도에서 이상신호가 발생할 확률은 $ \alpha $ 가 된다.</p> <h1>3. 분할된 네트워크에 대한 모니터링</h1> <p>이 논문에서는 사회 네트워크에서 발생하는 변화를 탐지하기 위해 Q 관리도를 사용한다. 앞에서 언급한 바와 같이, 시점 $ t $ 에서의 관리통계량 $ Q_ { t } $ 는 네트워크 전체의 연결 정도 $ x_ { t } $ 를 사용하여 계산되며, $ x_ { t } $ 는 인접행렬 원소들의 전체 합으로 계산된다. 사회 네트워크에서 발생하는 변화는 그 크기와 형태가 매우 다양하다. 대부분의 변화는 전체 네트워크를 대상으로 하는 관리통계량에 반영될 수 있지만, 크기가 작은 지역적 변화는 관리통계량에 제대로 반영되지 않을 수 있다. 이 논문에서는 지역적 변화를 효율적으로 탐지하기 위해, 네트워크를 분할하여 분할된 네트워크에서 연결 정도의 변화를 탐지하는 절차를 제안하고자 한다.</p> <p>시점 $ t $ 에서 네트워크의 크기가 $ N $ 인 사회 네트워크 $ C_ { t } $ 를 $ r \times r $ 크기의 단위로 분할하면, $ (N / r) ^ { 2 } $ 개의 분할된 네트워크를 구성할 수 있다. 그런데 비가중 비방향 네트워크에서 $ C_ { t } $ 는 대칭행렬이기 때문에, 대각성분을 포함한 상삼각 부분, 즉 Figure 1에서 박스로 표시된 분할된 네트워크만 고려하고 이 네트워크에 대해서만 관리도를 작성하면 된다. 이때 고려해야 할 분할된 네트워크의 개수는 $ s=(1 / 2)(N / r)(N / r + 1) $ 이 된다. 여기서 네트워크 분할을 명확하게 수행하기 위해, 분할된 네트워크의 크기 $ r $ 은 전체 네트워크 크기 $ N $ 의 약수로 결정하기로 한다.</p> <p>$ \alpha ^ { * } =1-(1- \alpha) ^ {\frac { 1 } { s } } $</p> <p>를 만족하면 된다. 따라서 $ s $ 개의 $ Q $ 관리도의 관리한계는 $ \mathrm { UCL } = \Phi ^ { -1 } \left [1- \left ( \alpha ^ { * } / 2 \right ) \right ], \mathrm { LCL } = \Phi ^ { -1 } \left [ \left ( \alpha ^ { * } / 2 \right ) \right ] $ 로 설정할 수 있다.</p> <h1>4. 모의실험</h1> <h2>4.1. 모의실험의 모수 설정</h2> <p>분할된 네트워크에 대해 관리도를 작성하여 네트워크에서 발생하는 변화를 탐지하는 절차의 성능을 평가하고 적절한 네트워크 분할 수준을 알아보기 위해 모의실험을 수행하였다.</p> <p>모의실험을 수행하기 위한 모수는 다음과 같이 설정하였다. 네트워크의 크기 $ N $ 은 30,60,120 으로 설정하고, 각 네트워크 크기에 대하여 관리상태일 때 액터들의 연결 확률(communication rate) $ p_ { 0 } $ 는 0.05,0.1,0.2 로 설정하였다. 다음으로 네트워크의 분할은 인접행렬에서 분할된 행(또는 열)의 개수 $ N / r $ 이 4 또는 5, 3, 2, 1이 되도록 설정하였다. 여기서 1 인 경우는 분할을 하지 않은 경우를 나타낸다. 즉, 네트워크의 크기가 $ N=30 $ 일 때 분할된 네트워크의 크기 $ r $ 은 6, 10, 15, 30, $ N=60 $ 일 때 $ r $ 은 15, 20, 30, 60, 그리고 $ N=120 $ 일 때 $ r $ 은 30,40,60,120 으로 설정한 것이다.</p> <p>변화가 발생한 이상상태(out-of-control state)를 정의하기 위해 임의의 부분 네트워크(sub-network)에서 지역적 변화가 발생했다고 가정하였다. 네트워크의 인접행렬에서 액터들은 다양하게 배열될 수 있지만, 거주지역을 비롯한 어떤 특성을 기준으로 배열되는 경우가 많다. 따라서 인접한 액터들의 집합인 부분 네트워크에서 지역적 변화가 발생하는 것은 흔하게 발생할 수 있는 상황이다. 변화가 발생하는 부분 네트워크의 크기는 전체 네트워크의 $ k \% $ 로 설정하였는데, $ k $ 는 $ 10( \%) $ 과 $ 20( \%) $ 을 사용하였다.</p> <p>네트워크에서 발생하는 변화의 크기는 $ \delta $ 로 표기한다. 즉, 이상상태로 인하여 네트워크의 연결 확률이 $ p_ { 0 } $ 에서 $ p_ { 0 } + \delta $ 로 변화한다는 것인데, $ \delta $ 는 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3 으로 설정하였다. 또한 변화가 발생하는 부분 네트워크의 집단의 수를 $ g $ 라고 표기하였는데, $ g $ 는 0,1,2 로 설정하였다. $ g $ 가 1 또는 2 인 경우는 변화가 발생하는 부분 네트워크의 개수가 1 개 또는 2개인 경우로서 지역적 변화를 나타내고, $ g $ 가 0 인 경우에는 전역적 변화를 나타낸다. 지역적 변화의 경우 변화가 발생하는 부분 네트워크의 중심 위치를 랜덤하게 선택하였고, 전역적 변화인 경우 변화가 발생하는 액터들을 랜덤하게 선택하였다.</p> <p>네트워크의 크기가 $ N=30 $ 인 사회 네트워크를 분할하여 지역적 변화를 탐지한다고 가정하면, 시점 $ t $ 에 서의 인접행렬 $ C_ { t } $ 의 크기는 $ 30 \times 30 $ 이다. $ C_ { t } $ 를 $ 10 \times 10 $ 크기의 네트워크로 분할하면 $ C_ { t } $ 는 $ C_ { t, 1 } , \ldots, C_ { t, 6 } $ 으로 분할되며, $ C_ { t, 1 } $ 은 $ \left [C_ { t } (i, j) \right ]_ { 10 \times 10 } (i=1, \ldots, 10, j=1, \ldots, 10) $ 이 된다. 따라서 크기가 $ 10 \times 10 $ 인 총 $ s=6 $ 개의 분할된 네트워크에 대해 관리도를 작성하게 된다.</p> <p>$ k $ 번째 분할된 네트워크에서의 연결정도를 $ x_ { t, k } , k=1,2, \ldots, s $ 라 한다면, 분할된 네트워크에 대한 모니터링 절차는 $ x_ { t, k } $ 에 대해 이항 누적분포함수 $ u_ { t, k } $ 를 계산하고, 이를 표준정규분포 누적분포함수의 역함수에 대입하여 관리통계량 $ Q_ { t, k } $ 를 계산한 후 Q 관리도를 작성하는 것이다. 이항 누적분포함수 $ u_ { t, k } $ 를 계산할 때 분할된 네트워크의 대각원소 포함 여부에 따라 다음과 같이 구별된 모수를 사용하였다. 이 논문에서는 동일한 액터간의 의사소통인 자기루프(self-loop)는 고려하지 않기 때문에, 즉 $ C_ { t } (i, i)=0(i=1,2, \ldots, N) $ 이기 때문에, 대각원소를 포함한 분할된 네트워크는 대각원소가 0 인 대칭행렬이 된다. 따라서 이 경우 대각원소를 제외한 상삼각 부분만 고려하여 시행횟수를 나타내는 이항분포의 모수는 $ r(r-1) / 2 $ 을 사용하였다. 대각원소를 포함하지 않은 분할된 네트워크에 대한 모수는 $ r ^ { 2 } $ 을 사용하였다.</p> <p>Erdôs-Rényi 모형에서 각 액터는 서로 독립이라고 가정하기 때문에, $ C_ { t } $ 의 각 원소는 서로 독립이며 분할된 네트워크에 대한 통계량도 서로 독립이 된다. 따라서 총 $ s $ 개의 관리도는 서로 독립적으로 운영되며, 이때 작성된 관리도 중 적어도 하나의 관리도에서 관리통계량이 관리한계를 벗어나면 전체 네트워크에 연결 정도에 변화가 발생한 것으로 판단한다. 전체 오경보율이 주어진 $ \alpha $ 를 만족하도록 관리한계를 설정하려면, 각각의 관리도의 오경보율 $ \alpha ^ { * } $ 는</p> <p>모의실험 결과를 종합해 볼 때, 전역적 변화가 발생하는 경우에는 네트워크를 분할하지 않은 기존의 절차의 성능이 좋은 것으로 나타났지만, 지역적 변화가 발생하는 경우에는 본 논문에서 제안한 절차, 즉 네트워크를 분할하여 모니터링하는 것이 성능이 더 좋은 것을 알 수 있다. 네트워크의 크기 $ N $ 이 작은 경우 $ (N=30) $ 에는 변화가 발생한 부분 네트워크의 크기가 작을수록 $ (g=2) $ 더 작은 크기로 분할하는 것의 성능이 더 좋게 나타났다. $ N $ 이 어느 정도 큰 경우 $ (N=60,120) $ 에는 이러한 경향이 동일하게 나타나지 않았지만, 네트워크를 분할하여 모니터링하는 것에 대한 장점이 있음을 확인할 수가 있다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>이 논문에서는 동적 네트워크에서 발생하는 지역적 변화를 효율적으로 탐지하기 위해, 사회 네트워크를 분할하여 각각의 분할된 네트워크를 모니터링하는 절차를 제안하였다. 이 절차는 크기가 $ N $ 이고 연결 확률이 $ p_ { 0 } $ 인 네트워크에서 발생하는 지역적 변화를 효율적으로 탐지하기 위해 크기가 $ r $ 인 네트워크로 분할하는 것에 기초한다. $ r \times r $ 인 분할된 네트워크 인접행렬에서 계산된 연결 정도를 이용하여 Q 통계량을 계산하고 Q 관리도를 작성하는 것이다. 분할된 네트워크의 개수는 모두 $ s $ 개이기 때문에, 총 $ s $ 개의 서로 독립인 Q 관리도를 작성하고, 이 중 적어도 하나의 관리도에서 이상신호가 발생하면 네트워크에 변화가 발생했다고 판단한다.</p> <p>제안된 절차의 성능을 평가하기 위해 모의실험을 수행하였다. 네트워크에 전역적 변화가 발생한 경우에는 제안된 절차의 성능이 좋지 않았지만 지역적 변화가 발생한 경우에는 제안된 절차의 성능이 더 좋음을 알 수 있었고, 특히 네트워크의 크기 $ N $ 이 작은 경우 제안된 방법의 성능이 우수함을 확인하였다. 또한 $ N $ 이 작은 경우 더 작은 크기로 분할하는 것이 지역적 변화를 더 빨리 탐지함을 알 수 있었다. 관리상태에서의 연결 확률 $ p_ { 0 } $ 는 제안된 절차의 성능에 큰 영향을 주지 않았지만, $ N $ 과 변화의 크기 $ k( \%) $ 는 절차의 성능에 영향을 주는 것으로 나타났다. $ N \times k( \%) $ 가 큰 경우에는 변화가 발생한 부분 네트워크의 크기가 큰 경우이기 때문에, 분할의 크기가 관계없이 성능이 유사함을 알 수 있다.</p> <p>이 논문은 비가중 비방향 네트워크에서 지역적 변화를 탐지하기 위해 분할된 네트워크에 기반하여 관리도를 작성하는 절차를 제안하였다. 그러나 이러한 절차는 다양한 네트워크 모형에 적용이 가능하다. 예를 들어 가중 네트워크의 경우 연결 강도는 포아송 분포를 가정할 수 있다. 이 경우에는 이항분포에 기반한 Q 관리도 대신 Quesenberry가 제안한 포아송분포에 기반한 Q 관리도를 사용하면 이 논문에서 제안된 절차를 동일하게 사용할 수 있다. 향후 좀 더 다양한 사회 네트워크 모형에 대하여 분할된 네트워크에 기초한 모니터링 절차를 제안하고, 이에 대한 성능을 확인할 예정이다.</p>	자연
미분기하학	<h1>상미분방정식과 나팔곡면의 생성곡선</h1> <p>5장 2절에서 회전곡면의 성질 중에서 회전곡면이면서 극소곡면인 것은 평면이나 현수면이라는 사실을 증명하였다. 증명을 완전하게 하기 위해서는 상미분방정식의 풀이가 필요한데 여기 부록 C 에서 이와 관련된 상미분방정식의 풀이법에 대하여 알아보자. 그리고 나팔곡면의 생성곡선을 기초적인 방법으로 구하여보자.</p> <p>문제 1. 다음 미분방정식 \[ y \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } =1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } \] 의 해를 구하여라(도움말 : $ \frac { d y } { d x } =u $ 로 놓고 차수를 일차로 낮추어서 생각한다). 답: $ y=a \cosh \left ( \frac { x } { a } + b \right ) $ (단, $ a, b, c $ 는 상수)</p> <p>[풀이] $ \frac { d y } { d x } =u $ 로 놓으면 \[ \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } = \frac { d u } { d x } = \frac { d u } { d y } \cdot \frac { d y } { d x } =u \frac { d u } { d y } \] 따라서 주어진 방정식은 \[ y u \frac { d u } { d y } =1 + u ^ { 2 } \] 과 동치이다. 변수분리방법을 이용하면 \[ \frac { u } { 1 + u ^ { 2 } } d u= \frac { 1 } { y } d y \] 각각의 변수로 적분하면<caption>(C.1)</caption>\[ \frac { 1 } { 2 } \ln \left (1 + u ^ { 2 } \right )= \ln y + C( \text { 단, } C \text { 는 상수 } ) \] $ \frac { d y } { d x } =u $ 이므로 식 (C.1)은 \[ \frac { d y } { d x } =u= \sqrt { c ^ { 2 } y ^ { 2 } -1 } \] 여기서 $ C= \ln c $ 이다. 변수분리방법을 이용하여 다시 한번 적분하면(삼각함수의 치환적분 $ c y= \sec \theta $ 을 이용한다) \[ x + B= \frac { 1 } { c } \ln \left \|c y + \sqrt { c ^ { 2 } y ^ { 2 } -1 } \right \|= \frac { 1 } { c } \cosh { } ^ { -1 } (c y) \] 따라서 $ a= \frac { 1 } { c } , b=c B $ 로 눟으면 \[ y=a \cosh \left ( \frac { x } { a } + b \right ) \]</p> <p>도움정리 B. 1 $ \quad A $ 가 $ m \times n $ 행렬이고. $ B $ 가 $ n \times p $ 행렬이면 $ \|A \cdot B\| \leq n\|A\|\|B\| $</p> <p>증명 $A= \left (a_ { i j } \right ), B= \left (b_ { k l } \right ) $ 이라 하면 \[ A B= \left ( \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k j } \right )_ { m \times p } \] 삼각부등식에 의해 \[ \left \| \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k j } \right \| \leq \sum_ { k=1 } ^ { n } \left \|a_ { i k } \right \| \left \|b_ { k j } \right \| \leq\|A\| \sum_ { k=1 } ^ { n } \left \|b_ { k j } \right \| \leq n\|A\|\|B\| \] 따라서 \[ \begin {aligned} \|A B\| &= \max \left \{\left \| \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k j } \right \|: i=1, \cdots, m, j=1, \cdots, p \right \} \\ & \leq n\|A\|\|B\| \end {aligned} \]</p> <p>2장 3절의 본문에서는 다변함수의 미분을 기하학적 관점에서 살펴보았다. 여기서는 보더 더 해석학적인 관점에서 알아보자. $ D $ 가 $ \mathbb { R } ^ { m } $ 의 개집합일 때 이를 $ D \subset \mathbb { R } ^ { m } $ 으로 나타내자. 함수 $ F: D \subset \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 과 점 $ \mathrm { a } \in D $ 에 대하여, $ n \times m $ 행렬 $ A $ 가 존재하여 $ \| \mathrm { h } \| \rightarrow 0 $ 일 때,<caption>(B.1)</caption>\[ \frac { F( \mathbf { a } + \mathrm { h } )-F( \mathbf { a } )-A \cdot \mathrm { h } } { \| \mathrm { h } \| } \rightarrow 0 \] 을 만족시키면 $ F $ 가 점 $ \mathrm { a } $ 에서 미분가능하다고 하고, 이 때 점 $ \mathrm { a } $ 에서 함수 $ F $ 의 도함수를 $ d F_ {\mathrm { a } } =A $ 로 정의한다. $ D $ 가 개집합이므로 $ \mathrm { a } \in D $ 일 때 벡터 $ \mathrm { h } $ 의 크기가 충분히 작으면 $ \mathrm { a } + \mathrm { h } \in \mathrm { D } $ 가 성립하므로 식 (B.2)는 잘 정의된다. 기하학적 관점에서 보면 접벡터 $ \mathrm { v } \in \mathrm { T } _ {\mathrm { a } } \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대하여 \[ d F_ {\mathrm { a } } ( \mathbf { v } )=F_ { * } ( \mathrm { v } )=A \cdot \mathrm { v } \] 이다. 즉, 함수 $ F $ 가 점 $ \mathrm { a } $ 에서 미분가능하면 도함수는 야코비행렬 $ d F_ {\mathrm { a } } = \Im F( \mathrm { a } ) $ 로 주어진다. 다변수함수에 대해서도 합성함수의 미분법인 연쇄법칙을 만족시키고 또한 다음 정리도 성립한다.</p> <p>참고 B.8 음함수의 정리에서 $ f(x, y, g(x, y))=0 $ 을 만족시키는 미분가능한 함수 $ g $ 를 음함수라고 한다. 음함수는 국소적으로 (적어도 집합 $ B $ 가 연결집합이면) 유일하다는 것을 보일 수 있다. $ g_ { 0 } $ 이 음함수의 정리의 결론을 모두 만족시키는 또 다른 음함수이면 \[ g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=g_ { 0 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=z_ { 0 } \] 이고. $ g_ { 0 } $ 이 연속함수이므로 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방 $ B_ { 0 } \subset B $ 를 $ V $ 로 사상시킨다. $ (x, y) \in B $ 에 대하여 $ f \left (x, y, g_ { 0 } (x, y) \right )=0 $ 이므로 \[ F(x, y, g(x, y))= \left (x, y, f \left (x, y, g_ { 0 } (x, y) \right ) \right )=(x, y, 0) \] 따라서 \[ \left (x, y, g_ { 0 } (x, y) \right )=G(x, y, 0)=(x, y, h(x, y, 0))=(x, y, g(x, y)) \] 그러므로 $ B_ { 0 } $ 에서 $ g_ { 0 } =g $ 이고, 이것은 집합 \[ B_ { 1 } = \left \{\mathbf { q } \in D \left \|g( \mathbf { q } )-g_ { 0 } ( \mathbf { q } ) \right \|=0 \right \} \] 이 개집합이라는. 것을 보여준다. 또, $ g $ 와 $ g_ { 0 } $ 은 연속함수이므로 $ B_ { 1 } $ 은 폐집합이기도 하다. $ B $ 가 연결집합이므로 $ B_ { 1 } =B $ 가 성립하다. 따라서, $ g=g_ { 0 } $ 이다.</p> <p>보기 B.9 $ f: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } $ 를 $ f(x, y, z)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -1 $ 이라 정의하자. $ \mathrm { p } =(0,0,1) $ 이라 하면 $ f( \mathrm { p } )=0 $ 이고 \[ \frac {\partial f } {\partial z } ( \mathrm { p } )=f_ { z } ( \mathrm { p } ) \neq 0 \] 이므로 음함수의 정리에 의해 $ (0,0) $ 의 열린근방 $ D $ 와 음함수 $ g: D \rightarrow \mathbb { R } $ 가 존 재하여 $ g(0,0)=1 $ 이고. $ f(x, y, g(x, y))=0 $ 을 만족시킨다. 실제로, 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -1=0 $ 을 풀면 \[ z= \pm \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \] 이므로 \[ g(x, y)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \] 이다. $ D $ 는 단위원판 $ \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 }<1 \right \} $ 로 택하면 된다.</p> <p>정리 B.2 함수 $ F: D \subset \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $이 1-1이고 $ F( \mathrm { a } )= \mathrm { b } $ 라 하자. $ F $ 가 점 $ \mathrm { a } $에서 미분가능하고 역함수 $ G: F(D) \rightarrow D $가 점 $ \mathrm { b } $에서 미분가능하면 \[ d G_ {\mathrm { b } } = \left (d F_ {\mathrm { s } } \right ) ^ { -1 } \]</p> <p>증명 각 점 $ \mathrm { p } \equiv D $에 대하여 \[ G=F( \mathrm { p } )= \mathrm { p } \]이므로 연쇄법칙을 적용하면 \[ d G_ {\mathrm { b } } =d F_ {\mathrm { a } } =I_ { n } (n \times n 항등행렬 ) \]</p> <p>역함수의 정리는 수학의 여러 분야에서 자주 쓰이는 매우 중요한 정리이다. 다변수 해석학 입장에서 보면 많은 이론을 필요로 하는 멋진 정리이기도 하다. 그러나 증명이 간단하지 않을 뿐더러 증명을 완벽하게 하기 위해서는 많은 수학적 지식이 필요하다. 저자의 생각으로는 증명을 완벽하게 할 수 있는 것도 중요하지만 역함수의 정리를 정확히 이해하고 필요한 경우에 이용할 수 있는 능력을 키우는 것이 더 중요하다고 본다. 지금부터는 역함수정리를 증명하기 위한 여러 가지 도움정리를 열거하고 증명하기로 한다.</p> <p>도움정리 B.3 $ F: D \subset \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 을 미분가능한 함수라 하자. 검 $ \mathrm { a } \in D $ 에서 $ d F_ {\mathrm { s } } $가 정칙행렬이면 양수 $ \epsilon>0, \delta>0 $ 이 존재하여 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in C( \mathbf { a } ; \delta) $이면 \[ \|F( \mathrm { p } )-F( \mathrm { q } )\| \geq \epsilon\| \mathrm { p } - \mathrm { q } \| \]를 만족시킨다. 특히, $ F $는 $ C( \mathbf { a } ; \delta) $ 에서 1-1함수이다.</p> <p>문제 2. 함수 $ y=h(x) $ 가 $ y $ 축의 점 $ (0, c) $ (단, $ c>0 $ )을 출발하여 그 함수의 접선이 정확히 $ c $ 만큼 떨어진 점에서 $ x $ 축과 만나면 함수 $ h(x) $ 는 다음 미분방정식 \[ h ^ {\prime } (x)=- \frac { h(x) } {\sqrt { c ^ { 2 } -h(x) ^ { 2 } } } \] 를 만족시킴을 보여라.</p> <p>[풀이] $ \left (x_ { 0 } , h \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $ 을 주어진 곡선 위의 임의의 점이라 하면 그 점에서의 접선의 방정식은 \[ y-h \left (x_ { 0 } \right )=h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) \] 이 접선의 $ x $ 절편을 구하면 $ y=0 $ 으로부터 \[ x=x_ { 0 } - \frac { h \left (x_ { 0 } \right ) } { h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } \] 따라서 점 $ \left (x_ { 0 } , h \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $ 과 $ x $ 절편 $ \left (x_ { 0 } - \frac { h \left (x_ { 0 } \right ) } { h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } , 0 \right ) $ 사이의 거리는 \[ c ^ { 2 } = \left ( \frac { h \left (x_ { 0 } \right ) } { h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } \right ) ^ { 2 } + h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } =h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \left (1 + \frac { 1 } { h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } \right ) \] 이 식을 $ h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) $ 에 대하여 풀면 \[ h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } = \frac { h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } -h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } \] $ h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )<0 $ 이므로 \[ h ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )=- \frac { h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } {\sqrt { c ^ { 2 } -h \left (x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } } \] $ x_ { 0 } $ 은 임의의 점이므로 함수 $ h $ 는 \[ h ^ {\prime } (x)=- \frac { h(x) } {\sqrt { c ^ { 2 } -h(x) ^ { 2 } } } \] 를 만족시킨다.</p> <p>$ A=d F_ {\mathrm { a } } $ 로 놓으면 가정에 의해 $ n \times n $ 행렬 $ A $ 는 정칙행렬이므로 역행렬 $ A ^ { -1 } $ 이 존재한다. 도움정리 B.1에 임의의 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대하여<caption>(B.3)</caption>\[ \| \mathrm { p } - \mathrm { q } \|= \left \|A ^ { -1 } (A \mathrm { p } -A \mathrm { q } ) \right \| \leq n \left \|A ^ { -1 } \right \|\|A \mathrm { p } -A \mathrm { q } \| \] 따라서 $ \epsilon $ 을 \[ 2 \epsilon= \frac { 1 } { n \left \|A ^ { -1 } \right \| } \] 로 택하면 식 (B.3)으로부터<caption>(B.4)</caption>\[ \|A \mathrm { p } -A \mathrm { q } \| \geq 2 \epsilon\| \mathrm { p } - \mathrm { q } \| \] 이 때 함수 $ G $ 를 \[ G( \mathbf { p } )=F( \mathbf { p } )-A \mathrm { p } \] 로 정의하면 $ G $ 는 미분가능한 함수이고 $ d G=d F-A $ 이므로 \[ d G_ {\mathrm { a } } =d F_ {\mathrm { a } } -A=A-A=0 \] $ d G $ 의 연속성에 의해 위에서 주어진 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ \delta>0 $ 이 존재하여 $ \mathrm { p } \in C( \mathrm { a } ; \delta) $이면 \[ \left \|d G_ {\mathrm { p } } \right \|< \frac {\epsilon } { n } \] $ G $ 의 $ i $ 번째 성분함수 $ g_ { i } $ 에 중간값의 정리를 적용하면 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in C( \mathbf { a } ; \delta) $ 에 대하여 $ \mathrm { b } \in C( \mathbf { a } ; \delta) $ 가 존재하여 \[ \begin {aligned} \left \|g_ { i } ( \mathrm { p } )-g_ { i } ( \mathrm { q } ) \right \| &= \left \|d g_ { i } ( \mathrm { ~b } ) \cdot( \mathbf { p } - \mathbf { q } ) \right \| \leq n \left \|d g_ { i } ( \mathbf { b } ) \right \| \mid \mathbf { p } - \mathbf { q } \\ & \leq n \left \|d G_ {\mathbf { b } } \right \| \mathbf { p } - \mathbf { q } \|< \epsilon\| \mathbf { p } - \mathbf { q } \mid \end {aligned} \] 즉, \[ \|G( \mathbf { p } )-G( \mathbf { q } )\|= \max _ { 1 \leq i \leq n } \left \{ g_ { i } ( \mathbf { p } )-g_ { i } ( \mathbf { q } ) \right \} \leq \epsilon\| \mathbf { p } - \mathbf { q } \| \] 따라서 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in C( \mathbf { a } ; \delta) $ 이면 식 (B.4)에 의해 \[ \begin {aligned} \epsilon\| \mathrm { p } - \mathrm { q } \| & \geq\|G( \mathbf { p } )-G( \mathbf { q } )\|=\|(F( \mathbf { p } )-A( \mathbf { p } ))-(F( \mathrm { q } )-A( \mathbf { q } ))\| \\ & \geq\|A \mathrm { q } -A \mathrm { p } \|-\|F( \mathbf { q } )-F( \mathbf { p } )\| \geq 2 \epsilon\| \mathbf { q } - \mathbf { p } \|-\|F( \mathbf { q } )-F( \mathbf { p } )\| \end {aligned} \]</p> <h1>B 역함수의 정리와 음함수의 정리</h1> <p>부록 B 에서는 2장 3절에서 언급하였던 역함수의 정리(정리 2.3.14)와 음함수의 정리 (정리 2.3.15)에 대하여 설명하기로 한다. 여기서는 역함수의 정리와 음함수의 정리의 증명만 제시하고 이 정리의 응용이나 관련된 내용에 대해서는 다름 참고 문헌으로 대신하기로 한다. 점 $ \mathrm { p } = \left (p_ { 1 } , \cdots, p_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대하여 $ \\| \mathrm { p } \\| $ 를 \[ \\| \mathbf { p } \\|= \sqrt { p_ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + p_ { n } ^ { 2 } } \] 으로 정의하고 이를 유클리드 크기(Euclidean norm)라고 한다. 또, $ \| \mathbf { p } \| $ 를 \[ \| \mathbf { p } \|= \max \left \{\left \|p_ { 1 } \right \|, \cdots, \left \|p_ { n } \right \| \right \} \] 으로 정의하고 이를 최대값 크기(sup norm)라고 한다. 이 두 크기에 대하여<caption>(B.1)</caption>\[ \| \mathbf { p } \| \leq \\| \mathbf { p } \\| \leq \sqrt { n } \| \mathbf { p } \| \] 가 성립함을 쉽게 보일 수 있다. 한편, 두 점 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대하여 \[ d_ { e } ( \mathrm { p } , \mathrm { q } )= \\| \mathrm { p } - \mathrm { q } \\|, d_ { s } ( \mathrm { p } , \mathrm { q } )=\| \mathrm { p } - \mathrm { q } \| \] 로 정의하면 $ d_ { e } , d_ { s } $ 는 각각 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 거리계량(metric)이다. 즉, 다음 조건을 만족시킨다.<ol type=i start=1><li>$ d( \mathrm { p } , \mathrm { q } )=d( \mathrm { q } , \mathrm { p } ) $</li> <li>$ d( \mathrm { p } , \mathrm { q } ) \geq 0 $ 이고 $ d( \mathrm { p } , \mathrm { q } )=0 \Leftrightarrow \mathrm { p } = \mathrm { q } $</li> <li>$ d( \mathbf { p } , \mathbf { r } ) \leq d( \mathbf { p } , \mathbf { q } ) + d( \mathbf { q } , \mathbf { r } ) $</li></ol>$ d_ {\varepsilon } $ 를 유클리드 거리계량(Euclidean metric)이라 하고 $ d_ { s } $ 를 최대값 거리계량(sup metric)이라고. 한다. 부등식 (B.1)에 의해 $ d_ { e } $ 와 $ d_ { s } $ 는 서로 동치인 거리계량이므로 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에 같은 위상구조를 생성한다. $ \mathrm { a } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 을 한 점이라 하고. $ \delta>0 $ 이라 할 때, \[ B( \mathbf { a } ; \delta)= \left \{\mathbf { p } \in \mathbb { R } ^ { n } \|\| \mid \mathbf { p } - \mathbf { a } \\|< \delta \right \} \] 로 정의하고, $ B( \mathrm { a } ; \delta) $ 를 중심이 $ \mathrm { a } $ 이고 반지름의 길이가 $ \delta $ 인 열린공(open ball)이라고. 한다. 그리고. $ C( \mathbf { a } ; \delta) $ 를 \[ C( \mathbf { a } ; \delta)= \left \{\mathbf { p } \in \mathbb { R } ^ { n } \|\| \mathbf { p } - \mathbf { a } \mid< \delta \right \} \] 로 정의하고 이를 열린입방체(open cube)라고 한다. 두 집합 모두 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 개부분집합으 로 위상구조의 기본을 이루고. 있는 집합이다. 식 (B.1)에 의해 \[ B( \mathrm { a } ; \delta) \subset C( \mathrm { a } ; \delta) \subset B( \mathrm { a } ; \sqrt { n } \delta) \] 이 성립한다. $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 할 때 $ \|A\| $ 를 \[ \|A\|= \max \left \{\left \|a_ { i j } \right \|: i=1, \cdots, m, j=1, \cdots, n \right \} \] 으로 정의한다. 그러면 $ \|A\| $ 는 $ m \times n $ 행렬 전체의 집합에서 정의된 크기(norm)가 된다. 더욱이 다음 정리가 성립한다.</p> <p>도움정리 B.4 $ f: D \subset \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } $ 이 미분가능한 함수이고 $ a \in D $ 가 $ f $ 의 극점(극대점 또는 극소점)이면 $ d f_ {\mathrm { a } } =0 $ 이다.</p> <p>증명 극점의 정의와 미적분학을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.</p> <p>다음 정리는 역함수의 정리를 증명하는데 있어서 결정적인 역할을 하는 중요한 정리로 정의역 불변정리(Invariance of Domain)라고 한다.</p> <p>정리 B.5 미분가능한 1-1 함수 $ F: D \subset \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대하여 각 점 $ \mathrm { p } \in D $ 에서 $ d F_ {\mathrm { p } } $ 가 정칙행렬이면 $ F(D) $ 는 개집합이고. $ F $ 의 역함수 $ G: F(D) \rightarrow D $ 도 미분가능하다.</p> <p>증명 (단계 1) $ F(D) $ 는 개집합이다. $ \mathrm { b } \in F(D) $ 에 대하여 $ Q= \left [a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ] \times \left [a_ { 2 } , b_ { 2 } \right ] \times \cdots \times \left [a_ { n } , b_ { n } \right ] $ 을 $ \mathrm { a } =F ^ { -1 } ( \mathrm { ~b } ) \in $ $ Q \subset D $ 인 $ n $ 차원 입방체라고. 하자. $ Q $ 의 경계 $ \partial Q $ 는 옹골집합이므로 유계인 폐집합이다. 따라서 치역 $ F( \partial Q) $ 도 옹골집합이므로 유계인 폐집합이다. $ F $ 가 $ 1-1 $ 이므로 $ \mathrm { b } \in F(Q) $ 이고. $ \mathrm { p } \notin F( \partial Q) $ 이다. $ F( \partial Q) $ 가 폐집합이므로<caption>(B.5)</caption>\[ B( \mathrm { ~b } ; 2 \delta) \cap F( \partial Q)= \varnothing \] 을 만족시키는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. 이 때 \[B( \mathrm { ~b } ; \delta) \subset F(D) \] 임을 보이자. 그러면 $ F(D) $ 가 개집합이다. $ \mathrm { c } \in B( \mathrm { ~b } ; \delta) $ 에 대하여 실함수 $ \phi $ 를 \[ \phi( \mathrm { p } )= \\|F( \mathrm { p } )- \mathrm { c } \\| ^ { 2 } \] 으로 정의하면 $ \phi $ 는 미분가능하다. $ Q $ 가 옹골집합이므로 $ \phi $ 는 $ Q $ 에서 최소값을 갖는다. \[ \phi \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )= \min \{\phi( \mathrm { p } ) \mid \mathrm { p } \in Q \} \] 라 하고. $ F \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )= \mathrm { c } $ 임을 보이자. \[ \phi( \mathbf { a } )= \\|F( \mathbf { a } )- \mathrm { c } \\| ^ { 2 }< \delta ^ { 2 } \] 이므로 $ \phi \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )< \delta ^ { 2 } $ 이다. $ \mathrm { p } _ { 0 } \in \partial Q $ 이면 식 (B.5)에 의해 \[ F \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right ) \in F(D)-B( \mathrm { ~b } ; 2 \delta) \] 이므로 $ \left \\|F \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )- \mathrm { c } \right \\| \geq \delta $ 이다. 따라서 $ \mathrm { p } _ { 0 } \in \operatorname { Int } (Q)= \left ( \mathrm { a } _ { 1 } , \mathrm { ~b } _ { 1 } \right ) \times \cdots \times \left ( \mathrm { a } _ { n } , \mathrm { ~b } _ { n } \right ) $ 이다. $ \phi $ 가 $ Q $ 의 내부에 속하는 점 $ \mathrm { p } _ { 0 } $ 에서 최소값을 가지므로 $ \phi \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right ) $ 은 극소값이고. 따라서 $ \mathrm { p } _ { 0 } $ 에서 $ \phi $ 의 도함수가 0이다. $ F= \left (f_ { 1 } , f_ { 2 } , \cdots, f_ { n } \right ), \mathrm { c } = \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } , \cdots, c_ { n } \right ) $ 으로 $ \frac { 2 } { 8 } $ 으면 \[ \phi( \mathrm { p } )= \sum_ { k=1 } ^ { n } \left (f_ { k } ( \mathrm { p } )-c_ { k } \right ) ^ { 2 } \] 이므로 \[ \frac {\partial \phi } {\partial x_ { j } } ( \mathrm { p } )= \sum_ { k=1 } ^ { n } 2 \left (f_ { k } ( \mathrm { p } )-c_ { k } \right ) \frac {\partial f_ { k } } {\partial x_ { j } } ( \mathrm { p } ) \] 따라서 식 $ d \phi \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )=0 $ 을 행렬로 나타내면 \[ 2 \left (f_ { 1 } \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )-c_ { 1 } , \cdots, f_ { n } \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )-c_ { n } \right ) \cdot d F_ {\mathrm { p } _ { 0 } } =2 \left (F \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )- \mathrm { c } \right ) \cdot d F_ {\mathrm { p } _ { 0 } } =0 \] $ d F_ {\mathrm { p } _ { 0 } } $ 가 정칙행렬이므로 \[ F \left ( \mathrm { p } _ { 0 } \right )- \mathrm { c } =0 \]</p> <p>(단계 2) $ G: F(D) \rightarrow D $ 를 $ F $ 의 역함수라 하면 $ G $ 는 연속함수이다. $ U \subset D $ 를 개집합이라 하고 $ G ^ { -1 } (U)=V $ 라 하면 $ F(U)=V $ 이고. (단계 1)에 의해 $ V $ 는 개집합이다. 따라서 $ G $ 는 연속함수이다.</p> <p>(단계 3) $ G $ 의 도함수 $ d G $ 가 존재한다. $ \mathrm { b } \in F(D) $ 에 대하여 $ G( \mathrm { ~b } )= \mathrm { a } \in D $ 이고. $ A=d F_ {\mathrm { a } } $ 라 하자. $ G $ 가 점 $ \mathrm { b } $ 에서 미분가능하다는 것을 보이기 위해 \[ H( \mathrm { k } )= \frac { G( \mathrm { ~b } + \mathrm { k } )-G( \mathrm { ~b } )-A ^ { -1 } \cdot \mathrm { k } } { \| \mathrm { k } \| } \] 가 $ \mathrm { k } \rightarrow 0 $ 일 때 0 으로 수렴함을 보이면 된다. 이로부터 $ G $ 가 점 $ \mathrm { b } $ 에서 미분가능하고. $ d G_ {\mathrm { b } } =d F_ {\mathrm { a } } =A ^ { -1 } $ 임을 알 수 있다. $ \Delta \mathrm { k } =G( \mathrm { ~b } + \mathrm { k } )-G( \mathrm { ~b } ) $ 로 정의할 때, 양수 $ \epsilon>0 $ 이 존재하여 $ 0<\| \mathrm { k } \|< \epsilon $ 이면 \[ \frac { \| \Delta \mathrm { k } \| } { \| \mathrm { k } \| } \] 가 유계임을 보이자. 도움정리 B. 3에 의해 $ \mathrm { a } $ 의 입방체 $ C=C( \mathbf { a } ; \delta) $ 와 $ \lambda>0 $ 이 존재하여 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in C $ 이면<caption>(B.6)</caption>\[ \quad\|F( \mathrm { p } )-F( \mathrm { q } )\| \geq \lambda \mathrm { p } - \mathrm { q } \mid \] 를 만족시킨다. (단계 1)에 의해 $ F(C) $ 는 점 $ \mathrm { b } $ 의 열린근방이므로 충분히 작은 양수 $ \epsilon>0 $ 을 택하면 $ \| \mathrm { k } \|< \epsilon $ 일 때 $ \mathrm { b } + \mathrm { k } \in F(C) $ 이도록 할 수 있다. $ \mathrm { p } =G( \mathrm { ~b } + \mathrm { k } ), \mathrm { q } =G( \mathrm { ~b } ) $ 로 눟으면 식 (B.6)에 의해 \[ \| \mathrm { b } + \mathrm { k } - \mathrm { b } \| \geq \lambda\|G( \mathrm { ~b } + \mathrm { k } )-G( \mathrm { ~b } )\| \] 즉, \[ \frac { 1 } {\lambda } \geq \frac { \| \Delta \mathrm { k } \| } { \| \mathrm { k } \| } \] 이제 $ \mathrm { k } \rightarrow 0 $ 일 때 $ G( \mathrm { k } ) \rightarrow 0 $ 임을 보이자. $ 0<\| \mathrm { k } \|< \epsilon $ 이면 \[ \begin {aligned} H( \mathrm { k } ) &= \frac {\Delta \mathrm { k } -A ^ { -1 } \mathrm { k } } { \| \mathrm { k } \| } \\ &=-A ^ { -1 } \left [ \frac {\mathrm { k } -A \Delta \mathrm { k } } { \| \Delta \mathrm { k } \| } \right ] \cdot \frac { \| \Delta \mathrm { k } \| } { \| \mathrm { k } \| } \end {aligned} \] (G가 1-1이므로 $ \mathrm { k } \neq 0 $ 이면 $ \Delta \mathrm { k } \neq 0 $ 이다) $ A ^ { -1 } $ 은 고정된 행렬이고, $ \frac { \| \Delta \mathrm { k } \| } {\mathrm { k } \mid } $ 는 유계이므로 $ \mathrm { k } \rightarrow 0 $ 일 때 \[ \frac {\mathrm { k } -A \Delta \mathrm { k } } {\Delta \mathrm { k } } \rightarrow 0 \] 임을 보이면 된다. \[ \mathrm { b } + \mathrm { k } =F(G( \mathrm { ~b } + \mathrm { k } ))=F(G( \mathrm { ~b } ) + \Delta \mathrm { k } )=F( \mathrm { a } + \Delta \mathrm { k } ) \] 이므로 \[ \frac {\mathrm { k } -A \Delta \mathrm { k } } { \| \Delta \mathrm { k } \| } = \frac { F( \mathrm { a } + \Delta \mathrm { k } )-F( \mathrm { a } )-A \Delta \mathrm { k } } { \| \Delta \mathrm { k } \| } \] $ \mathrm { k } \rightarrow 0 $ 이면 $ G $ 는 연속함수이므로 $ \Delta \mathrm { k } \rightarrow 0 $ 이고. 따라서 $ F $ 의 미분가능성에 의해 \[ \frac {\mathrm { k } -A \Delta \mathrm { k } } { \| \Delta \mathrm { k } \| } \rightarrow 0 \] 이다.</p> <p>정리 B.7 음함수의 정리 $ f: \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } $ 이 미분가능한 함수라고 하자. 점 $ \mathrm { p } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 $ f( \mathrm { p } )=0 $ 이고 $ \frac {\partial f } {\partial z } ( \mathrm { p } ) \neq 0 $ 이면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방 $ D $ 와 미분가능한 함수 $ g: D \rightarrow \mathbb { R } $ 가 존재하여 $ \quad z_ { 0 } =g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이고. $ (x, y) \in D $ 에 대하여 $ f(x, y, g(x, y))=0 $ 을 만족시킨다.</p> <p>증명 함수 $ F: \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 을 \[ F(x, y, z)=(x, y, f(x, y, z)) \] 로 정의하면 $ F $ 는 미분가능하고. $ F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , 0 \right ) $ 이다. \[ d F= \left ( \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ f_ { x } & f_ { y } & f_ { z } \end {array} \right ) \] 이므로 \[ \operatorname { det } \left (d F_ {\mathrm { p } } \right )=f_ { z } ( \mathrm { p } )= \frac {\partial f } {\partial z } ( \mathrm { p } ) \neq 0 \] 따라서 역함수의 정리에 의해 점 $ \mathrm { p } $ 의 근방 $ U \times V \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } $ 가 존재하여 \[ F: U \times V \rightarrow F(U \times V):=W \subset \mathbb { R } ^ { 3 } \] 는 미분동형사상이 된다. 또 $ F $ 의 역함수 $ G: W \rightarrow U \times V $ 도 미분가능하다. 더욱이<caption>(B.7)</caption>\[ \quad F( \mathrm { p } )=F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , 0 \right ) \in W \] $ F(x, y, z)=(x, y, f(x, y, z)) $ 이므로 \[ (x, y, z)=G(x, y, f(x, y, z)) \] 따라서 $ G $ 는 $ F $ 와 같이 앞의 두 좌표함수 $ x, y $ 를 보존하므로 $ G $ 를 \[ G(x, y, z)=(x, y, h(x, y, z)) \] 의 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 $ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } , z \in \mathbb { R } $ 이고. $ h: W \rightarrow \mathbb { R } $ 는 미분가능한 함수이다. $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 열린근방 $ B \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 을 충분히 작게 택하여 $ B \times 0 \subset W $ 이고. $ B $ 는 연결집합이라.고. 가정해도 된다. $ (x, y) \in B $ 이면 $ (x, y, 0) \in W $ 이므로 \[ G(x, y, 0)=(x, y, h(x, y, 0)) \] \[ (x, y, 0)=F(x, y, h(x, y, 0))=(x, y, f(x, h(x, y, 0))) \] 따라서 $ f(x, y, h(x, y, 0))=0 $ 이다. $ (x, y) \in B $ 에 대하여 \[ g(x, y)=h(x, y, 0) \] 으로 정의하면 $ g $ 는 미분가능하고. $ f(x, y, g(x, y))=0 $ 을 만족시킨다. 더욱이 (B.7)에 의해 \[ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=G \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , 0 \right )= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , h \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , 0 \right ) \right ) \] 이므로 \[ g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=z_ { 0 } \] 이다</p> <h1>A 대칭행렬, 고유값과 고유벡터</h1> <p>부록 A에서는 4장에서 증명 없이 사용하였던 대수적 성질인 대칭행렬의 고유값과 고유벡터에 관한 정리를 증명한다. 여기서 다루는 내용은 일반적으로 $ n $ 차원 유클리드 공간에서 성립하는 성질이지만 정칙곡면의 접평면이 2 차원이므로 2 차원 유클리드 공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에 국한해서만 이야기하기로 한다. 우선 미적분학이나 다변수해석학에서 나오는 내용으로 제한 영역에서 주어지는 미분가능한 함수의 최대값 또는 최소값을 구하는 방법인 라그랑주 배수법을 설명하기로 한다.</p> <p>정리 A.1 라그랑주 배수섭 $ f, g: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } $ 를 미분가능한 함수라 하고 실수 $ c $ 에 대하여 $ g $ 의 등위선 $ S: g(x, y) = c $ 이 공집합이 아니라.고 가정하자. 함수 $ f $ 를 집합 $ S $ 에 제한했을 때, 점 $ (a, b) $ 에서 극값(극대값 또는 극소값)을 가지면 다음 식 \[ \nabla f(a, b)= \lambda \nabla g(a, b) \] 를 만족시키는 실수 $ \lambda $ 가 존재한다(단, $ \nabla g(a, b) \neq(0,0)) $.</p> <p>증명 $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow S $ 가 $ \alpha(0)=(a, b) $ 인 $ S $ 의 곡선이면 $ (g \circ \alpha)(t)=c $ 이므로 $ t $ 에 관해 미분하면 \[ \nabla g \cdot \alpha ^ {\prime } (t)=0 \] 특히, $ \nabla g(a, b) $ 는 점 $ (a, b) $ 에서 등위선 $ S $ 에 수직인 벡터이다. 한편, 함수 $ f $ 는 점 $ (a, b) $ 에서 극값을 가지므로 \[ \nabla f(a, b) \cdot \alpha ^ {\prime } (0)= \left . \frac { d } { d t } (f \circ \alpha) \right \|_ { t=0 } =0 \] 따라서 $ \nabla f(a, b) $ 와 $ \nabla g(a, b) $ 가 점 $ (a, b) $ 에서 $ S $ 에 수직하므로 벡터 $ \nabla f(a, b) $ 와 $ \nabla g(a, b) $ 는 서로 평행하다. 즉. \[ \nabla f(a, b)= \lambda \nabla g(a, b) \] 를 만족시키는 실수 $ \lambda $ 가 존재한다. $ A= \left (a_ { i j } \right ) $ 를 $ 2 \times 2 $ 대칭행렬이라 할 때, 함수 $ f: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } $ 를 \[ f(x, y)=(x, y) A \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )=a_ { 11 } x ^ { 2 } + 2 a_ { 12 } x y + a_ { 22 } y ^ { 2 } \] 로 정의하자. 그러면 $ f $ 는 미분가능한 함수이고. 그래디언트 $ \nabla f(x, y) $ 는 (A.1) \[ \nabla f(x, y)=2 A \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \] 으로 주어진다. $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 단워원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 은 옹골집합이고 $ f $ 는 연속함수이므로 $ f $ 를 단워원에 제한하면 최대값과 최소값을 갖는다. $ \mathrm { v } = \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } \right ) $ 에서 함수 $ f $ 가 최대값을 갖는다고. 하고 함수 $ g $ 를 $ g(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 으로 정의하면 라그랑주 배수법에 의해 (A.2) \[ \nabla f( \mathbf { v } )= \lambda \nabla g( \mathbf { v } ) \] 를 만족시키는 실수 $ \lambda $ 가 존재한다. $ \nabla g( \mathbf { v } )=2 \mathrm { v } $ 이므로 식 (A.1)과 (A.2)로부터(A.3) \[ A \mathrm { v } = \lambda \mathrm { v } \] 가 성립한다. 더욱이 이 경우 \[ f( \mathbf { v } )= \mathbf { v } ^ { t } A \mathrm { v } = \lambda \\| \mathbf { v } \\|= \lambda \] 다시 말해서 $ f $ 의 최대값이 행렬 $ A $ 의 가장 큰 고유값이 된다. 같은 방법으로 단위 원에서 함수 $ f $ 의 최소값을 생각하면 \[ A \mathrm { w } = \mu \mathrm { w } \] 를 만족시키는 단위벡터 $ \mathbf { w } $ 와 실수 $ \mu $ 가 존재하고 이 경우 $ f( \mathbf { w } ) $ 는 행렬 $ A $ 의 가장 작은 고유값이다. 끝으로, 고유벡터가 서로 수직이라는 것을 보이자. $ \lambda= \mu $ 이면 $ f $ 는 상수함수이고. $ A $의 고유값은 모두 같으므로 이 경우에는 고유벡터 $ \mathrm { v } $ 와 $ \mathrm { w } $ 를 서로 수직이 되도록 택할 수 있다. $ \mu< \lambda $ 이면 함수 $ f $ 는 상수함수가 아니고 행렬 $ A $ 의 대칭성으로부터 \[ \lambda \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } =A \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } = \mathrm { v } \cdot A \mathrm { w } = \mu \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } \] 따라서 \[ ( \lambda- \mu)_ {\mathbf { v } } \cdot \mathbf { w } =0 \] 이므로 \[ \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } =0 \]</p> <p>(단계 4) $ G $ 는 미분가능하다. $ G $ 의 도함수 $ d G $ 가 존재하므로 정리 B.2에 의해 각 점 $ \mathrm { b } \in F(D) $ 에서 \[ d G_ {\mathrm { b } } = \left (d F_ { G( \mathrm { ~b } ) } \right ) ^ { -1 } \] 따라서 $ d G $ 는 다음 세 함수의 합성함수이다. \[ F(D) \stackrel { G } {\longrightarrow } D \stackrel { d F } {\longrightarrow } G L_ { n } \stackrel {\sigma } {\rightarrow } G L_ { n } \] 여기서 $ G L_ { n } $ 은 $ n \times n $ 정칙행렬 전체의 집합을 나타내고 $ \sigma $ 는 $ A \in G L_ { n } $ 에 대하여 $ \sigma(A)=A ^ { -1 } $ 으로 정의되는 사상이다. 특히, $ \sigma $ 는 행렬 $ A $ 의 유리함수로 주어지므로(행렬식) 미분가능하다. 따라서 $ F $ 가 미분가능하므로 $ G $ 도 미분가능하다.</p> <p>정리 B.6 역함수의 정리 $ F: D \subset \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 이 미분가능한 함수라고 하자. $ \mathrm { a } \in D $ 에서 $ d F_ {\mathrm { a } } $ 가 정칙행렬이면 $ \mathrm { a } $ 의 열린근방 $ U \subset D $ 가 존재하여 제한사상 \[ \left .f \right \|_ { U } : U \rightarrow F(U) \] 는 미분동형사상이다.</p> <p>증명 도움정리 B.3에 의해 $ \mathrm { a } \in U_ { 0 } \subset D $ 가 존재하여 $ \left .f \right \|_ { U_ { 0 } } : U_ { 0 } \rightarrow F \left (U_ { 0 } \right ) $ 은 $ 1-1 $ 함수이다. $ \operatorname { det } \left (d F_ {\mathrm { a } } \right ) \neq 0 $ 이고, $ d F_ {\mathrm { a } } $ 가 연속함수이므로 $ \mathrm { a } $ 의 열린근방 $ U_ { 1 } \subset D $ 가 존재하여 $ \mathrm { p } \in U_ { 1 } $ 이면 $ d F_ {\mathrm { p } } \neq 0 $ 을 만족시킨다. $ U=U_ { 0 } \cap U_ { 1 } $ 으로 눟으면 정리 B.5에 의해 \[ \left .F \right \|_ { U } : U \rightarrow F(U) \] 는 미분동형사상이 된다.</p>	자연
확률과 통계_비모수 추정론	<h1>제 8 장 비모수 추정론</h1> <h2>8.1 비모수적 추론</h2> <p>일반적으로 통계적인 추론의 방법은 모집단의 분포에 대하여 엄밀한 가정을 하고 시작하는 것이다. 예를 들면, 모평균을 검정할 때 이용하는 $ t $검정, 분산분석에 이용하는 $ F $검정 등은 모집단의 분포가 정규분포에 따른다는 가정 하에서 통계량을 선정하고 주어진 조건들이 만족할 때 비로서 최적 검정 방법이 될 수 있다. 그러나 실제로는 모집단의 분포가 정확하게 정규분포를 따르는 경우는 거의 없으며 다만 근사적으로 정규분포에 따르는 경우가 많을 것이다. 더욱이 우리가 실제로 수집하여 얻은 자료들의 분포가 정규분포와는 전혀 다른 형태의 분포를 가질수도 있을 것이다. 이와 같은 경우에는 정규분포를 가정하고 얻어진 추정량이나 검정통계량의 효율이 대단히 좋지 않게 된다. 그러므로 정규분포에 따는다는 가정하에서 전개되는 전통적인 통계 추론 기법들을 적용할 수 없는 경우에는 다른 대안이 요구된다. 일반적으로 기본 분포의 형태를 알 수 있다면 그 분포를 기초로하여 엄밀한 가설검정이나 신뢰구간을 추정할 수 있다. 그러만 실제로는 기본 분포의 형태를 알 수 없는 경우가 많으므로 분 포의 형태와는 무관하게 적용할 수 있는 방법이 필요하다. 이러한 기법들을 비모수적 추정론(theory of nonparametric inference) 또는 분포무관 추론 방법(distribution-free inferential method)이라 부른다. 비모수적(nonparametric)이란 용어는 분포의 모수에 대한 가설점정이 대응되어 만들어진 것이다. 예를 들면, 일반적인 우도비를 유도할 때 분포의 함수식에 있는 모수들이 모수공간 상에서 변함에 따라 분포적을 정의하게 되는 모수공간을 고려하게 되는 것이다.</p> <h3>8.2 부호검정</h3> <p>부호검정에서의 조건은 단지 모집단이 연속이고 대칭이라는 가정만이 필요하다. 부호검정(sign test)은 귀무가설 $ H_{0}: \mu=\mu_{0} $인 단일표본 $ t $-검정에 대한 비모수적 대안으로 자주 이용된다. 그런데 만약 $ m $을 모집단의 중앙값(median)이라 하고 귀무가설 $ H_{0}: m=m_{0} $라고 하면, 분포에 대한 대칭성의 가정은 필요하지 않다.</p> <p>모집단으로부터 크기 $ n $인 확률표본 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $을 추출하고, 임의의 관찰값 $ m_{0} $에 대하여 $ X_{i}-m_{0}>0 $인 관찰값의 개수를 $ T $라 하고, 또한 $ T>m_{0} $을 만족하는 통계량이라 하자. 이제 $ \xi_{i} $를 \[ \xi_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & X_{i}>m_{0} \\ 0, & X_{i}<m_{0} \end{array}\right. \] 이라 정의하면, $ T $는 \[ T=\sum_{i=1}^{n} \xi_{i} \] 이다. 여기서 통계량 $ T $의 값을 구하기 위해서는 단지 정확한 관찰값을 몰라도 $ m_{0} $의 대소관계를 구분할 수 있으면 된다. 단순귀무가설 $ H_{0}: m=m_{0} $하에서 \[ \begin{aligned} p_{0} &=P\left\{X>m_{0}\right\} \\ &=P\left\{X-m_{0}>0\right\}=\frac{1}{2} \end{aligned} \] 이므로 $ X-m_{0} $의 부호(sign)가 양(positive)일 확률은 $ p_{0}=\frac{1}{2} $이다. 대립가설 $ H_{1}: m=m_{1}>m_{0} $하에서는 \[ \begin{aligned} p_{1} &=P\left\{X>m_{0}\right\} \\ &=P\left\{X>m_{1}\right\}=\frac{1}{2} \end{aligned} \] 이다. 그런데 $ H_{0} $에서는 통계량 $ T $의 확률분포는 $ T \sim \operatorname{BIN}\left(n, p_{0}\right)\left(p_{0}=\frac{1}{2}\right) $이므로 검정통계량 $ T $에 근거한 다음 검정 \[ H_{0}: m=m_{0} \quad \text{v.s} \quad H_{1}: m>m_{0} \] 는 가설 \[ H_{0}: p=p_{0}=\frac{1}{2} \quad \text { v.s } \quad H_{1}: p_{0}=\frac{1}{2} \] 인 모비율에 관한 검정으로 생각할 수 있다.</p> <p>定理 8.1 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $은 누적분포함수 $ F(x) $를 갖는 연속확률분포에서 추출한 크기 $ n $인 확률표본이라. 하고 $ m $을 누적분포함수 $ F(x) $의 중앙값(median) 즉, $ F(m)=\frac{1}{2} $이다. 이때, $ t $를 $ T $의 관찰값이라 할 때, $ H_{0}: m=m_{0} $에 대한 크기 $ \alpha $인 검정은 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ H_{0}: m=m_{0} $에 대한 $ H_{1}: m>m_{0} $의 검정에서 $ t \geqslant b\left(\alpha, n, \frac{1}{2}\right) $이면, 귀무가설 $ H_{0} $를 기각한다.</li> <li>$ H_{0}: m=m_{0} $에 대한 $ H_{1}: m<m_{0} $의 검정에서 $ t \leqslant b\left(1-\alpha, n, \frac{1}{2}\right) $이면, 귀무가설 $ H_{0} $를 기각한다.</li> <li>$ H_{0}: m=m_{0} $에 대한 $ H_{1}: m \neq m_{0} $의 검정에서 $ t \geqslant b\left(\frac{\alpha}{2}, n, \frac{1}{2}\right) $이거나 $ t \leqslant b\left(1-\frac{\alpha}{2}, n, \frac{1}{2}\right) $이면, 귀무가설 $ H_{0} $이면 귀무가설 $ H_{0} $를 기각한다.</li></ol> <p>여기서, $ b\left(\alpha, n, \frac{1}{2}\right) $는 표본의 크기가 $ n $이고 성공확률이 $ \frac{1}{2} $인 이항분포의 제 $ 100(1- $ $ \alpha) $백분위수 즉, $ P_{H_{0}}\left\{T \geqslant b\left(\alpha, n, \frac{1}{2}\right.\right\}=\alpha $를 만족하는 값이다.</p> <p>귀무가설 $ H_{0}: m=m_{0} $하에서 부호 검정통계량 $ T $는 평균 $ \frac{n}{2} $에 대하여 대칭이므로 \[ b\left(\alpha, n, \frac{1}{2}\right)-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}-\left\{b\left(1-\alpha, n, \frac{1}{2}\right)-1\right\} \] 으로부터 \[ b\left(1-\alpha, n, \frac{1}{2}\right)=n+1-b\left(\alpha, n, \frac{1}{2}\right) \] 이다. 만약, 표본의 수 $ n $이 충분히 클 경우에는 표준정규화한 다음 통계량은 \[ Z=\frac{T-\frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{4}}} \sim N(0,1) \] 이므로 이와 관련된 검정법을 이용하면 된다.</p> <p>問題 1 다음 자료에 대하여 $ H_{0}: m=80 $에 대한 $ H_{1}: m>80 $에 대한 검정에서 $ \alpha=0.05 $를 이용하여 부호검정을 하여라. \[ 97,102,80,90,88,65,83,91,59,84,81,86,82,78,105,81,91,83,80,85 \]</p> <p>解答 주어진 자료 중에 $80$이 하나 더 있으므로 표본의 크기는 $ n=19 $개이고, $80$보다 큰 관찰값의 개수는 $ t=15 $개이다. 부록의 표에서 $ b\left(0.0096,19, \frac{1}{2}\right)=15 $이므로 $ p $-값 이 $ 0.0096 $이다. 따라서 귀무가설을 기각한다.</p> <p>8.3 Wilcoxon 부호순위검정</p> <p>부호검정에서는 관측값의 크기를 무시하고 부호만을 사용하므로 정보의 손실이 크다. 따라서 $ Y_{i}=X_{i}-\xi(i=1,2,3, \cdots, n) $의 부호뿐만 아니라 상대적인 크기를 고려하는 통계량을 생각할 수 있는데 이것이 Wilcoxon 부호순위검정(signed-rank test)이다.</p> <p>$ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $은 중앙값 $ m $에 대하여 대칭이고 연속인 모집단에서 추출한 크기 $ n $인 확률표본이라 하고, $ F(x) $를 $ X_{i} $의 누적분포함수라고 하자. 귀무가설 $ H_{0}: m= m_{0} $를 검정하기 위하여 다음과 같은 절차를 생각해 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ Z_{i}=X_{i}-m_{0}(i=1,2,3, \cdots, n) $을 구한다.</li> <li>$ \left\|Z_{1}\right\|,\left\|Z_{2}\right\|, \cdots,\left\|Z_{n}\right\| $의 순위를 정한다.</li> <li>양의 값을 갖는 $ Z_{i} $들의 순위합을 $ T^{+} $, 음의 값을 갖는 $ Z_{i} $의 순위합을 $ T^{-} $라고 하자. 여기서 \[ \xi_{i}=\left\{\begin{array}{ll} 1, & Z_{i}>0 \\ 0, & Z_{i}<0 \end{array}\right. \]</li></ol> <p>이라고 하고 $ \left\|Z_{i}\right\| $의 순위를 $ r_{i} $라고 하면, \[ \begin{aligned} T^{+} &=\sum_{i=1}^{n} r_{i} \xi_{i}, \\ T^{-} &=\sum_{i=1}^{n}\left(1-\xi_{i}\right) r_{i} \end{aligned} \] 이다. 이때, 귀무가설 $ H_{0} $하에서 $ T^{+} $와 $ T^{-} $의 기댓값은 서로 같으며, 또한 \[ \begin{aligned} T^{+}+T^{-} &=\sum_{i=1}^{n} i \\ &=\frac{n(n+1)}{2} \end{aligned} \] 이므로 두 통계량 $ T^{+} $와 $ T^{-} $는 선형관계가 있다. 이 사실은 둘 중 어느 하나를 검정통계량으로 사용해도 동일한 결과를 얻을 수 있는 것을 말해 준다. 여기에서는 검정통계량으로 $ T^{+} $를 사용하기로 한다. 이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>해답 $ m=30 $이고 $ n=18 $이므로 표준정규근사를 이용한다. 먼저 \[ E(Z)=\frac{2 \times 30 \times 18}{30+18}=23.5 \] 이고 \[ \operatorname{Var}(Z)=\frac{2 \times 30 \times 18(2 \times 30 \times 18-30-18)}{(30+18)^{2}(30+18-1)} \approx 10.2926 \] 이므로 \[ z^{}=\frac{z-23.5}{\sqrt{10.2926}}=\frac{27-23.5}{\sqrt{10.2926}} \approx 1.091 \] 이다. 기각역이 $ \left\|z^{}\right\| \geqslant z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96 $이므로 귀무가설 $ H_{0} $를 기각할 수 없다. 즉, 이 배열이 무작위가 아니라는 실제 증거가 없다.</p> <h2>8.7 독립성의 검정</h2> <p>$ \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right) $을 연속인 이변량분포함수 $ F_{X, Y}(x, y) $를 갖는 분포로부터 추출한 확률표본이라 할 때, 두 확률변수 $ X $와 $ Y $의 독립성을 검정하는 문제에 대하여 생각해 보자. 즉, $ X $와 $ Y $의 연속인 주변분포함수를 각각 $ F_{X}(x) $와 $ F_{Y}(y) $라 할 때, 귀무가설 $ H_{0}: F_{X, Y}(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y) $에 대한 검정문제이다. 주어진 관찰값의 집합에서 $ y $의 값을 크기 순으로 나열하고, 각각의 고정된 $ y $의 값에 $ x $의 값이 짝을 이루도록 $ x $의 갑들을 나열하는 순열의 개수는 $ n ! $가지인데, $ Y $와 $ Y $가 독립이면 짝지워진 모습이 $ n ! $가지 모두 비슷할 것이다. 여기서 검정통계량으로 Pearson상관계수 \[ \begin{aligned} r &=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-\bar{x} \bar{y}}{(n-1) S_{x} S_{y}} \end{aligned} \] 를 이용하면, 가능한 각 순열에 대하여 계산한 $ n ! $가지의 상관계수를 얻게 된다. 이제 대립가설이 $ H_{1}: \rho_{X, Y}>0 $이고 유의수준이 $ \alpha=\frac{k}{n !} $로 주어졌다면, $ n !$가지의 상관계수 중에서 가장 큰 쪽으로 $ k $개의 상관계수들을 택하여 이 집함을 검정의 기각역으로 하고 원래의 주어진 표본에서 계산된 상관계수가 기각역에 속하면 $ H_{0} $를 기각한다. 이 때, $ \bar{x}, \bar{y}, s_{x}, s_{y} $는 모두 순열이 달라져도 변하지 않으므로, 검정통계량으로 \[ T=\sum_{i=1}^{n} X_{i} Y_{i} \] 를 사용한다. 그런데 기각역을 결정하기 위해서는 모든 가능한 $ n ! $가지의 순열에 대하여 $ T $의 값들을 구해야 하는데, $ n $이 비교적 크면 계산이 대단히 복잡하고 어렵다. 그래서 $ n $이 충분히 크면 정규근사를 이용하게 된다. $ Y $의 관찰값 $ y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} $이 주어졌을 때, 동일한 가능성을 지니고 있는 $ n! $가지의 순열과 관련된 $ x_{i} $의 적률을 생각해 보자. 또한 $ n $개의 관찰값 $ x_{1}, x_{2}, \cdots 4, x_{n} $ 중에서 하나의 관찰값을 취할 확률이 $ \frac{1}{n} $로 동일한 확률변수를 $ X_{i} $라 하자. 마찬가지로 $ i \neq j $일 때, $ X_{i} Y_{j} $를 $ n(n-1) $개의 $ x_{i} x_{j} $중에서 하나를 취할 확률이 $ \frac{1}{n(n-1)} $로 동일한 확률변수라 하면, \[ \begin{aligned} E(X) &=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}=\bar{x} \\ \operatorname{Var}\left(X_{i}\right) &=E\left(X_{i}^{2}\right)-(\bar{x})^{2}=\frac{(n-1) s_{X}^{2}}{n} \\ \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) &=E\left(X_{i} X_{j}\right)-(\bar{x})^{2}=\frac{1}{n(n-1)} {\sum\sum}_{i \neq j} x_{i} x_{j}-(\bar{x})^{2}, i \neq j \end{aligned} \] 이고 \[ \begin{aligned} E(T) &=E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} y_{i}\right)\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} y_{i} E\left(X_{i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} y_{i} \bar{x} \\ &=n \bar{x} \bar{y} \end{aligned} \] 이므로 Pearson 상관계수의 기댓값은 $ E(R)=0 $이다. 다음에 $ \operatorname{Var}(R) $을 구해보자. 관찰값을 전체적으로 평행이동하여도 상관계수는 불변이므로 $ x_{i} $들과 $ y_{i} $들이 $ \bar{x}=\bar{y}=0 $이 되도록 평행이동 시켰다고 가정하면, \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} y_{i}\right) &=\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)+{\sum\sum}_{i \neq j} y_{i} y_{j} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right) \\ =& \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2} \frac{(n-1) s_{X}^{2}}{n}+{\sum\sum}_{i \neq j} y_{i} y_{j} {\sum\sum}_{h \neq k} \frac{x_{h} x_{k}}{n(n-1)} \\ =& \frac{(n-1)^{2} s_{X}^{2} s_{Y}^{2}}{n} \\ +&\frac{1}{n(n-1)}\left\{\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right\}\left\{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right\} \\ =& \frac{(n-1)^{2} s_{X}^{2} s_{Y}^{2}}{n}+\frac{(n-1) s_{X}^{2} s_{Y}^{2}}{n} \\ =&(n-1) s_{X}^{2} s_{Y}^{2} \end{aligned} \] 이므로 $ R $의 분산은 \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(R) &=\frac{1}{(n-1)^{2} S_{X}^{2} S_{Y}^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} y_{i}\right) \\ &=\frac{1}{n-1} \end{aligned} \] 이다. 이러한 여러가지 조건들이 관찰값 $ \left(x_{i}, y_{i}\right) $들이 주어졌다는 조건하에서 계산된 것이지만 그 결과는 $ \left(x_{i}, y_{i}\right) $에 종속되어 있지 않기 때문에 적률들도 무조건부이다.</p> <p>표본의 크기 $ n $이 충분히 크면, 근사적으로 \[ r \sim N\left(0, \frac{1}{n-1}\right), \quad E\left(r^{3}\right),=0, \quad E\left(r^{4}\right)=\frac{3}{n^{2}-1} \] 이 성립한다. 이변량정규분포로부터의 확률표본에 의한 $ r $의 정확한 분포는 $ r $의 순열분포에 대한 정밀한 근사식은 정규분포하에서의 $ r $에 대한 정확한 분포를 이용하여 구할 수 있는데, 이 근사식은 표본의 크기 $ n $이 충분히 크지 않더라도 상당히 정밀한 편이다. 두 확률변수가 독립이라는 가설이 참이면 정규분포 하에서 $ r $의 정확한 분포는 베타분포이며, 이 베타분포는 $ t $분포로 변환할 수 있으며 특별한 경우로서 \[ \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}} \sim t(n-2) \] 이다. 이상을 정리하면, 정규분포이론 하에서 구현된 독립성의 검정은 이 경우에는 상당히 견실(robust)하므로 정규성의 가정에 대하여 크게 염려할 필요는 없다.</p> <p>표본의 크기가 작을 경우에는 정확한 비모수적인 검정을 구할 때 순위를 이용한다. $ \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right) $을 연속인 이변량분포로부터 추출한 확률표본이라 할 때, $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $에서의 $ X_{i} $의 순위를 $ R_{i}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n} $에서의 $ X_{i} $의 순위를 $ Q_{i} $라 하면 \[ R_{S}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\bar{R}\right)\left(Q_{i}-\bar{Q}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\bar{R}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(Q_{i}-\bar{Q}\right)^{2}}} \] 를 스피어만 순위상관계수(Spearman rank correlation coefficient)라 한다. 여기서 $ X $와 $ Y $가 양의 상관관계가 있으면, $ R_{i} $와 $ Q_{i} $가 모두 커지거나 모두 작아지게 되므로 순위상관계수 $ R_{S} $는 큰 값을 가지게 된다. 그런데, $ R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{n} $과 $ Q_{1}, Q_{2}, \cdots, Q_{n} $은 $ 1,2, \cdots, n $을 나열한 순열 중의 하나이므로 \[ \begin{aligned} \bar{R} &=\bar{Q}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} k=\frac{n+1}{2} \\ \sum_{i=1}^{n} R_{i}^{2} &=\sum_{i=1}^{n} Q_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n} k^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\bar{R}\right)\left(Q_{i}-\bar{Q}\right) &=\sum_{i=1}^{n} R_{i} Q_{i}-n \bar{R} \bar{Q}=\sum_{i=1}^{n} R_{i} Q_{i}-\frac{n(n+1)^{2}}{4} \end{aligned} \] 과 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-\bar{R}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(Q_{i}-\bar{Q}\right)^{2} &=\left(\sum_{i=1}^{n} R_{i}^{2}-n(\bar{R})^{2}\right)^{2} \\ &=\left(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{n(n+1)^{2}}{4}\right)^{2} \\ &=\left(\frac{n\left(n^{2}-1\right)}{12}\right)^{2} \end{aligned} \] 이 성립하며, 이로부터 $ R_{S} $는 \[ R_{S}=\frac{12}{n\left(n^{2}-1\right)}\left(\sum_{i=1}^{n} R_{i} Q_{i}-\frac{n(n+1)^{2}}{4}\right) \] 이다. 이것은 통계량 $ \sum_{i=1}^{n} R_{i} Q_{i} $가 두 확률변수의 독립성검정을 검정하는데 사용할 수 있음을 보여준다. 또한, \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} R_{i} Q_{i} &=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}^{2}+Q_{i}^{2}\right)-\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2}\right) \\ &=-\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2}+\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\right) \end{aligned} \] 이므로 \[ \begin{aligned} R_{S} &=\frac{12}{n\left(n^{2}-1\right)}\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2}+\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{n(n+1)^{2}}{4}\right) \\ &=\frac{12}{n\left(n^{2}-1\right)}\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2}+\frac{n\left(n^{2}-1\right)}{12}\right) \\ &=1-\frac{6}{n\left(n^{2}-1\right)} \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2} \end{aligned} \] 이 되어 $ R_{i}=Q_{i} $이면, $ R_{S}=1 $이다. 그리고 \[ \begin{aligned} \left(R_{1}, R_{2}, R_{3}, \cdots, R_{n}\right) &=(n, n-1, n-2, \cdots, 1), \\ \left(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, \cdots, Q_{n}\right) &=(1,2,3, \cdots, n) \end{aligned} \] 또는 \[ \begin{aligned} \left(R_{1}, R_{2}, R_{3}, \cdots, R_{n}\right) &=(1,2,3, \cdots, n), \\ \left(Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, \cdots, Q_{n}\right) &=(n, n-1, n-2, \cdots, 1) \end{aligned} \] 이면, \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left(R_{i}-Q_{i}\right)^{2} &=\sum_{i=1}^{n}(n-i+1-i)^{2} \\ &=\sum_{i=1}^{n}(n+1-2 i)^{2} \\ &=\frac{n\left(n^{2}-1\right)}{3} \end{aligned} \] 이고 또한 $ c_{k}=c(k)=k $이면, $ L $의 평균과 분산은 각각 \[ \begin{aligned} \mu_{L} &=\frac{n(m+n+1)}{2} \\ \sigma_{L}^{2} &=\frac{m n(m+n+1)}{12} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>이상에서와 같이 선형순위통계량 $ L $의 정확한 분포를 구하는 과정은 상당히 복잡하다. 하지만 상수 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N} $과 점수 $ c(1), c(2), \cdots, C(N) $을 여러번 추출하면, 비교적 큰 $ N $에 대하여 $ \frac{L-\mu_{L}}{\sigma_{L}} $은 표준정규분포 $ N(0,1) $에 따른다. 이러한 근사적인 방법은 점수 $ c(k)=c_{k} $들이 정규분포로부터 추출되는 이상적인 표본과 같이 대칭이거나 특별히 극단적인 값이 아니면 상당히 좋은 편에 속한다. 예를 들면, \[ \frac{k}{N+1}=\int_{-\infty}^{c_{k}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} d z \] 으로 주어진 정규점수를 이용하는 경우는 근사의 정도가 상당히 좋은 편이다. 여기서 $ c(k)=k $와 같이 순위를 사용하는 경우에도 $ N \geqslant 30 $이면, 이 정규근사는 타다성을 갖는다.</p> <h1>8.6 무작위 런검정</h1> <p>비랜덤의 유형으로 관찰값이 감소 또는 증가하는 경향 이외에 순환성과 같은 여러가지 유형이 존재할 수 있다. 이런 경우에 적용할 수 있는 런(run)을 이용한 여러 검정방법이 있는데 그 중에 Wald-Wolfowicz의 런검정에 대하여 알아 보자.</p> <p>런의 의미를 설명하기 위하여 다음 예를 살펴보자. 어떤 관찰값이 $ x $와 $ y $의 두 유형으로 분류된다고 하자. 예를 들면, 컴퓨터를 이용하여 난수(random number)를 생성하여 다음과 같은 난수열 \[ 0.1,0.4,0.2,0.8,0.6,0.9,0.3,0.2,0.4,0.1,0.7 \] 을 얻었다. 이때, $ 0.5 $보다 큰 값은 $ x $유형, 작은 값은 $ y $유형이라 하고 각 난수에 해당하는 유형의 문자를 대응시켜 나열하면, 다음과 같은 문자열 \[ x x x y y y x x x x y \] 를 얻는다. 이런 식으로 만들어진 문자열에서 연속적으로 나열되어 있는 같은 종류의 문자열묶음을 런이라 한다. 따라서 위의 문자열에는 " $ x x x ", " y y y ", " x x x x" , " y $ "의 네가지 런이 있다. 여기서 문자 $ x $와 $ y $의 개수를 각각 $ m $과 $ n $이라 할 때, $ m $과 $ n $이 주어지면, $ m+n $개의 원소들의 순열은 \[ N=\frac{(m+n) !}{m ! n !} \] 가지이고, 이들은 관찰값들이 랜덤하다는 귀무가설 $ H_{0} $하에서 동일한 출연 가능성을 지닌다. 따라서 순열에서 런의 수를 $ Z $라고 하면, $ Z $의 아주 작은 값이나 큰 값을 갖는 순열들의 집합을 기각역으로하는 검정을 생각할 수 있다. 이 기각역을 결정하기 위하여 $ m $과 $ n $이 주어졌을 때, $ H_{0} \ 하에서의 \( Z $에 대한 조건부확률분포를 구해 보자. 어떤 순열에서 런의 개수를 $ z $라고 하면, $ z=2 k $ 즉, 짝수이면 그 순열에는 정확히 $ k $개의 $ x $-런과 $ k $개의 $ y $-런이 있다. 그런데 관찰값은 두 가지 유형이므로 모든 순열들은 $ x $로 시작하는 순열과 $ y $로 시작하는 순열으로 구분된다. $ m $개의 $ x $들이 $ k $개의 런으로 나누어지는 경우의 수는 $ x $들 사이의 $ m-1 $개 공간에 $ k-1 $개의 /를 늘어 놓는 방법의 수 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k-1\end{array}\right) $와 같다. 마찬가지로, $ n $개의 $ y $들이 $ k $개의 런으로 나누어지는 경우의 수는 $ \left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right) $이므로, $ x $로 시작하면서 런이 $ 2 k $개인 순열의 수는 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right) $이 되고 $ y $로 시작하면서 런이 $ 2 k $개인 순열의 수도 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right) $이다. 따라서 $ z=2 k $이면, \[ P\{Z=2 k\}=\frac{\left(\begin{array}{c} m-1 \\ k-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} m+n \\ m \end{array}\right)} \] 이다. $ z=2 k+1 $로 홀수일 경우에는 순열의 양 끝이 모두 $ x $이거나 모두 $ y $이므로, 양 끝이 모두 $ x $인 순열에는 정확히 $ k+1 $개의 $ x $-런과 $ k $개의 $ y $-런들이 있으므로 $ m $개의 $ x $들이 $ k+1 $개의 런으로 나누어지는 경우의 수는 $ x $들 사이의 $ m-1 $개의 공간에 $ (k+1)-1 $개의 /를 늘오 놓는 방법의 수 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k\end{array}\right) $와 같고, $ n-1 $개 공간에 $ k-1 $개의 /를 늘어놓는 방법의 수는 $ \left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right) $이다. 따라서 양 끈이 $ x $이고 런이 $ z=2 k+1 $인 순열의 수는 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right) $이고, 양 끝이 $ y $이고 런이 $ z=2 k+1 $개인 순열의 수는 $ \left(\begin{array}{c}m-1 \\ k-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right) $가 되어 \[ P\{Z=2 k+1\}=\frac{\left(\begin{array}{c} m-1 \\ k \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} m-1 \\ k-1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c} m+n \\ m \end{array}\right)} \] 가 된다.</p> <p>런검정은 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{m} $이 분포함수 $ F_{X}(z) $를 가지는 모집단으로부터의 크기 $ m $인 확률표본과 $ Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n} $이 분포함수 $ F_{Y}(z) $를 가지는 모집단으로부터의 크기 $ m $인 확률표본이라 할 때, $ H_{0}: F_{X}(z)=F_{Y}(z) \forall z $의 검정에 이용된다. 다시 말하면, 이 두 표본을 결합하여 크기 순으로 나열한 다음 $ x_{i} $들은 $ x $로, $ y_{i} $들은 $ y $로 나타낼 때, 두 분포가 동일하다는 귀무가설 $ H_{0} $가 옳다면, $ x $와 $ y $들은 잘 섞여 있어서 런의 개수 $ Z $는 큰 값이 될 것이고, 두 분포가 멀리 떨어져 있어서 분포의 영역들이 겹쳐있지 않다면 런의 개수를 둘이거나 아주 작은 값이 될 것이다. 이 경우 유의수준이 $ \alpha $로 주어지면, \[ \sum_{z=2}^{z_{0}} P\left\{Z=z_{0}\right\} \leqslant \alpha \] 를 만족하는 가장 큰 정수값 $ z_{0} $를 구하고 $ Z $의 관찰값이 $ z_{0} $이하이면, $ H_{0} $를 기각한다. 만약, 표본의 크기가 비교적 클 경우는 $ Z $의 극한분포가 표존정규분포에 따른다는 사실 즉, \[ Z^{*}=\frac{Z-\frac{2 m n}{m+n}-1}{\sqrt{\frac{2 m n(2 m n-m-n)}{(m+n)(m+n-1)}}} \sim N(0,1) \] 을 이용한다. 실제로 $ m $과 $ n $이 $10$보다 크면, 이 정규근사는 상당히 좋은 것으로 알려져 있다. 귀무가설이 무작위 추출이라는 $ H_{0} $가 참이면, $ Z $의 평균과 분산은 각각 \[ \begin{aligned} E(Z) &=\frac{2 m n}{m+n}+1 \\ \operatorname{Var}(Z) &=\frac{2 m n(2 m n-m-n)}{(m+n)(m+n-1)} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>문제 1 다음 자료는 서울시내 어떤 극장에서 첫 개봉영화를 보기 위해 줄을 선 남자(M)와 여자(W)의 배열이다. \[\begin{aligned} M M W W M W M M M M W M W M M W W M W W M M M W \\ M W W M M W M M M M W W M M M W M W M M M W M M \end{aligned}\] 유의수준 $ 0.05 $로 귀무가설 $ H_{0} $의 무작위성에 대하여 검정하여라.</p>	자연
미분적분을 위한 기초수학의 이해	<p>보기 6.4.3 복소수에 그것의 컬레복소수를 곱하기</p> <p>$ z=2 + 3 i $ 와 그것의 컬레복소수 $ \bar { z } $ 의 곱을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \bar { z } &=2-3 i \text { 이므로, } \\ \bar { z } \bar { z } &=(2 + 3 i)(2-3 i)=2 ^ { 2 } -(3 i) ^ { 2 } =4-9 i ^ { 2 } =4 + 9=13 . \end {aligned} $</p> <p>보기 6.4.3으로부터, 다음의 중요한 결과를 얻는다.</p> <p>$ z=a + b i $ 는 임의의 복소수라 하자. 그러면 \[z \bar { z } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } . \] 따라서 $ z \bar { z } \geq 0 $ 임을 알 수 있다. 증명 $ z=a + b i $ 라 하자. 그러면 \[z \bar { z } =(a + b i)(a-b i)=a ^ { 2 } -(b i) ^ { 2 } =a ^ { 2 } -b ^ { 2 } i ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } . \]</p> <p>0아닌 복소수 $ z $ 의 역수를 표준 꼴로 나타내기 위하여, $ \frac { 1 } { z } $ 의 분자와 분모에 $ z $ 의 컬레복소수 $ \bar { z } $ 를 곱한다. 즉, $ z=a + b i $ 가 0 아닌 북소수라면, \[ \frac { 1 } { a + b i } = \frac { 1 } { z } = \frac { 1 } { z } \cdot \frac {\bar { z } } {\bar { z } } = \frac {\bar { z } } { z \bar { z } } = \frac { a-b i } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } - \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } i. \]</p> <p>이제 다음의 결과를 얻는다. 다음의 2 차 방정식을 생각하자.\[a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0 .\]$ b^{2}-4 a c<0 $ 이면, 이 방정식은 실수해를 갖지 않는다. $ b^{2}-4 a c \geq 0 $ 이면, 이 방정식의 해는 다음의 근의 공식(quadratic formula)로 주어진다. \[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} .\] 식 $ b^{2}-4 a c $ 를 이 2 차 방정식의 판별식(discriminant)이라 한다. 왜냐면, $ b^{2}-4 a c $ 의 값은 주어진 방정식이 실수해를 갖는지 또는 갖지 않는지를 말해주기 때문이다. 실로, 이것은 얼마나 많은 해를 기대할 수 있는지를 말해준다. 2 차 방정식 $ a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0 $ 에 대하여,<ol type=1 start=1><li>$ b^{2}-4 a c>0 $ 이면, 서로 다른 두 실수해가 있다.</li><li>$ b^{2}-4 a c=0 $ 이면, 중근이 있다.</li><li>$ b^{2}-4 a c<0 $ 이면, 실수해는 존재하지 않는다.</li></ol>2차 방정식의 실수해를 구하라는 질문을 받을 때, 언제나 몇 개의 실수해가 있는지를 알기 위하여 먼저 판별식의 값을 구하여라.</p><p>보기 $ 6.1.4 $ 근의 공식에 의한 2 차 방정식의 풀이</p><p>방정식 $ 3 x^{2}-5 x+1=0 $ 의 실수해를 구하여라.</p><p>풀이</p><p>이 방정식은 표준 꼴이다. 그래서 이 방정식과 $ a x^{2}+b x+c $ 와 비교하여 $ a, b $ 와 $ c $ 를 구한다. \[ \begin{array}{c}3 x^{2}-5 x+1=0 \\a x^{2}+b x+c=0, \quad a=3, b=-5, c=1 .\end{array}\] 그러므로 판별식 $ b^{2}-4 a c $ 의 값을 구하면,\[b^{2}-4 a c=(-5)^{2}-4(3)(1)=25-12=13 .\]$ b^{2}-4 a c>0 $이므로, 서로 다른 두 실근이 있다. 이제 $ a=3, b=-5, c=1 $과 $ b^{2}-4 a c=13 $과 함께 근의 공식을 사용하면,\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2(3)}=\frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} . \] 따라서 해집합은 $ \left\{\frac{5-\sqrt{13}}{6}, \frac{5+\sqrt{13}}{6}\right\} $.</p><p>보기 $ 6.1.5 $ 근의 공식에 의한 2 차 방정식의 풀이</p><p>2 차 방정식 $ 3 x^{2}+2=4 x $ 의 실수해를 구하여라.</p><p>풀이</p><p>이 방정식을 표준 꼴 $ a x^{2}+b x+c=0 $으로 고치고 $ a, b $ 와 $ c $를 구하면, $ 3 x^{2}+2=4 x $$ 3 x^{2}-4 x+2=0 \quad $ 표준 꼴로 놓는다.$ a x^{2}+b x+c=0 $. 표준 꼴과 비교한다. 그러면 $ a=3, b=-4 $ 와 $ c=2 $. 그러므로 \[b^{2}-4 a c=(-4)^{2}-4(3)(2)=16-24=-8 .\]$ b^{2}-4 a c<0 $ 이므로, 이 방정식은 실수해를 갖지 않는다.</p> <p>거슬러 올라가고 내려오는데 걸린 총 시각은 6 시간이므로, $ \frac { 24 } { v-3 } + \frac { 24 } { v + 3 } =6 $ $ \frac { 24(v + 3) + 24(v-3) } { (v-3)(v + 3) } =6 $ 변의 몫을 더한다. $ \frac { 48 v } { v ^ { 2 } -9 } =6 $ 간단히 한다. $ 48 v=6 \left (v ^ { 2 } -6 \right ) $ $ \begin {aligned} 6 v ^ { 2 } -48 v-54 &=0 & \text { 표준 꼴로 놓는다. } \\ v ^ { 2 } -8 v-9 &=0 & & 6 \text { 으로 나눈다. } \\(v-9)(v + 1) &=0 & & \text { 인수분해 한다. } \end {aligned} $ $ v=9 $ 또는 $ v=-1 . \quad $ 영-곱 성질을 사용하여 푼다. 해 $ v=-1 \mathrm { ~km } / \mathrm { ~hr } $ 를 버린다. 따라서 물에 관한 모터보트의 속력은 $ 9 \mathrm { ~km } / \mathrm { hr } $ 이다.</p> <h2>6.2 차 함수의 그래프</h2> <p>우리는 2 차 함수 $ f(x)=x ^ { 2 } $ 의 그래프를 그리는 방법을 안다.</p> <p>그림 6.2.1(a)는 $ a=1, a= \frac { 1 } { 2 } $ 과 $ a=3 $ 에 대한 $ f(x)=a x ^ { 2 } ,(a>0) $ 꼴의 세 중류의 함수의 그래프를 보여준다. $ a $ 의 값이 크면 클수록 그래프는 푹이 더 좁아지고 $ a $ 의 값이 작으면 작을수록 그래프는 폭이 더 넓어짐에 주목하라.</p> <p>그림 6.2.1(b)는 $ a<0 $ 에 대한 $ f(x)=a x ^ { 2 } $ 의 그래프를 보여준다. 이 그래프들은 그림 6.2.1(a)에 있는 그래프들의 $ x $-축에 대한 반사임에 주목하라. 이 두 그림의 결과에 근거하여, $ f(x)=a x ^ { 2 } $ 의 그래프에 대한 몇 가지 일반적인 결론을 끌어낼 수 있다.</p> <p>첫째, $ \|a\| $ 가 증가할수록, 그래프는 "폭이 더 좁아지게"되고, $ \|a\| $ 가 0에 더 가깝게 될수록 그래프는 “폭이 더 넓어지게"된다.</p> <p>둘째, $ a>0 $ 면 그래프는 “위"로 열리고, $ a<0 $면 그래프는 “아래로"열린다.</p> <p>그림 6.2.1(a)와 (b)에 있는 그래프들은 포물선(parabola)이라 부르는 모든 2차 함수의 그래프들 중에서 대표적이다. 그림 6.2.2를 보라. 여기에 두 가지 포물선이 그려져 있다. 왼쪽의 그래프는 위로 얼리고 가장 낮은 점을 갖는다. 반면에, 오른쪽의 그래프는 아래로 열리고 가장 높은 점을 갖는다.</p> <p>포물선의 가장 낮은 점 또는 가장 높은 점을 꼭지점(vertex)이라 한다.</p> <p>그림 6.2.2에 있는 각 포물선에서 꼭지점을 지나는 세로 직선을 이 포물선의 대칭축 (axis of symmetry)(보통 간단히 축)이라 한다. 이 포물선은 이 포물선의 축에 대하여 대칭이므로, 포물선의 대칭축은 이 포물선의 그래프를 그리는데 유용하다.</p> <p>그림 6.2 .2에서 보이는 포물선은 2 차 함수 $ f(x) = a x ^ { 2 } + b x + c, a \neq 0 $ 의 그래프들이다. 좌표축이 이 그림에 포함되어 있지 않음에 주목하라. $ a, b $ 와 $ c $ 의 값에 따라서, 대칭축은 어디에도 있을 수 있다.</p> <p>중요한 사실은 2 차 함수의 그래프의 모양이 그림 6.2.2에 있는 그래프들 중의 하나 처럼 보이게 된다는 것이다.</p> <p>2차 함수의 그래프를 그리는데 있어서 중요한 요소는 꼭지점의 위치를 알아내는 것이다. 공식을 구하기 위하여, 2 차 함수 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c, a \neq 0 $ 에서 시작하여, $ x $ 에 대하여 완전제곱을 한다. $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c $, $ a \neq 0 $ $ =a \left (x ^ { 2 } + \frac { b } { a } x \right ) + c \quad a x ^ { 2 } + b x $ 로부터 $ a $를 인수분해 한다. $ =a \left (x ^ { 2 } + \frac { b } { a } x + \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } \right ) + c-a \left ( \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } \right ) \quad a \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } $ 을 더하고 빼줌으로씨 완진제곱을 한다. $ =a \left (x + \frac { b } { 2 a } \right ) ^ { 2 } + c- \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } $ $ f(x)=a \left (x + \frac { b } { 2 a } \right ) ^ { 2 } + \frac { 4 a c-b ^ { 2 } } { 4 a } . \quad c- \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } =c \cdot \frac { 4 a } { 4 a } - \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } = \frac { 4 a c-b ^ { 2 } } { 4 a } $</p> <p>보기 6.2.1 그래프를 그리지 않고 꼭지점를 알아내기</p> <p>그래프를 그리지 않고, $ f(x) = -3 x ^ { 2 } + 6 x + 1 $ 로 정의되는 포물선의 끅지점과 대칭축을 알아내라.<p> <p>이것은 위로 열리는가 또는 아래로 열리는가?</p> <p>풀이</p> <p>이 2 차 함수에 대하여, $ a=-3, b=6 $ 이고 $ c=1 $ 이다. 꼭지점의 $ x $-좌표는 \[- \frac { b } { 2 a } =- \frac { 6 } { (-6) } =1 \text { . } \] 그래서 꼭지점의 $ y $-좌표는 \[f \left (- \frac { b } { 2 a } \right )=f(1)=-3 + 6 + 1=4 \text { . } \] 따라서 꼭지점은 점 $ (1,4) $ 다. 또한 대칭축은 직선 $ x=- \frac { b } { 2 a } =1 $ 이다. $ a=-3<0 $ 이므로, 이 포물선은 아래로 열린다.</p> <p>보기 6.2.1에서 얻은 사실들은 절편들의 위치와 함께, 일반적으로 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c(a \neq 0) $ 의 그래프를 그리기 위한 충분한 정보를 준다. $ y $-절편은 $ x=0 $ 에서 $ f $ 의 값이다. 즉, $ f(0)=c $. $ x $-절편은, 있다면, 방정식 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c=0 $을 풀음으로씨 구해진다.</p> <p>판별식 $ b ^ { 2 } -4 a c $ 가 양, 0, 또는 음인지에 따라서, 이 방정식은 두 개의 다른 실수해 또는 하나의 반복되는 실수해를 갖거나, 하나, 또는 실수해를 갖지 않는다. 판별식의 값에 따라서 $ f $ 의 그래프는 다음과 같은 $ x $-절편을 갖는다. 2 차 함수 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c(a \neq 0) $ 을 생각하자.</p> <ol type= start=1><li>$ b ^ { 2 } -4 a c>0 $ 이면, $ f $ 의 그래프는 서로 다른 두 개의 $ x $-절편을 갓고 그러므로 두 곳에서 $ x $-축과 만난다.</li> <li>$ b ^ { 2 } -4 a c=0 $ 이면, $ f $ 의 그래프는 하나의 $ x $-절편을 갖고 그것의 쪽지짐에서 $ x $-축 에 접한다.</li> <li>$ b ^ { 2 } -4 a c<0 $ 이면, $ f $ 의 그래프는 $ x $-절편을 갓지 않고 그러므로 $ x $-축과 만나지도 접하지도 않는다.</li></ol> <p>2 차 함수 $ f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c(a>0) $ 는 위로 열린 포물선에 대한 몇 가지 가능성을 설명한다.</p> <p>보기 6.2 .2 꼭지점, 대칭축과 절편을 사용하여 2 차 함수의 그래프를 그리기</p> <p>그래프가 위로 열리는지 또는 아래로 열리는지를 결정하고 이것의 꼭지짐, 대칭축, $ y $-절편과 있다면 $ x $-절편을 구함으로써 $ f(x)=x ^ { 2 } -6 x + 9 $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>보기 6.4.7 $ i $ 의 거듭제곱의 값을 구하기</p> <ol type = a start=1><li>$ i ^ { 27 } =i ^ { 24 } \cdot i ^ { 3 } = \left (i ^ { 4 \cdot 6 } \right ) \cdot i ^ { 3 } =1 \cdot i ^ { 3 } =-i $.</li> <li>$ i ^ { 101 } =i ^ { 100 } \cdot i ^ { 1 } =i ^ { 4 \cdot 25 } \cdot i=1 \cdot i=i $.</li></ol> <p>보기 6.4.8 복소수의 거듭제곱을 표준 꼴로 쓰기</p> <p>$ (2 + i) ^ { 3 } $ 을 표준 꼴로 써라.</p> <p>풀이</p> <p>$ (x + a) ^ { 3 } $ 에 대한 특별한 곱 공식을 사용한다. \[(x + a) ^ { 3 } =x ^ { 3 } + 3 a x ^ { 2 } + 3 a ^ { 2 } x + a ^ { 3 } . \]그러면 \[ \begin {aligned} (2 + i) ^ { 3 } &=2 ^ { 3 } + 3 \cdot i \cdot 2 ^ { 2 } + 3 \cdot i ^ { 2 } \cdot 2 + i ^ { 3 } \\&=8 + 12 i + 6(-1) + (-i) \\&=2 + 11 i \end {aligned} \]</p> <p>이제 음의 판별식을 갖는 2 차 방정식에 대하여 살펴보기로 하자.</p> <p>음의 판별식을 갖는 2 차 방정식은 실수해를 갖지 않는다. 그러나 실수체계를 확대하여 복소수를 허용하면, 2 차 방정식은 언제나 해를 가질 것이다. 2 차 방정식의 해는 판별식의 제곱근을 포함하므로, 음수의 제곱근에 대한 논의부터 시작한다.</p> <p>$ N $ 은 임의의 양수라 하자. $ -N $ 의 주 제곱근(prinupal square root of $ -N $ )을 기호 $ \sqrt { -N } $ 으로 나타내고 다음과 같이 정의한다. \[ \sqrt { -N } = \sqrt { N } i \text { . } \] 여기서 $ i $ 는 $ i ^ { 2 } =-1 $ 인 허수단위이다.</p> <p>보기 6.4.9 음수의 제곱근 값을 구하기</p> <ol type=a start=1><li>$ \sqrt { -1 } = \sqrt { 1 } i=i $</li> <li>$ \sqrt { -9 } = \sqrt { 9 } i=3 i $</li> <li>$ \sqrt { -8 } = \sqrt { 8 } i=2 \sqrt { 2 } i $</li></ol> <p>보기 6.4.10 방정식의 풀이</p> <p>복소수체계에서 다음 각 방정식을 풀어라.</p> <ol type=a start=1><li>$ x ^ { 2 } =9 $</li> <li>$ x ^ { 2 } =-4 $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\[x= \pm \sqrt { 9 } = \pm 3 . \] 따라서 방정식 $ x ^ { 2 } =9 $ 는 두 해, $ -3 $ 과 3을 갖는다.</li> <li>\[x= \pm \sqrt { -4 } = \pm \sqrt { 4 } i= \pm 2 i \] 따라서 방징식 $ x ^ { 2 } =-4 $ 는 두 해, $ -2 i $ 와 $ 2 i $ 를 갖는다.</li></ol> <p>이제 복소수체계에서, 2 차 방정식 $ a x ^ { 2 } + b x + c=0 $ 의 해는 다음 공식으로 주어진다. \[x= \frac { -b \pm \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } . \]</p> <p>여기서 $ a, b, c $ 는 실수고 $ a \neq 0 $ 이다.</p> <p>보기 6.4.4 복소수의 역수를 표준 꼴로 쓰기</p> <p>$ \frac { 1 } { 2 + 3 i } $ 을 표준 꼴 $ a + b i $ 로 써라. 즉, $ 2 + 3 i $ 의 역수를 구하여라.</p> <p>플이</p> <p>이 생각은 분자와 분모에 $ 2 + 3 i $ 의 컬레복소수, $ 2-3 i $ 를 곱하는 것이다. 그러면 \[ \frac { 1 } { 2 + 3 i } = \frac { 1 } { 2 + 3 i } \cdot \frac { 2-3 i } { 2-3 i } = \frac { 2-3 i } { 4 + 9 } = \frac { 2 } { 13 } - \frac { 3 } { 13 } i . \]</p> <p>두 복소수의 몫을 표준 꼴로 나타내기 위하여, 몫의 분자와 분모에 분모의 컬레복소수를 곱한다.</p> <p>보기 6.4.5 복소수의 몫을 표준 꼴로 쓰기</p> <p>다음 각각을 표준 꼴로 써라.</p> <ol type=a start=1><li>$ \frac { 1 + 4 i } { 5-12 i } $</li> <li>$ \frac { 2-3 i } { 4-3 i } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>$ \begin {aligned} \frac { 1 + 4 i } { 5-12 i } &= \frac { 1 + 4 i } { 5-12 i } \cdot \frac { 5 + 12 i } { 5 + 12 i } = \frac { 5 + 20 i + 12 i + 48 i ^ { 2 } } { 25 + 144 } \\ &= \frac { -43 + 32 i } { 169 } = \frac { -43 } { 169 } + \frac { 32 } { 169 } i \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {aligned} \frac { 1 + 4 i } { 5-12 i } &= \frac { 1 + 4 i } { 5-12 i } \cdot \frac { 5 + 12 i } { 5 + 12 i } = \frac { 5 + 20 i + 12 i + 48 i ^ { 2 } } { 25 + 144 } \\ &= \frac { -43 + 32 i } { 169 } = \frac { -43 } { 169 } + \frac { 32 } { 169 } i \end {aligned} $</li></ol> <p>보기 6.4.6 다른 식을 표준 꼴로 쓰기</p> <p>보기 6.4.11 복소수체계에서 2차 방정식의 풀이</p> <p>복소수체계에서 2 차 방정식 $ x ^ { 2 } -2 x + 3 = 0 $ 을 풀어라.</p> <p>풀이</p> <p>여기서 $ a=1, b=-2, c=3 $ 이고 $ b ^ { 2 } -4 a c=4-4(1)(3)=-8 $. 따라서 \[x= \frac { -(-2) \pm \sqrt { -8 } } { 2(1) } = \frac { 2 \pm \sqrt { 8 } i } { 2 } = \frac { 2 \pm 2 \sqrt { 2 } i } { 2 } =1 \pm \sqrt { 2 } i . \] 그러므로 이 방정식은 해집합 $ \{ 1- \sqrt { 2 } i, 1 + \sqrt { 2 } i \} $ 이다. 확인 : $ 1 + \sqrt { 2 } i:(1 + \sqrt { 2 } i) ^ { 2 } -2(1 + \sqrt { 2 } i) + 3=1 + 2 \sqrt { 2 } i + 2 i ^ { 2 } -2-2 \sqrt { 2 } i + 3 $ $ =4-4=0 $. $ 1- \sqrt { 2 } i:(1- \sqrt { 2 } i) ^ { 2 } -2(1- \sqrt { 2 } i) + 3=1-2 \sqrt { 2 } i + 2 i ^ { 2 } -2 + 2 \sqrt { 2 } i + 3 $ $ =4-4=0 $.</p> <p>2 차 방징식의 판별식 $ b ^ { 2 } -4 a c $ 는 여전히 해의 특징을 결정하기 위한 하나의 방법으로 도움이 된다.</p> <p>이제 2 차 방정식의 해의 특징에 대하여 알아보자. 북소수체계에서, 실계수를 갖는 2 차 방징식 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 를 생각하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ b ^ { 2 } -4 a c>0 $ 이면, 이 방정식은 두 개의 다른 실수해를 갖는다.</li> <li>$ b ^ { 2 } -4 a c=0 $ 이면, 이 방정식은 중근을 갖는다.</li> <li>(3) $ b ^ { 2 } -4 a c<0 $ 이면, 이 방정식은 실수가 아닌 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 컬레이다. $ b ^ { 2 } -4 a c=-N<0 $ 이면, \[x= \frac { -b + \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } = \frac { -b + \sqrt { -N } } { 2 a } = \frac { -b + \sqrt { N } i } { 2 a } = \frac { -b } { 2 a } + \frac {\sqrt { N } } { 2 a } i \]와 \[x= \frac { -b- \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } = \frac { -b- \sqrt { -N } } { 2 a } = \frac { -b- \sqrt { N } i } { 2 a } = \frac { -b } { 2 a } - \frac {\sqrt { N } } { 2 a } i \]가 서로 컬레인 해라는 사실의 결과다.</li></ol> <p>6.4.12 2차 방정식의 해의 특징을 결정하기</p> <p>풀지 않고, 각 방정식의 특징을 결정하여라.</p> <ol type=a start=1><li>$ 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1=0 $</li> <li>$ 3 x ^ { 2 } + 5 x + 4=0 $</li> <li>$ 4 x ^ { 2 } -4 x + 1=0 $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>여기서 $ a=1, b=3, c=1 $ 이다. 그래서 \[b ^ { 2 } -4 a c=3 ^ { 2 } -4(2)(1)=9-8=1>0 \] 따라서 해는 두 개의 다른 해이다.</li> <li>여기서 $ a=3, b=5, c=4 $ 이다. 그래서 \[b ^ { 2 } -4 a c=5 ^ { 2 } -4(3)(4)=25-48=-23<0 \text { . } \] 따라서 해는 실수가 아니고 서로 컬레인 복소수다.</li> <li>여기서 $ a=4, b=-4, c=1 $ 이다. 그래서 \[b ^ { 2 } -4 a c=(-4) ^ { 2 } -4(4)(1)=16-16=0 \text { . } \] 따라서 해는 중근이다.</li></ol> <p>보기 6.4.1 복소수를 더하고 빼기</p> <ol type = a start=1><li>$ (2 + 3 i) + (-3 + 2 i)=(2 + (-3)) + (3 + 2) i=-1 + 5 i $ .</li> <li>$ (5 + 2 i)-(3 + 5 i)=(5-3) + (2-5) i=2 + (-3) i=2-3 i $ .</li></ol> <p>보기 6.4.2 복소수를 곱하기</p> <p>$ (5 + 3 i) \cdot(2 + 7 i) $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>방법 $ 1 $ : 정의를 이용한다. 그러면 $ \begin {aligned} (5 + 3 i) \cdot(2 + 7 i) &=(5 \cdot 2-3 \cdot 7) + (5 \cdot 7 + 3 \cdot 2) i \\ &=(10-21) + (35 + 6) i \\ &=-11 + 41 i . \end {aligned} $</p> <p>방법 $ 2: i $ 를 변수로 생각하고 2항식의 곱셈 규칙을 이용한다. 그러면 \[ \begin {array} { rlr } (5 + 3 i) \cdot(2 + 7 i) & =5 \cdot(2 + 7 i) + 3 i(2 + 7 i) & \text { 분배성질 } \\& =10 + 35 i + 6 i + 21 i ^ { 2 } & \text { 분배성질 } \\& =10 + 41 i + 21(-1) & i ^ { 2 } =-1 \\& =-11 + 41 i . & \end {array} \]</p> <p>교환, 결합과 분배성질과 같은 덧셈과 곱셈에 대한 대수적 성질이 복소수에 대해서 성립한다. 그러나 모든 0아닌 복소수가 곱셈에 관한 역 또는 역수를 갖는다는 성질은 더 면밀하게 살펴볼 필요가 있다.</p> <p>$ a $ 와 $ b $ 는 임의의 실수고 $ z=a + b i $ 라 하자. $ z $ 의 컬레복소수(conjugate complex number)는 기호. $ \bar { z } $ 로 쓰고 다음과 같이 정의한다. \[ \bar { z } = \overline { a + b i } =a-b i \text { . } \]예로써, $ \overline { 5 + 2 i } =5-2 i $ 이고 $ \overline { -3-5 i } =-3 + 5 i $ 이다.</p> <h1>제6장 2차 함수</h1><h2>$ 6.1 $ 2차 방정식</h2><p>먼저 2 차 함수에 대하여 알아보자. 2 차 함수는 1 변수의 2 차 다항식으로 정의되는 함수이다. 2 차 함수(quadratic function)는 \[f(x)=a x^{2}+b x+c\]꼴의 함수를 말한다. 여기서 $ a, b $ 와 $ c $ 는 실수고 $ a \neq 0. $ 2차 함수의 정의역은 모든 실수들로 이루어진다. 예로써, \[F(x)=5 x^{2}-2 x+3, g(x)=-3 x^{2}+2, H(x)=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{5} x\]는 모두 2 차 함수이다. 방정식 $ f(x)=0 $ 을 푼다는 것은 $ y=f(x) $ 의 그래프의 $ x $-절편을 구하는 것과 논리적으로 같다는 것을 기억하라. $ x $-절편은 완벽한 그래프가 반드시 포함해야만 하는 상세한 설명 중의 하나이기 때문에, $ f(x)=0 $ 을 푸는 방법을 공부할 필요가 있다. 여기서 $ f $ 는 2 차 함수이다. 이 같은 꼴의 방정식을 2 차 방정식이라 한다. 2 차 방정식(quadratic equation)은 \[a x^{2}+b x+c=0\] 꼴의 방정식을 말한다. 여기서 $ a, b $ 와 $ c $ 는 실수이고 $ a \neq 0 $. 2 차 방정식의 예는 다음과 같다. \[3 x^{2}+x+7=0,5 x^{2}-3 x=0, x^{2}-4=0 .\] $ a x^{2}+b x+c=0 $ 꼴로 쓰여 지는 방정식을 표준 꼴(standard form)이라 한다. 2차 방정식을 푸는 세 가지 방법을 논의할 것이다. 인수분해와 완전제곱 그리고 근 의 공식의 사용에 의하여, 2 차 방정식이 표준 꼴 $ a x^{2}+b x+c $ 로 표시될 때, 왼쪽 변의 식을 두 1 차 다항식의 곱으로 인수분해 하는 것이 가능할 수 있다. 그러면, 각 인수를 0과 같게 하여 결과 의 1차 방정식을 풀음으로써, 2차 방정식의 정확한 해를 얻는다. 다음 보기를 살펴보자.</p><p>보기 $ 6.1.1 $ 인수분해에 의한 2 차 방정식의 풀이 방정식 $ x^{2}=12-x $ 를 풀어라.</p><p>풀이</p><p>주어진 방정식의 양변에 $ x-12 $ 를 더함으로씨 표준 꼴로 나타낸다. \[\begin{array}{l}x^{2}=12-x \\x^{2}+x-12=0 . \end{array}\] 이제 이 방정식의 좌변을 인수분해 하면,\[\begin{array}{lll}x+4=0 & \text { 또는 } & x-3=0 \\x=-4 & \text { 또는 } & x=3 .\end{array}\]따라서 해집합은 $ \{-4,3\} $. 왼쪽 변이 같은 해를 갖는 두 1 차 방정식으로 인수분해 될 때, 주어진 방정식은 반복되는 해(repeated solution)를 갖는다고 말한다. 역시 이 해를 중근(double root)이라 부른다.</p> <h2>6.4 복소수; 음의 판별식을 갖는 2 차 방정식</h2> <p>실수의 한 성질은 실수의 제곱은 음이 아니라는 것이다.</p> <p>예로써, \[x ^ { 2 } = -1 \] 이 되는 실수 $ x $ 는 존재하지 않는다. 이 경우를 개선하기 위하여 새로운 수의 도입이 필요하다.</p> <p>허수단위(imaginary unit)란 제곱이 -1이 되는 새로운 수를 말하고 기호 $ i $ 로 쓴다. 즉, \[i=-1 \text { . } \] 우리가 다루는 영역이 정수로만 이루어져 있다면, $ 2 x=-1 $ 인 수 $ x $ 는 존재하지 않을 것이다.</p> <p>이러한 불행한 상황은 유리수(rational number)라 부르는 $ \frac { 1 } { 2 } $ 과 $ \frac { 3 } { 4 } $ 과 같은 수를 소개함으로써 개선되었다.</p> <p>우리가 다루는 영역이 유리수로만 이루어져 있다면, $ x ^ { 2 } =2 $ 인 수 $ x $ 는 존재하지 않을 것이다. 이것을 개선하기 위하여, 무리수(irrational number)라 부르는 $ \sqrt { 2 } $ 와 $ \sqrt[3] { 7 } $과 같은 수를 소개하였다. 여러분이 상기할 실수(real number)는 유리수와 무리수로 이루어진다.</p> <p>이제, 우리가 다루는 영역이 실수로만 이루어져 있다면, $ x ^ { 2 } =-1 $ 인 수 $ x $ 는 존재하지 않을 것이다. 이것을 개선하기 위하여 제곱이 - 1 이 되는 수 $ i $ 를 소개한다.</p> <p>대충 설명한 과정에서, 이러한 상태를 개선하기 위하여 새로운 수 체계를 소개하였다. 그리고 각 새로운 수 체계는 더 앞의 수 체계를 부분집함으로 포함한다. 수 $ i $ 를 소개함으로씨 생기는 수 체계를 복소수체계(complex number system)라 한다.</p> <p>복소수(complex number)란 $ a + b i $ 꼴의 수를 말한다. 여기서 $ a $ 와 $ b $ 는 실수다. 이때, 실수 $ a $ 를 수 $ a + b i $ 의 실수부(real part)라 하고; 실수 $ b $ 를 $ a + b i $ 의 허수부(imaginary part)라 한다.</p> <p>예로써, 복소수 $ -3 + 5 i $ 는 실수부 $ -3 $ 과 허수부 5 를 갖는다.</p> <p>복소수를 $ a + b i $ 꼴로 쓸 때, 이것을 표준 꼴(standard form)이라 한다.</p> <p>여기서 $ a $ 와 $ b $ 는 실수다. 그러나 복소수 $ 5 + (-3) i $ 에서와 같이 복소수의 허수부가 음이면, $ 5 + (-3) i $ 대신에 $ 5-3 i $ 꼴로 쓰기로 한다.</p> <p>역시, 복소수 $ a + 0 i $ 를 보봉 $ a $ 로만 쓴다. 이것은 실수들의 집합이 복소수들의 집합의 부분집합임을 생각나게 하는데 도움이 된다. 복소수 $ 0 + b i $ 는 보봉 bi 로 쓴다. 때때로 복소수 bi $ (b \neq 0) $ 를 순허수(pure imaginary number)라 한다.</p> <p>복소수의 같음, 덧셈, 뺄셈과 곱셈이 실수에 대하여 잘 알고 있는 대수빕칙이 보존되도록 정의한다. 이제, 복소수의 같음, 덧셈, 뺄셈과 곱셈을 정의한다. $ a $ 와 $ b $ 는 임의의 실수라 하자.</p> <ol type= start=1><li>$ a + b i=c + d i \Leftrightarrow a=c $ 이고 $ b=d $ 이다.</li> <li>$ (a + b i) + (c + d i)=(a + c) + (b + d) i $ .</li> <li>$ (a + b i)-(c + d i)=(a-c) + (b-d) i $ .</li> <li>$ (a + b i)(c + d i)=(a c-b d) + (a d + b c) i $ .</li></ol> <p>$ z=2-3 i $ 이고 $ w=5 + 2 i $ 일 때, 다음 각 식을 표준 꼴로 써라.</p> <ol type=a start=1><li>$ \frac { z } { w } $</li> <li>$ \overline { z + w } $</li> <li>$ z + \bar { z } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>$ \frac { z } { w } = \frac { z \cdot \bar { w } } { w \cdot \bar { w } } = \frac { (2-3 i)(5-2 i) } { (5 + 2 i)(5-2 i) } = \frac { 10-15 i-4 i + 6 i ^ { 2 } } { 25 + 4 } $ $ = \frac { 4-19 i } { 29 } = \frac { 4 } { 29 } - \frac { 19 } { 29 } i $</li> <li>$ \overline { z + w } = \overline { (2-3 i) + (5 + 2 i) } = \overline { 7-i } =7 + i $.</li> <li>$ z + \bar { z } =(2-3 i) + (2 + 3 i)=4 $.</li></ol> <p>복소수의 컬레(conjugate)는 우리가 뒤에서 발견하게 될 몇 가지 일반적인 성질을 갖는다.</p> <p>실수 $ a + 0 i $ 에 대하여, 이 컬레는 $ \bar { a } = \overline { a + 0 i } =a-0 i=a $. 따라서 다음의 결과를 얻는다. 또한, 다른 성질이 다음에 주어진다. $ z $ 와 $ w $ 는 임의의 복소수라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \overline { ( \bar { z } ) } =z $</li> <li>$ \overline { z + w } = \bar { z } + \bar { w } $</li> <li>$ \overline { z \cdot w } = \bar { z } \cdot \bar { w } $</li></ol> <p>이제 $ i $ 의 거듭제곱은 다음과 같다. \[ \begin {array} { ll } i ^ { 1 } =i, & i ^ { 5 } =i ^ { 4 } \cdot i=1 \cdot i=i, \\i ^ { 2 } =-1, & i ^ { 6 } =i ^ { 4 } \cdot i ^ { 2 } =-1, \\i ^ { 3 } =i ^ { 2 } \cdot i=-i, & i ^ { 7 } =i ^ { 4 } \cdot i ^ { 3 } =-i, \\i ^ { 4 } =i ^ { 2 } \cdot i ^ { 2 } =(-1)(-1)=1, & i ^ { 3 } =i ^ { 4 } \cdot i ^ { 4 } =1 . \end {array} \]</p> <p>따라서 쉽게 다음의 결과를 얻는다. \[i ^ { n } = \left \{\begin {aligned} 1 &(n=4 k) \\i &(n=4 k + 1) \\-1 &(n=4 k + 2) \\-i &(n=4 k + 3) . \end {aligned} \right . \] 여기서 $ n $ 과 $ k $ 는 자연수이다.</p>	자연
수학교재연구:이산수학_확률	<h2>10. 독립시행의 확률</h2> <p>어떤 시행을 반복할 때, 매회 일어나는 사건이 서로 독립인 경우, 이러한 시행을 독립시행이라고 한다.</p> <p>1 회의 시행에서 사건 $ A $ 가 일어날 확률을 $ p $ 라 할 때, $ n $ 회의 독립시행에서 사건 $ A $ 가 $ r $ 회 일어날 확률은 $ { } _ { n } \mathrm { C } _ { r } p ^ { r } q ^ { n-r } ( $ 단, $ q=1-p, r=0,1,2, \cdots, n $ )</p> <h2>11. 베이즈(Bayes)의 정리</h2> <p>사건 $ B_ { 1 } , B_ { 2 } , \cdots, B_ { n } $ 은 서로 배반이고 $ B_ { 1 } \cap B_ { 2 } \cap \cdots \cap B_ { n } =S $ (단, 표본공간은 $ S $ )라고 할 때, 사건 $ A $ 의 확률이 0이 아니면 다음이 성립한다.</p> <p>전확률(Total Probability)의 정리: \[P(A)= \sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) \]</p> <p>베이즈(Bayes)의 정리 : \[P \left (B_ { i } \mid A \right )= \frac { P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) } \]</p> <p>(증명) $ P \left (B_ { i } \mid A \right )= \frac { P \left (B_ { i } \cap A \right ) } { P(A) } $ 인데, 전확률의 정리에 의해 \[ P(A)= \sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) \] \[ \text { 이고 } P \left (B_ { i } \cap A \right )=P(A) P \left (B_ { i } \mid A \right ) \text { 이므로 } P \left (B_ { i } \mid A \right )= \frac { P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } P \left (B_ { i } \right ) P \left (A \mid B_ { i } \right ) } \]</p> <p>$5. $ 집합 $ X= \{ 1,2,3 \} $ 에서 $ X $ 로의 함수 중 임의로 선택한 한 함수를 $ f(x) $ 라 할 때, $ f(1) f(2) f(3) $ 의 값이 $6 $의 배수일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 4 } { 9 } $</p> <p>$6. $ 서로 배반인 두 사건 $ A, B $ 가 $ P(A \cup B)= \frac { 1 } { 4 } $ , $2 P(A) + P(B)= \frac { 1 } { 3 } $ 을 만족시킬 때, $ P(A) P(B) $ 의 값을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 1 } { 72 } $</p> <p>$7. $ $ A, B, C $ 를 포함한 $8 $ 명이 서로 다른 종류의 차량 $2 $ 대를 이용하여 여행을 떠나려고 한다. 한 대의 차량에 임의로 $4 $ 명씩 탑승할 때, 두 대의 차량에 각각 $ A, B, C $ 중에서 적어도 한 사람이 탑승할 확률은? (단, 좌석의 위치는 고려하지 않는다.)</p> <p>① $ \frac { 2 } { 7 } $ ② $ \frac { 3 } { 7 } $ ③ $ \frac { 4 } { 7 } $ ④ $ \frac { 5 } { 7 } $ ⑤ $ \frac { 6 } { 7 } $</p> <p>(풀이) 답은 ⑤</p> <p>$8. $ 한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 $ a, b $ 라 할 때, 부등식 $ 2 \leqq a b-a-2 b \leqq 4 $ 를 만족시킬 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 1 } { 6 } $</p> <p>$9. $ $ A, B $ 를 포함한 $7 $ 명의 학생이 앞에서부터 일렬로 앉을 때, 가장 앞자리와 가장 뒷자리를 제외한 자리에 $ A, B $ 가 앉을 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 10 } { 21 } $</p> <p>$10. $ 집합 $ X= \{ x \mid x $ 는 10 이하의 자연수 $ \} $ 의 원소 중에서 임의로 서로 다른 세 원소를 택할 때, 소수인 원소가 적어도 한 개 포함될 확률을 구하시오.</p> <p>따라서 구하는 확률은 $ P(A \mid B)= \frac { P(A \cap B) } { P(B) } = \frac { 3 } {\frac { 17 } { 3 } } = \frac { 9 } { 17 } $</p> <p>답은 ⑤</p> <h2>예제 $ 7 $.</h2> <p>$1 $ 부터 $10 $ 까지의 자연수가 각각 적힌 $10 $ 장의 카드가 들어 있는 상자에서 $1 $ 장의 카드를 임의로 뽑는 시행을 반복할 때, 소수가 적힌 카드가 모두 뽑히면 시행을 멈춘다. $6 $ 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 뽑은 카드는 다시 넣지 않는다.)</p> <p>① $ \frac { 1 } { 21 } $ ② $ \frac { 1 } { 18 } $ ③ $ \frac { 1 } { 15 } $ ④ $ \frac { 1 } { 12 } $ ⑤ $ \frac { 1 } { 9 } $</p> <p>(풀이 $1 $)</p> <p>$1 $ 부터 $10 $ 까지의 자연수 중 소수는 $ 2,3,5,7 $ 의 $4 $ 개이므로 $5 $ 번째까지 소수를 $3 $ 번 뽑고 $6 $ 번째에 나머지 소수 $1 $ 개를 뽑으면 된다. $5 $ 번째까지 소수를 $3 $ 번 뽑는 경우의 수는 (소수, 소수, 소수, 소수가 아닌 수, 소수가 아닌 수) 를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 $ \frac { 5 ! } { 3 ! 2 ! } =10 $</p> <p>또한 그 각각의 확률은 $ \frac { 4 } { 10 } \times \frac { 3 } { 9 } \times \frac { 2 } { 8 } \times \frac { 6 } { 7 } \times \frac { 5 } { 6 } $</p> <p>따라서 구하는 확률은 $ 10 \times \left ( \frac { 4 } { 10 } \times \frac { 3 } { 9 } \times \frac { 2 } { 8 } \times \frac { 6 } { 7 } \times \frac { 5 } { 6 } \right ) \times \frac { 1 } { 5 } = \frac { 1 } { 21 } $</p> <p>① $ \frac { 1 } { 20 } $ ② $ \frac { 1 } { 10 } $ ③ $ \frac { 3 } { 20 } $ ④ $ \frac { 1 } { 5 } $ ⑤ $ \frac { 1 } { 4 } $</p> <caption>[ $ 2011학년도 대수능 $]</caption> <p>(풀이)</p> <p>$ 6 $ 명의 학생을 $ 6 $ 개의 좌석에 앉히는 경우의 수는 $ 6 !=720 $</p> <ol type=i start=1><li>$ (11,12),(21,22),(13,23) $ 의 경우, 세 나라를 정하는 경우의 수는 $ 3 !=6 $<p>각 좌석에 나라별로 두 학생을 앉히는 경우의 수는 $ 2 ^ { 3 } =8 $</p> <p>즉, 조건을 만족시키는 경우의 수는 $ 6 \times 8=48 $</p></li> <li>$ (11,21),(12,13),(22,23) $ 의 경우, (i)과 같은 방법으로 구하면 경우의 수는 48</li> <li>$ (11,21),(12,22),(13,23) $ 의 경우, (i)과 같은 방법으로 구하면 경우의 수는 48</li></ol> <p>따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 확률은 $ \frac { 3 \times 48 } { 720 } = \frac { 1 } { 5 } $</p> <p>답은 ④</p> <h2>예제 $ 3 $.</h2> <p>서로 다른 $4 $ 개의 주사위를 동시에 던져 나오는 눈의 수를 각각 $ a, b, c, d $ 라 할 때, $ a \leqq b<c \leqq d $ 를 만족시킬 확률은 $ \frac { q } { p } $ 이다. $ p + q $ 의 값을 구하시오. (단, $ p $ 와 $ q $ 는 서로소인 자연수이다.)</p> <p>(풀이 $ 1 $)</p> <p>전체 경우의 수는 $ 6 ^ { 4 } =1296 $</p> <p>$ a \leqq b \leqq c \leqq d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { H } _ { 4 } = { } _ { 9 } \mathrm { C } _ { 4 } =126 $</p> <p>$ a \leqq b=c \leqq d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { H } _ { 3 } = { } _ { 8 } \mathrm { C } _ { 3 } =56 $</p> <p>(풀이) $ \frac { 11 } { 27 } $</p> <p>$34. $ 한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행에서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수일 때, 두 눈의 수의 합이 짝수일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 1 } { 3 } $</p> <p>$35. $ 두 사건 $ A, B $ 가 서로 독립이고 $ P \left (B \mid A ^ { c } \right )= \frac { 3 } { 4 } , P(A \cup B)= \frac { 5 } { 6 } $ 일 때, $ P(A \cap B) $ 의 값을 구하시오. (단, $ A ^ { c } $ 은 $ A $ 의 여사건이다.)</p> <p>(풀이) $ \frac { 1 } { 4 } $</p> <p>$36. $ 두 사건 $ A, B $ 가 서로 독립이고 $ P(A \cap B)= \frac { 1 } { 8 } , P \left (B ^ { c } \mid A \right ) + P \left (A \mid B ^ { c } \right )= \frac { 3 } { 4 } $ 일 때, $ P(A) + P(B) $ 의 값은? (단, $ B ^ { c } $ 은 $ B $ 의 여사건이다.)<p>① $ \frac { 1 } { 4 } $ ② $ \frac { 3 } { 8 } $ ③ $ \frac { 1 } { 2 } $ ④ $ \frac { 5 } { 8 } $ ⑤ $ \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>(풀이) 답은 ⑤</p> <p>$37. $ $ A, B $ 두 팀의 경기에서 $ A $ 팀이 이길 확률이 $ \frac { 2 } { 3 } $ 이고 $5 $ 번의 경기에서 먼저 $3 $ 번을 이기면 우승한다고 할 때, $ A $ 팀이 $4 $ 번째 경기에서 우승할 확률을 구하시오. (단, 비기는 경우는 없다.)</p> <p>(풀이) $ \frac { 8 } { 27 } $</p> <p>$38. $ 버스 안의 남자 $4 $ 명, 여자 $4 $ 명, 즉 모두 $8 $ 명이 한 명씩 차례로 버스에서 내렸다. 여자는 어떤 $2 $ 명도 연속하여 내리지 않았을 때, 남자는 $2 $ 명이 연속하여 내렸을 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 3 } { 5 } $</p> <p>$39. $ $10 $ 개의 $ A $ 와 $5 $개의 $ B $ 를 일렬로 나열할 때, $ B $ 들이 서로 이웃하지 않게 나열할 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 2 } { 13 } $</p> <p>주어진 실행에 의하여 상자 $ B $ 에 있는 빨간 공의 개수가 $ 1 $ 인 경우는 다음과 같다.</p> <ol type=i start=1><li>상자 $ A $ 에서 빨간 공 $ 1 $ 개, 검은 공 $ 1 $ 개를 뽑은 경우, 확률은 $ \frac { { } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 1 } \times { } _ { 5 } \mathrm { C } _ { 1 } } { { } _ { 8 } \mathrm { C } _ { 2 } } = \frac { 15 } { 28 } $</li> <li>상자 $ A $ 에서 검은 공 $2 $ 개를 뽑은 후 빨간 공 $1 $ 개, 검은 공 $1 $ 개를 뽑은 경우, 확률은 $ \frac { { } _ { 5 } \mathrm { C } _ { 2 } } { { } _ { 8 } \mathrm { C } _ { 2 } } \times \frac { { } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 1 } \times { } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 1 } } { { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 2 } } = \frac { 10 } { 28 } \times \frac { 9 } { 15 } = \frac { 3 } { 14 } $</li></ol> <p>따라서 (i), (ii)에서 구하는 확률은 $ \frac { 15 } { 28 } + \frac { 3 } { 14 } = \frac { 21 } { 28 } = \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>답은 ④</p> <h2>예제 $ 5 $.</h2> <p>두 사건 $ A, B $ 에 대하여 $ P(A)= \frac { 1 } { 2 } , P \left (B ^ { c } \right )= \frac { 2 } { 3 } $ 이며 $ P(B \mid A)= \frac { 1 } { 6 } $ 일 때, $ P \left (A ^ { c } \mid B \right ) $ 의 값은? (단, $ A ^ { c } $ 은 $ A $ 의 여사건이다.)</p> <p>한 쌍만이 같은 나라 사람일 경우는 네 쌍 중에서 한 쌍만 뽑고, 나머지 세 쌍 중 두 쌍에서 각각 $1 $ 명씩 뽑으면 된다. 네 쌍 중에서 한 쌍만 뽑는 경우의 수는 $ { } _ { 4 } \mathrm { C } _ { 1 } =4 $ 나머지 세 쌍 중 두 쌍에서 각각 $1 $ 명씩 뽑는 방법의 수는 $ { } _ { 3 } \mathrm { C } _ { 2 } \times { } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 1 } \times { } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 1 } =12 $</p> <p>따라서 구하는 확률은 $ \frac { 4 \times 12 } { 70 } = \frac { 24 } { 35 } $</p> <h2>예제 $13 $.</h2> <p>새로 개발된 레이더 시스템이 미확인 비행체를 발견할 확률이 $ 90 \% $ 라고 한다. 이 레이더 시스템의 성능을 조사하기 위해 테스트한 결과 미확인 비행체를 발견했을 때 $ 50 \% $ 는 비가 왔고, 발견하지 못했을 때 $ 10 \% $ 가 왔다.</p> <ol type= start=1><li>비가 올 확률을 구하시오.</li> <li>비가 오는 날에 미확인 비행체를 발견할 확률을 구하시오.</li></ol> <p>(풀이)</p> <p>비가 올 사상을 $ A $, 미학인 비행체를 발견할 사상을 $ B_ { 1 } $, 미확인 비행체를 발견하지 못할 사상을 $ B_ { 2 } $ 라 하자.</p> <ol type= start=1><li>전확률의 정리를 적용하면 \[ P(A)=P \left (B_ { 1 } \right ) P \left (A \mid B_ { 1 } \right ) + P \left (B_ { 2 } \right ) P \left (A \mid B_ { 2 } \right )=0.9 \times 0.5 + 0.1 \times 0.1=0.46 \]</li> <li>비가 오는 날에 미확인 비행체를 발견할 확률을 베이즈의 정리를 이용하여 구하면 \[ \begin {aligned} P \left (B_ { 1 } \mid A \right ) &= \frac { P \left (B_ { 1 } \right ) P \left (A \mid B_ { 1 } \right ) } { P \left (B_ { 1 } \right ) P \left (A \mid B_ { 1 } \right ) + P \left (B_ { 2 } \right ) P \left (A \mid B_ { 2 } \right ) } \\ &= \frac { 0.45 } { 0.45 + 0.01 } = \frac { 45 } { 46 } \end {aligned} \]</li></ol> <h2>연습문제 $4 $</h2> <p>$1. $ 집합 $ X= \{ 1,2,3,4 \} $ 에서 집합 $ Y= \{ -2,-1,0,1 \} $ 로의 함수 중에서 임의로 선택한 함수를 $ f(x) $ 라 할 때, $ f(1) f(2) f(3)=0 $ 또는 $ f(4) \geqq 0 $ 이 성립할 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 101 } { 128 } $</p> <p>$2. $ 다섯 개의 문자 $ A, B, C, D, E $ 를 임의로 일렬로 나열할 때, $ A $ 와 $ B $ 는 이웃하고 $ C $ 와 $ D $ 는 이웃하지 않을 확률은?</p> <p>① $ \frac { 1 } { 20 } $ ② $ \frac { 1 } { 10 } $ ③ $ \frac { 3 } { 20 } $ ④ $ \frac { 1 } { 5 } $ ⑤ $ \frac { 1 } { 4 } $</p> <p>(풀이) 답은 ④</p> <p>$3. $ $1 $ 부터 $9 $ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 $9 $ 개의 구슬을 임의로 $3 $ 개씩 $3 $ 묶음으로 나누어 상자 $ A, B, C $ 에 각각 한 묶음씩 넣을 때, 각 상자에 들어 있는 세 구슬에 적혀 있는 수의 합이 모두 홀수가 될 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 3 } { 14 } $</p> <p>$4. $ 남자 탁구 선수 $4 $ 명과 여자 탁구 선수 $4 $ 명이 참가한 탁구 시합에서 임의로 $2 $ 명씩 $4 $ 개의 조를 만들 때, 남자 $1 $ 명과 여자 $1 $ 명으로 이루어진 조가 $2 $ 개일 확률은?</p> <p>① $ \frac { 3 } { 7 } $ ② $ \frac { 18 } { 35 } $ ③ $ \frac { 3 } { 5 } $ ④ $ \frac { 24 } { 35 } $ ⑤ $ \frac { 27 } { 35 } $</p> <caption>[ $2011 $학년도 대수능]</caption> <p>(풀이) 답은 ④</p> <p>(풀이) $ \frac { 5 } { 6 } $</p> <p>$11. $ 정칠각형 $ \mathrm { ABCDEFG } $ 의 꼭짓점 중 임의로 $4 $점을 택하여 사각형을 만들 때, 그 사각형이 사다리꼴일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 3 } { 5 } $</p> <p>$12. $ 집합 $ S= \{ 1,2,3,4 \} $ 의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 선택했을 때, 한 집합이 다른 집합의 부분집합이 될 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 13 } { 24 } $</p> <p>$13. $ $1 $ 이 적힌 빨간색, 노란색 카드가 각각 $3 $장씩, $2 $ 가 적힌 빨간색, 노란색 카드가 각각 $2 $장씩, $3 $ 이 적힌 빨간색, 노란색 카드가 각각 $1 $ 장씩 모두 $12 $ 장의 카드가 있다. 이 중에서 $2 $ 장의 카드를 임의로 뽑을 때, 카드의 색깔이 같거나 카드에 적힌 숫자가 같을 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 2 } { 3 } $</p> <p>$14. $ 한 개의 주사위를 $3 $ 번 던질 때, 나온 눈의 최댓값이 $4 $ 가 될 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 37 } { 216 } $</p> <p>$15. $ 크기와 모양이 같은 카드 $7 $장이 앞면이 보이도록 $3 $장, 뒷면이 보이도록 $4 $장이 놓여 있다. 이 $7 $장의 카드 중에서 임의로 $3 $장을 뒤집어 놓을 때, 뒷면이 보이는 카드가 $5 $장이 될 확률을 구하시오. (단, 뒤집는 순서는 고려하지 않는다.)</p> <p>(풀이) $ \frac { 12 } { 35 } $</p> <p>$16. $ 집합 $ \{ (a, b, c): a + b + c=9, a, b, c $ 는 음이 아닌 정수 $ \} $ 의 원소 중에서 임의로 한 개를 택할 때, $ a, b, c $ 의 곱 $ a b c $ 가 $0 $ 일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 27 } { 55 } $</p> <p>$17. $ $1 $ 부터 $10 $ 까지의 자연수가 각각 적혀 있는 $10 $ 장의 카드에서 임의로 $3 $ 장의 카드를 동시에 뽑을 때, 카드에 적혀 있는 수의 최댓값과 최솟값의 차가 $2 $ 이하 또는 $5 $ 이상이 될 확률은?</p> <p>(풀이) $ \frac { 4 } { 7 } $</p> <p>$28. $ 흰 공 $4 $ 개, 검은 공 $2 $ 개가 들어 있는 주머니가 있다. $1 $개의 동전을 던져서 앞면이 나오면 주머니에서 임의로 $2 $ 개의 공을 동시에 꺼내고, 뒷면이 나오면 주머니에서 임의로 $3 $ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공의 개수가 $2 $ 일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 1 } { 2 } $</p> <p>참고로, 흰 공 $4 $ 개, 검은 공 $2 $ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 주사위를 던져서 $3 $ 의 배수가 나오면 주머니에서 임의로 $2 $ 개의 공을 동시에 꺼내고, 뒷면이 나오면 주머니에서 임의로 $3 $ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공의 개수가 $2 $ 일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이) $ \frac { 8 } { 15 } $</p> <p>$29. $ 어느 고등학교의 한 학급의 학생 중 $40 $ 명이 대학수학능력시험에 응시하였다. 시험에 응시한 이 학급의 모든 학생은 국어 $ A $ 형과 $ B $ 형 중 어느 하나를, 영어 $ A $ 형과 $ B $ 형 중 어느 하나를 각각 반드시 선택하였다. 국어 $ A $ 형과 영어 $ A $ 형에 응시한 학생은 각각 $16 $ 명, $22 $ 명이고, 영어 $ B $ 형에 응시한 학생 중에서 국어 $ A $ 형에 응시한 학생 수는 이 학급에서 시험에 응시한 학생 수의 $ 30 \% $ 이었다. 시험에 응시한 이 학급의 어느 한 학생이 국어 $ B $ 형에 응시하였을 때, 이 학생이 영어 $ A $ 형에 응시하였을 확률은?</p> <p>① $ \frac { 1 } { 4 } $ ② $ \frac { 3 } { 8 } $ ③ $ \frac { 1 } { 2 } $ ④ $ \frac { 5 } { 8 } $ ⑤ $ \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>(풀이) 답은 ⑤</p> <p>$30. $ 두 양궁선수 $ A, B $ 가 과녁을 향하여 각각 한 개의 화살을 쏠 때, 명중시킬 확률이 각각 $ \frac { 4 } { 5 } , \frac { 9 } { 10 } $ 라 한다. 이 양궁선수 $ A, B $ 가 과녁을 향하여 각각 한 개의 화살을 쏠 때, 한 명만 명중시킬 확률을 구하시오. (단, 두 양궁선수 $ A, B $ 가 화살을 쏘는 시행은 서로 독립이다.)</p> <h2>예제 $11 $.</h2> <p>한 개의 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나오는 사건을 $ A, 3 $ 또는 $4 $의 눈이 나오는 사건을 $ B $, 소수의 눈이 나오는 사건을 $ C $ 라고 할 때, 다음 두 사건의 독립과 종속을 판단하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>사건 $ A $ 와 $ B $</li> <li>사건 $ A $ 와 $ C $</li></ol> <p>(풀이)</p> <p>$ A= \{ 1,3,5 \} , B= \{ 3,4 \} , C= \{ 2,3,5 \} $ 이므로 각각의 확률은 다음과 같다. \[ P(A)= \frac { 1 } { 2 } , \quad P(B)= \frac { 1 } { 3 } , \quad P(C)= \frac { 1 } { 2 } \]</p> <ol type=1 start=1><li>$ A \cap B= \{ 3 \} $ 이므로 $ P(A \cap B)= \frac { 1 } { 6 } $ 이고 $ P(A) P(B)= \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 6 } $ 이다. 따라서 $ P(A \cap B)=P(A) P(B) $ 이므로 사건 $ A $ 와 $ B $ 는 서로 독립이다.</li> <li>$ A \cap C= \{ 3,5 \} $ 이므로 $ P(A \cap C)= \frac { 1 } { 3 } $ 이고 $ P(A) P(C)= \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $ 이다. 따라서 $ P(A \cap C) \neq P(A) P(C) $ 이므로 사건 $ A $ 와 $ C $ 는 서로 종속이다.</li></ol> <h2>예제 $12 $.</h2> <p>한국 사람, 미국 사람, 중국 사람, 일본 사람이 각각 $2 $ 명씩 $8 $ 명이 있다. 이 중에서 임의로 $4 $ 명을 뽑을 때, 한 쌍만이 같은 나라 사람일 확률을 구하시오.</p> <p>(풀이)</p> <p>$8 $명 중에서 $4 $ 명을 뽑는 경우의 수는 $ { } _ { 8 } \mathrm { C } _ { 4 } =70 $</p> <p>(풀이) $ \frac { 27 } { 35 } $</p> <p>$22. $ 두 사건 $ A, B $ 에 대하여 $ P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right )= \frac { 3 } { 14 } , P \left (A \cap B ^ { c } \right )= \frac { 3 } { 7 } $ 일 때, $ P(B) $ 의 값은? (단, $ A ^ { c } $ 은 $ A $ 의 여사건이다.)</p> <p>① $ \frac { 5 } { 14 } $ ② $ \frac { 3 } { 7 } $ ③ $ \frac { 1 } { 2 } $ ④ $ \frac { 4 } { 7 } $ ⑤ $ \frac { 9 } { 14 } $</p> <p>(풀이) 답은 ①</p> <p>$23. $ 흰 공 $4 $ 개, 검은 공 $3 $ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $2 $ 개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 $2 $ 개의 공의 색이 서로 다르면 $1 $ 개의 동전을 $3 $ 번 던지고, 꺼낸 $2 $ 개의 공의 색이 서로 같으면 $1 $ 개의 동전을 $2 $ 번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 $2 $ 번 나올 확률은?</p> <p>① $ \frac { 9 } { 28 } $ ② $ \frac { 19 } { 56 } $ ③ $ \frac { 5 } { 14 } $ ④ $ \frac { 3 } { 8 } $ ⑤ $ \frac(11 } { 28 } $</p> <caption>[ $2013 $학년도 대수능]</caption> <p>(풀이) 답은 ①</p> <p>$24. $ 주머니 $ A $ 안에 흰 공 $2 $ 개, 검은 공 $1 $ 개가 들어 있고, 주머니 $ B $ 안에 흰 공 $2 $ 개, 검은 공 $3 $ 개가 들어 있다. 주머니 $ A, B $ 에서 공을 각각 $1 $ 개씩 임의로 뽑았더니 색이 서로 다른 공이 나왔을 때, 주머니 $ A $ 에서 흰 공을 뽑았을 확률을 구하시오.</p> <p>① $ \frac { 1 } { 2 } $ ② $ \frac { 7 } { 12 } $ ③ $ \frac { 2 } { 3 } $ ④ $ \frac { 3 } { 4 } $ ⑤ $ \frac { 5 } { 6 } $</p> <caption>[ $2009 $학년도 대수능]</caption> <p>(풀이)</p> <p>$ P \left (B ^ { C } \right )= \frac { 2 } { 3 } $ 에서 $ P(B)= \frac { 1 } { 3 } $</p> <p>$ P(B \mid A)= \frac { P(A \cap B) } { P(A) } = \frac { 1 } { 6 } $ 에서 $ P(A \cap B)= \frac { 1 } { 12 } $</p> <p>$ P(B)=P(A \cap B) + P \left (A ^ { c } \cap B \right ) $ 에서 $ P \left (A ^ { c } \cap B \right )=P(B)-P(A \cap B)= \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 12 } = \frac { 1 } { 4 } $</p> <p>$ P \left (A ^ { c } \mid B \right )= \frac { P \left (A ^ { c } \cap B \right ) } { P(B) } = \frac {\frac { 1 } { 4 } } {\frac { 1 } { 3 } } = \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>답은 ④</p> <h2>예제 $ 6 $.</h2> <p>어느 학교 전체 학생의 $ 60 \% $ 는 버스로, 나머지 $ 40 \% $ 는 걸어서 등교하였다. 버스로 등교한 학생의 $ \frac { 1 } { 20 } $ 이 지각하였고, 걸어서 등교한 학생의 $ \frac { 1 } { 15 } $ 이 지각하였다. 이 학교 전체 학생 중 임의로 선택한 1 명의 학생이 지각하였을 때, 이 학생이 버스로 등교하였을 확률은?</p> <h1>제4장 확률(Probability)</h1> <p>이 장에서는 확률의 덧셈정리, 조건부 학률, 확률의 곱셈정리, 사건의 득립과 종속, 독립시행의 확률, 베이즈의 정리에 대해 잘펴본다.</p> <h2>1. 시행과 사건</h2> <p>같은 조건에서 선택할 수 있고 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰을 시행이라 한다. 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과 전체의 집합을 표븐공간이라 한다․ 표본공간의 부분집합을 사건이라 한다.</p> <p>표본공간 $ S $ 의 부분집합인 두 사건 $ A, B $ 에 대하여 $ A $ 또는 $ B $ 가 일어나는 사건을 $ A \cup B $ 로 나타내고, $ A $ 와 $ B $ 가 동시에 일어나는 사건을 $ A \cap B $ 를 나타낸다.</p> <p>$ A \cap B = \varnothing $ 일 때, $ A $ 와 $ B $ 는 배반사건이라 하고, 이 두 사건을 서로 배반사건이라고 한다.</p> <p>사건 $ A $ 에 대하여 $ A $ 가 일어나지 않는 사건을 $ A $ 의 여사건이라 하고, 기호로, $ A ^ { c } $ 으로 나타낸다.</p> <h2>2. 수학적 확률</h2> <p>어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수가 $ n $ 이고 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대된다고 하자. 이때, 사건 $ A $ 가 일어나는 경우의 수가 $ r $이면 사건 $ A $ 가 일어날 학률은 $ P(A)= \frac { r } { n } $ 이고 이를 수학적 확률이라 한다.</p> <h2>3. 통계적 확률</h2> <p>일정한 조건에서 같은 시행을 $ n $ 번 반복하여 사건 $ A $ 가 일어난 횟수를 $ r_ { n } $ 이라고 할 때, $ n $ 이 한없이 커짐에 따라 상대도수 $ \frac { r_ { n } } { n } $ 이 일정한 값 $ p $ 에 가까워지면, 이 $ p $ 를 사건 $ A $ 의 통계적 학률이라고 한다.</p> <h2>4. 확률의 기본 성질</h2> <p>표본공간 $ S $ 의 부분집합인 사건 $ A $ 에 대하여</p> <ol type= start=1><ol type=1 start=1><li>$ 0 \leqq P(A) \leqq 1 $</li> <li>$ A=S $ 이면 $ P(A)=1 $</li> <li>$ A= \varnothing $ 이면 $ P(A)=0 $</li></ol> <p>(풀이) $ \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>$25. $ 두 사건 $ A, B $ 에 대하여 $ P(A)= \frac { 1 } { 2 } , P \left (A ^ { c } \cup B ^ { c } \right )= \frac { 7 } { 8 } $ 일 때, $ P(B \mid A) $ 의 값은? (단, $ A ^ { c } $ 은 $ A $ 의 여사건이다.)</p> <p>① $ \frac { 1 } { 4 } $ ② $ \frac { 3 } { 8 } $ ③ $ \frac { 1 } { 2 } $ ④ $ \frac { 5 } { 8 } $ ⑤ $ \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>(풀이) 답은 ①</p> <p>$26. $ 두 사건 $ A, B $ 에 대하여 $ P \left (A ^ { c } \cap B ^ { c } \right )= \frac { 2 } { 3 } P(A)= \frac { 1 } { 2 } P(B), P(B \mid A)= \frac { 1 } { 3 } $ 일 때, $ P(A) $의 값은? (단, $ A ^ { c } $ 은 $ A $ 의 여사건이다.)</p> <p>① $ \frac { 1 } { 4 } $ ② $ \frac { 3 } { 8 } $ ③ $ \frac { 1 } { 2 } $ ④ $ \frac { 5 } { 8 } $ ⑤ $ \frac { 3 } { 4 } $</p> <p>(풀이) 답은 ②</p> <p>$27. $ 크기와 모양이 같은 흰 공 $5 $ 개, 검은 공 $3 $ 개가 들어 있는 상자에서 임의로 공을 한 개씩 $2 $ 번 꺼낸다고 한다. 두 번째에 꺼낸 공이 흰 공이었을 때, 첫 번째에 꺼낸 공도 흰 공이었을 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)</p> <p>따라서 구하는 확률은 $ \frac { 126-56 } { 1296 } = \frac { 35 } { 648 } $ 이고 $ p + q=683 $</p> <p>(풀이 $ 2 $)</p> <p>전체 경우의 수는 $ 6 ^ { 4 } =1296 $</p> <p>$ a<b<c<d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 4 } = { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 2 } =15 $</p> <p>$ a=b<c<d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 3 } =20 $</p> <p>$ a<b<c=d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 3 } =20 $</p> <p>$ a=b<c=d $ 인 경우의 수는 $ { } _ { 6 } \mathrm { C } _ { 2 } =15 $</p> <p>따라서 구하는 확률은 $ \frac { 70 } { 1296 } = \frac { 35 } { 648 } $ 이고 $ p + q=683 $</p> <h2>예제 4.</h2> <p>상자 $ A $ 에는 빨간 공 $ 3 $ 개와 검은 공 $ 5 $ 개가 들어 있고, 상자 $ B $ 는 비어 있다. 상자 $ A $ 에서 임의로 $ 2 $ 개의 공을 꺼내어 빨간 공이 나오면 [실행1]을, 빨간 공이 나오지 않으면 [실행2]를 할 때, 상자 $ B $ 에 있는 빨간 공의 개수가 $ 1 $ 일 확률은?</p> <p>[실행1] 꺼낸 공을 상자 $ B $ 에 넣는다.</p> <p>[실행2] 꺼낸 공을 상자 $ B $ 에 넣고, 상자 $ A $ 에서 임의로 $ 2 $ 개의 공을 더 꺼내어 상자 $ B $ 에 넣는다.</p> <p>① $ \frac { 1 } { 2 } $ ② $ \frac { 7 } { 12 } $ ③ $ \frac { 2 } { 3 } $ ④ $ \frac { 3 } { 4 } $ ⑤ $ \frac { 5 } { 6 } $</p> <caption>[ $ 2012 $학년도 대수능]</caption> <p>(풀이)</p> <h2>7. 조건부확률</h2> <p>사건 $ A $ 가 일어났을 때 사건 $ B $ 가 일어날 확률을 사건 $ A $ 가 일어났을 때의 사건 $ B $ 의 조건부확률이라고 하고, 기호로 $ P(B \mid A) $ 와 같이 나타낸다.</p> <p>$ P(B \mid A)= \frac { P(A \cap B) } { P(A) } ( $ 단, $ P(A)>0) $</p> <p>예를 들어, 한 개의 주사위를 던져 짝수의 눈이 나오는 사건을 $ A, 4 $ 이상의 눈이 나오는 사건을 $ B $ 라 하면 $ P(A)= \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } , P(A \cap B)= \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 } $ 이므로 짝수의 눈이 나왔을 때, 그 눈이 4 이상일 확률은 $ P(B \mid A)= \frac { P(A \cap B) } { P(A) } = \frac {\frac { 1 } { 3 } } {\frac { 1 } { 2 } } = \frac { 2 } { 3 } $</p> <h2>8. 확률의 곱셈정리</h2> <p>$ P(A)>0, P(B)>0 $ 일 때, 두 사건 $ A, B $ 가 동시에 일어날 확률은 \[P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A)=P(B) P(A \mid B) \]</p> <h2>9. 사건의 독립과 종속</h2> <p>두 사건 $ A, B $ 에 대하여 사건 $ A $ 가 일어나거나 일어나지 않는 것이 사건 $ B $ 가 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 즉 $ P(B \mid A)=P \left (B \mid A ^ { c } \right )=P(B) $ 일 때, 사건 $ A $ 와 $ B $ 는 서로 독립이라고 한다.</p> <p>두 사건 $ A, B $ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 \[P(A \cap B)=P(A) P(B) \text { (단, } P(A)>0, P(B)>0) \]</p> <p>두 사건 $ A, B $ 에 대하여 사건 $ A $ 가 일어나는 것이 사건 $ B $ 가 일어날 확률에 영향을 미치는 경우, 즉 두 사건 $ A, B $ 가 서로 독립이 아닐 때, 사건 $ A $ 와 $ B $ 는 서로 종속이라고 한다.</p>	자연
s351-(공학과정을 위한) 미적분학 1.6	<p>$ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 이므로 $ x=r \cos \theta=f( \theta) \cos \theta, y=f( \theta) \sin \theta $ 이고 곡선의 매개변수식은 $ X( \theta)=(x( \theta), y( \theta))=(f( \theta) \cos \theta, f( \theta) \sin \theta) $ 로 나타낼 수 있다. 곡선의 속도는 $ X ^ {\prime } ( \theta)= \left (x ^ {\prime } ( \theta), y ^ {\prime } ( \theta) \right )= \left (r ^ {\prime } \cos \theta-r \sin \theta, r ^ {\prime } \sin \theta + r \cos \theta \right ) $ 이다. 그러므로 곡선의 길이는</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left (x ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d \theta= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { r ^ { 2 } + \left (r ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d \theta= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { f ^ { 2 } + \left (f ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d \theta $이다.</p> <p>보기5 극좌표로 $ r=f( \theta)=1- \cos \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi $ 인 곡선의 길이를 구하여라.</p> <p>위의 보기에 의하면 길이는</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt {\left (f ^ {\prime } ( \theta) \right ) ^ { 2 } + (f( \theta)) ^ { 2 } } d \theta &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { ( \sin \theta) ^ { 2 } + (1- \cos \theta) ^ { 2 } } d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { 2-2 \cos \theta } d \theta \\ &=2 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left \| \sin \frac {\theta } { 2 } \right \| d \theta=8 \end {aligned} $ 이다.</p> <p>곡선의 한 점에 접하는 원(곡선의 접선과 원의 접선이 일치)으로서 구부러진 안쪽에 있으면서 곡률반경을 반지름으로 하는 원을 접촉원(osculating circle)이라고 한다.</p> <p>보기4 $ y=x ^ { 2 } $ 의 그래프 위의 한 점 $ (0,0) $ 에서의 접촉원의 식을 구하여라.</p> <p>풀이 곡률은 2 이다. (과제문제 1 번의 공식을 이용하여 계산해 보아라) 중십이 $ y $ 축 상에 있으므로 접촉원의 식은 $ x ^ { 2 } + \left (y- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } $ 이다.</p> <h2>2. 비틀림</h2> <p>이제 공간 속의 곡선이 평면 위에 놓여 있지 않을 때 한 지점에서 어떻게 평면을 벗어나고 있는지를 보고자 한다. 그러기 위해 단위법선벡터(unit normal vector) $ N= \frac { d T } { d t } \|\| \frac { d T } { d t } \mid $ 과 종법선벡터(binormal vector) $ B=T \times N $ 을 정의하고 $ B $ 의 변화를 관찰한다. $ N $ 은 길이가 1 이 되게 만들었으며 $ T $ 의 길이가 1 로서 일정하므로 $ T $ 와 $ \frac { d T } { d t } $ 는 서로 수직이다. (왜나하면 $ \|T\|=1 \Rightarrow\|T\| ^ { 2 } = $ $ \left .T \cdot T=1 \Rightarrow \frac { d(T \cdot T) } { d t } =0 \Rightarrow 2 T \cdot \frac { d T } { d t } =0 \right ) $ 따라서 $ T $ 와 $ N $ 도 서로 수직이고 $ B $ 의 길이는 1 이며 $ T, N, B $ 는 서로 수직이다. 곡선이 평면 위에 놓여 있으면 $ T $ 와 $ N $ 이 같은 평면 위에 있으므로 $ B $ 는 이 평면과 수직인 방향을 항상 가리키며 길이가 일정하므로 $ \frac { d B } { d t } =(0,0,0) $ 임을 알 수 있다. 곡선이 평면 위에 놓여 있지 않으면 $ B $ 의 방향에 변화가 생긴다. $ B $ 의 길이가 일정하므로 $ B $ 와 $ \frac { d B } { d t } $는 서로 수직이다. 한편</p> <p>보기1 $ r(t)=( \cos t, \sin t, t) $ 이면 속도는 $ r ^ {\prime } (t)=(- \sin t, \cos t, 1) $ 이다.</p> <p>보기 2 실수 $ a, b $ 에 대하여 나선 $ \mathrm { r } (t)=(a \cos t, a \sin t, b t) $ 의 속력 $ \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| $ 은 $ \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $ 이다.</p> <p>보기3 곡선의 매개변수식이 $ r(t)=(x(t), y(t)), x(t)=t, y(t)=1- \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } $ 일 때 속도는 $ \left (x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t) \right )=(1,-g t) $ 이다. 또, 속력은 $ \sqrt { 1 + g ^ { 2 } t ^ { 2 } } $ 이다.</p> <p>보기4 $ r(t)= \left (3 \cos t, 3 \sin t, t ^ { 2 } \right ) $ 일 때 속도는 \[ r ^ {\prime } (t)= \left ( \frac { d } { d t } (3 \cos t), \frac { d } { d t } (3 \sin t), \frac { d } { d t } \left (t ^ { 2 } \right ) \right )=(-3 \sin t, 3 \cos t, 2 t) \] 이고 가속도는 \[ r ^ {\prime \prime } (t)=(-3 \cos t,-3 \sin t, 2) \] 이며 속력은 \[ \left \|r ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 9 \sin ^ { 2 } t + 9 \cos ^ { 2 } t + 4 t ^ { 2 } } = \sqrt { 9 + 4 t ^ { 2 } } \] 이다.</p> <p>보기5 $ r(t)=( \cos t, \sin t, t) $ 로 주어진 나선의 속도는 $ r ^ {\prime } (t)=(- \sin t, \cos t, 1) $ 이다. 이때 속력은 $ \left \|r ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt {\sin ^ { 2 } t + \cos ^ { 2 } t + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } $ 로 일정하다. $ t=0 $ 일 때 접선은 $ r(0)= $ $ (1,0,0) $ 을 지나고 $ r ^ {\prime } (0)=(0,1,1) $ 에 평행한 직선이므로 배개변수식으로 나타내면 $ (x, y, z)=(1,0,0) + t(0,1,1) $, 혹은 $ (x(t), y(t), z(t))=(1, t, t), t \in R $ 이다.</p> <h1>모듈 29. 호의 길이 재매개화</h1> <p>두 매개변수식 $ r(t) $ 와 $ r_ { 1 } (s) $ 사이에 다음과 같은 관계가 있을 때 하나를 다른 하나의 재매개화(reparametrization)라고 한다: $ r: I=[a, b] \rightarrow R ^ { n } , r_ { 1 } : J=[c, d] \rightarrow R ^ { n } $ 에 대해 함수 $ g: J \rightarrow I $, $ t=g(s) $ 가 있어서 $ g $ 의 역함수가 존재하고 $ g $ 와 $ g $ 의 역함수가 모두 연속인 도함수를 가지며 $ r_ { 1 } =r \circ g $ 이다.</p><p>$ r ^ {\prime } (t) $ 가 연속이고, 모든 $ t \in I \subseteq R $ 에 대해 $ r ^ {\prime } (t) \neq(0, \cdots, 0) $ 이면 $ r(t) $ 로 매개화된 곡선을 정규곡선(smooth curve)이라고 한다. 정규곡선을 끝점끼리 유한 개 이어 놓은 것을 조각정규곡선(piecewise smooth curve)이라고 한다. 곡선의 매개 변수식 $ r(t) $ 가 $ r \left (t_ { 1 } \right ) \neq r \left (t_ { 2 } \right ), \forall t_ { 1 } \neq t_ { 2 } \in I= $ $ [a, b] $ 이면 이 곡선을 단순곡선(simple curve)이라고 부른다. $ r(a)=r(b) $ 이면 폐곡선(closed curve) 이라고 한다. 폐곡선으로서 $ [a, b) $ 에서 단순곡선인 것을 단순폐곡선(simple closed curve)이라고 한다.</p> <p>재매개화 가운데 가장 많이 쓰는 것은 호의 길이로 재매개화 하는 것이다. 이는 속력이 항상 1 (즉, 단위 길이 $ = $ 단위 시간)이 되게 하는 매개변수식으로서 다음과 같이 정의한다. $ r(t) $ 가 정규곡선 $ C $ 의 매개변수식일 때 $ t \in[a, b] $ 에 대해</p> <p>$ s=f(t)= \int_ { t_ { 0 } } ^ { t } \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| d t $</p> <p>로 둔다. 호의 길이를 정하는 기준점 $ t_ { 0 } $ 는 $ [a, b] $ 에서 임의로 선택해도 좋으나 대개 $ a $ 로 두거나 혹은 0 이 구간 안에 포함되면 0 으로 둔다. $ \frac { d \mathrm { ~s } } { d t } = \left \|r ^ {\prime } (t) \right \|>0( \because C $ 는 정규곡선 $ ) $ 이므로 $ f $ 의 역함수가 존재한다. 이 역함수를 $ g $ 로 두면 $ t=g(s) $ 이고 $ r \circ g $ 는 $ r $ 의 재매개화이다. 이때 $ s $ 를 호의 길이 매개변수(arclength parameter)라고 한다. 한편,</p> <p>원의 매개변수식을 $ X( \theta)=(a \cos \theta, a \sin \theta, 0) $ 로 두면 $ X ^ {\prime } ( \theta)=(-a \sin \theta, a \cos \theta, 0) $ \[ \begin {array} { l } T= \frac { X ^ {\prime } ( \theta) } {\left \|X ^ {\prime } ( \theta) \right \| } = \frac { 1 } { a } (-a \sin \theta, a \cos \theta, 0)=(- \sin \theta, \cos \theta, 0) \\ \frac { d T } { d \theta } =(- \cos \theta,- \sin \theta, 0) \end {array} \] 이므로 곡률은 $ \kappa= \frac { 1 } {\left \|X ^ {\prime } ( \theta) \right \| } \left \| \frac { d T } { d \theta } \right \|= \frac { 1 } { a } $ 로서 반지름의 역수이다.</p> <p>보기 2 직선의 곡륭은 0 입을 보여라.</p> <p>풀이 점 $ P $ 를 지나고 벡터 $ a $ 와 평행한 직선의 매개변수식은 $ r(t)=P + t a $ 로 나타낼 수 있다. $ r ^ {\prime } (t)=a $ 이므로 $ T= \frac { a } { \|a\| } $ 로서 상수벡터이고 따라서 $ \left \| \frac { d T } { d t } \right \|=0 $, 즉, $ \kappa=0 $ 이다.</p> <p>보기3 나선 $ r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) $ 을 호의 길이로 재매개화한 다음 한 점에서의 곡률을 구하여라.</p> <p>$ s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|r ^ {\prime } (u) \right \| d u= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } d u= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } t $ 이므로 $ t= \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } $ 이다. 따라서 \[ r_ { 1 } (s)=r \left ( \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right )= \left (a \cos \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , a \sin \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , b \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right ) \] 편의상 $ c= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $ 로 두자. \[ \begin {array} { l } T=r_ { 1 } { } ^ {\prime } (s)= \left (- \frac { a } { c } \sin \frac { s } { c } , \frac { a } { c } \cos \frac { s } { c } , \frac { b } { c } \right ) \\ \frac { d T } { d s } = \left ( \frac { -a } { c ^ { 2 } } \cos \frac { s } { c } ,- \frac { a } { c ^ { 2 } } \sin \frac { s } { c } , 0 \right ), \\ \kappa= \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac { \|a\| } { c ^ { 2 } } = \frac { \|a\| } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end {array} \]</p> <h1>모듈 26. 곡선의 매개변수식</h1> <p>곡선을 어떤 입자가 움직인 자취로 이해할 때 곡선의 모양뿐 아니라 입자가 얼마나 빨리 움직이는지 즉, 속도나 가속도 같은 동적인 개념들까지 표현하기 위해서는 매개변수식을 쓴다. 또한, 삼차원 이상의 공간 속에 있는 곡선을 하나의 함수를 이용하여 표현하는 방법은 다음과 같이 매개변수를 쓰는 것이다.</p> <p>자연수 $ n $ 에 대해, $ n $-차원 공간 속에서 움직이고 있는 입자의 시간 $ t $ 일 때의 위치를</p> <p>$ r(t) = \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t), \cdots, x_ { n } (t) \right ), t \in I \subseteq R $</p> <p>라고 하자. 이때 성분 $ x_ { i } (t) $ 는 실수값을 갖는 함수 $ \left (x_ { i } : I \rightarrow R \right ) $ 이고 $ t $ 를 매개변수(parameter)라고 한다. 모든 성분 $ x_ { i } (t) $ 가 연속함수이면 $ C:= \{ r(t): t \in I \} $ 를 매개화된 곡선(parametrized curve) 이라고 하며, 곡선의 일부를 호(arc)라고 한다. $ r(t) $ 를 곡선 $ C $ 의 매개변수식 혹은 매개화(parametrization)라고 한다. 이는 곡선을 함수 $ r: I \rightarrow R ^ { n } $ 의 상(image)으로 표현한 것으로서 매개변수 $ t $ 가 의미하는 것을 군이 시간으로 한정할 필요는 없다. 경우에 따라서는 호의 길이나 직선의 기울기, 각도 등으로 해석하는 것이 더 유용할 수 있다.</p> <p>$ n $-차원 공간 속의 점 $ P= \left (p_ { 1 } , \cdots, p_ { n } \right ) $ 를 지나고 벡터 $ A= \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right )( \neq 0 $-벡터)와 평행한 직선의 방정식(매개변수식)은</p> <p>$ X=X(t)=P + t A, t \in R $</p> <p>이다. 이때 $ t $ 는 매개변수이다. 이 식은 직선상의 입의의 한 점을 $ X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 라고 할 때 $ \overrightarrow { P X } $ 가 주어진 벡터 $ A $ 와 평행하다는 조건으로부터 얻어진다. 즉, $ X-P $ 가 $ A $ 의 상수배인 $ t A $ 와 같다는 조건, $ \overrightarrow { P X } =X-P=t A $ 이다. 성분을 일일이 쓰면</p> <p>매개변수 $ t $ 가 증가할 때 $ r(t) $ 가 움직이는 방향을 곡선의 방향(orientation)이라고 한다. 곡선과 모양은 같으나 방향이 반대인 곡선을 역향곡선이라고 한다.</p> <h1>모듈 28. 곡선의 길이</h1> <p>곡선 $ C $ 의 매개 변수식이 $ r(t)= \left (x_ { 1 } (t), \cdots, x_ { n } (t) \right ) $ 이고, $ t \in I=[a, b] $ 라고 하자.</p> <p>곡선을 잘게 잘라서 직선으로 근사시켜 보자. 곡선을 자를 때 구간 $ [a, b] $ 를 다음과 같이 나누어 해당되는 점으로 자른다.</p> <p>$ t_ { 0 } =a<t_ { 1 }< \cdots<t_ { m-1 }<t_ { m } =b $</p> <p>\[ \left \|r \left (t_ { 1 } \right )-r \left (t_ { 0 } \right ) \right \| + \left \|r \left (t_ { 2 } \right )-r \left (t_ { 1 } \right ) \right \| + \cdots + \left \|r \left (t_ { m } \right )-r \left (t_ { m-1 } \right ) \right \|= \sum_ { j=1 } ^ { m } \left \|r \left (t_ { j } \right )-r \left (t_ { j-1 } \right ) \right \| \] 이 그 근삿값이다. 한편, 평균값정리에 의하면</p> <p>$ \left \|r \left (t_ { j } \right )-r \left (t_ { j-1 } \right ) \right \|= \sqrt {\sum_ { k=1 } ^ { n } \left (x_ { k } \left (t_ { j } \right )-x_ { k } \left (t_ { j-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } } = \sqrt {\sum_ { k=1 } ^ { n } \left (x_ { k } ^ {\prime } \left (t_ { j } ^ { k } \right ) \left (t_ { j } -t_ { j-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } } $</p> <p>인 점 $ t_ { j } ^ { k } \in \left (t_ { j-1 } , t_ { j } \right ) $ 들이 있다. $ \Delta t_ { j } =t_ { j } -t_ { j-1 } $ 로 두면 $ r ^ {\prime } (t) $ 가 연속함수이고 모든 $ \Delta t_ { j } \rightarrow 0 $ 일 때 적당한 $ t_ { j } ^ { * } \in \left (t_ { j-1 } , t_ { j } \right ) $ 에 대해</p> <p>보기2 로그와선 $ r(t)=e ^ { t } ( \cos t, \sin t) $ 를 호의 길이로 재매개화하여 보자.</p> <p>풀이 $ r ^ {\prime } (t)=e ^ { t } ( \cos t, \sin t) + e ^ { t } (- \sin t, \cos t), \left \|r ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 2 } e ^ { t } $ 이므로, $ t_ { 0 } =0 $ 으로 두면 \[ \begin {array} { r } s= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt { 2 } e ^ { t } d t= \sqrt { 2 } \left (e ^ { t } -1 \right ), \text { 즉, } e ^ { t } = \frac { s + \sqrt { 2 } } {\sqrt { 2 } } \text { 이 되고, 따바서 } \\ r_ { 1 } (s)= \frac { s + \sqrt { 2 } } {\sqrt { 2 } } \left ( \cos \ln \left ( \frac { s + \sqrt { 2 } } {\sqrt { 2 } } \right ), \sin \ln \left ( \frac { s + \sqrt { 2 } } {\sqrt { 2 } } \right ) \right ) \end {array} \] 이다.</p> <h1>모듈 30. 회전운동</h1> <p>공간 속의 한 평면 위에서 회전하는 운동을 묘사할 때, 시간 $ t $ 동안 움직인 각의 크기롤 $ \theta(t) $ (라디안)라고 하면 $ \theta ^ {\prime } (t) $ 를 각속력(angular speed)이라고 한다.</p> <p>3 차원 공간 속에서 $ z $-축 주위를 $ x y $-평면 위에서 보아 반시계방향으로 일정한 각속력 $ \omega $ 로 회전 하는 경우 각속도(angular velocity)는 $ w k $ 로 정의한다. 이와 같이 회전운동을 표현하는 각속도 벡터는 크기를 각속력으로 하고, 방향은 회전면과 수직이며 오른손 법칙을 만족하는 방향(즉, 회전 방향을 따라 오른손의 네 손가락을 감을 때 엄지손가락이 가리키는 방향)으로 나타낸다.</p> <p>$ \frac { d(r \circ g)(s) } { d s } = \frac { d r(t) } { d t } \frac { d t } { d s } = \frac { d r(t) } { d t } \frac { 1 } {\left \|r ^ {\prime } (t) \right \| } $</p> <p>이므로 이 벡터의 크기는 항상 1 이다. 즉, 호의 길이 매개변수는 속력이 1 (단위 길이 = 단위 시간)이 되게 하는 매개 변수임을 알 수 있다.</p> <p>보기1 나선 $ r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) $ 를 호의 길이로 재매개화하여라.</p> <p>풀이 $ \left \|r ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } =: c $ 로 두자. $ t_ { 0 } =0 $ 으로 두면 $ s=f(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|r ^ {\prime } (u) \right \| d u=c t $ 이다. 따라서 $ t= \frac { s } { c } $ 로 대체하면 $ r_ { 1 } (s)=r \left ( \frac { s } { c } \right )= \left (a \cos \frac { s } { c } , a \sin \frac { s } { c } , \frac { b } { c } s \right ) $ 즉, \[ r_ { 1 } (s)= \left (a \cos \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , a \sin \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , \frac { b s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right ) \] 로서 호의 길이 $ s $ 로 재매개화한 식을 얻는다. 속력이 1 인지 확인하여 보아라.</p> <p>$ \begin {aligned} P ^ {\prime } (t) &=(-r w \sin \theta(t)) u_ { 1 } + (r w \cos \theta(t)) u_ { 2 } \\ &=w r \left ( \sin \theta(t) \left (u_ { 3 } \times u_ { 2 } \right ) + \cos \theta(t) \left (u_ { 3 } \times u_ { 1 } \right ) \right ) \\ &=w u_ { 3 } \times \left (P(t)-P_ { 0 } \right ) \\ &=w u_ { 3 } \times P(t) \quad \left (P_ { 0 } \text { 는 } u_ { 3 } \text { 와 같은 방향 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>로서 앞에서처럼 각속도와 위치 함수의 외적으로 나타난다.</p> <h1>모듈 31. 곡률과 비틀림</h1> <h2>1. 곡률</h2> <p>곡선 $ C $ 의 매개변수식이 $ r(t) $ 일 때 $ T= \frac { r ^ {\prime } (t) } {\left \|r ^ {\prime } (t) \right \| } $ 를 단위접선벡터(unit tangent vector)라고 한다. $ r(t) $ 의 2계 도함수가 존재하고 연속이며 $ \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| \neq 0, \left \|r ^ {\prime \prime } (t) \right \| \neq 0 $ 일 때 $ C $ 위의 한 점에서의 곡률(curvature)을</p> <p>$ \kappa= \frac { 1 } {\left \|r ^ {\prime } (t) \right \| } \left \| \frac { d T } { d t } \right \| $</p> <p>로 정의한다. 호의 길이 $ s $ 를 매개변수로 사용한 경우 $ \left \|r ^ {\prime } (s) \right \|=1 $ 이므로 곡룰은 $ \left \| \frac { d T } { d s } \right \| $ 가 된다. 즉, 곡률은 단위접선벡터의 호의 길이에 대한 변화율로서 곡선이 한 평면 위에서 얼마나 굽어있는지를 뜻한다. 곡률이 클수록 많이 굽는다. 곡률의 역수 $ \frac { 1 } {\kappa } $ 를 곡률반경(radius of curvature)이라고 한다.</p> <p>보기1 반지름 $ a>0 $ 인 원의 곡룰을 구하여라.</p> <p>로 정의한다.</p> <p>벡터 함수의 미분은 다음과 같은 성질을 갖는다.</p> <ol type=1 start=1><li>실수값을 갖는 함수 $ f $ 를 벡터함수에 곱한 것의 미분: $ (f r) ^ {\prime } (t)=f ^ {\prime } (t) r(t) + f(t) r ^ {\prime } (t) $</li> <li>두 벡터함수의 내적의 미분: $ (p(t) \cdot r(t)) ^ {\prime } =p ^ {\prime } (t) \cdot r(t) + p(t) \cdot r ^ {\prime } (t) $</li> <li>두 벡터함수의 외적의 미분: $ (p(t) \times r(t)) ^ {\prime } =p ^ {\prime } (t) \times r(t) + p(t) \times r ^ {\prime } (t) $</li></ol> <p>(3)의 경우 $ p(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t), x_ { 3 } (t) \right ), r(t)= \left (y_ { 1 } (t), y_ { 2 } (t), y_ { 3 } (t) \right ) $ 로 두면</p> <p>$ \begin {aligned} (p \times r) ^ {\prime } =& \left ( \frac { d } { d t } \left (x_ { 2 } (t) y_ { 3 } (t)-x_ { 3 } (t) y_ { 2 } (t) \right ), \frac { d } { d t } \left (x_ { 3 } (t) y_ { 1 } (t)-x_ { 1 } (t) y_ { 3 } (t) \right ), \right . \\ & \left . \frac { d } { d t } \left (x_ { 1 } (t) y_ { 2 } (t)-x_ { 2 } (t) y_ { 1 } (t) \right ) \right ) \\=& p ^ {\prime } \times r + p \times r ^ {\prime } \end {aligned} $</p> <p>나머지 경우도 성분을 써서 전개하면 위의 성질이 성립하는 것을 보일 수 있다.</p> <p>함수 $ r: I \rightarrow R ^ { n } , r(t)= \left (x_ { 1 } (t), \cdots, x_ { n } (t) \right ), t \in I \subseteq R $ 의 미분 $ r ^ {\prime } (t) $ 를 속도(velocity) 혹은 접벡터(tangent vector)라고 한다. $ r(t) $ 가 위치를 의미한다면 위치의 순간변화율 $ r ^ {\prime } (t) $ 를 속도라고 부르는 것은 자연스러울 것이다. 속도의 크기 $ \left \\|r ^ {\prime } (t) \right \\| $ (혹은 $ \left . \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| \right ) $ 를 속력(speed)이라고 한다. $ r ^ {\prime \prime } (t) $ 를 가속도(acceleration)라고 한다. 곡선상의 한 점 $ r \left (t_ { 0 } \right ) $ 를 지나고 $ r ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 에 평행한 직선을 점 $ r \left (t_ { 0 } \right ) $ 에서의 곡선의 접선(tangent line)이라고 부른다.</p> <p>$ \left \|r \left (t_ { j } \right )-r \left (t_ { j-1 } \right ) \right \| \approx \sqrt {\sum_ { k=1 } ^ { n } \left \|x_ { k } ^ {\prime } \left (t_ { j } ^ { * } \right ) \right \| } \Delta t_ { j } \approx \left \|r ^ {\prime } \left (t_ { j } ^ { * } \right ) \right \| \Delta t_ { j } $</p> <p>이다. 따라서 곡선의 길이를</p> <p>$ \lim _ { m \rightarrow \infty } \sum_ { j=1 } ^ { m } \left \|r ^ {\prime } \left (t_ { j } ^ { * } \right ) \right \| \Delta t_ { j } = \int_ { a } ^ { b } \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| d t $</p> <p>로 정의한다.</p> <p>보기1 나선 $ r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t), 0 \leq t \leq 2 \pi $ 의 길이는 $ r ^ {\prime } (t)=(-a \sin t, a \cos t , b) $이므로</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left \|r ^ {\prime } (t) \right \| d t &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } t + b ^ { 2 } } d t \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } d t=2 \pi \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end {aligned} $</p> <p>보기 2 사이클로이드는 매개변수식이 $ X(t)=(t- \sin t, 1- \cos t) $ 로 주어지는 곡선이다. 사이클로이드의 한 호의 길이를 구하여라.</p> <p>$ \frac { d B } { d t } = \frac { d(T \times N) } { d t } = \frac { d T } { d t } \times N + T \times \frac { d N } { d t } =T \times \frac { d N } { d t } $</p> <p>얻을 수 있는데 여기서 $ \frac { d T } { d t } $ 와 $ N $ 은 평행하므로 이들의 외적은 0 -벡터이다. 따라서 $ \frac { d B } { d t } $ 는 $ T, B $와 동시에 수직이 되어 $ N $ 과 평행함올 알 수 있다. 즉, $ \frac { d B } { d t } $ 는 $ N $ 의 상수 배이다. 전통적으로</p> <p>$ \frac { d B } { d s } =- \tau N $</p> <p>이 되게 하는 상수 $ \tau $ 를 비틀림(torsion)이라고 한다. 음의 부호를 붙인 것은 곡선의 진행방향으로의 비틀림이 양수가 되도록 하기 위해서이다. 평면 위의 곡선의 비틀림은 항상 0이다. 비틀림은 공간 속의 곡선이 평면을 벗어나는 정도를 말해준다. $ \tau $ 를 구하기 위해서는 $ \frac { d B } { d s } =- \tau N $ 의 양변에 각각 $ N $ 을 내적하면 되는데 그때</p> <p>$ \tau=- \frac { d B } { d s } \cdot N $</p> <p>를 얻게 된다.</p> <p>보기5 나선 $ r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) $ 위의 한 점 $ t= \frac {\pi } { 2 } $ 에서의 비틀림을 구하여라.</p> <p>풀이 앞의 보기에서 호의 길이로 매개화한 식은 \[ r_ { 1 } (s)=r \left ( \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right )= \left (a \cos \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , a \sin \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , b \frac { s } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right ) \] 이고 $ c= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $ 로 두면 \[ \begin {array} { l } T= \left (- \frac { a } { c } \sin \left ( \frac { s } { c } \right ), \frac { a } { c } \cos \left ( \frac { s } { c } \right ), \frac { b } { c } \right ), \\ \frac { d T } { d s } = \left ( \frac { -a } { c ^ { 2 } } \cos \frac { s } { c } ,- \frac { a } { c ^ { 2 } } \sin \frac { s } { c } , 0 \right ), \\ \kappa= \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac { a } { c ^ { 2 } } = \frac { a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \end {array} \] 임을 보았다. \[ N= \frac {\frac { d T } { d s } } {\left \| \frac { d T } { d s } \right \| } = \left (- \cos \frac { s } { c } ,- \sin \frac { s } { c } , 0 \right ) \] 이고 $ t= \frac { s } { c } = \frac {\pi } { 2 } $ 에서는 $ N=(0,-1,0) $ 이다. $ B=T \times N= \left ( \frac { b } { c } \sin \frac { s } { c } ,- \frac { b } { c } \cos \frac { s } { c } , \frac { a } { c } \right ) $ 이므로 $ \frac { d B } { d s } = \left ( \frac { b } { c ^ { 2 } } \cos \frac { s } { c } , \frac { b } { c ^ { 2 } } \sin \frac { s } { c } , 0 \right ) $ 이며 $ t= \frac { s } { c } = \frac {\pi } { 2 } $ 에서는 $ \frac { d B } { d s } = \left (0, \frac { b } { c ^ { 2 } } , 0 \right ) $ 이다. 따라서 $ \tau= \frac { b } { c ^ { 2 } } = \frac { b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $ 이다.</p> <h1>모듈 27. 벡터 함수의 미분과 적분</h1> <p>벡터를 함숫값으로 갖는 함수 $ r: I \rightarrow R ^ { n } , r(t)= \left (x_ { 1 } (t), \cdots, x_ { n } (t) \right ), t \in I \subseteq R $ 를 벡터 함수라고 부르자. 벡터 함수의 미분은 함수의 각 성분 함수를 미분 한 것을 성분으로 하는 벡터로 정의한다.</p> <p>$ x_ { 1 } (t), \cdots, x_ { n } (t) $ 가 모두 연속함수이면 $ r(t) $ 가 연속함수이라고 한다. $ r(t) $ 의 모든 성분 $ x_ { i } (t) $ 가 미분가능하면 $ r(t) $ 가 미분가능하다고 하고</p> <p>$ \begin {aligned} r ^ {\prime } (t) &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac { r(t + \Delta t)-r(t) } {\Delta t } \\ &= \left ( \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac { x_ { 1 } (t + \Delta t)-x_ { 1 } (t) } {\Delta t } , \cdots, \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac { x_ { n } (t + \Delta t)-x_ { n } (t) } {\Delta t } \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } ^ {\prime } (t), \cdots, x_ { n } ^ {\prime } (t) \right ) \end {aligned} $</p> <p>로 정의한다.</p> <p>$ r(t) $ 의 적분도 각 성분함수 $ x_ { i } (t) $ 를 적분한 것을 성분으로 가진다.</p> <p>$ \int r(t) d t= \left ( \int x_ { 1 } (t) d t, \cdots, \int x_ { n } (t) d t \right ), \quad \int_ { a } ^ { b } r(t) d t= \left ( \int_ { a } ^ { b } x_ { 1 } (t) d t, \cdots, \int_ { a } ^ { b } x_ { n } (t) d t \right ) $</p> <p>$ x_ { 1 } =p_ { 1 } + t a_ { 1 } $</p> <p>$ \vdots $</p> <p>$ x_ { n } =p_ { n } + t a_ { n } $</p> <p>이 된다. 매개변수 $ t $ 롤 소거하면, 위 식은</p> <p>$ \frac { x_ { 1 } -p_ { 1 } } { a_ { 1 } } = \cdots= \frac { x_ { n } -p_ { n } } { a_ { n } } $</p> <p>이 된다. 따라서 $ n $-공간 속의 직선의 방정식은 $ n-1 $ 개의 일차방정식을 만족시키는 점들의 집합, 즉 $ n-1 $ 개의 초평면의 교집합이라고 할 수 있다.</p> <p>보기1 두 점 $ (1,2,3) $ 과 $ (4,-1,7) $ 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이 이 직선은 벡터 $ (4,-1,7)-(1,2,3)=(3,-3,4) $ 와 평행하므로 \[(x, y, z)-(1,2,3)=t(3,-3,4), t \in R \] 혹은, $ x-1=3 t, y-2=-3 t, z-3=4 t $ 이다.</p> <p>보기 2 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 을 매개변수식으로 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 실수 $ t $ 에 대하여 $ r(t)=( \cos t, \sin t) $, $ r_ { 1 } (t)=( \cos t,- \sin t), r_ { 2 } (t)=( \cos 2 t,- \sin 2 t) $ 등이 다 같은 원을 나타내지만 매개변수식을 시간 $ t $ 일 때 입자의 위치로 보면 $ r(t) $ 는 반시계 방향, $ r_ { 1 } (t), r_ { 2 } (t) $ 는 시계방향으로 움직이며, $ r_ { 2 } (t) $ 는 $ r(t) $ 나 $ r_ { 1 } (t) $ 에 비해 두 배 빨리 움직이는 것을 나타낸다.</p> <p>보기 3 실수 $ t $ 에 대해 $ r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t) $ ( $ a, b $ 는 상수)로 주어진 곡선은 나선(helix) 라고 불린다.</p>	자연
선형대수학 입문_선형연립방정식	<p>이고, 수반동차선형연립방정식의 해집합은 \[ \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \\ x_ { 4 } \\ x_ { 5 } \end {array} \right ]=r \left [ \begin {array} { r } -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] + s \left [ \begin {array} { r } -3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \]<caption>$(3) $</caption></p> <p>으로 주어진다. 위에서 구한 선형연립방정식의 해 (2)와 수반동차선형연립방정식의 해 (3)을 기하학적으로 비교해보면 선형연립방정식의 해집합은 단순히 수반동차선형연립방정식의 해공간을 벡터 \[ \mathbf { x } _ { 0 } = \left [ \begin {array} { l } 7 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end {array} \right ] \] 만큼 평행이동한 것임을 알 수 있다. 이때 $ \mathbf { x } _ { 0 } $를 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 특수해 (particular solution)라 하며, 이것은 (2)에 $ r=s=0 $을 대입하여 구한 것이다.</p> <h1>연습문제 3.3</h1> <p>1. 역행렬을 이용하여, 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해를 구하시오. \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & -4 & 0 \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>2. 역행렬을 이용하여, 다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } &=2 \\ 2 x_ { 1 } + 5 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } &=3 \\ x_ { 1 } \qquad \quad + 8 x_ { 3 } &=4 \end {aligned} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>3. 첨가행렬의 기본행연산을 이용하여, 다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x + 2 y + 3 z &=5 \\ 2 x + 5 y + 3 z &=3 \\ x \qquad + 8 z &=17 \end {aligned} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>4. $ \mathbf { x } _ {\mathbf { b } } $가 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 한 해이면, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해들은 $ \mathbf { x } _ {\mathbf { b } } + \mathbf { x } _ { 0 } $ 형태로 표현됨을 보이시오. 여기서 $ \mathbf { x } _ { 0 } $는 $ A \mathbf { x } =0 $의 해이다.</p> <p>5. 다음 명제들의 참, 거짓을 판정하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>두 행렬 $ A, B $가 행동치일 때, $ A $가 역행렬을 가질 필요충분조건은 $ B $가 역행렬을 갖는 것이다.</li> <li>$ A ^ { 2 } =I $이고 $ B ^ { 2 } =I $를 만족하는 두 행렬 $ A, B $에 대하여, $ (A B) ^ { -1 } =B A $가 성립한다.</li> <li>두 행렬 $ A, B $가 역행렬을 가지면, $ A + B $도 역행렬을 갖는다.</li> <li>기본행렬 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } $에 대하여, $ E_ { 1 } E_ { 2 } =E_ { 2 } E_ { 1 } $이 성립한다.</li> <li>$ A, B $와 $ A B $가 모두 대칭행렬이면, $ A B=B A $가 성립한다.</li> <li>상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행렬이다.</li> <li>대칭행렬 $ A $가 역행렬을 가지면, $ A $의 역행렬 $ A ^ { -1 } $도 대칭행렬이다.</li></ol> <p>예제 1</p> <p>다음 연립방정식이 해를 갖기 위한 $ h $와 $ k $의 값을 구하시오. \[ \left \{\begin {array} { r } 2 x_ { 1 } -x_ { 2 } =h \\ -6 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } =k \end {array} \right . \]</p> <p>풀이 둘째 방정식을 첫 방정식의 $3 $배와 더하여 바꾸면 연립방정식은 \[ \left \{\begin {aligned} 2 x_ { 1 } -x_ { 2 } &=h \\ 0 &=k + 3 h \end {aligned} \right . \] 로 주어진다. 이때 $ k + 3 h $가 $0 $이 아니면 연립방정식의 해는 없다. 따라서 $ k + 3 h=0 $을 만족하는 모든 $ h $와 $ k $에 대하여 해를 갖는다.</p> <p>주어진 선형연립방정식에 대하여 가장 기초적인 문제는</p> <ol type=1 start=1><li>해가 존재하는가 하는 문제</li> <li>해가 존재하면 몇 개의 해가 존재하는가 하는 문제</li> <li>직접 해를 구하는 문제</li></ol> <p>이다.</p> <h1>(1) 미지수가 두 개인 경우</h1> <p>미지수가 $2 $개인 두 선형연립방정식의 해를 구하는 것은 두 직선의 교점을 구하는 것과 같으므로 \[ \left \{\begin {array} { l } a_ { 1 } x + b_ { 1 } y=c_ { 1 } \\ a_ { 2 } x + b_ { 2 } y=c_ { 2 } \end {array} \right . \] 는 다음 세 가지 중 하나를 만족해야 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>두 직선이 평행하다면 해가 없다.</li> <li>두 직선이 교차한다면 유일한 해를 갖는다.</li> <li>두 직선이 같다면 무한히 많은 해가 존재한다.</li></ol> <p>$2 $개의 미지수를 갖는 $ m $ ( 단, $ m>2 $ )개의 선형연립방정식에 대하여도 같은 세 가지의 가능성이 존재한다.</p> <h2>(2) 미지수가 세 개인 경우</h2> <p>미지수가 $3 $개인 세 선형연립방정식의 해를 구하는 것은 세 평면의 공유점을 구하는 것과 같으므로, 다음 세 가지 중 하나를 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>교점이 없다. 즉 셋째 평면이 처음 두 평면의 교선과 평행하다.</li> <li>세 평면이 유일한 점에서 만난다(셋째 평면이 처음 두 평면의 교선과 교차한다).</li> <li>무수히 많은 해가 있다. 즉 세 평면은 적어도 한 직선을 공유한다.</li></ol> <p>이러한 관찰을 통해 미지수가 $3 $개인 $ m $개 방정식을 푸는 문제를 기하적으로 해석할 수 있다. 각 경우에 우리는 $ m $개 평면이 갖는 공유점을 찾는다.</p> <p>이것이 행사다리꼴이다. 이 행렬을 방정식의 형태로 변형하면 \[ \left \{\begin {aligned} x + y + 2 z &=9 \\ y- \frac { 7 } { 2 } z &=- \frac { 17 } { 2 } \\ z &=3 \end {aligned} \right . \] 이 된다. 따라서 역대입법을 이용하여 풀면, 구하는 해는 \[ x=1, y=2, z=3 \] 으로 주어진다.</p>참고<p>$ () $에서 $3 $행에 $ - \frac { 11 } { 2 } $배하여 $1 $행에 더하고, $3 $행에 $ \frac { 7 } { 2 } $배하여 $2 $행에 더하면, 기약행사다리꼴 \[ \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 0 & 0 & : & 1 \\ 0 & 1 & 0 & : & 2 \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end {array} \right ] \] 을 얻는다. 이 행렬을 방정식의 형태로 변형하면 \[ \left \{\begin {array} { r } x \qquad &=1 \\ y \quad &=2 \\ z&=3 \end {array} \right . \] 이 된다. 이러한 과정을 가우스-조르당 소거라 한다.</p>예제 2<p>가우스-조르당 소거법을 이용하여, 다음 선형연립방정식의 해를 구하시오. \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -x_ { 3 } =& 4 \\ 2 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } =& 5 \\ -x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + 6 x_ { 3 } =&-7 \end {aligned} \right . \]</p> <p>풀이 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -1 & : & 4 \\ 2 & 4 & 3 & : & 5 \\ -1 & -2 & 6 & : & -7 \end {array} \right ] \] 을 기약행사다리꼴로 변형하여 해를 구한다.</p> <p>$1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, 다시 $1 $행에 $1 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 2 & -1 & : & 4 \\ 0 & 0 & 5 & : & -3 \\ 0 & 0 & 5 & : & -3 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $ -1 $배하여 $3 $행에 더하고, 다시 $2 $행에 $ - \frac { 1 } { 5 } $배하여 $1 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { llllr } 1 & 2 & 0 & : & \frac { 17 } { 5 } \\ 0 & 0 & 5 & : & -3 \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $ \frac { 1 } { 5 } $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 0 & : & \frac { 17 } { 5 } \\ 0 & 0 & 1 & : & - \frac { 3 } { 5 } \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이것이 기약행사다리꼴이다. 따라서 이 첨가행렬에 대응하는 연립방정식은 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } \quad &= \frac { 17 } { 5 } \\ x_ { 3 } &=- \frac { 3 } { 5 } \end {aligned} \right . \] 이다. 이때 임의로 $ x_ { 2 } =c $로 놓으면 연립방정식의 일반해는 \[ x_ { 1 } = \frac { 17 } { 5 } -2 c, x_ { 2 } =c, x_ { 3 } =- \frac { 3 } { 5 } \] 이 된다. 여기서 주어진 선형연립방정식은 기하학적으로 공통직선을 가지고 있는 세 평면의 예이다. 이때 교선은 평면 $ x_ { 3 } =- \frac { 3 } { 5 } $에 놓여 있다.</p> <p>정리 1 해의 유일성</p> <p>선형연립방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $에서 계수행렬 $ A $가 가역이면 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $는 오직 하나의 해, 즉 $ \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } $를 갖는다.</p> <p>증명 $ A $가 가역행렬이므로, $ A ^ { -1 } $가 존재한다. 선형연립방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 양변에 $ A ^ { -1 } $를 곱하면 \[ A ^ { -1 } (A \mathbf { x } )=A ^ { -1 } \mathbf { ~b } \] 이므로 \[ \left (A ^ { -1 } A \right ) \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } \text { , 즉 } \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } \] 를 얻는다. 따라서 $ \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } $는 연립방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해이다. 해의 유일성을 증명하기 위해서 $ \mathbf { x } _ { 0 } $를 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 또 다른 해라면 $ A \mathbf { x } _ { 0 } = \mathbf { b } $가 된다. $ A ^ { -1 } $를 $ A \mathbf { x } _ { 0 } = \mathbf { b } $의 양변에 왼쪽으로 곱하면 \[ A ^ { -1 } A \mathbf { x } _ { 0 } =A ^ { -1 } \mathbf { b } \] 이며, $ \mathbf { x } _ { 0 } =A ^ { -1 } \mathbf { b } $가 된다. 즉 $ \mathbf { x } _ { 0 } $가 $ A ^ { -1 } \mathbf { b } $와 같아진다. 따라서 해 $ \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } $는 유일하다.</p>예제 1<p>$3 $차 정사각행렬 $ \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] $이 행렬 $ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right ] $의 역행렬임을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하시오. \[ \begin {array} { l } x + 2 y + 2 z=3 \\ x + 3 y + z=1 \\ x + 3 y + 2 z=2 \end {array} \]</p> <p>마지막 행렬의 마지막 행이 모두 0이므로 방정식의 수가 적다. 따라서 유일한 해를 얻지 못했다.</p> <p>정리 3</p> <p>미지수가 $ n $개이며 방정식이 $ m $개인 해를 갖는 연립방정식을 생각하자. 그리고 $0 $이 아닌 행이 $ r $개인 기약행사다리꼴로 첨가행렬이 축약되었다 하자. 이때 $ r=n $이면 연립방정식의 해는 유일하고, $ r<n $이라면 해는 유일하지 않다.</p> <p>예제 3</p> <p>$ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } , x_ { 5 } , x_ { 6 } $를 미지수로 갖는 연립방정식의 첨가행렬이 다음과 같이 축약되었을 때, 연립방정식의 해를 구하시오. \[ \left [ \begin {array} { lllllllr } 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & : & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & : & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & : & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & : & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & : & k \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이 $ k \neq 0 $이면 해가 존재하지 않는다. $ k=0 $이라면 연립방정식은 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + x_ { 2 } \quad + 2 x_ { 4 } \qquad &=5 \\ x_ { 3 } + 2 x_ { 4 } \qquad &=-1 \\ x_ { 5 } \quad &=1 \\ x_ { 6 } &=3 \end {aligned} \right . \] 으로 주어진다. 6개의 미지수를 갖고 있는 이 4개의 방정식은 2개의 자유변수 $ x_ { 2 }$ , $x_ { 4 } $와 4개의 선행변수 $ x_ { 1 } , x_ { 3 } , x_ { 5 } , x_ { 6 } $를 갖는다. 이때 자유변수를 $ x_ { 2 } =c_ { 1 } $과 $ x_ { 4 } =c_ { 2 } $라 놓으면 연립방정식의 일반해는 \[ x_ { 1 } =5-c_ { 1 } -2 c_ { 2 } , \quad x_ { 2 } =c_ { 1 } , \quad x_ { 3 } =-1-2 c_ { 1 } , \quad x_ { 4 } =c_ { 2 } , \quad x_ { 5 } =1, \quad x_ { 6 } =3 \] 으로 주어진다. 이 연립방정식의 일반해는 2개의 임의상수를 가지고 있다.</p>참고<p>선형연립방정식의 해가 존재할 때, 자유변수의 개수를 통해 해가 얼마나 많이 존재하는지 알 수 있다. 자유변수가 하나도 없는 경우는 유일한 해를 가지고, 자유변수가 1개 있는 경우는 해집합이 직선이 되며, 자유변수가 2개인 경우는 해집합이 평면이 된다. 일반적으로 미지수의 수가 $ n $이고, 자유변수의 수가 $ m $인 선형연립방정식이 해를 가지면, 그 해집합은 $ n $차원 공간의 $ m $차원 부분공간이 된다. 이런 이유로 자유변수의 수를 해집합 또는 해공간의 차원이라고도 한다(5.1절 참조).</p> <p>풀이 $3 $차 정사각행렬 $ A $의 $ L U $ - 인수분해는 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 로 주어진다. 먼저 $ L \mathbf { y } = \mathbf { b } $, 즉 \[ \left \{\begin {array} { c } y_ { 1 } \qquad \quad &=1 \\ -y_ { 1 } + y_ { 2 } \qquad &=1 \\ \qquad-y_ { 2 } + y_ { 3 } &=1 \end {array} \right . \]을 전진대입법으로 구하면 $ \mathbf { y } = \left [ \begin {array} { l } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ y_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 3 \end {array} \right ] $이 된다. 이것을 이용하여 $ U \mathbf { x } = \mathbf { y } $, 즉 \[ \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } -x_ { 2 } \qquad=1 \\ x_ { 2 } -x_ { 3 } =2 \\ x_ { 3 } =3 \end {array} \right . \] 을 후진대입법으로 풀면, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해는 $ \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 6 \\ 5 \\ 3 \end {array} \right ] $으로 주어진다.</p> <h1>(2) $ L U $ - 인수분해 알고리즘</h1> <p>다음 알고리즘은 사다리꼴 $ U $로의 $ A $의 행감소는 추가적인 작업 없이 $ L $을 만듦으로 $ L U $ -인수분해와 같다는 것을 보여준다.</p> <p>참고 ( $ L U $-인수분해에 대한 알고리즘)</p> <p>단계 1 : 가능하다면 일련의 행 교체로 $ A $를 사다리꼴 $ U $로 감소시킨다.</p> <p>단계 2 : 똑같은 일련의 행 교체로 $ L $을 $ I $로 감소시키는 원소를 $ L $에 놓는다.</p> <p>단계 1이 항상 가능하지는 않지만 그것이 가능할 때 위의 논증은 $ L U $ - 인수분해가 존재함을 보여준다. 이제 다음 예제를 통하여 $ L U $ - 인수분해에 대한 알고리즘이 어떻게 실행되는지 살펴본다.</p>예제 12<p>$3 $차 정사각행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end {array} \right ] $에 대하여, $ A $의 $ L U $ - 인수분해를 구하시오.</p> <p>풀이 가우스 소거법을 적용하여</p> <p>$1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, $1 $행에 $ -1 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $1 $배하여 $3 $행에 더하여 상삼각행렬 $ U $를 만든다. \[ U= \left [ \begin {array} { lll } 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 이때 대응하는 하삼각행렬은 \[ L= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end {array} \right ] \] 이다. 따라서 $3 $차 정사각행렬 $ A $의 $ L U $-인수분해는 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]=L U \] 로 주어진다.</p> <h1>3.3 가역행렬과 선형연립방정식</h1> <p>$ n $개의 미지수를 갖고, $ n $개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식은 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $ 형태로 표기된다. 이때 계수행렬 $ A $가 가역이면, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $는 유일한 해 \[ \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { ~b } \] 를 갖는다. 이것의 역 또한 사실이다. 이 절에서는 행렬의 가역성과 선형연립방정식의 해 사이의 관계를 알아본다.</p> <p>$ n $개의 미지수를 갖고, $ n $개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { n 1 } x_ { 1 } + a_ { n 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n n } x_ { n } =b_ { n } \end {array} \right . \] 에서 \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { n } \end {array} \right ] \] 이라 하면, 위의 선형연립방정식은 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $로 표시된다. 여기에서 계수행렬 $ A $가 가역일 때 해가 어떻게 구해지는지 살펴본다.</p> <p>풀이 각 선형방정식을 선행변수 $ x_ { 1 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 부분만 남기고 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } &=2 x_ { 2 } + x_ { 5 } \\ x_ { 3 } -5 x_ { 4 } &=1-2 x_ { 5 } \\ x_ { 4 } &=2-x_ { 5 } \end {aligned} \right . \] 로 변형한다. 이때 $2 $개의 미지수(자유변수) $ x_ { 2 } , x_ { 5 } $에 대하여 \[ \left .x_ { 2 } =t, x_ { 5 } =s \text { (단, } s, t \text { 는 임의의 실수 } \right ) \]라 놓고 풀면, 주어진 선형연립방정식의 해는 \[ x_ { 1 } =-17 + 2 t + 11 s, x_ { 2 } =t, x_ { 3 } =11-7 s, x_ { 4 } =2-s, x_ { 5 } =s \] 로 주어진다. 여기서 $ s, t $는 임의의 실수이다.</p> <p>선형연립방정식의 해법인 소거법에서 변수를 반복해서 사용하지 않고, 변수의 위치를 고정하여 계수만으로 소거법을 시행하여도 해를 구할 수 있다. 이러한 방법을 가우스 소거법 또는 가우스-조르당 소거법(3.2절 참조)이라고 한다. 특히 이 책에서는 선형연립방정식의 유일한 해의 존재 여부와 해법에 관심을 갖는다.</p>참고<p>$ n $개의 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $을 갖고, $ m $개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \end {array} \right . \] 의 계수행렬(coefficient matrix)은 \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \] 이고, 첨가행렬(augmented matrix)은 \[ [A: B]= \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & : & b_ { 1 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } &: & b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & : & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } &: & b_ { m } \end {array} \right ] \] 으로 표기한다. 첨가행렬을 붙임행렬 또는 확대행렬이라고도 한다.</p> <h1>연습문제 3.2</h1> <p>1. 가우스 소거법을 이용하여, 다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { l } 2 x + 4 y + 6 z&=18 \\ 2 x-y + z&=8 \\ 3 x \qquad-z&=3 \end {array} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>2. 가우스-조르당 소거법을 이용하여, 다음 동차선형연립방정식의 해를 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left \{\begin {array} { rrr } x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } -2 x_ { 3 } \qquad \quad + 2 x_ { 5 } \qquad \quad & =0 \\ 2 x_ { 1 } + 6 x_ { 2 } -5 x_ { 3 } -2 x_ { 4 } + 4 x_ { 5 } -3 x_ { 6 } & =0 \\ 5 x_ { 3 } + 10 x_ { 4 } \qquad + 15 x_ { 6 } & =0 \\ 2 x_ { 1 } + 6 x_ { 2 } \qquad + 8 x_ { 4 } + 4 x_ { 5 } + 18 x_ { 6 } & =0 \end {array} \right . $</li> <li>$ \left \{\begin {aligned} -2 x_ { 3 } \qquad \quad + 7 x_ { 5 } &=12 \\ 2 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } -10 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } + 12 x_ { 5 } &=28 \\ 2 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } -5 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } -5 x_ { 5 } &=-1 \end {aligned} \right . $</li></ol> <p>3. $ n $개의 미지수를 갖는 $ m $개의 방정식으로 이루어진 동차선형연립방정식은 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면, 즉 $ m<n $이면 자명하지 않은 해를 가짐을 보이시오.</p> <p>4. 다음 연립방정식의 첨가행렬을 구하고, 행감소를 실행하여 해를 구하시오. \[ \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } -2 x_ { 2 } -x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } =0 \\ -2 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } + 5 x_ { 3 } -5 x_ { 4 } =3 \\ 3 x_ { 1 } -6 x_ { 2 } -6 x_ { 3 } + 8 x_ { 4 } =2 \end {array} \right . \]</p> <p>$ A=L U $일 때 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $는 $ L(U \mathbf { x } )= \mathbf { b } $로 쓸 수 있다. $ U \mathbf { x } $ 대신에 $ \mathbf { y } $를 사용하면 두 방정식 \[ L \mathbf { y } = \mathbf { b } , \quad U \mathbf { x } = \mathbf { y } \] 를 풀어 $ \mathbf { x } $를 구할 수 있다. 이때 먼저 $ L \mathbf { y } = \mathbf { b } $를 풀어 $ \mathbf { y } $를 구하고(전진대입법; forward substitution ), 다음에 $ U \mathbf { x } = \mathbf { y } $를 풀어 $ \mathbf { x } $를 구한다 (후진대입법; backward substitution ).</p>예 14<p>$ A \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -2 \\ 7 \end {array} \right ]= \mathbf { b } $의 해 $ \mathbf { x } $를 $ L U $ - 인수분해 \[ A=L U= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -4 \end {array} \right ] \] 를 이용하여 구해보자. 먼저 $ L \mathbf { y } = \mathbf { b } $, 즉 \[ \left \{\begin {aligned} &y_ { 1 } &=1 \\ 2&y_ { 1 } + y_ { 2 } &=-2 \\ -&y_ { 1 } -3y_ { 2 } + y_ { 3 } &=7 \end {aligned} \right . \] 로부터 $ \mathbf { y } = \left [ \begin {array} { l } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ y_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -4 \\ -4 \end {array} \right ] $가 된다. 이것을 이용하여 $ U \mathbf { x } = \mathbf { y } $, 즉 \[ \left \{\begin {aligned} 2 x_ { 1 } + x_ { 2 } + x_ { 3 } &=1 \\ -x_ { 2 } -2 x_ { 3 } &=-4 \\ -4 x_ { 3 } &=-4 \end {aligned} \right . \] 를 풀면, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해는 $ \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 2 \\ 1 \end {array} \right ] $로 주어진다.</p>예제 11<p>$ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ] $와 $ \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ] $에 대하여, $A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 해 $ \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ] $를 $L U $- 인수분해를 이용하여 구하시오.</p> <p>풀이 이 동차연립방정식은 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 더 적으므로 무한히 많은 해를 가지고 있다. 이제 가우스- 조르당 소거법을 사용하여 해를 구해보자. \[ \left [ \begin {array} { llllll } 1 & 1 & 1 & -3 & : & 0 \\ 3 & -2 & -17 & 16 & : & 0 \\ 3 & 2 & -1 & -4 & : & 0 \end {array} \right ] \underset {\begin {aligned} 3 R_ { 1 } + R_ { 2 } \\ -3R_ { 1 } + R_ { 3 } \end {aligned} } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 1 & 1 & -3 & : & 0 \\ 0 & -5 & -20 & 25 & : & 0 \\ 0 & -1 & -4 & 5 & : & 0 \end {array} \right ] \] \[ \underset { -1 / 5 R_ { 2 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 1 & 1 & -3 & : & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -5 & : & 0 \\ 0 & -1 & -4 & 5 & : & 0 \end {array} \right ] \underset { R_ { 2 } + R_ { 3 } } \longrightarrow \left [ \begin {array} { cccccc } 1 & 1 & 1 & -3 & : & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -5 & : & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이 된다. 이제 연립방정식은 \[ \left \{\begin {array} { l } { x _ { 1 } - 3 x _ { 3 } + 2 x _ { 4 } = 0 } \\{ x _ { 2 } + 4 x _ { 3 } - 5 x _ { 4 } = 0 } \end {array} \text { 또는 } \left \{\begin {array} { l } x_ { 1 } =3 x_ { 3 } -2 x_ { 4 } \\ x_ { 2 } =-4 x_ { 3 } + 5 x_ { 4 } \end {array} \right . \right . \] 이므로, 해는 자유변수 $ x_ { 3 } $와 $ x_ { 4 } $에 임의의 값을 할당하여 얻을 수 있다. $ x_ { 3 } =c_ { 1 } $과 $ x_ { 4 } =c_ { 2 } $로 놓으면 해는 \[ x_ { 1 } =3 c_ { 1 } -2 c_ { 2 } , \quad x_ { 2 } =-4 c_ { 1 } + 5 c_ { 2 } , \quad x_ { 3 } =c_ { 1 } , \quad x_ { 4 } =c_ { 2 } \] 로 주어진다.</p>참고 (동차선형연립방정식의 자유변수)<p>$ n $개의 미지수를 갖는 동차선형연립방정식에 대하여, 첨가행렬의 기약행사다리꼴이 $ r $개의 선행변수를 갖는다면 이 연립방정식의 해집합은 $ n-r $개의 자유변수를 갖는다.</p> <p>선형방정식의 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $에 어떤 수 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { n } $을 각각 대입하였을 때 방정식을 만족하면, $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { n } $을 주어진 선형방정식의 해(solution)라 하고, 모든 해들의 집합을 해집합(solution set)이라 한다. 선형방정식을 푼다는 것은 주어진 선형방정식의 해집합을 구하는 것을 의미한다.</p> <p>예 2</p> <p>선형방정식 $ 2 x + 3 y=4 $에 대하여, $ x=t $로 두면 $ y=- \frac { 2 } { 3 } t + \frac { 4 } { 3 } $이므로 해집합은 \[ \left \{\left (t,- \frac { 2 } { 3 } t + \frac { 4 } { 3 } \right ) \mid t \in R \right \} \] 로 주어진다.</p>참고<p>방정식이라는 용어는 중국의 수학고전인 ‘구장산술'에서 유래하였다.</p> <p>정의 2 선형연립방정식</p> <p>$ n $개의 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $에 관한 $ m $개의 선형방정식의 모임 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \end {array} \right . \] 을 $ m \times n $ 선형연립방정식, 간단히 선형연립방정식(system of linear equations) 또는 선형방정식시스템이라고 한다. 여기서 $ a_ { i j } $와 $ b_ { i } $들은 상수이다.</p> <p>선형연립방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $와 $ A \mathbf { x } =0 $의 해집합은 일정한 관계를 가지고 있다. 이때 $ A \mathbf { x } =0 $을 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $의 수반동차선형연립방정식(associated homogeneous linear equation)이라고 한다. 이들의 기하학적 관계를 알아보자.</p> <p>예를 들어 선형연립방정식 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 0 & 0 & -2 & 0 & 7 \\ 2 & 4 & -10 & 6 & 12 \\ 2 & 4 & -5 & 6 & -5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \\ x_ { 4 } \\ x_ { 5 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 12 \\ 28 \\ -1 \end {array} \right ] \]<caption>$(1) $</caption></p> <p>을 생각해 보자. 이때 선형연립방정식의 수반동차선형연립방정식은 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 0 & 0 & -2 & 0 & 7 \\ 2 & 4 & -10 & 6 & 12 \\ 2 & 4 & -5 & 6 & -5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \\ x_ { 4 } \\ x_ { 5 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \] 이 된다. 여기서 $ r, s $를 이용하여 선형연립방정식 (1)의 해집합을 구하면 \[ \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \\ x_ { 4 } \\ x_ { 5 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 7 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end {array} \right ] + r \left [ \begin {array} { r } -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] + s \left [ \begin {array} { r } -3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \]<caption>$(2) $</caption></p> <h1>제3장 선형연립방정식</h1> <ul> <li>3.1 $ \begin {aligned} & \text { 선형연립방정식 } \\ & \text { 연습문제 3.1 } \end {aligned} $</li> <li>3.2 $ \begin {aligned} & \text { 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법 } \\ & \text { 연습문제 3.2 } \end {aligned} $</li> <li>3.3 $ \begin {aligned} & \text { 가역행렬과 선형연립방정식 } \\ & \text { 연습문제 3.3 } \end {aligned} $</li></ul> <p>각종 분야에서 발생하는 많은 문제들은 선형연립방정식으로 표현되므로 연립방정식의 해를 구하는 것은 매우 중요하다. 이때 행렬이론을 이용하면 연립방정식의 해를 훨씬 더 간단히 구할 수 있다.</p> <h1>3.1 선형연립방정식</h1> <h2>1. 선형연립방정식</h2> <p>선형연립방정식의 연구와 해법은 선형대수학에서 매우 중요한 분야이다. 선형대수에서 연립방정식의 해는 역행렬을 이용하거나, 첨가행렬을 이용한 가우스 소거법(가우스 - 조르당 소거법) 또는 행렬식을 이용한 방법으로 구한다.</p> <p>정의 1 선형방정식</p> <p>미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $에 관한 선형방정식(linear equation)은 \[ a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } = b \] 형태로 주어진다. 여기서 $ b $와 계수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $은 실수이다. 특히 상수항이 $0 $인 선형방정식 $ a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =0 $을 동차(homogeneous)라 한다.</p> <p>예 1</p> <p>모두는 $0 $이 아닌 스칼라 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } $에 대하여, $ R ^ { 2 } $에서의 직선의 방정식 $ a_ { 1 } x + a_ { 2 } y=b $와 $ R ^ { 3 } $에서 평면의 방정식 $ a_ { 1 } x + a_ { 2 } y + a_ { 3 } z=b $는 선형방정식의 대표적인 예이다.</p> <p>이제 계수행렬이 같지만 오른쪽의 값들이 다른 몇 개의 연립방정식이 있는 경우에 해를 구해보자. 각각 같은 계수행렬 $ A $를 갖지만 오른쪽이 $ B, C $와 $ D $인 $3 $개의 연립방정식의 경우를 고려하자. 이때 \[ B= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { m } \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 } \\ c_ { 2 } \\ \vdots \\ c_ { m } \end {array} \right ] \text { 와 } D= \left [ \begin {array} { c } d_ { 1 } \\ d_ { 2 } \\ \vdots \\ d_ { m } \end {array} \right ] \] 이다. 이 경우 각 연립방정식을 제각각 풀 수 있다. 그러나 각 경우에 같은 연산이 사용되므로 같은 일을 세 번하는 것은 비효율적이다. 이런 문제에 대한 접근법을 다음 예에서 제시한다.</p>예 6<p>단 한 번의 행 축약으로 다음 $3 $개의 연립방정식의 해를 구해보자. \[ \left \{\begin {array} { r } { x + 2 y = 4 } \\{ 2 x + 3 y = 7 } \\{ x + 4 y = 6 } \end {array} \quad \left \{\begin {array} { r } { x + 2 y = 1 } \\{ 2 x + 3 y = 1 } \\{ x + 4 y = 3 } \end {array} \quad \left \{\begin {array} { r } x + 2 y=2 \\ 2 x + 3 y=9 \\ x + 4 y=5 \end {array} \right . \right . \right . \]</p> <p>첨가행렬 $ \left [ \begin {array} { llllll } 1 & 2 & : & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & : & 7 & 1 & 9 \\ 1 & 4 & : & 6 & 3 & 5 \end {array} \right ] $에 대하여 행감소를 실행한다.</p> <p>특히 선형연립방정식의 각각의 방정식이 동차, 즉 $ b_ { 1 } =b_ { 2 } = \cdots=b_ { m } =0 $인 경우 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =0 \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =0 \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =0 \end {array} \right . \] 을 동차선형연립방정식(homogeneous system of linear equations) 또는 제차선형연립방정식이라 한다.</p> <h1>2. 선형연립방정식의 해법</h1> <p>선형연립방정식의 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $에 어떤 수 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { n } $을 각각 대입하였을 때 각 방정식이 모두 성립하면 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots, s_ { n } $을 이 선형연립방정식의 해라고 한다. 선형연립방정식의 해는 존재하지 않거나, 유일하게 존재하거나 또는 무수히 많이 존재한다. 일반적으로 선형연립방정식이 최소한 하나의 해를 가질 때 해가 있다(consistent)고 하고, 반면에 해가 존재하지 않을 경우 해가 없다(inconsistent)고 한다. 한편 선형연립방정식의 해 전체의 집합을 주어진 선형연립방정식의 해집합이라 한다. $2 $개의 선형연립방정식이 동일한 해집합을 가질 때, 주어진 두 선형연립방정식은 동치라고 한다.</p> <p>예 3</p> <p>언제나 동차선형연립방정식의 해가 되는 $ x_ { 1 } =0, x_ { 2 } =0, \cdots, x_ { n } =0 $을 자명한 해 또는 자명해(trivial solution)라 하고, 자명해가 아닌 해를 비자명해(non - trivial solution)라 한다. 일반적으로 동차선형연립방정식의 해의 형태는 자명한 해를 갖는 경우와, 무수히 많은 해를 갖는 두 가지 경우뿐이다.</p> <p>풀이 $ A= \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \\ x_ { 4 } \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4 \end {array} \right ] $라 놓으면, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $ 형태로 표현된다.</p> <p>먼저 계수행렬 $ A $의 역행렬을 구한다. 첨가행렬 \[ \left [A: I_ { 4 } \right ]= \left [ \begin {array} { ccccccccc } 1 & 0 & 0 & 0 & : & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & : & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & : & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & : & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 에 대하여, 기본행연산을 실행하면 \[ \left [ \begin {array} { rrrrrrrrr } 1 & 0 & 0 & 0 & : & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & : & - \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & : & \frac { 1 } { 4 } & - \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & :&- \frac { 1 } { 8 } & 0 & - \frac { 1 } { 8 } & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ] \] 이므로, 역행렬 $ A ^ { -1 } $는 \[ A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 4 } & - \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & 0 \\ - \frac { 1 } { 8 } & 0 & - \frac { 1 } { 8 } & \frac { 1 } { 8 } \end {array} \right ]= \frac { 1 } { 8 } \left [ \begin {array} { rrrr } 8 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \] 로 주어진다. 따라서 선형연립방정식의 해는 \[ \mathbf { x } =A ^ { -1 } \mathbf { b } = \frac { 1 } { 8 } \left [ \begin {array} { rrrr } 8 & 0 & 0 & 0 \\ -4 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 1 \\ 4 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 1 \\ 1 / 2 \\ 0 \\ 1 / 4 \end {array} \right ] \]즉 $ x_ { 1 } =1, x_ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } , x_ { 3 } =0, x_ { 4 } = \frac { 1 } { 4 } $이다.</p> <p>정의 7 $ L U $ - 인수분해</p> <p>주어진 $ n $차 정사각행렬 $ A $를 하삼각행렬 $ L $과 상삼각행렬 $ U $의 곱 \[ A=L U \] 로 표현하는 것을 $ L U $ - 인수분해라고 한다.</p>예 13<p>$3 $차 정사각행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end {array} \right ] $은 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -4 \end {array} \right ]=L U \] 로 $ L U $ - 인수분해한다.</p>예제 10<p>다음 $3 $차 정사각행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ] \] 의 $ L U $ - 인수분해를 구하시오.</p> <p>풀이 행렬 $ A $의 가우스 소거법에 대응하는 기본행렬은 \[ E_ { 1 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], E_ { 2 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end {array} \right ] \] 이므로 \[ \begin {aligned} E_ { 2 } E_ { 1 } A &= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ] \\ &= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]=U \end {aligned} \] 를 얻는다. 이때 \[ { E_ { 1 } } ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], { E_ { 2 } } ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \] 이므로 \[ L= { E_ { 1 } } ^ { -1 } { E_ { 2 } } ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \] 이다. 따라서 행렬 $ A $의 $ L U $ - 인수분해는 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 로 주어진다.</p>참고<p>$ L U $ - 인수분해는 모두 같은 계수행렬을 갖는 연립방정식 \[ A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 1 } , A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 2 } , \cdots, A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { p } \] 의 해를 구하는 문제에 의해 동기가 주어졌다. $ A $가 가역이면, $ A ^ { -1 } $를 구할 수 있으므로 \[ A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 1 } , A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 2 } , \cdots, A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { p } \] 도 계산할 수 있다. 그러나 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 1 } $의 해는 행감소로 구할 수 있고, $ A $의 $ L U $ - 인수분해도 동시에 얻어진다. 이때 \[ A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { 2 } , \cdots, A \mathbf { x } = \mathbf { b } _ { p } \] 의 해는 $ L U $ - 인수분해로부터 구할 수 있다.</p> <p>$1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, $1 $행에 $ -4 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 4 & 2 & : & 1 \\ 0 & -3 & -3 & : & 3 \\ 0 & -6 & -9 & : & -3 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $ - \frac { 1 } { 3 } $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 4 & 2 & : & 1 \\ 0 & 1 & 1 & : & -1 \\ 0 & -6 & -9 & : & -3 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $6 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 4 & 2 & : & 1 \\ 0 & 1 & 1 & : & -1 \\ 0 & 0 & -3 & : & -9 \end {array} \right ] \] $3 $행에 $ - \frac { 1 } { 3 } $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 4 & 2 & : & 1 \\ 0 & 1 & 1 & : & -1 \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end {array} \right ] \] 을 얻고, 이것이 행사다리꼴이다. 이 행렬을 방정식의 형태로 고치면 \[ \left \{\begin {aligned} x \qquad &=11 \\ y \quad &=-4 \\ z &=3 \end {aligned} \right . \] 이 된다. 따라서 구하는 해는 $ x=11, y=-4, z=3 $이다.</p> <h1>5. 행렬인수분해</h1> <p>행렬 $ A $의 인수분해는 $ A $를 $2 $개 이상의 행렬의 곱으로 표현하는 것을 말한다. 여기서는 주어진 행렬의 행사다리꼴을 구하는 과정에서 시작하여 행렬을 하삼각행렬과 상삼각행렬의 곱으로 나타내는 방법을 이해하고, 이 방법을 연립방방정식의 해를 구하는데 이용한다.</p> <h2>(1) L U - 인수분해</h2> <p>$ n $차 정사각행렬 $ A $의 행사다리꼴은 상삼각행렬이다. 이때 $ A $의 행사다리꼴(상삼각행렬) $ U $는 $ A $에 $ n $차의 기본행렬(치환행렬, 대각행렬, 하삼각행렬 )들을 곱하여 얻어진다. 즉 $ E_ { k } E_ { k-1 } \cdots E_ { 1 } A=U $이면, \[ A= \left (E_ { k } E_ { k-1 } \cdots E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } U \] 이다. 이때 일반성을 잃지 않고, $ A $는 $ n $차 하삼각행렬 $ L $과 $ n $차 상삼각행렬 $ U $의 곱 $ A=L U $로 쓸 수 있다. 즉 $ A $가 행사다리꼴로 행감소될 수 있는 $ n $차 정사각행렬이라 하면, $ A $는 $ A=L U $ 형태로 변형할 수 있다.</p>예 12<p>$4 $차 정사각행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrrr } 3 & -7 & -2 & 2 \\ -3 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & 0 & -5 \\ -9 & 5 & -5 & 12 \end {array} \right ] $ 에 대하여, $ A=L U $를 만족하는 하삼각행렬 $ L $과 상삼각행렬 $ U $는 각각 \[ L= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ -3 & 8 & 3 & 1 \end {array} \right ], \quad U= \left [ \begin {array} { rrrr } 3 & -7 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end {array} \right ] \] 로 주어진다.</p> <p>예 5</p> <p>선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} &x + y + z &=0 \\ &2 x + y-2 z &=4 \\ &x-3 y &=0 \end {aligned} \right . \]의 첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 1 & : & 0 \\ 2 & 1 & -2 & : & 4 \\ 1 & -3 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이다. 한편 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } $에 대하여, 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 1 & 1 & : & 0 \\ 1 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 1 & 1 & : & 1 \end {array} \right ] \] 은 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } + &x_ { 2 } + x_ { 3 } &=0 \\ x_ { 1 } + &x_ { 2 } &=3 \\ &x_ { 2 } + x_ { 3 } &=1 \end {array} \right . \] 을 나타낸다.</p> <p>예제 3</p> <p>다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + y + 2 z=9 \\ 2 x + 4 y-3 z=1 \\ 3 x + 6 y-5 z=0 \end {array} \right . \] 을 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $로 나타내고, 선형연립방정식의 첨가행렬을 구하시오.</p> <p>풀이 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & -5 \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { l } 9 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ] \] 이라 할 때, $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $이다. 이때 첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 2 & 4 & -3 & : & 1 \\ 3 & 6 & -5 & : & 0 \end {array} \right ] \] 으로 주어진다.</p> <p>증명 행렬 $ A $와 $ B $의 행사다리꼴이 각각 \[ \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 0 & \frac { 17 } { 4 } \\ 0 & 1 & 0 & \frac { 13 } { 4 } \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 3 } { 4 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \] 이므로, $ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } \left (A ^ { T } \right )=3 $으로 주어진다.</p> <p>주어진 선형연립방정식의 계수행렬과 첨가행렬의 행사다리꼴을 구하면 해의 존재성 여부를 판단할 수 있다. 또한 해가 존재할 경우에 오직 $1 $개의 해만 존재하는지, 무수히 많은 해가 존재하는지 알 수 있다.</p>정리 6<p>$ n $개의 미지수를 갖고, $ m $개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { n } \end {array} \right . \] 의 계수행렬을 $ A $라 하고, 선형연립방정식의 첨가행렬을 $ B $라 할 때 선형연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B) \] 이다. 이때</p> <ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B)=n $이면, 해는 유일하게 존재한다.</li> <li>$ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B)<n $이면, 무수히 많은 해가 존재한다.</li></ol> <p>정리 6으로부터 선형연립방정식의 계수행렬 $ A $의 계급 $ \operatorname { rank } (A) $와 첨가행렬 $ B $의 계급 $ \operatorname { rank } (B) $가 같지 않을 때, 즉 $ \operatorname { rank } (A)< \operatorname { rank } (B) $이면 해는 존재하지 않음을 알 수 있다.</p>참고<p>동차선형연립방정식은 자명해를 가진다. 특히 방정식의 수가 미지수의 수보다 적은 동차선형연립방정식은 무수히 많은 해를 가진다.</p>예 9<p>선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + y + 2 z=9 \\ 2 x + 4 y-3 z=1 \\ 3 x + 6 y-5 z=0 \end {array} \right . \] 은 유일한 해를 갖는다. 왜냐하면 계수행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & -5 \end {array} \right ] $와 첨가행렬 $ B= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 2 & 4 & -3 & : & 1 \\ 3 & 6 & -5 & : & 0 \end {array} \right ] $의 행사다리꼴로부터 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B)=3 \] 이기 때문이다.</p>예 10<p>다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -2 x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } -4 x_ { 5 } &=-3 \\ 2 x_ { 1 } + 4 x_ { 2 } -5 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } -5 x_ { 5 } &=-1 \\ -x_ { 1 } -2 x_ { 2 } \qquad-3 x_ { 4 } + 11 x_ { 5 } &=15 \end {aligned} \right . \] 의 계수행렬 $ A $와 첨가행렬의 $ B $의 행사다리꼴이 각각 \[ A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrrrrrr } 1 & 2 & -2 & 3 & -4 & : & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & : & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2 \end {array} \right ] \] 로 주어진다. 이때 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B)=3<5 \] 이므로, 주어진 선형연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다.</p>예 11<p>미지수가 $3 $개인 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + 4 y + 2 z=1 \\ 2 x + 5 y + z=5 \\ 4 x + 10 y-z=1 \end {array} \right . \] 은 유일한 해를 갖는다. 왜냐하면 계수행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 4 & 10 & -1 \end {array} \right ] \] 과 첨가행렬 \[ B= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 4 & 2 & : & 1 \\ 2 & 5 & 1 & : & 5 \\ 4 & 10 & -1 & : & 1 \end {array} \right ] \] 의 행사다리꼴로부터 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (B)=3 \] 이기 때문에 유일한 해를 갖는다. 이제 가우스 소거법을 이용하여 해를 구해보자.</p> <p>다음 예제는 컴퓨터 그래픽 문제에서 나타나는 곡선 맞추기(curve - fitting) 문제이다.</p>예제 4<p>두 점 $ (1,3),(3,-7) $을 지나는 삼차함수 $ y=a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d $에 대하여, $ (1,3),(3,-7) $에서의 접선의 기울기가 각각 $ -5 $와 $ -1 $로 주어질 때, $ a, b, c, d $를 구하시오.</p> <p>풀이 두 점 $ (1,3) $과 $ (3,-7) $이 곡선 위에 있으므로 \[ a + b + c + d=3 \text { 이고 } 27 a + 9 b + 3 c + d=-7 \] 을 만족한다. 한편 $ y ^ {\prime } =3 a x ^ { 2 } + 2 b x + c $로부터 점 $ (1,3) $에서 기울기가 $ -5 $이므로 $ 3 a + 2 b + c=-5 $가 성립한다. 또한 점 $ (3,-7) $에서 기울기가 $ -1 $이므로 \[ 27 a + 6 b + c=-1 \] 이 된다. 따라서 $ a, b, c, d $는 다음 연립방정식을 만족해야 한다. \[ \left \{\begin {aligned} &a + b + c + d &=3 \\ 27 &a + 9 b + 3 c + d &=-7 \\ 3 &a + 2 b + c &=-5 \\ 27 &a + 6 b + c &=-1 \end {aligned} \right . \] 이때 첨가행렬에 대하여 행감소를 실행하면 다음과 같다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrlr } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 3 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & : & -7 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & : & -5 \\ 27 & 6 & 1 & 0 & : & -1 \end {array} \right ] \underset {\begin {aligned} -27R_ { 1 } + R_ { 2 } \\-3R_ { 1 } + R_ { 3 } \\-27R_ { 1 } + R_ { 4 } \end {aligned} } \longrightarrow \left [ \begin {array} { rrrrlr } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 3 \\ 0 & -18 & -24 & -26 & : & -88 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & : & -14 \\ 0 & -21 & -26 & -27 & : & -82 \end {array} \right ] \] \[ \underset {\begin {aligned} R_ { 2 } \leftrightarrow R_ { 3 } \\-18R_ { 2 } + R_ { 3 } \\-21R_ { 2 } + R_ { 4 } \end {aligned} } \longrightarrow \left [ \begin {array} { rrrrlr } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & : & -14 \\ 0 & 0 & 12 & 28 & : & 164 \\ 0 & 0 & 16 & 36 & : & 212 \end {array} \right ] \] \[ \underset {\begin {aligned} &-R_ { 2 } \\ -4/3&R_ { 3 } + R_ { 4 } \end {aligned} } \longrightarrow \left [ \begin {array} { rrrrlr } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & : & 14 \\ 0 & 0 & 12 & 28 & : & 164 \\ 0 & 0 & 0 & -4 / 3 & : & -20 / 3 \end {array} \right ] \] \[ \underset {\begin {aligned} 1/12R_ { 3 } \\-3/4R_ { 4 } \end {aligned} } \longrightarrow \left [ \begin {array} { cccccc } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & : & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 7 / 3 & : & 41 / 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 5 \end {array} \right ] \] 이제 역대입법을 사용하면 $ d=5, c=2, b=-5 $이고 $ a=1 $이다. 따라서 \[ a=1, b=-5, c=2, d=5 \] 로 주어진다.</p> <p>다음 예제는 선형대수학에서 가장 중요한 고윳값을 구하는 문제이다. 제6장에서 자세하게 논의할 것이다.</p>예제 8<p>다음 연립방정식이 $0 $이 아닌 해를 갖게 하는 $ \lambda $ 값을 구하시오. \[ \left \{\begin {array} { l } 2 x + y= \lambda x \\ 4 x-y= \lambda y \end {array} \right . \]</p> <p>풀이 이 식은 동차연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} (2- \lambda) x + y &=0 \\ 4 x-(1 + \lambda) y &=0 \end {aligned} \right . \] 으로 변형된다. 기본행연산 $ -1 / 4 R_ { 2 } , R_ { 1 } \leftrightarrow R_ { 2 } $와 $ -(2- \lambda) R_ { 1 } + R_ { 2 } $를 실행하면 첨가행렬은 다음과 같이 축약된다. \[ \begin {aligned} {\left [ \begin {array} { cccc } 2- \lambda & 1 & : & 0 \\ 4 & -(1 + \lambda) & : & 0 \end {array} \right ] } & \rightarrow \left [ \begin {array} { cccc } 1 & \frac { -(1 + \lambda) } { 4 } & : &0 \\ 0 & 1 + \frac { (2- \lambda)(1 + \lambda) } { 4 } & : &0 \end {array} \right ] \\ & \rightarrow \left [ \begin {array} { cccc } 1 & - \frac { (1 + \lambda) } { 4 } &: & 0 \\ 0 & - \frac {\left ( \lambda ^ { 2 } - \lambda-6 \right ) } { 4 } &: & 0 \end {array} \right ] \end {aligned} \] 이 연립방정식은 마지막 행의 둘째 열의 원소가 $0 $일 때 $0 $이 아닌 해를 갖는다. 이것은 $ \lambda ^ { 2 } - \lambda-6=0 $일 때 발생한다. 이 이차방정식의 해는 $ \lambda=3 $이고 $ \lambda=-2 $이다.</p> <h1>4. 행계급과 선형연립방정식</h1> <p>$ n $개의 미지수를 갖고, $ m $개의 선형방정식으로 이루어진 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \end {array} \right . \] 에서 세 행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & : & b_ { 1 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } & : & b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & : & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } & : & b_ { m } \end {array} \right ] \] 을 생각하자.</p> <p>첫째 식과 둘째 식을 서로 교환한다 $ \left (R_ { 1 } \leftrightarrow R_ { 2 } \right ) $. \[ \left \{\begin {array} { r } x + y + 2 z=9 \\ 4 y-3 z=1 \\ -3 x + 6 y-6 z=0 \\ 3 x-2 y + 3 z=1 \end {array} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 4 & -3 & : & 1 \\ -3 & 6 & -6 & : & 0 \\ 3 & -2 & 3 & : & 1 \end {array} \right ] \right . \] 첫째 식에 3배하여 셋째 식에 더하고 $ \left (3 R_ { 1 } + R_ { 3 } \right ) $, 첫째 식에 -3배하여 넷째 식에 더한다 $ \left (-3 R_ { 1 } + R_ { 4 } \right ). $ \[ \left \{\begin {aligned} x + &y + 2 z &=9 \\ 4 &y-3 z &=1 \\ 9 &y &=27 \\ -5 &y-3 z &=-26 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrlr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 4 & -3 & : & 1 \\ 0 & 9 & 0 & : & 27 \\ 0 & -5 & -3 & : & -26 \end {array} \right ] \right . \] 둘째 식과 셋째 식을 서로 교환한다 $ \left (R_ { 2 } \leftrightarrow R_ { 3 } \right ) $. \[ \left \{\begin {aligned} x + &y + 2 z &=9 \\ 9 &y &=27 \\ 4 &y-3 z &=1 \\ -5 &y-3 z &=-26 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrlr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 9 & 0 & : & 27 \\ 0 & 4 & -3 & :&1 \\ 0 & -5 & -3 & : & -26 \end {array} \right ] \right . \] 둘째 식에 $ \frac { 1 } { 9 } $배한다 $ \left ( \frac { 1 } { 9 } R_ { 2 } \right ) $. \[ \left \{\begin {aligned} x + &y + 2 z &=9 \\ &y &=3 \\ 4 &y-3 z &=1 \\ -5 &y-3 z &=-26 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 4 & -3 & : &1 \\ 0 & -5 & -3 & : & -26 \end {array} \right ] \right . \] 둘째 식에 -4배하여 셋째 식에 더하고 $ \left (-4 R_ { 2 } + R_ { 3 } \right ) $, 둘째 식에 5배하여 넷째 식에 더한다 $ \left (5 R_ { 2 } + R_ { 4 } \right ) $. \[ \left \{\begin {aligned} x + y + 2z &=9 \\ y \qquad&=3 \\ -3 z &=-11 \\ -3 z &=-11 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & -3 & : & -11 \\ 0 & 0 & -3 & : & -11 \end {array} \right ] \right . \] 셋째 식에 -1배하여 넷째 식에 더한다 $ \left (-R_ { 3 } + R_ { 4 } \right ) $. \[ \left \{\begin {aligned} x + y + 2 z &=9 \\ y \qquad&=3 \\ -3 z &=-11 \\ 0 &=0 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & -3 & : & -11 \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \right . \] 셋째 식에 $ - \frac { 1 } { 3 } $배한다 $ \left (- \frac { 1 } { 3 } R_ { 3 } \right ) $. \[ \left \{\begin {aligned} x + y + 2 z &=9 \\ y \qquad&=3 \\ z &= \frac { 11 } { 3 } \\ 0 &=0 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { ccccc } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & 1 & : & \frac { 11 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \right . \]마지막 행사다리꼴 \[ \left [ \begin {array} { ccccc } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & 1 & : & \frac { 11 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 을 얻기 위하여 행한 일련의 작업을 모두 합하여 가우스 소거법이라 한다.</p> <p>정의 5 행계급</p> <p>행렬 $ A $의 행사다리꼴의 $0 $이 아닌 수를 포함하는 행의 개수를 행렬의 행계급(row rank) 또는 행계수, 간단히 계급 또는 계수라 하고, $ \operatorname { rank } (A) $로 표시한다.</p> <p>$ A $가 $ m \times n $ 행렬일 때, $ \operatorname { rank } (A) \leq m, \operatorname { rank } (A) \leq n $을 만족한다.</p>예 8<p>$ 3 \times 4 $ 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end {array} \right ] $의 기약행사다리꼴이 $ \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end {array} \right ] $이고, $0 $이 아닌 행의 개수가 $3 $이므로 $ \operatorname { rank } (A)=3 $이다.</p>참고<p>행렬 $A $와 $A $의 전치행렬 $A ^ { T } $에 대하여, $ \operatorname { rank } (A) $와 $ \operatorname { rank } (A ^ { T } ) $는 같다.</p>예제 9<p>두 행렬 \[ A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 & 13 & 5 \end {array} \right ], A ^ { T } = \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 13 \\ 2 & -2 & 4 & 5 \end {array} \right ] \] 에 대하여, $ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } \left (A ^ { T } \right ) $가 성립한다.</p> <p>예 4</p> <p>$ m=2 $이면 두 평면은 평행하거나 교차한다. 그러므로 그들은 해가 없거나 무수히 많다. 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적을 때 유일한 해가 아님에 유의한다. $ m>3 $일 때에도 동일하게 세 가지 경우가 발생하는데 대부분 해가 없는 경우이다.</p> <h3>(3) 미지수가 $ n $개인 경우</h3> <p>미지수가 $ n $개인 $ m $개의 선형연립방정식의 해를 구할 때는 항상 세 가지 가능성이 있었음에 유의한다. 즉 해가 없음(이 경우 선형연립방정식은 근을 갖지 않는다고 말한다), 유일한해 또는 무수히 많은 해가 존재하는 경우이다. 일반적으로 미지수의 수보다 방정식의 수가 더 많으면 해가 존재하지 않을 가능성이 더 많다. 그러나 해가 존재할 경우는 선행변수를 제외한 나머지 자유변수에 임의의 실수를 부여하는 방법으로 해를 구한다.</p> <p>정의 3 선행변수와 자유변수</p> <p>$ n $개의 미지수에 관한 $ m $개의 선형방정식의 모임인 선형연립방정식에서, 각 선형방정식에 처음으로 나타나는 미지수를 선행변수(leading variable) 또는 기본변수라 하고, 남는 나머지 미지수를 자유변수(free variable)라 한다. 특히 자유변수의 수를 자유도(degree of freedom)라 한다.</p> <p>선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } -2 x_ { 3 } =9 \\ x_ { 2 } + x_ { 3 } =3 \end {array} \right . \] 에서 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $는 선행변수이고, $ x_ { 3 } $는 자유변수이다. 이때 자유변수 $ x_ { 3 } $에 대하여 $ x_ { 3 } =t $ (단, $ t $는 임의의 실수)라 놓으면 주어진 연립방정식의 해는 \[ x_ { 1 } =9 + 2 t, x_ { 2 } =3-t \quad( \text { 단, } t \text { 는 임의의 실수 } ) \] 로 주어진다.</p> <p>예제 2</p> <p>선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } -x_ { 5 } &=0 \\ x_ { 3 } -5 x_ { 4 } + 2 x_ { 5 } &=1 \\ x_ { 4 } + x_ { 5 } &=2 \end {aligned} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>풀이 주어진 연립방정식은 행렬방정식 $ A \mathbf { x } = \mathbf { b } $와 동치이다. 여기서 \[ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right ], \mathbf { x } = \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ], \mathbf { b } = \left [ \begin {array} { l } 3 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right ] \] 이다. 이때 $3 $차 정사각행렬 $ \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] $은 $ A $의 역행렬이므로, 주어진 연립방정식의 유일한 해는 \[ \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 3 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 3 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right ] \] 로 주어진다.</p> <p>선형연립방정식의 해를 구하기 위해서는 역행렬을 이용할 필요가 있다. 이때 기본적인 다음 세 가지 문제</p> <ul> <li>주어진 정사각행렬의 역행렬 존재여부</li> <li>역행렬이 존재할 때 역행렬 구하는 법</li> <li>역행렬을 이용한 선형연립방정식의 해 구하기</li></ul> <p>가 제기된다.</p>예제 2<p>다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } \qquad \qquad \qquad \qquad &=1 \\ x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } \qquad \qquad \quad &=2 \\ 2 x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } \qquad &=1 \\ x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } + 8 x_ { 4 } &=4 \end {aligned} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>4. 다음 첨가행렬이 나타내는 선형연립방정식의 해의 개수를 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left [ \begin {array} { llllll } 1 & 1 & 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & : & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & : & 3 \end {array} \right ] $</li> <li>$ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -1 & -1 & : & 2 \\ 0 & 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & 0 & 1 & : & 4 \end {array} \right ] $</li></ol> <p>5. 첨가행렬의 기본행연산을 이용하여, 세 직선 \[ x_ { 1 } -4 x_ { 2 } =1,2 x_ { 1 } -x_ { 2 } =-3,-x_ { 1 } -3 x_ { 2 } =4 \] 는 한 점에서 교차함을 보이시오.</p> <p>6. 첨가행렬이 \[ \left [ \begin {array} { lllll } a & 0 & b & : & 2 \\ a & a & 4 & : & 4 \\ 0 & a & 2 & : & b \end {array} \right ] \] 로 주어진 선형연립방정식의 해가 다음 조건에 맞도록 $ a, b $ 값을 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>오직 한 쌍의 해가 존재한다.</li> <li>자유변수를 $1 $개 갖는 무수히 많은 해가 존재한다.</li> <li>해가 존재하지 않는다.</li></ol> <h1>3.2 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법</h1> <p>선형연립방정식의 해를 구할 때. 기본적인 생각은 주어진 연립방정식을 변환하여 해집합이 변하지 않으면서 해를 구하기 쉬운 새로운 연립방정식을 찾아가는 것이다. 즉 선형연립방정식의 해를 구하는 최선의 방법은 풀기 쉬운 동치인 연립방정식으로 바꾸는 것이다. 이 절에서는 선형연립방정식을 풀 때 사용했던 소거법을 체계화하여 첨가행렬로부터 일반적인 선형연립방정식의 해를 구하는 방법을 설명한다.</p> <p>해를 구하기 위한 기초적인 문제는</p> <ol type=1 start=1><li>해를 구하기 쉬운 방법을 찾는 문제</li> <li>풀기 쉬운 동치인 선형연립방정식으로 변형하는 문제</li></ol> <p>이다.</p> <h2>1. 해를 구하기 쉬운 경우</h2> <p>대각행렬이나 위삼각행렬인 경우에 풀이 과정은 $ a x=b $ 형태의 방정식을 푸는 것과 같다.</p> <p>$1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, $1 $행에 $ -1 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 2 & : & 4 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & : & 2 & 2 & 3 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $2 $배하여 $1 $행과 $3 $행에 각각 더한 다음에 $2 $행에 $ -1 $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 0 & : & 2 & -1 & 12 \\ 0 & 1 & : & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & : & 0 & 0 & 13 \end {array} \right ] \] 이때 $3 $열을 사용하여 첫 연립방정식은 유일한 해로 $ x=2 $와 $ y=1 $를 갖는다. 또한 $4 $열로부터 둘째 연립방정식의 유일한 해는 $ x=-1 $이고 $ y=1 $임을 안다. $5 $열에서 $ 13 \neq 0 $이므로 셋째 연립방정식은 해가 없음을 안다.</p> <h1>3. 동차선형연립방정식</h1> <p>일반적인 동차선형연립방정식은 \[ \left \{\begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =0 \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =0 \\ \vdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =0 \end {array} \right . \]<caption>$ () $</caption></p> <p>으로 표현된다. 동차선형연립방정식에서 해가 유일하다면 자명한 해가 되어야 하고, 자명한 해를 갖지 않을 오직 한 경우는 무수히 많은 해를 가질 때이다. 많은 중요한 응용에서 이러한 상황이 발생한다. 해를 구하는 방법은 일반적인 선형연립방정식의 해를 구하는 방법과 다르지 않으나, 가우스 소거법을 적용할 때 첨가행렬의 마지막 열은 축약과정을 통해서 $0 $으로 남아 있다.</p> <h2>2. 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법</h2>참고<p>가우스(Gauss)가 소행성의 궤도를 계산하기 위해 도입한 가우스 소거법은 큰 반향을 일으켰고, 이 해법의 중요성을 인식한 조르당(Jordan)이 1888년 출간한 자신의 저서에 가우스 소거법 과정을 자세하게 설명하고 사용함으로써 그 후 널리 알려지게 되었다. 그러나 가우스 소거법의 최초 형태는 중국에서 쓰인 '구장산술'에서 발견된다.</p> <p>선형연립방정식의 해를 구할 때 우리가 사용했던 소거법은 두 방정식의 교환, 한 방정식의 스칼라배, 방정식에서 변수의 소거과정을 거쳐 같은 해집합을 갖는 풀기 쉬운 동치인 선형연립방정식으로 변형하여 해를 구하는 것이었다. 즉 주어진 선형연립방정식에 다음과 같은 연산</p> <ol type=1 start=1><li>두 방정식을 서로 교환한다.</li> <li>한 방정식에 $0 $이 아닌 수를 곱한다.</li> <li>한 방정식에 $0 $이 아닌 수를 곱하여 다른 방정식을 더한다.</li></ol> <p>을 수행하여 해를 구하는 방법으로, 이 세 가지 연산은 주어진 선형연립방정식의 해집합을 변화하지 않는 연산들이다. 이 연산을 첨가행렬에서는 다음 연산, 즉 첨가행렬의 기본행연산</p> <ol type=1 start=1><li>두 행을 서로 교환한다.</li> <li>한 행에 $0 $이 아닌 수를 곱한다.</li> <li>한 행에 $0 $이 아닌 수를 곱하여 다른 행에 더한다.</li></ol> <p>으로 대응된다.</p> <p>다음 예들은 위 세 가지 연산을 이용한 선형연립방정식의 소거법을 행렬이 어떻게 대신할 수 있는가, 즉 선형연립방정식의 해는 첨가행렬의 기본행연산만으로 구할 수 있음을 보여준다.</p>예 3<p>다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } 4 y-3 z=1 \\ x + y + 2 z=9 \\ -3 x + 6 y-6 z=0 \\ 3 x-2 y + 3 z=1 \end {array} \right . \] 의 해를 구해보자. 먼저 연립방정식에서의 연산과 행렬에서의 연산을 비교하기 위하여 주어진 연립방정식과 이에 대응하는 첨가행렬 \[ \left \{\begin {array} { r } 4 y-3 z=1 \\ x + y + 2 z=9 \\ -3 x + 6 y-6 z=0 \\ 3 x-2 y + 3 z=1 \end {array} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 0 & 4 & -3 & : & 1 \\ 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ -3 & 6 & -6 & : & 0 \\ 3 & -2 & 3 & : & 1 \end {array} \right ] \right . \] 에 대한 두 연산을 동시에 생각하여 해를 구한다.</p> <p>이제 선행성분 $1 $을 가진 열은 $1 $을 제외한 다른 성분이 모두 $0 $이 되도록 만들자. 셋째 식에 $ -2 $배하여 첫째 식에 더하고 $ \left (-2 R_ { 3 } + R_ { 1 } \right ) $, 새로 생긴 연립방정식의 둘째 식에 $ -1 $ 배하여 첫째 식에 더한다 $ \left (-R_ { 2 } + R_ { 1 } \right ) $. \[ \left \{\begin {array} { r } x \qquad \quad &=- \frac { 4 } { 3 } \\ y \qquad &=3 \\ z \quad &= \frac { 11 } { 3 } \\ 0 \qquad &=0 \end {array} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 0 & : & - \frac { 4 } { 3 } \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & 1 & : & \frac { 11 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \right . \] 이 된다. 따라서 구하는 해는 $ x=- \frac { 4 } { 3 } , y=3, z= \frac { 11 } { 3 } $이다. 이때 마지막 행렬은 첨가행렬의 기약행사다리꼴이고, 첨가행렬로부터 기약행사다리꼴 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 0 & : & - \frac { 4 } { 3 } \\ 0 & 1 & 0 & : & 3 \\ 0 & 0 & 1 & : & \frac { 11 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 을 얻기 위하여 수행한 일련의 작업을 모두 합하여 가우스-조르당 소거법이라 한다.</p>예 4<p>다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + y + z&=0 \\ 2 x + y-2 z&=4 \\ x-3 y \qquad &=0 \end {array} \right . \] 의 해를 구해보자. 아래의 왼쪽은 선형연립방정식을 푸는 과정이고, 오른쪽은 이에 대응하는 연립방정식의 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { rrrll } 1 & 1 & 1 & : & 0 \\ 2 & 1 & -2 & : & 4 \\ 1 & -3 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 의 변화를 나타낸 것이다.</p> <p>정리 4</p> <p>방정식 수 $ m $이 미지수의 수 $ n $보다 더 적을 때, 즉 $ m<n $인 동차선형연립방정식 $ () $는 무한히 많은 $0 $이 아닌 해를 갖는다.</p>예 7<p>$ 2 \times 3 $ 행렬 $ \left [ \begin {array} { lll } 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end {array} \right ] $을 계수행렬로 갖는 동차선형연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. 왜냐하면 미지수의 수보다 방정식 수가 더 적기 때문이다.</p>따름정리<p>동차연립방정식 $ () $는 그의 첨가행렬에 대한 행사다리꼴에서 $0 $이 아닌 행의 수가 미지수의 수보다 적기만 하면 무한히 많은 $0 $이 아닌 해를 갖는다.</p>예제 6<p>다음 동차연립방정식의 해를 구하시오. \[ \left \{\begin {aligned} x + 2 y + 3 z &=0 \\ 4 x + 5 y + 6 z &=0 \\ 7 x + 8 y \qquad &=0 \end {aligned} \right . \]</p> <p>풀이 동차연립방정식의 첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & : & 0 \\ 4 & 5 & 6 & : & 0 \\ 7 & 8 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이므로, 가우스 소거법을 사용하여 행사다리꼴로 변형하면 \[ \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & : & 0 \\ 4 & 5 & 6 & : & 0 \\ 7 & 8 & 0 & : & 0 \end {array} \right ] \underset {\begin {aligned} -4 R_ { 1 } + R_ { 2 } \\ -7R_ { 1 } + R_ { 3 } \end {aligned} } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 3 & : & 0 \\ 0 & -3 & -6 & : & 0 \\ 0 & -6 & -21 & : & 0 \end {array} \right ] \] \[ \underset { -1 / 9 R_ { 3 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 3 & : & 0 \\ 0 & 1 & 2 & : & 0 \\ 0 & 0 & -9 & : & 0 \end {array} \right ] \underset {\begin {aligned} -1/3R_ { 2 } \\ 6 R_ { 2 } + R_ { 3 } \end {aligned} } \longrightarrow \left [ \begin {array} { ccccc } 1 & 2 & 3 & : & 0 \\ 0 & 1 & 2 & : & 0 \\ 0 & 0 & 1 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이 된다. 축약된 행렬에서 $0 $이 아닌 행의 수와 미지수의 수가 각각 $3 $개로 같으므로 유일한 해를 갖는다. 이때 이 연립방정식의 해는 $ x=y=z=0 $으로 주어진다. 이 경우에 세 평면들은 오직 원점만을 공유한다.</p>예제 7<p>다음 동차연립방정식의 해를 구하시오. \[ \left \{\begin {aligned} x_ { 1 } + x_ { 2 } + x_ { 3 } -3 x_ { 4 } &=0 \\ 3 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } -17 x_ { 3 } + 16 x_ { 4 } &=0 \\ 3 x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -x_ { 3 } -4 x_ { 4 } &=0 \end {aligned} \right . \]</p> <p>정의 1 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법</p> <p>기본행연산을 이용하여 첨가행렬이 처음 상삼각행렬(행사다리꼴)이 되었을 때 감소를 멈춘다면 이러한 해를 구하는 방법을 가우스 소거법(Gauss elimination)이라 한다. 특히 행감소가 가능한 한 첨가행렬이 대각행렬(기약행사다리꼴)이 되도록 실행되었다면 이러한 해를 구하는 방법을 가우스-조르당 소거법(Gauss - Jordan elimination)이라 한다.</p>참고<p>연산의 수를 주의 깊게 관찰하면 가우스 소거법과 역대입법이 가우스-조르당 소거법보다 조금 더 효율적임을 알 수 있을 것이다. 그러나 작은 규모의 문제를 수작업할 때 가우스-조르당 소거법을 선호한다.</p> <p>주어진 연립방정식의 해는 계수와 상수항으로 된 첨가행렬에 기본행연산을 시행하여 구할 수 있음을 보았다. 그런데 첨가행렬에 기본행연산을 시행하여 좀 더 간단한 형태의 행렬로 바꾸어 가는 과정은 행렬이 행사다리꼴 또는 기약행사다리꼴의 특수한 모양이 될 때 멈추면 된다. 이제 연립방정식의 해를 구하는 방법을 좀 더 구체적으로 서술한다.</p>참고<p>연립방정식의 해를 구하기 위한 가우스 소거법 과정은 첨가행렬을 행사다리꼴로 축약시키는 것과 같다. 반면 가우스 - 조르당 소거법 과정은 첨가행렬을 기약행사다리꼴로 축약시키는 것과 같다.</p> <p>정리 2</p> <p>모든 행렬은 유일한 기약행사다리꼴과 행동치이다.</p>참고<p>우리가 축약을 하기 위하여 다른 일련의 기본행연산을 할지라도 항상 같은 기약행사다리꼴에 도달할 것이다. 따라서 원래의 연립방정식의 해는 사용한 기본행연산에 의해 바뀌지 않는다.</p>예 5<p>가우스 소거법을 이용하여, 다음 연립방정식 \[ \left \{\begin {aligned} x + y + 2 z &=2 \\ x + y-3 z &=2 \\ 2 x + y + 5 z &=5 \end {aligned} \right . \] 의 해를 구해보자. 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 2 \\ 1 & 1 & -3 & : & 2 \\ 2 & 1 & 5 & : & 5 \end {array} \right ] \] 를 행사다리꼴로 변형하여 해를 구한다.</p> <p>$1 $행에 $ -1 $배하여 $2 $행에 더하고, 다시 $1 $행에 $ -2 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 2 \\ 0 & 0 & -5 & : & 0 \\ 0 & -1 & 1 & : & 1 \end {array} \right ] \] $3 $행에 $ -1 $배하고, 다음에 $2 $행과 $3 $행을 교환한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 2 \\ 0 & 1 & -1 & : & -1 \\ 0 & 0 & -5 & : & 0 \end {array} \right ] \] 이것이 행사다리꼴이다. 따라서 대응하는 연립방정식은 역대입법으로 해를 구할 수 있다. 셋째 방정식으로부터 $ z=0 $을 얻고, 이를 대입하면 $ y=-1 $이고 $ x=3 $이다. 따라서 구하는 해는 \[ x=1, y=2, z=3 \] 으로 주어진다.</p> <p>예제 1</p> <p>가우스 소거법을 이용하여, 다음 선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + y + 2 z=9 \\ 2 x + 4 y-3 z=1 \\ 3 x + 6 y-5 z=0 \end {array} \right . \] 의 해를 구하시오.</p> <p>풀이 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 2 & 4 & -3 & : & 1 \\ 3 & 6 & -5 & : & 0 \end {array} \right ] \] 을 행사다리꼴로 변형하여 해를 구한다.</p> <p>$1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, 다시 $1 $행에 $ -3 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrlr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 2 & -7 & : & -17 \\ 0 & 3 & -11 & : & -27 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $ \frac { 1 } { 2 } $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & - \frac { 7 } { 2 } & : & - \frac { 17 } { 2 } \\ 0 & 3 & -11 & : & -27 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $ -3 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { ccrcc } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & - \frac { 7 } { 2 } & : & - \frac { 17 } { 2 } \\ 0 & 0 & - \frac { 1 } { 2 } & : & - \frac { 3 } { 2 } \end {array} \right ] \] $3 $행에 $ -2 $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrlr } 1 & 1 & 2 & : & 9 \\ 0 & 1 & - \frac { 7 } { 2 } & : & - \frac { 17 } { 2 } \\ 0 & 0 & 1 & : & 3 \end {array} \right ] \]<caption>$ ( * ) $</caption></p> <p>일단 기본적인 기법에 익숙하기만 하면 기본 알고리즘을 수정할 수 있다. 특히 문제가 오직 정수들만을 포함하고 있고 수작업하고 있다면 소수를 가지고 작업하는 것을 최소로 하는 것이 바람직하다. 다음 예제는 원래의 행렬에 소수가 없다면 소수를 갖고 하는 연산을 완전히 피할 수 있음을 보여준다.</p> <p>예제 5</p> <p>$ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } $를 미지수로 갖는 연립방정식의 첨가행렬이 다음과 같이 축약되었을 때, 연립방정식의 해를 구하시오. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 3 & -1 & 2 & : & 1 \\ 2 & 1 & 1 & : & 1 \\ 1 & -3 & 0 & : & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이 먼저 $1 $행과 $3 $행을 교환한다. 그리고 $1 $행에 $ -2 $배하여 $2 $행에 더하고, 다시 $1 $행에 $ -3 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -3 & 0 & : & 2 \\ 0 & 7 & 1 & : & -3 \\ 0 & 8 & 2 & : & -5 \end {array} \right ] \] $2 $행에서 선행원소를 $1 $로 하기 위해 $7 $로 나눌 수 있지만 소수를 만드는 것을 피하기 위해 $3 $행에 $ -1 $배하여 $2 $행에 더한 후, $2 $행에 $ -1 $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -3 & 0 & : & 2 \\ 0 & 1 & 1 & : & -2 \\ 0 & 8 & 2 & : & -5 \end {array} \right ] \] $2 $행에 $3 $배하여 $1 $행에 더하고, 다시 $2 $행에 $ -8 $배하여 $3 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 3 & : & -4 \\ 0 & 1 & 1 & : & -2 \\ 0 & 0 & -6 & : & 11 \end {array} \right ] \] $3 $열을 축약하기 위해 $1 $행과 $2 $행에 각각 $6 $배하고, 또한 $3 $행에 $ -1 $배한다. \[ \left [ \begin {array} { ccccc } 6 & 0 & 18 & :&-24 \\ 0 & 6 & 6 & : & -12 \\ 0 & 0 & 6 & :&-11 \end {array} \right ] \] $3 $행에 $ -1 $배하여 $1 $행에 더하고, $3 $행에 $ -1 $배하여 $2 $행에 더한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 6 & 0 & 0 & : & 9 \\ 0 & 6 & 0 & : & -1 \\ 0 & 0 & 6 & : & -11 \end {array} \right ] \] 마지막으로 각 행에 $ \frac { 1 } { 6 } $배한다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 0 & : & 9 / 6 \\ 0 & 1 & 0 & : & -1 / 6 \\ 0 & 0 & 1 & : & -11 / 6 \end {array} \right ] \] 이 된다. 이 마지막 행렬은 기약사다리꼴이며, 소수를 가지고 연산을 하지 않고 $ x_ { 1 } = \frac { 9 } { 6 } , x_ { 2 } =- \frac { 1 } { 6 } , x_ { 3 } =- \frac { 11 } { 6 } $을 얻었다.</p> <h3>(1) 계수행렬이 대각행렬일 때</h3> <p>예 1</p> <p>선형방정식이 $4 $개이고 미지수가 $4 $개인 선형연립방정식의 경우에 첨가행렬이 \[ \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & 0 & 0 & 0 & : & b_ { 1 } \\ 0 & a_ { 22 } & 0 & 0 & : & b_ { 2 } \\ 0 & 0 & a_ { 33 } & 0 & : & b_ { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & a_ { 44 } & : & b_ { 4 } \end {array} \right ] \] 로 주어지면, 대응하는 연립방정식은 $4 $개의 방정식 \[ a_ { i i } x_ { i } =b_ { i } ( \text { 단, } i=1,2,3,4) \] 가 되므로, 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 경우에 방정식들은 서로 연관이 없다(uncoupled)라고 한다.</p> <h1>(2) 계수행렬이 상삼각행렬일 때</h1> <p>연립방정식의 계수행렬이 상삼각행렬이면 해를 구하기 쉽다.</p>참고<p>선형방정식이 $4 $개이고 미지수가 $4 $개인 선형연립방정식의 경우에 첨가행렬이 \[ \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & a_ { 14 } & : & b_ { 1 } \\ 0 & a_ { 22 } & a_ { 23 } & a_ { 24 } & : & b_ { 2 } \\ 0 & 0 & a_ { 33 } & a_ { 34 } & : & b_ { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & a_ { 44 } & : & b_ { 4 } \end {array} \right ] \] 로 주어지면, 역대입법에 의하여 연립방정식의 해를 구한다.</p>예 2<p>선형연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { r } x + 2 y + 3 z=5 \\ y-2 z=6 \\ 2 z=4 \end {array} \right . \] 에 대하여, 첨가행렬이 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 3 & : & 5 \\ 0 & 1 & -2 & : & 6 \\ 0 & 0 & 2 & : & 4 \end {array} \right ] \] 로 주어진다. 이때 마지막 방정식을 $ z $에 대하여 풀면 $ z=2 $이다. 그 다음 이 $ z $값을 둘째 방정식에 대입하면 $ y=10 $이다. 마지막으로 우리가 이미 구한 $ y $와 $ z $의 값을 첫째 방정식에 대입하면 $ x=-21 $이 된다. 이러한 기법을 역대입법(back substitution)이라 한다.</p>	자연
복소해석학개론_조화함수	<p>증명 $ \quad a_ { n } = \alpha_ { n } + i \beta_ { n } $ 이라 두고, $ f(z)=u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) + i v \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) $ 라고 하면, $ u \left (r e ^ { i \vartheta } \right )=1 + \Re \sum_ { m=1 } ^ {\infty } a_ { m } z ^ { m } =1 + \sum_ { m=1 } ^ {\infty } \left ( \alpha_ { m } \cos m \vartheta- \beta_ { m } \sin m \vartheta \right ) r ^ { m } $ 이고, 이 급수는 원 $ \|z\|=r(r<1) $ 위에서 균등수렴한다. 그러므로 $ \cos n \vartheta $ 또는 $ \sin n \vartheta $ 를 곱하고 항별로 적분을 하면, $ n \neq m $ 일 때는 \[ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos n \vartheta \cos m \vartheta d \vartheta= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin n \vartheta \sin m \vartheta d \vartheta=0 \] 이 되고, 모든 $ n $ 과 $ m $ 에 대해 \[ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos n \vartheta \sin m \vartheta d \vartheta=0 \] 이 되므로, $ \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) \cos n \vartheta d \vartheta= \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \alpha_ { n } r ^ { n } \cos ^ { 2 } n \vartheta d \vartheta= \alpha_ { n } r ^ { n } $<caption>(6.24)</caption>$ \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) \sin n \vartheta d \vartheta= \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } - \beta_ { n } r ^ { n } \sin ^ { 2 } n \vartheta d \vartheta=- \beta_ { n } r ^ { n } $<caption>(6.25)</caption>을 얻는다. 식 $( 6.25) $에 $ -i $ 를 곱하고 식 $(6.24) $에 더하면 \[ a_ { n } r ^ { n } = \left ( \alpha_ { n } + i \beta_ { n } \right ) r ^ { n } = \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) e ^ { -i n \vartheta } d \vartheta \] 가 되고 \[ \left \|a_ { n } \right \| r ^ { n } \leq \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) \left \|e ^ { -i n \vartheta } \right \| d \vartheta= \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) d \vartheta \] 이고, 평균값 성질(식 $(6.5) $)에 의해 \[ \frac { 1 } {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) d \vartheta=2 u(0)=2 \] 이므로 $ \left \|a_ { n } \right \| r ^ { n } \leq 2 $ 를 얻는다. 여기서, $ r \rightarrow 1 ^ { - } $되게 하면 \[ \left \|a_ { n } \right \| \leq 2 \] 가 된다.</p> <p>[예제 $6.5 $] 하르낙의 원리(정리 $ 6.11 $)는 가정 $ u_ { n + 1 } (z) \geq u_ { n } (z) $ 를 $ u_ { n + 1 } (z) \leq u_ { n } (z) $ 로 바꾸어도 성립하는가?</p> <p>풀이 수열 $ \left \{ -u_ { n } (z) \right \} $ 를 생각하면 같은 결론을 얻는다.</p> <p>[예제 $6.6 $] 두 개의 연속함수가 정리 $ 6.9 $ 에서와 같은 평균값 성질을 만족한다고 하면, 그 두 함수의 곱도 평균값 성질을 만족하는가?</p> <p>풀이 정리 $ 6.9 $ 의 결과로 보아, 두 개의 조화함수의 곱이 조화적이 되지 않는 두 함수에 대해서는 곱이 평균값 성질을 만족시키지 못한다.</p> <p>[예제 $6.7 $] 정리 $ 6.12 $ 를 일반화시킨다고 할 때 어떻게 생각하면 될까?</p> <p>풀이 $ \quad\|z\|<R $ 와 $ \Re f(z)>\alpha $ 를 생각한다.</p> <p>[예제 $6.8 $] 정리 $ 6.13 $ 의 증명에서 $ \Re f(z)>0 $ 인 성질은 어디에서 사용되었나?</p> <p>풀이 $ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left \|u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) \right \| d \vartheta= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) d \vartheta $ 라는 사실에 사용하였다.</p> <p>[예제 $6.9 $] $ g(z) $ 가 $ \|z\|<1 $ 에서 해석적이고 $ g(0)=1 $ 일 때 $ \Re g(z)>\alpha $ 이면 \[ \|g(z)\| \leq \frac { 1 + (1-2 \alpha)\|z\| } { 1-\|z\| } , \quad(\|z\|<1,0< \alpha<1) \] 임을 밝혀라.</p> <p>풀이 $ \Re f(z)>0 $ 일 때 $ g(z)=(1- \alpha) f(z) + \alpha $ 라 놓고 정리 $ 6.12 $ 를 사용한다.</p> <p>연습문제 $ 6.2 $</p> <p>$1$. 다음을 증명하라.</p> <ol type=a start=1><li>$ \zeta=R e^{i t}, z=r e^{i \vartheta}(r<R) $ 에 대해서 다음 등식이 성립한다. \[ \frac{\zeta+z}{\zeta-z}=1+2 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{R}\right)^{n} e^{i n(\vartheta-t)} \]</li> <li>$ \alpha $ 가 실수일 때 \[ \frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2 r R \cos \alpha+r^{2}}=1+2 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{R}\right)^{n} \cos n \alpha \]</li> <li>$ t $ 와 $ \vartheta $ 가 $ (\mathrm{a}) $ 와 같을 때 $ (\mathrm{b}) $ 에서 $ \alpha=\vartheta-t $ 로 놓음으로써 정리 $ 6.7 $ 의 해 $ U\left(r e^{i \vartheta}\right) ㄱ $ \[ U\left(r e^{i \vartheta}\right)=\frac{1}{2} a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{r}{R}\right)^{n}\left(a_{n} \cos n \vartheta+b_{n} \sin n \vartheta\right) \] 가 됨을 보여라. 단, \[ a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} u\left(R e^{i t}\right) \cos n t d t, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} u\left(R e^{i t}\right) \sin n t d t \] 이다.</li></ol> <p>$2$. $ w(t) $ 가 $ \int_{-\infty}^{\infty}\|w(t)\| d t<\infty $ 이고 $ \|t\| \rightarrow \infty $ 일 때 $ w(t) \rightarrow 0 $ 인 실축 위의 유계인 조각별로 연속인 함수라 하자. $ W(\zeta) $ 가 $ W(\sigma, 0)=w(\sigma) $ (공식 $(6.16)$에서 주어짐)를 만족하는 위반평면 $ \Im \zeta>0 $ 에서 조화함수라 하자.</p> <ol type=a start=1><li>$ \lim _{\|\zeta\| \rightarrow \infty} W(\zeta)=0 $ 임을 증명하라.</li> <li>만약 $ W_{1}(\zeta) $ 가 $ \Im \zeta>0 $ 위에서 $ W_{1}(\sigma, 0)=w(\sigma) $ 를 만족하는 (다른) 조화함수이고 $ W_{1} $ 이 역시 (a)를 만족한다면 $ W_{1}=W $ 임을 증명하라.</li> <li>각각의 $ y>0 $ 에 대해 $ \int_{-\infty}^{\infty}\|W(x+i y)\| d x \leq \int_{-\infty}^{\infty}\|w(t)\| d t $ 임을 보여라.</li></ol> <p>$3$. $ P_{r}(t) $ 를 공식 $(6.10)$에 정의된 푸아송 핵이라 하자. 다음을 증명하라.</p> <ol type=i start=1><li>$ 0 \leq r<1, \quad-\pi \leq t \leq \pi $ 에서 $ P_{r}(t)>0 $ 이다.</li> <li>$ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_{r}(t) d t=1 \quad(0 \leq r<1) $</li> <li>$ \delta>0 $ 이면 $ \lim _{r \rightarrow 1}\left\{\max _{\pi \geq\|t\| \geq \delta} P_{r}(t)\right\}=0 $ 이다.</li></ol> <p>$4$. 식 $ (6.15) $ 가 성립함을 증명하고자 한다. $ \|\lambda\|=1 $ 인 점 $ \lambda $ 를 고정하고 $ \lambda=e^{i \vartheta_{0}} $ 라쓰자. 다음 과정의 각각에 대해 이유를 설명하라.</p> <ol type=i start=1><li>주어진 $ \varepsilon>0 $ 에 대해 $ \left\|t-\vartheta_{0}\right\|<\delta $ 이면 \[ \left\|u\left(e^{i t}\right)-u\left(e^{i \vartheta_{0}}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{2} \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재한다.</li> <li>\[ U\left(r e^{i \vartheta}\right)-u\left(e^{i \vartheta_{0}}\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left\{u\left(e^{i t}\right)-u\left(e^{i \vartheta_{0}}\right)\right\} P_{r}(\vartheta-t) d t \] 이제 $ \left\|\vartheta-\vartheta_{0}\right\|<\frac{\delta}{4} $ 인 $ \vartheta $ 를 생각하자. 적분을 두 적분의 합으로 써라. 즉, 첫째는 $ I_{1} $ 이 $ \left\|t-\vartheta_{0}\right\|<\delta $ 인 $ t $ 위에서이고, 둘째는, $ I_{2} $ 가 나머지 모든 $ t $ 인 구간 위에서이다.</li> <li>$ \left\|I_{1}\right\|<\frac{\varepsilon}{2} \frac{1}{2 \pi} \int_{\left\|t-\vartheta_{0}\right\|<\delta} P_{r}(\vartheta-t) d t<\frac{\varepsilon}{2} $</li> <li>$ \left\|I_{2}\right\|<2 M\left(\max \left\{P_{r}(\vartheta-t):\|\vartheta-t\| \geq \frac{3 \delta}{4}\right\}\right) $, 여기서 $ M $ 은 $ \left\|u\left(e^{i t}\right)\right\| $ $ (-\pi \leq t \leq \pi) $ 의 상계이다.</li> <li>$ r $ 이 충분히 1 에 가까우면 $ \left\|I_{2}\right\| \leq \frac{\varepsilon}{2} $</li> <li>$ \left\|\vartheta-\vartheta_{0}\right\|<\frac{\delta}{4} $ 이고 $ r $ 이 충분히 1 에 가까우면 \[ \left\|U\left(r e^{i \vartheta}\right)-u\left(e^{i \vartheta_{0}}\right)\right\|<\varepsilon \]</li></ol> <h3>6. 1 .2 최대값 원리와 평균값</h3> <p>정리 $6.1$을 마음에 두고 $ 5.2 $ 절의 정리 $ 5.13 $ 으로 되돌아가 볼 수 있고, 따라서 다음의 결론을 얻는다.</p> <p>정리 $6.3$ (조화함수의 최대(최소)값 원리) $ u $ 가 영역 $ D $ 에서 상수가 아닌 실수값 조화함수라면, $ u $ 는 $ D $ 에서 국소 최대나 국소 최소를 갖지 못한다.</p> <p>참고 : $(1)$ 조화함수에 관한 최소값 원리는 실제로는 해석함수에 관한 최소 절대값 정리보다 더욱 강하다. 함수가 영역에서 $0$ 이 아니라는 가정은 조화함수에 대해서는 필요가 없다. 물론 조화함수는 영역에서 음의 값을 취할 수 있지만 해석함수의 절대값은 음이 될 수 없다.</p> <p>$(2)$ 실제로 정리 $ 6.3 $ 의 변동은 임의의 실수 또는 복소값 조화함수 $ u $ 에 대해 성립한다. 즉, 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 $6.4$ $ u(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 조화적이고 상수가 아니라면 $ \|u(x, y)\| $ 는 $ D $ 에서 국소 최대를 갖지 못한다.</p> <p>정리 $ 6.4 $ 의 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>실변수함수론으로부터의 정리는 닫히고 유계인 집합에서 연속인 실수값 함수는 그것의 최대와 최소값을 얻는다는 것을 주장했다. 이것과 정리 $ 6.3 $ 에 의해 다음을 얻는다.</p> <p>따름정리 $6.3$ $ u $ 를 유계인 영역 $ D $ 에서 실수값인 조화함수라 하고 $ u $ 가 $ D $ 와 $ D $ 의 경계 $ \Gamma $ 의 합에서 연속이라고 가정하자. 그러면 $ u $ 는 $ D \cup \Gamma $ 에서의 최대값과 최소값을 $ \Gamma $ 에서 얻는다. 특히 $ \Gamma $ 에서 $ u \equiv 0 $ 이면 $ D $ 에서 물론 $ u \equiv 0 $ 이 된다.</p> <p>참고 : 따름정리 $ 6.3 $ 은 $ \Gamma $가 유한개의 단순닫힌경로의 합인 경우도 성립하지만, 영역이 유계라는 가정은 필수적이다. 영역 $ \Re z>0 $ 에서 경계는 $ \Re z=0 $ 이다. 함수 $ u(z)=x $ 는 $ \Re z \geq 0 $ 에서 연속이고 경계에서 $ u(z) \equiv 0 $ 이다. 그러나 $ \Re z>0 $ 에서 $ u(z) \neq 0 $ 이다.</p> <p>따름정리 $6.4$ $ u_{1}(z), u_{2}(z) $ 가 경계가 닫힌경로 $ \Gamma $ 인 유계영역에서 조화적이라 가정하자. $ u_{1}(z), u_{2}(z) $ 가 $ D \cup \Gamma $ 에서 연속이고 $ \Gamma $ 위에서 $ u_{1}(z) \equiv u_{2}(z) $ 이면 $ D $ 의 전역에서 $ u_{1}(z) \equiv u_{2}(z) $ 이다.</p> <p>증명 $ \quad u(z)=u_{1}(z)-u_{2}(z) $ 로 놓고 위의 따름정리 $6.3$을 적용하라.</p> <p>닫힌 유계구역의 경계에서의 조화함수의 움직임이 구역 전체에서의 조화함수의 움직임을 결정한다는 사실을 보았다. 해석함수에 대한 경우와는 달리 이 결과는 구역에 있는 임의의 점열로 개선될 수는 없다. 예를 들어 상수가 아닌 함수 $ u(z)=x $ 는 허축 위에서 $ u(z) \equiv 0 $ 으로 평면에서 조화적이다. 따라서 정리 $ 5.2 $ 의 명제에서 '해석적'이 '조화적'으로 대체될 수는 없다. 즉, $ u(z) $ 가 영역 $ D $ 에서 조화적이고 $ D $ 에서 $ u\left(z_{n}\right)=0 $ 이며 $ z_{n} \rightarrow z_{0} $ 이더라도 $ u(z) \equiv 0 $ 임을 보장할 수가 없다. 그러나 우리는 다음 정리를 얻을 수 있다. 증명은 연습문제($1$번)로 남긴다.</p> <h1>6 조화함수</h1> <p>모든 해석함수는 연속인 $2$ 계 도함수를 가지므로 해석함수 $ f(z)=u(z)+i v(z) $ 의 실부인 $ u(z) $ 는 항상 조화함수임을 $ 2.2 $ 절(정리 $2.6$) 보았다. 이 장에서는 이것의 역이 어느 정도 성립하는지를 보인다. 이를 이용해 해석함수에 대해 성립하는 여러 성질들이 (실 또는 복소값) 조화함수에 대해서도 성립하는 것을 증명하고 $2.2$절에서 소개한 조화함수의 여러 개념과 성질을 발전시킨다. 또한 코시 적분공식을 변형하여 얻은 푸아송(Poisson) 적분공식을 이용해 원반 내부에서의 조화함수의 값을 경계점에서 그 함수의 움직임으로부터 알아내는 방법 즉, 경계값 문제-을 연구한다.</p> <h2>6.1 조화함수의 기본적인 성질</h2> <p>$ 6.1 .1 $ 조화함수의 정의</p> <p>$ u $ 를 열린집합 $ D $ 에서 정의된 연속인 1 계와 2 계 편도함수를 갖는 연속인 복소함수라 하자. $ u $ 가 라플라스 방정식 \[ \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \quad(D \text { 에서 }) \] 을 만족하면 $ u $ 를 조화함수라 정의했다.</p> <p>조화함수는 많은 물리학적 문제의 해에 있어서 중요한 요소이다. 이 절에서는 조화 함수와 해석함수 사이의 밀접한 관계를 재검토하고 이 관계를 이용해 조화함수의 여러가지 기본적인 성질을 구성한다.</p> <p>정리 $6.1$ 실수값 함수 $ u $ 가 단순연결영역 $ D $ 에서 조화함수이기 위한 필요충분조건은 $ D $ 안의 모든 원반에 대해 $ u $ 는 어떤 해석함수의 실부인 것이다.</p> <p>증명 먼저 $ f $ 가 영역 $ D $ 에서 해석함수라 가정하자. $ f=u+i v $ 라 쓴다. $ u $ 와 $ v $ 는 코시-리만 방정식 \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \] 를 만족함을 기억하라. $ u $ 와 $ v $ 모두 조화함수이다. 이것은 \[ \begin{aligned} \Delta u &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}\right) \\ &=\frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^{2} v}{\partial y \partial x}=0 \end{aligned} \] 을 만족하기 때문이다. 마찬가지로 $ \Delta v=0 $ 이다. 따라서 해석함수의 실부와 허부는 조화함수이다. 더욱이, 적어도 국소적으로는 역도 성립한다. 만약 $ u(z) $ 가 원반 $ \{z $ : $ \left.\left\|z-z_{0}\right\|<r\right\} $ 에서 실수값 조화함수라면 $ f(z) $ 를 다음과 같이 정의한다. \[ f(x+i y)=u(x, y)-i \int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial u}{\partial y}(t, y) d t+i \int_{y_{0}}^{y} \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, s\right) d s . \] 미적분학의 기본정리로부터 \[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}-i \frac{\partial u}{\partial y} \] 를 얻는다. 더욱이 \[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} &=\frac{\partial u}{\partial y}-i \int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(t, y) d t+i \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, y\right) \\ &=\frac{\partial u}{\partial y}+i \int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(t, y) d t+i \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, y\right) \\ &=\frac{\partial u}{\partial y}+i\left\{\frac{\partial u}{\partial x}(x, y)-\frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, y\right)\right\}+i \frac{\partial u}{\partial x}\left(x_{0}, y\right) \\ &=\frac{\partial u}{\partial y}+i \frac{\partial u}{\partial x}=i \frac{\partial f}{\partial x} \end{aligned} \] 이다. 따라서 $ f=u+i v $ (즉, $ i v $ 는 식 (6.1)의 적분을 포함하는 두 항)라 쓰면 \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \text { 이고 } \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \] 이다. 이것은 바로 코시-리만 방정식이고, 따라서 $ f $ 는 이 원반에서 해석적이며 거기서 $ u=\Re f $ 이다.</p> <p>$9 $. 문제 $8 $ 을 이용해 반지름 $ 1 $ 이고 중심이 원점인 원반의 외부에 대한 디리클레 문제를 풀어라. 즉, \[ \lim _ { z \rightarrow \lambda } v(z)=f( \lambda) \quad(\| \lambda\|=1) \] 를 만족하는 구역 $ 1<\|z\| \leq \infty $ 에서의 조화함수 $ v(z) $ 에 대한 적분공식을 찾아라.</p> <p>$10 $. $ u \left (e ^ { i \vartheta } \right )= \frac {\vartheta } { 2 } (0 \leq \vartheta \leq 2 \pi) $ 라 할 때 함수 \[ U \left (r e ^ { i \vartheta } \right )= \tan ^ { -1 } \frac { r \sin \vartheta } { 1 + r \cos \vartheta } \] 가 $ \|z\|<1 $ 에서 조화적이고 모든 $ \vartheta $ 에 대해 $ \lim _ { r \rightarrow 1 } U \left (r e ^ { i \vartheta } \right )=u \left (e ^ { i \vartheta } \right ) $ 임을 보여라. 이것을 푸아송 적분공식으로부터 유도할 수 있는가?</p> <p>(도움말 : 다음을 보여라.<p/><p>\[ \left . \tan ^ { -1 } \frac { r \sin \vartheta } { 1 + r \cos \vartheta } = \Im \log (1 + z) \quad \left (z=r e ^ { i \vartheta } \right ) \right ) \]</p> <p>$11 $. 함수 $ f=u + i v $ 가 해석적이고 실축과 위반평면에서 유계라 가정하자. 그러면 $ z=x + i y(y>0) $ 에 대해 다음이 성립함을 보여라.</p> <p>\[ \begin {array} { l } u(z)= \frac { 1 } {\pi } \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { y u(t, 0) } { (t-x) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } d t \\ v(z)= \frac { 1 } {\pi } \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { y v(t, 0) } { (t-x) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } d t \end {array} \]</p> <p>위의 첫 번째 식을 슈바르츠 적분공식(Schwarz integral formula)[또는 반평면 $ ( \Im z)>0 $에 대한 푸아송 적분공식]이라 한다. (도움말 : 다음과 같이 쓰라. \[ f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } f( \zeta) \left ( \frac { 1 } {\zeta-z } - \frac { 1 } {\zeta- \bar { z } } \right ) d \zeta \] 여기서 $ \gamma $ 는 그림 $6.4 $의 경로이다.)</p> <p>따름정리 $6.1 $ 실수값 함수 $ u $가 단순연결영역 $ D $에서 조화함수이기 위한 필요충분조건은 $ D $ 안의 모든 원반에 대해 $ u $ 는 어떤 해석함수의 허부인 것이다.</p> <p>위의 정리 $ 6.1 $과 따름정리 $ 6.1 $에서 $ D $가 단순연결영역이 아닌 경우에 조화함수는 국소적으로 어떤 해석함수의 실부이지만 $ D $ 전체에서 해석함수의 실부가 될 필요는 없음에 유의하라. 그러한 함수의 예로는 다음 함수를 생각해 볼 수 있다. \[u(x, y) = \log \|z\|= \frac { 1 } { 2 } \log \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \] $ u $는 원환 $ 0 \leq r<x ^ { 2 } + y ^ { 2 }<R $에서 조화함수이지만 국소적으로 $ u(x, y) $ 는 $ \log z $ 의 실부이므로 원환 전체에서 실부가 $ u $와 같은 해석함수는 존재하지 않는다. 이것은 $ \log z $의 일가함수 분지를 택하면 그 분지에서 $ \log z $는 연속조차 되지 않기 때문이다.</p> <p>해석함수 $ f=u + i v $의 허부 $ v $는 상수를 더하는 것만 빼고는 $ u $에 의해 완전히 결정된다. $ u + i v_ { 1 } $이 역시 해석적이면 $ (u + i v)- \left (u + i v_ { 1 } \right ) $도 또한 해석적이다. 그러나 이 차이는 꼭 $ i \left (v-v_ { 1 } \right ) $이고 따라서 $ i \left (v-v_ { 1 } \right ) $은 상수이어야 한다. 왜냐하면 순허수값을 가진 해석함수는 상수이기 때문이다. 그러한 함수 $ v $는 $ u $의 조화공액이라 부른다는 것은 $ 2.2 $ 절에서 이미 다루었다. 따라서 여기서는 다음과 같은 성질만 언급하겠다.</p> <p>따름정리 $6.2 $ 단순연결영역 $ D $에서 함수 $ u $가 조화적이면 이것의 조화공액이 항상 존재한다.</p> <p>증명 정리 $6.1 $에서 알 수 있듯이 \[v(x, y)=- \int_ { x_ { 0 } } ^ { x } \frac {\partial u } {\partial y } (t, y) d t + \int_ { y_ { 0 } } ^ { y } \frac {\partial u } {\partial x } \left (x_ { 0 } , s \right ) d s \]가 이 성질을 만족한다.</p> <p>따름정리 $ 6.2 $는 $ D $ 가 단순연결영역이 아니면 성립하지 않는다(예 : $ \mathbb { C } \backslash \{ 0 \} $에서 $ u(z)= \log \|z\|) $. 일반적으로 $ D $에서 조화함수가 조화공액을 갖는다면 $ D $는 단순연결영역이다. 즉, 따름정리 $ 6.2 $의 역이 성립한다.</p> <p>해석함수와 조화함수 사이의 합성에서는 다음과 같은 성질이 또한 성립한다.</p> <p>정리 $6.2 $ 해석함수 $ w=f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $는 $ z $-평면의 영역 $ D $에서 $ w $-평면의 영역 $ \Omega $로 사상한다. $ h(u, v) $가 $ \Omega $에서 정의된 조화함수이면 다음 함수는 $ D $에서 조화적이다. \[H(x, y)=h(u(x, y), v(x, y)) \]</p> <p>증명 먼저 $ \Omega $가 단순연결영역일 경우를 증명하자. 따름정리 $ 6.2 $에 따르면 주어진 조화함수 $ h(u, v) $는 $ \Omega $ 에서 조화공액 $ g(u, v) $를 갖는다. 따라서 함수 \[ \Phi(w)=h(u, v) + i g(u, v) \]<caption>(6.2)</caption>는 $ \Omega $ 에서 해석적이다. $ f(z) $ 가 $ D $에서 해석적이므로 합성함수 $ \Phi(f(z)) $도 또한 $ D $에서 해석적이다. 결과적으로 이 합성함수의 실부 $ h(u(x, y), v(x, y)) $는 $ D $에서 조화적이다.</p> <p>$ \Omega $가 단순연결영역이 아니라면, $ \Omega $의 각 점 $ w_ { 0 } $ 은 $ \Omega $에 포함되는 근방 $ \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon $를 갖는다. 이 근방은 단순연결영역이므로 $(6.2) $ 형태의 함수는 이 안에서 해석적이다. 더욱이 $ f $가 상이 $ w_ { 0 } $인 $ D $의 점 $ z_ { 0 } $에서 연속이므로 상이 근방 $ \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon $에 포함되는 근방 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $가 존재한다. 따라서 합성함수 $ \Phi(f(z)) $는 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $에서 해석적이고 $ h[u(x, y), v(x, y)] $는 거기에서 조화적이라 말할 수 있다. 마지막으로 $ w_ { 0 } $ 이 $ \Omega $에서 임의로 선택되었고 $ D $의 각 점이 $ w=f(z) $ 에 의해 그러한 점으로 사상됨으로 함수 $ h[u(x, y), v(x, y)] $ 는 $ D $ 전체에서 조화적이어야만 한다.</p> <p>위의 정리에서 $ \Omega $가 단순연결영역이 아닌 경우에는 편도함수에 대한 연쇄법칙을 이용해 정리를 증명할 수 있지만 계산은 더 복잡하다.</p> <p>[정리 $6.12 $] $ f(z) $ 는 $ \|z\|<1 $ 에서 해석적이고, $ f(0) = 1 $ 이라 하자. $ \|z\|<1 $ 에 대해 $ \Re f(z)>0 $ 이라고 하면 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>\[ \|f(z)\| \leq \frac { 1 + \|z\| } { 1-\|z\| } \quad(\|z\|<1) \]</p> <p>증명 선형분수변환 $ w= \frac { 1 + z } { 1-z } $ 는 $ \|z\|<1 $ 을 $ \Re w>0 $ 인 반평면에 사상한다. 따라서 그의 역함수 $ z= \frac { w-1 } { w + 1 } $ 은 $ \Re w>0 $ 을 $ \|z\|<1 $ 로 사상한다. 따라서 $ \Re f(z)>0 $ 이면, 함수 \[ g(z)= \frac { f(z)-1 } { f(z) + 1 } \]<caption>(6.23)</caption>은 $ \|z\|<1 $ 에 대해 $ \|g(z)\|<1 $ 이 성립한다. 또한 $ g(0)=0 $ 이므로 슈바르츠 도움정리(정리 $5.16 $)로부터 $ \|z\|<1 $ 에 대해 \[ \|g(z)\| \leq\|z\| \] 이 성립한다. 식 $ (6.23) $ 에서 $ f(z) $ 에 대해 풀면, \[ f(z)= \frac { 1 + g(z) } { 1-g(z) } \] 이므로 \[ \|f(z)\| \leq \frac { 1 + \|g(z)\| } { 1-\|g(z)\| } \leq \frac { 1 + \|z\| } { 1-\|z\| } \] 가 성립한다.</p> <p>참고 : 위의 정리 $ 6.12 $ 는 $ \Re f(z) \leq\|f(z)\| $ 이므로 하르낙의 부등식(정리 $ 6.8 $)의 일반화라고 할 수 있다. 또한 정리 $ 6.12 $ 의 조건에서, 가정 $ f(0)=1 $ 이 빠졌다고 해도, 함수 \[ h(z)= \frac { f(z)-i \Im f(0) } {\Re f(0) } \] 을 생각하면 $ \Re h(z)>0, h(0)=1 $ 이 성립하므로 정리 $ 6.12 $ 의 결론이 성립한다.</p> <p>[정리 $6.13 $] $ f(z)=1 + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } $ 은 $ \|z\|<1 $ 에 대해 해석적이고, $ \Re f(z)>0 $ 이라 하면, 모든 $ n $ 에 대해 $ \left \|a_ { n } \right \| \leq 2 $ 가 성립한다.</p> <p>식 $(6.5) $에서 모든 조화함수는 평균값 성질을 만족한다는 것을 증명하였고, 연속인 함수에 대해서는 그 역도 성립한다고 하였는데 이제 그것을 증명해 보자.</p> <p>[정리 $6.9 $] $ u(z) $ 는 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 을 포함하는 한 영역 $ D $ 에서 연속인 실함수이고 $ D $ 안 의 각 점에 대해 \[ u \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (z_ { 0 } + r e ^ { i \vartheta } \right ) d \vartheta \]<caption>(평균값 성질)</caption>가 성립하면, $ u(z) $ 는 $ D $ 에서 조화적이다.</p> <p>증명 $ \quad D $ 안의 한 점 $ z_ { 0 } $ 을 잡고, $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 이 $ D $ 안에 포함되도록 $ r>0 $ 을 취한다. $6.2 $절 정리 $ 6.7 $ (원반에서의 디리클레 문제)에 의해 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r $ 에서 조화적이고, $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r $ 에 대해서는 연속이며, 또한 원 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r $ 위에서는 $ u(z) $ 와 같게 되는 함수 $ u_ { 1 } (z) $ 가 존재한다. $ u_ { 1 } (z)-u(z) $ 는 평균값 성질을 만족하는 연속인 함수이므로 $ u_ { 1 } (z)-u(z) $ 는 경계에서 최대값과 최소값을 갖는다. 그런데 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r $ 위에서는 $ u_ { 1 } (z)-u(z) \equiv 0 $ 이므로 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r $ 에 대해 $ u_ { 1 } (z) \equiv u(z) $ 이다. 따라서 $ u(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 의 한 근방에서 조화적이고, $ z_ { 0 } $ 은 임의의 점이므로 $ u(z) $ 는 $ D $ 에서 조화적이다.</p> <p>식 $(6.5) $를 유도하는 과정의 논의와 정리 $ 6.9 $ 를 통해 연속함수가 한 영역에서 조화적이기 위한 필요충분조건은 그 함수가 그 영역의 각 점에서 평균값 성질을 만족하는 것임을 알았다.</p> <h2>6.3 푸아송 적분공식의 또 다른 응용</h2> <p>지금까지 $ \|z\|<R $ 에서 조화적이고 $ \|z\| \leq R $ 에서 연속인 함수는 원반의 내부의 값이 경계에서의 값에 의해 결정되는 성질을 가짐을 보았다.</p> <p>푸아송 적분공식의 또 다른 응용으로 다음 정리를 얻는다.</p> <p>[정리 $6.8 $] (하르낙(Harnack)의 부등식) $ u(z) $ 는 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R $ 에서 조화적이고, 모든 $ z $ 에 대해 $ u(z) \geq 0 $ 이라고 하면, $ z-z_ { 0 } = r e ^ { i \vartheta } $ 라 놓을 때 다음 부등식이 성립한다. \[ u \left (z_ { 0 } \right ) \frac { R-r } { R + r } \leq u \left (r e ^ { i \vartheta } \right ) \leq u \left (z_ { 0 } \right ) \frac { R + r } { R-r } , \quad(r<R) \]<caption>(6.19)</caption></p> <p>증명 $ \quad R ^ {\prime }<R $ 되게 $ R ^ {\prime } $ 을 잡고, 부등식 $ (6.19) $ 를 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq R ^ {\prime } $ 에 대해 증명하고 $ R ^ {\prime } \rightarrow R $ 되게 하면 된다. 따라서 $ u(z) $ 를 닫힌 집합인 $ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq R $ 에서 조화적이라고 가정할 수 있다. 푸아송 적분공식 $ (6.12) $ 에 의해 \[ u \left (r e ^ { i \vartheta } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } -2 r R \cos ( \vartheta-t) + r ^ { 2 } } u \left (R e ^ { i t } \right ) d t \]<caption>(6.20)</caption>이고, $ u(z) \geq 0 $ 임을 이용하면 \[ \frac { R-r } { R + r } \leq \frac { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } } { R ^ { 2 } -2 r R \cos ( \vartheta-t) + r ^ { 2 } } \leq \frac { R + r } { R-r } \] 을 얻는다. 따라서 식 $ (6.20) $ 으로부터 \[ \begin {aligned} \frac { R-r } { R + r } \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (R e ^ { i t } \right ) d t & \leq u \left (r e ^ { i t } \right ) \\ & \leq \frac { R + r } { R-r } \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (R e ^ { i t } \right ) d t \end {aligned} \] 인데 \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (R e ^ { i t } \right ) d t=u \left (z_ { 0 } \right ) \] 이므로 식 $ (6.19) $ 가 증명된다.</p>	자연
m234-(쉬운설명, 다양한 예제) 집합론의 이해	<h2>3. 단사함수, 전사함수, 전단사함수</h2> <p>정의 10 단사함수 (injection)</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 에서 $ f \left (x_ { 1 } \right )=f \left (x_ { 2 } \right ) $ 를 만족하는 모든 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } \in X $ 에 대하여 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } $ 일 때, 합수 $ f $ 를 단사 (injective) 또는 일대일 (one-to-one)이라 한다. 단 사인 합수를 단사함수라고 한다.</p> <p>예</p> <p>두 집합 $ X $ 와 $ Y $ 에 대하여 $ Y $ 가 단원집합일 때, $ X $-사영 \[ P_ { X } : X \times Y \rightarrow X \] 는 단사가 된다.</p> <p>예제</p> <p>집합 $ X, Y $ 가 각각 $ m, n $ 개의 원소를 갖는 유한집합일 때, $ m \leqq n $ 이면 $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 단사의 홍수는 $ { } _ { n } P_ { m } $ 으로 주어진다. 한편 $ m>n $ 이면 단사 $ f: X \rightarrow Y $ 는 존재하지 않는다. 여기서 \[ { } _ { n } P_ { m } = \frac { n ! } { (n-m) ! } \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ Y ^ {\prime } $ 이 $ m $ 개의 원소롤 갖는 $ Y $ 의 부분집합일 때, $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 단사로써 그 치역 이 $ Y ^ {\prime } $ 이 되는 것은 $ m ! $ 개 존재한다. 따라서 $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 단사의 총수는 \[ m ! \cdot { } _ { n } C_ { m } \] 즉 $ { } _ { n } P_ { m } $ 으로 주어진다. 한편 $ m>n $ 이면 단사 $ f: X \rightarrow Y $ 는 존재하지 않는다.</p> <p>(2) $ f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \subset f(X) $ 이다. 한편 $ y \in f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) $ 라면 적당한 $ x \in f ^ { -1 } (B) $ 에 대하여 $ y=f(x) $ 이므로, $ f(x)=y \in B $ 이고 $ f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \subset B $ 이다. 따라서 \[ f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \subset B \cap f(X) \] 가 성립한다. 그런데 \[ \begin {aligned} y \in B \cap f(X) & \Rightarrow \exists x \in X, y=f(x) \in B \\ & \Rightarrow x \in f ^ { -1 } (y) \subset f ^ { -1 } (B) \end {aligned} \] 이다. 결국 \[ f(x)=y \in f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \text { 이고, } B \cap f(X) \subset f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \] 이므로, $ B \cap f(X)=f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) $ 를 얻는다. 더욱이 $ f $ 가 전사라면 $ B \subset f(X) $ 이므로, $ f \left (f ^ { -1 } (B) \right )=B $ 이다. 역은 자명하다. 왜냐하면 $ Y \subset Y $ 이므로 \[ Y=f \left (f ^ { -1 } (Y) \right )=f(X) \] 가 성립하기 때문에, $ f $ 는 전사가 된다.</p> <h2>4. 합성함수</h2> <p>입의의 두 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ g: Y \rightarrow Z $ 의 합성함수를 정의한다.</p> <p>정의 17 함수의 합성(composition)</p> <p>모든 $ x \in X $ 에 대하여 \[ h(x)=g(f(x)) \] 로 정의되는 함수 $ h: X \rightarrow Z $ 를 두 함수 $ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z $ 의 합성이라 하고, $ g \circ f $ 로 표시한다. 이때 $ g \circ f: X \rightarrow Z $ 는 \[ \forall x \in X,(g \circ f)(x)=g(f(x)) \] 로 주어지고, 집합표기법을 사용하면 \[ g \circ f= \{ (x, z) \in X \times Z \mid \exists y \in Y,(x, y) \in f \wedge(y, z) \in g \} \] 로 표시된다.</p> <p>증명</p> <p>임의의 실수 $ x, y, z $ 에 대하여 (1) $ \forall x \in X,(x, x) \in \Delta_ { X } $</p> <p>\[ \text { (2) } \begin {aligned} (x, y) \in \Delta_ { X } & \Rightarrow x=y \\ & \Rightarrow y=x \\ & \Rightarrow(y, x) \in \Delta_ { X } \end {aligned} \] \[ \text { (3) } \begin {aligned} (x, y) & \in \Delta_ { X } \wedge(y, z) \in \Delta_ { X } \\ & \Rightarrow x=y \wedge y=z \\ & \Rightarrow x=z \\ & \Rightarrow(x, z) \in \Delta_ { X } \end {aligned} \] 따라서 대각관계는 동치관계가 된다.</p> <p>공집합이 아넌 집합 $ X $ 에 대하여 반드시 $ X $ 에서 적어도 두 가지 동치관계, 즉 최소인 대각관계 \[ \Delta_ { X } = \{ (x, x) \mid x \in X \} \] 와 최대인 $ X \times X $ 가 존재한다. 경우에 따라서는 대각관계를 항등관계 (identity relation) 라고도 부른다.</p> <p>예 집합 $ X $ 에서의 관계 $ \Re $ 에 대하여, $ \Delta_ { X } \subset \Re $ 일 때, 그리고 그때만 $ \Re $ 은 반사적이다.</p> <p>예제</p> <p>집합 $ X $ 에서의 관계 $ \Re $ 에 대하여, $ \Re= \Re ^ { -1 } $ 일 때, 그때에 한하여 $ \Re $ 은 대칭적이다.</p> <p>증명</p> <p>먼저 $ \Re= \Re ^ { -1 } $ 이라 하자. 그러면 \[ (x, y) \in \Re \Leftrightarrow(x, y) \in \Re ^ { -1 } \Rightarrow(y, x) \in \Re \] 이 성립한다. 따라서 $ \Re $ 은 대칭적이다. 역으로 $ \Re $ 을 대칭적이라 하자. 그러면 \[ (x, y) \in \Re \Leftrightarrow(y, x) \in \Re \Leftrightarrow(x, y) \in \Re ^ { -1 } \] 이 된다. 따라서 $ \Re= \Re ^ { -1 } $ 이 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>집합 $ A $ 에서 대칭적이고 추이적인 관계 $ \Re $ 이 다음 조건 "임의의 $ a \in A $ 에 대하여, $ a \Re x $ 롤 만족하는 $ x \in A $ 가 적어도 하나 존재한다."을 만족하면, 관계 $ \Re $ 은 동치관계이다.</p> <p>참고</p> <p>$ I= \{ 1,2 \} $ 일 경우, $ \prod_ { i \in I } A_ { i } =A_ { 1 } \times A_ { 2 } $ 로 해석 (interpretation)할 수 있지만, 실제로는 $ I $의 원소 1,2 에 순서가 없기 때문에 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } =A_ { 2 } \times A_ { 1 } $ 으로도 해석할 수 있다. 그러나 두 가지 해석에 있어서, $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 의 원소는 모두 순서쌍 $ \left (a_ { i } , a_ { j } \right ) $, 즉 $ a_ { i } \in A_ { i } , a_ { j } \in A_ { j } ( $ 단, $ i \neq j), i=1 $ 또는 $ 2, j=1 $ 또는 2가 된다. 따라서 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 의 원소를 \[ \left (a_ { i } \right )_ { i \in I } , I= \{ 1,2 \} \] 로 정의하면, $ a_ { i } \in A_ { i } , i=1 $ 또는 2 로 나타낼 수 있다. 여기서 $ a_ { 1 } $ 과 $ a_ { 2 } $ 의 순서는 지정되지 않지만 $ a_ { 1 } $ 이 $ A_ { 1 } $ 의 원소이며, $ a_ { 2 } $ 는 $ A_ { 2 } $ 의 원소이다.</p> <p>이제 입의의 집합족 $ \left \{ A_ { i } \right \} _ { i \in I } $ 에 대하여, 카테시안곱 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 를 정의한다.</p> <p>정의 5</p> <p>입의의 집합족 $ \left \{ A_ { i } \right \} _ { i \in I } $ 에 대한 카테시안곱 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 롤 \[ \prod_ { i \in I } A_ { i } = \left \{\left (a_ { i } \right )_ { i \in I } \mid \forall i \in I, a_ { i } \in A_ { i } \right \} \] 로 정의한다.</p> <p>예</p> <p>집합 $ A= \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \} $ 로부터 집합 $ B= \left \{ b_ { 1 } , b_ { 2 } \right \} $ 로의 함수는 모두 8 개 존재한다.</p> <p>앞으로 함수 $ (f, X, Y) $ 를 $ f: X \rightarrow Y $ 로, $ (x, y) \in f $ 대신에 $ y=f(x) $ 로 표기할 것이다. 그러나 함수를 표기할 때, 정의역과 공역이 문맥상 분명히 이해될 수 있는 경우에는 이틀의 영역을 생략하여 간단히 $ f $ 로 표현하기도 한다. $ y=f(x) $ 로 주어진 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여, $ y $ 를 $ f $ 에 의한 $ x $ 의 상 또는 함수값이라 하며, 역으로 $ x $ 롤 $ f $ 에 의한 $ y $ 의 원상 (preimage)이라 한다. 이때 $ x $ 롤 독립변수, $ y $ 를 종속변수라 한다.</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에서 $ f $ 의 정의역을 \[ \operatorname { Dom } (f)= \{ x \in X \mid \exists y \in Y,(x, y) \in f \} \] 로 주어지는 $ X $ 의 부분집합으로 정의하며, $ f $ 의 상(image) 또는 치역(range)을 \[ \operatorname { Im } (f)= \{ y \in Y \mid \exists x \in X, \quad(x, y) \in f \} \] 로 주어지는 $ Y $ 의 부분집합으로 정의한다. 또한 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 $ G_ { f } = \{ (x, f(x)) \mid x \in X \} $ 를 함수 $ f $ 의 그래프 (graph)라고 한다.</p> <p>예</p> <p>$ f(x)=x-[x] $ 로 정의된 함수의 그래프는 \[ n \leqq x<n + 1 \text { 일 때, } [x]=n \] 이므로, 그림 4.1로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>$ X $ 와 $ Y $ 가 두 집합일 때, $ P_ { X } : X \times Y \rightarrow X, P_ { Y } : X \times Y \rightarrow Y $ 를 각각 입의의 $ (x, y) \in X \times Y $ 에 대하여 \[ P_ { X } (x, y)=x, P_ { Y } (x, y)=y \]</p> <p>정리 5</p> <p>$ X $ 가 공집합이 아닌 집합이고 $ \Re $ 가 $ X $ 에서의 동치관계라 하면, 상집합 $ X / \Re $ 은 $ X $ 의 분할이다. 이때 $ X / \Re $ 을 동치관계 $ \Re $ 에 의해 만들어진 분할이라고 한다.</p> <p>증명</p> <p>$ X / \Re= \{ x / \Re \mid x \in X \} $ 는 $ X $ 의 공집합이 아닌 부분집합족이다. 대우법에 의하여 \[ x / \Re \neq y / \Re \Rightarrow x / \Re \cap y / \Re= \varnothing \] 이 성립한다. 또한 각 $ x \in X $ 는 $ x / \Re $ 에 속하므로 $ X \subset \bigcup_ { x \in X } x / \Re $ 이고, 한편 $ \bigcup_ { x \in X } x / \Re \subset X $ 는 분명하므로 \[ \bigcup_ { x \in X } x / \Re=X \] 가 된다. 따라서 상집합 $ X / \Re $ 은 $ X $ 의 분할이다.</p> <p>예</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 가 함수일 때, $ X $ 에서의 동치관계 \[ \Re= \{ (x, y) \mid f(x)=f(y) \} \] 에 대하여, 상집합 \[ X / \Re= \left \{ f ^ { -1 } (y) \mid y \in Y \right \} \] 는 $ X $ 의 하나의 분할이다.</p> <p>정의 6</p> <p>$ \Im $ 가 공집합이 아닌 집합 $ X $ 의 분할일 때, $ X $ 에서의 관계 $ X / \Im $ 를 \[ x(X / \mathfrak { I } ) y \Leftrightarrow \exists A \in \mathfrak { I } , \quad x \in A \wedge y \in A \] 로 정의한다.</p> <p>이제 정의 6을 이용하여 $ X $ 의 분할은 $ X $ 에서의 하나의 동치관계를 형성함을 밝힌다.</p> <p>정리 7</p> <p>э가 공집합이 아닌 집합 $ X $ 에서의 분할일 때, $ X / \Im $ 는 $ X $ 에서의 입의의 동치관계가 되고, 동치관계 $ X / \Im $ 에 의해서 유도된 동치류는 $ \mathfrak { I } $ 에 속하는 집합이다. 이 때 기호로 표시하면 \[ X /(X / \Im)= \Im \] 가 된다.</p> <p>(2) $ f \circ h=I_ { Y } $ 를 만족하는 함수 $ h: Y \rightarrow X $ 가 존재한다고 가정하면, 각 $ y \in Y $ 에 대하여 \[ f(x)=f(h(y))=(f \circ h)(y)=I_ { Y } (y)=y \] 를 만족하는 $ x=h(y) \in X $ 가 존재하므로, 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 는 전사이다. 역으로 함수 $ f $ 가 전사이므로 $ y \in Y $ 에 대하여 원상이 항상 존재한다. $ y=f(x) $ 가 되는 $ x $ 중 하나롤 $ x_ { y } $ 라 하고, 함수 \[ h: Y \rightarrow X, h(y)=x_ { y } \] 를 정의한다. 그러면 \[ \forall y \in Y,(f \circ h)(y)=f(h(y))=f \left (x_ { y } \right )=y=I_ { Y } (y) \] 이므로 $ f \circ h=I_ { Y } $ 가 된다.</p> <p>따름정리</p> <p>두 집합 $ X, Y $ 에 대하여, $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 단사함수가 존재하기 위한 필요충분 조건은 $ Y $ 로부터 $ X $ 로의 전사함수가 존재하는 것이다.</p> <p>증명</p> <p>$ X $ 로부터 $ Y $ 로의 단사함수 $ f $ 가 존재하면, $ g \circ f=I_ { X } $ 를 만족하는 함수 $ g: Y \rightarrow X $ 가 존재한다. 이때 함수 $ g $ 는 전사이다.</p> <p>역으로 $ Y $ 로부터 $ X $ 로의 전사함수 $ g: Y \rightarrow X $ 가 존재하면, $ g \circ f=I_ { X } $ 를 만족하는 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 존재한다. 이때 함수 $ f $ 는 단사이다.</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여</p> <p>(1) $ f: X \rightarrow Y $ 가 전사일 때, $ f \circ h=I_ { Y } $ 를 만족하는 함수 $ h: Y \rightarrow X $ 를 $ f $ 의 우역함수 (right inverse function)</p> <p>(2) $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사일 때, $ g \circ f=I_ { X } $ 를 만족하는 함수 $ g: Y \rightarrow X $ 를 $ f $ 의 좌역함수(left inverse function)</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사일 때, $ A, B $ 가 $ X $ 의 부분집합이면 \[ f(A-B)=f(A)-f(B) \] 가 성립한다.</p> <p>정의 12 전사함수 (surjection)</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에서 입의의 $ y \in Y $ 에 대하여 $ y=f(x) $ 를 만족하는 적어도 하나의 $ x \in X $ 가 존재하면 $ f $ 를 전사 (surjective) 또는 위로 (onto)라 한다. 전사인 함수롤 전사함수라고 한다. 즉 $ f: X \rightarrow Y $ 는 $ f(X)=Y $ 일 때, 그때에 한하여 전사이다.</p> <p>참고</p> <p>집합 $ X, Y $ 가 각각 $ m, n $ 개의 원소를 갖는 유한집합일 때, $ m \geqq n $ 이면 $ X $ 로부터 $ Y $ 로 의 건사함수의 총수는 \[ \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { n-k } { } _ { n } C_ { k } k ^ { m } \] 으로 주어진다. 한편 $ m<n $ 이면 전사함수 $ f: X \rightarrow Y $ 는 존재하지 않는다. 여기서 \[ { } _ { n } C_ { m } = \frac { n ! } { m !(n-m) ! } \] 이다.</p> <p>예제</p> <p>각 $ A_ {\lambda } $ 가 공집합이 아닌 집합족 $ \left (A_ {\lambda } \right )_ {\lambda \equiv \Lambda } $ 에 대하여, 사영함수 \[ \pi_ {\lambda_ { 0 } } : \prod \left \{ A_ {\lambda } \mid \lambda \in \Lambda \right \} \rightarrow A_ {\lambda_ { 0 } } \] 는 전사이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \lambda_ { 0 } $ 롤 $ \Lambda $ 의 정해진 원소라 하고, $ b $ 롤 $ A_ {\lambda_ { 0 } } $ 의 입의의 원소라 하자. 선택공리에 의하여 $ \prod \left \{ A_ {\lambda } \mid \lambda \in \Lambda- \lambda_ { 0 } \right \} $ 의 원소 $ \left (b_ {\lambda } \right )_ {\lambda \in \Lambda- \lambda_ { 0 } } $ 가 존재한다. 여기서 \[ \left .a_ {\lambda_ { 0 } } =b, a_ {\lambda } =b_ {\lambda } \text { (단, } \lambda \in \Lambda- \left \{\lambda_ { 0 } \right \} \right ) \] 로써 $ \prod \left \{ A_ {\lambda } \mid \lambda \in \Lambda \right \} $ 의 원소 $ a= \left (a_ {\lambda } \right )_ {\lambda \equiv \Lambda } $ 를 정하면 \[ \pi_ {\lambda_ { 0 } } (a)=b \] 가 된다. 따라서 $ \pi_ {\lambda_ { 0 } } $ 는 전사가 된다.</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} (x, y) & \in X / \mathfrak { I } \\ & \Leftrightarrow \text { 적당한 } A \in \mathfrak { I } \text { 에 대하여, } x \in A \text { 이고 } y \in A \\ & \Leftrightarrow \text { 적당한 } A \in \mathfrak { I } \text { 에 대하여, } (x, y) \in A \times A \\ & \Leftrightarrow(x, y) \in \bigcup_ { A \in \mathfrak { I } } A \times A \end {aligned} \] 이므로, $ X / \Im= \bigcup_ { A \in \Im } A \times A $ 가 성립한다.</p> <p>공집합이 아닌 집합 $ X $ 에서의 임의의 동치관계 $ \Re $ 은 하나의 분할을 형성하고, 이와 같은 분할은 동치관계 $ X /(X / \Re) $ 을 결정하며 \[ X /(X / \Re)= \Re \] 이 된다. 이때 $ \Re $ 을 $ X / \Re $ 에 대응되는 동치관계라 한다. $ X /(X / \Im)= \Im $ 와 더불어 이것은 동치관계와 분할 사이의 밀접한 관계를 확립한다.</p> <p>예 제</p> <p>공집합이 아닌 집합 $ X $ 에서의 동치관계 $ \Re $ 에 대하여 \[ X /(X / \Re)= \Re \] 이 성립한다.</p> <p>예</p> <p>\[ \begin {array} { l } A= \{ a, b, c, d, e \} \text { 일 때, } A_ { 1 } = \{ a, b \} , A_ { 2 } = \{ c, d \} , A_ { 3 } = \{ e \} \text { 라 하고 } \\ \\ G= \{ (a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(a, b),(b, a),(c, d),(d, c) \} \end {array} \] 라 하면, $ G $ 는 $ A $ 에서의 동치관계이고 $ \left \{ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } \right \} $ 는 $ G $ 에 대응되는 분할이다. 또한 $ G $ 는 $ \left \{ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } \right \} $ 에 대응되는 동치관계이며, 이 경우 \[ A_ { 1 } =a / G=b / G, A_ { 2 } =c / G=d / G, A_ { 3 } =e / G \] 임을 알 수 있고, $ A / G $ 는 \[ \{ a / G, c / G, e / G \} \] 로 이루어지는 집합이 된다.</p> <h1>2. 집합의 상과 역상</h1> <p>정의 4</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여, $ A \subset X, B \subset Y $ 일 때</p> <p>(1) $ f $ 에 의한 $ A $ 의 상을 $ f(A) $, 즉 \[ f(A)= \{ f(x) \mid x \in A \} \] 로 표기한다.</p> <p>(2) $ f $ 에 의한 역상 (inverse image) 또는 원상을 $ f ^ { -1 } (B) $, 즉 \[ f ^ { -1 } (B)= \{ x \in X \mid f(x) \in B \} \] 로 표기한다.</p> <p>예</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 $ A \subset X, B \subset Y $ 일 때, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ y \in f(A) \Leftrightarrow \exists x \in A, y=f(x) $</p> <p>(2) $ x \in f ^ { -1 } (B) \Leftrightarrow f(x) \in B $</p> <p>(3) $ x \in A \Rightarrow f(x) \in f(A) $</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여, $ A \subset X, B \subset Y $ 일 때 (1) $ A \subset f ^ { -1 } (f(A)) $ (2) $ f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) \subset B $ 가 성립한다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에 대하여, 함수 $ f: R \rightarrow R $ 을 $ f(x)=x ^ { 2 } $ 으로 정의할 때</p> <p>(1) $ A=[0,1] $ 이면, $ f(A)=[0,1] $ 이고 \[ f ^ { -1 } (f(A))=[-1,1] \] 이므로, $ A \neq f ^ { -1 } (f(A)) $ 가 된다.</p> <p>(2) $ B=[-1,1] $ 이면, $ f ^ { -1 } (B)=[-1,1] $ 이고. \[ f \left (f ^ { -1 } (B) \right )=[0,1] \] 이므로, $ f \left (f ^ { -1 } (A) \right ) \neq B $ 가 된다.</p> <p>단원집합 $ X $ 의 $ f $ 에 의한 상은 $ Y $ 에 있어서 단원집합이 되고, $ X $ 의 공집합 $ \varnothing $ 의 상 $ f( \varnothing) $ 는 $ Y $ 에 있어서도 공집합으로 된다. 이와 같은 기본성질을 요약하면 다음과 같은 정리를 얻는다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에 대하여 \[ \Re= \left \{ (x, y) \in R \times R \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqq 1 \right \} \] 은 $ R $ 에서의 관계이다. 이때 관계 $ \Re $ 의 정의역과 상은 모두 닫힌구간 $ [-1,1] $ 이 된다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에 대하여 \[ \Re= \left \{ (x, y) \in R \times R \mid y=x ^ { 2 } \right \} \] 은 $ R $ 에서의 관계이다. 이때 관계 $ R $ 의 정의역은 $ R $ 이고, $ R $ 의 상은 모든 음이 아닌 실수의 집합이다.</p> <p>정의 8 역관계</p> <p>관계 $ \Re $ 에 대한 역관계 (inverse relation) $ \Re ^ { -1 } $ 는 \[ \Re ^ { -1 } = \{ (b, a) \mid(a, b) \in \Re \} \] 로 정의한다. 따라서 \[ a \Re b \Leftrightarrow b R ^ { -1 } a \] 로 주어진다.</p> <p>예</p> <p>$ A= \{ 1,2,3,4 \} $ 에서 정의된 관계 $ \Re= \{ (x, y) \mid x<y \} $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} \Re ^ { -1 } &= \{ (y, x) \mid x<y \} \\ &= \{ (2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3) \} \end {aligned} \] 이 된다.</p> <p>예제</p> <p>$ \Re $ 이 $ A $ 로부터 $ B $ 로의 관계일 때, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ \operatorname { Dom } \left ( \Re ^ { -1 } \right )= \operatorname { Im } ( \Re) $</p> <p>(2) $ \operatorname { Im } \left (R ^ { -1 } \right )= \operatorname { Dom } ( \Re) $</p> <p>증명</p> <p>여기서는 (1)만을 증명하고, (2)의 증명은 독자에게 남긴다. \[ \begin {aligned} y \in \operatorname { Im } ( \Re) & \Leftrightarrow \exists x \in A,(x, y) \in \Re \\ & \Leftrightarrow \exists x \in A,(y, x) \in \Re ^ { -1 } \\ & \Leftrightarrow y \in \operatorname { Dom } \left ( \Re ^ { -1 } \right ) \end {aligned} \] 이므로, $ y \in \operatorname { Dom } \left ( \Re ^ { -1 } \right ) \Leftrightarrow y \in \operatorname { Im } ( \Re) $ 가 된다. 따라서 $ \operatorname { Dom } \left ( \Re ^ { -1 } \right )= \operatorname { Im } ( \Re) $ 이 성립한다.</p> <p>정리 2</p> <p>$ f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y $ 를 함수라 하자. 이 경우 $ f=g $ 이기 위한 필요충분조건은 \[ \forall x \in X, \quad f(x)=g(x) \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ f=g $ 이고 $ x \in X $ 라면 \[ y=f(x) \Leftrightarrow(x, y) \in f \Leftrightarrow(x, y) \in g \Leftrightarrow y=g(x) \] 이므로, $ f(x)=g(x) $ 이다. 역으로 임의의 $ x \in X $ 에 대하여 $ f(x)=g(x) $ 라면 \[ (x, y) \in f \Leftrightarrow y=f(x) \Leftrightarrow y=g(x) \Leftrightarrow(x, y) \in g \] 이므로, $ f=g $ 이다.</p> <p>예제</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y $ 에 대하여 \[ f \subset g \text { 이면, } f=g \] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>임의의 $ x \in X $ 에 대하여 \[ (x, f(x)) \in f \subset g \] 이므로 \[ (x, f(x)) \in g \text { , 즉 } g(x)=f(x) \] 가 된다. 따라서 정리 2 에 의하여, $ f=g $ 가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>\[ \begin {array} { r } f: X \rightarrow Y \text { 가 함수이고, } \operatorname { Im } (f) \subset W \text { 이면 } \\ f: X \rightarrow W \end {array} \] 도 함수가 된다.</p> <p>정리 3 함수의 합</p> <p>두 함수 $ f: A \rightarrow C $ 와 $ g: B \rightarrow D $ 가 임의의 $ x \in A \cap B $ 에 대하여 $ f(x)=g(x) $로 정의될 때, $ f $ 와 $ g $ 의 합(union)은 함수 \[ h=f \cup g: A \cup B \rightarrow C \cup D \] 로 정의되고, 여기서 \[ h(x)= \left \{\begin {array} { ll } f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end {array} \right . \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>두 함수 $ f $ 와 $ g $ 는 관계이므로, $ f \subset A \times C $ 와 $ g \subset B \times D $ 이다. $ A \times C $ 와 $ B \times D $ 는 $ (A \cup B) \times(C \cup D) $ 의 부분집합이므로 \[ h=f \cup g \subset(A \times C) \cup(B \times D) \subset(A \cup B) \times(C \cup D) \] 가 성립한다. 따라서 $ h $ 는 $ A \cup B $ 로부터 $ C \cup D $ 로의 하나의 관계이다. 또한 \[ \operatorname { Dom } (h)= \operatorname { Dom } (f \cup g)= \operatorname { Dom } (f) \cup \operatorname { Dom } (g)=A \cup B \] 이므로 관계 $ h $ 는 정의 1 (1)을 만족한다. 이제 우리는 각 $ x \in A \cup B $ 인 원소에 대해서 다음 세 가지 경우롤 생각할 수 있다. 즉 (1) $ x \in A-B $ (2) $ x \in B-A $ (3) $ x \in A \cap B $ 이다. $ f: A \rightarrow C $ 와 $ g: B \rightarrow D $ 는 정의 1 (2)를 만족하고 입의의 $ x \in A \cap B $ 에 대해서 $ f(x)=g(x) $ 이므로 $ h(x) $ 는 세 가지 경우의 각각에서 유일하게 정의된다. 따라서 관계 $ h $ 는 정의 $ 1(2) $ 롤 만족하므로, $ h: A \cup B \rightarrow C \cup D $ 는 하나의 함수가 된다.</p> <p>정의 13 전단사함수 (bijection)</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사인 동시에 전사일 때 $ f $ 를 전단사(bijective)라 하고, 전단사인 함수를 전단사함수 또는 일대일 대응 (one-to-one correspondence)이라 고한다.</p> <p>예</p> <p>함수 $ g:(-1,1) \rightarrow R $ 을 $ g(x)= \frac { x } { 1-x ^ { 2 } } $ 로 정의하면, $ g $ 는 전단사함수이다.</p> <p>참고</p> <p>집합 $ X $ 가 $ m $ 개의 원소를 갖는 유한집합일 때, $ X $ 로부터 $ X $ 위로의 전단사는 모두 $ m ! $ !개 존재한다. 유한집합에서 그 자신 위로의 전단사를 때로는 순열 (permutation)이라고 한다.</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 가 함수이고 $ A \subset X $ 일 때, $ x \in A $ 이면 $ f(x) \in f(A) $ 이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 그러나 $ f $ 가 전단사이면 \[ x \in A \Leftrightarrow f(x) \in f(A) \] 이다. 또한 $ f: X \rightarrow Y $ 가 전단사이고, $ B \subset Y $ 일 때 \[ y \in B \Leftrightarrow f ^ { -1 } (y) \in f ^ { -1 } (B) \] 가 성립한다. 한편 $ f: X \rightarrow Y $ 가 하나의 함수이면 $ f: X \rightarrow f(X) $ 는 전사가 되고, $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사이면 $ f: X \rightarrow f(X) $ 는 전단사가 된다.</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 는 $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 관계이므로, $ f ^ { -1 } $ 는 $ Y $ 로부터 $ X $ 로의 하나 의 관계이다.</p> <p>정리 14</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 전단사이면 역관계 \[ f ^ { -1 } : Y \rightarrow X \] 도 전단사이다.</p> <p>증명</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 가 전단사이므로 $ \operatorname { Dom } \left (f ^ { -1 } \right )= \operatorname { Im } (f)=Y $ 가 성립한다. 또한 $ \left (y, x_ { 1 } \right ) \in f ^ { -1 } $ 이고 $ \left (y, x_ { 2 } \right ) \in f ^ { -1 } $ 라 하면, $ \left (x_ { 1 } , y \right ) \in f $ 이고 $ \left (x_ { 2 } , y \right ) \in f $ 이므로 \[ f \left (x_ { 1 } \right )=y=f \left (x_ { 2 } \right ) \] 이 된다. 그런데 $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사이므로 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } $ 가 성립하여, $ f ^ { -1 } : Y \rightarrow X $ 는 하나의 함수이다.</p> <p>(2) 공집합이 아닌 $ X $ 에 대하여, $ I_ { X } : X \rightarrow X $ 를 \[ \forall x \in X, I_ { X } (x)=x \] 로 정의할 때, $ I_ { X } $ 를 $ X $ 에서의 항등함수 (identity function)라고 한다.</p> <p>(3) 공집합이 아닌 두 집합 $ X, Y $ 와 고정된 원소 $ b \in Y $ 에 대하여 $ C_ { b } : X \rightarrow Y $ 를 \[ \forall x \in X, C_ { b } (x)=b \] 로 정의할 때, $ C_ { b } $ 를 상수함수 (constant function)라고 한다.</p> <p>참고 이항연산 (binary operation)</p> <p>집합 $ S $ 에 대하여, $ S \times S $ 의 각 원소 $ (x, y) $ 에 단 하나의 $ S $ 의 원소 $ z $ 를 대응시키는 대응 규칙, 즉 $ S \times S $ 로부터 $ S $ 로의 함수를 $ S $ 위의 이항연산 또는 연산이라 하고. \[ x \circ y=z \] 로 나타낸다. 집합 $ S $ 위에 연산 이 정의되어 있을 때, $ S $ 의 한 부분집합 $ A $ 에 대하여 \[ x, y \in A \text { 이면, } x \circ y \in A \] 인 경우, $ A $ 는 연산 에 관하여 '닫혀있다 (closed)'라고. 한다.</p> <p>예</p> <p>\[ \begin {array} { c } G= \{ p, q, r, s \} \text { 가 표 } 4.2 \text { 에서와 같이 이항연산 * 로 주어겼을 때 } \\ (q * r) (r s)=r \end {array} \] 이 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>실수의 수열이란 $ N $ 으로부터 $ R $ 으로의 함수, 즉 $ f: N \rightarrow R $ 이다. 이때 $ f $ 를 $ \left (a_ { n } \right )_ { n \in N } $ 또는 간단히 $ \left (a_ { n } \right ) $ 으로 표기한다. 미분적분학 교재에서는 보통 수열을 기호 $ \left \{ a_ { n } \right \} $ 으로 나타내는 경우가 많은데, 이 표현은 집합론의 일반적 표기법에 충실해야 할 입장에서는 바람직하지 못한 표기법이다.</p> <h1>4.1 관계</h1> <h2>1. 순서쌍과 카테시안곱</h2> <p>(1) 순서쌍</p> <p>집합의 개녑을 이용하여, $ a $ 와 $ b $ 의 순서쌍(ordered pair) $ (a, b) $ 는 \[ (a, b) = \{\{ a \} , \{ a, b \} \} \] 로 정의한다.</p> <p>예</p> <p>만일 $ a \neq b $ 라면 \[ \{\{ a \} , \{ a, b \} \} \neq \{\{ b \} , \{ b, a \} \} \] 이므로, $ (a, b) \neq(b, a) $ 가 된다.</p> <p>예제</p> <p>$ a=c $ 이고 $ b=d $ 이면, 그리고 그때만 $ (a, b)=(c, d) $ 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} a=c \text { 이고 } b=& d \text { 이면, } \{ a \} = \{ c \} \text { 이고 } \{ a, b \} = \{ c, d \} \text { 이므로 } \\ & \{\{ a \} , \{ a, b \} \} = \{\{ c \} , \{ c, d \} \} , \text { 즉 } (a, b)=(c, d) \end {aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>역으로 $ \{\{ a \} , \{ a, b \} \} = \{\{ c \} , \{ c, d \} \} $ 라고 가정하자. 먼저 $ a=b $ 이면, $ (a, b)= $ $ \{\{ a \} \} $ 이다. 그런데 $ (a, b)=(c, d) $ 이므로, $ \{\{ c \} , \{ c, d \} \} = \{\{ a \} \} $ 가 된다. 따라서 $ \{ c \} = \{ c, d \} = \{ a \} $ 이므로 $ a=b=c=d $ 가 성립한다. 이제 $ a \neq b $ 이면, $ (a, b) $ 와 $ (c, d) $ 는 각각 $ \{ a \} $ 와 $ \{ c \} $ 를 하나씩 갖는다. 그러므로 $ a=c $ 가 된다. 한편 $ (a, b) $ 와 $ (c, d) $ 는 또한 각각 원소가 둘인 집합 $ \{ a, b \} $ 와 $ \{ c, d \} $ 를 하나씩 가지므로, $ \{ a, b \} = \{ c, d \} $ 가 된다. 따라서 $ b \in \{ c, d \} $, 즉 $ b=d $ 가 성립한다. 왜나하면 $ b=c $ 이면, $ a=c $ 로부터 $ a=b $ 가 되기 때문이다.</p> <p>정리 4</p> <p>집합 $ A $ 와 입의의 집합족 $ \mathcal { F } = \left \{ B_ {\alpha } \mid \alpha \in I \right \} $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ A \times \left ( \bigcup_ {\alpha \in I } B_ {\alpha } \right )= \bigcup_ {\alpha \in I } \left (A \times B_ {\alpha } \right ) $</p> <p>(2) $ A \times \left ( \bigcap_ {\alpha \in I } B_ {\alpha } \right )= \bigcap_ {\alpha \in I } \left (A \times B_ {\alpha } \right ) $</p> <p>증명</p> <p>여기서는 (1)만을 증명하고, (2)의 증명은 독자에게 남긴다. \[ \begin {aligned} (a, b) \in A \times \bigcup_ {\alpha \in I } B_ {\alpha } & \Leftrightarrow a \in A \wedge b \in \bigcup_ {\alpha \in I } B_ {\alpha } \\ & \Leftrightarrow a \in A \wedge \left ( \exists \alpha \in I, b \in B_ {\alpha } \right ) \\ & \Leftrightarrow \exists \alpha \in I,(a, b) \in A \times B_ {\alpha } \\ & \Leftrightarrow(a, b) \in \bigcup_ {\alpha \in I } \left (A \times B_ {\alpha } \right ) \end {aligned} \] 이므로, $ A \times \left ( \bigcup_ {\alpha \in I } B_ {\alpha } \right )= \bigcup_ {\alpha \in I } \left (A \times B_ {\alpha } \right ) $ 가 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>$ A, B, C $ 와 $ D $ 가 입의의 집합일 때, 다음이 성립한다. \[ (A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D) \]</p> <p>증명</p> <p>$ A \cap C \subset A, B \cap D \subset B $ 이므로 \[ (A \cap C) \times(B \cap D) \subset(A \times B) \] 이고, 같은 방법으로 \[ (A \cap C) \times(B \cap D) \subset(C \times D) \] 를 얻는다. 따라서 \[ (A \cap C) \times(B \cap D) \subset(A \times B) \cap(C \times D) \] 가 된다. 다음에 $ (x, y) \in(A \times B) \cap(C \times D) $ 라 놓으면 \[ (x, y) \in(A \times B) \wedge(x, y) \in(C \times D) \] 이므로 \[ x \in A \cap C \wedge y \in B \cap D \] 가 된다. 따라서 \[ (x, y) \in(A \cap C) \times(B \cap D) \] 롤 얻는다. 그러므로 \[ (A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D) \] 가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>임의의 집합족 $ \left \{ A_ {\lambda } \mid \lambda \in \Lambda \right \} $ 와 $ \left \{ B_ {\mu } \mid \mu \in M \right \} $ 에 대하여 \[ \left ( \bigcap_ {\lambda \in \Lambda } A_ {\lambda } \right ) \times \left ( \bigcap_ {\mu \in M } B_ {\mu } \right )= \bigcap_ { ( \lambda, \mu) \in \Lambda \times M } \left (A_ {\lambda } \times B_ {\mu } \right ) \] 가 성립한다.</p> <p>(3) 집합족의 카테시안곱</p> <p>두 집합 $ A, B $ 의 카테시안곱 $ A \times B $ 는 $ n $ 개의 집합 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 의 카테시안곱 \[ A_ { 1 } \times A_ { 2 } \times \cdots \times A_ { n } = \left \{\left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ) \mid a_ { i } \in A_ { i } , i \in \{ 1,2, \cdots, n \} \right \} \] 으로 확장되고, 이를 더욱 확대시켜 입의의 자연수 $ n $ 에 대해서도 카테시안곱을 정의 할 수 있다.</p> <p>그러나 이 개녑을 입의의 집합족 $ \left \{ A_ { i } \right \} _ { i E_ { I } } $ 로 확장시킬 경우에는 카테시안곱을 정의하기 위해 새로운 방법이 필요하다, 왜냐하면 $ \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ) $ 이 순서 있는 원소의 나열이지만 일반적으로 이와 같은 순서가 항상 존재한다고 할 수 없기 때문이다. 앞으로 입의의 집합족 $ \left \{ A_ { i } \right \} _ { i { } _ { I } } $ 에 대한 카테시안곱을 나타내는 기호로 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 를 사용한다.</p> <p>정의 9 관계의 합성</p> <p>$ G $ 와 $ H $ 가 $ A $ 에서의 관계일 때, 이 두 관계의 합성은 \[ G \circ H= \{ (x, y) \mid \exists z \in A,(x, z) \in H \wedge(z, y) \in G \} \] 로 정의한다.</p> <p>예</p> <p>$ G, H, J $ 가 $ A $ 에서의 관계일 때 \[ (G \circ H) \circ J=G \circ(H \circ J) \] 가 성립한다.</p> <h1>$ 4.2 $ 함수</h1> <p>함수는 모든 수학 분야에서 기본적인 개녑으로, 관계의 특별한 경우로 겅의할 수 있다.</p> <h2>1. 함수</h2> <p>공집합이 아넌 두 집합 $ X, Y $ 에 대하여 정의역이라 불리는 집합 $ X $ 의 각 원소를 공역(codomain)이라 불리는 집합 $ Y $ 의 원소에 일의적으로 대응시키는 규칙을 함수 또는 사상 (mapping)이라 한다. 그러나 이 정의는 불분명하고 애매모호하여 수학자틀은 집합론적인 방법으로 함수를 정의한다.</p> <p>정의 1 함수 (function)</p> <p>입의의 두 집합 $ X, Y $ 에 대하여, $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 함수 (function from $ X $ to $ Y $ ) $ f $ 는 다음 두 조건</p> <p>(1) $ \operatorname { Dom } (f)=X $</p> <p>(2) $ (x, y) \in f $ 이고 $ (x, z) \in f $ 이면, $ y=z $ 이다.</p> <p>롤 만족하는 $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 하나의 관계 $ (f, X, Y) $ 이다. 이때 $ X $ 를 함수 $ f $ 의 정의역, $ Y $ 를 공역 또는 공변역이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에 대하여, 관계 \[ \Re= \{ (x, y) \in R \times R \mid x<y \} \] 는 함수가 아니다. 왜냐하면 $ (1,2) \in \Re $ 이고 $ (1,3) \in \Re $ 이기 때문이다.</p> <p>참고</p> <p>집합 $ X, Y $ 의 원소가 각각 $ m, n $ 개일 때, $ X $ 로부터 $ Y $ 로의 함수는 모두 $ n ^ { m } $ 개 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>임의의 $ a \in A $ 에 대하여, $ a \Re x $ 롤 만족하는 $ x \in A $ 가 존재하고, 관계 $ \Re $ 이 대칭적이기 때문에 $ x \Re a $ 가 된다. 이때 관계 $ \Re $ 이 추이적이므로 $ a \Re x, x \Re a $ 로부터 $ a \Re a $, 즉 $ \Re $ 은 반사적이다. 따라서 관계 $ \Re $ 은 동치관계이다.</p> <p>정의 2 분할(partition)</p> <p>공집합이 아낸 집합 $ X $ 에 대하여, 다음 두 조건</p> <p>(1) $ A_ { i } , A_ { j } \in \mathfrak {\Im } $ 이고 $ A_ { i } \neq A_ { j } $ 이면, $ A_ { i } \cap A_ { j } = \varnothing $</p> <p>(2) $ \bigcup_ { A_ { i } \in \mathcal { J } } A_ { i } =X $</p> <p>롤 만족하는 $ X $ 의 공집합이 아닌 부분집합의 족 $ \Im= \left \{ A_ { i } \right \} _ { i \in I } $ 를 $ X $ 의 분할이라한다.</p> <p>$ \Im= \left \{ A_ { i } \right \} _ { i \in I } $ 가 $ X $ 의 하나의 분할일 때, 각 $ A_ { i } $ 를 이 분할의 류(class)라 한다.</p> <p>예</p> <p>자연수의 집합 $ N $ 에서 \[ N_ { 0 } = \{ x \mid x \text { 는 홀수 } \} , N_ { e } = \{ x \mid x \text { 는 짝수 } \} \] 라고 하면, $ \Im= \left \{ N_ { 0 } , N_ { e } \right \} $ 는 $ N $ 의 하나의 분할이다. 또한 실수의 집합 $ R $ 에서 $ \Im= \left \{ Q, Q ^ { c } \right \} $ 는 $ R $ 의 하나의 분할이 된다.</p> <h2>2. 관계</h2> <p>특히 수학에서는 이변수의 관계가 주로 사고의 대상이 된다. 따라서 이 책을 서술함에 있어서 특별한 언급이 없는 한, 이변수의 관계만을 취급하기로 한다.</p> <p>예</p> <p>" $ x, y $ 가 유리수일 때, $ x<y $ 이다."는 이변수의 관계이고, " $ x, y, z $ 가 실수일 때, $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =z $ 이다."는 삽변수의 관계이다. 이때 정의역은 각각 $ Q $ 와 $ R $ 로 주어진다.</p> <p>정의 7 관계(relation)</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여, 카테시안곱 $ A \times B $ 의 부분집합을 $ A $ 로부터 $ B $ 로의 관계라 한다. 이때 $ \Re \subset A \times B $ 가 $ A $ 로부터 $ B $ 로의 관계이면 $ (a, b) \in \Re $ 을 \[ a \Re b \] 로 표기하고, 기호 $ a \Re b $ 는 " $ a $ 는 $ \Re $ 에 의하여 $ b $ 와 관계된다 ( $ a $ is $ \Re $-related to b)."고 읽는다.</p> <p>특히 $ A=B=X $ 일 때, ' $ \Re $ 을 $ X $ 에서의 관계 (relation on $ A $ )'라고 한다.</p> <p>예</p> <p>$ \Re= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqq 1 \right \} $ 은 실수의 집합 $ R $ 에서의 관계이다.</p> <p>$ \Re $ 이 집합 $ A $ 로부터 집합 $ B $ 로의 입의의 관계일 때, 집합 \[ \operatorname { Dom } ( \Re)= \{ a \in A \mid \exists b \in B,(a, b) \in \Re \} \]</p> <p>을 $ \Re $ 의 정의역 (domain)이라 하고, 집합 \[ \operatorname { Im } ( \Re)= \{ b \in B \mid \exists a \in A, \quad(a, b) \in \Re \} \] 을 $ R $ 의 상 (image)이라 한다.</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: B \cup C \rightarrow A $ 에 대하여 \[ f= \left . \left .f \right \|_ { B } \cup f \right \|_ { C } \] 가 성립한다.</p> <p>정리 23</p> <p>세 집합 $ A, B, C $ (단, $ B \cap C= \varnothing) $ 에 대하여, 두 함수 $ f_ { 1 } : B \rightarrow A $, $ f_ { 2 } : C \rightarrow A $ 가 주어진다. 이때 $ f: B \cup C \rightarrow A $ 로 정의된 함수 $ f=f_ { 1 } \cup f_ { 2 } $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ f_ { 1 } = \left .f \right \|_ { B } , f_ { 2 } = \left .f \right \|_ { C } $</p> <p>(2) $ x \in B $ 이면 $ f(x)=f_ { 1 } (x) $ 이고, $ x \in C $ 이면 $ f(x)=f_ { 2 } (x) $</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 의 $ A \subset X $ 에 대한 축소 $ \left .f \right \|_ { A } : A \rightarrow Y $ 는 명백히 일의적으로 결정된다. 그러나 $ \left .f \right \|_ { A } : A \rightarrow Y $ 의 $ A $ 롤 포함하는 집합 $ X $ 로의 확대는 일의적이지 않다.</p> <p>정리 24</p> <p>집합족 $ \left (A_ {\lambda } \right )_ {\lambda \in \Lambda } $ 가 \[ \lambda_ { 1 } \neq \lambda_ { 2 } \text { 일 때, } A_ {\lambda_ { 1 } } \cap A_ {\lambda_ { 2 } } = \varnothing \] 을 만족할 때, 모든 $ \lambda \in \Lambda $ 에 대하여 $ f_ {\lambda } : A_ {\lambda } \rightarrow B $ 가 주어지면, 모든 $ \lambda \in \Lambda $ 에 대한 확대함수 \[ f: \bigcup_ {\lambda \in \Lambda } A_ {\lambda } \rightarrow B \] 는 일의적으로 정해진다.</p> <p>(3) $ x=y $ 이고 $ y=z $ 이면, $ x=z $. 따라서 추이적이다.</p> <p>그러므로 등호는 동치관계가 된다.</p> <p>예</p> <p>정수의 집합 $ Z $ 와 하나의 정해진 자연수 $ n $ 을 생각한다. $ Z $ 의 원소 $ a, b $ 는 $ a-b $ 가 $ n $ 으로 나누어 떨어질 때, $ n $ 에 관하여 (또는 $ n $ 을 법으로 해서) 합동 (congruence)이라고 하고 \[ a \equiv b( \bmod n) \] 로 정의한다. 이때 ''은 하나의 동치관계가 된다.</p> <p>예</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 를 하나의 함수라 하자.</p> <p>\[ x, y \in X \text { 에 대하여, } f(x)=f(y) \] 일 때, 그때에 한하여 $ x \Re y $ 로서 관계 $ \Re $ 을 정의하면, $ \Re $ 은 $ X $ 에서의 하나의 동치관계가 된다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에서 $ x \leqq y \neq y \leqq x $, 즉 부등호 ' $ \leqq $ '는 대칭적이 아너므로 동치관계가 아니다.</p> <p>참고</p> <p>대수학에서 인자군(factor group), 위상수학에서 상공간 (quotient spaces), 수론에서 모듈수계 (modular number system)는 모두 동치관계이다.</p> <p>예</p> <p>$ X= \{ a, b, c \} $ 에서의 관계 \[ \Re= \{ (a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, a),(a, c),(c, a) \} \] 는 반사적이고 대칭적이지만, 추이적은 아니다.</p> <p>예제</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow X $ 가 반사적 관계이면, $ f $ 는 항등함수 \[ I_ { X } : X \rightarrow X \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ (x, y) \in f $ 라고 가정하면, 함수 $ f $ 가 반사적이므로 $ (x, x) \in f $, 즉 모든 $ x \in X $ 에 대하여 $ f(x)=x $ 가 성립한다. 따라서 $ f: X \rightarrow X $ 는 항등함수 $ I_ { X } : X \rightarrow X $ 와 같다.</p> <p>예제</p> <p>공집합이 아넌 $ X $ 에 대하여, 대각관계 (diagonal relation) \[ \Delta_ { X } = \{ (x, x) \mid x \in X \} \] 는 $ X $ 에서의 하나의 동치관계이다.</p> <p>(2) $ u $ 의 좌역함수를 $ r: X \rightarrow X ^ {\prime } , v $ 의 우역함수롤 $ s: Y ^ {\prime } \rightarrow Y $ 라 하자. 그러면 $ f ^ {\prime } \in B \left [X ^ {\prime } , Y ^ {\prime } \right ] $ 에 대하여 \[ f=s \circ f ^ {\prime } \circ r \] 이라 놓으면, $ f \in B[X, Y] $ 이고 \[ \begin {aligned} \varphi(f) &=v \circ f \circ u=v \circ s \circ f ^ {\prime } \circ r \circ u \\ &=I_ { Y ^ {\prime } } \circ f ^ {\prime } \circ I_ { X ^ {\prime } } =f ^ {\prime } \end {aligned} \] 이 성립한다. 따라서 함수 $ \varphi $ 는 전사이다.</p> <h1>$ 4.3 $ 동치관계와 분할</h1> <p>정의 1 동치관계 (equivalence relation)</p> <p>집합 $ X $ 에서의 관계 $ \Re $ 이 다음 세 조건</p> <p>(1) 반사적 (reflexive): $ \forall x \in X, x \Re x $</p> <p>(2) 대칭적 (symmetric): $ x, y \in X $ 일 때, $ x \Re y \Rightarrow y \Re x $</p> <p>(3) 추이적 (transitive): $ x, y, z \in X $ 일 때 \[ x \Re y \wedge y \Re z \Rightarrow x \Re z \]</p> <p>롤 만족할 때, $ \Re $ 을 $ X $ 에서의 동치관계라고 한다. 이때 $ x \Re y $ 인 $ X $ 의 두 원소 $ x, y $ 를 동치관계 $ \Re $ 에 관하여 동치라고 한다.</p> <p>예제</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에서의 등호(상등관계) ' $ = $ '는 하나의 동치관계이다. ' $ = $ '는 가장 원시적인 동치관계이다.</p> <p>증명</p> <p>임의의 실수 $ x, y, z $ 에 대하여</p> <p>(1) $ \forall x \in R, x=x $. 따라서 반사적이다.</p> <p>(2) $ x=y $ 이면 $ y=x $. 따라서 대칭적이다.</p> <p>증명</p> <p>$ X $ 의 모든 원소 $ x $ 는 적당한 $ A \in \mathfrak { I } $ 에 속하므로 $ x(X / \mathfrak { I } ) x $ 이고, 따라서 $ X / \mathfrak { I } $ 는 반사적이다. 또한 정의로부터 $ X / \mathfrak { I } $ 는 대칭적이다. 한편 $ x, y $ 와 $ z $ $ x(X / \mathfrak { I } ) y $ 와 $ y(X / \Im) z $ 를 만족하는 $ X $ 의 임의의 원소라 하면, 정의로부터 $ x, y \in A $ 이고 $ y, z \in B $ $ x, z \in A $ 이고 $ x(X / \Im) z $ 이 성립하므로 관계 $ X / \Im $ 는 추이적이다. 따라서 $ X / \mathfrak { J } $ 는 $ X $ 에서의 하나의 동치관계가 된다.</p> <p>이제 $ x $ 를 $ X $ 의 임의의 원소라 하면 $ x \in A $ 인 집합 $ A \in \Im $ 가 유일하게 존재하여 $ x /(X / \Im)=A $ 이므로, $ X /(X / \Im) $ 는 집합족 $ \Im $ 에 속하는 집합이다. 역으로 $ A $ 를 분할 $ \Im $ 에 속하는 의의 집합이라고 하면 $ A \neq \varnothing $ 이므로, $ A $ 에 속하는 $ X $ 의 원소 $ x $ 가 존재한다. 따라서 $ x /(X / \mathfrak { I } )=A $ 이므로 $ \mathfrak { I } \subset X /(X / \mathfrak { I } ) $ 이다. 그러므로 \[ X /(X / \Im)= \Im \] 가 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>$ \mathfrak { I } $ 가 공집합이 아 집합 $ X $ 의 분할일 때, 동치관계 $ X / \mathfrak { I } $ 에 대하여 \[ X / \mathfrak { I } = \bigcup_ { A \in \Omega } A \times A \] 가 성립한다.</p> <p>집합 $ X $ 로부터 집합 $ Y $ 로의 함수 전체의 집합을 \[ \mathscr { F } (X, Y) \text { 또는 } Y ^ { X } \] 로 정의한다. 이 집합을 보통 $ X $ 위의 $ Y $ 의 배치집합이라고 한다.</p> <p>정리 25</p> <p>네 집합 $ X, X ^ {\prime } , Y, Y ^ {\prime } $ 에 대하여, 두 함수 \[ u: X ^ {\prime } \rightarrow X, v: Y \rightarrow Y ^ {\prime } \] 이 주어질 때, $ B[X, Y] $ 의 각 원소 $ f $ 에 $ B \left [X ^ {\prime } , Y ^ {\prime } \right ] $ 의 원소 $ v \circ f \circ u $ 를 대응 시키면 $ B[X, Y] $ 에서 $ B \left [X ^ {\prime } , Y ^ {\prime } \right ] $ 으로의 함수 $ \varphi $, 즉 $ \varphi(f)=v \circ f \circ u $ 가 얻 어진다. 이때 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ u $ 가 전사이고 $ v $ 가 단사이면, $ \varphi $ 는 단사이다.</p> <p>(2) $ u $ 가 단사이고 $ v $ 가 전사이면, $ \varphi $ 는 전사이다.</p> <p>증명</p> <p>(1) $ u $ 의 우역함수를 $ s: X \rightarrow X ^ {\prime } , v $ 의 좌역함수를 $ r: Y ^ {\prime } \rightarrow Y $ 라 하자. 그러면 $ f, g \in B[X, Y] $ 에 대하여 \[ \varphi(f)= \varphi(g), \text { 즉 } v \circ f \circ u=v \circ g \circ u \] 라 하면 \[ \begin {aligned} f &=I_ { Y } \circ f \circ I_ { X } =r \circ v \circ f \circ u \circ s \\ &=r \circ v \circ g \circ u \circ s=I_ { Y } \circ g \circ I_ { X } =g \end {aligned} \] 가 성립한다. 따라서 함수 $ \varphi $ 는 단사이다.</p> <p>정리 4 동치류의 성질</p> <p>R이 공집합이 아닌 집합 $ X $ 에서의 동치관계일 때, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) 각 동치류 $ x / \Re $ 은 $ X $ 의 공집합이 아닌 부분집합이다.</p> <p>(2) $ x \Re y $ 일 때, 그때에 한하여 $ x / \Re \cap y / \Re \neq \varnothing $.</p> <p>(3) $ x \Re y $ 일 때, 그때에 한하여 $ x / \Re=y / \Re $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>(1) $ \Re $ 은 반사적이므로, 각 $ x \in X $ 에 대하여 $ x \Re x $ 이다. 따라서 $ x \in x / \Re $ 이므로, $ x / \Re $ 은 $ X $ 의 공집합이 아닌 부분집합이다.</p> <p>(2) $ \Re $ 은 동치관계이고 $ X \neq \varnothing $ 이므로 \[ \begin {aligned} x / \Re \cap y / \Re \neq \varnothing & \Leftrightarrow \exists z(z \in x / \Re \wedge z \in y / \Re) \\ & \Leftrightarrow z \Re x \wedge z \Re y \\ & \Leftrightarrow x \Re z \wedge z \Re y \\ & \Leftrightarrow x \Re y \end {aligned} \]</p> <p>(3) (1)과 (2)로부터 $ x / \Re=y / \Re \Rightarrow x \Re y $ 가 성립한다. 이제 $ x \Re y $ 라 하면 \[ z \in x / \Re \Rightarrow z \Re x \text { 이고, } z \Re x \wedge x \Re y \Rightarrow z \Re y \Rightarrow z \in y / \Re \] 이므로 $ x / \Re \subset y / \Re $ 이다. 같은 방법으로 $ y / \Re \subset x / \Re $ 을 얻는다. 따라서 $ x \Re y $ 이면, $ x / \Re=y / \Re $ 이다.</p> <p>위 정리의 직접적인 결과로써 집합 $ X $ (단, $ X \neq \varnothing $ )에서의 모든 동치관계는 단 하나의 $ X $ 의 분할에 대응됨을 보인다.</p> <p>참고</p> <p>항등함수는 함수의 합성 연산에 대하여, 항등원의 역할을 한다. 족 임의의 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 (1) $ f \circ I_ { X } =f $ (2) $ I_ { Y } \circ f=f $ 가 성립한다. 한편 역함수는 함수의 합성 연산에 대하여, 역원의 역할을 한다. 족 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 역함수 $ f ^ { -1 } $ 를 가지면, 다음이 성립한다. (1) $ f ^ { -1 } \circ f=I_ { X } $ (2) $ f \circ f ^ { -1 } =I_ { Y } $</p> <p>두 함수 $ f, g $ 의 합성 $ g \circ f $ 가 정의되어도, $ f \circ g $ 가 정의된다고 할 수 없다. 또한 $ g \circ f $ 와 $ f \circ g $ 가 정의되어도, 그틀은 일반적으로 같지 않다. 즉 함수의 합성에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다.</p> <p>예제</p> <p>두 함수 $ f: R \rightarrow R, g: R \rightarrow R $ 이 모든 $ x \in R $ 에 대하여 각각 \[ f(x)=x + 1, g(x)=x ^ { 2 } \] 으로 주어질 때, 합성 $ (g \circ f)(x) $ 와 $ (f \circ g)(x) $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} (g \circ f)(x) &=g(f(x))=g(x + 1) \\ &=(x + 1) ^ { 2 } =x ^ { 2 } + 2 x + 1 \end {aligned} \] 이고 \[ \begin {aligned} (f \circ g)(x) &=f(g(x))=f \left (x ^ { 2 } \right ) \\ &=x ^ { 2 } + 1 \end {aligned} \] 로 주어진다.</p> <p>함수의 합성에 대하여 결합법칙이 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>\[ \begin {array} { r } f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \text { 이고 } h: Z \rightarrow W \text { 일 때 } \\ h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f \end {array} \] 이 성립한다.</p> <p>정리 20</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z $ 에 대하여</p> <p>(1) $ f $ 와 $ g $ 가 단사이면, 합성함수 $ g \circ f $ 도 단사이다.</p> <p>(2) $ f $ 와 $ g $ 가 전사이면, 합성함수 $ g \circ f $ 도 전사이다.</p> <p>증명</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고, (2)는 독자에게 남긴다. $ x_ { 1 } , x_ { 2 } \in X $ 에 대하여 $ (g \circ f) \left (x_ { 1 } \right )=(g \circ f) \left (x_ { 2 } \right ) $ 를 가정하면 \[ g \left (f \left (x_ { 1 } \right ) \right )=g \left (f \left (x_ { 2 } \right ) \right ) \] 이다. 그런데 함수 $ g $ 가 단사이므로 $ f \left (x_ { 1 } \right )=f \left (x_ { 2 } \right ) $ 이고, 또한 함수 $ f $ 가 단사이므로 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } $ 가 된다. 따라서 합성함수 $ g \circ f $ 는 단사이다.</p> <p>따름정리</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ g: Y \rightarrow Z $ 가 전단사일 때 \[ g \circ f: X \rightarrow Z \] 는 전단사이다.</p> <p>참고</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ g: Y \rightarrow Z $ 가 전단사일 때 \[ (g \circ f) ^ { -1 } =f ^ { -1 } \circ g ^ { -1 } \] 로 주어진다.</p> <p>정리 21</p> <p>$ f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z $ 롤 두 함수라 하자. 이들 두 함수의 합성함수 $ g \circ f: X \rightarrow Z $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ g \circ f $ 가 단사이면, 함수 $ f $ 는 단사이다.</p> <p>(2) $ g \circ f $ 가 전사이면, 함수 $ g $ 는 전사이다.</p> <p>로 정의되는 두 함수 $ \left (P_ { X } \right . $ 와 $ P_ { Y } $ 롤 각각 $ X $-사영 (projection), $ Y $-사영이라 한다.)라 하자. 이때 $ \Re \subset X \times Y $ 이면 \[ P_ { X } ( \Re)= \operatorname { Dom } ( \Re), P_ { Y } ( \Re)= \operatorname { Im } ( \Re) \] 이 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} x \in P_ { X } ( \Re) & \Leftrightarrow \text { 적당한 } (x, y) \in \Re \text { 에 대하여, } x=P_ { X } (x, y) \\ & \Leftrightarrow x \in \operatorname { Dom } ( \Re) \end {aligned} \] 이므로, $ P_ { X } ( \Re)= \operatorname { Dom } ( \Re) $ 이 된다. 같은 방법으로 \[ P_ { Y } ( \Re)= \operatorname { Im } ( \Re) \] 이 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>독립변수 $ x $ 와 종속변수 $ y $ 사이의 대응이 $ F(x, y)=0 $ 인 형태일 때 음함수라 하고, $ y=f(x) $ 형태를 양함수라 한다. 독립변수의 값이 정해겼을 때 종속변수의 값이 언제나 하나씩 대응되면 이 함수를 일가함수 (보통 함수라 하면 일가함수를 의미한다.)라 하고, 일가함수가 아닌 함수를 총칭해서 다가함수라고 한다. 만약 종속변수의 값이 $ n $ 개 대응하면 $ n $ 가함수라 한다.</p> <p>참고</p> <p>(1) $ X( \neq \varnothing) $ 의 공집합이 아닌 부분집합 $ A $ 에 대하여, $ A $ 에 대응하는 함수 $ \chi_ { A } : X \rightarrow \{ 0,1 \} $ 을 \[ \chi_ { A } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end {array} \right . \] 로 정의할 때, $ \chi_ { A } $ 를 $ X $ 에 있어서 집합 $ A $ 의 특성함수 (characteristic function)라고 한다.</p> <p>(2) 카테시안곱</p> <p>정의 1 카테시안곱 (Cartesian product)</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여 $ a \in A $ 이고 $ b \in B $ 인 모든 순서쌍 $ (a, b) $ 의 집합을 $ A $ 와 $ B $ 의 카테시안곱 (데카르트곱), 곱집합 (product set) 또는 직적 (direct product) 이라 하고, $ A \times B $ 로써 나타낸다. 즉 \[ A \times B= \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \} \] 이고, $ a $ 롤 첫째 좌표(the first coordinate) $ b $ 를 둘째 좌표 (the second coordinate) 라 한다.</p> <p>지금 $ R $ 을 일직선으로 나열된 검으로 나타내면, 해석기하학에서의 카테시안 평면 (또는 데카르트 평면), 간단히 좌표평면 위의 모든 점의 집합과 3 차원 공간 위의 모든 점의 집합은 각각 $ R ^ { 2 } $ 와 $ R ^ { 3 } $ 로 표현되며, $ n $ 차원 공간 위의 모든 점의 집합은 \[ R ^ { n } = \left \{\left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \mid x_ { i } \in R( \text { 단, } 1 \leqq i \leqq n) \right \} \] 으로 표시된다.</p> <p>정리 2</p> <p>입의의 집합 $ A, B $ 에 대하여, 다음이 성립한다. (1) $ A \times \varnothing= \varnothing, \varnothing \times A= \varnothing $ (2) $ A \times B= \varnothing $ 이기 위한 필요층분조건은 $ A= \varnothing \vee B= \varnothing $</p> <p>증명</p> <p>(1) $ (x, y) \in A \times \varnothing \equiv x \in A \wedge y \in \varnothing \equiv y \in \varnothing \equiv c $ (모순명제) 이므로 $ A \times \varnothing= \varnothing $ 이고, 같은 방법으로 $ \varnothing \times A= \varnothing $ 이다.</p> <p>(2) 대우법을 이용한다. $ X \neq \varnothing $ 이고 $ Y \neq \varnothing $ 이면 $ X $ 에도 $ Y $ 에도 적어도 하나의 원소 $ x, y $ 가 각각 존재 하므로, $ (x, y) \in X \times Y $ 이 되어 \[ X \times Y \neq \varnothing \]</p> <p>증명</p> <p>(1) $ x_ { 1 } , x_ { 2 } \in X $ 에 대하여 $ f \left (x_ { 1 } \right )=f \left (x_ { 2 } \right ) $ 롤 가정하면 \[ g \left (f \left (x_ { 1 } \right ) \right )=g \left (f \left (x_ { 2 } \right ) \right ), \text { 즉 } (g \circ f) \left (x_ { 1 } \right )=(g \circ f) \left (x_ { 2 } \right ) \] 이다. 그런데 $ g \circ f $ 가 단사이므로 $ x_ { 1 } =x_ { 2 } $ 가 된다. 따라서 $ f $ 는 단사이다.</p> <p>(2) $ g \circ f $ 가 전사이므로 \[ \forall z \in Z,(g \circ f)(x)=z \] 롤 만족하는 $ x \in X $ 가 존재한다. 따라서 $ g(f(x))=z $ 를 만족시키는 $ f(x) \in Y $ 가 존재하므로 $ g $ 는 전사이다.</p> <p>정의 22 확대함수와 축소함수</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ A \subset X $ 에 대하여, $ A $ 로부터 $ Y $ 로의 함수, 즉 각 $ x \in A $ 에 대하여 \[ g(x)=f(x) \] 로 정의되는 함수 $ g: A \rightarrow Y $ 를 ' $ f $ 를 $ A $ 로의 축소(restriction) 또는 제한'이라 하며, 보통 $ \left .f \right \|_ { A } $ 로 표시한다. 역으로 함수 $ g $, 즉 $ \left .f \right \|_ { A } $ 에 대하여 ' $ f $ 롤 $ X $ 로의 확대 (extension) 또는 연장이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>실수의 집합 $ R $ 에 대하여 \[ A= \{ x \in R \mid x \geqq 0 \} \] 일 때 \[ f: R \rightarrow R \text { 을 } f(x)=x ^ { 2 } , g: A \rightarrow R \text { 을 } g(x)=x ^ { 2 } \] 으로 각각 정의하면, $ \left .f \right \|_ { A } =g $ 이고, $ f $ 와 $ g $ 는 같은 상을 가진다. 이때 함수 $ f $ 는 단사가 아니지만 함수 $ g $ 는 단사가 되고, 역함수 $ g ^ { -1 } $ 는 $ g ^ { -1 } (y)= \sqrt { y } $ 로 주어진다.</p> <p>로 정의하기도 한다. 이들은 일반적으로 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 일의적으로 정해지지 않는다.</p> <p>예제</p> <p>두 함수 $ h: X \rightarrow Z, g: Y \rightarrow Z $ 에 대하여, $ h=g \circ f $ 로 되는 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 존재하기 위한 푈요층분조건은 \[ \operatorname { Im } (h) \subset \operatorname { Im } (g) \] 가 성립하는 것이다. 따라서 $ g $ 가 단사이면, $ h=g \circ f $ 로 되는 $ f $ 가 반드시 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>$ h=g \circ f $ 로 되는 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 존재하면 \[ h(X)=g(f(X)) \subset g(Y), \text { 즉 } \operatorname { Im } (h) \subset \operatorname { Im } (g) \] 가 성립한다. 역으로 $ \operatorname { Im } (h) \subset \operatorname { Im } (g) $ 가 성립한다고 가정하자. 이때 $ h, g $ 의 공역을 $ \operatorname { Im } (g) $ 로 바꾼 함수를 각각 \[ h ^ {\prime } : X \rightarrow \operatorname { Im } (g), g ^ {\prime } : Y \rightarrow \operatorname { Im } (g) \] 라 하고, $ \operatorname { Im } (g) $ 로부터 $ Z $ 로의 포함함수를 $ i $ 라 하자. 그러면 $ g ^ {\prime } : Y \rightarrow \operatorname { Im } (g) $ 가 전사이므로, $ g ^ {\prime } $ 의 우역함수 \[ s: \operatorname { Im } (g) \rightarrow Y \] 가 존재한다. 여기서 $ f=s \circ h ^ {\prime } $ 이라 놓으면 $ f: X \rightarrow Y $ 이고 \[ \begin {aligned} g \circ f &= \left (i \circ g ^ {\prime } \right ) \circ \left (s \circ h ^ {\prime } \right )=i \circ \left (g ^ {\prime } \circ s \right ) \circ h ^ {\prime } \\ &=i \circ I_ {\mathrm { Im } (g) } \circ h ^ {\prime } =i \circ h ^ {\prime } =h \end {aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>정리 5</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ f( \varnothing)= \varnothing $</p> <p>(2) $ \forall x \in X, f( \{ x \} )= \{ f(x) \} $</p> <p>(3) $ A \subset B \subset X $ 이면, $ f(A) \subset f(B) $</p> <p>(4) $ C \subset D \subset Y $ 이면, $ f ^ { -1 } (C) \subset f ^ { -1 } (D) $</p> <p>증명</p> <p>(1) $ f( \varnothing)= \{ f(x) \mid x \in \varnothing \} = \varnothing $</p> <p>(2) $ f( \{ x \} )= \{ f(a) \mid a \in \{ x \} \} = \{ f(x) \} $</p> <p>(3) $ A \subset B \subset X $ 이면 \[ \begin {aligned} y \in f(A) & \Rightarrow \exists x \in A, y=f(x) \\ & \Rightarrow \exists x \in B, y=f(x) \\ & \Rightarrow y=f(x) \in f(B) \end {aligned} \] 이므로, $ f(A) \subset f(B) $ 가 된다.</p> <p>(4) $ C \subset D \subset Y $ 이면 \[ \begin {aligned} x \in f ^ { -1 } (C) & \Rightarrow f(x) \in C \\ & \Rightarrow f(x) \in D \\ & \Rightarrow x \in f ^ { -1 } (D) \end {aligned} \] 이므로, $ f ^ { -1 } (C) \subset f ^ { -1 } (D) $ 가 된다.</p> <p>정리 9</p> <p>$ f: Y \rightarrow Y $ 가 합수일 때, $ Y $ 의 부분집합 $ B, C $ 에 대하여 다음이 성립한다. \[ f ^ { -1 } (B-C)=f ^ { -1 } (B)-f ^ { -1 } (C) \]</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} x \in f ^ { -1 } (B-C) & \Leftrightarrow f(x) \in B-C \\ & \Leftrightarrow f(x) \in B \wedge f(x) \notin C \\ & \Leftrightarrow x \in f ^ { -1 } (B) \wedge x \notin f ^ { -1 } (C) \\ & \Leftrightarrow x \in \left [f ^ { -1 } (B)-f ^ { -1 } (C) \right ] \end {aligned} \] 따라서 $ f ^ { -1 } (B-C)=f ^ { -1 } (B)-f ^ { -1 } (C) $ 이다.</p> <p>참고</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y, h: X \rightarrow Z $ 에 대하여, $ h=g \circ f $ 로 되는 함수 $ g: Y \rightarrow Z $ 가 존재하기 위한 필요층분조건은 $ X $ 의 원소 $ x, x ^ {\prime } $ 에 대하여 \[ f(x)=f \left (x ^ {\prime } \right ) \Rightarrow h(x)=h \left (x ^ {\prime } \right ) \] 이 성립하는 것이다. 따라서 $ f $ 가 단사이면, $ h=g \circ f $ 로 되는 $ g $ 가 반드시 존재한다.</p> <p>정리 19 역함수의 유일성 (uniqueness of the inverse function)</p> <p>두 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ g: Y \rightarrow X $ 에 대하여 $ g \circ f=I_ { X } $ 이고 $ f \circ g=I_ { Y } $ 이 면, $ f $ 는 전단사이고 $ g=f ^ { -1 } $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>정리 18 에 의해 $ f $ 는 전단사이다. 이제 $ g=f ^ { -1 } $ 입을 보이자. \[ \begin {aligned} x=g(y) & \Rightarrow f(x)=f(g(y))=(f \circ g)(y)=I_ { Y } (y)=y \\ & \Rightarrow x=f ^ { -1 } (y) \end {aligned} \] 이고, 또한 \[ \begin {aligned} x=f ^ { -1 } (y) & \Rightarrow y=f(x) \\ & \Rightarrow g(y)=g(f(x))=(g \circ f)(x)=I_ { X } (x)=x \\ & \Rightarrow x=g(y) \end {aligned} \] 이 성립한다. 따라서 \[ \forall y \in Y, f ^ { -1 } (y)=g(y) \] 이므로, $ f ^ { -1 } =g $ 이다.</p> <p>예제</p> <p>다음 함수의 역함수를 구하시오.</p> <p>$ y= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $</p> <p>풀이</p> <p>\[ y= \ln \left (x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \text { 에서 } x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } =e ^ { y } \text { , 즉 } \] \[ \frac { 1 } { x + \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } =e ^ { -y } \] 이고, 분모를 유리화하면 $ x- \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } =-e ^ { -y } $ 이므로 \[ 2 x=e ^ { y } -e ^ { -y } , \text { 즉 } x= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { y } -e ^ { -y } \right ) \] 이 성립한다. 따라서 구하는 역함수는 \[ y= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { x } -e ^ { -x } \right ) \] 으로 주어진다.</p> <p>이 성립한다. 역으로 $ X \times Y \neq \varnothing $ 이면, $ (x, y) \in X \times Y $ 인 적어도 하나의 원소가 존재한다. 즉 $ x \in X $ 이고 $ y \in Y $ 이므로 \[ X \neq \varnothing \text { 이고 } Y \neq \varnothing \] 이 된다.</p> <p>카테시안곱은 집합연산 $ \cap, \cup $ 및 $ - $ 에 관하여 분배법칙이 성립한다.</p> <p>정리 3 카테시안곱의 분배성</p> <p>입의의 세 집합 $ A, B, C $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) $</p> <p>(2) $ A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) $</p> <p>(3) $ A \times(B-C)=(A \times B)-(A \times C) $</p> <p>증명</p> <p>여기서는 (1), (3)만을 증명하고, (2)의 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>\[ \text { (1) } \begin {aligned} (a, x) & \in A \times(B \cap C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(x \in B \cap C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(x \in B \wedge x \in C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(a \in A) \wedge(x \in B) \wedge(x \in C) \\ & \Leftrightarrow[(a \in A) \wedge(x \in B)] \wedge[(a \in A) \wedge(x \in C)] \\ & \Leftrightarrow[(a, x) \in A \times B] \wedge[(a, x) \in A \times C] \\ & \Leftrightarrow(a, x) \in(A \times B) \cap(A \times C) \end {aligned} \] 이므로, $ A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) $ 가 성립한다.</p> <p>\[ \text { (3) } \begin {aligned} (a, x) & \in A \times(B-C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(x \in B-C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(x \in B \wedge x \notin C) \\ & \Leftrightarrow(a \in A) \wedge(a \in A) \wedge(x \in B) \wedge(x \notin C) \\ & \Leftrightarrow[(a \in A) \wedge(x \in B)] \wedge[(a \in A) \wedge(x \notin C)] \\ & \Leftrightarrow[(a, x) \in A \times B] \wedge[(a, x) \notin A \times C] \\ & \Leftrightarrow(a, x) \in(A \times B)-(A \times C) \end {aligned} \] 이므로, $ A \times(B-C)=(A \times B)-(A \times C) $ 가 성립한다.</p> <p>이 정의에 따르면, $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 의 원소 $ \left (a_ { i } \right )_ { i \in I } $ 는 $ I $ 가 $ \{ 1,2, \cdots, n \} $ 이면 $ n $ 항의 수열이며, $ I $ 가 $ \{ 1,2, \cdots, n, \cdots \} $ 이면 무한수열이다. 이 경우 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 의 원소 $ \left (a_ { i } \right )_ { i \in I } $ 는 함수로 나타낼 수 있다.</p> <p>이제 $ I $ 가 입의의 집합일 경우로 확장하여 $ \left (a_ { i } \right )_ { i \in } ﹎ { I } $ 를 함수 $ f $ 로 나타내면, $ f $ 의 정의역은 $ I $ 이며 $ f $ 의 $ i $ 에서의 함수값 $ f(i) $ 는 $ a_ { i } $ 로 이해할 수 있다. 따라서 정의 5 는 다음으로 변형된다.</p> <p>정의 6</p> <p>입의의 집합족 $ \left \{ A_ { i } \right \} _ { i \in I } $ 에 대한 카테시안곱 $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 를 \[ \prod_ { i \in I } A_ { i } = \left \{\text { 함수 } f: I \rightarrow \cup A_ { i } \mid \forall i \in I, f(i) \in A_ { i } \right \} \] 로 정의한다.</p> <p>참고</p> <p>$ \prod_ { i \in \{ 1,2 \} } A_ { i } $ 와 $ A_ { 1 } \times A_ { 2 } $ 는 구별된다. 그러나 $ \left (a_ { i } \right )_ { i \in \{ 1,2 \} } $ 를 $ \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } \right ) $ 에 대응시키면 $ \prod_ { i \in \{ 1,2 \} } A_ { i } $ 와 $ A_ { 1 } \times A_ { 2 } $ 는 서로 구별되지 않음에 유의한다. 정의 6 에서 $ I=B, i \in I, A_ { i } =A $ 이면, $ \prod_ { i \in I } A_ { i } $ 를 $ A ^ { B } $ 로 표기한다.</p> <p>참고</p> <p>집합 $ Y \neq \varnothing $ 에 대하여 $ X \subset Y $ 이고 $ i= \{ (x, x) \mid x \in X \} $ 로 주어진 함수 $ i: X \rightarrow Y $ 는 단사이다. 이때 $ i $ 를 포함함수 (표준적 단사; inclusion function)라고 한다. 포함함수는 정의역이 부분집합이므로, 항등함수와 구분된다.</p> <p>정리 11</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 가 단사일 때, $ X $ 의 부분집합족 $ \left \{ A_ {\gamma } \mid \gamma \in \Gamma \right \} $ 에 대하여 \[ f \left ( \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } A_ {\gamma } \right )= \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } f \left (A_ {\gamma } \right ) \] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} y \in \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } f \left (A_ {\gamma } \right ) & \Leftrightarrow \forall \gamma \in \Gamma, y \in f \left (A_ {\gamma } \right ) \\ & \Leftrightarrow \forall \gamma \in \Gamma \left ( \exists x_ {\gamma } \in A_ {\gamma } , y=f \left (x_ {\gamma } \right ) \right ) \end {aligned} \] 이다. 그런데 $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사이므로 이틀 모두에 속하는 $ x_ { i } $ 는 같아서 이것을 $ x_ { 0 } $ 라 놓으면 \[ \begin {aligned} y \in \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } f \left (A_ {\gamma } \right ) & \Leftrightarrow \forall \gamma \in \Gamma \left ( \exists x_ { 0 } \in A_ {\gamma } , y=f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) \\ & \Leftrightarrow \exists x_ { 0 } \in \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } A_ {\gamma } \left ( \left (y=f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) \right ) \\ & \Leftrightarrow y \in f \left ( \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } A_ {\gamma } \right ) \end {aligned} \] 이므로, $ f \left ( \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } A_ {\gamma } \right )= \bigcap_ {\gamma \in \Gamma } f \left (A_ {\gamma } \right ) $ 가 성립한다.</p> <p>다음에 입의의 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } \in Y $ 가 $ f ^ { -1 } \left (y_ { 1 } \right )=f ^ { -1 } \left (y_ { 2 } \right )=x $ 를 만족한다고 하면 $ f(x)= $ $ y_ { 1 } $ 이고 $ f(x)=y_ { 2 } $ 이므로, $ y_ { 1 } =y_ { 2 } $ 로부터 $ f ^ { -1 } $ 는 단사이다. 마지막으로 \[ \operatorname { Im } \left (f ^ { -1 } \right )= \operatorname { Dom } (f)=X \] 이다. 따라서 $ f ^ { -1 } $ 는 전단사가 된다.</p> <p>정의 15 역함수 (inverse function)</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 전단사일 때, $ f ^ { -1 } : Y \rightarrow X $ 를 $ f $ 의 역함수라고 한다.</p> <p>역함수의 기호와 역상의 기호롤 혼동해서는 안 된다. 역상의 기호는 모든 함수에 대해서 사용할 수 있지만, 역함수의 기호는 전단사함수일 경우에만 사용할 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 단사일 때, $ g(y)=f(x) $ 가 되도록 유일한 $ x \in X $ 로 정의되는 함수 $ g: f(x) \rightarrow X $ 를 $ f $ 의 역함수라 하기도 한다.</p> <p>정리 16</p> <p>$ f: X \rightarrow Y $ 가 입의의 함수일 때</p> <p>(1) $ f $ 가 단사일 때, 그때에 한하여 $ \forall A \subset X, f ^ { -1 } (f(A))=A $</p> <p>(2) $ f $ 가 전사일 때, 그때에 한하여 \[ \forall B \subset Y, f \left (f ^ { -1 } (B) \right )=B \] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>(1) 입의의 $ x \in A $ 에 대하여 $ x \in f ^ { -1 } (f(x)) \subset f ^ { -1 } (f(A)) $ 이므로, $ A \subset f ^ { -1 } (f(A)) $ 이다. 한편 \[ \begin {aligned} x \in f ^ { -1 } (f(A)) & \Rightarrow f(x) \in f(A) \\ & \Rightarrow \exists x ^ {\prime } \in A, f(x)=f \left (x ^ {\prime } \right ) \end {aligned} \] 이다. 그런데 $ f $ 가 단사이므로 $ x=x ^ {\prime } $, 즉 $ x \in A $ 가 된다. 따라서 \[ f ^ { -1 } (f(A)) \subset A \text { 이므로, } f ^ { -1 } (f(A))=A \] 가 성립한다. 역으로 $ f(a)=f(b) $ 이면 \[ \begin {aligned} \{ a \} &=f ^ { -1 } (f( \{ a \} ))=f ^ { -1 } ( \{ f(a) \} ) \\ &=f ^ { -1 } ( \{ f(b) \} )=f ^ { -1 } (f( \{ b \} )) \\ &= \{ b \} \end {aligned} \] 즉 $ \{ a \} = \{ b \} $ 이므로, $ a=b $ 가 된다. 따라서 $ f $ 는 단사함수이다.</p>	자연
오토인코더를 이용한 딥러닝 기반 추천시스템 모형의 비교 연구	<p>$ \underset {\mathbf { W } , \mathbf { b } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 2 } } {\operatorname { argmin } } \left (L( \mathbf { X } , \hat {\mathbf { X } } ) + \lambda \left \\| \mathcal { J } _ { f } ( \mathbf { X } ) \right \\|_ { F } ^ { 2 } \right ) $</p> <p>where $ \left \\| \mathcal { J } _ { f } ( \mathbf { X } ) \right \\|_ { F } ^ { 2 } = \sum_ { j=1 } ^ { M } \left ( \frac {\partial \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) } {\partial \mathbf { x } _ { j } } \right ) ^ { 2 } $.<caption>(2.11)</caption></p> <p>식 (2.11)에서 $ \left \\| \mathcal { J } _ { f } ( \mathbf { X } ) \right \\|_ { F } ^ { 2 } $은 인코더에 해당하는 활성화 함수 $ f( \cdot) $의 야코비안(Jacobian)에 대하여 Frobenius norm을 계산한 것으로, 인코더가 입력값으로부터 추출한 핵심 요소의 대표성에 대한 야코비안(Jacobian of representation)을 의미한다고 할 수 있다. 입력값을 인코더 부분에 통과시킬 때 입력값으로부터 추출된 핵심 요소의 편미분 값을 최소화시킴으로서 입력값에 작은 차이가 있더라도 핵심 요소는 민감하게 반응하지 않는 효과를 얻을 수 있다 (Aggarval, 2018). 따라서 SVD 방법 또는 SVD + + 방법만 사용한 경우는 잠재 요소의 단순 선형 관계에 초점을 두는 것에 비해 축약 오토인코더를 이용함으로써 아이템에 대해 추출된 비선형 잠재 요소를 고려할 수 있다. AutoSVD 방법은 SVD 방법에서 $ j $ 번째 아이템에 대한 잠재 요소를 나타내는 벡터 $ \mathbf { q } _ { j } $를 대신하여 $ \left ( \beta \cdot \mathrm { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) + \boldsymbol {\epsilon } _ { j } \right ) $를 대입한다. 여기서 $ \beta $의 역할은 $ \mathrm { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) $를 정규화(normalization) 시켜주는 초모수(hyperparameter)에 해당하며, $ \boldsymbol {\epsilon } _ { j } \in \mathbb { R } ^ { k } $는 축약 오토인코더에서 발생할 수 있는 오차에 해당하는 벡터이다. 따라서 AutoSVD 방법을 이용하여 $ \hat { x } _ { i j } $을 계산하면 식 (2.12)로 나타낼 수 있다</p> <p>세 번째로 하이브리드 방법은 콘텐츠 기반 필터링 방법과 협업 필터링 방법을 걸합함으로써 각각의 장점을 취하는 방법이다. 예를 들면, 협업 필터링 방법을 적용할 때 아이템에 대한 고유 정보를 이용하여 콘텐츠 기반 필터링 방법을 결합하는 접근 방법이 이에 속한다. 그러므로 하이브리드 방법을 이용하여 콜드 스타트 문제와 높은 희박성 문제를 해결할 수 있다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 딥러닝을 이용한 추천 시스템 모형에 대헤서는 2장에서 다루며 특히 오토인코더 기반의 다섯 가지 방법에 대하여 소개한다. 그 중 2.1장부터 2.3장까지는 협업 필터렁 방법을 이용한 모형이며, 2.4장과 2.5장는 하이브리드 방법을 이용한 모형에 해당한다. 3장에서는 실제 데이더를 소개하고 여기에 소개한 방법을 적용한 결과에 대하여 살펴본다. 마지막으로 4장에서는 본논문이 시사하는 바에 대하여 다루도록 한다.</p> <h1>2. 오토인코더 기반 방법들</h1> <h2>2.1. 오토인코더</h2> <p>기계학습의 종류는 크게 지도학습(supervised learning)과 비지도학습(unsupervised learning)으로 나뉜다. 지도학습이란 문제와 그에 대한 정답을 훈련 데이터를 이용하여 학습시킨 후 문제에 해당하는 부분만 있는 시험 데이터의 정답을 맞히도록 하는 방법이다. 비지도학습이란 정답에 대한 정보 없이 여러 문제를 학습함으로써 훈련 데이터의 패틴 및 특성을 파악하여 시험 데이터의 특징을 찾는 방법이다. 실제 자료에서 문제와 그에 대한 정답이 항상 동반되기는 어렵다는 점에서 비지도학습 방법이 유용하게 사용될 수 있다. 오토인코더는 비지도 학습 모형 중 하나로, 차원 축소를 통해 원래 자료를 가장 잘 대표하는 핵심 요소(feature)를 추출하는 것이 목적이다. 선형 차원 축소 방법에 해당하는 주성분 분석과 다르게 오토인코더는 비선형 차원 축소 방법으로, 고차원 자료의 분석에 유용하게 적용된다.</p> <p>Figure 1은 기본적인 오토인코더의 구조를 나타낸다. 입력증의 차원 축소를 통해 핵심 요소만 추출하는 부분을 인코더(encoder)라고 하며 여기서 추출된 핵심 요소들의 집합이 있는 층을 은닉층(hidden layer)이라고 한다. 추출된 핵심 요소를 이용하여 입력값과 동일한 차원의 출력값을 산출하는 부분을 디코더(decoder)라고 한다. 인코더는 $ \mathbf { x } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { M } $을 입력값으로 받아 활성화 함수(activation function)인 $ f( \cdot) $를 거쳐 차원을 축소시킨 출력값을 산출한다. 이렇듯 인코더를 통해 추출된 핵심 요소인 잠재 변수(latent variable)를 $ \mathbf { z } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { k } $라고 지칭한다. 이때 $ \mathbf { z } _ { i } $는 $ k \ll M $이라는 가정하에 차원이 축소된 형태이다. 디코더 함수는 입력값으로서 $ \mathbf { z } _ { i } $를 받으며 활성화 함수 $ g( \cdot) $를 거쳐 원래의 입력값인 $ \mathbf { x } _ { i } $의 차원으로 복구하는 작업을 수행한다. 이러한 과정을 각각 $ N $개의 $ \mathbf { x } _ { i } $벡터에 적용한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>인터넷과 휴대폰 앱과 같이 웹(web)기반의 플랫폼 사용이 활발해짐에 따라 온라인상에 방대한 양의 정보가 존재한다. 기업은 이 중에서 의미 있는 정보만을 이용하여 고객 만족 및 매출 증진을 목표로 재화와 서비스 제공을 위한 의사결정을 수행하고자 한다. 그리기 위헤서는 고객의 니즈를 명확히 파악하고 그에 맞는 상품 및 서비스를 제공함으로써 고객의 구매 욕구를 끌어올러는 것이 중요하다. 따라서 일률적인 마케텅이 아닌, 각각의 고객의 특성을 반영한 마케팅 전략의 수립이 필요 하며 이는 최근 추천 시스템(recommender system)이 주목을 받는 이유이다. 용어의 일반화를 위하여 고객을 사용자(user)로, 재화 밎 서비스를 아이템(item)으로 지칭한다. 추천 시스템은 사용자의 선호도, 아이템의 특징 그리고 사용자와 아이템 상호 간의 교호작용 등의 정보를 이용함으로써 개인 맞춤화(personalization)전략을 실현하고자 한다. 추천 시스템은 콘텐츠 기반 필터링(content-based filtering), 협업 필터링(collaborative filtering) 그리고 하이브리드 방법(hybrid recommender system)으로 구성된다.</p> <p>첫 번째로 콘텐츠 기반 필터링 방법은 비숫한 특성을 가진 아이템이라면 사용자로부터 유사한 평가를 받을 것이라고 가정한다. 따라서 사용자로부터 긍정적인 평가를 받았거나 구매 이력이 있는 아이템과 유사한 것을 주천한다 (Schafer 등, 2007). 아이템 간의 유사성은 사용자 혹은 아이템의 고유 정보(profile)를 이용하여 유클러디안 거리, 코사인 거리, 피어슨 상관계수 등을 계산하여 파악한다. 아이템의 고유 정보로는 해당아이템이 속한 범주, 기능, 가격, 지명도 등을 예로 들 수 있다. 사용자의 고유 정보로는 연령, 성별, 거주지 등 인구 통계학적 정보를 예로 들 수 있다 (Koren 등, 2009). 콘텐츠 기반 필터링 방법의 장점은 콜드 스타트(cold start)문제의 발생을 어느 정도 피할 수 있다. 콜드 스타트 문제란 새로운 사용자의 경우 평가와 구매 이력이 존재하지 않으며 새로운 아이템의 경우 사용자로부터 받은 평가나 구매 이력이 없는 상황을 의미한다. 콘텐츠 기반 필터링 방법은 사용자 혹은 아이템의 고유 정보에 의존하기 때문에 새로운 사용자나 아이템에 대해서도 추천이 가능하다 (Ali 등, 2018). 그러나 개인의 사생활 침해 우려로 인해 사용자 고유 정보의 이용이 제한적이고, 수많은 아이템에 대해 각각의 고유 정보 파악이 어렵다는 한계가 있다.</p> <p>두 번째로 협업 필터링 방법은 비슷한 취향을 가진 사용자라면 비슷한 아이템을 선호할 것이라고 가정한다. 따라서 사용자의 평가 성향과 비슷한 다른 사용자로부터 긍정적인 평가를 받은 아이템을 추천한다. 이는 콘텐츠 기반 필터링 방법과는 달리 도메인 지식이 불필요하기 때문에 데이터를 광범위하게 많이 수집할 필요가 없다는 장점이 있어 Amazon과 Netlix를 비롯한 많은 기업에서 사용하고 있다 (Koren, 2008). 협업 필터링 방법에서 이용하는 정보는 크게 명시적 피드백(explicit feedback)과 내재적 피드백(implicit feedback)으로 나뉜다. 명시적 피드백이란 사용자가 아이뎁에 대한 선호도를 직접적으로 표현한 것을 의미하며 대표적으로 평점이 이에 속한다. 반면, 내재적 피드백이란 사용자의 선호도를 간접적으로 표현한 것으로 구매 이력, 검색 기록 및 패턴, 심지어는 컴퓨터 화면상 마우스의 움직임 등이 이에 속한다. 협업 필터링 방법은 이 두 가지의 피드백 정보를 사용하며 인구 통계학적 정보를 사용하지 않아도 되기 때문에 개인 정보가 침해될 위험이 적다. 그러나 콜드 스타트 문제를 동반한다는 점과 각 사용자가 실제 평점을 매긴 아이템이 몇몇 개에 불과하여 평점 행렬에서 평점이 없는 부분이 많은 비율을 차지하는 문제 즉, 높은 희박성(sparsity)을 갖는다는 한계가 있다.</p> <p>이러한 동일 조건하에서 5겹 반복 교차 검증을 진행하여 초모수의 값들을 선택한다. 그 결과, 각 모형별로 평균 오차가 가장 작은 초모수 조합으로 이루어진 모형을 최종 모형으로 정의한다. 이를 각 초모수 조합별로 시행하여 가장 작은 값에 해당하는 초모수 조합을 모형의 최적의 초모수 조합으로 결정한다. 이렇게 결정된 최적의 모형을 시험 데이터를 이용하여 평균 제곱 오차를 얻는다. 이 역시 시험 데이터를 이용하여 예측 오차에 대한 평균을 계산함으로써 최종 모형의 결과로 정의하였다. 이러한 방법을 동일하게 적용하여 초모수의 값들을 선택하였다. 이제 본 논문에서 분석한 세 개의 데이터를 설명하도록 한다.</p> <p>1. MovieLens $ 1 \mathrm { M } $ data 미네소타 대학교의 GroupLens 연구조직에 의해 수집된 MovieLens는 영화에 대한 사용자들의 평점을 담고 있는 데이터이다. 데이터의 크기에 따라 $ 1 \mathrm { ~B } , 1 \mathrm { M } , 10 \mathrm { M } , 20 \mathrm { M } $ 그리고 $ 100 \mathrm { ~K } $ 데이터셋이 제공되고 있으며 2018년 9월까지 꾸준히 업데이트되고 있다. 본 논문에서는 2003년 2월에 발표된 MovieLens $ 1 \mathrm { M } $ (https://grouplens.org/datasets/movielens/1m/) 데이터를 사용하였다. 데이터는 6,040 명의 사용자가 3,900개의 영화에 대하여 1점부터 5 점까지 평점을 매긴 것으로, 총 $ 1,000,209 $개의 평점을 담고 있다. 본 논문에서는 3,900개의 영화 중에서 사용자로부터 평가를 가장 많이 받은 상위 500개의 영화만을 고려하였다. 따라서 약 $ 82 \% $의 희박성 비율 (sparsity rate)을 갖는다.</p> <p>2. Amazon Review Data Amazon에서 판매하는 모든 제품에 대해서 평점이나 후기와 같은 리뷰와 제품의 종류, 가격, 이미지와 같은 메타데이터를 담고 있으며 1996년 5월부터 축적된 데이터이다. 제품의 종류에 따라 패션과 뷰티부터 장난감과 비디오 게임까지 다양한 제품군에 대하여 제공하고 있다. 그중 본 논문에서는 2018년 10월에 발표된 책에 대한 평점 데이터 (https://nijianmo.github.io/amazon/index.html)를 사용하였다. 데이터는 $ 15,362,619 $명의 사용자가 $ 2,908,451 $개의 책에 대하여 1점부터 5점까지 평점을 매긴 것으로, 총 $ 51,311,620 $개의 평점을 담고 있다. 그러나 이는 희박성 비율이 $ 99.99 \% $로 과도하게 높은 경향이 있었다. 본 논문에서는 희박성 비율이 과도하게 높아지는 것을 방지하기 위해 평가를 많이 한 상위 461명의 사용자와 그에 대한 495개의 책만을 고려하였다. 그 결과로 생성된 데이터는 $약 94 \% $의 희박성 비율을 갖는다.</p> <p>오토인코더의 인코더와 디코더는 대칭을 이룬다. 식 (2.1)은 인코더 부분을, 식 (2.2)는 디코더 부분을 표현한 것이다.</p> <p>$ \mathbf { z } _ { i } = f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { x } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ), \quad i=1, \ldots, N $,<caption>(2.1)</caption></p> <p>$ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { z } _ { i } + \mathbf { b } _ { 2 } \right )=g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { x } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ), \quad i=1, \ldots, N $.<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 입력값 $ \mathbf { x } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { M } $에 대하여 가중치 행렬(weight matrix)은 $ \mathbf { W } _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { k \times M } , \mathbf { W } _ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { M \times k } $로, 편향 벡터는 $ \mathbf { b } _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { k } , \mathbf { b } _ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { M } $으로 정의하며 $ k \ll M $이라는 가정하에 잠재 변수 $ \mathbf { z } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { k } $는 차원이 축소된 형태이다. 디코더를 거쳐 재구성된 $ \mathbf { x } _ { i } $ 를 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } $이라고 하면 차원이 축소된 $ \mathbf { z } _ { i } $는 디코더에 의해 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { M } $으로 $ \mathbf { x } _ { i } $와 동일한 차원을 출력한다. 인코더와 디코더에서 적용하는 활성화 함수 $ f( \cdot) $와 $ g( \cdot) $ 로는 비선형 관계식에 혜당하는 tangent hyperbolic function (Tanh), rectified linear unit (ReLU), exponential linear unit (ELU), leaky rectified linear unit (LReLU), scaled exponential linear unit (SeLU) 등을 사용한다.</p> <p>두 번째는 각 모형에서 손실함수로서 식 (3.1)에 의해 계산된 마스크 평균 제곱 오차(masked mean squared error; masked MSE)에 제곱근을 취한 형태로 정의한다. 추천 시스템에서 다루는 데이터는 대개 희박성을 갖는다는 특징으로 인하여 손실함수로서 일반적인 평균 제곱근 오차를 정의할 경우 결측값을 대체한 값에 크게 좌우된다. 따라서 본 논문에서는 손실함수로서 실제 평가가 이루어진 점수에 대한 평균 제곱근 오차(이를 마스크 평균 제곱 오차라 한다)를 정의한다. $ K(R)= \left \{ (i, j) \mid x_ { i j } \neq 0, i=1, \ldots, N, j=1, \ldots, M \right \} , n= \sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { j=1 } ^ { M } I \left (x_ { i j } \neq 0 \right ) $ 여기서 $ n $은 실제 평가가 이루어진 개수를 의미한다.</p> <p>masked RMSE $ = \sqrt {\sum_ { (i, j) \in K(R) } \frac {\left (x_ { i j } - \hat { x } _ { i j } \right ) ^ { 2 } } { n } } $,<caption>(3.1)</caption></p> <p>세 번째는 변분 오토인코더의 경우 결측값을 식 (3.2)에 의해 계산한 값으로 대체한 후 모형을 적합시켰다는 점이다. 입력값의 분포를 학습하는 변분 오토인코더는 결측값을 대체하지 않을 경우 모형 학습이 제대로 진행되지 않았기 때문에 결측값을 대체하는 작업을 수행하였다. 데이터에서 결측값의 경우 1 점으로 대체하거나 3점으로 대체하는 등 임의의 점수로 대체하는 것과 다르게, 본 논문에서는 평점 행렬의 행 평균과 열 평균을 이용하여 계산한 값으로 결측값을 대체한다.</p> <p>$ x_ { i j } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left ( \sum_ { j=1 } ^ { M } \frac { x_ { i j } } { n_ { j } } + \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac { x_ { i j } } { n_ { i } } \right ) $.<caption>(3.2)</caption></p> <p>이때 $ n_ { i } $는 $ i $번째 사용자가 실제 평가를 한 아이템의 개수를, $ n_ { j } $는 $ j $번째 아이템의 평점을 매긴 사용자의 수라고 정의한다. 만약 사용자가 평가를 하지 않은 결측값일 경우 $ i $번째 사용자가 전체 아이템 중 평가를 한 점수들의 평균 $ \left ( \sum_ { j=1 } ^ { M } x_ { i j } / n_ { j } \right ) $과 $ j $번째 아이템이 전체 사용자로부터 받은 점수들의 평균 $ \left ( \sum_ { i=1 } ^ { N } x_ { i j } / n_ { i } \right ) $을 합하여 2로 나눈 값으로 대체한다. 식 (3.2)를 이용하여 결측값을 대체한 평점 행렬을 $ \mathbf { X } ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { N \times M } $으로 정의하면 $ i $번째 행은 $ \mathbf { x } _ { i } ^ { * } = \left (x_ { i 1 } ^ { * } , \ldots, x_ { i M } ^ { * } \right ) ^ { T } $로 정의할 수 있다. 따라서 변분 오토인코더의 목적함수 중 $ \left .D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \\| \mathbf { z } _ { i } \right ) \right ) $를 $ \left .D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } ^ { * } \right ) \\| \mathbf { z } _ { i } \right ) \right ) $로 계산한다.</p> <p>여기서 $ \boldsymbol {\epsilon } ^ { * } , \mathbf { y } ^ { * } $는 $ K(R) $에 속하는 $ i, j $에 대하여 모든 $ \boldsymbol {\epsilon } _ { j } , \mathbf { y } _ { j } $를 표현한 것이다. AutoSVD + + 방법을 이용하면 AutoSVD 방법과는 다르게 $ \mathbf { y } _ { j } $를 업데이트하는 과정이 필요하기 때문에 시간이 많이 소요된다는 단점이 있다. 그럼에도 불구하고 내재적 피드백을 행렬 인수분해를 통해 용이하게 결합할 수 있다는 장점과 높은 성능을 갖기 때문에 AutoSVD + + 방법은 합리적이라고 할 수 있다. SGD 방법을 이용하여 모수 업데이트를 진행하는 AutoSVD + + 방법의 알고리즘은 다음과 같다.</p> <h1>3. 실제 데이터 분석</h1> <p>본 논문에서는 Python으로 실제 데이터의 모형 적합을 진행하였으며 개발 환경으로는 Google Colab에서 제공하는 GPU를 사용하였다. 딥러닝 프레임워크 중에서는 Tensorflow와 Keras를 이용하였고 구체적인 사양은 다음과 같다.</p> <ul> <li>Python: 3.6.9</li> <li>Tensorflow: $ 2.4 .0 $</li> <li>Keras: 2.4.3</li> <li>CPU: Intel Xeon $ 2.20 \mathrm { GHz } $</li> <li>GPU: Tesla P100-PCIE-16GB and Tesla T4</li> <li>RAM: $ 12.72 \mathrm { ~GB } $</li></ul> <p>앞에서 언급한 모형들을 실제 데이터에 적용하고 각 모형을 비교하기 위하여 세 가지의 동일한 절차를 수행한다. 첫 번째는 5겹 교차 검증(5-fold cross-validation)을 반복 시행한다. 먼저 전체 데이터의 $ 20 \% $를 시험 데이터로, $ 80 \% $를 훈련 데이터로 나눈다. 이 훈련 데이터를 다시 $ 20 \% $를 훈련 데이터로, $ 80 \% $ 를 검증 데이터로 나눈다. 이때의 훈련 데이터를 앞서 나눈 훈련 데이터와 명칭을 구분하기 위하여 보조 훈련 데이터라고 지칭하도록 한다. 일반적으로 전체 데이터를 시험, 훈련, 검증 데이터로 분할할 때 행 또는 열을 기준으로 한다. 그러나 추천 시스템에서는 사용자가 행으로, 아이템이 열로 이루어진 평점 행렬을 만든 후 사용자를 기준으로 분할할 경우, 한 사용자의 정보가 시험 데이터에는 존재하지만 훈련, 검증 데이터에는 존재하지 않을 수 있다. 아이템을 기준으로 분할할 경우도 마찬가지이다. 즉, 한 가지만을 기준으로 데이터를 분할할 경우 시험, 훈련, 검증 데이터 각각이 보유하는 정보가 편향될 수 있다. 이러한 문제의 발생을 방지하고자 본 논문을 비롯하여 추천 시스템에서는 실제 평가가 이루어진 값을 기준으로 특정 사용자의 평점 정보를 시험, 훈련, 검증 데이터에 모두 보유할 수 있도록 분할하였다. 따라서 특정 사용자가 단 한번도 시험 데이터에 등장하지 않을 수 있는 가능성을 배제하였다.</p> <p>쿨백-라이블러 발산의 정의에 따르면 $ D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \\| p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) \right )=E_ { q_ {\phi } } \left ( \log q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) / p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) \right ) $이다. 또한 쿨백-라이블러 발산은 항상 0 이상의 값을 갖는다는 성질에 따라 식 (2.9)의 부등식과 같이 표현할 수 있고 이를 evidence lower bound (ELBO)라고 한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) &=E_ { q_ {\phi } } \left ( \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) \right )-D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \\| p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) \right ) + D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \\| p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \right ) \\ & \geq E_ { q_ {\phi } } \left ( \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) \right )-D_ {\mathrm { KL } } \left (q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \\| p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) \right ) \end {aligned} $<caption>(2.9)</caption></p> <p>Figure 4는 변분 오토인코더의 구조를 나타낸 것이다. 여기서 가우시안 분포를 가정한 인코더 부분인 $ q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { X } _ { i } \right ) $로부터 직접적으로 $ \mathbf { z } _ { i } $ 를 추출하는 것이 아니라 $ \mathbf { z } _ { i } $ 의 분포를 알기 위해 샘플링하여 $ \mathbf { z } _ { i } $의 평균 $ \boldsymbol {\mu } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { k } $와 표준편차 $ \sigma_ { i } \in \mathbb { R } ^ { k } $를 출력한다. 이때 역전파 알고리즘 과정 중에 미분이 불가능한 점이 발생하기 때문에 이를 방지하기 위하여 $ \mathbf { z } _ { i } $를 대신하여 $ \mu_ { i } + \sigma_ { i } \odot \epsilon_ { i } $를 디코더의 입력값으로 입력하며 이러한 방법을 reparameterization trick이라고 한다. 여기서 $ \odot $은 요소별 곱셈 연산(element-wise product)을 수행하는 것을 의미하며 $ \epsilon_ { i } \in \mathbb { R } ^ { k } $의 각각의 원소는 평균이 0 , 표준편차가 1인 정규분포를 따른다고 가정한다. 변분 오토인코더의 목적은 $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) $와 $ q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 유사하게 근사시키는 것이기 때문에 두 분포의 유사성을 측정하는 척도인 쿨백-라이블러 발산(Kullback-Leibler divergence; KLD)을 최소화하고자 한다. 이는 입력값인 $ \mathbf { x } _ { i } $의 분포를 최대한 파악하고자 확률분포함수에 로그를 취한 $ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 최대화하는 것으로 생각할 수 있다. 이러한 변분 오토인코더의 목적함수를 유도하는 과정은 다음과 같다. 식 (2.6)은 베이즈 규칙(Bayes rule)을 이용하여 $ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 표현한 것이다</p> <p>$ \hat { x } _ { i j } = \mu + b_ { i } + b_ { j } + \left ( \beta \cdot \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) + \boldsymbol {\epsilon } _ { j } \right ) ^ { T } \mathbf { p } _ { i } $.<caption>(2.12)</caption></p> <p>축약 오토인코더를 이용하여 아이템에 대한 잠재 요소를 추출하는 방법과 마찬가지로 사용자에 대한 잠재 요소를 추출하여 $ \mathbf { p } _ { i } $를 대신할 수 있으나 사실상 사용자의 고유 정보를 얻는 것에 많은 어려움이 있기 때문에 위와 같이 아이템에 대한 보조 정보를 활용하는 것이 합리적이다. 이렇게 계산된 값을 통해 AutoSVD 방법의 목적함수를 정의하면 식 (2.13)과 같다</p> <p>$ \underset {\mathbf { p } ^ { * } , b ^ { * } , \epsilon ^ { * } } {\operatorname { argmin } } \sum_ { (i, j) \in K(R) } \left ( \left (x_ { i j } - \hat { x } _ { i j } \right ) ^ { 2 } + \lambda \left ( \left \\| \mathbf { p } _ { i } \right \\| ^ { 2 } + \left \\| \boldsymbol {\epsilon } _ { j } \right \\| ^ { 2 } + b_ { i } ^ { 2 } + b_ { j } ^ { 2 } \right ) \right ) $.<caption>(2.13)</caption></p> <p>SGD 방법을 이용하여 모수 업데이트를 진행하는 AutoSVD 방법의 알고리즘은 다음과 같다.</p> <h2>2.5. AutoSVD + +</h2> <p>SVD 방법과 축약 오토인코더를 결합한 AutoSVD 방법은 잠재 요소를 추출할 때 비선형 관계를 고려한다는점에서 높은 정확도를 기대할 수 있으나 이는 명시적 피드백을 이용한다는 점에서 높은 희박성을 갖는다는 문제에 당면한다. 이를 보완하고자 내재적 피드백을 함께 고려한 방법인 SVD + + 방법에 축약 오토인코더를 결합한 것이 AutoSVD + + 방법이다. AutoSVD 방법에서 아이템에 대한 잠재 요소 벡터 $ \mathbf { q } _ { j } $를 대신한 것과 같은 방식으로 사용자에 대한 잠재 요소 벡터 $ \mathbf { p } _ { i } $를 SVD + + 방법에 의해 두 부분으로 나눌 수 있다. AutoSVD + + 방법을 이용하면 $ \hat { x } _ { i j } $을 식 (2.14)와 같이 계산한다.</p> <p>$ \underset {\mathbf { W } _ { 1 } , \mathbf { W } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 2 } } {\operatorname { argmin } } L( \mathbf { X } , \hat {\mathbf { X } } )= \underset {\mathbf { W } _ { 1 } , \mathbf { W } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 2 } } {\operatorname { argmin } } \sqrt {\sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { j=1 } ^ { M } \frac {\left (x_ { i j } - \hat { x } _ { i j } \right ) ^ { 2 } } { N M } } $.<caption>(2.5)</caption></p> <h2>2.3. 변분 오토인코더</h2> <p>오토인코더는 주어진 데이터로부터 차원 축소를 통하여 핵심 요소를 추출하는 것이 목적인 반면, 변분 오토인코더(variational autoencoder; VAE)는 추출된 핵심 요소의 분포를 찾아내고 이 분포로부터 새로운 자료를 생성하는 것이 목적이다. 즉, 오토인코더는 입력과 출력이 유사하도록 학습시키는 모형이고 변분 오토인코더는 입력의 분포를 따르는 새로운 출력을 생성하는 생성 모형(generative model)이다. 이렇듯 변분 오토인코더가 일반적인 오토인코더와 목적상 차이가 있음에도 불구하고 '오토인코더'라는 명칭을 사용하는 이유는 인코더와 디코더로 이루어져 있고 상호 대칭형 구조를 이룬다는 점이 유사하기 때문이다.</p> <p>변분 오토인코더의 발상 원천은 현실에서 접하는 데이터의 경우 그 분포를 다루는 것이 어렵고 계산에 시간이 많이 소요된다는 점이다. 예를 들어 $ \theta $를 생성 모형 모수(generative model parameter)라 하고, $ \phi $를 변분 모수(variational parameter)라고 할 때, $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right )= \int p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) d \mathbf { z } _ { i } $를 계산하기 위해서는 $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { Z } _ { i } \right ) $를 알아야 하는데 현실적으로 불가능하며 알고 있더라도 그것의 적분을 계산하기까지 오랜 시간이 소요된다. 또한, 조건부 사후 분포인 $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right )=p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) / p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $의 경우도 동일한 어려움이 있다. 이를 해결하기 위하여 $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 대신하여 다루기 쉬운 분포로서 $ q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $라고 가정하여 분포를 구성하는 모수들을 조정함으로써 실제 확률분포와 유사하도록 근사시킨다. 이를 변분 추론(variational inference)이라고 한다. 주로 $ q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 가우시안 확률분포로 가정하며 입력값 $ \mathbf { x } _ { i } $로부터 잠재 변수 $ \mathbf { z } _ { i } $를 추출해 내는 부분을 의미하므로 확률적 인코더(probabilistic encoder)라고 한다. 마찬가지로, 추출된 $ \mathbf { z } _ { i } $로부터 $ \mathbf { x } _ { i } $를 생성해내는 부분인 $ p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) $를 확률적 디코더(probabilistic decoder)라고 부른다.</p> <p>AutoSVD 방법과 AutoSVD + + 방법을 이용할 때는 축약 오토인고더의 결과에서 식 (3.1)에서 정의한 masked RMSE 값이 가장 작은 조합의 초모수로 학습한 모형으로부터 추출한 $ \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) $를 이용하였으며 모형의 알고리즘 설명에서 언급했던 $ \lambda $와 $ \gamma $를 초모수로 지정하여 조절한다. 결과표 내의 비어있는 칸들은 그에 상응하는 초모수나 활성화 함수의 사용이 적절하지 않아 과적합이 발생한 경우를 의미한다.</p> <p>마지막으로 위와 같은 학습 과정을 통하여 최종적으로 얻어진 최적의 모수 조합을 이용하여 MovieLens $ 1 \mathrm { M } $, Amazon Review, 그리고 Yelp Review 데이터에 위에서 기술한 다섯 개의 모형들을 적합시켜 구한 masked RMSE와 mean absolute error (MAE)값들이 Table 6에 나타나 있다.</p> <p>데이터마다 최적의 초모수 조합이 달라 일정한 패턴을 발견하기는 어렵지만, 고객 평가 데이터이고 0이 많이 있는 데이터라면 이 테이블에 나와 있는 셋팅들을 참고한다면 도움이 될 수도 있을 것이라 생각한다.</p> <h1>4. 결론 및 논의</h1> <p>희박성 비율이 서로 다른 세 개의 데이터에 다섯 가지 모형을 적합시킨 결과, 희박성 비율이 높을수록 은닉층이 많고 각 은닉층에서 사용하지 않을 핵심 요소의 비율이 낮은 모형의 성능이 우수하였다. 이는 이미 희박성 비율이 높기 때문에 보유한 정보를 최대한 이용하는 것이 유리하기 때문이라고 볼 수 있다. 반대로 희박성 비율이 상대적으로 낮은 데이터인 MovieLens $ 1 \mathrm { M } $의 경우 각 은닉층에서 사용하지 않을 핵심 요소의 비율이 높은 경우 모형 성능이 향상되는 것을 볼 수 있었다.</p> <p>세 데이터 모두 공통적으로 오토인코더 방법이 잡음 제거 오토인코더와 변분 오토인코더에 비해 성능이 우수하였다. 그러나 희박성 비율이 높은 Amazon Review와 Yelp Review 데이터의 경우 AutoSVD 방법과 AutoSVD + + 방법에 비해 잡음 제거 오토인코더와 변분 오토인코더의 성능이 더욱 우수하였다. 이를 통해 잡음 제거 오토인코더와 변분 오토인코더는 입력값의 대표성이 높은 잠재 요인을 추출하는 것에 적합하다는 것을 알 수 있다. 그럼에도 불구하고 MovieLens $ 1 \mathrm { M } $ 데이터의 경우 AutoSVD 방법과 AutoSVD + + 방법의 성능이 매우 우수한 것을 발견하였다. 따라서 두 방법론에서 사용하는 $ \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) $ 부분이 모형 성능을 결정하는 것에 매우 중요한 역할을 한다고 볼 수 있다. 즉, 축약 오토인코더의 초모수를 더욱 미세하게 조절한다면 AutoSVD 방법과 AutoSVD + + 방법의 성능이 향상될 것임을 기대할 수 있다.</p> <p>본 논문은 다양한 초모수 조합으로 모형을 실제 데이터로 학습시켜 가장 성능이 좋은 딥러닝 기반의 추천 시스템 모형을 찾고자 다양한 시도를 하였다는 점에서 의의가 있다. 추천 시스템 종류 중에서 협업 필터링 방법과 하이브리드 방법을 이용한 오토인코더 기반의 딥러닝 모형들을 비교하였으며 영화, 책, 레스토랑에 대하여 사용자가 1점부터 5 점까지 매긴 평점 데이터를 분석하였다. 각 데이터는 희박성 비율이 다르다는 차이점을 갖고 있지만 세 개의 데이터가 각각 $ 82 \%, 94 \%, 98 \% $의 높은 비율로 고객의 평점을 가지고 있지 않다는 점을 고려할 때, 이 논문에서 고려한 딥러닝 기반의 오토인코더를 이용한 추천 시스템의 성능은 평점에 대한 예측 오차가 대부분 1점 미만으로 만족할만한 성능을 보인다고 할 수 있겠다.</p> <p>오토인코더는 디코더를 통해 산출한 출력값이 최대한 입력값과 비슷하도록 학습하는 것을 목표로 한다. 따라서 입력값과 출력값의 차이를 계산하는 손실함수를 최소화하는 것이 오토인코더의 목적함수가 되며, 손실함수로서 제곱근 평균 제곱 오차(root mean square error; RMSE)를 정의할 경우 오토인코더의 목적함수는 식 (2.3)으로 표현할 수 있다</p> <p>$ \underset {\mathbf { W } _ { 1 } , \mathbf { W } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 2 } } {\operatorname { argmin } } L( \mathbf { X } , \hat {\mathbf { X } } )= \underset {\mathbf { W } _ { 1 } , \mathbf { W } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 2 } } {\operatorname { argmin } } \sqrt {\sum_ { i=1 } ^ { N } \sum_ { j=1 } ^ { M } \frac {\left (x_ { i j } - \hat { x } _ { i j } \right ) ^ { 2 } } { N M } } $.<caption>(2.3)</caption></p> <p>이때 $ \hat {\mathbf { X } } \in \mathbb { R } ^ { N \times M } $이고, $ i $번째 행은 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } = \left \{\hat { x } _ { i 1 } , \ldots, \hat { x } _ { i M } \right \} ^ { T } $로 정의한다. 그리고 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { x } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ) $로 계산한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) &= \log \frac { p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right ) } { p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) } \\ &= \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \mid \mathbf { z } _ { i } \right ) + \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \right )- \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) . \end {aligned} $.<caption>(2.6)</caption></p> <p>또한, $ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $는 확률밀도 함수의 적분값은 1이라는 성질인 $ \int q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) d \mathbf { z } _ { i } =1 $임을 이용하면 식 (2.7)로 표현할 수 있다</p> <p>$ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right )= \int q_ {\phi } \left ( \mathbf { z } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) d \mathbf { z } _ { i } $<caption>(2.7)</caption></p> <p>이제 식 (2.7)에서 우변의 $ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 대신하여 식 (2.6)을 대입하면 식 (2.8)이 유도된다.</p> <p>Figure 3은 매니폴드 학습(manifold learning)관점에서 잡음 제거 오토인코더의 개념을 나타낸 것이다. 매니폴드 학습이란 고차원 공간상의 데이터를 저차원의 공간상에 생성해내는 것을 의미한다. 매니폴드 학습을 통해 데이터를 대표하는 요소를 저차원의 공간상으로 매핑(mapping)시킴으로써 고차원의 데이터가 갖는 내재적 구조를 찾을 수 있다. 매니폴드 학습 관점에서 보면 Figure 3에서 실선이 원래의 입력값 $ \mathrm { x } _ { i } $를 곡선 형태로 연결한 것일 때, 점선으로 표현된 것처럼 잡음이 추가된 입력값인 $ \tilde {\mathbf { x } } _ { i } $를 $ \mathbf { x } _ { i } $로 최대한 매핑할 수 있도록 매니폴드 학습시키는 과정으로써 잡음 제거 오토인코더를 이해할 수 있다. 여기서 $ q_ {\mathfrak { n } } \left ( \tilde { x } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $는 잡음이 주가된 입력값 $ \tilde { x } _ { i } $의 의미로써 $ \mathbf { x } _ { i } $를 손상시킨 값이라고 이해하였을 때 $ \tilde { x } _ { i } \sim q_ {\mathfrak { n } } \left ( \tilde { x } _ { i } \mid \mathbf { x } _ { i } \right ) $라고 정의한 것이다. 또한, $ g_ {\theta ^ {\prime } } \left (f_ {\theta } \left ( \tilde {\mathbf { x } } _ { i } \right ) \right ) $에서 $ \theta= \left \{\mathbf { W } _ { 1 } , \mathbf { b } _ { 1 } \right \} $을, $ \theta ^ {\prime } = \left \{\mathbf { W } _ { 2 } , \mathbf { b } _ { 2 } \right \} $를 의미한다. 일반적으로 기존의 입력값에 추가할 잡음으로서 가우시안 잡음(Gaussian noisc) 또는 마스크 아옷/드롭 아옷 잡음(mask-oul/drop-out noise)이 사용된다. 특히 마스크 아웃/드롭 아웃 잡음의 경우 본 논문에서는 사용자가 실제 평가를 한 점수 중 일부를 임의로 선택하여 0점으로 가림으로써 잡음의 역할을 수행하도록 하였다. 잡음 제거 오토인코더는 식 (2.1)에서 $ \mathbf { x } _ { i } $ 대신 잡음이 추가된 $ \tilde {\mathbf { x } } _ { i } $를 대입하여 모형을 학습시키며 기본적인 오토인코더와 마찬가지로 제곱근 평균 제곱 오차를 손실함수로 가정할 겅우의 목적함수는 식 (2.3)로 표현할 수 있다. 단, 오토인코더에서는 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { x } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ) $라고 정의하는 것과 다르게 잡음 제거 오토인코더에서는 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \tilde {\mathbf { x } } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ) $로 정의한다. 이때 $ \hat {\mathbf { X } } $의 $ i $번째 행은 $ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \tilde {\mathbf { x } } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ) $로 계산한다.</p> <h2>2.2. 잡음 제거 오토인코더</h2> <p>기본적인 오토인코더가 입력값과 최대한 비숫한 출력값을 산출하도록 학습하는 것이 목표인 반면, 잡음 제거 오토인코더(denoising autoencoder)는 잡음이 추가된 입력값을 최대한 잡음이 추가되기 전의 입력값으로 재구성하도록 학습하는 것을 목표로 하는 모형이다. 잡음 제거 오토인코더를 제안한 논문에 따르면 이 모형의 발상 원천은 'robustness to partial destruction of the input'이라고 실명한다. 즉, 입력값에 일부 누락된 부분이 있더라도 핵심적인 요소를 파악한다면 입력값을 복원해 내는 효과를 기대할 수 있는 것이다. 따라서 잡음이 추가된 입력값으로부터 잡음이 제거된 값을 출력하도록 학습시키기 때문에 기본 오토인코더에 비해 입력값의 대표성이 더욱 높은 요소를 학습한다. Figure 2는 잡음 제거 오토인코더의 구조이다. 진체 평점 행렬(rating matrix) $ \mathbf { X } \in \mathbb { R } ^ {\mathrm { M } \times \mathrm { N } } $에서 잡음이 추가된 $ i $번째 행은 $ \tilde {\mathbf { x } } _ { i } = \left ( \tilde { x } _ { i 1 } , \ldots, \tilde { x } _ { i M } \right ) ^ { T } $로 정의한다. 기본적인 오토인코더와 다르게 입력값으로서 $ \tilde { x } _ { i } \in \mathbb { R } ^ {\mathrm { M } } $이 입력되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 인코더와 디코더의 활성화 함수에서 입력값은 $ \tilde {\mathbf { x } } _ { i } $가 되어 식 (2.4)로 정의된다.</p> <p>$ \mathbf { z } _ { i } =f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \tilde {\mathbf { x } } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ), \quad i=1, \ldots, N $,</p> <p>$ \hat {\mathbf { x } } _ { i } =g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { z } _ { i } + \mathbf { b } _ { 2 } \right )=g \left ( \mathbf { W } _ { 2 } f \left ( \mathbf { W } _ { 1 } \tilde {\mathbf { x } } _ { i } + \mathbf { b } _ { 1 } \right ) + \mathbf { b } _ { 2 } \right ), \quad i=1, \ldots, N $.<caption>(2.4)</caption></p> <p>따라서 변분 오토인코더의 목적인 쿨백-라이블러 발산을 최소화하는 문제는 결국 $ \log p_ {\theta } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ) $를 최대화하는 문제로 바뀐다. 부등식을 기준으로 우변의 첫 번째 항은 디코더에 의해 재구성된 출력값의 우도(likelihood)의 측도를 나타내는 것이기 때문에 재구성 항(reconstruction term)이라고 한다. 또한, 부등식을 기준으로 우변의 두 번째 항인 쿨백-라이블러 발산항에 해당하는 부분은 근사시킨 사후 확률 분포에 규제를 주는 효과가 있기 때문에 정칙자(regularizer)라고 한다.</p> <h2>2.4. AutoSVD</h2> <p>하이브리드 방법은 콘텐츠 기반 필터링 방법과 협업 필터링 방법을 결합시킨 것이다. 협업 필터링 방법은 사용자의 선호를 파악하기에 효과적이지만 사용자와 아이템의 평점 행렬이 희박 행렬이라는 단점이 있다. 이를 보완하기 위하여 아이템에 대한 정보를 결합함으로써 추천 시스템의 성능을 향상시키고자 한다. 그 중 본 논문에서 비교할 하이브리드 방법은 AutoSVD 방법과 AutoSVD + + 방법이다. 두 방법은 공통적으로 축약 오토인코더(contractive autoencoder)와 SVD 방법을 결합하여 아이템의 보조 정보(side information)를 활용한다.</p> <p>축약 오토인코더는 잡음이 추가된 입력값을 이용하여 입력값으로부터 더욱 대표성이 높은 핵심 요소를 추출할 것을 기대한다는 점에서 잡음 제거 오토인코더와 유사한 목적이 있다고 할 수 있다. 그러나 구체적으로 살펴보자면, 잡음 제거 오토인코더는 재구성의 강건성(robustness of reconstruction)을 확보하는 것이 목적이지만 축약 오토인코더는 대표성의 강건성(robustness of representation)을 확보하는 것이 목적이라는 점에서 차이가 있다. 다시 말해 잡음 제거 오토인코더는 잡음이 추가된 입력값으로부터 잡음이 제거된 출력값을 산출하도록 디코더 부분을 학습시키는 반면, 축약 오토인코더는 입력값에 약간의 변화가 있더라도 원래의 입력값을 대표할 수 있는 핵심 요소를 추출하는 인코더 부분을 학습한다. 축약 오토인코더로 아이템에 대한 핵심 요소를 추출하는 인코더를 학습하고자 하기 때문에 표기를 새롭게 정의하도록 한다. 전체 평점 행렬 $ \mathbf { X } \in \mathbb { R } ^ { N \times M } $에 대하여 $ j $번째 열은 $ \mathbf { x } _ { j } = \left (x_ { 1 j } , \ldots, x_ { N j } \right ) ^ { T } $로 정의하면 인코더는 이를 입력값으로 받아 활성화 함수 $ f( \cdot) $를 거쳐 $ k \ll M $으로 차원이 축소된 잠재 변수를 $ \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) \in \mathbb { R } ^ { k } $라고 지칭한다. 이때 활성화 함수를 구성하는 가중치 행렬은 $ \mathbf { W } _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { k \times N } $, 편향 벡터는 $ \mathbf { b } _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { k } $로 정의한다. 즉, 축약 오토인코더를 통해 추출한 아이템에 대한 잠재 요소를 의미하는 $ \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) $는 다음과 같이 표기할 수 있고 이를 디코더의 입력값으로 받아 최종적으로 출력하는 값인 $ \hat {\mathbf { x } } _ { j } $은 식 (2.10)과 같이 계산된다.</p> <p>3. Yelp Review Data 2004년부터 시작된 Yelp는 레스토랑이나 여러 서비스에 대한 소비자들의 리뷰를 공유할 수 있는 플랫폼으로, 현재 대표적인 온라인 관광 소셜 커머스 포털 중 하나로 자리잡았다. 특히 사용자들이 레스토랑에 대한 후기를 공유하고 서로 친목을 형성할 수 있도록 모바일 플랫폼을 제공하여 더욱 많은 양의 데이터를 보유하고 있다. 본 논문에서는 2018년에 발표된 Yelp Review (https://www.yelp.com/dataset) 데이터를 사용하였다. 데이터는 $ 1,326,101 $명의 사용자가 174,567개의 레스토랑에 대하여 1점부터 5점까지 평점을 매긴 것으로, 총 $ 5,261,668 $개의 평점을 담고 있다. 그러나 이 경우에도 마찬가지로 희박성 비율이 $ 99.998 \% $로 과도하게 높기 때문에 본 논문에서는 평가를 가장 많이 한 상위 8,748명의 사용자와 그에 해당하는 500개의 레스토랑만 고려하였다. 그 결과 약 $ 98 \% $의 희박성 비율을 갖는 데이터를 이용하였다.</p> <p>우선 모형의 학습 과정에 대해 기술하고 그 결과를 요약하면 다음과 같다. 데이터에 오토인코더, 잡음 제거 오토인코더 그리고 변분 오토인코더를 학습시킬 때 각 모형에서 은닉층(layers)의 수와 층을 거치면서</p> <p>추출할 핵심 요소(nodes)의 수, 그리고 과적합을 방지하기 위해 각 층에서 사용하지 않을 핵심 요소의 비율(dropout) 그리고 층을 연결하는 활성화 함수를 초모수로 지정하여 조절하였다. Table 1, Table 2, Table 3은 오토인코더, 잡음 제거 오토인코더, 변분 오토인코더를 세 데이터에 학습시킨 결과이다. 이 세 개의 표에서 나타나는 활성화 함수의 경우 첫 번째는 은닉층 사이에 해당하는 활성화 함수를, 두 번째는 최종 출력 직전의 활성화 함수를 의미한다. 오토인코더와 잡음 제거 오토인코더는 모형의 평가를 masked RMSE의 값으로 한다. 한편, 변분 오토인코더는 모형의 정의 자체가 실제 분포함수와 가정한 분포함수의 거리를 쿨백-라이블러 발산을 측정하여 최소화하는 방법론이기 때문에 이 측도를 성능의 기준으로 고려하여 모형을 평가한다.</p> <p>모든 데이터 분석에서 교차 검증 과정에서 발생하는 임의성으로 인한 변동을 줄이기 위하여 위에 서술한 전체 과정을 5번 반복 실험한 후의 결과값을 평균내어 요약한다. 평균값의 표준오차(standard error)들은 매우 작은 값이어서 테이블에 따로 표기되어 있지 않다. 각 테이블에서 최적의 학습 결과를 보여주는 초모수 결합의 결과는 굵은 숫자로 표기되어 있다.</p> <p>Table 4는 축약 오토인코더를 세 데이터에 학습시켜 얻어낸 masked RMSE를 보여준다. 축약 오토인코더로 학습한 $ \operatorname { cae } \left ( \mathbf { x } _ { j } \right ) $을 이용하여 AutoSVD와 AutoSVD + + 를 학습하여 얻은 masked RMSE은 Table 5에 나타나있다.</p>	자연
	<h1>4. 결론</h1> <p>2022학년도 대학수학능력시험에서 수학 영역 선택과목으로 ‘확률과 통계'에 257,466명이 지원해 전체 수학 영역 지원자의 $ 53.2 \% $를 차지했다. 2022년부터 각 대학에서 교양 통계학을 수강하는 신입생이 크게 늘어날 것이라 예측되며 이 과목이 그들이 배우는 마지막 통계일 가능성은 매우 높다. 국내에서 순수 개발된 15종 교재의 집필에 참여한 통계학 교수는 100명이 넘는다. GAISE 2016 보고서의 권고 사항과 비교할 때 다양한 배경을 가진 신입생들의 한 학기 교양 통계학 수업의 교재로 추천할만한 책은 보이지 않는다.</p> <p>연구설계에 무작위를 어떻게 적용했느냐에 따라 허용되는 결론이 다르다는 것을 언급한 교재는 없다. 모든 교재에서 흔히 볼 수 있는 공통점은 '어느 회사', '어떤 공장', '한 도시' 등과 같은 표현이다. 현실을 모방하여 인위적으로 만든 데이터임을 스스로 밝히고 있는데 학생의 흥미를 끌만한 어떤 질문도 하기 어렵다. 인위적으로 만든 가짜 데이터를 수십여 개 입력하고 기술통계 분석과 통계적 추론의 결과에 누가 흥미를 보이겠는가?</p> <p>고등학교에서 모든 학생이 정규분포와 이항분포를 배우고 EBS 방송사의 웹사이트에서 정규분포와 이항분포의 확률을 구할 수 있다. 왜 모든 교재가 한결같이 부록으로 정규분포와 이항분포표를 수록하고 수치를 찾는 방법을 설명하는 것인가? 기술통계에서 배웠던 히스토그램과 상자그림은 통계적 추론에서 표본의 분포가 어떤 모양인지 확인할 때 사용하지 않는다. 관측 연구에서 두 변수의 연관은 중첩변수로 설명할 수 있으므로 연관을 인과관계로 해석하지 말아야 한다고 경고하는 교재는 많지 않다.</p> <p>통계를 배우는 초심자가 매우 중요하지만 가장 어려워하는 개념중의 하나가 표집분포이다. 15종 교재 중에서 8종은 한국통계학회의 공식 용어인 표집분포 대신에 혼동하기 쉬운 표본분포라는 용어를 사용하여 학생을 혼랍스럽게 만든다. 모집단 분포가 모집단의 확률분포임은 명확한데 표본분포는 표본의 확률분포가 아니고 표본을 반복 추출했을 때 얻어지는 표본 통계량의 분포라고 한다면 누가 혼랍스럽지 않겠는가? 심지어 표집분포 개념을 슬그머니 생략하고 중심극한정리만 다루는 교재도 있다.</p> <p>개념적인 이해를 강조하고 통계적 사고력을 기르기보다는 계산에 치중한 나머지 분산, 상관계수, 회귀선 기울기 등을 계산할 때 포켓계산기 시절에나 사용했던 간편 공식을 소개한다. 간편 공식은 통계적 개념을 이해하는데 방해가 된다. 분산은 단위의 제곱이기 때문에 이해하기 어려운 개념이므로 굳이 정의할 필요 없이 표준편차를 직접 다루는 것이 좋다고 생각한다. 가설검증에서 $ p $-값을 계산하지도 않고 유의수준에 따라 기각역과 채택역으로 나누고 영가설을 기각하지 못한 경우 영가설을 채택한다고 설명한다. 영가설이 정확히 맞지 않을 때 표본 크기가 커지면 모든 영가설은 기각되는데 효과크기(effect size)에 대한 신뢰구간을 계산하지 않는다. GAISE 2016 보고서는 통계적 추론에서 신뢰구간, $ p $-값, 영가설 기각여부 등의 세 가지 결과 중에서 가장 좋은 것은 신뢰구간을 제시하는 것이고 가장 나쁜 것은 $ p $-값 계산 없이 영가설 기각여부만 판단하는 것이라고 한다.</p> <p>학술지에 게재된 많은 연구가 재현되지 않는 거짓 연구라는 Ioannidis (2005)의 주장은 미국통계학계를 큰 충격에 빠뜨렸다. 재현성 위기는 특히 사회과학과 의학 분야에서 심각한데 연구자들은 학술지가 요구하는 0.05보다 작은 $ p $-값을 얻기 위한 다양한 노력을 기울였는데 이를 $ P $-hacking이라고 한다. 기초와 응용 사회 심리학회지(Basic and Applied Social Psychology)는 영가설 유의성 검증의 p-값 사용을 금지했다 (Trafimow와 Marks, 2015). 이런 위기 상황에서 미국통계학회는 p-값에 대한 공식적인 입장을 내놓았다 (Wasserstein과 Lazar, 2016). p-값을 특정 통계 모형하에서 요약 통계량이 관측값과 같거나 더 극단적일 확률이라고 정의한다. 또한 연구자들이 $ p $-값을 잘못 해석하는 몇 가지 사례를 제시하고 $ P $-hacking을 경고한다.</p> <p>2019년 미국통계학회는 학술지 ‘The American Statistician'에 21세기의 통계적 추론에 대한 논문 43개를 실은 특별호를 제작하고 누구나 자유롭게 볼 수 있게 공개했다. 이 논문들에 의하면 국내에서 개발된 교양 통계학 교재의 통계적 추론은 21세기 학생에게 맞지 않는 20세기 낡은 방식이다.</p> <p>GAISE 2016 보고서가 권장한 사항들을 국내 교양 통계학 교재는 거의 반영하지 않았다. 하지만 GAISE가 지양해야 한다고 언급한 거의 모든 사항은 국내 교재에서 쉽게 찾을 수 있다. 전국 여러 대학의 교양 통계학 강좌의 실태를 파악하다보니 같은 통계학과에서 교수들이 각기 자신이 저술한 교재를 사용하는 경우도 있었다. Cobb (1987)은 교양 통계학 교재를 판단할 때 연습문제가 가장 중요하다고 강조한다. 교양 통계학 교재를 저술할 때 좋은 연습문제를 만드는 것이 그만큼 어렵다는 것을 의미한다. 왜 많은 대학들이 통계적 개념과 사고력을 키우는 좋은 연습문제를 만들지 못하면서 비슷한 교재를 각자 개발하여 사용하는 것인가? 15종의 교재 개발에 참여한 100명이 넘는 저자들 모두 GAISE 보고서의 존재를 몰랐을까? 당면한 국내 교양 통계학 교재의 위기를 기회로 바꾸기 위한 한국통계학회의 역할을 기대해 본다.</p> <p>2013년 7월 29일자 KBS 뉴스에 따르면 고압송전탑에서 80m이내 거주하면 소아의 백혈병 위험이 4배 증가한다고 하였다. 근거로 전국 242 곳의 송전선로에서 전자파 노출량을 측정한 데이터와 스웨덴에서 나온 한 보고서를 제시하였다. 하지만 한국전력측은 세계보건기구조차 전자파 노출과 암의 연관은 인정하지 않는 다고 주장한다. 2021년 9월 12일자 한국일보는 충남이 고압 송전선로의 전자파 노출량과 주민 건강 사이의 연관성을 조사한다는 기사를 내보냈다. 고압송전선과 소아백혈병에 관한 11건의 연구 결과를 종합 분석한 Amoon 등 (2018)의 연구 결과는 둘 사이에 연관이 있다는 확실한 증거를 찾지 못했다는 것이다. 이 연구 결과를 보도한 국내 뉴스는 하나도 없었다. 특별한 교육 없이도 연관을 인과관계로 해석하는 것이 보편적인 것을 보면 인간이 진화한 600 만 년 동안 연관을 인과관계로 해석하는 것이 위험을 최대한 줄여 생존 확률을 높인 것이 아닌가 생각한다. 언론은 관측연구에서 발견된 연관을 인과관계로 확대 해석하거나 확인되지는 않았지만 독자의 관심을 끄는 자극적인 뉴스를 꾸준히 생산한다. Ramsey와 Schafer (2002)는 연구 설계에 무작위를 어떻게 적용했느냐에 따라 모집단 일반화와 인과관계 주장 여부가 달라진다는 것을 Figure 3으로 요약하였다. 연구설계를 어떻게 했느냐에 따라 결론이 다르다는 것은 교양 통계학 수업이 끝날 때까지 몇 번이나 강조해도 지나치지 않을 것이다.</p> <p>도수분포표를 수작업으로 만드는 과정을 자세히 다룰 필요는 없다. 히스토그램에서 분포의 모양이 대략 종모양인지 아니면 어느쪽 꼬리가 길어 비대칭인지 또는 이상점이 있는지를 파악하는 것이 중요하다. 통계량 계산이나 그래프를 그릴 때 컴퓨터를 이용한 후 어떤 흥미로운 질문에 답할 수 있는가에 집중해야 한다.</p> <p>국내에서 순수 개발된 교양 통계학 교재 15 종 모두 비전공자를 대상으로 하는 한 학기 교양 통계학 수업의 교재로 부적절하다고 생각하는 가장 큰 이유는 확률과 중심극한정리에 지나치게 의존한다는 점이다. 중심극한정리는 과거에 컴퓨터가 없어 표집분포를 근사적으로 구하던 시절에나 중요한 정리일 뿐이다. 모수의 종류, 표본 크기 등에 따라 다양한 통계 공식을 요리법처럼 소개한다. 이렇게 집필된 교재로 수리적 배경이 약한 학생들이 한 학기 교양 통계학 수업을 배우고 졸업했을 때 대학에서 배운 최악의 과목은 통계학이라고 하지 않을까 걱정된다.</p> <p>GAISE 2016 보고서는 확률에 의존하지 않고 통계적 추론을 다루는 방법을 예제로 설명한다. Lock 등 (2017)은 확률, 확률변수, 이항분포 등의 도움없이 붓스트랩 분포와 무작위 분포를 이용하여 다양한 상황에서 통계적 추론을 직관적으로 설명한다. 2020년부터 전북대 교양 통계학의 교재로 Lock 등 (2017)을 사용하고 있는데 학생들의 만족도가 매우 높다. Choi와 Han (2019)은 확률에 기초하지 않고 통계적 추론을 저술한 교재인 Tintle 등 (2016)을 교양 통계학의 전자 교재로 변환하여 사용한 수업에서 자동으로 축적된 데이터를 분석하였다.</p> <p>Cobb (2007)은 교양 통계학에서 $ t $-검증을 중요하게 다루는 이유는 많은 사람들이 자주 사용하기 때문이라고 스스로 답한다. 그러면 왜 누구나 $ t $-검증을 사용하는가라고 다시 묻고 교양 통계학에서 중요하게 다루기 때문이라고 답한다. 교양 통계학의 교재를 집필한 저자들은 모두 확률, 확률변수, 확률분포, 중심극한정리 등의 수리적 이론에 기초한 통계적 추론을 학부에서 배웠을 것이라고 $ 100 \% $ 확신한다. 하지만 이런 방식은 단 한 학기 교양 통계학을 배우는 비전공 학생 또는 수학 공포증을 가진 학생에게는 적절하지 않다. Cobb (2007)은 중심극한정리에 기반한 통계적 추론을 천동설, 컴퓨터 모의실험으로 하는 추론을 지동설로 비유한다. 지동설을 받아들이기까지 수많은 세월이 걸린 것처럼 교양 통계학에서 다루는 통계적 추론 방식이 컴퓨터의 모의실험 기반으로 바뀌는데 한 세대가 걸릴 것이라고 비관적인 예측을 한다.</p> <h1>2. 미국통계학회의 2016년 GAISE 보고서</h1> <p>미국 대학 커리큘럼에서 통계교육을 위한 정식 교재로 처음 개발된 책은 통계학자 Mosteller와 수학자 2명이 확률 이론에 기초하여 저술한 Mosteller 등 (1961)이다. 1960년대 말부터 1970년대 초까지 Tukey는 확률에 기초한 모형에서 벗어난 여러가지 탐색적 데이터 분석 기법을 발표하였다. 1970년대 말에 통계적 방법보다는 개념에 치중한 두 권의 명저 Freedman 등 (1978)과 Moore (1979)가 출간되었다. 두 교재는 통계 분석 기법을 배워야 하는 학생보다는 통계 정보의 광범위한 소비자를 대상으로 했다. 1980년대에는 점점 더 많은 통계학 입문 교과서들이 통계적 개념을 강조하고 실제 데이터를 사용하였다. Cobb (1987)은 16종의 통계학 입문 교재의 장단점를 비교하면서 교재의 수준은 연습문제로 평가할 것을 여러 번 강조하였다.</p> <p>미국은 2000 년대로 들어서면서 대학에서 통계학을 수강하는 학생수가 매년 증가했다. 교양통계 수강생수가 증가하면서 자연스럽게 학생의 전공과 관심 분야, 수강 동기도 매우 다양해졌다. 교양 통계학을 가르치는 교수자는 더 이상 학생들이 수학적 기초가 충실하고 장래 그들의 직업에서 통계분석 생산자가 될 것이라고 가정할 수 없게 되었다.</p> <p>통계교육 연구 분야의 대가인 George Cobb, David Moore, Joan Garfield 등을 포함한 15 명의 통계학자 그룹은 통계교육의 중요한 이슈가 무엇인가에 대한 연구 결과를 발표하였다 (Cobb, 1992). Cobb의 연구 그룹이 통계교육을 개혁하기 위해 권고한 사항은 다음 세 가지이다.</p> <ul> <li>통계적사고를 강조하라. 모든 기초통계학 강좌의 기본 목표는 학생의 통계적사고를 기르는 것이어야 한다. 데이터 생산의 중요성과 데이터에는 항상 변동이 존재한다는 것을 강조하라.</li> <li>이론과 방법론보다는 데이터와 통계 개념의 이해를 더 많이 강조하라. 계산과 그래프는 컴퓨터 등을 사용하여 자동화하라.</li> <li>강의는 적게 하고 학생이 능동적으로 수업에 참여할 수 있는 프로젝트, 실험, 그룹 문제해결, 토론 등을 장려하라.</li></ul> <p>Cobb (1992)의 연구 발표 이후 많은 통계교육자들이 권고 사항에 따라 통계교육을 실천하였고 교육 경험을 서로 적극적으로 공유하였다. 1990년대 말 Joan Garfield는 미국과학재단에서 연구비를 지원받아 미국 전역에서 통계교육 개혁 보고서의 효과를 조사하였다 (Garfield, 2000). 통계학, 수학, 심리학, 사회학, 경영학, 경제학 등의 여러 분야 연구자들이 통계교육에서 테크놀러지의 효과적인 사용, 다양한 평가 방법, 능동적 학습을 위한 전략 등을 연구하였다. 21세기초 미국통계학회는 Cobb (1992)의 보고서를 확장하여 ‘통계교육에서 평가와 수업의 가이드라인' 제정을 위한 연구비를 지원하였다. 연구 결과는 두 종류인데 하나는 고등학교 이하의 학생을 위한 통계교육 연구보고서인 Franklin 등 (2007)이고 다른 하나는 대학생을 위한 것이다 (ASA, 2005). 이후 두 보고서는 미국의 초중고를 포함한 대학의 통계학 교재와 수업을 크게 바꾸어 놓았다.</p> <p>Dunn 등 (2017)은 25종의 통계학 입문 교재가 GAISE 권고사항을 잘 따르고 있는지 항목별로 비교하였다. 대부분의 교재가 실제 데이터를 적절히 사용하고 통계적 문해력을 기르는 것은 잘했지만 통계적 개념의 이해와 통계적 사고력을 키우는데는 부족하다고 평가했다. 이는 미국통계학회가 지지한 2005년 GAISE 보고서의 6가지 권고사항이 통계학 입문 교재와 교육의 현장에서 10 여년의 검증을 거치고 살아남았음을 의미한다. 국내에서 순수 개발된 통계학 입문 교재 중에 GAISE 보고서의 존재를 인식하고 집필한 교재가 있을까? 아니면 지금으로부터 30년 전 Cobb (1992)의 연구 그룹이 개혁하려 했던 교재 수준에 머물러 있는 것은 아닌지 심히 우려스럽다.</p> <p>2016년에 개정된 GAISE 보고서의 6가지 권고사항은 2005년의 것과 비슷하지만 좀더 세련되게 말을 가다듬고 항목을 재배치하였다.</p> <ol type=1 start=1><li>통계적으로 사고하는 방법을 가르치라.<ul> <li>문제를 해결하고 의사결정에 필요한 정보를 조사하는 과정으로서의 통계를 가르치라.</li> <li>변수가 여러 개 포함된 문제에서 통계적 사고를 경험하게 하라.</li></ul></li> <li>통계적 개념의 이해를 강조하라.</li> <li>현실과 맥락이 있는 실제 데이터를 목적에 맞게 사용하라.</li> <li>능동적인 학습을 장려하라.</li> <li>학습의 질을 향상시키기 위한 수단으로 평가를 활용하라.</li></ol> <p>처음 두 항목은 교양통계에서 중점을 두고 가르쳐야 하는 내용에 관한 것이고, 나머지는 어떻게 가르쳐야 하는지에 대한 실천적인 방법론이다. GAISE 2016 보고서에는 권고사항을 실천하는 구체적인 예제를 부록으로 제공하는데 100여쪽이 넘는다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>2019년 8월 전북대는 전공기초 성격의 교과목이 교양교육과정을 잠식하는 현실을 타개하고자 2020년부터 교양교육 체계를 대폭적으로 개편하였다. 개편된 교양교육과정은 크게 3개의 영역인데 기초교양, 핵심교양, 일반교양이다. 2019학년도 교육과정에서는 기초교양 아래 공통기초와 이공계기초가 있었으나 개편된 교육 과정에서는 공통기초를 문해력/사고력/표현력의 3분야로 나누었다. 2020 년 신입생부터는 사고력 분야의 3과목 ‘통계적사고와사회', '컴퓨팅사고와인간', '비판적사고와토론' 중에서 반드시 하나를 이수해야 한다.</p> <p>Table 1은 2020년 사고력 분야 3과목의 단과대학별 수강생수이다. 통계학 교양 과목인 ‘통계적사고와사회'를 수강한 학생 860명 중 통계전공 학생은 33명으로 전체 수강생의 $ 4 \% $밖에 되지 않고 나머지 학생들은 15개 단과대학의 95개 전공 학생이다. $ 96 \% $ 학생 중 교양 통계학을 이수한 후에 통계학과의 또 다른 전공과목을 배우려는 학생은 몇 명이나 될까? 많은 학생들이 통계학 교양을 마친 후 통계학을 더이상 배우지 않을 것이 확실한데 과거처럼 전공기초 성격의 통계학을 교양에서 가르치는 것이 옳은 일일까? 2019년 1학기에는 ‘일반통계학'이라는 교양 과목이 하나 개설되었다. 수강생은 통계 전공 36명, 다른 전공은 22명이고 통계 전공의 기초 성격을 갖고 있어서 시중에 나와 있는 통계학 입문 교재 중에 하나를 선택해도 큰 문제는 없었다. 하지만 개편 이후 다양한 배경을 가진 통계 비전공 학생 820 명을 대상으로 교양 통계학 수업에서 무엇을 가르쳐야 하고 또 거기에 적합한 교재는 무엇인가?</p> <p>최근 몇 년 전부터 전국의 여러 대학에서 통계학 교양 과목을 수강하는 학생수가 급증하고 있다. 2020년 12월 한국통계학회 홈페이지에 등록된 전국의 63개 학과 사무실에 전화를 걸어 대학별 통계학 교양과목 현황을 조사하였다. 통계학 관련 교양과목이 개설되어 있는 33개 대학의 과목명, 분반수, 교재 등에 관한 정보를 Table 2에 정리하였다.</p> <p>Table 2를 보면 과목명이 51개로 매우 다양한데 교재는 모두 35종이다. Table 2에서 볼 수 있는 또 다른 특징은 대학별 교양 통계학을 수강하는 학생수가 크게 다르다는 점이다. 학교별 모집 정원이 다르다는 것을 감안하더라도 대학별 수강생 수는 왜 이렇게 차이가 날까? 빅데이터와 데이터 과학에 대한 사회적 관심이 높아짐에 따라 각 대학에서 통계학 교양과목 개설을 늘리고 있다고 생각한다.</p> <p>33개 대학에 개설된 통계학 관련 교과목 각 분반의 정확한 수강생 수를 구할 수 있다면 좋겠지만 현실적으로 쉽지 않다. 대안으로 각 분반의 최대 수강생수를 모두 합하여 대학별 교양 통계학 수강 학생수를 과대추정하여 히스토그램으로 그린 것이 Figure 1이다. 최대 수강생수가 500명 이하인 대학이 18개, 500명에서 1000명이 6개, 1000명 이상은 9개 대학이다. 33개 대학의 수강생 수를 모두 합하면 대략 21,400명인데 실제 수강생 수는 물론 이보다 적을 것이다. 수강생수가 얼마나 되는지는 불확실하지만 교양 통계학을 수강하는 학생수가 많은 대학일수록 통계와 무관한 전공의 학생이 대부분일 것이고, 또 이 수업이 그들의 마지막 통계학 수업이라는 점은 분명하다. 통계 분석의 생산자보다는 소비자로 살아갈 이들의 기억속에 계속 남아 있길 바라는 통계적 개념이나 방법론은 무엇인가?</p> <p>각 대학의 모집정원과 무관하게 이과대학 소속의 통계학과 입학정원은 대략 30명, 문과대학 소속의 통계 학과는 대략 60명 정도이다. Table 2에서 최대 수강생수가 500명 이상인 15개 대학에서 교양 통계학을 수강하는 학생 10명 중 9명은 통계 비전공자라고 생각해도 크게 틀리진 않을 것이다. 국내에서 저술된 기초통계학 교재는 대부분 수리적 능력을 갖춘 통계 전공자를 위한 두 학기용이다. 이러한 교재를 인문사회계열 학생의 교양 통계학 수업에서 사용해도 문제가 없는 것인가? 교양 통계학은 그 대학의 통계학과 교수가 선호하는 다양한 통계적 방법을 독립된 요리법처럼 가르치는 것이 아니고 통계 비전공자가 나중에도 활용할 수 있는 통계적 문해력과 사고력를 기르는 교양과목이 되어야 하는 것이 아닌가?</p> <p>본 연구는 2019년 전북대에서 교양과목 체제 개편 이후 통계학 교양 과목이 크게 늘면서 다양한 배경을 가진 학생들에게 어떤 교재가 적절한지 고민하면서 시작되었다. 대학의 교양과정 이수체계의 변화로 매 학기 통계학 교양 분반은 11 개로 크게 늘어났고 수강생 대부분은 통계를 전공하려는 학생이 아니다.</p> <p>이와 비슷한 상황에서 해결책을 찾기 위하여 미국의 통계교육 연구자들은 2000년대 초까지 꾸준히 연구해왔다. 미국통계학회는 2005년에 그동안의 통계교육에 관한 연구 결과들을 종합한 61쪽짜리 연구보고서 '통계 교육에서 평가와 수업의 가이드라인(Guidelines for assessment and instruction in Statistics education, GAISE)'을 처음 제안하고 2010년에 공식적으로 인정하였다. 미국통계학회는 2005년 GAISE 보고서의 성공에 고무되어 2016년에 개정된 141쪽의 GAISE 보고서를 공표하였다. GAISE 보고서는 한 학기 교양 통계학 수업에서 지나치게 많은 내용을 백화점식으로 늘어놓지 말아야 하고 또 수리적 접근도 지양할 것을 권고한다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서 미국통계학회가 2016년 GAISE 보고서를 공표하게 된 경위를 간략히 소개한다. 국내에서 개발된 교양 통계학 교재는 GAISE 보고서가 제시한 권고사항을 어느 정도 반영하고 있는가에 대해서는 3절에서 논의한다. 결론으로 국내 교양 통계학 교재가 나아가야 할 방향을 제시한다.</p> <h1>3. 국내에서 개발한 교양 통계학 교재</h1> <p>Table 2의 33개 대학에서 교양 통계학 교재로 사용되는 35종 중에서 영어 교재와 번역이 아닌 순수하게 국내에서 개발된 15종의 교재가 GAISE 2016 보고서의 권고사항과 비교하여 교양 통계학의 교재로 적합한지를 논의하려고 한다. 15종의 교재에 대한 기초적인 정보가 Table 4에 요약되어 있다. 국내의 대학별 교양 통계학 수업의 교재는 소속 통계학과 교수진이 공동으로 집필하여 사용하는 경향이 뚜렷이 보인다. 교재에서 사용하는 소프트웨어는 R이 8종, 엑셀이 6종으로 중복을 제외하면 15 종의 교재 중 12종이 R 또는 엑셀이다. GAISE는 적절한 통계 소프트웨어를 반드시 사용하라고 권고하는데 15 종의 교재 중 하나는 소프트웨어를 사용하지 않는다. 소프트웨어 도움 없이 통계 그래프는 어떻게 그리고 통계 계산은 어떻게 하란 말인가?</p> <p>통계 전공 학생을 위한 두 학기용 교재로 생각되는 것은 모두 8종이다. 480~770쪽의 교재를 교양 통계학의 교재로 사용할 경우 기술통계처럼 중요한 내용을 건너뛰거나 몇 개 장을 생략할 것을 권고하는데 이는 자신들이 저술한 교재가 한 학기 교재로 적합하지 않다는 고백으로 들린다. 통계 전공 두 학기용 교재를 한 학기 교양통계 교재로 사용하는 대학의 통계 비전공 학생들은 자신의 수업 교재를 어떻게 평가할까?</p> <p>교재에서 다루는 데이터를 웹에서 파일로 제공하는 교재는 4종으로 전체의 $ 30 \% $도 안된다. 연습문제에서 제시한 데이터를 분석하려면 학생 각자가 데이터를 입력해야 하는데 학생의 수고를 덜어주려면 데이터의 케이스 수가 50개를 넘지 말아야 한다. 이보다 심각한 문제는 이런 데이터는 보통 현실과 맥락이 없고 실제 데이터가 아니며 인위적으로 만든 가짜 데이터라는 사실이다. 평균을 계산하고 히스토그램과 상자그림을 그려 분포의 모양을 파악하고 추정을 한다고 해서 현실의 어떤 문제를 해결하는데 통계가 쓸모 있는가? 요즘 현실에서 만나는 데이터는 케이스 수가 수천 개가 넘는 것이 보통이다. 교양 통계학 수강생이 실제 데이터를 분석하는 경험을 통하여 통계의 유용성을 실감하지 못한다면 교양 통계학의 앞날은 매우 어둡다.</p> <p>15종 교재 모두 부록에 확률분포표를 수록하고 있는데 적게는 15쪽에서 많게는 39쪽까지 다양하다. 교재마다 부록의 가격을 계산하여 평균을 내보니 약 1,300원이다. 표준정규분포, $ t $분포, 카이제곱분포, $ F $분포 등의 확률분포표는 모든 교재에 공통적으로 수록되어 있다. 이항분포확률은 13종, 포아송분포확률은 7종의 교재에 수록되어 있다. 이 모든 분포의 확률은 학생들의 노트북에서 엑셀이나 R이 제공하는 함수를 이용하여 쉽게 구할 수 있는데 왜 부록에 넣었는지 모르겠다.</p> <p>과거에 포켓 계산기를 사용하던 시절에는 종이에 인쇄된 표가 필요했다. 하지만 요즘 교양 통계학을 가르치는 교수자 중에서 누가 통계 소프트웨어로 확률을 구하지 않고 부록의 표를 사용하는가? GAISE 2016 위원회 멤버였던 Allan Rossman과 Robin Lock이 집필에 참여한 Tintle 등 (2016)과 Lock 등 (2017)에는 난수표나 확률분포표가 하나도 없다. 교재의 웹사이트에서 필요한 확률분포의 확률을 직접 구할 수 있기 때문이다.</p> <p>교양통계학 교재를 사지 않은 학생이 있을 수는 있지만 스마트폰이 없는 학생은 없다. 웹에서 ‘확률분포 계산기 앱'을 검색하여 하나를 다운받아 설치해보니 15종의 확률분포에서 확률을 계산할 수 있다. 교양통계학을 배우는 학생들은 어릴 때부터 스마트 기기를 자유롭게 사용하는 디지털 세대이다. 21세기의 네티즌 세대가 앞으로 필요한 것을 가르쳐야지 20세기 학생 시절에 배워서 저자들에겐 익숙할지 모르지만 현재는 쓸모 없는 케케묵은 지식을 왜 가르치는가?</p> <p>난수표를 수록한 교재도 6종이나 있는데 도대체 요즘 누가 난수표를 사용하여 표본을 추출하는가? 20년 전에 난수표를 이용하여 표본을 뽑고 포켓 계산기로 통계 계산을 하던 비효율적인 구습을 왜 지금 미래의 학생들에게 답습하고 있는가?</p> <p>교양 통계학 교재 부록에 과거에 하던 것처럼 확률분포표를 수록하는 것을 영가설이라고 하자. 부록 없이 인터넷 사이트나 스마트폰 앱을 이용하여 분포의 확률을 구하는 것은 대안가설이라고 하자. 100명이 넘는 저자들 모두 대안가설을 지지하는 증거를 현실에서 얻지 못했는가? 아니면 몇몇 증거를 얻고도 저자들이 가지고 있는 유의수준이 너무 작아 영가설을 기각하지 못하는 것인가?</p> <p>연습문제 풀이에 대한 정답이 없는 교재는 6종이다. 풀이를 제공하는 교재는 9종인데 통계 공식에 수치를 대입하여 확률, 신뢰구간, 검증통계량 등을 계산하는 단계별 풀이 과정 또는 단순히 결과만 제시하기도 한다. 이런 유형의 수치적인 정답을 요구하는 연습문제를 한 학기 내내 과제로 내주거나 시험으로 출제한다면 학생들은 교양통계를 뭐라고 생각하겠는가? 통계 비전공자는 한 학기 수업이 모두 끝나고 한 달이 채 지나지 않아 통계적 방법의 세부적인 내용은 거의 잊기 마련인데 그들의 기억속에 무엇이 남아 있을까?</p> <p>표본을 무작위로 추출할 때 표본에서 얻은 결론의 모집단 일반화를 다루는 교재는 많다. 하지만 Table 4의 15종 교재를 포함한 그밖의 다른 교양 통계학 교재는 대부분 자료가 어떻게 생성되는지 자세히 다루지 않는다. 관측연구인 경우에 두 변수의 연관이 아주 강하더라도 두 변수에 영향을 끼치는 잠재적인 중첩변수 (confounding variable)의 가능성을 배제할 수 없다. 연관을 인과관계로 함부로 해석하면 안된다는 경고를 하지 않는 교재가 많으니 실로 안타까운 일이다.</p> <p>국내 교양 통계학 수업에서 조선시대 임금에 관한 데이터는 통계적 사고력을 기르는데 적절하다고 생각한다. 이 데이터는 인터넷 주소 "https://bit.ly/3B7lkdp"에서 얻을 수 있다. 누구나 무료로 깃헙 사이트(github.com)에 계정을 만든 후 데이터를 업로드하고 설명도 추가할 수 있어서 출판사에서 제공하는 단순한 파일 업로드 서비스보다 좋다. 조선시대 임금 데이터는 왕명, 즉위년도, 퇴위년도, 즉위나이, 재위기간, 왕비, 후궁, 왕자, 왕녀, 출생년도, 사망년도, 수명 등 모두 12개의 변수로 이루어져 있다. Figure 2에서 상단의 히스토그램과 상자그림은 임금의 수명에 관한 것으로 분포의 모양은 대략 대칭이고 평균 수명은 45세 정도임을 알 수 있다. 왜 어떤 임금은 80세 넘게까지 오래 살았지만 어떤 임금은 30년도 채 살지 못했을까 질문할 수 있다. 수명의 변동을 설명하는 적절한 변수가 있을까? 하단의 왼쪽 그림은 즉위나이와 재위기간에 대한 산점도와 회귀선으로 늦은 나이에 임금이 될수록 재위기간이 짧아지는 경향이 있다. 이상점이 있다면 어떤 임금인지 질문할 수 있다. 오른쪽 산점도에 임금의 출생년도와 수명의 회귀선 기울기는 거의 0이다. 왜 500년동안 임금의 평균 수명이 늘어나지 않았을까? 1610년에 허준은 14년간의 노력 끝에 종합의서인 동의보감을 저술했다. 20대 경종과 27대 순종은 각각 왕비가 두 명이었는데 자녀가 왜 하나도 없을까? 이런 흥미로운 질문들은 실제 데이터에서만 할 수 있고 교양 통계학을 수강하는 다양한 전공의 학생들에게 흥미와 호기심을 불러일으킬 수 있다.</p> <p>실제 데이터가 아닐 때 요약 통계량과 회귀선의 기울기는 현실적인 맥락을 갖지 못한다. 인위적인 데이터로 교양통계학을 배우는 학생들의 호기심을 자극하는 어떤 흥미로운 질문을 할 수도 없다. 통계적 사고력을 기르려면 반드시 실제 데이터를 사용해야 한다. 국내에서 순수 개발된 교재는 실제 데이터를 예제나 연습문제에서 어느 정도 사용하고 있을까?</p> <p>GAISE 2016 보고서는 교양통계학을 수강하는 대부분의 학생들이 차후에 또 다른 통계학을 배우지 않으므로 가능한 한 많은 것을 한 학기에 가르치려는 경향이 있다고 말한다. 이러한 유혹에 빠지지 말고 전통적으로 다루던 몇몇 주제는 과감히 생략하거나 줄여야 한다. 통계 전공이 아닌 학생이 교양 통계학을 한 학기 배운 후 자신의 전공과 관련된 문헌에서 통계와 관련된 문제를 이해하고 결론은 합리적인지 판단할 수 있어야 한다. 언론에서 ‘코로나19 백신 맞고 사망’같은 기사를 볼 때 실험이 아닌 관측 데이터로 인과관계 주장을 할 수 있나라고 의심할 수 있어야 한다. 이런 관점에서 GAISE 2016 보고서는 교양 통계학에서 다음 주제들을 다루는 것을 숙고하라고 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>확률 이론.<p>미국통계학회는 교양 통계학에서 확률을 더 적게 다루라고 GAISE 2005부터 한결같이 권고한다. 한 학기 배우는 교양 통계학이 마지막인 경우 몇몇 교수자는 확률, 확률변수, 확률분포 등을 다루길 원하지만 GAISE 목표는 이들에 의존하지 않고서도 달성할 수 있다.</p></li> <li>수작업으로 표를 만들고 그래프 그리는 방법.<p>수작업으로 도수분포표를 만들고 그래프를 그리는 방법을 설명하는 대신에 컴퓨터로 만든 표와 그림으로부터 데이터에 관하여 무엇을 알 수 있는지 묻고 답해야 한다.</p></li> <li>중고등학교에서 배운 내용.<p>중고등학교에서 배운 내용. 히스토그램, 파이그래프, 산점도, 평균, 중앙값, 정규분포, 이항분포 등은 모두 중고등학교에서 배운다. 용어 또는 개념을 간단히 복습하는 정도로 끝내야지 다시 자세히 설명할 필요는 없다.</p></li> <li>확률분포표 이용.<p>자료를 통계분석할 때 부록의 확률분포표에서 수치를 찾는 통계 분석가는 없다. 각종의 확률분포에서 확률을 웹 사이트, 스마트폰 등에서도 구할 수 있는 시대가 되었다. 통계 소프트웨어는 가설 검증의 일부로 $ p $-값을 생성하므로 $ p $-값을 계산하는 것보다 문제의 맥락에 따라 해석하는 것을 가르쳐야 한다.</p></li> <li>통계 소프트웨어의 고급적인 기능.<p>통계 소프트웨어의 고급적인 기능. 소프트웨어의 고급적인 기능을 배우는 부담은 통계적 사고력을 키우거나 개념적 이해에 장애물이 된다. 기초 수준을 넘는 고급 프로그래밍 기술은 교양 통계학을 이수한 후 다른 고급과정에서 다루어야 한다. R은 통계를 계속 공부할 학생들에게 적절한 소프트웨어라고 생각되는데 교양 통계학 수업에서 R을 사용한 학생들의 반응이 궁금하다.</p></li></ol>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<h1>08 라그랑주 승수법</h1> <p>도입문제 1</p> <p>$ 1 g(x, y)=x^{2}+4 y^{2}=4 $ 위에서 $ f(x, y)=x y $가 최대가 되는 점을 어떻게 찾을 것인가?</p> <p>함수의 최대 혹은 최솟값을 구하려면 임계점과 경계점에서의 값을 비교했다. 위의 도입 문제와 같이 어떤 함수의 등위면 위에서 함수의 최대나 최소점을 찾는 방법 중 하나가 라그랑주 승수법이다.</p> <p>정리 1 \| 라그랑주 승수법 Lagrange Multplier Method</p> <p>$ R^{n} $의 열린집합에서 정의된 함수 $ f $와 $ g $가 미분가능할 때, $ g $의 등위면 $ g=c $를 만족하는 점 중 $ P $에서 $ f $가 극대 혹은 극솟값을 갖는다고 하자. 이때 $ \nabla_{P} g $가 0 -벡터가 아니면 $ \nabla_{P} f=\lambda \nabla_{P} g $가 되는 실수 $ \lambda $가 있다.</p> <p>정의 1 \| 제약조건 constraint, 목적함수 objective function</p> <p>위의 정리 1에서 $ g=c $ 를 제약조건, $ f $를 목적함수라고 한다.</p> <p>도입문제 1에서 $ x^{2}+4 y^{2}=4 $는 제약조건이고 $ f(x, y)=x y $는 목적함수이다.</p> <p>보기1</p> <p>$ g(x, y, z)=\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1 $ 인 타원체 위의 점 $ (x, y, z) $ 가운데서 $ f(x, y, z) $ $ =x y z $ 의 값을 최대(혹은 최소)가 되게 하는 점을 찾는 문제에서 $ g(x, y, z)=1 $ 을 제약조건이라고 하고 $ f $ 를 목적함수라고 한다.</p> <p>증명</p> <p>제약조건 $ g=c $ 위의 점 $ P $ 를 지나는 미분가능한 곡선의 매개변수식을 $ X(t) $ 라고 하고 $ X(0)=P $ 로 두자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P $ 가 극점이라고 가정하였으므로 $ t=0 $이 $ f(X(t)) $의 극점이기도 하여 이 점에서의 미분은 0이 되어야 한다. 즉, \[\left.\frac{d f(X(t))}{d t}\right\|_{0}=\nabla_{P} f \cdot X^{\prime}(0)=0\] 이고, $ \nabla_{P} f $ 는 $ X^{\prime}(0) $ 과 수직이다.</li> <li>$ g(X(t))=c $ 이므로 $ \left.\frac{d g(X(t))}{d t}\right\|_{0}=\nabla_{P} g \cdot X^{\prime}(0)=0 $ 이고 $ \nabla_{P} g $ 는 $ X^{\prime}(0) $ 과 수직이다.</li> <li>곡선 $ X(t) $ 는 $ g=c $ 위에서 임의로 선택하였으므로 (1)과 (2)에 의해 $ \nabla_{P} f $ 가 $ 0- $ 벡터가 아니라면 $ \nabla_{P} f $ 와 $ \nabla_{P} g $ 는 평행하다. 따라서 어떤 상수 $ \lambda $ 가 있어서 $ \nabla_{P} f=\lambda \nabla_{P} g $ 여야 한다.</li></ol> <p>6장에서 함수의 등위면 위의 한 점에서의 접평면은 그 점에서의 함수의 기울기벡터와 수직임을 음함수 미분을 이용하여 확인하였는데, 위의 증명의 (2)에서 함수의 등위면 $ g=c $ 위의 점 $ P $ 를 지나는 임의의 미분가능한 곡선의 접선벡터 $ X^{\prime}(0) $ 과 $ \nabla_{P} g $ 가 수직임을 보임으로써 이 사실을 다시 확인할 수 있다.</p> <p>도입문제 1 [풀이]</p> <p>$ g(x, y)=x^{2}+4 y^{2}=4 $ 위에서 $ f(x, y)=x y $가 최대가 되는 점을 라그랑주 승수법으로 찾아보자.</p> <p>$ x^{2}+4 y^{2}=4 $ 가 제약조건으로서 $ g(x, y)=x^{2}+4 y^{2}, c=4 $ 이고 목적함수는 $ f(x, y)=x y $ 이다. $ \nabla_{P} f=\lambda \nabla_{P} g $ 로부터 $ y=2 \lambda x, x=8 \lambda y $ 를 얻는다. $ x^{2}+4 y^{2}=4 $ 여야 하므로 이 세 가지 식을 동시에 만족하려면 $ x \neq 0 $ 이고 $ y \neq 0 $ 이고, 따라서 $ \lambda=\frac{y}{2 x}=\frac{x}{8 y} $ 혹은 $ 2 x^{2}=8 y^{2} $이다. $ x=\pm 2 y $이므로 $ \lambda=\pm \frac{1}{4} $를 얻는다. $ \lambda=\frac{1}{4} $ 일 때 $ x=2 y $이고 $ x^{2}+4 y^{2}=4 $로부터 $ y= $</p> <p>$ \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, x=\pm \sqrt{2} $ 를 얻는다. 또한 $ \lambda=-\frac{1}{4} $ 일 때 $ x=-2 y $ 이고 $ x^{2}+4 y^{2}=4 $ 로부터 $ y= $ $ \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $ 을 얻으며, 이때 $ x=\mp \sqrt{2} $ 이다. 네 개의 점 $ \left(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $, $ \left(\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ 이 최대점이 될 가능성이 있는 점으로서 이 가운데 함숫 값이 가장 큰 $ \left(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(-\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ 이 최대점이다.</p> <p>보기2</p> <p>타원체 $ x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=10 $ 위의 점 중 $ f(x, y, z)=x+y+z $ 가 최대가 되는 점 $ P $를 찾아라.</p> <p>풀이</p> <p>$ P=(x, y, z) $ 일 때 $ \nabla_{P} f=(1,1,1)=\lambda(2 x, 2 y, 4 z) $ 여야 하므로 $ x=\frac{1}{2 \lambda}, y=\frac{1}{2 \lambda} $, $ z=\frac{1}{4 \lambda} $ 이다. $ x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=\frac{1}{4 \lambda^{2}}+\frac{1}{4 \lambda^{2}}+\frac{2}{16 \lambda^{2}}=\frac{5}{8 \lambda^{2}}=10 $ 여야 하므로 $ \lambda=\pm \frac{1}{4} $이다. $ \lambda=\frac{1}{4} $ 이면 $ (x, y, z)=(2,2,1) $이고 $ \quad f(2,2,1)=5 $ 이다. $ \lambda=-\frac{1}{4} $이면 $ (x, y, z)=(-2,-2,-1) $ 이고 $ f(-2,-2,-1)=-5 $ 이므로 최대점 $ P=(2,2,1) $이다.</p> <p>보기3</p> <p>$ y=4-x^{2} $ 위에서 $ f(x, y)=y-2 x $ 가 최대점과 최소점을 라그랑주 승수법을 사용하여 있는 대로 다 찾아라.</p> <p>풀이</p> <p>$ g(x, y)=y+x^{2}, c=4 $ 로 두면, $ \nabla_{P} f=(-2,1)=\lambda(2 x, 1) $ 이므로 $ \lambda=1 $ 이고 $ x=-1 $ 이다. 따라서 $ y=3 $ 이다. 이때 $ f(-1,3)=5 $ 가 극대인지 극소인지 확인하기 위해서는 제약조건 위의 다른 점에서의 값과 비교해서 결정한다. 예를 들어 $ f(2,0)=-4 $ 이므로 $ (-1,3) $ 은 극대점이고 동시에 최대점이다.</p> <p>보기4</p> <p>반지름이 $ 1 \leq r \leq 7 $ 이고 표면적이 $ 2 \pi r^{2}+2 \pi r h=100 \pi $ 인 원기둥 중에서 부피 $ V(r, h)=\pi r^{2} h $ 가 가장 큰 것의 반지름 $ r $ 과 높이 $ h $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ 2 \pi $ 를 약분하여 $ g(r, h)=r^{2}+r h=50 $ 으로 두자. 라그랑주 승수법을 이용하면 $ \nabla_{P} V=\lambda \nabla_{P} g $ 에서 $ \left(2 r h, r^{2}\right)=\lambda(2 r+h, r) $, 즉 $ 2 r h=2 \lambda r+\lambda h, r^{2}=r \lambda $ 여야 한다. $ r \neq 0 $ 이므로 $ r^{2}=r \lambda $ 에서 $ r=\lambda $ 을 얻고, $ 2 r h=2 \lambda r+\lambda h $ 는 $ 2 \lambda h=2 \lambda^{2}+\lambda h $ 가 되며 $ \lambda \neq 0 $ 이어야 하므로 $ h=2 \lambda=2 r $ 을 얻는다. 이를 $ g(r, h)=r^{2}+r h=50 $ 에 대입하여 $ r=\lambda=\pm \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}} $ 을 얻는다. $ 1 \leq r \leq 7 $ 이므로 $ \lambda=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}} $ 일 때 점 $ (r, h)=\left(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}}, \frac{2 \sqrt{50}}{\sqrt{3}}\right) $ 이 극대나 극소점이 될 수 있다. $ g(r, h)=r^{2}+r h=50 $을 만족하는 $ (r, h) $ 중에서 임의의 점, 예를 들어 $ (r, h)=(1,49) $ 일 때의 부피와 비교하면 $ (r, h)=\left(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{3}}, \frac{2 \sqrt{50}}{\sqrt{3}}\right) $ 일 때 부피가 더 크므로, 이때 부피가 최대임을 알 수 있다.</p>	자연
추세 제거된 시계열을 이용한 단위근 식별	<p>- Adaptive lasso의 조절모수를 선택하는 방법에 따라 $ \hat {\gamma } =0 $의 비율이 달라진다. AIC를 사용할 때 비율이 가장 낮고, BIC를 사용할 때 비율이 가장 높다. $ \alpha=1 $, 즉 단위근이 존재하는 경우 올바르게 판단한 비율을 보면, AIC로 조절모수를 선택한 경우는 $ 20 \% \sim 40 \% $ 정도로 비율이 높지 않다. 이에 비해 BIC의 경우는 정확하게 판단한 비율이 $ 60 \% $ 이상으로 높고, n이 증가할수록 비율이 약 $ 90 \% $까지 증가한다.</p> <p>● 상수함수 $ \mathrm { C } $를 이용하여 추세를 추정하는 경우에는 참 추세의 기울기와 추정 방법에 따라 판단 결과가 달라진다.</p> <p>- 참 추세의 기울기가 0인 경우에는 Table 2와 Figure 1에서 보듯이 $ \alpha \leq 0.7 $이면서 ERS를 사용한 경우를 제외한 대부분의 경우 $ \hat {\gamma } $가 참값 $ \gamma= \alpha-1 $를 잘 추정한다. 그 결과 Table 1의 결과처럼 $ \alpha $가 1에 가까우면서 n이 작은 때를 제외한 나머지의 경우 단위근의 존재 여부를 판단하는 정확도가 높게 나타난다. 특히 BIC로 adaptive lasso의 조절모수를 선택하고, $ n \geq 500 $으로 큰 경우에는 $ \alpha $의 값에 관계없이 정확도가 $ 95 \% $ 이상으로 매우 높다. 이는 추세를 추정할 때 사용한 함수가 참 추세의 형태와 일치하기 때문인 것으로 보인다.</p> <p>- 이에 비해 참 추세의 기울기가 0이 아닌 경우에는 단위근의 존재를 판단한 결과가 추세를 추정한 방법에 따라 다르다. Table 1을 보면, OLS로 추세를 추정한 경우에는 $ \alpha $와 조절모수를 선택할 때 사용한 정보함수에 관계없이 대부분 단위근이 존재한다고 판단한 비율이 $ 100 \% $에 가깝다. 이는 ADF 검정에서 기울기가 0이 아닌 선형 추세가 존재하는 경우 상수항만 포함된 ADF-회귀모형식을 사용하여 단위근 검정을 실시했을 때와 같은 결과이다.</p> <p>- 그러나 Table 1에 보듯이 ERS와 GLS의 경우에는 $ \hat {\gamma } =0 $인 비율이 낮다. 심지어 n이 크고 $ \alpha=1 $일 때에도 $ \hat {\gamma } =0 $인 비율이 0에 가깝다. Table 2와 Figure 1을 통해 좀 더 추정값의 분포를 자세히 살펴보면, $ \hat {\gamma } $는 비록 0은 아니지만 0에 매우 가까운 양수를 갖는다. 이런 현상은 OLS 때와는 달리 ADF-회귀모형에서 독립변수로 사용되는 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $의 표본평균이 0에 가깝지 않고, 종속변수 $ \left \{\Delta y_ { t } ^ { d } \right \} $의 표본평균이 참 추세의 기울기 $ \beta_ { 1 } $과 유사하며, ADF-회귀모형 중 (2.3)처럼 상수항을 포함하지 않는 모형식을 사용하기 때문에 나타나는 것으로 보인다. 비록 본 논문에는 결과를 포함시키지는 않았지만, GLS의 경우 상수항이 포함된 ADF-회귀모형식을 사용하면 이런 현상이 어느 정도 해결되는 것으로 나타났다.</p> <p>3 , 4단계에서 추세를 제거한 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 가지고 적합시킬 ADF-회귀모형식은 Elliott 등 (1996)처럼 상수항과 선형 추세, 즉 $ c_ { 0 } + c_ { 1 } t $ 항이 포함되지 않은 모형식이다. 이는 앞서 기술한 것처럼 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $가 $ \left \{ u_ { t } \right \} $에 대한 추정시계열이고, $ \left \{ u_ { t } \right \} $가 식 (1.2)를 만족하기 때문이다.</p> <p>3단계에서 차수 $ k $, 가중치 $ \mathbf { w } $, 조절모수 $ \lambda $를 선택할 때 다양한 값들을 사용할 수 있다. 그러나 아직 이에 대한 이론적인 연구가 부족한 상태이므로 3장 모의실험에서는 Na (2020)과 동일한 방식으로 값들을 선택하였다. 식 (2.3)의 차수 $ k $는 Schwert (1989), Na (2019, 2020)에서와 마찬가지로 $ 12(n / 100) ^ { 1 / 4 } $을 넘지 않는 최대의 자연수로 선택하였으며, 가중치 $ \mathbf { w } $는 Zou (2006)처럼 $ \left ( \gamma, \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { k } \right ) $에 대한 최소제곱추정값의 역수의 절대값을 사용하였다. 그리고 조절모수 $ \lambda $는 최소값과 최대값을 설정, 로그 스케일로 99등분하여 얻은 100개의 값들 중에서 AIC, HQC, BIC 등의 정보함수가 최소가 되도록 하는 값을 선택하였다.</p> <h1>3. 모의실험</h1> <p>Adaptive lasso 방법으로 ADF-회귀모형식을 추정하여 단위근을 식별할 때 원 시계열보다 추세를 제거한 시계열을 사용하는 것이 검정력을 향상시키는지 모의실험을 통해 알아보았다. 또한 추세를 제거할 때 사용하는 추세 함수와 추정방법에 따른 단위근 식별 결과, ADF 검정과 DF-GLS 검정과의 비교를 위한 모의실험도 수행하였다.</p> <p>모의실험을 수행하기 위해 식 (1.1)-(1.2)에 주어진 모형식을 사용하여 시계열 자료 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \ldots, y_ { n } $, $ n= 50,100,200,500,1000 $을 생성하였다. 기존의 연구 결과에서 보듯이 선형 추세의 상수항보다는 기울기가 단위근 검정 결과에 영향을 더 주므로 본 모의실험에서는 $ \beta_ { 0 } =0 $, $ \ beta_ { 1 } =0,0.5,1 $의 값을 사용하였고, $ \alpha $의 값은 0.0, 0.4, 0.7, 0.9, 0.91, 0.92, \ldots, 1.0처럼 0.9부터 1.0의 구간을 세분하여 살펴보았다. 그리고 정상시계열 $ \left \{ v_ { t } \right \} $는<ul> <li>$ ( \mathrm { WN } ) v_ { t } = \epsilon_ { t } $;</li> <li>$ ( \mathrm { AR } ) v_ { t } = \phi v_ { t-1 } + \epsilon_ { t } , \phi= \pm 0.5 $;</li> <li>$ ( \mathrm { MA } ) v_ { t } = \epsilon_ { t } + \theta \epsilon_ { t-1 } , \theta= \pm 0.8, \pm 0.5 $</li></ul>의 경우를 고려하였다. 여기서 $ \epsilon_ { t } $는 서로 독립적으로 동일하게 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.</p> <h2>3.2. Adaptive lasso를 이용한 단위근 식별 : 원 시계열 vs. 추세를 제거한 시계열</h2> <p>본 절에서는 adaptive lasso로 ADF-회귀모형식을 추정하여 단위근을 식별할 때 원 시계열보다 추세를 제거한 시계열을 사용하는 것이 검정력을 향상시키는지 모의실험을 통해 알아보려 한다.</p> <p>먼저 2.2절에서 설명한 방식, 즉 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $을 가지고 adaptive lasso 방법으로 단위근의 존재 여부를 판단하는 방법에서는 두 가지 ADF-회귀모형식 \[ \text { (MC) } \Delta y_ { t } =c_ { 0 } + \gamma y_ { t-1 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta y_ { t-i } + e_ { t } ; \\ \text { (MT) } \Delta y_ { t } =c_ { 0 } + c_ { 1 } t + \gamma y_ { t-1 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta y_ { t-i } + e_ { t } \\ \] 을 고려하였으며, $ k $는 $ 12(n / 100) ^ { 1 / 4 } $을 넘지 않는 최대의 자연수, 가중치는 모형식에 주어진 계수에 대한 최소 제곱추정값의 역수의 절대값을 사용하였다. 그리고 Na (2020)의 모의실험 결과를 반영하여 조절모수는 BIC를 이용하여 선택하였다. 이에 대한 결과는 Table 3과 Figures 4-6의 "ALASSO" 부분에 정리하였다.</p> <p>다음으로 추세를 제거한 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $을 가지고 adaptive lasso를 이용하여 단위근의 존재를 판단하는 방법에서는 3.1절에서 고려한 다양한 방법 중에서 OLS를 통한 추세 제거와 BIC를 이용한 조절모수 선택 두 가지를 조합한 방법을 사용하였다. OLS, ERS, GLS 중 OLS 추정방법으로 추세를 추정한 것은 OLS 추정량이 가장 기본적인 추정량일 뿐만 아니라 3.1절의 모의실험 결과에서 보듯이 다른 추정방법에 비해 추정 결과와 단위근식별 정도가 나쁘지 않으며, 추세 함수로 상수함수를 사용하는 경우 결과가 단위근 검정의 결과와 유사하기 때문이다. ADF 검정이나 PP 검정과 같은 대부분의 단위근 검정에서는 귀무가설로 “단위근이 존재한다”를 설정하는데, 이는 단위근이 존재할 때 단위근을 제대로 파악하는 것이 좀 더 중요하고, 검정력 조정은 2차적인 문제임을 뜻한다고 생각할 수 있다. 이와 같은 맥락에서 adaptive lasso의 조절모수를 선택할 때 AIC, HQC, BIC 세 가지 정보함수 중 $ \alpha=1 $일 때 단위근이 존재한다고 판단한 비율이 높게 나타나는 BIC를 사용하였다. OLS로 추세를 제거한 뒤 단위근 존재 여부를 판단한 결과는 Table 3과 Figures 4-6의 "DT-OLS” 부분에 정리하였으며, "C"와 "LT"는 각각 추세를 제거할 때 사용한 추세함수의 형태가 상수함수와 $ t $에 대한 1차 함수인 경우를 의미한다.</p> <h2>3.1. 추세 제거 방법에 따른 단위근 식별 결과</h2> <p>우선 2.3절에서 설명한 방식대로 추세를 제거한 뒤 adaptive lasso 방법으로 식 (2.3)의 모형식을 추정하였다. 결정적 추세에 대한 함수로 상수함수 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } $와 1차함수 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $ 두 가지 형태를 고려하여 추세를 추정하였으며, 추정 방법으로 최소제곱법 이외에 추가로 일반화최소제곱법도 사용하였다. 자세한 추정량은 다음과 같다.</p> <p>OLS는 최소제곱추정량을 뜻하고, ERS는 Elliott 등 (1996)이 DF-GLS 검정에서 사용한 일반화최소제곱 추정량이다. 그리고 GLS는 Vougas (2007)이 고려했던 다양한 일반화최소제곱추정량 중 하나로 $ \hat {\alpha } $는 $ \hat {\rho } _ { L S } = \sum_ { t=2 } ^ { n } \hat { u } _ { t } \hat { u } _ { t-1 } / \sum_ { t=2 } ^ { n } \hat { u } _ { t-1 } ^ { 2 } $와 같다. 여기서 $ \hat { u } _ { 1 } , \hat { u } _ { 2 } , \ldots, \hat { u } _ { n } $은 OLS 잔차이며, 결정적 추세로 선형 추세를 고려한 경우에는 $ \hat { u } _ { t } =y_ { t } - \hat {\beta } _ { 0 } ^ { O } - \hat {\beta } _ { 1 } ^ { O } t $이고, 상수함수를 사용한 경우에는 $ \hat { u } _ { t } =y_ { t } - \hat {\beta } _ { 0 } ^ { O } $이다.</p> <p>Table 1과 Table 2, Figure 1은 OLS, ERS, GLS 세 가지 방법으로 추세를 제거한 후 (2.3)의 $ \gamma $를 adaptive lasso로 추정한 결과 중 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 $ \mathrm { WN } $인 경우를 정리한 것이다. Table 1의 숫자는 1,000번의 반복 실험 중 추정값 $ \hat {\gamma } $이 0인 경우, 즉 단위근이 존재한다고 판단한 경우의 수를 나타내고, Table 2의 숫자는 1,000개의 추정값 $ \hat {\gamma } $에 대한 표본평균이며, ( ) 안의 숫자는 표본표준편차이다. Figure 1은 $ n=1000 $일 때 1,000개의 추정값에 대한 상자그림이며, 표와 그림으로부터 다음과 같은 사실을 파악할 수 있다.</p> <p>● 추세에 대한 함수로 $ t $에 대한 1차 함수, LT를 사용한 경우에는 참 추세의 기울기가 $ \gamma $의 추정에 큰 영향을 주지 않으며, 다음과 같은 공통적인 특징을 가진다.</p> <p>- Table 1을 보면, 자료의 개수 n이 클수록 단위근의 존재를 판단하는 정확도가 높아진다. 그리고 $ \alpha<1 $인 경우, $ \alpha $의 값이 1에서 멀리 떨어질수록 단위근이 존재하지 않는다고 올바르게 판단하는 비율이 높아지며, $ n \geq 500 $일 때는 $ 95 \% $ 이상의 정확도를 보인다.</p> <p>- Table 2와 Figure 1을 보면, OLS와 GLS로 선형 추세를 추정한 경우에는 추정방법에 관계없이 $ \gamma $에 대한 추정값 $ \hat {\gamma } $의 분포가 거의 비슷하다. 그리고 대부분의 경우 $ \hat {\gamma } $의 평균이 $ \alpha-1 $과 유사한 값을 가지는데, $ \alpha-1 $은 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 WN인 경우 $ \gamma $에 대한 참값임을 식 변환을 통해 십게 확인할 수 있다. 또한 n의 값이 커질수록, adaptive lasso를 이용하여 구한 $ \gamma $의 추정값들의 평균이 $ \alpha-1 $에 가까워지고 표준편차가 0으로 감소한다. 이를 통해 OLS와 GLS 방법으로 선형 추세를 제거한 후 구한 adaptive lasso 추정량은 일치성을 만족한다고 생각할 수 있다.</p> <p>- ERS의 경우는 추정 결과가 조금 다르다. $ \alpha \geq 0.9 $일 때는 OLS나 GLS처럼 $ \gamma $에 대한 추정값이 참값과 유사하지만, $ \alpha \leq 0.7 $일 때, 특히 $ \alpha=0 $일 때는 n이 큰 경우에도 $ \gamma $에 대한 추정값이 참값 -1과 가깝지 않고, 표준편차도 크다. 이는 ERS가 $ \alpha $ 가 1 근처일 때 검정력을 높이기 위해 잔차제곱합 $ S \left (b_ { 0 } , b_ { 1 } ; a \right ) $에서 1에 가까운 값을 $ a $로 사용하기 때문이며, 이로 인해 Table 1에서 보듯이 $ \alpha=0 $인 경우 단위근이 존재한다고 잘못 판단하는 경우가 $ 2 \sim 3 \% $ 정도 발생하였다.</p> <p>- Table 1을 보면, $ \hat {\gamma } =0 $인 경우, 즉 단위근이 존재한다고 판단한 비율은 선형 추세를 추정하는 방법에 따라 크게 차이가 나지는 않지만, OLS를 사용하는 경우에 비해 ERS나 GLS의 경우의 비율이 조금씩 높다. 즉 단위근 검정의 입장에서 볼 때 OLS로 선형 추세를 제거하는 방법이 다른 추정방법을 사용하는 것에 비해 제1종의 오류를 범할 확률과 검정력이 조금씩 높게 나타난다.</p> <p>위에 기술된 결과를 종합적으로 판단할 때, 추세를 추정할 때 사용하는 함수의 형태가 참 추세를 포함할 수 있도록 선택하는 것이 추정 방법을 선택하는 것보다 중요하다. 그리고 세 가지 추정방법 중에는 추세를 잘못 추정했을 때의 현상이나 추정 방법의 편리성과 추정값의 성질, 검정력 등을 고려할 때 OLS를 사용하는 것이 ERS나 GLS를 사용하는 것에 비해 나쁘지 않다.</p> <p>추가로 실제 자료 분석에서는 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 사용하는 것이 불가능하지만, $ \left \{ u_ { t } \right \} $ 대신 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 사용하는 것이 어떤 영향을 미치는지 알아보기 위해 두 시계열 $ \left \{ u_ { t } \right \} $와 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 가지고 adaptive lasso를 이용하여 $ \gamma $의 값을 추정한 결과를 비교하였다. 모의실험 결과는 OLS 방법으로 추세를 추정하여 제거하고 BIC로 조절모수를 선택한 경우를 대표로 하여 Figures 2-3에 정리하였다. Figure 2의 1행과 2행은 각각 $ \left \{ u_ { t } \right \} $와 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 가지고 구한 $ \gamma $의 추정값 1,000개 중 0의 비율, 즉 단위근이 존재한다고 판단한 비율을 나타낸다. 그리고 Figure 3은 1,000번의 반복실험을 통해 구한 최소제곱추정값 $ \hat {\beta } _ { 1 } ^ { O } $에 대한 상자그림이다. 이들 그림을 보면, $ \left \{ v_ { t } \right \} $에 대한 모형이 동일한 경우에는 자료의 개수 n이 증가함에 따라 추세를 좀 더 정확히 추정하고 그 결과 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 이용하여 단위근을 판단한 결과와 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 이용한 결과가 더 가까워지는 것을 알 수 있다. 또한 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 이용할 때 n이 증가함에 따라 단위근을 판단하는 정확도가 증가하며, $ n \geq 500 $인 경우에는 정확도가 매우 높다. 이와 같은 영향으로 $ \left \{ u_ { t } \right \} $ 대신 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 사용할 때에도 n이 클 때 정확도가 높게 나타났다. 그러나 반드시 추세에 대한 정확한 추정이 단위근 식별의 정확도 향상으로 이어진다고 하기는 어렵다. Figures 2-3 에서 $ \alpha=1 $이고 n 이 동일한 경우를 보면, $ \theta=-0.8 $인 경우가 나머지 경우에 비해 $ \beta_ { 1 } $을 좀 더 정확하게 추정하지만 단위근이 존재한다고 정확하게 판단한 비율은 오히려 낮은 것을 확인할 수 있다. 이는 ADF-회귀모형식에서 자기회귀모형 근사를 사용하기 때문인 것으로 판단된다. 마지막으로 n이 작을 때는 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 가지고 구한 $ \gamma $에 대한 추정값 중 0인 비율이 높게 나타난 반면 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 가지고 $ \gamma $를 추정한 경우에는 0의 비율이 다소 낮게 나타났다. 시계열의 길이가 짧은 경우, 즉 n이 작은 경우에는 $ \alpha $의 값이 1에 가까울 때 $ \beta_ { 1 } =0 $일지라도 시계열 그림을 그렸을 때 증가나 감소의 경향이 나타나는 경우가 종종 발생한다. 이런 경우 $ \beta_ { 1 } $에 대한 추정값은 참값 0과 다소 차이가 발생하지만, $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $처럼 추세 제거를 통해 증가하거나 감소하는 경향을 줄이거나 없앨 수 있다. 그러므로 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 사용할 때는 경향 때문에 단위근이 존재한다고 판단할 수 있지만, 오히려 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $는 경향이 제거되었으므로 단위근이 존재하지 않는다고 판단할 수 있기 때문에 이와 같은 특이한 현상이 발생한 것으로 생각한다.</p> <p>3. ADF-회귀모형식 (2.3)에 사용할 차수 $ k $와 adaptive lasso 추정에 사용할 조절모수 $ \lambda $와 가중치 $ \mathbf { w } = \left (w_ { 0 } , w_ { 1 } , \ldots, w_ { k } \right ) $를 선택한다.</p> <p>4. 식 (2.3)의 모수 $ \left ( \gamma, \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { k } \right ) $에 대한 추정값을 adaptive lasso로 구한다. 즉 $ \\ L \left ( \gamma, \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { k } \right )= \frac { 1 } { 2(n-k-1) } \sum_ { t=k + 2 } ^ { n } \left ( \Delta y_ { t } ^ { d } - \gamma y_ { t-1 } ^ { d } - \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta y_ { t-i } ^ { d } \right ) ^ { 2 } + \lambda \left (w_ { 0 } \| \gamma\| + \sum_ { i=1 } ^ { k } w_ { i } \left \| \delta_ { i } \right \| \right ) \\ $ 을 최소로 하는 값을 추정값 $ \left ( \hat {\gamma } , \hat {\delta } _ { 1 } , \ldots, \hat {\delta } _ { k } \right ) $으로 사용한다.</p> <p>5. 4단계에서 구한 추정값 $ \hat {\gamma } $가 0이면, $ \alpha=1 $, 즉 단위근이 존재한다고 판단한다.</p> <p>1단계에서 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $을 추정할 때 Vougas (2007)처럼 일반화최소제곱추정량을 사용할 수도 있으나, 본 논문에서는 최소제곱추정량 $ \\ \left ( \hat {\beta } _ { 0 } ^ { O } , \hat {\beta } _ { 1 } ^ { O } \right )= \arg \min _ { b_ { 0 } , b_ { 1 } } S \left (b_ { 0 } , b_ { 1 } ; 0 \right )= \arg \min _ { b_ { 0 } , b_ { 1 } } \sum_ { t=1 } ^ { n } \left (y_ { t } - \beta_ { 0 } - \beta_ { 1 } t \right ) ^ { 2 } $<caption>(2.4)</caption>을 $ \left ( \hat {\beta } _ { 0 } , \hat {\beta } _ { 1 } \right ) $으로 사용하였다. 그 이유는 최소제곱추정량이 식 (1.1)과 같은 모형식에서 모수를 구할 때 가장 많이 사용되는 기본적인 추정량일 뿐만 아니라 $ \hat {\beta } _ { 1 } ^ { O } $은 $ \alpha $의 값에 관계없이 일치성도 만족하기 때문이다. 그리고 본 논문에서는 식 (1.1)처럼 선형 추세 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $를 가정하였으므로 1,2단계에서 $ \hat { d } _ { t } = \hat {\beta } _ { 0 } + \hat {\beta } _ { 1 } t $를 구하여 추세를 제거하였으나, 일반적으로 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } $, $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t + \cdots + \beta_ { p } t ^ { p } $, $ d_ { t } = \beta_ { 1 } x_ { 1 t } + \cdots + \beta_ { p } x_ { p t } $ 등 다양한 형태의 함수를 사용해서 추세를 추정하여 제거해도 된다. 다만 3장의 모의실험 결과에서 보듯이 결정적 추세의 형태를 선택하는 것이 단위근 식별 결과에 영향을 많이 주므로 잘 선택해야 한다.</p> <h2>3.4. 자료분석</h2> <p>Nelson과 Plosser (1982)가 분석한 자료는 국민총생산, 소비자 물가 지수, 총 실업률 등의 거시경제 시계열 자료로 단위근 검정에 관한 연구에서 자주 사용된다. 본 논문에서도 Nelson과 Plosser (1982)의 자료에 3.2절과 3.3절에서 살펴본 네 가지 방법을 적용하여 단위근의 존재 여부를 판단하였으며, Table 4에 분석 결과를 정리하였다. 14개의 시계열 중 상당수가 시계열 그림을 그렸을 때 증가하거나 감소하는 경향을 가지고 있으며, 추세에 대한 사전 정보가 없으므로 본 연구에서는 선형 추세 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $를 이용하여 분석하였다. 표에 주어진 ALASSO 부분의 숫자는 원시계열에 대한 모형식 (2.2)을 adaptive lasso 방법으로 적합시켜서 구한 $ \gamma $의 추정값이다. 그리고 DT-OLS 부분의 숫자는 OLS 방법으로 선형 추세를 제거한 뒤 모형식 (2.3)과 adaptive lasso를 이용하여 구한 추정값이다. ADF 부분은 원 시계열 자료를 가지고 ADF 검정을 실시한 결과로 ( ) 앞에 있는 숫자는 모형식 (2.2)와 최소제곱법을 이용하여 구한 $ \gamma $에 대한 추정값이고, ( ) 안의 숫자는 ADF 검정통계량의 값이다. 마지막으로 DF-GLS 부분은 ERS 방법으로 선형 추세를 제거한 후 최소제곱법을 이용하여 구한 $ \gamma $의 추정값과 DF-GLS 검정통계량의 값이다. ADF 검정과 DF-GLS 검정의 결과에서 * 와 **은 각각 유의수준 $ 10 \% $와 $ 5 \% $에서 귀무가설을 기각한 경우, 즉 단위근이 존재하지 않는다고 판단한 경우를 의미하며, adaptive lasso를 이용한 ALASSO와 DT-OLS에서는 추정값이 0일 때 단위근이 존재한다고 판단한다.</p> <p>분석 결과 ADF 검정은 1개의 시계열을 제외한 나머지 13개의 시계열이 단위근이 존재한다고 판단하였고, ALASSO에서 BIC의 경우는 7개의 시계열이 단위근이 존재한다고 판단하였다. ADF 검정과 ALASSO 두 가지 방법은 모두 원 시계열을 가지고 모형식 (2.2)을 추정함에도 불구하고 6개의 시계열에 대해 단위근의 존재를 판단한 결과가 달랐다. 이는 두 방법에서 모형식을 적합할 때 사용한 추정방법이 최소제곱법과 adaptive lasso로 서로 다르며, 자료의 수가 크지 않고, 모형식에 포함된 두 개의 독립변수 $ t $와 $ y_ { t-1 } $이 상관관계가 강하게 존재하기 때문인 것으로 보인다. 분석 결과 ALASSO에서 $ t $의 계수 $ c_ { 1 } $과 $ y_ { t-1 } $의 계수 $ \gamma $에 대한 추정값이 동시에 0이거나 또는 동시에 0이 아닌 경우는 드물었는데, 이 또한 $ t $와 $ y_ { t-1 } $의 강한 상관관계가 원인인 것으로 추측되며, 이에 대한 추가 연구가 필요하다.</p> <h1>2. 단위근의 식별</h1> <p>1장에서 간단하게 기술한 것처럼 본 논문에서는 단위근을 식별하기 위해 원 시계열이 아닌 (1) 추세를 제거한 시계열을 가지고, (2) 결정적 추세가 포함되지 않은 ADF-회귀모형식을 adaptive lasso 방법으로 추정한 결과를 사용한다. 즉, 추세 제거와 adaptive lasso 추정이 본 논문에서 제안한 수정안의 핵심 원리이다. 그러므로 두 가지 원리를 각각 적용하여 단위근의 존재를 파악했던 기존의 방법부터 살펴본 이후에 수정된 방법으로 단위근을 식별하는 절차에 대해 설명하고자 한다.</p> <h2>2.1. DF-GLS 검정을 이용한 단위근 식별</h2> <p>ADF 검정을 실시할 때 $ \left \{ u_ { t } \right \} $를 관측할 수 있다면, 식 (1.2)에 따라 상수항과 선형 추세를 모두 포함하지 않는 첫 번째 ADF-회귀모형식 $ \Delta u_ { t } = \gamma u_ { t-1 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta u_ { t-i } + e_ { t } $<caption>(2.1)</caption>을 이용하여 단위근 검정을 실시할 수 있을 것이다. 여기서 $ k $는 자연수이고, $ \Delta $은 1차차분을 나타내는 연산자로 후향연산자 $ B $에 대한 식으로 표현하면 $ \Delta=1-B $와 같다. 그리고 $ e_ { t } $는 ADF-회귀모형식의 오차항으로 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 $ k $ 보다 낮은 차수를 가지는 자기회귀모형일 때 백색잡음이 된다. 일반적으로 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 정상시계열인 경우에는 $ e_ { t } $가 백색잡음이 아닐 수 있는데, 이는 Said와 Dickey (1984)가 설명한 것처럼 정상시계열 $ \left \{ v_ { t } \right \} $를 자기회귀모형으로 근사시키기 때문이다.</p> <p>그러나 안타깝게도 $ \left \{ y_ { t } \right \} $만 관측가능하고 결정적 추세 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $가 알려져 있지 않다. 하지만 식 (1.1)이 성립할 때 $ \Delta u_ { t } = \Delta y_ { t } - \beta_ { 1 } $이 성립하므로, $ \left \{ u_ { t } \right \} $에 대한 모형식 (2.1)을 다음처럼 변환할 수 있다: $ \\ \Delta y_ { t } =c_ { 0 } + c_ { 1 } t + \gamma y_ { t-1 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta y_ { t-i } + e_ { t } . $<caption>(2.2)</caption>$ \\ $ 여기서 상수항 $ c_ { 0 } $와 $ t $의 계수 $ c_ { 1 } $은 각각 $ c_ { 0 } =- \beta_ { 0 } \gamma + \beta_ { 1 } \left (1 + \gamma- \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \right ) $와 $ c_ { 1 } =- \beta_ { 1 } \gamma $을 만족한다. 그러므로 ADF 검정을 실시할 때 선형 추세를 포함한 세 번째 ADF-회귀모형식 (2.2)을 사용할 수 있으나, 이 경우 Dickey와 Fuller (1979), Elliott 등 (1996)의 모의실험에서 보듯이 참 모형의 추세가 $ d_ { t } =0 $이라고 할지라도 검정력이 다소 떨어진다. 이와 같은 문제를 해결하기 위해 Elliott 등 (1996)은 DF-GLS 검정, 즉 일반화최소제곱법을 이용하여 추세를 제거한 후 ADF 검정을 실시하는 방법을 제안하였다.</p> <p>● 자료의 개수 n이 커질수록 단위근의 존재를 판단하는 정확도가 높아진다.</p> <p>● 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $를 사용한 ALASSO보다 추세가 제거된 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 사용한 DT-OLS가 높은 검정력을 가진다. 특히 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 WN이고 $ \alpha $가 0.9 초반일 때 검정력이 대폭 상승한다.</p> <h2>3.3. 단위근 검정과의 비교</h2> <p>Adaptive lasso를 이용한 두 가지 방법 외에 추가로 ADF 검정과 DF-GLS 검정과 비교 실험도 실시하였다.</p> <p>ADF 검정에서는 세 가지의 회귀모형식 중 상수항만 포함된 MC 모형식과 추세까지 포함된 MT 모형식 두 가지를 모두 사용하였으며, 모형식 안에 포함된 차수 k는 $ 12(n / 100) ^ { 1 / 4 } $를 넘지 않는 최대의 자연수를 최대값으로 하여 BIC가 최소가 되도록 선택하였다. 그리고 Elliott 등 (1996)이 제안한 DF-GLS 검정에서는 상수함수 C와 1차 함수 LT를 두 가지 방식으로 추세를 제거하였으며, (2.3)의 차수는 ADF 검정에서와 마찬가지로 BIC를 이용하여 선택하였다. 두 가지 단위근 검정에서 유의수준을 모두 $ 10 \% $로 하여 검정을 실시하였으며, 검정 결과 귀무가설을 기각하지 못 한, 즉 단위근이 존재한다고 판단한 비율을 Table 3과 Figures 4-6의 "ADF" 부분과 "DF-GLS" 부분에 정리하였다.</p> <p>Table 3에서 보듯이 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $과 상수항만 포함된 MC 모형식을 가지고 ADF 검정을 실시한 결과와 상수함수 C로 추세를 제거한 시계열로 DF-GLS 검정을 실시한 결과는 ALASSO & MC, DT-OLS & C의 결과 와 큰 차이가 없다. 이와 같은 이유로 Figures 4-6은 추세가 포함된 MT 모형식에 기초한 ADF 검정 결과와 1차 함수 LT를 이용하여 선형 추세를 제거한 시계열을 이용한 DF-GLS 검정 결과, ALASSO & MT, DT-OLS & LT에 대한 것만 작성하여 비교하였으며, 다음과 같은 특징을 발견하였다.</p> <p>● 대부분의 경우 ADF 검정과 DF-GLS 검정에서 단위근이 존재한다고 판단한 비율이 본 논문에서 제안한 DT-OLS & LT 방법으로 단위근이 존재한다고 판단한 비율보다 높게 나타났다.</p> <p>● Figures 4-5을 보면, $ n=50 $이고 $ \alpha \geq 0.9 $일 때 ADF 검정과 DF-GLS 검정은 $ 80 \% $보다 조금 높은 비율로 단위근이 존재한다고 판단하였다. 이에 비해 본 논문에서 제안한 DT-OLS 방법은 $ 40 /sim 50 \% $ 정도의 비율로 단위근이 존재한다고 판단하였다. 비록 비율의 수치에는 차이가 있지만, 네 가지 방법 모두 n이 작을 때는 $ 0.9 \leq \alpha \leq 0.99 $와 $ \alpha=1 $를 구분하지 못 한다.</p> <p>Na (2020)는 상수항과 기울기에 대한 사전정보가 없는 상태에서 단위근의 존재 여부와 추세의 기울기가 0인지 여부를 동시에 판단하는 문제를 다루었기 때문에 식 (2.2)처럼 세 가지 형태의 회귀모형식 중 가장 일반적인 형태를 고려하였다. 그러나 본 논문처럼 단위근의 존재 여부만 파악할 때는 결정적 추세 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $에 대한 정보나 가정에 따라 (2.2)의 모형식뿐만 아니라 $ c_ { 0 } =c_ { 1 } =0 $인 모형식과 $ c_ { 1 } =0 $인 모형식도 사용할 수 있다.</p> <h2>2.3. 추세제거와 adaptive lasso를 이용한 단위근 식별</h2> <p>Na (2020)의 모의실험 결과를 보면, $ \beta_ { 1 } \neq 0 $이고 $ \| \alpha\|<1 $일 때 $ \gamma $에 대한 추정값이 0인 비율이 $ \beta_ { 1 } =0 $이고 $ \| \alpha\|<1 $일 때에 비해 다소 높게 나타났다. 즉 단위근 검정의 입장에서 볼 때 기울기가 0이 아닌 선형 추세가 존재하는 경우에는 선형 추세가 존재하지 않는 경우에 비해 검정력이 떨어지는 것이다. 본 논문에서는 이와 같은 문제점을 해결하기 위해 Elliott 등 (1996)처럼 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $ 대신 선형 추세를 제거한 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $을 이용하여 ADF-회귀모형식을 adaptive lasso로 추정하는 방법을 제안하고자 하며, 자세한 절차는 다음과 같다.</p> <p>1. $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \ldots, y_ { n } $을 가지고 식 (1.1)의 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $에 대한 추정값 $ \hat {\beta } _ { 0 } $, $ \hat {\beta } _ { 1 } $을 구한다.</p> <p>2. 1단계에서 구한 추정값을 이용하여 식 (1.3)처럼 $ y_ { 1 } ^ { d } , y_ { 2 } ^ { d } , \ldots, y_ { n } ^ { d } $을 계산한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>단위근의 존재 여부에 따라 시계열의 특성 및 정상화 방법, 고려할 수 있는 시계열 모형, 예측 등이 달라지므로, 시계열 자료를 분석할 때 단위근의 존재를 파악하는 것은 매우 중요하다. 보통 단위근이 존재하는지 객관적으로 판단하기 위하여 단위근 검정을 사용하는데, Dickey와 Fuller (1979)가 DF 검정을 제안한 이후로 다양한 형태의 단위근 검정들과 전략들이 제안되었으며, 이 중에서 Said와 Dickey (1984)의 ADF 검정과 Phillips와 Perron (1988)의 PP 검정이 대표적이다. 그러나 이 검정들은 단위근 근처에서 검정력이 낮다는 문제점을 가지고 있으며, 이를 극복하기 위해 다양한 방법들이 연구되었다. 예를 들면, Kwiatkowski 등 (1992)은 귀무가설과 대립가설을 기존의 단위근 검정과 반대로 설정하여 새롭게 만든 KPSS 검정을 제안하였고, Elliott 등 (1996), Ng와 Perron (2001) 등은 원 시계열 대신 추세를 제거한 시계열을 사용하여 단위근 검정을 실시하는 방법을 연구하였으며, Enders (2010)는 ADF 검정을 반복적으로 실시하는 전략을 제시하였다.</p> <p>최근 Na (2019, 2020)는 벌점화 추정방법 중 Zou (2006)가 제안한 adaptive lasso를 사용하여 단위근을 식별하는 방법을 제안하였다. 특히 Na (2020)는 ADF 검정에서 고려하는 세 가지 형태의 회귀모형식 중 선형 추세가 포함된 회귀모형식을 adaptive lasso로 추정하였고, 계수에 대한 추정값을 바탕으로 주어진 시계열이 단위근을 가지는지 판단하였다. Na (2020)의 모의실험 결과를 보면, 선형 추세의 기울기가 0인 경우에는 단위근의 존재 여부를 정확하게 판단한 비율이 높다. 그러나 기울기가 0이 아닌 경우에는 단위근이 존재하지 않음에도 불구하고 단위근이 존재한다고 잘못 판단한 비율이 다소 높게 나타났으며, 이는 단위근 검정의 입장에서 볼 때 기울기가 0이 아닌 선형 추세가 존재하는 경우 검정력이 떨어지는 것으로 해석할 수 있다. 이와 같은 문제점은 ADF 검정에서도 발견되었으며, Elliott 등 (1996)은 ADF 검정에 대한 대안으로 DF-GLS 검정을 제안하였다. DF-GLS 검정은 일반화최소제곱법으로 추세를 추정하여 제거한 후 ADF 검정을 실시하는 방법으로 추세를 제거하지 않았을 때에 비해 검정력이 향상되는 것으로 나타났다. 이에 대한 자세한 내용은 Elliott 등 (1996)을 참고하기 바란다. 본 논문에서도 Elliott 등 (1996)처럼 추세를 제거한 시계열을 가지고 adaptive lasso를 이용하여 ADF-회귀모형식을 추정하는 방법에 대해 연구하였으며, 모의실험을 통해 Na (2020)처럼 원시계열을 이용한 경우에 비해 검정력이 향상되는지 살펴보려 한다.</p> <p>본 논문에서는 시계열 $ \left \{ y_ { t } , t \in \mathbb { N } \right \} $가 다음 모형식을 만족한다고 가정한다: $ \\ y_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t + u_ { t } $, $ \quad \beta_ { 0 } , \beta_ { 1 } \in \mathbb { R } ; $<caption>(1.1)</caption>$ \\ u_ { t } = \alpha u_ { t-1 } + v_ { t } $, $ \quad u_ { 0 } =0,-1< \alpha \leq 1, $<caption>(1.2)</caption>$ \\ $여기서 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $, $ \alpha $는 미지의 모수이고, $ \left \{ v_ { t } , t \in \mathbb { N } \right \} $은 정상시계열이다. 이 모형은 Elliott 등 (1996), Ng와 Perron (2001), Vougas (2007), Na (2020) 등을 포함한 많은 연구에서 고려되었으며, $ \alpha=1 $인지 여부를 판단하는 것이 주된 관심사이다. 위 모형에는 세 개의 시계열이 존재하는데, 이 중에서 $ \left \{ u_ { t } \right \} $와 $ \left \{ v_ { t } \right \} $는 관측불가능하며, $ \left \{ y_ { t } \right \} $만 관측가능하다. Na (2020)는 관측값 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \ldots, y_ { n } $을 가지고 adaptive lasso를 이용하여 ADF-회귀모형식을 추정하는 방식으로 $ \alpha=1 $, 즉 단위근이 존재하는지를 알아보았으나, 본 논문에서는 앞서 이야기한 것처럼 $ y_ { t } $에서 추세 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $를 추정하여 제거한 값 $ y_ { t } ^ { d } =y_ { t } - \hat { d } _ { t } =y_ { t } - \left ( \hat {\beta } _ { 0 } + \hat {\beta } _ { 1 } t \right ), \quad t=1,2, \ldots, n $<caption>(1.3)</caption>을 사용하여 ADF-회귀모형식을 추정하고자 하며 이에 대한 세부절차는 2장에서 자세하게 설명할 것이다. 그리고 본 논문에서 제안한 방법과 Elliott 등 (1996)의 DF-GLS 검정, Na (2020)가 제안한 방법을 비교하는 모의실험을 진행하고, 그 결과를 3장에 기술할 예정이다.</p> <p>● 네 가지 방법 모두 n이 커질수록 단위근을 식별하는 정확도가 높아진다. 특히 $ n \geq 500 $인 경우에는 네 가지 방법 모두 매우 높은 정확도를 가지며, $ \alpha $에 따른 그래프의 패턴도 유사하다.</p> <p>● $ n \geq 500 $일 때, $ \theta \leq-0.5 $인 경우를 제외한 대부분의 경우 DF-GLS 검정과 DT-OLS는 비슷한 결과를 가진다. 두 방법은 ADF 검정과 ALASSO보다 검정력, 즉 $ \alpha<1 $일 때 단위근이 존재하지 않는다고 판단한 비율이 높다.</p> <p>● $ n=200 $일 때는 DT-OLS가 DF-GLS 검정보다 검정력이 조금 높지만, $ \alpha=1 $일 때 단위근이 존재한다고 올바르게 판단한 비율은 조금 낮다. 그러므로 두 방법 중 어느 것이 더 우수하다고 말하기는 어렵다.</p> <p>● Figure 5을 보면, $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 AR인 경우는 단위근 식별 결과가 WN 경우와 좀 다르기는 하지만 그 차이가 크지 않다. 그러나 Figure 6를 보면, $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 MA인 경우에는 단위근 식별 결과가 WN 경우와 확연하게 다르며, 특히 $ \theta=-0.8 $처럼 작은 경우에는 그 차이가 더 크다. $ \theta \leq-0.5 $인 경우에는 단위근이 존재한다고 판단하는 비율이 다른 경우에 비해 낮으며, $ \theta=-0.8 $인 경우에는 $ \alpha $의 값에 관계없이 대부분 단위근이 존재하지 않는다고 판단한다.</p> <p>● $ \theta=-0.8 $일 때 한가지 특이한 현상은 DF-GLS 검정의 경우 $ \alpha=0 $이고 n이 클 때 단위근이 존재한다고 판단한 비율이 높게 나타나는 것이다. 다른 세 가지 방법에서는 이런 현상이 발견되지 않는데, 이는 DF-GLS가 추세를 제거할 때 ERS 방법을 사용하기 때문에 생기는 문제로 생각한다.</p> <p>종합적으로 볼 때, 검정을 이용한 방법과 adaptive lasso를 이용한 방법 중 어뗜 것이 더 우수하다고 말하기 어렵다. 기울기가 0이 아닌 선형 추세가 존재하는 경우에는 추세를 제거한 시계열을 사용하는 DF-GLS 검정과 DT-OLS 방법이 원 시계열을 사용하는 경우에 비해 검정력이 좀 더 좋은 것으로 나타나는데, 이는 Elliott 등 (1996)과 같은 결과다. 그리고 $ \alpha $의 값이 0에 가까운 경우에는 DF-GLS 검정보다는 adaptive lasso를 사용한 방법과 ADF 검정의 검정력이 높게 나타났다.</p> <p>식 (1.1)의 선형 추세, $ d_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } t $를 $ y_ { t } $에서 제거하기 위해서는 먼저 $ \beta_ { 0 } $와 $ \beta_ { 1 } $을 추정해야 하며, 이 때 Elliott 등 (1996)은 일반화최소제곱법을 사용하였다. 그 이유는 식 (1.1)-(1.2)이 1차 자기회귀 모형을 만족하는 오차항을 갖는 회귀모형식과 유사하고, 다음처럼 변형 가능하기 때문이다: $ \\ y_ { 1 } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } + v_ { 1 } ; \\ y_ { t } - \alpha y_ { t-1 } = \beta_ { 0 } (1- \alpha) + \beta_ { 1 } (t- \alpha t + \alpha) + v_ { t } , \quad t=2,3, \ldots, n . \\ $ 그러므로 잔차제곱합 $ \\ S \left (b_ { 0 } , b_ { 1 } ; \alpha \right )= \left (y_ { 1 } -b_ { 0 } -b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \sum_ { t=2 } ^ { n } \left \{\left (y_ { t } - \alpha y_ { t-1 } \right )-b_ { 0 } (1- \alpha)-b_ { 1 } (t- \alpha t + \alpha) \right \} ^ { 2 } \\ $이 최소가 되도록 하는 값을 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $에 대한 추정량으로 사용할 수 있으며, 이 추정량은 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 백색잡음일 때 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $에 대한 최량선형불편추정량이 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 $ \alpha $의 값이 알려져 있지 않으므로, $ \alpha $ 대신 다른 값을 사용해야 하며 Elliott 등 (1996)은 단위근 근처에서의 검정력을 고려하여 $ a=1-13.5 / n $을 사용할 것을 추천하였고, Vougas (2007)는 $ \alpha $에 대한 다양한 추정량의 사용을 검토하였다. Elliott 등 (1996)은 결정적 추세로 $ d_ { t } = \beta_ { 0 } $처럼 상수항만 있고 $ \beta_ { 1 } =0 $인 경우도 고려하였으며, 이 때에는 $ \beta_ { 0 } $에 대한 추정값으로 $ \hat {\beta } _ { 0 } = \arg \min _ { b_ { 0 } } S \left (b_ { 0 } , 0 ; 1-7 / n \right ) $을 사용할 것을 제안하였다.</p> <p>Table 3은 $ n=500 $일 때 1000번 중 단위근이 존재한다고 판단한 경우의 수를 모의실험에서 고려한 자료생성과정별로 정리한 것이며, 이로부터 다음과 같은 사실을 파악할 수 있다.</p> <p>● 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $를 가지고 상수항만 포함된 MC 모형식을 adaptive lasso로 추정하여 단위근의 존재를 판단한 결과와 OLS로 상수함수 $ \mathrm { C } $를 이용하여 추세를 제거한 후 adaptive lasso로 단위근을 판단한 결과는 유사하다. 참 추세가 0인 경우에는 $ \alpha \leq 0.95 $ 또는 $ \alpha=1 $일 때 단위근을 정확하게 판단하는 비율이 약 $ 90 \% $ 이상으로 높다. 이에 비해 참 추세의 기울기가 0이 아닌 경우에는 보통의 단위근 검정과 마찬가지로 $ \alpha $의 값에 관계없이 모두 단위근이 존재한다고 판단한다.</p> <p>● 참 추세의 기울기가 0일 때는 $ \left \{ y_ { t } \right \} $를 가지고 선형 추세가 포함된 MT 모형식을 추정한 경우에 비해 선형 추세 LT를 추정하여 제거한 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $로 (2.3)을 추정한 경우가 단위근이 존재한다고 판단한 비율이 $ 0 \sim 10 \% $ 정도 낮았다. 그러나 그 차이는 크지 않으며, MC와 C의 경우에 비해 검정력이 나쁘지 않았다.</p> <p>● 참 추세의 기울기가 0이 아닐 때는 $ \left \{ y_ { t } \right \} $로 MT를 적합시킨 경우에 비해 LT 추세를 제거한 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 사용한 경우에 $ \alpha<1 $일 때 단위근이 존재하지 않는다고 올바르게 판단한 비율이 상승하였다. 특히 $ 0.9 \leq \alpha \leq 0.97 $이고 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 WN의 경우에는 약 $ 60 \% $ 정도 검정력이 향상되었다.</p> <p>Figures 4-6는 $ \alpha $와 단위근이 존재한다고 판단한 비율에 대한 선형 그래프를 n의 크기별로 구분해서 그린 것으로 “ALASSO"는 $ \left \{ y_ { t } \right \} $를 가지고 추세가 포함된 MT 모형식을 적합시켜서 단위근을 식별한 경우이고, "DT-OLS"는 선형 추세 LT를 OLS 방법으로 추정하여 제거한 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 이용하여 식 (2.3)을 적합시켜서 단위근을 판단한 경우이다. 이 그림들은 다음과 같은 특징을 가진다.</p> <p>DF-GLS 검정에서는 위에 설명한 것처럼 $ \beta_ { 0 } $, $ \beta_ { 1 } $에 대한 일반화최소제곱추정값을 구한 후, 식 (1.3)을 이용하여 추세를 제거한다. 추세가 제거된 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $는 $ \left \{ u_ { t } \right \} $에 대한 추정시계열이므로, 식 (2.1)에서 관측불가능한 $ \left \{ u_ { t } \right \} $ 대신 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 사용할 수 있다. 즉, 모형식 $ \Delta y_ { t } ^ { d } = \gamma y_ { t-1 } ^ { d } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \delta_ { i } \Delta y_ { t-i } ^ { d } + e_ { t } $<caption>(2.3)</caption>을 최소제곱법으로 적합시킨 결과를 바탕으로 ADF 검정을 수행한다.</p> <h2>2.2. Adaptive lasso를 이용한 단위근 식별</h2> <p>시계열 자료 $ y_ { 1 } , y_ { 2 } , \ldots, y_ { n } $이 주어졌을 때, 식 (1.2)의 $ \alpha $가 1인지 여부를 알아보기 위해 Na (2020)는 ADF 검정에서 사용하는 세 가지 형태의 회귀모형식 중 선형 추세가 포함된 모형식 (2.2)에 포함된 모수 $ \left (c_ { 0 } , c_ { 1 } , \gamma, \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { k } \right ) $를 adaptive lasso 방법으로 추정하였다. ADF 검정에서는 모수에 대한 최소제곱추정량을 바탕으로 " $ H_ { 0 } : \gamma=0 $ (단위근을 가진다)"을 검정하지만, Na (2020)는 lasso 기법의 특성을 반영하여 adaptive lasso를 이용하여 구한 $ \gamma $의 추정값을 그대로 사용하였다. 즉 $ \gamma $에 대한 추정값이 0이면, 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $가 단위근을 갖는 I(1) 과정이라고 판단하였다.</p> <p>Adaptive lasso 방법을 사용하기 위해서는 가중치와 조절모수를 선택해야하는데, Na (2020)는 모의실험에서 가중치로 모수에 대한 최소제곱추정값의 절대값의 역수를 사용하였고, AIC (Akaike, 1974), HQC (Hannan 과 Quinn, 1979), BIC (Schwarz, 1978) 세 가지 정보함수를 사용하여 조절모수를 선택하였다. 그 결과 AIC보다는 HQC와 BIC를 이용하여 조절모수를 선택할 때 단위근의 존재 여부를 좀 더 잘 판단하는 것을 알 수 있었다.</p> <p>추세를 제거한 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $를 가지고 단위근의 존재를 판단하는 두 가지 방법인 DT-OLS와 DF-GLS 검정은 Table 4에서 보듯이 결과가 비슷하다. DF-GLS 검정은 14개 중 2개의 시계열이 단위근을 갖지 않는다고 판단하였고, BIC를 이용한 DT-OLS는 3개의 시계열이 단위근을 갖지 않는다고 판단하였다. 비록 1인당 실질 GNP의 경우 DT-OLS와 DF-GLS 검정에 의한 단위근 판단 결과가 달랐지만, $ \gamma $에 대한 추정값을 비교해보면 -0.108과 -0.109로 거의 비슷하였다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>결정적 추세에 대한 사전 정보가 없는 상태에서는 ADF 검정이나 adaptive lasso로 ADF-회귀모형식을 적합시킬 때 식 (2.2)처럼 선형 추세가 포함된 가장 일반적인 모형식을 사용할 수 밖에 없다. 그러나 이 경우 기존의 연구 결과 및 본 모의실험 결과에서 보듯이 단위근의 존재를 판단하는 검정력이 높지 않았다. 특히 adaptive lasso를 사용한 방법에서는 참 추세의 기울기가 0 이 아닌 경우 검정력이 더 낮았다. 본 논문에서는 adaptive lasso를 사용할 때의 검정력을 향상시키기 위한 수정 방안을 연구하였으며, Elliott 등 (1996)이 추세를 제거한 뒤 ADF 검정을 실시한 것처럼 adaptive lasso 방법에서도 추세가 제거된 시계열을 사용하기로 하였다.</p> <p>모의실험 결과, 기존의 방법처럼 원 시계열 $ \left \{ y_ { t } \right \} $에 (2.2)의 모형식을 adaptive lasso로 적합시킬 때보다 추세가 제거된 시계열 $ \left \{ y_ { t } ^ { d } \right \} $로 (2.3)의 모형식을 적합시킬 때 단위근의 존재를 판단하는 검정력이 높게 나타났다. 비록 자료의 수가 $ n \leq 100 $으로 작은 경우에는 단위근이 존재할 때의 정확도가 ADF 검정과 DF-GLS 검정에 비해 낮지만, n이 커질수록 그 차이가 줄어들고 $ n \geq 500 $으로 자료의 수가 큰 경우에는 차이가 거의 나지 않았다. 그리고 $ n \geq 200 $인 경우에는 단위근 검정과 원 시계열을 사용하는 adaptive lasso 방법에 비해 검정력이 높거나 비슷하게 나타났다.</p> <p>그러나 추세가 제거된 시계열을 사용하더라도 adaptive lasso 방법에서는 자료의 수 n이 작거나 $ \left \{ v_ { t } \right \} $가 백색잡음이 아닌 이동평균 모형을 따르는 경우 단위근이 존재할 때 정확도가 낮다는 문제가 여전히 존재한다. 그리고 adaptive lasso에 사용되는 가중치나 조절모수 선택에 대한 연구도 미흡한 상태이므로 이들에 대한 추가 연구가 필요하다. 마지막으로 본 논문에서는 (1.1)처럼 선형 추세만을 고려하였으나, Elliott 등 (1996)처럼 다양한 추세를 갖는 경우로 확장 가능할 것으로 예상하며, 이에 대한 후속 연구를 계속 진행할 예정이다.</p> <h1>요약</h1> <p>본 논문에서는 adaptive lasso 방법을 이용하여 단위근의 존재 여부를 판단하는 방법에 대해 연구하였다. 최근 원 시계열에 상수항과 선형 추세가 포함된 ADF-회귀모형식을 adaptive lasso로 추정하여 단위근을 식별하는 방법이 제안되었으나, 미지의 선형 추세가 존재할 때 검정력이 떨어지는 것으로 나타났다. 이 문제를 해결하기 위해 본 논문에서는 ADF-회귀모형식을 적합시킬 때 원 시계열 대신 선형 추세가 제거된 시계열을 사용하는 수정안을 제안하였다. 그리고 수정안에서는 일차적으로 선형 추세를 제거한 후 모형식을 적합시키기 때문에 ADF-회귀모형식 중 상수항과 선형 추세를 모두 포함하지 않는 모형식을 사용하였다. 기존의 방법보다 수정안을 사용할 때 단위근의 존재를 판단하는 검정력이 향상되는지 모의실험을 통해 검토하였으며, ADF 검정과 DF-GLS 검정과의 비교 실험도 진행하였다. 모의실험 결과 adaptive lasso를 이용하여 단위근의 존재를 판단할 때 원 시계열보다 추세가 제거된 시계열을 사용하는 경우가 높은 정확도를 가지며, 자료의 개수가 충분히 많을 때 단위근을 잘 판단함을 확인할 수 있었다.</p>	자연
뇌영상 MEG 데이터에 대한 통계적 분석 문제	<h1>1. 서론</h1> <p>인간의 뇌에는 1000억 개의 신경세포(뉴런)들이 존재한다. 이들 각각의 신경세포는 인접한 다른 신경세포들과 시냅스 구조로 연결되어 뇌의 다양한 부문에서 복잡한 형태의 뇌신경망을 형성하고 이들 간 전기적, 화학적 신호를 주고받음으로써 인간의 생명 활동과 반응, 운동, 고위 정신기능을 포함한 뇌기능을 매개한다. 냄새, 소리, 빛, 촉각 등의 외부 자극이나 기억, 판단 예측과 같은 고위정신기능 등이 발생 될 때 신경세포에서는 여러 가지 작용을 거쳐 전기신호가 발생, 전달되고 이 전기신호는 자기신호를 유도한다.</p> <p>Magnetoencephalography (MEG, 뇌자도)는 머리밖에 형성된 미세한 자기장의 변화를 고감도 자기센서로 측정한 것이다. MEG는 발생한 전압을 두피 표면에서 측정하는 electroencephalogram (EEG, 뇌전도)와 마찬가지로 비접촉, 비침습적(non-invasive) 방법이며 수 밀리초 단위로 뇌활동을 직접 측정할 수 있어 시간분해력이 뛰어나다. 또한 전기전도도가 다른 여러 매질을 거쳐옴에 따라 공간적으로 왜곡된 정보를 포함하여 공간분 해능이 현저히 떨어지는 EEG와 달리 MEG는 자기장이 머리를 왜곡 없이 투과하기 때문에 전자기 신호의 위치를 비교적 자세히 추적할 수 있다. 반면, MEG/EEG와 함께 뇌기능 연구에 많이 쓰이는 functional magnetic resonance imaging (fMRI)은 혈류와 관련된 변화를 감지하여 자극에 대해 어떤 3차원 부위의 뇌신경이 활성화되었는지를 측정하여 공간분해능이 뛰어나지만 수 초 또는 수 분 간격의 측정으로 시간분해능이 떨어지는 단점과 강력한 자기장으로 인한 인체 유해성에 대한 우려도 있다. 또한, position emission tomography (PET, 양전자 단층촬영), computed tomography (CT , 컴퓨터단층촬영)와 같은 의학 영상기술은 영상을 얻는 과정에서 방사성 물질을 몸에 주입하거나 방사선에 직접 노출시키기 때문에 지속적인 뇌 기능연구에는 적합하지 않다.</p> <p>인체에 무해하고 비접촉 비침습적이며 우수한 공간/시간 분해능을 가지고 있는 MEG는 질병이나 여러 형태의 자극 상황에 대한 인간 두뇌 영역의 해부학적 구조와 기능적 반응의 관계 연구의 주요 뇌영상 기술로 주목받고 있으며 뇌의 손상 및 기능 이상에 의해서 발생하는 뇌질환 진단, 인지기능 연구, 신경과학 등 뇌연구에 유용하게 활용되고 있다 (Florin 등, 2015). MEG는 특히, 뇌전증(epilepsy)에 관한 진단, 발작 감지 및 예측, 뇌 수술 전 대뇌피질의 기능진단, 뇌의 뇌전증 유발 위치 특정 등 임상의학에 유용하게 활용되고 있다 (Tovar-Spinoza 등, 2008; Foley 등, 2014; Iwasaki 등, 2002; Gupta, 2011; Ramgopal 등, 2014). 또한, MEG를 활용하여 치매의 일종인 알츠하이머병(alzheimer disease, AD) 환자와 정상인과의 전두엽, 측두엽, 두정엽 등의 뇌 부위 간 뇌파의 차이 비교, 연결성 변화 분석 등을 통한 AD 기초연구 및 AD 발현 조기진단 등에 관한 연구도 활발히 이루어지고 있다 (Maestu 등, 2005; López-Sanz 등, 2018; Mandal 등, 2018).</p> <p>MEG 데이터는 뇌 연구에 있어 중요한 정보를 제공하고 임상의학적 가치도 큰 반면 데이터 간 복잡한 상관성 구조를 가지는 시공간 데이터로 통계적으로 해결해야 할 과제가 많은 영역이다. 본 연구에서는 뇌 활동(brain activity)에 관련된 MEG 데이터의 특성을 설명하고 분석과정에서의 통계적 문제와 관련 기존연구를 소개함으로써 뇌연구에서의 통계학과 뇌정보학의 중요성을 강조하고자 한다.</p> <h2>3.5. 뇌네트워크의 다층 모듈성</h2> <p>두뇌는 복잡한 시스템을 가진 패러다임의 예라고 할 수 있다. 뇌네트워크의 복잡성은 다층 모듈성을 가지며 다음과 같이 표현이 가능하다.</p> <p>시간적 네트워크(temporal network)를 $ \left\{\left(u_{i}, v_{i}, t_{i}, \Delta t_{i}\right), \quad i=1,2, \ldots,\right\} $로 표기한다. 여기서 $ u_{i}, v_{i} $는 $ i $번째 event가 발생하는 노드 쌍, $ t_{i} $는 $ i $번째 event가 발생하는 시간, $ \Delta t_{i} $는 $ i $번째 event duration, $ t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{\max }, n $은 사건 수이다. 각 시점에서 snapshot $ G=\left\{G(1), G(2), \ldots, G\left(t_{\max }\right)\right\} $, 근접성행렬(adjacency matrix)은 공분산 행렬 $ A=\left\{A(1), A(2), \ldots, A\left(t_{\max }\right)\right\} $로 표현한다. 그러므로 다층 구조를 가진 시간적으로 연결된 표현(multilayer and temporally connected representation)으로 정의할 수 있으며 네트워크의 모듈성(network modularity)을 측정하여 나타낼 수 있다. 네트워크 구성원으로는 $ N $개 노드(node), 에지(edge) $ e_{i j} \subset E $, 여기서 $ E $는 에지 집합, 시간점 $ t \in T $ 여기서 $ T $는 시간점집합이다.</p> <p>$ M $개 개체에 대해 각각 $ N $개 노드(parcel, ROI, 또는 복셀)에서 $ T $개 시점에서 측정된 MEG 데이터에 대해 통계 모형을 세울 수 있다. 한 개체의 경우 각 시점에서의 parcel에 대해,</p> <p>$ y_{i j}(t)=\sum_{g=1}^{G} z_{i j g}(t) \gamma_{i j g}+\sum_{k=1}^{K} x_{i j k}(t) \beta_{i j k}+\epsilon_{i j}(t) $.<caption>(3.7)</caption></p> <p>여기서 $ i=1, \ldots, V, j=1, \ldots, M, t=1, \ldots, T . z_{i j g} $ 는 $ t $ 시점에서 스캔에 의한 이동량, 호흡과 심장박동에 따른 주기적 변동, 머리의 움직임에 의한 이동 등 nuisance covariate의 기여를 나타낸다. $ x_{i j k}(t) $는 $ k $번째 조건에서의 task-related 반응값이다. $ \beta_{i j k} $와 $ \gamma_{i j g} $는 각각 $ x_{i j k} $와 $ z_{i j g} $에 대한 모르는 진폭 모수이다. $ \epsilon_{i j}(t) $는 잡음과정(noise process)이다.</p> <p>Multilayer temporal network은 $ N t_{\max } $개 노드를 포함하며 $ (i, t) $쌍으로 나타낸다. 공통 층간 연결(common inter-layer connection)은 $ (i, t) $와 $ \left(j, t^{\prime}\right) $에서 $ i=j, t^{\prime}=t+1 $일 경우에 가중값 $ w=C_{i^{\prime} tt^{\prime}} $으로 inter-layer coupling scheme이 존재한다고 가정한다.</p> <p>$ \sum_{i^{\prime}, j^{\prime}=1}^{N t_{\max }} Q_{i^{\prime}, j^{\prime}}^{\operatorname{mat}} \delta\left(g_{i^{\prime}}, g_{j^{\prime}}\right)=\sum_{t=1}^{t_{\max }} \sum_{i, j=1}^{N} Q_{i j t} \delta\left(g_{i^{\prime}, t}, g_{j, t}\right)+2 w \sum_{t=1}^{t_{\max }-1} \sum_{i=1}^{N} \delta\left(g_{i^{\prime}, t}, g_{i, t+1}\right) $<caption>(3.8)</caption></p> <p>여기서 $ g_{i^{\prime}} $는 $ i^{\prime} $노드가 $ N t_{\max } $ network에 속하는 community, $ Q_{i j t} $는 $ Q^{\operatorname{mat}} $에서 $ t $시점에서 $ (i, j) $에 놓인 성분이다. $ \delta\left(g_{i^{\prime}}, g_{j^{\prime}}\right) $는 노드간 관계를 나타내는 함수이다. Multilayer modulaity matrix $ Q^{\text {mat }}=\left(Q_{i^{\prime}, j^{\prime}}^{\text {mat }}\right) $는 노드간 관련 정보를 포함하는 행렬이다. 여기서 $ Q^{\text {mat }}(t) $는 $ t $ layer에서 $ N \times N $ modularity matrix를 나타낸다.</p> <p>최근 뇌과학에서 multilayer network은 주목받고 있는데 뇌의 다층적 구조에 대해 multi-model, multi-scale, spatio-temporal data로 부터의 정보를 얻는 방법으로 응용할 수 있기 때문이다 (Bianconi, 2019; Vaiana와 Mul-doon, 2018). 이러한 multilayer framework가 뇌네트워크의 hidden feature를 발견하는데 활용되고 질병모형, 구조-기능 관계 모형, 네트워크 진화 모형 등으로 사용할 수 있다 (Bassett와 Sporns, 2017).</p> <h2>3.4. MEG 데이터 기반 뇌네트워크 추정</h2> <p>네트워크는 꼭지점들의 집합과 그들의 연결(link) 형태를 보여주는 복잡계(complex system)를 표현하는 수학적 모형이다. 뇌 연결성 정보는 연결성 행렬과 네트워크로 표현 가능하여 네트워크 데이터에 대한 통계적 분석 연구로 이어질 수 있다. 뇌 네트워크에 관한 연구는 뇌 전체의 연관성, 부분적 연관성, 기능적 연관성 등을 탐구 하고자 하는 것으로 연결성의 방향과 변화의 존재 등도 중요한 관심 문제이다. 네트워크 연결성에 대한 측도로 Rubinov와 Sporns (2010)는 뇌영역 간의 연계(integration, 네트워크에서의 path), 특화(segregation, 네트워크에서의 클러스터), small-worldness, 패턴(motif), 중심성(centrality) 등의 측면에서 측도들에 대해 소개하고 관련 이슈들을 설명하였다.</p> <p>뇌 네트워크 추정에 관심 영역 개수가 많아 다변량 모형을 적용할 경우에는 공분산 행렬 추정 시 모수의 개수가 개체 수보다 많아지고 다차원 상관성이 고려돼야 하는 고차원 데이터 문제들이 발생한다. 또한, 희박성(sparsity)과 차원축소(dimension reduction) 문제와 더불어 가짜 공간적 상관성(spurious spatial correlation), 시간적 상관성 등이 동시에 다루어져야 하는 문제도 있다. Sparse causal network에 대한 추론으로 group Lasso 기법의 사용 (Bolstad 등, 2011) Lasso 및 graphical Lasso에 기반한 차원축소 선택기법 (Hastie 등, 2015) 등의 연구가 이루어졌다. Cassidy 등 (2014)은 connectivity, sparsity, mutual information을 비교하며 적절한 추론틀(inference frame)이 뇌 네트워크 추정에 중요한 역할을 함을 보였다.</p> <p>Resting-state 또는 task-related state에서의 신뢰할만한 네트워크 구축뿐 아니라 정상/비정상 그룹, 환자/비환자 그룹, 활성화/비활성화 등을 구별할 수 있는 네트워크 추정에 대한 통계적 접근은 아직 해결해야 할 과제가 많은 영역이다. 더욱이 시간에 따라 가변적으로 변하는 동적 네트워크 문제에 대한 접근은 그리 많지 않아 이에 관한 연구의 필요성이 대두되고 있다. Whittaker (1990)와 Kolaczyk (2009)은 네트워크 문제에 대한 통계적 접근에 대해 상세히 고찰하였으며 네트워크 추론에 대한 통계적 방법의 확장성 및 필요성을 설파하였다. 뇌 노드들 간의 연결성과 동적 변화를 동시에 반영한 네트워크에 관한 연구로 Jirsa (2004)는 동적 특성에 대한 설명과 함께 이러한 동적 연결성이 뇌의 시공간 네트워크에서 어떻게 작동되는지에 대해 관심을 두고 뇌 네트워크의 국소적 동적 변화, 연결성 행렬의 시간 지연성 등을 다루었다. Zalesky 등 (2012)는 상관계수(correlation) 기반 네트워크 연결성 측도와 그 확장성에 관해 기술하였다. Fornito 등 (2016)에서는 그래프 이론(graph theory) 측면에서 뇌 네트워크에 대한 구성, 측도, 응용에 걸친 주제에 대해 광범위하게 기술하였다.</p> <p>기존의 MEG, EEG 신호를 대상으로 한 뇌 연결성 연구의 많은 부문은 특정 주파수 대역만을 이용하였다. 그러나 특정 주파수 대역 내에서의 여러 독립적 측도가 정의될 수 있고 진동 엔벨롭 동기화나 특정 주파수대가 다른 주파수 대역의 진폭으로 중개되기도 하는 등 주파수 대역 간 연결성도 밝혀지고 있다 (Florin과 Baillet, 2015). 뇌에는 거대한 수의 뉴런이 결합한 결합 진동자 시스템(coupled oscillator systems)으로 각 요소 간에서 진동 동기화(synchronization)가 발생한다고 알려져 있다. 뇌에서 신경 진동의 동기화 현상이 뇌파측정 등으로 관찰되고 있다. 이러한 진동 동기화는 불완전, 다의적인 환경조건에서 지각상태에 대해 확정하고 목적을 위한 기능적인 반응으로 정보를 종합하기 위한 신경활동의 바인딩 과정으로 매우 중요하다. 따라서 뇌의 연결성에 대한 보다 완전한 모델로 Brookes 등 (2016)은 Figure 2에서 보여주는 바와 같이 각 주파수 대역 내에서의 연결성 측도들과 함께 주파수 대역들 간의 상호작용도 포함된 단일 다차원 네트워크 모형을 제시하였다.</p> <p>최근에는 위상수학(topology) 개념을 도입한 persistent homology를 유지하는 네트워크에 대한 관심이 커지고 있다. 많은 부문 뇌 네트워크 모형은 네트워크 노드 간의 링크 weight에 대한 threshold에 기반하여 이진화(binary)한다. 이러한 네트워크 형태는 threshold 값에 따라 달라질 수 있다. 따라서 최근에는 특정 threshold에 기반하여 네트워크 연결성을 정의하기보다는 가능한 모든 threshold 값에 대해 지속되는(persist) 위상적 형태(topological feature)를 가지는 persistent homology에 기반한 multiscale hierarchical 네트워크 모델링이 제시 되었다 (Lee 등, 2012; Solo 등, 2018).</p> <p>뇌의 정보처리 방식에 대한 네트워크 모형은 공간적 분포(spatial distribution)뿐 아니라 동적 움직임(tem-poral dynamics)도 반영되어야 하며, persistent homology를 포함한 네트워크 위상적 형태에 대한 연구도 필요하다. 뇌 네트워크는 몇 개의 네트워크 모형에 의해 완전히 나타낼 수는 없으며, 한 개의 네트워크가 아닌 네트워크들의 네트워크 문제로 발전되어 이에 대한 통계적 연구가 필요하다 할 수 있다.</p> <h1>4. 시사점 및 결론</h1> <p>뇌의 구조, 기능, 연결성, 발달단계, 반응 매커니즘 등을 알아내기 위한 인간 뇌에 대한 연구는 21세기 가장 큰 도전적 과제중 하나이다. 이러한 뇌 연구에 다양한 의학 영상기술이 활용되고 있으며, 그 중 MEG는 비침습적이고 공간분해능과 시간분해능이 우수하여 뇌기능 연구와 임상의학적 가치가 매우 높은 뇌영상 기술로 평가되고 있다. 그러나 MEG 데이터는 데이터가 가지고 있는 복잡한 시공간적 상관성 구조로 인하여 해석에 많은 어려움이 있다. 본 논문에서는 신호분리, 연결성 측도, 연결성 분석, 뇌 네트워크 추정를 포함한 MEG 데이터의 해석과정에서 제기되고 있는 문제들에 대해 기존 연구들과 함께 몇 가지 통계적 접근 방법을 소개하였다.</p> <p>전세계적으로 엄청나게 많은 뇌영상 데이터 기반 뇌기능 연구에도 불구하고 인간 뇌구조와 기능 메카니즘의 완전한 이해는 아직까지 요원하다. 또한 MEG를 포함한 뇌영상 데이터 해석에는 기존의 통계적 모형으로 해결할 수 없는 문제들이 많고 상황에 따른 적절한 통계적 모형이 충분히 개발되지 않았다. 특히 뇌연결체학(connectromics) 관점에서 시간에 따른 네트워크 연결성 변화를 모델링하고 추정하는 동적 기능적 연결성은 그룹 간 뇌구조 비교, 연결성 변화점 추정 (Kim 등, 2021), 질병과의 뇌구조 연관성 분석 등 뇌과학적, 임상적 중요성이 높지만 통계적으로 해결해야 할 과제가 매우 많은 영역이다.</p> <p>뇌 영상처리 기법은 더 복잡하고 정교하게 발달되고 있어 이에 따라 수반되는 문제들에 대한 통계적 방안도 개발돼야 한다. 예를 들어 최근 특정 뇌영상 촬영 기법에 대한 단점을 보완하고 좀 더 정교한 분석을 수행하고자 다른 영상기법들과 혼합해서 측정하는(fMRI와 EEG, MEG) 다종뇌촬영(multimodal neuroimaging) 접근이 활발히 이루어지고 있어 (Babiloni 등, 2004), 데이터의 형태와 속성이 다르고 때로는 상반된 경향을 보이는 이종 데이터의 결합이라는 통계적 과제가 해결되어야 한다 (Sui 등, 2012).</p> <p>통계는 뇌과학의 중요한 도구이다. 뇌이미지 데이터 해석에서 동적 연결성을 포함한 통계적 난제로 남아있는 문제들에 대한 다양하고 심층적인 시도, 뇌영상 기술의 발전 및 인공지능, 고성능컴퓨팅 (high perfor-mance computing) 등 정보기술의 발전과 병행하는 통계적 접근의 다각화, 공개 뇌영상 빅데이터의 활용을 통한 연구의 활성화 등으로 통계학이 뇌기능의 비밀을 푸는데 중요한 역할을 할 것을 기대한다.</p> <h1>요 약</h1> <p>뇌활동으로 발생하는 전기신호는 다시 자기신호로 유도되는데 센서로 측정한 것을 뇌자도(magnetoen-cephalography, MEG)라고 한다. MEG 기술은 비접촉, 비침습적인 측정방법이고 시간분해능과 공간분해능력이이 우수하기 때문에 뇌의 기능적인 정보를 얻는데 유용하게 사용될 수 있다. 또한 MEG 신호를 측정하고 분석하여 뇌신경전류의 활동을 이해할 수 있고 나아가 정밀한 뇌기능 연구가 가능하다. 본 연구에서는 뇌 활동(brain activity) 현상에 관한 궁극적 정보를 얻기위해 MEG 데이터의 특성을 설명하고 통계적 문제를 다루어 앞으로 뇌연구에 통계학의 필요성과 뇌정보학의 중요성을 강조하고자 한다.</p> <h2>3.6. MEG 분석을 위한 기계학습법</h2> <p>뇌 데이터가 가지고 있는 구조적 복잡성, 고차원성, 변동성을 극복하고자 뇌 영상데이터의 회귀, 예측, 이상점 탐지, 특징 추출, 분류문제 등에 기계학습(machine learning) 기법을 시도하고 그 효용성을 증명하고자 하는 연구가 많아지고 있다 (Pantazis 등, 2021). 예를 들어, MRI 데이터로부터의 AD 그룹과 경미 인지장애(mild cognitive impairment, MCI) 그룹 판별 및 분류문제에 대해 Klöppel 등 (2008)은 support vector machine (SVM)이 실험에 참여한 방사선 전문의의 판단보다 정확도가 높았다고 보고하였다.</p> <p>EEG 및 MEG 데이터에 대한 기계학습법 연구도 다양하게 시도되고 있으며 많은 관련 논문들이 발표되고 있다. 몇 가지 예로, EEG 데이터로부터의 뇌전증 발작 감지(epilepsy seizure detection)에 대한 SVM, 인공지능망(artificial neural network) 등의 접근법 논의 (Ramgopal 등, 2014), 빅데이터와 딥러닝 기법을 활용한 EEG 데이터의 자동분석 시스템 소개 (Golmohammadi 등, 2019), EEG/MEG 데이터 처리에서 베이지안 통계와 기계학습을 혼합한 베이지안 기계학습법(Bayesian machine learning) 제안 및 적용사례 소개 (Wu 등, 2016)를 들 수 있다.</p> <p>동물의 이미지 인식 과정에서의 신경세포 정보처리 단계와 흡사한 원리로 구축된 합성곱 신경망(convo-lutional neural network, CNN)은 뇌 데이터 처리에 많이 응용되고 있다. Dash 등 (2020)은 MEG 데이터로부터 5종류의 어구(imagined and spoken phrases)를 분류하기 위한 CNN 적용을 소개하고 MEG 데이터로부터 어구의 직접 디코딩 가능성에 대해 논의하였다. Zubarev 등 (2019)은 잡음이 섞인 MEG 이미지 데이터들로부터 신호의 종류를 분류(classification)하기 위한 CNN 방법을 제안하였고 그들 제안의 우수성을 설명하였다. 또한 훈련된 네트워크를 이용하여 실시간 뇌 신호(피실험자의 왼손이나 오른손 움직임에 대한 상상)에 대해 신호 종류 분류가 가능한지를 실험하여 brain computer interface (BCI)에 대한 가능성을 논의하였으며, 공개 MEG 데이터에 적용하여 그들의 방법이 개인 간 대뇌피질의 해부학적, 기능적 차이에도 영향이 덜 받는 방법임을 보였다.</p> <p>신호처리 기법에서 활용되는 beamformer(또는 spatial filter) 기법을 적용하여 neuroimaging 데이터에 대한 source localization 연구도 진행되고 있다. 예를 들어, minimum variance beamformer 기법은 big MEG 데이터 처리에 병렬처리(parallel computing)로 확장가능하다. Zhang과 Su (2015)는 background noise에 대해 모수적 가정이 필요없이 MEG 데이터에 대해 시간적 자기상관성(temporal-autocorrelation)을 기반 beamforming 방법을 제안하고 통계적 특성을 규명하였다. Sekihara와 Nagarajan (2010)에서는 여러 spatial filter 방법을 설명하며 MEG 데이터에 응용할 수 있다.</p> <p>최근 EU의 human brain project (HBP), Allen Institute for Brain Science, US Brain Initiative, Brain Canada Foundation과 같은 뇌 연구를 촉진하고 지원하기 위한 기관 및 (범)국가적 뇌 연구 프로젝트들이 진행되고 있으며, 이들 프로젝트에서 다양한 주제에 대해 기계학습법을 이용한 접근이 이루어지고 있다. 또한, ma-chine intelligence from cortical networks (MICrONS) 프로젝트와 같이 뇌가 기능하는 원리를 역추적(reverse-engineering)함으로써 기계학습법의 혁신적 개선을 이루려는 시도도 이루어지고 있다. 이러한 연구 노력과 함께 Allen Brain Atlas, Human Connectome Project (HCP) database, Temple University Hospital EEG dataset, Cambridge Centre for Ageing and Neuroscience (Cam-CAN) data repository, openNeuro, Open MEG Archive(OMEGA) 등 뇌영상 빅데이터가 구축되고 있어 (Chen 등, 2019; Taylor 등, 2017; Golmohammadi 등, 2019; Niso 등, 2016), 이들을 활용한 활발한 연구가 기대된다.</p> <h2>3.3. 동적 기능적 연결성</h2> <p>뇌 영역 간 기능적 연결은 정적이라기보다는 짧은 시간에 걸쳐 연결 패턴이 특정 형태에서 다른 형태로 재현 가능하게 변한다고 알려져 있다. 따라서 뇌의 기능적 연결성은 정적(static)이라기 보다는 동적(dynamic)이라고 여겨지며, 시간에 따른 뇌의 연결성 변화를 모델링하여 관심 그룹 간의 차이를 규명하고 예측하는 동적 기능적 연결성(DFC) 연구는 최근 많이 진행되고 있다.</p> <p>동적 기능적 연결성에 대한 통계량을 구하기 위한 일반적 접근 방법으로 sliding window 기법을 활용한다. 이러한 접근에서는 관측된 시계열 데이터를 작은 시간단위(window)로 나누어 precision matrix를 추정하여 연결 패턴을 추정한다. Lindquist 등 (2014)에서 sliding window 방법은 window 크기에 따른 추정의 불확실성 문제를 언급하고 대안적인 방법을 제시하고 비교하였다. Cribben 등 (2012)은 permulation과 bootstrapping에 기반한 dynamic connectivity regression 방법을 제안하여 시간에 따라 기능적 연결성이 변하는 변화점(change point)과 구간(partition)별 ROI간 연결그래프를 추정하였다.</p> <p>Hidden Markov model (HMM)은 DFC 추정에 많이 활용되고 있다 (Robinson 등, 2015; Warnick 등, 2018; Vidaurre 등, 2017). $ X_{n}, Y_{n} $이 각각 discrete-time stochastic process 일 때 HMM 특성으로 다음을 만족한다. $ n \geq 1,\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in A $ 대해,</p> <p>$ P\left(Y_{n} \in A \mid X_{1}=x_{1}, \ldots, X_{n}=x_{n}\right)=P\left(Y_{n} \in A \mid X_{n}=x_{n}\right) $,<caption>(3.6)</caption></p> <p>HMM은 Markov process를 따르며 관측불가능한(unobservable) 숨겨진 상태(hidden state)에 의존한다. 그러므로 HMM은 뇌영역의 반복적인 상호작용을 나타내는 그래프적 관계를 찾는데 유용한 접근법이라고 할 수 있다.</p> <p>Robinson 등 (2015)의 연구에서는 전체 functional network을 subnetwork (block)으로 나누고 time window 별로 HMM을 이용하여 네트워크 구조의 변화를 추정함으로써 시간에 따른 기능적 연결성 문제에 접근하였다. Warnick 등 (2018)은 모든 시점에서의 연결성 그래프(connectivity graph)는 하나의 super-graph 모형에 연계될 수 있다고 가정하고 HMM에 대해 Bayesian접근으로 네트워크 상태의 변화점과 특정 시점에서의 네트워크 상태를 도출하였다. Vidaurre 등 (2017)은 Human Connectome Project (HCP)의 820개 fMRI 데이터를 대상으로 HMM 기반 분석을 통해 resting-state의 기능적 네트워크의 계층적 구조를 보였다. 또한 HMM에서 지연된 시간(sojourn time)에 대해 다루는 한계점이 있으며 이에 대한 보완적인 방법으로 hidden semi-Markov model (HSMM) 기반으로 time-varying brain network 추론도 제안되었다 (Shappell 등, 2019). Zhang 등 (2021)에서는 MEG 데이터에 대해 HMM 훈련과정과 추론 과정을 보여준다. 뇌 구조와 현상을 반영할 수 있는 hidden state에 대한 정보를 활용하여 다양한 HMM 설계가 가능해 보인다. DFC는 다변량 통계량, 다변량 시계열모형, 시공간 모형, 랜덤행렬에 대한 통계적 방법 및 특성 규명, non-Gaussian asymptotics 등에 기반한 방법론 개발, 뇌영상 데이터의 비독립적 특성을 반영한 검정 통계량의 경험분포 유도 등을 포함한 난해한 통계학적 과제가 많은 영역이다. 또한 DFC 추정과정에는 공분산행렬에 대한 추정과 연산이 중요한 부문을 차지하므로 뇌영상 데이터 고차원 공분산 행렬의 희박성 문제, 특징추출문제, 차원축소 문제 등도 심도있게 다루어져야 된다.</p> <h1>3. Magnetoencephalography (MEG) 데이터에 대한 통계적 접근</h1> <p>MEG 데이터는 시공간성 복잡 데이터이며 다량의 잡음도 포함한 아날로그 신호 데이터로 분석과정에서의 제반 문제에 대해 효율적인 통계적 모형 구축과 계산 알고리즘으로 구현할 수 있는 방법이 연구되어야 한다. 낮은 SNR을 가진 데이터로부터 의미있는 데이터만을 추출하기 위한 기법, 휴식상태(resting state) 및 과업상태(task-related state)에서의 국소적 뇌 기능 부위 검출 및 동적 기능적 연결성(dynamic functional connectivity, DFC) 규명, 알츠하이머(alzheimer's disease, AD), 뇌전증(epilepsy), 파킨슨병(Parkinson's disease, PD) 등 뇌 질환 상황에 대한 뇌 네트워크 변화 분석 등 제반 분야에서 통계적으로 해결해야 할 과제가 매우 많다.</p> <h2>3.1. 독립성분분석과 일반화선형모형</h2> <p>MEG 데이터를 포함하여 뇌 시계열 데이터에 대하여 국소적, 기능적 분석에 많이 쓰이는 방법의 하나는 독립성분분석(independent component analysis, ICA)이다. MEG, EEG 분석에서 ICA는 여러 신호가 혼합된 데이터로부터 데이터 준비나 수집과정에서 혼합된 잡음(심장박동, 눈동자 움직임)을 제거하고 독립된 성분을 추출하는데 많이 쓰인다. 예를 들어, Ikeda 등 (2000)은 MEG 데이터에 대하여 데이터 소스의 수와 센서 잡음을 추정하는데 ICA를 적용하여 그 효용성을 논하였다. 또한, Brookes 등 (2011a, 2011b)은 resting-state MEG source-space 데이터의 source 별 진폭 envelope (Hilbert envelope)에 대해 ICA로 통계적 상호 연계성(inter dependency)을 평가하여 resting-state 네트워크를 도출하였다. ICA의 모형과 기본 개념은 다음과 같다.</p> <p>$ \mathbf{X}=\left(x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right)^{\prime} $는 $ n $개의 센서에서 발생하는 시간에 따라 관측된 신호이다.</p> <p>$ \mathbf{X}=\mathbf{A S} $<caption>(3.1)</caption></p> <p>여기서 $ \mathbf{A} $는 unknown $ n \times m $ full-column rank linear matrix로 신호의 혼합 체계(mixing system)을 나타낸다. $ \mathbf{S}=\left(s_{1}(t), \ldots, s_{m}(t)\right)^{\prime} $는 모르는 상호 독립적 source 신호이다.</p> <p>$ \mathbf{A} $와 $ \mathbf{S} $를 모르는 상태에서,</p> <p>$ \widehat{\mathbf{S}}=\mathbf{W X} $<caption>(3.2)</caption></p> <p>를 도출하는 것이 목적이며 de-mixing matrix $ \mathbf{W} $ 를 구하기 위하여 FastICA, JADE와 같은 cost function과 opti-mization을 활용한 여러가지 construction 알고리즘이 개발되어있다 (Dharmaprani 등, 2016).</p> <p>ICA와 함께 일반화선형모형(generalized linear model, GLM)도 뇌 기능연구에 많이 쓰이고 있다. GLM은 종속변수가 정규분포일 필요가 없는 일반 선형회귀모형의 확장형태이다. 예를 들어, fMRI 연구에서는 GLM을 활용하여 blood oxygenation level dependent (BOLD, 혈중 산소 농도 의존성) 시계열을 몇 가지 신호의 선형결합으로 모형화하고 voxel에서의 활성화가 입력이나 자극과 연계되어있는지를 검정할 수 있다(Monti, 2011). Luckhoo 등 (2012)은 task-related MEG 데이터에 대해 ICA를 통해 독립성분을 추출한 후 이들 각각에 GLM을 적용함으로써 2-back working memory 실험(문자를 연속적으로 보여주는 과정에서 두 단계 전의 문자를 맞추는 실험)에서의 task-related activity에 대한 functional network를 제안하였다.</p> <h2>3.2. 뇌 연결성 및 측도</h2> <p>뇌 기능의 발현은 국소적 뇌 영역의 역할과 함께 공간적으로 떨어져 있는 뇌영역 간의 연결성에 기인한다고 알려져 있다 (Friston, 2005). Friston 등 (1993)에서 기능적 연결성(functional connectivity, FC)은 공간적으로 떨어져 있는 뇌영역들에 대해 신경생리학적 사건들의 시간에 따른 상관성(temporal correlation between spatially remote neurophysiological events)으로 간주한다. EEG, MEG, fMRI 등 뇌 영상기술 기반 뇌 연결성 연구는 크게 구조적 연결성(structural connectivity)과 기능적 연결성(functional connectivity), 실질적 연결성(effective connectivity)으로 나눨 수 있다.</p> <p>구조적 연결성은 신경회로의 해부학적 연결성으로 신경세포 간 신호가 흘러가는 뇌의 물리적 연결망을 바탕으로 한다. 뇌의 기능적 연결성은 해부학적으로 떨어져 있는 뇌영역 간의 시간에 따른 신경 활성화 유형으로 신경생리학적 사건(neurophysiological event) 간의 시간적 상관관계(temporal correlation)라 할 수 있다(Rajesh 등, 2011). 이 연결성은 거리에 따른 영역 간 물리적인 연결성보다는 뇌 영역 간 시간에 따라 전기 생리학적 활성이 위상(phase)이나 진폭(amplitude)과 같은 주파수 특성에서 공통의 규칙이나 패턴을 가지고 나타남을 규명하고 정량화함으로써 정의된다.</p> <p>실질적 연결성은 기능적 연결성에 더하여, 신경계 시스템의 인과관계, 즉 한 신경계 시스템이 다른 신경계 시스템에 미치는 직간접적 영향을 설명하기 위함으로 신경계 내에서의 정보의 동적 흐름에 대한 방향성까지를 포함한다. 연결성 추정과정에는 자기장 변화, 전기생리적 신호, 머리 움직임 등을 포함한 내/외부 잡음 제거와 보정이 필요하고 다양한 정보를 포함하고 있는 아날로그 신호의 복잡한 패턴과 밴드 영역별 및 밴드 영역 간 시간적, 공간적 상관관계를 정의하고 규명하기 위한 복잡한 통계적 기법이 필요한 매우 어렵고 도전적인 문제이다.</p> <p>MEG와 EEG 데이터로부터 기능적 연결성 정도를 정의하기 위한 연결성 측도에 주파수 영역(frequency domain)에서 응집성(coherence)과 위상 동기화(phase synchrony), 시간 영역(time domain)에서는 correlation과 Granger causality가 많이 이용된다. Coherence와 phase synchrony는 두 개 이상의 센서에 의해 계측된 뇌활동(brain activity)에 의한 주파수와 위상 성분 간 상관관계 또는 유사 정도에 대한 측도이다. Coherence는 뇌활동으로 인한 신경망으로부터의 신호의 차이에 대한 함수로 시간 영역에서의 cross-correlation과 유사하다.</p> <p>Coherence는 두 시계열데이터 $ x=\left\{x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} $와 $ y=\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\} $에 대해 linear time-invariant (LTI) 관계를 frequency $ \lambda $에서 계산하며 다음과 같이 정의된다 (Brillinger, 2001),</p> <p>$ \operatorname{Coh}_{x y}(\lambda)=\frac{\left\|f_{x y}(\lambda)\right\|^{2}}{\left\|f_{x x}(\lambda)\right\|^{2}\left\|f_{y y}(\lambda)\right\|^{2}} $.<caption>(3.3)</caption></p> <p>여기서 $ f_{x x}(\lambda) $와 $ f_{y y}(\lambda) $는 각각 $ x $와 $ y $에 대한 power-spectrum or power spectral density, $ f_{x y}(\lambda) $는 $ x $와 $ y $에 대한 cross-spectrum이다.</p> <p>Coherence는 positive function, symmetric to $ x $and $ y $, 그리고 0에서 1 사이값을 갖는다. 0인 경우는 $ x $와 $ y $가 선형관계를 갖지 않음을, 1 인 경우는 $ x $가 $ y $를 선형적으로 완벽히 추정할 수 있음을 의미한다.</p> <p>Phase synchrony는 신호의 위상과 진폭을 분리하여 비교적 짧은 시간 대역에서의 위상의 차이를 구함으로써 두 신호의 동기화 정도(synchrony)를 측정하는 것으로 대표적인 측도로 차이를 구하는 방법에 따라 phase locking value (PLV)와 phase lag index (PLI)를 들 수 있다. PLV는 연결된 뇌 부위로부터의 신호 위상의 차이는 일정하다라는 가정에서 출발하여 complex unit-length vector로 표현되는 두 신호의 평균 위상차이 절대값으로 계산된다. PLI는 여러 센서가 동일한 소스로부터의 전기신호를 동시에 감지함으로써 발생되는 volume conduction 오류를 최소화 하고자 lag가 0인 연결성을 제거하고 위상 분포의 차이를 정량화한 측도이다.</p> <p>Granger causality는 한 신호의 변화가 시차를 두고 다른 신호에 영향을 미치는 경우에 대한 테스트로, 정상성을 만족하는 두 시계열데이터 $ x $와 $ y $에 대해 다음의 모형,</p> <p>$ y_{t}=a_{0}+a_{1} y_{t-1}+a_{2} y_{t-2}+\cdots+a_{m} y_{t-m}+b_{1} x_{t-1}+b_{2} x_{t-2}+\cdots+b_{q} x_{t-q} \epsilon_{t} $<caption>(3.5)</caption></p> <p>이 성립하면 $ x $는 $ y $의 원인 변수로 작용하며 $ x $가 Granger-cause가 된다. 이러한 관계에 대한 Granger-causality 검정법이 제안되어있다. Granger causality는 연결의 방향성(인과성)을 규명하는 실질적 연결성 연구에도 많이 인용되고 있다.</p> <p>이들을 포함하여 뇌파의 복잡한 spatio-temporal 구조하에서의 연결성을 설명하기 위한 여러 상세 측도들이 제안되고 비교 검토되었다. Greenblatt 등 (2012)은 연결성 측도들을 주파수 영역(space-frequency), 시간 영역(space-time), 주파수 시간 영역(space-time-frequency)으로 나누고 여러 측도들을 설명하고 검토하였다. Friston (2011)에서는 뇌의 기능적 연결성과 실질적 연결성에서의 모형, 상호관계, 관련한 측도에 대한 종합적 고찰을 하였다.</p> <p>fMRI와 EEG/MEG 데이터는 형태 및 속성은 다르지만 연결성을 정의하는 기본 모형은 유사하다 할 수 있다. Li 등 (2009)은 fMRI 데이터를 대상으로 신경 기능의 이해과정에서의 기능적 연결성 분석 방법에 대한 전반적 고찰을 하였다. fMRI 데이터에 대한 coherence와 partial coherence 측도 적용에 대한 연구 (Sun 등, 2004), 기능적 연결성 분석을 위한 여러 기법하에서의 이변량 상관성 측도 비교 및 다변량 시계열 구조를 반영한 새로운 상관성 통계량 제안 (Lindquist 등, 2014), diffusion tensor imaging (DTI)을 이용한 기능적 연결성과 구조적 연결성과의 관계 연구 (Bowman 등, 2012) 등 fMRI 데이터 기반의 뇌 연결성 연구가 많이 이루어져 왔다.</p> <h1>2. MEG 데이터의 특성</h1> <p>MEG는 두뇌 위 헬멧형 기구에 일정한 간격으로 배치된 센서들로부터 대뇌피질 뇌 신경세포의 전류 흐름에 따라 형성되는 자기장의 변화를 측정함으로써 뇌 신경세포의 작동을 보다 직접적으로 측정하는 공간분해능과 시간분해능이 뛰어난 비침습, 비접촉 의학 영상시스템이다. 특정 뇌활동으로 인해 신경세포 집단으로부터 유도되는 자기장의 세기는 지구자기장의 10억분의 1 규모로 매우 미약하다. MEG는 신경세포 자기장 신호를 고감도 자기센서로 감지하는 superconducting quantum interference device (SQUID, 초전도양자간섭소자), 미세 자기장 신호를 지구 자기장, 전류선, 공조시스템 등 외부의 환경 자기 잡음으로부터 분리하는 기술, 전류원 위치추정기술 등을 핵심으로 하고 있다. 특히 SQUID는 두뇌 신경세포의 전기생리학적인 활동에 의한 세포 내의 활동전위, 시냅스 후전위 및 세포 전류로부터 발생되는 미세한 자기장을 측정하며 $ 1 / 1000 $초 보다 빠른 속도로 변화하는 뇌 신경세포의 전기적 활동을 실시간 고해상도로 연속 측정한다.</p> <p>휴식상태(resting-state)는 깨어있지만 어떤 일도 하지 않는 상태를 뜻한다. MEG 데이터(뇌파)는 resting-state 또는 시각, 청각, 신체감각과 같은 자극이 주어질 때의 task-related state에 대해 얻어진다. 뇌파는 흔히 주파수 영역에 따라 서로 다른 생리학적(physiological) 정보를 제공하는 $ \delta(\mathrm{delta}, 0.2-3 \mathrm{~Hz}), \theta( $ theta, 4-7 Hz), $ \alpha( $ alpha, 8-13 Hz), $ \beta $ (beta, 14-31 Hz), 그리고 $ \gamma(\mathrm{gamma}, 32-100\mathrm{~Hz}) $ 의 5개 밴드 범주로 나뉘어 측정, 연구되고 있다 (Muthukumaraswamy, 2013). $ \delta $파는 수면파라고도 하며 주로 회복수면(restorative sleep) 시 발생한다. $ \theta $파는 수면과 연관이 있으며 깊은 명상 시에도 발생한다. $ \alpha $파는 휴식 상태(resting state) 때 주로 나타나며 종합적 정신 조정에 관련 있다고 알려져 있다. $ \beta $ 파는 정상적인 인식 상태(normal conscious state)에서 집중적인 과제를 수행할 때 주로 얻어진다고 하며 $ \gamma $파는 최근 뇌연구에서 관심을 받는 밴드 영역으로 높은 수준의 인지 처리, 기억, 병태생리(pathophysiology)에 깊은 연관이 있고 다른 밴드 영역과도 연계되어있다고 알려져 있다 (Muthukumaraswamy, 2013).</p> <p>MEG 데이터의 취득과 분석과정은 다음과 같다(Figure 1; Mandal 등, 2018). 외부 환경자기잡음이 차단된 자기차폐실에서 헬멧형 기구에 배치된 SQUID 센서장치를 통하여 많게는 300여 개의 채널로 검출된 뇌 자기장의 신호는 머리 움직임 보정, 환경자기잡음 제거, 심장박동, 눈동자 움직임 등의 생체 잡음 제거를 포함한 전처리 과정을 거쳐, 신호 대역폭에 따른 밴드 영역별 센서공간 시계열(sensor space time series) MEG 데이터로 분류된다. 이 센서공간 MEG 데이터는 센서의 위치를 뇌의 해부학적 위치와 매핑시키기 위한 실제 대상자의 MRI 뇌 3D 이미지와 co-registration 과정을 거쳐 (Chella 등, 2019; Cabral 등, 2014), 실제 뇌 구조 상의 region of interest (ROI) 또는 해부학적 landmark 별 소스공간 시계열 데이터로 치환된다(source space</p> <p>time series MEG data). 이 데이터를 활용하여 단일/다중 채널 분석, ROI 간 기능적 연결성 분석(functional connectivity analysis), 네트워크 분석 등 MEG 데이터 분석을 수행하게 되며 각 과정에서 복잡한 통계적 분석 과정을 거치게 된다 (Georopoulos와 Karageorgiou, 2008).</p> <p>MEG 데이터는 다음의 특성을 가진다. 첫째, 외부 소스 및 심장박동이나 눈동자 움직임 같은 신체적 잡음과 간섭으로 인하여 신호 대비 잡음비율(signal to noise ratio, SNR)이 매우 낮다. MEG 데이터 분석을 위해서는 이러한 잡음을 제거하고 신경세포로부터의 신호만을 검출하기 위한 수리적 접근과 함께 때로는 육안검사까지를 포함한 전처리 과정이 필요하다. 둘째, 한 신경소스에서 발생하는 전자기적 신호는 센서들의 근접성과 신경세포의 기능적 연결성으로 인해 여러 위치에 있는 센서들에 의해 동시 또는 시차를 두고 감지되어 시간적 상관관계(temporal correlations)를 보이는 복잡한 spatio-temporal 구조를 가진다. 이는 시간에 따라 밴드 영역별 좌표시스템에서 측정되는 다중(multidimensional), 다층(multilayer) 구조이며 측정좌표(coordinates)의 뇌영역 간 연결성 특성을 가지는 네트워크 데이터로 해석될 수 있다. 뇌 네트워크는 뇌 활동의 특성상 modular, hierarchical 구조를 가진다. 이와 같은 뇌 위상(topology) 구조를 밝히는데 연결성행렬(connectivity matrix)로부터 그래프와 네트워크 이론이 적용될 수 있다 (Bulmore, 2016).</p>	자연
s362-기하학개론	<p>이고, $ l_ { 1 } $은 이것에 수직이고 원점을 지나므로 $ l_ { 1 } $의 방정식은</p> <p>$ y=- \frac { x_ { 2 } -x_ { 1 } } { y_ { 2 } -y_ { 1 } } x \Rightarrow \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) x + \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) y=0 $</p> <p>이다. 직선 $ \overleftrightarrow { A B } , \overleftrightarrow { A C } $는 원점을 지나므로 방정식이</p> <p>$ \overleftrightarrow { A B } : y= \frac { y_ { 1 } } { x_ { 1 } } x, \quad \overleftrightarrow { A C } : y= \frac { y_ { 2 } } { x_ { 2 } } x $</p> <p>이다.</p> <p>$ \begin {aligned} l_ { 2 } \perp \overleftrightarrow { A C } , B \in l_ { 2 } & \Rightarrow l_ { 2 } : y-y_ { 1 } =- \frac { x_ { 2 } } { y_ { 2 } } \left (x-x_ { 1 } \right ) \\ & \Rightarrow l_ { 2 } : x_ { 2 } x + y_ { 2 } y-x_ { 1 } x_ { 2 } -y_ { 1 } y_ { 2 } =0 \\ l_ { 3 } \perp \overleftrightarrow { A B } , \quad C \in l_ { 3 } & \Rightarrow l_ { 3 } : y-y_ { 2 } =- \frac { x_ { 1 } } { y_ { 1 } } \left (x-x_ { 2 } \right ) \\ & \Rightarrow l_ { 3 } : x_ { 1 } x + y_ { 1 } y-x_ { 1 } x_ { 2 } -y_ { 1 } y_ { 2 } =0 \end {aligned} $</p> <p>이다. 그리고</p> <p>$ \begin {aligned} & \left (x_ { 2 } -x_ { 1 } \right ) x + \left (y_ { 2 } -y_ { 1 } \right ) y \\=& \left (x_ { 2 } x + y_ { 2 } y-x_ { 1 } x_ { 2 } -y_ { 1 } y_ { 2 } \right )- \left (x_ { 1 } x + y_ { 1 } y-x_ { 1 } x_ { 2 } -y_ { 1 } y_ { 2 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>이므로 $ l_ { 1 } $ 은 $ l_ { 2 } , l_ { 3 } $의 교점을 지나는 직선이다. 그러므로 $ \triangle A B C $의 꼭짓점에서 대변에 내린 세 수직선은 한 점에서 만난다.</p> <h2>예 3.5</h2> <p>세 점 $ O(0,0), A(4,3), B(-2,4) $에 대해 $ \triangle O A B $의 수심을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ A $에서 $ \overline { O B } $에 내린 수선 $ l $</p> <p>$ l \perp(-2,4),(4,3) \in l \Rightarrow-x + 2 y-2=0 $</p> <p>$ B $에서 $ \overline { O A } $에 내린 수선 $ m $</p> <p>$ m \perp(4,3),(-2,4) \in m \Rightarrow 4 x + 3 y-4=0 $</p> <p>이다. $ l, m $ 의 교점을 구하면 수심은 $ \left ( \frac { 2 } { 11 } , \frac { 12 } { 11 } \right ) $이다.</p> <h2>예 2.6</h2> <p>다음의 각 직선은 모든 $ a $에 대해서 같은 점을 지남을 보이고 그 점을 구하라.</p> <p>(1) $ y=a x+3 a+2 $</p> <p>(2) $ (a+2) x+(2 a+3) y+3 a+4=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $y=a x+3 a+2 \Rightarrow a(x+3)-y+2=0$이므로 이 직선은 $ a $값에 관계없이 두 직선$ x+3=0,-y+2=0 $의 교점 $ (-3,2) $를 지난다.</p> <p>(2)$\begin{array}{c}\quad(a+2) x+(2 a+3) y+3 a+4=0 \\\Rightarrow a(x+2 y+3)+(2 x+3 y+4)=0\end{array}$ 이므로 이 직선은 $ a $값에 관계없이 두 직선 $ x+2 y+3=0,2 x+3 y+4=0 $의 교점 $ (1,-2) $ 를 지난다.</p> <p>서로 다른 세 직선 $ a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0, a_{3} x+b_{3} y+c_{3}=0 $이 한 점에서 만날 조건은 한 직선이 나머지 두 직선의 교점을 지나야 하므로 적당한 $ t_{1}, t_{2} $에 대해서 $ a_{3} x+b_{3} y+c_{3}=t_{1}\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+t_{2}\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right) $ 이므로</p> <p>$ \left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right)=t_{1}\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right)+t_{2}\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) \Rightarrow\left\|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right\|=0 $ 이다.</p> <h2>예 2.7</h2> <p>세 직선 $ x-2 y+3=0,3 x+y-5=0, x+a y-a=0 $이 한 점에서 만날 때, $ a $를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \left\|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -5 \\ 1 & a & -a\end{array}\right\|=0 \Rightarrow 7 a+7=0 \Rightarrow a=-1 $</p> <p>점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $에서 직선 $ l: a x+b y+c=0 $까지 거리는 헤세 표준형을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. 점 $ P_{0} $이 원점이 되는 평행이동한 $ P_{0} X Y $ 좌표계에서 직선 $ l $의 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} a\left(X+x_{0}\right)+b\left(Y+y_{0}\right)+c &=0 \\ \Rightarrow a X+b Y+\left(a x_{0}+b y_{0}+c\right) &=0 \end{aligned} $</p> <p>이다. 새 좌표계에서 $ P_{0} $ 은 원점이므로 원점에서 직선까지 거리 공식에 의해서 구하는 거리 $ d $ 는</p> <p>$ d=\frac{\left\|a x_{0}+b y_{0}+c\right\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $</p> <p>이다.</p> <p>평행인 두 직선 $ l_{1}, l_{2} $ 사이의 거리 $ d $는 우선 두 직선의 방정식에서 $ x, y $의 계수를 일치시키면</p> <p>$ l_{1}: a x+b y+c_{1}=0, l_{2}: a x+b y+c_{2}=0 $</p> <p>으로 쓸 수 있다. $ l_{1} $ 위의 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $을 잡으면</p> <p>$ a x_{1}+b y_{1}+c_{1}=0 \Rightarrow a x_{1}+b y_{1}=-c_{1} $</p> <p>이고 두 직선 사이의 거리는 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에서 $ l_{2} $ 까지 거리이므로</p> <p>$ d=\frac{\left\|a x_{1}+b y_{1}+c_{2}\right\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\left\|c_{2}-c_{1}\right\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $ 이다.</p> <h2>예 2.8</h2> <p>주어진 도형 사이의 거리를 구하라.</p> <p>(1) $ (3,-4), 3 x+y-2=0 $</p> <p>(2) $ 2 x+y+1=0,-4 x-2 y+3=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ \frac{\|9-4-2\|}{\sqrt{9+1}}=\frac{3}{\sqrt{10}} $</p> <p>(2) 평행인 직선이므로 방정식을 $ x, y $의 계수를 일치시키면</p> <p>$ 2 x+y+1=0,2 x+y-\frac{3}{2}=0 $</p> <p>이므로 구하는 거리는</p> <p>$ \frac{\left\|1+\frac{3}{2}\right\|}{\sqrt{4+1}}=\frac{5}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2} $</p> <p>거리공식을 이용하여 두 직선</p> <p>$ l_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, l_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 $</p> <p>의 교점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 교각의 이등분선을 계산하여 보자.</p> <p>각 이등분선을 $ l $ 이라 두면 $ l $ 위의 각 점 $ P(x, y) $ 에 대해서</p> <p>$ \left(P\right. $ 에서 $ l_{1} $ 까지 거리 $ )=\left(P\right. $ 에서 $ l_{2} $ 까지 거리 $ ) $</p> <p>이므로</p> <p>$ \begin{aligned} \frac{\left\|a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right\|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}} &=\frac{\left\|a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right\|}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}} \\ \Rightarrow & \frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{a_{2} x+b_{2} y+c_{2}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}} \end{aligned} $</p> <p>이고, 이는 2개의 각이등분선의 방정식이다.</p> <h2>예 2.9</h2> <p>$ 3 x+4 y-2=0,12 x-5 y+1=0 $의 교각의 이등분선을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \frac{3 x+4 y-2}{5}=\pm \frac{12 x-5 y+1}{13} $</p> <p>에서</p> <p>$ \begin{aligned} & 13(3 x+4 y-2)=\pm 5(12 x-5 y+1) \\ \Rightarrow & 99 x+27 y-21=0,21 x-77 y+31=0 \end{aligned} $</p> <h2>예 1.9</h2> <p>$ (2,-1) $에 평행이고 $ (3,1) $을 지나는 직선의 벡터방정식은 $\mathbf{x}=(3,1)+t(2,-1)=(3+2 t, 1-t)$이다.</p> <p>(2) $ a, b(a \neq b) $를 지나는 직선의 벡터방정식</p> <p>$ a \neq b $ 이므로 $ b-a \neq(0,0) $ 이다. 직선은 $ b-a $ 에 평행이고 $ a $ 를 지나므로 방정식은</p> <p>$ \mathrm{x}=a+t(b-a)=(1-t) a+t b $ 이다.</p> <p>벡터 $ \frac{m b+n a}{m+n} $는 $ b-a $를 $ m: n $으로 나누는 벡터이므로, $ (1-t) a+t b $는 $ b-a $를 $ t: 1-t $로 나누는 벡터이다.</p> <p>그러므로 $ t $ 값에 따른 벡터 $ \mathrm{x}=(1-t) a+t b $의 직선에서 위치는</p> <p>(i) $ t<0 \Rightarrow 1-t>0 \Rightarrow \mathrm{x} $ 는 $ b-a $ 를 $ -t: 1-t $ 로 나누는 외분점</p> <p>$ \Rightarrow \mathrm{x} $ 는 $ a $까지의 점</p> <p>(ii) $ t=0 \Rightarrow \mathrm{x}=a $</p> <p>(iii) $ 0<t<1 \Rightarrow t, 1-t>0 \Rightarrow \mathrm{x} $는 $ b-a $ 를 $ t: 1-t $ 로 나누는 내분점</p> <p>$ \Rightarrow \mathrm{x} $는 $ a, b $ 사이의 점</p> <p>(iv) $ t=1 \Rightarrow \mathrm{x}=b $</p> <p>(v) $ t>1 \Rightarrow 1-t<0 \Rightarrow \mathrm{x} $ 는 $ b-a $ 를 $ t:-(1-t) $ 로 나누는 외분점</p> <p>$ \Rightarrow \mathrm{x} $는 $ b $ 다음의 점</p> <p>이다.</p> <p>그리고 $ a, b $를 잇는 선분을 집합으로 표시하면 $ \{(1-t) a+t b \mid 0 \leq t \leq 1\} $ 이다.</p> <p>(3) $ a $를 지나고 $ b(b \neq(0,0)) $에 수직인 직선의 벡터방정식</p> <p>직선 위의 점 $ \mathrm{x} $ 를 잡으면 $ \mathrm{x}-a $ 는 $ b $ 와 수직이므로, $ (\mathrm{x}-a) \cdot b=0 $ 이다.</p> <h2>예 1.10</h2> <p>(1) $ a=(2,-1), b=(3,1) $에 대해서</p> <p>$ \begin{aligned} \mathrm{x} &=(1-t) a+t b=(1-t)(2,-1)+t(3,1) \\ &=(2-2 t,-1+t)+(3 t, t)=(2+t,-1+2 t) \end{aligned} $ 이다.</p> <p>(2) $ a $ 를 지나고 $ b $ 에 수직인 직선은 $ \mathrm{x}=(x, y) $ 라고 두면</p> <p>$ (\mathrm{x}-a) \cdot b=(x-2, y+1) \cdot(3,1)=0 \Rightarrow 3 x+y-5=0 $</p> <p>(3) $ 3 m+4 n=12 $일 때, 방정식 $ m a+n b $의 자취를 구해보면</p> <p>$ 3 m+4 n=12 \Rightarrow \frac{m}{4}+\frac{n}{3}=1 $ $\\ m a+n b=\frac{m}{4}(4 a)+\frac{n}{3}(3 b) $</p> <p>이고, $ m a+n b $ 는 $ 4 a=(8,-4), 3 b=(9,3) $ 를 지나는 직선 위에 있으므로</p> <p>$ \begin{aligned} \mathrm{x} &=(1-t)(8,-4)+t(9,3) \\ &=(8-8 t,-4+4 t)+(9 t, 3 t) \\ &=(8+t,-4+7 t) \end{aligned} $</p> <h2>예 6.3</h2> <p>두 원 \[ \Gamma_{1}: x^{2}+y^{2}-2 x+4 y+1=0, \Gamma_{2}: x^{2}+y^{2}+2 x-2 y-7=0 \] 의 교점과 공통현의 길이를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \Gamma_{1}:(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4 \Rightarrow $ 중심 $ P_{1}(1,-2) $, 반지름 2 $\\ \Gamma_{2}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=9 \Rightarrow $ 중심 $ P_{2}(-1,1) $, 반지름 3 $\\ \Rightarrow $ 근축: $ 4 x-6 y-8=0 $, 중심선: $ 3 x+2 y+1=0 $ $\\ \Rightarrow $ 근축과 중심선의 교점: $ P_{3}\left(\frac{5}{13},-\frac{14}{13}\right) $ $\\ \Rightarrow\left\|P_{1} P_{3}\right\|^{2}=\frac{16}{13},\left\|P_{2} P_{3}\right\|^{2}=\frac{81}{13} $</p> <p>두 원의 교점을 $ Q_{1}, Q_{2} $ 라고 두면 \[ \begin{array}{c} \left\|Q_{1} P_{3}\right\|=\left\|Q_{2} P_{3}\right\|=\frac{6}{\sqrt{13}} \\ \Rightarrow(\text { 공통현의 길이 })=\left\|Q_{1} Q_{2}\right\|=2\left\|Q_{1} P_{3}\right\|=\frac{12}{\sqrt{13}} \end{array} \] 이고 교점 $ Q_{1}, Q_{2} $ 의 좌표는 \[ \begin{aligned} &\left(P_{3} \text { 에서 } \pm\left(\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}\right) \text { 방향으로 거리 } \frac{6}{\sqrt{13}} \text { 인 점 }\right) \\ =&\left(\frac{5}{13},-\frac{14}{13}\right) \pm \frac{6}{\sqrt{13}}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}\right) \\ \Rightarrow &\left(\frac{23}{13},-\frac{2}{13}\right),(-1,-2) \end{aligned} \] 이다.</p> <p>근축과 원의 교점을 이용하는 방법으로 계산하면 다음과 같다.</p> <p>근축 $ 4 x-6 y-8=0 $ 은 방향 $ (3,2) $, 통과점 $ (2,0) $ 이므로 매개방정식 \[ x=2+3 t, y=2 t \] 를 원 $ \Gamma_{1} $ 에 대입하면 \[ \begin{array}{c} (3 t+1)^{2}+(2 t+2)^{2}=4 \Rightarrow t=-1,-\frac{1}{13} \\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} t=-1 \Rightarrow(x, y)=(-1,-2) \\ t=-\frac{1}{13} \Rightarrow(x, y)=\left(\frac{23}{13},-\frac{2}{13}\right) \end{array}\right. \end{array} \] 이다. 원 $ \Gamma_{2} $ 에 대입해도 같은 결과를 얻는다.</p> <p>원 $ F(x, y)=0 $ 위에 있지 않은 점 $ P_{0} $ 이 주어졌을 때, $ P_{0} $ 을 지나고 방향 코사인이 $ \lambda, \mu $ 인 직선 \[ l: x=x_{0}+\lambda t, y=y_{0}+\mu t \] 이 원 $ F(x, y)=0 $ 와 만나는 교점방정식 \[ F\left(x_{0}+\lambda t, y_{0}+\mu t\right)=0 \] 의 두 근을 $ t_{1}, t_{2} $ 라 하자. $ P_{1}, P_{2} $ 가 이들에 의한 교점, 즉 \[ P_{1}\left(x_{0}+\lambda t_{1}, y_{0}+\mu t_{1}\right), P_{2}\left(x_{0}+\lambda t_{2}, y_{0}+\mu t_{2}\right) \] 이면, $ P_{0} $ 에서 $ P_{1}, P_{2} $ 까지 유향거리는 $ P_{0} P_{1}=t_{1}, P_{0} P_{2}=t_{2} $ 이고 교점방정식의 상수항이 $ F\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이므로 근과 계수의 관계에서 \[ \left(P_{0} P_{1}\right)\left(P_{0} P_{2}\right)=t_{1} t_{2}=F\left(x_{0}, y_{0}\right) \] 이다. 즉 $ P_{0} $ 에서 $ P_{1}, P_{2} $ 까지 유향거리의 곱은 일정하다. 이 일정한 값을 원 $ F(x, y)=0 $에 대한 점 $ P_{0} $ 의 농도라고 한다.</p> <p>(1) $ P_{0} $이 원의 외부점일 때</p> <p>$ \overrightarrow{P_{0} P_{1}}, \overrightarrow{P_{0} P_{2}} $ 는 같은 방향이므로 농도는 양의 값이다. 그리고 $ P_{1}=P_{2} $ 인 경우는 접점이므로 농도는 $ P_{0} $ 에서 원의 접점까지 거리의 제곱이다.</p> <p>(2) $ P_{0} $이 원의 내부점일 때</p> <p>$ \overrightarrow{P_{0} P_{1}}, \overrightarrow{P_{0} P_{2}} $ 는 반대 방향이므로 농도는 음의 값이다. 이것은 원의 성질 \[ \left\|P_{0} P_{1}\right\|\left\|P_{0} P_{2}\right\|=\left\|P_{0} Q_{1}\right\|\left\|P_{0} Q_{2}\right\| \] 를 증명하고 있다. 특히 반지름이 $ a $일 때, 중심의 농도는 $ -a^{2} $이다.</p> <p>위의 사실을 이용하면 점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 은</p> <p>$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)>0 \Rightarrow $ 원 외부의 점</p> <p>$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \Rightarrow $ 원 위의 점</p> <p>$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)<0 \Rightarrow $ 원 내부의 점</p> <p>임을 알 수 있다.</p> <p>두 원의 근축의 일반적인 정의는 두 원에 대한 농도가 같은 점들의 자취를 의미하는데, 예 6.2에서 이 사실을 밝힌 바 있다.</p> <p>(3) 내심(incenter)</p> <p>$ \triangle A B C $의 내접원의 중심을 $ \triangle A B C $의 내심이라고 한다.</p> <p>$ \triangle A B C $ 에서 $ \angle A $ 의 이등분선과 $ \angle B $ 의 이등분선의 교점을 $ P $ 라고 하면 각이등분선의 성질에 의해서 각 변에 이르는 거리가 같다. 따라서</p> <p>$ \|P L\|=\|P M\|=\|P N\| $</p> <p>이므로 $ \angle C $ 의 이등분선도 $ P $ 를 지난다. 그러므로 $ \triangle A B C $ 의 각이등분선 3개는 한 점 $ P $ 에서 만나고 $ P $ 는 내심원의 중심, 즉 내심이다.</p> <p>(4) 방심(excenter)</p> <p>$ \triangle A B C $의 한 내각의 이등분선과 나머지 두 외각의 이등분선도 내심의 경우와 같은 원리로 한 점에서 만난다. 이를 $ \triangle A B C $의 방심이라고 한다. 방심은 각 꼭짓점마다 생기므로 3개 존재한다.</p> <h2>예 3.6</h2> <p>세 점 $ O(0,0), A(4,3), B(3,4) $에 대해 $ \triangle O A B $의 내심과 방심을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>삼각형의 꼭짓점이 만드는 직선은</p> <p>$ \stackrel{\longleftrightarrow}{O A}: 3 x-4 y=0 $</p> <p>$ \stackrel{\leftrightarrow}{O B}: 4 x-3 y=0 $</p> <p>$ \overleftrightarrow{A B}: x+y-7=0 $</p> <p>이므로 각이등분선은</p> <p>$ A $ 에서 $ \sqrt{2}(3 x-4 y)=\pm 5(x+y-7) $</p> <p>$ B $ 에서 $ \sqrt{2}(4 x-3 y)=\pm 5(x+y-7) $</p> <p>$ O $ 에서 $ 4 x-3 y=\pm(3 x-4 y) $</p> <p>이다. 따라서 내각의 이등분선은</p> <p>$ A $ 에서 $ (5-3 \sqrt{2}) x+(5+4 \sqrt{2}) y-35=0 $</p> <p>$ B $ 에서 $ (5+4 \sqrt{2}) x+(5-3 \sqrt{2}) y-35=0 $</p> <p>$ O $ 에서 $ x-y=0 $</p> <p>이고 외각의 이등분선은</p> <p>$ A $ 에서 $ (5+3 \sqrt{2}) x+(5-4 \sqrt{2}) y-35=0 $</p> <p>$ B $ 에서 $ (5-4 \sqrt{2}) x+(5+3 \sqrt{2}) y-35=0 $</p> <p>$ O $ 에서 $ x+y=0 $</p> <p>이다. 이들의 교점을 구하면 내심은 $ \left(\frac{35}{10+\sqrt{2}}, \frac{35}{10+\sqrt{2}}\right) $ 이고, 방심은</p> <p>$ A $ 에서 $ \left(\frac{-5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}\right) $,</p> <p>$ B $ 에서 $ \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{-5}{\sqrt{2}}\right) $,</p> <p>$ O $ 에서 $ \left(\frac{35}{10-\sqrt{2}}, \frac{35}{10-\sqrt{2}}\right) $</p> <p>이다.</p> <p>(5) 무게중심(centroid)</p> <p>$ \triangle A B C $의 각 꼭짓점의 대변의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이를 $ \triangle A B C $의 무게중심이라고 한다.</p> <p>$ \triangle A B C $ 의 각 꼭짓점의 대변의 이등분선은 한 점에서 만난다는 것을 확인해 보자.</p> <p>$ \triangle A B C $ 의 각 꼭짓점을 $ A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) $ 가 되도록 평면에 배치하면 대변의 중점 $ A_{1}, B_{1}, C_{1} $ 의 좌표는 각각</p> <p>$ \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right),\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right),\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) $</p> <p>이다. 그러므로 선분 $ \overrightarrow{A A_{1}}, \overrightarrow{B B_{1}}, \overrightarrow{C C_{1}} $ 을 $ 2: 1 $ 로 내분하는 점의 좌표는 모두</p> <p>$ \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right) $</p> <p>이므로 $ \triangle A B C $ 의 각 꼭짓점에서 대변의 이등분선은 한 점에서 만난다.</p> <h2>예 3.7</h2> <p>세 점 $ O(0,0), A(4,3), B(-2,4) $에 대해 $ \triangle O A B $의 무게중심을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \left(\frac{0+4-2}{3}, \frac{0+3+4}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right) $</p> <h2>예 2.3</h2> <p>두 직선 $ y=m_ { 1 } x + b_ { 1 } , y=m_ { 2 } x + b_ { 2 } $의 교각이 $ \theta $일 때, $ \tan \theta $를 계산하고 직교할 조건을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>방정식을 고쳐 쓰면 $ m_ { 1 } x-y + b_ { 1 } =0, m_ { 2 } x-y + b_ { 2 } =0 $ 이므로, 직교할 조건은 $ \left (m_ { 1 } ,-1 \right ) \cdot \left (m_ { 2 } ,-1 \right )=1 + m_ { 1 } m_ { 2 } =0 $ 이다.</p> <p>$ \begin {aligned} \sin ^ { 2 } \theta &=1- \cos ^ { 2 } \theta=1- \frac {\left (1 + m_ { 1 } m_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } {\left (1 + m_ { 1 } ^ { 2 } \right ) \left (1 + m_ { 2 } ^ { 2 } \right ) } \\ \Rightarrow \sin \theta &= \pm \frac { m_ { 1 } -m_ { 2 } } {\sqrt { 1 + m_ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { 1 + m_ { 2 } ^ { 2 } } } \\ \Rightarrow \tan \theta &= \frac {\sin \theta } {\cos \theta } = \pm \frac { m_ { 1 } -m_ { 2 } } { 1 + m_ { 1 } m_ { 2 } } \end {aligned} $</p> <p>이다. 부호는 $ \theta $의 값에 따라 적절히 취하면 된다.</p> <p>위의 그림에서 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } $의 경사각을 $ \theta_ { 1 } , \theta_ { 2 } $라고 하면</p> <p>$ \theta= \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } , m_ { 1 } = \tan \theta_ { 1 } , m_ { 2 } = \tan \theta_ { 2 } $ $ \Rightarrow \tan \left ( \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } \right )= \frac { m_ { 2 } -m_ { 1 } } { 1 + m_ { 1 } m_ { 2 } } = \frac {\tan \theta_ { 2 } - \tan \theta_ { 1 } } { 1 + \tan \theta_ { 1 } \tan \theta_ { 2 } } $</p> <p>와 같이 탄젠트 덧셈정리가 유도된다.</p> <h2>예 2.4</h2> <p>두 직선 $ \sqrt { 3 } x + y-2=0, x-y + 1=0 $ 의 교점과 교각을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>연립방정식의 해를 계산하면 교점의 좌표는 $ \left ( \frac {\sqrt { 3 } -1 } { 2 } , \frac {\sqrt { 3 } + 1 } { 2 } \right ) $ 이다. 교각을 $ \theta $ 라고 하면</p> <p>$ \cos \theta= \frac {\sqrt { 3 } + (-1) } {\sqrt { 3 + 1 } \sqrt { 1 + 1 } } = \frac {\sqrt { 3 } -1 } { 2 \sqrt { 2 } } $</p> <p>이지만 여기서 $ \theta $를 구하기 쉽지 않다. 그러나 두 직선의 기울기가 각각 $ - \sqrt { 3 } , 1 $이라는 사실에서 직접 경사각을 계산하면 $ x $축과 만드는 각은 각각 $ \frac { 2 \pi } { 3 } , \frac {\pi } { 4 } $이므로, 구하는 각은 $ \frac { 2 \pi } { 3 } - \frac {\pi } { 4 } = \frac { 5 \pi } { 12 } $ 이다.</p> <h2>예 1.1</h2> <p>다음 두 점을 지나는 직선의 직교방정식, 방향비, 기울기, 방향 코사인, 절편을 구하라.</p> <p>(1) $ (1,3),(-2,1) $</p> <p>(2) $ (-2,1),(3,1) $</p> <p>(3) $ (3,2),(3,-2) $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 방향비 $ -2-1: 1-3=-3:-2=3: 2 $</p> <p>기울기: $ \frac{2}{3} $</p> <p>방향 코사인: $ \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}((3,2) $ 방향의 단위벡터의 성분 $ ) $</p> <p>직교방정식: $ \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{2} \Rightarrow 2 x-3 y+7=0 $</p> <p>$ x $ 절편: $ y=0 \Rightarrow 2 x+7=0 \Rightarrow-\frac{7}{2} $</p> <p>$ y $ 절편: $ x=0 \Rightarrow-3 y+7=0 \Rightarrow \frac{7}{3} $</p> <p>(2) 방향비 $ 3+2: 1-1=5: 0=1: 0 $</p> <p>기울기: $ \frac{0}{1}=0 $</p> <p>방향 코사인: 1,0 (단위벡터)</p> <p>직교방정식: $ y-1=0 $ (분모가 0 이므로 분자도 0 )</p> <p>$ x $ 절편: 없다</p> <p>$ y $ 절편: 1</p> <p>(3) 방향비 $ 3-3:-2-2=0:-4=0: 1 $</p> <p>기울기: 정의되지 않음</p> <p>방향 코사인: 0,1 (단위벡터)</p> <p>직교방정식: $ x-3=0 $ (분모가 0 이므로 분자도 0 )</p> <p>$ x $ 절편: 3</p> <p>$ y $ 절편: 없다</p> <h2>예 1.2</h2> <p>직선 $ a x+b y+c=0 $의 방향비, 기울기, 방향 코사인을 계산하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ l $상의 두 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $를 잡으면</p> <p>$ a x_{1}+b y_{1}+c=0, a x_{2}+b y_{2}+c=0 $</p> <p>이므로</p> <p>$ a\left(x_{2}-x_{1}\right)+b\left(y_{2}-y_{1}\right)=0 $</p> <p>$ \Rightarrow $ 방향비 $ \quad x_{2}-x_{1}: y_{2}-y_{1}=-b: a $</p> <p>기울기 $ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{a}{b} $</p> <p>방향 코사인 $ \frac{-b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}, \frac{a}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}} $</p> <p>이다.</p> <p>직선을 결정하는 조건이 주어지는 여러 가지 경우에 있어서 직선의 방정식은 다음과 같다.</p> <p>(1) 두 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 지나는 직선의 방정식</p> <p>앞에서 계산된 바와 같이</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} $</p> <p>이다.</p> <p>(2) 방향비가 $ u: v $ 이고 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 지나는 직선</p> <p>직선 위의 점 $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 잡으면 직선의 방정식은 $ \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 지나므로</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} $</p> <p>이고,</p> <p>$ x_{2}-x_{1}: y_{2}-y_{1}=u: v $</p> <p>이므로 (1)에서 분모를 $ u, v $로 대체하면 된다.</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{u}=\frac{y-y_{1}}{v} $</p> <p>이다.</p> <p>(3) 방향 코사인이 $ \lambda, \mu $이고 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $을 지나는 직선</p> <p>$ \lambda: \mu $는 방향비이므로 (2)에서 $ u, v $를 $ \lambda, \mu $로 대체하면 된다.</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{\lambda}=\frac{y-y_{1}}{\mu} $</p> <p>이다.</p> <p>(4) 기울기 $ m $ 이고 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 지나는 직선의 방정식</p> <p>기울기가 $ m $이므로 방향비는 $ 1: m $이다. 따라서 직선의 방정식은</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{1}=\frac{y-y_{1}}{m} \Rightarrow y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right) $</p> <p>이다.</p> <p>(5) 기울기 $ m $이고 $ y $절편이 $ b $인 직선의 방정식</p> <p>$ y $절편이 $ b $이므로 $ (0, b) $를 지난다. 따라서 직선의 방정식은</p> <p>$ y-b=m(x-0) \Rightarrow y=m x+b $</p> <p>(6) $ x $절편 $ a, y $절편이 $ b $인 직선의 방정식</p> <p>$ (a, 0),(0, b) $ 를 지나므로 기울기 $ -\frac{b}{a} $, 따라서 직선의 방정식은</p> <p>$ y=-\frac{b}{a} x+b \Rightarrow a y+b x=a b \Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $</p> <h2>예 2</h2> <p>(1) $ x $ 축에 대한 대칭점은 직선 $ y=0 $ 에 대한 반사점이다. 이 경우 $ (a, b, c)=(0,1,0) $이므로, 점 $ P(x, y) $ 의 $ x $ 축에 대한 대칭점은 \[ \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=(x, y)-2(0 x+y+0)(0,1)=(x,-y) \] 이다.</p> <p>(2) 직선 $ x+4 y-1=0 $ 의 $ y=\frac{3}{4} x $ 에 대한 대칭직선을 구하여 보자.</p> <p>두 직선의 교점은 $ \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{16}\right) $ 이고, $ x+4 y-1=0 $ 상의 점 $ (1,0) $ 의 $ y=\frac{3}{4} x $ 에 대한 대칭점은 \[ \begin{aligned} y=\frac{3}{4} x & \Rightarrow 3 x-4 y=0 \Rightarrow \frac{3}{5} x-\frac{4}{5} y=0 \\ & \Rightarrow(a, b, c)=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}, 0\right) \text { 이므로 } \\ & \Rightarrow(1,0)-2\left(\frac{3}{5}+0+0\right)\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)=\left(\frac{7}{25}, \frac{24}{25}\right) \end{aligned} \] 이다. 따라서 대칭직선은 $ \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{16}\right),\left(\frac{7}{25}, \frac{24}{25}\right) $ 을 지나므로 \[ 103 x-4 y-25=0 \] 이다. 이것은 1장 보충자료에서 다룬 결과와 일치한다.</p> <p>(3) 원 $ x^{2}+y^{2}+6 x-8 y=0 $ 의 $ y=\frac{3}{4} x $ 에 대한 대칭도형을 구하여 보자. \[ x^{2}+y^{2}+6 x-8 y=0 \Rightarrow(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=25 \] 이므로 중심 $ (-3,4) $, 반지름 5 이다. $ (-3,4) $ 의 대칭점은 \[ (-3,4)-2\left(\frac{-9}{5}-\frac{16}{5}+0\right)\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)=(-3,4)+(6,-8)=(3,-4) \] 이다. 따라서 대칭원은 중심 $ (3,-4) $, 반지름 5인 원이므로 \[ (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x+8 y=0 \] 이다. 이것도 제 1 장 보충자료에서 다룬 결과와 일치한다.</p> <p>표준형의 원 $ \alpha: x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 에서 중심이 아닌 점 $ P(x, y) $ 에 대해서 \[ \|O P\|\left\|O P^{\prime}\right\|=a^{2} \] 인 $ \overrightarrow{O P} $ 방향의 반직선 위의 점 $ P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) $ 를 원 $ \alpha $ 에 대한 $ P $ 의 반점(反點, inverse)이라고 한다. 이러한 대응관계를 원 $ \alpha $ 에 대한 $ P $ 의 반전(inversion)이라고 한다. ()에서 \[ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}}=a^{2} \] 이므로, 그림 3에서 삼각형의 닮은비를 이용하면 \[ \frac{x^{\prime}}{x}=\frac{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{a^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{y^{\prime}}{y} \] 을 얻는다. 그러므로 $ P^{\prime} $의 좌표는 \[ x^{\prime}=\frac{x a^{2}}{x^{2}+y^{2}}, y^{\prime}=\frac{y a^{2}}{x^{2}+y^{2}} \] 이다.</p> <p>한편 $ P^{\prime} $의 작도를 알아보면, 점 $ P $ 가 원 $ \alpha $ 의 내부의 점일 때, $ P $ 를 지나는 직경을 $ \overline{A B} $ 라고 하자. $ P $ 에서 이 직경의 수선 $ l $ 과 원의 두 교점에서 접선은 직선 $ l $ 의 극에서 만난다. 조화공액점의 비를 이용하면, 위의 그림에서 \[ a+r_{1}: a-r_{1}=a+r_{2}: r_{2}-a \] 이므로 $ r_{1} r_{2}=a^{2} $ 이다. 따라서 이 점은 바로 $ P $ 의 반점 $ P^{\prime} $ 임을 알 수 있다. 즉, 선분 $ \overline{A B} $ 에 대해서 $ P $ 와 그 반점 $ P^{\prime} $ 는 서로 조화공액점이 된다. 점 $ P $ 가 원 $ \alpha $ 의 외부의 점일 때에도 조화공액점을 이용하면 된다. 그리고 $ P $ 가 원 위의 점이면 $ P=P^{\prime} $ 이다.</p> <h2>2.3 직선과 삼각형</h2> <p>서로 다른 세 점은 삼각형 또는 직선을 결정한다. 주어진 세 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $, $ P_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right) $ 이 만드는 $ \Delta P_{1} P_{2} P_{3} $ 의 면적을 구하여 보자. 먼저 $ P_{2}, P_{3} $ 사이의 거리는</p> <p>$ \left\|P_{2} P_{3}\right\|=\sqrt{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}} $</p> <p>이고, 이들 두 점을 지나는 직선 $ \overleftrightarrow{P_{2} P_{3}} $ 의 방정식은</p> <p>$ \left(y_{3}-y_{2}\right) x-\left(x_{3}-x_{2}\right) y+\left(x_{3} y_{2}-x_{2} y_{3}\right)=0 $</p> <p>이므로 점 $ P_{1} $에서 이 직선에 내린 수선의 길이는</p> <p>$ h=\frac{\left\|\left(y_{3}-y_{2}\right) x_{1}-\left(x_{3}-x_{2}\right) y_{1}+\left(x_{3} y_{2}-x_{2} y_{3}\right)\right\|}{\sqrt{\left(x_{3}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{2}\right)^{2}}} $</p> <p>이다.</p> <p>$ \begin{aligned}\left\|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right\| &=x_{1}\left\|\begin{array}{ll}y_{2} & 1 \\ y_{3} & 1\end{array}\right\|-y_{1}\left\|\begin{array}{ll}x_{2} & 1 \\ x_{3} & 1\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3}\end{array}\right\| \\ &=-\left[\left(y_{3}-y_{2}\right) x_{1}-\left(x_{3}-x_{2}\right) y_{1}+\left(x_{3} y_{2}-x_{2} y_{3}\right)\right], \\\left\|P_{2} P_{3}\right\| h=&\left\|\left(y_{3}-y_{2}\right) x_{1}-\left(x_{3}-x_{2}\right) y_{1}+\left(x_{3} y_{2}-x_{2} y_{3}\right)\right\| \end{aligned} $</p> <p>따라서 $ \Delta P_{1} P_{2} P_{3} $ 의 면적 $ \frac{1}{2}\left\|P_{2} P_{3}\right\| h $ 는 $ \frac{1}{2}\left\|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right\| $ 의 절댓값이다.</p> <h2>예 3.1</h2> <p>삼각형의 면적을 이용하여 다음을 계산하라.</p> <p>(1) 세 점 $ (4,-3),(1,2),(a,-1) $ 이 같은 직선 위에 있을 때 $ a $ 의 값</p> <p>(2) 두 점 $ (1,-1),(3,2) $ 를 지나는 직선의 방정식</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 세 점이 같은 직선 위에 있으면 세 점이 만드는 삼각형의 면적이 0이므로</p> <p>$ \left\|\begin{array}{rrr}4 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ a & -1 & 1\end{array}\right\|=0 \Rightarrow a=\frac{14}{5} $</p> <p>(2) 두 점을 지나는 직선 위의 한 점 $ P(x, y) $를 잡으면 $ (1,-1),(3,2),(x, y) $가 만드는 삼각형의 면적은 0이므로</p> <h2>정리 3.2 헤론(Heron)의 공식</h2> <p>세 변의 길이가 $ a, b, c $인 삼각형의 넓이는</p> <p>$ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\left(\right. $ 단 $ \left.p=\frac{a+b+c}{2}\right) $</p> <p>이다.</p> <h3>증명</h3> <p>위의 그림에서 꼭짓점 중의 하나를 원점으로 잡은 $ \triangle O A B $의 넓이를 계산하면</p> <p>$ \frac{1}{2}\left\|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\end{array}\right\|=\frac{1}{2}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) $</p> <p>의 절댓값 $ \frac{1}{2}\left\|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right\| $ 이다. 한편</p> <p>$ a^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} $ $ b^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}, c^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2} $</p> <p>이므로</p> <p>$ \begin{aligned} p(p-a)(p-b)(p-c) &=\frac{1}{16}(b+c+a)(b+c-a)(a+(b-c))(a-(b-c)) \\ &=\frac{1}{16}\left[(b+c)^{2}-a^{2}\right]\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right] \\ &=\frac{1}{16}\left[2 b c+2\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)\right]\left[2 b c-2\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{4}\left[b^{2} c^{2}-\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}\right)^{2}\right]=\frac{1}{4}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right)^{2} \end{aligned} $</p> <p>이므로</p> <p>$ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{2}\left\|x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right\| $</p> <p>이다.</p> <h2>예 5.2</h2> <p>원 $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-20=0 $ 에 대해서</p> <p>(1) 원 위의 점 $ (4,2) $ 에서 접선의 방정식을 구하라.</p> <p>(2) $ (4,2) $ 에서 법선을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ \left(x_{1}, y_{1}\right)=(4,2) $ 이므로, 접선은 \[ \begin{aligned} & 4 x+2 y-(x+4)+2(y+2)-20=0 \\ \Rightarrow & 3 x+4 y-20=0 \end{aligned} \] 이다.</p> <p>(2) $ 3 x+4 y-20=0 $ 에 수직이므로 \[ -4 x+3 y+c=0 \] 이고, $ (4,2) $ 를 지나므로 $ c=10 $ 이다. 그러므로 법선은 \[ -4 x+3 y+10=0 \] 이다.</p> <p>직선 $ l: a x+b y+c=0 $이 원 $ \Gamma:\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2} $의 접선이면 원의 중심 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $에서 접점을 잇는 선분은 접선과 수직으로 만나므로 중심에서 접선까지의 거리는 반지름이다.</p> <p>따라서 중심 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $, 반지름 $ r $ 인 원에 직선 $ a x+b y+c=0 $ 이 접할 조건은 \[ \frac{\left\|a x_{0}+b y_{0}+c\right\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=r \] 이다.</p> <p>표준형의 원 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 의 기울기가 $ m $ 인 접선은 \[ y=m x+b \Rightarrow m x-y+b=0 \] 에서 \[ \frac{\|b\|}{\sqrt{1+m^{2}}}=a \Rightarrow b=\pm a \sqrt{1+m^{2}} \] 이다. 따라서 기울기 $ m $ 인 접선의 방정식은 \[ y=m x \pm a \sqrt{1+m^{2}} \] 이다.</p> <p>좌표계의 평행이동을 이용하면 중심 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $, 반지름 $ a $인 원의 기울기 $ m $인 접선의 방정식은 \[ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \pm a \sqrt{1+m^{2}} \] 이다. 역으로 중심 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 인 원이 직선 $ a x+b y+c=0 $ 에 접하면 원은 \[ \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=\frac{\left(a x_{0}+b y_{0}+c\right)^{2}}{a^{2}+b^{2}} \] 이다.</p> <p>원 $ \Gamma:\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2} $ 에 대해서 다음과 같이 주어진 점을 지나는 접선을 구하는 방법이 있다.</p> <p>(1) 접선의 기울기를 $ m $ 이라 하고 접선의 방정식 \[ y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right) \pm a \sqrt{1+m^{2}} \] 에 주어진 점을 대입하여 $ m $ 의 방정식을 계산하면 된다. 기울기 $ m $ 인 접선은 2 개이지만 주어진 점을 지나는 기울기 $ m $ 인 접선은 1 개이므로 $ \pm $ 중의 하나는 버려야 한다. 실제로 주어진 점을 지나는 접선은 기울기가 다른 2 개이다.</p> <p>(2) 접점을 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 이라 하고 접선의 방정식 \[ x_{1} x+y_{1} y+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0 \] 에 주어진 점을 대입한 $ x_{1}, y_{1} $ 의 관계식과 원의 방정식을 이용하여 접점을 구한다.</p> <p>() 반사변환</p> <p>원점을 지나는 직선 $ l: a x+b y=0 $ 은 평면을 두 영역으로 나눈다. 평면 위의 점 $ P(x, y) $가</p> <p>(1) 직선 위에 있으면 $ a x+b y=0 $</p> <p>(2) $ (a, b) $ 방향에 있으면 $ \angle(\overrightarrow{O P},(a, b))<\frac{\pi}{2} $ $\\ \Rightarrow a x+b y=(a, b) \cdot(x, y)>0 $</p> <p>(3) $ -(a, b) $ 방향에 있으면 $ \angle(\overrightarrow{O P},(a, b))>\frac{\pi}{2} $ $\\ \Rightarrow a x+b y=(a, b) \cdot(x, y)<0 $</p> <p>일반적으로 직선 $ a x+b y+c=0 $는 평면을 두 영역으로 나누고 한 영역의 점들은 $ a x+b y+c>0 $이고 다른 영역의 점들은 $ a x+b y+c<0 $이다. 영역을 $ a x+b y+c $의 부호에 따라 양의 영역 또는 음의 영역이라고 부른다.</p> <p>점 $ P(x, y) $ 에서 직선 $ a x+b y+c=0 $ 까지 유향거리는 \[ \frac{a x+b y+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \] 를 의미한다. 그러므로 유향거리는 점과 직선 사이의 거리이지만, 양의 영역에서는 양수, 음의 영역에서는 음수가 된다.</p> <h2>예 1</h2> <p>다음 직선까지 $ P_{1}(-1,2), P_{2}(1,-4) $ 의 유향거리를 구하라.</p> <p>(1) $ 3 x+4 y+5=0 $</p> <p>(2) $ -3 x-4 y-5=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ P_{1} $ 의 유향거리는 $ \frac{-3+8+5}{5}=2 $,</p> <p>$ P_{2} $ 의 유향거리는 $ \frac{3-16+5}{5}=-\frac{8}{5} $</p> <p>(2) $ P_{1} $ 의 유향거리는 $ \frac{3-8-5}{5}=-2 $,</p> <p>$ P_{2} $ 의 유향거리는 $ \frac{-3+16-5}{5}=\frac{8}{5} $</p> <p>위의 예에서 보는 것과 같이 같은 직선이라도 표현방법에 따라 양의 영역, 음의 영역이 바뀔 수 있다.</p> <p>직선 $ l $ 이 주어졌을 때, 점 $ P(x, y) $ 의 $ l $ 에 대한 대칭점 $ P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) $ 를 대응시키는 변환을 $ l $ 에 대한 반사변환(reflection)이라고 한다. $ l $ 의 방정식을 \[ a x+b y+c=0,\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=1\right) \] 이라고 두면, 점 $ P $ 에서 $ l $ 까지 유향거리는 $ a x+b y+c $ 이다. 그리고</p> <p>$ P $ 가 양의 영역의 점 $ \Rightarrow a x+b y+c>0,(a, b), \overrightarrow{P P^{\prime}} $ 은 반대방향,</p> <p>$ P $ 가 음의 영역의 점 $ \Rightarrow a x+b y+c<0,(a, b), \overrightarrow{P P^{\prime}} $ 은 같은 방향,</p> <p>\[ \left\|P P^{\prime}\right\|=2\|a x+b y+c\| \] 이므로 \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{P P^{\prime}}=-2(a x+b y+c)(a, b), \overrightarrow{O P^{\prime}}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P P^{\prime}} \\ \Rightarrow &\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=(x, y)-2(a x+b y+c)(a, b) \end{aligned} \] 이다.</p> <h2>2.2 두 직선의 관계</h2> <p>직선 $ a x+b y+c=0 $ 의 방향비는 $ -b: a $ 이므로 위치벡터 $ (-b, a) $ 는 이 직선의 방향을 나타내고 $ (a, b) \cdot(-b, a)=-a b+a b=0 $ 이므로 $ x, y $의 계수벡터 $ (a, b) $는 직선의 수직 방향을 나타낸다.</p> <p>$ \lambda \neq 0 $ 이면 $ \lambda(a x+b y+c)=0 $는 $ a x+b y+c=0 $ 와 동치인 방정식이므로 같은 직선을 나타낸다. 즉, 계수의 비가 같은 방정식의 그래프는 같다. 평면 위의 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 아니면 만나지 않는다. 만나지 않는 두 직선을 서로 평행이라고 한다.</p> <p>두 직선 $ l_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, l_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 $에 대해서 다음의 관계가 성립한다.</p> <p>(1) $ l_{1}=l_{2} \Leftrightarrow $ 계수의 비가 같다. $ \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} $</p> <p>(2) $ l_{1} / / l_{2} \Leftrightarrow l_{1} \neq l_{2} $, 같은 방향비 $ \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}} $</p> <p>(3) $ l_{1} \cap l_{2} $는 한 점 $ \Leftrightarrow $ 다른 방향비 $ \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}} $</p> <h2>예 2.1</h2> <p>다음 두 직선의 관계를 $ a, b $의 값에 따라 분류하라.</p> <p>$ l_{1}: a x+4 y-3=0, l_{2}: x+a y+b=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>두 직선의 방향비가 같을 조건은</p> <p>$ \frac{a}{1}=\frac{4}{a} \Rightarrow a^{2}=4 \Rightarrow a=\pm 2 $</p> <p>(1) $ l_{1}=l_{2} \Leftrightarrow \frac{a}{1}=\frac{4}{a}=\frac{-3}{b} \Leftrightarrow a=2, b=-\frac{3}{2} $ 또는 $ a=-2, b=\frac{3}{2} $</p> <p>(2) $ l_{1} / / l_{2} \Leftrightarrow \frac{a}{1}=\frac{4}{a} \neq \frac{-3}{b} \Leftrightarrow a=2, b \neq-\frac{3}{2} $ 또는 $ a=-2, b \neq \frac{3}{2} $</p> <p>(3) $ l_{1} \cap l_{2} $ 는 한 점 $ \Leftrightarrow a \neq \pm 2 $</p> <h2>예 2.2</h2> <p>직선 $ l: 2 x+y-3=0 $과 $ P_{0}(3,-2) $에 대해서 다음을 계산하라.</p> <p>(1) $ P_{0} $ 을 지나고 $ l $ 에 평행인 직선</p> <p>(2) $ P_{0} $ 을 지나고 $ l $ 에 수직인 직선</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ l $ 과 평행이므로 구하는 직선의 방정식을 $2 x+y+c=0$이라 두고, $ (3,-2) $를 대입하면 $6-2+c=0 \Rightarrow c=-4$이다. 그러므로 구하는 직선은 $2 x+y-4=0$이다.</p> <p>(2) $ l $ 의 수직 방향은 $ (2,1) $ 이므로 구하는 직선의 방정식을 $ -x+2 y+c=0 $이라 두고, $ (3,-2) $ 를 대입하면$ -3-4+c=0 \Rightarrow c=7 $이다. 그러므로 구하는 직선은 $ -x+2 y+7=0 $ 이다.</p> <p>여러 가지 형태의 조건하에서 원의 방정식을 구하여 보자.</p> <h2>예 5.7</h2> <p>반지름 2 , 중심은 $ x-2 y-1 = 0 $ 위에 있고, $ 5 x-12 y-1=0 $ 에 접하는 원의 방정식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>원의 중심을 $ (x, y) $ 라고 하면 \[ \begin {aligned} & x=2 y + 1, \frac { \|5 x-12 y-1\| } {\sqrt { 25 + 144 } } =2 \\ \Rightarrow & 5 x-12 y-1= \pm 26 \\ \Rightarrow & 5(2 y + 1)-12 y-1= \pm 26 \\ \Rightarrow &(x, y)=(-21,-11),(31,15) \end {aligned} \] 이므로 원의 방정식은 \[ (x + 21) ^ { 2 } + (y + 11) ^ { 2 } =4,(x-31) ^ { 2 } + (y-15) ^ { 2 } =4 \] 이다.</p> <h2>예 5.8</h2> <p>$ x, y $ 축에 접하면서 $ (2,1) $ 을 지나는 원의 방정식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>점 $ (2,1) $ 을 지나고 $ x, y $ 축에 접하므로 중심은 1 사분면에 있다. 원의 반지름을 $ a $ 라고 하면 중심은 $ (a, a) $ 이고 \[ \begin {aligned} &(2-a) ^ { 2 } + (1-a) ^ { 2 } =a ^ { 2 } \\ \Rightarrow & a ^ { 2 } -6 a + 5=0 \Rightarrow a=1,5 \end {aligned} \] 이므로 원의 방정식은 \[ (x-1) ^ { 2 } + (y-1) ^ { 2 } =1,(x-5) ^ { 2 } + (y-5) ^ { 2 } =25 \] 이다.</p> <h2>예 5.9</h2> <p>$ (-1,1) $ 에서 $ 2 x-y + 3=0 $ 에 접하면서 $ (2,-1) $ 을 지나는 원의 방정식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>점 $ (-1,1) $ 에서 법선은 $ x + 2 y-1=0 $ 이다. 두 점 $ (-1,1),(2,-1) $ 이 만드는 선분의 수직이등분선은 중점 $ \left ( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right ) $ 을 지나고 수직 방향이 \[ (2,-1)-(-1,1)=(3,-2) \] 이므로 \[ 6 x-4 y-3=0 \] 이다. 따라서 중심은 이들 두 직선의 교점인 $ \left ( \frac { 5 } { 8 } , \frac { 3 } { 16 } \right ) $ 이다. 반지름은 중심에서 $ (-1,1) $ 까지 거리 $ \frac { 13 \sqrt { 5 } } { 16 } $ 이므로 원의 방정식은 \[ \left (x- \frac { 5 } { 8 } \right ) ^ { 2 } + \left (y- \frac { 3 } { 16 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 13 \sqrt { 5 } } { 16 } \right ) ^ { 2 } \] 이다.</p> <h1>제 2장 직선과 원</h1> <h2>2.1 직선의 방정식</h2> <p>평면 위의 서로 다른 두 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $를 지나는 직선에 대해서 알아보자. $ P_{1}, P_{2} $를 지나는 직선 $ l=\overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ 위의 입의의 점 $ P(x, y) $를 잡으면</p> <p>두 벡터</p> <p>$ \overrightarrow{P_{1} P_{2}}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right), \overrightarrow{P_{1} P}=\left(x-x_{1}, y-y_{1}\right) $</p> <p>은 평행이므로 성분비가 같아야 한다. 즉</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} $$ \quad\cdots() $</p> <p>이다. 이것을 직선 $ l $의 직교방정식이라 한다. 이 방정식에서 분모가 0인 경우는 분자도 0임을 의미한다. 여기서</p> <p>$ x_{2}-x_{1}: y_{2}-y_{1} $</p> <p>은 직선 $ l $상의 어떠한 두 점을 잡아도 일정한데, 이 비를 $ l $의 방향비라고 한다. 이것은 직선 방향의 벡터의 성분비와 일치한다. 이 비가 일정하므로</p> <p>$ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} $</p> <p>도 일정하다. 이를 $ l $의 기울기라고 한다. 즉 기울기는 $ y $좌표의 변화량을 $ x $좌표의 변화량으로 나눈 값이다. 기울기는 분모가 0일 경우에는 정의되지 않는다. $ x $축의 양의 방향에서 $ l $에 이르는 각을 직선의 경사각이라고 하는데, 직선 $ l $의 경사각을 $ \theta $라고 두면 기울기는 $ m=\tan \theta $이다.</p> <p>$ l $의 방정식 $ () $ 를 $ x, y $에 대하여 정리하면</p> <p>$ \left(y_{2}-y_{1}\right) x-\left(x_{2}-x_{1}\right) y+\left(x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}\right)=0 $</p> <p>이다. 여기서</p> <p>$ a=y_{2}-y_{1}, b=x_{1}-x_{2}, c=x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2} $</p> <p>라고 두면, $ l $의 방정식은</p> <p>$ a x+b y+c=0 $</p> <p>이다. 또한 $ P_{1}, P_{2} $는 서로 다른 점이므로 $ x_{1} \neq x_{2} $, 또는 $ y_{1} \neq y_{2} $이다. 즉 $ a \neq 0 $, 또는 $ b \neq 0 $이다. 그러므로 직선의 방정식은 $ x, y $의 1차 방정식이다.</p> <p>직선 $ l $에 방향이 주어졌을 때, $ l $의 방향과 $ x $축, $ y $축의 양의 방향이 만드는 각을 $ \alpha, \beta $라고 두자.</p> <p>이때 $ \cos \alpha, \cos \beta $를 $ l $의 방향 코사인이라고 한다. 1장에서 $ l $ 방향의 단위벡터가 $ (\cos \alpha $, $ \cos \beta) $을 설명하였다. 그러므로 방향 코사인의 비는 직선의 방향비이다. 직선의 방향이 주어지지 않았으면 $ \pm(\cos \alpha, \cos \beta) $중에서 임의로 택한다.</p> <p>직선이 $ x, y $축과 만나는 점의 $ x, y $좌표를 직선의 $ x, y $절편이라 한다. 따라서 $ x $절편은 직선의 방정식에서 $ y=0 $일 때 $ x $값, $ y $절편은 $ x=0 $일 때 $ y $값이다.</p> <h2>예 1.7</h2> <p>다음 극방정식의 직교방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=2 $</p> <p>(2) $ r=\frac{1}{\cos \theta+3 \sin \theta} $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 코사인 덧셈정리를 이용하면</p> <p>$ r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=r \cos \theta \cos \frac{\pi}{4}+r \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} $</p> <p>$ =\frac{1}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}} y $</p> <p>$ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}} y=2 $</p> <p>(2) 준식 $ \Rightarrow r \cos \theta+3 r \sin \theta=1 \Rightarrow x+3 y=1 $</p> <h2>예 1.8</h2> <p>다음 직교방정식의 극방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ 2 x+y=3 $</p> <p>(2) $ \sqrt{3} x-y=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ 2 x+y=3 \Rightarrow 2 r \cos \theta+r \sin \theta=3 \Rightarrow r=\frac{3}{2 \cos \theta+\sin \theta} $</p> <p>(2) $ \sqrt{3} x-y=0 \Rightarrow \sqrt{3} r \cos \theta-r \sin \theta=0 $</p> <p>$ \Rightarrow \tan \theta=\sqrt{3} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{3} $</p> <p>극방정식 $ r=f(\theta) $의 그래프</p> <p>$ \{(r, \theta) \mid r=f(\theta)\} $</p> <p>는 다루기가 불편한 경우가 많지만 직교좌표 방정식으로 표현하기 어려운 도형을 그릴 때 유용하게 쓰인다.</p> <p>먼저 $ r=4 \cos \theta $의 그래프를 그려보자. 특정한 $ \theta $값에 대한 $ r $의 값을 조사해 보면 다음 과 같다.</p> <p>이들 점을 바탕으로 그래프를 그리면 다음을 얻는다.</p> <p>이것은 원이다. 실제로 직교좌표로 바꾸면 $ (x-2)^{2}+y^{2}=4 $이다.</p> <p>극방정식의 그래프를 그릴 때 다음과 같은 사항을 조사하면 이 과정을 많이 줄일 수 있다.</p> <p>(i) $ \theta $의 변화에 따른 $ r $의 변화를 알아본다.</p> <p>극방정식은 주기함수인 삼각함수를 많이 사용하므로 방정식이 주기함수인 경우가 많다. 이 경우 $ \theta $의 변화 범위를 주기 내에서 조사하면 충분하다. 그리고 함수의 증가, 감소 등을 알아본다. 예를 들면 극방정식</p> <p>$ r=3(1+\sin \theta) $</p> <p>는 1, 2사분면에서 증가하고 3, 4사분면에서 감소한다. 그리고 주기가 $ 2 \pi $이므로 $ \theta $는 0에서 $ 2 \pi $까지만 조사하면 된다.</p> <p>(ii) 대칭성을 알아본다.</p> <p>삼각함수의 부호는 주기적으로 변하므로 극좌표가 대칭인 경우가 많다. 극방정식 $ r= f(\theta) $의 대칭성은 다음 표로부터 조사할 수 있다.</p> <p>(iii) 정의역, 치역을 조사한다.</p> <p>극방정식에서 $ r, \theta $의 값이 제한되는 경우가 있다. 예를 들면,</p> <p>$ r^{2}=a^{2} \sin \theta, \quad r^{2}=a^{2} \cos \theta \quad(a \geq 0) $</p> <p>는 $ -a \leq r \leq a $이고 $ \theta $는 특정 사분면의 값을 취할 수 없다.</p> <p>(iv) 절편을 조사한다.</p> <p>(v) 특별한 함수의 극방정식을 이용한다.</p> <p>예를 들면, 극방정식</p> <p>$ r=a \sin n \theta, r=a \cos n \theta \quad(n>1) $</p> <p>는 $ n $이 홀수이면 $ n $엽 장미( $ n $-leaved rose), $ n $이 짝수이면 $ 2 n $엽 장미라고 부르는 도형이다. 예를 들어 4 엽 장미 $ r=\sin 2 \theta $의 그래프를 그려보자. 이것은 주기함수이고 원점과 $ x $축에 대칭이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $ \theta $의 0에서 $ \frac{\pi}{2} $까지 변화만 알아보면 된다. $ \theta $가 0에서 $ \frac{\pi}{4} $까지 변할 때 $ r $은 0에서 1까지 변하고 $ \theta $가 $ \frac{\pi}{4} $에서 $ \frac{\pi}{2} $까지 변할 때 $ r $은 1에서 0까지 변한다. 이를 바탕으로 그래프를 그리면 다음과 같다.</p> <p>같은 방법으로 3엽 장미 $ r=\cos 3 \theta $의 그래프를 그리면 위와 같다.</p> <p>극방정식</p> <p>$ r^{2}=a^{2} \sin 2 \theta, \quad r^{2}=a^{2} \cos 2 \theta $</p> <p>의 그래프는 연주형(1emniscate)이라고 부르는데, 예를 들어 $ r^{2}=9 \cos 2 \theta $의 그래프를 그려보자. 방정식에서 $ -3 \leq r \leq 3 $이고, $ \theta $는 1, 3사분면의 값만 취함을 알 수 있다. 또한 주기함수이고, 원점과 $ x $축에 대칭이다. 그래프를 그리면 다음과 같다.</p> <p>같은 방법으로 $ r^{2}=9 \sin 2 \theta $ 의 그래프를 그리면 위와 같다. 이 밖에 다음과 같은 극방정식의 그래프가 있다.</p> <p>(1) $ a $를 지나고 $ b(b \neq(0,0)) $에 평행인 직선의 벡터방정식</p> <p>직선 위의 점 $ \mathrm{x} $를 잡으면 $ \mathrm{x}-a $ 는 $ b $ 와 평행이므로, 적당한 실수 $ t $에 대하여 $ \mathrm{x}-a=t b $이다. 그러므로 직선의 벡터방정식은 $ \mathrm{x}=a+t b $이다.</p> <h2>예 4.2</h2> <p>다음 세 점을 지나는 원의 방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ (2,-2),(1, \sqrt{3}),(0,0) $</p> <p>(2) $ (1,-3),(-1,-1),(-3,-3) $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 각 점을 원의 일반식에 대입하면,</p> <p>$ 4 g-4 f+c+8=0 $</p> <p>$ 2 g+2 \sqrt{3} f+c+4=0 $</p> <p>$ c=0 $</p> <p>$ \Rightarrow(g, f, c)=(-2,0,0) $</p> <p>$ \Rightarrow $ 중심 $ (2,0) $, 반지름 2</p> <p>$ \Rightarrow(x-2)^{2}+y^{2}=4 $</p> <p>(2) 같은 방법으로</p> <p>$ 2 g-6 f+c+10=0 $</p> <p>$ -2 g-2 f+c+2=0 $</p> <p>$ -6 g-6 f+c+18=0 $</p> <p>$ \Rightarrow(g, f, c)=(1,3,6) $</p> <p>$ \Rightarrow $ 중심 $ (-1,-3) $, 반지름 2</p> <p>$ \Rightarrow(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=4 $</p> <h2>예 4.3</h2> <p>서로 다른 두 점 $ A\left(a_{1}, a_{2}\right), B\left(b_{1}, b_{2}\right) $ 에 대해서 $ \|P A\|=2\|P B\| $ 인 점 $ P $ 의 자취를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} &\|P A\|=2\|P B\| \\ \Rightarrow &\left(x-a_{1}\right)^{2}+\left(y-a_{2}\right)^{2}=4\left(x-b_{1}\right)^{2}+4\left(y-b_{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow & 3 x^{2}+3 y^{2}-2\left[\left(4 b_{1}-a_{1}\right) x+\left(4 b_{2}-a_{2}\right) y\right]+4 b_{1}^{2}+4 b_{2}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}=0 \\ \Rightarrow & 3\left(x-\frac{4 b_{1}-a_{1}}{3}\right)^{2}+3\left(y-\frac{4 b_{2}-a_{2}}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}+\frac{4}{3}\left(b_{2}-a_{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow &\left(x-\frac{4 b_{1}-a_{1}}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{4 b_{2}-a_{2}}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}\left[\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{2}-a_{2}\right)^{2}\right] \end{aligned} $</p> <p>이다. $ \overrightarrow{A B} $ 의 $ 2: 1 $ 내분점을 $ C $, 외분점을 $ D $ 라고 하면</p> <p>$ \begin{aligned} & C\left(\frac{2 b_{1}+a_{1}}{3}, \frac{2 b_{2}+a_{2}}{3}\right), D\left(2 b_{1}-a_{1}, 2 b_{2}-a_{2}\right) \\ \Rightarrow & \frac{1}{2}\|C D\|=\frac{2}{3} \sqrt{\left(b_{1}-a_{1}\right)^{2}+\left(b_{2}-a_{2}\right)^{2}} \end{aligned} $</p> <p>이고 $ \overline{C D} $ 의 중점 $ M $ 이라 두면</p> <p>$ M\left(\frac{4 b_{1}-a_{1}}{3}, \frac{4 b_{2}-a_{2}}{3}\right) $</p> <p>이므로 구하는 점의 자취는 중심이 $ \overline{C D} $ 의 중점, 반지름이 $ \frac{1}{2}\|C D\| $ 인 원이다. 즉 $ \overrightarrow{A B} $의 $ 2: 1 $ 내분점과 외분점 $ C, D $ 를 지름의 양끝으로 하는 원이다.</p> <p>원점 $ O $ 가 중심이고 반지름 $ a $ 인 원 위의 점 $ P(x, y) $ 에 대해서 $ \overrightarrow{O P} $ 가 $ x $ 축의 양의 방향과 만드는 각을 $ \theta $ 라고 하면</p> <p>$ x=a \cos \theta, y=a \sin \theta $</p> <p>이다.</p> <p>이를 표준형의 원의 매개방정식이라고 한다. 중심이 임의의 점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이면 원점을 $ P_{0} $ 으로 평행이동한 $ P_{0} X Y $ 좌표계에서</p> <p>$ X=x-x_{0}, \quad Y=y-y_{0} $</p> <p>이고 매개방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} & X=a \cos \theta, \quad Y=a \sin \theta \\ \Rightarrow & x-x_{0}=a \cos \theta, y-y_{0}=a \sin \theta \\ \Rightarrow & x=x_{0}+a \cos \theta, y=y_{0}+a \sin \theta \end{aligned} $</p> <p>이다.</p> <p>원점을 지나지 않는 직선 $ l $에 대해서 원점 $ O $에서 $ l $에 내린 수선이 만나는 점을 $ N $, $ \|O N\|=d, x $축의 양의 방향과 $ \overrightarrow{O N} $이 만드는 각을 $ \theta $라고 하면 $ N $의 좌표는 $ (d \cos \theta $, $ d \sin \theta) $이다. $ l $ 위의 임의의 점 $ P(x, y) $에 대해서</p> <p>$ \begin{aligned} &\|O N\|^{2}+\|N P\|^{2}=\|O P\|^{2} \\ \Rightarrow & d^{2}+(x-d \cos \theta)^{2}+(y-d \sin \theta)^{2}=x^{2}+y^{2} \\ \Rightarrow & x \cos \theta+y \sin \theta=d \end{aligned} $</p> <p>이다. 이것은 $ x, y $에 관한 1 차식이므로 직선 $ l $의 방정식이다. 이를 헤세 표준형이라고 한다.</p> <p>헤세 표준형에서 $ d $는 원점에 직선까지 거리이므로 항상 양수이고, $ x, y $ 의 계수벡터 $ (\cos \theta, \sin \theta) $ 는 단위벡터이므로 직선 $ a x+b y+c=0 $의 헤세 표준형을 구하는 과정은 다음과 같다.</p> <p>(1) 상수항을 우변으로 옮긴다.</p> <p>$ a x+b y=-c $</p> <p>(2) $ x, y $의 계수벡터 $ (a, b) $의 길이 $ \sqrt{a^{2}+b^{2}} $ 으로 양변을 나눈다.</p> <p>$ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} y=-\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $</p> <p>(3) 필요하면 $ -1 $을 양변에 곱하여 우변을 양수로 만든다.</p> <p>$ c<0 \Rightarrow-\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}>0 $</p> <p>$ \Rightarrow $ 표준형은 $ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} y=-\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $</p> <p>$ c>0 \Rightarrow-\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<0 $</p> <p>$ \Rightarrow $ 표준형은 $ -\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} x-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} y=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $</p> <p>$ a x+b y+c=0 $의 표준형에서 상수항은 $ \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $이므로 원점 $ O $에서 직선 $ a x+ b y+c=0 $ 까지 거리는 $ \frac{\|c\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} $ 이다. 이 공식은 $ l $이 원점을 지나는 경우에도 적용된다.</p> <h2>예 1.3</h2> <p>다음 직선을 헤세 표준형으로 바꾸고 원점에서 직선까지 거리를 구하라.</p> <p>(1) $ y=-3 $</p> <p>(2) $ 2 x-3 y+4=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ y=-3 $의 $ x, y $의 계수벡터 $ (0,1) $은 단위벡터이다. 그러므로 표준형은 $ -y=3 $이고 원점에서 직선까지 거리는 3 이다.</p> <p>(2) $ -2 x+3 y=4 $에서 $ x, y $의 계수벡터 $ (-2,3) $의 길이 $ \sqrt{13} $으로 양변을 나누면 표준형은</p> <p>$ -\frac{2}{\sqrt{13}} x+\frac{3}{\sqrt{13}} y=\frac{4}{\sqrt{13}} $</p> <p>이고, 원점에서 직선까지 거리는 $ \frac{4}{\sqrt{13}} $ 이다.</p> <p>방향비가 $ u: v $ 이고 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 를 지나는 직선의 방정식에서</p> <p>$ \frac{x-x_{1}}{u}=\frac{y-y_{1}}{v}=t $</p> <p>라고 두면,</p> <p>$ \left\{\begin{array}{l}x=x_{1}+u t \\ y=y_{1}+v t\end{array}\right. $</p> <p>를 얻는다. 이것을 직선의 매개방정식이라고 한다.</p> <p>특히 벡터 $ u, v $가 방향 코사인 $ \lambda, \mu $이면 매개방정식에서 $ t $ 는 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $에서 $ P(x, y) $까지 $ (\lambda, \mu) $방향에 대한 유향거리를 나타낸다.</p> <h2>2.5 원의 접선과 극선</h2> <p>직선과 원의 교점은 직선의 매개 방정식을 원의 방정식에 대입하여 계산하면 된다.</p> <h2>예 5.1</h2> <p>원 $ x^{2}+y^{2}=5 $ 와 직선 $ x=-1+t, y=1+2 t $ 의 교점은</p> <p>$ \begin{aligned}(-1+t)^{2}+(1+2 t)^{2}=5 \\ \Rightarrow & 5 t^{2}+2 t-3=0 \Rightarrow t=\frac{3}{5},-1 \end{aligned} $</p> <p>이므로 이를 매개방정식에 대입하면 $ \left(-\frac{2}{5}, \frac{11}{5}\right),(-2,-1) $ 이다.</p> <p>직선이 원과 한 점에서 만날 때, 이 직선을 원의 접선(tangent line)이라고 한다. 표준형의 원 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 위의 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 지나고, 방향 코사인이 $ \lambda, \mu $ 인 직선 $ l $의 매개 방정식은</p> <p>$ x=x_{1}+\lambda t, y=y_{1}+\mu t $</p> <p>이다. 이를 원의 방정식에 대입하면</p> <p>$ \left(x_{1}+\lambda t\right)^{2}+\left(y_{1}+\mu t\right)^{2}-a^{2}=0 $</p> <p>을 얻는다.</p> <p>$ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=a^{2}, \lambda^{2}+\mu^{2}=1 $</p> <p>을 이용해서 정리하면 교점방정식</p> <p>$ t^{2}+2\left(\lambda x_{1}+\mu y_{1}\right) t=0 $</p> <p>을 얻는다. 이 방정식의 근을 $ l $ 의 매개방정식에 대입하면 원과 $ l $ 의 교점이고 $ t=0 $ 에 해당하는 점은 $ P_{1} $이다. 따라서</p> <p>$ l $ 이 원의 접선 $ \Leftrightarrow t=0 $ 은 교점방정식의 중근</p> <p>$\begin{array}{l}\\\Leftrightarrow \lambda x_{1}+\mu y_{1}=0 \\\\\Leftrightarrow(\lambda, \mu) \perp\left(x_{1}, y_{1}\right)\end{array}$</p> <p>이다. $ P_{1} $에서 접선의 수직 방향이 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $이므로 접선의 방정식을</p> <p>$ x_{1} x+y_{1} y+c=0 $</p> <p>으로 두면, 접선은 $ P_{1} $ 을 지나므로</p> <p>$ x_{1} x_{1}+y_{1} y_{1}+c=0 \Rightarrow c=-a^{2} $</p> <p>이다. 따라서 표준형의 원 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 위의 점 $ P_{1} $ 에서 접선의 방정식은</p> <p>$ x_{1} x+y_{1} y=a^{2} $</p> <p>이다.</p> <p>접점에서 접선과 수직으로 만나는 직선을 법선이라고 한다. 우리는 접선의 계산과정에서 중심과 접점을 지나는 직선은 법선이 된다는 사실을 밝혔다. 따라서 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에서 법선의 방정식은 원점과 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 지나므로 $ y=\frac{y_{1}}{x_{1}} x $ 이다.</p> <p>중심이 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이고 반지름이 $ a $ 인 원 $ \Gamma $ 위의 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에 대해서 원점을 $ P_{0} $으로 평행이동한 $ P_{0} X Y $ 좌표계에서 $ \Gamma $는 표준형의 원이 되므로 접선은</p> <p>$ X_{1} X+Y_{1} Y=a^{2} $</p> <p>이고</p> <p>$ X=x-x_{0}, \quad Y=y-y_{0} $ $ X_{1}=x_{1}-x_{0}, \quad Y_{1}=y_{1}-y_{0} $</p> <p>이므로 접선은</p> <p>$ \left(x_{1}-x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\left(y_{1}-y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)=a^{2} $</p> <p>이다.</p> <p>원의 일반방정식</p> <p>$ x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 $</p> <p>은 중심 $ (-g,-f) $, 반지름 $ \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} $ 이므로, 원 위의 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에서 접선의 방정식은 ()에 대입하면</p> <p>$ \begin{aligned} &\left(x_{1}+g\right)(x+g)+\left(y_{1}+f\right)(y+f)=g^{2}+f^{2}-c \\ \Rightarrow & x_{1} x+y_{1} y+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0 \end{aligned} $</p> <p>이다. 이 공식은 기억하기 쉬울 뿐 아니라 앞으로 소개할 다른 개념에도 적용되는 유용한 공식이다.</p> <h2>예 5.5</h2> <p>원 $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y+4=0 $ 에 대해서</p> <p>(1) 점 $ (-4,1) $ 에서 극선 $ l $ 을 구하고 $ (2,0) \in l $ 임을 보여라.</p> <p>(2) $ (2,0) $ 에서 공액직선을 구하고 $ (-4,1) $ 을 지남을 보여라.</p> <p>(3) 직선 $ 2 x-y-5=0 $ 의 극을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>점 $ (-4,1) $ 에서 극선의 방정식은 \[ \begin{aligned} &-4 x+y-(x-4)+2(y+1)+4=0 \\ \Rightarrow &-5 x+3 y+10=0 \end{aligned} \] 이고, 점 $ (2,0) $ 을 지난다. 이 점에서 공액직선은 \[ \begin{aligned} & 2 x+0 y-(x+2)+2(y+0)+4=0 \\ \Rightarrow & x+2 y+2=0 \end{aligned} \] 이고, 이것은 $ (-4,1) $ 을 지난다.</p> <p>직선 $ 2 x-y-5=0 $ 의 극을 $ (a, b) $ 라고 두면 극선의 방정식은 \[ \begin{aligned} a x+b y-(x+a)+2(y+b)+4 &=0 \\ \Rightarrow(a-1) x+(b+2) y-a+2 b+4 &=0 \end{aligned} \] 이므로, 주어진 직선의 방정식과 비교하면 $ a=3, b=-3 $ 이다. 그러므로 직선의 극은 $ (3,-3) $ 이다.</p> <p>점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $에서 원 \[ \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2} \] 까지 최단거리 $ d $를 구하여 보자.</p> <p>원 $ () $ 에 접하는 중심이 $ P_{1} $ 인 원을 그리면 이 원의 반지름 $ \left\|P_{1} P_{2}\right\| $ 가 구하는 거리 $ d $ 이다. 따라서 원 위에 있으면 $ d=0 $ 이고,</p> <p>$P_{1} $ 이 원의 외부에 있을 때 $ d=\left\|P_{0} P_{1}\right\|-a $,</p> <p>$ P_{1} $ 이 원의 내부에 있을 때 $ d=a-\left\|P_{0} P_{1}\right\| $</p> <p>이다.</p> <h2>예 5.6</h2> <p>다음의 점 $ P_{1} $ 에서 원 $ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9 $ 까지 거리를 구하라.</p> <p>(1) $ P_{1}(-4,10) $</p> <p>(2) $ P_{1}(1,-1) $</p> <h3>풀이</h3> <p>원의 중심이 $ (1,-2) $, 반지름이 3이다.</p> <p>(1) $ P_{1} $ 에서 중심 $ (1,-2) $ 까지 거리는 $ \sqrt{25+144}=13 $ 이므로 원 외부의 점이다. 그러므로 $ P_{1} $ 에서 원까지 거리는 $ 13-3=10 $ 이다.</p> <p>(2) $ P_{1} $ 에서 중심 $ (1,-2) $ 까지 거리는 $ \sqrt{0+1}=1 $ 이므로 원 내부의 점이다. 그러므로 $ P_{1} $ 에서 원까지 거리는 $ 3-1=2 $ 이다.</p> <p>두 직선 $ l_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, l_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0 $의 교점을 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이라 하면 $ a_{1} x_{0}+b_{1} y_{0}+c_{1}=0, a_{2} x_{0}+b_{2} y_{0}+c_{2}=0 $이다. 그러므로 $ \left(t_{1}, t_{2}\right) \neq(0,0) $ 에 대해서 직선 $ t_{1}\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+t_{2}\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 $는 점 $ P_{0} $ 을 지난다. 그러므로 $ () $ 는 점 $ P_{0} $ 을 지나는 직선군을 나타낸다.</p> <p>역으로 $ l: a x+b y+c=0 $ 이 $ P_{0} $ 을 지나는 직선이라 하면, $ l_{1}, l_{2} $ 가 한 점에서 만나므로 $ \left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right) $ 는 평행이 아니다. 따라서 평면의 기저가 되므로 $ (a, b)=\lambda_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right)+\lambda_{2}\left(a_{2}, b_{2}\right) $가 되는 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ 가 존재한다. 이때 직선 $ \lambda_{1}\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+\lambda_{2}\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 $은 $ P_{0} $ 을 지나고 $ l $과 방향이 같으므로 직선 $ l $이다. 그러므로 $ P_{0} $을 지나는 직선은 $ () $ 의 방정식으로 표시된다.</p> <p>한편 $ () $ 는 양변을 $ t_{1} $, 또는 $ t_{2} $ 로 나누면 $ \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+t\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 $, 또는 $ t\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)=0 $로 표시할 수 있고 이렇게 하면 변수가 1 개이므로 계산이 간단해진다.</p> <h2>예 2.5</h2> <p>두 직선 $ 3 x+y-2=0,2 x+y+1=0 $에 대해서</p> <p>(1) 두 직선의 교점과 $ (1,-2) $ 를 지나는 직선을 구하라.</p> <p>(2) 두 직선의 교점을 지나고 $ 2 x+3 y-2=0 $ 에 평행인 직선을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 교점을 지나는 직선의 방정식 $ (3 x+y-2)+t(2 x+y+1)=0 $에 $ (1,-2) $ 를 대입하면 $ 3-2-2+t(2-2+1)=0 \Rightarrow t=1 $ 이므로 구하는 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} &(3 x+y-2)+1(2 x+y+1)=0 \\ \Rightarrow & 5 x+2 y-1=0 \end{aligned} $</p> <p>이다.</p> <p>(2) 교점을 지나는 방정식을 정리하면</p> <p>$ \begin{aligned} &(3 x+y-2)+t(2 x+y+1)=0 \\ \Rightarrow &(3+2 t) x+(1+t) y-2+t=0 \end{aligned} $</p> <p>이고, 이 직선은 $ 2 x+3 y-2=0 $와 평행이므로</p> <p>$ \frac{3+2 t}{2}=\frac{1+t}{3} \Rightarrow t=-\frac{7}{4} $</p> <p>이다. 그러므로 구하는 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} &(3 x+y-2)+\left(-\frac{7}{4}\right)(2 x+y+1)=0 \\ \Rightarrow & 4(3 x+y-2)-7(2 x+y+1)=0 \\ \Rightarrow & 2 x+3 y+15=0 \end{aligned} $</p> <p>이다.</p> <h2>2.4 원의 방정식</h2> <p>점 $ P_{0} $에서 거리가 $ a $인 점들의 집합을 중심(center) $ P_{0} $, 반지름(radius) $ a $ 인 원(circle)이라고 한다. 중심이 원점 $ O $인 경우 표준형의 원이라고 하는데, 표준형의 원의 방정식을 구하기 위하여 표준형의 원 위의 점 $ P(x, y) $를 잡으면 $ O $에서 거리가 반지름 $ a $이므로</p> <p>$ x^{2}+y^{2}=a^{2} $</p> <p>이고, 그래프는 다음과 같다.</p> <p>중심이 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $, 반지름 $ a $ 인 원은 원점을 $ P_{0} $ 으로 평행이동한 좌표계에서 표준형의 원이 되므로 방정식은 다음과 같다.</p> <p>$ \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2} $</p> <h2>예 4.1</h2> <p>다음 원의 중심과 반지름을 구하라.</p> <p>(1) $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0 $</p> <p>(2) $ x^{2}+y^{2}+6 y+5=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 준식 $ \Rightarrow(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=3^{2} $ $ \Rightarrow $ 중심 $ (1,-2) $, 반지름 3</p> <p>(2) 준식 $ \Rightarrow x^{2}+(y+3)^{2}=2^{2} $ $ \Rightarrow $ 중심 $ (0,-3) $, 반지름 2</p> <p>원의 방정식 $ () $ 를 전개하면</p> <p>$ x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 $</p> <p>의 모양이 된다. 이를 원의 일반방정식이라고 한다. $ () $와 비교하면</p> <p>$ \left(x_{0}, y_{0}\right)=(-g,-f), x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-a^{2}=c $</p> <p>이므로 $ ( ) $ 의 중심은 $ (-g,-f) $ 이고, 반지름은 $ \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} $ 이다.</p> <p>공선(같은 직선 위에 있는 점)이 아닌 세 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), P_{3}\left(x_{3}, y_{3}\right) $ 이 주어지면 $ 2 g, 2 f, c $ 에 관한 연립방정식</p> <p>$ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+2 g x_{1}+2 f y_{1}+c=0 $</p> <p>$ x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+2 g x_{2}+2 f y_{2}+c=0 $</p> <p>$ x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+2 g x_{3}+2 f y_{3}+c=0 $</p> <p>의 계수행렬식 $ \left\|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right\| $ 은 $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ 이 공선이 아니므로 $ \left\|\begin{array}{lll}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1\end{array}\right\| \neq 0 $ 이다. 따라서 단 하나의 해 $ (2 g, 2 f, c) $ 가 존재한다. 즉 공선이 아닌 세 점은 단 하나의 원을 결정한다.</p> <h2>2.6 두 원의 관계</h2> <p>만나는 두 원 \[ \begin{array}{l} F_{1}(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 g_{1} x+2 f_{1} y+c_{1}=0 \\ F_{2}(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 g_{2} x+2 f_{2} y+c_{2}=0 \end{array} \] 과 $ \left(t_{1}, t_{2}\right) \neq(0,0) $ 에 대해서 \[ t_{1} F_{1}(x, y)+t_{2} F_{2}(x, y)=0 \] 을 계산하면 \[ \left(t_{1}+t_{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left(t_{1} g_{1}+t_{2} g_{2}\right) x+2\left(t_{1} f_{1}+t_{2} f_{2}\right) y+t_{1} c_{1}+t_{2} c_{2}=0 \] 이다.</p> <p>(1) $ t_{1}+t_{2} \neq 0 $ 인 경우</p> <p>방정식 $ () $ 는 두 원의 교점을 지나는 원이다.</p> <p>한편 $ () $ 는 양변을 $ t_{1} $, 또는 $ t_{2} $ 로 나누면 \[ F_{1}(x, y)+t F_{2}(x, y)=0 \text {, 또는 } t F_{1}(x, y)+F_{2}(x, y)=0 \] 으로 표시할 수 있고 이렇게 하면 변수가 1 개이므로 계산이 간단해진다.</p> <p>(2) $ t_{1}+t_{2}=0 $ 인 경우</p> <p>$ t_{2}=-t_{1} $ 이므로 방정식 $ () $ 는 \[ 2\left(g_{1}-g_{2}\right) x+2\left(f_{1}-f_{2}\right) y+c_{1}-c_{2}=0 \] 이다. 이것은 1 차 방정식이므로 두 원의 교점을 지나는 직선이다. 이 직선을 두 원의 근축(radical axis)이라고 한다. 근축의 방정식은 두 원이 만나지 않아도 중심이 다르면 정의된다.</p> <p>두 원의 중심 $ \left(-g_{1},-f_{1}\right),\left(-g_{2},-f_{2}\right) $ 를 지나는 직선을 중심선이라고 하는데 중심선 \[ \left(f_{1}-f_{2}\right) x-\left(g_{1}-g_{2}\right) y+f_{1} g_{2}-f_{2} g_{1}=0 \] 은 근축과 직교한다.</p> <h2>예 6.1</h2> <p>두 원 \[ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-2=0, x^{2}+y^{2}+3 x-5 y-1=0 \] 에 대해서</p> <p>(1) 두 원의 교점과 $ (1,1) $ 을 지나는 원의 방정식을 구하라.</p> <p>(2) 두 원의 근축의 방정식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 교점을 지나는 원의 방정식 \[ \left(x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-2\right)+t\left(x^{2}+y^{2}+3 x-5 y-1\right)=0 \] 에 $ (1,1) $ 을 대입하면 $ t=2 $ 이므로 구하는 원의 방정식은 \[ 3 x^{2}+3 y^{2}+4 x-6 y-4=0 \] 이다.</p> <p>(2) $ \quad\left(2 g_{1}, 2 f_{1}, c_{1}\right)=(-2,4-2),\left(2 g_{2}, 2 f_{2}, c_{2}\right)=(3,-5,-1) $이므로, 근축의 방정식은 다음과 같다. \[ \begin{aligned} &(-2-3) x+(4+5) y+(-2+1)=0 \\ \Rightarrow &-5 x+9 y-1=0 \end{aligned} \]</p> <h2>예 6.2</h2> <p>두 원 \[ \begin{array}{l} F_{1}(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 g_{1} x+2 f_{1} y+c_{1}=0 \\ F_{2}(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 g_{2} x+2 f_{2} y+c_{2}=0 \end{array} \] 의 근축 위의 점에서 두 원의 접점까지의 거리는 같음을 증명하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>근축 위의 한 점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 두 원의 접점을 $ Q_{1}, Q_{2} $ 라고 하면, \[ \begin{aligned} \left\|P_{0} Q_{1}\right\|^{2} &=\left(P_{0} \text { 에서 중심까지 거리 }\right)^{2}-(\text { 반지름 })^{2} \\ &=\left(x_{0}+g_{1}\right)^{2}+\left(y_{0}+f_{1}\right)^{2}-\left(g_{1}^{2}+f_{1}^{2}-c_{1}\right) \\ \left\|P_{0} Q_{2}\right\|^{2} &=\left(x_{0}+g_{2}\right)^{2}+\left(y_{0}+f_{2}\right)^{2}-\left(g_{2}^{2}+f_{2}^{2}-c_{2}\right) \end{aligned} \] \[ \begin{array}{l} \Rightarrow\left\|P_{0} Q_{1}\right\|^{2}-\left\|P_{0} Q_{2}\right\|^{2}=2\left(g_{1}-g_{2}\right) x_{0}+2\left(f_{1}-f_{2}\right) y_{0}+c_{1}-c_{2}=0 \\ \Rightarrow\left\|P_{0} Q_{1}\right\|^{2}=\left\|P_{0} Q_{2}\right\|^{2} \end{array} \]</p> <p>두 원의 교점은 근축과 원의 교점이다. 따라서 직선과 원의 교점을 구하는 방법을 사용하거나 중심선과 근축의 교점을 이용해서 공통현의 길이를 구하여 계산하는 방법이 있다.</p> <h2>예 6.4</h2> <p>원 $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0 $ 에 대해서</p> <p>(1) 점 $ (-4,1),(1,-2) $ 에서 농도를 구하라.</p> <p>(2) $ (-4,1) $ 에서 원의 접점까지 거리를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} & F(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4 \\ \Rightarrow & F(-4,1)=16+1+8+4-4=25 \\ & F(1,-2)=1+4-2-8-4=-9 \\ \Rightarrow &(-4,1) \text { 에서 농도 } 25, \text { 접점까지 거리는 } 5 \\ &(1,-2) \text { 에서 농도 }-9 \end{aligned} $</p> <p>두 원에 동시에 접하는 직선을 공통접선, 공통접선의 같은 쪽에 두 원이 있을 때 공통외 접선, 반대쪽에 두 원이 있을 때 공통내접선이라고 한다. 공통접선의 길이는 접점 사이의 거리를 의미한다.</p> <p>공통접선의 길이는 다음 공식에서 구할 수 있다.</p> <p>(i) $ (\text { 공통외접선의 길이 })^{2}=(\text { 중심거리 })^{2}-(\text { 반지름의 차이 })^{2} $</p> <p>(ii) $ (\text { 공통내접선의 길이 })^{2}=(\text { 중심거리 })^{2}-(\text { 반지름의 합 })^{2} $</p> <p>공통접선은 접선의 기울기를 $ m $이라고 두고, 두 원의 기울기 $ m $인 접선의 식에서 $ y $절편이 일치하는 $ m $ 에 대한 방정식의 해를 구하면 된다.</p> <h2>예 6.5</h2> <p>두 원 \[ \begin{array}{l} \Gamma_{1}: x^{2}+y^{2}-6 x+2 y+6=0, \\ \Gamma_{2}: x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+12=0 \end{array} \] 에 대해서 다음을 구하라.</p> <p>(1) 공통외접선의 길이</p> <p>(2) 공통내접선의 길이</p> <h3>풀이</h3> <p>\[ \begin{aligned} & \Gamma_{1}:(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=4 \Rightarrow \text { 중심 }(3,-1) \text {, 반지름 } 2 \\ & \Gamma_{2}:(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=1 \Rightarrow \text { 중심 }(-2,3) \text {, 반지름 } 1 \\ \Rightarrow &(\text { 중심거리 })^{2}=5^{2}+(-4)^{2}=41 \\ &(\text { 반지름의 합 })^{2}=9,(\text { 반지름의 차이 })^{2}=1 \\ \Rightarrow & \text { 공통외접선의 길이 }=\sqrt{41-1}=\sqrt{40} \\ \Rightarrow & \text { 공통내접선의 길이 }=\sqrt{41-9}=\sqrt{32} \end{aligned} \] 이다.</p> <h2>예 6.6</h2> <p>두 원 \[ \begin{array}{l} \Gamma_{1}: x^{2}+y^{2}+4 y=0, \\ \Gamma_{2}: x^{2}+y^{2}-4 y+3=0 \end{array} \] 에 대해서 다음을 구하라.</p> <p>(1) 공통외접선</p> <p>(2) 공통내접선</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \Gamma_{1}: x^{2}+(y+2)^{2}=4 \Rightarrow $ 중심 $ (0,-2) $, 반지름 2</p> <p>$ \Gamma_{2}: x^{2}+(y-2)^{2}=1 \Rightarrow $ 중심 $ (0,2) $, 반지름 1</p> <p>공통접선 $ l $ 의 기울기를 $ m $ 이라고 하면 \[ \begin{array}{l} l \text { 은 } \Gamma_{1} \text { 의 접선 } \Rightarrow l: y+2=m x \pm 2 \sqrt{1+m^{2}} \\ \Rightarrow l: y=m x-2 \pm 2 \sqrt{1+m^{2}} \leftarrow(*) \\ l \text { 은 } \Gamma_{2} \text { 의 접선 } \Rightarrow l: y-2=m x \pm \sqrt{1+m^{2}} \\ \Rightarrow l: y=m x+2 \pm \sqrt{1+m^{2}} \end{array} \] 원의 위치에서 절편을 비교하면,</p> <p>공통외접선 $ y=\pm \sqrt{15} x+6 $, 공통내접선 $ y=\pm \frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3} $</p> <p>공통접선의 존재와 반지름의 관계는 다음과 같다. 두 원</p> <p>$ \Gamma_{1} $ :중심 $ P_{1} $, 반지름 $ a_{1}, \Gamma_{2} $ : 중심 $ P_{2} $, 반지름 $ a_{2} $</p> <p>에 대해서 $ a_{1}<a_{2} $ 이고, 중심거리를 $ \left\|P_{1} P_{2}\right\|=d $ 라고 두자.</p> <p>(1) $ d>a_{1}+a_{2} $ 일 때, 두 원은 분리되어 서로의 외부에 있다. 따라서 공통내접선, 공통 외접선은 각각 2개씩 있다.</p> <p>(2) $ d=a_{1}+a_{2} $ 일 때, 두 원은 외접한다. 따라서 공통내접선은 1개, 공통외접선은 2개 있다.</p> <p>(3) $ a_{2}-a_{1}<d<a_{1}+a_{2} $ 일 때, 두 원은 두 점에서 만난다. 따라서 공통내접선은 없고, 공통외접선은 2개 있다.</p> <p>(4) $ d=a_{2}-a_{1} $ 일 때, 두 원은 내접한다. 따라서 공통내접선은 없고, 공통외접선은 1개 있다.</p> <p>(5) $ d<a_{2}-a_{1} $ 일 때, $ \Gamma_{1} $ 은 $ \Gamma_{2} $ 의 내부에 포함된다. 공통접선은 없다.</p> <p>$ a_{1}=a_{2} $인 경우는 독자에게 맡긴다.</p> <h2>예 4.4</h2> <p>(1) 방정식 $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0 $ 을 매개방정식으로 표현하라.</p> <p>(2) 매개방정식 $ x=3+2 \sin \theta, y=-4+2 \cos \theta $ 를 직교방정식으로 표현하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 준식 $ \Rightarrow(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=3^{2} $</p> <p>$ \Rightarrow $ 중심 $ (1,-2) $, 반지름 3</p> <p>$ \Rightarrow x=1+3 \cos \theta, y=-2+3 \sin \theta $</p> <p>(2) 준식 $ \Rightarrow x-3=2 \sin \theta, y+4=2 \cos \theta $</p> <p>$ \Rightarrow(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=2^{2} $</p> <p>중심이 원점이고 반지름 $ a $인 원의 극방정식은 $ r=a $로 간단히 나타낼 수 있다. 일반적으로 중심이 극좌표 $ P_{0}\left(r_{0}, \theta_{0}\right) $ 이고 반지름이 $ a $ 인 원 위의 점 $ P(r, \theta) $ 에 대해서 코사인 법칙을 이용하면</p> <p>$ r^{2}+r_{0}^{2}-2 r_{0} r \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)=a^{2} $</p> <p>이다. 이를 원의 극방정식이라고 한다.</p> <p>예를 들어 중심이 극좌표 $ (a, 0) $, 즉 $ r_{0}=a, \theta_{0}=0 $ 이고 반지름이 $ a $ 인 원의 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} & r^{2}+a^{2}-2 a r \cos (\theta-0)=a^{2} \\ \Rightarrow & r^{2}-2 a r \cos \theta=0 \\ \Rightarrow & r=2 a \cos \theta \end{aligned} $</p> <p>이고, 중심이 $ \left(a, \frac{\pi}{2}\right) $ 이고 반지름이 $ a $ 인 원의 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} & r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=a^{2} \\ \Rightarrow & r^{2}-2 a r \sin \theta=0 \\ \Rightarrow & r=2 a \sin \theta \end{aligned} $</p> <p>이다.</p> <h2>예 4.5</h2> <p>중심이 $ \left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right) $이고 반지름 1 인 원의 극방정식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} & r_{0}=\sqrt{2}, \theta_{0}=\frac{\pi}{4} \\ \Rightarrow & r^{2}+2-2 \sqrt{2} r \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1 \\ \Rightarrow & r^{2}-2 r(\cos \theta+\sin \theta)+1=0 \end{aligned} $</p> <p>$ x_{0}=r_{0} \cos \theta_{0}, y_{0}=r_{0} \sin \theta_{0} $ 라고 두면 원의 극방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} & r^{2}+r_{0}^{2}-2 r_{0} r \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)=a^{2} \\ \Rightarrow &\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)-2 r_{0} r\left(\cos \theta \cos \theta_{0}+\sin \theta \sin \theta_{0}\right)=a^{2} \\ \Rightarrow &\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)-2 r \cos \theta r_{0} \cos \theta_{0}-2 r \sin \theta r_{0} \sin \theta_{0}=a^{2} \\ \Rightarrow &\left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\right)-2 x x_{0}-2 y y_{0}=a^{2} \\ \Rightarrow &\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=a^{2} \end{aligned} $</p> <p>의 직교방정식으로 유도할 수 있다.</p> <h2>예 3.3</h2> <p>세 점 $ O(0,0), A(4,3), B(3,4) $가 만드는 삼각형의 면적을 행렬식을 이용한 방법과 헤론의 공식을 이용하여 각각 구하라.</p> <h2>풀이</h2> <p>행렬식을 이용하면</p> <p>$ \frac { 1 } { 2 } \left \| \begin {array} { lll } 0 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end {array} \right \| = \frac { 7 } { 2 } \Rightarrow \triangle O A B $ 의 면적은 $ \frac { 7 } { 2 } $</p> <p>이다.</p> <p>헤론의 공식을 이용하기 위하여 세 변의 길이를 계산하면</p> <p>$ a=\|O A\|=5, b=\|O B\|=5, c=\|A B\|= \sqrt { 2 } $</p> <p>이다.</p> <p>$ p= \frac { 10 + \sqrt { 2 } } { 2 } , p-a=p-b= \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } , p-c= \frac { 10- \sqrt { 2 } } { 2 } $</p> <p>이므로 헤론의 공식에 의한 삼각형의 면적은</p> <p>$ \frac { 1 } { 4 } \sqrt { (10 + \sqrt { 2 } )( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } (10- \sqrt { 2 } ) } = \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 98 \cdot 2 } = \frac { 7 } { 2 } $</p> <p>(1) 외심(circumcenter)</p> <p>$ \triangle A B C $의 외접원의 중심을 $ \triangle A B C $의 외심이라고 한다.</p> <p>$ \triangle A B C $의 외접원의 중심 $ P $에서 각 변에 내린 수직선이 만나는 점을 각각 $ L, M, N $이라고 하면, $ \triangle P M A= \triangle P M C $이므로 $ M $은 변 $ \overline { A C } $의 중점이다. 같은 방법으로 $ L, N $도 변의 중점이 된다. 그러므로 각 변의 수직이등분선은 한 점에서 만난다.</p> <h2>예 3.4</h2> <p>세 점 $ O(0,0), A(4,3), B(-2,4) $에 대해서 $ \triangle O A B $의 외심을 구하라.</p> <h2>예 5.3</h2> <p>원 $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-20=0 $ 에 대해서</p> <p>(1) 기울기가 3 인 접선을 구하라.</p> <p>(2) 직선 $ x+2 y+b=0 $ 이 접선일 때, $ b $ 를 구하라.</p> <p>(3) $ (1,8) $ 을 지나는 접선을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 중심이 $ (1,-2) $ 이고 반지름이 5 이므로, 접선의 방정식은 \[ \begin{aligned} & y+2=3(x-1) \pm 5 \sqrt{1+9} \\ \Rightarrow & y=3 x-5 \pm 5 \sqrt{10} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>(2) 중심 $ (1,-2) $ 에서 직선까지 거리가 반지름 5 이므로 \[ \frac{\|1-4+b\|}{\sqrt{1+4}}=5 \Rightarrow b=3 \pm 5 \sqrt{5} \] 이다.</p> <p>(3) 접선의 기울기를 $ m $ 이라고 하면 접선은 \[ y+2=m(x-1) \pm 5 \sqrt{1+m^{2}} \] 이고, 접선이 $ (1,8) $ 을 지나므로 \[ \begin{aligned} & 8+2=m(1-1) \pm 5 \sqrt{1+m^{2}} \\ \Rightarrow & 10=\pm 5 \sqrt{1+m^{2}} \\ \Rightarrow & 2=\sqrt{1+m^{2}} \leftarrow \text { 양의 값만 성립한다. } \\ \Rightarrow & m=\pm \sqrt{3} \\ \Rightarrow & \text { 접선 } y+2=\pm \sqrt{3}(x-1)+10 \end{aligned} \] 다른 방법으로 계산하면, 접점이 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 일 때, 접선은 \[ x_{1} x+y_{1} y-\left(x+x_{1}\right)+2\left(y+y_{1}\right)-20=0 \] 에서 $ (1,8) $ 을 대입하면 \[ \begin{aligned} x_{1}+8 y_{1} &-\left(1+x_{1}\right)+2\left(8+y_{1}\right)-20=0 \\ \Rightarrow &\left(x_{1}, y_{1}\right)=\left(\frac{2 \pm 5 \sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \\ \Rightarrow & \text { 접선 } y=\pm \sqrt{3}(x-1)+8 \end{aligned} \]</p> <h2>예 5.4</h2> <p>직선 $ -3 x+4 y-5=0 $ 이 $ (x-3)^{2}+(y-1)^{2}=a^{2} $ 의 접선일 때, 반지름 $ a $ 를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>중심 $ (3,1) $ 에서 직선까지 거리가 반지름 $ a $ 이므로 \[ a=\frac{\|-9+4-5\|}{\sqrt{9+16}}=2 \] 이다.</p> <p>원 \[ F(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0 \] 위에 있지 않은 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 을 잡고, $ P_{1} $ 을 지나는 직선 $ l $ 과 원의 교점을 $ Q, R $ 이라고 하자. 이때 네 점 $ P_{1}, P, Q, R $ 이 조화점렬이 되는, 즉 \[ \frac{2}{P_{1} P}=\frac{1}{P_{1} Q}+\frac{1}{P_{1} R} \] 이 되는 점 $ P $ 의 자취에 대해서 생각해 보자.</p> <p>$ P_{1} $을 지나는 직선 $ l $ 의 방향 코사인을 $ \lambda, \mu $ 라고 하면, $ l $ 의 매개방정식은 \[ x=x_{1}+\lambda t, y=y_{1}+\mu t \] 이다. 이를 원의 방정식 $ F(x, y)=0 $ 에 대입해서 계산하면, 교점방정식 \[ t^{2}+2\left[\lambda\left(x_{1}+g\right)+\mu\left(y_{1}+f\right)\right] t+F\left(x_{1}, y_{1}\right)=0 \] 을 얻는다. 교점방정식의 해 $ t_{1}, t_{2} $ 는 $ l $ 의 매개방정식에 대입하면 점 $ Q, R $ 의 좌표가 된다. 여기서 점 $ P $ 에 대응하는 값을 $ t $ 라고 하면, $ t, t_{1}, t_{2} $ 는 각각 점 $ P_{1} $ 에서 $ P, Q, R $ 까지 유향거리이므로 \[ \frac{2}{t}=\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}=\frac{t_{1}+t_{2}}{t_{1} t_{2}} \] 이다. 근과 계수의 관계에서 \[ \begin{array}{l} t_{1}+t_{2}=-2\left[\lambda\left(x_{1}+g\right)+\mu\left(y_{1}+f\right)\right], \\ t_{1} t_{2}=F\left(x_{1}, y_{1}\right) \end{array} \] 이므로 \[ \begin{array}{l} \frac{2}{t}=-\frac{2\left[\lambda\left(x_{1}+g\right)+\mu\left(y_{1}+f\right)\right]}{F\left(x_{1}, y_{1}\right)} \\ \Rightarrow\left[\lambda\left(x_{1}+g\right)+\mu\left(y_{1}+f\right)\right] t+F\left(x_{1}, y_{1}\right)=0 \\ \end{array} \] 를 얻고, 여기에 \[ \lambda t=x-x_{1}, \mu t=y-y_{1} \] 을 대입하면 \[ x_{1} x+y_{1} y+g\left(x+x_{1}\right)+f\left(y+y_{1}\right)+c=0 \] 이고 1차식이므로 직선이다. 이 직선을 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에서 원 $ F(x, y)=0 $ 의 극선, 점 $ P_{1} $ 을 극선의 극이라고 한다.</p> <p>직선 $ l $이 원의 접선이 되면 $ P, Q, R $ 은 같은 점이고 이 점은 접선의 접점이므로 접선이 존재할 때, 극선은 점 $ P_{1} $ 을 지나는 원의 두 접선의 접점을 지나는 직선이다. $ P_{1} $ 이 내부에 있을 경우는 독자에게 맡긴다.</p> <h3>주의</h3> <p>$ P_{1} $ 에서 원의 극선의 방정식은 $ P_{1} $이 원 위에 있을 때, $ P_{1} $을 지나는 접선의 식과 일치한다.</p> <p>점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 에서 원 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 의 극선 $ l_{1} $ 은 \[ x_{1} x+y_{1} y=a^{2} \] 이고 $ l_{1} $ 위의 점 $ P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 에서 원의 극선 $ l_{2} $ 의 방정식은 \[ x_{2} x+y_{2} y=a^{2} \] 이다. $ P_{2} \in l_{1} $ 이므로, \[ x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=a^{2} \Rightarrow P_{1} \in l_{2} \] 이다. 즉 $ P_{1} $ 의 극선 위의 점을 극으로 하는 극선은 $ P_{1} $ 을 지난다. 이러한 이유로 $ l_{1}, l_{2} $ 을 원 $ x^{2}+y^{2}=a^{2} $ 에 대하여 서로 공액이라고 한다.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \overline { O A } $의 수직이등분선은 $ \overline { O A } $의 중점 $ \left (2, \frac { 3 } { 2 } \right ) $을 지나고 $ \overrightarrow { O A } =(4,3) $에 수직이다. 따라서</p> <p>$ 4 x + 3 y + c=0 $</p> <p>에서 $ (x, y) $ 에 $ \left (2, \frac { 3 } { 2 } \right ) $ 을 대입하면 $ c=- \frac { 25 } { 2 } $ 이므로 $ \overline { O A } $ 의 수직이등분선은</p> <p>$ 8 x + 6 y-25=0 $</p> <p>이다. 같은 방법으로 $ \overline { O B } $ 의 수직이등분선은 중점 $ (-1,2) $ 를 지나고 $ (-2,4) $ 에 수직이므로</p> <p>$ -x + 2 y-5=0 $</p> <p>이다. 외심은 이들 두 직선의 교점 $ \left ( \frac { 10 } { 11 } , \frac { 65 } { 22 } \right ) $ 이다.</p> <p>(2) 수심(orthocenter)</p> <p>$ \triangle A B C $의 각 꼭짓점 $ A, B, C $에서 대변에 내린 3개의 수직선은 한 점에서 만나는데 이를 $ \triangle A B C $의 수심이라고 한다.</p> <p>이들 3개의 수직선이 한 점에서 만난다는 것을 확인해 보자.</p> <p>$ \triangle A B C $를 점 $ A(0,0), B \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), C \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) $가 되도록 평면에 배치하고 꼭짓점 $ A, B, C $에서 대변에 내린 수선을 각각 $ l_ { 1 } , l_ { 2 } , l_ { 3 } $이라고 하자. $ B, C $를 지나는 직선의 방정식은</p> <p>$ y-y_ { 1 } = \frac { y_ { 2 } -y_ { 1 } } { x_ { 2 } -x_ { 1 } } \left (x-x_ { 1 } \right ) $</p> <h2>예 1.4</h2> <p>다음 매개방정식의 직교방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ x = 3 t, y=2 t $</p> <p>(2) $ x=4-3 t, y=1 + t $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 방향비가 $ 3: 2 $, 통과점이 $ (0,0) $이므로 방정식은</p> <p>$ \frac { x-0 } { 3 } = \frac { y-0 } { 2 } \Rightarrow 2 x=3 y \Rightarrow 2 x-3 y=0 $</p> <p>이다.</p> <p>(2) 방향비가 $ -3: 1 $, 통과점이 $ (4,1) $이므로 방정식은</p> <p>$ \frac { x-4 } { -3 } = \frac { y-1 } { 1 } \Rightarrow x-4=-3(y-1) \Rightarrow x + 3 y-7=0 $</p> <p>이다.</p> <h2>예 1.5</h2> <p>다음 직교방정식의 매개방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ x-2 y + 3=0 $</p> <p>(2) $ x + y=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ (-1,1) $ 을 지나고 방향비가 $ 2: 1 $이므로 매개방정식은</p> <p>$ x=-1 + 2 t, y=1 + t $</p> <p>이다.</p> <p>(2) 원점을 지나고 방향비가 $ 1:-1 $이므로 매개방정식은</p> <p>$ x=t, y=-t $</p> <p>이다.</p> <p>원점을 지나지 않는 직선 $ l $에 대해서 원점 $ O $에서 $ l $에 내린 수선이 만나는 점을 $ N $, $ \|O N\|=d, x $축의 양의 방향과 $ \overrightarrow { O N } $이 만드는 각을 $ \theta_ { 0 } $라고 하자. $ l $상의 한 점 $ P $ 의 극좌표를 $ (r, \theta) $ 라고 하면</p> <p>$ r \cos \left ( \theta- \theta_ { 0 } \right )=d $</p> <p>이다. 이를 $ l $의 극방정식이라고 한다.</p> <p>원점을 지나는 직선은 $ \theta= \theta_ { 0 } $의 모양이 된다.</p> <h2>예 1.6</h2> <p>다음 직선의 극방정식을 구하라.</p> <p>(1) $ x $축에 평행이고 $ \left (3, \frac {\pi } { 3 } \right ) $를 지나는 직선</p> <p>(2) $ \left (-2, \frac {\pi } { 2 } \right ) $를 지나고 극축과 이루는 각이 $ \frac {\pi } { 3 } $인 직선</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ x $축에 평행이므로 $ \theta_ { 0 } = \frac {\pi } { 2 } $이고, $ d=r \cos \left ( \theta- \frac {\pi } { 2 } \right ) $에서</p> <p>$ d=3 \cos \left ( \frac {\pi } { 3 } - \frac {\pi } { 2 } \right )= \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } $</p> <p>$ \Rightarrow r \cos \left ( \theta- \frac {\pi } { 2 } \right )= \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } $</p> <p>이다.</p> <p>(2) 그림에서 $ \theta_ { 0 } =- \frac {\pi } { 6 } $이다. $ d=r \cos \left ( \theta + \frac {\pi } { 6 } \right ) $에서</p> <p>$ d=-2 \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } + \frac {\pi } { 6 } \right )=1 $</p> <p>이므로, $ r \cos \left ( \theta + \frac {\pi } { 6 } \right )=1 $ 이다.</p> <p>직교좌표계에서 직선의 방정식 $ a x + b y + c=0 $에서 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $를 대입하면 극방정식</p> <p>$ r=- \frac { c } { a \cos \theta + b \sin \theta } $</p> <p>를 얻을 수 있다.</p> <p>벡터의 내적을 활용하면 원의 방정식을 벡터로 표현할 수 있다.</p> <p>(1) 중심 $ p $, 반지름 $ a $ 인 원</p> <p>중심 $ p $, 반지름 $ a $ 인 원 위의 점 $ \mathrm{x} $ 를 잡으면 벡터 $ \mathrm{x}-p $ 는 중심 $ p $ 에서 $ \mathrm{x} $를 향하는 반지름 벡터이다. 그러므로</p> <p>$ \begin{aligned} &\|\mathrm{x}-p\|^{2}=a^{2} \\ \Rightarrow &(\mathrm{x}-p) \cdot(\mathrm{x}-p)=a^{2} \end{aligned} $</p> <p>이다. 이를 원의 벡터방정식이라고 한다.</p> <p>(2) $ p, q $ 를 지름의 양끝으로 하는 원</p> <p>$ q-p $ 는 원의 지름이므로 $ \mathrm{x}-p, \mathrm{x}-q $ 가 만드는 각은 $ \frac{\pi}{2} $ 이다. 그러므로 구하는 벡터방정식은</p> <p>$ (\mathrm{x}-p) \cdot(\mathrm{x}-q)=0 $</p> <p>이다.</p> <p>(3) $ q-p $ 를 $ m: n $ 으로 내분, 외분하는 점을 지름의 양끝으로 하는 원 $ (m \neq n) $</p> <p>$ q-p $ 를 $ m: n $ 으로 내분, 외분하는 점은</p> <p>$ \frac{m q+n p}{m+n}, \frac{m q-n p}{m-n} $</p> <p>이므로, 구하는 원의 방정식은</p> <p>$ \begin{aligned} &\left(\mathrm{x}-\frac{m q+n p}{m+n}\right) \cdot\left(\mathrm{x}-\frac{m q-n p}{m-n}\right)=0 \\ \Rightarrow &\left(m^{2}-n^{2}\right)(\mathbf{x} \cdot \mathbf{x})-2\left[m^{2} q-n^{2} p\right] \cdot \mathbf{x}+m^{2}(q \cdot q)-n^{2}(p \cdot p)=0 \\ \Rightarrow & m^{2}[(\mathbf{x} \cdot \mathbf{x})-2 q \cdot \mathbf{x}+(q \cdot q)]=n^{2}[(\mathrm{x} \cdot \mathbf{x})-2 p \cdot \mathbf{x}+(p \cdot p)] \\ \Rightarrow & m^{2}(\mathbf{x}-q) \cdot(\mathrm{x}-q)=n^{2}(\mathbf{x}-p) \cdot(\mathrm{x}-p) \\ \Rightarrow & m\|\mathbf{x}-q\|=n\|\mathbf{x}-p\| \end{aligned} $</p> <p>이다.</p> <h2>예 4.6</h2> <p>다음 방정식이 나타내는 도형을 설명하라.</p> <p>(1) $ (\mathrm{x} \cdot \mathrm{x})-4(a \cdot \mathrm{x})+3(a \cdot a)=0 $</p> <p>(2) $ (\mathrm{x} \cdot \mathrm{x})-[(2 a-3 b) \cdot \mathrm{x}]-6(a \cdot b)=0 $</p> <p>(3) $ 4[(\mathrm{x}-a) \cdot(\mathrm{x}-a)]-[(\mathrm{x}-b) \cdot(\mathrm{x}-b)]=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ \begin{aligned} &(\mathrm{x} \cdot \mathrm{x})-4(a \cdot \mathrm{x})+3(a \cdot a)=0 \\ \Rightarrow &(\mathrm{x}-2 a) \cdot(\mathrm{x}-2 a)=(a \cdot a) \end{aligned} $</p> <p>그러므로 중심 $ 2 a $, 반지름 $ \|a\| $인 원이다.</p> <p>(2)$\begin{aligned} &(\mathrm{x} \cdot \mathrm{x})-[(2 a-3 b) \cdot \mathrm{x}]-6(a \cdot b)=0 \\ \Rightarrow &(\mathrm{x}-2 a) \cdot(\mathrm{x}+3 b)=0 \end{aligned}$</p> <p>그러므로 $ 2 a, -3 b $를 지름의 양끝으로 하는 원이다.</p> <p>(3)$ \begin{aligned} & 4[(\mathrm{x}-a) \cdot(\mathrm{x}-a)]-[(\mathrm{x}-b) \cdot(\mathrm{x}-b)]=0 \\ \Rightarrow & 4[(\mathrm{x}-a) \cdot(\mathrm{x}-a)]=[(\mathrm{x}-b) \cdot(\mathrm{x}-b)] \\ \Rightarrow & 4\|\mathrm{x}-a\|^{2}=\|\mathrm{x}-b\|^{2} \Rightarrow 2\|\mathrm{x}-a\|=\|\mathrm{x}-b\| \end{aligned} $</p> <p>그러므로 $ a-b $를 $ 2: 1 $로 내분, 외분하는 점을 지름으로 하는 원이다.</p>	자연
위상수학	<h1>10.7 경계를 갖는 다양체(Manifold with Boundary)</h1><p>앞 절에서 다룬 다양체는 경계가 없는 다양체이다. 예를 들면, $ \mathbb{R}^{n} $ 내의 단위공 $ D^{n}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}\|\| x \mid \leq 1\right\} $은 경계 $ S^{n-1} $을 갖고 원통 $ S^{1} \times[0,1] $은 경계로 두 개의 원을 갖는다. 경계 위의 점에서는 다양체를 정의하는 매개변수화가 존재하지 않는다.</p><p>$ \mathbb{R}^{k} $의 상반공간을 $ \mathbb{H}^{k}=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid x_{k} \geq 0\right\} $로 나타내자. $ \mathbb{H}^{k} $의 경계는 $ \mathbb{R}^{k-1} \subset \mathbb{R}^{k} $이다.</p><p>부분집합 $ X \subset \mathbb{R}^{n} $의 각 점 $ x \in X $가 $ \mathbb{H}^{k} $의 닫힌집합과 미분동형인 근방 $ V(x) \subset X $를 가질 때, $ X $를 경계를 갖는 $ k $차원 다양체 $ (k $-dimensional manifold with boundary)라 한다. 앞 장에서와 같이, 이런 미분동형함수를 $ X $의 국소 매개변수화(local parametrization)라 한다. 국소 매개변수화에서 $ \mathbb{H}^{k} $의 경계점의 상으로 나타나는 점들은 $ \partial X $로 나타내고, $ X $의 경계(boundary)라 한다. 경계의 여집합을 $ i(X)=X-\partial X $로 나타내고, $ X $의 내부(interior)라 한다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>$ X $의 내부, 경계는 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간으로서의 내부, 경계와 구분되어야 한다. $ \operatorname{dim} X=n $일 때 두 개념은 일치한다. $ \\ $</li><li>경계를 갖는 두 다양체의 곱이 반드시 경계를 갖는 다양체인 것은 아니다. 예를 들면 $ [0,1] \times[0,1] $은 네 꼭지점이 매끄럽지 못하므로 매끄러운 매개변수화가 없다.</li></ol></p><p>정리 10.7.1 $ X $는 경계가 없는 다양체이고 $ Y $는 경계를 갖는 다양체라면 곱 $ X \times Y $는 경계를 갖는 다양체이고, $ \\ \partial(X \times Y)=X \times \partial Y, \operatorname{dim}(X \times Y)=\operatorname{dim} X+\operatorname{dim} Y \\ $ 이다.</p><p>증명 만일 $ U \subset \mathbb{R}^{k}, V \subset \mathbb{H}^{l} $이 열린집합이고, $ \phi: U \rightarrow X, \psi: V \rightarrow Y $가 국소 매개변수화이면 $ \\ U \times Y \subset \mathbb{R}^{k} \times \mathbb{H}^{l}=\mathbb{H}^{k+l} \\ $ 이고 $ \phi \times \psi: U \times V \rightarrow X \times Y $도 국소 매개변수화이다.</p><p>$ g: U \subset \mathbb{H}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} $을 매끄러운 함수라 하자. 만일 $ u \in \partial U $이면 도함수 $ d g_{u}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} $이 정의된다. 만일 $ u \in \partial U $이면 확장된 매끄러운 함수 $ \tilde{g} $가 $ u $의 $ \mathbb{R}^{k} $ 내의 근방에서 정의된다. 이때 $ d g_{u}=d \tilde{g}_{u}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} $로 정의한다.</p><p>$ \tilde{\tilde{g}} $가 $ u $의 근방에서 $ g $의 다른 확장이라 하고, 수열 $ u_{i} \in i(U) $가 $ u $에 수렴한다 하자. $ i(U) $ 상에서 $ \tilde{g}=g=\tilde{\tilde{g}} $이므로 $ d \tilde{g}_{u_{t}}=d \tilde{\tilde{g}}_{u_{t}} $이다. 도함수의 연속성과 $ u_{i} $가 $ u $에 수렴하므로 $ d \tilde{g}_{u}=d \tilde{\tilde{g}}_{u} $이다.</p><p>$ X \subset \mathbb{R}^{n} $이 경계를 갖는 $ k $차원 다양체이고 $ x \in X $에 대해 $ \phi: U \subset \mathbb{H}^{k} \rightarrow X $가 국소 매개변수화라 할 때, $ d \phi_{0}\left(\mathbb{R}^{k}\right)=T_{x} X $를 $ x \in X $에서 $ X $의 접공간이라 한다. 여기서 $ \phi(0)=x $이다.</p><p>주의 $ x \in \partial X $일 때도 접공간 $ T_{x} X $는 $ \mathbb{R}^{n} $의 $ k $차원 부분 벡터공간이다.</p><p>경계가 없는 다양체에서와 같이 경계가 있는 다양체상의 매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대해서, 도함수 $ \\ d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{f(x)} Y \\ $ 가 정의되고 연쇄법칙이 성립한다.</p><p>$ X $가 경계를 갖는 $ k $차원 다양체일 때 $ i(X) $는 경계가 없는 $ k $차원 다양체이고, 경계 $ \partial X $는 경계가 없는 $ (k-1) $차원 다양체가 된다.</p><p>정리 10.7 .2 만일 $ X $가 경계를 갖는 $ k $차원 다양체라면 경계 $ \partial X $는 경계가 없는 $ (k-1) $차원 다양체이다.</p><p>증명 $ x \in \partial X $에 대해서 국소 매개변수화 $ \phi: U \subset \mathbb{H}^{k} \rightarrow V( $ 여기서 $ V $는 $ x $의 $ X $ 내에서의 근방)라 할 때 $ \phi(\partial U)=\partial V $임을 보이자. $ \\ $ $ \partial U=U \cap \partial \mathbb{H}^{k} $는 $ \mathbb{R}^{k-1} $에서 열린부분집합이고 $ \partial V=\partial X \cap V $는 $ \partial X $에서 $ x $의 근방이며, 정의에 의해 $ \phi(\partial U) \subset \partial V $이다. $ \\ $ 다음으로 $ \phi(\partial U) \supset \partial V $를 보이자. 만일 $ \psi: W \subset \mathbb{H}^{k} \rightarrow V $가 다른 국소 매개변수화라 하고 $ \phi(\partial U) \supset \psi(\partial W) $임을 보이자. 즉 동치로 $ \phi^{-1} \psi(\partial W) \subset \partial U $임을 보이면 된다. $ g=\phi^{-1} \circ \psi: W \rightarrow U $라 하고 $ w \in \partial W $에 대해 $ u=g(w) \in i(U) $라 하자. $ \phi $와 $ \psi $가 미분동형함수이므로 $ g: W \rightarrow g(W) \subset U $도 미분동형함수이다. $ d\left(g^{-1}\right)_{u} $는 선형동형이다. $ u \in i(U) \cap g(W) $이므로 $ g(W) $가 $ \mathbb{R}^{k} $ 내에서 $ u $의 근방을 포함한다. 음함수 정리에 의하여 $ g^{-1} $은 이 $ u $의 근방을 $ \mathbb{R}^{k} $ 내의 $ w $ 근방으로 보내는 미분동형이다. 이것은 $ w \in \partial W $임에 모순이 된다. 따라서 $ u=g(w) \in \partial U $이다.</p> <h1>10.5 횡단성(Transversality)</h1><p>함수 $ f: X \rightarrow Y $에 대해서 $ y \in Y $가 정칙값이면 $ y $의 원상 $ f^{-1}(y) $는 $ X $의 부분다양체이며, 등식 $ \\ \operatorname{dim} X-\operatorname{dim} f^{-1}(y)=\operatorname{dim} Y-\operatorname{dim}\{y\} \\ $ 를 만족한다. 이 사실을 점 $ y $ 대신에 $ Y $의 부분다양체 $ Z $로 확장하고자 한다.</p><p>함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ Y $의 부분다양체 $ Z \subset Y $를 횡단(transversal)함은 각 점 $ x \in f^{-1}(Z) $에 대하여 $ \operatorname{im}\left(d f_{x}\right)+T_{f(x)} Z=T_{f(x)} Y $를 의미한다.</p><p>여기서 합 $ \operatorname{im}\left(d f_{x}\right)+T_{f(x)} Z $는 $ \operatorname{im}\left(d f_{x}\right) $와 $ T_{f(x)} Z $에 의하여 생성되는 벡터공간을 의미한다.</p><p>정리 10.5.1 함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ Y $의 부분다양체 $ Z \subset Y $를 횡단하면 $ f^{-1}(Z) $는 $ X $의 부분다양체이며, 여차원은 $ \\ \operatorname{codim} f^{-1}(Z)=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim} f^{-1}(Z)=\operatorname{dim} Y-\operatorname{dim} Z=\operatorname{codim} Z \\$ 이다.</p><p>증명 점 $ f(x)=y \in Z $에 대하여 $ y $의 $ Y $ 내의 근방에서 $ Z $는 $ l=\operatorname{dim} Y- \operatorname{dim} Z $개의 독립함수, $ g_{1}, \ldots, g_{l} $의 공동 0으로 나타난다. $ W $를 $ X $에서 $ x $의 근방이라 하면 $ W \cap f^{-1}(Z) $는 $ l $개의 함수 $ g_{1} \circ f, \ldots, g_{l} \circ f $의 공동 0으로 나타난다. 함수 $ g \circ f: W \subset X \rightarrow \mathbb{R}^{l} $에서 $ d(g \circ f)_{x}= d g_{f(x)} \circ d f_{x} $이고 $ \operatorname{ker}\left(d g_{f(x)}\right)=T_{f(x)} Z $이다. $ d f_{f(x)} $는 전사이므로 $ g \circ f $가 $ x $에서 침몰일 필요충분조건은 im $ d f_{x}+T_{f(x)} Z=T_{f(x)} Y $이다. $ \\ $ 가정에서 $ f $가 $ Z $를 횡단하므로 $ f^{-1}(z) \cap W $의 모든 점에서 위의 등식이 성립하고, $ g_{1} \circ f, \ldots, g_{l} \circ f $가 독립이다. $ \\ $ 따라서 $ f^{-1}(Z) $는 $ X $의 부분다양체이고, 구하는 등식 $ \\ \operatorname{dim} f^{-1}(Z)=\operatorname{dim} X-l \\ $ 을 만족한다.</p><p>주의 함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ Z=\{y\} \subset Y $를 횡단하면 $ T_{y} Z=T_{y}\{y\}=\{0\} $이므로 임의의 $ x \in f^{-1}(y) $에 대해서 $ d f_{x}\left(T_{x} X\right)=T_{y} Y $이다. 즉 $ y $가 $ f $의 정칙값이다.</p> <h1>10.4 침몰(Submersion)</h1><p>매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $에 대해서 10.3절에서는 $ \operatorname{dim} X \leq \operatorname{dim} Y $일 때 몰입에 관하여 공부하였다. 이 절에서는 $ \operatorname{dim} X \geq \operatorname{dim} Y $일 때 도함수 $ d f_{x} : T_{x} X \rightarrow T_{f(x)} Y $가 전사인 함수를 공부할 것이다. 이때 $ f $를 $ x $에서 침몰(submersion)이라고 한다. $ f $가 $ X $의 모든 점에서 침몰일 때 $ f $를 침몰이라고 한다. $ k \geq l $일 때 표준사영 $ \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l},\left(x_{1}, \ldots, x_{l}, \ldots, x_{k}\right) \rightarrow\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right) $은 침몰이 되고, 이를 표준침몰(standard submersion)이라고 한다.</p><p>정리 10.4.1 (Local Submersion Theorem) 함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ x $에서 침몰이고 $ y=f(x) $일 때, $ f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)= \left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right) $이 되는 $ x $와 $ y $의 좌표계가 존재한다. 다시 말하면, $ x $ 근방에서 $ f $는 표준침몰이라고 할 수 있다.</p><p>증명 국소매개화를 생각해보자. $ \\ \phi(0)=x, \psi(0)=y \\ $ $ \phi $와 $ \psi $가 국소미분동형함수이므로 $ d g_{0}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{l} $은 전사이다. $ \mathbb{R}^{k} $ 내의 좌표를 변형하므로 $ d g_{0}\left(I_{l} \mid 0\right), l \times k $ 행렬로 만들 수 있다. 함수 $ G: U \rightarrow \mathbb{R}^{k} $ 를 $ \\ G(a)=\left(g(a), a_{l+1}, \ldots, a_{k}\right), \quad a=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \\ $ 로 정의하면 $ d G_{0}=I_{k} $이므로 $ G $는 0에서 국소미분동형함수이다. 따라서 $ g= 표준침몰 \circ G $이고 $ g \circ G^{-1} $은 표준침몰이다. $ x $에서 매개화 $ \phi \circ G^{-1} $에 대해 $ f $는 표준침몰이다. 즉 그림이 교환이다.</p><p>주의 함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ x $에서 침몰이면 $ x $의 작은 근방 전체에서 $ f $는 침몰이다.</p><p>함수 $ f: X \rightarrow Y, y \in Y, x \in f^{-1}(y) $가 $ x $에서 침몰일 때 $ x $와 $ y $의 근방에서 좌표계를 $ f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right) $이 되게 잡을 수 있다. 이와 같은 $ x $ 의 근방에서 $ y=(0, \ldots, 0) $의 원상 $ f^{-1}(y) $는 $ \left(0, \ldots, 0, x_{l+1}, \ldots, x_{k}\right) $ 꼴의 집합이다. 다시 말하면 $ \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) $를 $ x $의 근방 $ V $의 좌표계라 하면 $ f^{-1}(y) \cap V $는 $ x_{1}=0, \cdots, x_{l}=0 $인 점들의 집합이다.</p><p>점 $ y \in Y $가 $ f $의 정칙값(regular value)이란 $ f(x)=y $가 되는 모든 $ x $에서 $ d f_{x}: T_{x} X \rightarrow T_{y} Y $가 전사임을 의미한다.</p><p>함수 $ f $의 정칙값이 아닌 $ Y $의 점을 $ f $의 임계값(critical value)이라 한다.</p> <p>예 10.3.1<ol type=1 start=1><li>원 $ S^{1} $을 꼬아서 8자로 가는 함수를 생각하면 몰입이지만 단사가 아니고 8자는 다양체가 아니다.</li><li>$ f: \mathbb{R}^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 원점에서 시작해서 원점으로 끝나는 $ \infty $로의 함수이면 몰입이고 전단사이지만 $ \infty $는 다양체가 아니다(원점).</li><li>$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow S^{1} \times S^{1} $이 $ T(s, t)=\left(e^{2 \pi i s}, e^{2 \pi i t}\right) $로 주어지면 $ T $는 국소미분동형함수이다. 평면 $ \mathbb{R}^{2} $에서 원점을 지나 기울기가 무리수인 직선을 $ L $이라 하자. 토러스 $ S^{1} \times S^{1} $에 상 $ T(L) $은 몰입이고 단사이다. 더욱이 상 $ T(L) $은 토러스 $ S^{1} \times S^{1} $에 조밀(dense)하게 몰입되어 있다.</li></ol><p>예 10.3.1에서와 같이 몰입을 국소적으로 이해하기도 어렵다. 직관적으로 알아 볼 수 있는 함수를 생각해보자.</p><p>함수 $ f: X \rightarrow Y $가 진함수(proper function)라는 것은 $ Y $상의 컴팩트 부분집합의 $ f $의 원상이 $ X $의 컴팩트 부분집합이 될 때를 의미한다. 다시 말하면 $ X $상의 멀리 있는 점들의 $ f $의 상은 $ Y $에서 멀리 떨어져 있다. 몰입이 단사이고 적당할 때 매장(imbedding)이라고 한다.</p><p>정리 10.3.3 매장 $ f: X \rightarrow Y $의 제한 $ f: X \rightarrow f(X) $는 미분동형함수이다. 특히 $ f(X) $는 $ Y $의 부분다양체이다.</p><p>증명 임의의 점 $ f(x) \in f(X) $에 대하여 $ x $에서 좌표계 $ x \in W \subset X $를 생각하자. $ f(W) $가 $ f(X) $의 열린부분집함임을 보이면 $ f(X) $는 다양체이다. 만일 $ f(W) $가 $ f(X) $의 열린부분집합이 아니라면 $ f(W) $ 내에 점 $ y $와 수열 $ y_{i} \in f(X)-f(W) $가 존재하여 $ y_{i} $는 $ y $에 수렴한다. 집합 $ \left\{y, y_{i}\right\} \subset f(X) $는 컴팩트이고 그의 원상 $ \left\{f^{-1}(y), f^{-1}\left(y_{i}\right)\right\} $는 컴팩트이다. 따라서 부분점렬 $ f^{-1}\left(y_{j}\right) $가 존재하여 $ f^{-1}\left(y_{j}\right) $는 한 점 $ z \in X $에 수렴한다. 따라서 $ y_{i} $는 $ f(z) $에 수렴한다. 그리고 $ f(z)=y $이고 $ z=f^{-1}(y) $이다. $ z=f^{-1}(y) \in W $이고 $ W $는 열린집합이므로 큰 수 $ i $에 대하여 $ f^{-1}\left(y_{i}\right) \in W $이다. 그러나 $ y_{i} \notin f(W) $이므로 모순이다. 따라서 $ f(X) $는 다양체이다. 함수 $ f: X \rightarrow f(X) $는 전단사이고 국소미분동형함수이므로 $ f^{-1}: f(X) \rightarrow X $가 정의되고 매끄러운 함수이다.</p> <p>정리 10.2.3 만일 $ X $가 $ k $차원 다양체이고 $ x \in X $라면 그 접공간 $ T_{x} X $도 $ k $차원이다.</p><p>증명 $ \phi: U \subset \mathbb{R}^{k} \rightarrow X \subset \mathbb{R}^{n} $을 $ x \in X $에서 매개변수화라고 하자. $ \phi^{-1}: \phi(U) \subset \mathbb{R}^{k} \rightarrow U $가 매끄러운 함수이므로, $ \mathbb{R}^{n} $의 열린부분집합 $ W $와 $ \phi^{-1} $의 확장사상 $ \Phi: W \rightarrow \mathbb{R}^{k} $가 존재한다. $ \Phi \circ \phi=I_{U} $는 $ U $에서 항등함수가 된다. 연쇄법칙에 의하여 $ \\ \mathbb{R}^{k} \stackrel{d \phi_{0}}{\longrightarrow} T_{x} X \stackrel{d \Phi_{x}}{\longrightarrow} \mathbb{R}^{k} \\$ 는 $ \mathbb{R}^{k} $에서 항등함수이다. 따라서 $ d \phi_{0}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow T_{x} X $가 선형동형이고 $ \operatorname{dim} T_{x} X=k $이다.</p><p>다양체상에서 매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $를 정의하자. $ f(x)=y $라 하고, $ \phi: U \subset \mathbb{R}^{k} \rightarrow X $를 $ x $에서 매개변수화, $ \psi: V \subset \mathbb{R}^{l} \rightarrow Y $ 를 $ y $에서 매개변수화, $ \phi(0)=x, \psi(0)=y $라 하자. $ f $가 매끄러운 함수일 필요충분조건은 모든 매개화 $ \phi, \psi $에 대하여 $ h=\psi^{-1} \circ f \circ \phi $가 매끄러운 함수이다. 작은 $ U $를 잡으면 아래 다이어그램이 교환되도록 $ d f_{x} $를 정의한다. 즉, $ d f_{x}=d \psi_{0} \circ d h_{0} \circ d \phi_{0}^{-1}: T_{x} X \rightarrow T_{y} Y $이다.</p><p>주의 도함수 $ d f_{x} $를 정의하기 위해서 매개화 $ \phi $와 $ \psi $를 사용했다. 그러나 다른 매개화를 사용해도 $ d f_{x} $는 같다.</p><p>정리 10.2.4 연쇄법칙(Chain Rule) $ X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \stackrel{g}{\longrightarrow} Z $ 가 다양체상에 매끄러운 함수이면, $ \\ d(g \circ f)_{x}=d g_{f(x)} \circ d f_{x} \\$ 이다.</p><p>증명 $ f(x)=y, g(y)=z $라 하고, $ \phi: U \rightarrow X $를 $ x $에서 매개변수화, $ \psi: V \rightarrow Y $를 $ y $에서 매개변수화, $ \eta: W \rightarrow Z $를 $ z $에서 매개변수화라 하자. 그러면 다음 다이어그램은 교환이다. 정의에 따라 $ g \circ f $의 $ x $에서 도함수는 $ \\ \begin{array}{l} d(g \circ f)_{x} \\ =d \eta_{0} \circ d(j \circ h)_{0} \circ d \phi_{0}^{-1} \\ \left.=d \eta_{0} \circ(d j)_{0} \circ(d h)_{0} \circ d \phi_{0}^{-1} \text { (유클리드 공간에서 연쇄법칙에 의해 }\right) \\ =\left(d \eta_{0} \circ d j_{0} \circ d \psi_{0}^{-1}\right) \circ\left(d \psi_{0} \circ d h_{0} \circ d \phi_{0}^{-1}\right)\left(d \psi_{0} \text { 는 선형동형이므로 }\right) \\ =d g_{y} \circ d f_{x} \end{array} \\ $ 이다. 따라서 $ d(g \circ f)_{x}=(d g)_{f(x)} $ 。 $ d f_{x} $ 이다.</p> <h1>10.6 사드정리(Sard Theorem)와 모스함수(Morse Function)</h1><p>매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $의 정칙값의 원상은 $ X $의 부분다양체가 된다. $ Y $ 내의 정칙값이 얼마나 있을까의 의문을 사드정리가 해결해준다.</p><p>정리 10.6.1 (사드정리) $ f: X \rightarrow Y $가 다양체상의 매끄러운 함수라면 $ Y $의 거의 모든(almost every) 점이 $ f $의 정칙값이다. 여기서 거의 모든 점의 의미는 측도(measure)가 0인 집합을 제외한 집합을 말한다.</p><p>주의 $ k $차원 다양체 $ X $의 부분집합 $ C $의 측도가 0이라는 뜻은 $ Y $의 각 매개변수화 $ \phi $의 원상 $ \phi^{-1}(C) $가 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{k} $에서 측도가 0인 것을 의미한다. $ A \subset \mathbb{R}^{k} $가 측도가 0이고 함수 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{k} $가 매끄럽다면, $ f(A) $로 측도가 0이다. 사드정리 증명은 위상수학적이라기 보다는 해석학적이므로 다른 책을 참조하기 바란다.</p><p>계 10.6.2 매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $의 정칙값들은 $ Y $에서 조밀(dense)하다. 가산개의 매끄러운 함수 $ f_{i}: X_{i} \rightarrow Y $ 모두에 대해 정칙값이 되는 $ Y $의 집합도 조밀하다.</p><p>증명 $ C_{i} \subset Y $를 $ f_{i} $의 임계값이라 하자. 임의의 $ \varepsilon>0 $과 각 $ i $에 대해서 $ \left\{I_{j}^{i} \mid\right. j=1,2, \ldots\} $는 직교입체들의 집합이며, $ C_{i} $를 덮는다고 하고 $ \\ \sum_{j} \operatorname{Vol}\left(I_{j}^{i}\right)<\frac{\varepsilon}{2^{i}} \\ $ 이라고 하자. 그러면 $ \left\{I_{j}^{i}\right\}_{i, j} $는 $ \cup_{i} C_{i} $를 덮고 $ \\ \sum_{i, j} \operatorname{Vol}\left(I_{j}^{i}\right)<\sum_{i} \frac{\varepsilon}{2^{i}}=\varepsilon \\ $ 이므로 증명된다.</p><p>매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $에 대하여 $ x \in X $에서 도함수 $ d f_{x}: T_{x} X \rightarrow $ $ T_{f(x)} Y $가 전사일 때 $ x $를 $ f $의 정칙점(regular point)이라 한다. 이때 $ f $는 $ x $에서 침몰이다. 만일 $ d f_{x} $가 전사가 아니면 $ x $를 $ f $의 임계점(critical point)이라 한다.</p><p>주의 정칙점과 임계점은 함수 $ f: X \rightarrow Y $의 정의역 $ X $ 내에 있고, 정칙값과 임계값은 치역 $ Y $ 내에 있다. $ y \in Y $가 정칙값이면 각 점 $ x \in f^{-1}(y) $가 정칙점이다. 그리고 $ y \in Y $가 임계값이면 $ f^{-1}(y) $ 내에 적어도 한 임계점이 존재한다. 사드정리는 임계값이 $ Y $에서 측도가 0임을 뜻하는 것으로, 임계점이 측도가 0임을 말하는 것은 아니다(예 ; 상수함수).</p><p>다양체 $ X $상의 매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow \mathbb{R} $은 $ x \in X $가 정칙점 $ \left(d f_{x} \neq 0\right) $이거나 임계점 $ \left(d f_{x} = 0\right) $이다. $ x $가 정칙점이면 $ x $의 근방의 좌표계를 $ f $가 첫째 좌표함수가 되도록 잡을 수 있다. 즉 $ f $는 $ x $근방에서 첫 좌표로의 사영함수이다. 임계점에서는 $ X $의 위상적인 성질을 알려준다. 예를 들면 $ X $가 컴팩트이면 $ f $의 최대값과 최소값이 되는 점이 $ X $에 존재하고 그 점에서 $ d f_{x}=0 $이다. 이 점들이 $ X $의 위상구조를 알린다.</p><p>첫째, 함수 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $이 $ x $를 임계점으로 갖으면 $ d f_{x} = 0 $이고 $ \\ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) = \cdots=\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(x)=0 \\ $ 이다. 이때 $ f(x) $는 극대, 극소 혹은 안장점이 된다. 이를 조사하기 위해서 2차 미분이 필요하다. 2차 편미분으로 이루어진 행렬 $ \\ H = \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right) \\ $ 를 $ f $의 해시안 행렬(Hessian matrix)이라 한다. 만일 임계점 $ x $에서 해시안 행렬이 정규(nonsigular)일 때 임계점 $ x $를 $ f $의 정상적 임계점(nondegenerate critical point)이라 한다.</p><p>정리 10.6.3 정상적 임계점은 고립(isolate)되어 있다.</p><p>증명 함수 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $에 대하여 함수 $ g: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{k} $를 $ \\ g=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right) \\ $ 로 정의하면 $ d f_{x}=0 $일 필요충분조건이 $ g(x)=0 $이다. 도함수 $ \\ d g_{x} = \left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right) \\ $ 는 $ x $에서 $ f $의 해시안이다. $ x $가 정상적 임계점이면 $ d g_{x} $가 선형동형이고, $ g $에 의해 $ x $의 근방과 0의 근방은 미분동형이다. 따라서 $ g $는 $ x $ 근방에서 $ x $ 외에 다른 점을 0으로 보내지 않는다. 즉 $ f $는 $ x $의 근방에서 $ x $ 외에는 임계점을 갖지 않는다.</p> <p>정리 10.6.4 모스정리(Morse Theorem) 점 $ a $가 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $의 정상적 임계점이고, 해시안이 $ \\ \left(h_{i j}\right)=\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(0)\right) \\ $일 때 $ f(x)=f(a)+\sum h_{i j} x_{i} x_{j} $가 되는 $ a $ 근방의 좌표계가 있다.</p><p>위의 정리를 증명없이 받아들이고 다양체에 응용하자. 함수 $ f: X \rightarrow \mathbb{R} $이 $ x \in X $를 임계점으로 가질 때 $ \phi $를 $ x $에서 매개변수화라 하면, $ d(f \circ \phi)_{0}=d f_{x} \circ d \phi_{0}=0 $이므로 $ 0=\phi^{-1}(x) $는 $ f \circ \phi $의 임계점이다. $ x $가 $ f $의 정상적 임계점이라는 것은 0이 $ f \circ \phi $의 정상적 임계점임을 의미한다. 아래 보조정리는 임의의 매개변수화 $ \phi $에 대해 이것이 성립함을 보여준다.</p><p>보조정리 10.6.5 원점 0이 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $의 정상적 임계점이고 $ \psi: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R}^{k}, \psi(0)=0 $이 미분동형함수이면 0이 $ f \circ \psi $의 정상적 임계점이다.</p><p>증명 $ f_{1}=f \circ \psi $이고 $ H $가 $ f $의 해시안이며 $ H_{1} $이 $ f_{1} $의 해시안이라 하면, $ \operatorname{det}(H) \neq 0 $이면 $ \operatorname{det}\left(H_{1}\right) \neq 0 $임을 증명하자. 연쇄법칙을 이용하면 $ \\ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}(x)=\sum_{\alpha} \frac{\partial f}{\partial x_{\alpha}}(\psi(x)) \frac{\partial \psi_{\alpha}}{\partial x_{i}}(x) \\ $ 이고 $ \\ \frac{\partial^{2} f_{1}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(0)=\sum_{\alpha} \sum_{\beta} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}}(0) \frac{\partial \psi_{\alpha}}{\partial x_{i}}(0) \frac{\partial \psi_{\beta}}{\partial x_{j}}(0)+\sum_{\alpha} \frac{\partial f}{\partial x_{\alpha}}(0) \frac{\partial^{2} \psi_{\alpha}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(0) \\ $ 이다. $ \\ $ 0이 $ f $의 임계점이므로 $ H_{1}=\left(d \psi_{0}\right)^{t} H\left(d \psi_{0}\right) $이다. 또한 $ \psi $가 미분동형함수이므로 $ \operatorname{det}\left(d \psi_{0}\right) \neq 0 $이고 $ \operatorname{det}\left(H_{1}\right)=\operatorname{det}\left(d \psi_{0}\right)^{2} \operatorname{det}(H) $이다. $ \\ $ 따라서 $ \operatorname{det}(H) \neq 0 $이면 $ \operatorname{det}\left(H_{1}\right) \neq 0 $이다.</p><p>정상적 임계점만을 갖는 함수를 모스함수(Morse function)라 한다. 모스 보조정리를 이용해 정상적 임계점 근방에서의 함수 형태를 알 수 있다. 정상적 임계점들은 다양체의 위상에 관한 많은 정보를 제공해준다. 또한 사드정리를 사용하면 거의 모든 함수가 모스함수임을 알 수 있다.</p><p>다양체 $ X \subset \mathbb{R}^{n} $ 상의 함수 $ f: X \rightarrow \mathbb{R}, a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $에 대해서 $ f_{a}: X \rightarrow \mathbb{R} $을 $ \\ f_{a}(x)=f(x)+a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n} \\ $ 으로 정의하자.</p><p>정리 10.6.6 임의의 함수 $ f: X \rightarrow \mathbb{R} $이 주어지면 거의 모든 $ a \in \mathbb{R}^{n} $에 대하여 함수 $ f_{a} $가 모스함수이다.</p><p>보조정리 10.6.7 $ U \subset \mathbb{R}^{k} $가 열린집합이고 매끄러운 함수 $ f: U \rightarrow \mathbb{R} $이 주어지면 거의 모든 $ a=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} $에 대하여 함수 $ f_{a}(x)=f(x)+a_{1} x_{1}+\cdots+a_{k} x_{k} $는 $ U $에서 모스함수이다.</p><p>증명 함수 $ g: U \rightarrow \mathbb{R}^{k} $를 $ \\ g=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right) \\ $ 라 하자. $ p $에서 $ f_{a} $의 도함수는 다음과 같다. $ \\ \begin{aligned} \left(d f_{a}\right)_{p} &=\left(\frac{\partial f_{a}}{\partial x_{1}}(p), \ldots, \frac{\partial f_{a}}{\partial x_{k}}(p)\right) \\ &=g(p)+a . \end{aligned} \\ $ 그러므로 $ p $가 $ f_{a} $의 임계점 $ \Leftrightarrow g(p)=-a $이고 $ f $의 해시안 $ =f_{a} $의 해시안 $ =d g_{p} $이다. $ -a $가 정칙값이고 $ g(p)=-a $이면 $ d g_{p} $는 선형동형이다. 따라서 $ f_{a} $의 임계점은 모두 정상적 임계점이다. 사드정리에 의해서 거의 모든 $ a \in \mathbb{R}^{k} $에 대하여 $ -a $는 $ g $의 정칙값이다.</p><p>증명 정리 10.6.6의 증명 점 $ x \in X \subset \mathbb{R}^{n} $의 좌표함수를 $ \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) $이라 하고 $ \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) $가 $ x $의 근방에서 $ X $의 좌표계라 하자. $ X $를 열린부분집합 $ \left\{U_{\alpha}\right\} $로 덮고, 각 $ \alpha $에 대해서 $ x_{1}, \ldots, x_{n} $ 중 $ k $개가 $ U_{\alpha} $의 좌표계라 하자. $ U_{\alpha} $에 대해서 $ \left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) $가 좌표계이고 $ \\ f_{(0, c)}=f+c_{k+1} x_{k+1}+\cdots+c_{n} x_{n}, c=\left(c_{k+1}, \ldots, c_{n}\right) \\ $ 이라 하자. 위의 보조정리에 의하여 거의 모든 $ b \in \mathbb{R}^{k} $에 대해서 $ \\ f_{(b, c)}=f_{(0, c)}+b_{1} x_{1}+\cdots+b_{k} x_{k} \\ $ 는 $ U_{\alpha} $에서 모스함수이다. $ S_{\alpha}=\left\{a \in \mathbb{R}^{n} \mid f_{a}\right. $가 $ U_{\alpha} $에서 모스함수가 아니다 $ \} $라 하면 $ S_{\alpha} \cap \mathbb{R}^{k} \times\{c\} $는 $ \mathbb{R}^{k} $의 부분집합으로 측도가 0이다. 푸비니(Fubini) 정리에 의해서 모든 $ S_{\alpha} $는 $ \mathbb{R}^{n} $에서 측도가 0이다. $ \left\{a \in \mathbb{R}^{n} \mid f_{a} \neq\right. $ 모스함수 $ \}=\cup_{\alpha} S_{\alpha} $이며 측도가 0인 집합의 가산열린합집합이므로 다시 측도가 0인 집합이다.</p> <p>예 10.1.1 $ \mathbb{R}^{3} $ 내의 단위구 $ S^{2} = \left\{ \left (x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}=1 \right\} $은 2차원 다양체이다.</p><p>$ U = \left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2} + x_{2}^{2}<1\right\} $ 이라 하고, $ \\\phi_{1} : U \rightarrow S^{2}, \phi_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) = \left(x_{1}, x_{2}, \sqrt{1 - \left(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\right)}\right) \\$ 이라 하면 $ \phi_{1} $은 $ \phi_{1} $의 상 $ (S^{2} $의 $ x_{1} x_{2} $평면의 윗부분)으로 미분동형함수이다. 같은 방법으로 $ \\ \phi_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}, x_{2},-\sqrt{1-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}\right) \\ \phi_{3}\left(x_{2}, x_{3}\right) = \left(\sqrt{1-\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)}, x_{2}, x_{3}\right) \\ \phi_{4}\left(x_{2}, x_{3}\right) = \left(-\sqrt{1-\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)}, x_{2}, x_{3}\right) \\ \phi_{5}\left(x_{1}, x_{3}\right) = \left(x_{1}, \sqrt{1-\left(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}\right)}, x_{3}\right) \\ \phi_{6}\left(x_{1}, x_{3}\right) = \left(x_{1},-\sqrt{1-\left(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}\right)}, x_{3}\right) \\$ 로 정의하면 각각은 미분동형함수이고, 그의 상들은 구 $ S^{2} $ 전체를 덮는다. 따라서 $ S^{2} $는 2차원 다양체이다. 10.1절의 연습문제 5에서와 같이 2개의 매개변수화로도 $ S^{2} $가 2차원 다양체임을 보일 수 있다.</p><p>$ X \subset \mathbb{R}^{n} $을 $ k $차원 다양체, $ Y \subset \mathbb{R}^{m} $을 $ l $차원 다양체라고 하자. 각 점 $ x \in X $와 $ y \in Y $에 대해서 열린집합 $ U_{1} \subset \mathbb{R}^{k}, U_{2} \subset \mathbb{R}^{l} $과 매개변수화 $ \phi_{1}: U_{1} \rightarrow X, \phi_{2}: U_{2} \rightarrow Y $가 존재한다. 함수 $ \phi_{1} \times \phi_{2}: U_{1} \times U_{2} \rightarrow X \times Y $를 $ \left(\phi_{1} \times \phi_{2}\right)(x, y)=\left(\phi_{1}(x), \phi_{2}(y)\right) $라고 하면 $ \phi_{1} \times \phi_{2} $는 $ (x, y) \in X \times Y $에서 매개변수화이다.</p><p>정리 10.1.1 만일 $ X \ 와 \( Y $가 다양체이면 $ X \times Y $도 다양체이고, $ \operatorname{dim}(X \times Y)=\operatorname{dim} (X)+\operatorname{dim}(Y) $이다. $ X $와 $ Z $가 $ \mathbb{R}^{n} $ 내에 있는 다양체이고 $ Z \subset X $일 때 $ Z $를 $ X $의 부분다양체(submanifold)라 한다. 예를 들면 $ X $는 $ X $ 자신의 부분다양체이고, $ X $의 열린부분집합은 $ X $의 부분다양체이다.</p><p>주의 함수와 다양체는 매끄러운 함수와 미분다양체를 말한다.</p> <h1>10.8 일차원 다양체(One Dimensional Manifold)</h1><p>직관적으로 일차원 컴팩트 다양체는 닫힌구간이거나 원이다. 이는 한 점에서 출발하여 일정한 속도로 일차원 다양체를 따라가면 컴팩트이므로 끝점에 다다르든지 혹은 다시 처음 출발점에 오게 되기 때문이다.</p><p>정리 10.8 .1 컴팩트이고 연결되어 있는 일차원 다양체는 단위구간 $ [0,1] $ 혹은 원 $ S^{1} $과 미분동형이다. 따라서 컴팩트 일차원 다양체는 원과 닫힌구간들로 구성되어있다.</p><p>계 10.8.2 컴팩트 일차원 다양체의 경계는 짝수의 점으로 구성되어 있다.</p><p>정리 10.8.3 $ X $가 경계가 있는 컴팩트 다양체이면 경계함수 $ \partial g: \partial X \rightarrow \partial X $를 항등함수로 하는 매끄러운 함수 $ g: X \rightarrow \partial X $는 없다.</p><p>증명 만일 매끄러운 함수 $ g: X \rightarrow \partial X, \partial g=I_{\partial X} $가 존재한다면 정칙값 $ z \in \partial X $가 존재하여 $ g^{-1}(z) $는 $ X $의 컴팩트 일차원 부분다양체이다. 경계 $ \\ \partial g^{-1}(z)=g^{-1}(z) \cap \partial X=\{z\} \\ $ 가 되어 모순이 된다.</p><p>정리 10.8.4 브로우베르 고정점 정리(Brouwer Fixed Point Theorem) 닫힌단위공을 $ B^{n} \subset \mathbb{R}^{n} $이라 하면 매끄러운 함수 $ f: B^{n} \rightarrow B^{n} $은 고정점을 가진다 $ ( $ 예 ; $ f(x)=x) $.</p><p>증명 만일 모든 $ x \in B^{n} $에 대해서 $ f(x) \neq x $라면, 함수 $ g: B^{n} \rightarrow \partial B^{n} $ 을 $ g(x) $는 $ f(x) $와 $ x $를 잇는 직선과 경계 $ \partial B^{n} $이 만나는 점으로 정의하면 $ \partial g $는 $ \partial B^{n} $에서 항등함수이다. 정리 10.7.3에 의해서 $ g $가 매끄러운 함수임을 보이면 된다. $ f(x), x, g(x) $ 는 일직선상에 있다. $ \\ $ 따라서 $ g(x)=t x+(1-t) f(x) $ 이고 $ t \geq 1 $ 이다. $ \\ $ 양변에 내적을 취하면 $ \\ 1=g(x) \cdot g(x)=t^{2}\|x-f(x)\|^{2}+2 t f(x) \cdot(x-f(x))+\|f(x)\|^{2} \\ $ 이다. 따라서, $ \\ t^{2}\|x-f(x)\|^{2}+2 t f(x) \cdot(x-f(x))+\|f(x)\|^{2}-1=0. \\ $ $ t $의 해를 구하면 $ \\ t=\frac{-f(x) \cdot(x-f(x)) \pm \sqrt{f(x) \cdot(x-f(x))^{2}-\|x-f(x)\|^{2}\left(\|f(x)\|^{2}-1\right)}}{\|x-f(x)\|^{2}} \\ $ 이므로 $ x $의 매끄러운 함수이다. 따라서 $ g $는 매끄러운 함수이다.</p> <p>$ x \in \partial X \subset X $에서 $ T_{x}(\partial X) $는 $ T_{x} X $의 $ (k-1) $ 차원 부분 벡터공간이다. 함수 $ f: X \rightarrow Y $에 대하여 $ \partial f: \partial X \rightarrow Y $는 경계로 축소함수를 의미하고 $ d(\partial f)_{x} =\left.d f_{x}\right\|_{T_{x}(\partial X)} $를 의미한다.</p><p>정리 10.7.3 $ X $는 경계가 있는 다양체이고, $ Z \subset Y $와 $ Y $는 경계가 없는 다양체라 하자. 매끄러운 함수 $ f: X \rightarrow Y $가 $ Z $를 횡단하고 $ \partial f: \partial X \rightarrow Y $도 $ Z $를 횡단할 때, 원상 $ f^{-1}(Z) $는 경계가 있는 다양체이며 경계는 $ \\ \partial f^{-1}(Z)=f^{-1}(Z) \cap \partial X \\ $ 이고 $ f^{-1}(Z) $의 $ X $에서 여차원은 $ Z $의 $ Y $에서 여차원과 같다.</p><p>증명 10.4절에서와 같이 $ \left(\left.f\right\|_{i(X)}\right) $가 $ Z $를 횡단하므로 $ f^{-1}(Z) \cap i(X) $ 는 경계가 없는 다양체이고 여차원 조건을 만족한다. $ x \in f^{-1}(Z) \cap \partial X $에 대해 $ \phi $를 $ f(x) \in Y $의 근방에서 $ \mathbb{R}^{l} $로의 침몰이라 하고 $ z=\phi^{-1}(0) $이라 하자. 여기서 $ l=\operatorname{codim} Z $이다. 함수 $ \phi \circ f $는 $ X $ 내의 $ x $ 근방에서 정의되고 이 근방과 $ f^{-1}(Z) $의 교집합은 $ (\phi \circ f)^{-1}(0) $이다. $ \\ $ $ h: U \subset \mathbb{H}^{k} \rightarrow h(U) \subset X $를 $ x $에서 국소 매개변수화라 하면 $ g= \phi \circ f \circ h: U \rightarrow \mathbb{R}^{l} $은 유클리드 공간 사이에 매끄러운 함수이다. $ h: U \rightarrow h(U) $는 미분동형함수이므로 $ f^{-1}(Z) $가 $ x $의 근방에서 경계가 있는 다양체일 필요충분조건은 $ (f \circ h)^{-1}(Z)=g^{-1}(0) $이 $ u=h^{-1}(x) \in \partial U $ 근방에서 경계가 있는 다양체가 되는 것이다. 횡단성에 의해 $ \\ d f_{x}\left(T_{x} X\right)+T_{f(x)} Z=T_{f(x)} Y \\ $ 일 필요충분조건은 $ x $가 $ \phi \circ f $의 정칙점이고, 이 조건은 $ u $가 $ g $의 정칙점일 조건과 같다. $ g $가 매끄러운 함수이므로, $ u $의 근방 $ \bar{U} \subset \mathbb{R}^{k} $와 매끄러운 확장 $ \bar{g} $가 존재하여 $ d \bar{g}_{u}=d g_{u} $이고 $ u $가 $ g $의 정칙점이다. $ u $의 작은 근방에서 $ \bar{g}^{-1}(0) $은 경계가 없는 부분다양체 $ S \subset \mathbb{R}^{k} $이다. $ \\ $ $ u $의 근방에서 $ g^{-1}(0)=S \cap \mathbb{H}^{k} $이므로 $ S \cap \mathbb{H}^{k} $가 경계가 있는 다양체임을 보이자. 여기에 $ \partial f $의 횡단성이 필요하다. $ \pi: S \subset \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $을 마지막 좌표로 사영이라 하면 $ \\ S \cap \mathbb{H}^{k}=\{s \in S \mid \pi(s) \geq 0\} \\ $ 이다. $ \\ $ 0이 $ \pi $의 정칙값임을 증명하자. 만일 0이 $ \pi $의 정칙값이 아니면 $ s \in S $가 있어 $ \pi(s)=0 $이고, $ d \pi_{s}=0 $이다. $ \pi(s)=0 $이면 $ s \in S \cap \partial \mathbb{H}^{k} $이다. 또한 $ \pi: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $이 선형함수이므로 $ d \pi_{s}=\pi $이다. 따라서 $ d \pi_{s}\left(T_{s} S\right) =0 \frac{0}{4} $ $ \\ T_{s} S \subset T_{s}\left(\partial \mathbb{H}^{k}\right)=\mathbb{R}^{k-1} \\ $ 을 의미한다. $ S=\bar{g}^{-1}(0) $이므로 $ d g_{s}=d \bar{g}_{s}=\mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $의 핵은 $ T_{s} S $이다. $ d(\partial g)_{s}: \mathbb{R}^{k-1} \rightarrow \mathbb{R} $의 핵과 $ d g_{s} $의 핵 $ T_{s} S $가 같다. $ \partial g $의 횡단성에 의해 $ d g_{s} $와 $ d(\partial g)_{s} $는 전사이다. 따라서 $ \operatorname{dim}\left(\operatorname{ker} d g_{s}\right)=k-1 $이고 $ \operatorname{dim}\left(\operatorname{ker} d(\partial g)_{s}\right)=k-2 $이다. 이 결과는 모순이 되므로 0이 $ g $의 정칙 값이다.</p><p>보조정리 10.7.4 $ S $는 경계가 없는 다양체이고 $ \pi: S \rightarrow \mathbb{R} $이 0을 정칙값으로 가진 함수라면, $ \{s \in S \mid \pi(s) \geq 0\} $은 경계가 있는 다양체이며 경계는 $ \pi^{-1}(0) $이다.</p><p>증명 $ \pi^{-1}(\infty, 0) $은 $ S $의 열린부분집합이므로 $ S $의 부분다양체이고 차원은 같다. 0은 $ \pi $의 정칙값이므로, $ \pi^{-1}(0) $은 $ \pi(s)=0 $인 $ s $에서 표준침몰이다. 따라서 증명은 명백하다.</p><p>예 10.7.1 $ S=\mathbb{R}^{n} $이라 하고 $ \pi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, \pi(s)=1-\|s\|^{2} $이면, 닫힌단위공 $ \left\{s \in \mathbb{R}^{n}\right. \|\| s \mid \leq 1\} $은 경계가 있는 다양체이다.</p><p>정리 10.7.5 사드정리(Sard Theorem) $ X $는 경계가 있는 다양체이고 $ Y $는 경계가 없는 다양체일 때 $ f: X \rightarrow Y $가 매끄러운 함수이면, $ Y $의 거의 모든 점(측도가 0인 집합 외)이 $ f: X \rightarrow Y $와 $ \partial f: \partial X \rightarrow Y $의 정칙값이다.</p><p>증명 $ x \in \partial x \subset X $에 대해서 $ T_{x}(\partial X) \subset T_{x} X $이므로 $ x \가 \( \partial f $의 정칙점이면 $ f $의 정칙점도 된다. 따라서 점 $ y \in Y $가 $ f: i(X) \rightarrow Y $ 또는 $ \partial f: \partial X \rightarrow Y $의 임계값일 때 점 $ y \in Y $는 $ f $ 또는 $ \partial f $의 임계값이다. $ i(X) $와 $ \partial X $는 경계가 없는 다양체이므로 임계값들의 집합은 측도가 0이다. $ \\ $ 따라서 $ f $와 $ \partial f $의 정칙값의 여집합은 두 측도가 0인 집합의 합집합이므로 측도가 0이다.</p> <p>정리 10.4.2 원상정리(Preimage Theorem) 점 $ y \in Y $가 $ f: X \rightarrow Y $의 정칙값이면 원상 $ f^{-1}(y) $는 $ X $의 부분다양체이고 $ \operatorname{dim} f^{-1}(y)=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim} Y $이다.</p><p>주의<ol type=1 start=1><li>$ y \in Y $가 $ f $의 상 내에 있지 않을 때 $ y $는 $ f $의 정칙값이다. $ \\ $</li><li>$ \operatorname{dim} X>\operatorname{dim} Y $이면 $ y \in Y $가 $ f $의 정칙값일 필요충분조건은 각 점 $ x \in f^{-1}(y) $에서 $ f $가 침몰인 것이고, $ \operatorname{dim} X=\operatorname{dim} Y $이면 $ y \in Y $가 정칙값일 필요충분조건은 각 점 $ x \in f^{-1}(y) $에서 $ f $가 국소미분동형 함수가 되는 것이며, $ \operatorname{dim} X<\operatorname{dim} Y $이면 $ y \in Y $가 정칙값일 필요충분조건은 $ f^{-1}(y)=\phi $이 되는 것이다.</li></ol></p><p>예 10.4.1<ol type=1 start=1><li>함수 $ f: \mathbb{R}^{k} \rightarrow \mathbb{R} $ 가 $ \\ f\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right)=x_{1}^{2}+\cdots+x_{k}^{2} \\ $ 일 때 $ d f_{a}=\left(2 a_{1}, \ldots, 2 a_{k}\right), a=\left(a_{1}, \ldots, a_{k}\right) $이다. $ a \neq(0, \ldots, 0) $이면 $ d f_{a} $는 전사이므로 0이 아닌 모든 실수는 정칙값이다. 따라서 $ f^{-1}(1)=S^{k-1} $은 $ (k-1) $차원 다양체이다.</li><li>직교군(orthogonal group) $ \\ \mathrm{O}(n)=\left\{A: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\left\|A A^{t}\right\|=1\right\} $이 $ (n(n+1) / 2) $차원 다양체임을 증명해보자.</li></ol></p><p>증명 모든 $ n \times n $행렬의 집합인 $ n $차원 일반선형군( $ n $ dimensional linear group)$ g l(n) $은 $ \mathbb{R}^{n \times n} $과 동일시 할 수 있으므로 $ n^{2} $차원 다양체이다. 직교군 $ \mathrm{O}(n)=\left\{A \in g l(n) \mid A A^{t}=I\right\} $이고, $ A A^{t} $는 대칭행렬(symmetric matrix)이다. 모든 대칭행렬의 집합을 $ \operatorname{Sym}(n) $이라 하면 $ \operatorname{Sym}(n) $은 $ \mathbb{R}^{n(n+1) / 2} $와 동일시 할 수 있으므로 $ \operatorname{Sym}(n) $은 $ g l(n) $의 부분다양체이다. 함수 $ \\ f: g l(n) \rightarrow \operatorname{Sym}(n) \\ $ 을 $ f(A)=A A^{t} $로 정의하면 $ f $는 매끄러운 함수이고, $ f^{-1}(I)=\mathrm{O}(n) $이다. 이때 $ I \in \operatorname{Sym}(n) $이 $ f $의 정칙값임을 보이자. 즉 $ A \in \mathrm{O}(n)=f^{-1}(I) $에 대해서 $ d f_{A}: g l(n) \rightarrow \operatorname{Sym}(n) $이 전사임을 보인다. 임의의 $ C \in \operatorname{Sym}(n) $ 에 대해서 $ \\ d f_{a}\left(\frac{1}{2} C A\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[f\left(A+\frac{1}{2} h C A\right)-f(A)\right] \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\left(A+\frac{1}{2} h C A\right)\left(A+\frac{1}{2} h C A\right)^{t}-A A^{t}\right] \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[A A^{t}+\frac{1}{2} h C A A^{t}+\frac{1}{2} h C A A^{t} C^{t}+\frac{1}{4} h^{2} C A A^{t} C^{t}-A A^{t}\right] \\ =\frac{1}{2} C+\frac{1}{2} C^{t}=C \\ $ 이다. $\\$ 따라서 $ d f_{A} $는 전사이므로 $ \mathrm{O}(n) $은 $ g l(n) $의 부분다양체이며, 차원은 $ \operatorname{dim} \mathrm{O}(n)=\operatorname{dim} g l(n)-\operatorname{dim} \operatorname{Sym}(n)=n(n-1) / 2 $이다. $\\ k $차원 다양체 $ X $ 상의 실함수 $ g_{1}, \ldots, g_{l}: X \rightarrow \mathbb{R}(k>l) $에 대해서 함수 $ \\ g=\left(g_{1}, \ldots, g_{l}\right): X \rightarrow \mathbb{R}^{l} \\ $ 이 0을 $ g $의 정칙값으로 가지면 $ g^{-1}(0)=g_{1}^{-1}(0) \cap \cdots \cap g_{1}^{-1}(0) $이 $ X $의 $ (k-l) $차원 부분다양체가 된다. 여기서 $ d g_{x}: T_{x} X \rightarrow \mathbb{R}^{l} $이 전사일 필요충분조건은 각 $ \left(d g_{i}\right)_{x}: T_{x} X \rightarrow \mathbb{R} $이 전사이다. 이때 $ g_{1}, \ldots, g_{l} $을 $ x $ 에서 독립(independent at $ x $)이라 한다.</p>	자연
해석학_리만적분	<p>위의 정의에서 $ a(x)=x $ 이면 정의 $ 5.7 $ 의 정적분, 즉 리만적분의 정의와 일치함에 유의하자. $ f $ 가 $ a(x)=x $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능할 때 $ f $ 가 리만적분가능하다(Riemann integrable) 고 말하기도 한다.</p> <p>예제 $ 5.1 $</p> <p>구간 $ [a, b] $ 의 모든 $ x $ 에 대하여 $ a(x)=c $ (상수)이고, $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 유계인 임의의 함수이면, $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하다.</p> <p>풀이</p> <p>$ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 을 구간 $ [a, b] $ 의 분할이라 하면 $ a(x)=c $ 이므로 $ \triangle \mathrm { a } _ { k } =a \left (x_ { k } \right )-a \left (x_ { k-1 } \right )=c-c=0, k=1,2, \cdots, n $ 이다. 따라서 $ L(f, P, a)= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } \triangle a_ { k } =0 $, $ U(f, P, a)= \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } \triangle a_ { k } =0 $ 이므로 $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f d a=0= \overline {\int_ { a } ^ { b } } f d a $ 이다. 그러므로 따라서 $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하고 $ \int_ { a } ^ { b } f d a=0 $ 이다.</p> <p>예제 $ 5.2 $</p> <p>구간 $ [a, b] $ 에서 $ a(x) $ 가 증가함수이면, 상수함수 $ f(x)=c $ 는 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하다.</p> <p>풀이</p> <p>$ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 을 구간 $ [a, b] $ 의 임의의 분할이라 하면, $ f(x)=c $ 이므로 $ m_ { k } =M_ { k } =c, k=1,2, \cdots, n $ 이다. 따라서 $ L(f, P, a)= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } \Delta a_ { k } =c \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta a_ { k } =c(a(b)-a(a)) $ $ U(f, P, a)= \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } \Delta a_ { k } =c \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta_ { k } =c(a(b)-a(a)) $ 이므로 $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f d a=c(a(b)-a(a))= \overline {\int_ { a } ^ { b } } f d a $ 이다. 그러므로 $ f $ 는 $ [a, b] $에서 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하고 $ \int_ { a } ^ { b } f d a=c(a(b)-a(a)) $ 이다.</p> <p>예제 $ 5.3 $</p> <p>구간 $ [0,1] $ 에서 다음과 같이 정의된 함수 $ f $ 를 생각하자.</p> <p>$ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & x \text { 는 유리수 } , \\ 0, & x \text { 는 무리수. } \end {array} \right . $</p> <p>$ a(x)=x $ 라 두면 $ 5.1 $ 절의 예제 $ 1.4 $ 와 같이 $ f $ 의 상합은 $ 1 $ 이고 하합은 $ 0 $이다. 따라서 $ \underline {\int } _ { 0 } ^ { 1 } f d \mathrm { a } =0 \neq 1= \overline {\int_ { 0 } ^ { 1 } } f d \mathrm { a } $이고 $ f $ 는 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하지 않다. 즉, 리만적분가능하지 않다. 그러나 $ a(x)=c( $ 상수 $ ) $ 로 하면, $ f $ 가 $ [0,1] $ 에서 유계이므로 예제 $ 5.1 $ 에서처럼 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하고 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f d a=0 $ 이다.</p> <p>유계함수의 적분가능성을 판정하는 리만 판정법(정리 $ 5.8 $)을 다음과 같이 확장할 수 있다.</p> <p>상수함수 $ f(x)=c $ 는 임의의 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능하다.</p> <p>풀이</p> <p>$ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 을 구간 $ [a, b] $ 의 분할이라 하면 $ f(x)=c $ 이므로 $ m_ { k } =M_ { k } =c $ 이고 $ L(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } \Delta x_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } c \Delta x_ { k } =c \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta x_ { k } =c(b-a) $, $ U(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } \Delta x_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } c \Delta x_ { k } =c \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta x_ { k } =c(b-a) . $</p> <p>이 상합과 하합은 $ P $ 가 어떤 분할이라도 $ c(b-a) $ 로 주어지므로 $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x=c(b-a), \quad \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x=c(b-a) . $</p> <p>따라서 $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=c(b-a) $ 이다.</p> <p>예제 $ 1.4 $</p> <p>다음 함수 $ f $ 는 구간 $ [0,1] $ 에서 적분가능한 함수가 아니다.</p> <p>$ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & x \text { 는 유리수 } \\ 0, & x \text { 는 무리수 } \end {array} \right . $</p> <p>풀이</p> <p>$ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 을 $ [0,1] $ 의 임의의 분할이라 하자. 모든 부분구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 는 무리수를 포함하므로 $ m_ { k } =0 $ 이고, 마찬가지로 유리수를 포함하므로 $ M_ { k } =1 $ 이다. 따라서 $ L(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } \Delta x_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } 0 \cdot \Delta x_ { k } =0 $, $ U(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } \Delta x_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } 1 \cdot \Delta x_ { k } =1-0=1 . $</p> <p>$ P $ 가 임의의 분할이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \underline {\int_ { 0 } ^ { 1 } } f(x) d x=0, \quad \overline {\int_ { 0 } ^ { 1 } } f(x) d x=1 $</p> <p>하적분과 상적분이 일치하지 않으므로 $ f $ 는 적분가능하지 않으며 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) d x $ 는 존재하지 않는다.</p> <p>실제로 상수 $ C $ 는 항상 상쇄되므로 생략하기도 한다.</p> <p>예제 $ 3.3 $</p> <p>$ x \in \left [- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ], F(x)= \sin x $ 이면 $ f(x)=F ^ {\prime } (x)= \cos x ^ { 2 } $는 $ \left [- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ] $ 에서 연속이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \int_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \cos x d x= \left .F(x) \right \|_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } = \left . \sin x \right \|_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } = \sin \frac {\pi } { 2 } - \sin \left (- \frac {\pi } { 2 } \right )=2 $</p> <p>정리 $ 5.28 $ 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 미분가능하고, $ f ^ {\prime } $ 이 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면, 다음이 성립한다. $ \int_ { a } ^ { b } f ^ {\prime } (x) d x=f(b)-f(a) $</p> <p>증명</p> <p>$ P= \left \{ a=x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } =b \right \} $ 가 $ [a, b] $ 의 분할이면, $ f(b)-f(a)= \sum_ { k=1 } ^ { n } \left [f \left (x_ { k } \right )-f \left (x_ { k-1 } \right ) \right ]= \sum_ { k=1 } ^ { n } f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \Delta x_ { k } . $</p> <p>여기서 각 $ \xi_ { k } $ 는 부분구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 에서 평균값정리를 만족하는 수이다. $ k=1,2, \cdots, n $ 에 대하여 $ M_ { k } ^ {\prime } = \sup _ { x_ { k-1 } \leq x \leq x_ { k } } f ^ {\prime } (x), \quad m_ { k } ^ {\prime } = \inf _ { x_ { k-1 } \leq x \leq x_ { k } } f ^ {\prime } (x) $라 두면 다음이 성립한다.</p> <p>$ L \left (f ^ {\prime } , P \right )= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } ^ {\prime } \Delta x_ { k } \leq f(b)-f(a) \leq \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } ^ {\prime } \Delta x_ { k } =U \left (f ^ {\prime } , P \right ) $ 위 부등식은 모든 분할 $ P $ 에 대하여 성립하므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f ^ {\prime } (x) d x \leq f(b)-f(a) \leq \overline {\int_ { a } ^ { b } } f ^ {\prime } (x) d x $</p> <p>$ f ^ {\prime } $ 이 적분가능하므로 상적분과 하적분이 일치하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } f ^ {\prime } (x) d x=f(b)-f(a) $</p> <p>정리 $ 5.27 $ 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus) 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고, $ F $ 가 $ f $ 의 부정적분이면, 다음이 성립한다. $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x = F(b)-F(a) $</p> <p>증명</p> <p>$ G(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t(x \in[a, b]) $ 라 두면 정의 $ 5.26 $ 아래에서 이야기한 사실에 따라 $ F(x)=G(x) + C $ ( $ C $ 는 상수)이다. $ G(a)=0 $ 이므로 $ C=F(a) $ 이다. 따라서 $ F(x)=G(x) + F(a) $ 이다. 특히, $ F(b)=G(b) + F(a)= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + F(a) $ 이다. 따라서 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=F(b)-F(a) $ 이다.</p> <p>위 정리에서 $ F(b)-F(a)= \left .F(x) \right \|_ { a } ^ { b } $ 로 쓰면 편할 때가 많다.</p> <p>예제 $ 3.2 $</p> <p>$ f(x)=x ^ { n } (n=1,2, \cdots) $ 는 임의의 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ F(x)= \int f(x) d x= \frac { 1 } { n + 1 } x ^ { n + 1 } + C $ ( $ C $ 는 상수 $ ) $ 이므로 미적분학의 기본정리에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { a } ^ { b } x ^ { n } d x &= \left .F(x) \right \|_ { a } ^ { b } =F(b)-F(a) \\ &= \left ( \frac { 1 } { n + 1 } b ^ { n + 1 } + C \right )- \left ( \frac { 1 } { n + 1 } a ^ { n + 1 } + C \right )= \frac { 1 } { n + 1 } \left (b ^ { n + 1 } -a ^ { n + 1 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>$ F ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F \left (x_ { 0 } + h \right )-F \left (x_ { 0 } \right ) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } f(c)=f \left (x_ { 0 } \right ) $</p> <p>$ x_ { 0 } $ 는 임의로 선텍하였으므로 모든 $ x \in(a, b) $ 에 대하여 $ F ^ {\prime } (x)=f(x) $.</p> <p>$ x=a $ 또는 $ x=b $ 에서는 일방미분계수를 사용하면 된다.</p> <p>정의 $ 5.26 $ 함수 $ F(x) $ 가 구간 $ I $ 에서 미분가능하고 모든 $ x \in I $ 에 대하여 $ F ^ {\prime } (x)=f(x) $ 이면, $ F $ 를 $ f $ 의 부정적분(indefinite integral) 또는 원시함수(primitive)라 하고 $ F(x)= \int f(x) d x $ 로 나타낸다.</p> <p>정리 $ 5.25 $의 함수 $ F(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t $ 는 구간 $ [a, b] $ 에서 함수 $ f(x) $ 의 부정적분이다. $ G ^ {\prime } (x)=F ^ {\prime } (x) $ 이면 따름정리 $ 4.13 $ 에 의하여 $ G(x)=F(x) + C(C $ 는 상수 $ ) $ 이다. 즉, $ F(x) $ 가 $ f(x) $ 의 부정적분이면 $ f(x) $ 의 다른 부정적분은 $ F(x) + C $ 로 나타난다. 그러므로 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이면 $ f $ 의 모든 부정적분은 다음과 같이 나타난다.</p> <p>$ \int f(x) d x= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t + C(C $ 는 상수 $ ) $</p> <p>다음 식이 성립함에 유의하자.</p> <p>$ \frac { d } { d x } \int f(x) d x= \frac { d } { d x } \int_ { a } ^ { x } f(t) d t=f(x) $</p> <p>위 정리에 나오는 $ f(c) $ 를 가중함수 $ g(x) $ 에 관한 $ f(x) $ 의 가중평균(weighted mean)이라고 한다.</p> <p>임용고사에 출제된 적분문제를 소개하고 이 절을 마친다.</p> <p>예제 $ 3.6 $ ( $ 2006. $ 임용고사)</p> <p>$ n $ 차 다항식 $ x ^ { n } $ 이 주어질 때, 함수 $ f:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } $ 이 연속이면 다음 식을 만족하는 $ c \in[0,1] $ 가 존재함을 보이시오.</p> <p>$ (n + 1) \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) x ^ { n } d x=f(c) . $</p> <p>풀이</p> <p>구간 $ [0,1] $에서 $ g(x)=x ^ { n } $ 은 연속이고 적분가능하며, $ g(x) \geq 0 $ 이고, $ \int_ { 0 } ^ { 1 } g(x) d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } d x= \frac { 1 } { n + 1 } >0 $ 이다. 따라서 가중평균값정리에 의하여 다음을 만족하는 수 $ c \in(0,1) $ 가 존재한다.</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) g(x) d x=f(c) \int_ { 0 } ^ { 1 } g(x) d x $</p> <p>즉 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) x ^ { n } d x=f(c) \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } d x=f(c) \frac { 1 } { n + 1 } $ 이고, 따라서 $ (n + 1) \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) x ^ { n } d x=f(c) $ 이다.</p> <p>예제 $ 3.7 $ ( $ 1994. $ 임용고사)</p> <p>정적분 $ I= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\sin x } {\sin x + \cos x } d x $ 의 값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x= \frac {\pi } { 2 } -y $ 로 치환하면 다음을 얻는다.</p> <p>$ I= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\sin x } {\sin x + \cos x } d x= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\cos y } {\cos y + \sin y } d y= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\cos x } {\sin x + \cos x } d x $ $ 2 I=I + I= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\sin x } {\sin x + \cos x } d x + \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\cos x } {\sin x + \cos x } d x $ $ = \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\sin x + \cos x } {\sin x + \cos x } d x= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } d x= \frac {\pi } { 2 } $</p> <p>따라서 구하는 적분은 $ I= \frac {\pi } { 4 } $ 이다. 임의의 실수 $ m $ 에 대해서 같은 방법으로 치환하여 다음 적분을 구할 수 있다.</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\sin ^ { m } x } {\sin ^ { m } x + \cos ^ { m } x } d x= \frac {\pi } { 4 } $</p> <h1>연습문제 $ 5.3 $</h1> <ol type=1 start=1><li>$ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능한 유계함수이고 $ F(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t, \quad x \in[a, b] $ 이면, $ F(x) $ 는 $ [a, b] $ 에서 연속임을 보여라.</li> <li>$ n $ 이 자연수일 때 다음을 증명하라. $ 0< \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { n + 1 } x d x< \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { n } x d x $</li> <li>다음 계산의 오류를 지적하라. $ \int_ { -1 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } } d x=- \left . \frac { 1 } { x } \right \|_ { -1 } ^ { 1 } =-2 $</li> <li>구간 $ [0,1] $ 에 다음을 만족하는 $ c_ { 1 } , c_ { 2 } $ 가 존재함을 보여라. $ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac {\sin \pi x } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \frac { 2 } {\pi \left (c_ { 1 } ^ { 2 } + 1 \right ) } = \frac {\pi } { 4 } \sin \left ( \pi c_ { 2 } \right ) $</li></ol> <h2>연습문제 풀이 및 해답</h2> <p>$ 1. $ $ x_ { 0 } \in[a, b] $ 일 때 다음 식과 정리 $ 5.23 $ 을 이용하라.</p> <p>$ F(x)-F \left (x_ { 0 } \right )= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t- \int_ { a } ^ { x_ { 0 } } f(t) d t= \int_ { x_ { 0 } } ^ { x } f(t) d t $</p> <p>$ 3. $ 함수 $ f(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } } $ 은 구간 $ [-1,1] $ 에서 연속이 아니다.</p> <p>$ 4. $ 차례로 $ f(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } , g(x)= \sin \pi x $ 와 $ f(x)= \sin \pi x, g(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } $ 로 두고 적분에 관한 가중 평균값정리를 이용하라.</p> <p>정의 $ 5.6 $ 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 유계일 때 하적분(lower integral) $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x $ 와 상적분(upper integral) $ \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x $ 를 다음과 같이 정의한다. $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x = \sup _ { P } L(f, P) $ $ \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x= \inf _ { P } U(f, P) $</p> <p>보조정리 $ 5.5 $ 로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x \leq \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x $.</p> <p>정의 $ 5.7 $ 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 유계라 하자. $ f $ 의 하적분과 상적분이 일치하면 $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분가능하다(integrable)고 한다. $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면 하적분과 상적분의 공통의 값을 $ a $ 에서 $ b $ 까지 $ f $ 의 정적분(definite integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x= \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x $ 이때 $ a $ 를 적분의 아래끝, $ b $ 를 적분의 위끝, 함수 $ f(x) $ 를 피적분 함수(integrand)라 한다. $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 를 $ \int_ { a } ^ { b } f $ 로 줄여 쓰기도 한다.</p> <p>예제 $ 1.3 $</p> <h1>5.4 적분의 계산과 응용</h1> <h2>곡선의 길이</h2> <p>함수 $ f $ 가 폐구간 $ [a, b] $ 에서 미분가능하고 도함수 $ f ^ {\prime } $ 이 연속이면 그래프 $ y = f(x) $ 는 평면상에서 점 $ (a, f(a)) $ 와 $ (b, f(b)) $를 연결하는 매끄러운 곡선이 된다. 이 곡선의 길이를 구해보자. $ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 가 $ [a, b] $ 의 분할일 때 $ \left \{\left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ), \left (x_ { 1 } , f \left (x_ { 1 } \right ) \right ), \cdots, \left (x_ { n } , f \left (x_ { n } \right ) \right ) \right \} $ 은 곡선 $ y=f(x), a \leq x \leq b $를 분할한다.</p> <p>부분구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 위에 놓이는 호의 길이를 $ \triangle C_ { k } $ 라 하면 $ \triangle C_ { k } $ 는 $ \Delta x_ { k } $ 가 충분히 작을 때 분할점 $ \left (x_ { k-1 } , f \left (x_ { k-1 } \right ) \right ) $ 과 $ \left (x_ { k } , f \left (x_ { k } \right ) \right ) $ 를 맺는 선분의 길이 $ \Delta L_ { k } $ 와 비슷하다.</p> <p>$ \Delta C_ { k } \approx \Delta L_ { k } = \sqrt {\left (x_ { k } -x_ { k-1 } \right ) ^ { 2 } + \left [f \left (x_ { k } \right )-f \left (x_ { k-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } } $</p> <p>정리 $ 5.34 $ 가중 평균값정리(weighted mean value theorem) 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f $ 가 연속이고, 함수 $ g $ 가 적분가능하며 $ g(x) \geq 0, \int_ { a } ^ { b } g(x) d x>0 $ 이라 하면 다음을 만족하는 수 $ c \in(a, b) $ 가 존재한다. $ \int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x = f(c) \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $</p> <p>증명</p> <p>$ f g $ 가 적분가능하므로(연습문제 $ 5.2, 2 $ 번 참조), $ x \in[a, b], m \leq f(x) \leq M $이면 $ m g(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) $이다.</p> <p>정리 $ 5.21 $ 에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ m \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \leq \int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x \leq M \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $</p> <p>각 항을 $ \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $ 로 나누면 다음이 성립한다.</p> <p>$ m \leq \frac {\int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x } {\int_ { a } ^ { b } g(x) d x } \leq M $</p> <p>적분에 관한 평균값정리(정리 $ 5.24 $)의 증명과 마찬가지로 $ m $ 과 $ M $ 은 $ f $ 의 함수값이므로, 중간값정리에 의하여 다음을 만족하는 $ c \in[a, b] $ 가 존재한다.</p> <p>$ f(c)= \frac {\int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x } {\int_ { a } ^ { b } g(x) d x } $</p> <p>따라서 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x=f(c) \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $ 이다.</p> <p>평균값정리에 의하여 구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 에 적당한 점 $ \xi_ { k } $ 가 존재하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ f \left (x_ { k } \right )-f \left (x_ { k-1 } \right )=f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \left (x_ { k } -x_ { k-1 } \right )=f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \Delta x_ { k } $</p> <p>따라서 $ \Delta L_ { k } = \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x_ { k } $ 이다. 이 길이의 합은 구하는 길이와 비슷하게 되는데 $ \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta L_ { k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x_ { k } $은 함수 $ 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } $ 의 리만 합이다.</p> <p>함수 $ 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } $ 이 연속이므로 $ [a, b] $ 에서 적분가능이다. 따라서 $ \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left ( \xi_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x_ { k } . $</p> <p>$ (2) $ $ \varepsilon>0 $ 이라 하자. $ f $ 와 $ g $ 가 적분가능하므로 $ \delta_ { 1 } >0, \delta_ { 2 } >0 $ 가 존재하여 $ [a, b] $ 의 분할 $ P $ 에 대하여 다음을 만족한다.</p> <p>$ \\|P \\|< \delta_ { 1 } $ 이면, $ \left \|S(f, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $, $ \\|P \\|< \delta_ { 2 } $ 이면, $ \left \|S(f, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 이다.</p> <p>여기서 $ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} $ 로 두면, $ \\|P \\|< \delta $ 인 분할 $ P $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \mid S(f + g, P, \xi) &- \left ( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right ) \mid \\ &= \left \|S(f, P, \xi) + S(g, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right \| \end {aligned} $ $ \leq \left \|S(f, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \| + \left \|S(g, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right \| $ $< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon . $</p> <p>그러므로 $ \quad \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } S(f + g, P, \xi)= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $ 이다.</p> <p>정리 $ 5.25 $ 함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이면, $ F(x) = \int_ { a } ^ { x } f(t) d t $ 는 $ [a, b] $ 에서 미분가능하고, $ x \in[a, b] $ 에 대하여 $ F ^ {\prime } (x)=f(x) $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>개구간 $ (a, b) $ 에 속하는 점 $ x_ { 0 } $ 를 생각하자.</p> <p>$ \frac { F \left (x_ { 0 } + h \right )-F \left (x_ { 0 } \right ) } { h } = \frac { 1 } { h } \left [ \int_ { a } ^ { x_ { 0 } + h } f(t) d t- \int_ { a } ^ { x_ { 0 } } f(t) d t \right ]= \frac { 1 } { h } \int_ { x_ { 0 } } ^ { x_ { 0 } + h } f(t) d t $</p> <p>$ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 $ \left [x_ { 0 } , x_ { 0 } + h \right ] $ (또는 $ \left . \left [x_ { 0 } + h, x_ { 0 } \right ] \right ) $ 에서 연속이고, 적분에 관한 평균값정리에 의하여 $ x_ { 0 } $ 와 $ x_ { 0 } + h $ 사이에 수 $ c $ 가 존재하여 다음을 만족한다.</p> <p>$ \frac { 1 } { h } \int_ { x_ { 0 } } ^ { x_ { 0 } + h } f(t) d t=f(c) $</p> <p>그리고 $ f $ 가 $ x_ { 0 } $ 에서 연속이므로 $ \lim _ { h \rightarrow 0 } f(c)=f \left (x_ { 0 } \right ) $ 이다.</p> <p>따라서 다음이 성립한다.</p> <p>정리 $ 5.17 $ 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 $ k $ 가 상수일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type = 1 start=1><li>$ k f $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고, $ \int_ { a } ^ { b } k f(x) d x=k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $.</li> <li>$ f + g $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고, $ \int_ { a } ^ { b } \{ f(x) + g(x) \} d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + \int_ { a } ^ { b } g(x) d x . $</li></ol> <p>증명</p> <p>$ (1) $ $ k=0 $ 일 때는 명백하므로 $ k \neq 0 $ 이라고 하자. $ f $ 가 적분가능하므로, 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. $ P $ 가 $ [a, b] $ 의 분할이고 $ \\| P \mid< \delta $ 이면, $ \left \|S(f, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \|< \frac {\varepsilon } { \|k\| } $ 이다. $ S(f, P, \xi) $ 의 정의에 의하여 $ S(k f, P, \xi)=k S(f, P, \xi) $ 이다. 따라서 $ \\|P \\|< \delta $ 이면, 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \left \|S(k f, P, \xi)-k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \| &= \left \|k S(f, P, \xi)-k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \| \\ &=\|k\| \left \|S(f, P, \xi)- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \| \left \langle\|k\| \frac {\varepsilon } { \|k\| } = \varepsilon \right . \end {aligned} $</p> <p>즉, $ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } S(k f, P, \xi)=k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 이므로 정리 $ 5.16 $ 에 의하여 $ k f $ 는 적분가능하고 $ \int_ { a } ^ { b } k f(x) d x=k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $.</p> <h1>5.1 정적분의 정의</h1> <p>정의 $ 5.1 $ 구간 $ [a, b] $ 의 분할(partition)은 다음을 만족하는 유한집합 $ P = \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 이다. $ a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n-1 }<x_ { n } =b $. 분할 $ P $ 의 원소들을 분할점(point of partition)이라고 한다.</p> <p>함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 유계함수, $ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $ 가 구간 $ [a, b] $ 의 분할일 때, 부분구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ](k=1,2, \cdots, n) $ 에 대하여 다음과 같이 쓴다.</p> <p>$ \Delta x_ { k } =x_ { k } -x_ { k-1 } $, $ M_ { k } = \sup \left \{ f(x) \mid x_ { k-1 } \leq x \leq x_ { k } \right \} $, $ m_ { k } = \inf \left \{ f(x) \mid x_ { k-1 } \leq x \leq x_ { k } \right \} $</p> <p>이 장에서 이 기호들을 계속 쓰기로 한다. 여기서 $ \sum_ { k=1 } ^ { n } \Delta x_ { k } $ $ =b-a $ 이고 $ m_ { k } \leq M_ { k } $ 임에 유의하자.</p> <p>함수 $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 유계이면 각 $ m_ { k } $ 와 $ M_ { k } $ 는 실수이다. $ f $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이면 각 부분구간에서도 연속이고, 따라서 $ m_ { k } $ 와 $ M_ { k } $ 는 부분구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 에서 $ f $ 의 최소값과 최대값이 된다.</p> <p>하합의 집합은 위로 유계이고, 상합의 집합은 아래로 유계이므로 정의 $ 5.6 $ 을 다음과 같이 확장할 수 있다.</p> <p>정의 $ 5.39 $ 구간 $ [a, b] $ 에서 함수 $ f $ 가 유계이고, 함수 $ a $ 가 증가할 때 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관한 $ f $ 의 리만-스틸체스 하적분(Riemann-Stieltjes lower integral)과 리만-스틸체스 상적분(Riemann-Stieltjes upper integral)을 다음과 같이 정의한다. $ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a(x) = \sup _ { P } L(f, P, a) $, $ \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a(x)= \inf _ { P } U(f, P, a) . $</p> <p>보조정리 $ 5.38 $로부터 다음이 성립함은 자명하다.</p> <p>$ \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a \leq \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a . $</p> <p>정의 $ 5.40 $ 구간 $ [a, b] $ 에서 함수 $ f $ 가 유계이고, 함수 $ a $ 가 증가 한다고 하자. $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관한 $ f $ 의 리만-스틸체스 하적분과 리만-스틸체스 상적분이 일치하면, $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분함수 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하다(Riemann-Stieltjes integrable)고 한다. $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관하여 리만-스틸체스 적분가능하면 하적분과 상적분의 공통의 값을 $ [a, b] $ 에서 $ a $ 에 관한 $ f $ 의 리만-스틸체스 적분(Riemann-Stieltjes integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다. $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d a(x)= \underline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a(x)= \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d a(x) $ $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d a(x) $ 를 간단히 $ \int_ { a } ^ { b } f d a $ 로 쓰기도 한다.</p>	자연
s059-(이공계 학생을 위한) 미분적분학	<p>증명</p> <p>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=0 $ 으로부터, 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta>0 $ 가 존재해서 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \]일 때, $ \|g(x, y)-0\|< \varepsilon $, 즉 $ \|g(x, y)\|< \varepsilon $ 을 만족한다. 따라서 \[ \|f(x, y)-L\| \leq g(x, y)< \varepsilon \]이 된다. 그러므로 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L $ 이 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>[정리 5]를 이용하여, $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 $ 이 성립함을 보이시오.</p> <p>증명</p> <p>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq x ^ { 2 } $ 이므로, $ x \neq 0 $ 에 대해서 \[ \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } -0 \right \|= \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| \leq \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } } \right \|=\|y\| \]이다. 이때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \|y\|=0 $ 이므로, $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 $ 이 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 전미분 $ d z $ 는 접평면의 높이의 변화를 의미하고, $ z= $ $ f(x, y) $ 의 증분 $ \triangle z $ 는 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 까지 $ (x, y) $가 변할 때 곡면 $ z=f(x, y) $ 의 변화를 의미한다.</p> <p>③ 전미분과 근삿값</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능할 때 \[ f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \approx f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + d z \]로, $ f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 의 근삿값을 구할 수 있다.</p> <p>예제</p> <p>전미분을 이용하여, $ \sqrt { 9(1.95) ^ { 2 } + (8.1) ^ { 2 } } $ 의 근삿값을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ z=f(x, y)= \sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 이라 하면, $ f(2,8)=10 $ 이다. 따라서 \[ x_ { 0 } =2, y_ { 0 } =8, d x= \Delta x=-0.05, d y= \Delta y=0.1 \]로 잡으면, $ f_ { x } (x, y)= \frac { 9 x } {\sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , f_ { y } (x, y)= \frac { y } {\sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } $ 이므로 \[ \begin {aligned} \sqrt { 9(1.95) ^ { 2 } + (8.1) ^ { 2 } } &=f(1.95,8.1) \approx f(2,8) + d z \\ &=f(2,8) + f_ { x } (2,8) d x + f_ { y } (2,8) d y=9.99 \end {aligned} \]를 얻는다. 이 근삿값은 소수점 아래 두 자리까지 정확하다.</p> <p>증명</p> <p>$ (x, y) \neq(0,0) $ 일 때, $ f $ 는 유리함수이기 때문에 연속이다. 또한 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0=f(0,0) \]이므로, $ f $ 는 $ (0,0) $ 에서 연속이다. 따라서 이변수함수 $ f $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 연속이다.</p> <h1>7.2 편미분법</h1> <h2>1. 편도함수</h2> <h3>(1) 일계편도함수</h3> <p>$ z=f(x, y) $ 로 주어진 이변수함수에서 $ y $ 를 $ y=y_ { 0 } $ 로 고정하면, $ f(x, y) $ 는 $ x $ 만의 함수 $ g(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 가 된다.</p> <p>이때 $ g(x) $ 가 $ x_ { 0 } $ 에서 미분계수 $ g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) $ 를 가지면, 그것을 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ x $ 에 관한 $ f(x, y) $ 의 편미분계수(partial differential coefficient)라 하고 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \text { 또는 } \frac {\partial f } {\partial x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]로 표시한다. 따라서 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta x } \]가 된다. 마찬가지로 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ y $ 에 관한 $ f(x, y) $ 의 편미분계수는 \[ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ {\Delta y \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta y } \]로 정의한다.</p> <p>예제</p> <p>최대 오차 $ 0.1 \mathrm { ~cm } $ 로써 어느 직육면체의 세 모서리가 각각 $ 10 \mathrm { ~cm } , 20 \mathrm { ~cm } $, $ 30 \mathrm { ~cm } $ 로 측정되었다. 이 측정으로부터 이 상자의 부피를 구할 때 최대 오차를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>직육면체의 세 모서리를 $ x, y, z $ 라 하고, 구하는 부피를 $ V=x y z $ 라 하면 \[d V= \frac {\partial V } {\partial x } d x + \frac {\partial V } {\partial y } d y + \frac {\partial V } {\partial z } d z=y z d x + x z d y + x y d z \]이다. 이때 $ \| \Delta x\| \leq 0.1,\| \Delta y\| \leq 0.1,\| \Delta z\| \leq 0.1 $ 이므로, 최대 오차를 구하기 위해 \[ d x=0.1, d y=0.1, d z=0.1, x=10, y=20, z=30 \]을 $ d V=y z d x + x z d y + x y d z $ 에 대입하면, $ \Delta V \approx d V=110 $ 을 얻는다. 따라서 부피계산의 각 모서리에서의 단지 $ 0.1 \mathrm { ~cm } $ 의 착오는 $ 110 \mathrm { ~cm } ^ { 3 } $ 이나 되는 착오를 가져온다.</p> <h2>3. 합성함수의 편미분법</h2> <p>이변수함수에 대한 연쇄법칙과 음함수 미분법에 대해서 설명한다.</p> <h3>(1) 연쇄법칙</h3> <p>정리 6 연쇄법칙 1</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 열린원판 $ D $ 의 모든 점에서 미분가능한 이변수함수이고, 열린구간 $ I $의 모든 $ t $ 에서 미분가능한 일변수함수 \[ x=g(t), y=h(t) \]에 의해 주어진 점 $ (g(t), h(t)) $ 가 $ D $ 에 있다고 하자. 그러면 합성함수 $ z= $ $ f(g(t), h(t)) $ 는 $ I $ 의 모든 $ t $ 에 대해서 미분가능하고 \[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } \]가 성립한다. 이때 $ \frac { d z } { d t } $ 를 $ t $ 에 관한 $ z $ 의 전도함수라고 한다.</p> <p>예</p> <p>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \left (x ^ { 2 } y + 3 x y \right )=10 , \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \left (x y ^ { 2 } + 3 y \right )=5 \neq 0 $ 이므로 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \frac { x ^ { 2 } y + 3 x y } { x y ^ { 2 } + 3 y } =2 \] 가 된다.</p> <p>일반적으로 이변수함수의 극한을 구할 때는, $ \varepsilon- \delta $ 논법에 의존하지 않고 극좌표 변환을 이용한다.</p> <p>예제</p> <p>변수변환 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 를 이용하여, $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 $ 이 성립함을 보이시오.</p> <p>증명</p> <p>$ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 로 변환하면, $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 과 $ r \rightarrow + 0 $ 은 동치이므로 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \lim _ { r \rightarrow + 0 } \frac { r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta } { r ^ { 2 } } = \lim _ { r \rightarrow + 0 } \cos ^ { 2 } \theta r \sin \theta=0 \]을 얻는다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 $ 이 된다.</p> <p>일변수함수의 극한에서의 조임정리를 일반화하여 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 5</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방 (단, 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 제외 가능 )의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대해서, $ \|f(x, y)-L\| \leq g(x, y) $ 를 만족한다고 하자. 이때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=0 $ 이면 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 내의 점 $ (x, y) $ 에서 미분가능하면, 어떤 단위벡터 $ \mathbf { u } =(a, b) $ 의 방향으로 방향도함수 $ D_ {\mathrm { u } } f(x, y) $ 를 갖고 \[ D_ {\mathrm { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \]가 된다.</p> <p>참고</p> <p>$ D_ {\mathrm { u } } f(x, y) $ 는 " $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 내의 단위벡터 $ \mathbf { u } $ 의 방향으로 함수의 변화율”로 해석할 수 있다.</p> <p>어떤 단위벡터 $ \mathbf { u } =(a, b) $ 의 방향으로 방향도함수 $ D_ {\mathrm { u } } f(x, y) $ 는 두 벡터의 내적 \[ D_ {\mathrm { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b= \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \cdot \mathbf { u } \]로 변형된다. 이때 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 일계편도함수를 각 좌표의 성분으로 갖는 벡터함수 $ \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) $ 를 $ f(x, y) $ 의 기울기 (gradient)라고 정의하고, $ \operatorname { grad } f $ 또는 $ \nabla f $ 로 표기한다. (9.1절 2 참조)</p> <p>정리 11</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 미분가능하고 $ \mathbf { u } $ 가 단위벡터이면 \[D_ {\mathrm { u } } f(x, y)= \nabla f(x, y) \cdot \mathbf { u } \]</p> <p>참고</p> <p>$ x $ 와 $ y $ 에 관한 $ f $ 의 편도함수는 방향도함수의 특별한 경우이다. 왜냐하면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서의 표준기저벡터 $ \mathbf { i } $ 와 $ \mathbf { j } $ 에 대해서, $ \nabla f \cdot \mathbf { i } =f_ { x } $ 이므로 $ D_ {\mathrm { u } } f=f_ { x } $ 가 되고, $ \nabla f \cdot \mathbf { j } =f_ { y } $ 이므로 $ D_ {\mathrm { u } } f=f_ { y } $ 로 주어지기 때문이다.</p> <p>참고</p> <p>접평면의 방정식 $ ( * ) $ 에서 $ z $ 값을 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ f(x, y) $ 의 선형근사식이라 하고, $ L(x, y) $ 로 표기한다. 즉 \[ L(x, y)=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]로 주어진다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 를 지나고 접평면에 수직인 직선은 \[ x=x_ { 0 } + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) t, y=y_ { 0 } + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) t, z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-t \]로 주어진다. 이 직선을 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 에서 곡면의 법선이라고 한다.</p> <h3>(2) 미분가능과 전미분</h3> <p>① 연속과 미분가능</p> <p>다음 정리는 $ x $ 와 $ y $ 를 고정시킴으로써 생기는 일변수함수에 각각 평균값정리를 적용하여 증명한다.</p> <p>정리 3</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 직사각형 영역 $ R $ 에서 정의된 이변수함수 $ z=f(x, y) $에 대해서, 일계편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 가 $ R $ 내부에서 존재하고, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이라고 하자. 그러면 $ \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \in R $ 에 대해서 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ &=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \]가 성립한다. 여기서 $ \varepsilon_ { 1 } $ 과 $ \varepsilon_ { 2 } $ 는 $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 각각 0 에 수렴하는 $ \Delta x $와 $ \Delta y $ 의 함수이다.</p> <p>풀이</p> <p>[연쇄법칙 2]에 의해 \[ \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial s } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } = \left (e ^ { x } \sin y \right ) \left (t ^ { 2 } \right ) + \left (e ^ { x } \cos y \right )(2 s t) \\&=t ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + 2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \\ \frac {\partial z } {\partial t } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } = \left (e ^ { x } \sin y \right )(2 s t) + \left (e ^ { x } \cos y \right ) \left (s ^ { 2 } \right ) \\&=2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + s ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \end {aligned} \]</p> <h3>(2) 음함수 미분법</h3> <p>연쇄법칙은 음함수를 미분할 때 이용된다. 미분가능한 함수 $ y=f(x) $ 가 음함수 $ F(x, y)=0 $ 으로 표시될 때, $ f(x) $ 의 정의역에 있는 모든 $ x $ 에 대해서 $ F(x, y) $ 가 미분가능하면, [정리 6] 으로부터 $ \frac {\partial F } {\partial x } \frac { d x } { d x } + \frac {\partial F } {\partial y } \frac { d y } { d x } =0 $ 을 얻는다. 따라서 $ \frac {\partial F } {\partial y } \neq 0 $ 이면 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\partial F / \partial x } {\partial F / \partial y } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } \]가 성립한다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 모든 점에서 미분가능하면, $ f(x, y) $ 는 $ D $ 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>예</p> <p>다항식과 유리함수는 그들의 정의역 안에서 미분가능하다. 왜냐하면 그들의 편도함수가 연속이기 때문이다.</p> <p>이변수함수 $ f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능하면, $ f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이 된다. 그러나 연속이 미분가능함을 의미하지는 않는다. 한편 일계편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 의 존재가 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 미분가능성을 보장하지 않는다.</p> <p>정리 5</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능하면, $ f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $에서 연속이다.</p> <p>참고</p> <p>[정리 5]의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 $ f(x, y)=\|x\| + y $ 로 주어진 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 는 $ (0,0) $ 에서 연속이지만 미분가능하지 않다.</p> <p>② 증분과 전미분</p> <p>$ \Delta x $ 와 $ \Delta y $ 를 각각 $ x $ 와 $ y $ 의 증분이라 할 때, 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 증분은 \[ \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \]이다. 이때 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 정의역에 있는 점 $ (x, y) $ 에서 미분가능하면 \[ f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \approx f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y \]이고, $ f(x, y) $ 의 전미분(total differential) $ d z $ 는 \[ d z=f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y= \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial y } \Delta y \]로 정의된다. 특히 $ z=f(x, y)=x $ 일 때 $ z_ { x } =1, z_ { y } =0 $ 이므로 $ d x= \Delta x $ 이고, 또한 $ z=f(x, y)=y $ 일 때 $ d y= \Delta y $ 이다. 따라서 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 전미분 $ d z $ 는 \[ d z=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \]가 된다. 이때 $ d x=x-x_ { 0 } , d y=y-y_ { 0 } $ 를 취하면, $ z $ 의 전미분 $ d z $ 는 \[ d z=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]로 주어진다.</p> <p>정리 8</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 열린원판 $ D $ 에서 정의된 이변수함수 $ z=F(x, y) $ 가 미분가능하고, $ F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 을 만족한다고 하자. 그러면 $ D $ 에서 $ F(x, y)=0 $ 은 $ x $ 의 함수로써 $ y $ 를 정의하고 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\partial F / \partial x } {\partial F / \partial y } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } \]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 에서 접선의 방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } -1=0 $ 으로 놓자. 그러면 $ \frac {\partial f } {\partial x } = \frac { 2 x } { a ^ { 2 } } , \frac {\partial f } {\partial y } = \frac { 2 y } { b ^ { 2 } } $ 이므로, $ \frac { d y } { d x } =- \frac { b ^ { 2 } x } { a ^ { 2 } y } $ 가 된다. 따라서 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 에서 접선의 기울기는 $ - \frac { b ^ { 2 } x_ { 1 } } { a ^ { 2 } y_ { 1 } } $ 이다. 그러므로 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 에서 접선의 방정식은 \[ y-y_ { 1 } =- \frac { b ^ { 2 } x_ { 1 } } { a ^ { 2 } y_ { 1 } } \left (x-x_ { 1 } \right ) \]이다. 그런데 $ \frac { x_ { 1 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y_ { 1 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 을 만족하므로, 구하는 접선의 방정식은 \[ \frac { x x_ { 1 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y y_ { 1 } } { b ^ { 2 } } =1 \]로 주어진다.</p> <p>일반적으로 대부분의 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 경우 $ f_ { x y } (x, y) $ 와 $ f_ { y x } (x, y) $ 는 일치하지만, 이들이 항상 같은 것은 아니다. 따라서 편미분의 순서변경이 허용되지 않음에 유의한다.</p> <p>예제</p> <p>\[ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x y \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \]으로 주어진 이변수함수 $ f(x, y) $ 에 대해서, $ f_ { x y } (0,0) \neq f_ { y x } (0,0) $ 임을 보이시오.</p> <p>증명</p> <p>$f_ { x } (0, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(h, y)-f_ { x } (0, y) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { y \left (h ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } { h ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =-y $ 이므로 \[ f_ { x y } (0,0)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { f_ { x } (0, k)-f_ { x } (0,0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { -k-0 } { k } =-1 \]이 된다. 또한 $ f_ { y } (x, 0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x, h)-f(x, 0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { x \left (x ^ { 2 } -h ^ { 2 } \right ) } { x ^ { 2 } + h ^ { 2 } } =x $ 이므로 \[ f_ { y x } (0,0)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { f_ { y } (k, 0)-f_ { y } (0,0) } { k } = \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { k-0 } { k } =1 \]을 얻는다. 따라서 $ f_ { x y } (0,0) \neq f_ { y x } (0,0) $ 이다.</p> <p>(4) $ D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이면, $ f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값을 갖든지, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 안장점을 갖는다.</p> <p>예제</p> <p>다음 이변수함수에 대해서, 극값을 구하시오.</p> <p>(1) $ f(x, y)=3 x ^ { 2 } + y ^ { 3 } $ (2) $ f(x, y)=x y(x + y-3) $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ f_ { x } (x, y)=6 x=0, f_ { y } (x, y)=3 y ^ { 2 } =0 $ 으로부터 임계점 $ (0,0) $ 을 얻는다. 한편 \[ \begin {array} { c } f_ { x x } =6, f_ { x y } =0, f_ { y y } =6 y \\D(0,0)=f_ { x y } ^ { 2 } (0,0)-f_ { x x } (0,0) f_ { y y } (0,0)=0 \end {array} \]이므로, $ (0,0) $ 에서 극값의 존재 여부를 알 수 없다. 그러나 $ y $ 축을 따라 $ f(x, y)=y ^ { 3 } $ 이므로, $ y>0 $ 이면 $ f(x, y)>0, y<0 $ 이면 $ f(x, y)<0 $이 된다. 즉 점 $ (0,0) $에서 극값을 갖지 않는다. 따라서 주어진 함수는 극값을 갖지 않는다.</p> <p>(2) $ f_ { x } (x, y)=y(2 x + y-3)=0, f_ { y } (x, y)=x(x + 2 y-3)=0 $ 으로부터 임계점 $ (0,0),(0,3),(3,0),(1,1) $ 을 얻는다. 한편 \[ \begin {array} { c } f_ { x x } (x, y)=2 y, f_ { x y } (x, y)=2 x + 2 y-3, f_ { y y } (x, y)=2 x \\D(x, y)=f_ { x y } ^ { 2 } (x, y)-f_ { x x } (x, y) f_ { y y } (x, y)=(2 x + 2 y-3) ^ { 2 } -4 x y \end {array} \]가 된다. 임계점 각각에 대해서 $ D(x, y) $ 를 구하면, 각각 $ 9,9,9,-3 $을 얻는다. 따라서 처음 세 쌍에 대해서 주어진 이변수함수 $ f(x, y) $ 는 극값을 갖지 않는다. 그러나 $ f_ { x x } (1,1)>0 $ 이므로, $ f(x, y) $ 는 극솟값 $ f(1,1)=-1 $ 을 갖는다.</p> <p>$ D \subset R ^ { 2 } $ 에 대해서, $ D $ 를 완전히 포함하는 원판이 존재할 때 $ D $ 를 유계라고 한다.</p> <p>정리 7 최대·최솟값정리</p> <p>유계인 닫힌영역 $ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 정의된 연속인 이변수함수 $ f(x, y) $ 는 $ D $ 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이때 이 값들은 $ D $ 의 임계점이거나 또는 $ D $ 의 경계점에서 생긴다.</p> <p>유계인 닫힌영역에서 연속함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법은 먼저 경계에서 극값을 구하고, 이것을 다시 내부에서의 극값과 비교하여 구한다.</p> <p>정리 9</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 열린구 $ S $ 에서 정의된 삼변수함수 $ w=F(x, y, z) $ 가 미분가능하고, $ F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0, F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 을 만족한다고 하자. 그러면 $ S $에서 $ F(x, y, z)=0 $ 은 $ x $ 와 $ y $ 의 함수로써 $ z $ 를 정의하고 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { z } } , \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { F_ { y } } { F_ { z } } \]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>$ x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } + 6 x y z-2=0 $ 일 때, $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>[방법 1] $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 를 구하기 위해, $ y $ 를 상수로 보고 $ x $ 에 관해서 음함수 미분을 하면 $ 3 x ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } \frac {\partial z } {\partial x } + 6 y z + 6 x y \frac {\partial z } {\partial x } =0 $ 이므로 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { x ^ { 2 } + 2 y z } { z ^ { 2 } + 2 x y } \]를 얻는다. 같은 방법으로, $ y $ 에 관해서 미분하면 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { y ^ { 2 } + 2 x z } { z ^ { 2 } + 2 x y } \]가 된다. 여기서 $ z ^ { 2 } + 2 x y \neq 0 $ 이다.</p> <h1>7.3 이변수함수의 극대와 극소</h1> <h2>1. 이변수함수의 전개</h2> <p>미분가능한 일변수함수 $ f(x) $ 에 대한 평균값정리는 이변수함수로 확장할 수 있다.</p> <p>정리 1 이변수함수에 관한 평균값 정리</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 열린원판 $ D $ 에서 연속인 일계편도함수를 갖는 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에 대해서, $ \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) $ 가 $ D $ 의 점이면 \[f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x ^ { * } , y ^ { * } \right ) \]를 만족하는 점 $ \left (x ^ { * } , y ^ { * } \right ) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 와 $ \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) $ 를 잇는 선분 위에 존재한다.</p> <p>[정리 1]부터 다음 정리를 얻는다.</p> <p>따름정리</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 열린원판 $ D $ 에서 연속인 일계편도함수를 갖는 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에 대해서, $ \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) $ 가 $ D $ 의 점이면 \[f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f(a + \theta h, b + \theta k) \]를 만족하는 $ \theta $ (단, $ 0< \theta<1 $ ) 가 존재한다.</p> <p>이변수 이상의 함수의 그래프를 그리는 것은 그리 간단한 일이 아니지만, 컴퓨터 프로그램에 의해 가능하다.</p> <h2>2. 이변수함수의 극한과 연속</h2> <h3>(1) 이변수함수의 극한</h3> <p>정의 2 이변수함수의 극한 (극한의 직관적 정의)</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 위의 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 충분히 가까이 있는 모든 점 $ (x, y) $ (단, 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 제외 가능)들에 대해서 $ z $ 축 위의 한 고정점 $ L $ 의 아래 위로 충분히 가까운 점 ( $ L $ 자신도 포함)들이 대응될 때, $ z=f(x, y) $ 는 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극한 $ L $ 을 갖는다고 하고 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]로 나타낸다.</p> <p>이변수함수의 극한에 관한 다른 표기법은 \[ \lim _ {\substack { x \rightarrow x_ { 0 } \\ y \rightarrow y_ { 0 } } } f(x, y)=L \text { 또는 } (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \text { 일 때, } f(x, y) \rightarrow L \]이다. 이때 “ $ (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때, 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 극한이 $ L $ 이다."라고 읽는다.</p> <p>참고</p> <p>일변수함수에서 $ x $ 가 $ a $ 에 접근할 때, 두 개의 접근방향이 있었다. 만약 $ \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } + 0 } f(x) $ $ \neq \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } -0 } f(x) $ 이면, $ \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } f(x) $ 는 존재하지 않는다. 그러나 이변수함수에서는 단순하지 않다. 왜냐하면 $ (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 라는 개념은 평면 위의 모든 방향에서 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 로 접근하는 것을 의미하기 때문이다.</p> <p>예</p> <p>이변수함수 $ f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x-4 y + 3 $ 에 대해서 \[ f_ { x } (x, y)=2 x + 2, f_ { y } (x, y)=2 y-4 \]이므로, $ f(x, y) $ 의 임계점은 $ (-1,2) $ 이다.</p> <p>정리 4</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 극값이 존재하고, $ f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속인 일계편도함수를 가지면 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]이 성립한다. 따라서 이변수함수 $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값을 가지면, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 임계점이 된다.</p> <p>증명</p> <p>이변수함수 $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극댓값을 가지면, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 적당한 근방에서 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \geq f(x, y) $ 가 된다. 따라서 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \geq f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 가 성립한다. 이것은 $ x $ 만의 함수 $ f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 가 $ x=x_ { 0 } $ 에서 극대인 것을 나타내므로, $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이 된다. 같은 방법으로 $ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이 된다. 극솟값을 가질 경우도 유사한 방법으로 증명한다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 내의 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방(neighborhood)은 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 중심으로 하는 열린원판을 포함하는 임의의 집합이다.</p> <p>이변수함수의 극한에 관한 엄밀한 정의는 다음과 같다.</p> <p>정의 3 이변수함수의 극한 (극한의 엄밀한 정의, $ \varepsilon- \delta $ 논법)</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방에서 정의된 이변수함수 (단, 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 제외 가능)라고 하자. 이때 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \]를 만족하는 모든 $ (x, y) $ 에 대해서 $ \|f(x, y)-L\|< \varepsilon $ 을 만족하는 $ \delta>0 $ 가 존재하면, $ z=f(x, y) $ 는 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극한 $ L $ 을 갖는다고 하고 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]로 나타낸다.</p> <p>예제</p> <p>[정의 3]을 이용하여, 다음을 증명하시오</p> <p>(1) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } x=a $ (2) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 $</p> <p>증명</p> <p>(1) 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta= \varepsilon $ 을 취하면, $ 0< \sqrt { (x-a) ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } }< \delta $를 만족하는 모든 $ (x, y) $ 에 대해서 \[ \|x-a\|= \sqrt { (x-a) ^ { 2 } }< \sqrt { (x-a) ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } }< \delta= \varepsilon \]이 성립한다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } x=a $ 가 된다.</p> <p>극값은 임계점에서만 생기므로 극값을 구하기 위해서는 먼저 임계점을 찾아야 한다. 그 다음 임계점을 분석해서 극값 여부를 판정한다. 이제 임계점에서 극값의 존재 여부를 결정하는 판정법을 생각해보자.</p> <p>정리 6 이계편도함수 판정법</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 어떤 열린원판에서 연속인 이계편도함수를 갖고 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]을 만족한다고 하자. 이때 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 판별식 $ D $ 를 \[D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x y } { } ^ { 2 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]라고 놓으면, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ D<0, f_ { x x } >0 $ 이면, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극솟값이다.</p> <p>(2) $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ D<0, f_ { x x }<0 $ 이면, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극댓값이다.</p> <p>(3) $ D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 $ 이면, $ f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 안장점을 갖는다.</p> <p>특히 임의의 점 $ (x, y) $ 에서 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 $ x $ (또는 $ y $ )에 관한 편도함수(partial derivative) $ f_ { x } (x, y) $ (또는 $ \left .f_ { y } (x, y) \right ) $ 를 \[ \begin {aligned} f_ { x } (x, y) &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x, y)-f(x, y) } {\Delta x } \\ f_ { y } (x, y) &= \lim _ {\Delta y \rightarrow 0 } \frac { f(x, x + \Delta y)-f(x, y) } {\Delta y } \end {aligned} \]로 정의하고, 편도함수 $ f_ { x } $ 또는 $ f_ { y } $ 를 구하는 것을 편미분한다 (differentiate partially)고 한다. 이때 $ \frac {\partial } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial } {\partial y } $ 를 편미분작용소라 하고, $ \frac {\partial f } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial f } {\partial y } $ 는 극한이 존재하는 $ f(x, y) $의 정의역 내의 모든 점 $ (x, y) $ 에서 정의된다. 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 편도함수는 \[ f_ { x } = \frac {\partial f } {\partial x } = \frac {\partial z } {\partial x } =z_ { x } =D_ { x } f, \quad f_ { y } = \frac {\partial f } {\partial y } = \frac {\partial z } {\partial y } =z_ { y } =D_ { y } f \]등으로 표기한다.</p> <p>참고</p> <p>이변수함수의 편도함수를 구하는 것은, 일변수함수의 도함수를 구하는 것보다 어렵지않다. 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에서 $ f_ { x } (x, y) $ 를 구할 때는 $ y $ 를 상수로 보고 $ x $ 에 관해서 미분하고, $ f_ { y } (x, y) $ 를 구하기 위해서는 $ x $ 를 상수로 보고 $ y $ 에 관해서 미분하면된다.</p> <h1>7.1 이변수함수의 극한과 연속</h1> <p>$ D $ 가 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 부분집합일 때, $ f: D \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 를 $ n $ 변수 함수 (function of $ n $ variables)라고 한다. 통상 $ n \geq 2 $ 인 경우를 다변수함수(function of several variables)라 하고, 특히 $ f: D \rightarrow \mathbb { R } $ 를 정의역 $ D $ 를 갖는 $ n $ 변수 실함수라고 한다. 실함수를 종종 스칼라함수라고 부르기도 한다.</p> <h2>1. 이변수함수</h2> <h3>(1) 공간좌표계</h3> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서의 임의의 점은 세 실수의 순서쌍 $ (a, b, c) $ 로 나타낸다. 원점 $ O $ 에서 서로 수직으로 만나는 세 좌표축 $ x $ 축, $ y $ 축, $ z $ 축을 택하면 (단, $ z $ 축의 방향은 오른손법칙에 의해 정함), 세 좌표축은 세 좌표평면 $ x y $ 평면, $ y z $ 평면과 $ x z $ 평면을 결정한다. 이 세 좌표평면은 팔분공간이라 부르는 8 개의 공간으로 나눈다.</p> <p>일반적으로 $ n $ 개의 성분을 갖는 순서쌍 전체의 집합을 $ n $ 차원 공간이라 하고, $ \mathbb { R } ^ { n } $ 으로 표시한다. 이것을 $ n $ 차원 직교좌표계라고 한다. 이차원공간에서 $ x $ 와 $ y $ 를 포함하는 식의 그래프는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 곡선이고, 삼차원공간에서 $ x, y, z $ 를 포함하는 식의 그래프는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 곡면을 나타낸다.</p> <h3>(2) 이변수함수</h3> <p>정의 1 이변수함수</p> <p>$ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에 대해서 각 점 $ (x, y) \in D $ 에 유일한 실수 $ f(x, y) \in \mathbb { R } $ 가 대응될 때 $ f: D \rightarrow \mathbb { R } $ 로 표기하고, $ f(x, y) $ 를 이변수의 실함수라고 한다. 이때 $ D $ 를 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 정의역이라 하고, $ \{ f(x, y) \mid(x, y) \in D \} $ 를 $ f(x, y) $ 의 치역이라고 한다. $ f(x, y) $ 가 정의역을 $ D $ 로 갖는 이변수함수일 때, $ f(x, y) $ 의 그래프는 \[ S = \left \{ (x, y, z) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid z=f(x, y),(x, y) \in D \right \} \]로 정의한다.</p> <h3>(2) 이변수함수의 연속</h3> <p>정의 6 이변수함수의 연속</p> <p>$ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 근방의 모든 점 $ (x, y) $ 에서 정의된 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=f(a, b) \]를 만족하면, $ f(x, y) $ 는 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이라고 한다. 연속이 아닐 때 불연속이라고 한다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 정의역 $ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 모든 점에서 연속일 때, $ f(x, y) $ 는 $ D $ 에서 연속이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>이변수함수 $ f(x, y)=x y $ 는 점 $ (1,2) $ 에서 연속이다. 왜냐하면 $ x=1 + r \cos \theta $, $ y=1 + r \sin \theta $ 로 놓을 때 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } x y= \lim _ { r \rightarrow + 0 } (1 + r \cos \theta)(1 + r \sin \theta)=2 \] 이고, $ f(1,2)=2 $ 이므로 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } f(x, y)=2=f(1,2) \]를 만족하기 때문이다.</p> <p>함수의 합성으로 새로운 연속함수를 얻을 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>(합성함수의 연속성) : $ z=f(x, y) $ 가 연속이고 $ x= \varphi(u, v), y= \psi(u, v) $ 가 연속이면, 합성함수 $ z=f( \varphi(u, v), \psi(u, v)) $ 도 연속이다.</p> <p>일변수함수에서의 극한과 연속에 대한 성질은 이변수함수로 확장된다.</p> <p>예제</p> <p>\[ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0) \end {array} \right . \]으로 주어진 이변수함수 $ f $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 연속임을 보이시오.</p> <p>참고</p> <p>[정 리 4]의 기하학적인 해석은 극값을 갖는 점에서 이변수함수 $ f(x, y) $ 가 접평면을 가지면 그 접평면은 수평이 된다는 것이다.</p> <p>만일 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 극값이면, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 임계점이다. 그러나 극값은 임계점에서만 생기지만, 임계점에서 이변수함수가 반드시 극값을 갖는 것이 아니다.</p> <p>예</p> <p>이변수함수 $ f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } $ 으로 주어진 쌍곡포물면은 원점에서 수평의 접평면을 갖는다. 그러나 $ f_ { x } (x, y)=2 x, f_ { y } (x, y)=-2 y $ 로부터 \[f_ { x } (0,0)=0, f_ { y } (0,0)=0 \]을 만족하지만, $ f(0,0)=0 $ 은 $ x $ 축 방향에서는 최대이고 $ y $ 축 방향에서는 최소이므로 점 $ (0,0) $ 에서 쌍곡포물면 $ f(x, y) $ 는 극값을 갖지 않는다.</p> <p>정의 5 안장점</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 임계점일 때, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 중심으로 하는 모든 열린원판이 $ f(x, y)<f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 점 $ (x, y) $ 와 $ f(x, y)>f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인점 $ (x, y) $ 를 모두 포함하면, 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 를 $ z=f(x, y) $ 의 안장점(saddle point)이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>쌍곡포물면 $ f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } $ 은 $ (0,0) $ 에서 안장점을 가진다. 이때 원점 근방에서 말안장 모양을 하고 있음에 유의한다.</p> <p>이변수함수 $ f(x, y) $ 의 정의역에 있는 모든 점 $ (x, y) $ 에서 \[f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left ( \text { 또는 } f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \]를 만족할 때, $ f(x, y) $ 는 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 최댓값 (또는 최솟값)을 갖는다고 한다.</p> <p>예</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 $ f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x-4 y + 3 $ 로 주어진 이변수함수라고 하자. 이때 \[ f(x, y)=(x + 1) ^ { 2 } + (y-2) ^ { 2 } -2 \]로 변형하면 $ (x + 1) ^ { 2 } \geq 0 $ 이고 $ (y-2) ^ { 2 } \geq 0 $ 이므로, $ x $ 와 $ y $ 의 모든 값에 대해서 $ f(x, y) \geq-2 $ 가 성립한다. 따라서 $ f(-1,2)=-2 $ 가 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 극솟값이다. 그리고 이것이 $ f(x, y) $ 의 최솟값이 된다.</p> <p>정의 3 임계점</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 정의역 내에 있고 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]이거나, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 중 적어도 하나가 존재하지 않을 때, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f(x . y) $ 의 임계점이라고 한다.</p> <p>점 $ (x, y) $ 가 경로 $ P_ { 1 } $ 을 따라서 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때 이변수함수 $ f(x, y) $ 가 $ L_ { 1 } $ 에 접근하고, $ (x, y) $ 가 경로 $ P_ { 2 } $ 를 따라서 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때 $ f(x, y) $ 가 $ L_ { 2 } $ (단, $ \left .L_ { 2 } \neq L_ { 1 } \right ) $ 에 접근하면, 극한 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } y_ { 0 } \right ) } f(x, y) $ 는 존재하지 않는다. 극한이 존재한다면, $ (x, y) $ 를 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근시키는 경로에는 상관없이 $ f(x, y) $ 는 모두 같은 극한을 가져야 하기 때문이다.</p> <p>예제</p> <p>다음 극한의 존재 여부를 판정하시오.</p> <p>(1) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,0) } \frac { y } { x + y-1 } $ (2) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,0) } \frac { y } { x + y-1 } $ 는 존재하지 않는다. 왜냐하면 직선 $ x=1 $ 을 따라서 $ (x, y) \rightarrow(1,0) $ 이면 \[ \lim _ { (1, y) \rightarrow(1,0) } \frac { y } { 1 + y-1 } =1 \]이고, 직선 $ y=0 $ 을 따라서 $ (x, y) \rightarrow(1,0) $ 이면 \[ \lim _ { (x, 0) \rightarrow(1,0) } \frac { 0 } { x + 0-1 } =0 \]이 되기 때문이다.</p> <p>예</p> <p>\[f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\0 & ,(x, y)=(0,0) \end {array} \right . \]으로 정의된 이변수함수는 $ f_ { x } (0,0)=0=f_ { y } (0,0) $ 이지만, 점 $ (0,0) $ 에서 연속이아니다.</p> <p>편도함수의 기하학적 해석을 위해 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 곡면 $ S $ 를 나타내고, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=c $ 이면 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 는 $ S $ 위에 놓인다고 하자. 이때 $ C_ { 1 } $ 이 $ y=y_ { 0 } $ 에서 $ S $ 의 자취이고, $ C_ { 2 } $ 가 $ x=x_ { 0 } $ 에서 $ S $ 의 자취이면, 편미분계수 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 와 $ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $는 기하학적으로 $ x=x_ { 0 } $ 와 $ y=y_ { 0 } $ 에서 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 에 대한 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 에서의 접선의 기울기로 각각 해석할 수 있다. 또한 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에 대해서, $ f_ { x } (x, y) $ 는 $ y $가 일정할 때 $ x $ 에 관한 $ z $ 의 변화율로 해석되기도 한다.</p> <h3>(2) 고계편도함수</h3> <p>$ z=f(x, y) $ 가 이변수함수이면, 그것의 편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 도 이변수함수가 된다. 이때 네 가지 서로 다른 이계편도함수 \[ \left (f_ { x } \right )_ { x } , \left (f_ { x } \right )_ { y } , \left (f_ { y } \right )_ { x } , \left (f_ { y } \right )_ { y } \]를 생각할 수 있고, 이것을 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 이계편도함수라고 한다. 만약 $ z=f(x, y) $ 이면 \[ \begin {array} { l } \left (f_ { x } \right )_ { x } =f_ { x x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } \\ \left (f_ { x } \right )_ { y } =f_ { x y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } \\ \left (f_ { y } \right )_ { x } =f_ { y x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } \\ \left (f_ { y } \right )_ { y } =f_ { y y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \end {array} \]로 표기한다. 그러므로 $ f_ { x y } $ 표기법은 우선 $ x $ 에 관해 미분하고, 다음에 $ y $ 에 관해 미분하는 것이고, 반면 $ f_ { y x } $ 는 반대 순서로 계산한다.</p> <p>(2) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 는 존재하지 않는다. 왜냐하면 직선 $ x=0 $ 을 따라서 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 이면 \[ \lim _ { (0, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 0 } { 0 + y ^ { 2 } } =0 \]이고, 직선 $ y=0 $ 을 따라서 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 이면 \[ \lim _ { (x, 0) \rightarrow(0,0) } \frac { 0 } { x ^ { 2 } + 0 } =0 \]이다. 그런데 $ y=x $ 에 대해서 계산하면 \[ \lim _ { (x, x) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \]이 된다. 따라서 세 경우의 극한이 일치하지 않으므로, 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서, 반지름이 $ r $ 이고 중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 열린원판(open disk)은 \[ \left \{ (x, y) \mid \left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 }<r ^ { 2 } \right \} \]으로 주어진 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 부분집합이고, 반지름이 $ r $ 이고 중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 닫힌원판 (closed disk)은 $ \left \{ (x, y) \mid \left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \leq r ^ { 2 } \right \} $ 으로 주어진 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 부분집합이다.</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 근방 $ D $ 에서 정의된 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에 대해서, 일계편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 가 $ D $ 내부에서 존재하고, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이면, 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능하다.</p> <p>정의 4 미분가능</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방 $ D \in \mathbb { R } ^ { 2 } $ 내의 모든 점 $ \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 에 대해서 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ &=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \] 이고, $ \varepsilon_ { 1 } $ 과 $ \varepsilon_ { 2 } $ 가 $ \Delta x $ 와 $ \Delta y $ 의 함수로서 $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 모두 0 에 수렴하면, 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>이 책을 서술함에 있어 이변수의 실함수를 간단히 이변수함수(function of two variables)라고 한다. 이변수함수를 표시할 때는 화살표 표시법 (arrow diagram), 그래프, 등위곡선을 이용한다. 보통 $ z=f(x, y) $ 와 $ f(x, y) $ 를 같은 의미로 혼용한다.</p> <p>참고</p> <p>$ z=f(x, y) $ 와 평면 $ z=k $ (단, $ k $ 는 상수)가 만나는 점 $ (x, y) $ 를 $ x y $ 평면에 나타낸 곡선을 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 등위곡선 (level curve)이라고 한다. 이것은 지도를 제작할 때, 흔히 사용하는 방법이다.</p> <p>일변수함수 $ f(x) $ 의 그래프가 $ y=f(x) $ 로 주어진 곡선 $ C $ 인 것처럼, 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 그래프는 $ z=f(x, y) $ 로 주어진 곡면 $ S $ 가 된다.</p> <p>예제</p> <p>다음 이변수함수에 대해서, 정의역 $ D $ 를 구하시오.</p> <p>(1) $ f(x, y)=x \ln y $ (2) $ f(x, y)= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ D= \{ (x, y) \mid y>0 \} $, 즉 $ x $ 축 위 부분의 반평면이다.</p> <p>(2) $ D= \left \{ (x, y) \mid 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \geq 0 \right \} = \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 \right \} $ 이다. 이것은 반지름 2 , 원점이 중심인 원판이다.</p> <p>참고</p> <p>이변수함수 $ f(x, y)= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 의 치역은 $ z \geq 0 $ 과 $ \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \leq 2 $ 로부터 \[ \left \{ z \mid z= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } ,(x, y) \in D \right \} = \{ z \mid 0 \leq z \leq 2 \} \]</p> <p>예제</p> <p>다음 이변수함수 $ f(x, y) $ 에 대해서, 일계편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $를 구하시오.</p> <p>(1) $ f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 x y + 4 y ^ { 2 } $ (2) $ f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ f_ { x } (x, y)=2 x + 3 y, f_ { y } (x, y)=3 x + 8 y $</p> <p>(2) $ f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } , f_ { y } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y $</p> <p>예제</p> <p>이변수함수 $ z=f \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) $ 의 일계편도함수 $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =u $ 라 놓으면, $ z=f(u) $ 가 된다. 따라서 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =f ^ {\prime } (u) \frac {\partial u } {\partial x } =2 x f ^ {\prime } (u)=2 x f ^ {\prime } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \]이 성립한다. 같은 방법으로 $ \frac {\partial z } {\partial y } =2 y f ^ {\prime } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) $ 을 얻는다.</p> <p>일변수함수에서는 미분가능하면 연속이다. 그러나 이변수함수의 경우에는 편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 가 존재할 때, $ z=f(x, y) $ 가 연속이 되지 않을 수도 있다.</p> <p>[정리 6]은 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에서 $ x $ 와 $ y $ 가 두 독립변수 $ r $ 과 $ s $ 의 이변수함수 $ x=g(r, s), y=h(r, s) $ 인 경우로 쉽게 확장할 수 있다.</p> <p>정리 7 연쇄법칙 2</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 열린원판 $ D $ 의 모든 점에서 미분가능한 이변수함수이고, 열린원판 $ D ^ { * } $ 의 모든 $ (r, s) $ 에서 일계편도함수를 갖는 이변수함수 \[x=g(r, s), y=h(r, s) \]에 의해 주어진 점 $ (g(r, s), h(r, s)) $ 가 $ D $ 에 있다고 하자. 그러면 합성함수 $ z=f(x(r, s), y(r, s)) $ 는 $ D ^ { * } $ 의 모든 $ r $ 과 $ s $ 에 관한 일계편도함수를 갖고 \[ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } , \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \]</p> <p>증명</p> <p>먼저 $ s $ 를 고정시키면, 두 이변수함수 $ x=g(r, s), y=h(r, s) $ 는 $ r $ 만의 함수가 된다. 따라서 [정리 6 ]을 적용하면 \[ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } \]를 얻는다. 마찬가지로 $ \frac {\partial z } {\partial s } $ 를 같은 방법으로 구한다.</p> <p>예제</p> <p>$ x=s t ^ { 2 } , y=s ^ { 2 } t, z=e ^ { x } \sin y $ 일 때, $ \frac {\partial z } {\partial s } $ 와 $ \frac {\partial z } {\partial t } $ 를 구하시오.</p> <p>참고</p> <p>(이변수함수에 관한 테일러 정리) : 이변수함수 $ f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 열린원판 $ D $ 에서 연속인 $ n $ 계 편도함수를 갖는다면, 테일러 공식 \[ \begin {aligned} f(a + h, b + k)=& f(a, b) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f(a, b) \\& + \frac { 1 } { 2 ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { 2 } f(a, b) + \cdots \\& + \frac { 1 } { (n-1) ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n-1 } f(a, b) \\& + \frac { 1 } { n ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n } f(a + \theta h, b + \theta k) \end {aligned} \]를 만족하는 $ \theta $ (단, $ 0< \theta<1 $ ) 가 존재한다.</p> <h2>2. 이변수함수의 극값</h2> <p>이변수함수의 극대와 극소는 일변수함수의 극대와 극소의 개념을 확장시킨 것이다.</p> <p>정의 2 이변수함수의 극대 $ \cdot $ 극소</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 적당한 근방에 있는 모든 점 $ (x, y) $ 에서 \[ f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left ( \text { 또는 } f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \]를 만족할 때, 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 는 극댓값 (또는 극솟값) $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 갖는다고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.</p> <p>다음 정리는 클레로에 의해 처음 제시되었으나, 슈바르츠 정리로 불린다.</p> <p>정리 1 슈바르츠 정리</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 $ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 정의된 이변수함수일 때, $ f_ { x y } (x, y) $ 와 $ f_ { y x } (x, y) $ 가 $ D $ 에서 연속이면 \[ f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]</p> <p>같은 방법으로 $ n $ 계 편도함수를 정의할 수 있다. 예를 들면 삼계편도함수 $ f_ { x y y } $ 를 \[f_ { x y y } = \left (f_ { x y } \right )_ { y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 3 } f } {\partial y ^ { 2 } \partial x } \]로 정의한다. 이계 이상의 편도함수를 고계편도함수라고 한다.</p> <p>예</p> <p>이변수함수 $ f(x, y)= \cos (x y)-x ^ { 3 } + y ^ { 4 } $ 에 대해서 \[ f_ { x } =-y \sin (x y)-3 x ^ { 2 } , f_ { x y } =- \sin (x y)-x y \cos (x y) \]이므로 \[ f_ { x y y } =-2 x \cos (x y) + x ^ { 2 } y \sin (x y) \]를 얻는다.</p> <h2>2. 접평면과 전미분</h2> <h3>(1) 접평면</h3> <p>함수의 근삿값을 구하기 위해 접선을 이용할 수 있다. 같은 방법으로 이변수함수의 근삿값은 접평면으로부터 얻을 수 있다.</p> <p>정리 2 접평면의 방정식</p> <p>한 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방에서 정의된 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속인 일계편도함수를 가질 때, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ z=f(x, y) $ 의 접평면의 법선벡터는 $ \left (f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ),-1 \right ) $ 이다. 따라서 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 접평면의 방정식은 \[ z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]로 주어진다.</p>	자연
공업수학	<p>$ \mathbf { R } ^ { n } $ 에서의 벡터와 벡터의 연산은 다음과 같은 기본성질을 갖는다. 증명은 앞에서 이미 다룬 공간벡터에서와 마찬가지이므로 생략하고 연습문제로 남기겠다.</p> <p>정리 7.3</p> <p>$ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } $ 가 $ n $-벡터이고 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 임의의 스칼라일 때 ;</p> <ol type= start=1><li>$ \mathrm { R } ^ { n } $ 에서 두 벡터의 합은 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 의 벡터가 된다.</li> <li>교환법칙: $ \mathbf { F } + \mathbf { G } = \mathbf { G } + \mathbf { F } $</li> <li>결합법칙: $ ( \mathbf { F } + \mathbf { G } ) + \mathbf { H } = \mathbf { F } + ( \mathrm { G } + \mathbf { H } ) $</li> <li>영벡터: $ \quad \mathbf { F } + (0, \cdots, 0)= \mathbf { F } $</li> <li>음벡터: $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (-x_ { 1 } , \cdots,-x_ { n } \right )=(0, \cdots, 0) $</li> <li>임의의 $ n $-벡터와 임의의 스칼라와의 스칼라 곱은 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 의 벡터이다.</li> <li>스칼라 곱의 분배법칙: $ ( \alpha + \beta) \mathbf { F } = \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { F } $</li> <li>스칼라 곱의 결합법칙: $ ( \alpha \beta) \mathbf { F } = \alpha( \beta \mathrm { F } ) $</li> <li>벡터 합의 분배법칙: $ \alpha( \mathbf { F } + \mathbf { G } )= \alpha \mathbf { F } + \alpha \mathbf { G } $</li> <li>$ \alpha(0, \cdots, 0)=(0, \cdots, 0) $</li></ol> <p>공간벡터에서와 마찬가지로 벡터의 내적을 \[ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \cdot \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right )= \sum_ { j=1 } ^ { n } x_ { j } y_ { j } =x_ { 1 } y_ { 1 } + \cdots + x_ { n } y_ { n } \]과 같이 정의하며, 다음과 같은 성질을 갖는다. 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>지금까지 익힌 벡터의 일차독립과 일차종속, 바탕, 그리고 차원 등의 개념은 다음 장에서 다룰 일차연립방정식의 해에 관한 중요한 이론적 근거가 된다.</p> <h1>7.7 일반적인 벡터공간</h1> <p>지금까지는 평면 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $, 공간 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $, 또는 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 인 벡터공간의 성질을 살폈으나, 이 절에서는 일반적인 벡터공간을 정의하고 여러 형태의 벡터공간을 소개해 보자.</p> <p>한 집합 $ \mathbf { V } $ 에 두 개의 대수적 연산합: $ \mathbf { a } , \mathbf { b } \in \mathbf { V } $ 일 때 $ \mathbf { a } + \mathbf { b } $와 스칼라 곱: $ \mathbf { a } \in \mathbf { V } $이고 $ \alpha $가 스칼라일 때 $ \alpha \mathbf { a } $가 정의되어, 임의의 $ \mathbf { a } , \mathbf { b } , \mathbf { c } \in \mathbf { V } $와 임의의 스칼라 $ \alpha $ 와 $ \beta $에 대하여, 다음과 같은 10개의 성질</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf { a } + \mathbf { b } \in \mathrm { V } $</li> <li>$ \mathbf { a } + \mathbf { b } = \mathbf { b } + \mathbf { a } $</li> <li>$ ( \mathbf { a } + \mathbf { b } ) + \mathbf { c } = \mathbf { a } + ( \mathbf { b } + \mathbf { c } ) $</li> <li>$ \mathrm { V } $ 에 $ \mathrm { a } + \theta= \mathrm { a } $ 되도록 하는 $ \theta $ 가 존재한다. ( $ \theta $ 는 $ \mathrm { V } $ 의 0 벡터)</li> <li>$ \mathbf { V } $ 에 $ \mathbf { a } + \mathbf { b } = \boldsymbol {\theta } $ 되도록 하는 $ \mathbf { b } $ 가 존재한다. $ ( \mathbf { b } =- \mathbf { a } ) $</li> <li>$ \mathbf { a } \alpha \in \mathrm { V } $</li> <li>$ ( \alpha + \beta) \mathbf { a } = \alpha \mathbf { a } + \beta \mathbf { a } $</li> <li>$ \alpha( \mathbf { a } + \mathbf { b } )= \alpha \mathbf { a } + \alpha \mathbf { b } $</li> <li>$ \alpha 0=0 $</li></ol> <p>을 만족할 때, $ \mathrm { V } $를 벡터공간(vector space, linear space)이라고 하며, $ \mathrm { V } $의 원소를 벡터 (vector)라고 한다.</p> <p>정리 7.4</p> <p>$ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } $가 $ n $-벡터이고 $ \alpha $가 임의의 스칼라일 때 ;</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf { F } \cdot \mathrm { G } = \mathrm { G } \cdot \mathrm { F } $</li> <li>$ ( \mathbf { F } + \mathbf { G } ) \cdot \mathbf { H } =( \mathbf { F } \cdot \mathbf { H } ) + ( \mathbf { G } \cdot \mathbf { H } ) $</li> <li>$ \alpha( \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } )=( \alpha \mathbf { F } ) \cdot \mathbf { G } = \mathbf { F } \cdot( \alpha \mathbf { G } ) $</li> <li>$ \mathbf { F } \cdot \mathbf { F } = \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } $</li> <li>$ \mathbf { F } \cdot \mathbf { F } =0 $ 이기 위한 필요충분조건은 $ \mathbf { F } =0 $이다.</li></ol> <p>공간벡터에서와 같이, 두 벡터 $ \mathbf { F } $와 $ \mathbf { G } $의 사잇각 $ \theta $는 \[ \cos ( \theta)= \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { G } } {\\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| } \]를 만족하는 $ [0, \pi] $ 에 있는 값으로 정의한다. 또 내적이 0 인 두 벡터는 직교이다(orthogonal) 또는 수직이다라고 부른다.</p> <p>예제 1 . $ \mathbf { R } ^ { 5 } $의 두 벡터 $ \mathbf { F } =(-1,6,4,-2,3), \mathrm { G } =(0,-4,-3,2,5) $은 \[ \mathrm { F } \cdot \mathrm { G } =25, \\| \mathbf { F } \\|= \sqrt { 66 } , \\| \mathrm { G } \\|= \sqrt { 54 } \]이므로 \[ \cos ( \theta)= \frac { -25 } {\sqrt { 3564 } } \]이다. 그러나 두 벡터 $ (-1,3,4,6,2) $ 와 $ (4,2,1,6,-21) $ 의 내적은 0 이므로 이들은 서로 직교한다.</p> <p>공간의 임의의 벡터를 단위벡터 $ \mathrm { i } , \mathrm { j } , \mathrm { k } $를 써서 나타내면 편리했던 것과 마찬가지로 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 에서도 비슷한 단위벡터를 가질 수 있다. 즉, $ n $-벡터 $ \mathbf { e } _ { 1 } =(1,0,0, \cdots, 0) $, $ \mathbf { e } _ { 2 } =(0,1,0, \cdots, 0) $, $ \vdots \quad \vdots $ $ \mathbf { e } _ { n } =(0,0, \cdots, 0,1) $을 정의하면, 임의의 $ n $-벡터 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 은 \[ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + x_ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \cdots + x_ { n } \mathbf { e } _ { n } \]으로 나타내어진다.</p> <p>때로는 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 에서 특별하게 제한된 성질을 갖는 벡터들만을 취급해야 하는 경우가 생긴다. 예를 들어 $ S $를 첫째 성분은 0 으로 갖는 4 -벡터들의 집합이라고 하면 $ S $는 $ \mathrm { R } ^ { 4 } $의 한 부분집합이다. 이와 같이 $ \mathrm { R } ^ { n } $에서 일정하게 제한된 성질을 갖는 부분집합 $ S $를 가질 때 $ S $가 정리 7.3의 모든 성질을 만족시키는 경우가 있을 수 있고, 그렇지 않은 경우가 생길 수 있다. 예제를 통하여 살펴보자.</p> <p>$ \square $ 예제 2 를 첫째 성분이 1 인 4-벡터들의 집합으로 하면 \[(1,0,0,0) + (1,2,-1,3)=(2,2,-1,3) \]이므로 정리 7.3의 (1)이 성립하지 않는다.</p> <p>정리 7.3의 성질 중에서 (2), (3), (6), (7), (8)과 (9)는 임의의 $ R ^ { n } $ 의 부분집합을 가져와도 항상 성립하는 성질이다. $ \mathrm { R } ^ { n } $에서 어떤 특별한 성질을 갖는 $ n $-벡터로 된 부분집합 $ S $가 다음의 두 조건(1) $ S $ 의 임의의 두 벡터의 합은 $ S $에 있다.(2) $ S $ 의 임의의 벡터와 임의의 스칼라 곱은 $ S $ 에 있다. 를 만족할 때, $ S $ 를 $ \mathbf { R } ^ { n } $ 의 부분공간(subspace)이라고 한다. 그러면 스칼라 0 을 곱하면 영벡터를 얻으므로 $ S $가 $ \mathbf { R } ^ { n } $의 부분공간이면 정리 7.3의 (4), (10)을 만족하고, 또 스칼라 (-1)을 곱해주면 음벡터를 얻어 정리 7.3 의 (5)를 만족시키므로, $ S $가 $ \mathrm { R } ^ { n } $의 부분공간이면 정리 7.3의 모든 조건이 성립한다.</p> <p>(5) 세 벡터 $ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } $가 한 점에서 만날 때, 이들 세 벡터를 모서리로 갖는 평행육면체의 부피는 $ \|[ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathbf { H } ]\| $이다.</p> <p>(6) 세 벡터 $ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } $ 에서, 한 벡터가 다른 두 벡터의 스칼라 배의 합이면 $ [ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } ]=0 $이다.</p> <p>위의 스칼라 삼중적인 기본성질은 살펴보면, (2)는 \[ \mathrm { F } \cdot \mathrm { G } \times \mathrm { H } = \mathrm { G } \cdot \mathrm { H } \times \mathrm { F } = \mathrm { H } \cdot \mathrm { F } \times \mathrm { G } \]인데, 이 성질은 옆의 그림에서 삼중적을 화살표 방향으로 차례로 하면 언제나 같다는 것이고, (3)은 삼중적의 순서를 바꾸면 (화살표 반대방향으로 삼중적을 하면) 부호가 바뀐다는 것이다.</p> <p>$ \square $ 예제 1 $ \mathbf { F } =8 \mathbf { i } -2 \mathbf { j } + 3 \mathbf { k } , \mathbf { G } =6 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } + 7 \mathbf { k } , \mathbf { H } =-7 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } - \mathbf { k } $ 일 때는 \[ \left [ \begin {array} { ll } \mathbf { F } , \mathbf { G } , \mathbf { H } \end {array} \right ]= \left \| \begin {array} { rrr } 8 & -2 & 3 \\6 & 4 & 7 \\-7 & 2 & -1 \end {array} \right \|=62 \] \[ \mathbf { G } \times \mathbf { H } = \left \| \begin {array} { rrr } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ 6 & 4 & 7 \\-7 & 2 & -1 \end {array} \right \|=-18 \mathbf { i } -43 \mathbf { j } + 40 \mathbf { k } \]이므로 $ \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } \times \mathbf { H } =8(-18)-2(-43) + 3(40)=62 $가 된다.</p> <p>■ 예제 10 ■ $ \mathrm { R } ^ { 6 } $에서, $ x $와 $ y $가 스칼라일 때 $ (x, 0, y, x-y, x + y, 2 x) $ 형태의 벡터들로 된 부분공간을 $ S $라고 하자. 그러면 \[ (x, 0, y, x-y, 2 x)=x(1,0,0,1,1,2) + y(0,0,1,-1,1,0) \]이므로, $ \mathbf { F } =(1,0,0,1,1,2), \mathbf { G } =(0,0,1,-1,1,0) $일 때, $ S $의 임의의 벡터는 $ \mathbf { F } $와 $ \mathrm { G } $의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 이때, $ \mathrm { F } $ 와 $ \mathrm { G } $가 일차독립이므로 이들은 $ S $의 한 바탕이 된다.</p> <p>일반적으로 한 벡터공간 또는 부분공간은 여러 형태의 바탕을 가질 수 있다. 예를 들어 $ i, \mathbf { j } , \mathbf { k } $는 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $의 한 바탕이고, $ \mathrm { i } , \mathrm { j } + \mathbf { k } , \mathrm { j } - \mathrm { k } $도 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $의 한 바탕이며 또 $ \mathrm { i } + \mathrm { j } + \mathbf { k } , 2 \mathbf { j } $, $ 3 \mathrm { k } $도 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $의 한 바탕이 된다. 그러나 한 벡터공간 또는 부분공간의 바탕안의 벡터의 개수는 같다는 것을 증명할 수 있으나, 다소 수학적인 증명을 필요로 하여 생략하겠다. 이와 같이 유일하게 정해지는 바탕의 벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 한다.</p> <p>■ 예제 11 ■ $ \mathrm { R } ^ { n } $은, 바탕이 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $이므로 차원이 $ n $이다.</p> <p>■ 예제 12 ■ 앞절의 예제 3 에서의 $ S $에서는 \[(0,1,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1) \]등이 $ S $ 의 바탕이므로, $ S $의 차원은 4이다. 또 앞절의 예제 4 에서는 $ T $의 바탕이므로, $ T $의 차원은 1 이다. 마찬가지 방법으로 예제 8 에서는 $ S $의 차원이 1 이고 예제 9 에서 $ S $의 차원은 2이다.</p> <p>그러므로 $ \mathrm { F } $ $ \mathrm { G } $ $ \mathrm { H } $ 일차결합이 되고, 따라서 이들 세 벡터는 일차종속이 된다.</p> <p>■ 예제 7 ■ 세 벡터 $ \mathbf { F } =2 \mathbf { i } -4 \mathbf { j } + 6 \mathbf { k } , \mathbf { G } =4 \mathbf { i } + 8 \mathbf { j } -8 \mathbf { k } $와 $ \mathbf { H } =3 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } - \mathbf { k } $는 이들의 삼중적인 $ [ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } ] $가 0이므로 일차종속이다.</p> <p>정리 7.6</p> <p>$ m>1 $ 일 때, $ \mathbf { R } ^ { n } $ 의 $ m $개의 벡터 $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $이 일차종속이기 위한 필요충분조건은 모두는 0이 아닌 스칼라 $ a_ { 1 } , \cdots, a_ { m } $이 존재하여 $ \alpha_ { 1 } \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } =0 $이 되는 것이다.</p> <p>[증명] 우선 모두는 0이 아닌 스칼라 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { m } $에 대하여 \[ \alpha_ { 1 } \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } =0 \]이라고 하자. 이때 $ \alpha_ { 1 } $ 으로부터 처음으로 0이 아닌 $ \alpha_ { j } $를 찾아서 위의 식을 \[ \mathbf { F } _ { j } =- \frac { 1 } {\alpha_ { j } } \left ( \alpha_ { j + 1 } \mathbf { F } _ { j + 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } \right ) + 0 \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + 0 \mathbf { F } _ { j-1 } \]과 같이 나타내면 $ \mathrm { F } _ { j } $가 다른 $ \mathrm { F } _ { i } $의 일차결합이 되어 주어진 $ m $개의 벡터는 일차종속이 된다. 위의 논리는 $ j=m $일 때는 성립하지 않는다. 그러나 $ j=m $일 때는 $ \alpha_ { 1 } = \cdots= \alpha_ { m-1 } =0 $이고 $ \alpha_ { m } \neq 0 $인데, $ \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } =0 $이므로 $ \mathbf { F } _ { m } =0 $을 얻는다. 그러므로 이 경우도 예제 6에 의해 주어진 $ m $개의 벡터는 일차종속이다.</p> <p>보다 엄밀하게 말하면, 스칼라가 실수들이면 실벡터공간(real vector space), 스칼라가 복소수들이면 복소벡터공간(complex vector space)이라고 부른다. 그러면 앞에서 익힌 $ \mathbf { R } ^ { n } $은 위의 모든 조건을 만족하므로 벡터공간의 좋은 예이다. 예제를 통하여 다양한 형태의 벡터공간을 만나보자.</p> <p>■ 예제 1 ■ $ \mathrm { V } $ 를 구간 $ [0,1] $ 위에서 연속인 함수들의 집합이라고 하자. 그러면, 연속인 두 함수의 합은 연속함수이고, 연속인 함수의 실수배도 연속함수이다. 그러므로 위의 벡터공간의 정의에 있는 성질 (1)과 (6)이 성립한다. 또 구간 $ [0,1] $의 모든 $ x $에 대하여 함수값이 0이 되는 영함수를 정의하면, 이 함수는 연속이고 성질 (4)를 만족하고, 연속함수 $ \mathbf { f } $에 대하여 $ (- \mathbf { f } )(x)=- \mathbf { f } (x) $가 되도록 함수 $ - \mathbf { f } $를 정의하면, 함수는 연속이고 성질 (5)를 만족시킨다. 위의 다른 성질들은 실수의 성질로 보여질 수 있다. 그러므로 $ \mathrm { V } $는 한 벡터공간이며, 이 경우 구간 $ [0,1] $에서 연속인 함수들이 벡터이다.</p> <p>■ 예제 2 ■ $ \mathrm { V } $를 실수전체에서 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (0)=0 $인 함수들의 집합이라고 하면, 앞의 예제 1에서와 마찬가지 방법에 의해, $ \mathbf { V } $는 한 벡터공간임을 알 수 있다.</p> <p>V를 미분방정식 $ y ^ {\prime \prime } + 2 x y ^ {\prime } + x ^ { 2 } y=0 $의 해들로 된 집합이라고 하자. 그러면 주어진 미분방정식의 두 해의 합은 해가 되고, 해에 실수배를 하여도 해가 된다. 또 함수 $ y(x)=0 $이 주어진 미분방정식의 해이고, 벡터공간의 다른 나머지 성질들이 성립하는 것을 어렵지 않게 확인할 수 있으므로 $ \mathrm { V } $는 한 벡터공간이 된다. 이와 같은 공간을 해공간(solution space)이라고 부른다.</p> <p>일반적인 벡터공간에서는 $ \mathrm { R } ^ { n } $에서와 마찬가지의 정의와 성질을 갖는다. 즉, $ \mathbf { v } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { v } _ { n } $이 한 벡터공간 $ \mathrm { V } $의 원소이고, $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $이 임의의 스칼라일 때, \[ \alpha_ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { n } \mathbf { v } _ { n } \]을 $ \mathbf { v } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { v } _ { n } $의 일차결합(linear combination)이라고 하며, 한 벡터 $ \mathbf { v } _ { j } $가 나머지 다른 벡터 $ \mathbf { v } _ { i } $ 들의 일차결합일 때, 벡터 $ \mathbf { v } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { v } _ { n } $는 일차종속(linearly dependent)이라고 하며, 그렇지 않은 경우를 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 또 벡터 $ \mathbf { v } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { v } _ { n } $이 일차독립이고, 임의의 $ \mathrm { V } $의 벡터가 $ \mathbf { v } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { v } _ { n } $의 일차결합으로 표시되는 경우에, 이들은 $ \mathrm { V } $의 바탕(basis) 또는 기저라 하며, 벡터공간의 바탕안의 벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 한다.</p> <p>■ 예제 4 ■ 미분방정식 $ y ^ {\prime \prime } + 4 y=0 $의 해공간을 생각해 보자. 2장에서 살핀 것과 같이 $ \sin (2 x) $와 $ \cos (2 x) $가 주어진 미분방정식의 해의 기본계를 이루며 일반해는 $ \alpha $와 $ \beta $가 실수일 때이다. 여기서 함수 $ \sin (2 x) $와 $ \cos (2 x) $는 일차독립이고 이들의 일차결합으로 임의의 해가 표시되므로, 주어진 미분방정식의 해공간의 바탕은 $ \sin (2 x) $ 와 $ \cos (2 x) $ 이고 차원은 2가 된다.</p> <p>벡터의 외적에 관해서는 다음과 같은 기본적인 성질이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf { F } \times \mathbf { G } $는 $ \mathbf { F } $와 직교하고, 또 $ \mathbf { G } $와도 직교한다.</li> <li>$ \theta $ 가 $ \mathbf { F } $ 와 $ \mathbf { G } $ 의 사잇각일 때 $ \\| \mathbf { F } \times \mathbf { G } \\|= \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| \sin ( \theta) $ 이다.</li> <li>$ \mathbf { F } \times( \mathbf { G } + \mathbf { H } )=( \mathbf { F } \times \mathbf { G } ) + ( \mathbf { F } \times \mathbf { H } ) $</li> <li>$ ( \alpha \mathbf { F } ) \times \mathbf { G } = \alpha( \mathbf { F } \times \mathbf { G } )= \mathbf { F } \times( \alpha \mathbf { G } ) $</li> <li>$ \mathbf { F } \times \mathbf { G } =-( \mathbf { G } \times \mathbf { F } ) $</li></ol> <p>위의 성질의 증명은 어렵지는 않으나 복잡하므로, (1)과 (2)만을 보이고 나머지는 연습문제로 남기겠다.</p> <p>[(1)의 증명] $ \mathbf { F } =a_ { 1 } \mathbf { i } + b_ { 1 } \mathbf { j } + c_ { 1 } \mathbf { k } $ 이고 $ \mathbf { G } =a_ { 2 } \mathbf { i } + b_ { 2 } \mathbf { j } + c_ { 2 } \mathbf { k } $ 일 때 \[ \mathbf { F } \cdot( \mathbf { F } \times \mathbf { G } )=a_ { 1 } \left (b_ { 1 } c_ { 2 } -b_ { 2 } c_ { 1 } \right ) + b_ { 1 } \left (a_ { 2 } c_ { 1 } -a_ { 1 } c_ { 2 } \right ) + c_ { 1 } \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) \]이 되는데, 이 식의 우변은 정리하면 0 이 된다. 그러므로 $ \mathrm { F } $ 는 $ \mathrm { F } \times \mathrm { G } $ 와 직교한다. $ \mathrm { G } $와 $ \mathrm { F } \times \mathrm { G } $ 가 직교하는 것도 마찬가지 방법으로 보일 수 있다.</p> <p>$ \square $ 예제 3 $ S $ 를 $ \left (0, x_ { 2 } , 0, x_ { 4 } , x_ { 5 } , x_ { 6 } \right ) $과 같이 첫째와 셋째 성분이 0인 6-벡터들의 집합이라고 하면 \[ \begin {aligned} \left (0, x_ { 2 } , 0, x_ { 4 } , x_ { 5 } , x_ { 6 } \right ) & + \left (0, y_ { 2 } , 0, y_ { 4 } , y_ { 5 } , y_ { 6 } \right ) \\&= \left (0, x_ { 2 } + y_ { 2 } , 0, x_ { 4 } + y_ { 4 } , x_ { 5 } + y_ { 5 } , x_ { 6 } + y_ { 6 } \right ) \end {aligned} \]이고, 임의의 $ \alpha $ 에 대하여 \[ \alpha \left (0, x_ { 2 } , 0, x_ { 4 } , x_ { 5 } , x_ { 6 } \right )= \left (0, \alpha x_ { 2 } , 0, \alpha x_ { 4 } , \alpha x_ { 5 } , \alpha x_ { 6 } \right ) \]이므로 $ S $ 는 $ \mathbf { R } ^ { 6 } $ 의 한 부분공간이다.</p> <p>$ \square $ 예제 $ 4 \square T $ 를 $ (x, x, x, x) $와 같이 모든 성분이 같은 4-벡터들의 집합이라고 하면, \[(x, x, x, x) + (y, y, y, y)=(x + y, x + y, x + y, x + y) \]이고 \[ \alpha(x, x, x, x)=( \alpha x, \alpha x, \alpha x, \alpha x) \]이므로, $ T $는 $ \mathbf { R } ^ { 4 } $의 한 부분공간이 된다.</p> <p>$ \square $ 예제 5 를 $ \mathrm { R } ^ { n } $의 영벡터 하나로만 된 집합이라고 하면, $ 0 + 0=0 $이고 임의의 $ \alpha $에 대하여 $ \alpha 0=0 $이므로, $ S $는 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 의 한 부분공간이다. 이와 같이 영벡터 하나로 된 부분공간을 명백한 부분공간(trivial subspace)이라고 한다.</p> <p>두 벡터의 사잇각이 직각일 때, 두 벡터는 직교(orthogonal)한다고 말한다. 그러므로 내적이 0인 두 벡터는 직교하고, 또 임의의 벡터와 영벡터의 내적은 항상 0이므로, 영벡터는 벡터와 직교한다.</p> <p>$ \square $ 예제 $ 2 \square F=-4 \mathbf { i } + \mathbf { j } + 2 \mathbf { k } $와 $ \mathbf { G } =2 \mathbf { i } + 4 \mathbf { k } $ 에서는 \[ \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } =-8 + 8=0 \]이므로 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } $는 직교한다.</p> <p>정리 7.2 코시-슈바르츠 부등식 \[\| \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } \| \leq \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| \]</p> <p>[증명] $ \mathrm { F } $ 또는 $ \mathrm { G } $ 가 영벡터이면 위의 부등식에서 등식관계로 정리가 성립하므로, $ \mathrm { F } $ 와 $ \mathrm { G } $가 모두 영벡터가 아니라고 해보자. $ \theta $를 두 벡터의 사잇각이라고 하면 \[-1 \leq \cos ( \theta) \leq \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { G } } {\\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| } \leq 1 \]이므로 $ - \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathrm { G } \\| \leq \mathrm { F } \cdot \mathrm { G } \leq \\| \mathrm { F } \\| \\| \mathrm { G } \\| $이다. 위의 부등식을 달리 표현하면 \[\| \mathrm { F } \cdot \mathrm { G } \| \leq \\| \mathrm { F } \\| \\| \mathrm { G } \\| \]이므로 정리가 증명되었다.</p> <p>다음은 벡터의 내적과 위의 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여, 한 주어진 힘이 주어진 특정한 방향으로 어떤 영향을 주는지를 다루는 역학문제를 살펴보자. 이 문제는, 다음 그림과 같이 주어진 힘 $ \mathrm { F } $의 주어진 방향 $ \mathrm { r } $ 위의 정사영인 $ \mathrm { H } $를 구하는 것이다. 우선 $ 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } $ 이면 \[ \cos ( \theta)= \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { r } } {\\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { r } \\| } \]이다. 여기서 $ \theta $ 가 예각이므로 \[ \cos ( \theta)= \frac {\\| \mathbf { H } \\| } {\\| \mathbf { F } \\| } \]이다. 따라서 \[ \frac {\\| \mathbf { H } \\| } {\\| \mathbf { F } \\| } = \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { r } } {\\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { r } \\| } \]이 되는데, 이 식을 $ \\| \mathbf { H } \\| $ 에 관하여 풀면 \[ \\| \mathbf { H } \\|= \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { r } } {\\| \mathbf { r } \\| } \]이 된다. 그러므로 $ \mathrm { H } $ 의 크기는 구했고, 다음은 $ \mathrm { H } $ 와 $ \mathrm { r } $ 이 같은 방향이므로 적당한 스칼라 $ t $ 에 대하여 $ \mathrm { H } =t \mathrm { r } $ 인데, $ t= \mathrm { F } \cdot \mathrm { r } / \\| \mathrm { r } \\| ^ { 2 } $ 로 하면 \[ \mathbf { H } = \left ( \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { r } } {\\| \mathbf { r } \\| ^ { 2 } } \right ) \mathbf { r } \]이 된다. 이때 $ \mathrm { H } $ 를 $ \mathrm { F } $의 $ \mathrm { r } $ 방향으로의 정사영(projection)이라고 한다.</p> <p>위의 성질을 이용하여 외적의 의미를 살펴보자. (2)에 의해 $ \mathrm { F } \times \mathrm { G } $의 크기는 $ \mathrm { F } $ 의 크기에 $ \mathrm { G } $의 크기를 곱하여 다시 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } $의 사잇각의 사인값을 곱해준 것과 같다. 그러므로 $ \mathrm { F } $와 $ \mathbf { G } $가 평행하면 $ \sin ( \theta)=0 $ 이므로 $ \mathbf { F } \times \mathbf { G } =0 $이 된다.</p> <p>$ \mathrm { F } $ 와 $ \mathrm { G } $ 가 평행하지 않은 경우에는 이들 두 벡터는, 그림과 같이 한 평면을 결정할 수 있다.</p> <p>그러면 (1)에 의해 $ \mathrm { F } \times \mathrm { G } $는 $ \mathrm { F } $와 수직이고 또 $ \mathrm { G } $와도 수직이므로, 앞의 그림과 같이, $ \mathrm { F } $ 와 $ \mathrm { G } $ 가 만드는 평면과 수직이다.</p> <p>이때 평면에 수직인 방향은 두 방향인데, 오른손을 손가락의 방향이 $ \mathbf { F } $ 에서 $ \mathbf { G } $ 로 향하도록 위의 그림과 같이 주먹쥐어 평면위에 놓을 때 엄지 손가락이 가리키는 방향으로 $ \mathbf { F } \times \mathbf { G } $ 의 방향을 결정한다. 그러므로 $ \mathrm { F } \times \mathrm { G } $ 와 $ \mathbf { G } \times \mathrm { F } $ 는 방향이 서로 반대이다.</p> <p>$ \square $ 예제 1 $ \mathbf { F } =3 \mathbf { i } -2 \mathbf { j } + 6 \mathbf { k } , \mathbf { G } = \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } - \mathbf { k } $ 일 때 \[ \mathbf { F } \times \mathbf { G } = \left \| \begin {array} { rrr } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\3 & -2 & 6 \\1 & 2 & -1 \end {array} \right \|=-10 \mathbf { i } + 9 \mathbf { j } + 8 \mathbf { k } \]이고 \[ \mathbf { G } \times \mathbf { F } = \left \| \begin {array} { rrr } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\1 & 2 & -1 \\3 & -2 & 6 \end {array} \right \|=10 \mathbf { i } -9 \mathbf { j } -8 \mathbf { k } =-( \mathbf { F } \times \mathbf { G } ) \]이다.</p> <p>다음은 $ m $개의 벡터 $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $이 일차종속이라고 해보자. 그러면 한 벡터가 다른 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타내어지는데, \[ \mathbf { F } _ { j } = \alpha_ { 1 } \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { j-1 } \mathbf { F } _ { j-1 } + \alpha_ { j + 1 } \mathbf { F } _ { j + 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } \]이라고 하자. 그러면 \[ \alpha_ { 1 } \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { j-1 } \mathbf { F } _ { j-1 } - \mathbf { F } _ { j } + \alpha_ { j + 1 } \mathbf { F } _ { j + 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } =0 \]이 되는데, 주어진 $ m $개의 벡터가 모두는 0 이 아닌 ( $ \mathrm { F } _ { j } $의 계수는 $ -1 $ 이다) 스칼라에 의해 일차결합이 영벡터가 되므로 중명이 끝났다.</p> <p>위의 정리 7.6에 의해, $ m $개의 벡터 $ \mathrm { F } _ { 1 } , \cdots, \mathrm { F } _ { m } $이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $ \alpha_ { 1 } = \alpha_ { 2 } = \cdots= \alpha_ { m } =0 $일 때만 $ \alpha_ { 1 } \mathbf { F } _ { 1 } + \cdots + \alpha_ { m } \mathbf { F } _ { m } =0 $ 이 성립하는 것임을 알 수 있다. 벡터들의 일차독립은 중요한 의미를 갖는다. 즉, 아래에서 언급할 부분공간의 바탕과 차원을 정의하는데 결정적인 의미를 갖게 한다.</p> <p>$ \square $ 예제 2 세 점 $ (1,2,1),(-1,1,3),(-2,-2,-2) $ 를 품는 평면의 방정식을 구해보자. 주어진 점 $ (1,2,1) $ 에서 다른 한 점 $ (-1,1,3) $ 을 향하는 벡터 \[ \mathbf { F } =(-1-1) \mathbf { i } + (1-2) \mathbf { j } + (3-1) \mathbf { k } =-2 \mathbf { i } - \mathbf { j } + 2 \mathbf { k } \]와 점 $ (1,2,1) $ 에서 점 $ (-2,-2,-2) $ 를 향하는 벡터 \[ \mathbf { G } =(-2-1) \mathbf { i } + (-2-2) \mathbf { j } + (-2-1) \mathbf { k } =-3 \mathbf { i } -4 \mathbf { j } -3 \mathbf { k } \]는 구하려는 평면 위에 놓인다. 이때 구하려는 평면과 \[ \mathbf { F } \times \mathbf { G } = \left \| \begin {array} { rrr } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\-2 & -1 & 2 \\-3 & -4 & -3 \end {array} \right \|=11 \mathbf { i } -12 \mathbf { j } + 5 \mathbf { k } \]는 수직이므로, 이 벡터가 구하려는 평면의 한 법선벡터이다. 여기서 평면 위의 임의의 점 $ (x, y, z) $ 를 잡으면, $ (x-1) \mathbf { i } + (y-2) \mathbf { j } + (z-1) \mathbf { k } $는 평면위에 있는 벡터가 된다. 그러므로 이 벡터와 평면의 법선벡터 $ \mathbf { F } \times \mathrm { G } $ 는 직교해야 한다. 따라서 이들의 내적은 0이 되어야 하므로 방정식 \[11(x-1)-12(y-2) + 5(z-1)=0 \]또는 \[11 x-12 y + 5 z=-8 \]을 얻게 되는데, 위의 식이 원하는 평면의 방정식이다.</p> <p>$ \square $ 예제 3 다음 그림과 같은 평행육면체의 부피를 생각해 보자.</p> <p>세 변을 각각 벡터 $ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } $로 나타내고, $ \| \mathrm { H } \cdot( \mathbf { F } \times \mathbf { G } )\| $를 살펴보자. $ \theta $ 가 $ \mathrm { H } $와 $ \mathbf { F } \times \mathbf { G } $의 사잇각일 때 $ \| \mathbf { H } \cdot( \mathbf { F } \times \mathbf { G } )\|= \\| \mathbf { H } \\| \\| \mathbf { F } \times \mathbf { G } \\| \cos ( \theta) $인데, $ \\| \mathbf { F } \times \mathbf { G } \\| $는 평행육면체의 밑넓이이고 $ \\| \mathbf { H } \\| \cos ( \theta) $ 는 평행육면체의 높이이므로, $ \| \mathbf { H } \cdot( \mathbf { F } \times \mathbf { G } )\| \cos \theta $ 가 바로 평행육면체의 부피가 된다. 예를 들어 점 $ (-1,2,2) $를 구석점으로 갖고, 이 점에서 세 점 $ (0,1,1),(-4,6,8),(-3,-2,4) $ 를 잇는 직선을 모서리로 갖는 평행육면체의 부피는, 세 모서리를 나타내는 벡터가 \[ \begin {array} { l } \mathbf { F } =[0-(-1)] \mathbf { i } + (1-2) \mathbf { j } + (1-2) \mathbf { k } = \mathbf { i } - \mathbf { j } - \mathbf { k } \\ \mathbf { G } =[-4-(-1)] \mathbf { i } + (6-2) \mathbf { j } + (8-2) \mathbf { k } =-3 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } + 6 \mathbf { k } \end {array} \] \[ \mathbf { H } =[-3-(-1)] \mathbf { i } + (-2-2) \mathbf { j } + (4-2) \mathbf { k } =-2 \mathbf { i } -4 \mathbf { j } + 2 \mathbf { k } \] 이고 $ \mathbf { F } \times \mathbf { G } =2 \mathrm { i } -3 \mathrm { j } + \mathbf { k } $ 이므로 \[\| \mathbf { H } \cdot( \mathbf { F } \times mathbf { G } )\|= \left \| \begin {array} { rrr } -2 & -4 & 2 \\1 & -1 & -1 \\-3 & 4 & 6 \end {array} \right \|=\|4 + 12 + 2\|=18 \]이 된다. 이와 같이 유용하게 쓰이는 $ \mathbf { H } \cdot( \mathrm { F } \times \mathrm { G } ) $를 스칼라 삼중적(scalar triple product)이라고 하며, 다음 절에서 좀더 자세히 다룰 것이다.</p> <p>$ S $가 $ \mathbf { R } ^ { n } $의 한 부분공간일 때, $ S $ 의 $ m $개의 벡터 $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $이 조건</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $ 은 일차독립이다.</li> <li>$ S $의 임의의 벡터는 $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $의 일차결합으로 표시된다를 만족하는 경우에 $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $을 $ S $의 바탕(basis) 또는 기저라 한다.</li></ol> <p>■ 예제 8 ■ $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 에서, $ S $ 를 직선 $ y=2 x $ 위에 있는 벡터들로 된 부분공간이라고 하자. 그러면 $ \mathbf { a } =(1,0) $이고 $ \mathbf { b } =(0,1) $ 일 때, $ S $의 임의의 벡터는 $ ( \alpha, 2 \alpha) $ 또는 $ \alpha( \mathbf { a } + 2 \mathbf { b } ) $ 형태이므로 $ \mathbf { F } _ { 1 } = \mathbf { a } + 2 \mathbf { b } $ 는 $ S $의 한 바탕이 된다.</p> <p>■ 예제 9 ■ $ \mathrm { R } ^ { 3 } $에서, $ S $ 를 평면 $ x + y + z=0 $ 위에 있는 벡터들로 된 부분공간이라고 하자. 그러면 $ S $는 $ x, y $가 임의의 스칼라일 때 $ (x, y,-x-y) $ 형태의 벡터로 된 부분공간인데, $ \mathbf { i } , \mathbf { j } , \mathbf { k } $를 써서 $ S $의 임의의 벡터를 나타내면 $ x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + (-x-y) \mathbf { k } $ 또는 $ x( \mathbf { i } - \mathbf { k } ) + y( \mathbf { i } - \mathbf { k } ) \ 이다. 그러므로 \( S $의 임의의 벡터는 $ \mathbf { i } - \mathbf { k } $와 $ \mathbf { j } - \mathbf { k } $의 일차결합으로 표시되고, 이 두 벡터가 일차독립이므로, 이들이 $ S $의 한 바탕이 된다.</p> <h1>7.0 머리말</h1> <p>이 장에서는 자연과학이나 공학에서 널리 쓰이는 벡터와 벡터공간에 대하여 살피겠다. 우리는 이미 고등학교 또는 대학과정의 미분적분학에서 벡터를 배웠으므로, 여기서는 간단하게 기하학적인 벡터에 관하여 이미 익힌 결과를 복습한 후에 외적을 정의하여 익힌다. 일반화된 벡터와 벡터공간을 다루겠다.</p> <h1>7.1 기하벡터</h1> <p>질량, 온도, 밀도 등과 같이 크기 만을 갖는 것을 스칼라(scalar)라고 한다. 이에 반하여, 크리와 방향을 함께 갖는 것을 벡터(vector)라고 부른다. 물론 이것은 엄밀한 의미의 벡터의 정의는 아니지만, 실제적인 물리적 문제를 쉽게 설명하는 데는 이와 같은 정의도 무난하다.</p> <p>공간에서 크기와 방향을 함께 갖는 벡터를 나타내는 한 가지 방법은 세 개의 실수로 된 순서쌍 $(a, b, c) $로 표시하는 것인데, 이것은 오른쪽의 그림과 같이 (1) 공간에서의 한 점의 좌표, 또는 (2) 원점에서 점 $(a, b, c) $까지의 화살표 등으로 생각할 수 있다.</p> <p>위의 (2)에서는 방향(원점에서 점 $(a, b, c) $ 로의)과 크기(원점에서 점 $(a, b, c) $까지의 거리)가 명확하게 보여진다.</p> <p>벡터를 공간좌표 $ (a, b, c) $ 로 생각할 때, $ a, b, c $ 를 벡터의 각각 첫째, 둘째, 셋째 성분(component)이라고 한다. 또 두 벡터의 각각의 대응하는 성분이 같을 때 두 벡터는 같다(equal)고 한다. 한편 크기가 1 인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다.</p> <p>앞으로는 스칼라를 $ \alpha, \beta, a, b, A, W, \cdots $ 등과 같이 보통활자로 나타내고, 벡터는 $ \boldsymbol {\alpha } , \boldsymbol {\beta } $, $ \mathbf { a } , \mathrm { b } , \mathrm { A } , \mathrm { W } , \cdots $ 등과 같이 굵은 활자로 나타낸다. 또 벡터 $ \mathrm { F } $ 의 크기는 $ \\| \mathbf { F } \\| $ 로 나타낸다. 그러므로 $ \mathbf { F } = (a, b, c) $ 이면 $ \\| \mathbf { F } \\|= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } $ 이다.</p> <p>벡터에 관해서는 다음의 두 가지 기본적인 연산을 정의한다.</p> <p>(5) $ \alpha( \mathbf { F } + \mathbf { G } )= \alpha \mathbf { F } + \alpha \mathbf { G } $</p> <p>(6) $ ( \alpha \beta) \mathbf { F } = \alpha( \beta \mathbf { F } ) $</p> <p>(7) $ ( \alpha + \beta) \mathbf { F } = \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { F } $</p> <p>(8) $ \\| \alpha \mathbf { F } \\|=\| \alpha\| \\| \mathbf { F } \\| $</p> <p>위에서 살핀 벡터의 기본적인 성질에 의해서 임의의 벡터를 표준화시킬 수 있다. 즉, \[ \mathbf { F } =(a, b, c)=a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) \]</p> <p>과 같이 하고, \[ \mathbf { i } =(1,0,0), \quad \mathbf { j } =(0,1,0), \quad \mathbf { k } =(0,0,1) \] 로 하면, 이들 $ \mathrm { i } , \mathrm { j } , \mathrm { k } $ 는 각각 $ x, y, z $ 축 위에서의 단위벡터인데, \[ \mathbf { F } =a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } \]과 같이 나타낼 수 있다.</p> <h1>$ 7.2 $ 벡터의 내적</h1> <p>두 벡터 $ \mathbf { F } =a_ { 1 } \mathbf { i } + b_ { 1 } \mathbf { j } + c_ { 1 } \mathbf { k } $와 $ \mathbf { G } =a_ { 1 } \mathbf { i } + b_ { 2 } \mathbf { j } + c_ { 2 } \mathbf { k } $에 대하여 $ \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } =a_ { 1 } a_ { 2 } + b_ { 1 } b_ { 2 } + c_ { 1 } c_ { 2 } $를 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } $의 내적(inner product, dot product, scalar product)이라고 한다. 예를 들면 \[( \sqrt { 2 } \mathbf { i } + \mathbf { j } + 3 \mathbf { k } ) \cdot(-2 \mathbf { i } + 4 \mathbf { j } + \pi \mathbf { k } )=-2 \sqrt { 2 } + 4 + 3 \pi \]가 된다. 벡터의 내적에 관해서는 다음의 성질이 성립한다. 증명은 별로 어렵지 않으므로 생략 하겠다.</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } = \mathbf { G } \cdot \mathbf { F } $</li> <li>$ (F + \mathbf { G } ) \cdot \mathbf { H } = \mathbf { F } \cdot \mathbf { H } + \mathbf { G } \cdot \mathbf { H } $</li> <li>$ \alpha( \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } )=( \alpha \mathbf { F } ) \cdot \mathbf { G } = \mathbf { F } \cdot( \alpha \mathbf { G } ) $</li> <li>$ \mathbf { F } \cdot \mathbf { F } = \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } $</li> <li>$ \mathrm { F } \cdot \mathrm { F } =0 $이기 위한 필요충분조건은 $ \mathrm { F } =0 $이다.</li></ol> <p>내적의 기하학적 의미를 살펴보자. 아래의 그림에서와 같이 두 벡터 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } $의 사잇각을 $ \theta $라고 하자. 이때 $ \mathrm { G } $의 끝에서 $ \mathrm { F } $의 끝을 향하는 벡터는 $ \mathbf { F } - \mathrm { G } $이다. 이들에 의해 생긴 삼각형의 세 변의 길이는 $ \\| \mathbf { F } \\| $, $ \\| \mathrm { G } \\|, \\| \mathrm { F } - \mathrm { G } \\| $인데, 그림의 삼각형에서 코사인의 법칙은 \[a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -2 a b \cos ( \theta)=c ^ { 2 } \]이므로 \[a= \\| \mathbf { F } \\|, \quad b= \\| \mathbf { G } \\|, \quad c= \\| \mathbf { F } - \mathbf { G } \\| \]로 놓으면 \[ \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } + \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } -2 \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| \cos ( \theta)= \\| \mathbf { F } - \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \]이 된다. 한편 \[ \mathbf { F } =a_ { 2 } \mathbf { i } + b_ { 2 } \mathbf { j } + c_ { 2 } \mathbf { k } , \quad \mathbf { G } =a_ { 1 } \mathbf { i } + b_ { 1 } \mathbf { j } + c_ { 1 } \mathbf { k } \]를 윗식에 대입하면 \[ \begin {aligned} a_ { 2 } ^ { 2 } + b_ { 2 } ^ { 2 } + c_ { 2 } ^ { 2 } + a_ { 1 } ^ { 2 } + b_ { 1 } ^ { 2 } + c_ { 1 } ^ { 2 } &-2 \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| \cos ( \theta) \\&= \left (a_ { 2 } -a_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (b_ { 2 } -b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (c_ { 2 } -c_ { 1 } \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \]이 되고, 이 식을 정리하면 \[a_ { 1 } a_ { 2 } + b_ { 1 } b_ { 2 } + c_ { 1 } c_ { 2 } = \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| \cos ( \theta) \]가 된다. 그러므로 $ \mathrm { F } $ 와 $ \mathrm { G } $가 모두 영벡터가 아니면 $ \\| \mathbf { F } \\| \neq 0 $ 이고 $ \\| \mathbf { G } \\| \neq 0 $ 이므로 \[ \cos ( \theta)= \frac {\mathbf { F } \cdot \mathbf { G } } {\\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\| } \]가 된다. 따라서 내적에 의해 두 벡터의 사잇각을 알 수 있다.</p> <p>(1) 벡터의 합(vector sum): $ \mathbf { F } = \left ( \begin {array} { lll } a_ { 1 } & b_ { 1 } & c_ { 1 } \end {array} \right ), \mathbf { G } = \left (a_ { 2 } , b_ { 2 } , c_ { 2 } \right ) $ 일 때 \[ \mathbf { F } + \mathbf { G } = \left (a_ { 1 } + a_ { 2 } , b_ { 1 } + b_ { 2 } , c_ { 1 } + c_ { 2 } \right ) \]</p> <p>(2) 스칼라 곱(scalar product): $ (a, b, c) $ 이고 $ \alpha $ 가 스칼라일 때 \[ \alpha(a, b, c)=( \alpha a, \alpha b, \alpha c) \]</p> <p>벡터의 정의와 연산에 관해서는 다음과 같은 기본적인 성질이 있다.</p> <p>증명은 간단하므로 모두 생략하겠다.</p> <p>(1) 교환법칙 $ \mathbf { F } + \mathrm { G } = \mathrm { G } + \mathrm { F } $</p> <p>(2) 결합법칙: $ ( \mathbf { F } + \mathbf { G } ) + \mathbf { H } = \mathbf { F } + ( \mathbf { G } + \mathbf { H } ) $</p> <p>(3) 영벡터: $ \mathbf { F } + (0,0,0)= \mathrm { F } $. 이때 $ (0,0,0) $ 을 영벡터(zero vector)라고 하며, 크기는 0이고 임의의 방향을 갖는다. 스칼라 0과 구분하기 위하여 0 으로 나타낸다.</p> <p>(4) 음벡터: $ \mathbf { F } =(a, b, c) $ 일 때, $ (-a,-b,-c) $ 를 $ - \mathbf { F } $ 로 하고, $ - \mathbf { F } $ 를 $ \mathbf { F } $ 의 음벡터(negative vector)라고 한다. 그리고 $ \mathrm { G } + (- \mathrm { F } ) $ 를 간단히 $ \mathrm { G } - \mathrm { F } $ 로 나타낸다.</p> <h1>7.5벡터공간 $ \mathrm { R } ^ { n } $</h1> <p>지금까지는 평면 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 또는 공간 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $에서의 벡터를 다루었으나, 여기서는 보다 일반적인 $ n>3 $ 일 때 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 에서의 벡터를 살펴보자. 순서를 갖는 $ n $ 개의 실수 $ x_ { j } $ 를 요소로 갖는 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $을 $ n $-벡터로 정의하자. 이때 $ x_ { j } $를 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 의 $ j $째 성분(component)이라고 한다. 앞으로는 $ \mathrm { R } ^ { n } $ 은 모든 $ n $-벡터들로 된 집합을 의미한다. 예를 들면 $ (-1,2) $는 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 의 한 벡터이고, $ (8,-3,1,4) $는 $ \mathbf { R } ^ { 4 } $의 한 벡터이다.</p> <p>$ \mathbf { R } ^ { n } $ 에서의 벡터 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 의 크기는 \[ \left \\| \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right \\|= \left ( \sum_ { j=1 } ^ { n } x_ { j } ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } = \sqrt { x_ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + x_ { n } ^ { 2 } } \]과 같이 정의하며, 두 벡터 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 과 $ \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right ) $ 의 합(sum)은 \[ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { n } \right )= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) \]과 같이 정의하며, 벡터 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 과 실수 $ \alpha $ 와의 스칼라 곱은 \[ \alpha \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left ( \alpha x_ { 1 } , \cdots, \alpha x_ { n } \right ) \]으로 정의한다.</p> <p>일반적으로 $ n $-벡터들이 임의대로 $ m $개 주어지는 경우, 이들의 일차독립, 일차종속을 정하는 것은 간단하지 않다. 다음 정리에 의해 $ \mathbf { R } ^ { 3 } $에서 세 개의 벡터의 일차독립, 일차종속을 쉽게 정할 수 있다.</p> <p>정리 7.5</p> <p>$ \mathbf { R } ^ { 3 } $의 세 벡터가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 이들의 스칼라 삼중적이 0인 것이다.</p> <p>[증명] $ \mathbf { R } ^ { 3 } $ 의 세 벡터가 일차종속이면, 한 벡터가 다른 두 벡터의 일차결합인데, 이런 경우에는 7.4절의 스칼라 삼중적의 성질 (6)에 의해, 세 벡터의 삼중적은 0이 된다.</p> <p>다음은 $ [ \mathrm { F } , \mathrm { G } , \mathrm { H } ]= \mathrm { F } \cdot \mathbf { G } \times \mathbf { H } =0 $ 이라고 해보자. 이와 같은 경우는 다음의 세 가지 가능성을 생각할 수 있다.</p> <p>(1) 세 벡터 중에서 한 벡터가 영벡터인 경우: 이 때의 예제 6 에 의한 주어진 세 벡터는 일차종속이 된다.</p> <p>(2) $ \mathrm { G } \times \mathbf { H } =0 $인 경우: 이 때는 $ \mathrm { G } $와 $ \mathrm { H } $가 평행, 즉 적당한 스칼라 $ \alpha $에 대하여 $ \mathrm { G } = \alpha \mathrm { H } $인 경우인데, $ \mathrm { G } = \alpha \mathrm { H } + 0 \mathrm { ~F } $이므로 주어진 세 벡터는 일차종속이다.</p> <p>(3) $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } \times \mathrm { H } $ 모두 영벡터가 아닌 경우: 이 때는 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } \times \mathrm { H } $가 수직인데, $ \mathrm { G } \times \mathrm { H } $의 방향은 $ \mathrm { G } $와 $ \mathrm { H } $가 만드는 평면에 수직인 방향이므로, $ \mathrm { F } $는 $ \mathrm { G } $와 $ \mathrm { H } $가 만드는 평면위의 벡터이다.</p> <p>$ \square $ 예제 1 $ \mathbf { F } =- \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } + \mathbf { k } , \mathbf { G } =2 \mathbf { j } -4 \mathbf { k } $ 일 때 \[ \cos ( \theta)= \frac { 6-4 } {\sqrt { 11 } \sqrt { 20 } } = \frac { 2 } {\sqrt { 220 } } \]이므로 $ \mathrm { F } $와 $ \mathrm { G } $의 사잇각은 대략 $ 1.436 $ 라디안(82.25도)이 된다.</p> <p>정리 7.1 $ \alpha, \beta $ 가 스칼라일 때 \[ \\| \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } \\| ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } + \beta ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \]이 된다.</p> <p>[증명] 내적의 성질에 의해 \[ \begin {aligned} \\| \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } \\| ^ { 2 } &=( \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } ) \cdot( \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } ) \\ &=[( \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } ) \cdot( \alpha \mathbf { F } )] + [( \alpha \mathbf { F } + \beta \mathbf { G } ) \cdot( \beta \mathbf { G } )] \\ &=( \alpha \mathbf { F } ) \cdot( \alpha \mathbf { F } ) + ( \beta \mathbf { G } ) \cdot( \alpha \mathbf { F } ) + ( \alpha \mathbf { F } ) \cdot( \beta \mathbf { G } ) + ( \beta \mathbf { G } ) \cdot( \beta \mathbf { G } ) \\ &= \\| \alpha \mathbf { F } \\| ^ { 2 } + 2( \alpha \mathbf { F } ) \cdot( \beta \mathbf { G } ) + \\| \beta \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \\ &=\| \alpha\| ^ { 2 } \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } + 2( \alpha \beta) \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } + \| \beta\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \\ &= \alpha ^ { 2 } \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } + \beta ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \end {aligned} \]이 된다.</p> <p>벡터 $ \mathrm { F } _ { 1 } , \cdots, \mathrm { F } _ { m } $ 중에서, 한 벡터가 나머지 다른 벡터의 일차결합인 경우에 이들 벡터는 일차종속(linearly dependent)이라고 하며, 그렇지 않은 경우에 이들 벡터는 일차독립(linearly independent)이라고 한다.</p> <p>■ 예제 1 ■ 영벡터가 아닌 한 개의 벡터는 일차독립이고, 영벡터는 일차종속이다.</p> <p>■ 예제 2 ■ $ \mathbf { R } ^ { 2 } $에서 세 벡터 $ 2 \mathrm { i } + 3 \mathbf { j } , 8 \mathrm { i } -4 \mathbf { j } ,-26 \mathrm { i } + 25 \mathrm { j } $는 \[ -26 \mathbf { i } + 25 \mathbf { j } =3(2 \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } )-4(8 \mathbf { i } -4 \mathbf { j } ) \]이므로 이들 세 벡터는 일차종속이다.</p> <p>■예제 3 ■ $ \mathbf { R } ^ { 3 } $에서 좌표축의 단위벡터 $ i, j, k $ 는 일차독립이다.</p> <p>■예제 4 ■ $ \mathrm { R } ^ { 2 } $에서, 영벡터 아닌 두 벡터가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배인 것이다. 즉, 두 벡터가 평행할 때이다.</p> <p>■ 예제 5 ■ $ \mathrm { R } ^ { 3 } $에서, 영벡터 아닌 세 개의 벡터가 (1) 세 벡터가 모두 평행하거나, 또는 (2) 한 벡터가 다른 두 벡터가 만드는 평면 위에 놓인 경우에 세 벡터는 일차종속이다.</p> <p>■ 예제 6 ■ $ \mathrm { R } ^ { n } $ 의 임의의 벡터들의 집합이 영벡터를 포함하는 경우에 이들은 일차종속이다. 왜냐하면, $ \mathbf { F } _ { 1 } , \cdots, \mathbf { F } _ { m } $ 에서 $ \mathbf { F } _ { 1 } =0 $ 이면 \[ \mathbf { F } _ { 1 } =0 \mathbf { F } _ { 2 } + \cdots + 0 \mathbf { F } _ { m } \]이므로 $ \mathbf { F } _ { 1 } $이 나머지 다른 $ \mathbf { F } _ { j } $ 의 일차결합이 되기 때문이다.</p> <p>[(2)의 증명] \[ \begin {aligned} \\| \mathbf { F } \times \mathbf { G } \\| ^ { 2 } &= \left (b_ { 1 } c_ { 2 } -b_ { 2 } c_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (a_ { 2 } c_ { 1 } -a_ { 1 } c_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } \\&= \left (a_ { 1 } ^ { 2 } + b_ { 1 } ^ { 2 } + c_ { 1 } ^ { 2 } \right ) \left (a_ { 2 } ^ { 2 } + b_ { 2 } ^ { 2 } + c_ { 2 } ^ { 2 } \right )- \left (a_ { 1 } a_ { 2 } + b_ { 1 } b_ { 2 } + c_ { 1 } c_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \\&= \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } -( \mathbf { F } \cdot \mathbf { G } ) ^ { 2 } \\&= \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } - \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta) \\&= \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \left [1- \cos ^ { 2 } ( \theta) \right ] \\&= \\| \mathbf { F } \\| ^ { 2 } \\| \mathbf { G } \\| ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta) \end {aligned} \]가 되므로, 윗식의 제곱근을 취하면 \[ \\| \mathbf { F } \times \mathbf { G } \\|= \\| \mathbf { F } \\| \\| \mathbf { G } \\|\| \sin ( \theta)\| \]가 된다. 여기서 $ 0 \leq \theta \leq \pi $ 일 때 $ \sin ( \theta) \geq 0 $ 이고 $ \| \sin ( \theta)\|= \sin ( \theta) $ 이므로 원하는 결과를 얻을 수 있다.</p>	자연
M237-선형대수학	<h1>3.10 일차독립, 기저와 차원</h1> <p>이 절에서는 $ U=\mathbb{R}^{n} \ 에 대하여 앞 절들에서 소개한 일차독립, 기저 그리고 차원의 개념을 직접적으로 임의적인 벡터공간의 경우로 일반화한다. 초기에 주어진 정의와 정리는 그들이 일반적인 경우에 적용되도록 정리된다.</p> <p>정의 3.45 \( U=\left\{\mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{n}\right\} $을 벡터공간에 있는 벡터들의 집합이라 하자. $ c_{1} \mathbf{u}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{u}_{n}=\mathbf{0} $<caption>(1)</caption>을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, \cdots, c_{n} $이 존재하면 $ U $를 일차종속 (linearly dependent)이라 한다. 집합 $ U $가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이라 한다</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $에서와 같이 집합 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{\mathrm{k}}\right\} $이 벡터공간 $ U $에서 일차독립일 필요충분조건은 $ \mathbf{c}_{1}\mathbf{u}_{1}+\mathrm{c}_{2}\mathbf{u}_{\mathfrak{2}}+\cdots+\mathbf{c}_{k} \mathbf{u}_{k}=0 $ 이면 $\mathrm{c}_{1}=\mathbf{c}_{2}=\cdots=\varsigma_{k}=0 $을 뜻한다는 것이다. 또한 일차종속에 관한 다음의 유용한 대안적인 공식이 있다.</p> <p>정리 3.46 벡터공간에 있는 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{\mathrm{k}}\right\} $가 일차종속일 필요충분조건은 적어도 하나의 벡터는 다른 벡터들의 일차결합으로 표현될 수 있다.</p> <p>간단한 예제 $ M_{22} $에서 $ A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] $ 이라 하자. 그러면 $ A+B =C $ 이므로 집합 $ \{A, B, C\}$는 일차종속이다.</p> <p>간단한 예제 연속인 함수들의 집합 $ \left\{\sin ^{2} x, \cos ^{2} x, \cos 2 x\right\} $는 $ \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x $ 이므로 일차종속이다.</p> <p>예제 1 집합 $ \left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}\right\} $ 는 $ \mathbb{P}_{n} $에서 일차독립임을 보여라</p> <p>풀이 $ p(x)=c_{0}+c_{1} x + c_{2} x^{2}+\cdots+c_{n} x^{n}=0 $ 라 가정하자. 이것은 모든 $ x $에 대하여 성립해야하므로 $ x=0 $을 대입하면 $ c_{0}=0 $이다. 그러므로 $ c_{1} x+c_{2} x^{n}+\cdots+ c_{n} x^{n}=0 $ 에 미분하면 $ c_{1}+2 c_{2} x^{2}+3 c_{3} x^{2}+\cdots+n c_{n} x^{n-1}=0 $이고 $ x=0 $을 대입하면 또한 $ c_{1}=0 $. 한번 더 미분하면 $ 2 c_{2}+6 c_{3} x+\cdots+n(n-1) c_{n} x^{n-2}=0 $이고 $ x=0 $을 대입하면 또한 $ c_{2}=0 $. 이러한 방법으로 계속한다면 $ k=0, \cdots, n $에 대하여 $ k ! c_{k}=0 $. 그러므로 $ c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{n}=0 $이고 $ \left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}\right\} $은 일차독립이다.</p> <p>풀이 2 $ c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n} $을 $ c_{0} \cdot 1+c_{1} \cdot x+\cdots+c_{n} x^{n}=0 $을 만족하는 스칼라라 가정하자. 그러면 다항식 $ p(x)=c_{0}+c_{1} x+\cdots+c_{n} x^{n} $은 $ x $의 모든 값에 대하여 0이다. 따라서 $ p(x) $ 는 0 다항식이다. 이것은 $ c_{0}=c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 $임을 뜻한다. 따라서 $ \left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}\right\} $은 일차독립이다.</p> <p>예제 2 다음 다항식들의 일차독립성을 판정하라. \[p(x)=x^{2}-1, q(x)=x^{2}+x-2 \text { 와 } r(x)=x^{2}+3 x+2\]</p> <p>풀이 벡터방정식 $ a p(x)\lrcorner-b q(x)+c r(x)=0 $ 는 \[a\left(x^{2}-1\right)+b\left(x^{2}+x-2\right)+c\left(x^{2}+3 x+2\right)=0\] 을 의미하므로 이것을 정리하면 \[(-a-2 b+2 c)+(b+3 c) x+(a+b+c) x^{2}=0\]</p> <p>모든 $ x $에 대하여 이 식을 만족하는 $ a, b $와 $ c $를 찾아야 한다. 즉 다음 동차연립 방정식을 풀어야 한다.</p> <p>$ \begin{aligned}-a-2 b+2 c &=0 \\ b+3 c &=0 \\ a+b+c &=0 \end{aligned} $ 또는 $ \left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $</p> <p>첨가행렬에 행감소를 실행하면 \[\left[\begin{array}{rrrr}-1 & -2 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -2 & 0 \\0 & 1 & 3 & 0 \\0 & -1 & 3 & 0 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -2 & 0 \\0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]\]</p> <p>따라서 연립방정식은 오직 자명한 해만을 가지므로 다항식들은 일차독립이다.</p> <p>예제 3 연속함수의 벡터공간 $ C(-\infty, \infty) $의 두 벡터 $ f=x $와 $ g=\sin x $는 일차독립이다. 왜냐하면 $ f $와 $ g $중 어느 함수도 다른 함수의 상수 곱이 아니기 때문이다.</p> <p>일차독립과 일차종속의 정의가 벡터들의 유한집합에 의해 기술되지만 다음과 같이 무한집합으로 이 개념을 확장할 수 있다.</p> <p>벡터공간 $ V $에 있는 벡터들의 집합이 유한개의 일차종속인 벡터들을 포함한다면 그 집합을 일차종속이라 한다. 일차종속이 아닌 벡터들의 집합을 일차독립이라 한다. 벡터들의 유한집합에 대하여 이것은 단지 원래의 정의임에 유의하자. 다음은 일차독립인 벡터들의 무한집합의 예이다.</p> <p>예제 4 모든 다항식들의 집합인 $ \mathbb{P} $의 부분집합 $ S=\left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n}\right\} $은 일차독립임을 보여라.</p> <p>풀이 $ S $의 일차종속인 유한집합 $ T $가 있다고 가정하자. $ x^{m} $을 $ T $에 있는 $ x $의 가장 높은 멱이라 하고 $ x^{n} $을 $ T $에 있는 $ x $의 가장 낮은 멱이라고 하자. 그러면 $ c_{n} x^{n}+c_{n+1} x^{n+1}+\cdots+c_{m} x^{m}=0 $ 을 만족하는 모두는 0이 아닌 스칼라 $ c_{n}, c_{n+1}, \cdots, c_{m} $이 존재한다. 앞의 예제에서 사용한 논증과 유사한 논증에 의해서 이것은$ c_{n}=c_{n+1}=\cdots=c_{m}=0 $임을 뜻한다. 이것은 모순이다. 따라서 $ S $는 유한개의 일차종속인 벡터들을 포함할 수 없으므로 그것은 일차독립이다.</p> <h1>3.3 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간-연속</h1> <p>$ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ U $는 스칼라 곱 아래서 닫혀 있어야 하므로 $ \mathbb{R}^{n} $의 영이 아닌 부분공간은 무한개의 벡터들을 포함하여야 한다. 따라서 유한집합 $ P=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{s}\right\} \subset \mathbb{R}^{n} $은 부분공간이 될 수 없다. 그러면 부분공간이 되기 위해서는 $ P=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{s}\right\} \subset \mathbb{R}^{n} $에 무엇을 더해야 하는가?</p> <p>부분공간은 일차결합 아래서 닫혀있어야 하므로 $ P $를 포함하는 모든 부분공간은 집합 $ U=\left\{\sum_{k=1}^{\cdots} a \cdot \mathbf{u}_{k} \mid a_{i}^{\prime}\right. $ 는 실수 $ \} $ 에 있는 모든 벡터들을 포함해야 한다.</p> <p>$ \sum_{k=1}^{s} a_{k} \mathbf{u}_{k}+\sum_{k=1}^{s} b_{k} \mathbf{u}_{k}=\sum_{k=1}^{s}\left(\mathfrak{l}_{k}+b_{k}\right) \mathbf{u}_{k} $ 이고 $ c \sum_{k=1}^{s} a_{k} \mathbf{u}_{k}=\sum_{k=1}^{s} c b_{k} \mathbf{u}_{k} $ 이므로 $ U $는 벡터합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 따라서 정의 3.11에 의해 $ U $는 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간이다. 더구나 $ U $는 $ P $를 포함하는 $ \mathbb{R}^{n} $의 가장 작은 부분공간이다. 이제 다음 정의를 만든다.</p> <p>정의 3.13 $ P=\left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \cdots, \mathrm{u}_{s}\right\} $ 이 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 벡터들로 구성된 집합이라면 집합 $ P $에 의해 생성된 부분공간을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \operatorname{Span}(P)=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{s}\right\}=\left\{\sum_{k=1}^{s} a_{k} \mathbf{u}_{\mathrm{k}} \mid a_{k}\right. $는 실수 $ \} $</p> <p>즉, 집합 $ P $에 의해 생성된 부분공간은 $ P $에 있는 벡터들의 모든 가능한 일차 결합으로 구성된다. $ \operatorname{Span}(P) $를 $ P $에 의해 생성된 공간이라 부른다.</p> <p>주어진 벡터 $ \mathbf{u} $가 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdot, \mathbf{u}_{n}\right\} $의 원소인지를 확인하여보자. 즉 벡터 $ \mathrm{u} $가 생성공간에 속하는 원소의 형태로 쓸 수 있는지를 확인할 필요가 있다. 이 문제는 연립방정식의 해의 존재성에 대한 질문으로 이끈다. 그와 같은 질문은 제 1장의 결과를 사용하여 효율적으로 답할 수 있다.</p> <p>예제 1 $ \mathbb{R}^{3} $의 세 벡터 $ u_{1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2\end{array}\right], u_{2}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right], u_{3}=\left[\begin{array}{lll}2 & : & 3\end{array}\right] $가 $ \mathbb{R}^{3} $을 생성 사는지 결정하라.</p> <p>풀이 $ \mathbb{R}^{3} $의 임의의 벡터 $ \mathrm{b}=\left[\begin{array}{lll}b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right] $가 $ \mathrm{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \cdot \bar{x}_{3} $ 의 일차결합으로 표현되는지 확인하자. 즉 $ \left[\begin{array}{lll}b_{1} & b_{2} & b_{3} ]\end{array}=k_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2\end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right]+k_{3}\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3\end{array}\right]\right. $ $ =\left[\begin{array}{lll}k_{1}+k_{2}+2 k_{3} & k_{1}+k_{3} & 2 k_{1}+k_{2}+3 k_{3}\end{array}\right] $ 이므로 $ k_{1}+k_{2}+2 k_{3}=b_{1} $ $ k_{1}+k_{3}=b_{2} $ $ 2 k_{1}+k_{2}+3 k_{3}=b_{3} $<caption>(1)</caption>을 만족하는 $ k_{1}, k_{2} $와 $ k_{3} $이 존재하는가의 문제이다. 모든 $ b_{1}, b_{2} $와 $ b_{3} $에 대해 연립방정식 (1)이 해를 갖기 위해서는 연립방정식의 계수행렬 $ A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right] $ 이 가역행렬이어야 한다. 그러나 $ \operatorname{det} A=0 $ 이므로 $ A $ 는 가역행렬이 아니다. 따라서 $ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} $는 $ \mathbb{R}^{3} $을 생성하지 않는다. 일반적으로 열벡터를 사용하지만 편의상 행벡터를 사용했음을 유의하라.</p> <p>예제 2 $ \mathbb{R}^{3} $의 두 벡터 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} $가 원점을 시점으로 하는 일직선상에 있지 않은 방향이 다른 벡터일 때, 일차결합 $ k_{1} \mathbf{v}_{1}+\mathrm{k}_{2} \mathbf{v}_{2} $의 전체집합인 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $은 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} $를 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 평면이다. $ \mathbb{R}^{3} $의 평면은 적어도 두 개 이상의 벡터들에 의해 생성된다. 또 $ \mathbb{R}^{2} $ 혹은 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 영이 아닌 벡터 $ \mathbf{v} $에 대해 $ \operatorname{Span}\{\mathbf{v}\} $는 $ \mathbf{v} $을 포함하는 원점을 지나는 직선이다(그림 3.24).</p> <p>예제3 $ A $의 영공간에 대한 생성집합을 구하라.</p> <p>$ A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 7 \\ 9 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $</p> <p>풀이 $ N(A)=\left\{\mathrm{x} \in R^{5} \mid A \mathrm{x}=0\right\} $ 임을 기억하라. 이미 $A$는 사다리꼴이므로 해를 쉽게 구한다. 변수 $ x_{2} $와 $ x_{5} $는 자유변수이므로 다른 변수들은 $ x_{2}=c_{1} $과 $ x_{5}=c_{2} $에 의해 결정될 수 있다. 따라서 일반해는 $ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2 c_{1}-3 c_{2} \\ c_{1} \\ -7 c_{2} \\ 2 c_{2} \\ c_{2}\end{array}\right]=c_{1}\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ -7 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2} $</p> <p>그러므로 $ N(A)=\operatorname{Span}\left\{\mathrm{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\} $</p> <p>주어진 $ m \times n $ 행렬 $ A $의 학습에서 유용한 몇 개의 부분공간이 있다. 이제 $ A $의 열공간이라 하는 다른 부분공간을 정의한다.</p> <p>정의 3.14 $ A $가 $ m \times n $ 행렬이라면 $ A $의 열공간은 $ A $의 열에 의하여 생성된 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간이다. 열공간을 $ \operatorname{Col}(A) $로 표기한다. 따라서 $ \operatorname{Col} A=\operatorname{Span}\left\{\operatorname{Col}_{1}(A) . \operatorname{Col}_{2}(A), \cdots, \operatorname{Col}_{n}(A)\right\} $</p> <p>종종 부분공간 $ \operatorname{Col}(A) $를 $ A $의 치역이라고 한다. 왜냐하면 $ T_{A}(\mathbf{u})=A \mathrm{u} $로 정의되는 $ \mathbb{R}^{n} $에서 $ \mathbb{R}^{m} $으로의 함수 $ T_{A} $의 치역이기 때문이다.</p> <p>예제 2에서 보았듯이 연립방정식 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $가 해를 가질 필요충분조건은 $ \mathrm{b} $가 $ A $의 열 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다($b$가 $ A $ 의 열벡터들의 생성공간에 속한다)는 것 이다. 따라서 $ m \times n $ 행렬의 열공간은 $ \mathbb{R}^{m} $의 부분공간이 된다. 일반적으로 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정의 3.15 연립방정식 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $가 해를 가질 필요충분조건은 $ \mathrm{b} $가 $ A $의 열공간 $ \operatorname{Col}(A) $에 속하는 것이다.</p> <p>예제 4 연립방정식 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $ $ A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -2\end{array}\right], \quad \mathrm{b}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -9 \\ -3\end{array}\right] $ 에서 $ \mathrm{b} $가 $ A $의 열공간 $ \operatorname{Col}(A) $ 에 속함을 보여라.</p> <p>풀이 가우스 소거법에 의해 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $를 풀면 $ x_{1}:=2, x_{2}=-1, x_{3}=3 $ 이다(계산해 보라). $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $가 해를 가지므로 정리 3.15에 의해 $ \mathrm{b} $가 $ A $의 열공간에 속하고, $ \mathrm{b} $는 다음과 같이 $ A $ 의 열벡터들의 일차결합으로 나타난다. $ \left[\begin{array}{r}1 \\ -9 \\ -3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{r}2 \\ -3 \\ -2\end{array}\right] $</p> <h1>3.2 벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $ 과 그의 부분공간</h1> <p>앞 절에서 기하적인 측면에서 $ \mathbb{R}^{2} $과 $ \mathbb{R}^{3} $를 간단히 다뤘다. 이 절에서는 $ \mathbb{R}^{2} $과 $ \mathbb{R}^{3} $의 자연적인 일반화인 $ \mathbb{R}^{n} $을 학습할 것이다. $ \mathbb{R}^{n} $을 기하적으로 다루는 것이 가능하지 않으므로 대수적으로 처리할 방도 외에는 없다. 물론 우리들은 $ n=2 $와 $ n=3 $인 경우의 기하적인 용어와 통찰력을 사용한다. $ \mathbb{R}^{n} $의 원소를 점이나 벡터들로 간주할 것이다. $ \mathbb{R}^{n} $ 의 원소들을 $ u, v $와 $ w $와 같은 굵은 체의 영어 소문자를 사용할 것이다. 벡터 $ u $의 원소 또는 구성원은 $ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n} $ 으로 표기될 것이다. 공간을 절약하기 위하여 벡터들을 행 행렬의 전치로 쓸 것이다. 즉,</p> <p>$ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}u_{1} & u_{2} & \cdots & u_{n}\end{array}\right]^{T} $</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $에서 벡터 합과 스칼라 곱은 행렬 합과 행렬의 스갈라 곱이므로 $ \mathbb{R}^{n} $의 대수적인 구조에 대하여 이미 조금 알고 있다. 우선 $ \mathbb{R}^{n} $을 정의하자.</p> <p>정의 .3.3 모든 $ n \times 1 $ 실수 행렬의 집합을 유클리드 $ n $-공간이라 하며 그것을 $ \mathbb{R}^{n} $ 으로 표기한다.</p> <p>벡터공간은 $ n $차원의 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 5개의 기본적인 성질을 추상적으로 재형성한 것이다. 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $은 $ n $개의 원소를 갖는 모든 실수 벡터들의 집합으로 정의된다.</p> <p>정리 3.4 벡터공간$ \mathbf{u}, \mathbf{v} $와 $ \mathbf{w} $가 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 임의의 원소이고 $ c $와 $ d $가 임의의 스칼라라면 아래 나열된 10가지 규척들이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $의 합은 $ \mathbb{R}^{n} $에 있다. 즉, $ \mathbf{u}+\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} $ (덧셈에 대하여 닫혀있음)</li> <li>$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ (교환법칙)</li> <li>$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ (결합법칙)</li> <li>$ \mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{u} $을 만족하는 영벡터 0가 $ \mathbb{R}^{n} $에 있다.</li> <li>$ \mathbb{R}^{n} $에 있는 각 $ \mathbf{u} $에 대하여 $ \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=\mathbf{0} $을 만족하는 $ -\mathbf{u} $가 $ \mathbb{R}^{n} $에 있다.</li> <li>$ c $에 의한 $ \mathbf{u} $의 스칼라 곱은 $ \mathbb{R}^{n} $에 있다. 즉 $ c \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n} $ (스칼라 곱에 대한 닫힘)</li> <li>$c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c \mathbf{v}+c \mathbf{u}$ (분배법칙)</li> <li>$(c+d) \mathbf{u}=\mathrm{c} \mathbf{u}+\mathrm{d} \mathbf{u}$ (분배법칙)</li> <li>$ c(d \mathbf{u})=(c d) \mathbf{u} $</li> <li>$ 1 \mathbf{u}=\mathbf{u} $</li></ol> <p>이 규칙들을 사용하여 규칙 4에 있는 0벡터는 유일하고, 규칙 5에서 $ \mathrm{u} $의 마이너스라 부르는 $ -\mathrm{u} $는 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 각 $ \mathbf{u} $에 대하여 유일하다. 쉽게 다음의 결과들을 얻을 수 있다.</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $에 있는 각 $ \mathrm{u} $와 스칼라 $ c $에 대하여 \[\begin{aligned}0 \mathbf{u} &=\mathbf{0} \\c \mathbf{0} &=\mathbf{0} \\-\mathbf{u} &=(-1) \mathbf{u}\end{aligned}\]</p> <p>정리 3.4에 기술한 $ \mathbb{R}^{n} $의 성질들은 $ \mathbb{R}^{n} $에 대하여 모두 명백하지만 조심스럽게 조사되어야 한다. 왜냐하면 그들은 벡터개념의 일반화에 기초가 되기 때문이다. 벡터공간들 중에서 특히 $ \mathbb{R}^{n} $에 대하여 관심을 갖는 기본적인 이유는, $ A $가 $ m \times n $ 행렬이라면 연립 방정식 $ A X=B $의 해는 $ \mathbb{R}^{n} $에 있기 때문이다. 이러한 경우에 $ A $를 $ \mathbb{R}^{n} $에서 $ \mathbb{R}^{m} $으로의 함수로 볼 수 있다. 4장에서 이 함수적인 견해를 다룰 것이다.</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $에 대한 길이나 각도에 대해 정의하지 않았으므로 $ \mathbb{R}^{2} $과 $ \mathbb{R}^{3} $에 대한 내적의 기하적인 정의는, $ \mathbb{R}^{n} $으로 일반화할 수 없다. 식 3.1절의 식 (3)은 $ \mathbb{R}^{3} $에서 내적을 계산하기 위한 순수하게 대수적인 방법을 제공한다. 이 식은 내적을 $ \mathbb{R}^{n} $까지 확장하도록 하는 자연스러운 방법이다.</p> <p>정의 3.5 유클리드 내적 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n}\end{array}\right] $ 와 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n}\end{array}\right] $ 에 대하여, 내적을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=u \cdot v_{1}+u_{2} v_{2}+\cdots+u_{n} v_{n} $</p> <p>간단한 예제 $ \mathbb{R}^{4} $에 있는 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right], \mathbf{v}=\left[\begin{array}{r}3 \\ -2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right] $ 와 $ \mathbf{w}=\left[\begin{array}{r}2 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right] $에 대하여 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=1 \times 3+2 \times(-2)+3 \times 3+4 \times 4=24 $ $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=1 \times \mathbf{L}+2 \times 2+3 \times 3+4 \times 4=30 $ $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}=1 \times 2+2 \times 0+3 \times 0+4 \times(-1)=-2 $</p> <p>내적 $ \mathrm{u} \cdot \mathrm{v} $을 행렬의 곱 $ \mathrm{u}^{T} \mathrm{v} $로 쓴다. 따라서 행렬의 곱과 전치행렬을 사용하여 $ \mathbb{R}^{n} $에서 내적의 몇 개의 기본적인 성질들을 확립한다.</p> <p>정리 3.6 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathrm{u}, \mathrm{v} $와 $ \mathrm{w} $ 그리고 스칼라 $ c $와 $ d $에 대하여 다음 명제들은 참이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} $</li> <li>$ \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{w} $</li> <li>$ \mathbf{u} \cdot(a \mathbf{v})=(a \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}=a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) $</li> <li>$ \mathbf{u} \cdot(a \mathbf{v}+b \mathbf{w})=a(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})+b(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) $</li> <li>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{0}=0 $</li> <li>$ \mathrm{u} \cdot \mathrm{u} \geq 0 \quad(\mathrm{u}=0 $일 때만 등호 성립 $ ) $</li></ol> <p>3.1 절에서 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 벡터 $\mathbf{u} $에 대하여 $\mathbf{u} $의 길이는 $ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}} $이다. $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathbf{u} $에 대하여는 앞의 공식을 일반화하여 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 3.7 길이, 노름 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathbf{u} $에 대하여, $ \mathbf{u} $ 의 길이는 $ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})}=\sqrt{u_{i}^{2}+\omega_{i}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}} $</p> <p>$ \\|\mathbf{u}\\|=1 $이면 벡터 $ \mathbf{u} $를 단위벡터라 한다. $ \\|a \mathbf{u}\\|=\sqrt{(a \mathbf{u} \cdot a \mathbf{u})}=\|a\| \sqrt{(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})}= $ $ \|a\|\\|\mathbf{u}\\| $이므로, 모든 $ \mathbf{v} \neq 0 $에 대하여 $ \frac{1}{\\|\mathbf{v}\\|} \mathbf{v} $ 는 단위벡터이다.</p> <h1>3.1 $ \mathbb{R}^{2} $ 와 $ \mathbb{R}^{3} $</h1> <p>2차원이나 3차원에서 벡터들은 유향선분이나 화살표로 나타낼 수 있다. 여기서 화살표의 방향은 벡터의 방향이며 길이는 벡터의 크기를 표현한다.</p> <p>그림 3.1 (a)에서 $ w_{1} $은 시간당 $ 30 \mathrm{~km} $로 북동쪽에서 불어오는 바람을 나타내며 $ w_{2} $는 시간당 $ 10 \mathrm{~km} $로 남쪽에서 불어오는 미풍을 나타낸다. 그림 3.1 (b)는 언덕 위로 움직이는 카트를 보여준다. 벡터 $ w$는 카트의 무게를 나타낸 반면 $ f_{2} $는 카트가 언덕의 아래로 움직이려하는 힘을 나타낸다. $ f_{1} $은 카트가 언덕 위로 움직이도록 작용하는 힘을 나타 낸다. $f_{1} $이 $ f_{2} $보다 길므로 카트는 언덕 위로 움직일 것이다. 벡터들을 두 방법으로 표시한다. 하나는 $u$, $v$, $w$와 $ x$와 같은 굵은체 소문자이고 다른 하나는 벡터들의 시작점과 끝점을 굵은체 대문자로 표시한다. 따라서 $ A B $는 점 $ A $에서 점 $ B $로 향하는 벡터이고 $ B A $는 점 $ B $에서 점 $ A $로 향하는 벡터이다. 그들이 같은 방향을 같고 길이가 같으면, 그 벡터들이 다른 시작점과 끝점을 가지고 있을 지라도, 이 두 벡터를 같다고 정의한다. 따라서 그림 3.2에서 벡터 $ u=A B $와 $ v=C D $는 같다. 그리고 $ x_{1} $과 $ x_{2} $도 같다. 그러나 두 벡터 $ v$와 $ x_{1} $은 같은 길이를 가지고 있지만 방향이 다르므로 $v \neq x_{1} $.</p> <p>정의 3.1 $ u $와 $ v $가 두 벡터라면 두 벡터들의 합은 그의 꼬리가 $ u $의 머리와 일치하도록 $v $를 놓아서 얻으며 $ u+v $ 는 $ u $의 시작점에서 시작하여 $v$의 끝 점까지의 벡터로 정의한다(그림 3.3 참조).</p> <p>정의 3.1을 벡터들의 평행사변형법칙이라 한다. 그림 3.4에 보이는 것처럼 $ u+v $는 인접하는 $ u $와 $ v $의 평행사변형의 대각선이기 때문이다. 이 도표는 벡터의 덧셈은 교환법칙이 성립함을 보여준다. 즉, $ u+v=v+u $.</p> <p>정의 3.1에 주어진 벡터 합의 기하적인 정의는 그림 3.5 (a)에 그려진 물리적인 실험에 의해 유발되었다. 이 실험에서 힘 $ F_{3} $는 힘 $F_{1} $ 와 $ F_{2} $의 총 효과와 균형을 이룬다. 힘들의 크기는 용수철저울의 눈금에서 읽고 힘들은 그림 3.5 (b)에 그려져 있다. 여기서 화살표의 길이는 벡터들의 크기를 나타낸다. 정밀한 도구로 조심스럽게 그림을 그렸다면 힘 $ F_{3} $는 그의 옆면들이 힘 $ F_{1} $와 $ F_{2} $의 벡터표현인 평형사변형의 대각선의 방향에 반대방향이고, 크기가 같다는 것을 알게 될 것이다.</p> <p>이제 한 벡터가 다른 벡터에 얼마나 근접한지를 계산하자.</p> <p>정의 3.8 두 벡터 사이의 거리 $ \mathbb{R}^{n} $의 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $에 대하여, $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $사이의 거리는 $ \\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\| $로 정의하고, 이를 크기인 dist(u, v)로 표기한다. 즉, \[\operatorname{dist}(\mathbf{u}, \mathbf{v})=\\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|\]</p> <p>$ \mathbb{R}^{2} $와 $ \mathbb{R}^{n} $에서 거리의 정의는 다음 예제에서 보듯이 두 점 사이의 유클리드 거리에 대한 통상적인 공식과 일치한다.</p> <p>예제 1 두 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ll}7 & 1\end{array}\right]^{T} $과 $ \mathrm{v}=\left[\begin{array}{ll}3 & 2\end{array}\right]^{T} $사이의 거리를 계산하라. $ \mathbf{u}-\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}7 \\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}4 \\ -1\end{array}\right] $ 이므로 $ \\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{17} $</p> <p>벡터 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$와 $\mathbf{u-v}$는 그림 3.20에 그려져 있다. 벡터 $\mathbf{u-v}$에 $\mathbf{v}$를 더하면 $\mathbf{u}$이다. 그림 3.20의 평행사변형은 $\mathbf{v}$에서 $\mathbf{u}$까지 거리는 0에서 $\mathbf{u-v}$까지 거리와 같음에 유의하라.</p> <p>예제 $ 2 \mathrm{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} $ 에 대하여 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lll}u_{1} & u_{2} & u_{3}\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}v_{1} & v_{2} & v_{3}\end{array}\right] $ 이라면 $ \begin{aligned} \operatorname{dist}\left(\mathbf{u}, \mathbf{v}^{\prime}\right.&=\\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|=\sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v})} \\ &=\sqrt{\left(u_{1}-v_{1}\right)^{2}+\left(u_{2}-v_{.}\right)^{2}+\left(u_{3}-v_{3}\right)^{2}} \end{aligned} $</p> <p>벡터 $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $로 결정되는 원점을 지나는 직선을 고려하자. 그림 3.21에 보여주는 두 직선이 기하적으로 수직일 필요충분조건은 $ u $를 지나는 직선이 $ -v $에서 $ v $까지 선분의 2등분선이다. 이것은 $ u $에서 $ -v $까지 거리와 $ u $에서 $ v $까지 거리가 같다는 것을 요구하는 것과 같다. 이제 $ \begin{aligned} {[\operatorname{dist}(\mathbf{u},-\mathbf{v})]^{2} } &=\\|\mathbf{u}-(-\mathbf{v})\\|^{2}-\\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\|^{2} \\ &=(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \\ &=\mathbf{u} \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{v}(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \\ &=\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \\ &=\\|\mathbf{u}\\|^{2}+\\|\mathbf{v}\\|^{2}+2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \end{aligned} $<caption>(1)</caption></p> <p>$ \mathbf{v} $와 $ -\mathbf{v} $를 바꿔서 같은 계산을 실행하면 $ \begin{aligned} {\left[\operatorname{dist}(\mathbf{u}, \mathbf{v})_{j}^{2}\right.} &=\\|\mathbf{u}-(\mathbf{v})\\|^{2}=\\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|^{2} \\ &=\left\\|\mathbf{u}{ }^{2}+\right\\| \mathbf{v} \\|^{2}-2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \end{aligned} $ 두 개의 거리의 제곱은 같으므로 $ 2 \mathrm{u} \cdot \mathrm{v}=-2 \mathrm{u} \quad \mathrm{v} $이다. 따라서 $ \mathrm{E} \cdot \mathrm{v}=0 $.</p> <p>정의 3.9 $\mathbb{R}^{n} $의 두 벡터 $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $가 $ \mathrm{u} \cdot \mathrm{v}=0 $을 만족할 때 서로 직교한다고 한다. 그리고 서로 직교하는 벡터를 직교벡터라고 부른다.</p> <p>간단한 예제 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right] $와 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{r}2 \\ 0 \\ 5 \\ -3\end{array}\right] $를 고려하자. $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=6+0+0-3=0 $이므로 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $는 직교한다.</p> <p>영벡터는 $ \mathbb{R}^{n} $의 모든 벡터에 직교한다. (이유는?) 직교벡터에 대한 중요한 사실이 다음 정리에 주어진다. 증명은 위의 (1)의 계산과 직교성의 정의에서 온다. 그림 3.22에 있는 직각삼각형은 정리에서 나타나는 길이를 그림으로 보여준다.</p> <p>예제 3 차수가 $ n $보다 작거나 같은 다항식 전체의 집합을 $ \mathbb{P}_{n} $이라고 하면 $ \mathbb{P}_{n} $은 벡터공간이다.</p> <p>풀이 $ \mathbb{P}_{n} $에 속하는 임의의 다항식 $ p, q $와 임의의 스칼라 $ c $에 대해 \[(p+q)(x)=p(x)+q(x), \quad(c p)(x)=c p(x)\] 로 정의하면 예제 2와 마찬가지로 $ \mathbb{P}_{n} $은 벡터공간의 성질을 만족한다.</p> <p>예제 4 집합 $ S $를 모든 무한수열의 집합이라 하면 $ S $는 벡터공간이다.</p> <p>풀이 $ S $의 두 원소 $ \left.\left\{x_{k}\right\}={ }_{ } x_{1}, x_{2}, \cdots\right\} $와 $ \left\{y_{k}\right\}=\left\{y_{1}, y_{2}, \cdots\right\} $에 대해 합 $ \left\{x_{k}\right\}+\left\{y_{k}\right\} $을 각각의 항을 합한 수열 $ \left\{x_{k}\right\}+\left\{y_{k}\right\} $로 그리고 스칼라 곱 $ c\left\{x_{k}\right\} $를 각항에 상수배한 수열 $ c\left\{x_{k}\right\} $로 정의하면, $ S $는 벡터공간의 성질을 만족함을 알 수 있다.</p> <p>이산시간에 신호를 측정하면 이는 $ S $ (예제 4 에서 언급된 $ S $ )의 주요한 원소가 된다. 이러한 신호는 전기공학, 기계공학, 광학 등에서 발생한다. 우주왕복선의 조정시스템도 이산신호 혹은 디지털신호를 이용한다. 벡터공간 $ S $를 신호공간이라 한다.</p> <p>벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $는 기하학적으로 3차원 공간을 나타낸다. $ \mathbb{R}^{3} $의 부분집합인 $ x y $-평면 $ \{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} $을 $ H $라고 하면, $ H $ 는 $ \mathbb{R}^{2} $와 마찬가지로 벡터공간이다. 이 때 $ H $를 $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간이라 한다. 이처럼 벡터공간 $ V $에서 정의된 부분집합 $ W $가 다시 벡터공간이 되면 $ W $ 를 $ V $의 부분공간(subspace)으로 정의한다. $ V $에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱의 성질은 부분집합에서도 그대로 성립하므로 벡터공간 $ V $의 부분집합 $ W $가 벡터공간이 되기 위해서는 다음 성질을 만족하면 된다.</p> <p>정의 3.42 벡터공간 $ V $의 부분공간은 다음 세 성질을 만족하는 $ V $의 부분집합 $ W $이다.<ol type=1 start=1><li>$ V $의 영 벡터가 $ W $에 있다.</li> <li>$ W $는 덧셈에 대해 닫혀 있다. 즉, 임의의 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W $에 대해 $ \mathbf{u}+\mathbf{v} \in W $.</li> <li>$ W $는 스칼라 곱에 대해 닫혀 있다. 즉, 임의의 스칼라 $ c $와 $ \mathbf{u} \in W $에 대해 $ c \mathbf{u} \in W $</li></ol></p> <p>예제 5 $ W=\left\{A \in M_{33} \mid \operatorname{det}(A)=0\right\} $은 $ M_{33}(3 \times 3 $ 인 실수 행렬)의 부분공간인가?</p> <p>풀이 일반적으로 $ \operatorname{det}(A+B) \neq \operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B) $이므로 이 집합이 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다. 실제로 $ A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] $과 $ B=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] $ 은 $ W $에 있다. 왜냐하면 $ \operatorname{det}(A)=0 $이고 $ \operatorname{det}(B)=0 $이기 때문이다. 그러나 $ \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=2 \neq 0 $ 이것은 $ A+B \notin W $임을 보여준다. 따라서 $ W $는 $ M_{33} $의 부분공간이 아니다.</p> <p>예제 6 $ F=F(a, b) $를 구간 $ [a, b] $에 정의된 실수 값 함수의 집합이라 하자. 그러면 $ W=\left\{f \in F(a, b) \mid f^{\prime \prime}(x)+5 f^{\prime}(x)=0\right\} $은 $ F $의 부분공간인가?</p> <p>풀이 명백하게 $ f=0 $는 $ W $에 속하므로 $ W \neq \phi $이다. $ f, g \in W $ 이면 $ f^{\prime \prime}(x)+5 f^{\prime}(x)=0 $ 이고 $ g^{\prime \prime}(x)+5 g^{\prime}(x)=0 $</p> <p>이제 $ h, k $를 임의의 스칼라라 하고 $ h f+k g \in W $인지를 결정하자. 미분의 선형성을 이용하여 $ (h f(x)+k g(x))^{\prime \prime}+5(h f(x)+k(g(x)) $ $ =h f^{\prime \prime}(x)+k g^{\prime \prime}(x)+5 h f^{\prime}(x)+5 k g^{\prime}(x) $ $ =h\left(f^{\prime \prime}(x)+5 f^{\prime}(x)\right)+k\left(g^{\prime \prime}(x)+5 g^{\prime}(x)\right) $ $ =h \times 0+k \times 0=0 $</p> <p>그러므로 $ h f+k g \in W $. 즉 $ W $는 함수공간 $ F $의 부분공간이다.</p> <p>앞 예제는 왜 우리가 부분공간에 대하여 관심을 가져야 하는지를 보여준다. 종종 방정식이나 연립방정식의 모든 해의 집합은 어떤 벡터공간의 부분공간이다.</p> <h1>3.6 $ \mathbb{R}^{n} $에서 직교성</h1> <p>이 절에서는 $ \mathbb{R}^{n} $에서 내적에 대한 몇 개의 특별한 결과를 학습할 것이다.</p> <ol type=1 start=1><li>직교성과 일차독립과의 관계는 무엇인가?</li> <li>$ \mathbb{R}^{n} $의 모든 부분공간은 서로 직교하는 단위벡터로 구성되는 기저를 가지고 있는가?</li></ol> <p>2 절에서 $ \mathbb{R}^{n} $에서 벡터의 길이 또는 노름을 다음과 같이 정의했다.</p> <p>$ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{n}^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}} $</p> <p>또한 두 벡터 $ u $와 $ v $가 다음 식을 만족하면 $ u $와 $ v $는 서로 직교한다고 정의했다.</p> <p>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}=0 $</p> <p>몇 개의 중요하고 기본적인 벡터의 길이에 대한 성질을 나열한다. 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>정리 3.27 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 벡터 $ \mathbf{u} $와 스칼라 $ k $에 대하여<ol type=1 start=1><li>$ \\|\mathbf{u}\\| \geq 0 $</li> <li>$ \\|\mathbf{u}\\|=0 $일 필요충분조건은 $ \mathbf{u}=0 $이다.</li> <li>$ \\|k \mathbf{u}\\|=\nmid k \mid\\|\mathbf{u}\\| $</li></ol></p> <p>$ \mathbb{R}^{3} $에 있는 벡터 $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $에 대하여 내적에 대한 다른 공식은 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| \cos \theta $ 이다. 따라서 $ \|\cos \theta\| \leq 1 $ 이므로 $ \|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\| \leq\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| $ 이다. 이 아이디어는 위의 공식을 이용하여 $ \mathbb{R}^{n} $에서 대수적인 정의를 준다. 즉 $ \frac{\|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\|}{\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|} \leq 1 $ 임을 보인다면 $ \theta=\cos ^{-1}(\|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\| /\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|) $ 이 정의된다.</p> <p>정리 3.28 코시-슈바르츠 정리 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $에 대하여 \[\|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\| \leq\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|\]</p> <p>증명 우선 $ u $와 $ v $가 단위 벡터인 경우를 고려하자. 따라서 $ \\|\mathbf{u}\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}=1 $ 이고 $ \quad\\|\mathbf{v}\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} v_{o}^{2}=1 $ 이 경우에 $ 0 \leq\\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-2 \sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}+\sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}=2-2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $ 이고 $ 0 \leq\\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\|^{2}=\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}+\sum_{i=1}^{n} v_{i}^{2}=2+2 \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $</p> <p>첫 부등식에서 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \leq 1 $이고 둘째 부등식에서 $ -1 \leq \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $이므로 두 부등식을 합하면 \[\|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\| \leq 1\]</p> <p>$ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $가 둘 다 0이 아니라면, $ \mathrm{u} /\\|\mathrm{u}\\| $와 $ \mathrm{v} /\\|\mathrm{v}\\| $는 단위벡터이고 그것에 대하여 \[\left\|\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\|\mathbf{u}\\|\\|\cdot\\|}\right\|=\\|\left(\frac{\mathbf{u}}{\\|\mathbf{u}\\|}\right) \cdot\left(\frac{\mathbf{v}}{\\|\mathbf{v}\\|}\right) \mid \leq 1 \] 따라서 $ \|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\| \leq\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| $ 정리는 $ \mathrm{u}=0 $ 나 $ \mathrm{v}=0 $ 일 때도 참이므로 증명은 완료되었다.</p> <p>코시-슈바르츠 정리의 직접적인 결과는 삼각부등식이다. $ n=3 $인 경우에 한 변의 길이는 다른 두변의 길이의 합보다 작다.</p> <p>정리 3.29 삼각부등식 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $에 대하여 \[\\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\| \leq\\|\mathbf{u}\\|+\\|\mathbf{v}\\|\]</p> <p>증명 $ \begin{aligned}\\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\|^{2} &=(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \\ &=\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \leq\\|\mathbf{u}\\|^{2}+2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})+\\|\mathbf{v}\\|^{2} \end{aligned} $ 코시-슈바르츠 부등식으로부터 $ \\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\|^{2} \leq\\|\mathbf{u}\\|^{2}+2\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|+\\|\mathbf{v}\\|^{2}=(\\|\mathbf{u}\\|+\\|\mathbf{v}\\|)^{2} $ 제곱근을 취하면 정리의 결과를 얻는다.</p> <p>정의 3.30 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $는 $ \mathrm{u} \cdot \mathrm{v}=0 $라면 직교한다. $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 벡터들로 이루어진 집합 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{\mathrm{p}}\right\} $에 대하여 서로 다른 모든 벡터들의 각 쌍이 직교한다면, 즉, $ i \neq j $일 때마다 $ \mathrm{u}_{i} \cdot \mathrm{u}_{j}=0 $라면 그 집합을 직교집합이라 한다. 직교집합에 있는 모든 벡터들이 단위벡터라면 그 집합을 정규직교집합이라 한다. $ \mathbb{R}^{n} $에 대한 기저를 형성하는 벡터들의 정규직교집합을 정규직교기저라 한다.</p> <p>예제 1 $ \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{r}-1 / 2 \\ -2 \\ 7 / 2\end{array}\right] $ 일 때, $ B=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\} $가 직교집합임을 보여라.</p> <p>풀이 서로 다른 세 개의 쌍을 고려하자. 즉, $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\},\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{3}\right\} $ 와 $ \left\{\mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\} $</p> <p>$ \mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{2}=3(-1)+1(2)+1(1)=0 $</p> <p>$ \mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{3}=3\left(-\frac{1}{2}\right)+1(-2)+1\left(\frac{7}{2}\right)=0 $</p> <p>$ \mathbf{u}_{2} \cdot \mathbf{u}_{3}=-1\left(-\frac{1}{2}\right)+2(-2)+1\left(\frac{7}{2}\right)=0 $</p> <p>서로 다른 벡터들의 각 쌍은 직교하므로 $ \left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3}\right\} $는 직교집합이다. 그러나 $ B $는 정규직교집합이 아니다. (그 이유는?) 그림 3.28을 보라. 서로 수직인 세 선분이 있다.</p> <h1>3.12 응용 : 코드벡터 및 모듈러연산</h1> <p>역사를 통틀어 인간은 코드를 사용하여 정보를 전달했다. 종종 보내는 메시지를 감추려는 의도가 있었다. 한 단어의 각 문자는 대응법칙에 따라 다른 문자로 바뀐다. 매력적이긴 하지만 이러한 비밀코드나 암호에는 관심이 없다. 그들은 암호법(crypto-graphy)이다. 우리는 데이터를 전자적으로 전송하여야 할 때 사용되는 코드에 집중할 것이다. 그와 같은 코드의 익숙한 예는 점(•)와 줄표(-)로 이루어진 모스코드이다. 20세기에 디지털 컴퓨터의 도래로 많은 자료를 빠르고 정확하게 전달할 필요성이 요구 되었다. 컴퓨터는 자료를 0과 1의 수열의 암호로 바꿔 쓰도록 설계되어있다. 많은 최근의 기술적인 발전은 코드에 의존하지만 우리들은 그러한 사실을 인지하지 못하고 매일 매일 그들을 접한다. 예를 들면 그들은 위성통신, CD플레이어, 바코드와 연관된 UPC(Universal Product Code) 그리고 최근에 출판되는 모든 책에서 발견되는 ISBN (International Standard Book Number)들이다. 이 절에서는 자료의 전송에서 발생하는 오류를 발견하기위한 코드를 설계하기 위하여 벡터를 사용한다. 6장에서는 오류를 발견할 수 있는 뿐만 아니라 오류를 수정할 수 있는 코드를 구축한다. 코드의 학습에서 야기되는 벡터들은 $ \mathbb{R}^{n} $의 친근한 벡터들이 아니고 오직 몇 개의 선택적인 성분들을 가지고 있는 벡터들이다. 이 벡터들은 다른 종류의 연산인 모듈러 연산에 의존하는데, 이에 대해서는 이 절에서 소개한다.</p> <h2>이진코드</h2> <p>컴퓨터는 0과 1의 항으로 자료를 표현하므로 이진코드로 시작한다. 이진코드는 그의 성분이 0이나 1인 벡터들로 구성된다. 이러한 설정에서 통상적인 연산규칙은 수정되어야 한다. 왜냐하면 스칼라를 포함하는 계산의 결과는 0과 1이 되어야 하기 때문이다. 수정된 덧셈과 곱셈의 법칙은 아래와 같다.</p> <p>여기서 유일한 관심은 $ 1+1=0 $인 규칙이다. 그러나 0을 짝수로 1을 홀수로 바꾼다면 이상할 것도 없다. 이 표들은 단순히 짝수와 홀수의 덧셈과 곱셈에 대한 익숙한 홀짝성 법칙(parity rule)을 요약한다. 예를 들면 $ 1+1=0 $은 두 홀수의 합은 짝수라는 사실을 요약한다. 이러한 규칙을 가지고 있는 스칼라의 집합 $ \{0,1\} $을 $ \mathbb{Z}_{2} $로 표기하며 정수 모듈러 2(integer modulo 2)의 집합이라 한다.</p> <p>간단한 예제 $ \mathbb{Z}_{2} $에서 $ 1+1+0+1=1 $이고 $ 1+1+1+1=0$ 이다. 이 계산에 의해서 3개의 홀수와 하나의 짝수의 합은 홀수이고 4개의 홀수의 합은 짝수임을 입증한다.</p> <p>이제 이 개념을 벡터로 확장한다. 1과 0의 모든 $ n $쌍의 집합(모든 연산은 모듈러로 이루어짐)을 $ \mathbb{Z}_{2}^{n} $으로 표기한다. $ \mathbb{Z}_{2}^{n} $에 있는 벡터들을 길이 $ n $의 이진벡터라 한다.</p> <p>간단한 예제 $ \mathbb{Z}_{2}^{2} $의 모든 벡터들은 $ \left[\begin{array}{ll}0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] $과 $ \left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right] $이다. ( $ \mathbb{Z}_{2}^{n} $는 몇 개의 벡터들을 포함하고 있을까?)</p> <p>예제 1 $\mathrm{u}=\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{T} $와 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lllll}0 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right] $은 길이가 5인 이진벡터들이다. $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} $를 구하라.</p> <p>풀이 $ \mathrm{u} \cdot \mathrm{v} $의 계산은 $ \mathbb{Z}_{2} $에서 발생하므로 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=1 \cdot 1+0 \cdot 1+0 \cdot 1+1 \cdot 0+0 \cdot 0=1 $</p> <p>실제적으로 우리는 전달할 메시지가 있다. 메시지의 각 단어를 이진벡터로 암호화하면서 시작한다.</p> <p>정의 3.53 이진코드는 코드벡터라 하는 (같은 길이의) 이진벡터의 집합이다. 메시지를 코드벡터로 전환하는 과정을 부호화 또는 암호화라고 하며, 역과정을 디코딩이라 한다.</p> <p>코드벡터를 전달할 때 발생하는 오류의 위치를 찾고 더구나 오류를 수정하는 능력과 같은 다른 성질들을 하나의 코드가 가지고 있다면 아주 바람직한 일이다.</p> <h1>3.9 벡터공간과 부분공간-일반적인 개념</h1> <p>이 절에서는 벡터공간이라 하는 대수체계의 한 집합을 소개하고 학습할 것이다. 여기서 학습하는 추상적인 벡터의 개념은 2장의 앞부분에서 논의해온 $ \mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3} $와 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 벡터들의 일반화이다. 여기서 다루는 일반적인 벡터의 개념은 이제까지 수학교육에서 접한 수의 개념의 단계적인 일반화와 같다.</p> <p>벡터의 일반적인 정의의 시작점은 정리 3.4에 포함된 $ \mathbb{R}^{n} $의 성질의 일반화된 나열이다.</p> <p>정의 3.41 벡터공간 벡터공간은 벡터라 불리는 개체들의 공집합이 아닌 집합 $ V $이다. $ V $를 구성하는 개체들에 대하여 덧셈과 스칼라 곱이라 불리는 두 연산이 정의되고 $ V $에 있는 $ \mathrm{u}, \mathbf{v} $와 $ \mathbf{w} $ 그리고 모든 스칼라 $ c $와 $ d $에 대하여 아래 나열된 10가지 규칙들이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $의 합은 $ V $에 있다. 즉 $ \mathbf{u}+\mathbf{v} \in V $</li> <li>$ \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u} $</li> <li>$ (\boldsymbol{M}+\boldsymbol{\Lambda})+\mathbf{n}=\boldsymbol{M}+(\dot{\mathbf{i}}+\mathbf{n}) $</li> <li>$ \mathrm{u}+J=\mathbf{u} $ 를 만족하는 영벡터 $ \mathbf{0} $가 $ V $에 있다.</li> <li>$ V $에 있는 각 $ \mathrm{u} $에 대하여 $ \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0 $을 만족하는 $ -\mathrm{u} $가 $ V $에 있다.</li> <li>$ c $에 의한 $ \mathbf{u} $의 스칼라 곱은 $ V $에 있다. 즉 $ c \mathbf{u} \in V $</li> <li>$ c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{c v}+\mathbf{c u} $</li> <li>$ (c+d) \mathbf{u}=\mathbf{c u}+\mathrm{d} \mathbf{u} $</li> <li>$ c(d \mathbf{u})=(c d) \mathbf{u} $</li> <li>$ 1 \mathbf{u}=\mathbf{u} $</li></ol></p> <p>이 규칙들을 사용하면 규칙 4에 있는 0벡터는 유일하며, 규칙 5에서 $ \mathrm{u} $의 마이너스라 부르는 $ -\mathrm{u} $도 유일하다. 3.2절에서와 같이 다음의 결과들을 얻을 수 있다.</p> <p>$ V $에 있는 각 $ \mathrm{u} $와 스칼라 $ c $에 대하여<ol type=1 start=1><li>$ 0 \mathbf{u}=0 $</li> <li>$ c 0=0 $</li> <li>$ -\mathbf{u}=(-1) \mathbf{u} $</li> <li>$ c \mathbf{u}=0 $ 이면 $ c=0 $ 이거나 $ \mathbf{u}=0 $ 이다.</li></ol></p> <p>예제 1 $ \mathbb{R}^{n} $은 벡터공간이다.</p> <p>풀이 $ \mathbb{R}^{n} $의 두 원소 $ \left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) $과 $ \left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $에 대해 덧셈과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 위 벡터공간의 성질을 만족한다.</p> <p>$ \left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)+\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)=\left(x_{1}+y_{1}, \cdots, x_{n}+y_{n}\right) $ $ c\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(c x_{1}, \cdots,-x_{n}\right) $</p> <p>따라서 이 덧셈과 스칼라 곱에 대해 $ \mathbb{R}^{n} $은 벡터공간이다. 이 연산을 $ \mathbb{R}^{n} $의 표준연산이라고 한다.</p> <p>예제 2 폐구간 $ [a, b] $에서 정의된 연속함수 전체의 집합을 $ C[a, b] $라 하면, $ C[a, b] $는 벡터공간이다.</p> <p>풀이 $ C[a, b] $의 임의의 두 함수 $ f $와 $ g $에 대해, 두 함수의 합 $ f+g $와 스칼라 곱 $ c f $를 모든 $ x \in[a, v] $ 에 대하여 $ (f+g)(x)=f(x)+g(x) $, $ (c f)(x)=c f(x) $로 정의하면 $ C[a, b] $는 벡터공간이다. 왜냐하면 연속함수의 합과 상수곱은 다시 연속함수이므로 $ C[a, b] $에 속한다. 또 $ (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) $ 이므로 벡터공간의 두 번째 성질 $ f+g=g+f $를 만족한다. 나머지 벡터공간의 성질도 성립함을 쉽게 확인할 수 있다.</p> <h2>기저와 차원</h2> <p>어떤 집합의 차원은 그 집합을 표현하기 위해 필요한 변수의 최소한의 개수를 말한다. 이런 의미에서 공간에서 한 점의 위치를 세 변수의 좌표로 표현하므로 공간을 3차원으로 볼 수 있다. 또 3.1절에서 두 개 혹은 그 이상의 벡터들이 평면을 생성하지만 두 개보다 더 작은 수의 벡터는 평면을 생성하지 못함을 보았다. 즉 평면은 2차원이라 할 수 있다. 이와 같이 벡터공간의 차원을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 3.47 벡터공간 $ V $의 차원(dimension)은 $ V $를 생성할 수 있는 벡터들의 최소 개수를 말하고, $ \operatorname{dim}(V) $로 표기한다.</p> <p>정리 3.48 $ n $차원 벡터공간 $ V $에서 $ n $개보다 많은 개수의 $ V $의 벡터들은 일차종속이다.</p> <p>정의 3.49 벡터공간 $ V $를 생성하는 일차독립인 벡터들의 집합을 벡터공간 $ V $의 기저(basis)라 한다. 이 때 기저를 이루는 원소의 개수가 차원이다.</p> <p>예제 5 벡터 $ \mathbf{e}_{1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right], \mathbf{e}_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right] $과 $ \mathbf{e}_{3}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right] $의 집합 $ S=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $는 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저이다. 이것을 $ \mathbb{R}^{3} $의 표준기저(standard basis)라고 한다. $ \mathbb{R}^{n} $의 표준기저는 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{\mathrm{n}}\right\}, \mathbf{e}_{\mathrm{i}} $는 $ i $번째 원소가 1이고 나머지는 모두 0인 벡터이다.</p> <p>벡터공간의 기저는 유일하지 않다. 그러나 기저를 이루는 벡터의 개수는 항상 동일하고 이 수가 벡터공간의 차원이다.</p> <p>예제 6 $ 2 \times 2 $ 행렬의 벡터공간 $ M_{22} $의 기저와 차원을 구하라.</p> <p>풀이 $ M_{1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], M_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], M_{3}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right], M_{4}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $ 이라 하면 $ S=\left\{M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}\right\} $는 벡터공간 $ M_{22} $의 기저가 된다. $ M_{22} $의 임의의 벡터(행렬) $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] $ 는 다음 식과 같이 $ S $의 원소의 일차결합으로 표현되므로 $ S $가 $ M_{22} $를 생성한다. $ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] } &=a\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \\ &=a M_{1}+b M_{2}+c M_{3}+d M_{4} \end{aligned} $ 집합 $ S $가 일차독립임을 보이기 위해 $ a M_{1}+b M_{2}+c M_{3}+d M_{4}=O $ 이라 가정하면 $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] $ 따라서 $ a=b=c=d=0 $이 되어 $ S $는 일차독립이다. 또 $ M_{22} $의 차원은 4이다.</p> <p>참고 일반적으로 $ (i, j) $ 원소가 1이고 나머지 원소는 0인 $ m n $ 개의 행렬의 집합은 $ M_{m n} $의 기저가 된다.</p> <p>예제 7 차수가 2차 이하인 다항식의 벡터공간 $ \mathbb{P}_{2} $의 기저와 차원을 구하라.</p> <p>풀이 $ S=\left\{1, x, x^{2}\right\} $은 $ \mathbb{P}_{2} $의 기저이다. $ S $가 일차독립임을 보이기 위해 \[c_{0} \cdot 1+c_{1} x+c_{2} x^{2}=0, x \in(-\infty, \infty)\] 이라고 가정하면, $ c_{0}=c_{1}=c_{2}=0 $이다. 또 임의의 2차 이하의 다항식 \[p(x)=a+b x+c x^{2}\] 은 $ S $에 의해 생성된다. 따라서 $ S $는 $ \mathbb{P}_{2} $의 기저이고 $ \mathbb{P}_{2} $ 의 차원은 3이다. $ S $를 $ \mathbb{P}_{2} $의 표준기저라고 한다.</p> <h1>3.8 그람-슈미트 과정과 QR 인수분해</h1> <p>이 절에서는 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간의 직교(또는 정규직교)기저를 생성하기 위한 단순한 방법을 보여준다. 이 방법을 그람슈미트 과정이라 한다. 그 다음 이 방법을 사용하여 가장 유용한 행렬의 인수분해를 구할 것이다.</p> <p>그람-슈미트 과정(The Gram-Schmidt Process)은 $ \mathbb{R}^{n} $의 0이 아닌 부분공간의 직교 또는 정규직교기저를 만들기 위한 알고리즘이다. 다음 두 예제는 손 계산을 목적으로 보여주는 단순한 예제이다.</p> <p>예제 1 $ W=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\} $이라 하자. 여기서 $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 0\end{array}\right] $이고 $ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right] $라 하자. $ W $의 직교기저 $ \left\{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2}\right\} $를 생성하라.</p> <p>풀이 $ \mathrm{x}_{1} $으로 시작하여, $ \mathrm{x}_{1} $에 직교하는 $ \mathrm{x}_{2} $의 성분을 취하여 $ \mathrm{x}_{1} $에 직교하는 두 번째 벡터를 구한다.(그림 3.37) $ \mathrm{v}_{1}=\mathrm{x}_{1} $라 놓으면 $ \mathbf{v}=\mathbf{x}_{2} \quad \mathbf{p}=\mathbf{x}_{2}-\frac{\mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{x}_{1}}{\mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{1}} \mathbf{x}_{1} =\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right]-\frac{15}{45}\left[\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right] $</p> <p>그러면 $ \left\{\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{2}\right\} $는 $ W $에 있는 0이 아닌 벡터들의 직교집합이다. 따라서 그 집합은 일차독립이므로 $ \operatorname{dim}(W)=2 $이고 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $은,$ V $의 직교기저이다.</p> <p>이 방법의 두 개 이상의 벡터로의 일반화는 예제 1과 같은 방법으로 시작한다. 과정은, 이미 생성된 모든 벡터들과 직교하는 일련의 벡터들의 성분을 반복적으로 생성하는 것이다. 이 방법을 그람슈미트 과정이라 한다.</p> <p>참고 이 방법은 주어진 기저벡터의 순서의 의존함에 유의하라. 예제 1에서 $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] $ 이고 $ \mathrm{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right] $로 놓았다면 $ W $의 다른 직교기저를 얻었을 것이다.(증명하라)</p> <p>다음 예제는 그람슈미트 과정을 완전하게 증명한다.</p> <p>예제 2 $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] $, $ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] $이고, $ \mathbf{x}_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] $ 이라 하자. 그러면 $ \left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $ 는 일차독립이므로 $ \mathbb{R}^{4} $의 부분공간 $ W $의 기저이다. $ W $의 정규직교집합을 생성하라.</p> <p>풀이</p> <ul> <li>단계 1 $ \mathrm{v}_{1}=\mathrm{x}_{1} $ 이라 놓고 $ W_{1}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}\right\}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}\right\} $ 이라 하자.</li> <li>단계 2 $ W_{1}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}\right\} $ 에 직교하는 $ \mathbf{x}_{2} $ 의 성분을 계산한다.</li></ul> <p>$ \mathbf{V}_{2}=\mathbf{x}_{2}-\operatorname{proj}_{W_{1}} \mathbf{x}_{2} $ ($\mathrm{v}_{1}=\mathbf{x}_{1} $ 이므로) $ =\mathrm{x}_{2}-\frac{\mathrm{x}_{2} \cdot \mathrm{v}_{1}}{\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}} \mathrm{v}_{1} $ $ =\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]-\frac{3}{4}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-3 / 4 \\ 1 / 4 \\ 1 / 4 \\ 1 / 4\end{array}\right] $</p> <p>예제 1에서와 같이 $ \mathrm{v}_{2} $는 $ \mathrm{x}_{1} $과 직교하는 $ \mathrm{x}_{2} $의 성분이고 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}\right\} $은 $ \mathrm{x}_{1} $과 $ \mathrm{x}_{2} $에 의해 생성된 부분공간 $ W_{2} $의 기저이다.</p> <ul> <li>단계 2' (선택적) 적당하다면 다음 단계의 계산을 간단하게 하기 위하여 $ \mathrm{v}_{2} $에 상수를 곱하라. $ \mathbf{v}_{2} $가 분수원소를 가지므로 4를 곱하여 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} $를 직교 기저로 바꾸는 것이 편리하다.</li></ul> <p>$ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{r}-3 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] $</p> <ul> <li>단계 3 $ \mathrm{v}_{3} $를 $ \mathrm{x}_{3} $에서 부분공간 $ W_{2} $ 위로의 그의 사영을 빼어서 만들어진 벡터라 하자. 직교기저 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}{ }^{\prime}\right\} $ 를 사용하여 $ W_{2} $ 위로의 사영을 계산한다.</li></ul> <p>$ \mathrm{P}_{\mathbf{i} \circ} j_{W_{2}} \mathbf{x}_{3}=\frac{\mathbf{x}_{3} \cdot \mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{1}} \mathbf{v}_{1}+\frac{\mathbf{x}_{3} \cdot \mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}}{\mathbf{v}_{2}{ }^{\prime} \cdot \mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}} \mathbf{v}_{2}{ }^{\prime} $ $ =\frac{2}{4}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]+\frac{2}{12}\left[\begin{array}{r}-3 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 2 / 3 \\ 2 / 3 \\ 2 / 3\end{array}\right] $</p> <p>그러면 $ \mathrm{v}_{3} $는 $ W_{2} $에 직교하는 $ \mathrm{x}_{3} $의 성분이다. 즉, $ \mathbf{v}_{3}=\mathbf{x}_{3}-\operatorname{proj}_{W_{2}} \mathbf{x}_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}0 \\ 2 / 3 \\ 2 / 3 \\ 2 / 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ -2 / 3 \\ 1 / 3 \\ 1 / 3\end{array}\right] $ 이 그림 3.38은 생성과정을 보여준다. $ \mathrm{x}_{3} $과 $ \operatorname{proj}_{W_{2}} \mathrm{x}_{3} $이 모두 $ W $에 있으므로 $ \mathbf{v}_{3} $은 $ W $에 있음을 관찰하라. 따라서 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}, \mathbf{v}_{3}\right\} $은 $ W $에 있는 0이 아닌 벡터들의 직교집합이다. $ W $는 세 벡터들의 기저로 정의되므로 3차원임에 유의하라. 따라서 3.5절의 기저 정리에 의해 $ W $의 직교기저이다.</p> <p>벡터 합의 두 번째 물리적인 예제는 그림 3.6에 묘사되어있다. 벡터 $ W_T $는 실제적인 바람을 나타내며 $W_B $는 요트의 움직임에 따라 생성된 바람을 나타낸다면( $ W_B $는 요트의 속력을 나타내는 벡터 $ v} $의 방향과 반대방향이고 크기는 같음), 바람 $ W_A $ (요트가 느끼는 바람)은 벡터 $ W_T $와 $ W_B $의 합으로 표현된다. $ W_A$가 $W_T $보다 더 큰 크기를 가지고 있고 $ W_B $가 증가함에 따라 $ W_A $의 길이가 $ W_T $의 길이보다 더 커짐에 유의하라. 이러한 관찰은 빙상요트와 쌍동선(catamaran)이 실제적인 바람보다 더 빨리 달릴 수 있는지를 설명해준다. 본질적으로 강한 바람 속으로 자전거를 타거나 자동차를 몰 때 같은 현상이 관찰된다. 이러한 경우에 자전거나 자동차를 탄 사람이 느끼는 바람(공기 저항)은 실제적인 바람보다 더 앞쪽에서 오며 큰 힘을 가지고 있다.</p> <p>모든 벡터 $ v $에 대하여 그의 음의 벡터 $ -v $을 머리와 꼬리를 교환하여 얻어진 벡터로 정의한다. 요트의 예제에서 $ W_B =-v $이다. 여기서 $ v $는 보트의 속력이다. 명백하게 $ \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=0 $ 여기서 0은 길이가 0인 영벡터이다.</p> <p>모든 벡터 $ \mathbf{v} $와 스칼라 $ k $에 대하여 벡터 $ k \mathbf{v} $를, 그의 길이가 $ \mathbf{v} $의 길이의 $ \|k\| $ 배이며 그의 방향이 $ k>0 $이면 $ \mathbf{v} $의 방향이고, $ k<0 $이면 $ -\mathrm{v} $방향인 벡터로 정의한다. $ k \mathbf{v} $를 $ \mathbf{v} $의 스칼라 곱이라 한다. 그림 3.7은 이 아이디어를 입증한다. 벡터 $ -\mathbf{v} $는 $ (-1) \mathbf{v} $이고, 한 벡터가 다른 벡터 양의 스칼라 곱이라면 같은 방향임에 유의하라.</p> <p>차 $ \mathbf{v}-\mathbf{u} $은 $ \mathbf{v}+(-\mathbf{u}) $임을 뜻한다. 그림 3.8은 $ \mathbf{v}-\mathbf{u} $을 얻는 두 방법을 보여준다. 첫 방법은 평행사변형의 법칙을 사용하여 $ \mathbf{v}-\mathbf{u}=\mathbf{v}+(-\mathbf{u}) $을 계산하며, 둘째 방법은 $ \mathbf{v} $ 를 만들기 위해 더해져야 하는 벡터 $ \mathbf{v}-\mathbf{u} $을 구하는 머리부터 꼬리까지 위치하는 것 (head-to-tail positioning)을 사용한다.</p> <p>간단한 예제그림 3.9 (a)에 주어진 벡터 $ \mathbf{u}, \mathbf{v} $와 $ \mathbf{w} $에 대하여 $ \mathbf{w}=a \mathbf{u}+b \mathbf{v} $을 만족하도록 상수 $ a $와 $ b $를 결정하는 방법을 보여준다.</p> <p>그림 3.9에 보여준 것처럼, 우선 직선이 $ \mathrm{u} $의 연장과 만날 때까지 $ \mathrm{v} $와 평행하며 $ \mathrm{w} $의 머리를 지나가는 하나의 직선을 그린 다음, 직선이 $ \mathrm{v} $의 연장과 만날 때까지 $ \mathrm{u} $와 평행하며 $ \mathrm{w} $의 머리를 지나가는 다른 직선을 그린다. $ \mathrm{OA}+\mathrm{OB}=\mathrm{w}=\mathrm{u}+b \mathrm{v} $ 이므로 $ OA$와 $ OB $는 상대적으로 $ a \mathbf{u} $와 $ b v \mathbf{v} $이다. 이게 스칼라 $ a $는 $ \mathbf{u} $와 $ a \mathbf{u} $의 길이를 비교하여 구할 수 있다. 유사하게 스칼라 $ b $는 $ \mathbf{v} $와 $ b \mathbf{v} $의 길이를 비교하여 구할 수 있다.</p> <p>다음 명제의 기하적인 증명은 위의 간단한 예제에서 논의했다.</p> <p>벡터 $ u $와 $ v $가 평행이 아니면 그들의 평면에 있는 모든 벡터들은 $ u $와 $ v $의 일차결합으로 쓸 수 있다.</p> <p>이 절의 뒷부분에서 이러한 문제를 다루는 대수적인 기법을 제공하며 앞 명제를 일반화할 것이다.</p> <p>예제 2의 과정을 요약하면 정리 3.39가 된다. 증명은 생략한다.</p> <p>정리 3.39 그람-슈미트 과정 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ W $의 기저 $ \left\{\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{p}\right\} $에 대하여 다음과 같이 정의하자.<p>$ \mathbf{v}_{1}=\mathbf{x}_{1} $</p> <p>$ W_{1}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}\right\} $</p> <p>$ \mathbf{v}_{2}=\mathbf{x}_{2}-\frac{\mathbf{x}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{1}} \mathbf{v}_{1} $</p> <p>$ W_{2}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\} $</p> <p>$ \mathrm{v}_{3}=\mathrm{x}_{3}-\frac{\mathrm{x}_{3} \cdot v_{1}}{\mathrm{v}_{1} \cdot v_{1}} \mathrm{v}_{1}-\frac{\mathrm{x}_{3} \cdot \mathrm{v}_{2}}{\mathrm{v}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}} \mathrm{v}_{2} $</p> <p>$ W_{3}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $</p> <p>$ \mathbf{v}_p=\mathbf{x}_{p}-\frac{\mathbf{x}_{p} \cdot \mathbf{v}_{1}}{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{1}} \mathbf{v}_{1}-\frac{\mathbf{x}_{p} \cdot \mathbf{v}_{2}}{\mathbf{v}_{2} \cdot \mathbf{v}_{2}} \mathbf{v}_{2}-\cdots-\frac{\mathbf{x}_{p} \cdot \mathbf{v}_{p-1}}{\mathbf{v}_{p-1} \cdot \mathbf{v}_{p-1}} \mathbf{v}_{p-1} $</p> <p>$ W_{p}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{p}\right\} $</p>그러면 각 $ i=1, \cdots, n $에 대하여 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{i}\right\} $는 $ W_{i} $의 직교기저이다. 특히 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \cdots, \mathrm{v}_{p}\right\} $는 $ W $의 직교기저이다.</p> <p>정리 3.39는 $ \mathbb{R}^{n} $의 모든 부분공간은 직교기저를 가지며 그것을 생성하는 알고리즘을 제공한다. $ W $의 정규직교기저 $ \mathrm{u}=\left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \cdots, \mathrm{u}_{\mathrm{p}}\right\} $가 필요하면 단순히 그람슈미트 과정으로 생성한 직교벡터를 정규화하면 된다. 즉 각 $ i $에 대하여 $ \mathrm{v}_{\mathrm{i}} $를 단위벡터 $ \mathrm{u}_{i}=\left(\frac{1}{\left\\|\mathrm{v}_{i}\right\\|}\right) \cdot \mathrm{v}_{i} $로 바꾼다.</p> <p>예제 3 예제 1에서 직교기저 \[\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 \\6 \\0\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\0 \\2 \end{array}\right]\] 을 생성했다. 정규직교기저는 \[\mathbf{u}_{1}=\frac{1}{\left\\|\mathbf{v}_{1}\right\\|} \mathbf{v}_{1}=\frac{1}{\sqrt{45}}\left[\begin{array}{l}3 \\ 6 \\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 / \sqrt{5} \\2 / \sqrt{5} \\0\end{array}\right]\] $ \mathbf{u}_{2}=\frac{1}{\left\\|\mathbf{v}_{2}\right\\|} \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] $</p> <p>그람슈미트 과정의 하나의 장점은 특정한 벡터를 포함하는 직교기저를 생성할 수 있다는 것이다. 다음 예제는 이러한 사실을 설명한다.</p> <p>예제 4 벡터 $ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $을 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 직교기저를 구하라.</p> <p>풀이 우선 $ \mathrm{v}_{1} $을 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 임의의 한 기저를 택한다. $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] $와 $ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] $로 택하면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $는 명백히 $ \mathbb{R}^{3} $의 하나의 기저이다. (이유는?) 이제 이 기저에 대하여 그람슈미트 과정을 적용한다.</p> <p>$ \mathbf{v}_{2}=\mathbf{x}_{1}-\left(\frac{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{1}}\right) \mathbb{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]-\frac{3}{14}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-\frac{1}{7} \\ \frac{5}{7} \\ -\frac{3}{7}\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ -3\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{v}_{3}=\mathbf{x}_{3}-\left(\frac{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{1}}\right) \mathbf{v}_{1}-\left(\frac{\mathbf{v}_{2}^{\prime} \cdot \mathbf{x}_{3}}{\mathbf{v}_{2}^{\prime} \cdot \mathbf{v}_{2}^{\prime}}\right) \mathbf{v}_{2}^{\prime}=\left[\begin{array}{r}-\frac{3}{10} \\ 0 \\ \frac{1}{10}\end{array}\right], \mathbf{v}_{3}^{\prime}=\left[\begin{array}{r}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] $</p> <p>그러면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}^{\prime}, \mathbf{v}_{3}^{\prime}\right\} $은 $ \mathbf{v}_{1} $를 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 직교기저이다.</p> <p>유사하게 주어진 단위벡터에 대하여 앞의 방법을 적용하면 구한 직교벡터들을 정규화하여 정규직교기저를 구할 수 있다.</p> <p>참고 그람슈미트 과정을 컴퓨터에서 시행할 때 거의 항상 몇 개의 반올림 오류가 발생하여 벡터 $ \mathrm{u}_{i} $에 대한 직교성을 잃게 된다. 직교성에 대한 이러한 손실을 피하기 위하여 약간의 수정이 필요하다. 벡터 $ \mathrm{u}_{i} $들을 계산을 끝내고 정규화하는 대신 계산하자마자 정규화한다.</p> <p>따라서 각 $ \mathrm{u}_{i} $가 계산됨에 따라 남아있는 벡터 $ \mathrm{x}_{\mathrm{i}} $들은 $ \mathrm{y}_{\mathrm{i}} $에 직교하도록 수정된다. 이러한 과정을 수정 그람슈미트 과정이라 한다. 실제적으로 $ Q R $ 인수분해 과정을 정규직교기저를 계산하기위해 사용할 수 있다.</p> <h1>3.11 차분방정식에 대한 응용</h1> <p>차분방정식은 연속적인 자료보다는 오히려 이산(또는 디지털)자료들을 분석하는 적당한 도구이다. 미분방정식이 연속적인 과정을 모델링하는데 사용될 때조차도 수치적인 해는 종종 관련된 차분방정식에서 얻을 수 있다. 이 절은 선형대수학을 사용하여 가장 잘 설명되는 선형차분방정식의 기본적인 성질을 학습한다.</p> <p>이산시간 신호공간 $ S $는 3.9절에서 소개했다. $ S $에서 신호는 오직 정수에 대해 정의된 함수이고 수열 $ \left(\left\{y_{k}\right\}\right) $로 표시된다. 그림 3.40은 3개의 전형적인 신호를 보여주며 그의 일반적인 항은 상대적으로 $ (0.7)^{k}$, $1^{k} $와 $ (-1)^{k} $이다.</p> <p>디지털 신호는 명백히 전자공학과 제어시스템공학에서 발생하지만 이산자료 수열은 또한 생물학, 물리학, 경제학, 인구(통계)학 그리고 이산시간 구간에서 측정되거나 샘플링 되는 과정을 포함하는 많은 다른 분야에서도 나타난다. 샘플링 과정이 특정한 시각에서 시작할 때 신호를 $ \left(y_{0}, y_{1}, y_{2}, \cdots\right) $ 형태의 수열로 쓰면 편리하다. $ k<0 $에 대하여 항 $ y_{k} $는 0으로 가정되거나 단순히 생략한다.</p> <p>예제 1 CD 플레이어에서 아주 맑은 음색은 초당 44,100배속의 비율로 표본된 음악에서 온다. 그림 3.41를 보라. 각 측정에서 음악신호의 진폭은 숫자, 즉 $ y_{k} $로 기록된다. 원래의 음악은 변하는 주파수에 따라 여러 다른 소리로 구성된다. 이미 인간의 귀가 인지할 수 있는 것보다 높은 초당 20,000사이클까지의 소리 주파수를 재생하기에 충분한 수열 $ \left\{y_{k}\right\} $에 대한 정보를 포함하고 있다.</p> <p>표기를 단순하게 하기 위해 $ S $에 있는 오직 3개의 신호, $ \left\{u_{k}\right\},\left\{v_{k}\right\} $와 $ \left\{w_{k}\right\} $의 집합을 고려하자. 모든 $ k $에 대하여 방정식 $ c_{1} u_{k}+c_{2} v_{k}+c_{3} w_{k}=0 $ 이 $ c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 $일 때 그들은 일차독립이다. “모든 $ k $" 라는 문구는 모든 정수를 뜻한다.</p> <p>$ c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3} $가 (1)을 만족한다고 가정하자. 그러면 (1)의 방정식은 $ k $의 연속인 세수, $ k$, $k+1$, $k+2 $에 대하여 성립한다. 따라서 (1)은 모든 $ k $에 대하여, $ c_{1} u_{k+1}+c_{2} v_{k+1}+c_{3} w_{k+1}=0 $</p> <p>또한 모든 $ k $에 대하여 $ c_{1} u_{k+2}+c_{2} v_{k+2}+c_{3} w_{k+2}=0 $</p> <p>따라서 $ c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3} $는, 모든 $ k $에 대하여 $ \left[\begin{array}{ccc}u_{k} & v_{k} & w_{k} \\ u_{k+1} & v_{k+1} & w_{k+1} \\ u_{k+2} & v_{k+2} & w_{k+2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $ 을 만족한다. 이 연립방정식에서 계수행렬은 신호의 카소라티행렬이라 하며, 이 행렬의 행렬식을 $ \left\{u_{k}\right\},\left\{v_{k}\right\} $와 $ \left\{w_{k}\right\} $의 카소라티안(Casoratian)이라 한다. 적어도 하나의 $ k $값에 대하여 카소라티행렬이 가역행렬이라면 (2)는 $ c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 $ 임을 뜻한다. 이것은 3개의 신호가 일차독립임을 증명한다.</p> <h2>세계상품코드</h2> <p>로마숫자 $ X $는 10을 사용하므로 이 예제에서 확인숫자는 $ x $이다. 모든 신용카드와 ATM카드는 확인숫자코드를 표현하는 16개의 숫자로 유일하게 식별된다. 앞의 예제와 같이 처음 15개의 숫자는 카드를 발행하는 은행에서 배당한 반면 마지막, 숫자는 모듈러 연산을 사용하는 공식에 의해 결정되는 확인숫자이다.</p> <p>예제 7 국제 표준 책의 번호(ISBN, International Standard Book Number)는 다른 폭넓게 사용되는 확인숫자코드이다. 이것은 UPS코드보다 더 많은 형태의 오류를 발견하도록 설계하였으므로 조금 더 복잡하다. 그러나 기본적인 원리는 같다. 코드벡터는 $ \mathbb{Z}_{11}^{10} $ 벡터이다. 처음 9 성분은 나라, 출판사, 책의 정보를 주고 10번째 성분은 확인숫자이다. James Stewart가 지은 미적분학의 개념과 원리의 책 ISBN은 $ 0-534-34450-X $이다. 이것은 벡터 $ \mathbf{b}=\left[\begin{array}{llllllllllll}0 & 5 & 3 & 4 & 3 & 4 & 4 & 5 & 0 & X\end{array}\right] $로 기록된다. 여기서 확인숫자는 $ X $이다. ISBN 코드에 대하여 확인벡터는 $ \mathbf{c}=\left[\begin{array}{llllllllll}10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}=0 \in \mathbb{Z}_{11} $ 일 것을 요구한다. 이 예제에서 벡터 $ \mathbf{b} $에 대한 확인숫자를 결정하자. 우선 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{b}=10 \cdot 0+9 \cdot 5+8 \cdot 3+7 \cdot 4+6 \cdot 3+5 \cdot 4+4 \cdot 4+3 \cdot 5+2 \cdot 0+d $</p> <p>여기서 $ d $는 확인숫자이다. $ \begin{aligned} \mathbf{c} \cdot \mathbf{b} &=10 \cdot 0+9 \cdot 5+8 \cdot 3+7 \cdot 4+6 \cdot 3+5 \cdot 4+4 \cdot 4+3 \cdot 5+2 \cdot 0+d \\ &=0+1+2+6+7+9+5+4+0+d \\ &=1+d \end{aligned} $</p> <p>이 계산은 $ \mathbb{Z}_{11} $에서 실행되었으므로 10에 대한 단일숫자가 필요하다.</p> <p>예제 8 모든 주요 은행들은 확인숫자를 배당하기 위하여 코다바(Codabar)라 불리는 시스템을 사용한다. 이것은 UPC 코드법의 경미한 변형이다.</p> <p>카드의 처음 15개의 숫자가 5412 3436 7890 432 이고 확인 숫자가 $ d $라 가정하자. 이것은 $ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{llllllllllllllll}5 & 4 & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8 & 9 & 0 & 4 & 3 & 2 & d\end{array}\right] $에 대응한다. 코다바시스템은 확인벡터 $ \mathbf{c}=\left[\begin{array}{llllllllllllllll}2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1\end{array}\right] $을 사용한다. 그러나 $ \mathbb{Z}_{10} $에서 $ \mathbf{c} \mathbf{x}=0 $을 요구하는 대신에 코드의 오류발견능력을 향상시키기 위해 부가적인 계산이 필요하다. $ h $를 4보다 큰 홀수위치에 있는 숫자의 개수라 하자. 이 예제에서 이 숫자들을 5, 5, 7, 9이므로 $ h=4 $ 이제 $ \mathbb{Z}_{10} $에서 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{x}+h=0 $ 일 깃을 요구한다. 따라서 이 예제에서 $ \begin{aligned} \mathbf{c} \cdot \mathbf{x}+h=&(2.5+4+2.1+2+2.3+4+2.5+6+2.7+\\ &8+2.9+0+2.4+3+2.2+d)+4 \\=& 2(5+1+3+5+7+9+4+2) \\ &+(4+2+4+6+8+0+3+d )+4\\=& 2 \cdot 6+7+d+4 \\=& 3+d \end{aligned} $</p> <p>따라서 이 카드에 대한 확인숫자는 7임에 틀림없으므로 계산의 결과는 $ \mathbb{Z}_{10} $에서 0이다. 코다바시스템이 가장 효과적인 오류발견방법 중 하나이다. 이것은 모든 단일 숫자오류를 발견하고 인접 치환오류와 같은 대부분의 다른 흔한 오류들도 발견할 것이다.</p> <p>정리 3.31 $ S=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $가 $ \mathbb{R}^{n} $의 0이 아닌 벡터들의 직교집합이라면 $ S $는 일차독립이며 $ S $에 의해 생성된 부분공간의 기저이다.</p> <p>증명 스칼라 $ c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{p} $ 에 대하여 $ 0=c_{1} \mathbf{u}_{1}+\cdots+c_{p} \mathbf{u}_{p} $ 라면 \[\begin{aligned}0 &=\mathbf{0} \cdot \mathbf{u}_{1}=\left(c_{1} \mathbf{u}_{1}+c \mathbf{u} \cdot+\cdots+c_{p} \mathbf{u}_{p}\right) \cdot \mathbf{u}_{1} \\&\left.=\left(c_{1} \mathbf{u}_{1}\right) \cdot \mathbf{u}_{1}+i c \mathbf{u}\right) \cdot \mathbf{u}_{1}+\cdots+\left(c_{p} \mathbf{u}_{p}\right) \cdot \mathbf{u}_{1} \\&=c_{1}\left(\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}\right)+c_{2}\left(\mathbf{u}_{2} \cdot \mathbf{u}_{1}\right)+\cdots+c_{p}\left(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}_{1}\right) \\&=c_{1}\left(\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}\right) \end{aligned}\]</p> <p>왜냐하면 $ \mathbf{u}_{1} $은 $ \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{0} $에 직교하기 때문이다. $ \mathbf{u}_{1} $은 0이 아닌 벡터이므로 $ \mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1} $은 0이 아니다. 따라서 $ c_{1}=0 $. 유사하게 $ c_{2}, \cdots, c_{p} $ 는 0임에 틀림없다. 따라서 $ S $는 일차독립이다.</p> <p>정의 3.32 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ V $의 직교기저란, $ V $의 기저를 이루는 직교집합이다.</p> <p>다음 정리는 직교기저가 다른 기저보다 더 유용한 이유를 암시한다. 일차결합에서의 가중치(또는 좌표)를 매우 빠르게 계산할 수 있다.</p> <p>정리 3.33 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{\mathrm{p}}\right\} $을 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ U $의 직교기저라 하자. $ U $에 있는 각 $ \mathbf{y} $는 $ \mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u} $의 일차결합으로 유일하게 표현된다. 사실상, \[\mathbf{y}=c_{1} \mathbf{u}_{1}+\cdots+c_{p} \mathbf{u}_{p}\] 이라면 \[c_{j}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{j}}{\mathbf{u}_{j} \cdot u_{j}} \quad j=1, \cdots, p^{\prime} \]</p> <p>증명 앞의 증명에서처럼 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots \mathrm{u}_{p}\right\} $의 직교성에 의해 \[\text { y } \left.\mathbf{u}_{1}=\ldots \cdot{ }_{1} \mathbf{u}_{1}+c_{2} \mathbf{u}_{2}+\cdots+{ }_{p} \mathbf{u}_{p}\right) \quad \mathbf{u}_{1}={ }_{1}\left(\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}\right)\] 임을 보인다 $ \mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1} $은 0이 아니므로 위의 방정식은 $ c_{1} $에 대하여 풀 수 있다. $ j=2, \quad \cdot, p $에 대하여 $ c_{j} $를 구하기 위해 $ \mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{i} $를 계산하고 $ c_{j} $에 대하여 풀면 된다.</p> <p>예제 2 예제 1에서 집합 $ S=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right\}_{2}=\mathbb{R}^{3} $에 대한 직교집합이다. $ S $에 있는 벡터들의 일차결합으로 벡터 $ \mathrm{y}=\left[\begin{array}{r}6 \\ 1 \\ -8\end{array}\right] $를 표현하라.</p> <p>풀이 우선 다음을 계산하자. \[\begin{array}{l}\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}=11 \quad J \cdot \mathbf{u}_{2}=1 \quad J \cdot \mathbf{u}=-33 \\ \mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{u}_{1}=11, \mathrm{u}_{2} \quad \mathrm{u}_{2}=6, \mathrm{u}_{3} \quad \mathrm{u}_{3} \quad 33 / 2 \\ \end{array}\]</p> <p>정리 3.23에 의하면 $ \begin{aligned} \mathbf{y} &=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}} \mathbf{u}_{1} \mp \frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}}{\mathbf{u}_{2} \cdot \mathbf{u}_{2}} \mathbf{u}_{2}+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{3}}{\mathbf{u}_{3} \cdot \mathbf{u}_{3}} \mathbf{u}_{3} \\ &=\frac{11}{11} \mathbf{u}_{1}+\frac{-12}{6} \mathbf{u}_{2}+\frac{-33}{33 / 2} \mathbf{u}_{3} \\ &=\mathbf{u}_{1}-2 \mathbf{u}_{2}-2 \mathbf{u}_{3} \end{aligned} $</p> <p>예제 7 $ \mathbb{P}_{n}=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a, x^{n} ! n \leq 5\right\} $은 $ \mathbb{P} $ (유한 차수를 갖는 다항식의 집합)의 부분공간인가?</p> <p>풀이 $ \mathbb{P}_{5} $의 원소들은 차수가 5보다 작거나 같은 다항식이다. 스칼라 곱에 의하여 차수는 증가하지 않으며 차수가 5보다 작거나 같은 쿠 다항식의 합은 5보다 큰 차수를 갖지 않으므로 $ \mathbb{P}_{5} $는 $ \mathbb{P} $의 부분공간이다.</p> <p>일반적으로 고정된 $ n \geq 0 $에 대하여 $ n $보다 작거나 같은 차수의 모든 다항식의 집합 $ \mathbb{P}_{n} $은 벡터공간이다. 또한 모든 다항식의 집합 $ \mathbb{P} $도 벡터공간이다.</p> <p>모든 벡터공간 $ V $는 적어도 두 개의 자명한 부분공간, 즉, $ V $와 영 벡터공간 $ \{0\} $을 갖는다.</p> <p>예제 8 두 대칭행렬의 합과 대칭행렬의 스칼라 곱은 대칭행렬이므로, $ n \times n $ 대칭행렬 전체의 집합은 $ n \times n $ 행렬 전체의 벡터공간 $ M_{n n} $의 부분공간이다. 마찬가지로 $ n \times n $ 대각행렬 전체의 집합은 $ n \times n $ 행렬 전체의 벡터공간 $ M_{n n} $의 부분공간이다.</p> <p>이제 부분공간을 만드는 가장 일반적인 방법을 보자. 먼저 벡터의 일차결합과 생성 공간을 정의한다.</p> <p>정의 3.43 스칼라 $ c_{1}, \cdots, c_{n} $에 대해 벡터 $ \mathrm{w} $가 \[\mathbf{w}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{\mathrm{n}} \mathbf{v}_{\mathrm{n}}\] 의 형태로 표현되면, $ \mathrm{w} $는 $ \mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}} $의 일차결합(linear combination)이라 한다. 벡터공간 $ V $의 원소 $ \mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}} $의 일차결합 전체의 집합은 $ V $의 부분공간이 된 다(정리 4.1). 이것을 $ \operatorname{Span}\left\{\mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} $ 이라고 표기하고, $ \mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $에 의한 생성공간(subspace spanned by $ \left.\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathrm{n}}\right) $이라 한다. 또 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} $ $ =V $이면 $ \mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}} $이 벡터공간 $ V $를 생성한다고 한다.</p> <p>정리 3.44 벡터공간 $ V $의 원소 $ \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $에 대해서 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathrm{n}}\right\} $은 $ V $의 부분공간 이다.</p> <p>증명 $ \mathrm{x}, \mathrm{y} $가 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathrm{n}}\right\} $의 임의의 원소라 하자. 즉 \[\begin{array}{l}\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n} \\\mathbf{y}=d_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+d_{n} \mathbf{v}_{n}\end{array}\] 이라 하면, $ \begin{aligned} \mathbf{x}+\mathbf{y} &=\left(c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}\right)+\left(d_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+d_{n} \mathbf{v}_{n}\right\} \\ &=\left(c_{1}+d_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\cdots+\left(c_{n}+d_{n 2}\right) \mathbf{v}_{n} \end{aligned} $ 이므로 $ \mathbf{x}+\mathbf{y} \in \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $. 또 임의의 스칼라 $ c $에 대해 $ c \mathbf{x}=c\left(c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}\right)=c\left(c_{1}\right) \mathbf{v}_{1}+\cdots+c\left(c_{n}\right) \mathbf{v}_{n} $ 도 $ \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $의 일차결합이 되어 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{\mathrm{n}}\right\} $에 속한다. 따라서 $ \operatorname{Span}\left\{\mathrm{v}_{1}, \cdots, \mathrm{v}_{\mathrm{n}}\right\} $은 $ V $의 부분공간이다.</p> <p>예제 2 $1^{k}$,$(-2)^{k} $ 와 $ 3^{k} $는 일차독립인 신호임을 입증하라.</p> <p>$ \left[\begin{array}{lll}1^{k} & (-2)^{k} & 3^{k} \\ 1^{k+1} & (-2)^{k+1} & 3^{k+1} \\ 1^{k+2} & (-2)^{k+2} & 3^{k+2}\end{array}\right] $</p> <p>행연산에 의해 이 행렬이 항상 가역행렬임을 쉽게 보일 수 있다. 그렇지만 $ k $에 대하여 하나의 값 $ k=0 $을 대입하여 행연산을 실행하는 것이 더 빠르다.</p> <p>$ \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 3 & 8\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right] $</p> <p>카소라티 행렬은 $ k=0 $에 대하여 가역이다. 따라서 $ 1^{k}$,$(-2)^{k} $와 $ 3^{k} $는 일차독립이다.</p> <p>카소라티행렬이 가역행렬이 아니라면 분석되는 연관된 신호들은 일차종속일 수도 아닐 수 있다(연습문제 9를 보라). 그러나 신호들이 같은 동차차분방정식의 모든 해라면 카소라티행렬은 모든 $ k $에 대하여 가역이고 신호들이 일차독립이거나, 카소라티 행렬이 모든 $ k $에 대하여 가역이 아니고 신호들이 일차종속이거나 둘 중에 하나이다.</p> <p>스칼라 $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}\left(a_{0}\right. $와 $ a_{n} $는 0이 아님)와 신호 $ \left\{z_{k}\right\} $이 주어졌다면, 보든 $ k $에 대하여, $ a_{0} y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=z_{k} $<caption>(3)</caption>을 차수가 $ n $인 선형차분방정식(또는 선형재귀관계)이라 한다. 단순성을 위해 $ a_{0} $를 종종 1로 택한다. $ \left\{z_{k}\right\} $가 0의 수열이라면 동차이고 그렇지 않으면 비동차라 한다.</p> <p>예제 3 디지털 신호처리에서 (3)과 같은 차분방정식은 선형필터를 묘사하며, $ a_{0}, a_{1} \cdots, a_{n} $를 필터계수라 한다. $ \left\{y_{k}\right\} $가 입력으로 그리고 $ \left\{z_{k}\right\} $가 출력으로 취급된다면 관련된 동차방정식의 해는 여과되었고 제로 시그널로 변환된 신호이다. 두 개의 다른 신호를 필터 $ 0.35 y_{k+2}+0.5 y_{k+1}+0.35 y_{k}=z_{k} $로 집어 넣자. 여기서 0.35는 $ \sqrt{2} / 3 $이다. 첫 신호는 그림 3.42(a)에서와 같이 $ t $의 정수 값에서 연속신호 $ y=\cos (\pi t / 4) $에 의해 만들어진다. 이산신호는 $ \left\{y_{k}\right\}=\left\{\cdots, \cos \left(0 /, \cos (\pi / 4), \cos (2 \pi / 4), \cos \left(3 \pi / 4^{\prime}, \cdots\right\}\right.\right. $</p> <p>간편성을 위해 $ \pm \sqrt{2} / 2 $의 자리에 $ \pm 0.7 $를 쓰면 $ \left\{y_{k}\right\}=\{\cdots, 1,0.7,0,-0.7,-1,-0.7,0,0.7,1,0.7,0, \cdots\} $</p> <p>표 1은 출력수열 $ \left\{z_{k}\right\} $의 계산을 보여준다. 여기서 $ .35(.7) $은 $ (\sqrt{2} / 4) (\sqrt{2} / 2)=.25 $에 대한 요약이다. 출력은 한 항에 의해 이동된 $ \left\{y_{k}\right\} $이다.</p> <p>다른 입력신호는 그림 3.42(b)에 보여준 더 높은 주파수의 신호 $ y=\cos (3 \pi t / 4) $에서 생산된다. 전과 같은 비율에서 샘플링은 새로운 입력수열을 만든다.</p> <p>$ \left\{w_{k}\right\}=\{\cdots, 1,-0.7,0,0.7,-1,0.7,0,-0.7,1,-0.7,0, \cdots\} $</p> <p>$ \left\{w_{k}\right\} $가 필터로 들어갈 때 출력은 0들의 수열이다. 저통과 여과기(low-pass filter)라는 필터는 $ \left\{y_{k}\right\} $를 통과시키지만 높은 주파수는 $ \left\{w_{k}\right\} $를 거른다.</p> <p>많은 응용에서 수열 $ \left\{z_{k}\right\} $는 차분방정식 (3)의 오른쪽에 대하여 기술되며 (3)을 만족하는 $ \left\{y_{k}\right\} $를 방정식의 해라 한다. 다음 예제는 동차차분방정식의 해를 구하는 방법을 보여준다.</p> <p>예제 4 동차차분방정식의 해는 종종 어떤 $ r $에 대하여 $ y_{k}=r^{k} $의 형태를 취한다. 모든 $ k $에 대하여 방정식 $ y_{k+3}-2 y_{k+2}-5 y_{k+1}+6 y_{k}=0 $<caption>(4)</caption>의 해를 구하라.</p> <p>풀이 방정식에서 $ y_{k} $에 $ r^{k} $을 대입하고 왼쪽을 인수분해하면 $ r^{k+3}-2 r^{k+2}-5 r^{k+1}+6 r^{k}=0 $<caption>(5)</caption>$ r^{k}\left(r^{3}-2 r^{2}-5 r+6\right)=0 $, $ r^{k}(r-1)(r+2)(r-3)=0 $<caption>(6)</caption>(5)는 (6)과 같으므로 $ r^{k} $가 차분방정식 (4)를 만족할 필요충분조건은 $ r $이 (6)을 만족한다는 것이다. 따라서 $ 1^{k},(-2)^{k} $와 $ 3^{k} $는 (4)의 모든 해이다. 예를 들면 $ 3^{k} $가 (4)의 해임을 증명하기 위하여, 모든 $ k $에 대하여 $ \begin{aligned} 3^{k+3}-2 & \cdot 3^{k+2}-5 \cdot 3^{k+1}+6 \cdot 3^{k} \\ &=3^{k}(27-18-15+6)=0 \end{aligned} $ 을 계산한다.</p> <p>일반적으로 0이 아닌 신호 $ r^{k} $가, 모든 $ k $에 대하여, 동차차분방정식 \[y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=0\] 을 만족할 필요충분조건은 $ r $ 이 보조방정식(auxiliary equation) $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=0 $의 근이라는 것이다. $ r $이 보조방정식의 중복근인 경우는 고려하지 않을 것이다. 보조방정식이 복소수 근을 가질 때 차분방정식은, 상수 $ s $와 $ w $에 대하여, $ s^{k} \cos k w $와, $ s^{k} \sin k w $ 형태의 해를 갖는다. (이에 대해서는 복소수함수의 기본이론이 필요하므로 증명은 생략한다.)</p> <p>주어진 $ a_{1}, \cdots, a_{n} $에 대하여 $ w_{k}=y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k} $ 로 주어진 신호 $ \left\{y_{k}\right\} $를 신호 $ \left\{w_{k}\right\} $로 변환하는 사상 $ T: S \rightarrow S $을 고려하자. $ T $가 일차 변환(4장에서 다룸)임을 쉽게 확인할 수 있다. 이것은 동차방정식 $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=0 $의 해집합이 $ T $의 영공간 $ (T $가 0의 신호로 사상하는 신호들의 집합)임을 의미하므로 해 집합은 $ S $의 부분공간이다. 해의 어떤 일차결합도 또한 해이다.</p> <p>정리 3.51 $ a_{n} \neq 0 $이고 $ \left\{z_{k}\right\} $이 주어졌다면, 모든 $ k $에 대하여, 방정식 $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=z_{k} $<caption>(7)</caption>는 $ y_{0}, \cdots, y_{n-1} $이 정해지기만 하면 유일한 해를 갖는다.</p> <p>증명 $ y_{0}, \cdots, y_{n-1} $가 정해졌다면 (7)을 사용하여 $ k=0, y_{n}=z_{0}-\left[a_{1} y_{n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{1}+a_{n} y_{0}\right] $<caption>(8)</caption>를 사용하여 $ k \geq 0 $에 대하여 $ y_{n+k} $를 정의한다. $ k<0 $에 대하여 $ y_{k} $를 정의하기 위하여 귀납관계 $ y_{k}=\frac{1}{a_{n}} z_{k}-\frac{1}{a_{n}} \cdot\left[y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}\right] $<caption>(9)</caption>을 사용한다. 이것은 (7)을 만족하는 신호를 만든다. 역으로 모든 $ k $에 대하여 (7)을 만족하는 신호는 확실히 (8)과 (9)를 만족한다. 따라서 (7)의 해는 유일 하다.</p> <p>정리 3.52 $ n $차 일차동차차분방정식 $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=0 $<caption>(10)</caption>의 모든 해의 집합 $ H $는 $ n $차원 벡터공간이다.</p> <p>예제 5 아래 차분방정식의 모든 해집합에 대한 기저를 구하라. 모든 $ k $에 대하여 $ y_{k+3}-2 y_{k+2}-5 y_{k+1}+6 y_{k}=0 $</p> <p>풀이 예제 2와 4에서 $ 1^{k},(-2)^{k} $와 $ 3^{k} $은 일차독립인 해임을 보였다. 일반적으로 신호들의 집합이 해공간을 생성한다는 것을 직접 증명하는 것은 어려울 수 있다. 그러나 여기에서 문제가 없다. 왜나하면 해공간은 정확히 삼차원임을 보여주는 정리 3.52와 $ n $차원 공간에서 $ n $개 벡터들의 일차독립인 집합은 자동적으로 기저라 하는 정리 3.21 때문이다. 따라서 $ 1^{k},(-2)^{k} $ 와 $ 3^{k} $은 해공간의 기저를 형성한다.</p> <p>(10)의 일반해를 묘사하는 표준방법은 모든 해의 부분공간에 대한 기저를 찾는 것이다. 그와 같은 기저를 (10)의 해들의 기본해집합이라 한다. 실제적으로 (10)을 만족하는 $ n $개의 일차독립인 신호를 구할 수 있다면 위의 예제에서 보았듯이 그들은 자동적으로 $ n $차원 해공간을 생성할 것이다.</p> <p>모든 $ k $ 에 대하여, 비동차 차분방정식 $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=z_{k} $<caption>(11)</caption>의 일반해는 (10)의 기본해집합의 벡터들의 일차결합과 (11)의 하나의 해(특수해라고 함)를 더한 형태로 쓸 수 있다. 이 사실은 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $와 $ A \mathrm{x}=0 $의 해집합이 평행인 결과와 유사하다. 두 결과는 같은 해석을 갖는다. 사상 $ \mathrm{x} \rightarrow A \mathrm{x} $은 선형이며 신호 $ \left\{y_{k}\right\} $를 (11)에 있는 신호 $ \left\{z_{k}\right\} $로 변환하는 사상도 선형이다. (선형사상은 4장에서 다룬다.)</p> <p>예제 6 신호 $ y_{k}=k^{2} $ 가 모든 $ k $ 에 대하여 차분방정식 $ y_{k+2}-4 y_{k+1}+3 y_{k}=-4 k $<caption>(12)</caption>을 만족한다는 것을 증명하라. 그 다음 이 방정식의 모든 해들의 특징을 언급하여라.</p> <p>풀이 (12)의 왼쪽에서 $ y_{k} $에 대하여 $ k^{2} $을 대입하라. \[\begin{aligned}&(k+2)^{2}-4(k+1)^{2}+3 k^{2} \\=&\left(k^{2}+4 k+4\right)-4\left(k^{2}+2 k+1\right)+3 k^{2} \\=&-4 k\end{aligned}\]</p> <p>따라서 $ k^{2} $ 은 $ (12) $ 의 해이다. 다음 단계는 동차방정식 $ y_{k+2}-4 y_{k+1}+3 y_{k}=0 $<caption>(13)</caption>을 푸는 것이다. 보조방정식은 $ r^{2}-4 r+3=(r-1)(r-3)=0 $<caption>(13)</caption></p> <p>근은 $ r=1,3 $이다. 따라서 동차차분방정식의 두 해는 $ 1^{k} $와 $ 3^{k} $이다. 그들은 명백히 서로의 상수곱이 아니므로 그들은 일차독립인 신호들이다. 정리3.51에 의하여 해공간은 2차원이므로 $ 1^{k} $와 $ 3^{k} $는 (13)의 해집합에 대한 기저를 형성한다. 그 집합을 비동차방정식 (12)의 특수해만큼 이동하여 (12)의 일반해를 얻는다. 일반해는 $ k^{2}+c_{1} 1^{k}+c_{2} 3^{k} $ 또는 $ k^{2}+c_{1}+c_{2} 3^{k} $</p> <p>그림 3.43은 보조방정식의 해와 비동차방정식의 해의 기하적인 모습을 보여준다. 그림에서 각 점은 $ S $에서 하나의 신호에 대응한다.</p> <h2>1계 연립방정식으로 감소</h2> <p>$ n $계 일차동차방정식을 연구하는 근대적인 방법은 그것을 $ \mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_{k}, k=0,1,2, \ldots $ 으로 쓰인 동치인 1계 차분방정식을 연립방정식으로 바꾸는 것이다. 여기서 $ \mathbf{x}_{k} $는 $ \mathbb{R}^{n} $에 있고 $ A $는 $ n \times n $ 행렬이다.</p> <p>예제 7 다음 차분방정식을 연립방정식으로 써라. 모든 $ k $ 에 대하여 $ y_{k+3}-2 y_{k+2}-5 y_{k+1}+6 y_{k}=0 $</p> <p>풀이 각 $ k $에 대하여 $ \mathrm{x}_{k}=\left[\begin{array}{c}y_{k} \\ y_{k+1} \\ y_{k+2}\end{array}\right] $ 라 놓자. 차분방정식은 $ y_{k+3}=-6 y_{k}+5 y_{k+1}+2 y_{k+2} $ 이므로 $ \mathbf{x}_{k+1}=\left[\begin{array}{l}y_{k+1} \\ y_{k+2} \\ y_{k+3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0+y_{k+1}+0 \\ 0+0+y_{k+2} \\ -6 y_{k}+5 y_{k+1}+2 y_{k+2}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y_{k} \\ y_{k+1} \\ y_{k+2}\end{array}\right] $ 즉, 모든 $ k $에 대하여 $ \mathrm{x}_{k+1}=A \mathrm{x}_{k} $, 여기서 $ A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & 5 & 2\end{array}\right] $</p> <p>일반적으로 모든 $ k $에 대하여, 방정식 $ y_{k+n}+a_{1} y_{k+n-1}+\cdots+a_{n-1} y_{k+1}+a_{n} y_{k}=0 $ 은, 모든 $ k $에 대하여 $ \mathbf{x}_{k+1}=A \mathbf{x}_{k} $로 쓸 수 있다. 여기서, $ \mathrm{x}_{k}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{y}_{k} \\ \mathrm{y}_{k+1} \\ \vdots \\ \mathrm{y}_{k+n-1}\end{array}\right], \quad \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & & 1 \\ -\mathrm{a}_{n}-\mathrm{a}_{n-1}-\mathrm{a}_{n-2} & \cdots & -\mathrm{a}_{1}\end{array}\right] $</p> <h1>3.4 일차독립과 일차종속</h1> <p>벡터들의 집합이 일차독립이라는 것은 그 집합의 어느 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 없다는 것을 뜻한다. 예를 들어 세 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{9}\right\} $이 다음 세가지 조건을 만족하면, 집합 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $은 일차독립이고 그렇지 않으면 일차종속이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbf{v}_{1} $이 $ \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} $의 일차결합이 아니다.</li> <li>$ \mathbf{v}_{2} $이 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{3} $의 일차결합이 아니다.</li> <li>$ \mathbf{v}_{3} $이 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} $의 일차결합이 아니다.</li></ol> <p>일차독립의 정의를 명확히 하기 위해 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $이 일차종속이라고 가정하자. 이 때 위의 세 조건 중 (1)이 성립하지 않는다고 가정하면 $ \mathbf{v}_{1}=k_{2} \mathbf{v}_{2}+k_{3} \mathbf{v}_{3} $ 이고 $ (-1) \mathbf{v}_{1}+k_{2} \mathbf{v}_{2}+k_{3} \mathbf{v}_{3}=0 $</p> <p>즉, $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+c_{3} \mathbf{v}_{3}=0 $을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, c_{2} $와 $ c_{3} $이 존재한다. 반대로 만약 $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+\iota_{3} \mathbf{v}_{3}=0 $을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, c_{2} $와 $ c_{3} $이 존재한다면 $ \left(c_{1}\right. $ 이 0이 아니라고 가정할 때), $ \mathbf{v}_{1}=\left(\frac{-c_{2}}{c_{1}}\right) \mathbf{v}_{2}+\left(\frac{-c_{3}}{c_{1}}\right) \mathbf{v}_{3} $ 이 되어 $ \mathbf{v}_{1} $은 $ \mathbf{v}_{2} $와 $ \mathbf{v}_{3} $의 일차결합이 된다. $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $이 일차종속이기 위한 필요충분 조건은 $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+c_{3} \mathbf{v}_{3}=\mathbf{0} $을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, c_{2} $와 $ c_{3} $이 존재하는 것이다. $ n $개의 벡터들의 집합에 대해서도 마찬가지이므로 다음과 같이 정의 할 수 있다.</p> <p>정의 3.16 벡터들의 집합 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $에 대해, $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}=0 $을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, \cdots, c_{n} $이 존재하면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $은 일차종속 (linearly dependent)이라 한다. 반대로 $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c_{n} \mathbf{v}_{n}=0 $이 되는 유일한 경우가 $ c_{1}=\cdots=c_{n}=0 $이면 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $은 일차독립(linearly independent)이라 한다.</p> <p>예제 1</p> <ol type=a start=1><li>벡터공간 $ \mathbb{R}^{2} $ 의 두 벡터 $ \left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0\end{array}\right] $는 일차독립이다.</li> <li>벡터공간 $ \mathbb{R}^{2} $ 에서 $ 2\left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right]+(-1)\left[\begin{array}{ll}2 & 2\end{array}\right]=0 $ 이므로 두 벡터 $ \left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right] $ 과 $ \left[\begin{array}{ll}2 & 2\end{array}\right] $ 는 일차종속이다.</li></ol> <p>풀이 (a) $ c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+c_{3} \mathbf{v}_{3}=0 $이라 하면 $ c_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right] $ 따라서 \[\begin{aligned}c_{1}+c_{2} &=0 \\c_{1}+2 c_{2}+c_{3} &=0 \\2 c_{1}+c_{2}+c_{3} &=0\end{aligned}\] 첨가행렬 $ \left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0\end{array}\right] $ 에 기본행연산을 실행하면 $ \left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right] $ $ c_{1}=0, c_{2}=0, c_{3}=0 $이 되어 주어진 세 벡터는 일차독립이다.</p> <p>(b) $ c_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{lll}4 & -1 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right] $ 이라 하면 $ c_{1}+2 c_{2}+4 c_{3}=0 $$ 2 c_{1}+c_{2}-c_{3}=0 $ $ 4 c_{1}+3 c_{2}+c_{3}=0 $<caption>(1)</caption>이 연립방정식의 계수행렬은 행렬식의 값이 0이므로 가역행렬이 아니다. 따라서 식 (1)은 자명하지 않은 해(적어도 하나는 0이 아닌 상수 $ c_{1}, c_{2}, c_{3} $ )를 가지므로 주어진 세 벡터는 일차종속이다. 실제로 가우스 소거법으로 (1)을 풀면 $ c_{1}=2, c_{2}=-3 $과 $ c_{3}=1 $이다. 즉, $ \left[\begin{array}{lll}4 & -1 & 1\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3\end{array}\right] $이 되어 세 벡터는 한 평면 위에 있다.</p> <p>참고</p> <ol type=a start=1><li>예제에서 보았듯이 $ n $개의 $ \mathbb{R}^{n} $의 열벡터를 갖는 행렬 $ A $의 행렬식의 값이 0이면 그 $ n $개의 벡터는 일차종속이다. 실제로 $ n $개의 $ \mathbb{R}^{n} $ 벡터가 일차종속이 될 필요충분조건은 $ n $개의 열벡터를 갖는 행렬의 행렬식 값이 0이다. 즉, $ \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \cdots, \mathrm{a}_{n} $ : 일차종속 $ \left.\Leftrightarrow \operatorname{det}(A\right)=0(A $는 $ i $번째 열이 $ \mathrm{a} $, 인 행렬)</li> <li>$ \mathbb{R}^{3} $의 세 벡터가 일차종속이라는 것은 벡터의 시점이 원점일 때 세 벡터는 하나의 평면 위에 있다는 것과 동치이다.</li></ol> <p>예제 3 $ \mathbb{R}^{4} $에서 다음 벡터들은 일차독립인지 일차종속인지를 결정하라.</p> <p>$ \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2 \\ 4\end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right], \mathbf{y}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right], \mathbf{y}_{4}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $</p> <p>풀이 벡터방정식 $ x_{1} \mathbf{y}_{1}+x_{2} \mathbf{y}_{2}+x_{3} \mathbf{y}_{3}+x_{4} \mathbf{y}_{4}+x_{5} \mathbf{y}_{5}=\mathbf{0} $ 은 $ x_{1}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]+x_{4}\left[\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right]+x_{5}\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $ 또는 $ \begin{aligned} x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{5} &=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}+x_{5} &=0 \\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{4}+2 x_{5} &=0 \\ 4 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}+3 x_{5} &=0 \end{aligned} $</p> <p>마지막 연립방정식은 미지수가 5개인 4개의 동차연립방정식이다. 이 연립방정식은 미지수보다 더 적은 방정식을 가지므로 명백히 0이 아닌 해를 갖는다. 따라서 5개의 주어진 벡터들은 $ \mathbb{R}^{5} $에 있는 일차종속인 벡터들이다.</p> <p>앞의 예제들에서 입증하였듯이 벡터들 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $의 일차독립성을 검증하는 과정은 세 개의 주요한 단계를 요구한다.</p> <p>일차독립성에 대한 검증<ol type=1 start=1><li>$ x_{1} \mathbf{u}_{1}+x_{2} \mathbf{u}_{2}+\cdots+x_{n} \mathbf{u}_{1 "}-\mathbf{0} $임을 가정하자.</li> <li>단계 1에 있는 벡터방정식을 동차연립방정식 $ A \mathrm{x}=0 $으로 고치고 해석하라.</li> <li>1장의 기법을 사용하여 단계 2에 있는 방정식이 0이 아닌 해를 갖는지를 결정하라. 연립방정식이 오직 자명한 해를 갖는다면 일차독립이고, 그렇지 않으면 일차종속이다.</li></ol></p> <p>다음 두 정리는 행렬의 열들에 대한 일차독립성을 검증하는 다양한 방법을 요약한다. 이 결과들은 1장과 2장의 결과들을 사용하는 위의 검증 과정에서 얻는다.</p> <p>정리 3.17 $ A $를 $ m \times n $인 실수의 행렬이라 하자. $ m<n $이면 $ A $의 열들은 일차종속이고 $ m \geq n $이면 다음 명제들은 동치이다.<ol type=1 start=1><li>$ A $의 열들은 일차독립이다.</li> <li>동차연립방정식 $ A \mathrm{x}=0 $은 오직 자명한 해만을 가진다.</li> <li>$ A $에 대한 행 감소된 사다리꼴의 0이 아닌 열들의 수는 $ n $개이다.</li> <li>$ A $에 대한 행 감소된 사다리꼴에서 선행원소가 있는 열들은 일차독립이다.</li></ol></p> <p>행렬이 정사각행렬인 경우에 다음 정리를 갖는다.</p> <p>정리 3.18 다음 명제 (1)~(4)는 동치이다.<ol type=1 start=1><li>$ A $의 열들은 일차독립이다.</li> <li>$ \operatorname{det}(A) \neq 0 $</li> <li>$ A $는 $I$와 행동치이다.</li> <li>$ A^{-1} $이 존재한다.</li></ol></p> <h2>정리 3.33의 기하적인 해석</h2> <p>(2)에서 직교사영에 대한 식은 정리 3.33에서의 각 항과 같은 형태를 가지고 있다. 따라서 정리 3.33은 벡터 $ \mathrm{y} $를 1 차원 부분공간위로의 직교사영의 합으로 분해한다.</p> <p>$ W=\mathbb{R}^{2}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $인 경우를 머릿속으로 그리는 것은 쉽다. 여기서 $ \mathbf{u}_{1} $과 $ \mathbf{u}_{2} $는 직교한다. $ \mathbb{R}^{2} $에 있는 $ \mathrm{y} $는 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.</p> <p>$ \mathbf{y}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}} \mathbf{u}_{1}+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}}{\mathbf{u}_{2} \cdot \mathbf{u}_{2}} \mathbf{u}_{2} $<caption>(3)</caption></p> <p>(3)의 첫 항은 $ \mathrm{u}_{1} $에 의해 생성된 부분공간으로의 $ \mathrm{y} $의 사영이며 둘째 항은 $ \mathrm{u}_{2} $에 의해 생성된 부분공간으로의 $ \mathrm{y} $의 사영이다. 따라서 (3)은 $ \mathrm{y} $를 $ \mathrm{u}_{1} $과 $ \mathrm{u}_{2} $에 의배 결정되는 (직교)축 위로의 그의 사영의 합으로 표현한다. 그림 3.31를 보라.</p> <p>정리 3.33에 따르면 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $에 있는 각 $ \mathbf{y} $는 서로 직교하는 1차원 부분공간위로의 $ p $개의 사영의 합으로 분해된다.</p> <p>그림 3.31는 어떤 종류의 힘을 개체에 적용하는 물리학에서 발생한다. 적당한 좌표계를 선택하여 힘을 $ \mathbb{R}^{2} $나 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 벡터 $ \mathrm{y} $로 표현한다. 종종 문제는 어느 특정한 방향에 관심을 갖는데 그것을 다른 벡터 $ \mathrm{u} $로 표현한다. 예를 들면 개체에 힘이 작용될 때 직선에서 움직이고 있다면 벡터 $ \mathbf{u} $는 이동방향에 있는 점일 수 있다. 문제에서 중요한 단계는 힘을 $ \mathrm{u} $의 방향의 성분과 $ \mathrm{u} $에 직교하는 성분으로 분해하는 것이다. 계산은 위의 예제 3과 유사할 것이다.</p> <h2>정규직교집합</h2> <p>집합 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $ 이 단위벡터들인 직교집합이라면 그 집합을 정규직교집합(Orthonor-mal set)이라 한다. $ W $가 그와 같은 집합에 의해 생성된 부분공간이라면 $ \left\{\mathbf{u}_{1}: \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $은 $ W $의 정규직교기저이다. 왜냐하면 그 집합은 정리 3.31에 의해 자동적으로 일차독립이기 때문이다. 정규직교집합의 가장 단순한 예는 $ \mathbb{R}^{n} $에 대한 표준기저(standard base) $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{p}\right\} $이다. 아래의 예제는 조금 더 복잡하다.</p> <p>예제 5 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \mathrm{v}_{3}\right\} $가 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 정규직교기저임을 보여라.</p> <p>$ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}3 / \sqrt{11} \\ 1 / \sqrt{11} \\ 1 / \sqrt{11}\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c}-1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6}\end{array}\right], \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{c}-1 / \sqrt{66} \\ -4 / \sqrt{66} \\ 7 / \sqrt{66}\end{array}\right] $</p> <p>풀이 우선 간단한 계산에 의하여 \[\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{2}=\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{3}=\mathrm{v}_{2} \cdot \mathrm{v}_{3}=0\]</p> <p>따라서 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} $는 직교집합이다. 또한, (각자 계산) \[\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}=\mathrm{v}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}=\mathrm{v}_{3} \cdot \mathrm{v}_{3}=1\]</p> <p>그러므로 $ \mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2} $와 $ \mathrm{v}_{3} $은 단위벡터이다. (앞의 예제 1 과 비교하고 무엇이 다른지 관찰하라.) 따라서 $ \left\{\mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \mathrm{v}_{3}\right\} $는 정규직교집합이다. 집합은 일차독립이므로 세 벡터는 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저를 형성한다. 그림 3.32을 보라.</p> <p>정리의 증명은 생략한다. 다음 예제 6의 풀이에서 사용한 $ U^{t} U $의 개념은 증명에서 사용되는 기본개념에서 도래한다.</p> <p>정리 3.35의 성질 1과 3에 의하면 사상 $ \mathbf{x} \mapsto U \mathbf{x} $는 길이와 직교성을 보존한다. 이 성질은 컴퓨터 알고리즘에서 매우 중요하다.</p> <p>예제 6 $ U=\left[\begin{array}{cr}1 / \sqrt{2} & 2 / 3 \\ 1 / \sqrt{2} & -2,3 \\ 0 & 1 / 3\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ 3\end{array}\right] $라 하자. $ U $는 정규직교인 열들로 구성 되어 있으며 $ U^{T} U=\left[\begin{array}{ccc}1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} & 0 \\ 2 / 3 & -2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 / \sqrt{2} & 2 / 3 \\ 1 / \sqrt{2} & -2 / 3 \\ 0 & 1 / 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $ $ \\|U \mathbf{x}\\|=\\|\mathbf{x}\\| $임을 확인하라.</p> <p>풀이 $ U \mathbf{x}=\left[\begin{array}{cr}1 / \sqrt{ } 2 & 2 / 3 \\ 1 / \sqrt{2} & -2/ 3 \\ 0 & 1 / 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 1\end{array}\right] $</p> <p>$ \\|U \mathrm{x}\\|=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11} $</p> <p>$ \\|\mathbf{x}\\|=\sqrt{2+9}=\sqrt{11} $</p> <p>정리 3.34와 3.35은 정사각행렬을 적용할 때 특히 유용하다. 직교행렬은 $ U^{-1}=U^{T} $인 정사각형의 가역행렬이다. 정리 3.34에 의하면 그와 같은 행렬은 정규직교인 열들로 구성되어 있다. 정규직교인 열들로 구성된 모든 정사각행렬이 직교행렬임을 보이는 것은 쉽다.</p> <p>예제 7 행렬</p> <p>$ U=\left[\begin{array}{lrr}3 / \sqrt{11} & -1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{66} \\ 1 / \sqrt{11} & 2 / \sqrt{6} & -4 / \sqrt{66} \\ 1 / \sqrt{11} &1 / \sqrt{6} & 7 / \sqrt{66}\end{array}\right] $ 은 정사각행렬이고 그의 열들이 정규직교임으로(예제 5) 직교행렬이다. 행들 또한 정규직교임을 보여라.(각자)</p> <h3>직교사영의 기하적인 해석</h3> <p>$ W $가 1차원 부분공간이면 $ \operatorname{proj}_{\mathrm{W}} \mathrm{y} $에 대한 공식 (2)는 단지 하나의 항을 포함한다. 따라서 $ \operatorname{dim}(W)>1 $ 일 때 (2)의 각 항은 $ W $의 기저들 중 하나에 의해 생성된 1차원 부분공간위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영이다. 그림 3.35 은 $ W $가 $ \mathrm{u}_{1} $과 $ \mathrm{u}_{2} $에 의해 생성된 $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간인 경우를 입증한다. 여기서 $ \widehat{\mathrm{y}_{1}} $과 $ \widehat{\mathrm{y}_{2}} $은 $ \mathrm{u}_{1} $과 $ \mathrm{u}_{2} $에 의해 생성된 직선들 위로의 $ \mathrm{y} $의 사영을 표시한다. $ W$위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영 $ \hat{\mathrm{y}} $은 서로에 수직인 1차원 부분공간위로의 $ \mathrm{y} $ 의 사영의 합이다. $ \hat{\mathrm{y}} $이 $ W $에 있으므로 그림 3.35의 벡터 $ \hat{\mathbf{y}} $은 3.6절의 그림 3.31에 있는 벡터 $ \mathrm{y} $에 대응한다.</p> <h3>직교사영의 성질</h3> <p>$ \left\{\mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $이 $ W $의 직교기저이고 $ \mathrm{y} $가 $ W $에 있다면 $ \operatorname{proj}_{\mathrm{W}} \mathrm{y} $에 대한 공식은 3.6절의 정리 3.33에 주어진 $ \mathrm{y} $의 표현과 정확히 같다. 이 경우에 $ \operatorname{proj}_{W} \mathrm{y}=\mathrm{y} $이다.</p> <p>정리 3.37 최적근사정리 $ W $를 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간, $ \mathrm{y} $를 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 벡터이고 $ \hat{\mathrm{y}} $을 $ W $ 위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영 이라 하자. 그러면 $ \hat{\mathbf{y}} $은, $ \hat{\mathrm{y}} $와 다른 $ W $에 있는 모든 $ \mathrm{v} $에 대하여 $ \\|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\\|<\\|\mathbf{y}-\mathrm{v}\\| $<caption>(3)</caption>라는 의미에서 $ W $에 있는 $ \mathrm{y} $까지 가장 가까운 점이다.</p> <p>정리 3.37의 벡터 $ \hat{\mathbf{y}} $을 $ W $의 원소에 의한 $ \mathbf{y} $의 최적근사라 한다. 뒷 절에서는 주어진 $ \mathbf{y} $가 어떤 고정된 공간 $ W $에 있는 하나의 벡터 $ \mathrm{v} $로 바뀌거나 근사되어야 하는 문제들을 조사할 것이다. $ \mathrm{y} $에서 $ \mathrm{v} $까지 거리인 $ \\|\mathrm{y}-\mathrm{v}\\| $을 $ \mathrm{y} $의 자리에 $ \mathrm{v} $를 사용하는 오차로서 간주될 수 있다. 정리 정리3.37에 의하면 $ \mathrm{v}=\hat{\mathrm{y}} $ 일 때 이 오차가 최소화된다.</p> <p>방정식 (3)은, $ \hat{\mathrm{y}} $은 그것을 계산하기 위하여 사용되는 특정한 직교기저에 의존하지 않는다는, 새로운 증명으로 이끈다. $ W $의 다른 직교기저가 $ \mathrm{y} $의 직교사영을 생성하기 위하여 사용되었다면 이 사영은 $ \mathrm{y} $에서 $ W $에 있는 가장 근접한 점, 즉 $ \hat{\mathrm{y}} $이 될 것이다.</p> <p>증명 $ W $에 있는 $ \hat{\mathbf{y}} $과는 다른 $ \mathbf{v} $를 택하자. (그림 3.36을 보라.) 그러면 $ \mathbf{v}-\hat{\mathbf{y}} $은 $ W $ 에 있다. 직교분해정리에 의해 $ \mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $는 $ W $와 직교한다. 특히 $ \mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $는 $ \mathrm{v}-\hat{\mathrm{y}} $에 직교한다.</p> <p>$ \mathrm{y}-\mathrm{v}=(\mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}})+(\hat{\mathrm{y}}-\mathrm{v}) $ 이므로 피타고라스정리에 의하여 $ \\|\mathbf{y}-\mathbf{v}\\|^{2}=\\|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\\|^{2}+\\|\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}\\|^{2} $</p> <p>(그림 3.36의 오른쪽 삼각형을 보라.) 이제 $ \hat{\mathbf{y}}-\mathrm{v} \neq 0 $ 이므로 $ \\|\hat{\mathbf{y}}-\mathrm{v}\\|^{2}>0 $ 이다. 따라서 (3)에 있는 부등식이 성립한다.</p> <p>예제 3 $ \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{c}2 \\ 5 \\ -1\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $이고 $ W=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $라면 $ \mathbf{y} $에서 $ W $에 있는 가장 가까운 점은 \[\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}} \mathbf{u}_{1}+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}}{\mathbf{u}_{2} \cdot \mathbf{u}_{2}} \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}-2 / 5 \\2 \\1 / 5\end{array}\right]\]</p> <p>예제 4 $ \mathbb{R}^{n} $의 한 점 $ \mathrm{y} $에서 부분공간 $ W $까지 거리는 $ \mathrm{y} $에서 $ W $에 있는 가장 가까운 점까지의 거리로 정의된다. $ \mathbf{y} $에서 $ W=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $까지 거리를 구하라. 여기서 $ \mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 10\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{c}5 \\ -2 \\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right] $</p> <p>풀이 최적근사정리에 의해 $ \mathrm{y} $에서 $ W $까지 거리는 $ \\|\mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}}\\| $이다. 여기서 $ \hat{\mathbf{y}}=\operatorname{proj}_{W} \mathrm{y} .\left\{\mathrm{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $ 는 $ W $의 직교기저이므로 $ \hat{\mathbf{y}}=\frac{15}{30} \mathbf{u}_{1}+\frac{-21}{6} \mathbf{u}_{2}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}5 \\ -2 \\ 1\end{array}\right]-\frac{7}{2}\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -8 \\ 4\end{array}\right] $ $ \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 10\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-1 \\ -8 \\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 6\end{array}\right] $ $ \\|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\\|^{2}=3^{2}+6^{2}=45 $ 이므로 $ \mathbf{y} $ 에서 $ W $ 까지 거리는 $ \sqrt{45}=3 \sqrt{5} $.</p> <p>다음 정리는 $ W $의 기저가 정규직교집합일 때 $ \operatorname{proj}_{W} \mathrm{y} $에 대한 공식 (2)가 어떻게 단순화되는지를 보여준다.</p> <p>정리 3.38 $ U=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{p}\right\} $ 을 $ \mathbb{R}^{n} $ 의 부분공간 $ W $ 의 정규직교기저라면, $ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} $ 에 대하여 \[\operatorname{proj}_{W} \mathbf{y}=\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}\right)_{L_{1}}+\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{2}\right) \mathbf{u}+\cdots+\left(\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{p}\right) \mathbf{u}_{p}\] 이고 $ \mathbb{R}^{n} $ 에 있는 모든 $ \mathrm{y} $ 에 대하여, \[\operatorname{proj}_{\mathrm{W}} \mathbf{y}=U U^{T} \mathbf{y}\]</p> <p>벡터 $ \mathbf{v} $의 길이 또는 노름(norm)은 $ \\|\mathbf{v}\\| $로 표기한다. 길이가 1인 벡터를 단위벡터라 한다. 0이 아닌 벡터에 대하여 벡터 $ (1 /\\|\mathbf{v}\\|) \mathbf{v} $는 단위벡터임에 유의하라. 이제 점적이라 하는 두 벡터들의 (스칼라 생략) 곱을 정의할 것이다. 이 곱은 벡터들 사이의 각을 수반하는 문제에서 유용하다. 또는 다른 벡터로 한 벡터의 사영을 결정하고 벡터들의 길이를 계산하는 문제에서 유용하다.</p> <p>정의 3.2 벡터의 쌍 $ u $와 $ v$에 대하여 내적(점적이라고도 함)을 다음과 같이 정의한다.<p>$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| \cos \theta $</p>여기서 $ \theta $는, 그림 3.10에서처럼, $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $사이의 각이다. $ \left(0 \leq \theta \leq 180^{\circ}\right) $</p> <p>$ \cos 90^{\circ}=\cos \frac{\pi}{2}=0 $이므로 벡터 $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $ 가 수직일 필요충분조긴은 $ \mathrm{u} \cdot \mathrm{v}=0 $ 이다. 더구나 $ \cos 0=1 $ 이므로 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=\\|\mathbf{u}\\|^{2} $ 이다. 또는 $ \\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})} $</p> <p>$ \mathbf{i} $와 $ \mathbf{j} $는 평면의 좌표방향으로의 단위벡터라 하고, $ \mathrm{u} $를 그림 3.11에서처럼 $ \mathrm{i} $와의 각 $ \theta $를 만드는 벡터라 하자. 이 경우에 $ \mathbf{u} \cdot \mathrm{I}=\\|\mathrm{u}\\| \operatorname{cus} \theta=\mathrm{OA} $. 이것은 $ \mathrm{i} $로의 $ \mathrm{u} $의 사영 이다. 또한 $ \mathbf{u}=\\|\mathbf{u}\\| \cos \theta \mathbf{i}+\\|\mathbf{u}\\| \sin \theta \mathbf{j} $ 임에 유의하라. 내적은 사영을 수반하는 문제에서 매우 유용하다. $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $가 그림 3.12와 같이 놓여있다고 하고 $ \mathrm{w} $를 $ \mathrm{v} $위로의 $ \mathrm{u} $의 직교사영이라 하자. 그러면 $ \cos \theta= $ $ \\|\mathrm{w}\\| $ ～$ \\|\mathrm{u}\\| $ 이므로 $ \\|\mathbf{w}\\|=\\|\mathbf{u}\\| \subset ., \theta=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\|\mathbf{v}\\|} $<caption>(1)</caption>은 $v$위로의 $ u $의 식교사영의 길이이다. 더구나 $ w $는 $ v $방향 단위벡터의 $ \\|w\\| $배이다. $ \mathrm{w}=\\|\mathbf{w}\\|\left(\frac{\mathrm{v}}{\\|\mathbf{v}\\|}\right)=\left(\frac{\mathrm{u} \cdot \mathrm{v}}{\\|\mathbf{v}\\|}\right)\left(\frac{\mathbf{v}}{\\|\mathbf{v}\\|}\right)=\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}\right) \mathbf{v} $<caption>(2)</caption>은 $ v $위로의 $ u $의 직교사영이다.</p> <p>예제 1 $u$는 $ x-$축과 30도를 이루는 길이가 4인 벡터이고 $ v $는 $ x-$축과 60도를 이루는 길이가 7인 벡터라 하자. $ u $위로의 $ v $의 사영의 길이와 $ v $위로의 $ u $의 사영을 구하여라.</p> <p>풀이 벡터들은 그림 3.13에 보여준다. $ \mathrm{u} $ 와 $ \mathrm{v} $사이의 각은 30도이므로 내적은 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\| \cos \theta=(4)(7) \frac{\sqrt{3}}{2}=14 \sqrt{3} $ 식 (1) 에서 $ \mathrm{u} $위로의 $ \mathrm{v} $의 사영 $ O A $의 길이는 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} /\\|\mathbf{u}\\|=\frac{14 \sqrt{3}}{4}=\frac{7 \sqrt{3}}{2} $ $ v $위로의 $ u $의 사영은 식 (2)를 사용하여 계산한다. $ \mathrm{OB}=\left(\frac{\mathrm{u} \cdot \mathrm{v}}{\mathrm{v} \cdot \mathrm{v}}\right) \mathrm{v}=\frac{\mathrm{i} 4}{49}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\mathrm{v}=\frac{2 \sqrt{3}}{7}-\mathrm{v} $</p> <p>여기서 논의한 2차원(평면)에 대한 모든 아이디어들은 3차원(공간)에 있는 벡터들에 대하여도 동등하게 적용할 수 있다. 아이디어는 같다. 그러나 그리기는 좀 어렵다. 벡터들이 같은 길이와 같은 방향을 가지면 같은 벡터이므로 모든 벡터들은 그림 3.14에 보여준 것처럼 그의 꼬리가 원점에 있는 벡터와 같다. 따라서 그들의 꼬리가 원점에 있는 벡터들 사이에는 일대일 대응이 있다. 이러한 대응은 벡터들을 대수적으로 취급할 수 있는 열쇠이고 벡터 개념의 일반화를 위한 유용한 도약판이다.</p> <p>$ \mathbf{v} $가 원점에서 $ \left(v_{1}, v_{2}\right) $까지 벡터이고 $ \mathbf{u} $가 원점에서 $ \left(u_{1}, u_{2}\right) $까지 벡터라면, $ \mathbf{u}+\mathbf{v} $는 그림 3.15에 보여준 것처럼 원점에서 $ \left(v_{1}+u_{1}, v_{2}+u_{2}\right) $까지 벡터이다. 터구나 $ k \mathrm{v} $는 원점에서 $ \left(k v_{1}, k v_{2}\right) $까지 벡터이다.</p> <p>평면에 있는 벡터들을 $ 1 \times 2 $ 행렬과 연관시켰고 벡터들의 덧셈은 평행사변형 법칙에 의하여 행렬의 덧셈에 대응했음에 유의하라. 더구나 벡터들의 스칼라 곱은 행렬의 스칼라 곱에 대응한다. 지금부터 $ \mathbf{v} $가 원점에서 점 $ (a, b, c) $까지 벡터를 나타내기 위하여 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right] $로 쓴다.</p> <p>간단한 예제 벡터들의 대수적인 합 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & -2\end{array}\right] $와 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 5\end{array}\right] $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \mathbf{u}+\mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 3 & 3 & 3 \end{array}\right] \\ 2 \mathbf{u}+3 \mathbb{v}=2\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array}\right]+3\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 8 & 6 & 11 \end{array}\right] \\ \mathbf{u}-\mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} - & 1 & -7 \end{array}\right] \\ \mathbf{u}-\mathbf{u}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array}\right]=0 \end{array} \]</p> <p>비록 모든 벡터는 그의 꼬리가 원점에 있는 벡터와 같을지라도 원점으로 이동하지 않고 그들을 다룰 수 있다는 것은 종종 우리를 편리하게 한다. $ A $의 좌표가 $ \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) $ 이고 $ B $의 좌표가 $ \left(b_{1}, b_{2}, h_{3}\right) $인 벡터 $ \mathrm{AB} $를 고려하자, 그림 3.16에서 보듯이 $ \mathrm{OA}+\mathrm{AB}=\mathrm{OB} $ 이므로 $ \begin{aligned} \mathrm{AB}=\mathrm{CB}-\mathrm{OA} &=\left[\begin{array}{lll}b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}b_{1}-a_{1} & b_{2}-a_{2} & b_{3}-a_{3}\end{array}\right] \end{aligned} $ 따라서 벡터 $ \mathrm{AB} $의 대수적인 표현은 $ B $의 좌표에서 $ A $의 좌표를 빼서 얻는다.</p> <h2>모듈러 연산</h2> <p>이진벡터들에 대하여 행한 것들을 그의 구성원이 $ k \geq 2 $에 대히여 유한집합 $ \{0,1,2, \cdots, k\} $에서 취한 벡터들로, 일반화하는 것이 가능하다. 따라서 이진개념의 연산을 확장하여야 한다.</p> <p>간단한 예제 정수 모듈러 3은 아래 주어진 덧셈과 곱의 연산을 갖는 집합 $ \mathbb{Z}_{3}=\{0,1,2\} $로 구성한다.</p> <p>각 덧셈과 곱셈의 결과는 집합 $ \{0,1,2\} $에 속함을 관찰하자. 이것을 $ \mathbb{Z}_{3} $ 는 덧셈과 곱셈의 연산에 관해 닫혀있다라고 한다. 정수 모듈로 3은 어떤 수를 3으로 나눈 나머지이다. 즉 0, 1또는 2가 된다.</p> <p>예제 3 3458은 $ \mathbb{Z}_{3} $의 어떤 수와 같은가?</p> <p>풀이 이것은 3458을 3으로 나누면 나머지가 얼마 인가를 묻는 것과 같다. 따라서 3458을 3으로 나누면 몫이 1182이고 나머지가 2이므로 $ 3458=3 \cdot 1182+2 $을 쓸 수 있으며 3458은 $ \mathbb{Z}_{3} $의 2와 같다.</p> <p>추상대수학과 정수론에서 이 개념을 아주 자세히 다루며 $ 3458=2(\bmod 3) $ 또는 $ 3458=2(\bmod 3) $라 쓴다. $ \left({ }^{\prime}{ }^{\prime}{ }^{\prime}\right. $을 합동이라 한다.)</p> <p>예제 4 $ \mathbb{Z}_{3} $에서 $ 2+2+1+2 $를 계산하라.</p> <p>풀이 앞의 예제와 같은 아이디어를 사용한다. 통상적인 합은 7이므로 몫은 2이고 나머지가 1이다. 따라서 $ \mathbb{Z}_{3} $에서 $ 2+2+1+2=1 $이다. $ \mathbb{Z}_{3} $에서 이 아디이어를 벡터로 확장하는 것은 직설적이다.</p> <p>간단한 예제 $ \mathbb{Z}_{3}{ }^{5} $에서 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lllll}2 & 2 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]^{T} $이고 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lllll}1 & 2 & 2 & 2 & 1\end{array}\right]^{T} $라 하면 \[\begin{aligned}\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &=2.1+2.2+0.2+1.2+2.1 \\&=2+1+0+2+2 \\ &=1\end{aligned}\]</p> <p>$ \mathbb{Z}_{3}{ }^{5} $에 있는 벡터들은 길이 5의 3을 기수로 하는 벡터(ternary vector)라 한다. 일반적으로 정수 모듈러 $ m $의 집합 $ \mathbb{Z}_{m}=\{0,1,2, \cdots, m-1\} $이고 길이가 $ n $이고 $ m $을 기수로하는 벡터를 $ \mathbb{Z}_{m}{ }^{n} $으로 표기한다. $ n $ 을 기수로 하는 벡터들을 사용하는 코드들은 m-ary 코드라 한다. 다음 예제는 3을 기수로 하는 코드들의 예제 2의 직접적인 확장이다.</p> <p>예제 5 $ \mathbb{B}=\left[\begin{array}{llll}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}\end{array}\right] $을 $ \mathbb{Z}_{3}{ }^{n} $의 벡터라 하자. 그러면 확인숫자코드는 확인숫자 $ d $가 $ \mathbf{1} \cdot \mathbf{v}=0 $을 만족하도록 선택한 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{llll}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n} d\end{array}\right] $로 정의한다. 즉, 확인숫자코드는 $ b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}+d=0 $ 을 만족한다. 예를 들면 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lllll}2 & 2 & 0 & 1 & 2\end{array}\right] $를 고려하자. 성분들의 합은 $ 2+2+0+1+2=1 $이므로 확인숫자는 $ 2 (1+2=0 $이므로)가 되어야 한다. 그러므로 관련된 코드벡터는 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{llllll}2 & 2 & 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right] $</p> <p>단순 확인숫자코드가 단일오류를 발견하는 반면 두 개의 인접한 성분의 우연한 교환이나 교차 같은 흔히 발생하는 다른 오류를 추적하는 것 또한 중요하다. 그와 같은 목적을 위하여 다른 형태의 확인숫자코드들이 설계되었다. 이러한 많은 것들은 확인벡터 1을 몇 개의 다른 조심스럽게 선택한 벡터 $c$로 바꾼다.</p> <p>예제 6 UPC(The Universal Product Code)코드는 많은 형태의 상품에서 발견되는 바코드와 관련이 있는 코드이다. 상점의 계산대에서 레이저에 의해 스캔된 흑백 바는 길이 12의 $ 10-a r y $ 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lllll}1_{1} & \mathrm{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{11} & d\end{array}\right]^{T} $에 대응한다. 처음 11 성분은 제조사와 상품정보를 제공하는 $ \mathbb{Z}_{10}^{11} $의 벡터를 형성한다. 마지막 성분 $ d $는 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{u}=0 \in \mathbb{Z}_{10} $을 만족하도록 선택한 확인숫자이다. 여기서 확인벡터 $ \mathbf{c} $는 벡터 $ \left[\begin{array}{llllllllllll}3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1\end{array}\right]^{T} $</p> <p>즉 재배열하면 $ 3\left(\mathbf{u}_{1}+\mathbf{u}_{3}+\mathbf{u}_{5}+\mathbf{u}_{7}+\mathbf{u}_{9}+\mathbf{u}_{11}\right)+\left(\mathbf{u}_{2}+\mathbf{u}_{4}+\mathbf{u}_{6}+\mathbf{u}_{8}+\mathbf{u}_{10}\right)+d=0 $ 여기서 $ d $는 확인숫자이다. 즉 확인숫자는 이 식의 오른쪽이 10의 배수가 되도록 선택한다.</p> <p>그림 3.44에 보여준 UPC에 대하여 $ \mathbb{Z}_{10} $에서 모든 계산을 실행하여 확인숫자가 6임을 결정할 수 있다.</p> <p>$ \begin{aligned} \mathbf{c} \cdot \mathbf{u} &=3.0+7+3.4+9+3.2+7+3.0+2+3.0+9+3.4 \\ &=3(0+4+2+0+0+4)+(7+9+7+2+9)+d \\ &=3 \cdot(0)+4+d \\ &=4+d \end{aligned} $</p> <p>따라서 $ d $는 6이 되어야 한다. (이 예제에서 확인숫자를 생각하는 다른 방법은 $ \mathbf{c} \cdot \mathbf{u} $가 10의 배수가 되도록 선택하는 것이다.</p> <p>UPS 코드는 모든 단일오류들과 인접성분에 있는 대부분의 치환오류들을 발견할 것이다. 이를 보기 위해 앞 예제의 UPC가 $ \mathbf{u}^{\prime}=\left[\begin{array}{llllllllllll}0 & 7 & 4 & 2 & 9 & 7 & 0 & 2 & 0 & 9 & 4 & 6\end{array}\right] $와 같이 잘못 쓰였다고 가정하자. 4번째와 5번째 성분이 바뀌었다. 확인벡터를 적용했을 때 오류가 있었다는 사실을 알리는 $ \mathrm{c} \cdot \mathrm{u}^{\prime} \neq 0 $을 가질 것 이다.</p> <h1>3.7 직교사영</h1> <p>$ \mathbb{R}^{2} $에서 원점을 지나는 직선 위로의 점의 직교사영은 $ \mathbb{R}^{n} $에서 중요한 유사성을 가지고 있다. $ \mathbb{R}^{n} $에서 벡터 $ \mathbf{y} $와 부분공간 $ W $가 주어졌다면 $ W $에는 다음을 만족하는 $ \hat{\mathbf{y}} $가 있다. 그림 3.33을 보라.</p> <ol type=a start=1><li>$ \hat{\mathbf{y}} $은 $ \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}} $ 이 $ W $ 에 직교하는 $ W $ 안에 있는 유일한 벡터이다.</li> <li>$ \hat{\mathbf{y}} $은 $ \mathbf{y} $에 가장 가까운 $ W $ 안에 있는 유일한 벡터이다.</li></ol> <p>첫 정리를 준비하기 위해 벡터 $ \mathrm{y} $를 $ \mathbb{R}^{n} $의 기저벡터 $ \mathrm{u}_{1}, \cdots, \mathrm{u}_{n} $의 일차결합으로 쓴다면 $ \mathrm{y} $에 대한 합에서 항들을 다음과 같이 두 부분으로 분류하여 쓸 수 있다.</p> <p>$ \mathbf{y}=\mathbf{z}_{1}+\mathbf{z}_{2} $</p> <p>여기서 $ \mathrm{z}_{1} $은 몇 개의 $ \mathrm{u}_{\mathrm{i}} $의 일차결합이고 $ \mathrm{z}_{2} $은 나머지 $ \mathrm{u}_{\mathrm{i}} $의 일차결합이다. 이 아이디어는 $ \left\{\mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{n}\right\} $이 직교기저일 때 특히 유용하다.</p> <p>예제 1 $ \left\{\mathrm{u}_{1}, \cdots, \mathrm{u}_{5}\right\} $ 가 $ \mathbb{R}^{5} $ 에 대한 직교기저이고 \[\mathbf{y}=c_{1} \mathbf{u}_{1}+\cdots+c_{5} \mathbf{u}_{5}\] 이라 하자. 부분공간 $ W=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $을 고려하여 $ \mathbf{y} $를 $ W $안에 있는 벡터 $ \mathrm{z}_{1} $의 합과 $ W^{\perp} $에 있는 벡터 $ \mathrm{z}_{2} $의 합으로 써라 $ \left(W^{\perp}\right. $는 부분공간 $ W $에 직교 하는 모든 벡터들의 집합이다).</p> <p>풀이 $ \mathrm{y} $를 다음과 같이 쓰자.</p> <p>$ \mathbf{y}=c_{1} \mathbf{u}_{1}+c_{2} \mathbf{u}_{2}+c_{3} \mathbf{u}_{3}+c_{4} \mathbf{u}_{4}+c_{5} \mathbf{u}_{5} $</p> <p>여기서 $ \mathbf{z}_{1}=c_{1} \mathbf{u}_{1}+c_{1} \mathbf{u}_{2} $은 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}\right\} $에 있고 $ \mathbf{z}_{2}=c_{3} \mathbf{u}_{5}+c_{4} \mathbf{u}_{4}+c_{5} \mathbf{u}_{5} $은 $ \operatorname{Span}\left\{\mathbf{u}_{3}, \mathbf{u}_{4}, \mathbf{u}_{5}\right\} $에 있다.</p> <p>$ \mathrm{z}_{2} $가 $ W^{\perp} $에 있다는 것을 보이기 위해 $ \mathrm{z}_{2} $가 $ W $의 기저 $ \left\{\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}\right\} $에 있는 벡터에 수직임을 보이는 것으로 충분하다. 내적에 대한 성질들을 이용하여 \[\begin{aligned}\mathbf{z}_{2} \cdot \mathbf{u}_{1} &=\left(c_{3} \mathbf{u}_{3}+c_{4} \mathbf{u}_{4}+c_{5} \mathbf{u}_{5}\right) \cdot \mathbf{u}_{1} \\&=c_{3} \mathbf{u}_{3} \cdot \mathbf{u}_{1}+c_{1} \mathbf{u}_{4} \cdot \mathbf{u}_{1}+c_{5} \mathbf{u}_{5} \quad \mathbf{u}_{1} \\&=0\end{aligned}\]</p> <p>왜냐 하면 $ \mathrm{u}_{1} $은 $ \mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{4} $와 $ \mathrm{u}_{5} $에 수직이기 때문이다. 유사하게 $ \mathrm{z}_{2} \cdot \mathrm{u}_{2}=0 $ 임을 보일 수 있다. 따라서 $ \mathrm{z}_{2} $ 는 $ W^{\perp} $ 에 있다.</p> <p>다음 정리는 예제 1에서의 분해 $ \mathrm{y}=\mathrm{z}_{1}+\mathrm{z}_{2} $가 $ \mathbb{R}^{n} $의 직교기저를 갖지 않고 계산될 수 있음을 보여준다. $ W $의 직교기저만으로 충분하다.</p> <p>정리 3.36 직교분해 정리 $ W $를 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간이라 하자. 그러면 $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 각 $ \mathrm{y} $는 다음 형태로 유일하게 쓸수 있다.<p>$ y=\hat{y}+z $<caption>(1)</caption></p>여기서 $ \hat{\mathrm{y}} $은 $ W $ 에 있고 $ \mathrm{z} $는 $ W $에 있다. 사실상 $ \left\{\mathrm{u}_{1}, \cdots, \mathrm{u}_{p}\right\} $ 이 $ W $의 어느 한 직교기저라면 $ \hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{1}}{\mathbf{u}_{1} \cdot \mathbf{u}_{1}} \mathbf{u}_{1}+\cdots+\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}_{p}}{\mathbf{u}_{p} \cdot \mathbf{u}_{p}} \mathbf{u}_{p} $<caption>(2)</caption>이고 $ \mathrm{z}=\mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $</p> <p>(1)의 벡터 $ \hat{\mathbf{y}} $는 $ W $ 위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영이라 하며 종종 $ \operatorname{proj}_{w} \mathrm{y} $로 표기한다. 그림 3.34를 보라. $ W $가 1차원 부분공간이면 $ \hat{\mathrm{y}} $에 대한 공식은 3.6절의 공식과 같다.</p> <p>분해 (1)의 유인한 표현에서 직교사영 $ \hat{\mathbf{y}} $가 (2)에서 사용한 특정한 기저에 의존하는 것이 아니라 오직 $ W $에 의존한다는 것을 보여준다.</p> <p>예제 2 $ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r}2 \\ 5 \\ -1\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] $이고 $ \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $이라 하자. $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}\right\} $가 $ V=\operatorname{sp} \circ n\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}\right\} $에 대한 직교기저임을 관찰하라. $ \mathrm{y} $를 $ V $에 있는 벡터와 $ V $에 직교하는 벡터의 합으로 써라.</p> <p>풀이 $ V $ 로의 $ \mathrm{y} $ 의 직교사영은 $ \hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathrm{v}_{1}}{\mathrm{v}_{1} \cdot \mathrm{v}_{1}} \mathbf{v}_{1}+\frac{\mathrm{y} \cdot \mathrm{v}_{2}}{\mathrm{v}_{2} \cdot \mathrm{v}_{2}} \mathbf{v}_{2} $ $ =\frac{9}{30}\left[\begin{array}{r}2 \\ 5 \\ -1\end{array}\right]+\frac{3}{6}\left[\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2 / 5 \\ 2 \\ 1 / 5\end{array}\right] $ 또한 $ \mathbf{y}-\mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-2 / 5 \\ 2 \\ 1 / 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7 / 5 \\ 0 \\ 14 / 5\end{array}\right] $</p> <p>정리 3.36에 따르면 $ \mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $는 확실이 $ V^{\perp} $에 있다. 이를 확인하기 위해서 $ \mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $ 이 $ \mathrm{u}_{1} $과 $ \mathrm{u}_{2} $에 모두 수직이므로 $ V $의 모든 벡터에 대하여 수직임을 보이면 된다. $ y $의 바람직한 분해는 $ \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-2 / 5 \\ 2 \\ 1 / 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7 / 5 \\ 0 \\ 14 / 5\end{array}\right] $</p> <h1>3.5 기저와 차원</h1> <p>$ \mathbb{R}^{n} $의 부분집합 $ V $를 생성하는 벡터들이 일차독립이라면 공간 $ W $에 있는 모든 벡터들은 생성벡터들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다는 것을 앞 절에서 보았다. 벡터공간에 대한 일차독립인 생성집합을 구할 수 있다면 공간을 다루는 많은 문제들을 단순화시킬 수 있다. 그와 같은 생성집합을 구하는 것이 좌표계를 부분공간 $ W $로 표현 하는 효과를 준다는 것을 볼 것이다.</p> <p>정의 3.19 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ V $ 의 기저는 $ V $ 를 생성하는 일차독립인 벡터들의 집합이다.</p> <p>앞 절의 초기에 논의한 내용을 다음 정리로 요약한다.</p> <p>정리 3.20 벡터 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r}\right\} $가 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ V $의 기저를 형성하면 $ V $에 있는 모든 벡터들을 $ \mathrm{v}_{\mathrm{i}}(i=1,2, \cdots, r) $들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다. 역으로 $ V $에 있는 모든 벡터를 $ \mathrm{v}_{\mathrm{i}} $들의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있다면 벡터 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r}\right\} $은 $ \mathbb{P}_{2}^{n} $의 부분공간 $ V $의 기저를 형성한다.</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $의 기저가 부분공간 $ V $의 좌표계를 형성하는 방법을 다음 정의로 기술한다.</p> <p>정의 3.21 집합 $ B=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{1}\right\} $ 이 부분공간 $ V $ 의 기저이고 \[\mathbf{u}=a_{1} \mathbf{v}_{1}+\mathbf{a}_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+\mathbf{a}\mathbf{v} .\]이 $ V $에 있는 벡터라면 유일하게 결정되는 스칼라 $ a_{i}(i=1,2, \cdots, r) $를 기저 $ B $에 관련된 $ \mathbf{v} \의 좌표(간단히, \( B $-좌표라고 함)라 하고 $ [\mathbf{v}]_{B}=\left[a_{1} a_{2} \cdots a_{r}\right]^{T} $로 표기한다.</p> <p>일반적으로 주어진 기저에 관한 벡터의 좌표를 구하는 것은 연립방정식의 풀이와 관계가 있다. 정리 3.20에 따르면 연립방정식은 유일한 해를 갖는다. 따라서 연립방정식은 가역인 계수행렬을 갖는다.</p> <p>주어진 벡터들의 집합이 부분공간 $ V $에 대한 기저인지를 확인하기 위해 보통 정리 3.20의 역 부분을 사용하는데 그것은 연립방정식이 모든 가능한 오른쪽 부분에 대하여 유일한 해를 가진다는 것을 보여준다.</p> <p>예제 1 벡터 $ \mathbf{e}_{1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right], \mathbf{e}_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right] $과 $ \mathbf{e}_{3}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1\end{array}\right] $의 집합 $ S=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $는 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저이다. 왜냐하면 모든 $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} $는 $ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} $로 아래와 같이 유일하게 표현될 수 있기 때문이다.</p> <p>$ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right]=x_{1} \mathbf{e}_{1}+\mathrm{x}_{2} \mathbf{e}_{2}+\mathrm{x}_{3} \mathbf{e}_{3} $</p> <p>$ S $를 $ \mathbb{R}^{3} $의 표준기저(standard basis)라고 한다. 일반적으로 $ \mathbb{R}^{n} $의 표준기저는 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \cdots, \mathbf{e}_{n}\right\} $, 여기서 $ \mathbf{e}_{\mathrm{i}} $는 $ i $번째 원소가 1이고 나머지는 모두 0인 벡터이다.</p> <p>예제 1에서 보듯이 벡터공간의 기저는 유일하지 않다. 그러나 기저를 이루는 벡터의 개수는 항상 동일하다. 이 수를 벡터공간의 차원으로 정의한다.</p> <p>예제 2 $ B=\left\{\mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\ 3 \\ -2\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{r}-3 \\ -12 \\ 10\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{r}-2 \\ -6 \\ 5\end{array}\right]\right\} $이 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저임을 보이고 $ \mathbf{e}_{1} $의 $ B-$좌표를 구하라.</p> <p>풀이 $ B $가 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저임을 보이기 위해 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 모든 벡터는 $ \mathrm{u}_{i}(i=1,2,3) $의 일차결합으로 유일하게 표현할 수 있음을 보일 것이다. 따라서 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}a \\ b \\ c\end{array}\right] $를 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 임의의 벡터라 하고 $ x_{1} \mathbf{u} \cdot+x_{2} \mathbf{u}_{2}+x_{3} \mathbf{u}_{3}=\mathbf{v} $를 만족하는 $ x_{i}(i=1, 2, 3) $를 구하여야 한다. 이 벡터방정식은 $ x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}=a $, $ 3 x_{1}-12 x_{2}-6 x_{3}=b $, $ -2 x_{1}+10 x_{2}+5 x_{3}=c$ 와 동치이다. 연립방정식의 행렬형태는 $ A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -2 \\ 3 & -12 & -6 \\ -2 & 10 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1} \\ \mathrm{x}_{2} \\ \mathrm{x}_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\mathrm{a} \\ \mathrm{b} \\ \mathrm{c}\end{array}\right]=\mathrm{v} $ 벡터 $ \mathrm{u}_{i}(i=1,2,3) $는 $ A $의 열들임에 유의하라. 행감소를 실행하면 $ \left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -2 & 1 \\ 3 & -12 & -6 & 0 \\ -2 & 10 & 5 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & -0 & -3 \\ 0 & 4 & 1 & 2\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1 & -3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 1 & 2\end{array}\right] $ $ \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 6\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lllr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right] $ 계수행렬 $ A $가 정칙임을 보여준다. 이것은 또한 $ \mathrm{v}=\mathrm{e}_{1} $인 경우에 연립방정식을 푼 것과 같다. $ A^{-1} $가 존재함으로 $ A \mathrm{x}=\mathrm{v} $는 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 모든 $ \mathrm{v} $에 대하여 유일 한 해를 갖는다. 따라서 정리 3.21에 의해 $ B $는 $ R^{3} $의 기저이다. 위의 행감소에 의해 $ \mathrm{e}_{1}=\mathrm{u}_{2}-2 \mathbf{u}_{3} $이므로 $ \mathrm{e}_{1} $의 $ B-$좌표는 $ \left[\mathrm{e}_{1}\right]_{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & -2\end{array}\right]^{T} $이다.</p> <p>예제 4 다음 행렬 $ A $의 영공간 $ N(A) $과 열공간 $ \operatorname{Col}(A) $의 기저를 구하여라.</p> <p>$ A=\left[\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & -3 \\ -2 & 2 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 3 & 1\end{array}\right] $</p> <p>풀이 $ N(A) $는 동차방정식 $ A \mathrm{x}=0 $의 모든 해를 포함하므로 연립방정식의 일반해를 구할 필요가 있다. 행감소로부터 \[[A \mid 0]=\left[\begin{array}{rrrrr}3 & -1 & -1 & -3 & 0 \\-2 & 2 & -2 & 2 & 0 \\-1 & -1 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}0 & -4 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -8 & 0 & 0 \\-1 & -1 & 3 & 1 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]=[B \mid 0]\]</p> <p>$ \mathrm{x} $가 $ N(A) $에 있을 필요충분조건은 $ B \mathrm{x}=0 $이다. 즉 \[\begin{array}{r}x_{1}-x_{3}-x_{4}=0 \\x_{2}-2 x_{3}=0\end{array}\] 이 연립방정식의 일반적인 해는 \[\mathrm{x}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}_{1}+\mathrm{c}_{2} \\2 \mathrm{c}_{1} \\ \mathrm{c}_{1} \\\mathrm{c}_{2}\end{array}\right]=\mathrm{c}_{1}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\1 \\0\end{array}\right]+\mathrm{c}_{2}\left[\begin{array}{l}1 \\0 \\0 \\1\end{array}\right]=c_{1} \mathrm{x}_{1}+\mathrm{c}_{2} \mathbf{x}_{2}\]</p> <p>여기서 $ c_{1} $과 $ c_{2} $는 임의의 스칼라이다. $ \mathrm{x}_{1} $과 $ \mathrm{x}_{2} $가 일차독립이므로 $ N(A) $의 기저를 형성한다.</p> <p>$ \operatorname{Col}(A) $의 기저를 구하기 위하여 생성집합에서 종속벡터들을 제거한다.</p> <p>$ \operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}\left\{\operatorname{Col}_{1}(A),{ } \operatorname{Col}_{2}(A), \operatorname{Col}_{3}(A), \operatorname{Col}_{4}(A)\right\} $</p> <p>$ \mathrm{x}_{1} $은 동차방정식 $ A \mathrm{x}=0 $의 해이므로 $ A \mathrm{x} $가 $ A $의 일차결합이라는 사실에서 \[\operatorname{Col}_{1}(A)+2 \mathrm{Col}_{2}(A)+\mathrm{Col}_{3}(A)=0\]</p> <p>따라서 $ \mathrm{Col}_{3}(A)=\mathrm{Col}_{1}(A)+2 \mathrm{Col}_{2}(A) $이므로 $ \mathrm{Col}_{3}(A) $는 $ \mathrm{Col}(A) $에서 제거할 수 있다. 그러므로 \[\operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}\left\{\operatorname{Col}_{1}(A),\operatorname{Col}_{2}(A), \operatorname{Col}_{4}(A)\right\}\]</p> <p>유사하게 $ \mathrm{x}_{2} $은 동차방정식 $ A \mathrm{x}=0 $의 해이므로 $ A \mathrm{x} $가 $ A $의 일차결합이라는 사실에서 $ \operatorname{Col}_{1}(A)+\operatorname{Col}_{4}(A)=0 $</p> <p>따라서 $ \operatorname{Col}_{4}(A)=-\operatorname{Col}_{1}(A) $이므로 $ \operatorname{Col}_{4}(A) $는 $ \operatorname{Col}(A) $에서 제거할 수 있다. 그러므로 \[\operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}\left\{\operatorname{Col}_{1}(A),\operatorname{Col}_{2}(A)\right\}\]</p> <p>감소된 생성집합의 벡터들은 명백하게 일차독립이므로 그들은 $ \operatorname{Col}(\mathrm{A}) $의 기저를 형성한다.</p> <p>1장에서 연립방정식 $ A X=B $의 일반해에서 자유변수의 수는 사다리꼴에서 0이 아닌 행의 수만큼 적은 미지수의 개수임을 안다. 해에서 자유변수의 수는 $ \operatorname{dim}(N(A)) $임을 관찰하여 이 결과를 이 장에서 소개한 개념으로 해석하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 3.25 $ A $가 $ n \times n $ 행렬이라면 $ \operatorname{dim}(N(A))=n-r $이다. 여기서 $ r $은 $ A $에 대한 사다리꼴에서 0이 아닌 행들의 수이다.</p> <p>$ A $에 대한 사다리꼴에서 0이 아닌 행들의 수는 종종 계수 $ (\operatorname{rank}) $라 하며 $ \operatorname{rank}(A) $로 표기한다. 정리 3.25를 다시 구성하면 $ \operatorname{dim}(N(A))+\operatorname{rank}(A)= A$의 열의 수</p> <p>행렬의 계수를 계산하는 정상적인 방법은 행렬을 사다리꼴로 행감소하고 0이 아닌 행들의 수를 세는 것이다. 예제 4에 있는 행렬 $ A $에 대하여 사다리꼴 $ B $는 두 개의 0이 아닌 행을 가지므로 $ \operatorname{rank}(A)=2 $ 임을 본다. $ A $의 열의 수는 4이므로 $ \operatorname{dim}(N(A))=4 -2=2 $ 이다. 이것은 동차방정식 $ A \mathrm{x}=0 $의 일반해에서 임의의 상수의 수이다.</p> <p>위의 결과들과 앞 장들을 요약하면 다음과 같은 정리를 얻는다.</p> <p>정리 3.26 $ n \times n $ 행렬 $ A $에 대하여 다음 명제들은 동치이다.<ol type=1 start=1><li>$ A $는 정칙행렬이다.</li> <li>$ A $는 역행렬을 갖는다.</li> <li>$ N(A)=\{\mathbf{0}\} $</li> <li>$ A $는 $ I $와 행동치이다.</li> <li>$ A $는 기본행렬들의 곱이다.</li> <li>$ \operatorname{det}(A) \neq 0 $</li> <li>$ \operatorname{rank}(A)=n $</li> <li>$ A $의 열들은 일차독립이다.</li> <li>$ A \mathbf{x}=\mathrm{b} $은 모든 $ \mathrm{b} $에 대하여 유일한 해를 갖는다.</li></ol></p> <h2>직교사영</h2> <p>$ \mathbb{R}^{n} $의 0이 아닌 벡터 $ \mathbf{u} $가 주어졌다면, $ \mathbb{R}^{n} $에 있는 임의의 벡터 $ \mathrm{y} $를, 하나는 $ \mathrm{u} $의 상수곱이고 다른 하나는 $ \mathbf{u} $에 직교하는, 두 벡터의 합으로 분해하는 문제를 고려하자. 그것을 다음과 같이 쓴다.</p> <p>$ \mathrm{y}=\hat{\mathrm{y}}+\mathrm{z} $<caption>(1)</caption></p> <p>여기서, 임의의 스칼라 $ \alpha $에 대하여, $ \hat{\mathrm{y}}=\alpha \mathrm{1} $이고 $ \mathrm{z} $는 $ \mathrm{u} $에 직교하는 어느 한 벡터이다. 그림 3.29를 보라. 주어진 스칼라 $ \alpha $에 대하여, (1)을 만족하도록 $ \mathrm{z}=\mathrm{y}-\alpha \mathbf{u} $라 하자. 그러면 $ \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}} $이 $ \mathbf{u} $에 수직일 필요충분조건은 \[\left.0=( \mathbf{y}-\alpha \mathbf{u}\right) \cdot \mathbf{u}=\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}-(\alpha \mathbf{u}) \cdot \mathbf{u}=\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}-\alpha(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u})\]</p> <p>즉 $\mathbf{u} $에 수직인 $ \mathrm{z} $ 가 (1)을 만족할 필요충분조건은 $ \alpha=\frac{\mathrm{y} \cdot \mathrm{u}}{\mathrm{u} \cdot \mathrm{u}} $ 이고 $ \hat{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{y} \cdot \mathrm{u}}{\mathrm{u} \cdot \mathrm{u}} \mathrm{u} $ 이다. 다음 식은 뒤에서 유용하게 사용될 것이다.</p> <p>$ \hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathrm{y} \cdot \mathrm{u}}{\mathrm{u} \cdot \mathrm{u}} \mathbf{u} $는 $ \mathbf{u} $위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영이며 $ \mathrm{z}=\mathrm{y}-\frac{\mathrm{y} \cdot \mathrm{u}}{\mathrm{u} \cdot \mathrm{u}} \mathbf{u} $는 $ \mathrm{u} $에 직교하는 $ \mathrm{y} $의 어느 한 성분이다.<caption>(2)</caption></p> <p>$ c(\neq 0) $가 스칼라이고 $ \mathrm{u} $를 $ \hat{\mathrm{y}} $에 있는 $ c \mathrm{u} $로 바꾼다면 $ c \mathrm{u} $위로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영은 $ \mathrm{u} $로의 $ \mathbf{y} $의 직교사영과 정확히 같다. 따라서 이 사영은 부분공간 $ \operatorname{Span}\{\mathbf{u}\} $에 의해 결정되며 $ \hat{\mathbf{y}} $을 $ \operatorname{Span}\{\mathbf{u}\} $로의 직교사영이라 할 수 있다.</p> <p>예제 3 $ \mathrm{y}=\left[\begin{array}{l}7 \\ 6\end{array}\right] $ 이고 $ \mathrm{u}=\left[\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right] $ 라 하자. $ \mathrm{u} $로의 $ \mathrm{y} $의 직교사영을 구하라. 그 다음 $ \mathrm{y} $를 하나는 $ \operatorname{Span}\{\mathbf{u}\} $ 있고 다른 하나는 $ \mathbf{u} $에 직교하는 두 직교벡터의 합으로 써라.</p> <p>풀이 우선 $ \mathbf{y} \cdot \mathbf{u} $와 $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} $를 계산하자. $ \mathbf{y} \cdot \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}7 \\ 6\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right]=40 $ $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right]=20 $</p> <p>$ \mathrm{u} $ 로의 $ \mathrm{y} $ 의 직교사영은 \[\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} \mathbf{u}=\frac{40}{20} \mathbf{u}=2\left[\begin{array}{l}4 \\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8 \\4\end{array}\right]\] 이고, $ \mathrm{u} $에 직교하는 $ \mathrm{y} $의 성분은 $ \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{l}7 \\ 6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}8 \\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right] $ 이므로, 두 벡터의 합은 $ \mathrm{y} $ 이다. 즉, $ \left[\begin{array}{l}7 \\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8 \\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right] $$ \mathrm{y} $$ \hat{y} $ $ y-\hat{y} $ $ \mathrm{y} $ 의 분해는 그림 3.30에서 입증된다.</p> <p>유의 위의 계산이 옳다면 $ \{\hat{\mathbf{y}}, \mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\} $은 직교집합일 것이다. 확인을 위해 계산 하면 \[\hat{\mathbf{y}} \cdot(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})=\left[\begin{array}{l}8 \\4 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right]=0\]</p> <p>그림 3.30의 $ \mathrm{y} $와 $ \hat{\mathbf{y}} $사이의 선분은 $ L $에 수직이므로, $ \hat{\mathrm{y}} $을 작도하여 $ \hat{\mathbf{y}} $ 로 식별되는 점은 $ L $에서 $ \mathrm{y} $까지 가장 가까운 점이다.</p> <p>예제 4 그림 3.30에서 $ \mathrm{y} $에서 $ L $까지 거리를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \mathrm{y} $에서 $ L $까지 거리는 $ \mathrm{y} $에서 직교사영 $ \hat{\mathrm{y}} $까지 수직선분의 길이이다. 이 길이는 $ \mathrm{y}-\hat{\mathrm{y}} $의 길이와 같다. 따라서 거리는 $ \\|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}\\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} $</p> <p>정리 3.10 피타고라스 정리 두 벡터 $ u $와 $ \mathbf{v} $가 직교할 필요충분조건은 $ \\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\\|^{2}=\\|\mathbf{u}\\|^{2}+\\|\mathbf{v}\\|^{2} $이다.</p> <p>$ \mathbb{R}^{m} $또는 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분집합을 고려할 많은 상황이 있다. 특히 관심을 끄는 것은 연립방정식 $ A \mathrm{x}=\mathrm{b} $와 연관된 부분집합이다. $ A $가 $ m \times n $ 행렬이라면, 특히 다음 부분집합이 관심의 대상이 된다.</p> <ol type=1 start=1><li>해집합 $ \{\mathbf{x} \mid A \mathbf{x}=\mathbf{b}\} \subset \mathbb{R}^{n} $</li> <li>영공간 $ \{\mathbf{x} \mid A \mathbf{x}=0\} \subset \mathbb{R}^{n} $</li> <li>열공간 $ \{\mathrm{b} \mid A \mathrm{x}=\mathrm{b} $ 가 해를 가짐 $ \} \subset \mathbb{R}^{m} $</li> <li>고유공간 $ \{\mathbf{y} \mid A \mathbf{y}=\lambda \mathbf{y}, \lambda $는 고정 된 실수 값 $ \} \subset \mathbb{R}^{n} $</li></ol> <p>$ \mathbb{R}^{3} $의 부분집합의 예로 다음을 고려하자. $ W=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ 0\end{array}\right]\right\rfloor=\left\{\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \mid z=0\right\} $</p> <p>$ W=\mathbb{R}^{2} $라고 말하는 것은 옳지 않지만 $ W $와 $ \mathbb{R}^{2} $가 거의 같다는 것은 기하적으로 명백하다. 사실상 $ W $는 $ \mathbb{R}^{3} $에 포함되는 $ \mathbb{R}^{2} $의 정의이다. 이 경우에 $ W $를 $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간이라 한다.</p> <p>정의 3.11 부분공간벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 공집합이 아닌 부분집합 $ W $를, $ W $가 벡터 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다면, $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간이라 한다. 즉, 임의 스칼라 $ k $에 대하여 $ \mathrm{u} $와 $ \mathbf{v} $가 $ W $에 있다면 $ \mathbf{u}+\mathbf{v} $와 $ k \mathbf{u} $도 $ W $에 있다.</p> <p>예제 3 $ W=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} \mid\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \mathbf{x}=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]\right\} $ 은 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 부분공간인가?</p> <p>풀이 연립방정식의 계수행렬은 이미 기약행사다리꼴이므로 일반해는 $ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3-2 c \\ -1+3 c \\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right] $ $ c=1 $과 $ c=2 $인 경우에 두 해 $ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right] $와 $ \mathbf{x}_{:}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ 2\end{array}\right] $ 는 집합 $ W $의 원소이다. $ \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} $가 $ W $에 있는지를 결정하기 쉬해 $ \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} $를 계산하면 $ \mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 3\end{array}\right] $ 이고 $ A\left(\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2}\right)=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}6 \\ -2 \\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 0\end{array}\right] $ 그러므로 주어진 연립방정식의 해가 아니다. 즉 집합 $ W $의 원소가 아니다. 그러므로 집합 $ W $는 벡터 덧셈 아래서 닫혀있지 않다. $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간이 아니다. 또한 $ 2 \mathrm{x} $도 $ W $에 있지 않음을 확인할 수 있다.</p> <p>예제 4 원점을 지나는 직선과 원점을 포함하는 평면은 $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간임을 보여라.</p> <p>풀이 $ W $가 원점을 지나는 직선이라면, 기하학적으로 직선 위의 두 벡터의 합은 다시 직선 위에 있고, 직선 위의 한 벡터의 스칼라 곱도 직선 위에 있다(그림 3.23). 즉 $ W $는 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀있다. 원점을 포함하는 평면도 마찬가지임을 쉽게 확인할 수 있다.</p> <p>벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $는 적어도 두 개의 자명한 부분공간, $ \mathbb{R}^{n} $와 영 벡터공간 $ \{0\} $을 갖는다. 연립방정식에 관한 중요한 문제는 첫째, 그 식이 해를 갖는가? 둘째로 해를 갖는다면 그 해집합은 어떤 성질을 갖는가이다. 이 절에서 다룰 여러 가지 부분공간의 개념은 이런 문제에 대한 더 깊은 이해를 돕는다. 2장에서 동차인 연립방정식을 행렬 곱 $ A \mathbf{x}=0 $로 쓸 수 있음을 보았다. 이 식을 만족하는 모든 해의 집합, 즉 $ A \mathbf{x}=0 $을 만족하는 모든 해 $ \mathrm{x} $의 집합은 멕터공간이 된다. 이것을 행렬 $ A $의 영공간(null space)이라고 하고 $ N(A) $로 표기한다.</p> <p>정리 3.12 $ m \times n $ 행렬 $ A $의 영공간은 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간이다.</p> <p>증명 $ A 0=0 $이므로 영벡터는 $ A $의 영공간에 속한다. 따라서 $ A $의 영공간은 공집합이 아니다. 부분공간의 두 가지 성질을 보이기 위해, $ \mathrm{x}, \mathrm{y} $가 $ A $의 영공간에 속한다고 하자. 그러면 행렬의 성질로부터 $ A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A \mathbf{x}+A \mathbf{y}=0+0=0 $ $ A_{(}(\mathbf{x})=c(A \mathbf{x})=c(\mathbf{0})=\mathbf{0} $ 이다. 따라서 $ \mathrm{x}+\mathrm{y} $와 $ c \mathrm{x} $도 $ A $의 영공간의 원소가 된다.</p> <p>예제 5 행렬 $ A $ 의 영공간을 구하라. $ A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 7 & 3\end{array}\right] $</p> <p>풀이 연립방정식 $ A \mathrm{x}=0 $ 의 첨가행렬은 $ A=\left[\begin{array}{lllll}1 & 2 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 7 & 3 & 0\end{array}\right] $</p> <p>행연산에 의해 \[A=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 2 & 3 & 0 \\0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}\right]\]</p> <p>따라서 $ \mathbf{x}=c_{1}[-2,-1,1,0]^{T}+c_{2}[-3,1,0,1]^{T}, c_{1}, c_{2} $는 스칼라</p> <p>즉 영공간은 두 열벡터 $ \left[\begin{array}{llll}-2 & -1 & 1 & 0\end{array}\right]^{T} $ 과 $ \left[\begin{array}{llll}-3 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]^{T} $의 일차결합인 집합이다.</p> <h3>행렬의 $ Q R $ 인수분해</h3> <p>$ A $가 일차독립인 열들로 구성된 $ m \times n $ 행렬 $ (m \geq n) $인 경우에 이 열들에 그람슈미트 과정을 적용하면 매우 유용한 $ A $의 인수분해를 산출한다. 그것은 정규직교열을 갖는 행렬 $ Q $와 위로삼각행렬 $ R $의 곱이다. 이것을 $ \mathrm{OR} $인수분해라 한다. 5장에서 논의할 고윳값의 수치적인 근삿값과 최소제곱근사에 응용할 수 있다.</p> <p>$ Q R $인수분해가 어떻게 야기되는지를 보기위해 $ \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \cdots, \mathrm{a}_{1} $을 일차독립인 $ A $의 열들이라 하고 $ \mathrm{q}_{1}, \cdots, \mathrm{q}_{\mathrm{n}} $을 그람슈미트 과정을 적용하여 구한 정규직교기저라 하자. 각 $ i=1, \cdots, n $에 대하여 $ W_{i}^{\prime}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \ddot{\mathbf{a}}_{i}^{\prime}\right\}=\operatorname{Span}\left\{\mathbf{q}_{1}, \mathbf{q}_{2}, \cdots, \mathbf{q}_{i}\right\} $ 임을 안다(정리 3.39). 그러므로 $ i=1, \cdots, n $ 에 대하여 \[\mathrm{a}_{\mathrm{i}}=\mathrm{r}_{1 \mathrm{i}} \mathrm{q}_{1}+\mathrm{r}_{2 \mathrm{i}} \mathbf{q}_{2}+\cdots+\mathrm{r}_{\mathrm{ii}} \mathbf{q}_{\mathrm{i}}\] 을 만족하는 스칼라 $ r_{1 i}, r_{2 i}, \cdots, r_{i i} $가 존재한다. 즉 \[\begin{aligned}\mathbf{a}_{1}=& r_{11} \mathbf{q}_{1} \\\mathbf{a}_{2}=& \mathrm{r}_{12} \mathbf{q}_{1}+r_{22} \mathbf{q}_{2} \\& \cdot \\ \mathbf{a}_{n}=& r_{1n} \mathbf{q}_{1}+r_{2n} \mathbf{q}_{2}+\cdots+r_{n n}\mathbf{q}_{n}\end{aligned}\] 이것은 행렬로 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>$ A=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}\mathbf{q}_{1} & \mathbf{q}_{2} & \cdots & \mathbf{q}_{n}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc}r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1 n} \\ 0 & r_{22} & \cdots & r_{2 n} \\ 0 & \cdots & \cdots & r_{n n}\end{array}\right]=Q R $</p> <p>명백하게 행렬 $ Q $는 정규직교인 열들로 구성된다. 또한 이 경우에 $ R $의 대각선 원소들이 모두는 0이 아니다. 이를 증명하기 위해 $ r_{i i}=0 $이면 $ \mathrm{a}_{i} $는 $ \mathrm{q}_{1}, \cdots, \mathbf{q}_{i-1} $의 일차결합이므로 $ W_{i-1} $의 원소이다. 그렇게 되면 $ \mathrm{a}_{i} $는 $ \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \cdots \mathrm{a}_{i-1} $의 일차결합이다. 그러나 이들은 일차독립이므로 이것은 불가능하다. 따라서 $ i=1, \cdots, n $에 대하여 $ i_{i i} \neq 0 $이다. $ R $이 위삼각행렬이므로 그것은 가역행렬이다. (이유는?) 이를 요약하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 3.40 $ Q R $ 인수분해 $ A $가 일차독립인 열들로 구성된 $ m \times n $ 행렬이라면 $ m \geq n $일 때 $ A $는 $ A=Q R $로 인수분해가 될 수 있다. 여기서 $ Q $는 그의 열들이 정규직교기저를 형성하는 $ m \times n $ 행렬이고 $ R $은 가역인 위삼각행렬이다.</p> <p>예제 5 $ A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] $의 $ Q R $인수분해를 구하라.</p> <p>풀이 $ A $의 열들은 예제 2에서의 벡터 $ \mathrm{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathrm{x}_{3} $이다. $ \operatorname{Col}(A)=\operatorname{Span}\left\{\mathrm{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\} $에 대한 직교기저는 그람슈미트 과정에 의해 예제 2에서 구했다.</p> <p>$ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}{ }^{\prime}=\left[\begin{array}{r}-3 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{r}0 \\ -2 / 3 \\ 1 / 3 \\ 1 / 3\end{array}\right] $</p> <p>분수를 없애기 위해 $ \mathrm{v}_{3} $에 3을 곱하여 $ \mathrm{v}_{3}{ }^{\prime}=3 \mathrm{v}_{3} $라 놓자. 그 다음 세 벡터들을 $ \mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3} $를 얻기 위해 정규화하고 이 벡터들을 $ Q $의 열들로 사용하자.</p> <p>$ Q=\left[\begin{array}{crc}1 / 2 & -3 / \sqrt{12} & 0 \\ 1 / 2 & 1 / \sqrt{12} & -2 / \sqrt{6} \\ 1 / 2 & 1 / \sqrt{12} & 1 / \sqrt{6} \\ 1 / 2 & 1 / \sqrt{12} & 1 / \sqrt{6}\end{array}\right] $</p> <p>생성에 의하면 $ Q $의 처음 $ k $개의 열은 $ \operatorname{Span}\left\{\mathrm{x}_{1}, \cdots, \mathrm{x}_{k}\right\} $의 정규직교기저이고, 어떤 $ R $에 대하여 $ A=Q R $이다. $ Q $의 열들은 정규직교이므로 $ R $을 구하기 위하여 $ Q Q^{T}=I $를 사용하라. 따라서 \[Q^{T} A=Q^{T}(Q R)=I R=R\] 이므로 $ \begin{aligned} R &=\left[\begin{array}{ccll}1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ -3 / \sqrt{12} & 1 / \sqrt{12} & 1 / \sqrt{12} & 1 / \sqrt{12} \\ 0 & -2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{6}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 / 2 & 1 \\ 0 & 3 / \sqrt{12} & 2 / \sqrt{12} \\ 0 & 0 & 1 / \sqrt{6}\end{array}\right] \end{aligned} $</p> <p>예제 2에서 3개의 벡터를 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저를 구했다. $ \mathbb{R}^{3} $의 기저중 다른 하나는 예제 1에서 보여준 표준기저 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} $이다. 두 기저에 있는 벡터들의 수는 같음에 유의하라. 일반적으로 이것이 사실인 이유는 다음 정리의 결과이다.</p> <p>정리 3.22 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k}\right\} $가 부분공간 $ V $ 의 기저라면, $ V $로부터 얻어진 $ k $개를 초과하는 벡터들은 일차종속이다.</p> <p>정리 3.22에 따르면 $ \mathbb{R}^{3} $에 있는 모든 4개의 벡터들은 일차종속이 되어야 한다. 이제 부분공간에 대하여 서로 다른 기저가 있다고 가정하자.</p> <p>$ B=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} $ 과 $ B^{\prime}=\left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{k}\right\} $</p> <p>$ n<k $이면 정리 3.22에 따라 $ B^{\prime} $은 일차종속이다. 이것은 모순이므로 $ n \geq k $이어야 한다. 유사하게 $ k<n $이라고 가정하면 $ B $가 일차종속이 된다. 따라서 $ k=n $이다. 즉 두 기저는 같은 수의 벡터들을 포함해야 한다. 다음 정리는 이러한 중요한 결과를 기술한다.</p> <p>정리 3.23 $ \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r}\right\} $이 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간 $ V $에 대한 하나의 기저라면, $ V $의 모든 다른 기저는 정확히 $ r $개의 벡터를 포함해야 한다.</p> <p>기저를 이루는 벡터의 개수는 부분공간 $ V $의 중요한 성질이다. 정리 3.23은 이 수는 기저가 선택되는 방법에 의존하지 않음을 보여준다.</p> <p>정의 3.24 부분공간 $ V $의 차원(dimension)은 $ \mathbb{R}^{n} $의 부분공간의 기저 벡터들의 수이며 $ \operatorname{dim}(V) $로 표기한다.</p> <p>명백하게 $ \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=n $이다. $ \mathbb{X}^{2} $의 부분공간 $ W $의 차원을 구하려면 그 부분공간에 대한 기저를 구해야 한다.</p> <p>예제 3 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $에서 네 개의 벡터 $ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right], \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right] $, $ \mathbf{v}_{4}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right] $는 $ \mathbb{R}^{3} $을 생성하지만 일차종속임을 보여라.</p> <p>풀이 먼저 일차종속임을 보이기 위해 \[c_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right]+c_{4}\left[\begin{array}{lll}\underline{i} & 2 & 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]\] 이라고 가정하자. 연립방정식의 첨가행렬 $ c_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right]+c_{4}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right] $ 이라고 가정하자. 연립방정식의 첨가행렬 \[\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right]\]의 행사다리꼴은 \[\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]\]</p> <p>따라서 $ c_{1}=0, c_{4}=-2 c_{4} $이고 $ c_{3}=-c_{4} $이다. $ c_{4}=-1 $이라고 하면 $ c_{2}=2, c_{3}=1 $ 이므로 \[\mathrm{v}_{4}=0 \cdot \mathrm{v}_{1}+2 \mathrm{v}_{\mathrm{L}}+\mathrm{v}_{3} .\]</p> <p>따라서 주어진 네 벡터는 일차종속이다. 이 과정에서 $ \mathrm{v}_{4} $를 제외한 세 벡터 $ \mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \mathrm{v}_{3} $은 일차독립이다.(이유는?) 따라서 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저를 형성한다. 또 $ \mathbb{R}^{3} $의 임의의 벡터 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right] $는 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} $의 일차결합으로 표현된다. 실제로 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}a & b & c\end{array}\right]=c_{1}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right]+c_{3}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1\end{array}\right] $ 이라면 $ c_{1}=a-b+c, c_{2}=b, c_{3}=c-b $ 이기 때문이다. 따라서 $ \mathbf{v} $는 $ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{4} $의 일차결합, 즉 $ \mathbf{v}=c_{1} \mathbf{v}_{1}+c_{2} \mathbf{v}_{2}+c_{3} \mathbf{v}_{3}+0 \cdot \mathbf{v}_{4} $으로 나타난다. 그러므로 주어진 네 벡터는 $ \mathbb{R}^{3} $을 생성한다.</p> <p>해석기하학의 거리공식 또는 피타고라스 정리는 벡터의 길이를 대수적으로 계산할 수 있게 한다. 그림 3.17에 보여준 것처럼 이차원에서 거리공식은 \[\\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}, \quad \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ll}u_{1} & u_{2}\end{array}\right]\] 삼차원에서는 $ \\|\mathbf{v}\\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}, \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}v_{1} & v_{2} & v_{3}\end{array}\right] $</p> <p>대수적인 표현으로부터 벡터들의 내적을 쉽게 계산한다. $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}v_{1} & v_{2} & v_{3}\end{array}\right] $ 이고 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lll}u_{1} & u_{2} & u_{3}\end{array}\right] $ 라면 $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}=v_{1} u_{1}+v_{2} u_{2}+v_{3} u_{3} $<caption>(3)</caption></p> <p>식 (3)은 코사인법칙을 이용한 결과이다. $ \mathrm{u} $와 $ \mathrm{v} $가 그림3.18에 보여준 것처럼 위치해 있다면 코사인법칙에 의하여 $ \\|\mathbf{v}-\mathbf{u}\\|^{2}=\\|\mathbf{v}\\|^{2}+\\|\mathbf{u}\\|^{2}-2\\|\mathbf{v}\\|\\|\mathbf{u}\\| \cos \theta $ 이 식에서 노름의 값을 계산하면 $ \left(v_{1}-u_{1}\right)^{2}+\left(v_{2}-u_{2}\right\rangle^{2}+\left(v_{3}-u_{3}\right)^{2} $ $ \left.=\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)+i u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)-?(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) $ 이 식을 간단히 하면 $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}=v_{1} u_{1}+v_{2} u_{2}+v_{3} u_{3} $</p> <p>식 (3)은 정의3.2보다 내적을 계산하기 위한 훨씬 더 편리한 방법을 제공한다. 이제 각도와 거리를 수반하는 많은 벡터 문제를 거리와 각도를 측정하지 않고 다룰 수 있다.</p> <p>예제 2 벡터 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right] $와 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1\end{array}\right] $ 사이의 각 $ \theta $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \\|\mathrm{u}\\|=\sqrt{5},\\|\mathrm{v}\\|=\sqrt{2} $ 이고 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{u}=1 \times 1+2 \times 1=3 $ 이므로 정의 3.2로부터 $ \cos \theta=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\|\mathbf{v}\\|\\|\mathbf{u}\\|}=\frac{3}{\sqrt{10}} $ 또는 $ \theta=18.43^{\circ} $</p> <p>예제 3 벡터 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{lll}3 & 4 & 12\end{array}\right] $ 위로의 벡터 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{lll}5 & 2 & 1\end{array}\right] $의 사영과 사영의 길이를 구하라.</p> <p>풀이 식 (3.2)로부터 $ \mathrm{v} $위로의 $ \mathrm{u} $의 사영은 $ \mathbf{w}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{u} \cdot & \mathbf{v} \\ \hline \mathbf{v} \cdot & \mathrm{v}\end{array}\right) \mathbf{v} $ 식 (3.3)에서 $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}=15+8+12=35 $ 이고 $ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=9+16+144=169 $ 따라서 $ \mathbf{w}=\frac{35}{169} \quad \mathbf{v}=-\frac{35}{169}-\left[\begin{array}{lll}3 & 4 & 12\end{array}\right] $ $ \mathrm{w} $의 길이는 $ \mathrm{v} $위로의 $ u $의 스칼라사영이다. 식 3.2로부터 $ \\|w\\|=\left(\frac{u \cdot v}{v^{\cdot} \cdot \mathbf{v}}\right)\\|v\\|=\left(\frac{u \cdot v}{v \cdot v}\right) \sqrt{v \cdot r}=\frac{u \cdot v}{\sqrt{v \cdot r}}=\frac{35}{13} $</p> <p>벡터들을 표현하기 위하여 열 행렬을 행 행렬처럼 사용할 수 있다. 사실상 대부분의 경우에 행 행렬보다는 열 행렬을 사용하는 것이 편리하다. 열 행렬보다는 행 행렬을 사용하는 유일한 이점은 공간을 덜 차지한다는 것이다. 예를 들면$ \left[\begin{array}{r}1 \\ 3 \\ -5 \\ 7 \\ 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lllll}1 & 3 & -5 & 7 & 8\end{array}\right]^{T} $ 공간을 절약하기 위하여 열벡터를 행벡터의 전치로 쓴다. 특별한 문제가 발생하지 않는 한 열벡터와 행벡터를 구별하지 않는다.</p> <p>예제 4 $ \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] $이고 $ \mathbf{v}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -3\end{array}\right] $ 일 때 $ \mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 6\end{array}\right]=a \mathbf{u}+b \mathbf{v} $ 이 성립하도록 $ a $와 $ b $를 결정하라.</p> <p>풀이 이 문제는 예제 1과 같이 기하적으로 풀 수 있다. 여기서는 더 효율적인 대수적 해법을 사용한다. 우리가 원하는 것은 $ \mathrm{au}+b \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}a+2 b \\ a-3 b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 6\end{array}\right] $ 이 식으로부터 연립방정식 $ a+2 b=1 $ $ a-3 b=6 $ 을 얻을 수 있으므로, 이를 풀면 $ a=3 $이고 $ b=-1 $이다.</p>	자연
M337-선형대수학	<h1>행렬의 대수학(Algebra)</h1> <h2>$ 2.1 $ 개요</h2> <p>이 창에서는 행렬과 그에 관련된 연산을 배을 것이다. 행렬은 다음 장에서 배우는 연립일차방성식을 푸는 방법에 새로운 지평을 열어줄 것이다. 이 밖에도 행렬의 쓰임은 구궁무진하다. 'MATRIX.' 어디서 많이 본듯한 느낌이 들 것이다. 바로 영화 '매트릭스'가 이 행렬이다. 우리가 들고 다니는 핸드폰도 행렬을 기반으로 데이터를 전송하고 전송받는다. 아쉽게도 이 책에서 거기까지 배우지 않지만, 여기에서는 행렬에 대한 중요한 기초 지식을 배워보자. 우리가 다루는 행렬들의 성분은 임의의 체 $ \mathbb { K } $ 의 원소지만 실수체(the field of real numbers) $ \mathbb { R } $ 또는 복소수체 $ \mathbb { C } $ (the field of complex numbers)의 원소로 간주해도 된다.</p> <h2>$ 2.2 $ 행렬의 덧셈과 스칼라 곱</h2> <p>$ A = \left [a_ { y y } \right ] $ 와 $ B= \left [b_ { i y } \right ] $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 하자. 두 행렬 $ A $ 와 $ B $ 의 덧셈 $ A + B $ 는 대응하는 각각의 성분은을더하는 것이다. 즉</p> <p>또한 스칼라 $ k $ 와 행렬 $ A $ 의 곱 $ k A $ 는 다음과 같이 청의텬다.</p> <p>$ A + B= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } + b_ { 11 } & a_ { 12 } + b_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } + b_ { 1 n } \\ a_ { 21 } + b_ { 21 } & a_ { 22 } + b_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } + b_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } + b_ { m 1 } & a_ { m 2 } + b_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } + b_ { m n } \end {array} \right ] $</p> <p>$ k A= \left [ \begin {array} { cccc } k a_ { 11 } & k a_ { 12 } & \cdots & k a_ { 1 n } \\ k a_ { 21 } & k a_ { 22 } & \cdots & k a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ k a_ { m 1 } & k a_ { m 2 } & \cdots & k a_ { m n } \end {array} \right ] $.</p> <p>$ -A $ 는 행혈 $ A $ 와 스칼라 $ (-1) $ 의 곱으로 성의하고 핼심 $ A-B $ 는 $ A + (-B) $로 청의한다. 즉</p> <p>$ -A=(-1) A, A-B=A + (-B) $</p> <p>$ -A $ 를 행렬 $ A $ 의 음(negative)이라 하고 $ A-B $ 를 $ A $ 와 $ B $ 의 차이(difference) 라고 한다. 크기가 다른 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않는다.</p>	자연
미분적분학_적분법	<p>예제 $5 $ $ f(x)=\|x-2\| $일 때 $ \int_ { 0 } ^ { 4 } f(x) d x $를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \|x-2\|= \left \{\begin {array} { ll } 2-x, & 0 \leq x<2 \\ x-2, & 2 \leq x \leq 4 \end {array} \right . $이므로 정리 $ 4-2-3 $의 ( $5 $)에 의하여<p>$ \int_ { 0 } ^ { 4 } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } f(x) d x + \int_ { 2 } ^ { 4 } f(x) d x = \int_ { 0 } ^ { 2 } (2-x) d x + \int_ { 2 } ^ { 4 } (x-2) d x $</p>가 성립하고, 정리 $4-2-6 $의 미적분학의 제 $2 $ 기본정리 의하여<p>$ \int_ { 0 } ^ { 2 } f(x) d x + \int_ { 2 } ^ { 4 } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } (2-x) d x + \int_ { 2 } ^ { 4 } (x-2) d x $ $ = \left [2 x- \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } + \left [ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } -2 x \right ]_ { 2 } ^ { 4 } =4 . $</p></p> <p>정리 $4-2-4 $ 미적분학의 제 $1 $기본정리 함수 $f $가 폐구간 $ [a, b] $에서 연속이면, 함수 \[F(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t \] 는 $ [a, b] $ 안의 모든 $ x $에 대해서 미분가능하고, 또한<p>$ \frac { d F } { d x } = \frac { d } { d x } \int_ { a } ^ { x } f(t) d t=f(x) $<caption>(6)</caption></p>이다.</p> <p>$5 $ . $ f(x) $는 우함수이고 \[ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) d x=4, \quad \int_ { -1 } ^ { 0 } g(x) d x=2, \quad \int_ { 0 } ^ { 1 } g(x) d x=-1 \] 일 때 다음을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int_ { 0 } ^ { 1 } [f(x)-g(x)] d x $</li> <li>$ \int_ { -1 } ^ { 1 } [f(x)-2 g(x)] d x $</li></ol></p> <p>$6 $. 다음의 $ F(x) $에 대해서 $ F ^ {\prime } (x) $를 구하여라.<ol type= start=1><li>$ F(x)= \int_ { -1 } ^ { x } (2 t-3) d t $</li> <li>$ F(x)= \int_ { x } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \theta \tan \theta d \theta $</li> <li>$ F(x)= \int_ { x } ^ { x ^ { 2 } } \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } d t $</li> <li>$ F(x)= \int_ { 0 } ^ {\cos x } \left ( \theta ^ { 3 } - \sin \theta \right ) d \theta $</li></ol></p> <p>$7 $. 구간 $ [a, b] $ 에서 $ f(x) $가 연속이고 $ f(x) \geqq 0 $일 때 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=0 \] 이면 $ f(x)=0 $임을 보여라.</p> <p>$8 $. $ f $가 주기 $ p $인 주기함수라 하면 \[ \int_ { a } ^ { a + p } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { p } f(x) d x \] 임을 그림으로 확인하고, 이것을 이용하여 \[ \int_ { 1 } ^ { 1 + \pi } \| \cos \theta\| d \theta \] 를 구하여라.</p> <p>$9 $. 다음의 특이적분값이 존재하면 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int_ { 4 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 3 x-2 } d x $</li> <li>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 4 } d x $</li> <li>$ \int_ { 0 } ^ {\infty } x e ^ { -x } d x $</li> <li>$ \int_ { 0 } ^ { 3 } \frac { x } {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } d x $</li></ol></p> <p>$10 $. 사다리꼴 법칙으로 주어진 적분구간을 $ n $등분하여 근삿값을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int_ { 0 } ^ { 4 } \sqrt { 4 + x ^ { 3 } } d x ; n=4 $</li> <li>$ \int_ { 2 } ^ { 3 } \frac { 1 } {\ln x } d x ; n=4 $</li></ol></p> <p>$11 $. 심프슨 법칙으로 주어진 적분구간을 $ n $등분하여 근삿값을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int_ { 0 } ^ { 0.6 } \sin x ^ { 2 } d x ; n=4 $</li> <li>$ \int_ { 0 } ^ { 0.6 } e ^ { -x ^ { 2 } } d x ; n=6 $</li></ol></p> <h3>상합 하합</h3> <p>특히 함수 $ y = f(x) $가 구간 $ [a, b] $에서 연속일 때, 각각의 부분구간에서 함숫값을 최소로 하는 표본점을 택한 리만 합을 하합 $ L(f, P) $, 함숫값을 최대로 하는 표본점을 택한 리만 합을 상합 $ U(f, P) $이라 한다. 즉, \[ \begin {array} { l } L(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } m_ { k } \cdot \Delta x_ { k } , \quad m_ { k } = \min \left \{ f(x): x \in \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] \right \} \\ U(f, P)= \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } \cdot \Delta x_ { k } , \quad M_ { k } = \max \left \{ f(x): x \in \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] \right \} \end {array} \] 이때, 분할 $ P $의 크기를 무한히 작게 하면, 즉 $ \\|P \\| \rightarrow 0 $을 취하면 \[ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } (U(f, P)-L(f, P))=0 \] 또는 \[ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } L(f, P)= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } U(f, P) \] 이 된다. 그런데 각각의 소구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 안의 임의의 표본점 $ \xi_ { k } $에 대하여 \[ L(f, P) \leq \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left ( \xi_ { k } \right ) \Delta x_ { k } \leq U(f, P) \] 을 만족하므로 정적분 $ A $는<p>$ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } L(f, P)= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left ( \xi_ { k } \right ) \Delta x_ { k } = \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } U(f, P) $<caption>(3)</caption></p>이 된다.</p> <p>정리 $4-2-7 $ 적분에 관한 평균값 정리 함수 $ f(x) $가 폐구간 $ [a, b] $에서 연속이면<p>$ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x = f(c)(b-a) $<caption>(8)</caption> <p>인 점 $ c \in(a, b) $가 반드시 존재한다.</p> <p>증명 $ F(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t, a \leq x \leq b $라 놓으면 $ F(x) $는 구간 $ [a, b] $에서 미분가능하므로 미분에 관한 평균값 정리에 의하여 $F(b)-F(a)=F ^ {\prime } (c)(b-a) $ 인 점 $ c \in(a, b) $가 반드시 존재한다. 그런데 $ F ^ {\prime } (x)=f(x) $이므로 위 식을 다시 쓰면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=F(b)-F(a)=f(c)(b-a) \] 이다.</p> <p>예제 $9 $ 구간 $ [0,2] $에서 함수 $ f(x)=x ^ { 3 } $에 대하여 적분에 관한 평균값 정리를 만족하는 $ c $를 구하여라.</p> <p>풀이 구간 $ [0,2] $에서 적분에 대한 평균값 정리에 의하면 \[4= \int_ { 0 } ^ { 2 } x ^ { 3 } d x=f(c)(2-0) \] 인 점 $ c $가 폐구간 $ [0,2] $ 안에 존재하고 이것은 $ f(c)=c ^ { 3 } =2 $, 즉 \[c= \sqrt[3] { 2 } \] 이다.</p> <p>위 정리의 결과를 다시 쓰면 \[f(c)= \frac { 1 } { b-a } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \] 에서 등식의 우변을 폐구간 $ [a, b] $ 에서의 $ f $ 의 평균값이라고 하는데 이와 관련된 자세한 내용은 $4-2 $의 ' $2 $. 함수의 평균값'에서 다루기로 한다.</p> <p>부정적분을 구할 때와 마찬가지로 다음의 치환정리는 정적분에서도 매우 유용하게 이용된다. 또한 대칭구간에서의 정적분은 피적분함수의 특성에 따라 그 계산이 매우 간편할 수도 있음을 살펴본다.</p> <p>정리 $4-2-8 $ 정적분의 치환정리 구간 $ [a, b] $에서 함수 $ g ^ {\prime } $이 연속이고 $ f $가 $ g $의 치역 $ g([a, b]) $에서 연속이면<p>$ \int_ { a } ^ { b } f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x= \int_ { g(a) } ^ { g(b) } f(u) d u $<caption>(9)</caption></p></p> <p>[형태 $3 $] $ Q(x) $가 인수분해되지 않는 $2 $차식인 경우<p>분모가 인수분해되지 않는 (2 \)차식인 경우에는 분모가 \[p x ^ { 2 } + q x + r=p \left \{\beta ^ { 2 } + (x- \alpha) ^ { 2 } \right \} \] 꼴로 변형이 되므로 다음의 적분공식과 간단한 치환을 이용하여 계산한다. \[ \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ) + C \]</p></p> <p>예제 $4 $ 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int \frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { 2-2 x + x ^ { 2 } } d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { 4 + 9 x ^ { 2 } } d x $</li></ol></p> <p>풀이<p>( $1 $) $ e ^ { x } =v $라 놓으면 $ e ^ { x } d x=d v $이다. 따라서 $ \int \frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x= \int \frac { 1 } { 1 + v ^ { 2 } } d v= \tan ^ { -1 } v + C $ $ = \tan ^ { -1 } e ^ { x } + C $</p> <p>( $2 $) 분모의 식은 $ 2-2 x + x ^ { 2 } =1 + (x-1) ^ { 2 } $이다. 이때, $ x-1=v $라 치환하면 \[ \frac { 1 } { 2-2 x + x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 + v ^ { 2 } } , \quad d x=d v \] 이므로 $ \int \frac { 1 } { 2-2 x + x ^ { 2 } } d x= \int \frac { 1 } { 1 + v ^ { 2 } } d v= \tan ^ { -1 } v + C $ $ = \tan ^ { -1 } (x-1) + C $</p> <p>( $3 $) $ 3 x=v $라 놓으면 $ d x= \frac { 1 } { 3 } d v $이므로 $ \int \frac { 1 } { 4 + 9 x ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { 3 } \int \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } + v ^ { 2 } } d v= \frac { 1 } { 6 } \tan ^ { -1 } \frac { v } { 2 } + C $ $ = \frac { 1 } { 6 } \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 3 x } { 2 } \right ) + C $</p></p> <p>$3 $. (형태별 삼각함수 적분법)<p>( $1 $) $ \int \sin ^ { n } x d x, \left ( \int \cos ^ { n } x d x \right ) $<p>i) $ n $이 홀수: $ \sin ^ { n-1 } x $를 $ \cos x $의 식으로 바꾸고 $ \cos x=v $로 치환한다.</p> <p>ii) $ n $이 짝수: 배각공식에 의하여 코사인의 배각으로 변형한다.</p></p> <p>( $2 $) $ \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x $<p>i) $ m, n $ 중 적어도 하나가 홀수: ( $1 $)의 i)의 형태와 같은 방법으로 치환한다.</p> <p>ii) $ m, n $ 모두 짝수인 경우: 모두 배각으로 바꾼 후 형태 ( $5 $)를 적용한다.</p></p> <p>( $3 $) $ \int \tan ^ { n } x d x, \left ( \int \cot ^ { n } x d x \right ) $<p>$ \tan ^ { 2 } x= \sec ^ { 2 } x-1 $을 적용하여 식을 변경한다.</p></p> <p>( $4 $) $ \int \tan ^ { m } x \sec ^ { n } x d x, \left ( \int \cot ^ { m } x \csc ^ { n } x d x \right ) $<p>i) $ m $이 짝수인 경우: $ \tan ^ { m-1 } x $를 $ \sec ^ { 2 } x $의 식으로 바꾸고 $ \sec x=v $로 치환한다.</p> <p>ii) $ n $이 짝수인 경우: $ \sec ^ { n-2 } x $를 $ \tan ^ { 2 } x $의 식으로 바꾸고 $ \tan x=v $로 치환한다.</p></p> <p>( $5 $) $ \int \sin m x \cos n x d x, \left ( \int \sin m x \sin n x d x, \int \cos m x \cos n x d x \right ) $<p>다음 공식을 이용하여 사인, 코사인의 배각으로 변형한다. \[ \sin m x \sin n x=- \frac { 1 } { 2 } [ \cos (m + n) x- \cos (m-n) x] \] \[ \sin m x \cos n x= \frac { 1 } { 2 } [ \sin (m + n) x + \sin (m-n) x] \] \[ \cos m x \cos n x= \frac { 1 } { 2 } [ \cos (m + n) x + \cos (m-n) x] \]</p></p></p> <p>증명 $ g(x)=u $라 치환하면 $ g ^ {\prime } (x) d x=d u $이므로 부정적분을 구하면 \[ \int f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x= \int f(u) d u \] 이다. 그러므로 $ F $를 $ f $의 하나의 역도함수라 하면 미적분학의 기본정리에 의하여 \[ \left . \int_ { g(a) } ^ { g(b) } (u) d u=F(u) \right ]_ { g(a) } ^ { g(b) } =F(g(b))-F(g(a)) \] 임을 알 수 있다. 또한 \[ \frac { d } { d x } F(g(x))=F ^ {\prime } (g(x)) g ^ {\prime } (x)=f(g(x)) g ^ {\prime } (x) \] 이므로 $ F(g(x)) $ 는 $ f(g(x)) g ^ {\prime } (x) $ 의 역도함수이다. 그러므로 미적분학의 기본정리에 의하여 \[ \int_ { a } ^ { b } f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x=[F(g(x))]_ { a } ^ { b } =F(g(b))-F(g(a)) \] 이다. 따라서 \[ \int_ { a } ^ { b } f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x= \int_ { g(a) } ^ { g(b) } f(u) d u \] 이 성립한다.</p> <p>예제 $10 $ 다음 정적분값을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int_ { 0 } ^ { 1 } 15 x ^ { 2 } \sqrt { 5 x ^ { 3 } + 4 } d x $</li> <li>$ \int_ { 0 } ^ {\pi / 4 } \frac {\cos x } {\sqrt { 2 + \sin x } } d x $</li></ol></p> <p>풀이 ( $1 $) $ u=g(x)=5 x ^ { 3 } + 4 $라 놓으면 $ d u=g ^ {\prime } (x) d x=15 x ^ { 2 } d x $이고 $ g(0)=4, g(1)=9 $이므로 주어진 정적분은 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } 15 x ^ { 2 } \sqrt { 5 x ^ { 3 } + 4 } d x= \int_ { g(0) } ^ { g(1) } \sqrt { u } d u= \int_ { 4 } ^ { 9 } \sqrt { u } du = \left [ \frac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 4 } ^ { 9 } = \frac { 2 } { 3 } (27-8)= \frac { 38 } { 3 } $ ( $2 $) $ v=g(x)=2 + \sin x $로 놓으면 $ d v= \cos x d x $이고 $ g \left ( \frac {\pi } { 4 } \right )=2 + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } , g(0)=2 $ 이다. 따라서 주어진 정적분은 $ \int_ { 0 } ^ {\pi / 4 } \frac {\cos x } {\sqrt { 2 + \sin x } } d x= \int_ { 2 } ^ { 2 + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } } \frac { 1 } {\sqrt { v } } dv $ $ = \left [2 v ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ]_ { 2 } ^ { 2 + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } } =2 \left ( \sqrt { 2 + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } } - \sqrt { 2 } \right ) $</p> <p>[형태 $2 $] $ Q(x) $가 $1 $차의 식으로 인수분해되는 경우<p>부분분수로 분해하여 공식 \[ \int \frac { a } { a x + b } d x= \log \|a x + b\| + C \] 를 적용한다.</p> <p>형태 $2 $의 문제를 해결하기 위해서는 우선 다음과 같이 분수식의 부분분수 분해요령을 익혀야 할 것이다.</p></p> <p>[부분분수 분해요령]<p>(a) 주어진 분수식의 분모를 인수분해하고</p> <p>(b) 이것을 분모의 각각의 인수를 분모로 하는 여러 개의 부분분수식의 합으로 나타내는데, 이때 각각의 부분분수식의 분자는 분모의 차수보다 한 차수 낮은 식의 일반형으로 놓는다. 단, 분모가 완전제곱식인 경우의 분자는 모두 상수로 놓는다.</p> <p>(c) 다시 (b)에서 얻은 식을 통분하여 분자의 미지수를 결정한다.</p></p> <p>예제 $2 $ 다음 각각의 식을 부분분수로 분해하여라.<ol type= start=1><li>$ \frac { 5 x-1 } { x ^ { 2 } -1 } $</li> <li>$ \frac { x } { (x-2) ^ { 2 } } $</li> <li>$ \frac { 1 } { x ^ { 3 } -1 } $</li></ol></p> <p>풀이 ( $1 $) 부분분수 분해요령에 따라 정리하면<p>$ \frac { 5 x-1 } { x ^ { 2 } -1 } = \frac { 5 x-1 } { (x-1)(x + 1) } $<caption>(a)의 과정<caption></p> <p>$ = \frac { A } { x-1 } + \frac { B } { x + 1 } $<caption>(b)의 과정<caption></p> <p>$ = \frac { (A + B) x + (A-B) } { (x-1)(x + 1) } $<caption>(c)의 과정<caption></p>이므로 $ A + B=5, A-B=-1 $을 얻고, 따라서 $ A=2, B=3 $이다. 결론적으로 \[ \frac { 5 x-1 } { x ^ { 2 } -1 } = \frac { 2 } { x-1 } + \frac { 3 } { x + 1 } \] ( $2 $) 분모가 완전제곱식인 경우이므로 \[ \frac { x } { (x-2) ^ { 2 } } = \frac { A } { x-2 } + \frac { B } { (x-2) ^ { 2 } } = \frac { A x + (-2 A + B) } { (x-2) ^ { 2 } } \] 이다. 그러므로 $ A=1,-2 A + B=0 $ 이고, 이를 풀면 $ A=1, B=2 $를 얻는다. 따라서 \[ \frac { x } { (x-2) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x-2 } + \frac { 2 } { (x-2) ^ { 2 } } \] ( $3 $) 부분분수 분해요령에 의하여 \[ \frac { 1 } { x ^ { 3 } -1 } = \frac { 1 } { (x-1) \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } = \frac { A } { x-1 } + \frac { B x + C } { x ^ { 2 } + x + 1 } = \frac { (A + B) x ^ { 2 } + (A-B + C) x + (A-C) } { (x-1) \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } \] 이므로 계수를 비교하여 연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { l } A + B=0 \\ A-B + C=0 \\ A-C=1 \end {array} \right . \] 을 풀면 $ A= \frac { 1 } { 3 } , B=- \frac { 1 } { 3 } , C=- \frac { 2 } { 3 } $를 얻는다. 따라서 \[ \frac { 1 } { x ^ { 3 } -1 } = \frac { 1 } { 3 } \left ( \frac { 1 } { x-1 } - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x + 1 } \right ) \]</p> <p>3. (미적분학의 기본정리) 함수 $ y=f(x) $가 구간 $ [a, b] $에서 연속이고, $ F(x) $가 $ [a, b] $에서 $ f(x) $의 역도함수이면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=F(b)-F(a) \] 가 성립한다.</p> <p>4. (적분에 관한 평균값 정리) 함수 $ f(x) $가 구간 $ [a, b] $에서 연속이면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x=f(c)(b-a) \] 를 만족시키는 점 $ c $가 구간 $ [a, b] $에 반드시 존재한다.</p> <p>5. 구간 $ [a, b] $에서 $ g ^ {\prime } $이 연속이고 $ f $가 $ g[a, b] $에서 연속이면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x= \int_ { g(a) } ^ { g(b) } f(u) d u \] 가 성립한다.</p> <p>6. 적분가능한 함수 $ f $에 대해서 \[ \int_ { -a } ^ { a } f(x) d x= \left \{\begin {array} { l } 0, f(x) \text { 는 기함수 } \\ 2 \int_ { 0 } ^ { a } f(x) d x, f(x) \text { 는 우함수 } \end {array} \right . \]<p>7. $ f(x) $가 주기가 $ p $인 함수일 때 \[ \int_ { a } ^ { p + a } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { p } f(x) d x, \quad \int_ { a + p } ^ { b + p } f(x) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \]<p>8. (특이적분)</p> <p>(1) $ f(x) $가 점 $ c \in(a, b) $에서 무한대이면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { s \rightarrow c ^ { - } } \left [ \int_ { a } ^ { s } f(x) d x \right ] + \lim _ { t \rightarrow c ^ { + } } \left [ \int_ { t } ^ { b } f(x) d x \right ] \]<p>(2) $ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { k \rightarrow \infty } \left [ \int_ { a } ^ { k } f(x) d x \right ] $</p> <p>9. 구간 $ [a, b] $의 균등분할점 $ a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n } =b $에 대하여 함숫값 \[f \left (x_ { k } \right )=y_ { k } , \quad k=0,1, \cdots, n \] 이라 할 때, 정적분 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $를 추정하기 위해서 \[T= \frac { h } { 2 } \left (y_ { 0 } + 2 y_ { 1 } + 2 y_ { 2 } + \cdots + 2 y_ { n-1 } + y_ { n } \right ) \] 을 이용한다. 이때, $ h= \frac { b-a } { n } $이다(사다리꼴 법칙). \[S= \frac { h } { 3 } \left (y_ { 0 } + 4 y_ { 1 } + 2 y_ { 2 } + 4 y_ { 3 } + 2 y_ { 4 } + \cdots + 2 y_ { n-2 } + 4 y_ { n-1 } + y_ { n } \right ) \] 을 이용한다. 이때, $ n $은 짝수이고 $ h= \frac { b-a } { h } $이다(심프슨 법칙).</p> <p>10. (함수의 평균값) 함수 $ y=f(x) $의 구간 $ [a, b] $에서의 $ x $에 관한 평균값은 \[y_ { a v } = \frac { 1 } { b-a } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \] 이다.</p> <h2>연습문제 ( $4-2-2 $)</h2> <p>$1 $. 구간 $ [0,4] $에서 $ f(x) = 4 x ^ { 3 } $의 평균값을 구하여라.</p> <p>$2 $. 구간 $ [-1,3] $에서 $ f(x)=4 + \|x\| $의 평균값을 구하여라.</p> <p>$3 $. 다음의 그래프를 보고 각각의 함수의 평균값을 구하여라.</p> <p>$4 $. 속도 $ v(t)=49-9.8 t $로 직선운동하는 물체의 시간 $ t=0 $에서 $ t=10 $ 사이의 평균속력을 구하여라.</p> <p>$5 $. 정적분 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x $의 근삿값을 구하기 위하여 구간 $ [0,1] $을 $4 $등분하고<ol type= start=1><li>사다리꼴 법칙</li> <li>심프슨 법칙</li></ol>을 적용하여라.</p> <p>$6 $. 함수 $ f(x)= \sqrt { 1 + x ^ { 3 } } $에 대하여 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) d x $의 근삿값을 문제 $1 $의 방법으로 구하여라.</p> <p>$7 $. 곡선 $ y ^ { 2 } =8 x ^ { 2 } -x ^ { 5 } $의 자폐선의 넓이의 근삿값을 구간을 $4 $등분하여 심프슨 법칙으로 구하여라.</p> <h2>요약 (4-2)</h2> <p>$1 $. (적분가능) 구간 $ [a, b] $의 임의의 분할 $ P: a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n } =b $와 임의의 표본점 $ \xi_ { k } \in \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $, $ k=1,2, \cdots, n $에 대하여 극한 \[ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left ( \xi_ { k } \right ) \left (x_ { k } -x_ { k-1 } \right ) \] 이 존재할 때 함수 $ f(x) $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 적분가능이라 한다.</p> <p>$2 $. 함수 $f $가 구간 $ [a, b] $에서 유한개의 점을 제외하고 모든 점에서 연속이고 유계일 때 $ f $는 $ [a, b] \에서 적분가능하다.</p> <h2>4. 유리함수의 적분</h2> <p>여기서는 간단한 유리함수의 적분법에 대해서 살펴본다. 앞에서 배운 치환적분법이 적용되는 일반적인 경우(형태 \(1 $)를 포함하여 유리함수의 분모의 인수가 모두 $2 $차 이하의 식인 경우(형태 $2. 3 $)에 대하여 그 적분법을 살펴본다.</p> <h3>유리함수</h3> <p>두 식이 서로소(relatively prime)인 두 다항함수 $ P(x), Q(x) $에 대해서 $ f(x) = \frac { P(x) } { Q(x) } $를 유리함수(rational function)라 한다.</p> <p>유리함수에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 클 경우에는 나눗셈에 의하여 분수식을 몫과 나머지의 합으로 표현할 수 있으므로 유리함수의 적분에서는 분모의 차수가 분자의 차수보다 높은 유리함수의 경우만 생각해도 무방하다. 여기서 $ \operatorname { deg } P(x) $는 다항함수 $ P(x) $의 차수를 나타낸다.</p> <h3>유리함수의 적분법</h3> <p>이제 여러 형태의 유리함수 중에서 우리는 다음과 같은 형태의 유리함수의 적분을 다룬다.<li>[형태 $1 $] $ P(x) $가 $ Q ^ {\prime } (x) $의 상수배일 경우 $ \left ( \right . $ 즉, $ \left .P(x)=k Q ^ {\prime } (x) \right ) $</li> <li>[형태 $2 $] $ Q(x) $가 $1 $차의 식으로 인수분해되는 경우</li> <li>[형태 $3 $] $ Q(x) $가 인수분해되지 않는 $2 $차식인 경우</li></ul></p> <p>[형태 $1 $] $ P(x) $가 $ Q ^ {\prime } (x) $의 상수배일 경우<p>분모의 치환에 의해서 간단히 계산된다. 즉, \[ \int \frac { k f ^ {\prime } (x) } { f } (x) d x=k \int \frac { f ^ {\prime } (x) } { f } (x) d x=k \log \|f(x)\| + C . \]</p></p> <p>예제 $1 $ 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int \frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x $</li> <li>$ \int \frac { e ^ { x } } { 1-e ^ { x } } d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { x \log x } d x $</li> <li>$ \int \sec x d x $</li></ol></p> <p>풀이 ( $1 $) 분모의 미분이 $ \frac { d } { d x } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )=2 x $이므로 피적분함수를 \[ \frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } = \frac { 3 } { 2 } \cdot \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \] 로 변형하면 형태 $1 $의 공식을 적용할 수 있다. 따라서 \[ \int \frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \frac { 3 } { 2 } \int \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \frac { 3 } { 2 } \log \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + C \] ( $2 $) 분모의 미분이 $ \frac { d } { d x } \left (1-e ^ { x } \right )=-e ^ { x } $이고 피적분함수를 변형하면 \[ \int \frac { e ^ { x } } { 1-e ^ { x } } d x=- \int \frac { -e ^ { x } } { 1-e ^ { x } } d x=- \log \left \|1-e ^ { x } \right \| + C \] ( $3 $) 피적분함수를 $ \frac { 1 } { x \log x } = \frac {\frac { 1 } { x } } {\log x } $로 표현하면 $ \frac { d } { d x } ( \log x)= \frac { 1 } { x } $이므로 다음과 같이 적분이 계산된다. \[ \int \frac { 1 } { x \log x } d x= \int \frac { 1 / x } {\log x } d x= \log \| \log x\| + C \] ( $4 $) 분자분모에 각각 $ \sec x + \tan x $를 곱하면 \[ \sec x= \frac {\sec x( \sec x + \tan x) } {\sec x + \tan x } \] 이므로 \[ \int \sec x d x= \int \frac {\sec x( \sec x + \tan x) } {\sec x + \tan x } d x= \log \| \sec x + \tan x\| + C . \]</p> <p>이제 부분분수 분해를 통하여 분수식의 부정적분을 계산하여 보자.</p> <p>예제 $3 $ 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int \frac { 5 x-1 } { x ^ { 2 } -1 } d x $</li> <li>$ \int \frac { x } { (x-2) ^ { 2 } } d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { x ^ { 3 } -1 } d x $</li></ol></p> <p>풀이<p>( $1 $) 부분분수 분해요령에 의하여 $ \int \frac { 5 x-1 } { x ^ { 2 } -1 } d x= \int \frac { 2 } { x-1 } d x + \int \frac { 3 } { x + 1 } d x =2 \log \|x-1\| + 3 \log \|x + 1\| + C $</p> <p>( $2 $) $ \int \frac { x } { (x-2) ^ { 2 } } d x= \int \frac { 1 } { x-2 } d x + \int \frac { 2 } { (x-2) ^ { 2 } } d x = \log \|x-2\|- \frac { 2 } { x-2 } + C $</p> <p>( $3 $) $ \int \frac { 1 } { x ^ { 3 } -1 } d x= \frac { 1 } { 3 } \left ( \int \frac { 1 } { x-1 } d x- \int \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x \right ) = \frac { 1 } { 3 } \log \|x-1\|- \frac { 1 } { 3 } \int \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x $ 여기에서 $ \int \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x $는 [형태 $3 $]에 의해서 계산하면 된다.</p></p> <p>$4 $. (부분적분법)<p>\[ \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x=f(x) g(x)- \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x \]</p></p> <p>$5 $. (점화공식)<ol type= start=1><li>$ \int x ^ { n } e ^ { x } d x=x ^ { n } e ^ { x } -n \int x ^ { n-1 } e ^ { x } d x $</li> <li>$ \int \sin ^ { n } x d x=- \frac { 1 } { n } \sin ^ { n-1 } x \cos x + \frac { n + 1 } { n } \int \sin ^ { n-2 } x d x $</li></ol></p> <p>$6 $. (부분분수 분해요령)<ol type= start=1><li>분모의 차수 >분자의 차수임을 확인(그렇지 않을때는 직접 나눠서 몫과 나머지로 분리) 한다.</li> <li>분모를 인수분해한다.</li> <li>분모의 각각의 인수를 분모로 하는 여러 개의 분수식의 합으로 표현한다. 이때, 분자는 분모보다 한 차수 낮은 식의 일반형으로 놓는다.</li> <li>( $3 $)의 식을 다시 통분하고 원식과 비교하여 계수를 결정한다.</li></ol></p> <h2>종합문제 (4-1)</h2> <p>$1 $. 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int-3 x ^ { 4 } d x $</li> <li>$ \int \sqrt { 5 x + 1 } d x $</li> <li>$ \int \left (e ^ {\frac { x } { 2 } } + e ^ { - \frac { x } { 2 } } \right ) d x $</li> <li>$ \int \left (x ^ {\frac { 2 } { 3 } } -2 x ^ {\frac { 1 } { 3 } } + 5 \sqrt { x } -3 \right ) d x $</li></ol></p> <p>$2 $. 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int \sec 2 x d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } {\sin ^ { 2 } x } d x $</li> <li>$ \int( \tan \theta + \cot \theta) ^ { 2 } d x $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { 1 + \cos x } d x $</li></ol></p> <h2>연습문제 (4-1-4)</h2> <p>$1 $ 다음을 부분분수로 분해하여라.<ol type = start=1><li>$ \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } $</li> <li>$ \frac { x-11 } { x ^ { 2 } + 3 x-4 } $</li> <li>$ \frac { -2 x + 4 } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right )(x-1) ^ { 2 } } $</li> <li>$ \frac { x ^ { 3 } -8 x ^ { 2 } -1 } { (x + 3)(x-2) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) } $</li></ol></p> <p>$2 $. 문제 $1 $의 식을 적분하여라.</p> <p>$3 $. $ \int \frac {\sqrt { x } -1 } {\sqrt { x } + 1 } d x $를 구하여라. ( $ \sqrt { x } =u $로 치환)</p> <p>$4 $. 주어진 식을 몫과 나머지로 나누어 다음의 부정적분을 구하여라.<ol type= start=1><li>$ \int \frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } -1 } d x $</li> <li>$ \int \frac { x ^ { 2 } + 8 } { x ^ { 2 } -5 x + 6 } d x $</li> <li>$ \int \frac { e ^ { 4 x } } { 1-e ^ { 2 x } } d x $</li> <li>$ \int \frac { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } -5 x ^ { 2 } -8 x + 16 } { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -4 x + 4 } d x $</li></ol></p> <h2>요약 (4-1)</h2> <p>1. $ F(x), G(x) $가 $ f(x) $의 역도함수라 하면 $ G(x)=F(x) + C $ ( $ C $는 상수)이고 \[ \int f(x) d x=F(x) + C \] 를 $ f(x) $의 부정적분이라 한다.<p>$2 $. (치환적분법) \[ \int f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x= \int f(t) d t=F(t) + C=F(g(x)) + C \]</p> <h2>종합문제 (4-2)</h2> <p>$1 $. 다음의 극한값을 정적분으로 나타내고 그 값을 구하여라.<ol type = start=1><li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } [1 + \sqrt { 2 } + \cdots + \sqrt { n } ] \frac { 1 } { n \sqrt { n } } $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [ \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 n-1 } \right ] $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [ \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } {\sqrt { n ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } + \cdots + \frac { 1 } {\sqrt { n ^ { 2 } + (n-1) ^ { 2 } } } \right ] $</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left [(n + 1) ^ { 2 } + (n + 2) ^ { 2 } + \cdots + (2 n) ^ { 2 } \right ] $</li></ol></p> <p>$2 $. 구분구적법에 의하여 $ \int_ { 0 } ^ { 4 } \left (x ^ { 2 } -x \right ) d x $를 구하여라.</p> <p>$3 $. $ f(x)= \left \{\begin {array} { cc } x, & 0 \leqq x<1 \\ 1, & 1 \leqq x<3 \\ x-4, & 3 \leqq x \leqq 5 \end {array} \right . $에 대하여 $ \int_ { 0 } ^ { 5 } f(x) d x $를 구하여라.</p> <p>$4 $. 다음 함수들이 주어진 구간에 적분가능한지 판별하여라.<ol type= start=1><li>$ f(x)= \cos x + x ^ { 2 } ,[0,1] $</li> <li>$ f(x)= \frac { 1 } { x + 3 } ,[-5,2] $</li> <li>$ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } x ^ { 2 } , & { [-2,0] } \\ -x ^ { 2 } , & { [0,2] } \end {array} \right . $</li> <li>$ f(x)= \left \{\begin {array} { cc } \sin \frac { 1 } { x } , & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end {array} ,[- \pi, \pi] \right . $</li></ol></p> <p>증명 $ \quad F(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t $라 놓고 도함수의 정의에 의하여 \[ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } =f(x) \] 임을 보이자. 정적분의 성질에 의하면 $ F(x + h)-F(x)= \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t- \int_ { a } ^ { x } f(t) d t $ $ = \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t + \int_ { x } ^ { a } f(t) d t $ $ = \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t $ 임을 알 수 있다. 이제 양수 $ h>0 $에 대해서 함수 $ f $는 폐구간 $ [x, x + h] $에서 연속이므로 이 구간에서 최댓값 $ M $ 과 최솟값 $ m $ 을 갖는다. 따라서 정리 $ 4-2-4 $에 의하여 \[ m h \leq \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t=F(x + h)-F(x) \leq M h \] 이므로 \[ m \leq \frac { F(x + h)-F(x) } { h } \leq M \] 이다. $ f $가 연속이므로 $ h \rightarrow 0 ^ { + } $이면 $ m \rightarrow f(x), M \rightarrow f(x) $이고, 따라서 우극한은 \[ \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } =f(x) \] 이다. 또한 $ h<0 $일 때 구간 $ [x-h, x] $에 대해서 위의 방법을 적용하여 \[ \lim _ { h \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } =f(x) \] 이 증명된다.</p> <p>예제 $6 $ 다음을 계산하여라.<ol type= start=1><li>$ \frac { d } { d x } \left ( \int_ { 0 } ^ { x } \cos \frac { t } { 2 } d t \right ) $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \left ( \int_ { - \pi / 4 } ^ { x } \frac {\sin t } { 1 + t ^ { 2 } } d t \right ) $</li></ol></p> <p>예제 $2 $ 함수 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x \text { 는 유리수 } \\ 1, & x \text { 는 무리수 } \end {array} \right . \] 는 구간 $ [0,1] $에서 적분가능하지 않음을 보여라.</p> <p>풀이 구간 $ [0,1] $ 의 임의의 분할 \[ P: 0=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n-1 }<x_ { n } =1 \] 에 대해서 소구간 $ \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] $ 안에는 항상 유리수 $ p_ { k } $와 무리수 $ q_ { k } $가 반드시 존재한다. 그러므로 하합은 모든 소구간에서 대표점을 유리수로 택할 때 $ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } L(f, P)= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (p_ { k } \right ) \Delta x_ { k } =0 $ 이고, 상합은 모든 소구간에서 대표점을 무리수로 택할 때 $ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } U(f, P)= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (q_ { k } \right ) \Delta x_ { k } = \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 k=1 } \sum_ { k } ^ { n } \Delta x_ { k } =1 $이다. 즉, 대표점의 선택에 따라 값이 다르므로 극한은 존재하지 않는다. 따라서 주어진 함수는 적분가능하지 않다.</p> <p>정적분의 정의와 위의 예제에서 볼 수 있듯이 적분가능성의 판정은 극한값 $ A $의 존재여부로 판정하는 것이 용이하지 않다. 다음 정리는 적분가능성에 대한 여러 가지 정리 중에서도 아주 유용하게 사용된다.</p> <p>정리 $4-2-1 $ 정적분의 존재정리<p>함수 $ f $가 구간 $ [a, b] $에서 연속이면 적분가능하며 실제로 표본값 $ \xi_ { k } $의 선택에 관계없이<p>$ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { k } f \left ( \xi_ { k } \right ) \Delta x_ { k } $<caption>(4)</caption></p>을 만족한다.</p></p> <p>정리 $4-2-2 $ 함수 $ f $가 구간 $ [a, b] $에서 유한개의 점을 제외한 모든 점에서 연속이고 유계(bounded)이면 $ f $는 $ [a, b] $에서 적분가능하다.</p> <p>위의 정리로부터 폐구간에서 정의된 대부분의 다항함수 $ P(x) $, 유리함수 $ \frac { P(x) } { Q(x) } (Q(x) \neq 0) $와 사인함수, 코사인함수, 지수함수 $ a ^ { x } (a>0, a \neq 1) $, 그리고 로그함수 $ \log _ { a } x $ 등은 모두 적분가능함을 알 수 있다.</p> <p>다음은 정적분에 관한 대수적 성질에 관한 것으로 증명과정은 생략한다.</p> <p>정리 $4-2-3 $ 정적분의 대수적 성질 주어진 구간에서 적분가능한 함수 $ f, g $에 대해서<p>( $1 $) $ \int_ { a } ^ { b } k f(x) d x = k \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \quad(k $는 상수 $ ) $</p> <p>( $2 $) $ \int_ { a } ^ { b } [f(x) \pm g(x)] d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \pm \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $</p> <p>( $3 $) 구간 $ [a, b] $에서 항상 $ f(x) \leq g(x) $이면 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \leq \int_ { a } ^ { b } g(x) d x $이다.</p> <p>( $4 $) $ m $과 $ M $을 각각 구간 $ [a, b] $에서 $ f(x) $의 최솟값과 최댓값이라 할 때, \[m(b-a) \leq \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \leq M(b-a) \]</p> <p>( $5 $) 함수 $ f $가 세 점 $ a, b, c $를 포함하는 구간에서 연속이면 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x + \int_ { b } ^ { c } f(x) d x= \int_ { a } ^ { c } f(x) d x \]</p></p> <p>예제 $ 4 $ $1 \leq \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + x ^ { 4 } } d x \leq \frac { 6 } { 5 } $임을 증명하여라.</p> <p>증명 구간 $ [0,1] $의 모든 $ x $에 대해서 부등식 $1 \leq \sqrt { 1 + x ^ { 4 } } \leq 1 + x ^ { 4 } $이 만족한다. 따라서 정리 $ 4-2-3 $의 ( $3 $)에 의하여 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } d x \leq \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + x ^ { 4 } } d x \leq \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (1 + x ^ { 4 } \right ) d x $ 이므로 적분하면 $1 \leq \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + x ^ { 4 } } d x \leq \frac { 6 } { 5 } $</p>	자연
미분기하학	<p>다음 도움정리에 의하면 정칙곡면의 개부분집합은 모두 정칙곡면이다.</p> <p>도움정리 3.1.6</p> <p>$ W \subset M $ 이 정칙곡면 $ M $ 의 개부분집합이면 $ W $ 은 정칙곡면이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { p } \in W $ 이면 $ \mathrm { p } \in M $ 이므로 정의 $ 3.1 .4 $ 의 조건 (i)과 (ii)를 만족시키는 정칙좌표함수 $ \mathrm { x } : D \rightarrow V \cap M $ 이 존재한다(그림 3.3). 이때 $ \bar { D } = \mathrm { x } ^ { -1 } (V \cap W) $ 로 놓으면 $ \mathrm { x } $ 가 연속이므로 집합 $ \bar { D } $ 는 $ D $ 의 개부분집합이다.따라서 다음과 같이 정의된 함수 $ \overline {\mathrm { x } } = \left . \mathrm { x } \right \|_ {\bar { D } } : \bar { D } \rightarrow V \cap W $ 는 위상동형인 정칙좌표함수가 된다.</p> <p>보기 3.1.7</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 2 } = \left \{ (x, y, 0) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid x, y \in \mathbb { R } \right \} \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $ 은 정칙곡면이다. 항등사상 \[ \mathbf { x } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=(u, v, 0) \] 은 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 정칙좌표함수이다. 실제로, $ \mathrm { x } $ 가 위상동형사상이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한 $ \mathbf { x } _ { u } =(1,0,0), \mathbf { x } _ { v } =(0,1,0) $ 이므로 \[ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } =(0,0,1) \neq 0 \]</p> <p>다음 정리에 의하면 정칙곡면 $ M $ 의 방향은 그 곡면 전체에서 정의된 0 이 아닌 법벡터장의 존재성과 동치이다.</p> <p>정리 $ 3.5.5 $</p> <p>정칙곡면 $ M $ 이 가향일 필요충분조건은 $ M $ 전체에서 정의된 0 이 아닌 법벡터장 $ Z $ 가 존재하는 것이다.</p> <p>증명</p> <p>$ M $ 이 가향곡면이라고 하면 정의 $ 3.5 .1 $ 에 있는 조건 (i), (ii)를 만족시키는 좌표함수들의 모임 $ \chi= \{\mathbf { x } : D \rightarrow M \} $ 이 존재한다. 그러면 각 점 $ \mathbf { p } \in M $ 에 대하여 적당한 좌표함수 $ \mathbf { x } \in \chi $ 가 존재하여 $ \mathbf { p } \in \mathbf { x } (D) $ 이다. 이때 $ Z( \mathbf { p } ) $ 를 \[ Z( \mathrm { p } )= \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } ( \mathbf { q } ), \quad \mathbf { q } = \mathbf { x } ^ { -1 } ( \mathrm { p } ) \] 로 정의하면 $ Z $ 는 $ \mathrm { O } $ 이 아닌 $ M $ 의 법벡터장이다.</p> <p>$ Z $ 가 $ M $ 전체에서 잘 정의된 법벡터장임을 보이자. $ \mathrm { p } \in \mathbf { x } (D) \cap \overline {\mathbf { x } } ( \bar { D } ) $ 일 때 \[ \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } = \frac {\overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ { - } } {\left \\| \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \right \\| } \] 임을 보이면 된다. 조건 (ii)에 의해 점 $ \mathrm { p } $ 에서 \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } ( \mathbf { p } )>0 \] 이다. 따라서 식 (3.5.1)에 의해 \[ \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } = \frac {\frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } } {\left \| \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } \right \| \left \\| \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \right \\| } = \frac {\overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } } {\left \\| \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ { - } \right \\| } \] 역으로, $ Z: M \rightarrow \cup \mathrm { T } _ {\mathrm { p } } \mathbb { R } ^ { 3 } $ 을 단위법벡터장이라 하자. 정칙곡면의 정의에 의해 $ M $ 을 유한개 또는 무한개의 좌표함수 $ \chi= \{\mathrm { x } : D \rightarrow M \} $ 으로 덮을 수 있다. 참고 3.3.7에 의해 각 점 $ \mathbf { x } (u, v)= \mathrm { p } $ 에서 \[ Z( \mathbf { p } )= \pm \frac {\mathbf { x } _ {\mathrm { u } } \times \mathbf { x } _ {\mathrm { v } } } {\left \\| \mathbf { x } _ {\mathrm { u } } \times \mathbf { x } _ {\mathrm { v } } \right \\| } \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } ( \mathbf { p } ) \right ) \] 이므로 \[ \left \langle Z, \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } \right \rangle= \pm 1 \] $ \mathbf { x } (D) $ 가 연결집합이므로 필요하면 매개변수 $ u, v $ 를 바꾸어서 \[ Z= \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } \] 라 가정해도 된다. 이와 같이 하여 얻은 좌표함수의 모임 $ \chi ^ {\prime } = \{\mathrm { x } : D \rightarrow M \} $ 에 속하는 두 좌표함수의 교집합에서 야코비 행렬식이 양수임을 보이면 된다.</p> <p>좌표함수의 정의와 정의 3.3.2에 의하여 $ u $-매개곡선과 $ v $-매개곡선의 속도벡터 $ \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 과 $ \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 은 점 $ \mathrm { p } $ 에서 일차독립인 접벡터가 된다.</p> <p>증명</p> <p>정의에 의해 좌표함수 $ \mathrm { x } $ 의 $ u $-매개곡선과 $ v $-매개곡선의 도함수 $ \mathrm { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 와 $ \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 은 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡면 $ M $ 의 접벡터이다. 즉, $ \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ), \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) \in T_ {\mathrm { p } } M $ 이다.</p> <p>$ \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 이면 정의로부터 $ \alpha(0)= \mathrm { p } , \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 를 만족시키는 곡선 $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M $이 존재한다. 도움정리 3.3.1에 의해 평면곡선 $ (u(t), v(t)) $ 에 대하여 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $로 나타낼 수 있다. 연쇄법칙에 의해 \[ \alpha ^ {\prime } (t)=u ^ {\prime } (t) \mathbf { x } _ { u } (u(t), v(t)) + v ^ {\prime } (t) \mathbf { x } _ { v } (u(t), v(t)) \] $ \alpha(0)= \mathrm { p } = \mathbf { x } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 이므로 $ u(0)=u_ { 0 } , v(0)=v_ { 0 } $ 을 만족시킨다. 따라서 \[ \begin {aligned} \mathbf { v } = \alpha ^ {\prime } (0) &=u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } (u(0), v(0)) + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } (u(0), v(0)) \\ &=u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) \end {aligned} \] 역으로, $ \mathrm { v } $ 가 $ \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 와 $ \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) $ 의 일차결합으로 표현된 벡터라고 하자. \[ \mathbf { v } =a \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) + b \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) \] 라고 할 때 곡선 $ \alpha(t) $ 를 \[ \alpha(t)= \mathbf { x } \left (u_ { 0 } + a t, v_ { 0 } + b t \right ) \] 로 정의하면 $ \alpha(0)= \mathrm { p } , \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 를 만족시킨다.</p> <p>지금부터 좌표함수는 정칙좌표함수를 나타내는 것으로 가정한다.</p> <p>정리 3.1.12</p> <p>좌표평면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 개부분집합 $ D $ 에서 정의된 미분가능한 함수 $ f: D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } $ 의 그래프 \[ G_ { f } = \{ (x, y, f(x, y)) \mid(x, y) \in D \} \] 는 정칙곡면이다(그림 3.8).</p> <p>증명</p> <p>$ \mathbf { x } : D \rightarrow G_ { f } $ 를 $ \mathbf { x } (u, v)=(u, v, f(u, v)) $ 로 정의하면 \[ d \mathbf { x } = \left ( \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \frac {\partial f } {\partial u } & \frac {\partial f } {\partial v } \end {array} \right ) \] 이므로 $ \mathbf { x } $ 는 정칙좌표함수이다. 또 $ \mathrm { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(x, y), z=f(x, y) $ 이므로 $ \mathbf { x } $ 는 위상동형사상이다. 따라서 그래프 $ G_ { f } $ 는 정칙곡면이다.</p> <p>정리 3.1.12와 같이 미분가능한 함수 $ f $ 의 그래프에 의해 주어지는 곡면을 \[ M: z=f(x, y) \] 로 나타낸다.</p> <p>미분가능한 함수 $ g: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } $ 의 그래디언트 $ \nabla g $ 는 \[ \nabla g= \sum_ { i=1 } ^ { 3 } \frac {\partial g } {\partial x_ { i } } U_ { i } \] 로 정의된 벡터장이다.</p> <p>정리 3.1.13</p> <p>$ U \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 개부분집합이고 $ f: U \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능한 함수라고 하자. 실수 $ a \in \mathbb { R } $ 에 대하여 $ f ^ { -1 } (a)= \{ (x, y, z) \in U \mid f(x, y, z)=a \} $ 가 공집합이 아니고, 각 점 $ \mathrm { p } \in f ^ { -1 } (a) $ 에서 $ \nabla f( \mathrm { p } ) \neq 0 $ 이면 $ f ^ { -1 } (a) $ 는 정칙곡면이다(그림 3.9).</p> <p>$ V_ { i } ^ {\pm } = \left \{\left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right ) \in S ^ { 2 } \mid x_ { i } >0 \right . $ 또는 $ \left .x_ { i }<0 \right \} $ 로 놓고 함수 $ \mathbf { x } _ { i } ^ {\pm } : D \rightarrow V_ { i } ^ {\pm } (i=1,2,3) $ 을 \[ \mathbf { x } _ { 1 } ^ {\pm } = \left ( \pm \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } , u, v \right ) \] \[ \mathbf { x } _ { 2 } ^ {\pm } = \left (u, \pm \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } , v \right ) \] \[ \mathbf { x } _ { 3 } ^ {\pm } = \left (u, v, \pm \sqrt { 1-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } \right ) \] 로 정의하자. 그러면 (단계 1)에 의해 $ \mathrm { x } _ { i } ^ {\pm } $는 모두 정칙좌표함수이고 \[ \bigcup_ { i=1 } ^ { 3 } V_ { i } ^ {\pm } =S ^ { 2 } \] 이므로 $ S ^ { 2 } $ 는 정칙곡면이다(그림 $ 3.4 $ ).</p> <p>보기 $ 3.1 .9 $</p> <p>구면좌표함수</p> <p>단위구 $ S ^ { 2 } $ 이 정칙곡면이라는 것을 구면좌표계를 이용하여 보일 수 있다.</p> <p>그림 $ 3.5 $ 에서와 같이 점 $ (x, y, z) \in S ^ { 2 } $ 이 양의 $ z $ 축과 만드는 각을 $ \varphi $ 라 하고,점 $ (x, y, z) $ 를 $ x y $-평면에 정사영 시킨 점 $ (x, y, 0) $ 이 양의 $ x $ 축과 만드는 각을 $ \theta $ 라 하면, 구 $ S ^ { 2 } $ 의 점 $ (x, y, z) $ 를 두 변수 $ \varphi $ 와 $ \theta $ 로 나타낼 수 있다. 원점으로부터 $ (x, y, z) $ 의 정사영 점인 $ (x, y, 0) $ 까지의 거리가 $ \sin \varphi $ 이므로 삼각함수의 정의에 의해 \[ x= \sin \varphi \cos \theta, \quad y= \sin \varphi \sin \theta, \quad z= \cos \varphi \] 이다. 또, 정의로부터 두 변수 $ \varphi $ 와 $ \theta $ 는 \[ 0 \leq \varphi \leq \pi, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi \] 이다. 따라서 다음과 같이 정의된 사상 \[ \mathbf { x } : D= \left \{ ( \varphi, \theta) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 0< \phi< \pi, 0< \theta<2 \pi \right \} \rightarrow S ^ { 2 } \]</p> <p>(3) 일반영역 $ D $ 가 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 공(ball)에 포함될 때 집합 $ D $ 를 유계(bounded)라고 한다.</p> <p>$ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 을 좌표함수라 하고 $ R \subset M $ 을 유계인 닫힌영역으로 $ R \subset \mathbf { x } (D) $ 이라 하자. 집합 $ Q \subset D $ 에 대하여 $ R= \mathbf { x } (Q) $ 로 놓고, $ \Delta Q $ 를 두 변 $ \Delta u $ 와 $ \Delta v $ 에 의하여 만들어지는 직사각형이라 하자. 그러면 평균값의 정리에 의해 \[ \mathbf { x } (u + \Delta u, v)- \mathbf { x } (u, v) \sim \Delta u \mathbf { x } _ { u } \] \[ \mathbf { x } (u, v + \Delta v)- \mathbf { x } (u, v) \sim \Delta v \mathbf { x } _ { v } \] 를 만족시킨다. 여기서 기호 는 근사값을 나타낸다. 따라서 닫힌영역 $ \mathbf { x } ( \Delta Q) $ 는 두 변이 각각 $ \Delta u \mathbf { x } _ { u } $ 와 $ \Delta v \mathbf { x } _ { v } $ 인 평행사변형으로 근사된다(그림 3.18).</p> <p>그러므로 $ \mathrm { x } ( \Delta Q) $ 의 넓이는 \[ (3.4.2) A( \mathbf { x } ( \Delta Q)) \sim \left \\| \Delta u \mathbf { x } _ { u } \times \Delta v \mathbf { x } _ { v } \right \\|= \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| \Delta u \Delta v \] 로 근사된다. 식 (3.4.2)로부터 닫힌영역 $ R $ 의 넓이를 다음과 같이 \[ (3.4.3) A(R)= \iint_ { Q } \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| d u d v \] 정의하는 것이 타당함을 알 수 있다.</p> <p>여기서 $ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } $ 는 좌표함수의 변환 $ \overline {\mathbf { x } } ^ { -1 } \circ \mathbf { x } (u, v)=( \bar { u } (u, v), \bar { v } (u, v)) $ 의 야코비 행렬식이고 \[ (3.4.4) \frac {\partial(u, v) } {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } = \frac { 1 } {\frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } } \] 는 $ \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \overline {\mathbf { x } } \right )( \bar { u } , \bar { v } )=(u( \bar { u } , \bar { v } ), v( \bar { u } , \bar { v } )) $ 의 야코비 행렬식이다.</p> <p>다변수함수의 적분에 관한 변수변환공식에 의하면 집합 $ \bar { Q } $ 위에서 정의된 연속함수 $ f $ 에 대하여 \[(3.4.5) \iint_ {\bar { Q } } f d \bar { u } d \bar { v } = \iint_ { Q } f \circ \left ( \overline {\mathbf { x } ^ { -1 } } \circ \mathbf { x } \right ) \left \| \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } \right \| d u d v \] 가 성립한다.</p> <p>그러므로 식 (3.4.4)과 변수변환공식 $ (3.4 .5) $ 에 의해 \[ \begin {aligned} & A(R)= \iint \bar { Q } \left \\| \overline {\mathbf { x } _ {\bar { u } } } \times \overline {\mathbf { x } _ { - } } \right \\| d \bar { u } d \bar { v } \\=& \iint \bar { Q } \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| \left \| \frac {\partial(u, v) } {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } \right \| d \bar { u } d \bar { v } \\=& \iint_ { Q } \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| d u d v \end {aligned} \]</p> <p>정리 3.3.5</p> <p>접벡터 $ \mathrm { v } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 에 대하여 $ \beta ^ {\prime } (0) $ 는 $ \alpha $ 의 선택과 무관하다. 즉, $ d \Phi_ {\mathrm { p } } $ 는 잘 정의된 사상이다. 또, $ d \Phi_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } )= \beta ^ {\prime } (0) $ 로 정의된 사상 $ d \Phi_ {\mathrm { p } } : T_ {\mathrm { p } } M \rightarrow T_ {\Phi( \mathrm { p } ) } \bar { M } $ 는 선형사상이다.</p> <p>증명</p> <p>좌표함수를 이용하여 $ d \Phi_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) $ 를 나타내어 보자. $ \mathbf { x } ( \mathrm { u } , \mathrm { v } ) $ 와 $ \overline {\mathbf { x } } ( \bar { u } , \bar { v } ) $ 를 각각 점 $ \mathrm { p } \in M $ 과 $ \Phi( \mathrm { p } ) \in \bar { M } $ 의 근방에서 정의된 좌표함수라고 하자. 참고 3.2.7의 식 (3.2.2)로부터 복잡한 표현식을 피하기 위해 좌표함수를 생략할 수 있다. 즉, 함수 $ \Phi $를 매개변수로만 나타내면 \[ \Phi(u, v)=( \varphi(u, v), \psi(u, v))=( \bar { u } , \bar { v } ) \] 와 \[ \alpha(t)=(u(t), v(t)) \] 로 쓸 수 있다. 그러면 \[ \beta(t)= \Phi \circ \alpha(t)=( \varphi(u(t), v(t)), \psi(u(t), v(t))) \] 이고 양변을 미분하여 기저 $ \left \{\mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \} $ 의 성분으로 나타내면 \[ (3.3.1) \beta ^ {\prime } (0)= \left ( \frac {\partial \varphi } {\partial u } ( \mathbf { p } ) u ^ {\prime } (0) + \frac {\partial \varphi } {\partial v } ( \mathbf { p } ) v ^ {\prime } (0), \frac {\partial \psi } {\partial u } ( \mathbf { p } ) u ^ {\prime } (0) + \frac {\partial \psi } {\partial v } ( \mathbf { p } ) v ^ {\prime } (0) \right ) \] 따라서 $ \beta ^ {\prime } (0) $ 은 사상 $ \Phi $ 와 $ \quad \alpha ^ {\prime } (0)= \left (u ^ {\prime } (0), v ^ {\prime } (0) \right ) $ 에만 의존한다. 그러므로 $ \alpha(0)= \bar {\alpha } (0)= \mathrm { p } $ 이고 $ \alpha ^ {\prime } (0)= \bar {\alpha } ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 이면 $ \beta ^ {\prime } (0)= \bar {\beta } ^ {\prime } (0) $ 이 성립한다. 여기서 $ \bar {\beta } = \Phi \circ \bar {\alpha } $ 이다. 더욱이 식 (3.3.1)에 의해 \[ \beta ^ {\prime } (0)= \left ( \begin {array} { ll } \frac {\partial \varphi } {\partial u } & \frac {\partial \varphi } {\partial v } \\ \frac {\partial \psi } {\partial u } & \frac {\partial \psi } {\partial v } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } u ^ {\prime } (0) \\ v ^ {\prime } (0) \end {array} \right )=d \Phi_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { v } ) \] 이므로 $ d \Phi_ {\mathrm { p } } $ 는 선형사상이다.</p> <p>도움정리 $ 3.4 .6 $</p> <p>닫힌영역에 대한 넓이의 정의 $ (3.4 .3) $ 은 좌표함수와 무관하게 잘 정의된다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 과 $ \overline {\mathrm { x } } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 을 두 좌표함수라 하고, $ Q \subset D $ 와 $ Q \subset D $ 에 대하여 $ R= \mathrm { x } (Q)= \mathrm { x } ( \bar { Q } ) $ 라고 하자. 좌표함수 $ \mathrm { x } $ 와 $ \overline {\mathrm { x } } $ 에 대하여 $ \overline {\mathrm { x } } ^ { -1 } $ ◦ $ \mathrm { x } $ 를 \[ \overline {\mathbf { x } } ^ { -1 } \circ \mathbf { x } (u, v)=( \bar { u } (u, v), \bar { v } (u, v)) \] 로 나타내면 연쇄법칙 또는 식 (3.2.1)에 의해 \[ \mathbf { x } _ { u } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \] \[ \mathbf { x } _ { v } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \] 따라서 \[ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } \times \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \]</p> <p>증명</p> <p>$ D $ 의 좌표를 $ (u, v) $ 로 나타내면 $ \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha:(a, b) \rightarrow D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 는 평면곡선이므로 함수 $ u(t), v(t) $ 에 대하여 \[ \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha \right )(t)=(u(t), v(t)) \] 로 나타낼 수 있다(그림 3.16). 따라서 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $ 가 성립한다.</p> <p>정의 3.3.2</p> <p>$ \mathrm { p } \in M $ 이고 $ \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \in \mathrm { T } _ {\mathrm { p } } \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이라고 하자.</p> <p>(1) 미분가능한 곡선 $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M, \alpha(0)= \mathrm { p } $ 가 존재하여 $ \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 일 때 벡터 $ \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } $ 를 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡면 $ M $ 에 접하는 접벡터(tangent vector)라고 한다.</p> <p>(2) 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡면 $ M $ 에서 접하는 모든 접벡터들의 집합을 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡면 $ M $의 접평면(tangent plane)이라고 하고 기호 $ \mathrm { T } _ {\mathrm { p } } \mathrm { M } $ 으로 나타낸다. $ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 이 $ \mathbf { x } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right )= \mathrm { p } \in M $ 인 좌표함수라고 할 때, 다음과 같이 주어지는 곡선 \[ u \rightarrow \mathbf { x } \left (u, v_ { 0 } \right ) \] 을 $ u $-매개곡선 $ (u $-parameter curve)이라 하고 곡선 \[ \mathrm { v } \rightarrow \mathbf { x } \left (u_ { 0 } , v \right ) \] 을 $ v $-매개곡선 $ (v $-parameter curve)이라고 한다.</p> <p>\[f \circ \mathbf { y } =(f \circ \mathbf { x } ) \circ \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \mathrm { y } \right ) \] 이고 정리 $ 3.2 .1 $ 에 의해 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \mathrm { y } $ 가 미분동형사상이므로 $ f \circ \mathrm { y } $ 는 미분가능하다.</p> <p>도움정리 3.2.4</p> <p>$ f: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능한 함수이고 $ M $ 이 정칙곡면이면 $ M $ 위로의 제한함수 $ \left .f \right \|_ { M } : M \rightarrow \mathbb { R } $ 는 미분가능한 함수이다.</p> <p>증명</p> <p>$ f: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능한 함수이고 $ M $ 이 정칙곡면이면 $ M $ 위로의 제한함수 $ \left .f \right \|_ { M } : M \rightarrow \mathbb { R } $ 는 미분가능한 함수이다.</p> <p>증명</p> <p>정의 $ 3.2 .2 $ 에 의해 자명하다.</p> <p>정의 $ 3.2 .5 $</p> <p>$ M $ 과 $ \bar { M } $ 가 정칙곡면이고 $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 가 연속함수라 하자.</p> <p>(1) 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에 대하여 두 좌표함수 \[ \mathrm { x } : D \rightarrow M, \mathrm { y } : \bar { D } \rightarrow \bar { M } \] 가 존재하여 $ \mathrm { p } \in \mathbf { x } (D), \Phi( \mathrm { p } ) \in \mathrm { y } ( \bar { D } ) $ 이고 합성함수 $ \mathrm { y } ^ { -1 } \circ \Phi \circ \mathrm { x } : D \rightarrow \bar { D } $ 가 점 $ \mathrm { q } = \mathrm { x } ^ { -1 } ( \mathrm { p } ) $ 에서 미분가능할 때 연속함수 $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 가 점 $ \mathrm { p } \in M $에서 미분가능하다고 한다. 또, 연속함수 $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 가 $ M $ 의 각 점에서 미분가능할 때 $ \Phi $ 를 미분가능한 함수라고 한다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { p } \in M $ 이고 $ \mathrm { v } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 일 때, $ \mathrm { v } \cdot \nabla g( \mathrm { p } )=0 $ 임을 보이면 된다. $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 을 $ \alpha(0)= \mathrm { p } $ 이고 $ \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 인 곡선이라고 하면 $ (g \circ \alpha)(t)=c( $ 상수 $ ) $ 이므로 $ t $ 에 관해 미분하면 \[ 0= \nabla g( \mathbf { p } ) \cdot \alpha ^ {\prime } (0)= \nabla g( \mathbf { p } ) \cdot \mathbf { v } \] 한편, 정칙곡면의 정의에 의해 각 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에서 $ \nabla g( \mathrm { p } ) \neq 0 $ 이다(정리 3.1.13과 정 리 $ 3.1 .15 $ 참고).</p> <h1>3.4 제 1 기본형식과 넓이</h1> <p>$ M \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 정칙곡면이고 $ \mathrm { p } \in M $ 일 때, 접벡터 $ \mathrm { v } , \mathrm { w } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 에 대하여 내적을 \[ \langle \mathbf { v } , \mathbf { w } \rangle_ {\mathrm { p } } = \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } \] 로 정의하자. 여기서 $ \cdot $ 은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 내적을 나타낸다.</p> <p>정의 $ 3.4 .1 $</p> <p>사상 $ \mathrm { I } _ {\mathrm { p } } : T_ {\mathrm { p } } M \rightarrow \mathbb { R } , \mathrm { I } _ {\mathrm { p } } ( \mathrm { w } )= \langle \mathrm { w } , \mathrm { w } \rangle_ {\mathrm { p } } $ 를 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡면 $ M $ 의 제 1 기본형식(first fundamental form)이라고 한다.</p> <p>도움정리 3.1.1과 정의 3.1.2에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>도움정리 3.1.3</p> <p>미분가능한 함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 가 점 $ \mathrm { p } \in D $ 에서 정칙일 필요충분조건은 $ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \neq 0 $ 이다.</p> <p>정의 3.1.4</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합 $ M $ 이 각 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에 대하여 근방 $ V \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $ 과 미분가능한 함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow V \cap M $ 이 존재하여 다음 두 가지 조건을 만족시킬 때, $ M $ 을 정칙곡면(regular surface)이라고 한다.</p> <ol type=i start=1><li>(i) $ \mathrm { x } : D \rightarrow V \cap M $ 은 위상동형사상(homeomorphism)이다.</li> <li>(ii) $ \mathrm { x } $ 는 정칙사상이다.</li></ol> <p>연속함수 $ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 에 대하여 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathrm { x } (D) \subset M $ 이 전단사함수이고 그것의 역함수 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 도 연속일 때 $ \mathrm { x } $ 가 위상동형사상이라고 한다. 정의 $ 3.1 .4 $ 에서 정의된 함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow V \cap M $ 을 정칙좌표함수 또는 간단히 좌표함수(coordinate system, coordinate patch, paramerization)라고 한다.</p> <p>참고 $ 3.1 .5 $</p> <p>정의 3.1.4에서 좌표함수의 치역을 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 근방과 주어진 곡면 $ M $ 의 교집합으로 정의하였다. 그러나 $ M $ 이 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합이므로 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분위상공간으로 간주할 수 있기 때문에 $ \mathrm { x } $ 의 치역을 곡면 $ M $ 의 부분집합으로 하여도 된다. 다시 말해서, 각각의 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에 대하여 $ M $ 의 근방 $ V \subset M $ 와 위상동형인 정칙좌표함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow V $ 가 존재할 때, $ M $ 을 정칙곡면이라고 정의해도 무방하다.</p> <p>\[ (3.1.2) \mathbf { x } ( \varphi, \theta)=( \sin \varphi \cos \theta, \sin \varphi \cos \theta, \cos \varphi) \]는 $ S ^ { 2 } $ 의 정칙좌표함수가 됨을 보일 수 있다.</p> <p>식 (3.1.2)의 좌표함수 하나로 구 $ S ^ { 2 } $ 전체를 덮을 수는 없다. 즉 $ \mathrm { x } $ 는 전사사상이 아니다. 실제로 $ S ^ { 2 } - \mathbf { x } (D) $ 는 북극점 $ (0,0,1) $ 과 남극점 $ (0,0,-1) $ 을 연결하는 대원의 절반으로 그리니치 천문대를 지나는 경도 $ \mathrm { O } $ 인 곡선이다. 따라서 각 $ \varphi $ 와 $ \theta $ 를 약간 평행이동 시킴으로써 두 좌표함수를 갖고 구면 전체를 덮을수 있으므로 구면은 정칙곡면이다. 식 (3.1.2)에 있는 좌표함수를 구면좌표계(spherical coordinate system)라고 한다. 구면좌표계를 $ ( \varphi, \theta) $ 대신에 $ (u, v) $ 로 나타내면 즉, $ u= \varphi, v= \theta $ 로 나타내면 식 (3.1.2)는 \[ (3.1.3) \mathbf { x } (u, v)=( \sin u \cos v, \sin u \cos v, \cos u) \]로 나타낼 수 있다.</p> <p>보기 3.1.10</p> <p>$ C:(x-a) ^ { 2 } + z ^ { 2 } =r ^ { 2 } , r<a $ 를 $ x z- $ 평면에 놓여 있는 원이라 하자. $ z $ 축을 중심으로 원 $ C $ 를 회전시킬 때 생기는 곡면을 원환면(torus)이라고 하고 $ T ^ { 2 } $ 으로 나타낸다. 원환면은 정칙곡면이다(그림 3.6).</p> <p>풀이. 원환면의 정칙좌표함수 $ \mathrm { x } $ 는 $ 0<u, v<2 \pi $ 일 때 \[ (3.1.4) \mathbf { x } (u, v)=((a + r \cos u) \cos v,(a + r \cos u) \sin v, r \sin u) \]정의할 수 있다.</p> <p>$ 0<u, v<2 \pi $ 이므로 $ \mathbf { x } $ 는 미분가능한 단사함수이다. 또 변수 $ u, v $ 에 대한 편미분을 구하면 $ a + r \cos u \neq 0 $ 으로부터 \[ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \neq 0 \] 이므로 $ \mathrm { x } $ 는 정칙사상이다.</p> <p>좌표함수의 $ u $-매개곡선과 $ v $-매개곡선의 속도벡터가 일차독립이라는 사실과 정리 $ 3.3 .3 $ 에 의해 다음 정리가 성립한다.</p> <p>따름정리 3.3.4</p> <p>$ \mathrm { p } \in M $ 일 때, 접평면 $ T_ {\mathrm { p } } M $ 은 2 차원 벡터공간이다.</p> <p>접평면 $ T_ {\mathrm { p } } M $ 에 속하는 임의의 접벡터 $ \mathrm { v } $ 를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 위치벡터로 이해하면 두 실수 $ h $, $ k $ 에 대하여 \[ \mathbf { v } = \mathbf { p } + h \mathbf { x } _ { u } + k \mathbf { x } _ { v } \] 로 나타낼 수 있다.</p> <p>다음에는 두 곡면 사이에서 정의된 미분가능한 사상 $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 의 미분에 대하여 알아보자. 사상 $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 가 미분가능하고 $ \mathrm { p } \in M $ 이고 $ \mathrm { v } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 이라 하자.</p> <p>$ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 이 $ \alpha(0)= \mathrm { p } $ 이고 $ \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } $ 인 곡선이면 합성함수 $ \beta:= \Phi \circ \alpha $ 는 $ \beta(0)= \Phi( \mathbf { p } ) $ 인 $ \bar { M } $ 의 곡선이다. 즉, $ \beta:= \Phi \circ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow \bar { M } , \beta(0)= \Phi( \mathrm { p } ) $ 이므로 $ \beta ^ {\prime } (0) $ 는 점 $ \Phi( \mathrm { p } ) $ 에서 곡면 $ \bar { M } $ 에 접하는 접벡터가 된다. 즉, $ \beta ^ {\prime } (0) \in T_ {\Phi( \mathrm { p } ) } \bar { M } $ 이 성립한다. 이때 사상 $ \Phi $ 의 미분 $ d \Phi $ 를 \[ d \Phi_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { v } )= \beta ^ {\prime } (0) \in T_ {\Phi( \mathrm { p } ) } \bar { M } \] 로 정의한다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { p } = \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } , p_ { 3 } \right ) \in f ^ { -1 } (a) $ 라고 하자. \[ \nabla f( \mathrm { p } )= \sum_ { i=1 } ^ { 3 } \frac {\partial f } {\partial x_ { i } } ( \mathrm { p } ) \mathrm { U } _ {\mathrm { i } } ( \mathrm { p } ) \neq 0 \] 이므로 성분함수 중 적어도 하나는 $ \mathrm { O } $ 이 아니다. \[ \frac {\partial f } {\partial x_ { 3 } } ( \mathbf { p } )= \frac {\partial f } {\partial z } ( \mathbf { p } ) \neq 0 \] 이라고 가정하면 음함수의 정리(정리 2.3.15)에 의해 $ \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } \right ) $ 의 근방 $ D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 과 함 수 $ h: D \rightarrow \mathbb { R } $ 가 존재하여 모든 $ (u, v) \in D $ 에 대하여 \[ f(u, v, h(u, v))=a \] 을 만족시킨다. 따라서 $ \mathbf { x } : D \rightarrow f ^ { -1 } (a), \mathbf { x } (u, v)=(u, v, h(u, v)) $ 는 점 $ \mathrm { p } $ 근방에 서 정의된 $ f ^ { -1 } (a) $ 의 정칙좌표함수이다. $ \mathrm { p } $ 는 임의의 점이므로 $ f ^ { -1 } (a) $ 는 정칙곡면이다.</p> <p>정리 3.1.13과 같이 미분가능한 함수의 원상(preimage)으로 주어지는 곡면을 \[ M: f(x, y, z)=a \] 로 나타낸다.</p> <p>보기 3.1.14</p> <p>타원체면 \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } =1 \] 은 정칙곡면이다. 풀이. 함수 $ f $ 를 $ f(x, y, z)= \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } -1 $ 로 정의하면 타원체면 $ M $ 은 $ M: f(x, y, z)=0 $ 으로 주어진다. \[ \nabla f= \left ( \frac { 2 x } { a ^ { 2 } } , \frac { 2 y } { b ^ { 2 } } , \frac { 2 z } { c ^ { 2 } } \right )=(0,0,0) \Leftrightarrow(x, y, z)=(0,0,0) \] 이고 $ (0,0,0) \notin M $ 이므로 임의의 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에서 $ \nabla f( \mathbf { p } ) \neq 0 $ 이다. 따 라서 정리 3.1.13에 의해 타원체면 $ M $ 은 정칙곡면이다.</p> <p>정의 3.3.6</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 벡터장 $ V $ 가 곡면 $ M $ 의 각각의 점 $ \mathrm { p } $ 에서 $ V( \mathrm { p } ) \in \mathrm { T } _ {\mathrm { p } } \mathrm { M } $ 일 때 $ V $ 를 $ M $ 의 접벡터장(tangent vector field)이라고 한다.</li> <li>접벡터 $ \mathrm { z } \in \mathrm { T } _ {\mathrm { p } } \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 접평면 $ T_ {\mathrm { p } } M $ 의 모든 벡터와 수직일 때 점 $ \mathrm { p } $ 에서의 법벡터(normal vector)라고 한다.</li> <li>곡면 $ M $ 에서 정의된 벡터장 $ Z $ 가 각각의 점 $ \mathrm { p } \in M $ 에서 법벡터에 대응될 때, $ Z $ 를 $ M $ 의 법벡터장(normal vector field)이라 한다.</li></ol> <p>참고 3.3.7</p> <p>정의 3.3.6에 있는 벡터장은 국소적으로도 정의할 수 있다. 특히, 좌표함수를 이용하면 국소적 법벡터장을 쉽게 구할 수 있다. $ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 이 좌표함수이면 $ \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } $ 는 접벡터장이므로 $ \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } $ 는 (국소적) 법벡터장이다. 따라서 \[ Z=Z= \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } \] 는 $ \mathrm { x } (D) \subset M $ 에서 정의된 단위법벡터장이다.</p> <p>정리 3.3.8</p> <p>\[ M: g(x, y, z)=c( \text { 단, } c \text { 는 상수 } ) \text { 가 정칙곡면이면 그래디언트 } \nabla g= \sum_ { i=1 } ^ { 3 } \frac {\partial g } {\partial x_ { i } } U_ { i } \] 는 곡면 $ M $ 전체에서 정의된 법벡터장으로 모든 점에서 0 이 아니다.</p> <h1>3.2 좌표함수의 변환과 곡면함수의 미분</h1> <p>정칙곡면은 국소적 좌표함수로 표현되므로 곡면에 새로운 기하학적 개념을 정의하기 위해서는 좌표함수를 이용하는 경우가 종종 있다. 그러나 한 점 근방에서의 좌표함수가 유일하지는 않기 때문에 새로이 정의한 기하학적 개념이 의미가 있기 위해서는 치역이 겹치는 두 좌표함수에 대하여 그 개념이 불변이어야만 한다. 이를 위하여 우선 다음과 같은 정리가 필요하다.</p> <p>정리 3.2.1</p> <p>$ \mathrm { p } $ 를 정칙곡면 $ M $ 의 한 점이라 하자. $ \mathrm { x } : U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 과 $ \mathrm { y } : V \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 이 점 $ \mathrm { p } $ 의 좌표함수이면 $ W:= \mathbf { x } (U) \cap \mathrm { y } (V) $ 일 때 \[ \left ( \mathrm { y } ^ { -1 } \circ \mathrm { x } \right ): \mathrm { x } ^ { -1 } (W) \rightarrow \mathrm { y } ^ { -1 } (W) \] 는 미분동형사상이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { x } $ 와 $ \mathrm { y } $ 가 좌표함수이므로 $ \mathrm { y } ^ { -1 } \circ \mathrm { x } :=h $ 는 위상동형사상이고 $ \mathbf { x } $ 는 미분가능한 함수이다. $ h $ 가 미분가능하다는 것을 보이기 위해 $ \mathrm { y } ^ { -1 } : W \subset M \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이 미분가능하다는 것만 보이면 충분하다. 그러나 정칙곡면 $ M $ 또는 그것의 개부분집합에서 정의된 함수의 미분가능성을 정의하지 않았기 때문에 $ \mathrm { y } ^ { -1 } $ 이 미분가능하다는 것은 의미가 모호하다. 따라서 유클리드 공간을 도입하여 우회적으로 함수 $ h $ 가 미분가능하다는 것을 보이고자 한다. 즉, 미분가능한 함수 $ F: V \times \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 존재하여 국소적으로 $ h=F ^ { -1 } \circ \mathrm { x } $ 이고 집합 $ V \times 0=V $ 에서 $ F= \mathrm { y } $ 임을 보이자.</p> <p>정의 $ 3.2 .2 $</p> <p>$ f: M \rightarrow \mathbb { R } $ 이고 $ \mathrm { p } \in M $ 이라 하자. 좌표함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 이 존재하여 $ \mathrm { p } \in \mathrm { x } (D) $ 이고 합성함수 $ f \circ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능할 때 $ f $ 가 점 $ \mathrm { p } $ 에서 미분 가능하다고 한다. 그리고 함수 $ f $ 가 $ M $ 의 각 점에서 미분가능할 때 $ f $ 가 $ M $ 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>정의 3.2.2는 곡면의 개부분집합에서 정의된 국소적 함수에 대해서도 가능하다. $ V $를 정칙곡면 $ M $ 의 개부분집합이고 $ f: V \rightarrow \mathbb { R } $ 를 집합 $ V $ 에서 정의된 함수라 하자. 좌표함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 이 존재하여 $ \mathbf { x } (D) \subset V $ 이고 합성함수 $ f \circ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능하면 $ f $ 가 $ V $ 에서 미분가능한 함수라고 한다.</p> <p>정의에 의하면 곡면에서 정의된 함수의 미분가능성은 하나의 좌표함수에 대하여 합성함수가 미분가능하면 충분하지만 실제로 한 좌표함수와의 합성함수가 미분가능하면 임의의 좌표함수와의 합성함수가 미분가능하다. 다시 말해서 정의 3.2.2는 좌표함수와 무관하게 잘 정의된 개념이다.</p> <p>도움정리 3.2.3</p> <p>정의 $ 3.2 .2 $ 는 좌표함수의 선택에 무관한 개념이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \mathbf { x } : U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 과 $ \mathrm { y } : V \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 을 $ \mathbf { x } (U) \cap \mathrm { y } (V) \neq \phi $ 인 좌표함수라고 하고 $ f \circ \mathrm { x } : U \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능하다고 하자. 이 합성함수 $ f \circ \mathrm { y } $ 가 미분가능하다는 것을 보이면 된다.</p> <p>정리 3.1.11</p> <p>$ C: \alpha(u)=(g(u), h(u), 0), a<u<b, h(u)>0 $ 를 $ x y $-평면에 놓여 있는 곡선이라 하자. $ x $ 축을 중심으로 곡선 $ C $ 를 회전시킬 때 생기는 회전면을 $ M $ 이라 하면 $ M $ 은 정칙곡면이다(그림 $ 3.7) $.</p> <p>증명</p> <p>$ a<u<b, 0<v<2 \pi $ 일 때, 사상 $ \mathbf { x } $ 를 다음과 같이 \[ \mathbf { x } (u, v)=(g(u), h(u) \cos v, h(u) \sin v) \] 정의하면 $ \mathrm { x } $ 는 정칙좌표함수이다. $ \mathrm { x } $ 가 단사 $ (1-1) $ 인 정칙사상임을 쉽게 보일 수 있다. $ \mathbf { x } $ 의 역함수 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 을 구하기 위해 $ \mathbf { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(u, v) $ 로 놓으면 \[x=g(u), y=h(u) \cos v, \quad z=h(u) \sin v \] 이고 $ \sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } =h $ 이다. 따라서 $ v \neq \pi $ 이면 \[ \begin {aligned} \tan \frac { v } { 2 } &= \frac {\sin \frac { v } { 2 } } {\cos \frac { v } { 2 } } = \frac { 2 \sin \frac { v } { 2 } \cos \frac { v } { 2 } } { 2 \cos ^ { 2 } \frac { v } { 2 } } = \frac {\sin v } { 1 + \cos v } \\ &= \frac {\frac { z } { h(u) } } { 1 + \frac { y } { h(u) } } = \frac { z } {\sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + y } \end {aligned} \] 그러므로 \[ (3.1.7)v=2 \tan ^ { -1 } \frac { z } {\sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + y } \] 또, $ \pi- \epsilon<v< \pi + \epsilon $ 이면 \[ \begin {aligned} \cot \frac { v } { 2 } &= \frac {\cos \frac { v } { 2 } } {\sin \frac { v } { 2 } } = \frac { 2 \sin \frac { v } { 2 } \cos \frac { v } { 2 } } { 2 \sin ^ { 2 } \frac { v } { 2 } } = \frac {\sin v } { 1- \cos v } \\ &= \frac {\frac { z } { h(u) } } { 1- \frac { y } { h(u) } } = \frac { z } {\sqrt { y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } -y } \end {aligned} \] 따라서 \[ (3.1.8) \mathrm { v } =2 \cot ^ { -1 } \frac { z } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } -y } \] $ (x, y, z) $ 가 주어지면 $ v $ 가 결정되고 따라서 $ u $ 도 결정된다. 그리고 식 (3.1.7)과 (3.1.8)에 의해 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 은 연속함수이다. 그러므로 $ \mathrm { x } $ 는 위상동형사상이다.</p> <p>역함수의 정리를 이용하면 정칙곡면은 국소적으로 이변수함수의 그래프로 주어진다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 좌표함수의 정의와 역함수의 정리로부터 정리 3.1.12의 역이 국소적으로 성립함을 보일 수 있다.</p> <p>정리 3.1.15</p> <p>$ \mathrm { p } $ 를 정칙곡면 $ M $ 의 한 점이라 하면 점 $ \mathrm { p } $ 의 근방 $ V \subset M $ 가 존재하여 $ V $ 는 다음과 같은 형태의 함수 중 하나로 표현된다. \[ z=f(x, y), y=g(x, z), x=h(y, z) \]</p> <p>증명</p> <p>$ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 을 점 $ \mathrm { p } $ 근방에서의 좌표함수라 하고 $ \mathrm { x } $ 를 \[ \mathbf { x } (u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \] 로 나타내자. $ \mathrm { x } $ 가 정칙이므로 \[ d \mathbf { x } = \left ( \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \\ \frac {\partial z } {\partial u } & \frac {\partial z } {\partial v } \end {array} \right ) \] 는 단사이다. 따라서 점 $ \mathrm { q } = \mathrm { x } ^ { -1 } ( \mathrm { p } ) $ 에서 $ d \mathrm { x } $ 의 $ 2 \times 2 $ 소행렬식 중 적어도 하나는 0 이 아니므로 \[ \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right ) \neq 0 \] 이라고 가정할 수 있다. 그러면 정사영 $ \pi(x, y, z)=(x, y) $ 에 대하여 \[ \pi \circ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , \mathbf { x } (u, v)=(x(u, v), y(u, v)) \] 이고 $ \operatorname { det } (d( \pi \circ \mathbf { x } )( \mathbf { q } )) \neq 0 $ 이므로 역함수의 정리 (정리 2.3.14)를 적용하면 $ \mathbf { q } = \mathbf { x } ^ { -1 } ( \mathbf { p } ) $ 의 근방 $ V_ { 1 } \subset D $ 와 $ \pi \circ \mathrm { x } ( \mathrm { q } ) $ 의 근방 $ V_ { 2 } \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이 존재하여 \[ \left .( \pi \circ \mathbf { x } ) \right \|_ { V_ { 1 } } : V_ { 1 } \rightarrow V_ { 2 } \] 가 미분동형사상이다. $ \mathrm { x } \left (V_ { 1 } \right )=V $ 라 하면 $ \mathrm { x } $ 는 위상동형사상이고 $ V $ 는 점 $ \mathrm { p } $ 에서 곡 면 $ M $ 의 근방이다. 또, $ V $ 는 \[ \left ( \left .( \pi \circ \mathbf { x } ) \right \|_ { V_ { 1 } } \right ) ^ { -1 } : V_ { 2 } \rightarrow V_ { 1 } \] 와 $ z=z(u, v) $ 를 합성한 \[ z=z(u, v)=z(u(x, y), v(x, y)) \] 의 그래프로 주어진다. 즉, \[ V= \mathbf { x } \left (V_ { 1 } \right )= \left \{\left (x, y, z(u(x, y), v(x, y)) \mid(x, y) \in V_ { 2 } \right \} \right . \] 따라서 $ f(x, y)=z(u(x, y), v(x, y)) $ 로 정의하면 $ V \subset M $ 는 함수 $ f $ 의 그래프로 주어진다.</p> <p>$ \mathrm { q } \in \mathrm { x } ^ { -1 } (W) $ 이고 $ \mathrm { r } =h( \mathbf { q } ) \in \mathrm { y } ^ { -1 } (W) $ 라 하자.</p> <p>$ \mathbf { y } ( \bar { u } , \bar { v } )=(x( \bar { u } , \bar { v } ), y( \bar { u } , \bar { v } ), z( \bar { u } , \bar { v } )) $ 로 나타내면 $ \mathbf { y } $ 는 정칙함수이므로 정의에 의해 \[ \frac {\partial(x, y) } {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } ( \mathrm { r } ) \neq 0 \] 이라고 가정해도 된다. 이때 좌표함수 $ \mathrm { y } $ 를 사상 $ F: V \times \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 으로 다음과 같이 확장시키자.</p> <p>\[ F( \bar { u } , \bar { v } , t)=(x( \bar { u } , \bar { v } ), y( \bar { u } , \bar { v } ), z( \bar { u } , \bar { v } ) + t),( \bar { u } , \bar { v } ) \in V, t \in \mathbb { R } \] 그러면 함수 $ F $ 는 미분가능하고 $ \left .F \right \|_ { V \times 0 } = \mathrm { y } $ 이 성립한다. $ F $ 의 미분사상 $ d F_ {\mathrm { r } } $ 의 행렬식을 구하면 \[ \operatorname { det } \left ( \begin {array} { lll } \frac {\partial x } {\partial \bar { u } } & \frac {\partial x } {\partial \bar { v } } & 0 \\ \frac {\partial x } {\partial \bar { u } } & \frac {\partial x } {\partial \bar { v } } & 1 \\ \frac {\partial x } {\partial \bar { u } } & \frac {\partial x } {\partial \bar { v } } & 1 \end {array} \right )= \frac {\partial(x, y) } {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } ( \mathbf { r } ) \neq 0 \]</p> <p>곡면 $ M $ 의 방향은 위와 같은 조건을 만족시키는 좌표함수들로 곡면 $ M $ 을 덮을 수 있으면 된다.</p> <p>정의 $ 3.5.1 $</p> <p>정칙곡면 $ M $ 에 대하여 좌표함수들의 모임 $ \chi= \left \{\mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M \right \} $ 이 존재하여 다음 두 가지 조건을 만족시킬 때, $ M $ 을 가향곡면(orientable) 또는 $ M $ 은 가향이다라고 한다.</p> <p>(i) $ \bigcup_ {\mathbf { x } \in \chi } \mathbf { x } (D)=M $</p> <p>(ii) $ \mathbf { x } , \overline {\mathbf { x } } \in \chi $ 에 대하여 $ \mathbf { p } \in \mathbf { x } (D) \cap \overline {\mathbf { x } } ( \bar { D } ) $ 이면 \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } ( \mathbf { p } )>0 \] 또 조건 (i), (ii)를 만족시키는 좌표함수들의 모임을 선택했을 때 그것을 $ M $ 의 방향(orientation)이라고 하고, 이러한 선택이 불가능할 때, $ M $ 을 비가향곡면(nonorientable)이라고 한다.</p> <p>보기 $ 3.5.2 $</p> <p>미분가능한 이변수함수의 그래프는 가향곡면이다.</p> <p>풀이. $ M: z=f(x, y) $ 를 미분가능한 함수 $ f: D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 그래프라고 하면 정리 3.1.12에 의해 $ M $ 은 정칙곡면이고 단 하나의 좌표함수 \[ \mathbf { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M, \mathbf { x } (u, v)=(u, v, f(u, v)) \] 에 의해 표현되므로 정의 3.5.1의 조건 (i), (ii)를 모두 만족시킨다. 따라 서 $ M $ 은 가향곡면이다.</p> <p>보기 3.5.3</p> <p>단위구 $ S ^ { 2 } $ 은 가향곡면이다.</p> <p>풀이. $ \mathrm { n } =(0,0,1) $ 과 $ \mathrm { s } =(0,0,-1) $ 을 각각 북극점과 남극점이라고 하자.</p> <p>좌표함수를 이용하여 제 1 기본형식을 나타내 보자. $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 이 점 $ \mathrm { p } $ 근방에서 정의된 좌표함수이고 $ \mathbf { w } \in T_ {\mathrm { p } } M $ 라고 하자. 정의에 의해 곡선 $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 이 존재하여 $ \alpha(0)= \mathbf { p } $ 이고 $ \alpha ^ {\prime } (0)= \mathbf { w } $ 를 만족시킨다. 이때 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $ 로나타내면 \[ \begin {aligned} \alpha ^ {\prime } (0) &=u ^ {\prime } (0) \frac {\partial \mathbf { x } } {\partial u } + v ^ {\prime } (0) \frac {\partial \mathbf { x } } {\partial v } \\ &=u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } \end {aligned} \] 따라서 \[ \mathrm { I } _ {\mathrm { p } } ( \mathbf { w } )= \mathrm { I } _ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )= \left \langle \alpha ^ {\prime } (0), \alpha ^ {\prime } (0) \right \rangle_ {\mathrm { p } } \] \[ \quad= \left \langle u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } , u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \] \[ =u ^ {\prime } (0) ^ { 2 } \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle( \mathbf { p } ) + 2 u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle( \mathbf { p } ) + v ^ {\prime } (0) ^ { 2 } \left \langle \mathbf { x } _ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle( \mathbf { p } ) \] \[ =u ^ {\prime } (0) ^ { 2 } E( \mathbf { p } ) + 2 u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) F( \mathbf { p } ) + v ^ {\prime } (0) ^ { 2 } G( \mathbf { p } ) \]</p> <p>$ \mathrm { x } $ 가 위상동형사상임을 보이기 위해 \[(3.1.5)\quad x=(a + r \cos u) \cos v, y=(a + r \cos u) \sin v, z=r \sin u \]로 놓으면 \[(3.1.6)\quad \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =a + r \cos u, \quad \sin u= \frac { z } { r } \]</p> <p>$ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq a $ 이면 $ \frac {\pi } { 2 } \leq u \leq \frac { 3 } { 2 } \pi $ 이고 $ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } >a $ 이면 $ 0<u< \frac {\pi } { 2 } $ 또는 $ \frac { 3 } { 2 } \pi<u<2 \pi $ 이다. 따라서 $ (x, y, z) $ 가 주어지면 식 (3.1 .6)에 의해 $ u, 0<u< \pi $가 유일하게 결정되고 식 (3.1.5)로부터 $ x, y $ 와 $ u $ 를 알면 $ v, 0<v<2 \pi $ 를 구할 수 있다. $ u $ 와 $ v $ 는 모두 사인함수($\sin$)와 코사인함수 ($ \cos $)의 역함수로 주어지므로 $ \mathrm { x } $ 의 역함수 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 가 존재하고 $ \mathrm { x } ^ { -1 } (x, y, z)=(u, v) $ 로 놓으면 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 도 연속이다. 그러므로 $ \mathrm { x } $ 는 위상동형사상이다. 끝으로 $ u $ 와 $ v $ 를 평행이동 시킴으로써(3.1.4) 형태의 좌표함수 세 개를 사용하면 원환면 $ T ^ { 2 } $ 을 덮을 수 있다.</p> <p>원환면과 같이 한 축을 중심으로 곡선을 회전시킬 때 생기는 곡면을 회전면(surface of revolution)이라고 한다. 다음 정리 3.1.11에 의하면 모든 회전면은 정칙곡면이다.</p> <p>따라서 역함수의 정리에 의해 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 점 $ \mathrm { y } ( \mathrm { r } ) $ 의 근방이 존재하여 그 근방에 $ F $ 를 제한하면 $ F ^ { -1 } $ 가 존재하고 미분가능하다.</p> <p>한편, $ \mathrm { x } $ 의 연속성에 의해 점 $ \mathrm { r } $ 의 근방 $ D $ 가 $ U $ 에서 존재하여 $ \mathrm { x } (D) \subset M $ 을 만족시킨다. 함수 $ h $ 를 집합 $ D $ 에 제한하면 \[ \left .h \right \|_ { D } = \left .F ^ { -1 } \circ \mathbf { x } \right \|_ { D } \] 가 성립하므로 연쇄법칙에 의해 $ h $ 는 점 $ \mathrm { q } $ 에서 미분가능하다. 점 $ \mathrm { q } $ 는 임의의 점을 나타내므로 함수 $ h $ 는 미분동형사상이다.</p> <p>정리 3.2.1에서 $ U $ 의 좌표를 $ (u, v), V $ 의 좌표를 $ ( \bar { u } , \bar { v } ) $ 라 하면 \[ \left ( \mathbf { y } ^ { -1 } \circ \mathbf { x } \right )(u, v)=( \bar { u } (u, v), \bar { v } (u, v)) \] 와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 연쇄법칙에 의해 \[ (3.2.1) \mathbf { x } _ { u } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } \mathbf { y } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } \mathbf { y } _ {\bar { v } } , \mathbf { x } _ { v } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \mathbf { y } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \mathbf { y } _ {\bar { v } } \] 이 성립한다.</p> <p>(2) $ \Phi: M \rightarrow \bar { M } $ 가 미분가능하고 전단사사상이면서 미분가능한 역함수를 가질 때, 두 정칙곡면 $ M $ 과 $ \bar { M } $ 가 미분동형이라고 한다. 그리고 이 사상 $ \Phi $ 를 미분동형사상이라고 한다.</p> <p>보기 $ 3.2 .6 $</p> <p>단위구 $ S ^ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 $ 와 원기둥면 $ M_ { C } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 일 때, $ \mathrm { p } =(x, y, z) \in S ^ { 2 } $ 에 대하여 $ z( \mathrm { p } )=(0,0, z)= \mathrm { z } $ 로 놓자. 함수 $ \Phi: S ^ { 2 } \rightarrow M_ { C } $ 를 \[ \Phi( \mathbf { p } )= \overrightarrow {\mathrm { z } p } \cap M_ { C } \quad( \) 단, $ \mathbf { p } \neq(0,0, \pm 1)) \] 로 정의하면 \( \Phi $ 는 미분가능한 사상이다. \[ \mathbf { x } (u, v)=( \sin u \cos v, \sin u \sin v, \cos u) \] 와 \[ \mathbf { y } (u, v)=( \cos v, \sin v, v) \] 를 각각 $ S ^ { 2 } $ 의 구면좌표와 원기둥면 $ M_ { C } $ 의 좌표함수라고 하면 $ \Phi $ 의 정의에 의해 \[ \Phi \circ \mathbf { x } (u, v)=( \cos v, \sin v, \cos u) \] 이고 $ \mathrm { y } $ 의 정의에 의해 \[ ( \cos v, \sin v, \cos u)= \mathrm { y } (v, \cos u) \] 이다. 따라서 \[ \left ( \mathbf { y } ^ { -1 } \circ \Phi \circ \mathbf { x } \right )(u, v)=(v, \cos u) \] 이므로 $ \mathrm { y } ^ { -1 } \circ \Phi \circ \mathrm { x } $ 는 미분가능하다. 그러므로 정의에 의해 $ \Phi $ 는 미분가능한 사상이다.</p> <p>(1)과 (2)가 동치인 것은 1 장 5 절에서 이미 증명하였다. 한편 $ d \mathbf { x } = \left ( \begin {array} { l } \mathbf { x } _ { u } \\ \mathbf { x } _ { v } \end {array} \right ) $ 이므로 도움정리 2.3.13에 의해 (1)과 (3), (3)과 (4)가 동치이다.</p> <p>선형대수학의 이론에 의하면 점 $ \mathrm { p } = \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) \in D $ 에서 $ \mathrm { x } _ { u } \times \mathrm { x } _ { v } \neq 0 $ 일 필요충분조건은 $ \mathrm { x } $ 의 미분사상 $ d \mathrm { x } $ 의 $ 2 \times 2 $ 소행렬(minor matrix) 중의 하나가 점 $ \mathrm { p } $ 에서 역행렬이 갖는 것이다. 즉 (3.1.1)로부터 $ \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } := \operatorname { det } \left ( \begin {array} { l } \frac {\partial x } {\partial u } \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right ), \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } , \frac {\partial(x, z) } {\partial(u, v) } $ 중 하나가 점 $ \mathrm { p } $ 에서 0이 아니라는 사실과 동치이다.</p> <p>정의 3.1.2</p> <p>미분가능한 함수 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에 대하여 점 $ \mathrm { p } \in D $ 에서 $ d \mathbf { x } $ 의 계수가 2 일 때, $ \mathbf { x } $ 를 점 $ \mathrm { p } $ 에서 정칙(regular)이라고 한다. 그리고 모든 점 $ (u, v) \in D $ 에서 정칙이면 $ \mathrm { x } $ 를 $ D $ 에서 정칙이라고 한다.</p> <p>참고 3.4.4</p> <p>곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 과 $ 0 \in(a, b) $ 일 때, $ \alpha $ 의 호길이함수 $ s=s(t) $ 를 \[ s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| d u= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt {\mathbf { I } \left ( \alpha ^ {\prime } (u) \right ) } d u \] 로 정의하자. 이때 $ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) $ 이면 \[ s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt { u ^ {\prime 2 } E + 2 u ^ {\prime } v ^ {\prime } F + v ^ {\prime 2 } G } d u \] 로 주어진다.</p> <p>다음에는 곡면의 넓이에 대하여 알아보자. $ D $ 를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합이라 하자. 임의의 두 점 $ \mathrm { p } , \mathrm { q } \in D $ 에 대하여, 연속인 곡선 $ \alpha:[0,1] \rightarrow D $ 가 존재하여 $ \alpha(0)= \mathrm { p } $, $ \alpha(1)= \mathrm { q } $ 를 만족시킬 때, 집합 $ D $ 를 연결집합(connected set)이라고 한다.</p> <p>정의 3.4.5</p> <p>(1) 정칙곡면 $ M $ 의 개부분집합 $ D \subset M $ 이 연결집합이고 그 경계(boundary) $ \partial D $ 가 원 $ S ^ { 1 } $ 과 위상동형이고 유한점을 제외한 나머지 집합이 원 $ S ^ { 1 } $ 의 대응하는 점과 미분동형일 때, $ D $ 를 영역(domain)이라고 한다. 영역 $ D $ 에 대하여 $ D \cup \partial D $ 를 닫힌영역(closed domain)이라고 하고 경계 $ \partial D $ 가 원 $ S ^ { 1 } $ 과 미분동형일 때, $ D $ 를 정칙영역(regular domain)이라고 한다.</p> <p>(2) 영역 $ D \subset M $ 에 대하여 $ D $ 와 경계 $ \partial D $ 의 일부 또는 전체를 합한 형태의 집합을 곡면 $ M $ 의 일반영역(region)이라고 한다.</p> <p>보기 3.2.7</p> <p>곡면의 점을 추상적으로 표현할 수는 있지만, 곡면에서 정의된 함수를 구체적으로 표현하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 곡면은 유클리드 공간과 같은 좌표축을 갖고 있지 않기 때문이다. 따라서 함수의 표현은 좌표함수를 도입해서 할 수 밖에 없다. $ f: M \rightarrow \mathbb { R } $ 를 미분가능한 함수라 하고 $ \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 을 점 $ \mathrm { p } \in M $ 근방에서 정의된 좌표함수라 하면 함수 $ f $ 를 다음과 같이 \[ f(u, v)=f \circ \mathbf { x } (u, v) \] 나타낼 수 있다. 이 경우 함수 $ f $ 의 편도함수들은 \[ \frac {\partial f } {\partial u } = \frac {\partial(f \circ \mathbf { x } ) } {\partial u } , \frac {\partial f } {\partial v } = \frac {\partial(f \circ \mathbf { x } ) } {\partial v } , \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial u ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } (f \circ \mathbf { x } ) } {\partial u ^ { 2 } } \] 을 나타낸다. 그리고 이 편도함수들은 식 (3.2.2)와 도움정리 3.2.3에 의해 좌표함수 $ \mathrm { x } $ 의 선택과 관계가 없는 일정한 값을 갖는다.</p> <h1>3.3 접평면</h1> <p>실수의 개구간에서 정의된 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 곡선에 대한 미분은 그 점에서 곡선에 접하는 벡터가 된다. 따라서 실수의 개구간에서 곡면으로 사상되는 곡선의 미분은 그 점에서 곡면에 접한다. 정의에 의해 곡면은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합이므로 곡면으로 사상되는 곡선의 미분가능성은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 로 사상되는 곡선으로 간주하여 미분가능할 때를 말한다.</p> <p>곡면 위에서 정의된 곡선과 좌표함수와의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>도움정리 3.3.1</p> <p>$ \mathbf { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M $ 이 좌표함수이고 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 가 $ \alpha(a, b) \subset \mathbf { x } (D) $ 인 곡선 이면 \[ \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) \quad(a<t<b) \] 를 만족시키는 평면곡선 $ (u(t), v(t)):(a, b) \rightarrow D $ 가 유일하게 존재한다.</p> <p>제 1 기본형식의 계수를 이용하면, \[ \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| ^ { 2 } = \left \\| \mathbf { x } _ { u } \right \\| ^ { 2 } \mid \mathbf { x } _ { v } \\| ^ { 2 } - \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle ^ { 2 } =E G-F ^ { 2 } \] 이므로 \[ \iint_ { Q } \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| d u d v= \iint_ { Q } \sqrt { E G-F ^ { 2 } } d u d v \] 로 나타낼 수 있다.</p> <p>보기 $ 3.4 .7 $ 구면의 넓이</p> <p>반지름의 길이가 $ r $ 인 구 $ S ^ { 2 } (r) $ 의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이. $ D= \left \{ (u, v) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 0<u< \pi, 0<v<2 \pi \right \} $ 일 때, $ \mathbf { x } : D \rightarrow S ^ { 2 } (r) $ 를 \[ \mathbf { x } (u, v)=(r \sin u \cos v, r \sin u \sin v, r \cos u) \] 로 정의하면 $ \mathbf { x } $ 는 반지름의 길이가 $ r $ 인 구 $ S ^ { 2 } (r) $ 의 좌표함수가 된다. 특히, $ S ^ { 2 } (r)- \mathbf { x } (D) $ 는 구의 북극점과 남극점을 연결하는 대원의 절반으로 그 넓이는 $ \mathrm { O } $ 이다. 따라서 $ S ^ { 2 } (r) $ 의 넓이는 $ \mathbf { x } (D) $ 의 넓이와 같다. 보기 3.4.3에서와 같이 좌표함수 $ \mathrm { x } $ 의 제 1 기본형식의 계수를 구하면 \[ E=r ^ { 2 } , \quad F=0, \quad G=r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } u \] 이므로 \[ \left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\|= \sqrt { E G-F ^ { 2 } } =r ^ { 2 } \sin u \] 따라서 $ S ^ { 2 } (r) $ 의 넓이 $ A \left (S ^ { 2 } (r) \right ) $ 는 \[ A \left (S ^ { 2 } (r) \right )= \iint_ { D } r ^ { 2 } \sin u d u d v=4 \pi r ^ { 2 } \]</p> <p>보기 $ 3.4 .8 $ 원화면의 넓이</p> <p>보기 3.1.10에 있는 환원면의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이. 보기3.1.10에 의해 $ D= \{ (u, v) \mid 0<u, v<2 \pi \} $ 에서 정의된 \[ \mathbf { x } (u, v)=((a + r \cos u) \cos v,(a + r \cos u) \sin v, r \sin u) \] 는 원환면의 좌표함수가 된다. 특히, $ T ^ { 2 } - \mathbf { x } (D) $ 는 서로 만나는 두 원이고 이 원들의 넓이는 0 이므로 $ T ^ { 2 } $ 의 넓이와 $ \mathrm { x } (D) $ 의 넓이는 같다. $ \mathrm { x } $ 에 대한 제1기본형식의 계수를 구하면 \[ E=r ^ { 2 } , \quad F=0, \quad G=(a + r \cos u) ^ { 2 } \] 이므로 \[ \sqrt { E G-F ^ { 2 } } =r(a + r \cos u) \] 따라서 \[ A \left (T ^ { 2 } \right )= \iint_ { D } r(a + r \cos u) d u d v=4 \pi ^ { 2 } r a \]</p> <h1>3.5 곡면의 방향</h1> <p>유클리드 공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 방향은 순서기저의 동치류를 나타낸다. 같은 방법으로 좌표평면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 방향은 순서가 있는 일차독립인 두 벡터의 동치류로 정의한다. 이를 이용하면 정칙곡면의 접평면에 방향을 정의할 수 있다. $ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 과 $ \overline {\mathrm { x } } : \bar { D } \rightarrow M $ 이 점 $ \mathrm { p } \in M $ 근방에서 정의된 좌표함수로 $ \overline {\mathbf { x } } ^ { -1 } \circ \mathbf { x } (u, v)=( \bar { u } (u, v), \bar { v } (u, v)) $ 이면 식 (3.2.1)에 의해 \[ \mathbf { x } _ { u } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \] \[ \mathbf { x } _ { v } = \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } + \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \] 이 성립한다. 따라서 기저 $ \left \{\mathbf { x } _ {\mathrm { u } } , \mathbf { x } _ {\mathrm { v } } \right \} $ 와 $ \left \{\overline {\mathbf { x } } _ {\bar { u } } , \overline {\mathbf { x } } _ {\bar { v } } \right \} $ 가 접평면 $ T_ {\mathrm { p } } M $ 에서 같은 방향을 결정할 필요충분조건은 전이행렬의 행렬식이 양수이다. 즉, \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } = \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } & \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \\ \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } & \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \end {array} \right )>0 \]</p> <p>교집합 $ \varphi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \cap \psi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right )=S ^ { 2 } - \{\mathrm { n } , \mathrm { s } \} $ 의 한 점 $ \mathrm { p } $ 에서 야코비 행렬식이 $ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } ( \mathbf { p } )>0 $ 일 때, 교집합 전체에서 $ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } $ 이 양수임을 보이자. 야코비 행렬식은 모든 점에서 $ \mathrm { O } $ 이 아니고 $ \varphi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \cap \psi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right )= $ $ S ^ { 2 } - \{\mathbf { n } , \mathbf { s } \} $ 는 연결집합이므로 중간값의 정리에 의해 모든 점 $ \mathbf { q } \in S ^ { 2 } - \{\mathbf { n } , \mathbf { s } \} $ 에서 \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } ( \mathbf { q } )>0 \] 이어야만 한다. 그러므로 $ S ^ { 2 } $ 는 가향곡면이다.</p> <p>참고 3.5.4</p> <p>$ \mathrm { x } : D \rightarrow M $ 이 좌표함수이면 참고 $ 3.3 .7 $ 에 의해 \[ Z= \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } \] 는 $ \mathrm { x } (D) \subset M $ 에서 정의된 단위법벡터장이다. $ \overline {\mathrm { x } } : \bar { D } \rightarrow M $ 이 $ \mathrm { x } (D) \cap \overline {\mathbf { x } } ( \bar { D } ) \neq \phi $ 인 다른 좌표함수이면 \[ (3.5.1) \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } = \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } \overline {\mathbf { x } _ {\bar { u } } } \times \overline {\mathbf { x } _ {\bar { v } } } \] 이므로 $ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } $ 의 부호에 따라 $ Z $ 의 부호가 보존되거나 바뀐다.</p> <p>3장에서는 정칙곡면을 정의하고 곡면 이론에서 필요한 기본적인 개념인 접평면, 제 1 기본형식과 곡면의 넓이, 곡면의 방향성 등을 공부한다. 1장에서 배운 곡선의 정의를 살펴보면 곡면은 평면 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 개부분집합에서 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 으로 사상되는 미분가능한 함수로 정의하는 것이 자연스런 일반화처럼 보인다. 이때 곡면이 자충선(self-intersection)과 같은 이상한 현상이 생기지 않기 위해서는 함수의 조건을 강하게 해야 한다. 그러나 위상동형사상(homeomorphism)과 같이 함수의 조건을 강하게 하면 위상구조를 보존하는 성향이 강해지기 때문에 개집합의 상(image)는 개집합이 된다.</p> <p>한편, 단위구와 같은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 옹골집합(compact set)도 곡면의 범주에 포함시키는 것이 자연스럽다. 그러나 옹골집합인 단위구는 폐집합이므로 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 개부분집합에서 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $으로 사상되는 강한 조건을 갖는 하나의 함수로 표현하는 것이 불가능하다. 이러한 이유 때문에 곡면의 정의는 국소적으로 밖에 할 수 없다. 그리고 곡면을 국소적으로 정의하는 것은 미분기하학의 이론을 전개하는데 기호를 복잡하게 만들어, 이로 인해 미분기하학을 어려운 과목으로 인식하게 만드는 경향이 있다. 그러나 2장에서 공부한 다변수함수의 미분을 정확하게 이해하고 있다면 이러한 어려움은 모두 쉽게 극복할 수 있다.</p> <p>1절에서는 곡면을 국소적으로 정의하는데 필요한 함수인 좌표함수(coordinate system)를 정의하고 그것의 성질을 알아본다. 2절에서는 곡면 위에서 겹치는 두 좌표함수의 성질과 곡면함수의 미분을 다룬다. 3절에서는 곡면 이론에서 기본이 되는 접평면을 공부하고, 4 절에서는 제 1 기본형식과 넓이를 5 절에서는 곡면의 방향성에 대하여 이야기한다.</p> <h1>$ 3.1 $ 정칙곡면의 정의</h1> <p>$ D $ 가 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 개부분집합이고 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 좌표를 $ (u, v) $ 로 나타내면 $ D $ 에서 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 으로 사상되는 함수 $ \mathrm { x } : D \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $ 은 \[ \mathbf { x } (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \] 로 나타낼 수 있다. 이때, $ \mathbf { x } $ 의 성분함수 $ x, y, z $ 가 모두 미분가능 할 때 $ \mathbf { x } $ 가 미분 가능하다고 하고 이는 모든 차수의 편도함수들이 존재한다는 것을 의미한다. 따라서 $ \mathrm { x } $ 가미분 가능하면 $ \mathrm { x } $ 의 편도함수들은 $ \mathbf { x } _ { u } (u, v)= \left ( \frac {\partial x } {\partial u } (u, v), \frac {\partial y } {\partial u } (u, v), \frac {\partial z } {\partial u } (u, v) \right ) $ $ \mathbf { x } _ { v } (u, v)= \left ( \frac {\partial x } {\partial v } (u, v), \frac {\partial y } {\partial v } (u, v), \frac {\partial z } {\partial v } (u, v) \right ) $ $ \mathbf { x } _ { u u } (u, v)= \left ( \frac {\partial ^ { 2 } x } {\partial u ^ { 2 } } (u, v), \frac {\partial ^ { 2 } y } {\partial u ^ { 2 } } (u, v), \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial u ^ { 2 } } (u, v) \right ) $ 와 같이 나타낼 수 있고, $ \mathbf { x } _ { u v } , \mathbf { x } _ { v v } $ 도 같은 방법으로 나타낼 수 있다. 다른 편도함수들도 똑같이 나타낼 수 있다. 한편, 미분가능한 함수 \[ \mathbf { x } : D \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , \mathbf { x } (u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \]</p> <p>$ S ^ { 2 } - \{\mathbf { n } \} $ 에서 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 으로 사상되는 함수 $ \varphi $ 를 \[ \varphi( \mathbf { p } )= \overrightarrow {\mathrm { np } } \cap \mathbb { R } ^ { 2 } \] 로 정의하자. 매개변수를 이용하여 반직선 $ \overrightarrow {\mathrm { np } } $ 의 벡터방정식을 구하여 $ x y $ 평면과의 교점을 구하면 함수 $ \varphi $ 는 \[ \varphi(x, y, z)= \left ( \frac { x } { 1-z } , \frac { y } { 1-z } \right ) \] 로 주어진다. 3장 2절의 연습문제에 의해 $ \varphi $ 가 미분동형사상이므로 역함수 $ \varphi ^ { -1 } $ 는 단위구 $ S ^ { 2 } $ 의 좌표함수가 된다. 실제로, 역함수 $ \varphi ^ { -1 } $ 는 \[ \varphi ^ { -1 } (u, v)= \left ( \frac { 2 u } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 1 } , \frac { 2 v } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 1 } , \frac { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } -1 } { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } + 1 } \right ) \] 로 주어진다.</p> <p>한편, $ S ^ { 2 } - \{\mathbf { s } \} $ 에서 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 으로 사상되는 함수 $ \psi $ 를 $ \varphi $ 와 같은 방법으로 정의하면 $ \psi $ 도 미분동형사상이므로 $ \chi= \left \{\varphi ^ { -1 } , \psi ^ { -1 } \right \} $ 는 단위구 $ S ^ { 2 } $ 의 좌표 함수의 모임으로 $ \varphi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \cup \psi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right )=S ^ { 2 } $ 이고 $ \varphi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \cap \psi ^ { -1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right )= $ $ S ^ { 2 } - \{\mathbf { n } , \mathbf { s } \} $ 는 연결집합이다.</p> <p>여기서 $ E= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle, F= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle, G= \left \langle \mathbf { x } _ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle $ 를 제1기본형식 I의 계수라고 한다. 그리고 $ E( \mathbf { p } )= \left \langle \mathbf { x } _ { u } (u(0), v(0)), \mathbf { x } _ { u } (u(0), v(0)) \right \rangle $ 을 나타내고 $ F( \mathbf { p } ), G( \mathbf { p } ) $도 같은 의미를 나타낸다.</p> <p>보기 3.4.2</p> <p>원기둥면 $ M= \left \{ (x, y, z) \in \mathbf { R } ^ { 3 } \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \right \} $ 의 좌표함수 $ \mathbf { x } (u, v)=( \cos u, \sin u, v) $ 에 대한 제 1 기본형식을 구하여 보자. 여기서 $ \mathbf { x } $ 의 정의역 $ D $ 는 \[ D= \left \{ (u, v) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 0<u<2 \pi,- \infty<v< \infty \right \} \] 이다. \[ \mathbf { x } _ { u } =(- \sin u, \cos u, 0), \mathbf { x } _ { v } =(0,0,1) \] 이므로 $ \mathrm { x } $ 에 대한 제 1 기본형식의 계수는 \[ E=1, \quad F=0, \quad G=1 \]</p> <p>보기 3.4.3</p> <p>단위구 $ S ^ { 2 } $ 의 구면좌표함수 \[ \mathbf { x } (u, v)=( \sin u \cos v, \sin u \sin v, \cos u) \] 에 대한 제 1 기본형식을 구하여 보자. 여기서 $ \mathrm { x } $ 의 정의역은 \[ D= \left \{ (u, v) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 0<u< \pi, 0<v<2 \pi \right \} \] 이다. \[ \mathbf { x } _ { u } =( \cos u \cos v, \cos u \sin v,- \sin u) \] \[ \mathbf { x } _ { v } =(- \sin u \sin v, \sin u \cos v, 0) \] 이므로 \[ E=1, \quad F=0, \quad G= \sin ^ { 2 } u \]</p> <p>만일 $ \mathrm { p } \in \mathrm { x } (D) \cap \overline {\mathrm { x } } ( \bar { D } ) $ 에서 \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } ( \mathbf { p } )<0 \] 이면 \[ \frac {\mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } } {\left \\| \mathbf { x } _ { u } \times \mathbf { x } _ { v } \right \\| } =Z( \mathbf { p } )=- \frac {\overline {\mathbf { x } _ {\bar { u } } } \times \overline {\mathbf { x } _ {\bar { v } } } } {\left \\| \overline {\mathbf { x } _ {\bar { u } } } \times \overline {\mathbf { x } _ {\bar { v } } } \right \\| } =-Z( \mathbf { p } ) \] 가 되어 모순이다. 따라서 $ \mathbf { x } (D) \cap \overline {\mathrm { x } } ( \bar { D } ) $ 의 각 점에서 \[ \frac {\partial( \bar { u } , \bar { v } ) } {\partial(u, v) } >0 \] 이므로 $ M $ 은 가향곡면이다.</p> <p>정칙곡면은 정의에 의해 국소적으로 항상 단위법벡터장이 존재하므로 정리 3.5.5에서 법벡터장이 $ M $ 전체에서 정의되어 있다는 것이 중요하다. 또한, 모든 점에서 법벡터장이 모든 점에서 0 이 아니기 때문에 단위법벡터장이 존재하다는 것과 동치이다.</p> <p>정리 3.5.6</p> <p>$ M: g(x, y, z)=c $ 가 정칙곡면 $ M $ 은 가향곡면이다.</p> <p>증명</p> <p>정리 $ 3.3 .8 $ 에 의해 $ \nabla g= \sum_ { i=1 } ^ { 3 } \frac {\partial g } {\partial x_ { i } } U_ { i } $ 는 $ M $ 전체에서 정의된 0이 아닌 법벡터장이므로 정리 $ 3.5 .5 $ 에 의해 $ M $ 은 가향곡면이다.</p> <p>보기 3.5.7</p> <p>뫼비우스 띠는 비가향곡면이다.</p> <p>풀이. 뫼비우스 띠가 비가향곡면이라는 사실을 직관적으로 설명하기로 한다. 뫼비우스 띠는 사각형의 경계 중에서 마주보는 한 쌍의 두 선분을 방향을 바꾸어서 붙인 곡면이다. 따라서 이 사각형의 가운데에 놓여 있는 직선을 생각하고 그 직선 위에서 법벡터장을 생각하자(그림 3.23).</p> <p>법벡터장이 출발점에서 뫼비우스 띠의 바깥 방향으로 향하고 있으면 끝나는 점에서는 안쪽으로 위치하게 된다. 끝나는 점과 시작점이 같기 때문에 이러한 법벡터장은 적어도 한 점에서 0 이 되어야만 한다. 따라서 정리 $ 3.5 .5 $ 에 의해 뫼비우스 띠는 비가향곡면이다.</p>	자연
m383-교양수학	<p>예제 4</p> <p>곡선 $ x ^ {\frac { 2 } { 3 } } + y ^ {\frac { 2 } { 3 } } =1 $의 둘레의 길이를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>제 1 상한의 길이를 구하여 4배하여 전체의 길이를 구하자.</p> <p>$ L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x $ 그리고 $ x ^ {\frac { 2 } { 3 } } + y ^ {\frac { 2 } { 3 } } =1 $</p> <p>음함수의 미분에 의해서 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } + \frac { 2 } { 3 } y ^ { - \frac { 1 } { 3 } } y ^ {\prime } =0 $</p> <p>또는, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.</p> <p>$ y ^ {\prime } =- \frac { y ^ {\frac { 1 } { 3 } } } { x ^ {\frac { 1 } { 3 } } } $</p> <p>대입하면 다음과 같다.</p> <p>$ 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } =1 + \frac { y ^ {\frac { 2 } { 3 } } } { x ^ {\frac { 2 } { 3 } } } =1 + \frac {\left (1-x ^ {\frac { 2 } { 3 } } \right ) } { y ^ {\frac { 2 } { 3 } } } = \frac { 1 } { x ^ {\frac { 2 } { 3 } } } $.</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left (y ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } } d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { x ^ {\frac { 1 } { 3 } } } d x \\ L= \frac { 1 } { 1- \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) } = \frac { 3 } { 2 } \\ 4 L=6. \end {aligned} $</p> <p>(b) $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $에서 $ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $는 우함수이므로 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} A &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \\ &=2 \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \\ &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \end {aligned} $</p> <p>부분적분을 이용하기 위해서 다음과 같이 놓는다.</p> <p>$ \frac { d v } { d x } =v ^ {\prime } =-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } , v=e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } , u=-x, \frac { d u } { d x } =-1 $</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} A &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \lim _ { b \rightarrow \infty } \left \{\left [-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ]_ { 0 } ^ { b } + \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x \right \} \\ &= \frac { 2 } {\sqrt { 2 \pi } } \left (0 + \frac {\sqrt {\pi } } {\sqrt { 2 } } \right )= \frac { 2 \sqrt {\pi } } { 2 \sqrt {\pi } } =1 . \end {aligned} $</p> <h1>10.3 피적분함수가 무한대인 적분</h1> <p>지금까지 공부한 적분 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 의 조건은 다음과 같다.</p> <p>$ a, b \in \mathbb { R } $ 그리고 모든 $ x \in[a, b] $에 대해서 $ \|f(x)\|< \infty $이었다. 앞 절에서는 $ a, b \in \mathbb { R } \cup \{ - \infty, \infty \} $인 경우를 공부했다. 이번에는 $ \|f(x)\| \leq \infty $인 경우에 대해서 공부하자.</p> <h2>1. 끝점에서 피적분함수가 무한대인 경우</h2> <p>정의</p> <p>$ f(x) $가 $ [a, b) $에서 연속이고 $ \lim _ { x \rightarrow b ^ { - } } \|f(x)\|= \infty $ 일 때 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { t \rightarrow b ^ { - } } \int_ { a } ^ { t } f(x) d x $</p> <p>정의</p> <p>$ f(x) $ 가 $ (c, d] $에서 연속이고 $ \left . \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \mid f x \right ) \mid= \infty $ 일 때 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \int_ { c } ^ { d } f(x) d x= \lim _ { s \rightarrow c ^ { + } } \int_ { s } ^ { d } f(x) d x $</p> <p>예제 1</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ x \rightarrow 1 ^ { - } $일 때 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \rightarrow \infty $</p> <p>정의에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \int_ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } d x \\ &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \left [ \sin ^ { -1 } (x) \right ]_ { 0 } ^ { t } \\ &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \left ( \sin ^ { -1 } (t)- \sin ^ { -1 } (0) \right )= \frac {\pi } { 2 } . \end {aligned} $</p> <p>예제 1</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } $ 를 구하시오</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x)=x, g(x)=e ^ { x } $ 에서 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \|f(x)\|= \infty, \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x)= \infty $</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { e ^ { x } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { e ^ { x } } =0 $.</p> <p>예제 2</p> <p>다음을 증명하시오.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { 2 } } =0 $</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x)= \ln x, g(x)=x ^ { 2 } $ 에서 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty, \quad \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x)= \infty $</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\frac { 1 } { x } } { 2 x } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } =0 $.</p> <p>이 식을 일반화시키면 다음을 얻을 수 있다.</p> <p>$ n>0 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\ln x } { x ^ { n } } =0 $</p> <h2>3. $ 0 \cdot \infty $와 $ \infty- \infty $ 형태의 부정형</h2> <p>$ 0 \cdot \infty $ 는 다음의 형태로 변환하여 얻을 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} 0 \cdot \infty= \frac { 0 } {\frac { 1 } {\infty } } = \frac { 0 } { 0 } , \\ 0 \cdot(- \infty)= \frac { 0 } { - \frac { 1 } {\infty } } = \frac { 0 } { 0 } \end {aligned} $ 또는 $ \begin {aligned} 0 \cdot \infty= \frac {\infty } {\frac { 1 } { 0 } } = \frac {\infty } {\infty } , \\ 0 \cdot(- \infty)= \frac { - \infty } {\frac { 1 } { 0 } } = \frac {\infty } {\infty } \end {aligned} $</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\ln \tan x } {\sec x } = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\frac {\sec ^ { 2 } x } {\tan x } } {\sec x \cdot \tan x } \\ = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\cos x } {\sin ^ { 2 } x } =0 \end {aligned} $<p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } ( \tan x) ^ {\cos x } = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \exp \ln ( \tan x) ^ {\cos x } \\ = \exp \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \ln \tan x ^ {\cos x } \\ = \exp (0)=1. \end {aligned} $</p> <p>예제 3</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (x) ^ { x ^ { 2 } } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } x=0, \lim _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } =0 $에서 $ 0 ^ { 0 } $ 의 형태이다. $ (x) ^ { x ^ { 2 } } =y $ 로 놓으면 다음과 같다.</p> <p>$ \ln y=x ^ { 2 } \ln x= \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } $</p> <p>양변에 극한을 취하면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln y= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } = \frac {\infty } {\infty } $</p> <p>예제 1</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x)=e ^ { -x } $의 그래프는 다음과 같다.</p> <p>이때 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } d x=- \left [e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } =-e ^ { -b } + 1 $</p> <p>위의 식에서 $ b \rightarrow \infty $ 이면 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { b \rightarrow \infty } \left (1-e ^ { -b } \right )=1 $</p> <p>그 결과 다음과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x=1 $</p> <p>예제 2</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>정의에 의해 다음이 성립한다.</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x $</p> <p>이때 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ { b } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x=- \frac { 1 } { 2 } \left [e ^ { -x ^ { 2 } } \right ]_ { 2 } ^ { b } = \frac { e ^ { -4 } -e ^ { -b ^ { 2 } } } { 2 } $.</p> <p>위의 식에서 $ b \rightarrow \infty $ 이면 다음과 같다.</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ {\infty } x e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } - \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { -b ^ { 2 } } -e ^ { -4 } \right )= \frac { 1 } { 2 e ^ { 4 } } $.</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln x } { x ^ { -2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\frac { 1 } { x } } { -2 x ^ { -3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } } { -2 } =0 $.</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (x) ^ { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \exp \ln (x) ^ { x ^ { 2 } } \\ = \exp \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln (x) ^ { x ^ { 2 } } \\ = \exp (0)=1. \end {aligned} $</p> <h1>10.2 적분구간이 무한대인 적분</h1> <p>앞에서 배운 적분 $ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $는 다음 조건을 만족한다.</p> <p>$ a, b \in \mathbb { R } $ 그리고 $ \|f(x)\|< \infty $.</p> <p>일반적으로 응용분야에서는 다음과 같은 형태의 적분은 더 많이 다루게 된다.</p> <p>$ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x, \int_ { - \infty } ^ { b } g(x) d x, \int_ { - \infty } ^ {\infty } h(x) d x $</p> <h2>1. $ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x, \int_ { - \infty } ^ { b } g(x) d x $ 형태의 적분</h2> <p>정의</p></ol> <ol type=A start=1><li>$ \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $</li> <li>$ \int_ { - \infty } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { a \rightarrow- \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $</li></ol> <p>오른쪽 극한이 유한값으로 존재할 때 적분은 수렴(converge)한다고 말하고 극한값을 적분값으로 정의한다. 그렇지 않으면 적분은 발산(diverge)한다고 한다.</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \left ( \frac { x } { x-1 } - \frac { 1 } {\ln x } \right ) &= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac {\ln x + 1-1 } {\ln x + (x-1) \frac { 1 } { x } } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac { x \ln x } { x \ln x + (x-1) } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 1 ^ { + } } \frac {\ln x + 1 } {\ln x + 1 + 1 } \\ &= \frac { 1 } { 2 } . \end {aligned} $</p> <h2>4. $ 1 ^ {\infty } , \infty ^ { 0 } , 0 ^ { 0 } $ 형태의 부정형</h2> <p>로그함수를 이용하여 $ \frac { 0 } { 0 } $ 또는 $ \frac {\infty } {\infty } $ 형태로 변환하여 극한을 구할 수 있다.</p> <p>예제 1</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (1 + x) ^ {\cot x } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (1 + x)=1, \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \cot x= \infty $ 에서 $ 1 ^ {\infty } $ 형태이다. $ (1 + x) ^ {\cot x } =y $ 로 놓으면 다음과 같다.</p> <p>$ \ln y= \cot x \ln (1 + x)= \frac {\ln (1 + x) } {\tan x } $</p> <p>양변에 극한을 취하면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln y= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln (1 + x) } {\tan x } = \frac { 0 } { 0 } $</p> <p>정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\ln (1 + x) } {\tan x } &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\frac { 1 } { 1 + x } } {\sec ^ { 2 } x } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos ^ { 2 } x } { x + 1 } =1 . \end {aligned} $</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } (1 + x) ^ {\cot x } &= \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \exp \ln (1 + x) ^ {\cot x } \\ &= \exp \left ( \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \ln (1 + x) ^ {\cot x } \right ) \\ &= \exp (1)=e \end {aligned} $</p> <p>예제 2</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } ( \tan x) ^ {\cos x } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \tan x= \infty, \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \cos x=0 $ 에서 $ \infty ^ { 0 } $ 의 형태이다. $ ( \tan x) ^ {\cos x } =y $ 로 놓으면 다음과 같다.</p> <p>$ \ln y= \ln ( \tan x) ^ {\cos x } = \cos x \ln \tan x= \frac {\ln \tan x } {\sec x } $</p> <p>양변에 극한을 취하면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \ln y= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\ln \tan x } {\sec x } = \frac {\infty } {\infty } $</p> <p>정의</p> <p>다음과 같은 함수를 감마함수라고 한다.</p> <p>$ \Gamma(n)= \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x, \quad n>0 $</p> <p>정리 1</p> <p>감마함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.</p> <ol type=A start=1><li>$ \Gamma(1)=1 $</li> <li>$ \Gamma(n + 1)=n \Gamma(n) $</li> <li>$ \Gamma(n + 1)=n ! $ 단, $ n $ 은 자연수</li></ol> <p>증명</p> <p>(a) $ \begin {aligned} \Gamma(1)= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } e ^ { -x } d x \\ = \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [-e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } \\ = \lim _ { b \rightarrow \infty } \left (-e ^ { -b } + 1 \right )=1 \end {aligned} $</p> <p>(b) $ \Gamma(n + 1)= \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n } e ^ { -x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n } e ^ { -x } d x $</p> <p>부분적분의 공식에 의해서 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \Gamma(n + 1) &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left \{\left [-x ^ { n } e ^ { -x } \right ]_ { 0 } ^ { b } + n \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x \right \} \\ &=0 + \lim _ { b \rightarrow \infty } n \int_ { 0 } ^ { b } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x \\ &=n \int_ { 0 } ^ {\infty } x ^ { n-1 } e ^ { -x } d x=n \Gamma(n) \end {aligned} $</p> <p>(c) $ \begin {aligned} \Gamma(n + 1) &=n \Gamma(n) \\ &=n(n-1) \Gamma(n-1) \\ &=n(n-1) \cdots 1 \Gamma(1) \\ &=n(n-1) \cdots 1 \\ &=n ! \end {aligned} $</p> <h2>2. $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $ 형태의 적분</h2> <p>정의</p> <p>$ \int_ { - \infty } ^ { 0 } f(x) d x, \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x $가 수렴하면 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $는 수렴한다고 말하고, 그 값은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x= \int_ { - \infty } ^ { 0 } f(x) d x + \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x $</p> <p>그렇지 않으면 $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x $는 발산한다고 말한다.</p> <p>예제 1</p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } d x=1 $ 이 되도록 양수 $ k $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } d x $에서 $ \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } $는 우함수이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } d x &=2 \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } d x \\ &=2 \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { b } \frac { k } { 1 + x ^ { 2 } } d x \\ &=2 k \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [ \tan ^ { -1 } x \right ]_ { 0 } ^ { b } \\ &=2 k \lim _ { b \rightarrow \infty } \left ( \tan ^ { -1 } (b)- \tan ^ { -1 } (0) \right ) \\ &=2 k \left ( \frac {\pi } { 2 } -0 \right )=k \pi \end {aligned} $</p> <p>$ k \pi=1 $ 에서 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ k= \frac { 1 } {\pi } $.</p> <p>예제 2</p> <p>다음은 정규분포에서 사용하는 표준정규밀도함수이다.</p> <p>$ f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x=1 $</p> <p>예제 3</p> <p>다음을 구하시오.</p> <ol type=A start=1><li>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ {\infty } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $</li> <li>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ {\infty } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $</li></ol> <p>풀이</p> <p>(a) $ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x $ 에서 $ f(x)=x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $로 놓으면 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ f(-x)=-x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } $</p> <p>그 결과 다음을 만족한다.</p> <p>$ f(x)=-f(-x) $</p> <p>즉, $ f(x) $는 기함수이므로 정리에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } d x=0 $</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ { b } \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } d x>\int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x $</p> <p>그리고 $ \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x= \ln b $ 에서 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \ln b= \infty $.</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ { b } \frac {\sqrt { x ^ { 4 } + 1 } } { x ^ { 3 } } d x \rightarrow \infty $</p> <p>예제 5</p> <p>$ \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x $는 $ r \leq 1 $일 때 발산하고 $ r>1 $일 때 수렴한다.</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ r=1 $ 일 때 $ \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x } d x $가 발산함은 이미 앞에서 보였다.</p> <p>(2) $ r \neq 1 $ 일 때 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { b } \frac { 1 } { x ^ { r } } d x &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left [ \frac { x ^ { -r + 1 } } { -r + 1 } \right ]_ { 1 } ^ { b } \\ &= \lim _ { b \rightarrow \infty } \left ( \frac { 1 } { 1-r } \right ) \left ( \frac { 1 } { b ^ { r-1 } } -1 \right ) \\ &= \left \{\begin {array} { cc } \infty, & r<1 \\ \frac { 1 } { r-1 } , & r>1 . \end {array} \right . \end {aligned} $</p>	자연
텍스트 마이닝 기법을 이용한 게임 마케팅 비디오에서의 스피치 분석	<h1>3. 게임 마케팅 비디오 데이터</h1> <p>본 절에서는 게임 마케팅 비디오 데이터에 대한 배경 및 데이터의 구성에 대해 소개한다. 게임에는 다양한 장르(genre)가 존재한다. 장르에 따라 게임 마케팅 비디오의 구성 및 게임에 대한 소개가 달라지기 때문에 본 연구에서는 게임의 장르를 role playing game (RPG)으로 한정하여 분석을 진행하였다. 따라서, 본 절에서는 RPG 게임이 갖는 특징과 게임 비디오에서 추출된 스피치 텍스트 데이터의 전처리 과정을 소개한다.</p> <h2>3.1. 데이터의 배경</h2> <p>게임 마케팅 회사는 마케팅의 대상이 되는 게임을 게임 개발회사로 부터 마케팅 의뢰를 받은 후 인플루언서에게 그 게임에 대한 캠페인을 의뢰한다. 의뢰를 받은 인플루언서는 자신의 유튜브 채널에 본인만의 방식으로 콘텐츠(contents)를 제작해 업로드(upload)한다. 주로 게임을 직접 체험하며 게임 캐릭터(character)나 게임의 배경, 컨셉(concept), 이야기 구성(storyline) 등에 대해 언급하고 소개하는 형식이 대부분이며, 비디오 클립 (clip)을 이어 붙여 광고 형식으로 편집해 게임을 소개하기도 한다. 또한, 캠페인에 대한 상세 설명이나 다운로드를 원하는 뷰어(viewer)들을 위해 주로 콘텐츠 하단에 게임 회사 홈페이지로 바로 이동이 가능한 링크(link)를 보여준다. 이러한 진행 방식을 기반으로 캠페인은 크게 본인의 콘텐츠안에 캠페인을 짧게 끼워 넣는 'pre-roll' 과 온전히 하나의 콘텐츠로서 캠페인을 진행하는 'full' 방식으로 나뉘어져 있다. 본 연구에서는 캠페인 이외의 다른 콘텐츠에 대한 요인을 배제하기 위해 'full' 형식의 비디오만 분석의 대상으로 하였다. 또한, 언어적 특징에 대한 해석을 용이하게 하기 위해 영어를 사용하는 인플루언서만 추출하였으며, 게임 장르(genre)에 따라 사용되는 단어가 다를 수 있으므로 RPG 게임에 대한 마케팅 비디오만을 분석의 대상으로 하였다. RPG 게임이란 사용자(user)가 게임 캐릭터를 연기하며 여러 임무(quest)들을 수행하고 이야기를 진행시키는 형식의 게임이다. RPG 게임도 그 특징에 따라 세부적으로 나뉘는데, 대표적으로 액션의 요소에 중점을 둔 'action RPG'와 필드 내에 수십명에서 수백명의 사용자가 동시 접속하여 각자의 역할을 수행하는 'massively multiplayer online role playing game (MMORPG)'이 있다. 모험과 탐험이 주가 되는 RPG 게임의 특성 때문에, 이야기의 콘텐츠와 게임의 배경, 캐릭터의 옷차림 등과 같은 그래픽적인 요소가 사용자들의 흥미를 돋우는데 중요한 부분을 차지한다. 본 연구에서는 이러한 RPG 게임의 특성을 고려하여 마케팅 비디오 내의 인플루언서의 스피치를 텍스트로 처리하고 분석한다.</p> <p>성공한 게임 마케팅 비디오와 실패한 게임 마케팅 비디오를 구분하기 위한 기준으로 '클릭당 비용'을 이용하였고, 이는 비용을 클릭 수로 나눈 값이다. 여기서 비용은 게임 마케팅 회사가 인플루언서에게 지불하는 비용을 의미하며 클릭 수는 뷰어가 마케팅 비디오에서 게임의 상세 정보로 접속할 수 있는 링크를 실제 클릭한 횟수를 의미한다. 따라서 ‘클릭당 비용’이 낮을수록 게임 비디오를 통한 마케팅이 성공적이었음을 의미한다. 모든 비디오는 인플루언서의 스피치(speech)를 바탕으로 이루어지기 때문에 인플루언서의 스피치가 마케팅의 성패를 결정할 가능성이 높다. 이에 본 연구에서는 게임 마케팅 회사의 주된 관심의 지표의 하나인 ‘클릭당 비용'을 기준으로 하위 $ 30 \% $에 해당하는 67개의 비디오를 성공한 캠페인으로 정의하고, 상위 $ 30 \% $에 해당하는 67개의 비디오를 실패한 캠페인으로 정의하여 그 비디오들의 스피치를 탐색적으로 분석하고 비교한다.</p> <h2>3.2. 스피치 데이터의 전처리</h2> <p>인플루언서의 스피치 데이터는 유튜브에서 직접 수집되었다. 유튜브는 비디오 내의 스피치를 스크립트(script)로 변환해주는 ‘자동 자막' 기능을 제공하고 있다. 이 기능은 영어에서 가장 높은 정확도를 보인다. 통계 소프트웨어 R 에서는 비디오 링크를 기반으로 스크립트를 크롤링(crawling)해주는 'youtubecaption' 패키지가 구축되어 있어 이를 사용하여 인플루언서들의 스피치를 텍스트로 추출하였다. 이렇게 추출된 텍스트에 대해서 먼저 소문자로 통합하는 작업을 하였으며, 'very', 'so', 'too'와 같은 부사들은 제외하고 기본적인 불용어 처리를 진행하였다. 전처리 과정에서 모든 부사를 제외하지 않은 이유는 객관적인 사실을 전달하는 기사나 문서와는 다르게 인플루언서들의 과한 반응들이 뷰어들로 하여금 재미있는 요소로 작용할 수 있다고 판단하였기 때문이다. 같은 맥락에서 비속어와 감탄사, 신조어 또한 분석에서 제외하지 않았다. 스피치의 특성상 같은 의미를 지닌 단어들이 다양하게 표현되기 때문에 동의어 처리를 진행하였다. 캐릭터들의 이름과 게임 이름은 각각 'charname'과 'gamename' 으로 묶는 작업을 진행하였으며, 접속사는 제거하였다. 또한, 단어의 원형으로 변환하는 표제어 추출(lemmatization)과 접사를 제외하는 어간 추출(stemming)을 진행하였으며, 약어는 표준어로 처리하였다. 문자의 길이가 1 또는 2인 단어들은 의미를 갖는 단어만 제외하고 모두 제거하였다. 또한, 단어의 빈도가 5 이상인 경우만 추출하였다. 그 이유는 너무 적은 빈도로 나타나는 단어들은 마케팅의 성공과 실패의 특징을 나타내는데 큰 도움이 되지 않기 때문이다. 또한, bigram에 대해서도 동의어는 높은 빈도의 단어 나열로 묶는 작업을 진행하였다. 토큰화 작업은 R tokenizers 패키지를 사용하였으며, 전처리 작업 후 unigram 토큰은 5,512개, bigram은 50,268 개였다.</p> <h1>5. 결론 및 논의점</h1> <p>본 연구에서는 게임 마케팅 비디오 내의 스피치를 텍스트 데이터화하여 마케팅의 성공과 실패에 따른 스피치의 차이를 탐색적으로 비교 분석하였다. 분석 결과 성공한 캠페인의 스피치는 게임의 캐릭터와 같이 게임 자체에 집중하여 스피치를 진행하는 경향을 보였고, 감정이 잘 드러나지 않는 중립적인 의미의 어휘들을 주로 사용하였다는 것을 알 수 있었다. 또한, 성공한 캠페인의 스피치가 더욱 다양한 어휘들을 더 속도감있게 사용하였음을 알 수 있었다. 반면에 실패한 캠페인의 스피치는 게임 자체에 집중하기 보다는 게임 외적인 요소들에 대한 단어 사용이 많았으며, 주로 감탄사와 같은 감정이 드러나는 어휘들을 선택하여 사용한다는 특징을 보였다. 또한, 사용한 어휘들의 다양성은 낮았고, 상대적으로 느린 스피치 속도로 같은 단어를 반복적으로 사용하는 경향을 보인다는 것을 알 수 있었다.</p> <p>본 연구에서는 스피치를 토큰화하는데 있어 unigram과 bigram으로 나누어 분석을 진행하였는데, 토큰화 과정에서 이러한 구분없이 특정 점수를 기준으로 $ n $-그램에 추가해주는 방식으로 분석을 진행할 수도 있다. 그러한 방식은 빈도와 중요도가 어느 수준 이상인 일련의 단어들을 길이와 상관없이 유연하게 추출할 수 있다는 장점이 있으므로 향후 연구에 고려해볼 수 있을 것이다. 한편, 본 연구에서는 인플루언서의 언어적 특징을 분석하기 위해 유튜브에서 제공되는 ‘자막 자동생성' 기능을 사용하였다. 그러나 이를 이용한 스피치의 텍스트 변환은 종종 잘못된 변환을 발생시킬 수 있고, 오탈자나 줄임말, 동의어 등을 수작업을 통해 처리하여야 하였다. 이러한 기술적 한계를 보완할 수 있는 자연어 처리 기법들을 사용한다면 전처리 과정에 있어 정확도를 높일 수 있을 것이다. 본 연구에서는 게임 마케팅 비디오 내의 스피치에만 집중하여 마케팅 캠페인의 성패의 차이를 탐색적으로 찾으려고 시도하였다. 그러나, 비디오의 특성상 시각적인 요소 또한 효과적인 마케팅 캠페인을 위해 고려해야 할 대상이다. 또한, 게임 자체에 대한 정보를 갖는 데이터가 없었기 때문에 심도있는 분석에 한계가 있었다. 만일 비디오의 시각적인 요소와 더불어 게임 자체에 대한 데이터가 고려된다면 다각적으로 비디오를 통해 효과적인 마케팅을 위한 요인들에 대한 더 정확한 분석이 가능할 것으로 기대된다.</p> <h1>요 약</h1> <p>오늘날 다양한 소셜 미디어 플랫폼이 널리 퍼져 있고 사람들은 그들의 일상생활 속에서 밀접하게 그러한 플랫폼들을 이용하고 있다. 이에 따라, 많은 수의 구독자, 시청, 댓글 등을 보유한 인플루언서들은 우리 사회 속에서 큰 영향력을 가지게 되었다. 이러한 추세에 따라 많은 회사들은 그들의 상품과 서비스 판매의 촉진을 위한 마케팅 목적으로 인플루언서들을 적극 활용하고 있다. 본 연구에서는 게임 마케팅을 위한 비디오에서 인플루언서들의 스피치를 추출하고 텍스트화하여 이를 텍스트 마이닝 기술을 이용하여 탐색적으로 분석한다. 분석에 있어, 성공한 마케팅 비디오와 실패한 마케팅 비디오를 구분하고 성공, 실패한 마케팅 비디오에서 인플루언서들의 언어적 특징들을 비교 분석한다.</p> <h1>2. 분석 방법에 대한 배경</h1> <h2>2.1. 텍스트 데이터의 변환</h2> <p>텍스트(text)는 자연어로 표현 되어있기 때문에 분석에 바로 사용하기에는 용이하지 않은 형태를 가지고 있다. 따라서, 텍스트를 분석하기 위해서는 수치화시키는 변환이 선행되어야 한다. 가장 대표적인 변환 방법은 각 문서에서 단어 빈도를 집계하여 문서-단어 행렬(document-term matrix)로 변환하는 것이다. 그러나 이 행렬은 단순히 문서에 사용된 각 단어의 빈도를 나타낼 뿐 각 단어의 상대적인 중요도를 나타내지 못한다는 한계를 가지고 있다. 따라서 이를 극복하기 위해서 다양한 단어 가중치 기법들이 개발되었다. 그 중 가장 대표적인 단어 가중치가 TF-IDF 가중치이다. 여기에서 term frequency (TF)는 단어의 빈도를 나타내며 inverse document frequency (IDF)는 역문서 빈도를 나타낸다. 전체 문서 $ D $에서 $ i $번째 문서 $ d_{i} $에 속하는 $ j $번째 단어 $ w_{i j} $에 대한 TF-IDF 식은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \mathrm{TF}-\operatorname{IDF}\left(w_{i j}, d_{i}, D\right)=\operatorname{TF}\left(w_{i j}, d_{i}\right) \cdot \operatorname{IDF}\left(w_{i j}, D\right)=\log \left(F\left(w_{i j}, d_{i}\right)+1\right) \log \frac{\|D\|}{1+\left\|\left\{d_{i} \in D: w_{i j} \in d_{i}\right\}\right\|} $.<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 $ F\left(w_{i j}, d_{i}\right) $는 문서 $ d_{i} $ 안에 단어 $ w_{i j} $의 빈도를 나타내며 $ \|D\| $는 전체 문서의 수, $ \left\|\left\{d_{i} \in D: w_{i j} \in d_{i}\right\}\right\| \mid $는 단어 $ w_{i j} $가 포함된 문서의 수를 의미한다. TF에 IDF 가중치를 곱해주는 이유는 TF가 높을수록 문서에서 중요한 단어라고 생각할 수 있지만, 다른 문서에서도 자주 등장하는 단어라면 그 문서를 대표한다고 보기 어렵기 때문이다. 따라서 다른 문서에도 자주 등장하는 단어라면 IDF 가중치를 작게 줌으로써 중요도를 낮추어 줄 수 있다. 결론적으로 특정 단어의 빈도가 높을수록, 전체 문서들 중 그 단어를 포함한 문서의 수가 적을수록 TF-IDF 가중치는 커진다.</p> <p>텍스트의 분석에 있어서 텍스트를 최소한의 의미를 갖는 단어로 잘게 쪼개는 것은 단어의 의미를 잘 나타내지 못하는 표현방법이다. 예를 들어, 'oh my god'에서의 'god'의 의미와 'god makes creation'에서 god 의 의미는 다르다. 첫번째 문장에서의 'god'은 감탄사의 의미로 사용되었으며, 두번째 문장에서의 'god'은 신을 뜻한다. 이러한 한계점을 일부 보완한 방법이 $ n $-그램$ (n $-gram $ ) $이다. $ n $-그램 이란 $ n $개의 연속적인 단어 나열을 하나의 토큰(token)으로 간주하는 방법이다. $ n $이 1 일 때는 하나의 단어를 기준으로 토큰화한 것으로 이를 'unigram' 또는 '1-그램'이라고 한다. 한편, $ n $이 2 일 때는 두개의 단어를 하나의 토큰으로 간주한다는 의미로 'bigram' 또는 '2-그램'이라고 한다. 다음은 같은 문장에 대한 unigram, bigram, trigram의 한 예를 보여준다.</p> <ul> <li>Unigram: The / fat / cat / sat / on / the / mat</li> <li>Bigram: The fat / fat cat / cat sat / sat on / on the / the mat</li> <li>Trigram: The fat cat / fat cat sat / cat sat on / sat on the / on the mat</li></ul> <p>$ n $이 증가함에 따라 의미 파악이 쉬워지지만, 토큰화된 단어가 희귀해지는 문제가 심각해지므로 둘은 상보적인 관계에 있다. 따라서 적절한 $ n $을 선택하는 문제는 텍스트 분석시 필수적으로 고려해야할 문제이다.</p> <h2>2.2. 잠재적 디리클레 할당 모형</h2> <p>Blei 등 (2003)에 의해 소개된 잠재 디리클레 할당(latent Dirichlet allocation, LDA)모형은 대표적인 토픽(topic) 모형 중 하나로 텍스트의 숨겨진 의미 구조를 발견하기 위한 통계적 모형이다. LDA는 모든 문서는 잠재 주제의 혼합이며 주제는 단어들의 분포로 나타내어지기 때문에 문서-주제 분포와 주제-단어 분포를 알고 있으면 특정 문헌이 생성될 확률을 계산할 수 있다고 가정한다. LDA의 가정 하에서 구체적인 문서들의 생성 과정은 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>문서 내의 단어의 개수 $ N_{i} \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) $ 를 따른다.</li> <li>$ i $번째 문서에 대한 주제의 분포는 $ \boldsymbol{\theta}_{i} $ 는 $ \boldsymbol{\theta}_{i} \sim \operatorname{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha}), \quad i=1, \ldots, M $, 을 갖는다.</li> <li>$ k $번째 주제에 대한 단어의 분포는 $ \boldsymbol{\Phi}_{k} \sim \operatorname{Dirichlet}(\boldsymbol{\beta}), \quad k=1, \ldots, K $, 를 갖는다.</li> <li>$ i $번째 문서에 대한 $ j $번째 단어의 주제는 $ z_{i j} \sim \operatorname{Multinomial}\left(\boldsymbol{\theta}_{i}\right), \quad i=1, \ldots, M, j=1, \ldots, N_{i} $, 를 따르고, $ i $번째 문서에 대한 $ j $번째 단어는 $ w_{i j} \sim \operatorname{Multinomial}\left(\boldsymbol{\Phi}_{z_{i j}}\right), \quad i=1, \ldots, M, j=1, \ldots, N_{i} $, 를 갖는다.</li></ol> <p>우선 포아송 분포에 따라 각 문서에 들어갈 $ N_{i} $개의 단어를 결정한다. 그리고 주제의 개수 $ k $를 정한 후, 디리클레 분포에 따라 문서들에서 주제가 차지하는 구성비 $ \theta_{i} $를 생성한다. 그 구성비가 정해지면, 각 단어들에 주제 $ z_{i j} $를 할당한다. 그 후 할당된 주제의 단어 확률 분포 $ \boldsymbol{\Phi}_{k} $를 고려하여 단어를 추출한다. 이와 같이 LDA 모형은 문서들에 대해 생성적인 모형(generative model)을 가정한다.</p> <p>한편, LDA모형의 모수를 추정하기 위해서는 문서-주제 분포와 주제-단어 분포의 결합 분포를 이용한 추정 과정이 필요한데, 본 연구에서는 Porteous 등 (2008)이 소개한 깁스 샘플링(Gibbs sampling) 방법을 사용한다. LDA모형의 추정 과정은 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>모든 문서의 각 단어에 임의의 주제를 배정한다.</li> <li>모든 단어에 배정된 주제를 이용하여 문서-주제 분포와 주제-단어 분포를 형성한다.</li> <li>단어 $ w_{i j} $를 제거한다.</li> <li>단어 $ w_{i j} $에 대한 문서-주제 분포와 주제-단어 분포를 계산한 후, 두 분포의 결합 확률을 계산해 주제를 다시 선정하고 단어에 재배정한다.</li> <li>모든 단어들에 대해 3-4단계를 반복한다.</li></ol> <h1>4. 텍스트 마이닝을 통한 스피치 분석</h1> <p>본 절에서는 텍스트 마이닝 기법을 이용하여 성공한 게임 마케팅 비디오와 실패한 게임 마케팅 비디오의 스피치를 비교 분석한다. 우선 전체적인 비디오 내의 스피치 차이를 비교 분석하고, 스피치에서 사용된 어휘의 분석을 통해 언어적 특징을 비교한다. 또한, LDA 모형을 이용하여 성공한 비디오와 실패한 비디오의 스피치에 대한 주제를 분석한다.</p> <h2>4.1. 비디오 정보 분석</h2> <p>우선 구체적인 비디오 내에서의 스피치를 분석하기에 앞서 성공한 마케팅 비디오와 실패한 마케팅 비디오의 전체적인 비디오의 길이, 비디오 내 스피치에서 사용된 총 단어의 수, 스피치의 속도를 비교하였다. 각 게임 마케팅 비디오의 길이는 최대 1,500초(약 25 분) 정도이며 평균적으로 10분 내외의 길이였다. Figure 1과 Table 1을 보면 전반적으로 성공한 비디오의 길이가 실패한 비디오에 비해 평균적으로 약 1 분(53.72초) 가까이 짧은 것으로 나타났고 $ t $-검정의 결과 또한 성공한 비디오가 유의하게 더 짧다는 것을 보여준다. 비디오 내에서 사용된 총 단어의 수에 대해서는 마케팅이 성공한 비디오가 더 적은 수의 단어를 사용한 것으로 나타났지만 그 차이는 평균적으로 3.71단어로 그리 크지는 않았다. 마지막으로 비디오에서 사용된 총 단어의 수를 비디오의 길이로 나눈 것을 스피치의 속도라고 정의하고 그 결과를 살펴보았다. 스피치의 속도는 인플루언서가 캠페인을 얼마나 긴장감있게 진행하는지와 관련있는 요소라고 할 수 있다. Figure 1(c)를 보면 성공한 캠페인의 스피치의 속도가 실패한 캠페인보다 확연히 빠르다는 것을 알 수 있다. 즉, 소개하는 게임에 대한 뷰어의 관심을 끌기 위해 인플루언서의 말의 속도가 마케팅 성공의 중요한 요소 중 하나일 수 있음을 알 수 있다.</p> <h2>4.2. 어휘 분석</h2> <p>마케팅이 성공한 비디오와 실패한 비디오들의 스피치에서 사용된 어휘들을 비교하기 위해 워드 클라우드(word cloud)를 통해 시각적으로 살펴볼 수 있다. 그러나 워드 클라우드가 보여주는 단어들은 절대적인 빈도에 의존해서 나타난다는 문제가 있다. 이는 비디오의 길이가 더 길수록 절대적인 단어의 빈도가 높아진다는 점을 고려할 때 워드 클라우드보다는 더 세밀한 분석이 요구된다. 따라서, 본 연구에서는 성공한 캠페인 그룹과 실패한 캠페인 그룹의 스피치에서 사용된 단어들의 TF-IDF 값을 각각 계산하여 그 차이가 큰 단어들을 추출하였다.</p> <p>Figure 2는 unigram과 bigram에 대한 성공한 캠페인과 실패한 캠페인의 TF-IDF 값에 대한 결과를 보여준다. Figure 2에서 단어의 순서는 TF-IDF 값의 차이의 절대값이 큰 순서를 따른다. Figure 2(a)에서 보는 바와 같이 'tokyo', 'secred', 'idol', inflict'와 같은 단어들이 성공한 캠페인에서 더 중요한 단어들로서 사용되었고, 반면에 실패한 캠페인에서는 'taker', 'unlimited', 'perry'와 같은 단어들이 상대적으로 중요하게 사용되었음을 알 수 있다. 그러나 unigram은 단 하나의 단어들만 보여주기 때문에 성공한 캠페인과 실패한 캠페인에서 상대적으로 큰 TF-IDF의 차이를 보인 단어들의 의미를 해석하는 것은 쉽지 않다. 따라서, unigram보다 상대적으로 의미 파악에 강점이 있는 bigram 기반으로 TF-IDF의 차이가 큰 단어들을 추출하였고 그 결과를 Figure 2(b)에서 볼 수 있다. Figure 2(b)에서 보듯이 성공한 캠페인에서는 'tokyo ghoul', 'magic girl', 'become magic', 'auto chess', 'learn control', 'nature change', 'sacred guardian'과 같이 게임을 진행하며 보이는 괴물, 마법사, 수호자 등과 같은 캐릭터에 대해 직접적인 언급을 하는 것을 알 수 있다. 상대적으로 실패한 캠페인에서는 'gaming industry', 'system reach', 'friend help', 'redirect website', 'website beta' 등과 같이 게임 자체의 캐릭터나 내용보다는 게임의 시스템이나 외부 요인들에 대한 단어들의 중요도가 높은 것으로 보인다.</p> <p>Figure 3은 성공한 캠페인과 실패한 캠페인 집단에서 전체 단어 중 해당 감정이 차지하는 비율을 나타낸 막대 그래프이다. 감정분석(sentiment analysis)은 어떤 주제에 대한 발화자의 의견, 감정, 태도를 텍스트에서 추출하는 작업을 말한다. 감정의 분류는 R tidytext패키지에 구축되어있는 nrc감정사전과 bing 감정사전을 이용하였다. nrc감정사전은 ‘긍정(positve)', '기대(expectation)', '기쁨(pleasure)', '놀람(surprise)', '두려움(fear)', '믿음(belief)', '부정(negative)', '슬픔(sorrow)', '역겨움(disgusting)', '화남(anger)' 총 10 가지의 분류로 되어있으며, bing감정사전은 ‘긍정'과 ‘부정’ 두 가지로만 분류한다. 각 사전은 각각 13,901 개, 6,786 개의 어휘를 분류하고 있고 본 연구에서는 두 개의 사전을 병합하여 사용하였다. 또한, lexicon 패키지에 48,277 개의 속어를 분류한 사전도 함께 활용하였다. 한편, 모든 단어들이 감정을 갖는 것은 아니기 때문에 감정사전에 존재하지 않는 단어들은 ‘중립(neutral)'의 범주로 따로 분류하였다. 하나의 단어는 여러가지 감정의 분류에 속할 수 있다. 예를 들면, 'oh'라는 단어는 ‘긍정', '기대', ‘믿음', '기뻼' ' '두려움', '부정'의 범주에 모두 속한다. Figure 3(a)에서 보듯이 전체 단어를 고려하여 감정분류를 했을때 두 집단간 감정의 차이는 없는 것으로 보인다. Figure 3(b)는 TF-IDF 차이가 큰 200개 단어만 고려하여 감정을 분류하여 보았다. 성공한 캠페인에서는 절반이 넘는 $ 61.8 \% $의 단어가 ‘중립'의 범주에 속해있는 반면, 실패한 캠페인에서는 감정을 나타내는 단어가 절반 이상을 차지한다는 것을 알 수 있다. 이는 앞선 해석들과 같은 맥락에서 성공한 마케팅 비디오에서는 전반적으로 게임 캐릭터나 스킬 등과 같은 게임 자체에 집중하여 설명하되 게임에 대한 감정적인 주관적 평가는 뷰어에게 맡기는 경향이 있는 것으로 해석할 수 있다.</p> <p>Figure 4(a)는 성공한 비디오와 실패한 비디오의 스피치에서 고유단어(unique term)들의 개수를 보여준다. 이는 인플루언서의 스피치의 어휘가 얼마나 다양한지를 나타낸다. Figure 4(a)에서 보듯이 전반적으로 성공한 캠페인의 비디오의 스피치가 실패한 캠페인에 비해 더 다양한 어휘를 사용하고 있음을 알 수 있다. Figure 4(b)와 (c)는 각각 unigram과 bigram에 대한 어휘의 밀도를 보여주고 있다. 어휘의 밀도란 고유단어 개수를 총 단어 개수로 나눈 값으로, 어휘의 밀도가 낮을수록 같은 단어를 반복해서 말하는 경향이 있는 것으로 파악할 수 있다. Figure 4(b)와 (c)에서 가로축은 어휘 밀도이며 세로축은 어휘 밀도에 대한 문서의 빈도를 의미한다. Figure 4(b)와 (c)에서 보듯이 unigram과 bigram 모두에 대해 실패한 캠페인의 스피치가 어휘의 밀도가 낮은 곳에 많이 분포하는 것을 알 수 있다. 이는 실패한 캠페인의 스피치가 어휘를 반복적으로 사용했음을 의미하고, 반복적인 어휘 사용은 스피치의 긴장감을 떨어뜨리는 것으로 해석될 수 있다.</p> <p>결론적으로 성공한 게임 캠페인의 스피치는 게임의 캐릭터와 같이 게임 자체에 집중하는 경향을 보였고, 감정이 잘 드러나지 않는 중립적인 의미의 어휘들을 주로 사용하였다는 것을 알 수 있다. 또한, 성공한 캠페인의 스피치가 더 다양한 어휘들을 사용하였음을 파악할 수 있다. 반면에 실패한 캠페인의 스피치는 게임 자체에 집중하기 보다는 게임 외적인 요소들에 대한 단어 사용이 많았으며, 주로 감정이 드러나는 어휘들을 선택하여 사용하였다. 또한, 그 사용한 어휘들의 다양성은 낮았고, 같은 단어를 반복적으로 사용하는 경향을 보였다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>오늘날 우리는 다양한 플랫폼(platform)의 소셜 미디어(social media)에 노출되어 살고 있으며 사람들은 일상생활 속에서 이러한 플랫폼들을 밀접하게 사용하고 있다. 이러한 여러 소셜 미디어 플랫폼 중의 하나인 유튜브(YouTube)는 오늘날 전세계적으로 가장 많은 사용자를 보유하고 있으며 가장 많이 이용되는 비디오 공유 플랫폼으로 성장하였다. 유튜브의 가장 큰 장점 중 하나는 익명성이 보장 되어 사람들의 솔직한 의견이나 감정을 수집할 수 있고, 스포츠(sports), 엔터테인먼트(entertainment), 게임(game), 제품 후기(product review), 요리(cooking) 등 다양한 분야에 대한 콘텐츠를 보유하고 있다는 점이다. 이러한 특징들을 반영하여 유튜브 비디오(video)의 댓글을 이용해 감정 분류 시스템을 구축하거나 (Madden 등, 2013) 유튜브 비디오의 콘텐츠(contents)를 이용하여 비디오의 범주를(category) 분류하는 시스템을 구축하는(Zhang 등, 2011)것을 목적으로 하는 연구들이 선행되었다.</p> <p>이러한 플랫폼의 큰 성장으로 인해 오늘날 유튜브는 제품의 홍보와 광고 수단으로써 적극 활용되고 있고, 이러한 시장의 흐름에 따라 새로운 직업이 생성되고 있는데 그 대표적인 것 중 하나가 미디어 인플루언서(media influencer)이다. 여기에서 인플루언서란 'influence + er' 의 합성어로 타인에게 영향을 미치는 유명인이라는 의미를 갖는다. 이들은 인스타그램(Instagram), 유튜브 등과 같은 미디어 플랫폼에서 수만, 수백만 이상의 구독자를 보유하며 연예인뿐만 아니라 쇼핑몰 사업가, 회사원 등 일반인 모두를 포괄하는 의미로 사용되고 있다. 크리에이터(creator)라고도 불리는 이들은 자신만의 채널(channel)에 특정 콘텐츠를 직접 창작하고, 실시간 방송, 댓글 등을 통해 뷰어(viewer)들과 소통하는 과정에서 친밀감을 형성하며 자신을 브랜드(brand)화 한다. 소비자이자 생산자인 인플루언서들은 상품, 서비스에 대해 솔직하고, 재미있는 언어적 표현들로 상업적인 홍보 방식에 지친 사람들의 구매 욕구를 자극한다. 이러한 인플루언서들의 사회적 파급력이 커짐에 따라 많은 기업에서는 인플루언서들을 마케팅(marketing) 목적으로 적극 활용하고 있다.</p> <p>본 연구에서는 게임 마케팅(game marketing)을 위한 비디오에서 인플루언서들의 스피치(speech)를 추출하고 다양한 텍스트 마이닝(text mining) 기법을 이용하여 탐색적으로 분석한다. 우선 분석을 위해 게임 마케팅 비디오들을 성공한 마케팅 캠페인(campaign)과 실패한 마케팅 캠페인으로 구분하고, 성공한 마케팅 비디오와 실패한 마케팅 비디오에서 인플루언서들의 언어적 특징들을 비교 분석하고자 한다. 본 연구는 미국 실리콘밸리(Silicon Valley)에 위치한 인플루언서 마케팅 회사인 'GG Content influencer marketing'으로 부터 제공받은 실제 게임 마케팅 데이터와 그 데이터에 대한 유튜브 비디오를 이용하여 분석을 진행하였다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서는 텍스트 데이터의 변환 방법과 주제어 추출을 위한 토픽(topic)모델링 기법을 소개한다. 3 절에서는 게임 비디오 데이터와 전처리 과정에 대해 설명하고, 4절에서는 텍스트 마이닝 기법을 이용하여 성공한 마케팅 비디오와 실패한 마케팅 비디오 집단의 언어적 특징을 비교 분석한다.</p> <h2>4.3. 토픽 분석</h2> <p>성공한 캠페인과 실패한 캠페인의 스피치에서 토픽별 분포에 대한 차이가 있는지를 알아보기 위해 LDA 모형의 적합을 시도하였다. 먼저 토픽의 개수를 정하기 위해 Newman 등 (2010)에 의해 소개된 pointwise mutual information (PMI) 기반의 주제 일관성 지표를 적용해 보았다. PMI 기반의 주제 일관성 지표는 다음과 같다.</p> <p>$ \operatorname{PMI}\left(w_{u}, w_{v}\right)=\log \frac{P\left(w_{u}, w_{v}\right)}{P\left(w_{u}\right) P\left(w_{v}\right)}, \quad u \neq v $,<caption>(4.1)</caption></p> <p>여기서 $ P\left(w_{u}, w_{v}\right) $는 전체 문서에서 단어 $ w_{u} $와 $ w_{v} $가 동시에 나올 확률이며, $ P\left(w_{u}\right) $는 단어 $ w_{u} $가 전체 문서에서 나올 확률이다. 이 지표가 높을수록 의미적으로 유사한 단어들끼리 일관성있게 잘 모여있음을 의미한다. Unigram과 bigram에 대해 토픽의 개수에 대한 일관성 지표를 계산해 본 결과, unigram의 경우 3개의 토픽에서 bigram은 4개의 토픽에서 가장 높은 일관성을 보였다. 선택된 토픽의 개수에 대해 R topicmodels 패키지를 사용하여 LDA 모형을 적용하였고, 문서-주제 분포와 주제-단어 분포를 얻었다. Table 2는 주제-단어 분포에서 각 토픽에 대해 높은 확률로 할당된 상위 15개의 unigram과 bigram 단어들을 순서대로 보여준다.</p> <p>이러한 높은 확률을 갖는 단어들로 부터 각 토픽의 특징을 유추해볼 수 있다. Unigram의 경우 토픽 1은 ‘영웅(hero)', '보스(boss)'등 게임에 등장하는 캐릭터에 대한 언급과 ‘물건(stuff)', '던전(dungeon)', '보상(reward)', '포인트(point)', '기어(gear)', '수집하다(collect)'등의 단어를 높은 비중으로 사용하며, 이는 여러 캐릭터의 특징과 아이템(item) 수집, 보상을 얻는 방법에 대한 토픽으로 볼 수 있다. 토픽 2 에서는 '전투(combat)', '시스템(system)', '괴물(monster)', '무기(weapon)'와 같은 단어들이 높은 확률을 차지한 것으로 보아 무기를 사용해 괴물과 대전하는 게임의 전투 시스템에 대한 토픽으로 특징 지을 수 있다. 한편, 토픽 3은 '좋은(good)', '헛소리(bulllshit)', '신(god)', '친구(dude)', '야(hey)'와 같이 주로 게임 진행과정에서 표현할 수 있는 다양한 감탄사 또는 감정을 나타내는 단어들을 많이 볼 수 있다.</p> <p>Bigram의 경우 토픽 1 에서는 'pvp 모드(pvp mode)'가 높은 확률로 나타난 것을 볼 수 있다. 여기에서 pvp는 player versus player 를 의미하는 단어로 게임에서 서로 다른 사용자의 캐릭터 간 대전을 의미한다. 또한, '스타 영웅(star hero)', '레이드 보스(raid boss)' 등 캐릭터의 특징에 대해 언급하거나 '현금 거래시장(cash market)', '멋진 물건(awesome stuff)', '경험치(experience point)' 등 아이템을 거래하거나 경험치를 얻는 방법 등에 대한 언급도 볼 수 있다. 한편, RPG 게임의 가장 큰 특징인 모험을 구현하기 위해 연관성이 있는 사건 들을 하나로 묶는 퀘스트(quest)를 진행하는데, '퀘스트 완료(complete quest)' 단어를 통해 모험 진행 방법에 대한 토픽이라고 파악해 볼 수 있다. 토픽 4는 '무료 체험(day trial)', '하루 무료(free day)'와 같이 캠페인 프로모션(promotion)에 대한 언급과 더불어 '전투 방식(combat system)', '액션 전투(action combat)'를 통해 캐릭터나 몬스터와의 대결 방식, '특별한 던전(special dungeon)', '열린 세계(open world)'를 통해 모험 배경에 대해 서술하는 토픽으로 볼 수 있다. 한편, 토픽 2와 3에서는 다른 주제들과 비교했을 때 '나쁜 사람(bad boy)', '신이시여(oh god)', '오 멋지다(awesome oh)', '좋아 좋아(good good)', '헛소리(holy bullshit)', '잘했어(goodjob)'와 같은 감탄사 어구가 많이 등장한다.</p> <p>Unigram에 대한 문서-주제 분포에서 각 토픽별 할당 확률이 높은 비디오들을 살펴본 결과 토픽 1과 2에서는 성공한 캠페인들이 주로 할당되었고, 토픽 3에서는 실패한 캠페인들이 주로 할당되었음을 알 수 있었다. 이는 4.2절의 어휘 분석의 결과와 일치하는 면을 보여주는데, 토픽 1과 2는 게임과 직접적인 연관성이 높은 단어들이 높은 확률을 가지므로 게임 캐릭터나 게임 자체에 대한 단어들을 많이 사용한 성공한 캠페인의 스피치의 특징을 반영한다고 볼 수 있다. 반면에 토픽 3은 감탄사 또는 감정 표현에 대한 단어들이 주로 나타나는데 이는 실패한 캠페인의 스피치의 특징이라 할 수 있다. Bigram에 대해서도 문서-주제 분포에서 각 토픽별 할당 확률이 높은 비디오들을 살펴보았는데, 전반적으로 성공한 캠페인과 실패한 캠페인의 뚜렷한 차이를 발견하기는 어려웠다.</p>	자연
복소해석학 개론	<p>정리 $ 3.13 $ 함수 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 해석적이면, $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 는 $ D $ 에서 조화적이다.</p> <p>증명 $ f(z) $ 가 $ D $ 에서 해석적이므로, $ f ^ {\prime } (z) $ 가 $ D $ 에서 존재하고 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 는 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. 또 $ f(z) $ 가 $ D $ 에서 해석적이면 연속인 모든 계수 의 도함수를 가지므로, $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 도 각각 2 계편도함수를 갖는다. 그러면 Cauchy-Riemann 방정식</p> <p>\[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } , \quad \frac {\partial v } {\partial x } =- \frac {\partial u } {\partial y } \] 로부터 \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial x \partial y } , \quad \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y ^ { 2 } } =- \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial y \partial x } , \quad \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial x ^ { 2 } } =- \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } , \quad \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y \partial x } \] 이고, 이들 각각은 모두 연속이므로 편미분의 순서와는 무관하다. 따라서 \[ \begin {array} { l } \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial x \partial y } - \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial y \partial x } =0 \\ \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } v } {\partial y ^ { 2 } } =- \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } + \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y \partial x } =0 \end {array} \] 이 되어 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 는 $ D $ 에서 조화적이다.</p> <p>예 5 함수 \[ f(z)= \left \{\begin {array} { lc } z \neq 0 \text { 이 면 } & \frac { x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ z=0 \text { 이면 } & 0 \end {array} \right . \] 에 대하여 $ \left \| \frac { x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| \leq \left \| \frac { x \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| $ 이 되어 $ \|f(z)\| \leq\|x\| $ 이므로 원점에서 연속이고, \[ \frac {\partial f(0,0) } {\partial x } = \frac {\partial f(0,0) } {\partial y } =0 \] 이므로 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. 그러나 직선 $ y=m x $ 에서 \[ \frac { f(h + i m h)-f(0) } { h + i m h } = \frac { m ^ { 2 } h ^ { 3 } / \left (1 + m ^ { 2 } \right ) h ^ { 2 } } { h + i m h } = \frac { m ^ { 2 } } { (1 + i m) \left (1 + m ^ { 2 } \right ) } \] 이 되어 $ m $ 과 독립적인 하나의 값으로 접근할 수 없다. 그러므로 $ f ^ {\prime } (0) $ 은 존재하지 않는다.</p> <p>복소수 $ z=x + i y $ 에 관한 함수 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 를 $ z=r e ^ { i \theta } ( \neq 0) $ 을 적용하 여 극형식으로 표현할 수 있다. $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 이므로 $ f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) $ 로 변환할 수 있다. 다음 정리에서 실수부와 허수부가 각각 $ x $ 와 $ y $, 그리고 $ r $ 과 $ \theta $ 에서 연속인 편도함수를 가지는 복소함수 $ f(z) $ 의 극형식에 대한 Cauchy-Riemann 방정식을 얻는다.</p> <p>함수 $ f(z) $ 가 점 $ z $ 에서는 해석적이 아니지만 $ z $ 의 모든 근방에서 해석적인 점이 존재 하면, $ z $ 를 그 함수의 특이점(singular point)이라 한다.</p> <p>예 1 (a) $ f(z)=z ^ { 2 } $ 은 모든 점에서 해석적이고, 따라서 정함수이다.</p> <p>(b) 다항함수는 모든 점에서 해석적이고 정함수이다.</p> <p>(c) $ f(z)= \frac { 1 } { 1-z } $ 은 $ z=1 $ 을 제외한 모든 점에서 해석적이다. $ z=1 $ 이 특이점이다.</p> <p>(d) $ f(z)=x ^ { 2 } y ^ { 2 } $ 는 각 좌표축에서만 미분가능하므로, 이 함수는 어떠한 점에서도 해 석적이 아니고 특이점도 없다. 두 함수가 한 영역에서 해석적이면, 그들의 합과 곱, 그리고 분모가 0 이 되지 않는 점에서 그들의 상도 해석적이다. 다항식들의 상도 분모가 0 이 되지 않는 임의의 영역에서 해석적이다. 또 연쇄법칙에 의하여 두 해석함수의 합성함수도 해석적이다.</p> <p>3.3절에서 Cauchy-Riemann 방정식은 만족하지만 미분가능하지 않는 함수들을 보 았다. 이제 함수의 해석성에 대한 충분조건을 제시한다.</p> <p>정리 $ 3.10 f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 정의되고 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 의 모 든 1 계편도함수가 존재하여 $ D $ 의 모든 점에서 연속이고 Cauchy-Riemann 방정식 \[ \frac {\partial y } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } , \quad \frac {\partial u } {\partial y } =- \frac {\partial v } {\partial x } \] 를 만족하면, $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 해석적이다.</p> <p>증명 임의의 실수 $ h $ 와 $ k $ 에 대하여 $ \Delta z=h + i k $ 라 하자. 그러면 $ D $ 에 있는 임의의 점 $ z $ 에 대하여 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } \] 가 존재함을 보이면 된다. $ D $ 가 영역이므로, $ z + \Delta z=z + (h + i k) \in D $ 인 충분히 작은 $ h $ 와 $ k $ 를 택할 수 있다. 그러면 \[ f(z + \Delta z)-f(z)=u(x + h, y + k)-u(x, y) + i[v(x + h, y + k)-v(x, y)] \] 이다. $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 의 1 계편도함수가 연속이라 하였므로, 2 변수에 대한 실함수의 전미분에 의하여</p> <p>예 14 (a) 예 12 의 $ f(z)=z ^ { 3 } $ 은 $ \mathbb { C } $ 에서 연속이다.</p> <p>(b) 예 $ 13( \mathrm { a } ) $ 의 $ f(z)= \bar { z } $ 은 $ \mathbb { C } $ 에서 연속이다.</p> <p>정리 $ 3.3 f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 를 $ z_ { 0 } $ 의 어떤 근방에서 정의된 복소함수라 하자. $ f(z) $ 가 $ z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } $ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이다.</p> <p>증명 극한의 정리 $ 3.1 $ 과 연속의 정의에 의하여 자명하다.</p> <p>다음 정리는 함수의 연속에 대한 수열판정법이다.</p> <p>정리 3.4 영역 $ D $ 에서 정의된 함수 $ f(z) $ 가 점 $ z_ { 0 } \in D $ 에서 연속이기 위한 필요충분조건 은 $ z_ { 0 } $ 로 수렴하는 $ D $ 의 모든 수열 $ \left \{ z_ { n } \right \} $ 에 대하여 수열 $ \left \{ f \left (z_ { n } \right ) \right \} $ 이 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 로 수렴하는 것이다.</p> <p>증명 $ \Leftrightarrow f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이라 하자. 그러면 주어진 $ \epsilon>0 $ 에 대하여, \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta, z \in D \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. 이제 $ \left \{ z_ { n } \right \} $ 이 $ z_ { 0 } $ 로 수렴한다고 하자. 그러면, $ n>N $ 에 대하 여 $ \left \|z_ { n } -z_ { 0 } \right \|< \delta $ 인 $ N $ 이 존재하고, 연속성에 의하여 $ n>N $ 이면 $ \left \|f \left (z_ { n } \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon $ 이다. $ \epsilon>0 $ 은 임의이므로, 수열 $ \left \{ f \left (z_ { n } \right ) \right \} $ 은 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 로 수렴한다. $ \Leftrightarrow f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ N \left (f \left (z_ { 0 } \right ) ; \epsilon \right ) $ 은 $ z_ { 0 } $ 의 어떠한 근방의 상도 포함하지 않는다. 이는 $ z_ { n } \in N \left (z_ { 0 } ; 1 / n \right ) \cap D $ 이 고 $ f \left (z_ { n } \right ) \notin N \left (f \left (z_ { 0 } \right ) ; \epsilon \right ) $ 인 점들의 수열 $ \left \{ z_ { n } \right \} $ 을 찾을 수 있다는 것이다. 따라서 $ \left \{ f \left (z_ { n } \right ) \right \} $ 은 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 로 수렴하지 않지만 $ \left \{ z_ { n } \right \} $ 는 $ z_ { 0 } $ 로 수렴하는 수열이 존재하게 된다. 이는 가정에 모순이다.</p> <p>예 $ 3(0,0) $ 이 아닌 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y)= \frac { 2 x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 이라 하자. 모든 접근 방법올 시 도하는 것은 불가능하므로 적절한 부등식올 이용한다. \[ \left \|2 x ^ { 3 } \right \|=2\|x\| x ^ { 2 } \leq 2 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \] 이므로 \[ \left \| \frac { 2 x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| \leq 2 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \] 이다. $ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \frac {\epsilon } { 2 } = \delta $ 라 하면, $ \|f(x, y)-0\|< \epsilon $ 이 되어 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=0 \] 임을 알 수 있다. 함수를 극형식으로 변환하여 극한올 구하는 예를 소개한다.</p> <p>예 $ 4(0,0) $ 이 아닌 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 이라 하자. $ (0,0) $ 에서 이 함수의 극한을 구하기 위하여 극형식으로 변환하면, $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 이므로 \[ \begin {aligned} \frac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } &= \frac { r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \cdot r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + 2 r ^ { 3 } \cos ^ { 3 } \theta \cdot r \sin \theta } { r ^ { 2 } } \\ &=r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta + 2 r ^ { 2 } \cos ^ { 3 } \theta \sin \theta \end {aligned} \] 이다. $ \| \cos \theta\| \leq 1,\| \sin \theta\| \leq 1 $ 이므로, 삼각부등식을 이용하면 \[ \begin {aligned} 0 & \leq \left \|r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta + 2 r ^ { 2 } \cos ^ { 3 } \theta \sin \theta \right \| \\ & \leq \left \|r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta \right \| + \left \|2 r ^ { 2 } \cos ^ { 3 } \theta \sin \theta \right \| \\ & \leq r ^ { 2 } + 2 r ^ { 2 } =3 r ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다. $ \delta= \sqrt {\frac {\epsilon } { 3 } } $ 을 취하면, $ \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =r< \delta $ 일 때 $ \|f(r, \theta)-0\|< \epsilon $ 이 되어 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=0 \] 이다. 이제 복소함수의 극한을 정의한다. 그리고 앞에서 논한 실함수와의 관계를 알아 보자.</p> <p>예 2 (a) $ (0,0) $ 이 아닌 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y)= \frac { 2 x y } { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 라 하자. 만일 $ (x, y) $ 가 좌표축을 따라 $ (0,0) $ 으로 접근하면 $ f(x, y) \equiv 0 $ 이므로, \[ \lim _ { y \rightarrow 0 } f(0, y)= \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x, 0)=0 \] 이다. 그러나 직선 $ y=m x $ 를 따라 $ (x, y) $ 가 $ (0,0) $ 으로 접근하면 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x, m x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 m x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } + m ^ { 2 } x ^ { 2 } } = \frac { 2 m } { 3 + m ^ { 2 } } \] 이 되어 $ m $ 의 값에 따라 변한다. 즉, $ m=1 $ 이면 $ \frac { 1 } { 2 } $ 이고 $ m=2 $ 이면 $ \frac { 4 } { 7 } $ 가 되어 이들 서로가 다르다. 또한 좌표축을 따라 접근한 값과도 다르다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 는 존 재하지 않는다.</p> <p>(b) $ (0,0) $ 이 아닌 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y)= \frac { 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } {\left (x + y ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } $ 이라 하자. $ (x, y) $ 가 좌표축을 따라 $ (0,0) $ 으로 접근하면, $ f(x, y) \equiv 0 $ 이 되어 \[ \lim _ { y \rightarrow 0 } f(0, y)= \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x, 0)=0 \] 이다. 또한 직선 $ y=m x $ 를 따라 $ (x, y) $ 가 $ (0,0) $ 으로 접근하면 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x, m x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 m ^ { 2 } x ^ { 4 } } {\left (x + m ^ { 2 } x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 2 m ^ { 2 } x } {\left (1 + m ^ { 2 } x \right ) ^ { 3 } } =0 \] 이 되어, $ f(x, y) $ 는 역시 0으로 접근한다. 그러나 포물선 $ x=y ^ { 2 } $ 을 따라 $ (x, y) $ 가 $ (0,0) $ 으로 접근하면 \[ \lim _ { y \rightarrow 0 } f \left (y ^ { 2 } , y \right )= \lim _ { y \rightarrow 0 } \frac { 2 y ^ { 4 } y ^ { 2 } } {\left (y ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 4 } \] 이 되어 다른 값을 얻는다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 는 존재하지 않는다. 함수에 따라 모든 접근방법에 대한 함수의 움직임을 조사하지 않고도 적절한 부등식을 이용하여 극한을 구할 수 있다.</p> <p>(b) $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } $ 은 $ z=0 $ 에서 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 이다. 정의에 의하면 \[ \begin {aligned} \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } &= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { \|z + \Delta z\| ^ { 2 } -\|z\| ^ { 2 } } {\Delta z } \\ &= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { (z + \Delta z)( \bar { z } + \overline {\Delta z } )-z \bar { z } } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } z \frac {\overline {\Delta z } } {\Delta z } + \bar { z } + \overline {\Delta z } \end {aligned} \] 이고 \[ f ^ {\prime } (0)= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \overline {\Delta z } =0 \] 이다. 한편 $ z $ 가 0 이 아니라 하고 $ \Delta z=h + i k $ 라 하자. $ \Delta z $ 가 $ x $ 축을 따라 0 으로 접근 하면 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\overline {\Delta z } } {\Delta z } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { h } { h } =1 \] 이 되어 극한값은 $ z + \bar { z } $ 이다. 또 $ \Delta z $ 가 $ y $ 축을 따라 0 으로 접근하면 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\overline {\Delta z } } {\Delta z } = \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { -k } { k } =-1 \] 이 되어 극한값은 $ -z + \bar { z } $ 이다. 극한은 유일하므로 $ z + \bar { z } =-z + \bar { z } $ 이어야 하고, 이는 $ z=0 $ 이 아니면 성립하지 않는다. 따라서 $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } $ 은 $ z=0 $ 에서만 미분가능하지 않다.</p> <p>(b) $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } , g(z)=z $ 이면 \[ \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { f(z) } { g(z) } = \frac { f ^ {\prime } (0) } { g ^ {\prime } (0) } = \frac { 0 } { 1 } =0 \] 이다.</p> <h2>$ 3.5 $ 등각사상</h2> <p>해석함수가 갖는 특성의 하나인 등각사상에 대하여 알아보자. 상수함수가 아닌 함수 $ f(z) $ 가 점 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=0 $ 이면, $ z_ { 0 } $ 를 $ f(z) $ 의 임계점(critical point) 이라 한다.</p> <p>예 1 (a) 함수 $ f(z)=z ^ { 2 } $ 이면 $ f ^ {\prime } (z)=2 z $ 가 되어 임계점은 $ z=0 $ 이다. (b) $ g(z)= \cos z $ 의 임계점들은 $ g ^ {\prime } (z)=- \sin z=0 $ 을 만족하는 모든 점들이므로 $ z=k \pi(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) $ 이다.</p> <p>함수 \[ w=f(z)=f(z(t)) \] 가 그림 $ 3.5 $ 와 같이 매끈한 곡선 $ C: z(t)=x(t) + i y(t)(a \leq t \leq b) $ 의 모든 점에서 정 의되었다고 하자. 그러면 $ w=f(z) $ 에 의한 곡선 $ C $ 의 상 $ C ^ {\prime } $ 은 \[ w=f(z(t))(a \leq t \leq b) \] 로 표현된다. 이제 $ f(z) $ 가 $ C $ 의 임의의 점 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이라 하자. $ w=f(z(t)) $ 에 연쇄법칙을 적용하면 \[ w ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (z \left (t_ { 0 } \right ) \right ) z ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \] 이고 \[ \arg w ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \arg f ^ {\prime } \left (z \left (t_ { 0 } \right ) \right ) + \arg z ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \] 이다. $ \arg z ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 는 접선 $ z ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 와 $ z $ 평면의 실축과 이루는 경사각이고, $ \arg w ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 는 접 선 $ w ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 와 $ w $ 평면의 실축과 이루는 경사각이다. $ \arg z ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \theta_ { 0 } , \arg w ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )= \phi_ { 0 } $ 라 하면, \[ \phi_ { 0 } = \operatorname { argarg } f ^ {\prime } \left (z \left (t_ { 0 } \right ) \right ) + \theta_ { 0 } \] 로 쓸 수 있다. 이는 $ w $ 평면의 $ C ^ {\prime } $ 에 대한 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 에서의 접선의 경사각은 $ C $ 에 대한 $ z_ { 0 } $ 에 서의 접선을 $ \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 만큼 회전한 것이다.</p> <p>[참고] 연속의 정의를 근방을 이용하여 쓸 수 있다. 즉, 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ f \left (N \left (z_ { 0 } : \delta \right ) \right ) \subset N \left (f \left (z_ { 0 } \right ): \epsilon \right ) $ 을 만족하는 $ \delta>0 $ 가 존재하면, $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>$ z_ { 0 } \in D $ 가 $ D $ 의 극한점이 아니면 연속의 정의에 의하여 당연히 $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다. 한편 $ z_ { 0 } $ 가 $ D $ 의 극한점이면, 복소함수에 대한 극한의 정리와 연속의 정의에 의하여 다음을 얻는다. $ f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z) $ 와 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 가 존재하여 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) \] 를 만족하는 것이다.</p> <p>예 13 (a) 함수 $ f(z)= \bar { z } $ 에 대하여, 3.1절의 예 4을 이용하면 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=f \left (z_ { 0 } \right )= \overline { z_ { 0 } } $ 이므로, $ f(z)= \bar { z } $ 는 임의의 점 $ z=z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>(b) 함수 \[ f(z)= \left \{\begin {array} { l } z \neq 2 \text { 이 면 } \frac { z ^ { 2 } -4 } { z-2 } \\ z=2 \text { 이면 } \quad 2 \end {array} \right . \] 는 $ \lim _ { z \rightarrow 2 } f(z)=4 $ 가 되어 $ \lim _ { z \rightarrow 2 } f(z) \neq f(2) $ 이므로, $ z=2 $ 에서 연속이 아니다. $ f(z) $ 가 $ D $ 의 모든 점에서 연속이면, $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 연속이다(continuous on $ D $ )라고 한다.</p> <p>예 17 함수 $ f(z)= \frac { 1 } { z } $ 은 영역 $ 0<\|z\|<1 $ 에서 균등연속이 아님을 보여라. 풀이 $ f(z) $ 가 $ 0<\|z\|<1 $ 에서 균등연속이라고 가정하면, $ \epsilon=1 $ 에 대하여 정의를 만 족하는 $ \delta>0( \delta<1) $ 가 존재한다. 이제 $ z_ { 1 } = \delta, z_ { 2 } = \frac {\delta } { 2 } $ 를 취하면 $ \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \|= \frac {\delta } { 2 }< \delta $ 이 지만 \[ \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 2 } \right ) \right \|= \left \| \frac { 1 } {\delta } - \frac { 2 } {\delta } \right \|= \frac { 1 } {\delta } >1= \epsilon \] 이 되어, $ f(z) $ 는 $ 0<\|z\|<1 $ 에서 균등연속이 아니다.</p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <h2>$ 3.2 $ 도함수</h2> <p>복소함수의 미분가능성에 대하여 알아본다. 이를 이용하여 중요한 해석함수를 정 의한다.</p> <p>정의 3.4 $ f(z) $ 를 임의의 점 $ z $ 의 어떤 근방에서 정의된 복소함수라고 하자. 함수 $ f(z) $ 에 대하여 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } \] 가 존재하면, 이를 $ z $ 에서 $ f(z) $ 의 도함수(derivative)라 하고 $ f ^ {\prime } (z) $ 로 쓴다. 또 $ f(z) $ 가 $ z $ 에서 도함수를 가지면, $ f(z) $ 는 점 $ z $ 에서 미분가능하다(differentiable)라고 한다. 정의 $ 3.4 $ 에 의하여, $ f(z) $ 는 점 $ z $ 에서 미분가능하면 \[ f ^ {\prime } (z)= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } \] 로 쓸 수 있다.</p> <p>예 1 (a) 함수 $ f(z)=z ^ { 2 } $ 은 복소평면의 모든 점에서 미분가능하다. 정의에 의하면 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { (z + \Delta z) ^ { 2 } -z ^ { 2 } } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\Delta z(2 z + \Delta z) } {\Delta z } =2 z \] 이고, 이 극한값은 모든 복소수 $ z $ 에 대하여 존재한다.</p> <p>정리 $ 3.8 f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) $ 가 점 $ z=r e ^ { i \theta } ( \neq 0) $ 에서 연속편도함수를 갖는 미분 가능함수이면 다음이 성립한다. \[ \frac {\partial u } {\partial r } = \frac { 1 } { r } \frac {\partial v } {\partial \theta } , \quad \frac {\partial v } {\partial r } =- \frac { 1 } { r } \frac {\partial u } {\partial \theta } \] \[ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \] 라 하면</p> <p>증명 편도함수의 연속성과 도함수에 관한 연쇄법칙을 이용한다.</p> <p>(6) \[ \frac {\partial u } {\partial r } = \frac {\partial u } {\partial x } \cos \theta + \frac {\partial u } {\partial y } \sin \theta \]</p> <p>(7) \[ \frac {\partial v } {\partial \theta } = \frac {\partial v } {\partial x } (-r \sin \theta) + \frac {\partial v } {\partial y } (r \cos \theta) \] 이고, Cauchy-Riemann 방정식을 (7)에 적용하면 (6)로부터 \[ \frac {\partial v } {\partial \theta } =r \left ( \frac {\partial u } {\partial y } \sin \theta + \frac {\partial u } {\partial x } \cos \theta \right )=r \left ( \frac {\partial u } {\partial r } \right ) \] 을 얻는다. 마찬가지로</p> <p>(8) \[ \frac {\partial u } {\partial \theta } = \frac {\partial u } {\partial x } (-r \sin \theta) + \frac {\partial u } {\partial y } (r \cos \theta)=-r \left ( \frac {\partial v } {\partial y } \sin \theta + \frac {\partial v } {\partial x } \cos \theta \right )=-r \frac {\partial v } {\partial r } \]을 얻는다.</p> <p>극형식에 대한 Cauchy-Riemann 방정식 역시 도함수가 존재하지 않는다는 것을 보이는데 이용된다.</p> <p>예 $ 6 \quad f(z)= \frac { 1 } { r } ( \sin \theta-i \cos \theta)(r>0) $ 에 대하여 $ u(r, \theta)= \frac { 1 } { r } \sin \theta $, \[ \begin {array} { l } v(r, \theta)=- \frac { 1 } { r } \cos \theta \text { 이므로 } \\ \qquad \frac {\partial u } {\partial r } =- \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \sin \theta, \quad \frac {\partial u } {\partial \theta } = \frac { 1 } { r } \cos \theta, \quad \frac {\partial v } {\partial r } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \cos \theta, \quad \frac {\partial v } {\partial \theta } = \frac { 1 } { r } \sin \theta \end {array} \] 이다. \[ \frac { 1 } { r } \frac {\partial v } {\partial \theta } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \sin \theta, \quad- \frac { 1 } { r } \frac {\partial u } {\partial \theta } =- \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \cos \theta \] 이므로 \[ \frac {\partial u } {\partial r } \neq \frac { 1 } { r } \frac {\partial v } {\partial \theta } , \quad \frac {\partial v } {\partial r } \neq- \frac { 1 } { r } \frac {\partial u } {\partial \theta } \] 이고, 따라서 $ f(z) $ 는 어떠한 점에서도 미분가능하지 않다.</p> <p>예 $ 5 f(z)= \bar { z } $ 이고 $ z_ { 0 } $ 가 임의의 복소수일 때, $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)= \overline { z_ { 0 } } $ 임을 보여라.</p> <p>풀이 $ \quad \left \|f(z)- \overline { z_ { 0 } } \right \|= \left \| \bar { z } - \overline { z_ { 0 } } \right \|= \left \| \bar { z } - \overline { z_ { 0 } } \right \|= \left \|z-z_ { 0 } \right \| $ 이므로, 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ \delta= \epsilon $ 이라 하면 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)- \overline { z_ { 0 } } \right \|< \epsilon \] 이다. 따라서 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)= \overline { z_ { 0 } } $ 이다. 다음 예는 실함수의 극한에서와 마찬가지로 접근하는 방법에 따라 함수의 움직임 이 다른 경우이다.</p> <p>예 6 함수 $ f(z)= \frac {\bar { z } } { z } (z \neq 0) $ 의 극한 $ \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z) $ 는 존재하지 않는다. $ y $ 축을 따라 $ z \rightarrow 0 $ 이면 $ x=0 $ 이므로, $ z=i y $ 이고 $ \bar { z } =-i y $ 가 되어 $ \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z)=-1 $ 이다. 한편, $ x $ 축을 따라 $ z \rightarrow 0 $ 이면 $ y=0 $ 이므로, $ z= \bar { z } =x $ 가 되어 $ \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z)=1 $ 이다. 따라서 $ \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z) $ 는 존재 하지 않는다. 정의 3.1의 $ z \in D $ 라는 조건이 이 정의를 $ z_ { 0 } $ 가 정의역의 경계점인 경우로 확장할 수도 있다. 이 경우 정의역과 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $ 와의 공통부분에서만 극한의 정의를 논한다.</p> <p>$ z $ 평면의 점 $ z_ { 0 } $ 를 지나는 두 개의 매끈한 곡선 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 에 대하여 $ C_ { 1 } ^ {\prime } $ 과 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 을 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 를 지나는 $ w=f(z) $ 의 상이라 하자. 만일, $ z_ { 0 } $ 에서 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 사이의 각의 크기와 각의 방향이 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 에서 $ C_ { 1 } { } ^ {\prime } $ 과 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 사이의 각의 방향과 크기가 같으면, $ w=f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 등각적이다(conformal)라고 한다. 그리고, 한 영역의 모든 점에서 등각적인 함수 $ w=f(z) $ 를 등각사상(conformal mapping)이라 한다.</p> <p>[참고 3] 매끈한 곡선에 대한 내용은 5 장에서 상세히 다룬다.</p> <p>정리 $ 3.12 $ 함수 $ f(z) $ 가 영역 $ z_ { 0 } $ 에서 해석적이고 $ f ^ {\prime } (z) \neq 0 $ 이라 하자. 그리고 점 $ z_ { 0 } $ 를 지나는 두 개의 매끈한 곡선 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 에 대한 $ f(z) $ 의 상을 각각 $ C_ { 1 } ^ {\prime } , C_ { 2 } ^ {\prime } $ 이라 하자. 그 러면 $ w=f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 등각적이다.</p> <p>증명 $ z_ { 0 } $ 에서 두 개의 매끈한 곡선 $ C_ { 1 } $ 과 $ C_ { 2 } $ 의 접선이 실축과 만나서 이루는 경사각을 각각 $ \theta_ { 1 } $ 과 $ \theta_ { 2 } $ 라 하고, $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 에서 $ C_ { 1 } ^ {\prime } $ 과 $ C_ { 2 } ^ {\prime } $ 의 접선이 실축과 만나서 이루는 경사각 을 각각 $ \phi_ { 1 } $ 과 $ \phi_ { 2 } $ 라 하면 \[ \begin {array} { l } \phi_ { 1 } = \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) + \theta_ { 1 } \\ \phi_ { 2 } = \arg f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) + \theta_ { 2 } \end {array} \] 이므로, \[ \phi_ { 2 } - \phi_ { 1 } = \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } \] 이다. 각의 크기가 같고 $ \phi_ { 2 } - \phi_ { 1 } $ 은 $ \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } $ 와 마찬가지로 $ C_ { 1 } { } ^ {\prime } $ 에서 $ C_ { 2 } { } ^ {\prime } $ 으로의 방향이므 로, $ w=f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 등각적이다.</p> <p>예 $ 2 f(z)=e ^ { x } ( \cos y + i \sin y) $ 이면, $ u(x, y)=e ^ { x } \cos y, v(x, y)=e ^ { x } \sin y $ 이고 \[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } =e ^ { x } \cos y, \quad \frac {\partial v } {\partial x } =- \frac {\partial u } {\partial y } =e ^ { x } \sin y \] 가 되어 모든 점에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. 그리고 이 편도함수들은 모든 점에서 연속이다. 그러면 정리 $ 3.10 $ 에 의하여 $ f ^ {\prime } (z) $ 가 존재하고, 3.3절의 식 (5)에 의하여 \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial f } {\partial x } =e ^ { x } \cos y + i e ^ { x } \sin y \] 이다. 따라서 $ f(z) $ 는 $ f ^ {\prime } (z)=f(z) $ 인 정함수이다.</p> <p>정리 $ 3.10 $ 은 한 점에 대한 미분가능성도 보장해 준다. 증명과정을 살펴보면 알 수 있다.</p> <p>예 3 함수 $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 은 $ z=0 $ 을 포함하는 어떤 영역에서 정의되고 $ u(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , v(x, y)=0 $ 이므로 \[ \frac {\partial u } {\partial x } =2 x, \quad \frac {\partial u } {\partial y } =2 y, \quad \frac {\partial v } {\partial x } =0, \quad \frac {\partial v } {\partial y } =0 \] 이 되어, $ z=0 $ 에서 연속이고 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하여 $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 을 갖는다. 그러나 $ z \neq 0 $ 인 점에서는 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하지 않으므로 도함수를 갖지 않는다. 따라서 이 함수는 어떤 곳에서도 해석적이 아니고 특이점도 없다. 제 5 장에서 $ f(z) $ 가 한 점에서 해석적이면, $ f(z) $ 는 그 점에서 모든 계수의 도함수를 가진다는 것을 보일 것이다. 특히 $ f ^ {\prime } (z) $ 가 존재하면 \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial f } {\partial x } =-i \frac {\partial f } {\partial y } \] 는 연속이다. 정리 $ 3.1 $ 의 관점에서 그의 실수부와 허수부의 각 편도함수들도 역시 연속이다. 따라서 정리 $ 3.10 $ 의 역도 역시 참이다. 즉, 한 함수가 영역 $ D $ 에서 해석적이기 위한 필요충분조건은 그 함수가 $ D $ 의 모든 점에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하는 연속편도함수를 가지는 것이다.</p> <p>정의 $ 3.1 f(z) $ 를 $ D $ 에서 정의된 복소함수라 하고 $ z_ { 0 } $ 를 $ D $ 의 극한점이라 하자. 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta, z \in D \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, $ w_ { 0 } $ 를 $ z_ { 0 } $ 에서 $ f(z) $ 의 극한(limit)이라 하고 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \] 로 쓴다. 정의에서 기호 $ z \rightarrow z_ { 0 } $ 는 $ z $ 가 $ z_ { 0 } $ 로 어떤 특정한 방향이 아닌 임의의 경로를 따라 접근함을 의미한다.</p> <p>$ z \rightarrow z_ { 0 } $ 일 때 $ z_ { 0 } $ 에서 $ f(z) $ 의 극한이 존재하면, 그 극한은 유일하다. 이를 간단히 증명 해 보자. \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } , \quad \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 1 } \] 이라 하고 $ w_ { 0 } \neq w_ { 1 } $ 이라 가정하자. 그러면 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta_ { 0 } \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \epsilon / 2 \] 과 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta_ { 1 } \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 1 } \right \|< \epsilon / 2 \] 을 만족하는 $ \delta_ { 0 } >0 $ 과 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재한다. $ \delta_ { 0 } $ 와 $ \delta_ { 1 } $ 중 작은 것을 $ \delta $ 라 하면, $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $ 일 때 \[ \begin {aligned} \left \|w_ { 0 } -w_ { 1 } \right \| &= \left \| \left (f(z)-w_ { 0 } \right )- \left (f(z)-w_ { 1 } \right ) \right \| \\ & \leq \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \| + \left \|f(z)-w_ { 1 } \right \|< \epsilon / 2 + \epsilon / 2= \epsilon \end {aligned} \] 이다. 이는 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 성립하므로, $ \left \|w_ { 0 } -w_ { 1 } \right \|=0 $ 이고 $ w_ { 0 } =w_ { 1 } $ 이다.</p> <p>\[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z) } { g(z) } = \frac { f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } \] 이다.</p> <p>증명 $ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 와 $ g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) $ 가 존재하므로, \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z) } { g(z) } = \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac {\frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } } {\frac { g(z)-g \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } } = \frac {\lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } } {\lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { g(z)-g \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } } = \frac { f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } \] 이다.</p> <p>예 5 (a) $ f(z)=z ^ { 6 } + 1, g(z)=z ^ { 2 } + 1 $ 이라 하면 $ f(i)=0, g(i)=0 $ 이다. 또 $ f(z) $ 와 $ g(z) $ 는 $ z=i $ 에서 해석적이므로, L'Hôpital의 정리에 의하여 \[ \lim _ { z \rightarrow i } \frac { z ^ { 6 } + 1 } { z ^ { 2 } + 1 } = \lim _ { z \rightarrow i } \frac { 6 z ^ { 5 } } { 2 z } = \lim _ { z \rightarrow i } 3 z ^ { 4 } =3 \] 이다.</p> <p></p> <p>(1) \[ u(x + h, y + k)-u(x, y)= \frac {\partial u(x, y) } {\partial x } h + \frac {\partial u(x, y) } {\partial y } k + \epsilon_ { 1 } h + \epsilon_ { 2 } k \]</p> <p>(2) $ \quad v(x + h, y + k)-v(x, y)= \frac {\partial v(x, y) } {\partial x } h + \frac {\partial v(x, y) } {\partial y } k + \epsilon_ { 3 } h + \epsilon_ { 4 } k $ 로 쓸 수 있다. 여기서 $ h \rightarrow 0 $ 이면 $ \epsilon_ { 1 } , \epsilon_ { 3 } \rightarrow 0 $ 이고, $ k \rightarrow 0 $ 이면 $ \epsilon_ { 2 } , \epsilon_ { 4 } \rightarrow 0 $ 이다. $ f(z) $ 는 $ z $ 에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하므로, (1)에서 $ \frac {\partial u(x, y) } {\partial y } $ 를 $ - \frac {\partial v(x, y) } {\partial x } $ 로 대체하고 (2)에서 $ \frac {\partial v(x, y) } {\partial y } $ 를 $ \frac {\partial u(x, y) } {\partial x } $ 로 대체하여 $ \Delta z $ 로 나누면</p> <p>(3) \[ \begin {aligned} \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \frac {\partial u(x, y) } {\partial x } & + i \frac {\partial v(x, y) } {\partial x } \\ & + \left ( \epsilon_ { 1 } + i \epsilon_ { 3 } \right ) \frac { h } { h + i k } + \left ( \epsilon_ { 2 } + i \epsilon_ { 4 } \right ) \frac { k } { h + i k } \end {aligned} \] 가 된다. \[ \left \| \frac { h } { h + i k } \right \| \leq 1, \quad \left \| \frac { k } { h + i k } \right \| \leq 1 \] 이므로, $ h, k \rightarrow 0 $ 이라 하면 $ \epsilon_ { 1 } + i \epsilon_ { 3 } , \epsilon_ { 2 } + i \epsilon_ { 4 } \rightarrow 0 $ 이 되어 (3)의 우변의 마지막 두 항이 0 으로 접근한다. $ h $ 와 $ k $ 가 0 으로 접근하는 방법에 대하여 어떠한 가정도 하지 않았으므 로, 도함수 $ f ^ {\prime } (z) $ 가 존재하고 \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial u(x, y) } {\partial x } + i \frac {\partial v(x, y) } {\partial x } \] 이다. $ z $ 는 임의이므로, $ f(z) $ 는 $ D $ 의 모든 점에서 미분가능하다. 따라서 $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 해석적이다.</p> <p>Laplace 방정식은 어떤 실함수가 해석함수의 실수부 또는 허수부가 되기 위한 필 요조건을 제공한다.</p> <p>예 $ 2 u(x, y)=x ^ { 2 } + y $ 이면 \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y ^ { 2 } } =2 \] 가 되어, 어떤 곳에서도 Laplace 방정식을 만족하지 않으므로 $ u(x, y) $ 는 어떠한 해석함 수의 실수부도 될 수 없다.</p> <p>정리 3.14는 해석함수의 조화공액을 구할 수 있도록 해 준다.</p> <p>예 3 함수 $ u(x, y)=x + e ^ { y } \cos x $ 가 조화함수임을 보이고, 이의 조화공액을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \frac {\partial u } {\partial x } =1-e ^ { y } \sin x, \quad \frac {\partial u } {\partial y } =e ^ { y } \cos x \] 이고 \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x ^ { 2 } } =-e ^ { y } \cos x, \quad \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y ^ { 2 } } =e ^ { y } \cos x \] 이므로, \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y ^ { 2 } } =0 \] 이 되어, $ u(x, y) $ 는 모든 곳에서 조화적이다. 이제 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 해석적이 어야 하므로, Cauchy-Riemann 방정식을 만족하여야 한다.</p> <p>\[ \frac {\partial u } {\partial x } =1-e ^ { y } \sin x= \frac {\partial v } {\partial y } \] 이다. (2)를 $ y $ 에 관하여 적분하면</p> <p>(3) \[ v=y-e ^ { y } \sin x + \varnothing(x) \] 이다. 여기서 $ \varnothing(x) $ 는 $ x $ 에 관하여 미분가능한 함수이다. (3)으로부터 \[ \frac {\partial v } {\partial x } =-e ^ { y } \cos x + \varnothing ^ {\prime } (x)=-e ^ { y } \cos x=- \frac {\partial u } {\partial y } \] 이므로, $ \varnothing ^ {\prime } (x)=0 $ 이다. 따라서 $ \varnothing(x)=C $ 이고, $ u(x, y) $ 의 조화공액은 (3)으로부터 \[ v(x, y)=y-e ^ { y } \cos x + C \] 이다. 정리 $ 3.10 $ 에 의하여 $ f(z) $ 는 정함수이고 \[ f(z)=x + e ^ { y } \cos x + i \left (y-e ^ { y } \cos x + C \right ) \] 이다.</p> <p>예 2 함수 $ f(z)=z ^ { 2 } $ 은 모든 곳에서 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (z)=2 z $ 이다. 한편 \[ f(z)= \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) + i(2 x y) \] 이므로, \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial f } {\partial x } =2 x + i(2 y)=2(x + i y)=2 z \] 를 얻는다.</p> <p>Cauchy-Riemann 방정식은 한 점에서의 미분가능성에 대한 필요조건이므로, 이 방정식은 근본적으로 도함수가 존재하지 않는다는 것을 보이는 데 이용된다.</p> <p>예 3 (a) $ f(z)= \bar { z } =x-i y $ 에 대하여 $ u(x, y)=x, v(x, y)=-y $ 이고 \[ \frac {\partial u } {\partial x } =1, \quad \frac {\partial v } {\partial y } =-1 \] 이 되어 어떤 점에서도 Cauchy-Riemann 방정식이 성립하지 않는다. 따라서 이 함 수는 어떠한 점에서도 미분가능하지 않다. $ 3.2 $ 절의 예 $ 1( \mathrm { c } ) $ 를 보라.</p> <p>(b) $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } $ 이면 $ u(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , v(x, y)=0 $ 이고 \[ \frac {\partial u } {\partial x } =2 x, \quad \frac {\partial v } {\partial x } =0, \quad \frac {\partial v } {\partial y } =0, \quad \frac {\partial u } {\partial y } =2 y \] 가 되어, $ x=y=0 $ 이 아니면 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하지 않는다. 따라서 $ z=0 $ 을 제외한 모든 점에서 $ f(z)=\|z\| ^ { 2 } $ 은 미분가능하지 않다. 3.2절의 예 $ 1( \mathrm { ~b } ) $ 를 보라.</p> <p>이제 Cauchy-Riemann 방정식이 미분가능성에 대한 충분조건이 아님을 보인다. 다음 예는 $ z=0 $ 에서 연속이 아님에도 불구하고 그 점에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다.</p> <p>예 4 함수 \[ f(z)= \left \{\begin {array} { lc } z \neq 0 \text { 이 면 } & \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ z=0 \text { 이면 } & 0 \end {array} \right . \] 은 좌표축에 있는 점에서 항상 0 이다. 따라서 $ z=0 $ 에서 \[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial u } {\partial y } = \frac {\partial v } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } =0 \] 이 되어 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. 그러나 직선 $ y=x $ 에서는 $ \Delta z=h + i h $ 가 되어 \[ \frac { f(h + i h)-f(0) } { h + i h } = \frac { h \cdot h / \left (h ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right ) } { h + i h } = \frac { 1 } { 2(1 + i) h } \] 이고, $ h $ 가 0 으로 접근할 때 $ f(z) $ 는 $ \infty $ 로 접근한다. 그러므로 $ f ^ {\prime } (0) $ 이 존재하지 않는다. 또 연속이고 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하는 함수라도 미분가능성을 보장받 는 것은 아니다.</p> <h1>제3장 해석함수</h1> <p>이 장에서는 복소함수의 미분과 관련한 중요한 내용들을 소개한다. 연속함수, 도함수, Cauchy-Riemann 방정식, 그리고 어떤 영역의 모든 점에서 미분가능한 해석함수의 특성들을 다룬다. 조화함수도 다룬다.</p> <h2>$ 3.1 $ 극한과 연속</h2> <p>2장에서 복소함수는 실수부와 허수부로 나누어진다는 것을 알았다. 그리고 그들각각은 두 실변수에 관한 함수로 표현되었다. 따라서 복소함수의 움직임은 이 함수의 실수부와 허수부의 움직임과 밀접한 관계가 있다. 먼저 두 실변수를 갖는 함수의움직임에 대하여 알아보자.</p> <p>$ g(x, y) $ 를 실변수 $ x $ 와 $ y $ 에 관한 함수라 하자. 입의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \text { 이면 } \quad\|g(x, y)-L\|< \epsilon \]</p> <p>이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, $ L $ 을 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ g(x, y) $ 의 극한(limit)이라 하고 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y) = L \]</p> <p>로 쓴다.</p> <p>극한의 겅의는 $ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta $ 를 만족하고 $ g(x, y) $ 가 겅의되는 점들 $ (x, y) $ 에서만 논한다.</p> <p>사실 두 실변수를 갖는 함수의 극한을 구하는 것은 하나의 실변수롤 갖는 함수의 극한올 구하는 것보다 대체로 복잡하다. 그것은 $ (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 로 접근하는 다양한 각 각의 방법에 대하여 함수의 움직입을 조사하여야 하기 때문이다. 다음 예들이 이러한 사 실올 보여준다.</p> <p>예 $ 1(0,0) $ 이 아닌 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 이라 하자. $ (x, y) $ 가 $ x $ 축을 따라 $ (0,0) $ 으로 접근하면, $ y=0 $ 이 되어 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x, y)=1 \] 이다. 한편 $ (x, y) $ 가 $ y $ 축을 따라 $ (0,0) $ 으로 접근하면, $ x=0 $ 이 되어 \[ \lim _ { y \rightarrow 0 } f(x, y)=-1 \] 이다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 는 존재하지 않는다. 다음은 접근하는 방법을 더 면밀히 조사하여야 하는 예들이다.</p> <p>$ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 의 두 실함수 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 조화적이고 이들의 1계편도함수가 $ D $ 에서 Cauchy$-$Riemann 방정식을 만족하면, $ v(x, y) $ 를 $ u(x, y) $ 의 조화공액(harmonic conjugate)이라 한다.</p> <p>정리 3.14 함수 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 해석적이기 위한 필요충분조 건은 $ v(x, y) $ 가 $ u(x, y) $ 의 조화공액이다.</p> <p>증명 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 영역 $ D $ 에서 해석적이면, 정리 3.7과 3.13에 의하 여 $ v(x, y) $ 는 $ u(x, y) $ 의 조화공액이다.</p> <p>역으로, 영역 $ D $ 에서 $ v(x, y) $ 가 $ u(x, y) $ 의 조화공액이면, 정리 3.10에 의하여 $ D $ 에서 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 는 해석적이다.</p> <p>해석함수의 실수부와 허수부 사이에 다음과 같은 성질이 존재한다. $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 해석적이면 $ i f(z)=-v(x, y) + i u(x, y) $ 도 해석적이므로, $ v(x, y) $ 가 $ u(x, y) $ 의 조화공액이기 위한 필요충분조건은 $ u(x, y) $ 가 $ -v(x, y) $ 의 조화공액인 것이다.</p> <p>예 $ 1 f(z)=z ^ { 2 } =x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + 2 x y i $ 는 정함수이므로 $ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $ 과 $ v(x, y)=2 x y $ 는 모든 복소평면에서 조화적이다. $ v(x, y)=2 x y $ 는 $ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $ 의 조화공액이고, $ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $ 은 $ -v(x, y)=-2 x y $ 의 조화공액이다.</p> <p>정리 $ 3.6 $</p> <p>(a) $ f(z)=c $ 이면 $ f ^ {\prime } (z)=0 $ 이다.</p> <p>(b) $ f(z)=z ^ { n } , n \in \mathbb { Z } $ 이면 $ f ^ {\prime } (z)=n z ^ { n-1 } $ 이다. $ f(z) $ 와 $ g(z) $ 가 한 점 $ z $ 에서 미분가능하다고 하자. 그러면</p> <p>(c) $ f(z) + g(z) $ 는 점 $ z $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ (f(z) + g(z)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (z) + g ^ {\prime } (z) \]</p> <p>(d) $ f(z) g(z) $ 는 점 $ z $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ (f(z) g(z)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (z) g(z) + f(z) g ^ {\prime } (z) \]</p> <p>(e) $ g(z) \neq 0 $ 이면, $ \frac { f } { g } $ 는 점 $ z $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ \left ( \frac { f(z) } { g(z) } \right ) ^ {\prime } = \frac { f ^ {\prime } (z) g(z)-f(z) g ^ {\prime } (z) } { (g(z)) ^ { 2 } } \] $ f(z) $ 와 $ g(z) $ 가 각각 $ z $ 와 $ f(z) $ 에서 미분가능하고 $ F(z)=g(f(z)) $ 이면</p> <p>(f) $ F $ 는 $ z $ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ F ^ {\prime } (z)=g ^ {\prime } (f(z)) f ^ {\prime } (z) \]</p> <p>예 3 (a) $ \left ( \frac { 1 } { z ^ { 3 } + 2 z ^ { 2 } + 1-i } \right ) ^ {\prime } = \frac { 3 z ^ { 2 } + 4 z } {\left (z ^ { 3 } + 2 z ^ { 2 } + 1-i \right ) ^ { 2 } } $ 이다.</p> <p>예 12 $f(z)=z ^ { 3 } $ 이 임의의 점 $ z=z_ { 0 } $ 에서 연속임을 보여라. 풀이 $ \left \|z_ { 0 } \right \|=r_ { 0 } $ 라 하면, $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $ 일 때 \[ \|z\|= \left \|z_ { 0 } + \left (z-z_ { 0 } \right ) \right \| \leq \left \|z_ { 0 } \right \| + \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r_ { 0 } + \delta \] 가 되어 \[ \begin {aligned} \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| &= \left \|z ^ { 3 } -z_ { 0 } ^ { 3 } \right \|= \left \|z-z_ { 0 } \right \| \left \|z ^ { 2 } + z z_ { 0 } + z_ { 0 } ^ { 2 } \right \| \\ & \leq \delta \left [ \left (r_ { 0 } + \delta \right ) ^ { 2 } + \left (r_ { 0 } + \delta \right ) r_ { 0 } + r_ { 0 } ^ { 2 } \right ]<3 \delta \left (r_ { 0 } + \delta \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다. 주어진 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ \delta= \frac {\epsilon } { 3 \left (r_ { 0 } + \delta \right ) ^ { 2 } } $ 라 하면, $ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $ 일 때 \[ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \left \|z ^ { 3 } -z_ { 0 } ^ { 3 } \right \|< \epsilon \] 이다. $ \epsilon>0 $ 은 임의이므로 $ f(z)=z ^ { 3 } $ 은 점 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>연속인 함수들의 결합에 관한 정리이다.</p> <p>정리 $ 3.5 f(z) $ 와 $ g(z) $ 가 점 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.</p> <p>(a) $ f(z) + g(z), f(z)-g(z), f(z) g(z) $ 는 모두 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>(b) $ \frac { f(z) } { g(z) } \left (g \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \right ) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>(c) $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이고 $ g(z) $ 는 $ f \left (z_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이면, $ (g \circ f)(z)=g(f(z)) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다.</p> <p>증명 연속의 정의를 이용하여 증명할 수 있다. 증명은 독자에게 넘긴다.</p> <p>예 15 다항함수 $ P(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \left (a_ { n } \neq 0 \right ) $ 은 복소평면의 모든 점에서 연속이다. 균등연속이라는 개념을 소개한다. 연속의 개념과 비교하여라.</p> <p>정의 $ 3.3 f(z) $ 를 $ D $ 에서 정의된 복소함수라 하자. 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ z_ { 1 } , z_ { 2 } \in D, \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \|< \delta \text { 이면 } \quad \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 2 } \right ) \right \|< \epsilon \] 을 만족하는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, 함수 $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 균등연속이다(uniformly continuous)라고 한다. 여기서 $ \delta $ 는 $ \epsilon $ 에만 종속된다.</p> <p>예 16 함수 $ f(z)=z $ 는 $ \delta= \epsilon $ 을 취함으로써 $ \mathbb { C } $ 에서 균등연속이라는 것을 알 수 있다. 균등연속이 아님을 보이기 위하여 정의 $ 3.2 $ 의 조건을 만족하지 않는 내용을 찾으 면 된다.</p> <p>예 $ 2 f(z)=z ^ { 2 } $ 은 정함수이므로 모든 점에서 등각적이다. 예를 들면, \[ x=1, \quad y=1 \] 은 $ (1,1) $ 에서 직교하므로, 이들의 상 \[ u=1- \frac { v ^ { 2 } } { 4 } , \quad u= \frac { v ^ { 2 } } { 4 } -1 \] 은 $ (0,2) $ 에서 직교한다.</p> <p>다음은 각의 크기는 보존하지만 각의 방향은 반대가 되는 예이다.</p> <p>예 $ 3 f(z)= \bar { z } $ 은 등각사상이 아니다. 그림 $ 3.8 $ 과 같이 원점을 지나는 두 직선 $ l_ { 1 } $ 과 $ l_ { 2 } $ 의 $ f(z)= \bar { z } $ 에 대한 상은 실축에 대칭이다. 따라서 각의 크기는 같지만 각의 방향이 반 대이므로, 원점에서 등각적이 아니다.</p> <p>예 8 의 함수는 각의 크기는 보존하지만 방향은 보존하지 않았다. 이와 같이 $ w=f(z) $ 가 $ z_ { 0 } $ 에서 각의 크기는 보존하지만 각의 방향을 보존하지 않으면, $ w=f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 등편각적이다(isogonal)라고 한다.</p> <h2>$ 3.6 $ 조화함수</h2> <p>제 5 장에서 해석함수는 모든 계수의 도함수를 가진다는 것을 보일 것이다. 따라서 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 $ D $ 에서 해석적이면, 정리 $ 3.3 $ 에 의하여 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 각각에 대한 모든 계수의 연속인 도함수가 존재한다.</p> <p>이제 한 영역 $ D $ 에서 정의된 연속인 실함수 $ h(x, y) $ 가 연속인 1 계 및 2 계 편도함수를 가지며 방정식 \[ \frac {\partial ^ { 2 } h } {\partial x ^ { 2 } } + \frac {\partial ^ { 2 } h } {\partial y ^ { 2 } } =0 \] 을 만족하면, $ h(x, y) $ 는 $ D $ 에서 조화적이다(harmonic)라고 한다. 그리고 식 (1)을 Laplace 방정식이라 한다.</p> <p>(b) $ f(z)= \left (z ^ { 3 } + 1-i \right ) ^ { 10 } $ 이면 $ f ^ {\prime } (z)=10 \left (z ^ { 3 } + 1-i \right ) ^ { 9 } \cdot 3 z ^ { 2 } =30 z ^ { 2 } \left (z ^ { 3 } + 1-i \right ) ^ { 9 } $ 이다.</p> <h2>$3.3 $Cauchy-Riemann 방정식</h2> <p>이제 미분가능한 함수의 실수부와 허수부의 편도함수와 관련한 중요한 결과를 얻을 것이다. $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 에 대하여, $ \Delta z=h + i k $ 가 실축을 따라 0 으로 접근하면 \[ \begin {aligned} \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } &= \frac { u(x + h, y) + i v(x + h, y)-u(x, y)-i v(x, y) } { h } \\ &= \frac { u(x + h, y)-u(x, y) } { h } + i \frac { v(x + h, y)-v(x, y) } { h } \end {aligned} \] 이다. 만일 $ f(z) $ 가 $ z=x + i y $ 에서 미분가능하면 우변에 있는 각 항들의 극한이 존재하 고, 그들은 $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 의 $ x $ 에 관한 편도함수들이다. 따라서</p> <p>(1) \[ f ^ {\prime } (z)= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \frac {\partial u } {\partial x } + i \frac {\partial v } {\partial x } \] 이다. 한편 $ \Delta z $ 가 허축을 따라 0 으로 접근하면 \[ \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \frac { u(x, y + k)-u(x, y) } { i k } -i \frac { v(x, y + k)-v(x, y) } { i k } \] 가 되어</p> <p>예 $ 10 g(x, y)=3 x $ 는, 주어진 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 $ \delta= \epsilon / 3 $ 이라 하면 연속의 정의를 만족 하므로, 임의의 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이다. 두 실변수 $ x $ 와 $ y $ 에 관한 함수 $ g(x, y) $ 에 대한 극한의 정의와 연속의 정의에 의하면, $ g(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이기 위한 필요충분조건은 그 점에서 극한과 함수값이 존 재하여 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \] 인 것임을 알 수 있다. 여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta, z \in D \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다(continuous)라고 한다.</p> <p>예 11 예 7의 $ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -5 x + 3 $ 와 $ v(x, y)=2 x y-5 y $ 는 점 $ (2,3) $ 에서의 극 한값과 함수값이 같으므로 그 점에서 연속이다. 이제 복소함수의 연속에 대하여 정의한다. 그리고 관련 성질들을 논한다.</p> <p>정의 $ 3.2 f(z) $ 를 $ D $ 에서 정의된 복소함수라 하고 $ z_ { 0 } \in D $ 라 하자. 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta, z \in D \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, $ f(z) $ 는 $ z_ { 0 } $ 에서 연속이다(continuous)라고 한다.</p> <p>(2) \[ f ^ {\prime } (z)= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \frac { 1 } { i } \frac {\partial u } {\partial y } + \frac {\partial v } {\partial y } = \frac {\partial v } {\partial y } -i \frac {\partial u } {\partial y } \] 이다. (1)과 (2)로부터</p> <p>(3) \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial u } {\partial x } + i \frac {\partial v } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } -i \frac {\partial u } {\partial y } \] 를 얻는다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 $ 3.7 $ 함수 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 가 $ z=x + i y $ 에서 미분가능하면, $ u(x, y) $ 와 $ v(x, y) $ 의 편도함수가 $ (x, y) $ 에서 존재하여 방정식</p> <p>(4) \[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } , \quad \frac {\partial v } {\partial x } =- \frac {\partial u } {\partial y } \] 를 만족한다. 식 (4)를 Cauchy-Riemann 방정식이라 한다.</p> <p>예 $ 1 f(z)=z ^ { 2 } + 1 $ 에 대하여 $ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + 1, v(x, y)=2 x y $ 이므로, \[ \frac {\partial u } {\partial x } =2 x= \frac {\partial v } {\partial y } , \quad \frac {\partial v } {\partial x } =-2 y=- \frac {\partial u } {\partial y } \]가 되어 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. Cauchy-Riemann 방정식에 의하여 (3)을 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>(5) \[ f ^ {\prime } (z)= \frac {\partial f } {\partial x } =-i \frac {\partial f } {\partial y } \] 이는 $ f(z) $ 의 도함수가 존재할 때, 실수부와 허수부의 편도함수를 이용하여 그 함수의 도함수를 구할 수 있게 해 준다.</p> <p>예 3 에서 알 수 있듯이, 어떤 조화함수 $ u(x, y) $ 의 두 조화공액이 $ v(x, y) $ 와 $ v ^ { * } (x, y) $ 이면, \[ v(x, y)=v ^ { * } (x, y) + C \] 이다. 이는 Cauchy-Riemann 방정식 \[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } = \frac {\partial v ^ { * } } {\partial y } , \quad- \frac {\partial u } {\partial y } = \frac {\partial v } {\partial x } = \frac {\partial v ^ { * } } {\partial x } \] 로부터 얻을 수 있다.</p> <p>또한 $ D $ 에서 해석적인 함수 $ f(z) $ 의 실수부 $ u(x, y) $ 가 $ D $ 에서 상수함수이면, $ f(z) $ 는 상수함수이다. 이는 상수함수에 대한 Cauchy-Riemann 방정식이 \[ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } = \frac {\partial v } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } =0 \] 이 되어 결과를 쉽게 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $ 3.15 f(z) $ 가 해석적인 영역 $ D $ 에서 $ \|f(z)\| $ 이 상수이면, $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 상수함수 이다.</p> <p>증명 $ \|f(z)\|=\|u + i v\|=c $ 라 하면 $ u ^ { 2 } + v ^ { 2 } =c ^ { 2 } $ 이다. $ c=0 $ 이면 $ u(x, y)=v(x, y)=0 $ 이 되어 $ f(z)=0 $ 이다. 이제 $ c \neq 0 $ 이라 하자. $ u ^ { 2 } + v ^ { 2 } =c ^ { 2 } $ 의 양변을 $ x, y $ 에 관하여 편 미분하면</p> <p>(4) \[ u \frac {\partial u } {\partial x } + v \frac {\partial v } {\partial x } =0, \quad u \frac {\partial u } {\partial y } + v \frac {\partial v } {\partial y } =0 \] 이고, (4)에 Cauchy-Riemann 방정식을 적용하면</p> <p>(c) $ f(z)= \bar { z } $ 은 어떠한 점에서도 미분가능하지 않다. \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\overline { z + \Delta z } - \bar { z } } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\overline {\Delta z } } {\Delta z } \] 이다. $ \Delta z=h + i k $ 라 하자. $ \Delta z $ 가 $ x $ 축을 따라 0 으로 접근하면 극한값은 1 이고 $ y $ 축을 따라 0 으로 접근하면 $ -1 $ 이 된다. 따라서 $ f(z)= \bar { z } $ 은 모든 점에서 미분가능하지 않다. 함수 $ f(z) $ 가 점 $ z_ { 0 } $ 에서 미분가능하면, $ f(z) $ 는 그 점에서 연속이다. 그 이유는 \[ f(z + \Delta z)-f(z)= \left ( \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } \right ) \Delta z \] 이고, 양변에 $ \Delta z \rightarrow 0 $ 을 취하면 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } (f(z + \Delta z)-f(z))= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \left ( \frac { f(z + \Delta z)-f(z) } {\Delta z } \right ) \Delta z=f ^ {\prime } (z) \cdot \Delta z=0 \] 이다. 그러면 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } f(z + \Delta z)=f(z) \] 가 되어, $ f(z) $ 는 임의의 $ z $ 에서 연속이다. 그러나 위의 역은 일반적으로 참이 아니다. 다음의 예가 이를 예증한다.</p> <p>예 $ 2 f(z)=\|z\|= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 은 원점에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 이유는 \[ \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z)=f(0)=0 \] 이 되어, 이 함수는 원점에서 연속이다. 그러나 \[ \begin {array} { l } f ^ {\prime } (0)= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f( \Delta z)-f(0) } {\Delta z } = \frac { \| \Delta z\| } {\Delta z } \\ = \left \{\begin {array} { l } \Delta z \text { 가 양의 실수이면 } 1, \\ \Delta z \text { 가 음의 실수이면 } -1, \\ \Delta z \text { 가 양의 허수이면 } -i, \\ \Delta z \text { 가 음의 허수이면 } i \end {array} \right . \\ \end {array} \] 가 되어, $ f ^ {\prime } (0) $ 은 존재하지 않는다. 복소함수에 대한 도함수의 정의는 실함수에 대한 정의와 형식적으로 동일하다. 다음의 미분공식들은 극한정리들을 이용하여 십게 얻을 수 있다. 증명은 연습문제 로 넘긴다.</p> <p>예 $ 7 \lim _ { z \rightarrow 2 + 3 i } \left (z ^ { 2 } -5 z + 3 \right ) $ 을 구하여 보자. $ f(z)=z ^ { 2 } -5 z + 3 $ 이라 하면 \[ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -5 x + 3, \quad v(x, y)=2 x y-5 y \] 이다. \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,3) } u(x, y)=2 ^ { 2 } -3 ^ { 2 } -5 \cdot 2 + 3=-12, \quad \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,3) } v(x, y)=2 \cdot 2 \cdot 3-5 \cdot 3=-3 \] 이므로, \[ \lim _ { z \rightarrow 2 + 3 i } \left (z ^ { 2 } -5 z + 3 \right )=-12-3 i \] 이다. 극한의 정의와 삼각부등식을 이용하면 다음과 같은 유용한 결과를 얻는다. \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \quad \Longrightarrow \quad \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \|f(z)\|= \left \|w_ { 0 } \right \| \] 이를 증명하여 보아라.</p> <p>예 $ 8 \lim _ { z \rightarrow 2 + 3 i } \left \|z ^ { 2 } -5 z + 3 \right \|=\|-12-3 i\|=3 \sqrt { 17 } $ 이다. 다음 정리의 증명은 독자에게 넘긴다.</p> <p>정리 3.2 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } $ 이고 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } g(z)=w_ { 1 } $ 라 하자. 그러면 다음이 성립한다.</p> <p>(a) $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } [f(z) \pm g(z)]=w_ { 0 } \pm w_ { 1 } $</p> <p>(b) $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z) g(z)=w_ { 0 } w_ { 1 } $</p> <p>정리 $ 3.10 $ 은 극형식으로 표현된 함수 $ f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) $ 에 대해서도 그대로 적 용된다. 따라서 극형식으로 표현된 해석함수에 대해서도 동일한 결론을 내릴 수 있다. 극형식으로 표현된 해석함수에 대한 충분조건이다. 증명해 보라.</p> <p>정리 $ 3.11 f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) $ 가 영역 $ D $ 에서 정의되고 $ u(r, \theta) $ 와 $ v(r, \theta) $ 의 모든 1계편도함수가 존재하여 $ D $ 의 모든 점에서 연속이고 Cauchy-Riemann 방정식 \[ \frac {\partial u } {\partial r } = \frac { 1 } { r } \frac {\partial v } {\partial \theta } , \quad \frac {\partial v } {\partial r } =- \frac { 1 } { r } \frac {\partial u } {\partial \theta } \] 를 만족하면, $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 해석적이다.</p> <p>극형식으로 표현된 함수 $ f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) $ 에 대하여 정리 $ 3.8 $ 의 식 (6),(7), (8) 과 정리 $ 3.7 $ 의 Cauchy-Riemann 방정식을 이용하면, $ z=r e ^ { i \theta } ( \neq 0) $ 에 대하여 \[ \frac {\partial u } {\partial r } + i \frac {\partial v } {\partial r } = \left ( \frac {\partial u } {\partial x } + \frac {\partial v } {\partial x } \right ) e ^ { i \theta } , \quad \frac {\partial v } {\partial \theta } -i \frac {\partial u } {\partial \theta } =-i \left ( \frac {\partial u } {\partial y } + \frac {\partial v } {\partial y } i \right ) r e ^ { i \theta } \] 이 된다. 따라서 3.3절의 식 (5)에 의하여 \[ f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { e ^ { i \theta } } \left ( \frac {\partial u } {\partial r } + i \frac {\partial v } {\partial r } \right ) \text { 또는 } f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { r e ^ { i \theta } } \left ( \frac {\partial v } {\partial \theta } -i \frac {\partial u } {\partial \theta } \right ) \] 이다.</p> <p>정리 3.1 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 를 점 $ z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } $ 를 제외한 $ z_ { 0 } $ 의 어떤 근방에서 정의된 함수라 하고 $ w_ { 0 } =u_ { 0 } + i v_ { 0 } $ 라 하자. 그러면 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \] 이기 위한 필요충분조건은 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } u(x, y)=u_ { 0 } , \quad \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } v(x, y)=v_ { 0 } \] 이다.</p> <p>증명 $ \Leftrightarrow \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } $ 라 하자. 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. 따라서 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta $ 이면 \[ \begin {array} { l } \left \|u(x, y)-u_ { 0 } \right \| \leq \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \epsilon \\ \left \|v(x, y)-v_ { 0 } \right \| \leq \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \epsilon \end {array} \] 이 되어 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } u(x, y)=u_ { 0 } , \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } v(x, y)=v_ { 0 } $ 이다. $ ( \Leftrightarrow) \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } u(x, y)=u_ { 0 } , \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } v(x, y)=v_ { 0 } $ 이므로, 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|u(x, y)-u_ { 0 } \right \|< \frac {\epsilon } { 2 } , \quad \left \|v(x, y)-v_ { 0 } \right \|< \frac {\epsilon } { 2 } \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. 따라서 $ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta $ 이면, 삼각부등식에 의하여 \[ \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \| \leq \left \|u(x, y)-u_ { 0 } \right \| + \left \|v(x, y)-v_ { 0 } \right \|< \epsilon \] 이 되어 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } $ 이다.</p> <p>다음 정리에서 실함수가 갖는 성질을 이용하여 복소함수도 그 성질을 갖는다는 것을 보인다.</p> <p>정리 $ 3.9 $ 영역 $ D $ 의 모든 점 $ z $ 에서 $ f ^ {\prime } (z)=0 $ 이면, $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 상수함수이다.</p> <p>증명 (3)으로부터 $ D $ 의 모든 점에서 $ \frac {\partial u } {\partial x } + i \frac {\partial v } {\partial x } =0 $ 이고 $ \frac {\partial v } {\partial y } -i \frac {\partial u } {\partial y } =0 $ 이다. 만일 1 변수인 실함수의 도함수가 어떤 구간에서 항등적으로 0 이면, 그 함수는 그 구간에서 상 수함수이어야 한다. 따라서 $ D $ 에서 $ \frac {\partial u } {\partial x } = \frac {\partial u } {\partial y } =0 $ 이면 $ u(x, y) $ 는 $ D $ 에 있는 모든 수평과 수직인 선분들에서 상수함수이다. 마찬가지로 $ D $ 에서 $ \frac {\partial v } {\partial x } = \frac {\partial v } {\partial y } =0 $ 이면 $ v(x, y) $ 는 $ D $ 에 있는 모든 수평과 수직인 선분들에서 상수함수이다. 그러므로 $ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) $ 역시 $ D $ 에 있는 모든 수평과 수직인 선분들에서 상수함수이다. $ D $ 의 임의의 두 점은 항 상 수평과 수직인 다각선으로 연결될 수 있으므로, 임의의 두 점 $ z_ { 1 } , z_ { 2 } \in D $ 에 대하여 $ f \left (z_ { 1 } \right )=f \left (z_ { 2 } \right ) $ 이다. 따라서 $ f(z) $ 는 $ D $ 에서 상수함수이다.</p> <h2>$ 3.4 $ 해석함수</h2> <p>함수 $ f(z) $ 가 점 $ z $ 의 어떤 근방에 있는 모든 점에서 미분가능하면, $ f(z) $ 는 점 $ z $ 에서 해석적이다(analytic)라고 한다. 사실 $ f(z) $ 가 $ z $ 에서 해석적이기 위한 필요충분조건은 $ f(z) $ 가 그 점의 어떤 근방에 있는 모든 점에서 해석적이어야 한다. 또 $ f(z) $ 가 어떤 영 역에 있는 모든 점에서 해석적이면, $ f(z) $ 는 그 영역에서 해석적이다라고 한다. 특히 복 소평면의 모든 점에서 해석적인 함수를 정함수(entire function)라고 한다.</p> <p>(c) $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z) } { g(z) } = \frac { w_ { 0 } } { w_ { 1 } } \left (w_ { 1 } \neq 0 \right ) $</p> <p>다항함수의 극한을 구하기 위하여 앞의 정리들을 이용할 수 있다. 정리 $ 3.1 $ 을 이 용하면 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } z=z_ { 0 } $ 임을 십게 알 수 있고, 정리 3.2(b)와 수학적 귀납법을 이용하면 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } z ^ { n } =z_ { 0 } ^ { n } $ 임을 알 수 있다. 또 복소상수 $ c $ 에 대하여 $ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } =c $ 이다. 따라서 정리 3.2(a)와 수학적 귀납법을 이용하면, 다항함수 \[ P(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \left (a_ { n } \neq 0 \right ) \] 에 대하여 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } P(z)=P \left (z_ { 0 } \right ) \] 이다.</p> <p>예 9 예 7의 극한을 \[ \lim _ { z \rightarrow 2 + 3 i } \left (z ^ { 2 } -5 z + 3 \right )=(2 + 3 i) ^ { 2 } -5(2 + 3 i) + 3=-12-3 i \] 와 같이 구할 수 있다. $ g=g(x, y) $ 를 실변수 $ x $ 와 $ y $ 에 관한 함수라 하자. 임의의 $ \epsilon>0 $ 에 대하여 \[ \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \text { 이면 } \quad \left \|g(x, y)-g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon \] 이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재할 때, $ g $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이다(continuous)라고 한다.</p>	자연
대학기초수학_식의 계산	<h1>2-3 다항식의 차수</h1> <ul> <li>수나 문자의 곱셈만으로 이루어진 식을 항이라 한다.</li> <li>항이 한 개인 식을 단항식, 항이 여러 개인 식을 다항식이라 한다.</li> <li>항에 포함된 수를 그 항의 계수라 한다.</li> <li>단항식의 차수는 곱해진 문자의 개수이다.</li> <li>다항식의 차수는 포함된 단항식의 차수 중 가장 큰 차수이다.</li> <li>차수가 0 인 항을 상수항이라고 한다.</li></ul> <p>연습 $2 $- $3 $ 다음 식을 간단히 하고, 지정된 문자에 대한 차수를 각각 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ a ^ { 3 } \times a ^ { 2 } b ^ { 4 } \div a b \times b ^ { 2 } $ ( $ a $ 에 대해, $ b $ 에 대해)</li> <li>$ x ^ { 6 } y ^ { 2 } \div 8 x ^ { 2 } y \times 5 x ^ { 4 } y ^ { 4 } \div 2 x ^ { 5 } $ ( $ x $ 에 대해, $ y $ 에 대해 $ ) $</li></ol> <h1>2-4 분배법칙과 동류항</h1> <ul> <li>분배법칙 \[ \begin {array} { l } A(B + C-D)=A B + A C-A D \$A + B-C) D=A D + B D-C D \end {array} \]</li> <li>동류항 : 문자 부분이 같은 항을 동류항이라고 하며, 동류항은 서로 덧셈 또는 뺄셈 이 가능하다.</li></ul> <p>연습 \(2 $- $4 $ 다음 식 (1)은 전개하고 (2)는 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ x(2 x + 3 y-4) $</li> <li>$ 3 x ^ { 2 } y ^ { 3 } -3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 7 x ^ { 3 } y ^ { 2 } $</li></ol> <h1>2-5 식의 사칙연산</h1> <ul> <li>단항식의 곱셈과 나눗셈은 지수법칙을 사용한다. \[ \begin {array} { c } A ^ { n } \times A ^ { m } =A ^ { n + m } , \quad A ^ { n } \div A ^ { m } =A ^ { n-m } , \quad \left (A ^ { n } \right ) ^ { m } =A ^ { n m } , \\ (A \times B) ^ { n } =A ^ { n } \times B ^ { n } , \quad \left ( \frac { B } { A } \right ) ^ { n } = \frac { B ^ { n } } { A ^ { n } } , \quad \left ( \frac { B } { A } \right ) ^ { -n } = \frac { A ^ { n } } { B ^ { n } } \end {array} \]</li> <li>다항식의 사칙연산은 지수법칙, 분배법칙을 적용하고, 동류항을 간단히 하여 계산한다.</li></ul> <p>연습 $2 $- $5 $ 다음 식을 간단히 정리하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ \left (2 a ^ { 2 } b \right ) ^ { 3 } \times \left (-3 a ^ { 3 } b ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } $</li> <li>$ 16 x ^ { 3 } \div x \div(2 x) ^ { 3 } $</li> <li>$ (5 \times a \times a \times b + 3 \times a \times b \times b)-4 \left (a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } \right ) $</li> <li>$ 4 \left (x ^ { 2 } -x + 7 \right )-2 \left (2 x ^ { 2 } -4 x-3 \right ) $</li></ol> <h1>2-1 지수의 정의</h1> <ul> <li>$ A $ 가 수 또는 식이고 $ n $ 이 자연수일 때, \[A ^ { n } = \underbrace { A \times A \times \cdots \times A } _ { n \text { 번 } } , A ^ { -n } = \frac { 1 } { A ^ { n } } = \frac { 1 } {\underbrace { A \times A \times \cdots \times A } _ { n \text { 번 } } } , A ^ { 0 } =1 \]</li> <li>- $ A ^ { n } $ 을 $ A $ 의 $ n $ 제곱이라 하고 $ A $ 를 밑, $ n $ 을 지수라고 한다.</li></ul> <p>연습 $2 $- $1 $다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ -(-2) ^ { 2 } $</li> <li>$ -(-2) ^ { 3 } $</li> <li>$ 4 ^ { -2 } $</li> <li>$ 3 ^ { -4 } $</li> <li>$ \pi ^ { 0 } $</li> <li>$ 2017 ^ { 0 } $</li></ol> <h1>2-2 지수법칙</h1> <ul> <li>$ A ^ { n } \times A ^ { m } =A ^ { n + m } , A ^ { n } \div A ^ { m } =A ^ { n-m } $</li> <li>$ \left (A ^ { n } \right ) ^ { m } =A ^ { n m } ,(A \times B) ^ { n } =A ^ { n } \times B ^ { n } $</li> <li>$ \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =A, A B ^ { -1 } = \frac { A } { B } , A ^ { n } B ^ { -m } = \frac { A ^ { n } } { B ^ { m } } $</li> <li>$ \left ( \frac { B } { A } \right ) ^ { n } = \frac { B ^ { n } } { A ^ { n } } , \left ( \frac { B } { A } \right ) ^ { -n } = \left ( \frac { A } { B } \right ) ^ { n } = \frac { A ^ { n } } { B ^ { n } } $</li></ul> <p>연습 $2 $- $2 $다음을 지수의 형태로 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ 3 ^ { 4 } \times 3 ^ { 7 } $</li> <li>$ x ^ { 6 } \div x ^ { 2 } $</li> <li>$ \left (3 x ^ { 4 } \right ) ^ { 2 } $</li> <li>$ \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) ^ { -2 } $</li></ol> <h1>2-8 이중근호</h1> <ul> <li>$ \sqrt { A + B + 2 \sqrt { A B } } = \sqrt { ( \sqrt { A } + \sqrt { B } ) ^ { 2 } } = \sqrt { A } + \sqrt { B } $</li> <li>$ \sqrt { A + B-2 \sqrt { A B } } = \sqrt { ( \sqrt { A } - \sqrt { B } ) ^ { 2 } } = \sqrt { A } - \sqrt { B } ( $ 단, $ A \geq B) $</li></ul> <p>연습 $2 $- $8 $다음을 이중근호 없이 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>$ \sqrt { 5 + 2 \sqrt { 6 } } $</li> <li>$ \sqrt { 7-2 \sqrt { 12 } } $</li></ol> <h1>2-9 분모의 유리화</h1> <ul> <li>$ \frac { B } {\sqrt { A } } = \frac { B \sqrt { A } } {\sqrt { A } \sqrt { A } } = \frac { B \sqrt { A } } { A } $</li> <li>$ \frac { A } {\sqrt { B } + C } = \frac { A( \sqrt { B } -C) } { ( \sqrt { B } + C)( \sqrt { B } -C) } = \frac { A( \sqrt { B } -C) } { B-C ^ { 2 } } $</li></ul> <p>연습 $2 $- $9 $ 다음을 유리화하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } $</li> <li>$ \frac {\sqrt { 5 } } {\sqrt { 3 } } $</li> <li>$ \frac { 1 } {\sqrt { 2 } -1 } $</li></ol> <h1>2-10 식의 값</h1> <ul> <li>식의 문자에 주어진 수를 넣어 계산한 것을 식의 값이라고 한다.</li> <li>식의 값은 식을 간단히 정리하고 문자 대신에 주어진 수를 대입하여 계산한다.</li> <li>계산기 이용 시 생략된 곱셈기호를 입력해야 한다.</li></ul> <p>연습 $2 $- $10 $ $ a=2 $ 이고 $ h=3 $ 일 때, $ S= \frac { 1 } { 2 } a h $ 의 값을 구하여라.</p> <p>확인 2-1 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ -(-3) ^ { 2 } $</li> <li>$ -(-3) ^ { 3 } $</li> <li>$ 3 ^ { -2 } $</li> <li>$ 2 ^ { -4 } $</li> <li>$ 2.72 ^ { 0 } $</li> <li>$ (2 \pi) ^ { 0 } $</li></ol> <p>확인 2-2 다음을 지수의 형태로 간단히 하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 3 ^ { 5 } \times 3 ^ { 6 } $</li> <li>$ x ^ { 2 } \div x ^ { 6 } $</li> <li>$ \left (3 x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } $</li> <li>$ \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) ^ { -3 } $</li></ol> <p>확인 2-3 다음 식을 간단히 하고 지정된 문자에 대한 차수를 각각 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a ^ { 2 } b ^ { 3 } \times a ^ { 3 } b ^ { 2 } \div \left (a ^ { 2 } b \times b ^ { 2 } \right ) $ ( $ a $ 에 대해, $ b $ 에 대해)</li> <li>$ 15 x ^ { 3 } y ^ { 5 } \times 8 x ^ { 5 } y ^ { 2 } \div 5 x ^ { 3 } y ^ { 3 } \div 2 x y $ ( $ x $ 에 대해, $ y $ 에 대해)</li></ol> <p>확인 2-4 다음 식을 간단히 정리하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ 2 x(3 x-1)-3 x(4-x) $</li> <li>$ 2 a b + a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } -6 a b-4 b ^ { 2 } $</li></ol> <p>확인 2-5 다음 식을 간단히 정리하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ 3 \left (2 a ^ { 2 } x \right ) ^ { 3 } \times(-a x) ^ { 2 } $</li> <li>$ 16 x ^ { 3 } \div(2 x) ^ { 3 } \div x ^ { 2 } $</li> <li>$ (a \times a \times a + 2 \times b \times b) \times(x \times x + y \times y) $</li> <li>$ \left [3 x ^ { 2 } -(2 x + 1) \right ]- \left (x ^ { 2 } -1 \right ) $</li></ol> <h1>2-6 곱셈공식 1</h1> <ul> <li>$ (A + B) ^ { 2 } = A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } $</li> <li>$ (A-B) ^ { 2 } =A ^ { 2 } -2 A B + B ^ { 2 } $</li> <li>$ (A + B)(A-B)=A ^ { 2 } -B ^ { 2 } $</li> <li>$ (X + A)(X + B)=X ^ { 2 } + (A + B) X + A B $</li> <li>$ (A X + B)(C X + D)=A C X ^ { 2 } + (A D + B C) X + B D $</li></ul> <p>연습 2-6 곱셈공식을 사용하여 다음 식을 전개하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (x + 2) ^ { 2 } $</li> <li>$ (x-3) ^ { 2 } $</li> <li>$ (t + 5)(t-5) $</li> <li>$ (2 s-1)(3 s + 2) $</li></ol> <h1>2-7 곱셈공식 2</h1> <ul> <li>$ (A + B) ^ { 3 } =A ^ { 3 } + 3 A ^ { 2 } B + 3 A B ^ { 2 } + B ^ { 3 } $</li> <li>$ (A-B) ^ { 3 } =A ^ { 3 } -3 A ^ { 2 } B + 3 A B ^ { 2 } -B ^ { 3 } $</li> <li>$ (A + B) \left (A ^ { 2 } -A B + B ^ { 2 } \right )=A ^ { 3 } + B ^ { 3 } $</li> <li>$ (A-B) \left (A ^ { 2 } + A B + B ^ { 2 } \right )=A ^ { 3 } -B ^ { 3 } $</li></ul> <p>연습 2-7 곱셈공식을 사용하여 다음 식을 전개하여라.</p> <ol type= start=1><li>$ (x + 1) ^ { 3 } $</li> <li>$ (a + 2) \left (a ^ { 2 } -2 a + 4 \right ) $</li></ol>	자연

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